Автор: Семин В.А.
Теги: механика подготовка к экзаменам теоретическая механика тесты издательство тула
Год: 2007
Текст
Министерство образования Российской Федерации
Тульский государственный университет
Кафедра физики
Семин В.А.
Тестовые задания
по механике
для проведения текущего тестирования
на кафедре физики
Часть I
Тула 2007 г.
2
Первая часть тестовых заданий содержит задачи из десяти разделов по меха-
нике, которые будут предложены студентам первого курса инженерных направ-
лений на текущем (март), а затем и на промежуточном (июнь) тестировании.
По каждому разделу даются формулы, формулировки законов и теорем, не-
обходимые при решении конкретных задач. Каждая задача имеет ответ.
Предназначена для самостоятельной подготовки студентов и для проведения
практических занятий по физике.
3
Векторный способ описания движения частицы.
Радиус-вектор частицы г (у) начинается в начале системы координат и за-
канчивается на частице.
Скорость частицы г (^) = — (перемещение частицы за единицу времени)
kt
__ \ dv .
Ускорение частицы a[t) = — (изменение скорости за единицу времени)
kt
Координатный способ описания движения частицы
Радиус вектор частицы г (?) = / • х(?) + -y(t) + k-z(t).
Скорость материальной точки v (?) = i • vx (?) + j • vy (?) + к • vz (t} .
Ускорение материальной точки tz (?) = i -ax (?) + j • ay (?) + к • az (?).
Здесь /, у, к - единичные векторы (орты), направленные по осям х, у, z соот-
ветственно (декартова система координат),
1. Прямая задача кинематики
Если известны зависимости х(?), у(?), ^(?), то можно определить:
ку i ч kz
—, гу (?) =---проекции скорости на оси х, у, z ,
kt kt
dvy dv
= —az (?) = —-— проекции ускорения на оси х, у, z .
dt dt
(\ kx ?
0 = T’ vy(
(Л1
/ \ dvY
ax(t) = —a
ХУ } kt •
2 , 2
Величина (модуль) радиса-вектора г = ух + j
/ 2 2 2
Величина (модуль) скорости v = Jvx + vy +vz
Величина (модуль) ускорения а = Jax + ау +az
1-1. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону:
t
т
t
+ к - С \ Найдите тангенс угла между вектором
скорости v и А) осью х Б) осью у в момент времени t = т = 1 с, если
А) Ответы: а) 2; б) 1,5; в) 1,33;
Б) Ответы: а) 0,5; б) 0,667; в) 0,75
4
1-2. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону:
./ Ч -Г t
t
t
t
т
t
. Найдите тангенс угла между вектором ско-
рости v и А) осью х; Б) осью z в момент времени t = т = 1 с,
если А=В = С=1м.
А) Ответы: а) 2; б) 1,5; в) 1,33
Б) Ответы: а) 0,50; б) 0,667; в) 0,75
1-3. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
t (t\
r(t) = T-A- + j-В -
т Ы
- ГН3
+ к-С -
\х)
На каком расстоянии будет находиться час-
тица в момент времени t = т = 1 с а) от оси х; б) от оси у; в) от оси z,
если А=В = С=1м.
Ответы: а) 1,4 м; б) 1,4 м; в) 1,4 м
1-4. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
- (t^\
б) г (?) = i • Asin(®?) + j • Acos(od?) + £ -В —
V4
Чему будет равна величина скорости частицы в момент времени t = т = 1 с, если
Л=В = С=1м, ® = л/2 рад/с.
Ответы: а) 3,74 м/с; б) 3,39 м/с
1-5. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
ной скорости частицы, если т = 1 с, Л = В = 1 м, ® = л/2 рад/с.
Чему будет равна величина началь-
Ответ: 1,57 м/с
t
1-6. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
t
i А
-В
+ j -A cos
Через сколько секунд перпендикулярной оси х окажется
а) скорость частицы; б) ускорение частицы
если т = 1 с, А = В = 1 м, ® = л/2 рад/с.
Ответы: а) 0,75 с; б) 0,50 с
5
1-7. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
Через сколько секунд скорость частицы окажется перпендикулярной оси у, если
т = 1 с, А = В = 1 м, со = л/2 рад/с.
Ответ: 0,816 с
1-8. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
\ - .(t
-А -
+ j • A cos
Через сколько секунд окажется перпендикулярной оси z,
а) скорость частицы; б) ускорение частицы,
если т = 1 с, А = В = 1 м, со = л/2 рад/с.
Ответы: а) 0,775 с; б) 0,548 с
1-9. Через сколько секунд ускорение частицы будет перпендикулярно оспу,
если радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
т = 1 с, А = В = С = 1 м, (D = л/2 рад/с.
Ответ: 0,632 с
1-10. Скорость частицы зависит от времени по закону
Через сколько секунд ускорение частицы будет
а) параллельно оси х; б) перпендикулярно оси х; в) перпендикулярно оспу, ес-
ли т = 1 с, А = В = 1 м/с.
Ответы: а) 0,577 с; б) 0,5 с; в) 0,577 с
- t - (t\
1-11. Скорость частицы зависит от времени как v (t \ = i • А— + j - В — .
т
а) Через сколько секунд ускорение частицы будет направлено под углом 45° к
оси х, б) Чему станет равна величина полного ускорения частицы в момент вре-
мени t = 1 с. т = 1 с, А = В = 1 м/с.
Ответы: а) 0,5 с; б) 2,24 м/с2
1-12. Скорость частицы зависит от времени по закону
Через сколько секунд ускорение частицы будет на-
правлено под углом 45° к оспу, если т = 1 с, А = В = 1 м/с.
Ответ: 0,707 с
6
2. Обратная задача кинематики
Если известны зависимости ах (7), ау (7), az (t} и начальные условия х0, у0,
zq , vQx, iyy, vQz , то можно определить:
t t t
Vx=Vox+\ax(t)dt', vy = vOy+\ay(t)dt; vz =vOz +\az(t)dt
ooo
t t t
x = x0 + jEr (t}dt \ у = y0 + fvy (t)dt; z = z0 + fvz (t)dt
ooo
Путь, пройденный частицей за время У.
t
S = ^v(t)dt
о
2-1. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зави-
сит от времени по закону
На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени
t = т = 1 с, если А = В = 1 м/с.
Ответы: а) 0,601 м, б) 0,417 м, в) 0,30 м
2-2. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зави-
сит от времени по закону
в) v(t} = i - A sin+ j • A cos осй . Какой путь проделает частица за время
t = т = 1 с, если А = В = 1 м/с, со = л/2 рад/с.
Ответы: а) 0,471 м, б) 0,354 м, в) 1 м
2-3. Частица начала свое движение из начала координат с нулевой начальной
скоростью, и ее ускорение зависит от времени по закону
И4
t
t
t
. Найти модуль скоро-
сти частицы в момент времени t = т = 1 с, если А = В =1 м/с2.
