Лекции по дифференциальной геометрии и
топологии.

А. О. Иванов, А. А. Тужилин
Содержание

Предисловие................................................ 5

Лекция 1. Тензоры и тензорные поля .	......... .	7

1.1.	Простейшие примеры тензоров...................... 8

1.2.	Общее определение тензора....................... 11

1.3.	Линейное пространство тензоров.................. 17

Лекция 2. Алгебраические операции над тензорами и
тензорными полями.................................... 22

2.1.	Линейная комбинация ............................ 22

2.2.	Перестановка индексов одного типа............... 22

2.3.	Свертка ........................................ 24

2.4.	Тензорное произведение.......................... 25

2.5.	Опускание и поднятие индекса.................... 27

2.6.	Симметрирование и альтернирование............... 29

2.7.	Частичное альтернирование....................... 30

Лекция 3. Алгебра внешних дифференциальных форм 35

3.1.	Пространство кососимметричных тензоров.......... 35

3.2.	Внешние дифференциальные формы.................. 39

3.3.	Внешнее умножение .............................. 40

3.4.	Формы и отображения.............................. 44	45

Лекция 4. Дифференцирование и интегрирование форм 19

4.1.	Внешнее дифференцирование....................... 49

4.2.	Интегрирование дифференциальных форм на ориен-
тированных многообразиях ....................... 52

4.3.	Многообразия с краем............................ 57

Лекпия 5. Теорема Стокса ................................. 62

5.1.	Интеграл по подмногообразию и формула Стокса . .	62

5.2.	Интеграл от функции, интегралы «первого» и «вто-
рого» рода...................................... 64

5.3.	Формула Грина................................... 65

5.4.	Формула Гаусса-Остроградского................... 67

5.5.	Формула Стокса для поверхностей................. 69

Лекция 6. Когомологии де Рама ............................ 77

6.1.	Определение групп когомологий де Рама........... 77

6.2.	Когомологии и отображения ...................... 81

6.3.	Гомотопии и когомологии......................... 82

6.4.	Когомологии и общая формула Стокса.............. 85

Лекция 7. Ковариантное дифференцирование ....	90

7.1.	Евклидова связность............................. 90

7.2.	Аффинные связности.............................. 94

7.3.	Ковариантная производная по направлению...	95

7.4.	Евклидовы координаты для связности.............. 98
Лекция 8. Свойства ковариантного дифференцирова-
ния ............................................ 100

8.1.	Алгебраические свойства ковариантного дифферен-
цирования ............................................. 100

8.2.	«Единственность» операции тензорного дифференци-
рования ............................................... 102

8.3.	Риманова связность .............................. 105

8.4.	Евклидовы координаты для метрики ................ 109

Лекция 9. Параллельный перенос и геодезические . . 111

9.1.	Параллельный перенос..................... 111

9.2.	Параллетьный перенос в римановой связности	....	113

9.3.	Определение и простейшие свойства геодезических	.	114

9.4.	Нормальные координаты.................... 116

Лекция 10. Экстремальные свойства геодезических . . 123

10.1.	Производная функции длины кривой при ее вариапии 123

10.2.	Лемма Гаусса и локальная минимальность геодезиче-
ских ........................................... 126

Лекция 11. Тензор кривизны................................ 132

11.1.	Координатное определение тензора кривизны .... 132

11.2.	Коммутатор векторных полей ..................... 134

11.3.	Инвариантное определение тензора кривизны для сим-
метричной связности............................. 138

Лекпия 12. Случай римановой связности (тензор Ри-
мана) .......................................... 142

12	1. Новые симметрии тензора Римана.................. 142

12.2.	Тензор кривизны двумерной поверхности........... 146

12.3.	Независимые компоненты тензора Римана..... 148

Лекция 13. Степень отображения............................ 152

13.1.	Определение и основные свойства степени......... 152

13.2.	Основная теорема алгебры........................ 156

13.3.	Теорема «о еже»................................. 158

Лекиия 14. Другие применения степени отображения . 162

14.1.	Степень и интеграл.............................. 162

14.2.	Теорема Гаусса-Бонне............................ 163

14.3.	Особые точки векторных полей.................... 165

14.4.	Теорема Брауэра................................. 166

Лекпия 15. Элементы вариационного исчисления .... 169

15.1.	Классическая вариационная задача................ 169

15.2	Примеры лагранжианов............................. 172

15.3.	Законы сохранения............................... 173

15.4.	Многомерные вариационные задачи................. 175

Список литературы......................................... 178
Предисловие

Эта книга является продолжением наших «Лекций по классической
дифференциальной геометрии» и представляет собой подробные кон-
спекты лекций, читанных авторами на механико-математическом фа-
культете МГУ имени М. В. Ломоносова для студентов второго и тре-
тьего курсов на протяжении более чем десяти лет. Напомним, что тра-
диционно годовой курс дифференциальной геометрии делится на два
семестра. Представленные 15 лекций относятся ко второму из них, ко-
торый называется «Дифференциальная геометрия и топология».

Книга предназначена главным образом для студентов и аспиран-
тов математических, физических и других естественнонаучных специ-
альностей, как систематически изучающих геометрию, так и желающих
продолжить беглое знакомство с предметом. Отметим, что эта книга,
в комплекте с предыдущей, может быть использована при постановке
полноценного курса геометрии для студентов университетов.

План курса. Фактически, этот второй семестр курса мог бы быть
озаглавлен «Тензорный анализ на многообразиях». Тензоры и тензор-
ные поля, простейшими примерами которых являются векторные поля
и дифференциалы функций, основные объекты изучения многих ма-
тематических, механических и физических дисциплин. Мы начнем со
стандартных определений тензора и тензорного поля на многообразии.
Затем будет построена теория внешних дифференциальных форм (ко-
сосимметрических тензорных полей). Оказывается, именно дифферен-
циальные формы представляют собой естественный объект интегри-
рования по гладкому многообразию. Мы докажем основную теорему
интегрального исчисления (формулу Стокса), обобщающую известную
формулу Ньютона-Лейбница, а в качестве приложения изучим когомо-
логии де Рама — алгебраический объект, сопоставляемый многообра-
зию, инвариантный при диффеоморфизмах и гомотопиях, а также от-
вечающий за разрешимость на многообразии дифференциальных урав-
нений специального вида. Затем мы вернемся к произвольным тен-
зорным полям и построим для них общую теорию тензорного («кова-
риантного») дифференцирования. Несмотря на то, что таких диффе-
ренцирований оказывается много, все они, в некотором смысле, анало-
гичны ковариантному дифференцированию из теории поверхностей (те-
ория Вейнгартена Гаусса). В этих терминах можно определить аналог
геодезических на поверхностях и параллельный перенос тензоров вдоль
кривых, позволяющий сравнивать значения тензорного поля в разных
точках многообразия. Будет изучен «маленький монстр» дифференци-
альной геометрии — тензор кривизны, являющийся аналогом гауссовой
кривизны из теории поверхностей и характеризующий локальную «непо-
хожесть» многообразия на евклидово пространство. Мы также познако-
мимся с понятием степени отображения — мощным топологическим ин-
вариантом, позволяющим решать некоторые глобал:>ные задачи диффе-
ренциальной геометрии. 13 заключении, мы рассмотрим общий подход к
вариационным задачам, записав общие уравнения Эйлера-Лагранжа для
таких геометрических вариационных функционалов, как длина, энергия

и площадь.

Структура книги. Как и в первом семестре, каждая лекция пред-
ставляет собой подробный конспект реальной лекции, рассчитанной на
два академических часа» Затем приводится список задач, которые могут
быть использованы при проведении семинарских занятий по теме этой
лекции. Наконец, каждая лекция снабжена Дополнительными материа-
лами, которые содержат не вошедшие в основной тест лекции примеры,
конструкции и результаты, полезные для более глубокого знакомства с

предметом, а также часть громоздких доказательств, не поместившихся
в основной текст (обычно на лекциях студентам сообщается лишь идея
такого доказательства и предлагается восстановить подробности само-
стоятельно) .

Авторы пользуются случаем поблагодарить всех, кто учил и учит
нас понимать и любить Геометрию. Прежде всего, нашего учителя,
академика Анатолия Тимофеевича Фоменко, чьи замечательные лек-

ции мы сами слушали на мехмате. Мы очень признательны профессо-
рам А. С. Мищенко, В. В. Трофимову , Ю. П. Соловьеву , чьи лекции
и семинары нам посчастливилось посещать, а также нашим коллегам-

геометрам Л. А. Алании, А. В. Болсинову, В. Л. Голо, Д. П. Ильютко,
Е. А. Кудрявцевой, В. М. Мануйлову, Н. Ю. Нецветаеву, И. М. Нико-
нову, А. А. Ошемкову, Ф. Ю. Попеленскому, И. X. Сабитову, А. Б. Ско-
пенкову, Е. В. Троицкому, А. И. Шафаревичу за многочисленные инте-

ресные обсуждения, обмен опытом и полезные советы. Разумеется, эта
книга никогда не была бы написана без нашего постоянного общения со

студентами и аспирантами механико-математического факультета, ко-

торые пытались учиться по этим лекциям, за что мы им также очень

признательны.

Мы пытались сделать изложение материала независимым, но не от
первого семестра наших лекций. Все понятия, введенные в наших Лек-
циях по классической дифференциальной геометрии, предполагаются из-
вестными и используются без пояснений.

В заключении отметим, что в настоящий момент существует много
замечательных учебников по дифференциальной геометрии. Их далеко
не полный список приведен в конце книги.
Лекция 1. Тензоры и тензорные поля

В любой конкретной задаче, в конечном итоге, требуется определить
поведение каких-нибудь числовых характеристик изучаемой системы.
В простейшем случае эти числовые характеристики представляют со-
бой функции, в общем случае они организуются в более сложные обра-
зования. Например, рассмотрим вектор в линейном пространстве К”.
Чтобы производить реальные вычисления, нужно сначала фиксировать
какие-нибудь координаты на конфигурационном пространстве рассма-
триваемой системы, скажем фиксировать базис в Жп. Но, как только
появляются координаты, так сразу требуется выяснить как преобра-
зуются наши числовые данные при замене координат. В простейшем
случае — случае функции, значение функции в точке конфигурацией
ного пространства не зависит от системы координат. Такие величины
часто называют скалярными. Однако в случае вектора в линейном про-
странстве К” это уже не так: компоненты вектора при линейной замене
координат преобразуются с помощью матрицы перехода этой замены. В
этом семестре мы изучим естественное обобщение понятия «вектор»
понятие «тензор». Тензоры, говоря неформально, это числовые данные,
заданные в линейном пространстве и меняющиеся при замене координат
в линейном пространстве наиболее простым образом - - полилинейным.
Возможно, понятие тензора уже появлялось в курсе линейной алгебры
и/или в курсе механики сплошной среды. Замечания о различии подхо-
дов дифференциальной геометрии и механики сплошной среды см. ниже.

В дифференциальной геометрии в качестве конфигурационных про-
странств выступают, конечно же, гладкие многообразия. В каждой
точке Р гладкого многообразия М имеется естественно определенное
линейное пространство ТрМ — касательное пространство к многообра-
зию в данной точке. Поэтому в каждой точке многообразия можно за-
(набор чисел)	„	_

дать тензор, а именно, тензор в этом линейном пространстве. Обычно в
дифференциальной геометрии рассматривают не просто тензоры в ка-
сательном пространстве в какой-то одной точке, а тензорные поля, т.е.
тензоры в касательных пространствах, гладко зависящие от точки мно-
гообразия. Однако, имея это в виду, мы начнем с простейших примеров
тензоров, которые нам уже встречались, и с напоминания того, что та-
кое тензоры в одном линейном пространстве.

Замечание. Будем использовать обозначения удобные в дифференциальной
геометрии. Так, например, базис в линейном пространстве К" — ТрМ всегда
соответствует некоторым локальным координатам хг в окрестности точки Р
на гладком многообразии М, поэтому обозначается через {Зж:}, а матрица
перехода от базиса к базису в нашем случае — это матрица Якоби соответ-
ствующей замены координат в окрестности точки Р, поэтому записывается в
виде частных производных. В остальном наши определения ничем не отлича-
ются от стандартных определений из курса линейной алгебры1.

1.1. Простейшие примеры тензоров

Мы будем пользоваться следующим соглашением, которое используют в
тензорном исчислении для упрощения записи выражений в «новых» коор-
динатах. Пусть х'1 — «старые» координаты. Вместо того, чтобы каждые
следующие «новые» координаты обозначать новыми буквами, скажем у1,
где г и ] независимые индексы, мы будем добавлять штрихи к ста-
рым буквам: х,г , где гиг1 — снова независимые индексы. При этом,
поскольку последняя запись является громоздкой и неудобной, мы будем
сокращенно писать хг , опуская штрих у х, и подразумевая, что «штрих
у индекса относится и к х и к г». Если же необходимо вместо г' подста-
вить его значение, например, записать координату х1 при г' = 1, т.е.
первую «новую» координату, то будем писать так: ж1 .

Касательный вектор. Пусть М - гладкое п-мерное многообра-
зие, Р — его произвольная точка, и ТрМ — касательное пространство
в этой точке. Предположим, что фиксированы локальные координаты
(ж1,... ,ж"). Тогда каждый касательный вектор V € ТрМ в этих ко-
ординатах однозначно определяется своими компонентами (а1,... ,г”)
(относительно канонического базиса Дж<). Если в окрестности точки Р
заданы еще одни локальные координаты (ж1 ,... ,хп ), то компоненты
(г1 ,... , Vя ) вектора V в этих «новых» «штрихованных» координатах,
( по определению касательногоъектора. Смотри часть 1.)
по определению, пересчитываются так:

1=1

где (	) — матрица Якоби замены координат в точке Р. Отметим,

ох1

что эта формула в точности совпадает с формулой пересчета компо-
нент вектора при замене базиса, известной из линейной алгебры. Дей-
ствительно, канонические базисы <)х, и дх,> в касательном пространстве
ТрМ связаны, как известно, так:

( старый базис через ное ый )



т.е. матрица Якоби Д — ( —— ) замены координат — это матрица пере-
V охг )

хода от базиса к базису	В матричном виде формула для

ХВ данной книге приведены все необходимые определения. В качестве учебника
по линейной алгебре можно воспользоваться, например, замечательными книгами
И. М. Гельфанда или А. И. Кострикина и Ю. И. Манина
пересчета компонент вектора записывается так: V' = .IV (здесь V' и V
столбцы компонент рассматриваемого вектора в «новых» и «старых»
координатах соответственно). Этот закон преобразования называется
тензорным законом преобразования компонент вектора.

Дифференциал функции — ковектор. Пусть снова М — глад-
кое п-мерное многообразие, Р - произвольная точка из М, и / - глад-
кая функция на М. Тогда, как мы уже знаем, определено линейное ото-
бражение <1/\р линейного пространства ТрМ = К” в К1, т.е. линейная
функция на ТрМ, называемая дифференциалом функции /. Напомним,
что в линейной алгебре линейные функции называются линейными функ-
ционалами. Если в окрестности точки Р фиксированы локальные ко-
ординаты (ж1,... , ж”), то, напомним, дифференциал функции / одно-
значно определяется матрицей, состоящей из одной строки, которая в
координатах (ж1,... , ж”) (т.е. в каноническом базисе дхф имеет вид

1 хдж1”" ’аж«Л

где все частные производные вычисляются в точке Р. Если в окрест-
ности точки Р заданы еще одни локальные координаты (ж1 ,... , хп ),
то компоненты матриц дифференциала в разных системах координат
частные производные, связаны между собой так:

_а/ _ А аж* д/
дх1' дх*' дх1'
*=1

Отметим, что эта формула отличается от формулы преобразования ком-
понент вектора. Однако, эта формула тоже известна из линейной алге-
бры.

Действительно, рассмотрим двойственное пространство ТрМ к ка-
сательному пространству ТрМ, т.е. пространство всех линейных функ-
ций на пространстве ТрМ. Если фиксированы локальные координаты
(ж1,... , ж") в окрестности точки Р, и {а^.} — канонический базис в
линейном пространстве ТрМ, то каждая линейная функция т.е. эле-
мент пространства ТрМ, однозначно определяется своими значениями
на базисных векторах: если V — произвольный вектор из ТрМ с ком-
понентами (гя1,... ,ип), то

п	п	п

€(У) = е(Е”М =	= Е”^’

6=1	6=1	6=1

где числа & = ^(а#>) называются компонентами линейной функции % в
координатах (ж1,... ,ж”). На самом деле, напомним, в линейном про-
странстве ТрМ каноническим образом определен двойственный базис
{<4сг € ТрМ}, где линейный функционал <1хг однозначно определяется
из соотношений

(1,	г=].

(Отметим, что функционал с1х‘ — это дифференциал гладкой функции,
заданной в рассматриваемой карте, а именно функции, сопоставляющей
точке Р ее г-ую координату х’(Р).) Линейная функция однозначно
представима в виде
п

л=1

Так вот, пусть теперь в окрестности точки Р заданы еще одни локаль-
ные координаты (а:1 ,... , хп ). Тогда, как легко проверить, компоненты
линейного функционала относительно разных систем координат свя-
заны по уже знакомой нам формуле для компонент дифференциала:

= V

В матричном виде эта формула записывается в виде — (Ж 1)Т Р где

.1 — матрица Якоби (	) замены координат, а Е и Р — столбцы из

ох1

соответствующих компонент функционала. Отметим, что иногда эту

же формулу записывают в виде	, обозначая через и строки

из компонент функционала.

В тензорном анализе линейные функционалы называются ковекто-
рами, а закон преобразования компонент линейного функционала, т.е.
ковектора, называется тензорным законом преобразования компонент
ковектора. Таким образом, дифференциал функции является ковекто-

ром, и его компоненты меняются по ковекторному закону.

Билинейная форма. Приведем еще один пример. Пусть снова М
— гладкое п-мерное многообразие, и ТрМ — касательное пространство
к М в некоторой точке Р 6 М. Рассмотрим на фрМ билинейную форму
В, т.е. отображение В: ТрМ х ТрМ —> К1, линейное по каждому ар-
гументу. Из линейной алгебры хорошо известно, что если в линейном
пространстве фиксирован базис, то билинейная форма однозначно за-
дается своими значениями на всевозможных парах базисных векторов.
Эти значения образуют матрицу билинейной формы.

Действительно, если (ж1,... , хп) — локальные координаты в окрест-
ности точки Р, а V = (о1,... ,оп) и И’ = (и»1,... ,юп) — произвольные
векторы из ТрМ, заданные своими компонентами, то

а=1	/3=1	а, /3=1
т.е, положив Ь.щ = В(д.1:л, получаем:

в(У,тг) = Ъа(}ъа^.
а,/3=1

Числа Ьа^ называются компонентами билинейной формы В в координа-
тах (ж1,... , ж").

Если теперь в окрестности точки Р заданы другие локальные коор-
динаты (а:1 ,,хп), то компоненты Ъа'р/ = В(дха> ,дхр') билинейной
формы В в этих координатах могут быть вычислены через компоненты
ЬРд формы В в координатах (ж1,... , аг'4) так:

/ ” Ата'	” Лмр'	ч

ьа.„. - в(а,.'.а/) = л(Еа^а..,52^-а1.)

р=1	д=1

" лга'

= У ^_^—В{дхР,дхЧ),

<= дхР дхч х ь

Р,9=1

т.е. окончательно:

дха дх&
а @	дхр Эх/1 Р9

р,ц=1

Этот закон преобразования называется тензорным законом преобразо-
вания компонент билинейной формы.

Отметим, что нам уже встречался пример билинейных форм, задан-
ных на гладких многообразиях: это риманова метрика.

Упражнение 1.1. Рассмотреть линейный оператор йЕ(Р): ТрМ —> ТрМ. являю-
щийся дифференциалом гладкого отображения Р: М —> М, где Г(Р) = Р. Выяс-
нить, как преобразуются компоненты матрицы оператора с1Р(Р) при замене коорди-
нат. Сравнить полученный закон с тензорным законом преобразования компонент
билинейной формы.

1.2.	Общее определение тензора

В предыдущем разделе мы напомнили определения хорошо известных из
линейной алгебры и геометрии объектов: векторов, ковекторов, линей-
ных операторов и билинейных форм. Все эти объекты, на самом деле,
инвариантны, т.е. не зависят от выбора локальных координат (скажем,
если оператор А переводит вектор V в вектор ТУ, то он это делает в не
зависимости от выбора локальных координат; оператор «объективен», а
координаты — «субъективны»; оператор «не знает» в каких координа-
тах мы записываем его матрицу). Координатное представление (компо-
ненты) каждого из указанных объектов при замене координат меняется,
но меняется по строго определенному правилу — по тензорному закону.
Тензоры на линейном пространстве ТрМ, которые мы сейчас опреде-
лим, являются естественным обобщением всех этих понятии. Мы дадим
здесь два определения тензора, одно из которых координатное, а другое
инвариантное.

1.2.1	Координатное определение тензора и тензорного поля. Дан-
ное в этом пункте определение особенно полезно при конкретных вычи-
слениях.

Определение. Тензором типа (р, (?) ранга р + д в касательном про-
странстве ТрМ называется соответствие Т, сопоставляющее каждой ло-
кальной системе координат (ж1,... , ж”) набор из пр+ч чисел Т^“^р, где
все верхние и нижние индексы независимо принимают значения от 1 до
п, а п — размерность линейного пространства ТрМ, т.е. размерность
многообразия М. Числа Т^ ""^р называются координатами или компо-
нентами тензора Т в локальных координатах (ж1,... , ж”). При этом,
если (ж1*,... , ж” ) — другая локальная система координат в окрестно-
г' ..л'

сти точки Р, то компоненты Т^ ''^ тензора Т в этой новой системе
координат связаны с его компонентами в старой системе координат по
следующему правилу, называемому тензорным законом:

т^-л'р _ у\. у-' у- ... у" ^1... Эж'т Эж^1 дх^ т11..Лр
ц = 1	гр=1}1 = 1	]ч = 1

Наконец, если на гладком многообразии М задано отображение Т, ста-
вящее в соответствие каждой точке Р многообразия некоторый тензор
Т = ТГ(Р) типа (р, д), причем, в каждой локальной системе координат
(ж1,... , ж”), компоненты тензора Т гладко зависят от (ж1,... , ж”), то
говорят, что на многообразии М задано (гладкое) тензорное поле Т
типа (р, д).

Удобно считать произвольную константу тензором типа (0,0), а
произвольную гладкую функцию — тензорным полем типа (0,0). Тен-
зор (тензорное поле) типа (0,0) принято называть скаляром (соответ-
ственно, полем скаляров).

Очевидно, вектор является тензором типа (1,0) ранга 1, ковектор -
тензором типа (0,1) ранга 1, линейный оператор - тензором типа (1,1)
ранга 2, а билинейная форма - тензором типа (0, 2) ранга 2. Несколько
позднее мы построим еще несколько важных примеров тензоров, а сей-
час, прежде чем давать второе, инвариантное определение тензора, мы
примем важное соглашение.

Формула, выражающая тензорный закон, очень громоздка. Она со-
держит у + у знаков суммирования. Чтобы немного сократить записи
тензорных вычислений, в тензорном анализе принято опускать знак
суммированы, если оно ведется по паре повторяющихся переменных
индексов, один из которых верхний, а другой - - нижний. Отметим, что
все суммы, входящие в запись тензорного закона, именно такие: напри-
мер, индекс суммирования н в правой части первый раз появляется в
дхч

выражении Л -, в котором является нижним (стоит в знаменателе), а

второй раз — в выражении	где является верхним. Таким обра-

зом, в силу принятого соглашения, тензорный закон записывается в бо-
лее компактной форме так:

рХ-Ч = дхА _ _ _ дхг'р <Э#Д _ _ _ ЭяЧ
11--бд дх1' Эх*» дх3'<	дх3'4 31'"А

Замечание. Так как все системы координат равноправны, тензорный закон
может быть записан и в следующем, эквивалентном виде:

дх*1

дхгр дх31
дхА дхм

д^тА-А
д-гЗч зД-З,

Мы определили тензор в ТрМ как некоторое соответствие, сопоста-
вляющее каждым локальным координатам в окрестности точки Р на-
боры чисел, связанные между собой по тензорному закону. Возникает
естественный вопрос: как задавать такие соответствия, т.е. тензоры?
Неужели, нужно задавать наборы чисел для всех систем координат? От-
вет на этот вопрос дает следующая простая лемма.

Лемма 1.1. Пусть (ж1,... ,хп) — произвольные локальные координаты

в окрестности точки Р многообразия М размерности п. Сопоста-
вим им произвольный набор	из пР+я чисел. Любой другой си-

стеме координат (.г1 ,... ,хп ) поставим в соответствие набор чисел

(Т>.1'",р), вычисленный по числам т'Д"1,р

К 31  Зд '	Л ♦♦Мд

динат по тензорному закону, т.е.

и матрице Якоби замены коор-

ТА-А _ дхА	дхА дх31	дхА т^..Лр

1'1---1'д	дхп	()Х1Р дх1'1	дх-А 31'"Зч

Построенное соответствие задает тензор в ТРМ. Таким образом,
чтобы задать тензор типа (р, д) в пространстве ТРМ достаточно
задать его компоненты в какой-нибудь одной системе координат, а
во всех остальных системах координат пересчитать компоненты по
тензорному закону.

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно проверить, что
если

ТА-А _ дх1'1 ... дхА дх3' _ _ .

А---А эхн дх'ч дх1'1 дх1'я м---1ч
и

дхг"
дхг1

дх‘р дх^	дх^

дх‘р дх-Р	дх^ Т---Р

। **)

— вычисленные нами наборы чисел, которые мы хотим сопоставить ко-
ординатам (ж1 ,... , хп ) и (х1 ,... , хп ) соответственно, то они связаны
между собой по тензорному закону, т.е.

= дх*1
Я^

дх1р дх^	дхЕ

дхг'р дх^	дх^ ^->'1

Последнее равенство получается прямым подсчетом из формул (*) и (**).

Лемма доказана.

1.2.2	Инвариантное определение тензора и тензорного поля. Опре-
деления тензора, которое мы приведем в данном разделе, имеет то пре-
имущество, что в нем не участвуют локальные координаты, или, как
говорят, оно инвариантно.

Итак, пусть М -  гладкое п-мерное многообразие, Р  произвольная
его точка, ТрМ — касательное пространство в точке Р к многообразию
М, и ТрМ — двойственное к ТрМ пространство линейных функциона-
лов (ковекторов).

Определение. Тензором Т типа (р, ц) ранга р+д в пространстве ТрМ
называется полилинейное (т.е. линейное по каждому аргументу) отобра-
жение

Т: Т^М х • • • х Т^М х ТрМ х    х ТРМ, -> К1.

р раз	7 Р33

Утверждение 1.1. Координатное и инвариантное определения тен-
зора эквивалентны.

Доказательство. Пусть задано полилинейное отображение Т прямого
произведения р экземпляров двойственного пространства ТрМ и а экзем-
пляров пространства ТрМ в вещественные числа. Предположим, что
фиксирована система локальных координат (а:1,... ,хп) в окрестности
точки Р, и пусть, как обычно, {дх.} и {сйг-7} - канонические взаимно
двойственные базисы в ТрМ и ТрМ соответственно.

(для доказательства понадобится Лемма )

Лемма 1.2. Если (я:1,... , х”) - - локальные координаты, то полилиней-
ное отображение Т однозначно задается своими значениями на всевоз-
можных комбинациях элементов канонических базисов вида

((/.г'1,... , дхгр; дхл,... , дх^).
Доказательство. Действительно, пусть Др - произвольные ко-
векторы из ТрМ, а 14,... , Уч - произвольные векторы из ТрМ. Обозна-
чим компоненты вектора У в каноническом базисе {дх>} через (ц|,... , о”),
а компоненты ковектора в каноническом базисе {<7жб) 7 } через (^,... ,	.

Тогда, в силу полилинейности отображения Т имеем:

дуу,... ,у) = т(^у... дррад»^дх11,...	=

=	 •  г.дтмД.... мтму,,дх,д.

Поэтому, зная значения полилинейного отображения Т на базисных век-
торах и ковекторах, мы однозначно восстановим его на любых других, и
наоборот, чтобы задать полилинейное отображение, достаточно задать
его значения на комбинациях элементов канонических базисов. Лемма
доказана.

Итак, обозначив значение ТД.х'1, с1х1р;	,... , дх,ч) полилиней-

ного отображения через "Д, мы однозначно определим по полилиней-
ному отображению Т соответствие Т, сопоставляющее локальным коор-
динатам (ж1,... ,хп) набор чисел Ху Д-Д Проверим, что соответствие Т
действительно определяет тензор в смысле координатного определения.
Для этого нужно убедиться, что наборы чисел, сопоставляемые соот-
ветствием Т разным локальным координатам, связаны по тензорному
закону.

Проверим это. Пусть (ж1,... , ж”) и (ж1 ,... , ж” ) — две системы ло-
кальных координат. Наше соответствие Т, которое мы построили по
полилинейному отображению, устроено так:

Г:	Т^2=Т(д^у...	,дх1Д,

Т: (ж1',... ,жпД Н-	=ТДх^,... Дх^-,д У,... ,9 ?).

г г г ...г

Чтобы найти связь между числами Т 1"',р и Т.,1	, воспользуемся связью

<71 •**</<?	•?!***«? д

между элементами канонических базисов в ТрМ и ТрМ:



б) У

Лхг = —Ах1.
дх‘
Получим:

ТйИ,...	,д /) =

/ дх*'1
\дх11

дх14	\

’ дх^'ч	/

дх*1
Ох*1
дх1'1
дх*1

дх’? дх31
дх*р дх3'1
дх'р дх31
дх*? дх3'1

~т(ах\... ,<&р-дх31,... ,а^) =
дх^

__^“тР-лр

дх-’ч -71'"'7’

Это и есть тензорный закон. Таким образом, наше соответствие Т дей-
ствительно задает тензор, и мы показали, что по каждому полилиней-
ному отображению Т однозначно строится тензор в смысле координат-
ного определения.

Обратно, пусть задан тензор Т в смысле координатного определения,
и пусть снова фиксированы локальные координаты (я;1,... ,хп). Тогда,
в силу леммы 1.2, по набору компонент тензора Т, можно одно-
значно определить полилинейное отображение Т, положив

Т(^,... ,^;д^,... ,д^)=Т^.

Для завершения доказательства остается убедиться, что определенное
нами полилинейное отображение Т определено корректно, т.е. не за-
висит от локальной системы координат (ж1,... ,хп), фигурирующей в
определении Т.

Проверим это. Пусть (а;1 ,... , хп ) — другая система локальных ко-
ординат. Тогда соотношения

ЗШ1,... ,дх*'р;д ,д ?

определяют, вообще говоря, другое полилинейное отображение 5. Вы-
числим значение отображения Т на канонических базисных векторах
штрихованной системы координат. Получим:

ТШ'1,... ,<1х^;д ,д

4	X 1	X'

= т(^— ах11,...

' дх11	дх'р

дх31
—^гО.
дх31

дх3'1

_ дх*1
дх11
дх*'1
дх'1

дх*? дх31

дх*р дх3'1
дхгр дх31
дх*р дх3'1
= З^х*1,.

----—Т(йяФ,... , дх*”; дх31,... , д,.3ч) =
0Х^

гр1\”Лр _ ( по условию справедлив тензорный

"Эч	закон преобразования координат)

. ,,', ,д / ),

X 1	X Ч 7

‘ ’ дх^

= Т

( значение полилинейных отображений совпадают на базисных наборах во всех системах координат )
что и означает совпадение полилинейных отображений Т и 8. Таким
образом, по каждому тензору в смысле координатного определения, мы
построили корректно определенное полилинейное отображение. Утвер-
ждение доказано.

Замечание. Тензорное поле Т можно определить как гладко зависящее от
точки многообразия семейство полилинейных отображении описанного выше
типа. Это означает, что если фиксированы локальные координаты (ат1,... , а^“)
в карте (7, то для каждой точки Р € У значение

Т(Р,Й?1,... ,Лх\дх11,... ,дх,Л

поля Т на любом фиксированном наборе базисных ковекторов <1х‘',... ,<1хгр
и векторов дх31,... , дх,ч гладко зависит от Р 6 17. Другими словами, если
определить аналог касательного расслоения — расслоение Т^’^М со слоем

= т* м * ... х т*рМ х трМ х ,., х ТрМ/
р раз	д раз

то тензорное поле Т — это гладкое отображение Т: Т{р’д'М —> К1 такое, что
для любой фиксированной точки Р соответиствующее отображение слоя —
полилинейно.

( похоже на знак альтернирование )
Замечание. Каждое полилинейное отображение А: (ТрМу —) ТрМ со зна-
чениями в векторном пространстве ТрМ однозначно определяет тензор типа
(1,д). Действительно, определим отображение Та : ТрМ х (ТрМУ‘ —> X1, по-
ложив для любых векторов У.,... ,УП и произвольного ковектора Р

тА: (е,И,... ,КМ€(<И,... ,к,)).

(функция)

Очевидно, Та — полилинейное отображение, т.е. тензор типа (1,д). Обратно,
если Т — тензор типа (1, д), то определено отображение Ат: (ТрМу —> ТрМ,
устроенное так:

е(4©(и,... ,У.У) = Т^,У1,... ,.$) (число)

для произвольного ковектора 4 и векторов У,... , Уп.

1.3. Линейное пространство тензоров

Рассмотрим множество ТГ^ всех тензоров фиксированного типа (р, ц) в
касательном пространстве ТрМ в точке Р к многообразию М. По-
скольку линейная комбинация полилинейных отображений тоже является
полилинейным отображением, множество образует линейное простран-
ство. Чтобы определить размерность этого пространства, предъявим
естественный базис в нем. А именно, пусть фиксированы локальные
координаты (а:1,... ,хп). Определим полилинейные отображения

△ц.'.'Х’: (ТУМ)р х (ТрМ)9 -4 Ш1,
положив для любых ковекторов 41 > • • • , и векторов 14,... , Уд

д^ХЛ1....	. л;) = эя>1(е1)---эж.Р(а^1т)---^(к).

Другими словами,

Д* ,  • , <&ар; д.^ , •  - , дх,ч) =
(1,	й=1,...,р; Д=А, / = 1,...,д;

1 0, во всех остальных случаях.

В силу леммы 1.2, каждое полилинейное отображение Т можно пред-
ставить в виде

гр__гр^1“Лр лд1...дд

~ 131—Зд ^Й...гр ’

где

тл2 = т-,3^,... ,дх^).

При этом, линейная комбинация

л =

31 •••Зд	21 ...4р

не равна нулю, если хотя бы один коэффициент, скажем А^1"’^р, отличен
от нуля. Действительно, достаточно вычислить значение полилинейного
отображения Л на наборе векторов

с1ха1, дхар; дх/з1, дхрч,

которое будет, очевидно, равно А^х”’^р и, поэтому, отлично от нуля.
Итак, мы показали, что полилинейные отображения

д л - --л

21 ...2р ’

где все индексы г* и Д пробегают независимо всевозможные значения от
1 до п, образуют базис в пространстве Т^. Таким образом, мы доказали
следующее полезное утверждение.

Утверждение 1.2. Множество ТГ’’ всех тензоров типа (р, о) образует
линейное пространство размерности пр+я. Если фиксированы локаль-
ные координаты (ж1,... , ж”), то в качестве базиса в пространстве
можно выбрать полилинейные отображения

^31---Зд

21 •.>Ър

где все индексы г* и ]1 пробегают независимо всевозможные значения
от 1 до п. Этот базис называется каноническим.
Замечание. Часто полилинейные отображения	обозначают так:

Л' -1-	1'

Естественность этих более громоздких обозначений будет понятна из следую-
щей лекции.

Отметим, что если (ж1,... , хп) и (ж1 ,... , хп ) — две системы коор-
динат в окрестности точки Р, то в пространстве тензоров типа (р, <?)
в точке Р возникает два канонических базиса

которые связаны между собой, как несложно проверить, следующим
образом:

_ дх^ _ _ _ дх^дхА_ _ _ _ ®а^_дЛ...Л
<•4 дх^ '’ ’ дх** дх^ ''' дх^ '

Задачи

Задача 1.1. Пусть на двойственном пространстве ТрМ к касательному простран-
ству, т.е. на пространстве линейных функционалов на ТрМ, задана билинейная форма
В: ТрМ х ТрМ К1. Если фиксированы локальные координаты (ж1,... , жп), то
форма В однозначно определяется своими значениями на всевозможных парах ко-
векторов из канонического базиса	Эти значения называются компонен-

тами формы В в координатах (ж1,... ,жп). Вывести закон преобразования компо-
нент формы В при замене координат. Совпадает ли он с законом преобразования
компонент билинейной формы на ТрМ?

Задача 1.2. Назовем тензор инвариантным, если его компоненты не меняются ни
при каких заменах координат. Доказать, что набор символов Кронекера задает
инвариантный тензор типа (1,1). Проверить, что тот же самый набор 6ЪЗ задает уже
не инвариантный тензор типа (0,2).

Задача 1.3. Описать все инвариантные тензоры типа (1,1), (1,2), (2,1) и (2,2). Су-
ществуют ли инвариантные тензоры типа (р, д), если р ф д?

Задача 1.4. Каким полилинейным отображениям соответствуют вектор, ковектор
и линейный оператор? Выпиптите явные формулы в локальных координатах.

Задача 1.5. Показать, что операция взятия смешанного произведения в является
тензором типа (0,3) и найти его компоненты в стандартных декартовых координа-
тах.

Задача 1.6. Показать, что операция взятия векторного произведения в задает
тензор типа (1,2) и найти его компоненты в стандартных декартовых координатах.

Задача 1.7. На плоскости К2 фиксированы декартова (ж,р) и полярная (г, (р) си-
стемы координат. В декартовых координатах задана точка Р = (\/351) и вектор
V С ТрК2, V = (3,4). В полярных координатах задан ковектор € ТрК2, = (5,6).
Вычислить ^(У).
Дополнительный материал

1.1.	Линейный оператор — тензор типа (1,1). Пусть снова М — гладкое 71-
мерное многообразие, Р — некоторая точка из 7И, и пусть Р: М —> М — глад-
кое отображение многообразия М в себя, причем Р(Р) = Р, т.е. Р — неподвижная
точка отображения Р. Тогда, как мы уже знаем, определено линейное отображе-
ние (1Р\р: ТрМ ТрМ касательного пространства ТрМ в себя — дифференциал
гладкого отображения Р в точке Р. Если на многообразии в окрестности точки
Р заданы локальные координаты (ж1,... , жп), то, напомним, линейное отображение
задается матрицей

дхэ )

(*)

где хг = /“(а:1,  •  I1”), * = 1, •   , п, — координатное представление отображения Р
в координатах р»1,... ,ж”). Пусть теперь на многообразии М в окрестности точки
Р заданы еще одни локальные координаты (ж1 ,... ,хп ). Тогда, естественно, линей-
ное'отображение <1Р\р задается в этих новых координатах уже другой матрицей,
элементы которой связаны е элементами матрицы (*) так:

др1'

дхз'	дхэ дхг дхэ' ’

г=1 7=1

где хг = /г (ж1 ,... , хп ) — координатное представление отображения Р в коорди-
натах (ж1 ,... , жп ). Действительно, координатное представление отображения Р в
координатах (ж1 ,... , жп ) можно записать в виде

поэтому остается воспользоваться теоремой о дифференцировании сложной функции.

Отметим, что закон преобразования элементов матрицы дифференциала также
известен нам из линейной алгебры и совпадает с законом изменения матрицы ли-
нейного оператора при замене координат в линейном пространстве. Действительно,
если А — произвольный линейный оператор, заданный на ТрМ, и (ж1,... ,жп) —
локальные координаты в окрестности точки Р, то оператор А однозначно задается
компонентами образов векторов канонического базиса	в этом же самом ба-

зисе. А именно, если V = (г;1,... , г?п) — произвольный касательный вектор из ТрМ,
заданный своими координатами, то

А(У) = А^ц“<с«) = ^уаА(дхс),
а=1	а=1

И, ПОЛОЖИВ А(Оха ) = О-а&х1 + ' ‘ ‘ + Ь^Ясп , ПОЛуЧИМ
п	п	п п

а = 1	/3 = 1	/3 = 1 а=1

Числа называются компонентами линейного оператора А в координатах хг.

Пусть теперь (ж1 ,... , жп ) — другие локальные координаты в окрестности точки
Р. Тогда компоненты линейного оператора А в этих новых координатах определя-
ются из соотношения
п

Лдр.,) = Т аЫдх/з'-

/3' = 1
Воспользовавшись связью между векторами из канонических базисов, перепишем по-
следнее соотношение в виде:

р=1	/3'=-1	<?—1

откуда, по определению компонент оператора А в координатах (ж1,... , жп),

р=1	'7—1	/3'=1	<3=1

Приравняв коэффициенты при базисных векторах найдем:

дхР д _	0'	Эх*

Эха' р	а'	дх&' ’

р=1	0'=1

откуда, умножив на обратную матрицу, получаем окончательно:

я'	дЛр Их13' „

а, = >	---г-----а„.

дха 9x4 р

Р,9 = 1

Эти формулы называются тензорным законом преобразования компонент линей-
ного оператора.

Тджим образом, линейный оператор — это тензор типа (1,1). С точки зрения
инвариантного определения, тензор А типа (1,1) представляет собой два-линейное
отображение А: ТрМ х ТрМ К. Построим по каждому такому отображению А
соответствующий линейный оператор Ьд: ТрМ —> ТрМ. Положим

= л(е,п)

для произвольных Е ТрМ и V Е ТрМ. Ясно, что значение оператора на каждом
векторе V Е ТрМ определено однозначно. Кроме того, в локальных координатах
(ж1,... , жп) компоненты вектора Ьд(у) могут быть вычислены так:

ЬА(УУ = Лхг (ьА(У)) = А(Охг,У) = аД3.

где а* — компоненты тензора А в координатах ((1,... , (п)ж). Поэтому Ьд — дей-
ствительно линейный оператор. Обратно, та же формула однозначно определяет
тензор А типа (1,1) по линейному оператору Ьд.

1.2.	Одна очень простая задача. Пусть задан тензор Т типа (1,2). Найти его
компоненту Т*,3, в локальных координатах (ж1 ,... , жп ), если даны все его компо-
ненты Т1^ в локальных координатах (ж1,... , ж”).

На всякий случай, приведем ответ к этой очень популярной на экзаменах задаче:

Р	дх1' дх3 дхк

2'г>	дхг Эх2' дх& зк'

по индексам у и к подразумевается суммирование.

1.3.	Как строить примеры тензорных полей. Мы дали общее определение тен-
зорного поля, но как построить пример такого поля на гладком многообразии? Ко-
нечно, можно рассмотреть тензорное поле любого типа, равное нулю в каждой точке
многообразия. А как построить нетривиальный, т.е. не нулевой, пример? В прошлом
семестре мы уже видели, как теорема Уитни о существовании вложения многообра-
зия в евклидово пространство подходящей размерности позволяет построить пример
римановой метрики, т.е. тензорного поля типа (0,2). Эта же теорема приходит на
помощь и в общем случае. А именно, ограничение гладкой функции, заданной на
Кп, на подмногообразие М С Кп является гладкой функцией на многообразии М.
Так можно построить пример не постоянной функции на многообразии. Взяв диф-
ференциал, мы получаем не нулевое ковекторное поле, т.е. тензорное поле типа (0,1).
Используя алгебраические операции, описанные в следующей лекции, можно постро-
ить примеры тензорных полей любого типа.
Лекция 2. Алгебраические операции

над тензорами и тензорными полями

В данном лекции мы определим несколько операций, позволяющих кон-
струировать новые тензоры (тензорные поля) из уже имеющихся. Такие
операции обычно называются тензорными. Для простоты, мы будем ве-
сти речь о тензорах в фиксированной точке многообразия, но все опре-
деляемые ниже операции естественно переносятся и на тензорные поля.
Там где это необходимо, мы приводим соответствующие комментарии.

2.1.	Линейная комбинация

Пусть имеется два тензора Ри Т одинакового типа (р, д). Тогда для лю-
бых двух чисел Лид определен новый тензор 8 — ХР + рТ того же типа,
называемый линейной комбинацией тензоров Р и Т с коэффициентами
А и р. Здесь сложение и умножение на числа происходит в линейном про-
странстве тензоров типа (р, </), поэтому 8 — действительно тензор
типа (р,ф). Если фиксированы локальные координаты (ж1,... , ж”), то,
очевидно, компоненты тензора 8 выражаются через компонент тензоров
Р и Т так:

Замечание. Отметим, что если мы работаем с тензорными полями, то в ка-
честве коэффициентов в линейной комбинации выступают гладкие функции
на многообразии.

2.2.	Перестановка индексов одного типа

Пусть задан тензор Т типа (р,ф), и предположим, что задана некоторая
перестановка <т € 8Ч множества из элементов. Построим новый тен
зор фГ, который определяется так: для любых ковекторов ^1,... , Ц' и
векторов Ух,... , Уд положим

,€р;^,... ,Уд) =т(€1,-.. ,€Р;К(1),... ,К(9)),

т.е. мы переставили векторные аргументы полилинейного отображения
Т с помощью перестановки ст. Очевидно, аТ — полилинейное отобра-
жение, т.е. мы действительно определили некоторый новый тензор аТ.
Говорят, что тензор аТ получен из тензора Т перестановкой ст нижних
индексов.

Нам будет полезна следующая лемма.

Лемма 2.1. Пусть тит — перестановки из 8(1. Тогда Т(Ф1") = таТ.
Доказательство. Действительно, для произвольных векторов VI,... , Уч
имеем:

= гаТ(Ч,...,Уд).

Лемма доказана.

Пусть (ж1,... ,хп) — локальная система координат, и — ком-
поненты тензора Т относительно (ж1,... , ж”). Найдем компоненты тен-
зора аТ, для чего вычислим его значение на произвольной комбинации
базисных векторов. Получим:

ат^:2 = аТ(сЕЛ<1х{»;Эх11,... ,дх,ч)

= Т<Д.х11,... ,<1.х'р;д ,д г„,А =Т^-Лр ;	.

Итак, доказана следующая лемма.

Лемма 2.2. Если тензор аТ получен из тензора Т перестановкой <т
нижних индексов, то компоненты тензора аТ в локальной системе ко-
ординат (ж1,... ,хп) выражаются так:

& 31 •••$$	3<г(1) • • '3<у(д)

где 7^1“Дц — компоненты тензора Т в (ж1,... ,хп).

Замечание. Отметим, что перестановка меняет местами расположение ин-
дексов а не их значения. Например, если а = (1, 2, 3) — циклическая переста-
новка, т.е. (<т(1), <т(2), <т(3)) = (2,3,1) то, скажем,

ст Туда = Т^П,

и вообще,

ст 3") 1.7 2.73 = ^7'27371-

Аналогично определяется перестановка верхних индексов: если Т —
тензор типа (р, д), ил — произвольная перестановка из Зр, то тензор "Т
определяется так: для любых ковекторов ,... , Д и векторов 1Д,... ,Уц
положим

^(е1,... ,е₽;'И,--- ,к) =Т(С(1),...	Л).

Говорят, что тензор ЛТ получен из тензора Т перестановкой л верхних
индексов. Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2.3. Если тензор пТ получен из тензора Т перестановкой тг
верхних индексов, то компоненты тензора М в локальной системе ко-
ординат (ж1,... , хп) выражаются так:

7ГгтЛ1”Лр   /т|$я-(1)

171 ••-7д — 271—Л

где Т^“^ — компоненты тензора Т в (х1,... ,хп).

Замечание. Менять местами верхние и нижние индексы, вообще говоря, не-
льзя, см. задачу 2.2.

2.3.	Свертка

Если предыдущие операции было удобно определять в инвариантной
форме, то операцию свертки нам будет проще определить в локальных
координатах. Разберем сначала простейший случай тензора типа (1,1)
— линейного оператора.

Итак, пусть А — тензор типа (1,1) в ТрМ, и (ж1,... ,хп) — про-
извольные локальные координаты в окрестности точки Р. Обозначим,
как обычно, через компоненты тензора А в координатах (ж1,... ,хп).
Определим скаляр С'} (А), положив С/(А) — А‘. Эта величина называ-
ется сверткой линейного оператора или его следом

Покажем, что величина С} (А) не зависит от выбора локальных коор-
динат, фигурирующих в определении. Для этого рассмотрим в окрест-
ности точки Р другую систему локальных координат (ж1 ,... ,хп ), и
пусть Ау — компоненты тензора А в этих новых координатах. Нам
нужно проверить, что А*, = А^. Действительно, воспользовавшись тен-
зорным законом, получаем:

дхг дхг 3	3

где 63 — символы Кронекера, что и требовалось. Итак, для каждого
тензора типа (1,1), мы построили скаляр, т.е. величину, не зависящую от
локальных координат, называемую сверткой этого линейного оператора.
Отметим, что след тензора А типа (1,1) можно, также, записать в виде
СКА)- А{Лх\др).

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть задан тензор Т типа (р, <?),
гДе Р > 1 и > 1, и пусть Т^'"^ — его компоненты в локальных ко-
ординатах (ж1,... ,хп). Фиксируем два целых числа а и Д, такие что
1<а<ри1<Д<д. Построим новый тензор СД (Т) типа (р — 1, д — 1),
компоненты которого в координатах (ж1,... , ж”) имеют вид:

(('Т'Х \	1 _	— 1	...2р —1
Тензор С^(Т) называется сверткой тензора Т по верхнему индексу с но-
мером а и нижнему индексу с номером (3. Чтобы проверить, что С^(Т)
— корректно определенный тензор, следует рассмотреть еще одни ло-
кальные координаты (ж1 ,... , хп ), в которых определен, вообще говоря,
другой тензор компоненты которого в координатах (ж1 ,... , ж” )
имеют вид

('Т'\\б "’1р— 1   71?1   ^а — 1 ^а-Мр — 1

и, воспользовавшись тензорным законом, убедиться что С^(Т) совпа-
дает с С$(Т).

