КУРС
ФИЗИКИ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
р. РОЖЛНСКИЙ
АКУСТИКА
ОПТИКА
Д А. РОЖАНСКИЙ
КУР С Φ И 3 И К И
род редакцией
аиад. А. ф. и О Φ Φ Ε
ЧАСТА ШТОРАХ
0 Η Τ И
1 S 3 5

&

КУРС ФИЗИКИ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
акад. А. Ф. ИОФФЕ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Л А. РОЖАНСКИЙ
АКУСТИКА И ОПТИКА
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД 1935 МОСКВА

ПРЕДИСЛОВИЕ.
Вторая часть Курса физики, выходящая пторым изданием,
подверглась полной переработке. Значительно расширена глава,
посвященная акустике. Содержание ее должно не только . дать
иллюстрацию к учению о колебаниях и волнах, но также
познакомить читателя с основными техническими проблемами, оказавшими
сильное влияние на развитие современной акустики, которая еще
недавно была чем-то средним между главой из механики и учением
о музыкальных инструментах. Значительно дополнена глава III,
посвященная электрическим колебаниям, введением в нее тех
основных сведений из радиотехники, которые нужны в настоящее
время нередко и физику-экспериментатору. IV глава составлена
вновь и содержит элементы геометрической оптики,
необходимые для понимания следующих глав, посвященных физической
оптике. Для знакомстза с гауссовой теорией оптических систем и
с оптическими приборами, за исключением самых основных, мы
отсылаем читателя к специальным руководствам, которые появились
в последнее время на русском языке. V и VI главы, посвященные
явлениям интерференции и диффракции, переработаны и должны
дать читателю более полное и систематическое освещение
волновой теории света. Глава VII, содержащая основы
электромагнитной и электронной теории света, испытала меньше
изменений: в нее внесены только небольшие исправления и
дополнения. Глава VIII, посвященная явлениям испускания и поглощения
света, является новой. Изложение законов радиации черного тела
дано в возможно кратком, но систематическом виде; выводы
главных законов упрощены с сохранением, однако, всех
существенных особенностей, имеющих большую методическую ценность.
В учении о линейных спектрах обращено особое внимание на
уяснение основных идей современной квантовой теории спектров.
Этот вопрос естественно должен быть освещен ρ III части, в
которой будет изложена теория строения атома, но изложение
спектроскопических фактов без введения элементов квантовой теории
в настоящее время, очевидно, невозможно. Глава IX рассматривает
вопросы, связанные со скоростью света и ее определением.

4
Предисловие
В настоящем виде вторая часть является более систематическим
курсом акустики и оптики, чем она была в первом издании. Автор
старался сделать изложение менее схематичным и пользовался
более разнообразным материалом, имея в виду техническое
значение соответствующих отделов физики. Истерическое ссылки и даты
имеют целью дать представление о главных этапах развития науки
и, пользуясь исторической перспективой, сделать понятным
значение основных вопросов современной физики.

ΤΛΑΒΑ Ι.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
§ 1. Значение колебаний н волн в физике.
Колебания и волны встречаются при изучении самых
разнообразных физических явлений. Они лежат в основе современного
представления о природе материи, о законах ее движения, об
электричестве, свете, звуке. Поэтому, вторая часть посвящается, во-
первых, изложению их общих закономерностей, а затем применениям
этого учения к звуковым, электрическим и световым колебаниялі.
Основные понятия, необходимые для понимания всех таких
явлений, можно усвоить, знакомясь с одними механическими
движениями. Один из самых доступных школьных примеров —
движение маятника, представляет колебания изолированного тела.
Другой распространенный тип движения в жидкостях, называемый
волнами, знакомит нас в обыденной жизни с колебаниями частиц,
связанных между собой и образующих сплошную материальную
среду. Большое техническое значение имеет учение о
колебаниях в связи с работой машин, совершающих периодическое
вращательное дсижение, или с колебаниями сооружений под действием
периодических сил. Большинство этих медленных колебаний
больших масс рассматриваются в механике, и мы не будем их касаться
здесь.
Более быстрые колебания (сотни и тысячи колебаний в секунду),
вызывающие в нашем ухе ощущение звука, дают обширный материал
для знакомства с тем, как применяются законы колебательного
движения в физике, а также какое техническое значение имеет
правильное их использование. Развитие акустики в последнее
время было особенно плодотворно в связи с тем, что она все
глубже связывается с техникой, и представляет интересный пример
взаимного влияния теоретического и практического направления
а науке, благотворного для того и другого. При возрастании
частоты за пределы слышимых звуков мы попадаем в область
ультразвуков (десятки и сотни тысяч колебаний в секунду), но
все же, пока размеры волн велики по сравнению с промежут-

6
Колебания и волны
Гл. I
ками между отдельными частицами и материальное тело можно
рассматривать как сплошное, мы не имеем никаких качественно
новых явлений.
Совершенно особый мир явлений мы находим в области малых
волн, представляющих особое значение для молекулярной физики
и дающих объяснения многих тепловых явлений. Здесь мы
сталкиваемся с прерывностью строения материи, с колебаниями отдель-
11 12
ных частиц и частотами порядка 10 —10 в сек., уже
приближающимся к оптическим.
Световые колебания и электромагнитные радиоволны
представляют собой нечто качественно отличное от механических
колебаний. Ясное представление об изменениях того особого физичес-
ского состояния среды, которое мы определяем как
электрическое и магнитное поле, представляет основу, на которой
развивается учение об электрических колебаниях. Мы не станем здесь
подробно говорить об общеизвестном значении радиотехники, но
следует отметить, что и в физической лаборатории использование
электрических колебаний и радиотехнических методов встречается
теперь довольно часто. Поэтому с некоторыми основными
понятиями и методами радиоизмерений должен быть знаком всякий
физик.
Электрические колебания при известной частоте переходят
в световые колебания, которые, несмотря на некоторые
особенности, остаются электромагнитным явлением. Дополняя
электромагнитную теорию света учением о колебаниях электронов, мы
доходим дотюследней высшей стадии классической оптики —
электронной теории.
Электронная теория должна была связать мир электромагнитных
волн и мир материальных частиц, пространство, в котором
происходят все взаимодействия между материальными атомами, и самые
атомы, являющиеся источниками и объектами этих взаимодействий.
Колебания электрона, испускание им электромагнитных волн и
воздействие, которое он испытывает с их стороны, являются
классической моделью того, что происходит в материальном мире при
взаимодействии света и материи. Такая модель дает объяснение
почти всех оптических явлений и объяснение почти вполне
верное с точки зрения количественных результатов. Но в то
же время она не дает вполне в ер ных и отвечающих
действительности результатов. Классическая точка зрения должна быть
в корне изменена, и это сделала квантовая теория света и атома.

§2
Гармонические колебания
7
Установить соответствие между старыми классическими
воззрениями и тзми фактами, которые привели к квантовым
представлениям, может только волновая механика и вытекающее из нее
учение о строении атома и об элементарных оптических процессах.
Этим вопросам будет посвящена следующая часть. В настоящей
книге они затронуты настолько, чтобы сделать понятной разницу
между старой теорией, в основе которой лежала модель
колеблющегося и излучающего электрона, и новыми воззрениями,
которые оперируют с квантовыми состояниями атома. На
примерах излучения и поглощения света это противопоставлений
позволяет отчетливо видеть не только характерные черты
новой теории, но и пользу наглядных представлений электронной
теории.
§ 2. Гармонические колебания.
Колебаниями мы называем периодические изменения какой-
нибудь физической величины, напр., плотности, давления,
перемещений точек и их скоростей, электрических зарядов на проводниках,
электрических токов, электрической и магнитной силы в
пространстве, окружающем материальные тела, и т. п. Одним из наиболее
простых и наглядных примеров колебаний является периодическое
колебательное движение материальной точки около какого-нибудь
среднего положения. Движение это определяется изменением
положения точки с течением времени и ее скоростью. Если движение
периодическое, то оно повторяется через определенный
промежуток времени Τ—период колебаний. Примером такого
периодического движения может служит движение точки на
окружности колеса, вращающегося вокруг неподвижной оси, качание
маятника и т. п. Периодическое движение может быть весьма
различно и представлять движение, протекающее за время периода
самым сложным образом. Как мы увидим дальше, всякое такое
сложное периодическое движение можно однако представить как
наложение или одновременное существование многих простых
периодических движений, которые мы называем простыми
гармоническими. Поэтому их и нужно изучить сначала
Ясное представление о законах простого гармонического
движения мы получаем с помощью следующего построения (рис. 1).
Если материальная точка т движется по кругу с постоянной
скоростью, то при этом ее проекция Μ на какую-нибудь
прямую А'А, лежащую в плоскости круга, совершает
простое гармоническое колебание около точки

8
Колебания и волны
Гл. I
О — проекции центра круга на ту же прямую. Если смотреть
издали на материальную точку, равномерно вращающуюся вокруг
какого-нибудь центра, так чтобы глаз находился в плоскости
вращения, то мы увидим именно проекцию движущегося предмета,
который покажется нам колеблющимся по прямой по законам
простого гармонического движения. Диаметр аа, параллельный
прямой АА', и радиус от, проведенный
в точку τη, где в настоящий момент
находится материальная точка,
составляют при этом угол φ, который
равномерно возрастает со временем t
вследствие равномерного движения точки m
и может быть выражен так:
= 00/.
(1)
Величина ω есть угловая
скорость радиуса от; она показывает,
на какой угол он вращается за время,
равное одной секунде; мы будем
называть ее также круговой частотой, так как она имеет ту же
размерность, что и частота колебаний N или число
колебаний в единицу времени:
ІѴ = -
(2)
За время одного периода Τ точка т возвращается в исходное
положение, и следовательно угол φ возрастает на 2 π:
<? + 2it = a>(f-f T). (3)
Из (1) и (3) мы находим, что
2*
Τ "
ω = ■
(4)
Таким образом круговая частота <о отличается от обыкновенной
частоты, или числа колебаний Ν, множителем 2 π, а именно:
ω = 2πуѴ. Заметим еще, что угол φ называется фазой
колебания в момент t Если за начальный момент выберем тот момент,
когда точка находится в положении т0, то φ0 называется
начальной фазой колебания. Очевидно, что начальная фаза по
существу произвольная величина, так как зависит от того, какой
момент условимся считать начальным.

§ 2 Гармонические колебания 9
В дальнейшем мы будем через t обозначать время, протекшее
от начального момента, когда φ = φ0, так что ср = ср0-]-ші?.
Из рис. 1 мы находим для определения положения проекции
М, совершающей простое гармоническое движение, соотношение
ОМ—от · cos φ,
или, так как отрезок ОА равен радиусу круга от,
ОМ=ОА cos (φ0 + ω ή. . (5)
Эта формула выражает все свойства простого гармоьического
колебания. Отклонение точки Μ от среднего положения О на
прямой А'А изменяется с течением времени по закону,
представляемому простейшими тригонометрическими функциями, синусом
или косинусом, как в данном примере. Максимальное отклонение ОА,
или амплитуда колебания, и круговая частота со вполне
определяют простое гармоническое движение, Начальная же фаза
сро может быть выбрана произвольно и, соответственно ее выбору,
формула (5) принимает различный вид: напр., при »о == О
ОМ = О A cos ω t,
при <?о = 90°
ОМ=—ОА sin«>f,
и т. д. В нашем построении (рис. 1) этот произвол связан с
произвольным выбором начального положения точки то или диаметра аа',
от которого отсчитывается фаза.
Скорость точки Μ есть проекция- скорости υ точки т на АА'·
Так как υ — от · ω, а ее направление составляет с прямой А'А
угол -~—f- φ, то проекция скорости ѵ, или скорость точки М,
равна
ѵм = — О Α ω sin {®t -\- <?о). (б)
В дальнейшем будем обозначать отрезок ОМ, расстояние точки
Μ от точки О в данный момент t, через х, длину радиуса от,
или амплитуду, через а, тогда
х — а cos (со i -f- сро). (5')
Так как скорость движения точки может быть представлена как
производная по времени от перемещения точки, то мы могли бы
определить скорость и другим путем, дифференцируя величину χ
по t; из формулы (5'):
что конечно совпадает с предыдущей формулой (6).

JO
Колебания и волны
Гл. I
§ 3, Основное свойство гармонического колебания.
Одно из самых важных и характерных свойств гармонического
движения—этосвязьмеждуускорением и отклонением точки отположения
равновесия. Ускорение гармонического движения можно найти как
проекцию ускорения w при равномерном.движении по кругу, т. е. цент-
ростремительного ускорения, равного w = . στο выражение
можно представить иначе, пользуясь тем, что υ = α ω, и поэтому
ускорение w равно также w = α ω2, τ. е. равно радиусу круга,
умноженному на квадрат угловой скорости.
Согласно рис. 1 проекция ускорения на прямую АА' равна
даг= —wcos». Знак минус поставлен потому, что ускорение имеет
направление, противоположное радиусу а, проведенному из точки о
в точку тп, и может быть представлено отрезком (вектором) οζυ,
направление которого указано на рис. 1 стрелкой. Таким образом
проекция ускорения ζυ на ось χ равна
"Мх — — α ω2 cos φ = — αΡχ, (7)
т. е. ускорение в гармоническом движении
пропорционально отклонению χ точки от положения
равновесия О и знак минус показывает, что ускорение
имеет направление противоположное отклонению
лг, т. е. направлено всегда к точке О. Это же свойство
можно получить, вычисляя производную скорости по времени
( ~Jf)' τ· е* ВТ0РУЮ производную от х. Из Формулы (6') находим
-ψ- = — α ω9 cos (ωί -f- φ0) = — <*>2χ· (7')
Это соотношение имеет не только математическое значение,
как наиболее простая аналитическая формулировка свойств
гармонического движения, но оно также всеьма
/М=-Кх важно для понимания физических усло-
«» м вий, при которых такое движение возни-
λ ]f—Τ кает. Как известно, ускорение
пропорционально силе, его вызывающей; поэтому
Рис. 2. в гармоническом движении не только
ускорение, но и сила должна быть
пропорциональна отклонению χ точки Μ от среднего положения О и
направлена (рис. 2) всегда к точке О. Где бы точка Μ ни
находилась, она во все время движения притягивается к точке О с си-

§4
Квазиупругая сила
11
лой /. Сила / = — кх равна нулю, когда Μ находится в точке О.
Находясь в этом положении, точка Μ не испытывает действия
силы; если она в этом положении не имела скорости, то и не начнет
двигаться. Таким образом это положение является положением
равновесия. Отклонения от положения равновесия вызывают
появление силы, стремящейся вернуть точку в положение равновесия.
•Эта сила всегда направлена к О и пропорциональна величине
отклонения,
§ 4. Квазиупругая сила.
Упругие деформации в твердых телах, как, напр., растяжение
проволоки, сгибание стержня, закручивание нити, сжатие объма
тел под действием внешнего давления, вызывает появление упругих
сил, которые подчиняются закону Гука: упругая сила
пропорциональна зеличине деформации. Поэтому, если масса
т связана с какими-нибудь упругими
телами и при ее перемещении эти тела
испытывают деформацию (представим,
напр., пружину, к концу которой
прикреплен груз т), то сила, действующая
на массу, подчиняется закону Гука и для
нее имеет место соотношение
/= _ кх. (8)
В качестве "другого примера рассмотрим
действие силы тяжести на маятник- Если
груз маятника совершает качания с малой
амплитудой, то сила, сообщающая ему
ускорение, связана с отклонении его от
положения равновесия О такой же
формулой. Для того, чтобы показать это,
разложим силу тяжести, изображенную на рис. 3 вектором АВ,
на взаимно перпендикулярные составляющие, АС—вызывающую
растяжение нити РА, и AD — сообщающую грузу ускорение w.
Очевидно, что угол ABD равен углу а, на который отклонился
маятник, и следовательно
AD = AB sine,
где АВ полная сила тяжести, равная mg, или движущая сила
/= —mgs'ma.
Мы должны писать знак минус, так как из рисунка видно, что
вектор AD противоположен отклонению ОА, которое равно
ОА^РАа.
Рис. 3.

12
Колебания и волны
Гл. I
Обозначив теперь отклонение буквой х, а длину нити маятника
РА буквой I, мы найдем х=1а.
Отношение силы / и перемещения χ таким образом равно
/ mg sin α
χ Ια'
При малых колебаниях угол α мал и отношение синуса угла к
величине самого угла близко к единице, поэтому /= — кх, где
Сила, вызывающая колебания маятника, связана с перемещением
его груза формулой, напоминающей закон Гука. Это сходство
позволяет силу / назвать квазиупругой силой.
С примерами квазиупругих сил приходится встречаться в
различных явлениях. Колебания частиц жидкости при распространении
волн на ее поверхности вызываются квазиупругими силами,
происхождение которых может быть различно в зависимости от длины
волны- Они могут быть вызваны или действием силы тяжести или
поверхностным натяжением жидкости. Колебания магнитной стрелки
в постоянном магнитном поле также происходят под действием
квазиупругой силы магнитного происхождения.
Для всех этих сил общим является закон, выраженный
формулой (8), и колебательное движение во всех таких случаях будет
простым гармоническим.
Если сила / вызывается упругой деформацией и величина
этой деформации измеряется перемещением χ точки, имеющей
массу т, то коэффициент к называется модулем упругости
или просто упругостью. Примерами могут служить: груз на
конце пружины или упругой нити; тело, сжатое всесторонним
давлением; тело, подвешенное на проволоке и совершающее крутильные
колебания. Если же сила не упругого происхождения, то к есть
коэффициент квазиупругой силы. 5
Во всех случаях, когда сила / выражается формулой /= — кх,
частота колебаний, создаваемых этой силой, зависит от
коэффициента к. В самом деле ускорение w связано с величиной силы по
закону Ньютона соотношением f—mw. В случае гармонического
движения, как мы видели,
w = — ω2 л:
и поэтому
/= —т^х

§ 5 Графическое представление гармонического движения 13
Сравнивая оба полученные выражения для силы /, мы видим,
что
или
& = тоэ2
-V-
т
(10J
Если k есть модуль упругости, то полученная формула для
частоты ω показывает, что частота возрастает пропорционально
корню квадратному из упругости и обратно пропорциональна
корню из массы. Увеличение упругости всегда увеличивает частоту
колебаний, а увеличение массы уменьшает ее.
В случае маятника сам коэффициент к пропорционален массе
тела, поэтому частота колебаний маятника не зависит от массы
его груза. Подставляя в формулу для частоты к = —Л, мы найдем,
что ω = 1/ -у-, т. е. зависит лишь от длины I маятника и
ускорения силы тяжести g.
§ 5. Графическое представление гармонического движения.
Положим, что какая-нибудь точка, например груз маятника или
конец ножки камертона, совершает колебательное движение. Если
снабдить ее пишущим приспособлением (напр. острием, которое
чертит закопченную поверхность
стеклянной пластинки, или пером, которое
пишет по бумаге) и двигать пластинку
или бумагу равномерно и прямолинейно
в направлении, перпендикулярном к
направлению колебаний, то острие
запишет на ней кривую, называемую
синусоидой (рис. 4), причем ось абсцисс
совпадает с направлением движения О £УѴ
пластинки, а колебания
перпендикулярны к ней.
Указанное приспособление служит не только для
геометрического представления гармонического движения, но благодаря строгой
правильности этого движения может быть применено как
хронограф, т. е. для точного измерения времени, в особенности очень
коротких промежутков, измеряемых малыми долями секунды. Если
на той же пластинке или бумаяіной ленте отмечать начало ίχ и
Рис. 4.

и
Колебания и волны
Гл. I
конец 4 события, продолжительность которого, равную ί2 — tu мы
желаем измерить, то сразнение этого промежутка времени с
периодом колебаний сводится к простым геометрическим промерам.
Запись колебаний часто служит для точного измерения или
сравнения периодов колебаний, напр. камертона и секундного
маятника. Запись двух колебаний одинакового периода дает
возможность также сравнивать их амплитуды и начальные фазы. На
рис. 5 представлены четыре синусоиды I, II, III и IV,
представляющие колебания с начальными фазами 0°, 90°, 180° и 270°.
Другой способ графического представления гармонического
движения сводится к изображению амплитуды и начальной фазы
при помощи вектора, как показано на рис. 6.
Отрезок ОА, длина которого а и который составляет с осью
абсцисс ОХ угол «, может символически представлять
гармоническое колебание с амплитудой а и начальной фазой а. Если его
Рис 5. Рис. 6.
вращать с угловой скоростью ω, то проекция его конца совершает,
как мы уже видели, движение χ = a cos (ωί -]- α).
Скорость гармонического движения точки ν может быть
представлена таким же вектором, но увеличенным в ω раз и повернутым на
90° (рис. 6). Точно так же ускорение τυ представляется вектором,
величина которого равна α ω2, а направление составляет с ОХ
угол 180° + «·
Этот способ изображения гармонического движения особенна
важен при сложении нескольких гармонических колебаний.
§ 6. Сложение гармонических колебаний одного направления.
Нам неоднократно придется рассматривать такие случаи, когда
данная материальная точка одновременно участвует в двух
колебательных движениях. Мы рассмотрим сначала простейший случай,
когда оба колебания являются движением точки вдоль одной и
той же прямой и происходят с одним периодом Т, но разными
амплитудами и фазами. Так как каждое чз слагаемых колебаний
представляет собой периодически повторяющееся изменение пере-

§ б Сложение гармонических колебаний одного направления 15
мещения точки и ее скорости, то и сумма перемещений или
скоростей, очевидно, будет повторяться с тем же периодом, так как
через каждый промежуток времени Τ все условия для каждого
из колебаний снова те же, что и за Г сек. до этого, а
следовательно и результат их сложения снова тот же. Мы можем также
убедиться, что если каждое из колебаний было простым
гармоническим, то их сумма также имеет такой же простой гармонический
характер.
Рассмотрим колебание, выражаемое формулой
χ = a cos (ω t -f- <p)
и положим, что точка О, вокруг которой происходит это
колебание, в свою очередь участвует в другом колебании того же
периода, но имеющем другую амплитуду at и другую начальную фазу <f{-
Χχ = аг cos (ω t -j- wt).
Данная материальная точка таким образом одновременно
участвует в двух колебаниях. Рассмотрим, каково будет тогда движение
материальной точки в результате сложения обоих колебаний.
Эти колебания по известным формулам разложения косинуса
можно представить как
χ = a cos ω t cos φ — α sin ω t sin φ
и
хг = а1 cos ω f cos 'ft — ax sin со t sin φχ.
Складывая почленно эти формулы, мы получим выражение того·
же вида:
х-\-Хх = А cos ®t—В sin ®t,
где
А = а costp-j-a! cos'ft, В = a sin φ -\- αχ sin ψ1.
He трудно, однако, представить коэффициенты А и В следукѴ
щим образом:
А = С cos Φ и В = С sin Φ.
В самом деле, если
Ccos® = a cos φ -f- a1 cos cpt
π
С sin Φ = α sin ® -f- αχ sin <fx,
то, возведя эти равенства в квадрат и сложив, получаем:
С2 = а? -\- а{2 -}- 2 αα! (cos? cos 'ft -J- sin φ sin <ft),
или
С2 - α2 -f a? + 2 α^ cos (? — ft). (11)

16
Колебания и волны
Гл. I
С другой стороны, для определения Φ разделим С sin Φ на
С cos Φ, что даст
a sin φ —Ι- αΛ sin φ,
— 1_ (12)
tg® =
a cos о -j- c1 cos »!
Итак, всегда можно представить сумму колебаний x-J-jc!
следующим образом:
лг + дГі =Ccos 0cosa>t — Csin®sin ωί = Ccos (<οί-\-Φ).
Амплитуда С сложного колебания и фаза Φ принимают
различные значения в зависимости как от амплитуд слагаемых
колебаний, так и от их начальных фаз. Амплитуда С может иметь
всевозможные значения, заключенные, однако, между двумя преде-
ламиа+а^иа — а^если а >аѵЗначение амплитуды зависит от
разности фаз φ — ψ19 которая определяет значения cos (φ — φχ).
Крайние значения C=a-\-axvi C = a — αχ получаются при
разностях фаз, соответственно оавных нулю и 180°; в первом случае
складываются колебания с
одинаковыми фазами,
а во втором с
противоположными. Для
промежуточных значений разности фаз,
когда
0<φ — φ^ΙδΟ0,
амплитуда С принимает
промежуточные значения между
суммой и разностью амплитуд а
и а^ слагаемых колебаний.
Сложение гармонических колебаний может быть выполнено
также геометрическим построением. Как мы видели, гармоническое
колебание можно представить вектором, длина которого
изображает величину амплитуды колебаний, а направление определяется
начальной фазой <р. Складывая два вектора, изображающие
колебания с амплитудами а и а: и начальными фазами ® и ?„ по
правилам векторного сложения (рис. 7), мы найдем новый вектор,
имеющий длину С и направление, определяемое углом Ф, причем
С выражается формулой (11), а Ф формулой (12). Таким образом,
сложение колебаний одинакового периода сводится к сложению
векторов, изображающих эти колебания.
Иногда приходится складывать не два, а много колебаний.
Правило векторного сложения позволяет произвести геометрически
сложение любого числа колебаний и определить результирующую
Рис. 7.

§ 6 Сложение гармонических колебаний одного направления 17
амплитуду и фазу. В случаях, когда складываемые колебания имеют
одинаковую амплитуду, результаты получаются особенно
наглядными и могут быть выражены простыми формулами. Мы
рассмотрим два различных случая, а именно, когда начальные фазы имеют
всевозможные значения, причем все значения встречаются
одинаково часто, и когда начальные фазы складываемых колебаний
изменяются последовательно на некоторую Ееличину &. В перзом
случае колебания
*і = a cos (ωί + ίρι)
χ, = a cos (<cf 4" φ2)
xn = acos(a>t-\-<p„)
дают при сложении колебание
η η
Χ = хг + *2 + · · · 4" хп = cos «t · a ^cos φΑ — sin ω t ■ а У] s'm φ* ,
амплитуда которого А может быть найдена из соотношения
Но
re \ 2 η η η
где двойная сумма должна быть распространена на все сочетания
знаков k и / за исключением тех случаев, когда k = l. Точно также
(п \2 те η η
2 sin φ J ==2sin2(p* + S Σ διηφΛ sin'ft·
fc=l ' ft=l ft=li = l
Складывая эти выражения, мы получаем
(η \2 ι η ι2 η
2 cos φ* 1 +(2 sin?*) ="" + 2 cos (?*~~^·
fc=i ' 4=i ' ft, i=i
Так как φΛ — <рг могут принимать всевозможные днаЧейияѵ*т&гко-
синусы могут иметь любые значения как' ро^^иЙЖныё," так;jl
отрицательные, и все эти значения одинако^чбозможйьь^ПоЗтому
сумму косинусов можно считать равной ну^кМ-и НА?1-Аі! j;^ <Щг.Н?.
А* = паК "%J.",., ^ ""с" ѵ~~ 0 <ѵ
2 Зак. 2408. Курс физики. *П~ IѴ^ѵг??
^Ѵ*

18
Колебания и волны
Гл. I
Таким образом при сложении большого числа колебаний с
произвольными фазами складываются квадраты амплитуд, и,
следовательно, амплитуда результирующего колебания пропорциональна Υπ,
т. е. корню квадратному из числа колебаний.
Второй случай, когда складываются колебания, фазы которых
изменяются по закону арифметической прогрессии, встретится нам
в дальнейшем при изучении явлений диффракции. Найти
выражение для амплитуды результирующего колебания можно следующим
способом.
Пусть
х0— a cos ω t
хх — а cos(o>i-j-S)
*2 = α cos(<of-]-2 8)
χη = α cos(a>i-{- nty.
Сумму этих колебаний можно представить в виде одного
колебания, как мы делали это раньше:
X' = х0~{-*j-j-д:24- · · · +*» = cosco* · а(1 -j-cosS-j- ...-[-
-J- cos ηδ) — sin да t ■ a (sin δ -f- . .. -j- sin η δ).
Вычисление сумм, стоящих в скобках, можно произвести, пользуясь
формулой Эйлера
cos к δ -}-/' sin к δ = е3 .
Сумма геометрической прогрессии равна:
1
ez
[ - ηί S _ e x _
• '" ^-1,
•±i„ 5±iia
e — e
йтч»_е~Ь»
или окончательно
sin—-- '
j>i.»ai*_L_ _ι_Λη^'δ Ai* 2
1+е^+е^°+. . . +β»'·=β-ϊ
• -1 я

§ 6 Сложение гармонических колебаний одного направления 19
Приравнивая вещественные и мнимые части левых и правых частей
последнего равенства, находим
1 -f- cos S -j- cos 2 δ -j- ·.. -f- cos η δ = cos ■=- 3
sin
sin-
2
. n-f-1,
sin
sin δ -|- sin 2 δ -j- ... -f- sin η δ = sin·^- 3 ·
sm-
Поэтому в результате сложения наших η -j- 1 колебаний мы
получим колебание
sm~-3
*=а j—cosUz+yal.
Siny3
По мере возрастания числа складываемых колебаний η ампли-
. п + 1й 1
туда возрастает. Она достигает максимума, когда sin —к—о = 1,
т. е. имеет максимальное возможное значение.
В этом случае
п + 1.
ИЛИ 0 =
71 + 1'
Если δ достаточно мало, то sin-^-δ яа — δ
и поэтому величина максимальной амплитуды
равна
2α_2(»-Π)α
о л
При числе колебаний вдвое большем, т. с.
когда ■ ~Г δ = π, амплитуда колебания X
равна нулю. Она будет равна нулю и в том случае, когда
ι л
"Τ" δ = £π, т. е. целому числу я. Таким образом, по мере воз-
растания п, амплитуда периодически изменяется, достигая
максимальных значений-г- и затем падая до нуля.
Графический способ сложения колебаний в этом случае
представлен на рис. 8. Каждое слагаемое колебание имеет одну и ту
2*

20 Колебания и волны Гл. I
же амплитуду а и отличается от предыдущего по фазе на
величину δ =—-. Многоугольник векторов в этом случае замкнутый и
о
каждые шестнадцать колебаний взаимно уничтожаются. Восемь
колебаний дают максимальную амплитуду, изображенную векто-
ром ϋА, величина которого равна —а.
§ 7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
До сих пор мы рассматривали сложение колебаний,
происходящих в одном направлении. Но нередко приходится также
складывать колебания различно налравлен-
ные, причем наиболее простым и
важным случаем является случай
взаимно перпендикулярных
колебаний. Положим, что одно колебание
происходит вдоль оси ОХ, а другое
вдоль оси ΟΥ (рис. 9). Вообще
говоря, результирующее колебание
представляет собой сложное
движение по криволинейной траектории.
Мы разберем сначала случай
сложения колебаний одинаковой частоты.
Эти колебания мы будем изображать формулами
x — acos (ω ί -]- φ) и у = а^ cos (ωί + ?ι)·
Пользуясь формулами для косинусов суммы углов, находим
— = cos ω t cos φ — sin ω t sin φ
У
= cos<of cos»! — dn o^sincpj.
Эти уравнения можно решить относительно cos ω t и sin ω t
обычными способами. Мы найдем тогда, что
cos ω t sin (φ — ?i) = sin φ, + sin φ *
a ' at
j. - ' I \ X ! У
sin ω t sin (φ — <pj = cos cpj -j cos <p.

§ 7 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 21
Возведя эти равенства в квадрат и складывая почленно, получим
sin' Vf — τΊ; = Ι — — sin ?!-)- 7-sin φ ι -f ι cos ft-}-— cos-f )
sin2 (φ — ?ι) = ( ~ ^-sin φχ-f fsin? +[— — 0089!+^-
или окончательно после простых преобразований
sin2 (φ — (?i) = -bJr~r — cos(<p —epi).
a2 ' ct" aa,
В общем случае это есть уравнение эллипса, главные оси
которого не совпадают с осями координат. В частном случае, когда
разность фаз φ — ®х = 0 или π, левая часть этого уравнения
обращается в нуль, а правая принимает такой вид:
~£)' = 0 -лн К--НЧ =0.
a aj
Поэтому сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний
с одинаковыми или противоположными фазами дает колебание,
траектория которого есть прямая линия
■* У г. х ι У г.
.2- = О ИЛИ \~ — =0.
а ах а а1
С другой стороны, если разность фаз равна -~-, то уравнение
траектории колебания принимает также простой вид
1~~а*"Т"а?'
«показывающий, что в этом случае мы имеем эллиптические
колебания, причем оси эллипса совпадают с осями координат.
Если амплитуды колебаний а и а1 равны, то эллипс, очевидно,
превращается в круг, и мы имеем круговое колебание, которое
получается, как результат сложения двух прямолинейных и
взаимно перпендикулярных колебаний, между которыми имеется
•к
разность фаз, равная -^-,
Мы не станем исследовать, как расположен эллипс в общем,
случае и каковы его оси. Для общего представления достаточно
сказать, что все эллипсы заключены внутри прямоугольника со
сторонами АА = 2а и BBL — 2alt как показано на рис. 9, и
касаются его сторон.
Разложение эллиптического гармонического колебания на
прямолинейные представляет особый интерес и значение при иссле-

22
Колебания и волны
Гл. I
довании поляризованного света. Заметим, что не всякое
периодическое движение по эллипсу мо::іет быть разложено на два
прямолинейных гармонических колебания. Так, например, движение
планет вокруг солнца, которое находится в одном из фокусов их
эллиптических орбит и притягивает их обратно пропорционально
квадрату расстояния, представляет движение, хотя и происходящее
по эллиптической орбите, но по своим скоростям и ускорениям
в различных точках пути совершенно несходное с гармоническим
движением по эллипсу. Для последнего необходимо, чтобы сила
была направлена к центру эллипса и величина ее
была пропорциональна радиусу, проведенному из
центра в данную точку.
В заключение сделаем замечание о сложении круговых
колебаний. Как мы видели, круговое колебание может быть получено
при сложении двух прямолинейных, например,
X = a cos cd t И у = a sin ω t.
В этом случае круговое колебание соответствует движению по
кругу против часовой стрелки (левое вращение). Если одно из
колебаний будет иметь противоположную фазу, например}
хг = — a cos ω t и у χ = a sin ω t,
то круговое движение изменит направление и мы получим
вращение по часовой стрелке (правое вращение). Сложение таких двух
круговых колебаний, очевидно, приводит к прямолинейному
колебанию вдоль оси OY, так как
х-\-Хі = 0 и y-\~y1=2a sin ω/.
С таким случаем мы встретимся при изучении некоторых оптиче-"
ских явлений.
§ 8. Биения.
При сложении колебаний, имеющих одну и ту же частоту, мы
получаем такое же колебание с определенной амплитудой и
начальной фазой. Этот результат яиляется следствием того, что
разность фаз слагаемых колебаний остается постоянной. Однако
мы видели, что в зависимости от разности фаз изменяются и
амплитуда и фаза сложного колебания. Если периоды колебаний
не одинаковы, то разность их фаз все время меняется: одно из
колебаний, а именно то, у которого больше частота или меньше
период, опережает по фазе другое; следовательно амплитуда и
фаза сложного колебания непрерывно меняются. В результате
сложения мы получаем, вообще говоря, непериодическое движение.

§s
Биения
23
vi/|/l/lAJl/|/|/lA
Относительно простой рззультат найдем при сложении
колебаний, которые очень мало отличаются по частоте, так что
разность их фаз нарастает медленно, и в течение некоторого
промежутка времени, который может охватывать несколько периодов
колебаний, разность фаз можно считать почти неизменной.
Мы можем составить себе представление о результате
сложения, если заставим векторы на рис. 7 вращаться с различной
угловой скоростью так, что при каждом обороте угол между ними
возрастает на некоторую (малую) величину. Сумма векторов, т. е.
вектор С будет постепенно изменяться от некоторого максимального
значения, равного сумме a -f- av до минимума, равного разности
а — αχ. Результат сложения
даст чередование групп почти
периодических колебаний с
периодом, средним между
периодами слагаемых колебаний, но
с переменной амплитудой.
Такой тип колебательного движения (рис. 10) называется биениями
колебаний. По частоте биений, т. е. по тому, сколько раз в секунду
повторяются группы колебаний, заключенные между минимумами
амплитуды, можно судить о разности частот складываемых
колебаний, так как каждый минимум соответствует тому моменту, когда
фазы колебаний делаются противоположными, а это повторяется
через промежутки, за которые одно из колебаний обгоняет другое
на одно полное колебание. Если частота одного колебания Ν,
а другого Ν-{-η в секунду, то они будут давать η биений в
секунду, так как ровно η раз в секунду фазы их будут совпадать и
столько же раз делаться противоположными.
Мы можем получить этот результат аналитически следующим
образом. Пусть складываемые колебания имеют разные амплитуды
а и ах и различные круговыз частоты <о и «Oj.
х = а coscof и Хі = сц cos»!*.
Введем обозначения ω = ^4^ и 0 = ^=Z?L и будем считать,
что разность частот ω — ω1 не велика. Очевидно, что a> = <n-f-o и
ф1==ш — о. Поэтому мы можем представить оба колебания так:
' х = а cos ев f cos ot — a sin <ot shot,
xl = α.χ cos ω t cos ot -f~ ax sin <» t sin ot.
При сложении их найдем, что ч *
Х-\- χι = (α-{-α1) cos ot cos «f —(a —cj sin о* sin <ot.

24
Колебания и волны
Гл.!
Таким образом результирующее колебание можно рассматривать
как происходящее с средней частотой ω, но при этом амплитуда А
и начальная фаза Φ изменяются медленно с частотой 2 о = ω — ω1(
а именно ^
Л2 = (а -\- а^ cos* ot -f (а — a^sin^i = a2 -f a^ + 2 aa,, cos 2 of
и ^ ■
a + ai
Максимальные значения амплитуды, очевидно, равны а -(- alf а
минимальные a — а^. Когда амплитуда переходит через минимальное
_ тс тс тс
значение, фаза Φ изменяется от -ψ до — -ψ или наоборот от ^
π
до 7Г, т. е> принимает противоположные значения.
Биения, изображенные на рис. 10, нельзя считать
гармоническими колебаниями, происходящими со средней частотой <в, так
как фаза Φ все время меняется и притом неодинаково вблизи
максимумов и минимумов амплитуд.
§ 9. Фигуры Лисажу.
Как мы видели, при сложении колебаний взаимно
перпендикулярных может получиться движение по кругу, эллипсу или прямой
(рис. 11). Различная форма траектории получается в зависимости
от разности фаз. Поэтом}', если разность фаз изменяется, то
форма траектории будет также изменяться, причем эллипс будет
переходить в прямые и
обратно. Если такое
изменение наблюдается, то оно в
свою очередь указывает на
Рис. 11. непрерывно происходящее
изменение разности фаз,
т. е. на неравенство периодов колебаний. Таким образом
изменение формы траектории имеет тот же смысл, как и явление
биений в случае колебаний, имеющих одинаковое направление.
Если разность частот колебаний невелика, то во время одного
колебания разность фаз изменяется мало и при каждом колебании
будет описываться почти полный эллипс. Но» строго говоря,
траектория представляет собой незамкнутую линию, отдельные участки
которой тем больше отличаются от эллипсов, чем больше
отношение частот отличается от единицы. Когда это отношение
выражается простой рациональной дробью, то траектория обращается
О^Ч^О^

§9
Фигуры Лисажу
25
в замкнутую кривую более или менее сложного вида. Подобные
кривые носят название фигур Лисажу.
На рис. 12 изображены несколько· фигур Лисажу для
отношений частот 1:1, 1:2, 2:3 и для разностей начальных фаз 0°,
45°, 90°, 135° и 180°. Если отношение частот не точно равняется
указанному отношению, а немного от него отличается, то
траектория последовательно принимает все формы, соответствующие
различным разностям фаз.
Для демонстрации слоя:зния взаимно перпендикулярных
колебаний очень удобно приспособление, называемое маятником Блек-
берна. Оно состоит из груза, подвешенного на нитях, как пока-
Рио. 12. Рис. 13.
зано на рис. 13. Если груз маятника качается в плоскости ABC,
то частота его колебаний определяется длиной CD нити. Качания
в перпендикулярной плоскости имеют меньшую частоту,
определяемую расстоянием груза от линии АВ, соединяющей точки
провеса маятников. Колебания маятника записываются на плоскости
при помощи какого-нибудь пишущего приспособления.
Весьма удобно демонстрировать фигуры Лисажу при помощи
калейдофона. Так называется стержень прямоугольного сечения,
закрепленный с одного конца и снабженный на другом блестящим
шариком, который освещается каким-нибудь ярким источником света.
Если сечение стержня квадратное, то он совершает колебания
в двух взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковой
частотой. Если это сечение прямоугольное, то частота колебаний
шарика в плоскостях, параллельных сторонам прямоугольного
сечения различна и можно подобрать такую форму сечения, чтобы
отношение частот имело нужную величину.

26
Колебания и волны
Гл. I
Фигуры Л и с а ж у дают возможность в простейших случаях
установить отношение между числами колебаний двух гармонических
движений, напр., производимых двумя камертонами или струной
и камертоном. В первом случае (рис 14) заставляют луч света
отражаться от зеркалец, закрепленных на ножках камертонов,
колеблющихся в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Зайчик,
проектирующийся на экран, выписывает фигуры Лисажу,
определяемые частотами колебаний камертонов. Другой способ
заключается в том, что в микроскоп наблюдается какая-нибудь ярко
Рис. 14. Рис. 15.
освещенная точка колеблющейся струны, напр., крупинка мела,
приставшая к ее поверхности. Объектив микроскопа укреплен на
ножке камертона (рис. 15) и может совершать колебания,
перпендикулярные колебаниям струны (не изображенной на рисунке).
В поле зрения микроскопа изображение освещенной точки будет
совершать два колебания во взаимно перпендикулярных
направлениях и давать, следовательно, фигуры Лисажу. Колебания
камертона поддерживаются при помощи электромагнита, полюса
которого изображены на рис. 15.
§ 10. Ряды Фурье. Гармонический анализ.
Мы рассматривали до сих пор только гармонические колебания
определенной частоты. Однако очень часто можно наблюдать
периодические движения, имеющие тот же период, что и гармоническое
колебание, но отличающиеся от него по форме кривой, которая
служит для графического представления колебаний (рис. 16, кривые
а, Ь, с, d). Основными типами периодического движения с данным
периодом Τ мы можем считать, кроме гармонического колебания

§ го
Ряды Фдръе. Гармонический анализ
27
N
3N
WW
www
У-у>г-ѵл
Рис. 16.
с частотой Ν==-ψ, также постоянное отклонение (колебание
нулевой частоты или бесконечного периода), затем гармонические
колебания с частотой кратной Ν, т. е. 2Ν, 3Ν, 4/Ѵ..., так как в каждом
из этих случаев через
промежуток времени Τ —t ■ а
повторяется как отклоне- —'—»
ние точки от положения
равновесия, так и
скорость ее движения.
Очевидно, что, комбинируя
эти основные типы
колебаний, взятые с
различными амплитудами и
фазами, мы получим всегда
периодическое, с
периодом Т, движение, которое может иной раз иметь сложный
характер внутри каждого периода и давать очень сложную форму
кривой, графически представляющей колебание. На рис. 17
представлена кривая сложных колебаний, получающихся при наложении
колебаний нулевой частоты, основной, двойной и тройной.
Кривая, полученная от сложения этих колебаний, сохранила
основной период, но оказывается приподнятой над осью 00, так
как в нее вошла постоянная слагающая, не меняющая знака с
течением времени. Остальные слагающие знакопеременны во времени
и образуют кривую, симметрично расположенную относительно оси
О'О1', приподнятой над
на величину
постоянного отклонения.
При этом составляющие
рис і7. четной кратности, т. е.
в данном случае с
частотой 2N, делают кривую однобокой, подымая одну часть кривой
и опуская другую, и смещают положение максимумов на кривой,
а. составляющие нечетной кратности, т.е. с частотой ЗЛ/, не
изменяют положения основных максимумов, но вносят новые. Чем
больше таких высших гармонических составляющих, тем, вообще
говоря, больше* зубцов и вторичных максимумов и тем более
отличается кривая от основной синусоиды. Подбирая амплитуды и
фазы этих гармоник, можно получить самые разнообразные
типы периодических движений. Фурье удалось доказать матема-

28
Колебания а волны
Гл. I
тически, что произвольного вида периодическое
движение может быть представлено как результат
сложения гармонических колебаний, кратных
основного, считая в том числе и колебание нулевой
частоты, т. е. постоянное отклонение. Мы можем этот
результат выразить таким рядом Фурье:
/(f) = 00 + 0! sin (ωί -f- «і) + «2 sin(2orf-f-a2) ...+ ·«„ sin(notf -f- an) -J- ...
Если нам дана какая-либо периодическая кривая в роде той,
что изображена на рис. 17, то из нее мы всегда можем выделить
постоянную, составляющую отклонение ОСУ, и провести ось так,
чтобы средняя величина отклонения точки от
положения (У была равна нулю (считая отклонения N одну
сторону положительными, а в другую — отрицательными). Затем можно
построить синусоиду с такой амплитудой, чтобы средняя величина
квадратов отклонений ее от данной кривой была возможно мала.
Такая синусоида будет служить приближенным выражением данного
периодического движения. Отклонения данной кривой от синусоиды
будут представлены кривой, которая может быть приближенно
изображена синусоидой двойной частоты, так, чтобы средняя величина
квадрата отклонения или „погрешность" была возможно мала. Таким
образом, вводя колебания все более высокой частоты, мы
изображаем отклонения данной кривой от синусоиды рядом
гармонических колебаний, имеющих частоту, кратную основной.
Вообще говоря, с возрастанием частоты амплитуда высших
гармонических составляющих убывает, но, конечно, мы можем всегда
построить, а на опыте и встречаются такие колебания, в которых
гармоники сколь угодно высокого порядка представлены сколь
угодно большими амплитудами. В этом случае кривая колебаний имеет
зубчатый или извилистый характер. Вообще же всякие отклонения
от „гладкости" кривой — зубцы, изломы, углы—указывают на
наличие высших гармоник.
Нахождение амплитуд и фаз высших гармоник периодической
кривой называется гармоническим анализом. Величины их
могут быть найдены или при помощи особых механических
приборов, гармонических анализаторов, иди же вычислением.
, § 11. Энергия колебаний.
Гармоническое колебание представляет собой движение точки
около положения равновесия. Одновременно с изменением
положения точки и ее скорости, изменяется ее энергия, причем мы должны

§ 11 Энергия колебаний * 29
различать два вида энергии: энергию положения, или
потенциальную, и энергию движения, или
кинетическую. Когда точка находится в положении равновесия, или силы,
действующие на нее, взаимно уравновешиваются, она может оставаться
d покое. Но как только внешняя сила сообщит ей толчок (вследствие
которого она получает скорость и, следовательно, кинетическую
энергию), она выходит из положения равновесия. По мере
удаления от положения равновесия квазиупругая сила возрастает и
производит работу, которая поглощает сообщенную точке кинетичебкую
энергию. С уменьшением кинетической энергии точки возрастает
энергия потенциальная, и если не происходит рассеяния энергии»
то сумма кинетической и потенциальной энергии остается
постоянной, составляя полную энергию колебания. В отдельные моменты
энергия целиком принимает форму потенциальной энергии, а именно
когда точка достигает максимального удаления от положения
равновесия и ее скорость становится равной нулю; в другие моменты
потенциальная энергия переходит в кинетическую, когда точка
проходит через положение равновесия, которому соответствует
минимум потенциальной энергии. Таким образом с энергетической
точки зрения колебательное движение представляет собой
периодически повторяющийся переход потенциальной энергии в
кинетическую и обратно.
Нетрудно найти величину потенциальной энергии точки при
любом ее положении, если считать, что в положении равновесия
ее потенциальная энергия равна нулю.1 Сила, которая должна быть
приложена к точке, чтобы отклонить ее от положения равновесия
на расстояние х, равна
f=kx,
где к—коэффициент квазиупругой силы. При перемещении точки
на расстояние Δ* работа силы равна /Δ* = kxb.x. При
возрастании перемещения от 0 до χ и пропорциональном возрастании силы
от 0 до кх, работа, произведенная силой, равна
χ
| kxdx = -у*2.
о
1 Потенциальная энергия может иметь как положительные, так и
отрицательные значения. Любому состоянию мы можем приписать нулевую потенциальную
энергию. Если мы условимся считать нулевой потенциальную энергию в
состоянии равновесия, то потенциальная энергия в других состояниях будет
положительной.

30
Колебания и волны
Гл. I
Это есть в то же время выражение для потенциальной энергии
2
Ep = -±-kx\ (13)
В случае колебаний маятника (рис. 3) потенциальная энергия
проще всего может быть выражена через высоту поднятия груза
маятника по формуле
Ер — mgh·
Но если выразить высоту h через отклонение α маятника от
положения равновесия, то мы найдем, что
h = I (1 — cos α) = 11 sitf-γ,
если I длина маятника, или, так как перемещение груза маятника
х — Ы и углы отклонения мы предполагаем малыми,
Поэтому
Л=ТТ'
L· 2 1 2
Постоянный коэффициент квазиупругой силы к имеет то значение,
которое мы уже нашли ранее (§ 4)
При закручивании упругой нити на угол а для вычисления
работы необходимо знать момент Μ пары сил, производящих
кручение конца нити. Этот момент пропорционален углу кручения:
М=к«.
Величина работы при увеличении угла кручения на с/а равна Mda,
и поэтому полная работа равна
■*а».
о
При крутильных колебаниях потенциальную энергию упругой
нити в этой формуле мы выражаем через угол кручения, а
коэффициент к мы будем называть модулем кручения. Этот пример
показывает, что не всегда одинаково удобно пользоваться линейным
перемещением точки для изучения колебаний. Угол а, на который
закручивается конец нити, или угловое перемещение определяет
потенциальную энергию закрученной нити также, как перемещение χ
массы на конце упругого стержня энергию его изгиба. Угловое
перемещение является простым примером обобщения понятия пере-

SJJ Энергия колебаний 31
мещения. В дальнейшем мы будем считать χ для простоты
линейным перемещением, но нужно иметь в виду, что все наши
результаты будут справедливы и для других случаев, когда под л: следует
понимать какое-нибудь, другое (в обобщенном смысле) перемещение.
Конечно, в таких случаях и скорость и массу необходимо будет
заменить их обобщенными понятиями, например в случае
крутильных колебаний угловой скоростью и моментом инерции груза,
совершающего вместе с нитью крутильные колебания.
Наибольшее значение д: равно амплитуде колебаний а, и
следовательно наибольшее значение потенциальной энергии равно -^ka2.
Это есть вместе с тем и выражение для полной энергии колебаний,
так как при максимальном отклонении вся энергия принимает форму
потенциальной. С другой стороны, наибольшая величина скорости
— согласно формуле (6') равна αω, и следовательно максимальная
dt
кинетическая энергия, или живая сила, равна
£л = -1тазд!. (14)
Как максимальная потенциальная, так и максимальная
кинетическая энергия должны быть равны полной энергии колебаний,
так как они представляют собою полную энергию колебаний в
разные моменты времени и, следовательно,
£ = -Lfcas = -jmaW. (15)
Последняя формула (15) позволяет вычислить <о и приводит нас
опять к выражению (10) для частоты колебаний. В общем случае
энергия колебаний складывается из потенциальной и кинетической
ε =р А-ь»+4"m( ί У = 1Γ*β"cosS (ωί+φο) +
-f yma» β» sin» (ωί + «ρο),
как это следует из (5) и (6).
Вследствие равенства (15) мы находим, что в любой момент
полная энергия *
Е-ты
cos2 (at -f φ„) + sin2 (wt + %)
— —ka2·
2 '
т. е. сохраняет постоянное значение.

32
Колебания и волны
Гл. J
Таким образом э н е ρ г и я колебаний пропорциональна
квадрату амплитуды.
При сложении гармонических колебаний одинакового периода
знание энергии каждого колебания в отдельности еще не
определяет энергии сложного колебания. Как мы видели в § 6, квадрат
амплитуды сложного колебания С2 выражается формулой
0= а? + a2 -j- 2^0! cos («ι — φ).
Квадрат амплитуды С2, который определяет энергию колебания,
не равен, вообще говоря, сумме квадратов а^ и а2, но зависит еще
от разности фаз; например, при одинаковых фазах и равных
амплитудах энергия сложного колебания, очевидно, в четыре раза
больше (Е—(2а)2 = 4а2) энергии каждого из слагаемых; при
противоположных фазах она равна нулю, и только при разности фаз
в 90° энергия сложного колебания равна сумме энергий слагаемых.
Работа, необходимая, чтобы заставить материальную точку
одновременно совершать два колебания по одной прямой, далеко не
всегда равна сумме работ, затрачиваемых на создание каждого из
этих колебаний в отдельности. Так, например, два колебания
с равными амплитудами и противоположными фазами в каждый
момент взаимно уничтожаются. В этом случае материальная точка
вовсе не движется, оставаясь в положении равновесия. Ясно, что
и работы на это не требуется.
Сказанное относится к сложению колебаний, одинаково
направленных. При взаимно перпендикулярном направлении колебаний
их энергии складываются независимо от фаз. Вследствие этого
взаимно перпендикулярные колебания естественно считать
независимыми друг от друга, когда рассматривается их энергия.
§ 12. Затухание колебаний.
Если бы в процессе колебаний не происходило рассеяния энергии,
то амплитуда колебания сохранялась бы неизменной
неопределенное время. Однако всегда имеются налицо причины, которые
приводят к постепенному превращению энергии колебаний в тепловую
энергию. На первом месте стоит трение, которое обычно
сопутствует в большей или меньшей степени всякому движению, затем
передача колебательного движения окружающим телам, с которыми
данный источник колебаний так или иначе связан
(подставке^воздуху и т. п.), наконец различные тепловые эффекты, которые
необходимо сопутствуют всем упругим деформациям (сжатию,
растяжению и т. п.) и которые только отчасти обратимы, т. е. опять

§ 12 Затухание колебаний 33
переходят в энергию колебаний. В случае электрических колебаний
обычным источником затухания является сопротивление проводоз,
в которых энергия колебания переходит в джоулево тепло.
В большинстве случаев внешние или внутренние силы,
способствующие затуханию, обладают следующим свойством: они
направлены противоположно скорости колеблющейся
точки и часто пропорциональны величине скорости.
Так, например, при движении какого-нибудь тела внутри жидкости
тело испытывает сопротивление, пропорциональное скорости
движения и направленное, конечно, в сторону, противоположную
скорости движения. Такого рода силы мы будем называть силами
сопротивления или трения, независимо от их физической природы.
Положим, что нам дана сила трения
/- -"£. (іб)
и мы знаем величину коэффициента трения г. Если точка,
испытывающая на себе действие этой силы, перемещается на
расстояние dx за время dt, то работа, производимая силой, равна
Так как эта работа есть величина отрицательная, то она дает
величину потери энергии за время dt.
Чем больше амплитуда колебаний я, следовательно, скорости
колеблющейся точки, тем быстрее происходит уменьшение ее
энергии и убывание амплитуды. Самый закон убывания амплитуд имеет
весьма важное значение и сохраняет свою форму в различных
условиях. Мы можем найти его, сделав предположение, что сила
сопротивления невелика и что за время одного колебания амплитуда
изменяется очень мало. Пусть вначале амплитуда равна а, и
следовательно энергия, согласно (14), равна -=-п7«2а2. Если после
одного колебания амплитуда стала равной а1<.а, то потеря
энергии равна
Л-m <»2 (а2 — aj2) = -ym ω2 (a -J- βι) (а — aj.
Обозначая через Δα уменьшение амплитуды Δα = а — at и
принимая, что в силу нашего предположения средняя арифметическая
амплитуда мало отличается от а
α~—2~,
3 Зак. 2408. Курс физики.

34
Колебания и волны
Гл. I \
находим для величины потерянной энергии
τη ω2αΔα. (18)
С другой стороны, потеря энергии может быть получена из (17),
если проинтегрировать dA по промежутку времени, равному целому
периоду Т. Подставиз для скорости точки выражение (6'), найдем
■ ra2a>2^-
Приравнивая А вышеполученному выражению (18), находим после
простых преобразований
Δα г Τ „ ,.г.
— = о"= —«і · (1£)
а т 2 х '
р
Мы заменили величину -^— буквой а и будем называть ее
коэффициентом затухания колебаний. Мы нашли формулу
(16) для промежутка времени, равного Т. Если период 7*достаточно
мал, а мы рассматриваем постоянное уменьшение амплитуды за
длительный промежуток времени, то мы можем заменить Τ на dt,
полагая, что за время одного периода амплитуда изменяется очень
мало. Заменим Δα дифференциалом da (da = Δα), тогда закон
убывания амплитуд при помощи новых обозначений примет такой вид:
— — —adt.
а
Как правая, так и лезая часть этого равенства суть
дифференциалы известных функций, и, следовательно, после интегрирования,
In α — lg a0 = — at,
если в момент ί = 0 амплитуда равна а0.
Найденный нами закон изменения амплитуд с течением времени
можно представить следующим образом: '
In—==—at,
«о
или же
а = айе~** (20)
Заметим, что (20) есть точная формула; мы могли бы получить
ее и не делая никаких приближенных допущений, но только более
сложным математическим путем. Формула же (19) лишь приближен,
ная, справедливая при сделанном предположении о медленном
убывании амплитуды. Из (20) убывание амплитуды за одно колебание

§ 12 Затухание колебаний 35
определится по следующему правилу: натуральный
логарифм отношения амплитуд в начале и в конце
одного колебания есть величина постоянная, равная
аТ, или In —= α Т. Эта величина называется логарифми-
а2
ческим декрементом колебаний.
Общий вид кривой затухающих колебаний изображен на рис. 18.
Вершины ее лежат на кривой5 выражаемой уравнением (20).
Убывание амплитуд все замедляется по мере уменьшения их, так что
теоретически колебания существуют неопределенно долгое время;
практически же мы можем наблюдать их только, пока амплитуда
не опустилась ниже известного порога, определяемого чувствитель-
Ряс. 18. Рис. 19.
ностью измерительных приборов или органов чувств,
воспринимающих колебания.1
Если затухание колебаний не очень велико, то присутствие его
почти совсем не сказывается на величине периода. Но при
значительном возрастании затухания не только амплитуды затухают очень
быстро, но и расстояние между максимумами и минимумами
возрастает заметным образом. Когда сопротивление делается
критическим, колебания совершенно уничтожаются, и отклонение,
достигнув максимума, возвращается к нулю апериодически (рис. 19і).
Случай колебательного движения отличается от случая
апериодического движения тем, что в первом точка, возвращаясь к
положению равновесия, имеет некоторый запас кинетической энергии·
Во втором случае сила трения успевает затормозить движение
к моменту, когда точка подходит к положению равновесия. При
очень большом трении движение будет происходить очень
медленно (рис. 19с).
1 Логарифмический закон затухания справедлив только тогда, если сила
сопротивления пропорциональна скорости. Если сопротивление подчиняется иному
закону, то и закон убывания амплитуд изменяется.
3*
ш

36
Колебания и волны
Гл. I
§ 13. Вынужденные колебания.
Как мы видели, материальная точка, находящаяся под действием
квазиупругой силы, будучи выведена из положения равновесия и
предоставлена самой себе, приходит в колебания, имеющие
определенную частоту; амплитуда колебаний определяется энергией,
которая сообщена материальной точке.
Рассмотрим теперь, какое действие производит на такую точку
внешняя сила. Положим, что колебания этой внешней силы
происходят также периодически, так что мы можем говорить об
амплитуде и начальной фазе силы. Такая сила действует довольно
сложным образом: с одной стороны она должна раскачать покоящуюся
точку, т. е. сообщить ей некоторую энергию, с другой—она
должна поддерживать колебания, пополняя рассеиваемую энергию,
и производить работу во время колебаний, причем работа эта
может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее
необходимо имеет место, если период силы не равен периоду
колебаний, которые совершает точка, предоставленная сама себе.
В самом деле, если ω, частота колебаний под действием внешней
—, то максимальная потенциальная энергия,
т
в момент достижения крайнего отклонения α,-тгка2 (см. стр. 31),
не равна максимальной кинетической -~- moV2, и следовательно
общая энергия не остается постоянной. Смотря по тому, будет ли
ω больше или меньше частоты свободных колебаний, мы будем
иметь преобладание или кинетической энергии, или потенциальной.
Таким образом внешняя периодическая сила в течение некоторой
части колебания совершает положительную работу и увеличивает
энергию колебаний, а в остальное сремя совершает работу
отрицательную и поглощает энергию.
После продолжительного действия внешней силы на
колеблющуюся точку амплитуда колебаний устанавливается
пропорционально амплитуде внешней силы, а период колебаний совпадает
с периодом внешней силы. Но такие установившиеся
вынужденные колебания наступают не сразу. В начале амплитуда
постепенно нарастает от нуля до некоторого максимума, затем
падает, потом опять нарастает и таким образом совершает
несколько биений (рис. 20), после чего окончательно устанавливаются

§ 14
Резонанс
37
колебания с постоянной амплитудой. Эти биения являются
результатом наложения двух колебаний:
вынужденного (кривая Ь рис.21), -- .
той внешней силы,
и свободного (кри-
вая а) с убывающей амплитудой и частотой
свободных колебаний. Оба эти колебания имеют вначале
равные амплитуды и противоположные фазы,
поэтому результирующая амплитудав этот момент
равна нулю; затем вследствие разности частот обоих колебаний
эта разность фаз изменяется, и более быстрые колебания догоняют
и затем опережают более медленные. Когда фазы их совпадают,
наблюдается максимальная амплитуда. Когда фазы противоположны,
амплитуда — наименьшая. Такие биения происходят однако только
вначале, пока свободные колебания еще не затухли. По мере же
затухания максимумы и минимумы амплитуд сглаживаются, и
наконец остаются только
вынужденные, установившиеся
колебания. Чем меньше разница
частот внешней силы и
свободных колебаний, тем реже
происходят биения. На рис. 21
представлен процесс нарастания
Рис. 21. колебаний, когда частота
колебаний вынужденных в
точности равна частоте собственных колебаний. В этом случае
биения не возникают, так как фазы колебаний остаются
противоположными и амплитуда сложных колебаний растет за счет
затухания собственных колебаний. Когда прекращается действие
внешней силы, опять возникают свободные колебания, причем их
начальная энергия определяется тем, какова была колебательная
энергия в момент устранения внешней силы; затем эти колебания
постепенно затухают вследствие трения.
§ 1Д· Резонанс.
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний
определяется не только амплитуда силы; она зависит также от разности
между частотами колебали вынужденных и свободных.

38
Колебания и волны
Гл. I
Рассмотрим этот случай, пренебрегая сначала силой сопроти-
влен"ія, которая вызывает затухание свободных колебаний· Пусть
/—внешняя сила, которая изменяется гармонически с некоторой
частотою <о по закону /== В sin оз/, χ — перемещение точки, которое
изменяется"также гармонически с той же частотой; величина
квазиупругой силы при удалении точки на расстояние χ от положения
равновесия равна fo и направлена в сторону, противоположную л*.
Тогда мы должны иметь
m7F=f-kx · (21>
(произведение массы т на ускорение равно сумме всех сил, к ней
приложенных). Так как движение должно быть гармоническим,
то вследствие (21) и (7')
— т<»Кх = /— kx
или
Множитель пропорциональности между" отклонением и силой
зависит, следовательно, от частоты внешней силы. Если/=5 sinotf,
то из (22) найдем
х = -, 5-sin<ojf. (23)
Эта формула показывает, что отклонение jc точки от положения
равновесия изменяется пропорционально действующей силе /=
= В sin ші, но коэффициент пропорциональности зависит от частоты.
При малых частотах знаменатель (23) равен просто к. Отклонение
изменяется, как и в случае статического равновесия между
внешней силой /и квазиупругой силой — кх, пропорционально силе и
имеет одинаковую с ней фазу. В этом случае ускорение точки т
мало, и в уравнении (21) левая часть может быть принята раьной
нулю.
^ При очень больших частотах^ наоборот, преобладает сила
инерции, и квазиупругая сила играет второстепенное значение.
В этом случае мы имеем приближенно — m®2x = f (к мало по
сравнению с то-) и, следовательно, сила f и перемещение χ имеют
обратные фазы и коэффициент пропорциональности изменяется
с частотой так, что при возрастании <в перемещение χ непрерывно
уменьшается. -

§ 14
Резонанс
39
Но когда частота приближается к частоте собственных
колебаний «о» которая определяется из уравнения
к — т% = О,
знаменатель в (22) уменьшается и, следовательно, амплитуда
перемещения должна непрерывно возрастать. Это явление называется
резонансом и частота ω0 — есть резонансная частота. По обе
стороны от резонанса и по мере удаления от него амплитуда
спадает, как показано на рис. 22, где кривая изображает абсолютную
величину амплитуды колебаний, как
функцию частоты <о.
Когда частота внешней силы имеет
величину а>0, выражение (22) не имеет
смысла, так как знаменатель
обращается в нуль и амплитуда не имеет
определенного значения. Случай точного
резонанса отличается, стало быть, тем
свойством, что амплитуда все время и ωά ω
безгранично возрастает. Такое воз- Рис. 22.
растение происходит, конечно лишь
до тех пор, пока справедливо уравнение, т. е. пока
квазиупругая сила пропорциональна х. При больших амплитудах обычно
линейная зависимость /= —кх уже не имеет места и вследствие
этого нарастание амплитуды идет лишь до некоторого предела.
Такое же ограничивающее действие производит сила трения.
Начиная с некоторой амплитуды, работа, производимая внешней силой /,
как раз покрывает потери энергии вследствие существования
трения и дальнейшее возрастание энергии колебаний прекращается.
Если же указанные причины недостаточны, чтобы ограничить рост
амплитуды колебаний, нарастание колебаний при резонансе может
привести к разрушению колеблющейся системы. Такие
разрушительнее действия резонансного нарастания амплитуды могут иметь
место в машинах, если частота вращения (угловая скорость)
совпадает с собственной частотой какой-нибудь части машины или
сооружений, с которыми связана машина.
В случае точного резонанса уравнение (21) имеет решение
такого вида:
* = C<cosco t.
В самом деле, подставляя его в уравнение (21), мы находим, что
т ( — 20 sin ω* — Ct*P cos «>t) = B sin« t-~kCt cos ω t

40
Колебания и волны
Гл.1
или
(к—т<&) Сі cos ωί = (5-}-2mO) sin Ы.
Но так как &— m»2 = 0, то, очевидно, и коэффициент в пра-
вой части равен нулю, т. е. С= —χ . Таким образом, решение
уравнения (21)
*=—"о=Г«»«* (24)
2т®
при точном резонансе показывает, что амплитуда растет пропор-
ционально времени, а фаза колебания по отношению к фазе силы
сдвинута на 90°.
Явление резонанса является отличительной чертой
колебательных явлений. Значительное возрастание амплитуды колебаний при
действии на тело периодической силы при известных частотах
всегда является указанием на существование собственных
колебаний. Резонансом пользуются для усиления действия малых сил и
к этому средству очень часто прибегают и в акустике и в
радиотехнике для различных практических целей.
§ 15. Резонансные кривые.
Если мы будем откладывать по оси абсцисс частоту ω внешней
силы, а по оси ординат соответствующую величину амплитуды
установившихся вынужденных колебаний, то получим кривые,
которые представляют нарастание амплитуды
при приближении к резонансу. Эти
кривые, называемые резонансными
кривыми, изображены на рис· 23 как для
случая исчезающего затухания, так и для
затухания, не равного нулю.
Обычно ординатами резонансных
кривых являются не сами амплитуды, а их
квадраты. Не трудно доказать (см.
ниже), что если величина силы сопротивления пропорциональна
скорости и коэффициент пропорциональности равен г, то квадрат
установившейся амплитуды колебаний выразится следующей
формулой:
В*
2/ 2 2\2 ι 2 і * (25)
Рис. 23.
ό2 =

§ 15
Резонансные кривые
41
Таким образом при резонансе (<о = ω0) амплитуда равна
В
6==.
г»
(26)
т. е. обратно пропорциональна коэффициенту силы
сопротивления. Можно подобрать такую расстройку (®φα>0),
при которой квадрат амплитуды уменьшается ровно вдвое; это
имеет место, если τη (со —<о0)2=г со . Кривая, изображенная на
рис. 24, имеет максимум ОМ для частоты »0,
которой соответствует на оси абсцисс точка О.
Проведем горизонтальную хорду АВ на высоте,
равной половине ОМ. Частота о>, соответствующая
точке В на резонансной кривой, несколько больше
резонансной частоты а>0. Настолько же меньше
частота, соответствующая точке А. Удвоенная
разность между частотой о>, соответствующей точке А,
и частотой ω0 свободных колебаний есть ширина
резонансной кривой. Последняя формула дает
возможность по ширине регонансной кривой 2(<о — со0) судить
о величине коэффициента затухания. В самом деле этот
коэффициент а = «— согласно (19) и следовательно—j= 4α' =
Обычно этим соотношением пользуются для определения не
коэффициента затухания а, а декремента Ύ=α:7*. Извлекая корень
квадратный из обоих частей полученного равенства, найдем
2« = -
: ((В — Ш0)
co-f-<Oo
Если ш очень мало отличается от а>о (вблизи резонанса), то
α αΤ
ω-]-ω0«2ω и, следовательно,· а язи
γ „ш — <d0
= тг"т0> следовательно,Τ ~ * π
ік ton
·<ο0· Так как
2*
Чем меньше величина
декремента ϊ, тем меньше относительная расстройка
и тем круче
спадает резонансная кривая от максимума до половинной
ординаты. Острота резонансной кривой может таким образом служить
критерием быстроты затухания колебаний. Так как при различных

42
Колебания и волны
Гл. I
затуханиях изменяется не только ширина, но и величина
максимума резонансной кривой, то сравнивать ширины кривых для
определения декремента удобнее после того, как они вычерчены
в таком масштабе, что все максимумы равны. Другими словами,
следует принять максимальную ординату каждой кривой за ее
масштабную единицу.
Доказательство формулы (25). Если принять во
внимание силу сопротивления, то уравнение (21) придется дополнить
в правой части
m__ = /_b_,.__. (27)
Если f=Bsm ®t, το χ = bsin (<s>t-j-φ). Подставляя это выражение
в уравнение (27) в таком виде:
X = Ъ cos φ sin ωί-j- Ь sin φ cos ο>ί,
мы должны для удовлетворения его приравнять нулю
коэффициенты при sinmt и cosa>/ и получаем два уравнения
Ь (к — тпсо2) cos φ — Ьга> sin φ = В,
b(k — т (о2) sin φ -\- bra cos φ = 0.
Возводя их в квадрат и складывая, мы исключаем функции от
угла φ и находим формулу (25).
§ 16. Ангармонические колебания.
Теория гармонических колебаний, изложенная в этой главе,
предполагает существование квазиупругой силы и сопротивления,
пропорционального скорости. Именно то обстоятельство, что силы
эти пропорциональны первой степени отклонения или скорости
точки, чрезвычайно важно и приводит к тем замечательным и
простым результатам, с которыми мы познакомились выше. Однако
не всегда имеют место услозия, при которых силы являются
линейными функциями перемещения или скорости;
обычно это имеет место только тогда, когда амплитуда колебаний
достаточно мала.
Наиболее известный пример мы имеем в колебаниях маятника
(рис.. 25). Составляющая силы тяжести mgsina, действующая по
касательной к траектории точки т, создает линейное ускорение
~dt?' напРавленное к положению равновесия 0 груза. Но эта сила
будет квазиупругой лишь при столь малых колебаниях, когда еще
sin а можно заменить егі>- аргументом а. При колебаниях с
большой амплитудой мы имеем ангармонические колебания, кото-

§16
Ангармонические колебания
43
рые не могут быть выражены простыми тригонометрическими
функциями, и в которых период зависит от величины амплитуды.
Точно так же и при очень больших упругих деформациях
колеблющихся тел зависимость между величиной деформации и упругими
силами теряет иногда простой линейный
характер.
Силы сопротивления при больших
скоростях также изменяются, причем изменяется
или коэффициент г, или же зависимость их
от скорости.
Случаи негармонических колебаний
встречаются довольно часто и играют важную роль
в практических применениях, вследствие чего
за последнее время на них обращено
усиленное внимание в акустической и особенно Щ
в радиотехнической литературе. Мы уже го- Рис. 25.
ворили, что при резонансе неограниченное
возрастание амплитуды обычно прекращается вследствие того,
что при больших амплитудах силы, действующие на массу тп,
уже не зависят линейно от ее перемещения и скорости.
Если внутренние силы, возникающие при отклонении тела или
системы хел от положения равновесия, ^зависят не только от
первых степеней перемещений и скоростей, но также от их квадратов
и, вообще, высших степеней, то появляющиеся при этом колебания
и самые системы тел, в которых эти колебания происходят, мы
будем называть, — нелинейными. Нелинейные колебания
обладают многими особенностями по сравнению с линейными.
Качественно можно рассматривать нелинейные колебания как движения
в телах, свойства которых зависят от амплитуды колебаний.
Поэтому теория колебаний как собственных, так и вынужденных гораздо
сложнее в случае нелинейных систем.
Если на линейную систему действует несколько периодических
сил, то можно вычислять действие каждой силы независимо от
других, и потом просто складывать их. Совершенно иначе обстоит
дело в случае нелинейных систем. Действие каждой силы будет
определяться также изменениями свойств системы, которые
вызваны действием всех других сил. Поэтому оказывается, напр.,
что если на нелинейную систему действуют две силы,
изменяющиеся с частотой о^ и о>2) т0 вынужденные колебания будут иметь
не только частоту <ох и <%, но также двойные частоты 2ν>λ и 2«>г,
затем суммовую частоту ^ '-J- ш9 и разностную ffij— α>2.

44
Колебания и волны
Гл. I
Этот результат можно получить довольно просто, если исходить
из уравнения колебаний, содержащего, кроме линейных членов,
еще квадратные, напр.,
d?x
т -р· -\-kx-\- Iх2 = 5j sin со^ -f £2 sin ω2ί. (28)
Если коэффициент / мал и величина отклонения дг невелика, то
можно найти решение уравнений путем последовательных
приближений. В первом приближении мы пренебрегаем членом Iх2 и
найдем решение
Хх = bx sin (bj: -f- έ2 sin w.J,
удовлетворяющее линейному уравнению, не содержащему
квадратного члена:
d*x
т -тт£ + кхх — В ι sin a J -f- B2 sin <ο._>ί. (28')
Точное решение можно написать в виде суммы *i-]-S, где 5
поправка, учитывающая нелинейность уравнения.
Подставляя в уравнение (28) лг = xt -f- ζ и принимая во
внимание уравнение (28'), которому удовлетворяет величина дг3 мы
получим новое уравнение для определения I
jit
m^L+«+/*;=0, (29)
причем в нелинейном члене вместо точного значения χ вставляем
его приближенное значение хх. Но
Iх1 =1(Ьі sin ωχ/ -f Ъ2 sin ω2ί)3,
т. е. зависит от квадратов и произведений синусов. Так как
. , , 1 — cos 2<о^
sin2 att = χ ι—
sin nj sin <oa/ = — [cos («^ — <ea) t — cos^ -f- toa) t],
то, очевидно, что lx1 будет линейной функцией косинусов двойных
частот 2<о1 и 2<о2» а также разностной ajj — ω2 и суммовой o>j -f- соа.
Поэтому решение уравнения (29) дает для I выражение, зависящее
от косинусов тех же частот, причем амплитуды колебаний должны
быть пропорциональны квадратам или произведениям основных
амплитуд Ьх и έ2. Таким образом, поправка \ будет быстро
возрастать при возрастании амплитуд основных колебаний, которые

§ 17 Распространение колебаний. Волны 45
в свою очередь пропорциональны амплитудам внешних сил Вх и Б2.
В случае негармонических колебаний многие из полученных
ранее результатов, например относящиеся к явлению резонанса,
не имеют места или весьма сильно изменяются. Поэтому в случае
нелинейных колебаний нужно быть очень осторожным при
пользовании обычными результатами, известными из теории линейных
колебаний.
§ 17. Распространение колебаний. Волны.
Если колеблющаяся точка связана с соседними такими же
материальными точками, образующими вместе некоторую материальную
среду, то колебания передаются этим точкам и распространяются
в этой среде волнообразно.
Под понятием в о л н ы мы представляем себе ряд материальных
частиц, которые совершают одинаковые колебания, но с
различной начальной фазой, непрерывно из- — ■ »-
меняющейся вдоль ряда, как показано Л*~*~**Кі
на рис. 26. Точка 1 проходит через А \ jT * В
положение равновесия и начинает ко- Ί Ч^ ^ «ИМ^
лебание, двигаясь вверх; точка 2 от- 2 3 4
стала на 1/в полного колебания и при-
Рис. 26.
ближается к положению равновесия;
точка 3 в это время остановилась и должна начать движение
к положению равновесия. Еще больше отстали точки 4 и 5, из
которых последняя проходит через положение равновесия в
обратном направлении. Разность фаз между колебаниями точек
возрастает и в точках 1 и 5 достигает 180°. Таким образом точки,
первоначально в положении равновесия лежавшие на прямой АВ,
совершая колебания с разными фазами, образуют волну с
вершинами и впадинами, которые перемещаются с течением времени вдоль
этого ряда точек. Мы имеем в этом случае распространение волн.
Это распространение есть результат запаздывания фазы
колебаний вследствие того, что колебания передаются соседним точкам
не мгновенно. Скорость передачи колебательного движения от
точки к точке обусловливает величину скорости распространения
волн. Распространение волны есть не что иное, как
распространение фазы колебания от одной точки к другой вдоль всего ряда
точек. Поэтому мы можем также говорить о скорости
распространения фазы, или о фазовой скорости. Говоря
просто о скорости распространения волн, мы будем иметь в виду
всегда именно фазовую скорость.

46
Колебания и волны
/д./
Рассмотрим, как происходит движение в ряде частиц, вдоль
которого распространяются колебания. Пусть частицы расположены
вдоль оси ОХ, причем положение их в ряду определяется
соответственными значениями х. Различные значения χ обозначают
поэтому различные частицы, Каждая частица совершает
колебательное движение, в котором они испытывают перемещения,
которые мы будем обозначать буквой ζ. Наши рассуждения
справедливы для любых колебаний, но мы будем предполагать, что все
частицы совершают одинаковые колебания, отличающиеся только
по фазе. Перемещение каждой частицы изменяется во
времени, так что ζ есть функция времени, но сверх того,
перемещение различных частиц в данный момент t различно, т. е. зависит
от координаты х.
Выберем по оси ОХ какую-нибудь точку за начальную, для
которой х = 0, и пусть в ней колебания происходят согласно
формуле
\ = a sin ω t.
Колебания распространяются вдоль оси ОХ с некоторой
скоростью ѵ, поэтому в точку χ колебания приходят через проме-
X rri **^
жуток времени τ = —. Точка л: повторяет колебания точки О, но
началом колебаний для нее нужно считать не момент t = 0>
а момент t = t. Вследствие этого перемещение $ в точке χ равно
£ —asin<o(i— x) = asini»(f — — J. " (30)
Эта формула справедлива для любой точки н;_ оси ОХ и
называется уравнением волны. Это уравнение позволяет
вычислить перемещение в этой точке χ и в любой момент t, и вообще
получить ясное представление о распределении перемещений \
вдоль оси X для определенного момента L Такое распределение
и образует волну, распространяющуюся вдоль оси ОХ.
Если перемещение точки χ происходит в направлении
перпендикулярном к оси ОХ, то вершина волны соответствует
максимуму S и приходится на те точки, в которых фаза колебаний равна
π к ,
-=- или 7Г~Г четное число π, а впадина волны находится, между
ними, а именно там, где фаза колебаний равна -~- -f- нечетное
число π. Расстояние между соседними вершинами или
впадинами волны, или вообще, между такими бли·

§ 18
Продольные волны
47
жайшими точками волны, в которых фазы
колебания одинаковы, мы назовем длиной волны и будем
обозначать буквой К Одинаковыми фазами в данном
определении мы называем фазы, отличающиеся на 2π, поэтому из
уравнения волны мы находим, что две точки л^ и хг находятся на
(О
расстоянии длины волны, если — (х2 — *і) = 2тс или ^ = х2 — хх—
су О^-
= — ѵ. Так как а> = -ψ, где Τ период колебаний, то λ = To, и мы
можем формулировать этот результат следующим образом: длина
волны есть расстояние, которое проходят волны за
времяодногопериода. -\"
Уравнение волны мы можем теперь представить в несколько
ином виде. Так как
ω— = 2π— и ωί = 2π-=-,
υ λ Τ
то, очевидно,
ι
Как показывает уравнение волны, точки, совершающие
колебания, в каждый данный момент располагаются по синусоиде.
Спустя некоторое время вся синусоида оказывается сдвинутой
в направлении распространения волн на некоторое расстояние.
Скорость, с которой перемещается синусоида вдоль оси ОХ, есть,
очевидно, фазовая скорость ѵ.
ι Наряду с перемещением точек волны мы должны рассмотреть
и распределение скоростей
-§ = a»cos»(*-^. m (31)
Максимальная скорость приходится на те точки, в которых
перемещение равно нулю, и наоборот. Если в каждой точке χ мы
построим вектор, изображающий скорость в дайной точке, то
вершины векторов расположатся на синусоиде, которая сдвинута на
четверть длины волны относительно волны перемещений.
§ 18. Продольные волны.
Если частицы среды совершают колебания вдоль оси х, то
разница перемещений ξ в разных точках χ вызывает, образование
сгущений и разреженкЛ, которые являются наиболее характерной
особенностью продольных волн. В продольных волнах напра-

48
Колебания и волны
Гл.I
вление движения частиц и направление распространения волн
совпадают, и поэтому частицы не располагаются на синусоиде, как
в случае поперечных волн, а остаются все время на оси д:. Вместо
вершин и впадин вдоль волны мы будем наблюдать место
наибольшей и наименьшей плотности частиц.
Положим, что частица в точке χ переместилась на расстояние ^
а соседняя частица в точке χ -j- dx на расстояние ξ-f- d\. Очевидно,
что расстояние между частицами будет теперь не dx, a
Таким образом расстояние dx изменится на <#. Отношение -у-
мы будем называть относительным перемещением частиц.
t/ξ Если расстояние меж-
^__Д_^^^___£л- ду частицами увели-
ние положительно, то
рнс. 27. мы будем наблюдать
разрежение ча-
стиц; если же -г- отрицательно, то будет иметь место сгущение.
Величина относительного перемещения обусловливает величину
разрежений и сгущений и поэтому имеет чрезвычайно важное
значение для определения тех упругих сил, которые возникают при
распространении волн; мы будем неоднократно встречаться с этим
понятием в дальнейшем.
Так как из уравнений волны (30) и (31) следует, кто
■('-■!)—-таг <32>
ей αω . х\ 1 d\
т-= cos ш
αχ ν
то, очевидно, что наибольшие сгущения и разрежения будут
происходить в тех же точках волны, где имеются наибольшие
скоси t
рости -77- движения или наименьшие величины перемещения «.
На рис. 27 представлено распределение частиц в волне, а также
то распределение, которое существовало до прихода волн. Кружки
изображают первоначальное положение частиц, а точки положения
их после перемещения. Наклон прямых, которые их соединяют^
показывает, насколько и в какую сторону смещены частицы.

§ 19 Поляризация поперечных волн 49
Перемещения точек, происходящие вдоль оси ОХ, изображены
на рис. 27 графически в виде ординат кривой ξ так же, как и сгу-
щения -J-. как сгущения, так и разрежения распространяются
с фазовой скоростью вдоль ряда частиц,
ί
§ 19. Поляризация поперечных волн.
Поперечные волны представляют больше разнообразия, чем
продольные, так как перемещения, образуя прямые углы с
направлением распространения, могут происходить вдоль различных
прямых, лежащих в плоскостях, перпендикулярных к
направлению распространения волн. Если направления всех перемещений
параллельны между собой, то мы называем волны
поляризованными и притом прямолинейно. В прямолинейно
поляризованных волнах перемещение частиц прямолинейно и параллельно
некоторой плоскости, проходящей через ось ОХ, вдоль которой
распространяются волны. Эту плоскость мы можем называть плоек ос тью
колебаний в отличие от плоскости поляризации,
которая перпендикулярна к направлению перемещений ζ. Эта плоскость,
также проводящая через ось ОХ, обычно служит для определения
направления колебаний, прямолинейно поляризованных.
Но колебания частиц, оставаясь поперечными, могут и не быть
прямолинейными. Наибольший интерес представляют колебания
эллиптические или круговые, происходящие в плоскостях,
перпендикулярных направлению распространения волн. В этом случае
мы говорим, что волны имеют эллиптическую или круговую
поляризацию. Как мы уже знаем, эллиптические колебания можно
разложить на два прямолинейных. Поэтому эллиптическая поляризация
получается при сложении волн, поляризованных прямолинейно.
Неполяризованные колебания мы имеем всякий раз, когда
направление колебаний испытывает быстрые и беспрерывные
изменения, причем нет никакого преимущественного направления
колебаний. Частично поляризованными являются волны, в которых
колебания некоторого определенного направления представлены
чаще, чем колебания других направлений. Более подробно мы
займемся явлением поляризации при изучении поляризации света.
§ 20. Динамика волнообразного распространения колебаний.
Распространение колебаний вдоль ряда частиц может
происходить только при условии, что соседние частицы связаны между
собой силами, которые взаимно уравновешиваются при нормальном
4 Зак. 2408. Курс физики.

50
Колебания и волны
Гл. I
а т„
У
т.
т, гпв іпг
т^<
г А»
,В
расположении частиц, но проявляются всякий раз, когда взаимное
расположение частиц изменяется.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда силы,
действующие между частицами, подобны натяжению растянутой упругой нити,
связывающей соседние точки. В состоянии покоя точки располагаются
вдоль прямой АВ. Оттянем такую цепочку, образованную
материальными точками, так, чтобы она приняла форму одной из ломаных
линий, изображенных на рис. 28. Силу, действующую между
соседними частицами, или, как будем
говорить, натяжение, обозначим
через р, расстояние между ними
через а, а отклонение точек от
положения равновесия буквой Ь с
соответствующим номером. Очевидно,
что в первом случае (1) точка т0
находится под действием двух сил р,
которые дают составляющие, на-
Ь0 — Ь,
правленные вниз и равные ρ
ία
bo — Ьл л ■
и р—- -. *
а
Силы же, действующие на
точки т1 и т2, дают вертикальные
Рис. 28. составляющие, взаимно
уничтожающиеся, и поэтому они должны
оставаться в покое или двигаться с равномерной скоростью. Если
точка т0 придет в положение (2), силы, действующие на нее,
уравновешиваются, но зато точки т1 и т2 испытывают вертикальную
силу вследствие действия на них точек тп3 и т^ Таким образом
в этом положении точка т0 должна двигаться по инерции, а точки
mi и m2 получают ускорение вниз. При расположении (3) силы,
действующие на точку то так же, как и на точки тп^ и т2, опять
в сумме дают вертикальную составляющую, равную нулю; но точки
ma и т4 испытывают ускоряющее действие со стороны соседних
с ними точек.
Общее выражение для силы, действующей на точку т0, мы
получим согласно сказанному, если сложим обе составляющие с
соответственными знаками. В случае (1) они направлены в одну
сторону, и поэтому дают результирующую силу
250—Ьі^Ь^ (Κ — οχ Ь% — Ь0
f=p-
а
-,(*
■)·

§ 20 Динамика волнообразного распространения колебаний 51
Каждое из слагаемых суммы представляет разность перемещений
в вертикальном направления соседних точек, отнесенное к единице
расстояния между ними. Это есть относительное перемещение
соседних точек, которое, как мы видели, в случае продольных волн
определяет величину сгущений и разрежений. Таким образом сила,
действующая на точку т0, равна разности
относительных перемещений соседних точек, умноже-
ной на натяжение р, т. е. на силу взаимодействия
между точками. В тех случаях, когда относительные
перемещения равны по величине и знаку, сила, очевидно, равна нулю,
как в положениях (2) и (3).
Так как относительное перемещение, как легко видеть, есть
не что иное, как синус угла, составляемого отрезком л^то или
тл2т0 с горизонтальной прямой, т. е. определяется наклоном
соответственного отрезка с горизонталью, то, следовательно, сила,
приводящая в движение точки, определяется изменением этого
наклона, т. е. искривлением линии, соединяющей точки.
Таким образом ускорения, получаемые точками т вследствие
действия на них соседних точек, зависят от сил, действующих
между ними (например натяжения), от формы волны и, наконец,
от массы точек.
В зависимости от упругости среды и характера перемещений
частиц силы могут быть очень различны. При поперечных
колебаниях могут возникать деформации сдвига, например, при
закручивании стержня, или деформация растяжения и сжатия, как при
изгибе. При продольных колебаниях происходит изменение объема
или одностороннее сжатие, которое сопровождается также
изменениями объема и плотности. Во всех случаях расстояние между
частицами изменяется, и это вызывает появление упругих сил,
которые пропорциональны величине относительного перемещения.
Положим, что мы имеем непрерывное распределение массы
вдоль оси ОХ. Для того, чтобы определить силы упругости,
возникающие при колебаниях, нам нужно знать в различных точках
величину относительного перемещения·^. Масса dm,
находящаяся на участке dx, испытывает действие со стороны точек, как
по одну, так и по другую сторону dx. Если с одной стороны
эта сила равна к~, где к есть модуль упругости для данного
вида деформации, то с другой стороны она равна к ^ -j- -J^ax j '
4*

52
Колебания и волны
Гл./
d4
Разность этих сил, равная к -j-j dx, действуя на массу dm, сооб-
d.4
щает ей ускорение —rz ■ Мы имеем, стало быть
dm-~di*=k'dT*dx·
Отношение -,— есть не что иное, как плотность ρ ряда частиц, так
как отношение массы dm, находящейся на участке dx, к длине
этого участка равно массе, приходящейся на единицу длины
оси ОХ.
Поэтому мы имеем следующее уравнение между производными
перемещения по времени і и и координате х:
Это уравнение обычно называется уравнением струны или
волновым уравнением Даламбера. Если мы воспользуемся уравнением
волны (30) и произведем дифференцирование, то найдем, что
0j2
или что
•-/г <34>
Таким образом, скорость распространения волн равна корню
квадратному из модуля упругости, деленного на
плотность. Этот результат имеет общее значение независимо
от характера перемещений £ и упругих сил, которые при этом
возникают.
Мы рассматривали до сих пор ряд частиц, расположенный вдоль
прямой оси ОХ, но, очевидно, что те же результаты мы получим,
если все частицы, лежащие в плоскости, перпендикулярной к этой
оси, совершают одинаковые колебания. В этом случае наши
формулы сохранят свое значение, но ρ будет обозначать объемную
плотность, а к модуль упругости, рассчитанный на единицу
площади. ·
Мы видим таким образом, что различные типы деформаций
должны распространяться с различной скоростью, в зависимости
от величины упругости. Если для каких-нибудь деформаций
упругость равна нулю, то соответственные волны не будут распростра-

§ 21 Поверхность волны. Принцип Гюйгенса 53
няться вовсе. Так, например, в жидкостях и газах единственная
деформация, вызывающая появление упругих сил, есть деформация
объемного сжатия, и поэтому в этих телах распространяются только
такие волны, которые создают сгущения и разрежения, т. е.
продольные волны. В твердых телах возможны и поперечные волны,
так как всякие деформации сдвига и без изменения плотности
вызывают в них появление упругих сил.
§ 21. Поверхность волны. Принцип Гюйгенса.
При распространении волны вдоль ряда точек каждая точка
имеет фазу, отличную от фазы соседних точек. При
распространении волн на поверхности жидкости мы можем найти такие линии
все точки которых имеют одну и туже фазу. В пространстве трех
измерений точки, колеблющиеся в одинаковых фазах, расположены
на поверхностях, называемых волновыми поверхностями. Каждая
волновая поверхность с определенной фазой перемещается
в пространстве со скоростью распространения волн, и ее форма
при этом вообще изменяется.
Если волновая поверхность представляет собой
неограниченную плоскость, то при перемещении в однородной среде она
сохраняет плоскую форму, так как распространение волн происходит
нормально к этой плоскости. Такое представление о плоской
волне является в известном смысле идеализированным упрощением,
так как в реальных случаях или только ограниченные участки
поверхности волны можно считать плоскими или же вся поверхность
волны плоская, но не простирается безгранично.
В учении о распространении волн очень часто приходится
встречаться со сферическими волнами. Поверхность волны имеет шаровую
форму, и направления распространения волн различны в разных
точках сферы, а именно совпадают с направлением радиусов,
выходящих из центра сферы. - Если скорость волны не зависит от
направления распространения, то волна сохраняет форму сферы, и
радиус волновой поверхности увеличивается со временем при
удалении ее от центра и уменьшается в обратном случае. Центр
сферы называется фокусом волны, так как волны
расходятся из этой точки или, наоборот, стягиваются к ней. Плоскую
волну мы можем рассматривать как сферическую с бесконечно
большим радиусом, и фокус ее находится на бесконечности.
Сферические волны возникают, если источником волн
является колеблющаяся точка. В действительности источник волн

54
Колебания и волны
Гл. I
имеет конечные размеры, и поэтому сферическая волна есть тоже
абстракция. Каждую точку источника волн можно, однако,
рассматривать как центр сферической волны, а наложение та:сих волн
дает действительную волну. При сложении волн, выходящих из
различных центров, необходимо однако принимать во внимание как
их амплитуды, так и фазы.
Испускание волн обозначается также термином
лучеиспускание. Линии, перпендикулярные к волновым поверхностям и
определяющие направление
распространения волн, называются
лучами.,
Волновая поверхность
перемещается со скоростью волны
и в то же время в общем
случае изменяет свою форму. Для
того чтобы найти форму и
положение волновой поверхности
в любой момент времени, если
она дана нам в какой-нибудь
начальный момент, можно
воспользоваться методом, в
основе которого лежит
принцип Гюйгенса. Сущность его заключается в том, что каждая
точка волновой поверхности рассматривается как источник
вторичной волны, имеющей сферическую форму, если скорость
распространения волн во всех направлениях одинакова. Если же
среда, в которой происходит распространение волн, обладает
такими свойствами, что скорость волн в разных направлениях
различна (среда анизотропна), то вторичные волны имеют
несферическую форму (напр. форму эллипсоида).
Принцип Гюйгенса рассматривает вторичные волны не как реально
существующее явление, а как вспомогательное представление,
необходимое для нахождения реальных волновых поверхностей. Оп
утверждает, что реальная волновая поверхность является огибающей
вторичных волновых поверхностей, т. е. поверхностью, касательной
к ним. Таким образом для построения волновой поверхности
используются только те элементы поверхности вторичных волн, которые
совпадают с огибающей, как показано на рис 29. Очевидно далее, что,
исходя из определенной волны, всегда можно построить в
определенный более поздний момент времени две волновые поверхности,
напр. ЬѴ и ее' рис. 29, в зависимости от направления распростра-
N1111
?-Si rf-S *-ι
Рис. 29.

§ 22 Отражение волн 55
нения волны. А так как волны в действительности
распространяются в одном определенном направлении, то только одна из
возможных огибающих поверхностей является реальной волновой
поверхностью. Для построения волны необходимо стало быть
знать направление ее распространения.
§ 22. Отражение волн.
Рассмотрим применение принципа Гюйгенса к явлениям
отражения волн. Положим, что волны, имеющие плоскую форму,
встречают неподвижную плоскую преграду АВ, которая
останавливает движение точек (рис. 30). Таким образом все точки,
прилегающие к плоскости АВ, неподвижны и в то же время они
участвуют в колебательном движении
приходящих волн. Это возможно лишь " А'
в том случае, если одновременно они
участвуют в колебаниях другого рода
волн, отраженных, и притом так,
что эти колебания равны по величине
и противоположны по фазе колебаниям ^ w ^г ^З ***
приходящих волн. Таким образом вдоль ρ „Q
отражающей преграды АВ
распределены центры колебаний отраженных волн, фазы которых различны,
так как волна АА' приходит в точку А раньше, чем в точку В.
Чтобы найти реальную отраженную волну, заметим, что падающая
волна АА достигает преграды АВ в разных точках А, Сѵ С%,...В
в различные моменты времени, и поэтому вторичные волны имек*
различные радиусы. В тот момент, когда край А' волны достиг
поверхности зеркала АВ, радиусы вторичных волн имеют
различные значения от АВ' — А'В до нуля, и построение Гюйгенса дает
плоскую отраженную волну ВВ'', составляющую с плоскостью АВ
тот же угол и, что и волна АА'.
Закон отражения волн обычно выражается в несколько иной
форме. Представителем волны является не поверхность волны,
а нормальные к ней лучи, в направлении которых происходит
распространение волны. Угол между падающим лучом и нормалью
к отражающей поверхности называется углом падения, а угол
между отраженным лучом и также нормалью—углом отражения.
Закон отражения говорит, что угол падения лучей равен углу
отражения. Заметим еще, что углы падения и отражения равны
углам, которые составляют падающая и отраженная волна с
отражающей плоскостью (угол π на рис. 30).

56
Колебания и волны
Гл.1
Отражение волн происходит всякий раз, когда волны доходят
до границы, отделяющей две среды с различными скоростями
распространения волн, т. е. с различными упругостями или
плотностями. Но амплитуда отраженных волн не равна амплитуде
падающих, т. е. отражение происходит неполное, и волны отчасти
проникают в другую среду, где и распространяются с другой
скоростью.
§ 23. Преломление волн.
Рассмотрим еще случай преломления плоской волны у плоской
поверхности, разделяющей две среды, в которых скорости волн
имеют различные значения όχ и ѵ%. В этом случае мы будем
считать, что точки, расположенные у самой границы АВ как по одну,
так и по другую сторону от нее, колеблются в одинаковых фазах,
но эти фазы в разных точках A, Cit C^-.B различны, и поэтому
Рис. 31. Рис. 32.
построение вторичных волн внутри второй среды дает, как показано
на рис. 31, наклонную плоскую волну ВВ''. Если скорость
распространения волн во второй среде и2 меньше, чем соответственная
скорость в первой, то угол наклона волны ВВ' или угол
преломления щ меньше угла падения щ. Очевидно, что А'В = АВ sin щ
и АВ' — АВ sin ц2 и следовательно А'В: АВ' = sin Uj: sin иг-
Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления называется,
как известно, показателем преломления. Так как
расстояние А' В проходится волнами в первой среде за то же время,
какое требуется для прохождения расстояния АВ' во второй
среде, то отношение этих расстояний равно отношению скоростей
волн в первой и второй среде. Таким образом показатель
преломления волн η равен
_- η = .sin ut: sin щ = г»!: ѵ2,

§24
Интерференция волн
57
т. е. отношению скоростей волн, и преломление волн тесно
связано с изменением их скорости при переходе через границу,
разделяющую две различные среды.
Законы отражения и преломления волн могут быть получены
также при помощи следующего простого рассуждения. В той точке,
где волновая поверхность пересекается с отражающей плоскостью,
пересекаются с ней также отраженные и преломленные волны.
Поэтому скорость, с какой перемещается вдоль границы АВ точка
пересечения С (рис. 32), всех трех волн должна быть общей для
всех них. Но если υ скорость распространения волн в первой среде,
а щ угол наклона волны СС, то скорость перемещения точки С
вдоль границы равна . ' . Точно так же мы найдем для отраженной
волны . * 7 и для преломленной . 2 . Так как все эти выражения
sin иу sin и2
представляют одну и ту же величину, т. е. скорость точки С, то
мы должны иметь
Ѵ\ _ Vl __ Щ
sin Vi sin ιζ/ sin u2
откуда следует, что
"ι — ui и sin щ : sin ц2 = г^: г/2
каковы бы ни были скорости Ѵу и ѵ2.
§ 24. Интерференция волн.
Если через какую-нибудь точку среды проходят два различных
ряда волн, исходящих, например, из разных источников, то
перемещение точки есть алгебраическая сумма перемещений, которые
производит каждая из волн в отдельности. Этот принцип
независимого сложения (аддитивности) различных волн служит для
объяснения тех явлений, которые обозначаются термином
интерференция волн. Наглядное представление об интерференции мы
получаем, наблюдая распространение волн на поверхности
жидкости (для этой цели очень удобна поверхность ртути), если источниками
волн являются два центра. Прикрепив к ножке камертона
согнутую проволоку так, что концы ее касаются поверхности жидкости
в точках Оу и 02, мы получим две системы капиллярных волн,1
центрами которых являются точки Оу и 02 (рис. 33).
1 Эти волны образуются вследствие капиллярных свойств поверхностного слоя
жидкости.

58
Колебания и волны
Гл.1
Так как колебания точек Ох и 02 происходят с одинаковой
фазой, то и в точки на поверхности жидкости, равноотстоящие
от центров волн (02Р = ΟχΡ), обе системы волн приходят с
одинаковыми фазами, и амплитуда колебаний этих точек равняется
сумме амплитуд приходящих волн. В тех же точках, расстояние
которых от центров волн 02Q и OiQ отличается на половину длины
волны k=0%Q—0$, волны имеют фазы противоположные, и
поэтому амплитуда колебаний равняется разности амплитуд и
может быть равной нулю.
Рис. 33. Рис. 34.
На поверхности жидкости имеется оесконечное число точек,
удовлетворяющих тому условию, что разность их расстояний от
точек Οχ и 02 имеет определенное значение, например, нуль или
-ψ и т. п. Все они лежат на кривых, которые являются
гиперболами, причем точки Ох и 02 суть фокусы гипербол. В
самом деле, основное свойство гиперболы заключается именно в том,
что разность расстояний любой ее точки от фокусов Ох и 02 есть
величина постоянная. В частности, если эта разность равняется
нулю, то гиперболы превращаются в прямую, перпендикулярную
к ОхО% и делящую этот отрезок пополам. Таким образом на
поверхности жидкости мы видим систему интерференционных
полос, имеющих форму гипербол с фокусами в точках Ох и 0Ѵ
Каждая гипербола представляет геометрическое место точек, в
которых волны от Ох и 02 имеют постоянную разность хода.
Если разность хода равна нулю или целому числу волн, т. е. чет-
ному числу полуволн Ί.Ν-7Τ-, то амплитуда имеет наибольшую

§ 24 Интерференция волн 59
величину. Если разность хода равна нечетному числу полуволн
(2N -f- 1)"2"< то амплитуда имеет наименьшую величину или равна
нулю. Ί - '
Интерференция волн происходит и в том случае, если одна
система волн испускается одним источником, а другая образуется
вследствие отражения от плоской стенки сосуда. Система
отраженных волн будет как бы исходить из центра 0lt находящегося по
другую сторону стенки и являющегося зеркальным изображением
источника волн О (рис. 34). Интерференционные полосы имеют в этом
случае также форму гипербол, фокусом которых служит точка О.
Образование неподвижной системы интерференционных полос
возможно только в том случае, если периоды колебаний
источников интерферирующих волн одинаковы и если разность фаз
колеблющихся точек остается неизменной. Колебания и волны,
удовлетворяющие этим условиям, называются когерентными.
Во всех подобных явлениях интерференции в некоторых точках
пространства амплитуда колебаний, следовательно и энергия равны
нулю. Это не значит, что энергия вследствие интерференции
исчезает вовсе. Следует помнить, что энергия всей системы
интерференционных полос равна сумме энергий интерферирующих воли,
но только распределение ее в пространстве иное.
Понятие когерентности, к которому мы вернемся еще, разбирая
интерференцию световых волн, играет чрезвычайно важную роль
в вопросах такого рода. Некогерентными волнами мы будем
считать, конечно, волны с различными периодами, испускаемые двумя
различными источниками света. Такие волны, складываясь в какой-
либо точке пространства, не дают колебаний с определенной
амплитудой и образуют биения, вследствие чего амплитуда все время
изменяется. Совершенно то же будет, если амплитуды или фазы
складывающихся колебаний изменяются не одинаковым образом,
например, испытывая случайные изменения. Тогда результатом
сложения колебаний будет непрерывно меняющаяся картина
интерференционных полос. Слово „когерентный" (cohaerens) означает
в переводе на русский язык то же, что „связанный между
собой". Связь должна быть между источниками колебаний, как
в случае камертона, или же между приходящими волнами, как
в случае отражения от неподвижной поверхности. Если отражающая
поверхность будет двигаться, то когерентности между падающими
и отраженными волнами не будет, так как разность фаз между ними
в каждой точке пространства будет изменяться со временем.

60
Колебания и. волны
Гл.1
§ 25. Стоячие волны.
Если волны, распространяющиеся вдоль оси ОХ, испытывают
отражение от какой-нибудь преграды, то наряду с бегущими
в сторону положительных χ волнами, которые мы будем называть
прямыми, мы будем иметь обратные, распространяющиеся в
противоположном направлении. Интерференция их приводит к
образованию так называемых стоячих волн. Как и в случае
интерференции волн от двух различных источников, мы получим некоторое
распределение максимумов и минимумов. Максимумы амплитуды
образуются в тех точках, где фазы прямых и отраженных волн
одинаковы: мы будем называть эти максимумы пучностями
стоячих волн, а минимумы их узлами.
Рассмотрим подробнее особенности стоячих волн, и для этого
найдем, каково будет колебание в некоторой точке х, если через
нее проходят волны в противоположных направлениях. Уравнение
прямой волны, как мы знаем,
S = asinco I t J.
Уравнение для волны, бегущей в обратном направлении, отличается
от написанного тем, что скорость ν имеет другой знак, т. е.
£1 = asm<»i t-\ I.
Складывая перемещения ξ и %λ, мы получаем
ξ + «ι = α
sin ω
(<-ΐ)+Η'+'ΐ)
α>χ
: 2 α sin ω ί cos —. (35)
ν
Эта формула показывает нам, что в точке χ амплитуда колебаний
равна 2 a cos—, т. е. в различных точках на оси она имеет
различные значения. Там, где косинус принимает максимальные по
абсолютной величине значения, равные единице, и амплитуда
достигает наибольшей величины 1а. Это имеет место в точках, где
— = 0, π, 2π,...£π, т. е. равен целому числу π, или, что то же
Сам0е' НГ = *« (36)
Таким образом пучности стоячей волны мы имеем в точках х =
= -7Г, т. е. на расстояниях, равных половине длины волны. Iаким
же образом мы найдем, что узлы будут находиться в тех точках,

S 25 Стоячие волны gj
ωΛ; π 3π 5я ■ 2&+1
где — 5= -о"» "о" » "о"''' '' о π' Т' е" Равно нечетному числу
-^- или * = —τ λ· Очевидно, что и расстояние между
соседними узлами равно половине длины волны. По обе стороны узла
стоячей волны знаки косинуса противоположны, что указывает на
противоположность фазы колебаний. Между узлами фаза остается
неизменной, но амплитуда согласно (35) изменяется по
синусоидальному закону,
достигая максимума в
пучностях, как раз по середине
между узлами.
На рис. 35 показано
образование стоячих волн
для некоторых моментов
времени. В тот момент,
когда фазы колебания
прямой и отраженной волны Рис. 35.
во всех точках
противоположны (нижняя кривая), перемещения во всех точках равны нулю.
Через четверть периода волны передвинутся в противоположные
стороны как раз на столько, что фазы их будут совпадать, и
тогда мы и получим волну с двойной амплитудой. В
промежутке (верхняя кривая) мы имеем волну с промежуточной
амплитудой, но узлы, отмеченные черными кружками, остаются все время
в тех же точках.
Таким образом, для стоячих волн характерно то, что
соседние точки колеблются с одинаковой фазой, но
различными амплитудами. Расстояние между
соседними узлами или между соседними пучностями
стоячей волны равно половине длины волны, а
расстояние между узлом и ближайшей пучностью
равно четверти длины волны.
Мы предполагали, что амплитуды прямой и отраженной волны
одинаковы и при этом условии получили стоячие волны. Если
амплитуды неравны, то на стоячие волны будет накладываться еще
бегущая волна с амплитудой, равной разности амплитуд прямой
и отраженной волны.
В том месте, где происходит отражение волны, может
образоваться или узел или пучность стоячей волны в зависимости от
того, с какой фазой волны отражаются от преграды.

62
Колебания и волны
Гл.I
§ 26. Энергия волн.
В случае колебаний отдельной точки мы могли рассматривать
энергию колебаний как постоянную величину и самый процесс
колебаний как периодический переход энергии из потенциальной
формы в кинетическую и обратно. Когда точка участвует в
волновом движении, она связана с соседними точками силами
взаимодействия, получая от них энергию и отдавая им свою. При
распространении волн энергия все время проходит через данную точку
в направлении распространения волн. Распространение энергии
представляет характерную особенность большинства волновых
явлений.
Как мы говорили в § 20, силы, действующие на точки при
распространении волн, зависят не от абсолютной величины
перемещения соседних точек, а от вели-
dkdbz чины относительных перемещений.
Поэтому потенциальная энергия
точек также зависит от относительного
расположения соседних материальных
частиц, между которыми действуют
Рис. 36. упругие силы. Положим, что точки,
вдоль которых распространяется
волна, образуют сплошную упругую, гибкую нить или струну,
растянутую таким образом, что каждый ее отрезок находится под
действием противоположных натяжений р, приложенных к его
концам. Вычислим величину работы, производимой этими
противоположными и равными силами и равной работе их вертикальных
составляющих при вертикальном перемещении концов отрезка.
С этой целью мы обозначим через bj и Ь2 перемещения точек
Д иД в вертикальном направлении (рис. 36); тогда вертикаль-
К-ь2
ная составляющая натяжения равна ρ , где а — расстояние
между точками А1 и Аѵ Работа при вертикальном
перемещении одного конца отрезка на величину dbt равна + ρ — — dbu
а при перемещении другого на db2 составляет—о— db2,
а
так как в первом случае направления^перемещения и силы
одинаковы, а во втором противоположны. Сумма этих работ равна
ρ — d{bx — і2)> τ· е· аналогична элементарной работе квазиупру-

§26
Энергия волн
63
гой силы kxdx, если заменить перемещение χ относительным
смещением — — > а коэффициент квазйупругой силы к через ра. Таким
а
образом мы находим, как в § 11, что искомая работа равна
Тот же результат мы получим, если вычислим работу
растяжения отрезка ΑχΑ^, когда концы его испытывают перемещения
Ъх и і2> а Длина увеличивается на Δα. Так как натяжение ρ
постоянно, 1 то эта работа равна рка. На рис. 37 мы видим, что
α_|_Αα = ]/α2--)-(£>! — ό2)2, и поэтому при достаточно малых вели-
Ь\ — Ъ2 ■
чинах мы имеем приближенно
что дает для работы ρΔα ту же формулу (37).
Таким, образом наибольшей потенциальной энергией обладают
те отрезки, которые имеют наибольшую величину относительного
перемещения Jfc^Jia) или, что то
же, сильнее наклонены к гори- а+Аа
зонтальной линии (см. рис. 37).
Эта энергия равна нулю для
отрезка, расположенного на вершине
волны, и имеет наибольшую
величину для того участка, который
пересекает линию покоящейся
струны. Так как в этих
положениях точка струны имеет также соответственно нулевую и
наибольшую скорости движения, то отсюда следует, что
кинетическая и потенциальная энергии одновременно
обращаются в нуль и достигают максимума в одних
и тех же точках волны.
Подобный же результат мы имеем и в случае продольных
колебаний. Относительное смещение точек приводит к их сгущению
или разрежению, как видно на черт. 27, и наибольшее сгущение или
разрежение происходит в тех местах, где точки имеют наибольшую
1 Относительное перемещение, т. е. разность — —, должно быть настолько
мало, чтобы растяжение ha вызывало изменение натяжения р, малое по
сравнению с самим р.

64
Колебания и волны
Гл. I
скорость движения. Потенциальная энергия обусловливается в этом
случае теми упругими силами, которые возникают при сжатии или
растяжении ряда точек.
В случае колебаний отдельной точки, находящейся под
действием квазиупругой силы, фазы перемещения и скорости частицы
различны. Максимумы перемещений создают максимумы
потенциальной энергии в те моменты, когда скорости и кинетическая энергия
равны нулю. В волне энергия частиц все время меняется, причем и
потенциальная и кинетическая в каждый данный момент и в каждой
точке равны между собою. Максимумы потенциальной энергии
совпадают с максимумами кинетической энергии, потому что
потенциальная энергия в волке зависит не от самых перемещений £ частиц, а от
относительных перемещении ·,—, которые имеют ту же фазу, как
d%
и скорость частиц -т-.
Все сказанное относится к бегущим волнам, т. е. волнам,
распространяющимся в определенном направлении. Как уже
говорилось ранее (§ 17), при интерференции волн, распространяющихся
в противоположных направлениях, например волн, падающих на
какую-нибудь преграду и отраженных от нее, образуются
стоячие волны с неподвижными узлами и пучностями. Такие
стоячие волны образуются в струне, концы которой закреплены
неподвижно. В подобных случаях распределение энергии совсем
иное, чем в бегущих волнах.
При отражении волн возможны два крайних случая. В первом
случае у преграды будет образовываться узел скоростей и
пучность относительных перемещений. В этом случае энергия волн,
доходящих до преграды, вся превращается в потенциальную
энергию и кинетическая энергия частиц равна нулю. Мы имеем обычно
этот случай тэг да, когда преграду можно рассматривать как
абсолютно неподвижную стену, которая делает невозможными
колебания прилегающих к ней частиц среды. Во втором случае, наоборот,
в месте отражения образуется узел относительных перемещений
и пучность скоростей. Этот случай мы будем иметь, если,
например, частицы на границе среды совершенно свободны и не
подвержены никаким внешним силам. Тогда и упругие силы, и,
следовательно, относительные перемещения должны быть равны нулю
и в то zie время амплитуда колебания может достигать максимума,
т. е. энергия частиц имеет только кинетическую форму.
•В системе интерферирующих волн распределение энергии совер-

ѵзтчп^
§ 26 Энергия волн 65
шенно отлично от распределения ее в бегущей волне. В стоячей
волне все точки между соседними узлами колеблются в одинаковой
фазе (рис. 38), т. е. одновременно проходят через положение
равновесия и одновременно достигают крайних положений. В тот момент,
когда точки струны проходят через положение равновесия, их
энергия полностью принимает кинетическую форму Ек, причем
в пучности она наибольшая, а в узлах равна нулю. Потенциальная
энергия Ер достигает максимума, когда кинетическая Ек равна
нулю, одновременно для всех точек
струны, т. е. в их крайних положениях. t-p~® e.n
Максимальная кинетическая энергия
будет, конечно, в тех точках, где
наибольшая амплитуда колебаний, т. е. в
пучностях стоячих волн. Потенциальная же рис з8.
энергия в пучностях всегда равна нулю
и достигает наибольшей величины в узлах, так как в узлах велики
относительные перемещения. В продольных стоячих волнах
пучности перемещений и скоростей совпадают с узлами сгущений и
разрежений, в то время как в бегущих волнах наибольшие
изменения плотности совпадают с наибольшими скоростями.
При распространении бегущих волн происходит одновременно
и перенос энергии. Мы видели, что наибольшая энергия связана
с наибольшим относительным перемещением, и поэтому энергия
переносится волнами с той же скоростью, как и перемещения. Если
d\
упругие силы пропорциональны относительному перемещению -τ- ,
то потенциальная энергия отрезка dx, как мы видели на примере
упругой нити, равна т>- к I т— I dx, где к модуль упругости, а то же
Из уравнения волны мы находим, что
d% ωα / χ \ ' d\ I. x \
поэтому полная энергия равна
время кинетическая энергия равна -^- dm (-^- ) где dm — pdx
1 и ω2α2 а
•7Γ k — COS^
2 ν2
ω /1— — \dx +~ potfa" cos2 <o / t — -J-J dx =·-
==ip(B2a2(^+1) •ем-(«—v)dx-
5 Зак. 2408. Курс физики.

66 Колебания и волны Гл. I
Но мы знаем (см. формулу (34)), что ν — 1/ —, поэтому потен-
k 1
циальная и кинетическая энергии равны и — · —5-4-1=2. Таким
ρ ν
образом, полная энергия на участке равна
ω" о» ρ cos* »(f—^] £&=»■—-£- l + cos2o)(i ~\
dx.
Если мы проинтегрируем это выражение по участку,
равному λ, то, интеграл от косинуса обращается в нуль, и остается
ω2ρα9, , α)2ρα2
—-— λ = и λ, которая и дает среднюю плотность энергии и = —~~,
т. е. среднюю энергию на единице длины луча, вдоль которого
происходит распространение энергии. Для того, чтобы найти
полное количество энергии, которое переносится через любую точку χ
в единицу времени, нам нужно умножить плотность энергии на
скорость волн ѵ:
uv = —^~pv, (39)
где ω α— амплитуда скорости частицы, а р υ — величина,
зависящая от свойств среды и определяющая количество энергии^
переносимой волнами при данной амплитуде колебаний.