Ответы: а) 0,601 м/с, б) 0,389 м/с
2-4. Частица начала свое движение из начала координат с нулевой начальной
скоростью, и ее ускорение зависит от времени по закону
.(t
t
. Найти тангенс угла, под которым будет направлена
скорость частицы в момент времени t = т = 1 с а) к оси х, б) к оси у
7
если Л = В =1 м/с2.
Ответы: а) 0,6; б) 1,67
2-5. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоро-
стью Vq = -j' А нс ускорением, которое зависит от времени по закону
Каков модуль скорости частицы в момент
времени t = т = 1 с, если А = 1 м/с, В =1 м/с2.
Ответы: а) 1,118 м/с, б) 0,8 м/с
2-6. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоро-
стью Vq = -к • А ис ускорением, которое зависит от времени по закону
. Каков модуль скорости частицы в момент времени
t = т = 1 с, если А = 1 м/с, В=1 м/с2.
Ответ: 1,054 м/с
2-7. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоро-
стью a) Vq =(i А, б) Vq = (i + £)• А и с ускорением, которое зависит от
времени по закону a(t} = j - В—. Каков модуль скорости частицы в момент вре-
т
мени t = т = 1 с, если А = 1 м/с, В =1 м/с2.
Ответы: а) 1,118 м/с, б) 1,5 м/с
2-8. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором
а) г0 =ЪС,б) г0 =С-Г,в) r0 = J-C,r) г0 =(;+Г)-С, д) г0 =(/-£)• С
со скоростью, которая зависит от времени по
закону = i -А— + j - В
какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени
t = т = 1 с, если А = В = 1 м/с, С = 1 м.
Ответы: а) 1,17 м, б) 1,54 м, в) 1,42 м, г) 2,01 м, д) 1,74 м
2-9. Частица начала свое движение из начала координат, и ее скорость зави-
сит от времени по закону
б) v(t) =
А +
в) v(t) =
А +
. Какой путь проделает
i
i
частица за время t = т = 1 с, если А = В = 1 м/с.
Ответ: а) 0,2828 м, б) 0,2357 м, в) 0,202 м
8
2-10. Частица начала свое движение из начала координат с нулевой началь-
ной скоростью, и ее ускорение зависит от времени по закону
Какая величина скорости будет у частицы в момент времени t = т = 1 с, если А =
1 м/с2, В =1 м/с2.
Ответы: а) 0,288 м/с, б) 0,229 м/с
2-11. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоро-
стью Vq = -j' А ис ускорением, которое зависит от времени по закону
Каков модуль скорости частицы в мо-
мент времени t = т = 1 с, если А = 1 м/с, В =1 м/с2.
Ответы: а) 0,833 м/с, б) 0,857 м/с
2-12. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоро-
стью Vq = (i - j у А ис ускорением, которое зависит от времени по закону а)
Каков модуль скорости
частицы в момент времени t = т = 1 с, если А = 1 м/с, В =1 м/с2.
Ответы: а) 1,25 м/с, б) 1,302 м/с, в) 1,329 м/с
2-13. Частица начала свое движение из начала координат с начальной скоро-
стью Vq = I г' + к) • А и с ускорением, которое зависит от времени по закону а)
Каков модуль скорости частицы в момент времени t = т = 1 с, если
А = 1 м/с, В =1 м/с2.
Ответы: а) 1,453 м/с, б) 1,428 м/с, в) 1,421 м/с
2-14. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором г0 =к-С
со скоростью, которая зависит от времени по закону
На какое расстоя-
ние от начала координат удалится частица в момент времени t = т = 1 с, если А
= В = 1 м/с, С = 1 м.
Ответы: а) 1,083 м, б) 1,05 м
2-15. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором r$=i - С
со скоростью, которая зависит от времени по закону
А
t
t
t
т
т
. На какое расстояние от начала координат удалится
Т
частица в момент времени t = т = 1 с, если А = В = 1 м/с, С = 1 м.
Ответы: а) 1,52 м, б) 1,513 м, в) 1,509 м
2-16. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором r0 = j • С
со скоростью, которая зависит от времени по закону
а) = z - А
в) = i - А
t
, б) = i - А
. На какое расстояние от начала координат удалит-
ся частица в момент времени t = т = 1 с, если А = В = 1 м/с, С = 1 м.
Ответы: а) 1,374 м, б) 1,357 м, в) 1,348 м
2-17. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором
4) = (т+1А ’ С со скоростью, которая зависит от времени по закону
в) = z - А
а) = z - А
, б) = z - А
. На какое расстояние от начала координат удалит-
ся частица в момент времени t = т = 1 с, если А = В = 1 м/с, С = 1 м.
Ответы: а) 1,828 м, б) 1,772 м, в) 1,745 м
2-18. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором
г0 = (j - к I • С со скоростью, которая зависит от времени по закону
в) = z - А
На какое расстояние от начала координат уда-
лится частица в момент времени t = т = 1 с, если А = В =1 м/с, С = 1 м.
Ответы: а) 1,613 м, б) 1,571 м, в) 1,543 м
10
3. Связь линейных и угловых величин в кинематике.
При криволинейном движении ускорение частицы имеет тангенциальную
и нормальную ап составляющие, причем = dv/dt, ап = v2/r , где R - ра-
V2 2
аг + а п .
Линейные и угловые величины связаны следующим образом:
2
v = 0)R' ах = zR' ап = & R
3-1. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м с постоянным угловым ускорением 8 = 1 с-2. Найти
а) отношение тангенциального и нормального ускорения и
б) тангенс угла между вектором полного ускорения и вектором скорости части-
цы через время t = 1 с?
Ответы: а) 1; б) 1
3-2. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м со скоростью, модуль которой зависит от времени по закону
v = A-t/x . Найти а) тангенс угла между вектором полного ускорения и векто-
ром скорости частицы и б) отношение нормального и тангенциального ускоре-
ния частицы через время t = 1 с, если т = 1 с, А = 1 м/с.
Ответы: а) 1; б) 1
3-3. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м с угловой скоростью, модуль которой зависит от времени по за-
кону со = A-t/x . Найти отношение нормального и тангенциального ускорения
частицы через время t = 1с, если т = 1 с. А = 1 с-1.
Ответ: 1
3-4. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м с угловой скоростью, модуль которой зависит от времени по за-
\2
кону а) со = А •
,Л=2с1;б) а> = А-
А=3 с’1;
\3
Через сколько секунд угол между полным ускорением частицы и ее скоростью
будет равен 45°, если т = 1 с. .
Ответы: во всех вариантах t = 1 с
3-5. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м так, что угол поворота зависит от времени по закону
Найти линей-
ную скорость частицы через время t = 1 с, если т = 1 с. А = 1 рад.
Ответы: а) 3 м/с, б) 4 м/с, в) 5 м/с, г) 6 м/с
и
3-6. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м так, что угол поворота зависит от времени по закону
Найти нормаль-
ное ускорение частицы через время t = 1 с, если т = 1 с. А = 1 рад.
Ответ: а) 9 м/с2, в) 16 м/с2, в) 25 м/с2, г) 36 м/с2.