Упражнение 2.1. Проверить совпадение тензоров С$(Т) и С$(Т) с помощью тен-
зорного закона.

Особый интерес представляет случай тензоров типа (р,р). В этом
случае с помощью последовательного применения р штук последователь-
ных операций свертки можно построить по тензору скаляр, который
называется полной сверткой.

Упражнение 2.2. Зависит ли полная свертка тензора от того, по каким парам ин-
дексов производится сворачивание?

2.4.	Тензорное произведение

Пусть в ТцМ заданы два тензора: тензор Т типа (р, <?) и тензор 3 типа
(и, и). Определим новый тензор Т А® 3 типа (р + и, у + с), положив для
произвольных ковекторов 41, • • • > б,р+и, и векторов Ь,... ,

(т®5)(Х... ,€р+г1;Ь,... ,г9+и) =

= т(С,--- ,€₽;И,--- ,г9Хр+1,... ,€р+“;Г9+1,... ,г9+„).

Тривиальным образом проверяется, что Т&8 действительно тензор, т.е.
что отображение Т ® 8 — полилинейно. Действительно, например

(Т®5)(... Х + Н,---) =Т(... ,а$ + Ъф,...)8(...') =

= аТ(... ,е,...)5(...) + &Т(... ,^,...)5(...) =

= а(Т®5)(... ,$...)+&(Т®5)(... №,...),

где ковектор аб + Ыс стоит на месте с номером, не превосходящим р.
Тензор Т ® 3 называется тензорным произведением тензоров Т и 3.

Нам будут полезны следующие свойства тензорного произведения.

Лемма 2.4. Тензорное произведение обладает следующими свойствами.

•	Ассоциативность: для любых тензоров Т, 3 и Н, имеем:

Т ® (3 ® Я) = (Т ® 5) ® П.
•	Дистрибутивность: для любых тензоров Т±, Т2 из Т^, и 51, 82 из
Т“, и для любых чисел «1 и а2,

(сцТ) + (щТ)) ® 5х — а?1(71 ® 51) + п2(Т2 ® 51),
Т1 ® («151 + а252) = «1(Т1 ® 51) + а2(Т1 ® 52)

Замечание. Тензорное произведение тензорных полей дистрибутивно отно-
сительно умножения на гладкие функции сц.

Замечание. Тензорное произведение, вообще говоря, не коммутативно. На-
пример, если (ж, у) — координаты на плоскости, то йх<2)Лу ф с1у®Лх. В общем
случае тензоры Т ® 8 и 5 ® Т отличаются перестановкой индексов.

Пусть (ж1,... , ж”) — локальная система координат в окрестности
точки Р. Вычислим компоненты тензора Т й 5 в этих координатах.
Получим:

(Т ®	® 5) № ’’ ах,р+и -Ли,...,	) =

= Т(Дх\... ,<Ыр;дх31,... ,дх3ч) 

5(/4г(р+1,    ,	;|Зж^+1,... , дгзч+„) =

Д1...2р	+ «

гг^ъ±...1р ^2р-|-1...Ър-^-и

2 Л—Л 'Э7-з+1-..^+г>

Таким образом, имеется следующий результат.

Лемма 2.5. Компоненты тензорного произведения Т 0 5 тензоров Т
и 8 вычисляются по формуле

(Т 0	‘”^р + и —	$1р + 1---1р + и

Значимость операции тензорного произведения определяется следу-
ющим утверждением.

Утверждение 2.1. Пространство Т» всех тензоров типа (р, у) можно
представить в виде тензорного произведения р экземпляров простран
ства ТрМ = Тр и у экземпляров ТрМ = Т®.

Доказательство. Действительно, в утверждении 1.2 мы построили ба-
зис пространства ТГ^, состоящий из отображений вида

дрг ® • • • ® дхгР 0 дх31 ® •  • <8> дх34.

Теперь ясно, что обозначения для этих полилинейных отображений были
выбраны не случайно: каждое из чих является тензорным произведением
р соответствующих векторов дхгк канонического базиса пространства
ТрМ и у соответствующих ковекторов дх31 канонического базиса про-
странства ТрМ. Утверждение доказано.
Пример. Пусть фиксированы локальные координаты (а;1,... ,х"). и пусть
бх"1,... , Ах'4 - произвольные </ ковекторов соответствующего канонического
базиса. Построим тензор типа (0, д), положив

Т = Лх'1 0 • • • 0 <1хч.

Нам будет полезна следующая лемма, доказательство которой получается пря-
мым подсчетом.

Лемма 2.6. В сделанных выше обозначениях, для произвольной перестановки
а е 8д, имеем:

аТ =	0 • • • 0	.

Замечание. Отметим, что по определению тензорного произведения имеет
место следующее тождество для произведения базисных элементов:

(дх,1 ® • • • дх,р <Зч1х31 0 • • • Фг’’) 0 (Дгч 0 • • • дх^Р 0 дх®1 ® • • • (1:гЬ'‘) =

= дх,л 0 • • • &	0 дх<ч 0 • • • дх«Р 0 с1х31 0 • • • дх3д 0 Фе*31 0 • • • <1хЪч.

В частности, дх' 0 дх, = дх, ® Лх’.

2.5.	Опускание и поднятие индекса

Предположим, что фиксирован некоторый тензор А типа (0,2). Тензор
А называется невырожденным, если в какой-нибудь, а значит и в любой
локальной системе координат (а?1,... ,хп) определитель матрицы (Дг7)
компонент тензора А отличен от нуля. В этом случае существует обрат-
ная матрица (Ау)-1, элементы которой мы обозначим через А13.

Лемма 2.7. 1? сделанных выше обозначениях, соответствие

(ж1,... ,хп) (А‘3)

задает тензор типа (2,0).

Доказательство. Действительно, пусть (ж1 ,... ,хп ) — другая система
локальных координат, АЛи — компоненты тензора А в этих новых ко-
ординатах, и !А‘ 3 ) элементы матрицы, обратной к невырожденной
матрице (Л.у7<). Последнее означает, что Ау^А"3 = &!,. Применив
тензорный закон к тензорам А и 6, получим

дх3' дх4 _ дхг дха
~д^дх^д<! ~ Ъ.Д дха~ !а

поэтому

%

дхр /дхг' дх1 \ дха у

/ Вга Втр ,
сох ох .д'/А
да\дх-'дх3' )'

дхр дха
дх3' дха'

^Ага)Аа'3'
Отсюда, в силу единственности обратной матрицы, заключаем:

{	7 1 = Аар

\дха' дхз' )

т.е. для элементов матрицы, обратной к матрице тензора А, выполняется
тензорный закон, что и требовалось.

Таким образом, если фиксирован невырожденный тензор А типа (0,2),
то определен однозначно и тензор типа (2,0), компоненты которого в ка-
ждых локальных координатах образуют обратную матрицу к матрице
компонент тензора А. Это тензор будем обозначать через А-1 и назы-
вать обратным по отношению к А.

Пример. Важным примером невырожденного тензора типа (0,2) явдйется
риманова метрика. Именно она обычно используется для подъема и опускания
индексов тензоров на римановых многообразиях.

Итак, пусть в точке Р фиксирован невырожденный тензор А типа
(0,2). Пусть, далее, Т - тензор типа (р, д), причем р > 1. Определим
новый тензор Г типа (р— 1, д+1), положив Г = С? (А®Т). Таким образом,
тензор Г получается в результате применения двух последовательных
операций — тензорного произведения и свертки. Говорят, что тензор Ь
получен из тензора Т опусканием первого индекса с помощью тензора
А. Аналогично можно определить опускание к-го индекса: Со (А ® Г),
где 1 < к < р.

Далее, Ц>1,’л1<к<д, то можно построить новый тензор 17 типа
(р + 1,д — 1), положив 17 = С^(А-1 ®Т). Говорят, что тензор V получен
из тензора Т поднятием к-го индекса с помощью тензора А.

Выясним, как выглядит операция опускания и поднятия индекса в
локальных координатах. Следующая лемма очевидна.

Лемма 2.8. Если тензоры Ь и 17 получены из тензора Т типа (р, д)
операциями опускания и поднятия первого индекса с помощью тензора
А типа (0,2), то в произвольных локальных координатах (ж1,... , ж”)
их компоненты вычисляются так:

Т	_ д ГрО'г1..Лр—1	тА1 ••Лр-^1,   д $1 агтЛ2 ”Лр-\-1

Ь71--Оч+1 —	’	С71..-Л-1 — 71	1а^1..Д9-Г

Непосредственно из леммы 2.8 вытекает следующий полезный факт.

Лемма 2.9. Операции опускания и поднятия индекса взаимно обратны
в следующем смысле: если у тензора Т сначала, скажем, опустить а
затем поднять индекс с помощью одного и того же тензора А, то в
результате получится исходный тензор Т с точностью до переста-
новки индексов.
Доказательство. Действительно, если — компоненты тензора Т
в координатах (ж1,... ,хп), и мы опустим у Т верхний к-ъш индекс с
помощью тензора А = (Ау), то получим тензор Ь с компонентами

т '11--0'р—1   а	•••$& —1 СХ-Ък* ..Лр — 1

ПА—3Ч+1 ~ ЛА^1^..Дд + 1

Если мы теперь поднимем у Ь первый индекс, то получим тензор Тб с
компонентами

_ ^дгг(3

31 •Зд	031 •••Дд	0ча 31-.-Зд	31 Зд

Тензор Д, очевидно, отличается от исходного тензора Т на перестановку

1	2	...	к — 1	к	к + 1	...	п \

2	3	... к	1	к +1	...	п у ’

что и требовалось.

Замечание. Если фиксирован невырожденный тензор типа (0,2), то опера-
ции опускания и поднятия индексов задают каноническое, т.е. не зависящее
от локальных координат, отождествление двойственных пространств ТрМ и
ТрМ. Действительно, опустив индекс у вектора, мы получим ковектор, и
наоборот, подняв индекс у ковектора, мы получим вектор.

Замечание. Если невырожденный тензор А типа (0, 2), с помощью которого
мы опускаем или поднимаем индекс, в некоторой системе координат имеет
вид 5г] — символы Кронекера, то в этих координатах операпия опускания и
поднятия индекса тривиальна: соответствующие компоненты тензоров просто
совпадают.

2.6.	Симметрирование и альтернирование

Пусть Т — произвольный тензор типа (0,д). Построим по нему новые
тензоры 5(Т) и А(Т) того же типа, положив

= л Е = л Е
ч' <те8ч	ч' ае8ч

где суммирование берется по всем перестановкам а множества из д эле-
ментов. Говорят, что тензор 5(Т) получен из тензора Т симметрирова-
нием или симметризацией, а тензор А(Т) — альтернированием. Ясно,
что симметризация и альтернирование — это результат последователь-
ного применения перестановок индексов и взятия линейной комбинации
тензоров, поэтому 5(Т) и А(Т) — действительно тензоры.

Лемма 2.10. Компоненты тензоров 8(Т) и А(Т) имеют в локальных
координатах (д’1,... , хп) следующий вид:

= “Г Е	— “у Е

Ч' ае8ч	Ч' ае8ч
Нам будут полезна следующая очевидная лемма.

Лемма 2.11. Операции альтернирования и симметрирования линейны:

/1( ср 71+«2^2) = <11«4(Т1)+а2^4.(2п2), ^'(ахТх+аоТо) = ац^С^О+аз^С^з).

Тензор Т типа (0,д) называется симметричным, если для любой пе-
рестановки <т € Зд имеет место равенство Т — аТ. Тензор Т типа (0,д)
называется кососимметричным, если для любой перестановки <т & 59
имеет место соотношение Т = (—1)<7СТТ. Имеет место следующий ре-
зультат.

Лемма 2.12. Для произвольного тензора Т, Тогда тензор 3(Т) — сим
метричен, а тензор А(Т) — антисимметричен. Симметрирование не
меняет симметричных тензоров, и обращает в нуль любой кососимме-
тричный тензор. Аналогично, альтернирование не меняет кососимме-
тричных тензоров, и обращает любой симметричный тензор в нуль.

Доказательство. Докажем, например, последнее утверждение. Если Т
— симметричный тензор, то Т = аТ, поэтому

<4т) = чЕ<-1)'^ = л( Е 1+ Е -1)=°.
у а четная а нечетная

так как четных перестановок столько же, сколько нечетных, что и тре-
бовалось. Остальные утверждения доказываются аналогично.

Ясно, что линейная комбинация симметричных (кососимметричных)
тензоров представляет собой симметричный (соответственно, кососим-
метричный) тензор. Поэтому множество всех симметричных (кососим-
метричных) тензоров представляет собой линейное подпространство в
пространстве всех тензоров данного типа.

Замечание. Мы определили операциях симметрирования и альтернирования
для тензоров типа (0, д), хотя их можно аналогично определить и для тензоров
типа (р, 0), а также и для тензоров произвольного типа, проводя симметриро-
вание или альтернирование по индексам одного типа.

2.7.	Частичное альтернирование

В дальнейшем нам также понадобится следующее обобщение понятия
альтернирования. Пусть Т, как и выше, тензор типа (0,д), и предпо-
ложим, что фиксировано некоторое подмножество 17 группы перестано-
вок Зд (подчеркнем, что 17 вовсе не обязано быть подгруппой). Тогда
частичной альтернацией тензора Т по 17 называется тензор Ац(Т) сле-
дующего вида

^т = г^Е(-1Пт,

1 1 <тес/
где через |(7| обозначено количество элементов множества П.

Имеет место следующий полезный для нас факт.

Лемма 2.13. Пусть Т — тензор типа (0,</), и I/ — подмножество
группы перестановок 8д. Тогда

А(АДТ)) = АД),
т.е. альтернация “съедает” любую частичную альтернацию.
Доказательство. Действительно,

1	1 аеи

В силу линейности альтернации, перепишем правую часть в виде

И	52 52 Дт-вчст).

1	1 о-ец	1 1 аестев,

Обозначим композицию ат через тг. Отметим, что для каждой фиксиро-
ванной перестановки <т, если т пробегает всю группу то и произве-
дение ат тоже пробегает Д. В силу леммы 2.1, получим:

1 1 аеи4 тге55	1 1 аеР

Лемма доказана.

Сформулируем полезное следствие.

Следствие 2.1. Пусть Т и О произвольные тензоры типа (0, д) и
Ди) соответственно. Тогда

А(АД) 0 (?) = АД 0(? = АД ® А(3)).

Задачи

Задача 2.1. Пусть в К3 фиксированы стандартные координаты (х,у, г). Рас^ю-
трим тензорное поле Т типа (1,2), заданное так:

Т = (х + у'®,. ® Лх &.&Х + (у — г)д- ® Цу 0	.

Фиксируем точку Р = (1,2,3), ковектор 5 = (2,3,4) из ТрК3 и векторы 11 = (3,4, 5) и
1'2 = (4,5, 6) из ТрК3. Вычислить Т(Р)(^,Д--ГД Ро). Та же задача, но (другое) тензорное
поле Т задано в цилиндрических координатах (г, сд, г) так:

Т = (г + г)О^ ® <Рр ® (1г + (г — г)д- ® (1с ® йф.
Задача 2.2. Рассмотреть пример перестановки верхнего и нижнего индексов у ли-
нейного оператора, т.е. тензора типа (1,1). Убедиться, что эта операция не тензор-
ная, т.е. полученный в результате объект не является тензором (а именно, матрицы,
порученные такой перестановкой в разных системах координат, задают разные ли-
нейные операторы).

Задача 2.3. Сколько существует способов получить полную свертку тензора типа
(р,р)? Все ли полные свертки различны?

Задача 2.4. Пусть Т — произвольный тензор типа (р,д), а	и 1Л1,... , V?

— произвольные р ковекторов и д векторов. Рассмотрим тензор

5 = т й с1 ® ®	®М ® ® И/

типа (р + <7,<7 + р)« Показать, что полная свертка тензора 8

С1+1(...(С₽+р(С₽+1(...(^+«(5)...)

равна значению тензора Т на наборе С1,••• ?	И, • • ♦ > Иг

Задача 2.5. Выписать формулы для вычисления дифференциала функции (ковек-
тора) в цилиндрических и сферических координатах в К3. Поднять у полученных
ковекторов индекс с помощью евклидовой метрики (записанной в тех же коорди-
натах). Сравнить ответ с формулами для градиента из стандартного учебника по
математическому анализу.

Задача 2.6. Найти размерности пространств симметричных и кососимметричных
тензоров типа (0,$). Верно ли, что любой тензор типа (0, ц) может быть представлен
в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров типа (0,$)?

Дополнительный материал

2.1.	Проверка корректности определения свертки. Вместо того, чтобы про-
верять корректность определения свертки с помощью тензорного закона, можно про-
делать это на языке инвариантного определения, используя только свертку линейного
оператора.

Фиксируем произвольные (р — 1) ковекторов ^1,... ,^р-1 и произвольные (д — 1)
векторов	Тогда, для произвольных чисел 1<а<ри1<^<д, по

тензору Т типа (р, д) можно построить тензор А типа (1,1) следующим образом:

А(Л^)=Т(§1,... ,Г”1, V-,, V/?-!,IV,>/?,... ,!,_!).

Тензор А зависит от и У^ полилинейно. Определим теперь функцию (7$ (Г) на
(ТрМ)р-1 х (ТрМ)<1~1, положив ее значение на наборе (^1,... ,^р-1;У1,... ,1^-1)
равным следу соответствующего линейного оператора А. Поскольку взятие следа
линейного оператора — тензорная операция, функция С^(Т) очевидно является по-
лилинейной, поэтому определяет тензор типа (р—1, $ —1), который называется сверт-
кой тензора Т по верхнему индексу с номером а и нижнему индексу с номером /3.
Чтобы убедиться, что это определение свертки совпадает с данным выше коорди-
натным определением, вычислим компоненты только что определенного тензора в
локальных координатах (ж1,... , жп). Получим:

= А(Лхк , д^к) = т(Лхг1,... ,(1хг—1,(1хк,ах^,... Дх1?-1;

__	Да—	Др — 1

Л,--- О0-1>кО0>--- Од-1 ’
что и требовалось. Таким образом, мы показали, что два определения свертки совпа-
дают, и, тем самым, установили корректность первого, координатного определения.

2.2.	Некоммутативьость тензорного произведения. Пусть на плоскости фик-
сированы координаты (а:1, а?2). Рассмотрим тензорные произведения Л»1 ® с/х2 и

0 Лс1. Тогда для любых векторов V = (V1, V2) и И7 = |«>1,ги2) имеем:

(1:А 0 <1х2(У. И7) =	а </л:2‘Й’о!й:1(1'7, И7) = г»2ги1.

Поэтому, если векторы V7 и И7 линейно независимы, то

ах1 ® </ж2(У,И7) # <1х2 <8 йг^И7).

Последнее означает, что отображения г!х' 0 <1х2 и (1.x2 0 <1х'' различны.

2.3.	Тензорное произведение и перестановка индексов. Приведем тут дока-
зательство формулы из леммы 2.6, а именно, если

Т = (1хч ® • г  ®	,

где — базисные ковектстры, соответствующие локальным координатам (а?1,... , хп),
то для произвольной перестановки а Е выполнено:

СТТ = йжг<т-1(1) ® • • • 0 Йжг’-1(в),

По определению операции перестановки, для любых векторов канонического ба-
зиса дха1, ... ,дха9 имеем:

,... ,дхая) = Т(д1^сг(1),... ,дха<г(^) =

=	(ах11	=

= <1х 1 (Эа.ао.(1) ) • • -Лх «	  4’,(,) 

Полученное число отлично от нуля (и равно единице), если и только если = гь
для всех к = 1,... Это условие переписывается в виде	Таким

образом,

<гТ(Эжа1 , . . . , дхад ) = 1,

если и только если а& = ^а-1(д.), а на всех остальных наборах базисных ковекторов
значение тензора равно нулю, что и завершает доказательство.

2.4.	Опускание и поднятие индексов в евклидовых координатах. Если тен-
зор А, с помощью которого мы опускаем или поднимаем индекс, в некоторой системе
координат имеет вид — символы Кронекера, то в этих координатах операция
опускания и поднятия индекса тривиальна: соответствующие компоненты тензоров
просто совпадают. Поэтому, в этом случае, все индексы можно считать, скажем,
нижними. Эта ситуация имеет место, например, если работать с тензорами в ев-
клидовом пространстве, т.е. линейном пространстве со скалярным произведением,
поднимая и опуская индексы с помощью невырожденной билинейной формы, зада-
ющей это скалярное произведение, при условии, что фиксированы евклидовы коор-
динаты (координаты, в которых матрица скалярного произведения равна единичной
матрице).

Например в математическом анализе, работая в евклидовом пространстве с
евклидовыми координатами (ж1,... ,жп), не различают векторы и ковекторы, молча-
ливо предполагая, что индексы поднимаются и опускаются с помощью евклидового
метрического тензора д, имеющего, по определению, в евклидовых координатах ком-
поненты . Отметим, однако, что тензор, соответствующий набору чисел дг^ в
координатах (а?1,... , ж“), не является, к сожалению, постоянным: при замене коор-
динат его компоненты меняются по тензорному закону:

_дх^_дх^_	_ дх{ дх{

г 3 дхг' дхз'	дхг' дх^
Таким образом, равенство компонент <5г/у символам Кронекера есть в точности усло-
вие ортогональности матрицы Якоби замены координат. Поэтому, пока мы в мате-
матическом анализе делаем ортогональные замены координат, никаких проблем не
возникает. Однако, как только замена координат перестает быть ортогональной,
возникают, например, «странные», с точки зрения математического анализа, фор-
мулы для вычисления компонент «вектора градиента функции». В математическом
анализе иногда градиент определяют как вектор, компоненты которого равны ком-
понентам дифференциала. Так можно поступать, как мы теперь понимаем, только
в евклидовых координатах. На самом деле, кажущаяся странность формул для гра-
диента объясняется тем, что дифференциал является ковектором, и чтобы получить
из него вектор градиента, чего обычно и хотят в математическом анализе, нужно
поднять индекс с помощью непостоянного тензора 6.

2.5.	Симметричные линейные операторы. В линейной алгебре часто идет речь
о симметричных или кососимметричных линейных операторах. Однако, линейный
оператор — этот тензор типа (1,1), поэтому, чтобы определить для него понятие сим-
метричности или кососимметричности, следует фиксировать невырожденный тензор
А типа (0,2). Тогда, если Ь — линейный оператор, то опустив сначала его индекс с
помощью тензора А, можно говорить о его симметричности или кососимметричности
в тензорном смысле. В линейной алгебре в качестве тензора А берут обычно евкли-
дов метрический тензор. Вообще, если фиксирована произвольная риманова метрика
дг^, то симметричность линейного оператора Ь относительно этого невырожденного
тензора типа (0,2) эквивалентна, как легко проверить, следующему соотношению,
выполненному для произвольных векторов V и РИ:

(Ь(У),Ж) = (У,Ь(Ж)),

где (•,•) — скалярное произведение, соответствующее римановой метрике дгз.

2.6.	Тензоры в механике сплошной среды. В механике сплошной среды2 также
активно используется тензорный анализ. При этом, особенность рассматриваемой
модели сплошной среды состоит в том, что всегда предполагается заданным неко-
торый метрический тензор дг:). Поэтому всегда можно поднимать и опускать ин-
дексы. В механике сплошной среды принято говорить, что в результате операции
опускания или поднятия индекса получается «тот же тензор, но записанный в другой
форме». Так, скажем, вектор V в одной и той же системе координат может быть
задан как своими обычными «контравариантными» компонентами V1, т.е. компонен-
тами с верхними индексами, так и «ковариантными» компонентами, т.е. компонен-
тами уг = дгауа •

При этом, чтобы избежать путаницы с перестановками индексов при их поднятии-
опускании, порядок всех индексов считается фиксированным, и он, по определению,
сохраняется при поднятии—опускании индексов. Скажем, тензор ранга 3 может быть
записан с первым верхним, вторым нижним и третьим снова верхним индексами.
Вообще, для тензора ранга г имеется 2Г разных «способов записи». При записи соот-
ветствующих формул используют точки на месте пропущенных индексов, например

Связь между разными формами одного и того же тензора выражается форму-
лами типа	= дксхд^тД.

Таким образом, с точки зрения дифференциальной геометрии, в механике сплош-
ной среды молчаливо предполагаются фиксированными изоморфизмы между про-
странствами тензоров одного ранга (но разного типа). Эти изоморфизмы поро-
ждаются, как и положено, невырожденным тензором типа (0,2) и перестановками
индексов. Это надо иметь ввиду, переходя с одного языка на другой.

2 В качестве классического учебника по механике сплошной среды следует назвать
замечательную книгу Л. И. Седова.
Лекция 3. Алгебра внешних дифференциаль-
ных форм

В нескольких следующих разделах мы более подробно изучим кососим-
метрические тензорные поля типа (0,д). Оказывается, для таких тен-
зорных полей можно построить содержательную теорию дифференциро-
вания и интегрирования. Сам термин «дифференциальные формы» объ-
ясняется естественной записью этих тензоров в локальных координатах
в дифференциальном виде (напомним, что каждым локальным коорди-
натам соответствует канонический базис	пространства ТрМ).

3.1.	Пространство кососимметричных тензоров

Напомним, что тензор Т типа (0, д) называется кососимметрическим,
если для произвольной перестановки а 6 5д выполнено соотношение
ат = (-1У-т.

Пример. Произвольный ковектор € ТрМ представляет собой кососимме-

трическии тензор (нетривиальных перестановок множества из одного эле-
мента нет).

Пример. Тензор Т типа (0, 2) является кососимметрическим, если в любой
системе локальных координат соответствующая матрица кососимметрична:

о — М1-

Напомним, что множество всех кососимметрических тензоров типа
(О, д) образует линейное пространство. Найдем размерность этого про-
странства. Пусть фиксированы локальные координаты (ж1,... ,хп). Для
каждого набора натуральных чисел (ц,... ,гд), где 1 < й < ... <	< п

определим кососимметричное полилинейное отображение, которое обо-
значим через гАг'1 А •  • А <1хгд, положив

(действие этого полилинейного
отображения на наборе векторов )

Определение: с/т'1 А • • • А (1хМ (Ц.,... , Нд) = ЦеТ

( полилинейный функционал. Векторам сопоставляет число.)

где V) = (а|,... , ц”). В правой части стоит определитель матрицы, к-ая
строка которой состоит из компонент вектора V* с номерами й,... ггд.
Так как определитель — кососимметричная полилинейная функция строк,
определенное нами отображение действительно полилинейно и кососим-
метрично.
Замечание. Отметим, что определение тензора Аг'1 Л    Л (1х‘ч можно пере-

писать в виде

Ат'1 Л • • • Л АУ (Ух,    , Уд) = <1еГ

(канонический базис)

/ Лх11!У1)	АУ У)

\ сЪ^Уд)	АУ (Уд)

Лх'ДУС)

Лх'ДУд)

В такой форме это определение легко обобщается на случай произвольного
набора ковекторов, не обязательно базисных. В частности, очевидно, что если
Утверждению’

у > ц, то функции ах 1 Л    Л ах 9 всегда равны нулю (в определителе будут
одинаковые столбцы).

Утверждение 3.1. Система {А®’1 Л •• Л дх'9} кососимметрических
тензоров, 1 < Д < • • • < гд < п, образует базис в пространстве ко-
сосимметричных тензоров типа (0,д).

Доказательство. Пусть Т — произвольный кососимметрический тен-
зор типа (0,^). Покажем, что он может быть представлен в виде

Т = У	Л ' ’ ' Л АУ.

1<«1 < "<гд<П

(*)

Для этого вычислим значение правой и левой части на произвольном
наборе базисных векторов (йж<»1,... ,дхач). В левой части, очевидно,
получим:

Т(дх°л,... , д^ч) — Та,...аг1.

Чтобы вычислить правую часть, докажем следующую лемму.

Лемма 3.1. Справедливо следующее равенство:

дх11 Л • • • Л А.У =	(—1)стй,т'<т(11 ® • • • ® дхг°(9>

Доказательство. Действительно, по определению,

/ АУ (Ух)

дх11 Л    Л АУ (Ух,... , Уд) = <1е1	'

\ ^ДУд)

А^(Ух)

АУ (Уд)

( определитель ) = у (-1)стАУ(1) (Ух) • • • АУ"" (Уд)

<7 6 5^

что и требовалось.
В силу леммы 3.1, вычисляя значение правой части выражения (*) на
наборе векторов \дх«1 ,... , дхад), получим:

Е 'Г, „-^Фх" Л   • Л Фх1” (^«1,... ,дх«д) =

1<й <---<гд<п

= Е	52 (-1)‘7Йа:М1) ®	,дх«д) =

(Т^Зд

= 52	Е(-1ГС(1)

1<«1 <*”<г13 <?г	<т€<5д

Выражение

Д<Ц1) Ф^ч)

отлично от нуля (и равно единице) в том и только том случае, если «<?•( д> =
ад для всех к = 1,... , д. Чтобы это было выполнено, необходимо чтобы
наборы (11,... ,1Ч) и (ад,... , аа) совпадали как множества. Последние
возможно, только если все индексы а* различны. Если все ад различны,
то среди всех упорядоченных наборов («!,... ,гв) имеется ровно один,
совпадающий как множество с набором («1,... Поэтому, в этом
случае, имеем:

Е	,аж^) =тг1..лд_1)-,

1<г1<-"<гд<п

где <т € 8ц — та самая единственная перестановка, для которой гст(д) —
ад, а наборы («1,... ,г9), 1 < г± < • • • < г9 < п, и (ах,... , аа) совпадают
как множества. Наконец, в силу косой симметрии тензора Т и равенств
гст(Д) = ад, можно записать следующее

( —1) Тц...гд =	= Таг...ач-

Поэтому окончательно:

52 Тц..ЛдФх11 К   	,... ,дх^ч) =Та1...ад.

1 < И < • • • < 1д < П

Осталось заметить, что если среди индексов ад есть совпадающие,
то, в силу косой симметрии тензора Т, снова получаем

Е Т11..лдФх11 Л • •Л<4г’’(Э1«1,... ,аж«9) = 0 = Та1...ад.

1<й <---<гд<п

Формула (*) доказана.

Для завершения доказательства утверждения осталось проверить, что
тензоры Фх11 Л • • • Л линейно независимы. Однако из определения
этих полилинейных отображений вытекает, что на каждом из наборов
13 1,...	где 1 < «1 < • • • < ад < п, ровно одно такое отобра-

жение отлично от нуля (а именно, с1ха1 Л • • Л <1хач), откуда и следует
нетривиальность произвольной их линейной комбинации. Доказатель-

ство закончено.

Пространство кососимметрических тензоров типа (0, у) на простран-
стве ТрМ обычно обозначают через Л®(71рЛ/).

Следствие 3.1. Если у < п, то размерность пространства №(ТрМ)
кососимметричных тензоров типа (0, у) на касательном пространстве
к п-мерному многообразию М равна биномиальному коэффициенту С9г.
Если у > п, то размерность А.9\ТрМ) равна нулю.

Пример. Рассмотрим пространство Л.п(ТрМ) кососимметрических тензоров
типа (0, п), где п — размерность многообразия М. В силу следствия 3.1,
это пространство одномерно. Пусть Т - произвольный тензор из Л™ (ТрМ).
Из утверждения 3.1 вытекает, что в произвольных локальных координатах
(ж1,... , ж") он представим в виде Т = Т^.пдх1 Л • • • Л (1хп. Изучим, как ме-
няется компонента 71...п при замене координат. Пусть (я:1 ,. . . ,хп ) — еще
одна система локальных координат в окрестности точки Р. Тогда, применяя
тензорный закон, получаем

_ да?1 дх‘"
1'-”' дх1'"'дхп' г1-’п

все различны не все г^. различны

Е + Е

где вторая сумма равна нули» в силу косой симметрии тензора Т. Далей; если
набор индексов (и,... ,состоит из попарно различных чисел, то его можно
воспринимать как результат применения некоторой однозначно определенной
перестановки <т € 8п. Поэтому, продолжая равенство, запишем

Эж1'

дхп'	—

дха{п}

я , Т1...п = Т1...„ <1е1
дхп

дх1 \
д&' )

Таким образом, нами доказана следующая полезная лемма.

Лемма 3.2 Компонента Т1...п кососимметричного тензора типа (0, п) на
п-мерном многообразии при замене координат умножается на определитель
матрицы Якоби этой замены:

— Т1...п йеЙя , У
\дхэ )

Компонента 71...п называется существенной компонентой тензора Т из
Ап(ТРМ).
3.2.	Внешние дифференциальные формы

Пусть М — гладкое многообразие.

Определение. Внешней дифференциальной формой степени д на М на-
зывается гладкое тензорное поле кососимметрических тензоров типа

(0,?)-

Пусть ш9 — внешняя дифференциальная форма степени д на много-
образии Л/. Если на М фиксированы некоторые локальные координаты
(ж1,... , ж”), то в каждой точке Р из области определения V С М этих
локальных координат, кососимметрический тензор ш9 типа (0, д) может
быть записан, в силу утверждения 3.1, в виде

ш«(Р) =	^2 (РЖ1 Л •  • Л ,

1<«1<'"<г9<п

где	_ гладкие функции, определенные на области II многообразия

М. Если точка Р принадлежит пересечению 17Г) 17' областей определения
V и V локальных координат (яг1,... ,хп) и (ж1 ,... ,хп ), то форму ш9
можно записать в этих координатах в зиде

= Е

1<Д <•<

(Р)Лхгг Л    Л (1х'- ,

Функции ^^...^(Р) и (Р) — это компоненты одного и того же
тензорного поля ш9, поэтому они на пересечении IIПII1 связаны по тен-
зорному закону.

Если шч внешняя форма на многообразии М, то в каждой точке
Р многообразия М задано, тем самым, кососимметричное полилинейное
отображение из (ТрМ)9 в числа, которое мы обозначим через шч\р.

Пример. Пусть / - гладкая функция на многообразии М. Тогда ее диф-
ференциал Л является 1-формой на многообразии М. Если (ж1,... ,хп) —
локальные координаты, то форма Л записывается в виде Л =	Если

V С ТрМ — касательный вектор, заданный своим компонентами (и1,... ,ип)
в координатах (ж1,... , ж”), то

( производная по направлению )

Линейная комбинация внешних дифференциальных форм степени д (с
функциональными коэффициентами) является дифференциальной фор-
мой степени д. Поэтому дифференциальные формы степени д на М
образуют линейное пространство, которое мы обозначим через Ш(М).
Удобно рассматривать гладкие функции на М как внешние формы сте-
пени 0, тогда П°(М) — это пространство всех гладких функций на М.
Объединение и”=0ГР(М) обозначим через	(напомним, что при

д > п все дифференциальные формы степени д на п-мерном многообра-
зии тривиальны, т.е. равны нулю).

3.3.	Внешнее умножение

Превратим пространство П*(М) в алгебру, введя на нем операцию умно-
жения. Обычное тензорное произведение не подходит, так как тензор-
ное произведение кососимметрических тензоров не обязано быть косо-
симметричным. Пусть Р € ГК'(ЛУ) ид в Г1ч(Иг[) — дифференциальные
формы на М. Обозначим через Р/\(^ дифференциальную форму степени
р + д, определенную так:

।	(альтернирование )

рЛд =
р! д\

Так как результат альтернирования - это кососимметрический тензор,
Р/\(^ действительно представляет собой элемент пространства ГР+9(7И).
Форма Р /\ (^ называется внешним произведением форм Р и (^), а сама
операция Л: Г2Р(Л1) х №(М) -> Пр+в(Л1) внешним умножением.

Докажем простейшие свойства внешнего произведения.

Утверждение 3.2. Внешнее произведение билинейно, ассоциативно и
косокоммутативно в следующем смысле-. Р	Л Р.

Доказательство, Билинейность немедленно вытекает из дистрибутив-
ности тензорного произведения и линейности альтернирования.

Проверим ассоциативность. Пусть Р € 61Р, () € ГР, и К € ГР. Тогда
(РЛ<Э)ЛЛ = (Й^гл<ро<г))лй = ^^птл(л<РО<г)в-Е>-
Осталось воспользоваться следствием 2.1 и ассоциативностью тензор-
ного произведения. В итоге, получаем

(г л О) л л = + д +
р! д! г!

что и доказывает ассоциативность внешнего умножения.

Для доказательства косой симметрии вычислим сначала значение по-
лилинейного отображения А(Р 0 (Д, где как и выше Р € ГР, и р 6
на произвольном наборе векторов 1Д,... , Уруд. Получим:

А(Р0^)(П1,... ,Пр+9) =

= (р + д)! 52	(-Р	, К(р+9)) =

= (р _|_ д)! ^2	• • • 5 Кт(р))<2(И7(р+1), • • • 5 К-(р+9))-
Обозначим через т перестановку из 8Р+д, переводящую набор чисел
(1,... ,р + д) в набор (д + 1,... , ^ + р, 1,... , (/). Очевидно, (—1)г равна
(—1)м. Вычислим значение тензора ТА(Р ® (ф) на том же наборе векто-
ров И,... , Ур+д- Получим:

гА^Р^^,... ,Ур+д) = А(Р<^(Уд+1,... ,У,+р,У1,... ,Уд) =

= (р _|_ д)! 52	-Р(И7(в+1)1 ’ ’ ’ > К(в+р))(Э(К-(1)5 ’ ’ • > Ит(9))-

Сравнивая полученное выражение с предыдущим, заключаем, что

ТА(Р®СУ)

С другой стороны, тензор А(Р ® ф) кососимметричен, поэтому

тА(Р<&0} =

Окончательно получаем:

А(<9 ® Р) = ТА(Р ®0) = (-А)МА(Р ® ($,

что и требовалось. Утверждение доказано.

Выясним, как устроены внешние произведения базисных 1-форм с/.с'.

Пример. Пусть (ж1,... ,хп) — система локальных координат на многообра-
зии, и йж1 и (1х2 базисные ковекторы. Найдем, чему равно внешнее произ-
ведение <1х' Л (1х2. Воспользовавшись определением и леммой 2.6, получим:

с1х Л <1х2 = -^А^х1 яч/.г2) = 2^у	' (—1)а сф^х1 <$> <1х2)

<7^3'2

= 22 (-1)" ^<7~1(1) ® йжст-1(2) = 22	1 ®йжТ(2)-

ст<Е53	Г<Е52

(Тут мы воспользовались тем, что четность перестановок <т и <т-1 одинакова.)
Но тогда, в силу леммы 3.1, мы получаем, что внешнее произведение ковек-
торов с/.т1 и Лх2 совпадает в каждой точке с элементом сЬг1 Л <1х базиса про-
странства Л2. В частности,

Ах1 К </ж2(У1, Н2) = Нес | 2 1'1 ) ,
у уч с2 у

где Р'1 — (т1,1®, и 11 — («г < (?2)| Оказывается, и вообще все базисные элементы
ф1х‘ - Л • • • Л йж!д) пространства Л9 на самом деле — внешние произведения
соответствующих базисных ковекторов.

Следующая лемма доказывается прямым подсчетом.
(вроде, дублирование замечания на странице 37)

Лемма 3.3. Для произвольного набора целых чисел («1,... ,ак), таких
что 1 < а, < п, и произвольного набора векторов Ущ... ,14 имеет
место равенство

/ 4с"1 (14) 4ж"2(Ц



дх"1 А- • -Лдх"к (Ух,... , Ук) = Лек

\ дха1(Ук) дхаДУк)

дхак (14)

В частности, внешнее произведение ковекторов 4а:"1, ... , дхак, где
1 < «1 <  - ак <п, совпадает с базисным элементом дх"1 А • • • А 4.с"л
пространства Д'. определенным в предыдущем разделе.

Следствие 3.2. Пусть (ад,... ,ак) — произвольный набор целых чи-
сел, таких что 1 < оц < п. Рассмотрим внешнее произведение Д =
дх"1 Л   • А дхак. Тогда

•	форма Д равна нулю если и только если среди чисел ад встреча-
ются одинаковые-,

•	для любой перестановки а € Д имеет место равенство

дх"1 А • • • А дхак = (-Х)*^"^1’ А • • • А дх°^к>.

Замечание. Выше мы дали инвариантное определение внешнего умножения
форм. Можно поступить иначе. А именно, определив внешнее умножение ба-
зисных ковекторов по формуле из леммы 3.3, а внешнее произведение базисных
форм по формуле

((/а""1 А • • А дхар) А (Фс3' А • • • А ) = дх"1 А • • • А дх°г А дх131 А • • • А дх3'1,
можно продолжить эту операцию на все формы по дистрибутивности. После
этого останется проверить, что определение не зависит от выбора координат.

В дальнейшем нам также будет полезно следующий технический ре-
зультат.

Следствие 3.3. Пусть Т произвольная внешняя форма степени д.
Тогда

У	А • • • А дх*4 —	А • • • А дх*4.

1<г1<---<гд<п

Итак, мы определили на множестве всех внешних форм на много-
образии М операцию внешнего умножения, превратив тем самым ли-
нейное пространство О*(М) = и^40Ор(А1) в алгебру. Эта алгебра назы-
вается алгеброй внешних дифференциальных форм на многообразии или,
коротко, внешней алгеброй.
Выясним, наконец, как записывается операция внешнего умножения в
локальных координатах. Пусть Р € Лр и <2 € Л® — дифференциальные
формы, и (ж1,... ,х") — локальная система координат. Тогда, в силу
следствия 3.3, формы Р и С) можно записать в виде

лр(1х^ Л • • • Л дх‘р,

И Ц = ^3!

ЛхА Д • • • Л дх^“.

Пользуясь свойствами внешнего умножения и следствием 3.3, имеем:

Р Л <2 = —т—.Р,. I (фь > дх11 Л • • Л (1х‘р Л Л • • Л Ох?4 =

р\ ср. р 4

р\	•••«»(₽) ^аа(р + 1) аа(р + <г)

КСУ1 <*"<О!р-|-О'<77 (Г^$р + д

• (1ха<г^ Л • • • Л (1ха<г(р+^ =

р\	1) ^>аа(1) •••а<т(р) ^аа(р+1) •••ска(р4-<г)

К0^1 <***<О^р4-о <77 <7€<$р-|-<}

• <1ха1 Л •  • Л </ж“р+«.

Итак, доказано следующее утверждение.

Утверждение 3.3. Пусть Р 6 Ар и С) 6 Л9 — внешние формы. Тоеда
компоненты формы Р А в локальных координатах выражаются через
компоненты форм Р так:

Р Л ^а^...ар+^

Г)| 0!	/ < (	^“а(1) аа(р1 ^2“а(р + 1)

“а(р + 9) ’

Замечание. Пользоваться формулой из утверждения 3.3, перемножая кон-
кретные формы, не очень удобно. Часто проще раскрыть скобки и привести
подобные члены, преобразуя все возникающие мономы дх11 Л • • • Л дх1'11 так,
чтобы индексы гр были упорядочены.

Упражнение 3.1. Пусть Мп — п-мерное ориентированное риманово многообразие,
и (р,... .х!'} — локальные координаты на М. Обозначим через д(р определитель
матрицы метрики д13 в координатах (ж1,... 1Р). Определим на М внешнюю форму
уо1„ степени п, положив ее в координатах (ж1,... ,ж”) равной

уо1п = фд ах1 Л  •  Л йхп,

если эти координаты согласованы с ориентацией многообразия Л/. и

уо1,( = —у/д «/ж1 Л • • • Л <1хп

в противном случае. Проверить, что уо1„ — корректно определенная внешняя п-
форма на М.
Упражнение 3.2. Пусть М — ориентированное риманово многообразие размерно-
сти п. Определим отображение *: 9й (М)	называемое звездочка Ходжа.

Пусть у/ддх1 Л ... Л дхп — форма объема на М, и обозначим через ег1..Лп ее ком-
поненты в координатах (ж1,... ,хп). Пусть Т — произвольная дифференциальная
форма из	и Тг1.,Лк — ее компоненты в координатах (ж1,... ,хп). Определим

форму *Т Е положив

(*ПЬ+1..Л„

где Т11'Лк — тензор, полученный из Т поднятием индексов с помощью римановой
метрики д^.

Проверить, что *Т — корректно определенная форма из 9П—^(М).

3.4.	Формы и отображения

Пусть Р: М —> У — гладкое отображение гладких многообразий М и
ЛГ. Предположим, что на многообразии М задана внешняя форма М
степени у. Тогда, оказывается, на многообразии М< естественно опреде-
ляется внешняя форма той же степени </, которую мы обозначим через
Действительно, если Р — произвольная точка на Л/, и ТД,... ,

- - произвольные векторы из ТрМ, то положим

Г*И)|р(Г!,... ,УЧ) =^|Лр)(с?Г|р(У1),... ,(1Р\р(уч)).

Кососимметричность и полилинейность построенного отображения оче-
видна. Говорят, что форма Г*(а>9) получена из формы перенесением
с помощью отображения Р.

Замечание. Дифференциал гладкого отображения Р: М —> .У, напомним,
отображает каждое касательное пространство ТрМ в касательное простран-
ство Тр(р^, перенося тем самым касательные векторы к многообразию М
в касательные векторы к многообразию У, т.е. «вперед». Дифференциаль-
ные формы переносятся отображением Р в противоположную сторону, т.е.
«назад». Отметим, что векторные поля, вообще говоря, «вперед» не перено-
сятся. Дело в том, что отображение Р может не быть взаимно однозначным.
Тогда в одной точке образа мы можем получить несколько (даже бесконечно
много) векторов. Переносить векторные поля можно только взаимно одно-
значными отображениями. С дифференциальными формами, как мы видим,
дело обстоит куда проще: они переносятся назад любым гладким отображе-
нием, причем в результате получается форма, заданная на всем многообразии.

Таким образом, каждое отображение Р: М —> У порождает отобра-
жение алгебр внешних дифференциальных форм Р*: О* (У) —> О*(М).
Оказывается, это отображение уважает структуру внешней алгебры. А
именно, имеет место следующее утверждение.

Утверждение 3.4. Отображение Р* линейно. Более того, для любых
форм, Р е ПР(У) и 0 б № (У) на многообразии У имеет место следую-
щее соотношение:

Р*(Р л<2) = Г*(Р) АГ*(<2).
Доказательство. Линейность отображения Р* очевидна из определе-
ния. Далее, в силу линейности отображения Р*, второе свойство до-
статочно проверить для мономов, т.е. для форм Р = / (1хч б - • • А (1хР и
О = д (1хд1 А А . Для случая мономов требуемое свойство прове-
ряется прямым подсчетом.

Упражнение 3.3. Показать, что если задано два отображения Р±: М\ М2 и
Р2: АЬ -> М3, то (Р30Р1У* = Р^оР*.

Выясним, как вычисляются компоненты формы Р*(М') через ком-
поненты формы ср9 в локальных координатах. Пусть (а,-1,... ,хт) и
(у1,... ,уп) — локальные координаты в окрестности точек Р и Р(Р)
соответственно. Тогда для произвольного набора (дхч ,... векто-
ров канонического базиса пространства ТрМ имеем:

р*фЛ)\Р(дхц,... ,а^) = ^|Г(Р)(^|р(эж;1),...	=

где у‘(зА,... ,хт) - - координатное представление отображения Р.
Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Утверждение 3.5. Компоненты формы Р*(ш), полученной из формы со
перенесением с помощью отображения Р: М —> У, выражаются через
компоненты формы со по следующей формуле

Задачи

Задача 3.1. Пусть и 6 Г22(К3) — внешняя 2-форма на многообразии К3, с декар-
товыми координатами (ж,?/, я), заданная так: са = (ж + у2)с1х Л дя + (у + %)<1у Л (1г.
Фиксируем точку Р = (1,2,3) и пару векторов а = (4,5,6) и Ь = (7,8,9) из 7р(1й3).
Вычислить са|р(а,Ь).

Задача 3.2. Построить пример не нулевой гладкой 2-формы на трехмерной сфере
53.

Задача 3.3. Показать, что *1 — это форма объема на М, где 1 — это гладкая функ-
ция на ориентируемом римановом многообразии Л7, тождественно равная единице.

Задача 3.4. Пусть Р — гладкая функция на ориентируемом римановом многообра-
зии М. Найти *Р.

Задача 3.5. Пусть Т — тензорное поле типа (0,1) на евклидовом пространстве К3.
Показать, что в евклидовых координатах

(*Г)2з =	(*Т)з1 = 72, (*Т)12 = 7з.
Задача 3.6. Пусть (х,у, г) — евклидовы координаты в евклидовом пространстве
К3. Вычислить

*<1х, *(1у, *<1х, *(ЛхЛ<1у), «(йЛйг), *(<й/Лйг), ДЛх Л <1у Л (к).

Задача 3,7. Вычислить и более общо, *(*Т) на ориентированном римановом
многообразии М.

Задача 3.8. Пусть /: 51 —> К2 стандартное вложение окружности в плоскость:

X = К СОЗ у = К 8111 у>.

а = х д,у + у Лх и о>2 = Сх + уДх Л <1у — внешние формы на плоскости. Вычислить
/*(Ш1) и Г(ш2).

Дополнительный материал

3.1.	Примеры внешних форм. Приведем несколько примеров.

1.	Пусть на многообразии М — ]&2 фиксированы стандартные декартовы коор-
динаты (х,у). Зададим на К2 внешнюю форму ш2 степени 2, положив

ш2 = (ж2 + у)бх Л бу.

Вычислим значение формы о/2 на касательных векторах V = (1,2) и РИ = (3,4) из
касательного пространства ТрЖ2 к плоскости в точке Р = (5,6). Форма ш2|р имеет
вид а?2|р = (52 + 6)с/ж Л бу = 31 с/х Л бу. Поэтому

ш2|р(У,ГК) = 31</хЛйг/(Г,1У) = 31 бе! ( | 4 ) =-62.