ГЛАВА II.
ЗВУК.
§ 1. Колебания и звук.
Известно, что звучание тел тесно связано с их колебаниями.
Особенности звуковых ощущений, которые мы воспринимаем нашим
органом слуха, обусловлены различными свойствами колебаний тел,
являющихся источником звука или передающими звук. Поэтому,
изучая звук как физическое явление, мы должны в первую оче-"
редь установить, какого рода физические свойства колебаний имеют
значение для понимания звуковых явлений.
Звук является одним из важнейших способов связи нашего
сознания с внешним миром, но особое значение он получает
в области общественных ртношений, как средство общения между
людьми и воздействия на них. Эта функция звука находит особое
развитие в сфере музыкальной деятельности, и наши звуковые
восприятия и их субъективная характеристика получили
наибольшее развитие в музыке. Музыкальные звуки в отличие» от шумов
обладают определенным качеством, а именно высотой тона,
которая позволяет классифицировать звуки, создавая определенную
градацию тонов от самых низких до самых высоких, которые еще
воспринимаются нашим ухом. Изучение простейших случаев
звучания музыкальных инструментов приводит к установлению связи
между высотой тона и частотой колебаний. Источником
музыкальных звуков является такое тело, которое может колебаться с
определенной частотой. Чем больше числа колебаний, тем больше
высота тона. Самые низкие тона, воспринимаемые на слух,
соответствуют числу колебаний между 10 и 20 в секунду, наиболее
высокие, которые мы слышим еще, имеют от 10 до 20 тысяч
колебаний в секунду.
Мы видели, что частота является одним из наиболее важных
признаков гармонических колебаний. Гармонические колебания
считаются простейшими элементами, на которые можно разложить по
теореме Фурье всякое периодическое колебание. Точно также и
в сфере звуковых ощущений мы различаем простые или чистые
5*

68
Звук
Гл.II
музыкальные тона от сложных, которые могут быть разложены на
простые. Простые тона представляются нашему слуху уже
неразложимыми, в то время как из сложного наше ухо, если оно
достаточно музыкально и опытно или если оно вооружено специальными
приборами; может выделить ряд простых тонов.
Простые музыкальные тона мы слышим всякий
раз, когда источник звука совершает простые
гармонические колебания определенной частоты. По-
этому разложение сложных звуков на простые представляет с
физической стороны анализ сложных периодических колебаний с
выделением основного колебания и обертонов, или высших
гармонических колебаний. Но иногда только очень тренированное музыкальное
ухо может произвести выделение обертонов в сложном звуке и
определить его состав. Мы воспринимаем тогда только некоторое
суммарное впечатление) которое характеризует звук по тембру. Так,
например, звук человеческого голоса отличается от звука скрипки
или флейты, даже в том случае, если он имеет одну и ту же
высоту, точно также различные гласные звуки, хотя бы они были
пропеты в одном и том же тоне, отличаются по тембру один от
другого (напр., звук „а" от звука „у")»
Таким образом, всякий звук, имеющий определенную высоту
и тембр, мы можем рассматривать как результат действия на наше
ухо механической смеси простых гармонических колебаний, среди
которых один основной и обычно наиболее сильный создает
впечатление определенной высоты тона. Если нет основного тона или
если колебания не периодические, так что звук содержит много
негармонических обертонов, то мы обычно называем его шумом.
Конечно, существует много промежуточных случаев, когда в шуме
можно прослушать некоторый музыкальный преобладающий тон,
точно также, как и в музыкальных звуках возможны такие
модуляции, которые делают колебания непериодическими.
Значение звуковых явлений не ограничивается областью
музыкальной деятельности или человеческой речи. Способы
акустической связи, передача речи или музыкальных произведений на
большие расстояния, воспроизведение их с точным сохранением всех
особенностей и оттенков, представляют весьма сложные
технические задачи, для разрешения которых необходимо не только знать
состав звуков или сложных колебаний, которые вызывают
соответственные звуковые ощущения, но также действие их на
приборы, принимающие и преобразующие эти колебания.
Различные способы сигнализирования при помощи звука в виде

§ 7 Колебания и звук 69
гудков, звонков,. свистков и, наконец, беззвучных ультразвуковых
сигналов ставит также ряд технических задач по получению звуков
возможно большей силы и по приему возможно слабых звуков,
В связи с этими задачами находятся и вопросы об ослаблении
звуков при распространении в той среде, через которую
передаются сигналы.
Сила звука теснейшим образом связана с энергией звуковых
колебаний; при данной частоте ощущение силы звука заметно
возрастает при увеличении амплитуды звуковых колебаний. Сравнивая
два одинаковых по составу звука, мы не можем на слух определить,
во сколько раз один из них сильнее, чем другой, но можем
количественно сравнить энергии их колебаний. Физиологическая акустика
позволила, правда, установить, во сколько раз энергия колебаний
одного звука должна быть больше, чем другого, для того, чтобы
только можно было заметить разницу в их силе. Но все же
единственной мерой, вполне объективной, для силы звука является
энергия или мощность колебаний, пропорциональная квадрату
амплитуды.
При изучении силы звука и ее зависимости от энергии
колебаний мы встречаемся с предельными энергиями, из которых одна
является порогом слышимости звука, будучи самой малой энергией,
вызывающей ощущение данного звука, а вторая служит верхней
границей звуковых ощущений, за которой уже не чувствуется
усиления звука, а ощущается болезненное давление в ушах. Оба
эти предела зависят от высоты тона или частоты колебаний.
Наибольшая чувствительность уха наблюдается для 2000 колебаний
в секунду, и эти колебания можно слышать, когда амплитуда их
в воздухе составляет 10~ см, т. е. во много раз меньше диаметра
молекул.
Сравнительно мало значения для слуховых ощущений имеет фаза
колебаний. Различные тона, создавая ощущение сложного звука
при одновременном действии на ухо, могут иметь любые разности
фаз. Изменение фазы любого из составляющих тонов не
оказывает никакого действия на ощущение тембра или качества звука.
Повидимому, единственным случаем, когда фаза колебаний
оказывается существенным фактором звуковых ощущений, является способ
определения направления приходящего звука.
Во всех случаях интерференции звуковых волн, разность фаз
определяет величину амплитуды колебаний. Так например, при
отражении волн от стен комнаты в некоторых местах могут
образоваться узлы, в других пучности стоячих волНг Затем одно-

70
Звук
Гл. Ц
временное звучание двух когерентных источников звука может
создать в окружающем пространстве интерференционные макси-
чумы и минимумы и этим оказать влияние на мощность излучения
звуковых волн.
Отражение звуковых волн от стен, потолка и пола помещения
образует в помещении сложную систему волн, которые создают
многократное эхо или чрезмерную длительность звука, особенно
сильно обнаруживающуюся в пустых комнатах с голыми стенами,
хорошо отражающими звук. Присутствие предметов, плохо
отражающих волны, как-то мягкой мебели, драпировок, человеческих
тел, уменьшая отражение, уничтожает и гулкость пустой комнаты·
В последние годы акустика помещений, предназначенных для
публичных выступлений я исполнения музыкальных произведений,
превратилась в особую ветвь технической акустики, имеющей
большое значение для архитектуры.
Звуковые явления находят применение и в геофизических
исследованиях. Изучение распространения звуковых волн позволяет
делать заключения о строении среды, в которой происходит
распространение. В последние годы большими успехами отмечено
применение звуковых волн для определения глубин морского дна, а также
в некоторых случаях для разведок полезных ископаемых.
Физические свойства тел, например упругость твердых тел,
молекулярное строение газов, оказывающие влияние на скорость
распространения звука в этих телах, можно изучать при помощи
акустических методов, достигающих в некоторых случаях высокой
степени точности.
В большинстве случаев нам приходится иметь дело с
распространением звука в воздухе. Как мы знаем из предыдущего,
звуковые волны в этом случае продольны. Наряду с перемещением
частиц и их скоростью, нужно рассматривать также изменения
плотности, которые создают колебания давления. Такие
колебания в зависимости от силы звука могут изменяться в широких
пределах. Самые слабые звуки, воспринимаемые ухом, создают
колебания давления с амплитудой в 10~ дины на 1 см2. Верхний
предел звуковых ощущений соответствует амплитуде давлений
в 106 раз больший.
Звуковые волны в воздухе возникают или под влиянием
перемещения какой-либо твердой поверхности, которую мы можем
представлять себе как поверхность поршня, периодически
производящего расширения и сжатия прилегающего слоя газа, или под
влиянием периодически повторяющегося истечения газа из ртвер-

§ 2 Акустические и электрические колебания 71
стия, как это имеет место в сирене. В первом случае мы
встречаемся с явлением излучения волн источником звука в форме
передачи энергии колебаний твердым телом газу. Во втором
случае в воздухе создаются более или менее сложные потоки»
имеющие иногда форму вихрей, которые создают периодически
повторяющиеся сжатия и разрежения воздуха. Изучение различных
способов возбуждения колебаний приводит к знакомству с
различными типами колебаний твердых тел, и с различными видами
движений в газах и жидкостях.
Обратная задача возникает при приеме звуковых волн.
Передача колебаний частиц воздуха различным твердым телам,
преобразование энергии звуковых волн в другие формы энергии, в
особенности в электрическую, и, как частный случай, измерение
энергии волн по возможности в абсолютной мере, ставит в настоящее
время перед техникой приема звуковых сигналов ряд
разнообразных задач, имеющих много общего с задачами техники приема
радиоволн.
В дальнейшем мы остановимся на следующих основных
вопросах:
1) на условиях распространения звуковых волн в различных
средах и в особенности в воздухе;
2) на изучении состава звуковых колебании, или их спектра;
3) на способах создания звуковых волн и на излучении источ
ников звука;
4) на способах приема звуковых волн, а также измерения их
силы.
При изучении этих вопросов мы будем встречаться с
техническими применениями акустических явлений, которые в настоящее
время занимают весьма видное место на ряду с общими
физическими исследованиями и способствуют быстрому развитию
акустики и ее методов.
§ 2. Акустические и электрические колебания.
Электроакустические приборы
Как известно, в настоящее время во многих случаях пользуются
передачей звука при помощи электрических токов. Телефон,
громкоговорители, звуковое кино стали обычными явлениями в нашем
быту. В основе всех этих применений электроакустических
аппаратов лежит взаимная превращаемость звуковых и
электрических колебаний. Из учения об электрических и магнитных явлениях

72
Звук
Гл. 11
Рис. 39.
(Курс физики, ч. I, гл. VII и VIII) известно, что движение
материальных тел, например проводников в магнитном поле, вызывает
появление в них электрических токов. С другой стороны, силы
взаимодействия между электрическими токами, между током и магнитом,
между наэлектризованными проводниками и т. п. могут служить
источником механических движений материальных масс. Таким
образом при помощи изменения электрических и магнитных сил,
имеющих периодический характер, можно
создать механические колебания.
Одним из первых и наиболее известным
электроакустическим прибором является *
электромагнитный телефон, изобретенный
в 1876 г. Грэем Беллом. Телефон Белла
(рис. 39) состоит из стальной пластинки D
около 5 см в диаметре, толщиной от 0,15
до 0,30 мм, зажатой по краям и
отделенной небольшим зазором от полюса
постоянного магнита М. Этот магнит подмагничи-
вается током, проходящим по обмотке В,
расположенной у его полюса. Всякое
изменение его намагничения вызывает изменение положения пластинки.
Колебания тока в обмотке телефона создают колебания пластинки,
пропорциональные величине изменений тока. Этим способом
обычный телефон превращает электрические колебания в звуковые.
Возможно также обращение функций телефона и превращение
его в приемник ззуковых колебаний. При колебаниях пластинки
под действием приходящих звуковых волн меняется зазор между
нею и полюсами. Вследствие этого изменяется магнитное
сопротивление цепи, состоящей из магнита, пластинки и воздушного
зазора, а, следовательно, и величина магнитного потока. Эти
изменения вызывают наведение токов в обмотке магнита, величина
которых пропорциональна величине перемещений пластинки. В этом
случае звуковые колебания превращаются в электрические.
Имеется много разновидностей электромагнитного телефона,
ставшего одним из основных акустических приборов.
В последние годы вошли в употребление электродинамические
телефоны и громкоговорители. Они состоят из сильного
электромагнита М, между полюсами которого находится легкая катушка S,
подвешенная к упругой пластинке В, которая приходит в
колебание под действием звуковых волн (рис. 40), В катушке S, которая
скреплена с ней, при движении в магнитном поле индуктируются

§ 2 Акустические и электрические колебания 73
Рис. 40.
токи. В этом случае мы имеем приемник звуковых колебаний,
превращающий их в электрические. Можно также пропускать
переменные токи через подвешенную катушку; тогда она придет
в движение и приведет в
колебания поддерживающую ее
пластинку. Последняя обычно
соединена с бумажным
конусом (мембраной), которая
способствует, благодаря большой
поверхности, более высокой
отдаче энергии при
преобразовании колебаний пластинки
в колебания воздуха.
Для получения звуковых
колебаний большой мощности
с целью сигнализации под водой применяется
электроакустический генератор Фессендена (рис. 41), создающий звуковое
излучение мощностью в несколько киловатт. Он состоит из
электромагнита особой формы ABC, с внутренней обмоткой Р, которая создает
радиальное магнитное поле, как показано
на рисунке, где изображена магнитная
силовая линия, окружающая обмотку Р.
Медный цилиндр S, представляющий коротко-
замкнутый виток очень малого
сопротивления, может совершать колебания в
радиальном магнитном поле в воздушном
промежутке электромагнита ABC. Этот цилиндр
связан механически со стальной
пластинкой D, которая служит источником звука.
Колебания тока в обмотке Ρ (или в особой
обмотке для переменного тока, намотанной
на сердечник В) индуктируют токи в
цилиндре S и вследствие ничтожного
сопротивления, представляемого последним току
сила наведенного тока ΐ очень велика. Ток
в цилиндре, находясь в сильном поперечном поле электромагнит?,
испытывает механическую силу, равную произведению 2nRBi, где
R — радиус цилиндра, а В—магнитная индукция. Таким способом
создаются мощные колебания пластинки D, которые передаются
воде. Не трудно видеть, что одновременно этот прибор может
служить приемником звуковых колебаний, которые будут приводить

74
Звук
Гл. II
1χΚ—WWi
ЧФ I
в движение медный цилиндр в магнитном поле и этим создавать
в нем и в первичной обмотке колебания тока (гидрофон).
Почти одновременно с телефоном был изобретен прибор,
действие которого основано на применении электростатических сил.
В настоящее время он известен под названием конденсаторного
микрофона и изготовляется в различных конструкциях. В одной
из них (рис. 42) он состоит из очень тонкой стальной и сильно
натянутой пластинки, которая может приходить в колебания под
действием звуковых волн (что изображено в увеличенном виде
на рисунке пунктиром) и в то же время является одной обкладкой
конденсатора С; другая изолированная обкладка конденсатора
находится на расстоянии около
/|? 0,02 мм. Конденсатор
заряжается до разности потенциалов
V =300 вольт при помощи
батареи, в цепи которой имеется
сопротивление R. При
колебаниях пластинки емкость
конденсатора меняется и
вследствие этого изменяется вели-
' чина заряда на нем. Но
колебания заряда создают колеба- рис ^з
ния тока в цепи конденсатора
и батареи, а, следовательно, и колебания разности потенциалов на
концах сопротивления.
Тот прибор, который обычно применяется для приема звука
в телефонах, известен под названием угольного микрофона. Он
состоит (рис. 43) из коробочки К (капсюля), свободно заполненной
мелким зернистым углем С, причем дно А микрофонной капсюли
служит электродом, подводящим ток к угольным зернам. Другим
электродом является металлическая или угольная тонкая
пластинка D, которая принимает звуковые волны. Колеблющаяся
пластинка производит давление на частички угля, которые образуют
между собой и пластинкой плохие контакты с довольно большим
сопротивлением. Под влиянием давления сопротивление контактов
уменьшается, и микрофон служит переменным сопротивлением,
через которое идет переменный ток, если микрофон включен в цепь,
содержащую источник тока. Микрофон представляет собой очень
чувствительный и удобный прибор для превращения звуковых
колебаний в электрические. Он применяется для телефонной передачи
речи и для измерения звуков.
Рис. 42.

§3
Скорость звука
75
Превращение звуковых колебаний в колебания электрического
тока позволяет пользоваться разнообразными электрическими
способами преобразования, усиления, передачи на большое
расстояние, или же измерения электрических токов, пропорциональных
звуковым колебаниям. Технические применения акустики, а также
методы исследования звуковых колебаний сделали значительные
успехи, вследствие возможности комбинировать колебания
звуковые и электрические. Мы встретим далее еще не раз различные
электроакустические приборы и применение их как для
физических исследований, так и для различных технических целей.
§ 3. Скорость звука.
Как мы видели, скорость распространения волн определяется
упругостью k среды и ее плотностью ρ по формуле
V'
Для определения скорости ν нам необходимо только определить
модуль упругости для тех деформаций, которые сопровождают
колебания частиц среды.
В воздухе мы имеем продольные волны, вызывающие в нем
сжатия и расширения. Относительные перемещения -у- (см. гл. I,
§ 18) в то же время являются величинами относительного
изменения объема.
Если бы это изменение объема происходило при постоянной
температуре, т. е. изотермически, то можно было бы
воспользоваться законом Бойля-Мариотта РѴ=С, для определения изменения
давления Ρ при данном изменении объема V. Мы имеем согласно
dP . dV л JD D dV dV
этому закону ~~р"Т~Т7~ — ® или dP =— Ρ ~тт t где -ψ есть
относительное изменение объема V. Так как относительное изменение
it Jt
объема в слое dx равно у-, то, следовательно, dP=—Ρ -у-. Таким
образом модулем упругости1 k является давление Ρ газа и, следо-
1 Напомним, что модулем упругости k при сжатии мы должны считать
отношение величины давления, вызывающего сжатие, к относительной величине
изменения объема. В данном случае формула dP = к -ψ, выражающая закон Гука,
дает для величины модуля упоугостн вначение k~P,

76
Звук
Гл. II
вательно, скорость распространения звуковых волн должна быть
равной: /~о
Эта формула ьыла получена Ньютоном. Однако вычисленные
по ней величины скорости звука плохо согласуются с опытными
определениями, и причина этому была указана Лапласом. При
звуковых колебаниях сжатие не может происходить изотермически,
так как передача тепла по теплопроводности происходит вдоль
цилиндрического столба очень медленно, и поэтому при сжатиях
и разрежениях повышения и понижения температуры происходят
так, как если бы каждый слой был в тепловом отношении
совершенно изолирован от остальной массы газа. Таким образом, как
сгущения, так и разрежения газа происходят адиабатически.
Но для адиабатических изменений объема справедлив не закон
Бойля-Мариотта, а следующая формула (см. Курс физики, ч. IV,
стр. 13)
РѴ = const, (2)
в которой γ есть отношение теплоемкости газа при постоянном
давлении Ср к теплоемкости при постоянном объеме С„. Из этой
формулы мы находим
dV dP ,_ _ dV D dl
-Ч-у=-р или^^-Ργ-^^-Ργ^
Таким образом, вследствие (2), модулем упругости является не
Q
просто давление газа Р, а Р, умноженное на γ = γξ-, и поэтому для
скорости звука в газе мы имеем формулу Лапласа:
Ѵч
(3)
Эта формула позволяет вычислить скорость звука, если
известна плотность газа и показатель γ. Но плотность газа равна
отношению молекулярного веса Μ к величине объема
грамм-мот/о Μ
лекулы газа V. оставляя в нашу формулу р = -г? и пользуясь тем,
что для газа имеет место уравнение PV=RT, где R
универсальная газовая постоянная, мы найдем, что
-=/¥· ■ <«
Адиабатический показатель γ имеет различные значения для
различных газов. Для газов одноатомных, у которых молекула

§ 3 Скорость звука 77
состоит лишь из одного атома, например для благородных газов
(гелий, аргон, неон) и для паров металлов (ртуть и пр.), γ = —- =
•J
= 1,67; для двухатомных газов, как кислород, азот, водород,
7
γ = -=- = 1,4; для молекул более сложных γ еще меньше, например,
для углекислоты γ = 1,30.
Еще в большей мере скорость звука в различных газах
изменяется в зависимости от молекулярного веса М. Например, в
водороде она почти в четыре раза больше, чем в воздухе. Всякое
изменение в молекулярном строении газа влияет на скорость звука
в нем. Понятно, что и примесь более легких газов, например
содержание водяного пара, который легче воздуха более чем в
полтора раза, увеличивает скорость звука. Влияние влажности на
скорость звука хотя и не велико, в виду того, что при обычных
температурах упругость даже насыщенных водяных "паров
составляет всего 10—20 мм, но все же должно быть принято во
внимание при точных измерениях скорости звука.
Весьма заметное влияние на скорость звука оказывает
температура газа. Как мы видим из формулы (4), скорость звука прямо
пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры
газа. Обычные колебания температуры атмосферного воздуха,
составляющие несколько десятков градусов, могут дать изменения
в несколько процентов.
Так как температура газа определяет также величину скоростей
молекул газа, то между скоростью звука и скоростью молекул
должна существовать связь. Кинетическая теория газов показывает,
что RT = ~n Ми2, где и2 есть средний квадрат скоростей молекул;
поэтому скорость звука
—V*
несколько меньше средней квадратичной скорости молекул (см.
Курс физики, ч. IV, стр. 28).
При выводе нашей формулы для скорости звука мы1, находили
изменение давления, дифференцируя уравнение, связывающее
давление и объем газа. Применение этой математической операции
предполагает, что изменения давления и объема очень малы по
сравнению с самими величинами. Как мы видим, предельные звуки, еще
слышимые ухом, соответствуют амплитудам давления всего 10 *

78
Звук
Га. Π
дины на 1 ел*2. Наиболее сильные звуки, которые воспринимает
ухо без болезненных ощущений, имеют амплитуды в 106 раз
большие. Но и эти амплитуды, равные 103 дин/си2, составляют
всего одну тысячную атмосферного давления. Поэтому для всех
звуков в границах наших звуковых ощущений скорость волн может
выражаться формулой Лапласа, и только для звуков еще большей
силы нужно вводить поправку, зависящую от величины амплитуды.
§ 4. Опытные определения скорости звука в воздухе.
Первые надежные определения скорости звука в атмосферном
воздухе были произведены в 1738 г. несколькими членами
Парижской академии. Были выбраны два пункта, расстояние между
которыми (базис) было точно измерено (около 27 км). В этих пунктах
через правильные промежутки времени производились пушечные
выстрелы, и наблюдатели, находившиеся в противоположных
пунктах отмечали время выстрела по видимой вспышке огня
и время прихода звука. Так как эти сигналы посылались
одновременно в противоположных направлениях, то влияние ветра на
определение скорости звука было исключено. Такого рода опыты
повторялись впоследствии неоднократно, причем каждый раз
техника измерений совершенствовалась. Так Реньо в 1869 г. ввел
способ автоматической регистрации посылаемых и приходящих
волн и этим исключил личную ошибку наблюдателя. В 1917—1918 гг.
во время войны были произведены измерения скорости
распространения звука выстрела орудий, причем приход волн
регистрировался на расстоянии 1400 и 14000 м от источника звука при
помощи двух приемников и струнного гальванометра. Точность
определения промежутка времени составляла 0,002 сек.
При всех измерениях в свободной атмосфере расстояние,
проходимое звуком, берется по возможности большим. Это вводит
неизбежную ошибку вследствие неизвестности распределения
температуры и влажности вдоль пути, пробегаемого волнами, хотя
поправка на температуру и влажность обычно вводится. Кроме
того, при выстрелах амплитуда волн вблизи орудия настолько
велика, что скорость звука уже нельзя считать величиной
постоянной. В то время, как среднее из наиболее надежных измерений,
приведенных к 0° и для сухого воздуха составляет 331,8 л/сек.
(такую же величину дает для воздуха и теоретическая формула
'Лапласа), вблизи орудия были определены скорости до 1150 .и/сек,
Во время войны определение скорости звука приобрело особое
значение для определения местонахождения орудий, и величина ее

8 4 Опытные определения скорости звука в воздухе 79
была принята в английской и французской армиях при 10° в сухом
воздухе равной 337,15, а при средней влажности 337,6 .м/сек.
Вместо непосредственного определения времени, в течение
которого звук проходит определенное расстояние, можно определять
длину волн звука, частота которого точно измерена. Для этого
источник звука О, дающий чистый высокий тон (свисток),
помещается в фокусе параболического зеркала (рис. 44), причем такое
же второе зеркало
устанавливается так, чтобы звуковые волны
собирались в его фокусе. Рядом
с источником звука помещается
один приемник, например
угольный микрофон Mlt который
превращает звуковые колебания в
электрические колебания тока.
Второй такой же приемник М%
помещается в фокусе другого
зеркала и принимает волны,
пришедшие из первого зеркала.
Колебания тока микрофонов будут Рис. 44.
иметь разные фазы, причем
разность их фаз возрастает по мере удаления второго зеркала. Эти
микрофонные токи проходя по двум обмоткам Ву и і?2
трансформатора, создают в магнитном сердечнике его переменные магнитные
потоки. При сложении этих потоков должно получиться, смотря по
разности фаз, усиление или ослабление переменного потока.
Последний индуктирует в обмотке В% трансформатора ток, который
проходит через телефон Т. При удалении второго зеркала в
телефоне слышится попеременно то усиление, то ослабление звука,
причем минимумы звука наблюдаются всякий раз тогда, когда
расстояние между источником и приемником звука увеличивается
на длину волны. Таким образом, можно наблюдать большое число
минимумов и повысить точность определения длины волны, не
увеличивая чрезмерно расстояние между зеркалами, благодаря чему
влияние температуры и влажности воздуха может быть учтено
более точно.
Скорость звука измерялась неоднократно в столбе воздуха,
заключенного в трубах различного диаметра. В этом случае, как
показали впервые наблюдения Реньо, пользовавшегося для этой
цели парижскими канализационными трубами, длина которых
доходила до 4900 м, а диаметры изменялись от 11 до 110 см, скорость

80
Звук
Гл. Π
звуковых волн зависит от диаметра трубы. При диаметре в 10,8 см
скорость получилась 324,2, в то время как в широких трубах
с диаметром в 110 ел* скорость была почти такой же, как и в
свободной атмосфере, а именно 330,5 м/сек.
Как показал впервые Гельмгольц, влияние диаметра трубы на
скорость звуковых волн в ней вызывается двумя причинами.
Первой причиной является внутреннее трение в газах. У самой стенки
трубы скорости перемещений, а также колебания плотности
значительно меньше, чем вдали от нее, и чем меньше диаметр трубы
тем большее влияние, оказываемое на скорость волн вдоль оси
стенками трубы. Поправка, вносимая в величину скорости, обратно
пропорциональна радиусу а трубы, и скорость звука в трубе равна
с' = с 11 ), где у. — коэффициент, зависящий от коэффициента
внутреннего трения (вязкости) μ, от плотности ρ газа и от числа
колебаний N в секунду. Другая причина, не менее важная,
заключается в том, что вблизи стенки сжатия и разрежения газа нельзя
считать адиабатическими, так как слои газа, прилегающие к стенке,
вследствие удара молекул газа непосредственно о ее поверхность,
должны принимать температуру поверхности, и, следовательно,
сгущения и разрежения газа происходят изотермически. Обе эти
причины влияют одинаковым образом и, так как теплопроводность
пропорциональна вязкости, обе зависят от одного и того же
свойства. Можно учесть их действия, вводя коэффициент вязкости
в 2,5 раза больший обычного, как показал Максвелл. При
вычислении поправки для скорости звука в трубах можно пользоваться
следующей формулой для*:
в которой отношение — (кинематическая вязкость по Максвеллу)
для воздуха равна 0,33.
§ 5. Метод Куядта.
Наиболее употребительным методом определения скорости звука
является метод, предложенный Кундтом в шестидесятых годах
прошлого столетия. Он основан на получении стоячих волн
в трубке, наполненной исследуемым газом. Возбуждение колебаний
в трубке в классической постановке опыта (рис- 45) производится
при помощи стеклянного или металлического стержня, конец кото-

§ 5 Метод Кундта 81
рого, снабженный легким поршнем, входит по возможности без
трения в отверстие трубки. Колебания стержня возбуждаются при
помощи натирания его концов смоченной шерстяной тряпкой, в то
время как по середине он крепко зажат в стойке. Таким образом,
в стержне возбуждаются
продольные стоячие волны /Йлюіи*» чщтвяШр-
с узлом по середине и пуч- J " Зсиошйкт&шт
π Рис. 45.
ностями на концах. Длина
стержня, равная половине длины волны, определяет период
возбуждаемых колебаний.
Для того, чтобы определить длину стоячих волн в трубке,
в нее вводится легкий порошок (например ликоподий), который
под влиянием колебаний собирается в кучки, обозначенные буквой а
на рис. 46, в узлах стоячих волн. Для того чтобы получить
наиболее резкие узлы, необходимо, чтобы длина трубки была подобрана
надлежащим образом, так, чтобы колебания столба газа были
настроены в резонанс с колебаниями стержня и чтобы колебания
стержня были по возможности не-
затухающими. При очень больших
Ь П>
lti A Jj л амплитудах в пучности стоячих волн
а а о образуется облачко Ь, состоящее из
Ряс. 46. частиц легкого порошка,
находящихся в сильном движении.
Возбуждение колебаний в трубке, кроме указанного выше,
производится иногда также натиранием стенки трубки, вследствие
чего вся трубка приходит в колебания Для настройки их в
резонанс с колебаниями газа в трубке, концы трубки нагружаются
соответственными грузами. Для
получения более мощных коле- ι .*. .»»-..*.«*>
баний при возбуждении трубки
может служить металлическая
мембрана телефона, в обмотку кото- δ Μφραζπαλ
рой посылается переменный ток У -4*
нужной частоты. В этом случае
настройка в резонанс произво- Рис. 47.
дится при помощи изменения
частоты переменного тока, длина же трубки остается неизменной.
Эти способы возбуждения стоячих волн в трубке изображены на
рис. 47.
Для демонстраций, а также для точных измерений скорости
звука применяется также явление резонанса в открытой с одного
6 Зак. 2408. Курс физики.

82
Звук
Гл. //
конца трубе. На некотором расстоянии от отверстия трубы
помещается источник звука определенной частоты, и длина столба
воздуха в трубе изменяется до тех пор, пока возбуждение колебаний
не достигнет максимума. Увеличивая длину столба воздуха, можно
получить ряд максимумов и определить длину волны. Это явление
весьма наглядно демонстрируется, если поднести к отверстию
высокой мензурки камертон и осторожно подливать воды. Когда
длина оставшегося столба воздуха равна нечетному числу четвертей
волн, слабый сам по себе звук камертона становится слышимым
на большое расстояние.
Для определения абсолютной величины скорости необходимо
знать достаточно точно частоту колебаний N. Скорость звука
определяется в таком случае, как произведение
υ = λΝ.
Но когда нужно только сравнивать скорости звука в различных
газах, то отношение их определяется просто из отношения длин
волн, если частота колебаний все время остается неизменной.
Обычно при этом пользуются двумя трубками, которые
одновременно возбуждаются тем же источником звука.
Таким же образом измеряется изменение скорости в зависимости
от температуры, давления и природы газы, а также величина скорости
в смесях различных газов и паров. Весьма удобно измерять этим
С
способом и отношение теплоемкостей ϊ = -τν· Кундт и Варбург
измерили скорость звука в парах ртути при высокой температуре,
применяя очень мелкую кварцевую пыль для определения
положения узлов, и нашли, что для паров ртути γ- = 1,66. Подобным
же образом Рэлей и Рамзай нашли для открытых ими инертных
газов, гелия и аргона, то же значение 1,66.
Во всех случаях, где нужна"- большая точность измерений
скорости звука, необходимо вводить поправку на влияние диаметра
трубы, как указывалось в предыдущем параграфе.
§ 6. Влияние температуры и ветра на распространение звука.
Измерения скорости звука при разных температурах
подтвердили в общем теоретическую зависимость, вытекающую из
формулы Лапласа. Во всех случаях, когда отношение теплоемкостей γ
и молекулярный вес газа оставался постоянным, скорость звука
изменялась пропорционально корню квадратному из абсолютной
температуры газа.

§ б Влияние температуры и ветра на распространение звука 83
Зависимостью от температуры объясняются многие звуковые
явления в свободном воздухе.
При неравномерном нагревании воздуха, в разных слоях
скорость распространения его неодинакова. Как мы видели раньше,
на границе двух средин с различными скоростями волн υ
происходит преломление их. Для простоты мы будем предполагать
что волны плоские. Проведя прямые, перпендикулярные к
плоскостям волны, мы получим пучок параллельных лучей, которые
изменяют свое направление на границе в зависимости от угла
падения лучей и от показателя преломления η слоев воздуха, где
л = г>1 : ѵ2. В случае непрерывного изменения скорости вдоль луча,
последний будет иметь вид кривой. Мы имеем два случая
преломления лучей в атмосфере, когда различные горизонтальные
слои имеют неодинаковую температуру. Первый случай
соответствует условиям, когда поверхность земли и прилегающие
к ней слои воздуха охлаждаются, а верхние имеют более высокую
температуру; второй — обратному распределению температуры.
Последний случай представляет нормальное распределение,
второй—так называемую инверсию температуры. В первом случае
звуковые лучи загибаются вниз к поверхности земли, а во
втором наоборот—уходят вверх. Например, при сильном охлаждении
земной поверхности зимой или ночью мы имеем первый случай.
Те волны, которые ушли бы вверх при отсутствии преломления,
теперь возвращаются к земле, и этим объясняется иногда
исключительно хорошая слышимость звука при указанных условиях
распределения температуры. Наоборот летом и дйем при нагревании
нижних слоев звуковые волны, преломляясь, отклоняются вверх
от земли, что уменьшает расстояние их слышимости.
Подобного рода наблюдения известны и для сильных звуковых
сигналов, применяемых на маяках на море во время туманов. Так,
например, в Дувре (Англия) температура поверхности моря ниже
температуры выше лежащих слоев воздуха в период с марта до
сентября, а в осенние и зимние месяцы с сентября по февраль,
наоборот, море теплее воздуха. В соответствии с этим в летние
месяцы слышимость звука сирены на больших расстояниях гораздо
лучше, чем в зимние. Иногда звуковые сигналы слышны хорошо
на близких расстояниях и на гораздо более далеких, а на средних
расстояниях совершенно не слышны. Эта зона молчания образуется
всякий раз, когда звуковые волны, распространяясь вблизи земной
поверхности, поглощаются или рассеиваются встречающимися
неровностями, в то время как волны, испытавшие преломление
6*

84
Звук
Гл. Π
в верхних слоях, возвращаются к земной поверхности на большом
расстоянии от источника звука.
В 1926 году произошел взрыв большого метеора на высоте от
30 до 40 км; звук этого взрыва был хорошо слышен на
расстояниях до 100 км. На больших расстояниях вплоть до 240 км звук
не был слышен, но на еще больших расстояниях слышимость
опять возобновилась. Так как на высоте взрыва температура
значительно ниже (— 55° С), чем у поверхности земли, то звуковые
волны, встречая внизу более теплые слои, отклонялись вверх. Это
объясняет пропадание звука на расстояниях, больших 100 км.
Аномальная слышимость на еще больших расстояниях зависит
от того, что слои атмосферы на высоте между 40 и 50 км имеют
значительно более высокую температуру, и отклоняют звуковые
волны вниз к земле.
Существование слоя, имеющего относительно высокую
температуру, т. е. значительно выше 0°, на высоте около 50 км
подтверждалось неоднократно при больших взрывах. В этих случаях
зона молчания, начиная с 90 км до 150 км, и последующая зона
аномальной слышимости наблюдалась при помощи записи волны
давления, получающейся при взрыве, так как слышимые звуки на
этих расстояниях уже поглощаются вполне. Повышение
температуры высоких слоев связывают обычно с присутствием на этих
же высотах озона, который поглощает ультрафиолетовые лучи
солнечного спектра, составляющие около 5% всей энергии
солнечной радиации.
Влияние ветра на скорость звуковых волн очевидна. Скорость
ветра складывается со скоростью звука или вычитается из нее,
смотря по тому, совпадают ли их направления или прямо
противоположны. Этим объясняется, почему в направлении ветра
слышимость значительно лучше, чем при распространении звука навстречу
ветру. Действительно у поверхности земли скорость ветра всегда
меньше, чем на некоторой высоте, и поэтому в направлении ветра
скорость звука возрастает с высотой, в то время как при
встречном ветре скорость уменьшается. Поэтому в первом случае
звуковые волны преломляются к земйой поверхности, а во втором от
земли вверх.
Многие явления при передаче звука на большие расстояния
объясняются отклонением волн от прямолинейного направления
благодаря местным неоднородностям атмосферы. В летний
солнечный день, при совершенно ясном небе, воздух у земной
поверхности сильно нагревается. Образующиеся восходящие токи

§7
Поглощение звука
S5
теплого воздуха делают атмосферу очень неоднородной. В этих
условиях сила звука сирены на расстоянии 10 км испытывает
иногда колебания порядка 30 : 1, причем эти колебания происходят
на протяжении нескольких минут. Наоборот, при туманной погоде
атмосфера гораздо более однородна и обычно нижние слои
холоднее верхних, поэтому слышимость улучшается. Систематические
исследования этих явлений, начатые Тиндалем в семидесятых годах
прошлого столетия, в связи с установкой на маяках мощных
акустических сигнальных аппаратов, представляют интерес в виду
все возрастающего значения акустической сигнализации для
мореплавания.
§ 7. Поглощение звука.
• Обычно звук в однородной атмосфере может распространяться
на большие расстояния без ослабления, если звуковые волны
плоские. Заметное поглощение звука происходит или при очень
больших частотах, или при распространении звука в узких трубках
или каналах. Во всех случаях поглощение вызывается двумя
причинами: внутренним трением, или вязкостью газа, и
теплопроводностью. Но оба эти свойства в газе связаны простой
пропорциональностью, так как вязкость есть перенос количества движения
частицами газа, а теплопроводность — перенос энергии движения,
и механизм переноса в обоих случаях один и тот же. Поэтому,
как уже отмечалось при объяснении влияния этих факторов на
скорость звука, их действия можно объединить, принимая
увеличенную вязкость.
Вместе с вязкостью на затухание колебаний оказывает весьма
большое влияние частота их N. По мере возрастания частоты
длина волны, а, следовательно, расстояния между сгущениями
и разрежениями в волне, уменьшаются. Вследствие этого и
температурные градиенты, и градиенты плотности увеличиваются. При
1000 колебаниях в сек. длина волны равна 33 см, при ІѴ= 10* —
3,3 см, и при ІѴ= 105 только 0,33 см.
Вследствие поглощения волн амплитуда их уменьшается по
мере распространения. Вдоль пути dx уменьшение амплитуды da
пропорционально как величине амплитуды, так и длине пути:
da = — α adx.
Из этого уравнения мы находим, интегрируя — = — a dx, что
In а = —лх-\- const

8.6
Звук
Гл. II
или
а = а0е~а!е, (5)
где а0 — амплитуда в начале пути (л: = 0) иа —коэффициент
поглощения или абсорбции волн. Как мы видели,
поглощение должно увеличиваться при возрастании вязкости μ. и частоты N.
Как показал Кирхгоф, теория распространения волн в вязкой
вреде дает для α следующее выражение:
8π2μΑΓ2
й~ 3?ν*
Величину абсорбции иногда выражают величиной, обратной а,
а. именно тем расстоянием лг = а_, на котором амплитуда
уменьшается в е раз. В воздухе при ІѴ=200, χ —1000 км, т. е. погло-
щение волн при этой частоте ничтожно мало. Но при N = 104,
Λ· = 400 м, а при УѴ=105 всего только 4 м. Таким образом волны,
находящиеся уже за пределами слышимости, испытывают в воздухе
сильное поглощение.
Поглощение волн будет особенно сильно в случае
распространения их вдоль какой-нибудь твердой стенки, например, в трубах.
У самой поверхности скорости газовых частиц параллельно стенке
должны быть очень малы, а температура их постоянна, поэтому
силы внутреннего трения и теплопроводность в ближайших
к стенке слоях должны проявляться особенно сильно. Расстояние,
на котором еще заметно влияние стенки при частоте 1000
колебаний в секунду, равно 0,04 см. Поэтому в очень узких капиллярах
звук будет испытывать очень сильное поглощение. Этим
объясняется сильное поглощение звука при распространении через
пористые тела. Теория Кирхгофа приводит к следующей формуле
для коэффициента поглощения при частоте N и радиусе г
капилляра, наполненного воздухом:
« = 0,65· КГ4І^.
г
Таким образом « растет пропорционально квадратному корню из
частоты и обратно пропорционален радиусу капилляра, и при ІѴ=
= 1000 и г = 0,001 см а = 2. На этом основано применение
пористых материалов, например тканей, пробки, ваты и шерсти и др.
для поглощения звука. Для определения коэффициента поглощения
таких веществ пользуются открытой с одного конца трубой, перед
которой ставится источник звука с нужной частотой, а в закрытый
конец вставляется пластинка исследуемого вещества. Стоячие

§ 8 Распространение звука β жидкостях 87
волны, которые образуются в трубе, не будут иметь настоящих
узлов вследствие неполного отражения волн от закрытого конца.
Разность амплитуд колебаний в узлах и пучностях дает
возможность определить уменьшение амплитуды отраженных волн. Чем
больше толщина пластинки, тем больше поглощение, которое
испытывают волны при отражении от нее, но, начиная с известной
толщины ослабление амплитуды делается уже независимом от
толщины отражающей пластинки. Слой ваты в 10 см. поглощает 90°/о
падающей на него энергии при частоте 500 пер. в сек.
С другой стороны, присутствие небольших твердых или жидких
частиц в воздухе, например туман, не вызывает поглощения, если
длина волны значительно больше размеров частиц.
§ 8. Распространение звука в жидкостях.
Распространение звука в жидкой среде приобрело в последнее
время большое практическое значение, вследствие развивающейся
сигнализации через воду. Первые измерения скорости звука в воде
были произведены в начале прошлого столетия Колладоном и
Штурмом в Женевском озере. Источником звука служил колокол, по
которому производились удары молотком, причем одновременно
производилась вспышка пороха, как световой сигнал, указывающий
наблюдателю на другой стороне озера момент удара. Несмотря на
примитивность средств, величина скорости 1435 .и/сек. оказалась
очень близкой к теоретической величине 1436 jn/сек.
Новые измерения, вызванные техническими применениями
звуковых волн для определения расстояний под водой, и в частности
для измерения глубины морского дна, произведены были с гораздо .
более совершенными экспериментальными средствами в двадцатых
годах нашего века. Большинство измерений производили со
взрывами в воде, располагая приемники вдоль линии распространения
волн и регистрируя время прихода сигналов к различным
приемникам. Точность измерения времени могла быть доведена до 0,001
сек., в то время как время прохождения сигнала измерялось
многими секундами. Влияние температуры можно было определить
при этих наблюдениях, равно как и влияние солености морской
воды.
При измерениях глубины моря акустическим методом
определяется время посылки сигнала и время возвращения его после
отражения от дна. Так как на большой глубине давление может
достигать 1000 атмосфер, то скорость звука изменяется с глубиной.
При этом возрастают и упругость воды и плотность, но упругость

88
Звук
Гл. II
растет быстрее, чем плотность, и поэтому скорость ν = 1 / _
возрастает с глубиной, и на глубине около 8 км на 160 д«/сек.
больше, чем на поверхности.
Разница температур в воде может сказаться на распространении
волн и вызвать искривление звуковых лучей. Но в отношении
температуры вода более однородна, чем воздух. В виду большой
скорости звука в воде и течения оказывают на нее сравнительно мало
влияния.
В то же время поглощение звука в воде даже при больших
частотах незначительно. Вследствие этого подводные сигналы
слышны на гораздо больших расстояниях, чем сигналы в воздухе,
не говоря уже о тех колебаниях силы звука в воздухе, которые
зависят от неоднородности атмосферы. Так например, источник,
звука, потребляющий один киловатт мощности (при полезной отдаче
в 50%) под водой, слышен на расстоянии от 30 до 45 км, в то
время как воздушная сирена мощностью в 100 квт (при отдаче
в 10%) слышна всего лишь на расстоянии 15 км. Работа винтов
больших судов при полной скорости слышна иногда на расстоянии
от 12 до 15 км, хотя прослушиванию таких немузыкальных
звуков мешают посторонние шумы.
На поглощение звука в воде оказывают большое влияние
пузырьки воздуха, если они имеются в достаточном количестве.
Скопление мелких пузырьков в воде может сделать ее совершенно
непрозрачной для звуковых волн.
Распространение звука в трубах, наполненных жидкостью,
происходит с значительно меньшей скоростью, чем в свободной
жидкости. Разница эта еще больше, чем для газа, так как уменьшение
скорости зависит от податливости стенок, упругость которых
немного больше упругости жидкости. Поэтому поправка скорости
звука в трубе зависит от отношения радиуса а и толщины h
стенок, а также от отношения упругости жидкости и материала трубы.
Опыты с органными трубами, наполненными водой, дали для
скорости звука в трубе величину, равную 1173 .и/сек. по сравнению
с 1456 лі/сек. в неограниченной среде, ι
§ 9. Скорость звука в твердых телах.
Волны в твердых телах могут быть весьма разнообразны, во-
первых, потому, что кроме продольных колебаний возможны
колебания поперечные, а во-вторых, вследствие разнообразия внешней
формы тел (проволоки, стержни, пластинки и пр.). В неограниченном

§ Ρ Скорость звука в твердых телах 89
твердом теле возможны только два типа волн: продольные, рас-
пюостраняющиеся со скоростью ν = |/ 3 где k —
упругость объемного сжатия, а τι — модуль сдвига, и поперечные, скорость
которых равна ѵ— л/ —. Наблюдения над распространением
таких волн в земле производится при помощи сейсмографов,
регистрирующих землетрясения или искусственные взрывы. При
больших расстояниях сейсмографа от фокуса землетрясения первыми
приходят продольные волны, распространяющиеся по прямому
пути со скоростью около 10 /си/сек., затем поперечные волны со
скоростью б кл*/сек. Кроме этих волн наблюдаются еще волны
с большой амплитудой, но распространяющиеся в земной коре
вдоль земной поверхности. Они проходят значительно больший
путь, чем прямые волны, и поэтому приходят всегда с
значительным запозданием. "
;.\- Искусственные землетрясения производят в настоящее время
для геологической разведки и обнаружения нефтяных
месторождений, пользуясь местными взрывами. '
] Вследствие того что волны могут распространяться по разным
путям и притом в слое, содержащем нефть, скорость их
отличается от скорости в поверхностном слое, можно найти глубину
залегания слоя, регистрируя время прихода волн на различных
расстояниях от места взрыва. При этом наблюдаются два вида
волн", одни волны идут вдоль земной поверхности, другие более
длинным путем, а именно, пройдя через поверхностный слой, они
идут после преломления внутри глубинного слоя и возвращаются
опять через толщу поверхностного слоя к месту приема. Хотя
этот второй путь длиннее первого, но время прихода глубинных
волн может регистрироваться раньше времени прихода
поверхностных волн вследствие большей скорости первых. Для
вычисления глубины слоя необходимо, конечно, знать скорости волн.
В твердых тонких стержнях волны могут быть или продольными
(при натирании вдоль оси смоченной тряпкой), или поперечными
например при кручении и при изгибе. В первом случае скорость
не зависит от длины волн и равна Л/ -, где Ε—модуль Юнга,
а ρ — плотность стержня. Эта скорость отличается от скорости
распространения волн в неограниченном твердом теле, и теория

90
Звук
Гл. II
упругости дает для отношения скорости ν в безграниченной среде
к скорости ѵ^ в тонком стержне следующее выражение:
Ѵ1 V IrZL* — '1^
В этой формуле о есть коэффициент Пуассона, как называется
отношение поперечного сжатия стержня к продольному растяжению.
Для большинства твердых тел, например металлов, о = 0,25 и
отношение скоростей близко к 1,1. Па мере увеличения σ
отношение это растет и достигает оо, когда о = 0,5. Последний случай
возможен, только если при продольном сжатии стержня вовсе не
происходит изменения объема. При продольных колебаниях
неограниченного твердого тела, при одностороннем сжатии его слоя,
происходит *"такая же деформация, как и при всестороннем сжатии,
в то время как в тонком стержне частицы его могут совершать
перемещения в поцеречном направлении, отчасти компенсирующем
объемное сжатие. Чем толще стержень,· тем больше скорость ѵ1
продольных волн в нем приближается к скорости ν в
неограниченной среде.
Определение скорости распространения волн в стержнях
производится обычно по измерению длины стоячих волн, вобзуждае-
мых в нем, и частоты колебаний. Часто применяется способ
сравнения длины волн в стержне с длиной стоячих волн в воздухе
по методу Кундта, если стержень является источником колебаний.
Если возбуждение производится при помощи электрических
колебаний, то частота их определяется точным калибрированием
электрических колебаний или сравнением с надежным волномером.
Для магнитных металлов, например сплава железа с никелем,
возбуждение продольных колебаний в стержнях производилось при
помощи переменного намагничивания, вызывающего изменения
длины его. Это явление называется магнитострикцией, и
колебания, возбуждаемые, таким способом, — магнитострикци-
о н н н ы м и. Для сплава, содержащего 64% железа и 36% никеля,
скорость была определена в 4160 .и/сек.
Кварцевые стержни, вырезанные перпендикулярно к оптической
оси кварца, обладают особыми электрическими свойствами,
которые проявляются в том, что при сжатии стержня в направлении
его длины на поверхности его получаются электрические заряды.
Это явление называется пьезоэлектричеством. Но
существует и обратное явление, состоящее в том, что при подведении

§ JO Волны с большой амплитудой 91
к поверхности кварцевого стержня зарядов, он сокращается или
удлиняется, смотря по знаку зарядов. Этим пользуются для
возбуждения пьезоэлектрических колебанкй. При таком возбуждении
продольных волн скорость их была найдена равной 5500 лі/сек.
Таким же способом могуть быть возбуждены стержни и некоторых
других кристаллов, например сегнетовой соли, турмалина и др.
.- При возбуждении поперечных колебаний крутильного типа мы
имеем дело с чистой деформацией сдвига, и поэтому скорость волн
равна "Ι / -, где η — модуль сдвига. Но гораздо чаще
приходится встречать поперечные колебания, возникающие вследствие
изгиба стержня. Такие колебания возможны только в тонких
стержнях и пластинках и скорость распространения в них зависит не
только от упругости (модуля Юнга), но также от толщины их и
длины волн. Например, при прямоугольном сечении стержня и тол-
ι .—
· αι /Ε
щине а скорость поперечных колебаний равна w==7qt]/ — '
где λ длина волны.
§ 10. Волны с большой амплитудой.
Звуковые волны обычно имеют очень небольшую амплитуду.
Только в исключительных случаях, например, при взрывах,
выстрелах или особо мощных источниках звука вблизи них амплитуда
может принимать столь большие значения, что изменения давления
нельзя считать малыми по сравнению с величиной давления. В этом
случае скорость распространения волны зависит от величины
сжатия. Но так как в непрерывном ряде волн сжатие сменяется
разрежением, то скорость волн в различных ее частях будет иметь
различные значения и сама форма волн должна изменяться при
распространении. В виду этого теория распространения волн
большой амплитуды чрезвычайно сложна и определенной величины
фазовой скорости, которую мы называли скоростью волны, при
произвольной амплитуде не существует.
Опытные данные для распространения звука обычно
осложняются тем, что при взрыве или выстрелах скорость выбрасываемой
струи газа может быть значительно больше скорости звука. Но
и на расстояниях, где скорость поступательного движения газа
уже равна нулю, скорость звука может превосходить скорость при
малых амплитудах. Так например, скорость волны давления,
образующейся при выбрасывании сжатого газа, равна 1150 л/сек. у са-

92
Звук
Гл. Π
мого отверстия, 380 .и/сек. на расстоянии 30 см, и еще заметно
отличается от нормальной скорости на расстоянии б м.
Электрическая искра большой мощности также создает в воздухе
взрывную волну, скорость которой была промерена и оказалась равной
660 ж/сек. на расстоянии 3,2 мм от искры и 380 Λί/сек. на
расстоянии 18 мм.
§ 11. Техническое значение явлений распространения звука.
Измерение расстояния, на котором находится источник звука от
наблюдателя, применяется для определения расстояния судна,
находящегося в море, от берега, или для определения расстояния
орудий. Если принимаемые звуки являются специальными
сигналами, то они производятся при помощи взрывов в воде,
сопровождаемых радиосигналами. Наблюдатель регистрирует время
прихода тех и других и находит расстояние, проходимое звуком,
по времени запаздывания звукового сигнала. Для того, чтобы
сверх того определить направление, в котором находится·
источник звука, применяется несколько приемников, расположенных
вдоль базисной линии. Зная расстояние между приемниками
(гидрофонами) (см. § 34) и регистрируя время приема звукового
сигнала, можно найти угол, составляемый базисной линией с
направлением распространения волн. ;
Таким образом определяется место взрыва мины на расстояниях
до 150 км с весьма большой точностью, если длина базисной
линии достаточно велика, например равна 20 км. Точность этих
акустических методов определения положения очень велика, так
как время может быть определено с точностью до 0,001 сек.,
а время пробега звуковых сигналов доходит до сотни секунд.
Во многих случаях эти методы более удобны, чем метод
астрономических определений.
Определение расположения орудия по звуку выстрела
производится аналогичным методом. Однако влияние температуры
и в особенности ветра, неодинакового на разных высотах, делает
эти определения менее надежными, чем при распространении
звука в воде, где скорость течений сравнительно со скоростью
звука весьма невелика, а температурные условия обычно более
постоянны, чем в атмосфере.
Для промеров глубины моря акустические сигналы оказались
чрезвычайно ценным средством. Различные способы, применяемые
во флотах, американском, французском, английском, отличаются по
характеру звуковых сигналов и по способу приема их после отражения

§ J J Техническое значение явлений распростран. звука 93
от дна. Французский способ Ланжевена использует ультразвуковые
колебания с частотой в 50000 колебаний в сек. и позволяет авто,
матически и почти непрерывно регистрировать глубину во время
хода судна. Так как источник ультразвука создает весьма строго
направленную волну, то она может проникать на значительную
глубину, доходящую до нескольких километров. Этот способ
зондирования представляет, очевидно, колоссальное преимущество
перед способом зондирования лотом как в отношении быстроты,
так и точности. В английском флоте применяются звуковые
сигналы, которые принимаются на слух при определенном положении
щеток на вращающемся барабане, который замыкает в нужный
момент электрическую цепь телефонов. Шкала, соединенная со
щетками, позволяет непосредственно отсчитывать глубину. На
американских судах применяются также способы, основанные на
определении угла, под которым приходят волны после отражения.
Источник звука и приемник укреплены на концах судна, и чем
больше глубина, тем ближе направление приходящих волн к
вертикали.
Явление отражения звука производит на открытом воздухе эхо.
В закрытом помещении отражение может происходить от стен,
потолка и пола, причем, если отражающие поверхности слабо
поглощают звук, он может испытать несколько сот отражений, пока
не поглотится совсем. Это явление носит название
реверберации (последовательное отражение) звука, и оно обнаруживается
в том, что всякий звук длится несколько секунд и сливается
с последующими, делая, например, речь лектора неразборчивой.
Время, за которое определенный звук ослабляется в определенное
число раз (106), называется временем реверберации. Оно
пропорционально числу отражений и обратно пропорционально
коэффициенту поглощения отражающей поверхности. В единицу времени
число отражений равно скорости звука, деленной на среднюю
длину пути между двумя последовательными отражениями,
которая, как показывают расчеты, основанные на теории вероятности,
может быть представлена формулой-=-, где о — общая величина
поверхности, а V—объем комнаты.
Последовательные отражения, конечно, усиливают действие
звука на слух и в этом смысле благоприятны для акустических свойств
помещений. На открытом воздухе говорить перед большой
аудиторией гораздо труднее, чем в закрытом помещении, именно
вследствие отсутствия реверберации. Но и при слишком большом вре-

94
Звук
Гл. II
мени реверберации помещение делается негодным в акустическом
отношении. Существует определенный оптимум, зависящий от
характера звуков, исполняемых в помещении (речь, музыка), и
составляющий около 1—2,5 сек.
Для устранения излишней реверберации применяются
различные способы увеличения поглощения звука отражающими
поверхностями. Коэффициент поглощения при отражении от твердых
поверхностей, как дерево, стекло, металл, равен примерно 0,01, для
толстых занавесей, войлока и иных сильно поглощающих
материалов— 0,5, и для совершенно не отражающих поверхностей
(открытое окно)—1. Покрывая стены поглощающими материалами
и увеличивая отражающую и поглощающую поверхность S, можно
довести реверберацию до нужной величины.
Кроме реверберации важными факторами в архитектурной
акустике являются фокусирующие свойства помещений, благодаря
которым звуковые волны образуют области с повышенной
амплитудой, или наоборот, с плохой слышимостью, затем резонирование
помещений на звуки определенной высоты.
§ 12. Музыкальные интервалы.
Качественная характеристика музыкальных звуков по высоте
тона, как уже было указано (§ 1), тесно связана с периодом
колебаний Τ или числом колебаний N в сек. На слух мы определяем
весьма точно совпадение частот двух различных звуков,
называемое также унисоном, и некоторые музыкальные интервалы,
как октава, квинта, кварта, терция, тон, полутон и пр.
Определение интервалов основано на свойстве нашего
слуха воспринимать, как равные разности высот,
определенные отношения чисел колебаний.
Интервал октава соответствует отношению 2 :1; интервал квинт а—
отношению 3:2; кварт а—4 :3; большая терц и я—5 : 4;
палая терция—6:5; секунда—9 : 8. Названия этих интервалов
происходят от семи тонов музыкальной гаммы, которые образуют
интервалы: октава между первым и восьмым, или первым
следующей гаммы, квинту — между первым и пятым, кварту—между
первым и четвертым, и т. д.'
Обозначения этих тонов, которыми мы будем пользоваться:
do, re, mi, fa, sol, la, si, в акустической литературе обычно сопро-
1 quintus — пятый, quartus — четвертый, tertius — третий, secundus — второй.

8 12 Музыкальные интервалы 95
вождаются численным знаком, указывающим, к какой гамме
относится данная нота.
Каждые два соседних тона образуют простой интервал,
соответствующий определенному отношению чисел колебаний, но эти
интервалы имеют различную величину для разных тонов гаммы.
Вопросы, связанные с построением гаммы и величиной интервалов,
имеют преимущественно музыкальное значение, и мы не будем здесь
останавливаться на них. Заметим лишь, что практические
соображения привели музыкальную практику к подразделению основного
интервала — октавы на 12 равных интервалов. Равенстве интервалов
означает, что любые два соседние тока имеют числа колебаний,
находящихся в одном и том же отношении, равном 21'» = 1,059.
Такая „темперированная" гамма очень удобна по своей простоте,
но она не сохраняет ни одного чистого музыкального интервала,
кроме октавы.
Определить интервал октаву на слух очень легко, так как
основной тон и его октава образуют идеальное созвучие, в котором
невозможно выделить на основании субъективного восприятия звука
входящие в него простые тона. Следующим по совершенству
созвучием является квинта, которое музыкальный слух может
определить также с весьма большой точностью. Но чем меньше
интервал, тем меньше точность его определения на слух, а вместе
с тем и субъективное определение отношения чисел колебаний.і
; Только при очень близких к полному унисону тонах и при
одновременном их звучании, когда легко считать число биений
в секунду, становится возможным точное определение, но не
интервала, т. е. не отношения, а разности чисел колебаний. Метод
биений служит обычно для точного установления равенства чисел
колебаний, так как биения можно считать даже тогда, когда они
происходят один раз в тридцать сек., т. е. определять равенство
чисел колебаний с точностью до 1/30 кол. в сек. При 330
колебаниях это составляет точность в 0,01%.
В тесной связи с возможностью определения музыкальных
интервалов на слух находятся ощущения консонанса и диссонанса
в музыке.
При одновременном восприятии двух звуков, отличающихся
высотой тона, мы имеем созвучие, которое в зависимости от ин-
1В промежутке от 600 до ЗООО колебаний в секунду на слух можно различить
относительное изменение частоты, равное 0,003, если давать частоте колебаний
соответственные приращения.

96
Звук
Гл. Π
тервала между тонами вызывает различные ощущения. Если
интервал мал, то мы слышим биения, т. е. периодические изменения
силы звука. При возрастании интервала, а следовательно и числа
биений в секунду, получается неприятное ощущение дребезжания
и шероховатости звука, которое особенно сильно чувствуется,
когда число биений достигает 30 в сек., если число колебаний звука
равно 500. Мы имеем в этом случае диссонанс. Неприятные
ощущения, связанные с диссонансом, конечно, представляют
субъективное явление, и допустимость диссонансов в музыке понятие
условное, но оно связано с объективными условиями возбуждения
колебаний в нашем ухе и воздействия его на тот слуховой аппарат,
который позволяет различать звуки по высоте тона.
Все музыкальные тона можно расположить в ряд, который делится
на октавы, т. е. интервалы, соответствующие возрастанию чисел
ι 2 4 8 і6 зг и izs гьв ss а» гшшв тг ф'<о,зз-а'в.но\з-«),г.бчо!5,г<оі tos ыг
, „ . ' «■ „ ~ ' ν 1
чифразЬуки применяются Ь музыке улатразбуки
Рис. 48.
колебаний вдвое. В случае неслышимых звуков, например, когда
число колебаний меньше 20 в секунду или больше 20000,
интервалы, соответствующие октаве, все же сохраняются для
классификации звуков. Впрочем и в области очень низких звуков и в
особенности в области очень высоких тонов, с числом колебаний
выше 4000 в сек., человеческий слух перестает различать высоту
тона, хотя звуковые ощущения еще сохраняются. Сильные
инфразвуки (низкие) и ультразвуки (высокие), не воспринимаемые как
звуковые ощущения, вызывают в нашем ухе все же ощущение
давления или раздражения. Кроме того, низкие инфразвуки обычно
сопровождаются более высокими обертонами, которые уже слышны.
Таким образом, если считать октавы от 1 колебания в сек., то
первые 4 октавы соответствуют области инфразвуков; начиная
с шестой октавы до 13-й звуки применяются в музыке; еще две
октавы составляют область слышимых звуков, после чего идут
ультразвуки, охватывающие еще несколько октав. Графически такая
звуковая шкала представлена на рис. 48.
Этот метод деления звукового спектра на октавы особенно
удобен при графическом изображении тех частот, которые очень
отличаются по величине.

§13
Эталоны частоты
97
Ч#И-
Ри». 49.
§ 13. Эталоны частоты.
Для объективного определения частоты звуковых колебаний
обычно пользуются эталонными, т. е. точно выверенными и опреде*
ленными частотами, создаваемыми каким-нибудь удобным для обра*
щения с ним источником звука. Эталонным источником инфразву
ковых колебаний является маятник часов, выверенный сравнением
с астрономическим временем
или синхронизирован·
ный с часами какой-нибудь
центральной (у нас в СССР
Пулковской) астрономической
обсерватории. Синхронизация
достигается обычно тем, что
через определенные
промежутки времени, например каж
дую секунду, центральные часы
замыкают ток, который
посылается через катушку электромагнита, действующего на
синхронизируемый маятник. Если маятник отстает от часов, то посылка тока
через электромагнит сообщает маятнику толчок, ускоряющий его
движение; если же маятник обгоняет часы, ток действует
тормозящим образом. При определенной разности между моментами
замыкания и прохождением маятника через положение равновесия,
устанавливается точное совпадение между временем качания маятника
и секундами эталонных
часов. Такой маятник
является одновременно эталоном
времени и частоты, так как
частота N есть обратная
величина времени
колебания 7*.
Эталонным источником звуковых колебаний служит обычно
камертон, приводимый в колебания электрическим током.
Для получения незатухающих колебаний камертона можно
применять возбуждение его переменным током при помощи
электромагнитов, причем сам камертон может создавать переменный ток
нужной частоты особым прерывателем, периодически замыкающим
и разрывающим цепь постоянного тока (рис. 49).
Для создания надежного эталона, дающего нужное число коле?
баний с большой точностью, необходима особая конструкция
Рис. 50.
7 Зак. 2408. Курс фн*ики

98
Звук
Гл. Ц
камертона и тщательное изучение влияний внешних причин на
частоту колебаний. Одна из конструкций, пригодных для точных
измерений, схематически изображена на рис. 50. Она представляет
собой два стержня, прикрепленных к массивному основанию А,
причем частота их колебаний может быть регулирована
передвижением грузов Ρ на их концах. Для возбуждения их служит
электромагнит М, железный сердечник которого имеет в сечении форму
двух Т, сложенных концами, что уменьшает магнитное
сопротивление цепи и позволяет получить значительные магнитные действия
при небольших силах тока. Пружинящий контакт К служит или
для питания электромагнита, или же для замыкания особой цепи,
создающей импульсы тока определенной частоты.
Колебания электромагнита могут быть отрегулированы так,
чтобы он совершал почти точно целое число колебаний в секунду,
например 1000. Если посылать в катушку электромагнита каждую
секунду ток, то он будет сообщать камертону толчки, поддержи-
живающие колебания. При этом можно достигнуть того, чтобы эти
толчки синхронизировали колебания камертона с секундами
часового маятника и получить эталон частоты, определенный с той же
точностью, как колебания маятника, так как между ними
устанавливается определенное целое отношение частот.
При той исключительной точности, которая требуется от
эталона частоты, необходимо тщательное изучение зависимости
частоты от разных факторов, как например амплитуды колебаний,
способа возбуждения колебаний, способа крепления камертона и,
наконец, температуры. Последний фактор является самым важным
из всех. Стальные камертоны обычно имеют температурный
коэффициент около 10~* на 1° С. Это значит, что при повышении
температуры на 10° число колебаний камертона с 1000 уменьшится
до 999. Поэтому эталон должен находиться при постоянной
температуре, поддерживаемой с точностью не менее 0,1°. Изготовление
камертонов из особого сплава „элинвара", применяемого как
материал для пружин точных хронометров, позволяет понизить
значительно температурный коэффициент камертона.
В связи с применением камертона, как эталона частоты,
разработаны различные способы поддержания колебаний камертона.
Кроме вышеописанных, оказался очень удобным способ,
основанный на применении лампового генератора (см. гл. III), частота
колебаний которого определяется частотой колебаний камертона.
Переменный ток, создаваемый генератором, служит для питания
электромагнита, поддерживающего колебания камертона. Такой

§ и
Абсолютные измерения .частоты
99
камертонный генератор при соблюдении всех мер предосторожности
и при камертоне из элинвара, поддерживает неопределенное время
колебания камертона строго постоянной частоты, с точностью
до одной миллионной (0,0001%).
В последнее время камертонные генераторы для некоторых
целей заменяются пластинками из кристаллического кварца, которые
также являются удобными эталонами частоты в соединении с
ламповыми генераторами.
§ 14. Абсолютные измерения частоты.
Для определения частоты колебаний звука применяются
различные методы, которые можно разделить на две группы. К первой
относятся определения, дающие непосредственно число колебаний
в секунду, ко второй способы сравнения
с имеющимися и известными эталонами ча.
стоты.
К первой группе относятся различные
типы камертонных хронографов, записывающих
колебания камертона на движущейся бумажной
ленте, причем через каждую секунду
электрическим током, который замыкается маятником
часов, на той же записи делается отметка
Этот способ позволяет определить число коле
баний камертона за любое число секунд.
Число колебаний звука, создаваемого
сиреной (см. § 25), так же легко определить,
если сирена или двигатель, приводящий ее во
вращение, снабжен счетчиком оборотов. Оно
определяется произведением числа отверстий
вращающегося диска на число оборотов в
секунду. Точность определения зависит от постоянства скорости
вращения.
Наиболее точные способы определения числа колебаний
камертона, являющегося эталоном частоты, основаны на применении
особого двигателя, получившего название фонического колеса.
Он состоит в основном из диска (ротора) с зубцами из мягкого
железа, вращающегося внутри неподвижного электромагнита
(статора), имеющего форму кольца с зубцами, расположенными на
внутренней стороне двумя параллельными рядами. На рис. 51
изображен только один ряд зубцов, видимый спереди. Все вти зубцы
представляют собой полюса одного и того же знака. Кольцевая
разрез поλΒ
Рис. 51.

100 Звук Гл. Ij
обмотка, проходящая между зубцами, как показано в разрезе
вдоль АВ, создает магнитный поток, замыкающийся через зубцы
электромагнита. Если питать катушку переменным током и в то
же время вращать ротор с такой скоростью, чтобы его зубцы
проходили мимо зубцов статора с частотой переменного тока
то между полюсами статора и зубцами ротора возникают силы,
стремящиеся сохранить постоянную скорость вращения. Эти силы
достаточны и для поддержания вращения фонического колеса с
постоянной скоростью, если довести эту скорость вначале до нужной
величины.
Для определения частоты колебаний камертона ток,
прерываемый камертоном N раз в секунду, проходит через обмотку
фонического колеса, поддерживая число его оборотов η таким, чтобы
N = nm, где т — число зубцов ротора. Число оборотов η может
быть точно измерено при помощи счетчика и с такой же точностью
может быть измерено и число колебаний камертона.
§ 15. Относительные измерения частоты.
Имея эталоны частоты, можно измерять частоту других
колебаний, сравнивая ее с частотой эталона. Если разность их частот
мала, то для определения ее пользуются биениями. Кениг исполь-
„ о зовал этот метод, приготовив
большое число камертонов,
причем соседние по частоте
камертоны отличались на че-
г-ь-і" тыре колебания. Для
измерения частоты тонов в различ-
Рис. 52. ных участках шкалы нужно
иметь набор камертонов,
являющихся производными эталонами с выверенными и тщательно
измеренными частотами. Для получения звуков любой высоты тона
необходимо пользоваться генераторами звука, частоту которых
можно непрерывно менять.
Для этой цели применяется часто монохорд, представляющий
собой тонкую струну, натянутую определенным грузом (рис. 52).
Длина колеблющейся части определяется расстоянием между
остриями двух призм А и В. Натяжение Ρ и длина / струны
определяют частоту колебаний. Для ее изменения меняют длину,
пользуясь передвижной призмой С. Сравнивая с эталонными
камертонами (по методу биений), можно точно определить частоту для
нескольких положений призмы С. Такая градуировка монохорда

§ 15 Относительные измерения частоты 101
достаточна для определения любой промежуточной частоты по
длине АС и при помощи интерполяции вычислением или из
графика, построенного по точкам, полученным при градуировке.
Весьма употребительно также применение электрического
генератора звуковой частоты. Переменные токи, генерируемые ими,
превращаются в звуковые колебания при помощи телефона или
громкоговорителя (репродуктора). Частота колебаний изменяется
обычно при помощи конденсатора переменной емкости, причем
градуировка его производится так же,
как и монохорда.
Нередко звуковые колебания
превращаются в колебания
электрического тока при помощи микрофонного
приемника. Для измерения частоты
электрического тока имеется много
способов. Удобный технический часто- Рис 53.
томер Гартмана и Кемифа для
измерения небольших частот состоит из набора пружин „язычков",
закрепленных с одного конца, причем частота их подобрана так, что
соседние язычки отличаются на одно колебание. Так как пружины
делаются из магнитной стали, то электромагнит, через который
пропускается ток, приводит в колебания те из них, с которыми
проходящий ток находится в резонансе. По амплитудам соседних
язычков можно оценить число колебаний тока до долей одного
колебания в секунду.
На рис. 53 представлены положения концов этих пружин в
некоторый момент времени и обозначены амплитуды колебаний.
Для определения частоты может служить также вибрационный
гальванометр. Катушка его, подвешенная на натянутой упругой
нити (или тоненькой ленте), имеет собственный период колебаний,
который можно изменять при помощи приспособления, плавно
меняющего натяжение нити. Если период колебаний тока совпадает
с периодом собственных колебаний гальванометра, амплитуда
достигает максимума. Гальванометр должен быть тщательно
отградуирован.
При колебаниях высокой частоты, например при
ультразвуковых, частота электрических колебаний может быть измерена при
помощи электрических волномеров (см. гл. III) иди при помощи
гетеродина, т. е. вспомогательного генератора, дающего
колебания известной частоты, с которыми измеряемые колебания
образуют биения звуковой частоты. Последняя может быть в свою

102
Звдк
Гл. II
очередь измерена каким-либо акустическим или электрическим
методом.
Для сравнения колебаний не близкой частоты, но при отношении
частот, выражаемых простыми^циональными дробями, пользуются
фигурами Лисажу. Для простых отношений чисел колебаний
фигуры Лисажу известны. Если отношение точно равно одной из
простых дробей, то фигура сохраняет свою форму.
Если имеется некоторое отклонение от простого отношения, то
фигура меняется во времени, проходя все формы,
соответствующие разностям фаз между 0 и 2π. Эти изменения совершенно
аналогичны биениям при совпадении частот. По числу таких „биений"
можно определить, насколько отличается числитель или
знаменатель отношения частот от величины, соответствующей простому
рациональному отношению. Некоторое затруднение представляет
определение знака поправки, необходимой для получения
неподвижной фигуры. Для определения того, является ли измеряемая
частота большей или меньшей эталонной в случае фигур Лисажу,
также как и в случае биений, необходимо слегка уменьшить число
колебаний источника (например, в случае камертона, приклеивая
к его ножке кусочек воска) и найти происходящее при этом
изменение числа биений.
Фигуры Лисажу могут быть получены в случае механических
колебаний непосредственно, если колеблющиеся тела снабжены
зеркалами, отражающими луч света, как показано на рис. 14, но
если механические колебания превращены в электрические, то
фигуры Лисажу могут быть получены на экране катодного
осциллографа.
Весьма удобны и точны стробоскопические методы
наблюдения колебаний, основанные на применении периодического
кратковременного освещения колеблющегося тела. Положим, что
колеблющийся камертон освещается не все время, а только в те
моменты, когда колебания его имеют определенную фазу. Для
этого необходимо производить весьма кратковременное освещение
камертона столько раз в секунду, сколько он совершает колебании.
Камертон будет казаться нам неподвижным, застывшим в
определенной фазе колебания. Но стоит несколько увеличить число
освещений, как он начнет двигаться. При каждом новом освещении
фаза колебаний будет несколько иная и перед нашими глазами
будут проходить последовательно все фазы колебаний. Это
движение может быть слелано сколь угодно медленным и может
происходить в прямом или в обратном направлении.

§ 16 Исследование состава сложных звуков 103
Стробоскопический метод измерения числа колебаний требует
точного знания числа прерываний освещения. Обычно это
достигается применением вращающегося диска со щелями или камертона.
Если снабдить диск равноотстоящими щелями, расположенными по
одной из концентрических окружностей, то свет от точечного
источника, сфокусированный в точке этой окружности, будет
проходить через отверстия определенное число раз в секунду, равное
произведению числа отверстий на число оборотов диска. Можно
применить этот диск также для наблюдения сквозь его отверстия
колеблющегося тела при постоянном освещении. В том и другом
случае можно подобрать скорость так, чтобы колеблющееся тело
казалось неподвижным. Если измерить число оборотов диска, то мы
определим с той же точностью число колебаний; обратная задача,
определение скорости вращения, решается, если точно известно
число колебаний.
Прерывистое освещение можно осуществить и другими
способами. Для этой цели служит например применение щели с
заслонкой, которая приводится в колебания камертоном, или
периодическое вспыхивание электрической лампы (для чего особенно
пригодны газовые лампы) при кратковременном замыкании тока в цепи.
§ 16. Исследование состава сложных звуков.
Простые гармонические колебания, дающие чистые музыкальные
тона, получаются только от специальных источников звука. К ним
в первую очередь принадлежит камертон, затем специальные виды
сирен, имеющие отверстия особой формы, электрические
генераторы звуков при надлежащем выборе условий генерлрования и
электрической схемы. В большинстве случаев, однако, колебания,
сохраняя периодичность, имеют сложную форму.
Если колебания имеют достаточно большую амплитуду, то
наблюдение какой-нибудь ярко освещенной точки во вращающемся
зеркале, позволяет субъективно наблюдать форму колебаний.
В случае малой амплитуды применяются различные способы
механического и оптического увеличения амплитуды (механические и
оптические рычаги). Например, для исследования формы колебаний
телефонной мембраны применялось маленькое треугольное
зеркальце т (рис. 54), укрепленное на натянутой ленте О из
фосфористой бронзы, образующей ось вращения зеркала. Луч света 5,
отраженный от зеркала, которое острым концом упирается в
мембрану D, записывает на движущейся фотографической ленте
колебания в увеличенном виде.'

104
Звук
Гл. II
А.
т
Οι
Рис. 54.
Эти механические осциллографы в настоящее время
вытесняются электрическими, которые обнаруживают форму колебаний
после превращения их из механических в электрические. В
осциллографах этого типа электрический ток проходит по проволоке,
помещенной в сильное постоянное
магнитное поле, и сообщает ей
колебательное движение, которое при
помощи различных оптических
приспособлений проектируется на
вращающееся зеркало, или на движущуюся
фотографическую бумагу (осциллограф
Дудделя или Сименса, струнный
гальванометр Эйнтговена и др.). Все эти
осциллографы обладают инерцией,
которая проявляется особенно сильно
в случае высоких частот. Поэтому для частот в 104 колебаний
и выше приходится применять катодный осциллограф,
в котором пучок катодных лучей совершает колебания под
влиянием поперечного электрического и магнитного поля и записывает
колебания на флюоресцирующем экране, или на фотографической
бумаге. Электроны катодного пучка обладают столь большой
скоростью, что и при очень больших частотах колебаний форма их
воспроизводится без искажений.
Примером записей, дающих представление о форме колебаний,
могут служить кривые на рис. 55, полученные при записи звука „а"
при пении различных нот, т. е. при
различной высоте тона.
Такие кривые должны
подвергнуться обработке, если мы желаем
воспользоваться ими и для определения
состава звука. Эта обработка
заключается в выделении основного тона и
обертонов, определении их амплитуд
и разностей фаз. Все это дает гармонический анализ, т. е.
применение метода Фурье, или механических приборов, производящих
механическим способом вычисление амплитуд основного тона и
обертонов.
Весьма удобно производить анализ состава звука, пользуясь
различными резонансными способами выделения тех или иных
составляющих тонов сложного колебания. Для этого служат
воздушные резонаторы Гельмгольца, о которых будет речь в следующем
wm
Л/і^пАІЦляД^
Рис. 55.

§ 17 Резонаторы Гельмгольца 105
параграфе, или какие-нибудь электрические методы анализа сложных
колебаний, если звуковые колебания можно превратить в
электрические, сохраняя неизменным их состав.
:: По предложению П. Н. Лебедева для получения спектра
ультразвуков, создаваемых высокочастотным дуговым разрядом, В. Альт-
бергом был применен метод диффракционной решетки,
который позволил произвести измерения длины волн при частоте
330000 колебаний в секунду.
От присутствия обертонов зависит тембр звука. Большее или
меньшее богатство обертонами (например присутствие высоких
обертонов, которые сообщают звуку металлический характер)
отличает звук различных музыкальных инструментов, человеческого
голоса и т. д.
§ 17. Резонаторы Гельмгольца.
Среди резонаторов, которые служат для анализа сложных
звуков, особенное значение приобрели замкнутые полости, которые
сообщаются с атмосферным воздухом через отверстие в стенке.
Такие резонаторы имеют период колебаний, зависящий от объема
воздушной полости, от формы отверстия и от природы газа. Когда
звуковые волны падают на резонатор, то они возбуждают
колебания, при которых воздух, заключенный внутри полости, испытывает
сжатия и разрежения, вызываемые периодическим втеканием и
вытеканием воздуха через отверстие. При резонансе амплитуда до*
стигает максимума и, если затухание собственных колебаний мало,
то она во много раз превосходит амплитуду приходящих волн.
Мы уже встречались с воздушными резонаторами в форме труб
(метод Кундта), когда длина волны основного колебания того же
порядка, что и длина трубы. В отличие от этого резонаторы,
которые мы здесь рассматриваем, имеют линейные размеры во много-
раз меньшие, чем длина волны λ. Вследствие этого в полости не
образуются узлы и пучности стоячих волн, и воздух в ней во всех
точках испытывает одинаковое сжатие и соответственно этому
изменение давления. Этот тип воздушных резонаторов применен
впервые Гельмгольцем для исследования сложных звуков, в виду
очень малого затухания их колебаний. Большинство других
воздушных резонаторов являются сильными излучателями звука и
применяются как источники звуковых волн (например органные
трубы). Это влечет за собою значительную потерю энергии
звуковых колебаний, и вследствие этого увеличенное затухание. В
резонаторах Гельмгольца (рис. 56) отверстие, через которое полость

J06
Звук
Гл. II
сообщается с внешним воздухом, мало, и поэтому и излучение
колебаний внутри полости очень невелико. Вследствие этого при
приближении к резонансу амплитуда нарастает круто, и резонансные
кривые (§ 15) отличаются остротой своего максимума. Острота
резонанса указывает на то, что относительно большие амплитуды
получаются только при таких частотах приходящих колебаний,
которые мало отличаются от резонанса, т. е. резонаторы реагируют
только на колебания, заключенные в очень узком участке спектра
частот, и амплитуда приходящих колебаний внутри резонатора
испытывает значительное усиление.
Форма полости может быть какой угодно. Гельмгольц
пользовался резонаторами сферической и цилиндрической формы.
Отверстие в стенке имеет форму более или менее короткой трубки (шейка
резонатора). Процесс колебаний заключается в переходах
потенциальной энергии сжатого или разреженного газа в кинетическую
энергию струи газа, проходящей через отверстие и обратно. Если
считать, что заметные скорости движения газ имеет только внутри
шейки, то нетрудно найти величину его кинетической энергии, так
как скорость тока газа внутри цилиндрической шейки во всех
точках одна и та же. Это не совсем точно для точек вблизи
концов, как внутри шейки, так и вне ее. Струя, выходящая из
отверстия, расширяется постепенно, и поэтому скорость движения
уменьшается постепенно. Это влечет за собой как. бы увеличение длины I
шейки, которую нужно заменить, как показывает теория,
величиной /-(-«, где α „поправка конца", зависящая от радиуса R
отверстия. При круговом сечении трубки α = 0,6R, если длина трубки
значительно больше диаметра. Если же I равно нулю, то поправка
π η
заменяет длину и равна — к.
Потенциальная энергия газа при сжатии определяется
изменением его объема или изменением его давления. Так как сжатие
происходит адиабатически, то давление Ρ и объем V газа связаны
формулой РѴ — const. В таком случае между изменениями давле"
ния и объема существует отношение
4 Δ V
bP=--iP-y-, (6)
если эти изменения малы. Работа, которая совершается при
сжатии, может быть вычислена следующим образом. Пусть Δ Ρ есть.
разность давления внутри полости и снаружи, тогда сила, которую
нужно преодолеть движущейся в шейке резонатора массе Μ газа

§17
Резонаторы Гелъмголъца
107
равна S&P, а работа — S&P· dl, где dt есть перемещение массы М,
а S—площадь поперечного сечения шейки. Но Sdi есть не что
иное, как изменение объема dV, поэтому элементарная работа
сжатия, или изменение потенциальной энергии объема V газа,
равна -—bP'dV. Подставляя полученное выше выражение для
ΔΡ, найдем, что изменение потенциальной энергии при
перемещении d £ газа в шейке равно
ifbVdV. (7)
В этой формуле Δ V есть полное изменение объема газа
вследствие перемещения £, a dV его приращение при приращении
перемещения на d% т. е. dV=d{b.V).
Если Δ V есть максимальное сжатие, но еще столь малое, что
можно считать давление Ρ и объем V очень мало отличными от
начальных, то для максимальной потенциальной энергии находим
интегрированием формулы (7)
w^HnF5*-. (8)
Максимальная кинетическая энергия массы Μ газа равна
*-*-И£)"
где масса Μ равна объему газа в шейке SI (I—длина шейки),
умноженному на плотность ρ газа, т. е. M—Slp. Но если частицы
газа совершают гармонические колебания с амплитудой а, то, как
мы знаем, амплитуда их скорости в <ο = 2πΝ раз больше ампли-
туры перемещения, и, следовательно, максимальные значения
перемещения S и скорости -у? равны соответственно а и α ω.
Поэтому приравнивая максимальную потенциальную энергию
максимальной кинетической, найдем
■l£s»aB = -|-S/pae«A (9)
Из этого уравнения, мы получаем величину круговой частоты

108
Звук
Гл. Π
Если мы вспомним, что скорость звука в газе о = Ί/ , то
для частоты ω находим окончательно такую формулу:
Таким образом частота ω, а, следовательно, и число колебаний
N в сек. пропорционально квадратному корню из площади
отверстия или сечения шейки, обратно пропорционально тому же корню
из длины шейки и объема полости. Длину шейки нужно брать,
как уже было указано, с поправкой для ее концов, и если / = 0,
тс
то заменить ее через тг R.
Полученная нами величина частоты является основной для
резонатора. При выводе ее мы предполагали, что внутри резонатора
везде давление одно и то же. Возможны, конечно, такие
колебания, когда внутри резонатора образуются узлы и пучности стоячих
волн, как в трубе, но частота колебаний этих обертонов обычно
значительно больше, чем основного тона, и мы их рассматривать
не будем.
Резонаторы, имеющие шаровую форму, обычно, кроме шейки,
как показано на рис. 56 (форма 1), имеют еще конической формы
трубку, которая вставляется в ухо для субъективных наблюдений.
Каждый такой резонатор сделан для определенной частоты
колебаний, которые они должны усиливать. Для того, чтобы
исследовать какой-нибудь участок спектра звуков, необходимо иметь
большой набор таких резонаторов. Вместо этого можно пользоваться
резонатором, плавно настраивающимся на любую частоту в данном
участке. Обычно такие резонаторы имеют цилиндрическую форму
вроде той, что изображена на рис. 56 (форма 2), т. е. состоит из
двух вдвигающихся один в другой цилиндров, образующих
переменный объем.
Движение частиц газа происходит главным образом в шейке
резонатора, поэтому прибор, который служит для измерения или
обнаружения колебаний, лучше всего поместить в шейку, если этот
прибор реагирует на скорость движения. В этом отношении удобен
двойной резонатор Бойса [рис. 56, (форма 3)], состоящий из двух
полостей, связанных между собой шейкой и настроенных в
резонанс. Особенное усиление получается, если второй резонатор имеет
начительно больший объем, чем первый,

§ 18 Голос и состав гласных звуков 109
При помощи резонатора Гельмгольца легко обнаружить такие
звуки, квторые не воспринимаются невооруженным ухом, или же
выделить слабые составляющие сложного звука. При пользовании
им для субъективных наблюдений можно произвести качественный
анализ. Количественные результаты можно получить, если
измерить величину амплитуды в
шейке резонатора
каким-нибудь объективным методом.
Другое применение,
которое находит резонатор
Гельмгольца, имеет целью
усиление чистых тонов,
испускаемых источниками
звука. Например, если поднести звучащий камертон к отверстию
резонатора, то сила звука заметно увеличивается. Это усиление
происходит за счет более быстрого затухания колебаний
камертона. Хотя колебания в резонаторе происходят лишь под действием
камертона, но это действие не одностороннее. Резонатор так же
высасывает энергию из камертона. Механизм этого взаимодействия
заключается в том, что колебания резонатора, действуя на
камертон, уменьшают его колебания. Это действие различно в
зависимости от длины волн, расстояния между резонатором и
источником звука и от типа самого источника.
§ 18. Голос и состав гласных звуков.
Источником звука у человека являются голосовые связки,
образующие голосовую щель, через которую с большей или меньшей
силой продувается воздух. В зависимости от скорости выходящей
струи воздуха, величины отверстия щели и от натяжения
голосовых связок звук имеет ту или иную высоту основного тона. Но,
кроме того, в нем содержится большое число обертонов и
непрерывный спектр звуков, который получается особенно ясно при
выдыхании струи воздуха через открытую голосовую щель при
натянутых голосовых связках, когда мы говорим шопотом. Но из
этого сложного звукового комплекса резонаторы, образуемые
полостью глотки, рта и носа, выделяют некоторые тона, которые и
сообщают звукам речи тот или иной оттенок, характерный для
различных гласных звуков. Таким образом, каждый гласный звук
кроме богатого спектра частот, создаваемых связками голосовой
щели, содержит один или несколько тонов, так называемых „фор*
мант".

110
Звук
Гл. II
Для некоторых гласных, например, „ а" „о" и „у", находят лишь
одну основную форманту, имеющую частоту около 930, 466 и 170
колебаний в секунду. Для других основными формантами являются
по два тона: для „е"— с частотами 350 и 1860 кол. и для „и" —
176 и 2376 кол. Эти форманты слышатся особенно хорошо при
произнесении шопотом гласных, когда голосовые связки не
участвуют в воспроизведении звука. При обычном разговоре
присоединяются еще тоны, создаваемые колеблющимися связками, которые,
однако, не уничтожают формант.
Образование формант связано, как уже говорилось, с формой
полости рта, горла и носа, которые участвуют в процессе речи.
Например, в случае произнесения звука „у„ мы вытягиваем губы
и уменьшаем отверстие рта. Этим мы изменяем, согласно теории
резонаторов Гельмгольца, длину / шейки резонатора и величину S
ее сечения, и понижаем основной тон резонатора. При
произнесении „а" мы открываем широко рот, повышая тон форманты. При
произнесении гласных с двумя формантами образование их
связано с разделением рта на две полости при помощи языка.
Кроме главных формант имеется еще целый ряд более слабых,
которые могут играть все же заметную роль в образовании
гласного звука. Понятность речи связана с присутствием
преимущественно высокочастотных составляющих, от 500 до 4000
колебаний в сек. Можно устранить из речи все звуки ниже 500 кол. и от
этого речь не потеряет своей понятности. Но устранение
высокочастотных составных частей делает разговорную речь
неразборчивой, даже при большой громкости низких тонов.
§ 19. Запись в воспроизведение звука.
Первые попытки записи звука для его последующего
воспроизведения были сделаны в 1864 г., но только Эдиссону в 1877 г.
удалось найти способы решения этой задачи, которые сохранили
свое значение и до настоящего времени. Колеблющаяся мембрана
с острием записывает на поверхности, покрытой слоем воска, свои
колебания. В настоящее время с этого „оригинала" снимаются
копии в виде металлических клише, которые дают оттиски на
пластинках из специальной массы. Если острие иглы проходит по
бороздке, которая получилась в результате записи звука, то
мембрана, с которой связана игла, совершает колебания, довольно
точно воспроизводящие первоначальные звуковые колебания. Такова
в основном идея граммофонного воспроизведения звука.

§ 19 Запись и воспроизведение звука Л J
Качество передачи зависит от того, насколько удается
воспроизвести форму сложных колебаний, которые записаны на пластинке.
Необходимо, чтобы искажения формы колебания были возможно
малы, т. е. чтобы и при записи и воспроизведении различные
гармонические колебания, из которых состоят сложные колебания,
передавались с той же относительной величиной амплитуды. При
этом необходимо, чтобы эта независимость от частоты относилась
к амплитуде скорости колеблющейся мембраны, а не ее
перемещений. Как мы увидим далее, количество испускаемой энергии
пропорционально квадрату скорости мембраны, и поэтому необходимо,
чтобы именно скорости воспроизводились без искажения. Что же
касается амплитуд перемещения, то они при равных энергиях
звуковых волн, испускаемых мембраной, будут обратно
пропорциональны частоте их колебаний.
Если мембрана имеет собственные колебания вблизи какой-
нибудь из воспроизводимых частот, то вследствие резонанса
частоты, близкие к собственным колебаниям, будут усиливаться, что
повлечет за собой искажение тембра звука. Таким образом,
необходимо, чтобы во всем спектре звуковых частот, передача
производилась без избирательного усиления амплитуд в каком-либо
участке его.
Требования точного воспроизведения еще более усложняются,
если от механического воспроизведения звука переходят к
электрическим методам. Например, игла граммофона может быть не
связана непосредственно с мембраной, а приводить в движение
катушку, которая находится в магнитном поле, создаваемом магнитами.
При передвижении катушки в ней индуктируются электрические
токи, пропорциональные скорости движения острия. Эти токи
усиливаются и поступают в громкоговоритель или в случае
радиопередачи в антенну. Необходимо, чтобы при всех этих
преобразованиях токи всех частот воспроизводились с одинаковой
относительной амплитудой, и амплитуды скоростей мембраны телефона или
громкоговорителя также без искажения передавали колебания токов.
Особый вид записи звуков для воспроизведения представляет
собой звуковая фильма, соединяемая обычно с кинофильмой. Пучок
света, падающий на движущуюся пленку, дает на ней изображение
узкой щели, но яркость света меняется пропорционально
интенсивности звуковых колебаний. Обычно такое изменение или
модуляция светового пучка производится при помощи микрофонных
токов, возбуждаемых падающими на микрофон звуковыми волнами.
Способы воздействия на световой пучок могут быть весьма

112 Звук Гл. Ц
различны. Один метод, часто применяемый на практике,
заключается в том, что колебания тока вызывают перемещения легкой
заслонки, которая экранирует часть пучка световых лучей.
Перемещения экранирующей заслонки пропорциональны силе тока
вследствие чего и изменения силы света могут быть сделаны точно
пропорциональными силе тока. Другой метод заключается в том
что токи проходят через специальные газовые лампы, сила света
которых изменяется пропорционально силе тока.
Колебания яркости фотографического изображения на пленке
должны в точности соответствовать колебаниям силы звуковых
волн. Для воспроизведения звука свет, проходящий через фильму,
попадает в фотоэлемент и создает колебания электрических токов,
пропорциональных силе прошедшего света. Остается после
усиления тока, создаваемого фотоэлементом, пропустить его через
громкоговоритель, чтобы воспроизвести первоначальный звук.
Также как и в граммофонной передаче, нужно добиваться того,
чтобы все составляющие сложных звуков передавались с
сохранением их относительных амплитуд, т. е. чтобы не было искажения
состава колебаний, а, следовательно, и тембра звука. Как
механические, так и электрические резонансы в применяемых приборах
в равной мере опасны и являются причиной искажений передачи
звука.
§ 20. Сила звука.
Сила звука, как определенное ощущение, характеризующее
данные звуковые колебания, с трудом поддается количественной оценке.
Особенностью субъективного восприятия силы звука является
прежде всего существование порога слышимости. Для каждого тона
существует некоторая минимальная амплитуда давления звуковых
волн или энергия приходящих волн, которая еще вызывает
ощущение звука. Другой особенностью звуковых восприятий является
закон Вебера-Фехнера. Согласно этому закону, для того, чтобы
заметить на слух усиление звука, нужно увеличить энергию
звуковых волн на некоторую величину 8и, пропорциональную величине
самой энергии и. Чем больше энергии и, тем больше должно быть
приращение ее δ и для того, чтобы вызвать ощущение заметного
усиления звука. Постоянным остается отношение —,
определявшееся неоднократно для различных условий. При отсутствии
посторонних звуков это отношение для звуков различной частоты
в пределах от 100 до 3000 колебаний в секунду почти одинаково и

§20
Сила звука
713
составляет 0,1. Однако эта величина имеет место только для
музыкальных звуков определенной высоты тона. В случае шумов это
отношение значительно больше и достигает 0,3. Для очень слабых
звуков зависимость приращения ощущения от приращения
звуковой энергии выражается более сложно.
Таким образом непосредственный опыт позволяет установить
ряд субъективных градаций силы звука от порога слышимости до
тех предельных сил звука, которые вызывают ощущение давления
или боли и за которыми не ощущается усиления звукового
ощущения. Так например, при 1000 колебаний в сек. можно было
установить 400 градаций силы звука, причем верхний предел силы
звука был в 1012 раз больше порога слышимости. Однако
обычно принято выражать зависимость ощущения от силы звука
математической формулой
и
где &S обозначает приращение ощущения, а 8 ц — энергии
звуковых волн. Эта зависимость выражается также конечной формулой
S = α In ц.
Указанные здесь результаты получены при отсутствии
постоянных мешающих звуков. Влияние этих последних весьма важно,
когда нужно слышать звук определенного тона, на фоне других
звуков. Специальные опыты установили, что присутствие второго
тона уменьшает чувствительность уха к слабым звукам. Это
„маскирование" при сильных мешающих звуках, повидимому, сильнее
для звуков более высоких, чем мешающий тон.
Несмотря на важность субъективной оценки силы звука, которой
мы пользуемся при наблюдениях, все же количественное
определение силы звука должно быть свободно от субъективных
элементов. Поэтому везде, где мы говорим о силе звука, нужно
пользоваться для ее измерения количеством энергии, которую приносят
звуковые волны в единицу времени на единицу поверхности,
перпендикулярную к направлению распространения волн. Таким
образом, единицей силы звука мы будем считать 1 эрг/слі3.сек.
Положим, что а амплитуда колебаний частиц воздуха (.или
другой среды, в которой распространяется звук) в плоской волне и
ω частота колебаний. Тогда перемещение
ξ = a sin (<of — kx),
а скорость частиц
\ = ω a cos (»f — kx).
8 Зак. 2408. Курс физики.

114
Звук
Гл. II
Плотность кинетической энергии в точке χ и в момент t равна
4 р$2 = 4 Ρ<»2α2 cos2 (ω ί — Α*) = —· ρω^α2 [1 + cos 2 (ω ί — kx)\
Таким образом, средняя величина кинетической энергии, равная
постоянной составляющей написанного выражения, есть -т- рш2 а2.
Но, кроме кинетической энергии, мы имеем в волне еще
потенциальную энергию сжатия. Относительная величина сжатия равна
d& \ d% ш, /·„.
-г--= тт. Мы видели выше, формула (о), что потенциальная
αχ ν at
энергия сжатия равна
w^m
ношение
где Δ V— изменение объема, равное g?£, а V— объем слоя газа dx.
Разделив на V, найдем плотность энергии сжатия, равную
2 (dx) ~ 2 \dxj% 2\dt)'
так как υ — скорость звука, согласно (3), связана с давлением и
плотностью формулой г>2р = Р"[, а с другой стороны, имеем соот-
г»2 (-j- J =*= I -г- ] . Таким образом, плотность
потенциальной энергии равна плотности кинетической и, следовательно"
среднее значение полной _ энергии равно -у ρω2 α2, т. е. в два раза
больше вычисленной выше величины средней кинетической энергии.
Для того, чтобы определить количество энергии, попадающее
в единицу времени на 1 см2, мы должны умножить плотность
энергии (энергию в единице объема) на скорость ее распространения ѵ.
Это и будет силой звука /, равной
I=Ѵ-^. (11)
Та же величина может быть представлена через амплитуду
давления. Так как
то плотность потенциальной энергии равна
г,2р Ι<Κγ_ν2ρ (dPf _ 1 (dPf
dx) 2 Ρ2τ2 2 po2 '

§21
Измерение силы звука
115
а полной в два раза больше. Если обозначим через ΔΡ амплитуду
давления, то средняя величина квадрата колебаний давления равна
— ΔΡ2, поэтому средняя величина плотности энергии равна
1 (АР)"
"2" —ξ- , а сила звука
2 ρ о'
ри
(12)
На рис. 57 изображена диаграмма, характеризующая
субъективные восприятия звуков разной высоты и силы. Наибольшая чув-
10 го 50 то гоо доо іооо то то гоооо таоо Ж
- 10000 50000 се*
——*~ оысота тона
Рис. 57.
ствительность или самый низкий порог слышимости наблюдается
при 2500 колебаний в секунду, когда порог силы звука имеет величину
10"~9. Наибольшая сила звука или порог ощущения давления при
этой частоте 105, т. е. в 10й раз больше порога слышимости звука.
Пунктирные линии проведены для одинаковых субъективных гром-
костей, определяемых по числу минимальных градаций звука от
порога слышимости. Число этих градаций и соответствующее им
усиление энергии приходящих волн обозначено на диаграмме справа
и слева на соответствующей линии.
§ 21. Измерение силы звука.
Абсолютные измерения силы звука представляют чрезвычайно
трудную задачу. Значительно проще разрешается задача сравнения
силы различных звуков одинаковой частоты. Для этого достаточно
измерять амплитуду колебаний какого-нибудь прибора, на который
падают звуковые волны. Для усиления действия волн прибор на-
8*

116
Звук
Гл.11
страивают в резонанс с приходящими волнами. Всякий „приемник"
звуковых волн может служить для относительных измерений. Для
того, чтобы перейти от относительных к абсолютным измерениям,
нужно знать отношение амплитуды прибора к амплитуде звуковых
волн, а также влияние прибора на распределение амплитуд в
окружающем его пространстве, так как прибор является преградой для
звуковых волн и может оказать заметное влияние на
распространение волн. Но и относительные измерения для волн разной
частоты требуют весьма осторожного отношения, так как все факторы,
влияющие на показания
прибора, могут изменяться при
переходе к звукам другой
частоты.
Одним из самых надежных
методов измерения звуковых
энергий является метод диска
PeJUJfe Сущность этого метода
явствует из рис 58, который
изображает линию потока жидкости или газа, если в него
помещена пластинка, составляющая с направлением потока
некоторый угол. Жидкость обтекает пластинку и линии тока
искривляются, как показано на рисунке. В точках А~и В, где линии
тока оканчиваются, как бы пересекая поверхность пластинки
скорость частиц должна быть равна нулю. Из теории потоков
в жидкости известно, что в точках с наименьшей скоростью,
давление в жидкости имеет наибольшую величину и, следовательно,
в точках А и В пластинка должна испытывать наибольшее давление.
Такое распределение давлений создает пару сил, момент которой
может быть вычислен для простых форм пластинки. Так для
круглой пластинки радиуса а, при скорости потока ѵ, плотности
жидкости ρ и угле θ между нормалью к пластинке и направлением
скорости потока, величина момента Μ равна
M=^rpas ν* sin2 2Θ.
Так как момент пропорционален квадрату скорости, то при
перемене направления скорости ν величина и знак момента Μ не
меняется. Если скорость частиц газа изменяется по
синусоидальному закону, то она принимает как положительные, так и
отрицательные значения, что, однако, не изменяет направле-

§21
Измерение силы звука
117
ния вращающего момента. Положим, что г> = z>0 sin ω ί, и,
следовательно,
и2 = γ V (1 — cos 2«>jf).
Очевидно, что момент Μ содержит постоянную составляющую,
равную
A/o = |-pa4ssiii228.
и переменную, пропорциональную cos2«f. Вследствие большой
инерции диск не может совершать колебания с звуковой частотой
и будет, следовательно, устанавливаться под действием постоянного
момента М0. Устойчивым положением диска под действием звуковых
волн будет такое, при котором направление распространения волн
перпендикулярно к плоскости диска (2θ = π). Наибольший момент
получается при 2Ѳ = 90°, т. е. когда плоскость диска составляет
с направлением волн угол 45°.
Если легкий диск, подвешенный на нити, поместить на пути
распространения волн, то он будет стремиться повернуться в свое
устойчивое положение и закручивать нить. Определить величину
момента Μ можно по углу, на который закручивается нить при
повороте диска, для чего· с ним скреплено зеркальце, позволяющее
определить величину угла по методу зеркального отсчета.
Для увеличения чувствительности этого способа измерения силы
звука диск помещается внутри резонатора в место, где скорость
движения газа достигает максимума. Для этой цели Бойс применил
описанный ранее двойной резонатор Гельмгольца, причем диск
помещался в шейке, соединяющей две полости резонатора. В таком
расположении чувствительность диска Рейли столь же велика,
как и наше ухо. Но это достигается за счет резонансного
усиления звуковых колебаний, и поэтому для всякой частоты резонатор
должен настраиваться. Устройство прибора в этом случае
изображено на рис. 59. Два настраивающихся резонатора 1 и II соединены
шейкой, в которой подвешен диск, снабженный зеркалом S. Угол
поворота определяется по шкале А, на которую попадают лучи,
идущие от лампы L и отраженные от зеркала S.
Основное требование, которому должен удовлетворять диск,
а именно, чтобы размеры его были малы по сравнению с длиной
волн, удовлетворяется сравнительно легко для обычных звуковых
волн. Но диск должен находиться в закрытой камере,
предохраняющей его от случайных потоков воздуха, и вследствие этого

118
Звук
Гл. II
определение абсолютных значений силы приходящего звука
становится затруднительным.
Другой способ измерения силы звука сводится к определению
давления волн на отражающую поверхность. Давление у
отражающей поверхности меняется вследствие происходящих здесь сжатий
и разрежений. Если бы эти изменения давления происходили по
синусоидальному закону, то
положительные изменения
компенсировались бы
отрицательными и среднее
изменение дав >ения было бы
равно нулю. Но
синусоидальность колебаний имеет место
только в первом приближе-
Рис. 5S. нии при малых амплитудах
колебаний. Во втором
приближении давление при сжатии возрастает сильнее, чем
уменьшается, причем разность давлений пропорциональна квадрату
амплитуды и поэтому в первом приближении отбрасывается, как
величина высшего порядка малости. Среднее давление на
отражающую поверхность пропорционально энергии волн, которая также
пропорциональна квадрату амплитуды.
Точная теория дает для газа величину давления, равную
Р = (1 + Т)ц, (13)
где и количество энергии, заключенной в единице объема, или
плотность энергии, а γ показатель адиабатического сжатия.
Поэтому, если определить величину давления, то не трудно перейти
к силе звука, т. е. к величине энергии волн, падающей на единицу
поверхности в 1 сек. Умножая плотность энергии на скорость
звуковых волн, мы получаем силу звука / согласно определению
I=ѵи и, следовательно ввиду формулы (13) получаем
°Р (14)
Этот способ измерения силы звука впервые по мысли П. Н.
Лебедева был применен В. Альтбергом. Звуковые волны падали наг
поверхность диска, который входил с небольшим зазором в
круглое отверстие плоской стены и укреплялся на конце коромысла
крутильных весов, подвешенного на тонкой кварцевой нити.
Закручивая нить вращением головки весов, к которой прикреплялась
нить, можно было возвращать крутильные весы и диск в перво-

§21
Измерение силы звука
119
начальное положение и определять по углу кручения величину
давления на поверхность диска.
Метод, описанный здесь, может быть назван методом
звукового радиометра. Он применялся впоследствии неоднократно
для измерения абсолютных значений силы звука как в воздухе,
так и в воде, например Ланжевеном, измерявшим этим способом
мощность излучаемых ультразвуковых волн. Но применение его
возможно только при больших силах звука.
Сравнение силы звука, испускаемого различными источниками,
производилось различными исследователями при помощи приборов,
в которых измерялись амплитуды колебаний тонкой мембраны или
легкого диска, причем колебания эти могли быть наблюдаемы
или записывались на фотографической ленте при помощи
зеркального отсчета.
Все виды микрофонных приемников могут служить для
измерения амплитуд колебания, если они проградуированы. В последнее
время особенно часто применялся тепловой микрофон, в котором
измеряется охлаждение проволоки,
нагреваемой электрическим током, когда эта
проволока находится в поле звуковых
волн. Впервые этот метод применен был
для обнаружения выстрелов орудий на
больших расстояниях. Для этой цели
очень тонкая проволочка w (Волласто-
нова нить, толщиной в 1 μ) помещалась
вблизи шейки Гельмгольцева резонатора,
настроенного на высоту
соответственного звука. Проволочка ги впаивалась в Рис. 60.
стеклянный стерженек ааг и
припаивалась концами к серебряным электродам в виде колец В,
изолированных друг от друга слюдяным кольцом А (рис 60). Для
настройки на звук выстрела, частота которого порядка 1 кол. в
секунду (инфразвук), приходилось брать резонаторы с объемом
в 10 — 20 литров. Чувствительность прибора такова, что
колебания от взрыва на расстоянии 400 км можно было легко обнаружить.
Для измерения звуковых амплитуд прибор градуируется при
помощи воздушных токов постоянной скорости. Постоянный
электрический ток, подогревающий проволочку, определяет
чувствительность прибора.- Обычно он доводит ее почти до красного
каления. При продувании воздуха со скоростью ν сопротивление
R уменьшается вследствие охлаждения проволочки на величину §R.

120
Звук
Гл. И
Это отклонение может быть измерено при помощи моста Уитетона
в одну из ветвей которого включается проволочка ζυ. Проверка
градуировки производилась при удалении источника звука
(камертона) на разные расстояния. Показания прибора оказались обратно
пропорциональными квадрату расстояния г и, следовательно, про-
порциональными силе звука. Нѳ во всяком случае показания дают
величину звуковой энергии внутри резонатора, а не в свободном
пространстве.
Метод измерения, предложенный Герлахом и Шоттки,
представляет пример нулевых методов. Очень тонкая металлическая
(алюминиевая) ленточка шириной в несколько миллиметров висит
в сильном магнитном поле. Звуковые волны приводят ее в
колебания, вследствие чего в ней индуктируются электрические токи.
Но если пропускать через ленту электрический переменный ток
той же частоты, что и звук, и подобрать надлежащим образом как
силу тока, так и его фазу, то можно достигнуть полного
уничтожения колебаний ленточки. Тогда, очевидно, электромагнитная сила,
действующая на ток в магнитном поле, полностью уравновешивает
силы давления на ленту, производимого звуковыми волнами. Таким
образом, абсолютная величина амплитуды звуковых колебаний
(давления) может быть найдена измерением амплитуды г0 тока и
величины магнитного поля Η по формуле
где δ — ширина полоски, а Р0 — амплитуда давлений звуковых волн.
§ 22. Источники ввука.
Прежде чем перейти к рассмотрению различных способов
возбуждать звуковые колебания, мы займемся выводом нескольких
общих результатов, применимых к различным частным случаям
испускания продольных волн. Случай поперечных волн мы не
будем разбирать, так как в звуковых явлениях он встречается
очень редко. "~
^Сначала мы займемся плоскими волнами, распространяющимися
вдоль оси х. Перемещения частиц будем, как и раньше, обозначать
буквой £. Мы уже знаем, что относительно· перемещение со знаком
Л
минус —-у- выражает сжатие в точке х. Эту величину для
упрощения письма в дальнейшем мы будем обозначать буквой s и будем
считать ее малой. Положим, что р0 плотность среды, в которой

§ 22 Источники звука J2J
распространяются волны, в состоянии покоя, а р — при сжатии
Изменение плотности ρ— р0, деленное на первоначальную
плотность Ро, будем также называть сжатием, так как легко доказать,
что оно тоже равняется s. В самом деле, представим себе тонкий
слой dx (рис. 61), ограниченный с боков цилиндрической
поверхностью, параллельной оси х, причем площадь
основания равна 1 си2. Масса среды, вошед- fa
шая через основание цилиндра χ внутрь, рав-
на ρϋ, а масса, вышедшая через другое
основание, x-\-dx, будет отличаться о г р£ на вели-
ад j к
чину приращения —\— dx, так как и плот-
«•2»*
ность ρ и перемещения частиц ξ будут различ- χ x*dx
ны в разных точках л:. Этот избыток массы, рис- ^
вышедшей из слоя, над массой, вошедшей
внутрь, равняется уменьшению массы внутри слоя вследствие
уменьшения его плотности, т. е. (р0 — p)dx. Таким образом,
d№) п п /ІѴ.
-&Г = Ро-?. (15)
Как величина перемещения, так и величина изменения
плотности суть величины малые, так как мы рассматриваем обычный
случай малых звуковых колебаний. Поэтому вместо р£ мы можем
подставить в нашу формулу р0£, заменив переменную величину ρ
ее средним значением Ро. Эти два произведения будут отличаться
на величину (р—р0)£, т. е. на величину второго порядка малости.
Произведя эту замену и разделив обе части равенства на р0, мы
получим доказательство нашего утверждения:
^=ioziL=_s. (16)
dx Po
Таким образом, плотность ρ в некоторый момент времени,
в некоторой точке χ будет иметь величину ρ = р0 (1 + s), причем s
зависит как от времени, так и от х, и выражает сжатия и
разрежения в среде при распространении волн.
Сжатия вызывают изменения давления Р, которые мы будем
обозначать символом ΔΡ, пропорциональные сжатию s. Множитель
пропорциональности зависит от упругости среды. В газообразной
среде при адиабатических сжатиях он равен, как мы знаем (стр. 76),
Ρϊ, в жидкости он равен упругости сжатия, которую обозначим
буквой к. В общем случае мы будем сохранять последнее
обозначение, т. е. считать, что
ЬР = кз. (17)

122
Звук
Гл. II
Мы видели также, что из уравнения плоской волны
\ = а sin ωίί I
можно получить простое отношение между величиной относитель-
ного перемещения—?— и величиной скорости —у—, а именно
Л 1 Л
s=—d^ = --df· \ <18>
Изменения давления ΔΡ вследствие этого пропорциональны
скорости частиц
кп k & d\ ,f-r- dl „.л.
Коэффициент в этой формуле может быть представлен в любой
из написанных комбинаций величин ѵ, к, р, так как скорость звука
равна «=1/ —.Этоткоэффициент, зависящий от физических
свойств среды, иногда называют волновым сопротивлением среды,
руководясь при этом некоторой аналогией между формулой (19)
и законом Ома. Если скорость среды считать аналогом плотности
электрического тока /, а изменение давления Δ/> —
электродвижущей силы Е, то рѵ — аналогично удельному сопротивлению г среды,
и выіненаписанная формула соответствует закону Ома
E = rj. (20)
Величина волнового сопротивления, как мы увидим далее,
играет важную роль во всех явлениях испускания волн. Например,
выражение для силы звука
/—«Φ—§ -^ К~Т> (2D
где произведение а« есть амплитуда скорости частиц среды,
соответствует выражению для мощности W, выделяемой током в виде
джоулева тепла, если /0 — амплитуда плотности тока, а Е0 —
амплитуда электродвижущей силы:
w==rJT ^ΤΊΡ (22)
Наиболее простое представление о механизме испускания
звуковых волн мы получим, рассматривая образование плоских

§ 22 Источники звука 123
волн в цилиндрической трубе, когда на одном ее конце поршень
заполняющий сечение S трубы, совершает периодические колебания
I = a sin a>t.
Прилегающие к поршню частицы среды, заполняющей трубу,
испытывают такие же перемещения. Одновременно в этом слое
вследствие сжатий и разрежений возникают колебания давления
Ь.Р, которые, как мы видели, пропорциональны скорости частиц:
ΔΡ==ϋρ_|_. (23)
Для поддержания колебаний поршня внешняя сила должна
уравновешивать эти колебания давления, т. е. должна иметь вели-
чину ΔΡ ■ S. Если за время dt перемещение поршня равно ■ , at,
at
то за то же время работа поршня равна
*Р.*4Л = Ц-|-)'Л. (24)
Мощность источника звука, т. е. производимая им в единицу
времени работа, равна
Svp і —τ— J = Svpa2®2
cos2 ω (t
υ
Мы уже неоднократно убеждались, что среднее значение
квадрата синуса или косинуса равно 1/2, и поэтому средняя мощность
равна
«2 ω2
Svp~-. (25)
Только что рассмотренный источник звука принято называть
простым или поршневым источником. Его способность
создавать колебания связана с теми изменениями объема среды,
которые он производит при колебаниях. Если а амплитуда
перемещения и 5 сечение трубы, то наибольшее уменьшение или
увеличение объема равно aS. Скорость, с которой происходят
изменения объема, имеет амплитуду au>S и называется силой
источника. Мы введем для нее особое обозначение A0 = a<s>S
и получим для мощности источника, излучающего волны вдоль
трубы, выражение
ѵ? А2
S 2
(26)

124
Звдк
Гл. //
Если op мы называем волновым сопротивлением
ѵр
среды, то -я-можно назвать волновым сопротивлением
трубы. Эта величина аналогична электрическому сопротивлению
проволоки, имеющей длину, равную единице, и поперечное сечение »S,
если удельное сопротивление ѵр.
Однако рассмотренный здесь пример не имеет практического
значения. Обычно распространение волн происходит в
неограниченной среде. Волны распространяются в ней во все стороны от
источника и по мере удаления амплитуда их становится все меньше.
На большом расстоянии от источника волновые поверхности будут
иметь сферическую форму, причем в центре этих сферических
волн будет находиться простой источник поршневого типа. Этот
случай испускания сферических волн представляет некоторые
особенности, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 23. Испускание сферических волн.
Простейшим источником волн будет в данном случае источник
поршневого типа, но несколько иного вида. Представим себе шар
радиуса г0, находящийся в начале координат. Пусть радиус его г0,
а, следовательно, и объем испытывают периодические изменения
Δ/·0 = a sin ωί.
Вследствие этого у поверхности шара образуются сжатия и
разрежения, которые вызовут распространение волн во всех
направлениях. Скорости частиц, прилегающих к поверхности шара, будут
иметь амплитуду αω, и сила источника будет по данному ранее
определению равняться (s = 4rcr0a)
А = 4тег02ао>. (27)
Представим себе две бесконечно близкие шаровые поверхности
с радиусами г и г -\- dr и найдем, каково будет сжатие s в шаровом слое,
заключенном между ними. Частицы среды, находившиеся в
состоянии покоя на первой поверхности, при колебаниях будут
смещаться, и при этом через шаровую поверхность будет проходить
в том или другом направлении некоторое количество материальных
частиц. Величину перемещения частиц мы будем теперь
обозначать Δ/·, так как перемещения происходят в направлении радиуса
г сферы. Если в некоторый момент времени через поверхность
сферы, величина которой равна 4«г2, прошли частицы, испытавшие
перемещение Δ/-, то масса, вошедшая внутрь слоя, равна 4π/·3Δ/·ρ,

§23- Испг/екание сферических волн 125
где ρ плотность среды. Для второй поверхности все величины,
входящие в это произведение, изменятся, так как они суть
функции от г и, следовательно, через вторую поверхность, имеющую
радиус r-\-dr, пройдет в направлении г (наружу) масса, равная
j
4π;·2Δ>·ρ -f- --т-(4иг2Агр)с//·.
Разность массы, вошедшей через первую поверхность и
вышедшей через вторую, равна изменению массы внутри слоя вследствие
изменения плотности ρ — Ро, а именно
— ^:(4«r2A7-p)ofr = (p — p0)4iWr. (28)
В левой части этого равенства можно заменить ρ его средним
значением р0, так как мы рассматриваем очень малые перемещения
Ал Тогда, разделив обе части на 4πρ0/·2Λ-, мы получим
-±^)='^ = s. (29)
Мы видим, что в сферических волнах связь между сжатием и
величиной радиального перемещения частиц более сложная, чем
в плоских.
Произведя дифференцирование, мы найдем, что сжатие
зависит не только от относительного перемещения, но и от
величины самого перемещения. Последний член, впрочем, уменьшается
по мере возрастания радиуса сферы и при больших радиусах мы
имеем то же соотношение, что и в плоских волнах.
Сжатие 5 сопровождается изменением давления &P = L·. Пусть
,/ dhP j
разность давлений вдоль радиуса г на расстоянии йг равна—-j—dr.
Вырежем из шарового слоя бесконечно малый цилиндр с площадью
основания do и длиной dr. Под влиянием разности давлений,
действующих на основания di цилиндра, масса, заключенная в нем)
будет получать ускорение в направлении большего давления, и так
как объем его равен drda, то по закону Ньютона мы будем иметь

126
Звук
Гл. II
Разделив обе части на объем цилиндра, мы получим уравнение
</2Дг d&P , ds
-р-ж=-іг==кі?' or)
которое связывает ускорение частиц с градиентами давления ΔΡ
или сжатия s. Этим уравнением и ранее полученным (29) мы
можем воспользоваться для того, чтобы исключить Аг и получить
уравнение, содержащее одну неизвестную функцию s. Для этого
напишем уравнения (29) и (310 в следующем, несколько
измененном виде:
— ■%:№) = i»s (32)
сР(г»Дг) _ fa·» ds
dfi ~ ρ dr' W
Продифференцировав почленно первое уравнение два раза по t
а второе по г, мы получим слева тождественные выражения.
Поэтому и правые части должны быть равны, т. е.
nd2s к d ads к I „d2s , 0 ds\ .„„.
^=Τ Trr*d7=T(nd7>+2rd;J· Μ
к к
Разделив обе части этого уравнения на —г, заменим — через и2
и воспользуемся тем, что
d^rs d^s ■ ^ds
1? rd~e~f'zdr-
Тогда наше уравнение получит очень простой вид:
1 d2rs d2rs
(35)
Это уравнение показывает, что произведение rs зависит от
времени / и радиуса г так же, как в случае плоских волн
перемещение k от t и л:. Его решение будет иметь вид
/-s == й sin ωι ί 1. (36)
Отсюда следует, что сжатие s распространяется согласно формуле
s = -ysinJt—Г~) (36')
в виде волн со скоростью ν в направлении радиуса г, но с
амплитудой, убывающей по мере удаления от источника звука.

