Автор: Юдин В.А.
Теги: механика теоретическая механика кинематика синтез плоские механизмы
Год: 1939
Текст
Проф. В. А. ЮДИН
КИНЕТОСТАТИКА
ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
ИЗДАНИЕ ВОЕННО-ИНЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИИРККА
МОСКВА — 1939
ВОЕННО - ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ имени В. В. КУЙБЫШЕВА
Проф. В. А. ЮДИН
КИНЕТОСТАТИКА
ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
ИЗДАНИЕ ВОЕННО-ИНЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИИ РККА
МОСКВА - 1939
Scan AAW
ПРЕДИСЛОВИЕ
Кинетостатика механизмов, разбирая вопросы динамики
заданного движения, обычно содержит решение двух основ-
ных задач, в соответствии с которыми настоящая работа
подразделяется на две следующие части:
I. Методы учета сил инерции звеньев плоского меха-
низма.
II. Методы кинетостатического исследования механизмов.
Учитывая важность выявления сил при исследовании
машины, в содержание второй части настоящей работы
включены вопросы силового анализа, где даются краткие
указания о способах определения различных сил.
В большинстве глав приведены методы, являющиеся
наиболее современными и могущие найти себе техническое
применение; о прочих возможных планах решения постав-
ленных задач в некоторых разделах книги даются только
отдельные соображения.
Работа освещает исследование плоских механизмов как
с низшими кинематическими парами, так и высшими,
согласно классификации Л. В. Ассура относящимися к
I классу второго, третьего, четвертого и высших поряд-
ков, и таким образом рассматривает абсолютное боль-
шинство встречающихся механизмов.
Особое внимание, естественно, уделено механизмам
I класса второго порядка, как имеющим доминирующее
значение в практике современного машиностроения.
ОТ АВТОРА
Кинетостатика механизмов по своему содержанию яв*
ляется наукой, разбирающей вопросы динамического опре-
деления сил и напряжений в отдельных частях механизмов
и машин.
В силу этого естественна неразрывная связь кинето-
статики механизмов с основными задачами машиностроения.
Так, очевидно использование кинетостатики механизмов
при решении задач синтеза механизмов и анализа их
(в части выявления принципиальных условий работы машины
и проверки прочности узлов машины).
Несмотря на всю важность разбираемого в кинетоста-
тике механизмов материала, выделенного последней про-
граммой ВКВШ в виде двух самостоятельных разделов
курса теории механизмов и машин, в технической литера-
туре почти совершенно не встречается изложения общих
методов кинетостатического исследования механизмов на
базе современных научных работ в этой области \
Между тем, как показано в одной из работ автора, со
времени Кориолиса, Мора и многих других, заложивших
основы отдельным главам кинетостатики механизмов, за
истекшее столетие разработано девять различных методов
кинетостатического исследования механизмов и примерно
шесть методов учета сил инерции.
Данную работу автор рассматривает как первую по-
пытку дать в систематизированном и удобно изучаемом
виде изложение наиболее современных методов, присущих
кинетостатике механизмов.
Для этой цели на протяжении ряда последних лет авто-
ром проведена систематизация материала и на базе личных
дополнительных разработок в ряде случаев выявлен рацио-
нальный план или метод решения.
1 Исключением является последняя работа доктора технических
наук проф. И. И. Артоболевского, вышедшая в феврале 1939 г.
3
При разработке отдельных глав труда была использо-
вана значительная часть работ советских и иностранных
авторов. Кроме того, при составлении первой главы были
учтены материалы дискуссии о проблеме сил инерции,
проведенной на страницах журналов „Вестник инженеров
и техников" и „Под знаменем марксизма".
В заключение автор обращается с просьбой ко всем
читателям сообщить свои замечания или пожелания, за что
заранее выражает свою искреннюю благодарность.
ЧАСТЬ I
МЕТОДЫ УЧЕТА СИЛ ИНЕРЦИИ
ЗВЕНЬЕВ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА
Scan AAW
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основной закон. Первый закон движения, данный Нью-
тоном в его „PrincFpia Philosophia Naturalis" (1687 г.), гласит
следующее:
Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномер-
ного прямолинейного движения, пока действие силы не
заставит его изменить свое состояние. Этот закон выра-
жает особое свойство, присущее материи, называемое
инерцией.
Понятие о силе инерции обычно связывают с именем
д’Аламбера; однако, следует заметить, что в его работе
„Тгайё de Dinamik' (1743 г.) этого понятия нет. Не упоми-
нают о нем и последующие труды Лагранжа. Повидимому,
впервые это понятие в науку введено Кеплером. Ряд
позднейших ученых — Прони, Понселе, Дюгамель, Делоне,
Резаль и др. — это понятие употребляют уже довольно
последовательно и подчеркивают пользу его введения в
решения задач из области механики связанных систем.
В настоящее время понятие силы инерции настолько
прочно вошло в технический обиход, что польза его уже
не подвергается сомнению.
Природа сил инерции. Говоря о природе сил инерции,
следует заметить, что сила инерции не вполне отвечает
обычному представлению о силе, вследствие чего прихо-
дится условиться в этом понятии.
Первые авторы, употреблявшие термин сила инер-
ции, понимали под этим действие реакции уско-
ряемого тела на ускоряющее. В этом представле-
нии сила инерции проявляет свое действие столь же
реально, как и всякая другая механическая сила. Уже
в этом первом определении подчеркивается реальность
воздействия силы инерции на связи. Подобное же толко-
вание можно видеть и в учении Ньютона, характеризующего
7
силу инерции как врожденную, а тем самым реальную сйЛу
материи.
В последующем это достаточно четкое представление
о силе инерции многие авторы изменяют, вводя при трак-
товке начала д’Аламбера понятие фиктивности сил инерции.
В связи с этим разберем более детально вопрос о при-
роде сил инерции.
Анализ динамики свободно движущегося материального
тела приводит к следующему уравнению его движения:
Q — mj = 0, (1)
где Q—равнодействующая реально действующих на тело
сил,
т—масса тела,
/—ускорение его.
Обозначая второй член уравнения (со своим знаком)
через И, т. е.
— (2)
получаем формулу силы инерции; при этом уравнение
движения сведется к следующему виду:
(?4-я=о. (3)
В написанном уравнении равновесия можно видеть при-
менение начала д’Аламбера; однако, совершенно очевидно,
что в этом случае применение этого начала сводится к
формальному преобразованию. Сила инерции свободно дви-
жущегося материального тела условно (фиктивно) считается
приложенной к самому телу. Из сказанного ясно, что
применение начала д’Аламбера к свободному движению ма-
териального тела не является необходимым, так как не
вносит каких-либо упрощений в решение поставленного
вопроса.
Применение начала д’Аламбера. Основное значение
начала д’Аламбера вскрывается -при разборе вопросов из
области механики связанных систем.
В одном из наиболее простых примеров—при движении
материального тела по криволинейной направляющей
(фиг. 1) сила инерции (рассчитываемая по ранее приведен-
ному уравнению, условно прикладываемая к телу) действует
реально на криволинейную направляющую, как на связь.
По третьему закону Ньютона, с такой же силой действует
направляющая на движущееся тело.
На основании сказанного понятие фиктивности сил инер-
ции следует отнести к употреблению начала д’Аламбера,
8
вводимого йри воображаемом равновесии движущейся
системы. Кроме того, это же понятие может быть приме-
нено к силе инерции, как не являющейся причиной изме-
нения начального состояния тела и проявляющейся только
при движении с ускорением1. По всем же остальным при-
знакам проявления сила инерции в системе связанных тел
проявляет себя, как реальная сила.
Если назвать равнодействующие значения, приложенные
к точке заданных сил, через Q и реакции связи R, то начало
д’Аламбера в применении к этой системе тел, подчиненных
связям, выразится в виде .
Q + 7? + ^=0, (4)
причем это уравнение являет-
ся векторным.
Таким образом, пользуясь
U
Фиг. 1
современной редакцией нача-
ла д’Аламбера, введением
сил инерции в расчет
механики связанных систем, сводят сложные
вопросы-динамики к вопросам статики. При этом
для решения задач по динамике связанных систем можно
использовать три уравнения равновесия, выводимые обычно
в курсе статики, или применить любое из достаточно
известных построений графостатики.
Формулировка начала д’Аламбера. На основании сказан-
ного можно в заключение этой главы дать следующую
практически удобную формулировку начала д’Аламбера:
если к движущейся системе, находящейся под действием
заданных сил, приложить силы инерции, то в каждый
данный момент движущуюся систему можно рассматривать
как уравновешивающуюся реакциями связей.
Следует подчеркнуть, что движущаяся система при
этом как бы находится в равновесии; на самом деле система
двигается, и только условно, в целях определенных удобств
расчетного или аналитического характера, система предпо-
лагается находящейся в равновесии.
Приведенная формулировка и соображения полностью
отвечают содержанию последнего уравнения.
О молекулярных связях. Условившись в реальности
воздействия сил инерции на связи системы, следует расши-
рить представление о таковых при решении вопросов
1 См. дополнительно главу 4.
прочности звена. В этом случае для движущегося звена
за связи следует принимать не только внешние связи звена,
но и внутренние молекулярные связи, обусловливающие
прочность самого звена.
Рассматривая движения элементарных масс, из коих
состоит звено, следует учитывать, что определяемые этими
массами элементарные силы инерции реально воздействуют
на молекулярные связи самого звена, т. е. реально воздей-
ствуют на близ расположенные частицы звена. Поэтому
при решении вопросов прочности звена следует учитывать
закон распределения массы в самом звене и характер
движения последнего, в зависимости от чего и определять
расчетную нагрузку звена.
Последнее замечание весьма существенно и говорит
о том, что пользование полной или результирующей силой
инерции звена при решении вопросов прочности принци-
пиально не является правильным (хотя и встречается в
ряде работ), однако, пользование полной силой инерции
звена определяет реакции внешних связей вполне точно
и правильно1.
Ускоряющие и замедляющие силы. Как уже ранее упоминалось,
понятие о силе инерции в формулировке д’Аламбера не встречается,
оно было введено позднейшими авторами. В настоящее время в специаль-
ной литературе можно встретить ряд работ, где понятие о силах инерции
не употребляется. В этом случае используется представление о силах,
сообщающих ускорение звеньям машины. Иногда их кратко называют
ускоряющими или замедляющими силами. Существо разбираемого вопроса
от подобной замены не слишком изменяется, ибо, очевидно, здесь вместо
силы инерции используется представление о равной ей по величине,
но обратно направленной силе.
1 См. дополнительно главу 4.
глава 2
РАСЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМОВ
Метод изучения. Изучение сил инерции, развивающихся
при движении звеньев механизма, можно вести несколькими
различными путями. Учитывая практику исследовательской
работы в области изучения механики машин, рационально
изучение и расчет сил инерции вести в зависимости от
характера движения рассматриваемого
звена.
Движение звеньев механизма по ки-
нематическому признаку может . быть
разбито на три группы:
1. Звенья механизма, совершающие
поступательное движение.
2. Звенья механизма, совершающие
простое вращательное или колебатель-
ное движение.
Фиг. 2. Связь вектора
силы инерции тела с
3. Звенья механизма, совершающие вектором его ускоре-
сложное движение. ния
Изучая движения материальной точки, найдя ее ускоре-
ние / и зная массу т, легко подсчитать силу
(фиг. 2)
И = — mj\
инерции
(2)
знак минус указывает на направление силы инерции,
а именно: сила инерции направлена всегда в сторону,
обратную ускорению.
Значение сил инерции. Из формулы (2) видно, что величина силы
инерций материальной точки зависит от величины ее ускорения и может
превосходить в несколько раз ее вес.
Условием для этого является j>g, где # = 9,81 м}сек2—ускорение
силы тяжести.
Это ясно видно при подстановке вместо массы ее значения
G
т =----------------------------,
2
где G — вес материальной точки.
Тогда
и=—(2«)
Во многих машинах силы инерции являются основными сидами,
определяющими расчетные нагрузки на кинематические пары механизма.
Приведем несколько иллюстраций цифровых значений, которых
достигают полные величины сил инерции отдельных звеньев некоторых
машин инженерного вооружения.
Для лесопильной рамы типа „Экспорт", делающей 250 об/мин., при
«есе рамы с пилами, равном 360 кг и весе двух шатунов, равном 100 хг,
максимальная величина силы инерции рамы достигает 7800 хг (т. е.
больше веса в 13,3 раза), максимальная величина силы инерции шатуна
достигает 2020 хг (т. е. больше своего веса в 20,2 раза).
Для более современной лесопильной рамы РЦ соответствующие
величины сил достигают следующих значений: вес рамы с пилами 267 хг;
максимум сйлы инерции рамы с пилами 4200 хг, т. е. больше веса рамы
в 15,8 раз. Вес шатунов (двух) 80 хг; максимум силы инерции шатуна
больше веса шатуна в 16 раз. При этом следует также отметить, что
полезное сопротивление (усилие резания) примерно может быть принято
равным 1000 хг.
Для челюстной дробилки типа „Додж": вес подвижной челюсти
2550 хг; максимальные силы инерции челюсти 1400 хг; вес шатуна 265 хг;
максимум силы инерции 330 хг.
Еще более разительные примеры можно проследить на механизмах
других отраслей машиностроения; так, для автомобильных двигателей
максимум силы инерции в 400 раз больше веса соответствующих частей.
А. Силы инерции поступательно двигающегося звена
Общим случаем плоского поступательного движения
будет криволинейное поступательное движение, при кото-
Фиг. 3. Сила инерции при криволинейном поступательном
движении .звена
ром центр тяжести звена двигается по некоторой криво-
линейной траектории, а звено при этом остается все
время параллельным самому себе (фиг. 3).
Как известно из кинематики твердого тела, в этом слу-
чае все точки звена описывают тождественные и парал-
лельно расположенные траектории и имеют в каждый
данный момент геометрически равные скорости и геометри-
12
чески равные ускорения. Отсюда следует, что элементар-
ная сила инерции dH=—dmj является величиной геомет-
рически постоянной для всех точек звена, а значит резуль-
тирующая сила инерции звена
будет проходить через центр тяжести его S.
Фиг. 4- Сила инерции при прямолинейном поступательном
движении звена
Для решения задачи, как видно, необходимо определить
ускорение звена у, как известно из кинематики, равного
у -]=• j* = const *,
где касательное, или тангенциальное ускорение
нормальное, или центростремительное ускорение
Следовательно, сила инерции в случае поступательного
криволинейного движения равна произведению массы дви-
жущегося звена на его ускорение и проходит через центр
тяжести звена.
В практике часто встречается случай прямолинейного
поступательного движения (фиг. 4), например, поршень в
двигателе, пильная рама в лесопильной машине и т. д.
Нетрудно видеть что прямолинейное поступательное
движение является частным случаем разобранного выше
1 Const употреблено условно и показывает, что j имеет одинако-
вую величину для всех точек звена.
13
криволинейного и отличается от него только тем, что нор-
мальное ускорение
= 0.
Отсюда следует, что полное ускорение звена
Таким образом, зная вес двигающегося звена и опреде-
лив егоускорение из построенного плана ускорений или
диаграммы ускорёний (скоростей) или аналитическим
Фиг. 5. Диаграмма скоростей движу-
щегося звена
методом, нетрудно под-
считать величину силы
инерции. Направление ее
определяется, как уже бы-
ло сказано выше, направле-
нием ускорения, именно
обратно последнему. По-
лучив вектор ускорений
из плана ускорений, сей-
час же получаем направле-
ние силы инерции.
По диаграмме скоростей (фиг. 5), для прямолинейного
движения на всем участке, где скорость возрастает, уско-
рение положительно и сила инерции противодействует дви-
жению.
Соответственно обратная картина будет при падении
скорости.
Б. Силы инерции звена, вращающегося или качающегося
около неподвижной точки
а) Силы инерции несбалансированного звена
Под несбалансированным звеном следует подразумевать
такие детали механизмов или машин, совершающих враща-
тельное движение, у которых общий центр тяжести не на-
ходится на оси вращения. В дальнейшем будем считать это
звено обладающим плоскостью симметрии, перпендикуляр-
ной оси вращения. Таковы, например, кривошипы, различ-
ного рода коромысла, кулисы и т. п. в лесопильных, дорож-
ных и дробильных машинах.
14
Фиг. 6- К расчету ре-
зультирующих значе-
ний сил инерции ка-
чающегося звена
Тангенциальная сила инерции. Пусть звено АВ качается
около неподвижной точки А с переменной скоростью <о.
Рассмотрим силы инерции отдельной материальной точки
звена АВ. Для этого выделим бесконечно-малый элемент
массы звена dm на расстоянии, равном р, от центра вра-
щения звена (фиг. 6). Вследствие неравномерного вращения
(ш^-const) этот элемент массы звена обладает касательными
силами инерции
dpi* • — dmj‘,
где /— касательное ускорение рассматриваемого элемента.
Обозначим через е угловое ускорена
Из кинематики известно, что
/ = £Р-
Подставляя в предыдущее уравне-
ние, получим
dH*= — dm ре.
Очевидно, что подобное же рассуж-
дение может быть приложено и к лю-
бой другой диференциально малой мас-
се dm, взятой в ином месте звена.
Пропорциональность сил инерции
диференциально малых масс размеру р
показывает, что по абсолютному значе-
нию силы инерции разных точек одного
и того же звена могут быть различной
величины.
На основании сказанного можно придти к выводу, что
рационально объединить бесчисленное множество сил инер-
ции, связанных с различными материальными точками звена,
в равнодействующие, или эквивалентные системы сил и
пар, сводящиеся в одном звене к одной или нескольким
силам или силе и паре. Чтобы получить равнодействующую
касательных сил инерции всего звена, эквивалентную всему
бесконечному множеству частичных сил инерции, нужно
проинтегрировать полученное выше уравнение по всему
объему V или массе т звена.
dm ps = — s
(6)
е — вынесено за знак интеграла, ибо хотя угловое
ускорение и является переменной величиной, однако, не
зависит от объема или размеров звена.
15
Выражение под интегралом представляет собой стати-
ческий момент звена относительно оси вращения звена А;
как известно из статики, его можно заменить
И1 — — е ет = —т js *, (7)
где т — масса всего звена,
е—расстояние от точки вращения до центра тяжести
звена,
j‘s— касательное ускорение центра тяжести звена;
И* — результирующая тангенциальная сила инерции
звена, направлена по касательной к траектории,
следовательно, перпендикулярно АВ.
После замены сил инерции отдельных материальных
точек звена полной или результирующей силой инерции
необходимо найти точку ее приложения или расстояние
от оси вращения, на котором проходит эта сила.
О центре удара или центре качаний. Один из возмож-
ных приемов решения этого вопроса можно видеть в усло-
вии равенства инерционных моментов от элементарных сил
инерции материальных точек звена и результирующей тан-
генциальной силы инерции.
На основании сказанного ясно, что точку k, через кото-
рую проходит равнодействующая тангенциальная сила
инерции, можно найти, написав уравнение равенства
моментов от элементарных тангенциальных сил инерции и
равнодействующей
е J^cZ/np = e/neZ,
откуда
те те ’
где интеграл J dm р3, обозначенный 9л, в научной и
технической литературе носит твердо установленное, хотя
и не вполне ясное название: момент инерции звена относи-
тельно оси вращения.
Указанный процесс замены одной равнодействующей
силой ряда элементарных сил на основе равенства момен-
тов называется приведением.
Процесс приведения сил инерции в данном случае подо-
бен процессу замены массы физически сложного звена
одной математически сосредоточенной массой.
16
На основании сказанного, уподобив наше звено физи-
ческому маятнику, можно сопоставить его с математиче-
ским маятником некоторой длины I (фиг. 7).
Подобное сопоставление соответствует замене физиче-
ского звена со сложно распределенной массой математи-
чески сосредоточенной массой, расположенной на длине I
от оси вращения. Основа их эквивалентности заключает-
ся в равенстве периодов колебания.
Для математического маятника
т = 2 л
и для физического
маятника
(Ю)
где G — вес звена.
Приравнивая правые части и
Фиг. 7. Эквивалентность
математического и физи-
определяя I, получим ранее дан- ческого маятников
ное выражение (8), что и показы-
вает на правильность указанного ранее представления.
Чтобы выяснить соотношение между I и е, можно эту
формулу привести к несколько другому виду подстанов-
кой, связывающей между собой моменты инерции звена
относительно двух параллельных осей:
(И)
где 6S — момент инерции относительно центра тяжести
звена, как известно, имеющий минимальные из возможных
значения. Подставляя значение 6А в уравнение (8), получим
Иногда в практику технических расчетов вводят поня-
тие о радиусе инерции р,, определяя его из следующего
выражения:
6S - т рД
(13)
откуда
2 Кинетостатика плоских механизмов
17
6А == &s + т е1,
При подстановке последнего выражения в уравнение,
определяющее значение I, получим после сокращения сле-
дующее, по виду весьма простое уравнение:
; = '3±Р^ = е+Р£.
е е
(14)
Отсюда очевидно, что />е, ибо второй член правой
части уравнения всегда больше нуля.
Величина I называется приведенной длиной физического
маятника, точка к центром качания и в некоторых случаях
центром удара качающегося звена АВ, следовательно:
Фиг. 8. Картина удара при совпаде-
нии центра удара звена точки К и М
центра сил сопротивления
Фиг. 9. Картина удара при не-
совпадении центра удара звена
и центра сил сопротивления
касательные силы инерции качающеюся звена приводятся
к одной равнодействующей, равной массе всего звена, умно-
женной на касательное ускорение центра тяжести и про-
ходящей через центр качания звена. (Направление ее опре-
деляется попрежнему—ускорением).
Пример влияния положения центра качания. Представление о
центре качаний или центре удара звена в процессе проектирования
многих машин нередко имеет большое значение, в некоторых случаях
определяя собой направление в конструировании движущегося звена.
Если двигающееся звено совершает процесс удара при выполнении
полезной работы, то можно на совершение ее, использовать всю силу
инерции, развивающуюся звеном; при этом в конструкции звена необхо-
18
димо предусмотреть, чтобы линия, параллельная И* и проходящая через
центр удара звена, совпадала бы в момент дробления с центром сил
сопротивления дробящегося материала. В этом случае вся сила инерции
идет на совершение полезной работы, в силу чего значительно умень-
шается давление на шарниры звена (фиг. 8); в противном случае давле-
ние на шарниры звена значительно возрастает и определяется мето-
дами кинетостатики (фиг. 9). Кроме того, изменяются условия нагрузки
самого звена, как видно, также (часто) в худшую сторону.
Центробежная сила инерции. Нормальная, или центро-
бежная сила инерции выделенной диференциально малой
массы равна
V1
dkin=dC =—dmjn = — dm -у,
гДе J — ~ — нормальное или центростремительное уско-
рение выделенной массы звена.
Подставляя вместо v = юр, получим
dC = — ^dm р.
Равнодействующую нормальных сил инерции звена по-
лучим, проинтегрировав получившееся выражение по всему
объему или массе звена. Угловую скорость вращения
звена, величину, хотя и переменную, можно вынести за
знак интеграла, ибо она не зависит от объема или раз-
меров звена.
С— — <u2Jjmp = — ю2тие, (15)
где
2 vs
«г е = 5 —; п
е Js ’
т. е. равно центростремительному ускорению центра тя-
жести звена. Таким образом,
C=-mjsn. (16)
Следовательно, нормальные или центробежные силы
инерции качающегося звена приводятся к одной равнодей-
ствующей, равной массе всего звена, умноженной на центро-
стремительное ускорение центра тяжести его.
Выбирая бесконечно-малые массы в различных местах
звена, нетрудно убедиться в общем для всех них условии,
что нормальные или центробежные силы этих масс пере-
секаются своими направлениями в оси вращения звена—
2* 19
инерции на связи звена
и расчет момента сил
точке А. Таким образом, и равнодействующая центробеж-
ная сила инерции должна проходить через точку А. Эта
сила производит добавочное или динамическое давление
на ось, изгибая ее; действие центробежной силы далее
передается на подшипники оси.
Направление действия центробежной силы инерции звена
определяется направлением нормального или центростре-
мительного ускорения; именно центробежная сила действует
по радиусу, соединяющему ось вращения с центром тяже-
сти звена, и в сторону, противоположную центростреми-
тельному ускорению центра тяжести звена.
Полная сила инерции. Складывая геометрически танген-
циальную и нормальную составляющие силы инерции, полу-
чаем вектор полной силы инерции из
уравнения
Й=ЙуЙ*. (17)
Абсолютная величина (скаляр)
полной силы инерции звена рассчи-
тывается и аналитически:
я=/ Я'2 + Л"2 =
= — т jf + jsnl =— mjSt (18)
где js— полное ускорение центра тя-
жести звена.
Следует заметить, что при прак-
тическом анализе или расчете сил
инерции, появляющихся в звеньях
механизма, очень часто значение пол-
ного ускорения центра тяжести зве-
на находится графически, в резуль-
тате построения плана ускорений.
Ввиду того что полная сила инерции находится в резуль-
тате сложения тангенциальной и нормальной слагающих,
естественно, что и полная сила инерции, равная массе
всего звена, умноженной на полное ускорение центра
тяжести, проходит через центр качания звена и направлена
в сторону, обратную полному ускорению центра тяжести
звена.
Момент сил инерции. Приложив к оси вращения звена
(фиг. 10) две равные и противоположно направленные силы,
равные векториально полной силе инерции, видим, что
зо
ОДна из приложенных сил определяет собой динамическую
нагрузку на ось как на сзязь, а оставшиеся две силы обра-
зуют пару сил с моментом МА(И), кратко обозначенным
в дальнейшем Ми.
Ми = ИК=ИЧ. (19)
Последнее равенство очевидно, ибо центробежная сила
инерции не может дать момента относительно оси вра-
щения.
Подставляя вместо И1 к I пт выражения, получим
Ми = — ете = — вде. (20)
те ' '
Таким образом, момент сил инерции звена равен мо-
менту инерции звена, взятому относительно оси вращения,
умноженному на угловое ускорение звена и направлен Мц
в сторону, обратную угловому ускорению е (на что указы-
вает знак минус).
б) Момент сил инерции сбалансированного звена
В этом случае эксцентриситет расположения центра тяжести
е = о, центр качания звена удаляется в бесконечность и любому эле-
менту dmy взятому по одну сторону оси
вращения, можно найти симметричный,
расположенный по другую сторону. При
вращении или качании const) у обеих
площадок появляются касательные силы
инерции, образующие пару сил; нормаль-
ные же слагающие, возникающие в каждой
из площадок, взаимно уравновешиваются,
так что их можно не принимать во вни-
мание L
При неравномерном вращении детали
с угловым ускорением е момент силы
инерции
<1МИ — с1И*р == — dmjtp = — Jmep2.
Фиг. И. Один из случаев
уравновешенного звена
Полный момент сил инерции получим, взяв интеграл этого урав-
нения
МИ — — е | р2 dm. (21)
Выражение, стоящее под интегралом, представляет собой момент
инерции звена относительно оси вращения. Тогда
/Ии=-©ле. (22)
1 Следует иметь в виду, что это рассуждение не касается вопросов
прочности звена.
21
Следовательно, момент сил инерции сбалансированной детали рай’
няется произведению углового ускорения на момент инерции звена
относительно оси вращения.
При данных условиях движения момент сил инерции пропорцио-
нален &А, откуда, вероятно, и произошло наименование .момент
инерции".
в) Расчет сил инерции звена, плоскость симметрии которого
не перпендикулярна оси вращения
Подобный случай часто может встретиться в практике вследствие
производственной ошибки или неточности при изготовлении отверстия,
ступицы для шкива, диска, коромысла и т. п. (фиг. 12а). Иногда такое
расположение обусловлено конструкцией звена.
Фиг. 12а. Случай неточной посад-
ки диска на вал
Фиг. 12. К расчету сил инерции
звена, плоскость симметрии ко-
торого не перпендикулярна оси
вращения
Слагающие сил инерции. При неравномерном вращении звена у
бесконечно-малой массы, взятой на расстоянии р от оси вращения, раз-
виваются центробежная dC и тангенциальная dfd* силы инерции.
Раскладывая каждую из них по направлениям осей хх и до (взаимно
перпендикулярным), получим слагающие в направлении осей dCx v
dCy, dH* и dHy, равные
dCx — dC cos (p, * ) = •“ dm p<»2 cos (p, x ) ~ ~ dmx <o2;
dCy = dC cos (p, у ) = — dm рш2 cos (p, у ) = — dmy a)2
dHJ = dH* sin (p, * ) = — dm p£ sin (p, x ) = ~ dmx e;
dHj = dW sin (p, у ) = + dm ps sin (p, 57 ) = + ^57 e.
Ввиду перпендикулярности сил dC и dM cos (p, y) = sin (p, x) и
cos(p, x) = sin (p,y )•
22
Интегрируя по всему объему последние выражения, получим полные
величины слагающих сил инерции по осям хх и уу.
Сх = — 0)2 f dm х — — mxs
Су = ~ w2f dmy — — mys
Их= — ^\dmy~—^mys
И у — + 8 f dm х — 4- 8 тху
Значения, стоящие под знаком интеграла, как видно, представляют
собой статические моменты массы звена относительно соответствующих
осей.
Складывая отдельные слагающие, получим полные значения сил
инерции звена:
с = У С 2 + С 2 = - ш2 те
______-____ (24),
= + = - Sme
* у
Этот результат мог бы быть получен и на основании общих соображе-
ний. Однако, разложение сил инерции по осям хх и уу полезно в том
отношении, что создается ясность о создающихся моментах соответ-
ствующих сил инерции относительно тех же осей.
Моменты сил инерции. Моменты сил инерции для диференциа льно
малой массы <Zm, взятые относительно соответствующих осей координат,
равны:
1) от центробежных сил инерции:
dMx(C) = dMcx = —dCy z = dmyz 0)2 i
dMy(C) — dMCy — —dCx z — — dmxz W2>
2) от тангенциальных сил инерции:
dM^H1) = dMtx = drfsz = — dmxz s;
dM/H‘) = dMty = dH*x z = - dmgz s;
dM'trf) = dMtz = drf p = — dm p2 e.
В первом случае центробежная слагающая сил инерции не дала
момента относительно оси г, ибо она своим направлением проходила
через ось z.
Интегрируя полученные значения по всему объему звена, получим
Мсх = оз2 У dmyz =
Мсу = — оз2 f dmxz = — О)20хл
" ми = - 8 У dmxz = -гехя (25)
Mts = — s У dmgz = — ев^
= —е f dm р2 = - 60s
где Qs — момент инерции вращающегося тела относительно оси враще-
ния, а О ив — центробежные моменты инерции относи-
xz уя
тельно осей х и д.
28
Складывая слагающие моментов сил инерции относительно однордд-
ных осей, получим значения полных величин моментов сил инерции.
МИх = Мсх + Mtx = &уг ~ s ©ли
МИу == Мсу + Mty = — Ч>2 дхя ~ S 0уг
(26)
Относительно оси z значение момента остается без изменений, т. е.
ми = МИг . (26а)
На основании доказанного можно заключить, что при вращательном
движении звена, плоскость симметрии которого не перпендикулярна
оси вращения, возникают две силы инерции—центробежная и танген-
циальная, равные по величине массе всего звена, умноженной на уско-
рение центра тяжести звена, и направленные в обратную сторону соот-
ветствующим
ускорениям.