2.	Пусть Мп — я-мерное ориентированное риманово многообразие. Обозначим
через д гладкую функцию на М, равную определителю матрицы метрики в точках
многообразия. Определим на М внешнюю форму уо1п степени я, положив ее равной

уо1п = Л • ♦ • Л бхП

в локальных координатах, согласованных с ориентацией многообразия Л/, и

уо1п = — ^/дбх1 Л • • • Л бхп

в остальных локальных координатах. Легко проверить, что приведенные формулы
действительно задают на М дифференциальную форму. В самом деле, если дгз —
компоненты римановой метрики в координатах (ж1,... , жп), и (ж1 ,... , жп ) — другая
система локальных координат на Л/, то компоненты дг>римановой метрики в новых
координатах выглядят так:

дхг дхЭ

9{'3' ~ 9,3

Поэтому

/ Эхг \ 2

ае!(^/у) = I 4е1 —7 ) 4е1(^),
\ дхг /

откуда, пользуясь леммой 3.2, заключаем что

$Г«1*)1'...п' = (уо1п)1...теае1(^7) = Л/ае1(5у)ае1(^г) =

= 81§п <:1е1 (\/ае1(9г,7/),
\дхг / у

т.е. выражение у/д меняется при замене координат как существенная компонента
дифференциальной формы степени я, что и требовалось. Форма уо1п называется
формой объема риманова многообразия М (Подумайте, почему?).
3.2.	Внешнее умножение базисных ковекторов. Пусть (ж1,... ,хп) -система
координат на многообразии. Оказывается, базисные элементы йж'1 Л • • • Л <1х‘ч про-
странства Л9 на самом деле — внешние произведения соответствующих базисных
ковекторов, а именно, для произвольного набора целых чисел (од,... , од.), таких что
1 < аг < п, и произвольного набора векторов И,... ,Тд, имеет место равенство

(<йга1(У1)	...	<&0*(^1) \

: I .

<1хаЦУк) Л^Ь(Ук) ...	/

В частности, внешнее произведение форм скса1, ... , где 1 <сц <    ак < п,
совпадает с базисным элементом Ф0'1 Л   • Л Лхак пространства Этот результат
уже был сформулирован выше в виде леммы 3.3

Действительно, воспользовавшись ассоциативностью внешнего произведения, и
следствием 2.1, запишем форму кх"1 Л  • • Л <1.х''к так:

00’1 л---л.(1хак = аха' л (ал- Л [Лхак~1 ЛФг“ь)---)} =

= 00*1 Л (аха2 Л ••• (О.хак-ъ Л	- ^ =

= аха1 л (ал} л•••	•••) =

=  • • = к'.А(аха1 ®  • т ® ах°к).

Но тогда, в силу определения альтернирования и леммы 2.6 можно переписать по-
следнее выражение в виде

Л---Л<йга* = к\А(Лха1 ® ---®ахаь) =

=	(~1)<тст(^а1 л-л1Л) =

= УУ	''-ч ®	=

<те8к,

= УУ (-1)7Г</®“’г(1) 0 • •• 0

где через тг мы переобозначили перестановку <г-1. Поэтому

Лха1 Л •  • Л (1хак (VI,... , 1Д.) = УУ (-1)’гФг“’'<1> (И)  • • д,ха"^ф\гк),
т^езк

что и требовалось.

3.3.	Доказательство следствия 3.3. Действительно,

Т,1...г<1<1х11 Л •  • Л <1х,ч = УУ + УУ ,
все различны не все различны

причем вторая сумма равна нулю. Представим теперь первую сумму в виде

Е( Т, ,,,	Л Л \ _
Но, для каждого упорядоченного набора 1 < й <   • < й < п соответствующее
слагаемое в скобках в силу кососимметричности тензора Т и следствия 3.2 перепи-
сывается в виде

57 гг,(1)..л,(,)4Ег<т,1)	=т11..л<1ахЪ1 л---лах1ч 57 ((-1Г(-1)СТ)>

и, таким образом, это слагаемое равно

д1Тг1,,,г<14хг1 Л • •• Л 4хгд.

Поэтому окончательно

й®’1 Л • • • Л й®’9 = </!	57	1.ДХ11/\    Г\ Ах1*,

1 < г 1 <-'-<г(3 <п

что и требовалось.

3.4.	Пример вычисления звездочки Ходжа. Пусть в пространстве К3 в коор-
динатах (ж, у, г) задана риманова метрика (^), где

/ 1 0 0 \	/10	о \

(&>)=[ 0 4 0, (зу) =	01/4	0	, д = Дф(дД = 6,

\ 0 0 9 /	\ 0	0	1/9 /

а также дифференциальные формы и 4х Л 4у. Вычислим 2-форму о/ = *(<!?).
Вычисления проведем в координатах (х,у, г). Заметим, что компоненты формы 4г
имеют вид (0,0,1). После поднятия индекса, получаем векторное поле с компонентами
Тг — дгсх ^4^)00 равными (0,0,1/9). По определению,

к\ е^/3’

где — компоненты формы объема, а к — 1 как степень формы 4г. В свою оче-
редь, форма объема имеет вид д4х Л4у /\4г, а ее компонента егз^ = #31§п{г,7,к}, где
81§п{г5<7,/г} равен нулю, если среди {г, д, к} есть совпадающие, и равен знаку переста-
новки (г, д, к) в противном случае. Итак,

/Э	о 6	2

Ш12 =	= ^123Т = - =

,Ш13 = ехззТ2 = О, Ш23 = 5231Т1 = 0,

поэтому *(Ах) = -Ах Л Ау.

Теперь вычислим = *(4х Л 4у). Компоненты тензорного поля, полученного
из 4х Л 4у поднятием индексов, можно записать в виде следующей матрицы:

/О	1/4	0	\

(Т^)=	-1/4	0	0	.

\	0	0	0	/

Снова по определению,
с ________________________________ г

4>г — ^га/Э*

Поэтому

€1 = /л1*5 = | (й1Т23 + ехзВГ32) = ещзТ23 = 0,
где мы сначала выписали все потенциально ненулевые слагаемые а затем воспользо-
вались косой симметрией. Аналогично,

?2 = ^ЗтТ'31 = 0, 5з = €312Т12 = 6- = -,

откуда *(Ах Л Ау) = Поэтому	= Аг и *(*(Ах Л Ау)} = Ах Л Ау.
Лекция 4. Дифференцирование и интегриро-
вание форм

В прошлой лекции мы определили алгебру внешних дифференциальных
форм. Теперь введем на дифференциальных формах операции интегри-
рования и дифференцирования. Нам также понадобится расширить по-
нятие многообразия, определив многообразия с краем.

4.1. Внешнее дифференцирование

Внешняя дифференциальная форма степени пуль — это просто гладкая
функция на многообразии. Тогда, как мы уже знаем, каждой функ-
ции можно поставить в соответствие кососимметричное (автоматиче-
ски) тензорное поле типа (0,1) — дифференциал этой функции. Та-
ким образом, определено отображение с1: П°(М)	П1(М), ставящее в

соответствие каждой 0-форме / € Н°(М) ковектор, т.е. 1-форму, <7/.
Если (ж1,... ,ж”) — координаты на многообразии М, и /(ж1,... ,хп)
— координатное представление функции /, то, в этих координатах,
ат — —^ах\
дх1

В общем случае, для произвольного натурального р, построим ото-
бражение (I: №(М) —> 0/>+1(А/). Мы определим его в локальных коор-
динатах. Пусть (ж1,... ,хп) локальные координаты на многообразии
М, и Р - произвольная форма из ПР(7И), которая в этих координатах
записывается в виде

Р = V	А---А<Й^.

Коэффициенты — это гладкие функции в карте 77 (ж1,... ,хп) на
многообразии Л/. Определим внешний дифференциал {внешнюю произ-
водную') дР формы Р, положив

дР —	^2	^(-Рц.-Тр) Л <7жн Л • • • Л дхгр.

1	< • •-<гр

Отметим, что если записать форму Р в виде

Р =	Л ••

р\ р

то определенная только что ее внешняя производная запишется в виде

с1Р — —(1(Рг1 г ) Л (1хп Л • • • Л с1хгр.
р!
Лемма 4.1. Операция внешнего дифференцирования определена коррек-
тно, т.е. не зависит от выбора локальной системы координат, участ-
вующей в &е определении.

Доказательство. Пусть в некоторой окрестности V С М заданы две
локальных системы координат (ж1,... , хп) и (а*1 ,... ,хп ). Тогда диф-
ференциальная форма Р € ИР(М) в Р может быть записана двумя спо-
собами:

Р = —Рг. ,.лрдх11 А  •  А дх*р = —Рц

р\ ‘	р! 1

;< дх*1 А • • • А дх*р,
р

где компоненты Рц...^ и Р^фЛ связаны по тензорному закону. Тогда
в координатах (а:1 ,... , хп ) внешняя производная дР. в соответствие с
определением, вычисляется так:

1	./1 дР;> V ,	;	;

дР = - , д(Р,- и ) А дх*1 А • • • А дхг? = — —* , р дха А дх*1 А • • • А дх*?.
р! к 11 "В’	р! дха

Воспользовавшись тензорным законом, получим:

/Яг о	Ят*» \	,

р! дР = -- ( —г----------Р: , ]дха бдх*1 дх*р.

дха \дх< дхгр

х^

Так как вторые производные —------ симметричны по г', и а', а внешнее

дхг1 дха

произведение дха /\дх*1 — кососимметрично, все слагаемые, содержащие
эти вторые производные сокращаются. В результате получаем:

р! дР =	ЭРц..лр дх*1 дх*р а>	у	г  - —-—Л— 	—дх А дх11 А • • • А дхгр =  дха дх*1 дх‘р  дРц...1р дха а> дх!1 , с	л дх1р я  = ——--—Тдха А —-дх11 А  • А —-дх1? = дха дха	дх*1	дхг?  дР  =	дха А дх11 А •  • А дх*р.  дха

Но выражение справа — это, с точностью до деления нар!, внешняя про-
изводная дР формы Р, записанная в координатах (ж1,... ,хп). Лемма
доказана.

Установим простейшие свойства внешнего дифференциала.

Утверждение 4.1. Пусть Р € ПР(А/) и(Д Ш(М) — дифференциаль-
ные формы на М.

• Для произвольных постоянных С1 и с-2 имеет м.есто равенство:
д(с±Р + С2(ф) = сцДР) + С2Й(<3) (линейность).
2) • Имеет место следующий аналог правила Лейбница: с1(Р Л (3) =
</(р)лд + (-1)ррлад).

• Идемпотентность: <1(ДР) = 0.

• Для произвольного гладкого отображения Р: X -> М имеет ме-
сто равенство Р*(ДР) — д(Р*Р).

Доказательство. Первое свойство очевидно.3 * *

В силу линейности, второе свойство достаточно проверить для случая
мономов, т.е. для Р = / дх11 А - • • Л йх1р и (^ = д дх'’1 Л • • • Л дхР. Имеем:

Р Аб} — (./Дж’1 Л • • • Л дх‘р) Л (дДж-71 Л • • • Л дх-’*) —

= /д(дх11 Л • •  Л йж*) Л (с/ж-71 Л • • • Л с/ж-79),

поэтому

ДР= д(/д) Л (дх1' Л  Л дх1р) Л (йж-71 Л    Л ФР9) =

= ^-^дха Л (Фс(| Л • • • Л </ж*р) Л (дх-’' Л • • Л фр9) =

= (-^-д + / дха А (дх11 А • • • Л с/ж*р) Л (дх-’1 А -  А дх'’’1) =

\ дха а дха /	'	'

= (, (	<7жп Л (дх11 А -   А Л»1р)^ А (д дх1' А -   А дх^ +

+ (—1)р(/ дх11 А    А А ^^уЛха А (дх'’1 А • • • Л ЙаЛ)) =

= ФР А (^ + (-~Р)РР А д(Д

что и требовалось. Отметим, что здесь (—1)р — четность перестановки,
«меняющей местами» дха и моном дх11 А    А дх1р.

Докажем третье свойство. Для мономов вида / Дж’1 Л - - Л дх’’1 оно
немедленно вытекает из симметричности вторых частных производных
а2/	.	.

——г——т и косой симметрии внешнего произведения дх‘ А дх-’.
ох^-ох1

Наконец, в силу линейности внешнего дифференцирования и опера-
ции перенесения, последнее свойство тоже достаточно проверить для
монома Р — / дх11 А    А бхгр. Обозначим через (I1,... , Ф") локальные
координаты на Л', и пусть ж* = ж‘(^,... Д’") — координатное предста-

3На самом деле, мы определили только дифференциал формы фиксированной сте-

пени р, а не произвольного элемента алгебры Г2*, каким является С1Р-\-С2С2‘ Поэтому

для р ф д формула с1(Р = (1Р + имеет место по определению.
вление отображения Р. Тогда

Г* (ЙР) = Р* (ЛЦ дх11 Л--- А дх'р)) = Р*	А (1.x11 Л---Л Лх‘р) =

3/ дха дх11
дха дб3 дР1

 —. <И& А сП?1 А • • • А <1Рр =
дРр

 -	. ) дР3 А <Ип А - -  А <И1р =

= <(/ « Г)(«) д- -  л -  л лД = Щ

( проверить равенство с двух сторон )

что и требовалось. Утверждение полностью доказано.

Наконец, в заключение настоящего раздела запишем, как выглядит
операция внешнего дифференцирования в локальных координатах. До-
казательство следующей леммы непосредственно вытекает из определе-
ний и оставляется в качестве обязательного упражнения.

Лемма 4.2. Пусть Т — внешняя форма степени к на многообразии
Мп, и обозначим через 7? ее внешний дифференциал, т.е. К = д.Т.
Пусть (э?1,... ,хп) — произвольные локальные координаты на много-
образии М. Тогда для любых 1 < «1 < • • -гцл < п имеет место равен-

ство

^«1 •••и+1

К-1-1	„

= Е'-1)Р+1^ГТи-Т

Р=1

4.2.	Интегрирование дифференциальных ферм на ори-
ентированных многообразиях

Пусть М — гладкое ориентируемое многообразие размерности п, и пред-
положим, что на М раз и навсегда фиксирована некоторая ориентация.
Последнее означает, что якобиан матрицы перехода от одних рассматри-
ваемых локальных координат к другим предполагается положительным.
Пусть шп — некоторая дифференциальная форма степени п на М. Как
и для случая обычных функций, носителем зпррш" формы шп назы-
вается замыкание множества всех точек х из М, в которых форма тп
отлична от нуля. В данном разделе мы определим интеграл от формы
и>п с компактным носителем по ориентированному многообразию М.

Пусть IV С М — некоторая область на многообразии М. Предпо-
ложим сначала, что область ТУ целиком лежит внутри некоторой карты
(Л, <р) многообразия М, и обозначим через (ж1,... , хп) соответствующие
локальные координаты. Тогда в этих координатах форма € П"(А/)
записывается в виде

/(.г1,...	А
Определение'

где / = <Ц1...п. Положим

где справа стоит обычный кратный интеграл по области уфП7) С К”.
Это число назовем интегралом от формы Л" по области И7.

Величина, стоящая в правой части, не зависит от выбора локаль-
ных координат. Действительно, пусть (V,1р') — еще одна карта на М,
и (ж1 ,... , хп ) — соответствующие локальные координаты. Предполо-
жим, что И7 С V О 14'  Тогда форма записывается в этих координатах
в виде

р^1',... .а-”')*-1' А---АФг”',

где, как мы вычислили в лемме 3.2, функции / и д связаны так:

\
тг-т)-
ОХ-1 '

Но тогда, воспользовавшись формулой замены переменных в кратном
интеграле и тем фактом, что якобиан функции перехода о по-
ложителен, можно переписать интеграл от формы по И7 в «новых»
координатах (а?1 ,... , а?” ) так:

Осталось заметить, что в правой части мы получили в точности инте-
грал от формы щ”, записанный в координатах (а:1,... ,хп). Итак, мы
доказали следующую лемму.

Лемма 4.3. Интеграл от формы ооп по области И7 С М, целиком ле-
жащей в одной карте, не зависит от выбора ориентированных локаль-
ных координат.
Чтобы определить интеграл от формы <цп в общем случае, нам при-
дется вспомнить кое-что из прошлого семестра. А именно, тогда мы
уже пользовались существованием разбиения единицы, подчиненного (ло-
кально) конечному покрытию {У,} топологического пространства М.
Последнее означает, что существует набор функций } на М, таких
что

•	множество значений каждой функции лежит в отрезке [0,1];

•	носитель функции /а содержится в соответствующем элементе по-
крытия, т.е. зпрр/а С Иа;

•	для каждой точки х из М имеет место равенство фа(х) = 1.

Более того, было отмечено, что если Ца - - открытые множества в Ж”,
то все функции могут быть выбраны гладкими. Поскольку коорди-
натный гомеоморфизм ра отождествляет каждую карту 11а с областью
в Ж.", отсюда вытекает следующий результат.

Утверждение 4.2. Пусть М — гладкое многообразие, и {({7а,<ра)} —
локально конечный атлас на М. Тогда существует разбиение единицы,
подчиненное покрытию {[/„}, состоящее из гладких функции на М.

Итак, пусть снова шп 6 О.п(М) — форма с компактным носителем, и
{({7а, <ра)} — ориентированный локально конечный атлас на ориентиро-
ванном многообразии М. Пусть {/<,} — разбиение единицы, подчинен-
ное атласу {У, }- Так как носитель формы Д'* компактен, он содержится
в объединении конечного числа карт ТД,... , Определим интеграл
от формы м" по многообразию М, положив

Отметим, что все интегралы, стоящие в сумме справа берутся по обла-
стям, целиком лежащим в карте, поэтому определены.

Лемма 4.4. Определение интеграла от формы шп по многообразию М
не зависит ни от выбора разбиения единицы, ни от выбора ориентиро-
ванного атласа на ориентированном многообразии М.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что атлас
карт {(На,<де)} конечен. Действительно, для этого достаточно вместо
многообразия М рассмотреть его подмножество ДДДД которое тоже,
очевидно, является многообразием.

Итак, пусть на М имеется два конечных атласа {(1ба, <ра)} х и
{(^,^)}Хх, и {/«} и {де} — подчиненные им разбиения единицы.
Рассмотрим набор функций {На/з = /адр}. Легко видеть, что этот набор
функций представляет собой разбиение единицы для системы множеств
Дфз = П ТР/з}- Действительно, первые два свойства из определения
разбиения единицы очевидны, а

52 = 52(/“ 52 Д3) = 52 = Х’

а, /3	ар	а

что и требовалось.

Проверим теперь совпадение интегралов от формы ш, определенных
с помощью разных атласов. Имеем:

т.е. интеграл, определенный с помощью покрытия {У,} совпадает с ин-
тегралом, определенным с помощью покрытия {А’о,з}. Аналогично про-
веряется и что интеграл, определенный с помощью {Ид} совпадает с
интегралом, определенным с помощью {Иад}. Лемма доказана.

Перечислим простейшие свойства интеграла.

Утверждение 4.3. Пусть М — гладкое ориентированное многообра-
зие.

• Интегрирование внешних форм по М линейно:

/ (+ А2Ш2) — А1 / ззг + А2 / 332
им	им .'м

для любых форм 331 и 3З2 с компактным носителем и любых чисел
Ах и А2.

•	Обозначим через М многообразие М с противоположной ориен-
тацией. Тогда

[ 33=-! 33
ЗМ зм

для любой формы зз с компактным носителем.

Доказательство. Первое свойство очевидно.

В силу аддитивности интеграла, второе свойство достаточно прове-
рять для формы, носитель которой содержится в одной карте. Пусть
{(?/«,У’а)} — ориентированный атлас на М. Тогда атлас с противо-
положной ориентацией, т.е. атлас на М можно получить заменив знак
первой координатной функции в каждой системе локальных координат.
Другими словами, если (ж1,... ,хп) локальные координаты на М в
карте (17, </>), то в качестве локальных координат на М можно взять
(у1,... ,уп) = (—ж1,ж2,... ,хп). Соответствующую карту на М обозна-
чим чер^а ([7, ф).

Пусть в карте (С, ф) форма ш имеет вид /(у1,... , Л • • • Л дуп.

Тогда в силу леммы 3.2

где д(хф ... , хп) - существенная компонента формы ш в локальных ко-
ординатах (ж1,... ,хп). Воспользуемся теоремой о замене переменной в
кратном интеграле, учитывая что <1е1Г^у) < 0. Получим:

Утверждение доказано.

Итак, мы определили интегрирование дифференциальных форм по
многообразию и изучили простейшие свойства этой операции. Теперь
естественно перенести на случай многообразий известные из курса мате-
матического анализа формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса
(соответствующий результат имеет место и называется общей теоремой
Стокса). Однако в этих формулах интегрирование производиться не по
многообразиям, а по несколько более общим объектам: к соответствую-
щим многообразиям (области на плоскости или в пространстве, поверх-
ности в пространстве) добавляются граничные (в топологическом смы-
сле) точки. Поэтому, чтобы построить соответствующее обобщение, мы
начнем с определения аналога области с границей, который называется
многообразием с краем.

Замечание. Отрезок [а, Ь] С Ж1 не является многообразием, так как его кон-
цевые точки а и Ь не имеют окрестностей, гомеоморфных открытым дискам.
Поэтому, пока, величина /(х)Лх, где х — координата на прямой, а /(х)с1х
— гладкая 1-форма на ней, не определена.
4.3.	Многообразия с краем

Пусть — гладкое многообразие. Замыкание М открытого подмно-
жества из называется многообразием с краем, если существует такая
гладкая функция /: АГ —» Ж, что М — {ж €	| /(ж) > 0}, и дифферен-

циал функции / во всех точках х, где /(ж) — 0, отличен от нуля. В этом
случае множество точек, где /(ж) = 0, называется краем многообразия
М и обозначается через дМ. Размерностью многообразия М с краем
дМ называется размерность многообразия Л. Компактные многообра-
зия без края называют замкнутыми.

Отметим, что если край дМ пуст, то М является обычным гладким
многообразием (без края). Из прошлого семестра мы знаем, что край
многообразия М, как множество решений регулярного уравнения, обла-
дает структурой гладкого многообразия (без края), причем в качестве
карт можно рассмотреть пересечения карт многообразия И с краем дМ.
Если размерность многообразия М равняется п, то размерность его края
дМ равна п — 1.

Эквивалентное определение многообразия с краем получается, если
немного модифицировать определение многообразия. А именно, хаус-
дорфово топологическое пространство М называется многообразием с
краем, если его можно покрыть не более чем счетным семейством откры-
тых множеств, каждое из которых гомеоморфно некоторому открытому
подмножеству в полупространстве Ж" = {(ж1,... , ж") [ж1 > СЬ. Послед-
нее означает, что точки пространства М разбиваются на два класса:
точки, обладающие окрестностью, гомеоморфной пространству К” (та-
кие точки называют внутренними)', и точки, обладающие лишь окрест-
ностью, гомеоморфной полупространству Ж” (такие точки называют
краевыми). Край дМ — это множество всех краевых точек из М.

В качестве примера многообразия с краем можно взять любую область
в К”, (топологическая) граница которой задана неявно гладкой функ-
цией в виде /(ж) = 0, причем Д' 0 на этой границе.

В каждом конкретном случае удобно пользоваться то одним, то дру-
гим из приведенных определений. Отметим, что все понятия, введенные
нами выше для случая многообразий без края дословно переносятся и на
случай многообразий с краем. Для них также легко можно переформу-
лировать и доказанные нами теоремы. В качестве примера, рассмотрим
аналог теоремы о задании многообразия системой уравнений.

Пусть Р: Ж" -> К*, к < п, — вектор-функция, и предположим, что во
всех точках множества уровня М = {Р € Ж” | Р(Р) = 0} дифференциал
АР отображения Р имеет максимальный ранг, равный к. Обозначим
через (ж1,... , ж”) и (у1,... ,ук) декартовы координаты в Ж” и Ж*5 соот-
ветственно, и пусть уг = /г(х4,... ,хп) — координатное представление
функции Р. Рассмотрим систему из к — 1 уравнения и одного неравен-
4.3.	Многообразия с краем

59

ства:

/’(Д---	= 0, г = 1,... ,к- 1,	/ЧА---,ХП) > О,

и пусть М — множество решений этой системы. Из первого определе-
ния многообразия с краем и соответствующего результата об обычных
многообразиях, немедленно вытекает следующая теорема.

Теорема 4.1. Если во всех точках множества

м= {Ре к” | г(Р) = 0}

дифференциал дГ отображения Г имеет максимальный ранг, равный к,
и в каждой точке Р е М ранг матрицы

I = 1,... , к — 1, у =

дх* )'

равен к — 1, то множество М — многообразие с краем дМ = М.
(Тк - выступает в качестве функции из определения )

В дальнейшем нам будет полезен следующий результат.

Теорема 4.2. Если М — ориентируемое многообразие с краем, то его
край дМ тоже ориентируем.

Доказательство. Воспользуемся определением многообразия с краем че-
рез обобщенные карты. Пусть	(К»,’’/’«)} — ориентированный

атлас на многообразии М, где карты С/ гомеоморфны Ж”, а карты Уа —
К" . Тогда атлас на крае дМ строится как пересечение карт Уа, гомео-
морфных К”, с краем дМ. Обозначим через (х&,... , ж”) локальные ко-
ординаты, порожденные картой I/.. Тогда пересечение 1Уа = УаГ\дМ за-
дается условием х1 = 0, сама карта Уа — условием х1 > 0, а (х&,... , ж”)
— локальные координаты на дМ. Пусть \Уа и Ид — две такие пересека-
ющиеся карты. Нам нужно показать, что якобиан матрицы перехода от
дх

]Уа к Ид положителен. Рассмотрим матрицу („ а) перехода от Уа к
‘ дхД

Уд в точке Р е \Уа П Ид. Она имеет, по условию, положительный опре-
делитель, который мы обозначим через Д„. Поскольку на краю дМ вы-

полнено соотношение Ч = 0, все производные вида

дХа1

к = 2,... , п,

дх^ ’

Р)х а 1
равны нулю. Поэтому определитель Л„ равен произведению ——-Дп_1,
дхД

где Дп-1 — якобиан матрицы перехода от И/. к Ид. Осталось заметить,
дх 1

что производная не отрицательна, так как в I/ и в Уд обе функции
дх д1

и х.д положительны. Поэтому Д„_1 больше нуля, что и требовалось
доказать.
Определение. Ориентация края дМ ориентированного многообразия
М, противоположная построенной в доказательстве теоремы 4.2, назы-
вается согласованной с ориентацией многообразия М или канонической.

Замечание. Геометрически, каноническая ориентация края дМ ориентиро-
ванного многообразия Мп устроена так. Рассмотрим в точке Р края дМ
базис в1,... 1е„ касательного пространства ТрМ, где векторы е»,... ,е„ ка-
саются края, а вектор 61 направлен от края дМ «наружу» многообразия М
(формально последнее означает, что, если (ж1,... ,хп) - локальные коорди-
наты в окрестности краевой точки Р, в которых край дМ задается условием
жх = 0, то вектор 61 С ТрМ имеет отрицательную составляющую по коор-
динате ж1). Ориентация базиса с»еп согласована с ориентацией края,
порожденной ориентацией многообразия М, если и только если ориентация
базиса 61,... , еп согласована с ориентацией многообразия М.

Пример. На рис. 1 изображена ориентация края цилиндра — двух окружно-
стей, согласованная с ориентацией цилиндра, заданной базисом (ер е->), где ех
— вектор, параллельный меридиану, а е? — параллели, см. рис. 1.

Рис. 1. Ориентация цилиндра и его края

Замечание. Край неориентируемого многообразия может быть ориентиру-
емым многообразием. Например, край неориентируемого листа Мебиуса
ориентируемая окружность. Поэтому продолжить ориентацию с края на мно-
гообразие можно не всегда.

Задачи

Задача 4.1. Пусть на многообразии К3 со стандартными координатами	за-

дана 1-форма о/ = х&у + у<1х. Вычислить

Задача 4.2. Пусть /: 51 —> К2 стандартное вложение окружности в плоскость:

х = К сое у?,	у = К 8ш у?,

ао»1 — хд/у + у д, х — внешняя форма на плоскости. Вычислить

Задача 4.3. Пусть М — риманово многообразие размерности п. Вычислить </уо!п
Задача 4.4. Пусть 52 — стандартно вложенная в К3 сфера радиуса Н. и (дД) —
индуцированная метрика на 52. Вычислить

Задача 4.5- Покажите, что полноторий, ограниченный тором, полученным при вра-
щении вокруг оси г окружности радиуса г в плоскости хг с центром в точке (К, 0,0),
0 < г < К, является многообразием с краем.

Задача 4.6. Что произойдет с канонической ориентацией края многообразия, если
поменять ориентацию многообразия с краем на противоположную?

Дополнительный материал

4.1.	Доказательство леммы 4.2. Пусть

б,х31 А • • • А (1х3р

— внешняя форма степени р на многообразии М, записанная в локальных координа-
тах (ж1,... , жп), и Е = (1Р €	Тогда, по определению,

Н= ,	ДРз1--]р) Л 4х31 Л • • • Л <1х'Р.

Поэтому

к = у '	' —э 'а',Р Л ^х31 Л • • • Л Лх3р =

1<л <-"<7р<п а = 1

=	\^	( У' дтм-3р йз.а Л Л ... Л ах3р А .

\	дха	)

1<Л<—<^₽<п а^О1,... Др}

Отметим, что индексы упорядочены по возрастанию. Переставив бха так, чтобы
полученный набор из (р + 1)-го индекса стал упорядоченным по возрастанию и пере-
обозначив индексы, получаем

что и требовалось.

4.2.	Об интегрировании форм. Предположим, что атлас гладкого компактного
многообразия М содержит карту (?7, у?), такую что М \ V представляет собой мно-
жество меры нуль. Такое часто случается в примерах, скажем стандартная карта
стереографической проекции — это сфера без точки. В сделанных предположениях
имеет место следующее утверждение.

Утверждение 4.4. Для любой внешней формы ш старшей степени на М имеет
место равенство
Доказательство проводится стандартными средствами математического анализа и
оставляется в качестве упражнения.

4.3.	Два определения многообразия с краем. Рассмотрим М С № — много-
образие с краем, край которого ЭМ задан невырожденной на дМ функцией /: X —> Ж,
и пусть п = сНт ТУ. Построим на М атлас обобщенных карт. Во внутренних точках
множества ТИ, т.е. в точках из множества М \ ЭМ. в качестве карт искомого атласа
можно взять соответствующие карты многообразия ТУ, пересекая их, если нужно с
открытым множеством М \ дМ.

Рассмотрим теперь точку Р из дМ. Функция / является гладкой функцией на
Ы, причем дифференциал этой функции в точках из ЭМ по определению отличен от
нуля, т.е. функция / является субмерсией в точках из М. Поэтому множество дМ
является многообразием размерности (п — 1). Более того, дМ является подмного-
образием в ТУ. Воспользовавшись утверждением о нормальной форме субмерсии, см.
прошлый семестр, выберем в окрестности точки Р такие координаты (Д,... ,1п) на
X, что функция / запишется в них так: /(21,... ,1п) = I1. В частности, множе-
ство дМ в этом случае совпадет с множеством {А? 6	| ^(Х) = 0}, а множество

ТУ А ТИ — с множеством {X €	| /^(Х) > 0}. Но последнее в точности означает,

что ограничение соответствующего координатного гомеоморфизма на ТУ П М задает
гомеоморфизм на Таким образом, мы определим карты во всех точках края дМ.
Остается проверить, что все функции перехода в объединенном атласе для внутрен-
них и краевых точек многообразия М — гладкие. Это, фактически, вытекает из
гладкости многообразия ТУ.

Обратно, если многообразие с краем задано как хаусдорфово топологическое про-
странство с не более чем счетным атласом обобщенных карт, то следует вложить это
многообразие в (существование такого вложения для достаточно больших X до-
казывается дословным повторением рассуждений для многообразий без края). Затем,
в малой окрестности края, следует расширить многообразие с краем, продолжив ото-
бражения вложения в малой окрестности границ параметризующих полупространств.
Полученное в результате вложенное многообразие X будет содержать многообразие
с краем М, которое будет задаваться в нем неравенством / > 0, где функция / в
каждой (краевой) карте задается равенством вида /(ж) = х1.
Лекция 5. Теорема Стокса

В данном разделе мы докажем основную теорему интегрального ис-
числения, обобщающую многочисленные формулы интегрирования, из-
вестные из математического анализа.

5.1.	Интеграл по подмногообразию и формула Стокса

Пусть М — гладкое многообразие, и г: IV —> Мп — гладкое А-мерное
подмногообразие в М, заданное вложением. Пусть на М задана внеш-
няя форма а? степени к, и пусть носитель формы г*(сэ) — компактное
подмножество в V. Тогда интегралом от формы со по подмногообразию
V называется величина

Отметим, что г*(щ) — это форма степени к с компактным носителем на
/,'-мерном многообразии V, поэтому интеграл в левой части определен.
Форму г* (У) иногда обозначают через сэ|у и называют ограничением
формы щ на подмногообразие V.

Теперь все готово для формулировки основной теоремы интеграль-
ного исчисления.

Теорема 5.1 (Формула Стокса). Пусть М гладкое п мерное ори-
ентированное многообразие с краем дМ, и со € ПП-1(Л1) — внешняя
дифференциальная форма степени (п— 1) с компактным носителем. То-
гда

I ды —
ЗМ -1дМ

где ориентация края дМ согласована с ориентацией многообразия М.

Доказательство. В силу аддитивности интеграла, теорему достаточно
доказать для формы, носитель которой лежит внутри одной карты (17, ср)
многообразия М. Более того, из тех же соображений можно предпола-
гать, что если (ж1,... , ж”) — локальные координаты карты (V, уз), то
форма со представляет собой моном вида

ш = /(я:1,... , хДдх1 Л---Л дхк~1 А 4хк+1 А • • • А с!хп.

Дифференциал формы со в этом случае имеет вид

с1л = (-1)*"1 Й-Дт1 А  •  А Лхп.

дхк
Пусть сначала (II, р) — «внутренняя» карта на Л1, т.е. <р: II —> Ж”.
Покажем, что в этом случае интеграл от Ли по II равен нулю. Действи-
тельно, перейдя от кратного интеграла к повторному, получаем:

кп

(-1)*-1 у   I (IX1    (1хк-1(1хк+1 Лхп р ^]Лхк.
г-1

Но внутренний интеграл равен нулю в силу формулы Ньютона-Лсйбнипа,
так как форма ш имеет компактный носитель:

г+°°	|+оо

/ -^ахк = Лх1,... ,хп)\	=о,

7-00 ОХ.	1-ою

что и требовалось.

Пусть теперь (II, ср) — «краевая» карта на М, т.е. ср: II —) Ж” (ж1 > 0).
Здесь следует рассмотреть два случая: к = 1 и к > 1. Пусть сначала
к > 1. Так как на крае дМ координата х1 постоянна и равна нулю,
ограничение тру формы са на край дМ в этом случае равно нулю. С
другой стороны, интеграл от формы по карте II в этом случае равен
нулю по тем же соображениям, что и выше. Случай к > 1 разобран.

Пусть теперь к = 1. Форма ш в этом случае имеет вид

/(ж1,...	\ахп,

и ее дифференциал йгс вычисляется так:

с1и> = ——Лх1 Л • Л <1хп.
дх1

Вычислим интеграл от (1ш по карте II. Имеем:

С другой стороны, интеграл от формы ш по множеству (I Г'\дМ записы-
вается так:
5.2.	Интеграл от функции, интегралы «первого» и «второго» рода 65

поэтому

стам

Осталось заметить, что мы рассматривали на краю ориентацию, про-
тивоположную канонической, поэтому в канонической ориентации знак
«минус» в последней формуле исчезнет, что и завершает доказательство
теоремы Стокса.

Замечание. Формула Стокса, как видно из доказательства, есть прямое обоб-
щение формулы Ньютона-Лейбница.

Пример. Пусть М — замкнутое многообразие размерности п (т.е. компакт-
ное и без края). Пусть ш — некоторая форма степени (п — 1) на М. Тогда

Ли» = 0.

Действительно, по теореме Стокса Ли» — §дм и» — и» — 0.

5.2.	Интеграл от функции, интегралы «первого» и «вто-
рого» рода

Пусть М — риманово многообразие. Напомним, что форма *1, где * —
это звездочка Ходжа, совпадает с формой объема на М. Интегралом
от функции Е по ориентированному компактному риманову многообра-
зию М называется интеграл Г *1 =	*Е, который в локальных

координатах (ж1,... , ж”) имеет вид

Р уф Лх1 А • • • А <1хп.

В частности, если М — ориентируемое компактное подмногообразие
риманова многообразия ТУ, и Р: М —> Ж. - функция на М, то определен
интеграл от Р по подмногообразию М.

Отметим, что для ориентируемого компактного риманова многообра-
зия М интеграл /м *1 является положительным числом и называется
объемом этого многообразия.

При.мер. Пусть М С Ж" — неособая поверхность в Ж". Тогда, напомним, на
ней определена первая квадратичная форма, которая превращает М в ориен-
тированное риманово многообразие размерности (п — 1). Очевидно, опреде-
ленный нами объем уо1п~1(М) совпадает с определенным в прошлом семестре
объемом поверхности М.

Замечание. Аналогично можно определить интеграл от гладкой функции по
области I/ С М и, соответственно, объем компактной области 1} ориентиро-
ванного риманова многообразия.
В математическом анализе определенные только что интегралы от
функций называют интегралами первого рода. Эти интегралы зависят
от метрики, так как при их вычислении используется форма объема под-
многообразия. В отличие от таких интегралов, интегралы от обычных
дифференциальных форм называют интегралами второго рода.

В качестве следствий из теоремы Стокса, получим классические фор-
мулы Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.

5.3.	Формула Грина

Пусть на евклидовой плоскости К2 задана регулярная замкнутая кривая
у: [а, 6] —> К2, ограничивающая замкнутую область Г, и пусть у(^) =
(.т(^),у(1)) координатное представление для у (здесь (ж,у) стан-
дартные декартовы координаты на плоскости). Более того, предполо-
жим, что при движении по кривой у область Г остается слева, т.е. ори-
ентация кривой у такова, что базис (ТУ, у) имеет положительную ори-
ентацию (по отношению к стандартной ориентации плоскости). Здесь
2У — поле внешних нормалей к области Р вдоль ее границы, т.е. вдоль
кривой у, а у — вектор скорости кривой у.

Рис. 2. Формула Грина

Пусть Р(х.н} и <Э(ж,у) — гладкие функции, определенные в некото-
рой области Р, содержащей область V. Обозначим через А' = (Р, <Э)
соответствующее векторное поле. Тогда определен интеграл

/ Р(аг, ?/)	-I-<^(ят, у) с/?/ =

У	(Х,у)д1,

называемый циркуляцией векторного поля X вдоль кривой у. Класси-
ческая формула Грина утверждает, что

(ЛЛИ
Покажем, что эта формула является следствием теоремы Стокса. Дей-
ствительно, будем рассматривать область Р как многообразие с краем,
ориентированное с помощью стандартной ориентации плоскости: в ка-
ждом касательном пространстве ориентация задана стандартным репе-
ром (в1,ео). Тогда у — это край д1Н многообразия V. Каноническая
ориентация края у - - это выбор того из двух направлений касательных
к у векторов V, при котором (ДГ, а) - положительно ориентированный
репер на плоскости, где X - внешняя нормаль к II. Эта ориентация со-
ответствует ориентации кривой у векторами скоростей у, так как при
обходе кривой у (т.е. при изменении параметра I от а до Ь) область [I
остается слева.

Пусть = Р(х, у) Их + <Э(ж, у) Ну дифференциальная 1-форма. То-
гда Нш =	Нх Л Ну. По теореме Стокса, имеем

а это и есть формула Грина.

Отметим, что все наши рассуждения были проведены в декартовых
координатах (ж, у) на евклидовой плоскости. Именно в этих коорди-
натах, в которых евклидова метрика имеет вид (6^), векторному полю
X = Рдх+С№у соответствует дифференциальная форма ш = Р Нх+ф Ну.
Напомним, что соответствие между векторами и ковекторами зависит,
вообще говоря, от выбора римановой метрики.

Пусть теперь на плоскости заданы произвольные регулярные коорди-
наты (ж1, ж2), и X = Х1дх1 + Х2дх2 — векторное поле, заданное в этих
координатах. Как записать формулу Грина не переходя в декартовы
координаты?

Как мы уже знаем, чтобы построить по векторному полю диффе-
ренциальную 1-форму, нужно воспользоваться операцией опускания ин-
декса. Пусть (й'у) — компоненты метрики в координатах (ж1, ж2). Тогда
соответствующая векторному полю X форма имеет вид ш = Нхк,
где = дкаХа. Если х' — ж‘(<) — координатное представление кривой
у, то ограничение формы на у имеет вид:

о;|7 = са* |!ж*|7 = дкаХахк Н1 = (Х,у) Н1,

где в последнем выражении стоит скалярное произведение поля X на
вектор скорости кривой у в метрике (д^)- Таким образом, выраже-
ние для циркуляции не зависит от выбора координат. Теорема Стокса
утверждает, что
Однако, дифференциал от формы теперь имеет следующий вид:

_дд2аХа дд1аХа
дх1 дх2 ’

т.е. окончательно имеем:

.1а	кт \ дх1 дх2 )

5.4.	Формула Гаусса—Остроградского

Напомним необходимые определения из курса математического анализа.

Пусть хг — стандартные декартовы координаты в Ж3, X вектор-
ное поле на области О'сК3, содержащей замкнутую область П, причем
граница области П представляет собой регулярную поверхность, ко-
торую мы обозначим через М. Пусть X1 — компоненты поля А", тогда
функция

Л ЭХ*
ту А = > -т—
1 дхъ
г= 1

называется дивергенцией поля X. Отметим, что дивергенция — это
функция на О', поэтому ее значения не зависят от координат (в то время
как определение дано в евклидовых координатах).

Далее, пусть .У поле внешних единичных нормалей к границе М. В
каждой точке Р Е М ориентируем касательную плоскость ТрМ базисом
е1,ео так, чтобы тройка (У, 81,82) была положительно ориентирована
(мы предполагаем, что в К3 фиксирован стандартный базис, задаюший
положительную ориентацию пространства К3). В каждой точке Р € М
вычислим скалярное произведение векторов Х(Р) и У(Р). Получаем
гладкую функцию (А", У) на М. На поверхности М определена инду-
цированная метрика, превращающая М в риманово многообразие. По-
этому определен интеграл от любой гладкой функции на М (напомним,
что интеграл от функции по риманову многообразию — это интеграл
от дифференциальной формы, полученной умножением формы объема
на эту функцию).

Определение. Интеграл от функции (А', X) по поверхности М назы-
вается потоком векторного поля X через поверхность М.

Теорема 5.2 (Формула Гаусса—Остроградского). Поток вектор-
ного поля X через границу М = дС1 области П равен интегралу по
области О. от дивергенции поля X, т.е.

[ (Х,Х) *1 = [ йщА *1.

)м	Уп
Замечание. В формуле Гаусса-Остроградского слева и справа стоят инте-
гралы от функпии по римановым многообразиям. Формы *1 — это формы
объема на этих (разных) многообразиях.

Покажем, что теорема Остроградскогц- Гаусса является частным слу-
чаем общей формулы Стокса. Для .этого достаточно построить такую
дифференциальную 2-форму щ на О.', что ее ограничение на М совпа-
дает с формой (Л’, ТУ) * 1, а ее дифференциал дсо имеет вид сНуА *1.
Рассмотрим 1-форму Т на Ж3, полученную из поля X опусканием индек-
сов. Тогда в качестве формы си можно взять *Т. Проверим, что щ —
искомая 2-форма.

Проделаем это в координатах. В евклидовых координатах (а;1, х2, ,с3)
имеем: сИуАг *1 = сИуАг дх1 Л дх2 Л дх3. С другой стороны, если X* —
координаты поля А', то 7) — X1 (так как метрика у нас евклидова, и
координаты — тоже евклидовы), и

со = У дх1 Л дх2 = А'1 дх2 Л дх3 + А'3 дх3 Л дх1 + X3 дх1 Л </./:, (*)
«<а

поэтому

дсо =

дх1 Л дх2 Л дх3 = <Ду А' дх1 Л дх2 К дх3

= сНу Аг * 1.

Нам осталось доказать следующее утверждение.

Утверждение 5.1. Пусть Т — это 1-форма на П, получающаяся из
поля X опусканием индексов, а со = *Т. Тогда ограничение формы
со на поверхность М задается так:

ш\м = (Х,Х) *1.

Доказательство. Пусть (а1, а2) — локальные координаты на М, в кото-
рых М задается в виде параметрической регулярной поверхности г (и1, и2
причем

= Ги1 X Ги2

1К1 X ГИ2|Г

{дг]} матрица индуцированной метрики, и д = <1е1(фу).

Воспользуемся только что полученной формулой (*) для формы со и
вычислим сДти- Так как

— Фа‘,

оик

то

дх’ Л дх2 = - —у ди1* Л ди1 =
(ТНг ои'

дх‘ дх2
ди1 ди2

дх1 дх2

ди2 ди2

ди1 Л ди2.
Положим

д О' _	&х*

ди1 ди2 ди2 ди1'

Таким образом,

Дм = (А'Ч23 + А'2А31 + А'3А12) Ни1 Л д.п2.

Далее,

Г и1 X Ги2 =

дх1

дх1

ди2

дх2
дх2
ЭЙТ
вх2
ди2

дхз
дх3

дх3

ди2

= (А23, А31, А12).

Напомним, что (ду) — это матрица Грамма системы векторов ги1, ги2.

Лемма 5.1. Пусть а иЪ два вектора в К”, С -- их матрица Грамма,
и д = <1е( С. Тогда площадь 3 параллелограмма П, натянутого на век-
торы а и Ь, равна Дд.

Доказательство. Действительно, пусть </? — угол между а и Ь. Тогда

йе1С = ||а||2|< - (а,Ъ)2 = ||а||2||Ь||2 - ||а||2||&||2 соз2 9? =

= ||а||2||6||2 эш2 </? = 52,

что и требовалось.

Из леммы 5.1 вытекает, что

||г„1 х ги2|| = Дд,

поэтому ги1 х ги2 = Дд X. В итоге получаем

ц>|л/ = (X, ги1 х г и?) ди1 Л ди2 = (X, X) Дуди1 Л ди2 = {X, X} *1,
что и требовалось.

5.5.	Формула Стокса для поверхностей

Пусть ГУ С К2 - - некоторая область, и Г2 С ГУ замкнутая компактная
область с гладкой границей <90, состоящей из конечного числа регуляр-
ных кривых. Пусть (м1,!/2) — декартовы координаты в В2 э ГУ э ГУ и
г: ГУ —> К.3 — регулярная поверхность. Ограничение отображения г на
$2 называется регулярной поверхностью с краем г: <90 —> К3, а область
Г2 параметрической областью этой поверхности. Если г является
вложением, то можно отождествить такую поверхность с ее образом и
рассматривать поверхность как подмногообразие с краем, лежащее в К3.
В дальнейшем, для простоты, мы будем предполагать, что 1-вложение.
Итак, пусть М регулярная поверхность в В3 с краем ЭМ, заданная
параметрически в виде

г(г?,ц2) = (ж1 (и1, и2), ж2 (и1, к2), ж3 (и1, и2)),

где (ж1, ж2, ж3) — стандартные декартовы координаты в К3, а (у1,-и2) —
координаты на поверхности М.

Обозначим через X каноническое поле единичных нормалей к поверх-
ности М, полученное так:

Гу1 X Ги2

Нл? х п/ИГ

Пусть дц = (ги,, ги,) — компоненты индуцированной на М метрики, а
д — определитель матрицы (<7,у).

Рассмотрим произвольное векторное поле А’ в В3. Напомним, что
ротором го1А поля X называется векторное поле на В ’ имеющее в
декартовых координатах (ж , х~, х ) следующий вид

	5Ж1	^Х2	^Х3	
гог.А =	д/дх' д/дх2 д/дх3	=
	А1	А2 А3	
		дх2 эх1 _ эх3 дх2 _ дх1
- _  \ дх'2		дх3 ’ дх3 дх1 , дх1 дх2

Так же, как и выше, поток векторного поля го! X через поверхность
М равен интегралу от функции (го! А', Лт) по М:

( (го1А,А) *1 = / (го! А,Х}у/дйиУ Л ди2,
м	!м

Далее, обозначим через у, регулярные замкнутые кривые в К3 (од-
номерные подмногообразия), являющиеся связными компонентами края
дМ. В касательной плоскости ТрМ в каждой точке Р € уг выберем
единичный вектор п, перпендикулярный у1 и направленный наружу по-
верхности М. Выберем на у, параметр I €	(и, тем самым, ори-

ентируем уД так, чтобы пара (п,уг) была положительно ориентирована
относительно ориентации, заданной координатами (и1, и2). Отметим,
что именно такая ориентация края дМ является канонической.

Поле А и выбранная параметризация у ДА) каждой кривой поро-
ждают на параметризующем кривую у, отрезке функцию (Л', уД.
Легко видеть, что интеграл
не меняется при монотонно возрастающих заменах параметра I. Этот
интеграл называется циркуляцией векторного поля X вдоль кривой
Отметим, что если в качестве параметра I выбрать натуральный пара-
метр з, то длины всех векторов -у» будут равны 1, и, фактически, вектор
е = у» в точке Р = -ц(в) будет тем из двух единичных векторов касатель-
ной прямой ТрдМ, для которого репер (п,е) положительно ориентиро-
ван. Более того, рассматривая дМ как риманово многообразие с инду-
цированной метрикой, мы получаем, что дв — это форма одномерного
объема (т.е. длины), соответствующая выбранной (канонической) ори-
ентации края дМ. Таким образом, циркуляция векторного поля А' вдоль
7г — это интеграл по канонически ориентированной компоненте 7» края
дМ от функции (А', е). Сумму циркуляций поля X по всем компонентам
7г края дМ назовем циркуляцией поля X вдоль края дМ поверхности
М и обозначим через

[ (А»	=	/ (ЛЛгМ.