§ 23 Испускание сферических волн 127
Не трудно найти и выражение для скорости частиц —у-,
которую временно обозначим буквою и. Тогда из уравнения (ЗГ) мы
найдем, что
1 du ds Ь . ( г \ . Ь-л ( г\ ,0_ч
"■-5--ТГ — ~Г~ — — sin ω t Ы cos со ί . (37)
υ- dt dr r- \ ν J ' rv \ υ J '
От этого уравнения путем интегрирования нетрудно перейти
к величине скорости и:
4 »..(,-.£.)+£-».(<-=-). (38)
г* со
Два слагаемые, из которых состоит выражение для скорости,
имеют различное значение, смотря по тому4, на каком расстоянии
от источника мы рассматриваем скорости. На малых расстояниях г
амплитуда первого слагаемого возрастает быстрее, чем амплитуда
второго, и можно показать, что она будет превосходить последнюю,
если г мало по сравнению с длиной волны λ. В самом деле
отношение амплитуд разно
r2a> rv rco 2itr '
и поэтому, если г настолько мало, что 2π/· во много раз меньше λ,
то первая амплитуда будет во много раз больше- второй. Точно
так же видно, что если г равно длине волны или больше, то
амплитуда второго члена преобладает.
Мы приняли, что источником волн является пульсирующая
сфера, радиус которой г0 периодически меняется. Мы будем
считать радиус г0 очень малым по сравнению с длиной волны, так что
у поверхности шара скорость ы можно вычислять, отбрасывая
второе слагаемое .формулы (38). Итак, скорость частиц у
поверхности сферы г0 равна
uo = 2~ cos ω/, (40)
/·0ω
» «о ЮЛ> 2тсг0
если пренебречь постоянной начальной фазой — = —-у-—, которая
по условию мала. Так как изменения радиуса равны Аг0 = a sin &tf
то скорость точек сферы должна быть равна
u0 = a<o cos coi.
(41)

128
Звук
Гл.11
Оба выражения для ы0 должны совпадать и, следовательно, —-— =
= αα>, или амплитудный множитель Ь должен равняться
_δ==_^_α = __α. (42)
Величину Ь можно выразить также через силу источника А = 4π/·ο2α(ο.
Заметим, что у поверхности шара г0 сжатие s и скорость ц
сдвинуты по фазе на 90°. В самом деле, если отбросить, как и
в формуле (40), очень малую начальную фазу, то из (36) найдем,
что
Ь ■ *
sQ = — sin ω t,
го
На больших расстояниях от источника, где первое слагаемое
формулы (38) делается малым, сходство сферических волн с
плоскими восстанавливается. Скорость частиц выражается формулой
и
в то время как сжатие
s
= ^-smco(i—Ϊ-) (44)
=-fsb ·('""£)· (45)
Таким образом между сжатием s и скоростью частиц и существует
то же соотношение, что и в случае плоских волн: и = vs, что
эквивалентно соотношению (18).
Мощность W, затрачиваемая источником волн на их излучение,
равна
Г=Ар.4*г02и0.
Но ΔΡ — ks, следовательно,
ΔΡ0 = ksQ = — sin ωί.
г о
Для скорости получается согласно (38), если опять пренебречь
малой начальной фазой, более сложное выражение
un = у— cos<dM sm »ί. , (46)
Хотя амплитуда первого слагаемого этой суммы значительно
больше второго вследствие малости г0, но произведение его и ΔΡ0,
пропорциональное произведению cos.cef sin Q>t, имеет среднее
значение, равное нулю, в то время как произведение второго слагав-

§ 23 Испускание сферических волн 129
мого и Af0 пропорционально sin2<of, среднее значение которого
равно Ѵг· Вследствие этого среднее значение мощности
W=^^rA А-= jfcfaP --£ Ρμ«. (47)
Полученное нами выражение для мощности, излучаемой нашим
источником сферических волн, аналогично выражению мощности,
излучаемой в трубе, с той разницей, что вместо сечения трубы
2 f
в нашу формулу входит выражение—λ2,котороеявляетсяэквива-
лентным сечением того потока волн, которое испускается
нашей пульсирующей сферой.
Полученный нами результат, выраженный формулой (47),
показывает, что при простом источнике поршневого типа мощность,
излучаемая источником при той же силе А будет тем больше, чем
больше скорость звука и плотность среды. Поэтому в воде
излучение при тех же амплитудах поршня в 3000 слишком раз больше,
чем в воздухе, и, следовательно, при одинаковых амплитудах сила
звуковых сигналов во столько же раз больше в воде.
В практических применениях поверхность, излучающая волны,
не имеет сферической формы. Обычно это пластинка, одной своей
стороной соприкасающаяся со средой, а другой с теми
механизмами, которые приводят ее в колебание, как например в приборе
изображенном на рис. 41. Если линейные размеры пластинки малы
по сравнению с длиной волны, то жидкость обтекает при
возникновении колебаний весь прибор и волны излучаются так, как если
бы мы имели пульсирующую сферу.
Иногда источником волн является пластинка, заполняющая
отверстие в неограниченной плоской стене, так что волны могут
распространяться только в одну сторону. В этом случае сила звука
должна быть в два раза больше по сравнению с случаем излучения
источником той же силы волн равномерно во всех направлениях.
Плотность полной энергии звуковых вблн, кинетической и
потенциальной, равна, как мы знаем, удвоенной кинетической — fu2.
Сила звука / равна среднему потоку энергии, т. е. I=ри2ѵ, где и2 =
-^-есть средний квадрат скорости частиц. Подставляя это
выражение для и2, мы получим
.^L-A* ■ (48)
8λΜ
9 Зак. 2408. Курс физики.

130
Звук
Гл. U
Сила звука при заданной силе источника
пропорциональна волновому сопротивлению ѵр среды,
обратно пропорциональна квадрату длины волны и
квадрату расстояния. Если выразить силу звука через мощ-
W
ность W источника, то мы получим /=-т—2", т. е. сила звука
равна мощности источника, приходящейся на единицу поверхности
сферы радиуса г, как и должно быть, согласно нашему
определению силы звука.
Простыми источниками можно считать все приборы с
колеблющимися пластинками или мембранами, закрывающими с одной
стороны камеру с твердыми стенками, например телефон. Отверстия
труб, резонаторов, сирен можно также считать простыми
источниками.
§ 24. Двойные источники.
Простые источники звука по закону убывания амплитуды звука
(сжатия) с расстоянием напоминают электрический полюс и
создаваемое им распределение потенциала. Двойные или
двухсторонние источники, которыми мы займемся теперь,
представляют много общего с электрическими диполями.
Вообразим два простых источника звука одинаковой силы А и
находящихся на некотором расстоянии I друг от друга. Если
колебания этих источников имеют противоположные фазы, то
они образуют двойной источник. Произведение силы источников
Л на их расстояние/называется моментом двойного
источника, а линия, их соединяющая, осью его. При уменьшении /,
т. е. при сближении их, сила источника должна возрастать в том
же отношении для того, чтобы момент двойного источника и
создаваемая им сила звука оставались неизменными.
Мы видели (гл. 1 § 17), что волны от двух источников, когерент.
ных между собой, т. е. сохраняющих постоянную разность фаз,
создают полосы интерференции. В данном случае мы будем иметь
только одну узловую поверхность, а именно плоскость,
проходящую через середину линии, соединяющей простые источники и
перпендикулярную к ней. Расстояния от каждого из них до любой
точки этой плоскости равны попарно и, так как источники колеблются
з противоположных фазах, то волны, приходящие в эти точки, имеют
также противоположные фазы. Других поверхностей минимальных
или максимальных амплитуд вовсе не будет, если расстояние I
мало по сравнению с длиной волны. Амплитуда будет постепенно

§ 24 Двойные источники 131
возрастать от нуля и будет иметь наибольшую величину вдоль
оси двойного источника.
Осуществление двойного источника на опыте мы встречаем
в ряде случаев. Пластинка, соприкасающаяся с двух сторон со
средой и колеблющаяся вдоль своей нормали, представляет двойной
или двухсторонний источник. С одной стороны ее образуется сжатие
примыкающих слоев среды, с другой же при этом получается
разрежение. Ножки камертона, струна
представляют примеры двойных источников,
так как с одной стороны колеблющегося
тела образуются волны сгущения, с
другой =- разрежения.
Для теоретического расчета звуковых
волн, создаваемых двойным источником,
мы его несколько идеализируем. Прежде
всего будем считать размеры простых
источников очень малыми, так что можно
с достаточным приближением считать их
точечными. Расстояние между ними будем считать бесконечно
малым, но момент двойного источника должен оставаться конечным,
для чего необходимо по мере уменьшения I соответственно
увеличивать силу А простых источников.
На рис. 62 очень схематически изображен двойной источник
в виде двух кружков в точках А и В. Расстояние между нймиА5 = £
нужно считать бесконечно малым по крайней мере по сравнению
с расстояниями г и длиной волны λ. Фазы их колебаний должны
быть противоположны. Если сжатие s, создаваемое первым
источником, находящимся в точке А (рис. 62), в некоторой точке N
среды на расстоянии гг равно
А · Л Μ
то сжатие s2, создаваемое вторым источником (в В) в той же
точке N, на расстоянии г2 от В, равно
Расположим оси прямоугольных координат так, чтобы ось OZ
совпадала с осью двойного источника, а начало координат О
находилось в середине промежутка АВ. Расстояния rt и г2 будем
считать очень большими по сравнению с АВ, и поэтому углы,
образуемые прямыми AN и BN с осью источника АВ можно считать
Рис. 62.
д*

132
Звук
Гл. II
равными. Длину АВ — 1 мы будем в дальнейшем обозначать dz.
Сумма s сжатий sx и s2 представляет действительное сжатие ѵв
точке N:
s = s1Jrs2-
А
2λν
sin «off— — j sincofi ^-j
4
Для вычисления разности, заключенной в прямые скобки,
заметим, что
ri = ON-^OAcos^ = r ^- cos
a r2 = r-|—y.cos θ.
Разлагая каждый член разности в ряд по степеням малой вели-
dz
чины -л- cos θ и ограничиваясь первой степенью, найдем
s =
со
Ό
COS
«(<-т)
sin ω| t
υ
dz cos θ. (49)
Амплитуды слагаемых в квадратных скобках имеют разную
величину. Их отношение равно -—г—, и если г больше длины волны,
то амплитуда первого слагаемого во много раз больше второго.
Таким образом на больших расстояниях τ
tAd:
ζ cos
θ
2kv*r
-cos ω
V
τψ. cos &
COS CD
(<-v).
(50)
если обозначим момент двойного источника
буквой \>. = Adz. '
В формуле для волн сжатия s величина
момента μ играет в случае двойного
источника ту же роль, что сила А для простого.
Величина амплитуды убывает с расстоянием г
по тому же закону в обоих случаях.
Особенностью двойного источника является,
во-первых, зависимость от направления луча ON,
т. е. от cos θ. Как уже указывалось,
наибольшая амплитуда сжатия получается вдоль оси
ΟΖ, а в плоскости ΧΥ она равна нулю.
Двойной источник имеет таким образом
направленное излучение. Если из начала
координат провести векторы, длина которых пропорциональна
амплитуде волн сжатия в соответствующем направлении, то концы их
Рис. 63.

§*25
Сирены
133
будут лежать на двух окружностях, соприкасающихся вдоль оси
ОХ, как показано на рис. 63. Эта полярная диаграмма
характеризует наглядно основное свойство волн, испускаемых двойным
источником. Другой особенностью является зависимость от длины
волны. В то время как у простого источника амплитуда обратно
пропорциональна первой степени λ, у двойного она обратно
пропорциональна квадрату λ. Чем длиннее волна, тем меньше
амплитуда волн, создаваемых двойным источником, по сравнению с
простым. При коротких волнах, наоборот, преимущество за двойным
источником.
Как и в теории простого источника, мы можем найти
выражения для скорости н частиц среды на больших расстояниях г
кѣ cos &
и = —— cos ω
XV
а затем и для силы звука
π2ρν
2λ*Γ2'
V? COS
2 θ.
(51)
(52)
§ 25. Сирены.
Переходя к частным примерам различных источников звука, мы
прежде всего займемся изучением таких случаев, когда источником
волн является струя газа, выходящая из отверстия под давлением
и создающая тем или иным
способом волны сгущений и
разрежений. Наиболее простым
механизмом превращения
непрерывного потока газа в
периодически повторяющиеся
толчки является способ
механического прерывания струи
через определенные
промежутки времени, применяемый в
разного рода сиренах. В
основном он производится вращающимся диском, в котором по окружности
расположены отверстия, через которые воздух проходит только
.тогда, когда отверстия диска оказываются против отверстий в
крышке воздушной камеры, из которой выходит под давлением
воздух. ВраТцение диска производится или особым двигателем или
же, как в сирене Каньяр - Лятура, давлением той же струи, по
принципу турбины (рис. 64). Простой источник малых размеров осу-
Рис. 64.

134
Звук
Гл.Ц
ществляется здесь при помощи струи, выходящей из трубки под
определенным давлением и прерываемой вращающимся диском с
отверстиями. Сила звука изменяется почти пропорционально
давлению, под которым выходит струя. Форма колебаний и,
следовательно, состав звука зависит от формы отверстий, и может быть
получена почти синусоидальной при надлежащей форме отверстий,
обеспечивающей синусоидальное изменение количества
вытекающего газа.
Мы уже говорили раньше о применении сирены для абсолютных
определений частоты колебаний (§ 14). В последнее время сиренами
занимались довольно много с целью получения мощных
источников звука для маяков и маячных судов. Применение звуковых
сигналов во время туманов представляет весьма важную задачу
для безопасности навигации. Подробное исследование сирен
показало, что они являются крайне неэкономичными генераторами
звука. Для того, чтобы получить сигналы, слышимые при
благоприятных условиях на расстоянии 12 км, требуется затрачивать
мощность до 100 HP (лошадиных сил). Наибольшие колебания
давления составляют всего около 0,004 применяемого давления для
получения струи.
Одной из причин этой плохой звуковой отдачи является
быстрое поглощение энергии вследствие больших начальных амплитуд.
В одной из современных мощных сирен из 35 HP, применяемых
для нагнетания воздуха, только 2,4 HP превращается в звуковую
мощность, и лишь 0,3 HP остаются на расстоянии 15 км.
Наиболее продуктивной оказалась сирена типа центробежного, вентиля-
тора./Воздух приводится во вращение крыльями, которые гонят
его к периферии, где происходит периодическое открывание и
закрывание отверстий. Амплитуда колебаний невелика, так как
мало применяемое давление, но вследствие большой площади
выходных отверстий сила источника звука такая же, как в более
мощных сиренах. Вследствие малых начальных амплитуд погло-
ние звука вблизи источника относительно невелико.
§ 26. Струи и вихри.
При быстром вытекании струи из отверстия наблюдается
образование вихрей, которые периодически отделяются от струи и
создают колебания давления в окружающей среде. Частота этих
вихревых колебаний зависит от скорости струи и от формы краев
отверстия. Один из способов получения таких колебаний,
применяемый в органных трубах, заключается в том, что плоская струя,

§27 Трубы ~J35
выходящая под давлением из щели, попадает на остросрезанный
край клинообразной дощечки. При удалении края от отверстия на
некоторое расстояние, зависящее от скорости струи, возникает
музыкальный звук определенной высоты. Чем больше это
расстояние, тем ниже тон. Объяснение этих явлений связано с
образованием вихрей на определенных расстояниях вдоль струи.
Расстояние между отверстием и краем клина должно равняться целому
числу промежутков между вихрями.
Подобные звуковые явления наблюдаются при быстром
обтекании струей воздуха цилиндрических препятствий, например
проволоки. Превращение непрерывного потока жидкости в
периодические колебания можно наблюдать на примере стебля тростника в реке
с быстрым течением. Звучание телеграфных проводов также
представляет известный пример того же рода. Свист (эича или тонкого
прута, рассекающего воздух, образуется вследствие тех же причин
Во всех этих случаях при обтекании препятствия в газе
образуются вследствие трения о поверхность препятствия вихри то
с одной, то с другой стороны струи, причем число образующихся
вихрей определяется скоростью струи и толщиной обтекаемого
цилиндра. Эти вихри создают в струе периодические изменения
давления, которые приводят в колебания проволоку в
вышеуказанном примере телеграфных проводов. Если скорость движения
воздуха имеет надлежащую величину, то частота образования вихрей
может оказаться в резонансе с собственными колебаниями
проволоки, следствием чего будет значительное усиление звука. Так
как вихри образуются по сторонам от струи, то колебания
давления оказывают действие в направлении, перпендикулярном к
скорости потока.
§ 27. Трубы.
При знакомстве с методом Кундта § 5 мы встретились
с явлением образования стоячих волн в трубе, закрытой с концов.
Музыкальные инструменты, как духовые инструменты, орган,
различные сигнальные приборы в виде свистков, рожков и т. п.
пользуются трубами, открытыми с одного или двух концов. В
цилиндрических трубах узлы и пучности образуются на равных
расстояниях, причем на открытом конце образуется пучность скоростей
частицы и узел давления, а на закрытом, наоборот, узел скоростей
и пучкость давления. Те трубы, которые называются закрытыми,
все же открыты с одного конца, где происходит вдувание воздуха
и откуда испускаются звуковые волны. Поэтому самый низкий
тон в закрытой трубе соответствует длине волны в четыре раза

136 Звук 7. ТТГп
большей длины трубы, так как расстояние между ближайшими
узлом и пучностью равно -г-. Но, кроме этого основного тона,
возможно возбуждение обертонов с большим числом узлов и
пучностей. Первый обертон в закрытой трубе получается, когда
длина трубы / равна 3/4 длины волны λ, а п-ый обертон, когда
Ητ+τ)λ· (53)
В открытой трубе с пучностями скоростей (и перемещений)
на концах должно умещаться целое число полуволн. Поэтому
при основном тоне длина трубы равна половине длины волны,
а при η-ом обертоне
Hf+i)L <*>
При точной проверке высоты тонов, возбуждаемых в трубах,
выяснилась зависимость их от диаметра трубы. Причина этого
явления заключается в том, что на открытом конце не происходит
полного отражения звуковых волн, и не может быть точного узла
сжатий. Открытый конец трубы является источником сферических
волн, как простой источник, и поэтому колебания скоростей частиц
газа должны сопровождаться колебаниями сжатия (и давления),
которые передаются соседним слоям воздуха вне трубы.
Вследствие этого длина открытой трубы меньше расстояний между
соседними узлами стоячих волн. Для того, чтобы получить точное
соответствие с формулами (53) и (54), нужно внести поправку для
каждого открытого конца. Теоретические подсчеты производились
для случая, когда отверстие трубы является в то же время
отверстием в бесконечной плоской стене. Практически для
осуществления этого условия нужно конец трубы снабдить большими
фланцами, отражающими волны подобно бесконечной плоскости. В этом
случае теория и опыт дают для цилиндрических труб с круглым
сечением поправку конца, равную 0,8 R, где R радиус трубы.
В случае простого конца без фланцев опыт дает меньшую
поправку, а именно 0,6 R, о которой мы упоминали в теории
резонаторов Гельмгольца § 17.
Возбуждение колебаний производится с помощью струи
воздуха, ударяющейся об острый край клина и создающей те
„краевые* или „вихревые" звуки, о которых говорилось в § 26. При
известной скорости струи частота образования вихрей совпадает с
частотой основного тона, и возбуждается основной тон. При большей

§27
Трубы
137
скорости, частота вихрей может удвоиться, и тогда возбуждается
первый обертон открытой трубы, и основной перестает быть
слышен. Таким образом, изменяя скорость вдувания воздуха, можно
изменять высоту тона трубы, переходя к ее обертонам все более
высокого порядка. Конечно, колебания воздуха в трубе оказывают
влияние на образование вихрей,* с другой стороны, в зависимости
от скорости струи собственная частота трубы увеличивается. Мы
имеем здесь взаимную зависимость двух колебательных процессов:
образования периодических изменений в
струе (вихрей) и колебаний в трубе.
Изучение колебаний внутри трубы
производилось различными способами. Способ
пыльных фигур Кундта дает возможность
не только видеть места узлов в трубке, но
при сильном возбуждении колебаний
непосредственно измерять амплитуду колебаний
частиц. Образующимися у стенок
вихревыми движениями мелкие частицы
увлекаются к оси трубки и вблизи пучностей ρ fi,
образуют облачка движущихся частиц.
Отдельные частицы, освещенные сильным источником света, пред.
ставляются в виде светящейся линии, длина которой дает
амплитуду колебания частицы. Более тяжелые частицы отстают от
движения частиц воздуха, и их амплитуды поэтому меньше более
легких.
Другой способ, предложенный Кёнигом, заключается в
применении манометрической капсулы. Так называется небольшая
воздушная камера, широкий конец которой затянут упругой
перепонкой (мембраной). Первоначальное применение ее самим Кёнигом
заключалось в том, что такие капсулы заделывались в стенку
трубы, так что перепонка' составляла часть внутренней поверхности
ее. Колебания мембраны обнаруживались на пламени газа,
проходившего через капсулу и выходившего через узкую трубку.
Колебания высоты пламени наблюдались во вращающемся зеркале. При
другом способе применения, приспособленном для количественных
измерений, узкий конец конусовидной камеры (рис. 65) вставляется
в отверстие в стенке и колебания давления приводят в движение
мембрану. Небольшое зеркальце S, укрепленное на поверхности
мембраны, служит для отклонения лучей, отраженных от
поверхности зеркальца. Амплитуда отклонений пропорциональна
амплитуде колебаний мембраны. Для количественных измерений прибор

138
Звук
Гл. II
традуируется при помощи давлений различной величины
(статически), или же при помощи колебаний поршня в цилиндрической
части капсулы, производящего определенные сжатия.
Распределение скоростей и измерение амплитуд их в пучностях
можно производить при помощи способа теплового микрофона
{% 21) по охлаждению тонкой, нагреваемой током, проволочки.
Все эти измерения дают возможность проверить допустимость
предположений, которые делаются при теоретических расчетах.
Из других источников звука того же типа отметим язычковые
трубы, в которых возбуждение колебаний производится с помощью
упругой пластинки, язычка, которая приводится в колебания струей
вдуваемого воздуха и сама периодически открывает и закрывает
доступ воздуха в трубу. Собственные колебания язычка и трубы,
которая обычно в этом случае имеет коническую форму, должны
находиться в резонансе. Затем нужно упомянуть об особых
формах свистка, которые применяются для получения очень высоких
тонов, даже лежащих за пределами слышимости. В этом случае
против струи располагается короткая трубка, расстояние которой
от места выхода струи должно быть подобрано в соответствии
с частотой колебаний. Длина трубки, в которой возбуждается
основное колебание, может изменяться микрометренным
перемещением поршня, закрывающего трубку с одного конца. При
большой мощности струи этим способом получались мощные
ультразвуки до 100000 кол. в сек. и выше. Длина волны в этих опытах
оказывалась согласной с формулой
-lx=/-fo,6 к.
Своеобразными источниками звука являются артиллерийские
орудия. При выбрасывании снаряда из ствола получается сильная
взрывная волна очень малой частоты, около 1 кол. в сек. Но
рядом с этим инфразвуком возбуждаются колебания газов в стволе
орудия, создающие акустические волны, длина которых равна
учетверенной длине ствола.
§ 28. Струна как источник звука.
Мы рассматриваем струну, как совершенно гибкую растянутую
нить, прочно закрепленную на концах и совершающую малые
колебания. Это представление не вполне, однако, точно, так как при
конечной толщине струны, при изгибе ее проявляется жесткость,
которая выражается в том, что .для изгиба струны необходима

§ 28 Струна как источник звука 139
некоторая конечная сила. С другой стороны, точки закрепления
не всегда можно считать строго неподвижными и неподатливыми.
Наконец, колебания имеют, вообще говоря, конечную амплитуду.
Все эти отличия идеальных условий от реальных должны быть
учтены при точных измерениях частоты колебаний струны.
Влияние жесткости исследовалось теоретически и
экспериментально. Теория позволяет вычислить влияние жесткости на частоту
N колебаний любого гармонического тона порядка п. В случае
круглого сечения частота увеличивается в 1 -j ^тз Раз> если
о ι" ρ
г—радиус сечения, Ε—модуль Юнга, /—длина и ρ — натяжение
струны. Таким образом, чем выше порядок гармоники, тем больше
влияние. При длине 50 см, диаметре 0,5 мм, натяжении ρ = 10 кг
влияние жесткости составляет всего 0,01% для основного тона
и в 25 раз больше для 5-й гармоники.
Податливость опор, через которые перекинута струна, также
оказывает влияние на частоту, причем нужно различать два
случая: 1) опоры обладают большой массой, но упругость их невелика,
тогда частота Уда уменьшается в отношении 1 —м а а з · или
2) упругость их велика, но масса незначительна, тогда частота
увеличивается в l-j-2 -Щ- раз, где μ — коэффициент упругости опор.
При колебаниях энергия струны передается воздуху и
колебания затухают, если нет источника энергии, поддерживающего
колебания. Однако каждый элемент струны излучает волны как
двойной источник очень малого момента, так как расстояние
между двумя сторонами струны очень мало по сравнению с длиной
волны. Поэтому струна является сама по себе очень слабым
источником звука. При относительно медленных колебаниях воздух
легко обтекает струну и амплитуда сжатий и разрежений,
образующихся спереди и сзади колеблющейся струны, вследствие этого
очень уменьшается. Главным источником затухания при этом
является внутреннее трение в газе. Теоретический подсчет,
произведенный Стоксом, привел к следующей формуле для коэффициента
затухания <х У~2^[
в = ,
Рог
где ω — частота колебаний, ρ и η — соответственно плотность и
коэффициент вязкости среды, р0 — плотность материала струны и
г—ее радиус.

140
Звук
Гл. Ц
Таким образом затухание возрастает при уменьшении радиуса
струны и при возрастании частоты. Эйнтговен произвел
интересные опыты настройки струны в своем струнном гальванометре на
частоту радиоволн. Для этого ему пришлось воспользоваться очень
тонкой (1 μ) кварцевой посеребренной нитью, длиной в 1 мм,
которая позволила получить 3·10δ колебаний в секунду. При этой
частоте однако затухание было настолько велико, что пришлось
поместить нить в вакуум. В этих условиях можно было получить
опять малое затухание колебаний. Опыты, произведенные над
затуханием колебаний струн очень малой толщины в различных
газах и жидкостях, подтвердили теорию Стокса.
Кроме механических способов возбуждения колебаний струны
существуют еще электрические. Одним из наиболее совершенных
способов является тот, что применяется в струнном гальванометре.'
Некоторый участок струны помещается в постоянное магнитное
поле, а по струне пропускается слабый переменный ток нужной
частоты. Электромагнитная сила, действующая на струну, имеет
частоту переменного тока и при резонансе амплитуда колебаний
струны быстро возрастает. Для создания переменного тока
применяется или особый прерыватель, в котором можно плавно
изменять число прерываний, или же сама струна при помощи особого'
ртутного контакта производит нужное число прерываний. Наконец
колебания струны могут поддерживаться при помощи особых схем
. с катодными лампами, основанных на том, что колеблющаяся
струна сама является генератором электрических токов, которые
индуктируются в ней вследствие ее движения в магнитном поле.'
После соответственного усиления эти токи питают струну и
поддерживают ее колебания. Если внешняя сила, поддерживающая
незатухающие колебания, прекращает свое действие, обычная струна,
создающая звуковые колебания, еще довольно долго звучит,
обнаруживая очень малое затухание, в то время как например труба
прекращает издавать звук, как только прекращается дутье. Эта
, разница в поведении двойного, слабо излучающего источника, и
простого, каким является труба, чрезвычайно характерно.
Для того, чтобы заставить струну издавать более сильный
звук, пользуются ее действием на места закрепления. Эти
последние испытывают действие переменного натяжения вследствие
изменения формы струны во время колебаний. Если струна натянута
между двумя стойками А и В (рис. 66), * которые в свою очередь
укреплены на упругой доске CD, то колебания струны вызовут
колебания доски. Хотя амплитуда последней очень мала, но вслед·

§29
Поперечные колебания стержней
141
ствие большой поверхности доски излучение звука усиливается.
Этот способ усиления звука применяется во всех струнных
инструментах. Крышка ящика, на которой натянуты струны (дека), скрипки
гитары и пр. колеблется как простой односторонний источник
большой поверхности. Источником звука во всех этих случаях
является, как мы видим, не струна, а связанная с ней дека, от
свойств которой главным образом и зависит характер издаваемого
инструментом звука.
В тех случаях, когда струна должна служить не источником
звука, а эталоном частоты, движение точек крепления ее концов
нужно по возможности устранить, так как
оно влияет на частоту ее колебаний. На
рис. 67 изображена конструкция
монохорда, применяемого в качестве вторичного
переменного эталона частоты. Струна
натянута на массивной стойке при
помощи груза Р. Длина колеблющейся части
заключена между опорой А, состоящей
из двух стальных шариков, образующих
Ѵ-образное углубление, в котором лежит
—Гі
Ц
С F^1-- , ·—--■■ *Ь»Я D
Рис. 66. Рис. 67.
струна, и опорой В в виде небольшого колесика, которое
перемещается при помощи зубчатых сцеплений вдоль доски,
изменяя длину струны. Перемещения эти отсчитываются на шкале,
нанесенной на доске. Возбуждение колебаний производится при
помощи постоянного магнита Μ и переменного тока,
проходящего по струне, в основном тоне или каком-либо из обертонов.
Таким образом можно пользоваться той же струной при
изменении частоты в широком диапазоне, не меняя натяжения Р.
Точность воспроизведения и измерения частот при помощи этого
прибора составляет 0,1% для диапазона от 100 до 10000
колебаний.
§ 29. Поперечные колебания стержней.
Колебания стержней находят применение в приборах,
снабженных упругими металлическими пластинками, как язычковые трубы,
частотомер (рис.53) и т. п. Но особое значение для акустических целей

142
Звук
Гл. И
имеют эти колебании в камертонах, применяемых, как мы видели
(§ 13Х в качестве эталонных источников простых тонов. Полная
теория колебаний стержня представляет трудную математическую
задачу, которая рассматривается в теории упругости, и в
настоящем курсе мы приведем лишь некоторые результаты ее.
При поперечных колебаниях происходит изгибание стержня·
При этой деформации, как показано на рис. 69, различные слои
стержня испытывают различные деформации. В верхних слоях
происходит растяжение, в нижних, наоборот, сжатие, если стержень
изгибается, как показано на рис. 68, т. е. вниз. Средний слойЖіѴ
совсем не изменяет своей длины. Каждое
^ сечение стержня не только перемещается
~^II^W"-^>tf вниз, но и поворачивается на некоторый
"^^ угол. Все эти особенности деформаций
&ι Ι ι iff изгиба весьма усложняют процесс коле-
С ^ D баний. !
Хотя точки стержня совершают гар-
Рис. 68. ионические колебания, причем частоты
колебаний в зависимости от числа узлов
и пучностей могут быть расположены в ряд обертонов, но
образование этих стоячих волн лишено той наглядности, какую мы
обнаружили в случае струны или цилиндрической трубы. Мы не
можем говорить здесь даже о постоянной скорости распростраі
нения волн вдоль стержня. Отношение частот различных обертонов
выражается также более сложным образом.
Различные типы колебаний получаются в зависимости от
способа закрепления концов стержня. Различают свободный конец,
зажатый и подпертый. Язычек, применяемый в трубах,
музыкальных шкатулках, частотомере представляет стержень с одним
свободным и другим зажатым концом. Камертон представляет некоторое
подобие стержня со свободными концами. Наконец, пластинки,
свободно лежащие концами на рамке в особых музыкальных
инструментах, называемых гармониками, являются примерами подпертых
на концах стержней.
Во всех этих случаях частота колебаний равняется следующему
выражению:
— — \Г-
2 Ρ У
>
в котором "л есть некоторый коэффициент, зависящий от формы
сечения стержня. Например, при прямоугольном сечении и толщине

Рис. 69.
§ 29 Поперечные колебания стержней 143
А3
А (в направлении колебаний) х2 = т^-. Остальные величины имеют-
обычные обозначения: / — длина стержня, Ε—модуль Юнга, ρ —
плотность. Особенностью этого выражения является зависимость,
частоты от длины, а именно квадратичность ее.
Зависимость от порядка обертона различна для различных,
способов закрепления концов. В случае свободных концов выше
описанное выражение должно быть умножено на ( η — 1 »
причем основной тон соответствует приблизительно η = 1,003, а
остальные целым числам η = 2, 3, 4... В случае
стержня, закрепленного на конце и с
другим концом свободным, соответствующий
коэффициент равен n-j—д") » причем
основной тон соответствует η = 0, а
обертоны =1, 2, 3... Наконец в случае
подпертых концов соответствующий
коэффициент равен τι2. Таким образом, в случае
стержня, зажатого на одном конце, частоты последовательных
обертонов будут относиться как квадраты нечетных целых чисел:
1:32:52 :72:93... Только для первого, самого низкого тона
необходимо заменить 1 несколько большим числом: 1,194. Для стержня
со свободными концами отношение частот выражается отношением
квадратов З2 : 52 : 72 : 92, если число узлов на стержне равно 2, 3,
4, 5.
Форма колебаний стержня, закрепленного на одном конце,
изображена на рис 69. В случае свободных концов обычно
возбуждаются колебания, имеющие четное число узлов, как например
основное колебание, изображенное на рис. 70. В этом случае форма
стержня остается симметричной относительно середины.
Камертоны можно рассматривать как стержни с свободными
концами, но согнутые U-образно. Вследствие изгиба узлы N
сближаются, как изображено на рис. 71. Можно также представить
камертоны, как два стержня с зажатыми концами, и тогда частота
колебаний может быть с известным приближением выражаться
той же формулой, что и частота простого стержня, той же длины и
толщины. .
Стержни, и в частности камертоны, представляют собой очень
устойчивый источник колебаний, мало зависящий от внешних
условий. Наибольшее влияние оказывает на период его колебаний

144
Звдк
Гл. Π
температура, а именно изменяет его около 0,01% на каждый
градус изменения температуры. Под влиянием температуры
изменяются одновременно и размеры его (длина) и упругость; оба эти
фактора влияют одинаковым образом, так как число колебаний
пропорционально ѴЕI, где Ε — модуль Юнга, а /—линейные размеры
стержня. Температурные коэффициенты этих величин однако раз-
Рис. 70.
личны по знаку, так как упругость уменьшается с температурой,
а длина увеличивается, но по величине первый из этих
коэффициентов в 20 раз больше второго и следовательно преобладающим
фактором является изменение упругости (для стали). Таким
образом число колебаний камертона с повышением температуры
медленно уменьшается.
§ 30. Колебания пьезоэлектрических стержней и пластин.
В последнее время продольные колебания стержней и толстых
пластин получили применения, как эталоны частоты, в виду
легкости возбуждения их электрическими способами и вследствие
малости коэффициента затухания их колебаний, вплоть до самых
высоких радиочастот. Мы остановимся подробнее на применении
пьезоэлектрических способов возбуждения колебаний, ввиду особых
достоинств кристаллического кварца, применяемого большей частью
в этих случаях.
Кристаллы кварца имеют форму шестигранной призмы (рис. 72),
ось ОО' которой называется главной оптической осью
кристалла. Сжатия или растяжения кристалла в направлении этой оси не
вызывают никаких электрических действий; точно также никаких
изменений размеров кристалла не наблюдается, если он помещается
в электрическое поле, направление которого параллельно оптиче-
кой оси кварца. Для получения пьезоэлектрических действий из
кристалла вырезаются алмазной пилой пластинки параллельно
оптической оси ОО'. Ось ЕЕ', проходящая через два противолежащие
угла шестиугольного сечения кристалла, называется электрической

§ 30 Колебания пьезоэлектрических стержней и пластин 145
осью кварца: она перпендикулярна к плоскости разреза. Если
вырезанная пластинка, длиной которой мы будем считать размеры
вдоль оси XX', перпендикулярной к боковой грани кристалла,
а шириной—размеры вдоль оптической оси, помещается в
электрическое поле, параллельное электрической оси, то ее длина и толщина
изменяются, причем одна из них удлиняется, а другая
укорачивается. При перемене направления электрического поля эти
изменения меняют свой знак. Ширина пластинки, параллельная
оптической оси, при этом не меняется.·
Обратное явление наблюдается, если подвергать пластинку
давлению вдоль оси XX' или ЕЕ'. В этом случае пластинка обна-
Рис. 72.
руживает электрическую поляризацию в направлении электрической /
оси ЕЕ'. Она выражается в том, что поверхности,
перпендикулярные ЕЕ', покрываются зарядами, положительными на одной стороне
пластинки и отрицательными на другой. При уменьшении давления
величина зарядов пропорционально уменьшается, а если изменить
знак давления, т. е. подвергнуть пластинку растяжению, то
изменяется знак зарядов. Количество электричества q, приходящееся
на единицу поверхности пластинки, является мерой поляризации.
оно пропорционально давлению Р:
ч=чР,
где коэффициент η, представляющий поляризацию при давлении,
равном единице, называется пьезоэлектрической постоянной.
Таким образом, сжатие пластинки внешним давлением вдоль
оси XX' и поляризация пластинки, вызывающая появление зарядов
на ее поверхности, связаны между собой и находятся в простой
линейной зависимости·. Обычно поверхность, перпендикулярная
электрической оси, покрывается металлическими обкладками. Заря-
10 Зак. 2408. Курс физики.

146
Звук
Гл.II
жая их до некоторой разности потенциалов и создавая таким
образом между ними электрическое поле, мы поляризуем кристалл
и вместе с тем вызываем изменение его длины и толщины.
Производя эту электризацию переменным напряжением, мы вызываем
колебания пластинки. По мере того как мы приближаемся к
резонансу с собственными колебаниями, амплитуда колебаний все
увеличивается. Вместе с тем возрастают колебания поляризации и
стало быть зарядов q на поверхности пластинки. Эти колебания
вызывают появление зарядов противоположного знака на
металлических обкладках Μ (рис. 73) и электрический ток j в проводах
подводящих к ним заряды. Наибольшая
амплитуда колебаний пластинки соответствует
наибольшей амплитуде тока пьезоэлектрического
происхождения. Необходимо заметить, что для
заряжения обкладок Μ необходимо подводить
заряды и в том случае, когда никаких
пьезоэлектрических явлений не наблюдается. Вдали
от резонанса, обычный ток диэлектрической
поляризации может преобладать над
пьезоэлектрическим током, но при резонансе, когда
амплитуда механических колебаний делается большой,
пьезоэлектрический ток быстро возрастает и достигает максимума.
При таком способе возбуждения возникают обычно продольные
колебания. При резонансе в пластинке образуется стоячая волна
с пучностями на концах и узлом по середине.
Если возбуждение происходит на частоте одного из обертонов
то появляется несколько узлов вдоль пластинки. Таким образом
длина пластинки определяет длину волны, которая в случае
основного колебания равна двойной длине /, а при обертонах
определяется по формуле η λ = 21. Для того чтобы найти частоту
колебаний, необходимо знать скорость распространения волн, которая, как
мы знаем (§ 9), для продольных колебаний тонких стержней равна
где Ε— модуль Юнга. Для кварца вдоль осей XX и
~/f
ЕЕ' скорость волн отличается мало, и равна в среднем 5 · 105 ои/сек,
Поэтому число колебаний стержня длиной в 1 см при резонансе
будет 2,5 · 105, т. е. далеко за пределами слышимых акустических
колебаний. При частотах еще больших может наступить резонанс
с колебаниями тоже продольными, но происходящими в направлении
электрической оси или толщины пластинки. Колебания по толщине
имеют обычно большую скорость распространения, чем подлине.

§ 30 Колебания пьезоэлектрических стержней и пластин 147
Рис. 74.
Особенностью такой кварцевой пластинки является то, что
затухание ее колебаний чрезвычайно мало. Обычно декремент
значительно меньше 10~ , т. е. пластинка совершит больше 104
колебаний прежде, чем амплитуда их уменьшиться в е^2,7 раз.
Поэтому резонанс ее очень острый, и все явления, связанные
с резонансом, проявляются очень резко.
Для изменения частоты колебаний кварцевой пластинки и для
получения любой резонансной частоты при данных размерах ее,
применяется нагрузка ее концов, для чего приклеиваются
металлические пластинки, в которых
скорость продольных волн близка к
скорости волн в кварце.
Ланжевен во Франции
воспользовался пьезоэлектрическими свойствами
кварца для создания мощных
источников ультразвуковых волн. Сущность
их устройства передана на рис. 74.
Кварцевая пластинка имеет здесь
большую поверхность и склеена из
отдельных кусочков кристаллического кварца, имеющих одинаковую
толщину и одинаковые пьезоэлектрические свойства. К поверхности
этой сравнительно тонкой пластинки для понижения ее частоты
в направлении толщины приклеены особой замазкой две
стальных пластинки М, которые служат обкладками и в то же время
вместе с кварцем Q образуют пластинку, собственная частота
которой равна 500Q0. Для этой частоты длина волны в кварце
равна 10 см, и общая толщина кварца и стальных пластинок равна
приблизительно 5 см.
Этот источник ультразвуков предназначен для подводной
сигнализации или для измерения глубины морского дна. Поэтому
нижняя стальная пластина, соприкасающаяся с водой, в то же время
служит дном коробки К, внутри которой находится кварц с другой
обкладкой Μ и подводящим заряды изолированным проводом L.
Вследствие большого волнового сопротивления воды (ν ρ =
= 150000)> большой частоты (ЛГ=50000) и большой поверхности
(около 200 СМ2), мощность, излучаемая колеблющейся пластинкой,
даже при очень малых амплитудах (например в несколько μ)
достигает величины многих киловатт.
Длина волны в воде при этой частоте равна приблизительно
3 см, т. е. значительно меньше поперечных размеров пластинки.
Поэтому последняя уже не является простым источником малых
10*

148
Звдк
Гл. II
размеров, хотя все ее точки совершают колебания с одинаковой
амплитудой и фазой. В главе, посвященной диффракции света
будет показано, что плоская поверхность волны, размеры которой
велики по сравнению с длиной волны λ, распространяется
прямолинейно в направлении ее нормали, а в других направлениях
амплитуда волн ничтожно мала. Поэтому и излучение пластинки
Ланжевена отличается направленностью, и может быть
представлено пучком параллельных лучей, выходящих из ее
поверхности. Мы имеем здесь случай, аналогичный рассмотренному в
§ 22, когда предполагалось, что волны распространяются в
цилиндрической трубе.
Не менее важным, чем описанное здесь применение кварцевой
пластинки, является в настоящее время употребление ее в
качестве резонаторов, контролирующих и стабилизирующих частоту
электрических генераторов радиоволн. Вместо кварца
применяются в некоторых случаях и другие кристаллы, обладающие
пьезоэлектрическими свойствами, а именно турмалин и сегнетова
соль. Первый имеет некоторое преимущество перед кварцем в том,
что скорость волн в нем больше, а сегнетова соль обладает
исключительно большой пьезоэлектрической постоянной.
Нужно упомянуть еще о возможности применения продольных
колебаний стальных стержней для тех же целей, как и кварцевых,
но пользуясь их свойством изменять размеры при намагничении.
Это явление, известное под названием магнитострикции, было
использовано для возбуждения колебаний цилиндров из разных
магнитных сплавов, помещенных в переменное магнитное поле. По
сравнению с кварцевыми стержнями металлические стержни имеют
больший декремент затухания.
§ 31. Колебания мембран и пластин.
Тонкая упругая пленка, равномерно растянутая во все стороны
и закрепленная по краям, представляет много общего со струной.
В положении равновесия она имеет плоскую поверхность, и ее
состояние характеризуется натяжением ρ (как и в случае струны),
т. е. силой, с которой она действует на единицу длины рамки.
Кроме того, свойства мембраны определяются поверхностной
плотностью р, т. е. массой ее, приходящейся на единицу
поверхности. Положим, что поверхность пленки имеет форму
прямоугольника, стороны которого параллельны осям ОХ и О У, а
перемещения точек пленки, перпендикулярные к ее поверхности,
происходят параллельно оси ΟΖ. Если бы все точки, лежащие на

§ 31 Колебания мембран и пластин 149
прямой, параллельной оси 0Y, совершали одинаковые перемещения,
то мембрану можно было бы рассматривать как ряд параллельно
натянутых струн, и распространение волн вдоль ее поверхности
и ее колебания удовлетворяли бы уравнению струны
dp ~ ρ дх*
Подобное же уравнение только с заменой переменной χ на
у получим, рассматривая перемещения, одинаковые вдоль прямой,
параллельной оси ОХ, т. е. независимые от координаты у. В
действительности уравнение мембраны имеет вид:
Мембрана таким образом представляет собой как бы струну
двух измерений, и мы можем ожидать, что когда она совершает
простые гармонические колебания, движения различных точек ее
отличаются только амплитудами. Распределение же амплитуд
в зависимости от положения точек в каждом измерении мы можем
предположить синусоидальным, как и в струне. Поэтому естественно
предположить, что колебание какой-либо точки мембраны с
координатами χ я у можно представить формулой:
я . , . к\Ъ . кпК /Е.-ѵ
Z = A sincoism-f- xsm-j-y, (56)
в которой I^ и /2 суть длины сторон прямоугольной мембраны, kt
и &2 — целые числа. Такая формула для распределения амплитуд,
очевидно, обусловлена тем, что вдоль каждой стороны,
закрепленной по краям прямоугольной мембраны, перемещения точек равны
нулю. Она удовлетворяет уравнению (55), как можно убедиться,
подставляя (56) и произведя необходимые преобразования, если
•5-Рт^+¥)· (57>
Эта формула позволяет определить все возможные частоты
простых колебаний мембраны. Любое сложное колебание мембраны
может быть представлено как результат наложения простых
колебаний, подобных (56), с различными амплитудами и начальными
фазами.
Сравнивая формулу (57) с подобной же формулой для струны
ω2 = — т-р, которая получается из уравнения струны, мы видим,

150
Звук
Гл. II
что разнообразие возможных колебаний в мембране гораздо больше,
чем в струне, так как различные частоты мы получаем, полагая kt
и &2 равным всем возможным целым числам. Но вместе с тем
и частоты простых колебаний не находятся между собой в простых
рациональных отношениях, и обертоны не образуют, как в струне,
гармонического ряда. Частота колебаний мембраны равна
где
•■-/4
ω==πϋ]/ζΐ
(57)
обозначает, как и в струне, скорость волн в
мембране. Для того чтобы наглядно представить все возможные
частоты, мы поступим следующим образом (рис. 75). Отметим на
прямоугольных координатных осях точки,
отстоящие друг от друга на расстоянии
а = -г- вдоль одной оси и на расстоянии
'1
π V
b=-j- вдоль другой. Проведя через эти
точки прямые, параллельные
координатным осям, получим сетку, узлы которой,
т. е. точки пересечения прямых,
соответствуют всевозможным комбинациям
целых чисел kv и &2.
Согласно (57') любая частота
колебаний может быть представлена длиной
отрезка, проведенного из начала координат в соответственный
узел сетки (с координатами k^a и k2b).
Не трудно подсчитать число щ возможных простых колебаний,
имеющих частоту, меньшую известного предела ω0. Для этого
нужно только описать радиусом ω0 окружность и подсчитать число
узлов, которое помещается внутри квадранта этой окружности.
Так как каждому узлу соответствует элементарный
прямоугольник, ячейка сетки, то число возможных колебаний п0 мы с
известным приближением можем представить как отношение площади
квадранта к площади элементарной ячейки ab:
π (Dna , π ωη2 π21»2
n^-f-.ab^-f-.-g-.
Эта формула будет тем точнее, чем больше радиус %, сравни-
тельно с длинами α и о. Принимая во внимание, что —= -т—, где

§ 31 Колебания мембран и пластин 151
λ0 — длина волны, соответствующая предельной частоте <о0, мы
найдем следующую простую формулу:
П°~"ѴГ=~\?' (58)
где S площадь мембраны.
Мембраны применяются в различных приборах для измерения
амплитуд колебаний, в телефонах, громкоговорителях, конденса*
торных микрофонах. Для увеличения частоты собственных
колебаний мембраны увеличивают ее натяжение, или уменьшают
толщину. Тонкие пленки приготовляют из коллодия, и можно получить
толщину всего в несколько микронов. Стальная тонкая пластинка,
подвергнутая сильному растяжению в кольцевой оправе, может
давать очень высокие частоты, до 5000 колебаний в секунду. Стальная
пластинка в обыкновенном телефоне представляет круглую
мембрану и ее колебания могут быть демонстрированы, если насыпать
на ее поверхность мелкий песок и возбуждать ее колебания,
пропуская через обмотку телефона переменный ток различной частоты.
Песок собирается в кучки вдоль узловых линий на поверхности
мембраны, и обнаруживает распределение амплитуд в различных
точках при разных собственных частотах.
Пластинки не очень тонкие и представляющие известное
сопротивление изгибу отличаются от мембраны так же, как стержни
от струны. Чем толще пластинка, тем больше имеет значение ее
упругость по отношению к изгибу. Упругая, зажатая по краям
пластинка применяется во многих передатчиках (например в
описанном выше генераторе Фессендена, § 2) или приемниках
акустических сигналов (см. § 34). Частота ее основного колебания
выражается следующей формулой:
/Ѵ 2π α» V
рагде h — толщина, а—радиус пластинки, а °—коэффициент
Пуассона для того материала, из которого она приготовлена. Если
пластинка находится в соприкосновении с водой, то ее частота
уменьшается вследствие инерции воды, которая увеличивает
эффективную массу пластинки. Частота вследствие этого
уменьшается в "і/ 1 + 0,67-^- · -η- раз, где pt — плотность воды,
ар — плотность пластинки.

152 Звук , Гл. //
Колебания толстых пластин плоских и изогнутых, например
в колоколах, представляют меньше интереса в отношении
акустических применений. Их легко показать по методу уже неоднократно
нами упоминавшемуся: пластина посыпается мелким песком и
приводится в колебания. Обычно при этом она зажимается в центре, как
показано на рис. 76, и колебания ее возбуждаются смычком. В
зависимости от характера возбуждения пластинка издает различной
высоты тон, и в то же время образуется соответствующая система
узловых линий. Получающиеся рисунки (рис. 77) носят название
Хладниевых фигур (Хладни 1787 г.). Толстые пластинки в виде
„гонгов" различной формы или колоколов служат как источники
звука большой силы для разного рода сигналов, но в особенности
полезны для подводной сигнализации. Звук подводного колокола
легко принимается на расстоянии многих километров.
Рис. 76. Рис. 77.
§ 32. Объемные резонаторы.
Колебания, происходящие в некотором объеме воздуха,
огражденном стенками, отражающими волны, представляют пример для
дальнейшего развития и обобщения предыдущих рассуждений.
В струне мы имеем одну переменную х, расстояние от начала
струны; в мембране две независимых координаты χ и у; в объеме
прямоугольного параллелепипеда мы имеем еще большее
разнообразие переменных, соответствующее трем координатам х, у, ζ.
Мы предоставляем читателю проделать в этом случае те же
выкладки, пользуясь следующей формулой для колебаний:
ξ = A sin ω t · sin -j— sin -4- sin -j—.
η h »3
Частота колебаний определяется формулой, подобной (57'):

§ JJ
Объемные резонаторы
153
где klt k2, к$ всевозможные целые числа, а 1и /2, /3 — длина ребер
параллелепипеда. Число возможных собственных колебаний, частоты
которых меньше определенного предела ω0> выражается формулой
подобной (58);
4π V
Πο==τ*ν"' (б0)
где V—объем параллелепипеда, а λ0 — длина волны,
соответствующая предельной частоте ω0. Такие замкнутые объемы воздуха,
имеющие собственные периоды колебаний, мы называем
объемными резонаторами.
Примером объемных резонаторов может служить прямоугольная
комната, которая резонирует на некоторые колебания особенно
сильно.
Особое значение для теоретического рассмотрения многих
явлений, связанных с колебательными и волновыми движениями
материальных тел или колебаниями не механическими, напр.
световыми, имеет случай
прямоугольного помещения, „ящика", как мы
его сокращенно обозначим, с
идеально отражающими стенками. В
таком ящике мы представляем себе
плоские бегущие волны,
распространяющиеся в каком-либо
направлении О А (рис. 78) с определенной ско- Ряс. 78.
ростью ѵ. Если взять другое
произвольное направление ОХ, то вдоль этого направления скорость
распространения фазы тех же волн иная, а именно равна ν =
= w/cos<p. Если λ длина волны, т. е. расстояние между двумя
плоскостями, в которых фазы колебания одинаковы, как показано на
рис. 78, то расстояние между точками на оси ОХ, имеющими
одинаковые фазы, равно λ' = · . Таким образом мы можем
cos φ
определить распространение волн в любом направлении, изменяя
соответственным образом длину волны.
Пусть направление ОА составляет с осью ОХ угол φβ, с осью
ΟΥ—угол <РуИс осью ΟΖ — угол φ,. Изменение фазы вдоль этих
трех направлений происходит так, как если бы в этих направлениях
распространялись волны с различными скоростями. Длины »тих
волн должны быть равны Хя, \ и \ и определяются из уравнений
λ = λβ cos 9x = Kj cos <Ру = ^е cos <?,.

154
Звук
Гл. II
Каждая из этих волн должна образовать вследствие отражения
от стенок ящика стоячие волны, и вдоль длины соответствующего
ребра должно укладываться целое число полуволн. Вместо того
чтобы рассматривать действительные волны, мы .вправе
ограничиться рассмотрением волн, бегущих вдоль координатных осей.
В ящике возможны только такие волны, которые удовлетворяют
условиям, 2/1==М:Е( 2/2 = М, и24 = ^„ (61)
т. к. только такие волны будут в резонансе с объемным
резонатором. Эти условия вполне определяют величины λχ, λ^ и Хг,
возможные в данном ящике. Найдя эти величины, вычислим и длины
возможных волн по формуле
J__±_L±J_J.
вытекающей из известного соотношения между косинусами
cos2 wx -j- cos2 <py -j- cos2 φ, = 1.
Подставляя значения Хг, λ^ и \ из (61) и выражая длину волны λ
через частоту ω и скорость волн ѵ, мы получаем формулу (59).
§ 33. Приемники звука. (Общая теория).
Приемниками звука, как мы уже неоднократно убеждались, могут
служить те же приборы, которые служат и для передачи звука.
Хороший передатчик звука, успешно превращающий энергию
двигателя в энергию волн среды, является также хорошим
механизмом для превращения энергии приходящих волн в колебания
механических частей прибора. Общий вопрос о достоинствах
приемника тесно связан с вопросом об испускании волн, когда
он действует как источник звука.
Причиной этой связи является то обстоятельство, что при
возбуждении приемника падающими на него волнами он сам
начинает излучать их, и вследствие этого поток приходящих воля
подвергается сам воздействию приемника. При наилучших условиях
количество энергии, поглощаемое приемником, больше, чем
количество, непосредственно попадающее на него, когда он является
не источником волн, а просто препятствием на пути приходящих
волн. Приемник, способный колебаться под действием падающих
на него волн, и в особенности настроенный в резонанс с ними,
является прибором, высасывающим энергию волн из окружающего
пространства, причем его действие распространяется на площадь
во много раз большую размеров самого приемника, если только
он мал по сравнению с длиной волны.

§33
Приемники звука
155
Прием заключается в том, что падающие волны приводят
в колебательное движение некоторые части приемника, причем
эти колебания вызывают показания измерительного прибора,
превращаясь или в колебания электрического тока, или в какую-нибудь
иную форму энергии. При данной силе падающих на приемник волн
амплитуда его колебаний должна быть возможно большей. Обычно
это достигается тем, что приемник является в то же время
резонатором. Рассмотрим поэтому, как ведет себя резонатор, когда на
него падают волны от какого-нибудь источника. Поднеся камертон
к отверстию резонатора Гельмгольца, мы услышим, что звучание
его значительно усиливается. Камертон сам по себе является
слабым источником (двойным) звука; в соединении с резонатором его
способность звучать усиливается. Резонатор поглощает энергию
звуковых волн, испускаемых камертоном, для того, чтобы их
излучать с большей силой, чем камертон. Для этого резонатор должен
не просто поглощать падающие на него волны, а, так сказать,
выкачивать энергию из камертона. Последний будет терять свою
энергию быстрее в присутствии резонатора, вследствие обратного
действия на камертон волн, испускаемых резонатором.
Подобным же образом приемник звуковых волн, обладающий
свойствами резонатора, действует на волны, проходящие мимо него. Своим
излучением он так видоизменяет проходящие волны, что
поглощаются не только те волны, которые непосредственно падают на него.
Положим, что приемник имеет некоторую величину поверхности
S, которая подвергается давлению Д.Р приходящих волн. Величина
ΔΡ изменяется гармонически с частотой ω, так что
AP==A0Fsinffii.
Под влиянием этих изменений давления поверхность приемника
также начнет колебаться, причем скорость ее и прилегающих
к ней частиц среды колеблется с той же частотой ω, но с другой
начальной фазой:
и = и0 sin (ω t -f-φ).
Разность фаз φ этих колебаний зависит от настройки
приемника: при настройке в резонанс <р = 0, а вдали ст резонанса φ
близко к —-у-· Мощность силы F=F0sm®t, действующей на
поверхность приемника, равна
R? = -7rf0u0cos<?.

156 Звук Гл. //
При резонансе она достигает наибольшей величины -?rFQuQ
а вдали от резонанса близка к нулю (cos φ «0). В рассматриваемом
случае мощность W действующих на приемник волн равна
H^-rj-A^SuoCos», (62)
так как Δο^^ есть амплитуда силы, действующей на поверхность
приемника. Такова мощность поглощаемых приемником волн. Эта
мощность расходуется на преодоление сил трения или на полезную
работу обслуживания приемных устройств, или же на излучение
волн. Во всех этих случаях расход мощности может быть
представлен произведением коэффициента сил сопротивления г на
средний квадрат скорости, равный -^- u02.
Таким образом
у Δ0 P.Su0 cos φ =-у/-ιζ03 (бЗ)
откуда мы находим амплитуду скорости
Но = — COS φ (64)
и мощность, поглощаемую и расходуемую приемником,
г==_!_ v^cos2tp. (65)
Рассмотрим сначала случай, когда поглощаемая резонатором
энергия полностью испускается им. Мы видели (§ 22), что при
испускании волн простым источником η неограниченной среде
мощность его равна
2 λ2 Ά — 2 λ* ° (66;
и, следовательно, сопротивление излучения источника
га равно
_ π ρ vS*
Следовательно мощность, поглощенная им, по формуле (65) равна
i A P213
W=~ ^i-A-cos2?. (68)
Сравним с этим выражением количество энергии, падающей
на приемник и равной IS', где /—хила звуковых волн, a S' — сече-

§ 33 Приемники звука 157
ние приемника плоскостью волны. Если последний состоит из пла<·^
тинки, параллельной плоскости волны, то S' = S, т. е. сечение
равно поверхности, принимающей волны. Согласно (12)
Таким образом, количество поглощаемой энергии больше
количества падающей на приемник, в отношении
rr/S'^cosVS7. (70)
Поэтому сечение приемника (резонатора) как бы увеличено
в указанное число раз, и достигает максимума при резонансе,
когда cos ψ = 1.
Мы предполагали, что вся энергия, поглощаемая резонатором,
испускается опять в виде волн. В приемнике некоторая часть
всегда расходуется на работу, связанную с тем или иным
механизмом сигнализации. Эта полезная работа должна быть по
возможности велика, а потери на излучение, равно как и другие
вредные потери, по возможности малы. Обозначим
сопротивление излучения га, а сопротивление при полезной работе rt.
Мощность, расходуемая приемником, равна
г * A^!cos2?j (71)
2 ra-f-r, >
если пренебречь величиной всех вредных сопротивлений, за
исключением га. Полезная часть мощности по отношению ко всей равна
отношению полезного сопротивления г, ко всему сопротивлению
га-\-Гі. Таким образом, полезная мощность равна
Последний мноя-игель имеет наибольшую величину при равенстве
полезного и вредного сопротивления. Если ra = rit то полезная
мощность равна
° га
т. е. в четыре раза меньше той мощности, которая поглощается
резонатором при отсутствии полезного сопротивленил г,. Подставляя
выражение сопротивления излучения из (67), получим

158
Звдк
Гл. II
где /—сила падающих на приемник волн. Таким образом,
наибольшая полезная мощность в прием н яке, представляющем простой
источник звука малых размеров, при резонансе равна
Таким же способом можно показать, что приемник, являющийся
двойным источником малых размеров, будет развивать в среднем
ту же мощность. Но эта мощность зависит от угла θ, который
образует ось источника с направлением распространения волн
Причина, почему двойной источник развивает почти ту же мощность,
что и простой, заключается в его малом сопротивлении излучения.
Поглощение энергии двойным источником, по сравнению с простым,
при той же амплитуде и0 скорости его поверхности мало, но
вследствие малости сопротивления излучения его амплитуда значи.
тельно больше. Точно также при излучении волн простым и
двойным источником при равной мощности амплитуда колебаний второго
должна быть значительно больше.
Заметим, в заключение, что колебания давления у поверхности
приемника зависят не только от той амплитуды Δ0Ρ, которая
создается приходящими волнами, но также и от амплитуды,
создаваемой колебаниями поверхности приемника. Таким образом,
истинное изменение давления определяется суммой двух слагаемых.
Первое в наших формулах входило явным образом, как колебания
с амплитудой Δ0Ρ, второе же неявно через сопротивления излучения
приемника. Таким образом, влияние сопротивления излучения на
прием волн есть в сущности изменение состояния среды,
вследствие колебаний приемника, или обратное действие на приходящий
поток волн, о котором говорилось выше.
Рассматривая приемники малых размеров, мы нашли, что
развиваемая ими мощность не зависит от их поверхности. Но если
последняя имеет размеры большие длины волны, то мы
приближаемся к случаю, разобранному в § 22, в котором испускание
волн происходит в одном направлении при помощи плоских волн.
В этом случае согласно (26) мощность источника равна
2 β ° S 2 '

§ 34 Специальные типы приемников звука 159
а так как AQ — Su0, то сопротивление излучения
га = ν ρ S.
Если плоская поверхность приемника перпендикулярна к
направлению приходящих волн, то мощность приходящих волн при
действии их на поверхность S равна
-у S&0 Ри0 cos φ = — uQ\
где г—полное сопротивление приемника. При условиях
наилучшего приема г = 2га, и, следовательно,
SA0P 5Δ0Ρ
u0 = —— cos φ = " cos ψ.
r 2ra
Полезная мощность, выделяемая в приемнике, равна в этом случае
^шах = -2- '■4"02= g). ' COS2=p= ° COS2·?.
При резонансе мы имеем вследствие (21)
а в том случае, когда приемник является резонатором, в котором
все сопротивление равно га, мы имеем просто
W^ = SI,
т. е. поглощаемая энергия равна падающей на поверхность. В этом
случае поверхность приемника полностью поглощает приходящие
волны; если же приемник находится не в резонансе, то часть
приходящих волн отражается, вследствие чего перед приемником
образуются стоячие волны.
§ 34. Специальные типы приемников звука.
Предыдущие общие результаты мы применим к двум типам
приемников, из которых один находит применение при приеме
сигналов в воздухе, а другой под водой. Резонатор Гельмгольца,
в шейке которого находится тепловой микрофон (см- § 21),
представляет весьма . чувствительный приемник, если он настроен
в резонанс с принимаемыми волнами. Мощность, развиваемая
в нем, как во всяком резонаторе, являющемся простым источником,
равна при резонансе — А2, если /— сила приходящих волн, а

160
Звук
Гл. II
амплитуда скорости частиц в шейке резонатора, сечение которой
равно S,
Щ·
но согласно (22)
поэтому
π ρ vS'
Uo-^s\-dr)o
Таким образом) амплитуда скорости в приходящей волне,
превращаясь в амплитуду скорости частиц в шейке резонатора,
увеличивается в такое же число раз, как
мощность поглощаемых волн по
сравнению с мощностью падающих на
поверхность S. Обозначая величину
эффективной поверхности резонатора Se =
λ*
= , мы находим для коэффициента
усиления скоростей величину, равную
отношению эффективной поверхности Se
Рис. 79. к площади сечения шейки S.
В виду такого усиления скоростей понятно, что самым
подходящим детектором, т. е. прибором для обнаруживания колебаний,
возбуждаемых в приемнике, является тот, который реагирует
именно на колебания скорости. В тепловом микрофоне охлаждение
проволоки пропорционально квадрату амплитуды скорости м0, и
поэтому увеличение амплитуды скорости дает квадратичное
увеличение действия на детектор. У звуков, распространяющихся под
водой, амплитуды скорости при той же силе звука меньше, чем
в воздухе в 61 раз (]/" РЛ : ]^р^с2). В то же время отношение
амплитуд давления больше в такое же число раз. Поэтому
подводные приемники должны реагировать преимущественно на
колебания давления.
Обычный тип подводного приемника или гидрофона изображен
на рис, 79. Толстая металлическая коробка А герметически закрыта
тонкой стальной пластинкой D, принимающей приходящие волны.
В центре ее, во внутренней камере присоединена крышка
микрофонной капсюли, к которой ток подводится при помощи кабеля С
через герметический затвор В. Собственные колебания пластинки

§ 34 Специальные типы приемников звука J 67
настраиваются на определенный тон (при определении собственной
частоты колебаний пластинки необходимо иметь в виду и массу
2
воды, которая увеличивает массу пластинки на величину -^-яг3,
и массу т микрофона, сосредоточенную в центре пластинки и
увеличивающую эффективную массу пластинки, распределенную
по всей поверхности, на 5 τη, τ. е. на пятикратную массу
микрофона, если сигналы имеют определенной высоты тон).
Настройка повышает чувствительность приемника, но она
искажает форму колебаний сложных звуков, и если желают по тембру
звука узнать происхождение звука,
например тип судна, являющегося β ' \
источником, то предпочтительно поль- mL
зуются ненастроенным приемником. ^'ji / \.r \.
При настройке описанный гидрофон М- *D "I г
легко обнаруживает (не пользуясь уси- JfL \^__^/ Ч^_Ѵ^
лителем) звуки звукового генератора Щ/
мощностью в 0,5 л. с. при 500 кол.
в сек. на расстоянии 30—45 км.
Насколько выгоднее передача через воду, рис 8о.
видно из того, что сирена в 200 л. с.
при помощи самого чувствительного приемника в воздухе
принимается только на расстоянии 15 км.
Микрофонный детектор очень чувствителен к шумам, толчкам
непериодического характера, и поэтому посторонние звуки иногда
мешают улавливанию слабых звуков определенного тона. Поэтому
в настоящее время предпочтение отдается приемникам
индукционного или электродинамического типа (§ 2), которые хотя и менее
чувствительны к звукам, но менее реагируют на шумы.
Гидрофоны описанного типа являются простыми (поршневыми)
источниками звука. Если их размеры малы по сравнению с длиной
волны, то они принимают звуковые сигналы одинаково хорошо
откуда бы они ни приходили. Вращая такой гидрофон, мы не
заметим изменения силы звука, потому что он чувствует изменения
давления независимо от своей ориентации. При помощи такого
гидрофона нельзя определить направления звука или пользоваться
звуковыми сигналами для определения местоположения источника
звука.
Для определения направления, откуда приходит звук, может
служить гидрофон, обладающий направленным приемом. Мы видели
(§ 24), что двойной источник звука принимает волны различно
11 Зак. 2408. Курс физики.

162 Звук Гл. II
в зависимости от того, какой угол образует его ось с направлением
распространения. Пластинка D, соприкасающаяся с двух сторон
с. водой и укрепленная в тяжелой медной оправе В, которая имеет
хорошо обтекаемую форму (рис. 80а), обладает всеми свойствами
двойного источника. В центре пластинки D, как и в обычном гидрофоне
укрепляется микрофонная капсула М. На том же рисунке (80Ь) изоі
бражена диаграмма приема. Горизонтальная ось, составляющая угол
90° с плоскостью пластинки, совпадает с осью двойного источника
так как при колебаниях пластинки скорости и у ее поверхности
с разных сторон имеют противоположные фазы. Поэтому волны
приходящие в этом или в противоположном направлении, дают
наибольшую силу приема. Волны же, приходящие вдоль
вертикальной оси, никакого действия на пластинку не оказывают.
§ 35. Определение направления звука.
Возможность определения на слух направления звука является
одним из важных способов ориентирования нашего поведения
в обычной жизни. Это привычное для нас свойство нашего слуха
оказывается, однако, трудным вопросом, когда мы подходим
к нему с целью дать ему физическое объяснение. С другой
стороны, существует целый ряд случаев, когда определение
направления звука с большой точностью представляет задачу чрезвычайной
важности. Например, определение направления, в котором
находится аэроплан, по звуку, им издаваемому, или местоположения
надводных и подводных судов требует точности, превышающей
естественную способность нашего слуха, и поэтому вызывает
необходимость постройки особых приборов.
Определение направления звука на слух возможно только, если
оба наши уха участвуют в восприятии ззука. Точность определения
составляет несколько градусов, если звук приходит справа или
слева. Но если он приходит спереди или сзади, то легко сделать
ошибку в 180°. Для истолкования этих явлений было предложено
два объяснения. Первое принимает, что в зависимости от
направления сила звука, доходящая до разных ушей, различна. При этом
предполагается, что голова представляет препятствие, которое
экранирует уши в неравной степени, в зависимости от направления
звука. По расчетам Рэлея относительная сила звука для разных
мест головы по отношению к приходящим волнам, а именно:
спереди а), сзади Ь) и сбоку с) зависит от отношения окружности
головы 2 π/? и длине волны λ. Для разных отношений мы имеем
следующие относительные величины:

§ 35 Определение направления звука 163
2r.Rfk
а
Ь
С
=2,0
0,69
0,32
0,36
= 1,0
0,50
0,28
0,24
=0,5
0,29
0,26
0,23
Мы видим, что когда длина волны в два раза меньше окружности
головы, сила звука спереди слишком в два раза больше, чем сзади.
При длине волны в два раза большей это отношение еще довольно
значительно (1,7), но когда волна удлиняется еще в два раза, т. е.
в два раза больше окружности головы, то разница сил звука спереди
и сзади меньше порога слышимости. Между тем для низких звуков,
имеющих еще более длинную волну, например при числе
колебаний 128 в сек., и дающих по расчету разность сил звука
меньшую 1°/о, направление определяется вполне надежно. Таким
образом, ясно, что для звуков низких первое объяснение непригодно,
и остается другое, основанное на том, что наши уши могут воспри
нимать разность фаз колебаний, доходящих до правого или левого
уха по разным путям. Но и это объяснение может быть справедливо
только для сравнительно низких тонов. Для высоких разность
фаз может достигать величины 2 π, когда никакой разницы в
ощущении звука она создать не может.
Рэлей показал, что если создавать искусственно разность фаз,
заставляя звук доходить до ушей по разным путям, то получается
впечатление правого или левого положения в зависимости от
разности фаз или от разности длины путей, проходимых звуком от
источника до ушей. Источник звука казался всегда находящимся
со стороны того уха, к которому фаза волны доходила раньше, если
только разность фаз была меньше половины полного периода.
Впоследствии подобные опыты, произведенные другими
исследователями, показали, что можно искусственно вызвать впечатление
изменения положения источника, или сохраняя постоянной разность
фаз, но изменяя отношение сил звука, или же сохраняя силы
звука, но изменяя разность фаз. В первом случае кажущийся
поворот направления звука был пропорционален логарифму отношения
сил звуков, а во втором пропорционален разности фаз.
Коэффициенты пропорциональности зависят от частоты.
Таким образом опытным путем установлено, что разность фаз
имеет значение для звуков, частота которых ниже 1200, а разность
сил звуков для более высоких тонов. Но объяснение того, каким
11*

164 Звук Гл. II
образом разность фаз звуковых колебаний в разных ушах дает
представление о том или ином направлении, относится уже к фи-
зиологии наших органов чувств и мозговых центров.
Описанные опыты дали почву для развития бинауральных
методов, имеющих целью устанавливать направление отдаленных
источников звуков, например аэроплана, если невооруженное ухо
вследствие слабости звука не может дать нужной точности. Обычно для
этого применяются две слуховые трубы ААХ с большим отверстием
(рис. 81), расположенные на концах рамы, которую можно вращать
в горизонтальной плоскости.
Расстояние между отверстиями рупоров
увеличивает разность фаз сигналов,
доходящих до отверстий труб и
попадающих затем по звукопроводящим
трубкам ВЬ и BJj^ равной длины, в уши
Рис. 81. наблюдателя. Отверстие труб делается
большим для увеличения силы приема
слабых звуков. Вращая раму, можно устанавливать отверстия труб
так, чтобы звук попадал то в одно, то в другое ухо с
опережением по фазе. При этом кажется, что звук переходит с одной
стороны головы на другую, и момент перехода соответствует
направлению на источник звука, когда это направление
перпендикулярно линии, соединяющей отверстия труб. Точность
установки этого звукоулавливателя достигает 2—4е. Таким образом
можно определить угол направления звука по отношению к
горизонту, если вращение труб происходит в вертикальной плоскости.
Для определения не только направления, но и положения
источника в пространстве применяется несколько приемников,
расположенных в разных точках, по методам геодезической съемки.
Бинауральные компенсаторы применяются для того, чтобы
избежать необходимости вращения приемника. Для этого звук
проводится к ушам наблюдателя по каналам разной длины. Изменяя
разность длины путей от отверстий слуховых труб до ушей, можно
найти такую величину этой разности, при которой разность фаз
равна нулю, и звук слышится прямо против наблюдателя.
Выше (§ 34) был описан гидрофон, позволяющий определять
направление звука по вращению его оси. Различные приемники,
обладающие таким же направленным приемом, применялись для
той же цели. Так например, приводя в колебания капсюлю микро-
фона, можно получить совершенно различные токи при колебаниях
вдоль оси микрофона и в перпендикулярных направлениях. Но

Пустая страница

765
Звук
Гл. II
фона, закрепленная в тяжелой оправе. Масса пластинки и
укрепленного на ней микрофона должна быть значительно меньше массы
оправы, так как иначе часть энергии приходящего звука будет
передаваться оправе. Перемещения массы, скрепленной с упругой
пластиной, значительно больше, чем перемещения тяжелой оправь*.
При помощи упругих скреплений можно еще увеличить амплитуду
перемещений передаваемую другим массам.
Акустические фильтры имеют целью пропускать только
определенные частоты, или участки спектра частот. В некоторых
случаях воздушные резонаторы могут играть такую роль. Так
например, камера резонатора (рис. 82) пропускает преимущественно
колебания резонансной ча-
JL^.
стоты; трубка 2 с боковым
—— ___________ отростком, настроенным на
определенную частоту, слу-
Рис 82. жит для поглощения этой
последней, и, следовательно,
не пропускает определенных звуков. При помощи комбинаций
различных камер и боковых трубок, сообщающихся с
звукопроводящей трубкой, можно достигнуть того, что все частоты, лежащие
выше или ниже определенного предела, будут поглощаться в зву-
копроводе. Подобным образом действуют надлежащим образом
подобранные комбинации масс и упругих связей. При выборе
таких механических схем руководящую роль играют электрические
аналогии.
§ 37. Шумы.
Шум возникает под влиянием непериодических механических
сил и движений. Удары, взрывы, а иногда и беспорядочное
наложение музыкальных тонов являются источниками шума. В некоторых
случаях стук в машине дает указание о различных дефектах в ее
работе, в то время как беззвучная работа свидетельствует об
исправности ее. Борьба с шумами в таких "случаях является
одновременно борьбой за долговечность механизма. В других случаях
шумы хотя и являются необходимой принадлежностью работы, как
при взрыве в двигателях внутреннего сгорания, но в то же время
действуют утомляюще на лиц, которые должны находиться вблизи них.
Как показали медицинские исследования, шум является весьма
вредным фактором в жизни человека и иногда ведет к нервным
расстройствам и заболеваниям. Поэтому в настоящее время на
очереди стоит задача устранения шумов.

Пустая страница

Пустая страница

Пустая страница

Пустая страница

172 Электромагнитные колебания и волны Гл. Ill
ние напряжения в цепи сосредоточено на концах катушки L.
Разность потенциалов на обкладках конденсатора может равняться
падению напряжения на катушке вследствие э. д. с.
(электродвижущей силы) самоиндукции, которая равна — ^~П* а также равна
по величине и противоположна по знаку разности потенциалов V
Чем больше коэффициент самоиндукции L, тем меньше может быть
скорость возрастания тока в катушке, тем медленнее происходит
разряд. Ток достигает максимального значения, когда скорость
возрастания его делается равной нулю. Несмотря на это, ток
продолжает итти, обкладки получают противоположные заряды, и
разность потенциалов на них, изменив знак, начинает возрастать. Так
как уравнение —V—L-ττ все время имеет место, то отрицательный
знак V указывает на уменьшение тока г со скоростью -γ-. Разряд
будет таким образом происходить до тех пор, пока убывание тока
или, что то же, возрастание по абсолютной величине
отрицательного тока прекратится. Тогда конденсатор будет заряжен до
отрицательной разности потенциалов и разряд через искровой
промежуток, если он сохранил свою проводимость, начинается сначала,
но в обратном направлении.
Теория этого колебательного разряда была впервые развита
В. Томсоном (в 1855 г.), и поэтому электрические колебания этого
вида носят название томсоновских колебаний.
Они во многих отношениях являются аналогией колебаний
механических, и поэтому общая теория колебаний, развитая в
первой главе, находит себе применение и здесь. Для выяснения этой
аналогии будем считать, что заряд q, протекший через сечение
провода, соединяющего обкладки, соответствует перемещению х
материальной точки при механических колебаниях. Если величину
заряда условимся определять, начиная с того момента, когда
обкладки не были заряжены, то q будет вместе с тем зарядом на
обкладках (-(-γ на одной и — q на другой). В таком случае i = -jr>
т. е. ток, протекающий по проводнику, соответствует скорости
ν = -S- материальной точки. Механической силе упругости (или
квазиупругой силе) соответствует разность потенциалов V на
обкладках конденсатора, которая пропорциональна заряду q, как
сила упругости перемещению частицы. Так как между разностью

§ 1 Электрические колебания 173
потенциалов V я зарядом q существует соотношение q = СѴ, где С
емкость конденсатора, то коэффициенту к упругой силы
соответствует обратная величина емкости -~ . Силе инерции, или
произведению массы т на ускорение соответствует электродвижущая сила
7-
самоиндукции, согласно с общим законом индукции, равная — L-j-.
at
Ясно, что материальной массе в нашей аналогии соответствует
коэффициент самоиндукции L. Электрическое сопротивление R
соответствует коэффициенту силы трения г, а сила трения и
падение напряжения в цепи вследствие сопротивления пропорциональны:
первая скорости частицы, вторая силе тока. В дополнение к этой
аналогии напомним, что электрическая энергия в конденсаторе равна
2 С 2 ОИ '
что соответствует потенциальной энергии частицы -=-кх2, а маг-
нитная энергия катушки, равная -=- Lr, явно соответствует
кинетической энергии тг тѵ*. Если пренебречь сопротивлением, то,
как мы уже видели выше,
Выражая V и і через q, мы найдем, что
С А*' ц'
Решение этого уравнения вполне соответствует решению
уравнения механических колебаний, если частота ω = ■ __., а именно
q = Q Sin («< + ?). (2)
где Q — амплитуда, а φ — начальная фаза, обе величины
неопределенные, пока не даны начальные условия, например начальное
значение заряда q0 и тока г0. Колебания, которые возникают
в цепи при этих условиях, суть свободные колебания без
затухания. Период колебаний Τ определяется формулой Томсона
Γ=2π УІС, (3)

174 Электромагнитные колебания и волны Гл. Ill
причем емкость С и коэффициент самоиндукции L должны быть
выражены в одинаковых системах единиц, например в
практических (С—в фарадах, L — в генри).
Колебания в цепи конденсатора можно рассматривать так же
как и в случае механических колебаний, в виде процесса
превращения электрической энергии зарядов в конденсаторе
(потенциальная энергия) в магнитную энергию электрического тока
(кинетическая энергия). Максимальная энергия в форме потенциальной энер-
1 Q2
гии в данном случае равна ~η"γτ> максимальная магнитная
энергия, равноценная кинетической, равна -у Ы2, где Q — амплитуда
колебаний заряда о, а /—амплитуда тока і. Так как заряд q и
ток і связаны уравнением і — -г,> то, согласно (2), амплитуды Q
и /связаны соотношением /=ωQ. Приравнивая выражения
максимальных энергий, электрической и магнитной, мы получим
1 О2 1 1
откуда мы находим опять соотношение <o2LC=l, равносильное (3).
Уравнению колебаний может быть придана форма, сближающая
его с уравнением механических колебаний, и в том случае, когда
мы принимаем во внимание сопротивление цепи, .а именно:
г di
означает, что электродвижущая сила самоиндукции — '-~п равна
.. а
в замкнутой цепи разности потенциалов Ѵ=~я падению
напряжения в сопротивлении R при прохождении тока і, т. е. Ri,
Другой способ получения уравнения колебаний заключается
в рассмотрении баланса энергии. Уменьшение общего запаса
энергии в цепи, как электрической, так и магнитной, равно мощности,
выделяющейся в сопротивлении R при прохождении тока ζ в виде
Джоулева тепла. Этот баланс может быть выражен в форме такого
уравнения

§ 2 Вынужденные колебания 175
Дифференцируя левую часть, найдем:
Cdt^Ll dt Kl ·
Пользуясь тем, что ζ = -у-, мы можем сократить это уравнение
на г и получаем после некоторой перестановки членов
ьй+м+-і=о. (б)
Присутствие сопротивления R в цепи вызывает затухание
колебаний и оказывает некоторое влияние на частоту колебаний.
Решение уравнения (5) имеет следующий вид:
i = Ie~at sin («i-f-φ). (7)
Величина коэффициента затухания равна, как и в случае
механических колебаний, половине отношения коэффициентов первых двух
членов уравнения
а частота ω определяется следующим уравнением:
<^+^=-~ (9)
Возбуждение колебаний при помощи искрового разряда
позволяет получить колебания, довольно быстро затухающие, так как
в искре выделяется очень много энергии в виде тепла, света и
звука. Температура металлических паров, образующихся при
испарении электродов искры, настолько велика, что искра при
колебательном разряде является мощным источником света. Каждый
разряд в виду быстрого затухания колебаний длится очень короткое
время. Для того чтобы разряд можно было повторить, необходимо,
чтобы проводимость газов в искровом промежутке упала до нуля.
Обычно поэтому промежутки между разрядами значительно больше
времени разряда.
§ 2. Вынужденные колебания.
Колебания, возбужденные в цепи, содержащей искру, емкость и
самоиндукцию, которую мы будем называть электрическим
вибратором или осцилла тором, могут служить средством

176 Электромагнитные колебания и волны. Гл. Щ
для возбуждения колебаний в других цепях. Если эти цепи могут
быть настроены в резонанс с первой, мы будем называть их
электрическими резонаторами.
В дальнейшем условимся помечать цепь вибратора и все
величины, относящиеся к вибратору, например емкость С,
самоиндукцию L, ток і и т. д., значком 1 (С1( Llt iu . . . ), а те же
величины в резонаторе — значком 2.
Действие колебаний вибратора на резонатор достигается при
помощи различных воздействий, или различной формы связи
между ними. Если колебания в резонаторе возбуждаются при
помощи электромагнитной индукции, то в цепи его должна
возбуждаться электродвижущая сила индукции — Μ -—, где М—
коэффициент взаимной индукции между цепями вибратора и резонатора
а г\—ток вибратора. Такая связь называется магнитной или
индуктивной. Если цепи имеют общую емкость С, то связь
называется электрической или емкостной. Наконец, если
вибратор и резонатор имеют общий участок цепи с
сопротивлением R, то связь называется гальванической или кон-
дуктивной.
Вынужденные колебания, создаваемые в резонаторе при разных
видах связи, можно найти, решая уравнение колебаний при действии
внешней силы, которое в данном случае будет иметь следующий вид:
Z,2§-f-/?2r2-f-g=£\ (Ю)
где Ε — электродвижущая сила, возникающая в резонаторе под
действием колебаний в цепи вибратора, и все обозначения со
значком 2 относятся к цепи резонатора.
Действие вибратора на резонатор обычно сопровождается также
обратным действием резонатора на вибратор. Если связь мала, то
этим действием можно пренебречь. Действие вибратора на
резонатор тогда подобно действию внешней силы, не зависящей от
колебаний резонатора. Остановимся сначала на этом случае.
Решение уравнения резонатора (10) будет иметь тот или иной
вид в зависимости от начального состояния его, т. е. от величины
зарядов и токов резонатора в начальный момент.
Если колебания вибратора имеют частоту ^ и коэффициент
затухания alt то электродвижущая сила Ε в резонаторе может быть
выражена формулой:
Е=Е^е~ч sin (Oyt.

§ 3 Связанные колебания J77
Вынужденные колебания, создаваемые этой силой, будут иметь
определенную амплитуду В и фазу =pt и находятся как частное
решение уравнения колебаний (10):
Я'% = Ве~** sin (a>,f -{- φ). (11)
Но если это уравнение не соответствует начальным условиям, т. е-
если начальные значения заряда ^ао и тока 4о в резонаторе не
равны значениям <720 и ца, которые получаются из (11) при ί = 0:
q^ = B sin» и і'2й = Ва>1 cos? — Ва{ sin»,
то рядом с вынужденными колебаниями возникнут собственные
колебания резонатора с частотой ед^ и затуханием а,.2, причем
R<i 2 ι 2 1
β·«22?,ι"ϊ+-β,βζεί·
Амплитуда А и начальная фаза ψ собственных колебаний,
имеющих вид, выраженный формулой:
qz = Ае ~"' sin (<e2i -f- ψ)
определяется таким образом, чтобы сумма начальных значений
вынужденных и собственных колебаний выражала в точности
начальное состояние резонатора. Этих двух условий:
достаточно для определения неизвестных произвольных постоян
ных А и ψ решения. Например, если в начале резонатор находился
в состоянии покоя, то 920 = ~57~=== υ> и» следовательно,
Л sin ψ =—В sin φ и /4ω2ο08ψ—Α α28Ϊηψ = 5 «^cos φ — 5 α! sin φ
и мы можем, решая эти уравнения обычными приемами, выразить
неизвестные величины А и tg-ψ через известные В и tg-φ.
Подобный результат уже приводился в"§ 13 гл. 1. В
рассматриваемом случае как вынужденные, так и собственные колебания
резонатора предполагаются затухающими, в этом отличие от
случая, рассматривавшегося там. Но большей частью затухание
колебаний вибратора значительно сильнее, чем резонатора, вследствие
влияния искры. Поэтому результаты сложения собственных и
вынужденных колебаний в этих двух случаях имеет много общего.
§ 3· Связанные колебания. '
Если связь остается еще малой, но не настолько малой, чтобы
можно было пренебрегать действием резонатора на вибратор, то
в каждом из них появляются на ряду с собственяыми и вынуж-
12 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

118 Электромагнитные колебания и волны Гл. III
денные колебания, только частота и затухание собственных
колебаний как вибратора, так и резонатора изменяются. Если частота
вибратора была меньше, чем резонатора, то под влиянием связи
она еще более уменьшится, наоборот, частота колебаний
резонатора увеличится. Новые частоты связи отличаются от
собственных колебаний тем больше, чем сильнее связь. Эти две
различные частоты сохраняются и тогда, когда вибратор и
резонатор находятся в резонансе. При слабой связи и вдали от
резонанса можно указать,' какое из колебаний связи произошло от
собственных колебаний вибратора и какое от резонатора. Но
при резонансе уже нельзя по частоте судить о „происхождении"
колебании связи.
В этом случае удобнее рассматривать вибратор и резонатор не
отдельно, а как составные части сложной системы, в которой
возможно независимое существование двух различных колебаний.
Такая система имеет, как говорят, две степени свободы.
Каждое из этих колебаний существует одновременно в обеих частях
системы, причем отношение его амплитуд в этих частях вполне
определенное. Это лучше всего обнаруживается, если можно
пренебречь затуханием колебаний.
Напишем уравнения „связанных" колебаний вибратора и
резонатора при индуктивной связи
L* di^C,- Μά dt
(12)
Обычно оба коэффициента Мх% и Л/21 равны между собою, но
бывают случаи, когда их приходится считать различными.
Разделив первое уравнение на L1( второе на L2, и заменив отношения
Му> Мп , . 1.1 2 2
-у12 и -у=- через кх и а:2, а п , - и п , ■ через щ и ω2, мы получим
уравнения в более удобной форме:
di, ι 2 τ di0
di-i , 2 , dl2
Положим
φ, = α sin ω t и q<i—b sin со t,
(12')

§ 3 Связанные колебания 179
предполагая, что мы имеем одно из колебаний связи. В различных
частях нашей системы, т. е. в вибраторе и резонаторе, это
колебание имеет различную амплитуду, но равные (или
противоположные—'если знаки а и Ь различные) фазы.
Подставив в уравнения эти предполагаемые решения, мы
найдем, что они удовлетворяют им (обращают их в тождества), если
а (_β9 _|_ω2) = ьх<»Ѣ
,b ( — ω2-4- 4)=£2ω°-α
. } Ю
Мы получаем из этих уравнений два выражения для отношения
амплитуд а и Ь, а именно:
а : 6 == jbx со2 : ( — <o2-f-o>i!) ι
а : Ь = ( —α^-f «§):*,«« / <13')
Эти выражения должны быть равны, если уравнения совместны.
Приравнивая их, мы находим биквадратное уравнение для
определения частот колебаний связи:
ω* (ι—ад — (<■>«+<ф <»г+»; «g=о. (14)
Два корня этого уравнения действительны, если к^ < 1, и
следовательно, мы имеем два различных колебания с частотой и·' и ω".
Наиболее простой результат получается в случае резонанса,
т. е. когда' о^ = ω|. В этом случае корни уравнения
и ω
і + ѴкА ι-Км*
дают две частоты, одну меньшую, другую большую резонансной
частоты. При первой частоте связи отношение амплитуд
а': Ь'= νΐΤΓϊζ,
а при второй
что легко получить, подставляя в одно из уравнений (13') вместо
ω9 корни уравнения (14). Таким образом в первом случае фазы
колебаний в обеих частях одинаковы, а во втором противоположны.
Отношения же амплитуд в обоих случаях одинаковы.
Абсолютная величина амплитуды может быть получена, если
известны начальные условия для состояний вибратора и
резонатора. От этих условий зависит, будет ли возбуждаться только
одно из колебаний связи или оба, а также в каком отношении
находятся их амплитуды.
12·:

180 Электромагнитные колебания и волны Гл. ///
Чем больше связь, т. е. чем ближе произведение kxk2 к
единице, тем ближе значения частот связи к предельным своим
значениям:
о/2 _ _і и ω"2 = оо .
2
Таким образом частота одного из колебаний беспредельно растет,
а другая приближается к конечному пределу. Практически при
самой сильной или „жесткой" связи мы имеем опять одно колеба.
ние с частотой ω', и вибратор с резонатором превращаются
в одну систему одной степенью
свободы.
_ j Одновременное существование
двух колебаний связи приводит к
появлению биений (рис. 84).
Энергия периодически переходит из од-
■ 2 ной части системы в другую. Такой
обмен энергиями особенно резко
выражен при резонансе. Чем меньше
связь, тем меньше разность частот
связи и тем медленнее происходит обмен. При полном
отсутствии связи такой переход вообще невозможен, и каждая система
совершает колеб'ания независимо от другой. Отношение амплитуд
а '. Ь делается неопределенным, если к^ = &2 — О·
В практике применения электрических колебаний нередко
приходится встречаться с системами более сложными, чем
рассмотренная здесь система с двумя степенями свободы. Возможны,
конечно, связанные системы вибраторов, сколь угодно сложные.
Нам придется встретиться с случаями, когда число степеней
свободы бесконечно велико.
§ 4. Детекторы электрических колебаний.
С самого начала при изучении электрических колебаний явилась
необходимость в надежных и достаточно чувствительных методах
для обнаружения или измерения электрических колебаний.
Одним из первых и довольно распространенных способов
измерения амплитуды колебаний является метод искромера в резонаторе.
Электроды искромера присоединяются к обкладкам конденсатора
или включаются в проволочный контур, причем длина искрового
промежутка регулируется и измеряется микрометренным винтом.
Этот метод многократно видоизменялся. Иногда вместо искрового
штш
тт>€

§ 4 Детекторы электрических колебание 181
промежутка в воздухе применялись разрядные трубки с
разреженными газами. Но все же, несмотря на некоторые
усовершенствования, он позволяет измерять только довольно большие
максимальные амплитуды, так как при этом способе производится
определение тех максимальных искровых промежутков, в которых
еще происходит разряд при данных условиях возбуждения
резонатора. По длине искры можно судить о величине напряжения.
Тепловые детекторы получили широкое применение для
измерения электрических колебаний в форме термоэлементов,
болометров, воздушных термометров и др.
Две тонких проволочки Μγ и М% из разных металлов (рис. 85),
спаянные или сваренные, образуют спай термоэлемента.
Электрические колебания, проходя по этим
проволокам, нагревают спай термо- 1 м
элемента. Его электродвижущая сила п< ----■ - —^~
пропорциональна RJPdt, т. е. мощ- """ίΤ^
ности, выделяющейся в сопротивле- I
нии R термоэлемента·, и, следователь- ^
но, отклонение гальванометра, с ко- ρ 85
торым соединен термоэлемент,
пропорционально среднему квадрату амплитуды. Подогревание
термоэлемента происходит или при включении его в цепь резонатора,
или же при помощи особого подогревателя, который нагревается
измеряемым током /, как показано на рис. 85. Применение другого
прибора — болометра основано на измерении того же теплового
эффекта по изменению сопротивления тонкой проволоки, которое
определяется обычно в схеме мостика Уитстона. Все эти измерения дают
среднюю квадратичную величину тока при "установившемся*
состоянии колебаний. Переменный ток электрических колебаний
превращается в постоянный ток, пропорциональный квадрату
амплитуды. В этом заключается процесс детектирования или
выпрямления электрических колебаний.
Для детектирозания, очевидно, пригодны также всякие
проводники, имеющие униполярную проводимость, т. е. пропускающие
легче ток в одном направлении, чем в обратном. Одинаковые по
величине э.д.с, но разного направления дают различной величины
токи, вследствие чего под действием переменной э.д.с. колебаний
в цепи, содержащей униполярный проводник, появляется
постоянный ток.
Благодаря исследованиям Ф. Брауна (начиная с 1874 г.) было
открыто много полупроводя цих кристаллов, которые в месте со·

182 Электромагнитные колебания и волны Гл. III
прикосновения с металлами или между собой обнаруживают уни-
полярность, а вследствие этого также свойство выпрямлять
колебания. Кристаллические детекторы, введенные Брауном в
радиотехнику впервые около 1901 г., имеют теперь широкое
распространение при приеме радиосигналов и радиотелефонной передачи
звуковых колебаний. Их свойства выясняются при измерении силы
тока, проходящего через них, при разных э.д.с. Сопротивление
их оказывается зависящим от силы тока или от приложенного
напряжения. Это можно представить формулой
которая показывает, что при одном знаке э.д-с е (например при
положительной э.д.с) сила тока больше, чем при обратном. Такая
асимметрия вызывается присутствием квадратичного члена в этом
уравнении характеристики детектора. Она
изображена на рис. 86, где прямая а'Ь'
представляет первый член уравнения (15), а
кривая аЪ есть характеристика детектора.
Ценным свойством кристаллических
детекторов является их ничтожная
инертность. Выпрямленный ток мгновенно
следует за изменением амплитуды
колебаний, в то время как тепловой детектор
(например термоэлемент) обладает
довольно значительной тепловой инерцией.
Таким свойством должен отличаться всякий детектор,
применяемый в радиоприемных устройствах.
Остановимся на изучении свойств детектора, для чего, положив
в формуле (15), e = $cos<»t, мы увидим, что
і = о S cos <о t -\- β S2 cos2 ω t.
Среднее значение тока г зависит только от второго члена, а именно
т. е. пропорционально квадрату амплитуды э.д.с. §. Мгновенные
значения силы тока содержат также колебания с частотой ω, но
их средние значения равны нулю.
Если амплитуда сама изменяется с какой-то частотой о, например
при передаче звука в радиотелефонии, то Ѣ = §0 c°s ot Средняя
сала тока ζ не передает изменения э.д.с, так как квадрат
12 = ѢI cos2 ot = -L S02(l -f cos 2ot)
Рис. 86.

§3
Метод гетеродина
183
изменяется с двойной частотой и всякий тон при таком
детектировании должен передаваться в виде своей октавы, т. е. с вдвое
большей частотой. Для того, чтобы при передаче звуки
воспроизводились правильно, необходимо, чтобы амплитуда колебаний
содержала не только переменную составляющую S, но также
постоянную Е, т. е,
Г= -f- (£+So cos οί)2 = -|- £2 + β ЕѢ0 cos ot + -L V cos* of. (16)
В этом случае і содержит слагаемую, изменяющуюся с частотой
о, и если постоянная составляющая Еламплитуды велика по
сравнению с іс, эта слагаемая больше слагаемой с двойной частотой.
Кроме того, она правильно передает относительную величину
колебания звука, так как пропорциональна первой степени, а не
квадрату его амплитуды.
Подобные условия мы имеем при воспроизведении звука
телефоном. Сила, с которой притягивается стальная пластинка к полюсам
электромагнита, пропорциональна квадрату магнитного потока, и
поэтому если магнитный поток создается только колебаниями
тока в электромагните, то колебания будут воспроизводиться
с удвоенной частотой. Для правильной передачи колебаний
необходимо, чтобы магнитный поток имел постоянную составляющую,
которая создается или постоянным подмагничивающим током в
электромагните или тем, что сердечник, на котором находится
обмотка телефона, представляет собою постоянный магнит, поток
которого испытывает периодические и притом относительно
небольшие изменения под влиянием тока, проходящего через обмотку.
§ 5. Метод гетеродина.
Одним из методов детектирования колебаний является метод
гетеродина: метод постороннего источника колебаний, или метод
биений. На резонатор, содержащий детектор, действует, кроме
детектируемых колебаний, создающих в нем э.д.с. e — &cose>t,
также колебания с несколько отличной частотой «ѵ Амплитуда
добавочной электродвижущей силы e1 = §1cosiu1i имеет обычно
величину, большую §. Сила тока, проходящего через детектор,
складывается, как мы видели, из линейной и квадратичной части, и только
вторая дает выпрямление тока. В данном случае эта часть равна
(S cos ω ί -f h cos »x if = -~ S»(l + cos 2 ω t) + SSi[cos (ω + <■>,)< +
'+■ COs(« - «Μ + ~ &{ (Η со і 2 «if). (17)

184 Электромагнитные колебания и волны Гл. ///
Колебания тока с частотой 2 ω и 2<і>1; а также с частотой ω-f-coj,
не представляют интереса, так как обычно они имеют слишком
высокую частоту для того, чтобы можно было обнаружить их
действие на приборы. Но наряду с постоянными составляющими
1 1 г
-μ- &2 и -гГ^ выпрямленного тока имеется также колебание
Л·
Ας, частотой биений: Ш>х cos (<о — ωχ)Λ Если разность частот достаточно
мала, то она может быть принята на слух при помощи телефона
или же предварительно усилена при помощи резонатора,
настроенного на частоту биений. Дмплитуда этого колебания
пропорциональна не только амплитуде Ъ детектируемых колебаний, но также
амплитуде колебаний гетеродина Ѣх. Поэтому, увеличивая
амплитуду &и можно значительно усилить амплитуду колебаний с
частотой ω— ωχ. Таким образом, гетеродин с помощью
детектора не только детектирует колебания, превращая их в
колебания низкой, звуковой, частоты, но действует в то же время как
усилитель, увеличивая их амплитуды теоретически в любом
отношении. Но, кроме того, метод этот позволяет обнаруживать очень
небольшие изменения частоты ω по изменению высоты тона ω — ω1(
которое определяется акустическими методами.
Заметим, что хотя биения колебаний происходят в резонаторе
и без детектора, но оба колебания высокой частоты ведут себя
как независимые, и только при детектировании их в цепи
детектора получается колебание низкой частоты. Резонатор, настроенный
на частоту ω — »lf будет резонировать только после детектирования
колебаний, когда появляются эти колебания. Простое сложение
двух колебаний ω и «^ не дает резонанса на низкой частоте,
равной разности ω — ω1#
Метод биений применяется в тех случаях, когда нужно измерить
очень малые изменения частоты колебаний. Так как акустическую
частоту можно определить с точностью до долей колебания,
сравнивая ее с частотой какого-нибудь источника звука (обычно
монохорда), то, очевидно, измерение высокой частоты ω, например
частоты 106 колебаний в сек., может быть произведено с очень
большой степенью точности. Это дает возможность производить
измерения ничтожных изменений емкости конденсатора, и поэтому
метод биений применяется при измерении диэлектрических
постоянных, при определении очень малых перемещений по изменению
емкости и т. п. При этих измерениях должно быть обеспечено
строгое постоянство частоты гетеродина и учтено влияние на
измеряемую частоту всевозможных факторов.

§ б Генераторы электрических колебаний 185
§ б. Генераторы электрических колебаний.
Возбуждение электрических колебаний лабораторно после их
открытия Феддерсеном и в первой стадии их технического
применения в радиотехнике, производилось при помощи искрового
разряда. Этот способ позволяет получить большую начальную
амплитуду колебаний, так как искровой потенциал достигает многих
тысяч и даже десятков тысяч вольт при длине искрового
промежутка порядка 1 см. Но колебания получаются затухающие, и
затухание не может быть уничтожено совершенно, так как
главным источником потерь является искра. Относительная величина
потерь в искре уменьшается при возрастании амплитуды тока,
проходящего через искру, вследствие чего выгодно по возможности
увеличивать емкость в колебательной цепи или, как принято
говорить, в колебательном контуре (Kreis, circuit). Но при
увеличении емкости увеличивается период колебании или длина
волны. Поэтому при коротких волнах влияние искры на затухание
особенно «ильно.
В тех случаях, когда энергия электрических колебаний
излучается в виде волн в окружающее пространство, затухание
колебаний увеличивается еще больше. Между тем, все способы усиления
колебаний при их приеме, основанные на резонансных явлениях,
требуют слабого затухания колебаний. Поэтому возникла задача
получить возможно .слабо затухающие колебания· при помощи
искрового разряда. Эта задача была решена в радиотехнике
открытием способа получения малого затухания . при применении двух
связанных цепей, из которых одна не содержит искры и имеет
поэтому сравнительно малое затухание-
Изучая явления в связанных цепях, М. Вин открыл весьма
простой и удобный способ для получения слабозатухающих колебаний.
Мы видели, что в связанных цепях возможно одновременно
возбудить два колебания связи с различной частотой, в результате
чего в вибраторе и резонаторе происходят биения. При увеличении
связи биения происходят все чаще, и амплитуда тока в вибраторе
уменьшается при колебаниях уже не в силу затухания, а
вследствие обратного действия колебаний резонатора. Когда
амплитуда вибратора уменьшается, амплитуда в резонаторе возрастает,
так как энергия переходит из одного контура в другой. Вибратор,
содержащий искру, имеет гораздо большее затухание, чем
резонатор, и поэтому, если сделать так, чтобы колебания в нем стали
невозможны после того, как вся энергия перейдет в резонатор,

Пустая страница

Пустая страница

Пустая страница

Пустая страница

ISO Электромагнитные колебания и волны Гл. ///
Лампа является таким образом отрицательным дифференциальным
сопротивлением, благодаря тому, что сила электрического тока
определяется колебаниями потенциала сетки, а эти колебания
противоположны по фазе колебаниям потенциала анода.
Итак для того, чтобы рассеянная в цепи колебательная энергия
непрерывно пополнялась, необходимо, чтобы лампа обладала (как
и в случае поющей дуги) отрицательным дифференциальным
сопротивлением. Так как, при возрастании напряжения V на
конденсаторе С, напряжение Ѵа на
лампе падает (сумма их постоянна
и равна э.д.с. батареи Е), то
необходимо, чтобы потенциал Ѵ^ на сетке
был положительным, когда V растет,
т. е. ток в колебательной цепи
заряжает конденсатор и наоборот,
отрицательным при убывании V.
Тогда возрастание тока через лампу
происходит при уменьшении разности
потенциалов между анодом и нитью или наоборот, ток іа падает
при увеличении напряжения Ѵа на аноде лампы.
Период колебаний и в поющей дуге (при непременном условии
однако, чтобы дуга не потухала во время колебаний) и в ламповом
генераторе зависит в первую очередь только от емкости и
самоиндукции колебательной цепи. Это позволяет очень просто изменять
частоту колебаний, если мы имеем конденсатор переменной
емкости (рис. 91, А) или вариометр (рис 91, В), т. е. катушку
с переменным коэффициентом самоиндукции L. Первый есуще-
ствляется обычно помощью двух систем пластин, подвижной и
неподвижной. Подвижные вдвигаются в промежутки между
неподвижными, и таким образом изменяется емкость конденсатора.
Вариометр В состоит из двух катушек, последовательно соединяемых,
причем одна из них вращается внутри другой. При одинаковом
направлении токов в катушках коэффициент L наибольший, при
противоположном — наименьший.
Уменьшая^ емкость и самоиндукцию, можно достигнуть очень
больших частот колебаний. Преимущество электронных ламп перед
дуговыми генераторами заключается в том, что в последних
изменение сопротивления дуги связано с изменением температуры и
электродов и газового промежутка, вследствие чего наблюдается
запаздывание изменений тока в дуге при колебаниях напряжения,
в то время как движение электронов, обладающих ничтожно малой

§7
Ламповые детекторы
191
инерцией, следует за управляющим напряжением вплоть до частот
в 108 в сек. и более.
Следует еще упомянуть об одном способе получения
незатухающих колебаний, применяемом в радиотехнике для получения
мощных незатухающих колебаний. Он основан на получении
колебаний при помощи машин переменного тока с очень большим
числом полюсов и большой скоростью вращения. Такая машина
может дать колебания с частотой в несколько тысяч колебаний
в сек. При помощи различных приемов искажения формы колебаний
можно обогатить эти колебания обертонами высокого порядка, и
с помощью резонансных контуров усилить их. Этот способ
преобразования частоты позволяет от сравнительно низких частот
перейти к частотам в десятки раз большим.
§ 7. Ламповые детекторы.
Катодные лампы, о которых мы уже говорили в связи с общей
задачей генерации незатухающих колебаний, находят в
современной радиотехнике и в физическом эксперименте широкое приме-
ЦйШ*--і5
Рис. 92.
93.
нение. Поэтому знакомство с основными свойствами атих ламп
и их главнейшими функциями нужно не только радиотехнику, но
также и физику. Эти функции в основном сводятся к трем
следующим: а) выпрямлению переменных токов и колебаний, или их
детектированию; Ь) к усилению электрических колебаний за счет
источников энергии, не имеющих колебательного характера, и
с) к получению незатухающих колебаний, или в общем случае

192 Электромагнитные колебания и волны Гл. IЦ
к созданию отрицательного сопротивления в колебательных цепях
с целью уменьшения затухания колебаний.
Для выпрямления применяются лампы с двумя
электродами (диоды). Накаленный катод или нить испускает электроны
которые движутся в пустоте, отчего лампы эти называют также
кенотронами (kenos — по-гречески пустой).
Перенос электрических зарядов через лампу возможен
вследствие испускания электронов накаленным катодом. Поэтому ток
может итти только в одном направлении, как показано на рис. Q2
и притом только тогда, когда потенциал анода А выше
потенциала катода К. Если к электродам кенотрона приложено
переменное напряжение (рис. 92), то ток через него будет итти
в течение той части периода, когда выполнено это условие. Так
как электроны имеют отрицательный заряд, то положительный ток
течет в направлении от анода А к катоду К.
Сила тока, проходящего через такую лампу, зависит от
напряжения на электродах, которое обозначим Ѵа. Эта зависимость
выражается формулой Ленгмюра:
з
Іа = АѴа2
и изображена на рис. 93 в виде сплошной кривой (характеристика
диода). При больших разностях потенциалов она однако
изменяется, как показывает пунктирная кривая. Ток через кенотрон
приближается к предельному значению — току насыщения. Это
наибольшая сила тока, которая может проходить через кенотрон, так
как ток ограничен числом электронов, испускаемых накаленной нитью.
Ток, идущий через кенотрон при переменном напряжении Ѵа,
прерывистый или пульсирующий. Для того чтобы сгладить эти
пульсации, включают в цепь конденсатор и катушку L с железным
сердечником, имеющую большую самоиндукцию, как показано на
рис. 92. Конденсатор С и катушка L служат фильтром, который
пропускает постоянную составляющую пульсирующего тока, но
задерживает переменную. На различных видоизменениях и
усовершенствованиях этих способов выпрямления тока мы не будем
здесь останавливаться и заметим лишь, что они находят себе
применение и в технике для получения постоянного напряжения, когда
налицо имеется только переменный ток, и в физических
лабораториях, когда нужно иметь постоянное высокое напряжение для
питания разрядных трубок, рентгеновских и др.
Применение кенотронов этим не исчерпывается. При
измерениях переменного тока или электрических колебаний кенотрон

§7
Ламповые детекторы
193
дает возможность измерить амплитуду при помощи прибора
постоянного тока или же максимальное значение напряжений, если
кривая напряжения, как функция времени, несинусоидальна и имеет
пики. В самом деле, конденсатор может заряжаться через кенотрон
только до тех пор, пока разность потенциалов V на обкладках
конденсатора не станет равной максимальному значению
измеряемой э. д. с Е. После этого ток через кенотрон остается равным
нулю, и напряжение на конденсаторе дает измеряемую величину.
Таким образом, кенотрон дает возможность электрическим
вольтметром для постоянного
тока измерить амплитуду
переменного напряжения.
Кенотрон может служить
также для детектирования
колебаний, хотя для этой
цели обычно употребляется
теперь трехэлектродная
лампа. В цепи кенотрона (рис. 94)
имеется прибор постоянного
тока (гальванометр А),
который позволяет измерять ток
іа, идущий через кенотрон. Рис· 54·
Если колебания в
какой-нибудь цепи, связанной с цепью кенотрона, создают в последней
некоторую периодическую э.д.с е, которая прибавляется к
постоянной Э.Д.С. Ε цепи, то и сила тока іа, измеряемая гальванометром А,
изменяется. В самом деле, если
К.
L = f(Va) И
= £+е,
причем е небольшая (по сравнению с Е) переменная величина, то,
разлагая га в ряд Тейлора по степеням малой величины е, мы
получим выражение
Если величина е пропорциональна βίηωί, то ее среднее
значение равно нулю, и поэтому среднее значение силы тока будет
равно
4=/(Я)+^Я (18)
13 Зак. 2408. Курс физики, т. П.

194 Электромагнитные колебания и волны Гл. Ill
где e2 — ^es0 есть среднее значение квадрата величины е, а е0
обозначает амплитуду ее колебаний. Таким образом под действием
колебаний постоянная составляющая іа возрастает на величину,
пропорциональную квадрату амплитуды колебаний. Мы видим, что
детектирующее действие зависит в этом случае от коэффициента при квадра-
тичном члене или от второй производной -щ, которая
пропорциональна кривизне характеристики лампы. Поэтому для
детектирования нужно подобрать такую величину Е, чтобы кривизна в точке
характеристики кенотрона, соответствующей этой абсциссе, была
наибольшая.
Для детектирования можно пользоваться или нижним или
верхним изгибом характеристики. В первом случае колебания
вызывают возрастание тока (положительная кривизна), во втором
убывания. В средней части характеристики, где она почти
прямолинейна, изменения тока не происходит.
§ 8. Усилители.
Для усиления тока применяются лампы с тремя электродами,
или триоды. Кроме анода и нити в них имеется еще
управляющий электрод или сетка (gread, grille), так как этот
электрод, помещенный между нитью и анодом, имеет вид сетки или
решетки, через которую электроны могут пройти и таким образом
попасть на анод. Часть тока, идущего от нити, попадает на сетку
если потенциал ее выше потенциала нити. В дальнейшем
потенциалы всех электродов мы будем определять относительно нити,
потенциал которой условимся считать нулем. Если обозначим
потенциал анода Ѵа, а потенциал сетки Ѵе, то, очевидно, что и
ток га, доходящий до анода, и ток if} идущий на сетку, а также сумма
их — ток испускания или эмиссии нити, — должны зависеть от
потенциалов анода и сетки. Вследствие большой близости сетки от нити
электрическое поле вблизи нити, которое и определяет ток
эмиссии, зависит главным образом от потенциала Ѵд сетки. Силовые
линии, идущие от анода, почти все кончаются на поверхности
сетки и только небольшая их часть проникает через сетку и
доходит до катода. Поэтому электрическое поле между катодом и
сеткой почти пропорционально потенциалу Ѵв сетки и очень мало
зависит от потенциала Ѵа анода. Эта зависимость такая же) как
и в случае диода, е той разницей, что рядом с потенциалом

§8
Усилители
№
сетки Ѵд нужно также ввести потенциал анода Ѵа, умноженный
на некоторый коэффициет D меньший единицы. Сумма
Vt=Vt+DVa, (19)
которой пропорциональна сила поля вблизи катода лампы, назы-.
вается управляющим напряжением.
Чтобы убедиться, что ток эмиссии или анодный ток іа зависит
только от V, и что эта зависимость может быть выражена
формулой -
U=f(V.)=f{Vt + DV.), (20)
нужно измерять ток га, изменяя Ѵд и Ѵа так, чтобы управляющее
напряжение Ѵ3 оставалось неизменным. Всякое изменение потенциала
сетки dVg изменяет анодоный ток, но это изменение можно
компенсировать изменением потенциала анода dVa. Если
-wrD* (21)
то управляющее напряжение остается неизменным и анодный ток
также не меняется. Нанося на оси координат соответствующие
значения Ѵа и Ѵд (при постоянном токе іа), мы находим прямую
линию, показывающую, что коэффициент D действительно
постоянен. Так как величина его
зависит от того, сколько силовых
линий, идущих от анода,
проникает через сетку, то этот
коэффициент и был назван
проницаемостью сетки.
При небольших изменениях се- · „у
точного потенциала dVg, но при
постоянном потенциале анода, из- Рис. 95.
менение анодного тока dia зависит
от крутизны S ламповой характеристики. Последним
термином обозначаются кривые, представляющие зависимость
анодного тока от сеточного потенциала при заданном анодном
потенциале Ѵа. Каждому значению Ѵа отвечает одна из семейства
кривых, изображенных на рис. 95. Каждая новая кривая получается
смещением предыдущей на некоторое расстояние параллельно оси
абсцисс, пропорциональное изменению анодного потенциала. Таким
образом крутизна характеристик при одинаковом значении силы
анодного тока остается одной и той же при всех значениях
анодного потенциала. Рассматривая анодный ток как функцию двух
13*

196 Электромагнитные колебания и волны Гл. ІЦ
независимых переменных, мы можем определить величину
крутизны S как частную производную силы анодного тока по одной
из переменных, а именно
Другая частная производная анодного тока оказывается
обратной величиной внутреннего сопротивления Rt лампы, т. е.
Если одновременно изменяется и сеточный и анодный
потенциал, то изменение тока выразится как полный дифференциал
Из этой основной формулы легко получить важное
соотношение между тремя параметрами лампы D, S и Rt. Если положить
dia равным нулю, то отношение соответствующих приращений
потенциалов dVg и dVa есть не что иное, как проницаемость D
сетки;
Поэтому из уравнения
0 = SdVg-\-^dVa
мы получаем соотношение
DRtS=l. ^. (25)
Из этих трех величин только проницаемость D
представляет величину постоянную, зависящую лишь от геометрических
размеров сетки и расположения ее относительно анода и катода.
Как S, так и Rt меняются в зависимости от положения точки на
характеристике, т. е. от величины анодного тока-. Только в
средней части, где кривые (рис. 95) почти прямолинейны, можно
считать постоянными S w Rit
Положим, что лампа включена в цепь батареи Ε
последовательно с сопротивлением R„ (рис. 96). Ток в цепи зависит от
Сеточного и анодного потенциалов. Очевидно, что
V.=*E-R.iu

§s
Усилители
Ί97
и что при изменении потенциала сетки dVg изменится сила тока іа
на dia, а также и потенциал анода на величину
dVa = -R,dia. (26)
Но изменение тока dia равно согласно (24) и (26)
и, следовательно,
dia(\ + ^=sdvr (27)
Таким образом изменение сеточного потенциала dVB вызывает
не только изменение тока dia
При этом отношение —
dVa:dVg равно в силу (26),
(27) и (25)
" D·
но также анодного потенциала dVa-
А
■dV'.dV„
Ri+R.
Полученная формула
показывает величину
усиления-изменения разности
потенциалов dVa— —Radia на
концах сопротивления Ra по
сравнению с изменением
потенциала сетки dVt. Отношение этих изменений достигает наи"
большей величины при бесконечно большом внешнем
сопротивлении, когда усиление делается равным
1
Рис. 56.
g:
D'
Эту величину принято называть коэффициентом усиления
лампы·
Схема, которую мы здесь рассматривали, находит применение
при усилении очень малых, периодически изменяющихся э.д.с.
Амплитуда колебаний потенциала на концах внешнего
сопротивления Ra пропорциональна амплитуде колебаний потенциала сетки,
но увеличена в отношении, которое достигает предельной
величины g при бесконечно большой величине внешнего
сопротивления, т. е. при разомкнутой внешней цепи. При малых внешних
сопротивлениях усиление может быть сколь угодно мало. Поэтому
в анодной цепи усилителя должно быть включено достаточно
большое омическое сопротивление или самоиндукция, или же
достаточно малая емкость. $ля того чтобы усиление приближалось

198 Электромагнитные колебания и волны Гл. ///
к предельной величине £ —7)' нужно, чтобы внешнее
сопротивление было значительно больше внутреннего.
В обычных усилительных лампах коэффициент усиления равен 10
крутизна Ю-3 -ампер и внутреннее сопротивление 10*.
Если внешнее сопротивление значительно больше 104, то
усиление амплитуды достигает 10. При помощи многократного
последовательного усиления можно получить очень большие увеличения
амплитуду, например в 10е раз и больше.
В последнее время для усиления применяются особого
устройства экранированные лампы. В этих лампах, кроме обычной
управляющей сетки, имеется также сетка-экран, которая должна
уменьшать величину проницаемости D и соответственно увеличивать
коэффициент усиления g. Сетка эта имеет постоянный потенциал
и защищает почти совершенно пространство между сеткой и
катодом от влияния колебаний анодного потенциала. Так как
в этих лампах анодный ток не зависит от потенциала анода, то
амплитуда его г0 равна SVg, и следовательно, усиление
амплитуды колебаний на концах сопротивления Ra равно RaS, т. е.
может неограниченно возрастать при возрастании внешнего
сопротивления. Таким образом можно создать усиление, в сотни раз
превосходящее усиление, даваемое обычными лампами.
Особенностью ламповых усилителей является теоретическая
возможность рассматривать сетку как изолированный проводник.
Если сообщить сетке отрицательный потенциал, то электроны,
вылетевшие из катода с очень малой начальной скоростью, не
могут долететь до поверхности сетки, так как для этого им нужно
преодолеть разность потенциалов между сеткой и катодом.
Поэтому между сеткой и катодом проводимость можно считать
разной нулю, и поэтому никаких потерь энергии не происходит при
изменениях потенциала сетки. Источники переменной э.д.с,
обладающие ничтожной мощностью, могут питать сетку усилительной
лампь^ так как затрачиваемая при этом мощность может быть
сделана сколь угодно малой, если сетка сохраняет отрицательный
потенциал по отношению к нити.
§ 9. Теория ламповых генераторов.
Возбуждение незатухающих колебаний при помощи катодных
ламп, о котором мы вкратце упоминали в предыдущем параграфе,
произвело переворот; в современной радиотехнике. Как в пе-

§ 9 Теория ламповых генераторов J99
редающих устройствах, где применение ламп позволяет создать
источник колебаний любой частоты и мощности, так и в
приемниках лампа является наиболее удобным и гибким орудием для
того, чтобы детектировать, усиливать и преобразовывать
колебания, создаваемые радиоволнами.
Все ламповые генераторы основаны на возможности создать
такие условия ее работы, при которых ее дифференциальное
сопротивление оказывается отрицательным. В случае лампы с тремя
электродами для этой цели обычно применяется способ
обратной связи, открытый В. Мейсснером. Он заключается в том,
что колебания, возбуждаемые в колебательной цепи, вследствие
связи какого-либо вида, действуют на цепь сетки лампы и создают
колебания анодного тока іа. Анодный ток проходит через катушку
колебательного контура и создает в ней переменную э.д.с·, которая
поддерживает колебания. Очевидно, что фазы колебаний тока и
напряжения в контуре связаны с фазой колебаний анодного тока
определенным соотношением, которое зависит от механизма связи.
Для того чтобы э.д.с, создаваемая в контуре анодным током,
способствовала пополнению расхода энергии, необходимо, чтобы
фаза анодного тока была такова, как если бы лампа обладала
дифференциальным отрицательным сопротивлением
Рассмотрим в качестве примера тот тип генератора, который
изображен на рис 90. Если iL есть колебательный ток в катушке L
колебательного контура, то э.д.с. в цепи сетки равна — М~7Г> гДе
Μ—коэффициент взаимной индукции, и разность потенциалов на
diL
концах катушки можно считать равной М—гг=Ѵе, где Ѵя
обозначает величину колебаний потенциала сетки. Говоря об анодном
токе іл, потенциалах сетки Ѵд и анода Ѵа, мы будем иметь в
виду не полную величину их, а только их периодические колебания.
Чтобы получить их полную величину, нужно прибавить еще
постоянную их составляющую, которые зависят от э.д.с. батареи,
питающей генератор, или же от батареи в цепи сетки, которая
вводится для „смещения" потенциала сетки. Положим, что
колебания тока іа очень малы по сравнению с полной его величиной,
также как Ѵа и Ѵд, тогда можно в формуле
считать S и /?, постоянными величинами. Для того чтобы лампа
вела себя как отрицательное сопротивление, необходимо, чтобы

200 Электромагнитные колебания и волны Гл. 111
отношение Ѵа: іа было отрицательным, та:: как это отношение
в виду малости Ѵа и іа заменяет отношение дифференциалов dVa
и dia· Это требование можно будет выполнить только, если
отношение Ѵд: Ѵа удастся сделать отрицательным.
В самом деле, обозначим последнее отношение буквой к, так
что Vg = kVa и, следовательно,
L=*VASk
[Sk + W)' С»)
Так как S и R суть величины положительные, то для того,
чтобы отношение Ѵа: іа было меньше нуля, коэффициент к должен
быть отрицательным. Итак, необходимым условием для
получения отрицательного сопротивления является
требование, чтобы фазы колебаний анодного и
сеточного потенциала были противоположны. Коэф-
фициент к, от которого зависит величина Ѵд, носит название
коэффициента обратной связи.
В рассматривае-'ом генераторе колебания анодного потенциала
вызываются колебаниями разности потенциалов на концах катушки
колебательного контура. Если обозначить L самоиндукцию катушки,
diL
то разность потенциалов равна L—jr и, следовательно,
diT
Итак при данной индуктивной связи Ѵе: Va = M:L = k. Для
того чтобы коэффициент к был отрицательным, необходимо,
чтобы Μ и L имели разные знаки, а это означает, что э.д.с,
индуктируемые в катушках L и Μ током іъ, должны иметь
противоположные знаки. Одинаковым знакам э.д.с. на рис. 91 должны
соответствовать одинаковые направления, например, в катушке Μ от
катода к сетке, а в катушке L от батареи к лампе.
Для того, чтобы иметь противоположные знаки э.д.с,
необходимо, чтобы катушки были намотаны в противоположных
направлениях, т. е. чтобы в одной катушке обход вдоль витка в
положительном направлении сопровождался вращением по часовой
стрелке, а в другой—" противоположным вращением.
Анодный ток, проходя через катушку L, индуктирует в ней э.д.с.
согласно (28).