3-7. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м так, что угол поворота зависит от времени по закону
Найти тангенци-
альное ускорение частицы через время t = 1 с, если т = 1 с. А = 1 рад.
Ответ: а) 6 м/с2, б) 12 м/с2, в) 20 м/с2, г) 30 м/с2.
3-8. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м с угловым ускорением, которое зависит от времени по закону а)
. Найти нормальное
ускорение частицы через время t = 1 с, если т = 1 с. А = 1 с-2.
Ответы: а) 0,0625 м/с2, б) 0,04 м/с2, в) 0,0278 м/с2, г) 0,02 м/с2
3-9. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности ра-
диуса R = 1 м с угловым ускорением, которое зависит от времени по закону а)
. Найти линейную
__Q
скорость частицы через время t = 1 с, если т = 1 с. А = 1 с
Ответы: а) 0,25 м/с, б) 0,2 м/с, в) 0,167 м/с, г) 0,143 м/с
12
4. Кинематика вращательного движения.
Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси z и известна зависи-
мость угла поворота ф(?), то можно рассчитать проекции на ось вращения его
угловой скорости (oz = dty/dt и углового ускорения sz = d<s^z / dt.
Если известна зависимость sz (?) и начальные условия ®Oz и Фо > т0 можно
t t
найти coz =®Oz+jszJ? и ф = ф0 + j®zJ? (обратная задача),
о о
4-1. Диск радиуса R = 1 м начал вращаться вокруг своей оси без начальной
скорости с угловым ускорением, зависящим от времени по закону
х Р
а) 8 = А —
t
х А
, в) 8 = А —
, б) 8 = А
. На какой угол (в радианах) он по-
вернется за время t = т = 1 с, если А = 1 с 1.
Ответы: а) 0,0833 рад, б) 0,05 рад, в) 0,0333 рад
4-2. Диск радиуса R = 1 м вращался вокруг своей оси с угловой скоростью
®0 • В момент времени t = 0 его угловое ускорение стало возрастать по закону
t
х A t
, в) 8 = А —
х А
а) 8 = А —
, б) 8 = А
. Какую угловую скорость будет
иметь диск через время t = т = 1 с, если Л = 1 с 2, со() = 1 с1.
Ответы: а) 1,33 рад/с, б) 1,25 рад/с, в) 1,2 рад/с
4-3. Диск радиуса R = 1 м вращался вокруг своей оси с угловой скоростью
®0 • В момент времени t = 0 он начал тормозить. Модуль его углового ускоре-
ния при этом зависел от времени по закону
X /t
а) е = А —
,Л = Зс’2; б) 8 = Л
( t
, Л = 1 с ; в) 8 = А —
, Л = 5 с’2.
Через сколько секунд диск остановится, если т = 1 с, cd0 = 1 с'?
Ответы: а) 1 с, б) 1,41 с, в) 1 с
4-4. Диск радиуса R = 1 м начал вращаться вокруг своей оси так, что угол
его поворота зависит от времени по закону
-вА
х A t
а) ф = А —
-вА
^х At
, б) ф = А -
х A t
, в) ф = А -
-В
. Через
t
t
сколько секунд диск остановится, если т = 1 с? А = 1 рад, В = 1 рад.
Ответы: а) 0,667 с, б) 0,707 с, в) 0,809 с
13
4-5. Диск радиуса R = 1 м вращался вокруг своей оси с угловой скоростью
®0 • В момент времени t = 0 его угловое ускорение стало возрастать по закону
t
t
х A t
а) 8 = А —
-В
,б)е = А —
-В
. Через сколько секунд диск будет
иметь максимальную угловую скорость,
если т = 1 с? А= В = с-2, со() = 1 с-1.
Ответы: а) 1 с, б) 1 с
4-6. Диск вращается с угловой скоростью, зависимость от времени которой
задается графиком (см. рис.). Найти угол поворота (в радианах) диска за t = 4
с, если = 1 с 1
' 111С1Л.
СО А с1
0 1 2 3 4 t, с
Ответы: а) 3 рад, б) 2 рад, в) 3,5 рад, г) 1 рад
4-7. Диск вращается с нулевой начальной скоростью и с угловым ускорени-
ем, зависимость от времени которого задается графиком. Найти максимальную
угловую скорость диска в интервале времени 0 < t < 4 с, если smax = 1 с-2.
Р . р-2
8 лС
г) 0 1 2 3 4 t, с Ответы: а) 2 рад/с, б) 3,5 рад/с, в) 1,5 рад/с, г) 3 рад/с
14
СО А с'1
-2
8ЛС
4-8. Диск вращается с угловой скоростью, зависи-
мость от времени которой задается графиком.
Найти максимальный угол поворота диска (в радианах)
в интервале времени от t = 0 до t = 4 с, если ®max = 1
с-1.
Ответ: 1,5 рад
4-9. Диск вращается с угловым ускорением, зависи-
мость от времени которого задается графиком. Найти
угловую скорость диска в момент времени t = 4 с, если
с = 1
ьшах 1 v •
Ответ: 1 рад/с
15
5. Сила как причина изменения импульса.
/ - ч ФСИСТ
Второй закон Ньютона в современной формулировке i) = ——
Рсист = X Pi ~ суммарный импульс системы частиц, (F ) - векторная
/ RH6TTT
сумма всех внешних сил, действующих на систему частиц.
, где
сист
т’^средн
О
- вектор изменения импульса за время т (импульс
силы), где ^средн ~ средняя сила, действующая на систему частиц.
о dpx dpy dp
В проекциях Fx = ——, Fv = ——, F7 = -£-£
dt y dt dt
T
Apr = \Fxdt = x-(Fr)
r x J Л \ Л /средн
О
т т
^Ру =iFydt = T'(Fy) ’ = JFZ^ = T-(FZ) ;
z j z \ л /спедн J v /средн
О О
Модуль изменения импульса |Лр| = д/лр
/222 /222
Модуль силы F = JFX + Fy + Fz , модуль импульса р = Арх + Ру + Pz
5-1. Частица движется в плоскости так, что ее импульс зависит от времени
по закону
5
. Найти модуль силы, дей-
ствующей на частицу в момент времени t = т = 1 с, если А = В = 1 кг • м/с .
Ответы: а) 2,236 Н, б) 3,162 Н, в) 4,123 Н, г) 5,099 Н
5-2. Частица движется в плоскости так, что ее импульс зависит от времени
\2 / . \ 3 / . \ 4 / . \ 3
по закону a) p(t} = i - А
It
,б) p(t) = T-A -
4
. Найти тангенс уг-
ла между осью х и вектором силы, действующей на частицу в момент времени
t = т = 1 с, если А =В = 1 кг • м/с .
Ответы: а) 1,5; б) 0,75; в) 0,6; г) 0,667
2
4
t
5
6
3
t
t
16
5-3. Частица движется в плоскости так, что ее импульс зависит от времени
/ . \6 / ^ \ 7 / х7 / . х8
t
t
по закону a) p(t} - i' А —
t
t
. Найти тангенс угла между осью у и вектором си-
лы, действующей на частицу в момент времени t = т = 1 с, если
А = В = 1 кг-м/с .
