/
Автор: Чуб В.Ф.
Теги: механика математическая физика теория относительности навигация инерциальная навигация
ISBN: 978-5-9710-1125-5
Год: 2014
Текст
В. Ф. Чуб
ИНЕРЦИАЛЬНОЙ
В. Ф. Чуб
ОСНОВЫ
ИНЕРЦИАЛЬНОЙ
НАВИГАЦИИ
URSS
МОСКВА
ББК 22.21 22.311 22.313 30.13 39.5
Чуб Василий Филиппович
Основы инерциальной навигации. — М.: ЛЕНАНД, 2014. — 200 с.
Настоящая книга состоит из трех частей. Вводная часть представляет собой
текст доклада, в котором сжато излагаются ключевые идеи, лежащие в основе
инерциальной навигации и связанных с ней разделов математики и физики. Ос¬
новную часть составляет подробный конспект лекций по физико-математическим
основам теории инерциальной навигации. Заключительная часть «Методика пре¬
подавания студентам физико-технического института основ инерциальной нави¬
гации» ранее была опубликована как отдельная статья в журнале «Физическое
образование в вузах»; она не содержит математических формул, давая при этом
развернутое представление о содержании и особенностях лекций.
Издание предназначено для студентов и преподавателей, инженеров и науч¬
ных работников; будет полезно широкому кругу лиц, интересующихся гиперком-
плексными числами и специальной теорией относительности.
Формат 60x90/16. Печ. л. 12,5. Зак. № ЗУ-78.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11 А, стр. 11.
ISBN 978-5-9710-1125-5
) ЛЕНАНД, 2014
15624 ID 183712
78597
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел ./факс (многоканальный):
+ 7(499)724 25 45
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца
Оглавление
Предисловие 6
I Физико-математические основы
инерциальной навигации 8
Введение 9
1 Числа 11
2 Группы 17
3 Задачи 21
Заключение 24
Литература 25
II Гиперкомплексные и теоретико-групповые
методы в теории инерциальной навигации 28
1 Кватернионы и бикватернионы 29
1.1 Гиперкомплексные числа 29
1.2 Комплексные, дуальные и двойные числа 33
1.3 Кватернионы 35
1.4 Дуальные кватернионы 38
1.5 Комплексные кватернионы 39
1.6 Комплексно-дуальные кватернионы 40
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
2 Группы преобразований 44
2.1 Теория групп, эрлангенская программа 44
2.2 Группа вращений твёрдого тела 47
2.3 Группа перемещений твёрдого тела 52
2.4 Группа Лоренца 55
2.5 Кватернионная группа и группа Пуанкаре 57
3 Каноническая постановка задачи 63
3.1 Методы навигации 63
3.2 Инерциальные датчики 65
3.3 Гравитационное поле 69
3.4 Начальное положение (вектор состояния) 72
3.5 Каноническая формулировка задачи 74
4 Групповая постановка задачи 76
4.1 Символическое уравнение 76
4.2 Часы как навигационная система 78 •
4.3 Задача инерциальной ориентации 81
4.4 Инерциальная навигация без гравитации 83
4.5 Нерелятивистская инерциальная навигация 85
4.6 Релятивистская инерциальная навигация 87
5 Уравнения без учёта гравитации 90
5.1 Вывод для группы Галилея 90
5.2 Вывод для группы Пуанкаре 98
5.3 Вывод для кватернионной группы 103
6 Уравнения с учётом гравитации 107
6.1 Вывод для расширенной группы Галилея 107
6.2 Вывод для конформной группы 114
7 Точные решения уравнений 125
7.1 Равноускоренное движение 125
7.2 Движение с орбитальной ориентацией 131
7.3 Движение инерциальной платформы 137
7.4 Движение неповорачивающейся платформы 137
7.5 Гиростабилизированная платформа
7.6 Эксперимент Gravity Probe-B
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
8 Задача п тел 143
8.1 Задача п тел и её частные случаи 143
8.2 Задача одного тела 146
8.3 Формулировка в параметрах группы 150
9 Часто используемые формулы 154
9.1 Формула перепроектирования векторов 154
9.2 Формулы сложения поворотов 156
9.3 Формулы сложения перемещений 160
9.4 Связь кватерниона и матрицы поворота 162
9.5 Уравнения для радиус-вектора 166
9.6 Уравнения для вектора скорости 168
9.7 Уравнения для кватерниона поворота . 169
III Методика преподавания студентам
физико-технического института основ
инерциальной навигации 171
Введение. Система Физтеха 172
Тематика спецкурса и методика преподавания 173
Заключение. Место спецкурса в учебном плане 179
Литература 180
Именной указатель 183
Предметный указатель
187
Предисловие
Книга состоит из трёх частей. Во вводной части воспроизводится
текст доклада автора, в котором сжато излагаются ключевые идеи,
лежащие в основе инерциальной навигации и связанных с ней разде¬
лов математики и физики. Основную часть составляет подробный кон¬
спект лекций по физико-математическим основам инерциальной нави¬
гации. Последняя часть «Методика преподавания студентам физико-
технического института основ инерциальной навигации» ранее была
опубликована как отдельная статья в журнале «Физическое образо¬
вание в вузах»; она не содержит математических формул, давая при
этом развёрнутое представление о содержании и особенностях лекций.
Остановимся более подробно на содержании первой части книги.
Вводный раздел доклада «Физико-математические основы инерциаль¬
ной навигации» начинается с ответов на следующие вопросы: «Что
такое инерциальная навигация?», «Приведите пример инерциальной
навигационной системы», «Как соотносятся инерциальная навигация
и физика?» и «Сколько времени потребуется, чтобы инерциальная
навигация стала разделом физики?». Далее кратко рассматривается
традиционный подход к инерциальной навигации, основанный на вто¬
ром законе Ньютона, и перспективный, основанный на понятии пре¬
образования, связывающего инерциальные системы отсчёта. Первый
из основных разделов доклада («Числа») посвящён обобщениям ком¬
плексных чисел — кватернионам и родственным им гиперкомплекс-
ным числам. Кватернионы и бикватернионы представляют собой эф¬
фективное средство описания пространственно-временных преобразо¬
ваний. Во втором разделе («Группы») рассматриваются группы про¬
странственно-временных преобразований и гиперкомплексные пред¬
ставления этих групп симметрии. Группы пространственно-временной
симметрии (группы Галилея и Пуанкаре, их подгруппы и расширения),
как известно, представляют собой естественный инструмент классифи¬
кации и метод построения физических теорий, связанный с самыми
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
глубокими основами научного познания. Тема третьего раздела до¬
клада («Задачи») — постановка задачи инерциальной навигации об
определении положения объекта «в слепом полёте» (без использова¬
ния внешней информации) на основе теоретико-группового подхода.
Рассматривается ряд задач, связанных с инерциальной навигацией: от
задачи автономного определения времени на борту движущегося объ¬
екта до релятивистской задачи инерциальной навигации. Видеозапись
от 2.07.2013 сокращённого варианта доклада («Теоретико-групповые
основы инерциальной навигации») доступна на сайте1) Международ¬
ной конференции PIRT-2013 («Физические интерпретации теории от¬
носительности — 2013»).
Содержание второй части книги отражено в подробном оглавле¬
нии, включающем краткие названия лекций и излагаемых в них во¬
просов. Конспект лекций с несколько устрашающим на первый взгляд
названием «Гиперкомплексные и теоретико-групповые методы в тео¬
рии инерциальной навигации» составлен в соответствии с методикой,
приведённой в третьей части книги. Изложение носит замкнутый ха¬
рактер, список рекомендованной литературы приведён в упомянутой
методике. Конспект предназначен не только для лектора (при подго¬
товке лекций) и слушателей спецкурса (при подготовке к зачёту), но и
для лиц, самостоятельно изучающих излагаемый в спецкурсе матери¬
ал. Например, иллюстративные примеры по сложению элементарных
преобразований во второй лекции излагаются подробно, с углублением
в детали расчётов, тогда как слушатели спецкурса знакомы с техникой
кватернионных вычислений из курса теоретической механики. Докла¬
ды по материалам трёх из девяти лекций спецкурса были прочитаны
автором на межпредметном семинаре для студентов младших курсов
МФТИ (на сайте семинара2) доступны аннотации и видеозаписи лек¬
ций от 27.03.2013, 3.04.2013 и 17.04.2013).
Книга предназначена, прежде всего, для студентов и преподава¬
телей технических вузов. Но изложение рассчитано на широкий круг
читателей, начиная со школьников старших классов, имеющих опыт
работы с комплексными числами и векторным произведением векто¬
ров. Особый интерес издание представляет для интересующихся инер¬
циальной навигацией читателей, знакомых с кватернионами и группой
Пуанкаре.
В.Ф. Чуб, Москва, октябрь 2013 года.
E-mail: v.chub@mail.ru
http://www.space-lab.ru/
2) http://mezhpr.fizteh.ru/
Часть I
Физико-математические
основы инерциальной
навигации
ВВЕДЕНИЕ
9
Применяющийся в теории инерциальной навигации математиче¬
ский аппарат развит в XIX веке, сама инерциальная навигация как
раздел механики сформировалась в XX веке и есть все предпосылки
для включения в XXI веке основ инерциальной навигации в курс фи¬
зики для средней школы. В тексте доклада основное внимание уделено
трём тесно связанным друг с другом темам: 1) обобщения комплекс¬
ных чисел (кватернионы и родственные им гиперкомплексные числа)
— эффективное средство описания пространственно-временных преоб¬
разований; 2) группы пространственно-временной симметрии (группы
Галилея и Пуанкаре, их подгруппы и расширения) — естественный
инструмент классификации и метод построения физических теорий;
3) постановка задачи инерциальной навигации на основе теоретико¬
группового подхода.
Введение
Работа носит обзорно-методический характер и рассчитана на ши¬
рокий круг читателей, в том числе на тех, кто, имея базовые знания по
физике и математике, ничего не слышал об инерциальной навигации.
Поэтому начнём введение с краткого ответа на типовые вопросы [1].
«Что такое инерциальная навигация?» — задача инерциальных на¬
вигационных систем состоит в определении положения объекта без ис¬
пользования внешней информации («в слепом полёте»).
«Приведите пример инерциальной навигационной системы» — инер¬
циальная навигационная система человека. Дело в том, что любой вы¬
сокоразвитый активно двигающийся живой организм обладает инер-
циальными датчиками1), позволяющими некоторое время сохранять
пространственную ориентировку при отсутствии внешней информа¬
ции (получаемой, например, с помощью зрения).
«Как соотносятся инерциальная навигация и физика?» — кратко
ситуацию можно охарактеризовать следующими тремя утверждения¬
ми: инерциальная навигация раздел механики; механика раздел физи¬
ки; но, на сегодняшний день, инерциальная навигация не раздел фи¬
зики.
«Сколько времени потребуется, чтобы инерциальная навигация ста¬
ла разделом физики?» — неизвестно.
Х)«У человека, например, в вестибулярных аппаратах имеются три биодатчика
угловых ускорений; один двухосный биоакселерометр и один многофункциональ¬
ный биодатчик, выполняющий функции одноосного биоакселерометра и вибраци¬
онного скоростного гироскопа» В.П. Селезнёв, Н.В. Селезнёва [2, с. 77].
10
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Естественный для системы физического образования XX века ис¬
ходный пункт при изложении основ инерциальной навигации — второй
закон Ньютона [3, с. 53]:
mw = F.
Здесь w — вектор ускорения (который часто обозначают буквой а);
остальные обозначения в комментариях не нуждаются. Переход к урав¬
нениям инерциальной навигации осуществим в несколько шагов. Пре¬
жде всего напомним, что в механике Галилея-Ньютона ускорение (пол¬
ное) равно второй производной по времени от радиус-вектора:
- F
г = w = —.
т
Следующий принципиальный шаг состоит в разделении полного уско¬
рения на две величины разной физической природы [4, с. 12]:
г = 9+Р-
Здесь д — вектор гравитационного ускорения, а р — вектор негра¬
витационного (кажущегося) ускорения, измеряемый инерциальными
датчиками — акселерометрами [5, с. 76] (его тоже часто обознача¬
ют буквой а). Дальнейшие усложнения выписанного уравнения связа¬
ны в основном с необходимостью учёта вращения объекта, положение
которого определяет установленная в нём инерциальная навигацион¬
ная система. Идея определения положения тела путём двойного инте¬
грирования показаний акселерометров, при известном распределении
(карте) гравитационных ускорений, родилась и доведена до техниче¬
ской реализации в XX веке. «Инерциальная навигация в наши дни
— один из ярких примеров того, как идея, первоначально казавшая¬
ся совершенно фантастической, находит свое реальное воплощение и
прокладывает дорогу к широкому практическому применению» А.Ю.
Ишлинский [6, с. 369].
Попытка включить инерциальную навигацию в физику была пред¬
принята полвека назад Р. Фейнманом: «После лекции о вращающихся
системах была прочитана лекция об инерциальной навигации, но, к
сожалению, при издании ее опустили» [7, с. 14]. До вузовских учеб¬
ников по общей физике инерциальная навигация пока так и не до¬
шла. Автором разработана методика преподавания вводного курса по
физико-математическим основам теории инерциальной навигации [8].
1. ЧИСЛА
11
В её основе лежит использование широко применяющихся в физике
групп пространственно-временной симметрии. Центральное понятие
— преобразование, связывающее инерциальные системы отсчёта. Эле¬
менты спецкурса, в том числе представленные ниже, после соответ¬
ствующей адаптации могут быть использованы при изложении разде¬
ла «Механика» авторами учебников по курсу общей физики.
1. Числа
Для представления преобразований понадобятся числа, обобщаю¬
щие понятие обычного комплексного числа. Комплексное число двух¬
компонентное, запишем его вместе с таблицей умножения для двух
базисных единиц, обычной и мнимой:
1 г
х + гу, — =-
(умножение на обычную единицу ничего не меняет, при записи чис¬
ла единица 1 обычно опускается). Гиперкомплексное число [9] может
включать произвольное количество компонент, а таблица умножения
базисных единиц может быть практически любой:
X + ПУ1 + 12У2 + + in-iyn-i,
1
ч
in—1
ч
п
in— 1
Однокомпонентные (п = 1) гиперкомплексные числа это обычные
вещественные числа. Двухкомпонентных (п = 2) гиперкомплексных
чисел с точностью до изоморфизма существует всего три вида [10,
с. 19], таблица умножения определяется квадратом второй (не обыч¬
ной) базисной единицы:
комплексные числа х -\-iy, г2 = — 1;
дуальные числа х + еу, е2 = 0;
двойные числа х + еу, е2 = 1.
12
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Для сравнения свойств базисных единиц приведём формулу Эйлера и
её аналоги для одно- и двухкомпонентных чисел:
ехря = chx + shx;
ехр(гя) = cos х + г sin я, ехр(ея) = 1 + ex, ехр(ея) = ch х + е sh х.
Перейдём теперь к рассмотрению кватернионов (п = 4), откры¬
тие которых и породило первую волну интереса к гиперкомплексным
числам. Кватернион А иногда записывают просто в виде перечня его
компонент
А = (Ai, А2, A3, А4).
В стандартной развёрнутой записи кватернион и таблица умножения
его базисных единиц выглядят так:
А — Ai + 1X2 + 3A3 + fcA4,
1
г
3
к
г
-1
к
-з
3
—к
-1
г
к
3
—г
-1
Вместо таблицы часто используют цепочку легко запоминающихся ра¬
венств
i 2 = j2 = к2 = i о j о к = —1,
из которых она следует. Кватернионное умножение в общем случае
некоммутативно:
А о В ф В о А (поскольку, например, г о j — А*, но j о г = —к).
Другая распространённая запись кватерниона — в виде суммы ска¬
ляра и вектора [11, с. 13]. Запишем в таком виде два кватерниона
А — (of, СЬхч dyi и В (/5, bxi by, б^).
А. — OL —|— (X, CL — CLx'b ~I- CLyJ ~I-
В = (3 + b, b = bxi + byj + bzk;
и найдём их произведение:
1. ЧИСЛА
13
А о В = а/З + а6 + /За + ао6 = С = 7 + с,
7 = а/3 — а • 5, с = аб + [За + а х 6.
Здесь использованы обычные обозначения для скалярного и векторно¬
го произведений векторов, которые связаны с компонентами векторов
соотношениями :
i
J
к
CL • Ъ — Qix^x ""I"” dyby Н- Qjzbzi Cl Ж Ь —
О'Х
ау
&Z
Ьх
Ьу
bz
Формула для кватернионного произведения векторов имеет при этом
следующий вид [11, с. 19]:
а о Ъ = —а • Ь + а х Ъ.
Подчеркнём, что квадрат вектора в такой записи оказывается отрица¬
тельным:
а2 — а о а — —а • а = —а% — — a2z < 0.
Отметим высокую оценку значимости кватернионов, данную клас¬
сиками естествознания: «Изобретение кватернионов — шаг вперед
к пониманию величин, связанных с пространством; оно сравнимо
по своему значению с изобретенной Декартом системой координат»
Дж. Максвелл [12, с. 197]; «Это была революция в арифметике, подоб¬
ная той, которую совершил Лобачевский в геометрии» А. Пуанкаре
[12, с. 201].
Нельзя не сказать и о том, что со временем отношение к кватер¬
нионам в научном сообществе изменилось: «Во всяком случае видно,
насколько точно приспособлены кватернионы к изображению ортого¬
нальных подстановок 3 или 4 переменных. Они могут применяться
с пользой всюду, где заходит речь о таких подстановках. Напротив,
вряд ли кто-нибудь сейчас видит в них универсальное целебное сред¬
ство от всех недостатков геометрии, как порой казалось Гамильтону и
его ученикам» Ф. Клейн [13, с. 50]; «Язык кватернионов теперь уже не
выдвигают на первый план ... спустя некоторое время после странно¬
го изобретения Гамильтона на сцене появились более естественные и
удобные, чем кватернионы, величины — векторы. Однако, при взгля¬
де из XX в. обнаруживается, что кватернионы сильно напоминают
спиноры, играющие важную роль в квантовой механике. Так может
14
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
быть, при создании кватернионов Гамильтон смотрел далеко вперед?»
X. Юкава [14, с. 35]; «Кватернионы были построены из обобщатель-
ских соображений. Это была попытка обобщить комплексные числа,
но она не дала ценных результатов ... По сравнению с тем значением,
которое имеют действительные и комплексные числа в математике,
роль кватернионов ничтожна» J1.C. Понтрягин [15, с. 97]; «В середине
19 века кватернионы воспринимались как обобщение понятия числа,
призванное играть в науке столь же значительную роль, как и ком¬
плексные числа. Со временем, однако, стало ясно, что роль кватерни¬
онов ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных
чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения» [16,
с. 267].
С конца XX века наблюдается вторая волна интереса к гиперком-
плексным числам, и, в частности, к кватернионам: «Автор надеется,
что предлагаемая в этой книге информация пригодится читателю, ко¬
торый впервые будет знакомиться с теорией кватернионов, поскольку
по мнению многих исследователей предстоит “второе рождение” этой
теории — она понадобилась физике, главным образом квантовой меха¬
нике» Н.В. Александрова [17, с. 6]; «... следует подчеркнуть, что новая
волна интереса к кватернионам возникла в первую очередь благодаря
тому, что все эти годы отдельные исследователи в разных странах про¬
должали вести работу по развитию и использованию идей и методов
кватернионного исчисления в теоретической физике от классической
механики до квантовой теории поля» А.В. Березин, Ю.А. Курочкин,
Е.А. Толкачёв [18, с. 3]; «Теории комплексных чисел, кватернионов
и спинов относятся к небольшому числу наиболее фундаментальных
частей геометрии, имеющих наиболее важные приложения в физике»
В.И. Арнольд [19, с. 3]; «В книге В.Н. Бранца и И.П. Шмыглевского
[11] дано развитие классических работ Гамильтона по кватернионно-
му исчислению применительно к задачам механики твердого тела. ...
Интересно отметить, что в США, независимо от работ этих авторов,
пришли к тем же выводам, и управление американской орбитальной
станцией “Скайлэб” велось с использованием кватернионного исчисле¬
ния» Б.В. Раушенбах [20, с. 128]; «... следует выделить монографию
[11], которая явилась катализатором, источником многих исследова¬
ний, связанных с использованием теории кватернионов ... Современ¬
ные исследования, развивающие идеи и методы кватернионного ис¬
числения, использующие кватернионы и бикватернионы для решения
многочисленных теоретических и прикладных задач в области алгеб¬
ры, физики и классической механики, свидетельствуют о значимости
1. ЧИСЛА
15
созданной У. Гамильтоном теории кватернионов» В.В. Маланин, Н.А.
Стрелкова [21, с. 19-20].
В состав кватерниона фактически входит мнимый вектор, тогда
как широкое распространение получили вещественные векторы [22]
(с положительным квадратом). Подчеркнём это обстоятельство, ис¬
пользуя в явном виде мнимую единицу и вещественный вектор при
записи кватерниона. Повторим расчёт произведения кватернионов
А = (a, ax,ay,az) и В = (/3,bx,by,bz) в новых обозначениях:
А — ol id, d — dxcx dycy dzczj
В — f3 -|“ ib, b — bxcx “h bycy H- bzez,
&х
еу
dy
az
Ьх
Ьу
bz
А о В = a/3 + iab + i(3d — 5ob = C = j + ic,
7 = a/3 — d • b, с = ab + /3a + a x 6;
d ' b — dxbx —|— dyby dzbZy d x b -
Теперь ясно видно, что кватернион представляет собой сумму веще¬
ственного скаляра и мнимого вектора. Сама собой напрашивается идея
добавить к ним мнимый скаляр и вещественный вектор. В результа¬
те получаются восьмикомпонентные бикватернионы Гамильтона (ком¬
плексные кватернионы). Их можно представить также как кватерни¬
оны с комплексными коэффициентами или как комплексные числа с
коэффициентами — кватернионами:
А = Ai+Ai-NAi+гЛг = (Ai-MA^+^A^— iAi) = (Ai+iA^+^A^—iAi),
Ai = Aixex + Ai yey + Ai zezj A i + AiyCy + A
iz^z-
«Собственный опыт общения авторов со студентами и аспирантами
также говорит, что движение по цепочке “комплексные числа — ква¬
тернионы — бикватернионы” наиболее простой и эффективный путь к
практическому освоению многих разделов и методов современной тео¬
ретической физики, особенно на начальном этапе обучения. Практика
показывает, что даже ученики старших классов легко усваивают на¬
выки работы с кватернионами и кватернионными параметризациями
таких важнейших физических групп как группа вращений и группа
Лоренца» А.В. Березин, Ю.А. Курочкин, Е.А. Толкачёв [18, с. 1].
16
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
В классической же механике широкое распространение получили
бикватернионы Клиффорда (дуальные кватернионы), которые можно
представить также как кватернионы с дуальными коэффициентами
или как дуальные числа с коэффициентами — кватернионами:
А = Ai 4 i\i 4 sX£ 4 eiXei = (Ai 4 eAe) 4 г(А^ 4 sX£i) —
= (Ai + iXi) + £(Ae 4 iX £i),
X% — Xix^x “1“ XiyGy 4 Aiz^'Z') X£\ — X£%x&x “b A£iyCy 4 Asiz^Z'
«Интенсивное развитие техники в XX-XXI в. послужило новым стиму¬
лом для эффективного использования бикватернионов в прикладных
исследованиях. Бикватернионы применяются при изучении кинема¬
тики пространственных шарнирных и гибких механизмов, в задачах
оптимизации перемещения твердых тел, в инерциальной навигации, в
теории гироскопов ...» В.В. Маланин, Н.А. Стрелкова [21, с. 20]; «Ква-
тернионные и бикватернионные методы механики твердого тела отно¬
сятся к современным методам теоретической механики, успешно раз¬
вивающимся в последние годы и нашедшим применение (помимо самой
теоретической механики) в таких областях науки и техники, как нави¬
гация и управление движением, небесная механика и механика косми¬
ческого полета, приборостроение, робототехника» Ю.Н. Челноков [23,
с. 11].
Раздел, посвящённый числам, естественно завершить рассмотрени¬
ем 16-компонентных комплексно-дуальных кватернионов [24], обобща¬
ющих понятия бикватернионов Гамильтона и Клиффорда:
А = Ai 4 Ai 4 iXi 4 iXi 4 zX£ 4 sX£ 4 siX£i 4 siX£i.
Правила работы с комплексно-дуальными кватернионами, записанны¬
ми в виде многочленов, фактически определяются всего тремя форму¬
лами: для квадрата мнимой единицы, для квадрата дуальной единицы
и для произведения векторов:
г2 — —1, е2 = 0, aob = a-b — iaxb.
Все рассмотренные выше примеры гиперкомплексных чисел представ¬
ляют собой частные случаи комплексно-дуальных кватернионов.
2. ГРУППЫ
17
2. Группы
Преобразования, с которыми имеют дело в геометрии и физике, об¬
разуют группы. Группы преобразований (в физике их часто называют
группами симметрии) содержат в качестве элементов-преобразований:
тождественное преобразование; обратное преобразование для каждого
элемента и композицию каждой пары элементов. В механике обыч¬
но имеют дело с непрерывными группами преобразований. Количе¬
ство независимых вещественных чисел (параметров), характеризую¬
щих элемент непрерывной группы, называется её размерностью.
О теоретико-групповом подходе к геометрии сегодня можно про¬
читать даже в школьном учебнике, правда, не в любом [25]. Наиболее
последовательно теоретико-групповой подход к геометрии выражается
следующими словами А. Пуанкаре: «То, что мы называем геометрией,
есть не что иное, как изучение формальных свойств некоторой группы,
так что мы можем сказать: пространство есть группа» [26]. Например,
в основу построения евклидовой геометрии может быть положена ше¬
стипараметрическая группа Евклида, которую в механике называют
группой перемещений твёрдого тела.
В физике теоретико-групповой подход играет важнейшую роль:
«В основе специальной теории относительности лежит математическое
понятие группы» В. Паули [27, с. 51]; «Развитие физики в последние
годы обратило, в известном смысле, соотношение между уравнениями
движения и группами симметрии. Теперь группа симметрии физиче¬
ской системы выступает на первый план, представления этой группы и
ее подгрупп несут самую фундаментальную информацию о ней. Таким
образом, группы оказываются первичным, наиболее глубоким элемен¬
том физического описания природы. Самые понятия пространства и
времени играют при этом роль “материала” для построения представ¬
лений групп, обычное же место, отводимое им в физике, объясняется
лишь историческими причинами» Ю.Б. Румер, А.И. Фет [28, с. 8]; «На
ландшафт современной физики надо смотреть с высшей точки зрения:
не из оврага истории, а с вершины принципов симметрии» JI.B. Окунь
[29].
«Может возникнуть вопрос: почему все-таки именно теоретико¬
групповую структуру предлагается взять за основу? Ведь современная
физика использует и другие весьма глубокие математические концеп¬
ции, например функционально-аналитические, топологические, а так¬
же алгебраические, выходящие за рамки теории групп. Выбор имен¬
но теоретико-групповой концепции определяется не только тем, что
она в XX в., как мы пытались показать, выдвинулась в лидеры среди
18
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
других математических теорий, находящих применение в физике. Де¬
ло в том, что она является адекватным математическим выражением
фундаментальных физических концепций, лежащих в основе структу¬
ры физических теорий, как они понимаются в настоящее время. Речь
идет о понятиях и принципах симметрии, инвариантности, относи¬
тельности (кстати говоря, здесь мы не будем различать эти понятия,
считая их в основном совпадающими). Именно эти принципы, с одной
стороны, связаны с самыми глубокими основами научного познания,
экспериментального и математического по своему существу, а с другой
— могут быть сформулированы в достаточно строгой форме, именно
посредством теоретико-групповой структуры.
В самом деле, вспомним аргументацию “эрлангенского” подхода к
геометрии, принадлежащую самому Клейну и особенно четко выра¬
женную Картаном: только задание некоторой фундаментальной груп¬
пы позволяет развить геометрию как науку (в том смысле, что ее
утверждения обладают определенной степенью общности и могут быть
возведены в ранг научного закона). Еще более четко такого рода аргу¬
ментация может быть проведена в отношении физики: результаты из¬
мерений предполагают наличие определенной системы отсчета, а тре¬
бование некоторого уровня общности соответствующих утверждений
приводит к необходимости введения целого класса эквивалентных си¬
стем отсчета; принцип отождествления этих систем и есть то, что мы
понимаем под принципом относительности (симметрии, инвариантно¬
сти), и он обладает структурой группы, поскольку отношение равен¬
ства, лежащее в основе этого принципа, имеет теоретико-групповую
структуру» Вл.П. Визгин [30, с. 95].
В школьном учебнике о теоретико-групповом подходе к физике се¬
годня прочитать можно2), но тоже далеко не в каждом.
Рассмотрим теперь, как используются числа для описания преобра¬
зований. Начнём с трёхпараметрической группы вращений (твёрдого
тела). Элемент этой группы (поворот) обозначим 0^, где векторный
параметр $ определяет величину и направление поворота (трём пара¬
метрам группы соответствуют три компоненты этого вектора). Пово¬
роту ставится в соответствие число — нормированный кватернион:
^ %$/2 (А & • • &
0^ <—► е / = exp I г- I = cos - + г sin -.
2) «Итак, если классическая механика представляет собой теорию движений тел,
основанную на группе Галилея, то специальная теория относительности — это
такая физическая теория, группой симметрии которой является группа Пуан¬
каре» С.В. Громов [31, с. 142].
2. ГРУППЫ
19
Обратному повороту соответствует число ехр(—г$/2), тождественному
преобразованию — число ехр(О) = 1. Композиции поворотов ставится
в соответствие произведение кватернионов:
Здесь важно отметить, что результирующий поворот зависит от по¬
следовательности составляющих поворотов, то есть в общем случае
ному закону композиции пространственных поворотов, чем и объясня¬
ется эффективность применения кватернионов для их описания.
Перейдём к рассмотрению шестипараметрической группы Евкли¬
да (перемещений твёрдого тела). Кроме поворота появляется парал¬
лельный перенос R?. Переносу тоже ставится в соответствие число —
бикватернион Клиффорда специального вида:
Композиции переносов соответствует перенос, не зависящий от поряд¬
ка выполнения составляющих переносов (закон композиции переносов
прост: их векторные параметры складываются), поэтому кружочек не
используется:
В общем случае перемещение представляет собой композицию перено¬
са и поворота, которой ставится в соответствие умножение связанных
с ними чисел. Здесь порядок, в котором производятся преобразования
(соответственно, умножаются числа), важен:
Параметр поворота инвариантен, а параметр переноса в общем случае
изменяется, г' ф г. Бикватернионы Клиффорда адекватно описывают
все особенности композиций евклидовых движений, чем и определяет¬
ся основная область их применения в классической механике.
Рассмотрим шестипараметрическую группу Лоренца. В ней кроме
поворота появляется буст с параметром скорости ф. Бусту ставится
в соответствие число — бикватернион Гамильтона специального вида:
$21 Ф $12- Умножение кватернионов в точности соответствует слож-
еегт/2
еегг1/2еегг2/2 _ ^eirf2 _ eei(ri+r2)/2
Rroe$ = QjoR?, <—> e£if/2 о егё/2 = егё'2 о еег?'/2
20
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
УФ
еФ/2 = exp± = ch± + sh±.
Композицию бустов с непараллельными параметрами нельзя заменить
одним бустом, приходится вводить дополнительный поворот [27, с. 52]:
еФг/2оеФ2/2 = еФ/2оегё/2'
В общем случае преобразование Лоренца представляет собой компо¬
зицию буста и поворота, которой ставится в соответствие умножение
связанных с ними чисел. И здесь важен порядок, в котором произво¬
дятся преобразования (умножаются числа):
Кг0*
е^ое"/2
^/2оеФ'/2_
Параметр поворота инвариантен, а параметр буста в общем случае из¬
меняется, гр' ф <ф. Бикватернионы Гамильтона адекватно описывают
все особенности композиций лоренцевых преобразований, чем и опре¬
деляется основная область их применения в релятивистской механике.
На первый взгляд осталось только сопоставить сдвигу во време¬
ни Tt со скалярным параметром t скалярное число, чтобы получить
кватернионное представление 10-параметрической группы Пуанкаре,
преобразование общего вида из которой можно записать в виде ком¬
позиции четырёх элементарных преобразований TtR? ° ° 0^. Но всё
не так просто. При попытке переставить местами числа, сопоставлен¬
ные переносу и бусту, приходится вводить [24] новое преобразование
Ф*:
eEir/2 0 еф/2 _ еф/2 0 e£ir'/2eeip/2
Rr°Vj = VjoRr^$.
Собрав воедино формулы для умножения и перестановки чисел, сопо¬
ставленных элементарным преобразованиям, и выделив главное, полу¬
чим выписанную ниже таблицу незамкнутости для 13-параметрической
кватернионной группы [32]:
Г
R
0
V
Ф
ехр (ей/2) *-
-» Т
ехр (sir/2) <-
-> R
Ф
ехр (г$/2) <—
0
exp (ф/2) <-
-» V
Ф
©
R
ехр {еф/2) <—
-► Ф
R
з. ЗАДАЧИ
21
(в её клетки ставятся только символы элементарных преобразований,
новых по сравнению с теми, которые складываются или переставля¬
ются). Отметим, что любые два из следующих трёх требований сов¬
местимы со специальной теорией относительности: 1) переносам соот¬
ветствуют числа вида ехр(егг/2); 2) бустам соответствуют числа вида
ехр(,0/2); 3) композиции преобразований соответствует произведение
сопоставленных им чисел. Но в кватернионной группе нет подгруппы,
изоморфной группе Пуанкаре.
3. Задачи
Постановку всех рассматриваемых далее задач можно свести к сле¬
дующему символическому уравнению инерциальной навигации [33]:
AlE(T+dr) = А1Е(Т) о АЕ(т)Е(т+с1т)'
Здесь I — базовая инерциальная система отсчёта, относительно ко¬
торой рассматривается движение объекта; Е(т) и Е(т + dr) — две
бесконечно близкие инерциальные системы отсчёта, проходимые объ¬
ектом; соответственно, АЕ(т)е(т+(1т) — бесконечно малое преобразова¬
ние, их связывающее. Выписанная формула — частный случай общей
формулы композиции преобразований группы, отличающийся тем, что
одно из преобразований бесконечно малое. В соответствии с постанов¬
кой задачи инерциальной навигации бесконечно малое преобразование
АЕ(т)е(т+<1т) должно включать перенос во времени, но не должно со¬
держать пространственного переноса (поскольку объект неподвижен
в связанной с ним системе отсчёта). Задачу инерциальной навигации
в общем виде можно сформулировать следующим образом: по извест¬
ному положению объекта AjE(t) в момент т и измеряемому (с помо¬
щью жёстко связанных с объектом инерциальных датчиков) прираще¬
нию положения АЕ(т)е(т+(1т) требуется найти новое положение объек¬
та А/e(t-\-cLt) в момент т + dr. Повторяя этот элементарный процесс,
можно, зная начальное положение и получая информацию от инерци¬
альных приборов, рассчитывать текущее положение объекта.
Одна из важнейших навигационных задач — определение времени
на борту движущегося объекта. Для этой задачи:
А 1Е(т+<1т) — А 1Е(т) — Tt, А Е(т)Е(т+<1т) =
и символическое уравнение инерциальной навигации принимает сле¬
дующий вид:
22
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Tt+dt — TtTdr.
Из этого теоретико-группового уравнения следует (числовое) уравне¬
ние dt — dr для параметров.
Следующая практически важная задача — определение ориентации
объекта (рассматриваемого как твёрдое тело) с использованием дат¬
чиков угловой скорости ш. Для этой задачи кроме сдвигов во времени
используются повороты:
ЛIE(r+dr) — Tt-\-dtOfi_Aje(t) = ^Е{т)Е{т+(1т) = Т(1т® lj dr¬
ib результате получается теоретико-групповое уравнение
Tt+dt®ф+дф — №©#) ° (TdrOtidr),
из которого кроме тривиального dt = dr получается ещё и существенно
более сложное (поскольку dd ^ сodr) уравнение инерциальной ориен¬
тации (его проще записывать с использованием кватернионов).
Следующий естественный шаг состоит в расширении фундамен¬
тальной группы до 10-параметрической группы Галилея. Теоретико¬
групповое уравнение получается таким:
Tt+dtRr+drVi>-\-dv ° -dtf — (TtRfVy О 0^) О (T^rV^^r0Codr)•
В нём проявляются уже все особенности общей постановки задачи
инерциальной навигации. Для получения информации об изменении
связанной с объектом системы отсчёта используется традиционный
набор приборов: часы, акселерометры и датчики угловой скорости.
Некоммутативность композиции преобразований приходится учиты¬
вать уже при разложении преобразования, связывающего две системы
отсчёта, на элементарные (в данном случае перенос во времени Т, пе¬
ренос в пространстве #, нерелятивистский буст V и пространственный
поворот 0). Из этого теоретико-группового уравнения получается сле¬
дующая система уравнений инерциальной навигации (нерелятивист¬
ских и без учёта гравитации):
dt dr dv dQ 1 /. —t \
Тт=1’ Tt=V' =
где Q = exp(id/2) — кватернион поворота.
з. ЗАДАЧИ
23
Последний шаг, который остаётся сделать для полноценной фор¬
мулировки задачи инерциальной навигации в рамках теоретико-груп¬
пового подхода — включение в фундаментальную группу элементар¬
ного преобразования, соответствующего гравитационному ускорению
(ускорению тяготения):
Tt+dtRr+drVy+dv ° ° Gg+dg —
— (TtRfVt о0^о G§) о (TdTV^dr&ujdrGfidr)-
В состав инерциальной навигационной системы приходится включать
ещё прибор, измеряющий скорость приращения гравитационного уско¬
рения [34, с. 27]. «Выше описана принципиальная возможность созда¬
ния инерциальных систем без заранее заданной карты для простран¬
ственного поля ускорений тяготения. Еще недавно были исследовате¬
ли, которые сомневались в принципиальной возможности построения
подобной инерциальной системы» Л.И. Седов [34, с. 28]. Приведём со¬
отношения, которые характеризуют гравитационное преобразование,
входящее в расширенную группу Галилея:
G$oTt= TtR?V$ Gfr f=gt2/2, v = gt\
G$R? = R?G$\
G$Vj? = V€G§;
G9 o0^0^o Gg^ 9* = e~^/2 °g° e^/2;
Gg! Gg2 = Gcj, g = gi -f- g2-
При учёте релятивистских эффектов расширять приходится не
группу Галилея, а группу Пуанкаре, причём сразу до 15-параметри-
ческой конформной группы. Теоретико-групповое уравнение инерци¬
альной навигации при этом выглядит так:
Tt+dtR?+dr ° V$+dijFa+da®3+d'd ° Gg+dgWyj+dw =
= (TtRfoVjTaQj О G$Ww) о {TdrVddr^^dTQudTGridTWudT)^
Здесь появились ещё два символа элементарных преобразований: Г —
масштабное преобразование и W — преобразование, связанное с гра¬
витационным изменением масштабов. При работе с конформной груп¬
пой наиболее эффективным оказывается использование бикватернио¬
нов Гамильтона [35].
24
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
«Итак, математика двумя различными путями вела физику к при¬
нятию конформной группы (“эрлангенская” схема и анализ свойств
инвариантности уравнений Максвелла), но отсутствие достаточно глу¬
боких оснований физического характера и успех альтернативного спо¬
соба расширения P-группы (ОТО) препятствовали этому принятию»
Вл.П. Визгин [36, с. 205]. Потребовавшаяся для инерциальной нави¬
гации расширенная группа Галилея (группа Галилея-Ньютона) и есть
то основание, которое позволяет согласовать конформную группу с
классической механикой. Выпишем для сравнения таблицы незамкну-
тости элементарных преобразований для расширенных групп Галилея
и Пуанкаре:
Т
R
0
V
G
Т
R
R,V
R
©
V
R
G
R,
V
Т
R
0
V
G
w
Г
Т
R
R,V,
W, Г
г
R
Т
0,Г
T,V,
G,T
0
V
R
Т
0
w
G
G
R,W,
v,r
©,
Г
W
W
Г
T,G,
v,r
G
Г
Заключение
Приведём напутствие редактора сборника статей Г. Минковского,
вышедшего в 1910 году: «И пусть каждый по мере своих сил спо¬
собствует осуществлению смелой мечты Минковского о том, чтобы в
сознании человечества для будущих поколений пространство и вре¬
мя низвелись до роли теней, и живым осталось бы только простран¬
ственно-временное преобразование» О. Блюменталь [37, с. 15-16].
ЛИТЕРАТУРА 25
Литература
1. Николаев В.И. Четыре типовых вопроса по физике // Физическое
образование в вузах. 2004. Т. 10. № 2. С. 5-9.
2. Селезнев В.П., Селезнева Н.В. Навигационная бионика. М.: Ма¬
шиностроение, 1987. 256 с.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекуляр¬
ная физика. М.: Наука, 1987. 432 с.
4. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатфор-
менных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992.
280 с.
5. Левантовский В.И. Механика космического полета в элементар¬
ном изложении. М.: Наука, 1974. 488 с.
6. Ишлинский А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. М.: На¬
ука. 1985. 624 с.
7. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по фи¬
зике. Вып. 1. Современная наука о природе. Законы механики.
М.: Мир, 1965. 268 с.; 10-е изд. М.: URSS, 2014.
8. Чуб В. Ф. Методика преподавания студентам физико-технического
института основ инерциальной навигации // Физическое образо¬
вание в вузах. 2012. Т. 18. № 3. С. 137-145.
9. Жуков А. Гиперкомплексные числа // Энциклопедия для детей.
[Т. 11.] Математика. М.: Мир энциклопедий АвантаН-, Астрель,
2011. С. 211.
10. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии.
М.: Физматгиз, 1963. 192 с.; 3-е изд. М.: URSS, 2009.
11. Бранец В.Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в за¬
дачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.
12. Балк М. Б., Балк Г. Д., Полу хин А. А. Реальные применения мни¬
мых чисел. Киев: Радянська школа, 1988. 256 с.
13. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 2.
Москва-Ижевск: Ин-т компьютер, исслед., 2003. 239 с.
14. Юкава X. Лекции по физике. М.: Энергоиздат, 1981. 128 с.
15. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. М.: Наука, 1986. 120 с.; 4-е
изд. М.: URSS, 2014.
26 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
16. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Про¬
хоров. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с.
17. Александрова Н.В. Из истории векторного исчисления. М.: МАИ,
1992. 152 с.; 2-е изд. М.: URSS, 2013.
18. Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в ре¬
лятивистской физике. М.: URSS, 2003. 200 с.
19. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спи¬
нов. М.: Изд-во МЦНМО, 2002. 40 с.
20. Раушенбах Б. В. Развитие систем управления движением косми¬
ческих аппаратов / / Исследования по истории и теории развития
авиационной и ракетно-космической науки и техники. Вып. 8-10.
М.: Наука, 2001. С. 98-129.
21. Маланин В.В., Стрелкова Н.А. Оптимальное управление ориен¬
тацией и винтовым движением твердого тела. Москва-Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 204 с.
22. Кузичева З.А. Векторы, алгебры, пространства. М.: Знание, 1970.
64 с.
23. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и ме¬
тоды механики твердого тела и их приложения. Геометрия и ки¬
нематика движения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 512 с.
24. Чуб В.Ф. О возможности применения одной системы гиперком-
плексных чисел в инерциальной навигации // Известия АН. Ме¬
ханика твердого тела. 2002. № 6. С. 3-23.
