/
Автор: Сергеев И.Н.
Теги: математика математический анализ высшая математика дифференциальные уравнения учебное пособие
Год: 2004
Текст
Московский rосударственный университет .
имен
и М. В. JloMoHocoBa
Механико
математический факультет
и. Н. CepreeB
Лекции по
дифференциальным
уравнениям
1 семестр
l\1ocKBa 2004
CepreeB и. Н.
Лекции по дифференциальным уравнениям. 1 семестр. М.:
Издательство ЦПИ при механико математическом факультете
Mry, 96 с.
Представлен конспект лекций по обыкновенным дифференциаль
ным уравнениям, читавшихся автором в осеннем семестре BToporo KYP
са механико математическоrо факультета Mry имени М. В. Ломоносо
ва и связанных с rеометрической интерпретацией дифференциальноrо
уравнения, с вопросами существования, единственности и продолжае
мости решений, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе
и с постоянными коэффициентами.
Даны точные определения, подробно доказаны сформулированные
утверждения, теоретически обоснованы наиболее важные методы pe
шения задач. Приведены все необходимые теоретические сведения, со-
путствующие понятия и факты из смежных разделов математики.
Предложены задачи для самостоятельноrо решения, развивающие и
уrлубляющие прочитанный материал И, тем самым, ПОЗВОЛЯlOщие луч
ше подrотовиться к экзамену.
Для студентов и аспирантов, изучающих классическую теорию
обыкновенных дифференциальных уравнений.
@Механико--математический факультет Mry, 2004 r.
С одер)Кание
1
2
Обыкновенное дифференциальное уравнение
Некоторые соrлаmения и обозначения
5
5
1 Поля направлений на плоскости 6
1.1 Поле направлений уравнения первоrо порядка 6
1. 2 Уравнение первообразной .......... 7
1.3 Обобщение понятия интеrральной кривой . 9
1.4 Уравнение в дифференциалах. . . .. .... 10
1.5 Расширение уравнения первообразной 12
1.6 Автономное уравнение . . . . . . . . . . 14
1.7 Уравнение в полных дифференциалах 16
1.8 Уравнение с разделяющимися переменными .... 18
1.9 Вопросы и задачи для самостоятельноrо решения. 18
2 Существование, единственность и продолжаем ость
решений 20
2.1 Задача КОIПИ дЛЯ нормальной системы ....... 20
2.2 ФОр lулировка локальной теоремы существования
и единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2.3 Сведение задачи КОIПИ к интеrральному уравнению 24
2.4 Операторная иорма, оценка конечных приращеиий 24
2.5 Принцип сжимающих ото6ражеиий, равномериая
метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Варианты формулировок локальной теоремы . 29
2.8 Теорема едииственности в целом 30
2.9 Непродолжаемые решения . . . 31
2.10 Теорема продолжаемости . . . . . 32
2.11 Лемма rронуолла Беллмана ... . . . . . . 35
2 12 Теорема продолжаемости для линейной системы .. 36
2.13 Ломаная Эйлера. . . . . . . 37
2.14 Теорема А рцела Асколи . . . . . . . . . . . . . .. 38
2.15 Теорема Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.16 Сведение уравнения произвольиоrо порядка к HO}r
мальиой системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
2.17 Теоремы существоваиия, единственности и продол
жаемости для уравнения . . . . . . . . . . . . . . .. 44
3
2.18 Теорема продолжаемости для линейноrо уравнения
2.19 Вопросы и задачи для самостоятельноrо решения .
3 Общая теория линейных уравнений и систем
3.1 Линейное пространство функций . . . . . . . . .
3.2 Общее решение линейной однородной системы
3.3 Определитель BpoHCKoro вектор функций . .
3.4 Фундаментальная матрица. . . . . . . . . .
3.5 Оператор Коши . . . . . . . . . . . . .
3.6 Формула Лиувилля Остроrрадскоrо .
3.7 Общее реlпение линейной неоднородной системы
3.8 Метод вариации постояниых для систе IЫ . . . .
3.9 Общее решение линейноrо уравнения. .....
3.10 Определитель BpoHcKoro скалярных функций
3.11 Восстановление линейиоrо уравнения по фундамен
тальной системе ero реlпений .... . . . . . .
3.12 Метод вариации постоянных для уравнения.
3.13 Нули решений уравнения BToporo порядка
3.14 Теорема Штурма . . . .
3.15 Оценки колеблемости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.16 Краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . .
3.17 Вопросы и за.дачи для самостоятельиоrо решения .
4 Линейные уравнения и системы с постоянными ко...
эффициентами
4.1 Экспонента оператора .................
4.2 Связь экспоненты с лииейной однородной системой
4.3 Комплексификация линейноrо оператора
4.4 Комплексификация линейной системы . . . . . .
4.5 Жорданова форма lатрицы . . . . . . .. ....
4.6 Вычисление экспоненты матрицы . . . .. ....
4.7 Решение системы С помощью жордановой формы .
4.8 Квазимноrочлены.. . . . . . . . . . .
4.9 Метод неопределенных коэффициентов
4.10 Линейное уравнение с ПОСТОЯННЫl\1И коэффициентами
4.11 Характеристический мноrочлен линейноrо уравнения
4.12 Уравнение с квазимноrочленом в правой части. . . .
4.13 Вопросы и задачи для самостоятельноrо решения
4
45
46
49
49
49
51
52
53
55
57
58
59
62
63
64
65
67
69
71
72
75
75
75
76
78
79
80
82
83
85
86
88
90
93
1. Обыкновенное дифференциальное уравнение
n zo nоряд1Са это запись вида
F (х, у, у', . . . , у (n)) == о
(1)
(пока не уточняем, из KaKoro пространства в какое действует
функция Р, но предполаI'аем, что последняя переменная этой
функции иефиктивная).
Определение 1. JIюбая функция у, определенная на каком...
либо интервале 1 )
1 = (0,(3) с R, rде а, (3 Е R Ru {:::i:oo},
и удовлетворяющая тождеству
Р(х,у(х),у(х)',...,у(х)(n)) = О, х Е 1,
называется решением уравнения (1), а {"рафик ry любоrо реше
ния у иазывается интеzрал'Ь'Нои 'К:ривои. Общее решение диффе--
ренциально1'О уравнения (1) это множество всех e1'o решеиий,
заданное неявно уравнением
ф (х, у, с 1, . . . , Сп) == о
или, что лучше, явной формулой
у == Ф(х, С 1 , . . . , Сп).
(если для какоrо либо набора констант С 1 ,..., Сп явно или неяв
но задается определенная на интервале функция у == у(х), то она
есть решение дифференциальноI'О уравнения, и наоборот, любое
ero решение задается таким способом).
2. Некоторые соrлашения и обозначения
Ниже одной и той же буквой 2 ), но разноrо начертания, обозна
чены и переменные у, у', . . ., и функции у(.), у' (. ), . .. . Значка...
ми <] и t> отмечены, соответственно, иачало и конец доказатель
ства. Нуrvlерация всех утверждений (лемм, теорем и следствий)
сплошная, определеиий тоже.
l)т. е. на открытом связном подмножестве 1 числовой прямой R (в даль
неЙшем буква 1, как правило, будет обозначать интервал).
2)Это оправдано сходством самих объектов.
5
1. Поля направлений на плоскости
1.1. Поле направлений уравнения nepBoro по--
рядка
y'==f(x,y), (X,y)EGcR 2 , f:G R, (2)
разрешеииО20 относительно ПрОИЗ.БОДНОЙ, представляет собой ec
тественную I'еометрическую интерпретацию ЭТО1'о уравнения.
Определение 2. Т/оле 'Наnравленuй:
это отображение l, ставящее в соответствие каждой точке
(х, у) Е G ПрЯ 1УЮ l(x, у) с R 2 , проходящую через эту точку;
уравненuл (2) это поле l == 1 f, определяемое правилам: для
каждой точки (х,у) Е G У2ловоu. коэффициент tgcp(x,y) прямой
1 f(X' у) равеи f(x, у).
Здесь под ",(х, у) Е ( 1Т /2; 7r /2] ПОИИ 1ается УI'ол, образуемый
прямой l f (Х, у) с положительным направлением оси абсцисс, KO
торая иазывается 20ризонтал'Ью. ЗаЬ.1:еТИ!\-f, что поле 1 f ни в ка.кой
точке (х, у) Е G не принимает вер111и'КаЛ/ЬНО20 направления, так
как равенство f(x, у) == tg(n /2) невозможно.
Все прямые l(x, у), соответствующие точкам (х, у) Е G, можно
ДЛЯ наrлядности параллельно перенести так, чтобы они проходи
ли через какую--либо одну точку, например, через начало коорди
нат. Тоrда поле направлений превратится в отображение
l: G Р,
{'де Р nрое'Ктивная прямая, т. е. прос ераиствоl) всех прямых в
векторном пространстве R 2 с метрикой, задаваемой УI'лом между
прямыми.
Определение 3. rрафик r у функции у 'Касается:
поля направлений 1 в тО'Ll'Ке (х, у), если у == у(х) и произ
водная у'(х) равна уrловому коэффициенту прямой l(x, у);
nолл направлении l, если он касается этоrо поля в каждой
точке (х, у) Е ry.
Теорема 1. Фун'Кцuя У решение уравнения (2) т02да и
тол'Ь'Х;о т02да, 'Х;О2да ее 2рафu'К r у 'Касае1пся поля наnравленuй 1 f .
1) ТОnОЛО2u'Ч,еС1Сое, поэтому в дальнеЙшем можно будет rОБОрИТЬ о непре
рывности поля направлений.
6
<J Функция у решение уравнения (2) тоrда и только тоrда,
коrда
у' (х) == f(x, у(х)), х Е D(y), у' (х) == f(x, у), (х, у) Е ry,
{::==? у'(х) == tg€p(x, у), (х, у) Е ry (определение 2),
т. е. коrда rрафик r у касается поля направлений l f (определение
3). [>
1.2. УравпеПl'lе первообразной
имеет вид
у' == f(x), f: 1 R,
и задано в области G == 1 х R.
1. В курсе математическо1'О анализа доказана следующая
Лемма 2. Если f Е C(I), то:
1) фу'н/ 'Ция
(3)
у(х) == l Х f(f;.) d1;" х Е 1,
Хо
явлется решением уравнеиuя (3);
2) для люБО20 С Е R фУ'Н'К;ЦUЯ Z == у + С та'К;{)ICе решенuе
этО20 урав'Н,еuия;
3) любое решение z уравнения (3) удовлетворяет при Her.;oтo
ром С Е R равенству
z == yID(z) + с.
Из леммы 2 получается
Теорема 3. Если f Е C(I), то для вСЯ'К;020 фu'К;сuроваННО20
ХО Е 1 qбщее решение уравне'Н,ия (3) задается формулой
у == l Х f(f.) df. + с.
хо
(4)
<1 1. При каждом С Е R эта формула задает решение, опреде
ленное на I, или ero сужение на любой меньший интервал.
2. Любое решение у уравиения (3) будет задаваться такой фор
мулой, даже если Хо r;f. D(y). [>
7
11. Как видно из теоремы 3, дифференциальное уравнение MO
жет иметь MHoro решений, а потому не празДНЫМ является вопрос
об их взаимосвязи.
Определение 4. Решение z называется nродОЛЗICенuем реше
ния у, если
D(z) п(у) и Z/D(y) == у.
Решение у называется не nродолж а eM'btM, если не существует eI'o
продолжений, отличных от Hero caMoro.
Следствие 4. Если f Е C(I), то все неnродолжаеМ'Ьtе реше
иия уравиеиия (3) задаются формулой (4), zae х Е 1.
<] 1. Все решения, определенные на интервале 1, непродолжа
емые, поскольку ни одно из них на больший интервал доопреде
лить невозможно, так как D(f) с [.
2. Друrих непродолжаемых решеиий нет, так как любое реше
ние, определенное на меньшем интервале J с [, также задается
формулой (4) и непосредственно по ней продолжается на весь ин
тервал 1. [>
Определение 5. Точка (х, у) Е G для уравнения (2), или ДЛЯ
ero поля направлений, называется точкой:
существованил, если (х, у) Е r хотя бы для одной инте
rральной кривой r;
единственности, если для любых интеI'Ра..лъных кривых
r 1, r 2 выполнено условие
r (ос r ( )
1 == 2 В точке х, у ,
как только (х, у) Е r 1 n r 2 .
Для кривых, функций и Т. п. равенство в какой либо точке,
(ос
обозначаемое СИМВОЛОl\-I ==, означает не совпадение в одной ЛИIlIЬ
этой точке, но и не полное совпадение, а совпадение ло'К;алъиое,
Т. е. хотя бы в одной достаточно малой окрестности этой точки.
Следствие 5. Если f Е C(I), то для уравнения (3) все mо'ч/ки
области G mо'Ч-к;и существования и един,стве'Н'Ности.
<J Через- любую точку (ХО, Уо) Е G проходит rрафик единствен
Ho1'0 2 ) решения у, так как любое решение задается формулой (4),
приче 1
2)с точностью до выбора области определения.
8
l ХО
У(Хо) == УО f( ) + с == УО С == Уо-
хо
[>
1.3. Обобщение понятия интеrральной кривой
на случай поля направлений с вертикалями дает следующее
Определение 6. Кривая r:
'К;асается поля наnравленuй l в тoltl1'Ce (Ха, Уа) Е r, если
существует хотя бы одиа из следующих функций:
1) у(х), для которой
r loc ry ( )
в точке Ха, Уа ,
у' (ха) == tg <Р(Ха, Уа)
(СМ. определение 2);
2) х(у), для которой З )
r loc r x ( )
в точке Ха, Уа ,
х' (УО) == ctg <Р(Ха, Уа);
'Касается поля 'Н,аnравле'Н,uй l, или, что то же, r и'Н,те..
2ралъuая 'К;ривая (поля l), ес.JIИ кривая r касается поля l в каждой
точке (Ха, Уа) Е r.
Условие 1) определения 6 осуществимо, только если прямая
l(xa, Уа) не вертикальна, а условие 2) . если она не I'оризонталь
на 4 ). Если ж.е эта прямая 'Н,а7\,лон'Н,ая (Т. е. ии вертикальна, ни
rоризонтальна), то условия 1) и 2), вообще rоворя, не эквивалент
ны, поскольку кривая может удовлетворять одному из них, не
удовлетворяя при этом дpyrOMY. Однако подобный казус невозмо
жен для иитеrральной кривой при условии непрерывности поля
направлений. Иными словами, праведлива
Лемма 6. Если r инmе2ралъ'Н,ая 7\,ривая поля наnравлеиuй
l Е С(С) и в н,е1\,оторой тOltl1\,e (ха, Уа) Е G прямая l(xo, уо)
на1'Сло'Н.'Ная, то в этои тО'!.t'К;е въtnол'Не'Нъt оба условия 1) и 2) оnре..
деления 6.
3)в отличие от определения 2, здесь уже возможно и равенство <р == 1r/2, а
ctg <р(хо, уо) обраmн:ыu уrловой коэффициент прямой l(xo, Уо).
4) В противном случае функция, l'рафик которой локально совпадает с кри
вой r, может просто не найтись, а если и найдется, то ее производная в точке
хо или, соответственно, в точке уо не будет определена.
9
<1 1. Если для интеrральной кривой r в точке (Ха, Уа) с наклон
ным направлением l(xa, Уа) поля выполнено, скажем, условие 1),
то в этой точке имеем
r loc r у и у' (ха) == tg "'(Ха, Уа) =1- о.
2. Пусть, для определенности, tg <Р(Хо, Уа) > о. Тоrда, в силу
условия l Е С(С), в целой окрестности точки (Хо, Уо) имеем и
tg<p(x,y) > О, и ctg<p(x,y) > о. Следовательно, в Э'l"ОЙ OKpeCTHO
сти для каждой точки (х, у) кривой r имеем у'(х) > О (если в
какой либо точке кривой только х'(У) > о, то в силу сущеСТВОБа
ния непрерывной обратной к х Функиии у существует и ее пр()из
водная
у'(х) == lim Y (x) == ( lim X (y) ) l t) >0,
Ax O uX Ay O uy х' у
так как x ------+ О {==:> Д у ------+ О).
3. Поэтому функция у CTporo монотонна 5 ) иа некотором ин
тервале 1, содержащем Хо, а значит, имеет обратную х == Y 1 ,
дифференцируемую в точке Уо и удовлетворяющую условиям
, ( ) 1 ( ) r loc r loc r
х УО == ( ) == ctg <р хо, Уа и х у .
tg <Р Ха, Уа
(В точке (ха, Уо) Е r x ), что и означает выполнение условия 2). t>
1.4. Уравнение в дифференциалах
1. Пусть на открытых fножествах С! и С у заданы COOTBeT
ственно уравиения
у' == f ( Х, у), ( Х, у) Е G f , и х' == 9 (У, х), (х, У) Е G 9 , (5 )
удовлетворяющие условию
f(x,y). g(y,x) == 1, (х,у) Е Gj,y == С ! ПСУ.
Определение 7. Поле направлений в области G == С ! U О у ,
заданное формулой
1 ( Х ) { l f (Х, у),
/,у ,У 19(Y,X),
(X,y)EGJ,
(х, у) Е С у ,
5) в данном случае даже возрастает.
10
назовем обобще НД--Lъt,м, задаваемым парой соnря:нсеИ'Н'ЬtХ ypaBHe
ний (5).
Поскольку во втором уравнении по сравнению с первым буквы
х и у поменялись ролями, соrласно определению 2, поле направле
ний 19 строится по следу'ющему правилу: каждой точке (х, у) Е а у
соответствует ПРЯl\1ая 19(Y,x) с обратным уrловым коэффициен
том ctgcp, равным у(у,х).
Пара уравнений (5) l\10жет задавать действительно более ши
рокое поле направлений, чем одно уравнение (2), за счет точек
(х, у) Е G 9 \ G j, в которых направление может оказаться уже и
вертикаЛЬНЫl\1. Однако корректность определения 7 нуждается в
обосновании, так как соrласно ему в точках 6 ) (х, у) Е G j,g заданы
сразу два, формально разных, значения поля направлений.
Лемма 7. Оnределенне 7 'К;орре'tCтно, nрu'Ч,е-м если f Е С( G j)
и 9 Е С(С у ), то lj,g Е С(С).
<з 1. В любой точке (х, у) Е Gj,g оба уравнения задают одну и ту
же наклонную прямую с уrловым коэффициентом 7 ) f(x, у).
2. В любой точке (х, у) Е G jUG g , в силу открытости множеств
G j и С у , поле lj,g локально совпадает либо с lj, либо с 19, а потому
непрерывно. [>
11. Для функций М, N Е С( С') рассмотрим пару сопряжен
ных уравнений
, М(х,у)
у == ,
N(x, у)
х'==
N(x, у)
М(х, у)'
(6)
определенных соответственно на l\1ножествах
G f == {(х, у) Е а'l N(x, у) =1= О}, С у == {(х, у) Е С'I М(х, у) # О}.
Эта пара, в соответствии с определениеIvI 7, задает обобщенное
поле направлений в области
G == G' \ {(х,у)1 N(x,y) == М(х,у) == О}.
(7)
6)В которых, кстати, направление може'!' быть только наклонным.
7) Второе уравнение задает обратный уrловой коэффициент g(y, х), но зато
относительно друrой оси, поэтому прямая та же.
11
Определение 8. Пара сопряженных уравнений (6) в области
(7), записанная в СИl\1метричной форме 8 )
N(x, у) dy == М(х, у) dx, (х, у) Е а,
называется уравне'Нием в диффере'Нциалах.
1.5. Расширение уравнения первообразной
(3) в точки вида (о:, у), у Е R, при условии, что функция f, стоя
щая в правой части уравнения, Иl\1еет в точке х == а особенность
типа полюс, происходит следующим образОl\1: во первых, предпо
лаrается выполнение условий
f Е C(l\ {а}),
lim 1( 1 ) == О,
x a Х
(8)
последнее из которых равносильно следующему
{ lim I(x) == +00 или oo
Нт х == 00 <===} x a O
x a If( )1 Нт f(x) == +00 или oo
Х '''''''Н.}:+О
(9)
(поскольку если в достаточно l\1алой проколотой окрестности точ
ки а функция 1 отлична от нуля и непрерывна, то она и слева, и
справа от а локально знакоопределена, а значит, ее l\10ДУЛЬ pac
крывается с фиксированным знаком); BO BTOpЫX, берется ypaBHe
ние
х' == g(x) = { : f(х),
х Е 1\ {о:}, f(x) # о,
х == а,
которое (см. определение 7), будучи сопряженным к уравнению
(3), в паре с ним задает в области G == 1 х R обобщенное поле
направлений с вертикальным значением в точках, f1де х == 0:.
Соrласно теореме 3, области
С] == {(х,у) Е СI х < о:} И а2 == {(х,у) Е аl х > а}
8}Эта форма записи оправдана уже тем, что с помощью операций деления
она может быть превращена в любое из двух уравнений (6).
12
СПJIОПIЬ заполнены Интеrральными кривыми 9 ), которые.задаются
формулами
у== 1 "' f( )d{+01, Х1 <а,
Х1
и у == 1 "' Л ) d{ + 02, Х2 > а,
Х2
Еще одна обобщенная интеrральная кривая 1О ) задается paBeH
ством Х == О. Поэтому для описания всех интеrральных кривых
достаточно выяснить, как они l\10rYT склеиваться, Т. е. в каких
точках области G может нарушаться локальная единственность.
Теорема 8. Все mо'Ч'К;u множества (1 \ {а}) х R то'Чкu
единственности обобщеННО20 поля uаnравлеuu'Й для уравнения
(3) при условиях (8), а то'Ч'К;u прямой х == а являются mо'Чка.ми
единственности тоеда u толъ'К;о тоеда (а тоеда все сразу), 'К;оеда
расходятся оба инте2рала
j Q:i:O
f(f,) d .
<J 1. Все точки множества С 1 uG 2 точки локальной единствен
ности в силу следствия 5.
2. РаССl\10ТрИМ точку (ХО, Уа), rде Ха == 0:.
А. Если несобственный интеrрал j O f( ) d (хl < а) pa
веи KaKOMY TO числу, скажеl\1 Уl, то для HeKoToporo решения у из
области G 1 имеем
lim у(х) == 1 a: o Л ) d{ + 01 == У1 + 01 == Уо,
x.-...+a O х
1
если С 1 == УО Уl. Поэтому через точку (ха, Уа) проходит еще одна
интеrральная кривая, которая сначала совпадает с решением у, а
затем идет по прямой 11 ) х == а.
В. Интеrральную кривую в п. А пришлось доопределить в
точку (Ха, Уо) по непрерывности. Докажем, что в предельной точ
ке кривая имее'r вертикальную касательную I2 ), т. е. подходит к
9)В данном случае даже обычными, но это не мешает им называться обоб
щенными.
10) Действительно обобщенная, причем прямая.
11)Точнее, по одному из двух ее лучей с началом в точке (ха, Уа), в зависи
мости от направления, в котором кривая подходиТ к прямой.
12) Хотя и одностороннюю.
13
этой точке либо только снизу, либо только сверху, а направление
касательной стремится к вертикальному:
Ду (ХО) == у( Х) уо == J: 1 f{ t;) dt; J;: o f{ t;) dt;
ДХ X a x a
J: o f(f,) df, { M x ) == М,
а х M(a x) == M,
a x
Нт f(x) == 00,
x a O
liт f(x) == oo,
Х'-""+ Q О
rде М > О наперед заданное число, а значения х достаточ
но близки к а (чтобы выполнялись условия sgnf(x) == const и
If(x)1 М, откуда либо f(x) М, либо f(x) M; см. условие
(9)), поэтому
liщ y (ХО) == +00 или oo.
Дx o uX
с. Если интеrрал J;: o f( ) d расходится, то интеrральные
кривые слева от прямой х == а приближаются к ней лишь асимп
тотически при у 00 и не имеют общих предельных точек с этой
прямой. Поэтому слева от нее единственность не нарушается.
D. Аналоrично изучается поведение кривых при х Q + О.
[>
Возврат от обобщеиноrо уравнения к исходному происходит
путем забывания добавленных точек прямой х == а..
1.6. Автономное уравнение
имеет вид
у' == g(y), g: 1 R,
(10)
и задано в области G == R х ].
1. Будем предпола1'ать, что нули функции 9 изолированы: CKa
жем, для простоты, их просто нет или нуль Bcero один. Из ДOKa
занных выше теорем 3 и 8 вытекает
Теорема 9. Пусm'Ь 9 Е С(]), тО2да для уравнения (10) cnpa
ведливы утвер де'Ни.я:
1) если ФУ'Н/I\/ция 9 'Не обращается в нуль 'На интервале 1, тпо
все mо'Ч'tCи области G rnо'Ч,'tCu сущесrпвоваuuя и eди'Нcтвe'Н'Нo
сти, nри'Чем для люБО20 Фи'К;сирова1t'НО20 уо Е ] общее решение
14
uеЯБUО задается уравиеU'l1ем
l У d1]
х == ............... ( ) + с;
УО 9 1]
2) если фуu'Кцuя 9 обuул,Яетс,Я на иuтервале 1 ровно в одной
mО'Чz'Ке а Е 1, то в 'Каждой из областеи
(11)
а 1 == {(х,у) Е СI у < а} и С 2 == {(х,у) Е GI у> а}
сnраведлиБЪt BbtBOabt nредЪtдущеzо nY'rt'/'l;ma иастоящей теорем,'ы, а
прямая у == Q интеzральная 1'\;рuвая, nрu'Чем ее то'Ч,1СU то'Ч,?Сu
единственности тО2да u толь1'\;О тО2да (а тО2да все сразу), ?Соада
расходятся оба uuтеерала
J a:l: O d1J
g( 1]) .
(12)
<1 1. Если в уравнении (10) поменять местами буквы х и у, то
оно принимает вид
х' == g(X)
И, являясь сопряженным к уравнению
у' == I(x) 1/ g(x),
(13)
является результатом доопределен ия поля направлений ypaBHe
имя (13) 'вертикалями, Т. €. В новых обозначениях справедливо
равенство 1у == [/,98 Действительно, во втором из сФормулиро
ванных в теореме случаев имеют место соотношения
Нт 1( 1 ) == lim 1/ \ ) == lim g(x) == О,
x a Х х......а. 9 х х.....-+-а
g(x) == { 1/ f(x), х =1= а,
О, Х == о.
2. Уравнение (13) является уравнением первообразной. Приме
нив к нему все выводы теорем 3, 8 и сделав обратную перестанов
ку букв х и у местами, мы получим утверждение доказываемой
теоре:м:ы.
3. Остается заметить только, что на любом интервал , rде
функция f не обнуляется, она имеет фиксированный знак, сле
довательно, задаваемая фОРl\fУЛОЙ (11) функция х на таком
интервале монотонна, а значит, обратима. [>
15
11. Один из наиболее перспективных 13 ) способов обеспечения
локальной единственности решений уравнения (10) состоит в Tpe
бовании самой обыкновенной дифференцируемости ero правой
части, как показывает
Следствие 10. Если в условиях случая 2) тeopeMbt 9 суще
С1пвуе1п nроизводuая f'(a), то все то'Ч'К;u прямой у == а то"-t'К;u
единственности.
<] Докажем, что при сделанных преДПОЛО)J(ениях интеrралы (12)
расходятся. Действительно, например, при у а О имееl\{
If(y)1 If(o:)1 + If'(a)(y 0)1 + lo(y 0:)1 L(o: у)
rде L = If'(a)1 + 1, а значения a y > О не превышают HeKOTopo1'o
ho > О, и коль скоро функция 14 ) f(y) имеет фиксированный знак,
при у Е (УО; а) = (о: ho; 0:) получаем
l У dry l У d1J {Q h. dry 1 (h O d(
Уо f(1J) == УО 1f(1J) I Ja ho L(a: 1J) == L Jh Т 00,
если о: у = h ? +0. [>
1.7. Уравнение в полных дифференциалах
это такое уравнение в дифференциалах (СМ. определение 8)
М(х, у) dx + N(x, у) dy == О, М, N: G R, (14)
для KOToporo существует функция Ф: G R, называе:м:ая noтe'Н
циало-м и удовлетворяющая равенстваr.л
Ф (х, у) == М(х, у), Ф (х, у) == N(x, у), (х, у) Е с. (15)
Чтобы уравнение (14), при условии 1V1,N Е С 1 (с), было ypaB
нением в полных дифференциалах, необходи:м:о 15 ) выполнение pa
венства
M (x, у) == N (x, у), (х, у) Е G :
(16)
1З)см. теорему 14 ниже.
14)Непрерывная и не принимающая нулевых значений при у < а.
15) А в случае односвязности области G и достаточно, что доказано в
курсе математическоrо анализа.
16
действительно, при этом условии имеем
Ф , Ф Е С 1 (а) ===} Ф Е с 2 (с)
===} M (x, у) == Ф у(х, у) == Ф х(х, у) == N (x, у), (х, у) Е с.
Теорема 11. Если уравиеиие (14) уравиеиие в nолu'Ьtх диф
фереициалах с ",оэффициеuтами М, N Е С( С) или, 'ttтO то же,
с nотеuциало-м Ф Е сl ( С), то все то'Ч-к;u области G то'Ч
",и существования и единственности, а общее решение задается
уравнением
Ф(х, у) == с.
(17)
<J 1. Пусть, например, N(xo, Уо) =1=- О, тоrда ф (хо, Уо) f. о и по
теореме о неявной функции уравнение (17) с константой
с == ф(хо, Уо)
в достаточно малой окрестности точки (хо, уо) задает диффе
ренцируемую функцию у == у(х), определенную внекоторой
окрестности точки ХО, локально единственную и удовлетворяю
щую условию
У(хо) == Уо.
(18)
,.
2. Из неравенства N(xo, уо) =1= о сле,цует (определение 8), что
в достаточно малой окрестности точки (хо, уо) уравнение (14) за
писывается в виде
I М(х, у)
у == .
N(x, у)
(19)
3. Но для функции у == у(х), удовлетворяющей условию (18),
уравнения (17) и (19) эквивалентны (см. равенства (15)):
Ф(х, у(х)) == ф(хо, уо) 1х Ф(х, у(х)) == О
{::=:} Ф (х, у(х)) + Ф (х, у(х) )у' (х) == о {:::::::> у' (х) == ::: :» ,
поэтому и уравнение (14) также задает локально единственную
кривую, проходящую через точку (хо, Уо), а именно, rрафик
упомянутой выше функции у. L>
17
1.8. Уравнение с разделяlOЩИМИСЯ переменными
записывается в виде
P(x)Q(y) dy == R(x)S(y) dx, Р, R: 1 R, Q, В: J R, (20)
и задано в области
G == (1 х J) \ {(x,y)1 P(x)Q(y) == R(x)S(y) == О}. (21)
Из теоремы 11 вытекает
Теорема 12. Еслu Р, R Е С(1) и Q, S Е C(J), а фу'Н,'х:цuu Р и
S 'Не имеют нулей, то для урав'Неиия (20) любая фu'К;сuрованная
тоfit'К;а (хо, Уо) Е G тО"-l'К;а существованuя и единственности,
а общее решенuе задается уравнением
l У Q('fJ) l Х R( ) (:
Уо S('rJ) d'rJ "'о p(€) d.. + С.
(22)
<J Действительно, в области G уравнение
М(х) dx + N(y) dy == О,
R(x)
{'де М(х) == Р(х) ,
Q(y)
N(y) == В(у) ,
равносильное исходному, есть уравнение в полных дифференци
алах с потенциалом
Ф(х, у) == (Х M(€) dl. + l У N('rJ) d'rJ.
J Хо Уо
Поэтому к He1vIY непосредственно применима теорема 11. t>
1.9. Вопросы и задачи ДЛЯ самостоятельноrо ре..
шеlIИЯ
1. Задает ли формула
у == ('" f(€) dl. + С 2
JCl
общее решение уравнения (3) первообразной? Каким недостатком
обладает эта формула?
18
11. Является ли (в случае непостоянной непрерывной на ин
тервале функции f) уравнением в полных дифференциалах:
уравнение первообразной, записанное в форме
dy == "f(x) dx;
автономное уравнение, записанное в форме
dy == f(y) dx?
111. Получить формулу для общеrо решения уравнения (14)
в полных дифференциалах в области G == 1 х J при выполнении
условия (16).
IV. Может ли в случае уравнения (14) в полных дифференци
алах множество точек (17) быть не связным, а потому представ..
лять собой не одну, а несколько интеrральных кривых? Может ли
число таких кривых не быть одинаковым ДЛЯ разных значений С?
У. Какие преобразования плоскости не меняют поле направ
лений любоrо:
уравнения первообразной;
aBTOHOMHoro уравнения;
однорОДНО1'о уравнения (см. задачу Х ниже)?
VI. Привести пример кривой, касающейся в точке (хо, уа) Ha
клонной прямой l(xa, Уо) поля направлений, удовлетворяя усло
вию 1), но не 2) определения 6.
VII. ДЛЯ уравнения
у' == Iyla (или у' == Iyla · sgn у)
в зависимости от значения а Е R исследовать на существование
и единственность точки (х, у) Е R 2 (доопределив при а О по
непрерывности обобщенное поле направлений в точки, rде у == О.)
VIII. KaK e наибольшее количество не равных локально друr
дpyry интеrральных кривых может проходить через точку пря
мой х == а в формулировке теоремы 8, если:
расходится один из указанных в ней интеrралов;
расходятся оба указанных в ней интеrрала?
IХ. Доказать утверждение: если Р, R Е С(!) и Q, S Е C(J), а
функция Р имеет изолированный нуль а Е l, то в области (21)
19
любой интервал прямой Х == Q инте1'ральная кривая, причем
ее точка (хо, УО), удовлетворяюшая условию
Q(yo) =1= о,
(23)
точка единственности тоrда и только ТО1'да, коrда расходятся
оба интеrрала
j a:f:O R( )
P( ) .
Существенно ли в этом утверждении условие (23)?
х. Доказать, что если f Е C(I), то замена переменной у на
t == у/х
приводит так называемое однородное уравнение
у' == f (у / х) , G == {( х, у) I х > О, У / х Е I} ,
к уравнению с разделяющимися переменны:м:и, причем справед
ливы утверждения:
а) если функция f не обращается в нуль на интервале 1, то
все точки области G точки существования и единственности;
Ь) если функция 9 обнуляется на интервале 1 ровно Б одной
точке Q Е 1, то в каждой из областей
С 1 == {(х, у) Е 01 у/х < а} и 02 == {(х, у) Е GI у/х > а}
справедливы выводы преДЫДУll еrо пункта настоящей теоремы,
а луч у == а интеrральная кривая, причем ее точки точки
единственности тоrда и только тоrда, КО1'да расходятся оба инте
rрала
j ахО dry
!(Т]) Т].
2. Существование, единственность и про--
u
дол)Каемость реrпении
2.1. Задача Коши для нормальной систеl\1Ы
1. Зада'Ltа Коши (или на'Ltалъ'Н,а.я зада'Ltа) ставится так: по за,...
20
данной правой 'tlacтu
f:G Rn, rде GCR 1 + n :=RxR n ,
И иачалъ'Н'Ьt.М aalili'btM (или liачалыiйй точ'Ке) (ta, ха) Е G найти
реПIение ура нения (или liор,малыiйй (п х n) cuCтeM'bt)
х == f(t, х),
(24)
удовлетворяющее иачаЛЪliО,МУ условию
x(to) == Ха,
(25)
Решеliuе задачи Коши это функция х: 1 -----+ Rn, удовлетво
ряющая условиям (24) (25) при подстановке х == x(t):
x(t) = f(t, x(t)), x(to) == хо, (to Е 1). (26)
Переменная х Е R n обычно называется фазовой, а переменная
t Е R вре.ме1iем..
Если в Rn фиксирован базис, то задача Коши записывается
покоординатно в .виде системы
{ . 1 f 1 (t 1 N )
Х == ,Х ,...,х
'n n 1 n
Х ! (t,x ,.."Х ),
{ х1 (to) == x
xn(to) == Хо.
11. Производная вектор функции х: 1 R п в точке t Е 1 MO
жет поним-аться ДВОЯКО: либо в абстрах;тliО-М линеЙНО f BeKTOp
-НОМ пространстве
. (t) == l ' x(t + h) x(t)
х 1т h '
h O
либо в 'КоордиliатliОМ линейном пространстве
( ><1 (t)
x(t) == :
><п ( t )
Оба эти понятия приводят К оДинаковому результату из за есте..
cTBeHHoro изоморфизма 1 ) между указанными ЛUliеi1li'Ьt'ми тono
лоеu'Чес'К;uм.и пространств ами, т. е. изоморфизма, сохраНЯЮlцеrо
1) Определяемоrо базисом в R n .
