/
Автор: Гантмахер В.Ф.
Теги: физика конденсированного состояния (жидкое и твердое состояние) физика электроны физика твердого тела твердое тело
ISBN: 5-9221-0578-7
Год: 2005
Текст
УДК 538.9 jj Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.37 т»<с|1р;и Российского фонда фундаментальных
Y 19 ** исследований по проекту 04-02-30005д
Гантмахер В. Ф. Электроны в неупорядоченных средах. — 2-е изд.,
испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 232 с. - ISBN 5-9221-0578-7.
Книга предназначена для студентов старших курсов и аспирантов, спе-
специализирующихся в области физики твердого тела, а также для научных
сотрудников и всех, кто профессионально нуждается в понимании основ физи-
физических процессов, управляющих поведением электронов в твердых телах. Она
написана с минимумом математики. Основное внимание уделено обсуждению
физической сущности явлений и выявлению глубинных связей и аналогий
между ними.
Научное издание
ГАНТМАХЕР Всеволод Феликсович
ЭЛЕКТРОНЫ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕДАХ
Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 09.02.05. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 15,9. Тираж экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0578-7 © В.Ф. Гантмахер, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Литература по разделам физики металлов, не вошедшим в книгу ... 7
Благодарности 8
Глава 1. Металлы с сильным беспорядком 9
1.1. Дифракционная теория электронного транспорта в жидких ме-
металлах 10
1.2. Правило Моойа 15
1.3. Насыщение сопротивления 17
1.4. Предел Иоффе-Регеля при большой электронной плотности . . 21
Глава 2. Квантовые поправки к проводимости 24
2.1. Слабая локализация 25
2.2. Влияние магнитного поля на слабую локализацию 32
2.3. Антилокализация 36
2.4. Межэлектронная интерференция 42
Глава 3. Влияние межэлектронного взаимодействия на
электронный энергетический спектр 50
3.1. Переход Пайерлса 50
3.2. Структура примесной зоны при слабом легировании 52
3.3. Кулоновская щель 59
Глава 4. Прыжковая проводимость 64
4.1. Локализованные состояния и переходы между ними 64
4.2. Прыжки на ближайшие центры 67
4.3. Прыжки с переменной длиной прыжка 70
4.4. Экспериментальные наблюдения прыжковой проводимости ... 73
Глава 5. Переходы металл—изолятор 80
5.1. Переход Андерсона 81
5.2. Формула Ландауэра для одномерных (ID) систем 85
5.3. Локализация и роль корреляций в ID-системах 89
5.4. Микроволновое моделирование 95
5.5. Модель структурного беспорядка 98
5.6. Переход Мотта 101
5.7. Минимальная металлическая проводимость? 106
Глава 6. Скейлинговая гипотеза 109
6.1. Обоснование и формулировка скейлинговой гипотезы 109
6.2. Трехмерные CD) системы 114
Оглавление
6.3. Двумерные BD) системы 121
6.4. Скейлинг и спин-орбитальное взаимодействие 127
Глава 7. Химическая локализация 130
7.1. Интерметаллические комплексы в двухкомпонентных расплавах 131
7.2. Квазикристаллы 137
7.3. Переход металл-изолятор при большой электронной плотности 143
Глава 8. Гранулированные металлы 145
8.1. Морфология и классификация 145
8.2. Кулоновская блокада и переход металл-изолятор 151
8.3. Фрактально-гранулированные металлы 158
Глава 9. Целочисленный квантовый эффект Холла 164
9.1. Спектр и динамика двумерных электронов в сильном магнитном
поле 165
9.2. Экспериментальные наблюдения целочисленного КЭХ 173
9.3. Механизм образования плато 177
9.4. Краевые каналы 184
9.5. Плотность состояний электронного 2Б-газа в магнитном поле . 189
9.6. Цепочки фазовых переходов 192
9.7. Двухпараметрический скейлинг 198
Приложение А. Элементы теории перколяции 206
А.1. Аппроксимация эффективной среды 206
А.2. Перколяционные пороги 209
А.З. Окрестность перколяционного перехода 213
А.4. Пример: электропроводность сильно неоднородной среды 215
Приложение Б. Туннельные характеристики 219
Указатель материалов 230
Предметный указатель 231
Предисловие
Книга, которую вы держите в руках, это скорее не учебник, а пу-
путеводитель. Как известно, путеводитель не может заменить путеше-
путешествие. Но он подсказывает, куда следует повернуть, где задержаться,
на что обратить внимание, над чем задуматься. Когда вы находи-
находитесь в стране с незнакомым языком, путеводитель должен быть еще
и разговорником, подсказывая, как спросить дорогу или как понять
надпись на указателе.
Путеводитель должен начинаться с обзорной карты. Роль кар-
карты для страны «Электроны в неупорядоченных средах» выполняет
схема-оглавление, разъясняющая логику «админинистративного де-
деления», специализацию и внутренние связи между главами-«провин-
главами-«провинциями». Их всего одиннадцать (в первом издании было десять — здесь
добавлена глава о квантовом эффекте Холла; кроме того, в гл. 5 до-
добавлены параграфы об одномерных системах. Остальные изменения
незначительны). Помимо девяти естественных исторически сложив-
сложившихся «провинций», которые обозначены белыми прямоугольниками,
на карте имеются еще две, закрашенные серым, появившиеся в соот-
соответствии с «методическим принципом» и вынесенные в приложение.
Раздел «Элементы теории перколяции» представляет собой краткое
изложение основных понятий этой математической дисциплины. По-
Появился здесь он потому, что эта молодая теория, хотя и широко
используется, до сих пор не включена в университетские курсы мате-
математики. В разделе «Туннельные характеристики» описаны экспери-
эксперименты, имеющие непосредственное отношение одновременно к самым
различным обсуждаемым явлениям: межэлектронной интерферен-
интерференции, кулоновской щели, прыжковой проводимости, переходам металл-
изолятор. Выделение этого материала в отдельный раздел позволяет
избежать повторений. Предполагается, что читатель, единожды разо-
разобравшись с сутью эксперимента, будет возвращаться в этот раздел из
разных мест, чтобы посмотреть на экспериментальные кривые. Специ-
Специальные значки, смысл которых нетрудно понять, показывают, в каких
разделах используются сведения, собранные в обоих приложениях.
На обзорную карту обычно наносят и сопредельные территории.
У нас они окрашены в желтый цвет. Указаны и средства сообщения
с ними: по названию в конце Предисловия можно найти соответствую-
соответствующие ссылки на учебную и обзорную литературу. Предполагается, что
читатель знает и понимает то, что подразумевается под «Электронами
в идеальной решетке», «Транспортом в т-приближении» и «Рассеяни-
«Рассеянием» или в крайнем случае может воспользоваться соответствующими
учебниками. Знакомство со сверхпроводимостью или с волнами заря-
зарядовой плотности, вообще говоря, не обязательно.
6 Предисловие
Карта сама несет информативную нагрузку, являясь чем-то боль-
большим, чем просто оглавлением. При этом следует помнить, что, по-
поскольку страна виртуальная, то карта субъективна: подобно геогра-
географическим картам древности, ее вид зависит от вкусов и взглядов
составителя.
На предлагаемой карте не указана большая сопредельная терри-
территория, которая называается «Взаимодействующие электроны». Это
страна будущего. Многие открытия в ней, ее освоение, прокладывание
дорог и застройка еще только предстоят. По существу «Сверхпрово-
«Сверхпроводимость» с ее куперовскими парами и эффектом Джозефсона и «Дву-
«Двумерный электронный газ» с дробным квантовым эффектом Холла
и композитными фермионами — это окраинные провинции этой стра-
страны, освоенные одна более, другая менее. Возможно, что в названии
этой книги следовало бы написать «невзаимодействующие злектро-
ны... ». Но это было бы тоже неточно, потому что кулоновское ме-
межэлектронное взаимодействие в ней обсуждается довольно активно.
Оно является существенным для кулоновской щели, переходов Пай-
ер лса и Мотта, и других разделов, которые можно легко определить
по пунктирным стрелкам на карте. Но проблемы межэлектронного
взаимодействия не исчерпываются законом Кулона. Эту книгу можно
рассматривать как плацдарм для их изучения.
Однако, надо иметь в виду, что и плацдарм еще освоен не до конца.
Вам предстоит путешествие по сравнительно новой и развивающей-
развивающейся стране. В одних местах строительство в основном завершилось,
и пейзаж вряд ли изменится в будущем. В других можно оказаться на
стройплощадке или на территории, подлежащей реконструкции, так
что через несколько лет многое будет выглядеть не так, как сейчас.
Особенности предмета «Электроны в неупорядоченных средах»
в том, что нет ни одного большого учебника, в котором он был бы
целиком описан. Поэтому по ходу изложения мы указываем книги,
обзоры, а иногда даже оригинальные статьи, где соответствующий ма-
материал изложен наиболее просто и понятно (а этот выбор опять-таки
весьма субъективен). Такая система ссылок ни в какой мере не отра-
отражает приоритетов в получении новых результатов. Например, любой
график с экспериментальными результатами сопровождается ссылкой
на оригинальную работу, чтобы можно было посмотреть детали экспе-
эксперимента. Но сами результаты отбирались по принципу «зрелищности»
и могут быть не первыми по времени. Теоретические работы, содер-
содержащие новые оригинальные результаты, часто мало пригодны для
первого ознакомления с предметом из-за сложного математического
аппарата. Такие работы здесь тоже не упоминаются. Но встречаются
ссылки на работы, содержащие простые наглядные модели, не полу-
получившие дальнейшего развития и не вошедшие в обзоры.
Засим, счастливого пути! Рекомендуем двигаться по жирным крас-
красным стрелкам, придерживаясь преимущественного направления слева
направо. Двухсторонние пунктирные стрелки указывают на внутрен-
внутренние взаимосвязи, а сплошные — на связи с внешним миром. Одного
канонического маршрута нет. Каждому — по потребностям.
Литература по разделам физики металлов,
не вошедшим в книгу
Электроны в идеальной решетке
1. Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — М.: Наука, 1987.
2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. — М.: Мир, 1979.
(перевод книги Ashcroft N. W., Mermin N.D. Solid State Physics. — Holt,
Rinehart and Winston, 1969).
3. Физика металлов. 1. Электроны (ред. Дж. Займан). — М.: Мир, 1972
(перевод книги The physics of metals. 1. Electrons (ed. J. Ziman). —
Cambridge Univ. Press, 1969).
Транспорт в т-приближении и рассеяние
4. Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — М.: Наука, 1987.
5. Гантмахер В. Ф., Левинсон И. Б. Рассеяние носителей тока в металлах
и полупроводниках. — М.: Наука, 1984.
Волны спиновой и зарядовой плотности
6. Уайт Р., Дэюебелл Т. Дальний порядок в твердых телах. — М.: Мир,
1982 (перевод книги White R.M., Geballe Т.Н. Long range order in
solids. — Academic Press, 1979).
7. Gruner G. Density Waves. — Perseus Books, 2000.
8. Gruner G. // Rev. Mod. Phys. 60, 1129 A988); 66, 1 A994).
Сверхпроводимость
9. Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — M.: Наука, 1987.
10. Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: Наука, 1982;
2-е изд. — М.: МЦНМО, 2000.
Двумерный электронный газ
11. Демиховский В. Я., Вугальтер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных
структур. — М.: Логос, 2000.
12. Physics of low dimensional structures (ed. B. Butcher, N.H. March,
M.P. Tosi). — Plenum Press, 1993.
Благодарности
Эта книга возникла из курса, который автор читал в течении ряда
лет студентам Московского физико-технического института и Мос-
Московского государственного университета. Все слушатели курса свои-
своими вопросами на лекциях и ответами на экзаменах способствовали
его оптимизации. Автор благодарен Ю. Гальперину, В. Долгополову,
Э. Рашбе и С. Студеникину, прочитавшим рукопись и сделавшим
много ценных замечаний. Особая благодарность Д. Хмельницкому,
дискуссии с которым привели к уточнению многих утверждений и да-
даже к появлению новых параграфов. При написании главы про кван-
квантовый эффект Холла автор пользовался советами и разъяснениями
В. Долгополова и С. Мурзина.
Глава 1
МЕТАЛЛЫ С СИЛЬНЫМ БЕСПОРЯДКОМ
Основным фактором, определяющим законы движения делока-
лизованных электронов в кристаллах, является дальний порядок.
Именно он обеспечивает в кристалле интерференцию после рассеяния
электронов от отдельных атомов, которая полностью гасит рассеяние
и допускает стационарное распространение электронных волн почти
со всеми волновыми векторами к. Исключение составляют лишь вол-
волны, у которых волновой вектор удовлетворяет условию
к2 = (к-КтJ, A.1)
где Кт — произвольный вектор обратной решетки. Для электронов
с такими волновыми векторами рассеяние является резонансным и та-
такие электронные волны вообще не могут распространяться в кри-
кристалле. Все же остальные электроны рассеиваются лишь на отклоне-
отклонениях от периодичности, что учитывается понятием длины свободно-
свободного пробега I. В таком контексте I имеет смысл расстояния, которое
электрон проходит между двумя последовательными независимыми
актами рассеяния. Естественно, что рассеяние должно быть не слиш-
слишком частым, чтобы длина I была больше электронной длины волны
Л « 2тг//ср:
Ы > 1. A.2)
Под kF здесь подразумевается радиус ферми-сферы
ju _ /qJ U/з /i o\
определяемый через концентрацию свободных носителей п. Ограни-
Ограничение снизу на длину пробега I > l/fcF называют пределом Иоффе-
Регеля. Обоснование этого неравенства, заимствованное из классиче-
классической физики, звучит так: отрезок синусоиды размером меньше длины
волны уже нельзя считать синусоидой. Квантовомеханический аргу-
аргумент, по сути дела аналогичный, исходит из соотношения неопреде-
неопределенности AkAx ~ 1. Поскольку Ак заведомо меньше fcF, минимально
возможная неопределенность траектории электрона Ах > l/fcF. Есте-
Естественно, что расстояние между двумя актами рассеяния вдоль этой
траектории должно быть больше этой неопределенности.
В этой главе мы будем полагать, что имеем дело с «настоящими»
металлами, у которых концентрация п такова, что среднее расстояние
между носителями порядка среднего расстояния между атомами а
п~1/3 < (п*)-1/3 = а^ЗА, n>4- 1022 см. A.4)
10 Металлы с сильным беспорядком [Гл. 1
Такой металл мы будем называть стандартным. В веществах со столь
большой электронной плотностью при наличии дальнего порядка
ферми-поверхности обычно имеют довольно сложную форму. Однако
для оценок всегда можно пользоваться моделью ферми-сферы A.3).
Длину пробега I можно оценить из величины удельной проводи-
проводимости а. Подставив ферми-радиус A.3) в выражение для <т, получим
формулу Друде
^ ). A.5)
Согласно неравенству Иоффе-Регеля A.2), минимальное значение
безразмерного параметра kFl равно единице. Тогда из A.5) следу-
следует, что удельное сопротивление не может быть больше, чем р* «
~ 10(Й/е2)а. Конечно, получающееся из соотношения A.5) численное
значение р* « 1000мкОм-см весьма приблизительно и его следует
уточнить экспериментально. Как мы увидим (см. ниже, рис. 1.3), из
экспериментов следует значение р* для стандартного металла
р* « B00 -г- 300) мкОм • см, A.6)
которым мы и будем пользоваться.
Само существование предельного значения р* позволяет поставить
два вопроса.
1. Каковы транспортные свойства сильно разупорядоченного стан-
стандартного металла при большом р, которое тем не менее р < р*1
2. Нельзя ли преодолеть предел р* и изготовить стандартный ме-
металл с р > р*? В простейшей модели A.5) это бы означало, что I < а,
т. е. что электрон заперт и двигается в пределах одной элементарной
ячейки или вблизи одного атома и что металл превратился в изолятор.
Переход металл-изолятор под влиянием беспорядка известен (пере-
(переход Андерсона), но он всегда наблюдается в системах с электронной
плотностью, существенно меньшей, чем A.4). Поэтому второй вопрос
можно переформулировать так: возможен ли переход Андерсона в си-
системах с большой электронной плотностью A.4)?
В этой главе мы обсудим первый вопрос и начнем обсуждение
второго, а завершим это обсуждение в гл. 7.
1.1. Дифракционная теория электронного
транспорта в жидких металлах 1)
Когда статические дефекты периодической решетки расположе-
расположены далеко друг от друга, рассеяние на каждом из них происходит
независимо. При постепенном увеличении концентрации дефектов их
потенциалы должны начать перекрываться. Тогда в пространстве уже
нельзя выделить области, свободные от рассеивающих полей, и четко
указать, где какой статический дефект ответственен за рассеяние.
г) Материал этого параграфа обсуждается также в книгах [1] и [2].
1.1] Дифракционная теория электронного транспорта 11
Увеличение беспорядка требует разработки нового подхода для опи-
описания его последствий. Такой подход предложен в теории жидких
металлов Займана.
В жидкости сохраняется только ближний порядок: ближайшее
окружение каждого атома расположено почти так же, как в кристал-
кристалле. Но именно из-за этого «почти» при переходе к атомам, более уда-
удаленным от исходного, неопределенность их расположения относитель-
относительно исходного атома нарастает, так что дальний порядок отсутствует.
Казалось бы при отсутствии дальнего порядка, когда каждый атом
рассеивает независимо, условие A.2) должно нарушиться. Однако
довольно часто, в частности в моноэлементных жидких металлах, это
не так. Об этом свидетельствует величина удельного сопротивления
р = 1/сг. В формуле A.5) выразим концентрацию носителей п через
валентность Z, т. е. число свободных электронов на атом, и концен-
концентрацию атомов N = 1/а3, определяемую из удельного веса расплава.
Благодаря этим соотношениям, из величины удельной проводимости
непосредственно определяется отношение 1/а. В большинстве моно-
моноэлементных жидких металлов это отношение больше 5, а в щелочных
металлах даже больше 100 (кроме Li, у которого 1/а « 13). Это озна-
означает, что сечение рассеяния на отдельных атомах не очень большое,
в несколько раз меньше, чем а2. Причина ослабленного рассеяния —
в большой электронной плотности и, как следствие, в сильном экра-
экранировании. Каждый электрон чувствует не истинный потенциал иона,
а лишь его перенормированную малую часть, сохранившуюся после
экранирования остальными электронами. Этот остаток называется
псевдопотенциалом, и в дальнейшем в этом параграфе речь будет
идти только о нем, хотя приставку «псевдо» мы будем для краткости
опускать.
Излагаемая теория описывает рассеяние электронов на слабом,
но протяженном хаотическом потенциале. Специфика задачи в том,
что рассеивателем является потенциал V(r), охватывающий весь объ-
объем. При этом предполагается, что энергетический спектр изотропен
и энергия электрона зависит только от модуля его волнового вектора:
s = e(k), а волновые функции имеют вид смодулированных плоских
волн ехр (гкг). При таких волновых функциях матричный элемент
перехода
\ [(kl-k2)rF(r)dr = V(q) A.7)
есть фурье-компонента рассеивающего потенциала с аргументом, рав-
равным изменению волнового вектора при рассеянии: q = ki — k2. Потен-
Потенциал V(r) складывается из потенциалов отдельных атомов v(r — R^),
расположенных в точках R^:
V(r) = 5>(г - R*). A.8)
12 Металлы с сильным беспорядком [Гл. 1
Соответственно, фурье-компонента потенциала V(r)
V(q) = ? f ещгу(г - ТЦ) dr = J2 ещКг f ещгу(т) dv = v(q) ? e*qR*
Ri Ri Ri
A.9)
выражается через фурье-компоненту потенциала отдельного ато-
атома v(q).
Заметьте. Форма записи A.8) потенциала V(r) предполагает,
что остовы различных ионов перекрываются не очень сильно, т. е.
что нет пар с очень малыми расстояниями R^ — Rj.
Сравните. Формально точно такой же потенциал фигурирует
и в модели структурного беспорядка, обсуждаемой в гл. 5 в связи
с переходами Андерсона. Но там у потенциала нет приставки
«псевдо», ямы г;(г — R^) глубокие, и электроны могут в принципе
сидеть каждый в своей яме.
Поскольку вероятность рассеяния выражается через квадрат мат-
матричного элемента, нужно вычислить квадрат V2(c\). Пусть объем, за-
занимаемый жидким металлом, равен единице, а концентрация ионов —
N. Тогда
A.10)
Последнее преобразование справедливо благодаря тому, что все N
диагональных элементов г = j двойной суммы равны 1. Зафиксиру-
Зафиксируем некоторый ион j = jo? перенесем начало координат в точку Rj0
и усредним сумму
по всем возможным конфигурациям {Ri}. Тогда суммирование по Rj
можно заменить умножением на N. Обозначив результат усреднения
чертой сверху, получим
= Hq)\2NS(q). A.11)
Выражение в скобках, обозначенное S(q), называется структурным
фактором. Для преобразования S(q) и выяснения его физического
смысла введем вероятность NP(r)d3r нахождения иона в объеме d3r
при условии, что другой ион находится в начале координат г = 0;
интеграл по единичному объему J P(r) d3r = 1. Если положения всех
ионов статистически независимы, то Р(г) = 1. Наличие спадающих
с г корреляций ближнего порядка отражается на значениях Р при
значениях г порядка а, а при г —> оо всегда функция Р(г) —> 1. Из-за
1.11
Дифракционная теория электронного транспорта
13
этого фурье-образ P(q) функции Р(г) содержит сингулярность в виде
дельта-функции: P(q) = 5(q) + Pf(q), где P'{q) — функция, регулярная
в точке q = 0. Но родственная Р(г) парная корреляционная функция
Q(r) = P(r) — 1, которая на больших г стремится к нулю, не имеет
этого недостатка.
Заменим в определении A.11) структурного фактора S(q) сумму,
усредненную по всем позициям атомов R^, на интеграл по d3ry в ко-
котором вероятность Р(г) является весовым множителем. С точностью
до дельта-функции, на которую различаются фурье-образы функций
Р(г) и Q(r), имеем
= l + iv[eiqrQ(r)d3r =
= 1 + 2тгЛГ
qr
г. A.12)
0
Z=l A2 3 4 5
Функция S(q) появляется во всех дифракционных задачах, в част-
частности, в задачах о рассеянии нейтронов и рентгеновских лучей,
и может быть извлечена из соот-
соответствующих экспериментов. Как
и Р(г), она содержит всю инфор-
информацию о корреляциях в положениях
ионов. Появление здесь этой функ-
функции подчеркивает, что весь подход
базируется на предположении, что
волновые функции электронов —
это плоские волны. Поэтому эту
теорию часто называют спектраль-
спектральной или дифракционной теорией
транспорта в жидких металлах.
Обычный вид функции S(q) по-
показан на рис. 1.1: после нескольких
затухающих осцилляции она выхо-
выходит на асимптоту S = 1. Масштаб
Рис. 1.1. Схематический график
функции S(q), на котором отме-
отмечены величины 2/cF при разном
количестве Z свободных электро-
электронов на атом
этих осцилляции по оси ординат зависит от корреляций: чем они
слабее, тем амплитуда осцилляции меньше. Для системы со стати-
статистически независимыми положениями ионов S(q) = 1. Масштаб по
оси абсцисс задается средним расстоянием между ионами а « TV/3.
Значение аргумента в первом максимуме определяется радиусом а\
первой координационной сферы \jq\ ~ a\ ~ а. Аналогично 1/^2 ~
~ п2 ~ 2а и т.д. Благодаря этому, из соотношений A.5) следует, что
на оси абсцисс можно указать точки q = 2kF для различных Z (вер-
(вертикальные пунктирные линии на рис. 1.1) и их расположение отно-
относительно максимумов функции S(q). Именно это позволило сделать
14
Металлы с сильным беспорядком
[Гл. 1
из теории нетривиальные выводы, поддающиеся экспериментальной
проверке.
Как известно, входящая в формулу A.5) величина I аккумулирует
результаты всех актов упругого рассеяния |ki| = | к^ | = kF на Разные
углы в = 2 arcsin (q/2kF) (см. рис. 1.2) в соответствии с формулой
7Г 1
т ос [ \V(q)\2 (I- cos в) sin в с1в ос [ SBkFx)v2BkFx)x3dx,
A.13)
X =
Из-за множителя х3 в подынтегральном выражении в A.13) основной
вклад в интеграл вносит область х « 1, т.е. рассеяние «почти назад»
на углы в ~ тг. Это означает, что при вычис-
вычислении величины 1/1 существенна не вся функ-
функция S(q), а лишь ее значения в окрестности
точки q = 2kF (см. рис. 1.1). Отсюда следует
чрезвычайно сильное и элегантное утверж-
утверждение.
Очевидно, что при повышении температу-
температуры корреляции ослабевают и система ионов
становится все более хаотичной. Поэтому зна-
значения функции S(q) при каждом фиксирован-
фиксированном q с ростом температуры приближаются
к единице. Как видно из рис. 1.1, в металлах
с Z = 1 (жидкие Na, К, Rb) и Z = 3 (Al, Ga,
In) величина SBkF) при этом будет расти,
а в металлах второй группы с Z = 2 (жидкие
Zn, Cd, Hg) — уменьшаться. Соответственно
по-разному должны меняться с температурой
величина 1/1 и пропорциональное ей удельное сопротивление р. Таким
образом, дифракционная теория предсказывает нетривиальную зави-
зависимость от валентности знака температурного коэффициента сопро-
сопротивления жидких металлов: у щелочных и трехвалентных металлов
сопротивление должно расти с ростом температуры, а у двухвалент-
двухвалентных — падать. Как видно из табл. 1.1, где приведены данные о тем-
температурном коэффициенте сопротивления для ряда металлов, дело
именно так и обстоит. (Все металлы, фигурирующие в таблице, имеют
сравнительно низкие температуры плавления: ниже 200 °С у всех,
кроме Zn D20 °С) и Cd C20 °С).)
Поучителен еще один аспект результатов, получающихся в ди-
дифракционной теории. Оказалось, что увеличение беспорядка может
приводить к уменьшению сопротивления. Необходимой предпосылкой
для этого является перекрытие отдельных рассеивателей, эффект
от которых был бы аддитивен, будь они изолированы. Кроме того
существенно, чтобы тепловые фононы добавлялись к фону сильного
Рис. 1.2. К формуле
A.13): связь между уг-
углом упругого рассея-
рассеяния 0 и модулем пере-
переданного импульса q
12]
Правило Моойа
15
Таблица 1.1
Металл
Li
Na
К
Rb
Cs
Zn
Cd
Hg
Ga
In
Валентность
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
p, mkOm • см
25
10
13
22
37
37
34
91
26
33
d\n p
dlnT
0,6
0,85
0,76
0,70
0,69
-0,24
-0,22
-0,10
0,14
0,16
статического беспорядка, который уже разрушил дальний порядок
и анизотропию. Однако весьма примечателен сам факт наличия та-
такого эффекта, получаемого в рамках приближения кинетического
уравнения.
Заметьте. Рост сопротивления с понижением температуры про-
происходит также в условиях слабой локализации (см. гл. 2). Но там
он обусловлен квантовыми поправками к проводимости, кото-
которые появляются за пределами приближения кинетического урав-
уравнения.
1.2. Правило Моойа
Успех дифракционной теории показывает, что можно по-прежнему
опираться и ссылаться на величину параметра I даже тогда, когда I
уже трудно назвать расстоянием, которое электрон проходит меж-
между двумя последовательными точечными актами рассеяния. Из хода
вычислений скорее следует, что рассеяние при сильном беспорядке
представляет собой как бы непрерывный процесс, количественно оце-
оцениваемый длиной /. В этих условиях решающее значение приобретает
значение безразмерного параметра I/a « kFl.
Блестящее подтверждение выводов дифракционной теории в моно-
моноэлементных металлических расплавах привело к тому, что эту теорию
стали широко применять при обработке данных по электросопро-
электросопротивлению разупорядоченных высокоомных металлических сплавов по
следующей схеме: по знаку температурного коэффициента сопротив-
сопротивления определяется среднее количество носителей на атом, что далее
используется как аргумент при определении электронного спектра,
перекрытия зон, положений ферми-уровня и т. д. Оказалось, однако,
что во многих случаях простейшие оценки по формулам A.5) пока-
показывают, что I < а. Тогда плоские волны являются плохой аппрок-
аппроксимацией волновых функций и применение дифракционной теории
становится неправомерным.
16
Металлы с сильным беспорядком
[Гл. 1
В этих условиях следует обратиться в первую очередь к экспе-
эксперименту. На рис. 1.3 собраны данные о температурном коэффици-
коэффициенте сопротивления а = R~l (dR/dT) высокорезистивных металли-
металлических сплавов для более ста различных материалов (величина а
имеет размерность обратной энергии). На основании этих данных был
сделан вывод о существовании корреляции между величиной удель-
удельного сопротивления и температурным коэффициенте сопротивления
и сформулировано эмпирическое правило Моойа: Металлические ма-
200
100
2 0
id
-100
-200
о Массивные сплавы-
• Тонкие пленки
Л Аморфные сплавы
о
100 200
р, мкОм • см
300
Рис. 1.3. Правило Моойа: корреляция между удельным сопротивлением
и его температурным коэффициентом в высокоомных сплавах [3]
териалы с удельным сопротивлением, меньшим 100-150 мкОм- см,
имеют преимущественно положительный температурный коэффи-
коэффициент сопротивления, а с большим — отрицательный. Другими
словами, если статический беспорядок создает «слишком» большое
удельное сопротивление, то температура его немного уменьшает.
Заметьте. Речь идет лишь о материалах, состоящих только из
металлических атомов, валентные электроны которых слабо свя-
связаны с ионными остовами и поэтому делокализованы, т. е. лишь
о стандартных металлах в смысле A.4). Сюда заведомо не отно-
относятся окислы металлов, полуметаллы типа Bi, соединения типа
MoGe, высокотемпературные сверхпроводники и т. п.
С другой стороны. Как видно из таблицы 1.1, почти все моноэле-
моноэлементные жидкие металлы, являвшиеся объектами приложения
дифракционной теории, имеют значения р < 50 мкОм • см, так что
эти материалы тоже не подпадают под действие правила Моойа.
На графике рис. 1.3 не случайно отсутствуют данные о сплавах
с р > 300 мкОм • см. Таких сплавов практически нет. Сотни иссле-
исследованных композиций металлических сплавов, десятки различных
методов изготовления разупорядоченных систем — все приводят к ма-
материалам с удельным сопротивлением, меньшим 300 мкОм • см. Хотя
1.3] Насыщение сопротивления 17
эта величина в 3-4 раза меньше, чем максимальное сопротивление р*,
полученное из оценки на основании формул A.5), по всей видимости
именно его следует считать максимально возможным сопротивлением
стандартного металла, которое получается в пределе I « а.
Наличие верхнего предела удельного сопротивления стандартного
металла, как и правило Моойа, по-видимому обусловлены глубокими
физическими причинами, связанными с экранированием в системе
с большой плотностью свободных носителей. Вероятно, уменьшая ам-
амплитуду случайного потенциала, экранирование самосогласованным
образом приводит его к критическому значению, при котором носите-
носители еще остаются свободными.
1.3. Насыщение сопротивления
Итак выясняется, что простым наращиванием статического бес-
беспорядка не удается создать условия для перехода Андерсона в стан-
стандартном металле и что добавление теплового беспорядка к сильному
статическому может даже уменьшить сопротивление. Можно, однако,
испробовать еще одну возможность — взять металл со слабым ста-
статическим беспорядком, но с большой константой электрон-фононного
взаимодействия, обеспечивающей быстрый рост сопротивления с тем-
температурой, и исследовать, чего можно достичь за счет чисто теплового
беспорядка. Эта попытка базируется на естественной идее об эквива-
эквивалентности статического (структурного) и динамического (теплового)
беспорядка с точки зрения рассеяния электронов. Скорость теплового
движения ионов порядка скорости звука, т. е. порядка 105 см/с, в то
время как фермиевская скорость электронов vF « 108 см/с. Поэтому
движущиеся электроны всегда видят статичную картину, включаю-
включающую в себя тепловые смещения ионов.
Температурная зависимость сопротивления за счет рассеяния
электронов на фононах описывается формулой Грюнайзена
ро+/ЗТ5, Т«ТЪ,
которая при температурах выше температуры Дебая Tjj выходит на
линейный закон. Для достижения больших р(Т) нужны как можно
большее а и высокая температура. Коэффициент а тем больше, чем
сильнее электрон-фононное взаимодействие, а температура ограничи-
ограничивается термодинамическими процессами, например, плавлением. Эти-
Этими факторами определяется выбор материалов для экспериментов.
На рис. 1.4 приведены кривые р(Т) для монокристаллов двух ин-
терметаллидных соединений. Одно из них, Nb3Sn, имеет темпера-
температуру сверхпроводящего перехода Тс = 18 К и широко используется
для изготовления сверхпроводящих соленоидов; второе, NbaSb, тоже
сверхпроводник, но у него Тс = 0,2 К. Сверхпроводимость здесь упо-
упоминается не случайно. Согласно классической теории сверхпроводи-
сверхпроводимости, для столь высокого Тс, как 18 К необходимо сильное электрон-
2 В. Ф. Гантмахер
18
Металлы с сильным беспорядком
[Гл. 1
фононное взаимодействие и, следовательно, можно ожидать больших
значений коэффициентов (Знав формулах A.14).
Обратимся к кривой для NbaSb. Если ограничиться температур-
температурным интервалом Т < 200 К, то мы имеем типичную кривую Грюнай-
зена: остаточное сопротивление при низких температурах, затем уча-
участок Т3'6 и выход на линейный рост A.14), столь крутой, что можно
было бы вполне рассчитывать на достижение критических значений
при допустимых температурах Т « 900 К. Однако вместо этого кривая
р(Т) демонстрирует отчетливую тенденцию к насыщению на уровень
120
•см
а80
40
-
о .*
о •
У
• Nb3Sb -
о Nb3Sn "
500
Г, К
1000
Рис. 1.4. Кривые р(Т) для монокристаллов двух интерметаллидных соеди-
соединений, демонстрирующие насыщение сопротивления [4]
около 150 мкОм • см. Характерно, что уровень насыщения оказался
одинаковым для обоих соединений, хотя при низких температурах
фононное сопротивление у NbaSn гораздо выше, чем у Nb3Sb, что
коррелирует с разницей Тс.
Феноменологически экспериментальные кривые рис. 1.4 хорошо
описываются моделью шунтирующего сопротивления
Р 1=Pid
A.15)
когда сопротивление pid, соответствующее формуле Грюнайзена
A.14), становится слишком большим, ток начинает течь через
шунтирующее сопротивление. Эта формула успешно использовалась
для описания экспериментов. Однако с ее обоснованием имеются
проблемы.
Обычно формула A.15) свидетельствует о наличии параллельных
каналов проводимости, например о наличии двух независимых групп
носителей с разными параметрами и законами рассеяния, находящих-
находящихся в одном и том же электрическом поле. Здесь никаких оснований
для существования таких групп нет. Можно придти к формуле A.15),
сохранив одну группу носителей, но введя некоторые корреляторы
актов рассеяния. Например предположим, что два акта рассеяния
не могут произойти в одной элементарной ячейке, т. е. что между
13]
Насыщение сопротивления
19
актами рассеяния должно пройти минимальное время то = a/vF, за
которое электрон успевает переместиться в соседнюю ячейку, после
чего все ограничения снимаются и все происходит, как обычно [5].
Если момент первого акта рассеяния t = 0, то вероятность следующего
акта предполагается равной
р =
О,
t <т0,
t >т0.
Тогда в обычную формулу для проводимости A.5), записанную че-
через г и эффективную массу га, а = пе2т/т, вместо г в качестве
среднего времени между столкновениями войдет г + то. Отсюда по-
получается выражение A.15) с
Psh
(Lie)
200-
Хотя это как раз то, что получается в эксперименте, вряд ли приведен-
приведенное рассуждение можно считать обоснованием применимости форму-
формулы A.15). Лежащее в основе этого рассуждения предположение, что
акты рассеяния являются точечными в пространстве и во времени, не
очень убедительно. Например, дифракционная теория базируется на
прямо противоположном предположении.
Вместе с тем сам экспериментальный факт, что насыщение про-
происходит при значениях сопротивления A.16), которые типичны для
высокорезистивных сплавов (см.
рис. 1.3) и соответствуют предель-
предельно малой длине пробега I « а, т. е.
что psh ~ р*, несомненен и очень
важен. Он подтверждает, что ста-
статический и динамический беспо-
беспорядок воздействуют на электро-
электроны примерно одинаково. Эквива-
Эквивалентность двух видов беспоряд-
беспорядка дополнительно иллюстрирует-
иллюстрируется серией кривых температурной
зависимости сопротивления спла-
сплава TiAl с разной концентрацией
А1 (рис. 1.5). Чистый титан име-
имеет малое остаточное сопротивление
и сильный температурный рост
с последующей тенденцией к насы-
насыщению. Качественно кривая р(Т)
чистого титана ведет себя так же,
как и на рис. 1.4. По мере увели-
увеличения концентрации А1 остаточное
сопротивление растет вместе со
статическим беспорядком, а темпе-
температурный рост уменьшается (при
Рис. 1.5. Температурные зависимо-
зависимости сопротивления сплава TiAl
с разной концентрацией А1 [3]
20
Металлы с сильным беспорядком
[Гл. 1
33% алюминия температурный коэффициент даже отрицательный),
но предельное высокотемпературное значение сопротивления меняет-
меняется сравнительно мало, оставаясь в интервале значений, типичных для
высокорезистивных сплавов.
В свете существования насыщения сопротивления интересна эво-
эволюция анизотропии сопротивления в монокристаллических матери-
материалах. Ее демонстрируют кривые температурной зависимости элек-
электросопротивления монокристаллического иттрия на рис. 1.6. В ин-
интервале 200-300 К сопротивление и температурный коэффициент а
500 1000
Т, К
1500
Рис. 1.6. Анизотропия температурной зависимости электросопротивления
монокристаллического иттрия [6]
перпендикулярно гексагональной оси примерно в 2 раза больше, чем
вдоль оси. Поэтому сопротивление перпендикулярно оси приближает-
приближается к критическим значениям при более низких температурах и раньше
проявляет тенденцию к насыщению. В результате при 1400 К разни-
разница в сопротивлениях вдоль этих двух направлений становится уже
меньше 10%. Сопротивление насыщения psh в обоих направлениях,
по-видимому, практически одинаковое.
Насыщение сопротивления наблюдается и в «нестандартном» ме-
металле, с несколько меньшей, чем в A.4), концентрацией свободных
зонных электронов. Обладающий металлической проводимостью оки-
окисел WO2 имеет, согласно данным по эффекту де Гааза — ван Аль-
фена, концентрацию носителей порядка п « 2 • 1021см~3. Он имеет
моноклинную кристаллическую решетку и почти четырехкратную
анизотропию сопротивления при комнатной температуре. На рис. 1.7
приведены кривые р(Т) для двух экстремальных направлений. В на-
направлении, где сопротивление велико, оно демонстрирует тенденцию
к насыщению с psh < 2000 мкОм • см. В другом направлении, где во
всем температурном интервале р <С psh, сопротивление следует фор-
формуле Грюнайзена без признаков насыщения.
1.4] Предел Иоффе-Регеля при большой электронной плотности 21
•см
О
c?
LUUU
800
600
400
200
WO2
" л «A*2)
1021см" у
»
/ . -
. ' J\\a
-
400
Т,К
800
1200
Рис. 1.7. Зависимости р(Т) для монокристалла WO2 вдоль кристаллографи-
кристаллографических направлений с максимальным и минимальным сопротивлением [7].
Сплошные линии — это прямые предельной области закона Грюнайзе-
на A.14). Для сопротивления при направлении тока J||a коэффициент а
получен в предположении, что справедлива формула A.15) и что psh =
= 2000мкОм-см.
1.4. Предел Иоффе—Регеля при большой
электронной плотности
Очень поучительно свести все факты и явления, обсуждавшиеся
в этой главе, на одну диаграмму. Отложим температуру Т по одной
оси, а частоту столкновений в энергетических единицах h/re^ — по
другой. В качестве характерного масштаба по обеим осям выберем
фермиевскую энергию sF. Поскольку для стандартного металла sF ~
~ 10 000 К, отрезок @ -i- eF) на температурной оси включает все ин-
интересующие нас температуры. Под частотой l/reff подразумевается
сумма частот рассеяния на статических дефектах 1/т и на фононах
l/rph (c учетом малоуглового характера фононного рассеяния при
низких температурах):
l/reff=l/r + l/rph, A.17)
которая определяет статическое электросопротивление р. Верхний ко-
конец интервала на оси частот h/re^ = sF соответствует пределу Иоффе-
Регеля / « kF 1. Более высокие частоты столкновений попросту озна-
означали бы неправомерность модели с плоскими волнами в качестве
волновых функций. Поэтому внутри квадрата 0 ^ Т, h/re^ < ?F, изоб-
изображенного на рис. 1.8, реализуются все транспортные явления в газе
делокализованных электронов.
В этой главе обсуждался транспорт вблизи верхнего ребра это-
этого квадрата — в области с сильным рассеянием. Сначала мы по-
попытались приблизиться к верхней части квадрата, двигаясь вдоль
его левой стороны, при сравнительно низких температурах. Здесь
на уровне @,1-Ю,2)?р применима дифракционная теория жидких ме-
металлов, в существенной части принадлежащая Займану. Ее важным
22
Металлы с сильным беспорядком
[Гл. 1
элементом является предположение, что волновые функции электро-
электронов — это плоские волны. Выше, вблизи левого верхнего угла квадра-
квадрата, безразмерная величина S/(%reff) Уже не является малым парамет-
параметром и у теории появляются принципиальные трудности. Эксперимент
устанавливает в этой области два базовых факта.
1. При сколь угодно сильном структурном беспорядке низкотем-
низкотемпературное сопротивление стандартного металла не превышает зна-
значения A.6):
Р i$ P* ~ 300 мкОм • см.
2. Температурные зависимости сопротивления в левом верхнем
углу квадрата подчиняются правилу Моойа, т. е. если сопротивление
близко к значению A.6), то рост температуры его не только не увели-
увеличивает, но даже несколько уменьшает.
Ч
%
и
CD
И
о
к
1
Частота с
ер/10
й/т
Локализация ??
1 Правило Моойа *
?/ /
¦¦..-¦//
.* Теория/ \/
' „Займанаt •/ /
/
/ •
/ Л^
//
/
л
^Насыщение /*
сопротивления/ .'
" " " " /'
300
о
I
о
U
ИЗО
0 Бр/10 ?f
Температура Т
Рис. 1.8. Плоскость температура-беспорядок (Т, /i/reff), на которой пунк-
пунктирными эллипсами показаны области применимости теории Займана и
правила Моойа и область, где наблюдается насыщение сопротивления. В
осях (Т, Н/тен) построены также графики сопротивления для двух случаев:
A.14) и A.15). Штриховые прямые для обоих графиков — это высокотем-
высокотемпературные асимптотики функции Грюнайзена.
Переходя к попыткам пересечь верхнюю сторону квадрата за счет
температурного роста сопротивления веществ с сильным электрон-
фононным взаимодействием, построим диагональ квадрата
= Т.
A.18)
1.4] Предел Иоффе-Регеля при большой электронной плотности 23
Запомните это уравнение диагонали. Записанное в виде reff =
= h/T, оно очень напоминает выражение для времени расфази-
ровки двух тепловых электронов, которое определяет квантовую
поправку к проводимости из-за межэлектронной интерферен-
интерференции. Поэтому в гл. 2 о квантовых поправках снова фигурируют
и тот же квадрат, и его диагональ (см. уравнения B.29) и B.39)
и рис. 2.16).
ПОСКОЛЬКУ р ОС 1/Veff, В ОСЯХ (Т, Й/Тей) МОЖНО ПОСТРОИТЬ фуНК-
цию Грюнайзена A.14) (для ориентировки справа приведена также
шкала в единицах удельного сопротивления). Коэффициент в высо-
высокотемпературной асимптотике функции Грюнайзена в осях (Т, Н/тез)
становится безразмерным. Для простоты сохраним для него обозна-
обозначение а. Если во всех формулах, необходимых для вычисления а,
пренебрегать численными коэффициентами, то все буквенные мно-
множители сократятся и получится а = 1. Асимптотическая прямая аТу
в зависимости от численных значений параметров конкретного метал-
металла, может оказаться с любой стороны от диагонали. Если а < 1, то
асимптотическая часть кривой располагается в нижнем треугольнике
Ттен > h. Нас больше интересовал вариант а > 1, при котором кривая
должна достигать верхней стороны квадрата. Однако, как показали
эксперименты, описанные в предыдущем параграфе, в этом случае
при высоких температурах появляется насыщение сопротивления, не
предусмотренное формулой Грюнайзена.
Таким образом ни увеличение статического, ни увеличение дина-
динамического беспорядка, ни их комбинация не привели к пересечению
верхней стороны квадрата на рис. 1.8, за которой ожидается локализа-
локализация Андерсона. Это означает, что в стандартном металле рост беспо-
беспорядка сам по себе к локализации не приводит. Это экспериментальный
факт, и с ним приходится считаться. Мы вернемся к обсуждению этого
вопроса в гл. 5 при изложении концепции переходов металл-изолятор,
а в гл. 7 покажем, как при помощи обходного маневра можно преодо-
преодолеть заветную черту.
Список литературы
1. Фабер Т. Электронные явления переноса в жидких металлах; в Физика
металлов. 1. Электроны / Под ред. Дж. Займана. — М.: Мир, 1972
(перевод книги The physics of metals 1.Electrons / Ed. J.M. Ziman. —
Cambridge Univ. Press, 1969).
2. Займан Дснс. Модели беспорядка. — М.: Мир, 1982 (перевод книги Zi-
Ziman J.M. Models of disorder. Cambridge Univ. Press, 1979).
3. Mooij J.H. II Phys. Stat. Sol. (a) 17, 521 A973).
4. Fisk Z., Webb G. W. // Phys. Rev. Lett. 36, 1084 A976).
5. Gurvitch M. // Phys. Rev. В 24, 7404 A981).
6. Зиновьев В.Е., Соколов А.Л., Гельд П.В., Чуприков Г.Е., Епифано-
Епифанова К.И. II ФТТ 17, 3617 A975).
7. Гантмахер В.Ф., Кулеско Г.И., Теплинский В.М. // ЖЭТФ 90, 1421
A986).
Глава 2
КВАНТОВЫЕ ПОПРАВКИ
К ПРОВОДИМОСТИ :)
Построение теории металлов начинается с теоремы Блоха о пове-
поведении электронов в идеальной периодической решетке. Следующий
этап — это учет нарушений периодичности в т-приближении. Предпо-
Предполагается, что из-за нарушения периодичности электрон рассеивается,
т. е. переходит из одного своего стационарного состояния в идеальной
решетке в другое. Рассмотрение взаимодействия с различными типа-
типами отклонений от периодичности: примесями и другими статическими
дефектами, фононами, магнонами и т. п. — наполняет параметр г
конкретным содержанием. При этом постулируется аддитивность рас-
рассеяния: вероятность 1/т перехода электрона в другое состояние есть
сумма вероятностей 1/т^ на различных типах дефектов, на разных
примесях, разных фононах и т. д. Предположение об аддитивности
рассеяния естественно, когда акты рассеяния происходят редко, на-
например, в чистом металле.
Сейчас мы сделаем следующий шаг и рассмотрим так называемые
квантовые поправки к проводимости. Необходимым условием их по-
появления является наличие целых серий актов рассеяния.
Заметьте. Под проводимостью мы понимаем здесь удельную
проводимость с размерностью, зависящей от размерности про-
пространства d: 1 о л
^[Ом^см2^], d= 1,2,3. B.1)
Элементарные акты рассеяния могут быть двух типов. При одних
актах энергия электрона Sj сохраняется и, следовательно, закон из-
изменения фазы волновой функции со временем, exjp(i?jt/h), остается
прежним. Частоту таких актов рассеяния обозначим через 1/т. Но
есть и неупругие процессы рассеяния, например, столкновения с фоно-
ном или с другим электроном. Если в момент to произошло неупругое
столкновение, то из-за изменения энергии Sj электрон «забывает»
о своей фазе до столкновения, при t < t$. Вероятность сбоя фазы
обозначим через 1/т^. Квантовые поправки, о которых пойдет речь,
происходят при условии
Т > Т ZZ
г) Более сжатое, выделяющее лишь самое главное, обсуждение квантовых
поправок имеется в книге [1]; дополнительные подробности, как экспери-
экспериментальные так и теоретические, можно найти в детальных обзорах [2, 3].
2.11
Слабая локализация
25
Неравенство B.2) означает, что наиболее частыми являются акты
упругого рассеяния на статическом беспорядке. На основании это-
этого неравенства часто говорят о квантовых поправках проводимости
в грязных металлах.
2.1. Слабая локализация
Слабой локализацией называется квантовая поправка к металли-
металлической проводимости, обусловленная волновыми свойствами электро-
электрона, проявляющимися на фоне диффузионного движения при большом
количестве упругих рассеивателей. Электронный спектр предполага-
предполагается вырожденным, eF ^> Т. Электрон, находящийся в момент t = О
в начале координат г = О, при диффузионном движении с фермиев-
ской скоростью vF и средней длиной свободного пробега I = vFr через
время t ^> т окажется в точке г с вероятностью
, \p(r,t)
dr =
B.3)
Здесь d — размерность пространства, в котором происходит диффу-
диффузия, a D — коэффициент диффузии, D = lvF/d. Co временем ширина
распределения Аг постепенно уве-
увеличивается (рис. 2.1):
Аг « \[Dt
¦hi*-
B.4)
2
С
l
0
- P(r,t)
-
= DnDtf
/
exp(-r
\=(<t
2/4Df)
(N = t/r — число шагов в диффу-
диффузионном процессе, т. е. число упру-
упругих столкновений за время ?).
Формулы B.3) и B.4) описыва-
описывают диффузию классической части-
частицы. Если учесть волновые свойства
электрона, то точка г = 0 окажется
выделенной: в ней функция p(r,t)
из-за интерференции сильно изме-
изменится. Чтобы показать это, разо-
разобьем все возможные траектории,
возвращающие электрон в точку
г = 0 в момент ?, на пары с одина-
одинаковым набором рассеивателей, но
с противоположными направлени-
направлениями движения. Для классической
частицы вероятность р@, t) есть
сумма вероятностей прихода в точку г = 0 по разным траекториям.
В квантовой механике это соответствует сложению квадратов модулей
соответствующих волновых функций. Для квантовой частицы, сохра-
сохранившей к моменту t <C Тр память об исходной фазе, складываются
-3 -2 -1
Рис. 2.1. Функция p(t) при диффу-
диффузии на плоскости (d=2) в разные
моменты времени t\ и 2t\. Допол-
Дополнительный пик на кривой t < Тр
связан с квантовой интерференци-
интерференцией B.5)
26
Квантовые поправки к проводимости
[Гл.2
сами волновые функции, а вероятность р@, t) есть квадрат модуля
суммы:
без интерференции \Ai\2
с интерференцией \Аг +
+
+
2| = 4А2.
B.5)
Поэтому вероятность найти электрон в начале координат р@, t)
должна из-за интерференции удвоиться (рис. 2.1), причем ширина
пика определяется соотношением неопределенности 5г « Л « l/fcF
(Л — де-бройлевская длина волны, kF — фермиевский волновой век-
Рис. 2.2. а) Интерферирующие пары замкнутых диффузионных траекто-
траекторий, вдоль которых распространяются электронные волны, б) Механиче-
Механическая аналогия — волны в кольцевом канале, соединенном с водоемом
тор). Разбиение на интерферирующие пары возможно только для за-
замкнутых траекторий, т. е. тех, что заканчиваются в точке г = 0, в ко-
которой электрон находился в начальный момент времени (см. рис. 2.2).
Увеличение вероятности для электрона оказаться в точке г = О
(т. е. по существу остаться там) и называется слабой локализацией.
Оно приводит к поправкам За в проводимости.
Пояснить сущность физических процессов, лежащих в основе сла-
слабой локализации, можно при помощи механической аналогии. Пусть
кольцевой водный канал соединяется в одном месте с большим водое-
водоемом (рис. 2.2, б). Приходящая из водоема волна, разветвляясь, попа-
попадает в оба рукава канала. Если затухания волн в канале нет, то обе
попавшие в рукава локальные волны обойдут весь канал и встретятся
на входе.
Относительная площадь под дополнительным пиком функции
p(r, i) зависит от t. Поэтому для оценки относительной величины
поправки к проводимости 5а/а нужно вычислить добавку к прово-
проводимости day возникшую за время dt из-за изменения функции р(г, ?),
2.1] Слабая локализация 27
и проинтегрировать ее по времени. Рассмотрим сначала трехмерный
случай d = 3. Объем, в любой точке которого может находиться
электрон в момент времени ?, порядка (DtK/2. Объем, из которого
он за время dt может попасть в начало координат, порядка X2vpdt.
Отношение этих объемов определяет относительное количество элек-
электронов, побывавших в начале координат за время dt. Минимальное
время, через которое электрон может вернуться в начало координат,
это время упругого рассеяния т. Максимальное время, через которое
он, вернувшись, сможет участвовать в интерференции, это время сбоя
фазы т<р. В результате
а = б : « -
vFX
(Dt)
ЛИЧР
ldt
3/2
ша
/Tin- ~
2
Л
1
т1/2
= -|
>
1 \
р 2/
о-1!
i
B.6)
B.7)
Введенная в B.6) величина
называется диффузионной длиной потери фазы. Член с L^ в выра-
выражении B.6) меньше члена с /, но именно через него в квантовую
поправку для проводимости входит температурная зависимость, по-
потому что Ту зависит от температуры и стремится к бесконечности
при Т -> 0.
Поскольку нормировочный множитель в p(r,t) в выражении B.3)
и, соответственно, знаменатель в подынтегральном выражении в B.6)
зависят от размерности d, функции Аа/а для разных d оказываются
совершенно различными. Характерным размером, сравнением с кото-
которым определяется размерность конкретного образца, является диф-
диффузионная длина L(p. Пленка толщиной Ъ и проволока диаметром Ъ
при условии
b«Lv B.8)
являются с точки зрения диффузии объектами пониженной размер-
размерности. Вместо выражения B.6) имеем для них
г Г л 2 ;, л2 -л
Л _ О . °а2 VF* ^ VFA , Ttp 1 1 Ttp
a J (Dt)b Db т (kFl)(kFb)
d=l: ^«-" "^ °"X2
dt 2vF
Dbz v ^ ' (kFb)
B.9)
Условие B.8) понижения размерности очень мягкое. Оно определяет
конфигурацию пространства, в котором осуществляется диффузия.
При этом сам процесс диффузии может оставаться трехмерным: при
28 Квантовые поправки к проводимости [Гл. 2
I < Ь электрон в пленке между двумя актами рассеяния может дви-
двигаться в любом направлении, в том числе и вдоль нормали к плен-
пленке; поверхность пленки в этих условиях играет роль рассеивающего
центра.
Поправки 5ai в формулах B.6) и B.9) отрицательны. Поэтому при
любой размерности проводимость ai, начиная с некоторой температу-
температуры, падает с ее понижением (сопротивление растет), причем эффект
интерференции тем сильнее, чем ниже размерность. В трехмерном
случае падение аз ограничено и аз стремится с определенному пре-
пределу при Т —> 0. При пониженной размерности поправки расходятся,
так как и т^, и L^ стремятся к бесконечности при Т —> 0. Поскольку
проводимость не может быть отрицательной, должны быть ограни-
ограничения применимости формул B.6) и B.9). Ограничением является
требование относительной малости поправок:
Sai<^a (г = 1,2,3). B.10)
Поучительно написать вместо относительных значений поправок
к удельной проводимости B.6) и B.9) абсолютные значения изменений
самой проводимости Аст^ = 5аd b3~dy имеющих ту же размерность, что
и ad\ 2
d = 3 : Дсг3 « —const + — L,
а ^
7 О Л б т Т(л о е 1 L/m (с\ Л Л \
а = 2 : Д<72 ~ — — In — « — 2 — In —р1, l^--L-LJ
h r hi
е2
d = 1 : Acti « ——L<p.
У них у всех одинаковый масштаб е2/К. Эта комбинация атомных
констант, имеющая размерность обратного сопротивления, Н/е2 =
= 4110 Ом, встречается во всех задачах, связанных с локализацией.
Характерно, что выражения B.11) для квантовых поправок не содер-
содержат концентрации носителей, а зависимость от г хотя и есть, но более
слабая, чем у самой проводимости. Поэтому роль интерференционных
поправок возрастает по мере уменьшения собственной проводимости
материала. Это еще одна причина, почему о слабой локализации го-
говорят в связи с грязными металлами.
Заметьте. Поскольку т^ —> оо при Т —> 0, то при достаточно
низких температурах неравенство B.2) начнет выполняться для
сколь угодно чистого металла со сколь угодно большим г. Реаль-
Реально можно изготовить монокристалл чистого металла, например,
индия, с длиной свободного пробега / « 0,1 см, так что параметр
kFl будет иметь значение kFl « 106. При Т = 0,1 К отношение
т^/т порядка 103-104, т. е. неравенство B.2) выполняется. Однако
вклад квантовой поправки в проводимость ничтожно мал:
10
-14
2.11
Слабая локализация
29
Заметьте также. Формально даже очень толстая пленка при до-
достаточно низкой температуре должна рассматриваться как дву-
двумерная: поскольку при Т —> О длина L^ —> оо, ниже некоторой
температуры будет выполнено неравенство B.8). Тогда появится
поправка Асг2 к классической проводимости а^Ь.
Формулы B.6), B.9) и B.11) неоднократно проверялись экспери-
экспериментально, чаще всего на пленках. На рис. 2.3 сведены результаты
двух разных экспериментов на пленках Си и Аи. В обоих материалах
хорошо виден логарифмический рост сопротивления при температу-
температурах ниже 10 К. И хотя в одном и том же температурном интервале
1 -!- 10 К относительные величины поправок AR/R сильно разнятся,
разница в абсолютных значениях поправок к проводимости Асг суще-
существенно меньше, как того и следовало ожидать на основании формул
B.11). Слабая зависимость величины Асг от свойств материала ста-
становится особенно наглядной, если сравнить измерения на пленках Си
и Аи с измерениями на аморфных пленках In-О, у которых удельное
сопротивление примерно в 1000 раз больше, а логарифмический рост
начинается с 100 К. У трех пленок на рис. 2.4 значения AR/R со-
составляют при десятикратном изменении температуры 15%, 6 % и 3%,
35,3 -'
Т, К
т, к
10
Рис. 2.3. Температурные зависимости сопротивления тонких пленок Си [4] и
Аи [5]. Пунктиром показано увеличение сопротивления при десятикратном
уменьшении температуры (от 10 К до 1К).
а значения Асг лежат в области A -=- 2) • 10~5Ом~1, будучи лишь
ненамного меньше, чем на пленках Си и Аи.
Логарифмический рост сопротивления наблюдался и на истинно
двумерных электронных системах, например на инверсных слоях на
поверхности Si в температурном интервале 0,1-1 К (рис. 2.5). Здесь
значения AR/R для двух образцов были 16% и 3%, а значения Асг
порядка 2,5 • 10~5 Ом.
30
Квантовые поправки к проводимости
[Гл.2
Рис. 2.4. Температурные зависимо-
зависимости сопротивления тонких аморф-
аморфных пленок In-О [6]. Пленки раз-
различаются концентрацией кислоро-
кислорода, что отражается на концентра-
концентрации свободных носителей
Т/К
Рис. 2.5. Логарифмический темпера-
температурный рост сопротивления инверс-
инверсных слоев Si — данные для двух раз-
разных образцов [7]. Прямые линии слу-
служат лишь ориентирами для глаз.
Заметьте. Каким бы ни был конкретный механизм неупругого
рассеяния электронов, определяющий время потери фазы, вели-
величины Тер и Ly являются степенными функциями температуры:
Lip ос Ts. Поэтому на пленках квантовая поправка всегда прояв-
проявляется в виде специфической зависимости AR ос In Т.
Когерентное рассеяние света назад. Поскольку слабая лока-
локализация имеет волновую интерференционную природу, у нее должен
быть оптический аналог. Такой аналог действительно существует:
рассеяние света в мутной среде. Освещая мутную среду с одной сто-
стороны, мы можем смотреть на нее под любым углом, потому что после
многократного рассеяния свет выходит с равной вероятностью во всех
направлениях — феномен светлого неба. Поскольку рассеяние упруго,
то модуль волнового вектора не меняется и рассеяние падающей на
среду плоской световой волны А ехр (гкг) описывается расплыванием
вектора к по поверхности сферы |к| = const. В результате такого
расплывания часть светового пучка рассеивается точно назад. Этой
части соответствует на сфере точка —к. При классическом описании
эта точка ничем не выделена, и при достаточно сильном рассеянии
амплитуда рассеянной волны
А(к) —> const при |k| = const.
Для плоских волн, однако, существует интерференционный эф-
эффект, аналогичный слабой локализации. Переход из к в —к есть
2.11
Слабая локализация
31
результат блуждания по поверхности
сферы с пошаговым последовательным
изменением к на какие-то вектора q^:
к + ^2 qi = —к. Существует бесчисленное
г
количество последовательностей {qi},
и их все тоже можно разбить на интер-
интерферирующие пары, состоящие из одного
и того же набора векторов, но включа-
включающихся во взаимно обратном порядке —
см. рис. 2.6 (частичная перестановка, на-
например, двух случайных векторов в сум-
сумме по г не годится, потому что проме-
промежуточные значения к^ окажутся не на
поверхности сферы). Для каждой интер-
интерферирующей пары траекторий в /с-про-
странстве можно повторить рассуждения
B.5), из которых следует относительное
увеличение интенсивности рассеяния на-
назад.
Экспериментальная установка для ре-
реализации такой «слабой локализации
в /^-представлении» схематически изоб-
изображена на рис. 2.7. Регистрируется угло-
угловая зависимость интенсивности света, рассеянного взвесью в воде
полистироловых шариков диаметром 0,46 мкм, занимающих в общей
Рис. 2.6. Слабая локализа-
локализация в к-представлении: для
перехода к —>> — к по траек-
траектории случайного блужда-
блуждания по поверхности сферы
k -> к[ -> к'2 -> к^ -> -к
есть парная траектория
к - к'/ - к? - ъц - -к,
интерференция с которой
приводит к усилению рас-
рассеяния назад
Образец
Диафрагмы
Поляризатор
Фотоумножитель ^ Интерференцион-
ныи фильтр
Рис. 2.7. Когерентное рассеяние све-
света назад — схема эксперимента [8]
1 0 1
0, градусы
Рис. 2.8. Экспериментальные кри-
кривые, демонстрирующие существо-
существование когерентного рассеяния света
назад [8]. а — сигнал, отраженный
от кюветы с рассеивающими мик-
микрочастицами, взвешенными в воде;
б — от кюветы с чистой водой; в —
от пустой кюветы
32 Квантовые поправки к проводимости [Гл. 2
сложности 10 % объема. Результаты представлены на рис. 2.8 (кри-
(кривая а) вместе с аналогичным сигналом от кюветы с чистой водой
(кривая б) и от пустой кюветы (кривая в).
2.2. Влияние магнитного поля на слабую
локализацию
Магнитное поле В изгибает электронную траекторию между дву-
двумя последовательно рассеивающими электрон центрами, причем изги-
изгибает в разные стороны при движении в противоположных направле-
направлениях. Поэтому углы рассеяния на каждой примеси будут различаться
на величину порядка l/R = От (R — циклотронный радиус, а О =
= еВ/тс — циклотронная частота). Но поскольку обычно речь идет
о грязном металле с не очень большим г, то в не очень большом поле
От <С 1 разницей углов можно пренебречь по сравнению с другим,
гораздо более сильным эффектом.