Ответы: а) 0,857; б) 0,875; в) 0,889
5-4. Частица массы т = 1 кг движется в плоскости так, что ее импульс зави-
сит от времени по закону
\ \ /И5 -
5
. Найти ускорение
t
частицы в момент времени t = т = 1 с, если А = В = 1 кг • м/с ,
Ответы: а) 5,831 м/с2; б) 8,602 м/с2;
5-5. Частица движется в плоскости под действием силы, которая зависит от
времени по закону
/ . \7
8
<У
9
9
t
Т-А\ —
. Найти модуль изменения импульса за интервал
времени
//////////////>///
0 < t < 1 с, если т = 1 с, Л = В = 1 Н.
Ответы: а) 0,280 кг-м/с ; б) 0,229 кг-м/с ; в) 0,194 кг-м/с ;
г) 0,174 кг-м/с ; д) 0,16 кг-м/с
5-6. Небольшой шарик массы т летит со скоростью
под углом ос =30° к горизонтальной плоскости. После
неупругого удара он отскакивает со скоростью К2 П°Д
углом Р =60° к плоскости. Время соударения т. Найти
а) модуль средней силы трения шарика о плоскость;
б) модуль средней силы нормальной реакции опоры,
действовавшие во время удара. = 5 м/с, К2 = 3 м/с, т = 0,001 с, т = 1 кг.
Ответы: а) 2830 Н, б) 5098 Н
17
5-7. Небольшой шарик массы т летит со скоростью V\ под уг-
лом ос = 60° к горизонту и падает на вертикальную стену. После
неупругого удара он отскакивает со скоростью К2 П°Д углом Р
=30° к горизонту. Время соударения т. Найти
а) модуль средней силы трения шарика о стену,
б) модуль средней силы нормальной реакции со стороны стены.
Vx = 5 м/с, V2 = 3 м/с, т = 0,001 с, т = 1 кг.
Ответы: а) 2830 Н, б) 5098 Н
5-8. Частица с начальным импульсом pQ = i' А движется в плоскости под
действием силы, которая зависит от времени по закону
Найти модуль импульса через t = т = 1 с, если А = 1 кг • м/с , В = 1 Н.
Ответы: а) 1,054 кг-м/с, б) 1,031 кг-м/с, в) 1,020 кг-м/с
щения z\
6. Динамика вращательного движения твердого тела.
Закон динамики вращательного движения твердого тела в проекции на ось вра-
<7LZ
внеш =----= 4 ,£z , гДе Л - момент инерции тела относитель-
clt
но оси вращения, sz - проекция углового ускорения на ось вращения,
X{.^zi )ВНеш ~ сУмма проекций внешних моментов сил, Lz = Iz-(&z - проекция
момента импульса твердого тела.
где г - радиус вектор точки приложения силы F. Мх , Му, Mz - проекции
/ 2 2 2
момента силы. Модуль момента силы М = АМХ + Му +MZ или
М = г • F • sin ос, где ос - угол между силой F и радиусом-вектором г .
6-1. Тонкий однородный стержень массы т = 1 кг и
. длины 1= 1 м может вращаться в вертикальной плоскости
/ вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец.
В оси действует момент сил трения Мтр. = 1 Н-м. Стержень приводят в горизон-
тальное положение и отпускают без толчка. Найдите угловое ускорение в на-
чальный момент времени, g = 10 м/с2.
Ответ: 12 рад/с2
18
6-2. Тонкий однородный стержень массы т и длины I может вращаться в
вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей че-
рез его конец. Стержень располагают а) под углом ос к горизонту;
б) под углом ос к вертикали и отпускают без толчка. Найдите его угловое уско-
рение в начальный момент времени, т = 1 кг, I = 1 м, ос = 30°, g = 10 м/с2.
Ответы: а) 13 рад/с2; б) 7,5 рад/с2
т 6-3. Тонкий однородный стержень массы т= 1 кг и
= а длины I = 1 м может вращаться в горизонтальной плос-
-2^“ кости без трения вокруг вертикальной оси С, проходя-
F щей через середину стержня. К концу стержня в плоско-
сти вращения под углом ос = 30° к стержню прикладывают силу F =1 Н. Най-
дите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.
Ответ: 3 рад/с2
т С 6-4. Тонкий однородный стержень массы т и длины I
° -*1 может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вер-
F ’ тикальной оси С, проходящей через середину стержня. В
оси действует момент силы трения Мтр. К концу стержня в плоскости вращения
перпендикулярно стержню прикладывают силу F . Найдите угловое ускорение
стержня в начальный момент времени.
т = 1 кг, I = 1 м, F = 3 Н, Мтр = 1 Н-м.
Ответ: 6 рад/с2
6-5. Тонкая однородная пластина в виде квадрата со сторо-
ной Ъ может вращаться без трения в вертикальной плоскости
b вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс С.
Момент инерции пластины относительно оси С равен I. К
середине стороны квадрата приклеили маленький грузик мас-
сы т и отпустили без толчка. В начальный момент сторона квадрата была вер-
тикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный мо-
мент времени, т = 1 кг, I = 1 кг • м2 , b = 1 м, g = 10 м/с2.
Ответ: 4 рад/с2
6-6. Тонкая однородная прямоугольная пластина со
сторонами Ъ и а может вращаться без трения в верти-
кальной плоскости вокруг горизонтальной оси, прохо-
дящей через центр масс С. Момент инерции пластины
относительно оси С равен I. К середине стороны пла-
стины приклеили маленький грузик массы т и отпустили без толчка. В началь-
ный момент сторона пластины была вертикальна. Найдите угловое ускорение
получившейся фигуры в начальный момент времени.
т = 1 кг, I = 1 кг • м2 , b = 1 м, а = 2 м, g = 10 м/с2.
Ответ: 5 рад/с2
а
19
6-7. Тонкий однородный стержень длины
I может вращаться в горизонтальной плоско-
_____________flZ___ сти вокруг вертикальной оси, проходящей че-
/т " у / / рез середину стержня. К концу стержня при-
// / /\С / ложена сила F = i -А + j -B + k-D . Чему рав-
/х j/ на проекция момента силы относительно точ-
ки С на ось z.
I = 1 м, А = 1 Н, В = 2 Н, D = 3 Н.
Ответ: -0,5 Н-м
6-8. Маленький шарик поместили в точку с радиусом-вектором
г = 1 А + j • В + к -С .В некоторый момент на шарик подействовали силой
a) F = i' D б) F = у • D ; в) F = к -D. Найти модуль момента силы относитель-
но начала отсчета.
Л = 1 м, В = 2 м, С = 3 м, D = 4 Н,.
Ответы: а) 14,42 Н-м; б) 12,65 Н-м; в) 8,94 Н-м
6-9. Маленький шарик поместили в точку с радиусом-вектором
г = 1 А + j • В + к -С .В некоторый момент на шарик подействовали силой
F = i -D + j • Е + к -G . Найти проекцию момента силы относительно начала ко-
ординат а) на ось х; б) на ось у; в) на ось z
Л = 1 м, В = 2 м, С=Зм,О = ЗН,Е = 4Н, 0=5 Н.