Фиг. 13. Приведение силы
инерции к центру тяжести
вращающегося звена добав-
лением момента
Кроме того, от слагающих сил инерции
относительно соответствующих осей раз-
виваются моменты сил инерции МИх ,
МИу и МИг , величины которых рассчи-
тываются по уравнениям (26) и (26а).
Дополнительные или динамические
давления на ось при этом определяются
не только силами инерции С и но и
моментами сил инерции, взятыми относи-
тельно осей хх и уу, МИх и МИд .
Дополнение. Изложив достаточно пол-
но основы учения о силах инерции зве-
на, вращающегося вокруг неподвижной
точки, упомянем еще об одном дополни-
тельном варианте учета сил инерции,
встречающемся в настоящее время в лите-
ратуре.
Приведение сил инерции к центру
тяжести звена. Приложим две равные
и противоположно направленные силы
И1 в центре тяжести звена (фиг. 13); тогда
силы инерции образуют одну пару сил с
моментом
Ми = И1(1 — е)— И* KS.
Подставляя значения KS—l—et получим
ми = - т g е = _0s г. (27)
п те
заключается в том, что момент инерции
Особенность этой формулы
взят относительно центра тяжести звена.
Кроме пары, имеется сила инерции И, проходящая в данном случае
через центр тяжести звена.
В. Силы инерции звена, сложно двигающегося в плоскости
Кинематические соотношения. Рассматриваемый случай
представляет собой наиболее общий вид движения в пло-
24
Фиг. 14. Слагающие силы инер-
ции в переносном и относитель-
ном движении звена
скости; сюда относятся различного рода шатуйы, или по*
водки, планетарные колеса и т. п.
Движение произвольной точки D звена BSC (фиг. 14),
сложно двигающегося в плоскости, по законам кинематики
может быть представлено, как
состоящее из двух элемен-
тарных движений:
1) из переносного движе-
ния точки D вместе с одной
из точек звена, например В,
с ее скоростью vB и ускоре-
нием jB;
2) из относительного движе-
ния (вращения) точки D около
той же точки В со скоростью
BvD и ускорением BjD, где
bvd и bJd — скорость и уско-
рение в относительном движении точки D относительно
точки В.
Эти условия обычно выражаются следующими
ными равенствами:
VD ~ VB Н- В VD
Jd = Jb bJd ~ Jb b/d "f- bJ°d
вектор-
ов)
Приведение к двум силам. В связи с указанным расчле-
нением движения звена появляются следующие силы
инерции:
1. Сила инерции переносного движения звена BSC, про-
ходящая через центр тяжести звена точки S, направленная
обратно направлению ускорения точки В (см. фиг. 15 и 16,
где дан план скоростей и ускорений для звена BSC) и
равная
И-+в = — mjB,
(29)
где т — масса звена.
2. Центробежная сила инерции относительного движения
звена BSC вокруг точки В, проходящая через центр тяже-
сти звена—точку 5 и направленная по прямой BS от центра
относительного вращения (точки В), равна
25
вИвс = вСвс — — т bJs~ т ~D Q — т BS *, (30)
где Bvs — скорость вращения точки 5 относительно В.
3. Тангенциальная или касательная сила инерции отно-
сительного движения звена BSC вокруг точки В, проходя-
щая в центре качания звена—точке К (рассматриваемого
относительного вращения звена), направленная перпенди-
кулярно BS в сторону, обратную и равная
вИвс — — т Bfs — — т& BBS. (31)
Q b^s — b/d — в? с ___ ^2^в
Здесь гв = — -rd— — -др-----угловое уско-
рение относительного движения, где — тангенциальное
Фиг. 15. План скоростей четырех-
звенного механизма
Фиг. 16. План ускорений четырех-
звенного механизма
линейное ускорение относительного движения. Угол Ря
является углом поворота точки D или 5 относительно В.
Расстояние от оси вращения до центра качания в относи-
тельном движении определяется ранее доказанной формулой
mBS
* Сложное движение звена разлагается на два простых движения: 1) по-
ступательное (или переносное) движение вместе с одной из точек звена
(полюсом); 2) вращательное, относительное движение вокруг той же точки.
Как известно из кинематики, вращательная часть движения не зави-
сит от выбора полюса и, следовательно, постановку добавочных индексов
у угловых скоростей и ускорений следует понимать, как указание на
относительное движение звена вокруг одной из движущихся точек, так
— bVs —
BS ~ ВС‘
Сказанное относится и к дальнейшему, где встречаются угловые
скорости ш и угловые ускорения г.
26
где 0s—Момент инерций звена относительно центра тяже-
сти. Отсюда
KS = BK-BS=—.
mBS
(32)
Силы инерции вСвс и вИ*вс в относительном движении
звена вокруг выбранной ранее точки можно заменить пол-
ной силой инерции вИвс относительного движения из оче-
видного уравнения
вИвс = вСвс вИ*вс •
(33)
Следует также заметить (фиг. 17), что можно и не объ-
единять вСвс и вИ*вс, а самостоятельно их рассчитывать
и в дальнейшем использо-
вать при расчетах.
Таким образом, простей-
ший путь расчета полных
значений сил инерции слож-
но двигающегося звена, не-
посредственно вытекающий
из основных кинематиче-
ских соотношений, в со-
1льи-<7л<
Фиг. 17. Геометрическое суммирова-
ние слагающих сил инерции в отно-
сительном движении
ответствии с последними, говорит, что силы инерции
сложно двигающегося звена в плоскости сводятся к силе
инерции массы звена в переносном движении с одной
из точек звена (по ее закону движения), и к силе инерции
массы звена в его относительном вращении вокруг выбран-
ной ранее точки. При этом сила инерции от переносного
движения проходит через центр тяжести звена, а сила
инерции от относительного вращения звена проходит через
центр качания его, считая за ось вращения выбранную точку,
обусловленную выбором переносного движения.
Приведение к одной силе. Процесс объединения сил
можно продолжить и дальше, заменив две оставшиеся
силы инерции от переносного и относительного движения
одной равнодействующей силой.
После замены центробежной и тангенциальной состав-
ляющих в относительном движении звена полной величиной
силы инерции вИвс (в указанном движении), проходящей
через центр качаний или центр удара в относительном
движении звена точку К (фиг. 18), остались две силы
И-+в и вИвс, различно направленные; продолжая их на-
правления до взаимного пересечения, получим точку Ко,
27
Черей которую должна пройти равнодейст-
вующая или полная сила инерции Иве, равная
Иве — И-^-в + вИвс — — т (je 4“ bJs ) — mJs* (34)
где - i - _ —
J в 4~ bJs Js >
т. e. полному ускорению центра тяжести звена.
Положение точки Ко переменно, оно зависит от движе-
ния системы; эту точку можно назвать полюсом инерции.
На основании сказанного ясно, что силы инерции сложно
двигающегося звена можно свести к одной силе, равной
массе этого звена, умноженной на ускорение центра тя-
Фиг. 18. Геометрическое суммирование
сил инерции в переносном и относи-
тельном движении звена
жести последнего, направ-
ленной в обратную уско-
рению центра тяжести
сторону и проходящую
через особую точку, назы-
ваемую полюсом инерции.
Построение полюса
инерции. При графиче-
ском построении полюса
инерции, для определе-
ния векториальности сил
инерции используем план
ускорений. Пусть на
фиг. 19 дано сложно
двигающееся звено, а рядом с ним план ускорений,
построенный для данного положения звена. Проведя через
центр тяжести звена—точку 5 линию, параллельную jB = ^оЬ
(на плане ускорений отрезок ob), и через точку К, являю-
щуюся центром качаний в относительном вращении звена
вокруг точки В, линию, параллельную в)с — 7Ьс (на плане
ускорений отрезок Ьс), получим на пересечении их точку Ко
(7—масштаб плана ускорений).
Приведение к силе и паре. За исходное положение
в дальнейших преобразованиях возьмем начальную картину
с тремя силами инерции И+в, вСвс и вИ‘вс в двух дви-
жениях звена (фиг. 20).
Перенесем силу вИ‘вс в точку S, для чего приложим
две равные и параллельные силы вИ*вс в точке S, тогда
противоположно направленные силы вИ*вс, приложенные
в точках К и S, дадут пару сил с моментом
Ми = вИ*вс KS = — т *в BS ——— — — &з вд. (35)
mBS
28
Здесь tg=-^~. Оставшиеся три силы инерции, при-
ложенные в одной точке 5, соответствуют трем ускоре-
ниям: /в, и в/5и могут быть векторно сложены.
Нетрудно видеть по аналогии с ранее написанным, что
Jb ~ JВ + в/s ~ is,
где js—ускорение центра тяжести звена.
Фиг. 19. Построение полюса инерции Фиг. 20. Приведение сил инерции
по имеющемуся плану ускорений к центру тяжести сложно движу-
щегося звена добавлением мо-
мента
Таким образом, очевидно,
заменены одной, равной
эти три силы могут быть
Ив 4- вСвс+ВИ1ВС —
= —т (jB + Bjas + BJ‘S — (36)
Следовательно, силы инерции звена, произвольно сложно
двигающегося в плоскости, сводятся: 1) к силе инерции
массы звена, сосредоточенной в центре тяжести, двигаю*
щейся по его закону движения, равной массе всего звена,
умноженной на ускорение центра тяжести звена и направ-
ленной в сторону, обратную ускорению центра тяжести
звена и 2) к паре инерционных сил (или моменту сил инерции
в относительном движении вокруг центра тяжести), равной
моменту инерции звена, взятому относительно центра
тяжести его, и умноженной на угловое ускорение в отно-
сительном движении звена.
29
Направление пары, как показывает знак уравнения,
обратно направлению углового ускорения относительного
движения.
Соответственно толкованию этих уравнений, сложное
движение звена, как это указывается также и в кинема-
тике, удобно расчленять на два элементарных:
1) на поступательное движение звена вместе с центром
тяжести и по его закону движения, и
2) на относительное вращение звена вокруг центра тяжести.
Обратное приведение. Вполне понятно, что получив-
шуюся силу Иве и пару Ми можно обратно свести или
заменить одной силой Иве •
Фиг. 22. Точки Ко, Кр К* лежат на
одной прямой, определяемой векто-
ром силы инерции
Фиг. 21. Иллюстрация обратной
замены результирующей силы
инерции звена силой и парой
Для этого заменяем момент сил инерции парой сил
инерции (фиг. 21), причем вектор каждой из сил пары
выбираем равным силе инерции Иве ; таким образом, плечо
пары будет определяться из следующего выражения:
Л =-----.
Иве
Приложенные две равные и противоположно направ-
ленные силы инерции Иве в центре тяжести взаимно урав-
новесятся, остается лишь сила инерции, проходящая через
точку Kt.
Положение точки Kt при этом также нетрудно построить,
для чего необходимо отложить плечо А на линии, перпен-
дикулярной направлению ускорения центра тяжести
звена. Хотя точки Kt и ЛГ0 могут и не совпадать по
своему положению, тем не менее очевидно, что они должны
лежать на одной прямой, определяемой вектором силы
инерции Иве (фиг. 22).
Дополнение. Применение понятия о центре ускоре-
ний к нахождению центра качаний сложно двигаю-
щегося звена. Сложное движение звена, согласно теореме Шаля,
можно заменить простым вращением относительно центра (или полюса)
30
мгновенного вращения О. Эта точка, различно расположенная для каж-
дого данного момента, имеет скорость, равную нулю. Из теоретической
механики также известно, что в каждой момент времени существует
некоторая точка U, связанная с сложно двигающимся звеном, у которой
в каждый данный момент скорость ее движения постоянна, а следова-
тельно, ускорение равно нулю. Эта точка называется центром ускорений.
Фиг. 23. Построение центра качаний сложно движущегося
звена по плану ускорений
Пользование центром ускорений позволяет свести динамику сложно
двигающегося звена к звену, совершающему вращение вокруг точки.
В этом случае применяются все уравнения, выведенные для случая
вращения звена.
Центр ускорения обычно строят графически, используя подобие
между планом ускорений и фигурой сложно двигающегося звена
(фиг. 23); для этого откладывают в точках В и С углы <р и ф, получен-
ные из плана ускорений, и продолжают направление сторон ’ до их
взаимного пересечения в точке
U. При этом треугольник obc
подобен UBC. После этого на-
ходят центр качаний из обыч-
ной для вращающегося звена
закономерности
©с
UKn = US +----.
° mUS
Фиг. 24. Использование сил инерции
сложно движущегося звена для совер-
Через точку KD , как бы- шения ударного процесса
ло ранее показано, проходйт
результирующая сила инерции сложно двигающегося звена.
Хотя центр качаний по своему месторасположению также не совпа-
дает с полюсом инерции, тем не менее, очевидно, на основании ранее
приведенных соображений, эти точки также лежат на одной прямой,
совпадающей с направлением действия силы инерции.
В машинах для дробления и раскалывания, в том случае, если звено,
выполняющее указанную операцию, совершает сложное движение, при
желании полностью использовать развивающиеся силы инерции звена
на совершении полезного процесса можно выбрать рабочим центром
звена (фиг. 24) линию, определяемую векторохМ силы инерции для дан-
ного положения механизма. Указанное соображение может оказаться
действительным в том случае, если выполняемая звеном операция крат-
ковременна.
31
ГЛАВА 3
МЕТОД ЗАМЕЩАЮЩИХ, ИЛИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ МАСС
А. Динамическая замена массы звена
Общие соображения. Практика современного машино-
строения дает множество чрезвычайно различных по кон-
струкции звеньев, совершающих сложное движение; имеет-
ся ряд случаев, когда звенья, совершающие сложное дви-
жение, являются звеньями, непосредственно выполняющими
производственную операцию (механизм щековых добилок
и др.).
Кроме разобранных ранее основных методов, в этой
главе остановимся также на сравнительно простом допол-
нительном методе учета инерции сложно двигающегося
звена, в последнее время часто встречающегося в практике
исследовательских работ.
Идея метода, разбираемого в настоящей главе, заклю-
чается в следующем: очевидно, можно заменить сложное
распределение массы звена несколькими математически
сосредоточенными массами, расположенными в различных
точках звена. Для подобной замены необходимо, чтобы
суммарная сила инерции, или кинетическая энергия заме-
щающих масс была бы равна соответствующим величинам,
т. е. силе инерции, или кинетической энергии заменяемого
звена. После этого можно выбросить из рассмотрения фи-
зически сложное звено и иметь дело только с замещаю-
щими массами или, как их вполне правильно называют,
эквивалентными массами.
Высказанное условие замены массы звена является ди-
намическим, ибо оно учитывает движение, а как след-
ствие последнего, появление сил инерции.
Основные условия замены. Динамическое действие
массы сложно двигающегося звена на связи сводится, как
было показано, к силе и к паре. Сила инерции является
зависящей от массы и положения центра тяжести звена,
32
в то время как момент сил инерции зависит от момента
инерции звена, взятого относительно оси, перпендикулярной
плоскости движения и проходящей через центр тяжести.
Отсюда вытекает, что при динамической замене массы
звена эквивалентными массами, последние должны иметь:
одинаковую с телом общую массу, неизменяемое положе-
ние центра тяжести и одинаковый по величине момент
инерции.
Этих условий достаточно для звеньев, имеющих ось
симметрии, параллельную плоскости движе-
ния звена.
Встречающиеся в машиностроении звенья в огромном
большинстве относятся именно к этому случаю. •
Аналитически три указанные условия замены массы звена
выражаются следующими уравнениями:
i=k
У, mt — т\
1=1
г=£
»=1
Г=Л
'Srntyi = Q;
i=I
i=k
^mlpit = es=^z-
i=l
(38)
(39)
(40)
Первое из приведенных уравнений соответствует пер-
вому условию; здесь т{—экривалентные массы, а т—масса
всего звена.
Второе и третье уравнения соответствуют второму ус-
ловию; здесь xi и у,—координаты точек расположения
эквивалентных масс.
Последнее уравнение отвечает третьему условию; здесь
Р/ = Д/х/-J-#/2 является размером, определяющим расстоя-
ние эквивалентной массы от центра тяжести звена.
Как будет видно из дальнейшего, указанные четыре
уравнения в частном случае сводятся к трем.
В случае произвольной формы звена необходимо еще
выполнить условие равенства центробежных моментов инер-
ции звена и эквивалентных масс:
S miVizi = S mixtzi = (41)
1=1 1=1
3 Кихатевтатнка плоских маханивмев 33
Общие соображения указывают на возможность выбора
произвольного числа эквивалентных масс, однако, всегда
стремятся к возможному их минимуму.
Замена массы звена четырьмя динамически равноценными мас-
сами. Нетрудно показать, что произвольно сложное распределение массы
в любом звене можно заменить в общем случае четырьмя математически
сосредоточенными массами, помещенными в определенных точках, так
называемых точках эквивалентности.
Фиг. 25. К замене массы звена четырьмя динамически равноценными
массами
Пусть BCS (фиг. 25)—произвольно двигающееся звено механизма,
точка 5—его центр тяжести, т—масса всего звена.
Можно было бы произвольно выбрать положение всех четырех эк-
вивалентных масс, однако, практически удобнее две из них расположить
в соответствующих кинематических парах, третью совместить с началом
координат, расположенных в центре тяжести звена, и четвертую можно
взять произвольно, но так, чтобы центр тяжести сохрянял прежнее по-
ложение.
Назовем через 6, с и d расстояния выбранных точек от точки 5.
а а2, а3~*Углы между прямыми BS, CS и DS.
При разбивке массы звена в эти четыре точки (В, С, D и 5), как
уже упоминалось, необходимо соблюдать следующие условия:
1. Общий вес (или масса) всех весов (масс) эквивалентных точек
должен равняться весу (массе) звена.
G = Gg 4~ Gq 4- Go + Gs (42)
или
m = тв + mc mD + ms ,
где m с соответствующими индексами представляет собой соответствую-
щие эквивалентные веса (массы).
2. Момент инерции эквивалентных масс должен равняться моменту
инерции звена относительно центра тяжести
0g = mg b2 -f- c2 -f- mD d2 . (43)
34
3. Центр тяжести должен сохранить неизменное положение:
^В ХВ 4“ ХС 4“ XD = О
gbSb + Gc ffc+GD 9[Г 0
ИЛИ У
mB ХВ + тс хс + mD XD= 0 |
тВ Ув + тс Ув + mDVD = Q I
(44)
Здесь хв, yBi хс, у Qi xD и yD координаты точек В, С, D в систе
ме осей координат xsy (фиг. 25).
Решая последнюю систему уравнений (43 и 44) совместно, опреде
лим значения замещающих масс
&s sin ai
ТПв = -----------
в ы
&s sin а /
тг — —-----------
С cl
_ flysin а3
D dl
/ । । x 0C Г sin а,
ms —m — (m -f-m +mD) = m—-------------- -------£
5 C I I b
sin а2
sin а3
d
где
с
Фиг. 26. К замене массы звена тремя динамически равноценными
массами]
(45)
(46)
Замена массы движущегося звена четырьмя эквивалентными массами
применяется в случае несимметричного звена или когда звено
имеет три кинематических пары.
В зависимости от выбора положения эквивалентных масс, они могут
иметь как положительные, так и отрицательные значения, в
частном случае могут быть равны нулю.
Замена массы звена тремя динамически равноценными массами.
Для симметрического звена, т. е. звена, у которого центр тя-
жести лежит на линии симметрии (фиг. 26), точку D можно мыслить
3* 35
совпадающей с точкой S и уравнения разбивки масс (42), (43), (44) уп-
рощаются.
т = тв + тс + ms ; (47)
&s = mBb2 + тс с2; (48)
тв Ь = тс с. (49)
Решая их, получаем значения эквивалентных масс:
тв = ; тс = —— ; ms = т — (ms тс ) =т—------ , (50)
bl cl Ьс
1мл- СГ4»
Замена массы звена двумя динамически равноценными
массами. Для того же звена ВС (фиг. 27) можно заменить
его массу двумя эквивалентными массами; при этом необхо-
димо соблюдать три ранее указанных условия. Три уравне-
ния должны определять три неизвестных, вследствие чего
приходится одну из замещаю-
щих масс тх располагать на
неизвестном плече х. Урав-
нения при этом принимают
следующий вид:
т==тс-\-тх', (51)
@з — тП(£2~\-тхх* (52)
Фиг. 27. К замене массы звена дву- и
мя динамически равноценными мас-
сами тИрС = тхх. (53)
Решая взаимно уравнения, получим
бу т2 с2 m2c2 /. 6S \ 1
х = ” ; тх=---------=------—т 1--------
тс 6$-\-тс2 @с \ бс / I
т &s Os (
тс== ;-------- = тп — I
0S + т^2 бс J
где бс—момент инерции звена относительно точки С.
Из уравнений видно, что х-\-с равно длине математи-
ческого маятника с относительным центром подвеса в точ-
ке С или приведенной длине физического маятника.
Уравнения, определяющие значения эквивалентных масс
при замене массы звена двумя массами, можно получить
из уравнений предыдущего параграфа (разбивки массы
звена на три точки), для этого нужно одно из плеч, b или с,
заменить неизвестным х и положить значение эквивалент-
ной массы ms — 0 (из уравнения 50), откуда сразу и опре-
деляется значение х.
36
Рассматривая вращательное движение звена как част-
ный случай сложного движения, естественно предположить,
что все уравнения разбивки массы звена могут с успехом
применяться и для этого вида движения. Подобное поло-
жение, естественно, вполне справедливо.
Б. Статическая замена масс звена
Фиг. 28. К статической замене мас-
сы звена двумя эквивалентными
массами
Если действие массы звена и масс эквивалентных точек
должно быть одинаковым в условиях покоя меха-
низма, то подобная замена называется статической.
Статическое действие звена на связи зависит от вели-
чины его массы и положе-
ния центра тяжести звена,
т. е. здесь необходимо со-
блюдать первые два усло-
вия из разобранной выше
динамической замены.
Вполне естественно, что
и количество эквивалент-
ных точек в соответствии
с количеством уравнений
снижается до двух.
Статическая замена массы звена двумя эквивалентны-
ми массами. Два упомянутых, условия дают следующие
два уравнения (фиг. 28):
1) постоянство массы звена дает
т = тв + тс; (55)
б) неизменное положение центра тяжести определяет
равенство статических моментов эквивалентных масс,
откуда
твЬ = тсс. (56)
Очень часто способ статической замены массы звена,
как более простой, употребляется и для движущегося
звена.
Уравнения, определяющие значения эквивалентных масс, при ста-
тической разбивке массы звена могут получиться, если попытаться раз-
бить ms (см. параграф о замене массы звена тремя массами) на две
массы в соответствующие кинематические пары. В этом случае правиль-
ность уравнений динамической разбивки массы звена нарушается по-
следним действием.
37
б. Приведение к Динамически равноценной системе при
статической замене массы звена
Об упрощении расчета. Как нетрудно было заметить,
в предыдущем параграфе приближенные способы разбивки
массы звена, а тем самым и способы учета инерции звена,
ориентируются на упрощение поставленной задачи. Раз-
бивка массы звена на два его шарнира представляет опре-
деленные удобства, хотя бы в том, что не приходится находить
значения скоростей и ускорений.
При динамически правильной замене массы звена двумя
эквивалентными массами (как было ранее показано), если
одна из них совпадала с шарниром звена, то вторая экви-
валентная масса располагалась на расстоянии, равном при-
веденной длине математического маятника (х-|-с), и в общем
случае не совпадала с центром второго шарнира (фиг. 27).
Ввиду того что сумма эквивалентных масс в обоих случаях
замены массы звена равнялась действительной его массе,
очевидно, общая сила инерции сохранит свое действитель-
ное значение в обоих случаях, т. е. как при статической,
так и при динамической замене массы звена.
Векторное решение. Высказанные ранее соображения о получающей-
ся действительной величине силы инерции после статической замены
массы звена нетрудно дополнительно проиллюстрировать.
Полная сила инерции звена после статической замены его массы
складывается из двух слагающих:
Иве ~ ИВ + Ис ~ ~ (тв jB + mc7c)- (8?)
Подставляя значения эквивалентных масс (фиг. 28),
тв = твс ‘ тс = твс ~Y~! (58)
ИВС — твс [Jb ~ + Jc ~
Используя построенный для того же звена план ускорений (фиг. 29),
найдем значение векторного выражения, стоящего в скобках.
Для этого проведем из точки 5 линии параллельно jB и jc, пересе-
чение этих лучей с векторами ускорений назовем через с' и Ь', после чего
вектор ускорения точки 5
j — -у (ос' + с's) = (fib' + b's), (59)
где ос = bs и c’s = ob представляют собой части ускорений Jc и Jb •
Используя получившиеся на плане ускорений подобные треугольники
Tc's Jb lbs J с
_1_ —; ------- И —! = -------- ,
eJs liJS BJs Bic
38
откуда
Тс'*-Уд
Тб'* = /с
После чего видно, что
с А _ . с
bJ c ,Я I
с J's _ . Ъ
вic Jc I
(60)
(61)
• _ • с । • &
Js - Je ~ + ]с~ •
Фиг. 29. План ускорений с дополнительными построениями на нем
Заменяя векторное выражение в уравнении, определяющем значение
силы инерции, видим, что
Иве ~ — твс ( Jb ~l I" ic = — твс Js > (62)
что и доказывает справедливость ранее приведенных соображений.
О погрешности способа статической замены массы
звена. Динамическая погрешность при пользовании способом
статической замены массы звена будет определяться не-
совпадением линий действия силы инерции в том и другом
рассматриваемом случае. Или можно иначе сказать, ввиду
того что х ф Ь, пропорционально этому неравенству будет
определяться и погрешность пользования способом стати-
ческой замены массы звена.
Поправочный момент. Получаемая погрешность может
быть исправлена введением поправочной пары, величину
которой можно рассчитывать на основании сравнения мо-
ментов от сил инерции в относительном движении звена.
Получаемый момент сил инерции при статической замене
массы звена равняется
М"и =-es"eB = - (твЬ* + тсс2)*В*. (63)
* Напомним, что угловое относительное ускорение
= е с .
в I ВС s
39
Или подставляя Значения тв й тс,
М"и = -т^Ь^ + ~сгув =
= — mcb ев — mcb ев , (63а)
в то время как действительный момент сил инерции
Ми = — ®$5в = — (тхх2 4- mcc2)sB = — m р/ sB. (64)
Таким образом, величина поправочного момента, который
должен быть приложен для правильности динамического
эффекта, определяется разностью соответствующих мо-
ментов:
Ми — М"и = М'и — — (®s —mcb) ев = — т (??—Ьс) &в. (65)
Нетрудно заметить, что <mcb, ибо х <^с; поэтому
при положительном значении величин, стоящих в скобке,
Л/'и = (тс6-05)ев. (66)
Фиг. 30. Добавление поправочного момента при статической замене
массы звена для достижения динамического равноценного эффекта
Положительная величина момента Л/я' показывает на
то, что момент направлен в ту же сторону, как и угловое
относительное ускорение &в?
ГЛАВА 4
О ДЕЙСТВИИ СИЛ ИНЕРЦИИ
Динамические давления на связи звена1. На основании разобран-
ных методов имеется возможность определения воздействия сил инерции
на связи звена.
Так, для прямолинейно-поступательно движущегося
звена С (фиг. 31), допустим, приводимого в движение звеном BG,
звено ВС и направляющая ползуна являются связями. Определив одним
ил» -аке
Фиг. 32. Построение тре-
угольника сил для опре-
деления реакции связей
ползуна
из методов кинематического анализа ускорения ползуна Jc, рассчитав
силу инерции его Ис— — mjc, нанесем последнюю на ползун, условно
прикладывая ее к самому телу ползуна в центре его тяжести—точке S
и, конечно, в обратную ускорению сторону.
1 Основную теорию этого вопроса см. следующую часть, посвящен-
ную кинетостатическому исследованию плоских механизмов.
41
Считая звено ВС ненагруженным, можно определить действие силы
инерции Ис на связи звена; для этого находим пересечение направле-
ния Ис с продолжением линии звена ВС. В полученную точку Н пере-
носим силу инерции Ис и раскладываем ее по направлениям, опреде-
ляемым связями системы, т. е. параллельно ВС и NN (NN—нормаль
к направляющей ползуна), удовлетворяя следующему векторному ра-
венству:
— Rac + Rn
где Rnc — давление,
на звено ВС
RN— Л а в л е н и е
Г67)
силы инерции
передающееся от воздействия
и направленное по звену,
на направляющую ползуна.
Фиг. 33. Определение давлений на связи при вращательном
или колебательном движении звена
(Кроме этих двух давлений, появятся еще дополнительные давления
на направляющую вследствие несовпадения линии действия силы Ис с
центром шарнира С; как видно, от этого получается дополнительный
момент М = Hch = R^h' (фиг. 31), который обусловит дополнительное
давление на направляющую и неравномерный прижим ползуна к на-
правляющей).
Этот же вопрос может быть решен иначе.
Рассматривая ползун, как бы находящийся под действием трех сил,
/Zc, Rnc и Rn> причем здесь Rnc и RN будем считать реакциями (вели-
чины, обратные давлениям) звена ВС и направляющей. Согласно началу
д’Аламбера, эти три силы должны находиться в равновесии; это воз-
можно, как известно, в том случае, если все они пересекаются в одной
точке. Зная направления Rnc и RN, приходится строить треугольник
сил (фиг. 32) согласно уравнению
Hc + R”c + Rn = 0. (68)
Совершенно аналогично решается случай вращательного или коле-
бательного движения звена (фиг. 33). При определении давлений на
связи звена выполняется следующее векторное уравнение:
(69>
42
Можно также и для сложно двигающегося звена применить анало-
гичный метод решения; так, если все силы инерции звена приведены
к одной силе И (безразлично, каким из описанных ранее методов),
после того, как найдена точка Н (фиг. 34), раскладываем силу инерции
по уравнению — — —
Иdc = Rnc (70)
откуда и находятся давления на связи звена.
Фиг. 34. Определение дав- Фиг. 35. К расчету динамических дав-
лений на связи для случая лений на связи. Определение сил инер-
сложного движения звена ции и момента от сил инерции звена по
Фиг. 36. К расчету динамических давлений на связи. Определение
сил инерции эквивалентных масс и поправочного момента по плану
ускорений при методе статической замены массы звена
Для случая приведения сил инерции к силе и паре (фиг. 35), анало-
гично находя составляющие давления от силы инерции Ивс (фиг. 35),
приходится находить также дополнительные давления от момента сил
инерции, согласно уравнения
„ - Mfi -
м—Г~~~Твз’
(71)
43
Направление момента сил инерции обратно направлению а по-
jt
следнее определяется из &s = . Перенося на звено ВС в точку С
*м направляем в обратную сторону, после чего Им можно
разложить параллельно ВС и CD, и усилия, действующие по линии
звена CD, алгебраически просуммировать.
Фиг. 37. Замена сложно распределенной нагрузки звена результирую-
щей силой для определения реакции опор
При использовании метода замещающих масс вектор полной
силы инерции звена может быть найден в результате геометрического
сложения определенных ранее векторов сил инерции всех эквивалент-
ных масс. После того как найдена полная сила инерции звена и точка,
через которую она проходит, можно воспользоваться ранее описанным
приемом графического разлбжения сил. Иное использование метода за-
мещающих масс дает приближенное значение давлений на связи.