§9
Теория ламповых генераторов
201
Не трудно найти условие для того, чтобы колебания в катушке
поддерживались, несмотря на неизбежные потери. Эти потери можно
представить как потери в сопротивлении R контура, изображенном
на рис. 97. Положительные направления токов іа> iL и і
обозначены на нем стрелками. Разность потенциалов между точками А
diL
и В, равная Ѵа ~ L —^— -\- RiL определяет; заряд дс на
конденсаторе, равный qc = CVa и следовательно,
ток /(, заряжающий конденсатор,
і.=
^9е
dt
dV„
dt
= LC
d4
df*
diT
k —
В точке А происходит разветвление токов
и согласно выбранным положительным
направлениям
iL + ic + ia=0.
^Wv^-?7
Рис. 97.
Последнее соотношение позволяет заменить iL в предыдущем
уравнении через — іс — іа, после чего мы получаем в результате
простых преобразоЕаний
d*L
R di.
А*
L dt
' LCh
d*L , R di
Г
dP ' L dt
f = 0.
Ho
2-("+£№-(м+*)*·
Подставляя это выражение, находим
dP ^
L^ С
h{kS+i)
~di +
CL ^ CL
{kS+i
= 0 (29)
В этом уравнений удвоенный коэффициент затухания 2« не равен ^ .
Вследствие влияния анодного тока лампы он выражается суммой
R
двух величин, из которых одна -γ- всегда положительна, а другая
может быть отрицательна. Если отрицательное слагаемое
преобладает над положительным, то новый коэффициент затухания меньше
нуля, а это означает, что колебания не затухают, а нарастают;
если же он равен нулю, колебания будут и незатухающими и нена-
растающилш.

202 Электромагнитные колебания и волны Гл. III
Как видно из сказанного, от знака дифференциального
сопротивления лампы Ѵа:іа, которое равно
V 1
~Г= Г' (Μ)
зависит возможность уменьшения затухания и доведение его до
нуля. Если бы оно было больше нуля, то присутствие лампы только
увеличило бы затухание колебаний, внеся новые потери в
колебательный контур.
Рассматривая уравнение (29), мы находим также, что частота
незатухающих колебаний не равна гр=> а изменено в
отношении, равном ]/ 1 + Л| &£+-?>- ). Это отношение очень мало
отличается от единицы, но все же меньше единицы. В самом деле,
в случае незатухающих колебаний мы должны иметь нулевое
затухание, т. е.
ω+ R{ L'
и поэтому частота колебаний будет определяться выражением
^Ѵ LC-ΊΧ'
Хотя влияние лампы на частоту колебаний генератора больше* чем
влияние простого сопротивления R на частоту свободных
колебаний контура, которое выражено формулой (8), но в большинстве
случаев все же еще очень мало. Таким образом, при не очень
больших сопротивлениях контура можно считать, что частота колебаний
генератора не отличается от частоты свободных колебаний контура·
Разобранный нами пример не является единственным типом
генератора. Нужная обратная связь может осуществляться
различными способами. Мы не будем останавливаться на их описании,
так как эти вопросы относятся к области радиотехники. Заметим,
что простая теория лампового генератора, изложенная здесь,
основана на линейном соотношении между током іа и анодным
напряжением Ѵа, выраженным уравнением (28). Это соотношение
справедливо только при малых амплитудах колебаний. Поэтому простая
линейная теория строго справедлива только при возникновении
колебаний и определяет условия возникновения. При больших
амплитудах колебания могут заметно отличаться от гармонических.

§ JO Электрические волны в проволоках 203
§ 10. Электрические волны в проволоках.
Рассматривая колебания в цепях, содержащих конденсатор
мы принимали до сих пор, что соединительные провода и катушки
обладают только самоиндукцией, а вся емкость сосредоточена
в конденсаторе. В этом случае ток во всех точках цепи имеет одну
и ту же силу. Такие колебания мы называем
квазистационарными. В отличие от этого мы находим нестационарное
распределение тока, если провода обладают заметной емкостью, и ток
в различных участках провода имеет неодинаковую силу. Ясно, что
часть тока идет на изменение заряда проводников при изменении
их потенциала. Квазистационарность тока, строго говоря, никогда
не имеет места, так как провода всегда имеют некоторую емкость
но часто их емкость мала по сравнению с емкостью конденсатора.
Большие катушки, в особенности состоящие из многих слоев
проволоки, обладают довольно заметной емкостью, измеряемой десят.
ками и сотнями см, и поэтому каждая из них, даже без
присоединенного конденсатора, является цепью, в которой могут существовать
колебания.
Особенное значение имеют цепи, состоящие из двух
параллельных проводов. Если зарядить их до некоторой разности
потенциалов, то на каждую единицу их длины приходится определенный
заряд; мы имеем равномерно распределенную емкость,
величина которой, отнесенная к единице длины провода, равна
приближенно
С,—^г, (31)
1*4
где d—расстояние между проводами, а г—радиус проводов.
Точно так же при постоянном токе і на каждую единицу длины
проводов приходится определенный магнитный поток Nlt и мы
находим таким образом равномерно распределенную само,
индукцию, величина которой
L1 = ^=lg^. (32)
I
Электрические и магнитные силы между проводами определяются
линейной плотностью электрического заряда ри с одной стороны,
и силой тока /, с другой. Электрические и магнитные силовые
линии лежат в плоскостях, перпендикулярных к направлению
проводов, и образуют две системы кривых (рис. 98), взаимно перпенди-

204 Электромагнитные колебания и волны Гл. III
кулярных. Электрические силовые линии начинаются на том
проводе, который обладает положительным зарядом, и оканчиваются
на противоположном. Магнитные силовые линии суть эксцентрично
расположенные окружности, охватывающие провода.
Если в таких проводах происходят колебания, то на каждом
элементе dx провода изменяется периодически заряд р1 dx, а вместе
с тем и разность потенциалов V между проводами. Так как емкость
того же элемента провода
равна C^dx, то изменение заряда
в единицу времени равно
+p4dx
*іж\
-qa*
γ
+ L
f j*_
1
-L
\
ѵЛ^Х
Φι
ді
dx-
C11)tdx.
(33)
Рис. 98.
Этот заряд приносится
током і, проходящим через
сечение провода, расположенное
на расстоянии χ от начала
провода. Принимая во внимание,
что через другое сечение,
ограничивающее элемент провода
еГлг, проходит ток і + ^— dx, мы
дх
ді
находим, что разность токов, равная —-д— dx, очевидно, должна
равняться изменению заряда на элементе dx. Таким образом
вследствие (33) находим
^L=C^ = - —
ді
■ С,
at
(33')
Это уравнение есть условие сплошности тока, или неуни-
чтожаемости зарядов, которые могут изменяться лишь в том случае,
если ток, приходящий через одно сечение, отличается от тока,
уходящего через другое сечение. Заряд и сила тока изменяются
и во времени и по длине проводов. Мы должны поэтому
рассматривать их как функции двух независимых переменных, и произвол
ные в уравнении (33') являются частными производными по
соответствующим переменным. В уравнении (33') мы имеем две, пока
неизвестные, функции риг или V и г, поэтому для определения их мы
должны иметь еще другое уравнение. Мы получим его следующим
образом. При изменении силы тока в противолежащих элементах dx

§ JO Электрические волны в проволоках 205
τ j ді
в них индуктируется э.д.с. — Ь^х-^-, которая должна равняться
изменению разности потенциалов на участке dx, т. е.
дѴ , ( „ , дѴ

—^—ахах
Если Ly выражено в электромагнитной системе единиц, а. г я V
в электростатической, то нужно еще коэффициент Lj перевести
в электростатические единицы, т. е. разделить на квадрат скорости
света с. Следовательно новое уравнение будет иметь вид
са dt дх '
(34)
Если уравнение (33') умножим на ~~ и продифференцируем
по /, а уравнение (34) продифференцируем по χ и затем их
сложим, то получаем уравнение, содержащее только V, а именно
dt2 дх*
(35)
Точно такое же уравнение мы можем получить и для силы тока
и для заряда.
Уравнение (35) сходно с уравнением колебаний струны, которые
мы рассматривали в § 28. Оно показывает, что, подобно
колебаниям в струне, колебания разности потенциалов распространяются
вдоль проводов, как волны с некоторой скоростью и, равной
и*= .1 (36)
ПА
Но из формул (31) и (32) мы находим, что произведение LXCX = 1
(если провода находятся в воздухе или, точнее, в пустоте). В этом
случае скорость распространения электрических волн в проволоках
равна просто скорости света
в = с.
Если провода находятся в среде с диэлектрической
постоянной е, то емкость их возрастает в β pa»; с другой стороны, мы

206 Электромагнитные колебания и волны Гл. III
знаем, что их самоиндукция возрастает, если среда имеет
магнитную проницаемость μ, большую единицы; поэтому в общем случае
мы имеем соотношение LlCl — βμ. Таким образом общая формула
распространения волн в проволоках имеет такой вид:
(36')
Волнообразное распределение электрических колебаний
определенной частоты ω для разности потенциалов может быть
представлено формулой такого же вида, как и распространение
волнообразного движения:
F=F0cos<oii— іЦ (37)
Для силы тока мы имеем подобную же формулу
г =/о cos ω It — — J . (3S)
Подставив оба эти выражения в уравнения (33') и (34), найдем,
что они удовлетворяются, если будут соблюдены равенства:
°1 Ѵ0 ^ „ И „2 10 —
и с* и
или, что то же,
Y±=A——ha. (39)
/0 Сги с2
В виду (36) мы получаем еще соотношение
i^ = -L]/"k., (390
г0 с V С1
которое устанавливает связь между амплитудами напряжения и
тока.
Таким образом фаза волны разности потенциалов
(или пропорционального ей заряда) и силы тока в каждой
точке провода одинаковы; в тех точках провода, где имеется
наибольшая разность потенциалов, имеем и наибольшую силу тока.
Это соотношение соответствует такому же соотношению между
относительным смещением точек струны и их
скоростью при распространении бегущей волны.

§ 10 Электрические волны в проволоках 207
Распространение волн вдоль проволок может происходить в двух
направлениях. Разница между этими случаями выражается в том,
что при данной разности потенциалов V направления тока ι
различны, или же в том, что при данном направлении электрических
сил между проводами, направления магнитной силы прямо
противоположны.
Распространение происходит с неизменной амплитудой, если не
имеет места рассеяние энергии, т. е. если провода обладают ничтожно
малым сопротивлением. В противном случае волны испытывают
поглощение тем большее, чем больше амплитуда колебаний.
Амплитуда изменяется тогда по закону, подобному закону затухания во
времени, а именно пропорционально е~*х.
Если имеем одновременно две волны, распространяющиеся
в противоположных направлениях, то при сложении их образуются
стоячие волны с узлами и пучностями. Осуществление проволочных
стоячих волн легко достигается следующим образом. Возбуждая
электрические колебания в параллельных проводах с свободными
концами (рис. 99, а) или же с соединенными коротким поперечным
проводником, мостиком (рис. 99, Ь), мы получаем распределение
амплитуды напряжения V, показанное на рис. 99.
В первом случае (а) на концах проволок будут ________^_
пучности напряжения и узлы тока; η) _.^
во втором (Ь)—наоборот, пучности токаи О ^** *"~-~-—Г~"
узлы напряжения. Причиной этого
являются условия на концах проволок, или ко- , ■■
нечные условия, которые приводят к тому, что .
в первом случае ток у концов должен быть ·'' ^—·— ѵ\ -^.
равен нулю, а во втором должна исчезать
разность потенциалов на концах мостика (вслед- Рис. 99.
ствие малости его сопротивления).
Рассмотренный нами случай образования стоячих волн в
проволоках (называемых обычно системой Лехера) может служить
для определения длины волны, так как расстояние между
ближайшими узлами или пучностями равняется половине длины волны.
Поэтому, зная период колебаний, можно определить (как это сделал
впервые Г. Герц) скорость распространения волн, или же наобо.
рот, зная скорость, определить период колебаний. Как мы видели,
из теоретического расчета следует, что в случае, когда проволоки
окружены воздухом, скорость волн равняется скорости света.
Это в высшей степени важное соотношение, устанавливающее

208 Электромагнитные колебания и волны Гл. III
связь между явлением электрических волн и светом, было
предсказано теоретически Максвеллом и на опыте доказано
Г. Герцем. х
Распределение узлов и пучностей, изображенное на рис. 99»
представляет только одно из возможных, а именно характеризует
основное колебание лехеровой системы. Обертоны, или высшие
гармонические колебания, имеются, если получается не два, а
большее число узлов и пучностей, причем все они находятся между
собой на равных расстояниях, как и в случае колебания струны
или трубы.
Образование стоячих волн можно рассматривать также как
результат отражения волн от концов лехеровой системы: при образовании
узла отраженная волна имеет фазу, противоположную фазе
приходящей или прямой волны, при образовании пучности — ту же фазу.
Если концы лехеровой системы соединены между собой через
конденсатор небольшой емкости С0 (того же порядка, что и Q), или
I эц. » проводником с заметным коэффициентом
=х~ * самоиндукции, то у концов мы не имеем
«... ни узлов, ни пучностей, и длина волны
не находится в простом рациональном
отношении с длиной проволок; также и
ч^_^^ обертоны в этом случае не находятся
Рис. 100. между собой в гармоническом отношении.
Так например (рис. 100), лехерова система
С0 на конце (укороченная система) может иметь
основную длину волны сколь угодно большую, в зависимости от
присоединенной емкости; первый же обертон имеет длину волны,
заключенную между двойной и тройной длиной проволоки.
§ 11. Распространение электромагнитных волн.
Распространение электрических волн связано с
распространением энергии. В диэлектрике, отделяющем проволоки, как мы
видели, имеется и электрическое и магнитное поле, а,
следовательно, электрическая и магнитная энергия. Электрическая
энергия во многих отношениях может быть уподоблена потенциальной
энергии, а магнитная — кинетической, хотя с этими видами
электромагнитной энергии мы не связываем каких-либо механических
представлений (перемещений, деформаций, скорости движения и т. п.).
1 Его опыты описаны в сборнике статьей под общим заглавием: „Исследование
о распространении электрической силы" (1891 г.) (на немецком языке).

£7/ Распространение электромагнитных волн 209
Этим исчерпываются те виды энергии, которые играют роль
при распространении электромагнитных волн. Поэтому механизм
распространения нужно искать в тех соотношениях, которые
существуют между электрическими и магнитными силами в диэлектрике.
В этом отношении весьма убедительно отсутствие влияния
формы и вещества проволок на распространение волн и
определенная зависимость скорости распространения от диэлектрических и
магнитных свойств среды, которая окружает проволоки. Можно
поэтому сказать, что волны распространяются вдоль проволок,
а не в проволоках. Последние определяют только направление
распространения и направление силовых линий электрического и
магнитного.поля.
Еще в начале прошлого века Фарадей из своих опытов вывел
заключение, что все электрические и магнитные взаимодействия
между телами могут быть представлены как действие через среду,
в которой они находятся, причем этой средой может быть и
пустота. Исходя из этих представлений, которые принято называть
теорией близкодействия, Максвелл построил математическую теорию
электромагнитных явлений, из которой вытекает, как неизбежный
результат, распространение электромагнитных волн в непроводящей
среде со скоростью, которая зависит от свойств среды.
Наиболее просто получается этот результат для периодических
изменений электрических и магнитных сил, которые создаются
колебаниями электрических вибраторов. Изменение зарядов на их
поверхности вызывает изменение электрического поля в
окружающем пространстве. Основное положение теории Максвелла
заключается в том, что всякое изменение силы электрического поля
нужно рассматривать как электрический ток, который создает
в окружающем пространстве свое магнитное поле. Направление
этого „тока смещения" (см. ч. I, стр. 284) совпадает с направлением
изменения электрической силы. Если направление вектора
электрической силы остается постоянным и изменяется лишь его величина,
то направление тока смещения совпадает с -направлением
электрической силы. Магнитное поле, создаваемое электрическим током, как
показывает опыт (закон Био-Савара), перпендикулярно к
направлению тока. Поэтому направление электрической силы,
периодически изменяющейся по величине, перпендикулярно к направлению
создаваемой ею магнитной силы. Другое соотношение, выражающее
фарадеевскую .точку зрения на явление электромагнитной
индукции, устанавливает связь между изменениями магнитной силы во
времени и появлением э.д. с. в окружающем пространстве. При
14 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

210 Электромагнитные колебания и волны Гл. ///
периодическом изменении магнитной силы в том же месте
пространства появляются электрические силы, причем их направление также
перпендикулярно к направлению изменения магнитной силы.
Как было показано (ч. I, стр. 354—356), эти соотношения могут
быть выражены уравнениями Максвелла: '■
« дЕх
с ді
в дЕѵ _
с dt
ε дЕг _
с dt
V дНх
с dt
|χ дН„ .
с dt
V- дН. .
dH,
ду
дИх
' dz
dHy
dx
дЕг
ду
дЕх
. dz
dEy
dHy
dz
дН,
дх
dHx
ду
dEy
dz
дЕ.
dx
dEx
dt dx dy
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
Мы можем вывести непосредственно из них важные следствия,
предполагая, что имеем дело с колебаниями электрической и
магнитной силы определенной частоты. Чтобы получить эти результаты
наиболее простым способом, положим, что электрическая сила
имеет направление вдоль оси X, что мы можем всегда сделать,
так как в праве выбрать любое направление за ось X в данной
точке пространства. В таком случае составляющие Еу и Ее равны
нулю. Уравнение (43) показывает, что Нх не зависит от времени,
если Еу = Е1 = 0.
Так как нас интересуют только колебания, то этот результат
говорит нам, что амплитуда колебаний Нх равна нулю, или что
колебания магнитной силы, если они происходят, лежат в
плоскости YZ, т. е. перпендикулярны к колебаниям электрической
силы. Положим поэтому, что ось Υ выбрана таким образом, что
ее направление совпадает с направлением магнитной силы Н; тогда
1 Мы пользуемся слегка измененной формулой уравнений, отличающейся от
той, в которой они даны в ч. I, так как будем предполагать в дальнейшем, что
электрические величины Ε и ε выражены в электростатической системе единиц, а μ и Н—
в магнитной. При таком определении в левую часть войдет отношение , где
с
с = 3 · 10^, равная скорости света в пустоте, есть в то же время отношение
электростатических и магнитных единиц зарядов и других электрических величин.

§ J J Распространение электромагнитных волн 211
8 дБ. __
с dt
V- Щ __
с dt
дЦ,
dz
dEx
dz
f/2 = 0. Вместо всей системы уравнений Максвелла мы можем
теперь ограничиться рассмотрением только двух:
(46)
(47)
Мы будем предполагать, что электрическая сила совершает
гармонические колебания определенной частоты. Одновременно такие же
колебания должна совершать и магнитная сила Ну. Исключая из
этих уравнений Ну, мы приходим к простой форме уравнения
для Ех, а именно
С2 д{і - д2? · (48'
Это уравнение, совпадающее по форме с уравнением (35),
показывает, что мы имеем дело с распространением колебаний Ех
волнообразно вдоль оси OZ. Другими словами, Ех может быть выражено
формулой волны:
Ex = Asinmlt-~\. (49)
Подобную же формулу нетрудно найти и для Ну, так как из
уравнений (46) и (47) можно получить уравнение, подобное (48),
только с заменой Ех на Ну. Таким образом
Н„ = В sin ω
(Нт)' <49/)
Волновое уравнение (48) и подобное ему для Ну удовлетворяются
тождественно, если положить, что скорость волны ν равна
следующему выражению:
(50)
ѵ =
Ѵ*\
e,u
Точно также и уравнения (46) и (47) будут удовлетворены, если
амплитуды электрической и магнитной силы находятся в
отношении
А , / I* (51)
В
/т
Все эти результаты упрощаются, когда мы имеем дело с
распространением волн в пустоте, где е={і = 1. Скорость волн ν
согласно (50) равна скорости света с, и амплитуды А и В равны вслед·^
ствие (51).
14*

272 Электромагнитные колебания и волны Гл. Ш
Мы видим таким образом, что из уравнений Максвелла
непосредственно вытекает ряд основных свойств электромагнитных
волн: во-первых, взаимная перпендикулярность направлений колеба*
йий электрической и магнитной силы} во-вторых, равенство их
амплитуд при распространении в пустоте, в-третьих, взаимная
перпендикулярность направлений колебаний и направления
распространения их, т* е. йоперечность волн. Наконец мы нашли, что скорость
их в пустоте равна скорости с света, а в среде с диэлектрическими
и магнитными свойствами выражается формулой о— —=.
У ψ
Обычно Мы представляем электрическое поле при помощи
силовых линий, которые выходят или кончаются на зарядах. Те
электрические силовые линии, с которыми нам приходится иметь
дело в электромагнитных волнах, не связаны с зарядами, они
замыкаются сами на себя, образуют замкнутые силовые линии.
Хотя источником волн всегда является движение зарядов в вибра-
торе, но электрические силовые линии связаны с ними только
вблизи проводника, на больших расстояниях эта связь
теряется.
Распространение электромагнитных, волн в диэлектрике
выражается волновымиуравнениями, вполне аналогичными
уравнению (35), которое описывает распространение волн вдоль проволок.
Если волны плоские, т. е. на параллельных плоскостях в каждой
точке фаза колебаний одна и та же, то такие волны
распространяются следующим образом: каждая плоскость переносится со
скоростью волн, причем величина сил в ней не изменяется. Если волны
сферические, то электрическая и магнитная силы перпендикулярны
к радиусу сферы или касательнык ее поверхности, и при
распространении волны по мере увеличения поверхности сферы величина сил
уменьшается обратно пропорционально радиусу сферы. Таким образом,
электромагнитные волны строго поперечны. Оба
вектора Ε и Н, от которых зависит энергия волн (в этом
отношении они напоминают векторы относительного смещения и скорости
в упругих волнах), могут иметь составляющие, только
перпендикулярные к направлению распространения волн.
§ 12. Вектор Пойвтинга.
Из уравнений Максвелла можно вывести, как указал впервые
Пойнтинг, что перенос энергии посредством волн связан с
существованием особого вектора потока энергии S.

§ 12 Вектор Пойнтинга 213
Действительно, умножив обе части уравнения (46) на Ех, а
уравнения (47) на Ну и вычитая первое из второго, найдем, что
dt 12с * ^2с * )~^И^' (52>
Известно, что плотность электрической энергии (ч. I, стр. 153)
равна д—, а плотность магнитной энергии (ч. I, стр. 221) равна
ѵ-Н3
^—. Поэтому плотность и электромагнитной энергии в той точке,
где электрическая сила Ех, а магнитная Ну, равна сумме
lU==^«-2+^2)· С»)
Уравнение (52) в левой части содержит величину,
пропорциональную и под знаком производной, и мы можем придать ему
следующий вид:
ι"\
ИЛИ
dt~ dz' (52
если мы обозначим буквой S следующее выражение:
S—^EJir (53)
Представим себе цилиндрический объем с площадью основания
1 слг2 и высотой dz. Количество энергии, заключенное внутри этого
объема, равно udz. Пусть количество энергии, переносимое
волнами через основание цилиндра за время dt, равно Sx dt. Величина
Sl будет изменяться в зависимости от времени t и координаты ζ,
определяющей положение одного из оснований цилиндра. Разность
количеств энергии, входящей через основание ζ за время dt и
выходящей через другое основание z-\-dz, равное
-^dzdt,
dz
равно увеличению энергии внутри цилиндра за то же время, т. с
з-г dz dt = —дг-2· at.
dz dt

214 Электромагнитные колебания и волны Гл. Iff
Если сократить обе части этого уравнения на dz di, то мы
получим уравнение, тождественное $>2"). Таким образом величина
^=5 = -— ЕмНу определяет поток энергии через 1см2 в
направлении распространения волн, т. е. в направлении оси OZ. Таким
образом S можно представлять как вектор, направление
которого совпадает с направлением потока энергии. Этот вектор и
есть вектор Пойнтинга.
Вектор Пойнтинга перпендикулярен к векторам электрической
и магнитной силы. Эти последние лежат, как мы видели, в
плоскости волн, каковой является
плоскость, перпендикулярная к направлению
распространения. Следовательно,
вектор Пойнтинга S, электрическая
сила Ε и магнитная сила Η волны обра-
с зуют систему трех взаимно перпенди-
* кулярных направлений в пространстве,
как показано на рис. 101. Изменению
направления одной из сил при
неизменном направлении другой соответствует
изменение направления вектора
Пойнтинга, т. е. направления
распространения волн.
Для определения направления вектора Пойнтинга можно
пользоваться правилом буравчика. При вращении от вектора Ε к
вектору Η направление поступательного движения оу^авчика
совпадает с направлением вектора S.
Поток энергии волн можно представить также произведением
плотности энергии ы на скорость волн. В пустоте мы будем иметь
//>
о
Рис. 101.
S=c
(έ^+έ*2)·
Так как в пустоте электрическая и магнитная силы волны равны,
то Е* = Н2 = ЕН и следовательно
S=-£-EH.
Оттого что волны распространяются в диэлектрической и
магнитной среде, выражение вектора Пойнтинга не изменяется, но
зато изменяется скорость волн ν и плотность электрической и
с
г—, а плотности энергии
У е!А
Магниткой энергии. Так как ν =

§ 13 Определение диэлектрических постоянных методом. Дрцде 215
— Ρ и g— Я2 равны Mf жду собой (и следовательно равны их
геометрическому среднему -г-1- ЕН), поток энергии, равный
опять выражается вектором Пойнтинга.
Направление вектора Пойнтинга всегда перпендикулярно к
направлениям электрической и магнитной силы, которые лежат в
плоскости волны. Поэтому направление вектора Пойнтинга есть в то
же время направление луча, вдоль которого распространяется
энергия волны.
§ 13. Определение диэлектрических постоянных методом Друде.
Определение длины стоячих волн дает возможность измерять
скорость распространения волн в разных диэлектриках и,
следовательно, сравнивать их диэлектрические постоянные при частотах
колебаний 108—109 в сек. Магнитная проницаемость μ почти для
всех плохо проводящих тел так мало отличается от единицы, что
можно для скорости волн и для показателя преломления принимать
упрощенное выражение υ — —, η = у е ,
У е
Для измерения длины волны применяются два метода,
называемые первым и вторым методом Друде. Первый метод (рис. 102)
заключается в том, что
измеряется длина стоячих волн в парал-
ѣ
о
4-
I
Л
дельных проводах, проходящих
через сосуд, наполненный
жидкостью, диэлектрическая
постоянная которой должна быть измерена.
Подвижный мостик, ограничиваю1- Рис· *"2·
щий систему Лехера в жидкости,
устанавливается так, чтобы амплитуда колебаний в системе
достигала максимума. Два соседние положения мостика,
удовлетворяющие этому условию, определяют длину полуволны колебаний,
возбуждаемых каким-нибудь источником. Граница жидкости, через
которую входят проволоки, должна находиться в узле напряжения,
а следовательно в жидкости до моста Μ умещается целое число
полуволн.

216 Электромагнитные колебания и волны Гл. Щ
Второй способ заключается в том, что к концам проволок
присоединен конденсатор С, представляющий собой небольшой сосуд
с впаянными электродами. При наполнении его жидкостью емкость
его изменяется, и для получения резонанса приходится изменять
длину проволок от мостика до кон-
I . денсатора. Видоизменение этого мето-
J& да, введенное Кулиджем, заключается
α, γ в том, что конденсатор С перемещает-
I Д '"{<-■ ся вдоль проволок лехеровой систе-
I ' мы (рис. 103). Его влияние на длину
рис- юз. лехеровой системы наибольшее
вблизи пучности напряжения и равно нулю
в узлах. Второй способ Друде особенно пригоден для малых
количеств измеряемой жидкости и при сильном поглощении волн.
Амплитуда колебаний может быть измерена или непосредственно
в лехеровой системе, в которую включают термоэлемент Т,
состоящий из двух спаянных между собой проволок, которые могут
служить мостиком, или же при помощи особой измерительной цепи
связанной с лехеровой системой. Термоэлемент Τ в этом случае
может быть заменен кристаллическим детектором.
§ 14. Излучение электромагнитных волн.
Электромагнитные волны могут распространяться не только
вдоль проволок, но также, как свободные волны, в пространстве,
окружающем источник колебаний или вибратор. Такое
лучеиспускание имеет место в том случае, когда вибратор создает
в окружающем его пространстве переменное электрическое поле.
Классическим примером является вибратор Герца, состоящий
из двух металлических стержней, которым сообщаются
противоположные заряды и которые разряжаются через искровой
промежуток (рис. 104). Электрические силовые линии вокруг этого
вибратора представлены для некоторого момента на рис. 105. Вблизи
вибратора они очень схожи с силовыми линиями
электрического диполя, т. е. системы двух противоположных зарядов, 4-е
и — е, находящихся на расстоянии / друг от дуга. Если
произведение е/, т. е. м о м е н τ диполя, периодически изменяется,
оттого ли, что изменяются заряды при неизменном расстоянии /,
или же меняется I, то окружающее поле также изменяется. В данный
момент времени, как показано на рис. 105, электрические силовые
линии, связанные с диполем, находятся внутри сферы R.

§ 14 Излучение электромагнитных волн 217
Силовые линии, находящиеся вне этой сферы, уже отделились от
вибратора и удаляются от него со скоростью света. На больших
расстояниях эти линии очень близки к окружностям, в центре
которых находится вибратор. Поэтому волны имеют сферическую
форму, а силовые линии будут лежать на поверхности сферы за
исключением точек пространства вблизи прямой, являющейся
продолжением оси вибратора. Но в этих точках электрическая и
магнитная силы близки к нулю.
Эти замкнутые на себя силовые линии и являются характерной
особенностью электромагнитных волн, излучаемых диполем.
Рис. 104. Рис 105.
Поле электрических и магнитных сил излучающего вибратора
на больших расстояниях, в области волн, имеет следующие
особенности:
1) силы перпендикулярны к направлению лучей,
проведенных из центра диполя;
2) электрическая сила лежит в меридианной
плоскости, проходящей через ось диполя; магнитная —
перпендикулярна к этой плоскости, и магнитные
силовые линии представляют собой окружности,
центры которых лежат на оси вибратора;
3) электрическая и магнитная силы по величине
равны, а по направлению взаимно перпендикулярны;
4) величина силы равна нулю в направлении оси
вибратора и имеет наибольшую величину при
данном расстоянии в точках плоскости
экваториальной, т. е. проходящей через центр диполя и
перпендикулярной к его оси.

218 Электромагнитные колебания и волны Гл. Щ
Взаимная перпендикулярность и равенство электрической и
магнитной сил имеют место для всякой электромагнитной волны в
пустоте. В нашем случае волны выходят из центра О, их поверхность
имеет на большом расстоянии от центра шаровую форму. Если из
центра О провести прямолинейные лучи, то вдоль каждого
распространяются колебания электрической силы. В экваториальной
плоскости электрическая сила перпендикулярна к этой плоскости.
В этой же плоскости лучеиспускание
происходит с наибольшей силой.
Все эти особенности наблюдаются
при излучении волн любым вибрато-
Рис. 106.
ром, имеющим ось, вдоль которой симметрично располагаются
заряды во время колебаний. Например, два металлических
шара А и В (рис. 106), между которыми проскакивает искра и к
которым заряды подводятся также через искры ft и /2, образуют
вибратор Риги. Два коротких цилиндрика Ρχ и Р2 (рис. 107),
впаянные в стекло и заряжаемые противоположными зарядами,
служили П. Лебедеву для получения волн, длина которых была всего
6 мм. Уменьшая длину проволочек, можно еще несколько
укоротить длину волны.
Электрическое поле, создаваемое колеблющимся диполбм, может
быть представлено формулой, подобной той, которую мы получили
ранее (гл. II, § 24) для двойных источников звука:
Г 4π?β/ . . ■ I х г
£ = —гз—sin φ sin ω t
k*r \ υ
Оно пропорционально амплитуде момента диполя el, обратно
пропорционально величине радиуса-вектора г, проведенного из точки,
в которой находится диполь, в ту точку, где определяется
напряжение поля, обратно пропорционально' квадрату длины волны и
зависит от направления радиуса-вектора. Последняя зависимость
Рис. 107.
■

§ 15 Свойства электромагнитных волн 219
выражена в этой формуле множителем sin φ, т. е. синусом угла
между направлением оси диполя и вектором г. В направлении
оси sin φ = 0 и, следовательно, вдоль этого направления нет никакого
поля, наиболее же сильным поле будет в плоскости,
перпендикулярной к оси диполя, где sin<p = l. Заметим еще, что фаза
колебаний электрической силы Е, равная ω I t — J , отличается от фазы
Г Г
колебаний диполя Ы на величину ω — , где — представляет время,
которое необходимо для распространения волн со скоростью ν на
расстояние г.
§ 15. Свойства электромагнитных волн.
На большом расстоянии от излучающего диполя, поверхность
волны можно считать плоской. Эту форму волновой поверхности
мы будем предполагать в дальнейшем, так как все основные
свойства волн проще и нагляднее проявляются именно в случае
плоских волн.
Наиболее резко бросающееся в глаза свойство — неспособность
проходить даже через сравнительно тонкие слои металлов —
объясняется сильным отражением, которое волны испытывают, падая
на поверхность металлических тел. Причину образования
отраженных волн нетрудно понять, принимая во внимание, что у
поверхности хорошо проводящих тел электрическая
сила должна быть или перпендикулярна к их
поверхности, или равна нулю.1· В виду этого, если
плоскость падающей волны параллельна поверхности зеркала,
электрическая сила должна быть равна нулю, так как она
параллельна поверхности. Но это обращение в нуль электрической силы
имеет место только у самой поверхности и является результатом
отражения волн, причем фаза электрической силы в отраженной волне
противоположна фазе падающей волны. Таким образом электро
магнитная волна имеет узел у поверхности проводника. Так как
узел может получиться только при равенстве амплитуд падающей
и отраженной волн, то это показывает, что мы имеем полное
отражение от металлического зеркала.
1 Составляющая электрической силы, параллельная поверхности, должна иметь
одинаковую величину по обе стороны поверхности, т. е. вне тела и внутри еге. Но
внутри металла электрическая сила должна быть очень мала в силу большой
проводимости металла, повтоыу она должна быть также очень мала вне металла
у его поверхности.

220 Электромагнитные колебания и волны Гл. Ill
У^ 1—1
ν —
Рис. 108.
Отражение от поверхности металлического зеркала можно также
рассматривать как результат излучения вторичных волн
металлической поверхностью, в которой возникают электрические
колебания под действием падающих электромагнитных волн. Это можно
иллюстрировать следующим опытом Герца. Если волны падают на
решетку, состоящую из металлических проволок, то происходит
отражение волн, к о г д а_э лектрическая сила параллельна
проводам решетки,
и не происходит, — если
повернуть, решетку на 90°.
В последнем случае
электрическая сила волны не
может вызвать в
проволоках решетки достаточно
сильных колебаний, так
как она
перпендикулярна к их оси.
Отражение происходит и на границе двух диэлектриков, но
неполное; в этом случае волны частью проходят через границу,
испытывая преломление, так как скорости волн по обе стороны
границы различны, частью же отражаются.
Отражение волн металлическими экранами дает возможность
использовать зеркала для испускания волн в определенном напра?
влении. Помещая вибратор в фокусе параболического зеркала
(рис. 108), Герц получал параллельный пучок лучей, который он
принимал подобным же зеркалом, в фокусе которого помещался
резонатор. При помощи таких направленных пучков лучей удобно
демонстрировать отражение и преломление лучей, или же
поляризацию их^ пользуясь решеткой, состоящей из параллельных
проволок.
У поверхности зеркала, как мы видели, электрическая сила
близка к нулю, но зато магнитная сила достигает максимума. При
этом величина магнитной силы связана с силой токов,
возникающих под действием падающих волн в поверхностном слое зеркала.
Если бы зеркало обладало бесконечно большой проводимостью)
весь ток был бы сосредоточен в бесконечно тонком слое; при
конечной проводимости этот слой хотя и очень тонок, но все же
имеет конечную толщину, которая зависит как от проводимости,
так и от частоты колебаний. Мы наблюдаем здесь
проникновение электрических колебаний вглубь металла,
причем амплитуда их быстро спадает с глубиной.

§ 15 Свойства электромагнитных волн 221
Вследствие проникновения колебаний касательная составляющая
электрической силы у проводящей поверхности не равна нулю, й
полная электрическая сила не вполне перпендикулярна к
поверхности. Поэтому в рассмотренном выше (§ 10) случае проволочных
волн вектор Пойнтинга S не строго параллелен к направлению
проволок, вдоль которых распространяются волны, а имеет
составляющую, направленную внутрь металла, как показано на рис. 109.
(Магнитная сила, перпендикулярная к плоскости чертежа, на нем
не показана). Вследствие этого происходит непрерывный поток
энергии внутрь металла, т. е. поглощение волн при их
распространении вдоль провода.
Сила тока в поверхностном слое металлического экрана может
6ьіть вычислена следующим образом. Пусть АА — поверхность
Рис. 109. Рис. 110.
металлического зеркала (рис 110) и Η—магнитные силы стоячих
волн у поверхности; электрическая сила практически равна нулю.
На некоторой глубине исчезают колебания, и магнитная сила Η
также равна нулю. Представим себе контур abed, содержащий два
параллельных отрезка аЪ и cd, проведенных на близком расстоянии
от поверхности. Тогда вдоль аЬ магнитная сила имеет такую же
величину, как у самой поверхности вне металла, а вдоль cd
равняется нулю. Работа магнитной силы при движении единичного
магнитного полюса вдоль- этого замкнутого контура
(магнитодвижущая сила) равна силе тока, проходящего через сечение abed,
умноженного на 4π, а именно!
Н'аЪ^Ы,1 (54)
если силу тока будем выражать в электромагнитных единицах.
1 При перемещении магнитного пѳлюсд рдоль bd, dc и са работа равна нулю,
так как или перемещение полюса перпендикулярно к Н, или Я=0.

222 Электромагнитные колебания и волны Гл. III
На поверхности зеркала представим себе прямоугольную
площадку аЬпт (рис. 110). От аЬ к тп в тонком поверхностном слое
идет ток /, а под прямым углом к последнему направлена
магнитная сила Н. Проводник с током г испытывает силу,
пропорциональную его длине / и произведению магнитной силы Η на ток і.
Сила эта направлена перпендикулярно как к Н, так и к г. Так как
магнитная сила убывает по мере проникновения колебаний, то
необходимо брать среднюю величину произведения, т. е. -^- Hi,
и следовательно на площадку abnm будет действовать
перпендикулярно к ее поверхности сила
1 1
f=-prHH или вследствие (54) f=^-H'2l ab.
Ζ οπ
Очевидно, что / · ab есть величина площади четырехугольника
abnm. Поэтому сила на единицу поверхности или давление ρ равно
P = k№· (55)
Так мы пришли к определению давления
электромагнитных волн на поверхность отражающего
зеркала, причем величина этого давления совпадает с плотностью
энергии волн у поверхности зеркала.
Способ вычисления, которым мы воспользовались, показывает,
что если зеркало будет не вполне поглощать волны, а частью
пропускать, то и давление будет меньше, так как ток і в зеркале
будет пропорционален разности магнитной силы у передней и
задней поверхностей зеркала. Точно так же давление уменьшается,
если поверхность не отражает, но вполне поглощает волны, потому
что величина магнитной силы Η вследствие отсутствия
отраженных волн будет в два раза меньше.
§ 16. Техническое применение электромагнитных волн.
Электрические колебания и волны нашли широкое применение
при передаче телеграфных сигналов, человеческой речи, а в
последнее время и изображений без помощи проводов. Беспроволочный
телеграф был первым и естественным применением тех явлений,
при помощи которых Г. Герц доказал существование свободных
волн в пространстве и их распространение со скоростью света. Он
состоял вначале из искрового передатчика, в котором колебания
возбуждались при помощи искрового разряда и излучались в виде волн,

§ 16 Техническое применение электромагнитных волн 223
и из приемника, в котором приходящие волны возбуждали
колебания, передавая таким образом сигналы передатчика. Для усиления
излучающей способности и связанной с ней способности принимать
приходящие волны как передатчик, так и приемник снабжались
воздушной сетью, т. е. системой проводов с возможно большей
поверхностью, которые играли ту же роль, как Герцев вибратор.
Электромагнитные волны, применяемые для
радиотелеграфирования, имеют различную длину. Вначале стремление к получению
возможно мощных разрядов и к увеличению расстояний, на которые
передаются сигналы, заставило увеличивать размеры воздушных
сетей или антенн и, следовательно, длину волны. Технические
длины волн мощных станций поэтому нередко измерялись
десятками километров. Для очень дальних расстояний наилучшие
результаты получались при этом еще и потому, что приходится
считаться с кривизной земной поверхности, и чем длиннее волна, тем
легче преодолевается эта кривизна.
Исследование силы электрического поля в месте приема
сигналов показало, однако, что наблюдаемый эффект значительно
сильнее, чем ожидаемый по расчету, и объяснение этому найдено в
том влиянии, какое оказывают на распространение волн высокие
слои атмосферы. В этих слоях на высоте 100 км и больше над
земной поверхностью, под влиянием солнечных лучей воздух
приобретает весьма значительную проводимость, зависящую от
присутствия здесь в больших (105—10е в ом3) количествах свободных
электронов. Присутствие электронов уменьшает показатель
преломления волн и при этом тем значительнее, чем больше длина
волны. Вследствие этого проводящий слой, или, как его принято
называть, слой Хевизайда, может вызывать полное отражение
волн обратно к земной поверхности. Электромагнитные волны, не
удаляясь от поверхности земли больше чем на 100 км, огибают ее
и поэтому ослабление их значительно меньше, чем в случае
свободного распространения вокруг непрозрачного для них земного шара.
Волны с очень малой длиной волны — меньше 10 м — имеют
почти тот же показатель преломления как в проводящих, так и
в непроводящих слоях атмосферы, и поэтому проникают через слой
Хевизайда без отражения. В то же время при распространении
вдоль поверхности земли они испытывают весьма сильное
поглощение и рассеяние, и поэтому амплитуда их весьма быстро убывает
с расстоянием. Вследствие этого они не могут применяться для
передач сигналов на большие расстояния. Несколько более длин
ные волны от 10 м до 100 м лучше отражаются слоем Хевизайда

» ■ *■·■- ~ К! . »™ . .... .1 . ι , ..-^.M-l·™ ,
224 Электромагнитные колебания и волны Гл. Щ
и проходят значительные расстояния вдали от земли, испытывая там
ничтожное поглощение. Этим объясняется, почему эти волны
широко применяются для телеграфной и телефонной связи на
больших расстояниях.
Для передачи телефонной речи (и в особенности для
широковещания) колебания в передатчике подвергаются модуляции.
Последняя состоит в изменении амплитуды колебаний
пропорционально амплитуде звуковых колебаний, так чтобы при приеме
электромагнитных волн выпрямленный ток в телефоне менялся в
соответствии с передаваемыми звуковыми колебаниями. Аналогичным
образом производится и передача изображений, т. е. рисунков,
фотографий, документов и т. п. Луч света, быстро скользя по
поверхности передаваемого рисунка, отражается от различных точек
его и попадает на поверхность фотоэлемента, дающего ток,
пропорциональный яркости отраженного света. Ток фотоэлемента,
действуя на передающее устройство, изменяет амплитуду
электромагнитных волн, модулирует их. Передаваемые модулированные волны,
действуя на приемник, должны изменять яркость луча, идущего от
постоянного источника света, пропорционально амплитуде
колебаний. В последнее время для этой цели обычно применяется
свойство некоторых жидкостей (например, нитробензола) изменять
поляризацию световых лучей, проходящих через них, если жидкость
находится под действием сильного электрического поля (явление
Керра).
Из других применений электрических колебаний отметим те,
которые основаны на физиологическом действии их. Проходя через
живые ткани, токи высокой частоты не производят химических
изменений в их клетках вследствие чередования токов
противоположных направлений, но зато вызывают сильное нагревание. Этим
способом можно производить нагревание внутренних органов, не
подвергая кожу действию высокой температуры. Такое действие
называется диатермией.
§ 17. Электромагнитная природа света.
Связь между электрическими и магнитными явлениями, с одной
стороны, и явлениями света, с другой, может быть доказана уже
тем, что отношение между величиной силы тока в электрических
единицах и той же величиной, выраженной в электромагнитных
единицах, равно скорости света с С другой стороны, как показал
Максвелл, из этого же соотношения необходимо следует, что и эле-

§ 17 Электромагнитная природа света 225
ктромагнитные волны должны распространяться с этой же скоростью,
если распространение происходит в пустоте (§ 11). В материальной
среде, как мы видели, скорость электромагнитных волн
определяется главным образом диэлектрической постоянной среды. Если
распространение света происходит в такой среде со скоростью,
совпадающей со скоростью электромагнитных волн, то естественно
предположить, что свет есть электромагнитное явление,
и световые волны суть волны электромагнитные.
Распространение электромагнитных волн, изученное Г. Герцем,
Лебедевым, Риги и другими физиками, подтвердило выводы
теории Максвелла и обнаружило все те явления, которые известны
были ранее как явления оптические. Но частота колебаний
электромагнитных волн, полученных Герцем, в десятки тысяч раз
отличается от частоты световых колебаний, и поэтому не мудрено, что
в некоторых отношениях полного совпадения между свойствами
этих колебаний не могло быть обнаружено. Так, например, хотя
в газах скорость света может быть вычислена из их
диэлектрической постоянной, но в большинстве жидкостей диэлектрическая
постоянная и вычисленный из нее показатель преломления
электромагнитных волн совершенно не соответствуют показателю
преломления света. Известно, что для воды диэлектрическая
постоянная равна 81, и показатель преломления должен быть равен 9, что
и подтверждается на опыте вплоть до самых коротких
электромагнитных волн; но показатель преломления света в воде равен 1,4.
Такое расхождение не представляет однако противоречия с теорией
Максвелла, так как диэлектрическая постоянная жидкости иногда
изменяется очень сильно в зависимости от частоты колебаний и
может иметь при оптических колебаниях совсем иную величину,
чем при коротких электрических волнах.
Кроме того, и скорость света также изменяется с частотой
колебаний, и в некоторых участках спектра, в которых, например,
наблюдается сильное поглощение света, показатель преломления
может меняться очень значительно.
Чем ближе частота колебаний электромагнитных и световых,
тем удобнее производить сравнение их свойств. Поэтому
представляет большой интерес, с одной стороны, возможность укоротить
длину волны электромагнитных колебаний, с другой стороны,
получить световые колебания с возможно более длинной волной.
Однако получение электромагнитных колебаний с длиной волны
в несколько миллиметров представляет уже значительные трудности;
в то же время инфракрасные световые волны длиной в несколько
15 Зак. 2403. Курс физики, т. II.

226 Электромагнитные колебания и волны Гл. Щ
десятых миллиметра представляют в настоящее время предел
достижимого при помощи оптических методов. Поэтому свойства волн
с промежуточной длиной еще не изучены в достаточной степени,
и можно только косвенным образом судить, как изменяются
оптические свойства тел при переходе от электромагнитных волн к
световым. Тем не менее во многих случаях аналогия между этими
видами волн проявляется очень наглядно.
Так, непрозрачность металлов и их отражательная способность
(металлический блеск) представляют свойство, качественно сходное
и для световых и для электрических волн.
Так как в электромагнитных волнах имеются два вектора,
взаимно перпендикулярных: электрический и магнитный, то
возникает вопрос, какой из них следует считать вектором световых
колебаний. Как мы видели, электрическая и магнитная энергии
имеют одну и ту же величину, но в отношении действия на
материальные тела, например, химического действия света, электрический
и магнитный векторы играют не одинаковую роль. Если молекула
представляет собой электрический диполь, то действие
электрического вектора должно обнаруживаться особенно сильно. В
некоторых случаях можно опытом доказать, что фотохимическое действие
производится электрическими силами волны. Так например, О.
Винер, получив стоячие световые волны при отражении от поверхности
ртути, обнаружил, что действие их на светочувствительный слой
фотографической пластинки происходит лишь в тех местах, где
находятся пучности электрической силы. С другой стороны, при
вычислении давления света на проводящую и отражающую
поверхности приходится принимать во внимание магнитную силу волны.
Итак с точки зрения электромагнитной теории света обычные
электромагнитные волны и волны световые отличаются только
частотой их колебаний или длиной волны. Располагая числа
колебаний в ряд, начиная от самых малых и кончая самыми большими,
известными нам, мы получим спектр электромагнитных волн.
При помощи машин переменного тока можно дойти до частоты в 104
и даже больше колебаний в секунду, — это область технических
переменных токов. Более высокие частоты, вплоть до 107 в секунду и
несколько выше, представляют область технических
радиочастот или область токов высокой частоты.Более высокие
частоты, почти до 10й в секунду, применяются почти исключительно
для научных целей и могут быть названы ультра-, или
сверхрадиочастотами. Промежуток спектра от 10й до 1012
колебаний в секунду хотя и наблюдался, но почти совсем не изучен и

§ 17 Электромагнитная природа света 227
представляет область перехода от электромагнитных к
инфракрасным волнам. Невидимые для глаза, но имеющие большое
значение для исследования оптических свойств тел, эти последние
простираются вплоть до начала спектра видимых лучей,
т. е. до частот 4 · 10й и выше. Начиная от 8 · 10й колебаний в
секунду, мы имеем опять область невидимых лучей, вначале
ультрафиолетовых, затем рентгеновых и радиоактивных
лучей и, наконец, проникающей радиации, приходящей к нам
из мирового пространства. Эта область спектра охватывает
частоты от 1015 до 1021 в секунду. На протяжении такого обширного
спектра мы встречаем самые разнообразные явления и формы
воздействия волн на материальные тела, но в то же время во всех
явлениях проявляется их общая электромагнитная природа.
Длины волн всех этих лучей, распространяющихся со скоростью
света с = 3 ■ 1010 смісек, изменяются в таких широких пределах,
что для выражения их принято пользоваться различными
единицами длины. Радиоволны, применяемые в технике, измеряются
метрами, сверх-радиоволны — сантиметрами и миллиметрами (мм).
Волны света обычно выражаются в микронах (1 μ- = 0,001 мм),
о
равных одной тысячной миллиметра, или в онгстремах (1 А. = 10~8 см).
Наконец, длина рентгеновых лучей выражается или в онгстремах
или в особых единицах X, в тысячу раз меньших онгстрема
(1Χ = 10-3Α==10-" см).
Таблица частот η и длин волн λ.
Электромагнитные волны . . .
Инфракрасные лучи
Видимые лучи
Ультрафиолетовые лучи ....
Крайние ультрафиолетовые лучи
Рентгеновы лучи
Лучи γ
Проникающие космические лучи
0 — 10й
1012-4·1014
4 ■ 101* — 8·1014
8 -101* —1,5 - 101Б
1,5 · ΙΟ15 - 3 - ΙΟ15
3. 1G16 — 3 · ΙΟ19
3. ιοί9 _ З.Ю20
>1021
длина волны
~ — 3 мм
300μ — 0,76μ
0,76[Λ — 0,36μ
0,36μ — 0,2μ
0,2|α — 0Д[а
100А(0,01|л)-0,іА
ο,ιΑ - ο,οιΑ
о,оозА
15 *

ГЛАВА IV.
ОПТИКА ЛУЧЕЙ.
§ 1. Прямолинейное распространение света.
В настоящей главе мы займемся изучением тех оптических
явлений, которые были известны из опыта задолго до того, как
появились первые попытки дать теоретические истолкования
физической природы света. Знакомство с этими основными свойствами
света необходимо и для понимания более сложных явлений,
которые будут излагаться дальше и в которых проявляется истинная
природа оптических явлений.
Нам пока достаточно иметь самое общее представление о свете.
Его источником являются светящиеся тела, по большей части их
поверхность. Свет попадает в наш глаз и вызывает ощущение
яркости или силы света, цвета и, наконец, формы и расположения
тех предметов, которые или сами являются источником света или
освещаются посторонним светом. Во многих отношениях
существует аналогия между этими ощущениями и ощущениями силы
звука и высоты музыкальных тонов. Но значение их в жизни
человека еще более велико, а разнообразие применений как
в повседневной жизни, так и в научных исследованиях
несравненно более богато.
Со световыми явлениями у нас часто связаны основные наши
представления не только физические, но и более абстрактные.
Так, например, основная аксиома геометрии, что две точки в
пространстве определяют прямую линию, на практике применяется
к линии, вдоль которой распространяется свет, или к световому
лучу. Мы проводим прямую линию между источником света и
глазом, определяя такие точки между ними, через которые проходят
лучи, попадающие в глаз. Для того, чтобы убедиться, что линейка
прямолинейна, мы должны посмотреть, лежат ли все точки ее на
том же световом луче, или же закрывают от нас одну и ту же
светящуюся точку, если надлежащим образом поместить линейку
между глазом и источником. Мы видим отсюда, что убедиться в том,
что луч света прямолинеен, мьі иногда не можем только потому,

§ ι
Прямолинейное распространение света
229
Рис. 111.
что прямую линию мы определяем на практике как направление
светового луча.
Геометрические свойства лучей света не отличаются от свойств
прямых. Если на пути лучей поставить непрозрачный предмет, то
он бросает тень, размеры которой
возрастают по мере удаления от
источника света, а форма сохраняет
подобие на всех расстояниях.
Линейные размеры тени возрастают
пропорционально расстоянию ее от
источника, если тень падает на
плоские экраны, параллельные между
собой. Эти геометрические
соотношения доказывают прямолинейность
лучей света.
Резкие очертания тени возможны только при точечных
источниках света, как показано на рис. 111. Если размеры источника
света велики, то тени от разных точек источника накладываются
только частично, давая полную тень (рис. 112). По краям мы имеем
полутень, которая тем больше, чем больше расстояние от
источника. Если
наблюдатель находится в
полной тени, то источник
света закрыт от него
полностью; если же он
находится в полутени,
то он видит часть
светящегося предмета и
притом тем большую,
чем ближе он к краю
полутени. Так
объясняются полные и
частичные затмения солнца и
луны. Если размеры
непрозрачного тела меньше, чем источник света, то на большом
расстоянии полной тени вовсе не будет. Мы будем видеть на
светлой поверхности источника света темное пятно, как, например,
при прохождении Венеры через диск солнца.
На прямолинейности лучей света основаны законы перспективы.
Мы предполагаем, что в нашем глазу, как в центре перспективы,
сходятся прямолинейные лучи от разных точек предмета. Угол,
Рис. 112.

230 Оптика лучей Гл. IV
который образуют крайние лучи О А и ОВ (рис. 113) называется
угловой кажущейся величиной предмета. Два предмета
АВ и АхВи имеющие одинаковую кажущуюся величину, могут быть
очень различной величины в
действительности; они могут
быть различно расположены в
пространстве, как изображено
на рис. 113. Если
рассматриваемые предметы представляют
собой две площадки о2 и σ2 на
большом расстоянии от глаза,
то об их величине мы судим
по отверстию конуса, образованного лучами, проведенными от глаза
до краев площадки (рис. 114).
Величина этого отверстия определяется телесным углом «>,
который находится следующим образом. Опишем около центра О
сферу радиусом г. Наш конус вырежет на поверхности сферы
некоторую площадку е. Разделив σ на квадрат радиуса г, мы найдем
величину телесного угла конуса:
α
Если площадка о и величина телесного угла малы, то можно
рассматривать о как сечение конуса плоскостью, перпендикулярной
к его оси. Всякое другое
сечение имеет ту же
кажущуюся величину; истинная η
же величина сечения
зависит от расстояния г± до
центра и от наклона его.
Последний определяется углом φ,
который образует нормаль к сечению с направлением лучей. Если
истинная величина площади сечения <зѵ то кажущаяся угловая
величина равна
Кй ? .
гі
Если расстояние гг от глаза до предмета известно, то по угловой
кажущейся величине мы можем определить кажущуюся
площадь предмета. Например, шар кажется нам диском, диаметр
которого равен диаметру шара.

§ 1 Прямолинейное распространение света 231
Нужно, однако, оговориться, что, когда мы оцениваем величину
предмета, то вносим обычно поправки сознательно или
бессознательно, которые приближают нашу оценку к истине. Хотя на
расстоянии мы можем измерять только угловые величины предмета, и
ребенок на близком расстоянии имеет гораздо большую кажущуюся
величину, чем взрослый человек, или даже дом, находящийся вдали,
но мы, конечно, не ошибемся в оценке величины этих знакомых
предметов. Наши восприятия величины предметов определяются
не только физическими условиями распространения света, но и
психологическими моментами. Тем не менее, поскольку свет является
основным условием зрительных восприятии, прямолинейность лучей
играет роль основного физического фактора в определении
величины видимых предметов.
Когда мы хотим представить освещение некоторой поверхности
светом от точечного источника, мы проводим лучок лучей,
расходящийся внутри некоторого конуса. Чем дальше находится
источник, тем меньше будет телесный угол конуса; при удалении
источника в бесконечность все лучи его, падающие на освещаемый
участок (конечных размеров), делаются практически параллельными.
Направление параллельных лучей определяет видимое положение
удаленного источника. Так например, от звезд до нас доходят
пучки параллельных лучей, причем положение звезды на небесном
своде определяется направлением доходящих от нее лучей. *.
Прямолинейностью лучей объясняется получение изображения
светящихся предметов при помощи небольшого отверстия в
непрозрачной стенке темного помещения, называемого „камера-обскура".
Если свет проникает в темную комнату через щель в ставне, то
на противоположной стене получается перевернутое изображение
предметов, находящихся за окном- Прямые солнечные лучи,
проходя через небольшое отверстие любой формы, дают изображение
солнечного диска.
Все эти явления легко наблюдать, и они хорошо известны.
Мы рассмотрим здесь лишь случай, имевший место в опытах
Ньютона, который пользовался солнечным светом, проходившим
через отверстие диаметром в 6,3 мм в ставне комнаты,
противоположная стена которой находилась на расстоянии 6,7 м.
Солнечные лучи, идущие от каждой точки поверхности солнца, можно
считать параллельными, как схематически показано на рис. 115, и
поэтому изображения точек А к В будут иметь вид кружков,
равных отверстию О. Лучи, перекрещиваясь в отверстии, дадут,
очевидно, перевернутое изображение солнца, размеры которого

232
Оптика лучей
Гл. IV
будут зависеть от расстояния между отверстием и стеной, и от
кажущейся величины солнца. Угол, под которым доходят до нас
лучи от противоположных краев солнца, равен 31', поэтому диаметр
изображения его, даваемого средними лучами параллельных пучков,
равен 670 см X 31' X 0,000291 = 6,05 см, так как в радианах
Г = 0,000291.
Если к этой величине прибавить диаметры кружков, являющихся
изображениями отдельных точек солнечного диска, равные 0,63 см,
то мы получим полную
величину изображения
солнца, равную 6,68 см.
Диаметротверстияздесь
равен приблизительно
10% диаметра
изображения солнца, поэтому
о резкости его не
приходится говорить.
Очень часто нам
приходится
рассматривать не отдельные лучи, а пучки их, лежащие внутри конуса,
вершина которого совпадает со светящейся точкой. Телесный угол
внутри этого конуса весь заполнен прямолинейными лучами. Мы
можем выделить пучок /Тучей при помощи экрана с отверстием или
диафрагмы, через которое проходят лучи от точечного
источника света. Ширина пучка или телесный угол его конуса может
быть сделана очень малой, но не произвольно малой. При
уменьшении размеров отверстия, которое может выделить резко
ограниченный пучок лучей, прямолинейность лучей постепенно теряется
и свет загибает в область тени. К этому явлению, называемому
диффракцией, мы вернемся в особой главе.
Когда мы говорим о луче, мы можем иметь в виду одно из двух
понятий: во-первых, луч, как направление, вдоль которого
распространяется свет, и, во-вторых, узкий конус, собственно, пучок лучей,
который может быть выделен при помощи диафрагмы и в котором
все' лучи имеют почти одинаковое направление. В опытах мы не
можем иначе следить за направлением лучей и изменением этого
направления, как выделяя пучки, в которых все лучи имеют
приблизительно одинаковое направление. Но в наших рассуждениях
нам придется иметь дело почти всегда с первым понятием, т. е.
с лучом, как математической линией, которая определяет путь,
проходимый светом.
5
Τ
Рис. 115.

§ 2 Законы отражения и преломления лдчей 233
§ 2. Законы отражения и преломления лучей.
Прямолинейность лучей наблюдается в пустоте и в однородной
материальной среде. Всякое отклонение от прямой линии мы обычно
приписываем влиянию каких-то неоднородностей. Общая теория
относительности требует, чтобы луч света отклонялся также под
действием сил тяготения; но это свойство может наблюдаться только
в исключительных условиях, например при прохождении лучей
вблизи края солнца, где потенциал тяготения очень велик, и
поэтому в обычных явлениях никакой роли играть не может.
Изменения направления лучей, наблюдаемые в наших опытах, в
большинстве случаев относятся или
к явлениям отражения или же /\
к явлениям преломления.
Всякая граница,
разделяющая два тела с различными
оптическими свойствами,
является местом, где
происходит отражение. Обычно мы
имеем на такой границе еще
переходные слои, но так как
они очень тонки, то заметного влияния на отражение лучей
не оказывают. Мы вправе поэтому считать отражающую
поверхность вполне определенной. Если заставить луч света, понимая
его здесь как тонкий пучок, падать на какой-нибудь участок этой
поверхности, то можно наблюдать отраженный луч, который
имеет меньшую яркость, чем падающий. Законы, которым
подчиняется направление отраженного луча, были открыты Декартом
и могут быть формулированы следующим образом:
1. Луч падающий и отраженный лежат в одной
плоскости с нормалью к отражающей поверхности.
2. Угол падения равен углу отражения.
Плоскость, содержащая луч падающий и нормаль к поверхности
в точке падения, называется плоскостью падения; плоскость,
проходящая через нормаль и луч отраженный,—плоскостью отражения.
Плоскость падения и плоскость отражения согласно первому закону
совпадают.
Угол падения — это угол α (рий. 116) между лучом падающим
и нормалью, а угол отражения—между лучом отраженным и
нормалью. Если нам дана точка, из которой приходит луч света,

234
Оптика лучей
Гл. IV
и положение элемента поверхности, от которой он отражается, то
мы легко найдем направление луча отраженного.
Мы видим (гл. 1, § 22), что такой же закон имеет место для
лучей, определяющих распространение плоских волн, согласно
принципу Гюйгенса. Мы можем считать наш луч представителем плоских
волн, падающих на плоское зеркало.
Наряду с отражением света происходит также проникновение
света внутрь тела. Если тело прозрачно, то мы можем
непосредственно убедиться, что при этом луч преломляется. Его
направление изменяется по определенным законам, открытым Снеллиусом
и независимо от него Декартом:
1. Луч падающий и прелом ленный лежат в одной
плоскости с перпендикуляром в точке падения.
2. Отношение синуса угла падения α к синусу угла
преломления β есть величина постоянная.
Первый закон говорит о совпадении плоскостей падения и
преломления. Второй позволяет найти для любого падающего луча
направление соответствующего преломленного, при условии, если
этот угол получается вещественным. В самом деле отношение
sin α : sin β = η, (1)
называемое показателем преломления, должно быть постоянным для
всех возможных углов падения а. Угол преломления находится по
его синусу из уравнения (1)
sin β = sin α: η.
Если η меньше единицы, то при углах падения а, близких к 90°,
sin β = 1: η, т. е. больше единицы. Но синус любого
вещественного угла меньше единицы. Поэтому не всякий падающий луч
может испытать преломление, если показатель преломления меньше
единицы.
Если луч попадает в материальное тело из пустоты, то почти
всегда показатель преломления больше единицы. Этот
показатель преломления по отношению к пустоте
называется также абсолютным показателей. При переходе
луча из прозрачного тела в пустоту показатель преломления имеет
обратную величину, так как при этом путь луча остается таким же,
но угол падения превращается в угол преломления и наоборот.
Это свойство, благодаря которому при перемене направления
распространения света на обратное путь луча остается неизменным,
называется свойством обратимости лучей. Луч, испытавший ряд
отражений и преломлений, можно заставить при помощи плоского

§ 2 Законы отражения и преломления лучей 235
зеркала изменить свое направление в обратное. Для этого зеркало
нужно поставить так, чтобы луч имел направление, нормальное
к плоскости зеркала; тогда луч падающий и отраженный
совпадают. Отраженный луч пойдет в обратном направлении и,
испытав те же отражения и преломления, как и на прямом пути,
вернется в исходную точку. Яркость его при атом, конечно, будет
меньше начальной.
Пусть луч переходит из одного материального тела в другое.
Показатель преломления в этом случае называется относительным
и при его определении обязательно должно быть указано как то
тело, в которое входит луч и для которого определяется
показатель преломления, так и то, из которого идет свет и по
отношению к которому определяется показатель. Это указание
делается при помощи значков. Например, при преломлении луча на
границе между водой и стеклом эти тела обозначаются значками 1 и 2
и следовательно п12 — показатель преломления стекла по
отношению к воде. Вследствие обратимости луча, показатель воды по
отношению к стеклу, щ±, есть величина обратная: п^ = 1: п12.
Законы преломления могут быть получены, как мы видели
(гл. I, § 21), и из построения Гюйгенса для плоских волн, если
преломляющая граница отделяет две среды, в которых скорости
распространения волн различны. Согласно этому построению
отношение синусов углов падения и преломления равняется отношению
скоростей волн в соответствующих средах. Волновая теория света,
родоначальником которой является Гюйгенс, приписывает
показателю преломления вполне определенный физический смысл.
Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света
в пустоте (с = 3 · 1010 си/сек.) к скорости в данном теле, которую
будем обозначать ѵѵ Таким образом, п1 = с:ѵ1 есть абсолютный,
а п12 = ѵ1:ѵ2 относительный показатель преломления. Мы видим,
что относительный показатель преломления равен отношению
абсолютных показателей соприкасающихся тел, на границе которых
происходит преломление:
Этот же результат можно получить и из опыта.
Представим себе две плоские границы, отделяющие тела 7 и 2
от промежутка, который будем считать пустым (рис. 117). Пусть
эти границы параллельны между собою. Тогда
sina1:sin?i = l:ni и sinаа: sin β3.= щ.

236
Оптика лучей
Гл. IV
Но в силу параллельности плоских границ sin βχ = sin «2, и
поэтому, перемножив предыдущие отношения, находим
sin «ι: sin β2 == η2: "ι·
Сближая границы, но сохраняя их параллельность, мы не изменим
направления лучей, поэтому и при совпадении их, когда луч будет
непосредственно переходить из первого тела во второе, это
отношение сохранится.
Заметим, однако, что подобный же закон преломления был получен
Ньютоном, который придерживался корпускулярной теории света.
Рис. 117. Рис 118.
Согласно этой теории, луч света представляет собой поток
материальных частиц, несущихся со скоростью света и
испытывающих при прохождении через границу тела притяжение со
стороны тела. Это притяжение, различное для различных тел,
направлено по нормали внутрь тела и действует только при переходе
через поверхностный слой. В результате этого действия частицы
получают добавочную скорость в направлении, нормальном к
поверхности, и их кинетическая энергия возрастает на величину, равную
работе сил, действующих на частицу. Поэтому скорость частиц
внутри тела будет находиться в определенном отношении к
скорости их в пустоте, независимо от угла падения, но составляющая
скорости, параллельная поверхности, остается неизменной.
Обозначая эту составляющую буквой и, а полную скорость частиц
в пустоте и внутри материального тела соответственно буквами
ѵ0 и ѵ1г мы видим из рис. 118, что
sin α = и: ѵ0 и sin β = u: v{t.

§ 2 Законы отражения и преломления лучей 237
Таким образом, показатель преломления
тг = sin α: sin β = ѵг; ν0
равен отношению скоростей частиц внутри тела и в пустоте. При
распространении света в обратном направлении частицы на
границе теряют часть своей скорости и опять превращаются в
первоначальные частицы, летящие со скоростью ѵ0. То же происходит
и при проходе через границу между двумя материальными телами.
Корпускулярная теория выражает таким образом показатель η как
отношение скоростей частиц света в соприкасающихся средах, но
в отличие от волновой теории Гюйгенса она требует, чтобы
скорость света в материальных телах была больше, чем в пустоте,
если их абсолютный показатель преломления больше единицы,
в то время как по волновой теории скорость волн света в
материальных телах должны быть меньше, чем в пустоте. Очевидно,
что спор между сторонниками этих двух теорий мог быть разрешен
измерением скорости света в пустоте и материальных телах. Такие
измерения удалось, однако, выполнить только в XIX столетии,
когда волновая теория света была уже проверена на огромном
количестве фактов.
Как отражение лучей, так и преломление происходят по
вышеизложенным законам, если отражающая или преломляющая
поверхность гладкая, т. е. направление нормали изменяется вдоль
поверхности медленно и непрерывно. Негладкие поверхности имеют
в соседних элементах различные направления нормалей, и поэтому
отражение лучей происходит диффузно, беспорядочно, в
различных направлениях. Очень часто встречаются такие поверхности
которые отражают свет хотя и в различных направлениях, но все же
преимущественно в направлении прав ильн ого'или
зеркального отражения. Так например, часто применяемый для проекций
экран, покрытый металлической (алюминий) краской, несмотря на
свою матовость, отражает большую часть падающего света в одном
направлении. Поэтому изображения, проектируемые на этот экран,
нужно рассматривать под определенным углом, когда они имеют
значительно большую яркость, чем на обычном экране. Под
другими углами изображение на алюминиевом экране наоборот
кажется более темным.
Белая бумага для рисования, поверхность, покрытая слоем
алебастра, представляют примеры диффузно отражающих
поверхностей. В этих случаях свет отражается не только от поверхности.
Проникая внутрь слоя, лучи испытывают также диффузное отра-

238
Оптика лучей
Гл. IV
жение, после чего выходят, как отраженные, наружу. Но при
очень больших углах падения, когда лучи почти скользят по
поверхности, эти тела также начинают давать зеркальное отражение.
Если свет проходит через среду с непрерывно изменяющимся
показателем преломления, то происходит непрерывное изменение
направления лучей. Они
делаются криволинейными вследствие
неоднородности среды. Такой
случай имеет место при прохождении
лучей от различных небесных
светил через земную атмосферу.
Так как плотность воздуха
убывает с высотой, то и его
показатель преломления уменьшается,
приближаясь к единице.
Преломление лучей, проходящих через
такую неоднородную атмосферу,
носит название астрономической рефракции. Вследствие
искривления лучей звезды становятся видимыми над горизонтом
еще до своего истинного выхода.
Если мы представим себе ряд параллельных слоев, в которых
показатель преломления имеет различную величину, то на
границах, отделяющих эти слои, происходит преломление, как показано
на рис. 119. По закону преломления
sin <*!: sin «a = п2: щ; sin α2 : sin as = n5:n^ и т. д.
Эти соотношения мы можем переписать так:
щ sin аг = щ sin α2 = щ sin α3 = ...
Таким образом, при преломлении луча остается неизменной
величина произведения га sin а. Следовательно, луч света, касательный
к земной поверхности у границы земной атмосферы (с^ = 90° и
η = 1), дойдет до земной ловерхности под углом, определяемым
уравнением
η sin α = 1,
где| η—показатель преломления атмосферного воздуха у
поверхности земли.
§ 3. Сила света.
Под силой света теоретически можно понимать поток энергии,
переносимой волнами света в 1 сек. через площадку в 1 см?,
перпендикулярную направлению распространения света. Такое опре-

§3
Сила света
239
Рис. 120.
деление, однако, не удобно на практике и имеет мало значения
при практическом использовании света. Обычно действие света
оценивается по субъективному ощущению, и мы довольствуемся
поэтому относительной оценкой силы световых потоков, сравнивая
производимые ими освещенности какой-нибудь белой
поверхности. Такая поверхность диффузно рассеивает свет и кажется
нам одинаково освещенной, под каким бы углом мы ни смотрели на
нее. Можно устанавливать довольно точно,
когда две белые поверхности одинаково
освещены различными источниками света,
если окраска света или спектральный
состав его одинаковы у сравниваемых
источников и если освещаемые поверхности
расположены рядом. На этом основано
сравнение силы источников света.
Удобнее всего вести рассуждения,
имея в виду точечный источник света.
Пусть пучок лучей, идущий в каком-либо направлении,
заполняет конус, вершина которого находится в той же точке, что и
источник света. Световой поток через каждое сечение конуса
будет один и тот же, если свет не поглощается при
распространении. Представим себе (рис. 120) ряд шаровых поверхностей,
центры которых находятся в вершине конуса S. Площади σ
участков АВ, вырезаемые на этих сферах конусом S, возрастают
пропорционально квадрату радиуса г сферы. Отношение о; г2, т. е.
телесный угол данного конуса, будем обозначать буквой ω, не
смешивая ее, конечно, с частотой колебаний, которую мы
обозначили таким же образом. Количество света, проходящее через
единицу поверхности какой-нибудь из рассматриваемых сфер,
очевидно, тем меньше, чем больше площадь σ, через которую проходит
весь поток. Освещенность L различных шаровых поверхностей
поэтому обратно пропорциональна квадрату расстояния:
1=4.
(2)
Множитель пропорциональности ί так же, как освещенность, мы
определяем не в абсолютной мерена относительно. Эта величина,
определяющая освещенность на расстоянии, равном единице,
называется силой источника света, или его интенсивностью.
Если мы можем сравнивать освещенности двух одинаковых
поверхностей (экранов), то нетрудно определить и отношение сил

240
Оптика лучей
Гл. IV
двух источников. Для этого нужно только расположить их на таких
расстояниях і\ и г2 от освещаемых поверхностей, чтобы
освещение было одинаково. Тогда
h · Ύ2 = 4: rf
и следовательно
h ·■ h = ri2: r*·
Такое сравнение сил различных источников возможно и имеет
смысл только, если испускаемый свет одинаков по составу.
Обычно мы имеем дело с белым светом, каким является свет
солнца, или накаленных добела проволок ламп накаливания. Но
и эти источники имеют различные оттенки что иногда затрудняет
их точное сравнение.
Для количественных определений вводится образцовый
источник света или эталон силы света, сила которого условно
принимается равной единице. Этот эталон должен обладать
постоянством и воспроизводимостью. Он должен давать
постоянную освещенность во время измерений, и, так как каждый
раз перед употреблением он должен быть вновь зажигаем, то
нужно быть уверенным, что его сила осталась такой же, как и
в предыдущих опытах. Для этой цели был предложен ряд
пламенных источников: например, нормальная английская свеча,
различные газовые горелки, лампы Гефнера, Карселя, Гаркурта. Все эти
источники дают силу света, различную в зависимости от высоты
пламени, количества сжигаемого вещества, состава воздуха,
а именно содержания в нем водяных паров и углекислоты.
Гораздо большим постоянством обладают современные
электрические лампы накаливания при строго определенной силе тока
или напряжении на концах нити., В настоящее время приняты
следующие эталоны: 1) международная свеча (ли св.),
установленная при помощи эталонных ламп накаливания; 2) единица Виолля—
сила света, испускаемого 1 см- платины при температуре плавления,
равная 20 м. св.; 3) лампа Гефнера, равная 0,885 м. св., принятая
в Германии.
Большинство источников света имеют такие размеры, что их
нельзя считать точечными. Однако закон изменения освещенности
с расстоянием сохраняется, если размеры источника малы по
сравнению с расстоянием от него до освещенной поверхности. Но
распределение света в зависимости от направления обычно резко
выражено. Сила источника, в том числе и эталонов, зависит от
направления, в котором находится освещаемая поверхность. В осо-

§3
Сила света
241
бенности это имеет место в лампах с рефлекторами или
несимметричными светящимися поверхностями.
Если для силы света единицей является свеча, то для
освещенности мы устанавливаем производную единицу люкс.
Освещенность равна 1 люксу, если она производится одной свечей на
расстоянии 1 м:
1 люкс = 1 св./лг2
При вечернем освещении для чтения считается достаточной
освещенность в 20 лк. В летний солнечный полдень освещенность
достигает 10 лк, лунный свет дает освещенность около 0,2 лк.
Очень близкой к только что рассмотренным величинам является
величина светового потока, которая выражается в особых
единицах— люменах. Поток, проходящий через 1 лі2 поверхности при
освещенности в 1 лк, равен 1 лм. Иначе можно определить люмен,
как световой поток, который создается одной свечей внутри
конуса, телесный угол которого равен единице. Полный поток,
создаваемый источником света, сила которого равна і свечей, составляет
4π/ лм. В самом деле, если освещенность поверхности измеряется
L лк, то величина светового потока через каждый кв. метр равна
L лм, а через поверхность ол*2, поток / равен
/=£,0 = г,-і (3)
Но о:г2 = со, т. е. телесному углу конуса, который вырезает на
поверхности шара радиуса г площадку о. Поэтому поток через
поверхность о равен
/=і», (У)
а через всю поверхность шара 4 π г, если во всех направлениях
сила г источника одна и та же.
Обычно источники света, например лампы накаливания, имеют
различную силу света в разных направлениях. Поэтому, определив
силу света источника в одном направлении, мы не можем еще
судить об общем количестве света, которое он дает и которое может
быть использовано для освещения. Световой поток, который
исходит от него по разным направлениям, падая на отражающие или
рассеивающие (белые) поверхности (рефлектор, потолок, стены
помещения), распределяется более равномерно, чем поток,
непосредственно исходящий от лампы. Вследствие этого при использо-
16 Здк. 2408. Курс физики, т. II.

242 Оптика лучей Гл. IV
вании лампы для осветительных целей нужно знать или величину
общего потока, или же среднюю силу света.
Если определить силу света в разных направлениях и затем
вычислить интегрированием величину всего светового потока, то,
разделив весь поток на 4π, мы находим среднюю
сферическую силу света или среднюю величину потока в телесном
угле, равном единице (единица телесного
угла называется „стерадиан", и в этих
единицах телесный угол,
соответствующий полной сфере, равен 4π). Этот
метод вычисления средней сферической
силы света может быть заменен
следующим опытным определением. Представим
себе полый шар (фотометрическая
сфера), внутренние стенки которого
покрыты белой краской, хорошо рассеи-
Рис. 121. вающей лучи света. Благодаря
многократному рассеянию, которое
испытывают лучи от всех элементов поверхности, как непосредственно
освещаемых лампой, так и получающих рассеянный свет от
других участков, световой поток распределится внутри сферы почти
равномерно по всем направлениям, и можно измерять силу света
его через небольшое отверстие О в стенке сферы, если это
отверстие защищено от непосредственного освещения лампы L
непрозрачным экраном Р, как показано на рис. 121.
Источники света, применяемые в технике освещения, имеют
различные силы, от нескольких свечей до тысяч свечей, которые
могут дать вольтова дуга или мощные лампы накаливания.
Пользуясь зеркалами, например в прожекторе, можно весь поток
практически направить в одном направлении и поэтому чрезвычайно
усилить силу света в этом направлении. Таким образом силу света
можно легко увеличить до сотен миллионов свечей. Однако
эта сила света имеет место только в очень узком пучке лучей;
средняя же сила наиболее мощных источников измеряется только
тысячами |или десятками тысяч свечей.
Освещенность, создаваемая различными источниками света(
может изменяться в широких пределах. Если освещенность,
производимая одной свечей на расстоянии одного метра, равна 1хлк, то
освещенность, создаваемая прямыми лучами солнца, равна 100000 лк;
дневное освещение в комнатах равно 100—1000 лк. Для чтения
в зависимости от шрифта требуется нормально от 30—100 лк

§ 4 Фотометры 243
§ 4. Фотометры
Для определения силы света источников применяются
фотометры различных систем. Обычно фотометрирование заключается
в субъективном сравнении двух источников по освещению, которое
они производят на определенном расстоянии. Обычный фотометр
состоит из фотометрической скамьи, на концах которой
помещаются сравниваемые источники света, и из фотометрического
тела, в котором сравниваются освещения, производимые
источниками. Последнее в разных фотометрах имеет различный вид, но
в основном состоит из двух освещенных поверхностей,
расположенных по возможности рядом. Для этого в фотометре Бун-
зена белый бумажный экран с поверхностью, перпендикулярной
к падающим на нее лучам, промасливается посередине,
вследствие чего получается резко очерченное «масляное пятно,
обладающее большей прозрачностью и меньше отражающее падающие
на него лучи, чем остальная поверхность. Если освещенность
экрана с одной и другой стороны одинакова, то недостаток
отраженного света компенсируется избытком прошедшего сквозь
пятно, и вся поверхность экрана кажется освещенной одинаково.
Если одна сторона экрана освещена сильнее, чем другая, то на
ней масляное пятно выделяется как более темная часть в то
время, как с другой стороны экрана масляное пятно кажется
освещенным более ярко. Фотометр Жоли состоит из двух
полупрозрачных брусков белого парафина (или молочного стекла),
отделенных друг от друга листом блестящего станиоля.
Освещенные с боку эти пластинки рассеивают проникающий в них
свет и кажутся спереди равномерно освещенными (изнутри).
Станиолевый экран между ними, во-первых, отражает
доходящий до него свет и способствует более равномерному
рассеиванию вошедших лучей, во-вторых, образует непрозрачную
границу между полупрозрачными брусками, освещаемыми каждый
одним из источников света.
Кроме описанных субъективных способов определения силы
света существуют различные методы объективного фотометриро-
вания. Нагревание, производимое светом при освещении
поверхности термоспая или термостолбика или каких-нибудь других
электрических термометров, позволяет сравнить полное количество
энергии, испускаемой различными источниками. Более тонкими
способами, но пригодными лишь для определенных участков спектра,
являются способы фотоэлектрические. При освещении поверхности,
16*

244
Оптика лучей
Гл. IV
покрытой слоем щелочных металлов и находящейся в вакууме, эта
последняя выбрасывает электроны, число которых строго
пропорционально количеству падающего света.
Сравнение источников света, дающих лучи разного
спектрального состава, нет смысла производить методами субъективной
фотометрии, так как чувствительность глаза к различным цветам
неодинакова.
Разложение света в спектр и определение силы света в
различных участках спектра необходимы для точного определения
состава света.
§ 5. Закон Ламберта. Яркость.
Источником света обычно служит светящаяся поверхность
конечных размеров. Световые потоки от различных элементов ее
складываются и дают общий поток. Чем больше плоская
светящаяся поверхность, тем больше поток, а следовательно, и сила
света ее. Но сила света, кроме того, зависит от угла, под которым
испускаются лучи, и по закону Ламберта Силаеве та
изменяется пропорционально косинусу угла между
направлением лучей и нормалью к поверхности. Но
в таком же отношении изменяется и видимая величина
поверхности, и поэтому закон Ламберта говорит, что сила света
поверхности определяется лишь видимой величиной ее.
Отношение силы источника^ в направлении, нормальном к его
поверхности, к величине его поверхности называется
удельной силой источника или его поверхностной
яркостью. Если обозначить поверхностную яркость буквой j, то сила
света в любом направлении будет выражаться формулой:
і — aj cos e, (4)
если е угол между данным направлением и нормалью к
поверхности, а г сила источника в данном направлении. Отношение силы
света і к видимой величине поверхности о cos е, равно яркости /
и должно быть независимо от угла ε, если справедлив закон
Ламберта. Единица яркости — стильб (сб) — равна яркости
источника, дающего силу света в 1 св. от 1 слг2.
Солнце представляется нам равномерно освещенным диском,
хотя оно представляет собой шар, и различные элементы его
поверхности мы видим под разными углами. Яркость всех этих
элементов в среднем одинакова и кажется нам таковой и при
различном их наклоне.

§5
Закон Ламберта. Яркость
245
Если на поверхность падает световой поток, то в случае
отражения его, она сама делается источником света, сила которого,
вообще говоря, зависит от направления. Наибольший интерес
представляет случай диффузного рассеяния лучей. В этом случае
имеет место закон Ламберта, и освещенная поверхность может
служить источником света, яркость которого не зависит от
направления лучей, а сила света изменяется
пропорционально cos е, где β — угол между
направлением лучей и нормалью к
поверхности.
Связь между освещенностью L
поверхности и ее яркостью j получается
путем следующего рассуждения. Световой
поток, падающий на поверхность dS, pa"
вен LdS. Если бы он весь рассеивался,
то количество испускаемого света
равнялось бы количеству падающего.
Представим себе сферу радиуса г
(рис. 122), на которую падает световой
пучок, испускаемый площадкой dS, и
выделим на сфере кольцевой участок
(зону) е/Σ, ограниченный двумя
параллельными окружностями, как показано на рисунке. Направление
лучей, падающих на элементы этого участка, составляет угол s
с нормалью к dS, и поэтому если сила света источника в
направлениях нормалей равна ζ'ο,το сила света вдоль этих направлений равна
і = і0 cos е =j dS cos s.
Площадь effi кольцевой зоны можно найти как произведение
длины окружности 2ir/-sine на ширину полоски rds, т. е.
c?S — 2^r2 sin β cfe.
Разделив эту площадь на квадрат радиуса сферы, найдем
телесный угол d®, соответствующий кольцевой зоне:
е?о) = d%: /·2 = 2π sin e rfs. (5)
Световой поток через с/Σ согласно (3') равен
dl= id® — if, cos εο?ω = 2π/ο sin ε cos sdfe.
Это выражение можно преобразовать в следующее:
с?/*=і%/(3т2б).

246
Оптика лдчей
Гл. IV
Полный поток через часть сферической поверхности АСВ,
соответствующей углу и при вершине конуса лучей, равен
/ = π/0 sin2 u = vjdS sin2 и. (б)
Если и = 90е, мы получим полный поток, равный icjdS,
рассеиваемый во всех направлениях. Сравнивая его с количеством
падающего света, мы найдем, что
L — π/.
Но количество рассеиваемого света никогда не бывает равно
количеству падающего, так как часть света, проникающего внутрь
тела, поглощается. Отношение рассеиваемого света к падающему
представляет некоторый коэффициент М, альбедо поверхности.
Для сильно рассеивающей поверхности хорошей рисовальной
бумаги этот коэффициент равен приблизительно 0,75. Поэтому для
определения яркости освещенной поверхности мы должны
количество падающего на нее света умножить на Μ и, следовательно,
/π = LM.
Из всех источников света наибольшей яркостью обладает
солнце; его яркость равна 200 000 сб. Яркость вольфрамовой
нити в лампочке накаливания составляет 150 сб, и при
повышении температуры быстро возрастает.
Яркость освещенных поверхностей мы легко найдем, если знаем
освещенность в люксах и альбедо М. Но если мы рассчитываем
яркость как силу света от 1 си2, то и световой поток нужно
рассчитывать на эту же единицу площади. 1 люкс получается при
падении одного люмена на 1 л*2, или 10— ли на 1 см2. Поэтому
яркость при освещенности в 1 ля равна
— М-10~4 сб.
π
Яркость белой бумаги, освещенной солнцем (I = 10Sjik), равна
приблизительно 2,5 сб. Для чтения и письма достаточно яркости
0,001 сб; поверхность луны имеет яркость 0,25 сб. Предельная
яркость, которую может выносить глаз, не испытывая' неприятных
ощущений, приблизительно 15 сб, а наименьшая яркость,
вызывающая ощущения света в глазу после продолжительного
пребывания в темноте, 10~10 сб.
В заключение приведем формулу, которая позволяет вычислить
световой поток, попадающий на определенным образом
ориентированную площадку dS', если источником света является площадка dS,

§6
Плоское зеркало
247
яркость которой равна jr. Пусть углы между направлением лучей и
направлениями нормалей к площадкам равны соответственно β и г',
как показано на рис. 123. Сила
источника dS в направлении к
площадке dS'равна jdS· cos е. Так
как видимая величина
поверхности dS' равна dS' cos β', то
световой поток, падающий на
нее, равен
dS cos s dSr cos e'
;·
(7)
Рис. 123.
Эта формула симметрична
относительно dS и dS' и,
следовательно, такое же количество света будет попадать на
поверхность dS, если dS' будет иметь яркость /.
§ 6. Плоское зеркало.
Плоское зеркало, как известно, дает при отражении от него
зеркальное изображение предметов. Изображение представляется нам
находящимся за плоскостью зеркала и обладает зеркальным
подобием. Мы остановимся на этом простейшем приборе, позволяющем
получать неискаженные изображения предметов, для выяснения
некоторых важных понятий.
Всякая точка S предметов или объектов является
источником лучей, которые отражаются по законам отражения, как
показано на рис. 124, образуя
пучок расходящихся лучей.
Если продолжить их за
зеркало, что изображено
пунктирными линиями, то все они
пересекутся в одной точке S'.
Отраженные лучи образуют
пучок, вершина которого
находится за зеркалом и
называется мнимым изображением
Рис. 124. точки S, так как лучи эти
представляются наблюдателю
идущими из точки S'. Это изображение называется мнимым,
потому что в действительности лучи не пересекаются в точке S'.
Изображение точки S находится на перпендикуляре, опу-

248
Оптика лучей
Гл. IV
щенном из S на зеркало, на таком же расстоянии,
как и точка S, но по другую сторону от зеркала.
Пучок лучей, выходящих из одной точки или фокуса лучей,
называется гомоцентрическим пучком. Пучок лучей,
отраженных от зеркала, как мы видели, является также
гомоцентрическим, как бы ни было велико расхождение лучей в пучке. Задача
всякого оптического прибора, дающего изображения предметов,
заключается в том, чтобы гомоцентрические пучки лучей
превращать также в гомоцентрические. Но только плоское зеркало вполне
точно решает эту задачу, какой бы ширины ни был пучок и где бы
ни находилась его вершина. Всякая прямая SSlt имеет своим
изображением также прямую, и всякая плоскость изображается как
плоскость с точным сохранением всех размеров. Таким образом
изображение получается неискаженное. Но его особенностью
является то, что направление и расположение отрезков прямых,
параллельных зеркалу, сохраняется, в то время как перпендикуляр
ные отрезки изменяют свое направление на обратное, как это видно
на примере отрезка 55Q и его изображения S'S.2r на рис. 124.
Если на рис. 124 изменить направление всех лучей в обратное,
то на зеркало будет падать пучок сходящийся, вершина которого
лйжит яя яргчкялпм. R ятпм г.лѵчае поедмет S является мнимым.

§7
Зеркалъ
ный отсчет углов
249
Способ трубы и шкалы (рис 125 Ь) или субъективный отсчет
(в отличие от предыдущего — объективного) основан на том, что
при повороте зеркала мнимое изображение шкалы, которое
наблюдается в зрительную трубу, перемещается в поле зрения набл'ю-
Ркс. 125а.
Рис. 125с.
дателя. Как видно, в трубу попадают лучи от делений шкалы,
которые находятся от середины шкалы на расстоянии d tg 2«.
Одновременно наблюдатель видит в поле зрения также
неподвижную нить трубы, которая позволяет точно отсчитать перемещение
изображения шкалы.
Величина зеркала может быть очень малой, например в 1 мм1
и меньше. Чем меньше поверхность зеркала, тем меньше
отверстие (апертура) пучка лучей, которые отражаются от зеркала и
создают освещенность изображения источника лучей. Поэтому, чем
больше яркость освещения отверстия при объективном отсчете или
шкалы при субъективном и чем
больше поверхность зеркала, тем
ярче будет изображение,
наблюдаемое при отсчете углов.
На этом же основано
оптическое увеличение малых
перемещений или оптический рычаг.
Небольшой рычаг ОА (рис. 126) рис. 126.
вращается вокруг оси О и
снабжен зеркалом М. При перемещении конца рычага в положение А',
зеркало поворачивается на угол а, что вызывает перемещение
зайчика на dtg2a или, если угол мал, на 2 da. Перемещение конца
рычага АА' = ОА α и, следовательно,
вв,=тАА'·

250 Оптика лучей Гл. IV
Таким' образом, оптическое увеличение перемещения АА' равно
j
2 -ρ—г, т. е. может быть сделано очень большим при больших отно-
шениях плеч d и ОА.
§ 8. Сферические зеркала.
Для получения изображений увеличенных или уменьшенных,
применяются зеркала сферической формы, представляющие часть
вогнутой или выпуклой поверхности шара радиуса г (рис. 127).
Всякая прямая, проходящая через центр С поверхности, называется
оптической осью зеркала,
а точка О, находящаяся,
где-либо в середине
зеркала, называется
вершиной его. Точку А,
находящуюся на оптической оси
и представляющую
вершину пучка лучей, будем
ρ ι,? называть светящейся
точкой или фокусом.
Точку А', в которой эти лучи сходятся после отражения, назовем
изображением светящейся точки или
сопряженным фокусом. Очевидно, что по принципу обратимости лучей,
если в точке А' находится светящаяся точка, то ее изображение
будет находиться в А. .
Рассмотрим какой-нибудь луч AM. Угол падения его на
поверхность зеркала равен углу АМС, так как радиус СМ шара есть
вместе с тем нормаль к его поверхности в точке М. Угол СМА',
который составляет отраженный луч с нормалью, или угол
отражения, должен быть равен углу падения
/_АМС=1_СМА' = $.
Обозначим еще углы, составляемые лучами AM и А'М с
оптической осью зеркала, через α и «', а угол между радиусом СМ
и оптической осью через Т.
Из треугольников АМС и А'МС находим:
или, исключая угол β,
2Т = я4-а\ (8)

§ 8 Сферические зеркала 251
Опустим теперь из Μ на оптическую ось перпендикуляр МСУ = А.
Расстояние точки О' от вершины О зеркала будет невелико и тем
меньше, чем меньше углы а, а' и т; при малых углах можно считать
ее совпадающей с точкой О. Мы видим, что
h = АО' tg α = СО' tgγ = А'О'tga'
или на основании (8)
2 arctg-^т- = arctg -^ + arctg -^.
Это сложное соотношение упрощается чрезвычайно сильно, если
мы будем рассматривать только малые углы а, а' и γ, τ. е.
считать, что лучи составляют с осью зеркала столь малые углы, что
можно тангенс их заменить просто углами. Такие лучи мы будем
называть осевыми.1 В этом случае и точку Ог можно заменить
вершиной зеркала О и отрезки CO = r, AO=f и А'0—f,
которые представляют соответственно радиус зеркала и расстояния
от зеркала сопряженных фокусов А и А', заменяют расстояния
этих точек от точки О'.
Таким образом, для осевых лучей мы получаем уравнение сфе·
рического зеркала
!=_i+JL (9)
г f ^ f ' W
которое показывает, что расстояние изображения А' от зеркала не
зависит от угла, под которым лучи пересекают оптическую ось.
Ийаче можно сказать, что осевые лучи, вышедшие из одной точки
на оптической оси, после отражения от зеркала опять собираются
в одной точке, сопряженном фокусе, также лежащем на оси. Так
как для каждой точки пространства можно провести ось,
проходящую через эту точку и центр зеркала, то, следовательно, для любой
точки можно найти при помощи осевых лучей сопряженный ей
фокус.
Пусть точка А удаляется от зеркала в бесконечность, т. е. /
беспредельно возрастает. Тогда согласно уравнению (9)f стремится
к -=■. Предельная точка, в которой получается изображение
бесконечно удаленной светящейся точки, называется главным
фокусом зеркала и расстояние его от зеркала F—-?r главным фо-
1 Иногда их называют также нулевыми лучами.

252
Оптика лучей
Гл. IV
кусным расстоянием. Пользуясь этим новым обозначением, мы можем
переписать уравнение (9) еще так
Т-Т+7- (9'>
При f=r и f = г, т. е. в центре совпадают светящаяся точка
и ее изображение. Если светящаяся точка находится между центром
С и главным фокусом F, то ее изображение будет находиться
влево от центра, т. е. светящаяся точка и изображение поменяются
местами.
Представим себе, что светящаяся точка движется вдоль оси,
приближаясь к зеркалу, т. е. слева направо на рис. 127.
Изображение будет перемещаться в обратном направлении справа налево.
Когда светящаяся точка придет в главный фокус, изображение
уйдет на бесконечность. Где же будет изображение, если точка
еще более приблизится к зеркалу, т. е. окажется между главным
фокусом и зеркалом? Из уравнения (9) мы находим в этом случае
для
Ff
Г
F-f
отрицательную величину, которая от — со возрастает до нуля по
мере того, как / уменьшается, приближаясь к поверхности зеркала.
Отрицательная величина расстояния изображения от зеркала
показывает, что его положение нужно искать на продолжении оптической
оси за зеркалом. Действительно, построение лучей показывает, что
в этом случае отраженный пучок будет расходиться, и точка
пересечения их или изображение будет мнимым.
Мы видим таким образом, что расстояния вдоль оси влево от
зеркала мы должны считать положительными, а вправо
отрицательными; тогда уравнение (9) будет справедливо для любых положений
точек как перед зеркалом, так и за ним. В случае выпуклого
зеркала, центр которого, а также главный фокус находятся на
отрицательной части оптической оси, мы должны положить г и F
отрицательными. В этом случае f будет отрицательным для всех
положительных значений /, т. е. все действительные точки дают только
мнимые изображения. Мнимые точки, наоборот, могут дать
действительные изображения, если они находятся между зеркалом
и главным фокусом. Все эти результаты можно получить из
уравнения зеркала (9'), если соблюдать правила знаков. Есля г—оз,
мы переходим к случаю плоского зеркала. Его главный фокуе

лежит на бесконечности и /= -/', т. е. точка и ее изображение
всегда находятся по разные стороны зеркала на равных расстояниях
от него, в чем мы уже убедились, рассматривая отражение лучей
от плоского зеркала.
§ 9. Построение изображения. Линейное увеличение.
Мы рассматривали получение изображений точек, расположенных
на оси зеркала. Но если мы проведем через центр зеркала
несколько осей, то для точек, находящихся в стороне от нашей
первоначальной оси, мы также
найдем изображения. Все точки,
находящиеся на шаровидной
поверхности с радиусом АС
(рис. 128), описанной около
центра С, имеют
изображениями точки на соответственной
поверхности с радиусом СА'. рис. ^28.
Некоторая дуга АВ, лежащая
на поверхности первого шара, будет иметь изображением дугу А'В',
лежащую на поверхности другого шара.
Теперь мы сделаем еще одно ограничение, необходимое для
получения неискаженных изображений, а именно, точка В должна
лежать так близко от А, что можно дугу АВ заменить
прямолинейным отрезком, перпендикулярным к оси АО. Тогда изображение
АВ' будет также представлено прямолинейным отрезком,
перпендикулярным к оси, но перевернутым. Изображение прямолинейного
отрезка, в том виде, как оно представлено на рис. 128, мы
называем обратным и уменьшенным. Отношение линейной
величины изображения к величине предмета есть его линейное
увеличение. Если предмет, как в данном случае дуга АВ,
представляет собой ряд точек вдоль перпендикуляра к оси, то
отношение это называется поперечным линейным увеличением. Как
видно из рисунка, линейное увеличение равно
АВ: A'ff = АС:СА = (/- г): (г-/). (10)
Для того, чтобы различать изображения прямое и обратное, мы
условимся обозначать их буквами у с соответственными индексами
и будем считать у положительным, если отрезок откладывается от
оси взерх, и отрицательным, если он откладывается вниз. Правило

254
Опт
ика лучей
Гл. IV
?-+
знаков здесь то же, как и в случае прямоугольных координат. Тогда
мы будем иметь
U І—т
-=y=T=f> do')
так как отношение в правой части положительное.
Уравнения (9) и (10') позволяют найти положение и величину
изображения, но существует простой способ графического
построения изображений, который
В \ Л основан на свойстве
главных фокусов. Из конечной
Q" точки В отрезка АВ, изобра-
$ жение которого мы должны
построить, проведем два
луча: один — параллельный оси
и другой — через центр
зеркала (рис. 129). Первый
после отражения от зеркала
должен пройти через главный фокус, а второй должен вернуться
по тому же пути с центру С. Точка пересечения их В' дает
изображение В. Из треугольников A'B'F и FDO' мы находим для
увеличения новые выражения, а именно
3 . FO' _ F
у'" A'F~ f — F ' (11'
где отрезок FO' мы заменили главным фокусным расстоянием F;
т. е. попрежнему пренебрегая величиной 00'. Подобное же
построение можно сделать, проведя первый луч через главный фокус F
отраженный луч пройдет параллельно оси и должен пройти через
точку Вг. Из треугольников ABF и FEO" можно найти еще одно
выражение для линейного увеличения
AF _f—F
Рис. 129.
S
FO"
(12)
Оба последние выражения могли быть, конечно, получены и из
уравнений (9) и (10') путем исключения из них /или /'. Разделив
уравнение (11) на (12), мы получим уравнение зеркала в несколько
измененном виде, а именно
{f-F)(f-F) = F\ (13)
Произведение расстояний сопряженных фокусов
от главного фокуса есть величина постоянная и

§ JO Яркость изображения 255
равна квадрату главного фокусного расстояния.
В дальнейшем мы будем пользоваться для определения положения
сопряженных фокусов их расстояниями от главного. Эти расстояния
будем обозначать буквами л: и хг, приписывать им знак -f- или —
в зависимости от того, в какую сторону от главного фокуса
откладывается х, или по какую сторону от F находятся тот или иной
из сопряженных фокусов; в изображенном на рис. 129 случае оба
х отрицательны.
Все полученные нами соотношения можно объединить в такой
системе уравнений, вытекающей из (11) и (12), если положить
f—F=-x и f — F^-x',
Определение главного фокусного расстояния или, что почти то же,
радиуса кривизны зеркала, может быть произведено или при помощи
механических измерительных инструментов, например сферометра,
или оптически по измерению величины изображения какого-нибудь
известного предмета. Формула (12) или (14) позволяет найти
величину F, если известно увеличение и расстояние предмета до
зеркала. Этот способ особенно важен в применении к выпуклым
сферическим поверхностям с мнимым фокусом, которые не могут быть
вымерены механическими приборами. Так например, кривизна
роговой оболочки и хрусталика глаза могут быть измерены только
этим способом на живом глазу. Лучи, испускаемые какими-либо
источниками света, отражаясь от поверхности глаза, дают несколько
изображений, вследствие отражения лучей от наружной поверхности
роговой оболочки, передней поверхности хрусталика, находящегося
внутри глаза, и его задней вогнутой поверхности. Измерение
величины этих изображений дает возможность, применяя формулу (12)
найти величину F=-k.
§ 10. Яркость изображения.
Строя изображение светящихся точек, мы предполагали, что
они располагаются на оси или на прямолинейном отрезке,
перпендикулярном к оси. Но ось зеркала есть ось симметрии, и поэтому
мы получим те же результаты для любого отрезка,
перпендикулярного к оси. Очевидно, что, если мы представим себе плоскость,
перпендикулярную к оси/ то любой рисунок, лежащий в этой
плоскости, будет воспроизведен в сопряженной плоскости.

Рис. 130.
256 Оптика лучей Гл. IV
Линейные размеры будут в изображении увеличены (или
уменьшены) все в одном отношении, т. е. изображение будет подобно
предмету. Но такое подобие будет иметь место только для
плоских предметов, перпендикулярных к оси. Предметы,
расположенные в различных плоскостях, будут в изображениях
увеличены различно. В дальнейшем мы будем рассматривать в качестве
предмета небольшую светящую-
| ся (или освещенную) плоскую
I площадку dS, перпендикуляр-
' ную к оси.
Если эта площадка, которая
[ образует часть поверхности
і светящегося или освещенного
предмета, имеет яркость ;', т. е.
если сила ее как источника
света равна jdS, то она
создает световой поток, часть которого падает на зеркало и после
отражения собирается на площадке dS' (рис. 130), являющейся
изображением предмета dS. Положим, что края зеркала видны
под углом и к оси.
Тогда, как мы видели (стр. 246), на поверхность зеркала падает
поток, равный
Iu = r.jdS sin2u. (6)
τι .α
Но если мы имеем дело только с о левыми лучами, Tosmu = -^r,
где а диаметр зеркала, а/расстояние предмета от зеркала. Если
пренебречь поглощением света при отражении от зеркала, то весь
этот поток пройдет через площадку dS'. Однако он будет
заключаться внутри конуса, вершина которого находится в той плоскости,
где находится изображение; поэтому синус угла и', который
составляют крайние лучи пучка с осью зеркала, равен
. / а
sinu =2f ·
Для того чтобы определить яркость изображения dS', мы должны
найти яркость такой светящейся поверхности, которая, имея
величину dS', испускает световой поток /„, заключенный внутри конуса
с тем же отверстием и, что и у пучка лучей, проходящих через
точки изображения. Подобно (6) мы должны иметь
/„««/dS'sinV. (б')

§ 10 Яркость изображения 257
Приравнивая эти выражения и заменив синусы углов отношениями:
а ■ 2/ и а: 2/', мы найдем такое равенство:
.dS = ѵ<№.
ИЛИ
. .j dS' /2
Отношение площадей подобных фигур равно отношению
квадратов их линейных размеров; поэтому, если уиу' какие-нибудь
линейные размеры предмета и изображения, то dS'-dS' =ус*'-у'1.
Но нетрудно показать, что линейное увеличение равно отношению
расстояний / и /'. Это следует из (11) и (12) по свойству
пропорций д _ F+f—F /
g'~f — F+F~'f * {16)
Поэтому правая часть уравнения (15) обращается в единицу, и
следовательно, изображение будет иметь ту же яркость, что и
светящийся предмет. При помощи сферического зеркала можно
получить изображение любой величины, т. е. уменьшенное или
увеличенное, но яркость его не может быть этим способом увеличена
и не будет превосходить яркости предмета.
Понятие яркости в применении к изображению, даваемому
зеркалом, требует некоторого пояснения. Светящаяся поверхность
малых размеров посылает лучи под всеми возможными углами
внутри полусферы, в центре которой она находится.
Изображение не является светящейся поверхностью, но каждая его точка
есть вершина конуса лучей, отверстие которого определяется
предельным углом и', который крайние лучи составляют с осью. Световой
поток, выходящий из какой-нибудь точки изображения, или, точнее,
проходящий через нее, весь заключается внутри такого же конуса.
Внутри этого конуса сила нашего источника света, каковым
является изображение dS', будет такая же, как если бы вся площадь dS'
светилась с яркостью /. Но ясно, что вне конуса никаких лучей
не будет. Наблюдателю, в глаз которого будет попадать некоторая
часть лучей пучка (та, что проходит через зрачок), изображение
будет представляться обладающим яркостью /. Но совсем икая
яркость будет у изображения, если оно получается на белой диф-
фузно рассеивающей поверхности, например, проектируемое на
белый экран. Поверхность экрана, на которой получается
изображение,, рассеивает лучи по всем направлениям почти равномерно,
и поэтому яркость будет меньше в отношении l:sin2u'.
17 Зак. 2408. Курс физики, ·

258 Оптика лучей Гл. IV
§ 11. Сферическая аберрация. Каустика
Все формулы, полученные выше для положения и величины
изображения, справедливы только для осевых лучей. Только эти лучи,
выйдя из одной точки, пересекаются опять в одной точке. Если
мы построим ход лучей после отражения от разных точек зеркала,
то найдем, что они пересекаются между собой и с оптической осью
в различных точках (рис. 131). Все эти точки располагаются в
пространстве около оси по некоторой поверхности, которую плоскость,
проходящая через ось АСО,
пересекает вдоль кривой ВХВ,
Эта кривая состоит, как
изображено на рисунке, из двух
ветвей, которые в точке В
сходятся на оси зеркала.
Здесь пересекаются осевые
лучи и находится
изображение точки А.
Рассмотренная кривая
называется в оптике лучей
каустикой. Она не только
состоит из точек
пересечения соседних лучей, но
все отраженные лучи будут касательными к ней. Такая кривая
называется в геометрии огибающей отраженных лучей. Все точки
пересечения лучей лежат между каустикой и поверхностью зеркала,
но более густо они расположены вдоль каустики и особенно около
точки В. Если разбить лучи, выходящие из А, на элементарные
пучки и рассматривать только лучи, расположенные в плоскости
рис. 131, то каждая точка каустики есть место пересечения лучей
одного элементарного пучка. Если при помощи диафрагмы с
отверстием выделить этот пучок, то в месте пересечения его лучей после
отражения в соответственной точке каустики, лучи будут
проходить как через точку изображения, но только изображение это
будет размазано на некотором участке каустики. Чем ближе к
точке В, тем меньше те участки каустики, на которых
распределены точки пересечения лучей элементарных пучкоз. Особенно
сгущаются эти точки вблизи фокуса осевых лучей В. Но каустика
не ограничивается только что рассмотренными кривыми. Два луча,
составляющие с осью зеркала одинаковые углы, пересекаются как
раз на оси, точно так же и все остальные подобные лучи, лежащие
Рис. 131.

§ 12 Преломление лучей на плоской границе 259
в других меридиональных плоскостях (проходящих через ось
зеркала). Эти точки пересечения особенно густо расположены вблизи
точки В и редеют по мере приближения к поверхности зеркала.
Участок оси зеркала между фокусом В и вершиной зеркала О
тоже образует каустику. Если при помощи узкого кольцевого
отверстия в диафрагме выделить из пучка те лучи, которые составляют
с осью равные углы, то где-то на оси между точками В -я О
получается также изображение светящейся точки.
Если передвигать вдоль оси экран, то в точке В получается
наиболее яркое изобра жение. Если поставить экран ближе к
зеркалу, то мы получим на нем в центре светлое пятно, а вокруг
него светлое кольцо, так как наиболее яркое освещение будет
в тех точках, где экран пересекает каустики лучей. Но и в
промежуточных точках будет наблюдаться освещение, только более
слабое.
Все описанные здесь явления называются сферической
аберрацией зеркала.
§ 12. Преломление лучей на плоской границе.
Мы рассмотрим здесь наиболее простой случай получения
изображения светящейся точки при помощи преломленных лучей.
Положим, что точка А (рис.
132) находится в воде, и
лучи, идущие от нее и
образующие расходящийся пучок,
встречая плоскую
поверхность воды, преломляются
на ней. Так как лучи
выходят из среды с большим
показателем преломления чем
у воздуха, то они составляют
пучок, более сильно расходящийся, и крайние лучи, как видно
на рис. 132, уже не могут выйти из воды, а испытывают полное
внутреннее отражение. Остальные лучи будут давать
изображение, которое, однако, будет мнимым, так как после преломления
лучи не пересекаются, а пересекаются только их продолжения,
которые обозначены пунктиром на рисунке.
Все лучи, образующие с перпендикуляром АР одинаковые углы,
т. е. лучи, образующие поверхность конуса с осью АР, будут
пересекаться на оси. Луч А В, составляющий с нормалью в точке А
Рис. 132.
17*

260
Оптика лучей
Гл. IV
угол г, после преломления будет составлять угол г и будет
пересекать ось АР в точке А'. Из треугольников АВгР и А'ВХР мы
находим:
Bf^APtgi^A'Ptgr или A'P--AP = tgi:tgr.
Так как показатель преломления воды
η = sin r '· sin ι, (/г = 1,33),
то
Л'Р:ЛР=І.^;. (17)
π cos ι κ '
Пока углы гиг малы, их косинусы мало отличаются от единицы,
и поэтому положение точки А', которая является изображением
точки А, не зависит от угла падения. Таким образом положение
изображения для малых углов падения вполне определено
уравнением (17), а именно изображение приподнято к поверхности
воды таким образом, что расстояние его А'Р от поверхности
в отношении 1 '· η меньше, чем расстояние АР светящейся точки.
Все предметы, находящиеся в воде, кажутся приподнятыми к
поверхности. Это смещение изображения еще больше при
больших углах. Точки пересечения соседних преломленных лучей
располагаются на каустике Α'Ά'Α'". Ветви каустики расходятся все
дальше по мере возрастания угла і. Наоборот, при малых углах г
они совпадают в угловой точке А' каустики, которая является
настоящим изображением точки А.
Мы встречаем здесь пример аберрации в широких пучках,
подобной сферической аберрации вогнутого зеркала, и вместе с тем
имеем пример получения изображения при помощи осевых лучей.
Можно воспользоваться этим явлением для определения показателя
преломления η стеклянной плоскопараллельной пластинки
известной толщины.
Для этого мы воспользуемся микроскопом с вертикальным
перемещением, которое может быть измерено. Если положить
пластинку на столик микроскопа и установить объектив микроскопа
сначала на такой высоте, чтобы ясно была видна верхняя
поверхность пластинки, а затем опустить его так, чтобы ясно видеть
нижнюю поверхность сквозь пластинку, то разница положений
микроскопа дает расстояние изображения нижней поверхности от
верхней границы, на „которой происходит преломление. Отношение
же толщины d пластинки к измеренному расстоянию d! равняется,
как мы видели, показателю преломления п. Установка микроскопа

§ 13 Полное внутреннее отражение 261
на нижнюю и верхнюю поверхности пластинки может быть легко
произведена благодаря имеющимся на них мелким царапинам или
пылинкам, которые становятся хорошо видными в микроскоп при
правильной установке его.
§ 13. Полное внутреннее отражение.
Мы уже видели, что при переходе из одной среды в другую
с меньшим показателем преломления существует такой предельный
угол падения, при котором преломившийся луч идет параллельно
поверхности. При еще больших углах падения преломленный луч
исчезает, и весь свет, падающий на границу, отражается. Это
полное внутреннее отражение начинается с такого угла
падения лучей, при котором угол преломления равен 90°, т. е. s'mi=
1
= —, где га относительный показатель преломления среды более
п.
преломляющей. В случае воды и воздуха, для которых η = 1,33,
угол полного внутреннего отражения равен 49°,
(sin 49° = 0,75); для обычного (натрового) стекла и воздуха η = 1,5,
и поэтому критический угол равен 42° (sin 42° = 0,666).
Граница, на которой происходит полное внутреннее отражение
лучей, является идеальным зеркалом. В отличие от обычных
зеркал, например, посеребренной, полированной поверхности стекла,
на ней не происходит поглощения света при отражении лучей.
Обычно для замены зеркал пользуются призмами полного
внутреннего отражения. Эти призмы имеют три боковых
грани, из которых две образуют прямой угол. Грань,
противолежащая этому углу, служит для отражения лучей.
Способ применения призм полного внутреннего отражения
изображен на' рис. 133 а. При этом лучи падают нормально на грань
призмы и попадают на отражающую поверхность под углом в 45°,
а так как для стекла, из которого делаются призмы, угол полного
внутреннего отражения . равен 42°, то отражение будет полным, и
направление лучей изменится на 90°. При полном внутреннем
отражении потери света происходить не будет, но при
прохождении лучей через боковые грани внутрь призмы и наружу каждый
раз теряется 5°/о. Другой способ применения призмы изображен
на рис. 133 Ъ. Здесь лучи после выхода из призмы имеют то же
направление, что и до входа в нее, но изображение предметов
после отражения оказывается перевернутым. Нужно представлять
себе, что каждый луч на нашем рисунке является представителем пучка
лучей с малым отверстием, идущего от какой-нибудь точки пред-

262
Оптика лучей
Гх. IV
мета. Все лучи каждого пучка падают на поверхность призма
почти под одним углом и выходят из нее также почти как
параллельные.
Неправильно было бы однако считать, что при полном
внутреннем отражении свет совсем не проходит через границу. Вопрос
о том, проникает ли свет
во вторую среду при
полном внутреннем
отражении, решается опытом в
положительном смысле.
Если покрыть
отражающую грань призмы тон-
Рис. 133. ким слоем твердых
частиц, которые могут
рассеивать свет, например, слегка закоптить ее, то, пропуская через
призму сильный пучок лучей, можно видеть, как частицы на
поверхности призмы освещаются лучами, которые должны испытывать
полное внутреннее отражение. Если рассматривать эту поверхность
в микроскоп, то видно, что отдельные частицы рассеивают лучи
света, очевидно, проникающие через границу. Таким образом,
свет проникает во вторую среду, но возвращается обратно, если
он не поглотится или не будет рассеян частицами, которые
находятся у самой границы.
Другой опыт, освещающий это явление, заключается в том, что
с отражающей поверхностью призмы приводится в тесное
соприкосновение выпуклая стеклянная поверхность. В месте касания
свет проходит, конечно, беспрепятственно как через сплошной
кусок стекла. Но вокруг этого места имеется кольцо, через которое
также проходит свет (но уже меньшей силы), несмотря на то, что
между поверхностью призмы и линзы (так называется тело,
ограниченное сферическими поверхностями) в этом месте уже имеется
некоторая воздушная прослойка. Чем толще эта прослойка, тем
меньше количество проходящего через нее света, причем окраска света
изменяется, делаясь красноватой. Это показывает, что легче
проходят лучи красные, т. е. _с большей длиной волны.
Мы можем заключить, что для полного внутреннего отражения
необходимо, чтобы толщина слоя второй среды была достаточно
велика по сравнению с длиной волны, и чем больше длина волны,
тем толще должен быть слой.
Таким образом, описанные опыты показывают, что хотя свет и
проходит через границу, но лишь на расстояния порядка длины

§ 14 Плоскопараллельная пластинка 263
волны, причем сила света быстро уменьшается при удалении от
границы.
На применении полного внутреннего отражения основано
устройство одного из наиболее употребительных фотометров (Луммера и
Бродхуна), позволяющего сравнивать две освещенные поверхности
в особо выгодных условиях. Фотометрический кубик, который
служит для этого, как видно на рис. 134, состоит из двух
соприкасающихся половин, причем одна половина
имеет плоскую поверхность, а другая
сферическую.
На сферической поверхности имеется
плоская площадка, плотно прилегающая
к плоской поверхности АВ. Если со
стороны грани ВС на куб падает поток
лучей, то та часть поверхности АВ,
которая соприкасается с воздухом, производит
полное внутреннее отражение по
направлению к грани АС, а средняя часть, где
стеклянные поверхности прилегают друг
к другу, полностью пропускает лучи.
Точно также, те лучи, которые падают
со стороны грани EF, проходят через
среднюю часть поверхности DF полностью. Таким образом со
стороны грани АС можно наблюдать рядом два световых потока,
обычно идущих от двух экранов, освещаемых различными
источниками света. Если освещение неодинаково, мы видим или
освещенный фон с темным пятном посередине, или же светлое
пятно на темном фоне. При равенстве освещения граница между
средним пятном и остальной поверхностью исчезает вовсе.
134.
§ 14. Плоскопараллельная пластинка.
Преломление лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку,
происходит таким образом, что каждый луч после прохождения
через нее будет иметь то же направление, как и до входа в
пластинку, но будет смещен на некоторое расстояние в направлении,
параллельном ее поверхности. Как видно (рис. 135), это смещение
зависит и от толщины d пластинки и от наклона лучей. Очевидно,
смещение луча а = ВС=АС-АВ.
Но
АС = dig z и AB = dtgr.