Ответы: а) -2 Н-м; б) 4 Н-м; в) -2 Н-м
6-10. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его
момент импульса относительно оси вращения зависит от времени по закону
t
t t
а) В = Л—;б) 7 = Л -
т 1т
время t =1 с тело имеет угловое ускорение 8. Найти момент инерции тела, если т
=1 с. Л = 1 кг-м2/с ,8=1 рад/с2.
Ответы: а) 1 кг-м2; б) 2 кг-кг2; в) 3 кг-м2; г) 4 кг-м2; д) 5 кг-м2
6-11. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угло-
вым ускорением, зависимость от времени которого задается
графиком. Момент инерции тела относительно оси враще-
ния равен I. Найти момент импульса тела в момент време-
ни t = 4 с, если smv = 1 с-2. 7=1 кг-м2
' 111С1Л.
Ответ: 1 Н-м-с
20
6-12. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угло-
вой скоростью, зависимость от времени которой задается
графиком. Момент инерции тела относительно оси враще-
ния равен I. Найти
а) отношение модулей моментов сил;
б) на сколько отличаются модули моментов сил,
действующих на тело в моменты времени = 1 с и ?2 = 3
-1 2
с. ®тах = 1 с , I = 1 кг • м
Ответы: а) 0,5; б) 0,5 Н-м
7. Момент инерции. Теорема Штейнера. Центр масс.
Момент инерции системы частиц относительно заданной оси I = т1 г2
, где
оси.
I = j dm г2
mi - масса частицы, rt - расстояние от частицы до заданной оси.
Если масса тела непрерывно распределена в пространстве то I = J dm • г2 ,
где dm - масса элементарного объема тела, г - расстояние от этого объема до
заданной оси.
Теорема Штейнера.
Момент инерции 1О твердго тела относительно произвольной оси О равен
сумме момента инерции этого тела 1С относительно оси С, параллельной оси
О и проходящей через центр масс тела, и произведения массы этого тела т и квадрата расстояния d между осями О и С.
h - 1с + md2
Координата центра масс _ Ymixi ХС Lmi , где Xj координата материальной
точки с массой mt или xdm (случай непрерывного распределения).
-'С - dm
Таблица моментов ине] щии некоторых фигур.
2 I = mR - кольца относительно оси, проходящей через центр кольца пер- пендикулярно его плоскости. Т 2 2 1 = — mR - однородного шара отно- сительно оси, проходящей через центр шара.
I = — mR2 - диска относительно оси, 2 проходящей через центр диска пер- пендикулярно его плоскости. / = ~^т12 ~ стержня относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.
21
A 7-1. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы т и
радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через
( ? ) центр масс диска С, а другая через точку О, лежащую на расстоя-
\ С J нии х от точки А на краю диска. Точки О, С и А лежат на диаметре
---диска. Во сколько раз больше момент инерции диска 1О , чем 1С ?
т = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м. Ответ: 1,72 раз
! , ? зл 7-2. Перпендикулярно однородному тонкому стержню
СЕ7Д массы т и длиной I проходят две параллельные оси. Одна
проходит через центр масс стержня С, а другая через точ-
ку О, лежащую на расстоянии х от его конца Л. Во сколько раз больше момент
инерции стержня 1О , чем Ic 1 т = 1 кг, I = 1 м, х = 0,4 м
Ответ: 1,12 раз
А | 7-3. Через однородный шар массы т и радиуса R прохо-
О -У дят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс
I шара С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от
— края шара Л. Точки А, О иС лежат на диаметре шара. Во
\ J сколько раз больше момент инерции шара Iq , чем 1С ?
т = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.
Ответ: 1,9 раз
Ш7-4. Два одинаковых диска массой т и радиусом R ка-
Q ждый положили на плоскость и приварили друг к другу.
Найти момент инерции получившейся детали относитель-
но оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков
через точку О (см. рис.). R = 1 м, т = 1 кг.
Ответ: 11 кг-м2
х' 'х 7-5. Два одинаковых диска массой т и радиусом R каж-
f_____Y _ \ дый положили на плоскость и приварили друг к другу. Най-
\ A. J ти момент инерции получившейся детали относительно оси,
проходящей перпендикулярно плоскости дисков через центр
масс одного из дисков О. R = 1 м, т = 1 кг.
Ответ: 5 кг-м2
7-6. Два одинаковых шара массой т и радиусом R каж-
дый приварили друг к другу. Касательная к шару ось О
проходит перпендикулярно линии, проходящей через цен-
тры шаров. Найти момент инерции получившейся детали
относительно оси О. R = 1 м, т = 1 кг.
Ответ: 10,8 кг-м2
7-7. Два одинаковых шара массой т и радиусом R каждый
приварили друг к другу. Ось О проходит по диаметру шара
перпендикулярно линии, соединяющей центры шаров. Найти
момент инерции получившейся детали относительно оси О.
R = 1 м, т = 1 кг.
Ответ: 4,8 кг-м2
22
7-8. Два одинаковых однородных тонких стержня массой т и
О длиной I каждый приварили концами перпендикулярно друг к дру-
гу. Через конец одного из стержней проходит ось О, перпендику-
лярная плоскости стержней. Найти момент инерции получившейся
детали относительно оси О. I = 1 м, т = 1 кг.
Ответ: 1,677 кг-м2
7-9. Два одинаковых однородных тонких стержня массой т и
q длиной I каждый приварили концами перпендикулярно друг к дру-
гу. Через центр одного из стержней проходит ось О, перпендику-
лярная плоскости стержней. Найти момент инерции получившейся
детали относительно оси О. I = 1 м, т = 1 кг.
Ответ: 0,667 кг-м2
7-10. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы
7 -X т= 1 кг и радиуса R = 1 м проходят две параллельные оси. Одна
I О у проходит через центр масс диска С, а другая через точку О, ле-
\ С ] жащую на расстоянии х = 0,4 м от точки А на краю диска. Точки
У О,СъА лежат на диаметре диска. На сколько отличаются мо-
менты инерции диска относительно этих осей?
Ответы: а) 0,36 кг-м2
। 7-11. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы
ти радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит
через точку А на краю диска, а другая через точку О, лежащую на
расстоянии х от точки А. Точки Он А лежат на диаметре диска, т
= 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.
а) Во сколько раз отличаются моменты инерции диска и 1О1
б) На сколько отличаются моменты инерции диска относительно этих осей?
Ответы: а) 1,74 раз; б) 0,64 кг-м2
! t 7 э.4 7-12. Перпендикулярно однородному тонкому стерж-
С kJ ню массы т = 1 кг и длиной I = 1 м проходят две парал-
лельные оси. Одна проходит через центр масс стержня С,
а другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от его конца Л. На
сколько отличаются моменты инерции стержня относительно этих осей?