X9М	- ХЪ

Теорема 5.3 (Формула Стокса для поверхностей). Поток ротора
го! Аг векторного поля X через компактную регулярную поверхность М
в К3 с гладким краем дМ равен циркуляции поля X вдоль края дМ:

[ (го1ЛЛ) *1 = [ (Х,е) *1.
ХМ	ХЭМ

В координатах:

[ (го! X, X) д:и1 Л ди2 = [ {Х,дМ) д.1 =	[ (X, 7 г) д1.

И дМ	«/ аг

Покажем, что формула Стокса для поверхностей является частным
случаем общей формулы Стокса. Для этого достаточно построить та-
кую дифференциальную 1-форму на М, что ее ограничение на дМ
совпадает с {X, е) дз, а ее дифференциал дш имеет вид

(го! А", X) у/д ди1 Л ди2.

Пусть Т — это 1-форма в К3, полученная из X опусканием индекса.
В качестве формы ш возьмем огранмчение формы Т на поверхность М.
Проверим, что такая форма удовлетворяет требуемым условиям.

Пусть в — натуральный параметр на кривой 7,, выбранный так, как
описано выше, и -у; = (7^,7?,7?)- Тогда

^7. = Т\у, = 52 Хк^ дз = (X, 7г) дз = (X, е) дз.
к

Определим 2-форму р, положив р = дТ; 1-форму г), положив г] = */./: и
пусть У — векторное поле, полученное из 1-формы т) поднятием индекса.
Задачи

73

Утверждение 5.2. Поле У является ротором векторного поля X.

Доказательство. Действительно, форма р = (1Т имеет вид

ах3
дх2

(1лД\(1х3 +

ОХ1
дх3

(1х3/\с1х1 +

дх2
дх1

(IX1 Лс1х2,

и

, а ( дХ? дХД\ 3

\ дх2 дх3 ) Х + \ дх3 дх1 ) Х + \ дх1 дх2 } Х

откуда немедленно заключаем, что У = го! X. что и требовалось.

Заметим теперь, что *ц — Др — р — с1Т, поэтому, по утвержде-
нию 5.1,

(ДТ)\м = &\м = *г)\м = (У,У) Дд^и1 Л дм2.

Окончательно, (с/Т)|м — д(Т\м) — <1о) в силу перестановочности диф-
ференциала и операции перенесения форм, поэтому

ди = {X, X) Дд ди* Л <1и~.

и, таким образом, форма сэ удовлетворяет всем требуемым свойствам.

Задачи

Задача 5.1. Проверить, что определение потока векторного поля через поверхность
не зависит от выбора координат.

Задача 5.2. Показать, что в криволинейных координатах (ж1,#2, ж3) дивергенция
векторного поля X выглядит так:

сНуХ —



Задача 5.3. Записать выражение для ротора векторного поля в криволинейных ко-
ординатах.

Задача 5.4. Пусть замкнутая поверхность М С К3 ограничивает замкнутую область
XV С К3, и п — поле нормалей к поверхности. Пусть и ф — гладкие функции на
области V Э РИ. Проверить, что

где А — лапласиан, а д/дп — производная по нормали.
Дополнительный материал

5.1. Теорема о вычетах и ряды Лорана. Пусть /(х,у) — и(х,у) + ги(х, у) —
комплекснозначная функция комплексного переменного 2 — х + г у, определенная в
некоторой области Г2 С И^2 = С. Напомним, что 2 = х — гу. Будем рассматривать 2
и 2 как независимые переменные. Выразим х и у через 2 и

и подставим в выражения для и и V. Получим

Определение. Функция называется комплексно-аналитической или голо-
мор фнойь если она не зависит от 2. Иными словами,

= о

05

Продифференцируем функцию /(>-, г) по д по правилу из теоремы о дифферен-
цировании сложной функции. Получим

Таким образом,

д 1 ( д . д \

— = ---------1- г —

дх 2 \ дх	ду /

и условие голоморфности функции / равносильно выполнению следующей системы
уравнений в частных производных, которая называется условиями Коши-Римана:

' ди ди

д$ ду ’

ди ди

, ду дх

Пусть теперь

/(г) й* = (гЦж, у) + г и(х, у)} (дх + г ду) =

= и(х, у) Лх — и($, у)ду + г (и(ж, у) ду + г>(з>, у) Л;) = сщ + г

— комплекснозначная 1-форма, где

о>1 = и(х, у) дх — и(х, у) Ау, о>2 = и(х, у) Ау + и(х, у} йх

вещественнозначные 1-формы.

Утверждение 5.3. Функция / — голоморфна, сели и только если дифференциал
1-форм Ш1 и Ш2 равен нулю.
Доказательство. Действительно,

ди ди \
ду дх )
ди ди\
дх ду)

дх Л с/у,

йх /\ (1у,

откуда непосредственно видно, что равенство нулю дифференциалов форм цу равно-
сильно выполнению условий Коши-Римана. Доказательство закончено.

Определим интеграл от формы /(д) йд вдоль гладкой кривой 7: [а,Ь] —> Т2 с

координатным представлением у(() = ^х(1),у(1)^, положив

<7д =

<1х — и

Пусть О С К2 — произвольная компактная (вообще говоря, многосвязная, т.е.,
возможно, с дырками) область с гладкой границей, состоящей из конечного числа ре-
гулярных замкнутых кривых 7;. Выберем на каждой кривой 7^ направление обхода,
при котором ограниченная уг область плоскости (это, как правило, не П) обходится
против часовой стрелки. Для краткости, будем говорить, что такая кривая 7г ори-
ентирована против часовой стрелки. Кривую 7г с противоположной ориентацией
обозначим через —7г.

Ясно, что Г2 — двумерное многообразие с краем. Введем на крае д$1 = 1Д7; кано-
ническую ориентацию. Пусть 71 — та из кривых 7г, которая ограничивает область,
содержащую все остальные 7г. Легко видеть, что при канонической ориентации дП
каждая кривая 7г проходится в таком направлении, что область Г2 все время остается
слева. Последнее означает, что (в терминах введенных выше ориентаций кривых 7г)
канонически ориентированный край д^1 записывается так: = 71 О (—72) С •.. •

Воспользуемся общей формулой Стокса (в действительности, естественным обоб-
щением формулы Грина на многосвязные области). Имеем

Г г / \ 7 Г (ди ди \	.	[ (ди ди\ .	1

/ /(г) <1% = - / I — + — 1 <1х Л йу + г / ( ----—\<1х/\(1у,

поэтому, если функция /(г) голоморфна, то

/ Дд),йд = / /(д)йд + ^2 /	=

3 вп	3-ц	,>2 з—/,

/(г) </д.

Таь*им образом, мы доказали следующее утверждение.

Утверждение 5.4. Пусть Дг) — голоморфная функция в компактной области П
с гладким краем дИ, состоящим из конечного числа замкнутых регулярных кривых
уг. Пусть 71 — та из кривых ‘уг, которая ограничивает область, содержащую
все остальные 7г. Ориентируем каждую кривую у,, г = 1,2,..., против часовой
стрелки. Тогда

/	=	/ /(г)йг.

А1	г>2 "'7.

В частности, если область И односвязна, т.е. дП состоит из одной кривой 71, то

/Сз) йг = 0.

Рассмотрим функцию /(г) = г”, п 6 2. Если п > 0, то эта функция определена
и голоморфна на всей комплексной плоскости С, поэтому, в силу утверждения 5.4,
для вложенной регулярной замкнутой кривой 7 на комплексной плоскости С (такие
кривые будем для краткости называть контурами) интеграл гп Нг равен нулю.
Если п < 0, то для любого контура 7, не охватывающего 0 (ограниченная контуром
7 область не содержит 0), также выполняется гп Нг = 0. Если же контур 7 охва-
тывает 0, то для п < 0 интеграл гп Нг не зависит от выбора контура, если только
фиксировано направление обхода, скажем, против часовой стрелки. Действительно,
для любых двух так ориентированных контуров 71 и 72, охватывающих 0, выберем
третий контур 7, также охватывающий 0 и не пересекающийся с 7г. Ориентируем
7 так же, как и контуры 7г. Тогда при каждом % — 1,2 контуры 7г и 7 ограничи-
вают двусвязную компактную область в которой функция /(г) голоморфна. Из
утверждения 5.4 вытекает, что

откуда и получаем требуемое.

Пусть 51 — стандартная единичная окружность с центром в 0, а 7 — произ-
вольный контур, охватывающий 0. Ориентируем 7 и 51 против часовой стрелки.
Тогда

Явные вычисления дают

гп Нг =

поэтому

егп^ =

— 8Ш ср + г СОЗ

для контура 7, охватывающего точку а,

при п = —1, и

в противном случае.

2тг г,
0

Делая замену координат г »-> г — а, а 6
получаем

с,

\п Нг =

2тг г,
0

при п = —1, и

в противном случае.

Имеет место следующая теорема, которая доказывается в курсе теории функций
комплексного переменного.
Теорема 5.4 (О разложении функции в ряд Лорана). Пусть !! С С неко-
торая область, а — внутренняя точка области О, и /(х) —Ц/ломорфная функция
в 0\{а}. Тогда существуют такие 0 < г < К, что в кольце К = {х | г < |х — а| < К}
функция /(а) может быть представлена в виде равномерно сходящегося ряда:

+ о©

/(«) = X Сп(г-а)п,

п=—ОО

который называется рядом Лорана. В силу равномерной сходимости, ряд Лорана,
можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Определение. Коэффициент с-1 ряда Лорана называется вычетом функции / в
точке а и обозначается через гееа /.

Из приведенных выше результатов вытекает следующий результат.

Следствие 5.1. В предположениях теоремы 5.4, для любого контура у, лежащего
в К, охватывающего а и ориентированного против часовой стрелки, имеем:

Пусть О С С — некоторая компактная односвязная область с гладкой границей,
состоящей из одного контура дО, = 7. Пусть ах,... , аш — некоторые внутренние
(не лежащие на 7) точки из Г2, и /(%) — голоморфная функция на Г2 \ {ах ,... ,ат}.
Как всегда, ориентируем 7 против часовой стрелки. Следующая теорема сводит
вычисление интеграла от формы /(2) дг по контуру 7 к вычислению вычетов функции
/ в точках а^.

Теорема 5.5 (О вычетах). В сделанных выше предположениях,

т

Л*) дг = X ге8<»к /•

А-=1

Доказательство. Окружим особые точки малыми окружностями 8&, лежащими
внутри Г2, и пусть	открытый диск, ограниченный 8%. Обозначим через ГУ

область, полученную из Г2 выкидыванием всех дисков Тогда ГУ — компактная
область с гладкой границей, и /(я) — голоморфная в ГУ функция. Ориентировав все
8% против часовой стрелки и воспользовавшись утверждением 5.4 и следствием 5.1,
получаем:

т р	т

НД X / 1^ак

к = 1'/3ь	к=1

Теорема доказана.
Лекция 6. Когомологии де Рама

Одна из самых сложных и часто встречающихся топологических задач
дифференциальной геометрии состоит в проверке гомеоморфности двух
данных многообразий. Теория когомологий де Рама, которая обсужда-
ется в этом разделе, позволяет построить по каждому многообразию
М некоторый алгебраический объект группы когомологий', кото-
рый оказывается топологическим (на самом деле, даже гомотопическим,
см. ниже) инвариантом. А именно, группы когомологий гомеоморфных
многообразий изоморфны. Поэтому эти группы могут использоваться
для доказательства негомеоморфности многообразий: если группы раз-
личны, то многообразия не гомеоморфны. С другой стороны, (что не
менее важно) группы когомологий отвечают за разрешимость на мно-
гообразиях дифференциальных уравнений специального вида. Тем са-
мым, когомологии позволяют понять природу топологических препят-
ствий такой разрешимости.

6.1.	Определение групп когомологий де Рама

Пусть М — гладкое многообразие, и со — внешняя дифференциальная
форма на М.

Форма со называется замкнутой, если ее внешний дифференциал дсо
равен нулю. Форма со называется точной, если она является «полным
дифференциалом», т.е. если существует форма со на М, такая что со = дСб.
Ясно, что множество 2к(М) всех замкнутых форм степени к на М и мно-
жество Вк(М) всех точных форм степени к на М образуют (бесконеч-
номерные) линейные подпространства в (бесконечномерном) линейном
пространстве П*(Л1) всех внешних форм степени к на М. Папомним,
см. утверждение 4.1, что с1(ско) = 0 для любой формы со, поэтому ка-
ждая точная форма является замкнутой: Вк(М) С 2к(М). Отсюда вы-
текает, что корректно определено фактор-пространство 2к (М~)/Вк (М)
пространства всех замкнутых форм степени к по пространству всех точ-
ных форм степени к. Неожиданно оказывается, что это пространство
конечномерно.

Определение. Пространство 2к(М)/Вк(М) называется к ой группой
когомологий де Рама многообразия М и обозначается через Нк(М).

Замечание. Краткое напоминание понятия фактор-группы и фактор-прост-
ранства содержится в дополнительных материалах к этой лекции.

Нам будет удобно записать это определение в других обозначениях.
Линейный оператор внешнего дифференцирования д действует, как мы

4Отметим, что сопоставление топологическому объекту алгебраического — это
центральная идея алгебраической топологии.
знаем, из пространства 0к(М) внешних форм степени к в пространство
0й+1(7И) внешних форм степени к + 1. Для удобства, будем обозна-
чать оператор с1 через с1ъ, указывая тем самым явно то пространство,
на котором этот оператор в дачный момент рассматривается. Тогда мы
имеем следующую цепочку «сквозного действия» линейного оператора
внешнего дифференцирования:

...	0,к~1(М)	П*+1(М) ^ ... .

В этих обозначениях, к-ая группа когомологий может быть определена
следующим образом: Нк(М) = Кег(й*)/ 1ш(й*-1), поскольку, по опреде-
лению, Кег(сД) = ^(М), а 1т(сД_1* = Вк(М).

Замечание. Так как Пк(М) = 0 при к > п, где п —- размерность многообра-
зия, можно считать, что описанная выше цепочка на самом деле конечна, а
именно, она заканчивается так:

• • «"-Дм) ап(М) о.

Поэтому Кег(йп) = ГГ(М) и НП(М) = О.П(М)/ 1ш(й„-1).

Замечание. Мы определили группы когомологий Нк(М) для к > 1. Удобно
определить так же 0-ую группу №(М), продлив цепочку «сквозного действия»
операторов внешнего дифференцирования влево так:

о ^4 п°(м)	-%••••.

Тогда группа Н°(М) по определению полагается равной Кег(йо)/1т(й-1), т.е.
Н°(М) = Кег(й0).

Замечание. На этой последней конструкции основан алгебраический подход
к определению когомологий. А именно, если Ик — произвольные абелевы
группы, и ф: Ик —> ПА:+1 — гомоморфизм, такой что с1^ о <1^-1 — 0, то можно
определить так называемые когомологии цепного комплекса	, по-

ложив Нк = Кег(</&)/ 1т(ф,_1). Однако, эта общая конструкция лежит за пре-
делами нашего курса.

Элемент + Вк(М) группы Нк(М) будем обозначать через [щ] и на-
зывать к-мерным классом когомологий. Две замкнутых внешних формы
о>1 и о>2, принадлежащие одному и тому же классу [ц>], называются кого-
мологичными. Ясно, что замкнутые формы ид и <*>2 когомологичны если
и только если их разность ц>1 — а>2 точна.

Пример. Пусть М — связное многообразие. Вычислим группу	Для

этого, по определению, нужно найти ядро Кег(йо) оператора внешнего диффе-
ренцирования Йо на пространстве П°(М) всех внешних форм степени 0 на мно-
гообразии М, т.е. на пространстве гладких функций на М. Очевидно, Кег(йо)
— это пространство всех постоянных функций на М, поэтому Н°(М) = К1.
Пример. Пусть М это вещественная прямая К1. Вычислим группы кого-
мологий многообразия К1. Мы уже знаем, что Я0(й?) = К1, так как прямая
связна. Далее, так как <Иш К1 = 1, то //"''(К1) = 0 при к > 2.

Вычислим теперь Я1^1) = Кег((Л)/ 1ш(До). Так как ф : ОД®1) —> 0, то
ядро Кег(</1) оператора <7, совпадает со всем пространством О1 (К1) внешних
форм степени 1 на К1. С другой стороны, образ 1т((7о) оператора </о так
же совпадает с пространством йДВ1). Действительно, произвольная форма
из П1(В1) может быть записана в виде /(ж) с1х, где /(ж) — гладкая функция,
их — стандартная координата на прямой. Рассмотрим гладкую функцию
д 6 П°(К1), определенную так:

/(*)<».

Так как д' (л?) = /(ж), то (кОд) = йд = /йж, что и требовалось. Таким образом,
Я1 (Ж1) = П1(К1)/П1(Ж1) = 0. Итак, нами доказано следующее утверждение.

Утверждение 6.1. Группы когомологий вещественной прямой К1 выглядят
так:

яДй1) =

К1 при к = 0,
0 при к > 1.

Записав задачу о вычислении первых когомологий многообразия М
в локальных координатах, мы получаем задачу о разрешимости следу-
ющей системы дифференциальных уравнений в частных производных:
/а (1ха = дд, т.е. дд/дха = /а, где /а известные функции, а д - неизвест-
ная. Поскольку вторая производная с)2 д/дхадх$ симметрична по а и 0,
для разрешимости этой системы необходимо, чтобы д$а/дх@ — д$р/дха.
Отметим, что это — в точности условие замкнутости формы со — /а д.ха.
Действительно,

Когомологии Н1 (М) равны нулю тогда и только тогда, когда это необ-
ходимое условие разрешимости является также и достаточным.

В общем случае, если задана дифференциальная форма О, то можно
ставить вопрос о разрешимости следующего дифференциального урав-
нения: (ко — И. Необходимым условием разрешимости этого уравне-
ния является замкнутость формы П, а достаточным условием — точ-
ность формы Я, т.е. равенство нулю класса когомологий [Я]. Любые два
решения и цъ отличаются, очевидно, на замкнутую форму о>1 — МГа
Множество всех решений это смежный класс частного решения щ по
подпространству замкнутых форм, т.е. имеет вид щ

Пример. Пусть М — это окружность 511. Вычислим группы когомологий
окружности. Точно так же, как и в случае прямой К1, очевидно Я°(51) = К1,

и ЯД51) = 0 при к > 2.
Вычислим теперь группу Н1 (8 ). Так как <Иш(5'1) = 1, снова заключаем,
что Ког(<11) = П1(51). Осталось выяснить, как устроен образ 1т(<?о) опера-
тора <1о- Пусть о? € (81) — внешняя 1-форма на 81, принадлежащая образу
1т(йо)- Это означает, что существует гладкая функция д Е П°(51), такая что
4д = ш. Но тогда, так как окружность — замкнутое многообразие, по теореме
Стокса имеем:

/	= /	9 = 0.

Уз1 ^з1 Уаз1

То есть имеет место следующее включение

1т(<1о) С € П1(51) | ш — 0}.

Оказывается, верно и обратное. Действительно, пусть Е П1(51) — такая
внешняя 1-форма, что ]\51 ш = 0. Пусть окружность 8 параметризована
стандартным угловым параметром у Е [0, 2тг). Тогда каждая 1-форма на
окружности может быть записана в виде /(9?) 4у, где / — гладкая функция
на окружности. Последнее означает, что / порождает гладкую периодиче-
скую с периодом 2тг функцию на прямой, которую мы будем обозначать той
же буквой /. В частности, /(<^ + 2тг) = /(у) для любого ^ЕИ1.

Запишем нашу форму ш в виде ш = /(*?) Фу. Рассмотрим функцию д(у) на
Ж1, определенную так:

д(ф) = /	у Е Ж1.

Фо

Функция д — гладкая периодическая функция на прямой с периодом 2тг, и,
поэтому, задает функцию на окружности. Действительно,

/»9?+2тг	/»9?+2тг

з(у + 2тг) = /	/(*)(& = / /(1)41 + /	/(1)41 = д(у),

о	*/ о

так как последний интеграл совпадает с интегралом от формы ш по окруж-
ности 51, который, напомним, равен нулю в силу выбора формы ш. Остается
заметить, что 4д = <1>. Итак, доказана следующая лемма.

Лемма 6.1. Форма Е О1(8'1) является точной если и только если инте-
грал от нее по 81 равен нулю.

Рассмотрим теперь отображение г: П1 (51) —> К1, переводящее форму из
П1(51) в число У51 со. Отображение г является гомоморфизмом линейных про-
странств, причем, в силу леммы 6.1, ядро Кегг этого гомоморфизма совпадает
с 1т(йо). Кроме того, легко видеть, что образ гомоморфизма г совпадает со
всем пространством Ж1 (проверьте это!). Осталось воспользоваться теоремой
о гомоморфизме:

К1 = 1т г = И1 (51)/Кег г = Кег(<й)/ 1т(й0) = Н' (51).

Итак, нами доказано следующее утверждение.
Утверждение 6.2. Группы когомологий окружности З1 выглядят так:

Н^З1) =

(О

при к = О и к = 1,
при к >2.

6.2.	Когомологии и отображения

Пусть М и У — гладкие многообразия, и /: М —> У — гладкое ото-
бражение. Как мы уже знаем, отображение / порождает линейное ото-
бражение /* на пространствах внешних форм: /*: П*(У) —> ПА(Л/).
Более того, так как отображение Г перестановочно с операцией внеш-
него дифференцирования, см. утверждение 4.1, оно, очевидно, переводит
замкнутые формы в замкнутые, а точные — в точные. Поэтому отобра-
жение /* корректно определено на группах когомологий. А именно, если
[си] € НЧК) — произвольный класс когомологий многообразия У, и у.

некоторый его представитель, т.е. (замкнутая) форма из [си], то опре-
делим /*([и’]) равным [/*(си)]. Ясно, что с?(/*(си)) = /*(<&<?) = /*(0) = О,
поэтому Г(^) — замкнутая форма, и [;’*(си)] определен. Кроме того,
если си,-, г = 1,2, — два разных представителя класса [у], то, по опреде-
лению,	для некоторой формы на А. Поэтому

- Г Ь) = ГН - си2) = Г(<М = й(ГИ,

Т.е. формы /’(се>1) И /*(у2) когомологичны или, другими словами, | Г*(У1)]
[/‘И)]- Итак, доказано следующее утверждение.

Утверждение 6.3. Пусть ф: М —> У - гладкое отображение гладких
многообразий. Отображение ф*: ПЙ(У) —> ОФ(М) индуцирует гомо-
морфизм групп когомологий ф": Нк(К) -> Нк(М). Этот гомоморфизм
определяется так: ф* ([си]) = /*(си)], где си — произвольная замкнутая
форма степени к на К.

Упражнение 6.1. Покавать, что если 1,м : М —> М — тождественное отображение,
то — тождественное отображение когомологий.

Упражнение 6.2. Показать, что если /: М± —> М2, и д: М2 —> Мз — гладкие ото-
бражения гладких многообразий, то (д о /)* = /* од*.

Из двух предыдущих упражнений вытекает следующий результат.

Утверждение 6.4. Если многообразия М диффеоморфны, то их
группы когомологий НК'(М) и совпадают.

Замечание. Ниже мы увидим, что группы когомологий сохраняются не только
при диффеоморфизмах, но и при существенно более общих преобразованиях

— гомотопических эквивалентностях.
6.3.	Гомотопии и когомологии

Пусть X и У — топологические пространства, и Д: X X, г — 0,1, —
непрерывные отображения пространства X в пространство У. Отобра-
жения /о и Д называются гомотопными, если существует такое непре-
рывное отображение Р: X х [ОД] —> У, что Р(х,<У) = /о(ж), и Р(х, 1) =
У1 (а?) для каждого х € А'. Отображение Р в этом случае называется
гомотопией отображения /о в отображение Д. Если А' и У — гладкие
многообразия, Д — гладкие отображения, то мы будем говорить, что
отображения Д и Д гладко гомотопны или, для краткости, гомотопны,
если существует гомотопия Р отображения /о в Д, являющаяся гладким
отображением из X х [0,1] в X.

Говорят, что топологические пространства Аг и У гомотопически
эквивалентны, если существуют непрерывные отображения /: X —> X
и д'. X —> Аг, такие что отображение / од гомотопно 1у, а отображение
до/ гомотопно 1 у, где, напомним, через 1 у обозначается тождественное
отображение пространства X на себя. Два многообразия называются го-
мотопически эквивалентными, если существуют гладкие отображения
/: X —> У и д: У —> А', такие что /од гладко гомотопно 1у, а д о /
гладко гомотопно 1у.

Упражнение С.З. Проверьте, что гомотопическая эквивалентность — отношение
эквивалентности на множестве гладких многообразий.

Пример. Пусть Л' — одноточечное пространство, а У — пространство К”.
Возьмем в качестве / отображение, переводящее .V в начало координат про-
странства К", а в качестве д — отображение всего К” в точку „V. Тогда,
очевидно, до/ = 1Х, а /од — отображение всего Ж" в начало координат. Пока-
жем, что /од гомотопно 1®». Для этого достаточно рассмотреть отображение
Р:	х [0,1] —-> Ж", устроенное так: Р: (у,1) ь-> /у. Очевидно, Е(у,0) = 0 € Ж"

для любого у, и Р(у, 1) — у для любого у, т.е. Р(у, 0) — / о д, а Р(у, 1) — 1к".
Более того, гомотопия Р гладкая. Итак, нульмерное многообразие X = {*} и
п-мерное многообразие У = Кп гомотопически эквивалентны. Поэтому Гб и
Нк гомотопически эквивалентны для любых п и к.

Теорема 6.1. Гомотопные отображения /о и /\, /,: X X, г = 0, 1,
гладких многообразий X и У индуцируют один и тот же гомоморфизм
групп когомологий, т.е. // — Д*: Нк(Х) —> Нк(Х).

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно построить
такое линейное отображение К: Г1к(У) —> ОА-1(АД, что имеет место
тождество

(/о -Д*)М = ±(Ж-^)М,	^е^(У).	(*)

Действительно, если отображение К построено, и а) произвольная за-
мкнутая форма, представляющая класс [щ] У Нк (У), то замкнутые формы
/э (о>) и /1 (о>) отличаются на точную форму

(/о - Л*)М = ±(^< - ЛД)(са) = ±й(Л») + К(6ш) = ±й(Л»),
где последнее равенство имеет Место в силу замкнутости формы По-
этому классы когомологий [/д (а?)] и [Д*(са)] совпадают, что и требова-
лось.

Перейдем к построению отображения Л' (его часто называют цепной
гомотопией). Гомотопность отображений /с и Д означает, что суще-
ствует такое гладкое отображение Р: X х [0,1] —, что Р(ж, 0) = /о(я0
и Р(х, 1) = Отображение Р порождает гомоморфизм пространств
всех внешних форм Р* : ОЙ(У) —> ОА(Х х [0,1]).

Будем говорить, что форма О € О* (X х [0,1]) не зависит от 61, если
она равна нулю на любом наборе векторов (Д, • • •	где —

векторы, касательные к АС В локальной системе координат (ж1,... , хп,1)
на прямом произведении X х [0,1] последнее означает, что в разложении

О(.тД) =	О11...,к(х1,... ,хп,1) 6х11/\   /\ 6х1к

1<Ъ1 •••«*. <п

отсутствую мономы, содержащие сомножитель 61 Такую форму О можно
рассматривать как однопараметрическое семейство форм ОДх) = О(х, 1)
на многообразии А'. Формально, если : X —>• А' х [0,1] вложение вида

: х н-> (х,1), то О/ = р* (О(а;, I)), т.е. ограничение формы О(х,1) на
многообразие X. вложенное в прямое произведение А" х [0,1] как А' х {Г}.

Следующая лемма легко проверяется в локальных координатах.

Лемма 6.2. Каждая внешняя форма О е Ок(Х х [0,1]) однозначным
образом представима в виде О = О' + О" Л сП, где формы О' и О" не
зависят от 61.

Отметим, что если форма О € О* (А" х [0,1]) не зависит от 61, т.е.
О — 0^ — однопараметрическое семейство форм на X, то внешний диф-
ференциал 60 имеет вид

д

60 = ДАГ ± — (ОД Л 61,

где 6Х - внешнее дифференцирование на А', а знак перед вторым слага-
емым зависит от четности степени формы О/. В частности, последняя
формула дает разложение из леммы 6.2 для дифференциала формы 60.

Определим теперь отображение К: Ок(У) —( ОЬ-1(Х) так. Для ка-
ждой формы со € Ок(У) построим форму О = Р*(со), разложим ее по
формуле из леммы 6.2, получив О = О' + О" Л 61 = О] + О" Л 61, и поло-
жим

К(со) = [ О" 61.

/()
Проверим теперь справедливость формулы (*). Для этого вычислим
последовательно АД(ц>) и бК(со). Имеем:

= аг* (со) =	+ п" л <&) = &п; ± ^-(пр л <& + д,п" л л =

—	+ ГвЬ——	Л (11.

V \ От V 'Л, Ъ I	'

поэтому

Аб(со) = [ ^± —П^ + Д,П”^61 = ±(П^ — Од) + (1х [ П" сП.
Уо ' от	)	Ур

Здесь через Пр и П) обозначены значения семейства форм П) при 1 = 0
и I — 1 соответственно. Далее,

ак(ш) = ах^ п"<и},

откуда

(ак - к а) (со) = т(о; - и;,) = ±(Пр - п,).

С другой стороны, если ограничить форму П = Г* (со) = П' + П" Л 61
на X х {Д}, то получится форма П) на А', так как форма <Ц равна нулю
на А х {^}. Рассмотрим отображение Р[ — Р(-,1): X х {^} —> У. Тогда
Р^(оо) = П|ух{0 = поэтому 1*((Р) = Р*(со) =	= 0, 1. Теорема

доказана.

Следствие 6.1. Гомотопически эквивалентные многообразия имеют
изоморфные группы когомологий.

Доказательство. Если гладкие многообразия А и У гомотопически экви
валентны, то существуют гладкие отображения /: А —> У и д: У —> А',
такие что отображение / о д гладко гомотопно 1у, а отображение д о /
гладко гомотопно Еу- По теореме 6.1,

(/ о 9? = 9* °Г = 1у,	(9 о /)* = Г о 9* = 11-

Так как гомоморфизмы 1Д и 1Д тождественны, гомоморфизмы /* и д*
взаимно обратны, и, поэтому, являются изоморфизмами. Доказатель-
ство закончено.

Так как когомологии прямой Ж1 нам уже известны, а все простран-
ства В” гомотопически эквивалентны друг другу, немедленно получаем
следующее важное утверждение, означающее, что необходимое условие
разрешимости дифференциальных уравнений вида асо = П в К” (а также
на любом гомотопически эквивалентном многообразии) является и до-

статочным.
Следствие 6.2 (Лемма Пуанкаре). Всякая замкнутая форма на К”,
п > 1, точна. Другими словами, группы когомологий пространства Кп
имеют вид:

Яй(Гг) =

Ж1

О

при к = О,
при к > 1.

6.4.	Когомологии и общая формула Стокса

Общая формула Стокса во многих случаях помогает вычислять когомо-
логии многообразий.

Утверждение 6.5. Если М — гладкое п-мерное замкнутое ориенти-
руемое многообразие, то Нп(М) / 0.

Доказательство. Действительно, зададим на М некоторую риманову
метрику (например, вложив М в ВД' и рассмотрев индуцированную ме-
трику). Так как М — ориентируемо, на нем корректно определена
форма объема — *1. Интеграл от по М равен объему многообра-
зия М, и поэтому не равен нулю. Следовательно, ш не является точной
формой. Действительно, если щ — др, то по теореме Стокса имеем

/ щ — / др — р — 0,
дм дм ддм

так как дМ = 0, противоречие. С другой стороны, форма со, будучи
формой максимальной степени, является замкнутой. Итак, на М суще-
ствует замкнутая не точная п-форма. Доказательство закончено.

Замечание. Построение групп когомологий многообразия с помошыо диф-
ференциальных форм - это далеко не единственный подход. Более общие то-
пологические конструкции (так называемые симплициальные и сингулярные
гомологии и когомологии) можно найти, например, в замечательной книге
А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, “Курс гомотопической топологии", а общш ал-
гебраический подход изложен, например, в классической книге Н. Стинрод,
С. Эйленберг, “Основания алгебраической топологии”.

Задачи

Задача 6.1. Пусть М — многообразие, состоящее из к компонент связности. Вы-
числить Я°(М).

Задача 6.2. Показать, что если два топологических пространства гомеоморфны,
то они гомотопически эквивалентны.

Задача 6.3. Чему гомотопически эквивалентно с выброшенной прямой (с двумя
выброшенными точками, с выброшенной окружностью)?

Задача 6.4. Показать, что Кп \ {0} гомотопически эквивалентно 5П-1. Чему гомо-
топически эквивалентно с выброшенным , с выброшенной сферой 5й, к < п?

Задача 6.5. Вычислить когомологии двумерной сферы и тора Т2.
Дополнительный материал

6.1.	Фактор-группы и фактор-пространства. Подгруппа Н группы С называ-
ется нормальной, если для каждого элемента д € О имеет место равенство левых и
правых смежных классов дН = Нд подгруппы Н. В этом случае, на множестве,
скажем, левых смежных классов можно корректно определить групповую операцию
так:

дН  д' Н = (д1д2}Н, где дх 6 дН и д* € д'Н.

Таким образом, левые смежные классы нормальной подгруппы образуют группу, ко-
торая называется фактор-группой и обозначается через С/Н.

Пример. Если группа — коммутативна, то любая ее подгруппа — нормальна, по-
этому для любой такой подгруппы определена фактор-группа. В частности, любое
подпространство произвольного линейного пространства является в нем нормальной
подгруппой (относительно операции сложения векторов). Соответствующая фактор-
группа называется фактор-пространством.

Пример. Если (р: А В — гомоморс|>изм групп, то его ядро

Кегс/7 =	€ А | (р(а) = ев}

является нормальной подгруппой в А. Имеет место так называемая теорема о го-
моморфизме: группа <р(А) изоморфна фактор-группе А/Кег<р. Для случая линейных
пространств это означает, что размерность образа линейного оператора равен раз-
ности размерностей пространства-прообраза и ядра этого оператора.

Более подробную информацию можно найти в любом учебнике по алгебре, напри-
мер, в замечательных книжках А. И. Кострикина «Введение в алгебру» и Э. Б. Вин-
берга «Курс высшей алгебры».

6.2.	Когомологии и векторные поля на плоскости. Когомологии плоскости К2
можно вычислить непосредственно. Как мы уже знаем, Н°(К2) = К, и	= О

при к > 3. Вычислим сначала Д’1 (К2). Для этого заметим, что если (х,у) — декар-
товы координаты на плоскости, то

К&дл = [ш = РЛx + ^йу\— = —\, 1т йо = {<1Р | Р е

I	ду дх	1	’

Покажем, что Кегс^х = 1тс?о- Для этого по форме ш Е Кегс?1 построим функцию

Р(х,у) = ш,

где 7 — произвольная кусочно-регулярная кривая, соединяющая начало координат
и точку (х,у). В силу формулы Грина, условие замкнутости формы ш равносильно
независимости значения интеграла в правой части от выбора кривой 7 (проверьте).
Покажем, что <1Е = ш. Для того, чтобы вычислить частные производные функции Е,
удобно в качестве 7 рассмотреть двухзвенные ломаные, ребра которых параллельны
координатным осям. Отметим, что на отрезке, параллельном оси ОХ, форма (1у
равна нулю, а на отрезке, параллельном оси ОХ, равна нулю форма Р йх. Имеем:

рх	ру	ру	рх

Е(х,у) = I Р(1,0)с11+ I СЦх,Ъ)(И = I МI Р(1,у)сИ,
эо	Ло	«/о

откуда

ЗЕ	. дЕ	.

— = Р{х,у),	— = Я{х,у),

дх	ду

что и требовалось. Таким образом, Я1 (К2) = 0.
На физическом языке этот результат формулируется так. Снова, пусть (х, у) -
декартовы координаты на плоскости. Векторное поле X называется потенциальным,
если существует такая функция Е, что X = §габ Е = (дЕ/дх,дР/ду}. Поле Л' =
(Р,С}) называется безвихревым, если

ЭР_ _ д0_
ду дх

Ясно, что каждое потенциальное поле является безвихревым. Действительно, если
Р = дР/с^, а = дР/ду, то

дР _ д2Р _ <Ю
ду дхду дх

Равенство нулю первых когомологий плоскости означает в точности, что верно и
обратное: каждое безвихревое поле на плоскости является потенциальным. Отметим,
что если рассмотреть плоскость с выколотыми точками, то это уже не так.

Далее, докажем, что И2(К2) — 0. Ясно, что Х2('Р'2) = О2(К2), поэтому доста-
точно показать, что для любой 2-формы О = Р(х, у) <1х Л бу существует такая форма
ш = Р(х,у)Лх + С}(х,у) бу, что Г2 = бы. Иными словами, мы должны для каждой
гладкой функции Р найти такие функции !} и О, что

дх ду

Легко видеть, что этому равенству удовлетворяют функции

1 Г	1 г

= 2	И р<Шу) = ~2 ] р0Л)<и.

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Утверждение 6.6. Когомологии стандартной плоскости К2 выглядят так:
Я°(Ка)=К,	/Р(К2) = Я2(К2) = 0.

6.3.	Когомологии и векторные поля в пространстве. Рассмотрим простран-
ство К.3. Векторное поле X называется потенциальным, если оно является градиен-
том некоторой функции Р1, т.е. X = §гас1Т'. Поле X называется называется безви-
хревым, если го! X — 0. Поле X, являющееся ротором другого поля У, т.е. X — го4 У,
называется соленоидальным,. Поле X называется бездивергент,ным, или полем, без
источников, если бкХ = 0.

Пусть (ж, у, г) — декартовы координаты в К3. Отождествим теперь векторные
поля X = (Р, <2, Я) с 1-формами си = Р дх-\-С2	Эту операцию отождествления

(операцию опускания индексов с помощью евклидовой метрики 5^) обозначим через
I. Таким образом, 1(Х) = си. Пусть Р — гладкая функция. Напомним некоторые
полезные нам тождества:

/(^габ Р) = с1Р, 1(го1Х) = *(</си), и ШуХ = *4(*си).

Таким образом,

1)	поле X потенциально, если и только если форма си = 1(Х) точна;

2)	поле X безвихревое, т.е. го1Х = 0, если и только если форма си = 1(Х) за-
мкнута;

3)	поле X бездивергентно, т.е. <11 у X = 0, если и только если 2-форма *си замкнута.
Лемма Пуанкаре, в применении к случаю К3, дает следующий результат:
Утверждение 6.7. Поле в К3 потенциально, если и только если оно безвихревое
(это эквивалентно Я1 (К3) = 0). Поле X бездивергентно, если и только если оно
соленоидально (это эквивалентно Я2(К3) = 0).

Доказательство. Потенциальность поля X равносильна условию ш = дР для неко-
торой функции Р (потенциала поля X), но последнее условие равносильно (по лемме
Пуанкаре) условию дсо = 0, что равносильно условию го1Х = 0 (операции I и * уста-
навливают изоморфизмы соответствующих векторных пространств).

Далее, без диве ргентность поля X равносильна условию </(*ш) = 0, т.е. условию
замкнутости формы *ш. Последнее условие равносильно (в силу леммы Пуанкаре)
точности этой формы, т.е. условию *со = др для некоторой 1-формы р. Применяя опе-
рацию * к обеим частям последнего равенства, получаем 1(Х) = ш = 1(го1У),
где У — векторное поле, соответствующее 1-форме ту. Поэтому X = го1 У, а это и
есть условие соленоидальности поля X. Доказательство закончено.

6.4.	Симплектические многообразия. Симплектические многообразия играют
важную роль в приложениях, особенно в механике и вариационном исчислении.

Определение. Многообразие М называется симплектическим, если на нем задана
дифференциальная 2-форма о;, обладающая следующими двумя свойствами.

1)	Форма ш замкнута, т.е. дсо = 0.

2)	В каждой точке Р из М внешняя форма со(Р) невырождена, т.е. определитель
матрицы (согз) компонент формы ш в локальных координатах в окрестности
точки Р отличен от нуля. Другими словами, для каждого вектора V Е ТрМ
существует вектор м Е ТрМ, такой что со (и, щ) ф 0.

Такая форма называется симплектической структурой на многообразии М.

Пример. Пространство К2те с координатами (ж1,... , хп, у1,... , уп) и внешней фор-
мой со = дх1 А ду1 + • * ’ + дхп Л дуп является симплектическим многообразием (дока-
жите).

Пример. Пусть М — гладкое многообразие, и Т*М — кокасательное расслоение к
многообразию М. Обозначим через тг: Г* М М естественную проекцию, сопоста-
вляющую каждому ковектору € ТрМ точку Р Е М. Определим на Т*М следующую
1-форму а. Пусть IV = (РД) € ТрМ — произвольная точка из Т*М (напомним, что
РИ — это ковектор заданный в точке Р Е М), и V Е Туу(Т*М) — касательный
вектор. Тогда тг*(?;) Е ТрМ. Положим а(и) = ^(тг*(^)). Ясно, что а задает в ка-
ждой точке IV Е Т*М линейную функцию на Туу-(Т*М), т.е. а — это 1-форма на
кокасательном расслоении. Определим замкнутую 2-форму со так: со = да. Эта
форма оказывается невырожденной. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать
эту форму в локальных координатах. Пусть (ж1,... ,хп) — некоторая карта на М, и
(ж1 ... , жп,р1,... ,Рп) — соответствующая карта на Т* М. Тогда легко видеть, что
в этих координатах форма а имеет вид а = ргдхг, поэтому со = да = дрг А дхг —
невырожденная замкнутая форма.

Имеет место следующее простое утверждение.

Утверждение 6.8. Размерность произвольного симплектического многообразия
— четное число.

Доказательство. Действительно, если (ж1,... ,жп) — произвольные координаты в
окрестности произвольной точки Р симплектического п-мерного многообразия М. и
согз — компоненты симплектической структуры со в этих координатах, то, по опре-
делению, Г2 = (<лгз) — кососимметрическая невырожденная матрица, откуда

0 ф <1е112 = с!е112т = <1е1(—12) = (—1)п бе! 12,

поэтому (—1)п = 1, т.е. п четно, что и требовалось.
Симплектическая структура си устанавливает изоморфизм между ковекторами и
векторами (как и любое другое невырожденное тензорное поле типа (0,2) с помо-
щью опускания-поднятия индекса). Если V — касательный вектор, то ему соответ-
ствует ковектор такой что для любого другого вектора Ж имеет место равенство
$(РЕ) = си(У, РЕ). Обозначим через I: ТрМ -л ТрМ соответствующий изоморфизм
(проверьте, что этот изоморфизм — поднятие индекса ковектора с помощью невы-
рожденного тензора си типа (0,2)).

Если Н — гладкая функция на М, то векторное поле 1(дН) называется ее косым
градиентом и обозначается через з§гас!Я. Другими словами, для любого вектора
РЕ выполнено: РЕ(Н) = 4Н(РЕ) = си(8§гас! Н, РЕ). Если М = К2п со стандартной
симплектической структурой си = (1хг А ду1 в координатах (ж1,... , жп, у1,... , уп),
то

, ТТ	(дн	дн дн	дн \

зетаа Н = —-,... ,---,-------.... ,---.

Уду1	дуп дх1	дхп /

Действительно, если 8§га<1(Н)	= А =	(А1,... , А2п), и	РЕ	= (РЕ1,... , РЕ2п),	то

ан	ан

ЛН(\У) = ---ГТ +-----1У'+”,

дхг	дуг

и

ш(А, РИ) =	- А'1+1 РИ1 + А2РУ'‘+2 - 4"+2РУ2 + • • • + А"РУ2,‘ - А2,‘РУ",

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых и получаем требуемое.

Известная из механики система уравнений Гамильтона на этом языке записыва-
ется так: (ж,^) = 7(с/Н(ж)) = 8§гас1 Н.

Существования симплектической структуры на многообразии М накладывает
ряд жестких ограничений на устройство М. Мы уже видели, что размерность М в
этом случае обязана быть четной. Приведем еще один результат такого типа.

Утверждение 6.9. Пусть М — замкнутое (т.е. компактное без края) симплек-
тическое многообразие размерности 2п. Тогда Н2(М) ф 0.

Доказательство. Пусть си — симплектическая структура на М. Покажем, что
форма си не точна (это и будет означать, что Н2(М) ф- 0). Действительно, если
си = да, то форма

Од. = си А • • • А си

к раз

также будет точной, так как Од. = д(а А си А • • • А си). Но тогда, по теореме Стокса,
интеграл от формы Оп по замкнутому многообразию М будет равен нулю, что не-
возможно, так как существенная компонента формы Оп нигде нс обращается в нуль.
Доказательство закончено.

Упражнение 6.4. Покажите, что каждое симплектическое многообразие ориенти-
руемо.

Упражнение 6.5. При каких п на сфере 52п можно задать симплектическую струк-
туру?

Отметим в заключение, что симплектические многообразия обладают следую-
щим важным свойством, позволяющим распространять любые рассуждения “из одной
точки” на целую окрестность.

Теорема 6.2 (Дарбу). В достаточно малой окрестности каждой точки симплек-
тического многообразия можно выбрать такие локальные координаты (х,у), что
симплектическая структура в них принимает вид дхг А дуг.
Лекция 7. Ковариантное дифференцирование

В предыдущем разделе мы построили теорию внешнего дифференциро-
вания для дифференциальных форм — кососимметричных тензорных
полей. Цель настоящего раздела -  построить общую теорию диффе-
ренцирования для произвольных тензорных полей.

Прежде всего отметим, что обычная операция взятия частных произ-
водных от компонент тензорного поля не является тензорной. А именно,
пусть Т — произвольный тензорное поле типа (р, д) на гладком много-
образии М. Рассмотрим соответствие, сопоставляющее локальным ко-

ординатам (а:1,... ,хп) набор величин — Пусть (;/•' ,... ,хп) -
другая система локальных координат на М. Ей, по определению, это
дТ^

соответствие сопоставляет набор величин — 1,, 4 . Воспользовавшись
дхк

тензорным законом для компонент тензора Т, получим:

_ д (тп..лрдх^	дхг? дхп	дх^ \

дхк' дхк' \ А---Л дх*1	дх'р дх:1'1	дх^'ч'

9хк дх1'1	дх*? дх^1	дх^

дхк дхк' дх’1	дх’? дх&	дх^'ч

пп..лр д /дх*1 дх*'? дх^
А---А дхк \ дх*1 дх*? дхз[

дх^ч
дх^'ч

Первое слагаемое — это в точности тензорный закон для рассматрива-
емого соответствия, а второе слагаемое, вообще говоря, не равно нулю.

Замечание. Отметим, что если замена координат линейная, то второе сла-
гаемое — нуль.

Однако, оказывается, операцию частного дифференцирования можно
слегка подправить так, что она станет тензорной.

7.1.	Евклидова связность

Мы начнем со случая евклидового пространства К". Зафиксируем в нем
глобальные евклидовы координаты (~х,... , г”)- Отметим, что возмож-
ность фиксировать глобальные координаты в Ж'1 лежит в основе нашей
конструкции. При построении операции дифференцирования тензорных
полей на Жп, которую мы обозначим через V, будем исходить из следу-
ющих соображений.

•	Операция V должна быть тензорной. Другими словами, если Т
тензорное поле типа (р, д), то результат дифференцирования АТ
должен быть тензорным полем типа (р, д + 1).
•	В евклидовых координатах (х1,... ,хп) компоненты (Х7Т)’* " ^+1
тензорного поля КТ должны совпадать с частными производными
Рур'11 • •гР

и±31"<3<1	гг

——-----компонент тензорного поля 1 .

ох3?*1

Результат применения операции V, т.е. тензорное поле 'ГТ. будем назы-
вать ковариантной производной тензорного поля Т (в евклидовой связ-
ности).

По определению, чтобы найти компоненты тензорного поля КТ в
произвольных координатах (ж1,... , хп ). следует перейти в евклидовы ко-
ординаты (з1,... , г”), там выполнить обычное частное дифференциро-
вание, а затем вернуться обратно. Проделаем это. Пусть Ть^"'ь р — ком-
поненты тензорного поля Т в (криволинейных) координатах (х1,... , хп).
Тогда его компоненты Т^''^ р в евклидовых координатах имеют вид

ТчС*!.. .ОСр

дха1

дха? дхЬ1 _ _ _ дхьч а1.„ар
дха» дх®1

Компоненты тензорного поля КТ в евклидовых координатах по опреде-
лению равны обычным частным производным:



73чХ

дха1
дха1

дх°‘‘‘ дхЬ1
дхар дх131

дхьч

” 0г^1ъ1...ь9 )

д

Последнее выражение удобно переписать в виде

а1...ар	7^Ь1...Ьд дхс\дха1	дх'*? дхЪ1	дхЬч

/31.../3,7	у дхс дх1) дха1	дха? дх>31	дх3ч ~*~

32з/01 дхс\дха2	дз1*' дхЬ1	дхьч

61-"6з \дха1дхс дх'1) дха-	дх°? дх31	дхдч

а1...ар 7 д2хЬ1 \дха1	дга? дхЬ2	дхЬч

\дх31дх'1 / дха1	дха? дх3’2	дх3ч

где многоточия обозначают слагаемые, отвечающие дифференцирова-
дха дхъ

нию других сомножителей вида —— и —-т по правилу Лейбница.
оха охр

Чтобы найти компоненты тензорного поля КТ в координатах (ж1,... .