Когда электрон проходит по замкнутому контуру в магнитном по-
поле, то у его волновой функции Ф появляется дополнительный фазовый
множитель
Ф -> Фехр(г^[А<л) =Фехр(±^^). B.12)
Здесь А — вектор-потенциал магнитного поля, Фо = тгйс/е — квант
магнитного потока, a BS = Ф — магнитный поток через замкнутый
контур электронной траектории. Знак в показателе экспоненты зави-
зависит от того, проходит электрон этот контур по или против часовой
стрелки. Поскольку электрон движется по парам интерферирующих
траекторий в противоположных направлениях, при возвращении его
в начало координат на двух траекториях появится разность фаз (р =
= 2тг(Ф/Фо).
Площадь S проекции замкнутого контура на плоскость, перпен-
перпендикулярную полю, порядка квадрата среднего расстояния г(?), на
которое электрон уйдет от начала координат за время t. Поэтому
9 BS _ Вт1 _ BDt {0 л „х
Ч> — 2тт—— ~ ~^— ~ -^—• [2.16)
Фо Фо Фо
Наличие разности фаз означает, что вместо второго соотношения B.5)
имеет место
\Аг + А2\2 = |Ai|2 + \А2\2 + 2|Ai||A2| costp = 2А2A + cosy?). B.14)
Пока (р мало, это уточнение несущественно. Но при ср > 1 становит-
становится важным разброс площадей S пар интерферирующих траекторий
по сравнению с оценкой B.13). На рис. 2.2 это разница площадей
контуров, нарисованных штриховой и пунктирной линиями. Среднее
значение costp = 0, так что магнитное поле разрушает интерферен-
интерференционную добавку. Чем больше время t и средняя площадь S ~ Dt
сформировавшихся за это время замкнутых траекторий, тем меньшее
2.2]
Влияние магнитного поля на слабую локализацию
33
поле В разрушает интерференционный вклад. Времена t > т^ нас не
интересуют, потому что интерференция на этих временах все рав-
равно разрушена неупругими столкновениями. А окрестность верхнего
предела интегрирования т^ в интегралах B.6) и B.9) существенна:
именно она входит через L^ в формулы B.11). Поэтому, положив в
B.13) слева (р = 1, а справа t = т^, получим значение поля, которое
уже начинает разрушать слабую локализацию:
Bv = f {Dtv)-\ B.15)
Записав коэффициент диффузии в виде D « eFr/m и введя цикло-
циклотронную частоту О^ = еВф/mc вместо поля Б^, получим из соотно-
соотношения B.15)
1,
откуда
Неравенство B.16) подтверждает, что в поле
искривлением электронных траекторий.
Введем магнитное время
<С 1. B.16)
^ можно пренебречь
B-17)
где 1В = (hc/2eBI/2 — магнитная длина. Когда тв <т^, т.е. когда
В ^> Вф, в интегралах B.6) и B.9) нужно заменить верхний пре-
дел, S ^ S - ТогДа
О < Аа(В) - Аа@)
1 1
B.18)
В уравнении B.18) добавка к проводимости Аа(В) сравнивается с до-
добавкой в нулевом поле Д<т@). Иногда при анализе кривых удобнее
в качестве базы выбрать не <т@), а проводимость в сильном поле.
Рис. 2.9 иллюстрирует разрушение магнитным полем слабой ло-
локализации в пленках Mg. Интегральное падение сопротивления тем
больше, чем ниже температура Т. Это следует и из формулы B.9),
где при уменьшении Т растет верхний предел интегрирования. При
этом область основного падения сопротивления смещается по мере
уменьшения Т в меньшие поля. Интерференция практически полно-
полностью разрушена в поле Ве^
е/2'
когда тв = г,
B.19)
3 В. Ф. Гантмахер
34
Квантовые поправки к проводимости
[Гл.2
т. е. когда магнитное время равно упругому. Если постепенно умень-
уменьшать сильное поле, то сначала включается интерференция на тра-
траекториях с самой маленькой площадью S проекции на плоскость,
перпендикулярную магнит-
R, Ом I л I ному полю, S ~ I2. Это про-
169,0- /а\ Мг изойдет в поле Bei. По мере
дальнейшего уменьшения
поля включается интерфе-
интерференция на траекториях со
все большими значениями S.
Это сопровождается ростом
сопротивления. Рост прекра-
прекращается в поле До,
168,5 -
168,0
В^ =
he
когда тв = тф
167,5
Рис. 2.9. Магнетосопротивление тонкой
холодноосажденной пленки Mg при раз-
разных температурах [2]
B.20)
Из этих рассуждений сле-
следует, что температура долж-
должна влиять на кривые Аа(В)
лишь в малых полях В > В^,
а в больших полях В « Ве\
квантовые поправки от тем-
температуры зависеть не долж-
должны. Наблюдаемый на рис. 2.9 вертикальный сдвиг кривых R(B) друг
относительно друга в сильных полях объясняется температурной за-
зависимостью классической части проводимости в магнитном поле.
Таким образом магнитное поле можно использовать как инстру-
инструмент для обнаружения слабой локализации: свидетельством ее су-
существования является отрицательное магнетосопротивление в слабом
поле. Это экспериментальное доказательство существования слабой
локализации как бы методом от противного, потому что мы видим
процесс ее разрушения. Но как демонстрация слабой локализации
зависимости от поля на рис. 2.9 ничуть не менее убедительны, чем
температурные зависимости на рис. 2.3-2.5.
Из рассуждений, сопровождающих формулу B.14), следует, что
интерференционная добавка разрушается полем порядка В^ из-за
разброса площадей замкнутых интерферирующих траекторий. Если
сделать так, чтобы все замкнутые электронные траектории имели
одну и ту же площадь S проекции на плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную магнитному полю, то интерференционный вклад не разрушится,
а начнет осциллировать с полем по мере роста (р с периодом
тгПс
B.21)
Такая конфигурация была реализована экспериментально. Если на
кварцевую нить диаметром 2г « 1 -!- 2 мкм напылить тонкий слой
5г <С г металла, то получится цилиндрическая пленка. Площадь S
2.2]
Влияние магнитного поля на слабую локализацию
35
проекции замкнутой диффузионной траектории на плоскость, пер-
перпендикулярную оси цилиндра, равна либо нулю, либо тгг2. Магнитное
поле, направленное вдоль оси, на интерференцию траекторий с S =
= 0 влияния не оказывает. В противоположность этому вклад от
траекторий с S = тгг2 в проводимость вдоль оси цилиндра должен
осциллировать с периодом B.21). Для того чтобы этот вклад был срав-
сравним по величине с обычной квантовой поправкой, требуется выпол-
выполнение условия S < Dt^ « I/2: тонкий цилиндр и низкая температура.
Однако осциллирующую добавку удается, по-видимому, наблюдать
и в условиях S 2
¦ ч-
AR,Om
AR,Om-А&, Ом AJ?,Om
7=1,1 К
2г = 1,3мкм
J?=2kOm
-AG, Ом
?= 1245 Ом
г = 1,10мкм
20
Рис. 2.10. Обусловленные слабой локализацией осцилляции в продольном
магнитном поле сопротивления цилиндрических пленок Mg (из работы [9],
здесь сплошные линии — это экспериментальные кривые для двух разных
пленок, а стрелками показаны рассчитанные значения поля, при которых
должны наблюдаться экстремумы сопротивления), Li (из работы [10], экс-
эксперимент показан сплошной линией, а расчет — штриховой) и А1 (из работы
[11] — экспериментальные точки и расчетные кривые). На графиках для
Li и А1 указан масштаб изменений не только сопротивления AR, но и про-
проводимости AG = AR/Fr.
На рис. 2.10 собраны экспериментальные кривые, полученные дву-
двумя экспериментальными группами на Mg, Li и А1. Как видно из
графиков, с теоретическими расчетами удается согласовать не только
периоды осцилляции, но и зависимость их амплитуды от поля и мо-
монотонный ход.
Из наших предыдущих рассуждений следует, что в поле В = 0 со-
сопротивление должно иметь максимум. Однако, так происходит только
на Li, а на Mg и А1 осцилляции имеют противоположный знак. Мы
вернемся к этому факту в следующем параграфе после обсуждения
влияния на интерференцию спин-орбитального взаимодействия.
36 Квантовые поправки к проводимости [Гл. 2
2.3. Анти локализация
Две электронные волны, движущиеся в противоположных направ-
направлениях по замкнутой диффузионной траектории и интерферирую-
интерферирующие на выходе, имеют фиксированную проекцию спина +1/2 или
— 1/2. Фактически предполагается, что по каждой замкнутой траек-
траектории движутся два электрона с разными спинами, каждый в ви-
виде пары электронных волн, распространяющихся в противополож-
противоположных направлениях. Каждый электрон интерферирует сам с собой,
когда две волны встречаются в исходной точке. Если переворотов
спина нет, то эти два электрона совершенно независимы и вносят
аддитивный вклад в квантовую поправку к проводимости. Однако
все меняется при наличии спин-орбитального взаимодействия, когда
спин электрона может переворачиваться при упругом рассеянии. Тог-
Тогда движения по двум траекториям в одном направлении перемеши-
перемешиваются.
Спин-орбитальное взаимодействие возникает благодаря тому, что
магнитный момент /i, движущийся со скоростью v, создает в непо-
неподвижной системе координат электрическое поле eoc/iX v. Это поле
взаимодействует с полем Е зарядов, входящих в ионы, что и приводит
к перевороту спина. Величина поля Е, а вместе с ней и интенсивность
спин-орбитального рассеяния, которая пропорциональна
EeocE[/iXv], B.22)
сильно зависят от суммарного количества зарядов в ионах, т.е. от
атомного номера Z атомов: т~^ ос (ZaL, где а = 1/137 - постоянная
тонкой структуры. Поэтому влияние спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия сильнее в материалах с тяжелыми элементами.
Поскольку далеко не каждый акт упругого рассеяния сопровож-
сопровождается переворотом спина, время переворота спина много больше
времени упругого рассеяния: rso ^> т. Отношение rso/r тем больше,
чем слабее спин-орбитальное взаимодействие. При этом rso не зависит
от температуры. Поскольку т^ —> оо при Т —> 0, то при достаточно
низких температурах
т <С rso <C Т(р. B.23)
Чтобы учесть перемешивание двух одинаковых замкнутых диффу-
диффузионных траекторий с разными спинами, удобно считать, что в каж-
каждую сторону по траектории движется пара электронов. Спин такой
пары на входе и на выходе может быть в одном из четырех состоя-
состояний: полный спин либо 0 (синглет), либо 1, причем во втором случае
возможны три разные проекции (триплет). Волновая функция пары
2.3]
Антилокализация
37
имеет соответственно четыре компоненты:
\
B.24)
где (р^ и (р^ — волновые функции отдельно первого и второго
электронов, а нижние индексы + или — относятся к спиновой части
волновой функции и означают разные проекции спинов. Такая пара
интерферирует сама с собой за счет обхода замкнутой траектории
в противоположных направлениях. Полный интерференционный член
возникнет как сумма четырех слагаемых — от трех волновых функций
Ф].т с полным спином 1 (с проекциями т = 0, ±1) и функции Фо со
спином 0. Опуская выкладки, выпишем и прокомментируем оконча-
окончательный результат
v\2dt
тЗ-d
(Dt)
d/2
2е 2
d= 1,2,3.
B.25)
По сравнению с формулами B.6) и B.9) в подынтегральном выраже-
выражении в B.25) появился новый множитель в виде скобки, состоящей из
двух слагаемых. Первое слагаемое возникло от трех триплетных со-
состояний Ф]_ш со спином 1. Экспоненциальное затухание в нем означает,
что интерференция этих функций существенна только до тех пор,
пока t < rso, т. е. пока электроны помнят об изначальном спине. В этом
интервале можно считать, что ехр(—t/rso) ~ 1, так что выражение
в скобках порядка единицы, и подынтегральное выражение совпадает
с тем, которое было без учета спина. Это естественно: ведь переворота
спина еще не было.
Самое интересное происходит на временах
Tso < t < Ти,
B.26)
когда первым слагаемым в скобках можно пренебречь и остается
только второе отрицательное слагаемое, происходящее от интерфе-
интерференции волновой функции Ф0- Знак минус означает, что оставшаяся
после переворотов спина интерференционная добавка не уменьшает,
а увеличивает проводимость. Окончательный знак поправки зависит
от того, какой интервал, t < rso или t > rso, дает больший вклад
в интеграл B.25). При rso <C т^ вклад интерференции в проводимость
положителен. Иногда это называют антилокализацией.
Не следует думать, что фазы волновой функции синглетной пары
после обхода замкнутого контура в противоположных направлениях
отличаются на тг. Интерференция фиксируется на временах t > rso,
38 Квантовые поправки к проводимости [Гл. 2
когда уже произошли перевороты практически всех спинов. Каж-
Каждый переворот спина превращает триплетную пару в синглетную или
наоборот, синглетную пару в триплетную. Поэтому при t > rso син-
глетная часть волновой функции уже на три четверти состоит из
«бывших» триплетов. А синглетные и трип летные волновые функции
устроены по-разному: как видно из формулы B.24), триплетные ком-
компоненты симметричны относительно перестановок частиц, а синглет-
ная — антисимметрична. Именно это приводит к появлению минуса
при вычислении амплитуды интерференционного вклада от синглет-
ной части волновой функции.
Обратите внимание. Все сказанное справедливо только для
спин-орбитального взаимодействия и не относится к рассеянию с
переворотом спина на парамагнитной примеси. Перевернув спин
примесного центра, электрон со спином /i оказывается в состо-
состоянии со спином —/i, которое ранее было пустым. Такой процесс
аналогичен процессу обычного рассеяния без переворота спина и
приводит не к антилокализации, а к слабой локализации.
Конечно, все эти рассуждения не заменяют прямых вычислений и
потому могут вызывать чувство неудовлетворения. Посмотрим, одна-
однако, какой вопрос в проблеме авто локализации является чисто техниче-
техническим, а какой — прнципиальным. Хорошо известно, что интенферен-
ция может приводить не только к увеличению, но и к уменьшению ам-
амплитуды волны, причем конкретный знак изменений часто не очеви-
очевиден. Достаточно вспомнить дискуссию в Парижской Академии Наук
в связи с формулами Френеля: тот факт, что из них следует наличие
светлого пятна на экране на оси пучка, диффрагирующего на круглом
непрозрачном диске, сочли поначалу свидетельством несостоятельно-
несостоятельности теории волновой природы света, а после экспериментального обна-
обнаружения такого пятна — наоборот, убедительным доказательством ее
правильности. Слабая антилокализация является столь же логически
возможным результатом интерференции электронных волн, как и сла-
слабая локализация. Принципиальным и довольно неожиданным явля-
является другой факт: электронная волна продолжает принимать участие
в интерференции после того, как спин-орбитальное взаимодействие
перевернуло спин электрона.
Электроны находятся в контакте с окружающей их внешней кван-
квантовой системой, которую можно назвать термостатом. Судить о том,
как скажется акт рассеяния на когерентности электронной волны, т. е.
на ее способности к интерференции, можно по состоянию термоста-
термостата. Упругое рассеяние бесспинового электрона не оставляет следов в
термостате. Поэтому когерентность сохраняется, хотя электрон при
рассеянии может оказаться в любом состоянии на сфере |k| = const.
При неупругом рассеянии электрона на решетке состояние термоста-
термостата меняется: в нем появляется или исчезает фонон. Соответственно
электрон теряет когерентность.
Переворот спина тоже может произойти двумя способами. Когда
электрон рассеивается с переворотом спина на магнитной примеси, то
2.3]
А нтилокализ ация
39
из-за сохранении полного спина на примеси остается перевернутый
спин. Это означает изменение состояния термостата, хотя вообще
говоря, не меняются ни энергия электрона, ни энергия термостата.
И действительно, рассеяние на магнитных примесях вносит наряду
с фононным рассеянием вклад в 1/т^ и не приводит к антилокали-
антилокализации. Переворот спина при рассеянии на немагнитных примесях в
результате спин-орбитального взаимодействия не оставляет следов в
термостате — и сохряняет когерентность электрона. Результат интер-
интерференции тем не менее меняется, потому что изменились интерфе-
интерференционные условия. Множество когерентных состояний заполняет
теперь поверхности двух сфер: |к_ | = const и |к+| = const, где индексы
+ или — означают направление проекции спина.
Антилокализацию удобнее всего наблюдать по зависимостям от
разрушающего интерференцию магнитного поля. На рис. 2.11 приве-
приведены зависимости R(B) на пленках Си. Атомы Си более тяжелые,
чем атомы Mg, и спин-ор-
R,Om
98,3
битальное взаимодействие при
рассеянии должно проявлять-
проявляться сильнее. И действитель-
действительно, сравнивая с соответству-
соответствующими кривыми для Mg на
рис. 2.9, видим при самых низ-
низких температурах появление
дополнительного минимума в
слабых полях. Согласно B.17),
магнитное время тв ос В~х.
Поэтому при увеличении поля
от нуля тв сравнивается сна-
сначала с Тр и съедает ту часть
интеграла B.25), которая от-
ответственна за антилокализа-
антилокализацию. При этом проводимость
должна падать, а сопротивле-
сопротивление растет. Затем тв сравни-
сравнивается с tso, область антило-
антилокализации в подынтегральной
функции исчезает и дальней-
дальнейшее увеличение поля разруша-
разрушает обычную слабую локализа-
локализацию. Поскольку tso не зависит от температуры, ат^с ростом темпе-
температуры падает, при более высоких Т изначально нет области B.26) и,
соответственно, нет минимума на кривых R(B).
Интересно проследить за эволюцией кривых R(B) по мере умень-
уменьшения времени rso. Такую возможность дает эксперимент на пленках
Mg с напыленным сверху небольшим количеством атомов Аи, играю-
играющих роль центров, рассеивающих с переворотом спина. Около кривых
на рис. 2.12 справа указано количество Аи в процентах заполнения
моноатомного слоя, а слева — отношение времен т^/т8Оу полученное
98,0
Рис. 2.11. Магнетосопротивление тон-
тонкой холодноосажденной пленки Си при
разных температурах [2]. Подбором па-
параметров удается идеально провести
теоретические кривые через экспери-
экспериментальные точки.
40
Квантовые поправки к проводимости
[Гл.2
как подгоночный параметр при сравнении экспериментальных кри-
кривых с теоретическими.
0,1
оо
-од
54
27-^
7, Г
3,8
0,5 /
Аи
Mg
16% Аи
•..'-¦'-
'•'¦""*-—"¦¦• 0 О/
^-~ ото
'"""'•-.„ 1 О/
i?=91OM
.. Г=4,6К
\0%Аи
^0,8
0
5,1л
0,4
0,8
Рис. 2.12. Магнетосопротивление тонких холодноосажденных пленок Mg,
покрытых золотом. Толщина покрытия в процентах от одного атомного
слоя указана справа от кривых. Слева указано отношение параметров
Тг/тзо, использованное для построения теоретических кривых, проходящих
через экспериментальные точки; это отношение меняется практически про-
пропорционально толщине покрытия золотом [2]
Вернемся к осцилляциям квантовой поправки к проводимости ци-
цилиндрических пленок (рис. 2.10). Обратную фазу осцилляции на Mg
и А1 по сравнению с Li естественно объяснить влиянием спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия. Хотя все три металла относятся к легким
элементам, все же Li имеет существенно меньший атомный номер:
Zu = 3, ZMg = 12, Zai = 13, так что различие в rso при прочих равных
условиях превышает два порядка.
Заметьте. Противоречие между данными для Mg на рис. 2.9
и рис. 2.10, имеющими разный знак производной dR/dB при
В = 0, только кажущееся. Время, необходимое для прохождения
диффузионных траекторий, охватывающих ось цилиндра, поряд-
порядка Tcyi « r(r/lJ. Интерференция на таких траекториях проис-
происходит на временах t > тсу\. Магнитное поле, которое разрушает
интерференцию на этих временах, определяется соотношением
B.17). Оно порядка 10 Э, как и период осцилляции на рис. 2.10.
Фактически из фазы осцилляции для Mg и А1 следует, что на
соответствующих кривых R(B) для плоских пленок должен быть
минимум, как для Си, шириной не менее 10 Э. Такой масштаб на
рис. 2.9 неразличим.
В формулу B.22), качественно описывающую спин-орбитальное
взаимодействие, кристаллический потенциал U входит дважды: через
электрическое поле, Е = VC/, и через скорость, которая есть произ-
производная от закона дисперсии, v = Н~1дг/д'ку и которая тоже опреде-
определяется кристаллическим полем. Поэтому кристаллическая структура
материала и, в частности, его симметрия являются вторым, помимо
2.3]
А нтилокализ ация
41
атомного номера Z, существенным фактором, определяющим спин-
орбитальное взаимодействие и, соответственно, рассеяние. Особенно
важным является центр инверсии кристаллического поля. При от-
отсутствии центра инверсии выражение B.22) формирует второй вклад
в спин-орбитальное взаимодействие, который в ряде случаев может
оказаться основным.
Большинство приведенных выше классических примеров слабой
локализации и антилокализации реализованы на металлических плен-
пленках. Сейчас исследования двумерного электронного газа в основном
осуществляются на гетероструктурах, в которых электроны находят-
находятся в узкой квантовой яме на границе двух кристаллических сред.
При этом обычно используются вещества, кристаллические струк-
структуры которых не имеют центра инверсии. Однако спин-орбитальное
взаимодействие в таком двумерном газе зависит также от формы и от
асимметрии самой ямы (эффект Рашбы-Бычкова):
W = (W)cryst + (W)heter. B.27)
А параметры ямы обычно можно менять, подавая электрическое на-
напряжение на расположенный параллельно яме затвор. Поэтому появ-
появляется возможность переходить от локализации к антилокализации
и обратно в двумерном электронном газе, меняя напряжение Vg на
затворе. На рис. 2.13 и 2.14 приведены результаты двух подобных
экспериментов. Не случайно, что на этих рисунках вдоль оси ординат
отложена именно проводимость, которая определяется формулами
О
InGaAs /InP
Рис. 2.13. Антилокализация, регулируемая напряжением Vg на затворе,
в квантовой яме InGaAs/InP с высокой подвижностью электронов [12]. Тем-
Температура 1,4 К. Кривые совмещены при значении поля 2мТл. Предпола-
Предполагается, что это поле полностью разрушило интерференционную поправку
(Асг = 0)
42
Квантовые поправки к проводимости
[Гл.2
GaAs/AlGaAs
-0,4
-0,2
0
В, мТл
0,2
0,4
Рис. 2.14. Антилокализация, регулируемая напряжением Vg на затворе,
в квантовой яме GaAs/AlGaAs с высокой подвижностью [13]. Точками пока-
показаны полученные экспериментальные данные. Температура 300 мК. Сплош-
Сплошные кривые это результат подгонки теоретических формул с использовани-
использованием трех параметров. Кривые смещены для ясности вдоль вертикальной оси
B.11) и B.25), а не сопротивление. Иначе было бы трудно сравни-
сравнивать между собой кривые при разных напряжениях Vg на затворе,
поскольку Vg сильно меняет концентрацию носителей и сопротивле-
сопротивление двумерного электронного газа, а Ар = Aa/R2. Такого сильного
различия сопротивлений не было в экспериментах, представленных на
рис. 2.9, 2.11 и 2.12. Поэтому там приведены графики сопротивления,
которое непосредственно измеряется в экспериментах.
2.4. Межэлектронная интерференция г)
К вопросу о терминологии. Название этого параграфа означает,
что в нем пойдет речь о явлениях, вытекающих в конечном счете
из волновых свойств электронов. Но то же самое можно сказать
и о слабой локализации. Поэтому иногда, говоря об электронной
интерференции, имеют в виду именно ее. А вместо межэлек-
межэлектронной интерференции говорят об электрон-электронном взаи-
взаимодействии или пользуются названием эффект Аронова-Альтшу-
лера. Однако, если придерживаться оптической терминологии, то
слабую локализацию следует считать результатом электронной
дифракции, а эффект Аронова-Альтшулера — результатом ин-
интерференции.
г) Последовательное изложение теории см. в [3].
2.4] Меснсэлектронная интерференция 43
Слабая локализация происходит в результате интерференции элек-
электрона с самим собой благодаря возможности его движения по разным
траекториям. Но интерференция возможна также и при взаимодей-
взаимодействии разных электронов. Электроны, оказавшиеся вблизи друг друга
в момент t = О, при отсутствии рассеивателей разлетаются по бал-
баллистическим траекториям с фермиевской скоростью vFy и расстоя-
расстояние г между ними линейно растет со временем, г ~ vFt. В условиях
диффузии среднее расстояние между ними растет гораздо медленнее:
г ~ l\ft/r rsj v^y/tr • Диффузия удерживает электроны вблизи друг
друга и тем самым создает условия для интерференции.
При слабой локализации время сбоя фазы т^ определяется неупру-
неупругими столкновениями. При межэлектронном взаимодействии неупру-
неупругих столкновений может вообще не быть, но зато электроны изна-
изначально имеют несколько разные энергии Е{. Изменение фазы каж-
каждого электрона со временем определяется соотношением ехр (гф) =
= ехр [i(ei/h)t]. Поэтому одинаковые в момент t = О фазы двух элек-
электронов с разностью энергий Аг через время h/Аг будут уже разли-
различаться на величину порядка единицы.
Упругое рассеяние существенно только для электронов из интер-
интервала энергий
?f - Т < ег < eF + Т. B.28)
Поэтому среднее значение Аг ~ Т, а характерное время расфазировки
тее « П/Т. B.29)
Соответствующий размер области интерференции равен
B.30)
Величины тее и Lee играют в межэлектронной интерференции ту же
роль, что величины т^ и L^ в слабой локализации, хотя механизм
влияния на проводимость этих двух эффектов принципиально раз-
различный.
Диффузионный характер движения в первую очередь меняет ча-
частоту межэлектронных соударений. Когда две заряженные частицы
пролетают друг мимо друга, энергия и импульс у каждой из них
после разлета оказываются иными, нежели до встречи. В баллисти-
баллистическом пределе средний передаваемый при столкновении импульс —
порядка &F, эффективный размер области взаимодействия — l/fcF,
а эффективное время взаимодействия — h/eF. Поскольку каждый акт
рассеяния должен удовлетворять принципу Паули и закону сохра-
сохранения энергии, начальное и конечное состояния рассеивателя могут
лежать только в интервале энергий B.28). Температура ограничивает
число возможных столкновений: число электронов, с которыми может
столкнуться данный электрон, пропорционально Т, и число конечных
состояний, в которых может оказаться этот электрон в результате
каждого такого столкновения, тоже пропорционально Т. Это вносит
44 Квантовые поправки к проводимости [Гл. 2
в вероятность рассеяния Н/те множитель Т2, так что частота столк-
столкновений
П/те ~ T2/eF. B.31)
Здесь множитель l/sF добавлен из соображений размерности, по-
поскольку eF — это единственный независимый параметр размерности
энергии.
Выражение для частоты столкновений B.31) принципиально ме-
меняется, если электроны не пролетают друг мимо друга по баллистиче-
баллистическим траекториям, а диффундируют вблизи друг друга, рассеиваясь
на примесях. Эффективный размер области взаимодействия теперь
Lee ^> 1/fcp велик, а переданный в результате этого взаимодействия
импульс q « 1/Lee мал. Именно это ограничение на величину переда-
передаваемого импульса, а не закон сохранения энергии, определяет частоту
столкновений Н/те в этой области. Вместо Т2 в те входит qd. Чтобы
получить размерность энергии для переменной Й/те, величину qd ос
ос l/Lde следует умножить на плотность состояний на Ферми-уровне,
тоже зависящую от размерности пространства d: gd ~ sj ~ m1/2 (где
m = hkp/vp это масса электрона). Вместо выражения B.31) получит-
получится
П Х . B.32)
Отсюда
|-Tl/2r-l/2; d = 1>
dl21ddl2\e-FlT-\ d = 2, (тТ« 1). B.33)
Чтобы различать рассеяние в баллистическом и в диффузионном
режимах, обозначим частоту столкновений, определяемую формулой
B.31), через Й/г^а11, а частоту, определяемую формулой B.33), че-
через ft/rediff
Заметьте. Диффузионный характер движения электронов на
временах К/Т не отменяет рассеяние с большой передачей им-
импульса B.31), а добавляет к нему рассеяние B.33) в диффузион-
диффузионном канале.
Столкновения B.33) вносят непосредственный вклад в скорость
релаксации энергии и в формирование времени сбоя фазы т^. Но
обмен импульсом между электронами при таких столкновениях несу-
несущественен, и сами по себе они не вносят заметного вклада в сопротив-
сопротивление, поскольку по смыслу самой постановки задачи 1/те <С 1/т. Но
параллельно с включением диффузионного канала рассеяния взаимо-
взаимодействие электронов в процессе диффузии приводит и к изменению
электронного спектра вблизи ферми-уровня.
Рассмотрим взаимодействие двух электронов с энергиями, отсчи-
отсчитанными от ферми-уровня, г и —г. Время их расфазировки расходится
2.4] Меснсэлектронная интерференция 45
при г —> 0: тее = Н/е. В гамильтониане их взаимодействия есть обмен-
обменный член. Он появляется благодаря тому, что ввиду тождественности
электронов, их можно менять местами. Этот член не влияет на рас-
рассеяние. Он лишь вносит небольшие добавки в энергию и плотность
состояний электронов. Обычно это не имеет значения, поскольку эти
добавки не зависят от энергии. Но поправка в обменный член от взаи-
взаимодействия при диффузионном движении не теряется на общем фоне,
потому что соответствующий вклад в плотность состояний зависит от
энергии и максимален на ферми-уровне: эффективное время взаимо-
взаимодействия электронов с энергиями г и — г тем больше, чем меньше \г\.
При Т = 0 плотность состояний вблизи ферми-уровня в зависимости
от энергии г имеет вид
Ад(Т = 0,е) ~ (KD)-*'2 • { 1п(ет/Й), d = 2, B.34)
Это главный результат межэлектронного взаимодействия в диффу-
диффузионном канале. Удерживая электроны друг около друга в г-про-
странстве, диффузия тем самым увеличивает эффективное время их
взаимодействия, что приводит к расталкиванию уровней.
Вообще говоря, взаимодействие влияет на само понятие плотности
состояний, потому что при наличии взаимодействия распределение
электронов по энергии зависит от их количества. Из-за этого плот-
плотность состояний, входящая, например, в формулы для теплоемко-
теплоемкости, отличается от той, которая определяет транспортные свойства
и вероятность туннелирования и о которой здесь идет речь. Этот
вопрос более подробно обсуждается в Приложении Б. В частности,
там отмечается, что кулоновское взаимодействие приводит к уменьше-
уменьшению эффективной туннельной плотности состояний из-за конечности
времени рассасывания пространственной неоднородности зарядов, ко-
которая возникает при туннелировании. Из сказанного здесь видно, как
диффузия влияет на это время.
В результате взаимодействия у функции д(Т = 0, е) при всех d
появляется особенность на ферми-уровне е = е-р. Конечная темпе-
температура, увеличивая среднюю разность энергий взаимодействующих
электронов, обрезает особенность в плотности состояний
{№, \е?-е\>Гг/т,
g(Q,e), T<\eF-e\<h/r, B.35)
.</@,г = Т), \eF-e\<T.
Это схематически изображено на рис. 2.15, где особенность у функ-
функции д@, г) показана пунктиром. Именно то, что в непосредственной
окрестности ферми-уровня плотность состояний зависит от темпера-
температуры, приводит к температурной зависимости соответствующей по-
поправки к проводимости. Оценить величину этой поправки можно так
же, как это было сделано для слабой локализации.
46
Квантовые поправки к проводимости
[Гл.2
Рис. 2.15. Минимум плотности со-
состояний на ферми-поверхности,
появляющийся вследствие меж-
межэлектронного взаимодействия, и
его зависимость от температуры
(трехмерный случай)
Рис. 2.16. Парное межэлектронное
взаимодействие при сильном и при
слабом упругом рассеянии. Под т
подразумевается reff B.38)
Для того чтобы произошла межэлектронная интерференция, элек-
электроны, бывшие вблизи друг друга в момент t = 0, должны повстре-
повстречаться вторично в течение времени тее. Вероятность такой встречи т\
описывается теми же самыми интегралами, которые фигурировали
в теории слабой локализации:
П/Ае
г)(Ае)
v\2dt
73-d
(Dt)
d/2'
d= 1,2,3,
B.36)
где As — разность энергий двух интерферирующих электронов. Это
предопределяет функциональное подобие формул квантовых попра-
поправок к проводимости от слабой локализации и от межэлектронного
взаимодействия:
2
d = 3 :
Аее^З ~ -Const + у Lj,
в , Тее г^ О6 1 B 37^)
d=l : Aeecri ~ — — Lee.
Эти поправки и поправки B.11) от слабой локализации имеют оди-
одинаковую зависимость от размерности d, те же критерии размерности
B.8) и т.д. Однако вместо длины 1^, определенной соотношениями
B.7), в них входит длина расфазировки B.30).
Естественным способом экспериментального наблюдения меж-
межэлектронной интерференции должно было бы быть изучение транс-
2.4] Меснсэлектронная интерференция 47
портных свойств грязных металлов. Однако проблема в том, чтобы
различить межэлектронную интерференцию и слабую локализацию.
Главная зацепка — это отсутствие у межэлектронной интерференции
сильной зависимости от магнитного поля. Однако использовать эту
зацепку бывает не очень просто. Поэтому основные прямые демон-
демонстрации этого эффекта получены путем изучения плотности состоя-
состояний. Минимум плотности состояний можно увидеть непосредственно
в специальных туннельных экспериментах, описанных в Приложе-
Приложении Б.
Таким образом, мы столкнулись при описании межэлектронного
взаимодействия с тремя характерными временами: с временем рас-
фазировки диффундирующих электронов B.29) и с временами рас-
рассеяния B.31) и B.33). Чтобы выяснить, когда какое из времен суще-
существенно, построим плоскость (температура — частота столкновений),
выбрав в качестве масштаба на обеих осях фермиевскую энергию sF.
Квадрат единичного размера на этой плоскости охватывает все воз-
возможные температуры и частоты столкновений (см. рис. 2.16).
Обратите внимание. Такой же квадрат используется по другому
поводу в гл. 1 — см. рис. 1.8.
В эффекте слабой локализации упругие столкновения со статиче-
статическими дефектами и столкновения с фононами играли разные роли:
первые обеспечивали диффузию, последние приводили к сбою фазы.
При межэлектронной интерференции у двух электронов изначально
имеется разность скоростей изменения фазы, пропорциональная раз-
разности их энергий. Столкновения с фононами не выводят электроны
из теплового слоя B.28) и поэтому не увеличивают средней разности
энергий между ними. Следовательно, эффективное время расфази-
ровки тее не уменьшается. С другой стороны, фононы создают допол-
дополнительную неоднородность и эффект рассеяния на них суммируется с
эффектом рассеяния на статических дефектах. Эффективность вкла-
вклада каждого из этих процессов и в диффузию, и в электросопротивле-
электросопротивление зависит через множитель A — cos 9) в интеграле столкновений от
угла рассеяния в. Вычисленные с учетом этой эффективности частоты
столкновений с фононами 1/трь и с примесями 1/т в сумме дают
эффективную частоту рассеяния
— = ^ + —. B.38)
Teff Т Tph
Именно она отложена вдоль вертикальной оси на рис. 2.16, но соответ-
соответствующий индекс у величины г на оси ординат на рис. 2.16 опущен.
Проведем диагональ квадрата на рис. 2.16. Уравнение диагонали
Teff = П/Т B.39)
очень похоже на уравнение B.29), определяющее время расфазиров-
ки тее. Однако, как следует из построения, в него входит не тее,
а эффективное время рассеяния reff. Диагональ делит квадрат на
два треугольника. Состояния в нижнем треугольнике называются
48 Квантовые поправки к проводимости [Гл. 2
состояниями металла в чистом пределе, потому что взаимодействие
между электронами происходит при их движении по баллистическим
траекториям. Оно описывается обычным временем рассеяния B.31).
Однако заметить его на фоне фононного рассеяния можно только при
низких температурах, где pph осТ5, а ре ос Т2.
В верхнем треугольнике везде
Гее > Teff, B.40)
т. е. время расфазировки много больше времени между упругими
(и квазиупругими) столкновениями. Поэтому межэлектронное взаи-
взаимодействие происходит в условиях диффузии. Этот треугольник на-
называется областью диффузионного взаимодействия, а состояния в нем
называются состояниями металла в грязном пределе. В этой области
существуют два канала межэлектронного рассеяния: баллистический
и диффузионный, и
J JL
ball
В системах с пониженной размерностью, d = 1 или 2, в верхнем тре-
треугольнике рассеяние в диффузионном канале сильнее:
1 »4п, B-42)
diff - ball
и именно оно вносит основной вклад в формирование скорости сбоя
фазы 1/т^, которая контролирует процессы слабой локализации. При
d = 3 неравенство B.42) реализуется только выше кривой
(l), B.43)
Teff
которая проведена в верхнем треугольнике пунктиром. Но при любой
размерности межэлектронное взаимодействие при Т > h/re^ приводит
к поправкам B.34) в плотности состояний на ферми-уровне и к кван-
квантовым поправкам B.37) в проводимости.
Обратите внимание. Сколь бы малыми ни были остаточное со-
сопротивление ро и 1/г> т-е- сколь бы чистым ни был металл, при
низкой температуре Т < h/т он находится в грязном пределе, так
что в его проводимости должна быть квантовая поправка. Но она
сформируется лишь если размеры образца будут больше, чем Lee.
В любом случае она будет относительно очень мала.
Список литературы
1. Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — Наука, 1987.
2. Bergmann G. Weak localization in thin films // Phys. Rep. 107, 1 A984).
3. Altshuler B.I., Aronov A.G. Electron-electron interaction in disordered
conductors, in Electron-electron interactions in disordered systems. (Eds.:
A.L. Efros, M. Pollak). — North-Holland, 1985.
2.4] Меснсэлектронная интерференция 49
4. Van der Dries L., Van Haesendonck C, Bruynseraede Y, Deutscher G. //
Phys. Rev. Lett. 46, 565 A981).
5. Дорожкин СИ., Долгополое В. Т. // Письма в ЖЭТФ 36, 15 A982).
6. Ovadyahu Z., Imry Y. // Phys. Rev. В 24, 7440 A981).
7. Bishop D.J., Tsui D. C., Dynes R. C. Phys. Rev. Lett. 44, 1153 A980).
8. Wolf P., Maret G. // Phys. Rev. Lett. 55, 2696 A985).
9. ШарвинД.Ю., Шарвин Ю.В. // Письма в ЖЭТФ 34, 285 A981).
10. Альтшулер Б.Л., Аронов А.Г., Спивак Б.З., Шарвин Д.Ю., Шар-
вин Ю.В. II Письма в ЖЭТФ 35, 476 A982).
11. Gijs M., Van Haesendonck С, Bruynseraede Y. // Phys. Rev. В 30, 2964
A984).
12. Studenikin S.A., Coleridge P. Т., Poole P., Sachrajda A. // Письма в
ЖЭТФ 77, 362 B003).
13. Miller J.B., Zumbuhl D.M., Marcus СМ., Lyanda-Geller Y.B., Goldhaber-
Gordon D., Campman K., Gossard A. C. // Phys. Rev. Lett. 90, 076807
B003).
4 В. Ф. Гантмахер
Глава 3
ВЛИЯНИЕ МЕЖЭЛЕКТРОННОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ЭЛЕКТРОННЫЙ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР х)
3.1. Переход Пайерлса 2)
Исходный потенциал, в котором находятся все электроны в твер-
твердом теле, создается ионными остовами. Однако неравномерное рас-
распределение электронов в пространстве приводит к появлению допол-
дополнительных электрических полей и к перенормировке исходного потен-
потенциала. Поэтому каждый отдельный электрон чувствует потенциал,
созданный не только ионами, но и остальными электронами. В част-
частности, такой перенормировкой является экранирование. В металлах,
где концентрация делокализованных электронов очень велика, а экра-
экранировка очень сильна, от исходного потенциала остается только ма-
малая часть, называемая псевдопотенциалом. Псевдопотенциал воздей-
воздействует на одноэлектронный спектр только благодаря сохранившейся
трансляционной симметрии исходного потенциала.
Однако часто воздействие электронов на собственный энергетиче-
энергетический спектр не ограничивается простым экранированием. Электроны
могут существенно изменить затравочный потенциал, даже понизить
его симметрию. Самый яркий пример — это неустойчивость Пайерлса.
Рассмотрим регулярную одномерную цепочку атомов с периодом а.
Зоной Бриллюэна для нее является отрезок на оси к от —тг/а до
тг/а (см. рис.3.1). На этом отрезке имеется \/а состояний в расчете
на единицу длины цепочки, в каждом из которых может находиться
два электрона, всего 2/а мест для электронов. Пусть каждый атом
отдает в общее пользование один электрон, так что их концентра-
концентрация п = 1/а. Предположим для простоты, что температура Т = 0.
Тогда п электронов займут п/2 состояний с наименьшей энергией
в центре зоны Бриллюэна, расположенные на отрезке от —и/2а до
тг/2а. Предположим, что период атомов цепочки каким-то образом
удвоился. Тогда период в обратном пространстве вдвое уменьшился
и как раз на месте раздела между свободными и занятыми состояни-
состояниями появилась дополнительная граница зоны Бриллюэна. На границе
зоны в спектре е(к) имеется щель, а производная de/dk равна нулю
г) Большая часть материала этой главы излагается также в книге [1].
2) Более подробное изложение можно найти в книгах [2] и [3].
3.11
Переход Пайерлса
51
с обеих сторон. Поэтому, как видно из рис. 3.1, энергия свободных
состояний |fc| > тг/2а при появлении дополнительной границы повы-
—п/а —п/2а
Рис. 3.1. Появление щели вокруг ферми-уровня в одномерной зоне Бриллю-
эна для цепочки металлических атомов. Справа плотность состояний g(s)\
две заштрихованные площади равны между собой. Пунктиром показана
плотность состояний р(е) невозмущенного одномерного электронного газа
силась, а энергия занятых состояний |fc| < тг/2а понизилась, а вместе
с этим понизилась и энергия всей электронной системы. Положение
ферми-уровня eF относительно дна зоны в точке к = О при этом не
изменилось.
Таким образом, для электронной системы удвоение периода цепоч-
цепочки выгодно, потому что приводит к уменьшению ее энергии. Вопрос
в том, как этого удвоения периода добиться. Простейший способ —
это малое смещение (ДаJ каждого второго атома; хотя при этом
возникает проигрыш в упругой энергии, которая определяла период а,
малое смещение (ДаJ обычно оказывается все же выгодным, и его
величина определяется минимумом полной энергии.
Предположение, что в цепочке имеется один электрон на атом,
не принципиально. Если концентрация электронов и составляет до-
долю а от концентрации атомов 1/а, и = а/а, то новая граница зоны
Бриллюэна попадает на место раздела между занятыми и свободны-
свободными состояниями при появлении в цепочке нового периода а = 2а/а.
Подобрать подходящий период можно при любой концентрации носи-
носителей. При этом можно даже обойтись без смещений атомов цепочки,
создав для образования дополнительного периода волну зарядовой
плотности в самой электронной системе. Поскольку при появлении
дополнительного периода появляется щель в спектре между занятыми
и свободными состояниями и металл превращается в изолятор, то от-
отсюда следует утверждение, что одномерного металла при абсолютном
нуле вообще не может быть. При повышении температуры выигрыш
электронной энергии постепенно уменьшается из-за появления пустых
состояний под щелью, где энергия состояний понижена по сравнению
с невозмущенным спектром, и заполненных состояний над щелью, где
энергия состояний повышена. Поэтому при некоторой критической
температуре произойдет фазовый переход в металлическое состояние.
В рассуждении Пайелса одномерность существенна, потому что
в системах с большей размерностью ферми-поверхность всегда имеет
52 Влияние меснсэлектронного взаимодействия на спектр [Гл. 3
какую-то кривизну, а бриллюэновские поверхности разрыва энергии
всегда плоские. Поэтому превратить трехмерный металл в изолятор
за счет понижения симметрии не удается. Однако понижение элек-
электронной энергии при появлении новых плоскостей разрыва часто ока-
оказывается существенным. Именно этим объясняется само существова-
существование полуметаллов Bi, Sb и As, а также существование металлических
сплавов с очень сложными структурами, имеющими много атомов
в элементарной ячейке. Кроме того, в анизотропных средах были
обнаружены волны зарядовой и спиновой плотности, образование ко-
которых сопровождается фазовыми переходами. Все это вместе пре-
превратилось в отдельное направление в физике твердого тела, которое
находится вне рамок данного курса. Поэтому о переходе Пайерлса мы
здесь упоминаем лишь очень бегло, не коснувшись таких вопросов,
как масштаб смещений атомов при Т = О, критическая температура
перехода, при которой щель обратится в нуль, и т.п. (см., например,
[2] или [3]).
А вообще мы о переходе Пайерлса упоминаем по двум причи-
причинам. Во-первых, на его примере удобно продемонстрировать принцип
самовоздействия электронного газа на собственный энергетический
спектр. Далее в этой главе мы познакомимся с тем, как этот принцип
реализуется в разупорядоченной среде. Аналогия хорошо видна, на-
например, при сравнении рис. 3.1 с рис. 3.7. Во-вторых, в начале гл. 5,
где обсуждается понятие «чисто электронного фазового перехода»,
переход Пайерлса фигурирует в качестве отрицательного примера:
хотя уменьшение электронной энергии является для него основным
фактором, точка перехода определяется из энергетического баланса,
в который входят и другие виды энергии, например, упругая.
3.2. Структура примесной зоны при слабом
легировании
В свое время зонная теория успешно объяснила деление твердых
тел с идеальной кристаллической решеткой на металлы и изоляторы.
В металлах ферми-уровень находится внутри одной или нескольких
перекрывающихся зон, т. е. в области разрешенных значений энергии.
В изоляторе он попадает в область запрещенных значений энергии;
при этом количество свободных носителей при некоторой темпера-
температуре Т определяется экспонентой, в показателе которой расстояние
\Еь — /i| от ферми-уровня /i до ближайшего края разрешенных зна-
значений Е\у сравнивается с Т. Если \Еъ — /л\ имеет порядок атомных
энергий A eV, т. е. 10000 К), так что при комнатных температурах Тг «
^300 К
|Яь-/х|>Гг, C.1)
то проводимость при комнатной температуре неизмеримо мала и ве-
вещество является «истинным изолятором». Если же неравенство C.1)
не очень сильное, то имеется конечная проводимость, которая на-
3.2]
Структура примесной зоны при слабом легировании
53
зывается собственной. Собственная проводимость «вымерзает» при
понижении температуры.
К вопросу о терминологии. Следуя традиции, сложившейся в фи-
физике полупроводников, в этой и следующей главах мы обозначаем
ферми-уровень через \±\ в остальной части книги вместо этого
употребляется термин ферми-энергия, обозначаемый через eF.
И то и другое означает уровень энергии, который при абсолютном
нуле температуры Т = 0 отделяет занятые электронные состоя-
состояния от свободных. В металлах состояния вблизи ферми-уровня
делокализованы, в полупроводниках и изоляторах они могут быть
локализованы или вообще отсутствовать. В последнем случае
говорят, что ферми-уровень находится в запрещенной зоне.
Из находящихся в запрещенной зоне уровней энергии примесей Eq
наибольший интерес представляют те, которые находятся вблизи кра-
краев зон Е\>. Они называются мелкими донорами или акцепторами. При
их наличии ферми-уровень перемещается в окрестность Eq, а коли-
количество свободных носителей и проводимость контролируются концен-
концентрацией примесей N и их энергией ионизации \Еь — Eq\ в сравнении
с Т. Соответствующая проводимость называется примесной.
Материалы, в которых имеется собственная или примесная прово-
проводимость, называются полупроводниками. Из сказанного понятно, что
выделение этого класса веществ весьма условно и зависит, в частно-
частности, от температуры. При низких температурах это понятие «вымер-
«вымерзает» вместе с проводимостью. Однако название «полупроводники»
прочно закрепилось за рядом веществ: Ge, Si, GaAs, InSb, InP и неко-
некоторыми другими.
Будем для определенности рассматривать полупроводник п-типа
с шириной запрещенной зоны А. Пусть основная примесь в нем —
мелкие водородоподобные доноры, т. е. доноры с энергией ионизации
Eq <C А и с электронной волновой функцией, убывающей на больших
расстояниях как ехр (—г/ав) (боровский радиус ав = hBm*Eo)~1/2 =
= ft2x/m*e2, где к — диэлектрическая проницаемость, т* — эф-
эффективная масса). Очистить и легировать полупроводник так, чтобы
в нем были только доноры и совсем не было акцепторов, невозможно.
Наличие какого-то количества акцепторов в полупроводнике п-типа
имеет принципиальное значение. Поскольку энергия электрона на ак-
акцепторе ниже, чем на доноре, все Na акцепторов захватят электроны
с доноров и будут заряжены отрицательно, а из Np > Na доноров Na
потеряют свои электроны и будут заряжены положительно. Поэтому
там обязательно есть случайные электрические поля, созданные 2Na
хаотически расположенными зарядами. Энергии всех доноров из-за
этих полей изменятся:
с, =
Asj = —
J к
L a
1
1
id
C.2)
54 Влияние меэюэлектронного взаимодействия на спектр [Гл. 3
Первая сумма берется по всем акцепторам (переменный индекс а),
а вторая — по всем ионизованным донорам (индекс id). Под индек-
индексом j понимается любой донор, штрих у второго знака суммирования
означает, что когда индекс j относится к ионизованному донору, из
суммы надо исключить член j = id с нулем в знаменателе.
¦Fo--o-
Рис. 3.2. Электрические поля заряженных центров. Вверху на энергетиче-
энергетической схеме кружками отмечены изначальные значения энергии доноров
и акцептора, горизонтальными черточками — значения энергии доноров,
скорректированные кулоновским потенциалом заряженных примесей. Этот
потенциал показан внизу
Наличие сдвигов Д^ означает, что даже в слабо легированном
полупроводнике (Na^ <C 1) из-за хаотических электрических полей
Np-кратно вырожденный уровень донора Eq расплывается в зону.
Она называется примесной зоной. Ферми-уровень должен разделять
заполненные уровни нейтральных и пустые уровни ионизованных до-
доноров, т.е. находиться внутри этой примесной зоны (см. рис. 3.2).
Заметьте. Это превращение уровня в примесную зону при
TVag <C 1 не связано с перекрытием волновых функций; оно имеет
чисто классическую причину. Перекрытие, а при какой-то степе-
степени перекрытия и делокализация, возникают при более сильном
легировании. Пока этого не произошло, все состояния в такой
примесной зоне локализованы, а сам термин «зона» означает
интервал энергий с отличной от нуля плотностью состояний.
Слабая компенсация. Рассмотрим случай, когда акцепторов
мало, так что коэффициент компенсации К = Na/Nd <С 1. Посколь-
Поскольку разноименные заряды притягиваются, в равновесии ионизованы
будут те доноры, которые находятся близко к акцепторам. Неравен-
Неравенство Na <С Np означает, что среднее расстояние между акцепторами
много больше, чем среднее расстояние между донорами. Поэтому
каждый ионизованный донор можно приписать к определенному ак-
3.2] Структура примесной зоны при слабом легировании 55
цептору и свести задачу к рассмотрению возможных локальных кон-
конфигураций заряженных доноров вокруг одного заряженного акцеп-
акцептора.
Если близко от какого-то акцептора расположены два донора, то
они могут быть ионизованы оба. Пусть акцептор, который у нас всегда
заряжен отрицательно, расположен посередине между двумя донора-
донорами на расстоянии г от каждого (рис. 3.3, а) и пусть один из доноров
ионизован, т. е. заряжен положительно. Приход положительного заря-
заряда из бесконечности на второй донор даст выигрыш в энергии е2/кг
благодаря притяжению к акцептору, а проигрыш из-за отталкивания
от первого донора е2/2кг будет в два раза меньше. Следовательно
такая конфигурация возможна
и один акцептор может удержать
около себя два ионизованных
донора.
Удержать около себя три иони-
ионизованных донора один акцептор
не может. В самой благоприятной Рис ^ реализуемые (а) и нереа-
конфигурации доноры расположе- лизуемые {б) конфигурации заря-
ны в углах равностороннего тре- женных центров
угольника (со стороной г), а ак-
акцептор в центре (рис. 3.3, б). Если два донора уже ионизованы, то
ионизация третьего, описываемая как приход на него положительного
заряда из бесконечности, даст проигрыш в энергии:
— (л/3 -2)<0.
ИГ
Сказанное позволяет разбить акцепторы на три группы. Щ акцеп-
акцепторов вообще не имеют около себя ионизованных доноров, N\ имеют
по одному, a 7V2 — по два ионизованных донора. Из условия элек-
электронейтральности Щ -\- N\ -\- N2 = Na следует уравнение для уровня
Ферми:
No{») = ЛГ2(М). C.3)
Напишем выражение для 7Vo(/i). Пусть нуль на шкале энергий
соответствует энергии изолированного донора. Как видно из рис. 3.2,
для того чтобы акцептор принадлежал к группе Щ, около него не
должно быть доноров в радиусе гм = e2/x/i. Поэтому 7V0 есть умно-
умноженная на Na вероятность того, что донора нет в объеме D7r/3)r^:
= NA exp ( ~r*ND ) = NA exp ^ < ?d
3
O2 /.ЛАТ1/3
C.4)
где eD = (e2 /'x)Nj — энергия кулоновского взаимодействия на сред-
i/3
нем расстоянии между донорами ND ' .
Вычисление ЛГ2(а0 несколько сложнее. Вероятность того, что два
ближайших к акцептору донора расположены на расстояниях г\ = |i*i |
56 Влияние меэюэлектронного взаимодействия на спектр [Гл. 3
и Г2 = |г21 ^ ri в элементах объема dr± and dr2 равна
Np exp f t\Njj j exp f (r2 — t^OVd J dridr2 =
= TV^exp f — -^r2ND J dridr2. C.5)
Чтобы оба донора были ионизованы, уровни электронов на обоих
должны быть выше fi:
- г2
- г2
C.6)
Тогда
1 при ж > О,
О при х < 0.
C.7)
е/е-
О
-1
-1
^(е)
г^С" М-
е/е-
Вычисленная по формуле C.7) величина 7V2(/i), вообще говоря,
несколько занижена: может оказаться, что два донора, ближайших
к акцептору, не могут быть од-
одновременно ионизованы, так
как они находятся слишком
близко друг к другу. Такой
акцептор в C.7) учтен не бу-
будет. Однако по другую сторо-
сторону от этого акцептора может
быть расположен еще один до-
донор на расстоянии г3 > Г2, ко-
который тем не менее может
составить ионизованную пару
с одним из ближайших доно-
Однако соответствующая
поправка очень мала менее
°ДН0Г0 процента. Подставив
2
1
О
-1
К<<:
~ К« 1
Рис.3.4. Плотность состояний в при-
месной зоне 1фи слабой A^<1) и при
сильной A — К <С 1) компенсациях.
Заштрихованы заполненные состояния,
энергия отсчитывается от уровня Во
результаты вычислений C.7)
вместе с поправкой и C.4)
в уравнение C.3), получим величины Nq = N2 и Nj_ и полож;ение
ферми-уровня:
= N2 = 0,0013iVA) N1 = 0,974NA,
C.8)
C.9)
График плотности состояний схематически представлен слева на
рис. 3.4.
3.2]
Структура примесной зоны при слабом легировании
57
Заметьте. Площадь под кривой д(е) равна Nd, а эффективная
ширина порядка eD. Смысл коэффициента 0,99 в соотношении
C.9) чисто символический: показать, что он возник в результате
расчета и есть нечто большее, нежели просто «порядка единицы».
В то же время этот расчет ничего не говорит о степени симмет-
симметричности кривой д{е) относительно Не-
Независимость fji — Ео от Njj можно экспериментально проверить
благодаря тому, что эта разность есть энергия активации при прыжко-
прыжковой проводимости по ближайшим центрам (относительно прыжковой
проводимости см. гл. 4). На рис. 3.5 приведены данные двух разных
экспериментов на n-Ge. Видно, что по крайней мере при малых Np
эксперимент подтверждает зависимость C.9). При больших Np, веро-
вероятно, становится существенным перекрытие волновых функций элек-
электронов на центрах, которое не учитывалось описанным выше класси-
классическим расчетом.
2
1/3 1Л-5 -1
N -10 , см
Рис. 3.5. Энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим
центрам в зависимости от концентрации примесей, Ge:P — [4]; Ge:Sb — [5].
Прямой показана теоретическая зависимость C.9)
Заметьте. И плотность состояний, и положение ферми-уровня
сформировались в том потенциальном рельефе, который был со-
создан самими электронами, в принципе имевшими возможность
распределиться по донорам CN? способами. Приведенное выше
решение было получено в пределе К <С 1; оно описывает функ-
функцию д{е) на масштабе eD. По мере роста К растет и число CN?
способов размещения электронов на донорах, что дает основания
ожидать усложнение функции д(е). И действительно, как пока-
показано в § 3.3, у функции д{е) возникает дополнительная структура
с меньшим масштабом в окрестности /i.
58 Влияние меснсэлектронного взаимодействия на спектр [Гл. 3
Сильная компенсация. Рассмотрим другой предельный случай
l-K<Cl, n = ND-NA <7VD. C.10)
К вопросу о терминологии. Буквой п у нас везде обозначает-
обозначается количество носителей, а если электроны локализованы, то
количество «потенциальных носителей». В соответствии с этим
здесь п = Njj — Na определяет количество электронов, оставших-
оставшихся в полосе донорных состояний; в противоположность им Na
электронов и при слабой, и при сильной компенсации ушли на
акцепторы и вообще как бы вышли из игры. Под игрой (под
будущей игрой) здесь понимаются прыжковая проводимость при
низкой но ненулевой температуре, переход металл-изолятор при
увеличении п, и т. д.
В условиях C.10) большая часть доноров ионизована. Нейтраль-
Нейтральным останется лишь тот донор, который расположен слишком близко
от другого ионизованного донора: в парах близко расположенных
доноров один остается нейтральным, поскольку его энергия понижена
на г = е2 /яг в поле положительно заряженного соседа (здесь г —
расстояние между донорами в паре).
Вероятность иметь близкого соседа на расстоянии от г до г + dr
есть
vrdr = ND • Airr2dr, C.11)
вероятность понизить энергию на г за счет соседа равна
v?de = ND • 4тгг2^ de = -ND • 4тг^е If1 de. C.12)
Умножив на Njj и разделив на 2, чтобы не учитывать один донор
дважды, получим плотность состояний для пар
92(е) = 2ttNd?-^, eD = i^-. C.13)
Уровень Ферми находится из условия
| 92(e)ds = n. C.14)
— СЮ
Отсюда
(см. схематический график в правой части рис. 3.4).
Формула C.15) содержит, помимо 7VD? еще один переменный пара-
параметр, а именно A — К). Зависимость от него тоже может быть прове-
проверена по измерениям энергии активации прыжковой проводимости по
ближайшим центрам. Сравнение приведено на рис. 3.6.
3.3]
Кулоновская щель
59
0,8 К
Рис. 3.6. Энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим
центрам в зависимости от коэффициента компенсации [6]. В правой части,
при К > 0, 5, теоретическая кривая выходит на зависимость C.15)
3.3. Кулоновская щель
В пределах слабой К <С 1 и сильной 1 — К <С 1 компенсации по-
получилась колоколообразная плотность состояний д(е) с максимумом
вблизи Eq и с ферми-уровнем на одном из крыльев распределения
(рис. 3.4). Можно было бы ожидать, что при постепенном росте К
ферми-уровень плавно смещается с одного края мало меняющейся
функции д{е) на другой, приходясь на
ее максимум при К « 0,5, когда элек-
электронов в 2 раза меньше, чем центров
в примесной зоне.
То, что это не так, видно из приве-
приведенного на рис. 3.7 результата компью-
компьютерного моделирования для К = 0,5.
Плотность состояний на этом графи-
графике отложена в единицах д0, а энергия
в единицах eD\
ND
9о = ,
?
e дл/з
= ~nd •
C.16)
од ¦
о
ОЦ 2 4 e/eD
Ферми-уровень \i действительно ока-
оказался близко к Eq = 0, но при значении
е = fji у функции д(е) появился мини-
минимум g(fi) = 0.
Этот результат требуется осмыс-
осмыслить и объяснить.
Предпосылкой для такого результа-
результата является большое количество CN?
вариантов распределения электронов по центрам: есть из чего выби-
выбирать.
Рис. 3.7. Плотность состояний
в примесной зоне при коэф-
коэффициентах компенсации К =
= 0,5 по результатам компью-
компьютерного моделирования [7]. За-
Заштрихованные площади рав-
равны (ср. с рис. 3.1).
60 Влияние меэюэлектронного взаимодействия на спектр [Гл. 3
Нетрудно объяснить, почему это распределение оказалось предпо-
предпочтительным. Сравним его с «ожидавшимся», с показанной на рис. 3.7
пунктиром кривой lj(e) с теми же крыльями и той же площади
оо
g{e)de= \ g{s)ds = ND, C.17)
— оо —оо
но без минимума. Нетрудно видеть, что средняя энергия е_ состояний
ниже уровня Ферми уменьшилась:
sq(e)de < — -— eq(e)de, C.18)
так как центр тяжести этой части распределения сместился в область
меньших энергий. Поскольку при низких температурах занятые со-
состояния находятся преимущественно в этой части спектра, полная
энергия электронного газа
оо
Ё = | sg(s)f (J) ds, f(x) = (expx + l)-\ C.19)
уменьшится, несмотря на то. что средняя энергия г+ состояний в ча-
части спектра г > \± увеличилась. Эти рассуждения похожи на те, ко-
которые объясняют наличие перехода Пайерлса в одномерной систе-
системе. Сравнивая изменения плотности состояний от 'д(е) к д(е) из-за
неустойчивости Пайерлса (рис. 3.1) и при образовании кулоновской
щели (рис. 3.7), нетрудно видеть, что уравнения C.17)—C.19) приме-
применимы в обоих случаях.
Заметьте. Из этой аналогии видно, что температура может из-
изменять плотность состояний д(е) и кулоновскую щель.
Для того чтобы показать, как и насколько изменяется функция
д(е) вблизи /i, воспользуемся следующим рассуждением. Пусть в рав-
равновесии при Т = 0 два состояния из интервала энергий (/i — г/2, /i +
+ ^/2), одно заполненное: Si < /i, а другое пустое: Sj > /i, находятся на
расстоянии Гц. Унесем электрон с центра г на бесконечность. Тогда
энергия уровня j понизится до Sj — е2 /ягц. Но она все равно должна
остаться больше е^ иначе изначально более выгодной была бы кон-
конфигурация «центр j заполнен, центр г пустой». Из
Sj -si- > 0, Sj -Si<e C.20)
следуют зависящие от е ограничения снизу для Гц и сверху для N:
K. C.21)
3.3]
Кулоновская щель
61
Поскольку энергия г принимает здесь произвольные, сколь угодно
малые значения, заменяя знак неравенства на знак равенства и диф-
дифференцируя, получаем
, v ON ж3 (
д(е) = — ос7,(е-1
C.22)
Использование знака равенства означает, что мы выбрали самую ма-
малую степень (е — /i) из всех, удовлетворяющих соотношениям C.21).
Такое поведение функции д{е) вблизи \± называется мягкой куло-
новской щелью. «Мягкой» потому, что д(е) обращается в нуль только
в одной точке, а «кулоновской» потому, что она возникла в результате
кулоновского взаимодействия.
Формулы C.21) и C.22) написаны для трехмерной среды. В дву-
двумерном случае из аналогичных рассуждений следует
N(e) = r~2 < Г—
C.23)
Во всех рассуждениях по поводу кулоновской щели коэффициент
компенсации К в явном виде не фигурировал. Следует полагать, что
функция д(е) обращается в нуль на ферми-уровне не только при К «
~ 0,5, но и при значениях К, расположенных ближе к краям интер-
интервала @, 1). Это подтверждается результатами компьютерного моде-
моделирования, представленными на рис. 3.8 в том же самом масштабе
C.16), что и на рис. 3.7.