Фиг. 38. Изменение ускорения точек сложно движущегося звена
Способ поправочного момента (фиг. 36) позволяет рассчитать силы
инерции эквивалентных масс, прямо совпадающие с центрами шарниров
звена Ив и Ис, затем приходится найти дополнительные давления от
момента М’ и из уравнения
tJ, М'И mbc—0s
™ М — ~1 — l .
44
При этом здесь И’м (в точке С) направлено в ту же сторону, как
и я/с» ибо, как было доказано, в этом случае направление поправоч-
ного момента совпадает с направлением углового ускорения <5 = .
Общее замечание об использовании метода замещающих масс справедливо
и в данном случае.
Действие сил инерции на звено. Рассматривая действие элемен-
тарных сил инерции на молекулярные связи звена, можно придти к ме-
тодике расчета на прочность звена.
- Р м/с*
Фиг. 39. Изменение скоростей точек сложно движущегося звеиа
Использование при расчете на прочность полной силы инерции
звена, определенной одним из ранее разобранных методов, как уже упо-
миналось, является по существу неправильным, ибо полная сила инер-
ции в отношении массы самого звена является фиктивной силой, не-
смотря на то, что определенные по этой силе инерции реакции связей
звена являются действительными. Это положение легко проиллюстри-
ровать на следующем элементарном примере.
1л* - а
Фиг. 40. Картина нагрузки звена элементарными силами инерции
Если определять реакции опор балки с распределенной по произ-
вольному закону нагрузкой (фиг. 37), то при этом можно вначале рас-
считать полную нагрузку на балку и центр ее приложения—точку 5,
45
затем представить, что в этой точке сосредоточена вся нагрузка балки
и, используя законы рычага, определить реакции опор балки. Опреде-
ленные так реакции будут иметь действительную величину. Переходя
затем к определению напряжений в различных сечениях балки, нельзя
пользоваться значением полной нагрузки, а составляя уравнение момен-
тов, приходится учитывать действительный закон распределения на-
грузки.
Некоторая аналогия между приведенным примером и нагрузкой
самого звена элементарными силами инерции очевидна.
Чтобы построить картину этой нагрузки, первое, что необходимо
знать, это закон распределения ускорений по длине звена.
План ускорений, построенный для механизма, которому принадле-
жит рассматриваемое звено (фиг. 38), показывает, что для точек, принад-
лежащих центральной линии шатуна, ускорения изменяются по закону
прямой линии так же, как и скорости (фиг. 39). Раскладывая каждое
полное ускорение точки взятого звена на две составляющих по оси
звена и перпендикулярно к ней, получим так же закон изменения соста-
вляющих ускорений, изменяющихся по прямой линии (фиг. 40). После
произведенного построения видно, что закон распределения ускорений,
перпендикулярных линии звена, будет изменяться по закону трапеции.
Зная массу звена и закон ее распределения, можно определить за-
кон поперечной нагрузки шатуна силами инерции (фиг. 40). Эта нагрузка
звена вызывает напряжение изгиба.
Осевым ускорениям соответствуют силы инерции, идущие вдоль
шатуна; они вызывают добавочные нормальные напряжения в теле ша-
туна и также могут быть учтены.
Сводная таблица основных уравнений по расчету инерционных усилий, развивающихся в звеньях
механизмов и передающихся на связи
№ по пор.
Характер движения звена Условия решения Название метода Динамическая модификация звена Л I Дополнительные Формулы расчета . сведения Примечания
1 2 Поступа- тельное, прямолиней- ное Вращатель- ное или колебатель- ное Точное Точное — N / / /* //тямест^
3 Сложное Точное Приведение к двум силам уХ \ к \ 1
^в = - mjв
В^ВС ~ mBjS
и = — mj G m ~ g Веса G
U
или г __ -”4s mv$2 me моменты инерции звеньев опре- деляются эксперимен- тально
V — и* = е — rnjg
№ по пор.
Характер
движения
звена
Условия
решения
Название
метода
Динамическая
модификация
звена
4 Сложное Точное
5 Сложное Точное
Приведение
к одной силе
Формулы расчета Дополнительные сведения Примечания
ИВС = — mJ's Точки Ко» и KD строятся гра фически
Приведение
к силе и паре
ивс = — mis
Ми = — 6saB
Звено
производной
формы
ЧАСТЬ И
КИНЕТОСТАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
4 Кинетостатика плоских механизмов
Scan AAW
ГЛАВА 5
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ЗАДАЧИ
Динамический силовой расчет механизма в условиях за-
данного его движения состоит из двух основных задач,
возникающих при его выполнении.
1. Силовой анализ
Первое, что необходимо упомянуть, это силовой ана-
лиз, под которым условимся понимать процесс выявления
сил, действующих и развивающихся при движении меха-
низма.
Следует заметить, что это совсем не простой вопрос;
практика исследовательской работы, в особенности в при-
менении к машинам-орудиям, указывает на необходимость
применения ряда разнообразных способов выявления или
определения сил, развивающихся в механизмах.
В связи со сделанным замечанием остановимся на крат-
кой, несколько условной характеристике сил и одновре-
менно схематично коснемся также приемов их определения.
Силы, действующие в машинах. Исходя из процесса,
совершающегося в машинах, можно установить следующую
классификацию сил.
Машины инженерного вооружения приводятся в дви-
жение либо от индивидуального двигателя, либо от электро-
мотора. В случае привода двигателем, зная его режим
работы, движущие силы можно изучить теоретически, с по-
мощью построения так называемой индикаторной диаграм-
мы, однако, более надежно и точно эту индикаторную
диаграмму получать экспериментально с помощью специаль-
ного прибора—индикатора (фиг. 41). Следует заметить, что
применение индикатора сравнительно просто. При приводе
машины от электромотора движущие силы изучаются более
сложными методами; теоретически это можно произвести на
основании составления уравнения движения ротора мотора,
4* 51
хотя это часто приводит к весьма сложным интегральным
уравнениям; практически метод может быть применен
к машинам, обладающим простейшим динамическим процес-
сом. В большинстве случаев для машин со сложным дина-
Фиг. 41. Индикатор
мическим процессом рациональнее употреблять эксперимен-
тальный способ, состоящий в употреблении либо специаль-
ной электроизмерительной аппаратуры,—ваттметр и вольт-
Фиг. 42. Вольтамперметр и ваттметр
амперметр (фиг. 42),—либо в пользовании так называемыми
динамометрами и, еще лучше, динамографами промежуточ-
ного включения (фиг. 43) различного принципа действия.
Вращающий момент на главном валу машины, обуслов-
52
ленный действием движущих сил, независимо от источника
их происхождения обозначаем через Mq .
Силы полезных сопротивлений. Анализ рабочих функ-
ций, выполняемых любой машиной, всегда указывает на
наличие сопротивлений, связанных с непосредственным вы-
полнением машиной производственного процесса. Эти сопро-
тивления и называются полезными; таковы, например,
сопротивления при резании дерева в лесопильных машинах,
сопротивления дробления в дробильных машинах и т. п.
Фиг. 43. Гидравлический и торсионный динамометры системы Амслера
Можно сказать, что полезные сопротивления—это именно
те усилия, для преодоления которых и построе-
на данная машина.
В зависимости от состояния или развития данной техно-
логической дисциплины силы полезных сопротивлений мож-
но изучать как теоретически, так и экспериментально. Так
например, достаточно полно развитая теория резания ме-
таллов на основе многочисленных проведенных ранее опьр
тов позволяет в настоящее время достаточно точно теоре-
тически определять силу резания. При отсутствии необхо-
димого количества опытных данных приходится определять
полезные усилия с помощью различного рода специальной
аппаратуры типа месдоз (фиг. 44). Интересно применение
различных безинерционных месдоз (пьезо-кварцевые, емкост-
ные, индукционные и телеметрические), позволяющих с по-
мощью осциллографа' регистрировать усилия в машине.
53
при движении
Фиг. 44. Схема гидравлической
месдозы
Силы пассивных сопротивлений. К числу этих сопро-
тивлений относят большую часть вредных сопротивлений,
т. е. сопротивлений трения при относительном скольжении
двух или более тел; таковы, например, трение в подшип-
никах машины, трение лесопильной рамы о свои направ-
ляющие и др. Однако, понятие пассивные сопротив-
ления более справедливо, чем термин вредные.
В некоторых случаях силы трения помогают выполнению
производственного процесса; подобную роль играет трение
или поезда по гладкому пути.
Методы расчета сил трения в раз-
личных случаях, встречающихся в ма-
шиностроении, разработаны достаточно
подробно, однако, при практическом рас-
чете можно совершить довольно боль-
шую погрешность ввиду того, что еще
нет современных достаточно подробных
абсолютных величин коэфициентов тре-
ния для различных трущихся пар. По-
этому, хотя ориентировочный расчет и
совершается на основе имеющихся таб-
лиц коэфициентов трения, тем не менее
следует рекомендовать определить экс-
периментально коэфициент трения для
имеющихся условий работы данной
трущейся пары.
Силу пассивного сопротивле-
ния назовем через Т.
Силы веса. Все звенья ма-
шины обладают некоторым весом.
Силы веса имеют постоянное
направление, в то время как точ-
ки приложения их могут совер-
шать разнообразные движения
(фиг. 45). Таким образом, вес звена, смотря по обстоятель-
ствам, может помогать или препятствовать действию дви-
жущей силы. Определение веса звена совершается про-
стым взвешиванием на весах различной системы или с по-
мощью тяговых динамометров (фиг. 46).
Силы упругости. Любое звено машины до известной
степени деформируемо; потенциальная энергия звена в мо-
мент накопления ее (зарядки) берет на себя часть работы
движущих сил, и в следующий момент (разрядки) потен-
циальная энергия превращается в кинетическую, помогая
движению отдельных органов машины. Деформации могут
подвергнуться как жесткие звенья машины под действием
действующих на них сил, так и специально употребляемые
упругие звенья, чаще всего пружины.
м
Фиг. 45. Иллюстрация действия веса звена
Фиг. 47. Тензограф
55
Влияние сил упругости пружин, употребляющихся в дро-
бильных и других машинах, можно представить на основе
следующих соображений: при принудительной деформации
пружины в зависимости от ее укрепления силы упругости
пружины препятствуют движению данного звена машины,
зато в последующий момент уже помогают его движению.
В некоторых механизмах приходится также учитывать
действие силы упругости находящегося воздуха, иногда
нагнетаемого или засасываемого насосом. В двигателях
приходится иметь дело с силами упругости расширяемого
пара или газовой смеси
и т. п.
Для звеньев машин при-
ходится при определении
деформации их пользозать-
Фиг. 48. Пиметр
Фиг. 49. Градуировка пружин
ся специальной аппаратурой (тензографы и др., фиг. 47);
регистрирующей или измеряющей даже сравнительно не-
большие деформации. При наличии в механизме упругих
звеньев (пар, газ, воздух) можно использовать тот же
индикатор, как ранее упоминалось, или взять просто мано-
метр или пиметр (фиг. 48).
Силы упругости пружин учитываются с помощью пред-
варительной градуировки (фиг. 49) и замера их принужден-
ной деформации в процессе работы.
Силы упругости назовем через Р.
Силы инерции. При всяком принужденно-неравномерном
движении звена развивающаяся сила инерции действует
на связи системы. (Подробный разбор их был совершен
ранее.)
Силу инерции обозначим через И.
56
2. Кинетостатический анализ или исследование
механизма
Второй задачей fe дальнейшем достаточно подробно
разбираемой здесь)является определение расчетных
динамических давлений, действующих на все кине-
матические пары механизма. Ранее уже подчер-
кивалось, что указанная область вопросов относится к ди-
намике заданного движения связанных систем, поэтому,
естественно, именно здесь рационально применение начала
д'Аламбера. Заметим также, что применение начала д'Алам-
бера к вопросам определения движения по заданным си-
лам является чрезвычайно трудной задачей и обычно не
встречается, ибо в простейшем случае приводит к уравне-
нию, решения которого возможны только путем последо-
вательных приближений, в то время как использование
уравнений Лагранжа дает более простую и точную схему
решения.
Область вопросов, разбирающих определение динами-
ческих давлений в кинематических парах, а также опреде-
ление уравновешивающей силы, действующей на ведущее
звено, и обеспечивающей предписанный кинематический
закон движения механизма, относится к так называемому
кинетостатическому анализу или исследованию механизма.
Следует заметить, что при этом, кроме действия прило-
женных к звеньям механизма сил, учитывается также и
действие сил инерции.
О статическом расчете. В тихоходных машинах и в ряде
других случаев, где значение сил инерции звеньев сравни-
тельно невелико, часто определяют давление на кинемати-
ческие пары механизма, не вводя в расчет сил инерции;
в этом случае подобный расчет называется статическим.
Общность задач. В том и другом случае вопрос опре-
деления давлений на кинематические пары механизма сво-
дится к нахождению результирующих усилий, действующих
на данную кинематическую пару.
Если учесть различную векториальность действующих
сил, то естественно, что употребляющиеся при статическом
или кинетостатическом расчете методы используют в основ-
ном графические или графоаналитические приемы решения
указанной ранее задачи.
ГЛАВА 6
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ, ПРИНЦИПЫ И УРАВНЕНИЯ
Принцип освобождаемое™. Ранее уже подчеркивалась
рациональность применения принципа д'Аламбера при реше-
нии вопросов механики связанных систем. Приводимые
при этом уравнения подразумевали применение так назы-
ваемого принципа освобождаемое™.
Содержание этого принципа, используемого также и
в дальнейшем при решении указанных задач, кратко выра-
жено в следующей формулировке.
Не нарушая движения или покоя системы, можно отбра-
сывать отдельные связи и прикладывать к системе соот-
ветствующие этим связям реакции.
Совместное применение начала д'Аламбера и принципа
освобождаемости приводит к ранее употребленному вектор-
ному-уравнению кажущегося равновесия движущегося звена
(или системы, цепи).
(4>
или более общее
i— k '' i—k i—k
+ (7з>
i=l i—1 i=l
где Qt — задаваемые силы, действующие на движущуюся
систему или звено;
И{ — соответствующие силы инерции;
Rt — реакции связей.
Кроме того, при равновесии в условиях значительного-
числа сил должно иметь место уравнение моментов отно-
сительно выбранного начала координат, дающее
i=k i—k i—k
2 М. (Qi) + S мо (Rt) + S Мй (Я,) = 0; (74}
i=i i=i i=i
здесь Mq (Qi), Mq (Rt) и Мо (И{) — моменты перечисленных
групп сил.
58
Ввиду того что задаваемые силы Q, и силы инерции И,
при заданном движении системы также известны, в даль-
нейшем во всех общих рассуждениях объединим их (обо-
значив той же буквой Qz), чем постараемся выделить иско-
мые значения реакций Rt.
Дополнительно этот же вопрос разбирается в следующей главе, где
подчеркивается особенность сил реакции и деления всех сил в механиз-
мах на два класса.
Закон равенства действия и противодействия. Третий
закон движения, данный Ньютоном в ранее цитированной
его работе, говорит, что „Действие силы всегда сопровож-
дается равным ей противодействием"; или силы, с которыми
два тела (звена) действуют друг на друга, всегда равны иг
В применении к двум сочлененным звеньям фиг. 50 дает
наглядную графическую иллюстрацию.
Аналитически этот закон можно выразить следующим
уравнением:
R^=-R^, (75)
откуда очевидно, что
Rpq + Rqp — 0, (76)
где Rpq—сила воздействия звена р на звено, q;
Rqp—cnna воздействия звена q на звено р.
Этот закон также находит в дальнейшем повсеместное
употребление.
Связи и реакции связей. Разбирая вопросы статики или
динамики систем, подчиненных связям, напомним основные
понятия, лежащие в их определении.
59
Формулировка, определяющая механизм как систему со-
члененных звеньев (кинематическую цепь), совершающих
движение с циклом и обладающих числом степеней сво-
боды, равным количеству источников движения ее, указы-
вает на кинематическую или геометрическую принужден-
ность движения звеньев механизма.
Указанные ограничения кинематического или геометри-
РЕАКЦИЯ
ДАВЛЕНИЕ
Фиг. 51. Реакция
давление
ческого характера, принуждающие звенья совершать опре-
деленные и единственные перемещения (так называемые
виртуальные перемещения), условились называть связями.
Указанная формулировка носит ограниченный характер
и не учитывает динамических факторов, определяющих
движение кинематической цепи, с чис-
лом степеней свободы (в потенции),
большим количества источников дви-
жения (центробежный регулятор, жи-
роскоп и др.).
Реакции связей. Заставляя си-
стему (подчиненную связям) двигаться
по определенным кривым или траек-
ториям, естественно предположить,
что связи с динамической стороны
подчиняют (или накладывают) на
движущуюся систему (или звено)
некоторым дополнительным силам.
Действие этих сил эквивалентно
Указанные силы называются реакциями
И
действию связей.
связей. Таким образом, под реакциями связей в применении
к механизмам понимают силы воздействия одного звена на
другое.
Считая заданным закон движения механизма в целом, тем самым и
его отдельных звеньев, определив затем действующие силы и рассчитав
силы инерции, последними по порядку определяем реакции связей.
На основании сказанного видно, что реакции связей являются функ-
циями не только приложенных к системе сил, но и закона ее движения,
ибо характер движения системы, обусловливает значения ускорений,
тем самым и сил инерции, от которых передаются дополнительные дав-,
ления на связи. Напомним также, что давление на связь численно равно
реакции, но по направлению ей обратно (фиг. 51).
Идеальные связи. В заключение разбора понятия о
связях условимся также в дальнейшем считать связи меха-
низма идеальными, т. е. трением в кинематических парах
интересоваться не будем.
Следует заметить, что в большинстве возможных случаев (в машино-
строении) силы трения хотя и не равны нулю, однако, работа их мала
по сравнению с работой, производимой другими приложенными к системе
силами, вследствие чего технически считается допустимым их не учи-
60
тывать. Хотя высказанное положение и чаще всего встречается, тем не
менее рекомендуется в каждом отдельном случае проверить справедли-
вость и допустимость его.
О связях с трением. Если при наличии идеальных связей реакция
нормальна к поверхности (фиг. 52), то при связях с учетом трения
реакцию приходится направлять под угол ф к нормали (фиг. 53), где
Т
tg ф = / = -jy ; ф = arctg/ является углом трения.
В применении к цилиндрическим шарнирам при учете трения при-
ходится использовать понятие конус или круг трения.
Фиг. 52, 53. Реакции связей при идеальных
связях и с учетом трения
Силы трения, появляющиеся на поверхности взаимодействия двух
звеньев всегда входят попарно, так что одна из них приложена к од-
ному звену, а другая направлена в обратную сторону, ко второму звену,
Например, в кинематической паре с поступательным перемещением
одного звена по отношению к другому, если сила трения, действующая
Фиг. 54. Действие сил трения на соприкасающиеся тела
на ползун, направлена против скорости ползуна (фиг. 54), то сила тре-
ния на поверхности направляющей стремится сдвинуть направляющую
в сторону движения ползуна или в сторону, обратную своей относи-
тельной скорости.
Учет сил трения представляется задачей сложной и в свете ранее:
высказанных соображений неточной, завися от удачности выбора коэфи-
циента трения; учитывая же малую значимость ’сил, трения, их часто-
можно не принимать в расчет.
61
Два класса сил. На основе указанной ранее особенности
сил реакций связей все силы, приложенные к несвободной
системе, делят на два самостоятельных класса: силы за-
даваемые и реакции связей.
Динамическая характеристика кинематических пар.
Разбираемый вопрос определения реакций в сочленениях
приводит к необходимости изучения свойств кинематиче-
ских пар. В этом отношении полезно напомнить основные
системы классификации плоских кинематических пар.
По конструктивному признаку еще Ф. Релло предложил
различать низшие (фиг. 55) и высшие (фиг. 56) кине-
Фиг. 55, 56. Низшие и высшие кинематические пары
матические пары. К первым были отнесены такие системы
сочленения двух звеньев, в которых соприкосновение их
происходит по некоторой поверхности, как это видно
из фиг. 55, а ко второй отнесены те случаи, когда сопри-
косновение происходит по отдельным линиям или даже
точкам (фиг. 56).
Кроме этой классификации кинематических пар, в после-
дующие годы выдвинуто предложение паре приписывать
определенный класс в зависимости от числа условий связи.
В этой классификации в применении к плоским механизмам
различают два класса кинематических пар:
62
Первый класс, где кинематические пары имеют по
одному условию связи; второй класс, где кинематические
пары имеют по два условия связи.
Увязка названных двух классификаций указывает (с не-
большим допущением для пар катания), что кинематические
пары, ранее названные высшими, относятся к первому
классу, и низшие принадлежат ко второму классу.
Динамическая характеристика кинематических пар
может быть проведена с нескольких точек зрения. Первой
является соображение о реакциях в кинематических парах,
возникающих от действующих на нее сил.
Фиг. 57, 58, 59. Реакции
в высших и низших кинематических парах
Так, в высших кинематических парах, или парах первого
класса, направление реакции обусловливается нормалью
к поверхности в точке соприкасания двух звеньев (фиг. 57)
и, следовательно, неизвестной является только величина
реакции. В низших парах, или парах второго класса, неиз-
вестными значениями являются не только величина (скаляр)
реакции, но и ее направление (основной вектор).
Так, для цилиндрического шарнира (фиг. 58) неизвест-
ными значениями можно считать две компоненты реакции
Rx и Ry, или R и <р. (С точки зрения векторного анализа
неизвестен модуль и основной вектор.)
Для ползуна на направляющей (фиг. 59) следует считать
неизвестными значениями линию действия реакции (А = ?)
и ее величину (скаляр).
Из сказанного следует заключить, что класс кинемати-
ческой пары определяет собой количество неизвестных,
составляющих в векториальном значении реакции.
63
Этот вывод является первой динамической характери-
стикой кинематических пар.
Замечание. Наличие двух или нескольких пар пер-
вого класса на одном звене (фиг. 60) после суммирования
реакций различной направленности от этих пар сводит
вопрос определения общей реакции к двум неизвестным,
т. е. паре второго класса.
Таков по существу вопрос о шариковых и роликовых
подшипниках (фиг. 61) и др.
Второй динамической характеристикой кинематиче-
ских пар является обратимость динамического про-
цесса. В то время как для механизма, обладающего только
Фиг. 60, 61. Влияние нескольких кинематических пар
низшими парами, вся работа, затрачиваемая на сообщение
кинетической энергии механизму в период возрастания
скоростей звеньев, полностью возвращается главному валу
в последующий период падения их скорости, что обеспе-
чивается нерушимостью, или кинематическим замыканием
этих пар. Для механизмов, обладающих высшими парами,
часто обратимость динамического процесса отсутствует,
ибо после процесса разгона ведомых звеньев и сообщения
им соответствующей кинетической энергии силы инерции
их действуют на связи так, что стремятся разомкнуть или
нарушить кинематическую пару (фиг. 62 и 63).
Практика исследования машин указывает на необходи-
мость считаться с указанным соображением, ибо иногда
в процессе работы механизма кинематическая пара дейст-
вительно нарушается, происходит временный отрыв ведо-
64
мого звена от поверхности кулачка С последующим ударом
в момент повторного начала соприкосновения двух звеньев.
Явление нарушения кинематической пары вследствие дина-
мических причин в большинстве случаев указывает на не-
правильность синтеза подобного механизма.
Методы решения в*' обобщенном виде. Используя при
кинетостатическом расчете механизмов основные положения
Фиг. 62, 63. Необратимость динамического процесса
статики, напомним кратко те из них, которые в дальней-
шем находят непосредственное применение.
Звено. Цепь. Общность решения. Предвари-
тельно отметим одно чрезвычайно важное обстоятельство:
приводимые в дальнейшем уравнения и различные спо-
собы или приемы решения имеют право быть применен-
ными как для отдельного звена, так и для кине-
матической цепи нулевой степени изменяе-
мости, т. е. статически определимой системы (фермы).
Как известно из учения о классификации механизмов, по-
следние распадаются на ведущие звенья и статически
определимые группы или цепи двухповодковые, трехповод-
ковые, многоповодковые, которые бывают двух основных
видов: открытые кинематические цепи и замкнутые кинема-
тические цепи.
Абсолютное большинство существующих в настоящее
время механизмов состоит из открытых кинематических
цепей, которые в дальнейшем в основном и рассматриваются.
Механизмы с замкнутыми цепями встречаются в машино-
строении единицами (примеры см. дальше).
5 Кяптостатжжа плосивх махаваамов 65
Способы решения. Методы статики дают возможность
выбрать различные способы решения однородных задач.
а) Аналитический способ решения базируется на
основных уравнениях равновесия несвободного твердого
тела (цепи):
^npxQl-[-^lnpxRl = 0; (77)
1=1 1=1
пр? Qi+S пРу Ъ — °; (78)
SMo(Q/)+S м0(Я,) = 0. (79)
1=1 i=l
Здесь пербое и второе
уравнения равновесия не-
свободного тела (цепи) дают
условие равенства нулю ал-
гебраической суммы проек-
ций всех сил (как задавае-
мых Q(, так и реакций £,)
на оси хх и уу, и послед-
нее—условие равенства ну-
лю алгебраической суммы
моментов от всех сил отно-
сительно выбранного начала
координат.
Кроме этой обычно встре-
чаемой системы уравнений,
для звена (цепи), находяще-
гося в равновесии, можно
указать на другую систему
Фиг. 64.
Иллюстрация условия
равновесия
уравнений, часто значитель-
но более удобную. Если вы-
брать три различных центра
А, В и С, не лежащих на одной прямой (фиг. 64), то для
равновесия звена (цепи) необходимо, чтобы
2Л/Л (Qz, /ez) = 0;
1=1
^(Q,, j?z) = 0;
SMC(Q„ /?,)=0.
i=l
(80)
(81)
(82)
66
Наличие первых двух уравнений говорит только о том,
что равнодействующая всех сил должна проходить по
линии АВ-, если затем точка С находится не на прямой
АВ и имеет плечо А, то для выполнения последнего урав-
нения, очевидно, необходимо, чтобы самая равнодействую-
щая равнялась нулю.
б) Графический способ решения основан на
известном графическом условии равновесия
звена (цепи) на плоскости, говорящего, что для
равновесия системы, находящейся под действием ряда сил,
необходимо, чтобы 1) силовой многоугольник был замкнут
(фиг. 65), в этом случае равнодействующая равна нулю;
Фиг. 65. Силовой многоугольник . Фиг. 66. Шарнирный многоугольник
2) крайние стороны шарнирного (нитяного) многоугольника
должны быть расположены по одной прямой, так как мо-
мент равнодействующей пары только тогда равен нулю,
когда плечо А равно нулю (фиг. 66).
В противном случае момент равнодействующей не равен
нулю, а равен М = Qh. Частным случаем этих общих усло-
вий равновесия звена является звено, находящееся под
действием трех сил (фиг. 67), в этом случае достаточно
того, чтобы все три силы, действующие на звено,
пересеклись в одной точке и образовали бы
замкнутый треугольник сил. Момент равнодей-
ствующей здесь, очевидно, равен нулю, ибо, Приняв точку,
5* 67
через которую проходят все силы, за центр координат,
получим плечи сил равными нулю.
Следует заметить, что значительную группу вопросов
определения реакций в звеньях или цепях можно решать
на основе последнего частного соображения, ибо после
замены всех задаваемых сил одной равнодействующей,
непосредственное применение этого графического условия
равновесия (в ряде случаев)
Фиг. 67. Равновесие звена, находя-
щегося под действием трех сил
сравнительно легко выполнимо.
в) Графоаналити-
ческий способ основан
на объединенном приме-
нении аналитических и
графических способов
решения.
Здесь употребляется
„ третье уравнение равно-
> весия звена (цепи):
§Мо(<2/>Я/) = О. (83)
1=1
Вместо того чтобы
брать сумму проекций по
осям координат, здесь
используется ранее ука-
занное графическое усло-
вие равновесия; смысл
этого условия заклю-
чается в том, что век-
торная сумма всех сил,
действующих на данное
звено (или цепь), равна
нулю.
+ (84)
i=l i=l
где Qt— задаваемые векторно силы;
/?/—векторы реакций связи.
Принцип независимости действия сил. Вместо отыска-
ния равнодействующей заданной системы сил весьма часто
при решении вопросов, относящихся к кинетостатике меха-
низмов, используется принцип независимости действия сил.
В применении к рассматриваемой области вопросов сущ-
ность этого принципа можно видеть в следующем: если
М
звенья кинематической цепи (фиг. 68) находятся под дей-
ствием задаваемых сил Q2 и т. д., то можно вначале,
используя способы, изложенные ранее, найти давления или
реакции кинематических пар этой цепи отдельно от силы Qr
(при этом не учитывая Q3), затем отдельно от силы Qt
(соответственно не
учитывая и т. д.
При этом следует
заметить, что реак-
ции кинематических
пар на все ненагру-
женные в отдельных
расчетных этапах
звенья будут дей-
ствовать вдоль оси
звеньев (фиг. 69).
Найденные таким
путем частные да-
вления или реакции
от отдельных сил в
кинематических па-
рах в дальнейшем
для определения
полных величин да-
влений в них сле-
дует геометрически
просуммировать.
Принцип нало-
жения. Изложенный
принцип независи-
мости действия сил
Фиг. 68, 69. Иллюстрация принципа
независимости действия сил
нашел свое приме-
нение в одной из
работ Прегера.
В последующем непосредственное и полное приме-
нение этого принципа получило название принципа
наложения.
Условия статической определимости кинематической цепи
В связи с высказанным ранее соображением об известной
возможности применения методов статики как к отдельным
звеньям, так и к кинематическим цепям, выведем основные
условия их статической определимости.
69
Так, пусть т—число звеньев кинематической цепй,
рг—число кинематических пар первого класса, р2—число
кинематических пар второго класса.
Число уравнений, которые можно использовать для
каждого звена, в плоскости равно трем, поэтому общее
число уравнений, которые можно использовать, равно 3m.
Столько же неизвестных может быть определено. Учтя,
что наличие кинематической пары второго класса обуслов-
ливает появление двух неизвестных (как было ранее пока-
зано) и наличие пары первого класса—одного неизвестного,
можно написать основное уравнение статической опре-
делимости кинематической плоской цепи:
3m = 2р3 + ри (85)
Естественно, т,р2 и рх—целые величины; на этой основе
является возможным осуществить подбор цепей, удовлетво-
ряющих указанному условию. Группы звеньев с парами
первого класса можно заменить группами с парами второго
класса, поэтому последнее уравнение упрощается.
и
3 т = 2 рг
3
(86)
Удовлетворяющие решения, отвечающие последнему
уравнению и целым значениям т и pv приведены в таблице
(см? стр. 72).
Для открытых кинематических цепей здесь приведены,
все последовательно нераспадающиеся группы. (Заметим,
что второму, третьему и четвертому порядковым номерам
удовлетворяют также и группы, последовательно
наслоенные диадами, подобная цепь именно на них
и распадается).