Пустая страница

Пустая страница

Пустая страница

§ 15 Преломление лучей в призме 267
3. Еще более замечательный случай мы имеем, когда
проходящий луч симметричен относительно граней призмы, или углы входа и
выхода равны. Если і = г', то и г = /, а, следовательно,
А = 2г и A-\-d = 2u
Таким образом в атом случае мы имеем соотношение
sin —2— — п sm "о"· С20)
Как мы видим, в рассмотренных простейших случаях измерение
преломляющего угла А призмы и угла отклонения d позволяет
очень просто найти показатель преломления п. Во втором случае
(способ автоколлимации), изменяя угол входа лучей, находят такое
его значение, чтобы луч, отраженный от второй грани и
возвратившийся в исходную точку, давал изображение, совпадающее с
источником света. Подобным же образом определяют и направление
нормали к первой грани.
В третьем случае направление луча, соответствующее
симметричному ходу, находится благодаря следующему свойству. Угол
отклонения имеет наименьшую величину как раз при симметричном
ходе. Вращая призму перед каким-нибудь источником света, мы
видим, что кажущееся (отклоненное) положение его изменяется
своеобразным образом. Изображение источника, создаваемое лучами,
прошедшими через призму, движется сначала в одном направлении,
доходит до некоторого предельного положения и затем
возвращается обратно. То положение призмы, при котором движение
изображения меняет направление, соответствует минимуму угла
отклонения и, как мы докажем сейчас, симметричному случаю.
Заметим, что в общем случае углы і и ΐ выражаются через
угол г следующим образом:
/ = arcsin (га sin г) и і' = arcsin [n sin (Л — г)].
Поэтому
d-\- A = arcsin (n sin r) -f- arcsin [л sin (A — r)].
Для того чтобы найти то значение угла г, при котором угол
отклонения d имеет минимальное значение, приравняем производную
от d по переменной г нулю. Так как угол А есть постоянная
величина, то
d(d) η cos г л cos (A — г) _ Q
dr ~ У\ — п? sin2 г 1Λ — raasm2(^ — r)

268
Оптика лучей
Гл. IV
Из этого условия или эквивалентного равенства
cos г cos(A — /-)
VI — η2 sin2 г ~~ Ѵі — n2sin2(^ — r)
мы легко можем заключить, что минимум отклонения получается, если
г = А — г или 2г=А. (21)
Но это условие приводит нас к симметричному случаю.
Кроме этого свойства симметричный ход лучей имеет еще
другие особенности. Одной из наиболее важных является увеличение,
производимое призмой. Рассматривая предметы через призму,
например, поместив перед призмой круглое освещенное отверстие,
мы видим, что изображение его или вытягивается или же
сплющивается вдоль того диаметра, который лежит в плоскости главного
сечения. Это увеличение предмета равно единице только при
симметричном положении призмы, когда предметы, рассматриваемые
через призму, кажутся неискаженными.
§ 16. Дисперсия лучей.
Рассматривая преломление лучей призмой, мы предполагали,
что все лучи имеют один и тот же показатель преломления. Однако,
на опыте, пользуясь белым светом, обычно наблюдают появление
окрашенных пучков, что можно объяснить неодинаковым
преломлением различных лучей света. Это
явление было изучено Ньютоном в 1666 г.
при помощи замечательных по своей
методике опытов. Источником света
в опытах Ньютона служило небольшое
круглое отверстие в ставне окна,
освещенное лучами солнца (рис. 138),
которое давало на стене изображение
солнца размером около 6,7 см. Когда перед отверстием ставилась
призма, то на стене вместо круглого пятна появлялась окрашенная
в спектральные цвета'полоска, вытянутая в направлении,
перпендикулярном к преломляющему ребру призмы, и ограниченная на
краях полукругами диаметра изображения солнца. Различные
повороты призмы давали различные отклонения полоски и различную
длину ее. Ньютон установил призму так, чтобы отклонение
получилось наименьшим. В этом случае, как показал расчет, все пучки
лучей, идущие от разных точек солнечного диска, должны были
испытывать одинаковое отклонение, и изображение солнца должно
Р^

§16
Дисперсия лучей
269
получаться неискаженным. Растягивание изображения в окрашенную
полоску показало, что солнечный свет состоит из лучей различного
цвета и что показатель преломления призмы для разных лучей
Рис. 139.
Рис. 140.
Рис. 141.
имеет различное значение. Это явление и носит название
цветного рассеяния или дисперсии лучей.
При помощи второй такой же призмы (рис. 139), поставленной
за первой, можно было вызвать отклонение изображения в
обратном направлении и вернуть пятно в
начальное положение. Вместе с тем
исчезало и растягивание пятна, которое
принимало свою прежнюю и круглую форму.
Следующий опыт состоял в том, что из
пучка лучей, разложенных призмой, при I
помощи экрана с небольшим отверстием
выделяются лучи определенной окраски
(рис. 140). Вторая призма, отклоняя их, не изменяет их цвета, и при
отклонении форма пятна мало изменяется, что указывает на
большую однородность лучей. При этом красные лучи, выделенные
указанным способом, испытывают меньшее отклонение, чем фиолетовые.
Наконец, опыт (рис. 141) со скрещенными призмами (акспериментум
круцис), когда кроме первоначального смещения пятно
испытывает дополнительное отклонение в перпендикулярном
направлении, показывает, что различные участки пятна, имеющие
различную окраску, отклоняются различно, но уже как лучи
однородные.
Все эти опыты приводят к следующим заключениям. Во-первых,
белый свет, который кажется нам одноцветным, на самом деле состоит
из множества разноцветных лучей. Во-вторых, показатели
преломления различных лучей имеют разные Значения: наименьшее для
красных, наибольшее для фиолетовых. Вследствие этого при отклонении

270
Оптика лдчей
Гл. IV
призмой белое пятно растягивается, образуя спектр, состоящий
из множества частично налагающихся друг на друга изображений
освещенного отверстия. Наконец, наложение различных
окрашенных изображений дает опять белое изображение. Но состав
белого света может быть очень различен, и в нем могут отсутствовать
многие лучи (даже большинство лучей) солнечного спектра. Ньютон
разделял солнечный спектр на семь цветов: красный,
оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Определяя
показатели преломления для различных лучей, он мог указывать для
обозначения их или перечисленные цвета или границы между ними.
Это грубое разделение лучей в течение долгого времени
сохранялось в физике и еще сейчас сохраняется у лиц, не знакомых
с физикой. Более точное представление о составе спектра было
получено Фраунгофером в начале XIX столетия, когда ему
удалось при помощи более совершенных методов наблюдения
(применяя зрительную трубу) открыть в солнечном спектре ряд
темных линий. Определение положения этих фраунгоферовых линий
явилось способом для различения разных областей спектра,
свободным от субъективных оценок цвета и гораздо более тонким.
Исследование спектра различных пламен, особенно работы Бунзена
и Кирхгоффа, посвященные применению спектров для химического
анализа, познакомило физиков с различными источниками света,
дающими изолированные и вполне однородные лучи, лежащие в
различных участках спектра.
Развитие волновых представлений позволило еще более
уточнить спектральную характеристику лучей света. Принимая, что
свет представляет собой волноообразное распространение
электромагнитных колебаний, мы должны для точной характеристики
качества лучей света определить или их период колебаний
или их длину волны. В настоящее время мы имеем возможность
для любых лучей установить эти величины. Мы находим, что длина
волны уменьшается от красного к фиолетовому концу и,
следовательно, чем корочедлина волны, тем больше показатель
преломления лучей. В этом случае мы считаем дисперсию
нормальной.
Для точного определения положения лучей в спектре до работ
Аббе, с которого собственно начинается история точных
оптических приборов, применялась на ряду с призмой еще зрительная
труба, которая устанавливалась на какой-нибудь очень удаленный
источник света. После отклонения лучей призмой они попадали
в объектив трубы, и наблюдатель мог видеть спектр, состоящий

§ 16 Дисперсия лучей 271
из изображений источника света различного цвета. Удаление
источника света от призмы было необходимо для того, чтобы лучи,
падающие на призму, были одного направления. Аббе первый заменил уда«
ленный источник близким, но помещенным в главном фокусе
объектива особой трубы. Лучи, пройдя объектив, будут иметь все
одинаковое направление, если они вышли из одной точки. Этот прием
в настоящее время осуществляется при помощи особой трубы —
коллиматора (отлатинского глагола„коллимаро" — направлять).
Коллиматор имеет на одном конце узкую щель, обычно
раздвигающуюся при помощи микрометрического винта и находящуюся в
главном фокусе объектива коллиматора. Щель освещается источником
света, и после прохождения лучей через призму в зрительной трубе
получается одно или несколько изображений ее. Если свет
однородный, то спектр будет состоять из одной тонкой
линии,—изображения щели в этих лучах. Если состав света сложный, то
возможен спектр, состоящий или из тонких линий — линейный, или
из групп линий, тесно расположенных, —· полос, — полосатый спектр,
или же непрерывный, когда изображения щели накладываются
краями и не различимы, как отдельные линии.
Для определения показателя преломления необходимо по
возможности пользоваться однородным светом. Достаточной
однородностью обладает свет от натриевого пламени, которое дает
желтую натриевую линию (вернее две, рядом расположенные).
Для характеристики оптических свойств стекол обычно определяют
показатель преломления их для натриевой линии, а кроме того, для
некоторых линий спектра водорода, когда свечение его вызывается
электрическим разрядом через трубку, наполненную этим газом
при малом давлении. Эти линии обозначаются обычно буквой Η
с греческими индексами: На, 4$, Нѵ Часто применяются также
обозначения Фраунгофера для темных линий в солнечном спектре. Так,
буквой D обозначается желтая линия натрия, буквами С и F
линии Нл и Ημ водорода, буквой G линия, лежащая вблизи
водородной линии Нѵ
Для конструирования оптических приборов знание показателя
преломления стекол имеет первостепенное значение. Фраунгофер
еще в начале XIX века (1815 г.) ясно оценил это значение, но
только через пятьдесят лет в работах Аббе выяснилось, как
необходимо точное знание показателей преломления для различных лучей
спектра. Поэтому для оценки величины дисперсии обычно даются
значения η для линий На, D, Нр и Нь которые равномерно
распределены по видимому спектру.

272
Оптика лучей
Гл. IV
§ 17. Измерение показателя преломления.
Классический способ измерения показателей преломления,
в основном принадлежащий Фраунгоферу, основан на измерении угла
отклонения луча призмой. Источником света служит щель S
коллиматора С (рис. 142), которая находится в главном фокусе объектива О.
Лучи, идущие в виде расходящегося пучка от какой-нибудь точки
щели, пройдя объектив О'зри-
т тельной трубы, собираются,
Ь -* давая изображение
светящейся точки. Таким
образом получается
изображение S' щели коллиматора в
виде тонкой линии, если
лучи однородные, или спектра,
которое и рассматривается
Рис 142. при помощи окуляра Ъ.
Зрительная труба и столик, на
котором находится призма, могут вращаться около общей оси,
проходящей через центр столика С. Углы вращения трубы Τ можно
отсчитывать на круге с делениями, неподвижно соединенном с
коллиматором. Весь этот прибор, когда он служит для измерения
углов, называется гониометром, а если он применяется для
измерения спектров — спектрометром.
Для измерения показателя преломления призму устанавливают
в таком положении, чтобы угол отклонения лучей был наименьшим.
В этом случае, как мы видели, ход лучей симметричен и может
быть применена формула (20), дающая величину п, если измерена
величина преломляющего угла А и угла отклонения лучей d.
Другой способ измерения п, принадлежащий Аббе, называется
способом автоколлимации. В нем коллиматор отсутствует,
вернее зрительная труба является в то же время коллиматором.
В том месте, где должно получаться изображение щели, помещается
диафрагма Ρ с круглым отверстием, причем нижняя часть его
занята, как видно на рис. 143, щелью S, отчасти закрытой
маленькой стеклянной призмой Р. Роль этой последней заключается в том,
чтобы лучи, падающие на нее справа через боковое отверстие
в трубе (стрелка на рис. 143), отражались в направлении,
параллельном оси трубы, и проходили через щель 5. Главная призма,
помещаемая перед объективом зрительной трубы, составляет как бы
половину призмы, применяемой в способе Фраунгофера. На рис. 143

§ 17 Измерение показателя преломления 273
пунктиром изображена вторая половина, отсутствующая в способе
'Аббе. Луч, падающий на призму, должен иттитакже симметрично,
как и в первом способе, и встречать грань АС под прямым углом.
Поэтому формула (19), применяемая в данном случае, отличается
от формулы (20) только
тем, что половинные
углы заменены целыми*
После отражения от
грани АС, которая для
этого серебрится, лучи
возвращаются и дают
изображение щели в
той же плоскости, где
находится сама щель, но в верхней половине отверстия. Часть
щели, не закрытая призмой, служит для фиксирования совпадения
изображения и щели. Измерение угла падения ι и преломляющего
угла происходит так же, как в первом
способе.
Тому же Аббе принадлежит способ
измерения показателя преломления
жидкостей, основанный на определении угла
полного внутреннего отражения. Он
осуществлен в многочисленных типах
приборов, называемых
рефрактометрами.
Представим себе две призмы,
сделанные из стекла с большим
показателем преломления и расположенные в
приборе так, что между их гранями имеется
плоскопараллельная щель (рис. 144).
В эту щель вводится несколько капель
измеряемой жидкости. Свет попадает
Рис. 144. в нижнюю призму от зеркала S. Если
лучи падают на слой между призмами
под углом, меньшим угла полного внутреннего отражения, то они
проходят через обе призмы и попадают в зрительную трубу Τ в том
же направлении, как и до входа в призму А (две призмы образуют
плоскопараллельную пластинку). Те лучи, которые падают под
углами большими, отражаются от границы жидкости. Предельный угол,
под которым лучи выходят из призмы, зависит от относитель*
ного показателя преломления жидкости, и направление лучей
18 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

274
Оптика лучей
Гл. IV
определяется при помощи зрительной трубы, которая
установлена на бесконечность. В плоскости, где собираются
параллельные пучки лучей и где каждой точке соответствует
определенное направление лучей, часть поля зрения освещена лучами,
прошедшими через призму, часть — темная. На границу между темным
и светлым полем устанавливаются нити трубы. В зависимости от
величины показателя преломления жидкости положение границы,
на которую приходится устанавливать трубу, различно, и по ее
положению можно определить величину п, которая отсчитывается
обычно непосредственно на шкале В. Описанный прибор удобен
тем, что он требует всего нескольких капель жидкости.
§ 18. Призмы ахроматические и прямого зрения.
Комбинируя призмы с различными показателями преломления,
можно построить призмы, которые дают одинаковое отклонение лу-,
чей для различных спектральных линий. В этом случае отклонение'
белых лучей не сопровождается разложением их в спектр,
и изображение, даваемое призмой, бесцветно. Такие призмы
называются ахроматическими. Возможность получения ахромати-
ских призм и линз впервые была доказана Фраунгофером. Выясним
этот вопрос при помощи простого расчета.
Положим, что призма имеет такой малый преломляющий угол,
что синусы можно, заменить углами, тогда уравнения (19) и (20)
принимают вид А -\- d = пА и дают для угла отклонения d
выражение
d*={n — l)A. (22)
Отклонения двух различных спектральных линий, например фра-
унгоферовых линий С и F, будут соответственно:
dr = К> — ѴА и da = (% — I)-4·
Положим, что вторая призма поставлена так, чтобы давать
отклонения в обратном направлении, и ее угол равен А', а
показатели преломления n'G и п'Р. Тогда отклонения, испытываемые
линиями С и F, будут равны
" - -- -άΰ^Α^=(μ0- 1)А- (п'0- 1)А'
dF-d'F = (ηΡ-^-Ί^--1)Λ',_ ... (2з)
^ Для того чтобы эти линии совпали, нужно, чтобы отклонения
их были равны, т. е.
(ηΰ-1)Α- (η'0- 1)Л'= (и,—1)Л —(«',—1)Л'

g 18 Призмы ахроматические и прямого зрения 275
или же
( л, — п0)А = (п', — п'а)А'. (24)
Совпадение только двух лучей, конечно, не может дать вполне
белого изображения, если для остальных лучей отклонения не
совпадают. Но все же расхождение всех остальных невелико и дает
только небольшое окрашивание по краям или так называемый
вторичный спектр. Нетрудно найти положение отклоненного изображения
по (23) и (24), а именно:
, j, _л jf _л(по — Ц("'* — п'с)-("'g-1)("г — па)
dc— a c — aF—a ρ — Ά —, —f . .
" F n С
Отклонение ахроматического изображения щели равно нулю,
если
па : пс—пѵ : n'F
или по свойству пропорции
па : п'а= far—"с) : Κη'χ—η'α),
т. е. если для данных сортов стекла дисперсии, измеряемые
разностями показателей преломления, относятся как показатели
преломления. Но по большей части дисперсии у разных стекол
меняются гораздо сильнее, чем самые показатели. Так например,
для кронгласа и флинтгласа (легкое щелочное стекло и тяжелое
свинцовое) мы имеем следующие соотношения:
кронглас п0 = 1,5153, nF — 1,5239, nF — п0 = 0,0086
флинтглас п0 = 1,6143, nF = 1,6314, nF— πσ = 0,0171.
В то время как дисперсия флинтгласа в два раза больше, чем
кронгласа, показатели преломления отличаются всего на 6 — 7%.
В настоящее время изготовляются оптические стекла с самыми
различными свойствами, например, с больший показателем
преломления и малой дисперсией; можно иметь стекла с одинаковым
показателем, но разной дисперсией и т. д.
Призмы прямого видения позволяют получить спектр неотклонен-
ный, по крайней мере, в своей средней части. Обычно добиваются,
чтобы отклонение для линии D было равно нулю. При помощи
двух призм мы можем осуществить такой случай, если
К-1) A = {n'D-l) А'.
Длина спектра будет равна в таком случае
b-Vr + d'J-ido+d'J-inj-nJ A-(n'F-n'G} А\
18*

276
Оптика лучей
Гл. IV
При помощи первого уравнения мы находим, исключая А',
следующее выражение:
δ = К -1)А
nF — nc η F ~-n 0
— 1
'ΰ α "Л
Выражения, стоящие в квадратных скобках, введены Аббе для
характеристики средней дисперсии стекол. Если средние
дисперсии равны, то, конечно, никакого спектра мы не получим, так
как длина спектра δ будет равна нулю.
§ 19. Преломление на сферической поверхности.
В большинстве оптических приборов нам приходится
пользоваться линзами, т. е. прозрачными телами, ограниченными
сферическими поверхностями. Поэтому для изучения законов, по
которым происходит образование изображений, мы начнем с
рассмотрения преломления лучей сферической поверхностью, отделяющей
две среды с различными
показателями преломления.
Через центр сферической
поверхности и какую-нибудь
точку ее мы проведем ось и
будем называть ее
оптической осью. На этой оси или
вблизи от нее пусть находятся
светящиеся (или освещенные)
точки предмета. Нам придется отсчитывать расстояния вдоль оси,
и поэтому мы условимся считать, что положительное направление
есть направление распространения света вдоль оси. Поверхность
может быть обращена к источнику света своей выпуклостью, как
на рис. 145, или вогнутостью.
Положим, что на* оси в точке А находится источник света.
Луч АО, падая на поверхность перпендикулярно, так как его
направление совпадает с направлением радиуса ОС, проходит без
отклонения. Другой луч АВ в точке В испытызает преломление
и идет после этого по направлению ВА''. В точке А' он
пересекает оптическую ось. Таким образом два луча, вышедшие из
точки А, т. е. АОА' и ΑΒΑ пересекаются в точке А'. Обозначим
величину углов, которые составляют лучи АВ и В А' с осью,
через и и и, а расстояния ОА и ОА' через / и /'. Следует
обратить внимание на знаки величин / и /'. Так как точка А
находится влево от поверхности сферы, то расстояние ОА отсчиты-
Рис. 145.

§ 19 Преломление на сферической поверхности 271
вается в отрицательную сторону и / должно изображаться
отрицательным числом. Расстояние /' будет иметь знак плюс
Во избежание сферической аберрации мы будем предполагать,
что углы и и и малы, т. е. лучи осевые. Угол а, образованный
радиусом г с осью, будем также считать настолько малым, что
основание перпендикуляра ВО', опущенного на ось, можно считать
совпадающим с точкой О — вершиной сферической поверхности.
Пусть длина ВО' равна h. Если расстояния от точек Л и Л' до
вершины О равны соответственно / и /', то мы найдем, заменяя синусы
и тангенсы углами,
h — — fix = /V «= га. (25)
(Знак минус должен быть поставлен в виду того, что источник
находится влево от О, т. е. / отсчитывается в отрицательном
направлении). Из треугольников ABC и А'ВС мы получаем
соотношения между углами
£=u-fa и z' + u' = a, (26)
и, наконец, закон преломления дает, если η и га' показатели
преломления первой и второй среды и если мы заменим отношение
синусов отношением их углов
i=SL- і' или η (ц-{-«) =/г' (α — и'). (27)
Подставляя из (25) значения углов в уравнение (27), мы найдем
после сокращения
-у-+у=~^. (28)
В уравнение (28) не входит больше ни один из углов,
составляемых лучами с осью, равно как и Λ и а, которые определяют
точку пересечения луча со сферой. Это значит, что все лучи,
вышедшие из точки А, пересекут оптическую ось в точке Аг неза-.
висимо от их наклона, если только все углы достаточно малы.
Как и в теории сферического зеркала, мы ограничиваемся
рассмотрением осевых лучей.
Исследуя уравнение (28), которое во всех отношениях подобно
уравнению (9) для сферического зеркала, мы находим, что когда
источник света находится бесконечно далеко от преломляющей
поверхности (/=:+: оо), его изображение будет находиться на
расстоянии -
п'г'

278
Оптика лучей
Гл. IV
считая от точки О в положительную сторону. В нашем случае,
когда центр лежит в положительном направлении от точки О, радиус г,
а, следовательно, и / мы должны считать положительными, т. е.
изображение получается в той среде, куда попадают лучи после
преломления. Положение изображения бесконечно удаленного
предмета мы назовем вторым или задним главным фокусом, а
расстояние его от вершины F'—вторым главным фокусным расстоянием.
Первым или передним главным фокусом будет положение
источника света на оси, когда изображение его находится на
бесконечности. Первое главное фокусное расстояние равно согласно (28)
F=--^. (29)
η —η ν '
Таким образом, главные фокусные расстояния относятся как
показатели преломления
~F:F = n:n'. (30)
Пользуясь нашими выражениями для главных фокусных
расстояний, можно преобразовать формулу (28) и получить более
симметричное выражение
у-Ьу-=1. (280
Когда предмет, т. е. светящаяся точка" на оси, приближается из
бесконечности к преломляющей поверхности, оставаясь влево от
нее, расстояние / нужно считать отрицательным, так же как и
фокусное расстояние F. Из уравнения (28') мы видим, что
EL- 1_Z
f,-l f
остается положительным и меньшим единицы, пока / по
абсолютной величине больше F, т. е. пока предмет не достиг главного
фокуса.
Изображение находится вправо от поверхности сферы и
поэтому считается действительным. Когда предмет доходит до
главного фокуса, его изображение удаляется в бесконечность. Если
предмет находится между передним фокусом и поверхностью, то
его изображение находится влево от поверхности, т. е. будет
мнимым. Наконец, если предмет мнимый, т. е. находится вправо
от поверхности, его изображение будет действительным и
находится между поверхностью и задним фокусом. Все эти случаи
изображены на рис. 146,

§19
Преломление на сферической поверхности
279
Для вогнутой преломляющей поверхности радиус г нужно
считать отрицательным. Это изменяет знаки главных фокусных
расстояний, но формула (28') сохраняет свою силу и может служить
для вычисления положения
изображений.
Очень удобно для
определения положения точек на
оптической оси пользоваться их
расстояниями от главных
фокусов, которые мы обозначим ϊΤ^^ΞΞχρ
через χ и χ', причем
x=f—F, a X'^f — F.
Рис. 146.
Согласно этому определению
расстояния χ и х' будут
положительны, если они отсчитываются вправо от соответствующих
главных фокусов.
Перепишем формулу (28') в таком виде:
Ff + Ff=ff.
Прибавляя справа и слева одно и то же произведение FF, отчего
наше уравнение не изменится, мы получаем
FF = (f—F) (f-F) = xx'. (31)
Эта формула аналогична формуле (13) для сферического зеркала.
Точно также мы можем построить изображение точек, лежащих
вблизи главной оптической оси, пользуясь побочными осями,
проходящими через
центр С поверхности.
г д' Небольшая площад-
? ■ ·~~~ί ка, перпендикуляр-
Д | С о» ная к оси в точке А,
имеет изображением
площадку, также пер-
Рио. 147. пендикулярную коси
в точке А'.
Для того, чтобы найти линейное увеличение изображения, мы
воспользуемся свойствами главного фокуса. Проведем из конца
предмета, величина которого равна у, луч, параллельный главной
оптической оси (рис. 147). Преломившись, он пойдет через
главный фокус F. Из подобия треугольников мы получим
y:(-!,') = F:(f-F) = F<.x\ (32)

280 Оптика лучей Гл. IV
Оба уравнения (31) и (32) можно объединить, придав им сле-
дующий вид:
y:( — tf)*=Fxx'**x-.F. (33)
Это уравнение отличается от уравнения (14) для сферического
зеркала только тем, что в нем главные фокусные расстояния
различны и по величине и
β L по знаку.
Г~~-"*—■"χ-""-""""""""/ "-—^^ Выведем еще одно
^-^^—Гц T"7-"-~-J " і[ t?7^--^ ^ соотношение, которое
^■*ѵ-^/- *4 "~^~^=^=:~~-~-^ at нам будет нужно в
~>-^J5==^-*==—Г ^^ дальнейшем. Пусть ВО
і (рис. 148) луч, кото-
Рис. 148. рый падает на вершину
преломляющей
поверхности и после преломления проходит через точку В'
изображения. Углы і и ί', образуемые лучом с главной оптической осью,
подчинены закону преломления. Но мы имеем:
sin i = BA:AO=g:(—f) и sin ϊ = ΒΆ';ΑΌ =(—/):/'.
Так как
η sin i = га' sin ι',
то, следовательно,
ray :/=*'/:/. (34)
Мы можем теперь выяснить, какова будет яркость изображения,
если лучи при преломлении не ослабляются. Это предположение,
конечно, не вполне справедливо, так как при преломлении
некоторое количество света отражается, и проходящие лучи теряют
в интенсивности. Однако при преломлении на границе между
стеклом и воздухом потеря эта составляет всего 4%.
Световой поток, испускаемый площадкой dS предмета, яркость
которого /, внутри конуса с углом и у вершины, согласно (6)
равен
/= π dS j sin2 a.
Этот поток попадает на поверхность dS' изображения, и пусть
яркость изображения /, а угол конуса лучей, доходящих от
преломляющей поверхности до точек изображения, обозначим и'. Оба
угла а и и' зависят от величины отверстия LL, которое должно
быть ограничено, так как мы условились рассматривать только
осевые лучи, и от расстояний / и f. Радиус отверстия LO = d

§20
Линзы
281
задан или краями сферической поверхности или особой
диафрагмой. Очевидно, что
sin и— d'-f, a sin u' = d:f.
Так как поток, выходящий из поверхности предмета dS, равен
потоку, проходящему через поверхность dS' изображения, то
I dSj sin2 ц = dS' / sin2 и'. (35)
Но поверхности относятся как квадраты линейных размеров
dS:dS'=у2:у'2 и поэтому у9 j sin9 u —i/'2/sin2 и'.
Подставляя значения синусов и сокращая на с?3, мы получим
^;:/2=/2/:/'2;
теперь, воспользовавшись соотношением (34) для исключения
величин уи/, получаем окончательно
/:π2=/:τι'2. - (35')
Последняя формула показывает, что яркости изображения
и предмета находятся в постоянном отношении, равном отношению
квадратов показателей преломления. С подобным результатом мы
встретились уже при рассмотрении теории сферического зеркала.
Там мы нашли, что яркости предмета и изображения равны. Это
вполне согласно с полученным нами результатом, так как
отражение от зеркала можно рассматривать как особый случай
преломления, при котором показатель преломления поверхности
равен η = — 1. Все формулы сферического зеркала получаются из
формул преломляющей сферической поверхности, как их
специализации для η = 1 ил'= — 1. Поэтому отношение яркостей должно
быть равно единице.
§ 20. Линзы.
Линзы или сферические стекла имеют две поверхности,
вообще говоря, различного радиуса, выпуклые, вогнутые или плоские,
но всегда отшлифованные таким образом, что центры сферических
поверхностей лежат на главной оптической оси, проходящей через
среднюю точку линзы. Пользуясь несколькими линзами, обычно их
располагают так, чтобы их оптические оси совпадали, т. е. чтобы
центры всех преломляющих поверхностей лежали на одной
прямой. Такие системы линз мы называем центрированными
оптическими системами. Они симметричны относительно
общей оси, и мы можем, изучая способы получения изображений,
рассматривать ход лучей в какой-нибудь одной плоскости,
проходящей через ось.

282
Оптика лучей
Гл. IV
Две преломляющие поверхности линзы обычно соприкасаются
с воздухом, но мы рассмотрим более общий случай, когда
показатели преломления всех сред различны. Чтобы перейти затем
к частному случаю, нам нужно будет только приравнять
показатели преломления первой и последней среды единице. Для
построения теории линз мы будем рассматривать образование
изображений каждой поверхностью в отдельности. Для первой,—источником
лучей является действительный предмет, находящийся в среде
с показателем пх а изображение должно получиться в среде с
показателем п2. Для второй—предметом является изображение,
даваемое первой поверхностью, а изображение получается в третьей
среде с показателем
Ρ . преломления ns. Для
точной теории мы
должны принять во
внимание расстояние,
на котором
находятся преломляющие
поверхности, т. е. толщину линзы, но для простоты мы ограничимся
здесь случаем тонких линз. Расстояние предмета и изображения
до преломляющей поверхности во многих случаях можно считать
очень большими по сравнению с толщиной линзы, так что
преломляющие поверхности можно считать совпадающими, не делая
большой ошибки.
Если в точке А (рис. 149), на расстоянии / от линзы, находится
предмет, а изображение, даваемое первой поверхностью, будет
находиться в точке Аи на расстоянии /х от линзы, то мы имеем
согласно (28')
где FhF] главные фокусные расстояния, которые могут быть
вычислены по формулам (29) и (30). Для второй поверхности
линзы предмет находится в Аѵ на расстоянии от нее, равном тоже
fit так как толщиной линзы мы пренебрегаем, а изображение
получится в точке А3 на расстоянии /2 от линзы. Мы получим новое
уравнение
fr h 1}
в котором F2 и F3 величины фокусных расстояний для второй
поверхности, которые также могут быть вычислены.

§20
Линзы
283
Если из этих двух уравнений исключить величину flt то мы
получим уравнение, связывающее расстояния предмета А и
изображения А2 от линзы. Оно будет иметь следующий вид:
F_ 1 Fs_ ±__J__±
Л ' / F2' U Fl F« *
Но из (30) мы знаем, что отношения главных фокусных
расстояний равняются (с противоположным знаком) отношениям
показателей преломления, поэтому мы получим
Щ f Щ /а Fx F2'
Если rL и г2 радиусы сферических поверхностей, то согласно
(29) и (30)
г» П2Г1 г· П2Г2
% — "2
После подстановки этих выражений в предыдущую формулу
и сокращения на п2 получим
Щ_ ι Щ __ п2 п1 ! Щ — "2 /ggs
/ /й rl r2
Последняя формула очень напоминает формулу (28) для одной
поверхности. Первое и второе главное фокусное расстояние,
которые находятся между собой в отношении — ^'.щ, т. е.
пропорциональны показателям преломления первой и последней среды,
могут быть легко получены из (36). Если первая и последняя
среда воздух, т. е. ηί = η3 = 1, то мы получаем обычную формулу
для линзы
При применении этих формул необходимо помнить, что радиус
поверхности считается положительным, если центр лежит вправо
от линзы, т. е. в положительном направлении, и отрицательным
в противоположном случае..
Линза, находящаяся в воздухе, будет иметь таким образом равные
по величине, но противоположные по знаку главные фокусные
расстояния. Таким образом передний и задний главные фокусы всегда
находятся по разные стороны от линзы. Но не всегда передний
фокус расположен перед линзой.
1) Если гг > 0, а г2 < 0, т. е. если линза двояковыпуклая (рис
150а), или если > 0, т. е. выпуклая поверхность имеет

284
Оптика лучей
Гл. IV
большую кривизну, чем вогнутая (выпукло-вогнутая линза, рис. 150с),
то первый фокус будет находиться слева, т. е. перед линзой, а второй
позади. Такая линза называется также собирающей.
Действительные предметы перед первым главным фокусом дают
действительные изображения за задним фокусом линзы. Мнимые изображения
получаются только при положении предмета между линзой и
главным фокусом.
2) Если rt <0, а т-2 > 0, или если — < 0 (рис. 150 Ь и d),
то мы имеем двояко-вогнутую и вогнуто-выпуклую линзу: в
последнем случае кривизна вогнутой поверхности больше, чем
выпуклой. Первое главное фокусное
расстояние будет положительным, т. е. первый
главный фокус находится вправо или
позади линзы; второй фокус, наоборот,
лежит перед линзой. Эти линзы
рассеивают лучи. Действительные предметы
дают мнимое изображение. Светящаяся
Рис. 150.
точка, находящаяся на оси перед линзой,
дает расходящийся пучок, который после преломления в линзе
расходится еще сильнее.
Одной из особенностей тонких линз является существование
особой точки, называемой оптическим центром линзы.
Она находится на оптической оси- между преломляющими
поверхностями и обладает замечательным свойством: всякий луч,
направленный к оптическому центру, т., е. к точке О на рис. 151,
проходит через линзу, не изменяя своего направления. В самом
деле вблизи оптической оси линза имеет свойства
плоскопараллельной пластинки, так как ее поверхности здесь перпендикулярны
к оптической оси, т. е. параллельны между собой.
Таким образом для построения изображения мы имеем три луча:
1. Луч, проходящий через передний фокус F и идущий после
преломления параллельно оптической оси (луч BF на рис. 152а).
2. Луч, параллельный оптической оси и проходящий через
задний фокус BFB'.
3. Луч, проходящий через оптический центр линзы, луч ВОВ'.
Проведя два каких-нибудь из этих лучей, мы находим положение
точки В' изображения, т. е. как положение, так и величину
(линейную) изображения.
Если предмет находится в плоскости, проходящей через
главный фокус и перпендикулярной к оптической оси, то пучок лучей,

§20
Линзы
285
выходящих из любой точки его, после преломления превращается
в пучок параллельных лучей, наклоненных к оси под определенным
углом и. Главная фокальная плоскость имеет своим изображением
плоскость, находящуюся на бесконечности. Точка этой последней
может быть определена только углом и, который образуют с осью
лучи параллельного пучка, собирающегося в ней. Угол ц или его тан-
Рис. 151. Рис. 152.
гене (tg и), есть угловая величина изображения, находящаяся на
бесконечности. В то же время это есть угловая величина
предмета у, находящегося в фокальной плоскости и рассматриваемого
из оптического центра линзы, ибо луч, проведенный из точки G
(рис. 153) через центр, проходит линзу, сохраняя свое
направление. Таким образом
GF=y — F tga.
Этот результат можно еще выразить так: отношение
предмета, находящегося в главной фокальной
плоскости, к угловой величине tg ы
его изображения,
находящегося на бесконечности,
равно главному фокусному
расстоянию линзы: У
y:tg u = F.
Точно также и параллельные пуч- Рис. 153.
ки лучей, падающие на линзу в
определенном направлении, собираются в определенных точках
задней фокальной плоскости. Каждому направлению пучка лучей,
т. е. каждому углу и, соответствует определенная точка у'
фокальной плоскости, согласно уравнению
у' = Ftg и.
ч
Для применения этих формул на практике необходимо
условиться о знаке углов. Мы считаем положительными углы, образован-

286
Оптика лучей
Г χ. IV
ные положительными направлениями луча и оптической оси, если
они лежат выше оптической оси, и отрицательными в
противоположном случае. Или, говоря иначе, если угол может быть получен
вращением луча, вначале совпадающего с оптической осью в
положительном направлении, т. е. против часовой стрелки, то ему нужно
приписать положительный знак, в противном случае — знак минус.
Подобное применение фокальных плоскостей мы уже встречали
в коллиматоре и зрительной трубе, установленной на бесконечность
От каждой точки щели после прохождения через объектив
коллиматора идет параллельный пучок лучей в определенном
направлении. Попадая в объектив зрительной трубы, они собираются опять
в отдельных точках главной фокальной плоскости. Установка на
бесконечность трубы заключается в установке окуляра так, чтобы
отчетливо видеть главную фокальную плоскость.
§ 21. Глаз.
Рассмотрим с точки зрения изложенных выше принципов
получение изображений в глазу. Воздух, из которого свет поступает
в глаз, отделен от глазного дна, где получается изображение,
целым рядом прозрачных тел, ограниченных приблизительно
сферическими поверхностями. Наружная оболочка глазного яблока
(склеротика) в передней своей части обыкновенно прозрачна и
называется роговицей, это первая
преломляющая поверхность (на рис. 154
обозначена С). Следующая есть
поверхность хрусталика а, имеющего
форму двояковыпуклой линзы, отделенная
от первой слоем прозрачной жидкости.
За хрусталиком все пространство
заполнено стекловидным телом Ь—
представляющим прозрачную
студнеобразную массу. На задней поверхности
главной камеры расположена светочувствительная сетчатая оболочка,
покрытая разветвлениями зрительного нерва.
Лучи света, проходящие в глаз, ограничены отверстием в
радужной оболочке, образующем зрачок глаза. Величина его может
изменяться в зависимости от яркости рассматриваемого предмета.
Как видно из рис. 154, различные преломляющие поверхности имеют
разную кривизну. Показатели преломления их также различны, а
у хрусталика кроме того различны они в различных слоях,
увеличиваясь к центру. Форма хрусталика может изменяться вслед-

fW* Глаз = 287
ствие упругости его ткани под влиянием натяжений, производимых
особыми мышцами, вследствие чего изменяются главные фокусные
расстояния глаза. Этот процесс, позволяющий получать отчетливое
изображение от предметов, находящихся на разных расстояниях,
называется аккомодацией глаза. Нормальный глаз в спокой
ном состоянии аккомодирован на
бесконечность, т. е. хорошо видит
удаленные предметы.
Так как показатель преломления
той среды, в которой получается
изображение, отличается от показателя
преломления воздуха, то переднее и
заднее фокусные расстояния различны,
а именно —15,5 и 20,7 мм для глаза, Рис. 155.
аккомодированного на бесконечность.
Оптические свойства глаза можно с достаточным приближением
вывести из следующей модели, называемой приведенным глазом
Листинга (рис. 155). В этой модели глаз заменяется однородным
телом, с показателем преломления равным показателю
стекловидного тела η ==■ 1,336. Передняя поверхность его имеет шаровидную
форму с центром С и радиусом 5,1 мм. Расстояние главного
фокуса от наружной поверхности может быть вычислено по формуле
(29) и равно 20,4 мм.
В центре С, очевидно, должны пересекаться лучи, падающие
нормально на поверхность приведенного глаза, поэтому величина
изображения должна определяться расстоянием от центра до
глазного дна, где должен находиться задний главный фокус, если глаз
аккомодирован на бесконечность. Вследствие этого свойства центр
называется также узловой точкой глаза. Предметы,
рассматриваемые глазом, всегда находятся на расстоянии большом по
сравнению с 15 мм, поэтому изображение получается в приведенном
глазу приблизительно на одном и том же расстоянии от центра,
т. е. на расстоянии 15,5 мм. Как видно на рис. 155, изображение
в глазу получается тем меньше, чем больше отношение между
расстоянием предмета до глаза (точнее до центра С) и
расстоянием точки С до глазного дна.
В нормальном глазу отчетливое изображение на сетчатке
получается без всякого напряжения глаза, когда предмет находится
бесконечно далеко. Это значит, что задний главный фокус
расположен .при [этих условиях как раз на задней поверхности глаза.
Близорукий глаз плохо видит удаленные предметы, потому что его -
)

288
Оптика лучей
Гл. IV
главный фокус находится перед сетчаткой, и изображение на
сетчатке будет не резкое. Если предмет приближается к глазу, то его
изображение отодвигается за главный фокус, и при достаточном
приближении предмета оно получается на сетчатке. Начиная с
этого расстояния близорукий глаз может отчетливо видеть
предметы. Это расстояние определяет так называемую дальнюю
точку глаза. Дальняя точка нормального глаза находится" на
бесконечности. Дальнозорким глазом считается такой, у которого
нет действительной дальней точки; его дальняя точка мнимая, т. е.
находится позади головы. Дальнозоркий глаз в ненапряженном
состоянии не может видеть отчетливо ни одного действительного
предмета. Но при помощи особого мускула кривизна хрусталика
и его положение могут быть несколько изменены. При этом
изменяется главное фокусное расстояние глаза как раз настолько,
чтобы изображения предметов получались на сетчатке. В этом
состоит аккомодация глаза на разные расстояния. Самое
близкое расстояние, на которое глаз может быть аккомодирован,
определяет ближнюю точку глаза. Ближняя точка различна для
разных людей, и с возрастом она отодвигается все дальше, по
мере того как вследствие уменьшения эластичности ткани
хрусталика теряют способность к аккомодации.
Для исправления зрения применяются различные линзы,
называемые очковыми стеклами, целью которых является изменение
фокусного расстояния глаза. У близорукого глаза фокусное
расстояние должно быть увеличено настолько, чтобы ненапряженный
глаз мог видеть дальние предметы. Это достигается при помощи
вогнутых рассеивающих линз, которые отодвигают главный фокус.
Исправление достигнуто для близорукого глаза, если его дальняя
точка находится на бесконечности. Но это „исправление" не только
позволяет лучше видеть вдаль, — оно отодвигает и ближнюю точку;
это, конечно, невыгодно, так как, чем ближе предмет от глаза,
тем под большим углом он виден. Поэтому для близких
расстояний очки не нужны.
Обратная величина главного фокусного расстояния, или
оптическая сила линзы, исправляющей зрение близорукого глаза,
служит в то же время мерой близорукости. Она выражается в
особых единицах — диоптриях. Если главное фокуное
расстояние F линзы равно 1 метру, то ее оптическая сила равна одной диоп-
терии; если F=Q,5 м, то сила линзы равна 2 диоптриям и т. д.
Для дальнозоркого глаза и для нормального, но потерявшего
способность к аккомодации, необходима, наоборот, собирающая

§21
Глаз
2S9
линза, которая приближает к глазу ближнюю точку, вследствие
чего дальние предметы перестают быть хорошо видимыми.
Очевидно, что для дальнозорких глаз нужны очки только для
рассматривания близких предметов.
Яркость изображений в .глазу, как и в других оптических
приборах, получается равной яркости предмета, умноженной на
квадрат "показателя преломления, если изображение в глазу занимает
некоторую конечную площадку. Поэтому приближение или удаление
источника света не вызывает изменения яркости изображения. Это
не трудно понять, потому что при приближении источника хотя
и увеличивается отверстие конуса лучей, и следовательно
количество света, попадающего в глаз, но вместе с тем растет
величина изображения, так что на каждую единицу поверхности
сетчатки приходится постоянное количество света.
Но для световых ощущений имеет значение не яркость
изображений, а освещенность их, т. е. весь поток, который приходится на
единицу поверхности изображения. (Вспомним, что яркость
изображений равна световому потоку, рассчитанному на единицу
телесного угла и на единицу поверхности.) Поэтому ощущения
яркости зависят кроме всего прочего еще от величины отверстия
зрачка, который сужается при ярком освещении и расширяется
в темноте. Субъективное восприятие яркости
изображения в глазу определяется освещенностью
изображения.
Когда мы пользуемся оптическими приборами, роль зрачка
могут играть другие отверстия, ограничивающие пучки лучей,
доходящие до глаза. Если пучок лучей от какого-нибудь элемента
поверхности, пройдя через прибор, заполняет зрачок глаза (или
частью задерживается им), то мы будем иметь наибольшую
освещенность изображения в глазу, какая может быть получена при
данном приборе.. В самом деле яркость изображения должна быть
та же, что и у светящегося предмета, а освещенность кроме
яркости пропорциональна еще величине отверстия конуса лучей,
который определяется величиной зрачка глаза. Такая же
освещенность получается, если предмет рассматривается невооруженным
глазрм. Таким образом, субъективная яркость не может
быть увеличена при помощи приборов, сколько бы света ни
попадало в их объективы; она в лучшем случае приближается к е с τ е-
ственной яркости, которая воспринимается невооруженным
глазом. Но она может быть меньше естественнной яркости, если
пучки лучей, выходящие из прибора, не заполняют зрачка. В этом
19 Зак, 2408, Курс физики, т. П.

290 Оптика лучей Гл. IV
случае субъективная яркость может быть увеличена при увеличении
ширины пучков или отверстий, ограничивающих их ширину в приборе.
Все только что сказанное справедливо для таких предметов,'
которые дают в глазу протяженные изображения. В этом случае
свет распределяется на площади, содержащей большое число
светочувствительных нервных окончаний, которые мы будем называть
элементами сетчатки. При равной освещенности количество света,
приходящееся на каждый элемент, одно и то же. Совсем иной
результат мы получим, если изображения получатся точечными или
же настолько малыми, что внутри него помещается один элемент.
Такое точечное изображение дают, например, звезды и очень
небольшие по'размерам, или осень удаленные от наблюдателя
источники света. Оптические приборы, дающие изображение таких
точечных источников, собирают в одной точке (в действительности
на очень маленьком, кружке) тем больше света, чем больше
попадает в отверстие прибора. Так, нaπpимep^ астрономические
телескопы сосредоточивают в изображении звезды тем больше света,
чем больше отверстие объектива. В глазу, рассматривающем
изображение, весь этот свет собирается на одном элементе сетчатки,
и поэтому увеличение света вызовет увеличение освещенности его,
а следовательно, и субъективной яркости. Этим объясняется тот
факт, что слабые звезды, невидимые для невооруженного глаза, в
астрономические трубы или даже бинокль видны хорошо, в то время
как яркость планет или небесного свода не увеличивается по
сравнению с той, как они представляются невооруженному глазу.
Весьма важным свойством глаза является острота зрения, т. е.
способность различать две светящиеся точки, например две близко
расположенные звезды. Эта способность связана с распределением
светочувствительных элементов глаза. Если изображения двух точек
находятся на таком малом расстоянии, что на занимаемом ими
пространстве имеется только один воспринимающий элемент, то
эти два изображения неразличимы. Предельное разделение
изображений получается в том случае, если расстояние между ними
равно расстоянию между соседними элементами сетчатки. Опытное
определение показывает, что угол между двумя пучками от еще
разделимых светящихся точек не может быть меньше 1 минуты.
Это соответствует расстоянию между соседними элементами
сетчатки, равному 1/200 мм, и в то же время расстоянию между
светящимися точками, на расстоянии 25 см от глаза, равному 1/12 мм.
Таким образом 0,1 мм является приблизительно пределом тонкости
изображений, которые может еще различать невооруженный глаз?

§ 22 Лупа и окуляр 291
§ 22. Лупа и окуляр.
Мы ограничимся в настоящей главе описанием простейших
оптических приборов, которые в оптических опытах помогают глазу
рассматривать детали изображений.
Для того чтобы изображения двух точек в глазу
воспринимались как различные, необходимо, чтобы угол между их лучами,
доходящими до глаза, был больше 1/. Чем больше этот угол, тем
больше будет в глазу изображение расстояния между точками, т. е.
увеличение. Если это увеличение производится линзой, то
изображение предмета, даваемого линзой,
должно быть видно под большим
углом, чем виден сам предмет
невооруженным глазом. Увеличить угол, под
которым виден предмет, можно
получить и просто приближая предмет к
глазу. Это мы и делаем, когда рассма- Рис. 156.
триваем мелкие предметы. Но мы
ограничены тем, что предметы ясно видны только тогда, когда они
находятся за ближней точкой. Чтобы иметь возможность
приблизить предмет к глазу, мы пользуемся увеличительным стеклом
или лупой.
Простой лупой называется собирающая линза с малым
фокусным расстоянием. Рассматриваемый предмет помещается в
главной фокальной плоскости. В таком случае каждая его точка дает
пучок лучей, который после преломления в линзе делается
параллельным, как показано на рис. 156. Часть этого пучка попадает
в глаз и дает изображение точки, если глаз аккомодирован на
бесконечность. При этом изображение видно под тем же углом3 под
которым виден сам предмет из оптического центра линзы О.
(Мы предполагаем для простоты, что имеем дело с тонкой линзой.)
Конечно, можно еще несколько приблизить предмет, аккомодируя
глаз на более близкое расстояние, так как πβΐι этом изображение
приближается, но выигрыш в увеличении будет незначительный.
Итак угловая величина изображения равна
если у— величина предмета, a F—главное фокусное расстояние.
Если предмет находится на расстоянии ясного видения, котврое,
как мы говорили выше, равно 25 см, то угловая величина предмета
для невооруженного глаза равна
у: 25 = tg и.
19*

292
Оптика лучей
Гл. IV
Отношение этих величин
tgu:tgu' = 25:F
есть увеличение, даваемое лупой; оно в то же время равно
отношению величин изображения в глазу в этих двух
случаях.
Так как лучи выходят из лупы параллельными пучками, то
безразлично, где находится глаз, лишь бы в него попали некоторые
лучи пучка. Однако величина предмета или поле зрения,
обозреваемое в лупу, тем больше, чем ближе глаз к лупе. При удалении
глаза от линзы, от краевых точек предмета лучи или вовсе не
попадают в глаз или же попадают те части пучков, которые
проходят через край линзы и потому
дают искаженное изображение.
Для получения больших
увеличений главное фокусное расстояние
должно быть как можно меньше.
Однако можно получить лучшее
изображение при том же увеличении,
если взять не одну линзу, а две
или более. Так устроены сложные лупы, состоящие из двух линз,
расположенных на некотором расстоянии друг от друга.
Роль лупы в таких сложных приборах, как зрительная труба
и микроскоп, играют окуляры. Они сострят обычно из двух линз,
из которых одна С называется собирающим стеклом или
коллективом, а другая О глазным стеклом. Для физических опытов
особое значение имеет окуляр Рамсдена, который состоит из двух
плосковыпуклых линз одинаковой силы, расположенных на
расстоянии несколько меньшем, чем главное фокусное расстояние F
каждой из линз. Предмет располагается перед коллективом на
небольшом расстоянии от нас. Роль коллектива заключается в том,
чтобы собрать возможно большее число лучей и заставить их
пройти через глазное стекло. Глазное стекло дает увеличение как
лупа и превращает расходящиеся пучки в параллельные, как
показано на рис. 157. Плоскость, где находится предмет, есть главная
фокальная плоскость окуляра. В ней помещается или предмет
или изображение, даваемое объективом зрительной трубы
или микроскопа. В этой плоскости можно поместить нити
окуляра или шкалу с делениями для измерения величины
изображения.

§24
Микроскоп
293
§ 23. Недостатки оптических приборов.
Теория изображений, получаемых при помощи линз, основана
на рассмотрении осевых пучков лучей, которые образуют с
оптической осью небольшие углы наклона. На практике нам
приходится иметь дело не только с узкими пучками. В различных
оптических приборах, например в лупах с коротким фокусным
расстоянием, в микроскопе и в::некоторых фотографических
объективах, изображения получаются при помощи широких пучков.
В таких случаях конус лучей, вышедших из одной точки предмета,
не собирается в одной точке изображения. Пересечения лучей
образуют каустику, подобную той, которую мы нашли для
отражения лучей от сферического зеркала. Изображение точки
представляет собой конечной величины кружок с нерезкими краями.
Это явление называется сферической аберрацией. Для
уменьшения сферической аберрации применяются сложные
оптические системы из нескольких линз, расположенных на определенных
расстояниях. Сферическая аберрация значительно уменьшается уже
от того, что преломление лучей происходит в несколько приемов в
различных линзах. Расположение лина и кривизна их поверхности имеет
также большое значение. Плосковыпуклая линза дает меньшую
аберрацию, если она обращена к предмету плоской поверхностью.
Вместо точечного изображения сложная каустика получается
и при узких пучках, но образующих с оптической осью большие
углы, т. е. косо падающих на поверхность линзы. Это явление
носит название астигматизма. Оно обнаруживается, если линзу
повернуть на некоторый угол таким образом, чтобы лучи от
Предмета падали косо на ее поверхность.
Во многих случаях еще большее несовершенство изображений
вызывается хроматической или цветной аберрацией.
Вследствие дисперсии стекол для разных спектральных лучей
фокусные расстояния получаются неодинаковыми. Этот недостаток
заставил Ньютона предпочесть телескопы зеркальные
астрономическим трубам с объективами из обычного стекла.
При помощи комбинации линз с различными показателями
преломления можно однако изготовить вполне ахроматические
объективы подобно тому, как можно сделать ахроматическими призмы.
§ 24. Микроскоп.
В отличие от оптических простых приборов, лупы и окуляра,
микроскоп является типичной сложной системой (рис. 158). В состав ее
входит: во-первых, объектив О, который дает увеличенное обратное

294 Оптика лучей /"л# jy
изображение небольших участков объекта Р, находящегося перед
ним; во-вторых, окуляр А, который служит для рассматривания
этого изображения, и, наконец, осветитель В. Роли этих трех
основных оптических частей микроскопа совершенно различны. Объектив
собирает широкие пучки лучей, идущие от отдельных точек
объекта, и превращает их в узкие пучки, фокусы которых лежат
в плоскости Р' промежуточного
изображения объекта, для чего объект должен
находиться перед главной фокальной плоскостью
д объектива. Окуляр превращает узкие пучки
лучей, исходящие от отдельных точек
изображения в· плоскости Рг, в параллельные пучки,
Р' попадающие в глаз наблюдателя под
различными углами, вследствие чего изображение,
которое дает окуляр (мнимое), отодвигается
в бесконечность. Наконец, весьма важную
роль (хотя и не такую основную, как
объектив и окуляр) играет осветительное при-
Р способление в виде зеркала или сверх него
о еще нескольких линз, которое должно соз-
давать необходимые для получения хоро-
ших изображений возможно широкие пучки
лучей.
Теория микроскопа была разработана
в 70-х годах прошлого столетия Э. Аббе,
которого следует считать настоящим
творцом современной теории оптических инструментов. До Аббе
различные конструкторы микроскопов добивались хороших
результатов ощупью, на основании практического опыта. Так, было
установлено, что для хорошего качества изображений при
больших увеличениях необходимо пользоваться возможно широкими
пучками лучей. Но только Аббе-теоретически показал, что
объектив микроскопа, даже совершенно освобожденный от таких
недостатков, как сферическая и хроматическая аберрация, не
"дает резких изображений, если не удовлетворено условие
синусов с одной стороны, и если в объектив не попадают лучи
с большим наклоном к оптической оси микроскопа.
Условие синусов имеет следующий физический смысл. Лучи,
испускаемые точками небольшого участка поверхности объекта,
должны все собираться на поверхности изображения этого участка.
Если величина площадки dS объекта имеет яркость/, то согласно

§24
Микроскоп
295
(35) и (35') отношение величины площадки объекта к величине
площадки dS' изображения, равно отношению
dS: dS' = л'2 sin2 νί: η2 sin2 и,
где η тип показатели преломления первой среды (объекта) и второй
(изображения), а и и и' углы, составляемые с осью прибора
лучами перед объективом и после прохождения через него. Если
отношение синусов этих углов для всех лучей одинаково, то и
увеличение изображения, т. е. отношение dS ·. dSr не зависит от угла
наклона лучей. Вследствие этого изображение участка dS будет и при
больших углах и резким.
Условие синусов вводит в теорию микроскопа величину nsinu,
которая называется числовой апертурой. От числовой
апертуры зависит количество лучей, .попадающих в объектив
микроскопа от каждой точки изображения, а также разрешающая сила,
т. е. способность разделять изображения отдельных, но весьма
близких точек объекта. Более подробно мы встретимся с этим
вопросом в главе, посвященной диффракции света.
Для устранения сферической и хроматической аберрации объектив
изготовляется из нескольких линз, причем передние линзы
рассчитаны так, чтобы для них условие синусов имело место при любых
углах ц, так как эти линзы должны собирать широкие пучки.
Задние линзы объектива собирают сравнительно узкие пучки лучей,
и потому к ним предъявляются обычные требования неискаженного
и резкого изображения. Для увеличения числовой апертуры, а
следовательно, и ширины пучка лучей, попадающих в объектив, объектив
погружается в каплю масла, которое имеет показатель
преломления той же величины, как и стекло объектива (однородная
иммерсия).
Обычное освещение прозрачных предметов производится лучами,
проходящими через них и попадающими в объектив. Наряду с
прямыми лучами в образовании изображения большую роль играют
также лучи, испытавшие отклонения от прямолинейности (диффрак-
ция). Крайним случаем является боковое освещение объекта, когда
прямые лучи вовсе не попадают в объектив. В этом случае поле
зрения будет темным, и на "нем в ѣиде светлых точек будут видны
те частицы, которые рассеивают лучи в боковых направлениях.
Этот способ освещения применяется для рассматривания
ультрамикроскопических частиц, изображение которых не может быть
получено обычным способом в виду их малости.

ГЛАВА V.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА.
§ 1. Корпускулярная и волновая теория света.
Явления интерференции были впервые исследованы Ньютоном
(1672 г.), хотя некоторые из них были уже известны и описаны ранее.
Открытые им основные законы этих явлений сохранили свое
значение вплоть до настоящего времени, хотя истолкование их в
современной оптике сильно отличается от ньютоновского.
Ньютон стоял на точке" зрения корпускулярной теории света.
Лучи света он рассматривал как материальные частицы, которые
могли, попадая внутрь материальных тел, сообщать им движение,
вызывать колебания и нагревать их. Отражение и преломление
лучей он объяснял силами взаимодействия между частицами тела
и частицами света. Но явления интерференции лучей в тонких
пластинках открыли ему особое свойство частиц света, а именно
периодичность. Это свойство он представлял как периодическое
изменение состояния частицы, или, как он называл их, приступы
(по аналогии с приступами болезни) легкого отражения и легкого
преломления. Вследствие этого те частицы, которые проникали
внутрь тонкой пластинки, находясь в приступе легкого
преломления, по мере проникновения вглубь испытывали поочередно
приступы легкого отражения и преломления, и, дойдя до второй
границы, отражались или проходили через нее в зависимости от
толщины пластинки и рода лучей
Ньютон знал и отмечал аналогии, существовавшие между
звуковыми колебаниями и лучами света. Но представление о световых
лучах как о волнах в особой эфирной среде отвергалось им в виду
целого ряда действительных и кажущихся противоречий, к которым
приводила волновая теория Гюі^генса (1690 г.). Гюйгенс, объясняя
отражение, преломление света, совершенно не рассматривал
характера волновых движений. Периодичность их не играла никакой
роли в его рассуждениях, и рассматриваемые им волны скорее
имеют вид отдельных толчков, чем правильных колебаний с
определенным периодом. Кроме того, аналогия со звуковыми волнами

§ 7 Корпускулярная и волновая теория света» 297
приводила к представлению о продольных волнах, которое не
могло объяснить особенностей поляризованного света и двойного
лучепреломления.
Корпускулярная теория Ньютона продолжала господствовать
вплоть до эпохи Френеля (1815 г.), т. е. более ста лет. В течение
этого времени отдельные ученые, например математик Эйлер (1744 г.),
высказывались в пользу
волновой теории, но только
экспериментатору—врачу Юнгу (1802 г.)
удалось с этой точки зрения
правильно понять и объяснить
наблюдаемые световые явления, как
действия периодических
колебаний, распространяющихся
волнообразно. Однако всякий раз,
когда дело доходило до объяснения поляризации света, гипотеза
продольных колебаний являлась камнем преткновения.
Юнг при помощи тщательных наблюдений явлений диффракции
весьма убедительно показал, что лучи света, принадлежащие
различным пучкам, соединяясь, мотут взаимно усиливаться или
ослабляться. Так, например, пользуясь пучком солнечных лучей,
проходящих через небольшое отверстие в темную комнату, и помещая
на пути их волос, который давал тень на белом экране, он
обнаружил в самом центре тени освещенную полосу, ограниченную по
бокам двумя темными полосками. Эта картина исчезала, когда он
загораживал при помощи непрозрачного экрана лучи, проходившие
около одного из краев непрозрачного волоса. Этим опытом не
только было опровергнуто неправильное утверждение Ньютона,что
свет не проникает внутрь тени, но и доказано, что картина
диффракции получается в результате наложения двух пучков лучей.
Еще более знаменит опыт Юнга с двумя отверстиями. Пучок
солнечных лучей (рис. 159), прошедший через отверстие Л в ставне,
попадал на непрозрачный экран, в котором были сделаны рядом
две небольших дырочки β и С. За экраном шли два пучка, и
каждый из них в отдельности давал на белой стене Ε освещенное
пятно, окруженное несколькими темными и светлыми кольцами.
Посередине, где кольца от соседних отверстий налагались друг на
друга, Юнг заметил появление тонких темных и светлых полос,
которые были совершенно не похожи на полосы, создаваемые одним
отверстием. Когда одно из отверстий закрывалось, полосы исчезали.
Этот опыт доказывал, что наложение двух различных пучков при-

298
Интерференция света
Гл.Ѵ
водит к их интерференции. Заметим, что это явление относится
к явлениям диффракции, так как интерференция происходила
между пучками лучей, испытавшими диффракцию (в области тени),
и опыт Юнга является только прообразом опытов с интерференцией
прямых пучков.
Юнг потерпел неудачу при объяснении явлений поляризации,
так как он все еще считал колебания света продольными. Нужна
была новая гипотеза о поперечности волн для того, чтобы
произвести переворот в учении о свете и обеспечить победу волновой
теории над корпускулярной теорией Ньютона. Это было сделано
Френелем. Его классические опыты по диффракции, интерференции
и поляризации света и соединение волновых представлений теории
Гюйгенса с принципом периодичности волн создали новую эпоху
в развитии теорий света. Корпускулярная теория оказывалась
и неполной и искусственной рядом с изящной теорией Френеля,
позволявшей не только объяснять, но и предсказывать явления.
Во второй половине XIX столетия произошел новый сдвиг
в представлениях о природе световых колебаний. В теории
Максвелла эти колебания ііотеряли механический характер и
сблизились с электромагнитными явлениями, но они сохранили все
признаки волновых явлений в эфире, непрерывно заполняющем
пространство. Испускание и поглощение света с точки зрения
электромагнитной теории представляет непрерывный процесс
взаимодействия материальных частиц с окружающей средой, в которой
непрерывно распределена электромагнитная энергия. В этом
отношении волновые процессы занимали резко отличное положение от
явлений в материальных телах с прерывной атомной структурой.
Электроны, атомы электричества, открытие которых ознаменовало
последнее десятилетие XIX века, сделали более понятным
механизм взаимодействия света и материи, но не сгладили
противоположности между этими основными сущностями новой электронной
теории.
Начало XX века принесло новое обострение внутренних
противоречий. Теории Планка и Эйнштейна ввели в учение о свете
новые элементы. При взаимодействиях света с материей согласно
этим новым представлениям проявляется прерывность световой
энергии. Поглощение и испускание света происходит квантами, т. е.'
определенными порциями, величина которых строго определяется
числом колебаний световой волны. Эйнштейн пошел дальше и
высказал мысль, что кванты света представляют собой особого рода
частицы, несущие не только энергию, но и количество движения,

§ 2 Интерференция лучей света 299
и в этом отношении напоминающие корпускулы Ньютона. Но
с другой стороны явления интерференции света убедительно
доказывают, что свет распространяется в виде волн. Объединение
этих противоречий в современной физике привело к новой
квантовой теории материи и света, в которой элементарные частицы
материи и кванты света имеют одновременно и материальную
массу и свойства волн с определенной частотой и длиной волны.
'-'§ 2. Интерференция лучей света.
"' В первой главе мы видели, каким образом складываются
механические колебания от двух источников света и как образуются
полосы интерференции. Подобным же образом происходит
интерференция лучей света, имеющих одинаковую частоту колебаний
и определенную разность хода. Но для получения полос
интерференции необходимо также, чтобы колебания источников света, от
которых идут интерферирующие лучи, имели постоянную разность
фаз. Обычно их фазы просто равны, и тогда разность фаз в
точке, где происходит сложение колебаний, зависит лишь от разности
хода лучей. В простейших случаях, когда· свет распространяется
в однородной среде, разность хода равна разности оптических
длин лучей, причем под оптической длиной луча понимают его
геометрическую длину /, выраженную в длинах волн, т. е.
величину /:λ.
Если свет распространяется в среде с абсолютным показателем
преломления τι, то его скорость в η раз меньше, чем скорость света
в пустоте, и во столько же раз меньше длина волны. При расчетах
оптической длины луча мы должны принять это во внимание.
Положим, что геометрическая длина луча — /, его длина волны в
пустоте — λ; тогда в данной среде, с показателем преломления η
оптическая длина луча равна In: λ. Пусть разность оптических длин двух
лучей, т. е. (Iу — /2) η: λ равна целому числу, тогда фазы колебания
одинаковы в конечных точках лучей, если они одинаковы в
начальных. Для того, чтобы обеспечить одинаковость фаз в начальных
точках, проще всего заставить .интерферировать лучи, вышедшие
из одной и той же точки источника света. Для того же чтобы
создать разность хода лучей, нужно при помощи отражений и
преломлений удлинить путь одного из лучей. % Это можно сделать
с помощью плоскопараллельной пластинки, которая ставится на'
пути одного из лучей. Положим для простоты, что луч падает на
такую пластинку толщины анормально к ее поверхности. Его
оптическая длина внутри пластинки равна dn: λ. В отсутствии пластинки

300 Интерференция света Гл. V
тот же путь с? имеет оптическую длину d:\. Таким образом
введенная этим способом разность хода лучей равна
(n-Dd-Л. (1)
Если амплитуды колебаний одинаковы, то интерференция лучей
может приводить или к полному уничтожению амплитуды, если
разность их хода равна нечетному числу полуволн, или же к ее
удвоению, если разность хода равна четному числу полуволн. Этот
случай дает наиболее отчетливо темные и светлые полосы
интерференции. Если амплитуды интерферирующих волн очень различны,
то на месте темных полос получается только небольшое ослабление
освещения. Чем больше разница амплитуд, тем менее отчетлива
картина интерференционных полос.
Взаимное уничтожение или ослабление интерферирующих лучей
необъяснимо с точки зрения корпускулярной теории,
рассматривающей лучи как поток прямолинейно летящих частиц. Оно
становится очевидным, если лучи являются линиями, вдоль которых
распространяются колебания электромагнитного поля. В тех точках
пространства, где амплитуда колебаний равна нулю, не происходит
никаких физических явлений, вызываемых лучами света. С точки
зрения квантовой теории света интерференция волн определяет
относительную вероятность появления кванта света в различных
точках пространства. Это означает, что при очень слабых
источниках света,- испускающих малое число квантов света в секунду, они
(кванты) будут наблюдаться то в одной, то в другой точке
пространства, как случайные события. Но при большом числе случаев,
как статистический результат, мы получим в среднем больше
квантов там, где находятся максимумы, и меньше в местах
минимумов интерференционной картины.
-j§ 3. Когерентность лучей.
Лучи, идущие от разных точек источника света, не
интерферируют. Обычно это объясняют так. Разные точки источника
совершают колебания с различными фазами и амплитудами, причем эти
разности непрерывно меняются. Вследствие этого сложение
колебаний дает амплитуду не постоянную. Рассмотрим этот вопрос
подробнее, основываясь на возможности сложное колебание
представить в виде ряда Фурье, т. е. разложить на простые
гармонические колебания. Для лучей света такое разложение означает
разложение в спектр. Выделим такие колебания, которые имеют очень
близкие частоты, или, что то же, выделим узкий участок спектра

§ 3 Когерентность лучей 301
в каждом из рассматриваемых лучей. Если лучи идут от разных
точек источника, то амплитуды и фазы колебаний, имеющих
одинаковые частоты, могут быть совершенно различны в каждом из
лучей. Поэтому при интерференции одни колебания будут давать
усиление, другие ослабление света, и в среднем на данном участке
спектра не может появиться интерференционных полос.
Совсем иная картина получится, если лучи идут от одной точки.
Тогда в спектре каждого луча амплитуды и фазы колебаний
одной частоты будут одинаковы и, создавая разность хода между
лучами, мы вводим одинаковую разность фаз между одинаковыми
колебаниями наших лучей. Это приводит, во-первых, к полной
отчетливости интерференционных полос, а, во-вторых, к совпадению
темных и светлых полос для всех колебаний узкого участка
спектра.
Лучи, которые могут интерферировать,называются
когерентными. (Когеренс — на латинском языке означает связанный).
Когерентность лучей обусловлена всегда общностью их происхождения.
Если лучи выходят из различных точек источника, то никакими
средствами нельзя сделать одинаковыми их спектры настолько,
чтобы для всех колебаний полосы интерференции получались на
одном и том же месте. . *-
Лучи света при распространении могут потерять когерентность,
если изменяется частота колебаний. Изменение частоты может
произойти, например, от того, что лучи отражаются от движущегося
зеркала (явление Допплера, см. стр. 498). С другой стороны, если
световые волны, действуя на материальные частицы, вызывают их
колебания, то вторичные волны, создаваемые колебаниями этих
частиц, когерентны с первичными.
Рассмотрим^как складываются колебания в случае некогерентных
лучей, идущих от различных источников. Так как мы будем
наблюдать не амплитуду колебаний, а лишь силу света,
пропорциональную квадрату амплитуды, то следует показать, как
складываются силы света различных источников. При этом будем
предполагать, что все они испускают сзет совершенно независимо друг
от друга. Несмотря на это, слежение некогерентных колебаний
при очень большом числе их дает вполне определенный
средний результат. Для того чтобы получить его, мы должны решить
задачу о сложении большого числа колебаний с различными
фазами.
Эта задача была разобрана ранее (гл. I, § 6), и мы видели, что
при сложении η колебаний с произвольными фазами »А и равными

302
Интерференция света
Гл. V
амплитудами а, средняя величина амплитуды А получается из
соотношения
Аъ = па?.
Таким образом независимость колебаний приводит к тому, что
сила света, получаемая при сложении η колебаний, будет равна
сумме сил света, которые создают каждое колебание в
отдельности. Поэтому, например, η ламп, поставленных на данном рас*
стоянии, дают освещение в η раз более сильное, чем одна лампа,
и нигде не дают темноты. В случае когерентности колебаний,
например, если бы все их фазы φΑ были одинаковы, квадрат
амплитуды сложного колебания был бы равен не п, а /г2.
В дальнейшем нам придется знакомиться с явлениями
интерференции при сложении колебаний,, которые создаются различными
лучами, приходящими в данную точку. Условие когерентности
лучей в этом случае является основным для возможности наблюдать
их интерференцию.
^ §. 4 Опыт Юнга.
Прекращение явлений интерференции происходит не только
тогда, когда лучи делаются некогерентными, но также при наложении
одной на другую „ различных систем полос. Мы познакомимся
с такого рода явлениями на примере опыта, подобного опыту
Юнга с двумя отверстиями. Мы видели (стр. 297), что Юиг
получал интерференционные полосы при наложении друг на друга
лучей, идущих от двух отверстий. Однако для этого ему
пришлось сначала выделить пучок лучей при помощи небольшого
отверстия. Если бы он просто пропустил солнечные лучи через
два отверстия в ставне, то он не получил бы полос. Причиной
этого является большая величина диаметра солнца и
необходимость такого сближения отверстий, которое недостижимо на
практике.
Рассмотрим, каково должно быть расстояние между двумя
рядом расположенными отверстиями очень малых размеров для
того, чтобы конечные размеры солнца, видимый диаметр
которого измеряется углом в 30', не мешали интерференции. На рис 160
солнце S имеет диаметр Ь и расстояние его до отверстий равно R,
так что у? представляет угол 30'. Пусть лучи от середины
солнечного диска доходят до отверстий А п-В в экране с
одинаковыми фазами. Разность хода лучей от края диска, т. е. SB—SA
• '■

§ 4 Опыт Юнга 303
мы найдем, опустив из А перпендикуляр АС на луч SB. Строго
говоря, расстояние SA и его проекция SC не равны (SC = 5.4cosa),
но угол « практически равен нулю, так как расстояние АВ по
сравнению с расстоянием SA от солнца ничтожно мало. Поэтому мы
вправе заменить SA его проекцией и считать, что
SB — SA = SB — SC^CB.
Этим приемом приближенного нахождения разности двух отрезков
мы будем пользоваться и в дальнейшем всякий раз, когда разность
их мала по сравнению с их длиной, и когда они составляют
между собой очень малый угол.
Из чертежа видно, что угол CAB равен углу между ОЕ и SB.
bio в виду малости расстояния ЕВ, последний угол можно за-
Рио. 160.
менять углом OES, цод которым виден радиус солнечного диска.
Этот угол равен 15', или, выражая его в радианах, 0,0044. Таким
образом, мы найдем для разности хода лучей: СВ = а · 0,0044. Это
расстояние должно быть значительно меньше, чем половина длины
волны. В самом деле, если бы СВ = λ : 2, то колебания от точки S
доходили бы до отверстий с противоположными фазами, в то время как
колебания от центра О солнечного диска доходят с одинаковыми
фазами. Для того, чтобы найти разность фаз лучейлинтерферирующих
в точке М, мы соединим эту последнюю с отверстиями А и В при
помощи прямых AM и ВМ, которые являются продолжением лучей
SA и SB. Положим для простоты, что
АМ=ВМ, а С5 = Х:2.
Тогда в точке Μ лучи, приходящие из точки S, должны
уничтожиться, так как их фазы противоположны. Но лучи, вышедшие из О,
придут в точку Μ с одинаковыми фазами и дадут усиление света.
Таким образом мы видим, что если СВ не меньше половины
длины волны, то определенного результата интерференции мы
не получим. Лучи, идущие от разных точек источника, дают
различные и даже противоположные действия. Поэтому полосы
интерференции получаются только в том случае, если все пары

304 Интерференция света Гл. V
лучей, вроде SA и SB, имеют почти одинаковые фазы в точках
А и В, или если СВ значительно меньше λ/2. Тогда, очевидно,
расстояние между отверстиями
α = СВ/0,0044< λ/0,0088.
Длину световой волны можно принять равной 0,0005 мм, поэтому
отверстия должны находиться на расстоянии значительно меньшем
0,06 мм. Такие ничтожные расстояния между отверстиями не могли
быть осуществлены в опытах Юнга. Поэтому для получения
интерференционных полос от двух отверстий ему пришлось при
помощи экрана с отверстием выделить пучок лучей, идущих от
небольшого участка солнечного диска, т. е. уменьшить размеры
источника света. *
"'' § 5. Полосы интерференции.
Когерентность лучей обеспечена, если интерферирующие лучи
испускаются такими связанными между собой источниками света,
как например светящаяся точка О и ее изображение 01 в зеркале
(рис. 161). Очевидно, что в этом
случае интерферируют различные
лучи одного и того же источника,
прошедшие разные пути, и поэтому
разность фаз пересекающихся лучей
есть вполне определенная величина
в каждой точке пространства. Таким
образом в тех точках, где
накладываются прямой и отраженный
пучок лучей, мы будем иметь систему светлых и темных полос
интерференции.
При двух когерентных источниках лучей распределение света
находится очень просто. Мы ищем такие поверхности, во всех
точках которых разность фаз приходящих колебаний одинакова.
Расстояния их от источников света отличаются на одну и ту же
величину, которая и есть разность хода лучей.
Этому условию удовлетворяют поверхности, называемые
двуполыми гиперболоидами вращения, фокусы которых
совпадают со светящимися точками.
На рис. 162 мы видим ряд гипербол,- полученных пересечением
поверхностей гиперболоидов плоскостью, проходящей через точки
О и СУ. Так как точки эти являются фокусами гипербол, то по
свойству этих кривых разность расстояний ОВ и О'В одна и та же
для любой точки В данной гиперболы. Частным случаем этих

§ 3 Полосы интерференции 305
кривых можно считать и прямую А, вдоль которой расположены
точки с нулевой разностью хода.
Результат сложения колебаний в какой-нибудь точке В зависит
от разности хода О'В—ОВ. Если эта разность равна целому
числу волн (или нулю), то
колебания имеют одинаковые фазы, и вдоль
таких гипербол мы имеем светлые
полосы, так как колебания взаимно
усиливаются. Наоборот, мы должны
наблюдать ослабление освещения,
если разность хода лучей равна
нечеτно.му числу полуволн.
Таким- образом светлые и темные
полосы в пространстве чередуются, Рис. 162.
и в соседних полосах разность хода лучей отличается на очень
малую величину, половину длины световой волны.
Как видно из рис. 162, гиперболы, очень сжатые между точками
О и (У, расходятся все больше по мере удаления от
источников света. Для того чтобы сделать их видимыми простым
глазом, нужно поставить экран на достаточно большом
расстоянии от источников О и О'. Освещение экрана должно
быть достаточно ярким, так как поверхность его рассеивает свет
равномерно во все стороны, и мы можем наблюдать
интерференционные полосы только благодаря
тем немногим лучам, которые
попадают в наш глаз от каждой точки
экрана. Гораздо выгоднее производить
наблюдение без экрана и на близком
Риз. 163. расстоянии от источников света при
помощи лупы, которая собирает в глазу
полностью те пучки лучей, которые проходят через точки
пространства, находящиеся в поле зрения лупы (рис. 163).
Расстояние между полосами легко вычислить, если плоскость
РРХ (рис. 162), где находятся рассматриваемые полосы, достаточно
удалена от светящихся точек. Пусть расстояние между
последними 00' —d, расстояние их до плоскости ΡΡχ равно D и
расстояние какой-нибудь точки экрана В от точки А, в которой
разность хода равна нулю, обозначено через у. Рассматривая
рисунок, найдем, что
20 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

306 Интерференция света Гл. V
а следовательно:
052 — 0'52 = 2#</.
Так как расстояния dug всегда очень малы по сравнению
с D и поэтому лучи ОВ и О'В составляют с перпендикуляром к
плоскости РР весьма малые углы, то можно приближенно положить
0S + (XS = 2Z>.
Тогда предыдущее равенство даст разность хода лучей в точке А:
0'В-ОВ = ^. (2)
Если эта разность равна k λ, где k — число целое, то в точке
В мы имеем светлую полосу £-того порядка. Расстояние ее от
полосы нулевого порядка, т. е. от точки А, равно в этом случае
Таким образом, чем ближе расположены точки О и СУ (чем
меньше d) и чем больше расстояние D, тем больше расстояние
интерференционных полос от центра А. Очевидно, что
следующая светлая полоса отстоит от центра на
дальше, и таким образом все интерференционные полосы, не очень
удаленные от центра, отстоят друг от друга на таком же расстоянии
λ-у или целом кратном ему. Вследствие малости длин волн эти
расстояния очень малы, но все же увеличены по сравнению с дли-
Ί D
ной волны λ в -у раз.
Пользуясь монохроматическим источником света, дающим
определенную длину волны λ, мы можем измерить расстояние между
интерференционными полосами и найти из последнего уравнения
длину волны. Если же освещение производится неоднородным
светом, например белым, в котором имеются волны различной
длины, то расстояние между полосами для разных волн
различно, и вследствие этого светлые полосы одной волны
будут накладываться на темные полосы некото оых других волн;
тогда мы видим окрашенные полосы. В тех точках, где
накладываются несколько светлых полос, принадлежащих разным лучам,

§ 6 Зеркала Френеля, бипризма, зеркало Лойда 307
распределенным по всему спектру белого света, полоса нам может
казаться белой; однако, разлагая при помощи спектроскопа пучок
лучей, проходящих через данную точку, мы увидим в спектре ряд
темных полос, соответствующих тем длинам волн, которые создают
б этой точке темные полосы.
ν § 6. Зеркала Френеля, бипризма, зеркало Лойда.
Есть много способов получения полос интерференции.
Некоторые из них придуманы Френелем. Таков, например, его
классический опыт с двумя зеркалами. Лучи света, испускаемые точечным
источником света, отражаются от двух зеркал, плоскости которых
составляют между собой
небольшой угол. Там, где
отраженные пучки лучей
налагаются один на другой,
образуются полосы
интерференции. Кажущимися
источниками интерферирующих
лучей являются мнимые зер- Рис· 164.
кальные изображения
светящейся точки, расстояния между которыми могут быть легко
вычислены, если известен угол между зеркалами и расстояние
источника света от зеркал.
На рис. 164 произведено построение, которое поможет нам
произвести все необходимые расчеты. Для того чтобы построить
изображения источника света, мы опускаем перпендикуляры ONx и
ON2 на плоскости зеркал, которые изображены прямыми ΜΝλ и
ΜΝ%. Точки Οχ и 02, симметрично расположенные относительно
этих плоскостей, суть изображения светящейся точки О. Угол
ΝΧΜΝ2 равен углу α между зеркалами и в то же время разности
углов OMNi и (Ж/Ѵ2, образуемых лучом ОМ с плоскостями
зеркал. Так как углы ОМО^ и ОМ02 равны удвоенным углам OMNx
и ΟΜΝ2, то угол ОхМО% равен удвоенному углу между зеркалами:
Ζ 0^02 = 2 α. Если Ь есть расстояние источника от линии
пересечения зеркал М, то расстояние d между изображениями равно
d — 2b · since.
Соединим середину отрезка Ох02 с точкой М; продолжение
этой прямой Μ А проходит через точки, расстояния которых от О^
и 02 равны. Таким образом разность хода лучей, пересекающихся
20*

308 Интерференция света Гл. V
в точках прямой МА, равна нулю, и в плоскости АВ через точку
А проходит центральная светлая полоса. В соседних точках,
например в точке В, находящейся на расстоянии у, разность
хода согласно (3) равна
0,5-0,5 = ^,
(4)
где D расстояние от источника до той плоскости, на которой
наблюдаются полосы интерференции. Поэтому расстояние между
соседними светлыми полосами равно у = λ -j. Оно может быть
измерено при помощи окулярного микрометра, состоящего из
окуляра Рамсдена, в фокальной плоскости которого помещено
приспособление, изображенное на рис. 165. Оно представляет собой
рамку, передвигаемую при помощи микрометрического винта, ход
которого известен. При помощи
делений на барабане, которым
снабжена головка винта, и указателя можно
отсчитывать перемещения с
точностью до тысячных долей
миллиметра. Нить F, натянутая на рамке,
устанавливается на любые из
светлых полос, которые находятся в фокальной плоскости окуляра
Разность микрометренных отсчетов дает с большой точностью
расстояние между полосами, которое пропорционально длине волны λ.
Для измерения длины волны пользуются монохроматическим
источником света, которым может служить узкая щель,
параллельная линии, где сходятся зеркала, и освещаемая однородным светом,
например желтым светом пламени, окрашенного солями натрия.
Необходимо при этом знать и постоянную прибора, т. е. отно-
Рис. 165.
шение
ΖΤ
В другом приборе, изобретенном также Френелем и называемом
бипризмой Френеля (рис. 166), два мнимых изображения
освещенной щели получаются при помощи двух призм, обращенных
преломляющими ребрами в разные стороны. Если преломляющий
угол А призмы невелик, то, как мы видели выше, угол
отклонения Лучей, падающих на призму под любым углом, равен*
d = (n — 1)А:
Вследствие этого пучки лучей, преломившись в призме,
отклонятся, как видно из рис. 166, в противоположные стороны, если

§ б Зеркала Френеля, бипризма, зеркало Лойда
309
они падают на различные половинки бипризмы. Изображения
щели Οι и 02 будут смещены в обе стороны от О на расстояния:
ОхО = СЮ,, = ad = {n — l) aA, (5)
где а — расстояние щели от бипризмы. В заштрихованной области
за призмой пучки лучей пересекаются и образуют полосы
интерференции, расстояние между которыми определяется
формулой
λ£>
# = ол—ГТ-ГЙ- (б)
2(п — 1)аА
Эта формула получается из (4), если заменить
расстояние между отверстиями его значением
Оі02 = 2 (τι — 1) аА.
Бипризма Френеля была применена Теплером и
Больцманом для измерения колебаний давлений в
конце закрытой трубы. В стенки ее были вделаны
две плоско-параллельные стеклянные пластинки Ρ
и Рх (рис. 167), к которым плотно прилегало
металлическое дно А. Два пучка лучей, проходивших
один над пластинкой А, другой под ней,
преломлялись бипризмой В и интерферировали. Полосы
интерференции можно было наблюдать в плоскости ММи на
которую устанавливалась лупа L. Вследствие изменений давления и
плотности газа внутри трубы число волн нижнего пучка лучей
укладывающееся между пла-
D
Рис 166.
М,
Рис. 167.
стинками, изменяется, и
вследствие этого смещаются
интерференционные полосы. Для
того, чтобы наблюдать
изменение смещения, применялся
стробоскопический
метод. Щель освещалась приблизительно дважды за время одного
колебания мгновенными вспышками света, производимыми при
помощи особого камертона, так что полосы были видны только
в определенные моменты времени. Но так как частоты колебаний
трубы и камертона были несколько различны, то фаза колебания
в трубе в моменты освещения щели медленно изменялась, что
позволяло наблюдать медленное смещение полос и проследить
изменение плотности газа в различных фазах колебания.
Одним из наиболее простых сповобов получения полос является
способ Лойда (1837 г.), в котором пользуются одним зеркалом.

310 Интерференция света Гл. V
Нужно взять длинную стеклянную пластинку с плоской
поверхностью и поместить освещенную щель вблизи одного ее конца.
Поместив глаз у другого конца, мы видим как самую щель, так
и ее отраженное изображение, Два пучка лучей, прямой и
отраженный, пересекаются. Если на эти точки пространства навести
лупу, то можно легко увидеть полосы. Последние подобны полосам
от двух зеркал или бипризмы. Разница лишь в том, что
центральная светлая полоса находится не в плоскости симметрии, делящей
пополам промежуток между щелью и ее изображением, а смещена
на" полполосы в сторону. Таким образом на месте светлой полосы
мы имеем темную, что объясняется изменением фазы волн при
отражении от поверхности стекла. Мы увидим и в дальнейшем,
что подобно тому, кпк при отражении звуковых волн от более
плотной среды (т. е. с меньшей скоростью звука) происходит
потеря полуволны или изменение фазы в противоположную, так и
при отражении света от среды с большим показателем
преломления происходит точно такое же явление. Вследствие потери
полуволны при отражении и происходит указанное смещение полос.
\ § 7. Кривые равной толщины.
Рассмотрим теперь некоторую разновидность явлений
интерференции, которая наблюдаются при отражении от тонких
прозрачных пластинок или пленок, а также при прохождении через
них света от какого-нибудь источника однородного света. Так,
при освещении очень тонких стеклянных пленок светом натриевого
(желтого) пламени легко наблюдать большое число темных линий,
прорезывающих изображение, отражающегося в пленке пламени.
Каждая такая линия указывает, как увидим, место, где толщина
стекла имеет определенную величину, и поэтому все такие полосы
интерференции называются кривыми равной толщины. Окрашенные
полосы на тонких мыльных или масляных пленках относятся
к этому же типу явлений.
Пусть на пленку (рис. 168), имеющую в данном месте толщину
d, падает пучок когерентных лучей, из которых мы рассмотрим
только два: луч ABD и луч A'B'CBD. Первый из них просто
отражается от верхней поверхности пленки. Если пленка прозрачна,
то это отражение невелико: при падении луча, близком к
нормальному, отражается например от стекла около 4°/0 падающего света.
(Амплитуда отраженного света в этом случае составляет около
2,0Р/о амплитуДы падающего).

§ 7 Кривые равной толщины 311
Остальные 96% света проходят через поверхность внутрь
пленки, испытывая преломление, и распространяются здесь со
скоростью, соответствующей показателю преломления η пленки. Точно
так же и луч A'B'CBD внутри .пленки дойдет до противоположной
ее поверхности и здесь в точке С отразится от границы между
пленкой и воздухом. Если угол падения луча А'ВГ невелик, то
из 9б°/о его света около 4% отражаются вдоль СВ. Мы выбираем
рассматриваемые лучи так, чтобы они пересекались в точке В,
а в дальнейшем их ход может быть
каким угодно. При преломлении в
точке В также теряется 4°/0 света, но в
общем лучи ABD и A'B'CBD будут
иметь практически ту же силу света
или равные амплитуды колебаний, если
амплитуды их до отражения были равны.
Когда эти лучи попадают в глаз и
пересекаются в одной точке на
сетчатке глаза, мы наблюдаем их
интерференцию в зависимости от разности хода. Для этого
необходимо, чтобы глаз был установлен так, чтобы в нем получалось
изображение точек поверхности пленки, в частности точки В.
В таком случае лучи, вышедшие из какой-нибудь точки
поверхности, в глазу опять пересекутся в одной точке, и мы увидим
полосы на поверхности пленки.
Для того чтобы найти разность хода лучей, представим себе
поверхность волны В'Р, нормальную к обоим'лучам. В точках В'
и Ρ колебания имеют одинаковую фазу, поэтому в точке В
оптическая разность хода их равна
В'СВ РВ
λχ λ *
причем λ — длина волны в воздухе, а ^ — в пленке. Так как
1 = п\, то ту же величину можно представить как
(В'СВ-п-.РВ)~,
а при нормальном падении лучей на пленку просто как
Idn
і λ ' ■
Однако, производя этот подсчет, мы не принимали во внимание
одного обстоятельства, которое было отмечено выше при опи-

572 Интерференция света Гл. V
сании опыта Лойда, а именно изменения фазы при отражении
от среды, имеющей показатель преломления больший единицы.
Такая среда, оптически более плотная чем воздух,
изменяет фазу отражающихся колебаний в противоположную; при
отражении же от среды менее плотной — изменение фазы,не
происходит. Так как луч ABD испытал отражение от среды более
плотной, а луч Ά В'CD — от среды менее плотной, то разность
их хода увеличивается на полволны.
Таким образом окончательное выражение для оптической
разности хода лучей, отражающихся при нормальном падении на
пленку, будет
2 dn , I^
~Т±2'
Если эта разность хода равна целому числу k, то происходит
сложение колебаний с равными фазами, и точка В нам будет
представляться освещенной; светлая полоса интерференции, проходящая
через В, будет А-того порядка.
Если же разность хода равна А-]-1/^ то мы будем иметь
в точке В темную полосу А-того порядка. В частности, если
в каком-нибудь месте толщина пленки значительно меньше длины
волны, то разность хода близка к 1I%, и мы имеем здесь темное
пятно или полосу нулевого порядка; другими словами, пленки очень
тонкие по сравнению с длиной волны в отраженном свете кажутся
темными.
Эти явления удобно наблюдать на тонких мыльных пленках.
Для этого нужно выдуть мыльный пузырь, осторожно посадить
его на проволочную рамку и накрыть стеклянным колпаком.
По мере стекания вниз мыльного раствора на поверхности пузыря
образуются параллельные горизонтальные полосы, указывающие
на убывание толщины пленки от основания пузыря к его вершине.
На самой вершине через некоторое время поязляется черное
пятно, т. е. толщина пленки настолько уменьшается, что видимые
лучи ею вовсе не отражаются. Тонкие окрашенные пленки масла
на поверхности воды, тонкие пленки окислов на поверхности
металлов, подвергшихся окислению при нагревании, так называемые
цвета побежалости, все эти явления основаны на интерференции
лучей света при отражении от тонких пленок.
Мысль о том, что окраска тонких пленок зависит от отражения
света от их передней и задней поверхности, была высказана
Р. Гуком, современником Ньютона. Ньютон изучил весьма подробно
законы этих явлений, но его теории, построенной на представлешп?

§ 8 Влияние многократного отражения на полосы интер. 313
о периодичности так называемых приступов легкого отражения и
преломления, был чужд принцип интерференции лучей, отраженных
от двух поверхностей, Только Юнг, а за ним Френель дали
правильную теорию, принимая во внимание не только сложение
интерферирующих лучей, но и потерю ими полуволны при
отражении от среды с большим показателем преломления.
, § 8. Влияние многократного отражения на полосы интерференции.
Теория/ которая изложена в предыдущем параграфе, почти
совсем не дает ответа на вопрос, как распределяется свет между
лучами, отраженными от пластинки и проходящими через нее, и
как распределено освещение в темных и светлых полосах. Между
тем эти вопросы имеют важное значение в применениях полос
интерференции, и поэтому мы
остановимся на них теперь более подробно.
Положим, что лучи света падают на
пластинку под некоторым углом к ее
поверхности. Часть света отразится, а
часть проникает внутрь пластинки, после
чего лучи вновь отражаются от
противоположной границы. Ясно, что такое
отражение может повторяться несколько
раз, пока лучи не ослабеют вследствие потери энергии после
ряда отражений. Поэтому в каждой точке поверхности мы имеем
дело не с двумя, а со многими интерферирующими лучами. На
рассматриваемом небольшом участке пластинки мы будем
считать ее толщину одинаковой и падающие на нее лучи
параллельными.
Рассмотрим вначале отражение и преломление на первой
поверхности. Пусть амплитуда в падающем луче, который
обозначен на рис. 169 цифрой /, равна а. В отраженном луче амплитуда
равна га, если отношение ее к α мы обозначим буквой г. Точно
также амплитуду в прошедшем через границу луче мы можем
обозначить da, где d—есть некоторая правильная дробь,
показывающая, во сколько раз амплитуда прошедшего луча меньше
амплитуды падающего. Кроме этих двух коэффициентов мы должны
ввести еще два: гх и с^; первый должен показывать, во сколько
раз изменяется амплитуда вследствие отражения от границы, когда
луч выходит из пластинки в вовдух (условия отражения при выходе
лучей из пластинки, конечно, иные, чем при входе в нее), второй —
определяет амплитуду луча при выходе из пластинки.

314 Интерференция света ρ л. V
Мы воспользуемся в дальнейших рассуждениях принципом
обратимости лучей. Он заключается в том, что, если
заставить все лучи итти в обратную сторону, то в направлениях
их и в величине амплитуд не должно произойти никакого
изменения. Луч /, имеющий амплитуду а, дает два луча: отраженный
с амплитудой га и преломленный da. Если мы заставим их итти
в обратном направлении, то каждый из них должен в свою очередь
разделиться на два луча, из которых один должен пойти вдоль
направления луча /, но в обратную сторону, а другой внутри
пластинки в направлении симметричном к направлению преломленного
луча (это направление обозначено на рисунке пунктиром).
Итак, в системе обращенных лучей мы будем иметь два луча
вдоль направления /. Один из них получается вследствие
отражения луча га от точки А и имеет амплитуду rte. Другой луч есть
преломленный в точке А при переходе из пластинки в воздух, и
его амплитуда dxda. Эти два луча складываясь дают луч с
амплитудой, равной сумме '
dtda -j- r-a.
Согласно правилу обратимости эта сумма должна быть равна а,
и, следовательно,
<*,</+г> = 1.
. Вдоль пунктирного направления никакого луча не должно быть,
как и при прямом ходе лучей, поэтому сумма амплитуд rxda -j- dm
должна быть равна нулю. Но это условие, очевидно, приводит
к следующему:
Последнее показывает, что амплитуды отраженного луча при
входе в пластинку и при выходе из нее будут одинаковы по
величине, но фазы их должны быть противоположны. Этот
результат находится в согласии с тем правилом, которое было
установлено еще Юнгом, о потере полуволны при отражении от
оптически более плотной среды. Кроме того, первое соотношение дает:
</і£/ = 1 —А
Теперь мы в состоянии подсчитать результат сложения всех
лучей, проходящих например через точку С поверхности.
Некоторые из них изображены на рис. 169. Например луч ///, который
отражается от С с амплитудой га; луч //, испытавший два
преломления и одно отражение, имеющий амплитуду drydxa и т. д.

§ 8 Влияние многократного отражения на полосы интер. 315
Для того чтобы определить результат интерференции, мы должны
еще знать разность хода лучей III, //, / и т. д. Положим, что луч
// отстает по фазе от /// на φ, луч / на 2 φ и т. д. Если колебания
луча /// в точке С можно представить формулой A cos ω t, то сумма
колебаний в лучах, проходящих через точку С, выразится так:
га cos ω t -{- ггаага cos (ω t -j- φ) -f- r^dd-ji cos (ω t -f- 2 φ) +■· ·
Величина <? зависит от толщины пластинки, от наклона лучей
и от показателя преломления. Вычисляя квадрат амплитуды
колебаний, мы воспользуемся еще полученными выше соотношениями
между коэффициентами г, rlt d и dlt для исключения всех
коэффициентов, кроме г, вследствие чего в окончательной формуле мы
встретим только коэффициент отражения г. Для квадрата
амплитуды отраженных лучей мы получаем после довольно длинных
выкладок, которые не станем приводить здесь, выражение
4aVsin2|
(7)
(1 — r2)2 + 4r2sin2|
Подобным же образом мы найдем квадрат амплитуды
прошедших лучей т. е. силу света, проходящую через пластинку при тех
же условиях, в виде следующего выражения:
а2(1 — г*)*
(1 —r2)2 + 4/-2sina|
(8)
Сумма этих выражений дает а2, т. е. квадрат амплитуды
падающих на пластинку лучей. Таким образом во всякой точке
пластинки количества света отраженного и прошедшего дают в сумме
количество падающего. Там, где лучи не отражаются вовсе, а
именно, где sin2-^ = 0, там весь свет проходит через пластинку.
Там же, где отражение достигает максимума, т. е.
со
sin2 ^ = 1,
количество отраженного света равно
а1
(1 + г2)2 '
количество же прошедшего падает до
0 (1+7·2)2'

376 Интерференция света Гл. V
достигая минимума. Таким образом, темные полосы в отраженном
свете будут совсем черными в однородном свете, а светлые тем
ярче, чем ближе коэффициент г к единице, т. е. чем сильнее
отражаются лучи от границы пластинки. В проходящем свете темные
полосы не бывают вполне черными и лишь при сильном отражении
(1 — г2 близок к нулю) освещение их будет приближаться к нулю.
Наиболее контрастными интерференционные полосы можно
получить или при очень наклонном падении лучей, так как в этом
случае отражение особенно сильно, или слегка посеребрив обе
поверхности пластинки, чтобы повысить коэффициент отражения
лучей. Коэффициент отражения оказывает большое влияние и на
ширину полос. Например положим, что отраженный свет
составляет 80% падающего, т. е. г2 = 0,8. Тогда
(1 _ ^2)2 = о,04<
и по сравнению с .·
4 г2 sin2 -|- =2,56 sin2 -|-
будет малой величиной, пока sin2-^- больше чем несколько сотых.
о
Только при малых значениях sin2 —- первый член в знаменателе (8)
будет иметь преобладающее значение. Из (7) следует, что при не
очень малых значениях синуса, когда в знаменателе можно
отбросить первый член, сила отраженного света равна силе падающего
света, так как квадрат амплитуды равен а2. Только при такой
толщине пластинки, когда sm2 -— приближается к нулю, яркость
отраженного света резко падает до нуля. Мы наблюдаем в этом
случае узкие темные полосы', на светлом фоне. В проходящем
свете мы будем, наоборот, наблюдать узкие и резко ограниченные
светлые полосы на темном фоне.
^ § 9. Кольца Ньютона.
Толщина пластинки, окрашенной в интерференционные цвета,
когда на нее падает беАый свет, может быть легко вычислена,
если она представляет собою слой воздуха, заключенный между
двумя сферическими поверхностями. Этот способ получения
интерференционных колец был открыт Р. Гуком в 1665 г. Несколько
лет спустя Ньютон исследовал это же явление, применяя
соприкосновение выпуклой линзы с плоским стеклом.

§ ρ Кольца Ньютона 317
Пусть О (рис 170) есть точка соприкосновения стекла, a R
радиус кривизны линзы, тогда толщина АВ слоя на расстоянии
АО от центра системы полос равна
AB = g = R (1 — cos φ),
а расстояние
AO=x=R sin φ.
Если угол <? мал, то мы будем иметь соотношение
3- -за-, (9)
которое позволяет вычислять д для разных расстояний х. Таким
образом, слои одинаковой толщины будут иметь форму колец,
окружающих точку О. В центре, где
толщина равна нулю, отражения не будет,
вследствие чего центр будет черным.
На таком расстоянии х, при котором
λ
у=—, т. е. толщина равна четверти
длины волны, находится первое светлое
кольцо для данной длины волны. После
этого всякий раз, как толщина
изменяется на целое число полуволн,
будет появляться светлая · полоса.
Полоса п-ого порядка соответствует толщине у, выраженной
следующей формулой:
д = (2п-1)± = ^, (Ю)
откуда найдем, что радиус хп η-го кольца пропорционален корню
квадратному из п-то нечетного числа. Эти закономерности были
установлены Ньютоном, и поэтому самое явление получило название
колец Ньютона и сохраняет его до настоящего времени.
При освещении светом различной длины волны радиусы колец
изменяются. В красном свете они значительно больше чем в
синем, так' как длина волны у красных лучей примерно в полтора
раза больше чем у синих. Если изменять освещение, попеременно
заменяя красный свет синим и наоборот, то кольца „дышат",
попеременно изменяя свои размеры. Сравнивая радиусы колец одного
порядка в разных лучах, мы находим отношение длин волн.
Когда освещение производится белым светом, то получается
наложение различных систем колец, соответствующих разным дли-

318 Интерференция света Гл. V
нам волн. Если длина волны изменяется непрерывно, то, за
исключением темного центрального пятна, нигде больше мы не будем
иметь темных полос, так как на темную полосу одной системы
колец накладываются светлые полосы других. Это наложение, во-
первых, дает различное окрашивание на различных расстояниях
от центра, во-вторых, на большом расстоянии от него вследствие
наложения колец различного цвета приводит к равномерно белому
освещению без видимых полос. Однако этот белый свет,
отраженный тонким воздушным слоем, имеет совершенно иной состав,
чем падающий на него пучок белых лучей. Это можно обнаружить,
освещая щель спектроскопа лучами, отраженными от пластинки
определенной толщины. Мы наблюдаем тогда в спектре ряд
темных полос, приходящихся на те длины волн, которые не
отражаются от пластинки. Если на щели спектроскопа мы получим при
помощи линзы изображение колец Ньютона, то в зависимости от
участка поверхности, который попадает1 на щель, спектр будет
пересекаться большим или меньшим числом темных полос.
В однородном свете можно наблюдать горазд) больше колец,
чем в белых лучах, имеющих сложный состав. Если, например,
осветить пластинку желтым натриевым пламенем, то можно
видеть, что почти вся ее поверхность заполнена кольцами Ньютона,
которые делаются все более узкими и тесно расположенными по
мере удаления от центра. Если мы станем удалять линзу от
плоского стекла, так что между ними образуется воздушный слой, то
сначала пропадает темное пятно в центре, а все кольца стянутся,
и первое светлое кольцо (полоса 1-го порядка) образует светлый
центр. При еще большем удалении радиусы колец начнут
уменьшаться и внутренние кольца, стягиваясь, будут пропадать в центре.
При обратном движении стекла те же изменения происходят в
обратном порядке: все новые кольца выходят из центра, и диаметры
их увеличиваются. Если фиксировать определенную точку
пространства, например, глядя в микроскоп со слабым увеличением
и с нитью в фокальной плоскости окуляра, то при передвижении
линзы кольца будут проходить через фиксируемую точку, и мы
можем, считая их, определить, на сколько длин волн изменилось
расстояние между плоским и сферическим стеклами.
Физо воспользовался этим способом наблюдения для того,
чтобы определить разность длин волн двух очень близких
спектральных линий. Из таких двух линий состоит спектр натриевого
пламени. Освещая этим светом пластинки, можно наблюдать
следующее явление. Примерно после первых четырехсот колец поло-

§ JO Применение полос интерференции в технике 319
сы начинают делаться нерезкими и на пятисотом кольце
пропадают совсем. При дальнейшем удалении пластинок они опять
появляются и при тысячном кольце приобретают первоначальную
резкость. Такое периодическое пропадание колец может быть
легко объяснено наложением двух систем колец несколько
различных диаметров. Первое исчезновение соответствует наложению
светлого кольца одной системы на темное другой.
Соответствующая толщина у воздушного слоя равна согласно формуле (10)
λ
нечетному числу -г- одной спектральной линии и четному другой:
іг=(2л-
··»*
= 2п-
ι
Таким образом разность длин волн находится по формуле
Если η — 500, то, следовательно, длины волн двойной натриевой
линии отличаются на одну тысячную их величины.
§ 10. Применение полос интерференции в технике.
Мы видели уже, что при перемещении одной из границ
воздушного слоя происходит перемещение полос интерференции.
Считая их, можно определить с точностью до
длины волны величину перемещения. Это
явление можно использовать для определения
теплового расширения твердых тел. Для этого
две пластинки А та В (рис. 171), из которых
одна прозрачная, располагаются одна под
другой таким образом, чтобы между ними
образовался клиновидный слой воздуха.
Испытуемая пластинка С помещается между ними.
Слой воздуха между С и А будет также
клиновидным и полосы интерференции, получаемые при освещении
прибора однородным светом, будут перемещаться при нагревании
пластинки. Так как одновременно с ней нагреваются и винты,
при помощи которых производится установка пластинки, то
получаемое перемещение полос зависит от разности расширений винтов
и пластинки.
Кривые равной толщины могут быть применены для точной
проверки плоскости. Если мы имеем уже пластинку с совершенно
Δ-Ssci
I
д.
в
Рис. 171.

320 Интерференция света Гл. V
илоской, т. е. тщательно выверенной поверхностью, то испытание
'поверхности стеклянной пластинки не представляет трудности.
Стоит положить ее на плоскую пластину и осветить натриевым
светом, и мы тотчас увидим все искривления ее поверхности.
Если она плоская, то полосы равной толщины расположены
параллельно друг другу; всякое искривление полос
указывает на кривизну поверхности. Если увеличивать наклон
отраженных лучей, то полосы перемещаются в направлении к тем
местам, где толщина воздушного слоя больше. Таким образом
можно легко обнаружить, где находятся выпуклые и вогнутые
места поверхности. ·
Если мы не располагаем плоской поверхностью, то можно
воспользоваться методом, предложенным Рэлеем. Для этого
пластинку, которую надлежит проверить, помещают в сосуд с водой,
наклон которого можно изменять при помощи установочных винтов.
Необходимо установить его так, чтобы поверхность воды
и пластинки бы \и по возможности параллельны. Полвсы,
образующиеся при отражении от границ слоя воды, можно увидеть,
пользуясь лупой и освещая поверхность воды широким натриевым
пламенем.
§ 11. Кривые равного наклона.
Возьмем плоско-параллельную пластинку, прозрачную для лучей
света, и заставим падать на нее пучок лучей. Угол падения
обозначим через φ. Пусть два луча (рис. 172)
после отражения от пластинки
выходят из точки В, причем один из них
испытал одно отражение в точке В, а
другой — одно отражение в точке С и
два преломления в А и В.
Опустим из точки А
перпендикуляр АО на направление второго луча,
а из точки В перпендикуляр BQ на
направление первого луча. Точки А и
О, а также В и Q' лежат в плоскости
волны, когда эта плоскость находится вне пластинки и затем внутри
ее. Мы видим, что колебания, распространяющиеся вдоль лучей
NOB и MAQ, в точках В и Q имеют одинаковые фазы, и,
следовательно, разность хода лучей определяется оптической длиной
второго луча между точками QCB. Докажем, что QCB = 2d costy,
где d—толщина пластинки, а ψ — угол преломления луча. Из чер-

$ 11 Кривые равного наклона 321
тежа видно, что толщина пластинки </=AC cos ψ. Легко видеть,
что угол АСВ = 2Ψ, а угол ABQ — ψ. Поэтому Αβ = 2<ίΐ£ψ и
ylQ = 2с? tgr ψ sin ψ- Но длина QCB равна 2АС—AQ. Подставляя
.„ 2d ЛХ 2i/sin2 ψ >>^,г. „, . л
2ЛС= г и ЛУ = -——г—, получаем QCB —2d cos ψ. Оптиче-
COS γ COS Υ
екая разность хода, принимая во внимание показатель преломления
пластинки π потерю полуволны при отражении в точке В, равна
2<//zcos*i> , 1 л
Τ Г"2-=о.
Таким образом при отражении от плоскопараллельной
пластинки мы получим лучи, имеющие попарно тем большую разность
хода, чем меньше угол падения и преломления. При нормальном
падении (ψ = 0) разность' хода лучей наибольшая, а чем больше
наклон лучей, тем она меньше. Наименьшая разность хода
получается при скользящем падении лучей на пластинку, когда угол ψ
равен углу полного внутреннего отражения. Так как при этом
sin ψ = — ,
то
COS
η
и, следовательно, наименьшая разность хода равна
8 = 2сЦЛіЯ—1 , 1
min - χ Τ" 2 '
Положим, что δ = k, где k — целое число, и, следовательно, лучи,
идущие вдоль BD, дают интерференцию к-τονο порядка. То же
самое дают все лучи параллельного пучка лучей, определяемого
углом φ или ψ. Все такие лучи собираются в какой-нибудь точке
фокальной плоскости объектива зрительной трубы или же просто
пересекаются на сетчатке глаза, аккомодированного на
бесконечность, и дают там светлую полосу интерференции
к-ого порядка.
Положим, что пластинка освещается широким источником
света, так что на нее падают лучи под всевозможными углами φ.
Отраженные параллельные пучки будут иметь различное направление,
причем каждому направлению соответствуют определенный наклон
лучей и разность хода. Эти лучи, собранные в фокальной
плоскости, дают светлые и темные полосы интерференции на равных
расстояниях от главного фокуса, который будет центром системы
21 Зак. 2408. Курс физики, т. П.

322 \ Интерференция света Гл. V
: Л — — е _
кругов, представляющих собой интерференционные полосы
различных порядков. Наибольший порядок имеем, конечно, в центре, где
собираются лучи, нормально (? = 0) отражающиеся от пластинки
и имеющие наибольшую разность хода.
Если увеличивать толщину пластинки, то порядок
интерференционных полос возрастает. Радиус существующих полос
увеличивается, и из центра выходят все новые круги более высоких
порядков. Наоборот, при уменьшении толщины пластинки круги
сжимаются и более близкие к центру исчезают, обращаясь в точку.
При нулевой толщине, очевидно, совсем не будет полос, и вся
фокальная плоскость будет равномерно темная.
Преимущество интерференционных полос равного наклона
перед полосами равной толщины заключается в том, что для полу-х
чения интерференции в какой-либо точке фокальной плоскости мы
собираем там лучи, отраженные от всех точек плоскопараллельной
пластинки, в то время как в случае кривых равной толщины мы
пользуемся лучами от одной точки поверхности пластинки. Поэтому
в первом случае имеем значительный выигрыш в силе света
полос.
Можно еще увеличить силу отраженного света, если повысить
отражательную способность поверхности пластинки. Обычно для
этого слегка серебрят поверхность стекла, но таким тонким слоем,
что он остается еще довольно прозрачным. Тогда заметную роль
начинают играть лучи, испытавшие внутри пластинки несколько
отражений. Это обстоятельство, как мы видели в § 8 имеет
весьма существенное значение для распределения света в полосах,
делая максимумы очень узкими и, следовательно, светлые полосы
очень тонкими.
Полосы равного наклона позволяют очень точно проверять плос-
копараллельность прозрачных пластинок. Когда толщинэ.
пластинки так мало меняется вдоль ее поверхности, что кривых равной
толщины у нее не видно, то кольца интерференции, создаваемые
лучами равного наклона, позволяют следить за изменениями
толщины пластинки. Для этого нужно передвигать пластинку между
глазом и источником света или же, оставляя неподвижной
пластинку, перемещать глаз и источник таким образом, чтобы падающие
лучи были перпендикулярны к поверхности пластинки. При этом
движении кольца будут или уменьшаться или увеличиваться в
диаметре и на большом расстоянии от центра изменять свою форму,
если толщина пластинки неодинакова в различных точках. Еще
лучше следить за изменением яркости в центре, из которого по-

Интерферометры 323
являются то темные, то светлые кольца. Этим способом можно
контролировать изготовление плоскопараллельных пластинок с
точностью до малых-долей длины световой волны.
% § 12. Интерферометры.
Явления интерференции находят разнообразные применения для
точных измерений, и мы опишем здесь несколько типов
приборов— интерферометров. В большинстве случаев в
интерферометрах пользуются кривыми равного наклона, которые
наблюдаются трубой, установленной на бесконечность.
. Интерферометр Жамёна, схематически изображенный на рис.
173, состоит из двух стеклянных плоскопараллельных пластин Ρ и
Р', у которых одна сторона посеребрена. Луч света, попадая на
пластинку Р, отражается отчасти от ее прозрачной грани и идет
вдоль АВ ко второй пластинке, где он преломляется и после
отражения от посеребренной поверхности выходит в точке В'.
Другая часть лучей, преломляясь в точках А и А' и отражаясь в В'
от второй пластинки Рг, опять соединяется с первым пучком. Если
пластинки параллельны, то никакой разности хода в лучах не
получается и никаких интерференционных полос не видно. Но если
слегка изменить наклон одной из пластин, то лучи АА'В' и ABBt
приобретают некоторую разность хода, зависящую притом от угла
под которым лучи падают на поверхность первой пластинки.
Освещая эту последнюю широким пламенем, мы получаем пучок
лучей разного направления, причем каждому направлению
соответствует своя разность хода.
Изображение пламени, получаемое после двукратного
отражения от пластинок Ρ и Р', оказывается перерезанным системой
интерференционных полос равного наклона, которые
перемещаются, если изменять угол между пластинками.
Особенностью этого интерферометра является
разделение лучей А'В' и АВ. На пути одного из них может
быть помещена плоскопараллельная пластинка, искусственно
увеличивающая разность хода (см. рис. 173). Так как эта разность
хода определяется толщиной и показателем преломления
пластинки, то интерферометр Жамена может служить для определения
показателей преломления (интерференционный рефрактометр).
Положим, что лучи проходят через два сосуда равной длины и
наполненных разными газами. Изменение разности хода при замене
одного из газов воздухом или при изменении давления газа в одном
21*
§12

324
Интерференция света
Гл. V
из сосудов дает возможность определить показатель преломлен
ния газа, вообще мало отличающийся от единицы.
Другим интерферометром, который мы рассмотрим здесь,
является прибор Майкельсона, схематически изображенный рис. 174.
Луч света S здесь также разделяется на два луча при помощи
плоскопараллельной стеклянной пластинки Р, наклоненной таким
образом, чтобы часть света отражалась под прямым углом,
образуя луч Sv а другая часть проходила через пластинку, как второй
луч S0. Плоские зеркала А я В отражают эти лучи, так что они
Рис. 173.
возвращаются к пластинке Р, отчасти отражаются и отчасти
проходят через нее, образуя в направлении от пластинки к линзе L
пучок лучей, параллельных между собой, если зеркала А и В
установлены строго перпендикулярно к [падающим на них лучам.
Отражение от пластинки Ρ происходит, вообще говоря, у двух ее
границ, и поэтому, чтобы не иметь дела с двумя лучами St и 5/,
переднюю поверхность пластинки покрывают тонким? слоем
серебра и тем значительно увеличивают ее отражательную
способность. Отраженный от задней, непосеребренной поверхности
луч настолько слаб, что его не приходится рассматривать.
Наиболее выгодно в смысле использования света, чтобы
коэффициент отражения был равен 50%. Если посеребрена поверхность,
обращенная к источнику света, то луч 5j дойдет до линзы L,
пройдя один раз через пластинку Ρ на обратном пути, а луч 52
пройдет через нее трижды, один раз на пути к зеркалу В и
дважды на обратном. Таким образом при равных расстояниях зеркал
А и В от пластинки Ρ оптическая длина пути обоих лучей не
одинакова, но если на пути луча Sx поместить прозрачную плас-

Интерферометры 325
тинку той же толщины, что и Р., то можно достигнуть нулевой
разности хода для обоих лучей St и S2. Передвигая одно из
зеркал, мы создаем-соответствующую разность хода лучей и
получаем в фокусе линзы L интерференцию их.
Все параллельные лучи испытают те же отражения и преломления
и дадут тот же яффект в фокальной плоскости линзы, но лучи,
падающие на пластинку под углом, несколько отличным от 45°,
получают иную разность хода и соберутся в другой точке фокальной
плоскости. Мы получим, как и при отражении широкого пучка
лучей от плоскопараллельной пластинки, ряд концентрических полос
равного наклона в виде колец, окружающих главный фокус.
Очевидно, что при некотором изменении наклона одного из
зеркал А или В мы должны наблюдать линии равной толщины
(как при отражении от
клинообразной пластинки), параллельные ребру Ч) Ь)
клина. При этом (рис. 175Ь) интер-
ЪщщШШШЩ
\т/жжшжлщ
ференционные полосы получаются
на поверхности пластинки или,
точнее, на изображении этой поверх- ^fy^Jjf \тшя,;яшгтк
ности в нашем глазу. Чем ближе
к параллельности плоскости А и В' рис< ^75.
тем больше расстояние между
полосами и меньше их число, и при полной параллельности пластинка,
представляется освещенной равномерно, если рассматривать ее
поверхность. Два отраженных изображения источника света при
этом сливаются в одно.
В фокальной плоскости линзы зато появляются кольца (рис.
175а), представляющие линии равного наклона, которые при
увеличении разности хода лучей выходят из центра и передвигаются
к краям пластинки. По перемещению полос можно судить о
перемещении зеркал и измерять его с точностью до долей длины
световых волн.
Интерферометр Майкельсона может быть использован для
получения полос очень высокого порядка, если свет достаточно
однороден. При неоднородном свете различные длины волн дают
круги различного диаметра, и при достаточно высоком порядке
интерференции максимум одной системы полос начинает
перекрывать минимумы полос для соседних волн, что ведет к
исчезновению интерференционной картины. При наибольшей
однородности, а именно при пользовании светом, дающим в спектре наиболее
тонкие линии, можно получить полосы порядка 100000 и более.