вновь воспользуемся тензорным законом. Получим:

Ц...гр ^ОХ-_

'	'31"-З^к

дхг” дх131
дхар дх31

дх3ч дху

дхЗч дхк

^т)2::2

дГЧ ---Л	7,а1г2..Др д2^' дх{р _ _ тп..Лр д2хь' дх^ дз'1

дхк 31 31 дха1дх^ дха\ Ь132"3ч дх^^-дх'1 дх31 дхк.

Отметим, что в последнее выражение входят функции двух типов, вы-
деленные снизу фигурными скобками. Оказывается, впрочем, что на
самом деле это одна и та же функция.
Лемма 7.1. Имеет место равенство

&2х1 дга дД3 _ д~2а дхг
дгУдД дх3 дхк дх->дхк дха '

Доказательство. Действительно, продифференцировав очевидное ра-

Эх*

венство ————- — 3] по хк получим:

дха дх3 3

д2хг дД3 д;.г>	д$1 д2^а

'	дхк дх3 + дга дх3дхк ’

что и требовалось.

Положим

(Р

ГТ. =	?	—.	(*)

3'' дх->дхк дга

Тогда компоненты тензорного поля ТТ в координатах (ж1,... ,хп) пе-
репишутся в более компактном виде так:

4	/31--ДдгС

слгг1г1..Лр

71 •••7<?
дхк

I		 гтЛ1 ..Лр — 1 (1р тч$р

71 ’"3д	(11 к	71 •••7<? (1рк

гтЛ1 --Лр тч&1	ггЛ1‘>Лр тч&д

1	31к	271---7<г-1?><?1 7«^’

Отметим, что величины Г®*., определенныероотношением (*), не явля-
ются компонентами тензорного поля.

Лемма 7.2. Пусть (ж1,... ,.т") и (ж1 ,... ,хп ) — две криволинейных
системы координат в К”. Пусть

, _ д2Д* дхг .1 _ д2Д* дх1'

зк дхддхк д%а" и З'к' дх3'дхк' дга ’

где (Д,... ,Дг) евклидовы координаты в Жп. Тогда

, дх1 дх3 дхк д2х'3 дх1’

1'к'	дх-1 дх^1 дх).,1 + дх3' дхк' дх^ '

Доказательство. Действительно,

Г*'

1Т к’

д /д^хдх’ д /дга дх3 \дх1'
дхк' \дх3' / дга	дхк> \дх3 дх3' / дга

/ д2Д дхк дх3 дга д2х3 \ дх*'
\дх3дхк дхк' дх3' дх3 дх3'дхк' / 5г®
/ д2га дхг \ дхг' дх3 дхк дга д2х3 дх1
\дх3дхк дга / дх‘ дх3' дхк' + дх3 дх3' дхк' дга

дх1' дх3 дхД д2х3 дх1'

зк дх'1 дх3' дхк' + дх3' дхк' дх3 ’

что и требовалось.
Итак, нами получен следующий важный результат.

Теорема 7.1. На тензорных полях на К” существует тензорная опе-
рация V, ставящая в соответствие каждому тензорному полю Т типа
(р, у) тензорное поле Х?Т типа (р, д+1) и обладающая следующими свой-
ствами.

•	В евклидовых координатах (г1,... ,хп) операция V совпадает с
обычным частным дифференцированием, т.е. если Т^''Лр — ком-
поненты поля Т в евклидовых координатах, то в евклидовых ко-

---...гР

ординатах компоненты	тензора ЧТ имеют вид

ЧТ

$1 • •.$р

__	(гтЛ1...1р

~ дяк 'м-Зя

•	В произвольных криволинейных координатах (ж1,... ,хп) компо-
ненты тензоров Т и ЧТ связаны так:

/гу /7п\Й ..Лр _	71 •••7д  грй-1 ?2 ..Лр тч$1 ।	 /тпЙ ..Лр — 1 (1р ~гЛр

'71...7^ — дхк	Га1к^	271-7«	1 арк

гг!^!	р7>1	гт1^1...^р	р^<д

^172 •••7д 71 к	71 •••7д — 1Ьд Здк^

где Г)й — гладкие функции на К", соответствующие системе ло-
кальных координат (ж1,... ,хп), и определенные соотношениями

. д2ла дх1

>к = дх>дхк

• Соответствие

Г:^,...,хп)ец{Г}к},

сопоставляющее координатам (ж1,... ,хп) набор функций Г)7. не
является тензорным полем. Функции Г*-4 при замене координат
преобразуются по правилу

рг' _ рг ^Х'' ®хк	^Х^

йк' ]к дх1 дх1;1 + дх^' дхк> дхд ’

где — набор функций, соответствующих криволинейным ко-
ординатам (ж1 ,... , хп ).

Итак, нами доказана теорема существования тензорной операции
дифференцирования в Ж”. Отметим, что мы существенно использовали
наличие в К" выделенной — евклидовой системы координат, в которых
операция дифференцирования по нашему определению должна была вы-
глядеть особенно просто.

Прежде чем переходить к общему случаю, условимся о терминологии
и обозначениях. Компоненту (Х7Т)*’ тензора \'Т принято обозна-
чать или через ^7^'или, особенно в физической литературе, через
Т*1 "}Рд-к' Функции Г*д. называются символами Кристоффеля евклидо-
вой связности в координатах (ж1,... ,хп), а их закон преобразования,
установленный в лемме 7.2, — законом преобразования символов Кри-
стоффеля.

7.2, Аффинные связности

Пусть теперь М — произвольное гладкое многообразие.

Определение. Говорят, что на многообразии М задана аффинная связ-
ность Г, если задано соответствие, сопоставляющее каждым локальным
координатам (ж1,... , ж”) в окрестности произвольной точки Р из М на-
бор гладких функций Г^^1,    , ж’1). При этом, если (ж1 ,... ,хп ) —
другие локальные координаты в окрестности точки Р, то соответству-
ющие им функции Г*ц,, связаны с функциями Г'7_. по следующему закону

< дх*' дх-1 дхк д2х-> дхг'

1'к'	./к дх1	дх^' дХк' дх->

Функции Г*д. называются символами Кристоффеля аффинной связности
Г, или ее компонентами в координатах (ж1,... ,хп).

Если на многообразии М задана аффинная связность Г, то на тензор-
ных полях на многообразии М определена операция V ковариантного
дифференцирования относительно аффинной связности Г. А именно,
если Т произвольное тензорное поле типа (р, д), то его ковариантной
производной в связности Г называется тензорное поле КТ, компоненты
которого в произвольных координатах (ж1,... , хп) вычисляются так:

• • Лр

/гугг1\^1 • • Лр  	71 • •	 грИ1 7-2"Лр	. 'Т1^ ’’'^Р~ 1 ’Г'Ъ’  

VУ 1 Ф1.-йчк ~	дхк	' -Ч1--К 1 агк "г ' ’ ’ "г 1	1 арк ~

гтпй...1р 'Г'&1	/тпЦ-.-^р

&Ы2* .]•! 31к	Зд...Зд—1Ъд Здк

Замечание. Пока, вообще говоря, не откуда не вытекает, что на произволь-
ном гладком многообразии М можно ввести хотя бы одну аффинную связ-
ность.

Пример. Пусть М = В". Тогда построенное нами в предыдущем пункте
соответствие, сопоставляющее произвольным координатам в К" соответству-
ющие символы Кристоффеля евклидовой связности, является, как следует из
леммы 7.2, аффинной связностью на многообразии К" .
Пример. Пусть М — регулярная гиперповерхность в Р."1 1. В прошлом се-
местре мы вывели деривационные формулы Гаусса Вейнгартена и определили
ковариантное дифференцирование векторных полей на М. При этом на по-
верхности М возникли символы Кристоффеля, которые, напомним, в коорди-
натах (и1,... .и"} явно записывались через первую фундаментальную форму
(р^) так:

-рг   га (^9за  &9ка   ^9} к \
,к ~ 29 \ дик ди' диа )'

Несложные, хотя и громоздкие, вычисления показывают, что соответствие,
сопоставляющее координг.там (м1,... , мп) набор функций Г‘ь, является аф-
финной связностью на многообразии М.

Пусть М — произвольное гладкое многообразие с аффинной связно-
стью Г. Рассмотрим соответствие П, сопоставляющее каждой локальной
системе координат 'Д ... , хп) набор чисел 0*^, = Г*^ — Гд. .

Лемма 7.3. В сделанных выше обозначениях, соответствие П задает
на многообразии М тензорное поле типа (1,2).

Доказательство, Действительно, это немедленно вытекает из того, что
нетензорная добавка в законе преобразований символов Кристоффеля
симметрична по нижним индексам. Лемма доказана.

Тензорное поле О называется тензором кручения аффинной связно-
сти Г. Связность Г называется симметричной, если ее тензор кручения
равен нулю.

Пример. Евклидова связность на пространстве К" является симметричной,
так как ее символы Кристоффеля могут быть записаны з виде

, _ д2ха дД
зк д:)''дхк дг"'

симметричном по нижним индексам у и к. Произвольная связность, отметим,
вовсе не обязана быть симметричной.

Упражнение 7.1. Проверить симметричность аффинной связности построенной выше
на гиперповерхности М С Кп+1.

7.3.	Ковариантная производная по направлению

Пусть Т — тензорное поле типа (р, <?), и А' — векторное поле, т.е. тен-
зорное поле типа (1,0) на многообразии М.

Определение. Ковариантной производной VХТ поля Т вдоль вектор-
ного поля X называется следующее тензорное поле типа (/>,</):

ХхТ = С1+1(Х®ХТ).
Пусть (.г1,... , хп) — локальные координаты на многообразии М. То-
гда, по определению, компоненты тензорного поля \7хТ могут быть за-
писаны в виде

где .(А'1,... , А”) — компоненты поля А' в координатах (ж1,... ,хп). В
частности, если поле А совпадает с вектором дхк канонического базиса,
то

Операция дифференпирования Vо к вдоль векторного поля дхъ называ-
ется ковариантным дифференцированием по к-ой координате и обозна-
чается обычно для краткости просто через А/,.. В этих обозначениях ко-
вариантное дифференцирование вдоль векторного поля А' можно пред-
ставить в локальных координатах (ж1,... , ж”) в виде

Ах = Хк\7к.

Определение ковариантной производной вдоль векторного поля по-
зволяет дать естественную интерпретацию символов Кристоффеля аф-
финной связности.

Лемма 7.4. Пусть (ж1,... , ж") — произвольные локальные координаты
на гладком многообразии М с аффинной связностью Г. Тогда

\7дх,дх] =ТТдха.

Доказательство. Действительно, запишем ковариантную производную
векторного поля дХ1 вдоль поля д,.-. По определению получим:

= (дх^а(дх1)к = (дх.)а(^(дх;)к + гка(дх^).

Поскольку координаты (5^)^ базисного вектора постоянны и равны
получаем

откуда и вытекает требуемое. Лемма доказана.

Пусть у — произвольная гладкая кривая на многообразии А/. Тогда
ковариантной производной \ДТ тензорного поля Т вдоль у называ-
ется ковариантная производная поля Т вдоль вектора скорости 7' кри-
вой 7. Если (ж1,... , ж”) — произвольная локальная система координат, и
ж* = ж*(2) — координатное представление кривой 7, то, по определению,
компоненты тензорного поля УуТ вычисляются так:

(Г7 гт\\г±..Лр _____ у~ фг1---гр ___________

I ———

\дха '

_ грЦ--

~ сП Л -

+ слагаемые с символами Кристоффеля) =

Ч—(слагаемые с символами Кристоффеля).

Из полученной формулы вытекает следующий факт.

Лемма 7.5. Ковариантная производная тензорного поля Т вдоль кри-
вой у зависит только от значения поля Т на кривой у.

.Замечание. Чтобы вычислить обычную ковариантную производную в неко-
торой точке следует знать значение тензорного поля в некоторой открытой
окрестности этой точки. Поэтому, с формальной точки зрения, если тензор-
ное поле Т задано только в точках кривой у, то производная К - Т не опреде-
лена, так как не определена производная КТ, входящая в определение произ-
водной по направлению. Чтобы выйти из этого затруднительного положения,
поступают следующим образом. Пусть Р = у(^о) произвольная точка на
кривой у. Продолжим поле Т, заданное вдоль кривой, на малую окрестность
I/ точки Р в многообразии, т.е. построим поле Т, определенное в окрестности
I/ и совпадающее с Т в точках кривой. Ясно, что такое продолжение суще-
ствует (докажите!). Определим ковариантную производную КрТ^Р) поля Т
вдоль у, положив

Г7/Т = Г7/Т.

Стоящее справа выражение корректно определено, а из леммы 7.5 вытекает,
что оно не зависит от продолжения Т поля Т за пределы кривой у. В дальней-
шем мы будем ковариантно дифференцировать вдоль кривых тензорные поля
определенные только вдоль этих кривых без специальных оговорок.

Замечание. Значение ковариантной производной тензорного поля вдоль кри-
вой у, вообще говоря, зависит от параметризации кривой. Действительно,
пусть у: [а,6] —> М — гладкая кривая на многообразии М. и т: [с,</]	[а,6]

— замена параметризации (т.е. некоторый диффеоморфизм отрезков). Обо-
значим через I € [а, 4] параметр кривой у, через у = у о т — кривую получен-
ную из у заменой параметра, и через в € [с, </] — параметр кривой у. Пусть
(ж1,... ,ф”) - локальные координаты, и г‘(0 - координатное представление
кривой у. Тогда координатное представление жг(«) имеет вид х'(з) = х' (т(з)}.
Поэтому для произвольного тензорного поля Т имеем:

VЙ7/ЙЗТ = -р-КаТ =

д,ха сП
дд дз

дз

Итак, доказана следующая лемма.

Лемма 7.6. При замене параметра I = т(в) кривой ковариантная про-
изводная вдоль кривой умножается на производную дт/дз.
7.4.	Евклидовы координаты для связности

При определении евклидовой связности мы пользовались наличием на
пространстве К” «хороших» координат.

Определение. Пусть М - гладкое многообразие с аффинной связно-
стью Г. Локальные координаты (а:1,... ,хп) на М называются евклидо-
выми для связности Г, если символы Кристоффеля связности Г в коор-
динатах (да1,... ,хп) тождественно равны нулю в области определения
этих координат.

Например, если М = В", иГ — евклидова связность, то стандарт-
ные евклидовы координаты {г1,... в К” являются, по определению
евклидовой связности, евклидовыми для связности Г. Отметим, что ев-
клидовы координаты для связности Г могут и не существовать.

Замечание. Пусть М — гладкое многообразие и Г — несимметричная связ-
ность на М. Тогда для связности Г не существует евклидовых координат.
Действительно, если (а?1,... .хп) — евклидовы координаты связности Г, то
в этих координатах тензор кручения связности Г тождественно равен нулю.
Но тогда тензор кручения равен нулю в любых координатах, что означает
симметричность связности Г. Противоречие. Таким образом, необходимым
условием существования евклидовых координат для аффинной связности явля-
ется ее симметричность.

Задачи

Задача 7.1. Чему равны символы Кристоффеля евклидовой связности в евклидовой
системе координат?

Задача 7.2. Выписать формулы для компонент тензора Х7Т в случае, когда Т явля-
ется вектором, ковектором, линейным оператором, билинейной формой.

Задача 7.3. Пусть М — гладкое многообразие с аффинной связностью Г, и 5 —
тензорное поле типа (1,1), компоненты которого в координатах (ж1,... ,хп) имеют
вид <5* (символы Кронекера). Вычислить Х7^^.

Задача 7.4. Пусть М = Кп. Рассмотрим в Кп произвольные криволинейные коор-
динаты (ж1,... ,хп) и сопоставим им набор гладких функций {Г**,}. Каждой другой
системе координат (ж1 ,... , жп ) наКп сопоставим набор функций {Гу*.,}, вычислен-
ных в соответствии с законом изменения символов Кристоффеля при замене коорди-
нат:

рг дхг> дх3 дхк д2х3 дхг>
з'к' зк &хг дхк>	дхк' дхз

Проверить, что построенное соответствие задает аффинную связность на Кп, т.е.
если {Г*,,*.,,} — набор функций, сопоставленный системе координат (ж1 ,... ,х,п ),
то справедливо равенство

рг" _ рг'	®х3' ®хк' д2Х^ дхг" 7

з"к" з>к' дхг' дх3" ^к" + дхЗ" дхк" дхз'

Другими словами, закон преобразования символов Кристоффеля при замене коорди-
нат является транзитивным?
Задача 7.5. Пусть М — гладкое многообразие с аффинной связностью 1', и Т —
произвольное тензорное поле на М типа (1,2). Сопоставим каждой системе коорди-
нат (ж1,... ,хп) набор функций {Г’^, + р\}- Проверить, что в результате получится
некоторая аффинная связность на М.

Задача 7.6- Привести пример несимметричной связности на К".

Задача 7.7. Пусть ы 6 С1к(М) — внешняя форма степени к на многообразии М, а
Г — симметричная аффинная связность на М. Как связаны тензорные поля А(Уш)
и

Дополнительный материал

7.1. Транзитивность закона преобразования символов Кристоффеля. Рас-
смотрим в М = Р" произвольные криволинейные координаты (ж1,... , ж") и со-
поставим Км набор гладких функций {Г®*,}. Каждой другой системе координат
(ж1 ,... , ж” ) на К” сопоставим набор функций }, вычисленных в соответствии
с законом изменения символов Кристоффеля при замене координат:

дх1' сЯс3 дхк д2х3 дх1'

З'к' зк дх1 д±3' 8хк'	дхз'дхк' дх3

Проверим, что построенное нами соответствие задает аффинную связность на К”,
т.е. если } — набор функций, сопоставленный системе координат (ж1 ,... ,х" ),
а именно,
ц	дх1" дх3 дхк д2х3 дх1"

3"к" зк Эх3" дД." “1“ дх3" дхк" Эх3
то справедливо ли равенство

//	/ дх'" дх3' дхк' д2х3' дх'"

з"к" з'к' д^г1 дхз" дхк" + дхз" дхк" дхз'

Действительно,

и	дх1" дх3 дхк д2х3 дх'" дх'" дх'’ дх3 дх3' дхк дхк'

гг = р_____________________I______________— Р________________________________I-

з"к" зк дхг Эх3" дхк" дх3"дхк" дх3 :к дх1' дх‘ дх3' дх3" дхк' дхк"

д ( дх3 дх3' \ дх'" дх1'	дх1' дх3 дхк \ дх'" дх3' дхк'

дхк" \дх3' дх3" ) дх1' дх3 \ 3>'' дх' Эх3' дхк' ) дх1' дх3" дхк"

(д2х3	дхк' дх3'	дх3	д2х3' \	дх‘"	Эх1'

дх3'дхк' дхк" дх3"	дх3'	дх3"дхк" )	дх''	дх3

_ / , дх''	Эх3 дхк	д'2*1	дх'' \ дх'"	дх3'	дхк'

\ зк дх‘	дх3' дхк' дх3'дхк'	дх3 ) дх''	дх3"	дхк"

дх3 д2х3' дх'" дх‘‘ _ дх'" дх3' дхк' д2х3' дх'"

+ дх3' дх3"дхк" дх1' дх3 З'к' дх'’ Ъх3" дхк" дх3"дхк" дх3'

Пример. Пусть на многообразии М имеются глобальные координаты (х1,... ,«”).
Сопоставим им набор символов Кристоффеля тождественно равный нулю. Для
построенной связности выделенные координаты (г1,... ,гп) будут евклидовыми. Срав-
ните описанную конструкцию со случаем евклидового пространства.

Упражнение 7.2. Какие еще бывают транзитивные законы преобразования, кроме
тензорного и закона символов Кристоффеля?
Лекция 8. Свойства ковариантного
дифференцирования

В данной лекции мы продолжим изучение ковариантного дифференци-
рования, а также построим важный пример аффинной связности — ри-
манову связность.

8.1.	Алгебраические свойства ковариантного диффе-
ренцирования

Перечислим простейшие свойства операции ковариантного дифференци-
рования.

Утверждение 8.1. Пусть М — гладкое многообразие, Г — аффинная
связность на нем, Р Е М некоторая его точка, и X — произвольное
векторное поле, заданное в окрестности точки Р. Тогда операция
ковариантного дифференцирования в аффинной связности Г обладает
следующими свойствами.

1)	Результат ХТ применения операции ковариантного дифференци-
рования к тензорному полю Т типа (р, у) является тензорным
полем типа (р.у + 1). Результат ХхТ применения операции ко-
вариантного дифференцирования по направлению векторного поля
X к тензорному полю Т типа (р, д) является тензорным полем
того же типа (р, у).

2)	Операция V линейна: для любых постоянных а и (3 и тензорных
полей Т и 8 типа (р, </) имеют место равенства Х(аТ + (38) =
аХТ + [ЗХ8, и Хх(аТ + /38) = аХхТ + /ЗХх8.

3)	Результат применения операции X к функции / совпадает с диф-
ференциалом этой функции: Xф = дф; в локальных координатах
дф

(ж1,... ,хп) имеем: Хф — -Х—Г(1хк. Результат применения опера-
охк

ции Хх к функции ф совпадает с производной этой функции по
направлению поля X: Ххф = дб(ф) = дф(Х).

4)	Операция Хх удовлетворяет правилу Лейбница, а именно, для лю-
бых тензорных полей Т типа фр, д) и 8 типа (г, §) имеет место
равенство:

Хх(Т ®8) = (ХхТ) ©8 + Т® (Хх8),

в частности, в локальных координатах:

г-7	"Лр ...аг\ _ /г-7 гг!^1 ^Лр \ (уоц ...аг , ггПл  • Лр
5)	Операция^/ перестановочна с операцией свертки: еслиТ тен-
зорное поле типа (р,д), то для любых а и Ь таких, что 1 < а < р
и 1 <Ъ < ср выполнено

и Х7хСЦТ)^Саь(ухТ).

Доказательство. Свойство (1) следует из закона преобразования симво-
лов Кристоффеля, который специально был подобран нами так, чтобы
ковариантное дифференцирование было тензорной операцией. Прове-
сти соответствующую выкладку оставляется в качестве обязательного
упражнения (эта выкладка, фактически, была проделана в предыдущей
лекции при построении евклидовой связности). Свойства (2) и (3) не-
медленно вытекают из определения ковариантного дифференцирования.

Доказательство свойства (4) мы проведем для случая тензоров типа
(1,1), оставляя более громоздкий общий случай в качестве упражнения.
Итак, пусть ТЙ и — компоненты тензорных полей Т и 8 типа (1,1)
в локальных координатах (ж1,... и Р^& = Тд8^ - компоненты
их тензорного произведения. Тогда, по определению операции ковари-
антного дифференцирования, в координатах (ж1,... ,хп) имеем:

дрй ъ

гт рй«2 _	7172	। ра$2 рЛ । рлар«2 _ рЛЛра ___ рЛЛрл _

1112 дхк "Г 1112 ак "Г 111г ак ар2 цк ца г )2к

дЛ . дЗ? .	....................

_ Л 02 I 12 I I уа С^2Г^1	'Т'Л Сг2ГЛ р1 02Га  
— дхк + дхк ++111 Й1 ак+1ц ‘-’121 ак 1а^р>~рк 1цг>а>-рк~

 /дТЙ	х /<Э5’2	х

_ СЛ /	71 । таги _ гр^-ра \ । грц I 72 , са р$2 _	। _
^Л\^хк 1 Л*~ ак 1 а 1 лк} "г- 1 л	^~^лГак ^аклк)

что и требовалось.

Докажем теперь свойство (5). Для простоты, приведем соответству-
ющую выкладку для случая тензорного поля Т типа (2,2) и свертки
С/,. Пусть (ж1,... , ж”) — некоторые локальные координаты, и —
компоненты тензорного поля Т в этих координатах. Сначала возьмем
тензорное поле О^СП, компоненты которого имеют вид и ковари-
антно продифференцируем. Компоненты получающегося в результате
тензорного поля типа (1,2) имеют вид:

^/р/3$2

^(^т)11 = ~^Г + ТрТак - т0а^к.

С другой стороны, если мы сначала ковариантно продифференцируем
тензорное поле Т, а затем возьмем свертку, то компоненты полученного
тензора будут иметь вид:

дрД-

/~<1/г7Т,П2 _ V" Щ0*2_11/1 ,	,тратл12 гт,рг2тла гпр12т^а

1 ) 114, — * к1	' 1 .)< .> ак '	ак 1 ар 1 ]1к 1 ра*-/Зк'
Легко видеть, что последнее выражение совпадает с предыдущим. В
общем случае выкладка аналогична: слагаемые, соответствующие сво-
рачиваем индексам, сокращаются. Доказательство утверждения закон-
чено.

Замечание. Иногда полезно записать правило Лейбница для ковариантного
дифференцирования, не прибегая ни к координатам, ни к производной по на-
правлению. Отметим, однако, что соотношение \7(Т ® 5) = (уТ)®8+ Т®\75
места не имеет, так как нижний: индекс, появляющийся при дифференцирова-
нии , расположен у первого и второго слагаемых в разных положениях. Верное
равенство выглядит так:

V(Т®5) = я(^Т)®5) + Т®Т5.

где тг — перестановка, ставящая (у + 1)-ый индекс на последнее место (здесь
Т — тензор типа (р,ц)).

8.2.	«Единственность» операции тензорного дифферен-
цирования

Оказывается, свойства (1)-(5) из утверждения 8.1 в однозначно опреде-
ляют «тензорное» дифференцирование тензорных полей любого типа на
многообразии как ковариантное дифференцирование в некоторой аф-
финной связности. А именно, имеет место следующий результат.

Теорема 8.1. Пусть М — гладкое многообразие. Пусть на тензорных
полях на М определена операция V, удовлетворяющая свойствам (1)-
(5) из утверждения 8.1:

1)	Результат \7Т применения операции V « тензорному полю ТТ
типа (р,д) является гпензорным полем типа (р,у + 1).

2)	Операция V линейна.

3)	Результат применения операции V к скалярной функции ф совпа-
дает с дифференциалом этой функции.

4)	Операция V удовлетворяет правилу Лейбница:

ЩТ&З)^ (Х7Т & 3) + Т 0 Х75,

где л перестановка, ставящая (</ + 1)-ый индекс на последнее
место [здесь Т — тензор типа (р,д)).

5)	Операция V перестановочна с операцией свертки.

Тогда на М существует такая аффинная связность, что операция
V совпадает с операцией ковариантного дифференцирования относи-
тельно этой связности.
Доказательство. Нам нужно построить на многообразии М аффинную
связность. Для этого мы рассмотрим произвольную систему (х1,... , хп)
локальных координат на Л/, заданную в окрестности V, возьмем вектор
дхг из канонического базиса и продифференцируем с помощью имею-
щейся у нас операции V векторное поле <?,.<, определенное в Г/. В ре-
зультате у нас, по определению, получится тензорное поле типа (1,1),
которое в каждой точке окрестности С можно разложить по элементам
® й.х13 канонического базиса пространства тензоров Т}. В итоге по-
лучим:

= Г“3 дх« ©> Фх13,

где через обозначены гладко зависящие от (х1,... ,х”) коэффици-
енты этого разложения, определенные в окрестности II.

Пусть теперь в окрестности И имеются другие локальные коорди-
наты, которые мы обозначим через (х1 ,... , хп ). Тогда в И соотноше-
ния

определяют другую систему гладких функций Г“'/3,. Найдем связь между
Г“/3, и Г“3. В силу свойств (3) и (4) операции V, получим:

/ \ / \

, =щ-,аг.) = у(—-) ©аж. + — ,ъаг. =

Л \дхг ) \дхг ) дх‘



(здесь мы воспользовались, во-первых, тем, что если второй сомножи-
тель в тензорном произведении Т не имеет нижних индексов, то пе-
рестановка л из правила Лейбница (4) — тривиальна, и, во вторых, ком-
мутативностью тензорного произведения вектора и ковектора: V ® € =

® V для любых V € и € Т°).

С другой стороны,



поэтому можно приравнять коэффициенты при одинаковых базисных
элементах:

< дха дх3' _ д / дха \	дхг

г'3' дха' дх3 дх13 \дх'' /	дх'' г13’

Перенося матрицы Якоби в одну сторону, получим:

'	дха' дх13 д /дха\ дха> дх13 дх1

г'3'	дха дх13' дх13 \дхг' / * дха дх13' дхг' г3
Поэтому, окончательно,

» _ дха' д2ха	дха' дх1 дх3 а

г'0' дха дх1' дхб' + дха дх1' дхЕ ]1'

Но последнее выражение это в точности закон преобразования сим-
волов Кристоффеля аффинной связности. Итак, доказана следующая
лемма.

Лемма 8.1. В сделанных предположениях, соответствие, сопоставля-
ющее каждым локальным координатам (ж1,... ,хп) набор функций Г^,
определенных из соотношений

^дхг — Г“? дхс ® Фг'7,

задает на многообразии М некоторую аффинную связность.

Теперь, после того как мы построили по операции V аффинную связ-
ность на М, доказательство утверждения сводится к проверке того,
что результат применения операции V к произвольному тензорному
полю совпадает с результатом ковариантного дифференцирования этого
тензорного поля относительно построенной аффинной связности. Это
можно сделать в три этапа.

1.	Случай векторного поля. Пусть Т — произвольное векторное
поле на М. Тогда в локальных координатах (а:1,... , хп) поле Т предста-
вимо в виде Тгдх,. Тогда

77' = 7(Г%.) = 7Г’«>аж. + Т^дх. =
у	«V /	(V	О/

(утч	/ ВТ*	\

= -^дх. о + т1т^дха ® дх>3 = —? + ткгк1Лдх.

СМ#	р	УОХ"	)

Но это в точности означает, что тензорное поле 7Т совпадает с тензор-
ным полем, полученным ковариантным дифференцированием поля Т в
построенной нами аффинной связности Г.

2.	Случай ковекторного поля. Пусть теперь 8 — произвольное
ковекторное поле. Рассмотрим на многообразии М локальные коорди-
наты (ж1,... ,хп), и построим скалярную функцию, свернув ковектор 8 с
координатным векторным полем дх1. Эта скалярная функция, очевидно,
равна »-ой компоненте 8г ковектора 8 в координатах (ж1,... ,хп). Тогда,
в силу свойства (3) операции V имеем:

7(сНе®ад) = 7& = |^ад.

С другой стороны, в силу свойств (4) и (5) выражение слева можно пе-
реписать так:

V (с* (8 ® дхф) = (V (е ® ад) = С11 (7е ® ад + с} (е ® \?дх<) =
= С3 (^8)а1здха ®	® дхг) + {8кЛхк ® Г*13дха ® ад).
Выполнив операцию свертки, получим:

7(С11(е ® дх<)) =

Итак,

откуда

Таким образом, тензорное поле совпадает с результатом ковариант-
ного дифференцирования ковекторного поля относительно построен-
ной аффинной связности. В частности, если 4 = Лх' - базисный ковек-
тор, то

= -Га/3йаЛ ® <1Ф'.

3.	Общий случай. Для завершения доказательства утверждения
остаюсь убедиться в том, что результат применения операции V к про-
извольному тензорному полю типа (р, ф) совпадает с результатом ко-
вариантного дифференцирования этого поля относительно построенной
аффинной связности. Для этого достаточно представить тензорное поле
Т в карте с координатами (ж1,... ,хп) в виде

Т — Т-Уфд ч й < • • ® д <р ® Фх^1 ©•••{$ фхУ,

и воспользоваться правилом Лейбница и уже известным нам видом опе-
рации V на векторах и ковекторах. Мы оставляем соответствующую
выкладку в качестве обязательного упражнения. Теорема доказана.

Замечание. Теорему 8.1 можно рассматривать как некую теорему единствен-
ности тензорного дифференцирования. Фактически, она означает, что слож-
ные и громоздкие свойства аффинной связности на самом деле вытекают из
простых естественных предположений о свойствах (1)-(5) операций тензор-
ного дифференцирования. Попросту говоря, если хотим эти простые свой-
ства, значит, волей-неволей получаем некоторую аффинную связность, сим-
волы Кристоффеля и т.д. Подчеркнем однако, что аффинных связностей на
каждом гладком многообразии много. Поэтому в заголовке данного пункта
слово «единственность» стоит в кавычках.

8.3.	Риманова связность

Аффинная связность на гладком многообразии это некоторая до-
полнительная структура, которая, вообще говоря, никак не связана с
другими структурами, возможно имеющимися на этом многообразии,
такими например, как риманова метрика. Тем не менее, оказывается,
что наличие метрики позволяет среди широкого класса аффинных связ-
ностей на многообразии выделить одну, которая, в некотором смысле,
лучше всего ведет себя по отношению к метрике.
Определение. Пусть М - - риманово многообразие с римановой метри-
кой д. Аффинная связность Г на М называется согласованной с метри-
кой д, если ковариантная производная тензорного поля д относительно
этой связности равна нулю: V# = 0. Симметричная согласованная с
метрикой аффинная связность называется римановой.

Теорема 8.2. Пусть М — риманово многообразие с метрикой д. То-
гда на М существует единственная риманова связность. Если на М
фиксированы произвольные локальные координаты (ж1,... ,хп), то сим-
волы Кристоффеля римановой связности могут быть вычислены так:

г* = -Да (।	_ дд^к \

2	\ дхк дх-> дха /

Доказательство. Докажем сначала единственность римановой связно-
сти. Для этого предположим, что Г — риманова связность, и вычислим
ее символы Кристоффеля в локальных координатах (ж1,... , хп), исходя
из равенства Кд = 0 и симметричности связности Г. Последнее условие
в локальных координатах переписывается в виде

-^-=даД?к+дга^к.

Фиксировав произвольную тройку индексов (г,д, к), запишем систему
уравнений, получающуюся из предыдущего равенства циклической пе-
рестановкой индексов:

Эд^
дхк
^9) к
дх1
дды
дхд

9аДДк+д<аГ°к

дак^+дщГ^

Га 1

кд Ука*- ц-

Сложим первое и третье уравнения и вычтем из них второе. Тогда, так
как = ГС в силу симметрии римановой связности, получим в итоге
равенство

®9ц _ &9зк Эдк1 _
дхк дх1	га

справедливое для любых индексов (г,у, к). Таким образом, для каждой
пары фиксированных индексов (_/, к) и каждого индекса г, 1 < г < п, мы
имеем линейное уравнение на неизвестный вектор (Г|^,... , Г’Д, Эти
уравнения объединяются в систему линейных уравнений, причем ма-
трица этой линейной системы — это невырожденная матрица {дт) ри-
мановой метрики. Решая эту систему, т.е. умножая на матрицу {да^)
обратную к {дга), получаем требуемое равенство. Итак, мы доказали,
что если риманова связность существует, то ее компоненты однозначно
вычисляются в локальных координатах через компоненты метрики, по-
этому риманова связность единственна.

Докажем теперь существование римановой связности. Для этого со-
поставим каждой локальной системе координат (ф1,... , хп) на М набор
величин Г*д., имеющих вид

г* —	(дд*а ।	_ дд^к \

*к 2" \ дхк дх* дха)'

Эти величины, очевидно, симметричны по нижним индексам. Поэтому,
в силу транзитивности закона преобразования символов Кристоффеля,
в каждой карте мы, тем самым, задачи некоторую симметричную связ-
ность. Более того, каждая построенная связность является римановой,
так как V# — 0 в силу выбора символов Кристоффеля. Осталось прове-
рить, что связности из разных карт согласованы, т.е. связаны по закону
преобразования символов Кристоффеля.

Пусть (ж1 ,... , ж” ) и (ж1,... .жп) — системы локальных координат
двух пересекающихся карт К' и II соответственно. Рассмотрим в пе-
ресечении II Г\ II1 две системы функций от координат (ж1,... , ж”): ком-
поненты {Г}&} римановой связности, построенной нами в карте /7, и
функции

•	дхг дх* дхк' д2х*' дхг

*к *'к' дхг' дх* дхк + дх^дх^дх*1'

пересчитанные из компонент {Гу.*,} римановой связности, построенной
нами в карте II', по правилам преобразования символов Кристоффеля.
Но так как соотношение V# = 0 является тензорным, оно справедливо
в области II П II' как в координатах (ж1,... , жп), так и в координатах
(ж1 ,... ,ж” ), откуда вытекает, что функции А’д, являются компонен-
тами римановой связности в координатах (ж1,... , ж”), и, в силу уже
доказанной единственности, совпадают с Г*-*., что и требовалось. Утвер-
ждение доказано.

Замечание. В дальнейшем, говоря о ковариантном дифференцировании на
римановом многообразии мы всегда, если не оговорено противное, будем иметь
ввиду ковариантное дифференцирование относительно римановой связности.

Пример. Пусть М — К" и (г1,... , г”) — евклидовы координаты. Компо-
ненты евклидовой метрики в них постоянны и равны <5Ч. Поэтому компоненты
символов Кристоффеля соответствующей римановой связности в координатах
(г1,... , гп) равны нулю. Из формул преобразования компонент символов Кри-
стоффеля вытекает, что построенная связность совпадает с уже известной нам
евклидовой связностью в Т?''.
Пример. Пусть Мп С И"1 1 — регулярная гиперповерхность в й'г| 1. Для
касательных векторных полей на М определим операцию ковариантного диф-
ференцирования по г-ои координате на поверхности так:

где X — касательное векторное поле, и через (-)т обозначена операция ор-
тогонального проецирования на касательную плоскость к поверхности. Из
материала прошлого семестра (деривационные формулы) вытекает, что эта
операция является ковариантным дифференцированием относительно рима-
новой связности, порожденной на поверхности М индуцированной метрикой
(т.е. первой квадратичной формой).

В дальнейшем нам также будет полезно следующее утверждение.

Лемма 8.2. Пусть X, У и 2 — произвольные векторные поля на рима-
новом многообразии М, и V — ковариант,ное дифференцирование от-
носительно римановой связности на М. Тогда

Ух (У, 2} = (УХУ, 2} + (У, Ух 2ф

Доказательство, Действительно, если (аг1,... , хп) — произвольные ло-
кальные координаты, то

Ух (УЛ) = ХкХк{дцУ*&}.

Воспользовавшись формулой Лейбница, получим

Ух (У, 2) = Хк{Худ,ДТ /У 4- ХфДРХ' + дцУХу/ф}.

Первое слагаемое в этой сумме равно нулю в силу согласованности связ-
ности Г с метрикой, поэтому окончательно:

Ух(У, 2} = д^ (А^У.У’) Л + дцУ\ХкУк2^ = (УХУ, 2} + (У, Хх2)

Лемма доказана.

Из теоремы 8.2 и теоремы Уитни вытекает следующий важны)’ ре-
зультат.

Теорема 8.3. Пусть М произвольное {компактное} гладкое много-
образие. Тогда на М существует аффинная связность.

Доказательство. Действительно, с помощью теоремы Уитни многообра-
зие М можно вложить в для подходящего IV. Тогда многообразие М
можно превратить в риманово, введя на нем индуцированную из Кл' ме-
трику. Но теперь, воспользовавшись теоремой 8.2, можно ввести на М
риманову связность, которая, конечно, является аффинной связностью.
Теорема доказана.
8А. Евклидовы координаты для метрики

В предыдущей лекции мы определили евклидовы координаты на много-
образии в терминах аффинной связности. На римановом многообразии
это можно сделать с помощью римановой метрики.

Определение. Пусть М — риманово многообразие с метрикой д. Ло-
кальные координаты (ж1,... ,хп) на М называются евклидовыми отно-
сительно метрики д, если в этих координатах компоненты метрики д
постоянны.

Ясно, что если (я1,... , хп) — евклидовы координаты на М, то от них
линейной заменой можно перейти к координатам, в которых компоненты
метрического тензора равны 5ц.

Утверждение 8.2. Система координат (ж1,... , жп) на римановом мно-
гообразии М с метрикой д является евклидовой относительно метрики
д, если и только если она является евклидовой относительно римано-
вой связности Г на многообразии М.

Доказательство. Действительно, из явного вида символов Кристоф-
феля римановой связности вытекает, что если координаты (ж1,... , ж”)
евклидовы для метрики, то символы Кристоффеля в этих координатах
тождественно равны нулю, так как компоненты метрического тензора в
координатах (ж1,... , ж”) постоянны. Обратно, если Г’дДж1,... , ж”) = 0,
то условие римановости связности Г записывается в виде

= & = °’

что означает постоянность компонент метрического тензора в коорди
натах (ж1,... , ж”). Утверждение доказано.

Задачи

Задача 8.1. Показать, что функции

гг = 1 а«у(д9^а I д9ка д9з*\

2	\ дхк дхЗ дха /

при замене координат преобразуются как символы Кристоффеля, пользуясь только
тензорным законом.

Задача 8.2. Пусть М — риманово многообразие, и Т — произвольное векторное
поле на М. Определим скалярную функцию, называемую дивергенцией сКуТ поля Т,

положив

(НуТ = С[^Т.

Показать, что в произвольных локальных координатах (ж1,... , жп) имеет место ра-
венство

1 дх/дтг

<11уТ=------— =

где через д обозначен определитель матрицы римановой метрики. Сравнить это
определение с определением, данным выше для векторных полей в К3.
Дополнительный материал

8.1. Риманова связность индуцированной метрики. Пусть УУ — произволь-
ное риманово многообразие, и V — операция ковариантного дифференцирования
относительно римановой связности на УУ. Далее, пусть М — подмногообразие в
ТУ, на котором рассматривается индуцированная из \У риманова метрика, и V —
ковариантное дифференцирование относительно римановой связности на М.

Утверждение 8.3. В сделанных обозначениях, для произвольных касательных век-
торных полей X и У на М имеет место равенство

^хУ= (?ХУ)Т,

где через (•)т обозначена операция ортогонального проецирования пространства
Тр]У на подпространство ТрМ (в метрике многообразия Ж).

Доказательство. Рассмотрим на многообразии М операцию тензорного дифферен-
цирования, обладающую свойствами (1)-(5) из теоремы 8.1, которая на векторных
полях определяется формулой

^А^'= (^А-У)Т.

По теореме 8.1, в результате получится операция ковариантного дифференцирования
в некоторой аффинной связности. Покажем, что это — риманова связность на М.

Лемма 8.3. Предположим, что на римановом многообразии М задана такая аф-
финная связность Г, что для произвольных векторных полей X, У и 2 на М вы-
полнено

ЪХ(У, 2} = (ухУ, 2) + (У,

Тогда связность Г согласована с метрикой, т.е. Vд = 0.

Доказательство. Действительно, по условию, для произвольных векторных полей
А', У и 2, имеем

ХкХДд,, )У'& = ^л-Ц,2) - -д^ДУ1)^ - дг]У^Д2Д = 0,

откуда Хд = 0, что и требовалось.

Рассмотрим произвольные поля X, У и И на М С ТУ, и продолжим их в малую
окрестность Ц С ТУ произвольным образом. Тогда в этой окрестности

Хх(У, 2) = (УхУ, 2) + (У, Хх2).

Но Хх{У, 2} = Хх{У,2) = А'((У, 2)). Далее, каждый вектор А е Тр\У можно
однозначно разложить в сумму его ортогональной проекции (А)т на подпространство
ТрМ и нормальной составляющей, поэтому для произвольных векторов А € Тр\У и
В е ТрМ выполнено равенство (А, В) = {(А)Т,В'). Итак,

= {^ХУ)Т,2) + (У, (^Х2)Т) = УХУ,2} + (У,Хх2},

поэтому, по лемме 8.3, построенная связность согласована с метрикой. Симметрич-
ность построенной связности также вытекает из симметричности римановой связно-
сти на ТУ. Доказательство закончено.
Лекция 9. Параллельный перенос

и геодезические

В данной лекции мы рассмотрим два важных приложения аффинной
связности: параллельный перенос, позволяющий сравнивать значение
тензорного поля в разных точках многообразия, и геодезические — ана-
лог геодезических на поверхностях.

9.1.	Параллельный перенос

Во многих конкретных задачах возникает необходимость сравнивать
тензоры, определенные в разных точках гладкого многообразия. Даже
такое естественное выражение как «скорость движения материальной
точки по кривой постоянна» означает, что мы каким-то образом срав-
ниваем касательные векторы в разных точках кривой, т.е. элементы раз-
ных касательных пространств к многообразию. В случае евклидового
пространства В" мы на интуитивном уровне отождествляем все каса-
тельные пространства с самим пространством В". Другими словами,
мы совмещаем начала координат всех этих линейных пространств, вы-
полняя «параллельный перенос в К”», т.е. сдвиг пространства на фикси-
рованный вектор. Возникает естественное желание абобщить понятие
параллельного переноса на случай произвольного гладкого многообра-
зия. Для этого рассмотрим сначала постоянное векторное поле Т на В”.
Его значения в разных точках пространства Ж” одинаковы и получа-
ются друг из друга параллельным переносом в В”. Ясно, что поле на
Вп постоянно, если и только если его компоненты не зависят от коор-
динат, т.е. - — 0, где (хс1,... ,хп) — стандартные координаты в К”,
а Т* компоненты поля Т в этих координатах. Оказывается, это свой-
ство можно естественно обобщить на случай многообразий с аффинной
связностью, используя ковариантное дифференцирование.

Пусть М — связное гладкое многообразие с аффинной связностью
Г. Пусть у — гладкая кривая на М. Говорят, что тензорное поле Т на
М параллельно вдоль кривой -у относительно аффинной связности Г,
если — 0. Ниже, для сокращения формул, мы рассматриваем слу-
чай векторного поля, хотя все приведенные ниже результаты остаются
справедливыми и в общем случае, после надлежащей переформулировки.

Пусть (ж1,... ,хп)—локальные координаты на М, и хг(1), I = 1,... ,п
— координатное представление кривой у в этих координатах. Тогда
условие параллельности векторного поля Т вдоль у записывается в этих
координатах так:

0 =	=

(1Т‘ + ах°
Итак, доказана следующая лемма.

Лемма 9.1. Векторное поле Т параллельно вдоль кривой у на много-
образии М с аффинной связностью Г если и только если в любой локаль-
ной системе координат компоненты поля Т, ограниченные на кривую
у, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

дТ‘ „е/тм Лха

1Г + т^«<«- = 0-

г = 1,... , п.

Система уравнений из леммы 9.1 называется уравнениями параллель-
ного переноса. Отметим, что это - система линейных дифференциаль-
ных уравнений первого порядка на неизвестные функции Тг(1).

Определим теперь операцию параллельного переноса вектора вдоль
кривой. Пусть Р и О — произвольные точки связного гладкого много-
образия М с аффинной связностью Г. Рассмотрим на М произвольную
гладкую кривую у: [0,1] —> М, такую что у(0) Р, и у(1) — (ф пусть
а 6 ТрМ — произвольный касательный вектор в точке Р к многообра-
зию М. Запишем систему уравнений параллельного переноса вдоль у
(мы для простоты предполагаем, что вся кривая у лежит в одной карте
с локальными координатами (ж1,... , ж"))

6Т1'	д.ха



и рассмотрим для этой системы уравнений задачу Коши с начальными
условиями Тг(0) = а1. Как известно из теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, на отрезке [0,1] существует единственное решение
Т(1) этой задачи Коши. В частности, определен вектор Ь = Т(1) € Т@М.

Определение. В сделанных обозначениях, вектор Ь называется резуль-
татом параллельного переноса вектора а из точки Р в точку вдоль
кривой у относительно аффинной связности Г.

Замечание. Мы определили операцию параллельного переноса по гладкой
кривой, лежащей в одной карте. Однако, эта операция легко обобщается на
случай кусочно гладкой кривой, лежащей в нескольких картах (всегда можно
предполагать, что таких карт конечное число). А именно, нужно последова-
тельно переносить вектор по лежащим в одной карте гладким участкам, беря
в качестве следующего начального условия результат предыдущего перенесе-
ния.

Упражнение 9.1. Как зависит операция параллельного переноса от замены пара-
метризации кривой?

Из линейности системы уравнений параллельного переноса, единствен-
ности решения задачи Коши для нее и леммы 7.6 и предыдущего упраж-
нения вытекает следующий результат.
Утверждение 9.1. Каждая кривая у, соединяющая точки Р иб} глад-
кого многообразия М с аффинной связностью, определяет отображе-
ние Д7 касательного пространства ТрМ в касательное пространство
ТцМ, переводящее вектор а из ТрМ в вектор Ь е ТдМ, являющийся
результатом параллельного переноса вдоль кривой у. Отображение Д7
линейно, невырождено и не зависит от параметризации кривой у.

Замечание. Операция параллельного перенесения существенно зависит от
кривой, вдоль которой эта операция выполняется. Это естественно для случая
многообразий. Действительно, если бы например на сфере 5" существовала бы
некая естественная операция параллельного перенесения векторов, не завися-
щая от кривой, то можно было бы легко построить на 82 гладкое касательное
векторное поле не обращающееся в нуль ни в одной точке сферы («причесать
ежика без пробора»). Последнее невозможно (см. теорему 13.3).

Упражнение 8.2. Запишите уравнения параллельного переноса для случая произ-
вольного тензорного поля, сформулируйте и докажите аналог утверждения 9.1.

9.2.	Параллельный перенос в римановой связности

Параллельный перенос в римановой связности обладает рядом интерес-
ных дополнительных свойств.

Утверждение 9.2. Пусть М — риманово многообразие с соответ-
ствующей римановой связностью, и Дб) — некоторая гладкая кривая,
соединяющая пару точек из М. Тогда операция параллельного переноса
вдоль у сохраняет скалярное произведение векторов: если а(1) и —
параллельные вдоль у векторные поля на М, то •	= соне!.

Доказательство. Рассмотрим функцию /(^) = (а(б), Ь(ф)), определенную
на кривой у. Тогда, в силу леммы 8.2 и параллельности полей а иЬ имеем:

— \7у (а, Ь) — (\7у а, 6) + (а, Уу 6) — О,

что и требовалось доказать.