21
не ТОЛЬКО линейные операции, но и предельный переход, возмож
ный блаrодаря имеющейся в пространстве системе Oт p'btffi'btX
множеств, которая называется ero тоnолоzuеu.
В данном случае в обоих рассматриваемых линейных про
странствах тополоrия задается с помощью 'Нор-мы 2 ): oт pыты-м
считается любое множество, в котором каждая точка содержится
с целой окрестностью шариком достаточно малоrо радиуса с
центром в этой точке. И хотя саму норму изоморфизм линейных
пространств может и не сохранять, но тополоrию обязательно co
храняет. Просто, в о'Н,е'ч/но-мер'Но.м линейном пространстве любые
две нормы задают одну и ту же тополоrию, или э'Квuва.ле'Нт'Н'Ьt,
что и доказывает
Леl\1l\1а 13. Для люБЪLХ двух 'Нор-м 11 . 111 u 11 . 112 в Rn суще
ствует o'l-tcтa'Н,тa С, удовлетворяющая оцен'Ке
Ilxlll cllxfl2' Х Е R n .
<] Действительно, пусть в пространстве Rn, на время доказатель
ства уже ев лuдово-м (т. е. наделенном с аляр'Н,'Ьt-м nроизведе'Нu
е-м), фиксирован некоторый ортонормированный базис еl,. .., е n
и обозначено
Ixl == I X l e l +... +хпепl == Jx +... +X == J (x,x),
тоrда имеем
11 11 { IIxll2 . tI* IIxl12 . sup tJI;- == cllxl12'
Х 1 lyl==1
О cllxl12'
х # о,
х==о
,
f'де величина
с == sup lIylll
Ivl==l I/y112
конечна, так как функция, стоящая под знаком точной верхней
f'рани по компакту
{Уl Iyl == 1} С R n ,
непрерывна в смысле тополоrии, задаваемой ев'КЛuдово'й нормой
1. 1, поскольку любая норма 11 . .1' непрерывна в том же смысле в
2)Существуют и друrие способы задания тополоrии.
22
силу оценки
Ilxll == Il x l e l + .. . + xnenll I X l111 e 111 + о.. + Ixnlllenll clxl,
r де С = 11 е 111 + . . · + 11 е n 11. L>
2.2. Формулировка локальной теоремы сущест'"
вования и единственности
Следующие вопросы о решении задачи Коши ждут cBoero ответа:
какие свойства функции f MorYT rарантировать
существование, хотя бы ло'Калъное, решения;
единственностъ, хотя бы ло'Калъную, решения;
nродолжае.л-tОС1пъ решения неоrраниченно вправо и влево
по оси времени;
. nродолжаемостъ решения до 2fXLnиЦ'Ьt области с;
единственностъ продолжения решения;
неnреръtВНУЮ зависимостъ решения от начальных данных
и от правой части уравнения;
дифференцируем.остъ решения по начальным данным или
по параметру.
Последние вопросы будут рассматриваться в rлаве 5, а на HeKO
торые из перечисленных вопросов в частных случаях (при n == 1)
ранее мы получали ответы (теоремы 3,8,9,11 и 12). Более общий,
а потому менее сильный результат представляет сле,цующая
Теорема 14. Если f, f Е С(С), то для любой начальнои точ
'Ки (to, хо) Е с:
1) в 'Не'Которой о'Крестности 1 то'Ч'Кu to существует решение
х: 1 Rn зада"-tи Коши (24) (25);
2) любое дРУ20е решение этои зада'Чи ло'Калъно совпадает с
решением х.
Последнее условие теоремы означает, что для любоrо решения
у этой задачи существует интервал J с 1, содержащий точку to,
для KOToporo выполнено равенство
ylJ == xlJ.
(27)
<J Доказательству теоремы предпошлем ряд вспомоrательных
понятий и фактов.
23
2.3. Сведение задачи Коши к интеrральному
уравнению
Лемма 15. Если f Е С(С), то фУН'к;ЦUЯ х: 1 Rn реше
ние зада'Ltи Коши (24) (25) тО2да и тол'Ь1СО тО2да, 1СО2да она
удовлетворяет инmе2раЛ'Ь1tо.му уравнению
x(t) == хо + (t f(7, Х(7)) d7, t Е 1. (28)
Jto
<1 1. Если х решение задачи Коши, то заменив t на 7 в тож
дестве (26) и проинтеrрировав ero по т от tO до HeKO'l"'oporo t Е 1,
получаем
x(t) x(to) == (t f(7,X(7))d7,
Jto
а с учетом начальноrо условия (26) имеем равенство (28).
2. Если функция х удовлетворяет равенству (28), то продиqr
ференцировав ero по t и, соответственно, положив в нем t == to,
получим для этой функции оба условия (26): дифференцировать
равенство (28) :м:ожно, так как ero правая часть непрерывна по
t, следовательно, левая тоже 3 ), откуда подынтеrральная функ
ция f(r,x(r)) непрерывна по r (поскольку функции f и х непре
рывны), а значит, правая часть дифференцируема по t и, стало
быть, левая тоже. r>
2.4. Операторная норма, оценка конечных при--
ращений
1. В евклидовом пространстве R n фиксируем евклидову HOp
му I . 1, а в пространстве End R n операторную норму 11 . 11,
задаваемую формулой
IIAII == sup IA I X I I == sup IAxl < 00, А Е EndR n ,
Ixl;i=O х Ixl==l
последнее неравенство выполнено, поскольку для любоrо орто--
нормированно1'О базиса еl"." е п С Rn имеем
IAxl IA x l e ll +... + IAxnenl == I Х Ill Ае ll + ... + IxnllAenl Clxl,
3) Впрочем, ее непрерывность можно было предположить с caMor'o начала,
уже в формулировке леммы.
24
rде С == IAell + ... + IAenl. Тоrда справедлива'оценка
IAxl IIAII .Ixl,
поскольку
\Ахl == { 1iW . 'хl IIAII . Ixl, х =i о,
о IIAII .Ixl, х == О,
а операторная норма банахова, т. е.
IIABII sup IIAII .IBxl IIAII . sup IIBII. 'хl == 11A11 · IIBII.
Ixli:O 'хl Ixl O 'хl
11. в формулировке Teope IЫ 14 участвует nрОUЗ60дна.я у' (в
точке х, с параметром t) конечномерной функции конечномерной
переменной у: R,n R n , которая определяется как линейный опе
ратор у'(х) Е EndRn, удовлетворяющий условию
у(х + h) у(х) == g'(x)h + o(lhl), h О.
Следующее утверждение обобщает формулу Лаrранжа конечных
приращений на случай такой функции.
Лемма 16. Если у(х) Е С 1 (в), еде В с R n въtnУ1С.II/ЬtU ?Co.м
nа'Кт, то
Ig(y) у(х)1 sup Ilg'( )II.ly xl, х,у Е В.
EU
<J Действительно, если х Е В и У == (х + x) Е В, то для любоrо
8 Е [о; 1] имеем (х + B x) Е В и, обозначив <р(В) == у(х + Ol:1x),
получаем
Ig(x + дх) g(x)1 == Irp(l) rp(O)1 == IJ; g'(x + Одх)дхdоl
J; Ilg'(x + Ol:1x)lll xl d() sup IIg'( )IIIl:1xl.
EU
[>
2.5. Принцип сжимающих отображений, равно..
мерная метрика
1. Напомним, что последовательность х n (п Е N) в простран
стве с метрикой р(., .) называется фу'Нда.ме'Нталъ'Ноu, если выпол
иено условие
Нт р(х т , х n ) == О,
т>n........оо
25
а метрическое пространство называется nО.ll/Н/ЫМ, если в нем вся
кая фундаментальная последовательность сходится. Любое за
м'Х;нутое подпространство полноrо пространства также пол
ное.
Определение 9. Пусть Х метрическое пространство, тоrда
отображение А: Х -----+ Х называется сжимающим, если существу
ет число q Е (О; 1), для KOToporo справедлива оценка
р(Ау, Ах) q р(у, х), Х, у Е Х,
а точка х Е Х называется неnодвиж1-tои, если Ах == х.
Лемма 17. Любое сжимающее отобраЭfCение nОЛНО20 Meтpи
'Чес'Х;о о npocтpa'fiCmea имеет единственную неnодвu;жную то'Ч
""У.
<J 1. Единственность неподвижной точки докаже А от противноrо:
если бы существовали две разные неподвижные точки х, у Е Х,
то получилось бы противоречие
р(х, у) > О и р(х, у) == р(Ах, Ау) q р(х, у) < р(х, у).
2. ля нахо ения неподвижной точки возьмем произволь
НУЮ точку хо Е Х и образуем последовательность Х п == Аnхо,
n Е N. Она фундаментальна, так как
Р(Хn, х n +l) qn Р(ХО, хl)
Р(Хn,Хт) Р(Х n ,Х n +l) + Р(Х n +l,Х n +2) +... + P(Xт l,Xт)
Р(Хо, Xl)(qn + qn+l + . . . + qm l) qn P( :l) с
при достаточно больших значениях n < т. Поэто:м:у в простран
стве 4 ) Х существует предельная точка х (Х п Х при n (0),
которая является неподвижной, для доказательства чеrо ДOCTa
точно перейти в равенстве Ах n == Х п +l К пределу при n 00,
получив равенство Ах == х (соотношение АХ п Ах вытекает из
оценки р(Ах п , Ах) q Р(Х п , х) О). [>
11. Для заданноrо отрезка К С R через С(/<) обозначаем MHO
жество непрерывных функций х: К Rn с равномерной нормой
(метрикой)
Ilxll = St1p Ix(t)1 (р(х, у) = Ilx yll).
tEK
4) ПОЛНОМ.
26
Из курса математическоrо анализа известно, что С(К) полное
НОРl\;lированное (метрическое) пространство.
2.6. Доказательство теоремы
14 фактически сводится к следующему: по заданной области G,
функции f и точке (to, хо) требуется построить упомянутый в
формулировке этой теоремы интервал 1.
1. Выберем целиком лежащий в области G замкнутый шар
ВТ == {(t, x)ll(t, х) (to, хо)1 т},
что возможно, так как точка (to, хо) лежит в этой области с целой
окрестностью, в которой можно выбрать меньшую: шаровую и
замкнутую.
2. Обозначим
!\;J = sup If(t, х)1 < 00,
(t,x)EBr
L = sup Ilf (t,x)1I < 00
(t,x)EBr
(29)
(эти значения конечны, так как обе функции под знаком Bepx
ней ['рани . непрерывны, а значит, принимают свои наибольшие
значения на компакте ВТ С Rn+l).
3. Обозначив
КТ [to T;to +Т], CT,R = {(t,x)1 t Е KT,'lx xal R},
выбереhf То, Ro > О так, Ч1. обы при любых Т То, R Ro вы..
полнялось включение
CT,R С ВТ.
Например, если положить То == Ro == r /2, то для любой точки
(t, х) Е CT,R будет выполнена оп;енка
I(t,x) (to,xo)1 == v lt tol 2 + Ix xol 2 VT 2 + R2 J2 < т,
ИЗ которой будет следовать условие (t, х) Е ВТ.
4. Фиксировав какое нибудь R Ro, обозначим хо(') = хо и
ХТ == {х Е C(KT)I r x с CT,R} == {х Е C(KT)llIx xollT R}.
27
В полном пространстве С(Кт) множество функций ХТ есть за
мкнутый шар с центром хо и раДИУСОlv1 R, поэтому метрическое
подпространство ХТ замкнуто, а значит, это . полное ?vIетриче
ское пространство.
5. Выберем Т 1 То так, что при любом Т Tl формула
(Ax)(t) == хо + l t I(T,X(T))dT, t Е Кт,
to
задает оператор
А:Хт Хт.
Это возможно, поскольку если х Е ХТ и t Е Кт, то
IAx(t) xol == l tl (T,X(T))dT [t sup I/(s,x)ldT ТМ R
to Jto (s,x)EBr
при Т Tl = R/(M + 1), откуда I/Ax xollT R и Ах Е ХТ.
6. Если х Е Хт, то функция х неподвижная точка оператора
А тоrда и только то1'ДВ-, коrда она удовлетворяет уравнению (28),
в котором переменная t пробеrает не интервал 1, а отрезок Кт.
7. Выберем Т 2 Т 1 так, чтобы при любом Т Т 2 оператор
А был сжимающим (например, с коэффициентом q == 1/2): это
возможно, поскольку если х, у Е Х т , то, при меняя при каждом
фиксированном to Е КТ лемму 16 к функции f(t,x).. определен
ной на выпуклом замкнутом сечении Br,t шара ВТ плоскостью
t == to, имеем оценку
IAx(t) Ay(t)1 == [t I/(T, х(т)) I(T, у(т))1 dT
J to
[t sup 1I1'(S,x)lllx(T) Y(T)ldT TLllx yIIT qllx yIIT
Jto(S,X)EBr,t
при Т Т 2 = q/(L + 1), откуда IIAx АуН т qllx ylIT.
8. По принципу сжимающих отображений для оператора А,
переводящеrо полное метрическое пространство Х Т в себя, име
ем: для люБОI'О Т Т 2 существует единственная неподвижная
точка оператора А, поэтому в пространстве ХТ существует един
ственное решение уравнения (28) на отрезке Кт. Следовательно,
можно утверждать, что на интервале
1 = (to Т 2 ; to + Т 2 )
28
решение задачи Коти, по меньшей мере, существует, Т. е. этот
интервал удовлетворяет условию 1) теоремы.
9. Докажем справедливость условия 2) теоремы. Пусть у pe
шеНl1е задачи Коши, тоrда у решение уравнения (28) и функция
у непрерывна в точке ta, причем y(ta) == Ха и для HeKOToporo
т Т2 выполнено неравенство
Iy(t) xal R, t Е КТ = J с 1,
следовательно, у Е ХТ И У неподвижная точка оператора А.
Из единственности неподвижной точки следует равенство (27), а
с ним и условие 2) теоремы 14. [>
2.7. Варианты формулировок локальной теоре..
мы
1. Условие 2) в теореме 14 можно переформулировать так: лю
бъtе два решения зада'Чu Коши ло'х;алъно совпадают.
Действительно, оба они локально совпадают с тем решением,
существование KOToporo утверждается в условии 1), а значит, и
дру!' с друrом.
11. Условие f, f Е С(С), равносильное условию
afi
f, д . Е С ( С), i, j == 1,. . . , n,
х з
можно в формулировке теоремы 14 заменитъ более сильным,
но леrче проверяемым условием f Е С 1 (С), ослабив тем самым
теорему.
111. Теорему 14 можно усилить, заменив условие f Е С(С)
более слабым 5 ): f лиnшицева по х (обозначение f Е LiPx(G)),
т. е. для некоторой константы L и любых точек (t, х), (t, у) Е G
выполнена оценка (условие Лиnшица)
If(t, у) f(t, x)1 Lly xl.
Действительно, если f Е Lipx (С) липшицева, то оценка в
п. 7 доказательства теоремы будет вытекать прямо из условия
ЛИПШИI а.
5)но более ТРУДНЫМ для проверки.
29
Формально, условие f Е Lipx (С) ИЗ условия f Е се С) не
вытекает, так как единой для всей области G константы L может
и не найтись. Однако локальная, для любой точки (to, ХО) Е С,
липшицевость из этоrо условия все же вытекает: за1Vlенив область
G какой либо оrраниченной замкнутой выпуклой окрестностью
В С G точки е to, хо) Е С, можно обеспечить липшицевость по х
функции flB С константой
L == Бир Ilf (t,x)1I < 00,
(t,X)EB
от чеrо факты локальноrо существования и локальной единствен
ности не пострадают 6 ).
IV. В формулировке теоремы 14 можно явно указать pa3.ft1tep
интервала КТ == (to Т; to + Т), на котором заведомо существует
решение. Он равен 2Т и зависит только от радиуса r содержаще
rося в области G замкнутоrо шара ВТ с центром в точке (to, хо) и
величин М, L, заданных равенствами (29). Например, в качестве
Т rодится любое положительное число
1 { r 1 }
Т Т(т, М, L) 2 min т, М + l ' L + 1 .
2.8. Теорема еДИНС'l'веIIНОСТИ в целом
Теорема 18. Ес.ll/Н f, f Е С(С), то для люБыlx решений х и у
зада'Чи Коши (24) (25) справедливо раве'Нств()
ylD == xlп, D = D(x) n D(y).
<J 1. Предположим, что вопреки утверждению теоремы, напри..
мер, множество
s = {t Е п, t to, y(t) # x(t)}
не пусто (случай неравенства t to в определении множества S
рассматривается аналоrично).
2. Обозначим
tl = inf В,
6) Именно это рассуждение и использовалось в доказа.тельстве теоремы 14.
30
тоrда" to tl Е D. В случае to < tl имеем равенство
y(t) == x(t), to t < tl,
(30)
которое выполнено и при t == tl (для доказательства достаточ..
но перейти в нем к пределу при t tl О, воспользовавшись
непрерывностью функций х и у), т. е.
y(tl) == x(tl) Хl
(в случае to == tl последнее равенство выполнено уже в силу Ha
чальноrо условия).
3. Таким образом, обе функции х и у являются решениями за..
дачи Коши с тем же уравнением и на.чальной точкой (tl,Xl) Е С,
а значит, они, соrласно теореме 14, локально совпадают. Поэтому
равенство (30) останется справедливым и после замены числа tl
несколько большим числом t2, откуда получим противоречие
t 1 == inf S ;?;: t2 > t 1 .
r>
2.9. Непродолжаемые решения
Данные в определении 4 понятия продолжения решения и непро
должаемоrо решения дифференциальноrо уравнения без труда
распространяются на решения задачи Коши.
Лемма 19. Еслu f, f Е С(С), то длл любой на'Ltал'Ьной mO'Lt'X;U
(to, хо) Е G существует едиНСlпве'Н'Ное 'НеnродОЛ:JICаемое решение
зада'Ltи Коши (24) (25), npu'LteM о'Но слу:жит nродОЛЭlCенu,е.м
.люБО20 решенил этой зада'Ltu.
<] 1. Множество всех решений задачи Коши (24) (25), обозна..
ченное через Е, соrласно теореме 14, не пусто, поэтому можно в
качестве области определения искомоrо непродолжаемоrо реше
иия х взять множество
D(x) == U D(y),
уЕЕ
а саму функцию х задать с помощью правила
x(t) == y(t), как только t Е D(y).
31
2. Полученная область определения D(x) интервал, так как
это открытое и связное (блаrодаря точке to) множество на пря
мой, а сформулированное правило корректно, поскольку соrласно
теореме 18 все решения, содержащие в своей области определения
какую--либо точку, принимают в ней одно и то же значение.
3. Полученная функция х есть:
а) решение задачи Коши, так как для любоrо t Е D(x) cy
ществует решение у Е Е, дЛЯ KOToporo
t Е D(y) и XID(y) == у;
Ь) продолжение любоrо решения у Е Е (по определению);
с) непродолжаемое решение, так как оно само является про
должением любоrо решения у Е Е;
d) единственное непродолжаемое решение, так как любое
дpyroe решение у Е Е имеет отличное от себя продолжение х, а
значит, продолжаемо. [>
2.10. Теорема продолжаемости
rласит, по существу, что непродолжаемое решение задачи Коши,
существующее в силу теоремы 19, обязательно выходит, как впра
во, так и влево, за nреде.лЪL любоzо 'Ко.мnа'К:та, лежащеrо в об
ласти G определения правой части уравнения. Иными словами,
любое решение асuмnтОlпи'Чес'Х;u nродол::нсается до zраниЦЪL обла
сти: ведь окрестностью rраницы дС как раз и следует признать 7)
дополнение TaKoro компакта дО С.
Теорема 20. Пустъ f, f Е С(С), а х неnродОЛЭICаелtое pe
ше'Нuе уравненuя (24). Tozaa для любоzо 'К:о.мnа'К:l1Lа С С G суще
ствует тапой отрезо'К: К С D(x), 'Что имеет Mecrпo 6'К:лю'Ченuе
r XID(x}\K С (С \ С).
<] Прежде чем дока.-зыатьь теорему, напомним, что расстоя'Н/lt
ем между подмножествами Х, У метрическоrо пространства М
называется величина 8 )
р(Х, У) = inf р(х, у),
хЕХ, уЕУ
7) Ср. с окрестностью точек :l:oo на ЧИСЛОВОЙ прямой.
8) Равная по определению 00, если хотя бы одно ИЗ этих подмножеств пусто.
32
и докажем следующую лемму.
Лемма 21. Если Х, У с М, Х n У == 0, х ' ?Со.мnа?Сm, а У
за.м нуто, то р(Х, У) > о.
<] Пусть, напротив, р(Х, У) == о. Тоrда для некоторых двух по
следовательностей х n Е Х и Уn Е у (п Е N), первую из KOTO
рых (в силу компактности Х) можно сразу считать сходящейся
к некоторому Ха Е Х, имеет место равенство
о == р(Х, У) == Нт р(х n , Уn),
n OO
а значит, и равенство
lim Р(Хо, уn) lim р(хо, х n ) + Нm р(х n , уn) == О,
n n OO n oo
из KOToporo (в силу замкнутости У) получаем условие Ха Е У, а
с ним и противоречие: Ха Е Х n У == 0. [>
Приступим теперь к доказательству теоремы 20.
1. Выберем такое т, что
р(С,дС) 2т > О
(это возможно, так как по лемме 21 первое из чисел цепочки по
ложительно, поскольку С компакт, а rраница дС замкнута).
2. Для кажДой точки (t, х) Е С обозначим
Br(t, х) == {(в, у) Е Rl+nl p«s, у), (t, х)) т},
тоrда для любой точки (8, у) Е Br(t, х) имеем
p(s, у), дС) p((t, х), дС) p(t, х), (8, у)) Т.
.
3. Обозначим
в == U Br(t, х),
(t,x)EC
тоrда 9 )
р( в , дС) т,
поэтому В с G и можно определить константы
М== sup If(t,x)l<oo,
(t,x)E B
L == sup IIf (t,x)11 < 00.
(t,x)E B
9) Можно доказать, что множество В замкнуто.
33
4. Для любой точки (t,X) Е С имеем Br(t,x) с В, поэтому
решение задачи Коши с этой начальной точкой определено по
меньшей мере на интервале
. ,.
(t T;t+T), rде T==T(r,M,L)
(СМ. вариант IV теоремы 14 из п.2.7).
5. Пусть некоторая точка (to, x(to)) rрафика непродолжаемо1'О
решения х принадлежит компакту С (если такой точки нет, то
теорема. доказана), тоrда
D(x) = (а;,8) :J (to Т; to + Т).
6. Докажем существование TaKoro числа tl Е (а; р), что
(t,x(t)) С, а < t < tl.
А. В случае а == oo, в силу оrраниченности множества С,
достаточно взять
tl == inf{tl (t,x(t)) Е С} > oo == а.
В. Б случае Q; > oo положим
tl = Q' + т < to.
Тоr,ца если существует такая точка (t,x(t)) Е С, что t < tl, то pe
шение задачи Коши с этой начальной точкой продолжается влево
по меньшей мере доl0) числа
t т < tl Т == а,
что противоречит непродолжаемости решения х.
7. Существование TaKoro числа t2 Е (а; (3), что
(t,x(t)) (j С, t2 < t < {З,
доказывается аналоrично. t>
10)Не включительно.
34
2.11. Лемма rронуолла Беллмана
или лемма об uнmе2рал'Ь'l-tОМ неравенстве, позволяет получать
так называемые anpиopH'bte о'Цен'К;и нормы решений дифферен
циальноrо или интеrральноrо уравнения.
Лемма 22. Если фУН'Х;ЦUЯ и Е C(J), 2де J == [to; {З), для не'Х;о..
mop'btX 'Чисел а, Ь о удовлетворяет условию
о и(t) а + b 1 t U(T)dT, t Е J,
to
(31)
то и оцен?Се
u(t) aeb(t to), t Е J.
<J 1. Если а > О, то правая часть неравенства (31) положительна
и ero можно на нее разделить, получив неравенство
d d I n ( a+b 1 t U(T)dT ) == т:(t) b
t to а + Ь J to и(т) dr
Заменив в He:rvl переменную t на s и проинтеrрировав ero по s от
to до любоrо t Е J, IIОЛУЧИМ оценку
ln (а + Ь 1: и(т) dT) lna == ln (а + Ь 1: и(т) dT) :0 b(t to),
из которой, с помощью все Toro же неравенства (31), получится
требуемое
u(t) а + Ь 1 t и(т) dT aeЬ(t to).
to
2. Если неравенство (31) имеет место при а == О, то и при лкr
бом а > о. Следовательно, по доказанному в предыдущем пункте,
требуемое неравеНСТБО также выполнено при любом а > о, а зна
чит, и при а == о. [>
Следствие 23. Если Фун'Х;ция и Е C(J), 2де J == (а;{3), для
не'Х;оmОръtХ 'Ч,uсел а, Ь О и Q; < to < (3 удовлетворяет условию
о и( t) а + ь 1 t и( т) dT, t Е J,
to
35
то и оцеН1Се
u(t) aeblt tol, t Е J.
<] Для значений t to утверждение просто совпадает с доказан
ным, а для значений t to сводится к нему с помощью замены
v(s) == и(t), rде s to == to t, так как ТО1'да
1 t и(т) dT == 1 8 V(17) dn,
to to
It tol == s to.
t>
2.12. Теорема продолжаемости для линейной си..
стемы
х == A(t)x + F(t), А: 1 -----+ End R n , Р: 1 -----+ R n ,
называемой линеuной неод'Нород'Нои (п х п) системойl1), а в слу
чае F == О линейной oд-нopoitн,oй, уточняет теорему 20.
Теорема 24. Если А, F Е C(I), то для любой на'l.tалънои mO'tl
'Ки (to, хо) Е 1 х Rn существует единственное неnродолжае.мое
решение зада'l.tu Коши, npu'l.teM ОНО служит продолжением лю
боzо решения этой зада'l.tU u определено на всем uнтервале. 1.
<] 1. Правая часть
f{t, х) = A(t)x + F(t)
системы удовлетворяет условиям теоремы 20, так как А, F Е С(!)
и f (t,x) == A(t). Поэтому остается доказать лишь последнее из
сформулированиых в теореме 24 условий, а именно, что непро
должаемое решение х задачи Коши определено на всем интервале
1 == (а; (3).
2. Предположим, что непродолжаемое решение х, которое
непременно удовлетворяет интеrральному уравнению
x(t) == ХО + 1 t (А(т)х(т) + Р(т)) dT, t Е D(x),
to
определено не при всех t Е [to; (3), а только при t Е J = [to; ,8') для
HeKoToporo (3' < (3 {случай, коrда оно не определено при t Е (а; а'],
рассматривается аналоrич но).
11)Здесь G == 1 х R n .
36
3. Тоrда для фУНКЦИИ и(t) == Ix(t)1 при всех t Е J имеем
О и(t) 'хо\ + h: (1IA(r)11 и(т) + IP(T)I) dT а + Ь Jt: и(т) dT
===> и(t) aeb(t to) R
(соrласно лемме rронуолла Беллмана), rде
fЗ'
а == 'хаl + [ IР(т)1 dr,
Jto
ь == вир \1 А( t) 11, R == аеЬ({З' to) .
tE J
4. Тоrда rрафик непродолжаемоrо решения х при t > to не
ВЫХОДИТ за пределы компакта
с == {(t,x)\ t Е J , 'хl R} с С,
что противоречит теореме 20. t>
2.13. Ломаная Эйлера
для задачи Коши (24) (25) это rрафик любой такой непре
рыв ной функции ер: К R n, 1'де К [0;,8] 3 to, или сама эта
функция 12 ), которая удовлетворяет условию <p(to) == хо и для
иекотороrо разбиения
(J == (so,81,... ,Вn и ), а 80 < 81 < ... < 8 nи = (3,
отрезка К при каждом значении i == 1,..., пО' для HeKoTopo1'o
s Е [Si l; 8i] задается равенством 13 )
ф(t) == 1(8, <р(8», t Е [8i 1; 8i].
Нор.мои разбиения и называется величина
J
10-1 == шах (Si Si l),
iE{l,...,nO' }
1. Значение s, фиrурирующее в определении ломаной Эйлера,
следует считать функцией s =: 8(/' (t) по меньшей мере от t и а,
которая тоrда удовлетворяет УСЛОВИЯМ
8a(t) Е [Si 1; Si], t Е [Si 1; 8i], i 1,. . ., Па,
===> ISи(t) tl 10"1, t Е К,
12) В зависимости от контекста.
13) Которое означает, что функция t.p кусочно линейна, а ее rрафик
действительно ломаная.
37
а для кусочно диффереицируемой функции <.р справедливо paBeH
СТБО
ф(t) == j(sи(t), <.p(Sи(t»), t Е К \ {80, . . . , Sna}' (32)
11. Построим nростеишую ломаную Эйлера:
возьмем в качестве одной из точек разбиения точку to и бу
де:м: двиrаться от нее вправо, сначала положив s == to (тем самым
определяется зиачение f (8, ер( 8 ) ), задающее УI'ЛОВОЙ коэффициент
звена ломаной) и выбрав точку разбиения tl > to, затем положив
S == tl И выбрав точку разбиения t2 > tl, И т. д. до тех пор, пока
(8, <.p(s» Е с;
аналоrично, будем двиrаться от to влево, сначала положив
8 == to и выбрав точку разбиения t 1 < to, затем положив 8 == t 1
И выбрав точку разбиения t 2 < t l, И т.д.;
пере нумеровав числа to, t-:1::.1, t:1:2,. .. подряд в возрастающем
порядке, получим разбиение а.
2.14. Теорема Арцела Асколи
ОпределеНllе 10. Семейство Ф Функций ер: К Rn на OT
резке К С R называется:
а) равно-мерно 02рани'ЧеНН'Ьt-м, если
sup "<.рll к < 00;
Ч'ЕФ
Ь) равностепенно Henpep'btBH'btM 14 ), если для любоrо с > О
существует такое 8 > О, что для любых <.р Е Ф и t, 8 Е К имеет
место импликация
It 81 < {) ===? l<.p(t) <.p(s) I < Е;
с) nред'К:о-мnа'Х;тН'Ьt-м, в смысле равномерной на К нормы, ec
ли из любой последовательности <.рn Е Ф (п Е N) можно выбрать
фундаментальную подпоследовательность.
Теорема 25. Вся'Х;ое равно-мерно 02ранu'Че'Н'Ное и paвHocтeneH
'Но 'Itenpep'bt6Hoe се-мейство Ф С С(К) nред'Ко.мnа'Кт'Но.
14) Из чеrо, в частности, следует, что каждая из функций семейства непре
рывна, и даже равномерно непрерывна.
38
<] 1. Пусть заданы <Рn Е Ф (п Е N) и е > О.
А. По заданному е > О в соответствии с п. Ь) определе
ния 10 выберем число {) > о. Кроме Toro, выберем разбиение
cr == (8jl j Е J) отрезка К с нормой 10'1 < 8, а в оrраниченном,
соrласно п. а) определения 10, IvIножестве Х С Rn всех значений
всех функций семейства Ф выберем конечную e ceтъ15) {Xi}' Pac
смотрим конечное множество всех функций 'Фk Е С(К), rрафики
которых являются ломаными 16 ) с узлами в точках вида (Sj,Xi).
Б. Каждой функции 'Рn поставим в соответствие какую--либо
функцию 'Фk, для которой
l't'n(Sj) 'Фk(Sj)1 < е, j Е J.
Тоrда хотя бы одна из функций Фk будет поставлена в COOTBeT
ствие бесконечному числу члеиов последовательности <рn, образу
ющих подпоследовательность, причем любые два члена 'Рnl' 'Рn2
этой подпоследовательности при t Е [Sj l; s;], j Е J \ {О} будУТ
удовлетворять неравенству
IСРnl (t) <Рn2 (t)1 IСРnl (t) «Jnl (Sj) I + l<{Jnl (Sj) 'Фk( Sj) I
+1«Jn2 (t) <Рn2 (Sj)1 + l4'n2 (В;) 'Фk(Вj)1 < 4е,
откуда буде 1 иметь
lI<Pnl <Рn211к < 4е.
с. Из найденной подпоследовательиости исключим первую
функцию, предварительно обозначив ее через 't'i.
D. Уменьшим вдвое значение е и проделаем с оставшейся
подпоследовательностью те же операции А с, получив Функ
цию 4'2, затем, аналоrично, функцию 'Рз и т. д.
2. Полученная в итоrе последовательность <p будет фунда
ментальной, так как
lim 11<p 1 <p 21IK == о.
nl >n2 OO
[>
15)т. е. такое множество центров шаров радиуса , что объединение этих
шаров содержит множество Х.
16)Не ломаными Эйлера!
39
2.15. Теорема Пеано
утверждает, что существование 17 ) решения задачи Коши rapaH"
тируется ОДНОЙ лишь непрерывностью правой части системы, Ka
ковое условие представляется уже совершенно естествениым.
Теорема 26. Если f Е С(С), то для любои н,аtttалън,ои mOttt'X;U
(to,xo) Е G существует решение aaaatttи Коши (24) (25).
<J 1. Выберем целиком лежащий в бласти G замкнутый шар
в == {(t, x)ll(t, х) (to, хо)1 т}
и обозначим
М = sup If(t,x)l<oo.
(t,x)EB
2. Обозначим через Ф множество всех ломаных Эйлера, опре
деленных на отрезке К == [а;.8] = [to Т; to + Т] и лежащих в
шаре В, а через Фи С Ф подмножество тех из них, которые co
ответствуют разбиению а отрезка К. Выберем число Т > О столь
малым, чтобы любое из множеств Фи было не пусто. Это воз
МОЖНО, поскольку, например, простейшая ломаная ер Е Фи может
быть по ИНдУкции достроена вправо (аналоrично, влево) на весь
отрезок К: действительно, во первых, имеем
( to, ер ( to )) == (to, хо) Е В
И, BO BTOpЫX, если уже
( ti, <р ( ti » Е В, i == О, . . . , k 1,
то и (tk, ep(tk») Е В, так как в силу равенства (32) имеем
l<p(tk) <p(to)1 == Ih: k ф(r) drl == Ih: k f(sи(r), <p(sи(r))) drl
sup '/(s, <p(s»1 · (tk to) МТ
эЕ [to ;tk 1]
===? I(tk, ep(t») (to, хо)1 у! Т2 + (МТ)2 T(!vf + 1) т,
как только Т Т/(М + 1).
17) Но не единственность!
40
3. Семейство Ф ломаных Эйлера равномерно оrраничено, по--
скольку
sup II'PIIK !хоl + sup 1'P(t) хоl Ixol + r < 00,
ЕФ ЕФ
tEK
и равностепенно непрерывно (даже равностепенно липшицево с
константой М), поскольку в силу равенства (32) имеем
l<p(t) <p(s)1 11 лви(т), <р(ви(т))) dr Mlt sl < е, <р Е Ф,
если только числа t, s Е К таковы, что It sl < 8 = gjM.
4. Выберем такую последовательность 'Рn Е Ф (n Е N) лома
ных Эйлера, что соответствующие им разбиения (1 n отрезка К
удовлетворяют условию 1(1nl ---4 О при n 00. По теореме Apцe
ла Ас коли из этой последовательности можно выбрать фунда
ментальную подпоследовательность (сохраним для нее прежнее
обозначение 'Рn), которая, в силу полноты пространства С(К),
равномерно сходится к некоторой непрерывной функции ера.
5. Докажем, что функция ер == ерО!l, rде 1 = (а;{3), есть
решение задачи Коши.
А. Начальное условие выполнено, поскольку
ep(to) == lim 'Pn(to) == lim хо == ХО.
n ...-.+ 00 n...-.+ 00
В. Для каждоI'О t Е 1 проверим равенство
(t) == f(t, 'P(t») <===> ep(t + h) 'P(t) f(t, 'P(t))h == o(h), h -----t о.
Действительно, пусть задано g > О. Тоrда в силу непрерывности
функции f в точке (t, 'P(t)) для HeKOToporo 8 > О имеем
{ Is tl < 8
ly <p(t)1 <8 ===} If(s,y) f(t,<p(t))1 <е.
Далее, с учетом равенства (32) имеем
lep(t + h) 'P(t) f(t, 'P(t»hl !'P(t + h) 'Pn(t + h)1
+I<pn(t) <p(t)1 + II:+ h (фn(r) f(t, <p(t))) drl
< elhl + elhl + I Itt+h If(sun (т), <рn(ви n (т))) f(t, <p(t))1 drl < 3elhl,
41
если только число h =F о достаточно мало и число n до ста..