326 Интерференция света Гл. V
§ 13. Применения интерферометра.
Наиболее известными из применений интерферометра Майкель-
сона являются: 1) сравнение основного эталона длины метра с
длиной световой волны как наиболее устойчивой и не зависящей от
нашего произвола образцовой длиной и 2) измерение влияния
движения Земли в пространстве на скорость распространения света.
Сравнение эталона метра с длиной волны было осуществлено
Майкельсоном при помощи интерферометра, в котором
перемещение зеркала могло производиться с помощью винта.
Вспомогательный эталон, состоящий из двух зеркал Ах и Л2 (рис. 176),
установленных между собой параллельно и на
Д определенном расстоянии, помещался в двух
ZI положениях таким образом, чтобы получить
Ц нулевую разность хода сначала для одного
зеркала эталона, затем для- другого. При
Рис. 176. перемещении эталона производился счет
числа интерференционных полос, проход
дивших в поле зрения наблюдателя, что дает непосредственно
отношение длины эталона к длине волны. За длину эталона
принимается таким образом расстояние между плоскими поверхностями
А-2 и Ах. Такое непосредственное сравнение производилось лишь
для самого малого эталона, который является исходным образцом.
Следующий эталон имел длину почти точно вдвое большую,
и при помощи интерферометра определялась только разность между
длиной второго эталона и двойной длиной первого.
Так производилось сравнение всех вспомогательных эталонов
до самого большого, имевшего 10 см в длину. Сравнение
последнего с метром производилось также на интерферометре, но путем
многократного перемещения его на собственную длину.
Таким образом интерферометр позволяет с точностью до долей
длины волны света определить отношение между длинами эталонов,
если -это отношение близко к целому числу. Кроме того счет полос
интерференции дает длину исходного эталона в длинах волны.
В результате этих измерений длина международного эталона
метра оказалась равной —
1 метр = 1553163,5 λ, = 1966 249,7 λ2 = 2 083 372,1 λ3,
где λα, λ2 и λ3 — длины волн трех линий спектра кадмия (красной,
зеленой и синей). По более поздним измерениям Бенуа, Фабри и
Пэро
1 метр = 1553164,13 λ,.
Гі

§ 13 Применения интерферометра 327
////
Подобным образом могут быть измерены любые малые длины
или изменения длины, вызванные например тепловым расширением
стержней, цесущи^, зеркала интерферометра или изменением
коэффициента преломления среды, в которой распространяются лучи.
Необходимо в виду этого тщательно предохранять интерферометр
от местных нагреваний, так как изменение температуры на доли
градуса может вызвать значительные смещения системы полос.
Лучшим способом избежать этих
влияний является уменьшение
размеров интерферометра.
Другим применением
интерферометра, имевшим
решающее значение для
развития теории
относительности Эйнштейна,'был
знаменитый опыт Майкельсона
(см. ч. I, стр. 11). Целью его
было решение вопроса,
какое влияние оказывает
перемещение находящегося на
Земле и движущегося вместе
с ніей в пространстве
наблюдателя с его
измерительны ми приборами на результаты измерения
скорости света. Разность хода лучей в интерферометре, когда один
из лучей имел направление скорости Земли, а другой был к ней
перпендикулярен, как было показано в ч. I (стр. 12), должна была
бы зависеть" как от оптической длины пути между зеркалами
интерферометра, так и от квадрата отношения скорости Земли ν к
скорости св.ета с. Так как отношение этих скоростей составляет
всего 10_і (г> = 3 · 106 см/сек, с — 3 ■ 1010 см/сек), то разность хода,
Рис. 177.
ѵЧ
= 10
-г-. Если
которую нужно было измерить, имела величину -gr-
принять во внимание, что отношение 1 ж к длине волны имеет
величину порядка 106, то, очевидно, длина пути лучей должна составлять
много метров для того, чтобы получилась разность хода в полволны·
Заставляя лучи многократно проходить расстояние при помощи
дополнительных отражающих зеркал, Майкельсон (в 1887 г.) мог
увеличить до 23 м общий путь лучей (рис. 177). '
Это должно было бы вызвать смещение интерференционной
картины на 0,4 расстояния между соседними полосами, если бы

328 Интерференция света Гл. V
свет распространялся в неподвижной среде (эфире), не
принимающей участия в движении Земли. Опыт показал, что наблюдаемые
смещения значительно меньше и не превосходят 0,02 ширины
полосы. Все последующие наблюдения, в которых принимались
должные предосторожности против температурных влияний на
прибор, неизменно приводили к тому же отрицательному результату.
Таким образом можно считать экспериментально доказанным, что
в системе, которая движется вместе с
наблюдателем и источником, света, распространение света
в любом направлении происходит так же, как ив
покоящейся системе, т. е. с одной и той же
скоростью в любом нап ρ авл е ни и. Существенно в этом
результате, чтобы и наблюдатель и источник света двигались в одном
направлении и с одинаковой скоростью, т. е. не имели
относительного движения.
"" § 14. Интерференционная спектроскопия.
Мы уже видели, что при помощи интерференционных полос
Физо удалось определить разность длин волн двух близких
спектральных линий. Этот метод был впоследствии развит Майкель-
соном. Если мы имеем две волны близкой длины, то системы
интерференционных полос накладываются друг на друга, и
видимость их при возрастании разности хода периодически то
ухудшается, то улучшается. Майкельсон ввел понятие видимости
полос, определяя его как разность яркостей светлой и темной
полосы, отнесенную к сумме их яркостей. Если обозначить эти
яркости через Iх и /2, то видимость V выразится так: ;
Если известна разность длин волн и распределение света в двух
соседних спектральных линиях, то можно теоретически определить
изменение видимости при возрастании разности хода. Майкельсон
пробовал решить обратную задачу, т. е. по изменению видимости
полос определить строение смежных спектральных линий. Однако
Рэлей показал, что эта задача не может быть решена однозначно;
так, например, если имеются рядом две линии, одна яркая, другая
меньшей силы, то по изменению видимости нельзя определить,
с какой стороны расположена слабая линия. В виду этого метод
Физо оказался применимым только в некоторых простейших
случаях.

§15
Интерферометр Фабри и Пэро
329
Исследование тонкого строения спектральных линий производится
в настоящее время при помощи интерферометров, в которых
получаются весьма тонкие светлые линии с широкими темными
промежутками. В таком случае близкие длины волн дают полосы,
расположенные рядом и не перекрывающие друг друга. Как мы видели
(§ 8), тонкие полосы можно получить в проходящем свете, если
увеличить коэффициент отражения лучей от поверхности слоя.
Задача эта была разрешена в интерферометре Фабри и Пэро и
впоследствии иным способом Луммером и Герке.
'.. § 15. Интерферометр Фабри и Пэро.
Прибор этот состоит из двух плоских полупрозрачных зеркал,
между которыми заключен плоскопараллельный воздушный
промежуток. Эти зеркала делаются из стеклянных несколько
клиновидных пластинок (рис. 178), которые покрыты на
поверхностях, обращенных друг к другу, тонким
полупрозрачным слоем серебра, вследствие чего
коэффициент отражения (квадрат той величины,
которую мы обозначили г) увеличивается. Для
стекла он равняется всего 0,04, а для
серебряной полированной поверхности в зависимости
от длины волны колеблется от 0,96 до 0,81.
Отражательная способность полупрозрачного
серебряного слоя может принимать все значения
между указанными крайними пределами для
чистого стекла и чистого серебра, в зависимости
от толщины слоя. Чем ярче источник света, tl.vi
менее прозрачным слоем могут быть покрыты
поверхности зеркал, и тем тоньше и резче будут
полосы интерференции. Зеркальные поверхности
должны быть совершенно точно плоскими и установлены строгс
параллельно между собой. Слой воздуха между ними, в котором
отражающиеся лучи приобретают разность хода; образует
плоскопараллельную пластинку с сильно отражающими поверхностями,
которую иногда называют просто „посеребренной воздушной
пластинкой Фабри и Пэро." Стеклянные пластинки делаются слегка
клиновидными для того, чтобы лучи, отраженные от задней
поверхности, не давали кривых равного наклона.
На рис. 178 изображен ход лучей внутри воздушной пластинки.
При каждом отражении от нижней границы пластинки около 10%

330
Интерференция света
Гл. V
света проходит сквозь стекло и попадает в объектив зрительной
трубы. Таким образом мы будем иметь столько параллельных
лучей, сколько отражений испытывают лучи внутри пластинки. Чем
выше порядок отраженного луча, тем луч слабее, но при ярком
источнике число этих лучей может достигать нескольких
десятков. Если пластинки составляют небольшой угол, а источником
света служит светящаяся точка или щель, то в проходящем свете
глаз видит целый ряд изображений источника вследствие
многократных отражений от поверхностей зеркал. При точно.!
параллелизме их все изображения сливаются,
но появляются полосы равного
наклона.
При большой отражательной
способности распределение силы света /
в полосах для разных отражательных
способностей (г2 = 0,95, 0,80 и 0,63)
изображено на рис. 179. Мы видим,
как резко повышается острота
максимума освещенности при наивысшем
коэффициенте и как постепенно она
Рис. 179. спадает при более низких
коэффициентах. Вследствие этого полосы в
фокальной плоскости трубы будут представляться как яркие узкие
линии на темном фоне. Линии эти имеют форму колец,
окружающих центр, причем каждой длине волны соответствует своя система
колец. Первые кольца обычно уже соответствуют очень большим
разностям хода между интерферирующими лучами, и даже очень
близкие длины волн, например линии натрия, дают
разделенные кольца. Если длины волн еще более близки, то
разделение линий будет наблюдаться в полосах более высокого
порядка, т. е. при большей толщине пластинки или большем
наклоне лучей. '
Расстояние пластинок может изменяться при помощи винтов
и особого супорта. Но для обычных целей, которые ставит себе
спектроскопия, т. е. для разделения близких линий более удобно
применение пластинки определенной толщины. Такая пластинка
иногда называется „эталоном", так как толщина остается
неизменной и должна мало зависеть от температуры. Для этого она
укрепляется на подставке, сделанной из инвара, особого
сплава железа и никеля, имеющего очень малый коэффициент
расширения.

$ IS Пластинка Ауммера и Герке 331
§ 16. Пластинка Луммера и Герке.
Для получения полос в интерферометре Луммера и Герке
служит плоскопараллельная стеклянная пластинка, внутри которой луч
света испытывает многократные отражения. Угол падения лучей
должен быть подобран так, чтобы лучи отражались от поверхности
пластинки под углом, близким к углу полного внутреннего
отражения. Это делается с той целью, чтобы
насколько возможно увеличить
коэффициент отражения лучей; при этих
условиях величина коэффициента
может быть доведена до 0,95. Для того
же чтобы не происходило потери света,
когда лучи входят внутрь пластинки,
к ней приклеивается, как показано на
рис. 180, призма прямоугольного
сечения. Лучи падают на ее грань под
прямым углом, и поэтому потеря света вследствие отражения
составляет всего 4%.
При отражении лучей внутри пластинки часть их выходит через
боковую грань в направлении, почти скользящем вдоль
поверхности. Все вышедшие лучи собираются объективом зрительной
трубы в фокальной плоскости. Максимумы получаются в тех
точках, где собираются лучи, попадающие в пластинку под
надлежащим углом и приобретающие нужную разность хода. Если
пластинка имеет не вполне одинаковую толщину, то некоторые пучки
лучей выходят с отличной разностью хода и могут создавать
максимумы, не соответствующие их длине волны и нормальной толщине
пластинки. Такие ложные спектральные линии, которые принято
называть также „призраками", очень усложняют спектр и поэтому
должны быть отделены от настоящих линий. Достигается это при
помощи двух скрещенных пластинок Луммера, которые должны
давать две системы взаимно перпендикулярных полос. Максимумы

332
Интерференция света
Гл. V
света получаются в точках пересечения этих полос, которые Герке
называет интерференционными точками. Если рядом
имеется несколько близких линий, то им соответствуют точки,
которые смещены как в горизонтальном, так равно и в вертикальном
направлении, т. е. располагаются вдоль диагонали. „Призраки",
вызванные неправильностью одной из пластинок, другой
пластинкой не будут смещаться, по этому признаку они могут быть
отличены от истинных спектров.
' Расположение отдельных частей прибора Луммера и Герке и ход
лучей в нем изображены на рис. 181. Щель коллиматора^ служит
источником света. Из объектива коллиматора выходит пучок лучей,
который попадает в призму Ρ и разлагается ею в спектр. Из этого
спектра некоторый участок выделяется при помощи диафрагмы
со щелью 52. Выделенные лучи проходят через прямоугольную
призму внутрь пластинки. В зрительной трубе Τ получаются на
месте изображения щели интерференционные полосы.
Ѵ§ 17· Интерференция при больших разностях хода.
Мы предполагали в предыдущих рассуждениях, что лучи
когерентны и остаются когерентными при любых разностях хода.
Другими словами, свет должен состоять из бесконечного ряда волн, а
не из отдельных групп волн. Между тем процесс испускания всякой
спектральной линии протекает в течение некоторого промежутка
времени, и для интерференции при больших разностях хода лучей
необходимо, чтобы продолжительность этого промежутка была
больше, чем время, необходимое для пробегания разности путей
интерферирующих лучей. Небольшие разности хода, при которых
еще можно получить полосы, очевидно связаны с
продолжительностью времени испускания лучей, в течение которого фаза
колебаний остается неизменной, а амплитуда медленно убывает. >
Пусть свет испускается в течение некоторого промежутка
времени, после чего это испускание -прерывается. Мы могли бы
искусственно осуществить такое прерывистое испускание при помощи
двух непрерывных и бесконечных рядов волн, очень мало
отличающихся по длине волны. Эти волны дают, как мы знаем, биения,
т. е. то усиление, то ослабление колебаний. Биения представляют
частный случай прерывистого испускания света, и в более общем
случае всякое испускание с переменной амплитудой можно
рассматривать как наложение волн различной длины,, т. е. как не
вполне однородный свет.

■S 18 Стоячие световые волны 333
Неоднородность лучей должна поэтому сказаться на
интерференции при больших разностях хода. Две различные волны дают
две системы полос, которые могут, накладываясь друг на друга,
уничтожить видимость полос. Если мы имеем много близких волн,
то при больших разностях хода их системы полос так
перепутываются, что полосы делаются расплывчатыми и, наконец, совсем
исчезают.
Возможность получения интерференционных полос при больших
разностях'хода зависит от однородности лучей или от
естественной ширины спектральных линий. Обычно газовые источники света,
дающие линейный спектр, испускают лучи тем менее однородные,
чем больше давление и температура газа. Для получения особо
тонких линий температура и давление газа должны быть сделаны
возможно малыми. При благоприятных условиях удавалось
получить интерференцию при разностях хода до 1 200 000 волн.
"'· § 18. Стоячие световые волны.
При изучении звуковых колебаний нам приходилось
неоднократно встречаться с интерференцией волн, распространяющихся
в противоположных направлениях и образующих стоячие волны.
Подобное явление должно наблюдаться и при отражении цветовых
волн от поверхности металлического
зеркала. Падающие и отраженные вол- n L^muh ~
ны, интерферируя, образуют пучности q ^ийЙшР1*^" С
и узлы, чередующиеся через каждую В -і4шШ^^~ &
четверть волны. Вследствие малости А 'J/Ш//////////////////////////.^
длины оптических волн наблюдать
стоячие световые волны не легко. Рис. 182.
Однако О. Винеру удалось (1890 г.)
обнаружить их существование при помощи фотографической
пластинки, помещенной вблизи поверхности, отражающей лучи.
Фотографическая пластинка была специально приготовлена для
этого опыта и состояла из стеклянной пластинки, покрытой с одной
стороны очень тонким слоем фотографической эмульсии. Пластинка
помещалась так, что составляла с зеркалом ААХ очень малый
угол,
Узловые плоскости ААѴ BBlt CClf DDX (рис 182) и т. д., в
которых колебания света, производящие фотографические действия,
отсутствуют, пересекают поверхность пластинки вдоль прямых,
параллельных между собою. Вдоль этих прямых светочувствитель·

334 Интерференция света Гл. V
ный слой совершенно не подпергается действию света, и после
проявления они видны на пластинке в виде светлых лилий. В
промежутках между ними под действием света восстанавливается
серебро и обнаруживаются после проявления темные полосы.
. Можно было думать, и это возражение было сделано Винеру,
что клиновидный слой воздуха между поверхностями зеркала и
пластинки вызывает образование полос равной толщины,
вследствие отражения от границ этого слоя. Это явление должно было
бы привести к образованию интерференционных полос с точно
такими же промежутками, но оно в корне отлично от стоячих волн.
Последние образуются независимо от присутствия
фотографической пластинки, которая их только обнаруживает, в то время
как полосы равной толщины в тонких пластинках образуются
вследствие отражения как от зеркала, так и от пластинки Г.
Винер указал также, что вследствие различной отражательной
способности металлического зеркала и фотографической пластинки
полосы равной толщины должны] быть крайне бледны. Затем он
произвел и прямой опыт, заполнив воздушный слой ксилолом,
вследствие чего отражение от поверхности пластинки стало
равным нулю. Однако светлые и темные полосы от этого нисколько
не изменились. Это доказывает, что в опыте Винера мы имеем
дело только со стоячими волнами.
Впоследствии Дрѵде и Нернст показали, что у поверхности
металла образуется действительно узел световых колебаний. Для
этого часть стеклянной пдастинки серебрилась и затем вся ее
поверхйость докрывалась очень тонким слоем флюоресцирующей
краски, которая ярко светилась под действием света. Часть
поверхности, находящаяся над серебряным зеркалом и сильно отражаю-
щая свет, оказалась гораздо темнее, чем соседние, участки стекла
через которые свет мог проходить почти без всякого отражения.
Этот опыт показывает, что те световые колебания, которые
возбуждают флюоресценцию, сильно ослабляются там, где отраженные
волны имеют ту же амплитуду, что и падающие, и не ослабля-
ются, когда амплитуда отраженных волн мала. Такое явление
вполне понятно с точки зрения интерференции, если при
отражении от металла фаза колебания изменяется на противоположную.
У самой поверхности металла в таком случае образуется узел
колебаний. '
Стоячие световые волны применялись Липчманом (в 1891 г.)
для получения цветных фотографий, но в виду сложности
фотографического процесса этот способ не получил распространения.

χ; IS Стоячие световые волны 335
Для этой цели освещение фотографической пластинки производится
со стороны стекла, а слой светочувствительной эмульсии своей
свободной поверхностью соприкасается с поверхностью ртути, от
которой лучи, прошедшие через слой, отражаются. Вследствие этого
внутри слоя образуются стоячие волны, которые разлагают
бромистое серебро главным образом в пучностях волн. В результате
при проявлении серебро выделяется слоями на расстояниях,
равных половине длины волны. При рассматривании таких пластинок
в отраженном свете они отражают преимущественно те лучи,
которыми они были освещены.

ГЛАВА VI.
ДИФФРАКЦИЯ СВЕТА.
§ 1. Диффракционные явления.
Первое описание явлений диффракции встречается в книге
итальянца Гримальди, вышедшей в 1665 г. Опыты, описанные
здесь, неоднократно повторялись потом другими авторами и
заключаются в следующем. Через небольшое отверстие солнечные лучи
пропускаются в темную комнату и дают на стене светлое пятно,
являющееся изображением солнца. Если на пути лучей поместить
непрозрачный предмет, то на стене получается тень. Однако
вместо резких очертаний тени края ее оказываются окаймленными
цветными полосами. Если размеры предмета малы, например если
тень получается от тонкой проволоки, то в середине тени
наблюдаются освещенные полосы. Все эти явления показывают, что свет
может распространяться и непрямолинейно у края непрозрачных
предметов. Отклонение лучей от прямолинейности получило
название диффракции света.
Ньютон, изучая эти явления, нашел, между прочим, что
расстояние между полосами зависит от цвета лучей. Чем менее
преломляемы лучи, тем больше расстояние между соседними световыми
полосами. [При наложении систем полос различного цвета
получаются цветные полосы, как и в случае колец Ньютона. Ньютон
пытался объяснить их появление преломлением лучей у края
непрозрачных тел, где эфирная среда, через которую проходят
частицы, должна быть, по мнению Ньютона, менее плотной.
С точки зрения волновой теории явления диффракции пытался
объяснить Юнг. Он предполагал, что полосы у края тени
получаются вследствие интерференции лучей прямых и отраженных
от края экрана. Однако опыты различных экспериментаторов
(в том числе Френеля) показали, что общий характер явления не
зависит от вещества экрана и его краев. Как полированное лезвие
ножа5 так и край, закопченный с поверхности и поглощающий
падающие на него лучи, дают совершенно одинаковые
диффракционные полосы.

§ 1 Диффракционные явления 837
Френель, развивая точку зрения Юнга, дал вполне правильное
с точки зрения волновой теории объяснение диффракции, применив
взгляды Гюйгенса на распространение света. Как мы видели
в главе I, принцип Гюйгенса состоит в том, что каждая точка
световой волны может быть рассматриваема как центр вторичных
волн. Исходя из этого принципа и рассматривая наложение и
интерференцию вторичных волн, Френель дал исчерпывающее
объяснение большинства известных тогда оптических явлений
В своих наблюдениях (1816 г.) Френель применял в качестве
источник света уменьшенное изображение солнца, получавшееся в
главном фокусе линзы с очень малым фокусным расстоянием. От
этой „точки" расходился широкий пучок лучей, на пути которых
помещались различные предметы малых размеров, а также экраны
с различными отверстиями. Впоследствии явления диффракции
при точечном источнике света при не очень больших расстояниях
от экрана до стены получили название диффракционных явлений.
Френеля. При замене солнца искусственными источниками
светящейся точкой может служить их уменьшенное изображение,
получающееся при отражении от поверхности металлического шарика.
Значительный шаг вперед сделан был Фраунгофером (1822 г.),
который ввел наблюдение диффракции не в расходящихся, а в
параллельных лучах. Для этого он получал диффракционные полосы
в главной фокальной плоскости объектива трубы, а экраны с
отверстиями ставил перед объективом. Источником света служила узкая
щель в ставне, от которой до объектива доходили почти
параллельные лучи. Диффракция наблюдалась от одной щели или от
решетки, состоявшей из многих параллельных щелей.
Диффракционные спектры, полученные Фраунгофером, впоследствии
приобрели чрезвычайно важное значение для исследования состава
света.
Диффракционные решетки, которыми пользовался Фраунгофер,
состояли вначале из параллельно натянутых проволок, а затем из
штрихов, нанесенных алмазом на стекле. Такие прозрачные
решетки были заменены впоследствии отражательными решетками,
которые состоят из параллельных штрихов на поверхности
металлического зеркала. При помощи диффракционной решетки
Ангстрем (1868 г.) определил длину волны многих линий солнечного
спектра, и его именем называется теперь та единица (1 А = 10 см)г
в которых обычно выражают длины волн.
Теоретическое объяснение явлений диффракции являлось
чрезвычайно важным доказательством волновой природы света. Впо-
22 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

338
Диффракция света
Гл. VI
следствии всякий новый род лучей, например лучи Рентгена, испы-
тывались на диффракцию. Отсутствие диффракционных явлений
вызывало обычно сомнение в волновой природе их. Диффракция
материальных лучей, например потока электронов (катодные лучи)
или газовых частиц, открытая в последние годы, послужила
основанием для создания волновой теории материи.
Диффракция наблюдается всякий раз, если размеры отверстий
или непрозрачных экранов имеют величину, сравнимую с длиной
световой волны. В оптических приборах можно пренебрегать
явлениями диффракции, если размеры источника света достаточно
велики по сравнению с длиной волны. Но изображения очень
малых предметов, рассматриваемых в микроскоп, сильно осложняются
явлениями диффракции. При большом увеличении ни форма, ни
величина очень малых объектов не передается микроскопом. Мы можем
видеть только диффракционную картину, в грубых чертах
соответствующую объекту. Границы допустимых оптических увеличений
определяются длинами волн, применяемых для получения изображений.
При распространении акустических волн явление диффракции
наблюдать нетрудно. Мы знаем, что звук легко проникает в
область тени, создаваемой непрозрачными для него телами. В случае
света однако наблюдения диффракции требуют особых условий, и
она заметна лишь вблизи краев тени. Еще труднее наблюдение в
случае рентгеновых и электронных лучей, у которых длина волны в
тысячи раз меньше, чем у световых. Однако и здесь удалось
получить диффракционные спектры, пользуясь особыми решетками.
"" § 2. Принцип Френеля-Гюйгенса,
Нам приходилось ранее (гл. 1, § 21) говорить о том
замечательном способе построения волн, который был придуман Гюйгенсом
для объяснения явлений распространения, отражения и
преломления волн. Исходя из заданной формы волновой поверхности, по
правилу Гюйгенса можно найти новую волновую поверхность,
строя вторичные элементарные волны, а затем их общую
огибающую, касательную ко всем вторичным волнам. Примеры такого
построения приводились ранее. Это построение дает верные
результаты и чрезвычайно удобно для решения многих задач. Однако
есть ряд вопросов, которые возникают при применении правила
Гюйгенса, но на которые это правило не дает ответа.
Для построения волны используются только те небольшие
участки вторичных волн, в которых происходит ее касание с ними.

я 2 Принцип Френеля-Гюйгенса 339
Но нас может интересовать, что происходит во всех тех точках,
где пересекаются различные вторичные волны. Мы должны уметь
дать объяснение того факта, что другие элементарные волны,
проходящие через данную точку, не вызывают никаких
добавочных действий. На все эти вопросы дал исчерпывающие
ответы Френель, объединивший в разработанной им волновой
теории света правило Гюйгенса с принципом интерференции.
Рассматривая подобно Гюйгенсу точки д
данной волновой поверхности как цент- У^ІѴ
ры вторичных волн, Френель однако /у \ѵч
не ограничивается построением поверх- ^^-Д-^Д-Л^ч
ности, огибающей все вторичные волны, srfrZ^7~~ ~^\^V
а производит сложение этих волн в _ Ι/Ύ ( /-"& л^Ѵ^^
любой точке, вычисляя для нее ампли- °*χ^\^^~~^~-^^^^^/ΐΐ
туду и фазу колебания. ^^^; -^^^
Способ Гюйгенса-Френеля
применим и в случае ограниченных участков Рис. 183.
волновой поверхности для таких точек
пространства, где уже нельзя построить настоящую волновую
поверхность. Применим однако сначала способ Френеля к
неограниченной плоской волне, где он дает тот же результат, что и способ
Гюйгенса.
Рассмотрим (рис. 183) плоскую волну, простирающуюся
неограниченно во все стороны и распространяющуюся снизу вверх по
направлению к точке А, в которой амплитуда колебаний создается
всеми приходящими вторичными волнами. Опустим из точки А
перпендикуляр на поверхность волны, пересекающий ее в точке О.
Эту точку называют полюсом волны по отношению к точке А.
Поверхность волны—это геометрическое место точек, обладающих
в определенный момент времени одинаковой фазой. Так как
расстояние от различных точек поверхности до точки А различно,
то в точку А вторичные волны придут с разными фазами. Чтобы
учесть фазы вторичных волн в точке А, произведем следующее
построение. Прежде всего на поверхности волны найдем такую
точку Оѵ чтобы разность расстояний ОхЛ и О А равнялась бы одной по-
' луволне света. (Производя такое построение, мы, очевидно, должны
иметь в виду монохроматический свет определенной длины волны λ,
а в сложном свете рассматривать каждую длину волны отдельно.)
Точки, удовлетворяющие этому условию, как равноотстоящие
от А, будут и равноотстоящими от О, т. е. будут лежать на
окружности круга с радиусом ООх и центром в О. Далее
22*

340 Диффракция света Гл. VI
построим другой круг с тем же центром О и с таким ра-
'диусом ОО^ чтобы расстояние 02А отличалось от ОА на 2 ~.
• Третий круг с радиусом 003 должен удовлетворять условию ОѣА—
—ОА = 3 -~- и т. д. Этими кругами поверхность волны разобьется
на кольцеобразные участки, называемые зонами Френеля.
Все вторичные волны, исходящие из точек одного круга,
приходят в точку А одновременно и, следовательно, с одинаковой
фазой. Вторичные· волны от двух соседних кругов, отстающие на
расстояние -у, запаздывают по фазе на π. Для каждой точки,
лежащей в одной зоне, можно найти точку соседней зоны, из
которой придут волны в точку А с противоположными фазами. Чтобы
учесть результат сложений всех волн, нужно знать амплитуду
колебаний в точке А вторичных волн с каждой зоны, которую можно
положить пропорциональной поверхности зоны.
Поверхности различных зон имеют приблизительно одинаковую
величину, равную величине центральной зоны, если расстояние ОА
очень велико по сравнению с длиной волны. Радиус центральной
зоны, который обозначим р0, мы найдем из условия:
\_
~2'
г1~г0 = -
Радиус п-й зоны р„ находится подобным же образом из условия:
___ ___λ_
г» гп—х о
или
_ λ
rn~ro — п ~2>
где гп обозначает расстояние точки А до Оп. Способ
вычисления радиусов зон очень прост.
Из рис. 183 видно, что
Гі8 = г0» + Ро8.
и, следовательно,
Таким образом
(Гі — го) (>ϊ+·>Ό) = Ρο2·
Po^y^-U). (1)

§ 2 Принцип Френеля-Гюйгенса 841
Так как г1 отличается от г0 на очень малую величину -^-, то мы
можем приближенно положить гг-\-г0~ 2г0, делая при этом ошибку,
λ
относительная величина которой равна -г—, т. е. по условию
чень мала. Поэтому с достаточной точностью находим из (1),
что
Po = W0, ' (1').
к, следовательно, поверхность центральной зоны равна
ттр02 = жХг0. (2)
Точно таким же образом мы найдем, что поверхность гс-ой
зоны, равная πρη2— πρ^, в силу условия
_ — А
'» гп—х 2
достаточно точно может быть представлена выражением:
πλν-ι· (2')
Так как расстояния г соседних зон от точки А отличаются
между собой на очень малую величину -ψ, то также мало
отличаются и их поверхности. Но все же, как показывает формула (2')
поверхность зон медленно возрастает по мере возрастания их
радиуса. Это возрастание компенсируется удалением их от точки А,
а также тем, что телесный угол, под которым видны равные
участки поверхности, уменьшается по мере удаления их от
полюса О. Указанные здесь причины могут привести к медленному
уменьшению амплитуды колебаний, создаваемых в точке А
отдельными зонами 1, по мере увеличения их радиуса.
Френель сделал допущение, которое можно вывести вполне
строго теоретическим путем. Он предположил, что амплитуда
вторичных волн, испускаемых некоторым участком поверхности волны,
1 Колебания, создаваемые отдельными зонами в точке А, в свою очередь
получаются от сложения многих элементарных вторичных "волн. Вторичные волны,
испускаемые различными точками данной зоны, приходят в точку А с различными
фазами. Разность хода крайних лучей, согласно данному нами определению
границ зоны, равна половине длины волны, и вследствие этого их фазы в точке А
противоположны. Промежуточные лучи имеют промежуточные фазы.
Интерференция вторичных волн дает колебание с средней фазой и несколько уменьшенной
амплитудой. Для всех зон ато уменьшение одинаково.

342 Диффракция света Гл. VI
тем меньше, чем больше угол, составляемый вторичными лучами
с направлением нормали к поверхности.
Следовательно волны, приходящие из отдаленных зон, будут
давать меньшую амплитуду в точке А, чем волны близких зон.
Все эти соображения, не устанавливая определенного закона
убывания, все же заставляют предполагать, что амплитуда в точке А
может быть представлена как сумма постепенно убывающих
слагаемых:
S=a0 — Яі + аа — аз+-···> (3)
где с0 — амплитуда колебания, создаваемого одной центральной
зоной, аг — амплитуда, создаваемая второй зоной, а5 — третьей
и т. д. Эги колебания имеют противоположные фазы, так как
разность расстояний от соответственных точек соседних зон равна
половине длины волны. Поэтому ряд (3) знакопеременный.
Представим себе сумму η членов ряда (3) в таком виде:
s-=f+(f-«'+f) + (f-"+f )+·■·+
+(¥-^+т)+£
если η — четное число.
Если можно считать, что каждый член суммы (3) по величине
близок к среднему арифметическому из соседних членов, то все
выражения в скобках будут малыми величинами, которыми можно
пренебречь, и мы получим приближенно:
•S» = ~2~ τ ~2> (4)
если η — число четное, и
Sn
2
(40
если η — число нечетное. Как только п, т. е. число
рассматриваемых зон, сделается настолько большим, что действием последней
зоны можно будет пренебречь, мы получим для амплитуды
в точке А просто
т. е. колебания, вызываемые большим числом зон или
большим участком волновой поверхности, имеют
такую же амплитуду, как колебания, создаваемые
половиной центральной зоны. В этом случае мы в праве

§ 2 Принцип Френеля-Гюйгенса 343
говорить о прямолинейном распространении света, так как луч
света, проходящий через точку А, соединяет последнюю со
средней точкой центральной зоны. Эта зона является тем
эффективным участком волновой поверхности, от которого колебания
доходят до всех точек, лежащих- на пер-
пендикуляре ОА к волновой поверх- Ц>"з"г Дг 0 ц ОЛЩ
И_ УД \ jjitiMttrrmamd / //
з всех возможных прямых UA, ѴЧ\ \ II//
ΟχΑ, 02А и т. д., соединяющих раз- ѵ\\ if//
личные точки волновой поверхности \\\ if//
с точкой А, прямую ОА можно рас- >кЛ If//
сматривать как луч, идущий от источ- Ч^ 11/
ника света к точке А. V
Однако, если закрыть центральную "
зону (рис. 184, свет идет сверху вниз Рис. 184.
к точке А), то освещение в точке А
не прекратится. Роль центральной зоны будет играть половина
той зоны, которая прилегает к закрытому участку. В этом случае
амплитѵду в точке А можно будет вычислять по формуле
s»'=f.+ (f-,+f)+"
Эта формула применима и в том случае, когда закрыто
несколько зон или вообще некоторый небольшой участок волновой
поверхности. Освещение в точке Л определяется каждый раз половиной
первой зоны, прилегающей к непрозрачному экрану. Как мы видели,
амплитуда колебаний, создаваемых отдельными зонами, уменьшается
при возрастании радиуса зоны, но уменьшается медленно, и поэтому
при очень малых размерах непрозрачного экрана освещение в центре
его геометрической тени почти такое же, как и в отсутствии
экрана. Этот парадоксальный результат, противоречащий
представлению о прямолинейном распространении света, был указан
Пуассоном как следствие волновой теории света и подтвержден на
опыте Араго.
Если на пути лучей, идущих от светящейся точки, поставить
непрозрачный экран, то на тени, которую он отбрасывает, в самом
центре ее можно наблюдать светлое пятно. Если же туда поместить
глаз, то непрозрачный экран представляется окруженным
светящимся ореолом. Это свечение и есть результат действия первой
незакрытой полузоны
•jf. Теория Френеля делает понятным и явление диффракции,
о котором упомянуто было выше, и которое обнаруживается при

344 Диффракция света Гл. VI
выделении узкого, ограниченного пучка лучей. Мы видели, что
влияние отдельных зон тем слабее, чем дальше они от
центральной. Поэтому для получения отчетливых явлений диффракции
необходимо брать диафрагму с очень малым отверстием,
пропускающим небольшое число зон Френеля. Освещение, создаваемое таким
пучком в центре картины, будет зависеть согласно ф-ле (4)
или (4') от последней зоны, т. е. от величины и знака а,„ и может
быть меньше, больше или равно тому освещению, которое
получается при диафрагме с широким отверстием.
Все эти факты показывают, что понятие об определенном
направлении и интенсивности световых лучей тесно связано с
размерами волновой поверхности. Только при значительных
поперечных размерах пучка лучей имеет смысл говорить о
прямолинейных лучах. Чем уже пучок, тем менее определенны границы его,
и при достаточно узких пучках наблюдается рассеяние света по
всем направлениям.
§ 3. Принцип Ферма.
Среди различных прямых, соединяющих точки волновой
поверхности с точкой А (рис. 183), луч ОА отличается тем, что по
этому пути колебания доходят до точки А в кратчайшее время.
Тем же условием кратчайшего времени прохождения света
определяются и направления лучей при
отражении и преломлении.
Пусть плоская волна SS падает
наклонно на плоскую отражающую
поверхность РР (рис. 185). В этом
случае, как мы уже видели, можно
η считать, что свет достигает точек Аѵ
Аг, Α%..., распространяясь вдоль
лучей ОхАг, 02Л2, 03АѢ... Каждая из
точек отражающей поверхности
является центром вторичных волн,
Рис. 185. которые собираются в точке В. Фазы
колебаний их определяются длиной
лучей О^В, 02Α<β, OsA3B..., и среди них один будет иметь
наименьшую величину. Этот луч, положим Ο^Αβ, мы будем называть
центральным, а точку 04—полюсом волны. Границы зон Френеля
на поверхности S можно, как и ранее, найти из условия, чтобы
длина .лучей от границ соседних зон отличалась на полволны.
Как и в случае свободного распространения волн колебания

§3
Принцип Ферма
345
в точке В при неограниченных размерах волны определяются
половиной центральной зоны, окружающей точку Ot, и мы вправе
говорить о распространении света вдоль луча O^AJB, который
оказывается кратчайшим путем для колебаний, отражаемых
поверхностью зеркала.
Построим зеркальное изображение В' точки В. х Из
элементарных геометрических свойств этого построения видно, что
0АВ' = ОАВ для всех точек О и Л, и, следовательно,
направление центрального луча 04·<44 удовлетворяет также условию, чтобы
линия Ο^Αβ' была наикратчайшим путем между точками 0± и В'·
Это означает, что точки Ол и В' лежат на прямой, нормальной
к поверхности волны SS, откуда и получаем обычный закон
отражения луча, т. е. равенство углов падения и отражения и
совпадение плоскостей падения и отражения
луча.
Таким образом луч, испытывающий
правильное отражение, т. е. луч OJiJi, Оз^
отличается от всех других, например от β·
луча Ο^ΑχΒ, в том, что он доходит до
точки В в кратчайшее время. В данном ρ
случае геометрическая длина луча 0±Αβ
является наименьшей. Но, если скорость
на разных участках траектории луча
неодинакова, то понятия кратчайшего пути
и кратчайшего времени не совпадают.
Представим себе две среды, в
которых скорость распространения фазы
волны различна и которые разделены плоскостью РР (рис. 186).
Если скорость в первой среде иѵ а во второй щ, то время
распространения колебаний вдоль лучей ОхА\В, 0%Α<β... равно
соответственно
Рис 186.
іі-
ОгАг , АХВ
к = -
0,Д , AS
Щ
Рассмотрим два бесконечно близких луча ОАВ и ОхАхВ,
причем угол падения их равен а, а угол преломления — β. Время
распространения их в первой среде различно и отличается на
OiAjj—OA _ ААХ sin «
Щ
1 Зеркальным изображением точки В является точка, лежащая на
перпендикуляре к отражающей поверхности на расстоянии А\В' = Аф. В виду этого дл^
всякой другой точки А на плоскости РР имеет место равенство
АВ = АВ'. ■

346
Диффракция света
Гл. VI
а во второй среде на
ААі sin β t
"2
Таким образом, переходя от луча ОАВ к соседнему, мы имеем
следующее изменение времени распространения:
АА1 . ААі . д
tx —1% — sin α sin β. (5)
Условие минимума для времени t может быть выражено так:
при изменении пути (бесконечно малом) изменение времени t
должно равняться нулю. Приравнивая выражение (5) нулю, находим
известный закон преломления: (
sin a Hi
sin
(6)
В этом случае, хотя геометрическая длина ломаной линии ОАВ
больше, чем длина прямой 02А2В, проходящей через точку Л2 и
перпендикулярной к плоскости волны S, но время распространения
вдоль ОАВ короче, так как путь АВ в среде с меньшей скоростью
в последнем случае меньше.
Правило, по которому мы находили в этих простейших случаях
направление лучей, называется принципом Ферма или
принципом кратчайшего времени. Как мы видели, оно не совпадает
с правилом кратчайшего пути, если длину пути определять
геометрически. Но можно ввести понятие оптической длины
пути, пропорциональной времени, и тогда принцип Ферма можно
назвать принципом кратчайшей оптической длины
луча. Для этого умножим геометрическую длину на показатель
преломления п, т. е. на отношение скорости света в пустоте с
к скорости в данной среде и. Оптическая длина L разна
L = ln = l — = ct,
и
где t — время распространения света на расстояние/ в данной
среде; таким образом L пропорционально времени t
Принцип Ферма может быть применен в случае какого угодно
числа отражающих и преломляющих поверхностей, а также при
распространении света в неоднородной среде с меняющимся
вдоль луча показателем преломления.
1 Это справедливо, строго говоря, лишь в том случае, если точка В
находится настолько далеко от РР, что лучи АВ и ΑχΒ можно рассматривать ка*
параллельные,

§ 4 Диффракция Френеля 347
"■ ■ § 4. Диффракция Френеля.
Явления диффракции Френеля наблюдаются около краев тени,
отбрасываемой непрозрачным телом или экраном с отверстиями,
когда они освещаются лучами, исходящими от точечного источника
света. Различные случаи, например диффракция, создаваемая круглым
отверстием или небольшим непрозрачным диском, узкой и длинной
щелью или узким непрозрачным цилиндром (проволокой), или
диффракция у края бесконечно большого экрана, были разобраны
Френелем с точки зрения волновой теории.
Вычиеления распределения света в этих случаях имеют
следующий ход. Представим себе какую-нибудь поверхность,
проходящую через края отверстия. На различные элементы ее падают
лучи, исходящие из светящейся точки, причем фаза колебаний
в различных элементах зависит от расстояния их от светящейся
точки. Каждый элемент поверхности является в свою очередь
источником вторичных лучей; проведя луч от этого элемента в ту
точку, где мы желаем вычислить освещение, находим фазу
колебаний, создаваемую соответственным элементом. Наконец мы
складываем колебания от разных элементов, принимая во внимание
разность фаз и амплитуд, и таким образом находим величину
колебания в данной точке.
С точки ярения механизма диффракции указанный ход
вычисления представляется весьма естественным и простым.
Однако с математической стороны такое вычисление
оказывается очень сложным. Мы не станем останавливаться здесь
на изложении тех математических методов, которые позволили
Френелю в указанных выше простых случаях решить эту задачу
до конца. Заметим, что математические формулы значительно
упрощаются, если предполагать, что лучи света идут от бесконечно
далекого источника, т. е. параллельным пучком, а вторичные лучи
собираются тоже в бесконечно удаленных точках. Подобные случаи
были изучены Фраунгофером и называются диффракцией Фраун-
гофера, которой и посвящены следующие параграфы.
Явления диффракции Френеля в основном сводятся к образо*
ванию максимумов и минимумов света у края тени, так что
очертания края становятся размытыми.
Переход от света к тени благодаря диффракции представляется
не как резкая граница, а как чередование более светлых и более
темных полос. Разница освещения их уменьшается по мере пере-

348
Диффр акция света
Гл. VI
хода в область тени или же в область, освещенную прямыми лучами.
Ширина полос или расстояние между светлыми и темными областями
зависит от расстояния между точкой и отверстием, а также от
размеров отверстия. Чем меньше последнее, тем шире полосы и
тем более размыты края тени, для больших же отверстий полосы
диффракции на границе света и тени столь узки и сжаты, что их
нельзя наблюдать невооруженным глазом.
Ширина полос кроме того зависит от длины волн света и
пропорциональна ей. В виду этого, если освещение отверстия
производится белым светом, то различные лучи спектра образуют
различные системы полос, которые, складываясь, дадут окрашивание,
зависящее от того, какие волны создают темную полосу в данной
точке.
Чем больше длина волны при данных размерах отверстия или
зкрана, тем сильнее выражены явления диффракции. Если размеры
отверстия сравнимы с длиной волны, то теневое изображение
вообще расплывается. Точно также и тень от мелких
непрозрачных предметов, имеющих размеры порядка длины волны или меньше,
т; е. значительно меньше 0,001 мм, совсем не передает истинных
очертаний или размеров предметов.
'§5. Диффракдия Фраунгофера.
В отличие от диффракции Френеля, в которой мы имеем
дело с волнами, выходящими из точки на конечном расстоянии
от отверстия и собирающимися в различных точках экрана, также
не очень удаленного от отверстия, в случаях диффракции
Фраунгофера как источник света, так и освещаемая поверхность
отодвигаются на бесконечность. Это значит, что волна,
падающая на отверстие, может рассматриваться как плоская, и
лучи, ее образующие,—как параллельный пучок прямых. Если волна
падает нормально на плоскость отверстия, т. е. направление
лучей совпадает с направлением нормали к плоскости, то колебания
во всех точках отверстия имеют одинаковую фазу. Если же волна
падает наклонно, и лучи составляют с нормалью угол, отличный
от нуля, то фазы колебаний в плоскости отверстия для разных
точек различны.
В дальнейшем мы будем рассматривать лучи, выходящие из
одной точки освещенной щели и дающие после объектива пучок,
параллельный определенному направлению. Такой пучок, попадая:
затем в объектив зрительной трубы, собирается в главной фокаль-

§5
Диффракция Фраднгофера
S49
Рис. 187.
ной плоскости последней (рис. 187) и притом в точке, расстояние
которой от главного фокуса F равно
FF' = OFtgv,
где OF—главное фокусное расстояние зрительной трубы, а φ —
угол, составляемый параллельным пучком с ее оптической осью.
Таким образом в главной фокальной
плоскости трубы получается
изображение точек щели коллиматора.
В фокальной плоскости трубы
пересекаются те лучи, которые должны
были бы дать пересечение в точках
бесконечно удаленной плоскости, как
параллельные. Следовательно,
распределение освещения в этой плоскости
соответствует освещению бесконечно
удаленного экрана.
При этом, если колебания в точках
плоскости, перпендикулярной к
направлению параллельного пучка, имеют
одну и ту же фазу, то и в точке фокальной плоскости они
складываются; если же фазы в различных точках неодинаковы, то и
в фокальной плоскости происходит интерференция лучей.
Для наблюдения диффракции Фраунгофера необходимо иметь:
1) коллиматор, как источник параллельных лучей, 2) отверстие,
ограничивающее пучок и производящее
поэтому диффракцию лучей, и 3) зрительную
трубу, установленную на
бесконечность, в которой можно наблюдать
изображение щели коллиматора.
На рис. 188 представлено отверстие
(щель), производящее диффракцию, и пучок
лучей, которые собираются объективом
трубы в точке В.
Допустим, что волна падает на
отверстие нормально, так что во
всех его точках фаза колебаний
одна и та же. Рассмотрим параллельный пучок лучей, выходящий
из щели под углом ψ и собираемый зрительной трубой в точке В',
Между лучами, исходящими от краев щели А и А'', при приходе
в точку В' будет существовать разность фаз, определяемая раз-

350
Диффракция света
Гл. VI
ностью их хода. Последнюю мы получим, опустив перпендикуляр
АА: разность хода равна А'А, а разность фаз -γ- Α'Α. С другой
стороны АА — a sin φ, где а — ширина щели А'А. Следовательно
разность фаз в точках А и А равна -у- a sin φ. Положим, что эта
разность фаз равна 2π; тогда все сечение пучка можно разделить
на дв^ равных пучка с противоположными фазами, и в точке В'
при их сложении должно наступить полное уничтожение колебаний.
Этот первый диффракционный минимум получается для угла
диффракции φ, определяемого условием
2πα . λ
—-— sin φ = 2π или sm φ = — . (7)
λ α
Угол φ определяет расстояние точки В' от главного фокуса В.
Если это расстояние обозначим через у, то, как мы видели,
3 = ftg<?, (8)
где /—главное фокусное расстояние зрительной трубы.
Из уравнения (7) видно, что φ представляет собой очень малый
угол, если, как это обычно бывает, ширина щели значительно
больше длины волны. А для малых углов мы можем заменить
тангенс синусом и получим приближенное равенство
г=/8іп?=/Ѵ ' (8')
Для вычисления амплитуды в любой точке В мы, разбив отверстие
щели на ряд элементарных полос шириной dx, найдем результат
сложения колебаний в точке В. Если элементарная волна,
приходящая из центра щели, дает колебания, пропорциональные dx cos ω/,
то элементарное колебание, приходящее из таких же полос dx на
расстоянии * от центра щели, дает пропорционально
dx cos («>г — kx sin φ),
где k = -^ волновой множитель. Таким образом сложение
колебаний в точке В дает результат, выражаемый интегралом
Τ л · / «α · \
г, 2 sin Ι -ψ sm φ Ι
/ cos Ш — kx sin w) dx = cos ω/ · r—. . (9)
Ы β. «1Π CD Ч '
k sin φ

§5
Диффракция Фрауніофера
851
Если мы положим
ka . πα .
-j- sin φ == -τ- sin φ = α,
то правая часть выражения (9) представится в следующем виде
sin α
a cos <at ■
(Ψ)
В главном фокусе В, где собираются лучи не отклоненные, мы
имеем максимум освещения. В этой точке а = 0, и так как
sin α
пред-
= 1,
то амплитуда колебания равна а.
Множитель
sin α
имеет максимум, равный единице при в. —О
(нулевой максимум), и ряд максимумов и минимумов, как
показывает рис 189.
При значениях α кратных π этот множитель обращается в нуль,
а вместе с ним уничтожается и амплитуда колебаний. Что касается
максимальных значений амплитуд, . .
то они убывают при возрастании ΊΓ'
порядка максимума, а именно бли- * '
жайший максимум или максимум, №'
2 0JS-
1-го порядка составляет всего тг
Οί-
Ο
В фокальной плоскости
объектива рядом с центральным
изображением щели мы будем
наблюдать ряд светлых полос, яркость
которых, пропорциональная квадрату амплитуды, убывает
пропорционально
4 4
нулевого, следующий ^— и т. д.
48
Рис. 189.
1:^:
9*2 ' 25*3"
,. = 1:0,045:0,016:
Эти полосы отделены темными промежутками и находятся на
равных расстояниях» соответствующих изменению угла α на π, и,
λ
следовательно, изменению sin φ на —, так как согласно
определению α
sin <? = — α.
■ка

352 Диффракция света Гл. Ѵі
Расстояние между диффракционными максимумами, таким
образом, зависит от длины волны, и поэтому только в однородных лучах
можно наблюдать распределение амплитуды колебаний,
изображенное на рис. 189, или распределение силы
света, представленное на рис. 190.
Если освещение щели производится
одновременно волнами различной длины, то только
центральные максимумы совпадают для всех
длин волн. Следующие светлые полосы
расходятся тем больше, чем выше порядок
соответствующего им максимума.
Распределение максимумов света,
создаваемых различными длинами волн, будем назы-
ис' ' вать дифф ракционным спектром. Изме-
(аение угла диффракции dy, соответствующее изменению длины
волны ей, можно рассматривать как меру дисперсии лучей
в спектре. Если р-тый максимум соответствует согласно (9')
значению
;('+тЬ''
то соответственный угол диффракции определится из равенства
поэтому дисперсия для диффракционного максимума £-того порядка
равна
жг{>Н)х=ь· ' <10>
Таким образом дисперсия зависит от порядка максимума или,
как мы будем говорить, от порядка спектра, а кроме того
от ширины щели а. Чем уже щель, тем больше дисперсия, а также
и расстояния между спектрами различных порядков, так как при
переходе от спектра одного порядка к спектру следующего, более
λ
высокого, угол α изменяется на тс a sin φ на —.
а
1 Точные значения угла а, соответствующие максимумам, находятся из
уравнения
tsr α — α = 0.

§ 6 Диффракционные решетки 353
Диффракционный спектр от одной щели состоит, как мы видим,
из ряда широких полос, которые в сложном свете налагаются друг
на друга, причем минимумы перекрываются отчасти максимумами
другой длины волны. Вследствие этого в белом свете мы будем
наблюдать чередование цветных полос, а совершенно темных полос
либо совсем не будет, либо они будут очень размытыми и узкими.
§ 6. Диффракционные решетки.
Диффракционные спектры, создаваемые диффракцией одной
щели, представляют даже в случае однородного света ряд широких
светлых полос, отделенных узкими темными промежутками. Однако
можно получить спектр с узкими максимумами, если воспользоваться
рядом одинаковых щелей, расположенных на равных расстояниях Ь,
т. е. диффракционной решеткой.
Такие диффракционные решетки были впервые применены
Фраунгофером для определения длины волны главных линий
солнечного спектра. Они представляли собой или ряд параллельных
проволок, натянутых между двумя параллельными винтами с очень
малым шагом, или ряд линий, нанесенных на стеклянной пластинке
алмазом. Позднее такие пластинки, изготовленные Нобертом (в
середине прошлого столетия), сделались основным прибором при
изучении спектров. Промежутки между непрозрачными царапинами,
нанесенными алмазом, образуют те отверстия или щели, через
которые свободно проходят лучи света. Расстояние между линиями
решетки, равное а -j- Ь, сумме ширины щелей а и расстояния между
ними Ь, называется постоянной решетки. Постоянная
решетки может измеряться, конечно, и числом N\ линий на
единицу длины решетки (в одномсантиметре, дюйме и т. п.):
Рассмотрим результат сложения ряда параллельных пучков
вторичных лучей, соответствующих углу диффракции φ.
Как и в случае одной щели, нужно иметь в виду, что колебания
от всех точек плоскости А0А, перпендикулярной к направлению
лучей, одновременно соберутся в некоторой точке в фокальной
плоскости объектива. Результат их сложения зависит от разности
фаз колебаний в различных точках плоскости А0А.
Разберем, как в предыдущем параграфе, случай нормального
паденяя волны на плоскость решетки (рис. 191); к случаю же на-
23 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

354 Диффракция света Гл. VI
клонного падения волны мы вернемся ниже. Во всех точках
плоскости АйА' фаза колебания одна и та же; в точках плоскости А0А
она изменяется в пределах одного пучка (см. § 5, стр. 350) на
величину kasin φ, а в соседних пучках
различается на величину
k (a -f- b) sin ср. (И)
Положим, что амплитуда колебания,
создаваемого в фокусе трубы одним
пучком, идущим под углом о, равна А0,
Если мы выберем угол φ = φ0 так, чтобы
разность хода между соседними пучка-
Рис. 191. ми (a-\-b) sin<?0 равнялась целому числу
длин волн, то они будут складываться
с одинаковыми фазами и создадут амплитуду A0 = NA и,
следовательно, силу света, пропорциональную Ν2 А \ Действительно,
во всех пучках мы можем рассматривать соответственные лучи,
например лучи, проходящие у правого края щели, посередине
щели, у левого ее края и т. д. Между всеми соответственными
лучами существует при данном угле <р0 разность фаз, равная
целому числу длин волн. В фокусе трубы все соответственные лучи
сложатся с одинаковыми амплитудами и увеличат свою амплитуду
в ./V раз. Если теперь сложить лучи, проходящие через
различные участки щелей, то они дадут тот же результат, что и каждая
щель в отдельности {А ). но только увеличенный в N раз,
т. е. ΝΑψ,
Если условие (а ~\- Ь) sin φ = pi не удовлетворено, например
разность хода двух соседних лучей на 0,01 λ отличается от целого
числа длин волн, то через пятьдесят пучков разность достигнет
50 · 0,01 = -_- , и следовательно 50-й, 150-й, 250-й и т. д. пучки будут
приходить в фокус, отвечающий углу φ, с фазами,
противоположными первому, а 100-й, 200-й, 300-й и т. д.—с одинаковыми. В
результате сложения мы получим либо полное взаимное уничтожение
отдельных пучков, либо взаимное уничтожение большей их части,
и только небольшой остаток даст некоторую амплитуду,
небольшую по сравнению с амплитудой при угле <Ро·
Итак, условие
(а+4) sin φ =/А * (1Г)
определяет те направления, в которых мы можем ожидать появления
ярких пучков света. Мы видим, что чем больше длина волны к

§ 6 Диффракционные решетки 355
тем больше и угол φ, под которым мы наблюдаем ее максимум
в данной диффракционной решетке, в противоположность призме,
где при нормальной дисперсии угол отклонения тем больше, чем
меньше λ.
Связь между λ и φ выражается простым геометрическим
соотношением и не зависит от индивидуальных свойств вещества решетки.
Наконец, из той же формулы (11') мы видим, что диффракционная
решетка дает целый ряд спектров, из которых спектр,
соответствующий р = 0 и, следовательно, φ = 0, называется нулевым,
при ρ = 1 — спектром первого порядка, ρ = 2 — второго порядка
и т. д. Отдельные части спектра могут перекрываться, когда для
двух различных волн λΣ и λ2 мы имеем
(а-{-Ь) sine = jD1 Λι = ρ-2 λ2.
Мы установили положение главных максимумов и характер
спектра диффракционных решеток. Для того чтобы определить
распределение света вне и в особенности вблизи главных
максимумов нулевого, первого, второго и т. д. порядков, нужно
определить амплитуду под любым углом φ, не отвечающим условию (11').
Колебания, создаваемые первым пучком, мы представим
согласно (9') выражением:
sin α
а cos (at.
а
Колебания же, создаваемые следующими пучками, будут иметь
фазы, отличные от <аіг а именно:
((s>t — k(a -f- Ь) sin φ J; \u>t — 2k(a -j- b) sin φ J;...
и следовательно для получения амплитуды от всей решетки мы
должны вычислить сумму
η=Ν—ί
а У cosfotf — nk{a-\- b) sin <?J, (12)
η—о
где N—число щелей решетки.
Фазы колебаний в крайних пучках отличаются на (Ν—1) k (α-χ-b)
sin φ; поэтому фаза колебания, получаемая от сложения всех лучей,
имеет среднюю величину
23*

356
Диффракция света
Гл. VI
Что же касается амплитуды, то она равна амплитуде, создаваемой
отдельными пучками, но умноженной на *
sin ( -у Nk(a -j- b) sin φ I
sin -^- k(a -f b) sin о I
(13)
Этотдиффракционный множитель является отличительной
особенностью решетки, состоящей из N параллельных щелей. При
возрастании угла диффракции он изменяется таким же образом, как и
sin α
рассмотренный выше множитель , и имеет ряд максимумов и
минимумов при возрастании угла φ. По сравнению с множителем
sin α -
он имеет следующую особенность — его знаменатель обра-
1 Доказательство формулы (13):
Сумму косинусов можно рассматривать как действительную часть суммы,
члены которой образуют геометрическую прогрессию, пользуясь тем, что
е~х = cos χ -\-j sin -ν, где у = У — 1.
Поэтому вычисление суммы косинусов сводится к вычислению суммы
nz=N — l
Qsina V βίωί е-jn*(o + Ь) sin φ.
а л™
и = О
Мы имеем здесь геометрическую прогрессию из .Л/ членов, и ее сумма равна
ι _ - jNk(a + Ь) sin φ
sin a jat .
α "V~e 1 — е-3'Л(а + Ь) sin φ '
Эту формулу легко преобразовать, придав ей следующий вид:
т -in?
а ίΐΐ. е — е е } (ωί - (Л--ОД,
а № -β
е — е
если мы для краткости обозначим
2—Sin φ = β.
Действительная часть этого выражения пропорциональна cos (ωί—)ЛГ—1)3),
где (jV—1)β средняя фаза колебаний, складывающихся в рассматриваемой точке,
а амплитуда содержит теперь еще один диффракционный множитель
(Щ-е~т sin Л/β
sin β

§7
Диффракционные спектры
357
щается в нуль не только для угла диффракции φ = 0, но и для
всех углов, которые удовлетворяют условию
- (а -{- b) sin φ = ρπ,
(14)
где ρ — целое число.
Для таких значений угла φ исчезает и числитель (13). Однако
предел, к которому приближается (13), когда оно приобретает
неопределенную форму -^-, равен просто N.
Эти значения будем называть главными максимумами диффракции,
их положение совпадает с условием (11'). Между ними помещаются
вторичные максимумы, отделенные
минимумами, в которых значения
выражения (13) обращаются в нуль.
Расстояния между этими нулевыми
значениями, а также между соседними
вторичными максимумами тем меньше, чем
больше число всех щелей в решетке.
На рис. 192 представлено
распределение максимумов в случае 1, 2 и 6
щелей, причем ординатами служат
квадраты диффракционного множителя,
т. е. интенсивности света в данной
точке. Мы видим, что сила света около
максимумов спадает тем быстрее, чем больше число N линий
диффракционной решетки. При большом числе линий решетки
происходит очень быстрое уменьшение силы света при углах
диффракции, сколько нибудь отличающихся от главных углов,
определяемых уравнением (14). Максимумы представляются в виде
очень острых пиков, в промежутках между которыми располагаются
гораздо более слабые второстепенные максимумы, быстро
убывающие при удалении от главных.
192.
N.
§ 7. Диффракциояные спектры.
Источником света при получении диффракционных спектров
служит узкое отверстие коллиматора, изображение которого
получается в фокальной плоскости зрительной трубы. От каждой точки
отверстия идет пучок лучей, которые делаются параллельными
после объектива коллиматора.

358 Диффракция света Гл. VI
Каждому углу диффракции φ соответствует в фокальной
плоскости объектива определенная точка, находящаяся на расстоянии у
от главного фокуса, причем, как мы видели (8'), приближенно
g=ftg<f.
Поэтому, вместо того чтобы говорить об угле диффракции,
можно говорить о положении диффракционного
изображения источника света (т. е. светящейся точки или линии) в
фокальной плоскости, определяемом его расстоянием у от главного
фокуса. Распределение света в диффракционном спектре,
соответствующее различным углам диффракции, может представляться
квадратом амплитуды
sin" g siirWp
где
τα .
a = -j- sin φ
и
β = ^—^sinc?,
причем
У
sin φ =-у.
Это распределение зависит, как видно, от двух диффракцион-
ных множителей. Первый из них представляет собою распределение
интенсивности при диффракции от одной щели; он определяется
шириной щели а и дает ряд широких максимумов, отделенных
минимумами, в которых величина его обращается в нуль. В виду
этого, независимо от значения второго диффракционного
множителя, сила света равна нулю в тех точках, где
γ sin φ — q, (15)
a q равно целому числу, т. е. там, где каждая щель в отдельности
дает отсутствие света. На это распределение максимумов и
минимумов накладывается то, которое зависит от второго множителя,
представляющего сложение лучей от различных щелей. Этот
множитель зависит от величины β, определяемой постоянной решетки
где Nt — число линий на единицу длины, связанное с числом всех
линий решетки формулой

§ 7 Диффракционные спектры 359
где d — ширина решетки. Постоянная решетки согласно
φ - л е (14) определяет положение главных
максимумов, расстояние между ними, а также изменение
положения максимума при изменении длины волны,
т. е. дисперсию решетки. Различные главные максимумы
представляют собой спектры решетки различных
порядков, причем каждой длине волны соответствует особая линия
спектра. Спектры разных порядков находятся между собою на
расстояниях, которые можно считать равными, если углы диф-
фракции настолько малы, что синусы можно считать
пропорциональными углам; но расстояния между отдельными спектральными
линиями растут вместе с порядком спектра. Поэтому и длина
спектров различных порядков различна, а для
данного порядка тем больше, чем меньше постоянная
решетки а-\-Ь и чем выше порядок спектра р.
Общее число линий решетки или, при заданной величине
постоянной решетки, размеры последней оказывают иное влияние,
а именно определяют ширину спектральных линий. Эту ширину
при вполне определенной длине волны, it е. при полной
монохроматичности световых колебаний, мы .будем определять как
расстояние между главным максимумом и ближайшим
минимумом. Следующие вторичные максимумы значительно слабее
главного (первый вторичный максимум составляет меньше 5%
главного), и их можно не принимать в расчет. Поэтому спадание
силы света около главного максимума р-ого порядка зависит от
расстояния между этим максимумом, определяемым из условия
iV^i^sin?1 = iVp, (16)
и первым минимумом, определяемым условием:
#«І^зіп<ра = /7р + 1, (17)
когда числитель второго диффракционного множителя обращается
в нуль. Так как разность »2 — <?ί очень мала, мы находим иг
формул (16) и (17) приближенное равенство:
N^~- (sin «ра — sm<?1) = N ^γ- cos <?λ ■ (<э2 — ψ1) = 1
или
2 'г N(a -j- b) cos <?!

360 Диффракция света Гл. VI
Таким образом ширина спектральной линии, пропорциональная
«2 — t?!, обратно пропорциональна числу .Л/ линий решетки и ее
ширине:
N(a + b) = d.
Чем больше ширина решетки, тем тоньше д и ф-
фракционные максимумы и тем определеннее
положения спектральных л и н и й, соответствующих данным
длинам волн.
Этим обстоятельством определяется и разрешающая сила
решетки, т. е. способность ее разделять близкие спектральные
линии. Две соседние линии можно разделить только в том случае,
если их максимумы, накладываясь отчасти друг на друга, не
сливаются в один более широкий. Положим, что максимум одной
линии приходится как раз на место минимума другой, и пусть
длины их волн соответственно равны λχ и λ2. Пусть попрежнему
угол диффракции <2χ соответствует максимуму, а угол φ2 —
минимуму волны Xj. Угол φ·2 в то же время определяет положение
максимума волны λ2. Согласно (16) мы будем иметь
а-\-Ь . . α4-6 .
-γ— sin φχ = ρ = —— sin «и. (19)
Пусть угол <?! меньше угла <р2· Тогда согласно условию (18)
?2-?1 = Ai(a + 6)coSCpr " (20)
Кроме того из условия (19) мы найдем
P(h — λι) = (α -Ь ό) (sin % — sin «J. (21)
Пользуясь формулой
sintp8 — sin?)
<Ра —?і
и исключая из равенств (20) и (21)
(?2 —?l) COSCfp
найдем, что разность длин волн:
COStfj
λ2~-λι=^ν· W
Отношение

§7
Дііффракціюнные спектры
361
и есть та величина, которая характеризует разрешающую силу
диффракционной решетки, так как можно показать, что при этой
разности длин волн спектральные линии не сливаются. Для того
чтобы убедиться в этом вычислим, какова сила света в той точке
спектра, которая лежит как раз между максимумами,
соответствующими углам <?! и <?2. Этой точке отвечает угол, обозначенный на
рис. 193 ?s и определяемый согласно (16) и (17) уравнением
или
..а-\-Ь .
Ν—τ—sin<ps;
;^+τ
a + b . . 1
-1-5тЪ = р+ш.
(23)
(23')
% % %
э 7г
Рис. 193.
Рис. 194.
Сила света в этой точке определяется величиной второго диф-
фракционного множителя для угла φ3, а именно в виду (23')
. ,/ АГа + Ь . \
sin2 Ι π/ν —j— sin es 1
/ i_ L \
1
4Λ/2
~ ~2 >
. 0 ( a-f-b . \ . , π π
sin2 π —'— sm 93 I Sln"2/V
так как угол-^гт очень мал при большом числе ІѴ линий решетки.
Таким образом сила света между максимумом, где она равна №,
4 «л
и минимумом, где она нуль, равна — = и.4.
Если максимумы обеих линий \ и λ2 одинаковы, то сила света
между ними, очевидно, равна
5" = 0,8,
т. е. составляет 80% максимальной силы света. Этот минимум
силы света, показанный на рис. 194, позволяет еще разделить по-

362 Диффракция света Гл. VI
ложение спектральных линий; он исчезает, если расстояние между
линиями несколько уменьшить.
Таким образом разность длин волн, определяемая уравнением(22),
находится на границе разрешающей способности решетки, и
величина разрешающей силы
измеряется произведением порядка спектра и общего числа линий
решетки. В виду этого для разделения очень близких линий
необходимо иметь решетку с большим числом линий и выгодно
производить наблюдения в спектре возможно высокого порядка.
Если распределение силы света около главных максимумов
определяется вторым множителем, то от первого диффракционного
множителя зависит сила света в различных максимумах, т. е.
в спектрах различного порядка. Мы видели, что сила света,
определяемая этим множителем, убывает по мере увеличения угла диф-
фракции и для некоторых углов равна нулю. Поэтому сила света,
вообще говоря, убывает при возрастании порядка спектра и для
некоторых порядков может оказаться равной нулю.
§ 8. Графический метод Корню.
Графический способ сложения колебаний позволяет дать
наглядное решение многих диффракционных задач. Этот способ был
применен Корню на основании следующих элементарных
рассуждений. Положим, что от разных участков отверстия, через которое
проходит свет, до данной точки доходят колебания с разными
фазами.
Разделим площадь отверстия на такие участки, чтобы
колебания, создаваемые вторичными волнами от соседних участков,
имели определенную разность фаз. Тогда колебания, создаваемые
каждым таким участком, можно представить вектором определенной
величины и направления и при переходе к соседним участкам
направление и величина вектора будет меняться. При сложении
колебаний мы получаем многоугольник векторов (см. гл. I § 6),
который при уменьшении величины участков (и сторон многоупшг
ников) переходит в пределе в плавную кривую Корню (рис. 195).
Сложение колебаний, доходящих до точки В от разных участков
сферической волновой поверхности ММ', приводит к построению
спирали Корню, изображенной на рисунке. Точки Ми Мг, М3 и т. д.,
отделяющие соседние зоны Френеля на поверхности волны, изо-

§ 8 Графический метод Корню 363
бражены теми же буквами на спирали. Колебания, приходящие из
этих точек в точку В, имеют противоположные фазы, так как по
определению зон Френеля разность хода лучей от границ соседних
зон равна половине длины волны. На спирали в соответствующих
точках касательные параллельны оси абсцисс или касательной
в точке М0. Очевидно, что элементарные колебания,
соответствующие элементам кривой в этих точках, имеют фазы или равные или
противоположные фазе колебания, исходящего из точки М0.
Определенному конечному участку ММ' волновой поверхности,
содержащему ограниченное число зон Френеля, соответствует
ограниченная длина дуги ММ спирали, а величина амплитуды колебаний
изображается графически прямой ММ', соединяющей концы дуги.
Рис. 195.
Направление ее, очевидно, дает фазу результирующего колебания.
При безграничном возрастании витков спирали, что соответствует
такому же возрастанию числа зон Френеля, концы дуги
приближаются к двум предельным точкам А и А'. Расстояние между этими
точками дает величину амплитуды в точке В, когда волна при своем
распространении не встречает препятствий. Но если мы поставим
экран так, чтобы загородить доступ колебаний от той части волновой
поверхности, которая расположена ниже точки М0, то
результирующая амплитуда колебаний будет изображаться прямолинейным
отрезком MQM. Если увеличивать число зон, т. е. открывать верхнюю
часть поверхности волны, то величина амплитуды будет испытывать
периодические изменения, так как точка Μ будет, двигаясь по
спирали, то приближаться к М0, то удаляться от нее. Подобным же
образом, если отодвигать экран вниз и открывать зоны, находящиеся
ниже точки М0, то точка Μ', перемещаясь вдоль спирали, даст ряд
максимумов и минимумов амплитуды, что соответствует светлым и
темным полосам у края экрана.

364 Диффраку,ия света Гл. VI
Подобное же построение можно сделать для случая фраунго-
феровой решетки. Амплитуды колебаний, доходящие от разных
отверстий решетки, приблизительно равны, а разность фаз между
соседними колебаниями одинакова и определяется постоянной
решетки и наклонами лучей.
Когда все колебания имеют одну и ту же фазу, т. е. когда
лучи собираются в центре диффракционного спектра, амплитуда
колебаний изображается отрезком АВ (рис. 196). При некотором
угле наклона этот отрезок загнется,
образуя дугу круга. Когда эта дуга
замкнется в полную окружность, амп-
"' *" В литуда станет равной нулю, и мы по-,
ρ - лучим первый минимум силы света
в спектре. В этом случае длина
окружности равна длине АВ. Следующий минимум соответствует такому
наклону, когда отрезок АВ будет равен двойной длине окружности,
как видно на рисунке, и т. д. При числе щелей решетки N
разность фаз лучей от соседних щелей для первого минимума
равна 2π: Ν, и это отношение, как мы знаем, равно 2π —г-— sin φ,
где а -\- Ь — постоянная решетки, λ — длина волны, а φ — угол
наклона лучей.
~, § 9. Металлические решетка.
Наиболее совершенйые решетки изготовляются не из стекла,
а из металла, который мягче стекла, не так портит алмазное острие
и позволяет наносить более правильные линии. Большого
совершенства в этом отношении достиг Роуленд, применявший для
нанесения штрихов делительную машину с очень совершенным
винтом, позволяющим сохранять расстояние между линиями
неизменным на всем протяжении решетки. Это условие имеет большое
значение, так как всякие неправильности в решетке, особенно те,
которые периодически повторяются, могут вызвать появление
новых диффракционных спектров, так называемых^духов" (ghosts), и
создать иллюзию таких новых линий в спектре, которых в
действительности не существует.
Металлическая решетка может служить, конечно, лишь как
отражательная решетка. Участки зеркала между двумя штрихами
отражают свет, падающий под углом φ на решетку А0А0' (рис. 197).
Положим, что решетка плоская, и волны, падающие на нее, тоже
плоские. Представим себе пучки параллельных лучей,
составляющие с нормалью к решетке угол ψ, не равный углу падения φ. Эти

S 9 Металлические решетки 365
лучи представляют распространение вторичных волн в этом
направлении. В плоскости А0'А, перпендикулярной к лучам, фаза колебаний,
конечно, изменяется от точки к точке. Когда эти пучки собираются
в фокальной плоскости объектива, то результат их, интерференции
зависит от разности фаз между крайними пучками и между крайними
лучами в каждом пучке.
Только в случае правильного отра- А0,
жения, т. е. при ψ = φ, фазы ^
во всех точках плоскости Ай'А,
перпендикулярной к правильно
отраженным пучкам, одинаковы.
В этом направлении получается
центральный максимум, или А рис 197
максимум нулевого порядка,
для всех длин волн. Из рис. 197 видно, что разность хода лучей,
отраженных от решетки в точках Аа и А0' под углом ψ, мы
получаем, опустив перпендикуляр А0'А на направление лучей. Разность
хода лучей после отражения от зеркала равна
AQA = A0A0'sin ψ.
Но в момент отражения от А0' лучи запаздывают по сравнению
с лучами, отраженными в точке А0, на расстояние
Αϋ'Α1 = A0A0f sin φ.
Таким образом разность хода двух рассматриваемых лучей:
AqAx — А0А = A0AQ' (sin φ — sin ψ),
а соответствующая этим крайним лучам разность фаз:
^4^ ( Sin ?-Sin ψ). . (25)
Мы видим, что в случае равенства углов φ и ψ разность фаз
равна нулю, и что при нормальном падении лучей на решетку, т. е.
при » = 0, разность фаз зависит от угла диффракции.
Развитая выше теория диффракционных спектров применима,
конечно, и к случаю отражающей решетки.
Металлическая решетка представляет преимущества перед
прозрачной, между прочим, в том отношении, что, придав
зеркалу форму сферической или цилиндрической поверхности
большого радиуса, можно получать резкие диффракционные
изображения щели, не применяя трубы или других оптических систем. Это
особенно важно в тех случаях, когда лучи света сильно
поглощаются стеклом, например при получении спектров очень коротких

366
Даффракция света
Гл. VI
ультрафиолетовых волн. Собирание в фокусе лучей, составляющих
с плоскостью решетки определенный угол ψ, происходит само
собой при надлежащем расположении щели и решетки. Это открытие
сделано Роулендом, который указал и нормальный способ
пользования вогнутой отражающей решеткой.
На рис. 198 ! представлена решетка S, отражающая поверхность
которой имеет форму сферы, центр которой находится в точке С.
Проведем окружность, касающуюся
поверхности зеркала и проходящую через точку С;
диаметр АС этой окружности
должен быть равен радиусу решетки.
Поместим где-нибудь на окружности, например
в точке О, освещенную щель и покажем, что
лучу, выходящие из точки О после
отражения от поверхности зеркала под углом,
равным углу падения, соберутся в точке В% на
расстоянии, равном В.2С=СО от центра ре-
Ряр 198 о
ι иь. іги. шетки. «эти лучи, как и при зеркальном
отражении от плоской решетки, образуют в точке В2 центральный
максимум.
Для того чтобы доказать это основное свойство вогнутой
решетки, очевидное для точки касания А, достаточно рассмотреть
отражение от другой какой-нибудь точки поверхности решетки. Так
как С есть центр, то АС является ее нормалью, и нужно только
показать, что / ОА'С— /_ CA'B2. Так как точки поверхности
решетки очень близки к точкам, лежащим на окружности В^СО, то
можно с достаточной точностью считать, что углы эти равны
вписанным углам, стягиваемым равными дугами ОС = В%С. Этим
доказывается с той же точностью, что / ОА'С= / СА'В2.
Рассмотрим теперь лучи, собирающиеся в какой-нибудь другой
точке Вх. Угол падения φ лучей для разных точек поверхности
один и тот же, так как / ОА'С — / О АС, как опирающиеся на
ту же дугу ОС, но и угол диффракции ψ для всех лучей,
приходящих в точку Ви один и тот же, так как по той же причине / СА'В1 =
= / САВХ. Таким образом разность хода и фаз между лучами,
идущими от точек А к А' решетки и собирающимися в точке 5Х>
можно представить ф-лой (25), выведенной для плоской решетки.
В данном случае все лучи собираются в точке Ву без помощи
линзы.
1 Размеры решетки преувеличины для ясности рисунка. В действительности
они малы по сравнению с радиусом решетки.

§10
Ступенчатые решетки (эшелоны)
367
Приведенное здесь элементарное доказательство позволяет
утверждать, что основным условием для получения хороших диффрак-
пионных изображений является большая величина радиуса решетки
сравнительно с ее, размерами и, следовательно, большое расстояние
источника света и его изображений от решетки. Наибольшие изгр-
товленные до сих пор решетки имеют радиус в 7 м- Расстояние
между отдельными спектральными линиями, или дисперсия
возрастает также с радиусом. В спектре 2-го порядка при 560
линиях на миллиметр и радиусе 7 м расстояние между линиями
натрия 2?! и Z)2 равно 5 мм.
§ 10. Ступенчатые решетки (эшелоны).
Рассмотрим еще решетки, в которых отражающие элементы не
лежат в одной плоскости (рис. 199). Такие решетки, имеющие
ступенчатую поверхность, могут давать
спектры высоких порядков с большой
силой света.
Для этого необходимо, чтобы
лучи, образующие диффрак-
ционный спектр, отражались
от каждого эл емента решетки
под углом, равным углу
падения, как показано на рис. 199.
Каждый из пучков, на которые
распадаются отраженные лучи, состоит из лучей, находящихся между
собой в фазе, и только различные пучки имеют разные фазы
(в зависимости от разности хода).
При нормальном падении лучей на поверхность ступенчатой
решетки отраженные от соседних ступенек пучки имеют разность
хода 2Ь, если Ь расстояние между ступеньками. Если лучи падают
наклонно под углом φ (рис 199), то отраженные под тем же углом
Рис 199.
соседние пучки лучей имеют разность хода
1Ь
cosy'
Если
эта разность
хода равна целому числу ρ длин волн, то, собирая отраженные
лучи в фокальной плоскости объектива, получаем там максимум
р-го порядка.
Таким образом ступенчатая решетка дает при правильном
отражении сразу спектр высокого порядка, который даже при не
очень большом числе ступеней обладает согласно ф-ле (24),
большой разрешающей силой. Этот спектр, полученный в резуль-

368
Диффракиця света
Гл. VI
тате правильного отражения от каждой ступеньки, является наиболее
ярким; в спектрах же соседних порядков сила света будет значительно
слабее. Если N—число ступеней решетки, то, складывая колебания
вызываемые отдельными пучками как и в случае обычной диффрак-
ционной решетки, приходим к вычислению суммы N колебаний
N-\
Vcos(cof — 2nkb), если k =
2π
η = 0
Амплитуду сложного колебания можно в таком случае
представить в виде диффракционного множителя
sin
Nkb
«sin
2№\
unkb
sin
26
(26)
2b
Если длина волны λ такова, что -у = ρ, то отраженные лучи
0 12 3 4 5
дают спектр р-то порядка при нормальном падении и отражении
лучей. Для других длин волн тот же спектр получится при других
углах падения φ лучей на решетку,
20
когда имеет место условие ■: = р.
λ cos φ
Особый тип ступенчатой решетки,
названной эшелоном, изобретен был
Майкельсоном. Эшелон состоит из
ряда плоско параллельных стеклянных
пластин равной толщины, образующих
стопу со ступенчатым краем, как
показано на рис. 200. Пучки лучей,
прошедшие разное число пластин,
обозначим цифрами 0,1, 2, 3... Так как
скорость волны в стекле меньше, чем в
воздухе, то соседние пучки имеют
тем большую разность хода, чем
больше толщина b пластин и показатель преломления η стекла.
Если λ — длина волны в воздухе и Цп — длина волны в стекле,
то между лучами 0, прошедшими только через слой воздуха, и
лучом, прошедшим слой стекла в Ъ см, устанавливается оптическая
разность хода
Ь(п-1)
Рис. 200.
= р.
(27)

§10
Ступенчатые решетки (эшелоны)
369
Точно такая же разность хода будет и между всеми соседними
пучками.· Если ρ целое число, то лучи, прошедшие через
эшелон, собираются в главном фокусе
объектива и дают спектр ρ-το порядка для
данной длины волны.
При малых углах диффракции разность
хода соседних пучков изменяется на
величину αψ, где а — длина ступеньки. Как
видно из рис. 201, это изменение
определяется перемещением конца плоскости,
перпендикулярной к лучам при вращении их на
угол ψ. Таким образом оптическая разность
хода лучей соседних пучков равна
Ь(п — 1) — αψ
'Ψ
Рис. 201.
и амплитуда колебаний в точке спектра, соответствующей углу
диффракции ψ, равна
sin
πΝ
Ь(п — 1) — αψ)
\ · ( κι ^αψ\
I smlrcNp—тс ■
sinrc
Μζψ
sm
/ b(n — 1)— αψ\ . / - αψ \
sin
παψ '
(28)
если для данной волны соблюдено условие (27), где ρ— целое
число.
Первый минимум соответствует тому углу диффракции, при
котором числитель (28) обращается в нуль и следовательно:
Mr ψ
1.
(29)
Этим условием определяется ширина спектральной линии,
пропорциональная ψ = -дт-. Для другой длины волны λχ спектральный
максимум будет иметь место при угле диффракции ψ', если
bfa-D + aY _п
ζ *
где лх — показатель преломления для волны λ1( откуда, пользуясь
уравнением (27), находим
^-"Η-αψ'^ρ^-λ). (30)
Разрешающую силу ступенчатой решетки определим опять по
разности длин волн, для которых диффракционные максимумы
налагаются на минимумы соседней волны, или угол ψ', определяющий
24 3»к. 24ΰ8. Курс физики, т. П.

370 Диффракция света Гл. VI
положение максимума \, равен углу ψ, соответствующему
минимуму λ. Из уравнений (29) и (30) мы находим в этом случае:
Эта формула показывает, что если можно пренебречь
изменением показателя преломления с длиной волны (это упрощение
вносит незначительную ошибку), разрешающая сила решетки
λ
зависит от оптической разности хода крайних пучков ре-'
λ-, — λ
шетки и возрастает пропорционально числу ступеней и порядку ρ
спектральной линии. При толщине пластин в 1 см, показателе
преломления 1,56 и длине волны λ = 0,56 μ = 0,56 · 10~4 см, мы
находим из (27), что порядок спектра р = 104, и разрешающая сила
при 30 пластинах равна 3 · 10б. Для получения такой же
разрешающей силы диффракционной решетки с числом линий 500 на
1 мм в спектре второго порядка нужно, чтобы ширина ее
составляла 30 см, или чтобы число линий, нанесенных на ее поверхности,
было не менее 150000.
Ступенчатая решетка имеет большие преимущества при изучении
узкого участка спектра вблизи определенной спектральной линии.
Но ее нельзя применять для больших участков спектра, так как
спектры соседних порядков весьма близки друг к другу и
перекрывали бы друг друга.
V § 11· Правило Бабнне.
Диффракционная картина, создаваемая отверстиями, через
которые проходит свет, может быть получена еще иначе, а именно
при помощи дополнительной системы экранов. Под этим термином
следует понимать такие непрозрачные тела, которые имеют форму
и величину отверстий и расположены в том же месте, где находились
отверстия. Положим, что мы имеем большой непрозрачный экран с
с отверстием и собираем прошедшие через него лучи в фокальной
плоскости трубы. В § 9 мы рассматривали подобный случай и нашли,
чщ> если отверстием служит щель, то в фокальной плоскости трубы
получаются по сторонам от центрального максимума (изображения
щели коллиматора) темные и светлые диффракционные полосы.
Такие же полосы мы получим, если вместо отверстия поставим
на пути параллельных лучей непрозрачный стержень
(дополнительный экран), имеющий форму и размеры отверстия. Различная

§ 12 Диффракция в оптических приборах 371
яркость будет только в центральной полосе, где собираются лучи,
не испытавшие диффракции, так как в случае щели здесь
собираются только лучи, прошедшие через щель, а в случае стержня
все лучи, проходящие мимо стержня; в последнем случае
центральный максимум будет гораздо ярче. Боковые же максимумы и
минимумы зависят лишь от формы и расположения границ
отверстия и стержня, которые в обоих случаях одни и те же.
Доказательство этого правила Бабине очень простое. Если нет
ни отверстия, ни стержня, то не будет и диффракции (не считая
диффракции от краев объектива трубы). В главной фокальной
плоскости трубы получается только изображение щели коллиматора
(центральный максимум), а остальная часть плоскости, где получа-
чались диф фракционные максимумы, будет не освещена. Значит
диф фракционные полосы, создаваемые лучами, пропущенными через
отверстие щели, и полосы от лучей, проходящих мимо стержня,
накладываясь взаимно уничтожаются, что возможно, если
колебания в этих двух случаях по амплитуде равны, а по фазе
противоположны в местах диффракционных максимумов.
Это правило может быть применено к случаю диффракции от
многих отверстий, беспорядочно расположенных на плоскости
непрозрачного экрана. Когда наблюдатель смотрит на отдаленный
источник света через непрозрачную металлическую пластинку,
снабженную большим числом одинаковых отверстий, то он видит
источник света, окруженный системой диффракционных колец, как
и в случае одного отверстия. Такая же картина получается в
соответствии с правилом Бабине, если смотреть на тот же источник
света через стеклянную пластинку, поверхность которой посыпана
мелкими непрозрачными частицами, например порошком ликоподия.
Это же явление можно видеть ночью в туманную погоду, когда
капельки тумана создают диффракционные кольца около фонарей
или вокруг луны.
Диаметр колец зависит от величины отверстий или
непрозрачных частиц и, измеряя угловую величину кольца, можно судить об
их размерах.
ч..§ 12. Диффракция в оптических приборах.
Рассматривая через лупу изображение -звезды в фокальной
плоскости телескопа, мы легко можем заметить, что ато изображение не
представляет собой точку, а является маленьким диском,
ограниченным темным кольцом, за которым можно видеть еще один или
несколько диффракционных максимумов в виде светлых колец.
24»

372 Диффракция света Гл. Vt
Таким образом в фокальной плоскости телескопа мы имеем обыч*
ную-фраунгоферову диффракцию пучка лучей, проходящих через
отверстие объектива телескопа. Так как размеры отверстия очень
велики по сравнению с длиной волны, то диффракционные
кольца и центральный максимум имеют весьма малые линейные размеры.
Если изображение получается в центре поля зрения, то радиус
первого темного кольца равен, как можно показать, ρ = /"φ, где
φ = 0,61—
г
есть угол, под которым виден из центра объектива радиус темного
кольца, г—радиус объектива, a F—главное фокусное расстояние.
Для того чтобы можно было видеть раздельно изображения
двух звезд, расположенных очень близко друг к другу, необходимо,
чтобы центры их изображений получались на расстоянии большем,
чем радиус темного кольца. В противном случае центральные
максимумы будут сливаться, и определить точно положение их центров
невозможно. Таким образом, разрешающая сила объектива
зависит от радиуса объектива. При диаметре в 20 см можно еще
различать изображения звезд при угловом расстоянии φ = 0,7 сек.
или в радианах φ = 3 · Ю- ■
В человеческом глазу радиус зрачка, ограничивающего пучок
лучей, равен всего 2 мм. Поэтому, если принять во внимание, что
длина волны в глазу меньше чем в воздухе, так как показатель
преломления студенистой среды, заполняющей глаз, равен 1,4, то
получается предельное угловое расстояние φ = 0,4 минуты. Однако
мы различаем только такие точки, которые находятся друг от друга
на расстоянии, большем 1 минуты. Это обусловлено расстоянием
между соседними светочувствительными- оконечностями
зрительного нерва, так как два изображения точечных источников
воспринимаются как различные,' если они падают на различные нервные
окончания.
Существенное влияние оказывает диффракция на
изображение мелких предметов, получающихся в микроскопе. Диф-
фракционная теория микроскопа, разработанная Аббе, очень
сложна, но основные идеи ее могут быть выяснены на простом
примере.
Представим себе, что мы должны получить изображение малого
отверстия АВ (рис. 202), находящегося перед объективом О
микроскопа. Источник света находится на большом расстоянии от отвер-

§ 12 Диффракция в оптических приборах 373
стия и объектива, и его изображение получается в главном фокусе
объектива. Если отверстие перед объективом мало) оно дает еще
ряд диффракционных полос Fu Fz и т. д. Для того, чтобы
найти изображение А'В' отверстия АВ нужно определить, где
получаются изображения его крайних точек. Диффракционные
полосы Fi, F, F2 являются вторичными источниками света, от
которых мы проводим лучи к точкам А', В', С той плоскости, где
должно получаться изображение отверстия. Эти лучи имеют, вообще
говоря, некоторую разность хода и, интерферируя, создают
минимумы и максимумы света. Мы получаем таким образом
центральное изображение отверстия, окруженное темными и
светлыми кольцами. Если расстояние
первого темного кольца,
проходящего через точку С, от
центрального максимума не велико, то
изображение отверстия
получается достаточно резким и подобным
объекту, т. е. отверстию АВ. Чем
меньше отверстие, тем больше
и расстояние между полосами
Fu F, F2, и тем меньше их число,
так как при уменьшении отвер- рис 2о2
стия возрастает наклон лучей,
необходимый для их образования. При известной малости
отверстия могут исчезнуть все полосы кроме центральной. В этом
случае не может образоваться минимум С, ограничивающий
изображение отверстия. Лучи, выходящие из центральной полосы /,
равномерно освещают все точки плоскости изображения, и
последнее исчезает. Таким образом для получения ограниченного
изображения необходимо, чтобы наряду с центральным диффракцион-
ным изображением источника света F получались по крайней мере
еще соседние к нему, боковые.
Если ограничить при помощи специальных диафрагм пучок
лучей, проходящий через плоскость Fi F F2, так, чтобы
пропускались не все лучи, а только идущие от некоторых максимумов, то
изображение может измениться и по величине и по форме и
потерять всякое подобие с предметом.
Из сказанного видно, как важно, чтобы отверстие объектива
было достаточно велико и могло пропускать широкие пучки лучей.
Всякое ограничение этого отверстия снижает способность
микроскопа давать изображение очень мелких предметов.

374 Диффракция света Гл. VI
- § 13. Рассеяние света в мутной среде.
Мутной средой мы называем такую, в которой взвешены мелкие
частицы (муть), отличные по своим оптическим свойствам от среды.
Даже если частицы прозрачны, но их показатель преломления
отличается от показателя среды, то и тогда их присутствие нарушает
однородность оптических свойсте; среды. Свет, проходя через такую
среду, рассеивается взвешенными частицами во все стороны. Это
явление изучено английским физиком Тиндалем и носит его имя.
Рассеянные лучи обычно более или менее окрашены в голубой цвет
(мыльная жидкость, табачный дым), что указывает на преимущественное
рассеяние лучей с короткой длиной волны. Явлением Тиндаля
объясняются многие окраски, например, голубой цвет неба, цвет
моря и т. п.
Взвешенные частицы представляют препятствия
распространению волн. Каждая частица действует как экран очень малого
размера и производит диффракцию лучей, ослабляя те лучи, которые
идут в первоначальном направлении, и создавая излучение в
боковых направлениях или назад. Если частица мала по сравнению
с длиной волны, то ее действие можно 'отождествить с действием
элементарного источника света, от которого во все стороны
расходятся лучи. Однако отличие их от независимых и светящихся
частиц состоит в том, что их колебания вызваны колебаниями
проходящего луча, т. е. когерентны с ними.
Мы видели ранее, что если электрический диполь совершает
периодические колебания, то на большом расстоянии от него
амплитуда колебаний электрического поля пропорциональна амплитуде
колебаний момента диполя и обратно пропорциональна квадрату
длины волны. Если в некоторой области пространства, занятой
инородной частицей, диэлектрические свойства иные чем в
окружающей среде, то электрическое поле световых волн согласно
электромагнитной теории света создает в частице добавочную
поляризацию, которая обладает всеми свойствами переменного
электрического диполя. Таким образом каждая инородная частица является
источником вторичных волн, которые, складываясь, дают
рассеянный свет. Так как частицы распределены в пространстве
беспорядочно, то испускаемые ими вторичные волны имеют в данной
точке пространства самые разнообразные фазы. Поэтому, хотя испу.
скаемые различными частицами колебания когерентны, но в виду
беспорядочного распределения частиц в пространстве их волны
складываются как волны независимых светящихся точек. Интен-

~§ 14 Рассеяние света в однородной среде 375
сивность рассеянного с в ет а равна сумме интенсив-
ностей волн рассеянных отдельными частицами.
Так как энергия еолн, пропорциональна квадрату
амплитуды их, а амплитуда рассеянных волн обратно пропорциональна
квадрату длины волны, то, очевидно, интенсивность рассеянных
волн должна быть обратно пропорциональна четвертой степени
длины волны. При уменьшении длины волны рассеяние света
поэтому быстро возрастает; короткие волны, рассеиваемые частицами
мутной среды, дают характерную окраску с преобладанием синих
и фиолетовых лучей.
Изложенная здесь теория предполагает, что частицы мути малы
по сравнению с длиной волны. Если это условие не соблюдено,
то частицы нельзя рассматривать как отдельные независимые
центры лучей. Их поверхность будет отражать свет, как
поверхность больших размеров, и притом свет различных длин волн
почти в одинаковой степени. Рассеяние света большими частицами
дает большую примесь белого света.
' _ § 14. Рассеяние света в однородной среде.
Рассеяние света может происходить и в однородной по составу
среде, например в воздухе, свободном от пыли и тумана, в чистых
жидкостях и прозрачных твердых телах. В этих случаях рассеяние
значительно слабее, но может быть все же обнаружено при
известных условиях. Яркоголубой цвет неба при совершенно чистой
атмосфере, например в высоких слоях ее, доказывает
существование рассеяния в однородной по составу газообразной среде.
Неоднородность оптическая, однако, возможна и в таких телах.
Вследствие беспорядочного теплового движения молекул газа в
отдельных точках пространства плотность газа может испытывать
непрерывные беспорядочные колебания. Эти колебания называются
тепловыми флюктуациями.· Они тем значительнее и по
величине изменения плотности газа и по объему областей, где эти
изменения имеют заметную величину, чем выше температура газа
и чем больше сжимаемость его.
Таким же образом могут происходить флюктуации плотности
в жидкостях и твердых телах, где эти флюктуации меньше чем
в газах, вследствие малой сжимаемости жидких и твердых тел.
Впрочем, в некоторых случаях, например при критической
температуре, сжимаемость жидкости делается очень большой.
Флюктуации плотности достигают столь больших размеров, что жидкость

376 Диффракция света ρ л. VI
делается мутной и непрозрачной. Рассеяние света в такой среде
принимает исключительно большие размеры.
Индусский физик Раман подробно исследовал рассеяние света
в жидкостях при различных условиях и подтвердил теорию этого
явления своими наблюдениями. В твердых прозрачных телах
рассеяние света было исследовано русскими физиками
Мандельштамом и Ландсбергом. Рассеяние возрастает и здесь с температурой
тела.
Наконец, можно, как показал Мандельштам, наблюдать
рассеяние света при отражении его от поверхности жидкости. Если две
несмешивающиеся жидкости налиты одна на другую, то резкость
границы зависит от поверхностного натяжения на ней.
Поверхностное натяжение изменяется с температурой и может стать очень
малым. В таком случае тепловые беспорядочные движения частиц
на границе будут легко изменять ее форму, и вместо резкой и
плоской границы мы будем иметь шероховатую поверхность, от
которой свет испытывает диффузное рассеяние.

ГЛАВА VII.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ И ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА.
§ 1. Классическая электронная теория в оптике.
Мы видели, что знакомство с основными свойствами
электромагнитных волн привело Максвелла и Герца, а за ними и других
физиков к взгляду на свет как на электромагнитные волны очень
малой длины. Эта теория-вскоре была дополнена новым
представлением об электрических зарядах в атомах или электронах,
которые, совершая периодические движения, являются источниками
световых волн, а подвергаясь действию света, приходят в
колебательное движение.
Для того чтобы прийти к электронной теории света, физика
конца XIX века должна была усвоить представление об
атомистическом строении электрических зарядов. К этой идее привели
Гельмгольца законы электролиза, и она была им развита в 1881 г.
в его фарадеевской лекции. Одновременно к такому же
результату пришел англичанин Стоней. Однако систематическое
развитие электронной теории впервые дал Лоренц в 1895 г. в своем
знаменитом сочинении „Опыт теории электрических и оптических
явлений в движущихся телах". Последующее развитие
электромагнитной теории света тесно связалось с электронной теорией.
Влияние магнитного поля на период световых колебаний, открытое
Зееманом, не только получило ясное объяснение (данное Лорен-
цом) с этой точки зрения, но и позволило установить весьма
точно отношение заряда к массе, совпадающее с величиной,
определяемой для катодных лучей. Зависимость показателя
преломления лучей различной длины от частоты колебаний, т. е.
дисперсия света в материальных телах, в особенности явление
аномальной дисперсии, дали поразительные доказательства
плодотворности электронной теории.
В настоящей главе мы остановимся на тех результатах
электронной теории, которые не потеряли значения до настоящего
времени. Современное представление о взаимодействии между
светом и материальными атомами претерпело коренные изменения за-

378 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
последние годы в связи с быстрым ростом квантовых теорий. Но
тем не менее во многих случаях классические результаты
электронной оптики остались в силе; изменилась только
интерпретация явлений и некоторые детали.
Классическая электронная теория рассматривала электрон как
составляющую часть атома, связанную с последним квази упругой
силой. Под действием внешней электрической силы электрон
смещается относительно положительного иона> и атом поляризуется.
Электрический момент поляризованного атома испытывает
периодические изменегшя под действием электрического поля
световых волн. Электроны в атоме при этом колеблются и являются
источниками вторичных волн. В свободных газовых атомах
электроны находятся под действием силы, которая возрастает
пропорционально смещению электрона из положения равновесия.
Вследствие этого электрон может совершать колебания с определенным
периодом. Совершая эти колебания, он излучает определенную волну(
; ающую в спектре линию, характерную для данного атома и
электрона. Вследствие излучения света колебания затухают. Сила
трения, которую испытывает электрон при колебаниях, должна быть
объяснена испусканием света и столкновениями с другими
электронами, нарушающими правильность его колебаний.
Под ^действием световых волн электроны в атоме совершают
вынужденные колебания. Явления резонанса, объясняющие
аномальную дисперсию, позволяют определить как период колебаний, так
и число электронов, совершающих эти колебания. Внешние поля,
магнитные и электрические, изменяют тип движения электрона и
период его колебаний, чем объясняются явления Зеемана и
Штарка. Таковы основные черты классической электронной теории
в оптике, чуждой представлений о квантовой природе света. С
этими представлениями мы встретимся в следующей главе, а пока
будем рассматривать модель атома в том виде, в каком
рассматривала ее теория, развитая Лоренцом и Друде.
§ 2. Отражение света. Формулы Френеля.
Отражение света мы будем рассматривать как частный случай
отражения электромагнитных волн. Это дает возможность найти
количество света, как отраженного от поверхности тела, так и
вошедшего внутрь, т. е. преломленного, если тело прозрачно.
С этой целью разберем случай падения плоских волн на
плоскую границу S между двумя непроводящими срединами, из

§ 2 Отражение света. Формулы Френеля S79
которых одна имеет диэлектрическую постоянную еІ5 а другая е2.
Магнитную проницаемость их можно считать равное едичице> так
как у всех диэлектриков она в действительности почти не
отличается от единицы. Мы знаем (гл. III, § 11),что скорости
распространения волн ѵх и ѵ2 в этих телах связаны с их диэлектрическими
постоянными равенством ѵх: ѵ2 = Vε2 : Д . Кроме того, так как
средняя магнитная и электрическая энергии волны равны, то между
магнитной и электрической силами существует следующее
соотношение:
Нх = уѴЯі и Н2 = j/ζ" £2. (1)
У поверхности S мы будем иметь три волны: с одной стороны
падающую и отраженную, а с другой прошедшую через границу,
или преломленную. Поэтому
электрическая и магнитная силы по одну
сторону поверхности складываются из
сил падающей и отраженной волн, а по
другую сторону определяются
преломленной волной. Условия на границе
двух различных диэлектриков требуют,
чтобы электрическая сила испытывала
скачок, переходя через границу, и при
этом изменялась в отношении et; s2,
если она перпендикулярна к
поверхности раздела, или же чтобы она
изменялась непрерывно, т. е. по обе
стороны границы имела ту же величину,
если она касательна к поверхности. Так как, по условию,
магнитные свойства в той и другой среде одинаковы, то магнитная сила
по обе стороны границы во всех случаях должна оставаться
неизменной.
Необходимо различать два случая: когда электрическая
сила волны лежит в плоскости падения, как показано
на рис. 203, и когда она перпендикулярна к ней.
Рассмотрим сначала первый случай. Обозначим величины, относящиеся
к падающей волне, значком г, к отраженной — г, и, наконец, к
проходящей—d. Угол падения и угол отражения, равные φ, а также угол
преломления ψ определяют направление распространения волн,
т. е. их лучей, по отношению к нормали ΝΝ, проведенной в точке
падения к поверхности S. Направление электрической и магнитной

380 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
сил перпендикулярно к направлению луча; в рассматриваемом
случае магнитная сила не изображена вовсе на рисунке, так как
она перпендикулярна к плоскости чертежа или параллельна
поверхности S. В первой среде магнитная сила у поверхности
складывается из магнитных сил падающей и отраженной волны, и эта
сумма равняется магнитной силе прошедшей волны:
#, + #, = #„. (2)
Что касается электрических сил, то нужно различать ветикаль-
ную и горизонтальную составляющие их. Условия, которым
подчинены эти составляющие по обе стороны границы, имеют
следующий вид:
ε2 (Et sin φ + Εr sb φ) = e2Ed sin ψ (3)
И
£, cos φ — Er cos φ = Ed cos ψ ,* (4)
знак минус в левой части (4) появляется оттого, что
горизонтальные составляющие в первой среде направлены в противоположные
стороны»
Вследствие (1) условие (2) можно представить еще так:
Vb-(Et + Er) = VZEt. (5)
Сравнивая это условие с (3), мы находим, что они не
противоречат друг другу, если
η = sin φ: sin ψ = "[/^2 : "j/"^, (6)
т. е. если показатель преломления η равен отношению скорости
волн
Из условий (4) и (5), деля одно на другое, получаем
соотношение:
Ej — Er cos φ _ cos ψ .„
еле/ у^-γς" W
Введем отношение r — Et : Eu которое представляет
относительную величину амплитуды отраженной волны, и вместо корней
из диэлектрических постоянных согласно (6) синусы углов
падения и преломления. Условие (7) принимает тогда следующий вид:
1 — г cos» cos ψ
1 -f- r sin ψ sin φ

§ 2 Отражение света. Формулы Френеля 381
или после простого преобразования:
1т біп2Ф
(8)
1 -\- г sin 2 φ'
Из этого условия мы находим относительную величину
отраженной волны:
sin 2 φ — sin 2 ψ tgf (φ — ψ)
Г~ 8іп2<р + вт2ф — tsW+Щ' ^
При нормальном падении оба угла φ и ψ равны нулю, но предел
отношения их вследствие (6) равен показателю преломления л;
поэтому и предельное значение г равно
п — 1
Если же
<р-Н —
г»
и следовательно sinu = cos<p, то показатель преломления η
удовлетворяет условию
sin φ sin φ
-τ-γ- = η= - = tg<0. ГЦ)
sin ψ cos φ 6 v '
Но так как при этом
tg" (φ + Ψ) == °°,
то согласно (9) в отраженной волне амплитуда ;· обращается
в нуль, т. е. волны вовсе не будут отражаться от границы S.
На рис. 204 кривая / представляет изменение амплитуды
отраженной волны при возрастании угла падения от нуля для
границы между воздухом и стеклом (/1 = 1,5). Точка <?и в которой
кривая пересекает ось абсцисс, соответствует углу падения, при
котором не происходит отражения волны. При таком угле волны
полностью проходят через границу. Как видно из чертежа, при
углах φ > φχ г меняет знак, т. е. фаза волны при отражении
изменяется на 180°. При малых углах падения г>0, если п>1,
и г < 0 при η < 1.
Во втором случае, когда электрическая сила перпендикулярна
к плоскости падения (рис. 205), горизонтальные составляющие
магнитных сил направлены в одну сторону и мы имеем:
Ει — Er = Ed,
Д sin φ — Hr sin φ — Hd sin ψ,
Я„ cos φ + Д· cos a = Hj cos ψ (12)

382 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
или вследствие (1)
_Еі — Er — Ed>_
(Ε, — Ег) Υ^ζ Sin φ = Ed VS2 Sin ψ ,
(£t -f £r) Vi" cos о = £d l/"s2 cos ψ ,
что приводит к выражению для
sin (φ — ψ)
~~ sin (φ -j- ψ) '
(13)
(14)
На рис. 204 кривая II представляет изменение отраженной
амплитуды в зависимости от угла падения для этого случая. Ни
Рис. 204.
Рис. 205.
для какого угла мы не имеем нулевого значения отраженной
амплитуды.
Формулы (9) и (14) называются формулами Френеля; они
были получены Френелем при объяснении явления отражения
и преломления световых волн.
Угол cpj, при котором не происходит отражения колебаний
электрической силы, когда сила лежит в плоскости падения, носит
название угла полной поляризации. При этом угле волны,
как бы они ни были поляризованы при падении, после отражения все
имеют одну и ту же плоскость поляризации, совпадающую
с плоскостью падения. Заметим еще, что при возрастании
показателя преломления отраженная амплитуда приближается к падающей(
так как г стремится" к единице. Отражение будет тем ближе к
полному, чем больше га = У^.2 : Y&1. При отражении от среды с
большей диэлектрической постоянной (е2 > 8і) и при малых углах

§ 3 Поляризация света при отражении и преломлении 383
падения электрические векторы в падающей и отраженной волнах
имеют противоположное направление. В этом случае, если
падающая и отраженная волна интерферируя образуют стоячие
волны, то у границы S образуется узел электрической силы. При
отражении от среды с меньшей диэлектрической постоянной
(е2 < Sj) направления электрических векторов совпадают, и мы
должны иметь у отражающей границы пучность электрической силы.
В этом заключается существенное различие отражений от
электрически более плотной (s2 > ει) и от менее плотной среды (s2 < s j.
§ 3. Поляризация света при отражении и преломлении.
.Электромагнитная теория света приводит к выводу, что
световые волны поперечны. Направление световые колебаний, которые
электромагнитная теория отождествляет с электрической силой
волны, перпендикулярно к направлению распространения волн или,
другими словами, лежит в плоскости волны. Но, оставаясь в
плоскости волны, электрическая сила может иметь в ней любое
направление. Направление колебаний и определяет поляризцию света.
Под естественным или неполяризованным светом мы пони*
маем такой, в котором происходит непрерывное и беспорядочное ι
изменение направления электрической силы. Разлагая
электрическую силу на две составляющие вдоль каких-нибудь
взаимно-перпендикулярных направлений, мы получим два световых колебания,
амплитуды и фазы которых могут быть совершенно различны.
Если основное колебание меняется по амплитуде и фазе, а также
по направлению, то соответственные изменения испытывают и
составляющие колебания. Изменения эти происходят хотя медленно
по сравнению с временем одного колебания, но очень быстро по
отношению к продолжительности наблюдения при опытах с
естественным светом. Причина такой изменчивости естественного света
заключается, например, .в том, что световые волны, доходящие до
данной точки, создаются множеством независимых источников
света, и поэтому результат их сложения определяется постоянно
меняющимся случайным сочетанием амплитуд и фаз их
колебаний.
Из естественного неполяризованного света мы можем получить
прямолинейно поляризованный, если уничтожим или отчасти только
ослабим одну из составляющих электрической силы. Если
величина квадрата электрической силы волны равна Е*, то, каковы бы
ни были направление и фаза светового колебания, мы находим,

384 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
что при разложении его на два взаимно-перпендикулярных
колебания величины квадратов составляющих электрической силы по
этим направлениям Е^ и £22 связаны соотношением
es+ej^e: (15)
Это соотношение показывает, что энергия волн какого
угодно света (сила света) равняется сумме энергий
двух волн, поляризованных прямолинейно и
взаимно перпендикулярна, на которые может быть
разложена данная волна. Разложение может быть
выполнено для всяких двух направлений, между собой перпендикулярных.
Но в естественном свете, независимо от выбора этих
направлений, мы получаем всегда одну и ту же
среднюю энергию для каждой из составляющих, равную
половине всей энергии:
£7а=£72 = |-£*· (16)
Это соотношение может служить определением основного
свойства неполяризованного или естественного света.
Если же можно найти такие два направления, чтобы энергия
одной из составляющих была в среднем больше энергии другой,
то такой свет мы называем отчастиполяризованным.
Наконец, вполне и притом прямолинейно поляризованным свет можно
считать тогда, когда одна из составляющих исчезает вовсе.
Поляризацию света можно характеризовать либо направлением колебания
электрического вектора, либо же перпендикулярной к нему
плоскостью, называемой плоскостью поляризации, проходящей
через направление луча. 1
От неполяризованного или отчасти поляризованного света
нужно отличать свет эллиптически поляризованный и
в частности, поляризованный по кругу. В таком свете обе
составляющие волны, как бы мы ни выбрали направления, по
которым разлагаются колебания света, имеют энергию, отличную
от нуля, и в случае круговой поляризации энергии составляющих
волн всегда равны между собой. Но в отличие от естественного
света между составляющими колебаниями света, поляризованного
эллиптически или по кругу, имеется постоянная разность фаз, чего
нет в неполяризованном свете.
1 Когда говорится, что свет поляризован в какой-то плоскости, мы должны
представлять себе, что плоскость поляризации совпадает с этой плоскостью.

§ 3 Поляризация света при отражении и преломлении. 385
Эллиптически поляризованный свет можно представить себе
наглядно, если вообразить вращение вектора электрической силы
в плоскости волны (рис. 206), причем длина его меняется, и конец
описывает эллипс. Подобное же движение производит и вектор
магнитной силы. Такой свет может быть разложен на
составляющие, Поляризованные прямолинейно, причем главными
направлениями мы будем считать направления осей эллипса. При
разложении электрического колебания по этим направлениям
разность фаз между ними, очевидно, равна 90°
или 270° в зависимости от направления
вращения вектора Е.
Поляризация естественного света легче
всего осуществляется при помощи
отражения от плоской поверхности каких-нибудь
диэлектриков. Диэлектрическая постоянная
их зависит, вообще говоря, от частоты
колебаний и для световых колебаний имеет
не то значение, как для колебаний
электромагнитных, обладающих значительно мень- рис 206.
шей частотой. Принимая это во внимание,
мы можем применить формулы Френеля, выведенные в § 2, к
световым волнам.
Мы видели, что при падении плоских электромагнитных волн
на поверхность диэлектрика они частью отражаются, частью
проходят внутрь, испытывая преломление. Относительная величина
амплитуды отраженной волны г и амплитуды преломленной волны
d зависят от угла падения лучей φ, показателя преломления η
(или, что то же, угла преломления ψ) и, наконец, от того, как
направлен электрический вектор относительно плоскости падения.
Если электрический вектор лежит в плоскости
падения, т. е. плоскость поляризации и падения
лучей взаимно перпендикулярны, то при известном угле
падения Ф, определяемом уравнением:
отражение, как мы видели в предыдущем параграфе, вовсе не
будет происходить и, следовательно, волна полностью будет
проходить через границу (<ί=1). Это имеет место, очевидно,. если
направление преломленного луча составляет прямой угол с
направлением отраженного, как это видно на рис. 207. Так, для
25 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

386 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
Рис. 207
стекла с показателем преломления η = 1,5 угол Φ = 56й, для воды
(η = 1,3) Φ = 52°, а для алмаза (л = 1,6) Φ = 58°.
В другом случае, когда плоскость падения лучей и
плоскость поляризации совпадают, при всех углах
падения будем иметь как отраженную, так и
(I*) поляризованную волны.
Когда на преломляющую плоскость
падают волны неполяризованные, мы
должны разложить их на две волны
поляризованных: одна — в плоскости
падения, другая — в перпендикулярной
плоскости. При падении под углом
Φ будет отражаться только та
волна, плоскость поляризации
которой совпадает с плоскостью падения, и мы
будем иметь в отраженном свете волну, прямолинейно
поляризованную в плоскости падения.
Так как в падающей волне обе составляющие представлены
одинаково сильно, то в проходящем свете мы будем иметь
частичную поляризацию с преобладанием света,
поляризованного в плоскости, перпендикулярной
плоскости падения.
Мы видим таким образом, что после всякого отражения или
преломления естественный свет, вообще говоря, поляризуется,
поэтому, например, рассеянный дневной свет, испытавший ряд
отражений на границах между слоями воздуха различной
плотности, также частично поляризован. Только при нормальном
падении на плоскую поверхность поляризация в отраженном свете
такая же, как и в падающем, и неполяризованный свет остается
неполяризованным. ·
Если поляризацию характеризовать не положением плоскости
поляризации, а направлением колебаний электрической силы, то
можно утверждать, что в свете, отраженном под углом полной
поляризации, электрическая сила перпендикулярна плоскости
падения и, следовательно, параллельна отражающей плоскости;
в преломленном же свете направление электрической силы может
быть любое, но преобладает составляющая электрической силы,
лежащая в плоскости падения.
В качестве поляризатора, т. е. прибора, дающего
поляризованный свет, можно применить стеклянную пластинку (зеркало),
отражающую свет под углом полной поляризации. Для стекла,

§ 3 Поляризация света при отражении и преломлении 387
показатель преломления которого равен 1,51, угол полной
поляризации равен 56° 30'. Отраженный под таким углом свет полностью
поляризован, что можно обнаружить следующим опытом. Если
заставить отраженный луч 5Х падать на вторую пластинку (рис. 208)
также под углом полной поляризации и вращать эту последнюю
вокруг направления луча Su как оси, то угол падения на нее
будет оставаться неизменным и равным Ф, но нормаль п2 ко
второй пластинке и отраженный от нее луч S2 будут вращаться,
меняя в пространстве положение плоскости падения луча St.
Вследствие этого сила света отраженного луча S2
будет меняться и сделается равной нулю,
когда плоскости падения на первую и
вторую пластинки будут составлять между
собой прямой угол. Если бы падающий на
Рис. 208.
Рис. 209.
вторую пластинку свет не был предварительно поляризован
отражением от первой, то вращение второй пластинки не
изменяло бы яркости света. При частичной поляризации сила света
будет меняться, но ни при одном положении не сделается
равной нулю. Таким образом вторая пластинка может служить для
обнаруживания поляризации света и называется
анализатором.
Как мы видели, проходящий сквозь границу раздела стекла и
воздуха свет только отчасти поляризован в плоскости,
перпендикулярной к плоскости падения. Но если взять несколько
плоскопараллельных пластинок (рис. 209), то при прохождении через
каждую из них роль составляющей, поляризованной в той же
плоскости, возрастает, так как при каждом отражении (под углом Ф)
проходящий свет теряет около 27% света, поляризованного
в плоскости падения. Очевидно, что такая стеклянная
стопа может служить и поляризатором, и анализатором
света.
25*

388 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
§ 4. Дисперсия света.
ГІри йзмейении длины волны падающего света показатель
преломления прозрачных тел не-остается постоянным. Обычно при
уменьшении длины волны он возрастает так, что в сложном белом
свете, в состав которого входят различные длины волн, лучи
фиолетовые, имеющие наиболее короткую волну среди видимых лучей,
испытывают наибольшее преломление. На этом, как мы видели
в гл. IV, основано получение спектра при помощи стеклянной
призмы. Эту зависимость показателя преломления от длины волны
мы называем дисперсией света. Нормальная дисперсия света
обычно может быть представлена формулой такого вида:
п=_Л'лНЛ + §Н-|г-Ь.., (17)
в которой коэффициенты А', А, В, С,... имеют различное значение
для разных тел, например для различных сортов стекла. Для
практических целей, например при расчете оптических приборов,
дисперсию характеризуют разностью показателей преломления для
двух или трех различных длин волн. Так, если говорят, что для
кронгласа дисперсия равна 0,0086, то это число означает разность
показателей преломления л0 = 1,5153 красной линии водородного
' ι
спектра (линии С солнечного спектра) и ne = 1,5239 синей линии F
того же спектра.
Иногда однако изменение показателя преломления настолько
значительно даже при небольших изменениях λ, что приходится
пользоваться более точными формулами, для получения которых
необходимо подробнее ознакомиться с теорией дисперсии света
получившей наиболее наглядное истолкование в электронной
теории.
Волны света, или, что то же, электромагнитные волны,
проникая внутрь материальных тел, встречают на своем пути частицы
тела (атомы и молекулы, представляющие собою системы
электрических зарядов). Эти частицы подвергаются действию
периодически меняющейся электрической силы волны и под ее влиянием
поляризуются, т. е. противоположные заряды периодически
перемещаются в противоположных направлениях, вследствие чего
в электрическом поле волны частица приобретает свойства
периодически меняющегося диполя. Такой диполь, как мы знаем (гл. III,
§ 14), становится источником волн» период которых совпадает

§ 4 Дисперсия света 389
с периодом волн, падающих на него. Эти вторичные волны,
создаваемые каждой отдельной частичкой, складываясь с
первичными (падающими), образуют волну
преломленную, которая распространяется уже не с той
скоростью, как первичные волны.
Причиной изменения скорости волн является то обстоятельство,
что вторичные волны имеют другие фазы и амплитуды, чем
первичные. Так как вторичные волны являются результатом
вынужденных колебаний частиц тела под действием приходящих волн, то
фаза их колебаний зависит как от фазы приходящих волн, так и от
свойств самой частицы. Последнюю можно рассматривать как
электрический резонатор, обладающий некоторым сопротивлением,
вызывающим запаздывание фазы резонатора и его вторичной волны
по отношению к возбуждающей его волне. Электрическая сила,
вызывающая колебания этого резонатора, конечно) определяется
всеми волнами, как первичными, так и вторичными,
испускаемыми по всем направлениям окружающими частицами. В
результате сложения различных волн одинакового периода мы
получаем во всех точках тела волны того же периода. Фаза их однако
запаздывает по сравнению с приходящими волнами. В результате
фазы световых волн распространяются внуіри тела в
направлении преломленных лучей со скоростью обычно меньшей, чем
в пустоте.
Материальные частицы, поляризующиеся в поле волны, имеют
у разных тел различные свойства, но мы можем представить
наиболее важные особенности их при помощи следующей модели.
Положим, что поляризация происходит от того, что в атомах
имеются электроны, которые вместе с положительно заряженным
остатком атома (ионом) образуют в нормальном состоянии
нейтральный атом. Под действием света электроны приходят в
движение в направлении электрической силы волны, и атом при этом
поляризуется. Для простоты предположим, что каждый электрон
имеет некоторое положение равновесия внутри атома, и что,
будучи выведен из него, он испытывает квази- упругую силу,
которая стремится вернуть его в положение равновесия. Так как электрон
обладает определенной массой, то, очевидно, он будет иметь
некоторый собственный период колебаний. Если у нашей
модели несколько электронов, причем прочность связи их с атомом
различна, то и частота собственных колебаний их будет различна.
Фаза колебания такого электронного резонатора (атома)
зависит от разности частот внешней силы и собственных колебаний

390 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VI/
атома. Если период волны больше, чем период собственных
колебаний, и затухания вследствие трения нет, то фазы их одинаковы;
если же период волны меньше, то фазы противоположны.
Соответственно этому и фазы вторичных волн меняются, как только
период волны достигает значений, соответствующих собственным
колебаниям какого-нибудь из электронов, и влияние их на скорость
распространения фазы преломленной волны резко изменяется.
Поэтому вблизи собственных колебаний электронов показатель
преломления волн испытывает быстрые изменения, которые уже
нельзя представить приближенной формулой (17).
При очень больших частотах колебаний волн, сильно
превышающих все частоты собственных колебаний электронов,
амплитуды вторичных волн делаются очень малыми и перестают
оказывать влияние на скорость света в данном теле· Например,
рентгеновы лучи вследствие малой длины их волны имеют показатель
преломления, мало отличающийся от единицы.
Можно получить формулы для изменения показателя
преломления с длиной волны путем более точных, но весьма
простых рассуждений. Диэлектрическая постоянная, которая, как
мы видели, определяет показатель преломления волны, зависит
от поляризации частиц тела под действием электрической силы.
Если обозначим через Ε электрическую силу волны, которая есть
сумма всех волн, йервичных и вторичных, то электрическая
индукция D, равная &Е, где е — диэлектрическая постоянная,
складывается из электрической силы Ε и поляоизации материальной
среды Р, умноженной на 4π:
D = E-\-teP. до)
Если е — заряд электрона и % — его смещение под действием
электрического поля Е, то момент диполя, · который образуется
при этом, равен е\, а поляризация среды равна сумме таких
моментов в единице объема Ρ = Σεϋ. Сначала рассмотрим наиболее
простой случай, когда в каждом атоме есть только один электрон
и число атомов в единице объема равно N. Тогда очевидно
P = Nel (19)
Если бы на наш электрический резонатор действовала только
постоянная или очень медленно (сравнительно с периодом
собственных колебаний электронов) изменяющаяся сила, то перемеще-

§4
Дисперсия света
391
няе электрона было бы пропорционально действующей на него
силе согласно формуле
еЕ = Ш, ι (20)
в которой к — коэффициент квази-упругой силы. Скорость
электрона можно было бы не принимать во внимание.
В этом случае* перемещения всех электронов можно считать
одинаковыми и равными
*=-т·· -(200
Вследствие (18) и (19) мы находим, что
D-U+ίφβ. (21)
и следовательно диэлектрическая постоянная
вь = 1 + і-^-. (22)
Когда же частота электрической силы возрастает и
приближается к частоте собственных колебаний электрона
Ѵѣ
(23)
где т — масса электрона [гл. I, ф-ла(Ю)], то амплитуда его
колебаний возрастает вследствие резонанса и соответственно
возрастают диэлектрическая постоянная и показатель преломления п.
Если вынужденные колебания происходят с частотой ω под
действием внешней силы еЕ, то перемещение электрона равно
[гл.1, §14]:
ξ== /ηΚ-ω*)· (24)
Поэтому до тех пор, пока частота ω меньше частоты «>е
собственных колебаний электрона, диэлектрическая постоянная
согласно формулам (18), (19) и (24) равна:
і , 4πε* Ν Λ , 4π62 Ν ,'.
е==Н—77 ~1 Γ==1+"Τ_" 55"» <25>
τη. cd — ω2 Κ -ι ω
β J- a"
ω
β
1 Эта формула не вполне точна, так как мы пренебрегаем действием на данный
электрон других электронов, которое пропорционально поляризации тела. Однако
эта йеточност?! не вносит существенных изменений в результат*!.