Следствие 9.1. Пусть у — гладкая кривая, соединяющая пару точки
Р и на римановом многообразии М. Тогда, линейное отображение
Д7: ТрМ —> Т<рМг задаваемое операцией параллельного переноса вдоль
у относительно римановой связности, является ортогональным, т.е.
сохраняет скалярное произведение, заданное в касательных простран-
ствах римановой метрикой-

Для осуществления параллельного переноса часто полезным оказыва-
ется следующее очевидное утверждение.
Утверждение 9.3. Изометрии переводят параллельные векторные по-
ля в параллельные. А именно, пусть Р: М —> К — изометрия римано-
вых многообразий, д — кривая на М, соединяющая точки Р и О, и
д = Р о 7 — образ кривой д на многообразии К. Если Т — параллель-
ное вдоль д векторное поле на М, то <1Р(Т) — параллельное вдоль д
векторное поле на К.

Доказательство. Это очевидно, так как изометрия не меняет метриче-
ский тензор, и, следовательно, не меняет уравнения параллельного пере-
носа.

9.3.	Определение и простейшие свойства геодезиче-

ских

Прямые ь евклидовом пространстве и геодезических на поверхностях,
рассмотренные нами в прошлом семестре, обладают следующим общим
свойством: (ковариантная) производная вектора скорости такой кривой
вдоль нее самой равна нулю. Это свойство легко переносится на случай
многообразий с аффинной связностью.

Определение. Пусть М - - гладкое многообразие с аффинной связно-
стью Г, и V — соответствующее ковариантное дифференцирование.
Гладкая кривая д называется геодезической на М в связности Г, если
во всех точках кривой д выполнено следующее равенство: V'= 0, т.е.
поле скорости д' кривой д параллельно вдоль самой кривой д относи-
тельно связности Г.

Пусть (я1,... ,хп) — локальные координаты на многообразии М, и
ат’(^), г — 1,... ,п, — координатное представление кривой д. Тогда,
условие Ууу' — 0 можно записать так:

~1ё + Га0 <и 1Г“0’ г ’””п

(сравните с уравнениями параллельного переноса). Полученная система
уравнений называется уравнениями геодезических в связности Г. От-
мстим, что точно такая же система уравнений уже выписывалась нами
в случае поверхностей. В частности, мы уже знаем следующее свойство
решений этой системы.

Утверждение 9.4. Пусть у(1) — геодезическая, и I = 1(з) — замена
параметра кривой д. Кривая д(з) — 7(^(3)) снова будет геодезической,
если и только если эта замена линейна, т.е. 1(з) — аз + Ь, где а, Ь 6 В.

Далее, как и в случае поверхностей, уравнения геодезических пред-
ставляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка. Поэтому для них справедлива стандартная теорема
существования и единственности решения задачи Коши. Из этой те-
оремы немедленно вытекает теорема существования и единственности
геодезической на многообразии.

Следствие 9,2. Пусть М - гладкое многообразие с аффинной связ-
ностью, Р произвольная точка из М, и V Е ТрМ произвольный
касательный вектор к М в точке Р. Тогда на М существует геоде-
зическая у, выходящая из Р и такая, что ее вектор скорости в точке
Р равен V. Более того, такая геодезическая у единственна, в том
смысле, что любые две такие геодезических совпадают в пересечении
областей определения.

Пусть теперь Л-1 риманово многообразие с метрикой д, и Г ри-
манова связность на М. Геодезические в римановой связности обладают
рядом интересных свойств, аналогичных свойствам геодезических на по-
верхностях. Когда говорят о геодезических на римановом многообра-
зии, то, обычно, имеют ввиду геодезические относительно римановой
связности.

Следующие свойства геодезических на римановых многообразиях до-
казывается точно также, как соответствующие свойства геодезических
на поверхностях.

Утверждение 9.5. Пусть у — геодезическая на римановом многообра-
зии М. Тогда модуль ее вектора скорости у' не зависит от I. Если
Р: М —> — изометрия римановых многообразий, то Р переводит
геодезические в геодезические.

Следующий результат позволяет иногда находить геодезические не
решая дифференциальных уравнений.

Следствие 9,3. Пусть существует такая изометрия к: М -> М ри-
манова многообразия М, что множество ее неподвижных точек пред-
ставляет собой регулярную кривую у. Тогда у — геодезическая (после
подходящей перепараметризации).

Доказательство. Действительно, пусть Р = у(1о) — произвольная точка
из у, и б = ?(^о) ф- 0 — вектор скорости кривой у в точке Р. Рассмо-
трим геодезическую 71 (з), такую что 71 (во) — Р и 71 (во) — €• Так как
7 — множество неподвижных точек изометрии и, то изометрия сохра-
няет точку Р и вектор б- Поэтому образ 72 = ^(71) геодезической 71
— это геодезическая, проходящая через ту же точку Р с тем же векто-
ром скорости б,. Теорема существования и единственности дает 72 = 71
(в некоторой окрестности параметра 1ф), откуда образ 71 принадлежит
образу 7. Поэтому в окрестности каждой точки кривая у, после со-
ответствующей перепараметризации, является геодезической. Доказа-

тельство закончено.
Пример. Проверим с помощью следствия 9.3, что па плоскости Лобачевского
геодезическими являются прямые Лобачевского и только они. Рассмотрим
модель Пуанкаре. Напомним, что для каждой прямой на плоскости Лобачев-
ского существует изометрия <р<, переводящая ее в прямую у = 0. Преобразо-
вание V . г = х + г у	г = х — 1у является изометрией, и прямая у = 0 — это

множество всех неподвижных точек изометрии р. Композиция о у о ру —
это изометрия, множество неподвижных точек которой совпадает с прямая
что и требовалось.

Аналогично проверяется, что геодезические на сфере 8п — это большие
круги (сечения двумерными плоскостями, проходящими через центр) и только
они (укажите соответствующие изометрии).

Параллельный перенос вдоль геодезической на римановом многообра-
зии обладает следующим свойством, особенно полезным в двумерном
случае.

Утверждение 9.6. Если а - параллельное векторное поле вдоль у, то
угол между векторами а(1) и у'(1) не зависит от I.

Доказательство. Покажем, что функция /(^) =	у'(1)^, определен-

ная вдоль кривой у, постоянна. Действительно,

= Уу<а^),7'^)) = ^уа(г),7Ш + И)^у7'(*)) = 0,
где первое слагаемое равно нулю по определению параллельного век-
торного поля, а второе — по определению геодезической. Кроме того,
модули векторных полей и у1 (ул постоянны, откуда и вытекает тре-
буемое. Доказательство закончено.

Следствие 9.4. Пусть М~ — ориентируемое риманово двумерное мно-
гообразие, и у — геодезическая на М, соединяющая точки Р и (Д То-
гда вектор Ъ € Т(}М является результатом параллельного переноса
вектора а € ТрМ вдоль у, если и только если ||а|| = ||6||, угол между а
и у'(Р') равен углу между Ь и 7'(<Э), и ориентации базисов (у'(Р),а) и
(7'(<Э),Ь) согласованы.

9.4.	Нормальные координаты

На произвольном многообразии М с аффинной связностью с помощью
геодезических можно определить так называемые нормальные коорди-
наты, которые оказываются удобными для многих вычислений. Пусть
Р — произвольная точка многообразия М, и V — произвольный век-
тор из касательного пространства ТрМ к М ь точке Р. Тогда, в силу
следствия 9.2, существует и единственна геодезическая ууДз), удовле-
творяющая начальным условиям 7г(0) = Р и 7(Д0) = V (здесь штрихом
обозначено дифференцирование по з).
Определим экспоненциальное отображение ехрР некоторой окрест-
ности нулевого вектора касательного пространстве ТрМ в многообразие
М так:

ехрР: V Н4- 7И(1).

Ясно, что отображение ехрр — гладкое в области определения (в силу
теоремы о гладкой зависимости решения задачи Коши от начальных
условий). Оказывается, отображение ехрр является также регулярным
в некоторой окрестности нуля.

Утверждение 9.7 Пусть Р — произвольная точка многообразия М с
аффинной связностью. Тогда отображение ехрР задает локальные ко-
ординаты в некоторой окрестности точки Р. Другими словами, ото-
бражение ехрр гладко и взаимно однозначно отображает некоторую
окрестность нуля из ТрМ на окрестность точки Р в М, причем ма-
трица Якоби этого отображения невырождена.

Доказательство. Для доказательства утверждения достаточно прове-
рить, что матрица Якоби отображения ехрр невырождена в точке 0 из
ТрМ. Действительно, если это так, то матрица Якоби невырождена и в
некоторой окрестности нуля, и тогда утверждение вытекает из теоремы
о неявной функции.

Итак, по определению, ехрр(Е) — 7у-(Т). Фиксируем в окрестно-
сти точки Р какие-нибудь координаты (ж1,... , ж"), и пусть х1{з, V) —
координатное представление геодезической 7у(з). Если мы фиксируем
какой-нибудь базис в ТрМ, и в этом базисе У = (г1,... , г”), то коорди-
натное представление отображения ехрр в координатах (а1,... ,ип) на
ТрМ и (ж1, - - - ,хп) на М имеет, очевидно, вид

ж* =ж*(1,У) =ж*(1,ц1,... ,цп).

Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 9.2. Пусть I — произвольное достаточно малое вещественное
число. Тогда

в общей области определения.

Доказательство. При фиксированном I, вектор скорости геодезической
7г (Уз) в точке Р — 7г (0) имеет вид

(]8	8=о

поэтому геодезическая уу) ж з) удовлетворяет тем же начальным усло-
виям, что и геодезическая 7<у(§). Теперь утверждение леммы вытекает
из следствия 9.2.
Вернемся к доказательству утверждения. Поскольку, в силу леммы 9.2,
7(у(8) =	в координатах имеем

У(.<?,Щ) = .тДяК, V),

Продифференцируем соотношение (*) по I и положим 1 = 0. Дифферен-
цируя левую часть, получим:

дх*(з,1У)	дх1(з,1У) I дх1(з,0) .

--------- — ---------:--	17 = -----:--1г .

д+, 1=0 до1 1=0 Эу->

С другой стороны, дифференцируя правую часть соотношения (*), имеем:

дхг(з1, V)
д~1

дх1{з1, V)
дз

Мо,т) .

« = --—----5 = 8(7у(0))

1=0

= ей1.

Приравняв полученные выражения и положив в них 8 = 1, получим окон-
чательно:

(1,0) ,	1

до1

для произвольного вектора V. Поэтому матрипа Якоби ( —-—’— ) ото-

V др! )

бражения ехрР в точке V = 0 равна единичной матрице и, в частности,
невырождена. Утверждение доказано.

Определение. Пусть в касательном пространстве ТрМ к многообра-
зию М с аффинной связностью Г фиксирован произвольный базис (ег),
и (г1,... , г”) линейные координаты в ТрМ, соответствующие этому
базису. Локальные координаты в окрестности точки Р на М, порожден-
ные отображением

У = (и1,... ,оп) ^ехрр(У),

называются нормальными координатами с центром в точке Р, поро-
жденными базисом (е<). Сама окрестность точки Р, в которой заданы
нормальные координаты, а также соответствующая окрестность точки
0 в ТрМ, называется нормальной окрестностью. Геодезические уу на-
зывают радиальными. Если многообразие М и связность Г римановы,
то базис (е,), обычно, выбирают ортонормированным.

Из взаимной однозначности отображения ехрр в некоторой окрест-
ности точки Р вытекает следующий результат.

Следствие 9.5. Любые две достаточно близкие точки многообразия
с аффинной связностью можно соединить геодезической.

Упражнение 9.3. Пусть ту (4), I 6 [0,1], — радиальная геодезическая на римановом
многообразии. Рассмотрим отрезок 7 этой геодезической, соответствующий значе-
ниям параметра I Е [^1,^2] С [0,1]. Вычислите длину кривой 7.
Задачи

Задача 9.1. Показать, что если в некоторой связности Г, заданной на римановом
многообразии М, параллельный перенос вдоль любой кривой сохраняет скалярные
произведения векторов, то связность Г — риманова.

Задача 9.2. Описать геодезические на прямом цилиндре, круговом конусе, стан-
дартной сфере, плоскости Лобачевского.

Задача 9.3. Проверить, что если гиперповерхность М С Кп содержит некоторую
прямую I С Кп, то, после перепараметризации, прямая I С М является геодезической
на М.

Задача 9.4. Построить нормальные координаты на стандартной двумерной сфере.
Как устроена максимальная нормальная окрестность точки сферы?

Задача 9.5. Пусть М — риманово многообразие, д — риманова метрика на нем, и
Р — произвольная его точка. Фиксируем в касательном пространстве ТрМ орто-
нормированный базис, и пусть (у1,... ,уп) — соответствующие нормальные коорди-
наты в окрестности точки Р на М. Показать, что в этих координатах д^Р) = 5^ и
г^(Р) = о.

Задача 9.6. Пусть 8Ь(п) С В”2  множество вещественных (п х п) матриц с еди-
ничным определителем. Описать геодезические на 8Ь(п), проходящие через точку
Е Е 8Ь(п), где Е — единичная матрица. Тот же вопрос для 8О(п).

Дополнительный материал

9.1. Пример параллельного переноса на плоскости Лобачевского. Рассмот-
рим модель верхней полуплоскости плоскости Лобачевского Ь2, на которой в стан-
дартных координатах (х,у) задана метрика Лобачевского (1з2 = ((1х2+(1у2)/у2. Пусть
7 — гладкая кривая, заданную параметрически так: х(1) = I, у(1) = у о > 0 (это —
горизонтальная прямая). Выпишем уравнения параллельного переноса вдоль кри-
вой 7 в римановой связности. Символы Кристоффеля римановой связности в нашем
случае, как легко сосчитать, имеют вид:

т-11   т*11   тч2   -р2   1	т-12   Г2   тч1   т1   л

1 12 — 1 21 — 1 22 —	1 11 —	>	1 12 — 1 12 ~ 1 11 — 1 22 — и-

У

Поэтому уравнения параллельного переноса на компоненты (Г1 ,Т2) поля Т имеют
вид:

сйГ1	(1Т1	1 (лд,у гп2^х\

-----|-ТаГ^------ =---------(т1— +т2— I = о,

. (11	(11	(11 у\ (11	(11 /

ЙТ2 п Ах# (1Т2	1/ ^УХ л

____ I грСХрД, __ __ ___ 1	__ |	__ __ г-рД, -3	| _ р

<а	м м у \ <и м /

После подстановки конкретного вида кривой у(4) =	получим:

=

М Уо

<1Т'2	1 т!

— = —т1.

м	уо

Эта система линейных дифференциальных уравнений легко решается. Ответ можно
записать в следующем виде:

Т1^) = Асоз(4/г/о) + Вып(1/уо), Т2(<) =	+ ВсояЦ/уо')-

Таким образом, параллельное вдоль кривой 7 векторное поле равномерно вращается,
причем тем быстрее, чем меньше уо, т.е. чем горизонтальная прямая 7 расположена
«ближе» к абсолюту.
9.2.	Еще примеры параллельного переноса. Следующие несколько примеров де-
монстрируют стандартные методы, часто позволяющие вычислять результат парал-
лельного переноса, не решая дифференциальные уравнения.

Пусть М — поверхность кругового конуса, заданная в К3 уравнением х2-\-у2 = г2,
где % > 0. Обозначим через 7 плоское сечение конуса М плоскостью % = К > 0. Пусть
V — касательный вектор к конусу в точке Р € 7, направленный к его вершине. На
какой угол повернется вектор V при параллельном переносе по кривой 7 от Р до Р?

Рис. 3. Развертка конуса на плоскость и параллельный перенос

Чтобы выяснить это, воспользуемся утверждением 9.3. Конус М, после разре-
зания по лучу ОР, см. рис. 3, изометричен углу РОР на евклидовой плоскости. На
евклидовой плоскости параллельный перенос не меняет компоненты вектора, поэтому
вдоль всего пути 7 мы получаем вектор, параллельный исходному вектору V в обыч-
ном (евклидовом) смысле. В результате, обойдя вокруг конуса по окружности 7 мы
получим вектор V', который, как видно из рисунка, составляет с вектором V угол,
равный по величине углу РОР на плоскости.

Имеет место следующее полезное утверждение.

Утверждение 9.8. Пусть две поверхности и М2 в К3 касаются по кривой у
(т.е., напомним, в точках кривой у них совпадают касательные плоскости). Тогда
результат параллельного переноса вектора вдоль кривой у не зависит от выбора
поверхности.

Доказательство. Так как ковариантная производная	поля Т вдоль кривой 7

на поверхности Мг, г — 1, 2, совпадает с результатом проецирования на касательную
плоскость Ту^Мг вектора Т'(^), а касательные плоскости Т^^М± и Т^^М^ совпа-
дают, то совпадают и уравнения параллельного переноса вдоль 7 на поверхностях

и М2, что и требовалось.

Упражнение 9.4. Пусть 7 — плоское сечение двумерной сферы, заданной в К3 урав-
нением х2 + у2 + %2 — 1, плоскостью % = б, где 0 < К < 1. Пусть а — касательный
вектор к сфере в точке Р € 7, направленный вдоль меридиана к северному полюсу.
На какой угол повернется вектор а при параллельном переносе по кривой 7 от Р до
Р? Указание: рассмотреть конус, касающийся сферы вдоль параллели 7.

Упражнение 9.5. Пусть М — поверхность вращения графика положительной функ-
ции у = /(ж) вокруг оси Ох, и пусть 7 — сечение поверхности М ортогональной оси
вращения плоскостью х = хо. Пусть а — касательный вектор к М в точке Р € 7, на-
правленный вдоль меридиана. На какой угол повернется вектор а при параллельном
переносе по кривой 7 от Р до Р?

9.3.	Подмногообразия риманова многообразия. Пусть ТУ — риманово много-
образие, и М — подмногообразие в ТУ с индуцированной из ТУ метрикой. Напомним,
что риманова связность V на поверхности М, согласованная с индуцированной ме-
трикой, может быть получена из римановой связности V, согласованной с метрикой
объемлющего многообразия ТУ, так:

Vл-У = (^Л-У)т.

где (-)71 — ортогональное (в метрике на ТУ) проецирование касательного простран-
ства Тр\У на его подпространство ТрМ С ТрЖ, являющееся касательным простран-
ством к подмногообразию М. Поэтому уравнение геодезической 7 на М имеет вид:

(^7)Т = 0.

Итак, мы получаем эквивалентное определение геодезической на подмногообразии:
кривая 7 на подмногообразии М риманова многообразия Ж является геодезической
на М в индуцированной метрике, если и только если ее вектор ковариантного уско-
рения как кривой в Ж (т.е. относительно ковариантного дифференцирования в объ-
емлющем многообразии) перпендикулярен подмногообразию М в каждой точке.

Следствие 9.6. Если — геодезическая на римановом многообразии Ж лежит в
подмногообразии М С Ж, то у — геодезическая на М в индуцированной метрике.

Следствие 9.7. Если два подмногообразия риманова многообразия касаются вдоль
кривой 7, являющейся геодезической на одном, из подмногообразий (в индуцирован-
ной метрике), то 7 также является геодезической и на другом подмногообразии
(в его индуцированной метрике).

9.4.	Геодезические на плоском торе. Напомним, что тор можно получить из па-
раллелограмма склейкой противоположных сторон «без переворота». Фиксируем па-
раллелограмм П, совместим одну из его вершин с началом координат на плоскости,
и пусть €1 и 62 — векторы, соответствующие сторонам параллелограмма, выходя-
щим из этой вершины. Эти векторы задают действие группы й2 на плоскости Ж2
сдвигами на векторы щет + П2в25 (П1,П2) С й2. Заметим, что при таком действии
параллельные стороны параллелограмма П переходят друг в друга «без переворота»,
поэтому факторпространство К2/й2 естественно отождествляется с тором. Обозна-
чим через тг естественную проекцию тг: М2 —> В2/^2 — Т2. Эта проекция, очевидно,
является локальным диффеоморфизмом. Если х — произвольная точка тора Г2, и
р — произвольная точка из ее прообраза, т.е. тг(р) — х, то весь прообраз тг-1(а;)
представляет собой множество

{ 77161 + 77262 +Р | (771,712) € 22}.

Болес того, прообраз малой окрестности 1} точки х состоит из попарно нспсрссс-
кающихся окрестностей точек прообраза, причем любые две таких окрестности от-
личаются на сдвиг на вектор вида 71161 + П2&2• Поэтому на торе можно ввести ри-
манову метрику, отождествив окрестность II с любой из окрестностей прообраза.
Эта метрика в подходящих координатах имеет евклидов вид и называется плоской
метрикой на торе. Отметим, что разные параллелограммы задают на торе, вообще
говоря, разные, т.е. не изометричные, плоские метрики.

Упражнение 9.6. Какие параллелограммы задают изометричные плоские метрики
на торе? Описать пространство всевозможных попарно неизометричных плоских
метрик на торе.

Ясно, что проекция тг: К2 —> Т2 является локальной изометрией. Поэтому геоде-
зические па плоском торе Т2 — это в точности те кривые, в которые проецируются
прямые на плоскости. Чтобы понять, как выглядит соответствующая кривая на торе,
рассмотрим разбиение Р плоскости на параллелограммы, полученные сдвигами ис-
ходного параллелограмма П на всевозможные векторы вида П1в1 + П2в2« Каждый
параллелограмм разбиения Р проецируется на тор. Пусть I с К2 — прямая на плос-
кости. Рассмотрим всевозможные параллелограммы из Р, через которые проходит
прямая Д и совместим их все с исходным параллелограммом П. В результате в па-
раллелограмме П получится набор отрезков, параллельных прямой I. При этом, если
направление прямой I может быть задано как целочисленная линейная комбинация
векторов С1 и 62, то различных отрезков будет конечное число, и мы получим за-
мкнутую геодезическую на торе Т2. В противном случае, все отрезки будут попарно
различны, и соответствующая незамкнутая геодезическая на торе будет образовы-
вать его всюду плотное подмножество. В частности, произвольная геодезическая
на плоском торе вернется в сколь угодно малую окрестность своей начальной точки
(через достаточно большое время).

Упражнение 9.7. Пусть Ри<2 — произвольные точки плоского тора Т2. Показать,
что их соединяет бесконечно много попарно неизометричных геодезических.

9.5.	Геодезические на матричных группах. Матричные группы представляют
собой важный класс римановых многообразий с симметриями. В качестве базового
примера возьмем группу ортогональных матриц размера (п X п), т.е. множество ма-
триц

О(п) = {А Е К"2 | ААТ = Е},

2

рассматриваемое как подмножество пространства всех матриц Кп , в котором фикси-
ровано стандартное скалярное произведение. Заметим, что если А = и В = (Ьу)
— произвольные матрицы, заданные своими компонентами, то, рассматривая эти ма-
трицы как векторы из , их скалярное произведение можно записать в виде

п

(А, В) =	=1гАВт.

М = 1

Ч- 1)

Множество М = О(п) задается регулярной системой из ---—---уравнений и явля-

п(п — 1)	_ 2

ется поэтому ----—---мерным гладким подмногообразием в ж , на котором ин-

дуцируется метрика из объемлющего евклидова пространства. Отметим, что со-
2	2

пряжение с любой ортогональной матрицей С, т.е. отображение /<з •	,

/о(А) = САС-1, переводит многообразие М в себя (что очевидно) и сохраняет ска-
лярное произведение, т.к.

=1г/о(А)/о(В)т =1гСА6!-1(6ВС-1)т =

= Ъг<ЗАСГ1(СГ1)тВтС1т = ^ОАВТС1-1 = ^АВТ = {А,В),

где мы воспользовались определением ортогональной матрицы и тензорностью следа.
Поэтому /<з порождает изометрию многообразия М.

Напомним, что касательное пространство Т&М совпадает с множеством косо-
2

симметрических матриц. Рассмотрим в Кп кривую 7х(^) — ехр(^Х), где X € Т^М
и ехр(2Х) — обычная экспонента от матрицы, и убедимся, что 'ух — геодезическая
на М (в подходящей параметризации). Проверим сначала, что 7х($) С М. Для этого
покажем, что 7х(07х($)Т' — Е. Положим А(2) = 7х(^)7х(0'Г и вычислим производ-
ную Л(^). Имеем:

ДИ = 7А-(4)7А-(*)Т + 7а(4)7а-(*)Т = ^7А-(^7Ж(*)Т + 7А (*) (А'7х (*))Т = О

в силу косой симметрии матрицы X и перестановочности матриц X и ехр(^Х), откуда
А(1) = Л(0) = Е. Итак, кривая 7х(0 лежит в М. Осталось заметить, что эта кривая
состоит из неподвижных точек изометрии /ехрХ> У которой нет других неподвижных
точек в окрестности Е, и воспользоваться следствием 9.3.
Лекции 10. Экстремальные свойства
геодезических

Геодезические на римановых многообразиях обладают экстремальными
свойствами, а именно, они представляют собой локально кратчайшие
кривые: каждый достаточно малый отрезок геодезической является
кратчайшей гладкой кривой, соединяющей свои концевые точки. Чтобы
убедиться в этом, мы начнем с изучения свойств функции длины кривых
на римановом многообразии.

10.1.	Производная функции длины кривой при ее ва-
риации

Пусть М — риманово многообразие. Рассмотрим на М произвольную
регулярную кривую у: [41,4г] —> М, и обозначим через Р = у(41) и Д =
у (4г) ее концевые точки. Далее, пусть С — некоторое подмножество
плоскости К2 с координатами (г, 4), ограниченное прямыми т = ±то и
двумя кривыми I = 11(т) и I = 4о(т), где 11(т) < 1о(т) для любого т Е
[—то,то], и 41(0) = 41, а 4г (0) = 4о, см. рис. 4. Гладкое отображение
Ф области С в многообразие М называется вариацией кривой у, если
Ф(0,4) = у(4). Отображение Ф задает однопараметрическое семейство
кривых 7г(4) = Ф(т, 4), 4 € р1(т), 4о(т)], где т — параметр семейства,
при этом 7о(4) = 7(4). Кривые р(т) = Ф(т,41(т)) и </(т) = Ф(т,4г(т)), по
которым движутся концевые точки кривых ут, называются концевыми
кривыми. Если р(т) = Р и </(т) = () для любого т, то отображение Ф
называется вариацией с закрепленными концами.

Рис. 4. Область определения вариации Ф

В каждой точке 7(4) кривой у определим вектор

^(4) = б4Ф|(од)^У

Соответствующее векторное поле, определенное вдоль кривой у, назы-
вается полем вариации Ф. Поле вариации состоит из векторов скоростей
кривых цДт) при т = 0, задаваемых отображением Ф так: цДт) = Ф(т, I).
Отметим, что в концевых точках поле вариации вовсе не совпадает с век-
торами скоростей концевых кривых. А именно, имеет место следующая
лемма (здесь и ниже точкой обозначается дифференцирование по I, а
штрихом — дифференцирование по т).

Лемма 10.1. Вектора скоростей концевых кривых в начальный момент
т = 0 удовлетворяют следующим соотношениям:

р'(0) = ^(О)у(й) + Е(1г},	д'(0) = Ьр)Ж) + Е(12).

Доказательство. Проверим, например, первое соотношение. По опре-
делению имеем:

,	= с1Ф(т, й(т)) = дФ(тД1(т)) ДФ(т, 111т}} <Д(т)

Р {Т) дт	дт	д1 дт

Подставив значение т — 0 и вспомнив, что ^х(О) — 11, получим:

У(о) = ЭФ(ОД(О)) + аФ(ол(о))^,(о) = Е^)+.^Мо)

Доказательство закончено.

Рассмотрим функцию /'(г), определенную на отрезке [—тщЛ)] и рав-
ную длине кривой ут. Вычислим производную этой функции в т = 0.
Дополнительно предположим для простоты, что кривая у(1} натурально
параметризована. Запишем функцию 1(т} в виде

и воспользуемся теоремой о дифференцировании интеграла, зависящего
от параметра. Получим:

<Д(т)
дт





Вычислим производную ||7Т(I) 11'. Для этого нам понадобится следующая
лемма.

Лемма 10.2. В сделанных выше обозначениях, имеет место следующее
равенство'.

У+уТ(1} = ЪЖт}.
Доказательство. Пусть на многообразии фиксированы локальные ко-
ординаты (ж1,... , я”). Обозначим через хДт, 1) координатное предста-
вление вариации Ф. Тогда к-ая компонента поля ’^т'ут(1) имеет вид:

——\Дхк =
от

к А= д /дх^хдхД к р
дт \дха +	) дха к 81 ) дт + 0а (

Э^+Г^(^ = —

т.е. совпадает с к-оа компонентой поля \7/цДт) (здесь мы воспользова-

лись симметрией связности Г). Доказательство закончено.

Теперь, с помощью леммы 10.2, найдем:

||7га)Н' = ^гу/(^) =

1 УгЙгЛг) = (Уг7г.7г) =

2 У<7г,7г)	У<7г,7г)	л/<7г,7г)

Подставим полученное выражение в формулу для производной функции
длины ^(т), положим г = 0, воспользуемся предположением о том, что
кривая дД) натурально параметризована, и тем, что ЕД) = Д(0) по
определению. Получим:

в = 1'2(0) - ^(0) +	(^ЕД),^ <Н.

ЩЕД),Д) = (\ДЕД),Д) + (ЕД), Уй),
поэтому выражение для производной переписывается в виде
® = *2(0) - *'1(0) + I"2 (уДЕД)Д) - (ЕД), ^7)) <И =
= 1’Д0) - ^(0) + (ЕДДДДД) - (ЕДДДДД) - [ \еД),\7Д)(Ц.
7^1

Теперь, представив 1’Д0) в виде 1'Д0)(йДг), уДД), г = 1,2, заметим, что

<(0) + (ЕДДДДД) = (1Д0)ДДД + ЕДДДДД).

Наконец, воспользовавшись леммой 10.1 и определением производной
вдоль кривой, перепишем выражение для производной в виде

= <«'(0),7(^)} - <Р'(О),7(Н)} - 1\еД)У^)(И.

Итак, доказано следующей важное утверждение.
Утверждение 10.1. Пусть Ф(т, 1) произвольная вариация гладкой
кривой у: [<х,^2] —> М, и р(т) и у(т) концевые кривые вариации Ф.
Тогда первая производная длины Нт) кривой ,ут(1) = Ф(т,1) в начальный
момент времени т = 0 существует и имеет вид

= (?'(0),Ш) - (р'(0),Ш) -

Из утверждения 10.1 вытекает несколько важных следствий.

Следствие 10,1 (Вариация с закрепленными концами). Если ва-
риация Ф(т,1) кривой у: [й,О] —> М имеет закрепленные концы, то
производная длины /(г) кривой у? в начальный момент т = 0 имеет вид

<0)
дт

I {Е{1),\7уу)д1.

Следствие 10.2 (Стационарность геодезических). Любая геодези-
ческая у на римановом многообразии М является кривой стационарной
длины по отношению к произвольной вариации кривой у с закреплен-
ными концами. Обратно, любая натурально параметризованная кри-
вая, длина которой стационарна по отношению к произвольным вари-
ациям с закрепленными концами, является геодезической.

Следствие 10.3. Если кривая у — геодезическая, то для произвольной
ее вариации Ф(т, 1) производная функции длины 1(т) в начальный момент
времени т — 0 имеет вид

= («'(0),7(^)} - (р'(0),7(^1)),

где р(т) и ц(т) - концевые кривые вариации Ф.

10.2.	Лемма Гаусса и локальная минимальность
геодезических

Пусть в некоторой нормальной окрестности точки Р риманова много-
образия М фиксированы нормальные координаты. Рассмотрим в каса-
тельном пространстве ТрМ сферу 5"(е) радиуса е, целиком лежащую в
нормальной окрестности точки 0 € ТрМ. Напомним, что сфера 5п(е),
по определению, состоит из касательных векторов и нормы е, где норма
вектора вычисляется с помощью римановой метрики. Образ ехрр(5п(е))
сферы 5”(е) при экспоненциальном отображении называется геодезиче-
ской сферой с центром в точке Р и радиуса е,
Утверждение 10.2 (Лемма Гаусса). Пусть (2 произвольная точ-
ка геодезической сферы Е с центром в точке Р Тогда целиком лежа-
щая в нормальной окрестности точки Р геодезическая, соединяющая
точки Р и (*), единственна. Более того, геодезическая у приходит на
геодезическую сферу Е под прямым углом, т.е, у перпендикулярна лю-
бой регулярной кривой, проходящей через ф и лежащей в Е.

Доказательство. Первая часть утверждения непосредственно следует
из утверждения 9.7, т.е. из взаимной однозначности отображения ехрр
в нормальной окрестности. Докажем вторую часть утверждения.

Пусть у(^) геодезическая, соединяющая точки Р иО г лежащая в
нормальной окрестности точки Р, и пусть <т(т), т € [—7о,то], — произ-
вольная регулярная кривая на геодезической сфере Е, и <т(0) — О. Рас-
смотрим семейство геодезических 7Т(^), целиком лежащих в нормальной
окрестности точки Р и соединяющих Р с точкой сг(т) € Е. 13 силу первой
части утверждения, каждая геодезическая ут(1) однозначно определена.
Семейство геодезических ут(1) определяет вариацию Ф(тД) — ут(1) гео-
дезической у(1) = 7о(^)> поскольку решение уравнений геодезических
гладко зависит от начальных условий. При этом, по определению, одна
концевая кривая р(т) вариации Ф состоит из одной точки Р, а другая
д(т), — совпадает с кривой <т(т). Воспользуемся формулой первой ва-
риации длины, см. следствие 10.3. Поскольку длины всех геодезических
ут(1) равны между собой и равны радиусу сферы Е, имеем:

где вектор скорости 7 вычисляется в точке (). т.е. геодезическая 7 пер-
пендикулярна кривой ст, лежащей на сфере Е. Доказательство закончено.

Упражнение 10.1. Пусть 7 — лежащая в нормальной окрестности геодезическая,
соединяющая точку Р с точкрй ЕТЦ, где — геодезическая сфера с центром в
точке Р. Найдите длину кривой 7.

Докажем одно важное следствие леммы Гаусса. Рассмотрим две гео-
дезические сферы Е(е) и Е(е') с центром в точке Р. Пусть С) € Е(е) и
С)' € Е(е') — две произвольные точки на этих сферах и 7 — соединя-
ющая их гладкая кривая, целиком лежащая в нормальной окрестности
точки Р

Следствие 10.4. Длина /'(7) кривой 7 не меньше абсолютной величины
|е — Д| разности радиусов геодезических сфер. При этом равенство
достигается, если и только если кривая у совпадает (с точностью
до параметризации) с геодезической, проходящей через центр Р обеих
сфер.
Доказательство. Пусть з - - параметр на кривой -^(не обязательно на-
туральный), О = 7(80), и. СУ = 7(з'о). Поскольку все происходит внутри
некоторой нормальной окрестности точки Р, для любого з существует
единственное представление точки 7(3) в виде

7(з) = ехрР(У(з)),

где V € ТрМ — некоторый, зависящий от точки 7(5), касательный век-
V (з)

тор. Представим вектор У(з) в виде К(д] = ЦУ(з)||.. .	, и обозначим

Ш8)Н

функцию |1’(л)| через Ця), а единичный вектор Т/Г(я)/||ТЛ(.ч)|| через

^(з). Тогда кривая 7(3) запишется в виде

7(з) = ехрР(*(8Х(8)).

Пусть (Дз), где 8 € [а, Ь] и [а, Ь] Э [во, 8^], — произвольная гладкая
кривая на единичной сфере 5п(1) С ТрМ. Рассмотрим отображение
Ф: [0, ^о] х Ъ] —> Л/, положив

Ф(М) = ехрР(^(з)),

где 1о — не слишком велико. Ясно, что образ Ф(^, [а, 6]) отрезка [а, Ь]
при фиксированном I — это кривая на геодезической сфере Е(4), а образ
Ф([0, Лэ], отрезка [0, ^о] при любом фиксированном з — это радиальная
геодезическая, которая проходится с единичной скоростью (Дз). Кривая
7(3) в терминах отображения Ф записывается так: 7(3) = Ф(^(з),з).

Для нахождения длины кривой 7, вычислим ее вектор скорости:

Д-у _ <ЭФ сП	<ЭФ

А»	д1 с1з	дз

ОФ

Вектор —----касательный вектор к радиальной геодезической, а вектор

01

ОФ	„

—— — касательный вектор к геодезической сфере. По лемме Гаусса
дз

эти векторы перпендикулярны, поэтому, по теореме Пифагора, длина
вектора кривой 7 скорости вычисляется так:

1Й7 ||2	|| ОФ I,2 | сП |2 ||<9Ф||2	||<?Ф||2 | <М |2	|<й|2

Ш1 _11ог11 ’ 0з\ + 1Ы1 -Иог11 ’Ы “Ы

ОФ

так как норма вектора —— равна единице. Поэтому
Л

сП

— аз
аз

ДЫ — *(«о)1 = к-е'1-
При этом равенство достигается, если и только если —— = 0, т.е. если
08

€(5) = €о = СОП81. Последнее означает, что 'у(з') = ехрР(Дя)^о), т.е.
кривая 7 совпадает с радиальной геодезической, с точностью до пара-
метризации. Следствие доказано.

Следствие 10.5. Пусть точка лежит в геодезическом шаре с цен-
тром в точке Р достаточно малого радиуса е (настолько малого, что
отображение ехрР является на этом шаре диффеоморфизмом). Поло
жим ()> = ехрР^. Тогда геодезическая у(1) = ехрР(^), является един-
ственной кривой наименьшей длины, соединяющей точки Р

Доказательство. Для доказательства достаточно в следствии 10.4 пе-
рейти к пределу при е' —> 0, и заметить, что любая кривая, выходящая
из точки Р и не лежащая целиком в нормальной окрестности этой точки,
длиннее радиуса любой геодезической сферы, лежащей в этой окрестно-
сти.

Кривая 7 на римановом многообразии, соединяющая точки Р и С). на-
зывается кратчайшей, если длина любой другой кривой, соединяющей
те же точки, не меньше чем длина кривой 7. Мы уже видели, что для
любых достаточно близких точек риманова многообразия существует
единственная кратчайшая их соединяющая. Эта кратчайшая является
геодезической. Оказывается, имеет место также и следующее утвер-
ждение.

Следствие 10.6. Пусть у некоторая кратчайшая, соединяющая про-
извольные точки РиО риманова многообразия М. Тогда у — геоде-
зическая на М (в подходящей параметризации).

Доказательство. Это немедленно вытекает из следствия 10.5. Действи-
тельно, раз 7 -  кратчайшая, то она является таковой и для любых двух
своих достаточно близких точек. Поэтому каждый маленький кусочек
кривой 7 язляется геодезической, следовательно и вся кривая 7 — тоже.
Следствие доказано.

Упражнение 10.2. Любые ли две точки на римановом многообразии М можно со-
единить кратчайшей кривой?

Задачи

Задача 10.1. Привести пример риманова многообразия и двух точек на нем, кото-
рые не соединяет ни одна кратчайшая и ни одна геодезическая.

Задача 10.2. Показать, что если М — замкнутое риманово многообразие, то любые
его две точки можно соединить кратчайшей геодезической.
Задача 10.3. Пусть М — риманово многообразие с не пустым краем дМ. Пусть Р
и — точки из Му и 7 — кратчайшая кривая, соединяющая Р и С}. Верно ли, что 7
— геодезическая?

Задача 10.4. Описать геодезические сферы и радиальные геодезические на евкли-
довой плоскости, плоскости Лобачевского, сфере, прямом цилиндре. Сколько суще-
ствует геодезических, проходящих через фиксированную пару точек этих многообра-
зий? А кратчайших геодезических?

Задача 10.5. Вывести формулы для функции ^(7) длины прямолинейного отрезка
[а(2), Ь(1)] в пространстве если его концы движутся по гладким кривым а(1) и
б(^), I 6 [ОД]- Найти производную функции при I = 0. Изучить отдельно случай
а(0) = 6(0).

Дополнительный материал

10.1. Уравнение геодезических в гамильтоновой форме. Напомним, см. до-
полнительный материал к лекции 6, что кокасательное расслоение Т*М к произволь-
ному многообразию М представляет собой симплектическое многообразие, поэтому
можно записать систему уравнений Гамильтона для произвольной функции Н на нем.
Пусть М — риманово многообразие, (ж1,... , жп) — локальные координаты на нем, и
(ж1,... ,жп,р1,... ,рп) — соответствующая карта на Т*М. Определим функцию Га-
мильтона Н на Т*М, положив Н(х,р) = —у^РгРэ, где 9гд — компоненты римановой
метрики в координатах (ж1,... ,жп).

Упражнение 10.3. Проверьте, что заданная в локальных координатах функция Га-
мильтона Н определена корректно.

Соответствующая система уравнений Гамильтона имеет вид

дН	1 дд'"3

Л г	о Ч г РаРр’)

дхг	2 дхг

где точкой, как обычно, обозначено дифференцирование по I. Из первого уравнения
получим ра = да(3^у т.е. “импульс р — это ковектор, соответствующий скорости ж.”
Исключим из второго уравнения импульсы р. Имеем:

~7;Ц~ГЗакз:к913]х:1 = (д^х?) = х0 дг0 + з*	.

— (XX	(X X

Чтобы избавиться от производной обратной матрицы метрики, воспользуемся следу-
ющей тривиальной леммой.

Лемма 10.3. Имеет место следующее соотношение:

Эх' 90к ~ ~9

а 13 9 9)3 к
дхг

С помощью леммы 10.3 перепишем левую часть последнего уравнения в виде

Т-дд6^ ,к .,1ав»903	.к.,1вдк}

2 дх' 9акХ 90]Х ~ 29 ' дх' 9ак Х ~ 2 дх'
поэтому само уравнение можно записать так:

1	 3	• 3 О91З • к

-----Х'Х3 — хд,:< + хр —.

2	дх'	У р дхк

Разбивая последнее слагаемое правой части на два равных, перенося все в правую
часть и умножая на матрицу дЪОс получаем

ха + МЬ-а'д ( дЯгз + д9гз - д9к} = 0.

2	\ дхк дхк дхг )

Осталось заметить, что

поэтому наше уравнение — это в точности уравнение геодезических на М. Поскольку
все наши преобразования можно проделать в обратном порядке, получаем следующее

утверждение.

Утверждение 10.3. Пусть М — произвольное риманово многообразие. Каждое
решение (а?($),р($)) построенной выше гамильтоновой системы на кокасательном
расслоении Т* М проецируется в геодезическую х(1) на М. Обратно, если ю($) —
произвольная геодезическая, х(1) — ее поле скоростей, а р(1) — ковекторное поле,
полученное из х(1) поднятием индекса с помощью римановой метрики, то пара
(ж(^),р(^)) — решение гамильтоновой системы уравнений на Т*М с определенным
выше гамильтонианом Н.
Лекция 11. Тензор кривизны

Вопрос о существовании евклидовых координат для данной связности
(метрики) уже затрагивался нами выше. В качестве одного из препят-
ствий к построению таких координат, мы указали тензор кручения аф-
финной связности. В данном разделе мы определим и изучим так назы-
ваемый тензор кривизны. Оказывается в терминах тензоров кривизны и
кручения можно сформулировать критерий существования евклидовых
координат. Мы дадим здесь два определения тензора кривизны.

11.1. Координатное определение тензора кривизны

Если на многообразии М с аффинной связностью Г существуют евкли-
довы координаты (з1,...  то в этих координатах операция ковари-
антного дифференцирования в связности Г совпадает, по определению, с
операцией частного дифференцирования (так дело обстоит, например в
Ж" с евклидовой связностью и евклидовыми координатами (г1,... , !”))•
Поэтому для любого векторного поля Т на М имеет место равенство

=

д'2Т*
дгЧдхР

= у7д(Х7рТ').

О%РО^	/

Таким образом, в евклидовых координатах (если такие существуют) вто-
рые ковариантные производные не зависят от порядка. Отметим, что
равенство

-- тензорное, поэтому оно или имеет, или не имеет место во всех систе-
мах координат сразу.

Итак, пусть теперь М — многообразие с аффинной связностью Г, и Г
— векторное поле на М. Вычислим Х7р(Х7д7'г) в локальных координатах
(ж1,... ,Хп). Получим:

/ дТ* \

Ур^дГ)=Ур(^+Г^) =

8	.	\	.	\	/ АТ* .	\

__ I у  рг ра \  рг I _____ । р/3 ра \ _ р/3 /	 рг рц \ _

~ дхЛдх*	) Рр\дхЧ	пр )~

_ и ' I ад гра  рг и± I рг и1 
дх^дхр дхр ад дхр дхя

। рг р/3 гра _р/3	_р/3 рг ра

“Г1/Зр1ад2 к др дх13 к ЯР1-а/31 >

где подчеркнутые слагаемые симметричны по р и д. Ясно, что Х/ДХ/дТ*)
получается из предыдущего выражения перестановкой индексов р и д.
Поэтому

(7,7, - 7.7ДГ =	+ г;^, - Г^Г2„)Т“ +

I (г13 _ р/3 \	рг та\

т у-рд <гр>\дх13 '	^/3	/•

Отметим, что во втором слагаемом стоят уже известные нам компо-
ненты тензора кручения О аффинной связности Г. Обозначим множи-
тель, стоящий перед Та через Вф рч. Тогда последнее выражение пере-
пишется в виде

- 7^Р)Т’ = ^амТа +

где

гр _ ад _ ар . рг р/3 _ р« р/3
Ла рд дхр д д т 1 (Зр1- ад 1 (Зд1- ар-

Из того обстоятельства, что все слагаемые в равенстве (*), за исключе-
нием Кга рдТа — тензорные, и Та — компоненты произвольного вектор-
ного поля, вытекает следующий результат.

Лемма 11.1. Соответствие, сопоставляющее произвольным локаль-
ным координатам (аг1,... , ж”) на многообразии М набор функций В1а рд
задает на М тензорное поле В типа (1,3).

Определение. Тензорное поле В типа (1,3), компоненты которого в ло-
кальных координатах (аг1,... , х11) на многообразии М с аффинной связ-
ностью Г задаются в виде

орг Ярг
о» _ ад _ ар , рг р/3 _ рг р/3
Ла рд д р д д "т 1 (Зр1- ад 1 (Здк ар-

называется тензором кривизны аффинной связност,и Г.

Утверждение 11.1. Если на многообразии М существуют евклидовы
координаты в окрестности точки Р для связности Г, то тензор кри-
визны этой связности равен нулю в этой окрестности. Если же тен-
зор кривизны связности Г в окрестности некоторой точки Р отличен
от нуля, то в окрестности точки Р нельзя выбрать евклидовы коор-
динаты (в смысле связности Г).

Доказательство. Это очевидно: тензор кривизны в евклидовых коор-
динатах равен нулю и, поэтому, если евклидовы координаты существуют,
то тензор кривизны тождественно равен нулю в произвольных коорди-
натах.
Замечание. На самом деле, верно и обратное утверждение: если тензор кри-
визны симметричной связности Г равен нулю, то существуют евклидовы
координаты. Однако доказательство этого утверждения лежит за рамками
нашего курса и сводится к разрешимости системы уравнений в частных про-
изводных (см. в следующей лекции комментарии для случая римановых мно-
гообразий).

Очевидно, что тензор кривизны обладает следующей косой симме-
трией: Н'а м = —Н'а др. Именно этим объясняется пробел, который мы
ставим между первым и остальными двумя нижними индексами тен-
зора кривизны — он позволяет визуально выделить кососимметричные
индексы.

Другие симметрии тензора кривизны удобнее изучать в терминах его
инвариантного определения. Чтобы дать это инвариантное определение,
нам понадобится понятие коммутатора векторных полей на многообра-
зии.

11.2.	Коммутатор векторных полей

Пусть М — гладкое многообразие, и V — произвольное векторное поле
на М. Тогда определено отображение пространства Р(М) гладких функ-
ций на М в себя, переводящее произвольную гладкую функцию / из
Р(М) в функцию У(/), значение которой в точке Р есть производная
по направлению вектора У(Р) от / в точке Р. Пусть теперь имеется два
векторных поля V и IV. Рассмотрим отображение [V, И7] пространства
Р(М) в себя, заданное так:

[П,Ж]:/^П(ИД/))-Ж(П(/)),	/ е Р(М).

Имеет место следующая лемма.

Лемма 11.2, В сделанных выше обозначениях, существует единствен-
ное гладкое векторное поле А на М, такое что А(/) — [V, 1Т](/) для
произвольной гладкой функции ф е Р(М). Если (ж1,... ,хп) — локаль-
ные координаты на М, то компоненты векторного поля А вычисля-
ются через компоненты полей V и IV в этих координатах по следую-
щим формулам:

Доказательство. Нам нужно проверить, что отображение [V. IV] явля-
ется дифференцированием в каждой точке многообразия М (напомним,
что касательный вектор можно определить как дифференцирование).
Для произвольных функций / и д из Е(М) и произвольных чисел а и /3
имеем:

[V,	+ № = У(«ТУ(/) + Ж(<7» - ТГ(«У(/) + /ЗУ(<?)) =

= а(У(ТИ(/)) - ТУ(У(/))) + /3(У(И%)) - ИЖЫ)) =

= а[У,ТУ](/) + Ж,И>),

поэтому операция [V, V] линейна на Л(М). Проверим правило Лейбница.

[У,	= У(т/)9 + М)) - 1У(У(/)3 + /У(р)) -

=	+ ТУ(/)У(5) +	+ /У(1У(5)) -

- м(уи))д - У^ууНд) - тПУ(д) - Ж(У(р)) =

= [У,Ж/)^+/[У,ТУ](Л-

Итак, мы показали, что [V, И7] — дифференцирование. Поэтому она
задает векторное поле на М, которое мы обозначим через А.