Для замкнутых кинематических цепей приведены далеко
не полные их модификации, это подчеркивается приведен-
ными названиями. Присоединение перечисленных цепей
к ведущему звену образует механизмы различных классов
и порядков.
Если прфстейшая группа имеет пары первого класса,
то в приведенных выше модификациях групп одно или
несколько звеньев могут фактически быть фиктивными.
Таким образом, количество действительных звеньев может
получать иное значение, отвечая общему уравнению стати-
ческой определимости кинематической цепи.
70
Так например, если р2 = 0, то
Зт = />]; т= — . (86а)
к. 3
Простейшая группа в этом случае получится при рг — 3,
т = 1. Этот же результат, т. е. т = 1, можно получить и
из общего уравнения при р2—\ и =
Подобным простейшим группам с одним звеном или
более обще с неполным количеством звеньев можно при-
писывать те же названия, разумея при этом, что после
замены высших пар добавится недостающее число повод-
ков в виде фиктивных звеньев.
Согласно принятой здесь классификации Л. В. Ассура,
класс и порядок механизма указывают на груп-
пу отличающихся методов как кинематиче-
ского, так и динамическогоисследования их.
Краткая историческая справка. Методы кинетостатического иссле-
дования механизмов, разработанные различными авторами, довольно
разнообразны.
Так, известен метод, основанный на последовательном раз-
ложении действующих сил и сил инерции по звеньям механизма и
нормалям к соответствующим поверхностям, а затем на постепенном
перенесении всех сил к ведущей точке механизма. В результате находим
уравновешивающую силу, действующую на ведущее звено и давления
в кинематических парах механизма.
Однако, даже для сравнительно несложных механизмов, таких, как
четырехзвенные и шестизвенные, в условиях действия значительного
числа сил, этот метод требует чрезвычайно большой работы.
Второй метод основан на нахождении усилий в звеньях с помощью
планов скоростей. Согласно началу возможных перемещений сумма
элементарных работ всех сил, действующих на механизм, находящийся
в равновесии, при всяком возможном перемещении равна нулю. Как пока-
зал Н. Е. Жуковский, задача нахождения уравновешивающей силы
в данном случае решается изящно и легко, ибо все сводится к равно-
весию плана скоростей как жесткого рычага, находящегося под дей-
ствием заданных сил и могущего вращаться вокруг полюса плана ско-
ростей. Что касается определения усилий, действующих в каком-либо
звене, или выявления реакций в шарнирах, то здесь работа состоит
в следующем. Рассматривая план скоростей как ферму, применяют для
каждого узла ее диаграмму Кремоны или используют метод сече-
ний, с помощью которого графоаналитически определяют усилие, дей-
ствующее вдоль звена. Зная натяжения звеньев и внешние силы в каж-
дом шарнире (кинематической паре) и складывая их графически, находят
реакции шарниров. Этот метод как более совершенный в последние
годы распространен почти на все сложные кинематические цепи.
Затем ряд авторов, начиная с Мора (О. Mohr, 1835—1918 гг.)—известный
создатель ряда графических методов, предложил метод, основанный на
построении п л а н о в сил. Последующие работы ученых Виттенбауера
(F. Wittenbayer), Прагера (Proeger), Толле (О. Tolle), Федерхофере
(К. Federhofer), Л. Ассура, И. Артоболевского, Г. Баранова и Н. Бруе-
вича развили этот метод, дали ряд своих предложений и распространили
метод на высшие.
Таблица статически определимых кинематических цепей
№ по пор. Число звеньев т Число пар Р2 Модификации кинематических цепей Названия цепей
открытые замкнутые
1 2 3 В1 Л^ — двухповодковая группа (диада), первый класс
2 4 6 л2 /v 7 V << 2| Ъ Вг 2 — Л2 — трехповодковая группа (триада), пер- вый класс В2— замкнутая цепь третьего класса, нуле- вого порядка
</1 *4 * 3 X
3
6
9
4
8
12 Л4
В8
3 и Т. д.
Ла — четырехповод-
ковая группа, первый
класс
В3 — замкнутая цепь
третьего класса, пер-
вого порядка
Л4 — пятиповодковая
группа, первый класс
В4 —- замкнутая цепь
четвертого класса, вто-
рого порядка (с одним
замком)
классы механизмов. Если сравнить работы упомянутых авторов, to можно
заметить, что каждый из них шел по несколько своёобразному пути.
Наиболее общие вопросы впервые удалось поставить и в основном
решить Л. Ассуру, затем эти же вопросы подверглись значительной
методической разработке последующими тремя названными авторами и
некоторыми другими, давшими также решения в обобщенном виде для
всех встречающихся случаев. Следует заметить, что работы первых авто-
ров ограничивались применением метода планов сил для двухповодковых
и трехповодковых групп.
Методически явилось чрезвычайно ценным то обстоятельство, что
начиная с Л. Ассура, все последующие авторы разрабатывали методы
кинетостатического анализа в соответствии с классификацией механиз-
мов, созданной Ассуром.
Следует заметить, что уже в 1935 г. появляется работа Н. Г. Бруе-
вича, удачно разработавшего метод, основанный на применении вектор-
ного анализа. Метод является общим для плоских механизмов и в 1938 г.
распространен автором также и на пространственные механизмы.
ГЛАВА 7
ПЛАН КИНЕТОСТАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
МЕХАНИЗМОВ
Общий план кинетостатического исследования механиз-
мов состоит из двух частей:
1. Кинетостдтическое исследование групп, входящих
в состав механизма.
2. Кинетостатическое исследование ведущего звена
(звеньев) механизма.
Фиг. 70, 71. Кинематические схемы механизмов с последовательным и
параллельным присоединением диад
На основе классификации механизмов устанавливается,
на какие группы распадается исследуемая кинематическая
цепь, т. е. устанавливается класс и порядок исследуемого
механизма, в зависимости от чего и выбираются опреде-
ленные способы или приемы, присущие исследованию дан-
ного класса механизма. Чрезвычайно важно то обстоятель-
ство, что если механизм распадается на ряд групп, то
исследование начинается с последней группы. Так напри-
мер, на указанной кинематической схеме (фиг. 70) восьми-
звенного механизма, распадающегося на ряд двухповодковых
групп (диад), исследование необходимо начинать с диады
FLM, ибо механизм, как видно, образован последова-
75
тельным Наслоением или присоединением диад. В много-
звенных механизмах бывает иной случай образования,
представленный на фиг. 71. Здесь механизм образован
параллельным присоединением диад к ведущему
звену механизма. При этом образовании механизма безраз-
лично, с какой группы начать кинетостатическое исследо-
вание.
В дальнейшем разберем метод планов сил в приме-
нении к кинетостатическому исследованию плоских меха-
низмов.
Следует заметить, что существуют два новейших или
современных пути применения этого метода; первый из
М М В
Фиг. 72, 73. Замена моментов, действующих на звено
них дает чисто графическое решение, а второй основан
на графоаналитических приемах, при этом в сложных слу-
чаях предпочтение отдается последнему.
Следует также заметить, что для некоторых частных
случаев механизмов с двухповодковыми группами возможно
также применение аналитического метода.
Общие условия. Применяя при анализе различных меха-
низмов законы статики, будем полагать, что все внешние
силы, действующие на каждое звено, сведены к одной
равнодействующей (суммарной) силе Q (фиг. 72), определен-
ной векториально и заданной по линии ее действия. Если,
кроме сил, на звено действует еще момент М, то условимся
76
методами статики сводить нагрузку звена к одной силе,
для чего можно момент М представить в виде пары сил
M=Qh, (87)
которую и приложить к звену так, чтобы одна из сил пары
совпала с равнодействующей силой Q, но была бы ей
обратно направлена, тогда вторая сила пары будет направ-
лена параллельно первой, но отнесена от последней на
расстояние А. Как видно, при этом две противоположно
направленные силы взаимно уничтожаются и остается одна
сила Q, имеющая ту же векториальность, что и ранее
заданная сила, но по линии действия отнесенная от
прежнего положения на соответствующую величину Л.
Кроме указанного приема
можно пару сил прикладывать
непосредственно к кинемати-
ческим парам поводка (фиг. 73)
рассчитав при этом значения
сил, входящих в пару, из сле-
дующего уравнения:
(88)
В дальнейшем после опре-
деления давлений на соответ-
замены момента парой сил,
ствующие кинематические па-
ры или их реакций от заданной силы Q придется приба-
вить величины рассчитанных выше сил N.
Указанные две возможности замены момента являются не единствен-
ными, но в дальнейшем как простейшие используются именно в том
виде, как здесь описаны.
Следует также заметить, что при графоаналитическом методе необ-
ходимости замены момента не встречается.
Исследуемая группа (например BCD) своими внешними кинемати-
ческими парами может быть присоединена к различным звеньям уже
существующего механизма (фиг. 74). Условимся силы воздействия после-
дующего звена 3 на звено 7 обозначать и т. п. При анализе внешней
или крайней кинематической пары в группе этим реакциям, будем при-
писывать индекс соответствующей кинематической пары RB = R& и
Лр = #42- Реакция средней кинематической пары С при определении
действия первого звена на второе назовем Я12, а равную ей величину,
но обратно направленную, дающую действие второго звена на первое,
соответственно будем обозначать /?2ь
Полную величину реакции кинематической пары иногда выгодно
изображать в виде двух компонент (фиг. 75); составляющей реакции,
77
направленной вдоль по звену, будем приписывать индекс п вверху, на
пример RB, Rnc, RnD> и называть эту составляющую реакции нормаль-
ной, вторую составляющую реакции, направленную перпендикулярно
линии центров звена (фиг. 75), назовем через R^ Rq, R*D и будем
называть ее поперечной или тангенциальной составляющей.
Для случая звена с двумя вращательными кинематическими парами это
положение ясно проиллюстрировано. Что касается звена, имеющего не
линия действия^
Фиг. 75. Компонент^ реакции
звена с цилиндрическими
шарнирами
Фиг. 76. Компоненты реакции
звена с одной поступательной
парой
только вращательные, но и поступательные пары (фиг. 76), то учитывая
что поступательная пара не воспринимает усилий, направленных парал-
лельно своей оси, назовем у имеющейся вращательной пары составляющую,
параллельную оси поступательной пары, через Rfc и перпендикулярную
составляющую через R^. У самой поступательной пары в силу сказан-
ного, имеется только нормальная компонента перпендикулярная tt,
a RB = 0, ибо реакция ее направлена по нормали к поверхности сопри-
косновения двух звеньев.
Кроме того, при разложении силы по каким-либо произвольным
направлениям будем приписывать соответствующей компоненте индексы,
характеризующие ее направление; например Rqp показывает, что соста-
вляющая направлена параллельно др и от д к р.
ГЛАВА 8
КИНЕТОСТАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ДВУХПОВОДКОВЫХ ГРУПП
Как уже упоминалось, абсолютное большинство меха-
низмов образовано наслоением (или присоединением) двух-
поводковых групп, поэтому в дальнейшем рассмотрим
Фиг. 77. Пять модификаций диад
достаточно подробно методы кинетостатического исследо-
вания двухповодковых групп всех встречающихся в машино-
строении модификаций (фиг. 77).
79
Первая модификация: двухповодковая группа с одними
вращательными кинематическими парами
Графический способ. Рассматриваемый случай (фиг. 78)
является одним из наиболее сложных для графического
решения, ибо в определении векторных величин реакций
трех цилиндрических шарниров имеются шесть неизвестных,
считая для каждого шарнира неизвестными абсолютную
величину реакции и ее на-
правление.
Первый вариант реше-
ния. Выбрав на линии дей-
ствия заданных сил Qj и Q2,
точки 5! и 52 соединяем их
с шарнирами своих повод-
ков, после чего расклады-
ваем первую из названных
сил по направлениям,парал-
лельным SjC и SAB, согласно
следующему векторному
уравнению.
= + (89)
Фиг. 78. Схема механизма с диадой
первой модификации
В этом векторном урав-
нении два неизвестных зна-
чения, в силу чего оно решается графически, построением
силового треугольника (фиг. 79). Вторую силу расклады-
ваем параллельно S2C и StD, соответственно отвечая урав-
нению:
Qz — R's2C + R'sJ3 ,
Л & 9
(90)
где Rsxc, R's^b , R's^ и R's^— слагающие части заданных
усилий (фиг. 80).
Начиная с центрального шарнира диады точки С, соста-
вляем уравнение равновесия всех сил, сходящихся в нем.
Как видно, две составляющие от внешних сил уравнове-
шиваются внутренними усилиями (натяжениями) поводков,
направленными параллельно ВС и CD.
R's.c + R'stc = Rb + Rd •
(91)
Уравнение содержит две неизвестных величины и ре-
шается построением силового многоугольника (фиг. 81).
<0
Теперь появляется возможность определить полные
давления или реакции внешних шарниров двухповодковой
группы. Для этого суммируем компоненты усилий, пере-
дающихся в каждый из шарниров. Уравнения, отвечаю-
щие производимым действиям, получают следующий вид
(фиг. 82 и 83):
R^^Ri + R^ (92)
Фиг. 81. Графическое равновесие сил в среднем шарнире диады
Векторы реакций, естественно, будут обратны опреде-
ленным уже векторам давлений. _______________ _____ _________
Заметим также, что давления R'd = Rts и R’b = R10'
дают вектор давления нашего звена на последующее.
6 Кинетостатика плоских механизмов 81
Давления же последующих звеньев на звенья нашей группы
представляют собой реакции Rd =Rm —— R!D и Rb — R'ol =
= -R'B.
Найдя реакции (или давления) внешних шарниров двух-
поводковой группы, переходим к определению реакции
внутреннего шарнира С; для этого проще
всего использовать условие равновесия звена,
/ находящегося на плоскости под действием
трех сил (в нашем случае одной заданной
2‘ и двух реакций). При этом, как было ранее
показано, треугольник сил должен быть
замкнутым. Ввиду того что шарниром С
соединены два звена, для определения давле-
ния на него или его реакции имеются две
возможности решения.
°StD Исходя из условия равновесия звена ВС,
можем написать:
£
3
R' в+R' 12 = Qu (94)
Фиг. 82, 83. Определение давлений на внешние шарниры диады
где при двух известных величинах R’B и Qj (фиг. 84) на-
ходится вектор R'12 = R'c.
Условие равновесия звена CD, дает
+ (95)
которое решается аналогично (фиг. 85) и определяет со-
бой R'n = —R'c (по скалярному своему значению опреде-
ленная здесь R'zi = — R'12, векториальность же этих двух
величин, естественно, различная, ибо R'21 дает воздействие
второго звена на первое, a R'n — воздействие первого
звена на второе).
На этом поставленную выше задачу определения зна-
чений давлений во всех кинематических парах двухповод-
ковой группы следует считать законченной.
82
Все построение должно производиться в определенном
масштабе.
Иногда можно несколько упростить все построения,
связанные с определением давлений (реакций) в кинемати-
ческих парах двухповодковых групп. Так например, если
и 5/ выбрать на пересечении линии действия сил Qt
или Q2 и продолжений направлений линий поводков ВС и
Фиг. 84, 85. Определение давлений на средний шарнир диады
CD (фиг. 86), то раскладывая силу параллельно CD,
(SiD) и SiB, согласно уравнению
Qi = + R’s\b ,
(96)
соответственно силу Q2 раскладываем (фиг. 87 и 88) парал-
лельно ВС (S2'B) и St'D:
Qi = Rb + R’s'id ; (97)
из этих уравнений сразу определяются Rg; и ,
после чего решение проводится аналогично ранее пока-
занному.
Следует заметить, что указанная возможность упроще-
ния решения представляет собой частный случай общего
метода решения, развитого выше, и применяется в том
83
случае, когда S/ и 5/ находятся в пределах чертежа и
притом достаточно удобно.
Второй вариант решения. Второй вариант гра-
фического определения сил, действующих на шарниры
двухповодковой группы, основан на использовании усло-
вий ее равновесия в целом. Векторное уравнение равно-
весия двухповодковой группы нетрудно получить из ранее
данных уравнений. Складывая отдельно правые и левые
Фиг.^,86, 87. 88. Определение давлений на шарниры диады с помощью
вспомогательных построений
части уравнений (89) и (90), после небольших преобразо-
ваний получим:
Qi 4" Qa — Rb И- Rd -f" R'sjB R's^d=R'b 4" R'd , (98)
ибо на основе уравнений (92) и (93) правая часть уравне-
ния дает векторную сумму давлений на внешние шарниры
двухповодковой группы. В дальнейшем всюду в качестве
основного понятия будем употреблять понятие о реакциях
соответствующих шарниров. Заменяя в последнем уравне-
нии значения давлений реакциями, переписываем его в не-
сколько ином виде:
Qi 4- Q, 4-^ 4-^ = 0. (99}
Это уравнение является основным и в последующем
используется для определения реакций шарниров.
84
При графическом решении используем развернутый вид
уравнения, подобный уравнению (98), для чего следует
только положить, что
и
Rb — Rb + Rbsi
R d= Rd 4“ Rdsz
(100)
Порядок построения общего плана сил таков.
Отложив из полюса О (фиг. 89) вектор заданной силы
Qi {0,1), из конца его откладываем вектор силы Q2 (?><?)»
после чего строим треугольники сил на них по уравнениям,
подобным ранее приведенным (89) и (90).
Qi + Rbsi -\~Rcsi — 0 |
_ _ _ (Ю1)
0,1+ 1,1' + Г,0 =0 )
и __
Qi "I- RdSz + Rest = О |
_ _ (102)
1,2+22.2 ,1 -0 »
определяем тем самым значения Rbs\ (7',0) и Rdsz (2,2), по-
сле чего в уравнении равновесия двухповодковой группы
99 остались только две неизвестные скалярно величины
Rb и Rd> поэтому геометрически его решение возможно.
Для этого проводим из конца вектора Rbsi направление
Rb (параллельное ВС), а из конца вектора Rds2 направление
Rd (параллельное DC) до их взаимного пересечения в
точке 3. Соединяя точки 3 и 0 и 2 и 3, получим векторы
реакций Rd (2,3) и Rb (3,0).
Проверкой этого построения служит то обстоятельство,
что Rb и Rd образовано замкнутыми треугольниками сил,
подобными ранее показанным и отвечающим вышеприве-
денным уравнениям (100), или в цифровых обозначениях
Rb — Ёв + Rbsi
з^—за’+гА
Rd == Rdsz 4” Rd
2^—22> + 2\3
(100а)
85
Фиг. 89. Графическое построение общего плана сил диады и определение
реакций ее шарниров
Для определения реакции среднего шарнира двухпо-
водковой группы нет необходимости производить отдельное
построение, можно прямо соединить точки 7 и 3, чем и
определится Rlt (1,3) или Rtl (3,1), т. е. Rc, • Справедли-
вость сказанного вытекает из условия равновесия отдель-
ного звена диады согласно употребленным выше уравне-
ниям (94) и (95). _ ____ ____
<?1+Дп-1-Яв=0 1
0,1+1,3 +3,0 = 0 I { }
ИЛИ _ ____ ____
Qj + Rd + = о 1 >104.
1,2+2,3+3,1 = 0 /
Второй вариант графического решения, как видно, дает
достаточно быстрое и изящное построение общего много-
угольника сил, при этом он с большой точностью приме-
ним в самых различных случаях.
Графоаналитический способ. Способ, разработанный
проф. Н. Г. Бруевичем, дан им в векторном изложении,
с последующим геометрическим решением; здесь препод-
носятся несколько измененные основы этого способа и
практическое его приложение.
Основное отличие графоаналитического способа от гра-
фического состоит в том, что здесь для решения вопро-
сов равновесия как отдельных звеньев группы, так и в
целом для группы применяются уравнения моментов. При
этом заданная сила и момент могут рассматриваться само-
стоятельно, без приведения или замены их одной общей
равнодействующей.
Графоаналитический способ также имеет два употреб-
ляемых варианта решения, которые последовательно и раз-
берем.
Первый вариант решения. Последовательность
решения, предложенная автором способа, в несколько
измененном изложении и порядке, представляется в следую-
щем виде: после составления условий равновесия для каж-
дого звена в отдельности, причем уравнения моментов
берутся относительно внешних шарниров двухповодковой
группы (фиг. 90), приходим к системе совместно решае-
мых уравнений.
Для звена ВС представляем реакцию Rn, состоящую из
двух компонент, согласно уравнению
/?21 = 7^21 + /?21 (Ю5а)
87
из уравнения моментов относительно внешнего шарнира
диады находим тангенциальную (относительно звена ВС)
составляющую реакции
MB(Q1,R)=Qlhx—Rlnhc = Ql (105)
= (106)
1ВС
аналогично для звена CD
= (107)
и MD (Q2, R) = QA - Rb lCD = 0, (108)
Фиг. 90. Исследование первой модификации диады графоаналитическим
методом
откуда вторая тангенциальная составляющая (относительно
звена CD)
lCD
(Ю9)
После этого используем очевидное ранее приводимое
равенство — —-
/?12 + ^21 = 0 (НО)
или в развернутом виде:
/?21 4~ ^21 4“ Л12-|-Л12 —0; (111)
(7,Г) + (Л3) + (^') + (^0 = 0. (112)
88
Это векторное уравнение принимается за основное
уравнение диады, как видно, оно содержит две неиз-
вестные скалярно величины R”2 и Rm, поэтому оно графи-
чески решимо. Переходим к его построению: отложив
последовательно векторы тангенциальных составляющих
реакций (фиг. 91) (2', 7) и Rm (7,7'), из конца первого
вектора проводим луч, перпендикулярный T?i2, дающий
направление Rn, а из начала второго вектора проводим
второй луч, перпендикулярный Rm, дающий направление
J?2i, находя точку их пересечения. Тогда очевидно, что
диагональ, построенная на однородных тангенциальных и
нормальных составляющих реакций (фиг. 91), определяет
собой реакцию внутреннего шарнира диады С, R12 или R2i .
После этого из условия равновесия каждого звена в
отдельности находим реакции внешних шарниров.
Векторные уравнения, отвечающие производимым дей-
ствиям, таковы:
Qi 4- R2i 4- Rb == 0 )
6J+ fJ+3fi = 0 /
Q2 4~^d 4- R12—о |
12+2J+3J = 0 I
(ИЗ)
(И4)
при известных в каждом случае двух векторах, третий
вектор находится в качестве замыкающего (фиг. 92); как
видно, все графическое построение достаточно удобно
выполняется в виде общего многоугольника или плана
сил.
Для проверки правильности или точности произведен-
ного решения используем одно из условий равновесия всей
двухповодковой группы; для этого можно взять уравнение
моментов относительно одного из внешних шарниров.
Так например (фиг. 93),
^Мв (Qi. Ri) = Qi Ах - Rd hD + Q, А', = 0, (115)
откуда рассчитываем величину RD, затем сравниваем между
собой значения RD, полученные двумя различными спосо-
бами.
89
Второй вариант. Рассматривая равновесие отдель-
ных звеньев двухповодковой группы, возьмем уравнение
моментов относительно внутреннего шарнира С диады
(фиг. 94).
Для звена ВС
Mc(Q1,R) = Qlh1-RlB 1ВС=О,
(П6)
откуда можно определить тангенциальную составляющую
реакции внешнего шарнира В:
Фиг. 91, 92, 93. Построение плана сил для среднего шарнира
диады и ее звеньев
Совершенно так же для звена CD уравнение моментов,
относительно того же шарнира С дает
A4c(Q2,/?) = Q2A2-^Zcd=0, (118)
откуда
RtD = Qi-^-. (119)
После этого переходим к построению силового много-
угольника, или плана сил, отвечающего равновесию всей
диады.
Согласно ранее использованному уравнению
Qi 4~ Qt 4" Rb 4“ Rd — 0
(99)
90
заменяем полные значения реакций двумя компонентами
согласно уравнениям
= (120}
и _
R^ = Rb+&, (121}
после чего получаем уравнение равновесия диады в раз-
вернутом виде:
Qi + Q? + Rd + Rd + 7?в+ — 0 | (122}
0j+K2+Z2>+?J+3J+3fl=Q f
Фиг. 94. Второв план исследования первой модификации
диады графоаналитическим методом
Из шести значений сил, входящих в это уравнение, че-
тыре известны векториально, а две только по направле-
нию, следовательно, непосредственное графическое реше-
ние этого уравнения возможно.
Построение приведено на фиг. 95. Отложив из полюса
О вектор силы и из конца его вектор силы Qt(1,2),
откладываем из начала вектора первой силы Qj опреде-
ленную ранее величину RB (3',0) перпендикулярную ВС, и
из точки 3 проводим луч, параллельный ВС, дающий напра-
вление вектора RB; аналогично поступаем с рассчитанным
уже значением Лд(2,2'), откладывая его из конца вектора
второй силы Qt и перпендикулярно CD, и далее через
91
полученную точку 2 проводим луч, параллельный CD, даю-
щий направление Rd- На пересечении двух лучей получаем
точку 3, очевидно, определяющую собой значения
Rb(0,3),Rd(3,2),R’b(3,3) и Rd (2,2).
Произведенное построение осуществляет замкнутый
многоугольник из сил заданных и реакций внешних шар-
ниров диады. Некоторые особенности его построения
объясняются последовательностью течения векторов.
О
2
Фиг. 95. Построение общего плана сил при графоаналитическом
исследовании первой модификации диады
Реакция внутреннего шарнира диады находится из усло-
вия равновесия первого или второго звена:
+ (113)
или __ _____ ___
Qj 4" Rn “И Rd — 0 (114)
и находится на том же общем плане сил, соединением то-
чек 2 и 3; очевидно, Rn (1,3) или Rn (3,1) дают искомую Rc-
Вторая модификация. Двухповодковая группа с двумя
вращательными кинематическими парами и одной внешней
поступательной парой
Все последующие модификации двухповодковых групп
имеют сравнительно небольшие особенности решения и
могут быть рассматриваемы в части своего кинетостати-
52
ческого решения как частные случаи вышеописанных ме-
тодов и приемов решения (фиг. 96).
Графический способ. Используя второй вариант графи-
ческого решения, составляем уравнение равновесия всей
двухповодковой группы
Qi 4~ Qi ~|“ Rb -J- R d—0,
причем Rd, очевидно, равно нулю. Таким образом, в век-
ториальной величине реакции одного из внешних шарни-
ров диады направление реакции является известным, т. е.
Roar'd. Общее уравнение равновесия группы содержит
Фиг. 96. Схема механизма с диадой второй модификации*
уже три неизвестных (вместо четырех), в силу чего обща»
схема решения и построение многоугольника сил упро-
щается.
Построив на векторе силы Qx треугольник сил соглас-
но обычному уравнению (фиг. 97)
Qi+Rcsi + Rbsi = 0;
Oj+W + 7^ = 0,
где Sj — попрежнему выбранная точка на линии действия
силы Qj. Можно сразу перейти к построению общего пла-
на сил, ибо в общем уравнении равновесия диады после
подстановки вместо
Rb — Rb Н- Rbsi
имеем __ ___ _____ ____ ___
<2i + Q»4-^i + /& + /?/> = 0, (123)
98
как видно, только две неизвестных скалярно величины:
#в и RnD.
Поэтому, проведя из точки Г, направление Rb (парал-
лельно ВС), далее, из конца вектора второй силы Q2 про-
водим направление RD (перпендикулярно ft); в точке 3
получаем пересечение двух лучей и искомые реакции опре-
деляются векторами
Rb (3,0) и Rd (2,3).
Аналогично ранее показанному, Rc
реакция внутреннего шарнира диады
получается на том же плане сил:
Ви (3,1) или Rn (1,3),
Фиг. 97. Построение об- Фиг. 98. Графическое определение линии
щего плана сил диады действия реакции поступательной пары
второй модификации при
графическом решении
Определив векториальные величины реакций Rb, Rc
(Ri2 или #2i) и Rd, находим линию действия последней
реакции, для чего находим точку пересечения Rc с линией
действия силы Q2 (фиг. 98), чем и определяем плечо с,
дающее возможность провести линию действия Rd.
Подобное определение линии действия Rd производится
из условия необходимости пересечения трех сил, находя-
щихся в равновесии и действующих на одно звейо в одной
точке.
На этом поставленная задача выполнена.
S4
Графоаналитический способ. Используя второй план
решения, берем уравнение моментов относительно внутрен-
него шарнира диады точки С.
Для звена ВС (фиг. 99)
Me (Qi> R) — Qi — Rb 1вс = О,
откуда
Rb = Q1-^-,
1вс
после чего переходим к построению общего плана сил для
всей диады согласно векторному уравнению
Фиг. 99. Исследование диады второй модификации
графоаналитическим методом
где, как видно, имеются две неизвестные скалярно вели-
чины Rb и Rd = Rd-
Отложив векторы заданных сил Qj (0,7) и Q, (7,2) (фи г. 100),
прикладываем также рассчитанный вектор Rb (3',0), после
чего из свободных концов двух крайних векторов проводим
направления Rb (параллельно ВС) и RD (перпендикулярно It)
до пересечения их в точке 5, чем и определяются Rd (3^3),
Rb (3,0) и Rd (2,3); Rc определяется аналогично в виде
вектора Rvi (1,3) или Rn (3,1). Положение линии действия RD
(точка приложения реакции) находим из уравнения момен-
тов для звена CD, беря его также относительно внутрен-
него шарнира диады (фиг. 99).
Me (Q2, Rr) = Q2ht-RDc = Q, (125)
95
откуда искомое плечо
с-А2 r» .
(126)
Частный случай двухповодковой группы
второй модификации показан на фиг. 100а. Этот
случай весьма часто встречается в современном машино*
строении: в виде механизмов
движения поршня во всех дви-
гателях внутреннего сгорания,
в лесопильной машине и др.
Кинетостатическое исследо-
вание данной двухповодковой
о
Фиг. 100а. Исследование част-
ного случая диады второй
модификации
Фиг. 100. Построение общего
плана сил при графоаналити-
ческом исследовании второй
модификации диады
группы может быть выполнено на основе общей ранее
разобранной методы, однако, нетрудно видеть, что реше-
ние ползуна. немного упрощается, ибо реакция ползуна
обязана проходить через точку С.
Довольно часто сила Qi сравнительно мала и ею пре-
небрегают. При этом построение общего плана сил све-
дется к простейшему разложению силы Q2 по двум направ-
лениям (перпендикулярно tt и параллельно ВС). Значения
96
реакций при этом могут быть найдены и просто аналити-
чески. Так, назвав угол наклона шатуна к направляющей tt
через р, получим реакцию направляющей
и реакции шарниров шатуна
Rb = Q2 tg Р.
Этими уравнениями часто пользуются в специальных
курсах для приближенных расчетов. Заметим, что область
применения этих уравнений для рабочих машин, а не машин
двигателей, сравнительно невелика.
Третья модификация. Двухповодковая группа с двумя
вращательными кинематическими парами и одной
внутренней поступательной парой
А. Графический способ. Общее уравнение равновесия
всех сил, действующих на двухповодковую группу (фиг. 101),
напишется здесь в своем обычном виде:
Qi + Qi + Rb ~J~ Rd — 0.
При наличии в составе диады поступательной кинема-
тической пары, зная, что поступательная пара может вос-
принимать усилия только в направлении нормали к поверх-
ности соприкасания двух тел, следует сделать вывод, что
цилиндрические шарниры поводков должны целиком вос-
принимать давления, направленные параллельно оси tt по-
ступательной пары.