392 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
так как вследствие (23) имеем
т®е — к·
Таким образом диэлектрическая постоянная должна возрастать
при приближении частоты колебаний ω к частоте <од собственных
колебаний. После перехода через резонансное значение α>β диэлек.
трическая постоянная согласно ф-ле (25) должна стать меньше
единицы, т. е. скорость распространения волн в теле больше
скорости их в пустоте. Но при дальнейшем возрастании ω
диэлектрическая постоянная опять стремится
к единице. Таким образом изменяется
показатель преломления η — Υ s.
Изменение показателя преломления с
частотой может быть представлено двумя
ветвями кривой, изображенной на рис.
210, если атомы имеют только одну
собственную частоту. Теоретически из
формулы (25) следует, что показатель η
должен обращаться в бесконечность
при частоте ω = ®е. Но этот результат
не имеет физического смысла и являет-
Рис. 210.
ся следствием предположения, что
потери анергии во время колебаний не происходит вовсе. Мы должны
иметь в виду, что уже вследствие испускания вторичных волн
вынужденные колебания не могут возрастать безгранично, и
поэтому показатель преломления также возрастает лишь до
известного предела, как показано на рис. 210 тонкой чертой.
Когда частота света ω очень далека от частоты собственных
колебаний о>в (предполагая присутствие одного электрона), показа-
тель преломления будет равен или nQ=y е0, когда -»» мало по
ω
в
сравнению с единицей, или единице, если -ψ настолько велико,
что весь второй член мал по сравнению с единицей. В общем
случае, когда имеется несколько частот собственных колебаний
атома, ход показателя преломления несколько сложнее. При
возрастании частоты ω он резко уменьшается (аномальная
дисперсия) каждый раз, когда ω переходит через собственную
частоту какого-нибудь из электронов атома. В промежутках
происходит нормальное возрастание показателя π ρ е-
ы
IИ7

§4
Дисперсия света
393
ломления с частотой. Случай нескольких частот <»{=
= а/, ω", о/" показан на рис. 211 (схематически).
Таким образом общая формула для зависимости показателя
от частот, или для кривой дисперсии, будет иметь следующий вид:
1
п2 = і4-4іте2іѴУд-
ω2
(26)
Так как частоты обратно пропорциональны длине волны λ в
пустоте, то ω:ω< = λ{:λ, где λ, — длина волны собственных
колебаний г-того электрона.
Если а> <<»,· и следовательно λ > \, мы можем преобразовать
множитель, зависящий от частоты, следующим образом:
і
0)2
1——
α 2
1—
λ1
λ2
V3 ι ' \«
1
λ*
(27)
Если же λ < Xt, то это же выражение можно представить так:
λ?
2L
λ?
1 —
λ2
2L
λ2
-(№-} <28>
Мы видим теперь, что если длина волны лучей, преломляемых
данным телом, заключена между длинами волн каких-то собствен^
ных колебаний его атомов, то в формуле (17) для
показателя преломления члены с положительными
степенями длины волны обусловлены собственными
колебаниями, принадлежащими к длинноврдновр^

394 Электромагнитная и электронная теория света Гл. ѴН
части спектра, а члены с отрицательными
степенями указывают на наличие коротковолновых
собственных колебаний.
§ 5. Аномальная дисперсия.
Показатель преломления в стекле и других прозрачных телах
в областях далеких от собственных колебаний, как мы видели
в предыдущем параграфе, возрастает с частотой. Этот ход
показателя считается нормальным, и он, действительно, встречается
наиболее часто, однако, как показывают рис· 210 и 211, вблизи частот,
соответствующих собственным колебаниям электронов, показатель
преломления лучей с большей частотой может иметь меньшую
величину, чем для лучей меньшей частоты. Зависимость от
длины волны, конечно, имеет обратный характер. Нормальная
дисперсия таким образом указывает на отсутствие собственных
колебаний в рассматриваемом участке спектра.;.'
В семидесятых годах прошлого столетия Христиансен, а затем
Кундт наблюдали аномальную дисперсию при прохождении света
через растворы анилиновых красок. Эти краски сильно поглощают
некоторые участки видимого спектра. Спиртовый раствор фуксина,
который исследовали эти авторы, имеет полосу поглощения в
зеленой части спектра. Лучи красные и желтые преломляются
в призме, наполненной таким раствором, нормально, но лучи
фиолетовые имеют значительно более низкий показатель преломления.
Это явление, как показал Кундт»
tennn,. желг^· вообще свойственно таким краскам.
■—^ \Э6Л. yu«w. которые имеют с поверхности цвет
иной, чем в проходящем свете.
Анилиновые чернила, красные в прохо-
р „j дящем свете, в крепком растворе
или высохшие, имеют зеленый цвет
в отраженном свете. Отражаются те лучи, которые сильнее всего
поглощаются краской.
Для наблюдения аномальной дисперсии Кундт применил метод
скрещенных призм, которым некогда пользовался Ньютон.
Стеклянная призма дает обычный нормальный спектр. Лучи этого
спектра преломляются в призме, наполненной раствором краски и
поставленной накрест к стеклянной призме. Получаемый при
этом спектр имеет вид, изображенный на рис. 212. В
зеленой части спектра имеется полоса поглощения. Вследствие ано*

β в Кривые дисперсии и поглощение 395
мальной дисперсии желтые лучи преломляются сильнее чем
зеленые.
Таким образом аномальная дисперсия тесно связана с
поглощением света. Последнее обусловлено тем, что вблизи частот
собственных колебаний, вынужденные колебания электронов,
вследствие резонанса имеют большую амплитуду, и если при
колебаниях они испытывают силу, подобную трению, то
энергия световых волн превращается в работу на преодоление
сил трения, т. е. поглощается. Вследствие этого аномальная
дисперсия всегда сопровождается полосой
поглощения.
§ 6. Кривые дисперсии и поглощение.
Дисперсия в ограниченном участке спектра, например в
видимых лучах только в редких случаях дает отклонение от
нормального хода.. IГоэтому для изучения собственных колебаний,
свойственных данному веществу, необходимо исследовать дисперсию,
как в ультрафиолетовой, так и
в инфракрасной области. В ульт- ^. '
рафиолетовой области обычным
способом изучения спектра и
дисперсии является фотографирова- /^
ние спектральных линий
известной длины. В инфракрасных
лучах фотографическая пластинка /,3 _
Ψ F v / 2 3 4 5 6 7 8 9 Юн.
может служить при пропитывании ^
ее светочувствительного слоя Ряс· 213.
красками, поглощающими
инфракрасные лучи (сенсибилизация), до длин волн приблизительно в 2 р.
Для обнаруживания более длинных волн служит термоэлемент или
какой-нибудь прибор, который реагирует на нагревание,
производимое инфракрасными лучами. ■
Примером кривой нормальной дисйерсии может служить кривая
минерала флюорита, прозрачного, как для ультрафиолетовых, так
и для инфракрасных лучей на довольно большом участке спектра.
Эта кривая изображена на рис. 213. Из хода этой кривой видно,
что можно ожидать полос поглощения слева в ультрафиолетовой
области и справа в инфракрасной. Но в исследованном промежутке,
охватывающем большой участок спектра, очевидно, нет
собственных колебаний. Следует обратить внимание, какой малый участок.

396 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
занимает видимый спектр, изображенный в виде черной полоски
на оси абсцисс.
Во всей этой области прозрачность d флюорита очень
высока (коэффициент прозрачности обозначен пунктирной кривой),
но уже начиная с 8 μ поглощение резко возрастает, и для волн
длиннее 10 μ- флюорит совершенно непрозрачен.
Зная ход кривой в такой обширной области длин волн, можно
попытаться представить ее формулой, подобной (26); например,
для этой цели пригодна формула
т Х8_й2 τ χ2—λ*
которая получается из (26) заменой отношений частот
отношениями длин волн, или же получаемая из нее простым преобразованием
формула такого типа
тг2 = Л
Л , Л
Пользуясь такой формулой, можно определить коэффициенты ее
и величины λχ и λ2, т. е. найти полосы поглощения как в инфракрас·
ной, так и в ультрафиолетовой области спектра.
Эти формулы известны как формулы Сельмейера, впервые
применившего идею резонанса к объяснению аномальной дисперсии
света. Они неоднократно применялись для вычисления
собственных длин волн атомов, или точнее электронов в атомах.
Пользуясь этой формулой и кривой дисперсии кварца в
промежутке длин волн от 0,2 μ (ультрафиолетовые) до 4,25 μ, Рубенс
нашел собственные длины волн Xj = 0Д0 μ и λ2 = 10,4. Эти результаты
хорошо совпадают с опытными данными для поглощения кварца,
который непрозрачен в крайней ультрафиолетовой области и имеет
полосу поглощения между 8 и 9 μ.
§ 7. Метод остаточных лучей.
Если колебания электронов происходят с очень малым
затуханием, то при приближении к резонансу амплитуда резко
возрастает. Этому случаю соответствуют- те частоты, вблизи
которых наблюдается особенно / сильное отражение лучей.
Колебания электронов, возбуждаемые приходящими волнами, являются
источником вторичных волн, которые, с одной стороны, образуют
отраженные волны, а с другой, интерферируя с падающими,
уничтожают их внутри тела. Такие „тела непрозрачны для волн
вблизи собственных колебаний не столько вследствие поглощения.

, ι .... - . д |
§ 7 Метод остаточных лучей 387
сколько вследствие отражения волн от поверхности. Вследствие
большой амплитуды колебаний и большого числа электронов уже
на расстоянии, меньшем длины волны, вторичные волны
практически уничтожают первичные. Вследствие незначительной глубины,
на которую проникают волны, они не испытывают значительного
поглощения, так как полностью отражаются от поверхности. Так
например в слабых растворах анилиновых красок зеленые лучи,
проникая на значительную глубину, поглощаются, в то время как
в крепких растворах тех же красок те же лучи отражаются в
значительном количестве от поверхности. Так как в металлах
происходит такое же отражение от поверхности, то это сильное
отражение называется также металлическим отражением.
Кварц, как мы видим, имеет полосу поглощения около 8,5 μ.
В этой области он обнаруживает очень высокую
отражательную способность. По наблюдениям Никольса и Рубенса он
отражает 80% лучей с длиной волны 8—9 μ и всего 4% лучей
вблизи λ = 4 μ. В области ультрафиолетовых полос поглощения
ни кварц, ни другие тела не обнаруживают такого металлического
отражения, хотя поглощение может быть очень сильным. Лучи
света короткой длины волны могут глубже проникать внутрь тела,
где они и поглощаются.
ι На избирательном отражении инфракрасных лучей основан
способ выделения определенных узких участков спектра. Никольс
и Рубенс, пользуясь полированными кварцевыми пластинками,
как зеркалами, получили после пятикратного отражения лучей
испускаемых накаленной окисью циркония, почти однородные лучи.
При помощи диффракционной решетки они обнаружили в спектре
остаточных лучей только волны длиной в 8,5 μ и 20 μ. Таким
образом, кроме первой полосы, определенной раньше из кривой
дисперсии, была открыта вторая около 20 н·, испытывающая также
металлическое отражение лучей.
Этот метод выделения собственных колебаний пригоден лишь
при высоком коэффициенте отражения. Когда он падает до 50%,
уже после 5 отражений, остается только несколько процентов
лучей. Поэтому большинство полос поглощения не могут быть
обнаружены методом остаточных лучей. Но зато этим методом
были выделены очень длинные волны, например для К J найдены
остаточные лучи λ = 96 μ, для KBr — λ = 87 μ, для каменной соли
54 и 47 μ. Для этих длинных волн кварц оказался довольно
прозрачным, в то время как флюорит, каменная соль, стекла погло.
щади их полностью-

398 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
§ 8. Аномальная дисперсия в газах.
Если белый свет проходит через натриевое пламя, то в спектре
его наблюдается появление двух близких линий поглощения, обычно
сливающихся в одну темную линию, лежащую в желтой части
около волн 5890 — 5896. Этой линии соответствует темная линия
в солнечном спектре, которую Фраунгофер обозначил буквой D.
Рассматривая внимательно этот спектр, можно видеть, что по
краям темной линии полоска спектра искривлена^ причем с одной
стороны она приподнята, а с другой опущена, как и при
преломлении лучей в опыте Кундта в жидкой призме, поставленной накрест
со стеклянной (рис. 212). В данном случае натриевое пламя, имеющее
неодинаковую толщину в нижней и верхней части, действует как
призма, отклоняя вверх те лучи, у которых показатель преломления
имеет величину выше нормальной, а вниз лучи с аномально
сниженным показателем. Это явление наблюдалось впервые Кун-дтом,
позднее оно было исследовано Вудом и особенно подробно
Д. С. Рождественским.
Обычный метод наблюдения аномальной дисперсии в ' парах
натрия заключается в создании призмы из паров натрия. Для этого
применяется стальная трубка (рис. 214), закрытая с концов
плоскопараллельными стеклами для пропускания исследуемых лучей. В этой
трубе находится металлический натрий, который испаряется при
подогревании снизу газовой горелкой. Так как температура верхней
части трубки ниже, чем подогреваемой нижней части, то плотность
пара уменьшается снизу вверх. Действие такого неоднородного
облака паров натрия на лучи света подобно действию призмы,
толщина которой убывает от основания к преломляющему ребру.
Для того чтобы увеличить градиент плотности пара, что
соответствует увеличению преломляющего угла призмы, следует
охлаждать верхнюю часть трубы.
Если через трубу проходят лучи белого света, попадающие
после этого на щель спектроскопа, то полученный спектр имеет
вид, представленный на рис. 215.
В горизонтальном направлении разложение в спектр
производится призмой спектроскопа (слева направо), а отклонения лучей
в вертикальном направлении, производимые парами натрия,
показывают относительные изменения показателя преломления разных
лучей. Мы видим, что показатели преломления заметно отличаются
только для лучей, близких к линии D, прячем со стороны
коротких волн, которые расположены вправо как наиболее преломляв-

§8
Аномальная дисперсия в газах
399
мые в стекле (нормальная дисперсия), показатель преломления
уменьшается при приближении к натриевой линии. Для лучей, очень
близких к линии D, пары совершенно непрозрачны, и в этой
области опектр перерезывается темной полосой сильного поглощения.
По другую ее сторону показатель имеет вначале аномально
высокую величину, которая уменьшается к красному концу спектра.
Для * точных измерений показателя преломления описанный
способ непригоден, так как мы не можем определить
преломляющего угла призмы паров натрия. Вуд применил для определения
абсолютной величины показателя преломления интерферометр
Майкельсона. Иа пути одного из интерферирующих пучков
ставилась трубка с парами натрия, равномерно нагретая в средней своей
к насосу
11 Π
SiWef-.Vfca
К
Рис. 214.
фиол.
Рис. 215.
части. Вследствие этого создавалась разность хода между лучами,
проходившими через пары натрия, и другими прошедшими через
такую же, но пустую трубку. По мере подогревания трубки с
натрием полосы интерференции перемещались и притом различно
в разных лучах спектра. Считая число переместившихся полос,
можно было определить показатель преломления паров для разных
лучей.
Сравнение опытных результатов с формулой Сельмейера
показало, что на некотором расстоянии от D линии можно считать
ее одиночной линией и вычислять показатель по формуле с одним
переменным слагаемым. На близком расстоянии необходимо
принимать во внимание двойственность линии D. Ход дисперсии вблизи
линий и между ними был изучен Д. С· Рождественским.
Подобные измерения аномальной дисперсии в водороде, были
произведены Ладенбургом. Гейслерова разрядная трубка служила
источником линейного спектра водорода. Зтот свет проходил через
Трубку с водородом, которая помещалась в интерферометр и должна
была менять оптическую длину хода одного из лучей. Однако
линии поглощения и аномальную дисперсию удалось наблюдать

400 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
только тогда, когда через трубку проходил разряд. Причиной этого
является следующее обстоятельство. Испускание линий
водородного спектра производится свободными атомами водорода, на
которые частично распадаются его молекулы под действием разряда.
Для того чтобы эти линии могли поглощаться, необходимо
присутствие атомов, которые в обычном водородном газе соединяются,
образуя двухатомные молекулы. Только при пропускании разряда
может происходить .частичная диссоциация молекул, т. е. водород
приходит в такое состояние, в котором он способен поглощать
линейный спектр.
§ 9. Оптические свойства металлов.
Металлические тела отличаются от неметаллов своей
способностью сильно отражать лучи света почти всех длин волн.
Вследствие этого они имеют, с одной стороны, особый металлический
блеск, а с другой, отличаются почти полной непрозрачностью даже
в тонких слоях. Серебро отражает почти 90% падающих на него
лучей, остальные проникают внутрь, где и поглощаются в очень
тонком поверхностном слое. Как отражательная способность, так
и поглощение света металлами обусловлено особой подвижностью
электронов в металле, которые являются причиной высокой
проводимости металлов.
Электрическое поле волны создает в поверхностном слое
металла сильные переменные токи, которые являются источником
вторичных отраженных волн. В зависимости от сопротивления
металла эти токи проникают на разную глубину - и производят
нагревание поверхностных слоев. Этим обусловлено поглощение
света металлом. Присутствие свободных электронов оказывает
также влияние на фазовую скорость волн, . увеличивая скорость,
а не уменьшая ее, как это делают „связанные" электроны в атомах
диэлектрика. Поэтому показатель преломления волн часто имеет
в металле величину, меньшую единицы, а, следовательно, фазовая
скорость может быть в металле больше, чем в пустоте.
Так как свет сильно поглощается металлами, то
распространение волн в нем характеризуется не только показателем
преломления, но также коэффициентом поглощения, который
определяет скорость уменьшения амплитуды волны. Закон, по
которому убывает энергия луча в любых телах, можно
формулировать следующим образом: равные слои однородного
поглощающего вещества уменьшают энергию луча

§ 9 Оптические свойства металлов 401
в одно и то же число раз. Если слой достаточно тонок, то
количество света, поглощенного в нем, можно считать
пропорциональным количеству попадающего в него света и толщине слоя.
Обозначим количество света, входящего в слой, через /. Тогда
уменьшение — dl в слое, толщиной dx, выразится согласно
формулированному закону следующей формулой:
— dl=kldx..
Если проинтегрировать эту формулу, то мы получим тот же
закон для конечной длины пути, а именно
I=l0e-kx, (29)
где /0 сила света в начале пути.
Этот закон называется законом Ламберта и справедлив
для лучей определенной длины волны. Он применим, однако, не
только к световым лучам, но и ко многим другим явлениям,
например, к звуку, к рентгеновым лучам и пр.
По такому же закону происходит и уменьшение амплитуды
световых колебаний, т. е- электрической силы волны и колебаний
электронов, вызываемых ею. Обычно принято коэффициент
поглощения определять несколько иначе, а именно выражая длину
луча в длинах волн внутри металла. Если мы представим
уменьшение, амплитуды электрической силы Ε формулой, подобной (29),
а именно
Е = Е0е-2кх^,
то на расстоянии одной длины волны величина амплитуды
уменьшается в е~ Г'А раз.
Величиной κ обычно пользуются для характеристики
поглощения оптических лучей. В металлах χ часто больше единицы,
и поэтому уже на расстоянии одной длины волны уменьшение
амплитуды чрезвычайно велико.
Поглощение света в металлах весьма сильно зависит от длины
волны. Для некоторых лучей металлы в тонких слоях довольно
прозрачны. Так, например, серебро, имеющее большой
коэффициент поглощения для всех длинных волн, довольно хорошо
пропускает фиолетовые и ультрафиолетовые лучи; тонкие листочки
серебряной фольги в проходящем свете кажутся фиолетовыми.
Золото в тонких слоях пропускает зеленые лучи, последние
проникают на большую глубину и поглощаются, вследствие чего и
получается желтая окраска золота.
26 Зак. 2408. Курс физики, т. ц.

402 Электромагнитная и электронная теория сеета Гл. VII
Для опытного определения коэффициента поглощения лучей
измеряется количество лучей, проходящих через слои металла
различной толщины. В таких непосредственных измерениях
необходимо знать количество света, входящее внутрь металла, т. е.
из количества падающего на поверхность нужно вычесть
отраженный свет.
Для определения показателя преломления можно применить
также непосредственный метод измерения по отклонению лучей
тонким полупрозрачным слоем металла, имеющим форму призмы
с очень малым преломляющим углом. Проще однако измерять
изменение поляризации света при отражении от поверхности
металла и из этих измерений косвенно находить оптические
константы металла, т. е. его показатель преломления η и коэффициент
поглощения *. В приводимой здесь таблице содержатся значения
всех этих величин, найденных Друде. В последней строке даны
также коэффициенты отражения в процентах падающего света:
Серебро Золото Платина Медь Натрий Ртуть
in 3,67 2,82 4,26 2,62 2,61 4,96
η 0,18 0,37 2,06 0,64 0,005 1,73
R 95 85 70 73 97,7 78,4
В первой строчке этой таблицы приведены произведения зд,
а не коэффициент κ, так как произведение более постоянно и
удобнее для расчета. Особенностью . многих металлов, хорошо
проводящих электрический ток, является малый показатель п,
достигающий в случае натрия ничтожной величины 0,005; у натрия
мы находим также исключительно большой коэффициент отражения.
Для теоретического объяснения всех этих особенностей
недостаточно знания электропроводности металлов, но необходимо
учитывать также диэлектрическую постоянную. Согласно
электронной теории оптические свойства металлов зависят как от
свободных электронов, так и от связанных в атомах металла.
Для длинных инфракрасных лучей все соотношения становятся
проще, так как в этой области спектра нет собственных колебаний
электронов, и как отражение, так и поглощение света определяются
свободными электронами металла.
В виду этого Рубенс и Хаген произвели измерения
отражательной способности металлов для длинных инфракрасных волн.
Измерения показали, что почти все металлы отражают свет тем
лучше, чем больше их проводимость. При возрастании длины
волны отражательная способность увеличивается и стремится
к 100%.

§10
Давление света
403
Согласие между наблюденными и вычисленными величинами
настолько хорошо, что можно по отражательной способности
металла определять его электропроводность. Этот результат является
блестящим подтверждением электромагнитной теории света.
Так как проводимость металла уменьшается при нагревании,
то и отражательная способность должна уменьшаться при высоких
температурах. Это также было подтверждено опытами, в которых
лучи многократно отражались от зеркал, помещенных в
электрическую печь, где происходило их нагревание.
§ 10. Давление света.
Как мы видели (гл. III, § 15), электромагнитные волны, падая на
поверхность проводящего тела, производят на него давление. Еще
ранее мы видели, что и акустические волны оказывают давление
на отражающие или испускающие их тела. Давление света, таким
образом, не представляет какого-либо нового явления, но оно
играет весьма важную роль при объяснении многих явлений,
связанных с испусканием и поглощением света.
С точки зрения электромагнитной теории света и в особенности
при помощи модели электронных резонаторов легко понять связь
между испусканием и поглощением света, с одной стороны, и
давлением его на такие тела, с другой.
Как показал голландский физик Лоренц, всякий заряд,
движущийся в магнитном поле со скоростью ѵ, перпендикулярной к
направлению магнитной силы Н, испытывает действие силы /. Эта
сила пропорциональна величине заряда е, скорости и величине
магнитной силы Η и направлена перпендикулярно как к
скорости ѵ, так и к магнитной силе Н. Эта сила /, равная
f=*Ho —
с
и называемая обычно силой Лоренца, является согласно
электронной теории причиной того, что проводник с током і
испытывает на себе действие магнитного поля или
электромагнитную силу?
(скорость света с входит в эти формулы, потому что
электрический заряд е и силу тока ί мы выражаем здесь в
электростатических единицах, а магнитную силу Η в магнитной системе единиц).
Так как в электромагнитных волнах всегда на ряду с электрической
26*

404 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
силой имеется и магнитная, то электроны, движущиеся в
направлении, перпендикулярном к магнитной силе волны, испытывают
ее действие.
Представим себе электроны, колеблющиеся под действием
электрической силы волн света, падающих на тело. Направление
скоростей, которые они имеют при этом, совпадает с
направлением электрической силы и, следовательно, перпендикулярно
к направлению магнитной силы волны. Поэтому действие лорен-
цовой силы направлено перпендикулярно к плоскости волны.
Вследствие этого все тело испытывает давление в направлении
лучей падающего на него света. Однако, если скорость электрона
не в фазе с магнитной силой, и сила, действующая на движущийся
электрон, будет направлена попеременно то внутрь тела, то
наружу. Положим, что разность фаз между скоростью электрона и
магнитной силой волны равна φ; тогда величина среднего
давления за время одного периода равняется
Η— ν cos φ, (30)
где Η—магнитная сила, е — заряд электрона, выраженный в
электростатических единицах, ν — его скорость. Если φ = 90°, то
давление равно нулю; оно наибольшее при<р = 0°.
Сила, действующая на электрон, пропорциональна ускорению
его. Если при колебаниях электрона не происходит рассеяния
энергии, то разность фаз между ускорением и скоростью электрона
составляет как раз 90° и такая же разность фаз будет между
электрической силой волны и скоростью электрона. Но мы знаем,
что магнитная и электрическая силы имеют одну и ту же фазу;
поэтому давление света при прохождении через непоглошающее
тело должно быть равно нулю·
Работа электрической силы, рассчитанная на единицу времени
(или мощность), также пропорциональна cos φ, а именно равна:
Ε ev cos φ, (31)
где <? имеет то же значение, как и в формуле (30), так как фазы
электрической и магнитной сил в волне одинаковы. Но работа,
производимая электрической силой волны, сопровождается
уменьшением ее энергии и, следовательно, поглощением света. Таким
образом свет, проходящий через поглощающее тело, производит
на него давление, пропорциональное поглощению света.
Если представить себе поверхность тела, испускающего свет,
как совокупность колеблющихся диполей, то наибольшая величина

§ w
Давление света
405
магнитной силы, создаваемой каждым диполем, совпадает повремени
с наибольшей скоростью смещения диполя, и поэтому при излучении
волн диполь испытывает некоторую силу, реакцию излучения,
которая направлена противоположно направлению излучения.
Давление этих волн на диполь внутри тела уравновешивается
противоположным давлением их на остальное тело при поглощении;
поэтому остается неуравновешенным только то давление, которое
производят на, диполи тела волны, испускаемые ими в окружающее
пространство.
При отражении волн от поверхности тела даже при отсутствии
поглощения свет производит давление на поверхность. Это
давление можно рассматривать как действие вторичных волн,
испускаемых резонаторами, находящимися в поверхностном слое. При
полном отражении у поверхности электрическая сила равна нулю,
а магнитная имеет пучность, так как магнитные силы падающей
и отраженной волны складываются. Поэтому давление при
отражении волн будет вдвое больше, чем при простом испускании
вторичных волн. Если же отражение неполное, то давление зависит
только от количества отраженного света и в два раза больше того
давления, которое тело должно испытывать при простом
испускании такого же количества лучей, какое им отражается.
Все эти соотношения могут быть прекрасно описаны
следующим представлением. Волны света или вообще электромагнитные
волны аналогичны движущимся вдоль их лучей материальным
частицам, несущим запас количества движения пропорционального
массе их. Согласно основному результату общей теории
относительности всякая энергия, например Энергия волн, обладает инерцией,
т. е. при движении в пространстве, как и материя, имеет запас
количества движения, пропорционального количеству энергии. При
изменении направления движения волн в обратное происходит
изменение количества движения в два раза большее, чем при
поглощении волн, когда количество движения волны просто исчезает
и переходит в количество движения поглотившего ее тела. Эти
явления напоминают давление при ударе материальных частиц
о неподвижную преграду.
Экспериментально давление света было получено и измерено
впервые П. Лебедевым, а затем Никольсом и Хеллом в Америке.
Заставляя свет падать на диски, представляющие собой
„крылышки" легкого подвеса (рис. 216), помещенного в пустоте,
Лебедев показал, что давление на поглощающую, зачерненную
поверхность в два раза меньше давления на зеркально-отражающую

406 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
поверхность той же величины, и по величине пропорционально
энергии лучей, т. е. силе света. В этих опытах чрезвычайно
важно устранить влияние конвекционных потоков воздуха,
которые образуются вследствие нагревания освещенной поверхности
и вызывают вращение подобного же подвеса в
обыкновенном радиометре. Радиометрические
φ О действия ничего общего не имеют с давлением
света на поверхность крылышка, так как зависят
д ι О от присутствия газа в сосуде, и по величине они
гораздо больше светового давления (примерно
в 10000 раз). Для измерения последнего
необходимо исключить радиометрический эффект или свести его до
минимума.
Впоследствии Лебедеву удалось показать, что при прохождении
света через поглощаюший газ (например углекислоту), последний
испытывает давление, пропорциональное коэффициенту поглощения,
и приходит в движение. Такого действия не было обнаружено при
прохождении через непоглощающий газ, например водород.
§ 11. Анизотропные тела.
В некоторых случаях движение электронов в атомах происходит
более сложным образом, чем мы принимали до сих пор. Под
действием других электронов атома или же вследствие того, что при
колебаниях электрон находится под действием электрического
поля соседних атомов, одно и то же внешнее электрическое поле
может вызывать в зависимости от направления различное
смещение электрона. Такое различие свойств в разных
направлениях мы называем анизотропией тела, а тела, которые
обладают такими свойствами—анизотропными. Анизотропными
телами обычно являются кристаллы, которые обладают и в других
явлениях (теплопроводность, электропроводность, упругость)
свойствами, зависящими от направления, но возможна искусственная
анизотропия, например при одностороннем растяжении или сжатии
тела.
В таких случаях направление поляризации, т. е. смещения
электронов в атомах, не всегда совпадает с направлением внешнего
электрического поля. Поляризацию можно представить тремя
взаимноперпендикулярными составляющими вдоль каких-либо
координатных осей. Электрическое поле вдоль одной из этих осей,
например оси ОХ, создает поляризацию Р, а следовательно и

§ 11 Анизотропные тела 407
индукцию D, с составляющими вдоль всех осей; все эти
составляющие по величине пропорциональны создающей их
электрической силе Ех. Эти составляющие поляризации и индукции мы
будем обозначать соответственно Рхх,
рхѵ, Рхг и Dxx, Dxy, Dxl (рис 217).
Подобным же образом под действием
составляющей Еу мы получим другие зна- | хг
чения поляризации и индукции: Рух, Руу,
Ру* и ®у*> Dyp Dy* и также представим
результаты действия составляющей Ег. / Ча
Таким образом сумма всех составляю- / ХУ
щих поляризации и индукции вдоль на- Υ р 21_
правления ОХ будет соответственно
Рхх-\гРух-\~Ргх = Рх и Dxx-\-'Dyx-\-Dlx = Д, и таким же образом
мы найдем Ру, Рг, Dy и Ό,.
Мы можем попрежнему написать D = [ε]Ε, но это равенство
будет лишь символическим изображением сложных соотношений
между составляющими электрической силы и индукции, а именно:
Dx = sxxEx -f »vJEy -f *J5„
Оу = *хуЕх-{-еу!/Еу + г1уЕг (32)
где s с двойными значками определяют отношения
составляющей электрической индукции по направлению, даваемому вторым
значком, к той составляющей электрической силы, которая
определяется первым значком. Таким образом мы имеем, вообще
говоря, 9 коэффициентов вместо одной диэлектрической постоянной.
В большинстве случаев они сводятся к 6, так как б из 9 попарно
равны: гху = гух, гуг = ггу и егх = ъХI. Можно так расположить
направления осей координат, что все эти 6 коэффициентов из девяти
исчезают, и остаются три главные диэлектрические
постоянные в1У е2 и е3 вдоль трех главных осей. Одна
из этих осей совпадает с направлением наибольшей величины
поляризации, другая—с наименьшим ее значением. Каждая из этих осей
отличается тем свойством, что электрическая сила, параллельная
ей, вызывает поляризацию и индукцию, также параллельные этой
оси, и не дает смещения по остальным осям:
•^„-А. %EV = DV и е3£, = Д. ,(33)

408 Электромагнитная и электронная теория света Гл. ѴЦ
Положим, что электрическая сила волны имеет составляющие
по главным осям Ez, Еѵ и Ее; тогда для квадрата электрической
силы имеем:
* = ЕІ +$ + % = % + % + £. (34)
Sl £2 S3
Если мы обозначим отношения составляющих электрической
индукции к величине электрической силы Ε буквами ξ, η и ζ, τ. е.
ζ Ε' η Ε Ε'
1· (35)
Это уравнение эллипсоида, и оно приводит нас к следующему
результату. Если мы построим трехосный эллипсоид (рис. 218)
(эллипсоид диэлектрических постоянных), длина
6з главных осей которого равна главным
диэлектрическим постоянным е1; е2 и ε3, то любой вектор,
проведенный из центра эллипсоида к его поверх-
|у ности, будет иметь составляющие £, -η, ζ,
которые по определению пропорциональны
составляющим электрической индукции D. Вследствие этого
вектор г своей длиной укажет отношение величины
электрической индукции в этом направлении к ве·
личине вызвавшей ее электрической силы. Точно
так же и ток смещения в нашем анизотропном
диэлектрике в зависимости от направления будет
иметь величину, пропорциональную радиусу-вектору г, и то же
направление, что и радиус-вектор. Итак, величина г дает нам
диэлектрическую постоянную в данном направлении.
Направление электрической силы не совпадает с направлением
радиуса-вектора г. Составляющие электрической силы Ех, Еу и Ег
в той же системе координат согласно уравнению (33)
пропорциональны:
Таким образом в анизотропных телах электрическая сила не
совпадает по направлению с электрической индукцией и коэффи-
то получим из формулы (34) уравнение:
f-b^ + C- =
2 Ί 2~ 2
Sl S2 63

§11
Анизотропные тела
409
циент пропорциональности между ними зависит от направления
силы.
Известно, что изменение электрической индукции создает тек
смещения. В электромагнитной волне магнитная сила и ток
смещения взаимноперпендикулярны; они определяют плоскость волны.
Направление, перпендикулярное к плоскости волны, также
перпендикулярно и к магнитной силе и к направлению тока смещения; оно
определяет направление движения волновой поверхности или
поверхности равных фаз. В виду этого в дальнейшем условимся ток
смещения называть просто световым вектором волны.
Мы видим, что нужно различать направление электрической
индукции и направление электрической силы, которые в анизотропных
телах различны. Направление и величина электрической силы играют
также большую роль в этих явлениях,
определяя вектор Пойнтинга. Последний, как мы
видели (гл. III, § 12), зависит не от
электрической индукции, а от электрической силы,
перпендикулярен к электрической и
магнитной силам и пропорционален их
произведению. Вектор Пойнтинга определяет поток
энергии при распространении волн, и поэ- рис 219.
тому в анизотропных телах направление
потока энергии волны и направление
распространения фазы волны несовпадают. Первое направление мы
назовем направлением луча, второе — направлением
нормали волны.
Вообразим теперь некоторую плоскость внутри кристалла, £0в-
падающую с плоскостью волны, (рис 219)· Построим вокруг
какой-нибудь точки этой плоскости эллипсоид диэлектрической
постоянной, пересечение которого с плоскостью волны дает эллипс.
Световой вектор лежит в плоскости эллипса, и от того, как он
направлен по отношению к осям эллипса, будет зависеть явление
распространения волны в кристалле.
Если световой вектор волны совпадает с одной
из главных осей эллипса, то мы будем иметь только
одну волну, которая распространяется со скоростью
г с гг с
V = —г= ИЛИ V = —j^s ,
- Υ в' Υ ε"
где а' и а" — диэлектрические постоянные в
направлениях главных осей эллипса. Если же световой

410 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VI/
вектор не совпадает с осями е' и ε, то волна
распадается на две, распространяющиеся со скоростями
υ и ѵ", причем направление их световых векторов
параллельно осям эллипса. Пользуясь этим простым
правилом, мы можем, зная эллипсоид диэлектрических постоянных,
найти две волны, распространяющиеся в определенном направлении
с различной скоростью. Световые векторы их
взаимно-перпендикулярны. Этот результат объясняет явление, называемое
двойным лучепреломлением.
Каждая из волн, на которые распадается волна, вошедшая в
двоякопреломлющий кристалл, прямолинейно поляризована и имеет
свой показатель преломления. Но в тех случах, когда сечение
эллипсоида плоскостью волны есть не эллипс, а круг, разница
между двумя этими волнами исчезает: их скорости одинаковы,
колебания могут иметь любое направление, и двойного
лучепреломления не происходит. Направление в кристалле, вдоль
которого свет распространяется, не испытывая
двойного лучепреломления, называется оптической осью
кристалла.
Во всяком трехосном эллипсоиде существуют два сечения
плоскостями, проходящими через центр (и только два), которые имеют
форму круга. Волны, плоскость которых параллельна двум
круговым сечениям эллипсоида, распространяются не распадаясь на
две различные волны. Мы имеем таким образом не больше двух
оптических осей; такие кристаллы мы называем двуосными.
Их оси могут слиться в одну, если трехосный эллипсоид
превратится в эллипсоид вращения; ось вращения в этом случае есть
единственная оптическая ось; такие кристаллы будем называть
одноосными.
§ 12. Одноосные кристаллы.
Если эллипсоид вращения пересечь плоскостью, проходящей
через его центр, то в сечении получим эллипс, одна из осей
которого совпадает с радиусом кругового сечения (рис 220), а другая
имеет величину, различную в зависимости от угла между нормалью
κ плоскости и оптической осью ООѵ Соответственно этому в
каждой плоскости возможны два направления светового вектора,
параллельных главным осям эллипса, и следовательно две волны
в каждом направлении. Одна из них распространяется с той же
скоростью, как и волна вдоль оптической оси, так как одна из
осей эллипса равна радиусу кругового сечения; эта BOAHat назы-

§12
Одноосные кристаллы
411
вается обыкновенной. Другая волна, необыкновенная,
имеет скорость, различную в разных направлениях. Колебания
(светового вектора) в обыкновенной волне всегда перпендикулярны
к оптической оси; колебания в необыкновенной волне
составляют с оптической осью угол, изменяющийся
от 0° до 90°, и параллельны плоскости, проходящей
через нормаль волны и оптическую ось.
В обыкновенной волне скорость
света ц0 не зависит от направления
распространения, отсюда и название ее. Выйдя из
какой-либо точки внутри кристалла, она
распространяется во все стороны с одинаковой скоростью и
потому образует сферическую волну. В каждой точке
ее колебания перпендикулярны к плоскости,
проходящей через оптическую ось и данную точку.
В необыкновенной волне свет распространяется
с раз личной ск оростьіо и, в зависимости от
направления. Больше всего отличается скорость необыкновенной
волны и„ от скорости обыкновенной щ при распространении ее
в направлении, перпендикулярном к оптической ос^ когда
колебания светового вектора параллельны оптической оси. При этом
могут быть два случая: или ие > щ -или же ив < н0. Им
соответствуют волновые поверхности, изображенные на рис. 221 А и В.
Кристаллы, относящиеся к первому случаю, т. е. те, в которых
скорость обыкновенной волны меньше, чем необыкновенной,
принято называть отрицательными;
ρ s^~~*]*^у в положительных кристаллах, на-
борот, скорость обыкновенной
η волны наибольшая.
^ К отрицательным кристаллам
относится известковый шпат, или,
как его еще называют по месту
Рис. 221. добычи, исландский шпат; к
положительным принадлежит кварц.
Показатели преломления обратно пропорциональны скоростям, и
поэтому для отрицательных кристаллов исландского шпата пе < п0
(пв —1,48654; п0 = 1,65846). Для положительных кристаллов пв > щ\
так, для кварца пе = 1,55338, а щ = 1,54423 для желтой линии D.
При преломлении света на плоской поверхности одноосного
кристалла возможны различные случаи в зависимости от направления
оптической оси по отношению к поверхности кристалла. Плоскость,

412 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
Рис. 222.
проведенная через нормаль к поверхности кристалла параллельно
оптической оси, называется главным сечением кристалла.
Мы рассмотрим сначала случаи, когда лучи, падающие на
поверхность кристалла, лежат в плоскости главного сечения.
a) Оптическая ось перпендикулярна к поверх-
ности кристалла. Если лучи падают на поверхность кристалла
нормально, т. е. параллельно оптической оси, то они входят
в кристалл, не изменяя направления, и распространяются
независимо от поляризации со скоростью обыкновенной волны и0.
При других углах падения после преломления луч разделяется
на два: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча остаются
в плоскости падения, но по-
" казатель преломления
обыкновенного луча остается
неизменным, а необыкновенного
меняется в зависимости от угла
падения, от п0 при нормальном
падении до пе при скользящем.
Направления колебаний
обыкновенного луча
перпендикулярны к плоскости падения,
а необыкновенного лежат в плоскости падения, как
показано для отрицательного и положительного кристаллов стрелками
(рис. 222).
b) Оптическая ось параллельна поверхности
кристалла. При нормальном падении на пластинку кристалла
преломления не происходит, но волны, обыкновенная и
необыкновенная, войдя внутрь кристалла, распространяются в нем с
различной скоростью. Если лучи при входе в кристалл имели одинаковые
фазы, то по мере проникновения вглубь разность фаз меняется.
При наклонном падении лучей показатель преломления
необыкновенного луча изменяется с изменением угла падения.
c) Оптическая ось пе'ресекает поверхность
кристалла под острым или тупым углом. При нормальном
падении плоских волн на поверхность кристалла они
распространяются внутри кристалла в том же направлении, как две волны,
обыкновенная и необыкновенная, но лучи, т. е. направление
распространения энергии в необыкновенной волне не перпендикулярны
к плоскости волны и поэтому не совпадают с направлением
распространения волн внутри кристалла. В предыдущих примерах
направления лучей и нормалей волны вполне совпадали.

§13
Двдосные кристаллы
413
Этими примерами исчерпываются наиболее важные случаи
двойного лучепреломления в одноосных кристаллах.
Если оптическая ось не лежит в плоскости падения, то
преломленный необыкновенный луч не остается в плоскости падения. Но
на разборе этого более общего, не представляющего особого
интереса случая, мы не будем останавливаться.
§ 13. Двуосные кристаллы.
В двуосных кристаллах поверхность волны имеет гораздо более
сложный вид. Мы можем построить ее, проводя из начала
координат прямые и откладывая на них отрезки, пропорциональные
скорости как обыкновенной, так и
необыкновенной волны. Построенная таким
образом поверхность четвертого порядка имеет
довольно сложную форму, но ее сечения
координатными плоскостями
представляют окружности и эллипсы, если оси
координат направлены
параллельно главным осям
диэлектрических постоянных. Вид этих
сечений в одном квадранте изображен
на рис. 223. Вдоль каждой оси распро- Рис- 223.
страняется по две волны с различными
скоростями соответственно колебаниям параллельно главным диэ-
лектрическим осям OX, OY и OZ, т. е. со скоростями ѵ_і = ,
С С
ѵ2 = —, ѵ3 — —, которые мы называем главными скоро-
стямикристалла.
Рассматривая направления, лежащие в одной из координатных
плоскостей, мы видим, что вдоль них распространяются две волны:
одна, в которой колебания перпендикулярны к координат,
ной плоскости со скоростью, равной одной из главных скоростей,
и другая с колебаниями, лежащими в этой плоскости, со
скоростью промежуточной между другими главными скоростями.
Скорость первой волны не зависит (как и направление ее колебаний)
от ее направления распространения в плоскости координат, и
поэтому соответствующее сечение этой волновой поверхности дает
круг. Сечением другой волны является эллипс, так как скорость
волны и направление колебаний все время изменяются при
изменении направления распространения.

414 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
§ 14. Поляризационные приборы.
Двойное лучепреломление в анизотропных телах дает
возможность получить два луча, поляризованных во
взаимно-перпендикулярных плоскостях. Наиболее удобным для этой цели является
исландский шпат (углекислый кальций), который
находится в природе в больших прозрачных
кристаллах гексагональной системы. Форма
кристалла— ромбоэдр, и его оптическая ось ΟΟί
проходит через два противоположных трехгранных
угла, где сходятся тупые углы граней кристалла
Рис. 224. (рис, 224).
Если через такой кристалл пропустить свет в виде тонкого пучка
лучей, то вследствие большой разности показателей преломления
два пучка лучей, обыкновенных и необыкновенных, разойдутся внутри
кристалла и выйдут с другой стороны, как два отдельных пучка,
поляризованные прямолинейно и притом во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Если вращать кристаллы, не изменяя угла
падения, то обыкновенный луч О будет сохранять свое
направление, а необыкновенный Ε — вращаться вокруг обыкновенного. При
таком вращении изменяется, вообще говоря, направление
оптической оси, и поэтому плоскость поляризации
как обыкновенного, так и необыкновенного ι
лучей вращается.
Положим, что свет, уже поляризованный,
пропускается через такой кристалл.
Амплитуды преломленных лучей, обыкновенного
и необыкновенного, можно найти, разлагая
колебания падающего света на две составляю- л д
щие: лежащую в плоскости главного сече- рис 225
ния Cj (рис. 225) и перпендикулярную к ней
а%. Если вращать плоскость главного сечения вокруг луча, вращая
кристалл, то относительные величины этих составляющих, т. е.
колебаний обыкновенного О и необыкновенного Ε лучей, меняются
и следовательно изменяется относительная яркость лучей. При
этом в некоторых положениях кристалла свет будет проходить
весь как обыкновенный, при других—как необыкновенный.
Если вырезать из кристалла исландского шпата две
трехгранные призмы так, чтобы оптическая ось была параллельна грани
призмы, н сложить их, как показано на рис. 226 (стрелки
показывают направление оптической оси), то луч света, падая на грань

§14
Поляризационные приборы
415
такой сложной призмы нормально, проходит вначале вдоль
оптической оси, как через изотропную среду (всякий луч в этом случае
будет обыкновенным), но во второй половине призмы разделяется
на лучи обыкновенный и необыкновенный. Колебания,
перпендикулярные к оптической оси, проходят без отклонения, как
обыкновенный луч, а колебания, параллельные оптической оси,
преломляются на границе, так как показатель преломления
необыкновенного луча больше обыкновенного. Таким образом эта призма,
называемая призмой Рошона, дает значительное разделение лучей,
из которых неотклоненный поляризован в плоскости чертежа.
Другая призма—Волластона (рис. 227)—дает еще большее
расхождение лучей, так как они отклоняются второй призмой в раз-
Рис. 226.
Рис. 227.
ные стороны. Для этого в первой призме оптическая ось должна
быть перпендикулярна к плоскости чертежа. Оба
луча—обыкновенный и необыкновенный—преломляются различным образом, так
как тот, который в первой призме был обыкновенным, во второй
становится необыкновенным, и наоборот.
Особенно часто применяется в оптических работах призма
Никол я. Она также состоит из двух призм, выпиленных опреде·
ленным образом из кристалла исландского шпата и склеенных
тонким слоем канадского бальзама. На рис. 228 показан ход луча
в призме; оптическая ось лежит в плоскости сечения.
Обыкновенный луч имеет показатель преломления больший,
чем у канадского бальзама, и направление этого луча и угол его
падения на слой канадского бальзама подобраны таким образом,
чтобы он испытывал полное внутреннее отражение и выходил из
призмы в боковом направлении, где он обычно поглощается
зачерненной оправой. Необыкновенный луч вследствие малости его
показателя проходит через слой канадского бальзама без заметного
отражения и выходит из призмы, как свет прямолинейно поляри·
зованный, причем направление колебаний в нем (показанное
стрелками) лежит в плоскости главного сечения.

416 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
Призма Николя (или просто николь) служит в качестве
поляризатора, когда на нее падает естественный, неполяризо-
ваный свет. Она может играть роль анализатора, т. е.
служить для определения плоскости поляризации проходящего через
нее света. Для этого оправа николя снабжается разделенным
кругом, который позволяет отсчитывать вращение плоскости его
главного сечения. При этом николь можно устанавливать или на
свет, иначе, параллельно, когда поляризованный свет
проходит с наибольшей яркостью, или же на темноту, накрест(
если призмой производится гашение света до минимальной яркости.
Два николя, поляризатор и анализатор, поставленные параллельно
или накрест, играют видную роль
в большинстве опытов с поля- /
ризованным светом. /у
Пластинка одноосного кристал- /~~\
ла, вырезанная так, что ее грани Ѵ_У
-*Р-
Рис. 223.
Рис. 229.
параллельны оптической оси, при падении на ее поверхность
прямолинейно поляризованного луча, дает возможность получить лучи
с любым типом поляризации: эллиптической, круговой и
прямолинейной. Положим, что направление колебаний в падающем луче
составляет с оптической осью АА (рис 229) угол в 45°. Войдя
в кристалл, лун разделяется на два, обыкновенный и
необыкновенный, с одинаковыми амплитудами. Так как их фазовые скорости
внутри кристалла неодинаковы, то фаза одного из них
запаздывает; получается разность фаз, которая все возрастает. Таким
образом мы будем иметь вдоль луча два взаимно
перпендикулярных колебания, у которых в разных точках разность фаз будет
различна. Складываясь, они дают колебания: эллиптическое, с глав,
ной осью эллипса, наклоненной почти так же, как прямолинейное
колебание, затем круговое, затем опять эллиптическое, переходящее
в прямолинейное, но с главной осью, лежащей в других квадрантах.
При дальнейшем возрастании разности фаз происходит такое же

§ 14 Поляризационные приборы 417
превращение колебаний, но только направление вращения вектора
(при эллиптическом или круговом колебании) будет
противоположным.
Круговое колебание получается первый раз, когда разность
достигает 90°. Толщина d, соответствующая этому условию, может
быть определена следующим образом. Длины волн обыкновенной
и необыкновенной в кристалле равны:
λ λ
—>- и —.
по пе
Следовательно, на расстоянии d разность фаз равна:
2Ы
откуда
(п0 — пе) —
4
2'
10 — Пе
Пластинка, имеющая такую толщину, называется
пластинкой „в четверть волны". Она, конечно, имеет толщину большую,
чем -д-λ, так как знаменатель п0—пе есть дробь, значительно
меньшая единицы.
Пластинка „в полволны" дает возможность, сохранив
прямолинейную поляризацию, повернуть ее плоскость на 90° или же при
падении на нее света, поляризованного
по кругу, изменить направление
вращения светового вектора в обратное
и т. д.
Две. клинообразные пластинки, в
которых оптические оси ориентированы,
как в призме Волластона (см. рис. 230),
при пропускании через них
поляризованного света вносят разность фаз
между колебаниями, поляризованными в главных сечениях обеих
призм.
. При равенстве толщины обоих клиньев разность фаз,
внесенных одним, компенсируется противоположным сдвигом фазы,
производимым другим клином. По ту и другую сторону этой полосы
лежат те части призмьь которые дают все возрастающую разность
фаз, положительную с одной стороны и отрицательную с другой.
Этот прибор — компенсатор Бабине — служит для
компенсации разности фаз между взаимно перпендикулярными коле-
27 Зак. 2408. Курс физики, т. II.
Рис. 230.

418 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
баниями следующим образом. Положим, что на компенсатор падает
свет, имеющий эллиптическую поляризацию, причем оси эллипса
параллельны главным сечениям клиньев компенсатора. В средней
части компенсатора, изображение которого рассматривается через
окуляр, свет проходит без изменения; в тех точках, где компенса-
. π π
тор вводит добавочную разность фаз-J--^- или — -у, мы получим
два взаимно перпендикулярных колебания с разностью фаз-(-π
или 0, т. е. колебание прямолинейное. Если между компенсатором
и окуляром еще поместить николь как анализатор, то можно,
поставив его на темноту, погасить прямолинейно поляризованный
свет, и следовательно, получить темную полосу там, где разность
фаз, вносимая компенсатором, равна -~-. На равных расстояниях,
соответствующих разностям фаз ·~--{-Α2π, где k — целое число,
получим также темные полосы. Если же свет, падающий на
компенсатор, имеет иную разность фаз, то и темные полосы
получатся на другом расстоянии от средины компенсатора, которая
как-нибудь отмечена, например нитью в окуляре (рис. 230,2).
При помощи микрометрического винта можно перемещать один из
клиньев компенсатора и менять вносимую им разность фаз. Так,
можно достичь, чтобы в средней части разность фаз была равна
не нулю, а например -j- yr- или—-=-, тогда вся система темных полос
переместится. Точно так же всякое изменение разности фаз
в исследуемом эллиптическом колебании может быть
компенсировано передвижением клина, что обнаруживается по восстановлению
прежнего расположения темных полос. Этим способом, очевидно,
можно измерить любую разность фаз между взаимно
перпендикулярными колебаниями, например, при отражении поляризованного
света от поглощающих (металлических) тел и т. п.
§ 15. Цветная (хроматическая) поляризация.
Под цветной поляризацией понимают те явдения окрашивания
проходящего белого света, которые наблюдаются всякий раз,
когда между скрещенными или, наоборот, параллельно
поставленными николями вводится пластинка, дающая двойное
лучепреломление. Наиболее простые явления получаются, если лучи,
проходящие через плоскопараллельную кристаллическую пластинку,

§ 15
Цветная (хроматическая) поляризация
419
образуют параллельный пучок, так как в этом случае весь
пучок окрашивается в один цвет. Более сложную картину мы
имеем, если различные лучи падают под различными углами на
пластинку и проходят ее под разными углами. Рассматривая
пластинку в этом случае, мы видим на ее поверхности более или
менее сложные рисунки, характерные для хроматической
поляризации в сходящихся лучах.
Пусть пучок параллельных лучей, как показано на рис. 231,
проходит через поляризатор Р, кристаллическую пластинку С и
анализатор А, который поставлен „на темноту". При отсутствии
кристалла анализатор тушит свет, прошедший через поляризатор,
так как их главные сечения A is. Ρ взаимноперпендикулярны.
Если же пластинка С, в которой оптическая ось параллельна ее
плоскости, превращает линейно поляризованный свет в эллипти-
С Υ X
А
<ГЖ-Ш
Рис. 231.
Рис. 232.
чески поляризованный, или же поворачивает его плоскость
поляризации на 90°, то анализатор не дает темноты.
Положим, что ось ОХ (ряс 232) параллельна оптической оси.
Колебания, прошедшие через поляризатор, параллельны плоскости ОР.
В кристаллической пластинке луч разделяется на два с колебаниями
параллельными ΟΧηΟΥ. Анализатор А, поставленный на темноту
пропускает только составляющие, лежащие в плоскости ОАг
т. е. Оах и Оа2. Фазы их, как видно из рисунка, противоположны,
если скорости их: распространения одинаковы, вследствие чего
в, отсутствии пластинки получается темнота. Но в кристалле
скорости обыкновенного и необыкновенного луча неодинаковы и это
создает добавочную разность фаз и вызывает просветление поля
зрения.
Окрашивание света получается от того, что вносимая
пластинкой разность фаз зависит от разности показателей преломления
обыкновенного и необыкновенного лучей, которая различна для
лучей разной длины волны вследствие дисперсии света в
кристаллах. Положим, например, что пластинка „■„- волны" обладает свой'
27*

420 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
ством поворачивать плоскость поляризации на 90°, сохраняя его
прямолинейность лишь для определенных лучей, например для
желтых. Такая пластинка будет обогащать свет, прошедший через
анализатор, желтыми лучами, если анализатор был поставлен на
темноту, или же, наоборот, тушить желтые лучи, если анализатор
был поставлен „на свет". В последнем случае появится окраска
дополнительным к желтому синим цветом.
§ 16. Кристаллы в сходящихся лучах.
Весьма важное значение для изучения, строения
кристаллических тел имеют явления цветной поляризации в сходящихся
лучах. Для наблюдения их можно пользоваться поляризационным
микроскопом, схематически представленным на рис. 233. Свет
поляризуется при помощи николя в осветительном при-
ІЖц боре, который дает сильно сходящийся пучок лучей,
проходящий через кристаллическую пластинку,
рассматриваемую в микроскоп. Окуляр последнего
снабжен николем-анализатором.
Рассмотрим случай
одноосной пластинки, вырезанной
перпендикулярно к оптической
\рр, оси. Лучи, падающие
нормально на пластинку, проходят
вдоль оптической оси, сохраняя
свою плоскость поляризации,
Л^ дают в центре темноту, если
николи поставлены накрест.
Луч, падающий на пластинку
наклонно, разложится на два,
поляризованные во взаимноперпендикулярных плоскостях. Луч
необыкновенный дает колебания в плоскости падения, а
обыкновенный—в плоскости к ней перпендикулярной. Свет, поляризованный
в одной из этих плоскостей, пройдет сквозь пластинку без изменения,
В анализаторе по этим двум перпендикулярным направлениям будет
виден крест—темный при скрещенных николях, светлый—при
параллельных (рис. 234). Во всех остальных направлениях^лучи будут
разлагаться на два: обыкновенный и необыкновенный. Проходя сквозь
пластинку с разной скоростью, эти два луча получают: разность фаз и,
складываясь, дают окрашивание, различное при разных углах
падения. Это ведет к образованию вокруг центра цветных колец. Более
Рис. 233.
Рис. 231

§ 17 Случайное и искусственное двойное лучепреломление 421
сложный характер имеет картина в случае оси, параллельной
плоскости пластинки, когда мы получаем систему гипербол (рис. 235).
Рис. 235. Рис. 236.
При двуосной пластинке, вырезанной перпендикулярно к линии,
делящей угол между осями пополам, расположение цветных линий,
или изохромат, представлено на рис. 236.
§ 17. Случайное и искусственное двойное лучепреломление.
Двойное лучепреломление наблюдается в кристаллических
телах, обладающих кристаллографическими осями, вдоль которых
их диэлектрическая постоянная имеет различную величину.
Вследствие этого и в других направлениях их свойства неодинаковы.
Поэтому кристаллы, обладающие симметрией кубической системы,
т. е. имеющие три взаимноперпендикулярные оси, вдоль которых
диэлектрические постоянные равны (sj = ε2 = е3), не дают двойного
лучепреломления. Их эллипсоид есть шар, как и в телах вполне
изотропных.
Однако при исследовании таких оптически изотропных тел в про^
ходящем поляризованном свете можно часто наблюдать явления
цветной поляризации, которые или сохраняются в теле
неопределенно долго или же временно возникают под влиянием внешних
условий. Например, стекло, быстро затвердевшее, „закаленное",
представляет явления хроматической поляризации, указывающие на
различие его свойств в разных местах и по разным направлениям.
Такая „случайная" анизотропия иногда исчезает при отжигании
стекла, т. е. выдерживании его при высокой температуре и
медленном охлаждении. Иногда такая анизотропия наблюдается и в
естественных кристаллах кубической системы, например в каменной
соли (NaCl), и исчезает лишь при обжигании.
Искусственное получение анизотропии возможно также путем
механических воздействий. Тело, сжатое в одном направлении,
приобретает благодаря этому в этом направлении особые свойства и
делается оптически анизотропным. Это дает возможность изучать

422 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
распределение давлений внутри прозрачного и изотропного в
нормальных условиях тела, по разности показателей преломления
п0 — пе в разных точках тела, вызванной внешней силой. Этим
способом, можно исследовать экспериментально распределение
напряжений в различных сооружениях и конструкциях, которое
обычно рассчитывается сложными математическими методами
теории упругости. Опыты производятся с прозрачными моделями
изучаемых конструкций, например, балок сложной формы, из стекла
или целлюлоида. Подвергая эти модели различным нагрузкам,
можно по величине двойного лучепреломления судить о
напряжениях в различных частях модели. Это дает возможность нг
опыте проверять результаты теоретических подсчетов.
\ Когда твердое тело подвержено действию столь больших
напряжений, что появляются остаточные деформации, в местах
наибольших напряжений происходят сдвиги отдельных частей тела
относительно друг друга. Эти сдвиги всегда происходят в том
направлении, в котором всего меньше прочность тела. Так как
около места сдвига изменяется распределение напряжений, то
после удаления внешней силы внутренние напряжения не исчезают.
Если сдвиг происходил вдоль какой-нибудь плоскости, то по одну
ее сторону образуется сжатие материала, а по другую —
растяжение. В результате этого вдоль плоскости сдвига остается область,
имеющая свойство двоякопреломляющего кристалла. Таким
методом можно заметить первое появление остаточных деформаций,
столь слабых, что их еще невозможно обнаружить по изменению
размеров тела.
§ 18. Вращение плоскости поляризации. Естественное вращение.
Известны тела, обладающие всеми признаками изотропных тел,
но все же оказывающие влияние на проходящий через них
поляризованный свет. Так, например, направление плоскости
поляризациивр аща е τ с я при прохождении через раствор сахара
поляризованных лучей, в каком бы направлении они ни проходили.
Это вращение зависит лишь от числа „активных" молекул,
вращающая способность которых связана с их строением, а именно
с пространственным расположением атомов в молекуле. Такие тела
называются активными. Среди них есть и кристаллические,
которые однако обладают свойством вращать плоскость поляри-
"зации только при распространении света вдоль определенного
направления. Например, кварц вращает плоскость поляризации при

§ 18 Вращение плоскости поляризации 423
прохождении лучей вдоль оптической оси. При этом то же самое по
химическому составу тело может вращать плоскость (> в одну или
другую сторону, т. е. по и против часовой стрелки. Такие
противоположно вращающие разновидности носят название оптических
изомеров. Известны, например, право- и лево-вращающий кварц,
виноградный сахар и т. п.
Вращение плоскости поляризации есть сложное явление, но
оно может быть значительно упрощено, если рассматривать свет,
поляризованный по кругу. В таком
свете световый вектор все время
находится во вращении и при
распространении внутри активного тела
сохраняет свое вращение, скорость
которого определяется периодом его
колебаний. Преломление луча,
поляризованного по кругу, в активном теле
также не представляет каких-либо
особых явлений, т. е. луч,
поляризованный по кругу, имеет вполне
определенный показатель преломления.
Однако оптически активные тела
отличаются тем свойством, чтр два луча, поляризованные по
кругу, но с- противоположным вращением
светового вектора, имеют в них различные показатели
преломления.
Этим и объясняется вращение плоскости поляризации при
распространении прямолинейно поляризованного света. Последний можно
рассматривать как результат сложения двух лучей, поляризованных
по кругу, но с разным направлением вращения.
Если мы представим себе два вращающихся в противоположные
стороны вектора ОА и ОВ (рис. 237), то в случае одинаковой
скорости вращения их геометрическая сумма ОС будет совершать
прямолинейные гармонические колебания и сохранять постоянное
направление в пространстве. Направление это определяется
положением одного из векторов в начальной момент и начальной
разностью фаз, т. е. углом φ0 в тот же момент. При распространении
таких круго-поляризованных колебаний с различной скоростью
начальная разность фаз изменяется на величину
Рис. 237.
Α?ο = -γ("ι —"*)

424 Электромагнитная а электронная теория света Гл. VII
на каждый сантиметр слоя, а так как результирующий вектор при
этом вращается на угол, вдвое меньший, то угол'вращения
плоскости поляризации равен
у(пі — пг)
при толщине слоя в 1 см.
Мы можем представить себе модель электромагнитного
резонатора, который различно возбуждается электрическим вращающимся
полем при изменении направлания вращения. Спирали (рис. 238),
имеющие определенное направление витков, возбуждаются при вращении
электрического поля различным образом, смотря по направлению
вращения. Эта разница в особенности заметна вблизи частоты
собственных колебаний резонаторов. Поэтому при помощи таких
спиральных резонаторов можно построить модель среды, обладающей
всеми особенностями активного тела. Смесь таких резонаторов
с правым и левым вращением может дать
среду неактивную. Свойства оптически
активного тела в некоторых отношениях
подобны указанной модели. Они зависят
Рис.238. от пространственного расположения
атомов в молекуле, от числа активных
молекул и в смесях различных активных молекул их действия
складываются. Это дает возможность применять вращение плоскости
поляризации для определения содержания активного вещества
в растворе.
Вращение плоскости поляризации зависит, как и показатели
преломления, от длины волны. Вращение в случае фиолетовых
лучей значительно больше, чем для красных. При прохождении света
через вращающие тела мы получаем пучок плоскостей поляризации
различных цветов, повернутых на разные углы. Поэтому, говоря
о вращении плоскости поляризации, необходимо указывать, какая
длина волны имеется в виду.
Измерение вращения может быть произведено при помощи ни-
коля анализатора, снабженного кругом с делением для отсчета
угла вращения николя. Свет, поляризованный николем Ρ (рис. 239),
проходит через сосуд С, снабженный по концам стеклянными
окошками, и николь А устанавливается так, чтобы свет был потушен. Если
налить в сосуд раствор, содержащий вращающие свет молекулы
(например раствор сахара), то наблюдается просветление поля
зрения. В случае монохроматического света, например желтого света от
натриевого пламени, не трудно вращением анализатора найти новое

§ 19 Магнитное вращение плоскости поляризации. 425
В
Ρ
А
Ш
положение его, при котором свет бил бы погашен. Если же
источник света дает белый свет, то ни при каком положении анализатора
нельзя получить темноту; при вращении его наблюдается только
изменение окраски проходящего света, так как анализатор тушит
при разных положениях различные участки спектра. В этом случае
применяется для более точной установки бикварц В (рис. 239 Ь),
представляющий собой пластинку кварца, вращающего плоскость
поляризации, но склеенную из двух половинок равной толщины.
Каждая из них вращает плоскость
поляризации на равные углы, но в
противоположные стороны, так как
половинки бикварца сделаны из
право- и лево-вращающего кварца.
Толщина бикварца делается такой, чтобы
вращение для желтых лучей
равнялось 90° (в противоположные
стороны). Анализатор устанавливается
так, чтобы были потушены именно
желтые лучи, и поле зрения ока- ρ 239
зывается окрашенным в особый
дополнительный фиолетовый цвет, представляющий так называемую
чувствительную окраску. При повороте плоскости
поляризации желтых лучей одна из половин бикварца окрашивается
в синий, другая в красный цвет, что в силу контраста цветов делает
возможным замечать и небольшие вращения и точно устанавливать
анализатор с бикварцем на чувствительную окраску. Приборы такого
рода применяются большей частью для определения содержания
сахара в растворах (в медицине и технике) и поэтому называются
сахариметрами.
Ь)
в
/
§ 19. Магнитное вращение плоскости поляризации.
Вращение плоскости поляризации может происходить также
под влиянием магнитного поля при распространении света вдоль
магнитных силовых линий. Наиболее простой случай такого
влияния мы имеем [при распространении волн в среде, где имеются
свободные электроны, несвязанные с определенными
материальными атомами. Положим, что электрическая сила Ε (рис 240)
волны направлена параллельно оси ОХ, магнитная сила Η
параллельна оси ΟΥ, а внешнее магнитное поле Н0 направлено
перпендикулярно к плоскости волны, т. е. параллельно оси ΟΖ.· Элект-

426 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
рическая сила Ε приводит в колебание электрон, имеющий заряд е
(отрицательный) и массу т, в направлении оси ОХ. Но на
электрон, имеющий скорость ѵ, перпендикулярную к На, действует также
электромагнитная сила F (сила Лоренца),
направленная под прямым углом как
к скорости ѵ, так и к магнитной силе На
и равная
F=—vHn.
Рис. 240.
Поэтому электрон получит ускорение
не только в направлении электрической
силы, т. е. оси ОХ, но и в
перпендикулярном направлении вдоль оси ОY;
составляющая электромагнитной силы Ft
параллельной оси OY, равна
е tj dx
~νΗ°~αΨ1
ν
поэтому движение в направлении оси О Υ должно удовлетворять
уравнению
d2y еНа dx
m—rzr —
А»
dt
или, что то же,
т
dy _ еН0
Л
(36)
Эти уравнения показывают, что колебания вдоль осей ОХ и OY
по фазе сдвинуты относительно друг друга на 90°. Например, если
колебание вдоль оси OY выражено формулой
у = у0 sin «f,
то перемещение
л: =
та>с
■- ттУоcosmi = *ocosω£.
Таким образом электрон совершает эллиптическое
гармоническое колебание, причем оси эллипса относятся между собой как
хо '· У о:
\
т®с
еЯп
ТТ
Если частота колебаний равна <о0 = -, то колебание
тс

электронов делается круговым (х0 = у0) и вместе с тем непрерывно
возрастает под действием силы Е, что можно показать следующим

§ 19 Магнитное вращение плоскости поляризации 427
образом. В направлении ОХ действуют на электрон две силы Ε
еНо dg
с
и -ff · Итак, имеем уравнение:
d^x _ , еН0 а
^=е£ + ТЛ=е£-^х (37)
т^=еЕ+'-Ъ«1 = еЕ_еЧ£
вследствие (36). Так как
е#о
"0 =
cm
(38)
то после разделения на т и подстановки (38) имеем уравнение
dix е -. ,
-7^=—-Ε— «ο9*.
or m
Таким образом мы получим_ уравнение вынужденных колебаний
под действием электрической силы Е, причем на электрон
действует, кроме того, сила, пропорциональная перемещению и
направленная в обратную сторону, т. е. квази-упругая сила. Электрон,
следовательно, имеет частоту собственных колебаний со0> находясь
в магнитном поле и испытывая действие электрического поля волны.
При приближении частоты колебаний к частоте собственных
колебаний амплитуда установившихся колебаний возрастает безгранично,
т. е. мы имеем дело с электрическим резонансом.
Вращение электронов происходит всегда в направлении,
указанном стрелкой, в плоскости XY, т. е. так, что если смотреть с той
стороны, куда направлена магнитная сила Н0 (сверху), то
вращение электрона представляется происходящим в направлении
движения часовой стрелки. Лишь при изменении направления силы Н0
изменяется и направление вращения электрона.
Вообразим, что в такой среде распространяется волна,
поляризованная по кругу, и пусть вращение вектора электрической силы
совпадает по направлению с вращением электрона, вызываемым
действием магнитного поля На. Амплитуда колебаний электронов
в этом случае будет особенно велика и будет возрастать при
приближении к резонансу; соответственно будет возрастать и
электронный ток и, следовательно, влияние электронов на скорость
распространения волны, поляризованной указанным образом. Если же
вращение электрического вектора имеет противоположное
направление, то хотя электроны придут в движение по кругу,
направленное согласно с вращением электрического поля, но амплитуда их
колебаний будет значительно меньше; при возрастании частоты
амплитуда падает и резонанса не будет. Вследствие этого влияние на

428 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
скорость волны, поляризованной по кругу, но при вращении вектора
в противоположную сторону будет меньше.
Из сказанного следует, что в рассмотренном примере показатель
преломления различен для волн с противоположным вращением
светового вектора. "Поэтому те два круговых колебания, на
которые мы можем разложить прямолинейно поляризованный свет,
распространяются с разными фазовыми скоростями. В результате
плоскость поляризации вращается и притом в направлении
вращения вектора той волны, скорость которой меньше. Такое
вращение вектора электромагнитных волн наблюдается при
распространении коротких радиотехнических волн, длиной в несколько
десятков метров в слое Хевисайда (гл. III, § 16), содержащем свободные
электроны. Магнитное поле, вызывающее вращение, есть поле
земного магнетизма, и так как величина этого поля около 0,5
гаусса, то, согласно форм. (38), влияние его на распространение волн
достигает максимума (резонанс) при длине волны около 200 м.
При более коротких волнах фаза колебаний электронов
противоположна фазе электрического вектора, и поэтому электроны [см. §4]
дают уменьшение показателя преломления.
То же самое мы должны наблюдать и в случае связанных
электронов обычной дисперсии. Но значительное влияние магнитного
поля на скорость кругополяризованных волн наблюдается лишь
вблизи резонансных частот или вблизи полос поглощения, где
амплитуды электронных колебаний достаточно велики. Такое
вращение можно наблюдать, пропуская свет через пары натрия,
который имеет две сильные линии поглощения в желтых лучах (линии D),
и помещая пары в магнитное поле. Вблизи линий D вращение
плоскости поляризации очень велико и может достигать
нескольких полных оборотов.
Вдали же от полос поглощения магнитное вращение очень
невелико для большинства тел. В отличие от вращения, вызываемого
активными молекулами (например раствором сахара) или
вращающим кварцем, где вращение всегда одинаково по отношению к
направлению луча, в случае магнитного вращения при изменении нап*
равления магнитного поля изменяется и направление вращения.
Этим свойством можно воспользоваться для увеличения
наблюдаемого поворота плоскости поляризации. Пропуская луч в
магнитном поле последовательно то в одном, то в другом направлении
с помощью многократного отражения от двух зеркал, мы получаем
сложение вращений, которые меняют направление, если смотреть
в направлении распространения света при каждом отражении, но

§ 20 Явление Зеемана 429
остаются неизменными по отношению к направлению магнитного
поля (рис. 241).
При пропускании света перпендикулярно к магнитным силовым
' линиям вращающие тела обнаруживают свойства двоякопреломляю-
щих тел. Объяснение этому мы можем опять найти, разлагая
движение электронов по двум направлениям: вдоль магнитных силовых
линий и перпендикулярно к ним. На колебания электронов
параллельно магнитному полю последнее не оказывает никакого влияния;
движение же в перпендикулярном
направлении нами уже было
рассмотрено выше и приводит к
изменению показателя преломления,
особенно заметное в области
полос поглощения.
Все указанные нами явления
сопровождаются поглощением
света. Чем больше амплитуда
колебаний, тем больше, вообще
говоря, поглощение, и поэтому
магнитное поле в тех случаях, где оно оказывает влияние на
амплитуду колебаний, также изменяет расположение и форму полос
поглощения.
К рассмотренным явлениям относится также вращение
плоскости поляризации при прохождении света через тонкие слои
магнитных металлов и при отражении- света от поверхности
намагниченного железного зеркала. Это так называемые внутренний и
внешний магнитный эффект (явление) Керра. Они имеют заметную,
хотя и малую величину, так как слой металла в виду его
непрозрачности должен быть очень тонок, если мы рассматриваем
проходящий свет. При отражении от поверхности металлического зеркала
мы имеем дело тоже с весьма тонким слоем, в который проникает
свет при отражении. В обоих случаях вращение происходит на
небольшой толще и поэтому не достигает больших значений.
§ 20. Явление Зеемана.
В тесной связи с рассмотренными в предыдущем параграфе
явлениями находится влияние магнитного поля на длину волны,
испускаемую источником света. Фарадей, открывший вращение
плоскости поляризации в магнитном поле в разных материалах
и в том числе в стеклах, тщетно пытался обнаружить изменение

430 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
периода световых колебаний в магнитном поле. Оказалось, что
магнитные поля, которыми располагал Фарадей, были недостаточны
при той спектроскопии, которой он мог располагать. Это явление
лишь в 1896 г. удалось заметить'голландскому физику Зееману.
Элементарную теорию этого явления,
которую мы здесь изложим, дал Лоренц.
В основе ее лежит та модель, которую
уже неоднократно рассматривали, а именно
колебания электрона около положения
равновесия. Период колебаний такого вибратора
зависит от сил, действующих на электрон, и
между прочим от магнитного поля. Рассмотрим
сначала прямолинейные колебания электрона
в плоскости, перпендикулярной к направлению
магнитного поля. Разложим прямолинейное
Рис. 242. -
колебание электрона на два круговых,
имеющих противоположные вращения (рис. 242).
Электромагнитная сила F, действующая на электрон, как легко
можно видеть, в одном случае прибавляется, а в другом вычитается
из квази-упругой силы, направленной к центру круга. Величина ее
равна
а величина всей силы f должна соответствовать, с одной стороны,
центростремительному ускорению кругового движения
, тѵ2
где г — радиус круговой орбиты, а с другой — равняться
алгебраической сумме электромагнитной силы F и квази-упругой кг:
την
,2
f='^ = kr±:
evH
Уже из этого уравнения мы можем заключить, что магнитное
поле изменяет период колебания. В самом деле, электромагнитная
сила Fb каждый момент перпендикулярна к направлению движения
электрона и поэтому никакой работы не производит. Следовательно
магнитное поле не может изменить кинетической энергии электрона.
Наше уравнение для / показывает тогда, что изменяется радиус г
вращения электрона: для одного направления вращения магнитное
поле увеличивает радиус, для другого уменьшает. При неизменной
скорости кругового движения это значит, что один из периодов

§20
Явление Зеемана
431
уменьшился, другой увеличился. Изменения периода мы можем
подсчитать, исходя из того же уравнения. t
Так как υ = ®г, где ω — круговая частота, то это уравнение дает
следующее уравнение для ω;
с
Частоту свободных колебаний электрона обозначим через »оі
причем
"Т
т
-V-
и следовательно:
тс
Разность δω частоты ω, измененной под действием магнитного
поля, и первоначальной ω0 — величина очень малая, и поэтому мы
можем приближенно положить
ш2 — ш02 = (ω — ω0) (ω -|- <й0) = 2ωο».
Таким образом изменение частоты колебаний электрона в
магнитном поле равно j
δω = ±:-^. (39)
2тс
Изменения эти будут иметь знак -f- или — в зависимости от
направления вращения светового вектора.
Так как всякое колебание может быть разложено на два круго-
поляризованные колебания, то излучение электрона вдоль
магнитного поля дает два луча с частотой, измененной в ту и дру.
гую сторону на величину rhS», в зависимости от направления
вращения светового вектора.
Рассмотрим теперь любое колебание электрона в магнитном
поле. Разложим его колебание на два направления: вдоль
магнитного поля и перпендикулярно к нему. Первое не будет изменено
магнитным полем, так как электромагнитная сила F в этом случае
равна нулю. Второе же, как в рассмотренном уже.случае, можно
представить как два по кругу поляризованных колебания,
изменяющие свою частоту на ±8ш.

432 Электромагнитная и электронная теория света Гл. ѴИ
Если изменение частоты выразить в числах колебаний, то
изменение частоты»будет выражаться формулой, близкой к (39), так как
ω = 2πν и следовательно I = 1,77 ■ 107 ) _
h= леИ =1,41-106 Я.
іътс
Явление Зеемана можно наблюдать следующим образом.
Источник света (электрическая искра, дуга или трубка Гейслера)
помещается между полюсами электромагнита. Для того чтобы
получить достаточно сильное поле, нужно очень сильно сблизить
полюсы электромагнита. Только в очень малом объеме можно
получить поле, измеряемое десятками тысяч абсолютных единиц
(гауссов или эрстедов). В этом небольшом объеме с возможно
однородным магнитным полем находятся атомы, испускающие свет.
Наблюдение удобнее производить в направлении, перпендикулярном к
магнитному полю. Колебания электрона, параллельные магнитному
полю, будут иметь частоту, неизменную при всяком поле. Поэтому
в спектроскопе спектральная линия, соответствующая этим
колебаниям, сохраняет то же положение, как и без поля. Однако она
отличается тем, что свет вполне поляризован, и плоскость
поляризации (не колебания) перпендикулярна к направлению магнитной
силы. Эта линия называется параллельной составляющей
или компонентой (обозначается буквой π) триплета
Зеемана, т. е. тех трех линий, на которые может разделиться
спектральная линия. Две другие составляющие,
перпендикулярные (обозначение σ) суть измененные линии, возникающие
вследствие круговых колебаний электрона в противоположных напра-
лениях, как было выяснено выше. Эти круговые движения
происходят в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, и поэ-
'тому при наблюдении сбоку, поперек магнитного поля, мы видим
только прямолинейную составляющую этого колебания. Свет
измененных линий также прямолинейно поляризован, но колебания
перпендикулярны к полю, откуда и название этих составляющих.
Вследствие изменения- их длины волн эти линии смещены в спектре
на равные расстояния, одна вправо, другая влево от несмещенной
^-составляющей. Эти смещения очень малы. В полях,
достигающих 40 000 гауссов, ^изменение волны составляет всего несколько
десятых ангстрема. Для того чтобы разделить две линии, длины
волн которых отличаются на 0,05 А, нужна разрешающая сила
спектроскопа в 100000.

§ 21 Аномальное явление Зеемана 433
Поэтому для наблюдения расщепления в сравнительно слабых
полях нужно пользоваться решеткой с .большим числом линий
и вести наблюдение в спектре высокого порядка, или же
пользоваться ступенчатой решеткой, эталоном Фабри-Пэро или пластинкой
Луммера. Смещения линий пропорциональны величине магнитного
поля.
Теоретическая формула, позволяющая вычислять изменение
частоты колебаний, содержит, как постоянную, отношение заряда
к массе колеблющегося электрона. Поэтому, измеряя величину
расщепления спектральных линий в магнитном поле, можно
определить величину отношения заряда к массе. Этот способ
определения дает очень хорошие результаты, так как ошибки при
измерении зависят лишь от неточности определения положений линии
в спектре и измерения магнитного поля. Можно убедиться
также в том, что заряд имеет отрицательный знак, если определить,
какая из смещенных линий соответствует вращению электрона
вправо и какая вращению влево.
§ 21. Аномальное явление Зеемана. Явление Пашена-Бака.
Явление Зеемана в той форме, как оно описано в предыдущем
параграфе, встречается довольно редко. Большинство спектральных
линий расщепляется в магнитном поле на большее число
составляющих. Так например, две желтые линии натрия, расположенные
рядом (линии ϋχ и D$) разделяются на разное число линий. Первая
(λ = 5896) дает четыре составляющие, из которых две
поляризованы параллельно магнитному полю, и две перпендикулярно; ни
одна из линий не совпадает с первоначальной линией. Вторая
линия разделяется еще на большее число составляющих, две
параллельных и четыре перпендикулярных. Такие расщепления,
называемые квадруплетом (четверкой) и секстетом (шестеркой),
совершенно отличные от нормального триплета Зеемана,
оказываются не исключением, а частным случаем различных
типов, иногда еще более сложных расщеплений. Эти разновидности
явления принято называть аномальным явлениемЗеемана.
Теория вращающегося электрона, так удачно объясняющая не
только образование нормального триплета в магнитном поле, но
и величину его, оказалась бессильной объяснить аномальное
явление. В продолжение почти тридцати лет теория оставалась на одной
и той же стадии, и только успехи квантовой теории спектров, которой
будет посвящена следующая глава, позволили объяснить и дать
28 Зак. 2408. Курс физики, т. II,

434 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
полную теорию всех особенностей явления Зеемана. Этот пример
показал бессилие классической электронной теории объяснить те
явления природы, в которых так или иначе проявляется
строение атома.
Аномальное явление Зеемана отличается от нормального не
только числом компонент, но и величиной расщепления. В слабых
полях величина изменения частоты пропорциональна силе поля, но
по сравнению с величиной нормального расщепления она
выражается простой рациональной дробью. Например, линия Dt имеет
компоненты, смещенные на 2/з и */з нормального, а линия D2 на
При возрастании силы поля явление Зеемана усложняется;
пропорциональность между величиной расщепления и силой поля
уступает место весьма сложной зависимости. Некоторые
составляющие исчезают совсем, другие сливаются и в очень сильных полях
опять появляется нормальный триплет. Для линий D это
изменение наступает, когда расщепление делается того же порядка, как
и расстояние между линиями Di и Z)2.
Все составляющие как линии Dv так и линии D2, сливаясь,
образуют один общий триплет, центр которого находится между
линиями flj и ΰ2 в так называемом центре тяжести их.
Это своеобразное изменение явления Зеемана было открыто
Пашеном и его учеником Баком и называется их именем. Оно
наблюдается для разных линий при разных полях. Хотя оно может
быть названо явлением Зеемана в сильных полях, но понятие
сильного поля относительно. Квантовая теория спектров позволяет
предвидеть, что явление наступит всякий раз, когда действие
магнитного поля на движение электрона сильнее, чем внутренние
взаимодействия между различными составными частями атома
(электронами), которые преобладают в слабых полях и создают
аномальные расщепления. Чем слабее это взаимодействие, тем при
меньшем поле может наступить явление Пашена-Бака.
§ 22. Явление Штарка.
Если магнитное поле оказывает влияние на движение
электронов в атоме, то следует ожидать также влияние электрического
поля. Однако действие электрического поля было обнаружено
Штарком только в 1912 г., т. е. через 15 лет после открытия
Зеемана. Причиной этого является трудность получения сильного
электрического поля в том пространстве, где находится источник

§ 22 Явление Штарка 435
света. Дело в тоы, что источником, дающим линейный спектр,
обычно является ионизированный газ, обладающий большой
электропроводностью. Электрические поля в искре, дуге или гейс-
слеровой трубке измеряются десятками или сотнями вольт на см.
Для того чтобы создать более сильное поле, Штарк
воспользовался закатодными или каналовыми лучами. Последние
представляют собой ионы или нейтральные частицы, получившие
значительную скорость в разрядной
трубке и пролетевшие через Ε К А
отверстие в катоде К, как по- f |_ | "*"""
казано на рис. 243. Эти части- ( 1 «)
цы образуют светящийся пу- V ^I
чок, который виден и перед Ш
катодом и сзади него. В зака- Рис. 243.
тодном пространстве можно
создать довольно сильное поле, если поместить на близком
расстоянии от катода второй электрод Ε и создать между ними такую
разность потенциалов, при которой разряда еще не происходит.
При малых давлениях газа и небольшом расстоянии между
электродами удается создавать силу поля в десятки тысяч вольт на см.
В разрядной трубке, наполненной разреженным
газом,наибольшая сила поля образуется у катода, но при небольших плотностях
тока она невелика. Часть поверхности катода покрывается
свечением и при возрастании силы тока через трубку, свечение
распространяется, покрывая все большую поверхность. При этом
плотность тока и падение потенциала сохраняют постоянную величину.
Когда свечение покроет всю поверхность, дальнейшее возрастание
силы тока увеличивает плотность тока и катодное падение
потенциала. Этим аномальным катодным падением можно
воспользоваться для того, чтобы создать значительный градиент потенциала.
Наибольшей величины поле достигает у поверхности катода,
постепенно убывая по мере поиближения к границе темного катодного
пространства.
Наблюдение свечения частиц, находящихся в области сильных
полей, обнаруживает расщепление спектральных линий, как и н
случае магнитного поля. Число компонент, из которых одни
поляризованы параллельно полю, другие перпендикулярно, бывает
очень велико. Это указывает на сложность формы колебаний,
которые совершает электрон во внешнем электрическом поле.
Теория этих колебаний значительно сложнее теории движения в
магнитном поле и не может быть здесь изложена.
28*

436 Электромагнитная и электронная теория света Гл. VII
Величина расщепления линий в явлении Штарка значительно
больше, чем в явлении Зеемана, и особенно велика в случае
легких атомов (водород, гелий). Она пропорциональна силе поля
и поэтому может служить для измерения этой силы в различных
частях разряда.
Влияние электрических полей на спектральные линии
проявляется также в расширении спектральных линий под действием
соседних атомов. Вблизи каждого атома имеется сильное
электрическое поле и, попадая в такое поле, электрон испускает измененные
частоты. Так как на разных расстояниях от атомов поле различно
по величине, то влияние явления Штарка сводится к расширению
линии в обе. стороны, причем яркость постепенно убывает к краям.
Полная теория явления Штарка, разработанная только для наи*
более простых атомов, так же как и теория явления Зеемана, ос-'
новывается на квантовых законах спектров.

ГЛАВА VIII.
ИСПУСКАНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА.
§ 1. Испускание, поглощение и отражение света.
Видимый спектр лучей представляет небольшую часть всего
спектра, испускаемого источниками света. Открытие лучей,
которые не производят зрительных впечатлений, но являются
носителями энергии (Мариотт, 1686 г.), положило начало изучению
различных свойств их. В начале прошлого столетия астроном Гершель
показал, что в спектре как солнца, так и других источников света,
полученном при помощи призмы, имеются лучи, лежащие далеко
за красным концом видимого спектра, причем нагревание,
производимое ими, во много раз превосходит нагревание видимыми
лучами. Однако только Меллони, подробно изучавший свойства этих
лучей, доказал, что они не являются чем-то отличным от видимых
лучей.
Эти лучи испытывают отражение и преломление по тем же за*
конам, как и видимые; некоторые тела для них прозрачны, другие
их поглощают в различной степени, причем тела, прозрачные для
видимых лучей, как стекло, могут быть совершенно непрозрачны
для темных „тепловых". Диффракционный спектр этих лучей
позволяет измерить их длину волны. Все это показывает, что мы
имеем здесь дело с невидимыми, инфр акра с ными лучами
света. Точно так же невидимы лучи, преломляемые сильнее, чем
видимые, и поэтому лежащее за фиолетовым концом спектра, лучи
ультрафиолетовые, которые по своей способности
производить химические действия назывались вначале химическими
лучами.
Исследование спектров различных светящихся тел показало, что в
них можно обнаружить присутствие как видимых, так и невидимых
лучей, но количество лучей разной длины волны бывает весьма
различно.. Для измерения относительного количества лучей
определенных участков спектра пользуются обычно такими методами,
которые позволяют измерить количество энергии, переносимое лу-

438 Испускание и поглощение света Гл. ѴШ
чами. Для этого лучи должны поглощаться, причем их энергия
выделяется в форме тепла. Меллони производил свои наблюдения
при помощи термоэлементов и термостолбиков: позднее Ланглей
ввел в употребление чувствительный болометр. Эти и подобные им
способы позволяют исследовать распределение энергии в спектре.
Эти исследования приобрели особенное значение в связи с
вопросом о природе света и механизме испускания его светящимся
телом.
Выделим из ьсего спектра такой участок, который лежит между
лучами с длиной волны λ и λ-{-Л. Разность крайних длин волн
мы будем называть в дальнейшем длиной участка спектра.
Количество энергии этих лучей можно изобразить формулой еха\, где
ех есть относительная интенсивность или яркость
лучей в данном участке спектра. Если лучи испускаются светящимся
телом, то эта же величина изображает относительную
величину его лучеиспускательной способности.
Участок накаленной поверхности испускает различное количество
лучей в разных направлениях. Его лучеиспускательная способность
зависит от направления лучей. Она зависит как от величины
поверхности, так и от наклона лучей, или от угла между
направлением лучей и нормалью к поверхности. Наблюдения показали, что
лучеиспускание пропорционально косинусу этого угла. По такому
же закону изменяется величина видимой поверхности.
Вследствие этого количество света, отнесенное к единице видимой
поверхности, т. е. яркость ее, не зависит от направления лучей,
и например все участки солнечного диска представляются нам
одинаково яркими.
Представим себе пучок лучей, испускаемых небольшим участком
поверхности и заключенных в телесном угле d<o. Положим, что все
лучи составляют с нормалью к поверхности углы, заключенные
между φ и <f-\-dy. Величина телесного угла
</(ο = 2π sin<pcfy.
Если ελάλ есть количество лучей, испускаемых через единичный
телесный угол, тс>
ех с/λ = ej d\ cos φ,
где е[ есть яркость при лучеиспускании в нормальном направлении,
а испускание внутри угла d<o равно
ελ dk сГсо = 2 *е£ с/λ cos φ sin φ </φ.

§ / Испускание, поглощение и отражение света 439
Полная лучеиспускательная способность е получается после
интегрирования последнего выражения, что дает е = ле^
Другим свойством поверхности является ее поглощательная
способность А. Она выражает, какая доля падающей на
поверхность световой энергии будет поглощена поверхностью. Если
тело непрозрачно, то все лучи, входящие внутрь через его
поверхность, поглощаются. Но из лучей, падающих на поверхность,
только часть энергии входит внутрь тела; другая часть испытывает
правильное (зеркальное) отражение или рассеивается диффузно во
все стороны. Если мы обозначим буквой R отражательную
способность поверхности (включая сюда и рассеяние лучей), то
AA-R = 1, (1)
так как все лучи, падающие на поверхность непрозрачного тела,
или поглощаются им или отражаются от его поверхности. Если
тело прозрачно, то часть D лучей проходит через тело и в таком
случае
A+R-\-H=l. (10
Каждая из величин, входящих в эту формулу, зависит от рода
лучей, т. е. от длины волны и от направления падающих лучей.
Чтобы отметить эту зависимость, мы будем приписывать значок λ·"
Ах—поглощательная способность, зависящая от λ; Rx и /}х также
имеют разные значения для лучей с различной длиной волны.
Изучение испускательной и поглощательной способности
различных тел показывает, что между этими величинами имеется
тесная связь. Уже измерения Меллони и других физиков в начале
прошлого века показали, что тела, сильно поглощающие, являются так
же хорошими испускателями тепловых (инфракрасных) лучей.
Сильно поглощающей поверхностью можно, например, считать
поверхность, окрашенную в черный цвет или, еще лучше, покрытую
слоем копоти. Такая закопченная поверхность поглощает почти
полностью видимые лучи и близкие к видимым инфракрасные лучи.
Как показывает опыт, такая черная поверхность при определенной
температуре испускает также большее количество лучистой энергии,
чем любая другая, менее поглощающая. Поверхность
посеребренная и полированная, приближающаяся по своим свойствам к идеально
отражающему зеркалу, или поверхность, равномерно рассеивающая
свет всех длин волн, которую называют белой поверхностью,
испускает относительно очень мало лучей, потому что ее
поглощающая способность мала,

440 Испускание и поглощение света Гл. VIII
■ ■'■llBtfim !■-■>■ ■■■Wl" !■>■ —ι-.^ιι,—ι. — ■■■■■■■ !■■"" ■ - ι ι- - —--■.- . ■ ■ -.- .1 ι . . _
Абсолютно черной мы будем называть такую поверхность,
для которой коэффициент Ах равен единице при всех длинах
волн.
Этому условию лучше всего удовлетворяет закопченная
поверхность вследствие большой поглощательной способности частиц угля
и пористости слоя копоти. Последнее свойство позволяет лучам
проникать довольно легко вглубь слоя, где они и испытывают почти
полное поглощение. Но и такая поверхность отражает лучи, когда
они падают на нее под большими углами. Из теории отражения
лучей (гл. VII, § 2) следует, что отражение может отсутствовать
только в том случае, если показатель преломления равен единице,
т. е. если по своим оптическим свойствам (скорость света) тело
не отличается от окружающей среды. Отражение можно также
уменьшить, если на границе тела при переходе из одной среды в
другую иаменение оптических свойств происходит медленно.
Примером такой поверхности может служить поверхность солнца,
которая покрыта атмосферой, состоящей из газов и паров. На
границе этой атмосферы плотность близка к нулю, но по мере
приближения к центру она возрастает. Так как лучи, падающие на
эту поверхность, не встречают нигде отражающей границы, то они
беспрепятственно доходят до такой глубины, где происходит их
полное поглощение. Такая поверхность весьма близка по своим
свойствам к поверхности абсолютно черного тела.
Абсолютно белой поверхностью можно считать
такую, у которой Л = 1 и все лучи рассеиваются равномерно во все
стороны. Некоторые белые порошки и приготовленные из них
твердые тела приближаются к этому предельному случаю. Свет,
отраженный от поверхностей отдельных крупинок, рассеивается
во все стороны и в το же время, проникая только на небольшую
глубину внутрь белого тела, мало поглощается.
Изучая испускание и поглощение света, мы должны иметь в
виду, что эти явления зависят не только от длины волны и угла
падения лучей, но также от направления колебаний, т. е. от
поляризации лучей. Как в отраженных лучах, так и в прошедших
через прозрачное тело, мы имеем поляризацию света. В двоякопрелом-
ляющих кристаллах не только скорость распространения лучей, но
и поглощение зависит от их поляризации. Турмалин пропускает
в тонких слоях преимущественно необыкновенные лучи. Точно так
же и при испускании лучей нагретыми телами можно обнаружить
поляризацию, которая показывает, что лучеиспускательная
способность зависит от поляризации света.

§ 12 * Закон Кирхгофа 441
§ 2. Закон Кирхгофа.
Точная количественная формулировка соотношений между
поглощением и испусканием света была' дана в 1859 г. Кирхгофом.
Она может быть выражена следующими словами: отношение
лучеиспускательной способности Ех тела к его по-
глощательной способности Лхдля всех тел
одинаково.
Закон Кирхгофа предполагает, что все сравниваемые тела
имеют одну и ту же температуру и что отношение Ех и Αχ
определяется для каждой длины волны в отдельности. Состояние
поляризации света также должно быть одинаково для всех сравниваемых
лучей, равно как и угол, под которым лучи падают на поверхность
и испускаются ею.
Из всех тел, которые мы будем рассматривать, особое
значение имеет тело абсолютно черное, для которого А\ = 1.
Соответствующее значение лучеиспускательной способности Е\ должно
удовлетворять закону Кирхгофа. Поэтому для любого тела
Ег:Аг =Е\Л,
т. е. отношение, одинаковое для всех тел, равно испускательнои
способности черного тела. Напишем эту формулу иначе
ЕХ=АХЕ1. (2)
Мы видим, что испускательная способность у любого тела
меньше, чем у черного. Она равна нулю, если будет соблюдено одно
из двух условий:
1) если испускательная способность черного тела равна нулю;
2) если поглощательная способность данного тела равна нулю.
Примером может служить испускание видимых лучей
накаленными телами. Все тела начинают светиться приблизительно при
одной и той же температуре около 500°, но яркость их свечения
неодинакова, также как и способность поглощать лучи.
Металлическая, хорошо отражающая поверхность, например платиновая
пластинка, светится менее ярко, чем черное чернильное пятно,
нанесенное на ее поверхности. В этом случае осадок, который
остается на поверхности после ее прокаливания, состоит из окиси
железа, которая обладает большей поглощательной способностью,
чем металл.

442 Испускание и поглощение света Гл. ѴШ
Если на платиновой проволоке ввести в пламя паяльной
горелки каплю фосфорнокислого натрия, то при ярком калении
проволоки капля остается темной. Объясняется это тем, что и при
высокой температуре она прозрачна для видимых лучей и поэтому
сама их мало испускает. Капля стекла при той же температуре
светится значительно ярче. Это объясняется тем, что поглоща-
тельная способность стекла, которое при низкой температуре также
очень прозрачно, возрастает с температурой.
Закон Кирхгофа сводит определение испускательной
способности данного тела к его поглощательной способности и
лучеиспусканию абсолютно черного тела. Последнее определяется исклю-.
чительно температурой тела. Поэтому и испускание любого тела,
если оно подчиняется закону Кирхгофа, зависит только от
температуры и от условий поглощения света его поверхностью. Все
специфические особенности лучеиспускания данного тела определяются
его способностью поглощать свет. Эта способность зависит не только
от природы тела, но и от строения его поверхности. Мы уже
говорили, что поглощающие свойства сажи зависят в значительной
степени от рыхлости ее. Подобным образом объясняется и
следующее явление. Пучок иголок, накаленный в пламени, если
смотреть на него со стороны острий, кажется гораздо более ярким,
чем гладкая поверхность иглы при той же температуре. Пучок
этот обладает большей поглощательной способностью вследствие
того, что лучи, проходя между остриями в глубь пучка, после
многократных отражений поглощаются. При испускании им лучей
к свету, испускаемому всей поверхностью иголок, прибавляется
свет из глубины, выходящий не прямо, а после ряда
отражений.
Основным фактором в этих явлениях можно считать
температуру, и самое испускание света мы называем тепловым или
температурным свечением. Этим термином отличаются
рассмотренные здесь примеры от явлений люминесценции, которые,
вообще говоря, вызываются не температурными условиями. К
явлениям люминесценции можно отнести свечение газов при
электрическом разряде, флюоресценцию, т. е. возбуждение
свечения при поглощении света, и др. Свечение газов в большинстве
случаев связано с люминесценцией, так как вследствие высокой
прозрачности тепловая испускательная способность их очень мала.
Закон Кирхгофа был выведен теоретически из рассмотрения
условий температурного равновесия, которое устанавливается между
материальным:! телами, если их тепловое общение происходит путем

§2
Закон Кирхгофа
443
испускания и поглощения лучей. Для возможного упрощения
доказательства представим себе замкнутную оболочку S (рис. 244),
имеющую одинаковую температуру Τ вдоль всей поверхности, а
внутри ее тело С, отделенное от нее пустотой. В таких условиях
передача тепла возможна только путем испускания и поглощения лучей
оболочкой S и телом С. Обозначим через L xdk количество лучей
в определенном участке спектра, падающее на
поверхность тела С.
Поглощательная способность ее зависит
от угла падения лучей и от их поляризации,
но для простоты мы примем, что все лучи
данной длины волны поглощаются
одинаково, т. е. введем среднюю поглощательную
способность ах. Количество поглощенного
света в таком случае равно axLxdl. Испуска-
тельную способность всей поверхности, также Рис· 244.
усредненную для всех лучей данного участка
спектра, обозначим βλ dL· Энергия лучей всех длин волн,
испускаемых и поглощаемых поверхностью, выражается интегралами
Ε— ιexd\ и А— j aKLxdl,
распространенными на весь спектр, т. е. на все длины волн, для
которых подинтегральные функции отличны от нуля. Количества
энергии, испускаемой и поглощаемой телом С, должны быть
равны, если устанавливается определенное теплов с состояние тела
Это состояние отвечает равенству температур Τ оболочки S и
тела С, т. е. представляет случай теплового равновесия.
Если Ε— А есть условие теплового равновесния, то оно не
должно зависеть от свойств оболочки 5". Но равенство
'Jexd\ = J'α>ΑΛ> (3)
в котором слева под интегралом стоит величина ех, зависящая
только от свойств тела С, а справа, кроме ах, еще величина Lx,—
возможно только в том случае, если последняя величина не изменяется
при замене одной оболочки другой (иной формы и с совсем иными
оптическими свойствами). Отсюда мы можем сделать заключение,
что распределение интенсивностиLx в спектре лучей
внутри замкнутого пространства не зависит от
физических свойств окружающей его оболочки.

444 Испускание и поглощение света Гл. ѴШ
Нам остается сделать еще один шаг в нашем доказательстве.
Если мы будем заменять наше тело С другими, имеющими иные
коэффициенты ех и αλ, то условие (3) сохраняется лишь тогда,
если для всех тел
ех=я,А (4)
Положим, тело С имеет свойства идеально черного тела (αλ = 1),
тогда испускательная способность его
< = к> (5)
откуда следует, что при температурном равновесии
внутри замкнутой оболочки S, количество лучей,
падающих на данную поверхность, равно
лучеиспускательной способности абсолютно черной
поверхности для данного участка спектра.
Итак, вследствие (4) и (5) мы можем считать доказанным, что
для любой поверхности
§ 3. Абсолютно черное тело.
Полученные нами соотношения показывают, что всякая замкнутая
оболочка, окружающая со всех сторон некоторое пространство
и обменивающаяся теплом с находящимися там материальными
телами, создает вполне определенное распределение лучистой энергии
в каждой точке пространства. Через каждый элемент поверхности,
которую можно мысленно провести совершенно произвольно,
проходят такие же лучи и в том же количестве, в каком их должна
испускать абсолютно черная поверхность при данной температуре.
Исключение могли бы представлять только такие оболочки,
внутренняя поверхность которых идеально отражает или рассеивает
свет или же идеально прозрачна. В реальных случаях, когда
поверхность ее поглощает свет всех длин волн, состояние лучистой
энергии, заполняющей пространство, определяется
только температурой оболочки.
Из сказанного естественно вытекает способ осуществления
абсолютно черной поверхности для исследования испускательной
способности ех при различных температурах. Если в оболочке сделать
небольшое отверстие, через которое могут выходить наружу лучи,
попадающие на площадь стенки, занятой отверстием, то
распределение лучистой энергии внутри оболочки почти не изменится.

§3
Абсолютно черное тело
445
Отверстие должно испускать лучи всех длин волн, как идеально
черное тело. Этот вывод из закона Кирхгофа был сделан В. Вином
и О. Луммером (1895 г.).
При низких температурах осуществление „абсолютно черного
тела" чрезвычайно просто. Сосуд L (рис. 245) с отверстием а,
через которое выходит „черная" лучистая энергия, окружен
ванной, в которой поддерживается определенная температура Т.
Последнюю легко изменять от температуры жидкого воздуха до
температуры кипения воды или других жидкостей. Для высоких
температур применяются глиняные (шамотовые или фарфоровые) печи,
нагреваемые электрическим током, проходящим по проволочной
обмотке печи (рис. 246). Внутри
обмотки находится цилиндр,
снабженный рядом перегородок с отвер-
Рис. 245. Рис. 246.
стиями для уменьшения охлаждения внутренней поверхности
входящим через отверстия внешним воздухом. Проволока Th является
электрическим термометром для измерения температуры
внутреннего пространства. Для увеличения поглощающей способности
внутренней поверхности она покрывается окисями хрома, железа
и никеля. Еще более высокую температуру (выше 1500°) получают
в угольных трубах, нагреваемых до 2300° и выше.
Так как при всех этих температурах наибольшее количество
энергии сосредоточено в инфракрасных лучах, то для измерения
лучеиспускания применяется термопара или болометр, на которые
падает пучок лучей, выходящих из отверстия, ограниченного
внутренней диафрагмой. В этом случае измеряется общее количество
излучаемой энергии всевозможных длин волн.
Для измерения испускательной способности абсолютно черного
тела в разных частях спектра или распределение энергии в спектре,
необходимо разложить лучи в спектр при помощи призмы. Но
стеклянные призмы непригодны для этой цели, так как они непрозрачны
для инфракрасных и ультрафиолетовых лучей. Применяются призмы
из каменной соли, плавикового шпата и сильвина, которые про-

446 Испускание и поглощение света Гл. VIII
пускают лучи, лежащие далеко за видимым концом спектра. Линзы
необходимо делать из тех же материалов или пользоваться
зеркалами для получения параллельных пучков лучей. Схема
расположения приборов в этом случае показана на рис. 247. Источник
лучей L освещает щель S, из которой
выходит расходящийся пучок, который
превращается при помощи вогнутого
зеркала в параллельный и разлагается
призмой в спектр. После этого лучи
собираются в фокусе второго зеркала
и дают спектр R, который попадает
Рис. 247.
натермоэлемент Th. Термоэлемент состоит из тонкой металлической
проволоки или полоски фольги, на которую попадают лучи,
занимающие определенный участок спектра. Однако разность крайних
длин волн или интервал Δλ, который попадает на термоэлемент,
неодинаков в разных частях спектра, но зависит от дисперсии
лучей в данной призме. Если показания термоэлемента мы будем
относить к одному и тому же интервалу Δλ, мы получим
распределение лучистой энергии в нормальном спектре длин
волн.
Кривые распределения энергии в таком спектре изображены на
рис. 248. На оси абсцисс отложены длины волн, причем видимый
спектр изображен в виде черной полоски, расположенной вблизи
от начала координат. Интенсивности в различных частях спектра
различны и имеют максимум, выраженный тем резче, чем выше
температура. Как к коротким, так и к длинным волнам интенсивность
лучеиспускания быстро спадает. Кроме общего возрастания энергии
с температурой, нужно отметить перемещение максимума
интенсивности к коротким волнам при возрастании температуры.

§ 4 Закон Стефана-Больцмана 447
§ 4. Закон Стефана-Больдмана.
Закон, определяющий общее количество энергии, теряемой
вследствие лучеиспускания, как функцию температуры, находится в тесной
связи с законами охлаждения нагретых тел. Поиски таких законов
предпринимались многими физиками, начиная с Ньютона. При
небольших разностях температур между телом и окружающей средой
имеет место закон Ньютона, который говорит, что скорость
охлаждения пропорциональна разности температур. Этот закон оказался
совершенно непригодным для высоких температур. Попытки найти
общий закон охлаждения были по большей части малоудачны, так
как охлаждение есть сложный процесс и вызывается потерей тепла
не только лучеиспусканием, но также через воздух
теплопроводностью и конвекцией. Поэтому, изучая одно охлаждение тел,
нельзя найти истинный закон лучеиспускания. Открытие его
оказалось возможным только в результате непосредственных измерений
энергии лучей, испускаемой телом. К этому закону пришел
Стефан (1879 г.) при анализе результатов измерений прежних
исследователей. Закон Стефана можно формулировать так: общее
количество энергии, испускаемое телом в форме
лучистой энергии, пропорционально четвертой
степени абсолютной температуры. Впоследствии этот
эмпирический закон был теоретически обоснован Больцманом, который
показал, что он справедлив для абсолютно черного тела. Позднейшие
экспериментальные исследования испускания черного тела показали,
что закон Стефана-Больцмана оправдывается для него с высокой
степенью точности, в то время как испускания других, нечерных тел,
например металлов, следуют совсем другому закону. Для платины,
например, была найдена (Луммер и Прингсгейм)
пропорциональность не четвертой, а пятой степени температуры. Более быстрое
возрастание с температурой испускательной способности металла
объясняется малой поглощательной способностью при низких
температурах, а также тем, что при возрастании температуры поглоща-
тельная способность быстро возрастает.
Теоретический вывод закона Стефана-Больцмана основывается
на применении законов термодинамики к лучистой энергии.
Термодинамика рассматривает условия равновесия в материальных телах,
поскольку они зависят от температуры. Передачу тепла при
лучеиспускании и поглощении лучей можно рассматривать с точки
зрения условий теплового равновесия, как мы делали при выводе
закона Кирхгофа. Но применение законов термодинамики не огра-

448 Испускание и поглощение света Гл. ѴПI
ничивается этим. Рассматривая пространство, ограниченное
материальной оболочкой определенной температуры, как объем,
заполненный лучами различного направления, цвета и поляризации, мы
будем обращаться с ним (с пространством), "как с особого рода
материальным объектом. Для того чтобы иметь удобный термин,
мы будем называть совокупность лучей, заполняющих объем,
просто радиацией. Занимая определенный объем, имея
некоторую энергию и определенный спектральный состав, при
котором она находится в тепловом равновесии с оболочкой, радиация
может иметь также определенную температуру.
Говоря об энергии радиации, мы будем различать плотность
энергии и и полную энергию U. Первая есть количество энергии,
заключенное в единице объема; полная же энергия равна, очевидно,
произведению U=uV. Плотность энергии зависит только от
температуры, а полная энергия от объема V и температуры Т. Это
следует из доказанной нами независимости количества лучей,
проходящих в любом направлении через данную поверхность, от формы
и размеров оболочки. Отсюда же вытекает однородность радиации,
т. е. постоянство ее плотности во всем объеме.
Но, кроме этих, довольно очевидных свойств, радиацию можно
характеризовать еще одним явлением.
Как мы знаем, свет, падая на поверхность тел, производит
на них давление, совершенно такое же, как газ, состоящий из
молекул, обладающих кинетической энергией. Поэтому, если какая-
нибудь часть оболочки перемещается, то лучи, производя на
движущуюся поверхность давление, совершают работу, равную PdV,
где Ρ давление, a dV происходящее при этом изменение объема. ■■·■
Представим себе, что оболочка, внутри которой находится
лучистая энергия, имеет форму цилиндра, закрытого поршнем.
Если поршень передвигается и объем увеличивается на dV, то,
во-первых, происходит изменение энергии, равное udV, где и —
плотность энергии, во-вторых, производится работа равная PdV. Эти
изменения происходят за счет притока тепла из той среды, которая
окружает цилиндр и поддерживает его температуру. Обозначим
это тепло dQ, тогда, очевидно, *w^.. .. ,
dQ = udV-\-PdV. (б)
Таков приток тепла извне при изотермическом
расширении объема, занятого лучистой энергией.
Явление давления света (гл. VII, § 10) показывает, что лучи света
переносят не только энергию, но и количество движения, подобно

§ 4 Закон Стефана-Болъцмана 449
частицам газа. Количество движения К лучей, распространяющихся
в определенном направлении, равно их энергии Е, деленной
на скорость с:
на скорость с:
Если лучи падают на поверхность поршня нормально и полностью
поглощаются, то их количество движения также передается поршню
полностью; если же они падают под углом, то количество
движения, передаваемое поршню^ в направлении нормали к поверхности,
равно составляющей количества движений лучей в этом
направлении. Мы видим таким образом, что давление на поршень связано
с количеством энергии, которое падает на 1 си2 его поверхности
в единицу времени. Если бы лучи падали на поверхность под
прямым углом, то количество энергии, поглощаемой поршнем,
было бы равно плотности энергии, умноженной на скорость
света Ε— и'с, а количество движения К= и'. Но так как лучи
падают под всевозможными направлениями, то Κ=-ζ- и'.1
Здесь под и' мы понимаем плотность энергии тех лучей, которые
падают на поверхность. К этому нужно прибавить давление
реакции лучей, испускаемых самой поверхностью. Если плотность их
и", то давление, производимое ими, равно Ѵз и". Таким образом
1 Если лучи составляют угол <р с нормалью поршня, то составляющая их
скорости вдоль нормали равна с cos φ, а количество энергии, переносимой
ими, равно цще cos φ, где α '— плотность энергии всех таких лучей. Составляющая
количества движения вдоль нормали также пропорциональна cos φ, поэтому
давление, производимое на единицу поверхности этими лучами, равно tz„cos2-f. Но
ц„ должно быть пропорционально величине телесного угла, внутри которого
находятся все рассматриваемые лучи, т. е.
и _ = А 2я sin φ df.
Если и' плотность лучей всех направлений, падающих на поверхность, то
" π
Α 2π sin φ d-f, где угол φ изменяется в пределах от 0 до -^.
О
Легко видеть, что иг = ΉΑ и, следовательно,
и^ = u'sin φ df.
Определяя давление, производимое всеми лучами, мы найдем
-А
cos2 φ sin <fdq = __ u'
29 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

450 Испускание и поглощение света Гл. ѴШ
полное давление на поверхность, поглощающую
лучи, равно одной трети полной плотности энергии
радиации:
Р = %и. (7)
Тот же результат получится и при частичном отражении лучей,
так как отраженные лучи можно рассматривать как испускаемые
поверхностью.
Получив этот результат и подставив его в формулу (б), мы
найдем, что при изотермическом расширении объема необходим
приток тепла, равный
dQ^^-udV. (8)
Пусть при расширении изменяется также температура лучей на
dT, тогда изменяется и плотность их энергии и, так как она
зависит от температуры Т. Это изменение равно
du = ~jjr- dT,
а изменение всей энергии в объеме V равно
Vdu=V~rdT. (9)
Для такого изменения потребуется также приток тепла
соответствующей величины. Таким образом для одновременного
изменения объема и температурьі лучей необходим приток извне тепла
dQ, равный
OQ^udV + V^dT. (10)
Второе начало термодинамики говорит, что при всяком
бесконечно малом обратимом изменении состояния тела отношение
есть полный дифференциал энтропии S, которая является функцией
состояния тела, т. е. зависит от объема и температуры его.
Поэтому
dS=-^rdV+ -j^rdT. (И)

§ 4 Закон Стефана-Болъцмана 451
Разделив обе части уравнения (10) на Г и сравнивая
коэффициенты при дифференциалах независимых переменных в (10) и (11),
мы найдем, что. частные производные энтропии пи К и Г равны
M-=±JL Л. il_^L_ пол
. дѴ. 3 Τ и д7 ~ 7 dT * ( '
Дифференцируя первое равенство по Τ, а второе По V, мы
получаем вследствие того, что
d*S ■_ d*S
дѴдТ ~ дТдѴ
следующее равенство:
3 дТ\т)~дѴ\ Τ dT/
Произведя дифференцирование, найдем
4 1 du 4__u 1_</ц
3 Τ dT 3 T*~~ Τ dT
или после приведения и сокращения
du _Au
dT~ Τ'
(13)
Последнее уравнение удовлетворяется, если
и = а7>.' (14)
Полученная нами формула (14) дает плотность энергии и
черной радиации. Между тем закон Стефана и опыт дают
лучеиспускательную способность Ε поверхности черного тела. Между этими
величинами существует следующая простая зависимость:
Е = -£ііс,
где с — скорость света. Таким образом для лучеиспускательной
способности черного тела мы получаем тот же закон
Е=оТ\
гдео = і/4 ас. Коэффициент о был определен Курльбаумом (1898 г.)
при помощи болометра для температур от 0° до 100°С. После
этого произведено было много измерений и результатом их
является следующее значение °, выраженное в эргах для единицы
поверхности и одной секунды: ι
Ο==5,7·10-5^—.
см' сек
29*

452 Испускание и поглощение света Гл. VIII
Аналогия между лучами и материальными частицами станет
еще яснее, если мы примем квантовую точку зрения, т. е. будем
рассматривать лучи как собрание квантов света, имеющих
энергию Es, зависящую от числа колебаний ѵ, количество движения
Ε Ε
g^ — —" и массу, равную mv = —j. Отражение лучей можно
рассматривать как отражение квантов света от поверхности зеркала,
а испускание и поглощение—как испускание и поглощение частиц,
имеющих количество движения, направление которого определено
направлением соответственных лучей. Каждый сорт частиц,
соответствующий какой-нибудь определенной частоте ѵ, движется
внутри нашего воображаемого сосуда независимо от других
частиц, как молекулы в смеси различных идеальных газов. Каждому
сорту · частиц мы приписываем определенную температуру,
так что можно говорить о температурах лучей различных
сортов. Затем, говоря о плотности энергии различных лучей, мы
понимаем под этим число частиц в единице объема, умноженное
на энергию одной частицы — кванта. Эту плотность мы будем
выражать произведением u4dv, если спектр выражен в частотах,
или uxdX, если он выражен в длинах волн. Величины ц.( и их мы
будем называть яркостью соответственного участка спектра.
Общая плотность энергий равна сумме плотностей всех лучей, т. е.
и = fii4S=Juxdl. (15)
Температурное равновесие для "всех лучей устанавливается
вследствие лучеиспускания и поглощения внутренней поверхности
цилиндра. Можно, однако, если не осуществить практически, то
мысленно представить себе идеально отражающую поверхность
цилиндра, не поглощающую и не испускающую лучи. Различные
сорта лучей внутри такого цилиндра могут иметь совсем
различные температуры. В этом случае нет механизма, который мог бы
способствовать выравниванию температур, т. е. поглощал бы
излишнюю энергию и доставлял недостаточную, как это делает
поглощающая и испускающая внутренняя поверхность цилиндра.
Если мысленно сжать при помощи поршня лучистую энергию,
заключенную внутри зеркального цилиндра, то для этого,
необходимо затратить работу PdV, где Ρ — давление света на поршень.
Энергия всех лучей изменится, равно как и плотности энергии
каждого сорта лучей. Возникает вопрос: в каком отношении
будут находиться эти плотности, соответствует ли распределение

§ 5 Закон смещения В. Вина 453
этих новых плотностей „черному" излучению некоторой более
высокой температуры, т. е. имеют ли все лучи после сжатия одну и
ту же температуру. іРтвет на этот вопрос может дать следующее
рассуждение.
Положим, что при сжатии распределение энергии в спектре
частот изменится таким образом, что различные лучи будут иметь
неодинаковую температуру. Введя внутрь цилиндра крупинку
поглощающего вещества сколь угодно малых размеров, мы
создадим условия для перераспределения энергии между различными
лучами, причем общее количество энергии останется неизменным.
Такой переход будет необратим, и термодинамика учит, что при
неизменной величине энергии при этом возрастает энтропия. После
этого мы можем заставить расшириться объем до первоначальной
величины; при этом будет совершена лучистой энергией та же
работа, какая была затрачена на сжатие, и энергия, заключенная
в объеме, вернется к первоначальной величине. Если этот переход
сделан в присутствии материальной крупинки, то излучение остается
черным и вернется к начальной температуре. Мы приходим к
исходному состоянию, совершив круговой процесс, во время
которого энтропия возросла. При сжатии в зеркальном цилиндре и
расширении энтропия не изменяется, так как это обратимые
процессы без притока тепла извне. Подобный круговой процесс можно
совершать сколь угодно часто, и если каждый раз происходит
возрастание энтропии, то последняя возрастает неограниченно.
Это противоречит известному свойству энтропии стремиться к
определенному максимуму при неизменной энергии. Избежать
этого противоречия можно только, делая допущение, что при
сжатии лучистой энергии, без притока тепла извне распределение
энергии в спектре автоматически остается черным и не изменяется
при внесении в цилиндр поглощающей крупинки.
§ 5. Закон смещения В. Вина.
Для того чтобы выяснить теоретически, как изменяется
распределение энергии в спектре черного тела при повышении
температуры, достаточно выяснить, как происходит при сжатии
изменение радиации, заключенной в зеркальном цилиндре. Это сжатие
происходит без притока тепла извне, и мы будем называть его
адиабатическим. Мы доказали в предыдущем параграфе, что
адиабаті ческое обратимое сжатие и расширение изменяет одинаковым
образ м температуру всех составных частей радиации. Это озна-

454 Испускание и поглощение света Гл. ѴШ
чает, что распределение энергии в спектре изменяется так, что и
после сжатия она остается черной радиацией. Поэтому можно
найти, как изменяется спектр в зависимости от температуры, если
определить, как он изменяется вследствие адиабатического сжатия
радиации.
При медленном движении поршня происходит два явления:
1) медленное изменение частоты всех лучей, отразившихся от
движущейся поверхности, и 2) увеличение энергии отраженных лучей
вследствие работы внешней силы, передвигающей поршень. Мы
увидим, что эти изменения находятся между собой в связи, а именно
энергии лучей данного сорта изменяются пропорционально их
частоте. Мы будем рассматривать поэтому лучи определенной
частоты и поставим вопрос: как изменяется частота колебаний лучей
на данном участке спектра d» после сжатия, а также каково будет
изменение их энергии.
Очевидно одновременно также изменится и температура
радиации. Пользуясь законом Стефана-Больцмана, найдем выражение
для количества тепла, которое необходимо затратить для
изменения объема радиации на dV и изменения температуры на dT
dQ = i- a 7W-f V · 4α ТЧТ.
Так как при адиабатическом сжатии притока тепла извне не
происходит, то это выражение нужно приравнять нулю. После простых
сокращений мы получаем уравнение:
■j-TdV+VdT=0 (16)
пли *
ѴП=С, (17)
где С постоянная интегрирования. Это уравнение позволяет
вычислять изменение температуры при адиабатическом сжатии
радиации.
Теперь займемся вычислением тех изменений состава радиации
которые произведет сжатие ее, После отражения от движущегося
зеркала, как мы увидим ниже, вследствие явления Допплера
(гл. IX, § 6) частота V будет равна
ѵ' = ѵ Л+2~соз?У (18)'
где ν — первоначальная частота (до отражения), ν — скорость
движения зеркала, φ — угол падения лучей.