Пусть (а;1 *,... , х") — локальные координаты на М. Вычислим в этих
координатах [У, И/](/). Имеем:



1'(ИЛЛ) - И--(1'(/)) =	=

<Э/"' \дха / дх& \дха /

и 7 шау<3
дхадх!3

д/ д'ша /3
дха дх!3 У

и 3
дх^дх01

дх* дх33

дша

----Тб

дх13

дуа

----?//
дхА

^11)^	^77^

Положим а" = „ ,, у^3 —	Тогда

ох?	охр

[К ТУ] (Л =

^аа = Л(Л,
дха

Таким образом, (а1,... ,а”) — это компоненты векторного поля А в
координатах (ал1,... ,хп). Лемма доказана.

Определение. Векторное поле [V, И^] называется коммутатором век-
торных полей V и IV.

Приведем несколько простейших свойств коммутатора.

Утверждение 11.2. Операция коммутирования векторных полей обла-
дает следующими свойствами.

1) Косая симметрия', для любых полей X и X имеет место равен-

ство [Х,У] = -[У,Х].
2)	Линейность над К1: для любых полей X, У и 2 и любых чисел а и
/3 имеет место равенство

[X, «У + 32] = а[Х, + Д[Х, 2].

3)	Правило Лейбница: для любых двух полей X и У и гладкой функции
/ € Д(М) имеют место равенства

[X, /У] = /[X, У] + Х(/)У,	[/X, У] = /[X, У] - У(/)Х.

4)	Тождество Якоби: для любых полей X, У и 2 имеет место ра-

венство

[X, [У, 2]] + [У, [И, X]] + [2, [X, У]] = 0.

5)	Если (х1,... ,хп) — произвольная система локальных координат
на многообразии, и дх, и дх, - координатные векторные поля, то

[<Э.Г.,<Э^] = 0.

Доказательство. Первые два свойства очевидны. Докажем правило
Лейбница. Имеем:

[Х,/У](Л) = Х(/У(/г)) - /У(Х(Д)) =

= Х(/)У(Д) + /Х(У(Л)) - /У(Х(Л)) = (/[Х,У] + Х(/)У)(Д),

что и требовалось (мы несколько раз пользовались правилом Лейбница
для дифференцирования функций). Второе тождество проверяется ана-
логично.

Для проверки тождества Якоби достаточно заметить, что

X, [У,Л]1(Л.) =Х([У,Я](Л.)) -[У,Я](Х(Л.)) =

= Х((У7 - ХУ)(Л)) - (У 2 - 2У}(Х(1г)) =

= (ХУ 2 - Х2У - У2Х + ХУХ)(/г),

а остальные два слагаемых получаются из этого циклической переста-
новкой полей X, У, и 2. Поэтому

[X, [У, 2]] + [У, [2, X]] + [2, [X, У]] = (ХУ 2 - Х2У - У2Х + 2УХ) +
+ (У2Х - УХ2 - 2ХУ + Х2У) + (2ХУ - 2УХ - ХУ2 + УХ2) = 0.

Отметим, что это доказательство в точности совпадает с доказатель-
ством тождества Якоби для линейных операторов, известным из линей-
ной алгебры.
Пункт 5 утверждения 11.2 представляет самостоятельный интерес.
Пусть в области [7 гладкого п-мерного многообразия М задано семей-
ство векторных полей {А'1,... ,Ага}, такое что в каждой точке Р € Ш
векторы {АДР)} образуют базис в касательном пространстве ТрМ.
Возникает естественный вопрос: существует ли в 11 система коорди-
нат (х1,... ,хп), такая что дх> = А^? Оказывается, такие координаты
существуют не всегда, и пункт 5 утверждения 11.2 — это необходи-
мое условие существования таких координат. Покажем, что это условие
является так же и достаточным.

Утверждение 11.3. Пусть в области V гладкого п-мерного много-
образия М задано семейство векторных полей {А1,... , Ага}, такое что
в каждой точке Р Е 11 векторы {АДР)} образуют базис в касатель-
ном пространстве ТрМ. Если коммутаторы [А^, АД векторных полей
равны нулю, то в некоторой области V' С 11 существуют координаты
(дт1,... ,хп), для которых дх> —

Доказательство. Пусть (у1,... , у”) — локальные координаты в обла-
сти 11, и ду> — соответствующие координатные векторные поля. Мы хо-
тим сделать такую замену координат х1 = х*(у1,... ,уп), что дх. = X*.
Как известно,

ду01

откуда условие дх, = X,. равносильно системе уравнений

дуа
д.Р

1 < г, а

< п

на неизвестные функции уг(х3 ,... ,хп). Поскольку все происходит в од-
ной карте, которая, как можно предполагать, гомеоморфна диску, необ-
ходимое и достаточное условие разрешимости этой системы уравнений
(по лемме Пуанкаре) состоит в следующем:

д2уа = д2уа _®—ха = — V"
дх'дх3 дх'дх' дх'1' 1 дх1" 3 '

Функции А" — суть компоненты векторного поля X, в исходных коор-

динатах (у1,... ,уп), поэтому

д	= X'3 - X»

дхП 1 дх1 дуб"1 "здур"1’

откуда

/9/9	г)	3

и у а   ___ у а	уу а   у/3	у а	>

дхд" 1 ~ дх*" 3	" 3 ду'3" 1	1 ду'3" 3

[А^,А,] = 0,

что и требовалось.
11.3 Инвариантное определение тензора кривизны

139

Нам также будет полезен следующий результат.

Лемма 11.3. Для симметричной аффинной связности имеет место то •
ждество

[X, У] = ХхУ - ХуХ,

где X иУ — произвольные векторные поля.

Доказательство. Вычислим компоненту правой части проверяемого ра-
венства в локальных координатах (ж1,... , ж"). Имеем:

(ХхУ-ХуХ)к = х\— +Г^)-У’(^-+Г^) =

__	___। \	— Р&
дх‘ длг	А

Слагаемое в скобках равно нулю в силу симметричности связности. По-
этому

(ХХУ - ХуХ)к = Х^ - У^ = ([Х,У])\
что и требовалось.

11.3.	Инвариантное определение тензора кривизны
для симметричной связности

Пусть М — гладкое многообразие с симметричной аффинной связно-
стью Г, и А', У и 2 — векторные поля на М. Построим оператор
кривизны В, положив

В(Х, У)2 = ХхХу2 - ХуХх2 - Х[х,у]2.

Если Х(М) пространство векторных полей на М, то оператор кри-
визны это отображение К: Х(М) х Х(М) х Х(М) —> Х(М).

Лемма 11.4. Отображение В трилинейно относительно умножения
на функции и, поэтому, задает тензорное поле типа (1,3), совпадаю-
щее с тензором кривизны.

Доказательство. Пусть / - гладкая функция на многообразии М. По-
кажем сначала, что В[Х,У)Д 2~) = /В.(Х, У)2. Действительно,

Я(Х,У)(/Д) = УхУу(/Д) - ХуХх№ - 7[х>у](/Я) =

= Vx((Vу/)Я+/Vу7)-Vу((Vx/)^+/VxЯ)-(V[x,у]/)7-/V[x,у]7 =

= (ХхХуф)2 + (Ху/)Хх2 + (Ух/^у/ + /ХхХу2 -

- (Уу^хЛ2 - (Vx/)Vу^ - (Хуф)Хх2 - /ХуХх2 -

- (Х[х,у]ф)2 - фХ[х,у]2 =

— /(Ух^у2 - ХуХх2 - /Х[Х,у]2) +

+ 2{ХхХуф - ХуХхф - Х[Хд-]ф).
Второе слагаемое в этой сумме равно нулю, так как

Х7хХ7у/ - УуУх/ = *(У(/)) - У(Х(/)) = [Х,У](/) = У[х.у]/,
поэтому окончательно:

Я(Х,У)(/7) = /Ух7уХ - Х7уХ7%Я - /У[Х,У]2) = /П(Х,У)(Х),
что и требовалось.

Покажем теперь, что Щ/Х, У)2 = /Я(Л", У)7.. Действительно:

Л(/Х, У)7 = VуЯ - ХуХ(х2 - V[/x,у]Я.

Пользуясь очевидным равенством	и правилом Лейбница

для коммутатора получим:

Я(/Х,У)7 = _/^^у7 - Vу(/VxЯ) - VЛх,у]-у(/)х^ =

= Л7^у7 - (Уу/)7Х2 - /УуУх2 - /У[х,у]2 + У^УХ2 =

= /(УХУу2 - ХуХхХ - /У[Х,У]2),

что и требовалось. Равенство К(Х, /У)2 = /П(Х,У)2 проверяется
точно так же. Итак, мы проверили линейность отображения К по ка-
ждому аргументу.

Покажем теперь, что П задает тензорное поле типа (1,3). Пусть
(а;1,... ,хп) локальные координаты на М. Запишем векторные поля
X, У и 2 в виде .V = Хадх«, У = У$дхр и 2 — 2^д9ч подставим получен-
ные выражения в оператор кривизны. В силу доказанной линейности,
имеем:

П(Х,У)2 = Е(Хад^,У13дх0)(2'-/дх-1) = ХаУ!32'’К(дха,дх^(дх-<).

Величины Е(дха,дх!з)дХ1 являются векторами, поэтому могут быть за-
писаны в виде

ЩИг, дхц )дх-> = Т* а0дх,.

Сопоставим координатам (ж1,... ..<•“) набор величин Т‘ а/3. Из дока-
занной линейности относительно умножения на функции вытекает, что
при замене координат эти величины меняются по тензорному закону,
т.е. являются компонентами тензорного поля. Лемма доказана.

Покажем теперь, что тензорное поле Т, соответствующее оператору
кривизны, совпадает с определенным нами выше тензором кривизны.
Чтобы вычислить компоненты поля Т в координатах (ж1,... ,хп), сле-
дует найти значение Е(дха, дх? оператора кривизны на векторах ка-
нонического базиса. Поскольку коммутатор , дх/з] координатных по-
лей равен нулю, имеем:

Е{дха,	)<1Х~' — Vзха Vдхч VУдХ1.
Задачи

141

Проделав вычисления, аналогичные приведенным в разделе о коорди-
натном определении тензора кривизны и воспользовавшись симметрией
аффинной связности, получим

И{дха ,дх!з)дх1 —

ЛГ* ЯГ®

7/^ __ 7а । рг рА: ________ р> рА

0ха Ох13 "г1	71(5 1 гуп

откуда, компоненты а0 совпадают с компонентами тензора кривизны,
что и требовалось.

Замечание. Отметим, что ^дхР дхк — это векторное поле, а ’^р'\7чдхк
- тензор типа (1, 2), поэтому их приравнивать нельзя и, значит, нельзя вос-

пользоваться вычислениями для	непосредственно.

Задачи

Задача 11.1. Если А — квадратная вещественная матрица размера (пхп), то обо-
значим через Тд векторное поле в К1*, заданное так: Уд (л) = Аа>, х 6 К". Показать,
что [ГдЗв] = Цй,А]> гДе слева стоит коммутатор векторных полей, а справа —
векторное поле, порожденное коммутатором матриц.

Задача 11.2. Пусть на сфере С К4, стандартно вложенной вК4, т.е. У^(ж^)2 =
заданы векторные поля X и У, которые в произвольной точке (ж1,ж2,ж3,ж4) € 53
имеют вид

X = (ж2, —ж1, ж4, —ж3),	У = (ж3, ж4, —ж1, —ж2).

Найти [X,У].

Задача 11.3. Пусть Л' С Л/ — подмногообразие гладкого многообразия X, и пусть
X и У — гладкие поля на объемлющем многообразии М, касающиеся X в точках
из X. Тогда определены ограничения Х|уу и У|дг полей на подмногообразие. По-
казать, что [X, У]|ту = [Х|.№,У/у], т.е. “коммутатор можно считать в объемлющем
пространстве.”

Задача 11.4. Вычислить тензор кривизны одномерного многообразия с произволь-
ной аффинной связностью.

Задача 11.5. Пусть V — ковариантное дифференцирование в К3 в стандартной
евклидовой связности. Рассмотрим новую операцию, заданную на векторах так:

= ’ГхУ + х У.

Показать, что это — ковариантное дифференцирование в некоторой связности. Вы-
числить ее тензоры кривизны и кручения.

Дополнительный материал

11.1. Скобки Пуассона. Пусть М = М2п —симплектическое многообразие с сим-
плектической структурой ш. Скобкой Пуассона двух гладких функций / и д на М
называется гладкая функция на М, заданная так:

{/, 9} =	д, 8§габ /) = (8§габ /)д.
В произвольных локальных координатах (я:1,... ,ж2п) на М значение скобки Пуас-
сона может быть вычислено по формуле

{1,9}=^

д9_<4_
дх1 дх3 ’

где, напомним, через ц>'3 обозначены компоненты матрицы, обратной к матрице )
компонент формы о>.

Утверждение 11.4. Операция взятия скобки Пуассона билинейна над К, кососим-
метрична и удовлетворяет тождеству Якоби

{Л, {Л 9}} + {9, Рь /}} + {/, {?, А = О

Доказательство. Первые два свойства очевидны из определения. Третье свойство
докажем для случая М = М2п, ш	дхг /\(1уг. (Напомним, что в силу теоремы Дарбу

это предположение не меняет общности рассуждений.) Заметим, что выражение вида
{/1,{/, записывается в локальных координатах в виде суммы, каждое слагаемое
которой содержит вторую производную функции / или д. Поэтому, если записать
левую часть тождества Якоби в координатах, то вторые производные функции /
входят в выражения {/г, {/, 5}} и {д, {Н, /}}. С другой стороны, пользуясь предста-
влением скобки Пуассона в виде производной одной функции вдоль косого градиента
другой и косой симметрией, имеем:

{Л, {/, б}}+{9, {1г, /}} = -{Л, {й, /}}+{9, {Л, /}} = -{Л, (з§га4 д)1}+{д, (з§гас11г) 1} =
= — (8§га<1 Н 8§габ д)/ + (8§га<1 д 8§габ А)/ = [8§габ д, 8§гас1 Щ/.

Но полученное выражение, равное результату дифференцирования функции / вдоль
векторного поля, не содержит вторых производных функции /. Поэтому вторые
производные функции / входят в левую часть тождества Якоби с нулевым коэффи-
циентом. Значит все слагаемые тождества Якоби равны нулю, что и требовалось.

Следствие 11.1. Для произвольных гладких функций / и д на симплектическом
многообразии имеет место следующее тождество

8§га4{/,й} = [8§гаа/,8§гаай].

Доказательство. Для произвольной функции /г, в силу определения косого гради-
ента и скобки Пуассона, а также в силу ее косой симметрии и тождества Якоби,
имеем

(8§гаа{/,,9})/г = ш(8§гаа/г,88гаа{/,5}) = {{/,5}, А} = —{А, {/,9}} =

= -{дЛ/Л}} + {/,{дЛ}} = [8§гаа/,з§гаа5](/1),
что и требовалось.

Рассмотрим на симплектическом многообразии М гамильтонову систему уравне-
ний х = 8§гад Н с гамильтонианом Н. Напомним, что функция / называется первым
интегралом системы уравнений, если / постоянна на решениях этой системы. На-
личие первых интегралов позволяет уменьшить количество неизвестных функций,
перейдя к рассмотрению уравнений на поверхности уровня первого интеграла.

Утверждение 11.5. Функция / является первым интегралом гамильтоновой си-
стемы х = 8§гас1 Н, если и только если {/, Н} = 0.

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что производная функ-
ции / вдоль решения системы х = 8§гас1Я равна 8§гас1Я(/) = {Н,/}. Предложение
доказано.
Лекция 12. Случай римановой связности
(тензор Римана)

Пусть М — риманово многообразие с римановой связностью. Тензор
кривизны римановой связности часто называют тензором Римана со-
ответствующего риманова многообразия.

12.1.	Новые симметрии тензора Римана

Мы начнем с доказательства тождества Якоби, которому удовлетворяет
тензор кривизны произвольной симметричной аффинной связности.

Утверждение 12.1 (Тождество Якоби). Пусть М - многообразие
с симметричной аффинной связностью, и В, — тензор кривизны этой
связности. Тогда для любых векторных полей X, У' и 2 имеет место
равенство

К[Х, У)Х + 7?(У, 2)Х + К(2, Х)У = О,

или, в локальных координатах, Вд рд + Вр + В\ • — 0.

Доказательство. Заметим, что в силу полилинейности оператора кри-
визны В тождество Якоби достаточно проверить для координатных век-
торов, коммутаторы которых равны нулю. Поэтому тождество Якоби
сводится к равенству

X хХ у 2 ~ ХуХ хД + ХуХ^Х — ХгХуХ + X ДХ х^ ~ ХхХ^Д,

где У, У и 2 — координатные векторные поля. Последнее равенство
очевидно, так как в силу леммы 11.3

ХхХу2 - ХхХ2У = Хх (Ху2 - У2У) = УЛ-[У, 2} = 0.

Утверждение доказано.

Если многообразие М риманово, и Г риманова связность, то
тензор кривизны этой связности обладает дополнительными симметри-
ями.

Утверждение 12.2. Пусть М — риманово многообразие, Г — рима-
нова связность и К — соответствующий тензор кривизны.

•	Для любых векторных полей X, У, 2 и IV имеет место равенство
У)2,1У^ + {В.(Х, У)1У, 2) = 0, где (•,•) - скалярное произ-
ведение в римановой метрике. В локальных координатах имеем:
Вц рд — В-р рд, где Вц рд — 9гаВд рд.
•	Для любых векторных полей X, У, 2 и!У имеет место равенство
{Е(Х,У)2,1У) = (Е(2ДУ)Х,У), или в локальных координатах:
Ец РЯ ~ ^РЯ о

Доказательство. Для доказательства первого свойства рассмотрим опе-
ратор Е(Х, У) — ХхХу — ХуХх ~ У[х,у] и изучим, как он действует
на функциях. Очевидно

П(Х,У)Д) = Х(У(/)) - г(х(/)) - [Х,У](/) = о

для произвольной функции /. Поэтому требуемое равенство можно пе-
реписать в виде

О = Е(Х, У) ((Я, ТУ)) = (Е(Х, У)2, ТУ) + (2, Е(Х, У)ТУ),

т.е. как аналог правила Лейбница для оператора Е(Х, У), действующего
на скалярное произведение. Вычислим левую часть этого выражения.

Е(Х, У) «2, ТУ)) = Хх «Ху 2, ТУ) + {2, УуТУ)) -

-	Ху «Хх2, ТУ) + {2, ТУ)) - (Х[х<г]2, ТУ) - {2, У[х,у]ТУ) =

= (ХхХу2, ТУ) + {Ху 2, УхТУ) + (Ух У, УуТУ) +

+ {2, УхУуТУ) - (УуУх 2, ТУ) - (Хх2, УуТУ) -

-	(Уу7,УхТУ) - (7,УуУхТУ) - (У[х,у]И,ТУ) - {2, У[х,у]ТУ).

После сокращения получаем

Я(Х,У)((Я,ТУ)) = {ХхХу2,\У) - (УуУх2, ТУ) - (У[х,у]2,ТУ) +

+ {2,ХхХу1У} - (^,УуУхТУ) - <^,У[х,у]ТУ) =
= (Я(Х, У)2, ТУ) + {2, Е(Х, УШ),

что и доказывает первое свойство.

Второе свойство вытекает из уже доказанных нами симметрий тен-
зора кривизны. Действительно, умножив тождество Якоби для полей X,
У и 2 скалярно на И7, мы получим равенство

(2?(Х, У)2, ТУ) + {Е(У, 2)Х, ТУ) + {Е(2, Х)У, ТУ) = 0.
< -у_

О	1	2

Аналогично, сделав циклические перестановки всех четырех аргумен-
тов, найдем

(Я(У, Я)ТУ, X) + (Я(Я, ТУ)У, У) + (Я(ТУ, У)Я, X) = 0,

1	3	4

(Д(Я,ТУ)Х,У) + (Д(ТУ,Х)Я,У) + (Л(Х,Я)ТУ,У) - о,

3	6	2

(Л(ТУ,Х)У,7) + (Л(Х,У)ТУ,Я)+(Л(К,ТУ)Х,7) = 0.

5

О

4
Заметим теперь, что слагаемые, помеченные 0, 1, 3 и 5 отличаются зна-
ком в силу тождества {Н(Х, У) 2, ТУ) = — (_Й(АГ, У)ТУ, 2}, а слагаемые,
помеченные 2 и 4, совпадают в силу того же тождества и косой сим-
метрии К(Х,У) = 7?(У, А). Поэтому, обозначив слагаемое, помеченное
цифрой к через и сложив все четыре уравнения, получим

(#0+#1+#2) + (-#1+#3+#4) + (-#3+#5+#2) + (-#5-#0+#4) =
= 2(#2 + #4)=0,

т.е.

(Л(Х, А')У, ТУ) + (Я(1У, У)2, X) = (Я(2, Х)У, ТУ) - (Я(У, \У)2, X) = О,
что и требовалось. Утверждение доказано.

Поскольку евклидовы координаты в смысле римановой связности —
это, как мы уже знаем, то же самое, что евклидовы координаты для
римановой метрики, тензор кривизны на римановом многообразии от-
вечает за возможность выбора локальных координат, в которых метрика
постоянна. А именно, имеет место следующее утверждение.

Утверждение 12.3. Если тензор кривизны на римановом многообра-
зии не равен нулю, то на этом многообразии нельзя ввести коорди-
наты, в которых компоненты метрики были бы постоянны.

Замечание. Отметим, что при этом тензор кривизны достаточно вычислить
в любой системе координат, поэтому это утверждение действительно эффек-
тивно.

Замечание. На самом деле имеет место и обратное утверждение: если тен-
зор кривизны риманова многообразия равен нулю, то в окрестности каждой
точки существуют координаты, в которых метрика постоянна.

Тензор кривизны — это очень сложный объект: он имеет (сйт Л/)4
компонент (на самом деле, в силу симметрий независимых компонент
меньше, см. ниже).

Упаажнение 12.1. Сколько независимых компонент имеет тензор кривизны п-мер-
ного риманова многообразия? Разобрать отдельно случаи п = 2 и п = 3.

Часто изучают различные свертки тензора кривизны, которые, ока-
зывается тоже несут в себе определенную геометрическую информацию.
Особенно часто встречаются две таких свертки.

Тензором Риччи римановой связности называется тензор С) (Л'), где
Я — тензор кривизны этой связности. Компоненты тензора Риччи 7?,
очевидно, выглядят так:	= да)3В,ргар Из последней фор-

мулы ясно, что тензор Риччи симметричен. Далее, скалярной кривизной
В риманова многообразия называется полная свертка тензора Риччи, у
которого предварительно поднимают индекс: В = да,3Но,13 = да13Вга113.
Один пример использования этих сверток мы разберем ниже.

Нам также полезно будет найти явный вид компонент тензора кри-
визны римановой связности в терминах компонент римановой метрики.
Ясно, что если (а;1,... , хп) - локальные координаты на римановом мно-
гообразии М, то компонента В!/ рЧ тензора кривизны, у которого опу-
щен верхний индекс, может быть вычислена так:

Вурд ~

где др = дхк — вектора из канонического базиса. Так как координатные
векторные поля коммутируют, см. утверждение 11.2, можно переписать
это выражение в виде

Яу РЧ ~ Ф	(V

Вычислим первое слагаемое (второе получается из него перестановкой
индексов). Для этого, воспользовавшись тем, что связность согласована
с метрикой, перепишем это слагаемое в виде

= у9>9,м» - (ад, ^9Д).

Так как в силу леммы 7.4

ад = г» э(

а	— компонента римановой метрики, имеем:

(У9рУ9,ад> = -да^Л-

Далее* вспомним, что символы Кристоффеля римановой связности вы-
ражаются через компоненты метрики так:

ту _ 1 «а (^9}а ,	_ дд^ \

У \ дхк дх9 дха /

Поэтому

г«„. _ 1(ддл , ддр дд^у

1Ч 1а 2 V дх1 дхЗ дх‘ / ’
откуда

— Гг“ а 1	+	А

дх.Р V 79	/	2 Удх^дхР дх^дхР дх1дх.Р/'

Таким образом,



д29дг _ д2д^_\ _	0

дх^дхР дх1дхр) а0 29 гр'
Поэтому

РЯ ~	, д/} (V0^дрЭ],дг} —

_ 1 7 д"9дг______д"9;)<1__д'9рг д^д^р \ _	.

2\дх^дхР дайдхр дх^дх9 дхддх9) У 29 1р 2Р ’«

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Утверждение 12.4. Пусть М — риманово многообразие. Тогда ком-
поненты тензора кривизны римановой связности на многообразии М в
координатах (.г1,... ,хп) могут быть вычислены по формуле

= 1 / д2дщ _ д2д^___д2д_^_	д2д^р \ _	/5 _	.

2\дх^дхр дх‘дхр дх^дх9 дх*дх9 /	“/5 29 гр	л> 19

где д;; — компоненты римановой метрики, а Г’А. — символы Кристоф-

феля в координатах (ж1,... , хп).

12.2.	Тензор кривизны двумерной поверхности

В качестве иллюстрации, мы вычислим тензор кривизны римановой связ-
ности для регулярной двумерной поверхности М2 в евклидовом про-
странстве К3 (метрика на М2, естественно, индуцируется из К3). В
частности, мы получим еще одно доказательство знаменитой теоремы
Гаусса о независимости гауссовой кривизны от изометрии поверхности.

Итак, пусть М2 С К3 — регулярная двумерная поверхность, и Р
произвольная точка на ней. Введем в К3 специальную декартову си-
стему координат: поместим начало ее в точку Р, оси х и у расположим
в касательной плоскости ТрМ, а ось г — по нормали к поверхности.
Тогда, очевидно, поверхность М в окрестности точки Р представляет
собой график некоторой гладкой функции г = /(х, у), причем <1/(Р) = 0.
Поэтому в координатах (ж, у) на поверхности М матрица первой квадра-
тичной формы имеет вид

з _ ( 1 + Л Л ЛЛ А
9л>-\ ЛЛ 1 + ЛЛЛ

где нижним индексом обозначено частное дифференцирование по соот-
ветствующей координате, причем в точке Р метрика (ду) — это еди-
ничная матрица, а символы Кристоффеля Г’д. — 0, так как все частные
&9гз	ту

производные . в точке Р равны нулю.

дхр

Теперь все готово для вычисления тензора кривизны. В случае дву-
мерного многообразия тензор кривизны К имеет, вообще говоря, 16 ком-
понент 1?ц рд. Однако, в силу косых симметрий тензора кривизны, среди
этих компонент отличны от нуля лишь те, у которых первые два и по-
следние два индекса различны. Таких компонент четыре, причем они
отличаются друг от друга знаками:

Д| 12 = ~-»?21 12 = Р-21 21 = “ Л12 21-

В силу утверждения 12.4 и равенства символов Кристоффеля в точке
Р нулю, компонента /?12 12 может быть вычислена так:

В	„-1(д2д21	92922	д?д11	,	921 \	1 (2д2д-21	д2д22	д2ди\

122\дудх	дхдх	дуду	дхду 1	2\ дудх	дхдх	дуду/

где аг1 = х и х2 = у. Воспользовавшись явным видом метрики д^, най-
дем:

Л12 12	=	2	— (1 + (/у)2)хх — (1 + (1х)2)уу) =

—	(,/хх/у + Зх/ух)у ~ (/х/ку)у ~ (/у/ух)х-

Наконец, запишем значение компоненты 12 в точке Р, в которой,
напомним, все первые частные производные функции / обращаются в
нуль, поэтому соответствующие слагаемые можно не писать:

И12 12 = /хх/уу + /ху/ху ~ /ху/ху ~ /ух/ух = /хх/уу ~ /ух/ух = &

где через К(Р) обозначена гауссова кривизна поверхности М в точке
Р. (Напомним, что гауссова кривизна вычисляется как отношение опре-
делителей первой и второй квадратичных форм. Определитель первой
квадратичной формы в точке Р равен единице. Вторая квадратичная
форма поверхности М в точке Р в координатах (х, у) совпадает с ма-
трицей Гессе функции /.) Итак, компонента щз 12 в координатах (х, у)
совпадает с гауссовой кривизной поверхности. Вычислим теперь ска-
лярную кривизну Л(Р) поверхности М в точке Р. По определению,

К(Р)=дадП^0=дадд^а >0.

В силу косых симметрий тензора Г!,,, имеем:

Л(Р) = ЛПК12 12 +	12 + „Ч/Чл, 21 + 912912л12 21 =

= В12- Л12 + Л11 - ?2912) =

\9гз )

В частности, в точке Р имеем

Д(Р) = 2К(Р).

Отметим, что последнее равенство - это равенство скаляров, поэтому
оно не зависит от выбора системы координат. Итак, нами доказан сле-
дующий результат.
Утверждение 12.5. Пусть М - - регулярная поверхность в К3. Тогда
ее скалярная кривизна равна удвоенной гауссовой кривизне.

Следствие 12.1 (Теорема Гаусса). Гауссова кривизна двумерной ре-
гулярной поверхности полностью определяется первой квадратичной
формой этой поверхности. В частности, гауссова кривизна не меня
ется при изометриях.

Доказательство. Это очевидно, так как компоненты тензора кривизны
римановой связности полностью определяются компонентами метриче-
ского тензора.

12.3.	Независимые компоненты тензора Римана

В предыдущем разделе мы убедились, что тензор Римана двумерного
многообразия имеет лишь одну независимую компоненту, а именно 12
Это означает, что все остальные компоненты или равны нулю, или вычи
сляются по /?12 12 (на самом деле, не нулевые компоненты или совпадают
с Иц 12, или отличаются знаком, см. выше).

Сосчитаем теперь количество независимых компонент тензора Ри-
мана в общем случае п-мерного риманова многообразия. Для этого вос-
пользуемся известными нам симметриями этого тензора, см. утвержде-
ния 12.1 и 12.2. Во-первых, тензор Римана Д’,, и кососимметричен по
первой I] и последней к1 парам индексов. Это означает, что каждая из
этих пар принимает = С2 независимых значений. Далее, тензор Ри-
мана симметричен относительно перестановки первой и последней пар
индексов. Другими словами, если I — г у и К — к1 — мультииндексы,
то Вик — Таким образом, у нас имеется симметричная «матрица»,
индексы I и К которой принимают Ж значений. Такая «матрица» имеет

+ 1)/2 независимых компонент. Итак, мы учли все известные сим-
метрии тензора Римана, кроме тождества Якоби, и получили

+ 1) _ п(п - 1)/2(п(п - 1)/2 + 1) _ (п2 - п)(п2 - п + 2)

2	“	2	-	8

компонент.

Итак, нам остается учесть тождества Якоби. Вообще говоря, тожде-
ство Якоби следует записывать для каждой четверки индексов. Каждое
такое тождество представляет собой линейное уравнение на компоненты
тензора Римана. Вычислим, сколько среди этих уравнений нетривиаль-
ных и независимых. Имеет место следующая лемма.

Лемма 12.1. Если среди четверки индексов г, у, к, I есть пара совпади
ющих, то тождество Якоби вытекает из других симметрий тензора
Римана. Если две четверки индексов г, у, к, I и г±, Д, к1: Г получены
друг из друга перестановкой, то соответствующие тождества Якоби
равносильны.
Доказательство. Докажем первое утверждение леммы. Если, напри-
мер, совпадают первые два индекса, то имеем:

к1 Ч” Ргк /г "1	гк = ОН-Ргк /г Ч”-Дг/ гк = Ргк 1г 4“	11 = Ргк 1г Ргк 1г = 0.

Остальные случаи разбираются аналогично.

Второе утверждение леммы достаточно проверить для транспозиций.
Сравним, например, тождества Якоби

-йу Ы Н" Ргк I) Н" Рг1 )к = 0 И йр Ы Ч" Р)к И 4" Рц гк = 0,

отличающиеся транспозицией (г/). Так как, в силу известных симме-
трии, Ру к1 — Рг) к11 Р)к И — Рц )к — Рй )к* & Р)1 гк — Ргк )1 — Ргк 1У
имеем:

Ру к1 + Р)к 1г + Р]1 гк — Рг) к1 Рц )к Ргк 1у

т.е. второе выписанное нами тождество вытекает из первого. Остальные
случаи разбираются аналогично. Лемма доказана.

Из доказанной нами Леммы 12.1 вытекает, что среди тождеств Якоби
следует учитывать в точности те, которые отвечают различным четвер-
кам попарно различных индексов. Таких четверок, а значит и тождеств,
тождеств имеется С„. Таким образом, число независимых компонент
тензора Римана равно

(п2 — п)(п2 — п Ч- 2) п(п — 1)(п — 2)(п — 3)	п2(п2 — 1)

8	24	“	12	’

Мы доказали следующий результат.

Утверждение 12.6. Количество независимых компонент тензора Ри-
мана п-мерного риманова многообразия равно п2(п2 — 1)/12.

Упражнение 12.2. В частном случае п = 3, число независимых компонент тензора
Римана равно 6, т.е. их ровно столько же, сколько компонент у тензора Риччи в этом
случае (напомним, тензор Риччи — это симметричный тензор типа (0,2)). Показать,
что компоненты тензора Римана в трехмерном случае выражаются через компоненты
тензора Риччи.

М. Громов в своих замечательных лекциях о тензоре Римана5 приво-
дит следующее рассуждение, объясняющее правдоподобность теоремы,
обратной к утверждению 12.3: если тензор кривизны риманова много-
образия равен нулю, то в окрест,ности каждой точки существуют ко-
ординаты, в которых метрика постоянна. Громов предлагает восполь-
зоваться соображениями размерности. А именно, пусть (у1,... ,уп) —

5М. Громов, Знак и геометрический смысл кривизны, Ижевск, Издательский дом
«Удмуртский университет», 1999.
некоторые координаты на п-мерном римановом многообразии в окрест-
ности точки Р, и [от) компоненты метрического тензора в этих ко-
ординатах. Наша цель — выбрать на многообразии такие новые коор-
динаты х1 = хг(у1,... , уп), что в них компоненты метрического тензора
будут постоянны. Хорошо известно, что линейной заменой координат

можно добиться того, что в точке Р компоненты метрики будут иметь

вид При этом, очевидно, .линейная замена определяется первыми

производными —— в точке Р. Далее, нетривиальным, но тоже хорошо
Эу]

известным является тот факт, что можно подобрать такую замену ко-

ординат, что и первые производные компонент метрического тензора (в
новых координатах) окажутся равными нулю в точке Р. Соответству-

юшая конструкция была описана выше, однако эта возможность может
быть предсказана из размерностных соображений. А именно, различ-
ных первых производных ? метрики имеется М = п2(п + 11 /2 штук
дх1''

(п(п + 1)/2 функций и п дифференцирований). Первые производные
Эх*

метрики определяются, очевидно, вторыми производными , коор-
дуэдук

динат, которых в нашем распоряжении имеется тоже М = п2(п + 1)/2
штук (п функций и п(п + 1)/2 дифференцирований). Таким образом,
управляя М параметрами мы зануляем М величин.

Следующий шаг состоит в попытке обратить в нуль вторые произ-

водные метрики, управляя третьими производными координат. Вторых
производных от метрики п2(п+1)2/4 штук (п(п+1)/2 функций и столько
же дифференцирований), третьих производных от координат — ?гС'®+2
штук (п функций и Сз+2 дифференцирований). Таким образом, количе-
ство производных больше имеющегося у нас в распоряжении количества

параметров на

п2(п + 1)2 (п + 2)(п + 1)п2	п2(п2 — 1)

4	6	“	12	’

что в точности равно числу независимых компонент тензора Римана.
Оказывается (еще раз подчеркнем, что мы и не думали этого доказы-
вать), как раз обращение в нуль компонент тензора Римана позволяет
обратить в нуль вторые производные метрики, а вслед за этим сделать
метрику постоянной в целой окрестности точки Р.

Задачи

Задача 12.1. Вычислить скалярную кривизну сферы радиуса К, плоскости Лоба-
чевского, прямого кругового цилиндра.

Задача 12.2. Пусть 8п — стандартная сфера радиуса К в евклидовом пространстве
Кп+1. Показать, что ее тензор кривизны может быть задан формулой

К(Л-, У)2 =	((У, 2}Х - {X, 2)У) .
Задача 12.3. Риманово многообразие называется пространством Эйнштейна, если
Яу = А(х)зу, т.е. метрический тензор пропорционален тензору Риччи. Показать,
что любое двумерное риманово многообразие является пространством Эйнштейна.

Задача 12.4. На трехмерном римановом многообразии выразить компоненты тен-
зора кривизны через компоненты тензора Риччи, метрику и скалярную кривизну.

Дополнительный материал

12.1. Тензор Римана трехмерного риманова многообразия. Как следует из
утверждения 12.6, тензор кривизны трехмерного риманова многообразия имеет 6
независимых компонент. Напомним, что тензор Риччи К.гз представляет собой сим-
метричную билинейную форму, поэтому тоже имеет 6 независимых компонент. По-
кажем, что в трехмерном случае компоненты тензора Римана выражаются через
компоненты тензора Риччи.

По определению, Нгз = да@Наг	< .7 < Посмотрим на эти 6 соот-

ношений как на систему линейных уравнений на неизвестные Наг р3. Из симметрий
тензора Римана вытекает, что достаточно найти компоненты Наг @3 тензора Римана,
для которых а < г, /5 < .у и пара (а, г) не превосходит пары (/?,.?) в естественном лек-
сикографическом порядке (т.е. или а < /?, или а = (3 и г < 7). Таких компонент, как
мы знаем, 6. Вот их полный список:

#12 12,	#12 13,	#12 23,	#13 13,	#13 23,	#23 33-

Итак, у нас имеется 6 линейных уравнений на 6 неизвестных. Компоненты матрицы
этой линейной системы выражаются через компоненты метрического тензора дгэ. А
именно,

#11 = 922#12 12 + 2д237?12 13 + 933#13 13,

#22 = 911#12 12 - 2§13К12 23 + 933#23 23,

#33 = $“#13 13 + '2д12Ец гз + $22#23 23,

#12 = -$“#12 12 — $“#12 13 + $“#12 23 + $“#13 23

#13 = -$“#12 13 — $“#12 ?3 — $“#13 13 — $“#13 23

#23 = $“#12 13 + $“#12 23 — $“#13 23 — $“#23 23-

Определитель этой системы равен 2(<1е1 дгз )2, поэтому не равен нулю. Таким образом,
система всегда разрешима, что и позволяет выразить компоненты тензора Римана
через компоненты метрики и тензор Риччи.
Лекция 13. Степень отображения

В этой и следующей лекции мы приведем несколько иллюстраций, де-
монстрирующих связь дифференциальной геометрии и топологии. Один
пример результатов подобного рода у нас уже был, а именно, теория ко-
гомологий де Рама. Здесь мы рассмотрим ряд конструкций, связанных
с понятием степени отображения, к определению которого мы и перехо-
дим.

13.1.	Определение и основные свойства степени

Пусть М и — гладкие связные замкнутые (т.е., напомним, компакт-
ные и без края) ориентированные многообразия одной и той же раз-
мерности п, и /: М —>	— гладкое отображение. Пусть у €	—

регулярное значение отображения /. Последние, напомним, означает,
что отображение / регулярно в каждой точке х прообраза /-1(у) точки
у при отображении /. Другими словами, если (ж1,... ,хп) и (у1,... ,уп)
локальные координаты в окрестности точки х € У-1 (у) и точки у
соответственно, и у*(ж1,... , г”) - координатное представление отобра-
жу*
жения / в этих координатах, то определитель матрицы Якоби ——г в
Жж*
точке х отличен от нуля. Отметим, что если прообраз точки у пуст, то
у — регулярное значение по определению.

Из компактности М вытекает (проверьте!), что прообраз /-1(у) со-
стоит из конечного числа точек. Отметим также, что в силу ориентиру-
емости рассматриваемых многообразий, можно считать, что знак опре-
Жу*

делителя матрицы Якоби ——-г в точке х не .зависит от выбора локальных
дхк

координат (для этого следует фиксировать ориентации на обоих много-
образиях). Из сказанного вытекает корректность следующего определе-
ния.

Определение. Пусть /: М М — гладкое отображение гладких ком-
пактных связных замкнутых ориентируемых многообразий одинаковой
размерности, и у с некоторое его регулярное значение. Степенью
отображения / по отношению к регулярному значению у называется
число

<1е§/(у) =	22 81ёпае1(.Жж*

Важность понятия степени определяется следующим результатом.

Теорема 13.1. Пусть /: М	гладкое отображение гладких

связных замкнутых ориентируемых многообразий одинаковой размерно-
сти. Тогда степень отображения / не зависит от выбора регулярного
значения и не меняется при гомотопиях отображения.
Доказательство. Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 13.1. Пусть Р и Р' — две произвольные точки связного мно-
гообразия М. Тогда существует гладкое семейство диффеоморфизмов
ру: М -ь М, I 6 [0,1], такое что — тождественное отображение,
а Р1(Р) — Р' Более того, если многообразие М ориентировано, то
диффеоморфизмы р/ сохраняют ориентацию.

Доказательство. Пусть п — (ШпМ. В силу связности многообразия
М, точки Р и Р' можно соединить простым регулярным путем, по-
этому можно выбрать открытое множество II С М, диффеоморфное
К” и содержащее обе точки Р и Р' (для этого достаточно взять ма-
лую окрестность упомянутого пути). Более того, в Б можно выбрать
такую локачьную систему координат (х1,... ,хц), что Р — (0,... ,0),
Р' — (1,0,... , 0), а выбранный путь — это первая координатная линия.

Рассмотрим открытые подмножества Б' и Б” в Б, обладающие сле-
дующими свойствами: Р,Р'] С Б' С Б" С Б" С Б, и замыкание Б"
компактно. Тогда, как известно, существует гладкая функция ф на Б,
равная 1 в Б1 и нулю вне Б". В окрестности Б, во введенных координа-
тах (х1,... ,хп), рассмотрим векторное поле X = фдх1, и пусть — од-
нопараметрическая группа диффеоморфизмов, соответствующая А', т.е.
А — длрД существование которой известно из теории обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.6 По определению, при I = 0 диффео-
морфизм </?] является тождественным преобразованием, а р'фР) = Р'.
Более того, все являются тождественными отображениями вне Б”.
Продолжим семейство диффеоморфизмов вне окрестности Б тожде-
ственным преобразованием. Тем самым мы построим искомое семейство
р>(. Осталось заметить, что в локальных координатах (х1,... ,хп) ото-
бражение р/ — это просто сдвиг вдоль координаты х1, поэтому оно
сохраняет ориентацию. Доказательство закончено.

Вернемся к доказательству теоремы. Из леммы 13.1 вытекает, что ее
первое утверждение является следствием второго. Действительно, пусть
у и у1 — регулярные значения отображения /. Тогда, в силу леммы 13.1,
существует однопарамстричсскос семейство диффеоморфизмов мно-
гообразия X, такое что ро = 1дг, и <рх(у) = у1. Ясно, что точка у явля-
ется регулярной для всех отображений о/. Из второго утверждения
теоремы вытекает, что йе§/(у) = Нецуу о /(у). Поэтому, в частности,
<1е§/(?/) — <1е§о Ду). Осталось заметить, что якобиан отображения

^Напомним, что диффеоморфизмы Д получаются так. Пусть х(1.) = Х(х) — си-
стема обыкновенных дифференциальных уравнений, и х = х{1,хо) — решение задачи
Коши для начальных условий ж(0) = хд. Тогда отображепи&жо н-> х(1,хд) и есть диф-
феоморфизм Д. Гладкость и взаимная однозначность отображений Д — следствия
теорем существования, единственности и гладкой зависимости от начальных условий
решения задачи Коши.
<Р1 о / в каждой точке из (<Р1 о У)1(у) равен произведению положитель-
ного якобиана отображения <р1 в точке у и якобиана отображения / в
соответствующей точке из /~1(у'), откуда о/)(у) = д.е^/(у'), что
и требовалось. Итак, для завершения доказательства теоремы доста-
точно проверить инвариантность степени отображения при гомотопиях
этого отображения.

Пусть / и д — два гомотопных отображения многообразия М в мно-
гообразие IV, и .Р: [0,1] х Л/ —> IV - гладкая гомотопия, их соединяющая;
/ = Р\{о}хм> а д = ^|{1}хЛ1- Пусть у € И — регулярное значение обоих
отображений (такое найдется в силу теоремы Сарда). Из теоремы о
неявной функции вытекает, что каждая достаточно близкая к у точка
у' € также является регулярным значением для обоих отображений.
Кроме того, для любого достаточно близкого к у регулярного значе-
ния у1 имеем: <1сд/(у') = <1ед/(у), а <1е§у(у') = йе^д(у). Далее, снова по
теореме Сарда, в любой окрестности точки у существует точка у1, явля-
ющаяся регулярным значением для отображения Р. Итак, выберем у'
так, чтобы у' была регулярным значением Р, / и д, и выполнялись усло-
вия <1е§У(у') = <1е§У(у), и Ае%д(у') = йе$д(у). Ясно, что доказательство
достаточно провести для такой точки у'.

По теореме о неявной функции, прообраз Б,-1(у') является одномер-
ным подмногообразием в [0.1] х М. Более того, легко показать, что
край <9У-1(у') лежит в крае многообразия [0,1] х М, т.е. в объедине-
нии ({0} х М) и ({1} х М). Так как прообраз	- замкнутое,

и, значит, компактное подмножество в М, этот прообраз состоит из
конечного набора замкнутых кривых, диффеоморфных окружности, и
незамкнутых кривых, диффеоморфных отрезку.

Обозначим через р незамкнутые кривые из 0Т,-1(у/). Концы а/, и р.
отрезков р лежат на крае многообразия [0,1] х М и составляют мно-
жество У-1(уЭ О д~1(у')- Более того, так как точки а/. и р являются
регулярными для отображений / и д, векторы скоростей каждой кривой
р в этих ее концевых точках не касаются края многообразия [0,1] х М
(иначе дифференциал соответствующего отображения / или д перево-
дит их в нуль).

Для завершения доказательства теоремы, покажем, что если концы
и отрезка р лежат в одной компоненте связности края многообра-
зия [0,1] х М, то знаки якобианов ограничения отображения Р на эту
компоненту (т.е. знаки якобианов одного из отображений / и д) в точ-
ках а/. и Ь/. противоположны, а если и Ь/.. лежат в разных компонентах
связности, то знаки якобианов отображений / и д в этих точках одина-
ковы. Это завершит доказательство теоремы, так как в первом случае
точки а), и Ьк дают нулевой вклад в степень соответствующего отобра-
жения / или д. а во втором случае — дают одинаковый вклад в степени
обоих отображений / и д.

Для каждого р рассмотрим на нем стандартную координату (/>, та-
кую что точка а* соответствует р = 0, а точка 6* соответствует р = 1.
На многообразии [0,1] х М рассмотрим системы координат следующего
вида. Пусть I — стандартная координата на отрезке [0,1], а (ж1,... , ж”)
— координаты на М из ориентированного атласа, определенные в неко-
тором открытом множестве Ц С М. Тогда (/, ж1,... , ж”) — это коорди-
наты на [0,1] х V, порождающие ориентированный атлас на [0,1] х М.

Пусть ад. и /у лежат в одной связной компоненте края многообразия
[0,1] х М. Предположим для определенности, что а* и Л лежат на ком-
поненте {0} х М. Пусть 1}а С М и С М — некоторые окрестности
точек ак и соответственно, а (ж^,... , ж”) и (ж^,... , ж^) — координаты
в [}а и Су из ориентированного атласа на М. Как и выше, рассмотрим
на [0,1] X Vа и [0,1] X координаты (I, х1а,... , а;”) и (I,	То-

гда в некоторой окрестности точки а/. в [0,1] х М кривая Д имеет вид
Та(^) = (^(<р),ж* (<р), • • • ,ж”(<р)), а в некоторой окрестности точки —
вид тз(у>) = (1(р), Х^(р),...	 Ясно, что базисы {<%,	,... , дх» }

и { у,', (0), дх1,... , дхп }, определенные в точке я&, имеют одинаковые ори-
ентации, так как Л/й<р(О) > 0, в то время как базисы {<?(. дх1,    , дх->} и
{у^(1), дх1,, дхп }, определенные в точке Ь^, имеют противоположные
ориентации, так как [11/(1р(1) < 0.

Рассмотрим вдоль I/. такую систему из п векторных полей {А'₽(:р)},
что в точке семейство векторов {А'р(0)} совпадает с базисом ^ЭхРа }
касательного пространства к компоненте края {0} х М, в точке 1ц век-
торы {Агр(1)} образуют некоторый базис в касательном пространстве
к этой же компоненте, и в каждой точке кривой 1к система векторов,
получающаяся из {Xр ((р)} добавлением вектора скорости кривой I/., ли-
нейно независима, т.е. образует базис Е(р) в касательном пространстве
к многообразию [0,1] х М. Ясно, что ориентации всех базисов Е(р)
семейства одинаковы, в частности, одинаково ориентированы базисы
Я(0) = П((Ш1,... л2} и Е(1) = {7^(1),Х!(1),... ,А-(1)}. С дру-
гой стороны, ^-компоненты векторов у„(0) и у^( 1) имеют противополож-
ные знаки, поэтому базисы {А^р(1)} и {О,.; } имеют противоположную
ориентацию.

Остается заметить, что отображение Е в каждой точке кривой I/.
переводит семейство векторов {А^Тр}} в некоторый базис касательного
пространства к многообразию .У в точке у', причем ориентации всех по-
лученных в у' базисов одинаковы. (Последнее вытекает из непрерывной
зависимости этих базисов от параметра <р.) Таким образом, мы видим,
что базисы )} и {<7/(Агр(1))} одинаково ориентированы, и их ори-
ентация противоположна ориентации базиса {^/(й^)}- Следовательно,
знаки якобиана отображения / в точках и 1ц противоположны.