Представляем каждую из реакций двух внешних шар-
ниров в виде двух компонент. Проектируем силы отдельно
для каждого звена на ось tt; получаем для звена ВС
/гв+Qjcos^^O (127)
и для звена DC
/& + Q2cosp2 = 0, (128)
откуда находим Rb и Rd.
Теперь видим, что в развернутом уравнении равновесия
диады
Qi + Qz Rb + Вв + Rd + Rd = 0.
остались два неизвестных: Rb и R!d
Кинетостатика плоских механизмов
97
Фиг. 101. Графическое определение реакций диады третьей модификации
Переходим к построению общего плана сил. Отложив
векторы заданных сил Qj (0,1) и <?2(7,2) (фиг. 101,в), далее
откладываем определенные уже векторы(J",0) и
в виде отрезка (2,2) определилась алгебраическая сумма
двух неизвестных величин совпадающих, как
видно, по своему направлению.
Для определения каждой из этих величин отдельно покажем воз*
можность использования силового и веревочного (нитяного) многоуголь-
ника. На вертикальных составляющих заданных сил Qf = Qisid^1h
Q2' = Q2 s<n ₽2 строим силовой многоугольник (фиг. 101,6), затем выби-
раем произвольно полюс О, который и соединяем с точками силового
Фиг. 102. Построение линии действия реакции поступательной кинема-
тической пары
многоугольника, после чего, найдя точки 51 и 52 на оси поступательной
кинематической пары ft, переходим к построению веревочного много-
угольника непосредственно на двухповодковой группе (фиг. 101,с). Найдя
линию проводим параллельно ей луч на силовом многоугольнике,
получая там точку 39 а в виде отрезков (33') и (3',7) искомые сла-
гающие реакции R^ и RB.
Переносим точку 3 на общий план сил для диады (фиг. 101,а) и находим
лекторы RB (390) и RD (2,3}. Далее из условия равновесия отдельно
каждого эвена находим векторы Ли (1,3} или R\2 (3,7), очевидно направ-
ленные перпендикулярно tt.
Линию действия реакции поступательной кинематической пары
найдем на пересечении соответственно линий действия Qx и RB или
Q2 й Rd (фиг. 102), при этом должен получиться один и тот же резуль-
тат. Последнее обстоятельство может быть использовано в качестве
контроля точности полученных результатов.
7* 99
Следует заметить, что использование веревочного многоугольника
для определения реакций кинематических пар возможно и без предва-
рительного разложения сил на вертикальные и горизонтальные состав-
ляющие. Задача определения реакций, по идее Вейдемана (Н. Weideman),
при этом сводится к небольшому сравнительно дополнительному по-
строению на веревочном многоугольнике, с последующим отысканием
нового полюса многоугольника сил.
Графоаналитический способ. Точно так же как и при
графическом решении здесь можно использовать общее
уравнение равновесия диады. Аналогично из уравнений
проекций находим компоненты реакций Rb и Rd, в резуль-
тате чего можем придти к тому же общему плану сил
(фиг. 101, а).
Однако, для определения Rb и Ай можно использовать
уравнение моментов, составляя его для двухповодковой
группы в целом относительно одного из внешних шарниров
группы.
Уравнение моментов относительно шарнира В дает
(фиг. 101):
s Mb (Qt, R<) = Q1h1 + Q2 Л2 + R*D l„ - Rd lt = 0, (129}
;=i
откуда искомая величина
/&=<?! 4-+ + (130>
/t lt lt
Отложив величину Rd на' общем плане сил в виде от-
резка (2,5), получим точку 3, после чего сразу строим
векторы RB (3,0) и Rd (2,3), и далее находится реакция
поступательной кинематической пары Rla (3,1) или Rn (1,3).
Для определения линии действия Rn или Rn используем
уравнение моментов для одного из звеньев группы
MB(Q1,R) = Q1h1-Rnb=:0, (131)
откуда
b = h* (132)
Kti
Для проверки точности произведенных расчетов и по-
строения плана сил можно использовать следующее урав-
нение:
MD (Q„R) = Q2ht — R12 (lt + 6}- 0, (133}
откуда находим
lt + b = d.
100
Добавление. Уже неоднократно подчеркивалась мысль о возмож-
ности применения нормального плана статического исследования для
определения реакций шарниров механизмов. Для разбираемой модифи-
кации двухповодковой группы вместо компонент реакции, выбранных
s зависимости от положения оси поступательной кинематической пары,
можно выбрать иное положение компонент, отвечающих новому выбран-
ному положению осей координат.
Решение получается достаточно удобным, если одну из осей коор-
динат провести через цилиндрические шарниры диады (фиг. 103). Со-
ставляя уравнение моментов для всей диады относительно шарнира D,
i=k *
2 MD (Qp /гр = — Q1Л1 — Q2 Л2 + R‘B 1BD = О, (134)
1=1
откуда находим
Q1-T-+(135)
lBD lBD
после чего из условия равновесия звена ВС
Фиг. 103. Графоаналитический метод исследования диады третьей
модификации
как видно, содержащего две неизвестных скалярно величины 7?^ и 7?2Ь
определяем их построением силового многоугольника (фиг. 104).
Как видно, получаем RnB (339 и Я21 (73), затем, соединяя точки 3 и 0,
получаем RB (3,0). Используя условие равновесия второго звена в виде
+ ^12 — 0,
видим, что две величины здесь уже полностью известны, поэтому, при-
соединяя вектор Q2 (7,2) (Фиг- Ю4), находим вектор RD (2,3), который и
определяет собой реакцию второго цилиндрического шарнира. Линия
действия Я12 или находится так же, как это было выполнено ранее,
из уравнения моментов относительно одного из шарниров для отдель-
ного звена диады. Нетрудно видеть, что совершая построение много-
угольника сил для каждого из звеньев на общей картине фиг. 104, автома-
тически получаем выполненным общее уравнение равновесия всей диады.
Примечание. Н. Г. Бруевич в своем решении использует те же
условия равновесия каждого звена, взятого отдельно, и после подста-
новки в уравнение Я12 + = 0, используя геометрические свойства
101
рййбйргГейЪго случая Диады, сьс-гавляег осйовйое уравнение ее, из кото-
рого первым шагом йаходит плечЪ 6. После этого все остальные вели-
чины находятся непосредственно аналитическим или графическим реше-
нием отдельных уравнений.
Частный случай двухповодковой группы
третьей модификации (фиг. 104 а). Этот случай пред-
ставляет интерес в силу того, что он чаще всего практически
встречается в современном машиностроении (всевозможные
кулисные механизмы в станкостроении»
полиграфическом машиностроении и др.).
Кинетостатическое исследование группы
может быть выполнено на основе общего
метода исследования; однако, нетрудно
также заметить, что подобный частный
случай содержит некоторые упрощения.
Фиг. 104а. Исследование частного случая
диады третьей модификации
Фиг. 104. План
сил звена ВС
Как видно, реакция Rn ползуна в заданных усло-
виях обязана проходить через точку В, ибо все силы,
действующие на ползун, пересекаются в точке В. Часто
Qi = 0 (или настолько мало, что ею пренебрегают). При
этом, очевидно, R"B = 0 и RB=—RiV Находится RB прямо
из уравнения моментов, взятого для всей группы относи-
тельно точки D, после чего Rd находится прямым по-
строением силового треугольника для кулисы.
Четвертая модификация. Двухповодковая группа с одной
вращательной кинематической парой и двумя внешними
поступательными парами
Левая поступательная Пара движется вдоль оси а пра-
вая вдоль оси (фиг. 105). Соответственно реакции после-
дующих ^веньев на поводки группы назовем Rm=zRB=RB
и RtfsxzRn =. Rd.
102
Графический способ. Составляя уравнение равновесия
диады _ _ _ _
Qi 4“ Qa + Rb + Rd — О,
видим, что оно может быть графически решено непосред-
ственно, ибо содержит две неизвестные скалярно величины
Rb и Rd •
Графическое решение его дано в виде многоугольника
сил (фиг. 106). Отложив векторы заданных сил (0,1)
и Q2 (1,2), проводим из точки t направление Rb, и из точки 2
направление RD ; пересечение их определяет точку 3' на
многоугольнике сил и значения Rd (3,0) и RD (2,3). Соединяя
точки 1 и 3, находим реакцию среднего шарнира группы
Rn (1,3) или Rn (3,1), как видно, отвечающую условию равно-
весия первого и второго звена
Qi 4~ Rb 4“ ^21 = о
и __ ____ ____
Qi 4“ ^12 + Rd — ©•
Для определения линий действия реакций иоступатедь-
ных пар находим пересечение линий действия заданных
103
Сил Qi или Qt с направлением реакции цилиндрического
шарнира (см. фиг. 105), затем, проведя через найденные
точки и 0t линии, перпендикулярные и f2f2, найдем
графически плечи и с2.
Графоаналитический способ. Простейшая последова-
тельность этого способа состоит в том же построении
общего плана сил и определении векторов реакций Rb,
Rd и Ri2 или /?21. После этого для определения линий
действия реакций поступательных пар берем уравнения
моментов относительно внутреннего шарнира диады от-
дельно для каждого звена:
^c(Qv 7?) — — Qi Л1 + Rbcx — 0
(137)
и
Afc (Q2,7?) = Q2 h2 — Rd с2 = 0,
(138)
откуда находятся плечи
Фиг. 106. План сил диады
четвертой модификации
Фиг. 106а. Исследование частного
случая диады четвертой модификации
Частный случай двухповодковой группы
четвертой модификации (фиг. 106а). Произведя
аналогично выше показанному кинетостатическое исследо-
вание группы, можем придти к убеждению, что здесь
реакции всех трех кинематических пар должны проходить
через точку С- Если одна из заданных сил будет равна
нулю, то все исследование сведется к разложению силы
по двум заданным направлениям.
104
Пятая модификация. Двухповодковая группа с одной вра-
щательной кинематической парой и двумя поступатель-
ными несимметрично расположенными парами
Графический способ. Нетрудно заметить, что в условии
равновесия звена ВС (фиг. 107).
Qi Rb + ^2i= 0
содержатся две неизвестные скалярно величины Rb = Rb и
Rn — Rn, поэтому решаем его построением плана сил для
звена (фиг. 108). Отложив вектор заданной силы (0,1),
проводим далее из точки 0 направление RB (перпендику-
лярно а из точки 1 направление R21 (перпендику-
лярно ttt2), пересечение их определяет искомые векторы
Фиг. 107. Графическое исследование диады пятой модификации
реакций Rb (3,0) и /?21 (1,3). После этого составляем урав-
нение равновесия звена, имеющего одну вращательную
кинематическую пару,
Qi + Rd + Rn = 0;
при этом следует помнить, что
/?12 + Rn — 0
или ___ ______
R\2 = — Rn •
Очевидно, что уравнение равновесия второго звена так-
же графически решимо, ибо содержит одну векториально
неизвестную величину Rd .
105
Отложив на том же плане сил вектор Q2(7,2), соединяем
точки 2 и 3 в виде этого построенного вектора и находим
искомую реакцию цилиндрического шарнира Rd (2,3).
Построенный таким образом общий план сил (фиг. 108)
осуществляет, кроме того, графическое условие равновесия
всех сил, действующих на двухповодковую группу, ибо
получен замкнутый силовой многоугольник, отвечающий
этому условию.
Определение линий действия реакций поступательных
пар основано на прежнем принципе; последовательность
Фиг. 108. План сил диады пятой
решения здесь обрат-
на последовательности
определения значений
реакций. Начиная со
звена CD (фиг. 107),
находим пересечение
линий действия задан-
ной силы Qi и направ-
ления реакций Rd в
точке 0t', проведя за-
тем через нее линию,
перпендикулярную f2f2,
найдем плечо с, чем
и определили линию
действия Ru или /?21.
иодификации
действия заданной силы
Зная эту линию дей-
ствия, .находим ее пе-
ресечение с линией
Qi в точке 01г тогда плечо Ь
характеризует положение линии действия реакции Rb.
Графоаналитический способ. В части определения реак-
ций кинематических пар здесь проще всего использовать
ранее данное графическое решение. Кроме этого, имеются
также другие возможности решения, одну из которых раз-
берем ниже.
В общем уравнении равновесия диады
Qi 4- <?2+Rb + Rd — 0
содержится три неизвестных значения: скаляр величины
реакции Rb и величина и направление Rd .
Используя свойства поступательных пар, проектируем
все силы, действующие на звено CD, на линию, параллель-
ную оси внутренней поступательной пары. В соответствии
106
Фиг. 110. План сил ди-
ады'пятой модификации
при7рафоаналитическом
решении
Фиг- 109. Графоаналитическое исследование
диады пятой модификации
с этим предложением представляем реакцию цилиндриче-
ского шарнира в виде двух компонент (фиг. 109)
R d = Rd + Rd >
из коих первая слагающая
и вторая параллельно tt.
направлена перпендикулярно tt
Уравнение проекций всех сил,
действующих на звено CD,
на линию, параллельную t2t2,
дает
Q2 cos р2 + Rd = 0,
откуда можно определить
Rd =— QacosP2; (140)
Фиг. 111. Диада с тремя посту-
пательными парами практически это определение
также совершается графи-
чески. Заменяя в общем уравнении равновесия диады Rd
через две его компоненты
Q1 + Q2+^>+^+^ = 0, (141)
видим, что в нем остались две скалярно неизвестные вели-
чины Rd и Rb, вследствие чего уравнение графически
решимо. Отложив значения векторов заданных сил Q1(0,1)
и Q2(1,2) (фиг. ПО) и из конца последнего Rb(2,3') прово-
дим из точки S’ направление Rd (перпендикулярно t2t2), а из
точки 0 направление Rb (перпендикулярно tit^, точка их
пересечения точка 3 определяет искомые реакции RUD (3',3),
-Rd (2,3) и Rb (3,0). Далее, используя равновесие каждого
звена отдельно, находим Rlt(3,1) или R21 (1,3).
Переходя к определению линий действия реакций по-
ступательных кинематических пар, используем уравнение
моментов.
Первое составляем для звена CD (фиг. 109):
MD (Q2, R) = -Q2ht + R12 с = 0, (142)
откуда находим
С = Л2-^1_; (143)
^12
и второе составляем для всей двухповодковой группы
S (QM = ~Qi К - Q2 h2 + Rb 6=0, (144)
i=l
108
откуда находим второе плечо
b = h1-^~ + ht-^-. (145>
Кв Кв
Таким образом определены линии действия реакций
двух поступательных кинематических пар.
Примечание. Общий случай кинетостатики двухповодковой,
группы с одними поступательными кинематическими парами (фиг. 111>
является статически неопределимым. Ибо, найдя из условия равновесия
одного из звеньев диады реакции поступательных пар, получаем для
второго звена определение векторной величины реакции непосред-
ственно из уравнения равновесия второго звена. При этом направление
реакции последней поступательной пары может не совпасть с действи-
тельным направлением ее, определяемым осью движения поступательной
пары. Как видно, во втором векторном уравнении имеется только одно
неизвестное, следовательно, имеется налицо лишнее условие, опреде-
ляющее направление реакции одной из поступательных кинематических,
пар.
ГЛАВА 9
КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТРЕХПОВОД-
КОВЫХ ГРУПП
Предварительные замечания. Трехповодковая группа
^триада), будучи присоединена частью своих поводков
к ведущим звеньям механизма, а оставшимися ловодками
к неподвижному или двигающемуся звену уже существую-
щего механизма, характеризует собой механизм I класса
третьего порядка. Согласно установкам, принятым
в классификации проф. Ассура, новый класс или порядок
механизма характеризует группу новых, несколько отлич-
ных приемов как кинематического, так и кинетостатиче-
ского исследования.
Точно так же как и для механизмов I класса второго
порядка, разбираемые здесь механизмы могут быть решены
различными методами, как графическими, так и графоана-
литическими, однако, в том и другом случае предвари-
тельно рационально выполнить небольшое вспомогательное
построение.
В зависимости от модификации трехповодковой группы
можно выбрать графический или графоаналитический план
решения, учитывая при этом сложность применения выби-
раемого метода. С увеличением сложности исследуемой
группы предпочтение следует отдать второму методу.
Возможные модификации трехповодковой группы при-
ведены на фиг. 112.
Ввиду определенной однородности в методике решения
различных модификаций трехповодковых групп, а также
того, что они реже встречаются в машиностроении, в даль-
нейшем подробно рассмотрим только некоторые из указан-
ных модификаций, а для остальных кратко укажем отличи-
тельные особенности в методике решения.
Пусть нагрузка, действующая на поводки ВС(1), FD(2)
и EL (3) (фиг. 113), а также на трехшарнирное звено CDE
или, как его называют, z базисное > звено трехповодковой
110
Фиг. 112. Модификации трехповодковой группы
группы, сведена к силам Qlt Qit Q3 и Q4, имеющим задан-
ные линии действия, или проходящим через найденные
точки 5Ь S2, S3 и 54.
В случае действия на звенья трехповодковой группы
не только сил, но и моментов, условимся, как это было
ранее показано или каким-либо другим приемом статики,
приводить нагрузку к одной результирующей силе, экви-
валентной по действию заданной силе и моменту.
Общее вспомогательное построение. Сначала проделаем
вышеупомянутое вспомогательное построение, а именно:
Фиг. 113. Первая модификация трехповодковой группы и построение
добавочных точек
построим добавочные точки или точки Ассура для трехпо-
водковой группы.
На продолжении линий поводков ВС и DF получаем
первую добавочную точку /У12 (индексы указывают иа то,
что данная точка найдена на пересечении продолжений
линий первого и второго поводка). Нетрудно, конечно, за-
метить, что добавочные точки,с точки зрения кинематики,
являются полюсами относительного движения
звеньев. Физическая сущность производимого построения
состоит в осуществлении известной теоремы, говорящей,
что „три полюса одновременного относительного движения
трех произвольных звеньев плоской кинематической цепи
всегда лежат на одной прямой?".
Совершенно так же, продолжая линию поводка EL,
получим на пересечении с проведенными ранее направле-
112
ниями линий поводков еще две добавочных точки Hlt и H.iS;
как при графическом, так и при графоаналитическом спо-
собе использование одной или нескольких добавочных
точек характеризует простейший путь решения.
Первая модификация. Трехповодковая группа с одними
вращательными кинематическими парами
Названная модификация трехповодковой группы являет-
ся исходной и наиболее общей в методике своего решения,
ибо каждая из реакций кинематических пар содержит два
неизвестных значения (скаляр реакции н ее направление).
Всего, следовательно, имеется 12 неизвестных, непосред-
ственно характеризующих векториальные величины реакций.
Графический способ. Разберем предварительно действие
сил на трехповодковую группу.
Сила Qj вызывает нагрузку шарниров первого поводка,
так же как второго и третьего, однако, для шарниров
первого поводка неизвестными являются как скалярная
величина, так и векториальность реакций; для шарниров
второго и третьего поводков (рассматривая их в данный
момент ненагруженными своими собственными силами)
неизвестными будут только скалярные величины реакций,
ибо направление их определяется линией, соединяющей
шарниры соответствующего поводка. Иначе говоря, реак-
ции внешних шарниров второго и третьего поводков от
силы Qj направлены параллельно DF и EL. Аналогичное
рассуждение* применимо и в отношении характера воздей-
ствия сил Q, и Qt на шарниры своего поводка и других
поводков группы; что касается действия силы Qt, то реакции
цоводков на базисное звено от действия этой силы направ-
лены по линиям самых поводков.
Начиная с силы Qi (фиг. 113), строим треугольник сил (фиг. 114),
отвечающий условию равновесия звена ВС согласно следующему век-
торному равнению: ___ _____ _____
Qi + ^bs1 ^cs1 = 0» (146)
затем силу Rcs^ (фиг. 114) раскладываем на направления ВС и СН^
отвечая уравнению, ________ _____ ______
^csl — *вп + rh& ' <147)
Как видно, используемая при этом добавочная точка всегда берется
от двух поводков, не связанных непосредственно С данной силой.
И наконец R\r раскладываем по направлениям, определяемым линиями
» н23 я
второго и третьего поводков (параллельно DF и EL) (фиг. 114), отвечая
уравнению ____ ____ ____
^,=^" + 4"-
ив)
Кинетостатика плоских механизмов
113
Из последних двух уравнений видно, что разложение силы Rcs^ по
трем поводкам произведено согласно следующему очевидному уравнению
(фиг. 114): __ ___ ____ ___
*^ = 4"++ 049)
Общее уравнение, удовлетворяющее условию равновесия силы Qi
в трехповодковой группе, будет следующее:
Qi + 4^+/?F + 4n + 4’n = o; (iso)
оно получается из трех последних уравнений, после замены промежу-
точных значений Rcs и RH .
Графически его можно видеть осуществленным на той же фиг. 114
(индекс у составляющих реакций звеньев трехповодковой группы
IIFD
Фиг. 114. Разложение силы Qi
Фиг. 115. Разложение силы (?2
является показателем того» что данные реакции происходят от силц,
действующей на первое звено)
Подобным же образом поступаем с силой Q2; при этом уравнения,
отвечающие производимым действиям, следующие:
+ К™ — 0; (151)
А а
*ds2 = Я” п + Я# ; (152)
a io
^g = 4'n + 4'"; (153)
из последних двух уравнений:
4^ = 4’'* + ^ + ^ (154)
и общее уравнение равновесия триады от силы Q2
(?2 + п + п + л = 0. (155)
114
Графически последняя система уравнений в порядке приведенной
последовательности их дана на той же фиг. 115. Аналогично поступаем
и с силой Q8, соответственно получая подобную систему уравнений:
Q3 + ^£S3 + /?£S3 = °; (156)
^ = ^Гп + ^2; (157)
+ *F" (158)
res3 = $" + " + *2* ” > (159)
и общее уравнение
Оз + ^3 + R$"+R'f" + R'P = 0. (160)
Графическое решение уравнений см. на фиг. 116.
Для отыскания реакций внешних шарниров трехповодковой группы
от силы Q4, действующей не*на поводок, а на трехшарнирное (базисное)
звено, предварительно находим точку пересечения линии действия
силы Q4 с направлением одного из поводков, например ВС Назовем эту
точку H^q (фиг. 113); в нее и переносим силу Q4, после чего строим
115
треугольник сил на направлениях, параллельных ВС (оно же BHXq > и
H\qH& (фиг. 117) и последнюю величину раскладываем параллельно DF
и EL так, что при этом удовлетворяются следующие уравнения:
q4+4v', + ^h12 = o; (161)
1$Г = № + № (162)
12
или, исключая &н12> получим (фиг. 118)
Qt + + *F + *F = 0. (163)
5
Фиг. 118. Построение реакйий внешних шарниров триады
Как видно из общего уравнения, определяющего условие равновесия
силы Q4, реакции шарниров всех трех поводков получают векториаль-
ность, определяемую положением соответствующих поводков.
Полные значения компонент реакции, направленных по направлению
поводков (называемых нормальными), можно найти, алгебраически про-
суммировав, отдельные или частные нормальные составляющие реакции
от сил Qi, Q2, (2з и Q4 согласно следующим уравнениям:
пп __ р! п । pH п । пШ л । nlVn
КВ ~ КВ ~Т~ КВ "\КВ ' КВ
пп __ pl л । pH л , pill л । рГУл
Кр—Кр -т Кр т ^р Т В. р
Rn. == R\n + R}\п + /г1!1 п + R^n
Ju L JL L L
(164)
После этого появляется возможность на основании принципов, изло-
женных ранее, найти реакции шарниров трехповодковой группы.
116
Так, полные реакции внешних шарниров В, F и L найдутся после
сложения слагающих, передающихся в эти шарниры, согласно следую-
щим векторным уравнениям (фиг. 118):
RF = R^+ Rfs2
(165)
Реакции промежуточных или внутренних шарниров трехповодковой
группы можно найти из условий равновесия соответствующего поводка,
2’
Фиг. 119. Определение реакций внутренних шарниров триады
как находящегося под действием трех сил, согласно следующим урав-
нениям (фиг. 119):
Q1 + *в ^41 ~ 0 |
Q2 + Rp + ^42 = 0 z (166)
Q3 + + ^43 == 0 J
где при двух (первых) известных векторно величинах значения реакций
шарниров С, D и Е находятся прямо в виде соответствующего замы-
кающего вектора.
На этом можно считать поставленную задачу решенной, ибо найдены
реакции всех кинематических пар трехповодковой группы
Второй вариант графического решения аналогичен ранее ука-
занной возможности для двухповодковой группы.
Если сложить три уравнения (150), (155), (160) и (163), определяющие
реакции внешних шарниров трехповодковой группы, то после некоторых
117
преобразований правой части получим общее уравнение равновесия
всех сил, действующих в трехповодковой группе:
Qi + Q2 + Qs + Q4 + *в +
Последнее уравнение может служить не только для проверки пра-
вильности или точности ранее произведенных графически построений»
но оно также может быть использовано и для отыскания двух неизвест-
ных величин в том случае, если все остальные известны или уже най-
дены Независимо от поставленной цели, дело сводится к построению
многоугольника или, как его называют, общего плана сил.
Общее уравнение равновесия трехповодковой группы содержит
шесть неизвестных значений, поэтому для решения его необходимо
добавить еще ряд векторных уравнений.
Применяем для этой цели некоторые векторные уравнения из числа
вышеприведенных (фиг. 1-14, 115, 116, 117):
Ql + + Rcs1 = °*
где
Rcs1 = rXb + 5
Q2 + + + + = °;
2
Qs+^+*F"+*F"+*Fn=0:
О4+лТп + ^Гп + лГ" = 0:
Rb = rb + rbs1 :
rl —rl +rls3-
Последние три уравнения могут быть подставлены в общее уравнение
равновесия триады, при этом получаем развернутый вид этого уравнения.
Полученная система девяти векторных уравнений содержит 18 не-
известных величин, следовательно она решима. Графическое решение
первых пяти уравнений уже было выполнено ранее на соответствующих
фиг. 114—117. В результате их решения определены следующие необхо-
димые в дальнейшем построении неизвестные: RBS, RFS, RLS, затем
из алгебраического уравнения может быть найдена
рп __ pl п । pH п । пШ л । pIV л
КВ ~ КВ ' КВ "Г КВ “г к В
и по уравнению (165) построена графически полная величина реакции
одного из внешних шарниров RB .
Определение реакций оставшихся двух шарниров F и L производим
графически с помощью общего многоугольника или плана сил. Отложив
118
векторы заданных сил Q] (О,/), Q2 (7,2), Q3 (23)* Qi (3,4) (фиг. 120) откла-
дываем далее вектор найденной реакции RB (6J)), затем откладываем
также известные слагающие реакции RFS (5',б) и RLS (4,4f), после чего
из крайних точек 4' и 5’ проводим направления оставшихся неизвест-
ных Rf (параллельно FE) и R^ (параллельно LM).
Пересечение двух проведенных направлений дает точка 5, и на основе
уравнений (167) определяются значения полных реакций RF (5,6) и RL (4,5).
Фиг. 120. Многоугольник сил триады
при графическом способе
Фиг. 121. План сил базис-
ного звена триады
Реакции внутренних шарниров трехповодковой группы находятся
из условия равновесия отдельных звеньев согласно ранее приведенным
уравнениям.
Заменяя в общем уравнении равновесия триады, из последних урав-
нений значения геометрической суммы заданных сил Qi, Q2 и Оз и
реакций внешних шарниров RF, RB, RL, получим очевидное уравнение
равновесия трехшарнирного звена
Q4 + R\i + #24 4“ #34 — 0» (168)
которое и может быть использовано для проверки точности полученных
ранее значений реакций внутренних шарниров (фиг. 121).
В заключение следует упомянуть о небольшом иногда возможном
упрощении графических построений, подобном тому, что было ранее
показано для двухповодковой группы.
Так, если прежде чем раскладывать по соответствующим направле-
ниям силы Qi, (?2 и Qg, найти точки пересечения линий действия задан-
ных сил с продолжением линий Я2з С, Hi3 D и Н12Е (фиг. 122), назовем
эти точки S% и 53', то появляется возможность разложить сразу эти
силы по направлениям, идущим к внешним шарнирам трехповодковой
группы и к добавочным точкам. Естественно, что это сравнительно не-
большое упрощение возможно только в том случае, когда вспомогатель-
ные точки Ё2' и 53' находятся в пределах чертежа и притом доста-
точно удобно.
119
Уравнения, определяющие равновесие заданных сил Qb Q2 и Q3,
также упрощаются, приобретая вид
Qi + Kb^' + ^P+^F = 0 (169)
и т. п.
Графоаналитический способ. Аналогично плану решения
двухповодковых групп, первым этапом является определе-
ние поперечных или касательных составляющих реакций
внешних шарниров.
Фиг. 122. Исследование триады с помощью дополнительных построений
Так, для поводка-ВС (фиг. 123) берем уравнение мо-
ментов относительно шарнира С
Mc(Q1,R)=RtBlBC-Q1h1=Q, (170)
откуда находим
й = <?.£. (171)
Аналогично для поводка DF
MD(Qt,R) = RtFlDF—Qth2 = Q-, (172)
И
й=о,^ • (173)
120
Фиг. 123. Графоаналитическое, исследование триады
Также для поводка EL
МЕ (Q3, R) = R‘l Iel - Q3 А, = О
и
, Л,
Rl = Q^-
IEL
(174>
(175>
Таким образом найдены составляющие реакции шарни-
ров В, F и L, перпендикулярные соответствующим линиям
поводков.
Для определения нормальных
компонент реакций внешних шар-
ниров, направленных по линиям
соответствующих поводков, берем
уравнение моментов относительно
любой из найденных добавочных
точек; так например, если взять
уравнение моментов относительно
точки H1S, нормальные компоненты
реакции, направленные по ВС и DF,
не дадут момента и из уравнения
можно будет определить Rf. Если
берем иные добавочные точки, нор-
мальные компоненты реакций двух
поводков всегда исключаются,
остается третья, которая и опре-
деляется из написанного уравне-
ния. Относительно выбранной точ-
ки Н13 уравнение моментов имеет
следующий вид:
i—k
S МНп (Qt, Rt) =-(Ъ h.'-Q, h2' -
i—1
— QjA3' — А/ -j- R‘b Ibh + R*f Ibh+
+ ^^+^^ = 0, (176>
фиг. 124. Полная реакция откуда и определяется единствен-
внешнего шарнира триады ное неизвестное RnF. Значения 1$
и Rb могут быть найдены анало-
гично.
После этого полные значения реакций внешних шарни-
ров В, F и L трехповодковой группы находятся аналити-
чески или графически сложением двух взаимно перпенди-
кулярных составляющих реакций, отвечая известным уже
векторным уравнениям (фиг. 124):
122
Rb — Rb 4” Rb \
я!=Г°+яГ.