25. Александров А.Д., Вернер A.J1Рыжик В.И. Геометрия: Учеб.
для 11 кл. школ с углубленным изучением математики. М.: Про¬
свещение, 2006. 319 с.
26. Васильев А.В. Математика за последние пятьдесят лет // Мате¬
матическое образование. 1928. № 1. С. 3-9; № 2. С. 49-58. (См.
также № 3 за 1997 год.)
27. Логунов А.А. К работам Анри Пуанкаре «О динамике электро¬
на». М.: ИЯИ АН СССР, 1984. 96 с.
28. Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория унитарной симметрии. М.: Наука,
1970. 400 с.
29. Окунь Л.Б. Теория относительности и теорема Пифагора // Успе¬
хи физических наук. 2008. Т. 178. № 6. С. 653-663. (См. также:
Квант. 2008. № 5. С. 3-10.)
ЛИТЕРАТУРА 27
30. Визгип В.П. «Эрлангенская программа» и физика. М.: Наука,
1975. 112 с.
31. Громов С.В. Физика: Механика. Теория относительности. Элек¬
тродинамика: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений. М.:
Просвещение, 2003. 383 с.
32. Чуб В. Ф. Незамкнутость элементарных преобразований простран¬
ства-времени // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике.
2005. № 2 (4). С. 153-160.
33. Чуб В.Ф. Постановка задачи инерциальной навигации (теоре¬
тико-групповой подход) // Космические исследования. 2007. Т. 45.
№ 2. С. 189-192.
34. Седое Л.И. Об основных моделях в механике. М.: Изд-во МГУ,
1992. 151 с.
35. Чуб В.Ф. Применение конформной группы в теории инерциаль¬
ной навигации // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006.
№ 5. С. 3-17.
36. Визгин В.П. Из истории конформной симметрии в физике (о
некоторых особенностях взаимосвязи физики и математики в XX
веке) // Историко-математические исследования. Вып. 19. М.:
Наука, 1974. С. 188-219.
37. Минковский Г. Две статьи об основных уравнениях электродина¬
мики. Москва-Ижевск: Ин-т компьютер, исслед., 2003. 138 с.
Часть II
Гиперкомплексные и
теоретико-групповые
методы в теории
инерциальной навигации
Лекция 1
Кватернионы и
бикватернионы
1.1 Гиперкомплексные числа,
исключительные алгебры
Обычные комплексные числа принято записывать в виде
z = (ж, у) или z = х + гу,
где z обозначает само комплексное число, а х и у — две составляющие
этого комплекса. Первая запись встречается в математических книгах,
с её помощью подчёркивают, что комплексное число есть упорядочен¬
ная пара вещественных чисел. Но данная запись неполна; требуется
определение правил сложения и умножения, намёк на которые содер¬
жит более распространённая вторая запись, в которой знак плюс озна¬
чает, что комплексные числа следует рассматривать как многочлены
(их сложение покомпонентное), а г — мнимая единица с характерным
свойством г2 = — 1 напоминает о правиле умножения многочленов,
представляющих комплексные числа.
Далее будут рассматриваться комплексы с большим числом состав¬
ляющих или с другими законами умножения. Взяв за основу много¬
членную форму записи, запишем обычное комплексное число в виде
А = Aiei + А2е2, где А = z, = х, е\ = 1, Л2 = у, е2 = г.
30
ЛЕКЦИЯ 1. КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
Введённые унифицированные обозначения позволяют просто записать
элемент произвольной алгебры
В случае е\ = 1 (это обычная единица, от умножения на которую
ничего не меняется; при записи её часто просто опускают) система на¬
зывается гиперкомплексной; её элементы — гиперкомплексные числа.
То, чем мы сейчас занимаемся (и ещё некоторое время будем за¬
ниматься), относится к фундаментальной математике. В ней нет ха¬
рактерных для прикладной математики вычислений, одна сплошная
классификация. Классификацией алгебраических систем занимается
(абстрактная, общая) алгебра (это математическая наука, в отличие
от упомянутой ранее алгебры — алгебраической системы). Алгебраиче¬
ские системы характеризуются составляющими их элементами, опре¬
делёнными на них операциями и свойствами этих операций. В матема¬
тической символике при обозначении алгебраической системы обычно
так и поступают: сначала записывают множество элементов, потом
символы рассматриваемых операций и, если не всё ясно из контекста,
выписывают список аксиом, которым должны удовлетворять опера¬
ции.
За основу классификации алгебраических систем (структур) удоб¬
но взять количество бинарных (двухместных) операций, то есть опе¬
раций, которые каждым двум элементам ставят в соответствие третий
элемент (исходного множества).
Простейшими (но не тривиальными) в этом смысле будут мно¬
жества с одной бинарной операцией, которую в этом случае обыч¬
но называют умножением. Далее классификация производится с учё¬
том свойств основной (бинарной) и других (одноместных и нульмест-
ных) операций. Естественно, генетическое классификационное дерево
(куст) сильно разрастается; мы выделим в нём только широко извест¬
ную ветвь. Множество с ассоциативным умножением называется по-
лугруппой. Полугруппу с единицей (это нульместная операция) назы¬
вают моноидом. Моноид с обратимыми элементами (это одноместная
операция) называется группой. Группа с коммутативным умножени¬
ем называется коммутативной или абелевой (по фамилии Н. Абеля).
Умножение в абелевой группе часто называют сложением, а единицу
(нейтральный элемент) нулём.
Следующими в традиционной классификации алгебраических си¬
стем будут множества с двумя бинарными операциями, одну из кото¬
п
к=1
1.1. ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
31
рых обычно называют умножением, а другую сложением. Если сло¬
жение «хорошее», то множество с двумя бинарными операциями на¬
зывают алгеброй или кольцом. Кольцо с единицей называют алгеб¬
рой гиперкомплексных чисел. Гиперкомплексные числа с делением
образуют тело (например, тело кватернионов). Тело с ассоциативно¬
коммутативным умножением называют полем (например, поле ком¬
плексных чисел). Естественно, что упомянутое тело не имеет ника¬
кого отношения к телу в механике, а упомянутое поле — к полю в
физике. Но это широко распространённая в современной математике
терминология, и про неё надо помнить. Рассмотренную ветвь класси¬
фикационного дерева алгебр легко дополнить другими частными слу¬
чаями. Например, в журнале «Гиперкомплексные числа в геометрии
и физике» большое внимание уделяется ассоциативно-коммутативным
гиперкомплексным числам, для которых в общем случае не определе¬
но деление, то есть нельзя делить не только на ноль (как в поле и в
теле).
Приведённый краткий анализ показывает, что объективно группы
проще чисел. Но числа привычнее групп. Сегодняшняя лекция по¬
священа числам, а для закрепления сказанного обратим внимание на
групповые свойства арифметических операций над числами.
Как известно, числа (в том числе гиперкомплексные) можно скла¬
дывать. Сложение — бинарная операция. Относительно сложения чис¬
ла образуют группу. Роль единичного элемента для этой группы иг¬
рает ноль, а роль обратного элемента для данного числа — проти¬
воположное ему число. Комбинируя, можно получить вычитание, но
введение такой бинарной операции на фундаментальном уровне уже
не требуется.
Кроме того, числа (в том числе гиперкомплексные) можно пере¬
множать. Относительно ассоциативного умножения числа образуют
моноид. Роль единичного элемента для этой полугруппы играет обыч¬
ная единица, а роль обратного элемента для данного числа — обрат¬
ное ему число. Обратный элемент существует не всегда (например, нет
обратного числа для нуля), поэтому и группа относительно умноже¬
ния не получается. Чтобы получить группу по умножению, выделяют
какое-то подмножество чисел; например, положительные веществен¬
ные числа образуют группу по умножению. Комбинируя обращение и
Умножение, можно получить деление (в некоммутативном случае пра¬
вое и левое), но введение такой бинарной операции — не необходимость,
а дань традиции («четыре действия арифметики»).
Математические мотивы исследования гиперкомплекс¬
ных чисел. Вводя в рассмотрение такие широкие классы объектов,
32
ЛЕКЦИЯ 1. КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
математики в основном интересуются двумя вопросами: дать их пол¬
ную классификацию и найти самых интересных представителей.
Задача полной классификации гиперкомплексных чисел (с точно¬
стью до изоморфизма) сложна. Но общие принципы подхода к ней
понятны. За основу берётся размерность (ранг) алгебры. При п = 1
имеем только обычные (вещественные) числа. Для п — 2 получается
три варианта неизоморфных гиперкомплексных систем: комплексные,
двойные и дуальные числа. С ростом п количество вариантов быстро
возрастает.
Среди невообразимого множества числовых систем попадаются ин¬
тересные (по математическим свойствам) экземпляры. Исторически
сложилось так, что математики в первую очередь заинтересовались
обобщениями обычных чисел, в которых делить нельзя только на ноль,
и назвали их исключительными алгебрами. Упомянем здесь широко
известную исключительную восьмимерную неассоциативную алгебру
октонионов (октав), открытую вскоре после тоже исключительной че¬
тырёхмерной алгебры кватернионов.
Физические мотивы исследования гиперкомплексных чи¬
сел. Физики ищут удобный и адекватный математический аппарат
для описания природы. Поэтому они тоже выделяют какие-то гипер-
комплексные числовые системы, но критерии отбора, и, соответствен¬
но, результаты у них другие; более естественным оказывается переход
от кватернионов не к октонионам, а к бикватернионам. Рассмотрим
здесь общие аргументы в пользу применения в физике (прежде все¬
го, в механике) кватернионов и бикватернионов, которым посвящена
настоящая лекция.
Почему бесперспективно (по крайней мере, на первый взгляд в бу¬
дущее) использование в физике ассоциативно-коммутативных гипер¬
комплексных чисел? Потому что некоммутативность в физике встреча¬
ется на каждом шагу. Например, некоммутативны пространственные
повороты.
Демонстрация 1. Лектор берёт в руки книгу; фиксирует
её начальную ориентацию; обозначает оси х, у, z системы
координат, связанной с книгой; выполняет первую последо¬
вательность поворотов: на 90° вокруг оси х, затем на 90°
вокруг оси у; фиксирует конечную ориентацию книги; воз¬
вращает книгу в начальное положение; выполняет вторую
последовательность поворотов: на 90° вокруг оси ?/, затем
на 90° вокруг оси х\ констатирует разницу получившегося
1.2. КОМПЛЕКСНЫЕ, ДУАЛЬНЫЕ И ДВОЙНЫЕ ЧИСЛА 33
положения книги с зафиксированным после первой после¬
довательности поворотов; кладёт книгу на стол.
Демонстрация 2. Лектор берёт в руки книгу; фиксирует
её начальную ориентацию; обозначает оси х, у, z системы
координат, связанной с начальным положением книги; вы¬
полняет первую последовательность поворотов: на 90° во¬
круг оси х, затем на 90° вокруг оси у; фиксирует конечную
ориентацию книги; возвращает книгу в начальное положе¬
ние; выполняет вторую последовательность поворотов: на
90° вокруг оси у, затем на 90° вокруг оси х; констатиру¬
ет разницу получившегося положения книги с зафиксиро¬
ванным после первой последовательности поворотов; кла¬
дёт книгу на стол.
В этом смысле использование коммутативной гиперкомплексной систе¬
мы для описания пространственных поворотов выглядит неестествен¬
ным при наличии кватернионов, которые идеально подходят для их
представления.
Почему неестественно (тоже на первый взгляд в далёкую перспек¬
тиву) использование в физике неассоциативных гиперкомплексных чи¬
сел? Ведь в физике применяется, например, векторная алгебра с неас¬
социативным векторным умножением:
а х [Ь х с] ± [a xb] х с.
Потому что гораздо более естественно рассматривать вектор как би¬
кватернион специального вида и использовать ассоциативное биква-
тернионное умножение. Дело в том, что все преобразования ассоциа¬
тивны, в том числе и те же повороты.
Почему неэффективно (здесь уже лучше посмотреть на недавнее
прошлое) использование квадратных матриц, которые можно рассмат¬
ривать как гиперкомплексные числа специального вида, для описания
пространственных поворотов и преобразований Лоренца? Потому что
размерность кватернионов и бикватернионов, используемых для тех
же целей, меньше.
1.2 Комплексные, дуальные
и двойные числа
Выпишем обычное комплексное (мнимое) число в виде, удобном
Для введения других двухкомпонентных гиперкомплексных чисел:
34
ЛЕКЦИЯ 1. КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
Л — Ai + i\i.
Здесь коэффициентам приписаны нижние индексы, совпадающие с
обозначением специального гиперкомплексного числа (базисной еди¬
ницы, орта), при котором стоит этот коэффициент (орт 1 традиционно
опущен). Дуальное число будем записывать в виде
А = Ai + еХ£,
где е — обозначение «дуальной единицы», отличающейся по своим
свойствам от «мнимой единицы» г. Соответственно, двойное число бу¬
дем записывать как
А = Ai + еАе,
где орт е отличается от ортов i и s.
Для определения закона умножения элементов алгебры (фактиче¬
ски — для определения самой алгебры) достаточно задать таблицу
умножения ортов — так называемую таблицу Кэли, содержащую по¬
парные произведения ортов. Для двухкомпонентных алгебр в такой
таблице должно быть четыре элемента, а для двухкомпонентных ги-
перкомплексных чисел из-за того, что при умножении на обычную еди¬
ницу ничего не меняется, вся таблица определяется значением квад¬
рата второго орта. Поэтому для обычных комплексных чисел закон
умножения задаётся хорошо известным правилом
г2 = -1.
Для умножения дуальных чисел используется правило
£2 = 0.
Для тех, кто встречается с ним впервые весьма непривычное. Но,
по сути, применяется оно совершенно аналогично правилу г = — 1.
Умножение двойных чисел производится с использованием закона
е2 = 1.
Три рассмотренные гиперкомплексные числовые системы сильно
различаются по своим свойствам. Комплексные числа исключитель¬
ная алгебра, поле. Свойства комплексных чисел хорошо известны (так
1.3. КВАТЕРНИОНЫ
35
построены программы обучения в вузах), поэтому некоторые свойства
двойных и дуальных чисел, например наличие делителей нуля, вос¬
принимаются с трудом. Говорят, что в системе имеются делители ну¬
ля, если ab = 0 при а ^ 0 и 6 ^ 0. Наличие делителей нуля в системе
дуальных чисел очевидно: взяв а = Ъ = е, получим по определению
аЬ = е2 = 0. Среди двойных чисел они тоже есть: взяв а = 1 + е,
b = 1 — е, получим ab = (1 + е)(1 — е) = 1 + е — е — ее = 1 — е2 = 0.
Выпишем ещё для сравнения формулу Эйлера для комплексных чисел
и её аналоги для дуальных и двойных:
ехр(гу>) = cos ср + г sin <р,
exp (е(р) = 1 + £(р,
ехр (еф) = ch ip + е sh ip.
1.3 Кватернионы
По аналогии с двухкомпонентными гиперкомплексными числами
запишем четырёхкомпонентный кватернион в виде
А = Ai + гА^ + jAj + к\р..
Здесь г, j, к — новая тройка (векторных) ортов, квадрат каждого из
которых равен минус единице, но, вообще говоря, никак не связан¬
ных со скалярной мнимой единицей обычных комплексных чисел (для
дальнейшего удобна следующая терминология: скалярное число мож¬
но переставить местами при умножении с любым другим, а для век¬
торного числа это не так — произведение может зависеть от порядка
множителей).
Таблица умножения кватернионных ортов приводится чуть ли не
во всех книгах, где упоминаются кватернионы, но выписывать её нет
необходимости: она быстро восстанавливается из следующих легко за¬
поминающихся соотношений:
г 2 = j 2 = —1, ioj = k = —joi.
Здесь введён специальный символ (кружок) для напоминания о неком-
мутативности операции. Полезно также запомнить простую цикличе-
СкУю симметрию правила умножения векторных ортов относительно
36 ЛЕКЦИЯ 1. КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
замены г, j, к на j, /с, г. Исторически первый (и до сих пор широко
распространённый) симметричный набор соотношений
i2=j2 = k2 = iojok = — 1
тоже годится для быстрого восстановления таблицы умножения ква¬
тернионов.
Демонстрация 3. Лектор берёт в руки книгу И.Л. Канто¬
ра и А.С. Солодовникова «Гиперкомплексные числа» (М.:
Наука, 1973); зачитывает название книги и фамилии ав¬
торов; показывает аудитории обложку, на которой изобра¬
жены соотношения между кватернионными гиперкомплекс-
ными ортами; обращает внимание на отсутствие векторных
обозначений и специального знака для некоммутативного
умножения; кладёт книгу на стол.
Кстати, в математической литературе встречается и таблица умноже¬
ния для кватернионов размерности 8x8, поскольку орты 1, г, j, к от¬
личаются по написанию от —1, —г, — jf, —к, а конечную 8-элементную
группу, которую эти числа образуют относительно умножения, назы¬
вают группой кватернионов.
Считается, что кватернионы открыл У. Гамильтон в 1843 году.
Эта история многократно описана, нет смысла повторяться. Отме¬
тим, что у Гамильтона были знаменитые предшественнники (Л. Эй¬
лер, К. Гаусс, Б. Родриг), историки науки до сих пор спорят об их
вкладе. Но значение открытия кватернионов и последующих много¬
летних усилий Гамильтона по развитию кватернионного исчисления
недооценивать нельзя. С этой целью приведём две характерные цита¬
ты: «Изобретение кватернионов — шаг вперед к пониманию величин,
связанных с пространством; оно сравнимо по своему значению с изоб¬
ретенной Декартом системой координат» Дж. Максвелл; «Это была
революция в арифметике, подобная той, которую совершил Лобачев¬
ский в геометрии» А. Пуанкаре.
Тем не менее, хорошо известно не только о подъёмах, но и о спадах
интереса к кватернионам. Первыми в роли конкурирующего исчисле¬
ния выступили векторы. И это несмотря на то, что векторное исчисле¬
ние выделилось из кватернионного. На следующем этапе всё что мож¬
но, в том числе и традиционные области применения кватернионов,
заполонили матрицы: вплоть до того, что базисные кватернионные (и
бикватернионные) единицы (орты) вводились просто как матрицы спе¬
циального вида без упоминания про сами (би)кватернионы.
1.3. КВАТЕРНИОНЫ
37
Определённую роль в снижении интереса к кватернионам в XX веке
сыграло именно восприятие их как исключительной алгебры — очень
жёсткой конструкции, не допускающей какой-либо модификации или
развития, при том что сами по себе кватернионы в исходном виде ока¬
зывались для решения ряда задач менее удобными, чем, например, те
же векторы. Дело в том, что традиционно обычный кватернион запи¬
сывали как сумму скаляра и вектора
Л = Ai + Л, где Л = гЛ^ + jXj + кХ£.
Но получаемый таким путём кватернионный вектор Л оказывается
мнимым: его квадрат отрицателен. Казалось бы — мелочь, но в ре¬
зультате векторы с положительным квадратом вошли в школьную
программу, а кватернионы стали экзотикой, про которую даже в ву¬
зовских курсах высшей математики не упоминалось (при том, что
они могли включать фундаментальные курсы векторного исчисления
и теории функций комплексного переменного). Формально, конечно,
легко переписать кватернион в форме
А = Ai + iXi, где eyX-j + ezA^,
в которой вектор А* обладает всеми привычными свойствами (такую
запись мы в дальнейшем и будем использовать, с тем уточнением, что
коэффициенты вектора а при ортах ex, ey, ez будем обозначать ах,
а2/, az), но фактически это означает неявный переход к комплексным
кватернионам, которые уже не являются исключительной алгеброй в
традиционной математической терминологии.
Если рассмотреть произведение двух записанных в таком виде ква¬
тернионов
А = а + га,
В = /3 + гб,
то их произведение (тоже обычный кватернион С) имеет вид
АоВ=:С=7 + гс, где j = а/3 — а -Ь, с = ab + (За + а х Ь.
Здесь использованы обычные обозначения для скалярного и векторно¬
го произведений векторов:
а • Ь — axbx + Q'yb'y “Ь Qzhzi
38 ЛЕКЦИЯ 1. КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
CL X 6 = (о,ybz Q'zby'j^'X Н- 0>x^z)^y “Ь {flx^y Ojybx^Ez.
Если же рассмотреть (би)кватернионное произведение двух обычных
вещественных векторов
(L — CLXEX dy^y ^z^Z")
Ь = Ьхех + Ьуеу + bzez,
то оно в общем случае состоит из скаляра и мнимого вектора:
а оЬ = а -Ь — га xb,
то есть представляет собой обычный кватернион общего вида.
1.4 Дуальные кватернионы
(бикватернионы Клиффорда)
Далее мы займёмся не введением принципиально новых чисел, а
«комбинаторикой» — комбинированием уже рассмотренных. Так, в
этом пункте рассматриваются кватернионы, коэффициенты которых
— дуальные числа. Впрочем, та же самая система дуальных кватерни¬
онов получится, если рассмотреть дуальные числа с коэффициентами
— кватернионами. На языке абстрактной алгебры это звучит примерно
так: алгебра дуальных кватернионов над полем вещественных чисел,
алгебра кватернионов над кольцом дуальных чисел и алгебра дуаль¬
ных чисел над телом кватернионов изоморфны.
Пропуская развёрнутую 8-компонентную запись, запишем дуаль¬
ный кватернион в более компактном скалярно-векторном виде
А = Ai Н- i\i е\£ -Ь E%\ei.
Произведение дуальной и мнимой единиц е% = is можно было бы обо¬
значить каким-то одним символом, но мы этого делать не будем. В
традиционной записи мнимость «прячется» в векторах, поэтому при
записи бикватернионов Клиффорда появляется только «множитель
Клиффорда» е. Кстати, выбор символа для дуальной единицы в лите¬
ратуре жёстко не стандартизирован (в отличие от символа для мнимой
единицы). В дуальном числе коэффициент при е называют дуальной
(моментной) частью, а коэффициент при обычной единице — главной.
15. КОМПЛЕКСНЫЕ КВАТЕРНИОНЫ
39
Аналогичная терминология сохраняется и для дуальных кватернио¬
нов, только главной частью здесь будет кватернион Ai Н-гА*, а дуальной
(моментной) частью — кватернион Ае + iXei.
Дуальные кватернионы были введены в науку У. Клиффордом,
который рассматривал их в одном ряду с комплексными и двойны¬
ми кватернионами. Выделение бикватернионов Клиффорда в отдель¬
ную область исследований было предопределено основной областью их
применения: описание перемещений твёрдых тел. Использование ду¬
альных кватернионов позволяло перенести (принцип перенесения Ко-
тельникова-Штуди) кватернионные методы, развитые для описания
пространственных поворотов, на перемещения твёрдых тел, включаю¬
щие повороты и переносы. Согласно этому подходу, векторная часть
дуального кватерниона iXi+eiX£i должна рассматриваться как единый
обобщённый вектор — бивектор (винт, мотор).
1.5 Комплексные кватернионы
(бикватернионы Гамильтона)
Аналогично дуальным кватернионам рассмотрим комплексные ква¬
тернионы, которые получаются как кватернионы с комплексными ко¬
эффициентами или как комплексные числа, у которых коэффициенты
— кватернионы. В скалярно-векторной записи они выглядят так:
А = Ai + Ai + i\i + iXi.
Здесь виден некоторый недостаток принятой символики: коэффициент
Ai не имеет отношения к вектору Ai, а А* к А*, но модули векторов
появятся у нас только на следующей лекции.
Как хорошо известно, в комплексном числе коэффициент при г на¬
зывают мнимой частью, а коэффициент при обычной единице — дей¬
ствительной (вещественной). Хуже запоминается, что мнимыми числа¬
ми называют не только комплексные числа с нулевой действительной
частью, а вообще все комплексные числа с ненулевой мнимой частью.
Аналогичная терминология сохраняется и для комплексных кватер¬
нионов, только действительной частью здесь будет Ai + Ai, а мнимой
A< + Ai, причём ни та, ни другая в общем случае не будут кватернио¬
нами.
Как видно из приведённой записи, в состав бикватерниона Гамиль¬
тона входят: вещественный скаляр, вещественный вектор, мнимый ска¬
ляр и мнимый вектор. Чтобы получить комплексное число с коэффи¬
40
ЛЕКЦИЯ 1. КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
циентами — кватернионами нужно объединять вещественный скаляр
с мнимым вектором (это первый коэффициент-кватернион) и мнимый
скаляр с вещественным вектором (это второй коэффициент-кватерни¬
он, умноженный на мнимую единицу).
Несмотря на то, что двойные числа не использовались при построе¬
нии бикватернионов Гамильтона в качестве базисной системы, они со¬
держатся в построенной числовой системе (точнее: алгебра комплекс¬
ных кватернионов над полем вещественных чисел содержит в качестве
подалгебр алгебры, изоморфные кольцу двойных чисел). Дело в том,
что вещественые векторные орты
Сх — ^5 Су — % j, ez — ikj
квадрат которых равен единице, по своим свойствам неотличимы от
орта е двойных чисел при обнулении всех коэффициентов бикватер¬
ниона Гамильтона кроме двух: при вещественной единице и при со¬
ответствующем вещественном векторном орте. В аналогичном смысле
говорят, например, что комплексные числа содержатся в кватернио¬
нах.
Основное применение комплексные кватернионы нашли в теории
относительности при описании пространственно-временных поворотов,
содержащих пространственные повороты и так называемые бусты —
специальные преобразования Лоренца. Бикватернионная структура
просматривается в ряде уравнений физики. Например, четыре урав¬
нения Максвелла (два скалярных и два векторных) естественным об¬
разом записываются в виде одного бикватернионного.
1.6 Комплексно-дуальные кватернионы
Учитывая, что кватернионы с дуальными коэффициентами опи¬
сывают движения пространства, а кватернионы с комплексными ко¬
эффициентами описывают повороты пространства-времени, выглядит
вполне естественной попытка ввести кватернионы с комплексно-ду¬
альными коэффициентами для описания движений пространства-вре¬
мени. Комплексно-дуальными коэффициентами, естественно, должны
быть гиперкомплексные числа, содержащие в качестве гиперкомплекс¬
ных единиц обычную вещественную единицу 1, мнимую единицу г и
дуальную единицу е. Больше ничего не требуется, вполне достаточно
было бы трёхкомпонентных скалярных чисел. Но таковых нет. По¬
этому приходится вводить четырёхкомпонентные комплексно-дуаль¬
ные скаляры, с четвёртой скалярной комплексно-дуальной единицей
1,6. КОМПЛЕКСНО-ДУАЛЬНЫЕ КВАТЕРНИОНЫ 41
i£ == ег. Зато с этими числами легко работать: их можно рассматри¬
вать как комплексные числа с дуальными коэффициентами либо как
дуальные числа с комплексными коэффициентами.
Теперь уже очевидно, что комплексно-дуальные кватернионы, по¬
рождённые четырёхкомпонентными кватернионами и четырёхкомпо¬
нентными комплексно-дуальными скалярами, должны быть 16-ком¬
понентными. Опуская громоздкую покомпонентную запись, запишем
комплексно-дуальный кватернион в скалярно-векторном виде
Л = Ai + Ai Н- i\i + i\i + sX£ + eX£ + siX£i 4- siX£i.
Обнуляя соответствующие коэффициенты, легко получить из комп¬
лексно-дуального кватерниона комплексный кватернион, дуальный
кватернион, обычный кватернион, комплексное число и дуальное чис¬
ло. Аналогично (см. предыдущий пункт) можно получить числа, изо¬
морфные двойным. Вводимые далее для комплексно-дуальных кватер¬
нионов понятия применимы ко всем другим гиперкомплексным чис¬
лам, рассмотренным начиная с пункта 1.2 (для двойных чисел, кото¬
рые нам больше не понадобятся, с дополнительными уточнениями).
Отметим ещё некоторые важные частные случаи, для которых при¬
менимо всё, что будет введено ниже для комплексно-дуальных ква¬
тернионов общего вида: обычные вещественные числа, обычные веще¬
ственные векторы и четырёхмерные векторы (суммы обычных чисел
и обычных векторов).
Введём некоторые полезные функции:
seal А = Ai + г А* + еХ£ + eiX£i (выделение скалярной части);
vect А = Ai + г А* + еХ£ + eiX£i (выделение векторной части);
real А = Ai + Ai + еХ£ + еХ£ (выделение вещественной части);
imag А = А* + А* + sX£i + eX£i (выделение мнимой части);
main А = Ai + Ai + гАг + г\ (выделение главной части);
dual Л = Х£ -Ь Х£ -f- iX£i + iX£i (выделение дуальной части);
00 Ак
ехр Л = еЛ = V — (экспонента);
к!
к=О
егА _ е~гА
Sin Л = 2i (синУс);
42 ЛЕКЦИЯ 1. КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
е^л _|_ е-гл
cos Л = ; (косинус);
. smA . АЧ
tgA = (тангенс, если определено деление на cos Л);
cos Л
g л
sh Л = - (гиперболический синус);
еЛ -|- е_л
ch Л = (гиперболический косинус);
thA = (гиперболический тангенс, если определено деление);
ch Л
Л = Ai — Ai + iXi — i\i + e\£ — eX£ + eiX£i — eiX£i
(векторное сопряжение);
Л = Ai + Ai — iXi — iXi -f- eX£ 4- sX£ — siX£i — siX£i
(комплексное сопряжение).
Легко заметить, что для обычного кватерниона операции комплекс¬
ного и векторного сопряжений (дуальное сопряжение нам не потре¬
буется) совпадают, но в общем случае их свойства сильно отличают¬
ся. Комплексное сопряжение произведения равно произведению ком¬
плексно сопряжённых сомножителей, взятых в обратном порядке:
Ai о Л2 = Л2 о Ai.
Произведение комплексно-дуального кватерниона на комплексно со¬
пряжённый с ним даёт вещественное число, но это число в общем слу¬
чае содержит векторную часть и зависит от порядка сомножителей:
ЛоА^ЛоЛ.
Векторное сопряжение произведения равно произведению векторно со¬
пряжённых сомножителей, взятых в обратном порядке:
Ai о Л2 = Л2 о Ai.
Произведение же комплексно-дуального кватерниона на векторно со¬
пряжённый с ним даёт скаляр (комплексно-дуальный в общем случае)
и не зависит от порядка сомножителей:
16. КОМПЛЕКСНО-ДУАЛЬНЫЕ КВАТЕРНИОНЫ
43
Л о Л = Л о Л = ||Л||, ||Ai о Л211 = ||Лг11 ||Л2||.
Этот скаляр играет важную роль, поэтому для него введено специаль¬
ное обозначение ||Л||. Для обычных кватернионов ||Л|| часто называют
нормой кватерниона, |Л| = ^/||Л|| — модулем или длиной кватернио¬
на (иногда именно |Л| называют нормой), а кватернион с единичным
модулем (нормой) — нормированным (иногда — единичным или унимо-
дулярным). Мы будем пользоваться и широко распространёнными для
обычных вещественных векторов терминами «модуль вектора» (ариф¬
метический квадратный корень из квадрата вектора) и «нормирован¬
ный вектор» (вектор с единичным модулем, орт). Поэтому, чтобы не
было путаницы со знаком нормы вектора и кватерниона, вводить по¬
нятие «норма» для комплексно-дуального кватерниона не будем. Но
понятие обратного для комплексно-дуального кватерниона и его част¬
ных случаев (в том числе для обычного кватерниона) нам понадобится:
Л"1 = щ, (Ai о Л2)-1 = Лз 1 о Л]-1.
Понятие обратного числа Л^1 для данного Л определено, если главная
часть ||Л|| не равна нулю.
Лекция 2
Группы преобразований,
гиперкомплексные
представления групп
2.1 Теория групп, эрлангенская программа
Клейна
Группа, как уже говорилось в начале прошлой лекции, это алгеб¬
раический объект (алгебраическая структура). А именно, это множе¬
ство элементов, на котором: определена одна ассоциативная бинарная
операция (групповое умножение), для каждого элемента группы су¬
ществует обратный и обязательно имеется единичный элемент. Исто¬
рически группы возникли как математическая абстракция на основе
понятия совокупности преобразований (точнее, при изучении свойств
подстановок — преобразований конечных множеств). Единичному эле¬
менту соответствует тождественное преобразование (которое ничего не
меняет), обратному элементу соответствует обратное преобразование
(рассматриваются только обратимые преобразования), групповой опе¬
рации соответствует композиция преобразований (результат последо¬
вательного выполнения преобразований). Ассоциативность это просто
важное свойство, присущее композиции преобразований.
Теория групп разделяется на теорию конечных групп и теорию бес¬
конечных групп (среди которых наибольший интерес представляют
непрерывные группы) в зависимости от количества элементов. В физи-
2.1. ТЕОРИЯ ГРУПП, ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА
45
ке изучаются как дискретные, так и непрерывные симметрии, поэтому
множество элементов рассматриваемой группы может быть многосвяз¬
ным, то есть состоять из нескольких непрерывных областей (одинако¬
вого «объёма»), в одной из которых содержится единичный элемент.
Мы будем рассматривать только односвязные группы. Как теория ко¬
нечных групп, так и теория непрерывных групп (теория групп Ли)
— развитые математические теории (в части классификации соответ¬
ствующих групп и выделения экзотических примеров). Теория групп
находит широкое применение как в самой математике, так и в есте¬
ствознании. Исторически важная область применения для конечных
групп — теория алгебраических уравнений (теория Галуа), для непре¬
рывных групп — геометрия (эрлангенская программа Клейна).
Рассмотрим геометрию. Исторически сложилось так, что в основу
построения (непрерывной) геометрии кладут некоторое (непрерывное)
множество точек и некоторое правило вычисления расстояний между
ними (метрику), после чего говорят о пространстве данной геометрии:
евклидова геометрия — евклидово пространство, риманова геометрия
— риманово пространство (по фамилии Б. Римана), финслерова гео¬
метрия — финслерово пространство (по фамилии П. Финслера), и так
далее.
Теоретико-групповая классификация геометрий включает не все
построенные таким образом геометрии (например, риманова геомет¬
рия остаётся за её рамками), а только те, в основу построения которых
может быть положена некоторая фундаментальная группа преобразо¬
ваний. Тем не менее, это достаточно широкий класс. Но главное, что
это другой метод построения геометрии, другой математический язык,
который может оказаться необходимым и достаточным для описания
природы. При таком взгляде на роль теоретико-групповой классифи¬
кации геометрий становится понятной фраза А. Пуанкаре: «То, что
мы называем геометрией, есть не что иное, как изучение формальных
свойств некоторой группы, так что мы можем сказать: пространство
есть группа».
Теория групп находит применение в различных областях физики,
от механики до теории элементарных частиц. Нас будут интересо¬
вать пространственно-временные аспекты применения этой математи¬
ческой теории. При математическом описании физическое простран¬
ство-время это частный случай (конкретная разновидность) матема¬
тического пространства. Теория пространства-времени в современной
физике — «теория относительности». Причём этот термин в зависимо¬
сти от контекста означает либо специальную теорию относительности,
в основе которой лежит (во всяком случае, может быть положена) тео¬
46
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
рия групп, либо не интересующую нас общую теорию относительно¬
сти, основанную на (псевдо)римановой геометрии. Ниже приводятся
два абзаца (выделения сохранены, ссылки опущены) из монографии
известного историка науки В л. П. Визгина, специально посвящённой
применению теории групп в физике.
«Может возникнуть вопрос: почему всё-таки именно теоретико¬
групповую структуру предлагается взять за основу? Ведь современная
физика использует и другие весьма глубокие математические концеп¬
ции, например функционально-аналитические, топологические, а так¬
же алгебраические, выходящие за рамки теории групп. Выбор имен¬
но теоретико-групповой концепции определяется не только тем, что
она в XX в., как мы пытались показать, выдвинулась в лидеры среди
других математических теорий, находящих применение в физике. Де¬
ло в том, что она является адекватным математическим выражением
фундаментальных физических концепций, лежащих в основе структу¬
ры физических теорий, как они понимаются в настоящее время. Речь
идет о понятиях и принципах симметрии, инвариантности, относи¬
тельности (кстати говоря, здесь мы не будем различать эти понятия,
считая их в основном совпадающими). Именно эти принципы, с одной
стороны, связаны с самыми глубокими основами научного познания,
экспериментального и математического по своему существу, а с другой
— могут быть сформулированы в достаточно строгой форме, именно
посредством теоретико-групповой структуры.
В самом деле, вспомним аргументацию “эрлангенского” подхода к
геометрии, принадлежащую самому Клейну и особенно четко выра¬
женную Картаном: только задание некоторой фундаментальной груп¬
пы позволяет развить геометрию как науку (в том смысле, что ее
утверждения обладают определенной степенью общности и могут быть
возведены в ранг научного закона). Еще более четко такого рода аргу¬
ментация может быть проведена в отношении физики: результаты из¬
мерений предполагают наличие определенной системы отсчета, а тре¬
бование некоторого уровня общности соответствующих утверждений
приводит к необходимости введения целого класса эквивалентных си¬
стем отсчета; принцип отождествления этих систем и есть то, что мы
понимаем под принципом относительности (симметрии, инвариантно¬
сти), и он обладает структурой группы, поскольку отношение равен¬
ства, лежащее в основе этого принципа, имеет теоретико-групповую
структуру.»
Вопрос о соотношении группы и пространства можно задать в фор¬
ме: что первично, точки пространства или преобразования фундамен¬
тальной группы? В терминах специальной теории относительности во¬
2.2. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА
47
прос должен ставиться о соотношении пространства-времени и группы
Пуанкаре. Ответ на этот вопрос, диктуемый теоретико-групповой па¬
радигмой, очевиден. А. Пуанкаре мы уже цитировали, теперь воспро¬
изведём напутствие редактора сборника трудов Г. Минковского, издан¬
ных в1910году: «И пусть каждый по мере своих сил способствует осу¬
ществлению смелой мечты Минковского о том, чтобы в сознании чело¬
вечества для будущих поколений пространство и время низвелись до
роли теней, и живым осталось бы только пространственно-временное
преобразование».
По сути, речь идет о том, что пространство и время, или, в со¬
временной терминологии, пространство-время — это метафизический
призрак, который должен быть исключён из научного описания при¬
роды. Предстоит смена аксиоматического базиса физики. Группа пер¬
вична и должна, как следует из рассмотренного подхода, лежать в
основе физики. Но пространство-время привычно, и фактически ле¬
жит в основе физического образования. Поэтому в целом, если не при¬
нимать в расчёт отдельные научные работы, смена терминологии в
физике это эволюционный процесс, растягивающийся на десятилетия,
и проявляющийся не столько в изменении самих терминов, сколько в
постепенном изменении их смысла.
2.2 Кватернионное представление группы
вращений твёрдого тела
После такого глобального вступления перейдём к конкретным во¬
просам, продолжая наряду с теоретико-групповой и механической тер¬
минологией использование терминов пространство и пространство-вре¬
мя.
Займёмся сначала конечными поворотами твёрдого тела. «Конеч¬
ные» означает, что не бесконечно малые в общем случае (для бесконеч¬
но малых поворотов всё проще: они, в отличие от конечных, коммути¬
руют) . Для обозначения (конечного) поворота в физической литерату¬
ре и в переводных изданиях по механике широко применяется термин
(конечное) вращение, но мы, чтобы не путать результат с процессом,
будем его использовать в основном только в составе устоявшегося сло¬
восочетания «группа вращений». Вместо поворота твёрдого тела часто
говорят о повороте пространства.
Начнём рассмотрение свойств поворотов, обращая особое внима¬
ние на групповые свойства. Если произвести поворот твёрдого тела на
нулевой угол, то конечное положение тела будет таким же, как и на¬
48
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
чальное. Поворот на нулевой угол это тождественное преобразование,
единичный элемент группы вращений. Далее, если при некотором по¬
вороте тело переходит из какого-то начального положения в какое-то
конечное, то имеется и обратный поворот, переводящий тело из ко¬
нечного положения в начальное (по отношению к обратному повороту
конечное положение будет начальным, а начальное конечным). Пово¬
рот в общем случае характеризуется направлением оси (орта) поворота
и величиной угла поворота. Поворот на нулевой угол в этом смысле ис¬
ключение: для того, чтобы его определить, достаточно задать только
угол, ось поворота на нулевой угол можно брать произвольную. Для
определения обратного поворота нужно, не меняя ось (орт), взять угол
с противоположным знаком, либо, не меняя угол, взять орт противо¬
положного направления.
Характерная особенность пространственных поворотов (в отличие
от рассматриваемых в последующих пунктах переносов и бустов) —
их цикличность. С увеличением угла поворота (от нулевого значения)
сначала получаются всё новые и новые конечные положения твёрдо¬
го тела. Но потом вдруг после поворота на хорошо известный (и уже
далеко не нулевой) угол конечное положение тела совпадает с началь¬
ным. При дальнейшем увеличении угла никаких новых поворотов не
получается, воспроизводятся те же повороты, что уже были.
Займёмся бинарной групповой операцией — умножением поворо¬
тов (или сложением, но правильнее будет — композицией). Проще все¬
го складывать повороты вокруг одной оси (или, другими словами, в
одной плоскости). Такие повороты коммутируют. То есть результат
выполнения двух или более поворотов на, вообще говоря, разные уг¬
лы вокруг одного и того же орта не зависит от последовательности
выполнения этих поворотов. Хорошо известно, что плоские повороты
удобно представлять комплексными числами вида
ег(р = cos р + г sin (p.
Число ip (аргумент комплексного числа) при этом соответствует уг¬
лу поворота. Последовательному выполнению поворота на угол р\ и
поворота на угол р2 соответствует произведение комплексных чисел,
при этом углы р\ и р2 складываются (в полном соответствии с пра¬
вилом умножения комплексных чисел). Теперь задача состоит в том,
чтобы сопоставить пространственному повороту некоторое гиперком-
плексное число, так чтобы последовательному выполнению простран¬
ственных поворотов соответствовало умножение этих чисел. Поиском
таких чисел и занимался У. Гамильтон, длительное время рассматри¬
вая возможности перехода от описания отрезков и их поворотов на
2.2. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА 49
(двухмерной) плоскости с помощью двухкомпонентных комплексных
чисел к соответствующему описанию в (трёхмерном) пространстве с
помощью трёхкомпонентных «триплетов». Необходимость привлече¬
ния четырёхкомпонентных чисел для описания пространственных по¬
воротов стала научной сенсацией.
Для описания пространственных поворотов обычно используют ква¬
тернионы специального вида — нормированные (произведение норми¬
рованных кватернионов даёт нормированный кватернион)
•о/о т? .. ё $ .ё . т?
= cos — + г sm — = cos — + г— sin —.
А А А и А
Пространственный поворот характеризуется в общем случае одним
вектором ориентации $, который называют также вектором Эйлера.
Если 1? ф 0, то единичный вектор 'в/'в соответствует направлению оси,
а $ = Щ — величине угла поворота вокруг этой оси (против часовой
стрелки, если смотреть с конца орта $/'#). В дальнейшем поворот с
вектором ориентации будем обозначать 0^.
Одна вторая в кватернионном представлении поворота 0^ появи¬
лась не случайно. Кватернион поворота совпадёт с обычной веществен¬
ной единицей не при угле поворота на 360° (при таком угле независимо
от направления вектора ориентации получится минус единица), а толь¬
ко при повороте на 720°. Кватернионы описывают не просто повороты
как геометрическую абстракцию, а повороты твёрдых тел относитель¬
но других тел. Положение твёрдого тела, связанного с другими телами,
после поворота на 360°, как ни странно это звучит для слышащих такое
впервые, отличается от положения твёрдого тела относительно других
тел после поворота на 720°, совпадающего с исходным положением.