1,2
0,8
0,4
Г»
- б
X
к
/•——
= 0,1
0 2 4e/cD "-2 0 \х 2
Рис. 3.8. Плотность состояний в примесной зоне при коэффициентах ком-
компенсации К, равных 0,1 и 0,9, по результатам компьютерного моделирова-
моделирования [7]
Заметьте. Распределение при К = 0,9 шире, чем при К = 0,1.
Этого следовало ожидать из сравнения формул C.9) и C.15): в
C.15) имеется дополнительный численный множитель около 1,3
и множитель A — КI/3 в знаменателе. Хотя формулы C.9) и
C.15) не содержат кулоновской щели, ширину кривых и положе-
положение ферми-уровня они отражают правильно.
62 Влияние меснсэлектронного взаимодействия на спектр [Гл. 3
Кулоновская щель непосредственно влияет на температурную за-
зависимость прыжковой проводимости электронов в окрестности фер-
ми-уровня (прыжки с переменной длиной). Это позволяет экспери-
экспериментально изучать кулоновскую щель. Мы подробно обсуждаем этот
вопрос в гл. 4 о прыжковой проводимости. Там же приведены и экс-
экспериментальные кривые, которые, в частности, дают пищу для раз-
размышлений о том, в какой мере кулоновская щель — универсальное
явление, и существуют ли изоляторы с постоянной, отличной от нуля
плотностью состояний в окрестности ферми-уровня.
Прыжковая проводимость — это косвенная демонстрация суще-
существования кулоновской щели. Существует и более прямой метод —
измерение вольт-амперных характеристик туннельных контактов. Из
таких непосредственно измеренных характеристик можно извлечь
функцию плотности состояний в окрестности ферми-у ровня. Обычно
свойства исследуемого материала постепенно меняют, начиная с ме-
металлического состояния и кончая изолятором. В ходе такой трансфор-
трансформации на ферми-уровне появляется минимум в плотности состояний,
который расширяется и углубляется, доходя до g(/i) = 0. Обычно па-
параллельно наблюдают радикальные изменения характера температур-
температурной зависимости проводимости. В интерпретацию таких эксперимен-
экспериментов вовлекается не только кулоновская щель, но и особенности меж-
межэлектронного взаимодействия в грязных металлах, переходы металл-
изолятор, прыжковая проводимость и т.п. (см. Приложение Б). Во
всех этих вопросах кулоновское взаимодействие играет существенную
роль.
Поучительно проследить развитие понятия кулоновской щели.
Оно появилось как реакция на экспериментальные исследования
прыжковой проводимости, которые обнаружили температурные зави-
зависимости проводимости, не соответствующие ни активационному зако-
закону Аррениуса D.13), ни закону Мотта D.19) при переменной длине
прыжка и постоянной плотности состояний в окрестности ферми-
уровня. Введение понятия кулоновской щели позволило последова-
последовательно и достаточно полно описать имеющиеся экспериментальные
данные по прыжковой проводимости (см. гл. 4). Более того, пред-
предсказанная формулами C.22) и C.23) форма кулоновской щели была
экспериментально подтверждена в туннельных экспериментах.
На рис. 3.9 и рис. 3.10 представлены туннельные характеристики,
полученные на контактах, в которых один электрод — металл, а дру-
другой — изолятор. Как показано в Приложении Б, величина dI/dVy от-
отложенная по оси ординат на этих характеристиках, пропорциональна
плотности состояний в изоляторе, а приложенное к контакту напря-
напряжение определяет отсчитанную от ферми-у ровня энергию, к которой
относится эта плотность состояний. В обоих изоляторах обнаружива-
обнаруживается кулоновская щель, причем в объемном Si:B щель параболическая,
в соответствии с формулой C.22), а в сверхтонких пленках Be она
меняется линейно с энергией, как это и предсказывается формулой
C.23). Более подробно измерения на обоих веществах обсуждаются
в Приложении Б.
3.3]
Кулоновская щель
63
Рис. 3.9. Дифференциальная
проводимость туннельного кон-
контакта с Si:В, находящимся в со-
состоянии изолятора из-за ма-
малого количества носителей [8].
Полную серию кривых см.
в Приложении Б на рис. 5
Рис. 3.10. Дифференциальная про-
проводимость туннельного контакта
с ультратонкой высокоомной плен-
пленкой Be при Т = 0,7 К [9]. Полную
серию кривых см. в Приложении Б
на рис. 6
Вместе с тем на теоретическом уровне с самого начала остава-
оставалось некоторое чувство неудовлетворенности. Рассуждения C.20)—
C.22) эквивалентны учету только парного межэлектронного взаи-
взаимодействия, поскольку при перемещении электрона с центра г на
центр j расположение остальных электронов предполагалось неизмен-
неизменным. Между тем это перемещение могло бы стимулировать цепоч-
цепочку перемещений других электронов. Тогда следовало бы сравнивать
между собой энергии конфигураций, отличающихся числами запол-
заполнений не двух, а большего количества центров. Это должно было бы
существенно повлиять на электронный спектр. Поэтому решающее
слово в вопросе о форме кулоновской щели за экспериментом. Мы
вернемся к этому вопросу в следующей главе.
Список литературы
1. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных по-
полупроводников. — Наука, 1979.
2. Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. — ИЛ, 1956.
3. Griiner G. Density Waves. — Perseus Books, 2000.
4. Шкловский Б. И., Шлимак И. С. // ФТП 6, 129 A972).
5. Fritzsche Н. // J. Phys. Chem. Sol. 6, 69 A958).
6. Mott N.F., Twose W.D. // Adv. Phys. 10, 707 A963) и УФН 79, 691 A963)
по данным Н. Fritzsche и М. Guevas
7. Efros A.L., Lien N. V., Shklovskii B.I. // J. Phys. С 12, 1023 A979).
8. Massey J. G., Lee M. // Phys. Rev. Lett. 77, 3399 A996).
9. Butko V. Yu., DiTusa J.F., Adams P. W. // Phys. Rev. Lett. 84, 1543 B000).
Глава 4
ПРЫЖКОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ х)
4.1. Локализованные состояния
и переходы между ними
В этой главе мы будем говорить только о локализованных со-
состояниях. Определим их как состояния, волновые функции которых
сосредоточены в основном в ограниченной области пространства и
экспоненциально спадают с расстоянием вне этой области:
Ф ~^ f{r)e~r^ ПРИ г ^ оо.
Коэффициент ? в показателе экспоненты называется радиусом ло-
локализации или локализационной длиной. Например, в центрально-
симметричной трехмерной потенциальной яме
!0, г > а,
волновые функции на бесконечности убывают как
D.1)
где Е — положение уровня, отсчитанное от верхнего края ямы.
Волновые функции электрона на уровнях одномерной прямоуголь-
прямоугольной ямы затухают по закону
^(ж)осехр(-ж/О, D-2)
т.е. f(x) = const. Радиус локализации определяется тем же выраже-
выражением D.1), что и в трехмерном случае. В частности, в мелкой яме
шириной aw и глубиной Щ <С Й2/(ша^), в которой имеется всего один
уровень, волновая функция затухает на длине ? = h2/(mawUo).
Обратите внимание в последнем примере на различие между
размером ямы aw и длиной ?, на которой затухает волновая
функция электрона.
г) Несколько иное изложение тех же вопросов можно найти в книге [1];
прыжковой проводимости посвящена также большая коллективная моно-
монография [2].
4.1] Локализованные состояния и переходы меэюду ними 65
Длина локализации в притягивающем кулоновском потенциале
U = — е2/г, создаваемом единичным зарядом е, называется боровским
радиусом а в = h2 /(те2). Уровни энергии Еп и асимптотика волновых
функций электрона в атоме водорода фп зависят от главного кванто-
квантового числа п и равны
Еп = Щ, Mr) -+ С{п)гп-1ещ>(-—\ при г -> оо D.3)
п \ пав)
где С{п) — это константа. Из выражения D.3) видно, что локали-
зационная длина электрона в атоме водорода зависит от главного
квантового числа, ^п = пав- В основном состоянии ?i = ав-
При описании примесных центров в твердых телах, в частности,
мелких доноров и акцепторов, о которых шла речь в предыдущей
главе, обычно используется модель водородоподобных центров с бо-
ровским радиусом
ав = ^_9 D.4)
т е
в выражение для которого дополнительно входит диэлектрическая
проницаемость я,ав знаменателе стоит вместо обычной эффективная
масса электрона га*.
При конечных температурах локализованные состояния вносят
вклад в процессы переноса. Перенос по локализованным состояниям
возникает в результате прыжков носителей с одного локализацион-
ного центра на другой и поэтому называется прыжковой проводи-
проводимостью. Важным постулатом всей концепции прыжковой проводи-
проводимости является предположение, что все центры практически имеют
различные энергии: два центра с одинаковой энергией находятся на
бесконечном расстоянии друг от друга. При описании прыжковой
проводимости будем исходить из модели примесной зоны при слабом
легировании, считая, что примесные центры имеют координаты Т{.
Пусть концентрация примесей N мала, так что Na^ < 1 и вол-
волновые функции электронов локализованы. Но благодаря экспоненци-
экспоненциальным хвостам волновых функций перекрытие соседних примесных
центров все же имеется, и в меру этого перекрытия существует ко-
конечная вероятность перехода (прыжка) электрона с одного центра на
другой:
— ос F((Aw, Л, fj) J \Mq\2 S(hqs - Ai:i) d3q oc
D.5)
(s здесь скорость звука). Множитель ехр (iqr) под интегралом в
D.5) — это волновая функция фонона, а дельта-функция обеспечивает
выполнение закона сохранения энергии и отбирает фононы, которые
нужно испустить или поглотить, чтобы компенсировать разницу энер-
энергий начального и конечного состояний А^- = е^ — ?j. В первом при-
5 В. Ф. Гантмахер
66 Прыжковая проводимость [Гл. 4
ближении квадрат интеграла сводится к множителю ехр (—2г^/в)
Функция F аккумулирует в себе все статистические факторы, которые
обуславливают переход: согласно принципу Паули переход возможен
только на свободный уровень ?j, поглотить фонон можно только,
если он имеется в системе, и т. д. Аргументами функции F являются
фермиевская
ехр Т^ + 1
и бозевская ,
функции распределения. В результате преобразований и пренебреже-
пренебрежения второстепенными членами функция F обычно сводится к мно-
множителю exp(—6ij/T), где е^ — некоторая характерная энергия (не
обязательно равная Д^/ = S{ — Sj). Этот множитель можно написать,
исходя из физических соображений.
Таким образом, вероятность переходов 1/т^ между центрами г и j
пропорциональна произведению двух экспонент. Соединим каждую
пару примесных центров воображаемым сопротивлением Иц, обратно
пропорциональным вероятности переходов:
Получается сетка случайных сопротивлений, моделирующая изоля-
изолятор. Она называется сеткой Абрахамса-Миллера. В равновесии элек-
электронные переходы между узлами сетки происходят с одинаковой ве-
вероятностью в обе стороны (принцип детального равновесия). Во внеш-
внешнем электрическом поле появляется направленный поток электронов,
т. е. конечная проводимость. Чтобы ее вычислить, нужно решить за-
задачу о проводимости такой сетки.
На первый взгляд сетка Абрахамса-Миллера выглядит устрашаю-
устрашающе, поскольку формально изначально каждый узел соединен со всеми
остальными. Однако сопротивления между узлами, далеко располо-
расположенными друг от друга, экспоненциально велики; их можно без ущер-
ущерба выкинуть, поскольку они заведомо зашунтированы существенно
меньшими сопротивлениями. На этом основан общий принцип ре-
решения задачи. Из сетки последовательно убираются самые большие
сопротивления до тех пор, пока сохраняется ее односвязность. Со-
Сопротивление сетки зависит от того, какие самые большие сопротив-
сопротивления пришлось оставить для сохранения связности. Это типичная
задача теории протекания. Поэтому для понимания материала этой
главы нужно ознакомиться с Приложением А (см., в частности, пара-
параграф А.4). Ниже мы будем обсуждать разные варианты прыжковой
проводимости. В каждом варианте выделяется система существенных
узлов, вычисляются значения Иц и решается соответствующая пер-
коляционная задача.
d =
d =
d =
1 :
2 :
3 :
p = R/a,
p = R,
p = Ra.
4.2] Прыэюки на блиэюайшие центры 67
Заметьте. Удельное сопротивление р регулярной ортогональной
сетки с размером ячейки а и сопротивлением связи R зависит от
размерности сетки d:
D.7)
Эти же соотношения справедливы и для произвольной сетки, но
под а и R подразумеваются средние величины.
4.2. Прыжки на ближайшие центры
Наиболее простой вид прыжковой проводимости реализуется при
переходах между ближайшими соседними центрами. Плотность со-
состояний в примесной зоне доноров при малой компенсации имеет вид
кривой с максимумом при энергии порядка энергии ионизации изоли-
изолированного донора Ejj. Наиболее вероятно, что исходный и конечный
пункты прыжка, если они ближайшие соседи, имеют энергии вблизи
максимума плотности состояний. Для того чтобы прыжок реализо-
реализовался, конечный пункт должен быть свободен. Вероятность такого
события зависит от расстояния до ферми-уровня /i и пропорциональна
exp [—^-f—-) , D-8)
и это самый малый множитель, входящий в функцию F в уравне-
уравнении D.5). Множитель ехр (—А^/Т), определяющий количество участ-
участвующих в переходах фононов, гораздо больше, поскольку А^- <С
<С |/i — E]j\. Поэтому величина Uij, входящая в выражение D.6), для
всех прыжков определяется расстоянием от максимума плотности
состояний до ферми-уровня: Ец = \ц — E]j\-
Заметьте. Это как раз тот самый случай, когда е^ ф А^-.
Поскольку фактор D.8) входит во все щ^ он не вносит вклада
в разброс Rij и может быть «вынесен за скобки», т. е. не учитываться
при анализе свойств сетки:
2г- ¦
Rij = Ro exp —^~
ав
(чем ближе друг к другу расположены узлы, тем меньше сопротивле-
сопротивление между ними в модельной сетке).
Задача свелась к определению перколяционного радиуса гс в си-
системе случайно расположенных узлов, имеющих концентрацию N. Из
теории перколяции известно (см. формулу (А. 10) в Приложении А),
что .
Ц-г1Ы = Вс = 2,7, D.9)
Прыжковая проводимость
[Гл. 4
откуда
= 0,865ЛГ1/3 и р =
1,73
ав
D.10)
300 10
1,25
10
Обратимся теперь к эксперименту. На рис. 4.1 приведены темпера-
температурные зависимости сопротивления германия при различной концен-
концентрации примесей. У этого эксперимента две особенности. Во-первых
огромные диапазоны изменения из-
измеренных сопротивлений A2 по-
порядков!) и концентраций приме-
примесей (больше 3-х порядков). Во-
вторых, замечательный способ вве-
введения примесей, обеспечивающий
отсутствие корреляций в их рас-
расположении и строгое поддержание
коэффициента компенсации. Чи-
Чистый Ge облучается в реакторе
потоком нейтронов. В результате
ядерных реакций с нейтронами из
ядер одних изотопов Ge получа-
получаются ядра Ga, т. е. мелкие акцеп-
акцепторы, а из ядер других — ядра
As, т. е. мелкие доноры. Отношение
количеств тех и других определя-
определяется сечениями соответствующих
ядерных реакций и относительны-
относительными концентрациями изотопов в об-
облучаемом материале. При облуче-
облучении природного германия получа-
получается p-Ge с коэффициентом ком-
компенсации К = Na/Nd = 0,4. А са-
сами концентрации Na и Nd и кон-
о зависят только от времени сблу-
сблужу
Рис. 4.1. График сопротивления
образцов p-Ge с различной кон-
концентрацией примесей [3]
= NA-
центрация носителей п
чения.
Для описания совокупности полученных кривых предполагается
существование двух параллельных проводящих каналов с экспонен-
экспоненциальными температурными множителями в каждом:
а = аь + cfh = сгьоехр ( — 777) + 07lOexp I— -ф) ; sb > eh. D.11)
Канал аь — это обычная зонная проводимость в полупроводниках
с мелкими примесями, которая обусловлена тепловым забросом элек-
электронов с примесных уровней в зону проводимости и их делокализа-
цией. Этот канал доминирует при более высоких температурах, когда
сопротивление выходит на общую предельную прямую в левой части
графика на рис. 4.1. Экспоненциальный рост сопротивления вдоль
прямой
°\ D.12)
4.2]
Прыэюки на блиэюайшие центры
69
(еъ это приблизительно энергия ионизации примеси) связан с вымер-
вымерзанием носителей в зоне проводимости при низких температурах. Рост
прекращается, когда основным становится другой механизм проводи-
проводимости — прыжки электронов с одной примеси на другую без участия
зоны делокализованных состояний. Температура кроссовера от одного
механизма проводимости к другому, когда каналы аь и а^ сравни-
сравниваются, тем выше, чем больше концентрация N основных примесей
(в примере на рис. 4.1 — это Na)-
В первую очередь обращает на себя внимание сильная зависимость
величины cjho от концентрации примесей. Экстраполируя к Т = оо,
получаем табл. 4.1.
Таблица 4.1
10~15N (см-3)
G/гО (О • СМ)
0,15
ю-8
1,5
ю-6
3,5
ю-4
35
ю-1
Это означает, что dho имеет внутри себя еще один экспоненци-
экспоненциальный множитель, так что экспериментальные данные описываются
формулой
/лу-|\ / &h \ ^ / г/ т\т\\ I h \ /л -| о\
Сравнивая выражение D.13) с зависимостями D.8) и D.10), получим
ah(T) =
1,73
ав
ехр
\H-Ep\\
т
D.14)
Следующая из выражения D.14) функциональная зависимость
lnp ос TV/3 иллюстрируется двумя экспериментальными графика-
графиками — см. рис. 4.2. Из наклона экспериментальных прямых на этих
10"
10
А7--1/з 1А-б
NA , 10 см
NA , 10 см
Рис. 4.2. Сопротивление в зависимости от среднего расстояния между ак-
акцепторами А^1/3; Ge:Ga — из [3]; Si:B — из [4]
графиках получается численный коэффициент в показателе первой
экспоненты в выражении D.14). Значения этого коэффициента из
70
Прыжковая проводимость
[Гл. 4
двух экспериментов рис. 4.2 вместе с другими аналогичными данными
собраны в табл. 4.2.
Таблица 4.2
n-GaAs
1,7
1,88
1,9
n-InP
1,9
p-Ge
1,9
1,75
2,0
p-Si
1,8
Хотя в таблице собраны числа для разных материалов, они все
близки к числу 1,73, фигурирующему в уравнении D.10) и следующе-
следующему из теории перколяции.
Самое важное в температурной зависимости на рис. 4.1 то, что
эксперимент подтверждает функциональную зависимость 1п(р/ро) ос
ос 1/Т: экспериментальные зависимости в правой части графиков на
рис. 4.1 — это прямые линии.
4.3. Прыжки с переменной длиной прыжка
Закон Мотта. Условие реализации проводимости путем прыж-
прыжков на ближайшие центры состоит в том, что должно быть много
таких пар близких соседей, в которых один центр свободен. Если
понизить температуру, сделав
Т <С/i — Ed, D.15)
то среди ближайших соседей, большинство которых имеют энер-
энергию Ed, окажется слишком мало свободных мест, и прыжки на бли-
ближайшие центры прекратятся. Тогда должны стать существенными
прыжки между центрами, имеющими энергии в некоторой г-окрестно-
сти ферми-уровня, где заведомо есть свободные места. Вопрос в том,
сколь близко окажутся такие центры друг к другу.
Рассмотрим окрестность ферми-уровня \± ± е и будем считать
плотность состояний в ней константой: д = д^. Тогда число состояний
в этой окрестности N(e) = д^е, среднее расстояние между ними Гц «
~ \1Я(е)\~х1ъ, а разность энергий порядка г. Теперь основной стати-
статистический фактор F в уравнении D.5) определяется вероятностью
наличия фононов cpij, которые необходимы для выполнения закона
сохранения энергии. Поскольку энергия требуемого фонона А^- ~ г,
основной множитель в F порядка ехр (—г/Т).
Оставим в случайной сетке Абрахамса-Миллера лишь те узлы,
энергия которых попадает в интервал \± ± е. Плотность узлов N(e) и
среднее расстояние г^ между ними в получившейся подсетке зависят
от пока не определенной величины г. Соседи в этой подсетке соеди-
4.3] Прыэюки с переменной длиной прыэюка 71
нены сопротивлениями D.6), в которых величина иц равна
2 г 2 г
U%3 ~ aB[N(s)}1/3 Г~рузаве1/з т'
Определим е из условия, чтобы величина Uij была минимальна:
d ' - ^3/4
Ги
> Т.
Среднее изменение энергии при прыжках внутри так определенной
подсетки ?min « (Т3ТмI^4, а средняя длина прыжка
т) ¦ DЛ8)
Вероятность прыжка на меньшее расстояние уменьшается за счет
множителя ехр(—А^/Т), а на большее — за счет множителя
ехр(—2гц/ав)- То, что средняя длина прыжка г зависит от Т,
оправдывает название этого типа проводимости.
Средняя длина прыжка г является радиусом взаимодействия
(АЛО) с точки зрения перколяционной теории. Нетрудно проверить,
что она больше, чем среднее расстояние между узлами в подсетке:
/Гм\1/12^-
гц = ав — «г.
Хотя сама подсетка меняется с температурой, ее узлы, вероятности
прыжков между которыми конечны,
и
образуют бесконечный кластер при любой температуре. Сопротивле-
Сопротивление подсетки равно
(^J . D.19)
Величина ро зависит от температуры степенным образом, но обычно
этой зависимостью пренебрегают.
Степень 1/4 в показателе экспоненты D.19) получается только
в трехмерном изоляторе. Для тонкой пленки
Т
<717V
№)]
\ 2/3
- =с
в /
+ т,
D.20)
D.21)
72 Прыжковая проводимость [Гл. 4
и вместо D.18) и D.19) получается
1/3. D.23)
Используя обозначение d для размерности системы, формулы D.19)
и D.23) можно объединить в одну:
D.24)
Закон Эфроса-Шкловского. При выводе закона Мотта плот-
плотность состояний д(е) вблизи ферми-уровня предполагалась постоян-
постоянной. Но это не так при наличии кулоновской щели, когда
\s\d-\ g@)= 0 D.25)
(d — это размерность пространства, энергия г отсчитывается от фер-
ферми-уровня — см. формулы C.22) и C.23) в гл. 3). Как и при выво-
выводе закона Мотта, введем симметричную относительно /i окрестность
ферми-уровня /i ± г. Число состояний в этой окрестности теперь за-
зависит от размерности d и равно
Зато среднее расстояние Tij между центрами, принадлежащими этой
окрестности, от размерности не зависит:
Теперь можно повторить все рассуждения предыдущего раздела.
Показатель экспоненты для величины сопротивления в подсетке
Абрахамса-Миллера с разбросом энергий е,
2 , е 2е2 , е
имеет минимум при
D.27)
и, независимо от размерности, средняя длина прыжка
4.4] Экспериментальные наблюдения прыэюковой проводимости
73
а сопротивление меняется по закону
р = ро ехр
Т )
D.29)
Формулы D.26)-D.29) заменяют формулы D.16)—D.19) для трехмер-
трехмерной среды и формулы D.20)-D.23) для двумерной.
Заметьте. Имеющая размерность энергии величина Tes не яв-
является шириной кулоновской щели 5е. Оценку для величины 5е
можно получить, приравняв величину D.25) к плотности состоя-
состояний на ферми-уровне g(/i), вычисленной без учета щели.
4.4. Экспериментальные наблюдения
прыжковой проводимости
Таким образом теория предлагает несколько вариантов прыжко-
прыжковой проводимости. Задача эксперимента установить, где, когда и по-
почему реализуется тот или иной вариант. Следует иметь в виду, что ва-
вариант прыжковой проводимости, реализующийся в конкретных усло-
условиях, зависит не только от соотношения параметров вещества, но
и от температуры. На рис. 4.3 представлена естественная цепочка
Tj Термическая делокализация
носителей
ехр (-EJT)
Т т Прыжки на ближайшие центры
ехр[-(ц-?0)/1)]
8е т j, Прыжки с переменной длиной,
J закон Мотта (Т>Бе)
\Т
exp[-GV7)'
Прыжки с переменной длиной,
закон Эфроса-Шкловского (Т < 8е)
ехр[-(ГЕ8/7)]
Рис. 4.3. Изменение механизма прыжковой проводимости по мере умень-
уменьшения температуры. При каждой температуре показаны особенности в
плотности состояний в соответствующем масштабе.
сменяющих друг друга с температурой механизмов проводимости. Эта
цепочка построена в предположении, что ферми-уровень находится
74 Прыжковая проводимость [Гл. 4
в примесной зоне локализованных состояний слабо легированного по-
полупроводника. Каждый следующий более низкий уровень в цепочке
соответствует более низкой температуре Т, но на рис. 4.3 понижение Т
каждый раз компенсируется увеличением масштаба, так что интервал
энергий, равный Т, остается неизменным.
Переход от зонной проводимости термически возбужденных носи-
носителей к прыжковой с прыжками на ближайшие примесные центры
очень хорошо виден на примере p-Ge на рис. 4.1: это излом между
прямой lnp ос A/Т) в левой части графика, общей для всех концен-
концентраций ТУд, и прямыми, подходящими к ней справа, из области более
низких температур. Другие варианты смены доминирующего типа
прыжковой проводимости тоже неоднократно наблюдались, но они
не столь наглядны. Это связано со спецификой экспериментально-
экспериментального определения степени температуры в показателе экспоненты. При
построении экспериментального графика в координатах (Т/^, lnp),
где v = 1, 2, 3 или 4, получается прямая, если степень v подобрана
правильно, и изогнутая линия в противном случае. Для того чтобы
выяснить с достаточной точностью, укладывается ли получившая-
получившаяся зависимость на прямую при той или иной степени Т, отложен-
отложенной вдоль оси абсцисс, нужен достаточно большой интервал измене-
изменения функции. Это иллюстрируют графики температурных зависимо-
зависимостей сопротивления n-InP. Отличить прыжки на ближайшие центры
{у = 1) от прыжков с переменной длиной {у ф 1) довольно просто.
Проводимость при прыжках на ближайшие центры в координатах
рис. 4.4, а должна изображаться прямой линией; пунктирная кривая
на этом рисунке соответствует закону Мотта. Экспериментальные
точки существенно ближе к кривой, чем к прямой. Различить ва-
варианты прыжков с переменной длиной труднее. В том же n-InP на
рис. 4.4, б для того чтобы отличить v = 1/2 от v = 1/4, потребовался
интервал изменения р в 5 порядков и скурпулезный учет предэкспо-
ненциальных множителей.
Наиболее часто используемый и естественный диапазон темпера-
температур в экспериментах по прыжковой проводимости это 4 — 0,04 К.
То, какой именно механизм реализуется в этом диапазоне, зависит
от конкретных параметров конкретного материала. Как видно из
рис. 4.5, в GaAs в этом диапазоне температур lnp следует закону
Т/2 без каких-то бы то ни было отклонений. Следовательно, в этом
материале имеется кулоновская щель шириной порядка нескольких
градусов. В отличие от этого на Si:As (рис. 4.6) сопротивление при
некоторых концентрациях следует закону Т/4 от примерно 10 К по
крайней мере до 0,5 К. Это означает, что в Si:As кулоновская щель
имеет ширину, заведомо меньшую, чем 0,5 К, либо щели в спектре нет
вовсе.
Все материалы, обсуждавшиеся до сих пор в этой главе, это клас-
классические полупроводники с мелкими донорами или акцепторами. Все
эти материалы естественным образом становятся изоляторами при
понижении температуры. Чтобы не возникло впечатления, что прыж-
4.4] Экспериментальные наблюдения прыэюковой проводимости
75
10
0,4 0,8 1,2 1,6
0,8 1,0 1,2 1,4 1
, к/4
Рис. 4.4. Выяснение функциональной зависимости сопротивления n-InP от
температуры путем построений в разных осях [5]. Штрихпунктирная пря-
прямая на рис. а показывает, как были бы расположены экспериментальные
точки, если бы прыжки происходили между ближайшими соседями. Пунк-
Пунктирная линия соответствует температурным изменениям сопротивления
при прыжковой проводимости по закону Мотта. На рис. б учтена темпера-
температурная зависимость предэкспоненциального фактора
0,04
100
У0^
40 16
Г, К
1
0,5
0,1
1
Si:
As
Г1А1К ™31
л[10 см ] =
Iff i
п.* i j
%
".-
. Ч
#6,98
*•*"• Г.
ч
8,48 :
7..Г8'41
7,90 :
*•» ".
7,79 '
7,57
7,39
,30
0,4 0,6
0,8
,-1/4 ту
1,0 1,2
Рис. 4.5. График сопротивле-
сопротивления образцов GaAs с различной
концентрацией примесей в осях
V [6]
Рис. 4.6. График проводимо-
проводимости образцов Si:As с различной
концентрацией примесей в осях
76
Прыжковая проводимость
[Гл. 4
ковая проводимость — специфическое свойство этого весьма ограни-
ограниченного класса веществ, приведем пример прыжковой проводимости
в изоляторе совершенно другой природы — в пленке металлического
вещества, столь тонкой, что проводимость в ней блокируется поверх-
поверхностным рассеянием. Туннельные эксперименты на такой ультратон-
ультратонкой пленке Be, выполненные при температурах 1 -=- 0,5 К, демон-
демонстрируют существование кулоновской щели (см. рис. 3.10 и рис. Б.5).
Рис. 4.7 показывает, что эта пленка является изолятором и транспорт
в ней осуществляется путем прыжковой проводимости. Как и долж-
должно быть при кулоновской щели, сопротивление меняется по закону
4 1
Т, К
0,04
Таким образом экспериментально были обнаружены все описывае-
описываемые теорией виды прыжковой проводимости. Тем не менее ряд фунда-
фундаментальных вопросов пока остаются без экспериментальных ответов.
Во-первых остается неясным,
всегда ли возникает кулонов-
ская щель, или возможен изо-
изолятор с конечной плотностью
состояний на ферми-уровне. То
обстоятельство, что в экспери-
экспериментах на n-InP (рис. 4.4) и на
Si:As (рис. 4.6) проводимость
изменяется по закону Мотта,
строго говоря, еще не означа-
означает, что кулоновская щель в этих
материалах вообще отсутствует.
Установлена лишь верхняя гра-
граница 0,3-1-0,5 К возможной об-
области существования кулонов-
кулоновской щели.
В принципе существование
изолятора с локализованными
состояниями на ферми-уровне
и без кулоновской щели возможно. Как мы видели, для того что-
чтобы образовалась щель, электроны должны иметь «пространство для
маневра»: число вариантов распределения электронов по центрам
должно быть достаточно велико. Этого может не быть из-за каких-
то специфических особенностей структуры сети дефектов того или
иного материала. Но экспериментальное изучение этого вопроса тре-
требует измерений при более низких температурах. Вместе с тем при
расширении диапазона измерений в сторону низких температур из-за
малости проводимости возникают затруднения с надежным ее изме-
измерением.
В трудность низкотемпературных измерений упирается изучение и
второго фундаментального вопроса: с какой точностью выполняются
в эксперименте уравнения C.22) и C.23) и подтверждается, что щель
является мягкой. Согласно теоретическим оценкам, из-за кулоновско-
го взаимодействия между несколькими частицами щель должна была
Рис. 4.7. Температурная зависимость
сопротивления ультратонкой пленки
Be [8]
4.4] Экспериментальные наблюдения прыэюковой проводимости
11
бы стать жесткой. Отсюда вытекает естественная экспериментальная
задача: сделать еще один шаг вниз на схеме на рис. 4.3 и при более низ-
низких температурах постараться определить структуру функции д{е)
на расстояниях от ферми-уровня, существенно меньших, чем средняя
ширина щели.
Следует иметь в виду еще одну возможность. Схема, изобра-
изображенная на рис. 4.3, предполагает, что плотность состояний д(е) не
зависит от температуры и что смена механизмов проводимости
обусловлена величиной энергии, которая может быть передана
в термостат. Однако возможно, что д(е) зависит от температуры
и что мягкая щель превращается в жесткую при понижении тем-
температуры.
Все эти проблемы и трудности хорошо видны на примере изучения
Si:B. График на рис. 4.8 с данными по сопротивлению Si:B в интервале
температур от 4 К до 0,1 К иллюстрирует кроссовер от 1/4 к 1/2.
Отклонение точек от прямой в нижней левой части основного графика
с Т/2 на оси абсцисс показывает, что при температурах Т > 4 К
закон 1/2 не работает. Но эта часть кривой спрямляется на вставке,
построенная как функция от Т/4. Следовательно, выше 1К рабо-
работает закон Мотта, а ниже — закон Эфроса-Шкловского. Это согла-
согласуется с измерениями электронного спектра при помощи туннельного
контакта, обнаружившими при 1,15 К кулоновскую щель в Si:B (см.
рис. 3.9 в гл. 3 и рис. Б.5 в Приложении Б).
т, к
4 1 0,25
0,2
Т, К
0,05
ОД
10"
о ю"
ioJ
0,1
Рис. 4.8. Графики сопротивления об-
образца Si:B в осях (T~1//2,logp)
0,6
. т
i
0,7
-1/4
I
1
0,8
к™1/4
/
0,9
A
f
1 '
G
Q.
Air
/
Si:
1 :
^ ;
В 1
0,6 0,8 1,0
' г''4, к/4
12 16
, 1/к
20
Рис. 4.9. Кроссовер в температур-
температурной зависимости сопротивления об-
образца Si:B от закона Мотта 1/4 к за-
закону Аррениуса 1/Т. Минимальная
температура ниж:е, чем на предыду-
предыдущем рисунке [10]
78
Прыжковая проводимость
[Гл. 4
Однако экспериментальное наблюдение переходов с одного меха-
механизма на другой всегда страдает из-за того, что температурные интер-
интервалы при наличии кроссоверов недостаточно широки. Хотя самые низ-
низкотемпературные точки на основном графике на рис. 4.8 отклоняются
от прямой в осях (Т/2, lnp), эти отклонения остаются в пределах
ошибок. Однако, расширение интервала измерений в сторону низких
температур (рис. 4.9) уточняет сделанные выводы. Закон Мотта при
Т > 1 К действительно выполняется. Однако при более низких тем-
температурах сопротивление Si:B ведет себя по-разному без магнитного
поля и в сравнительно небольшом поле. В нулевом магнитном поле
кроссовер происходит от 1/4 не к 1/2, а к 1, т.е. сопротивление при
самых низких температурах следует закону Аррениуса р ~ ехр (То/Т)
(рис. 4.9). Это означает, что кулоновская щель вблизи ферми-уров-
ня из мягкой становится при более низких температурах жесткой:
плотность состояний д(е) обращается в нуль не только в одной точке
на ферми-уровне, но в некотором интервале То энергий вокруг него;
1 0,4
Т, К
0,04
10
Рис. 4.10. Изменение функциональной зависимости сопротивления Si:В от
температуры при наложении магнитного поля [10]
из графика следует, что То ~ 0,37 К (согласно туннельным измере-
измерениям, которые только что упоминались, ширина всей щели порядка
10К).
Любопытно, что в магнитном поле щель остается мягкой: как
видно из рис. 4.10, при Н > 2 Тл точки ложатся на прямые вплоть до
самых низких температур.
Неясно, стала ли щель жесткой из-за кулоновского или из-за
какого-то иного взаимодействия. Зависимость от поля дает основания
полагать, что щель становится жесткой из-за спиновых корреляций;
мы не будем обсуждать здесь этот вопрос.
4.4] Экспериментальные наблюдения прыэюковой проводимости 79
Список литературы
1. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных по-
полупроводников. — Наука, 1979.
2. Hopping transport in solids (eds. M. Pollak, B. Shklovskii). — North-Holland,
1991.
3. Fritzsche H., Guevas M. // Phys. Rev. 119, 1238 A960).
4. Ray R., Fan H. // Phys. Rev. 121, 768 A961).
5. Mansfield R., Abboudy ?., Foozoni F. // Philos. Mag. В 57, 777 A988).
6. Rentzsch R., Friedland K. J., Ionov A.N. et al. // Phys. Stat. Sol. b 137, 691
A986).
7. Shafarman W.N., Koon D.W., Castner T.G. // Phys. Rev. В 40, 1216
A989).
8. Butko V. Yu., DiTusa J.F., Adams P. W. // Phys. Rev. Lett. 84, 1543 B000).
9. Massey J. G., Lee M. // Phys. Rev. Lett. 75, 4266 A995).
10. Dai P., Zhang Y, Sarachik M.P. // Phys. Rev. Lett. 69, 1804 A992).
Глава 5
ПЕРЕХОДЫ МЕТАЛЛ-ИЗОЛЯТОР х)
Фундаментальное различие между изолятором и металлом в том,
что в изоляторе электронные состояния на ферми-уровне локализо-
локализованы, а в металле — делокализованы. Если последовательным из-
изменением какого-то параметра перевести изолятор в металлическое
состояние, то произойдет изменение симметрии волновых функций.
Металл от изолятора отличается этой симметрией. Определив поня-
понятия металл и изолятор через волновые функции электронов, нужно
сразу же отметить, что основное физическое свойство, принципиально
различное в материалах этих двух типов, это величина проводимости,
т. е. возможность проводить ток во сколь угодно слабом электриче-
электрическом поле. Это признак типа «да — нет»: либо проводимость а = О,
либо сколь угодно мала, но отлична от нуля. Однако при конечной
температуре Т ф О изолятор тоже проводит ток путем прыжковой
проводимости. Поэтому сформулированное определение изолятора от-
относится только к температуре Т = 0. Чтобы ответить на вопрос, яв-
является исследуемый материал металлом или изолятором, необходимо
экстраполировать экспериментальную зависимость сг(Т) к Т = 0, хотя
эта процедура громоздкая, неудобная, а часто и неоднозначная.
Заметьте. Многие годы считалось, что металлы и изоляторы
можно различать по знаку производной при низких температу-
температурах, где у металлов, мол, производная да/дТ ^ 0, а у изоляторов
да/дТ > 0. Изучение квантовых поправок к проводимости пока-
показало, что да/дТ > 0 может быть и у металлов, так что знак да/дТ
не может быть критерием различия.
Поскольку наличие проводимости различает металл и изолятор
только при Т = 0, и под волновыми функциями, симметрия которых
сравнивается, подразумеваются функции основного состояния, по-
постольку само понятие перехода металл-изолятор имеет смысл только
при Т = 0. Известны два главных фактора, влияющие на волновые
функции основного состояния, изменение которых может вызвать
переход: степень беспорядка и электрон-электронное взаимодействие.
Переход в системе невзаимодействующих электронов называется пе-
переходом Андерсона. Переход, обусловленный межэлектронным вза-
взаимодействием, называется переходом Мотта. Обычно одновременно
меняются оба фактора — тогда целесообразно говорить о переходе Ан-
г) Обсуждение тех же вопросов, но в несколько ином стиле можно найти
в книге [1] и в обзорах [2, 3].
5.1] Переход Андерсона 81
дерсона-Мотта. Реальным управляющим параметром, который влия-
влияет на один или на оба ведущих фактора, может быть концентрация
примесей, давление, магнитное поле и т. д. Обозначим значение управ-
управляющего параметра через х. На фазовой плоскости (ж, Т) переход
изображается изолированной точкой на оси Т = 0.
Очень важно. Здесь и дальше имеются в виду только чисто
электронные фазовые переходы. Вместе с тем существуют также
структурные переходы, сопровождающиеся изменением состоя-
состояния атомной системы. Эти переходы мы рассматривать не бу-
будем. Заметим лишь, что уменьшение электронной энергии очень
часто является основной причиной структурного фазового пере-
перехода. Таким является, например, переход Пайерлса. В модели,
обсуждавшейся в гл. 3, переход в состояние изолятора происхо-
происходит при конечной температуре, когда уменьшающийся с ростом
температуры выигрыш электронной энергии от появления нового
периода сравнивается с проигрышем упругой энергии, вызванным
смещением ионов.
Структурные переходы очень разнообразны. Состояние электрон-
электронной подсистемы по обе стороны такого перехода обычно оценивается
на основании зонной теории, исходя из положения ферми-уровня от-
относительно энергетических зон. Например, при температуре Т = 18 °С
происходит переход белое олово — серое олово. Высокотемпературная
фаза, белое олово, это хороший металл, в котором ферми-уровень
пересекает несколько энергетических зон, образуя в них ферми-по-
верхности. В термодинамически стабильном при низких температурах
сером олове ферми-уровень находится в запрещенной зоне; поэтому
оно является изолятором. Мы будем называть такой изолятор зонным,
чтобы отличать его от андерсоновского изолятора, в котором в непо-
средственой окрестности ферми-у ровня есть электронные состояния,
но лишь с локализованными волновыми функциями.
Взяв за основу какой-либо зонный изолятор, например, Ge, или
Si, или то же серое олово, и вводя в него примеси, можно произвести
в нем электронный переход в металлическое состояние. При этом для
определения критической концентрации понадобятся низкотемпера-
низкотемпературные измерения.
Итак, под переходом металл-изолятор мы будем понимать только
электронные переходы. Наша задача — обсудить, как эти переходы
происходят при изменении степени беспорядка и электронной плотно-
плотности.
5.1. Переход Андерсона
Рассмотрим вслед за Андерсоном периодическую решетку прямо-
прямоугольных ям различной глубины с концентрацией N = a~d (здесь а —
это период решетки, a d — ее размерность; см. рис. 5.1). Пусть уровни
в ямах разбросаны в интервале значений энергии W и плотность
б В. Ф. Гантмахер
82
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
уровней в этом интервале постоянна. Выбрав точку отсчета энергии
г = 0 в середине интервала W, получим:
dN
fN/W
1 О при
>W/2.
E.1)
Заметьте. Здесь уровень е = О — это не ферми-уровень. Коли-
Количество электронов в системе зависит от внешних обстоятельств.
е
о
¦72
l
IW
dN/
/де
Рис. 5.1. Модель Андерсона: периодически расположенные ямы разной глу-
глубины
Благодаря хвостам волновых функций ехр (—г/ав) существует пе-
перекрытие волновых функций электронов, локализованных на сосед-
соседних ямах (ср. формулы D.1) и D.2) в начале гл. 4). Если расстояние
между соседними ямами г\2 > ав, то интеграл перекрытия
J =
г ос ехр
-— )
E.2)
мал и его малость определяется множителем ехр (—ri2/aB).
В принципе возможны два предельных случая. Каждый электрон
может сидеть в своей яме; так будет, например, если ямы хоть и раз-
разные, но все очень глубокие. С другой стороны, все электроны могут
быть де локализованы, так что каждому электрону доступна любая
яма. Например, если все ямы одинаковые или почти одинаковые, то
волновые функции электронов — это блоховские волны.
Утверждение Андерсона, сформулированное им для трехмерно-
трехмерного множества [d = 3) периодически расположенных ям, звучит так:
симметрия волновых функций основного состояния зависит от от-
относительной величины беспорядка. Параметром является отношение
энергий J/W. Для появления делокализованных состояний, т. е. для
реализации металлической проводимости, требуется выполнение усло-
ВИЯ 7 / 7 \
J > О) E.3)
W
W
При критическом значении отношения J/W де локализованные состо-
состояния появляются в центре зоны при г = 0, дальнейшее увеличение
5.11
Переход Андерсона
83
отношения J/W приводит к постепенному расширению слоя делока-
делокализованных состояний.
Смысл и роль отношения J/W можно пояснить при помощи про-
простейших задач квантовой механики. Конечное перекрытие двух ям
различной глубины с уровнями Ею и ?^о и волновыми функциями cpi
и (f2 приводит в первом порядке теории возмущений к малым поправ-
поправкам к волновым функциям
J
Ею — Е20
Поскольку С2 <С с\ ~ 1, каждый электрон остается в основном в своей
яме.
Если ямы одинаковые, «резонансные», Ею = ^20 = ^о? то от-
ответ принципиально другой: уровень Eq расщепится на Е\^ ~ Eq ± J
(рис. 5.2, б\ а волновые функции в обоих состояниях размажутся
равномерно по обеим ямам:
^1,2 = —j= \}fl i ?2)' E.5)
Различаются не только волновые функции E.4) и E.5), но и поряд-
порядки величин сдвигов уровней (рис. 5.2). Каждая из двух ям различной
—
2/
Е2
Рис. 5.2. Сдвиг уровней в двух прямоугольных ямах разной глубины (а)
и расщепление уровней в двух одинаковых ямах (б) при учете перекрытия
в первом порядке теории возмущений
глубины является возмущением для волновой функции электро-
электрона в другой яме. Поскольку невозмущенная волновая функция (р±
в окрестности ямы 2 имеет порядок ехр (—ri2/aB), сдвиг уровня Ею
порядка
А1Е = Е1 -Е10 ~ \
J
ос ехр -^^ , E.6)
ав
т. е. малый множитель ехр (—ri2/aB) из интеграла перекрытия входит
в А\Е в квадрате (рис. 5.2, а). Для резонансных ям (рис. 5.2, б)
АЕосехр ( -^
ав
т. е.
АЕ rsj J.
E.7)
84 Переходы металл-изолятор [ Гл. 5
Ямы ведут себя как резонансные, пока разность невозмущенных
энергий у них \Ею — ?^2о| < J• Следовательно J/W — это доля ре-
резонансных узлов. Тогда качественно критическое значение (J/W)CT[t
можно трактовать как перколяционный порог, при достижении кото-
которого в спектре появляются состояния с делокализованными волновы-
волновыми функциями.
Если значение параметра J/W меньше критического и волновые
функции на ферми-уровне локализованы, то вещество является изо-
изолятором. Такой изолятор называется андерсоновским. Он устроен
принципиально иначе, нежели зонный. В зонном изоляторе ферми-
уровень расположен в запрещенной зоне, где плотность состояний рав-
равна нулю, а проводимость обеспечивается за счет электронов, термиче-
термически заброшенных в зону проводимости, или за счет дырок, заброшен-
заброшенных в валентную зону. В андерсоновском изоляторе плотность состо-
состояний на ферми-уровне конечна. Уровень энергии, начиная с которого
состояния становятся делокализованными, находится на некотором
расстоянии от ферми-у ровня. Он называется край подвижности и иг-
играет роль дна зоны проводимости. Электроны или дырки, термически
заброшенные за край подвижности, участвуют в проводимости путем
диффузии, дырки или электроны ниже края подвижности участвуют
в прыжковой проводимости. Переход в металлическое состояние про-
происходит при совмещении ферми-у ровня и края подвижности. Этого
можно достичь, либо меняя параметр J/W, либо двигая ферми-уро-
вень.
Модель Андерсона исследована и для систем пониженной размер-
размерности. Как это обычно бывает при фазовых переходах, размерность
является чрезвычайно существенным параметром. Мы уже сталки-
сталкивались с этим в гл. 2 при описании слабой локализации. Критерий
понижения размерности там был очень мягкий, поскольку характер-
характерный размер объекта Ъ сравнивался в формуле B.8) со сравнительно
большой диффузионной длиной L^. Здесь речь идет о сильной лока-
локализации, и критерий гораздо более жесткий. Он связан со структурой
электронного спектра свободных электронов с волновыми функциями
ехр(гкг) при соответствующей геометрии области их существования
e = ^ + e±(i), г = 1,2,... E.8)
Здесь /су — волновой вектор в направлениях, где движение электронов
не ограничено, г± — размерно квантованная часть энергии, связанная
с движением в ограниченных направлениях, а г — номер размерно
квантованной подзоны. В пленке Щ = к2х + Щ, а вдоль нормали Oz
устанавливается стоячая волна, и энергия движения квантуется. В
проволоке /су — это волновой вектор вдоль ее оси, а ?±(г) определяется
квантованием в двух поперечных направлениях.
Система имеет пониженную размерность, если все электроны по-
помещаются в нижней размерно квантованной подзоне. Для вырожден-
5.2] Формула Ландауэра для одномерных (ID) систем 85
ной электронной системы критерий имеет вид
eF < As, As = e±(i = 2) - e±(i = 1) ос Ъ~2. E.9)
Свойства модели Андерсона в системах с пониженной размерно-
размерностью можно кратко сформулировать следующим образом. В одномер-
одномерной среде, d = 1, сколь угодно малый беспорядок приводит к лока-
локализации, а двумерный случай является пограничным с точки зрения
возможности появления делокализованных состояний.
5.2. Формула Ландауэра для одномерных (ID)
систем г)
Соединим два резервуара, к которым приложена разность потен-
потенциалов Vy идеальной проволокой длиной Л. «Идеальная» означает,
что в проволоке полностью отсутствует рассеяние, даже упругое. Тог-
Тогда всякий электрон, попадающий в проволоку с одной стороны, с
вероятностью единица выходит с другой. Пусть к тому же диаметр
проволоки столь мал, что в ее спектре E.8) под уровень Ферми eF
попадает ограниченное число v = 2NS размерно квантованных подзон
(их также называют каналами; в отсутствие магнитного поля при
каждом г ^ Ns имеется два канала с разными направлениями спинов):
e±(i)<eF при г = 1,2,... ,N8. E.10)
Если Ns = 1, то ID-систему называют одноканальной (с учетом спина
ее можно было бы также называть двухканальной), при Ns > 1 она
называется многоканальной. Ввиду идеальности проволоки каналы
внутри нее независимы и не обмениваются электронами. Плотность
электронов щ в канале г, продольная скорость электронов г^ и плот-
плотность состояний gt на уровне Ферми связаны соотношениями
1 [дг\ (дпЛ 1
Na E.11)
г=1
Наличие между резервуарами разности потенциалов V означает, что
из-за разности электронной плотности 5щ = gieV имеется разность
потоков электронов, попадающих в канал г справа и слева. В вы-
выражении для тока конкретные параметры канала, фигурирующие в
соотношениях E.11), сокращаются, так что ток в канале Ji не зависит
от индекса г и равен
Ji = evi5ni = -?-iiV. E.12)
г) Последовательное изложение теоретических аспектов этого вопроса
см. в [4].
86 Переходы металл-изолятор [ Гл. 5
Кондактанс у^ = J/V и сопротивление g^ = 1/yid такой проволоки
v
определяются полным током J = J2 Ji и равны
1
е2 2тгН 1 ,к 1Qv
Индекс в обозначениях подчеркивает, что формула E.13) относится к
идеальной проволоке.
Результат E.13) замечателен в нескольких отношениях. Во-
первых, оказалось, что в ID-системе, даже в многоканальной,
диссипация имеется даже в отсутствие рассеяния. Это проявление
принципа не локальности. Электроны забирают энергию от поля,
когда они находятся внутри проволоки, а отдают ее совсем в другом
месте, когда термализуются в резервуаре. Во-вторых, как это ни
удивительно, сопротивление проволоки д^ не зависит от ее длины и
определяется только квантованием электронного спектра.
Казалось бы, утверждение, что сопротивление проволоки не зави-
зависит от ее длины, противоречит простому рассуждению: разделим
мысленно идеальную проволоку на две части, которые при этом
окажутся включенными последовательно; если у каждой части
сопротивление д^, то полное сопротивление должно было бы
быть 2д\(\. Но просто разделить проволоку на две части недо-
недостаточно; для того чтобы обе части превратились в независимые
сопротивления, между ними нужно вставить дополнительный
резервуар-термостат, который бы сделал проходящие через него
электронные волны некогерентными. Если температура проволо-
проволоки отлична от абсолютного нуля, Т ф О, так что существует ко-
конечная длина Lp < оо, на которой происходит сбой фазы, то такие
термостаты как бы появляются автоматически на расстоянии L^
друг от друга.
Таким образом температура накладывает на длину идеальной про-
проволоки ограничение сверху, А < L^. Ограничением снизу является ее
диаметр, т.е. проволока может быть очень короткой. Это дает воз-
возможность проверить формулу E.13) экспериментально, потому что на
коротком участке сравнительно проще добиться отсутствия дефектов.
На рис. 5.3 приведены результаты измерений проводимости узко-
узкого канала под расщепленным затвором, соединяющего две области
2Б-электронного газа в гетероструктуре GaAs/AlxGai_xAs [5]. При
увеличении запирающего напряжения Vg на затворе обедненная об-
область несколько расширяется за счет того, что она сильнее выступает
за края затвора. Как видно из схемы на вставке к рис. 5.3, проводящий
канал при этом сужается, что означает уменьшение числа каналов
Ns. To, что канал короткий, не мешает применять к нему формулу
E.13), и в то же время именно благодаря этому в нем удается полу-
получить баллистический режим, т.е. отсутствие рассеяния. В структуре,
демонстрируемой на рис. 5.3, электронная плотность 3,56 • 1011 см~2,
5.2]
Формула Ландау эра для одномерных (ID) систем
87
12
10
I
I
"^ 6
4
-
I ¦ 1
Контакт
Расщепленный
—--"э атв Ор4^
Контакт
i ¦ i ¦ i ¦
-J- ¦ ¦ -
-
-2 -1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1
Рис. 5.3. Кондактанс у баллистического контакта между двумя 2Б-областя-
ми гетероструктуры GaAs/Al^Gai-^As в зависимости от напряжения на
затворе, регулирующем ширину контакта [5]. На вставке схема измеритель-
измерительной ячейки.
длина пробега при 0,6 К около 8,5 /i, а характерные размеры канала
порядка 0,25 /i.
Из вставки к рис. 5.3 видно, что измерение происходит по двухкон-
двухконтактной схеме, так что в измеряемое сопротивление Rmea входит со-
сопротивление RCOnt контактов и прилегающих к ним широких участков
2D-слоя. Интересующий нас кондактанс у получается после вычита-
вычитания Rcont из Rmea- У = Q~X = (Rmea - ^cont)- В качестве Rcont была
выбрана величина 4,35 И1, что примерно соответствует результатам
независимых измерений. После вычитания этой величины функция
у{Уд) превращается в последовательность ступеней одинаковой высо-
высоты 2 2
и/ = ^, E.14)
в полном соответствии с формулой E.13).
Заметьте. Рассуждения, которые привели к формуле E.13), не
предопределяют распределение электрического поля вдоль про-
проволоки. Например, в краевых каналах, которые образуются при
квантовом эффекте Холла вдоль края образца между контакта-
контактами и являются идеальными одномерными каналами, все падение
напряжения V сосредоточено на границе с одним из контактов
(см. рис. 9.15 в гл. 9 и поясняющий его текст).
Откажемся от идеальности проволоки, при этом ограничившись
для простоты одноканальной системой. Пусть в заштрихованной ча-
части проволоки (рис. 5.4) имеются упругие рассеиватели. Уточнять их
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
взаимное расположение не требуется — будем пока рассматривать
всю область как единый рассеивающий объект. В квантовой механике
он характеризуется в одномерном случае комплексными коэффици-
коэффициентами отражения г и прохождения ?, которые связывают амплитуды
Рис. 5.4. Одномерный проводник, соединяющий два резервуара и состоящий
из двух идеальных участков по краям и рассеивающего участка АВ в
середине
отраженной и прошедшей волн с амплитудой падающей волны. Слева
и справа на заштрихованную область падают электронные потоки
jin/e и jm'/e5 каждый из которых отражается с вероятностью 1Z = 2
2
и проходит с вероятностью Т =
ческой задачи
2. Из симметрии квантовомехани-
Jin
Jr'
Jin'
—
Jm
Jin'
Т=1.
E.15)
Если падение напряжения на заштрихованной области равно ну-
нулю, то и суммарный поток электронов в проволоке равен нулю. При
наличии разности потенциалов SV на границах области появляется
разность плотностей 5п = ge5V. В одномерных системах все электро-
электроны движутся вдоль проводника и потому принадлежат к одному из
потоков, фигурирующих в уравнениях E.15). Это позволяет связать
5п с плотностями электронов в потоках и выразить 5V через токи:
SV = — =
e2gv
e2gv
e2gv
E.16)
Здесь g и v это плотность состояний и модуль скорости электронов на
уровне Ферми. Поскольку полный ток J равен
J = jin - jr - jt' = jin> - jr' - jt = T(jin - jin'
E.17)
отношение J/SV позволяет написать кондактанс y{mp = J/SV и сопро-
сопротивление ^imp = y^p заштрихованной области
_ е2 Т
Vimp ~ 2тгЙ П
Т
2тгЙ 1 - Т ' ftmp " е2 Т
2тг/г 11 2ттЛ И
1 -тг'
E.18)
5.3] Локализация и роль корреляций в ID-системах 89
Идея представлять упруго рассеивающие центры в виде потен-
потенциальных барьеров на пути распространяющихся волн и выражать
транспортные характеристики системы через коэффициенты отраже-
отражения и прохождения волны через эти барьеры принадлежит Ландауэ-
ру. Поэтому соответствующие формулы, в частности выражение для
кондактанса E.18), называют его именем. В принципе техника Лан-
дауэра применима к системам любой размерности, но она особенно
удобна и часто используется для Ш-систем.
Заметьте. Формула Ландауэра в виде E.18) выведена в предпо-
предположении, что разность потенциалов приложена непосредственно
к рассеивающей области между точками А и В на рис. 5.4. Именно
поэтому кондактанс E.18) при слабом рассеянии, Т ~ 1, 1Z <С 1,
может оказаться больше, чем кондактанс E.13) системы, вообще
не имеющей рассеивателей.
Если разность потенциалов в системе на рис. 5.4 приложена к
резервуарам, то сопротивления идеальной проволоки и области рас-
рассеяния включены последовательно и кондактанс всей системы равен
У'1 = 2/id1 + 2/imp = ?id + ?i =
Теперь при Т —> 1 кондактанс у —> у^, как и должно быть. Выражение
E.19) для у можно получить и непосредственно, приложив разность
потенциалов к резервуарам, записав электронный поток из одного
резервуара в другой и учтя однократное рассеяние (ср. с выводом
формулы E.13)). Это означает, что сложение сопротивлений в соот-
соответствии с законом Ома в рассуждениях E.19) было правомерным.
Как мы покажем в следующем разделе, в одномерных системах из-за
интерференции падающих и отраженных волн это отнюдь не всегда
так.
5.3. Локализация и роль корреляций
в ID-системах
Рассмотрим два последовательных барьера в одноканальном од-
одномерном проводнике (рис. 5.5) и выразим параметры Т и 1Z = 1 — Т
образовавшегося составного рассеивающего объекта через параметры
%., Т^ъ ^2 и 7^2 исходных барьеров. Если на барьер 1 слева падает
волна амплитуды 7, то сформировавшееся стационарное волновое по-
поле будет содержать еще четыре волны: отраженную А, прошедшую D
и две волны между барьерами, В и С, движущиеся в противополож-
противоположные стороны (А,... D — это комплексные амплитуды волн). Выразив
амплитуды волн, уходящих направо и налево от каждого из барьеров,
через амплитуды падающих волн, получим четыре уравнения
A = n + Ctu B = t! + Cru Ce~i(p = Bei(pr2, D = Bei(pt2. E.20)
90
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
Вец
С
Сещ
D
Рис. 5.5. Рассеивающий участок в ID-проводнике, состоящий из двух барье-
барьеров. Комплексные амплитуды А,..., D волн, приходящих и уходящих от
обоих барьеров, все нормированы на амплитуду исходной приходящей вол-
волны, помеченной единицей
Здесь использовано, что коэффициенты отражения от барьера не
зависят от того, с какой стороны падает волна, Т\ = г[; множители
ехр(±г(?>) учитывают набег фазы волны на расстоянии от одного ба-
барьера до другого. Из уравнений E.20) следует
D =
E.21)
где 9 = 2ср + arg(rir2). Кондактанс Y2 составного «двухбарьерного»
рассеивателя, который выделен на рис. 5.5 пунктиром, равен
Т
2тг/г 1 - '
е
E.22)
Если составной «двухбарьерный» рассеиватель состоит из двух оди-
одинаковых барьеров, п = г2 = г', t\=t<i= t', TZ\ = К2 = VJ и т.д., то
Yi =
(ГJ
E.23)
где к — волновой вектор, а / — расстояние между барьерами.
Кондактанс E.22) зависит не только от параметров двух исход-
исходных барьеров; через угол О он зависит и от расстояния между ними.
Поскольку нас в конечном счете интересует ID-проводник с большим
количеством случайно расположенных барьеров, то можно усреднить
по всем возможным расстояниям между ними, предположив, что угол
9 с одинаковой вероятностью принимает любые значения от 0 до 2тг.
Это предположение не совсем корректно, но оно позволяет нам про-
продвинуться дальше и проследить тенденции, возникающие при удли-
удлинении цепочки одномерных барьеров (более подробно см. [4], а также
оригинальную работу [6]). Из среднего значения cos# = 0 следует
усредненный кондактанс Y2 системы из двух барьеров. Он равен
е
2тгЕ
1Z2
е
2тгН
E.24)
5.3] Локализация и роль корреляций в ID-системах 91
Для сравнения выпишем классическое выражение для суммы двух
последовательных сопротивлений Qi = у± 1 и ?>2 = У^1'-
е2 ( Пг П2 \~г _ е2 A - Пг)A - П2)
2тгП Пг+П2- 2ПгП2'
В нем имеется лишний по сравнению с E.24) член в знаменателе,
пропорциональный произведению коэффициентов пропускания двух
барьеров TZ1TZ2.
Рассмотрим длинную цепочку одинаковых, но расположенных на
случайных расстояниях li друг от друга слабо рассеивающих барье-
барьеров, TV <С 1, Т ~ 1, имеющих каждый малое сопротивление
, 2тг/г ?г; ^ 2тгН
Q = —г ~^т < —2"
е 1 е
(среднее расстояние между барьерами / = li имеет смысл упругой
длины свободного пробега). Будем вычислять сопротивление
составного рассеивающего объекта из N барьеров по рекуррентной
формуле, следующей из E.24),
In 1n-i1
Пока число N барьеров мало, так что Ngf <C 2тгЙ/е2, величина Rjy
растет линейно: Rn ~ Ng ос N. При этом почти линейно растет также
и вероятность отражения Т^дг. Однако TZn не может стать больше
единицы. Поэтому, начиная с некоторого TV, можно в формуле E.26)
положить TZn ~ T^n-i ~ 1? откуда сразу следует
Тдг « Tat-iT', Tn -+ s(T')N = seaN при N -+ oo E.27)
(s = const, a = lnT' < 0).
Экспоненциальное уменьшение интенсивности прошедшей волны Тдг
при росте числа N является демонстрацией ID-локализации на кон-
конкретном примере.
Остановимся на еще на одной особенности транспорта в Ш-си-
стемах. На рис. 5.6 приведены транспортные характеристики квази
ID-системы, изготовленной на базе аккумулирующего слоя в полевом
транзисторе на поверхности n-Si [7]. При низкой температуре на за-
зависимости кондактанса у от напряжения на затворе Vg появляется
шумоподобная составляющая очень большой амплитуды. Это не на-
настоящий шум. Сигнал не зависит от времени и, если не отогревать
образец до комнатной температуры, то при повторном эксперименте
кривая у(Уд) воспроизводится вплоть до мельчайших подробностей.
92
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
10"'
ё
: 0,57 К гА
\ f /
: J jLpi
Исток
¦ (? J P+ !
Г llllF Al<
г 1Г 0,25 К
Сток
Р+ 1
;
г, к
1 0,5 0,2 0,1
10
7
О
10
10"
г Ч Ч
! N
г
: 4,2
г
\4,9
ь Ч
\\
в \^
°ч
^6,3
в
ч
в :
°4V ;
10
0,5 1 1,5
2,5
Vg9B
Рис. 5.7. Графики температурной
зависимости в минимумах кондак-
танса канала полевого транзисто-
транзистора при трех разных значениях на-
напряжения на затворе V9 в осях
/ [7]
Рис. 5.6. Зависимость от напряжения
на затворе V9 кондактанса у длин-
длинного квазиодномерного канала в по-
полевом транзисторе, изготовленном на
поверхности n-Si, и находящемся в
режиме аккумулирующего слоя [7].