При графическом сложении двух составляющих реакций в резуль-
тате непосредственно определяется векториальность полной величины
реакции. Пользование аналитической зависимостью расчета полной ве-
личины реакции по уравнениям
Rв= У R”B + R‘B
RF = V Rb+Rb
(177)
дает только скалярные величины этих реакций, дополнительно при
этом следует рассчитать углы наклона реакций к линии поводков, опре-
деляемых из уравнений:
pf Р* Р*
КВ KF КI
= 5 tg<P2 = -^ '
KF
(178>
Общее уравнение равновесия трехповодковой группы по-
добну тому, что ранее было приведено, при разборе гра-
фического способа;
+ + + Rl —О,
или
+^2 +/?2 —0- (179)
В данном случае оно тоже может быть использовано
не только для графической проверки векториальных вели-
чин реакций внешних шарниров, но и для самостоятель-
ного определения нормальных компонент реакций. Одно
векторное уравнение может определить два неизвестных
значения, поэтому общее уравнение равновесия трехпо-
водковой группы может быть употреблено для определе-
ния двух нормальных компонент реакций. Добавочная
точка при этом потребуется лишь одна, например /713>.
взяв уравнение моментов относительно которой, найдем
RnB, оставшиеся и Rnlt находим из графического по-
строения общего плана сил, отвечающего последнему урав-
нению. Отложив векторы заданных сил и прибавив к ним
векторы известных составляющих реакций, из концов по-
перечных или касательных составляющих R*? и R\ прово-
дим до взаимного пересечения два перпендикулярных
12$
к ним луча (фиг. 125), откуда и определяются векторы реак-
ций R”f(4',5), Rl(5,6) и Rf(4,5).
В заключение разбора определения реакций внешних
шарниров трехповодковой группы следует упомянуть, что
роль добавочных точек сводится к упрощению общего ре-
шения, ибо совершенно очевидно, что уравнение моментов
3
IIFD
Фиг. 125. Многоугольник сил триады при графоаналитическом способе
можно было бы взять относительно любых трех точек на-
шей группы.
Однако, в этом случае нормальные компоненты реак-
ций не исключаются в уравнениях попарно, и приходится
решать три уравнения совместно, ибо в каждое из них
может входить все три^искомые неизвестные.
Векторы реакций внутренних шарниров трехповодко-
вой группы находятся аналогично тому, что было показа-
мо в графическом способе из уравнений равновесия по-
водков (см. уравнение 166).
1 24
Общее графическое построение при опреде-
лении реакций внешних и внутренних шарниров трехповод-
ковой группы.
Описанные уже приемы построения общего плана сил
триады, независимо от того, базировались ли они на гра-
фическом или графоаналитическом способе, близки друг к
другу по общему плану решения. При этом самостоятель-
но графически определялись реакции внешних шарниров-
триады, а затем отдельно реакции внутренних шарниров-
Разбираемая последовательность построения векторов бы-
ла произвольна.
Вместо описанного порядка графического решения рав-
новесия сил в триаде опишем здесь иной прием решения,
дающий в-итоге графическое определение век-
торов двух реакций внешних шарниров и
трех реакций внутренних шарниров в виде
единого графического построения, дополнительно при
этом строится многоугольник сил, отвечаю-
щий равновесию одного из поводков.
Найдя поперечные составляющие реакции внешних шар»
ниров триады R‘b, R*f и R*l (фиг. 126) из уравнений равно-
весия отдельных звеньев (ур-ния 170—175) и одну нор-
мальную составляющую реакции, например, Rf, из уравне-
ния моментов, взятого для всей триады относительно-
точки Hit согласно уравнению (176), находим после геоме-
трического суммирования полную реакцию:
Rf — R?f + Rf ,
затем, построив треугольник сил, отвечающий векторному
уравнению равновесия сил, действующих на второй пово-
док (фиг. 126,а)
Qi + Rn + Rf = Q’,
(72) + (2j) + (2?7) = 0,
находим в виде замыкающего вектора реакцию внутрен-
него шарнира Ri2.
Преобразуем несколько общее уравнение равновесия,
сил в триады (179), заменяя в нем следующую геометри-
ческую сумму:
Q2 + ^=^;, (180)»
ибо ___ ______
^24 — Rn;
12$.
Фиг. 126. Решение триады и единое построение плана сил для опреде-
ления реакций внешних и внутренних шарниров триады
тогда общее уравнение равновесия сил в триаде приобре-
тает следующий вид:
Qi + Qg + Qt + Ru + Rb + Rl=0, (181)
где __ ____ ____
/ев = М + /?в;
r~l = &+rL
Уравнения, очевидно, решимы, ибо скалярно неизвест-
ными величинами являются две: Rb s Rl-
Отложив последовательно векторы Qi(0,1), Rn(1,2),
Q4(2',3), Q3(3,4) (фиг. 126,6), затем Rb(5',0) и R‘l (4,4'), прово-
дим из крайних точек 5' и 4' многоугольника сил направ-
ления RnB (параллельно ВС) и Rl (параллельно EL)-, пере-
сечение этих двух направлений в точке 5 определяет
R"B(5,5') и Е£(4',5), а также полные векторы реакций Rb (5,0)
и Rl(4,5).
Кроме того, на этом же построении можно найти и
реакции внутренних шарниров триады, отвечающих ранее
данным уравнениям:
Qi + ^4i 4~ Rb = 0;
(PJ) + (h5) + M = 0;
Qi И- Rb + Rn = О
и ___ ______ ____
(3,4) + (4,5) + (5,3) = 0.
Условие равновесия сил, действующих на базисное зве-
но, отвечающее уравнению
Qi + Ra + Rm, + Ra = 0;
(2J)+(75) + (5Л+(ЗД = о,
непосредственно выполнено в виде соответствующего си-
лового многоугольника на том же общем плане или мно-
гоугольнике сил (фиг. 126,6).
Модификации трехповодковых групп с наличием кроме
вращательных кинематических пар, также и
поступательных
Ввиду наличия довольно значительного количества мо-
дификаций трехповодковых групп, в дальнейшем только
кратко разбираются основные отличительные особенности
127
в плане кинетостатического исследования некоторых бо-
лее интересных модификаций. При этом следует учесть,
что наличие одной или нескольких поступательных кине-
матических пар в триаде упрощает в большей или мень-
шей степени общее кинетостатическое исследование ее.
Дадим сначала анализ того, как наличие внешних по-
ступательных кинематических пар в триаде влияет на
кинетрстатическое исследование, затем выявим влияние
внутренних пар, после чего нетрудно будет разобрать
исследование трехповодковой группы при одновременном
наличии в ней одной или нескольких поступательных ки-
нематических пар как внешних, так и внутренних.
Вторая модификация. Трехповодковая группа с одной
внешней поступательной кинематической парой
и остальными вращательными парами
В этом случае реакция Rt имеет определенное на-
правление (фиг. 127), поэтому в общем уравнении равнове-
сия трехповодковой группы (беря его развернутый вид)
+ + + + (182)
имеются пять неизвестных величин вместо шести.
Составив уравнения моментов для первого и второго
поводка относительно своих внутренних шарниров
Mc{Qlt R)=RbIbc-Qi Ai = О
и
Afo(Qi, R)—R‘fIdf — Qihi = 0,
находим из них величины Rb и Яг. Для звена EL с по-
ступательной кинематической парой из уравнения проек-
ций сил на ось, параллельную tt, находим ^3'=— Qscos(38.
Затем откидываем звено EL, представляя реакцию послед-
него на базисное звено в виде двух компонент Ruf = — Ra‘
и Rm, составляем уравнение моментов для всей триады
относительно одной из добавочных точек:
i=k
2 MHiiiQi, RiJ— Q1A1 QaA2^ Qthi -f-
l—1
+ Rb Ibh + RfIfh + ^34 hn — R34 ht = 0, (183)
откуда определяется Я34.
128
После этого из условия равновесия третьего поводка
находится RL и далее в результате построения общего
плана сил группы, согласно написанному выше уравнению,
аналогично ранее показанному, находятся искомые реак-
ции внешних и внутренних шарниров RB, Rf, Rc и Rd.
Наличие двух или даже трех поступательных внешних
кинематических пар в триаде сказывается на том, что в
общем уравнении равновесия группы остается последова-
Фиг. 127. Исследование второй' модификации триады
тельно все меньше неизвестных величин реакций, что ведет
в итоге к некоторому сокращению предварительных расчетов.
Заметим уже здесь, что разобранный здесь порядок
кинетостатического исследования трехповодковой группы
является далеко не единственным, а Только одним из воз-
можных.
Пятая модификация. Трехповодковая группа с одной
внутренней поступательной кинематической парой
и остальными вращательными парами
Общее уравнение равновесия трехповодковой группы
Qi 4“ Qt 4“ Qs + Qi 4~ Rb 4“ Rb 4- Rf + Rf 4- = о
содержит, как видно, опять все шесть неизвестных.
9 Кинетостатика плоских механизмов 129
Фиг. 128. Исследование пятой модификации триады
Фиг. 129. Исследование шестой модификации триады
Для поводков, не имеющих поступательной кинемати-
ческой пары (фиг. 128), поперечные составляющие реак-
ции находятся из уравнений (170) —(175).
Для третьего поводка определяем RlL из уравнения про-
екций всех сил, действующих на поводок, на ось, парал-
лельную tt
Q,cos334-/?'z=:0. (184)
После этого, составляя уравнение моментов для всей
группы относительно одной из добавочных точек, напри-
мер Н12, находим из уравнения, подобного (176), R”L . Далее,
решая равновесие третьего поводка, находим графически
Re и переходим к построению общего плана сил, откуда и
находим векторы оставшихся неизвестными реакций.
Последующие простейшие модификации трехповодковых групп с
несколькими внутренними поступательными кинематическими парами,
(фиг. 129) решаются подобно описанному случаю. При этом поперечные
компоненты реакций внешних шарниров R‘f и /?£ находятся также из
уравнений проекций на соответствующие оси поступательных кинема-
тических пар, так например,
. Rf + q2 cos р2 = О
и
/?£ + Qs cos р3 = 0.
После этого решение аналогично разобранному ранее для первой
модификации трехповодковой группы с внутренней поступательной
кинематической парой.
Модификации трехповодковых групп с несимметричным
расположением поступательных кинематических пар
Как уже ранее показывалось (см. фиг. 112), случаи нали-
чия поступательных пар, как внешних, так и внутренних, в
трехповодковой группе допускают значительное количе-
ство различных комбинаций. Естественно также, что нельзя
рекомендовать одного общего пути кинетостатического
исследования трехповодковой группы любой модификации.
В большинстве случаев существует один какой-либо путь,
который определяет простейшее решение. В каждой мо-
дификации группы, содержащей поступательные кинема-
тические пары, всегда следует поискать возможного упро-
щения по сравнению с тем решением, которое было ра-
зобрано применительно к модификации трехповодковой
группы с одними вращательными парами.
9* 131
Рассмотрим в дальнейшем приведенную ниже модифи-
кацию триады с тремя несимметрично расположенными
поступательными парами (фиг. 130).
Из уравнений проекций всех сил, действующих на пер-
вый поводок, на ось, параллельную t^, определяем со-
ставляющую реакции ; имеем:
Rii = R‘c = — Qi cos Pj,
где Pj — угол наклона силы Qj к оси
i
Фиг. 130. Исследование одиннадцатой модификации триады
Аналогично для второго поводка, проектируя силы на
ось, параллельную t2t2, получаем
R42 — Rd = — Qicos Pi 5
^Р дает угол наклона силы Q2 к оси t2t2 и далее для
третьего поводка; также из уравнения проекций сил на
ось, параллельную t3t3, находим:
R43 =? Rl = + QS COS Pg.
Затем нарушаем шарниры D и С для равновесия, при
этом прикладываем соответствующие реакции /?14 и R2^
Последние же представляем в виде двух компонент:
Я\4 = я2 = я2 + я2 |
— — -г I (185>
R2i = Rc = R?c + Rc j
132
После этого для системы базисного звена и третьего
поводка (фиг. 131) берем уравнение моментов относитель-
но особой точки Hit и получаем:
S (Qi, Rt) 1СН-/?24 Idh + Q4 А/ - hn +
+ <23Л.' — RnLht = Q. (186)
В этом уравнении неизвестна только величина , ко-
торая из него и определяется.
Фиг. 131, 132.- Применение принципа освобождаемое™ при
исследовании одиннадцатой модификации триады
После этого можно сразу найти полную реакцию шар-
нира L, ибо __ ___ ___
Имея для пятого поводка известными Q3 и RL, из
уравнения равновесия этого поводка
Q5 + ^+^7=0
находим Ri3. Эту реакцию можно также найти и из урав-
нения проекций всех сил на нормаль, получая при этом
следующее уравнение:
/?43 —Q3sin₽3-/^=0. (187)
Линию действия этой реакции определяем из уравне-
ния моментов всех сил третьего поводка относительно
шарнира L (фиг. 132).
133
Ml (Qj, R) — R43 hE Qshs — 0;
Q3
hE = hsf~.
K43
После этого можно перейти к построению общего пла-
на сил трехповодковой группы согласно уравнению ее
равновесия:
Q1 4~ Qj И- Q3 + Q< + Rl 4~ Rb 4" Re — 0;
последние две величины реакции известны только по йа-
правлению, поэтому и определяются построением общего
плана сил.
Векторы реакций двух внутренних шарниров находим
из уравнений равновесия соответствующих поводков, а
линии действия реакций Rb и Rf находятся из уравнений
моментов, взятых относительно шарниров С и D, или гра-
фически.
На этом кинетостатическое исследование данной моди-
фикации трехповодковой группы следует считать закон-
ченным.
В заключение следует также заметить следующее: если
в исследуемой модификации трехповодковой группы име-
ется поводок, содержащий две поступательных кинемати-
ческих пары, то начиная решение непосредственно с это-
го звена, можно прямым построением треугольника или
многоугольника сил определить реакции кинематических
пар поводка, после чего во многих случаях общее реше-
ние значительно упрощается.
ГЛАВА 10
КИНЕТОСТАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХ-
ПОВОДКОВЫХ ГРУПП
Механизмы I класса четвертого порядка, определяемые наличием
в своем составе одной или нескольких четырехповодковых групп,
Фиг. 133. Исследование четырехповодковой группы
встречаются в современном машиностроении чрезвычайно редко. По-
этому разберем метод кинетостатического исследования подобных групп
на модификации четырехповодковой группы, обладающей только враща-
тельными кинематическими парами (фиг. 133).
135
Величины поперечных компонент реакций внешних шарниров группы
определим из уравнений моментов всех сил, действующих на соответ-
ствующие поводки, взятых относительно внутренних шарниров группы
точек С, Dt М и N согласно следующим уравнениям:
RtB=Qi-fL-
LBC
R*F= Q2-A-
lDF
L lLM
R^=Qi-r~
(186)
В дальнейшем используются добавочные точки, поэтому находим
для нашей группы две из них: //12 и Н^, Нарушаем среднюю кинемати-
ческую пару группы—шарнир Е, при этом для равновесия разъединен-
ных частей (фиг. 134) прикладываем к ним две равных и противоположно
направленных силы R^> = — £65. Соединив далее добавочную точку
первой группы Н\2 с Е' и с Е", представляем реакцию нарушенного
шарнира, составленную из двух составляющих (фиг. 134):
^56 — Е*бв + Rr'w
(187)
При этом первую составляющую R'^ возьмем параллельно Н^Е и
вторую R"w направляем параллельно Н&Е.
После этого составляем уравнения моментов для каждой из разъеди-
ненных частей относительно своей добавочной точки:
и
2 ^Н12 (Q‘, ~ + @2^2 + В в ^ВН &F IpH +
4- R"v> h"E = о
i=k
2 (Qb ) = Q3A3 ““ (?4^4 ~ @5^5 ~^LH + &W
i=l
— Е'бб h'E = Oj
(188)
Решая их, находим единственные неизвестные: Rf^ и Е"65.
После этого уже геометрическим суммированием находится £56 или
Я65 согласно ранее данному уравнению (187).
Составляя уравнения равновесия каждой из разъединенных частей
в виде
Ql + Q2 + Qe + ^56 + $В + RB *+* RF~\~RF ~ 0 (189)
и __ ____ ? __
Qs 4* Q4 + Qs +Еб5 + Re + Re + R V 4- = 0* (190)
136
Фиг. 134. Применение принципа освобождаемое™ при исследовании
четырехповодковой группы
замечаем, что в любом из них содержится по две неизвестных скалярно
величины, являющихся нормальными компонентами реакций, поэтому
каждое из этих векторных уравнений графически решимо построением
соответствующего многоугольника (плана) сил.
Остающиеся неизвестными реакции внутренних шарниров Rc, RD >
RM, определяем из условий равновесия каждого из поводков,
обычными графическими приемами.
Необязательно компоненты реакции шарнира Е брать по линиям,
идущим к добавочным точкам, также их можно выбрать и взаимно-пер-
пендикулярно направленными (фиг. 134,а), условно назвав одну из них
R$6 (была R’S6) и вторую ^6, из уравнения моментов относительно-
точки Н12 находим компоненту R^, а затем из второго уравнения мо-
ментов относительно точки Н34 R$6) при этом, как видно, в урав-
нение моментов входит член, содержащий R^.
ГЛАВА 77
ОСНОВЫ КИНЕТОСТАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
МНОГОПОВОДКОВЫХ ГРУПП
Изложенные выше методы кинетостатического исследования различ-
ных групп могут быть обобщены и на многоповодковые группы как
открытых, так и разветвленных кинематических цепей.
Для пятиповодковой группы (фиг. 135,а) порядок решения пред-
ставляется в следующем виде.
Из уравнений моментов, взятых для каждого из поводков отдельно
относительно внутренних шарниров поводков, находим поперечные ком-
поненты реакций внешних шарниров R*c, RfD, RE и RE.
Затем находим добавочные точки Hi2 и //34 и нарушаем шарниры ТУ
и L группы, для чего прикладываем соответствующие реакции, пред-
ставляя их также в виде двух компонент. Полученные расчлененные
группы 1—2—8 (фиг. 135,6), 3—7 (фиг. 135,с) и 4—5—6 (фиг. 135,d) иссле-
дуем самостоятельно.
Из уравнения моментов для группы 1—2—8, взятой относительно*
ранее найденной добавочной точки //12, находим R^. Аналогично для
группы 4-5—6 из уравнения,моментов относительно добавочной точки
Н34 находим R7& после чего в отсоединенных группах все же остались
по три неизвестных компоненты в реакциях крайних шарниров (RE , R^ и
R"St или Re, Re и R76 ), так что прямое построение плана сил для.
отсоединенных групп еще невозможно.
Анализ оставшейся группы 3—7 также указывает на наличие в ней
трех неизвестных компонент #g7, Rtf и R& Роль добавочных точек
была ранее достаточно освещена, каждый раз добавочная или в данном слу-
чае особая точка выбиралась на пересечении двух неизвестных компонент
(Реакции. За подобную точку в данном случае можем выбрать одну из трех..
Первая Н3 (фиг. 135,а) получается на пересечении направлений компо-
нент Rq7 и Rtf, вторая Н3 может быть взята на пересечении направле-
ний Re и Rtf и третья Н3 соответственно на пересечении направления.
R*b и ^87’
Беря первую из них Н8, составляем уравнение моментов для всей
группы 3—7 относительно нее, откуда и находим единственно неизвест-
ную величину R™D.
139*
Фиг. 135. Исследование пятиповодковой группы
Фиг. 135а. Применение принципа освобождаемое™ при исследовании пятиповодковой группц
После этого прямым построением многоугольника сил для данной
группы находим оставшиеся две неизвестные компоненты: R^ и Rg7.
Уравнение равновесия группы 3—7 указывает на эту возможность
@3 + Q7 + *'о+ RnD+ *87 + *87 + *67 + *67 = о-
так как содержит в себе две указанных неизвестных.
Здесь попрежнему
^87 = ~ ^78
И
*67 = ~*76-
После этого можно перейти также к прямому построению много-
угольников сил для отсоединенных групп 1—2 -8 и 4—5—6, отвечая
следующим уравнениям равновесия их:
Ql + Q2 + Q& + *В + *В + #С + + ^78 + ^78 “ О
И
Q4 + Q5 + + &Е + &Е + + RJF + ^76 + ^76=
откуда и находим
рл рп рп „ рп
кв> кЕ И kf.
При этом учитываем, что
рп ___ рп .
К87 ~ к78’
^67 = “ ^76-
ПодобнЫЙ же план кинетостатического исследования применим и
для более сложных как открытых, так и разветвленных кинематических
цепей. Расчленение общей группы на ряд отдельных и последующее их
решение с помощью особых точек в большинстве случаев достигается
без труда, кроме некоторых особых случаев цепей с поступательными
кинематическими парами. Однако, и в этом случае общие уравнения
равновесия позволяют провести кинетостатическое исследование.
ГЛАВА 12
КИНЕТОСТАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕДУЩЕГО
ЗВЕНА
Закончив разбор методов кинетостатического исследо-
вания открытых кинематических цепей, каковыми являются
двухповодковые, трехповодковые и четырехповодковые
группы, в их различных модификациях, переходим к раз-
бору второй половины задачи—кинетостатическому расчету
ведущего звена.
В качестве ведущего звена, как уже упоминалось, встре-
чаются звенья, совершающие вр а щате л ьн ое движение
(кривошипы, кулачки, шестерни и т. п.); звенья, соверша-
ющие поступательное движение (поршни в двигате-
лях и т. п.) и звенья, совершающие сложное движение
(поршни в двигателях с качающимся цилиндром и других
различных ротационных машинах).
В настоящее время встречается толкование, где для кинетостатиче-
ского исследования любое ведущее звено, независимо от характера
своего движения, называется кривошипом; однако, подобное толкование
отличается от того, что принято в кинематике механизмов, в силу чего
в дальнейшем не употребляется.
В результате проделанного кинетостатического расчета
присоединенной к ведущему звену или звеньям группы
следует считать найденными реакции кинематических пар
(или равные, но обратные им по направлению давления во
всех кинематических парах), в том числе и те из них, ко-
торыми данная группа присоединена к ведущему звену.
Заметим далее, что общая методика кинетостатического
расчета ведущего звена не зависит от того, какого порядка
к нему присоединена группа.
Об уравновешивающей силе и уравновешивающем
моменте. На основании начала д’Аламбера механизм может
быть рассматриваем как находящийся в равновесии, в силу
чего, заключая кинетостатический расчет механизма
143
соответствующим расчетом ведущего звена, следует иметь
ввиду, что внешние силы, действующие на это звено,
произвольно выбраны быть не могут и должны быть по-
добраны из' условия уравновешенности или равновесия
всех передающихся и искомых нагрузок на ведущем
звене.
Эти силы иди моменты сил, определяемые на основе
указанного условия, называются уравновешивающими.
Заметим кстати, что количество уравновешивающих сил
или моментов равно числу степеней свободы кинематиче-
ской цепи.
Следовательно, для механизмов с одной степенью сво-
боды в силу указанного выше соображения ищется одна
уравновешивающая сила, или один уравновешивающий мо-
мент. Эти механизмы обладают одним источником движе-
ния—одним ведущим звеном.
Для механизмов, обладающих двумя степенями свободы,—
диференциалы (фиг. 135), различные стержневые (фиг. 136)
или кулачковые механизмы (фиг. 137) с двумя самостоя-
тельными источниками движения,—соответственно могут
быть найдены дре уравновешивающие силы или два уравно-
вешивающих момента и т. п. Это, как видно, вполне есте-
ственно, ибо каждому ведущему звену присуща своя уравно-
вешивающая сила.
В заключение разбора понятия об уравновешивающих
силах или моментах полезно установить некоторое физиче-
ское представление об источнике их происхождения.
В применении к рабочим машинам за подобный источник
может быть принят мотор или двигатель, создающий мо-
мент движущих сил на главном валу машины, равный
уравновешивающему моменту. Если далее задана линия
действия уравновешивающей силы, то, зная величину уравно-
вешивающего момента и плечо силы, можно найти и вели-
личину уравновешивающей силы.
О приведенной силе и вращающем моменте. Вводимое
понятие является понятием об обратных величинах.
Сила, равная по величине уравновешивающей силе, но
обратно ей направленная (фиг. 138), называется приведенной
силой; таким образом, в противоположность уравновешиваю-
щей силе приведенная сила представляет собой как бы
эффект действия всех заданных сил (в том числе и сил
инерции) на главный вал механизма или его ведущее звено.
Подобно этому представлению вращающий момент задан-
ных сил равен уравновешивающему моменту, но действует
в обратную сторону.
144
Фиг. 136, 137. Схемы механизмов с двумя степенями свободы
10 Кинетостатика плоских механизмов 145
Силы, действующие на ведущее звено. Независимо от
характера движения ведущего звена силы, действующие
на него, могут быть сведены к следующим (фиг. 138):
1. Давления со стороны присоединенной к ведущему
звену группы, передающиеся через соответствующие кине-
матические пары.
В заключенном ранее кинетостатическом расчете группы
были найдены реакции кинематических пар, находящихся
на ведущем звене (фиг. 138), следовательно, это реакции
. Фиг. 138- Силы, действующие на ведущее звено
ведущего звена на кинематические пары группы. Соответ-
ствующие давления группы на ведущее звено равны, но
обратны по направлению ранее определенным векторам
реакций.
В общем случае эта нагрузка может быть сведена к силе
/?10 и моменту Мй.
2. Вес G самого ведущего звена.
3. Сила инерции И ведущего звена.
4. Уравновешивающая сила Q или уравновешивающий
момент MQ .
Первые три указанные нагрузки являются известными
как по величине, так и по линии их действия; требуется
определить лишь уравновешивающую силу или момент.
В соответствии с указанными ранее случаями движения
ведущего звена разберем в дальнейшем метод их кинето-
статического исследования.
146
а) Ведущее звено двигается поступательно.
Для того чтобы подчеркнуть общий метод отыскания
уравновешивающих нагрузок, положим, что первые три
силы способами статики или графостатики сложены так,
что заданная нагрузка ведущего звена сведена к одной
равнодействующей силе Qo и моменту М9 (фиг. 139).
Для определения уравновешивающей силы необходимо
задать линию действия (направление) этой силы либо ее
величину. Кроме того, полезно указать точку приложения
itt
Фиг. 139, 140, 141. Исследование поступательно двигающегося ведущего
звена
уравновешивающей силы на ведущем звене. Пусть это
будет точка В. Составляем уравнение сил (в векторной
форме) _ ________
Qo+Q+^=o, (191)
где Qo — известная полностью величина, a Q и Rn известны
(для первого возможного случая) только по направлению.
Путем построения силового многоугольника (треугольника)
(фиг. 140) находим величины Q и Rn . Основной поставлен-
ный вопрос на этом закончен.
Дополнительно найдем точку приложения реакции напра-
вляющей Rn ; для этого составим уравнение моментов от
всех сил, действующих на звено относительно любой из
точек, например выбранной ранее точки В.
Mb (Qo) + Mb (Rn) + Мо = 0, (192)
откуда
Мв (Rn) = - [Mb (Qo) + Mo]; (193)
10* 147
в применении к данному случаю и выбранным обозначениям
это уравнение получает следующий вид:
(194)
(195)
Найдя величину плеча hN силы RN, откладываем его
перпендикулярно направлению RN (фиг. 140) или, что то же
самое, параллельно tt.
Для разбираемого случая чаще всего направление уравно-
вешивающей силы выбирается параллельным tt, иногда даже
совпадая с линией tt. Как видно, в этом случае решение
упрощается и сводится к раз-
ложению заданной силы Qo на
два взаимно перпендикуляр-
ных направления.
В некоторых случаях, сравни-
тельно редких, вместо линии дейст-
вия уравновешивающей задается
ее величина (второй возможный
случай) и требуется определить ее
направление. Этот вопрос решается
Фиг. 142, 143. Исследование вра- на основе того же векторного урав-
щающегося ведущего звена нения (191) с помощью следующего
порядка построения многоугольника
сил. Отложив заданную силу Qo (фиг. 141), проводим из конца вектора
этой силы дугу радиуса данной величины уравновешивающей Q, а из
начала вектора Qo проводим направление реакции RN. Пересечение
этого направления и ранее проведенной дуги дает искомое решение.
Заметим, что здесь часто (как видно на фиг. 141) возможны два решения.
б) Ведущее звено двигается вращательно.
В рабочих машинах этот случай встречается значи-
тельно чаще других. При заданной линии действия уравно-
вешивающей силы возможно как графическое, так и графо-
аналитическое решение.
Для графического решения предварительно находим точку
пересечения направления внешней силы Qo с линией дей-
ствия уравновешивающей силой Q (фиг. 142) точку 5, после
чего строим многоугольник сил (фиг. 143) по уравнению
q;+q+£7=o, (196)
где Ra по условию равновесия трех сил, пересекающихся
в одной точке, направлено по
Графоаналитически уравновешивающая сила находится
непосредственно из уравнения моментов относительно оси
вращения ведущего звена точки А:
МА (Q) + МА (Qo) + Мо = 0, (197)
148
откуда непосредственно уравновешивающий момент
MQ = МА (Q) = - [МА (Qo) + Л40], (198)
или применительно к нашему случаю
Mq=Mi(Q)=QA = Q0A0-M0 (199)
и значение уравновешивающей силы
Q = Qo-t---42-- (200)
п п
После этого реакция шарнира А находится по двум
известным векторно величинам Qo и Q из многоугольника
сил согласно вышеприведенному уравнению.
Во втором возможном случае, если задана величина
уравновешивающей силы Q, можно найти плечо А из по-
следнего уравнения:
h = h°~7^---7Г‘ (201)
У У
В этом случае сила Q может быть направлена по каса-
тельной к окружности, проведенной радиусом А из точки А
(фиг. 142).
При вращательном движении звена точка приложения
уравновешивающей обычно выбирается в виде постоянно
расположенной на звене точки, поэтому при вращении
звена она описывает окружность (фиг. 143), если при этом
линию действия уравновешивающей брать в виде каса-
тельной к этой окружности (как это чаще всего и делается),
то уравновешивающая сила получает дополнительное на-
звание касательной или тангенциальной силы.
ГЛАВА 13
ПРИМЕНЕНИЕ КИНЕТОСТАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
К МЕХАНИЗМАМ ЧЕЛЮСТНЫХ ДРОБИЛОК
Разобрав методы кинетостатического исследования двух-
поводковых и выше групп, а также соответствующий расчет
ведущего звена механизма, покажем применение этих мето-
дов на практически работающих механизмах. Один из
подобных примеров разберем на механизме челюстной дро-
билки системы Блека.
Челюстные или, как их еще называют, щековые дро-
билки по своей кинематической структуре довольно разно-
Фиг. 144. Кинематические схемы различных челюстных дробилок
с качающимся и сложно двигающимся рабочим звеном
образны (фиг. 144). По многозвенности одну часть из них
можно отнести к четырехзвенным механизмам, вторую
к восьмизвенным механизмам. Следует также заметить, что
дробящей челюстью является звено, совершающее колеба-
тельное движение (фиг. 144, а), или звено, совершающее
сложное движение (фиг. 144, 6).
Четырехзвенные челюстные дробилки относятся к про-
стейшим в части их кинетостатического исследования, по-
этому разберем исследование более многозвенного меха-
низма.
150
Конструктивная схема дробилки системы Блека показана
на фиг. 145; соответственно кинематическая схема приве-
дена на фиг. 146; здесь:
АВ — эксцентриковый вал,
ВЕС—шатун,
CD — правая распорная плита,
FE— левая распорная плита,
LF—подвижная челюсть.