Демонстрация 4• Лектор берёт в руку книгу; фиксирует её
в горизонтальном начальном положении и свое начальное
положение; поворачивает книгу на 360° вокруг вертикаль¬
ной оси; констатирует отличие положения системы «книга
-f- лектор» от начального; поворачивает книгу ещё на 360°
вокруг вертикальной оси; констатирует совпадение положе¬
ния системы «книга + лектор» с начальным; кладёт книгу
на стол.
Демонстрация 5. Лектор берёт в руки третий том книги
Ч. Мизнера, К. Торна, Дж. Уилера «Гравитация» (М.: Мир,
1977); показывает аудитории обложку, зачитывает название
50
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
книги и фамилии авторов; открывает книгу на странице
407, поясняет изображенную на рисунке ситуацию; кладёт
книгу на стол. (См. также: УФН, 1989, том 157, вып. 1,
с. 173-174.)
Теперь перейдём к сложению пространственных поворотов. Пово¬
рот 0^ — частный случай преобразования, а преобразование в общем
случае удобно рассматривать как переход от некоторой начальной (ба¬
зовой) системы координат к некоторой конечной (связанной) системе
координат, заданный в некоторой (лабораторной) системе координат.
В общем случае будем обозначать заданное в К преобразование пе¬
рехода от I к J как AJKJ. Важный частный случай — когда системы
координат (системы отсчёта) К и I совпадают. В этом случае преоб¬
разование называется собственным, для таких преобразований будем
использовать специальное обозначение Л/j = ЛjJ. Формула сложения
собственных преобразований имеет вид
Л и о Л jk = А1К.
В левой части этой формулы стоит композиция двух преобразований:
от I к J л от J к К j а в правой части — результирующее преобразование
от I к К.
Займёмся для примера расчётом по формуле сложения собствен¬
ных преобразований композиций поворотов на 90°, которые демон¬
стрировались на предыдущей лекции. Найдём сначала, какое число
будет соответствовать повороту на 90° вокруг оси х. Поскольку еди¬
ничный вектор в направлении оси х это орт ех, то вектор $i, харак¬
теризующий такой поворот, равен 7гех/2, причём = тт/2 (так как
90° в радианах это половинка от числа 7г), di/fii = ex, a cos(#i/2) =
= sin(#i/2) = 1/V2. Поэтому
e^i/2 _ cos ^L. _|_ i gin = --L(l _|_ iex).
2 2 y/2
Нетрудно догадаться, что поворот на 90° вокруг оси у характеризуется
вектором ориентации $2 = пеу/2 и ему соответствует кватернион
е"*/2 =сову +*81Пу = -)=(1 +iey).
Найдём теперь результат умножения двух рассмотренных кватернио¬
нов поворотов:
2.2. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА 51
еЛ/2 0 е«Ь/2 = _L(i + igx) о -L(l + iey) = ^(1 + iex) о (1 + iey) =
то есть
Заметим, что перестановка кватернионов поворотов (тех же) приводит
к другому результату
Достаточно воспроизвести первую демонстрацию предыдущей лекции
чтобы убедиться в том, что результаты вычислений совпали с тем, что
должно быть: результирующий поворот после поворота на 90° вокруг
оси х с последующим поворотом на 90° вокруг оси у это поворот на
120° вокруг оси, симметрично расположенной относительно ортов ех,
еу и ez. А результирующий поворот после поворота на 90° вокруг оси
у с последующим поворотом на 90° вокруг оси х это поворот на 120°
вокруг оси, симметрично расположенной относительно ортов ех, еу и
стемы координат (поворачивающейся при поворотах), а относительно
1не поворачивающейся при поворотах) системы координат, связанной
с начальным положением тела.
Повтор демонстрации 1. Особое внимание обращается на
то, как можно получить конечные положения книги после
двух поворотов на 90° одним поворотом на 120°, и на поло¬
жение осей этих поворотов.
Но на первой лекции была и другая демонстрация поворотов на
90 , когда повороты задавались не относительно связанной с телом си-
52
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Повтор демонстрации 2. Особое внимание обращается на
совпадение конечных положений тел с теми, которые были
получены на предыдущей демонстрации.
В этом случае результирующий поворот после поворота на 90° во¬
круг оси х с последующим поворотом на 90° вокруг оси у это поворот
на 120° вокруг оси, симметрично расположенной относительно ортов
ех, еу и — ez. А результирующий поворот после поворота на 90° во¬
круг оси у с последующим поворотом на 90° вокруг оси х это поворот
на 120° вокруг оси, симметрично расположенной относительно ортов
еж, еу и ёг. То есть результирующие повороты поменялись местами.
Эти результаты перестанут казаться удивительными, если произвести
расчёт результирующих поворотов по общей формуле сложения пре¬
образований, отнесенных к одной и той же системе:
Л£*оЛ" = Л™
в которой составляющие преобразования «меняются местами» по срав¬
нению с формулой сложения для собственных преобразований.
2.3 Бикватернионное представление
группы перемещений твёрдого тела
Твёрдое тело можно не только поворачивать, но и переносить, так
что перемещения твёрдого тела состоят из пространственных парал¬
лельных переносов и пространственных поворотов, которые изучаются
в элементарной геометрии. В физике переносы часто называют сдвига¬
ми или трансляциями. Векторный параметр переноса мы будем обыч¬
но обозначать г, а сам перенос с векторным параметром г обозначать
Rf. Перенос с нулевым параметром это тождественное преобразование.
Обратным преобразованием для Я? будет R-?. При последовательном
выполнении параллельных переносов их параметры, как известно, век-
торно складываются.
Переносу ставится в соответствие дуальный кватернион вида
eei?/2 = l+eir_
При умножении чисел такого вида их параметры векторно складыва¬
ются:
2 з. ГРУППА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА 53
eeifi/2 Q ее*г2/2 _ ^ _|_ £{
__ eei(ri+r2)/2т
По сравнению с вычислением произведения нормированных кватерни¬
онов расчёты сильно упрощаются благодаря тому, что е2 = 0. Но в
общем виде (без учёта точных правил нахождения параметров резуль¬
тирующих преобразований) формулы сложения поворотов и переносов
похожи:
° =
jRfj RjT2 Rj?'
Существеная разница между ними состоит в том, что в первой есть
символ, предупреждающий о некоммутативности пространственных
поворотов в общем случае, а во второй он убран: изменение после¬
довательности переносов не влияет на результат.
Перемещение твёрдого тела будем записывать в следующем стан¬
дартном виде:
Rf ° 0^-
Знак некоммутативного умножения здесь важен, то есть если просто
поменять местами Rf и 0^, то в общем случае (а именно, при непарал¬
лельных г и $) поменяется результирующее перемещение тела. Если
же поменять последовательность выполнения переноса и поворота не
меняя результирующего перемещения, то, вообще говоря, потребуется
изменить параметры элементарных преобразований. Оказывается, что
в общем случае достаточно поменять только параметр переноса (и то
только по направлению, а не по величине), поэтому соответствующая
перестановочная формула имеет следующий общий вид:
RfoQ^ = Q-oRf,.
Некоммутативность собственных переносов и поворотов удобно про¬
иллюстрировать на примере выполнения строевых команд, поскольку
параметры преобразования в этом случае задаются относительно тела
исполнителя. Так, результат последовательного выполнения команд
«шаг вперёд шагом марш» и «направо» существенно отличается от
Результата последовательного выполнения команд «направо» и «шаг
вперёд шагом марш».
И
2
1 . -Г1 , Г2
1+ег_+ег_
54
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Демонстрация 6. Лектор вызывает к доске слушателя; фик¬
сирует его начальное положение; командует «шаг вперёд
шагом марш», затем «направо»; фиксирует конечное поло¬
жение слушателя; возвращает его в начальное положение;
командует «направо», затем «шаг вперёд шагом марш»; кон¬
статирует отличие положения слушателя от зафиксирован¬
ного после выполнения первой последовательности команд;
возвращает его на место.
Если связать с телом исполнителя систему координат, в которой
ось х направлена вперёд, ось у влево, z вверх, а единица длины равна
одному шагу, то команде «шаг вперёд шагом марш» соответствует Rgx
а команде «направо» 0_ngz/2- Вычисляем бикватернион, соответству¬
ющий первой последовательности:
Яй. ° е-*&/2 ^ е**-'2 о е-^/4 = (1 + eiex/2) о (1 - iez)/V2 =
= (1 - iez + eiex/2 + eiey/2)/y/2.
Теперь вычисляем бикватернион, соответствующий второй последова¬
тельности:
©—7гег/2 ° -Re* е_г7гГ*/4 О e£i^/2 = {(1 - гег)Д/2} о (1+ eiex/2) =
= (1 - iez + eiex/2 - eiey/2)/V2.
Результаты, то есть дуальные кватернионы, соответствующие резуль¬
тирующим перемещениям, разные.
Из опыта известно, что для получения результирующего преобра¬
зования, соответствующего первой последовательности, можно после
поворота направо выполнить шаг влево.
Демонстрация 7. Лектор вызывает к доске другого слуша¬
теля; фиксирует его начальное положение; командует «шаг
вперёд шагом марш», затем «направо»; фиксирует конечное
положение слушателя; возвращает его в начальное положе¬
ние; командует «направо», затем «шаг влево шагом марш»;
констатирует совпадение положения слушателя с зафик¬
сированным после выполнения первой последовательности
команд; возвращает его на место.
2.4. ГРУППА ЛОРЕНЦА
55
Корректируем последний расчёт, подставляя вместо шага вперёд
Лёх шаг влево Rgy
0_,&/2 ° Rsv ** е~ш*/4 о е£“«/2 = {(1 - гег)/У2} о (1 + eiey/2) =
= (1 — iez + егех/2 + £геу/2)/у/2.
Полученный дуальный кватернион — тот же, что и для первой после¬
довательности.
Аналогично может быть проиллюстрировано сложение поворотов
и переносов, заданных относительно одной и той же системы коор¬
динат с использованием соответствующей формулы для их компози¬
ции. Рассмотренное представление 6-параметрической группы переме¬
щений твёрдого тела дуальными кватернионами адекватно работает
при вычислении произвольной композиции перемещений с использо¬
ванием (би)кватернионного умножения.
2.4 Бикватернионное представление
группы Лоренца
Группа Лоренца тоже 6-параметрическая, то есть преобразование
общего вида из группы Лоренца задаётся шестью независимыми па¬
раметрами (обычными вещественными числами). Как и перемещение
твёрдого тела, преобразование Лоренца может быть записано в ви¬
де композиции двух элементарных преобразований, каждое из кото¬
рых задаётся тремя независимыми параметрами или одним вектором
(обычным трёхкомпонентным).
Будем записывать преобразование Лоренца в следующем стандарт¬
ном виде:
Vе*
Здесь V- — элементарное векторное преобразование, которое называ¬
ют (релятивистским) бустом, гиперболическим или лоренцевым пово¬
ротом либо чистым преобразованием Лоренца.
Релятивистским бустам ставятся в соответствие бикватернионы Га¬
мильтона следующего вида:
56
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Вектор гр называют векторным параметром скорости или гиперболи¬
ческим углом поворота. С обычным вектором скорости (безразмерной
в естественной системе единиц) он связан следующей формулой:
. -н» гр
v = th яр = —thvp.
ф
Аналогично другим элементарным преобразованиям буст с нулевым
параметром — тождественное преобразование, а обратное преобразо¬
вание для Vj получается изменением знака параметра.
Если бусты параллельны (то есть если параллельны их вектор¬
ные параметры), то складывать их очень легко: параметры скорости
просто складываются (для самих скоростей получается более сложная
формула). Если же последовательно выполнить два непараллельных
буста, то мы столкнёмся с новым явлением (отсутствовавшим для ра¬
нее рассмотренных элементарных преобразований R? и 0^) — незам-
кнутостью бустов: помимо буста в результирующем преобразовании
появится пространственный поворот:
При этом бусты не коммутируют в общем случае с поворотами; пере¬
становочная формула для них аналогична перестановочной формуле
для переносов и поворотов:
уФ°её = еёоУф"
С использованием бикватернионного представления элементарных пре¬
образований и бикватернионного умножения для композиции преобра¬
зований выписанные выше две формулы принимают вид
ефг/2 Q e*/2 = еФ/2 Q е^/2?
еФ/2 0 егё/2 = егё/2 Q еф'/2^ .
Преобразование Лоренца часто называют поворотом пространства-
времени. Рассмотренное представление 6-параметрической группы Ло¬
ренца комплексными кватернионами адекватно работает при вычисле¬
нии произвольной композиции пространственно-временных поворотов.
2.5. КВАТЕРНИОННАЯ ГРУППА И ГРУППА ПУАНКАРЕ 57
2.5 Различие кватернионной группы
и группы Пуанкаре
Теперь наша задача — описать движения пространства-времени,
включающие пространственно-временные повороты и пространствен¬
но-временные переносы. Движения пространства-времени образуют
группу Пуанкаре. Сейчас это общепринятое название, но надо иметь
в виду, что в старых книгах группу Пуанкаре часто называли (неод¬
нородной) группой Лоренца.
Известна и другая группа движений пространства-времени — груп¬
па Галилея. Группа Галилея используется при описании пространст¬
венно-временных преобразований без учёта релятивистских эффектов,
а группа Пуанкаре — в случае, если релятивистские эффекты необхо¬
димо учитывать. Обе группы (Галилея и Пуанкаре) 10-параметричес-
кие. В каждой из них выделяют четыре типа элементарных преобра¬
зований: пространственные и временные переносы, пространственные
повороты и бусты. Ранее не рассматривавшийся перенос во времени
Tt это скалярное преобразование, его параметр характеризует перенос
(сдвиг) начала системы отсчёта во времени. Группы Галилея и Пуанка¬
ре отличаются только описанием бустов. В качестве параметра нереля¬
тивистского буста, входящего в группу Галилея и называемого обычно
преобразованием Галилея, будем использовать обычный вектор скоро¬
сти и, соответственно, обозначать его v. Преобразование общего вида
из группы Галилея запишем в виде
TtRffVjj о ©£,
соответственно, преобразование общего вида из группы Пуанкаре в
виде
TtRp о у- о вё
(знак некоммутативного умножения между переносом и бустом по¬
явился не случайно). Далее в этой лекции основное внимание уделя¬
ется группе Пуанкаре, лежащей в основе специальной теории относи¬
тельности.
В специальной теории относительности часто используются четы¬
рехмерные обозначения. Мы тоже введём их, они удобны. Сдвиг во
времени Tt и сдвиг в пространстве R? объединяют в единое «квази-
элементарное» преобразование — сдвиг в пространстве-времени ife,
58
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
где R = t + г это параметр пространственно-временного переноса. Че-
тырёхмерный вектор R представляет собой бикватернион Гамильто-
на частного вида (с нулевой мнимой частью). Лоренцев поворот V-
и пространственный поворот 0^ тоже объединяют в квазиэлемен-
тарное преобразование — поворот в пространстве-времени Вв, где
В = ехр('0/2) о ехр(г$/2) представляет собой бикватернион Гамильто¬
на (другого частного вида — нормированный). В четырёхмерных обо¬
значениях общее преобразование Пуанкаре запишется в виде
Rr ° Вв •
Для трёх из четырёх элементарных преобразований группы Пу¬
анкаре R?, Vj и мы уже ввели (би)кватернионные представле¬
ния. Композиции релятивистских бустов и пространственных поворо¬
тов рассматривались в предыдущем пункте, пространственно-времен¬
ной поворот можно представить числом ехр(т/;/2)оехр(г??/2), использо¬
ванным в качестве параметра этого квазиэлементарного преобразова¬
ния. Учитывая, что параметр пространственно-временного переноса R
получается добавлением t к параметру пространственного переноса г,
естественно сопоставить пространственно-временному переносу число
ехр{ег(£ + г)/2} = ехр(ег£/2) ехр(егг/2).
Таким образом, и четвёртому элементарному преобразованию из груп¬
пы Пуанкаре Tt поставлено в соответствие число, в данном случае
ееа/2 = 1+£ф
При этом пришлось выйти за рамки бикватернионов, перейти к комп¬
лексно-дуальным кватернионам. В результате преобразованию общего
вида из группы Пуанкаре естественным образом сопоставляется комп¬
лексно-дуальный кватернион
eeit/2g£ir/2 Q еф/2 Q gitf/2^
Осталось исследовать групповые свойства комплексно-дуальных
кватернионов выписанного вида и сравнить их со свойствами преобра¬
зований из группы Пуанкаре. Тождественному преобразованию, конеч¬
но, соответствует комплексно-дуальный кватернион, равный единице.
При этом параметры £, г, г/j и 'д должны быть нулевыми (заметим, что
2 5 КВАТЕРНИОННАЯ ГРУППА И ГРУППА ПУАНКАРЕ 59
^ Щ < 27Г из-за цикличности поворотов). Обратным для выписан¬
ного будет преобразование
е-гд/2 0 е-ф/2 о esif/2e-sit/2^
(заменены на противоположные знаки всех параметров и изменён на
обратный порядок выполнения элементарных преобразований). Теперь
нужно проверить определяющие соотношения, то есть формулы сло¬
жения однотипных элементарных преобразований и перестановочные
соотношения для элементарных преобразований разных типов.
И тут нас подстерегает неожиданность: при попытке переставить
местами числа вида ехр(егг/2) с числами вида ехр(т/>/2) приходится
вводить числа вида exp(e(f/2). В общем случае перестановочная фор¬
мула для этих чисел имеет вид
eeir/2 с еф/2 _ еф/2 Q ee<p/2eeir '/2_
Сопоставленные нами элементарным пространственно-временным пре¬
образованиям числа ехр(ег£/2), ехр(егг/2), ехр(г/;/2) и ехр(г$/2) по¬
рождают 13-параметрическую кватернионную группу, в которой нет
подгруппы, изоморфной 10-параметрической группе Пуанкаре.
Мы уже встречались с понятием незамкнутости при описании реля¬
тивистских бустов. Трёхпараметрическое множество релятивистских
бустов не образует группы: оно порождает шестипараметрическую
группу Лоренца. То есть, в 6-параметрической группе Лоренца могут
быть выделены разные интересные подгруппы, например, подгруппа
бустов вдоль оси х\ подгруппа, включающая бусты вдоль осей х и
У и повороты вокруг z\ подгруппа пространственных поворотов во¬
круг х, у и z. Но двух- и трёхпараметрических подгрупп чистых бу¬
стов нет. Этим релятивистские бусты («чистые» преобразования Ло¬
ренца) принципиально отличаются от нерелятивистских бустов («чи¬
стых» преобразований Галилея). Нерелятивистские бусты замкнуты,
образуют трёхпараметрическую группу (подгруппу 10-параметричес-
кои группы Галилея). Теперь мы встретились с понятием незамкну¬
тости при перестановке преобразований из двух трёхпараметрических
подмножеств. Пытаясь описать с помощью комплексно-дуальных ква¬
тернионов пространственно-временные преобразования, мы получили
не представление известной группы преобразований, использовавшей¬
ся для описания пространства-времени, а новую группу.
Проведём сравнительный анализ трёх групп: 13-параметрической
кватернионной группы, 10-параметрической группы Пуанкаре и 10-
60
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
параметрической группы Галилея с использованием понятия незамкну-
тости элементарных преобразований.
Сначала выписываем таблицу для кватернионной группы, кото¬
рая получается в результате умножений и перестановок комплексно¬
дуальных кватернионов, соответствующих рассмотренным числовым
представлениям элементарных преобразований.
Т
R
©
V
Ф
т
R
Ф
0
V
Ф
0
R
Ф
R
В каждой клетке этой и следующих таблиц стоит (кроме левого столб¬
ца и верхней строки) символ преобразования, возникающего при сло¬
жении (перестановке) преобразований, символы которых стоят в нача¬
ле строки и столбца, образующих эту клетку. Если новых типов пре¬
образований не возникает, то клетка остаётся пустой. Легко заметить
симметричность таблиц относительно диагонали, на которой стоят ре¬
зультаты сложения однотипных преобразований. Единственная непу¬
стая клетка на диагонали таблицы для кватернионой группы связана с
незамкнутостью бустов. Новое элементарное преобразование Ф появи¬
лось в кватернионной таблице из-за обсуждавшейся выше незамкнуто-
сти бустов V и пространственных переносов R. Сами преобразования
Ф при попытке переставить их с бустами порождают пространствен¬
ные переносы — этим обусловлено появление в таблице символов R.
Теперь выписываем аналогичную таблицу для группы Пуанкаре, в
которой никаких новых преобразований появиться не может (на ме¬
тодах получения таблиц для групп Пуанкаре и Галилея мы сейчас
останавливаться не будем).
Т
R
©
V
Т
R
R
Т
0
V
R
Т
0
2.5. КВАТЕРНИОННАЯ ГРУППА И ГРУППА ПУАНКАРЕ
61
На диагонали здесь осталась одна заполненная клеточка, соответству¬
ющая незамкнутости бустов. Релятивистские бусты V и пространствен¬
ные переносы R здесь остались незамкнутыми, но в результате порож¬
дается перенос во времени Т. Причём, переносы во времени и бусты
тоже незамкнуты, при их перестановке появляются переносы в про¬
странстве. В кватернионной группе переносы во времени представля¬
лись скалярными числами, которые коммутируют с любыми другими,
поэтому там такого эффекта не было.
Наконец, для полноты картины выписываем таблицу незамкнуто¬
сти элементарных преобразований для группы Галилея.
т
R
©
V
т
R
R
©
у
R
По форме (из-за совпадения размерности) она больше похожа на таб¬
лицу для группы Пуанкаре, чем таблица для кватернионной группы.
Посмотрим на содержание: исчезла незамкнутость бустов, а также
незамкнутость бустов и пространственных переносов (так как преобра¬
зования Галилея независимы от пространственных переносов). Остав¬
шиеся непустые клетки означают появление переноса в пространстве
при перестановке преобразования Галилея и сдвига во времени.
Итак, основной результат, к которому мы пришли в этом пункте, со¬
стоит в неадекватности кватернионного представления группы Пуан¬
каре, лежащей в основе специальной теории относительности. С прин¬
ципиальными последствиями различий трёх рассмотренных групп про¬
странственно-временных преобразований, в том числе различий груп¬
пы Пуанкаре и кватернионной группы, мы познакомимся далее, при
выводе уравнений инерциальной навигации. Здесь же ещё раз кратко,
аксиоматически, взглянем на сложившуюся ситуацию. Для простоты
рассмотрим только проблему, возникшую при кватернионном описа¬
нии пространственных переносов и релятивистских бустов. Сформу¬
лируем следующие четыре требования (условия, аксиомы):
1) переносы следует описывать числами вида ехр(егг/2);
2) бусты следует описывать числами вида ехр (*0/2);
3) при сложении и перестановке преобразований, описываемых чис¬
лами, следует использовать умножение этих чисел в качестве закона
композиции преобразований;
62
ЛЕКЦИЯ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
4) преобразования пространства-времени (переносы, бусты, их ком¬
позиции) следует описывать, оставаясь в рамках группы Пуанкаре.
Эти требования несовместимы, то есть принятие всех четырёх ведёт
к логическому противоречию. Но любые три из четырёх указанных
требований совместимы, причём при отказе от одного из первых трёх
условий получается одна из формулировок специальной теории от¬
носительности, а при отказе от четвёртого — кватернионная теория
пространства-времени, основанная на 13-параметрической кватерни-
онной группе.
Вопрос о том, какая из трёх рассмотренных групп соответствует
природе, не математический. На основе каждой из трёх рассмотрен¬
ных групп можно, согласно эрлангенской программе, построить свою
геометрию, каждую из них можно положить в основу построения соот¬
ветствующей физической теории. Критерий правильности физической
теории — соответствие экспериментам, практике.
Лекция 3
Каноническая постановка
задачи инерциальной
навигации
3.1 Методы навигации,
навигационная бионика
Предыдущие две лекции были посвящены математическим мето¬
дам, которые понадобятся при рассмотрении задачи инерциальной на¬
вигации. Но на этой лекции они нам не потребуются.
Навигация в узком смысле это определение положения движуще¬
гося объекта. Предполагается, что на объекте установлена (или может
быть установлена) навигационная система, позволяющая это самое по¬
ложение определять. Зато сам термин «положение объекта» при уточ¬
нении постановки задачи может пониматься достаточно широко. Так,
параметры, определяющие ориентацию объекта, могут включаться в
°пределяемое положение, а могут и не включаться. Начнём с общей
классификации навигационных систем по используемым навигацион¬
ным методам. Методы навигации зависят от типов используемых на¬
вигационных датчиков, а датчики с интересующей нас точки зрения
подразделяются на инерциальные и неинерциальные. Соответственно,
навигационные системы, которые используют только информацию от
инерциальных датчиков, называются инерциальными. Навигационные
системы, которые используют только информацию от неинерциальных
64 ЛЕКЦИЯ 3. КАНОНИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
датчиков, называются по-разному (в зависимости от дальнейшей клас-
сификации неинерциальных датчиков), мы будем называть их неинер-
циальными. Навигационные системы, которые используют информа¬
цию как от инерциальных датчиков, так и от неинерциальных, обычно
называют интегрированными.
Инерциальные датчики — это такие датчики, которые по принципу
своего действия не используют внешней информации. Классические
примеры таких датчиков: акселерометры (датчики ускорения), ДУСы
(датчики угловой скорости) и часы (датчики времени).
Неинерциальные датчики используют внешнюю информацию. Да¬
лее классификацию неинерциальной навигационной информации мож¬
но проводить по нескольким основаниям. Так, часто классифицируют
навигационные системы по типу сигнала (радио, оптика, акустика, хи¬
мия), используемого датчиками для получения внешней информации.
Соответствующие навигационные системы называют радионавигаци¬
онными, оптическими, акустическими и так далее. Например, широко
известны радионавигационные системы, использующие радиосигналы
глобальных навигационных спутниковых систем GPS и ГЛОНАСС.
Ещё одно основание для классификации навигационных систем — на¬
личие или отсутствие сигналов, излучаемых самой навигационной си¬
стемой для получения (или для улучшения качества) внешней инфор¬
мации. По этому признаку навигационные системы подразделяются на
активные и пассивные. Ещё одно важное основание для классифика¬
ции — количество ориентиров, используемых для получения внешней
информации. Например, навигацию по отдельным ориентирам обычно
называют позиционной, а навигацию с использованием неограниченно¬
го количества ориентиров — обзорно-сравнительной (а в специальной
литературе — корреляционно-экстремальной). Имеется и ряд других
оснований для классификации.
Для классификации инерциальных навигационных систем (ИНС)
также используют несколько оснований. Одним из оснований может
служить набор используемых инерциальных датчиков (пример: без
ДУСов). Другим основанием могут служить условия работы датчи¬
ков (пример: платформенные ИНС).
Понятно, что количество оснований для классификации интегри¬
рованных навигационных систем существенно возрастает. Кроме того,
возникает вопрос о том, что первично: входящая в состав интегриро¬
ванной системы подсистема инерциальной навигации или подсистема
неинерциальной навигации (инерциально-спутниковая или спутниково-
инерциальная система?). А если неинерциальных подсистем несколь¬
ко, то какая из них важнее? Обычно при ответе на такие вопросы ис¬
3,2. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ДАТЧИКИ
65
пользуются практичекие критерии, технические характеристики под¬
систем (точность, надёжность, габаритно-массовые характеристики).
Но важно то, что интегрирование (комплексирование) подсистем, осно¬
ванных на разных принципах действия, производится с целью получе¬
ния системы, которая в целом обладает лучшими характеристиками,
чем каждая из входящих в её состав подсистем. Причём получаемые
преимущества носят качественный характер. Например, характерный
недостаток инерциальных систем — постепенное накопление ошибок
при большом времени работы, а у спутниковых навигационных систем
— шумы, особенно при малых интервалах работы. В интегрирован¬
ной системе появляется возможность компенсировать недостатки од¬
ной подсистемы за счёт другой.
Общий взгляд на возможные принципы навигации даёт не толь¬
ко изучение соответствующей технической литературы, но и изучение
живой природы под определённым (навигационным) углом зрения.
Демонстрация 8. Лектор берёт в руки книгу В.П. Селезнё¬
ва и Н.В. Селезнёвой «Навигационная бионика» (М.: Маши¬
ностроение, 1987); показывает аудитории обложку с изоб¬
ражением летучей мыши с акустическим навигационным
сигналом, зачитывает название книги и фамилии авторов;
открывает книгу на странице 77, зачитывает цитату «У че¬
ловека, например, в вестибулярных аппаратах имеются три
биодатчика угловых ускорений; один двухосный биоакселе¬
рометр и один многофункциональный биодатчик, выполня¬
ющий функции одноосного биоакселерометра и вибрацион¬
ного скоростного гироскопа»; кладёт книгу на стол.
Несмотря на то, что человек в обычной ситуации большую часть
навигационной информации получает с помощью зрения, инерциаль-
ная навигационная подсистема для него тоже важна. Сидя, например,
в автобусе с закрытыми глазами, человек получает и анализирует важ¬
ную информацию об ускорении и замедлении автобуса, о прохождении
поворотов и времени, прошедшем с начала поездки.
3.2 Инерциальные датчики (часы; датчики
угловой скорости; акселерометры)
Рассмотрим подробнее классические инерциальные датчики: часы,
Датчики угловой скорости и акселерометры. Нас интересует не техни¬
ческое устройство датчиков как приборов и даже не принципиальная
66 ЛЕКЦИЯ 3. КАНОНИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
схема их действия, а физический смысл измеряемых ими величин. Ка¬
кие же физические величины могут быть измерены без обращения к
внешней информации?
Местоположение в пространстве измерить нельзя. Обычно говорят,
что пространство однородно (оно ненаблюдаемо, в нём «не за что заце¬
питься»). Можно измерить только местоположение (положение центра
масс) объекта относительно других тел, но с использованием внешней
информации. Таким образом, положение в пространстве относительно,
и не может быть инерциальных датчиков для его непосредственного
измерения.
Ориентацию (угловое положение) в пространстве тоже измерить
нельзя. Обычно при этом говорят, что пространство изотропно. Из¬
меримо угловое положение объекта относительно других тел, но для
этого нужна внешняя информация. Таким образом, ориентация объ¬
екта относительна, и не может быть инерциальных датчиков для её
непосредственного измерения.
Скорость объекта относительно пространства измерить тоже нель¬
зя. Здесь обычно говорят о принципе относительности: в классической
механике о принципе относительности Галилея, в специальной теории
относительности о принципе относительности Эйнштейна. Для изме¬
рения скорости (центра масс) объекта относительно других тел нуж¬
на внешняя информация. Сейчас основы принципа относительности
подробно излагаются в школьном курсе механики Галилея-Ньютона.
Теперь всем известно, что скорость относительна, а когда-то, при по¬
строении классической механики, это был принципиальный пункт, тре¬
бовавший обстоятельных пояснений. Таким образом, скорость объекта
— величина относительная, и не может быть инерциальных датчиков
для её непосредственного измерения.
Наконец, положение объекта во времени тоже неизмеримо. В дан¬
ном случае говорят об однородности времени. Соответственно, невоз¬
можен инерциальный датчик для определения абсолютного положе¬
ния объекта во времени.
На этом закончим обзор того, что нельзя измерить инерциальными
датчиками из-за фундаментальной симметрии пространства-времени.
Теперь перейдём к величинам, которые инерциальными средствами
измерить можно.
Измеримо приращение времени. Именно измерение приращений вре¬
мени — основа часов. Интервал собственного времени между парой
произошедших с объектом событий — абсолютная величина. Создание
навигационного прибора для измерения этой величины (надёжного и
с достаточной точностью) — хронометра — было вызвано в значитель-
3.2. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ ДАТЧИКИ
67
ной мере потребностями навигации и привело в результате к револю¬
ционным изменениям в морской навигации (возможность автономного
определения положения корабля в открытом море). Для дальнейшего
нам важно различать часы как инерциальный датчик (чувствитель¬
ный элемент часов), измеряющий приращения времени (такты) и часы
как навигационный прибор (хронометр), позволяющий суммировать
такты и определять тем самым длительные интервалы собственного
времени, положение объекта во времени относительно некоторого на¬
чального момента.
Далее, измерима (автономно, инерциальными средствами) угловая
скорость. Широко известны явления и эффекты, с использованием ко¬
торых угловая скорость может быть измерена: ведро Ньютона, центро¬
бежные силы, эффект Саньяка. Измеримо инерциальными средства¬
ми и приращение ориентации (углов). В простейшем случае враще¬
ния объекта вокруг одной оси умножение угловой скорости на прира¬
щение времени даёт приращение угла, либо, соответственно, деление
приращения угла на приращение времени даёт угловую скорость. Со¬
временные трёхосные датчики угловой скорости с цифровым выходом
выдают именно приращения углов, поделив которые на приращение
времени, получим вектор абсолютной угловой скорости (в виде трёх
проекций на связанные с датчиком оси).
Исторически сложилось так, что датчики угловой скорости часто
называют гироскопами. Ещё до создания навигационных гироскопов
вращение Земли демонстрировалось с помощью маятника Фуко. Ши¬
роко известны, например, такие датчики угловой скорости как лазер¬
ные гироскопы (ЛГ), волоконно-оптические гироскопы (ВОГи), гиро¬
скопические измерители вектора угловой скорости (ГИВУСы), микро-
механические гироскопы (ММГ).
Дело в том, что свободный гироскоп — симметричное вращающе¬
еся твёрдое тело — обладает свойством сохранять направление своей
оси (без учёта релятивистских эффектов и других, обычно значитель¬
но более существенных причин, вызывающих дрейф); аналогичным
свойством (сохранением плоскости колебаний, и соответственно, пер¬
пендикулярной ей оси) обладают маятниковые (вибрационные) гиро¬
скопы, где вместо вращательного движения используется колебатель¬
ное. Это свойство может быть использовано, например, для создания
сиростабилизированной платформы, относительно которой измеряют
Угловое положение объекта, его изменение и, соответственно, угловую
скорость. Нам важны датчики именно угловой скорости, поэтому мы
не будем называть их гироскопами. Терминологическое разделение ги¬
68 ЛЕКЦИЯ 3. КАНОНИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧЦ
роскопов и ДУСов важно и при анализе релятивистских уходов гиро*
скопов.
Теперь рассмотрим вопрос о том, можно ли инерциальными дат*
чиками измерить ускорение. Существование инерциальных датчиков,
которые называются акселерометрами, подразумевает, что можно. Но
оказывается, что всё не так просто. Измеримо инерциальными сред*
ствами только негравитационное ускорение. Если объект движется ус.
коренно под действием обычного (негравитационного) ускорения, то
наблюдаются явления и эффекты, с помощью которых это ускорение
может быть измерено: перегрузка, реакция опоры, растяжение пру.
жины динамометра. Обычно принцип действия (одноосного) акселе¬
рометра иллюстрируют с помощью шарика на пружинке. Если объект
ускоряется, то пружинка, один конец которой прикреплён к объекту,
а другой к шарику, чтобы передать ускорение шарику должна сжать¬
ся (или растянуться). Величина сжатия пружинки (после успокоения
колебаний) характеризует ускорение объекта. Чтобы получить вектор
ускорения (в связанных осях) требуется три одноосных акселеромет¬
ра с разными осями чувствительности, либо один трёхосный (шарик с
несколькими пружинками).
Акселерометры измеряют именно негравитационное ускорение. Ес¬
ли шарик, пружинки и объект свободно падают в гравитационном по¬
ле, то падают они с одним и тем же гравитационным ускорением и
никак не действуют друг на друга; соответственно, измерить грави¬
тационное ускорение с их помощью нельзя. Если акселерометр уста¬
новить на стол, то гравитационное ускорение будет скомпенсировано
негравитационным. При этом акселерометр по-прежнему будет изме¬
рять негравитационное ускорение (в данном случае равное по вели¬
чине гравитационному ускорению свободного падения). В инерциаль-
ной навигации для негравитационного ускорения обычно используется
специальный термин «кажущееся ускорение». Его происхождение свя¬
зано с тем, что негравитационное ускорение это именно то ускорение,
которое ощущается человеком как движущимся объектом. В космо¬
навтике часто используется термин «перегрузка». По сути, это и есть
кажущееся ускорение, выраженное в специальных единицах (в едини¬
цах стандартного ускорения свободного падения). Человек, стоящий
на земле, испытывает единичную перегрузку. Состоянию невесомости
соответствует нулевая перегрузка (отсутствие кажущегося ускорения)*
Результат интегрирования кажущегося ускорения называют кажу'
щейся скоростью. Соответственно, произведение кажущегося ускоре¬
ния на приращение времени даёт приращение кажущейся скорости*
То есть, приращение кажущейся скорости тоже непосредственно изме-
з 3 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ 69
мая инерциальными средствами физическая величина. Более того,
РЯ6М^ленные цифровые акселерометры формируют на выходе имен-
С°Вприращения кажущейся скорости, деление которых на приращение
в°емени даёт вектор кажущегося ускорения (в связанных с акселеро¬
метром осях). Обычно, поясняя на пальцах принцип действия инерци¬
альной навигации, говорят (отвлекаясь от углового движения и грави¬
тационного ускорения): имея показания акселерометров, достаточно
их два раза проинтегрировать, чтобы получить сначала скорость, а
потом и местоположение объекта.
Иногда акселерометр называют ньютонометром (или динамомет¬
ром) и, соответствено, считают, что он измеряет силу. Действительно,
согласно терминологии классической механики, ускорение, умножен¬
ное на массу объекта или шарика в рассмотренной схеме акселеро¬
метра даёт силу, действующую, соответственно, на объект или шарик.
Мы этой терминологией пользоваться не будем, поскольку в канони¬
ческой формулировке задачи инерциальной навигации массы и силы
отсутствуют.
Имеются и другие физические величины, которые можно непо¬
средственно измерять инерциальными средствами (например, угловое
ускорение). Но мы ограничимся тем, что потребуется при канониче¬
ской постановке задачи инерциальной навигации, а именно, вектором
кажущегося ускорения (либо вектором бесконечно малой кажущейся
скорости), вектором угловой скорости (либо вектором бесконечно ма¬
лого поворота) и приращением собственного времени. То есть двумя
векторами и одной скалярной величиной (переходя к компонентам век¬
торов, получим всего семь параметров). Информация от инерциаль-
ных датчиков для инерциальной навигационной системы называется
первичной.
3.3 Гравитационное поле
Уже обращалось внимание на то, что акселерометры не измеряют
гравитационное ускорение. С другой стороны, понятно, что для расчё¬
та скорости и местоположения инерциальной навигационной системе
щем случае потребуется знание вектора (величины и направле-
ия) гравитационного ускорения. Откуда же его взять? Известно, что
меются такие приборы как гравиметры, используемые для измерения
ясущеес^110111101^0 ^скоРения* на сам°м деле гравиметр измеряет ка-
ный УскоРение, то есть это просто акселерометр, предназначен-
использования специальным образом. Повторим ещё раз, что
70 ЛЕКЦИЯ 3. КАНОНИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
если акселерометр установить на стол, то гравитационное ускорение
будет скомпенсировано негравитационным. При этом акселерометр по-
прежнему будет измерять негравитационное ускорение (в данном слу¬
чае равное по величине гравитационному ускорению свободного паде¬
ния). Соответственно, простейшая модель одноосного гравиметра это
шарик, подвешенный на пружинке.
Полное ускорение представляет собой векторную сумму гравитаци¬
онного и кажущегося ускорений. Упомянем два простых, но важных
(и популярных) примера случая отсутствия кажущегося ускорения.
В свободно падающем (под действием гравитации) лифте кажущегося
ускорения нет. Акселерометр в таком лифте покажет нулевое значение
кажущегося ускорения (а гравиметр покажет нулевое гравитационное
ускорение, но это потому, что его используют не так, как положено). В
свободно летящем по орбите искусственном спутнике Земли кажуще¬
гося ускорения тоже нет. Акселерометр в таком спутнике показывает
нулевое значение кажущегося ускорения. Приведённые пояснения по
поводу свободно падающего лифта и свободно летящего спутника це¬
лесообразно возвести в ранг определений. А именно, свободно падаю¬
щим следует называть именно лифт, в котором нет кажущегося уско¬
рения. Это идеализированная ситуация, но она даёт ясное понимание
того, что для реализации такого лифта недостаточно убрать трос, на
котором лифт подвешен; нужно ещё убрать (или компенсировать) со¬
противление воздуха и трение в направляющих. Аналогично, свободно
летящим спутником следует называть спутник, в котором нет кажу¬
щегося ускорения. То есть в нём не просто должен быть выключен
двигатель; нужно ещё убрать (компенсировать) сопротивление остат¬
ков атмосферы, давление солнечного света и другие источники негра¬
витационных ускорений. Спутники, в которых реализованы указанные
мероприятия, традиционно называют свободными от сноса.
Вывод, который мы делаем (и этот вывод вполне аналогичен тому,
что не измеряются параметры, связанные с симметрией пространства-
времени), состоит в том, что гравитационное ускорение не измеряет¬
ся инерциальными датчиками. Но других навигационных датчиков в
инерциальной навигационной системе нет по определению. Так откуда
же взять гравитационное ускорение при формулировке задачи, кото¬
рую должна решать инерциальная навигационная система?
Ответ состоит в том, что гравитационное ускорение считается зара¬
нее известным. Точнее, гравитационное ускорение задаётся как вектор¬
ная функция положения объекта (определяемого инерциальной нави¬
гационной системой). Говорят, что задано поле гравитационных уско¬
рений. В простом, но важном, частном случае поле (карта) гравита¬
3.3. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
71
ционных ускорений задаётся аналитически по ньютоновской формуле
для гравитационного ускорения к притягивающему центру как функ¬
ции от радиус-вектора объекта. В более сложном случае используются
карты гравитационного поля, составленные по результатам гравимет¬
рических измерений.
При задании карты гравитационного поля вместо векторного гра¬
витационного ускорения удобно использовать скалярный гравитацион¬
ный потенциал. Например, гравитационное поле Земли обычно задают
статическим (в связанной с Землёй системе координат) полем грави¬
тационного потенциала, заданным в виде коэффициентов разложения
этого поля в ряд по сферическим функциям. Иногда используют мо¬
дель точечных масс, в которой при расчёте гравитационного ускорения
Земля заменяется набором точечных притягивающих центров (непо¬
движных друг относительно друга). В ещё более сложных случаях ис¬
пользуют пространственно-временные карты гравитационного поля.
Природа гравитации — открытый вопрос в современной физике.
Имеется ряд теорий гравитационного поля, проводятся эксперимен¬
ты с целью их проверки и уточнения или опровержения. Наиболее
известная среди этих теорий — так называемая общая теория относи¬
тельности (ОТО). Нас эта теория не интересует, поскольку в её основе
лежит риманова геометрия — геометрия без фундаментальной группы,
не укладывающаяся в рамки теоретико-групповой классификации.
Какая-либо теория гравитационного поля для канонической поста¬
новки задачи инерциальной навигации не требуется. Потребуется для
этого только рассмотренное нами понятие гравитационного ускоре¬
ния. Отметим в связи с этим важные частные случаи, которые мо¬
гут представлять самостоятельный интерес. Первый из них — случай
постоянного гравитационного ускорения. Очевидно, что этот случай
представляет практический интерес при рассмотрении инерциальной
навигационной системы, установленной на объекте, передвигающемся
вблизи поверхности Земли на сравнительно небольшие расстояния и
с небольшими скоростями. Второй частный случай — случай отсут¬
ствия гравитационного ускорения. Он представляет особый интерес
при рассмотрении теоретических вопросов, связанных с инерциальной
навигацией.