Ширина канала может меняться от
нуля до максимума ~ 1 /х, заданно-
заданного конструкцией (см. схему на встав-
вставке), при помощи напряжений на кон-
контрольных электродах р+ и на затворе
Видно, что при низких температурах и при напряжениях на затворе
V9, обеспечивающих узкий канал и малую концентрацию носителей,
кондактанс испытывает хаотические узкие осцилляции при изменении
Vg, размах которых растет при понижении температуры. На другом
образце, и даже на этом же при повторном охлаждении от комнатной
температуры, детальная структура осцилляции другая при той же
общей картине эволюции осцилляции с изменением температуры и
напряжения Vg.
Фундаментальная причина хаотических осцилляции — в одномер-
одномерности. Все дефекты в проволоке включены последовательно, и линии
тока не могут обойти ни один из них. Выключение одного дефекта,
осуществляющего сильное рассеяние, может поэтому сильно повлиять
на суммарное сопротивление. Вопрос в том, как изменение Vg, кото-
которое меняет концентрацию носителей и их энергию Ферми ef, может
включать, или выключать, или менять эффективность отдельных
дефектов.
Вернемся к выражению E.23) для кондактанса Y2 симметрично-
симметричного «двухбарьерного» рассеивателя. Выше мы усредняли выражение
E.22) по cos# на том основании, что имеется разброс расстояний 1^
между барьерами. Но входящий в в угол (р = kli зависит не только
5.3] Локализация и роль корреляций в ID-системах 93
от li, но и от волнового вектора &, т.е. от энергии рассеивающегося
электрона ер. Для одной конкретной рассеивающей пары барьеров
с фиксированным значением li из формулы E.23) следует, что R2
принимает значение в интервале от нуля до 4^>,
0 < R2 < 4g, E.28)
в зависимости от энергии налетающего электрона.
Уместно напомнить две вещи:
— транспортные свойства ID-системы определяются именно
электронами из окрестности ер, потому что противоположные
потоки электронов с меньшими энергиями компенсируют друг
ДРУга;
— выше мы упоминали о существовании проблем с усредне-
усреднением выражения для сопротивления E.22); они связаны именно
с большим диапазоном E.28) изменения величины R2.
Пространство между двумя барьерами представляет собой потен-
потенциальную яму. В этой яме, вообще говоря, имеется набор уровней
?i, ширина которых обусловлена прозрачностью барьеров t\ и t2. По
мере того как энергия электрона ер смещается относительно системы
уровней в этой яме, вероятность туннелирования осциллирует, до-
достигая максимума в условиях резонанса ер = Е{. Поэтому гигантские
хаотические осцилляции сопротивления можно теоретически описать
именно в терминах резонансного туннелирования.
Модель локализованных состояний в ID-системах использует
представления об электронных уровнях внутри составных рассеива-
телей. При достаточно низких температурах отражения от далеких
барьеров
1 <С N <С ^ E.29)
остаются когерентными. Поэтому, согласно соотношениям E.27), эти
отражения при достаточно большом L^ скомпенсируют прозрачность
барьеров t\ и t2 и сделают состояние между ними истинно локали-
локализованным. В этих условиях следует ожидать прыжковый характер
проводимости. И действительно, на рис. 5.7 приведены измерения тем-
температурной зависимости кондактанса, сделанные в нескольких мини-
минимумах кривой, приведенной на рис. 5.6. Видно, что при измерениях в
левой части графика на рис. 5.6, при малых Vg, когда кондактанс мал,
осцилляции велики, и есть все основания считать канал одномерным,
точки хорошо ложатся на функциональную зависимость
у = у0ехр[-(Тм/ТI/2], E.30)
в полном соответствии с формулой Мотта D.24). При больших Vg
канал расширяется и постепенно превращается в двумерный. Кондак-
Кондактанс при этом увеличивается, а амплитуда хаотических осцилляции
падает. Экспериментальные точки зависимости logy(T~1/2), снятые
при напряжении на затворе Vg = 6,3 V, отклоняются на рис. 5.7 от
94
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
прямой, но спрямляются в осях (log?/, T 1/3), опять-таки в полном
соответствии с формулой D.24).
Вернемся к общему утверждению о неминуемой локализации элек-
электронов на ID случайном потенциале. Уже в формуле E.22), на базе
которой была построена конкретная модель E.27), демонстрирую-
демонстрирующая локализацию, содержится намек на то, что можно попытаться
избежать локализации за счет корреляций в случайном потенциале.
Покажем это, воспользовавшись упрощенным вариантом формулы
E.22), а именно формулой E.23) для кондактанса Y<i симметричного
«двухбарьерного» рассеивателя. Из этой формулы следует, что суще-
существует волновой вектор ко — ~arg(r/)A> ПРИ котором барьер полно-
полностью прозрачен для падающей волны, и отраженной волны нет, VJ2 =
= 0. Если заменить в нашей модели E.2б)-E.27) одиночные барьеры
на сдвоенные E.23), то электрон с энергией sq = Н2к$/2т окажется
делокализованным.
Эта идея была развита более подробно в так называемой димерной
модели [8]. В ней используются не случайно расположенные одина-
одинаковые пары барьеров, а одномерная цепочка периодически располо-
расположенных потенциальных ям. Цепочка состоит из ям двух сортов, с
уровнями энергии Еа и Еъ. При этом ямы распределены по нечет-
нечетным узлам решетки совершенно случайно, без каких бы то ни было
корреляций, а в каждом четном узле находится яма того же сорта,
что и нечетном узле слева от него. Это означает, что одинаковые ямы
стоят парами, откуда и название модели (рис. 5.8а). Если расстояние
между ямами а, то получившуюся решетку можно представить как
сумму двух случайных, но одинаковых подрешеток, сдвинутых на а
друг относительно друга, обе с периодом 2а не совершенно случайным
распределением ям по узлам.
u u u E
__
1
—
—
—
—
А
Еа
к -
_
--
—
--J
—
--
—
--J
и
2J
Рис. 5.8. а) Димерная модель одномерного случайного потенциала. Измене-
Изменения положений уровней из-за перекрытия ям не показано, б) Электронные
уровни в одномерной решетке с одним димерным дефектом
Будем считать пары с энергией Еа принадлежащими основной
решетке, а пары с энергией Еъ — дефектами. Как мы уже видели,
в этой модели могут существовать делокализованные состояния при
5.4] Микроволновое моделирование 95
некоторых выделенных значениях энергии, обусловленных структу-
структурой дефекта. Условие того, что электрон с такой энергией может
распространяться в основной решетке, можно сформулировать при
помощи рис. 5.8, б, где один димерный дефект из двух ям с энергиями
Еь помещен в идеальную решетку из ям Еа. Пусть интеграл перекры-
перекрытия между соседними ямами равен J. Тогда справа и слева от дефекта
образуются зоны с квазинепрерывным распределением уровней г =
= Еа — 2 J cos ka. Если выполняется соотношение
\Еа-Еъ\ <2J, E.31)
то невозмущенный энергетический уровень дефекта Еь попадает
внутрь зоны, и в зоне появляется выделенное значение k = fco,
cos ко = —2J/(Ea — Еь), для которого вероятность отражения от де-
дефекта 1Z = 0.
В димерной модели корреляции существуют только между бли-
ближайшими соседями. При таких корреляциях делокализованные состо-
состояния возникают только при дискретных значениях энергии. Для то-
того чтобы получить полосу де локализованных состояний, необходимо
использовать дальние корреляции, сохранив при этом в потенциале
элемент случайности. Алгоритм построения такого потенциала был
предложен в работе [9]. Мы приведем в следующем разделе конкрет-
конкретный пример такого алгоритма, составленного для экспериментальной
проверки этих идей путем микроволнового моделирования.
5.4. Микроволновое моделирование *)
Зависящее от времени уравнение Шредингера
и классическое волновое уравнение
\ ^- = ЛФ - U4! E.33)
с dt
(с это скорость волны), после подстановки Ф = е~гшгф сводятся к
одному и тому же уравнению
(A-U + к2)ф = 0 E.34)
с той лишь разницей, что для уравнения Шредингера
с = А&2, E.35)
а для волнового уравнения
и = ск. E.36)
г) Более подробно эти вопросы излагаются в книге [10].
96
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
Это дает возможность моделировать локализационные процессы в
устройствах с высокочастотными электромагнитными полями. Мы
приведем два примера такого моделирования, для одномерной и для
двумерной систем.
В работе [11] одномерный случайный потенциал имитировали
длинным волноводом с рассеивателями внутри, а измеряли коэффи-
коэффициент прохождения электромагнитной волны в зависимости от часто-
частоты. Схема волновода изображена на рис. 5.9. Рабочий диапазон ча-
частот v был выбран внутри частотного диапазона, в котором волновод
100 микрометрических винтов
Антенна 1 Ш Ш FH ffl Поглотитель
j ВО"
Антенна 2
Рис. 5.9. Схематический чертеж: одномодового волновода со 100 рассеивате-
лями, в котором измерялся коэффициент прохождения t электромагнитной
волны в зависимости от частоты [11]. Все размеры в миллиметрах
находился в одномодовом режиме: 7,5 ГГц = с/2а < v < с/а = 15 ГГц,
где а = 20 мм — это больший размер сечения волновода.
На равных расстояниях по длине волновода в него введены
N = 100 штырьков-рассеивателей, моделирующих случайный потен-
потенциал. Они могут при помоши микрометрических винтов вдвигаться
на разную глубину ипу где 1 ^ п ^ N. Глубина устанавливается по
формуле
/= °° 2Т/
ип — \ ип / Рт%п+т-> Рт = ~ vPkW COS Bm/i) d/i. E.37)
?n= —сю q
Здесь Zn+m случайные числа в интервале от —1 до +1. Именно они
вносят в потенциал элемент случайности. Корреляции между все-
всеми ип обеспечиваются множителями /Зт, определенными через функ-
функцию y?(/i). Последняя выбирается при помощи специального матема-
математического алгоритма в зависимости от того, какой требуется спектр
пропускания одномерной системы. Пример реализации такой про-
программы показан на рис. 5.10. В соответствии с имеющимся алгорит-
алгоритмом была выбрана функция ^(/i), при которой должны были возник-
возникнуть две полосы пропускания внутри рабочего диапазона. Сплошной
линией на рисунке показан определенный в численном эксперименте
коэффициент пропускания волновода с одномерной последовательно-
последовательностью из N = 104 рассеивателей, выбранных в соответствии с форму-
5.4]
Микроволновое моделирование
97
1,0
0,8-
§ 0,6
0,4
0,2
,
h /v-A j
N
0,2
0,4
0,6
kd/%
0,8
1,0
Рис. 5.10. Коэффициент прохождения t волны в одномерном канале при
наличии периодически расположенных случайных рассеивателей, между
которыми имеются корреляции, со специально выбранной корреляционной
функцией. Сплошная линия — численный эксперимент с N = 104 рассеива-
телями; пунктир — микроволновый эксперимент с N = 100 рассеивателями,
усредненный по пяти разным реализациям. Корреляционная функция одна
и та же [11]
лой E.37) по заданной функции y?(/i). Пунктиром показан усреднен-
усредненный по пяти разным реализациям результат реального микроволно-
микроволнового эксперимента с последовательностью из N = 100 рассеивателей.
Наличие полосы пропускания конечной ширины означает на языке
физики твердого тела существование края подвижности, а следова-
следовательно, при выборе подходящего управляющего параметра, и перехо-
перехода металл-изолятор. Таким образом на примере одномерных моделей,
где удается продвинуться достаточно далеко и аналитически, и при
помощи численных методов, продемонстрирована особая роль корре-
корреляций случайного потенциала в вопросах локализации.
Микроволновую технику можно использовать и для моделирова-
моделирования задач по двумерной локализации. Соответствующие эксперимен-
эксперименты называются микроволновыми бильярдами. Их основными элемен-
элементами являются плоские резонаторы, запитываемые через подводящую
антенну. Поперечный размер такого резонатора вдоль оси z меньше
или порядка длины волны, а продольные размеры вдоль осей х и у
много больше длины волны. Случайный потенциал U моделируется
металлическими рассеивателями, хаотически расположенными внут-
внутри резонатора. Стационарное распределение электромагнитного по-
поля внутри резонатора, например, электрического поля Ez(x,y) при
соответствующей моде волны, удовлетворяет не только уравнениям
Максвелла, но и уравнению Шредингера E.32), E.34) для собственной
волновой функции ф. Это распределение можно измерить, например,
перемещая внутри резонатора маленький металлический шарик. Воз-
Возмущение, вносимое таким шариком, приводит к изменению частоты
резонатора До;, пропорциональному квадрату электрического поля
в данной точке, Да; ос Е%(х,у), и, соответственно, квадрату собствен-
7 В. Ф. Гантмахер
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
ной волновой функции электрона, Аи; ос
при значении энер-
энергии
Для примера на рис. 5.11, взятом из работы [12], приведены три
собственные волновые функции в прямоугольном бильярде со слу-
•
••V
9 т
•
••• ' .
• • : т # '"
•• ¦ • • •
1,73 ГГц
2,43 ГГц
4,89 ГГц
Рис. 5.11. Собственные волновые функции, полученные при разных часто-
частотах в прямоугольном бильярде размерами 240 х 340мм со случайными
рассеивателями (черные кружки) [12]
чайными рассеивателями, полученные на трех разных частотах. Ам-
Амплитуда ф2(х, у) изображена при помощи разной степени почернения.
Этот пример демонстрирует делокализацию электрона при повыше-
повышении его энергии.
5.5. Модель структурного беспорядка г)
Весьма поучительна другая одноэлектронная модель беспорядка,
отличающаяся от модели Андерсона. В этой модели случайный потен-
потенциал состоит из одинаковых, но хаотично расположенных ям, в каж-
каждой из которых имеется уровень Е$\
V(r) = YXr-Ri). E.38)
Беспорядок в этой модели определяется хаотичностью множества век-
векторов R^.
Обратите внимание на качественно разный характер беспорядка
в модели Андерсона E.1) и в модели структурного беспорядка
E.38). Можно сказать, что модель Андерсона происходит из фи-
физики полупроводников, где энергии примесных центров всегда
различны, а модель структурного беспорядка родом из физики
г) В книге [13] эта модель фигурирует под названием модель Лифшица; ее
математические аспекты подробно обсуждаются в обзоре самого Лифшица
[14], который применил эту модель для исследования энергетического спек-
спектра металла с примесями.
5.5] Модель структурного беспорядка 99
металлов, где благодаря сильному экранированию энергии всех
центров можно считать одинаковыми. Не случайно потенциал
E.38) используется в дифракционной теории электронного транс-
транспорта в жидких металлах (см. гл. 1). Там предполагается, что
все электроны делокализованы, а потенциал E.38) является лишь
источником рассеяния. Это соответствует большому отношению
длины затухания ав к среднему расстоянию между ямами п/3,
т.е. большому значению параметра а^1/3.
Предполагается по-прежнему, что за пределами ямы волновая
функция затухает по закону
е~Т/ав Mfi2
ф(х , ав = —г^. E.39)
г те
Пусть сначала концентрация мала, так что длина затухания гораздо
меньше среднего расстояния между центрами: а^п1^ <С 1. Тем не ме-
менее за счет слабого перекрытия волновых уровней соседей изначаль-
изначально 5-образная плотность состояний расплывается в полосу. Разобьем
все ямы на пары ближайших соседей. Если в такой паре расстояние
между ямами ri2, то, поскольку ямы резонансные, из-за перекрытия
хвостов E.39) волновых функций в ямах возникают два уровня с энер-
энергиями
Т? Т? +с с т exp(-ri2/aB) /г4Пч
Ь=Ьо±?12, ?1,2 = Jo TTk (O.4UJ
г12п /6
и с обобществленными волновыми функциями E.5). В выражении для
расщепления уровней E.40) расстояние г\2 нормировано на среднее
расстояние между ямами п/3 для того, чтобы Jq имело размерность
энергии. Величина Jo, как и величина ав, зависит от конкретных
характеристик ямы, диэлектрической проницаемости материала, эф-
эффективной массы электрона и т. д.
Рис. 5.12. Случайное расположение примесных ям. Пары ближайших сосе-
соседей помечены пунктирными эллипсами. Центры с индексом 3, примыкая
к парам, ямы которых помечены индексами 1 и 2, образуют с ними тройки
100 Переходы металл-изолятор [Гл.5
Как видно из рис. 5.12, где резонансные пары показаны пунк-
пунктирными эллипсами, разбить на резонансные пары можно далеко не
все центры. Например, яма 2, будучи ближайшим соседом ямы 3,
может иметь своим ближайшим соседом яму 1, так что Т\ч < Г2з-
В этой тройке наибольшими будут резонансные сдвиги энергий Е\
и ^2, а сдвиг ?з будет нерезонансным и существенно меньшим, так как
?з ск ехр (—2г2з/&б)- На рис. 5.12 показаны две такие конфигурации,
одна тройка и одна четверка, в которой т\2 < Г23 < Г34- Но и в тройках,
и в более сложных конфигурациях из четырех и более ям всегда
имеется по крайней мере одна резонансная пара с наименьшим рас-
расстоянием между ямами и наибольшим сдвигом уровней. Характерная
ширина А получающейся в результате функции плотности состояний
определяется резонансными парами ям, а среднее расстояние между
ямами равно п/3, так что
/ „-V3 4
А « Joехр (-- . E.41)
\ а J
Хвост плотности состояний при \г\ ^> А получается за счет пар ано-
аномально близко расположенных ям с т\2 <^ п/3, состояния при малых
\е\ <С А — за счет нерезонансных и уединенных ям.
Поучительно сравнить описанное превращение в полосу изначаль-
изначально 5-образной плотности состояний с формированием примесной зоны
в системе «доноры + акцепторы» (см. гл. 3). Там расплывание проис-
происходило за счет случайных электрических полей заряженных центров
при частичной компенсации примесей. Такое расширение уровня в по-
полосу можно назвать классическим. А уже в классически уширенной
примесной зоне переход металл-изолятор происходит за счет пере-
перекрытия уровней при дальнейшем увеличении концентрации примес-
примесных центров. В отличие от этого уширение E.41) имеет квантовую
природу. Параметр а^пх13 контролирует и превращение уровня в по-
полосу, и переход.
Как видно из формулы E.41), в модели структурного беспорядка
нет независимого параметра, эквивалентного ширине полосы W в мо-
модели Андерсона E.1)—E.3). Возможно именно поэтому для описания
переходов металл-изолятор чаще используется именно модель E.1)-
E.3). На рис. 5.1 случайные классические поля, всегда имеющиеся
в реальных системах, в явном виде не фигурируют; они как бы вклю-
включены в дисперсию глубин ям. Но их можно изобразить и в явном виде,
заменив рис. 5.1 на практически эквивалентный ему рис. 5.13. После
такой замены он лучше отображает реальную ситуацию, например
в частично компенсированном полупроводнике, где все примесные
центры химически одинаковы.
Переход в модели структурного беспорядка теоретически иссле-
исследован гораздо менее детально, чем в модели Андерсона. Однако при
помощи численного моделирования было продемонстрировано суще-
существование перехода по параметру а^1/3. Но помимо естественных
5.6]
Переход Momma
101
е
WI2
-WI2
NIW\
dN/дЕ
Рис. 5.13. Альтернативное представление модели Андерсона: периодически
расположенные ямы одинаковой глубины на фоне случайного потенциала
(ср. рис. 5.1)
управляющих параметров: формы и глубины ямы г;(г — R^) и кон-
концентрации ям TV, в модели структурного беспорядка есть и скрытый
механизм влияния на переход. Такое влияние может реализовываться
через величину корреляций на множестве векторов R^ — увеличивая
корреляции, можно превратить это множество из хаотического в ре-
регулярное. Подобная возможность, по-видимому, реализуется в неко-
некоторых металлических расплавах и в квазикристаллах (см. гл. 7).
5.6. Переход Мотта
Рассмотрим систему доноров с водородоподобными волновыми
функциями электронов E.39). Сравним боровский радиус ав с другой
величиной, имеющей размерность длины, — с радиусом экраниро-
экранирования ге электрического поля, который используется при описании
системы свободных носителей. При статистике Ферми в ге входит
концентрация электронов п:
4me n
-1/2
1 ,
= о (авп
E.42)
Если все электроны локализованы, то система описывается длиной ав,
если делокализованы, то длиной ге. Кроме того, в обоих случаях
фигурирует еще и третья длина — среднее расстояние между донора-
донорами или между носителями п/3. Предположим, что мы постепенно
увеличиваем концентрацию доноров п. Пока ге > ав, экранирование
несущественно, каждый электрон находится около своего донора, ве-
вещество является изолятором. Но когда соотношение между ге и ав
изменится на ге < ав, то состояние изолятора станет неустойчивым.
Если все п электронов уйдут от своих доноров, то они к ним не смогут
вернуться, потому что не найдут их из-за сильного экранирования.
Ионизованные доноры создадут положительный фон, компенсирую-
компенсирующий отрицательный заряд де локализованных электронов. Поэтому
равенство
т.е. -I
= 0,25
E.43)
102
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
есть условие перехода металл-изолятор, который происходит, когда
концентрация п достигает критического значения пс. Такой переход
называется переходом Мотта.
Заметьте. В этом нехитром рассуждении беспорядок никак не
фигурирует: движущей пружиной перехода Мотта является меж-
межэлектронное взаимодействие. Можно мысленно представить себе,
что доноры упорядочены в сверхрешетку, а концентрацию мы
меняем, меняя период сверхрешетки.
При написании соотношений E.42) и E.43) использовано выра-
выражение для боровского радиуса E.39), справедливое лишь для водо-
родоподобного примесного центра. В качестве исходной точки для
построений теории перехода Мот-
Мотта обычно используется несколь-
несколько иное, более общее рассуждение.
Пусть энергия электрона на при-
примесном центре Е$. Принцип Пау-
Паули допускает пребывание на этом
уровне двух электронов с разны-
разными спинами. Но если один элек-
электрон на центре уже есть, то поса-
посадить туда второй можно только пре-
преодолев электростатическое отталки-
отталкивание. Следовательно уровень для
второго электрона будет выше на
величину порядка U ~ е2 /'яав. Ве-
Величина U называется энергией Хаб-
барда. Если концентрация примес-
Точка
перехода
Рис. 5.14. Переход Мотта в схеме
Хаббарда
ных центров п ф О, то, независимо от того, расположены центры
хаотически или регулярно, из-за перекрытия волновых функций оба
уровня размоются в минизоны с nV уровнями в каждой (V — объем).
Поскольку концентрация электронов тоже равна п, то, если минизоны
не перекрываются, все nV уровней в нижней минизоне заполнены,
а в верхней пустые, и вещество является изолятором со щелью на
ферми-уровне (см. рис. 5.14).
Заметьте. На любом центре в нижней зоне Хаббарда может на-
находиться только один электрон, но с любым направлением спина.
Поэтому получившийся изолятор будет парамагнетиком. Ферро-
или антиферромагнитное упорядочение в этом изоляторе может
возникнуть только при наличии дополнительного взаимодействия
между центрами.
Ширина минизон АЕ определяется интегралами перекрытия E.2):
АЕ «2J «2 "
Оценка интегралов J базируется на выражении E.39) для асимпто-
асимптотики волновых функций. Интеграл J i/jjHi/jj d3r определяет невозму-
5.6] Переход Momma 103
щенный уровень энергии и, следовательно, равен Е$. Замена ф^ на
ф* означает, что везде, где подынтегральное выражение существенно
отлично от нуля, оно уменьшено в exp (—г^-/ав) раз. Поэтому
АЕ « 2 J « 2 [ ^*Я^- d3r « 2?0 exp (-^Л « 2Е0 exp (
0 p (
E.44)
Увеличение концентрации приводит к расширению зон и к их пере-
перекрытию. Зоны сомкнутся при критической концентрации пс, когда
U « АЕ « 2^о exp f ^Л . E.45)
V «в™ 7 /
Поскольку по порядку величины U ~ Eq, численное значение пара-
параметра авп1^ на переходе вряд ли сильно отличается от 0,25, фигури-
фигурировавшего в соотношении E.43).
Таким образом, мы познакомились с двумя рассуждениями, при-
приводящими к переходу металл-изолятор. Сравним их между собой
и с двумя типами квантовых поправок к проводимости грязных ме-
металлов при низких температурах (гл. 2). Андерсоновский переход
происходит вследствие беспорядка, причем для его описания доста-
достаточно одноэлектронного приближения. То же самое можно сказать
и о слабой локализации. Напротив, в переходе Мотта движущей силой
является кулоновское взаимодействие, регулируемое и изменяемое че-
через экранирование, а степень беспорядка существенна в гораздо мень-
меньшей степени. Для межэлектронной интерференции беспорядок нужен
лишь для того, чтобы движение электронов было диффузионным,
а сама квантовая поправка к проводимости есть результат электрон-
электронного взаимодействия.
Для экспериментатора представляется очень важным определить-
определиться, с каким типом перехода, Мотта или Андерсона, он имеет дело. Но
практически всегда выбор оказывается не вполне убедительным. Из-
Изменение электронной концентрации п возможно лишь при нарушении
стехиометрии или внесении примесей. Поэтому параллельно с изме-
изменением п меняется и беспорядок. С другой стороны, рост беспорядка
влияет на экранирование. Количественные характеристики переходов
Мотта и Андерсона тоже, как это ни странно, сходны. Уравнение
перехода Андерсона E.3) можно записать в виде
... E.46)
Ео
Уравнение перехода Мотта E.45) можно записать в аналогичном виде
(^), E.47)
введя численную константу ст.
104
Переходы металл-изолятор
[Гл.5
Вспомните. Формулы для двух типов квантовых поправок тоже
очень похожи друг на друга.
Величины W, U и Ео, входящие в буквенные оценки констант, все
порядка атомной энергии е2 / хав, а численные множители са и ст
порядка единицы. К тому же все эти величины входят под знаком
логарифма. В результате оценки для произведения авпс для обоих
переходов практически одинаковы (на рис. 5.15 эта «похожесть» изоб-
изображена в виде диаграммы). Поэтому не должна вызывать удивление
сводка экспериментальных данных по различным переходам, пред-
представленная на графике рис. 5.16. На интервале изменений пс в шесть
-1/3
порядков не только подтверждается пропорциональность ав ос пс ,
но и коэффициент пропорциональности, определенный методом наи-
наименьших квадратов, оказался 0,26 (ср. с выражением E.43)).
ПЕРЕХОД МОТТА
Ширина АЕ
пропорциональна
J=E0Qxp(-l/aBn )
авпс = 0,25
Соотношение Мотта
Интеграл
перекрытия
входит непосредственно
ПЕРЕХОД АНДЕРСОНА
Рис. 5.15. Сходство и различия в вы-
выражениях, описывающих переходы
Мотта и Андерсона
ю:
10'
10-
1:
:V inSb
\
?
х
V
Si:P-
GaP
Ge:Sb
:ZiT/\
:Mn X
WSe^Ta4
WO3:
0,26 :
-
уТДц
Na\ _
Ar:Cu\
io1
io18
nc, см
io20 io2
Рис. 5.16. Корреляция меж:ду кри-
критической концентрацией носителей
и эффективным боровским радиу-
радиусом при переходах металл-изолятор
в 15 различных материалах. Для
всех материалов величины ав и пс
определялись независимо из разных
экспериментов [15]
Заметьте. Поскольку критерий aBn1/3= const справедлив для
обоих типов переходов, то концентрация п может быть управ ля-
5.6]
Переход Momma
105
ющим параметром не только для перехода Мотта (что естествен-
естественно), но и для перехода Андерсона, в котором межэлектронное
взаимодействие не фигурирует. При этом величина п выступает
в роли концентрации не электронов, а центров их локализации,
расстояние между которыми определяет величину интеграла пе-
перекрытия.
Заметьте также, что в модели структурного беспорядка в каче-
качестве условия того, что все носители локализованы, предполага-
предполагалась малость того же самого параметра а^п1^.
Несмотря на то, что при реальных переходах меняются и кон-
концентрация и степень беспорядка, полезно иметь в виду принципиаль-
принципиальное различие и соотношение между переходами Мотта и Андерсона.
Для иллюстрации обратимся к рис. 5.17, на котором представлена
плоскость {беспорядок — концентрация). В качестве меры беспорядка
выбрана величина W, по вертикальной оси отложена концентрация.
Будем считать значение боровского радиуса ав постоянным. Справа
от линии переходов Андерсона E.46) расположены состояния изоля-
изолятора, а слева — металла. Линия переходов Мотта E.47) в этих осях
описывается горизонтальной прямой,
расположенной тем выше, чем мень-
меньше ав. Линии пересекаются в точке Wq =
— (cm/ca)U. Пока беспорядок большой,
W > Wo, переходы металл-изолятор
контролируются им и происходят вдоль
линии E.46). Малый беспорядок W <
< Wo несущественен, потому что за
счет межэлектронного взаимодействия
локализация происходит при концентра-
концентрациях п, больших, чем те, что следуют из
E.46).
Беспорядок, создаваемый путем сме-
смещения атомов, имеет некоторый верхний
предел. Этот предел достигается, ког-
когда корреляции между положениями ато-
атомов вообще отсутствуют. На диаграмме
на рис. 5.17 этот предел обозначен как
Wmax на правом краю полосы возмож-
возможных состояний. Беспорядку Wmax на кри-
кривой переходов соответствует концентра-
концентрация nmax. Возникает вопрос, каковы кон-
концентрации электронов п в настоящих ме-
металлах и сплавах. Если п > nmax, то никаким беспорядком не удастся
реализовать переход Андерсона.
Заметьте. Величина W может считаться количественной мерой
беспорядка лишь весьма условно. Поэтому диаграмма на рис. 5.17
Рис. 5.17. Диаграмма {бес-
{беспорядок — концентрация),
на которой в качестве меры
беспорядка для иллюстра-
иллюстрации выбрана величина W,
а величина ав предпола-
предполагается константой. Наклон-
Наклонная кривая — линия пере-
переходов Андерсона, горизон-
горизонтальная прямая — линия пе-
переходов Мотта
106 Переходы металл-изолятор [Гл.5
носит иллюстративный характер. Тем не менее вопрос существует
и ответить на него могут только эксперименты. Такие экспери-
эксперименты уже обсуждались в гл. 1. Мы вернемся к этому вопросу в
гл. 7.
5.7. Минимальная металлическая
проводимость?
Предложенные критерии перехода в форме величины параметра
1/3 1
авпс постулируют сам факт существования перехода металл-изо-
металл-изолятор, но ничего не говорят о его характере. Первые серьезные дис-
дискуссии на эту тему базировались на анализе природы металлической
проводимости. Формула для удельной проводимости
а=-—, п=—5Щ, E.48)
"> кр Зтг
исходит из представления об электронной системе как о газе заряжен-
заряженных частиц с длиной свободного пробега I. Как и в обычном газе, на
каком-то этапе возникают ограничения, обусловленные конечностью
размеров частиц. Эффективным размером электронов является де-
бройлевская длина волны l/kF. Это естественное ограничение снизу
для величины / (правило Иоффе-Регеля). При длине пробега I ~ l/fcF
формула для а принимает вид
C^2)-2/3(е2/Й)п1/3 « 0,1D • К^Ом)-1/!1/3. E.49)
Это значение ограничивает снизу проводимость, возможную в рамках
газовой модели.
Исходя из этого ограничения, Мотт предположил, что переход
металл-изолятор не является непрерывным фазовым переходом. Для
перехода Андерсона рассуждения Мотта звучат так: по мере увеличе-
увеличения беспорядка в системе с фиксированной концентрацией п проводи-
проводимость падает до минимума E.49), а затем должна скачком обратиться
в нуль. А уж при переходе Мотта сам сценарий предполагает лавино-
лавинообразное увеличение числа делокализованных носителей: отдельный
электрон, делокализовавшись, через свой вклад в экранирование спо-
способствует делокализации остальных.
Более того, базовое утверждение, лежащее в основе концепции
о переходе Мотта, гласит, что концентрация п не может быть сколь
угодно малой. Подстановка пс из критериев E.43) или E.45) в выра-
выражение E.49) выражает <rMott через ав. Но ав не может быть макроско-
макроскопически большим — ведь это характерный размер волновой функции
отдельного электрона. Значение ав « 600 А в InSb (см. рис. 5.16),
вероятно, близко к максимально возможному. Отсюда должно следо-
следовать существование абсолютной минимальной металлической прово-
проводимости.
5.7]
Минимальная металлическая проводимость?
107
Естественно, что концепция минимальной металлической проводи-
проводимости и характер перехода металл-изолятор были подвергнуты тща-
тщательной проверке в многочисленных экспериментах. Эксперименты
не подтвердили идею о минималь-
минимальной металлической проводимости
и показали, что переход непреры-
непрерывен.
Пример такого эксперимента
приведен на рис. 5.18. Зависимость
проводимости образцов Si:P от
концентрации п (на вставке) из-
за неточности определения кон-
концентрации в каждом отдельном
образце может лишь определить
критическую концентрацию пс, но
не закон изменения проводимости
вблизи нее. Однако прикладывая
давление к образцу с концентра-
концентрацией, чуть меньшей пс, оказалось
возможно пройти интервал значе-
нии а от нуля до предполагаемо-
предполагаемого crMott и убедиться в отсутствии
скачка проводимости.
Рис. 5.18. Тонкая настройка дав-
давлением перехода металл-изолятор
в Si:Р. Пунктиром на основном
графике и на вставке отмечена
минимальная проводимость crMott,
рассчитанная по измеренной элек-
электронной концентрации [16]
Заметьте. Каждая точка на
графике cr(S) получена экс-
экстраполяцией к Т = 0 темпера-
температурной зависимости <т(Т), из-
измеренной при данном давлении. Подобный график при любой
конечной температуре был бы недостаточно убедителен, потому
что в изоляторе при конечной температуре существует конечная
проводимость.
Список литературы
1. Mott N. V. Metal-insulator transitions. — Taylor & Francis, 1990.
2. Lee P. A., Ramakrishnan T. V. Disordered electronic systems // Rev. Mod.
Phys. 57, 287 A985).
3. Kramer В., MacKinnon A. // Rep. Prog. Phys. 56, 1469 A993).
4. Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. — Oxford University Press,
1997 [Есть русский перевод: Имри Й. Введение в мезоскопическую фи-
физику. — М.: Физматлит, 2002].
5. van Wees B.J., Kouwenhoven L.P. et al. // Phys. Rev. В 38, 3625 A988).
6. Anderson P. W., Thouless D. J., Abrahams E., Fisher D. S. // Phys. Rev. В
22, 3519 A980).
7. Fowler А.В., Harstein A., Webb R.A. // Phys. Rev. Lett. 48, 196 A982).
8. Dunlap D.H., Wu H-L., Phillips P. W. // Phys. Rev. Lett. 65, 88 A990).
108 Переходы металл-изолятор [Гл.5
9. Izrailev F.M., Krokhin А. А. // Phys. Rev. Lett. 82, 4062 A999).
10. Stockmann H.-J. Quantum Chaos. — Cambridge Univ. Press, 1999 [Есть
русский перевод: Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос (введение). — М.:
Физматлит, 2004].
11. Kuhl U., Izrailev F.M., Krokhin A. A., Stockmann H.-J. // Appl. Phys.
Lett. 77, 633 B000).
12. Stockmann H.-J., Barth M., Dorr U., Kuhl U., Schanze H. // Physica E 9,
571 B001).
13. Шкловский Б. И., Эфрос А. Л. Электронные свойства легированных по-
полупроводников, § 9. — М.: Наука, 1979.
14. Лифшиц И.М. II УФН 83, 617 A964).
15. Edwards P.P., Sienko M.J. // Phys. Rev. В 17, 2575 A978).
16. Paalanen M.A., Rosenbaum T.F., Thomas G.A., Bhatt R.N. // Phys. Rev.
Lett. 48, 1284 A982).
Глава 6
СКЕЙЛИНГОВАЯ ГИПОТЕЗА
В этой главе обсуждается феноменологическая теория, призванная
разрешить противоречие между простейшими соображениями о ми-
минимальной металлической проводимости и экспериментами. Она ос-
основана на скейлинговой гипотезе. Это название гипотезы происходит
от английского слова scale — шкала. В русской литературе она часто
называется гипотезой подобия.
6.1. Обоснование и формулировка
скейлинговой гипотезы 2)
Переход металл-изолятор — не совсем обычный фазовый переход.
Основное свойство, по которому различаются состояния — проводи-
проводимость — проявляется лишь в неравновесных условиях. Поэтому одним
из оправданий отношения к этому переходу как к непрерывному фа-
фазовому переходу может служить успешное описание его при помощи
стандартного математического аппарата теории фазовых переходов.
Введем управляющий параметр х таким образом, чтобы разность х —
— хс имела разные знаки по разные стороны от перехода. Как мы уже
знаем из предыдущей главы, таким управляющим параметром может
быть электронная концентрация п, уровень беспорядка, магнитное по-
поле Ву давление и т. п. Однако это не может быть температура, потому
что переход происходит при Т = 0. Нам нужно также выбрать одну
из функций, описывающих транспорт, на роль функции, задающей
состояние системы, как это принято в термодинамике.
Пусть наши образцы имеют вид гиперкуба объемом Ld в простран-
пространстве размерности d. Проводимость конкретного образца, имеющую
размерность [Ом] при любом d, будем называть кондактансом Y.
Введем также безразмерный кондактанс у при помощи формулы
(е2/К)у = У, в которой комбинация атомных констант е2/К имеет
размерность [Ом] и равна 2,43 • 10~4Ом~1. Величину е2/Н часто
называют квантом проводимости. Кроме кондактанса существует еще
и удельная проводимость с размерностью [Ом^см2"^]; будем обозна-
обозначать ее буквой а и называть для краткости просто проводимостью.
Размерный и безразмерный кондактансы Y и у связаны с проводимо-
1) Материал этой главы, как и предыдущей, полезно прочесть и в ином
изложении, например, в книге [1] и в обзорах [2, 3].
2) Все основные идеи этого параграфа исчерпывающе изложены в корот-
короткой пионерской работе [4].
110 Скейлинговая гипотеза [Гл. 6
стью а соотношениями
Y = aLd~2, у = (e2/K)-l(jLd-2. F.1)
На первый взгляд кажется естественным выбрать в качестве ба-
базовой функции состояния проводимость а. Однако, она лишь до тех
пор остается «удельной», т.е. работает как характеристика материа-
материала, пока размер образца L остается больше некоторого внутреннего
параметра материала размерности длины.
Вспомните: В классической физике металлов, где таким пара-
параметром является длина свободного пробега /, существует размер-
размерный эффект на постоянном токе: соотношение Y = aL, связыва-
связывающее кондактанс и проводимость при d = 3, справедливо лишь
до тех пор, пока L > I.
Одной из основных величин в теории фазовых переходов является
корреляционная длина ?, которая определена с обеих сторон перехода.
На самом переходе, при приближении управляющего параметра х к
критическому значению х —> хс, корреляционная длина ? расходится:
? —> оо. В теории обычных непрерывных фазовых переходов пред-
предполагается, что при приближении к переходу ? — это характерные
размеры флуктуации. Переход металл-изолятор происходит при аб-
абсолютном нуля температуры, и вместо тепловых флуктуации в нем
фигурируют квантовые флуктуации. В непосредственной окрестности
перехода в течение короткого времени 5t могут существовать области
с характерными размерами ?, в которых электронная система имеет
энергетически невыгодную функцию основного состояния. При этом
закон сохранения энергии выполняется с точностью до соотношения
неопределенности SESt ~ h.
Поскольку корреляционная длина ? расходится на переходе, в
окрестности хс условие L > ? обязательно нарушится, функция а
потеряет смысл, а связь кондактанса и проводимости уже не будет
сводиться к множителю Ld~2. Это определяет выбор не проводимости,
а кондактанса у в качестве базовой функции.
В пользу кондактанса имеются также серьезные аргументы, ос-
основанные на анализе волновых функций. Рассмотрим трансформа-
трансформацию дискретного электронного спектра при стыковке 2d гиперкубов
объемом Ld в один объемом BL)d (эти рассуждения принадлежат
Таулессу). Волновые функции в большом кубе гр2Ь можно представить
в виде линейных комбинаций волновых функций ф^ в кубах Ld. В пер-
первом порядке теории возмущений коэффициенты q при поправках к
волновой функции имеют вид J/(A^), где J — интеграл перекрытия,
а А{Е — разность энергий невозмущенных состояний (см., например,
формулу E.4)). Величина AiE порядка расстояния между уровнями
размерного квантования, AiE ~ (gdLd)~1, где д& — плотность состоя-
состояний в пространстве соответствующей размерности. Поэтому
^- <6'2)
6.11
Обоснование и формулировка скейлинговой гипотезы
111
Если интеграл перекрытия J мал, то коэффициенты q малы, и вол-
волновые функции остаются локализованными в исходных объемах Ld.
Если же интеграл J велик, то волновые функции распространяются
на весь объем BL)d. Отсюда следует предположение, что поведение
волновых функций при удвоении размера куба L можно описать од-
одним параметром F.2).
Нетрудно видеть, что и транспортные свойства объема Ld меня-
меняются с величиной J точно так же. При большом J кондактанс велик,
потому что электроны делокализованы и заряд может перейти с одной
грани куба на противоположную путем металлической проводимости.
При малом J проводимость мала; она реализуется за счет прыжков
между центрами локализации или прямого туннелирования с одной
грани гиперкуба на противоположную. Чем меньше J, тем меньше
вероятность прыжков и туннелирования. Поэтому кондактанс можно
считать той физически измеряемой величиной, которая позволяет су-
судить о волновых функциях электронов в основном состоянии. Причем
именно кондактанс, а не проводимость, потому что он безразмерен
в единицах е2 /Н при любой размерности пространства dy и потому
что эта физическая величина сохраняет смысл сколь угодно близко к
переходу.
Заметьте. Если оценить плотность состояний через ширину
энергетической зоны W и электронную концентрацию, д^ — rid/W
(ср. с E.1)), то параметр F.2) по сути дела превратится в па-
параметр Андерсона E.3). Это еще раз указывает на связь между
спецификой волновых функций и кондактансом.
In у
Рис. 6.1. Универсальные функции /3(\пу) для различных размерностей [4]
В основополагающей работе [4], где была предложена однопара-
метрическая скейлинговая теория перехода металл-изолятор, в каче-
качестве функции состояния использован именно кондактанс образца у.
112 Скейлинговая гипотеза [Гл. 6
Следуя работе [4], изобразим на рис. 6.1 логарифмическую производ-
производную кондактанса по размеру
о _ din у _ L dy
Р ~ dlnL ~ у dL
как функцию от аргумента In у:
Заметьте. Смысл скейлинговой переменной C можно уяснить
себе следующим образом. Если у — степенная функция L, на-
например, у = xLd~2, то C — показатель степени: C = d — 2, а на
графике на рис. 6.1 получится горизонтальная прямая. Именно
такие степенные функции фигурируют в соотношениях F.1).
Каждый конкретный образец размерности d изображается в виде
точки на кривой /3d(y). Стрелки на кривых показывают, куда смеща-
смещается изображающая точка при увеличении размера образца L. Соглас-
Согласно скейлинговой гипотезе функция /3Aпу) универсальна для каждой
размерности d, а состояния определяются только одним параметром
у. Асимптотики универсальных функций /3d(у) при очень больших и
очень малых у можно получить из общих соображений. При боль-
больших у можно воспользоваться макроскопическим соотношением F.1)
транспортной теории, откуда
C -> d - 2 при у -> оо. F.4)
В пределе малых у, когда все электроны локализованы, и их волно-
волновые функции затухают на расстояниях ав, конечный кондактанс при
Т = 0 осуществляется за счет экспоненциальных хвостов волновых
функций на противоположных гранях куба, и потому
y = yoe-L/aBj 1Пу = 1пуо_А5 р = ]пУ-. F.5)
CLB УО
Если соединить асимптотики F.4) и F.5) плавными линиями без
экстремумов, то получатся кривые, представленные на рис. 6.1. Левые
асимптотики этих кривых при In у —> — оо все лежат в нижней полу-
полуплоскости C < 0. Правые асимптотики при In у —> +оо расположены
относительно оси абсцисс /3 = 0 по-разному. При d < 2 они лежат
в нижней, а при d > 2 — в верхней полуплоскости. Эта разница
принципиальная, потому что при d > 2 кривая /3^Aпу) пересекает ось
абсцисс, а наличие точки пересечения, как мы увидим ниже, означает
существование в системе перехода металл-изолятор.
Отмеченная разница дает основания говорить, что двумерный слу-
случай является пограничным (см. также раздел «Переход Андерсона» в
предыдущей главе). Пограничные свойства двумерных систем стиму-
стимулировали появление в теории переходов металл-изолятор так называ-
называемых «B + ?)-моделей», где d считается непрерывной переменной, по
которой производится разложение в окрестности значения d = 2.
6.1] Обоснование и формулировка скейлинговой гипотезы 113
Кривые C(у) предлагаются в качестве конечного продукта скей-
скейлинговой гипотезы. Воспользоваться этим продуктом можно следую-
следующим образом. Возьмем кубик (квадратную пленку, проволоку единич-
единичной длины) размера L из интересующего нас материала и мысленно
измерим его кондактанс при абсолютном нуле температуры. Получим
точку на одной из кривых на рис. 6.1. Если эта точка находится на
нижней полуплоскости /3 < 0, то наш материал является изолятором:
при увеличении L кондактанс у кубика становится экспоненциально
малым. Если же точка находится на верхней полуплоскости /3 > 0, то
мы имеем дело с металлом, кондактанс которого у растет с разме-
размером L.
При всей фантастичности такой процедуры скейлинговая гипотеза
сыграла важную роль, позволив связать в единую стройную картину
ряд разрозненных фактов. По поводу самой гипотезы можно задать
несколько вопросов.
— Из чего состоит полный набор физических соображений, позво-
позволивший сформулировать эту гипотезу?
— Существуют ли теоретические вычисления, хоть в какой-то мере
ее подтверждающие?
— Каковы физические следствия скейлинговой гипотезы и допуска-
допускают ли они экспериментальную проверку?
То, что сказано выше о проводимости, кондактансе и асимптоти-
асимптотиках, является лишь частью ответа на первый вопрос. Мы, однако,
этим ограничимся, отослав интересующихся к оригинальной статье
[4] и обзору [2]. Отметим лишь одно обстоятельство. На всех этапах
рассуждений, например при написании выражения F.5), подразуме-
подразумевается волновая функция одного электрона и никак не учитывает-
учитывается ни состояние всех остальных электронов, ни спиновые взаимо-
взаимодействия. Поэтому кривые на рис. 6.1, строго говоря, относятся
только к системе невзаимодействующих бесспиновых электронов.
Обычно заранее не ясно, в какой мере ту или иную электронную систе-
систему можно считать невзаимодействующей. Поэтому общая стратегия
заключается в том, чтобы, сравнивая с предсказаниями гипотезы
результаты измерений для разных электронных систем, постараться
выяснить применимость гипотезы, ее универсальность и роль взаимо-
взаимодействий.
Перейдем ко второму вопросу. Возможности сравнения скейлин-
скейлинговой гипотезы с теоретическими вычислениями ограничены, но все
же существуют. Переход от свободных носителей к полностью ло-
локализованным, описываемый кривыми /3d(у) на рис. 6.1, начинается
со слабой локализации. Поэтому спроектируем на эти кривые суще-
существующие теоретические расчеты квантовой поправки к проводимо-
проводимости при слабой локализации. При Т = О неупругая длина L^ = оо.
Полагая, что электрон теряет память о фазе, достигнув поверхности
образца и рассеявшись на ней, подставим L во все формулы теории
слабой локализации вместо L^. Получающиеся поправки к функциям
/3d(y) для всех трех размерностей сведены в табл. 6.1, где через ad
8 В. Ф. Гантмахер
114
Скейлинговая гипотеза
[Гл.6
(d = 1, 2, 3) обозначена больцмановская проводимость в ^-мерном про-
пространстве.
Таблица 6.1
G
У
0
Cd
d= 1
G1 + K\l -
e2 U
L ( h <n\
У I e2 ЬЧ
-1-K,
Константы К\, К:
-КгЬ
-V!
a\ — K\L
/Y
h
2 и Кз имеют
d
O2-
- [O2
1
У
0-
K2 In —
— X2 In
dy
d\nL
K2/Y
размерность
y)
[Ом
d
03 -
h L
e У
1-
=
/
L-
1
K3
3
f X3)
1
+ K3/a3L
/y
Вычисленные в предпоследней строке таблицы функции /3 пред-
представлены в последней строке в унифицированном виде /3d = {d — 2) —
— Kd/Y. Они имеют правильную асимптотику при Y —> оо и отклоня-
отклоняются от нее вниз при конечных У, как это предполагается гипотезой
и как это нарисовано на рис. 6.1. Таким образом там, где оказалось
возможно провести расчет в рамках теории возмущений, его результат
подтвердил скейлинговую гипотезу.
Обратите внимание. Последнее утверждение не столь бесспорно,
как кажется. Оно исходит из знака квантовых поправок к прово-
проводимости B.11) и по существу означает следующее: слабая лока-
локализация является первым шагом на пути к сильной, настоящей
локализации. Но ведь интерференционная квантовая поправка
устроена довольно хитро и при наличии достаточно сильного
спин-орбитального взаимодействия слабая локализация уступает
место антилокализации. Как совместить скейлинговую гипотезу
и спин-орбитальное взаимодействие? Мы вернемся к обсуждению
этого в конце главы, после того, как станет ясно, где это может
быть наиболее существенно.
А сейчас перейдем к третьему вопросу — к конкретным следствиям
скейлинговой гипотезы.
6.2. Трехмерные CD) системы
Возьмем маленький пробный кубик из исследуемого материала
размером Л. Если точка, отображающая на 3D скейлинговую кривую
кондактанс у\ этого кубика, лежит в нижней полуплоскости C < 0,
то увеличение размера куба L > Л сдвигает отображающую точку
влево. Увеличивая L, можно сделать кондактанс сколь угодно малым.
(Заметьте: при Т = 0!) Этот материал — изолятор. Если же отоб-
отображающая точка /3(у\) > 0, то увеличение размера L сдвигает отоб-
отображающую точку вправо, так что кондактанс можно сделать сколь
6.2] Трехмерные CD) системы 115
угодно большим. Это — металл. Пересечение кривой /3s (у) в точке ус
осью /3 = 0 означает существование перехода металл-изолятор.
Аппроксимируем 3D скейлинговую кривую /Зз(у) в верхней по-
полуплоскости /3 > 0 ломаной, состоящей из отрезка, выходящего из
точки Aпус, 0) под наклоном s = (dC/dlny)yc до пересечения с прямой
/3 = 1 (обычно считают, что s порядка единицы), и горизонтальной
полупрямой /3 = 1. Кондактанс в точке излома обозначим через у^
а соответствующий размер L через ? (рис. 6.1). Уравнение отрезка
1. F.6)
yc
в силу специфичности функции /3 является дифференциальным урав-
уравнением, общее решение которого имеет вид
Здесь Л играет роль начального условия, заданного в одной точке
отрезка. При у = у^ в точке излома,
1п^ = ±. F.8)
Ус S
Из F.7) следует, что размер куба будет при этом равен
. F.9)
При дальнейшем увеличении размера L > ? отображающая точка
будет двигаться вдоль горизонтальной части кривой, где существует
проводимость а и можно пользоваться выражением F.1) для у. Так
как ? — наименьшая длина, при которой имеет смысл понятие удель-
удельной проводимости, она называется корреляционной длиной. Наконец,
подставив значение F.8) для у^ и значение L = ? в выражение F.1),
получим окончательно
фьрф.. „10)
Размер Л пробного куба не может быть сколь угодно малым. Мини-
Минимальный разумный размер — это электронная длина волны Л « l/kF.
Если кондактанс пробного куба у\ попадет в интервал ус < У\ < У&
то корреляционная длина окажется ? > /min « fcp1 и а < c^ott-
Если у\ близко к ус, то Ыух/ус « (ух/ус) — 1- Положив для оценки
5 = 1, получим из F.9)
?^А^^. F.11)
УА -Ус
При ух —> ус величина ? —> оо, а проводимость а —> 0. Таким обра-
образом из скейлинговой гипотезы следует, что 3D удельная проводимость
116 Скейлинговая гипотеза [Гл. 6
достаточно большого образца может быть сколь угодно малой, так
что переход металл-изолятор является непрерывным.
Заметьте. Маленький пробный кубик нам понадобился только
на промежуточной стадии рассуждений. Заключения относитель-
относительно проводимости а и характера перехода относятся к макроско-
макроскопическим образцам.
Ценность кривой /3(у) в степени ее универсальности, которая
в первую очередь существенна в окрестности перехода. Здесь она
выражается в том, что кривая /3(у) должна иметь для разных систем
один и тот же наклон s. Для невзаимодействующих электронов из
2 + е модели следует, что наклон s = e. Если предположить, что
разложением d = 2 + е можно пользоваться вплоть до е = 1, то для
трехмерных систем получается 5 = 1. Значение s характеризует так
называемый класс универсальности. Взаимодействия электронов мо-
могут изменить этот класс. Это зависит от того, меняют ли эти вза-
взаимодействия симметрийные свойства гамильтониана, описывающего
систему. В последнем параграфе этой главы мы увидим, как универ-
универсальность нарушается за счет спин-орбитального взаимодействия (см.
там рис. 6.12 и относящийся к нему текст).
Критическая окрестность перехода. Экспериментальная
проверка сделанных утверждений предполагает экстраполяцию к Т =
= 0 измерений кондактанса, сделанных при конечных температурах.
Поэтому следует сначала разобраться, что происходит в окрестности
перехода при Т ф 0.
Рассмотрим фазовую плоскость (ж,Т) — рис. 6.2. Пусть боль-
большие х соответствуют металлическим состояниям, малые — состояни-
состояниям изолятора, фазовый переход изображается изолированной точкой
(х = хс, Т = 0) на оси х. Пусть наш образец всегда достаточно боль-
большой, L > Z, ?, так что можно всегда говорить о проводимости а. Вдоль
оси абсцисс, при Т = 0, проводимость а = 0 при х ^ хс и монотонно
возрастает направо от хс. Справа от хс есть еще одна выделенная
точка #i, в которой
a(x1,T = 0) = aMott = ^kF = ^-][. F.12)
В интервале от хс до х\ проводимость, согласно F.10), выражается
через корреляционную длину ?, а при х > х\ работает формула Друде:
хс<х^хъ F.13)
X > Х\.
Два последних выражения сшиваются при х = х\, где ? = / и kFl = 1.
Будем считать переход в хс переходом Андерсона-Мотта. При опи-
описании проводимости при Т = 0 мы воспользовались скейлинговой ги-
гипотезой для невзаимодействующих электронов и формулой F.13), но
6.2]
Трехмерные CD) системы
111
3D (куб размером L)
Критическая область I Область Друде
Область V\
прыжковой \ х
проводимости $
у / mi
Квантовая
поправка
Точка перехода -^
Г=0: о = 0
Щ О 1// 1/^
Рис. 6.2. Окрестность перехода металл-изолятор в ЗБ-системе на фазовой
плоскости (ж, Т), где ж — управляющий параметр. Внизу параллельно оси ж
добавлена шкала обратной длины с нулем в точке перехода и положитель-
положительными значениями переменной 1/? в обе стороны от нуля. Там же указа-
указаны значения проводимости а(Т = 0) в соответствующих областях. В осях
л) обе пунктирные кривые на диаграмме — это кубические параболы
при анализе окрестности перехода при конечных температурах будем
исходить из квантовых поправок, обусловленных межэлектронным
взаимодействием. Обратимся к фазовой плоскости (ж, Т) на рис. 6.2.
Слева, глубоко в области изолятора с кулоновской щелью, реализу-
реализуется прыжковая проводимость, справа справедливо больцмановское
выражение аз для классической трехмерной проводимости с кванто-
квантовой поправкой:
а = а3 + — Lj
Ue =
F.14)
Промежуточную область в окрестности точки хс назовем критической
и напишем для нее интерполяционную формулу
1
а > 0.
F.15)
Выражение F.15) сшивается с F.14) на прямой х = х\ и дает пра-
правильные значения проводимости на отрезке хс < х ^ х\ при Т = 0.
Будем двигаться справа налево вдоль линии Т = const. Пока кван-
квантовая поправка относительно мала, диффузия электронов происходит
в результате рассеяния на примесях, т. е. контролируется первым чле-
членом уравнения F.14). Поэтому входящий в Lee коэффициент диффу-
118 Скейлинговая гипотеза [Гл. 6
зии D не зависит от температуры. Но когда мы зайдем в критическую
область, <7з превратится в (е2 /h)^~l и начнет быстро уменьшаться.
В этих условиях D перестанет быть константой: диффузия будет про-
происходить как бы по тем самым флуктуациям электромагнитного по-
поля, которые определяют Lee, и потому станет температурозависящей.
Тогда можно написать систему уравнений для функций сг(Т) и D(T),
использовав в качестве второго уравнения соотношение Эйнштейна:
F.16)
= e2gFD
(gF — плотность состояний на ферми-уровне).
Исключим D из этих двух уравнений. Затем разрешим оставшееся
уравнение относительно <т(Т), воспользовавшись тем, что мы нахо-
находимся достаточно близко к переходу и что 1/? <С 1/Lee. Получим тем-
температурную зависимость проводимости в правой части критической
области х > хс
а(Г) = — \-с + (TgFI/s )= а + /ЗТ1/3. F.17)
Точно на переходе ? = оо и а = 0.
Заметьте. Степень 1/3 возникла благодаря тому, что в качестве
времени сбоя фазы т^ было взято время расфазировки тее ос Т.
При ином механизме сбоя фазы с т^ ос T~v', температура войдет
в уравнение F.17) в степени и/3.
Критическая область должна существовать и слева от точки пере-
перехода. Естественно думать, что степень Т1/3 в температурной зависи-
зависимости не должна измениться. Однако константа а в выражении F.17)
станет отрицательной. Чтобы определить ее и установить границы
критической области, отложим вдоль оси абсцисс на рис. 6.2 величину
1/? > 0 с учетом того, что 1/? ос \х — хс\ (на рисунке это нижняя
дополнительная ось). Правая граница критической области опреде-
определяется самим способом получения формулы F.17) из F.15): ? = Lee.
Поскольку на стороне изолятора при достаточно низкой температуре
должна остаться только прыжковая проводимость, положение левой
границы определим из сравнения корреляционной длины ? с длиной
прыжка, ? = г. Использовав выражение B.30) для Lee и выражение
D.18) для г, в которое в качестве ав подставлена корреляционная
длина ?, получим, что в осях A/?, Т) обе кривые, ограничивающие
критическую область, являются кубическими параболами
3-1. F.18)
На левой границе F.18) критической области критическая про-
проводимость crcrit должна перейти в прыжковую проводимость
6.2] Трехмерные CD) системы 119
существенно меньшую по величине. Пренебрегая второй по сравнению
с первой, можно считать, что на этой границе <7crit ~0и
е\
F.19)
Объединяя уравнения F.17) и F.19), получим, что проводимость
в критической области
crcrit = а + /ЗТ1/3, а = — J ' % f3=e-g1F/3. F.20)
Заметьте. Из металлического состояния в состояние изолятора
(оба при Т = 0) можно перейти, обогнув точку фазового перехо-
перехода, см. рис. 6.3. При этом, однако, придется пересечь две линии
кроссоверов, в окрестности которых сменяются доминирующие
процессы, определяющие проводимость. На последнем этапе та-
такой траектории проводимость будет убывать экспоненциально с
понижением температуры.
Для экспериментального наблюдения перехода металл-изолятор
нужно выбрать управляющий параметр, измерить температурные
зависимости проводимости при разных значениях этого параметра,
построить их в спрямляющих осях (Т1/3, а) и, убедившись, что по-
получаются прямые линии, проэкстраполировать эти прямые к Т = 0
для определения а(х, 0). Переход должен проявиться в поведении этой
функции а(х, 0) в точке х = хс.
Самым естественным управляющим параметром является концен-
концентрация носителей п, обусловленная количеством примесей в данном
образце. Каждая экспериментальная кривая на рис. 6.4 соответствует
f \ Критическая
\ область
а ос ехр [- (T/Tof]\ _ _ - _ /
Точка перехода^"^ хс х\ х
Рис. 6.3. Обход точки фазового перехода через критическую область
измерениям вдоль вертикальной прямой на диаграммах рис. 6.2 или
рис. 6.3. Судя по экстраполяции экспериментальных данных к Т = 0,
для Ge:As критическая концентрация As равна пс = 3,5 • 1017 см~3:
при концентрациях п > пс экстраполяция дает положительные зна-
значения <т@). На самой нижней зависимости сг(Т)у отвечающей концен-
концентрации п = 3,0 • 1017 см~3, стрелкой отмечена температура, вблизи ко-
которой происходит кроссовер из критической области в область прыж-
прыжковой проводимости. Прыжковая проводимость существенно меньше,
120
Скейлинговая гипотеза
[Гл.6
чем проводимость в критической области, и ее практически не видно
при использованном на рис. 6.4 масштабе, так что зависимость &(Т)
как бы упирается в ось абсцисс. Это было использовано выше при
написании граничного условия F.19).
о
40
30
20
10
П
Ge:As
«Ml
• *********
w[1017cm]"
"¦*-—-—~—' -5,15
"^ ~*J7.*~- 4Д5
^4,17
..~~-\^3,82
...¦--3,00 .
0,8 1,2
г1'3, кьз
1,6
Рис. 6.4. Температурная зависимость проводимости серии образцов Ge:As
с разным уровнем легирования в районе перехода металл-изолятор, [5]
Как видно из рис. 6.4, у серии кривых сг(Т) на Ge:As есть еще одно
выделенное значение концентрации примесей: при п = 4,45 • 1017 см~3
меняет знак производная da/dT при низких температурах. Естествен-
Естественно считать, что это и есть то значение управляющего параметра х\ =
= ni, при котором выполняется соотношение F.12), потому что при
этой концентрации имеющие разные знаки классическая и кванто-
квантовая температурозависящие поправки к проводимости компенсируют
друг друга. Это означает, что приблизительно при этой концентрации
друдевское описание проводимости перестает работать, и начинается
критическая область (см. также соотношение F.13)). Знание п\ озна-
означает знание <TMott = 0"(^i) ~ 20О см, и абстрактная диаграмма
на рис. 6.2 обрастает конкретными числами: выясняется отношение
ni/nc, определяется коэффициент пропорциональности между 1/а
и ? в интервале концентраций пс < п < ni, а проводимость можно
записать в приведенных единицах сг/сгмои-
Образец Ge:As с концентрацией п = 4,6-1017 см~3 находится,
согласно рис. 6.4, в глубине металлической области. Но его можно
сделать изолятором при помощи магнитного поля, которое в дан-
данном случае выполняет роль управляющего параметра. Как видно из
рис. 6.5, переход в состояние изолятора произошел в поле 5 Тл. В более
сильных полях, 7 и 8 Тл, экспериментальные точки при самых низких
6.3]
Двумерные BD) системы
121
температурах отклоняются от прямых. Это результат приближения
к области прыжковой проводимости (см. рис. 6.2) — проводимость а
не может стать отрицательной (на рис. 6.4 аналогичный изгиб в нуле-
нулевом поле при п = 3 • 1017 см~3 выглядит как излом).
Зачастую точности измерений проводимости и диапазона измене-
изменений температуры недостаточно, чтобы однозначно определить функ-
функциональную зависимость Т1/3. Иногда при обработке эксперименталь-
экспериментальных данных используют для спрямления кривых не Т1/3, а Т1/2,
используя вплоть до перехода
степень, определяющую кван-
квантовую поправку в больцманов-
ской области при Асг <С <т@). На
определении значения управля-
управляющего параметра в точке пере-
перехода это почти не сказывается.