точно велико, а именно, если только выполнены условия
о < Ihl < min {t а, (J t, , 2м б + е } ,
так как тоrда
{ 'О"n' < Ihl
"СРn Ч?IIК < elhl,
(SU T & (7) tl /эи n (7) 7( + 17 tl (O"nl + Ihl < 21hl < 8
==} l'Pn(Su n (7)) cp(t)1 /'Рn(Sй"п (7)) Ч?n(t)( + II<Pn cpllK
< М /Ви п (7) tl + elhl < (2М + e)lhl < 8
===} If(su n (т), 'Pn(Su n (7))) f(t, 'P(t))1 < С.
Теорема 26 доказана. (>
2.16. Сведение уравнения произвольноrо поряд"
u
ка к нормальнои системе
Обозначим через Е! и Ej(to, уо, Уl,. . ., Yn 1) множества всех pe
шений следующеrо уравнения n zo nоряд'К:а, разреше'Н/ноzо OTHO
сительно старшей производной, и, соответственно, задачи Коши
для Hero
(n) f(t . (n 1» )
У == ,у,у,...,у ,
y(to) == Уо
y(to) == Уl
(33)
y(n 1) (to) == Yn 1,
а через Е! и Ej (to, Уо ) множества решений следующей нор..
мальной системы И, соответственно, задачи Коши ДЛЯ нее
Х2
х == f (t, х) =
х n
f (t, хl, . . . , х n )
x(to) == уо =
уо
Уl
Yn 1
Определение 11. Канонu'Ч..е'с'К:ои заменои (переменных) Ha
зовем отображение 1/;, переводящее любую (п 1) раз дифферен
Iщруемую скалярную функцию у в вектор функцию
1/;у
y(n 1)
42
у
у
Лемма 27. Канон'U'Чес'Х:ая замена 'ф осуществляет 'UЗо.мор-
физ.м,ъt
Е! Е! и Ef(to, Уа,. · · , Yn 1) .t E/ to, Уо )
множеств, наделеНН'Ьtх стру'К:турой областей определения ФУН'К:
ций, ло'К:ал'Ьноzо их совпадения и nродолжен'Uя, nри'Чем обратнъtе
1\: эти.м изоморфизмам отображен'Uя задаются формулой
...1, 1
0/ Х == хl.
Имеется в ви,ц,у, что отображение ф, равно как и обратное к
нему, сохраняет указанную структуру, Т. е. и области определе
пия всех функций, и всякие факты их локальноrо совпадения, и
свойство всякой функции быть продолжением друrой.
<] Для доказательства достаточно проверить следующие свойст
ва:
а) ф(Е f ) с Ef ' причем D(фу) == D(y): действительно, если
у Е Ef, то при всех t Е D(y) имеем
( фу ) . ( t) ==
у
у
(t) ==
y(t)
y{t)
f(t, y{t), . . . , y(n 1) (t))
== f {t, фу(t)),
y(n 1)
поэтому 'Фу Е Е f ' причем
D(y) == D(y) == ... == D(y(n l») == D('Фу);
ф
Ь) Е f ......-+ Е f сюръекция: действительно, для х Е Е f поло
жим у == хl, тоrда при всех t Е D(x) имеем
y(t) == Xl(t) == X2(t)
y(n 1) (t) == Xn 1 (t) == xn(t)
y(n)(t) == xn(t) == f{t,x(t)) == f(t,y(t),... ,y(n l)(t)),
откуда у Е Е! и 'Фу == х;
43
с) Е f Е! инъекция 18 ): действительно, если совпадают
вектор функции 'ФУ1 == 'ФУ2, то совпадают и их первые координа
ты Уl == У2;
'ф
d) Е! -------t Е! биекция, причем
('ФIЕf).....l х == Хl, Х Е Ef '
(следствие предыдущих пунктов доказательства);
е) 'Ф (Ef(ta, Уо, . . . , Yn 1» == Ej (to, Уа ): действительно, имеем
EJ(ta, Уа, . · · , Yn 1) С Ef, и Ej (ta, Уо ) с Ej ,
причем
y(n l)(ta) == Yn 1
f) оба отображения 'Ф I Е f И (ф I Е J ) 1 сохраняют равенство
функций (так как 'ФIЕ[ биекция) и переход от функции к ее
сужению (из за сохранения областей определения), а значит, они
сохраняют и свойство одной функции быть продолжением друrой
(Т. е. равенство второй функции сужению первой; см. определение
4), и локальное равенство функций (т. е. равенство некоторых их
сужений). [>
y(ta) == Уа
y(to) == Уl
{:::=} фу(tо) == Уа ;
2.17. Теоремы сущеСТВQвания, единственности и
продолжаемости для уравнения
n ro порядка выводятся из соответствующих теорем для нормаль
ной системы с помощью леммы 27, которая фактически означает,
что в отношении вопросов локальноrо существования решений, их
локальной единственности, продолжаемости и единственности в
целом множества решений задачи КОI1IИ дЛЯ уравнения и для со--
ответствующей системы устроены совершенно одинаково.
Теорема 28. Если f, f ,.. ., f (n l) Е С(С), то для любой иа
'Ча.fl/ь'Нои то'Чrк;и (to, Уа, . . . , Yn 1) Е с:
18) Причем как функция, определенная не только на EJ, но и с самой полной
областыо определения множеством всех (n 1) раз дифференцируемых
скалярных функций.
44
1) в He oтopoй O'IqJecmHocmи 1 fflО'Ч7CU to существует решение
у: 1 ----+ R задачи КОШ'U (33);
2) любое дру20е решение этой задачи ЛО7СМЬНО совпадает с
решением у.
Теорема 29. Если J, J;,..., f;(n l) Е C(G), то для любых ре-
шений у u z эадй'Чu Коши (33), то справедливо равенство
ylD == ZID, D = D(y) n D(z).
Лемма 30. Если f, f;,. · ., f;(n l) Е C(G), то дм любой на-
чальной тО'Ч,1CU (to, Уо,.. . , Yn 1) Е G существует единственное
н,еnродолжае.мое решение эада'Ч'U Коши (33), причем оно служит
продолжением люБО20 решения эmой задачи.
Теорема 31. Пусть f, f , . · . , f;(n l) Е с(а), а у н'еnро-
должае.мое решение уравнения (33). ТО2да для люБО20 7COMnatema
С С G существует та"ой отреэо1С К С D(y), 'Что имеет .место
В7СЛючение
r (y,...,y(n....l»ID(JC)\K С (G \ С).
Теорема 82. Если f Е С( G), то для любой на'ЧaJ&ьнт1 moчкu
(to, Уо, . . . , Yn 1) Е G существует решение задачи Коши (33).
2.18. Теорема продолжаемости для линейноrо
уравнения
у(n) + аl (t)y(n l) + . . . + an(t)y == f(tf, аl, . . . , а n , 1: 1 ...... R,
называемоrо линеiLнъш tteoaнopothtъw уравнением 19 ), а в случае
J == о линейн'ЫМ однородным, уточняет теорему 31.
Теорема 33. Если al, . . . , а n , I Е C(I), то для любой началь-
ной mочпu (to, Уо,. . . 'Уn.....l) Е 1 х Rn существует единственное
неnродОАжае.мое решение задач'lJ KotU'U, nри'Чe.л.t о'НО служиm nро-
долже'Нuе.м любоео решенuя этой задачи u onределено на все-м
uнтервале 1.
19)n..eo noрясЖа, и даже npuвeдeHHЫМ, Т. е. с коэффициентом ао = 1 при
старшей производной; здесь G = 1 х R ".
45
<] Каноническая замена (определение 11) приводит уравнение к
линейной системе
Х2
х== = A(t)x + F(t), t Е 1,
х n
an(t)Xl . . . аl (t)x n + f(t)
rде
О 1 О
О
О О (34)
А = Р = О
О О 1
f
an a2 al
к которой можно применить теорему 24, сведя полученное YTBep
ждение к доказываемому с помощью леммы 27. [>
Определение 12. Матричную функцию А и вектор функцию
Р, определенные по формулам (34), назовем мат,ри'Цеи линеUНО20
урав'Нения и ero ве'К;торнои неоднородностъю соответственно.
2.19. Вопросы и задачи ДЛЯ самостоятельноrо
решения
1. Какое из условий 1) или 2), сформулированных в теореме
14, не вытекает из единоrо условия, состоящеrо в следующем: в
не'К;оторои о'К;рестности 1 то'Ч'К;и to существует единственное
решение х: 1 Rn зада'Чи Коши (24) (25)?
11. Доказать, что теорема 14 Qстанется в силе, если в ней усло
вие f, f Е С(С) заменить следующим: f неnреръt6'На по t и
лиnши'Цева по х в области G.
111. При каждом значении n Е N определить, lorYT ли два
различных решения уравнения
у(n) == f(t, у), f Е с 1 (R2),
пересекаться друr с дpyroM или касаться дpyr дpyra хотя бы в
одной точке (to, Уо) Е R 2 .
46
IV. Какой наименьший порядок может иметь уравнение
(n) f(t ' (n 1» )
У == ,у,у,...,у ,
f Е C 1 (Rn+1),
с частными решениями У1 (t) == t и Y2(t) == sin t?
V. Останется ли верной лемма 21, если в ней условие компакт
ности множества Х заменить ero замкнутостью?
VI. Доказать, что если для каждой точки (to, хо) Е G суще
ствует хотя бы одно решение задачи Коши (24) (25), то суще
ствует и непродолжаемое ее решение.
VII. ДЛЯ заданноro уравнения (24) и компакта С С G oцe
нить снизу время пребывания вне этоrо компакта rрафика любо-
ro непродолжаемоrо решения, на:чинающеrося в этом компакте,
при движении по оси времени, например, вправо.
VIII. Какие из следующих утверждений для уравнения (24)
верны:
а) если f Е C 1 (R2), то область определения D(x) любоrо
непродолжаемоrо решения х есть вся числовая ось R;
Ь) если f Е C 1 (R 2 ) И область определения D(x) иекотороrо
непродолжаемоrо решения х есть луч R+ = (о; (0), то существует
бесконечный (т. е. равный +СХ) или --- 00) предел
liш x(t);
t----4+0
(35)
с) если f Е C 1 (R+ Х R) и область определения D(x) HeKO
Toporo непродолжаемоI'О решения х есть луч R +, то существует
предел (35), возможно? бесконечный?
IX. Построить (rрафически) простейmую ломаную Эйлера
ДЛЯ задачи Коши
х == x, х(О) == 1,
на отрезке [о; 3] Б случае разбиения а, paBHoro:
а) (о, 1, 2, 3);
Ь) (О, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3).
х. Доказать, что если функция f липшицева по х и непре..
рывна в области а, содержащей множество
с = {(t,x)1 а t {З, Ix хоl R},
47
причем
R
13 м = sup lf(t,x)1
а (t,Ж)ЕС
(если М == 00, то и R == (0), ТО ДЛЯ любой точки (to,xo) Е С по
следовательность Х п : [а;,8] Rn (n Е N) приближений Пи ара,
определяемая равенствами
Хо = Ха,
Х 71 == Axn 1 == Ха + {t ЛТ,Xn l(Т)) dT, n Е N,
Jto
сходится равномерно на отрезке [0;,8] к решению уравнения (28).
,1
48
3. Общая теория линейных уравнений и
систем
3.1. Линейное пространство функций
f: 1 -----+ R n с естественными линейными операциями
(01/1 +C2f2)(t) == C 1 fl(t)+C2f2(t), t Е 1, /1,2 Е.Ф, С 1 .2 Е R,
обозначим через!) Ф. Нулем О Е Ф в этом линейном пространстве
является функция
O(t)==OER n , tEI.
Определение 13. Функции /1, . . . , Jk Е Ф называются линей-
но зависи.м'bl.МU, если для HeKoToporo ненулевО202> набора' КОН-
стант С 1 ,..., Ck выполнено равенство
0111 + · · · + Ckfk == О,
и линейно неаависи-мы.ми в противном случае.
Соrласно теореме 24, если А, F Е С(I), ТО множества EA,F и
ЕА всех непродолжаемых решений линейной неоднородной систе.-
мы
х == A(t)x + F(t), х е R n , t е 1,
и соответствующей oUн,opoдн,o1J, системы
(36)
x:=A(t)x, XER n , teI,
(37)
являются подмножествами пространства Ф.
3.2. Общее решение линейной однородной СИСТ&-
МЫ
образует подпространство ливейноrо пространства Ф и, рассмат..
риваемое как линейное пространство, отождествимо с множест-
вом начальных значений самих решений, что утверждает следу..
ющая, называемая теорем ой об U80.моpфuэ.ме,
1) Здесь интервал 1 и число n Е N ...... заранее фиксированы, но в обозначе-
ние пространства Ф не включены.
2) Т. е. не состоищеro из одних нулей.
49
Теорема 34. Множество Е А . .линейное nростра'Нство, npи
чем для любоао to Е 1 отобра{)ICенuе
<Pto: х Е БА t----t x(to) Е R n
осуществляет изоморфизм .лuнеuн'ых nространств Е А и R n .
<J 1. Множество Ел есть линейное пространство, так как оно
подмножество линейноrо пространства Ф и замкиуто относи .
телъно линейных операций: действительно, если Хl,Х2 Е БА и
С 1 ,С 2 Е R, то
(С 1 Х l + С 2 Х 2)" == С 1 ><1 + 02)(2 == С 1 Ах 1 + С 2 АХ 2 == А(С 1 Х l + С2 Х 2),
откуда (С1Хl + 02Х2) Е Ел.
2. Отображение 'Pto: Ел ......;. Rn биекция, так как соrласно
теореме 24 для любо1'О начально1'О зиачения а Е R n существу..
ет единственная функция х Е ЕА, удовлетворяющая начальному
условию
<Pto(X) == x(to) :=:: а.
3. Отображение <{)to: ЕА Rn rОМQМОрфИ3М линейных про
странств (а раз биекция то и изоморфизм), поскольку если
Хl,Х2 Е ЕА и Сl,С2 Е R, то
Ч'tо (С 1 Х l + С 2 Х 2) ;;;; (GI X l)(tO) + (C 2 X 2)(tO) == C 1 <Pto (Хl) + G 2 <Pto (Х2).
t>
Таким образом, любые свойства и характеристики решений,
определяемые только линейными операциямиЗ) , такие же, как
И для их начальных значений.
Следствие 35. Размерность пространства решенuи лuнеl1..
нои однородной (п х n) cucтeM/bt равна n.
Определение 14. Любой базис Xl,. v. ,Х п В пространстве БА
решений линейной однородной (п х n) системы (37) называется
Фундаментал'Ьной системо?). ее решений.
Следствие 36. Фунда.мента.л'Ь'Нъtе систе-м,ъt реше 'Нии ли'Неи
'Ной однородной систе-М'Ьt (37) существуют. Если Хl,..., Х п
3)Как"то: размерность пространства или подпространства решений, линей
пая зависимость или независимость данной системы решений, принадлеж
ность ее линейной оболочке какоr<rлибо решения и Т. п..
50
фуuдамеumал'Ьuа-я система решеuиll cиcmeM/bt (37), то общее pe
шеuие этой системъt имеет вид
х == с1хl (t) + . . . + CnXn(t).
<J Для построения фундаментальной системы реmений достаточ
но взять любой базис еl,.. . , е n в Rn и, выбрав начальный момент
to Е 1, построить решения
1 l
хl == <Pto еl , . . . , Х N == <Pto e r ".
1>
3.3. Определитель BpOHCKOf'O вектор"функций
11,..., fn Е Ф это функция
Wfl,...,fn (t) == det(fl (t),. . . , fn(t)), t Е 1.
Здесь предполаrается, что в линеЙНОЬrl пространстве R n BЫ
бран базис, или что R n координатное векторное пространство.
Правда, в евклидовом пространстве R n определителю BpoHcKoro
можно придать и инвариантный 4 ) 1'еометрический смысл, а имен
но, Wfl,...,fn (t) это ориеитирова'Н'Н/ыи обlJем параллелепипеда,
натянутоrо на репер 11 (t), . . . ,In(t).
Лемма 37. Если фу'Н'Кции 11,. . . , fn Е Ф .ли'Неu'Но аависи-МЪt,
то
WJ1,...,fn (t) == о, t Е 1.
<] Если линейно зависимы вектор функции /1,..., fn Е Ф, то
для каж,цо1'О t Е 1 линейно зависимы их значения 11(t),... . ,fn(t)
в момент t, а значит, Wfl,...,/n (t) == о. 1>
Обратное к леМ?\1е 37, вообще 1'оворя, неверное, утверждение
справедливо для решений линейной однородной системы, более
To1'o, имеет место
Теорема 38. Если Хl,... ,Х n Е БА, то следующие утверЭICде
нил эх;вива.леuт'Нъt:
4)Относительно выбора в Rn ОрТОf'ОН8JIьноrо базиса положительной ори
ентации.
51
1) Фунr:цuи Хl,. . . , Х П линейно зависимы;
2) W X1 ,,,,,X n == о;
3) W X1 ,...,X n (to) = О для не'Х:отороео to Е 1.
<1 Из nepBOro утверждения по лемме 37 получаем второе, из
BTOpOro третье, а из Tpeтъero следует, что векторы
Хl (to) == 'Pto (Хl), · · · , xn(to) == CPto (Х п )
....... линейно зависимы, откуда, соrласно теореме 34, получаем СНО"
ва первое утверждение. с>
3.4. Фундаментальная матрица
это такая .матрица решений
X(t) == (Хl (t),. . . , xп(t», t Е 1, Хl,. . ., xn Е Е А , (38)
столбцы которой 5 ) образуют фундаментальную систему решений.
1. Из теоремы 38 вытекает
Следствие З9. ДЛЯ .матриц'Ь' решений Х следующие утвер..
ждения Э'IC8ивалентн'Ы:
1) .матрица Х ....... Фунда.ме'Н,mаль'Н,а;
2) detX(to) :F о для 'Н,е'Х:отороео to Е 1;
З) detX(t) '1= о для всех t Е 1.
Из следствия 36 получаем
Следствие 40. Общее решение cиcтe.м (37) с фунда.мен
mальн.ой .матрицей Х 'иМеет вид
х == X(t)c, с Е а п .
(39)
<1 Действительно, IS силу равенства (38) имеем:
Ж=Х1 С l+...+XnС п =ХС, с = ( ) eR n .
с>
&)в координатном векторном пространстве аn.
52
11. Производную (п х n) матричной функции Х: 1 мnхn, по
определению 6 ) , вычисляют покоординатно, а производную опера
ТОJrФУНКЦИИ Х: 1 End Rn по формуле
X(t) == lim X(t + h) X(t)
h----+O h
(предельный оператор, если он существует, обязательно линей..
вый, в силу полноты пространства End R n ). Эти вычисления при
водят к одинаковому результату из за eCTecTBeHHoro изоморфиз
ма 7 ) между п2 мерными линейными тополоrическими (см. лемму
13) пространствами EndRn и мnхn: если матричная функция
Х служит записью оператор функции Х в некотором базисе, то
ее производная Х служит записью оператора Х в том же базисе.
Кроме Toro, для таких функций будут верны все обычные прави
ла для взятия производных или пределов 8 ).
Лемма 41. Матрица Х решений CUCтeM'bt (37) и тол'Ьх;о она
о'На удовлетворяет маmри'Ч'Ному диtj4Jере'Нциал'Ьно.му урав'Не'Нию
"
Х == A(t)X, t Е 1.
(40)
<] По формуле (38) уравнение (40) равносильно следующему
(хl,...,х n ) == (A(t)Xl,...,A(t)x n ) {==} Xi == A(t)Xi, i == 1,...,п.
[>
3.5. Оператор Коши
системы (37), или оператор сдви2а, XfI;, s): Rn ------+- Rn это опера..
тор, удовлетворяющий для заданной пары t, s Е 1 равенству
X(t,s)x(s) == x(t), х Е ЕА.
(41)
Здесь пространство Rn абстрактное линейное, т. е. не обяза
тельно координатное. Более Toro, оператор Коши, по определе
нию, замечателен своим е стественным rеометрическим смыслом,
6) Как и вектор Функции.
7) Определяемоrо базисом в R n .
8)Такие как производная или предел суммы, произведения (композиции
операторов), вынос постоянноrо множителя (вектора, матрицы, оператора)
и т.п.
53
который позволяет формулировать и доказывать утверждения с
ero участием, не прибеrая к координатной записи.
Лемма 42. Равенство (41) одноз'На'Чно задает лu'Неu'Нъtй He
въtРОЭlCдеННъtй оператор, nрu'Че-м для любъtХ t, s, r Е 1 сnраведлu
Bbt следующие свойства:
а) X(t, t) == 1 тождестве'Н'НЪtЙ оператор;
Ь) X(t, s) X(s, т) == X(t, т);
с) X l(t,s) == X(s,t).
<] 1. Про верим корректность определения: для любоrо а Е Rn
существует единственное решение х Е ЕА, для KOToporo x(s) == а,
поэтому значение X(t, s)a == x(t) определено однозначно.
2. Проверим линейность: пусть аl == Xl(S), а2 == X2(S), причем
Хl,Х2 Е ЕА, тоrдадля любых С 1 , С 2 Е R имеем (с 1 х l +С2Х2) Е ЕА
и
X(t, S)(C1al + С2а2) == X(t, S)(C1Xl + C2X2)(S) == (C1Xl + C2X2)(t)
== C 1 X l(t) + C2X2(t) == C1X(t, в)аl + C 2 X(t, s)a2.
3. Про верим свойства:
а) для всякоrо решения Х Е Е А имеем
X(t, t)x(t) == x(t) == 1 x(t),
откуда X(t, t) == 1;
Ь) ДЛЯ всякоrо решения х Е Е А имеем
X(t, в)Х(в, т)х(т) == X(t, в)х(в) == x(t) == X(t, т)х(т),
откуда X(t, s)X(s, т) == X(t, т);
с) ДЛЯ всяких чисел t, S Е 1 имеем
X(t, s)X(s, t) == X(t, t) == 1,
откуда получаем X l(t, s) == Х(в, t), а заодно и то, что оператор
X(t, s) невырожден. [>
Матрица оператора Коши есть не что иное как фундаменталь
ная матрица, нормированная в начальный момент, что, в частно
сти, и утверждает следУющая
Лемма 43. ЕслиХ(.,.) .матрица оператора Коши cucтe.мbt
(37) в 'Нех;оторо-м базисе в Rn, то:
54
1) для любой фу'Ндаме'Нталъ'Ной матри'Ц'ЬL Х ( .) имеет место
nредставле'Нuе
X(t,s) == X(t)X:"" l (s), t,s Е 1;
2) для люБО20 фи'К:сирова'Н'НО20 з'На<че'Нuя s Е 1 матрu'Чна,я
фунх;ци.я Х ( ., s) и толъх;о о'На есть -матрица реше'Ний Х (.) с 'Нa
'ЧаЛЪ'Н'ЬtМ условие-м Х(в) == Е.
<1 1. Если Х фундаментальная матрица, то ДЛЯ любоrо реше--
пия х Е Е А существует такой вектор с Е R n, что Х == Хеи
(X(t)X l(S») х(в) == X(t)X l(s)X(s)c == X(t)c == x(t),
поэтому X(t)X l(s) == X(t, в).
2. С одной стороны, если Х матрица решений и X(s) == Е
невырождена, то Х фундаментальная маТрИI а и
X(t, в) == X(t)X l(s) == X(t).
с друrnй стороны, для любой фундаментальной матрицы Х име.-
ем
jt X(t, в) == :t (X(t)X l(s») == X(t)X l(s)
== A(t)X(t)X l(s) == A(t)X(t,s), t Е 1,
поэтому X(t, в) матрица решений (лемма 41) и Х(в, в) == Е. [>
Из п. 2 леммы 43, с учетом леммы 41, вытекает
Следствие 44. Для люБО20 фих;сирова'Н'НО20 з'На'Че'Нuя s Е 1
оператор Коши Х сuстеМ'ЬL (37) iL толъ1СО о'Н удовлетворяет one
раторному дисИере'Нциа.лъно-му урав'Нению
Х(., s) == A(t)X(., s), t Е 1,
с на'Чал/ь'н/ьt.М условием Х ( в, s) == 1.
3.6. Формула Лиувилля OCTporpaдCKoro
касается определителя BpoHCKoro решений линейной однородной
систе:м:ы в координатном пространстве R n .
Теорема 45. Для люб'btх решении Хl, . . . , Х п Е Е А имеет .ме-
сто формула
( Jtt tr А(т) dT
1V X1 ,...,x n (t) 1V X1 ,...,x n to) . е о ,
to, t Е 1.
55
<] 1. Докажем, что определитель BpoHCKoro W = WX1,...,x n УДО...
влетворяет дифференциальному уравнению
W == trA(t). W,
из KOToporo будет вытекать требуемое
W(t) == CeJtto tr А(т) dT, С == W(to).
2. Производную определителя матричной функции можно
считать по правилу
(det Х)" == det
-1
Х
х 2
х 1
+ . . . + det
n 1
Х
х n
х n
rде xi i я строка матрицы Х. Этот факт вытекает, например, из
представления определителя в виде знакопеременной суммы Bce
возможных произведений элементов матрицы, взятых по одному
из каждой строки и каждоI'О столбца
(Ео-( 1 )O-X (1) · . .. . X (n»)"
== Еи( l)(1X (l) . .. . . X (n) + ... + Еи( l)иX;(l) · ... · X (n).
3. Если a i i я строка матрицы А, то
х]
. 1
Х
х 1
а 1 х
х 1
йl==
+...+
+...+
х n
х n
х n
х n
аnХ
11 + + 1n
а1 Х ... аnх
х 1
+...+
а 1 х 1
1
х 1
n1 + + nn
а 1 х ... апХ
х 1
х n
+...+
== (al + . . . + a )
==trA.W.
х n
аnхn
n
х n
[>
Следствие 46. Если tr А = О, r{lJO определитель BpOHC'I'Coao
люБЪLХ решении Хl, . . . , х n Е Ел раве'Н 'l'COHcmaHme.
56
Таким образом, если след матрицы системы тождественно pa
вен нулю, то объем параллелепипеда, натянутоrо на ЛIобой репер
решений х 1 ( t ), . . . , Х n ( t ), взятых в момент t, не меняется с изме
нением времени t.
Определение 15. Оnределителъ det Х и след tr Хоператора
Х Е End R n это определитель и след ero латрицы Х, записан
ной в некотором базисе в R n .
Инвариантность этих характеристик оператора относительно
выбора базиса или, что то же, относительно матрицы L перехода
к новому базису вытекает, например, из такой же инвариантности
ero характеристическоrо МНО1'очлена
dеt(лЕ L ]XL) == detL l. dеt(лЕ х). detL
== dеt(лЕ Х) == л n tr Х . лn l +... + ( 1)n detX,
первый коэффициент KOToporo равен tr Х, а свободный член
равен ( l)ndetX.
Следствие 47. Если X(t, s) оператор Коши CUCтeM'bt (37),
то
det X(t, s) == ef: tr А( т) dT.
<J Если в Rn фиксирован базис, то (лемма 43) Х(., s) матрица
реmений, причем X(s, s) == Е, поэтому соrласно теореме 45 имеем
det X(t, s) == det X(s, s) . ef: tr А( т) dT == ef: tr А( т) dT.
[>
3.7. Общее решение линейной неоднородной си...
стемы
ест'Ь общее решение однородной систеМъt плюс 'Частное решение
неоднород'НоЙ систе,м,ъt, как утверждает следующая
Теорема 48. Для вСЯ'К;О20 решения Ха Е ЕА,Р справедливо pa
венство
ЕА F == БА + Ха.
,
ПОД суммой двух подмножеств 9 ) Ф1, Ф2 С Ф понимается MHO
жество
Ф1 + Ф2 == {f1 + 121 11 Е Фl, 12 Е Ф2},
9}Одно из которых в данном случае содержит Bcero один элемент.
57
<J Пусть ха Е ЕА,:Р, тоrда:
1) если х Е ЕА, то
(х + ха)" == х + ХО == Ах + (Аха + Р) == А(х + Ха) + Р,
поэтому (х + хо) Е EA,F;
2) если Х Е EA,F, то Х == (х хо) + Хо, rде
(х Хо)" == х хо == (Ах + Р) (Ахо + Р) == А(х ха),
Т. е. (х ха) Е Е А. [>
Следствие 49. Если Ха 'Ч,астное решеuие линейной 'НeoдHO
родной систе.мъ, (36), а Xl, . . . , Х п Фундаментал'Ьная система
решений соответствующей одuородной систе.мъt (37), то общее
решеuие системъ, (36) имеет вид
х == С 1 Х 1 ( t) + . . . + СпХ n ( t) + ХО ( t).
с абстрактной точки зрения, множество решений линейной
неоднородной системы представляет собой п MepHoe аффинное
пространство, или сдвиr n MepHoro линейноrо пространства
множества решений соответствующей однородной системы, т. е.
множество точек с операцией, называемой разностью и облада
ющей тем свойством, что всевозможные разности междУ точка
ми 1О ) образуют n MepHoe векторное пространство.
3.8. Метод вариации постоянных ДЛЯ системы
точнее, ДЛЯ линейной неоднородной (п х n) системы (36), исхо
дит из формулы обще1'О решения (39) соответствующей OДHOpOД
ной системы. Соrласно этому методУ, носящему имя Ла1'ранжа,
достаточно приравнять к неоднородности системы правую часть
упомянутой формулы, считая в ней постоянный вектор с ФУНК
цией от t и навесив над ней точку (знак производной).
Теорема 50. Для любой Фунда,менmал'Ьuои ,матри'Ц'Ьt Х ли
нейной однородной систе,м'Ь, (37) и вех;тор фун'К;'Ции с: 1 R n
справедливо утвер:ждение
Хс Е ЕА,Р X(t)t(t) == F(t), t Е 1.
10) Даже при фиксированной вычитаемой точке.
58
<] Имеем
ХСЕЕА,Р <==:} Хс+Хё==АХс+,Р <==:} Xt==F,
так как Х == АХ. t>
Соrласно следствию 39, при каждом t Е 1 матрица X(t) HeBЫ
рождена, а значит, последнее уравнение в фОрl\fулировке теоремы
однозначно разрешимо относительно неизвестной ё:
c(t) == x l(t)F(t) c(t) == c(to) + ft: x l(T)P(T) dT
{==> X(t)c(t) == X(t)c(to) + Jt: X(t)X l(T)F(T) dT,
откуда по теореме 50 находи:м: специальное частное решение ли
нейной неоднородной системы (36)
Xo(t) == (t X(t)x l(7")F(7")d7", Xo(to) == о,
Jto
и, прибавив к нему решение соответствующей однородной систе
мы (37), получаем формулу!1) вариации постоянной для реше
иия задачи Коши, которую представляет
Следствие 51. Решение зада'1{и Коши для .ли'kеf1ной 'Нeoд'Нo
родной cucт,eM'bL (36) с на'1{аЛ'Ь'Н'ЬtМ условием (25) задается фор
.м ул оu
х( t) == Х( t, to)xo + (t X(t, 7" )Р( 7") d7",
Jto
(42)
2де Х оператор Коши соответствующей однородной cиCmeM'bL
(37) .
3.9. Общее решение линейноrо уравнения
1. Обозначим через фn 1 линейное пространство 12 ) всех ска..
лярных (п 1) раз дифференцируемых функций f: 1 R.
11)Уже не зависящую от базиса в Rn.
12)в ero обозначение не входит фиксМРованный интервал 1.
59
Лемма 52. Канонu'1tеС'ICая замена (определение 11) осуществ...
ляет uзоморфизм лuиеU/l-{/ЫХ nространств
фn l 'ф (фn l) С Ф.
<J Если 11,12 Е фn l И С 1 , С2 Е R, то
Ф(С 1 11 + С212) ==
01/1 + 0212
olil + c 2 i2
== Сl('Ф!l) + С2(ФI2),
Clfin l) + C2f n 1)
поэтому рассматриваемое ото6ра)Кение Ф сохраняет линейные
операции, стало быть, образ 'Ф (фn l) линейноrо пространства
фn l тоже линейное пространство, а раз каноническая заме
на инъекция 13 ), то 'ф би€кция. [>
11. Для подмножеств Ea,l, Еа с фn -l, состоящих из всех He
продолжаемых реlltений линейноrо неоднородноrо уравнения
у(n) + аl (t)y(n l) + . . . + an(t)y == f(t), у Е R, t Е 1, (43)
и соотве"тствующеео однородНО20 уравнения
у(n) +. al(t)y(n l) +... + an(t)y == О, У Е R t Е 1, (44)
rде а (а1, . . . , а n ) и а, f Е C(I) (теорема 33), справедлив следу...
ющий аналоr теорем 34 и 48.
Теорема 53. МНОЭICесmво Еа . лu'Н,еuное пространство, npu
чем:
1) для JtюБО20 to Е I отображение
Фtо: У Е Еа (фу)(tо) Е R n
осуществляет изоморфизм лu'НеU'НЪLХ npocrnpaHcme Еа и Rn;
2) для вСЯ-К;ОlО решения УО Е Ба,! справедливо равенство
Еа,/ ;;;:; Ео. + Уо.
13)см. п.3 доказательства леммы 27.
60
,<] 1. Отображение
'Фtо == (<Pto О 'Ф I Еа ): Еа ------t R n
есть изоморфизм линейных пространств в силу следУЮЩИХ двух
обстоятельств:
а) если А матрица линейноrо уравнения (44) (определение
12), то отображение
ФIЕ а ,: Ба ------t БА
осуществляет изоморфизм линейных пространств, так как MHO
жество Еа == ф l(ЕА) С фn l (лемма 27) прообраз линейноrо
подпространства Е А С Ф (фn l) при изо !орфизме (лемма 52) ли
нейных пространств фn l И Ф (фn l), а значит, кстати, тоже
линейное пространство;
Ь) отображение
l.fJto : Е А ------t R n
И30 fОрфИ3М линейных пространств (теорема 34).
2. В обозначениях определения 12 по лемме 27 и теореме 48
1/1
имеем: Еа,! EA,F биекция, 'Фуо Е EA,F И
Еа,/ == ф l EAtF == 'Ф 1 (Е А + 'ФУо) == 'Ф 1 БА +'Ф l('Фуо) == Ба +Уо.
[>
111. Попутно было доказано
Следствие 54. Если А матрица лuнеUНО20 урав'Нен'U.Я (44),
то оrnо6раже'Нuе
Еа БА
осуществляет изоморфизм ли'НеU'Н'ЬtХ пространств.
Из теоремы 53 получаем
Следствие 55. Размер'Ность пространства решений ли'Неи
НО20 од'НороднО20 уравненuя n 20 nоряд1\;а рав'На n.
Определение 16. Любой базис Уl, . . . , Уn В пространстве Еа
реIIlений линейноrо однородноrо уравнения (37) называется ФУН-
да-м,ентал'Ь'Нои систе-м,ой ero решений.
Следствие 56. Фу1-tда.ментаЛ'Ь'Н'Ьtе систе-м,'Ье реше'Ний лu'Ней
'НО20 одпородНО20 уравне'Ния (44) существуют. Если Уl,. . . , Уn
61
фундаменmал'Ьная система решений од'Нородноео уравнения (44),
а уо 'Частное решение неоднородиоео уравнения, (43), то об1 ие
решения этих уравнений имеют, соотпветственно, вид
у == C 1 Yl(t) +... + Cnyn(t) и у:=: C 1 Yl(t) +... + Cnyn(t) +yo(t).
<J Фундаментальную систему реmений однородноrо уравнения
образуют, например, решения
1)/' 1 1)/' 1
У 1 :=: 0/ to е 1, · . · , у n == 0/ to е п ,
если только to Е 1, а el,..., е п базис в Rn. [>
ТаКИЬ1 образом, как и для линейных систем, общее решение
линеиноео 'Неоднород'НО20 уравнения ест'Ь общее решение oдHopoд
НО20 уравнения плюс 'Ч,астное решение 'Неод'Нородноео уравие'J-tия.
3.10. Определитель BpoHCKoro скалярных функ..
u
ции
11,. . ., 1п Е фп 1 это функция
Wfl,...,fn(t) == WФfl,...,wfn(t) ==
fl(t)
il(t)
fn(t)
in(t)
fAn l) (t)
t Е 1.
11n 1) (t)
1. Утверждения о связи опредеJIителя BpOHCKOrO с линейной
зависимостью скалярных функций аналоrичны соответствующим
утверждениям для вектор Функций (С1\1. п.3.3).
Лемма 57. Если фу'Н 'Ции 11, . .., fn Е фп 1 линейно зави
CUM'bt, то
w ( t ) == О
!1,""!n ,
t Е 1.