Заложенная в инерциальную навигационную систему информация
о гравитационном ускорении относится к исходной навигационной ин¬
формации.
72
ЛЕКЦИЯ 3. КАНОНИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
3.4 Начальное положение
(вектор состояния)
Для того, чтобы задать начальное положение объекта, нужно пре¬
жде всего выбрать базовую систему отсчёта. Для теории инерциальной
навигации вполне естественным представляется выбор в качестве базо¬
вой некоторой инерциальной системы отсчёта. Инерциальная система
отсчёта это мысленная конструкция, которую на практике нужно как-
то привязать к материальным объектам, например, к телу отсчёта.
В качестве тела отсчёта во многих практических задачах выбирают
Землю.
Движение тела (как объекта, так и тела отсчёта) можно интер¬
претировать как непрерывный переход из одной связанной с телом
системы отсчёта в другую. Инерциальная система отсчёта (ИСО), со¬
ответствующая текущему положению тела, называется мгновенно со¬
путствующей этому телу. В качестве базовой ИСО выбирается ИСО,
проходимая в некоторый момент телом отсчёта, а начальному положе-.
нию объекта соответствует ИСО, проходимая объектом в некоторый
начальный момент. Таким образом, для задания начального положе¬
ния объекта необходимо описать положение одной ИСО относительно
другой ИСО.
К описанию положения одной ИСО относительно другой сводит¬
ся не только задание начального положения объекта, но и описание
текущего положения объекта. Традиционно текущее положение объ¬
екта (положение текущей связанной с объектом ИСО относительно
базовой ИСО) характеризуется вполне определённым набором пара¬
метров. Этот набор может включать, например, время, радиус-вектор,
скорость, кватернион ориентации. Именно такой набор используют
обычно, чтобы охарактеризовать положение космического аппарата
(КА). Правда, не всегда подчёркивают единство этого набора парамет¬
ров и его прямую связь с фундаметальной симметрией пространства-
времени. Наоборот, часто этот набор разделяют на два: параметры,
характеризующие движение центра масс КА (время, радиус-вектор,
скорость), и параметры ориентации. Причём в качестве параметров
ориентации могут использоваться не только компоненты кватернио¬
на, но и компоненты матрицы поворота, углы Крылова, компоненты
вектора ориентации и ряд других параметров.
Набор параметров, описывающий текущее положение объекта, ча¬
сто называют вектором его состояния. Но термин «вектор состояния»,
широко распространённый, используется в разных задачах в несколько
разных смыслах. Например, в задачах баллистики при прогнозирова-
3.4. НАЧАЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ (ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ) 73
нии движения КА параметры ориентации КА обычно не включают в
вектор состояния, в то же время его дополняют другими существен¬
ными для повышения точности прогноза параметрами. Поэтому далее
будет говориться о положении объекта (в указанном смысле, расширя¬
ющем понятие местоположения объекта, задаваемого только радиус-
вектором) .
Откуда же инерциальная навигационная система знает начальное
положение объекта? Вопрос возник потому, что для непосредствен¬
ного измерения своего положения относительно тела отсчёта объекту
нужна внешняя информация. Датчиков внешней информации в (не
корректируемой) инерциальной навигационной системе нет по опреде¬
лению, поэтому, как и в случае с гравитационным полем, начальное
положение системе задаётся. Поясним сказанное на примере биологи¬
ческой инерциальной навигационной системы человека. Если человек
заснул в автобусе (выключил встроенную инерциальную навигацион¬
ную систему), то проснувшись, он должен открыть глаза и оглядеть¬
ся, чтобы узнать свое новое начальное положение (открывая глаза и
глядя по сторонам, он пользуется неинерциальными навигационными
датчиками для получения информации о своем положении относитель¬
но внешних ориентиров). Задание же начальной информации в нашем
примере означает, что человек не открывает глаза, а получает инфор¬
мацию о положении автобуса из объявления водителя, либо открывает
глаза, но ничего снаружи автобуса не видит из-за занавешенных окон,
а информацию о положении (название остановки) считывает с инфор¬
мационного табло.
Раздел о задании начального положения мы начали с рассмотрения
тела отсчёта и связанной с ним базовой инерциальной системы отсчё¬
та. Но базовая ИСО соответствует положению опорного тела только в
один момент, а интерес обычно представляет текущее положение объ¬
екта относительно тела отсчёта (например, текущее положение косми¬
ческого аппарата относительно Земли). Если движение тела отсчёта
известно (относительно базовой ИСО), то задача сводится к нахожде¬
нию относительного положения двух инерциальных систем отсчёта по
их известным положениям относительно базовой ИСО.
Важный частный случай задания начального положения получает¬
ся, если телом отчёта служит сам движущийся объект, а базовой ИСО
служит ИСО, связанная с объектом в начальный момент. Именно в та¬
ком режиме инерциальная навигационная система может сразу начать
работу после включения, а пересчитать текущее положение объекта от
одной базовой ИСО к другой потом, после получения необходимой для
этого информации об их относительном положении.
74 ЛЕКЦИЯ 3. КАНОНИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Информация для навигационной системы о начальном положении
объекта выделяется в отдельный класс и называется начальной нави¬
гационной информацией. Заметим, что информация о начальном по¬
ложении объекта может быть полезна и для неинерциальных нави¬
гационных систем, например, для установленной на космическом ап¬
парате аппаратуры спутниковой навигации, работающей по сигналам
GPS или ГЛОНАСС.
3.5 Каноническая формулировка задачи
инерциальной навигации
В общей, или канонической, постановке задача инерциальной нави¬
гации формулируется так: по известному местоположению, скорости и
ориентации объекта в начальный момент времени относительно ба¬
зовой инерциальной системы отсчёта, заданной пространственно-вре¬
менной карте гравитационных ускорений и непрерывно поступающей
от установленных на объекте инерциальных датчиков информаций о
кажущемся ускорении и угловой скорости как функций времени тре¬
буется определить местоположение, скорость и ориентацию объекта в
текущий момент времени (относительно той же базовой инерциальной
системы отсчёта).
Существенная особенность канонической постановки задачи инер¬
циальной навигации состоит в том, что акселерометры предполагают¬
ся жёстко установленными на объекте, то есть поворачиваются вме¬
сте с ним. Такие инерциальные навигационные системы (ИНС) полу¬
чили название бесплатформенных (или бескарданных); аббревиатуры
ИНС и БИНС в настоящее время широко распространены. Техниче¬
ская реализация БИНС стала возможной сравнительно недавно, после
существенного развития вычислительной техники. А до того разраба¬
тывались в основном инерциальные навигационные системы со специ¬
альной платформой, устанавливавшейся на объект в кардановом (по
фамилии Дж. Кардано) подвесе. При этом акселерометры устанавли¬
вались на эту платфому, а ориентация объекта определялась по углам
поворота рамок карданова подвеса. Платформа могла быть гироста-
билизированной (обеспечивавшей «неизменную ориентацию в инерци-
альном пространстве») или более сложной (например, отслеживающей
направление на центр Земли).
В качестве первого примера технической реализации системы, ра¬
ботающей в соответствии с принципами БИНС (но не в реальном вре¬
мени, а в режиме постобработки данных), в литературе приводится
3.5. КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
75
обычно выполненная в 30-е годы XX века в ЦАГИ работа (B.C. Вед-
ров, Н.А. Пилюгин, С.А. Коровицкий, Ю.К. Станкевич) по восстанов¬
лению траектории самолёта в штопоре. Гравитационное ускорение при
этом, естественно, считалось постоянным вектором.
В общем виде задача инерциальной навигации в канонической фор¬
ме была поставлена Л.И. Ткачёвым. Приведём цитату из предисловия
к книге Л.И. Ткачёва (1973 г.) генерала-лейтенанта инженера С.А. Да¬
нилина, характеризующую восприятие этого теоретического результа¬
та современниками.
«Создалось и получило распространение мнение, что без обычных
навигационных приборов не обойтись, что устранить методические по¬
грешности в определении вертикали и своего места в слепом полете
невозможно. Поэтому в области пилотажно-навигационных приборов
был взят курс на максимальное использование внешней информации,
а работы по применению акселерометров были прекращены.
18 января 1943 г. в Ленинградском университете — инженером Л.И.
Ткачевым было сделано научное сообщение об установлении принци¬
пиальной возможности навигации при отсутствии внешних связей.
Таким образом был установлен исходный физический принцип, кар¬
динально решающий проблему навигации в слепом полете. Была пред¬
ставлена система уравнений инерциальной навигации для Общей за¬
дачи. Были показаны конкретные варианты схем инерциальных нави¬
гационных систем (ИНС), свободные от методических погрешностей.
Все это было совершенно ново и было строго обосновано. Инерци¬
альная навигация обрела здесь научный фундамент.
Следует заметить, что в Германии при использовании акселеро¬
метров (на ракете “Фау-2”) вопрос о полном устранении методических
погрешностей не ставился. В США, как известно, даже в начале 1946 г.
еще не было ясного понимания принципов инерциальной навигации.
Теорема о пространственной ориентировке показала, что лишь ин¬
струментальные погрешности будут ограничивать точность навига¬
ции; благодаря этому открылись положительные перспективы для тех¬
нических разработок.»
Интенсивное развитие бесплатформенного направления в инерци¬
альной навигации началось в 60-е годы в основном в связи с потребно¬
стями космической техники. Для ознакомления с текущим состоянием
развития инерциальной навигации в техническом плане можно реко¬
мендовать специализированный журнал «Гироскопия и навигация»,
издаваемый международной общественной организацией «Академия
навигации и управления движением» и ЦНИИ «Электроприбор».
Лекция 4
Теоретико- групповая
постановка задачи
инерциальной навигации
4.1 Символическое уравнение
инерциальной навигации
На этой лекции мы подойдём к постановке задачи инерциальной на¬
вигации с теоретико-групповой точки зрения. Предпосылки для этого
есть, на прошлой лекции они упоминались при рассмотрении основных
понятий, входящих в каноническую постановку задачи инерциальной
навигации.
Сейчас же мы сразу положим в основу рассмотрения теоретико¬
групповой подход и начнём с теоретико-группового символического
уравнения инерциальной навигации. «Теоретико-групповое» в его на¬
звании означает именно то, что уравнение представляет собой соот¬
ношение не между числами, а между элементами какой-то группы и
должно содержать кроме знака равенства только элементы группы
и знак групповой операции. «Символическое» означает, что уравнение
будет записано в общем виде, без уточнения того, какая именно группа
преобразований используется. «Уравнение инерциальной навигации»
означает, что входящим в уравнение элементам группы и групповой
операции должны быть сопоставлены понятия, используемые при по¬
становке задачи инерпчальной навигации, и, как следствие, должна
4.1. СИМВОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
77
быть возможность саму задачу инерциальной навигации сформулиро¬
вать в общем виде на основе этого уравнения.
Для того, чтобы связать понятия, использованные при постанов¬
ке задачи инерциальной навигации, с теорией групп, будем использо¬
вать традиционную пространственно-временную терминологию. Тогда
можно сказать, что мы рассматриваем пространство-время с фунда¬
ментальной группой. Наличие фундаментальной группы пространст¬
венно-временных преобразований позволяет выделить в пространстве-
времени особый класс систем отсчёта, которые называют инерциаль-
ными. В случае евклидова пространства роль инерциальных систем от¬
счёта играют прямоугольные декартовы системы координат, в случае
времени — равномерные шкалы времени. Положение одной инерци¬
альной системы отсчёта относительно другой описывается элементом
фундаментальной группы.
Согласно многовековой математической традиции уравнения обыч¬
но записывают в символьном виде, а не в словесном. Поэтому вве¬
дём здесь следующие обозначения: I — инерциальная система отсчё¬
та, относительно которой рассматривается движение интересующего
нас объекта; Е(т) — текущая инерциальная система отсчёта, связан¬
ная с объектом; т — непрерывный индекс, нумерующий инерциальные
системы отсчёта, которые объект проходит при движении; Aie(t) ~
текущее преобразование, связывающее базовую систему отсчёта I с
текущим положением объекта.
Теперь уже можно выписать само теоретико-групповое символиче¬
ское уравнение инерциальной навигации:
AIE(r-\-dr) = Aie(t) ° АЕ{т)Е(т+<1т)-
Здесь Е(т) и E(r-{-dr) — две бесконечно близкие инерциальные си¬
стемы отсчёта, проходимые объектом; соответственно, АЕ^Е^т^т) ~
бесконечно малое преобразование, их связывающее. Знак «о» — сим¬
вол групповой операции — композиции преобразований, в общем слу¬
чае некоммутативной.
Если не обращать внимание на специальную физическую интер¬
претацию входящих в уравнение элементов, то выписанная формула
— частный случай общей формулы сложения (умножения, компози¬
ции) преобразований некоторой непрерывной группы преобразований,
отличающийся тем, что одно из преобразований, а именно — стоящее
справа, бесконечно малое.
Задачу инерциальной навигации, следуя выписанному уравнению,
можно сформулировать следующим образом: по известному положе¬
нию объекта AiE{T) в момент т и измеряемому (с помощью жёстко
78
ЛЕКЦИЯ 4. ГРУППОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
связанных с объектом инерциальных приборов) приращению положе¬
ния Ля(т)#(т+^т) требуется найти новое положение объекта AjE(T+dT)
в момент т + dr. Повторяя этот элементарный процесс, можно, зная
начальное положение и непрерывно получая информацию от инерци¬
альных приборов, рассчитывать текущее положение объекта.
Тот факт, что расматривается именно задача о непрерывном дви¬
жении одного объекта, накладывает дополнительное ограничение на
вид бесконечно малого преобразования AE(T)E(T+dr) ~ отсутствие в
нём пространственного переноса. Далее мы будем рассматривать сим¬
волическое уравнение инерциальной навигации для ряда конкретных
групп преобразований. Если фундаментальная группа в конкретной
задаче не содержит пространственных переносов, то указанное допол¬
нительное ограничение никак себя не проявляет. Если же простран¬
ственные переносы есть, то это условие становится существенным при
записи уравнения инерциальной навигации для данной конкретной
группы; именно оно ответственно за то, что скалярных параметров, ха¬
рактеризующих бесконечно малое преобразование (измеряемых инер¬
циальными датчиками), на три меньше чем параметров, характеризу¬
ющих конечное преобразование группы.
Кроме того, из физических соображений очевидно, что бесконеч¬
но малое преобразование Л#(г)#(г+Сгг) должно содержать бесконечно
малый перенос во времени, что накладывает определённые ограниче¬
ния на возможную группу фундаментальных преобразований. Таким
образом, символическое уравнение отражает не все особенности поста¬
новки задачи инерциальной навигации, необходимо учитывать ещё две
указанных особенности.
4.2 Часы как инерциальная
навигационная система
Теперь от символического уравнения инерциальной навигации мы
перейдём к конкретным теоретико-групповым уравнениям задачи инер¬
циальной навигации. Естественно начать с частных случаев, рассмат¬
ривая вместо фундаментальной группы пространственно-временной
симметрии (включающей в общем случае переносы во времени и в
пространстве, повороты, бусты и, возможно, что-то ещё) её подгруп¬
пы, начиная с простейших.
Самая простая из таких подгрупп это однопараметрическая группа
переносов во времени. Но она приводит к содержательной, имеющей
самостоятельное значение, и, более того, очень важной навигационной
4.2. ЧАСЫ КАК НАВИГАЦИОННАЯ СИСТЕМА
79
задаче. Дело в том, что одна из важнейших навигационных задач —
определение времени на борту движущегося объекта. Давно изобретён
и прибор для автономного определения («хранения») времени — часы
(хронометр). Об этом уже упоминалось на предыдущей лекции. Гово¬
рилось также о том, что чувствительный элемент часов можно рас¬
сматривать как инерциальный навигационный датчик, а хронометр
(или часы в целом) — как навигационную систему для определения
положения объекта во времени.
По сути, хронометр (часы) представляет собой (не считая конструк¬
тивных и крепёжных элементов, источника энергии и т.п.) совокуп¬
ность чувствительного элемента, регистрирующего приращение вре¬
мени на некое малое значение (такт), вычислителя, подсчитывающе¬
го количество тактов и складывающего его с начальным временем,
и интерфейса, по которому результат передаётся наблюдателю или в
систему управления. Например, для настенных механических маятни¬
ковых часов чувствительный элемент — маятник, такт — период (или
полупериод) колебаний маятника, вычислитель — спусковой механизм
и шестеренки, интерфейс — циферблат и стрелки.
Переходя к общему подходу, рассмотрим, пользуясь однородностью
времени, множество выделенных (равномерных) шкал времени, от¬
личающихся одна от другой только переносом во времени (началом
отсчёта времени). Преобразования, переводящие эти шкалы времени
друг в друга, образуют однопараметрическую группу переносов во вре¬
мени. Входящие в символическое уравнение инерциальной навигации
преобразования (элементы однопараметрической группы временных
переносов) запишем в следующем виде
ЛIE(r+dr) = Tt+dU
Л1Е(т) — Tt,
ЛE{r)E{r-\-dr) Tfo.
Здесь, как и во второй лекции, Т это символ, который используется
для обозначения элементарного преобразования переноса во времени,
а нижний индекс при нём — параметр, величина относительного поло¬
жения во времени.
Само теоретико-групповое уравнение инерциальной навигации для
случая однопараметрической группы временных переносов запишется
в следующем виде:
Tt+dt — TtTst•
80
ЛЕКЦИЯ 4. ГРУППОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Это по-прежнему теоретико-групповое уравнение (но уже не символи¬
ческое, а конкретное), в него входят только элементы фундаменталь¬
ной (в данном случае однопараметрической) группы и (опущенный из-
за того, что эта конкретная группа абелева) знак групповой операции.
От теоретико-группового уравнения в данном случае легко перейти
к числовому (в которое входят числа и знаки арифметических опера¬
ций). Для этого нужно перейти от преобразований к их параметрам.
В общем случае закон композиции переносов во времени имеет вид:
TtlTt2 = Ти где t = ti+ t2y
поэтому в нашем случае формула для сложения параметров получа¬
ется такой:
t dt = t fit.
По сути, это краткая запись вычислительного алгоритма, который ре¬
ализуется в часах: к текущему времени добавляется измеренное .чув¬
ствительным элементом приращение времени, в результате получается
текущее время для следующего шага вычислений. После сокращения
t в правой и левой частях и перехода к более распространённому обо¬
значению dr для приращения собственного времени получим обыкно¬
венное дифференциальное уравнение
dt = dr или = 1.
dr
Это уравнение тривиально по сравнению с теми уравнениями, которые
появятся дальше, оно легко решается:
t = t(r) = (to - т0) + т, где t0 = t(r0).
Решение здесь записано как функция единственного параметра пре¬
образования t от собственного времени т. Его физический смысл про¬
зрачен: разница между t и т остаётся постоянной:
t — т — const.
На практике ничто не мешает считать (координатное) время в началь¬
ный момент to равным собственному то, в этом случае t и т совпадают.
В учебниках по инерциальной навигации обычно молчаливо полага¬
ется, что t — т, а дифференциальное уравнение dt/dr = 1 даже не
упоминается.
4.3. ЗАДАЧА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИИ
81
4.3 Задача инерциальной ориентации
Следующая практически важная, в особенности для космонавти¬
ки, задача — определение ориентации объекта (рассматриваемого как
твёрдое тело) с использованием датчиков угловой скорости. В чис¬
ло элементарных преобразований, связывающих две системы отсчёта,
здесь нужно включить (помимо переноса во времени) поворот в про¬
странстве. Фундаментальная группа для этой задачи четырёхпарамет¬
рическая.
Выпишем сначала считающееся известным преобразование AjE^
из символического уравнения инерциальной навигации:
А1Е(т) — Tt
(знак умножения между Tt и 0^ отсутствует, поскольку эти элементар¬
ные преобразования можно переставлять без изменения параметров).
Соответственно, искомое преобразование AiE{T+dr) будет выглядеть
так:
А 1Е(т+<1т) —
Бесконечно малое преобразование Ле(т)е{т+с1т), получаемое по инфор¬
мации от инерциальных датчиков, тоже будет определяться четырьмя
параметрами (скаляр и три компоненты вектора):
A E(r)E(r-\-dr)
Здесь применена запись параметров бесконечно малого преобразова¬
ния с использованием тех же символов, что и для конечных преоб¬
разований, но с особым знаком для дифференциала (отличающим¬
ся от знака дифференциала при записи параметров преобразования
AiE(r+dr))' Эта запись удобна при общем рассмотрении структуры
теоретико-групповых уравнений инерциальной навигации. В другом
случае, перед выводом алгебраических (числовых) уравнений инер¬
циальной навигации в дифференциальной форме (то есть в форме
системы обыкновенных дифференциальных уравнений) удобно сразу
использовать в теоретико-групповом уравнении инерциальной нави¬
гации только один знак дифференциала, явно выделять приращение
собственного времени и использовать новые символы. В применении к
данному случаю вышесказанное означает, что бесконечно малое пре¬
образование кЕ(т)Е{т+(1т) можно переписать в эквивалентном виде:
82
ЛЕКЦИЯ 4. ГРУППОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Л-Е(т)Е(т+с1т)
Данная запись содержит в явном виде угловую скорость.
Подставим в символическое уравнение инерциальной навигации вы¬
писанные выше выражения для трёх входящих в него преобразова¬
ний. В результате получим уравнение инерциальной навигации для
рассматриваемой задачи инерциальной ориентации
°
или (при альтернативной форме записи параметров бесконечно малого
преобразования)
Tt+dt&#+d# = (TtQ#) о {TdrQujdr)-
Определяющие соотношения для четырёхпараметрической группы,
включающей переносы во времени и повороты в пространстве, уже
упоминались. Выписанное теоретико-групповое уравнение можно на¬
чать преобразовывать с их помощью. Суть преобразований сводится
к тому, чтобы правую часть представить в том же виде, что и левую,
то есть в виде стандартной композиции элементарных преобразова¬
ний (в данном случае в виде произведения Т и 0). После этого путём
приравнивания индексов при символах элементарных преобразований
получается система уравнений инерциальной навигации.
Сначала уберём скобки в правой части теоретико-группового урав¬
нения инерциальной навигации. Скобки были важны для визуальной
группировки последовательностей элементарных преобразований в
правой части уравнения в общие преобразования из символического
уравнения инерциальной навигации, но сейчас они уже лишние.
Tt+dtQtf+d$ = TtQjTdrQtdr.
После ликвидации скобок уравнение оказалось записанным без исполь¬
зования знака некоммутативного умножения. Но это означает только
возможность переставлять местами соседние элементарные преобразо¬
вания. Воспользуемся этой возможностью для перестановки в правой
части 0^ и Tdr'
Tt+dt®= TtTdrQfl ° ©aJdr*
При этом знак некоммутативного умножения снова появился (меж¬
ду поворотами). Теперь сгруппируем множители в правой части так,
4.4. ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ БЕЗ ГРАВИТАЦИИ 83
чтобы в одной группе оказались только переносы, а в другой только
повороты:
Tt+dtQfi+dg — №^dr)(©0 ° @оЫт)-
Как переносы во времени, так и пространственные повороты замкну¬
ты, то есть последовательность переносов во времени эквивалентна
одному переносу во времени, а последовательность пространственных
поворотов эквивалентна одному повороту. На этом основании можно
разделить единое теоретико-групповое уравнение на систему из двух
теоретико-групповых уравнений:
Tt+dt — TtTdr И ° @tDdr-
Уравнение для Т оказалось тем же, что и в предыдущем пункте.
Это и неудивительно, поскольку Т никак не зависит от 0, а других
элементарных преобразований в рассматриваемой сейчас четырёхпа¬
раметрической группе нет.
Уравнение для 0 представляет собой теоретико-групповую запись
уравнения инерциальной ориентации. Для того, чтобы получить из
него обычные уравнения инерциальной ориентации (в числах), требу¬
ются ещё определяющие соотношения группы вращений, то есть фор¬
мула сложения конечных поворотов. Некоммутативность поворотов
приводит к тому, что уравнения инерциальной ориентации в числах
(скалярные, векторные, кватернионные) будут довольно сложными по
сравнению с уравнением для времени. При этом на первый план при
переходе от теоретико-групповой записи к числовой выходит вопрос о
выборе удобной параметризации для представления поворотов. Наи¬
более естественным оказывается кватернионное представление, но вы¬
писывать кватернионное уравнение инерциальной ориентации мы пока
не будем.
4.4 Инерциальная навигация
без учёта гравитации
Двигаемся дальше по пути расширения фундаментальной группы.
Следующий естественный шаг состоит в расширении четырёхпарамет¬
рической группы, включающей переносы во времени и повороты в
пространстве, до группы движений пространства-времени. Рассмот¬
рим сначала 10-параметрическую группу Галилея.
84
ЛЕКЦИЯ 4. ГРУППОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В соответствии со стандартным разложением общего преобразова¬
ния из группы Галилея в последовательность из четырёх элементар¬
ных преобразований (порядок здесь уже важен) преобразования Aje(t)
и Л/я(т-Мт) будут иметь следующий вид:
Aie{t) = TtRffVv о 0^,
Aie(t+cLt) = Tt+dtRr+drVy+dv ° dti'
В бесконечно малом преобразовании АЕ(т)е(т+с1т) пространственного
переноса быть не должно, поэтому оно состоит только из трёх элемен¬
тарных преобразований
A e(t)e{t+cLt) TstVsv®
При использованиии альтернативной записи параметров
А Е{т)Е{т-\-(1т) = 'I'dr'VadT® Cjdr
сразу понятно, куда входят результаты измерений классических инер-
циальных датчиков: приращение времени dr, вектор ускорения а и
угловая скорость ш. Для бесконечно малых преобразований порядок
составляющих не важен.
Выписываем теоретико-групповое уравнение инерциальной навига¬
ции для этой задачи:
Tt+dtRr+drVv+dv ° = (TtR?V$ о 0^) о (TgtVstfQfig).
Далее с этим уравнением надо поступать точно так же, как мы по¬
ступали в предыдущем примере, то есть переставлять элементарные
преобразования в правой части до тех пор, пока правая часть не при¬
мет вид стандартного разложения общего преобразования группы Га¬
лилея на четыре элементарных. После этого выполняется переход от
теоретико-группового уравнения к обычным уравнениям для парамет¬
ров преобразований.
Переносы во времени и пространственные повороты в группе Гали¬
лея имеют одну характерную особенность: они инвариантны при пе¬
рестановке с любыми другими элементарными преобразованиями. Эта
особенность позволяет утверждать (без явного выполнения соответ¬
ствующих перестановок), что уравнение для времени (для параметра
t) и уравнения инерциальной ориентации (для вектора ориентации •&
или для других параметров ориентации) будут теми же самыми, что
4.5. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ 85
и в предыдущем примере. То есть в целом система уравнений инерци¬
альной навигации просто дополнится уравнениями для радиус-вектора
f и скорости V.
И всё вроде бы хорошо. Но в рассмотренной задаче никак не учиты¬
вается, и не может быть учтено, влияние на радиус-вектор и скорость
гравитации, которая, как известно, есть и влияет на эти параметры (в
отличие от времени и параметров ориентации) весьма существенно.
4.5 Нерелятивистская инерциальная
навигация
Последний шаг, который необходимо сделать для полноценной
формулировки задачи инерциальной навигации, это учесть гравита¬
цию. Но как её учесть? Конечно, можно, продолжая использовать
10-параметрическую группу Галилея, искусственно ввести гравитаци¬
онную добавку д к ускорению а в бесконечно малом преобразовании
Ае{т)е(т+(1т)• Несоответствие этого пути развиваемому методу уже
очевидно. Единственный путь учёта ненаблюдаемого инерциальными
датчиками вектора гравитационого ускорения, отвечающий теорети¬
ко-групповой парадигме, это включение в фундаментальную группу
преобразований соответствующего элементарного преобразования.
Добавляя к 10-параметрической группе Галилея новое элементар¬
ное векторное гравитационное преобразование с параметром д, мы
должны получить, как минимум, 13-параметрическую группу. И та¬
кая 13-параметрическая расширенная группа Галилея действительно
существует. После добавления элементарного преобразования G с соот¬
ветствующими параметрами в каждое из трёх преобразований Л/#(т),
Ае(т)е(т+с1т) и Л/£(т+^т) для группы Галилея получим следующее те¬
оретико-групповое уравнение инерциальной навигации для расширен¬
ной группы Галилея:
Tt+dtRr+drVv+dv°Qg+dg = {TtRrV^oQ ^oG ^)о(Т^У^ ^6g)
Выписанное последним элементарное преобразование в составе из¬
меряемого инерциальными датчиками бесконечно малого преобразова¬
ния Ае(т)е{т+(1т) соответствует тому, что приращение вектора д изме¬
римо в абсолютном смысле. Выделив в измеренном приращении стан¬
дартный множитель (приращение времени dr), запишем 5д = ndr, где
Й — измеряемая соответствующим инерциальным датчиком величина,
86
ЛЕКЦИЯ 4. ГРУППОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
играющая по отношению к дифференциалу гравитационного ускоре¬
ния 5д ту же роль, которую кажущееся ускорение а играет по отно¬
шению к измеряемой бесконечно малой кажущейся скорости 5v, а уг¬
ловая скорость й — по отношению к измеряемому бесконечно малому
вектору ориентации &?.
Произведённое расширение фундамендальной группы преобразо¬
ваний с 10-параметрической до 13-параметрической физически озна¬
чает расширение принципа относительности. Примеры того, что век¬
тор гравитационного ускорения ненаблюдаем в абсолютном смысле,
широко известны. Добавление ко всем телам какой-либо физической
системы произвольного, но постоянного (везде и всегда) гравитацион¬
ного ускорения не приведёт к каким-либо последствиям, влияющим на
относительное положение тел системы.
Определяющие соотношения для 13-параметрической группы Га¬
лилея мы рассмотрим позже, но уже сейчас, несколько забегая впе¬
рёд, скажем, к каким последствиям они могут и должны привести при
выводе системы уравнений инерциальной навигации. Переносы во вре¬
мени Т и пространственные повороты 0 инвариантны при перестанов¬
ке с любыми другими элементарными преобразованиями, в том числе
с гравитационным преобразованием G, поэтому уравнения для t и $
не изменятся. Очевидно, появится новое векторное дифференциальное
уравнение для д. Кроме того, вектор д может войти в уравнения для
радиус-вектора и скорости, то есть уравнения для г и v могут изме¬
ниться.
Основываясь на теоретико-групповом уравнении инерциальной на¬
вигации для расширенной группы Галилея (или на соответствующей
числовой системе уравнений), можно дать новую, отличающуюся от
канонической, постановку задачи инерциальной навигации: по извест¬
ному местоположению, скорости, ориентации и гравитационному уско¬
рению объекта в начальный момент времени относительно базовой
инерциальной системы отсчёта и непрерывно поступающей от установ¬
ленных на объекте инерциальных датчиков информации о кажущемся
ускорении, угловой скорости и скорости изменения гравитационного
ускорения как функций времени требуется определить местоположе¬
ние, скорость, ориентацию и гравитационное ускорение объекта в те¬
кущий момент времени (относительно той же базовой инерциальной
системы отсчёта).
Новую формулировку задачи инерциальной навигации, в которой
существенную роль должны играть градиенты гравитационного уско¬
рения, впервые дал, по-видимому, Л.И. Седов в 80-е годы XX века;
но теоретико-групповой подход он при этом не использовал. Широко
4.6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ 87
известны дискуссии по принципиальным вопросам инерциальной на¬
вигации между школами академиков А.Ю. Ишлинского и Л.И. Седова.
4.6 Релятивистская инерциальная
навигация
До сих пор мы шли по пути расширения фундаментальной груп¬
пы прямым путём, который закончился нерелятивистской постановкой
задачи инерциальной навигации, основанной на 13-параметрической
расширенной группе Галилея. От однопараметрической группы, вклю¬
чавшей только скалярное элементарное преобразование Т, мы шли
вперёд, добавляя векторные элементарные преобразования: сначала 0
(4-параметрическая группа), потом R и V (10-параметрическая груп¬
па Галилея) и, наконец, G (13-параметрическая расширенная группа
Галилея). Теперь вернёмся на пропущенную развилку, от которой бе¬
рут начало другие интересные пути. Рассмотрим 7-параметрическую
группу Аристотеля, включающую элементарные преобразования Т, 0
и R. Сама по себе эта группа не приводит к интересной задаче, но
в методическом плане она важна потому, что является подгруппой и
группы Галилея, и группы Пуанкаре, и кватернионной группы. Выпи¬
шем теоретико-групповое уравнение инерциальной навигации для этой
группы:
Tt+dtRr+dr ° ©$+<*# = (TtR? О 0^) о (Т5гв5ё).
После раскрытия скобок и перестановок (с целью разделения и новой
группировки элементарных преобразований в правой части) получим:
Tt+dtRr+d? ° = TtR? о Q$T5t@5£ = TtRfTdtOj о Osg =
= TtTStR? o0^o 05^ = (TtT5t)(R?) о (©^ о Q5j)
(здесь учтена независимость T от 0 и R). В силу замкнутости каждого
из трёх элементарных преобразований группы Аристотеля исходное
Уравнение можно заменить на систему из трёх групповых уравнений:
Tt+dt — TtTst,
Pr-\-dr — Rr,
88
ЛЕКЦИЯ 4. ГРУППОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Два из них нам уже знакомы. Обратим внимание на то, что из ново¬
го уравнения (для R) следует дифференциальное уравнение dr — О
или dr/dr — 0 . Привычное дифференциальное уравнение для радиус-
вектора drjdr — v получается только при расширении группы Ари¬
стотеля за счёт нерелятивистских бустов, то есть до 10-параметричес-
кой группы Галилея.
Теперь рассмотрим другое расширение группы Аристотеля — до 10-
параметрической группы Пуанкаре. Вспомним, что стандартное раз¬
ложение преобразования из группы Пуанкаре отличается от стандарт¬
ного разложения преобразования из группы Галилея только тем, что
меняется параметр буста с v на т/> и появляется знак некоммутативного
умножения между R и V. В результате теоретико-групповое уравне¬
ние инерциальной навигации для группы Пуанкаре внешне оказыва¬
ется очень похожим на уже выписывавшееся уравнение для группы
Галилея:
Tt+dtRr+dr ° V$-\-d$ ° = (TtRr °V$° °
Но взаимозависимость элементарных преобразований в группе’Пу¬
анкаре гораздо богаче, чем в группе Галилея, поэтому изменения в
уравнениях инерциальной навигации, соответствующих группе Ари¬
стотеля, будут носить глобальный характер. То, что появится допол¬
нительное уравнение для параметра буста, нас удивлять не должно:
это естественное следствие увеличения размерности фундаментальной
группы. То, что из-за незамкнутости бустов и переносов во времени из¬
менится уравнение для радиус-вектора, тоже понятно (согласно таб¬
личке для группы Пуанкаре из второй лекции, при перестановке V
и Т появляется R); это вполне аналогично тому, что уравнение для
радиус-вектора должно измениться с drjdr = 0 для группы Аристо¬
теля на привычное drjdr = v для группы Галилея. Но для группы
Пуанкаре из-за незамкнутости бустов и пространственных переносов
должно ещё измениться простое и привычное уравнение для времени
(согласно той же табличке, при перестановке V и R появляется Т).
Кроме того, для группы Пуанкаре из-за незамкнутости самих бустов
должно измениться и последнее уравнение (или система уравнений)
— для вектора, кватерниона или других параметров ориентации (при
композиции V появляется 0).
Как и в нерелятивистском случае, последний шаг, который необ¬
ходимо сделать для полноценной формулировки задачи инерциаль¬
ной навигации, это учесть гравитацию. В нерелятивистском случае
мы учли гравитацию, добавив к группе Галилея векторное элемен¬
тарное преобразование, соответствующее гравитационному ускорению.
4.6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНЕРЦИАЛЬНАЯ НАВИГАЦИЯ 89
Казалось бы, то же самое нужно сделать и в релятивистском слу¬
чае: добавить к 10-параметрической группе Пуанкаре то же самое
векторное элементарное преобразование, соответствующее гравитаци¬
онному ускорению, и взять в качестве новой фундаментальной груп¬
пы получившуюся 13-параметрическую группу. Но оказывается, 13-
параметрической расширенной группы Пуанкаре нет, а есть хорошо
известное (в узких кругах) 15-параметрическое расширение группы
Пуанкаре — конформная группа. Кроме исходно добавляемого к груп¬
пе Пуанкаре векторного преобразования G$ (параметр которого тот
же — гравитационное ускорение) появляется ещё два скалярных пре¬
образования. Одно из этих новых преобразований — масштабное Га, а
второе Ww связано с гравитационным изменением масштабов.
Выписываем теоретико-групповое уравнение инерциальной навига¬
ции для конформной группы:
Tt-\-dtPf+dr ° d'tjfi'tf+d'd ° 9+dgWw+dw ~
= (TtR? о У^Га@£ о G$Ww) о (TstVfijTsaQjgGs^Wsw).
Зная группу (её определяющие соотношения), уже чисто формаль¬
ным путём можно получить систему релятивистских уравнений инер¬
циальной навигации. Знакомство с процедурой вывода системы реля¬
тивистских уравнений инерциальной навигации для параметров груп¬
пы Пуанкаре ожидает нас на следующей лекции. Весьма громоздкий
вывод системы релятивистских уравнений инерциальной навигации
для параметров конформной группы будет рассмотрен ещё позже. По¬
путно будет уточнён физический смысл новых параметров и обращено
внимание на имеющиеся трудности.
Сегодняшнюю же лекцию уместно завершить кратким замечанием
о том, что изложенный теоретико-групповой подход к постановке за¬
дачи инерциальной навигации допускает, в принципе, дальнейшее раз¬
витие. Да, задача инерциальной навигации накладывает жёсткие огра¬
ничения на группы преобразований, которые могут быть положены в
её основу, и практически однозначно приводит к 13-параметрической
расширенной группе Галилея (в нерелятивистской постановке) или к
15-параметрической конформной группе (в релятивистской постанов¬
ке). Тем не менее, не исключена возможность дальнейшего развития,
которое может состоять в поиске физически обоснованных расширений
конформной группы и соответствующих уточнений постановки задачи
инерциальной навигации.
Лекция 5
Вывод уравнений
инерциальной навигации
без учёта гравитации
5.1 Вывод для группы Галилея
На прошлой лекции уже выписывалось уравнение инерциальной
навигации для группы Галилея. Напомним, откуда оно появилось и
что собой представляет.
Сначала было выписано теоретико-групповое символическое урав¬
нение инерциальной навигации:
Л1Е{т+(1т) Л1Е{т) ° ЛЕ(т)Е{т-\-(1т)•
Смысл этого уравнения должен быть интуитивно понятен исходя из
общих представлений: о базовой инерциальной системе отсчёта 7; о
бесконечно близких инерциальных системах отсчёта Е(т) и Е(т + dr),
проходимых объектом; о преобразованиях, связывающих инерциаль¬
ные системы отсчёта, и о композиции преобразований.
Демонстрация 9. Лектор рисует мелом на доске базис из
осей, обозначает его 7; рисует в стороне от 7 кривую линию,
говоря, что она обозначает мировую линию объекта; рису¬
ет на мировой линии объекта два близко расположенных
базиса, обозначает один из них Е(т), а другой Е(т + dr);
5.1. ВЫВОД ДЛЯ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ
91
проводит дугу со стрелкой от начала I к началу Е(т) и
обозначает её Л/щт); аналогично изображает дугами и обо¬
значает преобразования AiE(T+dT) и АЕ(т)е(т+<1т)• Обраща¬
ет внимание аудитории на то, что последовательное выпол¬
нение (композиция) преобразований AjE(т) и Лщт)щт+^т)
должно привести к преобразованию AjE^+dr)-
На следующем этапе была конкретизирована фундаментальная
группа преобразований. Все три преобразования, входящие в симво¬
лическое уравнение инерциальной навигации, были записаны в виде
стандартной композиции элементарных преобразований, входящих в
группу Галилея. В результате получилось такое теоретико-групповое
уравнение инерциальной навигации для группы Галилея:
Tt+dtBr±drVv+dv ° = ° ° (TfoVsv ®$,$)•
То, что в выражение для бесконечно малого преобразования
AE(t)e(t+cLt) не вошёл пространственный перенос, тоже должно быть
интуитивно понятным: объект неподвижен (не изменяет своего место¬
положения) в связанной с ним системе отсчёта.
Задание фундаментальной группы подразумевает, что известен не
только состав элементарных преобразований этой группы, но и прави¬
ла их перестановки и композиции, то есть определяющие соотношения.
Поэтому неявно теоретико-групповое уравнение инерциальной нави¬
гации (для известной фундаментальной группы) содержит всё необ¬
ходимое для получения системы обыкновенных дифференциальных
уравнений инерциальной навигации для параметров соответствующей
группы.
Выпишем определяющие соотношения для группы Галилея. Сна¬
чала приведём табличку, позволяющую их систематизировать.
т
R
0
V
т
(1)
(2)
(5)
(10)
R
(3)
(4)
(7)
(12)
0
(6)
(8)
(9)
(14)
V
(11)
(13)
(15)
(16)
На диагонали стоят номера формул, соответствующих композиции од¬
нотипных элементарных преобразований. Соответственно, вне диаго¬
нали — номера формул для перестановки элементарных преобразова¬
ний разных типов. Ниже выписаны все соотношения в явном виде с
92
ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
использованием нормированного кватерниона Q = ехр(г$/2) в каче¬
стве параметра пространственного поворота.
-^2-^*1 — t — t\ + t2.
(1)
RfTt = TtRf.
(2)
TtRp = RfTt.
(3)
Rp2Rp1 = Rf, f=f1+f2.
(4)
©Q Tt = Tt0 Q.
(5)
TtQ Q = 0Q Tt.
(6)
0q о R? = Rp, о 0q, r' = QoroQ_1.
(7)
Rpо©q = 0q оRjt,, r' = Q_1oroQ.
(8)
©Q2°©Qi=©Q> Q = Q2°Qi-
(9)
VpoTt = TfRpVp, r = tv.
(10)
TtoVp = VpRpTt, f = -tv.
(И)
VpRp = RpVp.
(12)
RpVp = VpRp.
(13)
Vp о 0q = 0q o Vp>, v' = Q_1 о vo Q.
(14)
©Q °Vp = Vpi о 0q, v' = Q о vo Q-1.
(15)
Vp2 — Vp, V = Vi + v2.
(16)
Симметричные относительно диагонали таблички перестановочные со¬
отношения часто совпадают или следуют одно из другого. Для нас это
не очень важно, выделять минимальный набор независимых опреде¬
ляющих соотношений мы не будем.
При записи соотношений между параметрами в выписанных опре¬
деляющих соотношениях для группы Галилея используются (би)ква-
тернионные обозначения. Обратим внимание на то, что один и тот
же знак некоммутативного умножения «о» используется здесь в двух
5.1. ВЫВОД ДЛЯ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ
93
разных смыслах: если он стоит между символами элементарных пре¬
образований, то это знак групповой операции (группового умноже¬
ния преобразований); если же он стоит между числами, то это знак
(би)кватернионного умножения чисел. Данное замечание касается и
опускаемого знака коммутативного умножения.