Таким образом, эволюция
транспортных свойств в окрест-
окрестности перехода металл-изоля-
металл-изолятор вполне соответствует опи-
описанию, базирующемуся на скей-
линговой гипотезе. Однако это
описание ничего не говорит
о волновых функциях и меха-
механизме проводимости. Вернемся
на отрезок (жс, х\) оси абсцисс
Т = 0 на рис. 6.2. Электроны
формально делокализованы, но
так как а < crMott, обычные бло-
0
Рис. 6.5. Температурная зависимость
проводимости одного образца Ge:As
в разных магнитных полях, [6]
ховские волны не могут быть их
волновыми функциями. Вероят-
Вероятно волновые функции устроены так, что электроны распространяются
по фрактальной части пространства с размерностью df(x) < 3. Тогда
в точке х\, где &j{x\) = 3, происходит изменение симметрии волновых
функций основного состояния, а это необходимое условие существова-
существования фазового перехода. Считается, что в точке х\ фазового перехода
нет. Однако окончательную точку в этом вопросе можно будет поста-
поставить только тогда, когда станет понятен механизм проводимости на
интервале (жс, х\).
6.3. Двумерные BD) системы
Кривая d = 2 на рис. 6.1 вся находится в области отрицательных /3.
Из какого бы материала мы ни изготовили 2D систему, постепенное
увеличение ее размеров должно приводить к уменьшению кондактан-
са, так что кондактанс станет экспоненциально малым и в пределе
L —> оо, Т —> 0 должен обратиться в нуль. Другими словами, при
достаточно низкой температуре любая пленка является изолятором.
122 Скейлинговая гипотеза [Гл. 6
На первый взгляд это следствие скейлинговой гипотезы противоре-
противоречит несомненному факту существования металлических пленок. Про-
Противоречие, однако, не является фатальным. Поскольку концентра-
концентрация П2 ос &р, а больцмановская 2Б-проводимость а 2 = ri2e2l/hkF «
~ (е2/K)(kFl), проводимость 2D системы с учетом одной из квантовых
поправок B.11) или B.37) имеет вид
(^) F.21)
Это выражение справедливо лишь до тех пор, пока поправка относи-
относительно мала. Но тенденция уменьшения проводимости с понижением
температуры должна сохраниться. Поэтому формулу F.21) можно ис-
использовать для оценки момента существенных изменений в характере
проводимости, приравняв проводимость F.21) нулю. Получившееся
в результате значение L^ назовем длиной локализации и обозначим
буквой ?:
f «Zexp(fcFZ). F.22)
Важно, что так определенная длина ? зависит только от электронной
концентрации (через kF) и от беспорядка (через I). Предположим,
что сбой фазы происходит в результате электрон-электронных столк-
столкновений в условиях диффузии с частотой г = т~х = T/(eFr) (см.
уравнение B.33)). Тогда L^ = (Dsft/TI/2, и получаем оценку для
температуры Тсг, при которой L^ = ?,
Тст = Щ^- « eF exp (-2Ы). F.23)
Заметьте. Если частота т~х контролируется другим процессом
рассеяния, так что т ос Т^, то в показателе экспоненты в фор-
формуле F.23) вместо 2 окажется 2/и. Это существенно не изменит
дальнейших рассуждений. Если квантовая поправка в формуле
F.21) обусловлена не слабой локализацией, а межэлектронной ин-
интерференцией, то получится практически результат F.23), лишь
с множителем h/т вместо eF в предэкспоненте.
Если бы при этой температуре формула F.21) еще работала, то
проводимость обратилась бы в ноль. Поэтому мы вправе ожидать,
что в районе температуры F.23) произойдет кроссовер от логарифми-
логарифмического падения проводимости F.21) к экспоненциальному падению.
Но даже при сравнительно небольшом, «металлическом», значении
параметра kFl > 5 -=-10 эта температура становится нереально низкой,
так что фактически локализации не происходит. К тому же кроссовер
может не наступить и из-за конечности размеров образца L: даже
охладившись до температуры Тсг, мы не увидим кроссовер, если
L < ?. Линия кроссоверов изображена на рис. 6.6, где величина 1/?
отложена вдоль оси абсцисс в качестве количественной меры беспо-
беспорядка; это сделано на основании F.22).
6.3]
Двумерные BD) системы
123
\IL Щ
Рис. 6.6. Кроссовер между логарифмической и экспоненциальной темпера-
температурными зависимостями проводимости в двумерных системах
Таким образом длина ?, определяемая формулой F.22), это дей-
действительно тот самый радиус локализации, на котором данный беспо-
беспорядок в двумерной системе локализует носители при Т = 0. В «ме-
«металлических» пленках, / ^> fcp1, длина ? экспоненциально велика,
и локализация существует лишь гипотетически: для ее наблюдения
нужны нереально большие размеры образцов L ^> ? и нереально низ-
низкие температуры F.23). По мере роста беспорядка и уменьшения
параметра kFl минимальный размер L падает, а температура F.23)
растет. При kFl > 1 оба параметра становятся реальными. Именно
для этой области скейлинговая гипотеза вместо перехода металл-
изолятор по мере увеличения беспорядка при Т = 0 предсказывает
для 2Б-системы с фиксированным беспорядком кроссовер от слабой
к сильной локализации при уменьшении температуры.
Представленные ниже эксперименты иллюстрируют изложенные
соображения на различных 2Б-системах. Такими системами могут
быть либо особым образом изготовленные плоские поверхности раз-
раздела двух сред, вдоль которых образуется двумерная яма для элек-
электронов (гетероструктуры, инверсионные слои), либо тонкие пленки.
В гетероструктуре GaAs/AlxGai_xAs концентрацию 2Б-электро-
нов можно менять при помощи затвора: на одном образце при измене-
изменении электрического поля получается весь спектр концентраций. Как
видно из рис. 6.7, функция р(Т) носит явно активационный характер
при концентрации п « 0,6 • 1011 см~2, а при п « 6 • 1011 см~2 имеет
место лишь слабый логарифмический рост р с понижением Т. Хотя
возможности для детального сравнения в этом эксперименте были
весьма невелики, качественно получилось именно то, чего следует
ожидать на основании скейлинговой гипотезы.
Более детальное сравнение удалось произвести на пленках Си, Ag
и Аи с толщинами а в интервале от 0,3 до 2 нм.
124
Скейлинговая гипотеза
[Гл.6
10°
GaAs /ALGa,
,5 2,0
Рис. 6.7. Эволюция температурной зависимости сопротивления двумерного
газа в гетеропереходе по мере изменения двумерной электронной плотно-
плотности от п ~ 0,6 • 1011 см~2 (верхняя кривая) до п ~ 6 • 1011 см~2 (нижняя
кривая) [7]
^6 -4 -2 0 2
In (Г/Го)
0 100 200
т/г
Рис. 6.8. а) Температурные зависимости Iny/yoo пленок из разных металлов
и различной толщины (кривые справа) при помощи одного свободного
параметра То, т.е. при помощи параллельного горизонтального переноса,
все ложатся на одну универсальную кривую. Асимптота этой кривой при
больших у — это логарифмическая зависимость, характерная для слабой
локализации E), а при малых у это активационный закон Аррениуса (в) [8]
6.3] Двумерные BD) системы 125
Заметьте. Размерность образца определяется сравнением тол-
толщины а с неупругой длиной L^, поэтому эти пленки действитель-
действительно двумерные объекты. А при достаточно низких температурах
двумерными могут стать и гораздо более толстые пленки.
Результаты измерений на всех трех металлах построены в виде
серии кривых в правой части рис. 6.8, а; при этом первоначальном
построении в качестве То использовалась величина 1 К, а величина
уоо была выбрана равной уоо = Bтг)~1(е2/Й). Оставив у/уоо фикси-
фиксированным, все экспериментальные точки удалось положить на одну
кривую, сделав То свободным параметром, своим для каждой из экс-
экспериментальных кривых. Для каждой из кривых на рис. 6.8, а это
означает параллельный перенос вдоль горизонтальной оси на расстоя-
расстояние — In Tq . Хотя измерения на каждом отдельном образце укладыва-
укладываются лишь на небольшой участок получившейся сводной кривой, вся
кривая перекрывает больше трех порядков по T/Tq и содержит как
участок слабой локализации (часть кривой lny/уоо > О, рис. 6.8, б),
так и активационный участок (lny/уоо < —2, рис. 6.8, в).
На активационном участке, т. е. в области сильной локализации,
теория прыжковой проводимости допускает различные степени в фор-
формуле у ос ехр [—(То/Т)"]. Согласно рис. 6.8, в, в данном эксперименте
температурная зависимость у(Т) имеет степень v = 1, что указывает
на существование жесткой щели шириной Tq.
Сравните. На ультратонких пленках Be наблюдаются степень v =
= 1/2 (см. рис. 4.7) и кулоновская щель (см. рис. 3.10 и рис. Б.5).
Даже в виде ультратонких пленок материалы сохраняют индиви-
индивидуальность.
Наблюдать кроссовер от слабой локализации к сильной удалось
и на одном образце. На рис. 6.9 приведены измерения сопротивления
в интервале от комнатной температуры до 0,2 К (больше трех по-
порядков) на образце GaAs, 5-легированном кремнием, имеющем квази-
квазиодномерную конфигурацию (длинная полоска шириной 500 А). Кон-
Концентрация носителей в 5-слое определяется исходным уровнем леги-
легирования и не может быть изменена в процессе эксперимента. Как
и в тонких металлических пленках, здесь реализуется принцип «один
образец — одна концентрация». Результаты измерения ниже 1 К укла-
укладываются на активационную зависимость R ос ехр (То/Т) с Tq ~ 2,6 К,
а выше То кривая R(T) описывается формулами теории слабой ло-
локализации. В какой мере существенна квазиодномерность образца, не
совсем ясно. Возможно, что использованные геометрические разме-
размеры оказались особо благоприятны для расширения температурного
интервала измерений. Во всяком случае линейная зависимость сопро-
сопротивления от 1пТ в области температур выше То характерна именно
для двумерных образцов.
Описанную гармонию между скейлинговой гипотезой и экспери-
экспериментами нарушают результаты опытов на инверсионных слоях в крем-
кремнии, где концентрация регулируется напряжением на затворе. На
126
Скейлинговая гипотеза
[Гл.6
ю3
io2
|io
1
0,1
\
0,1
\
\
\
\
V
т
1
8™легированный
GaAs ;
]
-z
i
10 100
L К
io3
io2
1
io"
'{, Si
:)} n [ю1Осм"
.- ! • |
: ¦ ¦*-¦¦¦ - I- -
*¦ i • . I....-
'¦¦ 1-
-I'-'
0 2 4
r, к
2]
= 7,
13
6
-
12 :
i
J '¦
:
-
-.
Рис. 6.9. Температурная зависи- Рис. 6.10. Температурная зависимость
мость сопротивления полоски ши- сопротивления инверсионного слоя на
риной 0,05 микрон из 5-легирован- поверхности Si при различной плотно-
ного GaAs, [9] сти носителей в слое, [10]
10
10
10'
10
10"
V
r:
74,27 А
0
5
Г, К
10
15
Рис. 6.11. Переход сверхпроводник-
изолятор в пленке аморфного Bi,
нанесенного на подложку из аморф-
аморфного Ge толщиной 5 А, [11]
образцах с рекордно большой по-
подвижностью носителей в слое
увеличение концентрации носите-
носителей П2 в 2Б-слое меняет знак про-
производной др/дТ, так что при П2 ~
« 1,4 • 1011 см~2 сопротивление
падает в несколько раз по ме-
мере уменьшения температуры от
4 К до нескольких десятков мК
(см. рис. 6.10). В этом существен-
существенное отличие от кривых для гете-
роструктуры GaAs/AlxGai_xAs
(на рис. 6.7) и существенное про-
противоречие со скейлинговой гипо-
гипотезой.
Интерпретация эволюции про-
производной др/дТ с концентрацией
в инверсионных слоях в кремнии
вызвала много споров. Всегда
можно сказать, что в экспери-
эксперименте просто не была достигнута
достаточно низкая температура.
Но сейчас считается весьма веро-
вероятным, что при некоторой про-
промежуточной концентрации, когда
низкотемпературная производная
6.4] Скейлинг и спин-орбитальное взаимодействие 127
др/дТ « 0 при достигнутых температурах, при Т = О действительно
происходит переход металл-изолятор. Это могло бы означать наличие
взаимодействия в электронной системе, существенно влияющего на
волновые функции основного состояния, по крайней мере по одну сто-
сторону от перехода. Один такой пример хорошо известен: в результате
сверхпроводящего взаимодействия в 2Б-электронной системе вместо
поведения, описываемого скейлинговой гипотезой, может произойти
квантовый переход сверхпроводник-изолятор. Классический пример
такого перехода приведен на рис. 6.11: кривые R(T) на аморфных
пленках Bi различной толщины.
Хотя качественно картинки на рис. 6.10 и рис. 6.11 похожи, сверх-
сверхпроводящее взаимодействие в случае кремния вряд ли существенно:
сверхпроводимость мало чувствительна к рассеянию, в то время как
положительная производная др/дТ при больших п наблюдается толь-
только на образцах с большой подвижностью. Поэтому пока для этой
системы больше вопросов, чем ответов: что ответственно за положи-
положительную производную др/дТ; как бы повела себя функция сг(Т) =
= р-1(Т), если бы дальше понизить температуру, т. е. какова на самом
деле функция а(Т = 0, п), и т. п.
Заметьте. На сегодняшний день эти вопросы образуют замкну-
замкнутый круг: чтобы решить, есть ли переход металл-изолятор, нуж-
нужно знать функцию <т@,п), для этого нужно суметь правильно
экстраполировать сг(Т) —> <т@), для этого нужно понимать приро-
природу температурной зависимости <т(Т), т. е. выделить существенные
взаимодействия и знать, есть ли переход.
6.4. Скейлинг и спин-орбитальное взаимодействие
Наличие спин-орбитального взаимодействия и связанной с ним ан-
антилокализации усложняет вопрос об универсальности кривых /3(\пу)
на рис. 6.1. Ведь взаимодействие меняет знак квантовой поправки
и, согласно табл. 6.1, должен измениться знак производной в правой
части кривых /3(\пу). Это особенно существенно в двумерном случае,
при d = 2, когда квантовая поправка B.25) имеет вид
J f (| е-^~ - i) . F.24)
Может показаться, что учет спин-орбитального взаимодействия
делает утверждение об отсутствии перехода металл-изолятор в дву-
двумерной системе принципиально неверным. Действительно, поскольку
речь идет о проводимости при Т = 0, положим в интеграле F.24)
верхний предел т^ = оо. В то же время rso остается конечным, потому
что вероятность переворота спина при упругом рассеянии не зависит
128
Скейлинговая гипотеза
[Гл.6
Рис. 6.12. Два варианта кривой
/3(]пу) для размерности d = 2
от температуры. Множитель
Ё p-t/Тво _ I
2 2'
стоящий в интеграле F.24) в скобках, в области t > rso становится
порядка —1/2. Это делает интеграл, расходящийся при больших ?,
отрицательным, а квантовую поправку к проводимости положитель-
положительной. Кривая /3Aпу) приобретает максимум, расположенный в верхней
полуплоскости /3 > 0, и критическую точку ус. На рис. 6.12 эта кривая
изображена пунктиром. Сплош-
Сплошной линией нарисована кривая,
построенная без учета спин-
орбитального взаимодействия
в предположении rso = оо.
Однако переход к Т = О,
т. е. переход т^ —> оо в верхнем
пределе интеграла F.24), требу-
требует некоторой осторожности. Это
видно из следующих рассужде-
рассуждений.
Пусть классический кондак-
танс образца равен уо. Начнем
вычислять квантовую поправку к проводимости, постепенно увеличи-
увеличивая верхний предел т* в интеграле F.24), начиная с т. Это означает,
что мы начинаем с учета интерференции на самых маленьких диф-
диффузионных контурах, а затем постепенно учитываем контуры со все
большим числом звеньев. Пока т* < rso, поправка к проводимости
растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательной. Мы дви-
двигаемся в сторону уменьшения In у, причем это движение происходит
вдоль нижней (сплошной) кривой. Когда т* достигнет rso , начнет
развиваться антилокализация и изображающая точка перепрыгнет на
верхнюю (пунктирную) кривую. Весь вопрос в том, когда это про-
произойдет. Чем сильнее спин-орбитальное взаимодействие, тем меньше
tso и тем правее будет точка перескока. Перескок в точке у\ > ус
означает, что при увеличении размеров пленки изображающая точка
будет двигаться вдоль пунктирной кривой направо, кондактанс будет
расти и пленка останется в металлическом состоянии. При перескоке
в точке у2 < ус изображающая точка останется в нижней полуплос-
полуплоскости и будет продолжать двигаться налево в состояние изолятора.
Для того чтобы оценить критическое значение rso заметим, что
критическая точка на пунктирной кривой расположена примерно там
же, где и кроссовер от логарифмической к экспоненциальной зависи-
зависимости кондактанса от температуры на сплошной кривой. Используя
формулу F.21) и выражение B.7) для 1^, получим оценку значе-
значения rs*o, при котором точка у\ попадает на критическое значение ус'.
т* =
F.25)
6.4] Скейлинг и спин-орбитальное взаимодействие 129
Для образования металлического двумерного состояния требуется
Tso <С т*о. Поскольку по определению tso > г, для rso возникает допу-
допустимый интервал
г <Crso<CrexpB/cF/). F.26)
В сильно разупорядоченных пленках удовлетворить эти неравенства
невозможно, потому что kFl ~ 1. В таких пленках спин-орбитальное
взаимодействие ничего существенно не меняет.
В пленках с kFl ^> 1 вопрос имеет чисто академический характер,
потому что температура кроссовера F.23) нереально низкая. Однако
в принципе хорошо проводящая пленка с большим kFl благодаря спин-
орбитальному взаимодействию может остаться металлической при аб-
абсолютном нуле температуры.
Список литературы
1. Mott N. V. Metal-insulator transitions. — Taylor & Francis, 1990.
2. Lee P. A., Ramakrishnan T. V. Disordered electronic systems // Rev. Mod-
Modern Phys. 57, 287 A985).
3. Kramer В., MacKinnon A. // Rep. Prog. Phys. 56, 1469 A993).
4. Abrahams E., Anderson P. W., Licciardello B.C., Ramakrishnan T. W. //
Phys. Rev. Lett. 42, 673 A979).
5. Shlimak /., Kaveh M., Ussyshkin R. et al. // Phys. Rev. Lett. 77, 1103
A996); J. Phys. Cond. Matt. 9, 9873 A997).
6. Shlimak /., Kaveh M., Ussyshkin R., Ginodman V., Resnik L. // Phys.
Rev. В 55, 1303 A997).
7. Van Keuls F. W., Mathur Я., Jiang H. W., Dahm A.J. // Phys. Rev. В 56,
13263 A997).
8. Hsu S.-Y., Valles J.M. // Phys. Rev. Lett. 74, 2331 A995).
9. Havin Yu., Gershenson M., Bogdanov A. // Phys. Rev. В 58, 8009 A998).
10. Kravchenko S. V., Mason W. E., Bowker G. E., Furnaux J. E., Pudalov V. M.,
Iorio M.B. II Phys. Rev. В 51, 7038 A995).
11. Haviland D.B., Liu Y, Goldman A.M. // Phys. Rev. Lett. 62, 2180 A989).
9 В. Ф. Гантмахер
Глава 7
ХИМИЧЕСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
Зонная теория металлов с ее концепцией перекрытия энергетиче-
энергетических зон не объясняет, а скорее описывает металлические свойства
вещества. Фундаментальная причина существования металлического
состояния состоит в том, что в изолированном металлическом атоме
потенциальная яма для валентных электронов сравнительно неглу-
неглубока, так что в конденсированном состоянии возмущение со стороны
соседних металлических атомов приводит к делокализации валентных
электронов. С такой точки зрения деление элементов на металлы
и металлоиды обусловлено строением атомов; металлы сосредоточены
в левом нижнем углу таблицы Менделеева, а граница между метал-
металлами и металлоидами размыта и весьма условна.
Поскольку валентные электроны в металлах делокализованы,
электронная концентрация в них не меньше, чем концентрация ато-
атомов. Такого же порядка и электронная концентрация в сплавах. В на-
начале гл. 1 материал с такой концентрацией был назван стандартным
металлом. Там же был сформулирован вопрос: можно ли устроить
переход металл-изолятор в веществе с большой электронной плот-
плотностью (см. также последний параграф и рис. 1.8 в гл. 1 и рис. 5.17
в гл. 5). И там же собран экспериментальный материал, из которо-
которого следует, что увеличение беспорядка, как статического (например
в аморфных сплавах), так и динамического (рост температуры), к пе-
переходу не приводит. Создавая в сплаве максимальный беспорядок,
мы лишь подводим его к крайней черте. Для того чтобы произошел
переход, требуется дополнительно заменить часть металлических
атомов на атомы металлоидов, уменьшив таким образом концентра-
концентрацию п делокализованных электронов до критического значения.
Введение атомов металлоидов может оказаться вдвойне эффектив-
эффективно в том смысле, что концентрация металлических атомов не всегда
однозначно определяет концентрацию п делокализованных или «по-
«потенциально де локализуемых» электронов. Если атомы металла и ме-
металлоида могут образовывать устойчивые химические молекулы, то
металлические электроны уходят на химические связи; из неглубокой
потенциальной ямы металлического атома они переходят в гораздо
более глубокую яму молекулы и поэтому остаются локализованны-
локализованными, невзирая на окружение этой молекулы. Поэтому эффективная
электронная концентрация п, которая должна влиять на положение
материала на фазовой диаграмме металл-изолятор, уменьшается еще
и потому, что возникают химические связи.
Концепция блокирования части «потенциально свободных»
электронов химическими связями позволяет сформулировать вопрос:
7.1] Интерметаллические комплексы в двухкомпонентных расплавах 131
Нельзя ли сконструировать глубокие потенциальные ямы, исполь-
используя только металлические атомы, что превратило бы в изолятор
материал, в котором нет атомов металлоидов, и который
должен был бы быть стандартным металлом? Экспериментальный
материал, собранный в этой главе, указывает на то, что это возможно.
Расплав А Расплав В
К вакуумной
системе
и
газовому
баллону
Изолирующая
трубка
7.1. Интерметаллические комплексы
в двухкомпонентных расплавах г)
Уже давно известно, что удельное сопротивление жидкого рас-
расплава двух очень хороших металлов может меняться во много раз,
даже на порядки, в зависимости от
относительной концентрации двух
компонентов, достигая максимума
при некотором рациональном отно-
отношении атомных концентраций типа
1:1 или 1:3 или 1:4. Для получения
подобных данных нужно уметь при
фиксированной температуре изме-
измерять сопротивление в зависимости
от концентрации компонентов спла-
сплава. В качестве примера кратко опи-
опишем экспериментальную установку,
использовавшуюся для измерения
системы Na-Pb (рис. 7.1).
Измерения производились
обычным четырехконтактным спо-
способом в двух плечах U-образной
трубки из нержавеющей стали диа-
диаметром около 4 мм, заполненной
исследуемым расплавом. На обоих
плечах трубки снаружи были при-
припаяны по четыре медных прово-
провода для электрических измерений.
Предварительно, перед заполнени-
заполнением расплавом, собственные сопро-
сопротивления плеч были измерены в за-
зависимости от температуры и могли
быть учтены в виде поправок. Оба
конца U-образной трубки при по-
помощи гаечных разъемов были под-
подсоединены к трубкам большего диаметра, которые служили резерву-
резервуарами расплава. При помощи чистого гелия и откачки расплав мож-
можно было выдавливать то в один, то в другой резервуар и тем самым
перемешивать. Перемешивание производилось до тех пор, пока ра-
Рис. 7.1. Ячейка для измерений
удельного сопротивления распла-
расплава. 1, 2 и 3 — термопары, Li
и L2 — медные провода для из-
измерения сопротивления в левом
колене, Ьз и L4 — то же в правом
колене [3]
) Экспериментальные подробности можно найти в обзорах [1, 2].
132
Химическая локализация
[Гл. 7
венство сопротивлений в обоих плечах трубки не подтверждало од-
однородности расплава. Перед окончательными измерениями сопротив-
сопротивления давление газа и уровни расплава в обоих плечах выравнива-
выравнивались. После измерения сопротивления одного какого-то фиксирован-
фиксированного состава в расплав добавлялось определенное количество одного
из компонентов и вся процедура повторялась.
На рис. 7.2 приведены результаты измерений расплава Na-Pb при
температуре 725 °С. Видно, что соотношение концентраций Na к РЬ
равное 4:1 явно выделено. Добавка 20 % РЬ увеличивает сопротивле-
сопротивление по сравнению с чистым Na почти в 20 раз. При этом значение
сопротивления в максимуме получилось больше максимально возмож-
возможного сопротивления р* стандартного металла
B00 -=- 300) мкОм ¦ см
G.1)
при длине пробега I порядка среднего расстояния между носителя-
носителями п/3 и примерно равной ему длины де-бройлевской волны /ср1
(см. формулы A.5), A.6) из гл. 1). Примерно так же ведет себя и си-
система Li-Pb.
400-
о
о
х 500 °С
о 605 °С
|- - 625 °С
+ 650 °С
Rb 20 40 60 80 РЬ
ах %
Рис. 7.2. Сопротивление расплавов Рис. 7.3. Сопротивление расплавов
системы Na-Pb при температуре системы Rb-Pb при различных тем-
725 °С. Максимум достигается при пературах [4]. Максимум дости-
концентрации свинца Срь=20%, гается при концентрации свинца
когда возникают устойчивые кон- Срь=50%; устойчивыми являются
фигурации PbNa4 [3] конфигурации Pb4Rb4
Замена Li и Na на более тяжелые щелочные металлы К, Rb или
Cs приводит к существенному изменению диаграммы сопротивле-
сопротивление — концентрация. Для примера на рис. 7.3 приведена диаграмма
7.1] Интерметаллические комплексы в двухкомпонентных расплавах 133
для системы Rb-Pb. Положение максимума на диаграмме сместилось
к рациональному отношению концентраций 1:1 компонентов Rb и
РЬ, а значение сопротивления в максимуме стало в несколько раз
больше. Оно уже на порядок превышает максимальное сопротивление
стандартного металла A.5), A.6). Очень важно, что малое отклонение
от соотношения 1:1 приводит к резкому падению сопротивления. Как
видно из обзорных графиков на рис. 7.4, точно так же ведут себя и рас-
расплавы щелочных металлов с другим четырехвалентным металлом —
оловом. При этом в расплавах на основе Cs реализуются еще большие
значения удельного сопротивления.
14
12
§10
О 8
2 6
Cl
4
2
Cs^Sn {>
-
'i
j
K-Sn /
i
\/ \ Na-Sn '
" У /'V \/
Cs-Pb
0 20 40 60 80 100
Концентрация Sn, ат. %
0 20 40 60 80 100
Концентрация РЬ, ат. %
Рис. 7.4. Обзорные графики сопротивления расплавов систем Sn-B и РЬ-В
(В — щелочной металл). Сопротивление сплавов с Li и сплава Pb-Na имеет
максимум при Са=20 % (A=Pb, Sn); сопротивление сплава Sn-Na имеет два
максимума при Csn ~25 % и 45 %; все остальные — при Са=50 % [5]
Большие значения сопротивления означают, что вблизи соответ-
соответствующих отношений концентраций расплав перестает быть стандарт-
стандартным металлом в том смысле, что часть носителей в нем каким-то
образом связана, а оставшаяся эффективная концентрация neff <C
<С 4 • 1022 см~3 (ср. с A.4)). Действительно, для системы Rb-Pb вели-
величина р « 2200мкОм-см раз в 10 больше максимального значения для
стандартного металла р* « B00 -!- 300) мкОм-см. Согласно формулам
A.5), A.6) отсюда следует, что в расплаве число свободных носителей
не больше, чем 10~2 -!-10~3 от обычного числа носителей в стандарт-
стандартном металле.
Из рациональности соотношений A:4, 1:1) концентраций ком-
компонентов следует, что рост сопротивления связан с образованием
комплексов. Положение максимума в расплавах на основе Li и Na
с несомненностью указывает на существование в расплаве комплексов
Na4Pb и 1л4РЬ. В них оказывается запертой основная часть электро-
134 Химическая локализация [Гл.7
нов. На валентных оболочках пяти входящих в такой комплекс атомов
имеется восемь электронов. По-видимому они группируются в одну
устойчивую внешнюю оболочку иона РЬ , а четыре щелочных иона
располагаются вокруг, удерживаемые кулоновскими силами. Они со-
создают барьер, благодаря которому восемь электронов на внешней
оболочке РЬ удерживаются внутри этой электрически нейтральной
атомной конфигурации и не участвуют в проводимости (рис. 7.5, а).
¦1> ! Cs' ) 'к .Л ч- <
/ ¦¦'¦• / / \ \ \ \
I / / \ V. ч ^
Ph^\., i А/ At» J
\ !
>-
'"¦-/
( cs* L-^-'
Рис. 7.5. а) Ионные конфигурации из атомов РЬ или Sn и легких щелочных
металлов Li или Na; б) то же с участием атомов тяжелых щелочных метал-
металлов К, Rb или Cs
Для щелочных атомов большего размера такая конфигурация ста-
становится менее выгодной, потому что из-за взаимного отталкивания
ионы щелочного металла не могут расположиться близко от иона
свинца. Это приводит к качественному изменению образующихся кон-
конфигураций. Эти структуры известны. По имени немецкого химика,
предложившего в 30-х годах принцип формирования ионных кон-
конфигураций, они называются структурными единицами Зинтля. Если
электрон перейдет с щелочного атома на атом РЬ, то у иона РЬ~ на
внешней оболочке окажется пять электронов, как у атома Р или As.
Последние, как известно, образуют в газовой фазе тетраэдральные
молекулы Р4 или As4- При этом вблизи каждого атома оказывается
по восемь электронов: пять своих и по одному из ковалентной связи
с каждым из трех соседей в тетраэдре. Ионы РЬ~ образуют такие же
тетраэдры, а суммарный электрический заряд — 4е такого тетраэдра
компенсируется примыкающими к нему четырьмя ионами щелочного
металла (рис. 7.5, б). Аналогично ведут себя ионы Sn~, которые обра-
образуют тетраэдры (ЯщL", обрамленные четырьмя щелочными ионами.
Способность таких комплексов служить электронными ловушка-
ловушками выше, чем у комплексов Na4Pb и I^Pb. В каждой структурной
единице
А4В4, А = Pb, Sn, В = К, Pb, Cs, G.2)
оказываются запертыми 20 валентных электронов.
7.1] Интерметаллические комплексы в двухкомпонентных расплавах 135
Аналогично ведут себя бинарные расплавы щелочных металлов
с некоторыми другими металлами. Абсолютным чемпионом с точ-
точки зрения образования эффективных электронных ловушек является
изоатомный расплав двух совершен-
совершенно идеальных металлов: щелочного
Cs и благородного Аи. Как видно
из рис. 7.6, образование комплексов
в расплаве уменьшает проводимость
на 4 порядка. Она становится сравни-
сравнимой с проводимостью расплава солей
C Ом • см у CsAu и 1 Ом • см
у расплава соли CsCl).
Вопросы о том, где, когда, какие
и сколько конфигураций Зинтля обра-
образуется в металлическом расплаве и ка-
каковы энергии связи этих конфигура-
конфигураций, относятся к компетенции кванто-
квантовой химии и химической термодина-
термодинамики. Поскольку расплавы по опреде-
определению находятся при высокой темпе-
температуре, кривые на рис. 7.3 или 7.6 не
следует считать демонстрациями пере-
переходов металл-изолятор. Для того что-
чтобы ввести эти материалы в круг объ-
объектов, описываемых теорией переходов
металл-изолятор, их следовало бы за-
Cs 20
40 60 80 Аи
ат. %
Рис. 7.6. Проводимость рас-
расплавов системы Cs-Au при
температуре 600 °С [1, 6]
калить, превратив в стекло. Тогда, например, из низкотемпературных
зависимостей транспортных характеристик вероятно можно было бы
получить количественные параметры электронных ловушек. На сего-
сегодняшний день попыток закалки таких расплавов с целью исследова-
исследования их низкотемпературных свойств не известно.
На физическом языке ионные структуры Зинтля можно назвать
глубокими ямами случайного потенциала, благодаря которым при
стехиометрических концентрациях компонентов сплава происходит
локализация. Поэтому кажется весьма уместным использование при
обсуждении имеющихся экспериментов тех понятий и моделей, ко-
которые разработаны для описания переходов металл-изолятор. Ион-
Ионные ловушки — конфигурации Зинтля — изначально все являются
одинаковыми, и потому наиболее подходящей представляется модель
структурного беспорядка (§5.5), в которой потенциал имеет вид
V(r) =
G.3)
а беспорядок определяется хаотичностью множества векторов R^.
Здесь г;(г) — это потенциал отдельной ионной конфигурации. При
малых концентрациях ям п,
авп
1/3
G.4)
136
Химическая локализация
[Гл. 7
эта модель описывает изолятор: каждый электрон локализован в сво-
своей яме г;(г — Hi), а вне ямы его волновая функция затухает на рас-
расстоянии ав.
Сравните. При описании моноэлементных жидких металлов тот
же потенциал G.3) рассматривается как рассеивающий, так как
предполагается, что вместо G.4) справедливо обратное неравен-
неравенство, а электроны полностью делокализованы.
Каждая конфигурация А4В4 из G.2) является почти сферической
ямой для 4 • 4 + 4 = 20 валентных электронов, которые располагаются
внутри нее на последовательных уровнях энергии. Входящая в пара-
параметр G.4) длина затухания ав относится, вообще говоря, к верхнему
из занятых уровней. Электроны на более глубоких уровнях вообще
не просачиваются наружу ямы. Это уменьшает на порядок входящую
в G.4) концентрацию «потенциально делокализуемых» электронов
и облегчает переход металл-изолятор.
В рамках такого описания можно качественно объяснить темпера-
температурную зависимость проводимости CsAu, представленную на рис. 7.7.
Изменение с температурой проводимости расплава CsAu в жидком
Рис. 7.7. Проводимость сплава Cs-Au с 51 % Аи как функция температуры
в жидком и твердом состояниях [1,7]
состоянии определяется изменением числа термически возбужден-
возбужденных носителей; поэтому выше температуры плавления проводимость
растет с температурой. При кристаллизации появляются кластеры
резонансных ям, имеющих одинаковых и одинаково расположенных
соседей. Хаотичность расположения ям частично сохраняется толь-
только в меру нестехиометрии и наличия кристаллических дефектов
и межкристаллитных границ. Следствием роста числа резонансных
ям является частичная делокализация и десятикратный рост прово-
проводимости.
Однако заметьте. Проводимость кристаллического CsAu на
рис. 7.7 все равно раз в 50 меньше, чем предельная проводимость
1/р* стандартного металла G.1). При этом неясно, в какой мере
7.2]
Квазикристаллы
137
и как она зависит от отклонений от стехиометрии, количества
дефектов, температуры и т. д.
7.2. Квазикристаллы у
Введение трансляционной симметрии — это не единственный спо-
способ установления дальних корреляций на множестве векторов R^
в модели структурного беспорядка G.3). Другим способом является
установление квазикристаллического дальнего порядка.
Трансляционная симметрия, всегда имеющаяся в кристаллах, до-
допускает существование осей симметрии только 2, 3, 4 и б порядков.
Вместе с тем нетрудно себе пред-
представить, что из всевозможных ло-
локальных конфигураций небольшо-
небольшого количества атомов AnBmCp
определенных элементов А, В и С
конфигурация с наименьшей энер-
энергией может иметь иные оси сим-
симметрии, например оси 5 порядка.
Тогда обычный кристалл из мате-
материала состава AnBmCp можно об-
образовать двумя способами. Мож-
Можно пожертвовать оптимальной ло-
локальной симметрией, пожертвовав
в связи с этим некоторой энерги-
энергией, и образовать кристалл с иной
конфигурацией ближайших сосе-
соседей у каждого атома, но с транс-
трансляционной симметрией. Существу-
Существует, однако, и иная возможность.
Расположим оптимальные конфи-
конфигурации из п + т + р атомов в уз-
узлах какой-либо кристаллической решетки, например, объемноцентри-
рованного куба. Тогда проигрыш в энергии возникнет за счет рассо-
рассогласования и искажений на стыках этих конфигураций, где ближний
порядок окажется заведомо не оптимальным. Тем не менее у некото-
некоторых веществ существуют именно такие кристаллические структуры.
Они называются кристаллическими аппроксимантами или прототи-
прототипами квазикристаллов. Именно так устроен кристаллический сплав
a(AlMnSi), оптимальные конфигурации в котором называются икоса-
икосаэдрами Макея (рис. 7.8).
Оказывается, однако, что можно вообще отказаться от трансляци-
трансляционной симметрии, плотно заполняя пространство оптимальными кон-
Рис. 7.8. Кристаллическая струк-
структура сплава a(AlMnSi). Каждый
икосаэдр Макея содержит более 50
атомов [9]
г) Подробное обсуждение различных аспектов физики квазикристаллов
можно найти, например, в [8].
138
Химическая локализация
[Гл. 7
фигу рациями. Принципиально такую возможность в двумерном про-
пространстве демонстрирует покрытие Пенроуза в нижней части рис. 7.9:
плоскость плотно, без пропус-
пропусков и перекрытий, покрывает-
покрывается ромбами двух типов с ост-
острыми углами 2тг/5 и тг/5. Эти
ромбы изображены на рисун-
рисунке вверху слева. Поскольку при
покрытии они примыкают друг
к другу заранее помеченными
вершинами, правильно задан-
заданные функции на ромбах F(r)
при стыковке ромбов не ис-
испытывают разрывов, образуя
непрерывную апериодическую
функцию, отдельные участки
которой повторяются на плос-
плоскости бесконечное количество
раз. Сверху справа на рис. 7.9
показано отдельно расположе-
расположение вершин ромбов (в масштабе
1:2). Из-за отсутствия трансля-
трансляционной симметрии довольно
Рис. 7.9. Покрытие Пенроуза. Вни-
Внизу: покрытие плоскости без зазоров
и перекрытий двумя сортами ромбов,
изображенных вверху слева: с оди-
одинаковыми сторонами а и с острыми
углами, соответственно, 2тг/5 и тг/5
(вершины, помеченные полыми круж-
кружками, в покрытии примыкают друг
к другу). Вверху справа: множество
вершин ромбов изображенного внизу
фрагмента покрытия в масштабе 1:2.
Хотя узлы 1-4 каждый имеет ближай-
ближайших соседей только на расстояниях а,
конфигурации соседей у них принци-
принципиально различны (см. текст). Пунк-
Пунктиром выделены резонансная пара
близко расположенных узлов и ком-
компактно расположенная тройка
трудно усмотреть наличие кор-
корреляций. Однако дальний по-
порядок в системе имеется: ром-
ромбы располагаются на плоско-
плоскости вполне определенным, хотя
и неоднозначным способом.
Квазикристаллы устрое-
устроены по этому же принципу.
Оптимальные конфигурации
с осями симметрии высокого
порядка, как ромбы Пенроуза,
выстраиваются в трехмерную
сеть, не имеющую трансля-
трансляционной симметрии, но обла-
обладающую дальним порядком.
Сейчас уже известно много
семейств таких материалов.
Большинство из них являются металлическими сплавами в том
смысле, что состоят только из металлических атомов: Al-Mn, Ga-
Mg-Zn, Al-Cu-Fe, Al-Pd-Re и т. д. Базисные конфигурации при
этом могут быть довольно сложными. Например в квазикристаллах
состава Al-Pd-Mn они состоят из трех вставленных друг в друга
оболочек, содержащих в общей сложности 51 атом (рис. 7.10).
Квазикристаллы идентифицируют и исследуют в основном по ди-
дифракции рентгеновских лучей, так же как и обычные кристаллы.
7.2] Квазикристаллы 139
Фурье-образ любой функции координат в идеальном кристалле, на-
например плотности ?>(г), представляет собой сумму бесконечного коли-
количества узких пиков, в идеале (^-функций:
g(r) = ?>qexp(iqr). G.5)
Совокупность векторов q образует решетку в ^-пространстве, облада-
обладающую той же симметрией, что и исходная решетка атомов. Каждому
узлу этой обратной решетки соответствует брэгговский рефлекс на
9 атомов 12 атомов 30 атомов 51 атом
Рис. 7.10. Последовательные оболочки из атомов в псевдо-икосаэдре Ма-
кея, являющимся базовым элементом структуры квазикристалла Al-Pd-Mn;
суммарное число атомов 51 [10]
лауэграмме кристалла. Рефлексы тем острее, чем совершеннее кри-
кристалл.
Брэгговские рефлексы не являются исключительным свойством
кристаллов. В качестве фурье-образа можно изначально взять ряд
G.5), в котором множество векторов q не обладает трансляционной
симметрией, и из него получить обратным фурье-преобразованием
функцию ?>(г), тоже без трансляционной симметрии. Фурье-образа-
Фурье-образами квазикристаллов являются именно такие ряды. При этом ши-
ширина брэгговских рефлексов по-прежнему определяется несовершен-
несовершенством структуры: отклонениями локальных конфигураций от идеаль-
идеальной, сбоями дальнего порядка из-за примесей, вакансий и т. п. Чем
острее брэгговские рефлексы, тем ближе квазикристалл к идеаль-
идеальному.
В металлических монокристаллах существует корреляция: чем вы-
выше качество лауэграммы, тем меньше сопротивление р. Эта корре-
корреляция отражает волновую природу электронов; улучшение условий
распространения рентгеновской волны сопровождается уменьшением
рассеяния блоховской волны. В квазикристаллах все происходит ров-
ровно наоборот: отжиг, повышающий качество лауэграммы, одновремен-
одновременно увеличивает электросопротивление. Сами значения удельного со-
сопротивления при этом очень велики. Например, в квазикристаллах си-
системы Al-Cu-Ru они достигают при 4 К значений порядка 30 мОм • см.
Это примерно в 100 раз больше, чем значение р* « l/^Mott? оцени-
оцениваемое из концентрации валентных, металлических, электронов п по
формулам A.5) и A.6) из гл. 1.
Наиболее низкая проводимость наблюдается в системе Al-Pd-Re,
в которой удельные сопротивления при 4 К устойчиво получаются
140
Химическая локализация
[Гл. 7
Рис. 7.11. Температурные
зависимости проводи-
зависимости проводимости квазикристаллов
Al7oPd22,5Re7,5, спрямля-
спрямляющиеся при аргументе
Т1//3 в непосредственной
близости к переходу ме-
металл-изолятор (нижние
четыре состояния) и при
аргументе Т1//2 в глубине
металлической области
(верхние три состояния).
Состояния можно марки-
маркировать, например, по ве-
величине удельной проводи-
проводимости Gю при температу-
температуре 10 К [11]
с <т@) > б (Ом • см)
~
порядка 200 -!- 300мОм-см. Слитки этого
сплава получают дуговой плавкой смеси
очень чистых Al, Pd и Re в атмосфере чи-
чистого аргона. Сплав становится икосаэд-
рическим квазикристаллом после отжига
в вакууме при 980 °С в течение 24 часов.
Однако и после этого он остается чувстви-
чувствительным к более низкотемпературному от-
отжигу при 600 °С. Такой отжиг в течение
1-2 часов может удвоить или даже утро-
утроить сопротивление при 4 К при неизмен-
неизменном качестве или незначительном улучше-
улучшении лауэграммы.
На рис. 7.11 температурные зависи-
зависимости проводимости для квазикристал-
квазикристаллов Al7oPd22,5Re7,5 показаны как функции
Т1/3 (четыре нижние кривые) или Т1/2
(три верхние кривые). Для того чтобы
различать образцы, а также различные со-
состояния одного образца, полученные при
низкотемпературном отжиге, в качестве
параметра можно выбрать значение <тю
проводимости при 10 К (масштабы гори-
горизонтальных осей выбраны так, что обе
шкалы совпадают не только при Т = 0,
но и при этой температуре). Как видно из
рис. 7.11, для всех измеренных функций
сг(Т) линейная экстраполяция в выбран-
выбранных шкалах позволяет определить значе-
значение сг(О).
Общая картина эволюции функции
cf(T) полностью соответствует тому, что
должно происходить в окрестности пере-
перехода металл-изолятор (ср. с рис. 6.4 и 6.5
в гл. 6, а также с рис. 8.9 и 8.10 в следу-
следующей главе). Для трех верхних состояний
можно считать выполненным соотношение
Асг
- сг(О) <сг(О).
G.6)
Это позволяет считать для них температурозависящую часть про-
проводимости квантовой поправкой. Именно поэтому зависимость сг(Т)
спрямляется в осях (Т1/2,^).
Для четырех нижний состояний с <7ю < 12 -!- 14 (Ом • см) соот-
соотношение G.6) меняется на противоположное. Это означает, что эти
состояния находятся в критической окрестности перехода металл-
изолятор. Именно поэтому зависимости сг(Т) для этих состояний по-
7.2]
Квазикристаллы
141
строены как функции Т1/3 и спрямляются при таком построении:
G.7)
Переход металл-изолятор происходит при а A0 К) = <7ю ~
9 (Ом- см) ~ , а у состояний с меньшими значениями <7ю низко-
низкотемпературный транспорт реализу-
реализуется при помощи прыжковой про-
проводимости. При углублении в об-
область изолятора температурный
интервал, в котором наблюдает-
наблюдается прыжковая проводимость, ста-
становится достаточно широким. Это
иллюстрирует рис. 7.12, из которо-
которого видно, что в квазикристаллах
Al7oPd22,5Re7,5 реализуется закон
Мотта Л ..
WocT-1/4. G.8)
Степень Т/4 означает, что плот-
плотность состояний электронного спек-
спектра в окрестности ферми-уровня
имеет постоянное значение, отлич-
отличное от нуля (см. формулы D.17)-
D.19) ирис. 4.6 в гл. 4).
Таким образом, все происходя-
происходящее с транспортом в квазикристал-
квазикристаллах Al7oPd22,5Re7,5 при низкотем-
пературном отжиге, улучшающем
условия распространения электро-
электромагнитных волновых пакетов, пол-
15
Г, К Г, К
3 1 0,515 3 1
Рис. 7.12. Закон Мотта для про-
проводимости квазикристаллов
Al7oPd22,5Re-7,5, находящихся
в области изолятора (около кри-
кривых указаны проводимости при
10К, равные 5 и 3 (Осм)). Тем-
Температурные зависимости спрям-
спрямляются только, когда lncr постро-
построен как функция 71/4 [Ц]
ностью соответствует изложенной в гл. 4—6 картине переходов ме-
металл-изолятор в разупорядоченных средах при уменьшении парамет-
параметра авп1^.
Заметьте. Хотя тенденция роста удельного сопротивления при
сужении брэгговских рефлексов характерна для многих семейств
квазикристаллов, переход металл-изолятор наблюдался пока
только в системе Al-Pd-Re. Максимальные значения удельного
сопротивления при 4 К в системах Al-Cu-Fe, Al-Cu-Ru и А1-
Cu-Mn на один-два порядка меньше, чем в Al-Pd-Re. Следует
отметить при этом, что они все равно превышают в 10-100 раз
значение р* из формулы G.1).
Постараемся понять, как же устроен изолятор Al7oPd22,5Re7,5-
Структура высокоомных квазикристаллов наиболее подробно
изучена на примере системы Al7oPd22Mri8, которая отличается от
Al7oPd22,5Re7,5 лишь заменой Мп на изовалентный Re. Можно
считать, что количественные характеристики этих квазикристаллов
практически одинаковы.
142 Химическая локализация [Гл.7
Итак, основой структуры квазикристаллов Al7oPd22Mri8 (а также
Al7oPd22,5Re7,5) являются высокосимметричные, близкие к сфериче-
сферической конфигурации из 51 атома (см. рис. 7.10). Согласно дифракцион-
дифракционным данным, плотность атомов в этих веществах близка к 6-Ю22 см~3.
Поскольку атомы переходных элементов забирают часть из трех ва-
валентных электронов алюминия, оставшаяся часть «потенциально ме-
металлических» электронов составляет чуть меньше двух на атом, т. е.
около 1023 см~3. Для того чтобы вещество с такой гигантской кон-
концентрацией электронов было изолятором, нужно поместить электро-
электроны в глубокие потенциальные ямы — ловушки. В интерметаллидных
бинарных расплавах ловушками были конфигурации G.2), в квази-
квазикристаллах — высокосимметричные конфигурации рис. 7.10, в кото-
которых имеется примерно 90 уровней для бывших валентных электро-
электронов. Покинуть ловушку при благоприятных обстоятельствах могут 1-
2 электрона с верхних уровней. Поэтому электронная концентрация
изначально понижается на 2 порядка, после чего уже можно опериро-
оперировать более или менее стандартными моделями переходов металл-изо-
металл-изолятор.
В нулевом приближении положение уровней во всех электронных
конфигурациях одинаковое. Если бы конфигурации были располо-
расположены периодически, то в соответствии с зонной теорией эти уровни
превратились бы в зоны, и электроны с верхнего уровня могли бы де-
локализоваться. По всей видимости, глубина ям-ловушек все же недо-
недостаточна для того, чтобы удержать электроны при наличии резонанс-
резонансного туннелирования в периодической решетке. Но в квазикристалле
есть много вариантов расположения соседних конфигураций по от-
отношению к данной. Каждому варианту окружения, в соответствии
с моделью структурного беспорядка, описанной в гл. 5, соответству-
соответствует свой сдвиг электронных уровней данной конфигурации. Поясним
это на примере покрытия Пенроуза, для чего обратимся к рис. 7.9.
Расстояние от данного узла до соседнего может быть равно стороне
ромба а, малой диагонали узкого ромба а\= 0,62а и малой диагонали
широкого ромба а% = 1,18а. Но вариантов окружения, определяю-
определяющего сдвиг уровня конкретного узла, очень много. Например, узлы
с соседями на наименьшем расстоянии а\ могут стать резонансными
парами, либо тройками. Узлы 1 и 2 имеют каждый 5 соседей на
расстоянии а, но при этом у узла 1 все 5 соседей входят в резонансные
пары или в компактные тройки с попарными расстояниями а\ < а,
а узел 2 ни одного такого соседа не имеет; узел 3 имеет б соседей на
расстоянии а, но 3 из них входят в компактную тройку; узел 4 имеет
7 соседей на расстоянии а, но б из них составляют две компактные
тройки, и т. д. В результате один уровень, изначально одинаковый
во всех конфигурациях-узлах, превращается в зону. А то, являются
состояния в этой зоне локализованными или нет, зависит от параметра
G.4), в котором величина ав определяет длину затухания волновой
функции вне конфигурационной ямы.
Специфически низкие значения проводимости, характерные для
A? по-видимому, обусловлены конкретным сочетанием
7.3 ] Переход металл-изолятор при большой электронной плотности 143
параметров конфигурационной ямы, которое сделало длину затуха-
затухания ав меньшей, чем в других квазикристаллах. При низкотемпе-
низкотемпературном отжиге Al7oPd22,5Re7,5? вероятно, происходит «внутренний
ремонт» конфигурационных ям, сопровождающийся уменьшением
«просачивания» волновой функции наружу, т. е. уменьшением длины
затухания ав.
7.3. Переход металл—изолятор при большой
электронной плотности
Процессы, формирующие электронный спектр в двухкомпонент-
ных расплавах со щелочным металлом в качестве одного из компонен-
компонентов и в квазикристаллах, оказались во многом сходны. В этих систе-
системах происходит уменьшение эффективной концентрации носителей
и экранирования, что делает возможным обычный переход металл-
изолятор.
Общая схема такова. Пусть каждой конфигурации принадлежит N
валентных электронов. Потенциал, создаваемый ионными остовами
входящих в конфигурацию атомов, столь велик, т. е. потенциальная
яма столь глубока, что электронный спектр этих N электронов ради-
радикально перестраивается и они располагаются на некоторой лестнице
уровней. Шансы покинуть яму есть только у 1-2 электронов на верх-
верхней ступени. В результате концентрация «потенциально делокализу-
делокализуемых» электронов становится порядка n/N', где п — концентрация
валентных «исходно металлических» электронов. В двухкомпонент-
ных расплавах N порядка 10, в квазикристаллах — порядка 100.
Переход металл-изолятор происходит уже в системе с пониженной
концентрацией носителей.
То же самое можно сформулировать и по-другому, рассматривая
каждую конфигурацию как квантовую точку в ЗБ-пространстве. Кон-
Концентрация точек порядка n/N, в каждой содержится по N электронов.
Уход одного электрона с квантовой точки означает появление на ней
заряда е, на что требуется энергия порядка
ее « е>, G.9)
где г — это радиус квантовой точки. Эта величина подобна энергии
Хаббарда в теории перехода Мотта. В то же время е2 /г — это куло-
новская энергия уединенного металлического шара радиуса г с заря-
зарядом е или энергия конденсатора, фигурирующая в теории кулонов-
ской блокады в наноструктурах. На металлической стороне перехода
металл-изолятор электрическое поле заряженной точки заэкраниро-
заэкранировано и энергия G.9) несущественна. На стороне изолятора нет экра-
экранирования свободными носителями и количество заряженных точек
определяется сравнением энергии G.9) с температурой. При ее <С Т
количество заряженных точек v экспоненциально мало:
п
v = N 6ХР
144 Химическая локализация [Гл.7
Поскольку проводимость в этих условиях определяется туннелирова-
нием между заряженными и незаряженными точками, то v играет
роль количества носителей. Это стандартное рассуждение, использу-
используемое при описании гранулированных металлов, определяет активаци-
онный характер проводимости.
Важность замены п на n/N иллюстрируется тем фактом, что при
превращении аморфного сплава в результате отжига в квазикристалл
его сопротивление часто увеличивается во много раз. Но локализация
существенно облегчается также отсутствием трансляционной симмет-
симметрии и универсального ближнего порядка во взаимном расположении
конфигураций. Нерегулярность в их взаимном расположении предот-
предотвращает резонансное туннелирование. Конечно, трансляционная сим-
симметрия сама по себе не гарантирует металлической проводимости.
Но вблизи пограничных значений концентраций п > nMott беспорядок
существенен. И действительно, при кристаллизации сплава CsAu его
сопротивление падает в 10 раз (рис. 7.7).
Таким образом два класса конденсированных сред, кратко опи-
описанные в данном параграфе, позволяют положительно ответить на
вопрос о возможности локализации системы валентных электронов
в среде, состоящей только из металлических атомов. Такая возмож-
возможность реализуется за счет образования молекулообразных конфигура-
конфигураций по крайней мере в двух случаях: в двухкомпонентных расплавах
со щелочным металлом в качестве одного из компонентов и в квази-
квазикристаллах. Для локализации требуется нерегулярность во взаимном
расположении конфигураций, предотвращающая резонансное тунне-
туннелирование.
Список литературы
1. Hensel F. // Adv. Phys. 28, 555 A979).
2. Van der Lugt W., Geerstma W. // Can. Journ. Phys. 65, 326 A987).
3. Calaway W.F., Saboungi M.-L. // J.Phys. F: Met. Phys. 13, 1213 A983).
4. Meijer J.A., Vinke G. J.B., van der Lugt W. // J.Phys. F: Met. Phys. 16,
845 A986).
5. Xu R., de Longe Т., van der Lugt W. // Phys. Rev. В 45, 12788 A992).
6. Hoshino Я., Schmutzler R. W., Hensel F. // Phys. Lett. A 51, 7 A975).
7. Schmutzler R. W., Hoshino H., Fischer R., Hensel F. // Ber. Bunsenges.
Phys. Chem. 80, 107 A976).
8. Physical Properties of Quasicrystals (ed.: Z.M. Stadnik). Springer, 1999.
9. Goldman A.L, Kelton R.F. // Rev. Mod. Phys. 65, 213 A993).
10. Janot С. И Phys. Rev. В 53, 181 A996).
11. Wang C.R., Lin S. T. et al. // Journ. Phys. Soc. Japan 67, 2383 A998);
68, 3988 A999); 69, 3356 B000).
Глава 8
ГРАНУЛИРОВАННЫЕ МЕТАЛЛЫ
8.1. Морфология и классификация
Гранулированным будем называть материал, состоящий из слу-
случайно расположенных мелких областей (гранул) с существенно раз-
различной проводимостью. Случайный потенциал в таком материале обя-
обязательно имеет характерные длины, существенно большие межатом-
межатомных расстояний, вплоть до макроскопических. Рассмотрим простран-
пространство с размерностью d и пусть х — доля этого пространства, занятая
металлом. Сама по себе величина х еще ни о чем не говорит. Ясно,
что проводимость материала с металлическими включениями в виде
шариков или в виде тонких нитей совершенно различна при одном
и том же х. Морфология материала, под которой мы понимаем здесь
форму включений, зависит от множества факторов и чрезвычайно
разнообразна. В качестве примера на рис. 8.1 приведены сделанные
на сканирующем электронном микроскопе фотографии пленок In,
напылявшихся на подложку SiO2 при комнатной температуре. In не
смачивает поверхность, на которую происходит напыление.
Сначала попавшие на подложку атомы, обладающие тепловой
энергией, двигаясь вдоль поверхности, собираются в маленькие слу-
случайно разбросанные капельки (а). При дальнейшем напылении ка-
капельки растут и, соприкасаясь, сливаются в капли большего диаметра
{б). Затем металлические области приобретают продолговатую фор-
форму. По-видимому при увеличении площади контактов капель с под-
подложкой в их центре возникают участки с сильным сцеплением. При
слиянии таких укрупненных капель эти участки играют роль центров
пиннинга для перемещающейся массы вещества, понижая симметрию
образующихся металлических областей (в). Наконец, на последней
стадии перед образованием сплошной пленки, когда относительная
площадь 1-х зазоров между металлическими областями мала, эти
зазоры приобретают форму относительно тонких ветвящихся нитей
(г). На это тоже есть свои причины в виде некоторых комбинаций за-
законов смачивания и сцепления напыляемого материала с подложкой,
но мы ограничимся констатацией этих морфологических особенностей
структуры.
г) Обзор транспортных свойств гранулированных металлов можно найти
в обзоре [1].
10 В. Ф. Гантмахер
146 Гранулированные металлы [Гл. 8
Разобьем ^-мерное пространство на элементарные объемы ad и бу-
будем считать, что свойства среды внутри объема не меняются, а свойст-
свойства двух разных объемов независимы друг от друга. Это означает
¦"¦.;...;/¦ I..,,;...." ¦¦;.;*-..; .' ; ¦' > , '
а слгГ S = 10 нм б сХп* Б = 25 нм
500 нм 500 нм
In
\ щщш
¦—¦ 8=100нм г н 5=180нм
2000 нм 5000 нм
Рис. 8.1. Изображения островковых пленок In, полученные в сканирующем
электронном микроскопе [2]. Металл — это светлые области. Под каждой
фотографией указаны масштаб и толщина пленки 6. Часть фотографии (а)
показана и при большем увеличении
сведение пространственной задачи к задаче на решетке с периодом а
и возможность использования простейших моделей теории перколя-
ции. Для структуры на рис. 8.1, а характерный масштаб металличе-
металлических капель а порядка 0,05 /i, на рис. 8.1, б он порядка 0,2/i. To,
что вместе с долей металлического объема х меняется масштаб, мало
существенно. Гораздо важнее, что на рис. 8.1, в средний поперечный
размер металлических областей меньше, чем их средний продольный
размер Ъ « B ^- 3) а. Это означает, что на квадратной решетке с пери-
периодом порядка а (« 1 /i) появилась корреляция между свойствами Ъ/а
соседних узлов.
Математически уменьшение локальной симметрии структуры опи-
описывается специфическими корреляторами, введение которых должно
сильно усложнить картину, так что простейшие модели теории перко-
ляции — задача связей и задача узлов — становятся неприменимыми.
В этом одно из объяснений того экспериментального факта, что кри-
критическое значение хс = 0,82 ± 0,02 относительной площади покрытия
индием поверхности SiO2, при котором возникает перколяция, гораздо
8.1] Морфология и классификация 147
больше, чем известные критические значения для этих задач. Вто-
Вторая причина — в потере симметрии между металлическими и неме-
неметаллическими областями: если для структур на рис. 8.1, а и 8.1, б
можно считать, что области между каплями имеют тот же порядок
величины, что и сами капли, то на рис. 8.1, г изолирующие области
явно гораздо уже металлических. При этом, однако, они продолжают
успешно справляться со своими изолирующими функциями.
Таким образом критическое значение хс сильно зависит от таких
физических факторов, как коэффициент аккомодации падающих на
поверхность атомов, величина поверхностного натяжения, величина
сил сцепления и т. д. Поэтому при напылении в тех же условиях
других металлов получаются другие значения хс: при напылении Sn
получилось хс = 0,86 ± 0,02, а РЬ — хс = 0,67 ± 0,02.
Заметьте. Наряду с металлическими гранулами в изолирующей
матрице, можно представить себе и гранулы изолятора в метал-
металлической матрице. Но мы, употребляя термин «гранула», будем
подразумевать «металлическая гранула». Кроме того, как уже го-
говорилось, гранулированным мы называем и материал со структу-
структурой типа рис. 8.1, г, в которой гранулы не являются компактными
образованиями.
В системе, представленной на рис. 8.1, роль изолятора, разделя-
разделяющего металлические гранулы, играет вакуум. Но эту роль может
играть и изолятор. Если какие-то металл и изолятор не растворя-
растворяются друг в друге, то они образуют смесь мелких металлических
и изолирующих областей (гранул), называемую кермет. Такая смесь
получается, например, при совместном напылении обоих компонентов
на изолирующую подложку. Масштаб образующейся структуры кон-
контролируется физико-химическими факторами в процессе напыления;
в зависимости от них, а также от времени напыления и толщины
пленки, могут получаться как двух-, так и трехмерные структуры. На
рис. 8.2 представлена электронная фотография кермета A11 + AI2O3
в области существования бесконечного металлического кластера (знак
«+» использован для того, чтобы отличать такую гранулированную
систему от системы «пленка Аи, напыленная на AI2O3»). Здесь также
заметна разница в ширинах металлических и изолирующих областей.
Иногда удается сохранить сферическую форму гранул вплоть до
большой концентрации металла х > хс. Рис. 8.3, а демонстрирует по-
полученную на просвечивающем электронном микроскопе структуру
пленки гранулированного А1 в матрице аморфного Ge при концентра-
концентрации металла х « 0,66. Видно, что металлический компонент материа-
материала состоит из сферических гранул. Специальные измерения позволили
определить распределение гранул по диаметрам (рис. 8.3, б) — оно
оказалось довольно узким.
Во всех упомянутых выше системах на каком-то этапе увеличения
относительного объема металла у материала появляется конечная
проводимость, т. е. происходит переход изолятор-металл. Такой пере-
переход часто называют перколяционным; это название неявно подразуме-
148
Гранулированные металлы
[Гл. ¦
вает, что в основе такого перехода лежат чисто геометрические фак-
факторы, так что он является чисто классическим и макроскопическим.
Л = 100 А
100 А
Рис. 8.2. Электронно-микроскопическое изображение гранулированных пле-
пленок состава Au +AI2O3 [1]. Металл — темные области
/ N
150
А1 + а-
• 100
1 50
Л
А
-Ge
: J
\
\
|/
-
\ :
500 А
80 100 120 140 160
а, А
Рис. 8.3. а) Изображения гранулированных пленок Al + Ge, полученные
в просвечивающем электронном микроскопе. Металл — светлые области.
Ъ) Гистограмма распределения зерен А1 по размерам а и ее аппроксимация
нормальным распределением [3]
Действительно, перколяционные законы инвариантны относительно
масштаба, так что можно себе представить перколяцию, например,
в системе металлических шариков от подшипников, случайным об-
образом расположенных на плоскости и зафиксированных застывшим
парафином. Но если среди характерных длин в системе есть и доста-
8.1] Морфология и классификация 149
точно малые, то могут появиться и оказаться определяющими и спе-
специфические физические факторы. Мы будем интересоваться именно
такими системами.