Произведя классификацию исследуемого механизма,
замечаем, что он относится к механизмам I класса
Фиг. 145. Конструктивная схема челюстной дробилки системы Блека
второго порядка, ибо, откинув ведущее звено АВ,
видим, что оставшаяся группа распадается на две диады:
первая BCD и вторая LFE.
После экспериментально выявленной „геометрии масс"
исследуемого механизма следует считать известными все
веса двигающихся звеньев, моменты инерции их и поло-
жения центров тяжести каждого звена, кроме того, следует
также произвести градуировку (тарировку) пружины.
Центры тяжести звеньев нанесены на кинематическую
схему и обозначены через 52, 5а и 54.
А. Кинематическое исследование механизма
Первым шагом производим кинематическое иссле-
дование механизма, для этого, имея заданным число
оборотов эксцентрикового вала пд (обычно пд = 220-н
151
-4-240 об/мин.), рассчитываем линейную скорость точки В на
ведущем звене
vR = п- г (г — 22 мм).
в 30
После этого переходим к построению плана скоростей и
затем плана ускорений для выбранного положения механизма.
Фиг. 146. Кинематическая схема дробилки Блека
Для этого, выбрав масштаб 0 плана скоростей, отклады-
ваем рассчитанную скорость vB в виде отрезка оЬ (фиг. 147),
направляя его перпендикулярно АВ.
Дальнейшее построение плана скоростей отвечает следую-
щим векторным уравнениям (в порядке последовательности):
___^c“^ + bwc‘>
vst =vb +BvSi=vc + cvs;’
152
VE “ VB + BVE = Wc+ CVE 5
v~f=~e + EVF’>
VSs ~ Wf4~ EVS3 ’
Zd5„
4 ~Vc~T^‘
Все скорости получаются в виде некоторых отрезков
(фиг. 147) и пересчитываются в натуральную размерность
Фиг. 147, 148. План скоростей и план ускорения исследуемого механизма
дробилки
по известному масштабу 3 плана скоростей, затем пере-
ходим к построению плана ускорений; для этого рассчи-
тываем нормальные или центростремительные ускорения:
153
i
VB
Iab
V2
BVC
Ibc
2
Vb
vc
ICD
после чего, выбрав масштаб у плана ускорений, отклады-
ваем первый из рассчитанных векторов ускорений в виде
отрезка ob на фиг. 148.
Векторные уравнения, отвечающие построению плана
ускорений, подобны соответствующим уравнениям для ско-
ростей:
Jc=Jc^r Jc=- Jb + bJc=J”b + bJc + bJc\
Jst =Jb-[- bJsx =Jc-\- cjsx ;
Je = Jb~{- bJe = Jc + cJe",
Jf — Jf + Jf = Je-\- eJe + eJf >
Js& = Je-\-eJss ;
Jsi — Jf + fJs* ;
План ускорений дан на фиг. 148.
Б. Силовой анализ
Выявляя силы, действующие на звенья механизма, можно
придти к следующей картине силовой нагрузки механизма.
154
а) На эксцентриковый вал АВ для данного положения
механизма, кроме его веса Gab, за точку приложения кото-
рого можно принять центр тяжести звена 50, действует
центробежная сила инерции, вызывающая дополнительные
давления на связь:
Сав = Иав = — тАВ = - тАВ <»2Л lAS(s.
Направлена эта сила по линии АВ от центра А.
б) Шатун ВС кроме своего веса Gbc , за точку прило-
жения которого аналогично принимаем центр тяжести
шатуна точку Sp нагружен силами инерции, для учета
которых следует выбрать один из методов, разобранных
ранее. Результат естественного от выбранного метода не
зависит.
Выбираем метод приведения к силе и паре; рассчиты-
ваем значение силы инерции из уравнения:
И вс = твс Jsx •
Векториальность Иве определяем вектором ускорений
(точка 5j), затем рассчитываем момент сил инерции
Ми = — @s £в >
ft
ев = BJC определяет также направленность Ми .
1вс
в) Правая распорная плита CD имеет вес Gcd в точке 52
и, кроме того, силу инерции
И CD mCD Js2 •
Эта сила инерции проходит через центр удара (точку К),
положение которого рассчитывается по уравнению
г) Левая распорная плита FE, совершая сложное дви-
жение, нагружена своим весом Gfe и аналогично шатуну
и
— mFE J
Ми2 = ®8£Е ’
155
где
е — EJ‘F
Е~ Ife •
д) Переходя к звену, совершающему производственный
процесс—дробящей челюсти FL, выявляем следующие силы:
вес челюсти Gfl , силу инерции
^FL — mFL JSi 5
рассчитываем также положение центра удара челюсти из
уравнения
, &L
Ilk = —-----•
Фиг. 149. Силовая нагрузка механизма челюстной дробилки
Затем определяем по произведенной ранее градуировке
пружины силу упругости Р, отвечающую деформации пру-
жины для данного положения механизма.
На основе технологических данных или специальных
опытов наносим полезное сопротивление U в виде реакции
дробимого материала на подвижную челюсть.
Заканчивая этим силовой анализ, даем общую картину
силовой нагрузки механизма челюстной дробилки системы
Блека (фиг. 149).
156
В. Кинетостатическое исследование механизма
Метод планов сил. Выбрав графоаналитический способ,
начинаем расчет с последней двухповодковой группы LFE,
(фиг. 150). Мысленно при этом можно положить, что кине-
матическая пара Е нарушена; вместо нее наносим две ком-
поненты реакций Re = Ri3 и Re— А?”з. Аналогично этому
представляем в виде двух компонент R^ = Rh и R^ — RU
реакции шарнира L.
Составляя уравнение моментов отдельно для каждого
звена диады относительно среднего шарнира диады точки F,
получаем: для челюсти FL
Me (Q, R) = Uhtt — Php + Gfl — Hfl. hi — R*t Ifl — 0,
откуда
R\ = U^------P-^- + Gfl ~~Hfl
Ifl Ifl Ifl Ifl
аналогично для левой распорной плиты FE
Me(Q, R)~Gee А8 + И ее -р ТИя— Re Ife = 0,
157
а так же
Re = Gfe -/±- + HFE .
lFE lFE lFE
Составив далее общее уравнение равновесия диады LFE
U 4- Р + GFl + HFl 4- Gfe -\-ИрЕ — 0»
(^)+(7^+(2^+(74)+(73)+(3J)+(^)4-(6^4-(7^)+(77)=0,
переходим к его векторному решению, для чего строим
многоугольник сил, установив для него масштаб (фиг. 151).
Искомые неизвестные: Rl и Re.
Построив многоугольник сил 0123456 и отложив далее
рассчитанные векторы RE и Rl , проводим направление иско-
мых векторов. В точке 7 получаем искомое пересечение
векторов и самые векторы Rl(7,7'), Re (6',7) и RL^7fi),
Re = R1s(6,7).
Реакция среднего шарнира диады находится на том же
плане сил в виде вектора RSi(4,7) или RiS (7,4), отвечая гра-
фическому условию равновесия соответствующих звеньев:
//-j- Р 4“ GFl 4~ HFl 4~ Ru 4- Rl — 0;
0J + 1J + 2J + 3J + 4J+7fi = 0
или
Gfe 4- Ире 4~ Re+Ru — 0;
(4,5) + (5,6)+(б,7)+(7,^) = 0.
Переходим к первой двухповодковой группе—BCD, не-
посредственно присоединенной к ведущему звену. Нарушая
шарниры Е и В, также представляем диаду BCD в виде
самостоятельной группы (фиг. 152), для чего в точке Е
прикладываем определенную из решения первой диады
силу RiX = — Rm, а в шарнире В изображаем реакцию веду-
щего звена в виде двух компонент: Р°в и Rb‘> аналогично
представляем реакции неподвижного шарнира RnD и R*D.
158
Составляем уравнения моментов для каждого звена этой
диады отдельно относительно шарнира С; для правой рас-
порной доски CD
Me (Q, /?) = Gcd h2 + Hcd h2' - R‘o lcD = 0,
откуда
I CD LCD
Фиг. 152, 153. Исследование диады BCD и ее план сил
и для шатуна ВС
Me (Q> R) ~ — Gbc — Иве А/ — Ми' R*b 1вс = 0,
откуда
Rb = .
IBC 1вс IBC
Затем переходим к решению векторного уравнения равно-
весия всей диады BCD
159
Rn + Gbc + Иве 4“ Gcd 4* Hcd 4* Rd 4~ Rd 4" Rb 4“ Rb — 0;
(7Д) + (6j) 4- (M 4- (W 4- TO 4- (HJr) 4-
4- (777774-(7772г) 4- (7T7) = о,
которое и выполнено в виде многоугольника сил (фиг. 153).
В результате находятся векторы R'b(12,12''), Rb (11',12) и
R в (12,7) и RD (11,12).
Переходя к ведущему звену АВ, видим, что воздей-
ствие всех сил, действующих на механизм, передалось ему
\ у. ЛИНИЯ ДЕЙСТВИЯ
\ УРАВНОВЕШИВАЮЩЕЙ
\Д chabiQ
\\r = p
\\Л01 пв
Фиг. 154, 155. Расчет ведущего звена АВ и его план сил
в виде силы Riq — — Rai = — Rb (фиг. 154), кроме того, на
это звено действуют ранее перечисленные дополнительные
нагрузки.
Составляя уравнение моментов относительно оси вра-
щения шарнира А,
Мл (Q, R) — Я10 Л10 4- Gab /ц ~ Q г — 0,
откуда уравновешивающая тангенциальная сила
Ло может равняться нулю для сбалансированных валов,
160
После этого, строя план сил, находим реакцию опор-
ного шарнира А согласно уравнению
Н- Gab + Сдв + Ra = 0;
(7,12) +(12,13)+( 13,14) 4- (14,7) = 0;
графически последнее уравнение решено на фиг. 155.
На основании произведенного силового анализа и кине-
тостатического исследования для всего цикла работы
машины появляется возможность произвести расчет на
прочность механизма челюстной дробилки системы Блека,
выбрав соответствующие наиболее опасные положения
механизма и максимальные нагрузки его.
11 Кинетостатика плоских механизмов
ГЛАВА 14
КИНЕТОСТАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
С ВЫСШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ
Наличие высших пар в исследуемом механизме не вно-
сит каких-либо дополнительных затруднений в кинетоста-
тическое исследование, а в ряде случаев упрощает общий
план решения.
Общий метод кинетостатического исследования меха-
низма, обладающего одной или несколькими высшими па-
рами, можно изложить, основываясь на известном методе
замены высших пар, механизма низшими.
Независимо от того, к какому классу и порядку при-
надлежит исследуемый механизм, заменяя высшие пары,
сводимзадачу исследования к заменяющему
механизму, обладающему одними только низ-
шими парами, и следовательно, подчиняющегося ранее
разобранным приемам исследования.
Разберем кратко основы названного метода.
О замене кинематических высших пар меха-
низма низшими.
Как известно, высшие кинематические пары, дающие
соприкасание двух звеньев по линии, можно заменить груп-
пами звеньев с низшими кинематическими парами: в по-
следних соприкасание двух звеньев происходит по поверх-
ности.
Основой для подобной замены является кинематический
признак. В зависимости от рассматриваемого участка про-
филя кулачка и схемы механизма приходится производить
замену различными модификациями двухповодковых, трех-
поводковых и т. д. групп. После замены в большинстве
случаев структура механизма не изменяется, т. е. механизм
остается, положим, простым четырехзвенным механизмом,
если он и ранее был таковым, и т. п. Естественно, что
заменяющий механизм кинематически долежи
162
быть эквивалентен заменяемому кулачковому
механизму, причем один заменяющий механизм
действителен только на той части профиля, на кото-
рой сохраняется неизменный радиус кривизны
профиля кулачка; как только ролик ведомого звена
попадает на участок профиля, описанного другим радиусом,
так и заменяющий механизм необходимо взять другой.
На основании сказанного ясно, что в заменяющем
механизме основные звенья, т. е. ведущее звено и
ведомое, должны иметь ту же кинематику, что и
в действительном механизме. Остальные звенья могут дви-
гаться не по общим законам.
Основы теории заменяющих механизмов. Проще всего показать
кинематическую эквивалентность механизма с высшими парами и заме-
няющего механизма, используя теорему Виллиса.
На фиг. 156 показан общий случай механизма с высшей кинемати-
ческой парой В, а несколько ниже (фиг. 156, а) дан заменяющий механизм,
где точки Hi и Н2 являются центрами кривизны соприкасающихся
в данный момент участков профилей.
Построив план скоростей (фиг. 156, 6), видим, что
K^cosa = V^cosp (202)
или
ЮА 1АВ С°® “ ~ 03С lCB C°S ₽ ’ (203)
опустив из центров вращения звеньев перпендикуляры на общую нор-
маль к профилям, получим точки и N2, причем очевидно, что
<4В cos а = 1AN1 ;
ZCB cos р = lCN^ ,
(204)
(205)
CD . ^CTV
или в другом виде _л __ C2V2 ,
“с
но, как видно, Л AN±P ~ Л CN2P, поэтому
^4 _ 1рс
1ра *
Построив точку Р и для заменяющего механизма, получим подобное
же отношение скоростей. Аналогично можно доказать и в части равен-
ства соответствующих ускорений в заменяемом и заменяющем механиз-
ме. Таким образом, кинематически оба механизма эквивалентны.
И* 163
Иные модификации заменяющих групп с низшими парами показаны
для кулачкового механизма на фиг. 157, а и Ь. Первая схема дает заме-
няющий кулисный механизм, и вторая схема показывает шарнирный
Фиг. 156. Замена высшей кинематической пары
заменяющий механизм. Участок профиля кулачка в этом случае был
выбран по дуге радиуса р. В случае если кулачок имеет на исследуе-
мом участке прямолинейный контур, то очевидно, что заменяющий ку-
лисный механизм должен также превратиться в механизм с прямоли-
нейной кулисой (фиг. 158).
164
Особенности силового анализа механизмов с высшими парами после
замены последних низшими заключаются в том, что при замене вво-
дится фиктивное звено, т. е. такое звено, которое не имеет ни
собственного веса, ни собственного момента и ji е р ц и и.
Подобным звеном на фиг. 156, Ъ является а на фиг. 157, b звено
НВ. На основании сказанного ясно, что кинетостатическое исследование
группы двухповодковой, трехповодковой и т. д. несколько упрощается,
ибо в состав группы может входить фиктивное, а следовательно, само-
стоятельно ненагруженное звено. Иллюстрацию данного
положения дадим прямо на примере.
165
Пример. Разберем кинетостатическое исследование ку-
лачкового механизма (фиг. 159), являющегося механизмом
I класса второго порядка.
Фиг. 158
Силовая нагрузка коромысла сведена к следующим силам:
1. Сила веса звена Gcd, проходящая через центр тяже-
сти—точку S звена CD.
2. Сила инерции звена Исо> проходящая через центр
удара—точку К.
1
Фиг. 159, 160. Исследование механизма с высшими парами
Заменяя высшую кинематическую пару в точке сопри-
касания ролика и кулачка, приводим наш механизм к четы-
рехзвенному шарнирному механизму с низшими парами
166
(фиг. 159); при этом звено ВС является фиктивным, ибо
не обладает весом (вес ролика относим к коромыслу).
После высказанного становится ясным, что если в шар-
нире D имеются две составляющие реакции Rq и Rb, то
в шарнире В имеется лишь одна составляющая Rb=Rb =
= Rc, обусловленная взаимодействием звеньев ВС и CD.
Уравнение моментов относительно шарнира С для звена
CD дает
Мс (Q,R) = Gcd Л, - HCD h' - /& Z>fi = О,
откуда
Rv^Gcd^-Hcd^-.
“В “в
После этого можно сразу перейти к построению общего
плана сил (фиг. 160). Отложив Gcd (0,1), затем Исо (1,2),
прикладываем рассчитанную величину Rd (3,0) и из конца
этого вектора проводим направление Rd (2,3). Далее, в ви-
ду того, что R‘b = 0, прямо из точки 2 проводим напра-
вление Rb (параллельно ВС). Пересечение их в точке 3
определяет (3,3') и RnB (2,3). Полная реакция шарнира D,
Rd выражена отрезком (3,0).
Общее уравнение равновесия диады BCD при этом на-
пишется в следующем виде:
Gcd + И cd + Rd + Rb = 0.
Как нетрудно видеть, реакция центрального шарнира
диады, определяемая из условия равновесия звена CD или
ВС, будет равна Rc — RnB, что вполне естественно, ибо
давление в высших парах передается по нормали к поверх-
ности.
Разобрав общее применение ранее разобранного пути
исследования двухповодковой группы, укажем далее на
возможное упрощение этого решения, обусловленное тем
обстоятельством, что один из поводков двухповодковой
группы является фиктивным. В самом деле, зная, что в фик-
тивном звене реакция направлена по линии этого звена
(поперечная компонента реакции отсутствует), возьмем
167
уравнение моментов относительно внешнего шарнира диады
точки D (фиг. 159).
2 Л7О ( Q,-, Ri) = Gcd hi — HCDhi' — Rb he = 0,
i=i
откуда сразу находим
RB ~ = = ^cd И CD "fa •
LB в
После этого, переходя к общему плану сил, находим
в результате его построения в качестве замыкающего век-
тора реакцию Rd , чем, естественно, общее решение не-
сколько сокращается.
Уравновешивающий момент, как видно, равен
Л/q = R21 htl Go Ао,
реакция же шарнира Аг определяется аналогично ранее
показанному.
ГЛАВА 15
СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ ЭКСКАВАТОРА
С ПРЯМОЙ ЛОПАТОЙ
Общая конструктивная схема основных механизмов экс-
каватора, участвующих в непосредственном совершении
производственного процесса, приведена на фиг. 161.
После установки стрелы 00 в надлежащее положение,
что совершается лебедкой, связанной с валом О2 и дей-
ствующей на стрелу с помощью троса XX, нормальный
производственный процесс совершают два механизма: ме-
ханизм подъема ковша и напорный механизм. Первый дей-
ствует от подъемной лебедки с помощью троса YY и
регулирует положение ковша по высоте, второй придает
движение ковшу в направлении рукоятки FD, при этом и
происходит врезание ковша в грунт. Непосредственно дви-
жение рукояти сообщает шестерня, сидящая на валу А,
сцепляющаяся с зубчатой рейкой рукояти (так называемая
кремальера). При работе одновременно двух источников
движения любая точка ковша совершает сложное дви-
жение.
В дальнейшем произведем силовой расчет в период со-
вершения производственного процесса указанных механиз-
мов. Выделяя указанные механизмы в виде отдельной
кинематической схемы (фиг. 162), заменяем имеющуюся
высшую кинематическую пару К звеньями АВС с низшими
кинематическими парами (фиг. 162а), при этом звено ВС
будет фиктивным звеном, направленным по нормали
к зубцам рейки и шестерни, а звено АВ заменяет собой
шестерню.
Рассматриваемый сложный механизм имеет двукратную
изменяемость или две степени свободы., ибо обладает двумя
источниками движения. Отбросив последние, получаем,
как видно, трехповодковую группу в виде базис-
ного звена DCF и трех поводков к нему: LD, AF и ВС.
169
Следовательно, исследуемый механизм является меха-
низмом I класса третьего порядка.
Производя силовой анализ, можно придти к следующей
нагрузке механизма, которую и следует считать заданной
или определенной ранее:
{7 — реакция грунта или сила сопротивления грунта
действует на режущую кромку ковша (фиг. 162);
Gdf — вес ковша и рукоятки, приложенный в своем
центре тяжести;
Gaf — вес направляющей (или поддерживающей) серьги;
Gdl — вес троса (в дальнейшем им можно пренебречь);
Ga — вес шестерни напорного механизма;
Ge — вес барабана или направляющего ролика.
Что касается сил инерции, то ввиду тихоходности меха-
низма они большой роли не играют; в методической своей
части включение их в расчет аналогично ранее приведен-
ным примерам.
Подлежат определению реакции внешних шарниров
трехповодковой группы RA , Rb и Rl , реакции внутрен-
них шарниров той же группы Rf , Rc и RD и уравно-
вешивающие моменты Ма и Мо на валах ведущих звеньев.
Рассматриваемый случай трехповодковой группы яв-
ляется частным случаем среди ранее рассмотренных, обла-
дая одной внутренней поступательной кине-
матической парой и двумя фиктивными по-
водками DL и ВС, т. е. звеньями, не имеющими
собственной дополнительной нагрузки. В силу указанного
обстоятельства реакции
Rd — Rl и Rb = Rc ;
при этом, естественно, решение значительно упрощается.
Переходя к последнему поводку AF для определения
Ra, проектируем GAf на линию, параллельную FD, после
чего из уравнения
Ra + Gaf sin р2 = О
находим поперечную компоненту реакции цилиндрического
шарнира А.
Для определения нормальной доставляющей реакции
Ra шарнира А находим добавочную точку Н13 на пересечении
171
Фиг. 162. Кинематическая схема напорного механизма и механизма подъема
ковша, экскаватора, а также силовая нагрузка
Фиг. 162а. Замена высшей*.пары напорного механизма экскаватора
направлений первого и третьего поводков' (фиг. 162)»
а затем берем уравнение моментов относительно этой
точки:
<•=*
S №ц — Uht — Gfd hi — Gaf h2 -f- Ra ht -|- Ra ha = Q,
1=1 15
откуда
RnA = Gfd Д4 + Gaf.4? - u-^
"n "a "a ha
Построив по двум составляющим (фиг. 163) вектор пол-
ной реакции шарнира А, переходим к построению общего-
плана сил, ибо уравнение равновесия трех-
поводковой группы в виде:
U -f- Gaf + Gfd + Ra 4” RB 4* Rl = О
при двух неизвестных скалярно величинах
указывает на возможность подобного по-
строения.
Отложив из полюса О (фиг. 164) вектор
реакции грунта U (0,1), откладываем затем за-
данные векторы весов звеньев Gfd (1,2) и Gaf(2,3)
в указанном порядке и далее ранее определен-
ную реакцию Ra (3,4), затем проводим из конца
вектора U направление реакции RD (парал-
лельно DL) и из начала вектора Ra направ-
ление реакции RB (параллельно ВС) до их
взаимного пересечения в точке 5, чем и опре-
делили все векторы реакций внешних шарни-
ров трехповодковой группы.
Для отыскания реакции поступательной ки-
нематической пары Rf строим план сил со-
гласно следующему векторному уравнению
равновесия звена AF:
4
Фиг. 163.
Геометриче-
ское сумми-
рование ком-
понент ре-
акции шар-
нира А
Gaf 4“ Ra 4- Rf — О,
что вполне возможно, ибо два вектора Gap и Ra полно-
стью известны и графически решение сводится к построе-
нию замыкающей Rf (2,4) (фиг. .164). Условие перпендику-
лярности Rf к направляющей FD может быть использовано
для графической проверки точности ранее выполненных
расчетов и построения общего плана сил.
173.
Нетрудно видеть, что при этом построении автомати-
чески выполнено условие равновесия базисного звена в виде
U + Gfd 4- Rf + Rc + 7?d=0;
(^7)+(7,2)+(2,4)+«5)4-(5,<?) = О,
•фиг. 164. Построение плана сил
для механизмов экскаватора и
определение реакций его кинема-
тических пар
что и показано на той же
фиг. 164.
Определение точки, через
которую проходит Rf , можно
произвести графоаналитически
или графически. В первом слу-
чае для этого берем уравнение
моментов относительно точ-
ки А (фиг. 165):
(Q,R)=Gaf ht—Rf hp =0,
откуда и рассчитываем
,___L Gaf
n.F — h?, Rf 9
откладывая затем это плечо
по линии FD согласно знаку.
Фиг. 165. Определение линии дей-
ствия реакции поступательной
кинематической пары в напорном
механизме
При графическом определении hp используется условие
равновесия звена, находящегося под действием трех сил.
174
Найдя точку пересечения М двух направлений известных
сил Gaf и Ra (фиг. 165), проводим через нее линию, пер-
пендикулярную плоскости ползуна; отсекаемый отрезок на
линии FD определяет величину и положение hr
Уравновешивающие моменты на ведущих валах рассчи-
тываются по уравнениям
ЛА = Qi 'i = Rl Г!,
и
МА = ^гг — RB hB,
где Qi — Rl так называемое подъемное усилие;
Q2 — напорное усилие.
В заключение заметим, что полную реакцию шарнира А
R'a можно определить из уравнения
R'a + Ra 4" Gb + Rb = 0.
Фиг. 166. Кинематическая схема механизма дви-
жения талера печатной машины
Фиг. 167. Кинематиче-
ская схема кулисно-
го механизма стро-
гального станка
При практическом расчете на прочность следует учесть
различные, хотя и параллельные, плоскости действия сил
Ra и Rb .
Примеры 1 и 2. Более общие случаи механизмов I клас-
са третьего порядка представлены на фиг. 166 и 167; на
первой из них дана кинематическая схема механизма дви-
жения талера плоскопечатной машины; как видно, здесь
трехповодковая группа непосредственно одним из повод-
ков присоединена к кривошипу, кроме того, видно, что
один поводок обладает поступательной кинематической
парой; на второй названной фигуре показана кинематиче-
ская схема кулисного механизма шепинга (строгальный
175
станок). Этот механизм тоже, как видно, обладает трех-
поводковой группой, причем группа имеет одну внешнюю
и одну внутреннюю поступательную пару.
Фиг. 168. Кинематическая схема кулисного механизма Гейзингера
Оба названных механизма относятся к ранее рассмот-
ренным модификациям механизмов с трехповодковыми
группами и решаются после построения добавочных точек
/У1а и т. д. теми же приемами.
Фиг. 169. Четырехповодковая группа механизма Гейзингера с добавочными
точками
Пример 3. Большой методический интерес представляет
собой кулисный механизм Гейзингера (фиг. 168); анализ
структуры этого механизма показывает, что механизм со-
ставлен из двух двухповодковых групп 2, 3 и 4, 5,
176
непосредственно присоединенных к кривошипу ОАВ и одной
четырехповодковой группы 6, 7, 8, 9, 10, 11 (фиг. 169).
Следовательно, механизм принадлежит к I классу четвер-
того порядка.
Последней присоединенной группой является четырех-
поводковая, поэтому с нее следует начинать кинетостати-
ческое исследование механизма. Построив для четырех-
поводковой группы (фиг. 169) две добавочные точки Не, 8 и
Нм, и» представляем себе нарушенным шарнир Л7(фиг. 170)
Фиг. 170. Применение принципа освобождаемости к исследованию
четырехповодковой группы механизма Гейзингера
и изображаем реакции этого шарнира на обе части в виде
двух компонент, идущих по направлениям, связывающим
шарнир N с добавочными точками, после чего идем по
тому пути решения, который был показан при разборе
четырехповодковой группы.
Закончив четырехповодковую группу, переходим к ре-
шению первой или второй двухповодковой группы, и, на-
конец, к кривошипу.
12 Кинетостатика плоских механизмов
ГЛАВА 16
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Разобрав методы кинетостатики, мы уже знаем, что
имеется полная возможность определить реакции любой
кинематической пары и в завершение исследования найти
уравновешивающую силу на ведущем звене механизма,
однако, как было показано, полное кинетостатическое иссле-
дование требует значительной по своему объему и довольно
кропотливой работы.
При решении общих вопросов динамики машины часто
не требуется знания усилий в каждой кинематической
паре механизма, а вполне достаточно знания уравновеши-
вающей силы Q или пары сил.
Непосредственно величину уравновешивающей силы
можно определить несколькими способами. Простейшим
из них и наиболее употребимым является изящный прием,
предложенный проф. Н. Е. Жуковским, который и разби-
рается в дальнейшем.
Если к силам, действующим на механизм, будем добав-
лять уравновешивающую силу, то в каждом положении
механизм может рассматриваться как находящийся в равно-
весии. Таким образом, в случае неизвестной величины
уравновешивающей силы Q появляется возможность найти
ее из условий равновесия механизма. В силу этого в дан-
ной главе разбираются вопросы равновесия сил
в плоских механизмах.
Исследование равновесия сил, действующих или появ-
ляющихся в различных точках звеньев механизма, проще
всего произвести, применяя начало возможных пере-
мещений Лагранжа, хотя в отдельных случаях при
решении можно пользоваться непосредственно уравнениями
статики без особых затруднений. При анализе равновесия
всех сил, включая и силы инерции, подразумевается исполь-
зование начала д'Аламбера. Совокупное применение
178
двух названных принципов позволяет свести задачу динами-
ческого исследования механизма к задаче статического
равновесия системы сил, приложенных в определенных
точках звеньев плоского механизма, при этом реактивные
силы в кинематических парах, как взаимно уравновеши-
вающиеся {Rqp= — Rp^, учитываться не должны.
Согласно начала Лагранжа, „Для равновесия системы
необходимо, чтобы сумма элементарных работ всех дей-
ствующих сил при возможном перемещении была бы равна
нулю". В применении к механизмам всегда возможные
перемещения можно выбрать так, чтобы они совпадали
с действительными перемещениями.
УРАйНОаЕШИВАГОЩЕИ силы
Фиг. 171. Применение начала возможных перемещений
Аналитически последнее условие можно рыразить сле-
дующим уравнением:
i=k
2 dAi — dA^ 4“ dA% -j- dAz 4“ • • • • dAi—i 4“ dAi =
l~ i=k
= S Qi dsi COS = 0, (206)
i=l
где элементарная работа любой силы
dAt = Qidsi cos S/; (207)
здесь dsi — элементарное перемещение точки приложения
силы Qit а 8, — угол между направлением силы Qi и дейст-
вительным элементарным перемещением dsi или вектором
скорости v{ той же точки.
Если на основе вышеприведенного уравнения отыски-
вается уравновешивающая сила Q, имеющая заданную ли-
нию действия на ведущем звене механизма (фиг. 171), то
12* 179
выделяя неизвестную величину работы уравновешивающей
силы в самостоятельный член, можно переписать основное
уравнение в следующем виде:
i=k— 1
dAQ + S dAi = Q, (208)
1—1
или
t=k-l
QJsq cos 8q + 2 Qidsicos 8/ — 0* (209)
i—i
Чаще всего выбираемая линия действия уравновеши-
вающей силы совпадает с направлением скорости, следо-
вательно, cos oq = 1, и уравнение принимает следующий вид:
i=k-i
QJsq 4- 5J Qids£ cos 8Z = 0. (210)
i=i
Для практически действующих механизмов с жесткими
звеньями возможное перемещение совпадает с действитель-
ным, и тогда уравнение (210) можно разделить на dt, полу-
чив е^о в следующем виде:
Qvq + QfUiCos%i = 0 (211)
и
i=t-i
Q=V QAcos5 = 0. (212)
В этом уравнении отношение скоростей различных то-
чек механизма не зависит от их абсолютных величин,
сохраняя постоянную величину для данного положения
механизма.
В заключение заметим, что разбираемый здесь способ хотя и употреб-
ляется в основном для определения уравновешивающей силы, однако,
в случае если последняя определена каким-либо экспериментальным
путем, может быть применен к любому другому вопросу, разбирающему
равновесие сил в механизме.
Так например, часто нет возможности подсчитать или определить
достаточно просто все действующие силы, особенно силу полезного
сопротивления, т. е. ту силу, преодолевать которую данная машина и
предназначена; тогда задача о равновесии системы сил, действующих
на данный механизм, сводится к задаче нахождения неизвестной силы
на основе ранее данных уравнений.