Переход от вектора ориентации $ к кватерниону Q = ехр(г$/2)
важен. Запись определяющих соотношений с использованием вектора
ориентации была бы значительно более громоздкой и менее прозрач¬
ной; например, выражение для радиус-вектора в правой части соотно¬
шения (7) после перехода к векторной записи выглядело бы так (как
обычно, $ = |#|):
т' — QoroQ-1 = ег^2огое_г^2 = г cos#+t? ^^(1—cos#)+rxsintf.
Поскольку здесь появилось деление на $, то, строго говоря, случай
д = 0 следует рассматривать отдельно. Аналогично, если формулу
сложения поворотов (9) записать в векторной параметризации, то до¬
вольно сложное выражение для вектора ориентации суммарного пово¬
рота будет в отдельных случаях иметь особенности.
Перечень входящих в группу элементарных преобразований и на¬
бор определяющих соотношений для них дают всё то, что необходимо
знать о фундаментальной группе при переходе от теоретико-групповой
записи уравнений инерциальной навигации к обычной. Если группа
задана в прямом соответствии с исходным математическим определе¬
нием, то есть если известен закон, по которому двум элементам обще¬
го вида из группы ставится в соответствие третий элемент, то вопрос
о том, откуда взять определяющие соотношения, обычно не возника¬
ет. Но на практике группы часто определяют косвенным путём. На¬
пример, в физике часто задаются так называемые генераторы группы
(операторы инфинитезимальных преобразований), определяющие со¬
ответствующую группе алгебру Ли. Тогда задача восстановления ко¬
нечных преобразований группы и закона их композиции превращается
в отдельную и далеко не всегда простую математическую задачу. Ге¬
нераторы групп и алгебры Ли мы рассматривать не будем. Другой
распространённый в физике метод задания группы — постулирование
закона действия группы на какой-то геометрический объект (а гео¬
метрический объект характеризуется числом составляющих его ком¬
понент и законом их преобразования), обычно 4-вектор координат со¬
бытий в пространстве-времени. Приведём соответствующую формулу
т' + р' = Q о (т + р) о Q 1 + t + г + tv,
94
ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
которую часто записывают в виде пары формул (отдельно для вре-
меннбй и пространственной части 4-вектора)
т' = т + £,
р' = ег^/2 о р о е_г^/2 + г + tv.
Здесь т + р — X и т' + р' = X' интерпретируются как 4-векторы ко¬
ординат двух точек-событий, причём считается (активная трактовка),
что точка X переходит в точку X' под действием преобразования обще¬
го вида из группы Галилея с параметрами £, г, v и $. Для получения,
например, перестановочного соотношения (10) для временного перено¬
са и нерелятивистского буста следует приравнять результат действия
переноса во времени с последующим бустом результату действия бу¬
ста с последующим переносом во времени. Легко убедиться, что без
пространственного переноса во второй последовательности при этом
не обойтись. Тем не менее, ввиду важности этого эффекта, рассмот¬
рим его подробнее. Действие переноса во времени Tt на компоненты
4-вектора X = т + р описывается формулами
г' = т + £, р' = р.
Последующее действие преобразования Галилея (нерелятивистского
буста) У$ на компоненты 4-вектора X' = т' + р' приводит к следу¬
ющим компонентам уже 4-вектора X" = т" + рп
т" = т' = т Г t, р" = рf + t'v = р +tv + tv.
Если же сначала был сделан буст V$ (переводящий X в X'")
т'" = т, p"f = p + Tv,
то для последующего перехода от X'" к X" требуется композиция пе¬
реноса во времени Tt и переноса в пространстве R?, где г = vt. Совер¬
шенно аналогично (10) получается перестановочное соотношение (11).
Определяющие соотношения (1)—(16) для группы Галилея — ис¬
точник тех качественных утверждений о свойствах входящих в состав
группы Галилея элементарных преобразований (инвариантность пово¬
ротов и временных переносов; незамкнутость при перестановке нере¬
лятивистских бустов и переносов во времени, некоммутативность при
перестановке пространственных поворотов и переносов), которые уже
упоминались на предыдущих лекциях. Теперь мы явно, с указанием
5.1. ВЫВОД ДЛЯ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ
95
всех шагов, воспользуемся этими определяющими соотношениями для
получения системы нерелятивистских дифференциальных уравнений
инерциальной навигации в свободном от гравитационного поля про¬
странстве.
Стратегия тождественных преобразований, которые необходимо
произвести с соответствующим теоретико-групповым уравнением инер¬
циальной навигации, уже озвучивалась: нужно переставлять элемен¬
тарные преобразования в правой части уравнения до тех пор, пока пра¬
вая часть не примет вид левой. В нашем случае правая часть теоретико¬
группового уравнения инерциальной навигации после удаления ско¬
бок, с кватернионной параметризацией поворотов и при явном исполь¬
зовании обозначений для угловой скорости и кажущегося ускорения
принимает вид
TtR?Vtf О OqT(It Vadr @ехр(гй5с*т/2) •
Здесь в соответствии с формулой (5) убран кружок между 0q и Tdr.
Поскольку общая стратегия приведения правой части к стандартному
виду предписывает двигать переносы во времени влево, а простран¬
ственные повороты вправо, то естественно воспользоваться формулой
(5) в полном объёме и переставить указанные преобразования; полу¬
чаем
TtRfV* ° T^r0Q О Vadr0ехр(га5с£т/2) •
Теперь продвинуть Т&т дальше влево можно, переставляя его с V# с
помощью формулы (10), а продвинуть ©q дальше вправо можно, пе¬
реставляя его с Vadr с помощью формулы (15). Проделав одновременно
две эти перестановки (независимые одна от другой), получим
TtR/rdrR€drV€VQoaoQ-idr ° 0Q ° ©ехр(гаЗс£т/2)•
Осталось воспользоваться формулой (2), чтобы наконец переместить
Tdr вплотную к другому переносу во времени. В получающемся вы¬
ражении слева направо стоят сначала два переноса во времени, потом
Два пространственных переноса, два буста и два поворота:
TtTdrR^RvdrV^VQodoQ-Ыт ° 0Q ° ®ехр(гй5с£т/2)’
Причём в каждой паре однотипных преобразований слева стоит ко¬
нечное преобразование, а справа — бесконечно малое. Здесь можно
96
ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
было бы вспомнить про замкнутость каждого из четырёх элементар¬
ных преобразований в группе Галилея (факт существования однопа¬
раметрической подгруппы временных переносов и трёхпараметриче¬
ских подгрупп пространственных переносов, нерелятивистских бустов
и пространственных поворотов), чтобы разделить единое теоретико¬
групповое уравнение инерциальной навигации на четыре теоретико¬
групповых уравнения для элементарных преобразований. Но у нас уже
есть явно выписанные определяющие соотношения, поэтому восполь¬
зуемся диагональными формулами (1), (4), (9) и (16) для замены пары
однотипных элементарных преобразований на одно преобразование то¬
го же типа. Кроме того, пора вспомнить и про левую часть уравнения
(векторный параметр пространственного поворота $ + бМ, естественно,
заменим на кватернионный Q + dQ):
Tt+dtR^+drVv+dv'^QQ+dQ = ^+dr^f4-irdr^;+QoaoQ_1dr0^Qoexp(2cD<ir/2) •
На этом тождественные преобразования правой части закончены, мы
добились поставленной цели: правая часть уравнения, так же как и ле¬
вая, теперь представляет собой преобразование общего вида из группы
Галилея, записанное как стандартная последовательность элементар¬
ных преобразований. Приравнивая параметры преобразований, полу¬
чим систему из четырёх дифференциальных уравнений (одного ска¬
лярного, двух векторных и одного кватернионного):
t + dt = t + dr,
f + dr — r + vdr,
v + dv = v + Qoao Q ~ldr,
Q + dQ = Qo в*мт/2в
Нетрудно заметить, что параметры t, г, v и Q конечного преобразо¬
вания Л/я(т) = TtRfVfi о 0q в правых и левых частях соответ¬
ствующих уравнений сокращаются. Для первых трёх уравнений это
очевидно, а в четвёртом нужно преобразовать правую часть с учё¬
том того, что с точностью до бесконечно малых порядка dr имеем
exp(itidr/2) = 1 + iCodr/2. Выписываем то, что остаётся после указан¬
ных сокращений:
dt = dr,
dr = vdr,
5.1. ВЫВОД ДЛЯ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ
97
dv = Q о а о Q 1dr,
dQ = iQo udr/2.
Разделив правые и левые части на dr, получим более привычную за¬
пись системы нерелятивистских уравнений инерциальной навигации
без учёта гравитации:
dt/dr = 1,
dr/dr = v,
dv/dr = Q о do Q-1,
dQ/dr = Q о (ИЗ)/2.
Скажем несколько слов про каждое их этих уравнений в отдельности.
С уравнением для времени мы уже встречались и даже выводи¬
ли его. Ещё раз отметим, что оно не изменилось при кардинальном
расширении фундаментальной группы от однопараметрической до 10-
параметрической. Далее, оно простое (тривиальное) как само по себе,
так и по сравнению с другими уравнениями рассматриваемой системы,
поэтому про него в учебниках по инерциальной навигации обычно да¬
же не упоминают. Именно это уравнение даёт основание явно вводить
(или молча использовать) единое время в нерелятивистской физике.
Уравнение для радиус-вектора тоже всем хорошо знакомо ещё со
школьного курса механики Галилея-Ньютона. Оно настолько привыч¬
но, что часто его принимают за определение скорости. То есть, обыч¬
но в учебниках так и пишут, что скорость это производная от радиус-
вектора по времени. При теоретико-групповом подходе это не так. Ско¬
рость — независимый от радиус-вектора параметр фундаментальной
группы преобразований.
Дифференциальное уравнение для скорости несколько отличает¬
ся от привычной школьной формулы. Вектор ускорения в ней повёр¬
нут. Здесь проявляется специфика постановки задачи инерциальной
навигации, связанная с тем, что используется ускорение, измеренное
в связанных с объектом осях. Кроме того, важно не забывать, что в
школьной формуле буквой а часто обозначают полное ускорение те¬
ла, включающее гравитационное ускорение, а мы пока сознательно
ограничились рассмотрением случая, когда гравитационное ускорение
можно не учитывать.
Уравнение для кватерниона ориентации в школьном курсе физики
не встречается, но мы о нём уже упоминали и будем рассматривать
98
ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
ещё не раз. Сейчас подчеркнём только то, что как при записи это¬
го уравнения, так и в выписанной выше формуле связи кватерниона
Q с вектором ориентации $ фактически используются бикватернион-
ные обозначения, а не чисто кватернионные. При традиционном ква-
тернионном подходе, достаточно широко распространённом в учебной
литературе для вузов, скалярная мнимая единица в кватернионном
уравнении инерциальной ориентации отсутствует (она «прячется» в
векторе угловой скорости).
В заключение раздела подчеркнём, что полученная система нереля¬
тивистских уравнений инерциальной навигации не противоречит опы¬
ту эксплуатации имеющихся БИНС. Можно говорить и о соответствии
опыту, если в правую часть уравнения для скорости искусственно, в со¬
ответствии с общепринятой практикой, добавить гравитационное уско¬
рение как известную функцию от положения объекта.
5.2 Вывод для группы Пуанкаре
Теперь займёмся выводом релятивистских уравнений инерциаль¬
ной навигации, пока тоже без учёта гравитации. То есть физически
будет решаться та же самая задача, поменяется только фундаменталь¬
ная группа пространственно-временных преобразований. Теоретико¬
групповое уравнение инерциальной навигации для группы Пуанкаре
уже выписывалось на прошлой лекции, напомним его:
Tt+dtR?+dr ° ° = (ptRr °V$° ©tf) ° {TdrVadrQGjdr)-
Здесь использована форма записи бесконечно малых преобразований с
явным выписыванием векторов кажущегося ускорения и угловой ско¬
рости. При выводе нерелятивистских уравнений инерциальной нави¬
гации оказалось удобным перейти от векторной параметризации по¬
воротов к кватернионной. При выводе же релятивистских уравнений
очень удобным оказывается переход от элементарных преобразований
к квазиэлементарным с использованием бикватернионной параметри¬
зации. Напомним, что при этом временной перенос Tt и пространствен¬
ный перенос R? объединяются в пространственно-временной перенос
Rr, а лоренцев поворот Vj и пространственный поворот 0^ объединя¬
ются в пространственно-временной поворот Вв, параметры которых
R = £ + г и В = ехр('0/2) о ехр(г$/2) — бикватернионы Гамильто¬
на специального вида. Основное преимущество такой замены состоит
в том, что определяющих соотношений для квазиэлементарных пре-
5.2. ВЫВОД ДЛЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ
99
образований требуется существенно меньше, чем для элементарных, а
сами определяющие соотношения записываются достаточно просто.
Выпишем определяющие соотношения для группы Пуанкаре с ис¬
пользованием квазиэлементарных преобразований R и В. Несмотря на
то, что определяющих соотношений должно быть всего 22 = 4, сначала
приведём табличку, позволяющую их систематизировать.
R
В
R
(1)
(2)
В
(3)
(4)
Теперь выписываем сами определяющие соотношения (напомним,
что прямая черта над бикватернионом означает комплексное сопряже¬
ние).
Rr2Rri = Rri R = Ri+R2. (1)
Вв ° Rr — Rr' ° Вв, R' = В о R о В. (2)
Дн о Вв = Вв ° Rw, R' — В-1 о R о В-1. (3)
Дв2 ° -Rbi = Вв, В = В2 о Bi. (4)
Формула для преобразования компонент 4-вектора, из которой мож¬
но получить эти определяющие соотношения, имеет следующий вид
X' = BoXoB + R = е^2 о е^/2 о X о е"^/2 о е^2 +1 + г.
Здесь аналогично нерелятивистскому случаю X = т+р и X' = т'+р'
интерпретируются как 4-векторы координат двух точек-событий, при¬
чём считается (активная трактовка), что точка X переходит в точку
X' под действием преобразования общего вида из группы Пуанкаре с
параметрами t, г, тр и $.
Поскольку определяющие соотношения выписаны для квазиэле¬
ментарных преобразований, то и теоретико-групповое уравнение инер¬
циальной навигации следует переписать с использованием квазиэле¬
ментарных преобразований:
Rr+cZR 0 Дв+dB (Rr 0 Вв) ° (Дс£тДехр(ас£т/2)ехр(гаЗс£т/2))*
100 ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
Выпишем отдельно правую часть, убирая ненужные уже скобки и
учитывая только члены порядка dr (при разложении в ряд с после¬
дующим перемножением экспонент в параметре бесконечно малого
пространственно-временного поворота):
Rr ° Вв О -Rdr-^l+(a+ia3)dr/2*
Теперь займёмся привычной уже процедурой приведения правой части
путём тождественных преобразований к стандартному виду. Сначала
воспользуемся формулой (2) для перестановки Вв и RdT. Получим
Rr ° RBdTB ° Rb ° ^l+(a+za5)dr/2-
Далее используем диагональные формулы (1) и (4) для сложения од¬
нотипных квазиэлементарных преобразований
^R+BdrB ° ®Bo[l+(S+<a;)dr/2]-
Вспоминая про левую часть, выписываем получившееся уравнение це¬
ликом, попутно производя тождественные преобразования с парамет¬
рами правой части (вынесение наружу окружённого бикватернионами
скаляра dr в первом и раскрытие скобок во втором)
RR+dR ° Вв^-dB = ^R+BoBdT ° Дв+Во(а+гй5)<*г/2-
Осталось приравнять параметры квазиэлементарных преобразований
в правой и левой частях теоретико-группового уравнения, сократить
общие члены в правых и левых частях получившихся числовых урав¬
нений и поделить на дифференциал собственного времени, чтобы по¬
лучить систему из двух бикватернионных релятивистских уравнений
инерциальной навигации без учёта гравитации:
dR/dr = В о Ё,
dB/dr = В о (а + ш)/2,
где, напомним, R = t +г, В = е^2оей>, Ё = е~гё/2 о е^/2.
Рассмотрим сначала каждое из этих уравнений в отдельности.
В специальной теории относительности параметр R обычно назы¬
вают четырёхмерным радиус-вектором (движущегося объекта), а его
производную по собственому времени — четырёхмерной скоростью.
5.2. ВЫВОД ДЛЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ
101
Выполняя умножение В на Ё, получим выражение ехр(/0), зависящее
только от векторного параметра скорости, но не зависящее от парамет¬
ров пространственной ориентации. В этой терминологии первое урав¬
нение имеет вполне традиционный смысл: производная от (простран¬
ственно-временного) радиус-вектора равна (пространственно-времен¬
ной) скорости. Уравнение для четырёхмерного радиус-вектора легко
раскладывается на скалярную (временную) и векторную (простран¬
ственную) составляющие.
Бикватернионный параметр В определяет пространственно-времен¬
ную ориентацию объекта, поэтому дифференциальное уравнение для
него можно назвать пространственно-временным уравнением инерци¬
альной ориентации. Оно действительно представляет собой прямое об¬
общение обычного (пространственного) уравнения инерциальной ори¬
ентации на пространственно-временной случай. Заменить одно биква-
тернионное уравнение для В на два векторных уравнения для ф и $
можно, но получить эти уравнения не так просто, да и выглядят они
довольно громоздко.
В специальной теории относительности часто продолжают цепочку
аналогий с классической механикой. Если производная от радиус-век¬
тора — скорость, то производная от скорости должна быть ускоре¬
нием. Найдём вторую производную по собственному времени от 4-ра-
диус-вектора, которую обычно называют четырёхмерным ускорением
(напомним, что при комплексном сопряжении не только меняется знак
при скалярной мнимой единице i, ной изменяется на обратный поря¬
док сомножителей при некоммутативном умножении):
d2R d , dB - _ dB
5? = *<В°В> = *ОВ + Во57 =
В о (а + ш) - _ (а — iuj) о В ^ _ -
= - о В + В о - = В о а о В.
2 2
Примечательно, что в это уравнение не вошла угловая скорость, а во¬
шло только ускорение. Но это ускорение (измеренное, в соответствии
с постановкой задачи инерциальной навигации, в системе отсчёта объ¬
екта) нужно определённым образом «перепроектировать» прежде чем
приравнивать производной (по собственному времени, что здесь уже
важно) от скорости (четырёхмерной, что тоже важно).
Полученную систему уравнений инерциальной навигации можно
переписать в виде одного уравнения в комплексно-дуальных кватер¬
нионах. Обозначим символом Л следующее выражение:
Л = еег(£+г)/2 Q еФ/2 Q eitf/2 _ eeiR/2 о В = В -f £zR О В/2.
102
ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
Имеем, учитывая выписанные ранее уравнения для R и В:
d ( .R \ еШ eidR _ .R (Ш
*=d?(4B+I'IoB) = *+2*C,B + '’ !"* =
= V2B о (а + га;) + УгегВ о Ё о В + У^Ж о у2В о (а + га;) =
= У2 [Л о (а + га;) + егВ о Ё о В],
и поскольку еВ о Ё о В = еЛ о Л о Л, получаем окончательно:
dA/dr = Л о (а + га; + eiA о Л) /2.
Интересно, что правая часть уравнения получилась нелинейной по Л.
Заметим, что решая данное уравнение с начальным условием
Л (то) = eei(to+f?o)/2 о е^°/2 о е^°/2,
получим, что для любого момента времени т
Д^ _ eei(t(r)+r(r))/2 0 еф{т)/2 Q егё{т)/2
Выражения типа ехр (£</;/2) не появляются. Это следует из эквивалент¬
ности (для рассматриваемых начальных условий) уравнения в комп¬
лексно-дуальных кватернионах выписанной ранее системе уравнений
для В и R.
Полученные релятивистские уравнения инерциальной навигации
могут быть явно разрешены относительно производных от t, г, v и
Q, то есть тех же параметров, которые использовались нами при за¬
писи нерелятивистских уравнений. Выпишем (без вывода) эти уравне¬
ния (предельная скорость распространения сигналов считается равной
единице, сама скорость — безразмерная величина).
dt 1
dr л/1 - v2 ’
dr v
dr л/1-v2’
^ = (1—v2)QoaoQ_1 — у/\ — v2 (l — \/l — v2) —>
dr \ / v
-x(QoaoQ у
v
^=l-Qo
dr 24
ax (Q 1 о {To Q)
1 + \/l — v2
5.3. ВЫВОД ДЛЯ КВАТЕРНИОННОЙ ГРУППЫ
103
Видно, что в пределе v —» 0 эти уравнения с точностью до попра¬
вок более высокого порядка по малому параметру v совпадают с вы¬
веденными ранее нерелятивистскими уравнениями инерциальной на¬
вигации. Поэтому можно сказать, что и полученная система реляти¬
вистских уравнений инерциальной навигации не противоречит опыту
эксплуатации имеющихся Б ИНС (релятивистские эффекты слишком
малы, чтобы их учитывали при разработке систем инерциальной на¬
вигации).
5.3 Вывод для кватернионной группы
Посмотрим теперь, что получится, если для решения той же са¬
мой задачи нахождения уравнений инерциальной навигации без учёта
гравитации применить кватернионную группу. Формально теоретико¬
групповое уравнение для 13-параметрической кватернионной группы,
полученное в соответствии с общими принципами из символического
уравнения инерциальной навигации, должно выглядеть примерно так
(с точностью до порядка элементарных преобразований в стандартном
разложении):
Tt+dtRr+dr&ip+d0°V$+(i$oQ#+d'd — (TtRf ®v°V$0®tf)0(T5t&8(pV5$®5#)-
Но физический смысл элементарного преобразования Ф<д не известен,
да и по постановке решаемой задачи инерциальной навигации без учё¬
та гравитации оно не требуется. Поэтому попробуем пока обойтись без
него. Тогда останется следующее уравнение (после перехода к альтер¬
нативной записи параметров бесконечно малых преобразований):
Tt+dtRr+dr ° У'ф+й'ф ° = (TfRr ° Уф ° @$) ° (Т(1тУас1т®й(1т)•
Если при выводе уравнений инерциальной навигации из этого уравне¬
ния преобразование никак себя не проявит, то мы получим частный
случай общих уравнений инерциальной навигации для кватернионной
группы, которые для этого случая можно будет сравнить с соответ¬
ствующими релятивистскими и нерелятивистскими уравнениями. За¬
бегая вперёд скажем, что преобразование Ф<р действительно себя никак
не проявит, а полученных уравнений нам окажется вполне достаточно
Для анализа.
Внешне теоретико-групповое уравнение, с которым мы теперь име¬
ем дело, полностью совпадает с теоретико-групповым уравнением инер¬
циальной навигации для группы Пуанкаре. Но определяющие соотно¬
шения здесь другие.
104
ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
Использование кватернионной группы в качестве фундаменталь¬
ной подразумевает, что элементарным преобразованиям сопоставлены
числа, а композиции преобразований — произведение чисел. Именно
это отождествление позволяет получать определяющие соотношения,
просто подставляя числа вместо преобразований. По сути, вместо таб¬
лицы определяющих соотношений для элементарных или квазиэлемен-
тарных преобразований потребуется единственное правило: для полу¬
чения комплексно-дуального кватерниона, соответствующего компози¬
ции преобразований, нужно перемножить комплексно-дуальные ква¬
тернионы, соответствующие составляющим преобразованиям.
Используя это правило, сразу получаем из теоретико-группового
уравнения уравнение для комплексно-дуальных кватернионов:
A + dA = Ао eeidr/2eadr/2eiudr/2?
где А = e£^+f?)/2 о е^2 о е^2 = eeiR/2 о В = (1 + eiR/2) о В.
Разлагая в ряд экспоненты бесконечно малых преобразований, остав¬
ляя только члены порядка dr, перемножая, сокращая на А и деля
на dr, получим одно обыкновенное дифференциальное уравнение для
комплексно-дуального кватерниона А:
dA/dr = А о (а + гсЗ + ei)/2.
Внешне оно выглядит даже проще, чем соответствующее уравнение
для группы Пуанкаре, поскольку правая часть линейна по А. Да и
получили мы его гораздро быстрее.
Выделив главную и моментную части у А и её производной
А — В -J- £
г— о В
2
dA
dr
dB
~ = d^+£
1 dB . R dB
i oB + i— о —
2 dr 2 dr
найдём главную и моментную части уравнения инерциальной навига¬
ции, соответствующего кватернионной группе
dB ei
dr 2
dR dB
— oB + Ro —
dr dr
dA 1 _ _
= — = -А о (a + ги + ei) —
dr 2
1 / R \ _ В ei
- I В + ei— о В jo{a+iw+ei) = — o{a-\-iuj)+ —
Z \ Z j z z
В -|- R о — о (cl iuo)
В результате приходим к следующей системе из двух бикватернионных
уравнений:
5.3. ВЫВОД ДЛЯ КВАТЕРНИОННОЙ ГРУППЫ
105
dR/dr = 1, dB/dr = В о (а + гсЛ)/2,
где R = t + r, В = е^/2ое^/2.
Видно, что уравнение для В совпадает с соответствующим уравне¬
нием, полученным в рамках специальной теории относительности, а
уравнение для R отличается. Соответственно, из четырёх уравнений
для параметров t, г, ф, d два отличаются, а два совпадают с уравне¬
ниями, полученными при использовании группы Пуанкаре. Выпишем
отличающиеся уравнения:
dt/dr = 1,
dr/dr = 0.
Первое из этих уравнений совпадает с соответствующим уравнением,
полученным для группы Галилея, а второе — существенно отличается.
Согласно уравнению df/dr = 0 бесплатформенная инерциальная
навигационная система, построенная на уравнениях инерциальной на¬
вигации, полученных в рамках «кватернионной теории пространства-
времени», будет утверждать, что объект не двигается с места незави¬
симо от начальной скорости и показаний акселерометров. Полученный
результат явно противоречит опыту.
Полученный результат выглядит как абсурд. Но логического про¬
тиворечия здесь нет. Кватернионная теория пространства-времени ло¬
гически непротиворечива. То, с чем мы столкнулись, связано с выхо¬
дом за пределы применимости кватернионной теории пространства-
времени как физической теории. Сравнивая определяющие соотноше¬
ния для кватернионной группы с определяющими соотношениями для
группы Пуанкаре, можно выделить две области явлений, где расчёты
согласно кватернионной теории должны совпадать с расчётами, вы¬
полненными в рамках специальной теории относительности:
1) явления, для описания которых существенны переносы в простран¬
стве-времени и пространственные повороты, но несущественны бусты
сюда входит, в частности, область применимости евклидовой гео¬
метрии, рассматриваемой как физическая теория, описывающая дви¬
жения в пространстве (конечные перемещения твёрдых тел);
2) явления, для описания которых существенны повороты в простран¬
стве-времени, но несущественны переносы.
Задача инерциальной навигации не относится к указанным областям,
так как для её решения существенны как переносы, так и повороты
106 ЛЕКЦИЯ 5. УРАВНЕНИЯ БЕЗ УЧЁТА ГРАВИТАЦИИ
пространства-времени. Для опровержения кватернионной теории про¬
странства-времени достаточно было рассмотреть элементарный част¬
ный случай задачи инерциальной навигации — инерциальное движение
(а = 0, ш = 0) с ненулевой начальной скоростью.
Лекция 6
Вывод уравнений
инерциальной навигации
с учётом гравитации
6.1 Вывод для расширенной
группы Галилея
Про 13-параметрическую расширенную группу Галилея мы уже го¬
ворили. Но это было лишь качественное описание: указывалась раз¬
мерность группы, наличие и физическая интерпретация нового по срав¬
нению с обычной группой Галилея элементарного преобразования. Те¬
перь нам нужна расширенная группа Галилея как конструктивный
математический объект, с которым можно работать.
Поскольку перечень элементарных преобразований (Tt, R?, V$, 0^,
Ggf) расширенной группы Галилея уже известен, то ближайшая наша
цель — получить для них определяющие соотношения. Вместо век¬
торной параметризации поворотов будем использовать кватернионную
как технически более удобную.
Воспользуемся традиционным для физики методом задания груп¬
пы — по её действию на четырёхмерный вектор. Для нас это будет
вспомогательный 4-вектор X = т + р. В соответствии с развиваемым
теоретико-групповым подходом физическая интерпретация компонент
этого вектора нам не потребуется (при выводе уравнений инерциаль¬
ной навигации в качестве физических величин используются только
108
ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
параметры преобразований фундаментальной группы), к нему следует
относиться именно как к вспомогательной конструкции. Даже форму¬
ла для действия преобразования общего вида из расширенной группы
Галилея на этот 4-вектор нам не потребуется. Для получения опреде¬
ляющих соотношений достаточно знать, как на него действуют элемен¬
тарные преобразования. Сначала вспомним, как действуют на 4-вектор
элементарные преобразования самой группы Галилея.
1) Перенос во времени Tt (который называют также сдвигом или
трансляцией во времени):
т' = т + t, р' = р.
2) Перенос в пространстве R? (который часто называют сдвигом
или трансляцией в пространстве или пространственным параллель¬
ным переносом):
т' — т, р‘f = р + г;
3) Поворот ©q (пространственный поворот, вращение):
т' = т, р' = Q о ро Q-1.
4) Нерелятивистский буст V$ (преобразование Галилея):
г' = т, р' = р + VT
(в школьных обозначениях вместо vr должно быть гй, но буква t у нас
уже занята).
Теперь выпишем специальное нелинейное преобразование (в отли¬
чие от рассмотренных выше преобразований, линейных по компонен¬
там четырёхмерного вектора X) для описания гравитационных уско¬
рений.
5) Нерелятивистское р-преобразование G$ (гравитационное преоб¬
разование) :
т' = т, р' = р + дт2/2
(ничего сложного здесь нет, в школьных обозначениях должна быть
хорошо всем знакомая комбинация символов gt2/2).
Выписанных формул достаточно для расчёта определяющих соот¬
ношений расширенной группы Галилея. Из-за добавившегося пятого
элементарного преобразования их будет заметно больше (а именно,
больше на 52 — 42 = 9 штук). Как и на предыдущей лекции, приведём
табличку, позволяющую их систематизировать:
6.1. ВЫВОД ДЛЯ РАСШИРЕННОЙ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ
109
Т
R
0
V
G
т
(1)
(2)
(5)
(10)
(17)
R
(3)
(4)
(7)
(12)
(19)
е
(6)
(8)
(9)
(14)
(21)
у
(И)
(13)
(15)
(16)
(23)
G
(18)
(20)
(22)
(24)
(25)
Первые 16 соотношений уже выписывались, вывод формулы (10) был
рассмотрен подробно. Повторяться не будем, выпишем только соотно¬
шения, которые потребовались при расширении группы Галилея.
G$ о Tt — TtRfVfiGg,
Tt ° Gg = GgVtfRfTti
GgRff — RfGg.
RfGg = GgRf.
Gg О 0Q = 0Q О
©Q О G$ = G$> о ©Q,
G$V$ = VvGfi.
VzG$ = G$V$.
r = gt2/2, v = gt.
r = gt2/2, v
gt.
Q 1 o^oQ.
QogoQ-1.
^92 Gg >
9 = 9i+ 92-
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Как обычно, для наглядности символ «о» между сомножителями опус¬
кается, если соответствующие преобразования можно переставить без
изменения параметров. Например, в правой части формулы (17) мож¬
но переставить любые два соседних элементарных преобразования, но
после этого может потребоваться поставить знак «о»: так, после пе¬
рестановки Tt и R? рядом окажутся Tt и V*r, которые не коммутиру¬
ют. Отметим, что, согласно (17) и (18), при перестановке переноса во
времени и ^-преобразования появляется и буст, и пространственный
перенос.
Проверим для примера формулу (17). Чтобы не нагромождать кучу
Штрихов при последовательных изменениях компонент 4-вектора X,
будем показывать действие преобразования на 4-вектор стрелкой, над
которой стоит обозначение преобразования. Тогда действие на X =
== т + р левой части (17) изобразится формулой с двумя стрелками
110
ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
т + р (т +1) + р (т +1) + [р+ д{т +t)2/2],
а действие на X = т + р правой части (17) изобразится уже формулой
с четырьмя стрелками
т + р г + (р + дт2/2) т + (P + VT + дт2/2)
т + (р + r + vt + дт212) (т -И) + (р + f+ vt + дт2/2) =
— (т + *) + (Р + 9~t2/2 + gtr + дт2/2) = (т +1) + [р + д(т +1)2/2].
Результаты совпали, то есть проверяемое перестановочное соотноше¬
ние правильное.
Итак, мы имеем 25 определяющих соотношений, позволяющих ра¬
ботать с расширенной группой Галилея как со строго определённым
математическим объектом. По сути, больше ничего и не нужно, этот
набор соотношений можно даже принять за определение требующейся
нам фундаментальной группы.
Тогда можно забыть про использовавшийся нами вспомогательный
четырёхмерный вектор (или про не использовавшуюся алгебру Ли).
Отметим только, что выписанные выше пять формул для действия
элементарных преобразований на вспомогательный 4-вектор допуска¬
ют прозрачную теоретико-групповую интерпретацию: именно так дей¬
ствуют элементарные преобразования на параметр пространственно-
временного переноса (4-вектор). Всю проделанную (и не проделанную)
нами работу по получению определяющих соотношений расширенной
группы Галилея можно считать предварительной. Теперь приступим
к основной — к выводу уравнений инерциальной навигации.
Процедура вывода дифференциальных уравнений инерциальной на¬
вигации для расширенной группы Галилея принципиально ничем не
отличается от подробно рассмотренной на прошлой лекции аналогич¬
ной процедуры для обычной группы Галилея. Только элементарных
преобразований стало больше, поэтому цепочка тождественных пре¬
образований правой части теоретико-группового уравнения становит¬
ся длиннее.
Приведём эту цепочку равентств с указанием номеров использован¬
ных определяющих соотношений. Ниже выписана последовательность
формул, которая начинается с левой части теоретико-группового урав¬
нения инерциальной навигации для расширенной группы Галилея, да¬
лее напоминается символическое уравнение инерциальной навигации,
потом выписана в развёрнутом виде правая часть и, наконец, распи¬
сываются основные этапы её приведения к стандартному виду; номера
6.1. ВЫВОД ДЛЯ РАСШИРЕННОЙ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ 111
использующихся при этом определяющих соотношений записываются
над знаками равенства.
Tt+dtRr+drV$+dv0®Q+dQ0G$+dg=AiE(T+dT)=-hiE(T)°AE(T)E(T+dT) =
— (TtBfVy О 0q О Gg) о (TdTVadr®exp(i£dr/2)(*ndr) =
= TtRftVg о 0Q О G3 О TdrVsdrQsGHdr (=}
(=} TtRfV€ о eQTdTVSdrGsVSdrQsGndT (5)=3)
(5)=3) TtRpV0 о TdTQQ о VgdrVsdrGg о 0g Сйат (10)’(=}’(21)
(ю), (16), (21) TtRpTdTRMrV€ 0 0Q 0 V(a+,)dT о ©s о GsogosGndr (2)=5)
(2U15) (1), (4), (9), (16), (25)
— d td dr-^r-^vdr ^v Qo(а-\-g)oQdr ^SogoS^ndr —
(1),(4),(9^(16),(25)
^v+Qo(a+^)oQdr ^QoS ° ^So^oS+ndr
— ^4-dr-Rr+vdr^/£T+Qo(a+p)oQdr ° ©Q+Qo(ia3)dr/2 ° Gg+gxujdr+ndr?
где Q = ei#/2, S = е^т/2, Q = Q-1 = Q, S = S_1 = S.
При перестановке гравитационного преобразования и переноса во вре¬
мени с использованием формулы (17) пространственный перенос не
появился из-за того, что параметр переноса во времени dr бесконечно
малый. Соответственно, параметр пространственного переноса должен
быть порядка dr2, и им можно пренебречь. Кроме того, в конце вы¬
писанной цепочки равенств явное отбрасывание членов выше первого
порядка по dr произведено в параметрах элементарных преобразова¬
ний, поскольку
Q о S = Q о elujdr/2 «Qo(l + iujdr/2) — Q + Q о (iCS)dr/2,
S-1 O go s = e~%QdTl2 О go elujdr/2 « (1 _ iudr/2) о g о (1 + iujdr j 2) =
= (l — iudr/2) о (g + igoudr/2) « g + i(gooj — uog)dr/2 = g + gxtidr.
В результате после приравнивания параметров элементарных пре¬
образований в первом и последнем выражениях выписанной цепочки
получим систему из пяти обыкновенных дифференциальных уравне¬
ний:
dt/dr = 1,
112
ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
df/dr = v,
dv/dr = Q о (а + д) о Q-1,
dQ/dr = iQo аЗ/2,
dg/dr — ft + д х ш.
Первые четыре уравнения отличаются от системы уравнений инер¬
циальной навигации для 10-параметрической группы Галилея только
тем, что в правой части уравнения для скорости к вектору кажуще¬
гося ускорения добавилось гравитационное ускорение. Из-за влияния
гравитации на скорость гравитационное ускорение влияет и на радиус-
вектор, дифференциальное уравнение для которого формально не из¬
менилось. На время и кватернион ориентации гравитационное ускоре¬
ние не оказывает никакого влияния — ни прямого, ни косвенного.
Кроме того, в связи с уточнением постановки задачи инерциальной
навигации появилось ещё одно дифференциальное уравнение — для
вектора д. В правую часть этого уравнения вошёл вектор п — скорость,
изменения д в связанных с объектом осях. Заметим, что простран¬
ственные градиенты гравитационного ускорения в этом уравнении от¬
сутствуют. Внутреннее устройство инерциальных датчиков в нашем
курсе не рассматривается, указывается лишь принципиальная возмож¬
ность измерения соответствующих физических величин. Но здесь це¬
лесообразно отметить, что практически разработаны только прибо¬
ры (гравитационные градиентометры или вариометры) для измерения
пространственных градиентов гравитационного ускорения, а инерци¬
альных датчиков для измерения временных изменений гравитационно¬
го ускорения в настоящее время нет (и принципиальной модели такого
прибора, аналогичной шарику на пружинке для акселерометра, тоже
нет).
Обратим теперь внимание на то, что как компоненты вектора ка¬
жущегося ускорения, так и компоненты добавившегося к нему век¬
тора гравитационного ускорения относятся к связанным с объектом
осям. Сумму гравитационного и негравитационного ускорений назы¬
вают полным ускорением. Но две составляющие полного ускорения —
разные физические величины, и об этом нужно помнить. По этой при¬
чине в инерциальной навигации, особенно в теории БИНС, редко ис¬
пользуется понятие полного ускорения. Для этого есть и практические
основания: дело в том, что при традиционном подходе гравитационное
ускорение часто задаётся в базовой системе отсчёта, а кажущееся уско¬
рение в соответствии с постановкой задачи БИНС измеряется в свя¬
занной с объектом системе. Прежде чем складывать компоненты двух
6.1. ВЫВОД ДЛЯ РАСШИРЕННОЙ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ 113
векторов, их приводят к одной системе отсчёта (базовой, связанной
или какой-то третьей).
Осталось ещё выяснить природу слагаемого с векторным произ¬
ведением на угловую скорость в правой части дифференциального
уравнения для вектора гравитационного ускорения. Этот член тоже
связан с тем, что вектор g — гравитационное ускорение в связанных
с объектом осях. От него можно избавиться, если изменить стандарт¬
ную последовательность элементарных преобразований для расширен¬
ной группы Галилея. Выведём нерелятивистские уравнения инерци¬
альной навигации, поставив гравитационное преобразование в стан¬
дартном разложении слева от поворота (а не справа, как было выше).
Теоретико-групповое уравнение инерциальной навигации для расши¬
ренной группы Галилея в такой параметризации имеет следующий вид:
Tt+dtBr+dfA^j+dv Gg '+dg ' ° @Q+dQ =
— (TtRfVyGg > о ©q) о (TdrV^dT^7idT©exp(2cDdT/2))*
Повторять все выкладки с начала до конца нет необходимости. Ведь
речь идет всего лишь о смене параметризации преобразования общего
вида из расширенной группы Галилея, сводящейся к замене перемен¬
ных. Точнее, в данном случае речь идет о замене векторного параметра
g на д', связь между которыми даётся определяющим соотношением
(22)
g' = QogoQ~1.
Поскольку дифференциальные уравнения для Q и д уже получены, а
dQ~1/dr = dQ/dr — —iio о Q/2 = —iuj о Q-1/2,
то нетрудно вывести дифференциальное уравнение для д':
dj^ = = Qo^oQ-+QoJo^i =
dr dr dr dr ar
— ^Q°^opoQ-1 + Qo(n + (7X(j)oQ-1 — ^QogocJoQ-1 = QonoQ-1.
A A
Кроме того, в правой части уравнения для скорости следует заменить
д на д', после чего получим
dv/dt = Qo а о Q 1 + дг.
114 ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
То есть д' следует интерпретировать как вектор гравитационного уско¬
рения, заданный в базовой системе отсчёта I.
Содержательную физическую интерпретацию можно найти и для
других разложений преобразования фундаметальной группы на эле¬
ментарные. Рассмотрим в качестве примера разложение, полученное
из первоначально использовавшегося нами перестановкой буста и по¬
ворота. Теоретико-групповое уравнение инерциальной навигации для
расширенной группы Галилея в этой параметризации имеет вид:
Tt+dtRr+dr ° ®Q+dQ ° Vv'+dv’Gg+dg =
= {TtRf О ©Q ° Vy'Gg) ° (^rdr@exp(2a5dr/2)^/kdr^ndr)-
Связь параметров буста в «старом» в «новом» стандартном разложе¬
нии такая же, как в определяющем соотношении (14):
v' = Q-1 o?oQ.
Дифференцирование даёт следующее уравнение для вектора vf:
dv' jdr = а + д + vr х и.
Кроме того, следует заменить вектор v на v' в уравнении для радиус-
вектора, которое при этом запишется так:
dr jdr = Q о v' о Q-1.
Остальные уравнения инерциальной навигации замена v на v' не за¬
трагивает. Очевидно, что вектор vr следует интерпретировать как век¬
тор скорости, заданный в связанной с объектом системе отсчёта: в пра¬
вой части уравнения для vf появился характерный член с векторным
умножением на угловую скорость, а производная от радиус-вектора г
равна вектору скорости vf, предварительно «перепроектированному»
в базовую систему отсчёта.
6.2 Вывод для расширенной группы
Пуанкаре (конформной группы)
Про расширение группы Пуанкаре и результат этого расширения
— 15-параметрическую конформную группу мы тоже уже говорили.
Но это тоже было лишь качественное описание: обращалось внимание
6.2. ВЫВОД ДЛЯ КОНФОРМНОЙ ГРУППЫ
115
на то, что расширение группы Пуанкаре приводит не к 13-параметри-
ческой группе, а к 15-параметрической, указывалось на наличие в её
составе трёх новых по сравнению с обычной группой Пуанкаре элемен¬
тарных преобразований — одного векторного (G$) и двух скалярных
(Ww и Га). Сама 15-параметрическая конформная группа известна в
физике более века, но она ещё не получила той популярности, кото¬
рую имеет всем известная 10-параметрическая группа Пуанкаре. На¬
зовём некоторые причины такого положения дел: 1) конформная груп¬
па — значительно более сложный математический объект по сравне¬
нию с группой Пуанкаре; 2) элементарные преобразования G$ и Ww
конформной группы не получили адекватной (гравитационной) физи¬
ческой интерпретации ни в работах первооткрывателей конформной
инвариантности уравнений Максвелла (Г. Бейтмен, Э. Каннингхэм,
1909-1910 гг.), ни в работах других физиков и математиков XX века;
3) в XX веке отсутствовало классическое промежуточное звено для
физического обоснования необходимости перехода от 10-параметри-
ческой обычной к 15-параметрической расширенной группе Пуанкаре
— 13-параметрическая расширенная группа Галилея.