С другой стороны, если все характерные длины слишком малы,
порядка межатомных, то мы возвращаемся к однородно разупорядо-
ченному материалу. Границы между различными классами разупо-
рядоченных систем зависят от того, какими физическими свойствами
мы интересуемся.
Поясним это примером, используя важный количественный пара-
параметр гранулированной системы: величину расстояния 5г между раз-
мерноквантованными уровнями энергии электронов внутри гранул
бе = (дра3)-1 (8.1)
(др — плотность состояний на ферми-уровне в массивном металле,
а3 — средний объем одной гранулы). Для оценок можно считать, что
бе « 10 К при а = 50 А.
Если массивный металл — это сверхпроводник с критической тем-
температурой Тс и сверхпроводящей щелью А, то соотношение
бе « А « Тс (8.2)
определяет минимальный размер изолированной гранулы asc =
= (g^A)/3, для которой имеет смысл понятие сверхпроводящего
состояния. Если а > asc, то сверхпроводящий переход в гранулах
происходит при той же температуре, что и в массивном металле,
а то, как ведет себя весь материал в целом, зависит от силы
взаимодействия между гранулами. Именно это наблюдается в тонких
пленках РЬ, напыленных на охлажденную до гелиевых температур
зеркальную поверхность SiO — см. рис. 8.4, а, взятый из работы
[4]. При таком способе напыления атомы свинца собираются в
гранулы, достигающие перед слиянием 200 А в диаметре и 50-80 А в
высоту. У всех пленок толщиной более критической сверхпроводящий
переход начинается при одной и той же температуре Гс ~ 7 К; у
более тонких пленок переход вообще не происходит, но при той же
самой температуре Т « Тс на кривой р(Т) сохраняется особенность,
свидетельствующая о сверхпроводящих переходах в отдельных
зернах. При обратном неравенстве, а < asc, гранул, которые могли бы
быть сверхпроводящими сами по себе, нет. Материал с точки зрения
сверхпроводящего перехода является однородно неупорядоченным, но
сверхпроводящее состояние в нем вполне может возникнуть; теперь
температура перехода Тс определяется средними характеристиками
материала и может плавно меняться вместе с ними. Пленки РЬ,
напыленные в аналогичных условиях на ту же подложку, но с
промежуточным тонким слоем аморфного Ge, демонстрируют
корреляцию между температурой Тс и сопротивлением пленки
(рис. 8.4, 6\ т.е. именно такой тип поведения.
150
Гранулированные металлы
[Гл. ¦
Рис. 8.4. Изменения температурных зависимостей пленок РЬ по мере увели-
увеличения их толщины (сверху вниз) [4]. а) Пример гранулированной системы:
пленки напылены непосредственно на поверхность SiO. Температура сверх-
сверхпроводящего перехода неизменна, б) Пример мелкодисперсной квазиодно-
квазиоднородной системы: пленки напылены поверх промежуточного тонкого слоя
аморфного Ge. Кривые р(Т) демонстрируют корреляцию между сопротив-
сопротивлением в непроводящем состоянии и температурой перехода
Для нормального металла критерий гранулярности иной и зависит
от температуры. Соотношение
Т
(8.3)
определяет минимальный размер гранулы, для которой сохраняет
смысл понятие делокализованного электрона. Если в интервал тепло-
теплового размытия попадает только один электронный уровень, то вообще
говоря, правильнее его считать локализованным, а величину а —
локализационной длиной.
Умозрительно можно представить себе два типа эволюции грану-
гранулированных систем. Первый тип обусловлен изменением величины х.
Рисунки 8.1-8.3 иллюстрируют морфологию именно таких систем.
Переход металл-изолятор в таких системах имеет как бы перколя-
ционную основу. Но поскольку вместе с х меняется средняя концен-
концентрация делокализованных электронов в материале, уместна также
ссылка на переход Мотта. Другой тип эволюции выглядит так: при
достаточно большом фиксированном х меняются свойства барьеров
между гранулами, например, их высота. Количественный параметр
такой эволюции можно построить на основе сравнения двух энергий:
расщепления 5е и интеграла перекрытия волновых функций электро-
электронов соседних гранул, который количественно описывает эффектив-
эффективность изолирующих барьеров. Сравнение с рассуждениями Таулесса,
лежащими в основе скейлинговой гипотезы (§6.1), приводит к выводу,
8.2] Кулоновская блокада и переход металл-изолятор 151
что этот тип эволюции имеет много общего с переходом Андерсона
в однородно разупорядоченных системах.
На практике произвести такое разделение очень трудно, но услов-
условно можно считать, что в следующем параграфе мы будем говорить
0 гранулированных материалах первого типа, а в последнем — второго
типа.
8.2. Кулоновская блокада и переход
металл-изолятор
На рис. 8.5, а приведены зависимости сопротивления от относи-
относительной концентрации металла х в керметах системы Аи + AI2O3
(рис. 8.2), измеренные при двух существенно разных температурах.
Обратите внимание на шкалу на оси ординат: диапазон измене-
изменения сопротивления больше 12 порядков.
На графике явно видны две области концентраций х. Область
1 ^ х ^ 0?4 является металлической: сопротивление р сравнительно
мало, сравнительно слабо зависит от температуры, увеличиваясь вме-
вместе с ней, и постепенно растет с уменьшением х; где-то вблизи зна-
значения х = хс « 0,38 находится граница двух областей; наконец, для
диэлектрической области х < 0,38 характерен очень резкий рост со-
сопротивления с уменьшением х и очень сильная температурная зави-
зависимость р(Т). Аналогичный график р(х) в другой системе, Ni + SiO2,
приведен на рис. 8.5, б. Качественно система ведет себя так же. В част-
частности, и здесь вблизи критического значения хс производная функ-
функции р(Т) меняет знак (сплошная и пунктирная кривые пересекаются
вблизи хс). Однако само критическое значение хс другое. О подобном
разнобое значений хс на островковых пленках мы уже упоминали.
Стандартное описание в терминах перколяционной модели пред-
предполагает, что при концентрациях х > хс линии тока целиком проходят
внутри металлического кластера, а при х < хс ток должен хотя бы
частично проходить через изолятор. Тогда температурную зависи-
зависимость р(Т) в области х < хс должны были бы определять свойства
изолятора. Но это верно лишь отчасти.
На рис. 8.6 приведены температурные зависимости материалов
гранулированных систем A11 + AI2O3 и Ni + SiO2 в изолирующем ре-
режиме, т.е. при х < хс. Благодаря тому, что в измеряемом интерва-
интервале температур сопротивление изменяется на много порядков, удает-
удается определить функциональную зависимость удельного сопротивле-
сопротивления р(Т):
ч1/2
I) , (8-4)
надежно отличая ее и от ехр(То/Т), и от ехр (То/ТI/4. Функцио-
Функциональной зависимости (8.4) нет у соответствующих массивных изоля-
изоляторов — ни у AI2O3, ни у SiO2- К тому же наклон прямых на рис. 8.6,
152
Гранулированные металлы
[Гл. ¦
10™
Рис. 8.5. Сопротивление гранулированных пленок Аи + А^Оз и
в зависимости от х при двух температурах [1]: пунктирные кривые — при
гелиевой, сплошные кривые и значки — при комнатной. На правом графике
кружки и квадратики получены в двух разных сериях экспериментов, а
сплошная кривая — результат их усреднения.
1 /2
определяемый величиной То7 , зависит от величины х. Следователь-
Следовательно, транспорт в обсуждаемых материалах контролируется не только
изолятором, но и металлическими гранулами. Это и есть тот экспери-
экспериментальный факт, который необходимо осмыслить и объяснить.
Теоретическая модель исходит из двух фундаментальных предпо-
предположений.
Во-первых, между соседними гранулами возможно туннелирова-
ние. Здесь теряется инвариантность относительно масштаба решет-
решетки, характерная для перколяционных задач, и исключаются системы
типа совокупности металлических шариков от подшипников. Не обя-
обязательно, чтобы из каждой гранулы было возможно туннелирование
во все соседние гранулы. Точнее можно сказать так: совокупность
гранул, между которыми возможен обмен носителями посредством
туннелирования, должна представлять собой развитый бесконечный
кластер. В выражении для подвижности носителей /i = ет/т под г
следует понимать время, за которое происходит туннелирование заря-
заряда е с эффективной массой т. Действительно, раз туннелирование —
это основной механизм передвижения зарядов в пространстве, то по-
подвижность зарядов пропорциональна вероятности туннелирования:
осехр(-/3а),
Й 2Bmf/I/2
р=——^—.
(8.5)
8.2]
Кулоновская блокада и переход металл-изолятор
153
го1
о
с?
10
0,28
Аи +АШ,
х=0,41
0,08,
'0,24
= 0,44
SIO9
0,05 0,1 0,15 0,2 0,1 0,2
Г ~1.''2 -rr-\l2 rp-1/2 -rr-Ml
, JV I , ГУ.
0,3
10"
io6
io4
io2
о
Рис. 8.6. Температурные зависимости сопротивления гранулированных пле-
пленок состава Аи +А12Оз и Ni + SiCb при х < хс (кроме кривой х = 0,41 для
материала Аи+ АЬОз) [1]
где а и U — ширина и высота барьера.
Во-вторых, каждая заряженная металлическая гранула создает
электрическое поле в зазоре между собой и соседними гранулами,
являясь таким образом обкладкой локального микроконденсатора.
Емкость такого конденсатора порядка произведения радиуса гранулы
а на диэлектрическую проницаемость к окружающего его изолятора
(емкость уединенного шара):
С « ха. (8.6)
Если заряд в конденсаторе q, то энергия поля в нем q2/BC). Поэтому
для размещения на грануле одного избыточного электрона, q = e,
требуется кулоновская энергия ее ~ е2/(яа). Отсюда следует, что
концентрация зарядов п пропорциональна
п ос ехр
е_с_
' Т
• ехр -
наТ J
v
(8.7)
Заметьте. Материал остается при этом электрически нейтраль-
нейтральным, поскольку число электронов и дырок (положительно и от-
отрицательно заряженных гранул) примерно одинаково. Энергия и
тех и других отсчитывается от уровня Ферми.
Энергия ее отнюдь не мала. Для гранулы размером 50А при к ~
~ 10 она порядка 300 К. Это означает, что при низких температурах
туннелирующих носителей экспоненциально мало. Именно это обсто-
обстоятельство лимитирует проводимость. Отсюда название кулоновская
блокада. Оно употребляется чаще применительно к изолированыым
наноструктурам, таким, как пара туннельных контактов с островком
154 Гранулированные металлы [Гл. 8
малой емкости между ними, когда величина г с характеризует какую-
то конкретную конфигурацию. Однако, неравенство
?с > Т (8.8)
может определять и свойства материала как целого.
Формально формулы (8.5) и (8.7) позволяют выделить самые суще-
существенные, экспоненциальные множители, входящие в выражение для
сопротивления р(Т) = а~1(Т). Поскольку проводимость а пропорци-
пропорциональна произведению концентрации на подвижность, получаем
/2 \
р ос (n/i) ос ехр ( -5— + /За ) . (8.9)
Поскольку в показателе экспоненты в выражении (8.9) имеется два
слагаемых (§3.3) и длина а в одном из них входит в числитель, а в
другом в знаменатель, существует значение
amin = e(xpT)-1^2, (8.10)
при котором показатель имеет минимум. Значение длины а в реаль-
реальном материале наверняка имеет дисперсию. Существование минимума
означает, что ток в основном будет идти вдоль цепочек из гранул с
выделенным значением а = amin, а сопротивление материала будет
описываться формулой (8.4) со значением
То = 2е (?Y/2. (8.11)
Прежде, чем обсуждать полученный результат, следует сделать
существенную оговорку. Длина а в формулах (8.5) и (8.7) имеет
разный смысл: это зазор между гранулами в (8.5) и размер гранул
в (8.7). На фотографиях на рис. 8.1-8.3 видно, что они не равны.
Но вместо фактически сделанного предположения об их равенстве,
можно ограничиться гораздо более реалистичным предположением об
их пропорциональности. Это означает, что различные участки после
масштабирования становятся статистически одинаковыми. В такой
модели основной вывод останется прежним, лишь в выражении (8.11)
появится в качестве дополнительного множителя корень из коэффи-
коэффициента пропорциональности. Более того, основной вывод сохранится
при любой функциональной связи при данном х между размерами
гранул а и зазорами а' между ними; лишь бы эти две величины не
были статистически независимыми.
Итак, выясняется, что при низких концентрациях металлической
фазы, х < хСу ток течет по гранулированному материалу неравно-
неравномерно, концентрируясь в областях с оптимальным средним размером
гранул. Этот оптимальный размер зависит от температуры. Поэтому
при изменении температуры линии тока на микроскопическом уровне
должны смещаться.
8.2] Кулоновская блокада и переход металл-изолятор 155
Сравните туннельную проводимость в гранулированной системе
с прыжковой проводимостью при наличии кулоновской щели.
Одинаковая функциональная зависимость lnp ос Т/2, одно и то
же исходное взаимодействие — кулоновское, схожие механизмы
смены с температурой основных токовых путей.
Сходство между этими двумя механизмами и не случайно. Если устре-
устремить размер гранул к нулю, то они превратятся в примесные центры,
которые могут быть либо заряжены, либо электронейтральны. При
таком предельном переходе одна задача должна естественно перейти
в другую. Но в изоляторе с примесными центрами есть кулонов-
кулоновская щель (§3.3), а в металле с большим количеством примесей из-
за кулоновского электрон-электронного взаимодействия появляется
минимум плотности состояний на ферми-уровне (§ 2.4). Чего-то ана-
аналогичного следует ожидать и в гранулированном материале. Справед-
Справедливость этих ожиданий демонстрирует туннельный эксперимент.
На рис. 8.7, а представлены туннельные характеристики структу-
структуры Al — AI2O3 — Ni+SiO2, в которой одним из берегов туннельного
контакта является пленка гранулированного металла, в данном случае
состоящая из гранул Ni (металл), не растворяющихся в SiO2 (изо-
(изолятор). В эксперименте были использованы пленки толщиной 100 А.
Поскольку при всех значениях х характерные размеры металлических
гранул были меньше 50 А, с точки зрения процессов, формирующих
электронный спектр, пленка Ni+SiO2 представляет собой трехмерную
структуру. Плоскость контакта является ее срезом. Металлические
гранулы занимают на этой плоскости ту же долю ж, что и в объеме.
Процесс туннелирования может происходить только в эти, выходящие
на плоскость контакта, гранулы.
При больших значениях ж, а именно уже при х = 0,66 (верх-
(верхняя кривая), наличие диэлектрических вкраплений несущественно,
Ni+SiO2 ведет себя как обычный металл, а структура на кривой
dJ/dV появляется из-за сверхпроводимости контрэлектрода А1 (ср.
аналогичный эффект на рис. 2 Приложения Б). Изменения в кривых
dJ/dV при меньших х полностью контролируются гранулированным
электродом, поскольку с А1 ничего не происходит. Абстрагируясь от
его неоднородности, можно при помощи стандартной математической
процедуры, в соответствии с формулой (Б.1)
оо
J(V) с lj(e - еУЫе) [/ (^f) - f (?
подставляя в качестве gi{s) плотность состояний сверхпроводящего
электрода, измеренную при х > 0,7, извлечь из каждой эксперимен-
экспериментальной кривой dJ/dV функцию д(е) для гранулированного электро-
электрода. Результат представлен на рис. 8.7, б.
156
Гранулированные металлы
[Гл. ¦
" г-—""
' [_ 0,66
/ 0,60
х = 0,66
-^^^0,55"
0,58 ^^-^з-
™1^55
о
Он
со
5о
1
0
1
0
1
Л
X
= 0,58
= 0,55
= 0,53
-10 -5 0 5 10
8, МЭВ
2 3
F, мВ
Рис. 8.7. а) Туннельные характеристики структуры Al — AI2O3 —
с гранулированной пленкой в качестве одного из электродов при различной
доли х поверхности (и объема), занимаемой металлическими гранулами,
в данном случае гранулами NL Кривые смещены для ясности, но для каж-
каждой кривой пунктиром показан соответствующий ей ноль, помеченный, как
и сами кривые, численным значением х. б) Функция д(е) гранулированной
пленки для разных значений х [1]
Как видно из сравнения рис. 8.7 с рис. 3 и 4 в Приложении Б, эво-
эволюция функции плотности состояний по мере изменения управляю-
управляющего параметра вблизи перехода металл-изолятор в гранулированном
и негранулированном материалах практически неразличимы: в обоих
случаях на металлической стороне появляется минимум плотности
состояний на ферми-уровне, который превращается в мягкую щель.
Согласно рис. 8.7, критическое значение управляющего параметра
в системе Ni + SiO2 равно хс « 0,56. То же значение получается и из
кривых рис. 8.5, б\ именно при этом х меняет знак производная dp/dT.
Таким образом, хотя туннелирование происходит в отдельные гра-
гранулы, извлекаемая из эксперимента функция д(е) отражает состояние
всего материала в целом и даже фиксирует происходящий при из-
изменении х переход металл-изолятор. Для объяснения этого обобщим
формулу (8.12) на случай, когда один из электродов неоднородный.
То, что туннелирование происходит только в металлическую долю х
8.2] Кулоновская блокада и переход металл-изолятор 157
от полной площади контакта, не очень существенно: это лишь умень-
уменьшает эффективную площадь контакта, увеличивая его полное сопро-
сопротивление в 1/х раз. Существенно, что сама металлическая часть среза
гранулированного электрода является неоднородной. Часть Р поверх-
поверхности контакта принадлежит бесконечному металлическому кластеру
(см. определение мощности бесконечного кластера (А. 12) в Прило-
Приложении А). При туннелировании электрона в эту часть контакта все
происходит как в однородном контакте. Эта часть вносит вклад в ток
согласно формуле (8.12) с плотностью состояний g(e) = const = go
(и с учетом уменьшения площади в Р раз).
Часть 1—Р состоит из отдельных гранул размером а с функцией
распределения по размерам D(a), нормированной условием
D(a)a2da = l. (8.13)
о
Для того, чтобы электрон протуннелировал в такую гранулу, нужна
дополнительная энергия г с ~ е2 /(ха). Поэтому эффективная плот-
плотность состояний да, которую нужно подставить в уравнение (8.12)
вместо д, описывая этот процесс туннелирования, равна
г < ее (а),
(8.14)
г > ес(а)
(здесь и далее значение г = О соответствует уровню Ферми). Эффек-
Эффективная плотность состояний geff для всего контакта равна
оо
д^(е) = Рд0 + (х - Р) \ D(a)a2ga(e)da. (8.15)
о
Именно функция деи(е) извлекается из экспериментальных данных
при помощи уравнения (8.12) и именно она изображена на рис. 8.7, б
для разных х.
Заметьте. Выражение (8.15) можно было бы преобразовывать
дальше, подставив в него выражение (8.14) для да(е), выражение
из (8.7) для ес(а) и т.д. Это не сделано сознательно, посколь-
поскольку находящееся в начале этой цепочки выражение для емкости
(8.6), которое соответствует емкости уединенного шара, является
слишком грубым приближением, пригодным лишь для оценок,
и должно уточняться при описании конкретных гранулирован-
гранулированных структур.
Но уже из неконкретизированного выражения (8.15) видно, что при
исчезновении бесконечного кластера, когда происходит перколяцион-
ный переход и Р обращается в нуль, становится нулем и плотность
состояний на ферми-уровне.
158 Гранулированные металлы [Гл. 8
Таким образом, ни транспортные измерения в окрестности пере-
перехода металл-изолятор, ни туннельные эксперименты не позволяют
различить перколяционный переход в гранулированной системе и,
например, переход Мотта в однородно разупорядоченной системе. Из
самых общих соображений этого следовало ожидать: на переходе рас-
расходится корреляционная длина ?; когда мы находимся столь близко
от перехода, что
? > а, (8.16)
то наличие гранул становится несущественным. Важно, конечно, что-
чтобы а не было слишком большим (как в системе из шариков от под-
подшипников), иначе окрестность перехода станет нереализуемо малой.
8.3. Фрактально-гранулированные металлы
Структура и топология областей, представляющих в гранулиро-
гранулированном материале металл или изолятор, могут быть очень сложными,
даже отдаленно не напоминающими компактные гранулы. В качестве
примера рассмотрим процессы твердотельной аморфизации некото-
некоторых метастабильных сплавов.
Существует ряд сплавов, в частности сплавы на основе сурьмы
Sb-Zn, Sb-Cd и Sb-Ga, а также сплав Al-Ge, равновесная фаза кото-
которых при атмосферном давлении имеет малое координационное число,
низкую плотность и ферми-уровень в запрещенной энергетической
зоне, а фаза высокого давления — большое координационное число,
высокую плотность и ферми-уровень в области разрешенных энергий.
Если сплав сначала нагреть под давлением, а затем камеру высокого
давления с находящимся внутри нее сплавом охладить до температу-
температуры жидкого азота и при этой температуре снять давление и вскрыть
камеру, то мы получим сплав в метастабильном состоянии в фазе
высокого давления. При азотной температуре эта металлическая ме-
тастабильная фаза может сохраняться сколь угодно долго. Установив
полученный образец в держатель с прижимными контактами и из-
измерив температурную зависимость сопротивления R(T), можно обна-
обнаружить обычный металлический температурный ход сопротивления
и сверхпроводящий переход при гелиевых температурах. При нагреве
метастабильное состояние должно перейти в стабильное. Если нагрев
не очень быстрый, то трансформация происходит в две стадии. Сна-
Сначала, при некоторой температуре 7\, тепловой энергии оказывается
достаточно для того, чтобы разрушить метастабильную решетку, но
ее слишком мало для роста стабильной фазы. Метастабильная фаза
переходит в аморфную, у которой координационное число, плотность
и проводимость, как у стабильной фазы: эта промежуточная фаза
является изолятором. Этот процесс и называется аморфизацией. При
дальнейшем нагреве произойдет кристаллизация, и аморфный изо-
изолятор превратится в кристаллический изолятор. Мы здесь не будем
обсуждать ни эту вторую стадию, ни очень интересные термоди-
термодинамические подробности, описывающие всю цепочку твердотельных
8.3] Фрактально-гранулированные металлы 159
переходов. Это можно найти в специальных обзорах. Здесь речь бу-
будет идти о первой стадии процесса, о превращении метастабильного
кристаллического металла в метастабильный аморфный изолятор.
Именно на этой стадии получается макроскопически неоднородный
материал.
Поскольку при аморфизации удельный объем существенно воз-
возрастает (в Sb-Zn и Sb-Ga рост достигает 25%), возникший в ме-
тастабильной фазе зародыш аморфной фазы не может изотропно
расти из-за повышения локального давления. Однако возможен рост
зародыша в виде плоского диска, когда движущийся фронт подобен
лезвию, разрезающему метастабильную фазу. Утолщение слоя позади
движущейся кромки происходит медленно, поскольку среда вокруг
него сжата. Тем не менее напряжение со временем все же растет, и по-
поэтому углы на слое и неоднородно деформированные области являют-
являются зародышами ветвления слоев. Таким образом слои изолирующей
аморфной фазы распространяются, ветвясь и почти не утолщаясь,
и постепенно заполняют все пространство. Многократное ветвление
приводит к фрактальным свойствам этих «кактусов», а токовые ка-
каналы, вынужденные их огибать, в процессе аморфизации постепенно
утоныпаются и становятся все более извилистыми.
Если очень медленно производить нагрев от азотной температуры,
то по электросопротивлению можно четко зафиксировать момент,
когда сопротивление начнет расти из-за аморфизации. Аморфизацию
можно в любой момент прервать, охладив образец. Поэтому переход
в аморфное состояние можно производить ступенчато. И в любом из
промежуточных состояний можно измерить температурную зависи-
зависимость сопротивления R(T) и проверить наличие сверхпроводящего
перехода.
Основной результат измерений такой. Постепенной трансформа-
трансформацией можно увеличить сопротивление образца на несколько поряд-
порядков, практически не изменив температуру сверхпроводящего пере-
перехода Тс. В качестве иллюстрации на рис. 8.8 приведены кривые R(T)
для двух сплавов, ЭЬбтСсЦз и Sb5oGa5o- Все кривые нормированы на
сопротивление ДFК) образца в данном состоянии при температуре
Т = б К. Сопротивление ДFК) для каждого состояния свое; поэтому
около каждой кривой проставлена величина q = lg (R/Ro)t=6K, пока-
показывающая, во сколько раз изменилось сопротивление образца в ре-
результате аморфизации по сравнению с сопротивлением в начальном
состоянии без аморфной фазы. Например, значение q = 6,9 означает,
что сопротивление увеличилось при Т = б К почти на семь поряд-
порядков. Исходные значения удельного сопротивления 1/сг, соответству-
соответствующие q = О, разнятся от образца к образцу, оставаясь в пределах
10 -!- ЮОмкОм • см. Это означает, что длина пробега в исходном «од-
«однородно металлическом» материале порядка I ~ lOfcp1.
Заметьте. В гранулированной системе сверхпроводящий пере-
переход в гранулах не обязательно означает падение до нуля общего
сопротивления. Все зависит от того, что определяет основное
160
Гранулированные металлы
[Гл. ¦
Рис. 8.8. Сверхпроводящий переход в метастабильных сплавах Sb57Cd43 и
Sb5oGa5o на различных стадиях аморфизации, [6]. Все кривые нормирова-
нормированы на значение сопротивления при Т = 6 К на соответствующей стадии.
Относительно параметра q см. в тексте
сопротивление вдоль токовых каналов: гранулы или промежутки
между ними. Если сопротивление контролируется туннелирова-
нием между гранулами, то сверхпроводящий переход в гранулах
может даже не уменьшить, а увеличить общее сопротивление.
Именно это демонстрируют кривые с большими q на рис. 8.8.
С этим же мы встречались и ранее, на рис. 8.4, а.
Согласно соотношению (8.2), постоянство Тс означает, что гранулы
остаются большими на всех этапах трансформации. Вместе с тем, они
могут становиться рыхлыми, пропитанными проросшим с краев фрак-
фракталом изолирующей аморфной фазы. Токовый канал внутри такой
гранулы в нормальном состоянии подобен траектории частицы, совер-
совершающей броуновское движение. Такие материалы мы будем называть
фрактально-гранулированными. Чтобы пояснить, откуда берутся при
этом большие значения д, обратимся к рис. 8.2, на котором белой
линией показан канал, по которому ток может идти слева направо
через лабиринтную структуру. Длина канала примерно в а^ « 2 раза
больше длины показанного участка образца, а ширина составляет от
ширины этого участка долю порядка а^ ~ 0,1. Предположим, что
ширина показанного участка — это среднее расстояние между такими
сквозными каналами (на языке теории перколяции — это длина кор-
корреляции ?). Тогда, в предположении, что на рис. 8.2 изображена часть
двумерного образца, сеть изолирующих прослоек в нем увеличивает
его сопротивление в 7 = ыь/ah ~ 20 раз. Если же на рис. 8.2 показан
срез трехмерного материала, то рост сопротивления в нем порядка
7 — аь/&\ « 200 раз.
Если бы в гранулированном РЬ (рис. 8.4) и в сплавах на основе
Sb (рис. 8.8) не было сверхпроводящего перехода (или если бы уда-
удалось повторить описанные эксперименты в сильном магнитном поле),
8.3]
Фрактально-гранулированные металлы
161
то в этих системах должен был бы наблюдаться переход металл-
изолятор. Вместо этого происходит переход сверхпроводник-изолятор
(имеется в виду изменение проводимости при Т —> О вдоль серий
кривых, представленных на рис. 8.4 и 8.8). Этот переход мы здесь
обсуждать не будем, поскольку за пределами нашего рассмотрения
Z К
4 10 20 40
10
20 30
z к
Рис. 8.9. а) Температурные зависимости сопротивления метастабильных
сплавов Sb57Cd43 в нормальном состоянии на различных стадиях аморфи-
зации. Все кривые нормированы на значение сопротивления при Т = 6 К на
соответствующей стадии. Относительно параметра q см. в тексте. Ь) Те же
данные в осях (Т1/3, а = 1/R) [7]
осталось само явление сверхпроводимости. Однако можно попытаться
увидеть «сквозь него» переход металл-изолятор. Для этого обратимся
к схеме окрестности перехода металл-изолятор для однородно разу-
порядоченных систем (рис. 6.2 из гл. 6).
Воспользоваться этой схемой можно благодаря тому, что критиче-
критическая область на ней ограничена со стороны высоких температур очень
мягким требованием тее > т: время, за которое происходит расфази-
ровка взаимодействующих электронов, должно быть больше времени
упругого рассеяния. Так как тее « Й/Т, а г « h/eF, из него следует
лишь, что Т < ?F. Поскольку температура сверхпроводящего перехода
Тс <С %, то температуры Т > Тс с точки зрения перехода металл-изо-
металл-изолятор могут считаться не очень высокими. Поэтому для определения
положения границы между металлом и изолятором можно, вообще
говоря, экстраполировать температурные зависимости проводимости
сг(Т) из области Т > Тс к Т = 0.
11 В.Ф. Гантмахер
162
Гранулированные металлы
[Гл. ¦
На рис. 8.9, а приведены кривые i?(T)/i?FK) на разных стадиях
аморфизации сплава Sb-Cd. Отображающие изменения сопротивле-
сопротивления при Т > 6 К, они как бы дополняют кривые R(T)/RF К) для того
же сплава в сверхпроводящей области Т < 6 К на рис. 8.8, а. Эти же
данные, перестроенные на рис. 8.9, б в осях (Т1/3, а = 1/R), выделяют
состояние с (R/Ro)t=6K ~ 2 • 104 (т.е. q = 4,3) как граничное между
металлом и изолятором: линейная
экстраполяция эксперименталь-
экспериментальных данных для этого состояния
приводит к прямой, проходящей
через начало координат. Сле-
Следовательно, для этого матери-
материала срабатывает та же самая
процедура определения точки
перехода металл-изолятор, что
и в классическом полупроводнике
Ge (рис. 4 и 5 в гл. 6) и в квази-
квазикристалле (рис. 11 в гл. 7). Тем
самым продемонстрирована уни-
универсальность этой процедуры и ее
пригодность для гранулированного
материала.
Вместе с тем, такой переход,
по-видимому, может и не насту-
наступить. На рис. 8.10 показано анало-
аналогичное представление эксперимен-
экспериментальных данных в осях (Т1/2, а)
для самых высокоомных состояний
сплава Sb-Ga. Даже при удельных
сопротивлениях порядка мегаома
экстраполяция к Т = 0 не обнару-
обнаруживает перехода в состояние изо-
изолятора. Возможно, дело в том, что размеры фрактальных гранул
остаются порядка размеров образца, т. е. что не удается удовлетворить
неравенство (8.16).
Любопытно, что на температурных зависимостях сг(Т) для сплава
Sb-Ga на рис. 8.10 не видно и тенденции перехода от зависимости
Т1/2 к Т1/3: даже в самом высокоомном состоянии образца, q = 8, 9,
экспериментальные точки не отклоняются от прямой
Рис. 8.10. Экстраполяция к Т = 0
из области Т > Тс проводимости
метастабильного сплава SbsoGaso
на последних стадиях аморфиза-
аморфизации дает положительные значе-
значения сг(О), несмотря на очень малые
абсолютные значения а [6]
i - а@) =
По мере уменьшения отсекаемой на оси ординат величины <т@) умень-
уменьшается также и наклон прямых C. В отличие от случая, рассмот-
рассмотренного в гл. 7, здесь неравенство G.6) не ослабевает при понижении
температуры и мы не переходим в область G.7).
8.3] Фрактально-гранулированные металлы 163
Список литературы
1. Abeles В., Ping Sheng, Coutts M.D., Arie Y. // Adv. Phys. 24, 407 A975).
2. Yu X, Duxbury P.M., Jeffers G., Dubson M.A. // Phys. Rev. В 44, 13163
A991).
3. Shapira У., Deutscher G. // Phys. Rev. В 27, 4463 A983).
4. Frydman A. Physica С 391, 189 B003).
5. Imry У., Srongin M. // Phys. Rev. В 24, 6353 A981).
6. Гантмахер В.Ф., Зверев В.Н., Теплинский В.М., Цыдынэюапов Г.Э.,
Баркалов О. И. // ЖЭТФ 104, 3217 A993).
7. Теплинский В. М., Гантмахер В. Ф., Баркалов О. И. // ЖЭТФ 101, 1698
A992).
11*
Глава 9
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ КВАНТОВЫЙ
ЭФФЕКТ ХОЛЛА *)
В отсутствие случайного потенциала магнитное поле В делает
финитным движение свободного электрона в плоскости, перпендику-
перпендикулярной полю. Соответственно, энергия поперечного движения кван-
квантуется (квантование Ландау), и квазинепрерывным остается только
спектр движения вдоль поля. Если к тому же электроны находятся
в достаточно тонком слое толщиной Ъ порядка Ъ ~ 1/fcp, перпендику-
перпендикулярном полю, то инфинитное движение вдоль поля тоже невозможно.
Тогда электроны должны считаться фактически локализованными:
их волновая функция не зависит от времени и отлична от нуля лишь
в окрестности классической электронной орбиты.
В таких условиях привычные представления о локализации
неприменимы. Благодаря магнитному полю, электроны, находящиеся
в плоской бесконечной яме без какой бы то ни было случайной
компоненты потенциала и в отсутствие электрического поля,
локализованы на циклотронных орбитах. А случайный потенциал,
обычно рассматриваемый как возможная причина локализации,
приводя в результате рассеяния к переходам с одной циклотронной
орбиты на другую, делокализует электроны.
Таков фон предстоящего обсуждения квантового эффекта Холла
(КЭХ), одного из самых значительных открытий второй половины
XX века в физике твердого тела. Эта тема является существенной ча-
частью отдельной обширной области под названием «физика двумерных
систем». Ранее мы слегка затронули эту область в гл. 6, обсуждая пе-
переходы металл-изолятор. Здесь вся глава посвящена двумерным BD)
системам. Но в соответствии с принципами отбора материала для этой
книги мы будем обсуждать только целочисленный квантовый эффект
Холла, потому что только его можно описать, оставаясь в рамках
представлений о невзаимодействующих электронах. Дробный кван-
квантовый эффект Холла, которого в этих рамках вообще не должно
было бы существовать, останется вне нашего поля зрения. Но и при
обсуждении целочисленного КЭХ мы постараемся сосредоточиться на
тех его аспектах, которые связывают его с основной частью книги:
на локализации, переходах металл-изолятор, скейлинге, прыжковой
проводимости, перколяции и т. д.
г) Подробное обсуждение целочисленного квантового эффекта Холла
можно найти в книгах [1, 2]; общие вопросы физики двумерных электрон-
электронных систем обсуждаются в [3].
9.1] Спектр и динамика двумерных электронов в сильном магнитном 165
В первом параграфе этой главы мы подробно обсудим те поло-
положения классической и квантовой физики, которые необходимы для
понимания и описания К ЭХ; это и есть тот самый фон, о котором гово-
говорилось выше. Затем, после изложения основных экспериментальных
фактов, составляющих суть К ЭХ, мы построим самосогласованную
картину, объясняющую это явление. В последних параграфах речь
будет идти о фазовых переходах, сопровождающих К ЭХ.
9.1. Спектр и динамика двумерных электронов
в сильном магнитном поле *)
Рассмотрим тонкую бесконечную однородную металлическую
пленку в плоскости, перпендикулярной оси Oz. В постоянном магнит-
магнитном поле В || Oz траекторией классического движения электронов,
не имеющих компоненты скорости вдоль магнитного поля, является
окружность. Если в дополнение к магнитному полю, направленному
вдоль оси z, на электрон действует электрическое поле Е || Ох, то
на круговое движение с частотой О = еВ/тс накладывается дрейф
с дрейфовой скоростью v = c(E/B) в направлении OyJJB, E (здесь с —
скорость света, т — эффективная масса). Из-за того, что средняя
скорость v_LE, линейная локальная связь между полем Е и током
j = nev описывается не скаляром, а тензором (п — концентрация
делокализованных носителей). Поэтому при описании линейных
транспортных свойств двумерного электронного газа компоненты
тока j и электрического поля Е связывают между собой при помощи
тензоров проводимости а:
Jx — аххЕх + ахуЬу, /п 1 >\
• _ р , р &хх = Оуу, Сух = — Охуч (У.-LJ
или сопротивления р:
J^y — Pyxjx "г
Эти тензоры являются взаимно обратными, так что для их компонент
справедливы соотношения
_ Рхх _ Рху
&ХХ — 2,2? °ху — 2,2
Р Р Р Р
2,2 у 2,
Рхх ~г Рху Рхх ~г Р
ху
В приближении времени релаксации г для свободного электронно-
электронного газа выражения для ахх и аху можно написать непосредственно из
уравнения движения свободного электрона, учтя рассеяние введением
г) В этом параграфе обсуждаются вопросы классической физики метал-
металлов, которые можно найти также в книгах [4, 5].
166
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
силы эффективного трения —mv/r:
е г -ж—»-| -w-~• 77T/V /(-^ А\
mv = - [vB] + eE . (9.4)
Из уравнения (9.4) с учетом соотношений (9.1) и того, что постоянный
ток j = nev, следует
2
пе т
1
m 1 + OV
0~Ху
пе2т
От
(9.5)
Из соотношений (9.5) следует, что в идеальной 2Б-системе без
примесей, когда г = оо, продольная проводимость бесконечной пленки
ахх = 0, а холловские проводимость и сопротивление равны соответ-
соответственно
nev
_ В_
Рху " ^-
(9.6)
Обычно малая проводимость означает большое сопротивление и на-
наоборот. Из формул (9.3) следует, что равенство нулю ахх при аху ф О
означает, что и сопротивление рхх = ахх = 0. Однако проводящая
область всегда ограничена в направлении Оу, и это обстоятельство
требует тщательного анализа. К тому же в реальной 2Б-системе все-
всегда есть рассеивающие центры (при конечной температуре роль таких
центров могут играть фононы). Поэтому равенство проводимости ну-
нулю всегда приближенное: ахх « 0.
Пусть пленка с рассеивающими центрами имеет вид полосы, вытя-
вытянутой вдоль оси Ох, и пусть граничные условия задают компоненту
поля Ех и ток j = (ь,0). Дрейф
вдоль оси О у приводит к появ-
появлению зарядов на краях полосы
а 44-—-/V_yV УЧ__УЧ У и к появлению компоненты элек-
электрического ПОЛЯ Еу ВДОЛЬ ЭТОЙ
оси. Поэтому электрическое поле
в пленке будет иметь обе компо-
компоненты: Е = (ЕХ,ЕУ). Ток вдоль Е
появляется только за счет рассея-
рассеяния, когда центр круговой орбиты
сдвигается вдоль поля. Отношение
компонент Ех и Еу электрического
поля и величина ахх определяются
частотой рассеяния 1/т.
Край образца существенен бла-
благодаря еще одному обстоятель-
обстоятельству — вблизи края электроны ча-
чаще рассеиваются. В уравнения (9.1)
Рис. 9.1. Движение классических
электронов вдоль края пленки
в нормальном магнитном поле
при зеркальном отражении от
края: (а) и (б), и при диффузном
отражении: (в). Во всех случа-
ях средняя скорость электронов и (д 2) входят плотности тока вда.
v отлична от нуля, направлена
вдоль края и в первом приближе-
приближении не зависит от электрического
поля
ли от краев полосы. Определяя их
через геометрические размеры по-
полосы и величину тока, измеряемую
снаружи, следует помнить о воз-
9.1] Спектр и динамика двумерных электронов в сильном магнитном 167
можности существования дополнительных краевых токов, не контро-
контролируемых частотой 1/т. Рассмотрим классические орбиты, лежащие
в плоскости пленки вблизи ее края. Электрон, достигший края и рас-
рассеявшийся на нем один раз, обязательно столкнется с ним на следу-
следующем витке. В результате таких столкновений электроны совершают
инфинитное движение вдоль края, независимо от того, является ли
рассеяние на краю зеркальным или диффузным (см. рис. 9.1). Это
приводит к тому, что при некоторых специфических условиях ток
вдоль приложенного извне электрического поля в чистом металле
течет в основном вдоль его поверхности. На возможность вытеснения
постоянного тока к поверхности металла при малой частоте рассеяния
в объеме впервые указал Азбель еще в 1963 году. Это явление по-
получило название статического скин-эффекта. Как станет ясно ниже,
квантовый аналог статического скин-эффекта играет существенную
роль в К ЭХ.
К вопросу о терминологии. Уже на основании классического
описания можно сказать, что вдали от краев идеальной пленки
электроны локализованы на магнитных круговых орбитах, но что
эта локализация мягкая: в сколь угодно малом электрическом
поле электроны делокализуются в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном полю. Кроме того, у краев электроны делокализованы в том
смысле, что они могут совершать инфинитное движение вдоль
края.
Обратимся теперь к квантовому описанию. Идеальный спектр
бесспиновых электронов в магнитном поле может быть представлен
в виде суммы энергий поперечного ?j_(iV), зависящего от квантового
числа Ny и продольного ?\\(kz) движений:
e(N, kz) = е±(Ю + ?ц(kz) = Ml (n + ±) + Щ, N = 0,1,2.. ,
(9.7)
где kz — волновой вектор вдоль направления магнитного поля В.
Кратность вырождения уровней с данными N и kz есть
7=;А, (9.8)
2тггв
где S — площадь перпендикулярного полю сечения области, занятой
электронами, а г в — магнитная длина,
"-(ив
Если область, занятая электронами, имеет форму пленки тол-
толщиной 6, лежащей в плоскости (ж,у), а поле В направлено вдоль
оси z, то величина kz в уравнении (9.7) тоже квантуется: kz =
= Bтг/b)Nz (Nz = 1,2,...) и e(N,kz) -> e(N,Nz). Квазинепрерывный
одномерный спектр ?\\(kz) в каждой из магнитных подзон с магнит-
168 Целочисленный квантовый эффект Холла [Гл. 9
ным квантовым числом N превращается в набор дискретных неэкви-
неэквидистантных уровней:
2 v^.-wy
= ?\\(NZ + 1) -?\\{NZ) = 2<k2BNz + 1)-^.
и и mtf
Спектр становится полностью дискретным, каждый уровень в нем ха-
характеризуется двумя квантовыми числами: N и Nz. Вырожденность 7
всех уровней одинакова; согласно (9.8), она зависит только от пло-
площади S, занимаемой двумерным электронным газом, и от величины
магнитного поля В. Плотность состояний такого идеального 2Б-газа,
нормированная на единицу площади, имеет вид суммы (^-функций:
V —L- 5(? - ?(N, Nz)). (9.11)
Коэффициент пь = Bтгг^)~1, входящий во все члены суммы (9.11),
является плотностью электронов на любом полностью заполненном
уровне Ландау. Ее можно выразить через квант магнитного пото-
потока Фо:
l 1-1 = |-, Фо = ^. (9.12)
Равенство (9.12) означает, что на полностью заполненном уровне Лан-
Ландау на каждый электрон приходится ровно один квант магнитного
потока.
Пусть пз — концентрация электронов в трехмерном пространстве;
соответственно, концентрация электронов, отнесенная к единице пло-
площади пленки, равна п2 = п^Ь. Тогда из выражения (9.8) для 7 следует,
что при температуре Т = 0 количество занятых уровней определяется
числом заполнения z/, равным
1/==> (длз)
nL eB v '
Целая часть числа v — это количество полностью заполненных уров-
уровней, наличие дробной части указывает на существование частично
заполненного уровня и определяет, в какой мере он заполнен. При
увеличении поля вырожденность 7 растет, и число заполненных уров-
уровней уменьшается. Опустошение следующего уровня начинается, когда
дробная часть v обращается в нуль — в полях
Вг = ^ п2-. = Ф0п2^, (г = 1,2,3,...). (9.14)
Нас здесь интересуют очень тонкие пленки в сильных полях,
когда заполнено всего несколько дискретных уровней. Для обсужде-
обсуждения удобно воспользоваться приближенной картинкой, которую мож-
можно назвать «переводом квантового описания на полуклассический
9.1] Спектр и динамика двумерных электронов в сильном магнитном 169
язык». На рис. 9.2, а изображено сечение Ферми-сферы e(kz, k±) = sF0
в /^-пространстве в трехмерном случае без магнитного поля. Ферми-
радиус в нулевом магнитном поле ?F0, зависящий только от концен-
концентрации пз, задает на этой диаграмме масштаб энергии. Магнитное
поле квантует поперечный импульс к±. Целые числа N отмечают его
разрешенные значения, а проходящие через них вертикальные ли-
линии — это сечения так называемых цилиндров Ландау, используемых
в физике металлов при анализе эффекта де Гааза — ван Альфена. Ко-
Конечная толщина пленки Ъ квантует продольный импульс kz, его разре-
разрешенные значения отмечены числами Nz. Черные точки внутри окруж-
окружности радиуса eF0 — это заполненные уровни с квантовыми числами
(TV, Nz). На рис. 9.2, а их девять и еще один уровень (TV, Nz) = C,1), по
всей видимости, заполнен частично (серая точка). Поскольку Ферми-
уровень зависит от магнитного поля, осциллируя в окрестности ?F0,
т.е. ер {В) т^ ?F0? точно степень заполнения промежуточного уровня
по рисунку сказать нельзя; она определяется соотношением (9.13).
1
kv
3 щ
j
—^ <
-I
к
? = ?F0
> <
» <
= 0
, a 6
\
' \
1 !
[ :
\
« V
К
1 VI (
I 2
в
1
\ к, п
_N=2
—~—-^
1 ,
\
\
\
til
_N=5
—~~~~~~-^ N=: 0 1
j ^
л
\
\
\
к
Рис. 9.2. Разрешенные состояния на плоскости (k±,kz)\ их энергия пропор-
пропорциональна квадрату расстояния от начала координат. Черные кружки —
полностью заполненные уровни, серый кружок — уровень, заполненный ча-
частично, светлые кружки — пустые уровни, (а) Заполнены уровни с разными,
и магнитными JV, и размерными Nz, квантовыми числами; (б) заполнены
только уровни с минимальным размерным квантовым числом Nz = 1; (в)
заполнены только уровни с минимальным магнитным квантовым числом
N = 0
При повышении магнитного поля происходит переход к ультра-
ультраквантовому пределу, в котором из дискретных квантовых уровней
заполнен только один уровень @,1). Как видно из рис. 9.2, этот пе-
переход, в зависимости от величины Ь, может происходить по-разному.
В ультратонких пленках и гетеропереходах, где Д?цA) > ?F0, запол-
заполнены только уровни (TV, 1) в горизонтальном ряду — см. рис. 9.2, б.
Эксперименты с квантовым эффектом Холла обычно производятся
именно на таких объектах. Но возможен и другой случай, когда
несколько уровней e\\(Nz) < ?F0, например, когда e\\(Nz) < eF0 при
170
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
Nz < 4 — рис. 9.2, а, в. Тогда при повышении поля на каком-то этапе
останутся заполнены только уровни типа @,Nz) вертикального ряда.
Поскольку вырожденность уровней не зависит от квантовых чисел N
и NZ1 формулы (9.8), (9.13) и (9.14) применимы в обоих случаях.
К обоим случаям применимо также все дальнейшее содержание этого
параграфа.
Наличие спина удваивает количество дискретных уровней. Набо-
Наборы, изображенные на рис. 9.2, реализуются для обеих проекций спина,
но они сдвинуты друг относительно друга на величину Зеемановского
расщепления. Дополнительное увеличение числа уровней и услож-
усложнение спектра возможно также из-за многодолинности электронного
спектра в кристалле.
Получившемуся набору дискретных уровней соответствуют клас-
классические круговые орбиты радиуса гдг « л/Ntb с фиксированными
центрами. (Если Nz ^ 1, то вращение
по орбите сопровождается периодиче-
периодическим движением поперек пленки, меж-
между ее поверхностями, но остается финит-
финитным.) Приложенное к пленке постоян-
постоянное однородное электрическое поле Щ\Оу
превращает дискретные уровни в по-
полосы: e(N,Nz) -> e(N,Nz) + Еу. Соот-
Соответственно, как мы видели из уравне-
уравнений (9.1)—(9.6), классическое движение
становится инфинитным в направлении
поперек Е.
Введение конечной площади ямы S
в формуле (9.8) для вырожденности 7
учитывает ограниченность проводящей
2Б-области. Будем для простоты пола-
полагать, что яма прямоугольная, т. е. что
стенки у нее вертикальные. Сама по се-
себе вырожденность 7 обусловлена транс-
трансляционной инвариантностью, т. е. равно-
равноценностью орбит с разными координата-
координатами центра. Когда расстояние от центра
орбиты до края меньше классического
радиуса орбиты г, наличие стенки огра-
ограничивает волновую функцию, и энер-
энергия электронного уровня повышается
(см. рис. 9.3, где по оси абсцисс отложено
расстояние г от края до самой удаленной
точки классической орбиты; предполага-
предполагается, что Nz = 1; это предположение соответствует случаю (б) на
рис. 9.2). В частности, энергия орбиты на уровне N с центром точно
на стенке, классическим аналогом которой является полуокружность,
Рис. 9.3. Энергия 2Б-элек-
тронов на дискретных уров-
уровнях Ландау в зависимо-
зависимости от расстояния г от
стенки прямоугольной по-
потенциальной ямы до са-
самой удаленной точки клас-
классической орбиты. Пункти-
Пунктиром изображены квазиклас-
квазиклассические образы волновых
функций — полные окруж-
окружности вдали от края и части
окружности вблизи края.
Белыми точками отмечены
состояния г = гдг, в кото-
которых они представляют со-
собой точно полуокружности
9.1] Спектр и динамика двумерных электронов в сильном магнитном 171
равна энергии орбиты вдали от стенки на уровне Nf = 2N + 1,
e(N,f = rN) =e(N',r > rB).
Главный эффект увеличения энергии уровней вблизи стенки в том,
что у стенки все уровни Ландау пересекают Ферми-уровень и поэтому
могут вносить вклад в проводимость за счет краевого тока. Пре-
Превращение дискретных уровней в полосы у краев пленки немедленно
приводит к появлению инфинитных орбит (рис. 9.1).
Описанная идеальная квантовая картина заведомо нарушается да-
даже в самой чистой системе наличием случайного потенциала U(r).
Поскольку магнитное поле задает характерный масштаб длины (9.9),
можно говорить о двух предельных типах случайного потенциала:
потенциал с крупномасштабными флуктуациями с характерными раз-
размерами (>г^и короткодействующий потенциал, у которого ( <С г в-
И тот, и другой снимают вырождение уровней (N,NZ) и приводят
к их уширению. Вопрос в том, каковы волновые функции в этих
миниполосах, в которые превращаются уровни Ландау.
Рассмотрим более подробно крупномасштабные флуктуации по-
потенциала U(г). Они приводят к тому, что на электрон действует сила
VC/, лежащая в 2Б-плоскости и однородная на размерах классической
орбиты. Воспользуемся уравнением (9.4), заменив Е на VC/ и положив
г = оо. Под влиянием силы VC/ электрон дрейфует в направлении,
перпендикулярном VC/, т. е. все время двигается вдоль эквипотен-
эквипотенциальных линий функции U(г). Следовательно, каждый электрон
находится все время в своем постоянном потенциале С/, и именно от
него следует отсчитывать энергии уровней (N,NZ). Поэтому возни-
возникает «неоднородное уширение» исходных 5-образных вырожденных
уровней (N,NZ).
Эквипотенциальные линии функции С/(г) вблизи локальных экс-
экстремумов представляют собой замкнутые контуры, охватывающие
эти экстремумы. Направление движения электронов по таким кон-
контурам зависит от того, охватывают ли они локальные максимумы
С/_1_ или минимумы U-. Характерные размеры контуров R являются
расстояниями, на которых локализованы волновые функции соответ-
соответствующих электронов.
К вопросу о терминологии: Волновую функцию электрона в иде-
идеальном 2Б-слое в сильном нормальном магнитном поле мы на-
назовем условно или мягко локализованной, потому что, как мы
видели, сколь угодно малое электрическое поле делокализует
электрон в направлении, перпендикулярном полю. В отличие от
этого, квазиклассические состояния на эквипотенциальных ли-
линиях конечных размеров R истинно или жестко локализованы:
электрическое поле лишь деформирует эквипотенциальную ли-
линию, причем тем меньше, чем слабее поле. Таким образом круп-
крупномасштабные флуктуации потенциала превращают мягкую ло-
локализацию в жесткую по крайней мере для части электронов на
уровне Ландау.
172 Целочисленный квантовый эффект Холла [Гл. 9
В хаотическом 2Б-потенциале имеется перколяционный порог, на
котором бесконечного кластера не существует, а линии эквипотенциа-
эквипотенциален превращаются в бесконечную сетку с бесконечным числом самопе-
самопересечений (см. Приложение А). В седловых точках квазиклассическая
скорость электрона равна нулю; поэтому формально можно считать
электрон на участках эквипотенциальной линии между точками ее
самопересечения мягко локализованным. Учитывая, что вырождение
в точках самопересечения снимается электрическим полем, и что пре-
преодоление седловых точек возможно также за счет туннелирования,
часто электроны на перколяционном уровне сразу называют дело-
кализованными. Таким образом, в каждой уширенной миниполосе
Ландау имеется один перколяционный уровень, на котором электроны
делокализованы. При статистически симметричном случайном потен-
потенциале он расположен в центре миниполосы.
Заметьте. Вообще говоря, один уровень не означает одно состо-
состояние, потому что уровень может быть вырожденным. В контек-
контексте К ЭХ этот вопрос очень не простой; мы будем ниже к нему
возвращаться (см. формулу (9.28) и дискуссии в тексте в связи
с рис. 9.21).
Фактическая ширина 5 г интервала энергий с де локализованными
волновыми функциями зависит от более тонких процессов, например,
от туннелирования между двумя квазиклассическими траекториями,
близко подходящими друг к другу в окрестности седловой точки
(магнитный пробой). По сути дела величина 5е является неопределен-
неопределенностью энергии любого из де локализованных состояний.
Истинно локализованные состояния возникают и в короткодей-
короткодействующем случайном потенциале. Рассмотрим короткодействующий
потенциал ? <С г#, создаваемый изолированными примесями. Энергия
электрона, двигающегося в непосредственной окрестности примеси,
меняется, что приводит к уширению уровня Ландау. Но этим влияние
примеси не ограничивается. Разобраться в классификации уровней,
возникающих в окрестности примеси, помогает модель водородопо-
добной примеси в трехмерном пространстве. В отсутствие магнитного
поля примесь образует под континуумом делокализованных состояний
дискретный набор локализованных состояний, которые описывают-
описываются набором квантовых чисел, как в атоме водорода. Если наложить
сильное магнитное поле, то множество делокализованных состояний
распадется на набор одномерных магнитных зон Ландау, а локали-
локализованные состояния окажутся под каждой из них: ведь, оторвавшись
от примеси, электрон может оказаться в любой из подзон Ландау.
Уменьшение толщины пленки и переход к двумерной системе преоб-
преобразует подзоны Ландау в дискретные уровни, на которых электроны
условно локализованы, но изначальные истинно локализованные со-
состояния сохраняются. Поэтому примеси не только уширяют изначаль-
изначально дискретные уровни (N,NZ), но и создают около них дискретные
(и соответственно, локализованные) уровни.
9.2]
Экспериментальные наблюдения целочисленного КЭХ
173
9.2. Экспериментальные наблюдения
целочисленного КЭХ
Для транспортных измерений наиболее распространена изме-
измерительная конфигурация, которая называется холловский мостик
(см. рис. 9.4, а) и в которой ток Jyi пропускается через торцевые
контакты 1 и 2 (вдоль оси х\ а между остальными контактами
измеряются разности потенциалов. С ее помощью измеряются
компоненты тензора р : рхх по разности потенциалов на контактах,
расположенных вдоль одного края, и рху при помощи контактов,
расположенных напротив друг друга. Формула для рхх, написанная
на рис. 9.4, а, верна в предположении, что ток в мостике распределен
равномерно. Поскольку в условиях КЭХ такой уверенности, вообще
говоря, нет, правильнее считать, что при КЭХ холловский мостик
измеряет Rxx = /
pxx=(VJJi2)(a-/b)
т.
Ж
Рис. 9.4. (а) холловский мостик, позволяющий измерять компоненту рхх
тензора сопротивления по разности потенциалов между контактами 3 и 4
или 5 и 6 и компоненту рху по разности потенциалов между контактами 3
и 5 или 4 и 6 при токе J\i через торцевые контакты 1 и 2; относительно
точек А и В см. ниже в тексте; (б) диск Корбино с двумя кольцевыми
электродами радиусов а\ и <22, позволяющий измерять компоненту о~хх
тензора проводимости по разности потенциалов V\2 между коаксиальными
электродами и току J\2 между ними
Кольцевая структура под названием «диск Корбино», изображен-
изображенная на рис. 9.4, б, позволяет измерять компоненту ахх тензора а.
Обычно двумерный электронный газ создается за счет изгиба зон
либо у поверхности полупроводника, либо на плоских границах специ-
специальным образом подобранных полупроводников. Устройство первого
типа называют полевой или МДП-структурой, устройство второго
типа — гетероструктурой. В большинстве случаев измерительную
структуру покрывают дополнительно, поверх слоя изолятора, метал-
металлической пленкой, которая образует с 2Б-газом плоский конденсатор.
Эта пленка называется затвором. Подавая на затвор напряжение Vg,
можно менять концентрацию п двумерного газа. Поэтому менять
число заполненных уровней (9.13) можно не только при помощи маг-
174
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
нитного поля В, но и при помощи потенциала Vg на затворе относи-
относительно 2Б-газа. Если затвор находится на расстоянии s от плоскости
с 2Б-электронами, то изменение напряжения на затворе AVg и изме-
изменение электронной концентрации An связаны линейной зависимостью
= 4тг Anes.
(9.15)
12
О
г--2пШ2е
SI
B = 17,9 Т.
Т= 1,5 К
20
30
Рис. 9.5. Магнетосопротивление йии холловское сопротивление ржув зави-
зависимости от напряжения на затворе Vg в полевой структуре на поверхности
Si [6]. Температура Т = 1,5 К, магнитное поле 17,9 Тл. Размеры устройства
в обозначениях рис. 9.4, а: а = 130 мкм, Ъ = 50 мкм, ток ji2 = 1 мкА
На рис. 9.5 приведены результаты эксперимента [6], по сути дела
открывшего КЭХ и положившего начало его изучению. На кривых
видны три главные особенности, составляющие суть этого явления:
наличие плато на кривых pxy(Vg) в окрестности значений Vg, при
которых магнитное поле В удовлетворяет соотношению (9.14) для
полей Bi] квантованные значения рху
Рхг
= - —2" (г = 1, 2, 3,...)
(9.16)
на этих плато; обращение Rxx(Vg) в нуль в окрестности этих же зна-
значений Vg. Эти особенности хорошо видны на рис. 9.6, где окрестность
одного из плато показана в увеличенном масштабе (разные величины
Vg на рис. 9.5 и на рис. 9.6 объясняются тем, что эксперименты сдела-
сделаны на разных образцах).
9.2]
Экспериментальные наблюдения целочисленного КЭХ
lib
s 6'50
о
^ 6,45
6,40
s 400
О
200
SI
6453,3 0м
23,0
В = 13,0 Тл
Г=1,8К
23,5
24,0
Рис. 9.6. Магнетосопротивление йии холловское сопротивление рху в зави-
зависимости от напряжения на затворе Vg в полевой структуре на поверхности
Si [6]. Температура Т = 1,8 К, магнитное поле 13 Тл. Размеры а = 130 мкм
и Ъ = 50 мкм те же, что на рис. 9.5, но расстояние s до затвора другое.
Точность измерения холловского сопротивления 0,1 Ом
Рис. 9.5 позволяет сформулировать первые вопросы, на которые
эксперимент должен ответить для начала серьезной дискуссии о при-
природе КЭХ. Эти вопросы и ответы на них таковы.
(i) Точность, с которой выполняется соотношение (9.16). Уже
в первой работе [6] было показано, что измеренные значения рху на
плато совпадают со значениями (9.16) с точностью не хуже, чем 10~4.
Сейчас уже говорят о воспроизводимости получаемых значений рху
на уровне 10~8. Это означало возможность применения этого эффекта
в метрологии и потребовало выяснения в специальных экспериментах,
влияют ли на измеряемые значения рху знак носителей, многодо-
линность спектра и другие факторы, определяемые кристаллической
структурой (оказалось, что не влияют), изучения влияния примесей,
температуры, геометрических размеров образцов и величины изме-
измерительного тока, влияния электронной концентрации (она тоже ока-
оказалась несущественной в довольно широких пределах), исследования
изменений рху вдоль плато и т. п. Результаты этих исследований мож-
можно найти в специальных обзорах (см. [7, 8]). Нам для дальнейшего
достаточно утверждения, что на фоне плавно меняющегося холлов-
холловского сопротивления рху(В) или pxy(Vg) выделяются квантованные
значения (9.16).
(И) Относительная протяженность плато, их ширина по срав-
сравнению с расстоянием между ними по полю В или по напряжению на
затворе Vg. Эта характеристика не обладает устойчивостью кванто-
квантованных значений холловского сопротивления. Ширина плато зависит
и от материала, на основе которого создан 2Б-слой носителей, и от
примесей, и от температуры. На рис. 9.7 приведена кривые КЭХ на
176
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
12
10
I8
4
2
0
1,0
^0,5
GaAs - Ala,Ga0<7As
я = 3,7-1011см
Г=8мК
-
: 3i+3t
- 4l+4t|
: _ "\)\ }\ L
f2t
-
-
- /-4
* 'I
j
i i i i i i i i
1 -
дт
Рис. 9.7. Магнетосопротивление йпи холловское сопротивление рХу в за-
зависимости от магнитного поля В в гетероструктуре GaAs-Al^Gai-^As [9].
Температура Т = 8 мК. Электронная плотность в 2Б-слое 3,7 • 1011 см~2, по-
движ:ность /л = 4,1 • 104см2/В-с. Стрелками отмечены направления спинов
на уровнях Ландау с номером N
О
40
30
20
1Л
G
. 40 mK^
" /,
¦ ^i=2
aAs^AlG
« = 2,4-10L
•,95 К
ai As ^
cm / /
/ I
1
-
i i i i i
10
15
ДТл
Рис. 9.8. Сужение холловского плато г = 1 в гетероструктуре GaAs-
Al^Gai-^As при росте температуры [10]. Электронная плотность в 2Б-слое
2,4 • 1011 см, подвижность /х = 9 • 104 см2/В-с
гетероструктуре GaAs-AlxGai_xAs. Плато занимают большую часть
кривой рху(В), так что эта кривая приобретает вид лестницы с го-
горизонтальными ступенями. Влияние температуры на ширину плато
демонстрирует рис. 9.8. Соответствующую структуру имеет и функ-
9.3]
Механизм образования плато
111
4 -
3-
2-
Лз
2
Л
\\\J \\
¦ 1 /•
GaAs — Al^Ga^As
я =3,2-1011 см ¦
-
400 мК
— ¦ 105 мК
9мК
Н
A lf
i /и л ¦
Рис. 9.9. Продольная проводимость в гетероструктуре
при разных температурах, измеренная на диске Корбино [11]. Электронная
плотность в 2Б-слое 3,2-10псм~2, подвижность /х = 10,5 • 104 см2/В-с. Око-
Около максимумов указаны самые верхние из полностью заполненных уровней
Ландау
ция RXX(B)\ она отлична от нуля только на интервалах между плато,
где имеет вид более или менее узких пиков.