Ответ: 0,01 кг-м2
7—^ 4 7-13. Перпендикулярно однородному тонкому стерж-
С L J ню массы т = 1 кг и длиной I = 1 м проходят две парал-
лельные оси. Одна проходит через конец стержня А, а
другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от точки А.
а) Во сколько раз отличаются моменты инерции стержня и 1О1
б) На сколько отличаются моменты инерции стержня относительно этих осей?
Ответы: а) 3,57 раз; б) 0,24 кг-м2
23
7-14. Через однородный шар массы т и радиуса/? проходят
две параллельные оси. Одна касается шара в точке А, а другая
проходит через точку О, лежащую на расстоянии х от точки А.
Точки Аи О лежат на одном диаметре шара.
т = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.
а) Во сколько раз отличаются моменты инерции шара 1д и 1О1
б) На сколько отличаются моменты инерции шара относительно этих осей?
Ответы: а) 1,84 кг-м2; б) 0,64 кг-м2
7-15. Через однородный шар массы т и радиуса/? проходят
две параллельные оси. Одна проходит через центр масс шара
С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от края
шара Л. Точки А, О и С лежат на диаметре шара. На сколько
отличаются моменты инерции шара относительно этих осей?
т = 1 кг, /? = 1 м, х = 0,4 м.
Ответ: 0,36 кг-м2
7-16. На одну плоскость положили тонкий однородный стер-
жень массы т и длины I = 2/? и диск радиуса /? и такой же массы
т. Центр стержня О приварили к диску. Перпендикулярно
плоскости получившейся детали проходит ось
а) через точку О
б) через центр диска С
Найти момент инерции детали относительно этих осей, т = 1 кг, /? = 1 м.
Ответы: а) 1,83 кг-м2; б) 1,83 кг-м2
7-17. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из
трех одинаковых однородных тонких стержней массы т и длины
I каждый. Ось О проходит перпендикулярно плоскости детали
через вершину треугольника. Найти момент инерции детали от-
носительно этой оси. т = 1 кг, I = 1 м.
Ответ: 1,5 кг-м2
7-18. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из
трех одинаковых однородных тонких стержней массы т и длины
I каждый. Ось С проходит перпендикулярно плоскости детали
через центр масс треугольника. Найти момент инерции детали
относительно этой оси. т = 1 кг, I = 1 м.
Ответ: 0,5 кг-м2
7-19. Деталь в виде квадрата сварили из четырех одинаковых
однородных тонких стержней массы т и длины I каждый. Ось С
проходит перпендикулярно плоскости детали через центр масс
квадрата. Найти момент инерции детали относительно этой оси. т
= 1 кг, I = 1 м.
Ответ: 1,33 кг-м2
24
а У 7-20. Тонкий стержень постоянного сечения длиной I = 1 м
—I = лежит на оси х и его левый конец совпадает с началом коорди-
О X нат о. Линейная плотность вещества, из которого сделан
стержень, зависит от координаты х по закону (р0 = 1 кг/м)
а) Р = Ро у ; б). р = ро
Р = Ро
; Д) Р = Ро
А) Рассчитать момент инерции стержня относительно оси у.
Б) Найти координату центра масс стержня.
Ответы:
А) а) 0,25 кг-м2; б) 0,2 кг-м2; в) 0,167 кг-м2; г) 0,143 кг-м2; д) 0,125 кг-м2
Б) а) 0,667 м; б) 0,75 м; в) 0,80 м; г) 0,833 м; д) 0,857 м
А У I
О А х
а) р = рорб)
7-21. Тонкий стержень постоянного сечения длиной I распо-
ложен параллельно оси у. Нижний конец стержня лежит на оси х
на расстоянии I от начала координат. Линейная плотность веще-
ства, из которого сделан стержень, зависит от координаты у по
закону
Р = Ро
; д)
Р = Ро
. Рас-
считать момент инерции стержня относительно оспу. р0 = 1 кг/м, I = 1 м.
Ответы: а) 0,5 кг-м2; б) 0,333 кг-м2; в) 0,25 кг-м2; г) 0,2 кг-м2; д) 0,167 кг-м2
8. Кинетическая энергия. Мощность. Работа.
2 2
т„ mvr 17а
Кинетическая энергия катящегося тела Е^ = +^2— ’ ГДе ”” СКОРОСТЬ
центра масс тела, Iz - момент инерции тела относительно оси вращения, про-
ходящей через центр масс, со - угловая скорость вращения.
АdA F-dr -
Мощность А = — =------= Е -v , где v - скорость перемещения точки прило-
dt dt
жения силы.
2^2 С2
Работа силы A = ^F-dr = ^F-dl- cos ос = j Ndt ,где dr - перемещение, ос - угол
1 1
между вектором силы и вектором перемещения, dl = \dr\.
Ф2
Работа момента силы А = j М zdy> .
<Pi
25
8-1. Шарик массы т и радиуса R катится по горизонтальной поверхности со
скоростью v без проскальзывания. Найдите кинетическую энергию этого ша-
рика. т = 1 кг, R = 1 м, г = 1 м/с.
Ответ: 0,7 Дж
8-2. Диск массы т и радиуса R катится по горизонтальной поверхности со
скоростью v без проскальзывания. Найдите кинетическую энергию этого дис-
ка. т = 1 кг, R = 1 м, v = 1 м/с.
Ответ: 0,75 Дж
8-3. Катушка без ниток имеющая массу т, внешний радиус R и
момент инерции I, катится по горизонтальной поверхности со ско-
ростью v без проскальзывания. Найдите кинетическую энергию
этой катушки, т = 1 кг, R = 1 м, I = 1 кг • м2 , v = 1 м/с.
Ответ: 1 Дж
8-4. Небольшое тело начало движение из начала координат вдоль горизон-
тальной оси х под действием силы, направленной под углом ос = 30° к оси х.
Модуль силы меняется в зависимости от координаты х по закону
a) F = А—; б) F = A
b
/ \2
X
Jf
работу этой силы на участке пути от 0<х<й.Л=1Н, й=1м.
Ответы: а) 0,433 Дж; б) 0,289 Дж; в) 0,217 Дж; г) 0,173 Дж; д) 0,144 Дж
8-5. Небольшое тело начало движение из начала координат вдоль горизон-
тальной оси х под действием силы, направленной под углом ос к оси х. Модуль
силы F не меняется, но угол ос зависит от координаты х по закону ос = А—.
b
Найти работу этой силы на участке пути от 0 < х < Ъ , если b = 1 м, F = 1 Н, а)
А = 1 Н; б) А = - Н; в) А = - Н; г) А = - Н; д) А = - Н,
2 3 6 4
Ответы: а) 0 Дж; б) 0,637 Дж; в) 0,827 Дж; г) 0,955 Дж; д) 0,9 Дж
8-6. Найти работу, произведенную машиной за промежуток времени 0 < t < 1
с, если мощность машины зависит от времени по закону
т = 1 с, А = 1 Вт.
Ответы: а) 0,5 Дж; б) 0,333 Дж; в) 0,25 Дж; г) 0,2 Дж; д) 0,167 Дж
26
8-7. Массивный диск может вращаться вокруг закрепленной оси без трения.