Итак, нам нужна конформная группа как математический объект,
с которым можно работать. Поэтому приведём явные выражения для
действия элементарных преобразований конформной группы на четы¬
рёхмерный вектор X. Сначала выпишем формулы для четырёх элемен¬
тарных преобразований 10-параметрической группы Пуанкаре, затем
релятивистское обобщение уже рассматривавшегося сегодня вектор¬
ного ^-преобразования, а потом формулы для двух новых скалярных
элементарных преобразований.
1) Перенос во времени Tt:
X' = X +1.
2) Перенос в пространстве R?:
X' = X + г.
3) Поворот в пространстве 0^:
X' = е^/2оХое"^2.
Три уже выписанных формулы — те же, что выписывались для рас¬
ширенной группы Галилея, только 4-вектор здесь не разложен на ска¬
лярную и векторную составляющие.
116
ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
4) Релятивистский буст Vj:
X' = е^/2 о X о е^/2.
Формула для релятивистского буста уже по сути сильно отличается от
приводившихся формул для нерелятивистского буста.
5) Релятивистское ^-преобразование Gf.
X' = (X-1 -д/2)-1.
Эту формулу следует рассматривать как единое целое, не раскладывая
её на «более элементарные» инверсию (X' = X-1) и пространственный
перенос. Формула для релятивистского ^-преобразования тоже прин¬
ципиально отличается от соответствующих нерелятивистских. Но па¬
раметр преобразования д имеет тот же физический смысл.
6) Скалярное элементарное преобразование, которое мы пока услов¬
но назовём гу-преобразованием Ww:
X' = (X-1 + гу/2)-1.
Эту формулу тоже следует рассматривать как единое целое, не рас¬
кладывая её на инверсию и перенос во времени.
7) Масштабное преобразование Г7:
X' = 7Х = еаХ.
Наряду с каноническим параметром масштабного преобразования а
будем использовать более традиционный масштабный множитель
7 = еа > О (7 > 1 — растяжение, 7 < 1 — сжатие).
Нетрудно посчитать, что определяющих соотношений для семи эле¬
ментарных преобразований должно быть 72 =49. Это много. Работать
с элементарными преобразованиями при выводе релятивистских урав¬
нений инерциальной навигации неудобно. Поэтому будем использовать
квазиэлементарные преобразования.
Первое квазиэлементарное преобразование для конфомной группы
Ял — перенос (пространства-времени), где параметр преобразования
— четырёхмерный вектор:
6.2. ВЫВОД ДЛЯ КОНФОРМНОЙ ГРУППЫ
117
X' = X + R,
R = ro + r = £ + r.
Это то же самое преобразование, которое использовалось для груп¬
пы Пуанкаре. Обозначение го будет использовано вместо t при записи
определяющих соотношений.
Второе квазиэлементарное преобразование для конфомной группы
будем обозначать Вв, то есть так же, как поворот (пространства-вре¬
мени) для группы Пуанкаре, но включим в него помимо бустов и про¬
странственных поворотов ещё масштабное преобразование. В резуль¬
тате получим так называемое поворотное растяжение (пространства-
времени), где параметр преобразования — бикватернион Гамильтона
специального вида:
X' = В о X о Ё,
В = е<?/2ес*/2ег79/2 _ ga/2e^/2 Q e^/2^ g _ е~гё/2 Q еф/2^/2^
Третье квазиэлементарное преобразование для конфомной группы обо¬
значим Аа и будем называть гравитационным преобразованием (про¬
странства-времени), его параметр — 4-вектор (не связанный с кажу¬
щимся ускорением):
X' = (X-1 + А)-1,
А = а0 + а = 1/2{w + д), А = а0 - а = l/2{w - д).
Название этого преобразования отражает придаваемую ему физиче-
скую интерпретацию, которую мы ещё обсудим. В литературе гравита¬
ционное преобразование обычно называют специальным конформным
преобразованием или (реже) преобразованием Мёбиуса.
Бикватернионная запись специального конформного преобразова¬
ния очень компактна. Для сравнения приведём более развёрнутую за¬
пись с явным выписыванием скалярных и векторных компонент четы¬
рёхмерных векторов:
, , п, = т + р+(т2 -р2)(а0 +а)
1 + 2(аот - а • р) + (т2 - p2)(al - а2)'
118
ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
В таком вйде специальное конформное преобразование выписано, на¬
пример, в физической энциклопедии (без гравитационной интерпре¬
тации параметров). Запись 4-вектора А с использованием его состав¬
ляющих ао и а будет использована при выписывании определяющих
соотношений для конформной группы. А там, где должно будет по¬
явиться ранее уже обозначенное буквой а негравитационное ускоре¬
ние, при необходимости развёрнутой записи А будут использоваться w
и д. Поэтому недоразумений из-за использования обозначения а для
разных величин возникнуть не должно.
Определяющих соотношений конформной группы с использовани¬
ем введённых квазиэлементарных преобразований будет всего девять:
R
В
A
R
(1)
(2)
(5)
В
(3)
(4)
(7)
A
(6)
(8)
(9)
Поскольку определение для В изменилось, выпишем все девять со¬
отношений (хотя первые четыре из них внешне не изменились по срав¬
нению с выписанными на прошлой лекции).
Rr2RRi = RRi R = Rl+ R2- (1)
Вв ° Rr — Rr' ° Rb> R' = В о R о B. (2)
Rr о Вв — Вв ° Rr'j R' = В-1 о R о g-1. (3)
ВВ2 ° BBl = -Rb) В = B2 о Bi. (4)
A a 0 Rr = Rr' 0 Вв о Aa', (5)
R' = (R-i + A)-1, A' = (A"1 + R)-1,
В = еа'2е&2 о e^/2 = ^ ) + * о 1 + *® ,
VI-Ф2 у 1 — (г0)2
7 = ea = [1 + 2(a0r0 - a ■ r) + (a% - a2)(r% - r2)]-1,
* _ , ф _ (r0a - apf )(1 + a0ro - a ■ f) - (r0a - a0f) x(axf)
2 1 + 2(a0r0 - a ■ f) + (а% - a 2)(/q - г2) + (r0a - a0f)2 ’
$ a x r
0 = tg — = ——-.
2 1 -h aoro — a • r
6.2. ВЫВОД ДЛЯ КОНФОРМНОЙ ГРУППЫ 119
Rr ° -4а = -4д' о Вв о Rb.' , (6)
А' = (А-1 + R)-\ R' = (R"1 + А)”1,
В = е“/2е^2 о е^2 = ^ ) + о 1 + i® ,
VI-Ф2 у 1 — (г0)2
7 = е“ = 1 + 2(r0ao - r-a) + (г§ - г2)(а§ - а2),
•ф (a0r- r0a)( 1 + гоао - г ■ а) - (а0г - г0а) х(гха)
Ф = Л
0 = tg
2 1 + 2(г0а0 - г • а) + (rg - г 2)(о^ - а2) + (а0г - г0а)2 ’
$ г х а
2 1 + гоао -г- а
Аа ° Вв = Вв ° Ад' ? А' = В о А о В. (7)
Вв о Ад = Ад' о Вв, А' = В-1 о А о Ё-1. (8)
Ад2 Aai = Ад, А = Ai + А2. (9)
Громоздкость соотношений (5) и (6) наглядно подтверждает вы¬
сказанное выше утверждение о том, что конформная группа устроена
значительно сложнее группы Пуанкаре.
Промежуточные параметры 7, Ф и 0, использованные в соотноше¬
ниях (5) и (6), могут быть выражены через 4-векторы R и А с исполь¬
зованием операции векторного сопряжения, но без явного обращения
к скалярным и векторным составляющим, а также к скалярному и
векторному произведениям векторов:
т-g - ?2 = RR = RR, а20 - а 2 = АА = АА,
А о R + R о А А о R + R о А
а0го — а • г = = = гоао — г • а,
А о R — А о R R о А — R о А , _ .
г0а - а0г = = = — (а0г - г0а),
R о А — А о R R о А — А о R
а х г = = = —(г х а).
2г 2г v '
Но формулы при этом становятся ещё более громоздкими.
120
ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
Кроме того, в соотношениях (5) и (6) имеются особенности. Однако,
если хотя бы одно из исходных преобразований бесконечно малое (а
только такие случаи встречаются при выводе уравнений инерциальной
навигации), то эти особенности становятся несущественными. Поэтому
останавливаться на них не будем.
Далее нам предстоит привычная уже процедура вывода системы
уравнений инерциальной навигации для параметров фундаменталь¬
ной группы. Но прежде уточним физический смысл параметров эле¬
ментарных преобразований, появившихся при расширении группы Пу¬
анкаре, то есть параметров специальных конформных и масштабного
преобразований.
Интерпретация параметра ^-преобразования остаётся той же, что
и в нерелятивистском случае — гравитационное ускорение. В отличие
от бустов здесь при переходе к релятивистскому описанию менять па¬
раметр не требуется, так как допустимы любые значения параметра д.
Следует заметить, что при переходе от нерелятивистских бустов к ре¬
лятивистским менять параметр тоже не обязательно, можно использо¬
вать обычный вектор скорости в обоих случаях. Но в этом случае- на
величину скорости нужно накладывать ограничение; в этом смысле
угол гиперболического поворота, на который такие ограничения на¬
кладывать не нужно — просто более естественный (более удобный)
параметр для релятивистского буста, чем обычная скорость. В случае
гравитационных преобразований более удобный векторный параметр,
чем обычное гравитационное ускорение, не появляется (если не счи¬
тать принципиальной замену д на д/2).
Гравитационная интерпретация д-преобразования G приводит и к
естественной физической интерпретации параметра гг-преобразования
W, которая тоже оказывается гравитационной. Дело в том, что под
«заданным гравитационным полем» не всегда понимают заданный век¬
тор д, часто используют скалярную функцию, называемую гравитаци¬
онным потенциалом. Эта функция задаётся с некоторым произволом
(например, традиционно полагается равной нулю на бесконечости), а
компоненты вектора д связаны с частными производными от грави¬
тационного потенциала по координатам. Поскольку гравитационный
потенциал в общем случае задаётся как функция, зависящая не толь¬
ко от пространственных координат, но и от времени, то параметр w,
очевидно, связан с частной производной от гравитационного потен¬
циала по времени. Как и д, параметр w, входящий в преобразование
Л/#, может интерпретироваться только как разность соответствую¬
щих частных производных от гравитационного потенциала в системах
Е и I.
6.2. ВЫВОД ДЛЯ КОНФОРМНОЙ ГРУППЫ
121
Также и в отношении масштабного преобразования подчеркнём,
что включение его в фундаментальную группу преобразований озна¬
чает отказ от «абсолютного масштаба», параметр у может характери¬
зовать только отношение масштабов систем Е и I.
Если сравнивать с преобразованием общего вида из расширенной
группы Галилея, то, с точностью до параметризации «старых» эле¬
ментарных преобразований и простановки знаков некоммутативного
умножения, преобразование общего вида из конформной группы от¬
личается только появлением двух «новых» элементарных преобразо¬
ваний Ww и Г7. Место для элементарных преобразований Ww и Г7
практически однозначно определяется тем, что Ww естественно поста¬
вить рядом с G$ (справа или слева — всё равно), а Г7 естественно
поставить рядом с и 0^ (справа, слева или между — всё равно). В
этом случае получившаяся последовательность из семи элементарных
преобразований естественным образом заменяется на последователь¬
ность из трёх квазиэлементарных преобразований, для которых выше
выписаны определяющие соотношения.
При очередном уточнении постановки задачи естественно добавить
в БИНС приборы, позволяющие измерять (в системе Е) скорость изме¬
нения v параметра w (точнее, приращение этого параметра 5w = udr)
и скорость изменения ц параметра масштабного преобразования (точ¬
нее, приращение этого параметра 5а = fidr « £7). Обсуждение кон¬
струкции или принципиальной схемы таких приборов в нашу задачу
не входит. Если конформная группа адекватно описывает природу, то
должна быть принципиальная возможность измерения указанных фи¬
зических величин.
Выпишем теперь ещё раз в развёрнутом виде теоретико-групповое
уравнение инерциальной навигации для конформной группы и напом¬
ним связь правой и левой частей этого уравнения с соответствующими
частями символического уравнения инерциальной навигации:
Tt+dtBr+dr ° 0 Gg+dgWyj+dw =
= ЛIE(r+dT) = ^ie(t) ° ЛE{t)E(t+(It) =
= (TtRf ° VjTryQg O G$Ww) о (TdrVddrrl-^tidrO^drGfidT^i'dr)-
Обратим внимание на особенность записи бесконечно малого мас¬
штабного преобразования, возникающую из-за того, что в качестве
основного параметра принят масштабный множитель у (а не кано¬
нический параметр масштабного преобразования а). Это интуитивно
понятный и привычный параметр, но тождественному преобразованию
122 ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
соответствует не нулевое, а единичное значение масштабного множи¬
теля. Поэтому бесконечно малое масштабное преобразование записы¬
вается так:
Г 1+<57*
Впрочем, с единицей, стоящей перед бесконечно малыми приращени¬
ями параметров, мы уже встречались при записи бесконечно малого
пространственно-временного преобразования в бикватернионной пара¬
метризации.
Воспользуемся введёнными выше квазиэлементарными преобразо¬
ваниями. Тогда теоретико-групповое уравнение инерциальной нави¬
гации для конформной группы запишется в следующем виде (бик¬
ватернион бесконечно малого поворотного растяжения пространства-
времени сразу разложен в ряд по dr, в котором оставлены только чле¬
ны первого порядка по малому параметру):
RR+dR°BB+dB°AA+dA = (RRoBBoAA)°(RdTB1 + i/2(fJL+ci+i$)dTA1/2(v+n)dT)‘
Теперь раскрываем скобки в правой части и начинаем её преобразо¬
вывать, явно указывая используемые определяющие соотношения и
вводя для сокращения записи обозначение М = ц + а + iu:
Rr о Вв о Аа о RdrB1+i/2udrAi/2^fi)dT —
Ф D D D D л D л
— Rr ° В в О Rdr ° В\—Adr ° ^-А—А2 dr ° -^1+1/2М^т^1/2(^+п)с£т
(2),(7)
= RrRboBcIt оВв О О B1+y2MdTo
(1),(4),(9)
° (l+V2MdT)o(A-A2dT)o(l+V2Mdr) /2(</+й)йт
(1),(4),(9)
-^R+BoBdr -^Во[1 — Adr]o[H-1/2Mdr]
Q А _ ~ —
1/2(v-\-n)dr-\-A—A2dr+V2(MoA+AoM)dr
-^К+ВоЁб£т ° ■^В+Во[1/2М—A]dr ° -^А+Р/г^+п) — А2 + У2(МоА-|-АоМ)]с£т’
После последнего знака равенства просто раскрыты скобки и упро¬
щены выражения для параметров (с отбрасыванием членов порядка
dr2). Далее вместо вспомогательного бикватерниона М и сопряжён¬
ных с ним снова будут использоваться величины (параметры, измеря¬
емые инерциальными датчиками), использовавшиеся при постановке
6.2. ВЫВОД ДЛЯ КОНФОРМНОЙ ГРУППЫ
123
решаемой задачи. Напомним, что в соответствии с определением ком¬
плексного и векторного сопряжения
Теперь можно выписать дифференциальные уравнения для R, В
и А:
dR/dr = В о Ё,
dB/dr = У2В о (/i + а + iuj — 2А),
dk/dr — */2(1/ + п) — А2 + у2 [(/х — а — га;)оА + Ао(/х — а + га;)].
Фактически это уже искомая система числовых уравнений инерциаль¬
ной навигации, только записанная в бикватернионных параметрах ква-
зиэлементарных преобразований, связанных с параметрами элемен¬
тарных преобразований соотношениями:
Сравним эти уравнения с ранее выведенными для группы Пуанкаре.
Первое уравнение (для четырёхмерного радиус-вектора) для группы
Пуанкаре выглядело точно так же, но поскольку определение биква¬
терниона В уже другое, то фактически оно изменилось. При развёр¬
нутой записи получим В о Ё = 7ехрг/;, то есть добавилось умноже¬
ние на масштабный множитель. Второе уравнение претерпело более
существенные изменения. Помимо того, что изменилось определение
величины В (для которой записано само дифференциальное уравне¬
ние и которая, кроме того, входит в явном виде в правую часть),
появились дополнительные члены (в том числе и гравитационный)
в записанном справа множителе в правой части. Наконец, появилось
третье, самое громоздкое, уравнение для параметра пространственно-
временного гравитационного преобразования.
Полученные уравнения инерциальной навигации могут быть явно
разрешены относительно производных от параметров £, г, ф, Q, д, w, 7:
dt/dr = 7сЬт/;,
dr/dr = 7sh7/;,
M = /г + a — гСЗ, М = ц — а — icu, М = /х — a + га;.
R = t + f, В = о е^/2, А = 1/2(w + д).
ipx[ipx(Qoa'oQ х)]
•02
shV>/’
124
ЛЕКЦИЯ 6. УРАВНЕНИЯ С УЧЁТОМ ГРАВИТАЦИИ
dQ/dr = V2Q 0 ги',
dg/dr = п + дхй-\-цд — wa',
dw/dr — v — 1/2(w2 — д2) + fiw — д • а',
dj/dr = 7(/i — гг),
где а' = а + д, шг = и + а' х [Q-1 о th(t^/2) о Q].
Выводить эти уравнения мы не будем, чтобы не загромождать лекции
длинными выкладками.
Набор параметров при необходимости может быть изменён. Напри¬
мер, параметр скорости ф может быть заменён на обычную скорость
v = th-0, а кватернион ориентации Q = ехр(г$/2) — на вектор ориен¬
тации $. Обсудим только замену масштабного множителя на канони¬
ческий параметр масштабного преобразования. Если вместо 7 исполь¬
зовать а, то 7 в правых частях первых двух уравнений надо заменить
на еа, а дифференциальное уравнение для 7 заменить дифференци¬
альным уравнением для а:
da/dr = ц — w.
Из последнего уравнения вытекает вторая, не зависящая явно от
понятия «гравитационный потенциал», физическая интерпретация па¬
раметра w: это гравитационная часть (с учётом знака) полной скоро¬
сти изменения канонического параметра масштабного преобразования
(так же как д — гравитационная часть полного ускорения а').
При отсутствии гравитации (д = 0,гг = 0)и7 = 1 полученные для
конформной группы уравнения совпадают с выведенными на прошлой
лекции в рамках специальной теории относительности (для группы
Пуанкаре) уравнениями инерциальной навигации.
С другой стороны, при неизменном (ц = 0) и совпадающем с ба¬
зовым (7 = 1) бортовом эталоне измерения времени (расстояния) и
пренебрежении гравитационным изменением масштабов (w = 0), при
малых скоростях (ф —» 0) с точностью до поправок более высокого по¬
рядка по малому параметру ф « v выписанные уравнения совпадают с
полученными сегодня нерелятивистскими уравнениями инерциальной
навигации.
Лекция 7
Точные решения
уравнений инерциальной
навигации
7.1 Равноускоренное движение
На двух предыдущих лекциях мы занимались выводом уравнений
инерциальной навигации, являющихся по сути уравнениями движе¬
ния: нерелятивистских и релятивистских, без учёта и с учётом грави¬
тации. Имея систему уравнений движения, естественно попытаться её
решить.
При практическом подходе к уравнениям инерциальной навигации
обычно подразумевается, что уравнения решаются численно, на бор¬
ту движущегося объекта, в реальном времени. На современном уровне
развития вычислительной техники численное решение некоторой си¬
стемы из небольшого числа обыкновенных дифференциальных урав¬
нений не содержит принципиальных проблем, если правые части урав¬
нений не вырождаются. Уравнения инерциальной навигации обычно
Удаётся привести к удобному для численного интегрирования виду
за счёт выбора «хороших» параметров (например, компонент кватер¬
ниона вместо компонент вектора для параметров ориентации). Круг
вопросов, связанный с численным интегрированием уравнений инер¬
циальной навигации, включает разработку специальных методов чис¬
ленного интегрирования, выбор шага интегрирования, оценку ошибок
интегрирования и другие. Это широкая область для исследований.
126
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Но нас сегодня интересуют точные, аналитические решения. Сразу
надо сказать, что уравнения инерциальной навигации (и даже нереля-
тивистские уравнения инерциальной ориентации) не решаются анали¬
тически в общем случае. Поэтому предмет настоящей лекции — про¬
стые (но не тривиальные) движения, которым соответствуют точные
решения уравнений инерциальной навигации.
Тем не менее, начнём с разбора тривиального случая. Первое дви¬
жение, которое изучают в школьном курсе физики — равномерное дви¬
жение, то есть движение с постоянной скоростью. Если взять систе¬
му (нерелятивистских) уравнений инерциальной навигации (без учёта
гравитации)
dt/dr = 1,
dr/ dr = v,
dv/dr = Q о а о Q-1,
dQ/dr = Q о (ИЗ)/2,
то очевидно, что для сохранения скорости постоянной не должно быть
ускорения. Рассмотрим инерциальное движение, при котором акселе¬
рометры и датчики угловой скорости показывают нули. Выписанная
система уравнений в частном случае а = и = 0 получается такой:
dt dr _ dv dQ
’ dr=V' dr = ’ lk= ’
а её общее решение имеет вид
t = to + (T-T0), f=f0-\-(r-ro)vo, v = vo, Q = Qo-
Здесь t = £(t), f = r(r), v = гГ(т), Q = Q(r) — параметры преобразо¬
вания (из группы Галилея) в текущий момент собственного времени,
a t0 = £(то), г0 = г(т0), = v(to), Qo = Q(to) — параметры преоб¬
разования в начальный момент собственного времени. В механике Га¬
лилея-Ньютона принято (неявно), что координатное время совпадает
с собственным в начальный момент, то есть to = то; как следствие
получаем при этом из выражения для t, что t = т для любого теку¬
щего момента, и возможность замены в дальнейшем переменных т и
то на t и to- Если учесть ещё принятый в механике переход от опи¬
сания движения тела к описанию движения точки (не учитываются
параметры ориентации), равенство текущей и начальной скоростей и
7.1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
127
обычно принимаемое условие равенства нулю начального времени, то
как раз получится всем известная школьная формула для равномер¬
ного движения г = го + vt.
Посмотрим, какое решение получается для инерциального движе¬
ния в специальной теории относительности. Уравнения инерциальной
навигации для группы Пуанкаре мы записывали в разных видах, в том
числе в виде одного уравнения в комплексно-дуальных кватернионах
dA/dr = А о (а.+ гй + eiA о А) /2.
При а = ш = 0 оно существенно упрощается:
dA/dr = eiA о А о А/2.
Правая часть становится симметричной, но остаётся нелинейной по А.
Связь А с использованными выше параметрами тоже не проста:
А = eei(t+r)/2 Q earthtf/2 Q q
Система уравнений и её общее решение в этих параметрах выглядят
так:
dt 1 dr v dv dQ
dr y/1 — v2 ’ dr y/l — v2^ dr ’ dr
, . . T-T0 ~ . (t-t0)v0 - - „ ~
t = t0+ л 9, Г = r0 + , , V = Vo, Q = Qo-
v l — vo V1-^
Таким образом, два последних выражения не изменились: кватерни¬
он поворота и скорость остаются постоянными. Зато выражения для
изменяющихся в процессе движения времени и радиус-вектора суще¬
ственно усложнились. Особенно важна усложнившаяся связь между
координатным и собственным временем, не позволяющая ввести еди¬
ное «абсолютное» время.
Перейдём теперь к следующему изучаемому в школе движению:
равноускоренному. В школьной программе этому виду движения уде¬
ляется значительное внимание, причём рассматривают его не в первый
год изучения физики (как равномерное), а позже. Тем не менее, уско¬
рение вводится сначала не как векторная, а как скалярная величина,
поэтому в некоторых школьных учебниках встречаются равнозамед¬
ленное и равнопеременное движения. Этими терминами мы пользо¬
ваться не будем.
128
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Начнём снова с нерелятивистских уравнений инерциальной навига¬
ции без гравитации. Для равноускоренного движения естественно счи¬
тать, что ускорение постоянно (векторная константа), то есть а = Йо,
а угловую скорость оставим нулевой, ш = 0. Решаемая система урав¬
нений при этих условиях выглядит так:
dt dr _ dv _ j dQ
Tr = l' Tt=V' ■ *T = °.
то есть по сравнению с рассмотренным случаем инерциального движе¬
ния изменилось только уравнение для скорости. Изменившаяся ско¬
рость, в свою очередь, повлияет на радиус-вектор, так как входит
в правую часть соответствующего дифференциального уравнения. С
другой стороны, не изменилось уравнение и не изменится решение
для времени; это позволяет ввести универсальное ньютоновское вре¬
мя t = т. Не поменялось и тривиальное в данном случае уравнение
инерциальной ориентации, поэтому кватернион ориентации будет по¬
стоянным, равным начальному.
Мы не ставим цели рассмотреть общее решение для равноуско¬
ренного движения, то есть решение выписанной системы уравнений
при произвольных начальных условиях to, г о = г(to)? = v(to) и
Qo — Q(*o) (при переходе к единому времени то уже можно убрать).
Чтобы иметь общее представление о равноускоренном движении, до¬
статочно рассмотреть решение для простейших начальных условий
(или для начальных условий, дающих простейшее решение). В дан¬
ном случае простейшие начальные условия выглядят так:
to =0, г о = 0, vo = 0, Qo = 1,
а искомое решение имеет вид:
t = т, г — аот2/2, v = аот, Q = 1.
После замены т на t и убирания нижнего индекса у постоянного в рас¬
сматриваемом случае вектора ускорения получим хорошо известные со
школы формулы для равноускоренного движения v = at и г = at2/2.
Впрочем, в школе рассматривается и более общий случай с ненулевой
начальной скоростью и ненулевым начальным радиус-вектором. Его
можно получить, решая наши уравнения при щ 7^ 0 и г о ф 0. Не вызо¬
вет затруднений и решение этих уравнений, если дополнительно будет
to ф 0 и Qo ф 1.
7.1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
129
Есть и другие физически очевидные возможности обобщения по¬
лученного решения, которые целесообразно считать разновидностью
равноускоренного движения. Например, если объект вращается с нену¬
левой угловой скоростью вокруг направления постоянного ускорения.
Выбрав для исходных уравнений инерциальной навигации условия
а = ао, ш = с^о, &о х йо = О,
получим при простейших начальных условиях решение
t = т, f=aor2/2, v = аот, Q = ехр(гс<Зот/2),
которое отличается от выписанного выше только меняющимся кватер¬
нионом поворота. К точно такому же по форме записи решению (соот¬
ветственно, с теми же простейшими начальными условиями) приводят
и другие условия на ускорение и угловую скорость:
ао / \ х qq . . .
— cos (lot) — — —Г SirnCJT)
а0 \ш х а0[
ао, S = йь ао • й) = 0.
Здесь уже вектор ускорения, измеряемый в связанных осях объекта,
не остаётся постоянным и тело вращается, но остаётся постоянным
перепроектированный вектор ускорения, то есть правая часть диффе¬
ренциального уравнения для скорости Q о а о Q-1.
Аналогичное рассмотренному решение имеется и в релятивистском
случае, причём условия на измеряемые инерциальными датчиками ве¬
личины и начальные условия те же самые. Само решение в тех же
параметрах (более подходящих для нерелятивистского случая) имеет
вид:
t =
sh(a0r)
ao
г =
ao ch(aor) — 1
ao
ao
: th(aor), Q = ехр(г£0т/2).
Наверное, все вы видели гиперболы в плоскости (г, £), соответству¬
ющие этому решению, которые рисуют в учебниках по теории отно¬
сительности (или в соответствующих разделах учебников по физике).
По этой причине равноускоренное движение в специальной теории от¬
носительности часто называют гиперболическим. За счёт выбора под¬
ходящего (не нулевого) начального радиус-вектора часто помещают
начало отсчёта в центр гиперболы. Остальные возможности обобще¬
ния (сдвиг во времени, начальная скорость) обычно не рассматривают¬
ся. При сравнении выписанного решения с приводимыми в учебниках
130
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
удобнее всего считать, что ио = 0 и Q = 1, так как там рассматрива¬
ются частицы, угловым положением которых не интересуются.
Обратим внимание на то, что в релятивистском случае равноуско¬
ренное движение это не движение с постоянным ускорением (в послед¬
нем случае под ускорением понимают вторую производную от радиус-
вектора по времени d2r/dt2). То есть, если происходит движение с по¬
стоянным собственным ускорением а (векторная константа), то d2f/dt2
не будет постоянным вектором. И наоборот, если движение происхо¬
дит с постоянным вектором d2f/dt2, то не будет постоянным вектор
а. Следует отметить, что движение с постоянным а может, в принци¬
пе, происходить неопределённо долго, не противореча основным по¬
ложениям специальной теории относительности, тогда как движение
с постоянным вектором d2r/dt2 = dv/dt может происходить только
ограниченное время (пока скорость меньше предельной).
Отметим ещё одно различие между равноускоренным движением и
движением с постоянным ускорением. В физике считается важным по¬
нятие релятивистской инвариантности, хотя далеко не все рассматри¬
ваемые в физике движения инвариантны относительно смены базовой
системы отсчёта. Неинвариантны, например, понятия «прямолинейное
движение» и «движение без поворота».
Определение движения с постоянным ускорением d2f/dt2 = const,
основанное на параметрах г и t преобразования, связывающего базо¬
вую систему с объектом, релятивистски неинвариантно. Объект, дви¬
жущийся с постоянным ускорением относительно одной лабораторной
системы, относительно другой лабораторной системы (тоже инерци¬
альной) может двигаться с не постоянным ускорением.
Определение же равноускоренного движения, основанное на вели¬
чинах, измеряемых в мгновенно сопутствующей объекту системе (на¬
пример: а = const, и = 0) будет релятивистски инвариантным, то есть
независимым от выбора базовой (лабораторной) системы отсчёта.
Иногда термин «равноускоренное движение» используется при опи¬
сании движения под действием постоянной силы. Но при вниматель¬
ном рассмотрении оказывается, что движение тела с постоянной мас¬
сой под действием постоянной силы совпадает с равноускоренным толь¬
ко в случае прямолинейного движения. Если же масса тела меняется,
то и прямолинейное движение под действием постоянной силы не будет
равноускоренным.
7.2. ДВИЖЕНИЕ С ОРБИТАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ
131
7.2 Движение с орбитальной ориентацией
Следующее изучаемое в школьной программе движение — равно¬
мерное движение по окружности. Уже по присутствию формы траек¬
тории в названии движения можно сообразить, что определение такого
движения не может быть релятивистски инвариантным, оно должно
быть привязано к инерциальной системе отсчёта, в которой траекто¬
рия — окружность.
Методически целесообразно строго разделять движение по окруж¬
ности и равноускоренное движение. Но при большом желании равно¬
мерное движение по окружности можно назвать равноускоренным на
основании того, что измеряемое объектом при таком движении уско¬
рение постоянно по модулю. Более того, в случае орбитальной ориен¬
тации измеряемое объектом ускорение при равномерном движении по
окружности — постоянный вектор.
Демонстрация 10. Лектор раскручивает над головой бу¬
мажный самолётик, привязанный ниткой за крыло. Обра¬
щает внимание на форму траектории самолётика (окруж¬
ность) и ориентацию самолётика (крылом к центру, носом
вперёд). Указывает на то, что гравитационным ускорением
в этом случае можно пренебречь. Раскручивает самолётик
в вертикальной плоскости. Просит слушателей мысленно
представить вектор ускорения, заставляющего объект рав¬
номерно двигаться по окружности, сопоставить его с ори¬
ентацией объекта и убедиться в том, что вектор ускорения,
отнесенный к осям объекта, будет постоянным. Просит слу¬
шателей мысленно представить вектор угловой скорости са¬
молётика, сопоставить его с ориентацией самолётика и убе¬
диться в том, что вектор угловой скорости, отнесенный к
осям объекта, будет постоянным. Останавливает двйжение
самолётика, берёт в его руки и показывает, куда были на¬
правлены ускорение и угловая скорость.
Орбитальная ориентация — важное для космонавтики понятие. Рас¬
смотрим искусственный спутник Земли, движущийся по круговой ор¬
бите, то есть по окружности с центром в центре Земли. Говорят, что
спутник имеет орбитальную ориентацию, если одна из жёстко связан¬
ных с ним осей направлена к центру (или от центра) окружности, а
Другая — по касательной к окружности. Понятие орбитальной ориен¬
тации используют и в случае движения искусственного спутника Зем¬
ли по эллиптической орбите, если одна ось направлена по вектору гра¬
132
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
витационного ускорения на Землю (к фокусу эллипса, а не к центру) ?
а вторая, перпендикулярная первой, тоже лежит в плоскости орбиты.
С понятием орбитальной ориентации тесно связано понятие орби¬
тальной системы координат (ОСК). Обычно одна из осей ОСК направ¬
ляется по радиус-вектору объекта, вторая ось, перпендикулярная пер¬
вой, лежит в плоскости радиус-вектора и вектора скорости объекта (в
сторону скорости движения), а третья ось дополняет систему до пра¬
вой. Если в процессе движения связанные с объектом оси совпадают
с осями ОСК, то говорят, что объект движется с орбитальной ориен¬
тацией. Практически важна соответствующая задача управления ори¬
ентацией космического апарата: построение орбитальной ориентации.
Угловая скорость вращения радиус-вектора спутника при его дви¬
жении по орбите называется орбитальной угловой скоростью. В случае
равномерного движения по окружности орбитальная угловая скорость
остаётся постоянной и равна отношению постоянной величины орби¬
тальной скорости объекта к модулю постоянного по величине радиус-
вектора.
Теперь перейдём к математическому рассмотрению равномерного
движения объекта по окружности для случая орбитальной ориента¬
ции.
Нерелятивистская система уравнений инерциальной навигации в
свободном от гравитационного поля пространстве сегодня уже выпи¬
сывалась перед рассмотрением решения для равноускоренного дви¬
жения. Условия, которые следует наложить на ускорение и угловую
скорость (постоянство этих векторов и их перпендикулярность друг
другу), понятны из приведённой демонстрации:
а = ао, сд = (j0, а • а; = 0.
Начальные условия для движения по окружности удобнее всего запи¬
сать в системе отсчёта, связанной с этой окружностью:
^ а а х и а -
*о=0, г0 = 2, = р—р = 0, то = 0.
и \а х и\ и
Выпишем теперь собственно решение в следующем виде:
t = т, г = ег^'г о го, v = ег^'г о щ, 3 = <3т, где Q,'t = 3.
Приведённое решение соответствует движению объекта по окружно-
сти радиуса г — а/и2 со скоростью v = а/и. При этом й' = 3
7.2. ДВИЖЕНИЕ С ОРБИТАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ 133
— угловая скорость движения по окружности, то есть она равна из¬
меряемой объектом угловой скорости (£У = и) = v/r — a/v = yja/r).
Ориентация объекта по отношению к направлению на центр окружно¬
сти фиксирована:
did/dt = O'.
В релятивистском случае условия, накладываемые на ускорение и
угловую скорость приходится дополнять требованием а/и) < 1 (это от¬
ношение остаётся равным скорости движения объекта). Заметно более
сложными оказываются выражения для начальных радиус-вектора и
вектора параметра скорости.
а а/и)2 ash2 г/)
Г° а 1 — {а/и;)2 а а
-+ а х со . 1 + а/со ах со а
Щ = —=^Г1п \ п Г = 7^ ^arth -.
\а х и)\ у 1 — а/и) \ахи)\ и)
Собственно решение выпишем в параметрах £, г, ф и
т
t = — = = rchw.
Vi-W
г = егП г о fb,
гй'ь,
ф = еш * о ф0,
г? = сот\ 1
йот
ксо) ch ф’
где fW =
Это решение соответствует движению объекта по окружности радиуса
г = а/{соО!) со скоростью v = а/и) < 1. Ориентация объекта по
отношению к направлению на центр окружности фиксирована:
dd/dt = П'.
Но при этом й' = ш[1 — {а/и))2] ф со , где О! = v/r — угловая
скорость движения по окружности (орбитальная угловая скорость), а
и = a/v — измеряемая объектом угловая скорость. То есть особенность
134
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
релятивистского решения состоит в том, что эти угловые скорости от¬
личаются по величине.
Посмотрим теперь, что изменится, если самолётик на веревочке
заменить спутником на круговой орбите. Напомним систему нереля¬
тивистских уравнений инерциальной навигации с учётом гравитации:
dt ^ dr dv _ _ dg
*=1’ *=”' = + • *=” + 9*".
= Q о гсЗ/2, где Q = ег^/2 — кватернион поворота.
ат
В качестве исходных векторных констант возьмём не вектор кажуще¬
гося ускорения (который в данном случае будем считать нулевым) и
вектор угловой скорости, а более привычные в механике начальный
радиус-вектор и вектор скорости. Поэтому сначала выпишем началь¬
ные условия:
Цъо) = 0, г(т0) = го, v(t0) = Vo,
д(то) =9о = Го, $(то) =0, Го = 0.
го го rg
Кроме того, начальный радиус-вектор (радиус окружности) должен
быть ненулевым т*о > 0, а скорость должна быть перпендикулярна
радиус-вектору г о • щ = 0. Теперь условия на измеряемые навигацион¬
ными датчиками величины:
Л Г0 Wq Vo .. Го X Vo Vo r0X Vo
& 0, 11, ll() л — о Го, (V (Vo I I о
Го гб гб |го X г>о| Г0 гб
Выписываем решение:
t = r, г = егП'ь о f0, v = егП'ь о д = до, 3=От,
где Q't = $ = От.
Это решение соответствует движению объекта по окружности радиуса
г = |го| со скоростью v = |г7о| при нулевом кажущемся ускорении
а и ненулевом гравитационном ускорении д. При этом й' = О,
Q' = CV = v/r = g/v = \fgfr, а
7.2. ДВИЖЕНИЕ С ОРБИТАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ 135
dd г х v
~dt = = т2 *
Осталось найти нужное решение релятивистских уравнений инер¬
циальной навигации с учётом гравитации. Напомним сами уравнения:
dt/dr = еа сЪ.ф,
df/dr = еа sh^,
dip/dr = Qoa'oQ-1 + (ф/ф) х (ф/ф) х (Q о а' о Q-1) (1 —-0/sh^),
dQ/dr = Q о га;'/2,
dg/dr = п + д х й — wg Л- fig — wa,
dw/dr = v — (w2 + <72)/2 + /хгт — g • a,
da/dr = fjb — w,
где Q = ег^/2, a' = a + g, a;' = (2 + a' x [Q_1 о th(/0/2) о Q].
Чтобы не возвращаться в дальнейшем к выписыванию решений урав¬
нений инерциальной навигации для случая равномерного движения
объекта по окружности (при различной ориентации), выпишем сра¬
зу множество «смешанных» решений в виде решения, зависящего от
некоторой функции скорости f(v) (её физический смысл будет уточ¬
нён позже) и параметра к, характеризующего долю гравитационного
ускорения д в полном ускорении а' = а + д. То есть, считая для
простоты, что а || д, положим д = ка'.
Начальные условия:
t(To) = г(т0) = го, ф(т0) = фо = arth щ
-V \ sh2V»o , , v% _ J
3(то)=5о = fc = -к 2. и 2. г0, 0(то)=О,
г0 г0 »о(1 — vg)
w(t0) = 0, а(т0) =0, То = 0, г0 >0, r0-ifo = 0.
Условия:
136
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
т-1+ 1
Гр X Up
Гол/1 - wo’
* 1/0 2j|0A:(2 2fc2)r2(l-^)2’ М_0,
л л Гох^о shV'o Г1 XI h ч, П)Х»о
O = Q0 = — — [1 - f(v)] = [1 - f(v)}
|f0 X ф0\ Го Г0\Л “ vo’
fo^(1_k) = (k_1}_^foj
го r0 *o(l-vg)
фо sh3 фр chфр Ур
фо rl rl(l-v%)2Vo'
Решение:
оШг (
Гохфо thфо r0xvo
t^rch^o, г = еъП'ього, ф = егП'ьо'фо, д = е0*1" о д0
'd = f(v) П'£, w = 0, а — 0, где £У =
\гоХфо\ г°
Желающие могут проверить это решение непосредственной подстанов¬
кой приведённых выражений в исходную систему уравнений, а творче¬
ски настроенным личностям будет интересно его обобщить (например,
на случай а (то) /0).
Обсуждение: решения соответствуют движению объекта по окруж¬
ности радиуса г = |fb| со скоростью v = |г;Ь| = th|^o| ПРИ
ненулевых в общем случае (но параллельных) кажущемся и грави¬
тационном ускорениях. В общем случае имеем П' = (П + сЗ) (1 — г?2),
Q,' = v/r, |П + й\ = \а + g\/v,
d& г/ \п/ *( \ ^
- = /(»)я =/(»)—•
Из последнего уравнения ясен физический смысл функции f(v) — это
скорость изменения вектора ориентации, выраженная в единицах ор¬
битальной угловой скорости.
Отметим частные и предельные случаи, которые можно получить
из выписанного решения. При к = 0 получим решения с нулевым гра¬
витационным ускорением д. При к — 1 получим решения с нулевым
7.3. ДВИЖЕНИЕ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ ПЛАТФОРМЫ 137
кажущимся ускорением а. Предельным переходом, устремляя v к ну¬
лю, можно получить решение нерелятивистских уравнений. При этом
вместо функции f(v) целесообразно брать константу /о = limv_>o f(v)•
Для рассматриваемого случая орбитальной ориентации константой, не
зависящей от скорости движения объекта по окружности, будет и сама
функция f{v), а именно f(v) = 1. При к = 1 и f(v) = 1 получим,
чт0 П' = Q (l — v2) ф и, где П' = v/r, и = g/v.
7.3 Движение инерциальной платформы
Ещё один важный для космонавтики тип ориентации космическо¬
го аппарата — инерциальная. В этом случае часто говорят также о
поддержании постоянной ориентации в инерциальном пространстве
или о стабилизации относительно инерциального базиса. Математи¬
чески строгое и при этом релятивистски инвариантное кинематиче¬
ское определение инерциальной ориентации состоит в требовании от¬
сутствия угловой скорости (измеряемой ДУСами, то есть и = 0). Тех¬
ническое устройство, обеспечивающее выполнение этого условия, на¬
зывают инерциальной платформой.
Рассмотрим теперь равномерное движение инерциальной платфор¬
мы по окружности. Из условия, которое накладывалось на измеря¬
емую инерциальными датчиками угловую скорость сЗ, видно: чтобы
было ш = 0, должно быть
f(v) =-- 1 - (1 - и2)-1/2.
Из физического смысла функции f(v) и найденного выражения для
неё ясно, что инерциальная платформа при движении по окружности
будет поворачиваться (вектор ориентации и кватернион поворота бу¬
дут меняться). Правда, в нерелятивистском пределе, при v —> 0, функ¬
ция f(v) стремится к нулю, поэтому скорость такого поворота будет
мала. В пределе, для соответствующего инерциальной ориентации ре¬
шения нерелятивистских уравнений, поворота не будет.