(iii) Температурная зависимость продольной проводимости в об-
области плато. Согласно формуле (9.3), в области плато, где рхх «
~ 0, следует также ожидать ахх « 0. Но эта формула справедлива
лишь при пространственно однородном распределении тока и пото-
потому одновременная малость величин рхх « 0 и ахх « 0 заслуживает
особого экспериментального подтверждения. Таким подтверждением
является эксперимент в геометрии диска Корбино, непосредственно
измеряющий ахх. Как видно из кривых на рис. 9.9, полученных на
диске Корбино, кривая ахх(В) состоит из набора пиков, в промежут-
промежутках между которыми — в интервалах полей, где находятся холловские
плато, проводимость стремится к нулю при понижении температуры.
Мы вернемся к температурным зависимостям RXX(T) в разделе 9.5.
9.3. Механизм образования плато
Начнем обсуждение экспериментальных наблюдений К ЭХ, исходя
из того, что было изложено в первом параграфе. Представим себе
реально неосуществимую идеальную 2Б-систему без случайного по-
потенциала, в которой мы меняем концентрацию электронов при помо-
помощи напряжения Vg на затворе. На основании уравнений (9.6) и (9.15)
можно было бы полагать, что холловская проводимость будет линейно
12 В. Ф. Гантмахер
178
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
меняться с Vg. Действительно, если бы электронный спектр 2Б-газа
был непрерывным, то мы бы имели
_ пес _ c(Vg — Vgo)
~ ~B~ ~ 2ttsB '
(9.17)
где напряжение Vgo компенсирует контактные разности потенциалов
в цепи. Однако в сильном магнитном поле одна из обкладок конденса-
конденсатора имеет дискретный энергетический спектр. К чему это приводит,
видно из рис. 9.10, где изображена энергетическая диаграмма системы
идеальный 2В-газ плюс затвор при трех разных напряжениях Vg на
затворе.
v<3
s
v=
V>3
Рис. 9.10. Диаграмма взаимного расположения уровней Ферми в идеальном
2Б-газе и в затворе при разных напряжениях Vg на затворе; сплошной
линией показаны заполненные состояния, пунктиром — пустые, (а) и (в):
числа заполнения v нецелые, а уровень Ферми проходит через уровень
Ландау, (б): число заполнения v целое, а плотность состояний на уровне
Ферми равна нулю
В равновесии при Vg — Vgo = 0 уровень Ферми в затворе и в газе
находятся на одной высоте, напротив друг друга. При этом положе-
положение уровня Ферми относительно уровней Ландау задается исходной
концентрацией щ. Изменение Vg меняет п. Поэтому наличие разности
потенциалов Vg, включенной во внешнюю электрическую цепь, соеди-
соединяющую затвор с 2Б-слоем, будем учитывать смещением уровня ер
в затворе относительно 2Б-газа. На диаграмме (а), где напряжение
Vg = Vgi наименьшее из трех, третий уровень Ландау заполнен не
полностью и уровень Ферми совпадает с ним. При достижении некото-
некоторого значения напряжения третий уровень заполнится, и дальнейшее
увеличение концентрации носителей в двумерном газе потребует раз-
размещения электронов на четвертом уровне Ландау. Для того чтобы это
стало возможным, Ферми-уровень затвора должен оказаться напро-
напротив него, т. е. сдвинуться вверх на Ш, как это показано на диаграмме
(в). А это в свою очередь требует увеличения электрического поля
9.3] Механизм образования плато 179
между затвором и 2Б-газом. Поэтому в интервале значений напряже-
напряже^ (9.18)
ния Vg
Ферми-уровень будет перемещаться от третьего уровня Ландау к чет-
четвертому, находясь при этом в запрещенной энергетической зоне (на-
(напряжение Vg2 на диаграмме (б) относится к этому интервалу напряже-
напряжений). Двумерный газ при этих Vg является изолятором в том смысле,
что он не может сорбировать добавочные электроны и тем самым
экранировать внешнее электрическое поле. Дополнительные силовые
линии электрического поля, обеспечивающие разность потенциалов
SVg < A^ проходят через 2Б-слой насквозь. При этом концентрация
электронов на затворе растет, а в 2Б-газе остается постоянной с целым
числом заполнения v. Компенсирующий заряд возникает где-то вне
2Б-слоя, в так называемом резервуаре. Роль резервуара могут играть,
например, примеси в объеме подложки 2Б-слоя, или ее противополож-
противоположная поверхность, или контакты. Когда при напряжении Vgs уровень
Ферми достигнет следующего (четвертого) уровня Ландау, заряды
из резервуара вернутся в 2Б-слой. Концентрация электронов в слое
изменится сначала скачком; затем продолжится ее плавное изменение
в соответствии с формулой (9.15).
При неизменной концентрации зарядов в 2Б-слое холловское на-
напряжение остается постоянным. Поэтому в идеальном материале в за-
зависимости pXy(Vg) должны возникнуть плато шириной (9.18) вблизи
значений Vg\ определяемых формулой (9.14). Уровень этих плато р?у
обусловлен г полностью заполненными уровнями Ландау и поэтому
должен иметь точные квантованные значения (9.16).
Следует помнить, что речь идет о мысленном эксперименте в
идеальном 2Б-слое. Поэтому это рассуждение не может считаться
объяснением К ЭХ, последний всегда наблюдается на заведомо
неидеальных образцах, где часть уровней в 2Б-слое локализо-
локализованы.
Для оценки относительной ширины плато 7/id сравним величину
Aid с изменением напряжения А^, требуемым для полного заполне-
заполнения одного из уровней Ландау, т. е. для изменения v на единицу, а
концентрации на An = Bтгг^)~1. Магнитное поле, входящее в оба
выражения, сократится и, положив диэлектрическую проницаемость
изолирующего слоя конденсатора равной единице, получим
Чи = ^ = ^Л = т- (9Л9)
&v s me s
В числителе отношения (9.19) получилось выражение для боров-
ского радиуса ав- В атоме водорода оно около 0.5 А. Малая эффектив-
эффективная масса электронов в 2Б-газе может увеличить величину а в в 10-20
раз, но все равно зазор в конденсаторе s всегда существенно больше.
12*
180
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
Поэтому для идеального 2Б-газа на зависимости pxy(Vg) следовало
бы ожидать узких и далеко разнесенных друг от друга плато.
Случайный потенциал в 2Б-слое уширяет уровни Ландау. Соглас-
Согласно изложенным выше представлениям, набор возникающих при этом
состояний включает по крайней мере одно делокализованное состо-
состояние с энергией вблизи центра уширенного распределения и лока-
локализованные состояния на его периферии. Пусть уширенные уровни
Ландау не перекрываются, так что между ними остаются интервалы
запрещенных значений энергии. При увеличении Vg Ферми-уровень
движется сначала по локализованным состояниям нижней минизоны
уровня Ландау, затем по запрещенной зоне, т. е. по области с нулевой
плотностью состояний, а затем по локализованным состояниям верх-
верхней минизоны (см. рис. 9.11). Заполнение локализованных состояний
у о (
N=2
v«l,5
N=\
l,5<v<2
г
v=2
Рис. 9.11. To же, что и на рис. 9.10, но для реального 2Б-газа со случайным
потенциалом, который превратил уровни Ландау в неперекрывающиеся
полосы (минизоны Ландау). Заштрихованы локализованные состояния на
краях полос. Нижний уровень N = 0 не показан, (а) — состояния на Ферми-
уровне делокализованы, {б) — состояния на Ферми-уровне локализованы,
(в) — плотность состояний на уровне Ферми равна нулю, а число заполне-
заполнения v остается целым
не должно сказываться на величине эффекта Холла, так что относи-
относительная ширина плато г\ становится
^ = ^id + ^ioc >^id , (9.20)
где г]\ос есть доля локализованных состояний на уровне Ландау.
Заметьте. Скорость движения уровня Ферми по энергетическо-
энергетическому спектру 2Б-газа de/dVg в областях рис. 9.11,5 и рис. 9.11, в
различны.
Все сказанное относительно появления плато на кривых рХу(Уд)
в 2Б-системах с затвором справедливо и применительно к кривым
рХу(В). Рост Vg эквивалентен уменьшению поля В. Из-за уменьшения
вырожденности и количества электронов на нижних уровнях Ландау
9.3]
Механизм образования плато
181
происходит рост заселенности уровня s(N) = ер. Рис. 9.12 иллюстри-
иллюстрирует эквивалентность изменений Vg и В на примере уширенных уров-
уровней Ландау. Поскольку при изменении магнитного поля перетекания
зарядов с затвора не происходит, уровень Ферми ер следует считать
неподвижным; даже если затвора нет, уровень ер все равно зафик-
зафиксирован внешним по отношению к 2Б-газу окружением, с которым
газ находится в термодинамическом равновесии. При понижении поля
«емкость» уровней 7 уменьшается (см. формулы (9.8) и (9.9)), и чтобы
вместить прежнее количество электронов, система уровней смещает-
смещается вниз. Пока напротив Ферми-уровня находится крыло уширенного
уровня Ландау, происходит заполнение локализованных состояний
при неизменном холловском сопротивлении рху (рис. 9.12, б). Ког-
Когда плотность состояний на Ферми-уровне оказывается равной нулю
(рис. 9.12, в), то часть электронов из 2Б-слоя уходит в резервуар,
и т.д.
г о уо ,
г OJ/" О ! г Of/ О 1
I
7V=2
N=\
i
i
B2<B{
eF
L
r
i
L
,5<л
t
B3<B2
j=7
Рис. 9.12. To же, что и на рис. 9.11, но при постоянном Vg и постепенно
уменьшающемся магнитном поле В
Объяснив относительное уширение плато за счет локализованных
состояний, мы тут же сталкиваемся с основной трудностью в объясне-
объяснении К ЭХ. Локализованные состояния не вносят вклада в холловский
ток jy. В то же время их наличие означает уменьшение числа де-
локализованных состояний, которые участвуют в создании эффекта
Холла. Поэтому основным является вопрос о происхождении точных
квантовых значений холловского сопротивления на плато. Полагая
для определенности, что случайный потенциал С/(г) содержит лишь
крупномасштабные флуктуации, рассмотрим этот вопрос, следуя иде-
идеям работ [12, 13].
На рис. 9.13, а изображена перколяционная сетка эквипотенциаль-
эквипотенциальных линий на уровне U = Щ. Приложим к 2Б-слою электрическое
поле Е || Ох. Оно снимает вырождение в седловых точках. Энер-
Энергии точек А\ и ^2, ранее принадлежавших одной эквипотенциальной
182
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
Рис. 9.13. (а) Сетка эквипотенциальных линий на уровне перколяции U =
= Uq в электронном 2D-газе с крупномасштабным случайным потенциалом
U(г); (б) то же в электрическом поле [12]. Значками + и — отмечены
локальные экстремумы функции U(r). Заштрихованы области, из которых
эквипотенциали U = const уходят на бесконечность
линии, теперь различаются на еЕ?, где ? — проекция расстояния
между точками А\ и ^2 на направление Е. Как видно из рис. 9.13, б,
сетка превратилась в систему зигзагообразных полос с шириной Л,
зависящей от локального значения градиента случайного потенциа-
ла |W|c/0:
(здесь г — текущая координата вдоль полосы). Внутри этих полос
эквипотенциальные линии уходят на бесконечность вдоль направле-
направления Оу, а между полосами имеют форму замкнутых контуров. По-
Поскольку Л (г) —> 0 при Е —> 0, шириной полосы является большая из
величин Л, г в-
Вернемся к рис. 9.4 и обратим внимание на казалось бы чисто
техническую деталь: в выражение для холловского напряжения
^35 = Jl2Pxy
(9.22)
не входят геометрические размеры а и Ь; напряжение V35 зависит толь-
только от полного тока J\2 через устройство и от поля В и концентрации п,
входящих в рху. Это означает, что правильная геометрическая форма
холловского мостика при измерении рху не существенна. Важно лишь,
чтобы 2Б-газ связывал между собой все задействованные в измерении
контакты. Вклады в поперечную проводимость одинаковы от перко-
ляционной сетки уровня Ландау, уширенного случайным потенциа-
потенциалом, и от этого уровня в идеальных условиях полной однородности
на плоскости. Если в плоскости, в которой находится идеальный
2Б-газ, сделать множество отверстий, то это не отразится на
рху, если только не нарушена связность плоскости. Это — цен-
центральный пункт для понимания КЭХ.
Каждый уширенный уровень Ландау, расположенный ниже уров-
уровня Ферми, содержит внутри себя узкий слой делокализованных со-
9.3] Механизм образования плато 183
стояний; в скрещенных полях этот слой вносит вклад в поперечную
проводимость, равный Ааху = е2/2тгй. Полное значение поперечной
проводимости аху в режиме плато К ЭХ получается умножением Ааху
на целое число г таких слоев с делокализованными состояниями ниже
уровня Ферми; при этом продольная проводимость отсутствует
охх = 0, аху = i (?Л . (9.23)
Пусть теперь величины В и Vg таковы, что верхний уровень Лан-
Ландау заполнен частично (число v в формуле (9.13) нецелое). При на-
наличии крупномасштабных флуктуации потенциала занятая 2Б-слоем
площадь S распадается на две области. В одной верхний уровень Лан-
Ландау полностью заполнен электронами, в другой — он полностью пу-
пустой. Пока дробная часть числа v мала и в заполненной электронами
области 2Б-слоя располагаются только замкнутые эквипотенциаль-
эквипотенциальные линии конечного размера, т. е. только локализованные состояния,
эти электроны не влияют на транспортные свойства. Но как только по
мере увеличения концентрации п (или уменьшения поля В) уровень
Ферми выйдет на слой делокализованных состояний на перколяци-
онной сетке, контакты холловского мостика на рис. 9.4, а окажутся
связанными между собой перколяционной сеткой. Эта сетка покрыва-
покрывает лишь часть всей площади, она может состоять из тонких волокон,
иметь большие дыры и т. д. — все это не имеет значения. Пока состо-
состояния на ней заполнены лишь частично, продольная проводимость ахх
отлична от нуля, а поперечная аху имеет неквантованное значение.
Когда все состояния в делокализованном слое окажутся полностью
заполнены, аху выходит на следующее плато.
Уравнение (9.23), связывающее аху с числом слоев с делокали-
делокализованными носителями в энергетическом пространстве под уровнем
Ферми, показывает принципиальную важность того, что при ушире-
нии каждого уровня Ландау под воздействием возмущающего потен-
потенциала U(г) возникает только один слой делокализованных состояний.
Уместно задать вопрос: не может ли в пределах одной минизоны Лан-
Ландау появиться несколько слоев делокализованных состояний с энерги-
энергиями ?д/ < ?д/ < ... ? Такое возможно лишь при очень специфических
условиях: если (i) С/(г) — периодический потенциал и если (И) магнит-
магнитный поток Ф через элементарную ячейку потенциала С/(г) отличается
от кванта магнитного потока Фо в рациональное число раз, т. е. Ф =
= (р/д)Фо, где р и q — целые числа. Из второго условия сразу следует,
что такой потенциал U(r) должен сам зависеть от магнитного поля.
Заметьте. Речь заведомо не идет о кристаллическом потенциале,
на фоне которого всегда реализуются 2Б-системы. Кристалличе-
Кристаллический потенциал изначально перенормирует электронный спектр,
может сделать его многодолинным, анизотропным и т.п., меняет
эффективную массу. В иерархии потенциалов он стоит на первом
месте. Магнитное поле воздействует уже на перенормированные
электроны.
184
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
Несмотря на кажущуюся экзотичность, «решеточный вариант»
возмущающего потенциала очень важен; отсюда начинается дорога
от целочисленного К ЭХ к дробному К ЭХ. Однако дробный К ЭХ не
входит в круг обсуждаемых в этой книге вопросов.
9.4. Краевые каналы г)
В этом параграфе мы обсудим распределение тока в образцах в ре-
режиме КЭХ, т. е. при тех значениях В или Vg, при которых реализуют-
реализуются холловские плато с сопротивлением (9.16) и Rxx <C рХу Случайный
потенциал будем считать крупномасштабным. Начнем с диска Кор-
бино (рис. 9.4, б), как с более простой измерительной конфигурации:
2Б-область в нем не имеет краев, не занятых контактами.
Возникающая из перколяционной сетки система зигзагообразных
полос с шириной (9.21) имеет на диске Корбино вид непересекающих-
непересекающихся замкнутых линий, охватывающих внутренний электрод. Холлов-
ский ток jy течет вдоль этих линий, огибая области, занятые экви-
эквипотенциальными линиями, не охватывающими внутренний электрод
(см. рис. 9.14, заимствованный из [13]). Ток
"^~^~" между коаксиальными электродами при
сделанных предположениях равен нулю.
Распределение токов в холловском мо-
мостике (рис. 9.4, а) сложнее, потому что кон-
контакты в нем расположены на краях 2D-o6-
ласти так, что двигаясь вдоль края, можно
перейти от одного контакта к другому. Как
обсуждалось выше, края 2Б-области обла-
обладают особыми свойствами. Пусть граница
области абсолютно резкая, так что эта об-
область ограничена вертикальными стенка-
стенками. Из рис. 9.3 видно, что в этом случае
вдоль стенок имеется полоска шириной по-
порядка г в, в которой на Ферми-уровень под-
поднимаются все расположенные ниже уровни
Ландау. Она представляет собой одномер-
одномерную многоканальную транспортную систе-
систему с числом каналов равным числу пол-
полностью заполненных уровней Ландау, т. е. целой части г = int (и)
числа v (см. описание таких систем в разделе 5.2). Из классической
картины движения электронов в этой полоске следует, что электроны
сталкиваются с поверхностью на каждом обороте своего движения по
ларморовской траектории и, независимо от характера столкновения,
смещаются на следующем обороте в том же направлении вдоль канала
(рис. 9.1). Главная особенность кинематики такого движения в том,
что столкновения с поверхностью не приводят к рассеянию назад.
Рис. 9.14. Форма экви-
эквипотенциальных линий
в диске Корбино с круп-
крупномасштабным случай-
случайным потенциалом, на-
находящемся в режиме
КЭХ [13]
г) Смысл и роль краевых каналов подробно обсуждаются в обзоре [14].
9.4] Краевые каналы 185
Рис. 9.15. Распределение поля в двухконтактном идеальном прямоугольном
образце, находящемся в режиме КЭХ при Т = 0. Потенциал вдоль сплош-
сплошных линий, соединяющих точки А и В, постоянен. Пунктиром показаны
линии градиента потенциала, вдоль которых направлено электрическое по-
поле. Плотность эквипотенциальных линий (величина электрического поля)
обсуждается в тексте
Поэтому полоска вдоль края представляет собой не просто Ш-систе-
му, а является идеальной многоканальной проволокой типа E.13), по
всем каналам которой при включенном магнитном поле течет конеч-
конечный ток.
Заметьте. В принципе, если v > 2, возможно рассеяние из одного
канала в другой, хотя при этом должно измениться квантовое
число N или направление спина электрона. Однако такое рассея-
рассеяние не приводит к диссипации. Напротив, уход из канала в объем,
который происходит при рассеянии на большой угол на точечной
примеси, находящейся на расстоянии порядка г в от края, приво-
приводит к диссипации.
Необходимое уточнение: Предположение о резкой границе 2D-o6-
ласти практически не реализуется. Обычно вертикальной стенки
нет и ширина области, в которой нижние уровни Ландау подни-
поднимаются до уровня Ферми, много больше г в- Поэтому вместо одно-
одномерной г-канальной краевой области возникают г одноканальных
краевых полосок, идущих параллельно вдоль края 2Б-области.
При обсуждении реальных экспериментов обычно используется
именно такая картина. Лучше всего о ней можно прочитать в ори-
оригинальной статье [15]. Для вопроса о распределении холловского
тока в 2Б-плоскости это уточнение не имеет значения.
Отключим сначала от холловского мостика на рис. 9.4, а контакты
3-6, так что мостик превратится в двухконтактный прямоугольный
образец — см. рис. 9.15. Будем считать, что по-прежнему рхх = 0.
Это означает, что хотя вдоль краев А'В и В'А течет ток, диссипации
там быть не должно. Следовательно потенциал между контактами
вдоль края не меняется. Края А'А и В'В самих контактов, граничащие
с металлом, являются эквипотенциальными линиями по определению.
Поэтому прямоугольный контур 2Б-области двухконтактного образца
распадается на два эквипотенциальных участка АВ и ВА, между ко-
которыми имеется разность потенциалов V\2- В точках А и В происходят
скачки потенциала, а все эквипотенциальные линии с потенциала-
потенциалами 0 < V < V\2 тоже собираются к точкам А и В. Конфигурация
этих линий при отсутствии случайного потенциала изображена на
186 Целочисленный квантовый эффект Холла [Гл. 9
рис. 9.15. Такая конфигурация потенциального поля кажется удиви-
удивительной. Однако сделаем небольшое
Лирическое отступление на тему общей физики: Когда мы пус-
пускаем ток J по проводу с удельным сопротивлением д, укреплен-
укрепленному на стене в виде замысловатого узора, мы задаем Приро-
Природе трудную задачу: найти решение уравнения Лапласа Л ф = О,
удовлетворяющее граничному условию, что электрическое поле
Е = — Чф на поверхности провода везде направлено вдоль него
и равно Е = J д. Природа решает эту задачу «со скоростью света»,
располагая дополнительные статические заряды на поверхности
провода. Конфигурация поля на рис. 9.15 отнюдь не сложнее.
Статические заряды в этом случае располагаются по периметру
прямоугольника.
Отношение V12/J12 согласно формуле (9.16) равно
г = 1,2,3,... (9.24)
Разобьем ток Jyi на г одинаковых частей Ji по числу зон Ландау под
уровнем Ферми и перепишем уравнение (9.24) в виде
'i2 • (9.25)
Правое равенство (9.25) показывает, что Ji можно считать токами,
текущими параллельно по г одномерным идеальным каналам E.13)
вдоль края прямоугольника между контактами 1 и 2. Такой способ
описания, сводящий все токи в режиме К ЭХ к краевым, связан с име-
именем Бюттикера [14]. Каждая зона Ландау, находящаяся под уровнем
Ферми, со своим протяженным состоянием и с подъемом на Ферми
уровень по периметру образца, эквивалентна одному такому идеаль-
идеальному каналу.
Обратите внимание на сходство между моделью краевых кана-
каналов и статическим скин-эффектом — чисто классическим явлени-
явлением вытеснения тока на поверхность в чистом металле при низких
температурах (см. рис. 9.1).
Возможна и другая формальная трактовка того, как ток Jyi проте-
протекает через образец. Структура выражения (9.25) отражает тот факт,
что в холловский ток аддитивно вносят одинаковый вклад г делока-
лизованных слоев всех заполненных уровней Ландау. Вместе с тем
из рис. 9.10-9.12 следует, что все эти г слоев находятся ниже уровня
Ферми. Рис. 9.15 и все сказанное в связи с ним относится формаль-
формально к любому из них. Получается, что холловский ток в 2Б-системе
может течь по состояниям, лежащим ниже уровня Ферми. Это не
противоречит представлениям обычной физики металлов, поскольку
холловский ток является недиссипативным. Ток Ji2 с точки зрения
внешней задающей цепи, не показанной на рис. 9.15, выполняет роль
9.4] Краевые каналы 187
тока jx в обозначениях уравнений (9.2), но внутри самого устройства
он фактически является током jy, поскольку везде течет вдоль экви-
эквипотенциальных линий электрического поля.
Возьмем один из г заполненных уровней под уровнем Ферми в хол-
ловском мостике и изобразим энергию sn электрона с соответствую-
соответствующим квантовым числом N как функцию положения центра орбиты.
Получится поверхность, по форме напоминающая корыто с дном,
«помятым» случайным потенциалом (рис. 9.16). В излагаемой модели
ток идет по «дну корыта» вдоль эквипотенциальных линий, изобра-
изображенных цепочками из точек. Естественно, что окончательный ответ
тот же самый, что и в модели краевых токов: между точками А и В
течет недиссипативный ток Ji = (e2/2nK)Vi2.
Рис. 9.16. Потенциальная энергия электронов, принадлежащих одному из
заполненных уровней Ландау, в зависимости от положения в 2Б-области.
Точками показаны эквипотенциальные линии, вдоль которых идет недис-
недиссипативный ток
Мы изложили две модели распределения холловских токов по
2Б-плоскости. Как показал Таулесс [16], на практике реализуется тре-
третий, промежуточный вариант. Холловский ток действительно течет
вдоль краев 2Б-области, но он затухает на гораздо большем рас-
расстоянии, чем магнитная длина г в, причем затухает медленно, как
логарифм In г/г в расстояния г до края. Затухание связано с экрани-
экранированием двумерным электронным газом электрического поля стати-
статических зарядов, расположенных по периметру 2Б-области и обеспе-
обеспечивающих выполнение граничных условий для уравнения Лапласа.
Вследствие экранирования эквипотенциали на рис. 9.15 расположены
густо около краев образца и редко в его середине. Поскольку дву-
двумерный газ плохо экранирует электрическое поле, плотность силовых
линий падает с увеличением г сравнительно медленно.
Таким образом, ток течет частично и вне краевых каналов, и про-
происходит это из-за рассеяния из краевых каналов в объем. Однако он
все же сосредоточен вблизи краев, потому что плотность тока пропор-
пропорциональна |Е| ос | VC/| и спадает вглубь из-за экранирования. Поэтому
для описания распределения холловских токов можно пользоваться
любой из двух моделей. Обычно модель краевых каналов Бюттикера
используют применительно к высокоподвижному 2Б-газу в широких
холловских мостиках, а модель объемных токов — применительно
к системам с сильным рассеянием и к узким мостикам.
188 Целочисленный квантовый эффект Холла [Гл. 9
Вернем теперь холловскому мостику контакты 3-6, т. е. вернемся
от конфигурации рис. 9.15 к конфигурации рис. 9.4. Если тока через
контакты 3-6 не будет, то по сути дела ничего не изменится, так что
V35 = F46 = V12 = 3-f (^J) , Уы = V56 = 0.
Из сравнения рис. 9.15 с рис. 9.14 становится понятным, что вве-
введение крупномасштабного случайного потенциала ничего не меняет
ни качественно, ни даже количественно. Оно сведется к раздвиганию
в отдельных местах эквипотенциальных линий АВ и появлению меж-
между ними дополнительных замкнутых эквипотенциальных линий. При-
Примечательно, что благодаря краевым каналам несущественно, в каких
конкретно местах перколяционная сетка выходит на край 2Б-области.
Канал вдоль края является эквипотенциальной линией, которая ав-
автоматически входит в перколяционную сетку.
Представляет интерес непосредственное доказательство существо-
существование токов под уровнем Ферми. Специальные эксперименты на диске
Корбино [17] доказали, что перенос заряда под уровнем Ферми дей-
действительно происходит. Если не прикладывать извне разность потен-
потенциалов к кольцевым электродам 1 и 2 диска Корбино (рис. 9.4, б),
а медленно изменять сильное магнитное поле В, нормальное к плос-
плоскости диска, то циркулярное и радиальное направления в диске поме-
поменяются ролями. В диске возникнет циркулярное электрическое поле
ЕС[ТС ос dB/dt, а холловский поток электронов станет радиальным.
Поскольку не существует края, связывающего кольцевые электроды,
холловский ток может протекать только «через объем», где он вы-
вынужден течь под уровнем Ферми. Поставив между контактами 1 и 2
электрометр, этот ток можно зафиксировать.
Заметьте. Механизм возникновения холловского тока j ос
ос аХуЕс[ТС таков, что электроны не получают энергию от
электрического поля i^circ- Поэтому во внешней цепи между
кольцевыми контактами нельзя использовать для измерения тока
обычный амперметр, на внутреннем сопротивлении которого
неизбежно диссипируется энергия. С другой стороны, измерить
заряд на электродах при помощи электрометра можно только
в том случае, если заряд не рассасывается за счет внутренней
проводимости ахх. Это означает, что такая измерительная схема
работает только на плато К ЭХ, где ахх = 0.
Результаты такого эксперимента приведены на рис. 9.17. Видно,
что заряд Q в электрометре начинает нарастать, как только изменение
поля выводит образец на плато К ЭХ, где ахх = 0. При появлении
на противоположном краю плато конечной проводимости ахх заряд
рассасывается. Знак заряда зависит от направления изменения поля.
На приведенном графике Q > 0 при росте поля и Q < 0 при его умень-
уменьшении. Скорость нарастания заряда, т.е. наклон прямой AQ/AB,
позволяет определить величину проводимости. При этом точности
9.5] Плотность состояний электронного 2Б-газа в магнитном поле 189
13
Рис. 9.17. Продольная проводимость о~хх как функция магнитного поля и пе-
перенос заряда Q между электродами диска Корбино в процессе изменения
поля в режиме КЭХ (направление изменений поля показано стрелками).
Диск Корбино с размерами 2а\ = 225/х и 2<22 = 675/х изготовлен на базе
полевой структуры на поверхности Si. Температура Т = 25 мК [17]
обычно недостаточно, чтобы исследовать степень постоянства вели-
величины аху вдоль плато КЭХ, но вполне достаточно, чтобы различить
целые числа г в уравнении (9.23).
9.5. Плотность состояний электронного 2D-ra3a
в магнитном поле
Плотность состояний, схематически изображенная на рис. 9.11
и рис. 9.12, представляет фундаментальный интерес и является целью
многочисленных экспериментальных исследований. Остановимся сна-
сначала на измерениях плотности локализованных состояний.
Плато КЭХ реализуется при тех значениях Vg или В, когда уро-
уровень Ферми находится в области запрещенных или локализованных
состояний на расстояниях е\ и 82 от ближайших уровней делокали-
делокализованных состояний. При этом диссипативная проводимость реализу-
реализуется за счет термического заброса носителей на эти уровни, выпол-
выполняющих роль края подвижности. Это означает, что следует ожидать
активационного закона изменения продольного сопротивления и про-
продольной проводимости
(9.26)
рхх осехр [ - —
осехр [ - —
На рис. 9.18 приведены результаты эксперимента на холловском мо-
мостике на гетероструктуре GaAs-AlxGai_xAs. Сопротивление рхх дей-
действительно меняется по активационному закону (9.26), причем ве-
величина ?*, определяемая из наклона прямых на рис. 9.18, а, сильно
меняется с магнитным полем. Происходящие при этом физические
процессы можно пояснить при помощи рис. 9.11 и 9.12. Продольное
190
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
сопротивление обратно пропорционально концентрации носителей на
уровне N = 2 или дырок на уровне N = 1. Поэтому величина ?*,
входящая в соотношение (9.26), равна
е* = min (\eF - ?i|, |?f - ^|), e2 - ex ~ Ш. (9.27)
Последнее соотношение выполняется с точностью до отношения fe/Ш
ширины слоя делокализованных состояний к циклотронной щели.
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
Г", К"
8,6 5 4 3 2 1 0
8, МЭВ
Рис. 9.18. (а) Температурная зависимость продольной проводимости гетеро-
структуры GaAs-Al^Gai-xAs в интервале температур 20-3 К при различ-
различных значениях магнитного поля. Подвижность \i = 5,5 • 105 см2/В-с [18]. (б)
Плотность локализованных состояний в щели между уровнями Ландау, по-
построенная на основании этого эксперимента [18]. е\ — середина уширенного
уровня Ландау N = 1, до — плотность состояний без магнитного поля
Наклон прямой 1прхх от 1/Т максимален, когда уровень Ферми
находится точно посередине между двумя краями подвижности. Это
соответствует целому значению числа заполнения v. На рис. 9.18 мак-
максимальный наклон достигается при v = 2. Изменение наклона Ае* при
изменении В или Vg определяет сдвиг уровня Ферми
A
= Ае*. Чис-
Чисg
ло электронов An, которое при этом размещается на локализованных
уровнях в интервале энергий Агр, определяется формулой (9.15) из
AVg либо формулой (9.13) из АВ. Отсюда сразу следует плотность
состояний в энергетическом зазоре между уровнями Ландау д(е) =
= An/Ае. Как видно из рис. 9.18, б, она оказалась неожиданно высо-
высокой, около 10 % от плотности состояний до в нулевом магнитном поле.
Однако заметьте: В измеряемую плотность состояний входят
электроны, размещаемые в резервуаре. Это особенно существен-
существенно, если локализованные уровни резервуара размещаются близко
от 2Б-газа, так что между ними устанавливается термодинами-
термодинамическое равновесие.
9.5] Плотность состояний электронного 2Б-газа в магнитном поле 191
Рис. 9.19. Температурная зависимость
продольного сопротивления гетеро-
структуры GaAs-Al^Gai-^As в ин-
интервале температур 5-1К в режи-
режиме КЭХ. Электронная концентра-
концентрация п = 2,4 • 1011 см~2, подвижность
/х = 0,8 • 105 см2/В-с [19]
Рис. 9.20. Температурная зави-
зависимость продольной проводи-
проводимости гетероструктуры GaAs-
Al^Gai-ajAs в геометрии Кор-
бино в интервале температур
0,2-0,02 К в режиме КЭХ при В =
= 4,4 Тл. Электронная концентра-
концентрация п = 3,2 • 1011 см~2, подвиж-
подвижность /х = 0,38 • 105см7В-с [11].
Оригинальные кривые ахх(В) на
этом образце при разных темпе-
температурах см. рис. 9.9
Наличие конечной плотности состояний в щели между уровня-
уровнями Ландау означает, что в режиме КЭХ при достаточно глубоком
понижении температуры проводимость (9.26) по делокализованным
состояниям должна смениться прыжковой проводимостью с перемен-
переменной длиной прыжка (см. гл. 4) по состояниям в непосредственной
окрестности уровня Ферми. Рис. 9.19 и 9.20, где температурный ин-
интервал ниже, чем на рис. 9.18, показывают, что такая смена режима
продольной проводимости действительно происходит. Степень Т/3
в показателе активационной экспоненты указывает на постоянную
плотность состояний в окрестности уровня Ферми, а степень Т/2
обычно является индикатором наличия кулоновской щели. То, что
в двух экспериментах получились две разные степени, может быть
результатом смены режима прыжковой проводимости при смещении
вниз температурного интервала — этот интервал на рис. 9.19 распо-
расположен в области более низких температур, чем на рис. 9.20 (ср. рис. 3
в гл. 4). Возможно однако, что это различие просто отражает разницу
в свойствах образцов.
Более интересным и в каком-то смысле более принципиальным
является вопрос о плотности состояний в окрестности делокализо-
192 Целочисленный квантовый эффект Холла [Гл. 9
ванных уровней. Вернемся к рис. 9.13 (а), на котором изображена
перколяционная сетка при крупномасштабном случайном потенциале
U(г). Формально случайный потенциал полностью снимает вырож-
вырождение, и уровень, соответствующий перколяционной сетке, невырож-
невырожден. Но мы уже упоминали о различных факторах, которые способ-
способствуют тому, что электроны на очень близких по энергии уровнях
тоже фактически делокализованы. К ним относятся магнитный про-
пробой, случайные короткопериодные флуктуации, конечные размеры
образцов, конечная температура и т. п. Чтобы оценить количество
де локализованных состояний в одной зоне Ландау, предположим, что
характерный размер ячеек перко ляционной сетки равен Л. Этот раз-
размер определяется природой потенциала. Например, если случайный
потенциал С/(г) создается примесями, расположенными в глубине слое
изолятора в некотором отдалении от 2Б-слоя, то Л ос Л/"/2, где N —
это 2Б-концентрация этих примесей. Общая длина «волокон» этой
сетки на единицу площади 2Б-слоя порядка 2/Л. Считая, что ширина
«волокна» не меньше, чем 2г#, получим, что волокна бесконечной
сетки покрывают собой по крайней мере долю 4г^/Л от всей площади
2Б-СЛОЯ. Из формулы (9.8) следует, что и доля делокализованных
состояний ry del порядка
г? del ~ гв/Л, (9.28)
величина ще\ есть доля делокализованных состояний в минизоне Лан-
Дау.
9.6. Цепочки фазовых переходов
При взгляде на кривые RXX(B) и рху на рис. 9.7 и 9.8, а также
аху на рис. 9.9 сразу возникает мысль о том, что состояния на плато
К ЭХ являются особыми фазовыми состояниями со специфическими
транспортными свойствами
(Jxx -* 0, аху = i(e2/27rh), г = 0,1, 2, 3.... (9.29)
Фазы (9.29) с г > О нельзя считать фазами изолятора из-за свойств
рхх = 0 и аху = г(е2/2тгй) ф 0. В то же время свойство ахх = 0 не
позволяет считать их металлическими. Поэтому их называют [20]
квантовыми холловскими жидкостями с разными квантовыми хол-
ловскими числами. Какое квантовое холловское число г реализуется
на практике, зависит от числа заполнения (9.13). Чтобы разобрать-
разобраться, как происходит смена квантового числа г на г ± 1 при плавном
изменении z/, обратимся к рис. 9.11 или рис. 9.12, где параметром,
управляющим числом заполнения z/, являются напряжение Vg или по-
поле В. Пусть число заполнения v таково, что уровень Ферми попадает
на уровень делокализованных, протяженных, состояний. Если инте-
интегральная плотность n^ei протяженных состояний сравнительно неве-
невелика, то уровень Ферми при изменении v проходит соответствующую
область быстро, и при изменении управляющего параметра происхо-
происходит фазовый переход сразу из одного состояния квантовой холловской
9.6] Цепочки фазовых переходов 193
жидкости в другое. Этот переход сопровождается скачком поперечной
проводимости на |Асгжу| = е2/2тгЙ. Металлическими свойствами при
этом обладает лишь пограничное состояние, но с обеих сторон от
перехода ахх = рхх = 0. Если же плотность состояний в окрестности
этого уровня велика, то слой делокализованных состояний закреп-
закрепляет уровень Ферми. Тогда фазовый переход расщепляется на два
и между двумя состояниями холловской жидкости со значениями г,
отличающимися на единицу, появляется металлическое состояние, при
котором на уровне Ферми находится частично заполненный слой про-
протяженных состояний. Какой из двух вариантов осуществляется, зави-
зависит от множества факторов, определяющих конкретную реализацию
случайного потенциала.
Все сказанное можно проиллюстрировать конкретными экспери-
экспериментальными кривыми. При наличии промежуточной металлической
фазы наклон между ступеньками рху и ширина пика Rxx стремятся
при понижении температуры к конечным значениям. Именно так вели
себя кривые на рис. 9.7, причём пики Rxx росли с понижением темпе-
температуры [9]. Кривые рху на рис. 9.21, взятом из работы [21], выглядят
иначе: пики между плато с малыми г уменьшаются и пропадают при
низких температурах. При 50 мК пик 1 | уже вовсе отсутствует. И это
несмотря на то, что параметры образцов в обоих экспериментах очень
близки.
Когда наклон дрху/ди перемычки между двумя ступенями стре-
стремится при понижении температуры к конечному значению, то из
него можно оценить, какая доля (9.28) состояний на уровне Ландау
принадлежит слою делокализованных электронов. В образце, кривые
с которого представлены на рис. 9.7, эта доля составляет для нижних
уровней около 3%.
Область, соответствующая квантовому числу г = 0, должна об-
обладать особыми свойствами: согласно формуле (9.23), в ней равны
нулю все компоненты тензора а: ахх = аху = 0, а диагональные ком-
компоненты тензора р обращаются в бесконечность: рхх = оо. Поэтому
для состояний в этой области было даже предложено особое название:
«холловский изолятор».
Энергетическая диаграмма на рис. 9.11 или рис. 9.12 с симметрич-
симметрично-уширенными уровнями Ландау предполагает, что переходы проис-
происходят при полуцелых значениях чисел заполнения
1/ = *? = г + 1/2, г = 0,1,2,.... (9.30)
На рис. 9.21, где представлены результаты экспериментов при фик-
фиксированной концентрации п, эти уравнения определяют значения Bi
полей, в которых ожидаются фазовые переходы и соответствующие
ступеньки на кривой рху. Как видно из рис. 9.21, соотношение (9.30)
выполняется лишь весьма приблизительно.
Можно указать несколько возможных причин отклонений значе-
значений ис от vc.
Во-первых, это асимметрия в плотности и расположении положи-
положительно и отрицательно заряженных источников случайного потенци-
13 В. Ф. Гантмахер
194
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
ДТл
Рис. 9.21. Магнетосопротивление рхх и холловское сопротивление рху гете-
роструктуры GaAs-Al^Gai-^As при температуре 50 мК. Электронная кон-
концентрация п = 4 • 1011 см~2, подвижность \± = 0,86 • 105 см2/В-с [21]. На кри-
кривой рхх пик Ц сравнительно маленький, а пик 1| и вовсе отсутствует. Верти-
Вертикальными пунктирными линиями показаны полуцелые числа заполнения и,
при которых в простейшей модели должны были бы происходить фазовые
переходы со скачками холловского сопротивления рху (вертикальные линии
взяты из книги [1])
ала, которая смещает вырожденный уровень протяженных состояний
из центра зоны Ландау. Во-вторых, причиной сдвига значений ис
может быть превышение уширения уровней над расстоянием между
ними. Если хвост локализованных состояний одного уровня (Л) выхо-
выходит за максимум плотности состояний расположенного ниже уровня
?>, то прежде чем уровень Ферми достигнет максимума на уровне
?>, должны будут заполниться часть состояний в хвосте уровня Л.
Это приводит к сближению двух переходов на шкале v из начальных
положений г — 1/2 и г + 1/2. Именно такое сближение переходов 2|
и 2 j, по-видимому, наблюдается на рис. 9.21.
В малых магнитных полях существует еще одна возможная причи-
причина сдвига фазовых границ в сторону больших z/, получившая название
всплывание уровней. Всплывание было предсказано Хмельницким [24]
на основании того, что описание К ЭХ с де локализованными состояни-
состояниями в середине каждого уровня Ландау должно быть согласовано, при
предельном переходе В —> 0, со скейлинговой гипотезой, утвержда-
утверждающей, что в нулевом магнитном поле все электронные 2Б-состояния
должны быть локализованными (см. гл. 6). Если уменьшать магнит-
магнитное поле, то все большее число уровней Ландау уходят под уровень
9.6] Цепочки фазовых переходов 195
Ферми: N « sp/h^l. Вместе с ними должно уходить вниз и такое
же число протяженных состояний. Протяженные состояния не могут
постепенно превратиться в локализованные, между тем в нулевом
поле их не должно быть.
Для разрешения кажущегося парадокса требуется проанализиро-
проанализировать транспортные свойства 2Б-электронного газа в области От < 1.
К вопросу о терминологии: Поля От < 1 обычно называют слабы-
слабыми. Однако в данной главе речь идет о полях Ш(Д/о + 1/2) > ?^,
где Щ = 4 -!- 5 (см. рис. 9.2), т.е. о полях, в которых магнитная
длина (9.9) лишь чуть больше среднего расстояния п/2 между
2Б-электронами, В ~ (ch/e)n. Поэтому здесь неравенство От < 1
означает «сильное поле при очень сильном, h/r ~ ?f, беспоряд-
беспорядке».
Возьмем классические выражения (9.5) для компонент тензора
проводимости в магнитном поле и следующее из них соотношение
аху = (пт)ахх. (9.31)
Они должны работать локально, на малых масштабах порядка маг-
магнитной длины г в, определенной формулой (9.9). На масштабах по-
порядка размера образца справедливы формулы КЭХ, которые дают
для поперечной проводимости аху на плато значения (9.23), а в про-
промежутках между плато, когда на уровень Ферми выходит (г + 1)-е
делокализованное состояние, значение
= (г + 1/2) (J^j . (9.32)
аху
Для того, чтобы сшить эти два масштаба, подставим в (9.31) кван-
квантовое выражение (9.32) для аху, оставив для ахх классическое выра-
выражение (9.5). Разрешив получившееся уравнение относительно концен-
концентрации электронов п, входящей в классическое выражение для ахх,
получим
Поскольку в 2Б-газе концентрация п линейно связана с энергией
Ферми, из (9.33) получается выражение для энергии TV-того протя-
протяженного состояния (см. рис. 9.22)
E±(N) = (N + l/2)Kll+^f = s±(N) A + 1/(ПтJ), (9.34)
в котором для удобства сравнения использованы те же обозначения,
что и в выражении (9.7) в начале главы (Е±, ?j_, N вместо г).
При выводе уравнений (9.33) и (9.34) был использован отнюдь
не бесспорный прием, позволивший сравнить проводимости на раз-
разных масштабах. Дополним его довольно произвольным обобщающим
предположением, что формула (9.34) сохраняет смысл при От < 1.
13*
196
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
Рис. 9.22. Всплывание уровней. Сплошные линии — энергия протяженных
состояний в зависимости от От в соответствии с формулой (9.34); пунк-
пунктирные прямые, выходящие из начала координат, показывают положение
уровней Ландау (9.30), заполненных наполовину
Поскольку дробь, входящая в уравнение (9.34), порядка единицы при
больших ttr и быстро растет при малых От, энергия E±(N) растет при
уменьшении От. Это и называется всплыванием протяженных уров-
уровней. При понижении магнитного поля энергия протяженных уровней
растет, и они один за другим пересекают уровень Ферми.
Заметьте. Рост функции (9.34) в малых полях, т. е. всплывание,
о котором идет речь, происходит в области От < 1, где уже плохо
работает сама классификация уровней по Ландау. Поэтому вы-
выражение (9.34) не может рассматриваться как зависимость от В
энергии конкретного протяженного уровня. Но существование
протяженных уровней и их энергия не зависят от того, в каком
базисе мы пытаемся их описать. Поэтому можно надеяться, что
скейлинговая процедура, использованная при переходе от (9.31)
к (9.33), правильно определяет тенденцию и знак квантовой по-
поправки, обусловленной рассеянием. Задача состоит в эксперимен-
экспериментальном подтверждении этой тенденции.
Заметьте также, что формула (9.34) относится именно
к энергии протяженных состояний, а не к центру тяжести
уширенного уровня Ландау.
Рассуждения, на основании которых был сделан вывод о всплы-
вании уровней, нельзя считать достаточно строгими. По сути дела,
это есть распространение скейлинговой гипотезы (гл. 6) на двумерные
системы в магнитном поле. Попытки сделать рассуждения более стро-
строгими сразу же приводят к серьезному усложнению математического
аппарата (см., например, [22]). Поэтому, как и в гл. 6, мы сосредото-
сосредоточимся на экспериментальной проверке сделанных выводов.
Эксперимент подтвердил идею о всплывании уровней, по-крайней
мере частично. Лучше всего всплывание видно при измерениях по-
положения максимумов диссипативной компоненты сопротивления рхх
при изменении поля В или концентрации п ос Vg. Максимумы наблю-
9.6]
Цепочки фазовых переходов
197
п, 10псм™2
1,3 1,4 1,5 !,¦
-1,30 -1,25 -1,20
Рис. 9.23. Максимум о~ХХ1 соответствующий нижнему делокализованному
состоянию в гетероструктуре GaAs-Al^Gai-^As с низкой подвижностью,
при разных значениях электронной плотности [23]. Шкала слева соответ-
соответствует кривой в поле 3 Тл; остальные кривые сдвинуты для ясности вверх
(кривые в больших полях) или вниз (кривые в меньших полях). Темпера-
Температура Т = 25 мК
щ 107см2
4"
3
2
1
_
-
-и,
¦!'
^//
'/? р с?
V/ V
d
с/
/О
GaAs
i
/
о °
v-
-Al0i3Ga0i7
Г=25мК
с/
As
of
а
о а
I
Vg(B) n, 10'Vcm2
0
, Тл
12
-1,0
—1,5
Рис. 9.24. а) Положение нескольких нижних делокализованных состояний
в гетероструктуре GaAs-Al^Gai-^As с низкой подвижностью на плоскости
(В,п) [23]. Пунктирные прямые проведены в соответствии с уравнени-
уравнением (9.30). б) То же для самого нижнего состояния в увеличенном масшта-
масштабе [23]
198 Целочисленный квантовый эффект Холла [Гл. 9
даются при тех значениях В или п, когда протяженное состояние ока-
оказывается на уровне Ферми. В простейшей модели это прямые (9.30),
исходящие из начала координат на плоскости (?>,п), так что концен-
концентрация должна понижаться линейно с полем. То, что при малых г
это может быть не так, видно из рис. 9.23, взятом из работы [23]:
при понижении поля максимум функции ахх(п) сначала действитель-
действительно движется в сторону меньших концентраций, но затем начинает
смещаться обратно. Из рисунка ясны также пределы возможностей
этого эксперимента по понижению поля: в полях От < 1 максимум
расширяется, а точность измерений падает. Тем не менее, увеличение
энергии протяженных состояний в малых полях удается наблюдать
абсолютно надежно (рис. 9.24).
Уравнение (9.34) и, соответственно, рис. 9.22 предполагают, что
протяженные делокализованные состояния сохраняют свою индиви-
индивидуальность вплоть до пересечения Ферми-уровня. Это предсказание
теории до сих пор не удалось ни подтвердить, ни опровергнуть.
Из многих работ следует, что энергии протяженных состояний не
опускаются ниже некоторого уровня, и что энергия самого низкого из
них растет при понижении поля. Однако остается неизвестным, как
они ведут себя по отношению друг к другу.
9.7. Двухпараметрический скейлинг г)
В гл. 6 обсуждалась скейлинговая гипотеза в приложении к пе-
переходу металл-изолятор, контролируемому беспорядком. Задача со-
состоит в том, чтобы обобщить использованный там подход, применив
его к 2Б-системам в сильном магнитном поле. Мы уже начали этот
процесс, сформулировав и проверив предположение о всплывании
уровней. Теперь предстоит сделать следующий шаг, нарисовав что-то
вместо функций /3(у) на рис. 6.1.
В отличие от описания перехода металл-изолятор, в 2Б-системе
при выборе функции, задающей состояние системы, не нужно выби-
выбирать между удельной проводимостью и кондактансом, поскольку они
совпадают. Зато из-за магнитного поля проводимость имеет теперь
две компоненты: ахх и аху, и для каждой можно написать логарифми-
логарифмическую производную /3 по размеру системы L в виде функции прово-
проводимости (как и при написании уравнения F.3) в гл. 6 предполагается,
что температура Т = 0):
d\naxx j. , ч
)
dmL
(9.35)
d\naxy j. / ч
Л1 т = Ы<7хх,<7ху)-
dmL
г) Для глубокого понимания идей двухпараметрического скейлинга полез-
полезно прочесть дополнительно обзор [25] и короткую статью того же автора [26]
9.7] Двухпараметрический скейлинг 199
Если при переходе металл-изолятор поведение системы определялось
одним параметром: кондактансом у, то здесь таких независимых па-
параметров два: ахх и аху. Отсюда название этого параграфа.
Исключив переменную L из двух уравнений (9.35), получим связь
между а хх и &ху, которую можно изобразить в виде кривых на плос-
плоскости {(Jxy^xx) [27]. Эта плоскость называется фазовой, а сами кри-
кривые — фазовыми траекториями.
К вопросу о терминологии: Подобное представление широко ис-
используется в механике, где движение системы описывают при
помощи траектории, изображающей точки на плоскости (q,q),
где q — это обобщенная координата. Отсюда термины «фазовая
плоскость» и «фазовая траектория». В них под словом фаза под-
подразумевается характеристика движения, а не состояние вещества.
Поскольку в обсуждаемой нами проблеме центральным является
именно вопрос о состоянии вещества, то во избежание недора-
недоразумений совокупность кривых, описывающих двухпараметриче-
двухпараметрический скейлинг, часто называют диаграммой потока. Этот термин
также заимствован из механики. Однако, как мы увидим ниже,
диаграмма потока содержит также линии, определяющие поло-
положение межфазовых границ на плоскости {(Уху^хх\ и поэтому
является одновременно фазовой диаграммой, определяющей воз-
возможные переходы между различными состояниями 2Б-электро-
нов.
Фазовая траектория механической системы, проходящая через за-
заданную начальными условиями точку (qo,qo), определяет эволюцию
этой системы со временем, которое является скрытым параметром.
На фазовой плоскости К ЭХ роль времени играет размер L, а под на-
начальными условиями следует понимать значения компонент тензора
проводимости (9.5) в классическом пределе, справедливые на разме-
размерах L порядка магнитной длины (9.9). Движение по фазовой траекто-
траектории означает постепенный переход к большим размерам L. Сначала
это должно привести к включению квантовых поправок. Затем рост L
приведет к тому, что поправки станут большими и начнутся процессы
локализации, в результате чего система перейдет в состояние КЭХ.
Пользуясь этими соображениями, представим на рис. 9.25, а «эс-
«эскизный проект» плоскости со скейлинговыми фазовыми траектория-
траекториями. Это должен быть вариант скейлинговой гипотезы, пригодный для
2Б-систем в сильном магнитном поле. При L —> оо реализуются КЭХ
и проводимости принимают значения (9.23), так что все траектории
должны собраться в точки
((е2/2тгЙ)г, о) , г = 0,1,2,... (9.36)
на оси о~Ху На рис. 9.25 это точки А^. Они являются стационарными
особыми точками фазовой диаграммы: все траектории в окрестности
такой точки направлены к ней. Каждая точка А^ соответствует своей
фазе квантовой холловской жидкости с квантовым числом г > 0 (здесь
200
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
0 0,5 1 1,5 2 о 0,5 1 1,5
Рис. 9.25. а) Скейлинговая фазовая плоскость, иначе называемая диаграм-
диаграммой потока; координатами являются компоненты тензора проводимости аху
и Охх в безразмерных единицах е /2тгН. Сплошные линии — сепаратрисы,
А^ — стационарные особые точки, С г — нестационарные особые точки,
б) Положение начальных точек фазовых траекторий, определяемых значе-
значениями п, т и В, относительно сепаратрис диаграммы потока. Пунктирная
прямая под наклоном 45° разделяет области От > 1 (внизу) и От < 1 (ввер-
(вверху). Две пунктирные полуокружности — геометрические места (9.37) точек,
удовлетворяющих уравнениям (9.5) при фиксированных сто и переменном
От. Относительно кривых, показанных точками, см. в тексте
слово фаза уже имеет смысл состояния вещества), либо холловскому
изолятору при i = 0. Вся фазовая плоскость разбивается на области,
внутри каждой из которых все траектории собираются в одну из
точек А. Линии, разделяющие эти области, называются сепаратриса-
сепаратрисами. Выберем в качестве начальной некоторую точку (сг®у,а®х). Кван-
Квантовые поправки к продольной проводимости подробно обсуждались
в гл. 2. Поскольку здесь речь идет о сильных магнитных полях, сла-
слабую локализацию можно считать уже разрушенной, так что остается
межэлектронное взаимодействие. Оно приводит к логарифмической
поправке B.37) к ахх и к нулевой поправке к аху: в первом приближе-
приближении теории возмущений Ааху = 0. Поэтому начальные участки тра-
траекторий потока — это вертикальные прямые линии. Соответственно
вертикальными прямыми линиями являются и сепаратрисы.
В каждом промежутке значений i < аху/(е2 /2irh) < i + 1 между
стационарными точками (9.36) при некотором ахх = а*х > 0 имеется
нестационарная особая точка С, вблизи которой поток траекторий
разветвляется. К сказанному следует прибавить требование перио-
периодичности по оси аху с периодом е2/2тгЙ, поскольку квантовые фа-
фазы с разными числами i эквивалентны. Тогда система сепаратрис
приобретает вид сетки, показанной на рис. 9.25 сплошными линиями.
При этом вертикальные сепаратрисы одновременно разделяют обла-
области, в которых реализуются разные квантовые состояния, и поэтому
являются межфазовыми границами, а вся диаграмма потока являет-
9.7] Двухпараметрический скейлинг 201
ся одновременно и диаграммой фазовых состояний. Самая левая из
межфазовых границ, проходящая через точку Ci, отделяет состояние
изолятора г = 0 от состояния квантовой холловской жидкости г = 1.
Согласно диаграмме, с другими состояниями холловской жидкости,
г > 1, изолятор не граничит. Это означает, что возможны только
переходы 0 —> 1, а переходы 0^2,0^3ит. д. невозможны. Это одно
из основных утверждений, подлежащих экспериментальной проверке.
Начальной точкой («т^^жж)? обусловленной классической прово-
проводимостью 2Б-системы, реализующейся на малых масштабах, может
быть практически любая точка плоскости [рху^ахх\ кроме точек
в узкой полосе вдоль оси абсцисс, где расположены фазовые траек-
траектории, описывающие дробный К ЭХ. (Эту область мы обсуждать не
будем; интересующимся можно порекомендовать фундаментальную
работу [20]). Расположение начальных точек поясняет рис. 9.25, б. Ко-
Координаты этих точек зависят от трех параметров: концентрация п,
времени упругой релаксации г и магнитного поля В. Произведение
двух первых определяет проводимость материала в нулевом поле <7о,
два последних входят в безразмерное произведение От. Если зафик-
зафиксировать пит, положив тем самым ctq = ne2r /m = const, то получим
из соотношений (9.5), что при изменении магнитного поля 0 ^ В ^ оо
изображающая точка на плоскости очерчивает полуокружность
«,J + (*L - <V2J = <то2/4. (9.37)
Ее верхняя часть соответствует полям От < 1, а нижняя часть —
полям От > 1.
Верхнюю часть полуокружности (9.37) можно в принципе счи-
считать геометрическим местом начальных точек фазовых траекторий.
В пределе От ^> 1 при вычислении классической проводимости ахх
из кинетического уравнения существенно квантование электронного
спектра, не учтенное в соотношениях (9.4) и (9.5). Из-за квантования,
при целых числах заполнения г = 1, 2, 3..., когда плотность состо-
состояний на уровне Ферми обращается в нуль, проводимость ахх тоже
обращается в нуль, а при полуцелых v = г + 1/2 она достигает мак-
максимума. Поэтому использовать нижнюю часть полуокружности для
определения начальных точек траекторий нельзя. Кривая, которая ее
заменяет, условно показана на рис. 9.25, б точками.
На этом можно считать «эскизное проектирование» законченным
и приступить к экспериментальной проверке диаграммы.
Заметьте. Поскольку значения n, r и В определяют начальную
точку на потоковой траектории, при их изменении происходит не
движение вдоль траектории, а перескок с одной траектории на
другую. Поэтому зависимости компонент тензора сопротивления
от В или от Vg, самый распространенный тип измерений, с точки
зрения проверки структуры диаграммы мало информативны. На-
Например, на рис. 9.21 ясно видно, что фазовый переход, помечен-
помеченный как Ц, сдвинут относительно полуцелого числа заполнения
г/=3,5. Однако нетрудно убедиться, что даже эта информация
202 Целочисленный квантовый эффект Холла [Гл. 9
пропадет при переносе экспериментальных точек с рис. 9.21 на
фазовую диаграмму.
Для движения вдоль потоковой траектории нужно было бы менять
размер системы L, оставаясь при температуре Т = 0, что конечно
практически невозможно. Но в реальном эксперименте при конеч-
конечной температуре квантовая когерентность теряется на диффузионной
длине потери фазы 1^, определенной формулой B.7) в гл.2. Если
Ьф < I/, то скейлинговые соотношения определяются именно диффу-
диффузионной длиной. Это дает принципиальную возможность двигаться
вдоль фазовых траекторий за счет изменения температуры. Для этого
дополнительно требуется, чтобы на всем температурном интервале
диффузионная длина была много больше упругой длины свободного
пробега /, так чтобы при любой температуре имели место неравенства
k<L,(T)<L (9.38)
Вспомните: В гл. 6 при обсуждении того, как слабая локализация
отражается на скейлинговых кривых, описывающих переход ме-
металл-изолятор, мы использовали обратную замену: полагая, что
температура Т = 0, мы подставляли в формулы слабой локали-
локализации L вместо L<p.
Начнем с описания эксперимента, сделанного на допированных
кремнием пленках GaAS с низкой подвижностью [28], у которых во
всех достижимых магнитных полях справедливо неравенство От <
< 1. Пленки GaAs толщиной от 25 до 40 нм с концентрацией около
1,5-1017см~3 кремния, игравшего роль донорной примеси, были вы-
выращены методом молекулярной эпитаксии. Такой способ приготовле-
приготовления образцов обеспечивает более однородное распределение примесей
и электронной концентрации вдоль 2Б-слоя. По измеренным при неко-
некоторой фиксированной температуре величинам рхх и рху вычисляли
значения ахх и аху. Их делили каждое на два, предполагая, что элек-
электронная система состоит из двух невзаимодействующих подсистем
с разными направлениями спинов, вносящих одинаковый вклад в про-
проводимость, и наносили на фазовую плоскость точку с координатами
(aly = Vxy/Z, &1Х = Vxx/2-
Серии из одинаковых значков на рис. 9.26 — это результаты измерений
одной пленки в фиксированном поле, но при разных температурах.
Разные значки означают разные поля от 0,9 Тл до бТл, а разному
заполнению значков (значкам, зачерненным полностью, снизу, справа
или пустым) соответствуют четыре разные пленки. Эксперимент под-
подтвердил предсказываемую теорией общую структуру и форму траек-
траекторий потока в окрестности межфазовой границы 0 <-> 1, в том числе
и в области От < 1.
Вместе с тем, важнее проверить принципиальные предсказания
модели двухпараметрического скейлинга для области От < 1, и здесь
успехи пока скромные. Будем двигаться по этой области диаграммы
9.7]
Двухпараметрический скейлинг
203
< 4 V '
<
4
4
Ч
о-
\
а ^
Р <
Рис. 9.26. Скейлинговая фазовая диаграмма сильно легированных пленок
GaAs [28]. Смысл разных значков пояснен в тексте (серии из одинаковых
значков получены путем изменения температуры в интервале от 4,2 К до
40 мК). Пунктирные линии фазовых траекторий и сепаратриса в виде по-
полукруга (<7Ху — 1/2J + <Jxx = 1/4 построены на основании скейлинговой
теории [25, 22]
справа налево, например, двигаться, уменьшая магнитное поле, вдоль
верхней части полуокружности а0 = const (рис. 9.25, б). При пересече-
пересечении фазовых границ аху = г + 1/2, г = ...2,1,0, величина холловской
проводимости аху должна уменьшаться на е2/2ттЙ так же, как при
движении вдоль нижней части она увеличивалась. Это означает, что
кривая рху(В) должна подыматься ступенями вверх не только при
росте поля в области больших полей, как на рис. 9.7, но и при его
уменьшении в области малых полей (см. уравнение (9.34) и рис. 9.22).
Такой обратной ступенчатой структуры функции рху(В) в малых по-
полях до сих пор никому не удалось наблюдать. В терминах всплывания
уровней это означает, что не удалось наблюдать, как протяженные
уровни, всплывая, поочередно, no-одному пересекают уровень Ферми
(ср. рис. 9.22 в конце предыдущего параграфа).
Эксперименты на более чистых образцах, у которых в сильных
полях достигается предел От > 1, тоже не вносят полную ясность
относительно двухпараметрического скейлинга. Результаты одних ра-
работ согласуются со скейлинговой диаграммой, а результаты других —
нет. Известен ряд утверждений, что вопреки диаграмме двухпара-
двухпараметрического скейлинга, наблюдаются переходы из состояния г = 0
непосредственно в состояния г = 2, г = 3 и т. д. Однако эти утвер-
утверждения основываются на предположении, что установить сам факт
фазового перехода и идентифицировать фазы можно, исходя из знака
производных дрхх/дТ при низких температурах. Это предположение
само нуждается в доказательствах и проверке.
Проблема переходов 0 —> (г > 1) тесно связана с вопросом, всплы-
всплывает ли только самый нижний из протяженных уровней (что соб-
204
Целочисленный квантовый эффект Холла
[Гл.9
Рис. 9.27. Переходы между различными фазами двумерного электронного
газа в гетероструктуре Ge/SiGe в сильном магнитном поле на фоне веера
полузаполненных уровней Ландау. Белые точки получены из положения
ступенек функции рху, черные — из пересечения изотерм рхх(В) при разных
температурах, прямые построены в соответствии с уравнением (9.30) [29]
ственно и видно на рис. 9.23 и 9.24) или следующие протяженные
уровни всплывают тоже. Это хорошо видно из диаграммы на рис. 9.27,
взятой из работы [29]. Здесь белые точки поставлены на основании
положения ступенек в рху, которые находятся на переходах между
двумя разными квантовыми жидкостями. Черные точки получены
из анализа производных дрхх/дТ. Из сравнения с рис. 9.23 и 9.24
ясно, что это, по существу, есть всплывание нижнего протяженного
уровня. Если ветви белых точек упираются в черную ветвь и уровни
сливаются, то появляются участки границ между изолятором г = 0
и состояниями г > 1, и возможны соответствующие переходы 0 —> (г >
> 1). Если эти ветви загибаются вверх, как на рис. 9.22, то переходы
0 —> (г > 1) невозможны.