Найдите работу момента силы при повороте диска на угол ф0 , если момент сил,
действующий на диск, зависит от угла поворота ф по закону
А = 1 Н-м, фо = 1 рад.
Ответы: а) 0,5 Дж; б) 0,333 Дж; в) 0,25 Дж; г) 0,2 Дж
—. 8-8. Тело движется вдоль горизонтальной оси х под дейст-
\ХОС вием силы F, направленной под углом ос к оси х. В некоторый
I Г * > 71 _ .. „
ттгтТпт момент тело достигает скорости v . Найдите мощность силы в
этот момент времени. F = 1 Н, v = 1 м/с, ос = 30°.
Ответ: 0,866 Вт
m 8-9. Тонкий однородный стержень массы m и длины I
& может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
v 1 через конец стержня. Стержень привели в горизонтальное
положение и толкнули так, что незакрепленный конец
стержня приобрел скорость v . Найдите кинетическую энергию стержня в пер-
вый момент времени, m =1 кг, I = 1 м, v = 1 м/с.
Ответ: 0,167 Дж
8-10. Шарик массы m и радиуса R катится без проскальзывания по горизон-
тальной поверхности, вращаясь с угловой скоростью со. Найдите кинетическую
энергию этого шарика, m = 1 кг, R = 1 м, со = 1 рад/с.
Ответ: 0,7 Дж
8-11. Диск массы m и радиуса R катится без проскальзывания по горизон-
тальной поверхности, вращаясь с угловой скоростью со. Найдите кинетическую
энергию этого диска, /л ! кг, Я = 1 м, со = 1 рад/с.
Ответ: 0,75 Дж
8-12. Тело движется вдоль горизонтальной оси х под дейст-
вием силы F, направленной под углом ос к оси х. В некоторый
~ттГГГгтт момент тело достигает скорости Ъ, а мощность силы равна FL
Найдите а) косинус угола ос; б) синус угола ос.
F = 1 Н, v = l м/с, N= 0,5 Вт.
Ответы: а) 0,5; б) 0,866
27
9. Закон сохранения импульса и момента импульса.
При взаимодействии частиц системы между собой полный вектор импуль-
са системы остается постоянным в случаях, когда
а) Fj) = 0 , б) ) < const и время взаимодействия очень мало.
внеш
внеш
В этих случаях (£ Д) = (£ р )
х 7Д° v J /после
। - векторная сумма им-
пульсов частиц, которые существовали до взаимодействия,
- век-
после
торная сумма импульсов всех частиц, которые будут существовать после взаи-
модействия. Если (^Fxz )внеш = 0 , то сохраняется только проекция полного
импульса системы на ось х,
4 /до j /после
При взаимодействии частиц системы между собой полный вектор момента
импульса системы остается постоянным в случаях, когда
а) ) = 0, б) (^Mz) < const и время взаимодействия очень мало.
внеш
внеш
В этих случаях (У L) = (У L,) где (У L ) - векторная сумма мо-
' /до \ 7 /после ' /до
ментов импульсов частиц, которые существовали до взаимодействия,
(УД ) - векторная сумма моментов импульсов всех частиц, которые
будут существовать после взаимодействия. Если (УМ4 =0, то сохраня-
ется только проекция момента импульса системы на ось z
= iУ Lzi) (часто относительно закрепленной оси вращения),
/до J /после
Момент импульса частицы L = [r,p
где г - радиус-вектор частицы,
р = mv - импульс частицы. L = r-p-sinoc , где ос - угол между г и р . Для
?W|O
твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси z Lz = Iz -C)z , где Iz -
момент инерции тела относительно оси z, (oz - угловая скорость.
9-1. Маленький пластилиновый шарик массы тх движется
горизонтально со скоростью . Под углом ос к направлению
его движения летит второй шарик массы /л2 со скоростью
v2 и сталкивается с первым. Шарики слипаются и движутся
под углом Р к первоначальному направлению движения
А) первого шарика; Б) второго шарика.
Найдите tgP. тх = 1 кг, т2 = 2 кг, = 1 м/с, v2 = 2 м/с,
а) ос = 30°; б) ос = 45°; в) ос = 60°; г) 90°.
А) Ответы: а) 0,448; б) 0,739; в) 1,155; г) 4
Б) Ответы: а) 0,103; б) 0,15; в) 0,192; г) 0,25
т2
28
9-2. Маленький пластилиновый шарик массы тх движет-
—а СЯ гоРизонтально со скоростью гу . Под углом ос к направле-
нию его движения летит второй шарик массы /л2 со скоро-
m2Q) ^2 стью и сталкивается с первым. Шарики слипаются и
движутся под со скоростью г3. Найдите после удара
А) модуль скорости г3; Б) модуль импульса шариков.
тх = 1 кг, т2 = 2 кг, гу = 1 м/с, v2 = 2 м/с, а) ос = 30°, б) ос = 45°, в) ос = 60°.
А) Ответы: а) 1,63 м/с; б) 1,59 м/с; в) 1,53 м/с
Б) Ответы: а) 4,89 кг-м/с; б) 4,76 кг-м/с; в) 4,58 кг-м/с
9-3. Маленький пластилиновый шарик массы тх движется горизонтально со
скоростью . Перпендикулярно к направлению его движения летит второй ша-
рик массы т2 со скоростью А и сталкивается с первым. Шарики слипаются и
далее движутся вместе. Найдите после удара
а) модуль импульса шариков; б) модуль скорости шариков.
тх = 1 кг, т2 = 2 кг, = 1 м/с, v2 = 2 м/с.
Ответ: а) 4,123 кг-м/с; б) 1,374 м/с
9-4. Маленький пластилиновый шарик массы тх движется горизонтально со
скоростью . Перпендикулярно к направлению его движения летит второй ша-
рик массы т2 со скоростью v2 и сталкивается с первым. Шарики слипаются и
далее движутся вместе под углом Р к первоначальному направлению движения
А) первого шарика; Б) второго шарика. Найдите cosP и sinp .
тх = 1 кг, т2 = 2 кг, = 1 м/с, v2 = 2 м/с.
А) Ответы: cosP= 0,243; sinp = 0,97
Б) Ответы: cosP= 0,97; sinp = 0,243
9-5. На горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень мас-
сы т =1 кг и длины /, который может вращаться вокруг вертикальной оси, про-
ходящей через А) центр масс стержня С; Б) конец стержня О. Под углом ос =30°
к стержню в той же плоскости движется маленький пластилиновый шарик такой
же массы т со скоростью v = 1 м/с. Шарик прилипает к концу стержня, и сис-
тема приобретает угловую скорость вращения со. Найти
а) угловую скорость вращения системы после удара, если I = 1 м;
б) длину стержня, если , ® = 1 рад/с
Ответы: Аа) 0,75 рад/с; Ба): 0,375 рад/с; Аб) 0,75 м; Бб) 0,375 м
29
9-6. Тонкий однородный диск массы т = 1 кг и радиуса R может вращаться в
вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей
А) через его край О; Б) через его центр С. Под углом ос =30° а) к вертикали;
б) к горизонтали в плоскости вращения диска движется маленький пластилино-
вый шарик такой же массы т со скоростью v = 1 м/с. Шарик прилипает к ниж-
ней точке неподвижно висящего диска, и система приобретает угловую ско-
рость вращения со.. Найти
1) угловую скорость вращения системы после удара, если R = 1 м;
2) Найти радиус диска, если со = 1 рад/с,
т
v
то—
Ответы: 1) Аа) 0,182 рад/с; Ба) 0,333 рад/с; Аб) 0,315 рад/с; Бб) 0,577 рад/с.