7.4 Движение неповорачивающейся
платформы
Следующее важное кинематически выделенное движение — движе¬
ние без поворота ($ = 0). Функция f(v) при этом, естественно, тоже ну¬
левая. Платформу, для которой выполняется это условие (или, в более
138
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
общем случае, dfi/dt = 0), назовём неповорачивающейся. Для нереля¬
тивистского решения измеряемая на неповорчивающейся платформе
угловая скорость будет нулевой, но для релятивистского решения уг¬
ловая скорость будет уже не нулевой, а только стремящейся к нулю
при v —> 0.
В отличие от определения инерциальной платформы, основанно¬
го на понятии угловой скорости <2, измеряемой в абсолютном смыс¬
ле (самим объектом без использования внешней информации), данное
выше определение неповорачивающейся платформы основано на по¬
нятии вектора ориентации $ — относительной величине, зависящей
не только от объекта, но и от выбора базовой системы отсчёта. При
таком определении получится, что относительно движущейся по от¬
ношению к исходной базовой инерциальной системе отсчёта неповора-
чивающаяся платформа уже не будет таковой. Эта трудность легко
обходится: платформу можно назвать неповорачивающейся, если су¬
ществует инерциальная система отсчёта, относительно которой вектор
ориентации (при стандартном разложении преобразования общего ви¬
да на элементарные) отстаётся постоянным или равным нулю. Такое
определение будет релятивистски инвариантным, но при рассмотре¬
нии точных решений уравнений инерциальной навигации базовая си¬
стема отсчёта фиксирована, поэтому более естественным оказывается
рассмотрение платформы, неповорачивающейся именно относительно
исходной базовой системы, а не какой-то другой.
Возникающую здесь терминологическую трудность можно проил¬
люстрировать на следующем примере. Допустим, мы хотим дать реля¬
тивистски инвариантное определение прямолинейного движения. Дать
такое определение можно, если считать прямолинейным движение при
наличии инерциальной системы, в которой тело движется по прямой.
Но тогда придётся считать прямолинейным и некоторые криволиней¬
ные движения (например, пассажир равномерно движущегося поез¬
да должен считать прямолинейно движущимся свободно падающее с
неподвижной платформы тело, двигающееся относительно него не по
прямой, а по параболе).
7.5 Движение гиростабилизированной
платформы
Имеется ещё один кинематически выделенный важный тип движе¬
ния тела, близкий в нерелятивистском пределе к движению без по¬
ворота и, соответственно, к движению с инерциальной ориентацией,
7.5. ГИРОСТАБИЛИЗИРОВАННАЯ ПЛАТФОРМА
139
но отличающийся от них в общем случае, с учётом релятивистских
эффектов.
Уравнения движения, как это видно на примере символического
уравнения инерциальной навигации, связаны с композициями конеч¬
ных и бесконечно малых преобразований некоторой фундаментальной
группы. Выпишем цепочку равентств, характеризующую имеющиеся
возможности:
A A' A A E(r)E(r-\-dr) А
AIE(t) ° AE(T)E(T+dr) — AIE{r+dr) ~ AI ° А1Е(т)-
Это цепочка равенств символическая, поскольку не указана используе¬
мая фундаментальная группа. Начинается она как раз с символическо¬
го уравнения инерциальной навигации, затем продолжена вторым зна¬
ком равенства, после которого исходное конечное и изменившее из-за
некоммутативности бесконечно малое преобразования стоят в обрат¬
ном порядке. Здесь использованы следующие обозначения: I — базовая
инерциальная система отсчёта (ИСО), называемая также лаборатор¬
ной ИСО или ИСО наблюдателя; Е(т) и Е(т + dr) — две бесконечно
близкие ИСО, проходимые объектом; Aje(t) — А1^^ = Л— соб¬
ственная проекция оператора перехода от I к Е(т), представляющая
конечное преобразование группы, связывающее I с Е(т)\ Aj#(r+dT) =
= — собственная проекция оператора перехода
от I к Е(т + йт) — тоже конечное (то есть не бесконечно малое в общем
случае) преобразование; ЛЕ(т)е(т+4т) = Лд[^£(г+е!т) = ЛЩт’+йт)^
— собственная проекция оператора перехода от Е(т) к Е(т + dr) —
бесконечно малое преобразование; A^(r)£7(r+dr) _ проекция опера¬
тора перехода от Е(т) к Е(т + dr) на лабораторную ИСО — тоже
бесконечно малое преобразование. Важно понимать, что в общем слу¬
чае A^(T)J5(r+dr) ф Лщт)щг+^т); поэтому дифференциалы параметров
бесконечно малых элементарных преобразований далее имеют разные
обозначения: 5 для AE^E{r-\-dr) и & Для A^r^r+dr\
Истоки релятивистских эффектов следует искать в 6-параметри-
ческой группе Лоренца, включающей релятивистские бусты и про¬
странственные повороты. Группа пространственных поворотов — одна
и та же при релятивистском и нерелятивистском подходе, а отдель¬
ное от поворотов описание релятивистских бустов затруднено из-за их
незамкнутости. Поэтому рассмотрение релятивистских особенностей
композиции конечного и бесконечно малого преобразований начнём с
группы Лоренца; запишем для неё цепочку равенств:
140 ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
(Уф ° ° (Убфе5^) = Уф+с1ф ° = (Уд'Ф^б'ё) ° (Уф ° ®^)-
Здесь имеется три бесконечно малых поворота 8$, сМ и 8гд. Легко со¬
образить (поскольку первое равенство представляет уравнения про¬
странственно-временной инерциальной ориентации), что 5$ = 0 соот¬
ветствует движению с инерциальной ориентацией, то есть инерциаль¬
ной платформе, а условие dd = 0 — движению без поворота, то есть
неповорачивающейся платформе. Оказывается, что и третье условие
8'$ = 0 имеет ясный физический смысл и соответствует движению
гиростабилизированной платформы.
Если же заменить релятивистские бусты на нерелятивистские, то
есть вместо 6-параметрической группы Лоренца использовать 6-пара-
метрическую группу Галилея, то такого разделения на три типа плат¬
форм не будет: если выполняется одно из трёх условий, то одновре¬
менно будут выполняться и два других, то есть 8$ = dd — 8'd = 0.
Без учёта релятивистских эффектов гиростабилизированная (стаби¬
лизированная с помощью свободных гироскопов) платформа не будет
поворачиваться и окажется инерциальной. С учётом же релятивист¬
ских эффектов перечисленные три типа платформ ведут себя в об¬
щем случае (при криволинейном движении) по-разному (оказываются
физически различными). Кстати в понятии «гиростабилизированная
платформа» неявно используется система отсчёта, в которой раскру¬
чены гироскопы (а если вместо механических гироскопов используют¬
ся элементарные частицы со спином, то система отсчёта, в которой
родились эти частицы). Поэтому в общем случае следует уточнять,
относительно какой системы отсчёта платформа является гиростаби¬
лизированной .
Для конформной группы цепочка равенств будет иметь следующий
вид:
(TtRr ° УфУ$ о OgWw) о (T$tР5гУ$^\+5ч®$$G5gW5w) =
= Tt+dtRr+dr ° y^+d^д+М ° Gg+dgWw+dw ~
— (Рб'гРд'гУ^ф^^+д'^ОSf#Gs'gWs'W) о (TtR?о 1^Г7в*о G$Ww).
Рассмотрим теперь особенности равномерного движения гироста¬
билизированной платформы по окружности. Функция f(v), соответ¬
ствующая условию 8'd — 0, оказывается зависящей от соотношения
гравитационного и кажущегося ускорений
^ ~~ 1 chV>(l + fcsh2V’) ~~ 1 ~ 1 - v2 + kv2 ~ V '
7.6. ЭКСПЕРИМЕНТ GRAVITY PROBE-B
141
В случае отсутствия гравитационного ускорения имеем
f(v) = 1 - (1 - V2)1/2,
а в случае отсутствия кажущегося ускорения будет
/(«) = 1-(1-ц2)3/2.
При движении гиростабилизированной платформы по окружности под
действием обычного ускорения изменение вектора ориентации за один
оборот составит
£l,t=2/K
Г X V
If х v\
7TV
Г X V
| f x гГ|
а при движении с такой же скоростью по такой же окружности под
действием гравитационного ускорения будет
= 2тг
£l't=27г
1 -
(yi-v2^
Г X V „ о Г X V ,9ч
= Z-KV ——^ + o(v ),
г х v\
то есть при малой скорости движения примерно в три раза больше.
Эффект ухода (изменения направления оси вращения) свободного ги¬
роскопа под действием обычного ускорения называют прецессией То¬
маса, а уход свободного гироскопа под действием гравитационного
ускорения называют геодезической прецессией.
7.6 Уникальный космический эксперимент
Gravity Probe-B
Сравнительно недавно был завершён уникальный эксперимент Gra¬
vity Probe-B по измерению геодезической прецессии. История подго¬
товки и проведения этого эксперимента достаточно широко освещена
в литературе и представлена в Интернете. Отметим пунктиром лишь
некоторые основные аспекты, касающиеся тематики спецкурса.
Орбита спутника для этого эксперимента была выбрана круговой,
полярной, высотой примерно 600 км. Роторы гироскопов представляли
собой подвешенные в электромагнитном поле сверхпроводящие шары
Диаметром около 5 см, они вращались со скоростью порядка 5000 обо¬
ротов в минуту. Измерения производились примерно год, пока не ис¬
черпались запасы жидкого гелия для охлаждения аппаратуры. Одним
142
ЛЕКЦИЯ 7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
из условий, обеспечивших уникальную точность эксперимента, была
невесомость, то есть отсутствие негравитационных ускорений. Изме¬
рялись уходы осей вращения четырёх гироскопов, положения которых
сравнивались с направлением на опорную звезду. В итоге теоретически
предсказанный уход осей гироскопов в плоскости орбиты из-за геоде¬
зической прецессии был подтверждён с точностью, превышающей 1%.
Расчёт измеряемых эффектов (помимо геодезической прецессии из¬
мерялся и другой эффект — уход осей в поперечном направлении)
производился в рамках общей теории относительности, с целью под¬
тверждения которой и задумывался эксперимент Gravity Probe-B.
В результате: измеренный с помощью механических гироскопов эф¬
фект геодезической прецессии не противоречит ряду развитых к насто¬
ящему времени теорий гравитационного поля. Естественным образом
он описывается (как кинематический эффект) релятивистскими урав¬
нениями инерциальной навигации, полученными в рамках теоретико¬
группового подхода. В связи с этим отметим, что теория гравитацион¬
ного взаимодействия, основанная на конформной группе, в настоящее
время отсутствует.
Лекция 8
Теоретико-групповая
формулировка задачи
п тел
8.1 Задача п тел и её частные случаи:
задача двух тел и задача одного тела
Инерциальная навигация тесно связана с механикой космического
полёта. А механика космического полёта первоначально развивалась
как прикладной раздел небесной механики. Сегодняшняя лекция по¬
священа рассмотрению тесных связей между инерциальной навигаци¬
ей и небесной механикой на примере задачи п тел.
Задача п тел считается основной задачей небесной механики. Тра¬
диционно она формулируется как задача об изучении движения п ма¬
териальных точек под действием сил всемирного тяготения. В этой
формулировке важную роль играют такие понятия классической ме¬
ханики как «материальная точка» и «сила». Даже создаётся впечатле¬
ние, что задачу п тел невозможно сформулировать без использования
этих понятий. Тем не менее, аксиоматический базис классической ме¬
ханики допускает кардинальное изменение, после которого задача п
тел естественным образом формулируется без использования точек и
сил. При этом сама задача остаётся той же по сути, уравнения движе¬
ния не меняются.
144
ЛЕКЦИЯ 8. ЗАДАЧА N ТЕЛ
Описанная ситуация аналогична смене аксиоматического базиса в
геометрии. Как известно, одна из теоретических основ классической
механики — евклидова геометрия. Но строить геометрию можно по-
разному. Один подход (Евклид, Д. Гильберт) опирается на такие по¬
нятия как точка, прямая, расстояние между точками, плоскость. Дру¬
гой подход (Ф. Клейн, А. Пуанкаре), исторически более поздний и до
сих пор менее распространённый, использует иной ряд основных поня¬
тий: группа, преобразование, параметры преобразования, композиция
преобразований. По сути, это два разных математических языка.
Ряд элементарных геометрических и механических задач, сформу¬
лированных с использованием одного из этих языков, может быть пе¬
реформулирован с использованием другого языка. Но язык важен не
только как средство описания (в частности, второй язык — как сред¬
ство взглянуть на то же самое с другой точки зрения или под другим
углом). Наша цель — поменять форму (формулировку), а не содержа¬
ние классической задачи п тел, используя теоретико-групповой подход,
развитый на предыдущих лекциях для задачи инерциальной навига¬
ции. То есть, речь идет о том, чтобы задачу п тел сформулировать на
теоретико-групповом языке.
Исторически задача п тел была получена путём упрощения и фор¬
мализации задачи теоретического описания наблюдаемых движений
тел солнечной системы: Солнца, планет, их спутников, комет и так да¬
лее. Замена этих тел материальными точками — явная идеализация,
принципиально упрощающая исходную задачу. Кстати, вторая идеали¬
зация подобного уровня, позволяющая совместно с первой построить
систему уравнений задачи п тел — постулирование конкретного вида
гравитационного взаимодействия тел.
Две указанные идеализации, несмотря на всю их традиционность,
привычность и даже обыденность, носят, по большому счёту, метафи¬
зический характер. Их можно заменить другими идеализациями, не
противореча результатам наблюдений и экспериментов.
Пример, связанный с первой идеализацией: понятие материальной
точки оказалось настолько удобным, что возникло искушение считать
все тела состоящими из материальных точек. При таком подходе из
материальных точек строится, например, вторичная идеализация: аб¬
солютно твёрдое тело. Но реальное тело, которое в определённых усло¬
виях можно заменить материальной точкой, можно в тех же услови¬
ях заменить и абсолютно твёрдым телом достаточно малых размеров.
Развивая такой подход, можно считать все тела построенными из ма¬
леньких твёрдых тел.
8.1. ЗАДАЧА N ТЕЛ И ЕЁ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
145
Пример, связанный со второй идеализацией: все вы помните фор¬
му кривой гравитационного потенциала притягивающего центра. За¬
кон обратной пропорциональности расстоянию, конечно, математиче¬
ски просто формулируется, но кто его проверял на тех малых рассто¬
яниях, при которых следует ставить под сомнение даже целесообраз¬
ность замены притягивающего центра материальной точкой? А меж¬
ду тем, именно эта сингулярность приводит к бесконечным скоростям
соударений в задаче п тел независимо от соотношений их масс и дру¬
гим абсурдным с точки зрения здравого смысла следствиям. Любой
реальный процесс, который описывается с использованием ньютонов¬
ского потенциала, можно описать с использованием «подправленного»
потенциала, который отличается от ньютоновского на малых расстоя¬
ниях и не имеет указанных вырождений.
Несмотря на использование рассмотренных идеализаций-упроще¬
ний задача п тел, как известно, математически оказалась очень слож¬
ной, и не только при большом числе тел. Так, даже задача трёх тел не
имеет практически приемлемого общего решения.
Наиболее распространённый вариант задачи п тел — задача двух
тел. Из теоретической механики известно, что математически решение
задачи двух тел сводится к решению ограниченной задачи двух тел,
когда массой одного тела можно пренебречь по сравнению с массой
другого тела. И тем не менее, даже эта задача остаётся математически
достаточно сложной. Есть простые решения, где все параметры счита¬
ются до конца по простым формулам (круговые орбиты). Есть более
сложные случаи, когда по сравнительно простым формулам опреде¬
ляется орбита (эллиптическая, параболическая или гиперболическая),
но попытка посчитать положение объекта на орбите приводит к транс¬
цендентному уравнению. И есть вырожденные случаи (прямолинейное
движение) со столкновением тел.
А имеет ли смысл задача п тел при п = 1? Имеет, хотя в учебниках
по небесной механике раздела про задачу одного тела вы не найдёте.
Ведь других тел в системе нет, притягиваться по закону всемирного
тяготения не к чему. Соответственно, и единственному в этой задаче
телу остаётся только покоиться или равномерно двигаться по прямой
в соответствии с первым законом Ньютона. Казалось, бы тривиальный
случай, его и рассматривать не надо. Но для нас именно этот случай
имеет принципиальное значение, поскольку его проще всего сопоста¬
вить с задачей инерциальной навигации.
146
ЛЕКЦИЯ 8. ЗАДАЧА N ТЕД
8.2 Задача одного тела — частный случай
задачи инерциальной навигации
В основу построения евклидовой геометрии может быть положена
шестипараметрическая группа Евклида. Её часто называют (привле¬
кая понятия другого математического языка) группой движений ев¬
клидова трёхмерного пространства или (привлекая понятия механи¬
ки) группой перемещений твёрдого тела. Преобразование общего вида
из этой группы, как мы уже знаем, можно записать в виде композиции
двух элементарных преобразований
А = Rff о 0^,
где R? обозначает пространственный перенос с векторным парамет¬
ром г, а 0^ — пространственный поворот с векторным параметром
Знак «о», как обычно, напоминает о некоммутатизности простран¬
ственных переносов и поворотов. Отметим, что при аксиоматическом
введении нужной группы названия элементарных преобразований
(предвосхищающие последующую геометрическую или физическую ин¬
терпретацию) не играют сколько-нибудь существенной роли. Важны
лишь определяющие соотношения, позволяющие работать с введённы¬
ми преобразованиями, а именно, формулы сложения однотипных эле¬
ментарных преобразований и перестановочные соотношения для эле¬
ментарных преобразований разных типов. Термин «вектор» использу¬
ется здесь в алгебраическом смысле.
При последовательном теоретико-групповом построении механики
требуется расширение группы Евклида за счёт включения в фундамен¬
тальную группу преобразований ещё одного (помимо R и 0), скаляр¬
ного, элементарного преобразования (интерпретируемого как перенос
во времени). Преобразование общего вида из получающейся семипара¬
метрической группы Аристотеля запишем в виде
Л = TtRft о 0^,
где Tt обозначает временной перенос со скалярным параметром £, а
отсутствие знака «о» между Т и R означает, что эти преобразования
можно переставить местами без изменения их параметров. Эту группу
мы уже рассматривали в лекции по теоретико-групповой постановке
задачи инерциальной навигации. Там она играла роль развилки между
классическим и релятивистским направлениями в физике. Здесь же
8.2. ЗАДАЧА ОДНОГО ТЕЛА
147
она появилась как результат первого шага, сделанного в направлении
от геометрии к физике.
Второе необходимое для теоретико-группового построения класси¬
ческой механики расширение группы Евклида связано с включением в
фундаментальную группу преобразований Галилея (нерелятивистских
бустов). Общее преобразование из получающейся 10-параметрической
группы Галилея запишем в привычном уже стандартном виде
Л = TtRfVfi о О^,
где бусту (преобразованию Галилея) с векторным параметром v соот¬
ветствует элементарное преобразование V$ .
Теперь вспомним, что при постановке задачи п тел не интересуют¬
ся параметрами, определяющими ориентацию тел. Соответственно, и
нам в задаче одного тела надо уже на уровне фундаментальной группы
преобразований как-то избавиться от пространственного поворота. В
рассматриваемом нерелятивистском случае это не представляет какой-
либо проблемы. Рассмотрим семипараметрическое сужение группы Га¬
лилея, полученное исключением пространственных поворотов. Общее
преобразование такой группы можно представить в виде
Л = TtR?Vv-
Как обычно, отсутствие знаков «о» в приведённой записи означает
только то, что соседние элементарные преобразования можно менять
местами без изменения параметров (например, Т коммутирует с R, но
не коммутирует с V).
Приведём табличку для систематизации определяющих соотноше¬
ний и сами определяющие соотношения (это подмножество тех соот¬
ношений, которые уже выписывались для 10-параметрической группы
Галилея), позволяющие найти композицию преобразований указанно¬
го вида.
т
R
V
т
(1)
(2)
(5)
R
(3)
(4)
(7)
V
(6)
(8)
(9)
Tt2Tt1—Tt, t — t\+t2- (1)
148
ЛЕКЦИЯ 8. ЗАДАЧА N ТЕЛ
RfTf — TtRft.
(2)
TtRf — RjtTf
(3)
Ry*2 j т —
= n +Г2.
(4)
У# о Tt = TtRjfVfi,
II
&
(5)
Tt ° Vy = VffRffTt,
r = — Й.
(6)
VijRr = RfVij.
(7)
RrVv — VyRr•
(8)
Vvq, Vvi — ^ —
Vl + V2-
(9)
Как видно, все соотношения, кроме (5) и (6) для перестановки Т с
V, тривиальны, то есть параметры не меняются в перестановочных
соотношениях или складываются в формулах сложения элементарных
преобразований. Заметим, что относительное количество тривиальных
определяющих соотношений в соответствующем списке для исходной
группы Галилея существенно меньше.
Вспомним теперь про символическое уравнение инерциальной на¬
вигации. При его записи учтём, что в задаче одного тела мы имеем
дело с системой тел, состоящей в данном случае из единственного те¬
ла, которое естественно считать первым:
A/Bifa+dn) = A/Si(ri) ° Ajg!(ti)Ei(ti +d,Ti)•
Индекс 1 появился у связанных с телом системы отсчёта (мгновенно
сопутствующей) и времени (собственного). Посмотрим на теоретико¬
групповое уравнение инерциальной навигации для семипараметриче¬
ской группы Галилея:
Tt 1 +dti Rfi +dri ^i>i +dvi = T^ Rfi Vjjx О T^Tl Vfi1 dT\ •
Угловая скорость тела ui в бесконечно малом преобразовании не по¬
явилась, поскольку из фундаментальной группы мы заранее исключи¬
ли пространственные повороты.
Стандартная процедура, которой мы уже занимались, приводит к
следующим уравнениям движения
8.2. ЗАДАЧА ОДНОГО ТЕЛА
149
Но это всё ещё уравнения инерциальной навигации, а не уравнения
задачи одного тела.
Дело в том, что при постановке задачи п тел делается предполо¬
жение об отсутствии (несущественности) негравитационных ускорений
тел (кажущихся ускорений по устоявшейся в инерциальной навигации
терминологии). В нашем случае, соответственно, нужно положить век¬
тор а\ равным нулю. Кроме того, при постановке задачи п тел поль¬
зуются единым временем t. Первое из полученных уравнений инерци¬
альной навигации позволяет ввести такое время, положив t\ =т\ =t,
при этом само дифференциальное уравнение для t\ становится уже
ненужным.
В результате получаем систему уравнений задачи одного (первого
и единственного) тела:
dfi „ <1щ
s=Vl' -ж=°-
Мы получили эту систему как частный случай системы уравнений
инерциальной навигации. Соответственно, нам действительно удалось
показать, что задача одного тела представляет собой общий частный
случай как задачи п тел, так и задачи инерциальной навигации.
Восстановим теоретико-групповую запись уравнений задачи одного
тела, возвращаясь к теоретико-групповому уравнению инерциальной
навигации для семипараметрической группы Галилея с учётом сделан¬
ных обнулений и замен:
AiE^t+dt) = ЛiEl(t) °A£7l(t)jE7l(t+dt),
где
AlEi(t+dt) = Tt+dtRri+dri 5
^IEi(t) — TtR?iV^i,
A-£i(£)£i(t+dt) = Tdt.
To есть получилась естественная теоретико-групповая формулировка
задачи одного тела. Возможна ли теоретико-групповая формулировка
задачи п тел?
150 ЛЕКЦИЯ 8. ЗАДАЧА N ТЕЛ
8.3 Формулировка задачи п тел в парамет¬
рах расширенной группы Галилея
Для теоретико-групповой формулировки задачи п тел прежде все¬
го нужно определиться с группой преобразований, которую следует
использовать как фундаментальную. С одной стороны, для задачи од¬
ного тела мы использовали семипараметрическую суженную группу
Галилея. С другой стороны, при теоретико-групповом подходе к за¬
даче п тел должны появиться гравитационные преобразования (нере¬
лятивистские), которых нет в этой группе. Нет их и в исходной 10-
параметрической группе Галилея, которая традиционно считается груп¬
пой симметрий механики Галилея-Ньютона. Как мы уже знаем, гра¬
витационные преобразования есть в 13-параметрической расширенной
группе Галилея. Она нам и нужна. Именно эта группа — фундамен¬
тальная группа механики Галилея-Ньютона, поэтому далее будем на¬
зывать её группой Галилея-Ньютона.
Но это ещё не всё. Из группы Галилея-Ньютона нужно исклю¬
чить пространственные повороты, поскольку в задаче п тел ими не
интересуются. Эта операция совершенно аналогична проделанной для
группы Галилея и тоже не приводит к каким-либо трудностям. Общее
преобразование такой группы можно представить в виде
Л = TtRfV$G$.
Напоминаем, что отсутствие знаков «о» в приведённой записи означа¬
ет только то, что соседние элементарные преобразования можно ме¬
нять местами без изменения параметров (например, Т коммутирует
с Д, но не коммутирует с V и G). Сама эта группа, естественно, 10-
параметрическая, но она отличается от 10-параметрической группы
Галилея (математики в таких случаях говорят, что группы не изо¬
морфны). Чтобы подчеркнуть это различие, назовём получающееся
после исключения поворотов сужение группы Галилея-Ньютона груп¬
пой Ньютона. Очевидно, что группу Ньютона можно получить и рас¬
ширением семипараметрической группы Галилея за счёт добавления
гравитационных преобразований.
Табличка для систематизации определяющих соотношений группы
Ньютона имеет вид:
8.3. ФОРМУЛИРОВКА В ПАРАМЕТРАХ ГРУППЫ 151
Т
R
V
G
т
(1)
(2)
(5)
(10)
R
(3)
(4)
(7)
(12)
V
(6)
(8)
(9)
(14)
G
(П)
(13)
(15)
(16)
Первые девять соотношений соотношений сегодня уже рассматрива¬
лись. Выписываем оставшиеся семь.
G$oTt= TtR?V$G$, r = gt2/2, v = gt. (10)
TtoGg = GgV€R?Tu f=gt2/2, v = -gt. (11)
GgRff — RffGg. (12)
RjfGg — GgRf. (13)
GffV€ = V€Gg. (14)
Vv G§ = GgVjj. (15)
GfcGfr =G& g = gi+g2- (16)
Они тоже в основном тривиальны, выделяются своим видом только
формулы (10) и (11).
Далее для каждого тела можно рассмотреть соответствующее груп¬
пе Ньютона теоретико-групповое уравнение инерциальной навигации с
учётом особенностей, накладываемых постановкой задачи п тел. Пер¬
вая из этих особенностей позволяет исключить из рассмотрения кажу¬
щееся ускорение тела (пренебречь им). Формально это можно записать
в виде формулы Si — 0, где г — номер тела в рассматриваемой системе
из п тел. Вторая особенность позволяет ввести единое время; её можно
описать формулой t = U = т^ где г = 1 -f- п. Здесь важно не только то,
что координатное время г-го тела можно отождествить с его собствен¬
ным временем (дающее основание для этого уравнение dU jdri — l фак¬
тически выводилось нами для более общей группы Галилея-Ньютона),
но и то, что состояние системы в задаче п тел характеризуется общим
Для всех тел временем.
В результате получатся следующие п уравнений:
152
ЛЕКЦИЯ 8. ЗАДАЧА N ТЕЛ
где г = 1 -г п,
Здесь, в традиционной интерпретации, t — время, г* — радиус-вектор
г-ro тела, щ — скорость г-го тела.
Этот набор из практически ничем не связанных между собой урав¬
нений инерциальной навигации (кроме единой базовой системы отсчё¬
та/и единого времени t) превращается в теоретико-групповую запись
системы уравнений задачи п тел после учёта основной особенности
задачи п тел: вектор gi задаётся как функция радиус-векторов всех
тел системы. А именно, согласованное с классической формулировкой
задачи п тел определение gi даётся следующей формулой
где суммирование ведётся по всем телам системы кроме г-го, rrij —
масса j-го тела (считается известной константой), а универсальная
гравитационная постоянная без ограничения общности положена рав¬
ной единице (можно считать, что исходя из этого выбрана единица
измерения масс).
Используя определяющие соотношения группы Ньютона, с учётом
выписанного выражения для гравитационного ускорения из приведён¬
ной системы теоретико-групповых уравнений легко получить 2п обык¬
новенных векторных дифференциальных уравнений первого порядка
эквивалентных хорошо известной системе уравнений задачи п тел, и
ещё п уравнений, определяющих переменные щ
п
п
8.3. ФОРМУЛИРОВКА В ПАРАМЕТРАХ ГРУППЫ
153
Возможность теоретико-группового подхода к постановке задачи п
тел это, прежде всего, методический результат. Он может послужить
основой для естественной формулировки на теоретико-групповом язы¬
ке ряда актуальных задач механики. Самая интересная с теорети¬
ческой точки зрения задача — релятивистская задача п тел, в основе
которой должна лежать конформная группа.
Лекция 9
Часто используемые
формулы
9.1 Кватернионная формула
перепроектирования векторов
Кватернионную формулу перепроектирования вектора лучше всего
записывать с явным указанием всех используемых базисов в виде
ГЕ = QТе °ri° QIE-
Здесь в правую часть формулы входит кватернион перехода из базиса
I в базис Е (обозначен Qie) и вектор (обозначенный как 77), задан¬
ный своими компонентами в базисе /, ав левой части стоит тот же (в
геометрическом, а не в алгебраическом смысле) вектор, но заданный
своими компонентами в базисе Е (обозначен, соответственно, как г#)-
Сама выписанная формула перепроектирования вектора (из I в Е)
представляет собой краткую запись алгоритма тех действий, которые
необходимо произвести с компонентами вектора г/ и компонентами
кватерниона Qie, чтобы получить компоненты вектора ге-
При перепроектировании вектора из I в Е может быть использо¬
ван не только кватернион Qie перехода из I в Е1, но и кватернион Qei
обратного перехода из Е в I. Поскольку Qei = Qформула пере¬
проектирования вектора при использовании этого кватерниона будет
выглядеть так:
ге = Qei ° fr ° Qi}-
9.1. ФОРМУЛА ПЕРЕПРОЕКТИРОВАНИЯ ВЕКТОРОВ 155
Аналогичный вид имеет формула перепроектирования вектора из Е
в I
ri = Q^j orEo Qei = Qie о ?е о Qj£.
Приведённые формулы легко спутать, если не выписывать индексы,
уточняющие физический смысл используемых кватернионов и векто¬
ров.
Кватернионы поворота нормированные, а для нормированного ква¬
терниона операция обращения совпадает с операцией сопряжения (ком¬
плексного или векторного, для кватернионов всё равно). Поэтому в
формулах перепроектирования векторов часто используют сопряжён¬
ные кватернионы вместо обратных.
Кватернионную формулу перепроектирования векторов можно за¬
писать в симметричном виде, вообще не используя в явном виде со¬
пряжений или обращений кватернионов
rE = Qш о г/ о QiE, г/ = Qie о гб о Qei.
Однако, такой вид записи, явно использующий два разных кватерни¬
она, практически не используется.
В основе выписанных выше формул перепроектирования векторов
лежат, по сути, перестановочные соотношения для пространственных
поворотов и других векторных элементарных преобразований, входя¬
щих в группу Галилея-Ньютона, но в классической механике векто¬
ры традиционно считаются самостоятельными геометрическими объ¬
ектами. Такой подход приводит к введению наряду с рассмотренны¬
ми формулами перепроектирования неизменных векторов (так назы¬
ваемая пассивная интерпретация преобразований) формул преобразо¬
вания векторов (активная интерпретация преобразований). Выпишем
формулу преобразования вектора г/ под действием преобразования,
задаваемого кватернионом поворота QiE:
г / = Qie ° fr ° QJ*.
Эту формулу не следует путать с формулой перепроектирования век-
тора. Здесь уже стоящие в левой и правой части равенства векторы г
и fj интерпретируются как разные (в геометрическом, а не только в
алгебраическом смысле), но заданные своими компонентами в одном
и том же базисе I. Перепроектирование же нового вектора из I в Е
Должно производиться, естественно, в соответствии с общей формулой:
156 ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
г'е = Q7e ° r'l ° Q IE-
Подставив выражение для г '7, получим, что компоненты нового векто¬
ра в новом базисе равны компонентам старого вектора в старом базисе:
г'е = о
(на самом деле это исходное требование для получения формулы ак¬
тивного преобразования вектора).
9.2 Кватернионные формулы сложения
поворотов, эйлеров поворот
При теоретико-групповом построении геометрии «настоящими» гео¬
метрическими объектами являются только операторы преобразований
AJK (из J в К) со следующим законом перепроектирования:
АЕК = а1е ° А1К ° А1Е■
Из этого закона можно получить формулы сложения преобразований
как для собственных проекций операторов:
AiK = Aie о Аек,
так и для преобразований, заданных в одной системе отсчёта:
AJjK = A^K о А1/.
Выписанные формулы — теоретико-групповые, а не числовые. Исполь¬
зуя кватернионное представление пространственных поворотов, из этих
формул легко получить соответствующие кватернионные формулы пе¬
репроектирования и сложения кватернионов поворотов (для случая
группы Галилея-Ньютона они особенно важны в силу инвариантно¬
сти пространственных поворотов для этой группы).
Выпишем сначала формулу перепроектирования кватернионов по¬
ворота (сохраняя те же обозначения для индексов):
QJEK = QTe°Q1k°Qie-
Нетрудно заметить, что закон перепроектирования кватернионов по¬
ворота — тот же, что и закон перепроектирования векторов.
9.2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ПОВОРОТОВ
157
Теперь более подробно рассмотрим формулы сложения кватерни¬
онов поворотов. Наибольшее применение находит формула сложения
собственных кватернионов поворотов (потому что чаще всего исполь¬
зуются именно собственные кватернионы, заданные своими компонен¬
тами в том базисе, который они преобразуют). Для двух поворотов эта
формула имеет вид:
QIK = QIE ° QЕК-
Здесь в правую часть входит собственный кватернион перехода от 7 к
Е и собственный же кватернион перехода от Е к 7Г, а в левой части
стоит собственный кватернион перехода от 7 к ТС. Сама формула пред¬
ставляет собой сокращённую запись алгоритма нахождения компонент
кватерниона Qik по компонентам кватернионов Qie и Qек- Форму¬
лу умножения двух кватернионов мы рассматривали ещё на первой
лекции в виде
А о В = С.
Чтобы не загромождать скалярную запись алгоритма многочисленны¬
ми индексами, примем следующие обозначения для компонент кватер¬
нионов QIE, QЕК И QIK-
Qie — ot + dxi -Ь dyj + dzk,
Qek — ~b bxi -b byj H- bzk,
Q IK =7 + cxi + Cyj + czk.
Тогда сам рассматриваемый алгоритм сведётся к следующей системе
уравнений для компонент собственных кватернионов:
7 — ol(3 dxbx dyby dzbz,
cx — otbx -b dxf3 -b dybz dzby^
Cy — aby + dy(3 ~b dzbx dxbz^
cz — Oibz + dz/3 ~b dxby dybx.
Формула сложения двух собственных кватернионов легко обобща¬
ется на случай трёх:
Qи — Qie ° Qек ° Qkj
158 ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
или большего числа поворотов. Композиция трёх последовательных
собственных кватернионов поворота находит практическое примене¬
ние при задании пространственного поворота с помощью трёх поворо¬
тов на углы Эйлера или на углы Крылова, но в общем случае удоб¬
нее несколько раз воспользоваться сложением двух кватернионов (а не
один раз соответствующей покомпонентной записью формулы умноже¬
ния для трёх или большего числа кватернионов).
Очевидный при рассматриваемом подходе, но важный факт состо¬
ит в том, что любую последовательность пространственных поворотов
можно заменить одним поворотом, который называют эйлеровым. По¬
скольку любой кватернион поворота Q можно представить в виде
Q = е^/2,
где 'д — вектор Эйлера (вектор ориентации), то и результирующий
пространственный поворот сводится к обычному («плоскому») поворо¬
ту вокруг оси, определяемой направлением соответствующего вектора
Эйлера, на угол, равный его модулю. При использовании других (не
кватернионных) методов описания пространственных поворотов этот
факт не очевиден.
Другая важная формула, относящаяся к сложению поворотов, опи¬
сывает композицию кватернионов последовательных поворотов, задан¬
ных своими компонентами в одном и том же опорном базисе:
QjK = QjK о QjE ■
В приведённой формуле опорный базис обозначен символом J, но об¬
щий вид этой формулы не зависит от выбора опорного базиса. Пере¬
проектировав все три входящие в эту формулу оператора поворота (от
I к Е, от Е к К и от 7 к К) из базиса J в какой-то другой опорный
базис J', получим такую же формулу:
Q1/ = Qj’K ° Q1/-
В качестве нового опорного базиса может быть выбран, например, /•
Тогда формула будет иметь такой вид:
QiK = QfK ° QiB,
или, используя специальные обозначения для появившихся собствен¬
ных кватернионов, такой:
9.2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ПОВОРОТОВ
159
QiK = QfKoQIE.
То есть в этой формуле остался всего один несобственный кватернион.
Но сделать собственными все три кватерниона за счёт выбора (общего
для всех) опорного базиса не получится. Формула сложения кватер¬
нионов поворотов, приведённых к одному базису, принципиально от¬
личается от формулы сложения собственных кватернионов порядком
сомножителей, хотя с алгебраической точки зрения в обоих случаях
речь идет о нахождении произведения кватернионов.
Как и формула сложения собственных поворотов, формула сложе¬
ния двух поворотов, отнесенных к одному базису, легко обобщается на
случай трёх или большего числа поворотов, например:
Q1/ = Qj'J ° Qj'K ° Qj? ■
Ключевое для запоминания правило — обратный порядок перемноже¬
ния кватернионов.
Чтобы не запутаться в различных формулах композиции поворо¬
тов, необходимо хорошо понимать физический смысл трёх индексов,
входящих в обозначение кватернионов в выписанных нами формулах,
и уметь их мысленно восстанавливать по контексту, если в литерату¬
ре встретилась формула с опущенными индексами. Рассмотрим для
примера обозначение
Q fK-
Этот кватернион описывает переход из базиса Е в базис К. Откуда
же взялся третий базис II Проще всего представить себе это таким
образом. Переход из базиса Е в базис К определяется вектором Эй¬
лера. А вектор Эйлера должен быть задан своими компонентами в
каком-то базисе, и этот третий базис I не обязан совпадать с Е или К.
Если совпадает, то это хорошо, в этом случае получается собственный
кватернион:
Q%k = Qek, = QekoQ§koQek = Qek.
Кстати, компоненты собственного кватерниона поворота имеют спе¬
циальное название, и даже не одно: это параметры Эйлера (так их
обычно называют в переводной литературе) или параметры Родри-
га-Гамильтона (в русскоязычной литературе). Но надо помнить и о
несобственных кватернионах и связанных с ними полезных формулах.
160 ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
9.3 Бикватернионные формулы сложения
перемещений, винтовое движение
Перед рассмотрением кватернионных формул сложения поворотов
были выписаны общие теоретико-групповые формулы сложения пре¬
образований. Если бы мы использовали для обозначения кватернио¬
нов вместо символа Q символ Л, то соответствующие формулы вооб¬
ще нельзя было бы отличить. Это связано с тем, что нормированные
кватернионы адекватно (точно) описывают пространственные поворо¬
ты твёрдых тел. Аналогичная ситуация складывается при описании
перемещений твёрдых тел бикватернионами Клиффорда (дуальными
кватернионами). В механике известен принцип перенесения Котель-
никова-Штуди, согласно которому любая формула, записанная для
кватернионов поворотов, может быть переинтерпретирована как фор¬
мула, записанная для бикватернионов перемещений. Мы же сейчас
выпишем ещё раз общую формулу сложения двух собственных пре¬
образований
АIK = A IE о А ек,
и дадим новую интерпретацию входящим в неё символам для случая
группы перемещений твёрдого тела (группы Евклида). А именно, А/#,
Аек и А 1к будут означать не элементы группы Евклида, описываю¬
щие собственные преобразования между соответствующими система¬
ми коодинат, а представляющие их числа (дуальные бикватернионы
специального вида); знак «о» будет означать не композицию элементов
группы, а умножение соответствующих чисел. Подобным же образом
вкладываем новое содержание в формулу сложения преобразований,
заданных в одной системе отсчёта:
AjK = AjK о AjE.
Аналогичным образом можно выписать общие бикватернионные фор¬
мулы сложения нескольких перемещений и формулу перепроектиро¬
вания бикватернионов перемещений.
Существенно новые аспекты по сравнению с соответствующими
кватернионными формулами проявляются при анализе внутренней
структуры входящих в эти формулы бикватернионов. Определяющие
соотношения группы Евклида позволяют записать элемент группы в
виде композиции переноса и поворота
9.3. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
161
Rf °
Переносу Rf? ставится в соответствие бикватернион вида ехр(егг/2),
кружочек означает теперь бикватернионное умножение, а поворот 0^
заменяется на кватернион ехр(г$/2). Поэтому каждый из входящих
в бикватернионные формулы сложения перемещений бикватернион,
например, Л/#, можно представить в виде
Aie = eeip!2 о е^/2.
(естественно, параметры для каждого бикватерниона будут свои).
Может возникнуть вопрос о том, что выполняется первым: перенос
или поворот. Ответ на этот вопрос зависит от интерпретации. Если все
преобразования считать собственными, то в соответствии с законом
сложения собственных преобразований первым выполняется перенос,
и можно написать:
Aie = Air ° АЕЕ, где Air = e£ir/2, АГЕ = е"/2,
а Г — некоторая промежуточная система координат, в которую I пере¬
ходит после переноса. Но возможна и другая интерпретация, в которой
первым выполняется поворот, причём оба составляющих преобразова¬
ния задаются относительно исходной системы I. В этом случае можно
написать
AiE = AII"EoAir>, где А1”Е = e£ip/2, Ап,=е^/2,
а /" — промежуточная система координат (отличающаяся от /'), в
которую I переходит после поворота.
Кроме того, не следует забывать о возможности изменения после¬
довательности составляющих в самом бикватернионе, поскольку
Aie — еегг/2 о ег^/2 = е,ъ$/2 о е£гт'/2, где г' = е~г^/2 о го ег^/2.
Так что и разлагать бикватернион на составляющие, соответствующие
повороту и переносу, можно по-разному, и интерпретировать каждое
из этих разложений тоже можно по-разному.
Особую известность имеет случай, когда векторные параметры по¬
ворота и переноса параллельны. В этом случае перестановка состав¬
ляющих бикватерниона не приводит к изменению параметров, а само
такое перемещение (или, в геометрической терминологии, движение)
162 ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
называется винтовым. В механике широко известна геометрическая по
сути теорема Шаля о том, что любая последовательность перемещений
твёрдого тела сводится к одному винтовому. Это не означает, конечно,
что бикватернион
Aie = еегт/2 о ег^/2, где г If??,
можно записать в виде
eeir"/2eiti/2 = ei$/2eeir"/2 = еЦ$+ег‘")/2? где -// ц ^
а означает только, что существует такая система координат J (её нача¬
ло должно лежать на оси винтового перемещения), что проекция Л jE
имеет такой вид.