<] Если функции 11,.." 1п Е фn l линейно зависимы, то
вектор--функции 'ф 11, . . . , ф f n тоже линейно зависимы (лемма
52), ПОЭТО1\1У Wfl,...,fn == W Ф fl,...,Фfn == О (лемма 37). [>
Обратное к ле1\1ме 57, вообще rоворя, неверное, утверждение
справедливо для решений линейно1'О однородно1'О уравнения, бо
лее Toro, имеет rvlecTo
62
Теорема 58. Если Уl, . . . , Уn . Е Еа, то следующие утвержде
нил Э1СвивалентН'Ьt:
1) фу'Н,'х;'Ции Уl, . . . , Уn линейно зависимъt;
2 ) о.
Уl,...,Уn ,
3) W y1 ,...,yn (to) == О для не1СотОрО20 to Е 1.
<1 Настоящая теорема превращается в теорему 38 блаrодаря то--
му, что определители BpoHCKoro для функций
У1, . . . , Уn Е Ба и ФУ1"", ФУn Е БА
совпадают по определению, а высказывания об их линейной зави
си:м:ости эквивалентны, так как 'Ф изоморфизм линейных про--
странств Еа и ЕА (следствие 54). [>
11. Формула Лиувилля Остроrрадскоrо для линейноrо oд
норОДНО1'о уравнения принимает следующий вид.
Теорема 59. Для люБЪtХ решений Уl,. . ., Уn Е Ба имеет Me
сто фор.Аtула
W Y1 ,"',уп (t) == W Y1 ,"',уп С tO) . е h: аl С т) dr, to, t Е 1.
<J Действиrrельно, в силу теоремы 45 и paBeHcrrBa tr А == al,
вытекающеrо из определения (34), имеем
ИI, ( "t ) . ИJ: ( t ) ИJ: ( t ) . e h : tr АС т) dr
Уl,.",Уn 'ФУl,"','Фуn 'ФУl,''','Фуn о
== ИJ: ( t ) · е Jt: аl С т) dr t 1
Уl,...,Уn О , о, t Е .
t>
3.11. Восстановление линейноrо уравнения по
фундаментальной системе ero решений
Чтобы данные n функций образовывали фундаментальную систе
му HeKoToporo линейноrо однородноrо уравнения n ro порядка,
необходимо, чтобы они были n раз непрерывно дифференциру
емы и их определитель BpoHCKoro ниrде не обнулялся. Этоrо и
достаточно, как показывает
Лемма 60. Если с'К;алярнъtе Фун'К;ции 11,. . . ,1n Е Cn(I) yдo
влетворяют условию
W f1 ,...,fn (t) =1= О, t Е 1,
63
то они образуют фундаментальную систему решений линейно
80 од'Нород'НО80 уравнения n 80 nоряд'К;а
fl(t)
fn(t)
f n l) (t)
fA n ) (t)
у
1
Wfl,...,fn (t)
fl(n l) (t)
fi n ) (t)
y(n 1)
у(n)
== о.
(45)
<1 1. Если разложиrrь определитель (45) по последнему столбцу и,
разделив на коэффициент W/1,...,/n (t) =1- о при старшей производ
ной у(n), приравнять к нулю, то получится линейное однородное
дифференциальное уравнение n ro порядка относительно у.
2. Каждая из функций !i' i == 1,..., n, удовлетворяет получен
НОМУ уравнению, так как при подстановке у == fi ( .) определитель
(45) обнуляется. А все вместе они, соrласно теореме 58, образуют
фундаментальную систему решений. t>
Следствие 61. Если сr.;аЛЯр'Н'Ьtе фу'Н/ 'Ции 11, . . . , fn Е cn l(I)
удовлетворяют условиям
w ( t ) О
/1 ,...,fn ,
W/l'...'/n l (t) =1= О,
t Е 1,
то они линеuно зависимы.
<] Из данных условий вытекает, что функция f n частное реше
ние линейноrо однородноrо уравнения (n 1. ) ro порядка с фунда
ментальной системой решений 11,' . ., fn l, а значит, их линейная
оболочка содержит эту функцию. [>
3.12. Метод вариации постоянных для уравне..
пия
точнее, линейноrо неоднородно1'О уравнения (43) n ro порядка, в
качестве отправной точки использует формулу
у == Yl(t)Cl +.. .+yn(t)C n Y(t)c, с = (::) , У = (Уl,... ,Уn),
общеrо решения соответствующеrо однородноrо уравнения (44),
образуемую по фундаментальной системе ero решений Уl, . · . , Уn
64
(следствие 56), и состоит в том, чтобы, считая в этой формуле
постоянные С 1 ,.. ., СП функциями от t, записать для их произ
водных систему специальноrо вида.
Теорема 62. Если Уl,. . . , Уn Фундаменmа.лъна-я система
решений ли'НеuиО20 однород'НО20 уравнения (44), то для любой
ве тор фу'Н'К;'Ции с: 1 Rn справедливо утверж;деиие
Y(t)t(t) == о
y(n 2)(t)c(t) == О
y(n 1) (t)c(t) == j(t),
<J Если А матрица линейноrо уравнения (43») а [? ero BeKTOp
ная неоднородность (определение 12), то по теореме 50 и лемме
27 из системы (46) получаем
t Е 1, ===:}
Ус Е Ea,f.
(46)
('Фу!, . . . , 'Фуn)ё == F ===> ('Фу!,..., 'ФУn)С Е ЕА,Р
===} ф l ((-фу!, . . . , 'Фуn)с) Е Еа,! ===> у с Е Еа,/.
[>
Система (46) разрешима относительно неизвестной С, так как
при каждом t Е 1 матрица ее коэффициентов ('Фу! (t), . . . , 'Фуn(t))
не вырождена. При n == 1 эта система превраIl ается в одно ypaB
нение
Yl(t)C 1 == j(t),
а при n > 1 имеет вид
Уl (t)C: 1 + . . . + yn(t)C n == О
yin 2) (t)C 1 + . . . + y n 2) (t)C n == О
Yln l) (t)C 1 + . . . + y n 1) (t)C n == f(t)
и является лишь достаточным, но вовсе не необходимым условием
Toro, что функция Уо = УIСl +.. .+УnСn решение неоднородноrо
уравнения.
3.13. Нули решений уравнения BToporo порядка
1. Изучается вопрос о количестве или частоте нулей всякоrо
не1iулевоео 14 ) решения линейноrо однородноrо уравнения BTopo1'o
14)Точнее, не то:ж:десmве1t1tо нулевО20, всюду ниже по умолчанию.
65
порядка
jj + p(t)y + q(t)y == О, У Е R, t Е 1, р, q Е C(I). (47)
Свойство нулей решения быть соседними делает корректным 15 )
следующая
Лемма 63. Вся""ое решение уравнения (47) иа любом отрезt;;е
К С 1 имеет лиш'Ь 'Ко1-tе'ч,'1-tое 'Число нулей.
<] Пусть, напротив, некоторое ненулевое решение у имеет на OT
резке К бесконечно MHoro различных нулей. Тоrда некоторая их
последовательность tl, t2,. . . , скажем, cTporo возрастая, СХОДИТСЯ
к некоторому числу to Е К, и по теореме Ролля на каждом интер
вале (tk; tk+l), k Е N, существует точка Sk, в которой Y(Sk) == о,
поэтому
y(to) == Нт y(tk) == О, y(to) == Нт Y(Sk) == о,
k ос k..-...+ 00
а значит, соrласно теореме 28 существования и единственности,
решение у совпадет с нулевым решением, имеющим в точке to те
же начальные условия. Противоречие. [>
11. Если дополнительно предположить, что
р Е C(I),
(48)
то при исследовании нулей решений можно без оrраничения общ
ности считать, что р == О, как показывает следующая
Лемма 64. Уравнение (47), при условии (48), с nомощ'Ью
не'К;оторой замен 'bt
у == a(t)z, a(t) i= О, t Е 1,
приводится 'к виду
z + r(t)z == О, r Е С(!).
(49)
<] Из равенств
у == az, iJ == Q.z + az, jj == az + 2az + az
15)Кстати, как раз у нулевоrо решения нет ни ОДНОЙ пары соседних нулей.
66
получаеl\1, что в левой часrrи уравнения
i) ру + qy == аЕ + (2а + pa)z + (а + ра + qa)z
коэффициент при z равен нулю, если
1 r t ( ) d
2а + ар == О {=:=> a(t) == Се 2 Jto р Т т, t Е 1,
rде С > О и to Е 1 фиксированы, причем тоrда
2. ." 2 ·
а == а 2 Р ' а == ар ар ===> r == а + ра + qa == q р Е C(I).
4 2 а 4 2
[>
3.14. Теорема Штурма
или теорема сравнения, позволяет по коэффициентам уравнений
ii + r(t)y == О и z + R(t)z == О,
(50)
СУДИТЬ О взаимном расположении нулей их реПlений и фактиче
ски утверждает, что чем больше в уравнении указанноrо вида K
эффициент при неизвестной функции, тем чаще колеблются ero
решения. Более точно, справедлива
Теорема 65. Если 'К;оэффuцuенm'Ьt уравиении (50) удовлетво
ряют 1tepaeeucтey
r(t) R(t), t Е 1,
(51)
то Me:JfCay (нестроео) любъt.ми нулями вСЯ'К;О20 решения у есть
хотя б'Ьt одии нулъ вСЯ'Х;О20 решения z.
<] Пусть решение z не обнуляется ни в одной точке CTporo междУ
соседними нулями t 1 < t2 решения у, ТО1'да обе Функции 16 ) у И
Z имеют на интервале (tl; t2) фиксированный знак, скажем для
определенности, положительный (если для какоrо либо решения
это не так, заменим ero ДРУ1'им .решением, противоположным по
знаку):
y(t), z(t) > О, tl < t < t2,
y(tl,2) == о, y(tl,2) i= о
16) Непрерывные.
67
(иначе, по теореме 28 существования и единственности, У == о).
Поэтому
y(tl) > о > y(t2),
Z(tl,2) о
и с учетом равенств
(R r)yz == yz у? == (yz yz)"
имеем
о Jt t 1 2 (R(t) r(t»)y(t)z(t) dt == (y(t)z(t) y(t)z(t») 1::
== y(t2)Z(t2) y(tl)Z(tl) О,
поэтому последнее 17 ) неравеНСТБО в цепочке обращается в paBeH
ство и Z(tl,2) == О, что и тре60валось доказать. t>
Фактически в процессе доказательства теоремы 65 получено
более сильное
Следствие 66. Если 'К;оэффuциентъt уравнений (50) удовле
творяют неравенству (51) и стРО20 Me:JlCay нулями tl < t2 pe
шения у 'Нет 'Ни одНО20 нуля решения Z, то tl, t2 соседние 'Нули
обоих решении, причем
r(t) == R(t), tl t t2.
Следствие 67. Нули вСЯ'Х:'lLХ двух линейно завиСUМЪLХ реше..
ни'й уравне'Ния (47), удовлеmворяюще20 условию (48), совпадают,
а линеu'Но независиМъtХ nере-м,ежаются 18 ).
<1 1. Если два решения обнуляются в некоторой общей точке, то
они линейно зависимы (так как их определитель BpOHCKoro в этой
точке равен нулю), следовательно, их нули полностью совпадают.
2. Если же общих нулей у этих двух решений нет, то к ним,
как к решениям двух одинаковых уравнений, к которым с ПОМО
щЬЮ леммы 64 приводится исходное уравнение, можно применить
теорему 65, соrласно которой между (в данном случае cTporo) HY
лями одноrо решения имеется хотя бы один нуль друrоrо. t>
17)Как, между прочим, и первое.
18)т. е. CTporo между любыми двумя нулями одноrо решения есть хотя бы
один нуль друrоrо решения.
68
3.15. Оценки колеБJIемости
1. Из теоремы сравнения 65 выводятся оценки 'Частот'Ьt нулей
решений уравнения (49).
Следствие 68. Если въtпо.лнено неравенство
r(t) О, t Е 1,
то па интервале 1 вся'К;ое решение уравнения (49) имеет 'Не более
од'НО20 нуля.
<:J Если неравенство выполнено, но KaKoe TO реluение уравнения
(49) имеет на интервале 1 два нуля, то по Teope:rvle 65 между ни
ми имеет нуль и всякое решение уравнения z == О, в частности,
решение z == 1, что неверно. [>
Следствие 69. Если для не'К;отОрО20 w > О Въtnолнено 'Нepa
венство
r(t) w 2 или, 'Наоборот, r(t) w 2 , t Е 1,
то на интервале 1 люБЪtе соседние нули t1 < t2 вСЯ1СО20 решен'ИЯ
уравнения (49) удовлетворяют о'Це'Н'Ке
t2 t} 'Л'jw или, соответственно наоборот, t2 t} 7r /w.
<:J 1. Расстояние между любыми соседними нулями всякоrо pe
шения уравнения 19 )
z + w 2 z == О z == С} coswt + 01 sin(,.c)t, С}, 02 Е R,
-<===> z == А СОБ (wt + ер), .А, ер Е R,
равно 7r j w, причем, подбирая параметр ер, можно располаrать эти
нули в любом наперед заданном месте интервала 1.
2. Если выполнено первое из данных HepaBeHC r l'B, то соседние
нули всякоrо решения у удовлетворяют первой оценке, так как
иначе
tl < t2 < tl +7r/W
И обе 1.'очки t} и t2 лежат внутри HeKoToporo интервала длины
7r/w, поэтому решение z с нулями в концах этоrо интервала не
имеет нулей на отрезке [tl, t2], что противоречит теореме 65.
19)с nостояН,'Н,'ы.ми коэффициентами (см. п.4.10).
69
3. Если выполнено второе из данных неравенств, то соседние
нули всякоrо решения у удовлетворяют второй оценке, так как
иначе
t2 > t1 + 7r/W
и реПIение с соседними нулями tl И t2 не имеет нулей на некотором
отрезке длины 7r / w, концы KOToporo являются нулями HeKoToporo
решения Z, что противоречит теореме 65. t>
11. Как мы видели (следствие 69), свойство уравнения (49),
состоящее в том, что вся'Х:ое еео решепие имеет па nоложител'Ь
нои полуоси бесх;оне'Чпо МНО20 'Нулей, обеспечивается уже OTдe
ленностью от нуля положителеноrо коэффициента Т. Следующая
теорема Кнезера20) устанавливает, с какой скоростью 21 ) может
убывать этот коэффициент к нулю при t 00, не нарушая YKa
занноrо свойства.
Теорема 70. Если для да'ННО20 лу'Ча 1 (to,oo), to > О, B'bt
nолиено HepaeeHcrпBO
1
r ( t) 4t 2 ' t Е 1,
или, наоборот, для нех;отОРО20 е > О неравенство
l+e
r(t) 4t 2 ' t Е 1,
то 'На луtt.tе 1 вся'Х:ое решение уравнения (49) имеет не более oдHO
20 нуля или, соответственно наоборот, бесх;онеtt.tНО МНО20 нулей.
<J 1. Обозначим т == ln t и для каждоrо б О рассмотрим ypaB
нение 22 )
.. 1 -+ 482 == О 4 d2 Z 4 dz ( 1 4 2 ) == О
z + 4t 2 Z {=::::> dT 2 dr + + и Z
Z == { еТ/ 2 (С 1 СОSБТ+С 1 SiП8Т), 8>0, С С R
/ 2 ( С ) 1, 2 Е ,
е Т С 1 + 1 т , 8 == О,
имеющее частное решение
Z6 ( t) == vi . cos ( 81n t) , t Е 1.
20)уточняющая следствие 68, а в чем то и следствие 69.
21)Измеренной в некоторой специальной шкале.
22)Уравнение Эйлера, сводящееся экспоненциальной заменой времени к
уравнению с постоянными коэффициентами (см. задачу XII из п.4.13).
70
2. Если выполнено первое из данных неравенств, но KaKoe TO
решение у уравнения (49) имеет на луче 1 два нуля, то по теореме
65 между ними имеет нуль и решение zo(t) == y't, что неверно.
3. Если выполнено второе из данных неравенств, то по теореме
65 всякое решение у уравнения (49) имеет нуль между любыми
нулями решения Z6, 8 = {j , которых бесконечно MHoro. t>
3.16. Краевая задача
ставится так: по заданной правой 'tlacmu, состоящей из скалярной
функции f Е С(!) и чисел 'Р1, 'Р2 Е R, найти решение уравнения
jj + p(t)y + q(t)y == f(t), У Е R, t Е 1, р, q Е С(!), (52)
удовлетворяющее двум paeB'btM условиям
aiy(t i ) + !3iy(t i ) == 'Pi, (ai, (Зi) 1= (О, О), ti Е 1, i == 1,2, (53)
(соответствующая одиородиая эадача это задача с нулевой пра
вой частью). Краевую задачу назовем 'Корре'К;тиой 23 ), если она
для любой правой части имеет единственное решение, и иe'К;op
ре'К;тиои, если для каждой правой части она либо не имеет реше
ний, либо имеет их бесконечно MHoro.
Заметим, что лоrически возможна ситуация, коrда задача при
одних правых частях имеет единственное решение, а при друrих
нет, т. е. она в смысле данноrо определения ни корректна,
ни некорректна. Однако описанная ситуация лишь плод нашей
фантазии, как показывает следующая, называемая теоремой об
альтернативе,
Теорема 71. Краевая зада'tlа либо 'К;орре'К;тиа, либо He'К;op
ре'К;тна.
<J Краевые условия (53) накладывают на общее решение
у == yo(t) + С 1 У1 (t) + C 2 Y2(t), С 1 , С2 Е R,
линейноrо неоднородноrо уравнения (52) следующие оrраничения
ai (Yo(ti) + C 1 Yl (ti) + C 2 Y2(ti)) + !3i (YO(ti) + C 1 Yl (t i ) + C 2 Y2(ti))
== 'Pi {=::=} ai C 1 + b i C 2 == d i (i == 1,2),
23) Обычно В понятие корректности задачи включают также и неnрер'ЫБНУЮ
зависимосmъ ее решения от правой ч.асти.
71
rде коэффициенты в левой части последней системы не зависят
от выбора правой части f,4'1,2, так как полностью определяют
ся левой частью краевой задачи и двумя линейно независимыми
решениями соответствующеrо однородноrо уравнения (52):
ai == QiY1 (ti) + {ЗiУ1 (ti), b i == QiY2(ti) + {ЗiУ2(ti), i == 1,2.
Поэтому определитель матрицы последней системы либо Bce
rда 24 ) не равен нулю, либо все1'да равен нулю. В первом случае
эта система разрешима однозначно, а во втором наоборот. r>
Следствие 72. Краевая зада'tlа 1);орре1);тна т02да и толъ о
тО2да, 1);О2да соответствующая однородная зада'Ча 1J,Meeт толъ
1);0 нулевое решение.
3.17. Вопросы и задачи для самостоятельноrо
решения
1. Какое наименьшее количество решений уравнения (43) нуж
но знать, чтобы по ним можно было восстановить все остальные
ero решеиия, ие зиая caMoro уравнения?
11. Доказать, что в методе вариации постоянной для ypaBHe
ния (43):
а) импликация, обратная к (46), неверна;
Ь) при выполнеиии первых (n 1) равенств системы из ле
вой части импликации (46) последнее paBeHc'rBo равносильно ее
правой части.
111. Проверить справедливость явной формулы
Х (t, s) == e J : а( т) dr, s, t Е 1,
для оператора КОIПИ линейноrо однородно1'О уравиеиия 1'.1'0 по--
рядка
х == a(t)x, х Е R, t Е 1.
С помощью этой фОр IУЛЫ И формулы вариации постоянной (42)
выразить в случае n == 1 общее решение линейноrо иеоднородноrо
уравнения l ro порядка через ero коэффициенты.
24) Для всех правых частей краевой задачи сразу.
72
IV. !{акому операторному уравнению, подобному тому, что
приведено в следствии 44, удовлетворяет при каждом фиксир
ванном значении s Е 1 оператор Коши X(s,.) системы (37) как
функция BToporo aprYMeHTa?
У. Если ФУНКI{ИИ А: R .....-.t End Rn и f: R Rn Т пери
дичны, то и системы (37) и (36) называются Т nериоаи(ч/н/ыlми,, а
оператор Коши Х(Т,о) лине'йной однородной системы (37) и ero
собственные значения называются ее оператором мо'ltодро.мии и
.мулътиnли'К;атора.л-tu, соответственно. Доказать, что:
а) линейная однородная Т периодичная система (37) и леет
хотя бы одно ненулевое Т периодичное решение тоrда и только
тоrда, коrда хотя бы один из ее мультиплика'I'ОРОВ равен единице;
Ь) линейная неоднородная Т периодичная система (36) И lе
ет единственное Т периодичное решение тоrда и только тоrда, KO
rда все мультипликаторы соответствующей однородной системы
(37) отличны от единицы.
VI. Верно ли, что определитель Бронскоrо любых (k 1) раз
дифференцируемых функций 11,.,., lk: 1 R либо тождествен
но равен нулю на интервале 1, либо ниrде на нем не обнуляется?
Верно ли это утверждение для решений Уl, . . . , Yk Е Еа уравнения
(44) n ro порядка, {'де:
а) п == k;
Ь) n > k?
VII. Проверить, что следующие примеры опроверrают обрат..
ные утверждения к леммам 37 и 57 при n == 2 (t Е R):
Л(t) == ( ) , f2(t) == ( )
и
3 3
f1(t) == t , f2(t) == Itl ·
VIII. Доказать, что коэффициенты уравнения (44) BOCCTaHaB
ливаются по ФундамеНТ 1JЬНОЙ системе ero решений однозначно.
IX. Доказать, что если определитель BpoHCKoro скалярных
функций 11,.'., fn l Е Cn(I) не обнуляется ни в одной точке
интервала 1, то CYU.I;eCTByeT такая скалярная функция fn Е Cn(I),
что определитель BpOHCKoro W!l,...,!n также не обнуляется ни в
ОДНОЙ точке ЭТОI О интервала.
х. Доказать, что если для HeKOToporo натуральноrо k n
скалярные функции 11,..., fn Е Cn l(I) удовлетворяют при всех
73
t Е 1 условиям
Wfl,...,fn (t) == О, . . . , Wfl,...,fk (t) == О, WJ1,...,fk 1 (t) :1 О
(при k == 1 последнеrо условия нет), то они линейно зависимы.
XI. Доказать, что если k скалярных функций на интервале
1 являются аналитическими или служат решениями HeKoToporo
уравнения (44) n ro порядка, rде n k, то тождественное paBeH
ство нулю их определителя BpoHCKoro на каком либо интервале
J с 1 необходимо и достаточно для их линейной зависимости.
XII. Может ли какое либо ненулевое решение уравнения (44)
с непрерывными коэффициентами иметь на каКОМ JIибо отрезке
бесконечно MHoro нулей?
XIII. Перемежаются ли нули двух решений уравнения (47),
для одноrо из которых to точка максимума, а для дpyroro
точка минимума?
XIV. Доказать, что нули всяких двух линейно зависимых ре---
шений любоrо уравнения (47), даже не удовлетворяющеrо усло
вию (48), совпадают, а линейно независимых перемежаются.
ху. Имеет ли бесконечно MHoro нулей всякое решение ypaB
пения
.. 1 О О?
У +. 4t У == , t > .
XVI. Сколько решений имеет задача
у + у :=: f, у(О) == <р1, Y(7r) == 4'2,
при:
а) f == О, 4'1 == 1, 'Р2 == 2;
b)f==l, СР1==0, 4'2==2?
XVII. Верна ли теорема 71 об альтернативе ДЛЯ краевой за
дачи С теми же краевыми условиями и с линейным неоднородным
уравнением не BToporo, а:
а) первоrо порядка;
Ь) TpeTьero порядка?
74
4. Линейные уравнения и системы с по..
стоянными коэффициентами
4.1. Экспонента оператора
А Е EndRn это оператор, равный, по определению, сумме ряда
А2 АЗ 00
е А == I+A+T+6+". = L fk(A),
k==l
Ak l
fk(A) = (k 1)! '
А О = 1.
Корректность этоrо определения доказывает следующая
Лемма 73. Ряд э'Х;споненrпъt люБО20 оператора А Е EndRn
сходится абсолютно, nрu'Чем для люБО20 02ра'Нu'ЧеН'НО20 М'НОЭICе
ства М С End R n равномерно по А Е М.
<1 Свойство оrраниченности множества, а также факт абсолют
ной И равномерной сходимости ряда, как и собственно сумма, не
зависят от нормы в конечномерном пространстве End Rn (ле 1ма
13). Поэтому достаточно доказать утверждение, например, для
операторной нормы (банаховой, C I. п. 2.4): действительно, если
вир IIAII = а < 00,
АеМ
то
IIfk(A) 11 ==
Ak l
(k 1)!
k l
а
(k 1)! == fk(a),
00
причем L fk(a) == е а ,
k==l
откуда, по признаку Вейерштрасса, получаем утверждение Teo
ремы. [>
4.2. Связь экспоненты с линейной однородной
u
системои
х==Ах, XER n , tER,
(54)
(с nостоЯН'Н'Ьt.мu 'Х;оэффuцuента.мu) раскрывает
Теорема 74. Оператор Коши Х системъ" (54) удовлетвор.пеm
равенству
X(t, О) == e At , t Е R.
75
<] Соrласно следствию 44, доказываемое утверждение вытекает
из двух фактов: во первых, е А . О == Е И, BO BTOpЫX,
( 00 ) ' 00 00
(e At )" == €k(At) == (€k(At»)" == А €k(At) == Ae At ,
в силу выкладок 1 )
( ( At ) k l ) . { Ak ltk 2 )
( Е ( At )) ' == == (k 2)' == A€k 2 (At ,
k (k 1)! О,
k 2,
k == 1,
(почленное дифференцирование исходноrо ряда 2 ) законно, так
как ряд из производных ero членов соrласно лемме 73 сходится
равномерно на интервале (t 8; t + б) при любом 8 > О). [>
Из теоремы 74 с помощью следствия 47 получаем
Следствие 75. СтолБЦ'Ьt .матриц'Ь' e At образуют Фундамен
талъную систему решении CUCтeM'bt (54), а э'К;сnоненmа onepa
тора А удовлетворяет равенствам 3 )
е А == X(l, О),
det е А == е tr А .
4.3. Комплексификация линейноrо оператора
Пространство R11 естественным образом вкладывется в СП, а
действительный оператор А Е End Rn распространяется дО KOM
плексноrо А Е End СП .
Определение 17. ПОД 'К;омnле'К;сифU'ICациеи (деиствителъ1-tо
20) пространства Rn будем понимать С линейное пространство
СП == R n ЕВ iR n ,
представляющее собой множество векторов
z==x+iy, x,YER n ,
l)KoTopbIe можно было бы и не проводить, если бы заранее была известна
их справедливость в случае, коrда А . ЧИСЛО (Т. е. в случае n == 1, в котором
(e at )" == ae at ), так как для оператора, чисто алrебраически, выкладки те же.
2) Сходящеrося.
З) Первое из которых, кстати, можно принять за определение экспоненты
оператора А (через оператор КОUJИ системы (54)).
76
с 'JCо.мnоне'Н,тами х == Re z и у == 1т z, в котором, ПОМИМО покомпо
HeHTHoro равенства, СЛО;JfCенuя и умножения на действительные
числа, заданы также умножение на 'l'Cомпле'JCС'НЪLе 'Числа, OCHOBaH
ное на правиле 4 )
i(x + iy) == y + ix, х, у Е R n ,
и rк;омплех;сное сопряжение
х + iy == х iy, Х, у Е R n .
Подмножество
Re СП = R n еэ iO с СП
отождествим с исходным простраНСТБQМ R n. К о.мплеrк;сифих;ациеu
(действител'Ь'Ноzо) оператора А Е End Rn назовем 'Х;о.мn.ле-К;СН/Ьtu
оператор А: СП СП, задаваемый равенством
A(x+iy)==Ax+iAy, x,YER n ,
а ero сужение на множество Re СП обозначим через Re А.
Лемма 76. Пустъ СП 'Х;омnле'К;сифu-к;ацuя пространства
Rn, а А 'К;омпле-к;сuфu-к;ацuя оператора А Е End Rn. ТОеда cnpa
ведливЪt утвержде'Н,ия:
1) А Е EndCn и ReA == А;
2) СП n .мep'Нoe С ли'Н,ей'Ное пространство, nрu-чем любой
базис в R n базис и в СП, а .матрицы операторов А Е End Rn
и А Е End СП в :этом баз'u.се совпадают.
<] 1. Если С == а + ifЗ, а, (З Е R и х, у, ХЗ' У] Е Rn, j == 1, 2, то
A(Cz) == А(ах (зу) + i(ay + (зх))
== (аАх (3Ау) + i(aAy + ,8Ах) == C(Az), z == х + iy,
A(z1 + Z2) == А( (Х1 + Х2) + i(Y1 + У2))
== (АХ1 + Ах2) + i(AYl + АУ2) == AZ 1 + AZ2, Zj == хз + iYj,
(ReA)x == А(х + iO) == Ах + iAO == Ах.
2. Пусть еl, . . . , е n базис в Rn и C j =:: О'., + i{3j (j == 1, . . .., п).
Тоrда:
4)и доопределяемое с помощью аксиом линейноrо пространства на все
остальные комплексные числа.
77
а) любой вектор z Е сп раскладывается по этому базису,
так как если Rez == аlе] +... + апе п И Imz == {Зl е l +... + {Зпеп,
то
z == (аl е l + ... + апе п ) + i({31 e l + .. . + (3пеп) == С1еl + .. . + Спе п ;
Ь) система векторов еl, . . . , е п С линейно независима, так
как если С1еl + . . . + Спе п == О, то
(аl е l + . . . + апе п ) + i(jЗlеl + . . . + (3пеп) == 0+ iO
====} аl е l + . . . + О!.пеп == {31 е l + . . . -+ fЗnеп == о ==> O!.j == (3j == О,
откуда C j == О, j == 1, . . . , n.
Поэтому е}, . . . , е п базис в сп, причем
Ае; == A(ej + iO) == Ае; + iAO == Aej,
значит, матрицы операторов А и А одинаковы. t>
4.4. Комплексификация линейной системы
(54) приводит ее к 'Х;омn.ле'Х;сuфuцuрова'Н'Ной линейной однородной
системе
z == Az, z Е сп, t Е R,
(55)
rде сп И А комплексификации пространства R п и оператора
А Е End R п соответственно (см. определение 17), а производная
комплексной вектор функции5) z == x+iy вычисляется по формуле
. (t) 1 . x(t + h) x(t) + - 1 . y(t + h) y(t) . (t) + .. (t)
z 1Ш Z 1т х zy.
h ....... О h h ....... О h
Доказательства сформулированных ранее теорем о действи
тельных линейных системах практически дословно переносятся
на комплексный случай. В частности, все реПIения КО!vlплексной
линейной системы с постоянными коэффициентами определены
на всей прямой и образуют n MepHoe С линейное пространство, а
ее оператор Коши также совпадает с соответствующей экспонен
той (теорема 74). Для множеств
&А = ЕА, Ret: A = {Rez(.)1 z Е ЕА}
5) Правда, от действительноrо aprYMeHTa, блаrодаря чему проиэводная
определяется лишь R линейной структурой пространства СП.
78
справедлива
Лемма 77. Если А Е EndRn, то
ЕА == Re&A с &А.
<J 1. Если х Е ЕА, то
х == Ах + iAO == А(х + iO) == Ах х Е ЕА, причем Rex == х
а значит, х Е ReE A , поэтому Е А С (ReEA n Е А ).
2. Если z Е ЕА, то
(Rez)' + i(Imz)' == z == Az == ARez -+ iAlmz ===> (Rez). == ARez,
а значит, Rez Е БА, ПОЭТО1vlУ ReEA с ЕА и, С учетом доказанноrо
в п. 1, даже ReEA == ЕА. 1>
Следствие 78. Если ве'Х;тОр фУН't{;ции Zl, . . . , zn дeйcтви
теЛЪ'Н'Ьt и образуют фундаментальную систему решений для
'Х;о.лtn.ле'Ксифи'Цирован'Ноu линеuной однородной систе.л,t'Ьt, то и
для исходной тоже.
<1 Решения Zl,. .., zn Е ReEA == ЕА даже С линейно независи
мы, а тем более R линейно независимы, поэтому образуют базис
в ЕА. t>
4.5. Жорданова форма матрицы
известна из курса алrебры. Эту, вообще rоворя, комплексную
форму матрицы действительноrо oneparropa описывает
Теорема 79. Маrприца люБО20 оператора А Е End СП, nолу
чеН'НО20 в результате 'Х;омnле'Х;сифu'Х;ации оператора .А Е End Rn,
в не 'Котором, наЗ'Ьtваемом {)ICорда'НовЪLМ, базисе ()ICOpaaHOBa,
т. е. имеет 'Клеточно диа20наЛЬ'l-t'Ьtи вид, причем:
1) 'Каждая ЭfCорданова 'к;лет'Х;а
л 1
Jл,m == О л
о о
о
1
л
79
nоряд'Ка m соответствует ие'Х;оторо.му собствеu'Но.му значению
л оператора А и nорождается своеи nодсисте.мои ве'Х;торов
h 1 ,. .. , h rп alCopaauoea базиса, т. е. образуется к;а1С (т х т) ,мaт
рица сужения оператора А на лuuеuную 060ЛО'Ll?\'У этих вe?\'тo
ров;
2) если J л ,ml' . . . , Jл,mj все 1Слет1СU, соответствующие соб
стве'Нно,му значенuю л 1Срат'Ности k, то
тl + . . . + mj == k;
3) если л Е R, то 'Х;а:жда.я 1Слет'Х;а Jл,m деиствите.л,'Ь'l-tая
и nорождаеmся подсистемои rпar.;;JfCe деисrпвитеЛ'Ь'Н'ЬtХ век;торов
h 1 , · . . , h m ;
4) если л tj. R, то 'Х;лет1\,U, соответствующие значения,м л 1.l
л , разбиваются 'На nap'bt r.;о.мnле'К;сно СОnрЯ{)ICеН'Н'ЬLХ 'К;леmо1С Jл,m
и JX,m = J)...,m , 1COrnOp'bte nорождаются та'Х;же 1Со.мnле1\,С1iО соnря
же'НU'Ьtми nодсисте.ма.ми ве1Сторов h 1 , . . . , h rn и h 1 , . . . , h m .
4.6. Вычисление экспоненты матрицы
оператора А Е End СП (обозначаемой здесь также через А) воз
можно С помощью теоремы 79 о при ведении матрицы к жорда
новой форме и следующих лемм, блаrо,даря которым матрицу А
достаточно привести к жордановой форме И, взяв экспоненту от
каждой жордановой клетки, вернуться к исходному базису.
Лемма 80. Если .матрица А == ( :1 11 ) ?bJI,етО'Ч
е А1 О
о
).
'Но диа20налъ'На, то е А ==
е А!
<J Матрица е А вычисляется по определеНИIО:
00
2.: tk(A) ==
k==l
ею
Е Ek(A 1 )
k==l
о
е А1
о
о
00
Е fk(A l )
k==l
о
е А!
[>
80
Лемма 81. Если АВ == ВА, то е А + В == е А . еВ.
<] Ряды
А А2 АЗ
е ==Е+А+ 2 + в +...
и
в В2 ВЗ
е ==E+B+ + +...
2 6
СХОДЯТСЯ абсолютно, поэтому рЯД, являющийся ИХ произведением,
тоже СХОДИТСЯ абсолютно, и ero члены можно сrруппировать как
уrодно, например, в однородные суммы Е, А + В,
(А + В)2
2
А2 -1 АВ + БА + В 2 А2 В 2
== . Е + АВ + Е. ,. . . ,
2 2 2
и чисто алrебраически, как в случае числовых рядов 6 ), получить
ряд ДЛЯ экспоненты суммы е А + В . [>
ЛеМl\1а 82. При rк;аждОJvI7) t Е R справедливо равенство
1 t Е т ( t)
eJ)...'m t == e).t О 1. tm l
€m(t) = (т 1)!'
t
О О 1.
<] Пусть Е единичная (т х т) матрица и N = J).,m лЕ, тоrда
еJл,тn t == e).tE+tN == e).tE . e tN == e),t(E + tN + . . . + fm(t)Nm l),
так как EN == NE, Nei == ei l, rде
\,. ,
( 81 )
ei ==
8 i
m
8} == { :
J == ,
j f= i,
б)Например, последнее из выписанных равенств существенно опирается на
возможность переставлять местами (как числа) множители А и В в произ
ведении БА.