§5
Закон смещения В. Вина
455
Легко показать, что при отражении энергия лучей
увеличивается. Пусть за одну секунду на зеркало упало количество
лучистой энергии Е^ данной частоты и под данным углом φ.
Ε
Количество движения, переносимое этой энергией, равно ... " - ,
с
а изменение его при отражении под углом <φ равно
К
К=1 COS φ· !_.
С
Это и есть давление, производимое данными лучами при
отражении. Так как зеркало при этом- перемещается в секунду на
расстояние ѵ, то работа, совершенная внешней силой, двигающей пор-
шень, равна 2ЕЧ — cos φ. Эта работа должна увеличить энергию
£' отраженных лучей, поэтому после отражения
£; = £v(l+-2^-cos<?). (19)
Итак, изменение энергии, отраженной от зеркала, выражается
той же формулой, как изменение частоты. За время 1 сек каждый
луч испытает чрезвычайно большое число отражений, и его частота
в результате изменится определенным образом. Так как при этих
отражениях угол φ может принимать какие угодно значения, то
нельзя вычислить величину изменения частоты непосредственно.
Мы найдем ее впоследствии, а сейчас для нас «важно лишь, что
изменения частоты и изменения энергии происходят совершенно
параллельно друг другу. Поэтому, если в результате сжатия
частота колебания данных лучей станет равной ѵ', то энергия их,
заключенная в объеме V, изменится пропорционально изменению
частоты. Пусть после сжатия объем стал равным V, а плотность
энергии νί d V. Последняя величина представляет плотность энергии
на участке спектра а)' при той температуре, которая
установится после сжатия. Мы должны ввиду сказанного иметь
следующую пропорцию:
ѵ:ѵ' = (Ѵа^):(Ѵв;с&'). (20)
Так как частоты всех лучей участка спектра cb испытают одно
и то же изменение, то, очевидно,
v:v' = rfv:rf/ (21)
и, следовательно, разделив почленно эти две пропорции, мы
получим уравнение
1 = Ѵи,: V и\ или Ѵи, = Ѵи\. - (22)

456 Испускание и поглощение света Гл. ѴШ
Согласно (17) сжатие объема влечет за собой изменение
температуры, так что
VTS=V T's = C. (23)
Сравнивая последние два уравнения, мы видим, что имеет место
такая пропорция
u^u[ = Ts:T's. (24)
Этого соотношения еще недостаточно для определения
изменения распределения энергии в спектре, так как мы не определили
еще изменения частоты ѵ. Недостающее соотношение мы получим,
определив общее изменение энергии лучей вследствие производимой
при сжатии работы. Если бы в цилиндре были лучи с частотами,
занимающими участок спектра tb>, то их давление на поршень было
бы равно P — l[s u//v. При изменении объема на А К производится
работа—Р&Ѵ. Знак минус указывает на то, что при сжатии, т. е.
отрицательном приращении объема, работа имеет величину
положительную и вызывает увеличение энергии, равное
Ь(Ѵи^) = -РАѴ. (25)
Подставляя вместо Ρ его выражение, мы легко найдем
следующее уравнение '
Ки,</ѵ ^ 3 V
Приращения Δ могут быть сколько угодно малы и их можно
рассматривать как дифференциалы соответственных величин.
Интегрируя это выражение, мы находим
in (vvv)-f-4~In v=-C"
или
4
У3 н,* = С", (26)
где С" и С"—произвольные постоянные. Таким образом при
сжатии остается неизменным произведение, стоящее в левой части
(26) для данной категории лучей:
V'Tu\ch' =ν\ώ. (260
ι
Так как изменение объема dV и яркости спектра uv могут быть
выражены, согласно (23) и (24), через изменение температуры, то

§ 5 Закон смещения В. Вина * 457
из (26) нетрудно найти изменение частоты в зависимости от
изменения Т, а именно
ѵ':ѵ=Г:Г. (27)
Обозначим изменение частоты через 8ѵ = /—ν, а изменение
температуры через ЬТ=Т'—Т.
Из (27) следует, что эти изменения пропорциональны ν и Т,
8ѵ:5Г = ѵ: Г. (28)
Нам остается определить зависимость цѵ от частоты и
температуры. Для та>го чтобы проще удовлетворить уравнению (24),
положим, что яркость спектра иѵ равна
' ич=?"3/(ѵ, Τ), (29)
где /—неизвестная функция частоты и температуры. Дадим ν и Τ
другие значения, а именно ѵ' и Т', определенные уравнением (27),
тогда яркость спектра будет равна
«;=Г«/(/,Т0. (29')
Для* того чтобы (24) удовлетворялось, необходимо, чтобы
/ (ν, Ό=/ (ν', Γ) (30)
или
/(ѵ',Г)-/(ѵ,7") = 0.
Полагая, что
ѵ' — ѵ = 8ѵ и Г—Т=ЬТ
очень малы, можно представить эту разность в виде суммы частных
дифференциалов функции
%■*·+ §?8Γ='°· (31>
Но так как, согласно (28), дифференциалы δν и ЬТ не
независимы, но должны быть взяты пропорциональными ν и Т, то из
(31) следует, что
У-ѵ+% Т=0. (32)
Это уравнение известно по теореме Эйлера об однородных
функциях и выражает свойство однородной функции нулевой сте-

458 Испускание и поглощение света Гл. ѴЩ
пени. Этому уравнению поэтому удовлетворяет любая функция
V
отношения -ψ, τ. е.
/(v,D=/(-f)» (33)
где /— произвольная функция.
Мы нашли таким образом для величины яркости в спектре
черного тела очень общую зависимость от частоты ν и
температуры Т. Согласно (29) и (33)
и, = Г»/(уѴ ' (34)
Эта формула выражает закон смещения В. Вина.
Распределение яркости в спектре частот для каждой температуры
определяется видом функции / при данной температуре 7*. Если
откладывать по оси абсцисс частоту ѵ, а по оси ординат яркость,
то получается кривая, изображающая это распределение. Подобные
кривые для различных температур в спектре длин волн λ (а не частот)
приведены на рис. 249. Если известно распределение для одной
температуры Ти то можно построить кривую для другой
температуры 7Ѵ Для этого согласно (34) сначала все ординаты" первой
кривой I нужно увеличить в отношении Т\:Т\. Затем все
ординаты полученной кривой // смещаем вдоль оси ν так, чтобы
их абсциссы ѵ' были увеличены Т2: Тг раз. Полученная кривая ///'
изображает тогда распределение яркости при температуре Т%.
Такое построение выполнено на рис. 249 для отношения температур
Т2: Тг = 1,5· Очевидно, что если кривая имеет максимум, іо он
смещается вдоль оси ν по такому же правилу. Стало быть
вычерчивание новой кривой сводится к изменению масштаба абсцисс
(в отношении Г2: Тг) и ординат (в Т\: 7^ раз).
При возрастании температуры максимум яркости перемещается в
сторону больших ѵ, как показано на рис. 249. Положение максимума
ν
определяется отношением т" = Ь, которое должно иметь
определенную численную величину, зависящую от закона
распределения яркостей. Закон смещения Вина может быть выражен или
в частотах ѵтвх = ЪТ или же в длинах волн
П^^Ьі. (35)

§s
Закон смещения В. Вина
459
Если выражать Τ в градусах абсолютной шкалы, а λ в микронах·
то &і — 2880.
Обычно распределение энергии выражается в спектре длин
волн.
Если известно распределение яркости ич, то нетрудно перейти
к распределению ur Соответствующее участки спектра будут
определяться величинами
дифференциалов сГѵ и <Л.
Так как ν-·γ, то
Плотность энергии в этих
участках должна быть,
конечно, одна и та же, т. е.
или, подставляя значение с?ѵ,
мы находим
и^с cTs , / с
λ2
Таким образом, обозначая ту часть этой функции, которая
зависит от аргумента λ!Γ, символом
F(kT)--
(kT)tf[\F
мы получим окончательно
«λ=Γ^(λ7).
(36')
Поэтому в кривой яркостей, построенной для спектра длин волн,
масштаб ординат возрастает как пятая степень абсолютной
температуры, а масштаб абсцисс изменяется в отношении минус первой
степени. На рис. 248 (стр. 445) были изображены кривые,
соответствующие рассматриваемому здесь случаю. Возрастание
максимумов яркости при увеличении температуры чрезвычайно резкое
и соответствует пятой степени Т, как можно легко убедиться.
Изложенные здесь законы относятся к абсолютно черной
поверхности. Испускание света в любом направлении поверхностью,
близкой по своим свойствам к абсолютно черной, пропорционально
плотности энергии и выражается формулами (34), (35) и (36). Для

460 Испускание и поглощение света Гл. ѴЩ
металлов количественные отношения иные. По измерениям Лум-
мера и Прингсгейма закон смещения хотя и соблюдается, но
величина произведения ХтиГ = 2630> т. е. меньше, чем для черного
тела. Величина максимума яркости возрастает пропорционально
шестой, а не пятой степени.
§ 6. Распределение энергии в спектре. Формула Планка.
Распределение энергии в спектре различных светящихся тел,
в особенности солнца, было впервые изучено Ланглеем в
восьмидесятых годах прошлого столетия. Впоследствии подобные
измерения неоднократно производились над радиацией черного тела и
приводили к тем кривым распределения, которые были приведены
на рис. 248. Было предложено несколько формул, выражающих
законы распределения. Первая теоретически выведенная формула
принадлежит В. Вину и имеет следующий вид:
Е^С^-^е-Ъ. (37)
Обе постоянные С^ и с.2 должны быть определены из опыта.
Выражаемый этой формной закон удовлетворяет закону смещения
Вина.
Сравнивая (36') и (37), мы видим, что
f\X7) = C1(X7)_5e~'^.
Формула (37) очень хорошо передает распределение энергии
в спектре лучей видимых и более коротких. Но для длинных
инфракрасных лучей она дает отклонения от истинной величины,
достигающие 50%· Это заставило Планка несколько видоизменить
формулу (37), придав ей следующий вид:
£^-^~. (38)
е ХТ — 1
Эта формула, а также формула для спектра частот
Ε = С'}ѵ3 " (38')
е —1
оказалась в превосходном согласии с наблюдениями не только
для коротких, но и для длинных волн. Так например, для волны
λ = 51 μ. Рубенс и Курльбаум нашли полное согласие вычисленной
яркости с опытными определениями для температур от —188°С

§ 6 Распределение энергии в спектре. Формула Планка 461
(температура жидкого воздуха) до -\-1500°, в то время как формула
Вина дает расхождение в десятки и сотни процентов. Не трудно
видеть, что формульі эти должны практически совпадать, если
е1Т ^> 1 т. е. при очень низких температурах или коротких
волнах, когда λ Γ <Сб2.
Эта эмпирическая формула послужила Планку (1900 г.) исходной
точкой для создания новой теории лучеиспускания, в которой он
ввел впервые новое понятие „квант света". Рассматривая испускание
и поглощение света материальными телами, Планк заменил их
электрическими резонаторами, имеющими определенную частоту
колебаний и испытывающими силы трения. Под действием падаю-·
щих на них световых волн резонаторы приходят в колебания
Заметное действие на них оказывают, конечно, только те волны,
колебания которых -по частоте близки к колебаниям резонатора.
Энергия этих вынужденных колебаний пропорциональна квадрату
амплитуды волны или яркости радиации ич для частот вблизи
собственной частоты резонатора. Эта энергия также зависит от
силы сопротивления, испытываемой колеблющимися
электрическими зарядами. Однако это сопротивление не превращает энергию
волн в какой-либо иной вид энергии, а является следствием того,
что резонаторы испускают при колебаниях волны той же
частоты.
Такие соображения позволяют без всяких новых допущений
вычислить величину энергии β резонатора, находящегося под
действием радиации, плотность которой ιχΊ}
где с—скорость света. *
Совершенно новой идеей, которая и.является основой теории
Планка, явилась гипотеза, что энергия может теряться и
приобретаться резонатором не в произвольных
количествах, а определенными порциямииликвантами.
Эта гипотеза противоречит результату-вычислений энергии
резонатора, основанных на обычной „классической" теории колебаний,
согласно которой энергия резонатора накапливается постепенно и
может иметь любые значения, как и плотность радиации.
Такое противоречие, однако, получает право на существование,
если мы условимся, что вычисленная „классически" энергия есть
средняя энергия большого числа резонаторов. В то же время

462 Испускание и поглощение света Гл. VIII
отдельные резонаторы могут иметь энергию, только равную нулю
иди целому числу квант вѵ.
Применение статистической теории к данному случаю позволяет
найти наиболее вероятное распределение квантов при условии, что
число резонаторов и общее количество энергии задано.
Оказывается, что вероятность встретить резонатор с определенным числом
η квантов тем меньше, чем больше η и тем больше, чем выше
температура Т. Она пропорциональна выражению
е""7·, (40)
которое играет весьма важную роль в статистической физике.
Зная относительную вероятность резонаторов с определенным
содержанием энергии, мы сравнительно просто можем вычислить
энергию е, приходящуюся в среднем на один резонатор. Она равна
7=_А_ . (41)
екТ — 1
Эта средняя величина может принимать любые значения, а
следовательно и то, которое получается из классической теории
колебаний. Приравнивая эти два выражения энергии е, мы
объединяем волновую точку зрения на свет с корпускулярными предста:
влениями о квантах света. Такая теория, отражающая два
различные и на первый взгляд противоречивые свойства света, составила
эпоху в современной физике и положила начало новому
квантовому направлению. Таким образом, из (39) и (41) мы получаем
; . ' екТ — 1
Для этого, чтобы эта формула перешла в формулу Планка,
необходимо сделать еще один шаг, а именно положить, что еѵ
пропорционально частоте ѵ:
βν = Αν. (43)
Подставляя это значение энергии
формулу Планка:
кванта, мы получаем знаменитую
ѵ3 (44)
?» ·
еи-1

§ 6 Распределение энергии в спектре. Формула Планка 463
Постоянная Планка должна быть определена из опыта. Для
этого может служить или постоянная α закона Стефана-Больцмана
или же постоянная Ь закона смещения Вина. Оба эти способа
определения А приводят к одинаковому значению, равному
Л = 6,55 · 10 ~ эрг · сек
Эта величина принадлежит к числу универсальных постоянных,
каковы с — скорость света в пустоте, е — заряд электрона, т
его масса. По своей физической размерности она выражается
произведением энергии на время. В механике материальных частиц
подобная величина называется действием. Постоянную Планка
можно рассматривать как элементарную величину действия.
Взгляды на физический смысл тех явлений, которые приводят
к квантам света, испытали различные видоизменения после
открытия закона распределения яркости в спектре черного тела,
выражаемого формулой Планка. Вначале квантовые законы связывались
с механизмом испускания и поглощения света материальными
атомами. Затем Дебай показал, что можно притти к формуле
Планка, рассматривая радиацию в пустоте как совокупность
независимых колебаний данного объема, между которыми распределена
энергия в виде квантов света. Наконец Эйнштейн обосновал взгляд
на кванты света как на реально существующие независимо от
материальных атомов частицы света, которые впоследствии получили
название фотонов. Последнее представление, сближающее фотоны
с элементарными материальными частицами, в настоящее время
весьма распространено.
Заметим еще, что если бы количества испускаемого и
поглощаемого резонаторами света, а следовательно, и содержащиеся
в них количества энергии могли принимать любые значения, то
кгант света, т. е. элементарное (наименьшее) количество световой
энергии должно было бы стремиться к нулю. Непрерывное
испускание и поглощение энергии, которое требуется классической
теорией, можно получить из квантовой теории, как идеальный ее
случай, когда постоянная h стремится к нулю. Формула Планка
стремится тогда к формуле Рэлея-Джинса
Эта формула получена Рэлеем (1900 г.) из предположения, что
радиация, заключенная в данном объеме, может быть представлена
как совокупность колебаний в данном объеме и что каждое коле-

464 Испускание и поглощение света Гл. ѴЩ
бание в среднем приходится одно и то же количество
энергии кТ.
В самом деле, как мы видели (гл. II, § 32), в случае установившегося
распределения волн в прямоугольном ящике с идеально
отражающими стенками, число возможных колебаний, имеющих частоту
меньшую некоторого предела ѵ, равно
если с — скорость волн. Число же колебаний, частота которых
лежит между ν и ν-{-ώ, мы найдем, дифференцируя это выражение;
4πν3
cs
Если энергия каждого колебания равна к Т, то общее количество
энергии, связанное с этими колебаниями в единице объема или
плотность энергии uvc?v равна
н/fc ^dn-kTjV=^-kTS.
С
В формуле Рэлея-Джинса плотность в два раза больше вследствие того,
что лучи света могут быть поляризованы в направлениях взаимно
перпендикулярных, и это увеличивает число независимых колебаний
вдвое. Равномерное распределение энергии приводит, однако, к
физически недопустимым результатам. В самом деле, если мы
подсчитаем плотность энергии всех возможных частот, то получим
безграничное возрастание ее по мере возрастания верхнего предела
частоты. Так как теоретически в спектре черного тела следует
ожидать сколь угодно высоких частот, то плотность энергии
радиации должна бы быть бесконечно большой при любой температуре.
Но если формула Рэлея-Джинса не может иметь места при
любых частотах, она все же удовлетворительно передает ход
яркостей в области малых частот или больших длин волн,
§ 7. Оптическая пирометрия.
Значение законов излучения абсолютно черного тела дает
чрезвычайно мощный метод измерения температуры таких тел,
которые по своей поглощательной способности близки к черному
телу. Основываясь на законе Стефана-Больцмана, мы можем
измерять температуру по общему количеству' лучистой энергии всех
длин волн. Закон Вина дает другой способ абсолютного измерения
температуры по длине волны, соответствующей максимуму яркости в

§ 7 Оптическая пирометрия 465
спектре. Оба способа могут быть применены при всяких
температурах, но особенную важность они приобретают при измерении
высоких температур, например печей, в которых плавится
металл, накаленных твердых и жидких поверхностей и в
особенности таких тел, которые недоступны для непосредственного
измерения (солнце).
Первый способ осуществляется в радиационном пирометре
следующим образом. Изображение определенного участка
поверхности накаленного тела проектируется при помощи линзы L
(рис. 250) или вогнутого зеркала (не изображенного на рисунке)
в той плоскости, где находится
термоэлемент Th, прикрепленный к очень тонкой
пластинке S, которая нагревается падаю- L
щими" на нее лучами. Яркость изображения
зависит как. от отверстия линзы L, так и
от поглощения ею лучей. Так как
наибольшее количество лучей при температуре излучателя около 2000* еще
находится в инфракрасной области, то стеклянная линза оказывается
весьма неудобной вследствие сильного поглощения этих лучей
стеклом. От этого недостатка свободны зеркальные телескопы, которые
поэтому иногда применяются в подобных пирометрах. Прибор
должен быть проградуирован при помощи какого-нибудь черного
тела, т. е. ток, даваемый термоэлементом, измерен, когда на
пластинке S получается изображение поверхности черного тела,
температура которого известна. Окуляр О служит для установки
пирометра в таком положении, чтобы изображение покрывало всю
поверхность S. При другой температуре черного тела количество
лучей, попадающих на пластинку, может быть определено по
формуле Стефана.
Определяя этим способом температуру " нечерной, например,
металлической поверхности, мы определяем только эквивалентную
„черную" температуру. Так как лучеиспускательная способность ее>
пропорциональная поглощательной способности, меньше чем у
черной поверхности, то истинная температура будет всегда выше
измеренной. Для получения истинной температуры мы должны
знать коэффициент поглощения, данной нечерной поверхности.
Для металлов этот коэффициент имеет величину от 0,2 до 0,5;
для окисей и шлаков он значительно больше: 0,9 — 1. Поэтому
черная температура окисленной поверхности или шлаков,
плавающих на расплавленном металле, весьма близка к истинной
температуре их.
20 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

Рис. 251.
466 Испускание и поглощение света Гл. VIII
Многочисленные измерения солнечной радиации показали, что
на границе атмосферы, где лучи еще не испытали поглощения,
в каждую минуту на 1 см1 падает количество лучистой энергии
равное 3 калориям. Это число дает возможность определить всю
энергию, испускаемую солнцем в виде лучей, и найти таким
образом лучеиспускательную способность его поверхности. Такой расчет
дает для черной температуры солнца величину несколько
большую 6000°, а так как поверхность солнца весьма близка к идеально-
черной, то.это и есть истинная температура солнца.
Применение второго способа, основанного на законе смещения
Вина, несмотря на его теоретическую простоту, затруднено тем, что
необходимо пользоваться*
разложением в спектр и определением
максимума в инфракрасной его
части. Для солнца условия
благоприятны в том отношении, что
максимум лежит в видимых лучах, имеющих длину во^ны около
0,5 μ. По формуле (35) это дает также температуру около 6000°.
Более удобные способы измерения основаны на сравнении
яркостей двух поверхностей, из которых одна имеет определенную
известную температуру. Этот метод осуществляется в обычных
оптических пирометрах следующим образом. Изображение
накаленной поверхности получается при помощи линз в трубе, в
которой находится электрическая лампочка (.рис. 251). Таким образом
нить проектируется на изображение, и можно подобрать накал
нити так, чтобы ее средняя часть имела ту же яркость, как и
изображение измеряемой поверхности. Для удобства сравнения
изображение и нить должны находиться в одной плоскости. Когда
яркости сделаются равными, изображение нити перестает быть
видным на фоне накаленной поверхности, и температуру нити
и поверхности можно считать одинаковыми, если состав спектров
их лучей не очень различен.
§ 8. Источники света.
ϊ ■
Законы радиации являются основными законами для всей
светотехники, котораія стремится найти наиболее" экономичные и
пригодные для освещения источники света. Современные
электрические источники, например лампы накаливания, превращают
подводимую к ним энергию в свет в количестве нескольких*процентов.
Большая часть радиации приходится на инфракрасные лучи.

§ 8 Источники света 467
Черные поверхности испускают наибольшее количество лучей по
сравнению с другими при той же температуре. Лучеиспускание
металлических поверхностей значительно меньше вследствие их
высокой отражательной способности. Однако у большинства
металлов она уменьшается именно в области видимых лучей. Поэтому
если в инфракрасной части спектра металлическая накаленная
поверхность испускает значительно меньше, чем черная, то в видимой
она приближается к последней, что дает более выгодное
распределение энергии в спектре. Вследствие этого лампы накаливания
с металлической нитью более экономичны, чем угольные лампы.
К тому же они могут выдерживать более высокие температуры,
а чем выше температура источника света, тем более выгодно
распределение энергии в его спектре. Солнечный спектр имеет
максимум в тех лучах, к которым наш глаз наиболее
чувствителен (в зеленых). Наиболее приближается к нему вольтова
дуга, в которой поверхность положительного электрода имеет
температуру около 4000°. Из металлических ламп наиболее
высокую температуру нити имеют газонаполненные (аргоном или
азотом) вольфрамовые лампы (2500°).
Наиболее экономичными были бы, конечно, те источники,
которые давали бы исключительно видимые лучи. Но отсутствие
лучеиспускания в какой-нибудь части спектра означает по закону
Кирхгофа отсутствие поглощения. Ничтожной поглощательной
способностью обладают газы. В отличие от твердых и жидких тел
газы дают линейный спектр и только вблизи их линий (или полос)
поглощение имеет значительную величину. Таким образом, вся
испускаемая газом лучистая энергия сосредоточена в сравнительно
узких участках спектра. Кроме того, яркость испускаемых линий
не соответствует температуре газа. „Яркостная" температура,
полученная из сравнения со спектром твердых тел, оказывается
' гораздо более высокой и измеряется десятками тысяч градусов.
Такую именно температуру имеют электроны внутри газа при
электрическом разряде, а так как именно они возбуждают свечение
атомов, то яркость линий и определяется их температурой. Таким
образом, из современных источников света наиболее экономичными
являются газы, возбуждаемые электрическим разрядом. В отличие
от твердых поверхностей они дают не белый, а окрашенный свет,
и задачей техники является подбор такого газа и таких условий,
чтобы энергия разряда превращалась в свет, наиболее пригодный
для освещения.
30*

468 Испускание и поглощение света Гл. ѴЩ
§ 9. Линейные спектры,
Температурное свечение дает большей частью
непрерывный спектр. Испускание линейных спектров происходит только
в Газах, причем оно возможно и при низкой температуре газа
под действием электрического разряда. Примером линейного спектра
является спектр водорода в разрядной трубке или натрия в
пламени газовой горелки. Эти спектры состоят из отдельных линий,
причем у некоторых элементов их немного (например у водорода),
а у других они образуют очень сложную систему линий (пример —
пары железа).
С давних пор изучение линейных спектров привлекало внимание
ученых. Кирхгоф и Бунзен (I860 г.) показали, что линейные
спектры газов и паров определяются химической природой их атомов
и могут служить для анализа сложных соединений по их спектрам.
С этой целью они вводили в пламя горелки соли различных
металлов, которые, испаряясь, давали спектры, характерные для данного
металла. Достаточно ничтожных количеств соли, чтобы получить
нужный спектр. Например, можно обнаружить присутствие натрия,
в количестве Ю- г. Вследствие этого исследование спектров дает
очень тонкий метод для химического анализа, и уже вскоре.после
открытия спектрального анализа. Кирхгофу и Бунзену удалось
найти два новых, еще неизвестных в то время элемента: цезий
и рубидий. После этого спектральный анализ не раз служил
для открытия новых элементов. Укажем, например, на открытие
редких газов, имеющихся в атмосфере в ничтожных количествах,
а именно гелия, неона, криптона и ксенона, которые были
обнаружены по'их спектрам Рамзаем в 1895 г.
Не одни практические применения спектрального анализа
привлекали исследователей. Они ожидали 6т изучения спектров
разгадки строения атомов, которые атомная теория вначале рассма- j
тривала как простые неделимые частицы. Сложность атомных
спектров указывала на сложность структуры. В то же время испу
екание линейных спектров позволяло изучать правильные
гармонические колебания отдельных частей атома.
Только через пятьдесят лет после открытия атомных. спектров
1860 г.) они были объяснены Нильсом Бором (1913 г.), творцом
квантовой теории атома и спектров. За это время удалось
установить следующие закономерности:
1. В спектре атомов линии могут быть сгруппированы в серии,
состоящие иногда из большого числа линий. Эти группы линий

§9
Линейные спектры
469
имеют вид, изображенный на рис 252. Промежутки между ними
уменьшаются в сторону больших частот (или коротких волн), где серия
имеет границу. Граница серии д представляет место сгущения
линий, которые располагаются здесь так тесно, что спектроскоп
уже не в состоянии их разделить. Линии, принадлежащие к одной
серии, сходны по строению и внешнему
виду. Так,у натрия линии серии, к кото- * Ε 3 45 η
рой принадлежат желтые линии Dt и D2,
все двойные. Ввиду яркости их эта серия
была названа главной; но кроме того, „ ^. у
установлены еще две побочные серии бо-
3 ,. - о Рис. 252.
лее слабых линий, так же двойных, но
отличающихся по виду: одна была названа диффузной серией,
другая резкой серией. Такие же серии были найдены у других
щелочных металлов.
2. Для водородной серии Бальмер (1885 г.) нашел эмпирически
формулу, которая удивительно точно передает длину волны
различных линий серии. Эта формула Бальмером была дана в такой
форме:
\ —h m*
где т принимает всевозможные значения, большие двух.
Впоследствии Ридберг (1890 г.) придал ей более удобную
форму, представив частоту колебания в виде разности двух
членов
'-R\2* m2)'
Таким образом, первая линия серии Бальмера соответствует т = 3,
следующие соответствуют т — 4, 5, б,. . . В настоящее время
известно около двадцати линий, причем большинство их лежит
в ультрафиолетовой области.
Подобным же образом Ридбергу удалось выразить серии
других элементов в виде разности двух членов, получивших название
спектральных термов. Один из термов остается постоян-
1
ньш, а другой изменяется пропорционально —§ > причем т
увеличивается на единицу при переходе к соседней линии серии,
но может и не быть целым числом (m = n-f-a, где л—целое

470 Испускание и поглощение света Гл. ѴЩ
число), а множитель R для всех серий имеет одно и то же
значение.
3. Наконец, Риц установил правило или принцип
комбинации термов, согласно которому любая спектральная линия
может быть получена как разность двух каких-нибудь термов,
характеризующих данный элемент. Так например, термы водорода
образуют систему чисел
R(L Α.- L J_
К[Ѵ 22' 32'"'m2
и комбинации их дают такие новые серии:
ѵот=— g—'серия Лаймана в ультрафиолетовой области,
vm = 'ql а — серия Пашена в инфракрасной области.
В этих сериях, как было уже сказано, постоянная R
(постоянная Ридберга) имеет одно и то же значение. Заметим, что обычно
термы в настоящее время выражаются числом колебаний,
деленным на скорость света
JL— А.
с ~ λ '.
которое называется волновым числом и определяет число
волн λ, которые умещаются на длине 1 см. В этих единицах
R = 109677,7.
Перечисленные закономерности были объяснены впервые Н.
Бором. Испускание света определенной частоты ν связано с
испусканием квантов света, энергия которых равна аѵ=»Лѵ. Каждый
раз при испускании кванта атом теряет определенную энергию, т. е·
переходит из состояния с более высокой энергией в состояние
с меньшей энергией. Тот факт, что испускаемый свет имеет вполне
определенные частоты, показывает, что энергия атома не может
изменяться произвольным образом. Изменения должны быть таковы,
чтобы разность ее значений при испускании данной линии
равнялась энергии кванта. Отсюда следует, что спектральные термы
должны находиться в связи с энергией атома, так как разность их
дает частоту колебаний спектральной линии, а, следовательно, и
энергию кванта Аѵ.
Обозначим Wx и W% — энергию атома (например водорода)
в двух состояниях и положим, что И^2 > Wx. Переход атома из
состояния 2 в состояние / сопровождается потерей им энергии

§ 9 Линейные спектры 471
W2 — Wx. Эта разность должна равняться энергии /іѵ, и мы
находим, что частота колебаний ν оавна
v_ h ~~h'
Разделив это число на скорость света, мы получим волновое число
спектральной линии
с he he
Очевидно, что спектральные термы можно отождествить с вели-
W
чинами ητ22; например, для водорода возможные величины или ѵровни
энергии равны
Представление об излучении, введенное Бором, в корне
отличается от представлений классических. Находясь в определенном
состоянии, атом не испускает свет, и только переход его в другое
состояние сопровождается испусканием кванта света, т. е.
спектральной линии определенной частоты. Таким образом, испускание
линейного спектра связано с определенными уровнями энергии или
определенными состояниями атома. Атом газа, как правило, не
может находиться в любых промежуточных состояниях и его энергия
не может изменяться непрерывным образом. Самый переход следует
представлять себе не как постепенный переход из начального в ко'неч-
ное состояние, а как скачок, сопровождающийся испусканием кванта.
Энергии атома в различных состояниях могут быть найдены
опытным путем из спектральных термов, но они могут быть
вычислены теоретически, если известно строение атома и те квантовые
условия, которые определяют возможные состояния атома. Эти
вычисления составляют главное содержание квантовой теории
строения атома, и мы их в настоящем томе касаться не будем.
Заметим только, что то или иное возможное состояние атома
нужно связывать с энергией электрона, который удобно
представлять себе движущимся вокруг положительного ядра по
определенным орбитам. Движение электрона по орбите не сопровождается
излучением света, хотя по классической электронной теории такой
движущийся электрон* в атоме является электрическим диполем
с периодически изменяющимся моментом и должен был бы
непрерывно испускать волны света. Таким образом, классическая
электромагнитная теория не может быть применена к атомным процессам,
которые подчиняются новым квантовым законам.

472 Испускание и поглощение света Гл. ѴПI
Правило Рица с точки зрения квантовой теории вполне понятно.
Если атом или входящий в его состав электрон может иметь
определенные энергии, то всякая спектральная линия должна быть
получена в результате перехода атома с одного уровня энергии
на другой более низкий. Все разнообразие спектров получается
в результате комбинации различных уровней и переходов с одного
уровня на другой.
Среди бесконечного множества возможных состояний атома,
состояние с наименьшей энергией играет особую роль и называется
нормальным. Находясь в нормальном состоянии, атом не может
излучать свет. Это состояние он может сохранять сколь угодно
долго, и только под влиянием внешних воздействий происходит
переход его в возбужденное состояние, с большей
энергией. Возбуждение атома происходит или под действием удара
частиц, имеющих достаточную кинетическую энергию, или же за
счет поглощения квантов света. Кинетическая энергия частицы
или энергия кванта превращается в энергию возбужденного атома.
Чтобы перевести атом в возбужденное состояние или, что то же
самое, заставить электрон перейти на новую орбиту с большей
энергией, нужно затратить также вполне определенную энергию,
равную разности уровней энергии возбужденного и нормального
атома.
В возбужденном состоянии атом не может находиться долго.
Обычно через промежуток времени порядка 10~ секунды он
переходит в состояние нормальное или возбужденное, но с более
низким уровнем энергии. Какой переход будет совершен атомом в
каждом данном случае, нельзя предсказать, так как тот или иной
переход есть явление случайное, и заранее можно определить
лишь вероятность различных переходов. Если мы имеем большое
число атомов в определенном возбужденном состоянии, то от
вероятности зависит число переходов за известный промежуток
времени. Как и при всяких случайных явлениях число это
подчинено законам статистики, и только средний результат большого
числа случаев вполне определен вероятностью перехода из
начального в конечное состояние.
Если переход от данного возбужденного состояния в
нормальное" может происходить различными путями, например прямым
переходом или последовательным переходом через промежуточные
уровни, то испускаться будут различные линии, причем яркость
их зависит от числа переходов, т. е. от общего числа атомов
в возбужденном состоянии и от вероятности перехода на данный

§ 10 Возбуждение свечения газа 473
уровень. По классической теории излучения еолн вибратором
яркость линий должна зависеть кроме числа атомов еще от
быстроты испускания энергии отдельным атомом. Очевидно, что
вероятность перехода вполне аналогична скорости испускания
энергии по классической теории или затухания
колебаний вибратора, испускающего энергию.
Различные степени возбуждения атома можно
представлять себе, как такие, в которых внешний
электрон совершает движение по орбите все
более далекой от положительного ядра атома.
Его кинетическая и потенциальная энергия в
сумме составляет полную энергию. Чем больше
эта общая энергия, тем менее сильна связь
электрона с атомом. В нормальном состоянии
она имеет наименьшую величину и притом
отрицательную. По мере возрастания она
приближается к нулю. Если она станет положительной,
то электрон отделяется от атома и делается
свободным. Этот процесс ионизации является
предельным случаем возбуждения. К
предельному состоянию ионизированного атома приближаются, например,
те состояния возбужденного водородного атома, у которых термы
имеют очень большое значение числа т. Все такие термы имеют
очень мало отличающиеся друг от друга значения. Эти
соотношения наглядно изображены на рис. 253, где представлены
различные уровни энергии водородного атома в виде горизонтальных
линий, проведенных на разной высоте над основной, отвечающей
нормальному уровню. Мы видим, что по мере возрастания числа т
расстояния между соседними уровнями быстро убывают, и уровни
сгущаются у предельного уровня т = оо. Подобное же сгущение
будет наблюдаться и в энергиях перехода на один из
нижележащих уровней, т. е. в частотах серий. Предельная частота серии или
граница серии соответствует переходу с предельного уровня.
Поэтому граница серии дает нам непосредственно возможность
определить энергию нормального состояния, которое является
конечным в переходах, сопровождающихся испусканием линий серии.
§ 10. Возбуждение свечения газа.
На основании сказанного мы можем составить ясное
представление о способах возбуждения свечения газов. Для того чтобы
атомы или молекулы газа могли испускать свет, он должны быть

474 Испускание и поглощение света Гл. VIII
приведены в возбужденное состояние, и для этого поглотить
необходимое количество . энергии. Наиболее простой способ
возбуждения— это поглощение света атомами, находящимися в нормальном
состоянии. В результате поглощения атом приходит в одно из
возможных возбужденных состояний. Для этого он должен
поглотить как раз то количество энергии, которое необходимо для
перевода его на более высокий уровень. Если этот уровень
ближайший к нормальному, то возможен только один обратный
переход на нормальный уровень с испусканием того света, который был
поглощен. Этот случай дает обычно наиболее яркие линии спектра,
так как переход на первый возбужденный уровень требует
наименьшей затраты энергии. Линии D натрия соответствуют такому
переходу. Испускаемую при этом линию принято называть
резонансной, вследствие того, что поглощаемый и испускаемый свет
имеют одинаковую частоту. По классическим представлениям
электрон, способный совершать колебания определенной частоты,
под действием приходящих электромагнитных волн должен
приводиться в колебания тем более интенсивные, чем ближе к резонансу
частоты волн, с одной стороны, и собственных колебаний электрона,
с другой.
Если возбужденный атом может перейти в нормальное
состояние путем последовательных переходов, то он будет испускать,
кроме той линии, которая была поглощена при переводе его с
нормального уровня на уровень возбужденный, еще ряд других линий, и
частота поглощенного и испускаемого света будут совпадать только
для одной основной линии. Остальные линии будут сопровождать
основную, как линии меньшей частоты. Если нам удастся перевести
атом в состояние, близкое к границе возможных уровней (т = оо),
то он будет испускать весь спектр.
Такое возбуждение носит название флюоресценции. Свет
испускается газом за счет поглощенного света, причем его спектр
может состоять и из резонансной линии и из линий меньшей
частоты. При флюоресценции невозможно испускание лучей с
частотой большей, чем частота поглощенных лучей, так как испускаемый
квант не может иметь энергию большую, чем поглощенный, если
■атом перед поглощением находился в нормальном состояний.
В этом состоит закон, открытый Стоксом для флюоресценции
твердых и жидких тел.
Другой способ возбуждения свечения заключается в передаче
атому или его электрону энергии путем удара. Обычно для этой
цели применяются электроны. В; качестве источника электронов

§ 10 Возбуждение свечения газа~ 475
удобно брать накаленную нить, испускающую их в достаточном
количестве. Электроны ускоряются полем, создаваемым, как
показано на рис. 254, между накаленным катодом К и сеткой С. Энергия,
которую они приобретают, доходя до сетки, равна работе
электрической силы, т. е. произведению заряда е электрона на разность
потенциалов V между катодом и сеткой. Эту энергию мы будем
выражать просто в вольтах (точнее в электроно-вольтах) и говорить,
что электрон приобрел на своем пути к
сетке энергию в V вольт.
Пройдя сетку, он попадает в
пространство с постоянным потенциалом, если
потенциалы сетки С и анода А равны, и
движется с постоянной скоростью.
Встречаясь с атомами, он большей частью
отскакивает от них, производя упругие уда-
р ы. Но иногда он приходит в такое
взаимодействие с электронами атома, при котором
может передать свою энергию электрону,
связанному с атомом, если она достаточна для перевода электрона на
один из возможных возбужденных уровней. Таково происхождение
неупругого удара, в результате которого остается
возбужденный атом и электрон, частично или полностью потерявший свою
энергию.
Для того чтобы сравнивать энергию электрона с энергией
возбуждения, удобно выражать последнюю также в вольтах.
Постепенно повышая ускоряющее напряжение на сетке, мы можем
создавать атомы с все более высокими уровнями энергии, пока не
дойдем до предельного уровня, когда электрон в атоме теряет
связь с ядром. Результатом возбуждения при помощи электронного
удара будет испускание линий, соответствующих различным
переходам. ^Наиболее низкий потенциал Ѵѵ который 'достаточен для
получения первого возбужденного состояния, называется первым
потенциалом возбуждения. Под действием электронов с
энергией лишь немного превышающей Ѵх газ может испускать
только одну резонансную линию. Но при возрастании энергии
электрона могут возбуждаться более высокие уровни, энергии и
атом начнет испускать другие линии. Полный спектр возбуждается
при потенциалах, близких к предельному, т. е. ^потенциалу
ионизации атома Vt.
Последний случай возбуждения свечения газа, который мы
рассмотрим здесь, есть свечение температурное. Если нейтральные
К
+
Рис. 254.

476 Испускание и поглощение света Гл. ѴШ
атомы при · высокой температуре приобретают большую
кинетическую энергию, то эту энергию при столкновениях они могут
передать другому атому в виде энергии возбуждения его электрона.
При температурах, которые мы.имеем в пламени газовой горелки,
средние кинетические энергии атомов не велики, обычно меньше
одного вольта. Энергии же возбуждения в большинстве случаев
достигают нескольких вольт. Так например, энергия резонансного
возбуждения у Na — 2,1, у К —1,55, у Hg· — 4,9 вольт. Поэтому
в пламени горелки возбуждение атомов может происходить только
благодаря присутствию там атомов с энергиями, превышающими
значительно среднюю энергию. По закону Максвелла в газах
имеются атомы с любыми скоростями, причем число атомов
с кинетической энергией, превышающей V вольт при температуре
Т, будет выражаться формулой
n = Ne w,
где Ν—общее число атомов, е0 — заряд электрона, k — постоянная
Больцмаяа и е — основание натуральных логарифмов. Если
показатель в показательной функции имеет большую абсолютную
величину, то число η мало по сравнению с Ν; это будет иметь место
при больших потенциалах V и низких температурах Т. Но чем выше
температура, тем ближе значение показательной функции к единице.
Вследствие этого атомы натрия, имеющие сравнительно низкий
резонансный потенциал возбуждения, уже в пламени горелки дают
значительное число возбужденных атомов. Но особое значение
этот способ возбуждения принимает при температуре солнца или
звезд, где уже средняя энергия атомов измеряется вольтами.
§ 11. Поглощение света. Обращение линий.
Возбуждение свечения газа, как мы видели, происходит лишь
в том случае, если свет имеет частоту, достаточную для
возбуждения атомов. Так как в освещаемом газе почти все атомы
находятся в нормальном состоянии, то при поглощении света происходят
переходы с нормального уровня на какой-нибудь из возбужденных.
Вследствие этого в спектре белого света,'прошедшего через газ,
можно обнаружить темные линии, соответствующие таким
переходам и составляющие спектр поглощения данного газа. Такой
спектр мы имеем в солнечной радиации в виде фраунгоферовых
линий, изучение которых позволило установить присутствие в
солнечной атмосфере многих элементов по их спектрам.

§11 Поглощение света. Обращение линий 477
Образование темных линий на светлом фоне показывает, Что из
непрерывного спектра лучей, которые испускаются солнцем, только
некоторые поглощаются газообразной средой, через которую они
проходят. Этой средой может быть или атмосфера солнца или земная
атмосфера.' Земная атмосфера, вообще очень прозрачная для
видимых лучей, поглощает главным образом ультрафиолетовые и
инфракрасные лучи. Большинство темных линий, пересекающих в огромном
количестве непрерывный солнечный спектр, принадлежит парам
и газам, которые находятся в атмосфере солнца.
Принято считать, что поглощение этих линий, которые газ может
сам испускать, есть следствие закона-Кирхгофа. С качественной
стороны этот закон утверждает, что если тело испускает какие-
нибудь лучи, то оно их и поглощает. Но это правило не передает
особенностей, связанных с внутренним механизмом явления. Мы
поймем их, только выяснив условия возбуждения атомов
поглощающего газа.
В.солнечном спектре среди линий Фраунгофера имеются две
линии водорода, обозначаемые С и F, которые совпадают с линиями
серии Бальмера ' На іляНо- Но последние испускаются при переходе
не на нормальный уровень, а на первый возбужденный, имеющий
своим термом величину -=§■. Присутствие этих линий в спектре
поглощения показывает, что в газе находятся атомы в возбужденном
состоянии. Водород при низкой температуре состоит не из атомов, а из
двуатомных молекул, поэтому для того, чтобы поглощать линии
Бальмера, водород должен быть диссоциирован на атомы, а атомы
приведены в возбужденное состояние, что и происходит при высокой
температуре в атмосфере солнца. В лабораторных условиях можно
получить поглощение лучей, соответствующих линиям серии
Бальмера с помощью особых приемов. Водород подвергают действию
электрического разряда> вследствие чего молекулы диссоциируют на
йатомы, которые затем возбуждаются. С другой стороны, так как
линии главной серии натрия соответствуют переходам на
нормальный уровень, то они могут быть поглощены парами натрия, и Буду
удалось получить до 60 линий поглощения, пропуская лучи света
через длинную трубу с парами натрия. Все эти линии оказались
линиями одной и той же главной серии.
Линии поглощения на светлом фоне показывают, что газ
прозрачен для всех других лучей, кроме тех, которые им испускаются.
Но если бы газ имел ту же температуру, как и источник, дающий
непрерывный спектр, то поглощенные им лучи были бы им испу-

478 Испускание и поглощение света Гл. VIII
щены, в темные линии спектра поглощения в точности покрыты
светлыми линиями спектра испускания паров. Темные линии
возможны только, если температура газа ниже температуры источника
непрерывного спектра.
На этом основано измерение температуры газа, испускающего
вследствие температурного возбуждения линейный спектр. Если
через газ проходят лучи, идущие от нити лампы, то в спектре
появятся линии поглощения, если температура газа ниже
температуры нити. Понижая температуру нити, мы дойдем до
температуры обращения, при которой испускание лучей газом и нитью
сравняются. При еще более низкой температуре нити в спектре
будут видны светлые линии на темном фоне. Таким образом,
температура газа должна быть равна температуре обращения.
Таким же образом объясняется самообращение линий. В
пламени (или в другом газовом источнике света) иногда условия
температуры, давления и возбуждения линий различны в различных
областях. Обычно при более высоких температурах и давлениях
газа спектральные линии имеют большую ширину, чем в более
холодном и разреженном газе. Поэтому линии, испускаемые
внешними слоями пламени, имеют не только меньшую интенсивность,
но и меньшую ширину. Вследствие этого и линии поглощения
будут представляться тонкими темными линиями внутри более
широкой линии испускания внутренних частей пламени.
§ 12. Влияние внешних условий на флюоресценцию.
Освещая газ такими лучами, которые могут создавать
возбужденные атомы, мы вызываем свечение газа (флюоресценцию). Так
например, резонансная линия ртути, имеющая длину волны 2537 А
может быть получена, если освещать кварцевый баллон,
содержащий пары ртути, светом кварцевой ртутной дуги. Применение
кварца вместо стекла необходимо для уменьшения поглощения»
ультрафиолетовых лучей стенками баллона.
Если в баллон вводить кроме ртутных паров еще водород, то
уже небольшие его количества вызывают резкое понижение
резонансного испускания (в несколько раз). Причиной этого являются
столкновения возбужденных атомов ртути с водородными и передача
им энергии возбуждения. В результате столкновения возбужденный
атом ртути переходит в нормальное состояние, а молекулы
водорода, возбуждаясь при этом, диссоциируют. Очевидно, что те газы,
возбуждение которых требует энергии большей, чем энергия воз-

§ 12 Влияние внешних условий на флюоресценцию 479
бужденного атома ртути, неспособны тушить флюоресценцию
ртутного пара. Действительно все благородные газы, например аргон,
гелий, не оказывают почти никакого действия на резонансное
свечение атомов ртути.
При возбуждении наблюдается явление
сенсибилизированной флюоресценцией, открытое Карио и Франком при
следующих условиях. Кварцевый сосуд, в который помещается кусочек
металла таллия, нагревается до 800°. Образующиеся в нем пары
таллия освещаются светом ртутной дуги. Так как линии спектра
у Т1 иные, чем у ртути, то свет не поглощается и не вызывает
свечения. Затем в тот же сосуд вводятся пары ртути, после чего
тотчас появляется, ряд линий таллия. Подобно тому как
светочувствительная фотографическая пластинка, мало чувствительная к
красным лучам, может быть сенсибилизирована введением
в ее эмульсию вещества, поглощающего красные лучи, точно также
сенсибилизируется пар таллия прибавлением атомов ртути, которые
поглощают резонансную линию и затем отдают таллию при
столкновениях свою энергию. Атомы таллия*1 переходят в возбужденное
состояние, а избыток энергии превращается в кинетическую
энергию атома.
Тушение флюоресценции представляет пример сильного
воздействия на возбужденный атом со стороны посторонних атомов.
Более слабыми являются действия внешних, специально
созданных электрических и магнитных полей. Мы излагали (гл. VII)
с точки зрения классической электронной теории действие
магнитного и электрического поля на движущийся и излучающий
электрон, которое приводит к явлениям Зеемана и Штарка. По
квантовой теории электрон при своем движении внутри атома не излучает,
а частота испускаемых волн определяется изменением энергии
электрона при переходе на низший уровень. Для того чтобы
внешние условия оказывали .влияние на частоту, необходимо, чтобы
под их действием менялись уровни энергии.
Электрон, движущийся по определенной орбите вокруг
положительного ядра, при возникновении магнитного или электрического
поля начинает совершать более сложное движение,
сопровождающееся изменением формы орбиты и энергии электрона. Одним
из обычных изменений является изменение положения плоскости
орбиты в пространстве, которое называется прецессией орбиты.
Пусть ABCD есть орбита электрона, a NAMC — круг на плоскости,
перпендикулярной к направлению магнитного поля Η (рис. 255).
Вдоль диаметра АС обе плоскости пересекаются. Представим

480 Испускание и поглощение света Гх. VIII
себе, что этот диаметр вращается вокруг центра О с постоянной
скоростью и вместе с ним вращается орбита. Движение это
называется прецессией атома. Добавочная кинетическая энергия, которую
имеет электрон, совершающий кроме пер*
воначального движения еще и
прецессионное, и есть изменение его энергии под
действием магнитного поля. Электрическое
поле также изменяет движение электрона.
Если все атомы имеют измененные уровни
энергии, причем изменение это различно
для разных орбит, то при переходе с
одного уровня на другой должны испус·
каться волны измененной частоты.
Изменение частоты, очевидно, равно разности
изменений энергии 1У% и Wx в магнитном поле, деленной на
постоянную Планка
η
Подобное изменение имеет место и при столкновении атомов.
Действием атомов друг на друга вообще можно пренебрегать, но
при сближении их силы притяжения и отталкивания могут
достигать больших значений. Вследствие этого энергия уровней
изменяется и испускаемая частота может принимать какие угодно
значения в известных пределах. Так как испускание кванта света
происходит при разных расстояниях между атомами, то и
изменение частоты будет возрастать от нуля до некоторого максимума.
В результате спектральная линия сделается более широкой
вследствие наложения друг на друга линий слегка измененной частоты.
Наибольшее изменение ширины линий происходит при больших
плотностях газа и высоких температурах. Поэтому для получения
очень тонких линий нужно иметь газ при возможно низких
давлении и температуре.
§ 13. Флюоресценции и фосфоресценция твердых и жидких тел;
Мы познакомились с механизмом свечения газов под действием
лучей, поглощаемых их частицами. Подобные явления наблюдались
и в случае жидких и твердых тел еще, повидимому, во времена
Ньютона, но и до настоящего времени они не вполне разъяснены.
Раствор сернокислого хинина, освещенный пучком белых лучей,
светится голубым светом. Если осветить кристаллы некоторых
урановых солей синими лучами, пропустив предварительно белый
Рис. 255.

§ 13 Флюоресценция и фосфоресценция твердых и жидких тел 481
свет через кобальтовое стекло, поглощающее желтые и зеленые
лучи, то они начинают светиться, испуская зеленые лучи. Как
общее правило, тела, способные флюоресцировать, испускают
не те лучи, которыми их освещают, а иные, имеющие большую
длину волны. В этом заключается весьма общий закон,
подмеченный Стоксом и известный под его именем. Мы встречались
с законом Стокса при изучении условий флюоресценции в газах.
Там он естественно вытекал из квантовой теории возбуждения
атомов и испускания ими света. В случае жидких и твердых тел
он также имеет место почти без всяких исключений. Но все же
все явления возбуждения и испускания в жидких и особенно
твердых телах гораздо сложнее, чем в газах.
Нужно думать, что в основном явление протекает здесь также,
как и в газах. Поглощение квантов света переводит атомы в
возбужденное состояние, из которого они возвращаются в нормальное,
испуская свет. Вследствие действия на частицы тела соседних
частиц, возбуждение более эффективно, если частота
возбуждающего света превосходит частоту испускаемого. В некоторых
случаях при освещении происходит, видимо, ионизация или диссоциация
молекул на ионы, так как освещенные и флюоресцирующие тела
имеют более высокую электропроводность, чем неосвещенные.
В таком случае свечение может происходить при соединении
продуктов распада атома.
В жидкостях свечение прекращается почти тотчас после
прекращения освещения, т. е. атом пребывает в возбужденном состоянии
чрезвычайно короткое время. Это время меньше 10— сек. Но
в твердых телах возвращение в нормальное состояние может
происходить гораздо медленнее. Примеры такой способности
сохранять возбужденное состояние встречаются в фосфорах или
в фосфоресцирующих солях, которые представляют собой
твердые растворы ряда тяжелых металлов в сернистых соединениях
Са, Ва, Sr. Такие соли светятся в темноте довольно долго после
прекращения освещения, причем яркость свечения с течением
времени убывает по показательному закону. При нагревании их или
освещении инфракрасными лучами свечение быстро гаснет.
Большинство твердых тел обнаруживает свойство
фосфоресцировать особенно при низких температурах. Так например, парафин,
охлажденный в жидком воздухе, фосфоресцирует очень ярко, пока
его температура не повысится. Все эти явления объясняются
устойчивостью тех возбужденных состояний, в которые атом переходит
под действием света.
31 Зак. 2408. Курс физики, т. II.

482 Испускание и поглощение света Гл. VIII
§ 14. Молекулярные спектры.
Линейные спектры, которыми мы занимались до сих пор,
получаются только в одноатомных газах: в ртутном паре и также
в парах других металлов, в благородных газах, водороде,
диссоциированном на атомы и т. п.
При возбуждении свечения таких газов, молекулы которых
состоят из двух и более атомов, получаются не линейные, а более
сложные спектры. Обычно они состоят из
ШИП расплывчатых полос (рис. 256), которые
и! имеют заметную ширину и более резко
ШИП I ограничены с одного края. При
исследовании этого спектра приборами с большой
разрешающей силой можно установить, что
полосы состоят из тонких линий, которые обычно гуще располо·
жены с одного края и образуют здесь кант, или край полосы
Таких полос в спектре бывает несколько, и они могут быть
сгруппированы в систему с правильным чередованием полос. Однако
не следует думать, что такая система полос аналогична серии
линий в линейных спектрах. Скорее ее следует рассматривать
как одну линию, так как любая линия в системе полос
соответствует одному и тому же переходу электрона с одной орбиты на
другую. Превращение одной линии в систему полос, причем каждая
полоса в свою очередь распадается на отдельные тонкие линии,
обусловлено тем, что энергия молекулы зависит не только от
орбиты электрона, но также от движений атомов и всей молекулы.
Молекулярные спектры удалось понять только с помощью
новых воззрений квантовой теории. Существование многочисленных
линий показывает, что энергии различных состояний молекулы
могут принимать весьма разнообразные, хотя и близкие значения.
Возможность тонкого подразделения уровней энергии вызвано
тем, что в двуатомных молекулах энергия принимает такие формы,
которых не может быть у одиночных атомов. Этими новыми
формами энергии является кинетическая энергия вращения
молекулы и энергия колебания атомов. Этим двум
формам энергии соответствуют те изменения частоты, которые
дают, с одной стороны, деление полос на отдельные линии, а
с другой, образование раздельных полос.
Как и в линейных спектрах возбуждение молекулы происходит
или вследствие поглощения света или ударом электрона. Электрон
молекулы переходит с нормальной орбиты на возбужденную, и

§ 14 Молекулярные спектры 483
если возбуждение производится светом, то в спектре должна
получиться линия поглощения. После кратковременного пребывания
в возбужденном состоянии электрон возвращается на нормальную
орбиту, причем происходит испускание линии, соответствующей
переходу. Такова схема получения каждой линии системы полос.
Разнообразие линий в системе зависит от того, что возбужденное
состояние на самом деле не одно, а состоит из множества
состояний, отличающихся различной энергией колебания атомов и
различной энергией вращения молекулы.
Резкость линий, из которых состоят полосы, показывает, что
не только энергия электрона на возбужденной и нормальной орбите
имеет вполне определенную величину, но и колебания атомов могут
происходить только таким образом, что их энергия принимает
определенные значения и что сверх того энергия вращения
молекулы вокруг ее центра тяжести также имеет точно определенные
квантовыми правилами величины. Изменения энергии при
переходе с одного электронного уровня на другой, изменения при
переходах из одного возможного состояния колебания в другое и,
наконец, возможные изменения вращательной энергии относятся
между собой большей частью как числа порядка 104:102:101.
Следовательно, расстояние между соседними полосами составляет
примерно одну сотую длины волны, а расстояние между отдельными
линиями еще в десять раз меньше. Однако, у разных молекул
эти отношения могут быть очень различны вследствие разницы
масс атомов.
Различные возможные состояния вращения и различные
колебательные состояния можно рассматривать дсак различные уровни
вращательной и колебательной энергии. Молекула может сохранять
нормальную электронную орбиту и нормальный уровень
колебательной энергии и в то же время принимать различные вращательные
энергии. Величина молекулярной теплоемкости двухатомных газов
' указывает, что молекулы совершают вращательные движения при
обычных температурах. Следовательно, должны существовать
переходы между различными вращательными уровнями. Однако
эти переходы сопровождаются испусканием линий только в том
случае, если по классической теории вращение молекулы может-
вызвать испускание электромагнитных волн. Такие вращательные
спектры действительно наблюдаются для молекул НС1 (хлористый
водород), которые состоят из двух ионов Η и С1 противоположных
знаков и представляют электрический диполь. Вращение такого
диполя соответствует периодическому изменению проекции его
31*

484 Испускание и поглощение света Гл. ѴЩ
электрического момента на определенное направление в
пространстве, и должно быть источником волн по классической теории.
Но длина волны таких колебаний должна быть в 1000 раз меньше,
чем длина волны, соответствующая видимым полосам, т. е.
электронным переходам. Действительно, в области очень длинных волн
(λ = 100 —■- 300 μ) у молекул НС1, HBr, HF, И] наблюдается спектр
поглощения, состоящий из большого числа равноотстоящих линий.
Подобный спектр может испускаться этими молекулами и без
возбуждения ех светом, так как уже вследствие теплового движения
молекулы находятся на различных вращательных уровнях.
Но те же дипольные молекулы могут быть источниками волн и
в том случае, когда ионы в молекуле колеблются так, что их
взаимное расстояние периодически меняется. Поэтому квантовая
теория считает возможными переходы молекулы с нормального
колебательного уровня на возбужденный, связанные с поглощением света.
Такие переходы не происходят сами собой при комнатной
температуре, но они могут быть обнаружены в виде полос в спектре
поглощения инфракрасных лучей, лежащих в недалекой
инфракрасной области (λ = 10μ-ί-1μ).
Молекулы, не имеющие дипольного момента, как Н2, О2, N2 з
состоящие не из ионов, а из одинаковых атомов (неполярные или
гомеополярные), не дают спектров в инфракрасной области, хотя
они и совершают вращательные и колебательные движения при
возбуждении их ударами материальных частиц.
§ 15. Явление Рамана.
Мы уже говорили что лучи света, проходя через однородные
прозрачные жидкости, испытывают рассеяние. Классическая
теория объясняет это явление вторичными волнами, испускаемыми
электронами, которые приводятся в колебания проходящими
через жидкость лучами. Если, кроме этих колебаний, в молекулах
жидкости могут происходить колебания атомов, то рассеиваемые
вторичные волны могут иметь суммарную или
комбинационную частоту, равную частоте первичных волн-f-частота
колебаний молекулы. Рассеяние света, как и испускание света
возбужденными атомами сопровождается переходами молекул с одного
колебательного уровня на другой. Поэтому если одновременно
с рассеянием происходит изменение энергии молекулы, то к
частоте рассеиваемого света прибавляются (или вычитаются) эти
изменения, т. е. получаются комбинационные частоты. Если мо-

§ 15 Явление Романа 485
лекула теряет при переходе колебательную энергию, то в спектре
рассеянного света получается увеличенная частота, и наоборот,
когда молекула после рассеяния окажется на более высоком
колебательном уровне, то это произойдет за счет энергии
рассеянного кванта света, что даст уменьшение его частоты.
Такое изменение частоты рассеиваемого света было открыто
и объяснено индусским физиком Раманом в 1928 г. при изучении
рассеяния света в жидкости. Сильный источник света, дающий
линейный спектр, освещает исследуемую жидкость. В спектре
рассеянного света наблюдаются те же линии, как и в первичных
лучах, но рядом с ними появляются смещенные линии,
отсутствующие в первичных лучах, причем смещение в точности
соответствует некоторым колебательным уровням молекулы жидкости.
Обычно эти линии находятся со стороны меньших частот, т. е.
часть энергии рассеиваемых квантов света тратится на возбуждение
колебаний молекулы.
Подобное явление было открыто также Ландсбергом и
Мандельштамом в твердых кристаллах кварца, освещаемых светом
ртутной дуги. В спектре рассеянного света были обнаружены рядом
с линиями ртути слабые линии, соответствующие комбинационным
частотам. Комбинационное рассеяние света (комбинационная частота)
и в этом случае соответствовало полосам поглощения кварца
в инфракрасной области, т. е. частотам собственных колебаний
его молекул. При повышении температуры растет рассеяние и
появляются линии, указывающие на наличие в кварце
возбужденных колебательных уровней.
Явление Рамана позволяет обнаружить и измерить медленные
собственные колебания молекул в жидкости, в газах и твердых
телах, не пользуясь инфракрасными лучами. Первичный свет может
быть какой угодно и смещение комбинационных частот для всех
спектральных линий одно и то же. В атом заключается
чрезвычайное удобство этого метода, позволяющего применять обычные
спектроскопы для видимых лучеЗ.

ГЛАВА IX.
СКОРОСТЬ СВЕТА
§ 1. Скорость света.
Скорость распространения упругих волн (например скорость
звука) зависит от механических свойств среды. Поэтому
механические теории света старались связать скорость света с такими
свойствами эфира, как упругость и плотность. Впоследствии
электромагнитная теория должна была приписать пространству, в
котором распространяются электромагнитные волны, определенные
электрические и магнитные свойства (ε = 1, μ = 1).
Однако скорость света (в пустоте), обозначаемая буквой с =
— 3 · 1010 смісек, играет в природе такую исключительную
роль, что мы вправе считать ее одной из тех мировых постоянных,
которая не зависит от внешних условий, а характеризует
основные свойства пространства, как формы существования материального
мира. Во-первых, она не зависит от того, в каких условиях
производятся измерения, т. е. находится ли в движении наблюдатель
со своими приборами и в каком направлении он движется. Согласно
основному положению принципа относительности скорость света
является предельной скоростью, какую могут приобретать
материальные частицы. Если скорость их приближается к этому
пределу, то беспредельно возрастает их масса. Во всех законах,
вводимых теорией относительности, скорость света с является своего
рода масштабной единицей. При скоростях малых по сравнению
с с могут применяться законы механики Ньютона, при скоростях
близких к с должны применяться формулы теории
относительности.
Если скорость света в пустоте является мировой постоянной,
не зависящей от внешних условий, то тем более важно знать ее
величину с возможной точностью. Трудности, которые встречаются
при ее измерении, зависят от ее исключительно большой
величины. Во многих случаях не будет большой ошибкой считать свет
распространяющимся с бесконечной скоростью. При измерении

§ J
Скорость света
487
скорости звуковых волн такое предположениие часто делалось и
вполне допустимо. Но встречаются также такие случаи, когда
необходимо учитывать величину скорости света.
Всякий такой случай дает возможность подойти к измерению
этой скорости. Исторически впервые ее величина была измерена
астрономами Рёмером (1675 г.) и Бредлеем (1728 г.). ■ Измерения
Рёмера могли быть произведены и дали достаточно точный
результат благодаря огромным астрономическим расстояниям,
прохождение которых требует больших промежутков времени, измеряемые
сравнительно простыми методами. Совсем иные условия имеют
место в пределах земных расстояний, где для измерения времени
пробега лучей необходимо определять ничтожно малые времена.
Поэтому только почти через 200 лет после первых определений
Ремера удалось поставить в лаборатории опыты для измерения
скорости света. Эти опыты, произведеные французскими физиками
Физо и Фуко почти одновременно, послужили образцами для
позднейших, более точных определений.
Межпланетное пространство можно считать почти идеальной
пустотой, β виду этого астрономические наблюдения дают
величину скорости света в пустоте. Опыты Физо и Фуко,
производившиеся в лабораторных условиях, позволили поставить измерения
скорости света в материальной среде. В такого рода опытах обычно
пользуются трубой, наполненной жидкостью, через которую
проходят лучи света (вдоль оси). Заставляя жидкость протекать
в направлении распространения света или навстречу, можно
проверить также влияние скорости движения среды на скорость света.'
В полном согласии с волновой теорией и вопреки предсказаниям
корпускулярной теории Ньютона скорость света в материальных
телах оказывается меньше скорости в пустоте. Влияние движения
среды проявляется в так называемом увлечении света. Если
среда движется со скоростью ѵ, то скорость света изменяется на
величину кѵ по сравнению с тем, что дают наблюдения для
покоящейся среды, т. е. равно
ѵ' = ѵ0 -f- kv .
Коэффициент увлечения к меньше единицы и зависит
от показателя преломления η следующим образом:
Для объяснения этого результата Френель сделал
предположение, что ©фир, колебания которого и составляют сущность

488
Скорость света
Гл. IX
света по механической теории, внутри материальной среды имееі
плотность большую, чем в пустоте. Сгущение эфира, по величине
равное —, переносится вместе с материей, а остальной эфир,
заполняющий пустое пространство, остается неподвижным. В виду
этого скорость среды не полностью прибавляется к скорости света
а только частично, т. е. умноженная на коэффициент к.
Правильность этого результата была подтверждена последующими опытами.
Кроме того, как показал Лоренц, электронная теория приводит
к тому же значению коэффициента увлечения, хотя она
считает эфир абсолютно неподвижным. Согласно этой теории
движение материи оказывает влияние только на вторичные волны,
испускаемые электронами, которые переносятся вместе с атомами
среды.
§ 2. Фазовая в групповая скорость.
До сих пор мы определяли скорость света как скорость волн
или фазовую скорость. Но во всех способах непосредственного
измерения скорости мы имеем дело не с фазой колебаний, а с тем,
что принято называть сигналом. При определении времени,
которое необходимо для прохождения пути между двумя точками,
нужно знать момент времени, когда свет выходит из первой точки
(назовем его начальным моментом) и тот конечный момент, когда
он проходит во вторую точку. Пусть в первой точке находится
источник света, и в начальной момент начинается испускание
света. Это можно представлять себе так, что в этот момент
открывается отверстие (вроде фотографического затвора), которое
пропускает луч света в нужном направлении, или же что
вспыхивает сам источник лучей. В первом случае мы отмечаем тот момент,
когда во вторую точку приходит начало светового сигнала, во
втором, когда в этой точке наблюдается максимальная амплитуда
ряда волн, испускаемых источником. Мы видим в каждом из этих
примеров, что измеряются вовсе не фазы колебаний, а какая-нибудь
особенность в амплитудных значениях волны. Наиболее
отчетливая форма сигнала соответствует резкому возрастанию
амплитуды, как показано на рис. 257.
Сигналы, образуемые волнами определенной длины, нельзя
считать строго монохроматическими. Монохроматические колебания
имеют не только определенную длину волны, но и постоянную
амплитуду колебаний. Теоретически они не должны иметь ни
начала ни конца, и поэтому определить ни момента их выхода из

§ 2 Фазовая и групповая скорость 489
первой точки, ни момента их прихода во вторую точку нельзя.
Поэтому скорость распространения монохроматических волн не
может быть измерена непосредственно.
Всякий же световой сигнал можно представить как наложение
нескольких монохроматических волн, близких по длине волны.
Если в некоторой точке
пространства все волны имеют одинаковую
фазу, то их амплитуды
складываются. В других точках фазы
их расходятся настолько, чти их
амплитуда падает почти до нуля
Если все волны имеют одну и
ту же скорость, то место, где их Рис. 257.
фазы совпадают, переносится с
той же скоростью. Скорость сигнала и скорость фазы в втом
случае совпадают.
Все волны, которые участвуют в образовании сигнала,
составляют группу волн. Для того чтобы свет не утратил сходства
с монохроматическим, в эту группу должны входить только близкие
по длине волны. Именно такой состав мы предполагаем у тех
групп волн, которые далее будем рассматривать. Скорость
передвижения максимума группы мы будем называть групповой
скоростью света, или скоростью сигнала. Разумеется
можно наблюдать перемещение и
других участков группы, например
минимума амплитуды, если он резко
выражен, или же начала, т. е. места,
где амплитуда быстро возрастает.
Из сказанного ясно, что
групповая скорость не отличается от
фазовой, если фазовые скорости всех
волн группы одинаковы. Но также
очевидно, что если скорости зависят
от длины волны, т. е. среда, в которой распространяются волны,
обладает дисперсией, то максимум группы, если он сохраняется,
должен перемещаться со скоростью отличной от скорости фазы волны.
Если в группу входят, как мы предполагали, волны близкой длины,
то может показаться (так как их фазовые скорости будут также
отличаться очень мало друг от друга), что максимум амплитуды
будет перемещаться с какой-то средней скоростью, мало
отличающейся от фазовой скорости отдельных волн группы. Но
-ті\т-
--WlMl/vv
WW

490
Скорость света
Гл. IX
'это заключение незерно, как можно показать на примере двух
волн.
Положим, что две волны (рис. 258), длины которых отличаются
на eft, перемещаются с различными скоростями: ν и v-\-~ dk.
ak
Положим, что через некоторый промежуток времени τ более
длинная волна обгонит более короткую на расстояние, равное разности
их длин волн, т. е.
τ ( и-j- -у-d\— υ \ =dk,
тогда мы найдем, что
1 do
Τβ5λ· :fl)
За это же время τ место совпадения фаз О переместится
в сторону, противоположную распространению волны на длину
волны λ; поэтому скорость распространения максимума группы
волн будет меньше скорости υ цервой волны на величину, равную
λ ^
—. Отсюда следует, что скорость распространения группы равна
и-ѵ-т==ѵ~1ж· (2)
Таким образом, мы видим, что групповая скорость и отличается
от фазовой ν на величину, которая может быть совсем не малой
по сравнению с фазовой ькоростью. Скорость и может быть и больше
и меньше ѵ. В случае аномальной дисперсии I -jr- < 0 1
вится больше фазовой скорости, но она не может быть больше
скорости света в пустоте.
Нв трудно убедиться, что, изменяя переменную
дифференцирования, мы можем преобразовать формулу (2) в следующую:
»j ν
и =—г = (3)
dl di
Л. I»
Очевидно, что фазовая скорость выражается совсем иной
формулой:
она стано-
ѵ
ѵ = — .
(4)

§ 3 Астрономические способы определения скорости света 491
т. е. получается из формулы (3), если в ней зачеркнуть знаки
дифференцирования и вместо производной искать отношение
функции к независимой переменной.
Выведем еще одну формулу эквивалентную (3). Если вместо
длины волны λ в данной среде ввести длину волны в пустоте λ0,
то λπ = λ0, где η — показатель преломления; кроме того, по
определению показателя преломления υπ = с. Поэтому формула (3)
перепишется так:
:С_2г.=с* (5)
/
*0
§ 3. Астрономические способы определения скорости света.
Аберрация света.
Первое определение скорости света, как мы уже говорили выше
(§ 1), было сделано датским астрономом О. Рёмером и в основном
сводилось к измерению времени, необходимого свету для пробега
диаметра земной орбиты. Это время составляет около 17 минут и поэтому
может быть измерено при помощи часов с достаточной точностью.
Этот результат получился сам собой при наблюдениях над
затмениями спутников Юпитера. Время обращения этих лун
Юпитера должно быть строго постоянной величиной, но наблюдения
показывают, что это время изменяется в зависимости от того,
как движется Земля. Если она приближается к Юпитеру,
промежуток между двумя последовательными затмениями оказывается
больше его средней величины, а при удалении ее этот промежуток,
наоборот, увеличивается. За то время, в течение которого Земля
приближается на величину, равную диаметру земной орбиты, т. е.
за полгода, общая продолжительность всех обращений спутника
Юпитера на 17 минут больше истинной, которая находится, если
вычислить ее по средней продолжительности для целого года.
За время удаления земли от Юпитера продолжительность
обращений настолько же увеличивается. Это непостоянство периодов
движения заставило Рёмера предполагать, что для распространения
света требуется конечное время, и чем больше расстояние, тем
больше запаздывает свет, чем и объясняется запаздывание
затмений спутников Юпитера. Деля диаметр земной орбиты, равный
298,8 ■ 10s км на общее запаздывание, равное 1001,6 сек, мы
находим скорость света с = 298,3 · 103 км\сек.

492
Скорость света
Гл. IX
Значительно позднее Бредлей (1728 г.) в Англии, определяя
точное положение постоянных звезд на небесном своде, открыл новое
явление, связанное с конечной величиной скорости света.
Кажущееся положение звезды в течение года смещается таким образом,
что она описывает небольшой эллипс
вокруг своего среднего положения. Это
смещение или аберрация света зависит
от направления, в котором движется
Земля в момент наблюдения.
Объяснение, предложенное Бредлеем,
заключается в следующем. Пусть лучи света
проходят объектив трубы О и
собираются в точке А фокальной плоскости.
Для того чтобы пройти расстояние
О А = F, равное фокусному расстоянию,
ρ
потребуется время t=—. Если за это
Рис. 259.
время труба передвигается на расстояние ВС (рис. 259) со
скоростью ѵ, то изображение звезды окажется смещенным на величину
АВ^ ВС sin ψ,
где φ — угол, который составляет ось трубы с направлением
скорости ѵ. Кажущееся положение звезды будет определяться углом φ',
который образует с ν направление, изображенное пунктиром.
Разность углов φ — φ' = 8(ρ, или угол аберрации, равна ввиду его
малости отношению
AB:F=BCs\n<?:F.
Так как перемещение
ВС=іѵ = — υ,
с
то предыдущая формула дает для угла аберрации
8со = ·
■ sm φ,-
(б)
Наибольшая аберрация при угле φ =
~ равна 20",5 = 0,99-10~4,
а средняя скорость движения Земли ν = 29,6 км/сек. Из этих
данных получается скорость света с = 299 · 103 кмісек.
Совпадение этих двух определений скорости, произведенных
совершенно различными способами, сделала несомненной
правильность гипотез Рёмера и Бредлея. Определение аберрации света,

§ 8 Астрономические способы определения скорости света 493
основанное на распространении света вдоль движущейся со
скоростью ό трубы, позволило поставить опыт о влиянии движения
среды на скорость света. Опыт, придуманный Эйри, заключается
в том, что измеряется аберрация в трубе, наполненной водой. Так
как скорость света в воде меньше, чем в воздухе, то можно
было бы ожидать изменения аберрации. Однако опыт показывает,
что величина угла аберрации остается неизменной.
Положим, что свет падает на объектив трубы, как показано
на рис. 260, в направлении, перпендикулярном к направлению
скорости ν движения трубы. Аберрация в трубе
составляет очень малый угол δψ (сильно
увеличенный на рис. 260). Пройдя трубу, луч
выходит в направлении, составляющем с
первоначальным направлением угол δφ, который, как
показывает опыт, нисколько не изменяется при
наполнении трубы водой, т. е.
с
(60
Но при выходе луча из воды происходит
преломление света, т. е. угол δψ меньше угла δφ в
отношении 1: п, где η — показатель преломления.
Следовательно, внутри трубы отклонение
луча вследствие аберрации уменьшается при наполнении трубы
водой:
Ц =
пс
(7)
Волновая теория, если она не учитывает влияния движения
среды, приводит к формуле, подобной (6'), но с соответственно
уменьшенной скоростью света с:п, а именно
пѵ
с
%==■
(δ)
Этот вывод противоречит опыту, так как угол Ц меньше угла
аберрации согласно (7) в η раз, а не больше его, как требует
формула (8). Это противоречие устраняется гипотезой Френеля,
по которой световые волны отчасти увлекаются движущейся средой.
Вследствие такого увеличения угол 8ψχ должен уменьшиться в (1—к)
раз, если vk есть скорость увлечения света средой.
Из уравнения
8ψ = (1-Α)8τχ,

494
Скорость света
Гл. IX
подставляя в него значения 2ψ и Цѵ находим для коэффициента
увлечения Френеля следующее выражение:
А-1-Л: <9)
§ 4. Способы Физо и Фуко.
Способ Физо по идее весьма прост. Он заключается в
применении быстро вращающегося колеса К (рис. 261) с зубьями,
которые то открывают, то преграждают путь лучам света, которые
фокусируются в точке /. Свет от источника S собирается линзой L
и пройдя через просвет между зубьями колеса, превращается
линзой Lt в параллельный
пучок лучей. После этого он
проходит возможно большее
расстояние до второй
линзы L2, которая собирает его
на поверхности зеркала ML.
В опытах Физо расстояние
между линзами составляло
8633 м. После отражения
от Μλ лучи возвращаются
(путь одного из них показан стрелками) и собираются
линзой Lt в точке /. Если за то время, которое необходимо для
прохождения светом пути I туда и обратно, колесо успеет
передвинуться на ширину одного зубца, то лучи при возвращении
встречают преграждающий им путь—непрозрачный зубец. При еще
большей скорости вращения колеса К лучи встречают не зубец,
а промежуток, через который они проходят и попадают через
полупрозрачное зеркало Л/2 и окуляр О в глаз наблюдателя. Если N—
число оборотов в секунду, η—число зубцов, то время, в течение
которого один промежуток будет сменен следующим, равно 1: Νη.
Пусть это время равно времени пробега лучом расстояния, равного
21, т. е. 21: с, тогда изображение источника S достигает
наибольшей яркости. В таком случае
l:Nn = 2!:c,
Рис. 261.
откуда
■21Νη.
(Ю)
При вдвое меньшем числе оборотов свет вовсе не доходит до
наблюдателя и изображение источника не видно совсем. Этот

§4
Способы Физо и Фуко
495
способ требует возможно больших расстояний и большой точности
в определении числа оборотов в те моменты, когда исчезает
изображение в точке /.
Другой метод измерения, известный как способ Фуко, состоит
в применении быстро вращающегося зеркала. Идея этого опыта
принадлежит Араго. Схематическое изображение этого опыта дано
на рис. 262. Солнечные лучи проходят через решетку В, состоящую
из параллельных промежутков, пропускающих свет и
расположенных на расстоянии ОД мм друг
от друга. Зеркало М, вращающее- β'
ся вокруг оси А, отражает их
через линзу L, которая дает
изображение решетки В на поверх- о
ности вогнутого сферического ι
зеркала S. Так "как центр этого {
зеркала находится на оси
вращения А зеркала М, то, как бы
ни были направлены лучи после
отражения от М, они пойдут,
отразившись от S, обратно вдоль
радиуса зеркала и отразятся
вторично от Μ вдоль направления
АВ. Эта обратимость лучей не зависит от поворота зеркала Μ
вокруг оси А, так как при этом вращении будет изменяться только то
место поверхности зеркала S, на которое падает изображение. По-
этому при медленном вращении Μ изображение В' решетки, которое
отражается от полупрозрачного зеркала и рассматривается при
помощи микроскопа, изображенного в виде одной линзы, остается
неподвижным. В фокальной плоскости окуляра микроскопа, где
получается изображение В' решетки, находится микрометренная
шкала с делениями, параллельными промежуткам решетки и
совпадающими с ними при определенном положении микроскопа.
Небольшой сдвиг изображения В' может быть легко замечен и
измерен при помощи окулярного микрометра.
Медленное вращение зеркала Μ не должно давать смещения
изображения В'г если правильно установлены зеркала S и М. При
некоторых положениях зеркала Μ лучи не будут попадать на S
и изображение будет исчезать. При вращении Μ с небольшой
скоростью изображение В' остается неподвижным. Но если за время
пробега луча от А до S и обратно зеркало успеет повернуться
на заметный угол, то луч, отраженный от него, пойдет по путИі

496
Скорость света
Гл. IX
обозначенному пунктиром на рис. 262, вследствие чего
изображение В' сместится. Это смещение очевидно будет тем больше, чем
больше расстояние AS и скорость вращения. При помощи
добавочных зеркал Фуко мог увеличить длину пробега до 20 м.
Зеркало вращалось по возможности с постоянной скоростью при
помощи воздушной турбины, причем скорость вращения (составляя
800 оборотов в секунду) определялась стробоскопически с
возможной точностью. Смещение изображения В', составлявшее около
1 мм, измерялось также возможно точно при помощи микроскопа.
Оба метода дали величину скорости света, почти совпадающую
в пределах точности измерений (300 и 298 тыс. км), но метод Фуко,
позволивший уменьшить длину пути луча, дал возможность измерить
скорость света не только в воздухе, но и в воде. Эти измерения,
произведенные независимо Физо и Фуко, дали для воды скорость
меньшую в 7і раз, как и должно быть по волновой теории. Опыты
с движущейся водой дали, как и опыт с аберрацией, результат,
который можно истолковать как увлечение света со скоростью kv.
§ 5. Точное определение скорости света.
Наиболее точное определение скорости света произвел в
течение 1925—1926 гг. Майкельсон, применивший и
усовершенствовавший метод Фуко. Расстояние вращающегося и неподвижного
зеркала было доведено до 35 км и определено с величайшей
возможной точностью при помощи геодезической съемки. В качестве
вращающегося зеркала служила восьмигранная призма с
полированными гранями, которая приводилась в быстрое вращение
воздушной турбиной, совершавшей 530 оборотов в секунду. Скорость
вращения измерялась стробоскопически при помощи камертона
с точностью до 0,001%, вследствие чего определение времени
пробега луча, которое составляло около 2,3 · 10~ сек производилось
с такой же точностью.
Расположение опыта изображено схематически на рис. 263.
Приборы были установлены в обсерватории на горе Маунт-Уильсон,
а отражающее зеркало М2 на горе Маунт С.-Антонио на
расстоянии 35 км. Свет от вольтовой дуги, сфокусированный на щели S,
попадал на вращающееся зеркало А (грань а) и, отразившись от
зеркала т^ и т2, попадал на параболическое зеркало Ми которое
превращало расходящийся пучок в параллельный. Этот пучок,
изображенный на рисунке в виде одного луча, попадал на зеркало Мѵ
в фокусе которого находилось зеркало пг5 отражавшее лучи обратно

§ 5 Точное определение скорости света 497
по пути тМпМіт^ть до другой грани а' вращающегося зеркала,
после чего свет попадал при помощи отражающей призмы в трубу,
где и наблюдалось изображение щели. Вследствие большой длины
пути луча перемещение изображения должно было достигать
чрезвычайно большой величины. Это перемещение измерялось
следующим „нулевым" способом. Величина скорости вращения зеркала
подбиралась так, чтобы при возвращении луча вторичное
отражение происходило уже не от грани ά', как изображено на рис. 263,
а от следующей. Для этого за время пробега лучом двойного
расстояния ΜΧΜΆ зеркало должно повернуться на 1/8 своей
окружности. Вследствие этого луч
отражается, как при
неподвижном зеркале, и
изображение щели кажется непо- д
движным. В действитель- / V
ности измерялось малень- ™г\ flт
кое смещение изображения V.
щели с точностью до 0,01 мм.
Это перемещение
составляло небольшую поправку к
тому перемещению, которое
должно было бы получиться
вследствие поворота призмы на 45°. Для того чтобы получить
отсюда время пробега луча, нужно знать скорость вращения
зеркала. Число оборотов его сравнивалось с числом колебаний
камертона стробоскопически, для чего луч света отражался от плоской
площадки на вращающейся оси и затем от зеркальца, укрепленного
на ножке камертона. Изображение, даваемое этим лучом,
оставалось неподвижным, когда число оборотов оси и число колебаний
камертона были равны. Число колебаний камертона сравнивалось
затем с числом колебаний маятника.
Подобными способами удалось измерить время пробега луча
с чрезвычайно большой точностью. Расстояние между зеркалами,
равное 35385,53 м, определено с точностью до 5 см. В виду этого
из многих измерений скорость света , можно было определить
с точностью до 4 км
с = 299796 ±: 4.
! Эти наблюдения представляют образец прецизионных
измерений, замечательных по достигнутой точности (=ЬО,0001°/о),ивтоже
время дают наиболее надежное значение скорости света в воздух«.
32 Зак. 240S. Курс физики, т. II.

498
Скорость света
Гл. IX
§ 6. Принцип Допплера.
В 1842 г. немецкий ученый Допплер вывел при помощи
простых рассуждений правило о влиянии движения источника света
на частоту испускаемых им волн, и подобное правило об
изменении частоты колебаний волн, воспринимаемых движущимся
наблюдателем. Однако применение им этого правила для
объяснения различия окраски в двойных звездах оказалось неверным,
а и только значительно позд-
tl^S нее в конце семидесятых го-
у^У β дов удалось установить те
U *' Д UCQSty факты, которые несомненно
могут быть объяснены π ρ и н-
Рис. 264.
ципом Допплера.
Представим себе движущийся со скоростью и источник света
(рис. 264) находящийся в начальный момент в точке Ай, а по
истечении времени t в А. За это время число волн, испущенных
источником, равно n = t:T, где Τ период колебаний. Если О есть
та точка, в которую приходит волна, вышедшая из А0 в начальный
иомент, через промежуток времени t, то
ОА0 = ct = cn Т.
Последняя волна будет испущена источником, когда он придет
в точку А, причем его расстояние от О станет равным ОА, или же
приблизительно, при большом расстоянии ОА, величине
ОВ = ОА0 + А0А cos φ,
где φ — угол между скоростью и и направлением радиуса,
проведенного из точки О в точку А0.
Так как AQA = ut, то
ОВ = ct-j- u/cos φ == ci I 1 -) cos φ j.
На этом расстоянии должны уместиться все η волн, которые
испущены источником за время t Таким образом длина велны λ
будет равна λ = ОВ: η или
k = c£ll-j cos9l:nt (11)
Если мы обозначим длину волны неподвижного источника через λο=
λ0 —c!r=£tf:n.

§6
Принцип Доппхера
499
то, очевидно, что уравнение (11) дает нам следующее выражение:
λ = λ0 /l + -|-cos?y (1Г)
Формула эта говорит, что длина волны движущегося источника
увеличивается в отношении, которое дается (П')> если источник
удаляется от наблюдателя. При обратном движении изменяется
знак скорости и длина волны уменьшается. В обоих случаях
изменение длины волны зависит только от радиальной составляющей
скорости и cos φ.
В случае движения не источника, а наблюдателя волны будут
доходить до наблюдателя с известным запозданием, если
наблюдатель удаляется от источника, вследствие чего время колебания
будет увеличено в отношении (с -j- и cos φ): с, а следовательно, и
длина волны для движущегося наблюдателя увеличивается в отно-
шении 1 + — cos φ.
с
Отношение и: с обычно очень невелико, и поэтому допплеров-
ское изменение длины волны может быть обнаружено только при
помощи спектральных аппаратов с большой разрешающей силой.
В зависимости от направления радиальной скорости спектральные
линии (испускания или поглощения) оказываются смещенными в ту
или другую сторону. Таким способом удалось обнаружить
относительную скорость краев солнечного диска у его экватора, так как
вследствие вращения солнца вокруг своей оси один край его
удаляется от нгас, а другой приближается. Полученная из
спектральных наблюдений относительная скорость, равная 4 км\сек,
находится в полном согласии со скоростью движения солнечных пятен
вдоль экватора (2 км/сек). Смещение линии в этом случае состав-
ляет около 10 , т. е. около 0,05 А.
Гораздо больше допплеровское смещение линий в случае
испускания их быстро движущимися возбужденными молекулами. Это
явление было впервые наблюдено Штарком в каналовыχ или
закатодных лучах, которые представляют собой заряженные
или нейтральные частицы, получившие чрезвычайно большую
скорость (102 —103 км/сех) в электрическом поле перед катодом и
пролетевшие через отверстия (каналы) в катоде. Так как скорости
частиц не вполне' одинаковы, то смещенные линии оказываются
довольно сильно размытыми, но их смещение измеряется уже
целыми ангстремами.
32*

500
Скорость света
Гл. IX
Своеобразную форму принципа Допплера мы имеем в случае
отражения света от движущегося зеркала. Положим, что зеркало
отражает плоские волны, падающие нормально на его поверхность
и что само зеркало движется в направлении нормали со скоростью и.
Пусть ось Ζ совпадает с направлением нормали, и поверхность
зеркала пересекает ее в точке ζ — ut, которая перемещается также
со скоростью и вдоль оси. Если волна падает на зеркало сверху
вниз, то ее уравнение напишется так:
# = asin<»i i-f -|-j,
а уравнение отраженной волны, распространяющейся в
противоположную сторону (вверх), будет
ff1 = bsm<u1 it — yj.
Частота колебаний о^ отраженной волны должна быть, как мы
сейчас увидим, отличной от ω. Это следует из того, что на
поверхности движущегося зеркала колебания падающей и отраженной
волны должны находиться в постоянном отношении. Но это
возможно только при условии, что фазы их одинаковы на движущейся
поверхности ζ = at. Приравнивая их, найдем
•('+ίΗ('-ί)
или, подставляя z — ut и сокращая на t,
•(1+т)—(^т)·. w
Если скорость движения зеркала мала по сравнению со
скоростью света с, то после отражения частота колебаний станет
равной
Подобным же образом можно найти изменение частоты (и угла
отражения волны) при наклонном падении ее на зеркало,
движущееся в направлении оси Z. Для того чтобы написать уравнение
волны в общем случае, проведем из начала координат
перпендикуляр ρ к плоскости падающей волны (рис.. 265) и положим, что
он составляет с осями координат углы α, β и Т. Так как распро-

§ 6 Принцип Допплера 501
странение волны происходит в направлении—р, то уравнение ее
будет
ξ = α
sin
·('+£)·
Подобным же образом можно для отраженной волны найти
уравнение
где рг — перпендикуляр к отраженной Ζ
волне, составляющий углы аи βχ и γι
с осями координат.
Координаты плоскости падающей и
отраженной волны должны удовлетво-
рять уравнениям (в нормальной форме): " \<У /
ρ =xcos<x -{—^ cos β -f- jz: cos T, "/
Pi = x cos «i + i/1 cos Pi -f"z cos ϊι· Рис. 265.
Пусть ось ΟΥ проведена так, что плоскость волны пересекает
плоскость ΧΥ вдоль прямой, параллельной оси ΟΥ, и следовательно,
cos β = 0, a cos α = sin γ,
где γ — есть угол падения волны. Точно так же в отраженной волне
будем иметь
cosαχ = sin Ύι» cos βχ = 0.
Поэтому
ь . I , л: sin Υ — ζ cos γ \
ξ = a sin ω I t Ι
Ι. χ sin Τι-[-ζ cos γΛ
α = *! sin α1 Ι ί ϊ-^ ϋ Ι
На поверхности зеркала в тех точках, где волна падающая и
отраженная пересекаются, фазы их должны быть равны, т. е.
ΛΓδΐηγ—ζ cos Τ \ Ι. χ sin Tt -j~ z cos \\
ω t-
•l-\^Jf-.Xs[n^+ZC0S^) (13)
Положим теперь, что поверхность зеркала перемещается со
скоростью и, и все точки его поверхности удовлетворяют уравнению
z = ut. Подставив это выражение в (13), мы должны приравнять

502
Скорость света
Гл. IX
коэффициенты при χ и t, так как только в этом случае может
иметь место (13) для любого момента t и в любой точке х.
Находим
/ч , и cos γ
ω 1-4
\ с
ω sin γ = cOj sin γ!. (15)
Из (14) мы находим в виду малости отношения и:с и полагая
/, , 2ucosr\
βι==β)^1_| —Ly (16)
Из (15) пэлучзем, что отношение синусов углов падения и
отражения равно отношению частот, т. е. очень близко к единице.
Рис. 266. Рис. 267.
Этим оправдывается наше допущение о равенстве γ и γχ при
получении формулы (16).
Эти результаты можно представить себе еще следующим
образом. Если лучи света идут от неподвижного источника, то его
отраженное изображение будет двигаться в направлении оси Ζ
с двойной скоростью зеркала 1и. Движение это имеет в
направлении отраженного луча составляющую, равную 2u cos γ, вследствие
чего на основании принципа Допплера частота ω должна
увеличиться согласно формуле (16).
"js Эта формула была проверена Белопольским (1900 г.) при
помощи движущихся зеркал следующим образом. Два зеркала Мх и Л/2,
расположенные параллельно друг другу, отражают свет от
источника S (ртутная лампа и щель), как показано на рис. 266. После
нескольких отражений лучи попадают на щель спектроскопа,
который разлагает их в спектр. Если зеркала движутся навстречу друг
и cos f!
(14)

§6
Принцип Допллера
503
другу, то каждый раз при отражении происходит увеличение
частоты и после n-кратного отражения частота увеличится в
I + ^ (17)
раз, что эквивалентно увеличению скорости зеркала в п. раз.
Прибор Белопольского состоял из двух колес (рис. 267) со
стеклянными зеркалами а, расположенными по окружности. Когда
два таких зеркала стоят параллельно друг к другу, лучи света от
источника S, испытав несколько отражений, падают на щель
спектроскопа. Два двигателя D приводят колеса, несущие зеркала, в быстрое
вращательное движение (6000 оборотов в минуту). Вследствие
отражения от зеркал, движущихся навстречу друг другу, спектральные
линии испытывают небольшое смещение в сторону более коротких
волн. Если изменить направление вращения, то линии сместятся
в противоположную сторону. Скорость вращения определяется
акустически по тону, который издает пластинка, зацепляющаяся за
зубчатые колеса с известным числом зубцов. Результаты опытов
оказались в полном согласии с формулой (16).

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аббе, 269, 271, 273, 276, 294, 372.
Альтберг В., 105, 118.
Ангстрем, 337.
Араго, 343, 495.
Бабине 370, 417.
Бак 433, 434.
Бальмер, 469, 477.
Белл Г., 72.
Белопольский, 502, 503.
Бенуа, 326.
Био, 209.
Блекберн, 25.
Бойль, 75, 76.
Бойс, 108, 117.
Больдман, 309, 447, 454, 463, 464.
Бор Н., 468, 470, 471.
Браун Ф„ 181, 182.
Бредлей, 487, 492.
Бродхун, 263.
Бунзен, 243, 268, 468.
Варбург, 82.
Вебер, 112.
Вин В., 445,458,460, 461, 463,464,466.
Вин М, 185, 186.
Винер О., 226, 333, 334.
Волластон, 119, 415, 417.
Вуд, 398, 399, 477.
Гаркурт, 240.
Гартман, 101.
Гейслер, 399, 432.
Гельмгольц. 80, 104-106, 109, 110,
117, 119, 136, 155, 159, 169, 170,
264, 377.
Герке, 329, 331, 332.
Герлах, 120.
Герц, 207, 208, 216, 220, 222, 223, 225,
377.
Гефнер, 240'
Гершель, 437.
Гримальди, 334.
Гук, 11, 76, 312, 316.
Гюйгенс, 53-55, 234, 235, 237, 296,
337, 338,
Даламбер, 52.
Дебай, 463.
Декарт, 233, 234.
Джине, 463, 464.
Допплер, 301, 454, 498, 500, 502.
Друде, 215, 334, 378, 402.
Дуддель, 104, 187.
Жамен, 323.
Жоли, 243.
Зееман, 377, 378, 429-434, 436, 479.
Каньяр, 133.
Карно, 362, 479.
Карсель, 240.
Кеммф, 101.
Кениг, 100, 137.
Керр, 224, 429.
Кирхгоф, 268, 441, 442, 445, 447, 467,
468, 477.
Колладон, 87.
Корню 362 — 364.
Кулидж, 216.
Кундт, 80, 82, 105, 135, 137, 394, 398.
Курльбаум, 451, 460.
Ладенбург, 399.
Лаймон, 470.
Ламберт, 244, 245, 401.
Ланглей, 438, 460.
Ланжевен, 93, 119, 147, 148
Аандсберг, 376, 485.
Лаплас, 76, 78, 8?,

*
506
Именной указатель
Лебедев П. Н., 105,118,218,225,405,406.
Лехер, 207, 215.
Липпман, 334.
Лисажу, 24-26, 102.
Листинг, 287.
Лойд, 307, 309, 312.
Лоренц Г., 377, 378, 403, 426, 430, 48?.
Луммер, 263, 329, 331, 332, 433, 445,
447, 460.
Лятур, 133.
Майкельсон, 324—328, 368, 399, 4?6.
Максвелл, 86, 208-212, 224, 225, 298,
377, 476.
Мандельштам, 376.
Мариотт, 75, 76, 437.
Мейснер, 199.
Меллони, 437—439.
Нернот, 334.
Николь, 415, 416.
Никольс, S97, 465.
Ноберт, 353.
Ньютон, 75,125, 165, 231, 236, 268,
270, 271, 293, 2)6-299, 312, 316—
318, 336, 394, 447, 486, 487.
Пашен, 433, 434, 470.
Планк, 298, 4Ό—463, 480.
Пойнтинг, 212-215, 221, 409.
Прингсгейм, 447, 460.
Пуассон, 90, 343.
Перо, 326, 329, 433.
Раман, 376, 484, 485.
Рамзай, 82, 468. ■
Рамсден, 308.
Ремер, 487, 491, 492
Рентген, 338.
Реньо, 78, 79.
Риги, 225.
Ридберг, 409, 470
Рин, 470, 472.
Рождественский Д. С, 398, 399.
Роуленд, 364, Збо.
Рошон, 415.
Рубенс, 396, 397, 402, 4ί0.
Рэлей, 82, 116, 117, 162, 163, 328,
463, 4ί4.
Савар, 209.
Сельмейер, 396, 399.
Снелиус, 234.
Стефан, 447, 451, 454, 463, 464.
Стоке, 140, 474, 481,
Стоней, 477.
Тейлор, 193.
Теплер, 309.
Тиндаль, 85, 374.
Томсон В., 172.
Уитстон, 120, 181.
Фабри, 326, 329, 433.
Фарадей, 209, 429, 430.
Феддерсен, 171, 185.
Ферма, 344, 346.
Фессенден, 73, 151.
Фехкер, 112.
Физо, 318, 328, 487, 494, 496.
Франк, 479.
Фраунгофер, 271, 272, 274, 337, 347-
349, 353, 398, 477.
Френель, 297,298,307-309, 313,336—
340, 343, 344, 347, 362, 363, 382,335,
487, 493, 494.
Фуко, 487, 494, 496.
Фурье, 26, 27, 67, 104, 300.
Хаген, 402.
Хевизайд, 223, 428.
Хелл, 405.
Хладни, 152.
Христиансен, 394.
Шоттки, 120.
Штарк, 378, 434, 435, 479, 499.
Штурм, 87.
Эдиссон, 110.
Эйлер, 18, 297, 457.
Эйнтговен, 104, 140.
Эйнштейн, 298, 327, 463.
Эйри, 493.
Юнг, 89, 91, 139, 143, 144, 146. 297,
298, 302, 304, 313, 314, 336, W

предметный указатель
Аберрация, 491—441.
— сферическая, 2Ь8, 259, 293.
— хроматическая (цветная), 293.
Абсолютно белая поверхность, 439,
440.
— черная поверхность 440.
Автвколлимация, 272.
Адиабатическое сжатие, 453.
Аккомодация глаза, 287.
Акустические трансформаторы, 165,
166.
Амплитуда колебания. 9.
Анализатор, 387, 416.
Анизотропия тела, 406.
Апериодическое движение, 35.
Апертура числовая, 295.
Астигматитзм, 293.
Астрономическая рефракция, 238.
Ахроматические гризмы, 274.
Бабине компенсатор, 417.
•— правило, 370—371.
Бальмера формула, 469.
Белопольского прибор, 502.
Биения, 22—24.
Бинауральные компенсаторы, 164.
— методы, 164.
Бойля-Мариотта закон, 75, 76.
Болометр, 181.
Вина закон смещения, 453—460.
Волластонова нить, 119.
— призма, 415.
Волновое сопротивление среды, 1.22—
124.
— число, 470.
Волны, 45—47.
— бегущие, 64.
— вторичные, 5ί.
Волны длина, 47.
— когерентные, 59.
—■ некогерентиые, 59.
— отражение, 55, 56.
— поверхностные, 53—55.
— поперечные, 49.
— преломление, 56.
— продольные, 47—49.
— стоячие, 60.
■— сферические, 53.
— уравнение, 46, 47,60.
■— фокус, 53.
Гармонического движения график, 13.
ускорение, 10.
Гармоническое колебание, 7, 28.
сложение, 14—20.
Гельмгольца резонаторы, 105—109.
Герца вибратор, 216.
Гефнера лампа, 240.
Гидрофон, 160.
Гипербола, 58.
Главиое сечение кристалла, 412.
Глаз, 286-290.
Гониометр, 272.
Гука закон, 11, 76.
Гюйгенса принцип, 53—55, 337.
Давление света, 403—406.
Даламбера уравнение, 52.
Движение непериодическое, 22.
Детектор ламповый, 191.
— тепловой, 181.
Джоулево тепло, 33.
Диатермия, 224.
Диоды, 192.
Дисперсия аномальная, 392, 394, 395.
— лучей, 268.
■— нормальная, 269.
~ света 38S-S91.

508
Предметный указатель
Колебания нелинейные, 43.
— неполяризованные, 49.
— Нулевой частоты, 27.
— связанные, 177—180.
— электрические, 171—175.
— эллиптические, 21.
Коллиматор, 269.
Корпускулярная теория света, 236—
237.
Ковфициент затухания колебаний, 34
— квазиупругой силы, 29, 30.
— Курльбаума, 451.
— поглощения или абсорбции, 86.
— Пуассона, 90.
— трения, 33.
— усиления лампы, 197.
Кристаллы двуосные, 413.
— одноосные, 410—413.
Кундта метод, 80—82.
Диффракционные спектры, 352, 357,
362.
Диффракция света, 336.
— Фраунгофера, 347, 348.
— Френеля, 347—348
Допплера принцип, 498—503.
Друде метод, 215, 216.
Дудделя осциллограф, 104.
Закон Вебера—Фехнера, 112.
отражения и преломления лучей,
233-238.
Затухание колебаний, 32—35.
Зеемана явление, 429—433.
аномальное, 433—434.
Зеркало плоское, 247, 248.
Зеркало параболическое, 79.
— сферическое, 250.
уравнение, 251.
Звук, 67.
Звука источники, 120.
двойные 130—133
— сила, 69.
Интерференция волн, 57—59.
— света, 296.
Интерферометр, 323—325.
— Жамена, 323
— Луммера и Герке, 331.
— Майкельсона, 324, 325.
— Фабри и Пэро, 329, 330.
Инфракрасные лучи, 437.
Калейдофон, 25.
Корню графический метод, 362—364.
Каустика, 258—259.
Квазиупругая сила, 11, 12с
Кенотрон, 192.
Керра явление, 224.
Кирхгофа закон, 441, 444.
Клапейрона уравнение, 76.
Когерентные лучи, 300, 301.
Колебания, 7.
— ангармонические, 42—45.
— вынужденные, 36, 37, 175—177.
— квазнстационарные, 203.
— когерентные, 59.
Колебания круговые, 21.
Лаймона серия, 470.
Ламберта закон, 244, 401.
"Лапласа формула для скорости звука,
76.
Линзы, 281—286.
Лисажу фигуры, 24—26, 102.
Логарифмический декремент, 35.
Лойда зеркало, 307.
Лоренца сила, 403.
Лупа, 291, 292.
Люкс, 241.
Люмен, 241.
Шагнитострі.кция, 99.
Майкельсона оіэдт, 496, 497.
Максвелловы уравнения, 210, 211.
Манометрическая капсула, 137.
Маятник, 11.
— Блекберна.
Мера дисперсии лучей, 352.
Метод гетеродина, 183, 184.
Микрометр окулярный, 308.
Микроскоп, 293—295.
Микрофон конденсаторный, 74.
— угольный, 74.
Модуль кручения, 30.
— упругости, 12.
— Юнга, 89, 139, 143, 144, 146,
Монохорд, 100,

Предметный указатель
509
Мощность источника звука, 123.
Музыкальные интервалы, 94.
Нелинейная акустика, 167—170.
Николя призма, 415, 466.
Нулевые лучи, 251.
Ньютона кольца, 316—319.
— формула для скорости звука, 75.
Оптическая пирометрия, 464, 466.
Оптический центр линзы, 284.
Относительное перемещение, 48
Осевые лучи, 252.
Офтальмометр Гельмгольца,
Пашена—Бака явление, 433.
— серия, 470.
Период колебания, 7.
Планка формула, 460-464.
— постоянная, 463.
Плоскость колебаний, 49.
Поглощение авуха, 85—87.
Пойнтинга вектор 212—215.
Показатель преломления волн, 56.
Поляризатор, 386, 416.
Поляризация поперечных воли, 49.
— круговая, 49, 385.
— цветная (хроматическая), 418—
420.
— эллиптическая, 49, 384, 385.
— плоскость, 49.
Прецессия, 479.
Принцип аддитивности, 57.
— комбинации термов, 470.
— обратимости лучей, 314.
— суперпозиции, 167, 168.
Пьезоэлектричество, 90.
Радиация, 448.
Разрешающая сила решетки, 360.
Рамана явление, 484, 485.
Распространение звука в жидкости, 87.
Реверберация, 93.
Резонанс, 37—40.
Резонансная частота, 39.
— кривая 40—42.
Резонатор Бойса, 103.
— Гельмгольца воздушный, 104.
Резонатор объемный, 153.
— электрический, 176.
-»
Рефрактор, 273,
Решетка диффракционная, 353—357.
металлическая, 364—367.
— ступенчатая, 367—370.
Ридберга постоянная, 469—470.
Рошона призма, 415.
Рэлея-Джинса формула, 463
Сахариметр, 425.
Сельмейера формула, 396.
Сила звука, 112.
— источника света, 239.
— трения, 33.
Синусоида, 14, '47.
Синхронизация, 97.
Сирена, 113.
— Каньяр-Лятура, 133.
Скорость звука, 75—78.
в твердом теле, 388.
— света, 486-488, 491, 492.
— угловая, 8.
Состояние атома возбужденное, 472.
нормальное, 472.
Спектральные термы, 469.
Спектр линейный, 468—473.
— молекулярный, 482—434.
Спектрометр, 272.
Стефана-Больцмана закон, 447—453.
Стильб, 244.
Стокса «закон, 474, 481.
Стоячие волны, 60, 61.
световые, 333—335.
Телесный угол, 230.
Тиндаля явление, 374.
Томсона формула, 173.
Триоды, 194.
Угол отражения, 55.
— падения, 55.
Ультрафиолетовые лучи, 437.
Унисон, 94.
Уравнение сферического зеркала, 251,
Усилители, 194—198.
Условие сплошности тока, 204.
Фаза колебания, 8.
Фазовая скорость, 45.

510 Предметный указатель
Ферма принцип, 344—346.
Физо опыт, 494.
Флюктуация тепловая, 375.
Флюоресценция, 442, 474.
— сенсибилизированная, 479.
Фокус, 25.
— сопряженный, 250.
Фоническое колесо, 99.
Фотометр 243.
— Буязена, 243.
— Жоли, 243.
Фотон, 463.
Фраунгоферовы линии, 271.
Френеля, бипризма, 308,309.
— Гюйгенса принцип, 338—344.
— зеркало, 307.
— зоны, 340.
— формулы, 378—383.
Фуко опыт, 495.
Фурье ряды, 26—28.
Хевияайда слой, 223
Хладвиевы фигуры, 152
Хронограф, 13.
Частота колебаний, 8.
— круговая, 8.
Частотомер Гартмана и Кемпфа, 101.
Штарка явление, 434,—436.
Шумы, 166, 167.
Эйлера формула, 18, 356.
Электроакустический генератор Фес-
сенда, 73.
Электромагнитный телефон, 72.
Электронная теория, 6.
Энергия волн, 62—66.
— кинетическая, 29, 31.
— колебаний, 28 —32.
— потенциальная, 29—30.
Юнга модуль см. модуль.
Яркость, 244.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава I.
Колебания и волны.
Стр.
§ 1. Значение колебаний и волн в физике . 5
§ 2. Гармонические колебания 7
§ 3. Основное свойство гармонического колебания 10
§ 4. Квазиупругая сила 11
§ 5. Графическое представление гармонического движения 13
§ 6. Сложение гармонических колебаний одного направления 14
§ 7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 20
§ 8. Биения 22
§ 9. Фигуры Лисажу 24
§ 10. Ряды Фурье. Гармонический анализ 26
§ 11. Энергия колебаний 28
§ 12. Затухание колебаний 32
§ 13. Вынужденные колебания 36
§ 14. Резонанс 37-
§ 15. Резонансные кривые 40
§ 16. Ангармонические колебания 42
§ 17. Распространение колебаний. Волны 45
§ 18. Продольные волны 47
§ 19. Поляризация поперечных волн ....'. 49
§ 20. Динамика волнообразного распространения колебаний —
§ 21. Поверхность волны. Принцип Гюйгенса 53
§ 22. Отражение волн 55
§ 23. Преломление волн 56
§ 24. Интерференция волн 57
§ 25. Стоячие волны 60
' § 26. Энергия волн 62
Глава II.
Звук.
§ 1. Колебания и звук 67
§ 2. Акустические и электрические колебания. Электроакустические
приборы 71
§ 3. Скорость звука . . 75
§ 4. Опытные определения скорости звука в воздухе 78
§ 5. Метод Кундта 80
§ 6. Влияние температуры и ветра на распространение звука 82

Γ " " -ій J". -.''.··" ' ■·'■■ -ΐιιΊ- ' +=:
512 Оглавление
Стр.
§ 7. Поглощение звука ......· 85
§ 8. Распространение звука в жидкостях 87
§ 9. Скорость звука в твердых телах 83
§ 10. Волны с большой амплитудой 91
§ 11. Техническое использование явлений распространения звука 92
§ 12. Музыкальные интервалы 94
§ 13. Эталоны частоты 97
§ 14. Абсолютные измерения частоты 99
§ 15. Относительные измерения частоты 100
§ 16. Исследование состава сложных звуков 103
§ 17. Резонаторы Гельмгольца ..." 105
§ 18. Голос и состав гласных звуков 109
§ 19. Запись и воспроизведение звука 110
§ 20. Сила звука 112
§ 21. Измерение силы звука 115
§ 22. Источники звука 120
§ 23. Испускание сферических волн 124
§ 24. Двойные источники 130
§ 25. Сирены 133
§ 26. Струи и вихри 134
§ 27. Трубы 135
§ 28. Струна как источник звука 138
§ 29. Поперечные колебания воли 141
§ 30. Колебания пьезоэлектрических стержней и пластин 144
§ 31. Колебания мембран и пластин 148
§ 32. Объемные резонаторы 152
§ 33. Приемники звука (общая теория) 154
§ 34. Специальные типы приемников звука 159
§ 35. Определение направления звука ' . . . 162
§ 36. Акустические трансформаторы и фильтры 165
§ 37. Шумы 166
§ 38. Нелинейная акустика. Комбинационные тоны 167
Глава III.
Электромагнитные колебания и волны.
§ 1. Электрические колебания 171
§ 2. Вынужденные колебания 175
§ 3. Связанные колебания 177
§ 4. Детекторы электрических колебаний 180
§ 5. Метод гетеродина 183
§ 6. Генераторы электрических колебаний 185
§ 7. Ламповые детекторы 191
§ 8. Усилители . . · 194
§ 9. Теория ламповых генераторов 198
§ 10. Электрические волны в проволоках 203
§ 11. Распространение электромагнитных волн 208
§t-12. Вектор Пойнтинга · . . , 212

Оглавление
513
Стр.
§ 13. Определение диэлектрических постоянных 215
§ 14. Излучение электромагнитных волн ■ 216
§15. Свойства электромагнитных волн 219
§ 16. Техническое применение электромагнитных волн 222
§ 17. Электромагнитная природа света 224
Г л а в а IV.
Оптика лучей.
§ 1. Прямолинейное распространение света 229
§ 2. Законы отражения и преломления лучей . 233
§ 3. Сила света 238
§ 4. Фотометры 243
§ 5. Закон Ламберта. Яркость 244
§ 6. Плоское зеркало 247
§ 7. Зеркальной отсчет углов 248
§ 8. Сферические зеркала 250
§ 9. Построение изображения. Линейное увеличение .... 253
§ 10. Яркость изображения 255
§ 11. Сферическая аберрация. Каустика 258
§ 12. Преломление лучей на плоской границе 259
§ 13. Полное внутреннее отражение 261
§ 14. Плоскопараллельная пластинка 263
§ 15. Преломление лучей в призме 265
§ 16. Дисперсия лучей 268
§ 17. Измерение показателя преломления 272
§ 18. Призмы ахроматические и прямого зрения 274
§ 19. Преломление на сферической поверхности 276
§ 20. Линзы 281
§ 21. Глаз 286
§ 22. Лупа и окуляр 291
§ 23. Недостатки оптических приборов 293
§ 24. Микроскоп —
Глава V.
Интерференция света.
§ 1. Корпускулярная и волновая теория света 296
§ 2. Интерференция лучей света 299
§ 3. Когерентность лучей 300
§ 4. Опыт Юнга 302
§ 5. Полосы интерференции 304
§ 6. Зеркала Френеля, бипризма, зеркало Лойда 307
§ 7. Кривые равной толщины 310
§ 8. Влияние многократного отражения на полосы интерференции . . . 313
§ 9. Кольца Ньютона 316
§ 10. Применения полос интерференции в технике 319
§ 11. Кривые равного наклона · 320

514 Оглавление
Стр.
§ 12. Интерферометры 323
§ 13. Применения интерферометра 326
§ 14. Интерференционная спектроскопия 328
§ 15. Интерферометр Фабри и Перо 329
§ 16. Пластинка Луммера и Герке 331
§ 17. Интерференция при больших разностях хода 332
§ 18. Стоячие световые волны 333
Глава VI.
Диффракция света.
% 1. Диффракционные явления 336
§ 2. Принцип Френеля-Гюйгенса 338
§ 3. Принцип Ферма 344
§ 4. Диффракция Френеля 347
§ 5. Диффракция Фраунгофера 348
§ 6. Диффракционные решетки 353
§ 7. Диффракционные спектры 357
§ 8. Графический метод Корню 362
§ 9. Металлические решетки 364
§ 10. Ступенчатые решетки (эшелоны) 367
§ 11. Правило Бабине 310
§ 12. Диффракция в оптических приборах 371
§ 13. Рассеяние света в мутной среде 374
§ 14. Рассеяние света в однородной среде 375
Глава VII.
Электромагнитная и электронная теория света.
§ 1. Классическая электронная теория в оптике 377
§ 2. Отражение света. Формулы Френеля . · 378
§ 3. Поляризация при отражении и преломлении 383
§ 4. Дисперсия света 388
§ 5. Аномальная дисперсия 394
§ 6. Кривые дисперсии и поглощение 395
§ 7. Метод остаточных лучей 396
§ 8. Аномальная дисперсия в газах 398
§ 9. Оптические свойства металлов 400
§ 10. Давление света 403
§ 11. Анизотропные тела 405
§ 12. Одноосные кристаллы 410
§ 13. Двуосные кристаллы , 413
§ 14. Поляризационные приборы 414
§ 15. Цветная (хроматическая) поляризация 418
§ 16. Кристаллы в сходящихся лучах 420
§ 17. Случайное и искусственное двойное лучепреломление 421
§ 18. Вращение плоскости поляризации. Естественное вращение ..... 422
§ 19. Магнитное вращение плоскости поляризации 425

Оглавление 515
Стр.
§ 20. Явление Зеемана ♦" 429
§ 21. Аномальное явление Зеемана. Явление Пашена-Бака 433
§ 22. Явление Штарка 434
Глава VIII.
Испускание и поглощение света.
§ 1. Испускание, поглощение и отражение света 437
§ 2. Закон Кирхгофа 441
§ 3. Абсолютно черное тело 444
§ 4. Закон Стефана-Больцмана 447
§ 5. Закон смещения В. Вина 453
§ 6. Распределение энергии в спектре. Формула Планка 460
§ 7. Оптическая пирометрия 464
§ 8. Источники света . 466
§ 9. Линейные спектры 468
§ 10. Возбуждение свечения газа 473
§ 11. Поглощение света. Обращение линий 476
§ 12. Влияние внешних условий на флюоресценцию 478
§ 13. Флюоресценция и фосфоресценция твердых и жидких тел 480
§ 14. Молекулярные спектры 482
§ 15. Явление Рамана 484
Глава IX.
Скорость света.
§ 1. Скорость света 485
§ 2. Фазовая и групповая скорость 483
§ 3. Астрономические способы определения скорости света. Аберрация
света » · 491
§ 4. Спосовы Физо и Фуко . 494
§ 5. Точное определение скорости света 496
§ 6. Принцип Допплера 498

Редактор Φ. С. Гудаменко.
Технический редактор P. S. Эмдакй.
Сдано в набор 7/Ш 1934 г. Подписано к печати 1/1Х 1934 г.
Авторск. л. 30,23. ъумага печ. 62 X S3. Колич. печ. зн. в 1 бум. π. 104.832.
Ленгорлит ίδ 8709. Заказ *й 2408.
ОНТИ 217. Бум. л. ібѴв- Тираж 10.000-
2-я тип. ОНТИ им. Евгении Соколовой. Цвнивград. пр. Красных Командиров, 29.