Ответы: 2) Аа) 0,182 м; Ба) 0,333 м; Аб) 0,315 м; Бб) 0,577 м.
9-7. Тонкий однородный стержень массы т = 1 кг и длины
I может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизон-
тальной оси, проходящей через его конец. С разных сторон на
стержень горизонтально в той же плоскости налетают два
одинаковых пластилиновых шарика той же массы т с одина-
ковыми скоростями v = 1 м/с. Первый шарик застревает в
центре стержня, второй - в нижнем конце, и система приоб-
u °т ретает угловую скорость со. Найти
а) угловую скорость вращения системы после удара, если I = 1 м;
б) Найти длину стержня, если со = 1 рад/с.
Ответы: а) 0,316 рад/с; б) 0,316 м
^7/ 9-8. Тонкий однородный стержень массы т =1 кг и длины I
может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонталь-
ной оси, проходящей через его конец О. Горизонтально в той же
плоскости на стержень налетает пластилиновый шарик той же
__ массы т со скоростью v = 1 м/с. Шарик застревает в точке А
т° стержня на расстоянии х= от точки О, и система приобретает
угловую скорость со. Найти
а) угловую скорость вращения системы после удара, если I = 1 м;
б) Найти длину стержня, если со = 1 рад/с.
Ответы: а) 0,837 рад/с; б) 0,837 м.
30
10. Закон сохранения полной механической энергии.
Полная механическая энергия Е складывается из двух составляющих:
Е = Ек + Ер , где Efc - кинетическая энергия, Ер - потенциальная энергия.
Если работа всех неконсервативных сил (и внешних, и внутренних) в сис-
теме частиц в интервале времени от до ?2 равна нулю, то полная механиче-
ская энергия системы сохраняется в этом интервале времени, т е.
Ekl+Epl ~ Ек2+Ер2
\/ ч__ ___/
первый момент второй момент
времени времени
В случае только поступательного движения Ек =
ту2
2
, где т - масса сис-
темы, у - скорость центра масс. В случае только вращательного движения
/®2
— 2~
, где
со - угловая скорость, I - момент инерции тела относительно
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
оси вращения.
Ер = mgh , где g - ускорение свободного падения однородного гравитационо-
го поля, т - масса системы частиц, h - высота центра масс системы над уров-
нем, потенциал поля на котором принимается за ноль (выбирается произволь-
ным образом).
Если в некотором интервале времени над системой частиц была совершена
работа со стороны неконсервативных сил то полная энергия системы изменя-
ется, причем
^неконс — ~ (j^k2 + р2 ) — р\) •
Ч____ J Ч____ ____J
второй момент первый момент
времени времени
В задачах в роли неконсервативных сил обычно выступают силы трения
скольжения, сопротивления воздуха, тяги. Сила трения покоя работу не со-
вершает.
10-1. Тонкий однородный диск массы т и радиуса R
скатывается без проскальзывания с горки высоты Л, со-
\ вершая плоское движение. Начальная скорость центра
® масс диска равна То . Сопротивление воздуха пренебре-
жимо мало, т = 1 кг, R = 1 м, у0 =1 м/с,
h = 1 м, g = 10 м/с2. После того, как он скатится с горки, найдите
а) скорость центра масс диска
б) кинетическую энергию диска
в) Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия диска
г) На сколько увеличится кинетическая энергия диска
д) Найдите угловую скорость вращения диска
Ответы: а) 3,79 м/с; б) 10,75 Дж; в) 14,33 раз; г) 10 Дж; д) 3,79 рад/с
31
10-2. Однородный шар массы т и радиуса/? скатывается без проскальзыва-
ния с горки высоты h. Начальная скорость центра масс шара равна v0 . Сопро-
тивление воздуха пренебрежимо мало, т = 1 кг, R = 1 м, v0 =1 м/с,
h = 1 м, g = 10 м/с2. После того, как он скатится с горки, найдите
а) скорость центра масс шара
б) кинетическую энергию шара
в) Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия шара
г) На сколько увеличится кинетическая энергия шара
д) Найдите угловую скорость вращения шара
Ответы: а) 3,91 м/с; б) 10,7 Дж; в) 15,29 раз; г) 10 Дж; д) 3,91 рад/с
10-3. Резиновая шайба массы т = 1 кг, двигаясь со
скоростью v0 = 1 м/с, соскальзывает с горки высоты
h = 1 м и приобретает скорость v у подножия горки. Во
время движения над шайбой была совершена работа сил
трения Атр. (g = 10 м/с2). Найдите
т
I
а) скорость шайбы v , если Атр = 1 Дж
б) кинетическую энергию шайбы у подножия горки, если AIV = 1 Дж
в) во сколько раз изменилась кинетическая энергия шайбы, если А1р = 1 Дж
г) на сколько изменилась кинетическая энергия шайбы, если 4тр = 1 Дж
д) модуль работы сил трения А^, если v =3 м/с
Ответы: а) 4,36 м/с; б) 9,5 Дж; в) 19 раз; г) 9 Дж; д) 6 Дж
10-4. Тонкий однородный стержень массы т и длины I может
вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной
оси, проходящей через конец стержня О. Стержень приводят в
горизонтальное положение и отпускают без толчка. Сопротив-
ление воздуха пренебрежимо мало.
/л = 1 кг, / =1 м, g =10 м/с2. В момент прохождения им положе-
ния равновесия найдите
а) кинетическую энергию стержня, б) скорость нижнего конца стержня
в) угловую скорость стержня г) скорость центра масс стержня
Ответы: а) 5 Дж; б) 5,48 м/с; в) 5,48 рад/с; г) 2,74 м/с
10-5. Тонкий однородный стальной стержень массы т = 1 кг и
длины I = 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг го-
ризонтальной оси, проходящей через его конец О. Горизонтально в
той же плоскости на стержень налетает стальной шарик той же мас-
сы т со скоростью v = 1 м/с и отскакивает со скоростью и после аб-
солютно упругого удара. Стержень начинает вращаться с угловой
скоростью оо. Найти
а) скорость шарика и, если со = 1 рад/с.
б) угловую скорость стержня со, если и = 0,5 м/с.
в) Во сколько раз уменьшится скорость шарика, если со = 1 рад/с.
г) На сколько уменьшится скорость шарика, если со = 1 рад/с.
Ответы: а) 0,816 м/с; б) 1,5 рад/с; в) 1,22 раз; г) 0,184 м/с
v
то—
А