7) Для решения задачи о вычислении экспоненты матрицы достаточно YCTa
новить нас'I'оящее утверждение лишь при t =: 1.
81
поэтому Nkei == ei k, Nm == О и
k нулей
О 1 О
N k == (el k, . . . , em k) ==
о
о
1
(56)
о
о
о
[>
Лемма 83. Если А == LBL 1, то е А == .Le B L 1.
<1 Действительно, имеем
00 00 (LBL l)k l ( 00 )
е А == I:>k(A) == L (k 1)! == L Lfk(B) L l == LeBL l.
k l k l k l
4.7. Решение системы с помощыо жордановой
формы
предполаrает нахождение жорданова базиса и жордановой фор
мы матрицы линейной однородной системы с постоянными коэф
фициентами с последующим построением по ним фундаменталь
ной систе?\1Ы решений.
Теорема 84. Пусть А Е EndRn, тО2да фундаментальная
систелtа решении:
1) 1'\,омnле'Ксифицированной ли'Н,еиной систе.мъt (55) nОЛу'Ltает
ся в результате слияния одну систему всех фун'Кци'Й, 'КоторЪtе
строятся по жорданово11 форме лtатрU'ЦЪt А u соответствую
щему жорданову базису следующи-м образом: 'Каждой жордано
вой 'Клет'Ке Jл,m, nоро:ж:де'Нной nодсисте-мой ве'Х;торов ltl, . . . ,h m
:ж:орданова базиса, ставится в соответствие nодсисте-м,а ФУ'Н'К
ций
Zl == e)..th 1 , Z2 == e)..t(h2 + th 1 ),..., Zm == е лt (h m + ... + f m (t)h 1 ).
2)8) действител'Ь'Ной ли'Ней'Ной систе-мъt (54) строится a'Нa
ЛО2и'LtНО nредЪtдущему nу'Н'Кту meopell«,bL, 'Но со следующим из.ме
'Не'Ние.м,. в слу'Ltае Л 1:. R 'К; а;ж;дъtе две noacucтeM'bL по m фУ'Н'К;'ЦUЙ,
8)3десь фундамеНТ8-ПЬНая система уже действите.Il,'Ь'Н/ЫХ решений.
82
nост роеН/l-t/btе по паре 'l'Cо.мnле'I'CС'НО СОnрЯЭfCе'Н'Н'Ьtх 7'Слето'I'C J Л,m и
Jл,m, заме'Няются одной nодсисте.мой uз 2т деиствuтеЛ/Ь'Н'ЬLХ
фУ'Н'l'CЦUЙ
Хl == Rezl, Уl == ImZl,.. ., Х т == Rez m , Ут == Imz m .
<J 1. Соrласно теореме 74, e At оператор Коши линейной сиете..
мы (55), поэтому решения 9 )
Zj == eAth j == е лt (h j + thj l + . . . + €j l (t)h 1 ) , j == 1 . . . , т,
построенные по каждой жордановой клетке и взятые вее вместе,
образуют фундаментальную систему решений, так как векторы
h j , взятые все вместе, образуют базис в R n .
2. В построенной в п.l фундаментальной системе решений
каждую пару комплексных реJпений Zj, Zj () == 1...., т) можно
за 1енить парой действительных функций
z. + r
J J
Х] == ,
2
Z. z:
У J J
j 2i '
являющихся С линейными комбинациями решений, а значит,
также решениями и имеющих ту же С линейную оболочку, так
как
Zj == Х; +iYj, Zj == хз iYj.
В итоrе получится снова базис в ЕА, а значит, и в Е А (поскольку
он состоит только из действительных функций; следствие 78). [>
4.8. Квазимноrочлены
степени k О с nО'l{;азаmеле.м .л Е с это любые функции вида
q(t) == елtРk(t),
rде Pk 1ноrочлен степени k над полем R или с. Множество
всех действительных или комплексных квазимноrочленов степе..
ни, .меньшей k, с показате.пем .л обозначим через Qл,k или, соот"
ветственно, через Qл,k, а множество всех вектор функций со зна
чениями в Rn, все 'К;оордuнатЪL которых в HeKOTopO 110) базисе
9)3адаваемые соответс'I'ВУЮЩИМИ столбцами матрицы оператора e At в том
базисе, в котором матрица оператора А жорданова.
10) А значит, в любом.
83
такие квазимноrочлены, обозначи!v! через Q ,k или, COOTBeTCTBeH
но, через Q ,k. Кроме Toro, для чисел а, (З Е R любую функцию
из множества
Q :1:i/3,k = {ql (t) cos(/3t) + q2(t) sin(fЗt)I Ql,2 Е Q ,k}
будем также называть 1'СвQ,зuм,НО20 ле'Ном, степени k О, но с
парой 1'Сомn.ле'Ксно соnр,яженн'ыlx nоrx;азателеи а:!: i/3.
Лемма 85. Каждое из множеств Q k естъ С .лuнеи'Ное npo
,
странство, а 'Каж;дое UЗ м,'Ножеств Q ,k' Q :t:i[3,k R лu'Нейное
пространство, npUftJ,eM
dim Qл,k, dim Qл,k k, dim QО:!:ijЭ,k 2k, (57)
Re (Q ,k) ,Re (QX,k) с QReHiIm>.,k С (Q ,k + QX,k)' (58)
а nри m k сnраведлuв'ЬL в'КлюftJ,енu,я
QA,m С QA,k, Q л,m с Q A,k, Q o i{3,m С Q o-J::i{3,k'
<J Обозначим Q == Re л, /3 == 1т л.
1. Неравенства (57) получаются из Toro факта, что участвую
щие в них пространства натянуты, соответственно, на следующие
системы 11 ) функций:
елt,елtt,... ,елttk l; (59)
eo t cos fЗt, . . . , eQttk 1 С08 fЗt, e ot sin /3t, . . . , eottk 1 8in (3t. (60)
2. Включения (58) вытекают из формул Эйлера
е( o:f:i(3)t == e Qt (СО8 /3t ::l: i sin /3t),
(З ei#t + e i#t . (З ei#t e i{3t
cos t 2 ' 8111 t l) . .
3. Остальные включения лемrvrы вытекают прямо из определе-
ния квазимноrочленов. [>
11) Линейно независимые (правда, последняя только при {3 =f=. О)>> СМ. след
С1.'вие 88 ниже.
84
4.9. Метод неопределенных коэффициентов
представляет собой один из возможных методов решения линей
ной однородной системы с постоянными коэффициентами, соrлас
но которому в систему подставляется выражение определенноrо
вида, но с неопределенными коэффициентами. Этому методу по
священа
Лемма 86. Если Лl, . . . , Лl все попарно разлu'Чн/ые собстве'Н
H'bte зна'Че'Ния оператора А Е End R n, а тl, . . . , ml 'Наибол'Ь'шие
nоряд'Х;u соответствующuх им ЭfCордановъtХ 'К;лето'К;, то
1
ЕА С L Q j,mj.
j==l
Если, 'К:ро.ме тО20, nepBbte r чuсел Лj, j == 1,..., т, дeЙcтви
тел'Ь'Ные, а остал'Ь'Нъtе 2р == l r 'l.tuсел разбиваются 'На р пар
о.мnле'К:с'Но соnряжеu'НъtХ, т. е.
Лj == Лj+р == Qj + i{3j ({Зj # О), j == r + 1, . . . ,Т + р,
то
r т+р
ЕА С LQ j,mj + L Q з:f:irзз,mj.
j==] j==r+l
<J 1. Добавим к приведенному набору из l жордановых кле
ток наибольших порядков, соответствующих всем различным соб
ственным значениям матрицы оператора А, все остальные клет
ки с номерами j == l + 1,. .. , ['. в соответствии с полным набором
клеток получаем разложение пространства решений Е А в прямую
сумму подпространств
Ел == :F 1 ЕВ . . . ЕВ F'l/ ,
rде каждое из IIQдпространств :Fj размерности тj есть С линей
ная оболочка подсистемы функций Zl, . . . , Zm' Е Q . т ., опреде
3 J' 3
ленной в формулировке теореl\,1Ы 84 и включенной в Фундамен
тальную систе IУ решений. Тоrда из включений F j с Q m _ по
З' 3
лучаем цепочку
ЕА С Q l,ml + ... + Q ll,ml/ С Q l,ml +... + Q l,ml
85
(каждое из подпространств Q . т ., j > l, отброшено, так как оно
Лз, :J
содержится в одном из первых l подпространств, соответствую-
щем тому же собственому значению; см. лемму 85).
2. Из предыдущеrо пункта с учетом лемм 77 и 85 имеем
r т+р ( )
БА == ReE A с Е Re Q .,m' + Е Re Q .,m' + Q . .
j==l зз j:::.r+ 1 j 3 лз ,m з
r т+р
С Q j,mj + . Е Q j:!:i{jj,mj.
з==1 J==r+l
[>
4.10. Линейное уравнение с постоянными коэф--
фициентами
у< n) + al У (n 1) + . . . + а n у == о, у, t Е R, а 1, . . . , а n Е R, ( 61 )
при 'Ко.мnле'Ксuфu'Кацuu переходит в 'Комnле'Х;сuфицuроеа'Нное ли
ней ное однородное уравнение
Z(n) + alZ(n 1) + . . . + anz == О, z Е С, t Е R, (62)
lножество реlпений KOToporo будем обозначать через Еа.
Для комплексноrо линейноrо дифференциалЬНОI О уравнения
с постоянными коэффициентами также спра.ведливы теоремы,
доказанные ранее лишь в действительном случае, в частности, все
ero решения определены на всей прямой и образуют С ЛИlIейное
пространство, причем Еа == ф l(ЕА), rде А матрица уравнения
(61) (определение 12).
Теорема 87. Еслu А матрица У[IOвне'Нuя (61), а А1,..., \l
все ее nоnар'Но разлu'l.tН'Ьtе собствеU'НЪtе з'На'Чения ?\'ратностей
k 1 , . . . , kl соответствен'Но, то
l
Еа =: L QЛj,k j ,
j==l
Если, ?\,ро-м,е тО80, nервъtе r 'l.tuсел Aj, j == 1,..., т, . дeйcтви
mеЛ'Ь'Н'Ьtе, а остаЛ'Ь'Н'Ьtе 2р == l r 'Чuсел разбиваЮ1пся 'На р пар
?\,омnле'ICС1iО СОnрЯЭfCе'Нн'ых, т. е.
Aj == \j+p == О'.; + ifЗj (fЗj t- О), j == r + 1, . . . , r + р,
86
то
r т+р
Еа == L Q Л:jtkj + L Q Oj f:i/3j ,kJ .
j==l j==r+l
<] 1. Если тl,.. ., тl наибольшие порядки жордановых клеток,
соответствующих числаъ.f Л1,..., Лl, 'ТО в силу леммы 86 имеIОТ
место включения
1
Еа == 'Ф l(ЕА) С Е QЛj,mj'
j::l
r т+р
Еа == ф l(ЕА) С Е QЛj,mj + Е QОjI.i{З;,mjl
j l j::r+l
2. Из первоrо включения получаем цепочку
1 1 1
n == dim&a L dim QЛj,mj L mj L k j == n,
з::1 j==l з==1
в которой все неравенства, а с ними и ИСХО,цное включение, обра
щаются в равенства, причем
mj==kj, j==l,...,l.
3. Аналоrично, с аналоrи:чными же последствиями, из BToporo
включения получаем цепочку
r т+р
n == dimEa "dimQл m + '" Q Q .:ti {3 . т -
З' J L..J J " J
з 1 з==т+1
r т+р 1 1
Е mj + Е 2тз == Е тj Е k j == n.
j:=l j==r+l з==1 з==1
[>
Следствие 88. Все Су.ммъt пространств 'КваЗUJv1/ноzоttt.ленов,
фU2урирующие в Формулиров1f,С теоре.м,'Ь, 87, nрЯ-М'Ьtе. В tttacт
ности, все неравеnстnва (57), последнее uз 'Х:оmоръtХ то.лъ?\,о при
f3 =1- О, обращаются в равенства, а если n == 1 и л R, то сумма
во в1\,люtttен.uях (58) прямая.
<J Фиrурирующие в теореме 87 Cym:r-.,fbI прямые, та.к как в каж
дой из них сумма размерностей слаrае:м:ых равна ра.змерности
суммы. [>
87
Следствие 89. Фундаментал'Ьная система:
1) решений 1'Сомnле'Х;сифuсuрова?1/НО20 уравнения (62) nолу'Ча
ется в результате слиянuя в одиу систему всех фу'Н'Х;ци'Й, 'X;oтo
p'bte строятся по собстве'Н/Ji'ЬtМ з'На'Llе'Нuям е20 .матриц'Ь' следую
щи-м образом: 'Х;аждо-му собстве'Нuому зна'Чеuию л 'Х;ратности k
ставится в coorпeemcmeиe nодсисте-ма фУ'Н//fCций (59);
2) деиствитеЛЪН'ЬtХ решении деиствитеЛ'Ь'НО20 урав'Ненuя (61)
строuтnся анаЛО2и'l.tНО nред'Ьtдуще.му nун'Х;ту следствия, 'НО со сле
дующu-м 'l.Lзме'Неиuе.м: в сЛУ'l.tае л tj R две nодсисте-м'Ь, по k ФУ'Н/J\,
чии, пocтpoeHH'bte по паре 'К;о.мnле'К;с1-tо соnр.яжени'ыlхx собствен
'Нъtх з1-tа'Чепий л == Q :l: i{3, за-ме'Няются од'Нои nодсистемои (60)
из 2k действитеЛЪН'ЬtХ фу'Н'Х;циЙ.
4.11. Характеристический МНОI'очлен линейноrо
уравнения
(61) с постоянными (действительными) коэффициентами это
мноrочлен
L(л) == л n + al..\n 1 + . . . + а n .
1. Очередную связь между линейным уравнение?\.f и ero :м:атри
цей А (определение 12), упрощающую нахождение ее собственных
значений, раскрывает
Лемма 90. Хара'Х;терuстU'l.tес'К;uи .!vt1-tО20tttлен лu'НеU'НО20 ypaв
'Не'Нuя (61) С nосто.я'Н'Н'Ьtми 'К;оэффuцuенmа'л4.U совпадает с xapa1\,
rперuсmu'Чес'Кu.ftл 'НО20'Чле'НоolW det( лЕ А) .,\tатрUЦЪL этО20 ypaв
1-tе1-tuя.
<J Доказательство проведем индукцией по степени n Е N xapaK
теристическоrо мноrочлена.
1. При n == 1 имеем
dеt(лЕ А) == л + аl == L(л).
2. Если утверждение уже доказано для МНОI'очленов степени
n 1, то, разложив определитель по первому столбцу, получим
88
требуемое
л 1 О О
О л о о
dеt(лЕ А) == О О 1 О
О О л 1
а n an 1 а2 л+аl
А О 1 О О
О
==л
л
о 1 О +( 1)n 1an
о л 1 О 1 О
an 1 а2 л+аl О л 1
== л(лn l + аlлn 2 + . . . + an 1) + ( 1)n 1 . ( 1)n 1an == L(л).
о
о
[>
11. Пусть фОО линейное пространство скалярных бесконечно
дифференцируемых функций на R. Если оператор дифференци
рования
d
dt : фОО фОО
обозначить через О, а тождественный оператор о О через 1, то
тот же характеристический мноrочлен L, взятый не от Л, а от о,
и имеющий вид
L(D) от" + alon 1 + ... + an 1ol + anl,
будет также линейным оператором L(D): фОО фОО, а уравнение
(61) заПИlпется в виде L(D)y == О. При взятии мноrочленов ОТ опе
ратора D произведение мноrочленов превращается в композицию
операторов 1 2) , что и утверждает следующая
Лемма 91. Если L(л) == М(Л). N(л), то L(D) == М(О). N(D).
<] Достаточно проверить свойства:
1) (М 1 + М 2 )(D) . N(D) == М 1 (О) . N(D) + М 2 (О) N(D),
2) (aD i ) . (N 1 + N 2 )(D) == (aD i ) . Nl (О) + (aD i ) . N 2 (D), i О,
12)Которая, таким образом, не зависит от порядка сомножителей мноrочл&-
нов и КОТОРУЮ мы мо)кем обозначать по прежнему, точкой.
89
3) (aDi). (bDj) == (ab)Di+ j , i,j О,
последовательным применением которых получается требуемое
равенство. [>
4.12. Уравнение с квазимноrочленом в правой
части
1. Множество всех комплексных решений линейноrо Heoднo
родноrо уравнения
z(n) + alZ(n l) + . . . + anz == f(t), z Е С, t Е R, (63)
с постоянными коэффициентами обозначим через Ea,J. HeOДHO
родность линейноrо неоднородноrо комплексноrо 13 ) уравнения
можно разбивать на слаrаемые 14 ) и работать с каждым из них
отдельно, как показывает следующая
Лемма 92. Если f == 11 + . . . + fl и Zj Е &a,fj nри j == 1, . . . , l,
то Zl + . . . + Zl Е &a,f.
<J Действительно, из равенств
L(D)Zj == fj, j == 1,...,l,
имее:м:
L (О ) (z 1 + . . . + Zl) == f 1 + . . · + fl == f.
[>
11. Для каждоrо R линейноrо или С линейноrо пространства
Q... или Q... действительных или, соответственно, комплексных
квазимноrочленов (п.4.8) обозначим
Q...,k = {tkq(t)1 q Е Q...}, Q...,k = {tkq(t)1 q Е Q...}.
Определение 18. Пусть неоднородность f линейноrо Heoд
нородноrо уравнения (63) есть квазимноrочлен с показателем J-L
или с парой показателей a:f: ifЗ. "rоrда будем rоворить, что:
И lеет место резонанс r.:pamHocтu k в случае, если число J-L
ИЛИ, соответственно, ка:ждое из чисел а::!: i[3 является k KpaTHbIM
1З}или действительноrО j причем не только с постоянными коэффициента
ми.
14)
По своему усмотрению.
90
корнем характеристическоrо мноrочлена соответствующеrо oднo
родноrо уравнения;
. резонанса нет или, что то же, ero 1\,ратностъ равна О в
противном случае.
Частное решение уравнения (63) с квазимноrочленом в правой
части ищется однозначно в специальном виде, который описывает
Теорема 93. Для любой неоднородности f Е QJl.,m существу
ет единственное решенuе ZO, удовлетворяющее условuю
Zo Е [а,! n QJ-L,m,k,
2де k 1\,рат'Ностъ резонанса.
<] 1. Характеристический мноrочлен соответствующеrо OДHOpOД
Horo уравнения представляется в виде
L(л) == (л JL)k . М(л), {'де M(JL) =1= о.
2. Достаточно доказать, что линейный оператор15)
L(D) == М(О) . (О JLI)k
осуществляет биекцию пространства QJl.,m,k В пространство Q ,m:
Q (D /J-I)k М(О)
/J-,m,k QJ.L,m QJ.L,m.
3. Матрица оператора
о: Q/J-,т.+k Q/J-,m+k
в ба."3исе
ej, j == 1,. . ., m + k, ej(t) = eJl.t€j(t),
tj l
f-j(t) = (j 1)! '
есть жорданова клетка J /J-,m+k == JLE + N, поскольку
Dej == D (eJl.tfj(t») == JL (еJl.t€j(t))+е/J-t€j l(t) == JLej+ej l (€o == О).
4. Матрица оператора
(О JLI)k: Q/J-,m+k QJl.,m+k
15)Точнее, ero сужение, и ниже тоже.
91
имеет вид (56), поэтому оператор
(О J..tl)k: QJ.t,m,k ........ Qjl,m
биекция.
5. Аналоrично, маТРИI а оператора
о: QJ.t,m QJ.t,m
в базисе ej (j == 1,..., т) есть также жорданова клетка JJ.L,m, а
значит, матрица оператора м(о) в том же ба."3исе треуrольиая
с числами М (J..t) i= о на диаrонали 16 ). Поэтому оператор
М(О): QjL,m QJ.L,m
также биекция. 1:>
111. Если иеоднородность и КОЭффИI иенты левой части ypaB
нения (63) действительны, то имеет смысл искать дeйcтв'и
тельное 'Частное решение, и это позволяет сделать
Следствие 94. Пустъ aj Е R\ j == 1, . . . , n, тО2да если tt Е R,
то для любой неоднородности f Е QJ.L,m существует eдиHcтвeH
ное решенuе Уо, удовлетворяющее условuю
уо Е [а,! n Q jL,m,k,
а если a (3 Е R, nрu'Че.м (3 -1= О, то для любой неод'Нородuости
f Е Qa:f::.i/3,m существует единственное решенuе Уо, удовлеrпво
ряющее условию
Уа Е [а,! n Qa::f=i/3,m,k,
2де 17 ) k 'Х;ратпностъ резонанса.
<] 1. Если f действительная функция и Zo Е &a,J, то
УО = R,ezo Е Ea,f,
так как
L(D)yo == L(D)(Rezo) == Re(L(D)zo) == R,e! == f.
16)При перемножеlIИИ верхне треуrольных матриц их диаrонали почленно
перемножаются чисто алrебраический факт.
17) В обоих случаях.
92
2. Если J.1 Е R и f Е Qp"m с Qj.t,m, то по теореме 93 существует
частное решение Zo Е QJ.L,m,k, а значит, Уа Е QJ.L,m,k И
Уа Е Еа,! n Qj.t,m,k,
причем такое решеНI е Уо, соrласно Teope:rvle 93, единственно.
3. Если же I-t == а + ifЗ f/:. R и f Е Qаf:.ijЗ,m с (QJ.t,m Efj QjI,m), то
по теореме 93 существует ча.стиое решение Zo Е (QJ.L,m,k + Qll,m,k),
а значит, УО Е Q axi{3,rп,k И
УО Е Еа,/ n (Qp"m,k + QjI,m,k) ,
причем такое решение Уо единственно, поскольку оператор
L(D): Qp"m,k ЕВ QjI,m,k QJ.L,71 ffi Qj:i,m
биекция, так как, соrласно теореме 93, он ОСУlцествляет взаим
но однозначное соответствие между каждым слаrаемым первой
прямой суммы и соответствующим слаrаемым второй (СМ. след
ствие 88). с>
4.13. Вопросы и задачи для самостоятельноrо
решения
1. rIYCTb А Е End СП комплексификаIJ ИЯ действительноrо
оператора, который в некотором базисе el, . . . , е п Е R n записы
вался маТРИIJ ей А. Если овещесrпвитъ пространство СП, рас...
смотрев ero как R линейное пространство 18 ) раз лерности 2п, то
каким в этом просrrранстве должеи быть естествеи'н/ы'й базuс?
Если после этоrо овеществuтпъ оператор А, рассмотрев ero как
линейный оператор в овеществленном пространстве СП, то KaKO
ва матрица этоrо оператора в естественном базисе?
11. Доказать, что множество &А решений комплексифициро
ванной линейной одиородной сисrrемы (55) предсr.rавляется в виде
&А == ЕА + iE A ,
{'де ЕА множество решений исходной (действительной) линей
ной однородной системы (54).
18)Т.е. сохранив в нем умножение лишь на действительные числа и забыв
про компдексные.
93
111. Найти е А , {'де
А==(
а
b
) ,
а, Ь Е R.
IV. Привести пример операторов А и В, для которых
е А + В :/= е А . еВ.
Обратимо ли утверждение леммы 81?
v. Справедлива ли явная формула
Х (t, s) == eJ: А(т) dT
для оператора Коши линейной однородной системы (37)?
VI. Зная семейство матриц Коши X(t, в), t, s Е R, системы
(54), найти матрицу А.
VII. ЛО2арuф.м ln А оператора А Е End СП определяется как
любой из операторов 19 ) В Е End СП, удовлетворяющий равенству
еВ == А,
Доказать, что любой невырожденный оператор имеет лоrарифм,
а вырожденный нет Найти все значения ln А, {'де
А == ( ), а Е R \ {о}.
VIII. Доказать теорему Фло'Х;е Ляпунова (см. задачу V из
п.3.17): если функция А: R . End СП Т периодична, то для
некоторой Т периодичной оператор функции20) L Е C 1 (R) с по
мощью замены переменной х на
у == L(t)x
система (37) приводима к системе с постоянными коэффициента
ми
iJ == Ву,
1
В == Т lnX(T, О).
19)Который В пространстве End СП находится неоднозначно.
20)Невырожденной при каждом t Е R.
94
IX. Доказать, что любая система функций, получаемая объ..
единением подсистем (59) для различных значений
л == Л1, Л2, . . . , Л r
с соответствующими им значениями k == kl, k 2 , . . . , k r и подсистем
(60) для различных пар
(а, fЗ) == (а т +l, fЗr+l), (О'. т +2, fЗr+2), . . . , (а т + р , fЗr+р), fЗ =1: о,
с соответствующими им значениями k == k r + 1 , kr+2'. . . , k r + p ,
линейно независима.
х. Доказать, что в жордановой форме матрицы уравиеиия
(61) ка)!{Дому собственному значению соответствует ровно одна
жорданова клетка, порядок которой равен кратности этоrо зна
чения.
XI. Верно ли, что если а; Е R (] == 1,..., п), J..L Е R и Heoд
нородность f есть квазимиоrочлен степени m с показателем J..L,
то существует частное решение УО Е [a,f, являющееся квазимно
rочлеиом с тем же показателем степени и.лtеu'Но m + k, {'де k
кратность резонанса?
XII. Доказать, что замена пере мен ной t на
r == ln I t I
при водит уравнеиие Эйлера?1)
tny(n} + altn ly(n l) + . . . + an 1tiJ + апУ == О, У Е R,
к линейному ОДНОрОДНО fУ уравнению с постоянными коэффици..
ентами и характеристическим мноrочленом
L(л) == lп(.Л) + a1ln 1 (л) + · . . + an ll1 (л) + аnlо(л),
rде
lo (л) = 1, l k (л) = l k 1 ( л) (л (k 1)), k Е N.
21)Уравнение вырождается при t == О, поэтому рассматривается отдельно
при t > О и при t < о.
95
CepreeB Иrорь Николаевич
Лекции по дифференциальным уравнениям. 1 семестр
У'Ч,ебное пособие
Ориrинал 1aKeT изrотовлен издательской rруппой механико--ма
тематическоrо факультета Mry
Подписано в печать 4.1.2004 {'.
Формат 60x90j16
Объем 6 п. л.
Заказ 2
Тираж 200 экз.
Издательство ЦПИ при механи}(о математическо .1 факультете
Mry, r. Москва, Воробьевы ropbI.
Лицензия на издательскую деятельность ид N!!04059 0'1' 20.2.2001
Отпечатано на типоrрафском оборудовании механико матема
тическоrо факультета и Франко русскоrо центра им. А. М. Ляпу
нова
96
Московский rосударственный университет
имени М. В. Ломоносова
Механико математический факультет
и. Н. CepreeB
Лекции по
дифференциальным
уравнениям
11 семестр
Москва 2004
CepI'eeB и. Н.
Лекции по дифференциальным уравнеНИЯl\1. 11 семестр. М.:
Издательство ЦПИ при механико математическом факультете
Mry, 64 с.
Настоящий текст служит продолжением брошюры Toro же aBTO
ра "Лекции по дифференциалЬНЫ1\1 уравнеНИЯ1vl. 11 семестр", изданной
тем же издательством в январе 2004 r.
Представлен конспект лекций по обыкновенным дифференциаль
ным уравнениям, читавшихся автором в весеннем се1\1естре BToporo
курса механико rvlатематическоrо факультета Mry имени М. В. Ломо
носова и связанных с вопросами непрерывности и дифференцируемо
сти по параметрам решений дифференциальных уравнений, теорией
устойчивости по Ляпунову, с особыми точками и первыми интеrрала1\1И
автономных систем, а также с вопроса1\1И существования и единствен
ности решения задачи Коши для квазилинейноrо уравнения с частны
ми производными nepBoro порядка.
Даны точные определения, подробно доказаны сформулированные
утверждения, теоретически обоснованы наиболее важные 1\1етоды pe
шения задач. Приведены все необходимые теоретические сведения, co
путствующие понятия и факты из смежных разделов математики.
Предложены задачи ДЛЯ самостоятельноrо решения, развивающие и
уrлубляющие прочитанный материал И, те1\1 са1\1ЫМ, позволяющие луч
те подrотовиться к экзамену.
Для студентов и аспирантов, изучающих классическую теорию
обыкновенных дифференциальных уравнений.
@Механико математический факультет Mry, 2004 {'.
С оде р)Кание
Зависимость решений от параметров
5.1
5.2
5.3
5.4
5
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
Непрерывная зависимость от правых частей
Компактно открытая тополоrия. . .
Непрерывность решений по параметру . .
Непрерывность по начальному значеНИIО
Лемма Адамара .. ... .
Дифференцируемость по параметру и по начально
му значению. . . .. . .
Система в вариациях . .. . .
Зависимость решений уравнений произвольноrо по
рядка от пара?\1етра . . . .. .
Л.окальное выпрямление интеrральиых кривых .
Задачи для само(;тоятельноrо решения . .. ..
4
4
7
10
12
13
14
16
18
20
22
6 "Устойчивость по Ляпунову 23
6.1 Определение устойчивости .... .... 23
6.2 Задача об исследовании на устойчивость 24
6.3 Устойчивость решений линейной системы 26
6.4 Функция Ляпунова. .. 28
6.5 Первая теорема Ляпунова (об устойчивости) .. 30
6.6 Вторая теорема Ляпунова (об асимптотической
устойчивости) .. . . . . . .. 30
6. 7 Теорема Четаева . . . .. . 32
6.8 Теорема Ляпунова об устойчивости по первому при
ближению . .. .... ... 33
6.9 Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому
приближению. ..... ... 36
6.10 Задачи ДЛЯ самостоятельноrо решения. 37
7 Автономные системы 39
7.1 Фазовое пространство. . . . . 39
7.2 Сдвиr по времени реlпеиий автономной систеl\1Ы 39
7.3 Три типа фазовых траекторий . . . . . 41
7.4 Фазовый поток. . .. ... . . 42
7.5 Локальное выпрямлеиие фазовых траекторий 44
7.6 Первый интсrра.л аВТОНО 1НОЙ системы. 45
7.7 Независимые первые интеrралы . ... . 47
3
7.8 Фазовая прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
7.9 Фазовая плоскость ................... 49
7.10 Особые точки линейных автономных систем на
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.11 Задачи для самостоятельноrо решения. . . . . . .. 53
8 Уравнения в частных производных первоrо поряд..
56
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Линейное однородное уравнение в частных произ
ВОДНЫХ первоrо порядка . . . . . . . . . . . . . . . .
Задача Коши для уравиения в частных производ
ных перБоrо порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квазилинейное уравнение в частных производных
перnоrо порядка . . . . . . . . . . . . . . . .
Решение задачи Коши ...........
Задачи для самостоятельноrо решения .
56
57
59
61
62
5. Зависимость решений от параметров
5.1. Непрерывная зависимость от IIpaBbIX частей
решений задачи Коши
х == f(t, х), x(to) == хо, (t, х) Е G с Rl+n,
(64)
предполаrает, что наряду с этой задачей и ее решением х(.), назы
ваемыми в дальиейшем uсходн,Ъt,,«и, рассматриваются возмуще'Н
н,ъtе задачи Коши
iJ == g(t, у), y(to) == уо, (t, х) Е С,
и, соответственно, их решения у(.).
и исходное, и все возмущенные решения заранее считаются
не nродол;,нсаеМЪLМи, а вопрос ставится так: можно ли ['арантиро
вать, что при l\1алых отклонениях правых чаС'I'ей ВОЗl\1ущенной
задачи от правых частей исходной задачи возмущенное решение
будет иметь близкую к исходной область определения и на ней
будет l\1ало отличаться ОТ исходноrо решения.
4
Ответ оказывается положительным уже при весьма слабых
оrраничениях на правую часть ураБнения 1 ), Б чем и состоит oc
НОБная
Теорема 95. Пусmъ f, f Е С(С), а х исходное решенuе.
ТО2да для люБО20 оmрез'К:а К С п(х) u юбО20 е > О существует
ma'J);oe 8 > О, что еслu g, g Е С( С) u въtnо-лненъt неравенства
Ilf gllc = sup If(t,x) .g(t,x)1 < 8, Ixo Yol < 8, (65)
(t,x)EC
то возмущенное решенuе у определено на отрез'К:е К u удовле
твор.яет о'Цен'К:е
Ilx yllK = sup Ix(t) y(t)1 < е.
tEK
<] 1. Вез оrраничения общности 2 ) считаем, что данный отрезок
(66)
к [0:;,8] С п(х)
содержит точку to, а данное число с > О удовлетворяет оценке
p(rXI K ' дС) = со > с,
так как rраница дС области С замкнута, а rрафик r X1K непре
рЫБНОЙ функции х на отрезке К компакт).
2. Введем обозначение
U g ,K = {(t,X)ER 1 + n ltEK, Ix x(t)l<e} (67)
и заметим, что для любой точки (t,x) Е И выполнена оценка
p((t,x),r X / K ) p((t,x), (t,x(t))) < с,
поэтому замыкание этоrо множества
с Ug,K С {(t,x) Е Rl+nl p((t,x),r XIK ) с} С С (68)
оrраничено, а значит, является компактом. Поэтому существу
ет константа 3 )
L = Ilf llc < 00.
l)Таких же, как в теоремах существования и единственности; СМ. rлаву 2.
2)Заметим, ЧТО отрезок К, не в ущерб утверждению теоремы, можно YBe
личивать, а ЧИСЛО с уменьшать.
3)Выпуклость области С по переменной х здесь, конечно, имеет место).
5
3. Пусть для HeKoToporo положитеЛЬНоrо 8 < €, значение KO
Toporo мы уточним позже (см. соотношеНие (71) ниже), правые
части возмущенноrо уравнения удовлетворяют оценкам
I/g fllc < 8, /Уа Хаl < б.
(69)
Тоrда точка (ta, Уа) внутренняя для Множества []е,К: действи
тельно, в силу непрерывности функции х при достаточно малом
, < (е б)/2 из оценок /t tol < , и 'У Уо/ < l' имеем t Е I( и
€ 8
'У x(t)1 'У Уоl + 'Уо хоl + Ix(to) x(t)/ < 'у + б + 2 < е,
откуда (t,y) Е U е . К .
4. Соrласно теореме 20, rрафик непродолжаемоrо возмущен
Horo решения у покинет компакт С, например, при достаточно
больших t > to. Поэтому выполнены соотношения
{З' inf{ t > to/ (t, y(t)) rt- С} > to,
(t, y(t)) Е { Uе,К,
дU с; к,
,
t Е [to; fJ'),
t == /3'.
5. Предположим, что
(З' < fJ.
Тоrда при каждом t Е [to; {З') для функции u
неравенство
(70)
/х yl имеем
t
О и(t) == Ix(t) y(t)1 )хо Уа + j(X(T) УСТ» dTI 'хо Yal
to
+lj(J(T,X(T» Лт,У(Т») dT/ + /j(J(T,Y(T» g(T,Y(T») dTI
to to
t I I t t
б+ljLlх(т) у(т)ldТ + jбdТ/ б(l+Т)+Lljи(т)dтl,
to to to
rде Т /3 to.
6. По лемме rронуолла Беллмана при каждом t Е [to; /3')
получаем
Ix(t) y(t)1 == u(t) 8(1 + T)eLlt tol 8(1 + T)e LT == е/2,
например, если
:=:::: е
и <е
2(1 + T)e LT
(71)
6
(последняя оценка выполняется автоматически).
7. Из полученноrо неравенства вытекает оценка
Ix(j3') у«(3') I е /2 < е,
означающая, что точка «(3', у«(3')) внутренняя для множества
Uе,К (доказательство аналоrично приведеННО 1У Б п.3), и тем ca
IvlЫМ противоречащая соотношению (/3', у{/3')) Е дИе,К.
8. Таким образом, сделанное выше предположение (70) не Bep
но, откуда /3' (3, т. е. решение у, во первых, определено ДО caMoro
конца 4 ) отрезка К и, во вторых, удовлетворяет требуемой оценке
( 66). [>
5.2. Компактно",открытая тополоrия
1. Только что доказанная теорема фактически утверждает 5 ),
что решение х задачи Коши непрерывно зависит от ее nравЪtХ "ia
стеи, т. е. от правой части ! уравнения и начальноrо значения
Хо. Для уточнения этой ФОРМУЛИРОВКИ, введем следующие об
значения:
а) с о ,1(с) множество функций, определенных на обла
сти G и непрерывных, вместе с производной ПО х, наделенное
рав'Номер'Н,ой 'На G тополоrией, которая задается всевозможными
8 окреСТНОСТЯl\1И
И6(!) {g Е C o ,l(G)lllf gllc < 8}
функций f Е с о ,l(С);
Ь) G to с R n сечение 6 ) области G rиперплоскостью t == to
с тополоrией, определяемой нормой в R n, т. е. задаваемой всевоз
можными 8 окрестностями
U<5(ХО) {Уа Е G to Ilyo хоl < 8}
точек Хо Е G to ;
с) S (С) множество всех непродолжаемых 7) решений всех
уравнений с правыми чаСТЯl\1И из пространства с о ,1(с), наделен
ное 'х;ОJvtnа'l\,rn'Н,о от'х;рЪtтой тополоrией, т. е. равномерной, но не на
4)Правоrо И, аналоrично, левоrо.