Однако, поскольку в любом случае состояние изолятора примыка-
примыкает к оси ординат, фазовая диаграмма К ЭХ согласуется при предель-
предельном переходе В —> 0 с утверждением скейлинговой гипотезы о лока-
локализации электронного 2Б-газа в нулевом магнитном поле.
Список литературы
1. Квантовый эффект Холла / Под ред. Р. Е. Пренджа и С. М. Гирвина. —
М.: Мир, 1989.
2. Physics of low dimensional structures / Ed. by B. Butcher, N. H. March,
M. P. Tosi. — Plenum Press, 1993.
3. Демиховский В. Я., Вугальтер Г. А. Физика квантовых низкоразмер-
низкоразмерных структур. — М.: Логос, 2000.
4. Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — М.: Наука, 1987.
9.7] Двухпараметрический скейлинг 205
5. Гантмахер В. Ф., Левинсон И. Б. Рассеяние носителей тока в металлах
и полупроводниках. — М.: Наука, 1984.
6. Klitzing K.v., Dorda С, Pepper М. // Phys. Rev. Lett. 45, 494 A980).
7. Краснополин И.Я., Пудалов В.М., Семенчинский С. Г. // ПТЭ №6, 5
A987)
8. Mohr P.J., Taylor B.N. // Rev. Mod. Phys. 72, 351 B000)
9. Ebert G., Klitzing K.v., Probst C, Ploog K. // Solid State Commun. 44, 95
A982).
10. Koch ?., Haug R.J., Klitzing K.v., Ploog K. // Phys. Rev. B. 43, 6828
A991).
11. Ebert G., Klitzing K.v., Probst C., Schuberth E., Ploog K., Weimann G. //
Solid State Commun. 45, 625 A983).
12. Iordansky S. V. // Solid State Commun. 43, 1 A982).
13. Kazarinov R.F., Luryi S. // Phys. Rev. В 25, 7626 A982); Phys. Rev. В
27, 1386 A983).
14. Buttiker M. // Advances in Solid State Physics, v.30, 40 A990).
15. Chklovskii D.B., Shklovskii B.I., Glazman LA. // Phys. Rev. B. 46, 4026
A992).
16. Thouless D.J. // Phys. Rev. Lett. 71, 1879 A993).
17. Долгополое В. Т., Житенев Н.Б., Шашкин А. А. Письма в ЖЭТФ 52,
826 A990); Dolgopolov V. Т., Shashkin A. A., Zhitenev N. В., Dorozhkin S. /.,
Klitzing K.v. II Phys. Rev. В. 46, 12560 A992).
18. Stahl E., Weiss D., Weimann C, Klitzing K.v., Ploog K. // J. Phys. C:
Solid State Phys. 18, L783 A985).
19. Tsui D. C., Stormer H.L., Gossard A. C. // Phys. Rev. B. 25, 1405 A982).
20. Kivelson S., Lee D.-H., Zhang S.-C. // Phys. Rev. B. 46, 2223 A992).
21. Paalanen M.A., Tsui D. C., Gossard A. C. // Phys. Rev. B. 25, 5566 A982).
22. Pruisken A.M. M. в книге [1]
23. Glozman /., Johnson C.E., Jiang H. W. // Phys. Rev. Lett. 74, 594 A995).
24. Khmelnitskii D. E. // Phys. Lett. 106A, 182 A984); Helvetica Physica Acta.
65, 164 A992).
25. Huckestein B. // Rev. Mod. Phys. 67, 357 A995).
26. Huckestein B. // Phys. Rev. Lett. 84, 3141 B000).
27. Khmelnitskii D.E. // JETP Lett. 38, 552 A982).
28. Murzin S.S., Weiss M., Jansen A.G.M., Ebert K. // Phys. Rev. B. 66,
233314 B002).
29. Hilke M., Shahar D., Song S.H., Tsui D. C., Xie Y.H. // Phys. Rev. B. 62,
6940 B000).
Приложение А
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ х)
Как любая ветвь математики, теория перколяции находит приме-
применение в самых разнообразных областях человеческой деятельности.
Мы в этой главе изложим справочным образом основные положения
и результаты этой теории, имея в виду специфический круг проблем
транспорта в неоднородной среде, затрагиваемых в этой книге. Пред-
Представляя среду в виде дискретной решетки, сформулируем два про-
простейших типа задач. Можно выборочно случайным образом красить
(открывать) узлы решетки, считая долю крашеных узлов х основным
независимым параметром и полагая два крашеных узла принадле-
принадлежащими одному кластеру, если их можно соединить непрерывной
цепочкой соседних крашеных узлов. Такие вопросы, как среднее число
узлов в кластере, распределение кластеров по размерам, появление
бесконечного кластера и доля входящих в него крашеных узлов, со-
составляют содержание задачи узлов. Можно также выборочно красить
(открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному
кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых свя-
связей. Тогда те же самые вопросы о среднем числе узлов в кластере
и т. д. составляют содержание задачи связей.
Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является мо-
моделью изолятора. Когда они все открыты, и по проводящим связям
через открытые узлы может идти ток, то решетка моделирует ме-
металл. При каком-то критическом значении х = хс произойдет перко-
ляционный переход, являющийся геометрическим аналогом перехода
металл-изолятор. Теория перко ляции важна именно в окрестности
перехода. Вдали от перехода достаточно аппроксимации эффективной
среды.
А.1. Аппроксимация эффективной среды 2)
Рассмотрим ортогональную изотропную решетку с периодом а
размерности d, у которой все узлы соединены с ближайшими соседями
связями с проводимостями <Jkh независимыми друг от друга. Для
г) Элементарное математическое изложение теории перколяции можно
найти в книгах [1, 2]; оно же, но применительно к проблемам физики твер-
твердого тела, имеется в книге [3]. Ряд физических приложений обсуждается
также в обзоре [4].
2) С этим вопросом можно познакомиться также в сборнике [5], в который
включена обзорная статья С. Киркпатрика.
A.I] Аппроксимация эффективной среды 207
примера на рис. АЛ изображена квадратная решетка d = 2. Требуется
по известной дисперсии значений а^\ вычислить среднее значение <тш,
определяющее удельную проводимость сетки
а = ama2-d. (A.I)
Предположим сначала, что все a^i одинаковые, a^i = <Jm- Подведем
два электрода к двум соседним узлам решетки к и / и пропустим через
них ток J. Чтобы вычислить ток через связь ciku отнесем сначала
Рис. А.1. Для тока J, текущего через два соседних узла, /си/, квадратной
решетки, проводимость /с/-связи о~ы зашунтирована проводимостью связей
всей остальной решетки crsh
электрод I на бесконечность. Тогда ток J, втекающий через элек-
электрод ку растекается равномерно по z связям, подходящим к узлу ку
так что через каждую связь идет ток J/z. (На квадратной решетке
на рис. А.1 параметр z = 4, на трехмерной кубической решетке z = 6.)
Теперь унесем на бесконечность электрод fc, а ток J выведем через
возвращенный на место электрод I. К узлу I этот ток стекается равно-
равномерно через все связи; в частности, через связь a^i идет такой же ток
J/z в том же направлении, что и в предыдущем случае. Суперпозиция
этих двух конфигураций дает интересующее нас распределение токов:
токи J и — J через электроды к и / и ток J = 0 на бесконечности. При
этом ток через связь ciki равен
iki = Ц-, (A-2)
и из закона Ома следует, что
2J J
+ . (А.З)
ZOm аш + <7sh
где в знаменателе справа стоит сумма проводимости самой Ы-связи
akl — &т и проводимости шунтирующей ее всей остальной сетки <7sh,
которую можно из соотношения (А.З) и определить:
а8ъ=ат(г--1). (А.4)
Соотношения (А.2)—(А.4) определяют распределение тока между
непосредственной связью, соединяющей узлы к и /, и ее окружением.
Удельная же проводимость определяется величиной ат через соотно-
соотношение (А.1).
208 Элементы теории перколяции [Прил. А
Теперь пусть все Gki различны. Тогда из закона Ома следует лишь,
что для любой пары соседних узлов /с, I
Iki J ^kl • j Ckl / д r\
— = , 41 = J • (A.5)
CTkl OSh CTkl + O"sh
Это выражение нужно усреднить по всем возможным парам. Схема
усреднения называется аппроксимацией эффективной среды. В этой
аппроксимации делаются два предположения: (i) в системе со случай-
случайными g^i по-прежнему справедливо соотношение (А.4) для величины
<7sh, поскольку шунтирование осуществляется большим числом свя-
связей, по которому реально всегда происходит усреднение (в этом смысл
названия аппроксимации; иногда пользуются также названием «при-
«приближение среднего поля»); при этом подразумевается, что входящая
в (А.4) величина ат по-прежнему определяет удельную проводимость
в соответствии с соотношением (А.1); (И) если подводить электроды
последовательно к большому количеству пар узлов, то среднее зна-
значение тока (iki) определяется выведенным для однородного случая
выражением (А.2)
= —• (А-6)
Воспользовавшись при усреднении выражения (А.5) этими двумя
предположениями, получим окончательное выражение
<?ы
сгы + crm(z /2-1)
Для решения конкретной задачи остается подставить в соотношение
(А.7) функцию распределения для величины а^. Если a^i = 1 с веро-
вероятностью х и g^i = 0 с вероятностью 1 — ж, то ответ получается в виде
прямой линии с наклоном, зависящим от числа ближайших соседей z:
На рис. А.2 показаны получившиеся зависимости для квадратной
(d = 2, z = 4) и кубической [d = 3, z = 6) решеток. Обращение функ-
функции ат(х) в нуль означает перколяционный переход. Но именно
в окрестности этого перехода аппроксимация эффективной среды не
работает, потому что не оправданы оба предположения, лежащие в ее
основе. Поэтому настоящее критическое значение хс, которое назы-
называется перколяционным порогом, находится не в точке пересечения
(гт{х) с осью абсцисс, а левее. Это станет видно из данных, собранных
в следующем параграфе.
Заметьте. На том же рис. А.2 приведены графики функции
(гт{х) и для случая, когда аы с вероятностью 1-х меняет свое
значение с 1 не на 0, а на 1/2. Эти графики уже не прямые линии.
При таких значениях а^\ перколяционного перехода нет и ап-
аппроксимация эффективной среды применима во всем интервале
изменения х.
А.2]
Перколяционные пороги
209
0
Рис. А.2. Проводимость квадратной и кубической решеток в аппроксимации
эффективной среды, когда доля A — х) связей разорвана (две нижние
кривые), или когда они имеют проводимость, в два раза меньшую прово-
проводимости остальных связей (две верхние кривые)
А.2. Перколяционные пороги
В окрестности перколяционного перехода, где аппроксимация эф-
эффективной среды не работает, получить точные результаты аналити-
аналитическими методами удается довольно редко. В общем виде решения
известны для одномерной решетки d = 1 и бесконечномерной решетки
Бете d = оо, при d = 2 есть решения для некоторых простых решеток.
Чаще всего задачи решаются численно методами компьютерного мо-
моделирования. Это относится, в частности, к определению перколяци-
онных порогов хс, которые зависят от размерности d и от симметрии
решетки. Для наиболее распространенных 2D- и ЗБ-решеток значения
Хс для задачи узлов и Хс для задачи связей приведены в табл. АЛ.
Таблица АЛ
d = 2
d = 3
Задача узлов
Jbc
0,59
0,5*
0,7
0,31
0,25
0,20
0,43
/
0,79
0,91
0,61
0,52
0,68
0,74
0,34
0,47
0,46
0,43
0,16
0,17
0,15
0,15
Тип решетки
Квадратная
Треугольная
Медовые соты
Простая кубическая
Объемноцентрированная
Гранецентрированная
Структура алмаза
Задача связей
ЛЬ)
Jbc
0,5*
0,35*
0,65*
0,25
0,18
0,12
0,39
z
4
6
3
6
8
12
4
h = zx^
2,0
2Д
2,0
1,50
1,44
1,44
1,56
Звездочкой * отмечены значения жс, вычисленные аналитически.
14 В. Ф. Гантмахер
210 Элементы теории перколяции [Прил. А
Приведенные значения хс удовлетворяют некоторым эмпириче-
эмпирическим закономерностям. В задаче связей произведение 1ь числа свя-
связей z, соединяющих каждый узел со всеми ближайшими соседями,
и критического значения хс зависит только от размерности и прибли-
приблизительно равно 1ъ = zxc = d/(d — 1). В задаче узлов в соответствую-
соответствующий инвариант /s = fxc вместо z входит коэффициент /. Он равен
доле объема, занятого шарами одинакового радиуса, расположенными
во всех узлах решетки и касающимися друг друга (для 2Б-решеток
вместо шаров подразумеваются круги, а вместо объема — площадь).
Как видно из таблицы, из 2Б-решеток этот коэффициент максимален
для треугольной решетки, а из ЗБ-решеток — для гранецентрирован-
ной. Именно поэтому эти решетки называются плотно упакованными.
Значения эмпирических инвариантов /s и Д показывают, что фун-
фундаментальным параметром в перколяционных задачах является не
симметрия решетки и не число ближайших соседей, а размерность
пространства. Пусть в крашеных (открытых) узлах находятся прово-
проводящие шары диаметром, обеспечивающим касание шаров на соседних
узлах. Перколяция происходит при появлении уходящих на бесконеч-
бесконечность цепочек касающихся шаров. Из значений инвариантов следует,
что перколяционный переход на плоскости (d = 2) происходит, когда
около 45 % ее становятся проводящими, а при переходе в пространстве
(d = 3) проводящими являются примерно его 16%.
Задачу узлов можно несколько изменить, признав в качестве
«ближайших соседей», помимо истинно ближайших, и узлы второ-
второго, третьего и т. д. слоев, окружающих исходный узел. Число со-
соседей, с которым связан данный узел, растет, условия присоеди-
присоединения его к кластеру облегчаются и, как следствие, уменьшается
критическое значение х. На рис. А.З изображена квадратная решет-
решетка. Открытые узлы отмечены крестиками. Если считать ближай-
ближайшими соседями три слоя узлов (рис. А.З, а), то из 10 изображен-
изображенных открытых узлов в один кластер попадут 4, а если расширить
область «сильного взаимодействия» до четырех слоев (рис. А.З, б),
то в одном кластере окажутся уже 7 узлов из 10. Данные для
трехмерных решеток приведены в табл. А.2. В ней собраны значе-
значения критических концентраций для трех разных решеток при вклю-
включении узлов из одного, двух или трех слоев в число ближайших.
В последней строке таблицы выписаны критические значения ве-
величины zx:
A*'r^c = ±r*N. (A.9)
Здесь г — радиус сферы, охватывающей все слои связанных с центром
узлов, а3 — объем элементарной ячейки решетки, т. е. объем, приходя-
приходящийся на один узел, а N = х/а3 — количество окрашенных узлов на
единицу объема, т. е. концентрация, не связанная с параметрами кон-
конкретной решетки. Приблизительное равенство (А.9) выполняется тем
точнее, чем больше число слоев v и радиус г. Поэтому при достаточно
А.2]
Перколяционные пороги
211
X о ^а--Х-^ о
о С" " О " --Q о хо
о' О А Ж Х9 Ц
О А X А С) ,Ь
Ш О А <> /5 о
о %0" - _CL - -*^ - ~ О" - - о
о о о/ о о о
X о^-о X
о у'Ь о "б
,0 О А Ш
! О А X А О
\« О А О О/'
о ч х О О Жх ' о
о 4ix-e- - "О"
эх х;
Рис. А.З. Квадратная решетка, в которой открытые узлы отмечены крести-
крестиками, а окружности охватывают узлы, связанные с узлом, находящимся
в центре. Слева: каждый открытый узел входит в один кластер с открыты-
открытыми узлами из трех слоев ближайших соседей (трех-, четырех- и пятиуголь-
пятиугольники). Справа: из четырех слоев (те же и шестиугольники)
больших г величина zxc B последней строке таблицы уже не долж-
должна зависеть от конкретной решетки. Компьютерное моделирование
подтверждает это. Оно свидетельствует также, что при v —> оо она
(з)
стремится к пределу, равному В с = 2,7.
Таблица А.2
Число слоев v
Число соседей z
Хс
(su)
zxc '
Простая
кубическая
1
6
0,31
1,84
2
18
0,14
2,45
3
26
0,10
2,52
Объемноцентри-
рованная
1
8
0,25
1,94
2
14
0,175
2,45
3
26
0,095
2,47
Гранецентриро-
ванная
1
12
0,195
1,84
2
18
0,14
2,45
3
42
0,06
2,52
Универсальность предела величины zxc относительно разных
решеток не случайна. При большом г можно без существенных по-
последствий сместить окрашенные узлы из точно зафиксированных то-
точек узлов решетки на расстояния s <С а <С г. Тем самым мы перейдем
к задаче о перколяции в системе случайных узлов, которая экви-
эквивалентна задаче узлов на решетке при достаточно большом v. Для
перколяции на случайных узлах
— r3N -
= 2,7; тгг2ЛГс = Б^ = 4,4.
(АЛО)
14*
212 Элементы теории перколяции [Прил. А
Выражение в левой части второго равенства написано для 2Б-решеток
по аналогии с соотношением (А.9), а численное значение получено
в результате компьютерного моделирования.
В соотношениях (А. 10) предполагалось, что задано максимальное
расстояние г, на котором узлы оказываются связанными (радиус вза-
взаимодействия). Тогда эти соотношения определяют критическую кон-
концентрацию Nc. Но возможна и иная постановка вопроса. Если задать
концентрацию TV, то соотношения (АЛО) определят перколяционный
радиус гс, т. е. минимальный радиус взаимодействия, обеспечивающий
перколяцию.
Особый класс перколяционных задач составляют континуальные
задачи. Зададим в пространстве размерности d случайную непрерыв-
непрерывную функцию Um[n ^ U(r) ^ ?/max со средним значением U(r) = 0 и со
статистическими свойствами, инвариантными относительно преобра-
преобразования U —> —U. Назовем крашенным кластером всякую связную
область, где удовлетворено неравенство U(r) < и, а белым ту, где
справедливо обратное неравенство U(r) > и. Так определенные кла-
кластеры аналогичны тем, которые фигурируют в решеточных задачах.
Обозначим через Si (и) суммарный объем всех крашенных кластеров,
нормированный на единичный объем, а через S2(u) — так же норми-
нормированный объем всех белых кластеров, Si + S2 = 1. Будем смещать
уровень и от Um[n вверх. При достаточно малых и > Um[n крашенных
кластеров мало, и они имеют малые размеры, но существует один
белый бесконечный кластер. С ростом и средние размеры крашенных
кластеров растут. Появление бесконечного крашенного кластера при
и = uci и Si (и) = Sci означает перколяционный переход. На противо-
противоположном конце интервала возможных значений уровня иу при и <
< С/щах? существует крашенный бесконечный кластер. С уменьшени-
уменьшением и в этой области растут число и средние размеры белых кластеров,
пока при некоторых и = иС2 и S2{u) = SC2 не появится бесконечный
белый кластер. Из статистической симметрии случайного потенциала
U(г) следует, что Sci = SC2- Конкретные значения Sci и SC2 зависят
от размерности d. Для нас наиболее интересны случаи d = 3 и d = 2,
на которых мы кратко остановимся.
В трехмерном случае, d = 3, компьютерное моделирование привело
к значениям Sci = SC2 = 0,17. В интервале значений уровня uci <
< и < иС2 имеются одновременно и крашенный и белый бесконечные
кластеры. Такая задача появляется при изучении локализации клас-
классического электрона: если U(r) — это потенциальная энергия электро-
электрона, то крашенные кластеры представляют собой области, классически
доступные для электрона с энергией и. Перколяционный переход при
и = uci означает, что только электрон с энергией и > uci, двигаясь по
законам классической механики, может уйти на бесконечность.
Переходя к двумерному пространству d = 2, воспользуемся для на-
наглядности «географической терминологией», полагая, что U(r) — это
высота на местности точки с координатой г. Локальные максимумы
С/_1_ и минимумы U- этой функции — это высоты холмов и глубины
А.З] Окрестность перколяционного перехода 213
впадин. Представим себе, что на местности можно менять уровень
воды. Пока уровень низок, крашенные кластеры — это озера вблизи
точек [/_, а береговые линии озер — это эквипотенциальные линии
потенциала С/(г), охватывающие точки [/_. При низком уровне воды
пересечь всю территорию можно по суше. При постепенном подъеме
воды ее уровень будет достигать локальных седловых точек функции
[/(г), и будет происходить слияние озер. В обратном предельном слу-
случае, при очень высоком уровне воды, из нее выступают лишь островки
вокруг вершин С/_|_ (белые кластеры), а пересечь всю территорию мож-
можно только по воде. Теперь эквипотенциальные линии — это периметр
островов. Поэтому существует некий промежуточный уровень воды,
при котором береговая линия простирается через всю территорию,
но в некоторых местах уровень воды оказывается точно на высоте
перевала в седловой точке, так что ширины водной и сухой перемычек
стягиваются в точку.
Бесконечный кластер статистически изотропен. Если он существу-
существует, то территорию можно пересечь по нему в любом направлении.
С другой стороны, если при каком-то уровне воды территорию можно
пересечь по суше, то при этом ее заведомо нельзя пересечь в пер-
перпендикулярном направлении по воде. Это означает, что при d = 2
одновременно не могут существовать два бесконечных кластера. Если
добавить статистическую симметрию относительно преобразования
U —> —С/, то получим, что
Sci = Sc2 = 0,5. (A.ll)
При отсутствии такой симметрии перколяционный порог может сме-
сместиться, так что равенство (А. 11) нарушится. Но запрет на одновре-
одновременное существование двух бесконечных кластеров сохранится, так
что вместо (А. 11) будем иметь лишь Sci + SC2 = 1.
Интересно сравнить получившиеся значения Sc для двух размер-
размерностей с имеющим тот же физический смысл инвариантом Is в задаче
узлов на регулярных решетках — см. таблицу А.1. В обоих случаях
значения Sc несколько больше, и если при d = 3 разница лежит на гра-
границе погрешности, то при d = 2 она не вызывает сомнений. Решетка
вносит корреляции и элементы регулярности в структуру случайной
функции. Это сдвигает точку появления бесконечного кластера.
А.З. Окрестность перколяционного перехода
Для исследования окрестности перколяционного перехода введем
несколько важных функций концентрации открытых узлов х (для
определенности мы будем говорить здесь о задаче узлов). Пусть ns —
это число кластеров из s узлов, приходящихся на один узел решетки,
так что при х < хс, когда бесконечный кластер отсутствует,
sns = х, х < хс. (А.12)
214 Элементы теории перколяции [Прил. А
Если же х > хс, то некоторая часть Р(х) открытых узлов входит
в бесконечный кластер:
!х — V sns, х > хс,
n ' (A.13)
О, х < хс.
Функция Р(х) называется мощностью бесконечного кластера.
Определим корреляционную функцию q(r) как вероятность то-
того, что узел на расстоянии г от открытого узла, принадлежащего
конечному кластеру, тоже открыт и принадлежит тому же класте-
кластеру. Очевидные свойства этой функции таковы: q@) = 1, q(a) = х
(а — период решетки); поскольку по определению кластер конеч-
конечный, то q(r) —> 0 при г —> оо. Среднее число узлов S(x) в конечном
кластере, к которому принадлежит исходный открытый узел, равно
J2rq(r); здесь суммирование подразумевается по всем узлам решет-
решетки.
Величину S(x) можно выразить и непосредственно через распре-
распределение кластеров по размерам. Вероятность того, что произвольный
узел принадлежит кластеру с числом узлов s, равна sns, а вероят-
вероятность того, что он принадлежит к какому-то из конечных кластеров,
есть J2ssns. Поэтому отношение ws = sns/ J2ssns есть вероятность
того, что кластер, к которому принадлежит произвольно выбранный
открытый узел, содержит s узлов. Сделав такой выбор большое ко-
количество раз, получим среднюю величину
S(x) = ? q(r) = Е sws = ^ ¦ (А.14)
г s 2^S1ls
S
Функция S(x) называется средним размером кластера. (Заметьте:
подразумевается не линейный размер, а среднее число узлов конечно-
конечного кластера.)
Линейный размер, связанный с распределением открытых узлов
по конечным кластерам, определим соотношением
«2 = Х*Г = ^Г' (АЛ5)
Функция ?(#) называется корреляционной длиной. По существу, это
средний линейный размер среднего кластера, «типичного» для дан-
данного х. Важно, что функция ?(#) определена по обе стороны от пер-
коляционного порога. При х > хс конечные кластеры располагаются
в «дырах» бесконечного кластера. Поэтому в этой области корре-
корреляционную длину обычно интерпретируют как средний размер дыр
бесконечного кластера. По обе стороны от порога определена также
и функция S(x).
Функция Р(х) обращается на перколяционном пороге в нуль,
функции S(x) и ?(#) на пороге обращаются в бесконечность. Основной
постулат, лежащий в основе теоретического описания перколяционно-
А.4] Пример: электропроводность сильно неоднородной среды
215
го перехода, заключается в том, что при приближении к порогу все
эти функции изменяются как степени расстояния до порога:
Р(х) ос (х — а
S(x) ос \х — хс
\ 7
ос
х — х
х > хс.
Показатели 7 и v одинаковые
по обе стороны порога.
(А.16)
Эти функциональные зависимости неоднократно проверялись и про-
продолжают проверяться экспериментально. Компьютерное моделирова-
моделирование не только подтвердило наличие степенной функциональной за-
зависимости, но и продемонстрировало универсальность показателей
степени /3, 7 и v\ они зависят только от размерности пространства d,
но не зависят ни от симметрии решетки, ни от типа задачи. Это
характерное свойство теории фазовых переходов. Там аналогичные
показатели степени называются критическими индексами; они тоже
универсальны и тоже зависят только от размерности. Поэтому на
сегодняшний день считается твердо установленным, что с точки зре-
зрения адекватного математического описания перколяционный переход
аналогичен фазовому переходу второго рода. При этом:
— доля открытых узлов (связей) х играет роль температуры;
— мощность бесконечного кластера Р(х) аналогична параметру
порядка;
— функция ?(#) есть локализационная длина и тут и там;
— средний размер кластера S(x) следует сравнивать с термодина-
термодинамической функцией, например, с восприимчивостью при магнитном
переходе.
Значения критических индексов вблизи перколяционного перехода
в двумерных системах, d = 2, получены аналитически, а для размер-
размерности d = 3 — численно. Они приведены в табл. А.З.
Таблица А.З
Мощность бесконечного кластера Р
Локализационная длина ?
Среднее число узлов в кластере S
Р
V
7
d = 2
5/36
4/3
43/18
d = 3
0,417
0,875
1,795
А.4. Пример: электропроводность сильно
неоднородной среды
В заключение этого приложения разберем конкретный пример ис-
использования теории перколяции для решения физической задачи. Сам
пример этот тоже модельный, но он демонстрирует существо подхода.
Итак, рассмотрим в трехмерном пространстве, d = 3, простую куби-
216 Элементы теории перколяции [Прил. А
ческую решетку с периодом а, связи в которой имеют сопротивления
в экспоненциально большом интервале значений
Пусть и — это случайная величина, с вероятностью F(u) принимаю-
принимающая любые значения из разрешенного интервала. Выберем некоторое,
достаточно малое значение и' из этого интервала и все связи с со-
сопротивлениями от Rq до Ro exp и' сохраним, а все связи с большими
сопротивлениями временно разорвем. Доля открытых (сохраненных)
связей равна
и' Uq
х = [ F(u)du, [ F(u)du = 1. (А.18)
о о
Пусть х < хс. Это означает, что набор включенных сопротивлений
не может обеспечить конечную проводимость решетки. В этот набор
нужно добавить какое-то количество связей с большими сопротивле-
сопротивлениями так, чтобы достичь порога х = хс. (Напомним, что, согласно
табл. А.1, в задаче связей для простой кубической решетки хс = 0,25).
Конечно, добавлять будем самые малые сопротивления из оставших-
оставшихся, постепенно увеличивая и' в уравнении (А.18). При достижении
порога соответствующее значение и' обозначим через ис. Пусть для
определенности все значения и из разрешенного интервала равнове-
равновероятны, так что функция распределения F(u) = const:
и > щ ;
(А.19)
и ^ щ.
Тогда критическое значение параметра и равно
ис = хсщ. (А.20)
Включенные на последнем этапе сопротивления Rq exp ис соеди-
соединили большие конечные кластеры в один бесконечный. Они включе-
включены последовательно со всей совокупностью остальных сопротивлений
и при этом они больше их всех по величине. Поэтому удельное сопро-
сопротивление решетки контролируется именно этими сопротивлениями,
и из-за них оно пропорционально ехрис.
Поскольку ток должен идти по связям, принадлежащим бесконеч-
бесконечному кластеру, следует немного превысить порог до значения и" =
= ис + Аиу чтобы мощность бесконечного кластера Р(х) стала отлич-
отлична от нуля. Тогда из соотношений (А.19) и (А.20) следует, что х —
— хс = Аи/щ и что корреляционная длина ? = а(щ/Аи)и.
Для того чтобы оценить величину Аиу в частности убедиться,
что Аи <С г^о, обсудим распределение тока, протекающего по бес-
бесконечному кластеру. Большую часть бесконечного кластера вблизи
порога составляют «бывшие» конечные кластеры, подсоединенные
к основной части через одну открытую связь. Это хорошо видно на
рис. А.4, где изображена экспериментальная реализация бесконечно-
А.4] Пример: электропроводность сильно неоднородной среды 217
Выход
160x160
х = 0,60
Рис. А.4. Экспериментальная реализация бесконечного кластера вблизи по-
порога перколяции, полученная компьютерным моделированием задачи узлов
на решетке 160 х 160 [2]. Показаны только открытые узлы, принадлежащие
бесконечному кластеру. Из них темные точки — это узлы, принадлежащие
токонесущему остову. Любая из светлых точек соединена с токонесущим
остовом только через один открытый узел — светлые точки входят в «мерт-
«мертвые концы». Самые крупные мертвые концы выделены серым фоном, а ме-
места их присоединения к токонесущему остову отмечены черными кружками
го кластера вблизи порога перколяции, полученная компьютерным
моделированием задачи узлов на решетке 160 х 160 при значении х =
= 0,6. Кластер считается бесконечным, поскольку он соединяет про-
противоположные (левую и правую) грани решетки. Части кластера,
выделенные серым фоном, подсоединены к основной части через один
открытый узел каждая. Места их подсоединения условно отмечены
черными кружками. Ток через них идти не может: чтобы шел ток,
нужны по крайней мере две точки подсоединения участка к основной
цепи. Поэтому эти участки называются мертвыми концами. Кроме
выделенных на рисунке крупных мертвых концов есть еще много
мелких. Часть бесконечного кластера, оставшаяся после исключения
мертвых концов, является токонесущей. Входящие в нее узлы нари-
нарисованы на рис. А.4 черными точками.
218 Элементы теории перколяции [Прил. А
В белых частях квадрата на рис. А.4 имеется та же средняя плот-
плотность открытых узлов, что и в областях, покрытых бесконечным
кластером. Они не показаны, потому что все принадлежат различным
конечным кластерам. Явная асимметрия представленной реализации
бесконечного кластера объясняется тем, что из-за близости к поро-
порогу корреляционная длина ? больше стороны квадрата: ? > 160. На
очень большой решетке токонесущую часть бесконечного кластера
можно себе представить в виде сетки токовых каналов с масштабом,
равным длине корреляции ? (рис. А.5). В этой токонесущей сетке от
граничного значения и" зависят и размер ее ячейки ?, и сопротивление
между двумя ее узлами Щ « ейс+Лй. Удельное сопротивление решет-
решетки, представляемое как сопротивление токонесущей сетки, равно (см.,
в частности, (А.1))
р =
Дробь в правой части этого выражения имеет минимум при
Аи = v = 0,875 « 1 <С щ. (А.22)
Это означает, что подключение к сетке сопротивлений со значения-
значениями и в очень узком интервале ис <
f х | * < и < ис + 1 уменьшает сопротив-
"^_^JL_^ ,„1 -у^тттт%^щ^^т^ ление решетки за счет увеличения
мощности бесконечного кластера Р
и уменьшения длины корреляции ?.
Затем дальнейшее включение сопро-
сопротивлений становится неэффективным
из-за того, что они уже много боль-
больше, чем Roexpuc, и не могут зашун-
тировать сложившуюся критическую
токонесущую сетку. С точностью до
численного множителя сопротивление
Рис. А.5. Структура токоне- рассматриваемой решетки равно
сущей части перколяционного
кластера р = Roau^e40. (A.23)
Список литературы
1. Stauffer D. Introduction to percolation theory. — Taylor & Francis, 1985.
2. Федер Е. Фракталы. Мир, 1991 [Перевод книги Feder J., Fractals, Plenum
Press, 1988].
3. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных по-
полупроводников, 1979, гл. 5.
4. Isichenko M.B. // Rev. Mod. Phys. 45, 574 A973).
5. Киркпатрик С. в сб. Теория и свойства неупорядоченных материалов
(ред. В. Л. Бонч-Бруевич) С. 249. — Мир, 1977 [Перевод статьи Kirk-
patrick S., Rev. Mod. Phys. 45, 574 A973)].
Приложение Б
ТУННЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Пусть два проводящих материала находятся в контакте друг с дру-
другом через слой изолятора, столь тонкий, что через него возможно
туннелирование электронов. Эти два материала мы будем называть
электродами, а изолятор между ними — контактом или туннельном
промежутком. В равновесии ферми-уровни по обе стороны контакта
одинаковы. Электрон с энергией г относительно ферми-уровня слева
от барьера после туннелирования, оказавшись справа, сохранит то же
значение энергии. Равновесие является динамическим в том смысле,
что потоки туннелирующих в обе стороны электронов отличны от
нуля, но эти потоки равны между собой, так что полный ток через
контакт равен нулю.
Обратите внимание на сходство и различие между туннели-
рованием, о котором пойдет речь в этом Приложении, и прыж-
прыжковой проводимостью (гл.4). В обоих случаях речь идет о под-
барьерном прохождении электронов через классически недоступ-
недоступную область. Но прыжковая проводимость осуществляются за
счет квантовых переходов между локализованными состояниями.
Туннельный же ток через контакт возникает благодаря кванто-
квантовым переходам между делокализованными состояниями, находя-
находящимися по разные стороны от барьера.
В большинстве случаев сопротивление электродов много меньше
сопротивления контакта. Поэтому приложенная к электродам раз-
разность потенциалов V полностью падает на туннельном промежутке.
Равновесие нарушается, и через контакт течет туннельный ток J
(рис.Б.1),
сю
J(V) ос j д(е - eV)9l(e) [/ (Цр^) - / (fj] de. (Б.1)
— СЮ
Подынтегральное выражение описывает избыточный электронный
поток электронов энергии г слева направо, обусловленный тем, что
ферми-распределение f(x) = (ехрж + I) слева и справа от барье-
барьера сдвинуты на eV. Плотности состояний д и д\ входят сомножи-
сомножителями в подынтегральное выражение, потому что они определяют
г) Существуют книги [1, 2], целиком посвященные туннельным явлениям;
они изданы уже довольно давно. С последними достижениями в этой обла-
области можно познакомиться в обзоре [3]
220
Туннельные характеристики
[Прил. Б
количество участвующих в процессе электронов и количество со-
состояний, в которые возможно туннелирование. В опущенный коэф-
коэффициент пропорциональности входят площадь туннельного контакта
и прозрачность барьера.
Выражение (Б.1) сильно упрощает-
упрощается, если один из электродов — обычный
металл с gi(e) = const, а температура
столь низкая, что ферми-распределе-
ние можно считать ступенькой. Тогда
о
о
eV
J(V)<x9l \g(e)de.
о
(Б.2)
Рис. Б.1. Энергетическая схе-
схема прохождения тока через
туннельный контакт
Если к постоянному напряжению доба-
добавить переменное V^sincjt, то появится
переменный ток на частоте и с ампли-
амплитудой J^, пропорциональной производ-
производной dJ/dV:
J(V
smut) = J(V) + ^ Vu sin out.
(Б.З)
Этот распространенный экспериментальный прием называется моду-
модуляционной методикой. Из (Б.2) и (Б.З) следует
— ocg(eV).
(Б.4)
Это и определяет возможность использования измерений туннельных
токов для прямых измерений д(е).
Конечная температура Т ф 0 несколько усложняет формулу (Б.4):
ос dJ/dV ос —
д
'd(eV)
f
s-eV
Т
(Б.5)
и процедуру извлечения функции д(е) из экспериментальных данных,
но не меняет принципиальной возможности изучения особенностей
плотности состояний вблизи ферми-уровня по вольт-амперным харак-
характеристикам туннельного контакта.
Заметьте. Реализация туннельного эксперимента гораздо слож-
сложнее, чем изложенная его принципиальная схема: нужно уметь
надежно и воспроизводимо создавать между электродами тун-
туннельные промежутки толщиной 10-15 А. Эта экспериментальная
задача была решена только в 1960-х. Примененные к сверхпро-
сверхпроводникам, туннельные эксперименты позволили непосредственно
измерить сверхпроводящую щель, а затем привели к открытию
эффекта Джозефсона и тем самым существенно повлияли на
развитие всей физики низких температур.
Прил. Б ]
Туннельные характеристики
221
Примененная к нормальным металлам, туннельная методика поз-
позволила непосредственно обнаружить кулоновскую щель в спектре ло-
локализованных состояний и минимум плотности состояний на ферми-
уровне в спектре грязных металлов, а также проследить, как одно
переходит в другое.
Пример выявления кулоновской щели в Si:B приведен на рис. Б.2.
Была использована структура Pb — SiO2 — Si:B, в которой один
электрод — сверхпроводник, а второй — классический полупроводник
р-типа. В нулевом магнитном поле основным «нарушителем спокой-
спокойствия» является сверхпроводящий свинец, a Si:B играет роль метал-
металлического контрэлектрода. Соответствующая кривая демонстрирует
сверхпроводящую щель в РЬ с максимумами плотности состояний по
краям. Она, как и должно быть, симметрична относительно ферми-
уровня ер = 0. Измерение сверхпроводящей щели выступает здесь
2,0
-2
Рис. Б.2. Дифференциальная проводимость в зависимости от смещения на
туннельном контакте Pb — SiCb — Si:В. Кружками показан результат пе-
пересчета кривой в поле Н = 2 кЭ, убирающий влияние теплового уширения
функции распределения [4]
уже как калибровочный эксперимент. Это как бы дополнительная де-
демонстрация правильности методики. В поле 2кЭ сверхпроводимость
свинца полностью разрушена, и плотность состояний в нем больше не
зависит от энергии. Теперь РЬ становится контрэлектродом, а мини-
минимум на кривой dJ/dV вызван наличием параболической кулоновской
щели в Si:B. Поле 2кЭ слишком мало, чтобы хоть как-то повлиять
на нее. Как видно из кривой, ширина щели примерно 1 мэВ « 10 К (по
5 К в каждую сторону от ферми-уровня).
Кривые на рис. Б.2 получены при 1,15 К. Повторить их при более
низких температурах затруднительно: из-за экспоненциального роста
объемного сопротивления Si:B существенная часть прикладываемой
к структуре разности потенциалов падает не на туннельном проме-
промежутке, а на электроде. Но несложная математическая обработка фор-
формулы (Б.5) позволяет обойтись без низкотемпературных измерений и
извлечь из экспериментальной кривой Ju(eV) (сплошные кривые на
222
Туннельные характеристики
[Прил. Б
рис. Б.2) функцию д(е) (пустые кружочки). Видно, что пока темпе-
температура мала, она лишь незначительно сглаживает экспериментальное
отображение функции д(е).
Основная примесь в Si:B — акцепторы, и к нему полностью приме-
применима модель примесной зоны при слабом легировании, в рамках ко-
которой и была получена кулоновская щель (см. формулу C.22) в гл. 3).
Однако кулоновская щель наблюдается и в материалах совсем других
типов, например, в ультратонких пленках или в аморфных пленках
с химическим составом из двух элементов, один из которых — металл,
а другой — неметалл.
На рис. Б.З представлены туннельные характеристики структу-
структуры Gei_xAux — AI2O3 — А1. Здесь А1 является контрэлектродом, а
Gei_xAux — исследуемым ма-
материалом. Серия характеристик
демонстрирует эволюцию спек-
спектра по мере уменьшения концен-
концентрации золота х. Минимум при
больших х обусловлен взаимодей-
взаимодействием электронов, диффундиру-
диффундирующим в результате упругого рас-
рассеяния на статическом беспоряд-
беспорядке. Это тот минимум на ферми-
уровне в спектре грязных метал-
металлов, которого следует ожидать на
основании теории, результаты ко-
которой изложены в последнем па-
параграфе гл. 2. Но эти результаты
получены в рамках возмущений,
и предполагается, что поправки
к функции д{е) малы. Поэтому
кривые на рис. Б.З не просто
подтверждают наличие минимума
в спектре, но и показывают эволюцию поправки по мере приближения
к переходу металл-изолятор. При самой маленькой концентрации
золота, при х = 0,08, функция д(е) обращается в нуль при г = 0,
а в окрестности этой точки является параболой. Это и есть
кулоновская щель.
Заметьте. Модель примесной зоны в частично компенсирован-
компенсированном полупроводнике, в рамках которой в гл. 3 была получена ку-
кулоновская щель, непосредственно к Gei_xAux при малых х непри-
неприменима, потому что в этом материале нет четко определенных
«доноров» и «акцепторов». Поэтому обнаружение кулоновской
щели в Gei_xAux указывает на то, что кулоновская щель может
возникать в разных классах случайных потенциалов. Это заме-
замечание относится также и к экспериментам на аморфных сплавах
Sii_xNbx и на ультратонких пленках Be.
Рис. Б.З. Туннельные
ристики структуры Gei
А12О3 - А1 [5]
характе-
характеПрил. Б ]
Туннельные характеристики
223
Таким образом, серия кривых на рис. Б.З демонстрирует три важ-
важных результата: наличие минимума на ферми-уровне в спектре гряз-
грязного металла, возникающего вследствие межэлектронного взаимодей-
взаимодействия (гл. 2), наличие кулоновской щели в спектре сильно разупоря-
доченном изолятора (гл. 3) и переход от одной особенности в спектре
к другой, сопровождающий переход металл-изолятор при изменении
концентрации металла в сплаве (гл. 5).
Такую же структуру и эволюцию спектра наблюдали на аморфных
сплавах Sii_xNbx, см. рис. Б.4, где тоже происходит переход металл-
изолятор. В экспериментах на этих аморфных сплавах обнаружилось
еще одно любопытное обстоятельство: несовпадение критического зна-
значения хСу определенного в этих сплавах по измерениям статической
проводимости, и значения хс , определенного по обращению в нуль
плотности состояний. Кривая с концентрацией хс отмечена на рис. Б.4
надписью и стрелкой. Стрелка указывает, что при этой концентрации
на ферми-уровне остается конечная плотность состояний, а в нуль она
обращается лишь на следующей кривой.
Из определения металла, данного в начале гл. 5, следует, что ис-
истинной критической концентрацией является хс. На ферми-уровне
изолятора вполне может быть конечная плотность состояний, если эти
состояния были локализованы. Поэтому противоречия между измере-
измерениями проводимости и туннельными измерениями нет.
Вместе с тем возможна иная трактовка расхождения между хс
и хс . Сделаем одно уточнение относительно измерений туннельного
тока. В рассуждении, позволившем
написать выражение для туннель-
туннельного тока (Б.1), неявно предпо-
предполагалось, что в обоих электродах
электроны представляют собой си-
системы невзаимодействующих ква-
квазичастиц. Предполагается, что пол-
полные электронные энергии и слева
и справа равны Е = ^?г, сумме
энергий квазичастиц, и что в ре-
результате туннелирования полные
энергии Е с обеих сторон измени-
изменились точно на энергию протунне-
лировавшей квазичастицы. В си-
системе взаимодействующих частиц
полная энергия Е зависит от их
числа, Е = Е(п). Тогда часть энер-
энергии электромагнитного поля тра-
тратится на изменение полных энер-
энергий электронных систем с изменив-
изменившимся числом частиц. Во избежа-
избежание недоразумений плотность со-
состояний д^ входящая в выражение
2 3 4
Vm, мВш
Рис. Б.4. Туннельные характери-
характеристики структуры Sii-^Nb^ —
А12Оз - А1 [6]
224 Туннельные характеристики [Прил. Б
(Б.1) и измеряемая в туннельном эксперименте, называется туннель-
туннельной плотностью состояний.
Заметьте. Механизмы воздействия разных видов межэлектрон-
межэлектронного взаимодействия на туннельную плотность состояний раз-
различны. Вот, например, как воздействует на нее кулоновское вза-
взаимодействие туннелирующего электрона со всеми остальными.
После туннелирования в обоих электродах возникает простран-
пространственная неоднородность зарядов, которая должна рассосаться.
Чем больше время рассасывания, тем сильнее эта неоднородность
препятствует самому туннелированию, проявляясь в виде умень-
уменьшения эффективной плотности состояний. Время рассасывания
зависит, в частности, от характера движения электрона, от того,
является это движение баллистическим или диффузионным. При
диффузионном движении это время зависит от энергии электрона
по сравнению с ферми-уровнем (см. гл. 2). Поэтому этот эффект
может приводить не только к перенормировке туннельной плот-
плотности состояний, но и к изменению функциональной зависимо-
зависимости д(е).
Аналогичное наблюдение было сделано на классическом полу-
полупроводнике с примесной зоной Si:B, где управляющим параметром
является не состав сплава, а концентрация примесей п. Подробные
измерения, представленные на рис. Б.5, показали, что и здесь g(fi) об-
обращается в нуль уже в области изолятора, при п « 0,9пс (критическая
концентрация пс определена по зависимости от п проводимости <т@)).
Расхождения в определении критической концентрации оказались по-
порядка 10 %.
Интересно, что на серии кривых с разными электронными концен-
концентрациями на рис. Б.5 минимум д(е) при концентрации п = пс, опреде-
определенной как критическая по измерениям проводимости, оказался шире,
чем по обе стороны от нее. Следовательно туннельные измерения
тоже выделяют «транспортное» значение п = пс, которое мы выше
определили как истинное.
Специфическим объектом туннельных экспериментов являются
ультратонкие пленки. Для них управляющим параметром может быть
толщина пленок, а количественной характеристикой их транспортных
свойств — величина сопротивления на квадрат при какой-то фикси-
фиксированной температуре. Толщины пленок Be, туннельные характери-
характеристики которых представлены на рис. Б.6, были в интервале 15-20 А,
указанные около кривых значения сопротивления на квадрат изме-
измерены при 50 мК. Туннельные структуры создавались дозированным
окислением пленок на воздухе и последующим напылением на них
слоя Ag. У самой тонкой пленки Be в спектре видна кулоновская
щель, причем плотность состояний в окрестности \± меняется линейно
с энергией, как это и предсказывается формулой C.23) в гл. 3. У более
толстых пленок имеется узкий провал в спектре вблизи \±. Таким обра-
образом, на ультратонких пленках, где малая толщина является главным
параметром эффективного разупорядочения и перехода Андерсона,
Прил. Б ]
Туннельные характеристики
225
2,5
Si:B
110%.
тоже есть и минимум в спектре на металлической стороне перехо-
перехода, и кулоновская щель со стороны изолятора. Главная особенность
и отличие кривых на рис. Б.6 в том,
что они демонстрируют спектры за-
заведомо двумерных систем.
Рис. Б.1 и формулы (Б.1)-(Б.5)
описывают простейшую схему тун-
туннельного эксперимента при практиче-
практически неограниченных размерах элек-
электродов и площади туннельного кон-
контакта. В этой схеме все особенности
вольт-амперной характеристики обу-
обусловлены плотностью состояний мас-
массивного материала. Представим се-
себе теперь, что один из электродов —
это маленькая металлическая грану-
гранула, все размеры которой малы; пусть
это шар радиуса а. Если на эту гра-
гранулу протуннелирует один электрон,
то гранула станет заряженной и во-
вокруг нее возникнет электрическое по-
поле. Энергия поля уединенного метал-
металлического шара с зарядом е равна
2
Рис. Б. 5. Дифференциальная
проводимость туннельных кон-
контактов с Si:В в качестве элек-
U =
2С"
С =
(Б.6)
трода после исключения влия-
влияния теплового уширения. Кри-
Кривые смещены для ясности, но
для каждой кривой на оси ор-
ординат указан соответствующий
ей ноль [7]
где С — это емкость уединенного ша-
шара, а я — это диэлектрическая прони-
проницаемость окружающего его изолято-
изолятора. Если температура Т <С С/, то туннелирование станет возможным
только, когда напряжение между шаром и массивным электродом
превысит U/e: V = е/С = е/' яа > U/е. Этот порог по напряжению
называется кулоновской блокадой.
Для туннельного эксперимента нужны контакты к обоим элек-
электродам. Чтобы такой контакт не сделал маленький металлический
электрод большим, его можно расположить между двумя массивными
электродами, устроив два туннельных промежутка последовательно.
На рис. Б.7 демонстрируются принципиальная схема и результаты
такого эксперимента. На слегка окисленную поверхность алюминие-
алюминиевой пленки напыляли олово, которое собиралось в островки; средний
размер островков зависел от количества напыленного олова. Затем
образец подвергался дальнейшему окислению, в результате чего меж-
между частицами олова образовывался толстый слой окиси алюминия,
а сами частицы покрывались тонким слоем окиси олова. Затем сверху
напыляли слой алюминия для создания верхнего электрода (см. встав-
вставку на рис. Б.7).
Кривые, представленные на рис. Б.7, были получены в магнитном
поле, достаточно большом для того, чтобы разрушить сверхпроводи-
15 В. Ф. Гантмахер
226
Туннельные характеристики
[Прил. Б
-15 -
Рис. Б.6. Туннельные проводимости при температуре Т = 50 мК контактов
с пленками Be с различными сопротивлениями. Из-за слишком большого
сопротивления при Т = 50 мК измерения на самой высокоомной пленке
были проведены при Т = 700 мК [8]
200
150
¦у ,6 к
^2,8 \
А1
"sn\r
-
100 -
50 -
0 12 3 4 5
V, мВ
Рис. Б.7. Туннельные характеристики структуры А1 — гранулы Sn — Al при
различных температурах. Схема структуры показана на вставке, [9]
мость. Тогда все электроды заведомо являются хорошими металлами,
и вольт-амперные характеристики структуры должны были бы быть
горизонтальными прямыми. Падение проводимости, наблюдаемое при
малых напряжениях и нарастающее при понижении температуры,
есть следствие малости промежуточных электродов — гранул олова,
т. е. следствие кулоновской блокады.
Кулоновская блокада является широко исследуемым и используе-
используемым явлением при изучении наноструктур. В них обычно промежу-
промежуточным электродом является одиночная гранула. Мы здесь сталки-
сталкиваемся с кулоновской блокадой в другом предельном случае, когда
Прил. Б] Туннельные характеристики 227
гранул очень много. В эксперименте, представленном на рис. Б.7,
гранулы образуют двумерный слой. Совокупность гранул может об-
образовывать и трехмерный объемный конгломерат. Он называется
гранулированным металлом, и ему посвящена отдельная глава этой
книги (гл. 8). Там, в частности, описаны и измерения эффективной
плотности состояний в гранулированном металле, выполненные при
помощи туннельной методики. При этом гранулированный металл
являлся не промежуточным электродом, как на рис. Б.7, а одним из
двух основных электродов, в соответствии со схемой рис. Б.1.
Имея в виду дальнейшее развитие туннельной методики и ее воз-
возможностей, следует обратить внимание на то, что формула (Б.1)
предполагает, что при туннелировании не сохраняется волновой век-
вектор. Несохранение нормальной по отношению к поверхности контакта
компоненты волнового вектора естественно; оно обусловлено нару-
нарушением однородности пространства в соответствующем направлении.
Тангенциальная компонента не сохраняется лишь из-за шероховато-
шероховатости поверхности контакта. Если барьер контакта изготовить с атом-
но гладкими краями, то можно рассчитывать на туннелирование с
сохранением тангенциальной компоненты волнового вектора. Такое
туннелирование следует назвать когерентным.
Когерентное туннелирование было реализовано в специальных
экспериментах [10], схема и результаты которых приведены на
рис. Б.8. Туннелирование осуществлялось через тонкий барьер
между двумя двумерными квантовыми ямами. Ямы из двух слоев
GaAs толщиной 140 А каждый с барьером из AlAs толщиной 70 А
между ними были изготовлены методом молекулярной эпитаксии.
С обеих сторон эта структура была прикрыта слоями Alo.3Gao.7As.
Общая толщина этого пятислойного сэндвича была около 50 мкм.
С двух торцов пластины были вожжены индиевые контакты 1 и 2,
через каждый из которых можно было осуществлять электрический
контакт с обеими ямами с двумерным электронным газом, а сверху
и снизу были напылены металлические затворы (см. вставку на
рис. Б.8). Затворы а\ и а 2 использовались для того, чтобы разрезать
двумерный газ в соответствующей яме на две части и превратить
параллельное подсоединение двумерных ям к индиевым контактам
в последовательное, с включением между ними туннельного
промежутка (затвор а\ отрезает двумерный газ в нижней яме
от контакта 2, а затвор п2 — двумерный газ в верхней яме от
контакта 1). При помощи затворов ti и ^ можно было менять
концентрацию носителей, соответственно, в нижней и верхней ямах.
При выращивании этой структуры пришлось решать две слож-
сложные экспериментальные задачи, потребовавшие жесткого контроля
процесса молекулярной эпитаксии. Во-первых, требовалось получить
атомно гладкую границу между слоями GaAs и AlAs на очень боль-
большой площади. Во-вторых, электронные плотности в двух ямах долж-
должны быть изначально примерно одинаковы.
Посмотрим, как должен вести себя туннельный ток при выполне-
выполнении обоих законов сохранения, и энергии и импульса. Соединив кон-
15*
228
Туннельные характеристики
[Прил. Б
0,50
О
2 0,25
а2 t2
-1,5
Рис. Б.8. Зависимость проводимости G\2 между контактами 1 и 2 и про-
пропорционального ей туннельного тока J от напряжения на затворе fe при
фиксированном напряжении на затворе t\. При этом, как показано на встав-
вставке, нижний электронный газ отсечен запирающим напряжением на затворе
аг от контакта 2, а верхний — напряжением на затворе п2 от контакта 1
[10]. Температура Т = 1,5 К, тянущее напряжение v = 0,1 мВ
такты 1 и 2 внешней цепью, в которой имеется только пренебрежимо
маленькая измерительная разность потенциалов v, мы сравниваем
ферми-уровни по обе стороны барьера и автоматически получаем вы-
выполнение закона сохранения энергии. В двумерном газе весь волновой
вектор лежит в плоскости и равен
kF = BтгпI/2.
(Б.7)
Поэтому в нулевом магнитном поле когерентное туннелирование воз-
возможно только при одинаковых концентрациях электронов в ямах.
Приведенная на рис. Б.8 кривая получена при тянущем напряже-
напряжении v = 0,1 mV и при некотором фиксированном напряжении на ниж-
нижнем затворе Vt\. Она демонстрирует зависимость туннельного тока
J = vGi? от напряжения на верхнем затворе Vt2, т. е. от концентрации
электронов П2 в верхней яме. Пик туннельного тока возникает при
равенстве концентраций в обеих ямах, п\ = п^. Как и должно быть,
он смещается при изменении Уц. Относительная величина пика опре-
определяет отношение когерентного и некогерентного туннелирования.
Картину дополняют две ступени на кривой J(Vt2) слева от коге-
когерентного пика. Первая ступень возникает тогда, когда концентрация
электронов в верхней яме под затвором t^ уменьшается настолько,
что под ним получается изолятор. Тогда площадь туннельного кон-
контакта уменьшается примерно вдвое. Вторая ступень возникает при
Прил. Б] Туннельные характеристики 229
том напряжении Vt2, когда электрическое поле от затвора t<i разрезает
электронный газ в нижней яме и полностью разрывает электрическую
цепь между контактами 1 и 2.
Список литературы
1. Туннельные явления в твердых телах. — М.: Мир, 1973 (перевод книги
Tunneling phenomena in solids, eds. E. Burstein, S. Lundquist. — Plenum,
1969).
2. Солимар Л. Туннельный эффект в сверхпроводниках и его примене-
применение. — М.: Мир, 1974 (перевод книги Solymar L. Superconductive tunnel-
tunneling and applications»}. — Chapman and Hall, 1972).
3. Aleiner I.L., Brouwer P. W., Glazman L.I. Quantum effects in Coulomb
blocade // Phys. Rep. 358, 309 B002).
4. Massey J. G., Lee M. // Phys. Rev. Lett. 75, 4266 A995).
5. McMillan W.L. Mochel J. // Phys. Rev. Lett. 46, 556 A981).
6. Hertel C, Bishop B.J., Spencer E.G., Rowell J.M. Dynes E.G. // Phys.
Rev. Lett. 50, 743 A983).
7. Massey J. G., Lee M. // Phys. Rev. Lett. 77, 3399 A996).
8. Butko V.Yu., DiTusa J.F., Adams P.W. // Phys. Rev. Lett. 84, 1543
B000).
9. Giaever /., Zeller H.R. // Phys. Rev. Lett. 20, 1504 A968).
10. Eisenstein J.P., Pfeiffer L.N., West K. W. // Appl. Phys. Lett. 58, 1497
A991); Phys. Rev. В 44, 6511 A991)
Указатель материалов г)
Ag, пленка 6.8
А1, пленка 2.10
А1, гранулир. 8.3
Al-Pd-Mn, квазикристал. 7.10
Al-Pd-Re, квазикристал. 7.11, 7.12
Аи, пленка 2.3, 6.8
Аи, гранулир. 8.2, 8.5, 8.6
Be, пленка 3.10, 4.7, Б.6
Bi, аморф., пленка 6.11
Cs-Au 7.6, 7.7
Си, пленка 2.3, 2.11, 6.8
GaAs 4.5, 6.9, 9.26
GaAs/GaAlAs, гетероструктура 2.14, 5.3, 6.7, 9.7 - 9.9, 9.18 - 9.21, 9.23,
9.24, Б.8
p-Ge 3.6, 4.1
Ge-Au Б.З
Ge:Ga 4.2
Ge:P, Ge:Sb 3.5
Ge/SiGe, гетероструктура 9.27
In, гранулир. 8.1
InGaAs/InP, гетероструктура 2.13
InO, аморф. 2.4
InP 4.4
Li, пленка 2.10
Mg, пленка 2.9, 2.10, 2.12
Nb3Sb, Nb3Sn 1.4
Ni, гранулир. 8.5 - 8.7
Pb 8.4
Sb-Cd, гранулир. 8.8, 8.9
Sb-Ga, гранулир. 8.8, 8.10
Si:As 4.6, 6.4, 6.5
Si:B 3.9, 4.2, 4.8-4.10, Б.2, Б.5
Si-Nb Б.4
Si:P 5.18
Si, MOS-структура 2.5, 5.6, 5.7, 6.10, 9.5, 9.6, 9.17
Sn, гранулир. Б.7
TiAl 1.5
WO2 1.7
Y 1.6
Щелочной металл - Pb 7.2- 7.5
Щелочной металл - Sn 7.4, 7.5
г) Ссылки приведены на номера рисунков, а не страниц
Предметный указатель г)
Абрахамса-Миллера сетка 66
Аморфный материал 16, 30, 126,
159
Атомные конфигурации
— Зинтля 134
— локальные в квазикристаллах
138
Всплывание уровней 194, 203
Время
— магнитное, тв, 33
— рассасывания электронной
неоднородности 224
— рассеяния
упругого, т, 19, 24
электрон-фононного, трь, 21,
47
электрон-электронное, те,
45, 46
электрон-электронное, балли-
баллистическое, теЬа11, 44, 48
электрон-электронное, диф-
диффузионное, r^lff, 44, 48
— расфазировки, тее, 43
— сбоя фазы, Т(р, 24
— спин-орбитальное, rso, 36
— туннелирования 152
— эффективное, reff, 21, 47
Грюнайзена функция 17, 22
Диаграмма
— критической области перехода
металл-изолятор 117
— однопараметрического скейлин-
га 111, 128
— потока 200, 203
— прыжковой проводимости 73
— совместного магнитного и раз-
размерного квантования 169
— частота столкновений - темпе-
температура 22, 46
— электронная концентрация -
беспорядок 105
Димерная модель 94
Диффузия электронов 25, 44, 118
Длина
— волны электрона, 1//cf, 9, 106
— диффузионная, L^, Lee, 27, 43
— магнитная — см. Радиус магнит-
магнитный
— корреляционная, ?, ПО, 115,
160, 214, 218
— локализации, ?, 64, 122, 150,
215
— свободного пробега, /, 9, 14, 91
Интеграл перекрытия 82, 103, 104
Инвариант
— в задачах связей, Д, 209, 210
— в задачах узлов, /s, 209, 210,
213
Кермет 147
Класс универсальности 116
Компьютерное моделирование 59,
61, 97, 100, 209, 211, 217
Корбино диск 173, 177, 189
Корреляции
— в случайном потенциале 94, 96
— актов рассеяния 19
Край подвижности 84, 97
Локализационный параметр,
авп-1/3, 100, 103, 104
Металл
— 2D 126, 129
— аморфный 16, 126
— при Т = 0, определение 80, 119
— жидкий 11, 131
— стандартный 10, 16, 130
Микроволновый бильярд 97
Мягкая щель 61, 78, 156, 221-226
Мягкая локализация 167, 171
г) В указатель не включены термины и понятия, фигурирующие в оглав-
оглавлении.
232
Предметный указатель
Параллельные каналы проводимо-
проводимости
— в металлах с сильным рассеяни-
рассеянием 18
— в полупроводниках 68
Покрытие Пенроуза 138
Проводящие каналы
— в одно- и многоканальных
Ш-проводниках 85
— идеальные 85, 185
— краевые 184
Радиус
— Бора, ав, 53, 65, 99
— локализации — см. Длина лока-
локализации
— магнитный, г в, 33, 167
— перколяционный, гс, 67, 212
— экранирования, ге, 101
— электронной орбиты на N-tom
уровне Ландау, гдг, 170
Размерное квантование 110, 149,
167
Размерность
— 2 + ? 112,116
— в перколяционных задачах 210
— относительно
квантовых поправок к прово-
проводимости 27, 44, 46
перехода металл-изолятор 84
Рассеяние назад
— в краевых каналах 184
— в одномерных системах 88
— в условиях слабой локализации
30
Резервуар — см. Термостат
Резонансные ямы 83, 99
Сверхпроводимость 127, 149, 150,
156, 160, 221
Случайное электрическое поле 53
Случайный потенциал
— короткодействующий 172, 185
— крупномасштабный 171, 181
Статический скин-эффект 167,
186
Структурный беспорядок 12, 98,
135, 142
Структурный фактор 12
Термостат (или резервуар) 38, 85,
179
Хаббарда энергия 102
Хаотические осцилляции кондак-
танса 91
Холловский
— изолятор 193, 201
— квантовые жидкости 192, 201
— проводимость 166
— сопротивление 166, 173
— ток 186
Цилиндрические пленки 34
Частота
— столкновений эффективная 21,
47
— циклотронная 33, 165
Шунтирующее сопротивление 18
Эйнштейна соотношение 118