Случай когда точки «ь и 1ц лежат в разных компонентах края мно-
гообразия [0,1] х М разбирается аналогично, и оставляется в качестве
обязательного упражнения. Доказательство теоремы закончено.

Доказанная теорема 13.1 позволяет корректно определить степень
отображения <1е§/ как <1е§/(у) для произвольного регулярного значе-
ния у.

Замечание. Для неориентируемых многообразий можно определить степень
отображения, складывая якобианы по модулю 2.

Приведем теперь некоторые примеры использования степени отобра-
жения.

13.2.	Основная теорема алгебры

Мы сформулируем и докажем Основную теорему алгебры в следующем
упрощенном виде.

Теорема 13.2. Каждый комплексный многочлен степени п > 1 имеет
по крайней мере один корень.

Пусть Р(я) — с” + ап-1Яп-1 +    + «о — произвольный комплексный
полином степени п. Очевидно, он задает гладкое (даже комплексно-ана-
литическое) отображение из плоскости в плоскость: ш = Р(я). Однако,
чтобы использовать понятие степени, нам нужно отображение компакт-
ных многообразий, поэтому мы продолжим Р до отображения /р сферы
52 в себя так. Напомним, во первых, что сфера 52 диффеоморфна ком-
плексной проективной прямой СР1 (см. также дополнительный мате-
риал). Рассмотрим два экземпляра СР1 и фиксируем на каждом из них
однородные координаты (яо : ~х) и (шо : гсх) соответственно. Рассмо-
трим карты Яо ф 0 с координатой я = Дх/-о и »о 0 с координатой
щ = г/.’х/«'□ и зададим в этих картах отображение /р, положив щ = Р(я).

Покажем, что заданное так отображение действительно продолжа-
ется до гладкого отображения /р: СР1 —> СР1. Для этого заметим,
что

= -=Р(~Д =
гс0

я” + а„хгР хя0 + • • • + ахЯхЯд 1 + аоЯо

и зададим /р в однородных координатах так:

...	~ \	I Л	—1 ~ I	I _ ~ ~п— 1 | „

• %1) —	+ ап-1%1	+ ' ’' +	+ ао^о ч

щ0(я0 : Я1) = Яц.

В картах (яо 0,я = ях/яр), (ш»	0,н> = гс?!/гг»0) отображение /р, как

мы уже видели, имеет вид и> = Р(я) и, потому, является комплексно-
аналитическим. Отметим, что эта пара карт покрывает обе сферы СР1,
за исключением точек Зо = 0 и м>д = 0, соответствующих бесконечности.
В окрестностях бесконечностей рассмотрим другие карты з' = З0/З1 и
ш' = гсо/гс!  Ясно, что

_ ц,о ______________г3___________ _ _________(г'У1________

ЭД1 -зф Я-	+ • • • +	1 Ч- о-п—1^ Ч- • * • Ч- во(зЧ)п

поэтому при |з'| < е, для достаточно малого е, координатное предста-
вление щ/ = также является комплексно-аналитическим. Мы до-
казали следующую лемму.

Лемма 13.2. Построенное выше отображение /р: СР1 СР1, совпа-
дающее в конечной области с полиномом Р, является комплексно-ана-
литическим.

Вычислим теперь степень отображения /р. Для этого рассмотрим
гладкую гомотопию Р*, заданную в однородных координатах так:

Ш1(зо : 31Д) = 3^ +/:(ап_1з" 1«о + ''' + «131Зд 1+«дЗд').
ад(з0 : 31Д) = Зд.

По теореме 13.1, все отображения Р(: СР1 —> СР1 имеют равные сте-
пени. При этом, в конечной области отображение Р± совпадает с много-
членом .Р(з), а Ро имеет вид гс(з) = з". Вычислим степень отображения
Ро- Для этого рассмотрим его значение и> — 1. Нам следует проверить,
что 1 регулярное значение отображения Рд, найти прообразы (это
просто, прообразы значения 1 суть примитивные корни п-ой степени из
1, которых имеется ровно п штук), и определить знак якобиана в каждом
прообразе.

Лемма 13.3. Пусть /: С —> С — комплексно аналитическое отобра-
жение. Тогда его якобиан неотрицателен и равен |/'(г)|2» г^е штрих
означает дифференцирование по комплексной переменной з.

Доказательство. Пусть ш — /(з) — гладкое отображение плоскости в
себя, заданное коплекснозначной функцией комплексного переменного.
Положив г — х + гуиш — и +ги, запишем отображение / в следующем
виде: /(аг, у) = и(х,у) + ю(х,у), где и(х,у) и у(х,у) — вещественная и
мнимая части величины ф(х,у). Тогда якобиан .] отображения / имеет,
очевидно, вид

ди ди	ди ди

дх ду	ду дх

С другой стороны, х = (з + з)/2, у = -г(з - з)/2, откуда

д 1 , д . д ,	д 1 , Э ’ ® \

дг 2удх +1 ду'’	дг 2 дх 1 ду^
и условие аналитичности функции /, т.е. условие <9//Эз = 0, принимает
вид

от	1/о	. о \ ,	. .	1	/ди	ди\ г /ди	ди\

дТ =	к ( я—Ь «-ц- ) (и + ги)	=	- ( --— ) + - ( ——I-	— I	= О

д %	2 \дх оу /	2	\дх	ду)	2	\ дх	ду /

что равносильно условиям Коши-Римана

ди _ ди	ди _ ди

дх ду ’	ду дх

Кроме того, воспользовавшись условиями Коши -Римана, получаем

д/	1 / д	. д \	.	1 / ди ди\	г / ди	ди \

д%	2 \дх	1 ду / 'и	1С	2~дх + ду/	2 \дх	ду /

ди . ди

дх 1ду’

поэтому

7/^ + (^ = |Щ|2 = |^
V дх/	V ду/ I дгI I аг I

где последнее равенство имеет место, так как

дх д.2.

Лемма доказана.

Теперь проверка регулярности значения и> — 1 тривиальна, знаки
якобианов определены, и, тем самым, доказана следующая лемма.

Лемма 13.4. Степень каждого из отображений Ръ, I € [0,1], равна п.

Осталось заметить, что так как степень отображения отлична от
нуля, то множество Т)-1(у) не пусто для каждого у 6 С. (Действительно,
если К4-1(уо) пусто, то уо — регулярное значение и йе§ Т) — 0, проти-
воречие.) В частности, не пусто и множество К1-1(0), т.е. уравнение
Т\(и) — 0 имеет корни, что и требовалось.

13.3.	Теорема «о еже»

Пусть А* — касательное векторное поле на многообразии М. Точка
Р € М называется особой для X, если Х(Р) = 0.

Приведем результат, известный в математическом фольклоре как
«Теорема о еже». Эта теорема позволяет решить следующую задачу: су-
ществует ли на сфере 52 касательное векторное поле без особых точек,
т.е. можно ли расположить «иголки» (касательные векторы) сфериче-
ского «ежа» так, чтобы в результате «прически» не возникло «пробора»
(т.е, особых точек)? Имеет место следующий результат.
Теорема 13.3. На сфере 32к четной размерности не существует ка-
сательного векторного поля без особых точек.

Доказательство. Рассмотрим сферу 32к стандартно вложенную в Ж2А+1,
и предположим, что на ней существует касательное векторное поле У без
особых точек. Тогда векторное поле Х(Р) — У(Р)/||У(Р)|| также явля-
ется гладким касательным векторным полем на 32к.

В каждой точке Р 6 32к рассмотрим два вектора: вектор внешней
нормали п(Р) и противоположный вектор —п(Р). Так как Х(Р) 0, то
однозначно определена двумерная аффинная плоскость П(Р) С Ж'2/,'+1,
проходящая через Р и натянутая на линейно независимые векторы .У (Р)
и п(Р). Эта плоскость, очевидно, гладко зависит от Р и содержит вектор
—п(Р). Рассмотрим семейство А'ДР) векторов, лежащих в плоскости
П(Р), заданное так

А'((Р) = АДР) сов! + п(Р) 8Ш Д	I е [—

Заметим, что при каждом I поле А'* задает отображение А^: 32к -> 5 *
так: Р 1-> А'ДР). Таким образом, мы построили гладкую гомотопию А'<
отображений из 32к в 32к, причем X* — это тождественное отображе-
ние сферы ь себя, а Аг_з. — это «антиподальное» отображение, перево-
дящее Р в —Р. Из общей теоремы 13.1 вытекает, что эти отображения
имеют равные степени. Степень тождественного отображения равна 1.

Лемма 13.5. Степень «антиподального» отображения а: Зп —> Зп,
определенного формулой а(Р) = — Р, Р € 5” С К”+1, равна (—1)п+1.

Доказательство. Рассмотрим отображение А: В"+1 —> К”+1, задан-
ное так: Д(Р) = —Р. Отображение А линейно, его определитель ра-
вен (—1)п+1, поэтому А меняет ориентацию пространства Жп+1, если и
только если число (п -I- 1) нечетно. Отображение а совпадает с ограни-
чением А на Зп.

Рассмотрим замкнутый шар Вп+1 С К"+1. Это ориентируемое мно-
гообразие с краем Зп. Ориентируем Вп+1 в соответствии с ориентацией
]Й“+1. Далее, фиксируем на сфере Зп ориентацию, согласованную с ори-
ентацией шара Я"+1. Но, так как А переводит внешнюю нормаль к
сфере во внешнюю нормаль, то ориентации А(5") — ц(Зп) и А(Вп+1)
также согласованы. Поэтому, если А сохраняет ориентацию Вп+1, то
и а сохраняет ориентацию сферы Зп. Обратно, если А меняет ориента-
цию шара, то ориентация сферы, оставаясь согласованной с ориентацией
шара-образа, меняется под действием отображения а на противополож-
ную. Лемма доказана.

Таким образом, если размерность сферы четная, то степень «антипо-
дального отображения»равна —1. Полученное противоречие завершает
доказательство.
Задачи

Задача 13.1. Показать, что если /: М —>	— гладкое отображение гладких ком-

пактных многообразий одинаковой размерности, и у е. — регулярное значение
отображения /, то прообраз 1 (у) состоит из конечного числа точек.

Задача 13.2. Покажите, что если найдется такая точка у Е что прообраз /~^{у)
пуст, то степень отображения / равна нулю.

Задача 13.3. Найти критические точки и степень отображения 52 —> 52, заданного
в конечной области формулойа (а) г г3 — Зг2 — 9г + 27; (б) г (г2 + 4)/(г + 1).

Задача 13.4. Вычислить степень отображения /: 80(2) —> 80(2), заданного фор-
мулой /(А) = Ак. Тот же вопрос для 80(3), для 811(2).

Задача 13.5. Пусть /: 52^ -Е 82к. Показать, что найдется такая точка х € 82к,
что или X = /(х), или X = —/(х).

Задача 13.6. Построить примеры гладких касательных векторных полей на сферах
5'1, 83, 8~. Существует ли такое поле на КР2? А на Т2?

Дополнительный материал

13.1.	Диффеоморфизм сферы и комплексной проективной прямой. Напом-
ним, что проективная прямая СР1 представляет собой множество комплексных одно-
мерных подпространств пространства С2. Если (г1,г2) — декартовы (комплексные)
координаты в С2, то каждая такая прямая может быть задана своим направляющим
(комплексным) вектором, который определен с точностью до пропорциональности.
Как и в вещественном случае, удобно задавать такие направляющие векторы так на-
зываемыми однородными координатами, т.е. упорядоченными парами вида (го : гд)
с отношением эквивалентности (го : гд) ~ (Аго : Агд) для любого ненулевого ком-
плексного числа А.

Итак, пусть (го : гд) однородные координаты на СР1. Тогда, чтобы превратить
СР1 в гладкое многообразие, можно определить две карты 17$ и (7д, положив

= {(-0 : 21) | 2» # О},

где г = О, 1, и координатные гомеоморфизмы : Нг —> С(щг), где через обозна-
чена комплексная координата на соответствующем экземпляре комплексной плоско-
сти, положив 9?о(^о • 21) = 21 /го и у»д(го ' гд) = го/гд. Поскольку с?1 о^~1(-шо) = 1/шо,
функции перехода являются комплексно-аналитическими в общей области определе-
ния, откуда СР1 — одномерное комплексно-аналитическое многообразие.

Перейдем к сфере 52 стандартно вложенной в К3. Рассмотрим на ней две карты
стереографической проекции <тм : 52\{А} -4 С(г) из северного и ад : 52\{5} -4 С(гу)
из южного полюсов на проходящую через центр сферы горизонтальную плоскость
(на плоскостях проекции введены комплексные координаты г и щ соответственно).
Если г — &м(Р) и V) = ад(Р) — проекции одной и той же точки Р Е 52 из разных
полюсов, (ж1,ж2,ж3) — декартовы координаты точки Р в К3, а г — у/(ж1)2 -I- (ж2)2
— расстояние от точки Р до оси Ож3, то

Ы =	1	М = 1

г	1 — ж3 ’	г 1 + ж3 ’

откуда, учитывая, что для точек сферы г = д/1 — (ж3)2, заключаем, что
Так как аргументы чисел г и го, очевидно, совпадают, заключаем, что г = 1/го.
Кстати, мы показали, что 52 — комплексно-аналитическое многообразие.

Осталось рассмотреть отображение Р; 8- —> СР1 заданное во введенных нами
картах так: Р(%) = и>о и Р(ш) = иц. Так как функции перехода и карты одина-
ковы, отображение Р определено корректно (написанные формулы согласованы на
пересечении карт). Построенное отображение задает искомый диффеоморфизм.

13.2.	Проверка гладкости гомотопии Т7). В доказательстве основной теоремы
алгебры мы рассмотрели гомотопию Р}: [0,1]жСР1 —> СР1, записанную в однородных
координатах (го : гх) и (гео : и>1) в виде

•Ш1(го : зх,4) =	+ 4(а„-х^'1-1го 4--Н ахгхЗд-1 + аоЗд),

«>о(зд : 21,4) = гд ,

и показали, что с!е§ = п. Почему нельзя рассмотреть аналогичную гомотопию С1
гг1(го : 21,1) = 1(%1 + ап-12™-12о Н------------Ь а1212д-1) + ао^,

гуо(^о ' *1,*) =	?

и, заметив, что <1е§Се = 0 доказать «альтернативную теорему», гласящую что алге-
браические уравнения не имеют корней? Дело в том, что похожие, на первый взгляд,
гомотопии Ре и Се отличаются тем, что Ре — гладкая, а Се — нет.

Чтобы проверить гладкость отображения его нужно честно записать в картах.
Как и в доказательстве теоремы 13.2, введем в рассмотрение карты с координатами
2 = 21/29 и У = 20/21 и координатами ш =	и (V1 = 'шо/'шг. Тогда отображение

Ре имеет вид

и> = Р^) = г" + 4(а„_х2п-1 4-----Н <цг 4- ао),

V)' = Р^г') = ----------------------------------г-.

1 4- 1(ап-1х' 4--Нах(г')п 14-ао(г')п)

Первая формула задает гладкую (даже полиномиальную) гомотопию в координатах
% и и), покрывающих сферы целиком, за исключением бесконечности, соответствую-
щей 2/ — 0. Вторая формула также задает гладкую гомотопию при |2Х| < е (где е
настолько мал, что знаменатель не обращается в нуль) в координатах г1 и ц/, т.е. как
раз в окрестности бесконечности. Тем самым, гомотопия Ре действительно гладкая.

Выполняя те же вычисления для гомотопии (Зц имеем:

го = 67(з) = г(х” 4- Пп-хг"-1 4--Н ахз) 4- «о,

= С^з') = -------------------т------------------.

4(1 4- а„-хг' 4--Н ах(г')’1 ) + оо(з')’1

Первая формула по-прежнему задает гладкую гомотопию в конечной области, а вто-
рая — имеет особенность по крайней мере при 2' — 0 и I = 0. Поэтому гомотопия Се
не гладкая.
Лекция 14. Другие применения степени ото-
бражения

В данном разделе мы рассмотрим еще несколько применений степени
отображения.

14.1.	Степень и интеграл

Пусть /: М -ь Лг - гладкое отображение гладких замкнутых (т.е. ком-
пактных и без края) связных ориентированных многообразий одинако-
вой размерности п, и ш — внешняя форма степени п на многообразии
ТУ. Тогда имеет место следующая полезная теорема.

Теорема 14.1. В сделанных предположениях,

Доказательство. Пусть у € ТУ регулярное значение отображения /.
Тогда существует окрестность Ц точки у в ./V, состоящая из регуляр-
ных значений отображения /. Пусть /-1(у) —	,ж,»} — полный

прообраз точки у. Тогда окрестность В может быть выбрана настолько
малой, что

/-1(ц) = ц1 и	Хаеиа,

причем окрестности 11а точек х^ попарно не пересекаются. Фиксируем
локальные координаты (у1,... , уп) в окрестности 17 на ТУ, и (х^,... , х%)
— локальные координаты в окрестности IIа на М. Так как все точки
из 17а — регулярные точки отображения /, то по теореме об обратной
функции ограничение отображения / на 17а — диффеоморфизм. Пусть
<Ду1,... ,уп)с1у1 А • • • А дуп — координатное представление формы и в
координатах (у1,... ,уп), и у = у(ха) — координатное представление
отображения / в координатах (ж*,... ,ж”) и (у1,... ,уп). Тогда, по тео-
реме о замене переменных под знаком интеграла, имеем:

дуп = <р(у(хД) | «Пей	•••<&” =

= 81ёП(1ег(^)	^(у(хД) (<М

откуда,

зщп<1е1(|^-)	Дуп = <р(у(хД) АсЛ^-^дх^ --Дх™.
Воспользовавшись видом формы и аддитивностью интеграла по не-
пересекающимся областям, получим, что

I =

17

т.е. искомая формула имеет место в окрестности каждого регулярного
значения. Далее, по теореме Сарда, множество критических значений
отображения / это множество меры 0, поэтому его вклад в интеграл
Дм равен нулю. С другой стороны, прообраз этого множества, т.е.
множество критических точек отображения /, также дает нулевой вклад
в интеграл . /*ц>, так как в этих точках форма /*щ равна нулю. Таким
образом, теорема вытекает из предыдущего равенства и аддитивности
интеграла.

14.2.	Теорема Гаусса—Бонне

Пусть Л/”-1 С В"  ориентируемая гиперповерхность в Ж”, и пусть
1^ — поле единичных нормалей к поверхности М. Рассмотрим гауссово
отображение IV: М —> 5П-1, ставящее в соответствие каждой точке
Р € М вектор НДР), и пусть И € П"-1(5П-1) — форма объема на стан
дартной сфере 5"-1 радиуса 1. Обозначим через К гауссову кривизну
гиперповерхности М, а через да форму объема на М для индуцирован-
ной из К" метрики.

Утверждение 14.1. В сделанных выше предположениях, при подходя-
щем выборе ориентации поверхности, имеем:

ЛГД = К да.

Доказательство. Пусть Р € М — произвольная точка. Рассмотрим в
К” евклидовы координаты (ж1,... ,хп) с началом в точке Р, направив
ось хп в направлении вектора ЛТ(Р). Тогда поверхность М в окрест-
ности точки Р можно представить в виде графика некоторой функции
хп = /(ж1,... , ж"-1), причем, как мы уже видели выше, /Ж<(Р) = 0.
В координатах (ж1,... ,а?”-1) матрица индуцированной метрики на М
в точке Р равна единичной, т.е. 5.^, поэтому да = дх1 Л ••• Л дхп~1.
Гауссова кривизна Л’ в точке Р равна определителю матрицы (У))
вторых частных производных.

На сфере 5”-1 в окрестности точки У(Р) = (0,... ,1) выберем ко-
ординаты (и1,...	совпадающие с евклидовыми координатами го-

ризонтальной плоскости объемлющего евклидова пространства. Тогда
в точке У(Р) в этих координатах метрика также евклидова, поэтому
форма объема на 5”-1 в точке ЩР) имеет вид П = ди1 Л  •  Л дип~1.
Далее, вектор нормали к поверхности М в окрестности точки Г за-
дается так:

( •/'-••••••/> -1».

у 1 + /^1 +    + /$п-1

поэтому гауссово отображение У: М —> 5"-1 записывается в локальных
координатах (Д’1,... , а?”-1) и (и1, ип~1) в виде

и^х1,... ,жп-х) = .

У1 + /2, + ... + /2„_1

и, так как /Ж-(Р) = 0, то дифференциал <ЦУ(Р°) отображения У в точке
Р имеет вид

И2 /

«»(?) = (-/„,), т.е. -(Р) = -й-2-(Р).

Следовательно,

У*<1 = <1с1 (	. ) дх' Л    Л <&п-1 =

\дх2 )

= Не*/-ЛФг1 Л •  • Л = (-1)"-1Л'С^1
\ дхгдхд д

Таким образом, в случае четной размерности, т.е. п — 1 = 2к, мы полу-
чаем требуемое равенство, а в случае п = 2к нужно сменить ориентацию
поверхности М на противоположную, что приведет к изменению знака
гауссовой кривизны. Утверждение доказано.

Следствие 14.1 (Теорема Гаусса-Бонке). Пусть М — замкнутая
связная ориентируемая поверхность в В3. Тогда

I К да = 4тгА,
дм

где А — некоторое целое число (равное степени гауссова отображения
поверхности М) .

Доказательство. Пусть : М —> 52 — гауссово отображение поверх-
ности М. Как и выше, обозначим через Л' гауссову кривизну для М, а
через да и О — формы площади на М и .5'2 соответственно. Тогда

I К да — I И* И — (<1е§ ^) / 0 — 4л • <1е§ М.

 ' М	дМ	д 82

Положив А = <1е§ получим требуемое.
Отметим, что двумерность поверхности в теореме Гаусса- Бонне не
существенна. Для случая гиперповерхности изменится только множи-
тель перед <1с^Лг. Этот множитель, который мы обозначим через сп_1,
равен объему стандартной евклидовой сферы 5”-1.

Следствие 14.2. Пусть М - - замкнутая связная ориентируемая ги-
перповерхность в Ж". Тогда

/ К да = сп_1А,
1м

где А некоторое целое число (равное, с точностью до знака, степени
гауссова отображения поверхности М).

14.3.	Особые точки векторных полей

Пусть Р — область в Ж”, такая что замыкание Р области Р компактно,
и граница дР этой области — замкнутое (п — 1)-мерное многообразие.
Пусть А' — некоторое векторное поле в области ТУ Э 14. Напомним, что
точка Р € V называется особой для X, если Х(Р} = 0. Особая точка Р
поля X называется изолированной, если в некоторой ее окрестности нет
других особых точек.

Отметим, что векторное поле вне своих особых точек порождает ото-
бражение в 5”-1, ставящее в соответствие каждой неособой точке Р
точку А'(Р)/||АДР)|| из В"-1.

Предположим, что поле X не имеет на дР особых точек. Тогда ото-
бражение определено во всех точках границы дР.

Определение. Степень отображения ЛО дР —> 5"-1 называется индек-
сом векторного поля X в области Р и обозначается через шс1 X.

Пусть Р € Р — изолированная особая точка. Рассмотрим замкнутую
шаровую окрестность В с Р точки Р, не содержащую других особых
точек. Тогда отображение ДТ определено во всех точках сферы дВ.

Определение. Степень отображения X: дБ З"'-1 называется индек-
сом особой точки Р поля А' и обозначается через т<1/> X.

Теорема 14.2. Пусть поле X имеет в области Р лишь изолированные
особые точки и не имеет особых точек на границе области Р. Тогда
индекс поля X равен сумме индексов его особых точек.

Доказательство. Пусть Р, - особые точки поля Аг, и В, - нспересека-
ющиеся шаровые окрестности точек Р,. причем каждая В, не содержит
особых точек, отличных от р. Обозначим через V область Р \ (О./ВД.
Тогда отображение ДТ определено на всем на V.
Рассмотрим на 5'''1 стандартную форму объема О. Так как форма
О замкнута, то (п — 1)-форма А*(П) на V также замкнута, поэтому по
формуле Стокса

[ Х*(П) = /	=0.

1дУ	IV

С другой стороны,

Х*(П) =0,

где ориентации многообразия дБ и сфер дВ, согласованы с ориентацией
области V. Применяя теорему 14.1 и учитывая ориентации сфер дБ,,,
получаем:

I АГ* (О) = с„_! •	= с„_1 шй.У,

4 д11

I Х*(П) = сп_1  бе§ = -сп_1 шаР, Л',

Уав,

откуда

ш<1А' = ^2тс1Д А',

что и требовалось.

14.4.	Теорема Брауэра

В качестве приложения теории индекса векторных полей, докажем глад-
кий вариант теоремы Брауэра о неподвижной точке (справедливой и в
непрерывном случае).

Следствие 14.3 (Теорема Брауера). Пусть Вп — замкнутый шар
в Вп. Любое гладкое отображение <д: Вп -> Г)п имеет. неподвижную
точку.

Доказательство. Предположим противное, т.е. существует такое ото-
бражение у: Б" —>	у которого нет неподвижных точек. Тогда

на Бп имеется векторное полу X без особых точек, определенное так:
А'(Р) =	— В. Ясно, что индекс этого векторного поля в Бп равен

нулю.

С другой стороны, поле А, ограниченное на 5’"1 = дБ" также ни-
где не обращается в нуль и направлено строго внутрь шара Б". поэтому
существует гомотопия, переводящее поле Х|,дп-1 в поле внутренних нор-
малей сферы 5”-1. Следовательно, индекс поля Аг совпадает со степе-
нью антиподального отображения сферы 5”-1 на себя, переводящего
каждую точку в противоположную ей. Но у такого отображения сте-
пень равна ±1. Это противоречие и завершает доказательство.
Задачи

Задача 14.1. Найти степень векторного поля X на гиперповерхности М (т.е. сте-
пень соответствующего гауссова отображения), где

ж2

X = (ж2 + ?/2 — 1, — + 4т/2 — 1), М = {(ж,у) | 5ж2 — (уху + 5?/2 — 3 = о}.

Задача 14.2. Доказать, что степени любых двух векторных полей па произвольной
двумерной замкнутой поверхности одинаковы. Верно ли это в произвольной размер-
ности?

Задача 14.3. Доказать, что на всяком связном компактном замкнутом многообра-
зии существует гладкое векторное поле с одной особой точкой. Найти индекс этой
особой точки.

Задача 14.4. Построить пример гладкого векторного поля с одной особой точкой
на (а) сфере; (б) на торе; (в) на сфере с д ручками; (г) на проективной плоскости;
(д) на бутылке Клейна; (е) на сфере с до пленками Мебиуса.

Дополнительный материал

14.1. Теорема Гаусса—Бонне и эйлерова характеристика. На самом деле, сте-
пень гауссова отображения двумерной поверхности не зависит ни от индуцированной
на поверхности метрики, ни от способа вложения поверхности в К3. Она зависит
лишь от топологии поверхности. Можно показать, что <1е§ ДО совпадает с половиной
эйлеровой характеристикой поверхности М.

Нетрудно вычислить степень гауссова отображения для стандартного вложения
сферы Мд с д ручками в евклидово пространство. Действительно, рассмотрим вло-
жение Мд в К3, при котором ручки поверхности расположены вдоль вертикальной
оси, см. рис. 5.

Рис. 5. Сфера с тремя ручками

Рассмотрим гауссово отображение ДО: Мд -4- 52, и, в качестве его регулярного
значения, выберем северный полюс сферы. Прообраз северного полюса состоит из
д + 1 точки, см. рис. 5, причем в одной точке (верхней на рисунке) гауссова кривизна
поверхности положительна, а в остальных — отрицательна. Из утверждения 14.1 вы-
текает, что знак гауссовой кривизны совпадает со знаком якобиана гауссова отобра-
жения. Поэтому <1е§ ДО = +1 — # и, значит, равна половине эйлеровой характеристики
поверхности.

Отметим, что мы провели вычисления для конкретного (удобного для наших
целей) вложения поверхности. Пусть теперь имеется два вложения Ег: Мд —> К3,
Дополнительный материал

169

г = 0,1. Тогда имеется два гауссовых отображения : Мд —> 5’2, степень которых,
вообще говоря, различна. Однако, если существует гладкая гомотопия Г*, I € [0,1],
одного вложения в другое в классе вложений (такие гомотопии называются изото-
пиями), то существует и гладкая гомотопия ЭД, I Е [0,1] гауссовых отображений,
откуда вытекает равенство их степеней. Таким образом, для доказательства неза-
висимости степени гауссова отображения от вложения достаточно доказать изото-
пичность любых двух вложений. Последний факт, однако, весьма нетривиален и его
доказательство выходит за рамки нашего курса.
Лекция 15. Элементы вариационного
исчисления

В предыдущих лекциях мы сначала определили геодезические как кри-
вые с параллельным полем скоростей, а затем показали, что они обла-
дают другим важным свойством: являются локально кратчайшими кри-
выми, т.е. кривыми, каждый достаточно малый фрагмент которых имеет
наименьшую длину среди всех кривых, соединяющих граничные точки
такого фрагмента. Еще одно эквивалентное определение геодезических:
это такие кривые, которые являются критическими точками для функ-
ции длины, т.е. если мы продеформируем такую кривую, то ее длина
в первом приближении не изменится. Эти идеи лежат в основе целого
направления в математике, которое называется вариационным исчисле-
нием. В данной лекции мы кратко расскажем о нем с геометрической
точки зрения.

15.1.	Классическая вариационная задача

Пусть М — гладкое п-мерное многообразие, Р € М — произвольная
точка, ТрМ - касательное пространство, ТМ — касательное расслое-
ние к многообразию М и тг: ТМ М — стандартная проекция, ставя-
щая в соответствие каждому вектору г> в некотором ТрМ точку Р € М.
Напомним, что каждые локальные координаты (ж1,... ,хп) в окрестно-
сти V точки Р порождают локальные координаты (ж1,... , хп, у1,... , у"}
в окрестности тг-1([7), где у' — компоненты касательного вектора в ка-
ноническом базисе {<Х’}-

Пусть	В — некоторая непрерывная функция. Такие

функции Т называются лагранжианами. Если задан лагранжиан Т, то
по нему можно построить отображение Фщ ставящее в соответствие
каждой кривой из многообразия М число Фг.(т)- Покажем, как это
делается.

Прежде всего, для каждой гладкой кривой у: [а, Ь] —> М определим
кривую у: [а,&] —> ТМ х Ж, положив уЦ) = (у(Ц,уЦ)Ц). Кривая у
называется поднятием кривой у. Если Ь лагранжиан, то вычислив
Ь в точках кривой у, получим непрерывную функцию на отрезке [а, 6].
Интеграл от этой функции по [а, &] и есть число Фц(у):

Фь(?) = [ Т(у(0И = [

а	а

Отображение Ф/. называется (классическим одномерным) вариационным
функционалом, соответствующим лагранжиану Ь.

Пример. Пусть М — риманово многообразие. Положим

Мх, У, 0 = \/9г3{х}угуЗ ,
где (ж) — - компоненты римановой метрики в координатах (ж1,... , хп). Легко
видеть, что вариационный функционал Ф/., соответствующий этому лагран-
жиану, ставит в соответствие гладкой кривой у на М ее длину. Построечный
функционал называется функционалом длины.

Если Цх,у, 1) =	(х)у‘у1, то функционал Ф/. называется функционалом

энергии.

Замечание. Часто координаты у' обозначают через т’, чтобы подчеркнуть
геометрический смысл этих координат - - компонент векторов скоростей кри-
вых.

Выше, выводя формулу первой вариации длины кривой, мы уже опре-
деляли гладкую вариацию кривой. Здесь мы ограничимся более част-
ным определением. Гладкая гомотопия у8, з € [—1,1], отображения
у: [а, Ь] —> М, т.е. отображение Г: [—1,1] х [а, />] —> М, Г(з,1) = у3(ф),
называется гладкой деформацией или вариацией кривой у. Говорят, то
деформация у8 неподвижна на концах, если %(а) = То (а) и у8(Ь) = уц(6)
для любого з € [—1,1]. Напомним, что полем деформации или полем
вариации Е(1) называется поле вдоль кривой у(^), определяющееся по
деформации у8(1) так: Е(1) = <7у8(^)/<7з|8_0 = ФГ|(0 (<Э8). Если дефор-
мация у неподвижна на концах, то Е(а) — Е(Ь) — 0.

Пусть у — некоторая гладкая кривая. Предположим, что лагранжиан
Ь является гладкой функцией в некоторой окрестности поднятия у кри-
вой у. Тогда для любой достаточно малой деформации у8 кривой у, т.е.
такой деформации, что все у8 лежат в области гладкости функции Г,
определена гладкая функция Фц(у8) параметра з.

Определение. Кривая у называется экстремалью функционала Фл, если
для любой достаточно малой деформации у8 этой кривой, неподвижной
на концах, точка з — 0 является стационарной для функции /(з) — Ф(у8),
т.е. выполняется соотношение

Задача о поиске экстремалей одномерного вариационного функцио-
нала называется классической вариационной задачей, решением которой
занимается классическое вариационное исчисление, возникшее в работах
Эйлера и Лагранжа.

Теорема 15.1. Кривая р является экстремалью вариационного функ-
ционала Ф[,, если и только, если вдоль у выполняется следующая си-
стема дифференциальных уравнений Эйлера. -Лагранжа:

д / дЬ\ дЬ п ,

— —— — _ - — 0, г — 1,... ,п.

д.1 \ дхг 7 дх '
Доказательство. Вычислим производную по з функции Фц(у8) в на-
чальный иомент времени. Обозначим через координатные функ-
ции кривой 7«(0- Имеем

Ь(х8Д),хвД)Л) М = [ ^Ь{х3Д),х3Д),1) <Н =

Д' ( дН дД ,
= / ( 7777 “7—Ь ~лЛ~Г~ )
у ох1 аз охг аз )

Заметим, что на каждой кривой ^еД) выполнено,

(1х'в	(1. Д	<1 (1. I

(18	(Д <И>8 (Н(18Хз

что позволяет продолжить предыдущее равенство так:

/дЬ <1хг. дЬ <1хД\ ,
( 7Г7~ял ~Т~ /
у ах1 аз ох аз )

’ь / дЬ <1х18	<1 / дЬ (1.Д

удх1 д,з <И \дх' <1з

(1 ( дЬ \ Дг’ \ ,
~Т. -7^ } &
ат. \ ох1 /аз /

Полагая в предыдущем выражении з = 0 и вспоминая, что ЕД) = <1.хД<18
при 5 = 0, имеем:

ЕД) (1.1.

В силу произвольности деформации у8, поле ЕД) также может быть
выбрано любым, зануляющимся на концах отрезка [а, &], поэтому условие
экстремальности кривой у равносильно тому, что

= ё

сП удхг)

1 = 1, . . . ,71

вдоль кривой 7 (иначе, если хотя бы одно из этих уравнений не равно
нулю при некотором I = Д, то в качестве ЕД) можно взять поле / ДДД) =
/(О (€Х (О’ • • • ’ €"(0) ’ гДе /(0 — гладкая неотрицательная функция, рав-
ная 1 в точке I — Д, и равная нулю в точках а и Ъ: для деформации
с таким полем г/Д) производная функции $1,(7$) отлична от нуля при
5 = 0). Доказательство закончено.
15.2.	Примеры лагранжианов

В качестве первого примера рассмотрим функционал энергии на рима-
новом многообразии М. Пусть ду — риманова метрика, и

Г(х1,... ,хп,х1,... ,хп,1) = 1ду(х)х1&

— соответствующий лагранжиан, задающий функционал энергии. От-
метим, что функция Л гладкая везде. Найдем экстремали этого функци-
онала. Для этого запишем систему уравнений Эйлера-Лагранжа. Имеем:

_й

(11

дЬ <1 ,

"Б 77 — 777 \9а)х
дха (И '

- ; . др .у  I . }	1 дду

= 9»& +

•' дх1 2 дха

= 9^ + 2

®9а1	ддЯ{ _ дду \	•

дх’	дх) дха) '

а — 1,... ,п.

Сворачивая эту систему с дка, получаем

-а- + 1	+	= -л + га -л^ = 0 к = 1 _ _ _ п

2 \дхг дх-) дха)	}

а это и есть система уравнений, задающая геодезические. Итак, мы
доказали следующую теорему.

Теорема 15.2. Кривая у на римановом многообразии является геоде-
зической тогда и только тогда, когда она — экстремаль функционала
энергии.

Пусть теперь ,... , х’^х1,... , х", I) = у/ду&х! — лагранжиан
функционала длины. Отметим, что функция Ь гладкая везде, где вектор
(о;1,... ,хп) отличен от нуля. Иными словами, лагранжиан 77 является
гладкой функцией в некоторой окрестности поднятия кривой у, если и
только если у — регулярная кривая.

Найдем условие экстремальности регулярной кривой у. Запишем
уравнения Эйлера -Лагранжа. Имеем:

й / дЬ \ дЬ	<1 ( да:)&

й/	дха	61 у у/д^х''^

Если кривая у параметризована пропорционально натуральному параме-
тру, то условие экстремальности равносильно написанному выше усло-
вию экстремальности кривой для функционала энергии, т.е. условию
того, что кривая у — геодезическая. Итак, доказана следующая тео-
рема.

^-Кх!

--дха  _ (у а _ 1, _ _ _ , п
2\/дцхг&
Теорема 15.3. Регулярная кривая -у, параметризованная пропорцио-
нально натуральному параметру, является экстремалью функционала
длины, если и только если она — геодезическая.

Заметим, что так как функционал длины не зависит от параметри-
зации, то мы тем самым полностью описали его экстремали. А именно,

Следствие 15.1. Регулярная кривая у(1) является экстремалью функ-
ционала длины, если и только если после перепараметризации 1(з), пре-
вращающей параметр I в натуральный параметр 8, кривая
геодезическая.

15.3. Законы сохранения

Начнем с еще одного примера. Рассмотрим механическую систему, со-
стоящую из материальной точки массы т, движущейся под действием
поля консервативных сил /. Последнее означает, что существует такая
функция II (х), называемая потенциалом, что / — — §гасП7. Кинетиче-
. 9
тх

ская энергия Т задается в виде —-—, а полная энергия Н равна Т + II.

Уравнение Ньютона, описывающее движение этой материальной точки,
имеет вид / = тх. При этом выполняется закон сохранения энергии:

вдоль траектории движения энергия II постоянна.

Оказывается, траектории движения материальной точки в этой си-
стеме можно описывать как экстремали вариационного функционала Ф/,,
соответствующего лагранжиану Ь = Т — II. Действительно, уравнения
Эйлера-Лагранжа имеют вид:

+ §гасП7 = О,

что эквивалентно уравнениям Ньютона. Здесь / = — утасЮ = дЬ/дх
задает поле сил, а тх = дЬ/дх — импульс материальной точки. Далее,
полную энергию Н можно записать в виде

Н = Т + V = тх2 - (Т - II) = — х - Ь.
дх

Пусть Ь — произвольный лагранжиан. В каждой точке Р 6 М для
локальных координат (ж1,... ,хп) определен набор величин р, — дк/дх1,
др

а также величина Н = ——ха — Цх, х, I)
дха к

Лемма 15.1. Величиныр{ являются компонентами ковекгпорного век-
торного поля в координатах (ж1,... ,хп), а величина- II скалярной
функцией.
Доказательство. Действительно, пусть (Ж1',... ,хп') - другие коорди-
наты в окрестности точки Р. Тогда

..•/	дх1'	дх1' дх1'

X1 — ----г X* ------г — ----

дх'	,	дхг дх* '

откуда

дЬ	дЬ	дхг'	дЬ дх1'	дхг'

& дх‘	дх*'	дх*	дх*' дх'	дх* '

т.е. величины />, при замене координат меняются по ковекторному за-
кону. Осталось заметить, что величина а х есть значение ковектора
р на векторе ж, поэтому не зависит от координат, т.е. является скаляром.
Лемма доказана.

Определение. Ковекторное поле р =
дх

пульсом, а скалярная функция Н(х,х,1) =
энергией.

называется обобщенным им-

——х" - Ь(х,х,1) - - полной
дха (	7

Оказывается, закон сохранения энергии имеет место в существенно
более общей ситуации.

Теорема 15.4 (Закон сохранения энергии). Пусть Ь — Цх,х)
произвольный лагранжиан на М, явно не зависящий от параметра I.
Тогда полная энергия Н постоянна вдоль экстремалей функционала Фу;.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что

дН{х\1),х{1)') =
сП

для произвольной экстремали (ж(/:), ж(^)) вдоль экстремалей. Имеем:

дН д (дИ. Т

—— — — ~—х - Ь
а1 <11 \ дх

д бд1Д . дЬ.. дТ . дТ..

дй \дА.)Л''+ д±х ~ д^х ~ д±х -

_ б с1 бдь\ с1Р
\ дх ) дх

где последнее равенство имеет место в силу уравнений Эйлера-Лагранжа.

Доказательство закончено.

Теорема 15.5 (Закон сохранения импульса). Пусть лагранжиан И
не зависит явно от переменной хг. Тогда г-ая компонента р{ обобщен-
ного импульса р постоянна вдоль экстремалей функционала Ф/,.
Доказательство. Из уравнений Эйлера- Лагранжа вытекает, что

^РГХ)=о,

д.1

что и требовалось.

В качестве примера использования законов сохранения, докажем те-
орему Клеро. Пусть М  двумерная поверхность в К3, полученная вра-
щением вокруг оси % некоторой кривой, лежащей в плоскости хг и не
пересекающей ось г. Напомним, что кривые, полученные пересечением
поверхности М с плоскостями, проходящими через ось г, называются
меридианами, а с плоскостями, параллельными плоскости ху — паралле-
лями. Пусть — геодезическая на М, и ^(1) — угол между геодези-
ческой 7 в точке у(1) и параллелью, проходящей через эту точку. Пусть
г(^) - расстояние от точки Д1) до оси г. Тогда имеет место следующий
результат.

Теорема 15.6 (Клеро). В сделанных выше предположениях, величина

008^(0

постоянна вдоль геодезической Д1).

Доказательство. В самом деле, вычислив метрику на поверхности вра-
щения, легко проверить, что элемент длины, т.е. лагранжиан, задающий
функционал длины, имеет вид д.ч — Ь — -\/(1 +?%(Д}Д +^(Д)ф2, т.е. Ь
явно не зависит от <р, поэтому имеет место закон сохранения импульса

дЬ г2ф

—— — —— — СОП81 .

оф В

Так как каждая геодезическая у параметризована пропорционально на-
туральному параметру, величина В = Ц7Ц постоянна вдоль 7. Поэтому
последнее соотношение равносильно условию г2ф = соп»!, что, в свою
очёрэдь, равносильно утверждению теоремы (проверьте). Доказатель-
ство закончено.

Замечание. На самом деле, законы сохранения энергии и импульса позво-
ляют полностью проинтегрировать уравнение геодезических на поверхности
вращения М С В3 (сделайте это).

15.4. Многомерные вариационные задачи

Заменим теперь кривую, на которой вычислялся вариационный функцио-
нал, на некоторую поверхность, заданную отображением области Н С К*
в ш-мернос многообразие М. Для простоты будем предполагать, что
граница <90 — несвязное объединение конечного числа гладких много-
образий размерности к — 1, т.е. О - гладкое многообразие с краем.

Рассмотрим сначала пространство

ТрМ х • • • х ТрМ

к раз

и отметим, что на нем можно ввести структуру гладкого (т  А?)-мерного
многообразия, действуя по аналогии с касательным расслоением. В
частности, если тг: ТУ —> М стандартная проекция, сопоставляющая на-
бору касательных векторов (щ,... ,.ш) из ТрМ точку Р, то локальные
координаты (ж1,... , хт) в окрестности точки р порождают локальные
координаты

(ж1,... ,жт,У1,... ,уГ,...	- ,У™)

на IV, где (у},... ,у™) — компоненты вектора ц/ из соответствующего
экземпляра ТрМ в каноническом базисе {5Ж^}, порожденном координа-
тами (ж1,... , ж’").

Многомерным лагранжианом Г будем называть непрерывную функ-
гаю Ь : V' х Ж* —> 1Й.

Если иа — стандартные координаты в К"' Э О, то лагранжиан будем
записывать в координатах так:

Г = Т(ж,у,ф) к(х1,... ,хт,у1,... ,ук,и\... ,ик),

гдеуг = (у},... ,у?).

Если /: О —>• М — гладкое отображение, то поднятием / назовем
отображение из О в IV х Ж’”, заданное так:

/И = (/(и),|^(ц),«).

Многомерным вариационным функционалом, соответствующим ла-
гранжиану Ь, назовем отображение, которое каждому / ставит в соот-
ветствие число

<ЫЛ = [ Е(Ди))с1и.

до

Деформацией или вариацией отображения /: О —> М называется
гладкая гомотопия этого отображения, т.е. такое гладкое отображение

[-1Д] х О —> М, что Е’(5,,и) — Л(р)1 а полем вариации — векторное
поле Е(и) вдоль /, определенное так: Е(и) — <//8/Й5(и)|8=о — дЕ\(Олц(дД.
Говорят, что деформация /8 неподвижна на крае, если точки из дО, оста-
ются неподвижными. В последнем случае поле Е равно нулю на 50.

Определение. Пусть лагранжиан Г гладок в окрестности образа под-
нятия /. Тогда / называется экстремалью функционала Ф/,, если

^Фц(Л) । =п

дз 1в=°
для любой достаточно малой деформации Д отображения Д неподвиж-
ной на крае.

(Классическая) многомерная вариационная задача — это задача о
поиске экстремалей многомерного вариационного функционала.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 15.1 (проверьте).

Теорема 15.7. Отображение / является экстремалью функционала
если и только если вдоль / выполняется следующая система дифферен-
циальных уравнений Эйлера Лагранжа-.

г = 1,... ,т.

Пример. Пусть область О лежит на плоскости Ж2 с координатами (и1,//2),
и /: Г2 —> К3 — погружение. Пусть (ж1,#2,#3) — стандартные координаты
в К3, и отображение / задается тремя координатными функциями хЧи1 ,и2).
Если /(и1,и2) радиус-вектор точки поверхности / с координатами (и1, и2),
то индуцированная метрика имеет вид у,, = (Д<, физ). Рассмотрим функцию
Лагранжа Ь: IV х К2 —> К

Т, 1 2 3	х (У1,У1) + <У2, уф)

Ь(х ,х ,х ,у1,у^,и) = ---------------------.

Так как / = (/(а), Дх (и), Д2(и), и), то Значение функционала Ф/, (/) имеет
вид:

фь(/) = | У (Ри + д22')ди1ди2.

Этот функционал называется функционалом энергии или функционалом Ди-
рихле. Найдем его экстремали, для чего запишем уравнения Эйлера-Лагранжа.
Рассматриваемый лагранжиан не зависит явно от хг. При г = 1 имеем

у1' _д_ / дфЛ = ду\	ду? = 1	1

диа \дук / ди1	ди2 Ж“1“1	“

При остальных г вычисления аналогичны. Итак, система уравнений Эйлера-
Лагранжа принимает вид

Я^1Щ1 "Ь Хи2иР — О, * — 1> 2, 3.

Таким образом, координаты радиус-вектора экстремали функционала Дирихле
являются гармоническими функциями. Напомним, что такие радиус-векторы
(и соответствующие поверхности) называются гармоническими. Итак, мы до-
казали следующий результат.

Утверждение 15.1. Экстремали функционала Дирихле — гармонические по-
верхности.
Пример. В предыдущем примере изменим лагранжиан, положив

Ь(х1,х2,х3, у1,у2,и) = ^\/{у1,У1'){у2,У2) ~ {У1,У2}2.

Тогда величина

= | У - д^ДиДи2.

пропорциональна площади поверхности /. Вариационный функционал Фг на-
зывается поэтому функционалом площади и иногда обозначается через уоЬ.
Оказывается, экстремали этого функционала — это минимальные поверхно-
сти, т.е. поверхности нулевой средней кривизны (докажите).

Задачи

Задача 15.1. Докажите, что экстремали многомерной вариационной задачи явля-
ются решениями уравнения Эйлера—Лагранжа.

Задача 15.2. Докажите, что экстремальность отображения по отношению к много-
мерному вариационному функционалу равносильна выполнению системы дифферен-
циальных уравнений Эйлера-Лагранжа.

Задача 15.3. Пусть 9сК2, /: П Ж3 — погружение, и уоЬ обозначает функцио-
нал площади. Докажите, что для любой деформации /5 отображения /, неподвижной
на границе выполняется

где Е — поле вариации /б, а Н — вектор средний кривизны поверхности /, т.е.
произведение средней кривизны на единичную нормаль.

Задача 15.4. Докажите, что минимальная поверхность в К3 задается гармониче-
ским радиус-вектором (все координатные функции — гармонические), если и только
если индуцированная метрика конформна (изотермична).

Список литературы

1.	Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии
и топологии. — М.: Факториал Пресс, 2000.

2.	Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной
геометрии и топологии. — М.: Физматлит, 2004.

3.	Новиков С. П.. Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной гео-
метрии и топологии. — М.: Наука, 1987.

4.	Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр 2: Линейная
алгебра и дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1979; Семестр 3:
Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

5.	Дубровин Б. А., Новиков С. И., Фоменко А. Т. Современная гео-
метрия: в 2 т. — М.: Наука, 1979, 1984.
6.	Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гос-
техиздат, 1956.

7.	Трофимов В. В. Введение в геометрию многообразий с симметри-
ями. — М.: Изд-во МГУ, 1989.

8.	Васильев А. М., Соловьев Ю. П. Дифференциальная геометрия. —
М.: Изд-во МГУ, 1988.

9.	Мищенко А. С., Соловьев Ю. П., Фоменко А. Т., Сборник задач
по дифференциальной геометрии и топологии. М.: Физматлит, 2004.

10.	Иванов А. О., Тужилин А. А., Лекции по классической диффе-
ренциальной геометрии. — М.: Логос, 2008.