5) Оправдывая, тем самым, название предыдущеrо параrрафа.
6) Точнее, ero проекция на пространство R n .
7) Асимптотически продолженных до rраницы области G; см. теорему 20.
7
полных областях определения решений, а лишь на любых их KOM
пактных 8 ) подмножествах. Эта тополоrия задается всевозможны
ми € труб а.мu9)
Uе,К(Х) {у Е В( С) I D(y) :) к, "у xll К < Е}
функций Х Е В(С) на различных 'Комnа'Ктах К С D(x).
Б НОВОЙ терминолоrии теорема 95 звучит как
Следствие 96. Отобра:женuе
со,1(С) Х G to В(С),
(72)
'Х;оторое 'J);аЭICдо'й паре f Е сО,1 (С) U ХО Е G to npaBbtX 'Частеu за
да'Ч,u Кошu ставит в соответствие ее 'Неnродолжаемое решенuе
Х Е S ( а), иеnрерЪtвно.
11. В множестве СО,1(с) можно задать и компактно открытую
на G тополоrию с помощью д трубок
Uli,c(f) {g Е Co. 1 (G)llIg fllc < 8}
функций f Е со,1(а) на компактах С С С. 11з доказательства
теоремы 95 можно ВЫУДИТЬ несколько более тонкий 1О ) , чем BЫHe
сенный в ее формулировку, результат, составляющий
Следствие 97. Если равно-мер'ную тОnОЛО2UЮ в С О ,1 (С) за.ме
'Нитъ 'к;омnа'J);тно от'J);рЪtтоil, то отобраЭlCенuе (72) оста'Нется
'НеnрерЪtв'Н 'btM.
<J Действительно, по данным отрезку К С D(x) и числу е > О
Б процессе доказательства теоремы 95 построены такие компакт
С С G (68) и число 8 > О (71), что справедлива импликация
9 Е Uli,c(f), Уо Е Uо(хо) ===> у Е Uе,К(Х)
(см. неравенства (69) и (66»). r>
111. СВЯЗЬ ме.)J<АУ поточечной непрерывностью по паре пере
менных и непрерывностью по одной ИЗ них, равномерной на KOM
пактах по друrой, раскрывает
8) Кстати, не обязательно содержащих точку to.
9)Это же название обычно распространяют и на множества ие,К С G (67),
т. е. на Е' трубки в 2еомеmри'Чес ом, а не в функциональном смысле.
10) Поскольку любое множество, открытое D компактно открытой тополо
rии, открыто и в равномерной, но не наоборот.
8
Лемма 98. Для любъtХ областей Х с R k U У с Rm ФУН'I,/ция
Р: Х х У R n
неnреръt6на 11 ) тО2да и тол/ь'Х;о тО2да, 'Х;О2да она неnреръt6на по х в
'Х;аждои то'Ч'Х;е области Х х У u неnреръtвна по у 6 'Х;а;ждои то'Ч'Х;е
областu У в с.мъtсле по.мnа'Х;т'Но от1'l;рЪtтой на Х тОnОЛО2uи 12 ).
<J 1. Пусть функция F непрерывна по совокупности своих пе
ременных. Тоrда она тем более непрерывна по одной переменной
х. Докаже I, что для JIюбоrо компакта К С Х функция F(., у)
непрерывна по у paBHo IepHO по х Е К, т. е. по заданным Уо Е У и
е > О укажем 8 > О, дЛЯ KOToporo будет справедлива импликация
1 у УО I < б===> 11 F ( ., У) F ( ., уо) 11 к < е.
Действительно:
а) выберем такое 8 > О, что точка Уо лежит Б области У
BMeC'l'e с замыканием В некоторой ее 8 окрестности;
Ь) используя равномерную непрерывность функции F на
компакте !( х В, уменьшим, если потребуется, число 8, обеспечив
для всех Хl, Х2 Е К и У Е В справедливость импликации
IXl Х21 < 8, Iy уоl < 8 IF(Xl, у) Р(Х2, уо)1 < €;
с) полученная импликация превращается в требуемую, ec
ли в ней положить Хl == Х2 == Х, взяв в последнем неравенстве
максимум по Х Е К.
2. Пусть теперь функция F непрерывна по Х и непрерывна по
у в компактно открытой на Х тополоrии. Докажем, что Б любой
точке (Хо, Уо) Е Х х У она непрерывна по совокупности своих
переменных:
d) выберем такое 8 > О, что точка хо лежит Б области Х
вместе с замыканием К некоторой ее 8 окрестности;
е) по заданному е > О умеНЬШИ11, если потребуется, число 8
так, чтобы из условия 'у yal < 8 вытекало неравенство
IIF(., у) F(., yo)IIK < с:/2
11) По совокупности переменных х, у.
12)иными словами, коrда отображение, ставящее в соответствие каждому
у Е У функцию F(.,y) из пространства С(Х), на,целенноrо компактно от
крытой тополоrией, непрерывно.
9
(это ВОЗМОЖНО, поскольку ФУНКЦИЯ F непрерывна по у paBHOMep
но на компакте К С Х);
f) при необходимости, еще умеНЬШИ1-'I число 8 так, чтобы из
УСЛОВИЯ Ix хоl < 8 (в силу непрерывности по х функции F в
точке (хо, Уо» вытекало неравенство
/Р(х, Уо) р(хо, уо)1 < Е:/2:
g) при указанных УСЛОВИЯХ будет выполнена 'l'ребуемая
оценка
/Р(х, y) P(Xa, Уа)! !Р(х, y) P(x, yo)i + !F(x, yo) P(Xo, уо)1 < Е.
[>
5.3. Непрерывность решений по параметру
!l, принимающему значения в области: М с Rm и задающему ce
меиство задач Коши
х ::::: f{t, х, м), x(to) == xO(J.L), (t, х) Е G с R 1+n, J--L Е М, (73)
понимается как малость изменения решения, обозначае!v10rо здесь
через x(t, м), при малых изменениях параметра J-l, Т. е. непреРЫБ
ность отображения
м В(С),
которое каждому значению /l Е М ставит в соответствие непро
должаемое решение Х(', м) Е В(С). Она имеет место уже при co
вершенно естественных предположениях, как показывает
Теорема 99. Пусmъ f, f Е С(С хМ), ХО Е C(l\1) u J--L* Е М.
ТО2да для любоzо отреЗ'J{;а К С D (Х(', J--L*») U люБО20 Е > О су'Ще
ствует mа'Х;ая ок;рест1tостъ U(J.L*) С М, 'Что если
J-l Е И (J-l * ) ,
то реше'Н,ие Х(', JL) определено 'I-la отрез'Х;е К и удовлетворяет
о'Ц е 'Н,1Се
IIx(.,{l) x(',J--L*)lIк < с.
10
<J Утверждение данной теоремы следУет из непрерывности KOM
позиции отображений
м с о ,1(с) Х Glto В(С),
первое из которых по каждому J.L Е М определяет правые части
f(.,., J--t) Е с о ,1(с) и xo(J--t) Е G\to задачи Коши, а второе ставит
им Б соответствие непродолжаемое решение x(.,J.L) Е В(С) этой
задачи. Распишем доказательство более подробно:
1) Б соответствии со следствием 97 для заданноrо решения
х(., J--t*) Е В(С), отрезка К С D (х(., j.l*)) и числа € > О выберем
компакт С С G и число 8 > О, обеспечивающие импликацию
{ f(.,., J-L) Е U(j,c(f(.,., р*)) ===> х(- р) Е u: (х(. р*)).
xa(J--t) Е U6(XO(J--t*)) , е,К, ,
2) левая часть последней импликации имеет место для непре
рывных функций
f: G х М R n , Ха: М G to
(первая из которых, соrласно лемме 98, еще и непрерывна по J.-L
равномерно на КО 1пакте С), как только параметр J--t принадлежит
достаточно малой окрестности U(J.L*). [>
Следствие 100. Если f, f Е С( G х М) и Ха Е С(М), то об
ластъ оnределе'Ния D(x) реше'Нu-я х, рассматривае.мО20 'f\;а'К фу'Н/х;
ция двух nере.ме'Н'НЪLХ t u р, естъ обласmъ в R 1+т, 'На 'f\;orпopoи
фу'Н'К;цu-я х в.местnе с nроизвод'Ноu 13 ) х 'НеnрерЪtв'На по сово'f\;Уn'НО
сти своих nepe-м,е'Н'НЪLХ.
<1 1. Связность множества D (х) вытекает из связности ero сече
ния плоскостью t == to, в которой J.L Е М, и сечения любой пря
мой вида J.1. == J.L*, ВДОЛЬ которой координата t пробеrает интервал
D(x(., J.L*)) 3 to.
2. Если (t*, J--t*) Е D(x), то решение х(., J--t*) заведомо определе
но на замыкании HeKoToporo интервала 1, содержащеrо точку t* ,
а по теореме 99 на этом )ке замыкании определены и все решения
х( ., р), для которых параметр р принадлежит некоторой OKpeCT
ности U(р*). Поэтому множество D(x) содержит целую OKpeCT
насть 1 х U(р*) точки (t*, р*).
13)по t.
11
3. Непрерывность функции х в точке (t*, /l*) вытекает, соrлас
но лемме 98, из непрерывности всех решений по t Е 1 и их непре
рывности по Jj Е U(J1*) в смысле компактно открытой на 1 топо
лоrии (Teope .1a 99).
4. Если подставить непрерывную (по совокупности перемен
ных t и Jl) функцию Х в уравнение (73)
x(t, /l) == f(t, x(t, /l), /l), (t, J1) Е п(х),
(74)
то правая ero часть также будет непрерывной, а значит, и левая
часть, совпадающая с функцией х. [:>
5.4. Непрерывность по начальному значению
Ха решений задачи Коши (64) при фиксироваННО1\1 начаЛЬНО 1 MO
менте ta означает непрерывность отображения
G to В(С),
ставящеrо в соответствие каждому начальному значению ХО из
06ластu 14 ) G to непродолжаемое решение, обозначаемое здесь че
рез х(., хо).
Теорема 101. Пуст'Ь f, f Е С(С) и Ха Е G to . ТО2да для лю
БО20 отреЗ1\;а К С D (х(., Ха)) u люБО20 Е. > О существует та1\;ое
8 > О, tttmo если
Ixa x 1 < 8,
то решенuе х(., ХО) оnределе'Но 'На отрез'К:е К и удовлетворяет
о'Це'Н'К:е
"х(., Ха) х(., Xo)IIK < Е..
Чтобы доказать это утверждение 15 ), достаточно объявить па
раметром J1 само начальное значение Ха 11 применить теорему 99,
положив в ней
м = G to , f ( t, х, р) = f ( t, х), Хо (JL) = J1.
Если Б этих же условиях применить следствие 100, то получится
14}Открытое сечение Gto С R71 области G плоскостью t == to предполаrается
еще и свЯЗ'НЪL-М.
15}Вытекающее, по большому счету, уже из теоремы 95, {'де взято 9 == f.
12
Следствие 102. Если f, f Е С(С), то областъ оnределе'Ни-я
D(x) реше'Ния Х, раССАtатривае,Л4JО20 'К;а'К; ФУ'Н/К'/ЦUЯ двух nере.ме'н'ныlx
t u хо, естъ областъ в R 1+n, 'На 'К;оторои фу'Н'Х;'Ци'я х вместе с
nрО'UЗ80д'Нои х 'Неnреръtвиа по сово'К;уn'Ности своих nepeMeHH'bLX.
5.5. Лемма Адамара
выражает приращение функции
Р(-,.):U R n , и с Rl+k,
от t Е R и и Е R k через приращение переменной и, по которой об
ласть и предполаrается выlух;лоии (при каЖДО 1 фиксированном
t), причем предлаrаемое Б лемме выражение (75) весьма напоми
нает линейное 16 ), и К тому же с непрерывными коэффициентами.
Лем!\ла 103. Если Р, p Е С(U), то существует 'Неnрер'ыв'На.я
фуu'К;'Ци.я
Ф(.,.,.):V Hom(Rk,R n ), V с Rl+2k,
оnределе'Н'На-я 'На М/НОЭfCестве
v = {(t, 'и, v)\ (t, и), (t, v) Е И}
и удовлетвор.яЮ'l1 а.я раве'НС'П1ву
F(t, v) F(t, и) == Ф(t, 'И, v)(v и), (t, и, v) Е v. (75)
<J Обозначив v и + h, Б силу ВЫПУКЛОСТИ ПО 'll области И имеем
1 1 f 1 dF ( t, и + () /1 )
F(t,v) F(t,u) == F(t,u+Oh) 0== Jo dO dO == Ф(t,и,v)h,
rде
Ф(t,и,v) = 11 F (t,u+O(v u))dO
непрерывная по совокупности своих переменных функция (как
интеI'рал от функции, непрерывной по той же совокупности). [>
16) Здесь не утверждается, что приращение функции F( t, v) Р( t, и) и
вправду линейно по приращению aprYMeHTa v и: ведь действующий на Hero
оператор Ф(t, и, v) сам зависит от переменных u и v.
13
5.6. Дифференцируемость по параметру и по на..
чальному значению
1. Решение Х параметрическоrо семейства (73) задач Коти,
рассматриваемое как ФУНКЦИЯ времени t и параметра J.L, соrлас
но следствию 100, определено и непрерывно в некоторой области
D(x).
_ Теорема 104. Пустъ f, f , f Е С(С х М) и хо Е С 1 (М). To
2да в области п(х) существуют неnрерыl'нъtеe nроизвод'Ные x u
" "
х J..t t == Xt J..t .
<J 1. Фиксируем точку (t*, J.L*) Е D(x), интервал 1 э t*, содержа
щийся со своим замыканием К в области определения решения
х(., J.L*), и такое число е > О, что выпуклая по х область
Uе,I { ( t, х) I t Е 1, I ( t, х) (t, х ( t, JL * ' < е}
содержи'l'СЯ в области а.
2. С помощью теоремы 99 выберем такую выпуклую OKpeCT
ность U(J.L*) С М, что при любом JL Е U(J.L*) реш ние х(., /1) при
надлежит Е трубке функции х(., м*) на компакте 17 ) К.
3. Соrласно лемме 103 (Адамара), для функции
F(t, и) = f(t, х, м),
определенной на выпуклой по и (х, J.L) области
и Uе,I Х и(м*) С Rl+k, k == n + т,
существует непрерывная фУНКЦИЯ Ф(t, и, v), удовлетворяющая
равенству
f(t, x(t, 1/), 1/) f(t, x(t, J.L), J.L) == Ф(t, u(t, /-l), u(t, у)) (u(t, 1/) и(t, м»)
== g(t, J.L, у) (x(t, у) x(t, J.L») + h(t, J.L, у)(у м),
{'де j.l, v Е U(/-1*), фУНКЦИЯ u(t, J.L) = (x(t, /-1), J.L) непрерывна по
совокупности своих переменных, поэтому операТОР фУНКJJ;ИЯ
ф(t, J-L, у) Ф(t, и(t, J-L), и(t, у» Е Hom(R n х R m , R n )
17) Поэтому оно определено на отрезке К, а rрафик ero сужения на 1 лежит
в области Ue,I.
14
и ее компоненты 18 ) g(t, /1, У) и h(t, /1, У), задаваемые равенствами
9 = ФIRnХ{О}, h. = ФI{о}хRТn,
также непрерывны по совокупности переменных t, /1, У.
4. Введя в пространстве Rm ::) М координаты и обозначив для
данных JL Е и(/1*) и i Е {l,..., т}
( ) x(t, У) x(t, /1)
Yi t, /1, V == ,
vi /1i
rде
v == /1 + (Vi {li)ei i- Jl,
а S'i i й вектор стандартноrо базиса в R m , Иl\1еем
(76)
. ( ) x(t, У) x(t, /1) f{t, x(t, у), У) f(t, x(t, jj), J.l)
Yi t, /1, v
Vi /1i Vi /1i
== 9 ( t, /1, У) У i ( t, J1, У) + h i ( t, Jl, У), h'i = h,e i ,
т. е. функция Yi(t, р, У) удовлетворяет задаче Коши
iJ == 9 ( t, /1, У) У + h i ( t, /1, у),
( ' t ) Хо(У) xO(JL)
у О ·
Vi J-Li
5. Предельная, при V /l, задача коши 19 )
iJ == g(t, М, JL)Y + hi(t, М, м), y(to) == XO -i (м), (77)
также имеет реlllение, обозначаеl\10е через Yi(., /1) и определенное
на всем интервале 1 (так как уравнение в задаче линейио, с
непрерывными по t Е 1 коэффициентами).
6. Соrласно следствию 100, функп;ия Yi(., м) удовлетворяет pa
венству
( ) . ( ) . х( t, у) х( t, м) , ( )
Yi t, М == 11т Yi t, М, V == 11т == XJ-ti t, JL ,
Vi J-t-i Vi.-..4 J-ti vi /1i
t Е 1,
в котором первый, а значит, и ВТОРОЙ, из пределов, взятые при
условии (76), существует.
18)Определенные на линейны;,: пространствах Rn и RТn, изоморфных под
пространствам Rn х {О} и {О} х Rm соответственно.
19) Начальное значение в ней определено по условию.
15
7. Каждая компонента Yi (i == 1,. . ., т) функции
У ( t, м) == x ( t, JL) , ( t, м) Е 1 х И (м * ) ,
и ее производная Yi иепрерывна по совокупности своих перемен
ных (поскольку следствие 100 применимо к задаче Коши (77)).
Этими же свойствами обладает и функция x "
8. Если в уравнение (73) подставить р II1ение Х, то получится
равенство (74), правая часть KOToporo имеет непрерывную по co
вокупности переменных t и 11- частную производную по М (так как
ее имеет функция x(t, м)), а значит, и левая часть, совпадающая
с функцией х, тоже.
9. Итак, функция х имеет в области 1 х u(м*) непрерывные,
и потому равные друr друrу, смешанные производные
y(t, JL) == X t(t, м) и x (t, м) == x (t, JL).
[>
11. Решение х семейства (64) задач Коши с фиксированным
начальным моментом to, рассматриваемое как функция времени
t и начальноrо значения ХО = М и определенное в области D(x)
(следствие 102), подпадает под действие теоремы 104, частным
случаем которой и является
Теорема 105. Если f, f Е С(С), то в области D(x) су'ще
ствуют неnрерыl'н/ыыe nроизводныle X o u X ot == X o'
5.7. Система в вариациях
1. Для Toro чтобы явно найти коэффициенты задачи КОII1И
(77) для (п х m) матричной20) функции
у ( ., JL *) == x I == J.L * == ( x 1 ' . . . , X тп) I м== J.L *
мо)Кио, например, детально про анализировать доказательство
теоремы 104. Однако лучше поступить по друrому, воспользовав
шись лишь результатом этой теоремы, rара.нтирующей правомер
ность следующих выкладок: подставить х == x(t, м) в задаче Коши
(73) и продифференцировать ПО 11- все ее равенства
(x ) "(t, м) == x (t, м) == f (t, x(t, JL), M)X (t, м) + f (t, x(t, м), 11-),
x ( to, м) == Ха' (м) ,
20)Предполаrается, что в пространствах Rn и Rm фиксированы базисы.
16
а затем положить всюду j.-t == м*.
ПолучаеIvlая лииейиая неоднородная система называется cи
сте.мои в вариациях по nара.метру (вдол'Ь решени,я х(., м*)) и за
писывается в виде
iJ == A(t)y + F(t), t Е D(x(., м*)),
rде функция
A(t) = f (t, x(t, м*), м*)
принимает (п х п) матричные значения, анеоднородность
P(t) = f (t, x(t, м*), м*)
(п х m) матричные, также как и искомая функция 21 ) у С Ha
чалЬНЫIvl условием
y(to) == Хо'(м*).
11. Если роль параметра j..L в исходной задаче Коши (73) иr
рает начальное значение хо, то правая часть f(t, х, хо) = f(t, х)
уравиения этой задачи не зависит от CBoero TpeTbero aprYIvleHTa.
ПОЭТОIvIУ система в вариациях по такому параметру
iJ == A(t)y, A(t) f (t, x(t, Ха)),
(78)
линейная однородная. Эта система называется сuстемой в вa
риацu,ях по на'Чал'Ьно.му значенuю (вдол'Ь решенuя х(., хо)) и OKa
зывается одинаковой 22 ) как для искомой (п х n) матричной функ
ции
У == x o (., x ),
так и ,..1J;ЛЯ каждоrо ее столбца, т. е. вектор функции, равной про
изводной решения х по соответствующей координате начальноrо
значения.
Правая же часть начальноrо условия в исходной задаче Коши
(73) равна просто Хо, так что начальное значение 23 ) y(to) в случае
матричной функции совпадает с единичной Ivlатрицей
(XO) o (Ха) == Е,
21)эти функции приобретают привычный векторный вид, коrда m == 1, т. е.
коrда параметр J-L одномерен.
22)Ее коэффициенты зависят ЛИП1Ь от Toro, вдоль KaKoro решения берется
производная.
23)Не зависящее от значения хо'
17
а в случае вектор Функции с соотвеТСТВУЮЩИl\tl ее столбцом.
Поэтому в первом случае значение y(t) есть матрица X(t, ta)
оператора Коши системы (78), а во втором ее столбец.
5.8. Зависимость решений уравнений произ...
вольноrо порядка ОТ параметра
1. Пусть задано семейство задач Коши для уравнения n ro
порядка
(п) f(t . (n 1»
у == ,у, у, ...,у ,М ,
у( ta) == Уо (м)
у( t a ) == Уl (м)
(79)
y(n l)(ta) == Yn l(M),
rде (t, У, У, . . . , y(n 1)) Е G с R 1+n, М Е М С Rm. Обозначим
через Bn 1 (С) множество всех непродолжаемых решений задач
этоrо семейства, а через S (G) множество решений задач Коши
Х2
x(ta) == YO (/-L)
Уа (м)
Уl (м)
Yn 1 (м)
х == f (t, х, J-l) =
х п
f (t, хl, . . . , х n , м)
в которые переходят задачи (79) под действием канонической за
мены (определение 11)
х == 'Фу =
У
У
n 1
У
Теорема 106. Пустъ
f, f ,. . ., f (n l) Е С(С х М), Уа,.. . , Yn 1 Е С(М) и р,* Е М.
ТО2да для люБО20 отрез'Х:а К С D (У(', м*) U Л'lоБО20 € > О суще
ствует та'Х:ая о'Х:рестност'Ь U(J.l*) С М, 'Что если
J-l Е и (м * ) ,
18
то решение у(., J..t) определено на отрез е К и удовлетворяет
о'Це'Н'}{;ам
Ily(i)(.,J.L) y{i)(.,J.L*)IIK < с, i == О,...,n 1.
<J 1. Отображение 'Ч) 1, осуществляющее изоморфизм множеств
В (а) и Bn 1(a) (ле:rvlма 27), переводит КОl\tlпактно открытую TO
полоrию первоrо пространства 24 ) в компактно открытую же, но
по 'Норме cn 1, тополоrию BToporo пространства, задаваеl\tlУЮ €
трубками
U:'i/(Y) {z Е sn l(G)1 D(z) :) К, . шах IIz(i) y{i)IIK < €}
. ==O,...,n 1
функций у(., 11') Е Bn l(C) на компактах К С D(y(., J..t)).
2. Доказываемое утверждение теперь вытекает из непрерыв
ности композиции отображений
м В (С) ф l Bn 1(c),
первое из которых, ставящее в соответствие каждому J.L Е М pe
шение x(.,J.L) Е В (С), непрерывно в силу теоремы 99, а второе
просто изоморфизм тополоrических пространств. [>
11. Непрерывность функции х фу в какой либо точке (t, М)
равносильна непрерывности в той же точке функции у Bl\tleCTe с ее
производными у, . . . , y(n 1) по t, которые, как утверждает след
ствие 100, все вместе 25 ) определены и непрерывны внекоторой
области D(y) с Rl+m.
Теорема 107. Если
f, f ,..., f (n l)' f Е С(С х М) и уо,..., Yn 1 Е с 1 (м),
то в областu D(y) при 'Каж:дом i == О,. .. , n существуют 'Нenpe
р'Ы6'н:ые nРОUЗ60дн:ые 26 ) (y ) (i) == (y(i)) .
<J Доказательство проведем индукцией по i == О, . . . , n.
24)Индуцированную тополоrией объемлющеrо пространства S(G). Фор
мально она зависит еще и от нормы в R n, но фактически не зависит.
25)Еще и вместе с n й производной.
26) Здесь i я производная берется по t.
19
1. При i == О доказываемое утверждение, означающее непре
рывность функции
y == ('Ф 1 Х ) == 'ф 1 (x ) ,
вытекает из теоремы 104.
2. Если утверждение уже доказано для (i 1) й производной,
то по теореме 104 получаем утверждение и для i й производной
[>
(y ) (i) == (y(i l») )' == «Xi) )' == и(i) == (y(i») .
111. Если семейство (79) задач Коши формально продиффе
ренцировать по М, а затем положить всюду 11- == м* (блаrодаря
теореме 107, эти выкладки оправданы), то для производной
z == Y IJ.t==J.t'"
получится снова задача Коши
z{n) == ao(t)z+. . . + an 1 (t)Z{n l) + g(t),
z(to) == yb(J-L*)
Z(tO) == y (J-L*)
z(n 1) (to) == Y l (J-L*),
с линейным уравнением в вариациях (вдол'Ь решения У(', м*)), {'де
ai == f (i) 111==11* , i == О, . . . , n 1,
9 == f 111==11* .
5.9. Локальное выпрямление интеrральных кри--
вых
системы
х == f(t,x), (t,x) Е G с Rl+n,
в точке (to, Ха) Е G происходит под действием дuффеоморфuзма
(Т. е. взаимно однозначноrо отображения, непрерывно дифферен
цируеМОI' о 27) вместе со своим обратны:м:)
ер: U(to, Ха) V
27) В определении диффеоморфизма возможны и друrие варианты диффе
ренцируемости: от простой до бесконечной.
20
некоторой окрестности U(to, Ха) С G этой точки в некоторую об
ласть V С Rl+n. При отображении (jJ rрафик rl x с U(to,xo) лю
боrо решения х(.), переходит в кривую с координатами
(s,y) == (jJ(t,x(t)), t Е D(x),
которая также l\tl0жет служить rрафиком какой либо функции
у( s ). Если же все интеrральные кривые переходят в интеrральные
кривые системы
1i == О, (В, у) Е V,
то диффеоморфизм 'р называется вЪtnрЯМЛЯ'ЮЩU-М.
Теорема 108. Еслu f, f Е С(С) u (to, хо) Е С, то существу
ет 6ъtпрямляющии дuффеоморфuзм, оставляющuй то'Ч'К;u вида
(to, х) 'На .месте и сохра'Ня'Ющuй nер6ъtе 'К-оордuнатъt всех то'Че'К;.
<] 1. Для каждоrо х Е G to обозначим через х(., х) непродолжае
мое решение, удовлеТВОрЯЮIцее начальному условию
х( to, х) == х.
Соrласно следствию 102 (без оrраничения общности считаем MHO
жество G to с Rn областью 28 »), функция х(.,.) определена в HeKO
торой области D(x) с Rl+n.
2. Отображение
х: D(x) С,
ставящее в соответствие каждой точке (t,x) Е D(x) точку
x(t, х) (t, x(t, х))
(80)
области С, непрерывно дифференцируемо (следствие 102 и Teo
рема 105), причем верны равенства
х (to, х) == (to, х( to, х)) == (to, х), Х Е G to ,
x (to, ХО) == (x(to, x)) lx==xo == x lx==xo == I Е End(R n ).
3. Производная
, (t ) ( 0 1 ) Е End(R l+n )
X(t,x) о,Хо == x(to xo)
28)с этой целью, если нужно, область G можно и уменьшить.
21
невырождена, а значит, отображение Х осуществляет диффео
морфизм достаточно малой окрестности точки (to, хо), которую
можно выбрать в Биде произведения
v = 1 х V(xo), 1 с R, V(xo) с G to ,
в окрестность U(to, хо) той же точки. Следовательно, и обратное
к нему отображение <р также диффеоморфизм.
4. Наконец, для каждой точки х Е V(xo) отображение ер пе
реводит rрафик решения х(., х) в rрафик решения у(.) х новой
системы, так как в соответствии с равенством (80) имеем
ep(t, x(t, х» == (t, х), t Е 1.
[>
5.10. Задачи для саМОСТОЯr.['ельноrо решения
1. Останется ли справедливым утверждение теоремы 95, если
в нем условия f , y Е С( С):
заменить условиями f Е LiPx(G) и 9 Е Lipy(G);
вообще убрать?
Аналоrичный вопрос для теоремы 99 и следствий из нее.
11. Можно ли усилить теорему 95, утверждая, что при надле
жащем выборе 8 > О оценка (66) будет выполнена не только для
компакта К С 1 D(x), но и сразу для все20 u'Нтервала 1, если
обеспечены какие либо из следующих условий:
а) 9 == f;
Ь) интервал 1 оrраничен на прямой R;
с) все возмущенные решения у определены на интервале 1;
d) исходное решение х доопределяется на замыкание К == 1?
111. Если Х и У пространства функций с равномерной или
компактно открытой тополоrией каждое, то утверждение о He
прерывности функции f: Х -------+ у можно понимать, COOTBeTCTBeH
но, в четырех разных смыслах. В каком смысле оно лоrически
самое сильное, а в каком самое слабое?
IV. Сформулировать и доказать следующие теореЬ1Ы, анало
rичные теоремам 101, 105 и 106 соответственно:
а) о неnрерыlносrпuu по начально'Й точ е (to, хо) решения
x(t, to, хо) семейства задач Коши (64);
22
Ь) о дuффереuцuруе.мостu по 'На'Чалъно.му .моменту to реше
ния x(t, to) семейства задач Коши (64) с фиксированным началь
ным значением Хо. Требуется ли для нее существование производ
ной 1:? Записать систему в вариациях по начальному моменту и
начальное условие для производной У == x o;
с) о 1-tеnрерЪtвuостu по на'ЧалъuъtМ з'На'Ченuям Уо, . . . , Yn 1
реmения y(t, уо, . . . , Yn l) семейства задач Коши (33) для ypaBHe
ния n ro порядка с фиксироваННЫ11 начальным моментом to.
V. При каждом k Е N доказать справедливость следующеrо
утверждения для решения х
задачи (64): если f Е Ck(G), то х Е C k + 1 (D(x));
задачи (73): если f ( (k) ) Е С(С х М), то х}:) Е C(D(x)).
X,J.L
VI. Найти систему в вариациях по начальному значению для'
решений системы
х == A(t)x + F(t), А, F Е С(!).
VII. Для произвольноrо вектора Уа Е R n выяснить, что за
производная у == х' решения х семейства задач КОIUИ (64) удовле
творяет начальному условию y(to) == Уа и системе в вариациях
(78) по начаЛЬНО 1У значению.
VIII. Доказать, что отображение Х (80), заданное на всей CBO
ей области определения D(x), является диффеоморфизмом.
6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
6.1. Определение устойчивости
Для заданной системы
х == f(t, х), (t, х) Е G с Rl+n,
(81)
с на'ЧаЛ/Ь'НЪtМ моментом to Е R назовем uсХОдUъtМ одно из реше
ний хо(.), область определения KOToporo содержит луч
R+ = [to; (0).
Остальные решения этой систеlVIЫ, называемые возмуще'Н'НъtМU,
буде1vl предполаrать непродолжаемыми и завеДОlVI0 определенны
ми в точке to.
23
Определение 19. Решение Ха: R+ Rn называется:
устоu'ЧuвъtМ (по Ляпунову), если для люБОI'О с > О суще
ствует такое 1 ) д > О, что любое решение х удовлетворяет импли
кации
Ix(to) xo(to)1 < д ===} Ix(t) xo(t)1 < с, t Е R+ С п(х); (82)
асu.мnтотu'Чес'Кu устоu'ЧuвЪt-М, если, 'Кроме тО20, для HeKO
Toporo до > О любое решение х удовлетворяет импликации
Ix(to) xo(to)1 < до ===> lim Ix(t) xo(t)1 == о; (83)
t .......Н:ю
неусmоu'ЧuвЪt.м, если оно не является устойчивым по Ляпу
нону.
Заключительное неравенство И 1пликации (82) означает, что
возмущенное решение лежит в с трубке
Ue,R+(XO) {х\ D(x) :) R+, IIx(.) XO(.)IIR+ < с}
исходноrо решеиия, но не на компакте, как прежде, а на целом
лу'ltе 2 ) R +. Таким образом, устойчивость по Ляпунову решения
хо равносильна непрерывности в точке Ха хо (to) отображения
G to В(С),
(84)
которое каждому начаЛЬНОl\tlУ значению х Е G to ставит в COOT
ветствие непродолжаемое решение х(., х) Е S (С) задачи Коши с
начальным условием х( to, х) == х, причем последнее множество
наделено равномерной на луче R + тополоrией З ).
6.2. Задача об исследовании на устойчивость
состоит в следующем: зная лишь правую часть дифференциаль
ной системы (81) и ее исходное решение, выяснить, является
ли оно устоu'Чuвъt-м по Ляпунову, асu.мnmотu1Llес'Кu устОU1LluвъtМ
или неустоu-ч-uв'ым. При этом более предпочтителен такой метод
1) Число б, естественно, не может превосходить е.
2)это требование нарушается, в частности, если возмущенное решение
определено не на всем луче.
3)в. компактно открытой тополоrии эта непрерывность имеет место и так
(СМ. теорему 101).
24
исследования, который не требует нахождения возмущенных pe
шений.
Лемма 109. Фаrк;т усто'Й'Чuвости, асu.мnтотu'Чесrк;оu усто'Й
'Чивости uли 'Неусmоu'Чuвостu реше'Нuя хо 'Не 'Нарушuтс-я, еслu:
1) 02ранu'Чuт'Ь M'Нo ecтвo возмуще'Н'Нъtх реше'Нu'Й лиш'Ь тe
ми uз 'Них, rк;оторъtе 'На'Чu'Наютс-я в rк;аrк;ой 'Нuбудъ 'Наперед зада'Н
'Нои orк;pecт'Нocти U(хо) С R n иа'ЧаЛЪ'НО20 з'На'Че'Нu-я Хо = xo(to);
2) uзменитъ 'Норму в R n , в 'Частностu, фurк;сuроватъ rк;arк;oй
лuбо базис в Rn u въtбратъ 'Норму, въtра ающуюся 'Через rк;oopди
'Нат'ь" ве7'1;торов в этом базuсе;
3) uз-ме'Нuтъ 'На'Чал'Ьнъtu моме'Нт to Е D(xo) nри условuu, 'Что
имеет место 'Неnрер'ыв'Ная завuсu-мостъ реше'Нuй от 'На'ЧаЛЪ'НО20
зна'Че'Нuя;
4) сдви'Нутъ 'Начало rк;oopди'Нaт в R n в rк;аrк;ую либо 'Новую точ
rк;y, возмо 'Но дa e, завuс-ящую 4 ) от времени, иаnример, nyc
титъ е20 вдолъ исход'НО20 реше'Нuя (rк;oтopoe, тем ca-мъt.М, npe
вратuтся в 'Нулевое).
<] 1. Определение 19 действительно не пострадает, если фиrури
рующие в нем числа 8, 80 > О считать меньшими наперед задан
Horo положительноrо числа.
2. Тополоrия в пространстве R n, как и равномерная на луче
R+ тополоrия в пространстве 8(С), не зависит от нормы в R n ,
поэтому от нее не зависит ни факт непрерывности отображения
(84), ни равенство нулю предела (83).
3. Если tЬ, to С D(xo) и К [tЬ; to] или К [to; t o ], а решение
хо устойчиво (асимптотически) с начальным foMeHToM to, то, в
силу равномерной по t Е R + непрерывности решения от значения
в начальный момент to и равномерной по t Е К непрерывности
решения от значения в начальный момент t o , имеем: для любоrо
е > О существуют такие числа 81 > О (и, соответственно, 81 < 80)
и 82 > О, что верны импликации
Ix(to) xo(to)1 < 81 ===* Ilx(t) xo(t)IIR+ < е,
Ix(t o ) xo(to)1 < 82 ===> Ilx(t) xo(t)IIK < 81 Е,
откуда получаем требуемую для устойчивости с начальным MO
ментом t o импликацию (82)
Ix(t ) xo(t )1 < 82 ===> Ilx(t) xo(t)IIR+UK < е
4) Непрерывно дифференцируемо.