Графоаналитический способ. Как первый шаг в реше-
нии задач равновесия будем рассматривать бесконечно-
малое перемещение звеньев механизма, происшедшее со ско-
ростью, равной бесконечно-малой величине первого порядка,
180
тогда кинетическая энергия механизма будет бесконечно-ма-
лой величиной второго порядка и таким образом ее можно
не учитывать. Считаясь при этом только с действием задан-
ных сил, Н. Е. Жуковский показал, что, применяя план
скоростей, вопрос равновесия механизма
можно свести к задаче равновесия жесткого
рычага, причем за жесткий рычаг принимается
построенный план скоростей.
Уравнение (211) Q/yzcos8z графически можно представить
следующим образом.
Пусть ВС (фиг. 172)—звено механизма, точки которого
двигаются по заданным траекториям; пусть в точке С при-
ложена сила Qi и движется она со скоростью vc. Направ-
ление силы и скорости, так же как и их величины, считаем
заданными.
План скоростей для данного отрезка дан на фиг. 172,а.
Переносим силу в одноименную точку плана скоростей
и поворачиваем ее на 90°; поворот зависит
от направления вращения механизма, в случае
вращения по часовой стрелке силы также
повертываются по часовой и наоборот. Тогда,
как видно,
ОлУс cos 8j = QioA Р = ^(QO, (213)
181
т. е. равен моменту силы Qj относительно полюса плана
скоростей.
В случае нескольких сил нужно будет каждую из них
перенести в соответствующую точку плана скоростей и
написать уравнение моментов от всех сил.
Для простых шарнирных механизмов проще и несколько
более точно (в смысле меньших графических погрешностей
при построении, так как все линии проводятся параллельно
данным) совершать поворот не сил, а скоростей в направ-
лении, обратном направлению вращения механизма, а силы
переносить по их действительным направлениям.
Для нахождения уравновешивающей силы Q (фиг. 172),
приложенной к точке В и действующей по линии ско-
рости vB, нужно и ее также перенести в план скоростей
в точку В, повернув предварительно на 90°; при этом,
очевидно,
QvB=Qob$ = M0(Q), (214)
после чего уравнение возможных перемещений принимает
следующий вид:
QiVc cos — QvB = 0 (215)
или
Q1Oh-Qob = 0, (216)
т. е.
^IM0 = M6(Q1) + M0(Q) = 0. (217)
В случае действия значительного числа сил Q{ каждый
член можно представить в виде некоторого момента относи-
тельно полюса плана скоростей о; общее уравнение при
этом принимает следующий вид:
i=k i—k—1
S Мо = S JWo(Q/) + lHo(Q) = O, (218)
i=i ;=i
т. e. для равновесия сил в плоском механизме
необходимо, чтобы сумма моментов, взятых
относительно полюса плана скоростей от всех
сил, действующих на механизм, и уравновешивающей
силы после перенесения их на план скоростей была бы
равна нулю.
Если на звенья механизма, кроме сил, действуют еще
и пары сил, то проще всего каждую пару сил заменить
двумя противоположно направленными силами, действую-
182
щими в кинематических парах звена (фиг. 173), рассчитав
их из очевидных уравнений:
М= NlBC и , (219)
1вс
после чего и перенести их в одноименные точки плана
скоростей (фиг. 174).
В дальнейшем можно учитывать действие каждой силы
отдельно или совместно, считая, что момент этих двух сил
относительно полюса плана скоростей равен:
Мо (2V) = Nohr + Noh2 = Nhrh2 = Nbc. (220)
На основании доказанного, процесс нахождения уравно-
вешивающей силы складывается из следующих этапов:
Фиг. 173, 174. Учет момента от сил инерции на плане скоростей
1. Построения плана скоростей для выбранного поло-
жения механизма.
2. Переноса в одноименные точки плана скоростей сил,
предварительно повернув их на 90° в сторону вращения
кривошипа.
3. Составления уравнения моментов от всех сил отно-
сительно полюса плана скоростей и расчета из последнего
уравнения уравновешивающей силы.
Замечание. В случае построения повернутого плана
скоростей силы должны быть перенесены по их действи-
тельным направлениям без поворота. Нетрудно также ви-
деть, что масштаб плана скоростей не играет существенной
роли для расчета уравновешивающей силы и можно его
не знать, ибо уравнение (216) однородно по отношению
к величинам плеч oh, ob и др.
Для расчета уравновешивающего момента нужно най-
денную уравновешивающую силу умножить на соответст-
вующее плечо, т. е.
— QIab •
183
Построение диаграммы тангенциальных уравновешиваю-
щих усилий, действующих на палец кривошипа механизма
(фиг. 175) (при использовании указанного метода), состоит
в том, что приходится построить планы скоростей для
всех (16 или 24) положений механизма за цикл работы и
Фиг. 175. Диаграмма тангенциальных уравновешивающих усилий
в каждом случае после переноса сил и решения уравнения
моментов относительно полюса плана скоростей найти
силу Q для каждого положения механизма, после чего
является возможным построить по имеющимся значениям Q
Фиг. 176. Определение уравновешивающей силы для кулачкового механизма
диаграмму тангенциальных усилий. Диаграмма приведенных
тангенциальных сил, как обратных и равных величин, полу-
чается в виде зеркального изображения первой диаграммы.
Пример 1. Дан кулачковый механизм (фиг. 176). Вал, на
котором посажен кулачок, вращается по часовой стрелке.
184
Через ряд звеньев движение передается ползушке Е, являю-
щейся поршнем насоса. Пружина KF прикреплена к коро-
мыслу BCD. Положим, что пружина сопротивляется
движению ползушке Е, давая вертикальную слагающую,
равную Р кг. Требуется Определить уравновешивающий
момент на валу кулачка Mq .
Построим по известным правилам новое положение
механизма. Пусть это новое положение получилось через
Д t сек.; за это время точка В прошла
путь Д$в, а точка К Asa. Теперь
можно .применять начало возможных
перемещений, написав
PlsAcosS — Q As —
— PAskcos5 — MQ Да = 0.
Отсюда и определяем Q или Mq .
Так как величины взяты прямо с чер-
тежа за выбранный интервал време-
ни At, то величина Q дает среднее
значение.
На этом же примере разберем, как
можно воспользоваться предложе-
нием Н. Е. Жуковского.
Построим план скоростей в произ-
вольном масштабе для данного поло-
жения механизма (фиг. 177).
Перенесем силы в соответствую-
щие точки плана скоростей, повер-
нув их на 90° по направлению вра-
щения кулачка и напишем уравнение
моментов относительно полюса план;
Мй = Poh — Qob — 0,
откуда находим Q.
Этим методом мы получаем мгновенные значения урав-
новешивающей силы Q для данного положения механизма,
после чего уравновешивающий момент
AfQ - Qp,
где р = АВ.
Пример 2. Дан кривошипно-шатунный механизм лесо-
пильной машины (фиг. 178). В точку С от пилы пере-
даются две силы: сила сопротивления резания U и вес
пилы Gc\ в центре тяжести, точке Sj шатуна ВС, считаем
185
Фиг. 178. Кинематическая схема механизма лесопильной машины и его
силовая нагрузка
приложенным вес его Gbc- Найти уравновешивающую тан-
генциальную силу, действующую на палец кривошипа АВ.
Для решения подобной задачи строим план скоростей
в повернутом положении. Это построение произведено
на фиг. 178 (треугольник ОВС), оно же повторено в не-
сколько более крупном масштабе на фиг. 179 (треугольник
obc). Затем переносим силы без поворота, показанные
Фиг. 179. План скоростей и его
использование как жесткого
рычага
[ Фиг. 180. План ускорений лесо-
пильной машины
на механизме, в соответствующие точки на плане скоро-
стей и пишем уравнение моментов:
— U ос Gc oh2 -|- Gbc ohr + Q ob = 0,
откуда и находим
Q = U—k - - GBC•
ob ob ob
Знак минус перед членами уравнения показывает, что
для взятого положения механизма все данные силы дают
момент положительный, т. е. способствующий направлению
вращения механизма, и знак плюс показывает на силу со-
противляющуюся. Это видно из рассмотрения построений
на фиг. 178 и 179.
Для отыскания значения уравновешивающей силы с уче-
том действия сил инерции звеньев механизма приходится
предварительно построить план ускорений (фиг. 180), а
187
затем рассчитать значения сил инерции; для рамы с пилами
Ис = — mcjc=--40с
и для шатуна
Иве твс Js
Фиг. 181. Учет сил инерции с помощью
жесткого рычага
Gee
----1 os;
g
после чего наносим
их в одноименные
точки плана скоростей
(фиг. 181). После это-
го составляем вновь
уравнение моментов
относительно полюса
плана скоростей; оно
получает следующий
вид:
— U ос + Ge oh.
Gbc oh2 — Ис ос —
— Иве oh.'— Nbc +
+ Qob = 0,
откуда полная уравно-
вешивающая сила
Q = U-^- - Gc^ - Gbc + Ис —h + Иве ,
ob ° ob ob ob ob ОЬ
размеры плеч ob, ос и другие могут быть взяты непосред-
ственно с чертежа в миллиметрах.
В случае наличия в механизме звена, совершающего
колебательное движение, как это, например, имеет место
в дробильных машинах, рассчитав силу инерции этого
звена при перенесении ее на план скоростей, приходится
предварительно построить изображение центра удара на
плане скоростей, куда и перенести повернутую силу
инерции.
188
Графический метод приведения сил. При решении за-
дачи’равновесия статически определимой системы, каковой
является план скоростей, естественно желание воспользо-
ваться приемами графостатики. Это сделать возможно и
в некоторых случаях получается довольно изящное чисто
графическое решение.
На фиг. 182 показано твердое звено АВС, могущее
вращаться вокруг неподвижного шарнира А. Предположим,
что действующую систему сил приемами статики свели
Фиг. 182, 183. Графическое приведение сил
к одной равнодействующей Qo, приложенной в точке S.
Найти приведенную или уравновешивающую силу в точке В
можно несколькими приемами; первый из них состоит в не-
посредственном разложении действующей силы Q на две
составляющих по направлению AS и по направлению, пер-
пендикулярному АВ. Первая составляющая не дает вра-
щающего момента относительно точки опоры, вторая со-
ставляющая полностью уходит на вращение звена. Плечом
приложения второй составляющей является расстояние AS;
чтобы привести ее к точке В, приходится пересчитать ее
AS д.
в отношении плеч , что можно сделать и графиче-
ски. Несколько удобнее продолжить направление действия
силы Qo до пересечения с линией действия уравновеши-
вающей (перпендикулярной АВ и проведенной через точку В);
обозначить точку пересечения через М, а затем разло-
жить силу Qo на направления AM и перпендикулярно АВ.
189
Тогда вторая составляющая сразу даст величину при-
веденной силы Q; равной и обратной по величине будет
уравновешивающая сила.
Нетрудно заметить аналогию между рассмотренным
случаем приведения силы для вращающего звена АВС и
случаем равновесия плана скоростей как жесткого рычага
с системой действующих на него сил. Вся задача сводится
к отысканию равнодействующей силы и линии
ее действия.
Проиллюстрируем сказанное на ранее разобранном при-
мере.
Фиг. 184. Многоугольник сил и определение приведенной силы
Пусть на фиг. 183 повторен план скоростей треуголь-
ника обе с перенесенными в соответствующие точки его
силами. Произведя сложение сил, приложенных в точ-
ке С и 5, получаем результирующую их Q^> которая про-
ходит через точку е пересечения, направлений векторов
имеющихся сил. Затем находим пересечение с напра-
влением приведенной силы Qo, в точке d и раскладываем
силу на направление силы Qo, перпендикулярно ob и
параллельно od. Первая слагающая дает рабочую состав-
ляющую, а вторая не дает момента относительно полюса.
Дополнительными построениями на плане скоростей
затрудняется обычно чтение того, что на нем изобра-
жено.
Употреблением многоугольника сил (фиг. 184), где про-
изведено сложение действующих сил, а также разложение
равнодействующей на Qo и S, можно в значительной
степени разгрузить фиг. 183 от добавочных построений.
190
Найдя графически приведенную силу, можно определить
суммарный вращающий момент заданных сил
в механизме из обычного уравнения
М = Qo АВ.
Приводящая окружность. Перенеся силы на план
скоростей и рассматривая его как жесткий рычаг, можем
Фиг. 185. Использование приводящей окружности для определения
приведенной силы и вращающего момента
определить вращающий момент с помощью так называемой
приводящей окружности. Для этого проводят из полюса
плана скоростей (фиг. 185) окружность выбранного ра-
диуса г (обычно радиус приводящей окружности выби-
рается равным радиусу кривошипа, если таковой имеется).
Продолжаем линии действия сил до пересечения с при-
водящей окружностью, получая точки 61( 62, 63 и т. д.,
затем переносим заданные силы в эти точки и проектируем
их на соответствующие касательные, проведенные к при-
водящей окружности (фиг. 185). Полученные проекции
191
данных сил назовем Q/, Q2', Q3' и т. д., тогда общий вра-
щающий момент заданных сил равен
M = (Q/ + Q2'+Q3' + . .,.)г. (221)
Если приводящая окружность не пересекает линии дей-
ствия силы, например Q3, то, соединив точку приложения
силы с полюсом О и проведя касательную из точки при-
ложения силы к приводящей окружности, раскладываем
эту силу по направлению касательной и радиальной пря-
мой (фиг. 185); очевидно, первая составляющая дает иско-
мую силу Qs'.
Приводящая прямая. Можно так же, как частный
случай, вместо приводящей окружности выбрать и при-
водящую прямую (фиг. 186), найдя попрежнему точки
Фиг. 186. Использование приводящей прямой
пересечения сил с последней прямой b}, b.,, bs\ соединяем их
с полюсом плана скоростей, а затем раскладываем каждую
из сил по направлению приводящей прямой и соответ-
ствующим радиальным направлением, после чего вращаю-
щий момент рассчитывается по прежней закономерности.
Основы применения кинематического метода в строительной
механике. Здесь разберем вопрос о том, как на основании начала воз-
можных перемещений можно произвести определения натяжения произ-
вольно выбранного подкоса ВС статически определимой формы
(фиг. 187).
192
Для решения этого вопроса разрежем звено ВС в точке Вив точ-
ке С, этим самым мы уничтожим одну из связей и таким образом си-
стема фермы превратилась в систему с одной степенью свободы.
Скорости, которые мы будем принимать, соответствующие данному
положению звеньев фермы, нужно понимать не как действительно
Фиг. 188. Применение кинемати-
ческого метода
существующие, а как воображаемые, т. е. как возможные или вирту-
альные (так называемый принцип виртуальных скоростей).
Построив в произвольно выбранном масштабе план скоростей
(фиг. 188) и перенеся на него действующие силы, вес груза G натяже-
ния S, повернув их предварительно на 90°, составляем уравнение рав-
новесия
ЛГ0 = G oh - 5 hfa = 0, (222)
откуда находится натяжение 5.
13 Кинетостатика плоских механизмов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Абсолютное большинство существующих механизмов
относится к механизмам I класса второго и третьего по-
рядков. Механизмы высших порядков того же I класса
встречаются сравнительно редко. Еще реже встречаются
плоские механизмы высших классов. Механизмы II класса
Фиг. 189. Механизм Л. В. Ассура
еще не найдены в машиностроении, хотя известно, что
методы исследования их подобны или близки методам ис-
следования механизмов I класса.
Чрезвычайно редки также и механизмы III класса. Их
считают единицами. Основатель классификации механизмов
проф. Л. В. Ассур, кроме того, что дал теоретическую
схему, изображающую механизм III класса третьего порядка
(фиг. 189), впервые классифицировал кулисный механизм
Савельева (фиг. 190), доказав его принадлежность к меха-
низмам III класса пятого порядка.
194
Второй механизм, относящийся к III классу, найден
в сельскохозяйственных машинах (фиг. 191) и классифици-
рован проф. И. И. Артоболевским.
Фиг. 190. Кулисный механизм Савельева
Третий механизм принадлежит к грузоподъемным ма-
шинам, относящимся также и к машинам инженерного
вооружения, это механизм грейфера экскаваторов (фиг. 192),
повидимому, он впервые классифицирован в настоящей ра-
боте и относится к механизмам III класса четвертого порядка.
Фиг. 191. Механизм сенного пресса Джон-Дир
Приходится заметить, что механизмы III класса исследуются
своей отличающейся группой методов. Условия симметрии
в механизме грейфера позволяют несколько упростить об-
щее решение, которое мы надеемся изложить в специаль-
ной статье.
13*
195
Кроме указанных механизмов III класса, вполне ве-
роятно, что есть еще несколько механизмов того же класса
в различных отраслях машиностроения, обладающих слож-
Фиг. 192. Механизм грейфера грузоподъемных машин
ными и многообразными кинематическими схемами и не рас-
смотренных до настоящего времени в части принадлеж-
ности их к определенному классу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Henneberg, Statik der starren Systeme, 1886.
2. Mohr O., Ueber Geschwindigkeit und Beschleunigungsplane, »Der
Civilingenieur*, 1878.
3. Mohr O., Technische Mechanik, 1877.
4. Wittenbauer F., Dynamische Kraftplane, «Zeitschrift fiir Mathe-
matik und Physik*, t. 53, 1906.
5. Kennedy, The mechanics of machinery, 1907.
6. Жуковский H. Е.» Сведение динамических задач о кинема-
тической цепи к задачам о рычаге, «Математический сборник Москов-
ского математического общества*, 1911.
7. Рерих К. Э., Равновесие сил в плоских механизмах, 1915.
8. А с с у р Л. В., Исследование плоских стержневых механизмов
с точки зрения их структуры и классификации, „Изв. С.-Петербург-
ского Политехнического института", 1915.
9. К р о т о в Е. Г., Графодинамическое исследование кривошипно-
го механизма рамной лесопилки, „Вестник инженеров", 1915.
10. W i 11 е n b a u e r F., Graphische Dynamik, Berlin, 1923.
11. Смирнов Л. П., Кинетика механизмов и машин, 1926-
12. Alt Н., Die resultierenden Tragheitskrafte bewegter Scheiben, „Zeit-
schrift fiir angewandte Math. u. Meeh.", Bd. 6, 1926.
13. Wiedemann H., Der Dreigelenbogen, «Der praktische Maschinen
konstrukteur", № 718, 1926.
14. P а б и н о в и ч И. М., Кинематический метод в строительной
механике, 1928.
15. Proeger F., Die Getriebekinematik als Rustzeug der Getriebe-
dynamik, 1926.
16. Mohr O., Abhandlungen aus Gebiete der technischen Mechanik,
Berlin, 1928.
17. Beyer R., Dynamik der Mehrkurbelgetrieben, „Zeitschrift fiir
angewandte Mathematik und Mechanik, 1928.
18. Federhofer K., Graphische Kinematik und Kinetostatik des star-
ren raumlichen Systems, Wien. 1928.
19. Federhofer K., Die resultierenden Tragheitskrafte bewegter
Scheiben, „VDl*. № 8, 1930.
20. Federhofer K., Die resultierenden Tragheitskrafte bewegter
Scheiben, „Zeitschrift der deutsche Ingenieur", Bd. 79, 1930.
21. Beyer R., Technische Kinematik, 1931.
22. Federhofer, Graphische Kinematik und Kinetostatik, 1932.
23. Левен сон Л. Б., Статика и динамика машин, 1932.
24. М а р т е н с Л. К., Динамика поршневых двигателей, 1932.
25. Баранов Г. Г., Кинематика и динамика механизмов, 1932.
26. Юдин В. А., Инерция в машинах, 1932.
197
27. Н е й м а н И. Ш., Динамика и расчет на прочность авиацион-
ных моторов, 1933.
28. Бруевич Н. Г., Кинетостатика плоских механизмов, труды
Военно-воздушной академии РККА им. Жуковского, № 10, 1934.
29. Пеп ль Т., Техническая механика, 1934.
30. А р т о б о л е в с к и й И. И., Определение усилий в звеньях ме-
ханизмов. Выпуск „Теория, конструкция и производство сельскохозяй-
ственных машин", т. I, 1935.
31. Баранов Г. Г., Статика плоских кинематических цепей, „Вестник
инженеров и техников-, № 2, 1935.
32. Артоболевский И. И., Основные вопросы динамики кри-
вошипно-шатунных механизмов сельскохозяйственных машин. Теория,
конструкция и производство сельскохозяйственных машин, т. I, 1935.
33. Артоболевский И, И., Артоболевский С. И. и
Эдельштейн Б. В., Методы инерционного расчета механизмов сель-
скохозяйственных машин. Теория, конструкция и производство сель-
скохозяйственных машин, т. I, 1935.
34. Гр у бин, Динамика машин, изд. ВАММ РККА, Москва, 1936.
35. Львов Е. Д., Динамика поршневых двигателей, 1936.
36. Добровольский В. В., Теория механизмов, ч. I, 1936.
37. Ю д и н В. А., Новый метод силового анализа механизмов в
условиях неравномерного вращения главного вала, „Сборник научно-
исследовательских трудов Московского текстильного института", 1937.
38. Б р у е в и ч Н. Г., Кинетостатика пространственных механиз-
мов, труды ВВА, 1937.
39. Юдин В. А, Кинетика механизмов полиграфических машин,
т. I, 1937.
40. А р т об о л е в с к и й И. И., Динамика механизмов, ч. II, вып. 1,
1938.
41. Баранов Г. Г., Кинематика и динамика механизмов, часть I,
1932 г. и часть II, 1938.
42. Р а б и н о в и ч И. М., Курс строительной механики стержвевых
систем, ч. 1, 1938.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
1. Кинематическая часть
ПРИЛОЖЕНИЕ
№ п/п.1 Величина Обозначе- ния Род Техническая система единиц (MKS) Примечание
размерность | единица масштаб
1 2 Путь Радиус вращения или кривизны S г;р Вектор м м 1 м 1 м * 4-1 ; l ммл 5” или ' КА—] 6 L мм*
3 4 Скорость точки звена . Скорость относитель- ного движения . . . vi O^i Вектор мсек—1 » 1 мсвк.—^ То же г) Г л<сек1 * Р L мм J । •- «/и. «/и. - > или ’ к Г^сех] v L мм J Скорость точ- ки i относи- тельно О
5 6 7 8 Полное ускорение точ- ки звена Нормальное ускорение точки звена . . . . Тангенциальное уско- рение точки звена . Полное, нормальное и тангенциальное уско- рение в относи- тельном движении . Ji л J*i о А оД о/ Вектор а а а мсек-2 », а 1 мсек—2 То же а а Г мсек—2 1 4 мм J или у Г мсек—2 1 М мм J
9 10 1 । Угловое перемещение . Угловое относительное перемещение .... <р ;то 0?/ — Радиан а 1 радиан То же » Лв]- I L мм J ( или ' г [_P™L1 т L мм J Индекс пока- зывает на ось вращения. Перемещение точки i отно- сительно о
№ п/п. Величина Обозначе- ния Род Техническая система единиц (MKS) Примечание
размерность | единица | масштаб
И Угловая скорость зве-
на ... • Вектор сек.-1 1 сек.-1
12 Угловое ускорение
звена е; s0 »» сек.-2 1 сек.-2 т или Kt tel L J
13 14 Время • Число оборотов в ми- t Скаляр сек. 1 сек. 8или^^1 г L мм J
нуту п об/мин. 1 об/мин.
2. Динамическая 1 часть
1 Сила Вектор кг 1 кг 1
2 Сила полезного сопро- Ц; uio
тивления »> То же
3 Сила пассивного со- Ъ К
противления .... 99 »> Индекс у силы
4 Сила веса Gf Gio и » п показывает на-
5 Приведенный вес . . G* » »» $ или К tel Q L мм J правление, по которому пере-
6 Сила упругости . . . Pi дается сила
7 8 Сила инерции .... Нормальная или цент- W Hlo » 1 V или принад- лежность звену
робежная сила инер-
ции »
9 Тангенциальная сила
инерции » »
]-п/п Величина Обозначе- ния Род Техническая система единиц (MKS) Примечание
размерность единица | масштаб
10 И 12 13 Силы реакции .... Нормальные компонен- ты сил реакции . . Тангенциальные или поперечные компо- ненты силы реакции Уравновешивающая и приведенная сила . г о с -2 о - ". О' * Q4 Вектор V и n кг а »» 1 кг То же а а 8 или Ко ГЛ_1 v L мм J Индекс у сил реакции пока- зывает, что си- ла передается звеном i на звено о, либо на принадлеж- ность данной кинематиче- ской паре
14 Момент заданных сил относительно вы- бранной тючки . . . Вектор кг 1 кг 1 1 1
15 16 17 Момент всех сил, дей- ствующих на данное звено относительно выбранной точки . . Суммарный момент от всех сил, действую- щих на группу или систему звеньев, от- носительно выбран- ной точки . . Момент от сил инер- ции S *,) 1=1 Ми w V п а То же V „„„ ЪГ Г а или I 1 L мм J ।
и Величина Обозначе- Род Техническая система единиц (MKS) Примечание
5 НИЯ размерность единица | масштаб
18 19 20 21 Момент центробежных сил инерции относи- тельно координат- ных осей Момент тангенциаль- ных сил инерции относительно коор- динатных осей . . . Момент сил относи- тельно координат- ной оси Момент силы реакции ^СХ> ^CY ^CZ МИХ> MHY Mqx> ^QY . Mqz Вектор я К1 я V » 1 К1 То же »> а или Км Г кгм 1 L м м J
22 23 24 Масса звена Замещающая или экви- валентная масса . . Приведенная масса . . m\ mio Скаляр » » кии-1 сел2 V »» 1 1 кгм~1 сек2 1 То же ’ 1
25 Момент инерции звена относительно оси вращения <9o Тензор кгм сек2 1 кгм сек2 „„„ к Гк1л<сек21 мм J
203
№ п/п. Величина Обозначе- ния Род Техническая система единиц (MKS) Примечание
размерность | единица масштаб
26 27 28 Момент инерции звена относительно центра тяжести Центробежные момен- ты инерции .... Приведенный момент инерции ... • . . 0 * 0 • 0 ^Ху> XZ’ yz 0* Тензор кгмсек2 9 9 1 кгмсек То же » v Г кгмсек2! х или К I мм J
29 30 31 Работа силы Кинетическая энергия системы и звена Потенциальная энергия 17 Е; Е. П Скаляр а кгм и 1 К1М То же 1 л гл Г лгл« 1 1 к или ——J
32 Мощность N Скаляр кгмсек—^ 1 кгмсек—^ или 1 Л. с. § или KN Г L мм J 1 Л. с. = = 75 кгмсек—1
ОГЛАВЛЕНИЕ
'Предисловие................................................... 2
От автора...................................................... 3
Часть I. Методы учета сил инерции звеньев плоского механизма
Глава 1. Основные понятия и определения.................... 7
Глава 2. Расчет сил инерции звеньев механизмов............. 11
А. Силы инерции поступательно двигающегося звена ... 12
Б. Силы инерции звена, вращающегося или качающегося
около неподвижной точки................................. 14
а) Силы инерции несбалансированного звена............ 14
б) Момент силы инерции сбалансированного звена ... 21
в) Расчет сил инерции звена, плоскость симметрии ко-
торого не перпендикулярна оси вращения................ 22
В. Силы инерции звена, сложно двигающегося в плоскости 24
Глава 3. Метод замещающих, или эквивалентных масс........... 32
А. Динамическая замена массы звена..................... 32
Б. Статическая замена масс звена........................ 37
В. Приведение к динамически равноценной системе при
статической замене массы звена ......................... 38
Глава 4. О действии сил инерции............................... 41
Часть II. Кинетостатическое исследование плоских механизмов
Глава 5. Общие замечания и задачи............................. 51
1. Силовой анализ...................................... 51
2. Кинетостатический анализ или исследование механизма . 57
Глава 6. Основные сведения, принципы и уравнения.............. 58
Глава 7. План кинетостатического исследования механизмов . 75
Глава 8. Кинетостатическое исследование двухповодковых
групп......................................................... 79
Первая модификация: двухповодковая группа с одними
вращательными кинематическими парами.................... 80
Вторая модификация. Двухповодковая группа с двумя вра-
щательными кинематическими парами и одной внешней
поступательной парой.................................... 92
204
Третья модификация. Двухповодковая группа с двумя вра-
щательными кинематическими парами и одной внутренней
поступательной парой.................................... 97
Четвертая модификация. Двухповодковая группа с одной
вращательной кинематической парой и двумя внешними
поступательными парами................................. 102
Пятая модификация. Двухповодковая группа с одной вра-
щательной кинематической парой и двумя поступатель-
ными несимметрично расположенными парами............... 105
Глава 9. Кинетостатические исследования трехповодковых групп ПО
Первая модификация. Трехповодковая группа с одними
вращательными кинематическими парами .................. 113
Модификации трехповодковых групп с наличием кроме
вращательных кинематических пар также и поступатель-
ных .................................................. 1227
Вторая модификация. Трехповодковая группа с одной
внешней поступательной кинематической парой и осталь-
ными вращательными парами........................ 128
Пятая модификация. Трехповодковая группа с одной
внутренней поступательной кинематической парой и
остальными вращательными парами.................. 129
Модификация трехповодковых групп с несимметричным
расположением поступательных кинематических пар . . 131
Глава 10. Кинематическое исследование четырехповодковых
групп........................................................ 135
Глава 11. Основы кинетостатического исследования многопо-
водковых групп............................................... 139
Глава 12. Кинетостатическое исследование ведущего звена . . 143
Глава 13. Применение кинетостатического исследования к ме-
ханизмам челюстных дробилок.................................. 150
А. Кинематическое исследование механизма .............. 151
Б. Силовой анализ ..................................... 154
В. Кинетостатическое исследование механизма ........... 157
Глава 14. Кинетостатическое исследование механизмов с выс-
шими кинематическими парами..................... 162
Глава 15. Силовой расчет механизмов экскаватора с прямой
лопатой...................................................... 169
Глава 16. Начало возможных перемещений ...................... 178
Заключение................................................... 194
Список литературы............................................ 197
Приложение................................................... 199
Техн. ред. М. И. Евдокимов
Корректор Е. М. Ильина
УПоли. Главлита Г-12025
Сдано в производство 19.2.39 г.
Подписано к печати 31.3.39 г.
'Тираж 1.000 экз.
Печатных листов 12^/g
по 40.000 букв, знаков в печ. листе
Бумага 59 X ЗЗ1/^
Уч. авт. листов 11
Типография ВИА РККА
Зак. № 170
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр. Строка Напечатано: Следует читать:
43 6 сверху уравнение (70) ^DC ивс
48 Таблица, графа „Примечания* производной произвольной
81 Уравнение (92) RnB Rd
92 4 сверху {0,3), {3,2) {2,2') {3,0), {2,3) {2',3)
122 Уравнение (176) *‘в ^вн RbK
132 9 снизу Z? Zfc
157 3 и 5 снизу + — GFLh±
173 3 и 5 сверху Uhi
1871 188/ В уравнении моментов oh}t oh.2t ohi ^1» Л2, hi
Кинетостатика плоских механизмов
Цена 9 руб.