25
(и, соответственно, заключение импликации (83) ДЛЯ асимптоти
ческой устойчивости).
4. В результате замены у == х a(t) получаем
х == f(t, х) iJ == f(t, у + a(t)) a(t) = g(t, у),
а факт устойчивости, асимптотической устойчивости или Heyc
тойчивости сохраняется и для HOBoro решения Уо(.) = xo(.) a(.) (а
если а == Ха, то даже Уа == О), так как он полностью определяется
неизменными при такой замене величинами
Iy(t) Ya(t)1 == Ix(t) xa(t)l, t Е R+.
[>
6.3. "УСТОЙЧИВОСТЬ решений линейной системы
х == A(t)x + F(t), А, F Е C(I),
I :) R+
,
в том числе и асимптотическая, соrласно п.! леммы 110 либо
имеет место для всех решений сразу, либо не имеет места ни для
одноrо из них. Поэтому саму линейную систему с устойчивыми
(асимптотически) решениями, пользуясь вольностью речи, также
называют устоuчивоu (aCUMnmomU'Llec u).
Лемма 110. Лuнеu'Нъtе сuстеМъt обладают следующимu cвoи
ствами.
1. Устоuчuвост'Ь (асимnтотuчес ая) реше'Ния Ха Е 8 А ,Р He
однород'Нои системъt равносuлъна усmоu'Чuвости (асимnтО1Тtиче
c oЙ) 'НулевО20 реше'1-iия О Е S А соответствующеu однородной
сuстеМЪt.
2. Следующие уmвер де'Ния об однороднои системе э вива
лент'Нъt:
а) система ycmOU'Lluea (асuмnтоти'Чес и);
Ь) все решенuя сuстемъt 02ранu'Ченъt (стремятся 'х; нулю
при t (0);
с) существует фу'Ндаментал'Ьная система 02ра'Нu'Ченнъtх
реше'Нuи (стремящuхся 'к; нулю nри t (0).
3. Система с nостоян'НъtМ оператором А Е End Rn :
асuмnтотuчес%u устОU"iuва тпО2да u тол'Ь'к;О тО2да, 'к;02
да де'Й,ствuтелъ'Нъtе частu всех е20 собстве'Н'НЪtХ 3'1-iаче'Нuй oтpи
цателъ'Нъt;
26
устоu'Ч,uва тО2да u тол'Ь о тО2да, 02дa деиствител'Ь'Н,'ые
'liaCm1t всех е20 собствеН'НЪLХ з'На'liенuи отрu'Цател'ЬНЪt uлu paв
'Нъ" 'Н,улю, npUrtteM nоследнuм соответствуют жорда'Новъt 1);лет
'КН тОЛ'Ь1);О первО20 nоряд7'1;а.
<J 1. Если пустить начало координат вдоль решения хо (t) (см. п. 4
леммы 109), то множество SA,F всех решений перейдет в множе
ство
SA,F ХО == SA,
а решение хо Е S A,F перейдет Б нулевое О Е S А, причем факт ero
устойчивости (аси1\tIптотической) не нарушится.
2. Из условия а) вытекает оrраниченность (соответственно, со
стремлением к нулю при t 00) всех решений, начинающих
ся достаточно близко к нулю и заполняющих своими линейными
комбинациями все линейное пространство S А, поэтому
а) =-===> Ь) ===> с).
Докажем импликацию с) ===> а). Пусть решения хl,... ,Х n
оrраничены и образуют фундаментальную систему. Тоrда набор
их начальных значений хl (to), . . . , xn(to) базис Б Rn, а сумма
модулей координат векторов в этом базисе норма в R n (см. п.2
леммы 109), причем
. шах IIXi(t)IIR+ М < 00,
==1,...,n
и для любоrо решения х == с1хl + . . . + сnх п имеем импликацию
8 > Ix(to)1 == IC 1 X l(tO) +... + Cnxn(to)1 == IC 1 \ + ... + 'Спl
Ilx(t)IIR+ \C 1 11I x 1I1R+ +... + \CnlllxnIlR+ Мб < е
при достаточно малом 8 < е/М (если, кроме Toro, все решения
X1(t),... ,xn(t) стремятся к нулю при t 00, то и любая их ли
нейная комбинация тоже). Таким образом, систе1\1а устойчива
(асимптотически) .
3. Утверждение вытекает 5 ) из свойств фундаментальной си
стемы действительных решений, складываемой из подсистем, Ka
ждая из которых строится по своей жордановой клетке (поряд
ка т) или по паре комплексно сопряженных жордановых клеток
оператора А Б соответствии с теоремой 84:
5)с помощью утверждения 2 на.стоящей леммы.
27
в случае л Е R имеем подсистему из m решений
Zj(t) == е лt (h j + thj l + ... + €j(t)h 1 ), j == 1,. .., т,
которые оrраничены тоrда и только тоrда, коrда либо Re л < о
(и тоrда они даже стремятся к нулю при t (0), либо Н,ел == О и
m == 1 (так как €j(t) == tj l /() 1)1);
в случае л == а :f: ifЗ cj. R имеем подсистему из 2т решений
Х; == Re Z j , у j == 1т Z j , j == 1, . . . , т,
которые оrраничены (стремятся к нулю при t (0) тоrда и толь
ко тоrда, коrда тем же свойством обладают m функций
Zj(t) == e at . еi{Зt (hj+thj l +... +€j(t)h 1 ), j == 1,..., т,
т. е. при тех же условиях, что и в предыдущем случае (поскольку
lеi,Вtl == 1). [>
6.4. Функция Ляпунова
v: U(О) R (rде U(О) окрестность точки О) дЛЯ системы
х == f(t, х), (t, х) Е G R+ х U(О),
(85)
с нулевым решениемС), призванная подтвердить факт устойчи
БОСТИ, асимптотической устойчивости или неустойчивости этоrо
решения, составляет основу втОрО20 .метода Ляпунова.
Определение 20. Любая функция 7 ) v Е С(U(О)) n С 1 (u(о)),
удовлетворяющая условию
О) v(O) == О
и условиям 1), 2) любой из трех нижеследующих теорем, назы
вается фу'Н'К;'Цuеи Л.япу1-tова для системы (85). Левая часть Vt(x)
неравенств, содержащихся в условиях 2) этих теорем, называется
nроuзводнои 8 ) фу'Н'К;'Цuu v в сuлу систем/ы (85), которая равна
Vt (х) v' ( х ) f ( t, х) == v 1 (х) f 1 ( t, х) + . . . + V n (х ) f n ( t, х).
6)Имеющимся в случае равенства f(t, О) = о.
7)Окрестность U(О) nро?\'олоmа, т. е. не содержит точку о.
8)по t. Однако индекс t у нее обозначает не переменную, по которой проис
ходит дифференцирование, а параметр, от KOToporo эта ПрОИ3Бодная, вообще
rоворя, зависит (в автономном случае этот индекс можно и опустить).
28
1. Некоторый свет на понятие функции Ляпунова проливает
Следствие 111. Если f Е C(G), то:
а) значение nроизводной фУ'Н/JCции v в силу систе-мъt (85) в
то'Ч, е Х Е U(О) в .мо-мент t Е R+ представляет собой nроизвод
ную сложной фУ'Н/JCции
. ( ) dv(x(r» t
Vt Х d t '
Т T
2де х любое 9 ) решение cucтe.м'bt (85), удовлетворяющее начал,ь-
'Но.му условию x(t) == Х;
Ь) для любоео решения х, удов.летворлющеео условию
x(t) Е V С И(О), t Е К = [а; (3],
справедливо равенство
v(x(p» v(x(a» == f: Vt(x(t» dt,
а ес.ли при этом
Vt(X) < о (Vt(x) О), х Е V, t Е К,
то фу'н/к;'Ция Vt(x(t» 'На отреЗ'к;е К уБЪtвает ('Нестроео).
<] В условиях п. а) имеем равенство
dV ;T» IT=t == v (x(t»x(t) == v'(x)f(t, х) == Vt(x),
проинтеrрировав которое по t от а до (З, получаем утверждение
из п. Ь). L>
11. В условиях 2) теорем 113. и 114 фиrурирует непрерывная
функция w(x), осуществляющая равномерную по t Е а+ оценку
производной
Vt(X) w(x) (Vt(X) w(x».
Если же система (85) автономна и f Е С(И(О», то такую же
оценку заведомо осуществляет и функция
w = V == v' f Е С(И(О»,
что упрощает формулировки упомянутых теореМ.
9) Существующее, в силу теоремы Пеано.
29
6.5. Первая теорема Ляпунова (об устойчивости)
Теорема 112. Пустъ f, f Е С(С) u для сuсте.мъt (85) суще
ствует фун'/{;'Цuя v Ляпунова, удовлетворяющая при х Е И(О) и
t Е R + условuям:
1) v(x) > 0,-
2) Vt(x) о.
ТО2да 'Нулевое реше'Нuе этоu cucтeM'bl устоu'Чuво по Ляпунову.
<:J 1. Пусть задано число Е > О, удовлетворяющее (без оrраниче
ния общности) условиям
Ug (O) с U(О),
М = minv(x) >0.
Ixl==e
2. Вследствие равенства v(O) == О для непрерывной в точке О
функции v, существует такое 8 > О, что выполнено неравенство 1О )
m sup v(x) < М.
Uб(О)
3. Для любоrо решения х с начальным условием x(to) Е Иб(О),
соrласно следствию 111, имеем
v(x(t)) v(x(to)) m < М, t to, t Е D(x).
4. Следовательно, ни при каком t Е R+ не будет выполнено pa
венство Ix( t) I == е (а тем более неравенство Ix( t) I > Е), стало быть,
по теореме 20 решение х неоrраниченно продолжается вправо и
х Е Ue,R+ (О).
[>
6.6. Вторая теорема Ляпунова (об асимптотиче..
екой устойчивости)
Теорема 113. Пусm'Ь f, f Е С(С) u для систе.м,'ы (85) суще
ствует фу'Н'/{;'Цuя v Ляпунова, удовлетворяющая nри х Е U(О) u
t Е R + условиям:
1) v(x) > о;
10)из KOTOpOI'O, кстати, автоматически вытекает включение U6(О) С Uе(О).
30
2) Vt(x) ш(х) < О для 'Не%оторой фу'Н'К'Цuu w Е С(U(о).
TozJa нулевое реше'Нuе этой систем,'ы асuмnтотu'Чес'К;u ycтoй
ч ив о.
<J 1. В условиях 1) и 2) настоящей теоремы применима предыду
щая теорема, rарантирующая устойчивость нулевоrо решения и
существование таких чисел с > О и до > О, что любое возмущен
ное решение х с начальным условием x(to) Е U80(О) определено на
луче R + и удовлетворяет УСЛОВИЮ
x(t) Е Uе (О) С U(О), t Е R+.
2. Пусть одно из указанных возмущенных решений х не yдo
влетворяет УСЛОВИЮ
Нт Ix(t) I == о.
t oo
(86)
Тоrда для Hero справедлива оценка
Нт Ix(t)1 > а > О,
t oo
из которой!!), В силу убывания функции v(x(t)) (следствие 111)
и ее оrраниченности снизу, при всех t Е R + имеем
v(x(t)) Нт v(x(t)) == Нт v(x(t)) min v(x) = (3 > о.
t oo t oo хЕиЕ: (О)\И и (О)
3. Следовательно, при всех t Е R+ получаем
x(t) Е Uе (О) \ V/3(O), {'де О Е v,в(О) {х Е И(й)1 v(x) < (3}
(последнее множество открыто, так как функция v непрерыв
на) и
Vt(x(t) ax w(x) = 'Y < о.
хЕиЕ:(О)\ Vf3(O)
4. Но тоrда при достаточно большом t имеем (следствие 111)
v(x(t)) v(x(t o )) + (t w(x(r)) dr v(x(to)) "(t to) < О,
Jto
что невозможно, а значит, сделанное выше предположение о
невыполнении условия (86) не подтвердилось. с>
11)Кстати) Q; < €.
31
6.7. Теорема Четаева
представляет собой существенное обобщение третьей теоремы Ля...
пунова (о неустойчивости, СМ. задачу IV в конце rлавы).
Теорема 114. Пустъ J, f C(G) и для cиcmeM/bt (85) суще
ствует фу'Н/ 'Ция v Ляпунова Четаева, удовлетворяющая усло
вuю 12 )
О) существует область V с U(О), для 'Х;оторой
OEд
v(x)lxeavnu(o) == О,
а при х Е V и t Е R+ условиям:
1) v(x) > о;
2) Vt(x) w(x) > О для не'К,оторой фун цuи w Е C(V).
Тоеда нулевое решенuе этой сuсте.мъt 'Н,еустой'Чuво.
<] 1. Выберем € > О настолько малым, что
ие (о) С И(О),
= V n ие(о).
2. Пусть некоторое решение х с начальным условием x(to) Е
удовлетворяет условию
x(t) Е ие(о), t Е R+.
(87)
3. Для числа (3 = v(x(to» > о определим множество
Vt = \ V P , rде V = {х Е U(O)I v(x) < ,В}.
Ero rраница содержится в объединении множеств GVP n ие(о) и
дUе(О), так как точки х Е oVnU(O) внутренние для множества
v/3. Более Toro, по той же причине замкнутое и оrраниченное (Т. е.
компактное) множество v! содержится в множестве V.
4. Решение х удовлетворяет условию
x(t) Evt, tER+,
так как x(to) Е vt и ни при каком t to вектор x(t) не может
попасть на rраницу множества 13 ) vt: в точках х Е aV n Uf;(O)
имеет место оценка
v(x) == о < fЗ == v(x(to» < v(x(t»
12)Которое не противоречит условию О) определения 20.
13)Чтобы покинуть ero.
32
(по следствию 111 ФУНКЦИЯ v(x(t» возрастает, пока x(t) Е У), а
точки х Е аие(о) недоступны в СИЛУ условия (87).
5. Обозначив
il!L w(x) = 'у > о,
ЖЕvf
имеем
v(x(t» v(x(to» + l t w(x(r» dr /3 + 'Y(t to), t Е R+,
to
а значит, непрерывная на компакте v! функция v неоrрани
чена, что неверно, как, впрочем, и предположение (87). Следова
телъно, любое непродолжаемое 14 ) решение с начальным условием
x(to) Е Ve: либо не определено на всем луче R+, либо определено,
но не удовлетворяет на нем условию (87), Т. е. нулевое решение
неустойчиво. [>
6.8. Теорема Ляпунова об устойчивости по пер-
вому приближению
относится к системе
х == Ах + F(t, х), Р, p Е C(G), G:> R+ х И(О), (88)
удовлетворяющей условию 15 )
IIF(., x)IIR+ == о(х) (обозначение F(t, х) == о(х», х -----+ о. (89)
в качестве оператора А Е End R n, задающеrо соответствующую
лuнеаризованную систему (nервО20 приближения)
х == Ах, t Е R+ ,
rодится, например, производная f (t, О) правой части системы
(85), если она 16 ) не зависит от времени.
14)см. лемму 19.
15)Обеспечивающему наличие нулевоrо решения.
16)Производная, а еще лучше сама правая часть.
33
Следующие две teope:r-.1bI кладут начало первому .методу Ля
пу'Нова, который позволяет делать заключение об асимптотиче.-
ской устойчивости или неустойчивости нулевоrо решения систе
мы по наличию Toro же свойства у соответствующей ей линеари
зов анной системы.
Теорема 115. Если деиствитеЛЪ'Н'Ьtе "-lacтu всех собстве'Н
'НЪLХ з'На'Че'Нuи оператора А отрицатеЛЪ'НЪt, то 'Нулевое решенuе
систеМъt (88) с условием (89) асuмnтотu'Чесrк;u устОU'Lluво.
<1 1. Комnлеrк;сuфuцuруем систему (88), перейдя к системе
i == Az + F(t, z),
rде А Е End СП комплексификация оператора А Е End R n (СМ.
определение 1 7), а функция
F(t, z) == F(t, Re z) == o(Re z) == o(z), z О, (90)
определена в области
9 = {(t, х + iy)1 (t, х) Е а, у Е R n } :) R+ Х И(О),
И(О) = U(О) + iR n ,
причем ее сужение на область G совпадает с функцией F.
2. Для собственных значений Лl,.. ., Л N оператора А обозна
чим
а = . min I Re Лi I > О, д = а/4.
1==1,...,n
3. Выберем такой базис в СП, в котором матрица оператора А
имеет вид
Лl 82 О
А== О Л2 О 82,...,8 n Е {о,8}.
д n
О О Л n
Этот базис:
а) получается из жорданова базиса h 1 ,. .., h n ДЛЯ оператора
А с помощью сnецuаЛ'Ь'НО20 преобразования, которое производит
ся по фОР lулам
h; == hl, h == 8h2,. .., h ::= 8n lhn,
(91)
34
действительно: если в жордановой форме матрицы оператора А
над rлавной диаrональю первоначально стояли некоторые числа
8 2 ,...,8 n Е {О, l}, то в новом базисе они умножатся на 8
Ah == ..Ah 1 == h 1 == h ,
Ah == 8i lAhi == 8i 1(hi + 8ihi 1) == h + 8(8ih 1)' i == 2,... ,n,
и больше в матрице ничеrо не изменится;
Ь) можно объявить ортонормированным, задав тем самым
в СП новое скалярное произведение и новую 'Норму
(z, и) == и* z, 11" z Е СП,
Izl J(z,z) , z = ( :: ) ,
от чеrо условие (90) не пострадает.
4. Для матриц
Л =
2 Re Лl О
О 2 Re ..\2
о
о
о 82 О
д 82 О
8n
О 8 п О
о
О
2 Re ..\n
справедливы соотношения
8 2 Z 2 О
8 2 z 2
А + А* == Л + д, Iдzl + 281zl.
8 n z n
О 8 n z n
5. Возьмем функцию
v(z) z.2 == z* z, z Е И(О),
тоrда при (t, z) Е 9 имеем
Vt(Z) == (z* z) == z* (Az + F(t, z)) + (Az + F(t, z)) * z
== z*(A + A*)z + z* F(t, z) + F*(t, z)z z*(Л + д)z + 2IF(t, z)lfzl
n
L 2 Re..\ilzil2 + Iz*дz! + o(z2) ( 2a + 28 + o(1»)z2 az2,
i==l
35
как только 0(1) < 0./2, что достиrается малостью величины Izl,
т. е. уменьшением области И(О).
6. К исходной системе (88) с функцией Ляпунова, равной суже..
нию ФУНКЦИИ v на область U(О), применим теорему 113, соrласно
которой нулевое решение асимптотически устойчиво. t>
6.9. Теорема Ляпунова о неустойчивости по пер-
вому приближению
Теорема 116. Если действител'Ьная 'Част'Ь хотя БЪt однО20
из собственнъtх значенuй оператора А nоло uтел'Ьua, то нуле
вое решение системъ, (88) с условием (89) неусто'йчuво.
<J 1. Комплексифицируем систему (88) в соответствии с первым
пунктом доказательства теоремы 115.
2. Для собственных значений Лl, . . . , Л N оператора А без orpa..
ничения общности считаем, что
RеЛl ... RеЛm = 20. > О RеЛm+l ... Rел n , 8 = 0./4.
3. Выберем базис hi, . . . , h и норму в СП в соответствии с п. 3
доказательства теоремы 115.
4. К матрицам А и Ll, введенным в п. 4 доказательства теоре-
мы 115, добавим матрицы Е' и !:1', для которых
Е' == (Ео E т)' А* Е' + Е' А == IAI + ', II 'II == II II == о,
rде Е т единичная матрица порядка т, а IAI матрица, co
ставленная из модулей элементов матрицы А.
5. Возьмем функцию
m n
v(z) = Е I Z il 2 L I Z il 2 == z. Е' z, V == {z Е U(O)I l1(Z) > О},
i== 1 i==m+ 1
тоrда
m m n
2 Е I Z il 2 > L I Z il 2 + . Е I Z il 2 == z2, Z Е V,
i==l i==l i==m+l
36
поэтому при (t, z) Е R+ Х V имеем
Vt(z) == (z*E'z) == z*E'(Az + F(t,z») + (Az+F(t,z))*E'z
== z*(E' А + А* E')z + z* E'F(t, z) + F*(t, z)E' z z*(lл\ + ')z
n
2IF(t, z)IIIE'lIlzl L 21 Re Лi II z il 2 Iz* ' zl 0(z2)
i==l
m
4а L IZil2 бz 2 0(Z2) (20: 0:/2 0(1))z2 > QZ2,
i==l
как только 0(1) < а/2, что достиrается малостью величины Izl,
т. е. уменьшением области И(О).
6. Сечеиие области V исходиым действительным простраи
ством R n с СП ие пусто, так как эта область содержит С ли
нейную оболочку17) векторов h , . . . , h'm, которая, в свою очередь,
заведомо содержит R линейную оболочку действительных BeKTO
ров h :f: h' i , i == 1,..., т. Компоненту связности этоrо сечения,
имеющую точку О на rранице, объявим областью V, а сужеиие
функции v на область V объявим функцией Ляпунова Чета
ева, после чеrо применим к исходной системе (88) теорему 114,
соrласно которой нулевое решение неустойчиво. t>
6.10. Задачи для самостоятельноrо решения
1. Доказать, что если G :> R+ х U(О) и f, f Е С(С), то в опре
делении 19 устойчивости по Ляпуиову решения системы (81) мож
но опустить требование продолжаемости возмущенноrо решения
на весь луч R+, заменив условие t Е R+ С D(x) в импликации
(82) более слабым условием t Е R+ n D(x).
11. Может ли случиться, что разиые решения одной и той же
системы (81) ведут себя при t 00 по разному: одни устойчи
вы (не асимптотически) по Ляпунову, друrие аСИ ..1птотически
УСТОЙЧИВЫ, а третьи неустойчивы?
111. Верно ли, что если все решения системы (81), с нулевы ..1
решением и с правой частью f Е С 1 (С), стре ..1ЯТСЯ к нулю при
t 00, то:
все решения этой СИС'J:'емы оrраничены при t Е R +;
нулевое решение устойчиво по Ляпуиову;
17)Точнее, ее часть, попадающую в окрестность И(О) начала координат
37
нулевое решеиие асимптотически устойчиво?
Те же вопросы для случая n == 1.
IV. Доказать третъю теорему Ляпунова (о неустой'Чuвос
ти): пусть f, f Е С(С) и для системы (85) существует функция
v Ляпунова, удовлетворяющая при х Е (;(0) и t Е R+ условиям:
1) v(Xj) > О для некоторой последовательности Xj О, CTpe
мящейся к нулю при j 00;
2) Vt(x) ш(х) > О для некоторой функции w Е С(U(О)).
Тоrда нулевое решение этой системы неустойчиво по Ляпунову.
V. Останется ли справедливым утверждение теоремы 113 или,
соответствеиио, 114, если в ней условие 2) заменить более про
стым (не содержащим функции w) условием Vt(X) < о ИЛИ, COOT
ветственно, Vt(X) > О в случае, коrда система (85):
автономна;
неавтономна?
VI. Доказать, что если все диаrонали (параллельные rлавной)
матрицы иекотороrо оператора в иекотором базисе h 1 , . . . , h n за
нумерованы ПОДРЯД снизу вверх целыми числами == n,..., n
(например, rлавная диаrональ имеет иомер О), то при переходе к
новому базису h ,..., h (91) каждый элемент i й диаrоиали этой
матрицы умножается на б i .
VII. Доказать, что факт устойчивости, асимптотической yc
тойчивости или неустойчивости нулевоrо решения не нарушится,
если перейти к новому базису в R n , непрерывно дифференциру
емо зависящему от времени, т. е. совершить ляnуновс'Кое nреобра
зованuе координат
у :=; L(t)x, IILIIR+ + IIL lI1R+ < 00, L Е C 1 (R+).
VIII. Доказать, что периодичная линейная однородная систе
ма (см. задачу V из п. 3.17):
асимптотически устойчива тоrда и только тоrда, коrда
лодули всех ее мультипликаторов меньше 1;
устойчива тоrда и только тоrда, коrда 1vl0ДУЛИ всех ее
мультипликаторов меньше или равны 1, приче л последним COOT
ветствуют жордаиовы клетки оператора монодромии, имеющие
только первый порядок.
38
7. Автономные CJtICTeMbI
7.1. Фазовое пространство
авmО'Н,ОМ1iой 1 ) системы
x==f(x), xEGcR n ,
(92)
это область С, а фазовая трае'Х;торuя решения х это пара
метрически заданное множеств0 2 )
Е(х) {x(t)1 t Е п(х)} с с.
Собственно множество Е(х), временная параметризация KOTOpO
ro забыта, наз.ывается фазовой 'Х;рuво'Й, или орбuтой, решения х, а
миожество всех фазовых траекторий (кривых) системы ее фа
306'btM портретом. Множество всех непродолжаемых 3 ) решений
системы (92) обозначим через S/(G).
Jlюбую систему без оrраничеиия общности можно считать aB
тономной, добавив, в случае иеобходимости, дополнительную фа
ЗОВУIО переменную:
{ х == f(x, t) { == f(x, х n +l)
хn+l == t хn+l == 1, rде хn+l (О) == О
(если последнее оrраничение снять, то добавятся лишние реше
иия, которые получаются сдвиrами переменной хn+l == t + С,
с Е R, иrравшей прежде роль времеии).
7.2. Сдвиr по времени реПIений автономной си..
стемы
1. Задать автономную систему (92) это то же самое, что
задать на ее фазовом пространстве ве'Х;т,орное поле, т. е. каждой
точке х Е G поставить в соответствие вектор
dx( т) I
f(x) == i(x(t)) == x(t) = dr T==t'
l)т. е. с правой частью, не зависящей от времени.
2) Которое, ПОJIЬЗУЯСЬ вольностью речи, можно отождествлять с самим pe
шением.
3)в настоящей rлаве все эти непродолжаемые решения молчаливо предпо--
лаrаются определенными на всей числовой прямой R.
39
rеометрический смысл KOToporo, по определению решения, есть
фазовая с'Коростъ x(t) какоrо либо решения х(.), взятая в тот MO
мент t, коrда x(t) == х.
Возможен вариант 4 ) изображения зависимости переменной х
от параметра t иа фазовой траектории в виде стрел'Кu на ней,
показыва.ЮIцей направление движения с ростом времеии.
11. Фазовая скорость автономной системы зависит только от
точки х (но не от IOMeHTa t прохождения через нее решения х),
поэтому временная параметризация фазовой траектории задает
ся, по меньшей мере, с точностью ДО а,ццитивной постоянной, что
И утверждает
Лемма 117. Если х решенuе системыl (92), то для любоu
'Коистант'ы С Е R фуи'К'Ция
y(t) = x(t + С), t Е R,
та'КЭlCе ее решенuе.
<] Если x(t) == f(x(t)), то y(t) == x(t + С) == f(x(t + С)) == f(y(t)).
[>
111. При иепрерывности правой части автономной системы че
рез каждую точку ее фаЗОБоrо пространства проходит хотя бы
одна фазовая кривая (теорема Пеано), а при непрерывной диф
ференцируемости не более одной, как показывает следующая
Лемма 118. Если f Е с 1 (С) и фазовыle трае'Ктории решеиuй
Хl,Х2 Е Sj(G) имеют общую то'Ч'Ку
Xl(tl) == X2(t2),
(93)
то при соответствующих сдви2ах времеии они совпадают:
X2(t + t2) == хl (t + tl), t Е R.
(94)
<1 Если хl, Х2 решения, то по лемме 117 функции хl (t + tl) и
X2(t + t2) тоже решения, а из совпадения (93) их иачальных
значений в момент t == О следует, в силу теоремы 18, их полное
совпадение (94). [>
4)Менее информативный, чем вектор фазовой скорости.
40
7.3. Три типа фазовых траекторий
Определение 21. Фазовую траекторию (кривую) решения
х Е В/(С) системы (92) назовем:
неза.м/ 'Нутой, если
x(t + в) =t f x(t), s > О, t Е R;
зам'/'\;нутой (или цu'/'\;лом), если существует такое Т > О, что
при каждом t Е R выполнено условие
{ == x(t),
x(t + s) =1 x(t),
s == т
.,
о < s < Т;
'НеnодвUЭIC'Нои mO'1l'/'\;oи (или тО'Ч1\,ои nо1\,ОЯ., или nОЛОЭfCенuем
равновесuя)., если
x(t) == Ха, t Е R.
1. Точка Ха Е G называется особой то'1l'/'\;ОЙ ве,/,\;тОРНО20 поля f,
если f(xo) == о. Она называется устоu'Чuвоi1 (асuмnтоmu'Чес'К;u),
если устойчиво (асимптотически) решение х(.) == Ха.
Точка покоя заведомо является особой точкой BeKTopHoro по
ля, а в силу леЬ1МЫ 118 справедливо
Следствие 119. Через особую точ1\,У Ха Е G ве'I'CторНО20 поля
f Е с 1 (С) проходит ров'Но одна фазовая '/'\;рuвая тО'Ч,1\,а nО1\,оя.
11. В определении 21 понятие незамкнутости фазовой TpaeK
тории, отличной от точки покоя, не совпадает с формальным OT
рицанием понятия ее за IКНУТОСТИ, хотя это и подразумевается,
как показывает
Теорема 120. Еслu f Е С 1 (С), то фазовая траеrcmорuя Л'Ю
БО20 решенuя х Е В/(С) можеrп бъtтъ толъ'I'CО од'НО20 uз трех
тиnов, nеречuсле'Н'НЪtХ в оnределенu'l.l 21.
<J 1. Пусть фазовая траектория Е(х) не является незамкнутой.
Тоrда множество S таких чисел s > О, каждое из которых для
HeKOTopOI'O to Е R удовлетворяет равенству х( to + в) == х( to)., не
пусто.
2. Обозначим через 'т миожество всех периодов (включая OT
рицательные и нулевой) функции х и заметим, что:
41
а) S с Т, так как если Т Е S, то для HeKoToporo to Е R
выполнено условие x(to + Т) == x(to), откуда по леМlvlе 118 имеем
x(t + to + Т) == x(t + to), t Е R;
Ь) ДЛЯ любоrо т Е Z справедливо включение
mS = {msl s Е S} С Т;
с) Т == Т, т. е. если множество Т содержит последователь
насть Tk Т (k 00), то Т Е Т, так как
х(Т) == Нт X(Tk) == lim х(О) == х(О),
k (X) k <x>
а значит, либо Т == О Е Т, либо ITI Е s и Т Е :l::S с Т.
3. Возможны два варианта:
либо
inf S == т > О,
тоrда траектория Е(х) замкнута, ПОСКОЛЬКУ т Е Т и ДЛЯ ЛIO-
боrо s Е (о; Т) имеет место условие s 1:- S;
либо, наоборот, inf S == О, тоrда множество
Т:) U 7пS
mEZ
всюду плотно на прямой R (так как для любоrо с > О оно co
держит некоторое число s Е (о; €), а значит, и порожденную им
€ CeTЬ {msl m Е Z}), ПОЭТО IУ Т == Т == R и для каждоrо t Е R
имеем x(t) == х(О), следовательно, траектория Е(х) неподвиж
ная точка. [>
7.4. Фазовый поток
Определение 22. Скажем, что на тополоrическом простран
стве G задана дuиа.ми'Ч,ес ая система, или действие oдиonapa
м,еmрu'Ч,ес'К;ои 2руnnъt nреоб'jXLзоваиuй, если задано семейство отоб
ражений
gt:G G, tER,
удовлеТВОРЯЮIl ее условиям:
42
1) уО == I тождественный оператор пространства с;
2) gt+s == gt О у8, t, s Е R;
3) функция gt(x) иепрерывна по паре (t,x) Е R х а.
Если G с Rn и функция gt(x) непрерывно дифференцируема
по паре (t, х), то динамическую систему назовем фазовЪt-м noтo
'Ком.
Лемма 121. Если f Е С 1 (с), то система (92) задает 'На
М'НОЭICесmве G фазовЪt'Й nото?\', оnределяе-М'Ьtu при ?\,аЭICдом t Е R
Формуло'Й
gt(x(O)) == x(t), х Е В/(С).
(95)
<] Формула (95) действительно определяет отображение G С,
так как через каждую точку х Е G в момент to == О проходит
ровно одно решение х (теорема 14).
1. Для каждоrо решения х имеем уО(х(О)) == х(О).
2. Если t, s Е R, а х, у решения и у(О) == x(s), то y(t) == x(t+s)
(в силу леммы 118), поэтому
gt+S(x(O)) == x(t + s) == y(t) == gt(y(O)) == gt(x(s))
== gt(g8(X(O))) == (gt О уВ)(х(О)).
3. Отображение gt(x) непрерывно дифференцируемо по па
ре (t, х) (следствие 102 и теорема 105), причем обратимо, так как
gt о g t == gt t == 1. t>
11ноrда фазовый поток отождествляют с задаЮIцей ero aBTO
нам ной системой 5 ), тем более, что она однозначно восстанавли
вается по фазовому потоку, например, как указывает
Следствие 122. В условиях ле-м-мъt (121) справедливо paвeи
ство
(gt). It==o == f.
<] Левая часть равенства, примененная к точке х Е С, равна
dg t I (х) == dgt(x) I == dx(t) I == х(О) f(x(O)) == f(x),
dt t==O dt t==O dt t==O
rде х(О) == х. [>
5)Не беспокоясь о существовании последней.
43
7.5. Локальное выпрямление фазовых траекто--
u
рии
системы (92) в 'Неособои тОfLl'К;е ХО Е G с Rn BeKTopHoro поля!
происходит под действием диффеоморфизма
'р: U(хо) V
переводящеrо некоторую окрестность U(хо) С G этой точки в
некоторую область V с R n . При отображении ер фазовая TpaeK
тория Е(х) с U(хо) любоrо решения х переходит в траекторию
у == <p(x(t)), t Е D(x),
а если все фазовые траектории переходят в фазовые траектории
системы
о
iJ == е n = О (96)
1
то диффеоморфизм <р называется 8ЪLnрям,ля'Ющи.м.
Все векторные поля в окрестности своих неособых точек (paB
но как и соответствующие им фазовые портреты) выrляДЯТ, с
точностью до диффеОМОРфИЗ lа, одинаково, как показывает сле
дующая, подобная теореме 108,
Теорема 123. Если Хо Е G 'НGособая точ'К;а ве'К;тОР'НО20 no
ля f Е с 1 (С), то существует 8ъtnрям,ля'Ющий диффеом,орфuзм"
оставля'Ющии на .месте эту точ'К;у, а nри условии fn(xo) =f=. о
еще и все тОfLl'КU 2иnерnлос'Кости S С U(Хо), задаваемой условием
Х п == Хn,О.
<1 1. Так как вектор f(xo) отличен от нуля, то без оrраничеиия
общности (за счет перенумерации координат) можно считать, что
отлична от нуля именно последняя, n я, ero координата !n(хо).
2. Положим Уо == ХО и рассмотрим отображение
х: у = (У1,. . ., Yn 1, Уn) х(у) gyn yn,O(Y1" .., Yn 1, уn,о),
определенное ДЛЯ всех 'точек у Е R n , удовлетворяющих условию
(У1, . . . , yn 1, Уn,о) Е с.
44
3. Отображение Х оставляет все точки у (и точку Уо, в част
ности), удовлетворяющие условию Уn == Уn,О, на месте
х(у) == gYn.o yn.o (у!, . . . , Yn 1, Уn,О) == у.
4. Отображение Х непрерывно дифференцируемо (см. лемму
121), причем производная Х'(Уо) имеет компоненты
х'..(Уо) == { (gO) i(Yl'0"",'Yi"",Yn,o)IYi Y"O == ei,
Yt (gYn Yn,o(yo)) I == f(yo),
Уn Yn Yn.o
i f= n,
'l == n,
поэтому она невырождена, а значит, функция Х осуществляет
диффеоморфизм достаточно малой окрестности точки уо, име
ющей ВИ,а;
V U (В(уо) + te n ), В(Уо) с В, (97)
tEI(O)
и ее образа U(хо) X(V).
5. Обратная функция <р == x l для каждой точки х Е В(хо)
переводит фазовую траекторию решения
x(t) =::. gt(x), t Е 1(0),
исходной системы в фазовую траекторию решения
y(t) == x l (gt(x)) == (хl, . . . , Xn 1, Хn,О + t) == х + te n , t Е 1(0),
системы (96). [>
7.6. Первый интеrрал автономной системы
(92) это такая скалярная функция <р Е С 1 (с), что ее сужение
на любую фазовую кривую этой системы есть константа 6 ), Т. е.
для любоrо решения х Е В f (С) выполнено равенство
cp(x(t)) == const, t Е п(х).
1. Для выяснения 7 ) вопроса о том, является ли данная функ
ция первым интеrралом данной системы, вовсе не требуется pe
тать последнюю.
б) Возможно, для каждой кривой СБОЯ.
7) Как и для вычисления производной в силу системы (см. определение 20).
45
Лемма 124. Еслu f Е с 1 (С), то фУН'К/ЦUЯ <р Е с 1 (С) явля
ется nервЪtМ uнтеzрало-м сuсте-МЪL (92) mozaa U толъ'К;о rпozaa,
'К;О2да
ф(х) = ер' (x)f(x) == О, х Е с.
<] 1. Если ер Е с 1 (с) первый интеrрал системы (92), то для
любой точки хо Е G существует решение х Е В f ( С), удовлетворя
ющее начальному условию х(О) == хо (теорема 14), и потому
dep(x( t)) I ' ., .
о == dt t O == <р (х(о»х(О) == <р (xo)f(xo) == <р(хо).
2. Обратно: если выполнено условие
ф(х) == О, х Е С,
то для любоrо решения х Е В f (С) имеем
d<P ?» == <p'(x(t»x(t) == <p'(x(t»f(x(t» == ф(х(t» == О, t Е D(x),
поэтому функция ер(х(.)) константа. [>
11. Функцию ер будем называть первым интеrралом также и
тоrда, коrда она определена лишь в некоторой подобласти С' с G
и является первым интеrралом системы, суженной на эту подоб
ласть.
Определение 23. Множество Р С С' назовем uнварuантнъt-м
(для системы (92) в подобласти С' с С), если с каждой точкой
хЕР оно содержит всю ФаЗОВУIО кривую Е(х) э х, х Е В/(С').
Лемма 125. Поверхностu уровня любоzо nервО20 uнте2рала
ер Е с 1 (С') сuсте.мъt (92) в nодобластu С' с G uнварuантНЪL.
<] Действительно, если для зад нноrо С Е R
хо Е Р = {х Е С'\ <р(х) == С}
и хо Е Е(х), х Е Bf(G'), то Е(х) с Р, так как
<p(x(t)) == ер(х) == С, t Е D(x).
t>
46
7.7. Независимые первые интеrралы
1. Речь пойдет о фу'Н%'Цuо'Налъ'Ноu 8 ) зависимости первых инте
rралов.
Определение 24. Первые интеrралы 'Рl,. .., 'Pk системы (92),
определенные Б некоторой окрестности С' с G точки Хо, назовем
'Незавuсu.мЪLМU в mO'tl%e Хо, если векторы 9 )
'P (хо), . . . , 'P (Xo)
линейно независимы. Скажем, что скалярная функция 'Ф за
висит в области С' от первых интеrралов 'Рl, . . . , 'Pk, если суще
ствует непрерывно дифференцируемая скалярная фуикция 1О ) Р,
удовлеТВОРЯЮIцая равенству
'Ф(х) == F('Pl(X),... ,'Pk(X)), Х Е с'.
(98)
Лемма 126. Любая фу'Н%'Цuя, завuсящая в ner.;omopoи обла
сти от nервЪLХ u'Нте2ралов сuсте.мъt (92), естъ nервЪtи и'Нтe
2рал этои CUCmeM'bt.
<] При подстановке Х == х(.) любоrо решения системы (92) в
функцию (98) получается константа. t>
11. Локальио, в неособой точке векторноrо поля, в множест
ве первых интеrралов автономной системы выбирается базис, в
функциональном смысле, состо щий из n 1 функций.
Теорема 127. Еслu хо Е G 'Неособа.я motttr.;a ве%тОр'НО20
поля f Е С 1 (С), то в 'Не%оторои обласmи С' с G СУUl;ествУ10т
'Незавuсu.мъtе в motttr.;e хо nервЪtе u'Нте2раЛЪt 'Рl, . . . , 'Pn 1 сuсmе.мъt
(92), от r.;ОтОРЪLХ в областu С' завuсuт любои nервЪLU u'Нmе2рал
'Ф этоu сuсте.мЪL.
<J 1. Пусть функция
'Р: С' v r , C' U(Хо),
выпрямляющий диффеоморфизм, существование KOToporo YT
верждается в теореме 123. Тоrда координаты 'Рl,. . ., 'Pn 1 BeKTOp
функции 'Р Е с 1 (С') являются первыми интеrралами системы
8) А не линейной!
9)Стр6ки.
10) Определенная в некоторой области пространства R k .
47
(92), так как ДЛЯ любоrо решения х Е Sf(G') функции
Yi(.) == CPi(X(.)), i == 1,..., n 1,
константы.
2. Эти первые иитеrралы независимы в точке Хо, поскольку
векторы
cp (хо), . · . , CP l (хо)
служат строками невырожденной матрицы ср'(хо).
3. Если'Ф Е с 1 (С') первый иитеrрал системы (92), то функ
ция 'Ф о cp l Е C 1 (V) первый интеrрал систе:rvrы 11 ) (96), так как
для любоrо реПlения У последней системы имеем
'Ф (cp l(y(t))) == ф(х(t)) == const, t Е п(у).
4. Таким образом, функция
ф(х) == 'Ф (<p l(Yl"..' Yn 1, Уn)) == Ф (cp l(Yl'. ., Yn 1, Уn,о))
== 'ф (cp l(CPl(X)"..' CPn l(X)'Xn,o)), Х Е С',
представляется в виде (98), r де
Р(СРl,... ,<Pn 1) = 'ф (cp l(CPl'... ,CPn l,Xn,o)).
[>
7.8. Фазовая прямая
представляет собой одномерное фазовое пространство aBTOHOM
Horo уравнения
х == f (х ), х Е G с R.
Пусть все особые точки BeKTopHoro поля f изолированы. Тоrда
непрерывиая функция f имеет фиксированный знак на каждом
из интервалов, на которые особые точки разбивают область с.
Лемма 128. Пусmъ f Е C 1 (G), тО2да:
1) лю60'l.L интервал 1 с С, не содер:JICаЩU'l.L особъtХ mо'Ч,е'j\; ве'j\;
тОр'НО20 поля f, естъ фазовая х;рuва-я, отлиttt1iая от mOtttX;U no
х;оя 12 ), и 'Наоборот;
11)с выпрямленными координатными линиями по переменной Уn-
12)и даже незамкнутая.
48
2) еслu а едu'Нстве'Нна.л особая то'Чх;а вех;тпОРНО20 поля f в
области С' с С, то следующие утвеР;)ICденuя эх;вuвалентнъt:
а) то'Ч,х;а а устоu'Ч,uва по Ляпунову;
Ь) то'Ч,'Х;а а асu.мnтотu'Ч,ес'К;u устоu'Чuва;
с) f(x) { > О, а > х Е а;,
< О, а < х Е G .
<J 1. Во первых, если f(x) i=- о при х Е 1, то фазовая кривая
любоrо решения х Е 8f(1) совпадает с интервалом 1. Для дo
казательства этоrо факта достаточно проверить справедливость
импликации
ХО x(to), Ха Е [а;,8] С 1 ===* [й;,8] С Е(х).
Действительно, предположив, что ее предпосылка выполнена, но,
например, (3 t/: Е(х) И, скажем, f(xo) > О, получаем противоречие:
inf x(t) inf f(x) == v > О ==* x(t) x(to) + v(t to) > {3
t to хЕ [хо ;,8]
при достаточно большо:м: значении t. Случаи, коrда f(xo) < О или
Q tJ. Е(х), рассматриваются аналоrично.
BO BTOpЫX, любая фазовая кривая Е(х), отличная от точки по
коя, . связное множество (из за непрерывности фуикции х), ие
содержащее особых точек BeKTopHoro поля (следствие 119). По
этому на ней функция f имеет постояниый знак, следовательно,
функция х, определенная на иитервале D(x), cTporo монотонна,
а значит, Е(х) интервал.
2. Соrласно предыдущему пункту, фазовая траектория любо
ro решения х Е 8/(С') есть либо неподвижная точка а, либо один
из интервалов С' n {хl х > а} или С' n {хl х < а}. Поэтому ec
ли условие с) выполнено, то точки движутся по этим интервалам
монотонно, стремясь при t 00 к точке а (т. е. точка а асимпто
тически устойчива), а если не выполнено ТО хотя бы с одной
стороиы от точки а монотонно удаляются от нее иа почтительное
расстояние (т. е. точка а иеустойчива). [>
7.9. Фазовая плоскость
это двумерное фазовое пространство автономной системы
{ :i; == Лх, у) (х, у) Е G с R 2 ,
iJ == g(x, у),
(99)
49
которая тесно связана с уравнением в дифференциалах (см. опре
деление 8)
g(x, у) dx == f(x, у) dy, (х, у) Е а' с с,
(100 )
задающим поле направлений в области
а' = G \ {(х, у)1 (f(x, у), g(x, у)) i= (О, О)}.
Лемма 129. Если f,g Е C1(G), то вся'Кая оmли'Чная от то'Ч
'Ки nО'К;ОЯ фазовая рuвая сuсте,Мъt (99) является u'Нmе2ралъ'Ноu
'К;ривой уравненuя (100), и наоборот.
<1 1. Если отличная от точки покоя 13 ) фазовая траектория реше
ния
{ х == x(t)
У == y(t), t Е D(x, у),
(101 )
системы (99) проходит в какой либо момент to через какую либо
точку (хо, Уо) Е G и, например, f(xo, Уо) =1 О, то система (101)
параметрически задает функцию У(х) y(t(x)), определенную в
некоторой окрестности точки Ха и удовлетворяющую равенству
dY (хо) == Y(to) == у(хо, уо) .
dx x(to) f(xo, уо)
Таким образом, фазовая траектория (101) касается в любой
своей точке (хо, УО) поля направлений уравнения (100) и потому
является интеrральной кривой для этоrо уравнения.
2. С друrой стороны, любая интеrральная кривая r уравнения
(100), проходящая через каку либо точку (ха, уа) Е С, локально
совпадает (теорема 14) с той интеrральной кривой, которая по
лучается путем исключения параметра t из проходящей через ту
же точку фазовой траектории решения (х, у) Е S(f,g) (С), а значит,
она локально совпадает и с фазовой кривой Е(х, у).
Из доказанноrо локальноrо совпадения следует и включе
ние 14 ) r с Е(х, у). Действительно, любая замкнутая дyra кривой
r с концами (ха, Уо) и (Xl, Уl) локально в каждой своей точке COB
падает с какой либо фазовой кривой системы, поэтому найдется
13) А значит, не проходящая через особые точки BeKTopHoro поля.
14)Означающее, что интеrральная кривая r уравнения (100) есть фазовая
кривая системы (99).
50
конечная цепочка (леМ11а rейне Бореля) фазовых кривых, COB
падающих с интеrральной кривой на последовательно пересека
ющихся дру!' С дpyroM открытых дужках и потому совпадающих
как дру!' с друrом (лемма 118), так и с кривой Е(х, у). t>
7.10. Особые точки линейных автономных СИ--
стем на плоскости
Фазовый портрет автономной системы в окрестности особой
точки BeKTopHoro поля, в отличие от неособой, индивидуален.
К.лассифипацuя Пуа'N1Саре особых точек на плоскости относится к
линейиой системе
z==Az, ZER 2 ,
с uзо.лироеа'Н'НО'll нулевой особой точкой:
(102)
Az =1 О, z f:. о, det А f О {==} Лl, Л2 =1= О,
{'де Лl,2 собствеиные значения оператора А.
ДЛЯ жордановой формы матрицы А мо!'ут представиться три
ВОЗМОЖНОСТИ: либо она диаrональна и действительна, либо не ди
а!'оиальна, либо не действительна 15 ). Рассмотрим их последова
тельно, решая каждый раз эту систе 1У в специальном базисе, в
( ' Х У ).
котором z
1. Пусть матрица оператора А в некотором базисе в R 2 имеет
диаrональный вид С числами ЛI,2 Е R на диаrонали:
{ Х == лIх { Х == C 1 e A1t
iJ == Л2У <=* У == C 2 e>"2 t , С 1 , С 2 Е R,
это общее решение системы, а при (х, у) i- (О, О) ее 'Нетривuа.лъ
'Н,ъtе (т. е. отличные от собственных лучей и неподвижиой точки)
фазовые кривые находятся из уравнения
Л2У dx :=: лIх dy
[ J L1L
{==? dx х ,
х==О
{=::::>
[ у::::: ClxljJ,
х == О, С Е R.
rде J-l Л2/ Лl.
15)Случай, коrда она ни диаrональна, ни действительна, отпадает из за Ma
лости порядка матрицы.
51
1. Если Jl < О, то нетривиальные фазовые кривые напоминают
ветви rиперболы, а особая точка называется седлом. Эта точка
всеrда неустойчива по Ляпунову, так как собственные значения
имеют разные знаки и одно из них положительно.
2. Если J.L > О, то особая точка называется УЗЛОМ. Ее асимп
тотическая устойчивость означает отрицательность собственных
значений (имеющих один знак), а неустойчивость положитель
ность. При этом возможны варианты:
а) J.-t > 1 (или J.L < 1, что означает перестаНОБКУ переменных
х и у местами) объt'/<I:/нове'Н/Н/ЬtU узел, ero нетривиальные фазо
вые траектории при t -----4 00 или t oo стремятся к началу
координат, касаясь оси абсцисс, и похожи на ве'l'ВИ параболы;
Ь) J.-t == 1 дu'К;рuтиtttесr.;uu узел, все ero фазовые кривые,
кроме неподвижной точки, собственные лучи.
11. Пусть Лl == Л2 = А Е R и матрица оператора А в HeKO
тором базисе, получающемся из жорданова с помощью специаль
Horo преобразования из п.3 доказательства теоремы 115, имеет
иедиаrональный вид:
{ Х == лх { х == С 1 е лt
iJ == Ах + лу у == 01 tе лt + C 2 e)"t, 01, 02 Е R,
это общее решение системы, а при (х, У) 1= (О, О) ее фазовые
кривые находятся из уравнения
[ !!::lL у+х [ У ( С + ln Ix l) x
л(у+х)dх==лхdу dx х
х == О х - О, С Е R.
3. Эта точка въtрОЭfCде'Н'Н/ыu узе.л 16 ), ее нетривиальные фа
зовые кривые при t -------+ 00 ИЛИ t -------+ oo стремятся к началу KOOp
динат, касаясь собственных лучей, и имеют специальный вид, а
устойчивость (сразу асимптотическая) имеет место при л < о.
111. Пусть оператор А И1vlеет комплексные собственные значе
ния А = а + i{З ({з 1= О) и Л , тоrда матрица комплексификации
оператора А в некотором комплексном базисе h h 1 + i h 2 и h
диаrональна (h 1 , h 2 линейно независимы, как и h, h ), а общее
действительное решение содержит множество функций:
z(t) == Селth + C eXt h == 2 Re(w(t)h) == 2 Re(и(t)+iv(t»(hl+ ih 2»)
== и(t)(2h 1 ) + v(t)( 2h2), О Е С,
16)Тоже узел, поскольку собственные значения одноrо знака.
52
rде w(t) = Се лt и u Rew, v = Imw.
Если принять координаты Х и у вектора z в базисе 2h 1 , 2h 2 за
действительиую и мнимую части комплексноrо числа z COOTBeT
ственно, то все найденные действительные фазовые траектории
z(t) запишутся на комплексной плоскости уравнением
z(t) == u(t) + iv(t) = Се лt == CeQt(cos(Jt + isin[3t), С Е С,
причем эти кривые заполнят всю комплексную плоскость, поэто
му друrих фазовых кривых на действительной фазовой плоско
сти нет.
4. Если Q == О, то фазовые траектории замкнуты, а особая
точка называется центром, который устойчив по Ляпунову, ио
не асимптотически.
5. Если о: < О или о: > О, то фазовые траектории закручи
ваются ИЛИ, соответственно, раскручиваются по спирали и при
t 00 или, соответственно, при t """""""""t oo стремятся к началу
коордииат, а особая точка называется фо'Х:усо-м, который асимп
тотически устойчив или, соответственно, неустойчив.
7.11. Задачи для самостоятельноrо решения
1. MorYT ли, при условии f Е С(С) \ С 1 (с), две фазовые кри
вые системы (92), ПрОХGдящие через точку Ха Е С, локально в
этой точке различаться:
включая одна друrую;
касаясь одна друrой;
пересекаясь одна с друrой?
11. qeM отличается понятие замкнутости фазовой траектории
Е(х) от понятия периодичности функции х? Является ли понятие
незамкнутости траектории формаЛЬНЫ 1 отрицанием понятия за
мкнутости?
111. Можно ли утверждать, что отображение Х в доказатель
стве теоремы 123 осуществляет диффеоморфизм области V (97)
для интервала 1(0) == R?
IV. Если первые интеrралы 'Рl,. . . , <Pn 1 системы (92) неза
висимы в точке Ха, то любой первый интеrрал этой системы за
висит от них в некоторой окрестности точки Хо.
53
v. Доказать, что первым интеrраЛQМ урав'Н,е'Н,u.я 17 ) Нъюmона
х == f(x), f Е C 1 (I), 1 с R,
является инте2раА э'Н,ер2UU
Е(х, х) 1 х2 (Х f( ) d .
2 Jxo
Какие еще первые интеrралы имеет это уравнение?
VI. Доказать, что одним из первых интеrралов 2амuлъmо'Но
вой сuсте-мъt
{ Х == Н у ' ( Х , у) ( ) G Rn+n
Х, у Е С ,
iJ == H (x, у),
является скалярная функция Н Е с 2 ( С) .
VII. Как связаны между собой поле направлений уравнения
(100) и векторное поле системы (99)?
VIII. Доказать, что если кривая инвариантна для системы
(92) в смысле определения 23 и не содержит особых точек ее BeK
TopHoro поля, то она фазовая кривая этой системы.
IX. ДЛЯ каждой тройки (а, Ь, с) Е R 3 определить тип особой
точки системы
а) { Х . == ах + Ьу ....l О
а, с I ;
У == су,
Ь) { х == ах Ьу ас + ь 2 i- о.
iJ == Ьх + су,
х. Какие типы особых точек на фазовой плоскости для систе
мы (102):
допускают первый интеrрал, отличный от константы, коrда
оператор А невырожден;
и с какими фазовыми портрета:r.ли MorYT получиться, коrда
оператор А вырожден?
XI. Две автономные системы, заданные в области G = R n ,
иазовем тоnо.лО2u'Ч,ес u э вuвале'Нm'н,'ымu, если существует 20Meo
.морфuзм (Т. е. взаимно однозначное отображение, непрерывное
17).Или, что по определению то же, нормальной автономной системы, полу
чающейся из этоrо уравнения при канонической замене, т. е. при добавлении
переменной у = х.
54
вместе со своим обратным) <р: Rn Rn, переводящий все фа
зовые траектории одной системы в фазовые траектории друrой.
Доказать, что все линейные автономные системы на плоскости с
особой точкой какоrо либо одноrо из трех типов:
а) седло;
Ь) центр;
с) устойчивый фокус или узел (обыкиовенный, дикритиче
ский или вырожденный)
тополоrически эквивалентны, а разноrо тополоrически не
эквивалентны.
XII. Любой частичный предел Ха Е G решения х Е S f ( С)
системы (92) при t 00 (при t oo) назовем w nределъ'Ноi1
(Q nределъ'Ноi1) точкой фазовой траектории Е(х). Доказать, что
множество всех w предельиых точек любой фазовой траектории
Е(х):
замкнуто в G;
инвариантно для системы (92) в смысле определения 23;
пусто или, соответственно, состоит ровно из одиой точки хо
тоrда и только тоrда, коrда
Нт p(x(t), дС) == О или, соответственно, Нт x(t) == Хо Е С.
t oo t oo
XIII. Замкнутую фазовую кривую системы (99) назовем npe
деЛ'Ь'Н'ЬtМ 'ЦU'I'CЛОМ, если ни через какую точку некоторой OKpeCT
иости этой кривой не проходит ни одна замкнутая фазовая кри
вая. Доказать теорему Пуа'Н аре: в некоторой окрестности лю--
боrо предельноrо Цикла для всех одновремеино внутренних 18 ) (а
также внеlIIНИХ) фазовых траекторий предельный цикл является
множеством w предельных или Q предельных точек. В каком слу
чае предельный цикл служит фазовой кривой устойчивоrо или
асимптотически устойчивоrо решеиия?
18)т. е. начинающихся в этой окрестности, но внутри области, оrраниченной
предельным циклом.
55
8 . Уравнения в частных производных
nepBoro порядка
8.1. Линейное однородное уравнение в частных
производных первоrо порядка
имеет вид 1)
n
L fi(X)U i == О,
i==l
f(x) = ( fl(X) ) =1= о, Х Е G с R n . (103)
fn(x)
1. Решенuем уравнения (103) называется такая скалярная
фуикция ер, опре,целенная в области С' с С, что подстановка
u == <р(х) превращает это уравнение в тождество
<p'(X)fi(X) == О, Х Е С'.
Фазовые кривые системы (92) называются xapa тepиcти aMи
линейноrо уравнения (103).
Так как левая часть последнеrо тождества совпадает с про
изводной ф(х) В силу системы (92), то из определения первоrо
интеrрала с ПОМОIl ЫО леммы 124 выводится
Следствие 130. Если f Е с 1 (С) и <р Е с 1 (а'), то следующuе
утвер;:нсде'Нuя э вuвалентН'Ьt:
а) фун""ция <р решение уравненu-я (103);
Ь) фУ'Н 'ЦU-Я <р nервЪtи uнтnеzрал системы (92);
с) су;:нсение фун""ции ер на любую хара""теристи""у ypaв'Нe
'НU-Я (103) естъ ""о'Нста'Нта.
11. Общее решение уравнения (103), блаrодаря теореме 127,
полностью описывает
Следствие 131. Если f Е с 1 (С), то дл-я любои то'Ч u ха Е G
в не""оторои ее о""рест'Ности С' с G существуют т,а""ие n 1
решенuи уравне'Нu-я (103), что люба-я фун""ци-я <р Е с 1 (С'), завu
с-яща-я 2 ) от них в области С', естъ реше'Нuе этО20 уравнени-я,
u 'Наоборот.
l)Если вместо нуля в правой части уравнения (103) поставить функцию
g(x) или даже g(x, и), то уравнение будет называться лuнеuн:ым HeoдHopoд
Нъt,М или, соответственно, 11,О.fLулuнеuнъt-м.
2) Функционально.
56
8.2. Задача Коши для уравнения в частных про--
ИЗВОДНЫХ nepBoro порядка
состоит в нахождеиии решения уравнения (103), удовлетворяю
щеrо на'Чалъно.му условuю
и(х) == еро(х), х Е В,
( 104 )
rде S некоторая 2иnерnоверхиостъ 3 ) в С, а
еро: S R
заданная 1tа'Ч.аЛ'Ь'На.я фу1t'К;цu.я. Функция 'Р( х ) удовлетворяет
этому условию, если подстановка и == ер(х) превращает ero в тож
дество.
1. Пусть поверхность S С R n является образом иекоторой 06
ласти D с Rn l при диффеОМОРфИЗ lе а: D В, задающем иа
S оордuнатЪt
у = (у!, . . . , Yп !) Е D.
Тоrда тре60ваиие еро Е С 1 (в) равносильно, по определению, Tpe
бованию (еро о а) Е C!(D). Справедлива следующая ло-к;алъ'На.я
теорема существова'Нu-я u еди'Нстве'Нности решеиия задачи Ko
ши.
Теорема 132. Если f Е С 1 (С), ера Е С 1 (в), хо а(уо) Е S и
ве-к;торъt
a l(Yo),...,a n l(YO),f(xo)
лuнеuно незавUСUМЪt 4 ) , то в ие-к;оторои о-к;рестности С' с G
то'Ч-к;u ХО существует единствен'Ное решенuе задачи Коши (103)
(104).
<J 1. Отображение х: D х R R п, задаваемое формулой
х == х( у ) а(у!, . . . , Yn -1) + ynf(xo), у (у, Уп),
обладает свойствами
{x(y,O)1 у Е п} == в,
х( уо ) == хо, У а == (УО, О).
3)Размерности, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.
4) Это означает, что поверхность S в точке Хо не касается вектора f (хо),
иными словами, rnра'Нсверса.лъ'На к характеристикам уравнения (103) в точке
ХО Са значит, и в целой ее окрестности).
57
2. Функция Х непрерывно дифференцируема, а ее производ
ная
х' ( У о) == ((Т 1 (Уо), · · · , (Т " 1 (УО), f(X O ))
невырождена, поэтому отображение Х осуществляет диффео
морфизм некоторой окрестности U( У о), а обратное к нему пере
водит соответствующую часть поверхности S в поверхность
s = { у Е U( У о)1 Уn- == О} с x l(B).
3" При диффеоморфизме x l векторное поле f переходит в
некоторое векторное поле 9 Е С 1 (U( у о)): если х и у решения
соответствующих автономных систем, удовлетворяющие услови
ям х(О) == х = х( у ) и у(О) == у , то
f(x) == >«0) == (x(y(t)))"\t==o == х'( у (О)) у (О) == x'( y )g( y ).
Оператор Х'( У о) Е Aut(Rn) переводит векторы e (i == 1,". ", n 1)
и некоторый, непременно линейно независимый с ними, вектор
g( y o) Б векторы X i ( У о) == a .i (Уо) и, соответственно, линейно иеза
висимый с ними вектор f(xo), поэтому
gn ( У о) i= о.
4. Соrласио теореме 123, существует выпрямляющий диффео
морфизм z == ср( у ) некоторой окрестности V( Y o) С U( У о), OCTaB
ляющий на месте все точки rиперплоскости S n V( Yo )
ср(у, О) == (У, О), у Е D' с D,
и переводящий векторное поле 9 в векторное поле е n . Более Toro,
без оrраничения общиости можно считать (для чеrо, если потре
буется, можно уменьшить подобласть D' с D), что
CP(V( Y o)) == D' х 1(0).
5. В новых координатах решением 'l.J(Z) задачи Коши) или, что
то же, первым интеrралом соответствующей системы (что значит,
не зависящим от переменной Zn), удовлетворяющим начальиому
условию
V(€p(y,O)) == и(х(у,О)) == сро(а(у)), У Е D',
58
будет однозначно определенная непрерывно дифференцируемая
функция
v ( z) == 'lJ ( Z 1, . . . , Zn 1 , О) == <ра ( а ( z 1, . . . , Zn 1 ) ) , Z Е <р (V ( У а) ) ,
каковой будет и искомая функция
и(х) == v('PX l(x)), Х Е С' = Х (V( Y o)),
записаиная в исходных координатах. [>
11. Следом множества р С С' на поверхности S иазовем мио
жество р р n В.
Следствие 133. В условиях теорем'ы 132 любое и'Н,вapиa'Н,т
'Ное 5 ) для сuстеJvtыl (92) в области С' М'НОЭfсество Р С С' oд'Н,o
з'Н,а'Ч'Н,о задается своим следом 'На zunepnoeepXHocти В.
<J В доказательстве теоремы 132 область С' выбрана так, что
каждая характеристика Е(х), х Е 8f(G') пересекает rиперповерх
иость В, поэтому вся она либо содержится в инвариаитном MHO
жестве Р, либо не содержится, в зависимости от Toro, имеет или
не имеет оиа оБIIlJ'Ю точку с множеством р, а значит, множество
р полностью определяется множес'rвом р. [>
8.3. Ква.зилинейное уравнение в частных произ..
ВОДНЫХ nepBoro порядка
имеет вид
n
L fi(X, u)и i == g(x, и), f(x, и) =1= О, (х, и) Е Н С Rn+l. (105)
i==l
1. Реше'Н,ием уравнения (105) называется такая скалярная
функция ер, определенная в области 6 ) G с Rn, что подстанов
ка 1" == <р(х) превращает это уравиеиие в тождество
<р'(х)! (х,<р(х)) == g(x,<p(x)), х Е с.
. 5) СМ. определение 23
6)rрафик этой функции должен лежать в области Н.
59
Xapar.;тepucmu'X;aMu квазилинейноrо уравнения (105) называются
фазовые кривые системы
{ х == f(x, и)
. ( ) (х, и) Е Н.
и == 9 х, и ,
(106)
Лемма 134. Если f,g Е С 1 (н), а ФУ'Н'Х;'ЦUЯ Ф Е с 1 (н)
nepBbtи и'Нmе2рал cucтeMbt (106), удовлетворяющий условию
Ф (х, и) #: О, (х, и) Е Н,
(107)
то раве'Нство
Ф(х, и) == О
(108)
задает 'Неяв'Но, 'Ка1\. фУН1\.'Цию и от nереме'Н'Нои х, решение ypaв
неиия (105).
<1 1. По теореме о неявной функции, в силу иеравеиства (107),
равенство (108) неЯБНО задает непрерывио дифференцируемую
Фуикцию
u =: <р(х), Х Е С.
2. Если Ф первый интеrрал систе:м:ы (106) и
Ф(х, ср(х» == о, х Е G,
ТО при х Е 9 имеем
о == Ф(х, и) == Ф (х, и) f(x, и) + Ф L(Х' и) g(x, и), и == <р(х),
О == dd x Ф(х, 'Р(х» == Ф (х, 'Р(х)) + Ф (х, 'Р(х» 'Р'(х),
откуда
Ф (х, <р(х» 'Р' (x)f(x, 'Р(Х») == Ф (х, 'Р(х) g(x, 'Р(Х»)'
3. С уч€'том иеравенства (107), получаем
'Р' (х )f(x, 'Р(Х)) == g(x, 'Р(Х), х Е С,
следовательно, 'Р решение уравнения (105). [>
11. Утверждение леммы 134 обратимо в следующе 1 смысле.
Лемма 135. Если f,g Е С 1 (Н), а фУ'Н'У\/ци'я <р Е с 1 (С) pe
ше'Ние урав'Не'Нu,я, (105), то nоверх'Ностъ и == 'Р(Х) и'Нвариа'Нтна
для сисmе.л1ъt (106).
60
<J Действительно, если ио == СР(Хо), то на поверхности и == <р(х)
лежит обязательно целиком любая кривая (х, u) Е В(Н), удовле
творяющая при t Е D(x, u) условиям
x(t) == f(x(t),<p(x(t»)), x(to) == хо,
u(t) == <p(x(t»),
а зиачит, и условиям
х( t) == f(x( t), u( t), х( to) == хо,
u(t) == cp'(x(t)) f(x(t), u(t)) == g(x(t), u(t)), u(to) == cp(x(to») == ио,
и, стало быть, являющаяся характеристикой, проходящей через
точку (хо, ио). [>
8.4. РеIпение задачи Коши
ищется для квазилинейноrо уравнения (105) только тоrда, коrда
rрафик начальной функции еро (из начальноrо условия (104» ле
жит в области Н, что и предполаrается, как и ТО, что поверхность
S == a(D) задана координатами у Е D с Rn l. Справедлива сле
дующая ло'Ка./l/ьна'я теорема существовани'я и еди1tствен'Ности
реmения этой задачи.
Теорема 136. Если f,g Е С 1 (н), ера Е С 1 (В), ХО = а(уо) Е В,
иа == СРо(Хо) и ве'Х;торЪt
(} 1 (Уа), . . . , (} n 1 (Уо), f(xo, ио)
линеuно незав'l.lси,м'ы, то в не'Х;оторои о'Х;рестн,ости G то'Ч
'Х;и Ха существует единственное решенuе зада'tlи Коши (105)
. (104).
<J 1. В силу теоремы 132 внекоторой окрестноС'l'И Н' С Н точки
(хо, ио) существует первый интеrрал Ф систе 1ы7) (106), удовле
ТВОрЯЮIДИЙ начальному условию
Ф(х, и) == и СРо(х), (х, и) Е В ,
7) В теореме) правда, утверждается СУlцествование решения соответствуIO
щеrо линейноrо однородноrо уравнения в частных производных) что, соrлас
но следствию 130) то же самое.
61
rде
S = {(х,и) Е НI х == и(у), (у, и) Е D с D х R} э (хо,ио),
причем векторы
(а(у), и) J(YO,иo)== (a l (Уо), О), i == 1,..., n 1,
(a(y),u) I( ) == (0,1) и (f(xo,uo),g(xo,uo))
уо , ио
линейно независимы (в обнуляющейся нетривиальной линей.
ной комбинации этих векторов, судя по их первым компонен
там, обязан отсутствовать последний вектор, но присутствовать
предпоследний, который однако, судя по вторым компонентам,
не может в ней содержаться).
2. Так как
Ф (ХО, ио) == 1 =1 О,
можно без оrраничения общности считать выполненным HepaBeH
ство
Ф (х, и) =J о, (х, и) Е н'
( если нужно, уменьшим окрестность Н точки (ха, ио) и снова при
меним к ней теорему 132, от чеI'О область Н' уменьшится, но зна
чения функции Ф в ней сохранятся).
3. По лемме 134 равеиство Ф(Х, и) == О в области Н' неявно за
дает решение ер задачи Коши для уравнения (105), определенное
в окрестности G точки Ха (так как Ф(Хо, еро(хо)) == Ф(хо, ио) == О)
и удовлетворяющее начальному условию (104)), поскольку при
Х Е S n G имее 1 (х, ер(х)) Е S и
О :::;: Ф ( Х, ер ( х )) :::;: ер ( х) еро ( Х ) .
4. Найденное решение задачи Коши в области G единственно
в силу следствия 133, так как любое решение ер этой задачи по
лемме 135 задает инвариантную для системы (106) в области Н'
поверхность u == ер(х), имеющую заданный след u == еро(Х) на
I'иперповерхности В , а значит, однозначио определенную. L>
8.5. Задачи ДЛЯ самостоятельноrо решения
1. Как изменятся характеристики линейноI'О однородноrо
уравнения (103), если заменить их характеристиками Toro же
62
уравнения, рассмотреиноrо как частный случай квазилинейноrо
уравнения (105)?
11. Как ВЫI'ЛЯДИТ линейное однородное уравнение в частных
производных, характеристики которой задаются СИС'l'емой (106)?
111. Сформулировать и доказать анаЛОI'ичное следствию 131
утверждение об общем решении уравнения (105).
IV. Какой I'еометрический смысл имеет условие линейиой
незаБИСИ 10СТИ векторов в формулировке теоремы 1З6 в терми
нах характеристик уравнеиия (105)?
v. Можно ли в условиях теоремы 104 (или 136) утверждать
дополнительно, что в любой подобласти С" с С' (или, COOTBeT
ственио, С' С С) решеиие задачи Коши единственно?
VI. ДЛЯ уравнения
xи yи == О, х, у > O
найти все решения задачи Коши и определить их количество:
а) и == х при у == х;
Ь) u == х при у == l/х;
с) и == 1 при у == 1/ х .
VII. Доказать, что если область G с R 2 односвязна и lJ;f, N Е
С 2 (с), то функция М Е Cl(G) u'Нте2рuрующии м'Но:жuтелъ
для уравнения в дифференциалах
N(x, у) dy == Аl(х, у) dx, (х, у) Е с,
(Т. е. уравнение
м(х, y)N(x, у) dy == м(х, у)М(х, у) dx, (х, у) Е С,
(109)
. есть уравнение в полных дифференциалах; см. п. 1.7) тоrда
и только ТОI'да, коrда она удовлетворяет уравиению
N(x, y)и М(х, y)и == и (M (x, у) N (x, у)), (х, у) Е с;
более Toro, локально в любой точке (хо, Уа) Е G интеrрирующий
множитель существует и определяется с точностью до множитеЛя
вида }?(Ф(х, у)), ['де Ф потенциал уравнения (14).
63
CepreeB Иrорь Николаевич
Лекции по дифференциальным уравнениям. 11 семестр
Учеб'Ное пособие
ОРИI'инал макет изrотовлен издательской rруппой механико ма
тематическоrо факультета Mry
Подписано в печать 28.4.2004 r.
Формат 60х90/16
Объем 4 п. л.
Заказ 2
Тираж 150 экз.
Издательство ЦПИ при механико математическом факультете
Mry, {'. Москва, Воробьевы {'оры.
Лицензия на издательскую деятельность ид N!!04059 от 20.2.2001
Отпечатано на типоrрафском оборудовании механико матема
тическоrо факультета и Франко русскоrо центра ИМ. А. М. Ляпу
иова
64