9.4 Связь компонент кватерниона
и матрицы поворота
Выпишем ещё раз кватернионную формулу перепроектирования
вектора
ге = А о гi о Л
(здесь Л обозначает собственный нормированный кватернион перехода
из I в Е, но об этом надо догадываться уже по контексту). Обозна¬
чим компоненты кватерниона Ао, Ai, А2, A3 (здесь имеется в виду, что
A = Ao + Aii + А2j + Аз£; кстати, векторные орты кватерниона тоже
часто обозначают не г, j, к, a гз). Обозначим компоненты век¬
тора г/ как ги, Г2/, гз/, а компоненты вектора те как г\е, г 2е> е
(для этой формулы не важно, стоят они при вещественных или при
мнимых гиперкомплексных векторных ортах). Тогда в развёрнутой за¬
писи задаваемый формулой алгоритм вычисления компонент вектора
?е сводится к следующей системе из трёх скалярных уравнений:
т\е — (Aq -Ь А2 — А2 — A2)r*i/ + 2(AiA2 + АоАз)г2/ + 2(АхАз — АоА2)гз/,
Г2е — 2(AiА2 — АоАз)ги Н- (А2 — А2 + А| — А2)т*2/ + 2(АгАз + AoAi)r31,
гзе — 2(АаАз + АоА2)ги + 2(А2Аз — AoAi)r2/ 4- (А2 — А2 — А| + А2)гз/-
Эту систему уравнений можно переписать в матричном виде
9.4. СВЯЗЬ КВАТЕРНИОНА И МАТРИЦЫ ПОВОРОТА
163
( т\е\ Л| — A3 2(Л1Л2 + ЛоЛз) 2(AiA3 — Л0Л2) \ ( гц \
I Т2Е ] = [ 2(AiA2 — А0А3) Aq —Af + A^ —A3 2(A2A3 + AoAi) I [ Г21 I
\ГЗЕ/ \ 2(АхАз + A0A2) 2(A2A3 — AoAi) A§-A?-Al+A§/\r3j/
или, в более краткой матричной записи,
Re = CR/,
где Re и R/ — матрицы-столбцы из компонент векторов ге и г/, а С
— матрица поворота с компонентами
(си С\2 С1з\ /A§+Af-A|-A§ 2(AiA2 + А0А3) 2^ - А0А2) \
I С21 С22 С23 ) = [ 2(AiA2 —А0А3) Aq — Af+A^ — A3 2(A2A3 + AoAi) J.
\сз! C32 С33/ \ 2(АхАз + AoA2) 2(А2Аз-АоА!) Ag-A?-Al + A\)
Матрицу С называют также матрицей направляющих косинусов.
Выписанное в матричном виде выражение для компонент матрицы
поворота отражает прямую связь между четырьмя компонентами ква¬
терниона и девятью компонентами матрицы поворота и фактически
представляет собой алгоритм нахождения компонент матрицы пово¬
рота по известным компонентам кватерниона.
Более сложной оказывается обратная задача нахождения компо¬
нент кватерниона по известным компонентам матрицы поворота, по¬
скольку прямое решение этой задачи в некоторых случаях приводит к
вырождению (делению на ноль). Поэтому рассмотрим не вырождаю¬
щийся алгоритм (М.Б. Чертока), в котором для разрешения выписан¬
ного матричного равенства относительно компонент кватерниона Ао,
А2, A3 сначала определяется максимальная по абсолютной вели¬
чине компонента кватерниона (если таких несколько, то берётся, на¬
пример, компонента с минимальным номером). С этой целью сравни¬
ваются четыре выражения, определяющие квадраты соответствующих
компонент:
1 + Си + С22 + С33 = 4Aq,
1 + Си — С22 — Css = 4А?,
1 — Си + С22 — С33 = 4А|,
1 — Си — С22 + С33 = 4А3.
Выбранная компонента кватерниона принимается равной положитель¬
ному (или отрицательному) числу (нулевого и близкого к нулю значе¬
ния быть не может в силу условия нормировки А§ + Af + А| + А§ = 1)
164 ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
и вычисляется из соответствующего выражения с использованием one-
рации взятия арифметического корня, а остальные компоненты ква¬
терниона вычисляются по формулам, включающим операцию деления
на выбранную (максимальную по модулю) компоненту:
Л , л/1 + Си + С22 + С33 С23 ~ С32 . С31 — С\з С\2 ~ С2\
Ло=± 2 ’ Ai = ^a^’ А2=_1л^~’ Аз=^аГ';
л _ С23 — С32 х , у/Т+~Си^С22^Сзз л _ С12 + С21 л _ С31 + С13
Xo~~4M~i Al_± 2 ’ X2~~4h~'1 Аз“^ЛГ~;
_ С31 — Ci3 С12 4- С21 л _ , л/1 ~ С11 + с22 — С33 _ С23 + <?32
—4ЛГ"’ 4АГ~’ 2 2 ’ Лз"^~;
С12 — С21 л С31 + Ci3 С23 + С32 . у/1 — Сц — С22 + С33
4Аз ’ А1 = ^Л^’ А2 = ^А^’ Аз = ± 2
(фактически каждый раз используется только одна из выписанных
четырёх строк формул).
Алгоритм позволяет восстановить кватернион поворота по направ¬
ляющим косинусам только с точностью до знака. Это связано с тем,
что в исходное матричное уравнение компоненты кватерниона входят
только в виде квадратов и попарных произведений. В результате по
кватерниону поворота матрица поворота находится однозначно, а мат¬
рице поворота сопоставляются два кватерниона. Соответствие не явля¬
ется взаимно однозначным, поэтому матричное и кватернионное пред¬
ставления пространственных поворотов различны по существу, а не
только по форме.
Для того, чтобы уяснить суть этого различия, полезно наглядно
представить себе с помощью векторов ориентации множество конеч¬
ных поворотов, задаваемое кватернионами, и множество конечных по¬
воротов, задаваемое матрицами.
Если заданы компоненты вектора ориентации $i, 1)2, то компо¬
ненты соответствующего нормированного кватерниона ориентации Ао?
Ai, А2, A3 находятся по следующим формулам:
Ао = cos
А! =
01
sm
v^+щ+щ
9.4. СВЯЗЬ КВАТЕРНИОНА И МАТРИЦЫ ПОВОРОТА
165
Л2
02
. л/ЩТЩТЩ
у/ЩТЩ + Щ
: Sin
Аз =
03
s/щтщтщ
: Sin
у/0^ + 02 + 03.
это развёрнутая запись формулы Л = ехр(г$/2). Поскольку здесь по¬
явилось деление на y/&i + $2 + то’ стР°го говоря, случай $1 = $2 =
= ^з = 0 следует рассматривать отдельно; при этом компоненты ква¬
терниона будут такими: Ао = 1, Ai = А2 = A3 = 0.
Рассмотрим обратную задачу. Четыре компоненты кватерниона,
связанные условием нормировки
Aq + А? + А| + A3 — 1,
определяют трёхмерную сферу единичного радиуса в четырёхмерном
пространстве. Одна из точек этой сферы (Л = 1) соответствует тожде¬
ственному преобразованию с нулевым вектором ориентации, диамет¬
рально противоположная ей точка (Л = —1) соответствует повороту
на 27г, который, как мы помним, следует отличать от тождественного
преобразования. Все остальные повороты можно взаимно однозначно
задать величиной угла, большей нуля и меньшей 2тг, и единичным ор¬
том направления. Поэтому алгоритм вычисления компонент вектора
ориентации по компонентам кватерниона математически выражается
не единой формулой, а тремя (—1 < Ао < 1 по условию нормировки):
если Ао = 1, то = 0, г = 1,2,3;
л п 2 arccos Ао Л „ л л
если —1 < Ао < 1, то . A j, г = 1,2,3;
V 1 ~ \)
если А0 = —1, то {# 1, #2, $з; л/^i + ^2 + ^з = 27Г)
(с последнем случае i?i, $2, $3 — любые три числа, удовлетворяющие
выписанному условию).
Таким образом, все повороты изображаются внутренними точка¬
ми обычного трёхмерного шара радиуса 2п (каждая из которых соот¬
ветствует одному повороту) и поверхностью этого шара (которая вся
соответствует одному повороту на 2тг).
166 ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
Матричное же представление поворотов не учитывает различие
между поворотами, соответствующими диаметрально противополож¬
ным точкам трёхмерной сферы, они отождествляются. Множеству та¬
ких сдвоенных поворотов в пространстве компонент вектора ориента¬
ции соответствуют внутренние точки трёхмерного шара радиуса п и
пары диаметрально противоположных точек поверхности этого шара.
9.5 Кинематические уравнения
для радиус-вектора
Всем хорошо известно уравнение, говорящее о том, что производ¬
ная от радиус-вектора равна скорости:
dr
dt=V'
Теперь вы уже знаете, что его можно рассматривать как одно из систе¬
мы дифференциальных уравнений инерциальной навигации. А входя¬
щие в него величины можно интерпретировать как параметры преоб¬
разования перехода из лабораторной в связанную с объектом систему
отсчёта.
Это уравнение применяется очень широко. Часто его воспринима¬
ют как определение вектора скорости. Но при теоретико-групповом
подходе совпадение производной по времени от радиус-вектора со ско¬
ростью — это особенность конкретной группы, например, группы Га¬
лилея или группы Пуанкаре.
В нерелятивистском случае радиус-вектор г и вектор скорости v
рассматриваются как геометрические векторы, которые должны зада¬
ваться своими компонентами в какой-то системе отсчёта. Пусть радиус-
вектор и вектор скорости заданы своими компонентами в лаборатор¬
ной инерциальной системе отсчёта I. Тогда желательно это как-то ука¬
зывать при записи уравнения, например, используя нижние индексы:
В другой лабораторной инерциальной системе отсчёта J уравнение с
радиус-вектором и скоростью того же объекта, соответственно, будет
выглядеть так:
9.5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАДИУС-ВЕКТОРА
167
Компоненты векторов изменились, поэтому фактически это уже дру¬
гое уравнение. Выписанные уравнения для векторов с индексами пред¬
ставляют собой сокращённую запись системы уравнений для компо¬
нент этих векторов. Безындексная же запись применяется в двух слу¬
чаях: с целью дальнейшего сокращения записи системы скалярных
соотношений или с целью показать, что общий вид уравнения не за¬
висит от (инвариантен относительно) выбора лабораторной инерци¬
альной системы отсчёта. В последнем случае безындексное уравнение
носит символический характер.
Вид кинематического уравнения для радиус-вектора существенно
поменяется, если радиус-вектор отнести не к базовой инерциальной
системе отсчёта /, а к связанной с объектом Е. Воспользуемся кватер¬
нионной формулой перепроектирования векторов для радиус-вектора
и вектора скорости:
?е = А о г/ о Л,
ve — Л о vi о Л.
Если продифференцировать выражение для г#, то, с учётом кинемати¬
ческого уравнения для радиус-вектора 77, кинематического уравнения
для кватерниона Л (уравнения инерциальной ориентации) и выраже¬
ния для ve, получится следующее кинематическое уравнение для ге
dfE -> _
—— = ге х ue + ve.
at
Выписанное соотношение часто записывают в другом виде. Ведь про¬
изводная от радиус-вектора это скорость? Значит, и dfE /dt тоже ско¬
рость, но другая, поэтому при записи будем помечать её штрихом. Эту
скорость обычно называют относительной, а ранее использовавшуюся,
соответственно, абсолютной.
Кинематическое уравнение для ге в результате превращается в со¬
отношение между относительной и абсолютной скоростями
v'e =fEX(VE + VE или vE = me X ге + v'E.
Относительная скорость, как и все остальные входящие в это уравне¬
ние величины, рассматривается как геометрический вектор, поэтому
его можно записать и в другой системе отсчёта, например, в I:
VI = &I х Г/ + V /.
168 ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
В символической векторной записи будет, соответственно,
V = UJ X г + v'.
9.6 Кинематические уравнения
для вектора скорости
Рассмотрим теперь ещё одно из уравнений инерциальной навигации
— для скорости (абсолютной):
dv . г
— = АоаоА + д.
at
Восстановим, чтобы исключить возможные недоразумения, индексы
с указанием систем отсчёта у входящих в это уравнение векторов и
кватерниона:
dvj л ~ _
— = Aie оаЕо AjE + gi•
Здесь вектор гравитационного ускорения задаётся в базовой системе
/, а вектор негравитационного ускорения измеряется в связанной с
объектом системе отсчёта Е (наиболее распространённый вариант, со¬
ответствующий канонической постановке задачи инерциальной нави¬
гации). В общем случае могут различаться системы отсчёта для всех
трёх векторов, входящих в кинематическое уравнение для вектора ско¬
рости, тогда последнее выглядит так:
= Aie оаЕо AiE + А и о gj о A/j.
Для инерциальной навигации разделение систем отсчёта, к которым
отнесены гравитационное и кажущееся ускорение, важно; даже инте¬
грирование уравнения для скорости может производиться по частям
(каждая часть в своей системе отсчёта) с последующим перепроекти¬
рованием результатов в базовую систему и их сложением.
При классическом же изложении механики все три вектора обыч¬
но задают в одной и той же инерциальной системе отсчёта, при этом
после опускания индексов получим символическую векторную запись
кинематического уравнения для вектора скорости:
9.7. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КВАТЕРНИОНА ПОВОРОТА 169
dv
dt=a + 9'
Гравитационное и негравитационное ускорения в этом уравнении часто
объединяют в один вектор полного ускорения, но это шаг в направле¬
нии сокращения записи в ущерб физическому содержанию.
Произведение гравитационного ускорения тела на его массу в клас¬
сической механике называют гравитационной силой (или силой тяготе¬
ния), действующей на тело, а произведение негравитационного ускоре¬
ния тела на его массу называют, соответственно, суммой негравитаци¬
онных сил. Сумму гравитационных и негравитационных сил, то есть
сумму всех сил, обозначают обычно большой буквой F и называют
действующей на тело (результирующей) силой. Так что из кинемати¬
ческого уравнения для скорости после умножения на массу получается
второй закон Ньютона:
dv -*
га— = F.
dt
9.7 Кинематические уравнения
для кватерниона поворота
Рассмотрим теперь уравнение инерциальной ориентации:
^ = \а1Ео(шв).
Здесь выписаны все индексы — как у кватерниона поворота (собствен¬
ного, из 7 в Е), так и у вещественного вектора угловой скорости (за¬
данного своими компонентами в Е).
В литературе это уравнение обычно записывают без индексов в
обозначении кватерниона; кроме того, вместо вещественного вектора
угловой скорости используют мнимый вектор с теми же компонентами,
считая его кватернионом специального вида (чисто векторным). Само
уравнение принимает в этом случае такой вид:
dA 1 А _
~Ж = 2А0и>Е’
его называют кинематическим уравнением первой формы. Оно пред¬
ставляет собой сокращённую запись системы из четырёх скалярных
Уравнений для компонент кватерниона ориентации
170
ЛЕКЦИЯ 9. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ
dXo/dt = — (Aio;i£; + X2UJ2 е + Х^с^зе)/2,
dXi/dt = (XoUie + Х2Ш3Е — X3(j02e)/2>
dX2/dt = (X0U2 e + X3U1E — XiU3e)/2,
dXs/dt = (Хосозе + Х1Ш2Е — A2^is)/2,
где правые части соответствуют частному случаю общей формулы
умножения двух кватернионов.
Кинематическое уравнение второй формы получается из кинемати¬
ческого уравнения первой формы после перехода (с помощью форму¬
лы перепроектирования вектора) от угловой скорости, заданной в
к угловой скорости, заданной в I. В кватернионной записи оно обычно
выглядит так:
dA 1 ^ д
—— = —(jOj о Л.
dt 2
С точки зрения традиционного подхода к механике это уравнение ни¬
чем не хуже кинематического уравнения первой формы. Но к теорйи
инерциальной ориентации кинематическое уравнение второй формы
имеет лишь опосредованное отношение, поскольку связанные с объек¬
том датчики угловой скорости измеряют не компоненты с«5/, а компо¬
ненты й$Е-
Часть III
Методика преподавания
студентам
физико-технического
института основ
инерциальной навигации
172
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТУДЕНТАМ
Рассмотрены методические аспекты преподавания спецкурса по фи¬
зико-математическим основам теории инерциальной навигации. Спец¬
курс предназначен для одной учебной группы Московского физико-
технического института (МФТИ) до её разделения на подгруппы по
выпускающим кафедрам.
Введение. Система Физтеха
Общие принципы построения системы подготовки специалистов
высшей квалификации по физико-техническим специальностям, полу¬
чившей название «система Физтеха», хорошо известны [1].
Учебный процесс для физтеха (студента МФТИ) начинается с об¬
щеинститутской программы (цикла) обучения, включающей, в част¬
ности, ряд математических дисциплин [2], лекции, семинары и лабо¬
раторные занятия по курсу общей физики, позднее — курсы по теоре¬
тической механике и другим разделам теоретической физики. Затем
(на втором курсе) появляются предметы факультетского цикла (дис¬
циплины специализации). Далее (на третьем курсе) в учебном рас¬
писании физтеха появляются «базовые дни», что соответствует нача¬
лу обучения по программе базовых (выпускающих) кафедр. Позднее
(на четвёртом курсе) количество базовых дней возрастает, а студенты
определяются с выбором тематики научной работы (бакалаврской дис¬
сертации) и научного руководителя, что означает фактически начало
индивидуальной программы обучения.
Рассматриваемый в статье спецкурс под названием «Гиперком-
плексные и теоретико-групповые методы в теории инерциальной нави¬
гации» предназначен для одной учебной группы факультета аэрофи¬
зики и космических исследований (ФАКИ) [3] федерального государ¬
ственного автономного образовательного учреждения высшего про¬
фессионального образования «Московский физико-технический инсти¬
тут (государственный университет)», находящегося в городе Долго¬
прудный Московской области. Базовое предприятие для этой учебной
группы — открытое акционерное общество «Ракетно-космическая кор¬
порация “Энергия” имени С.П. Королёва» (РКК «Энергия», подмос¬
ковный город Королёв).
ТЕМАТИКА СПЕЦКУРСА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ 173
Тематика спецкурса
и методика его преподавания
Спецкурс рассчитан на один семестр (занятия раз в неделю по два
академических часа). Основу спецкурса составляют девять лекций по
семи темам. Первые две темы (две лекции) это введение в использу¬
емые математические методы. Следующие четыре темы (шесть лек¬
ций) посвящены теоретическим вопросам, связанным с инерциальной
навигацией, а в лекции по заключительной теме рассматриваются со¬
отношения и уравнения, наиболее востребованные на практике.
В первую лекцию по теме «Кватернионы и бикватернионы» вклю¬
чены следующие вопросы:
1.1. Гиперкомплексные числа, исключительные алгебры;
1.2. Комплексные, дуальные и двойные числа;
1.3. Кватернионы;
1.4. Дуальные кватернионы (бикватернионы Клиффорда);
1.5. Комплексные кватернионы (бикватернионы Гамильтона);
1.6. Комплексно-дуальные кватернионы.
Уже из названия и приведённого перечня вопросов (пунктов) виден
жёсткий отбор материала по гиперкомплексным числам для лекции.
Так, знаменитые октонионы [4] (числа Кэли, октавы [5]), которым по¬
священо много интересных математических работ, можно лишь упомя¬
нуть, говоря об исключительных алгебрах. Аналогичная участь ожи¬
дает и коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа (обоб¬
щения двойных), которым посвящена значительная часть публикаций
в специализированном научном журнале «Гиперкомплексные числа в
геометрии и физике» — их уместно только упомянуть, давая определе¬
ние гиперкомплексных чисел. В то же время комплексные числа и ква¬
тернионы, о которых слушателям уже может быть хорошо известно1),
включены в план лекции в явном виде и должны излагаться на равных
основаниях с другими явно упомянутыми гиперкомплексными число¬
выми системами. В целом после лекции слушатели должны: уметь вы¬
делять вещественные и мнимые, скалярные и векторные, главные и ду¬
альные (моментные) части рассмотренных гиперкомплексных чисел;
знать о возможности различных алгебраических, тригонометрических
и экспоненциальных представлений этих чисел, помнить характерные
^На сайте МФТИ в разделе учебных материалов и пособий кафедры теоретиче¬
ской механики выложены работы Н.И. Амелькина и Ю.И. Ханукаева, посвящён¬
ные применениям кватернионов; имеются кватернионные разделы и в учебнике по
основам теоретической механики академика В.Ф. Журавлёва, заведовавшего этой
кафедрой.
174
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТУДЕНТАМ
свойства операций комплексного и векторного сопряжений, обраще¬
ния, сложения и умножения. С методической точки зрения демонстри¬
ровать аудитории указанные части, свойства и представления гипер-
комплексных чисел целесообразно на примере комплексно-дуальных
кватернионов, так как все числа из пунктов 1.2-1.5 это их частные
случаи. На первой лекции и после неё (раздаточные материалы) сту¬
денты знакомятся с содержанием всего курса и списком рекомендо¬
ванной литературы [6-26]2).
Во вторую лекцию на тему «Группы преобразований, гиперком-
плексные представления групп» входят следующие вопросы:
2.1. Теория групп, эрлангенская программа Клейна;
2.2. Кватернионное представление группы вращений твёрдого тела;
2.3. Бикватернионное представление группы перемещений твёрдого те¬
ла;
2.4. Бикватернионное представление группы Лоренца;
2.5. Различие кватернионной группы и группы Пуанкаре.
Видно, что лекция посвящена (кроме вводного обзорно-историчес¬
кого пункта) кватернионным и бикватернионным представлениям ря¬
да имеющих важное общефизическое значение непрерывных групп
пространственно-временных преобразований: трёхпараметрической
группы вращений (поворотов) и шестипараметрической группы дви¬
жений трёхмерного евклидова пространства, шестипараметрической
группы вращений и 10-параметрической группы движений простран¬
ства-времени. После лекции слушатели должны: понимать важность
представления пространственно-временных преобразований общего ви¬
да в виде композиции элементарных; знать (би)кватернионные экспо¬
ненциальные представления элементарных пространственно-времен¬
ных преобразований: переносов в пространстве и во времени, простран¬
ственных поворотов и бустов; иметь общее представление о формулах
сложения (композиции) однотипных элементарных преобразований и о
перестановочных формулах для элементарных преобразований разных
типов; помнить о некоммутативности пространственных поворотов, о
некомммутативности в общем случае операции перестановки перено¬
са и поворота, о незамкнутости релятивистских бустов и о принци¬
пиальной ограниченности кватернионного представления преобразо¬
вания общего вида из группы Пуанкаре.
2) В списке литературы приняты следующие сокращения в названиях журналов:
ГЧГФ = Гиперкомплексные числа в геометрии и физике;
КИ = Космические исследования;
МТТ = Механика твердого тела;
ФОВ = Физическое образование в вузах.
ТЕМАТИКА СПЕЦКУРСА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ 175
Следующая тема «Постановка задачи инерциальной навигации»
излагается в двух лекциях. Третья лекция курса посвящена канониче¬
ской постановке задачи инерциальной навигации, в ней не использу¬
ются математические методы предыдущих двух лекций, а излагаются
следующие вопросы:
3.1. Методы навигации, навигационная бионика;
3.2. Инерциальные датчики (часы; датчики угловой скорости; акселе¬
рометры) ;
3.3. Гравитационное поле;
3.4. Начальное положение (вектор состояния);
3.5. Каноническая формулировка задачи инерциальной навигации.
Во вводном пункте после краткого обзора возможных методов на¬
вигации обращается внимание слушателей на то, что каждый из них
(как высокоразвитый живой организм) обладает встроенной интегри¬
рованной навигационной системой, включающей в себя как важную со¬
ставную часть инерциальную навигационную систему. Следующие три
пункта посвящены трём понятиям, которые используются при кано¬
нической формулировке задачи инерциальной навигации в последнем
пункте. В ходе лекции слушатели должны: ознакомиться с использу¬
емой в инерциальной навигации терминологией; уяснить физический
смысл измеряемых инерциальными датчиками величин; осознать, что
измеряемых навигационными датчиками параметров меньше, чем па¬
раметров, входящих в вектор состояния; запомнить принципиальную
разницу между (негравитационным, кажущимся) ускорением, которое
измеряет акселерометр, и гравитационным ускорением; понять, что ка¬
ноническая инерциальная навигационная система — бесплатформен-
ная.
Четвёртая лекция посвящена теоретико-групповому подходу к по¬
становке задачи инерциальной навигации и ряду задач — частных слу¬
чаев общей задачи инерциальной навигации. Затрагиваются следую¬
щие вопросы:
4.1. Символическое уравнение инерциальной навигации;
4.2. Часы как инерциальная навигационная система;
4.3. Задача инерциальной ориентации;
4.4. Инерциальная навигация без учёта гравитации;
4.5. Нерелятивистская инерциальная навигация;
4.6. Релятивистская инерциальная навигация.
В ходе изложения активно используется теория групп, но гипер¬
комплексные числа ещё не требуются. В первом пункте вводится и
подробно рассматривается символическое теоретико-групповое урав¬
нение инерциальной навигации (символическое потому, что при запи¬
176
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТУДЕНТАМ
си этого уравнения ещё не уточняется, какая именно группа исполь¬
зуется). Следующие пять пунктов посвящены задачам, которым со¬
ответствует использование ряда конкретных групп в символическом
уравнении инерциальной навигации. Для пункта 4.2 это однопарамет¬
рическая группа переносов во времени, для пункта 4.3 — четырёх¬
параметрическая группа, включающая переносы во времени и про¬
странственные повороты, для 4.4 — 10-параметрическая группа Гали¬
лея, для 4.5 — 13-параметрическая расширенная группа Галилея, для
4.6 — 15-параметрическая расширенная группа Пуанкаре (конформ¬
ная группа). Последовательное наращивание размерности фундамен¬
тальной группы позволяет естественным образом реализовать методи¬
ческий принцип «от простого к сложному». В ходе лекции слушате¬
ли после ознакомления с широким спектром частных случаев задачи
инерциальной навигации должны понять, что подход к описанию гра¬
витационных ускорений, диктуемый теоретико-групповой парадигмой,
принципиально отличается от подхода, принятого при канонической
формулировке задачи инерциальной навигации.
Следующая тема курса «Вывод уравнений инерциальной навига¬
ции», она также излагается в двух лекциях. В пятой лекции, посвящён¬
ной выводу уравнений инерциальной навигации без учёта гравитации,
всего три вопроса:
5.1. Вывод для группы Галилея;
5.2. Вывод для группы Пуанкаре;
5.3. Вывод для кватернионной группы.
Характер изложения существенно меняется. После перечисления
различных гиперкомплексных систем, групп преобразований, истори¬
ческих сведений, общих принципов и постановок задач на предыдущих
четырёх занятиях, лектор впервые переходит к вычислениям (хотя,
конечно, лекция — не семинар, и под словом «вывод» следует пони¬
мать более-менее подробный рассказ о том, как производится вывод).
Именно на материале этой лекции слушатели должны оценить эффек¬
тивность применения кватернионных и бикватернионных методов. Ре¬
шение фактически одной и той же (по физической постановке) задачи
для трёх разных групп пространственно-временной симметрии позво¬
ляет глубже понять физический смысл получающихся уравнений. По¬
лученные в результате вывода для кватернионной группы уравнения
позволяют осознать глобальные последствия различия между груп¬
пой, допускаемой комплексно-дуальными кватернионами, и группой
Пуанкаре, о котором говорилось на второй лекции.
ТЕМАТИКА СПЕЦКУРСА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ 177
Шестая лекция (теоретико-групповой вывод уравнений инерциаль¬
ной навигации с учётом гравитации) включает два наиболее сложных
(как в техническом, так и в идейном аспектах) вопроса:
6.1. Вывод для расширенной группы Галилея;
6.2. Вывод для расширенной группы Пуанкаре (конформной группы).
В обоих случаях методически важно подчёркивать возникающие
из-за расширения группы отличия по сравнению с выводами для групп
Галилея и Пуанкаре на предыдущей лекции. Также методически важ¬
но на этой лекции особо подчеркнуть «отрыв теории от практики»,
связанный с отсутствием гравитационных вариометров, измеряющих
скорость приращения гравитационного ускорения, которые требуют¬
ся для полноценной формулировки задачи инерциальной навигации в
рамках теоретико-группового подхода.
Седьмая лекция посвящена теме «Точные решения уравнений инер¬
циальной навигации» и включает следующие пункты:
7.1. Равноускоренное движение;
7.2. Движение с орбитальной ориентацией;
7.3. Движение инерциальной платформы;
7.4. Движение неповорачивающейся платформы;
7.5. Движение гиростабилизированной платформы;
7.6. Уникальный космический эксперимент Gravity Probe-B.
Методическая особенность изложения материала этой лекции со¬
стоит в следующем. Сначала слушателям сообщается, что речь будет
идти о хорошо знакомом им ещё со школьной программы движении те¬
ла (прямолинейное равноускоренное движение; равномерное движение
по окружности). Затем приводится и подробно обсуждается соответ¬
ствующее точное решение нерелятивистских уравнений инерциальной
навигации. И, наконец, рассматриваются особенности соответствую¬
щих точных решений релятивистских уравнений инерциальной нави¬
гации. После лекции студенты (будущие инженеры-физики) должны:
различать понятия равноускоренного движения [19], движения с по¬
стоянным ускорением [27] и движения под действием постоянной силы
[28, 29]; знать о прецессии Томаса (томасовской прецессии) и геодезиче¬
ской прецессии; понимать физическое различие между инерциальной,
неповорачивающейся и гиростабилизированной платформами.
Восьмая лекция на тему «Теоретико-групповая формулировка за¬
дачи п тел» включает следующие вопросы:
8.1. Задача п тел и её частные случаи: задача двух тел и задача одного
тела;
8.2. Задача одного тела — частный случай задачи инерциальной нави¬
гации;
178
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТУДЕНТАМ
8.3. Формулировка задачи п тел в параметрах расширенной группы
Галилея.
В этой лекции раскрываются тесные связи между задачей инер¬
циальной навигации и основной задачей небесной механики. Методи¬
ческая особенность лекции состоит в том, что приходится вводить и
подробно рассматривать элементарный частный случай задачи п тел
— задачу одного тела. Кроме того, в этой лекции целесообразно на¬
помнить слушателям «широко известную в узких кругах» теоретико¬
групповую «рациональную реконструкцию истории науки» в части
перехода от геометрии к классической механике (шестипараметриче¬
ская группа Евклида —> семипараметрическая группа Аристотеля —>
10-параметрическая группа Галилея) [10, с. 98] и только после этого
ввести подгруппу расширенной группы Галилея, которая используется
при теоретико-групповой формулировке классической задачи п тел.
Девятая (заключительная) лекция на тему «Часто используемые
формулы» включает следующие разделы:
9.1. Кватернионная формула перепроектирования векторов;
9.2. Кватернионные формулы сложения поворотов, эйлеров поворот;
9.3. Бикватернионные формулы сложения перемещений, винтовое дви¬
жение;
9.4. Связь компонент кватерниона и матрицы поворота;
9.5. Кинематические уравнения для радиус-вектора;
9.6. Кинематические уравнения для вектора скорости;
9.7. Кинематические уравнения для кватерниона поворота.
Она посвящена отдельным частным с точки зрения физико-мате¬
матических основ теории инерциальной навигации вопросам, которые
выходят на первый план при практической инженерной работе в об¬
ласти разработки и эксплуатации систем управления движением и на¬
вигации космических аппаратов.
Завершение чтения курса из рассмотренных девяти лекций не озна¬
чает завершения семестрового спецкурса. Последующие одно-два3) за¬
нятия используются в следующих целях: как время, предусмотренное
для консультаций по литературе и обсуждения возникших у аудитории
по ходу курса вопросов, требующих развёрнутых ответов; как резерв¬
ные часы для изложения пропущенных в ходе чтения лекций разделов
(если такие остались); как дополнительные занятия для повторного из¬
ложения и разъяснения разделов курса, вызвавших затруднения; как
семинары для решения задач по тематике курса (по решению кафед¬
ры); как занятия, выделенные для отдельных лекций и мероприятий,
3)Или более, в зависимости от совпадений базовых дней с праздниками и других
обстоятельств.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. МЕСТО СПЕЦКУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ 179
проводимых по плану кафедры и не связанных напрямую с темати¬
кой спецкурса; как факультативные занятия для лекций по примене¬
нию рассмотренных в спецкурсе математических методов в задачах, не
связанных с инерциальной навигацией, либо по вопросам, связанным
с инерциальной навигацией, но не вошедшим в курс.
Последнее занятие спецкурса — предзачётная консультация.
Заключение. Место спецкурса
в учебном плане МФТИ
Место спецкурса в учебном расписании практически однозначно
определяется рассмотренными во введении общими принципами орга¬
низации обучения в МФТИ, спецификой учебной группы ФАКИ, для
студентов которой предназначен спецкурс, и тематикой самого курса
лекций (его краткое название для учебного расписания «Инерциаль¬
ная навигация»).
Базовые дни появляются только в пятом семестре, поэтому спец¬
курсы (относящиеся к программам базовых кафедр) не могут читать¬
ся раньше. В РКК «Энергия» функционируют две базовые кафедры
МФТИ: «Аэрофизическая механика» (заведующий кафедрой профес¬
сор А.Г. Решетин) и «Управление движением» (заведующий кафедрой
академик В.П. Легостаев) [30, 31]. С седьмого семестра уже существен¬
но различаются планы обучения студентов по программам базовых ка¬
федр: у одной половины группы появляются узкоспециализированные
занятия по тематике систем управления движением и навигации, а у
другой — по вопросам аэрогазодинамики, акустики и теплообмена. Так
как рассмотренный курс лекций важен в общеобразовательном плане
для понимания физических принципов инерциальной навигации, его
целесообразно читать для всей группы до её окончательного разделе¬
ния на подгруппы по выпускающим кафедрам4).
Автор признателен заместителю заведующего кафедрой МФТИ
«Управление движением» С.Н. Тимакову и преподавателю этой ка¬
федры М.Б. Чертоку за предложение включить спецкурс в учебный
план и полезные обсуждения.
4^В последние годы различие в программы обучения подгрупп вводится уже на
втором курсе в рамках факультетского цикла.
180 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТУДЕНТАМ
Литература
1. Карлов Н.В. Книга о Московском Физтехе. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2009. - 600 с.
2. Пухначёв Ю.В. Семь семинаров по математическому анализу. —
М.: Физматкнига, 2005. — 592 с.; 2-е изд. М.: URSS, 2012.
3. Ткаченко Б.К. Мы возвращаемся // Физтеховский прорыв —
угол атаки: к 80-летию академика О.М. Белоцерковского. — М.:
Наука, 2005. С. 122-126.
4. Дмитриенко В.Е. Смысл и суть знания // Природа. 2011. № 12.
С. 77-79.
5. Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геомет¬
рии, арифметике и симметриях. — М.: МЦНМО, 2009. — 184 с.
6. Бежко А.П., Бранец В.Н., Захаров Ю.М., Шмыглевский И.П.
Применение кватернионов в теории конечного поворота твердого
тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. № 1. С. 123-134.
7. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в за¬
дачах ориентации твердого тела. — М.: Наука, 1973. — 320 с.
8. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатфор-
менных инерциальных навигационных систем. — М.: Наука, 1992.
- 280 с.
9. Бранец В.Н. Лекции по теории бесплатформенных инерциальных
навигационных систем управления. — М.: МФТИ, 2009. — 304 с.
10. Визгин В.П. «Эрлангенская программа» и физика. — М.: Наука,
1975. - 112 с.
11. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. — М.: ФИЗ¬
МАТЛИТ, 2008. - 304 с.
12. Ишлинский А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. — М.:
Наука, 1985. — 624 с.
13. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. —
М.: Наука, 1973. - 144 с.
14. Кирпичников С.Н., Новоселов B.C. Математические аспекты ки¬
нематики твердого тела. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. — 249 с.
15. Селезнев В.П., Селезнева Н.В. Навигационная бионика. — М.:
Машиностроение, 1987. — 256 с.
ЛИТЕРАТУРА
181
16. Ткачев Л.И. Системы инерциальной ориентировки. Ч. 1. Основ¬
ные положения теории. — М.: МЭИ, 1973. — 213 с.
17. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и ме¬
тоды механики твердого тела. Геометрия и кинематика движе¬
ния. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 512 с.
18. Чуб В.Ф. О возможности применения одной системы гиперком¬
плексных чисел в инерциальной навигации // Изв. АН. МТТ.
2002. № 6. С. 3-23.
19. Чуб В.Ф. О равноускоренном движении // ФОБ. 2005. Т. 11. № 3.
С. 127-130.
20. Чуб В. Ф. Незамкнутость элементарных преобразований простран¬
ства-времени // ГЧГФ. 2005. 2 (4). С. 153-160.
21. Чуб В.Ф. Применение конформной группы в теории инерциаль¬
ной навигации // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 5. С. 3-17.
22. Чуб В. Ф. Постановка задачи инерциальной навигации (теоретико¬
групповой подход) // КИ. 2007. Т. 45. № 2. С. 189-192.
23. Чуб В.Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная
теория пространства-времени // ГЧГФ. 2007. Т. 4. № 1 (7). С. 133-
140.
24. Чуб В.Ф. Формулировка задачи двух тел в параметрах расши¬
ренной группы Галилея // Изв. РАН. МТТ. 2012. № 4. С. 16-20.
25. Чуб В.Ф. Точные решения уравнений инерциальной навигации,
связанные с прецессией Томаса // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 2.
С. 3-18.
26. Чуб В.Ф. Точные решения уравнений инерциальной навигации,
связанные с геодезической прецессией // Изв. РАН. МТТ. (При¬
нята к печати решением редколлегии от 26.10.2011.)
27. Лукьянов А.А., Иванов А.А. О движении с постоянным уско¬
рением в релятивистской механике // ФОБ. 2004. Т. 10. № 4.
С. 17-26.
28. Логунов А.А. Анри Пуанкаре и теория относительности. — М.:
Наука, 2004. — 256 с.
29. Закиров У.Н. Механика релятивистских космических полетов. —
М.: Наука, 1984. — 152 с.
182
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТУДЕНТАМ
30. Легостаев В.П., Решетин А.Г., Громов С.К. Реалии и фантазии
// Физтех — взгляд в будущее. — М.: ООО «Издательство АСТ»,
2001. С. 569-580.
31. Решетин А.Г. Физтехи-аэрофизики в РКК «Энергия» им. С. П.
Королёва // Там же. С. 609-620.
Именной указатель
Абель Нильс (Niels Henrik Abel) 30
Александров Александр Данилович 26
Александрова Надежда Вячеславовна 14, 26
Амелькин Николай Иванович 173
Аристотель {АрьатотеХщ) 87, 88, 146, 178
Арнольд Владимир Игоревич 14, 26
Балк Галина Давидовна 25
Балк Марк Беневич 25
Бежко Александр Павлович 180
Бейтмен Гарри (Harry Bateman) 115
Белоцерковский Олег Михайлович 180
Березин Александр Васильевич 14, 15, 26
Блюменталь Отто (Ludwig Otto von Blumenthal) 24
Бранец Владимир Николаевич 14, 25, 180
Васильев Александр Васильевич 26
Ведров Всеволод Симонович 75
Вернер Алексей Леонидович 26
Визгин Владимир Павлович 18, 24, 27, 46, 180
Галилей Галилео (Galileo Galilei) 6, 9, 10, 18, 22-24, 57, 59-61, 66, 83-92,
94, 96, 97, 105, 107-110, 112-115,126, 140, 147-151,155, 176-178, 181
Галуа Эварист (Evariste Galois) 45
Гамильтон Уильям (William Rowan Hamilton) 13-16, 19, 20, 23, 36, 39,
40, 48, 55, 58, 98, 117, 159, 173
Гаусс Карл (Carl Friedrich Gauss) 36
Гильберт Давид (David Hilbert) 144
Громов Сергей Васильевич 18, 27
184
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Громов Сергей Кириллович 182
Данилин Сергей Алексеевич 75
Декарт Рене (Rene Descartes) 13, 36
Дмитриенко Владимир Евгеньевич 180
Евклид (Еук\еи5щ) 17, 19, 144, 146, 160, 178
Жуков Александр Владимирович 25
Журавлёв Виктор Филиппович 173, 180
Закиров Урал Нуриевич 181
Захаров Юрий Михайлович 180
Иванов Андрей Акимович 181
Ишлинский Александр Юльевич 10, 25, 87, 180
Каннингхэм Эбенезер (Ebenezer Cunningham) 115
Кантор Исай Львович 36, 180
Кардано Джероламо (Girolamo Cardano) 74
Карлов Николай Васильевич 180
Картан Эли (Elie Joseph Cartan) 18, 46
Кирпичников Сергей Николаевич 180
Клейн Феликс (Christian Felix Klein) 13, 18, 25, 44-46, 144, 174
Клиффорд Уильям (William Kingdon Clifford) 16, 19, 38, 39, 173
Конвей Джон (John Horton Conway) 180
Коровицкий С. A. 75
Королёв Сергей Павлович 172, 182
Котельников Александр Петрович 39, 160
Крылов Алексей Николаевич 72, 158
Кузичева Зинаида Андреевна 26
Курочкин Юрий Андреевич 14, 15, 26
Кэли Артур (Arthur Cayley) 34, 173
Левантовский Владимир Исаакович 25
Легостаев Виктор Павлович 179, 182
Лейтон Роберт (Robert Leighton) 25
Ли Софус (Marius Sophus Lie) 45, 93, 110
Лобачевский Николай Иванович 13, 36
Логунов Анатолий Алексеевич 26, 181
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
185
Лоренц Хендрик (Hendrik Antoon Lorentz) 15, 19, 20, 33, 40, 55-57, 59,
139, 174
Лукьянов Андрей Александрович 181
Максвелл Джеймс (James Clerk Maxwell) 13, 24, 36, 40, 115
Маланин Владимир Владимирович 15, 16, 26
Мёбиус Август (August Ferdinand Mobius) 117
Мизнер Чарлз (Charles Misner) 49
Минковский Герман (Hermann Minkowski) 24, 27, 47
Николаев Владимир Иванович 25
Новосёлов Виктор Сергеевич 180
Ньютон Исаак (Isaac Newton) 6, 10, 24, 66, 67, 97, 126, 145, 150-152,
155, 169
Окунь Лев Борисович 17, 26
Паули Вольфганг (Wolfgang Pauli) 17
Пилюгин Николай Алексеевич 75
Пифагор (TLv6a'yopa<;) 26
Полухин Александр Александрович 25
Понтрягин Лев Семёнович 14, 25
Прохоров Юрий Васильевич 26
Пуанкаре Анри (Henri Jules Poincare) 6, 7, 9, 13, 17, 18, 23, 36, 45, 47,
57-62, 87-89, 98, 99, 103-105, 114, 115, 117, 119, 123, 144, 174, 176,
177, 181
Пухначёв Юрий Васильевич 180
Раушенбах Борис Викторович 14, 26
Решетин Андрей Георгиевич 179, 182
Риман Бернхард (Bernhard Georg Friedrich Riemann) 45
Родриг Бенжамен (Benjamin Olinde Rodrigues) 36, 159
Румер Юрий Борисович 17, 26
Рыжик Валерий Идельевич 26
Савельев Игорь Владимирович 25
Саньяк Жорж (Georges Marc Marie Sagnac) 67
Седов Леонид Иванович 23, 27, 86, 87
Селезнёв Василий Петрович 9, 25, 65, 180
Селезнёва Наталья Васильевна 9, 25, 65, 180
Смит Дерек (Derek Smith) 180
186
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Солодовников Александр Самуилович 36, 180
Станкевич Юрий Константинович 75
Стрелкова Нина Александровна 15, 16, 26
Сэндс Мэтью (Matthew Sands) 25
Тимаков Сергей Николаевич 179
Ткаченко Борис Константинович 180
Ткачёв Лев Иванович 75, 181
Толкачёв Евгений Аркадьевич 14, 15, 26
Томас Левелин (Llewellyn Hilleth Thomas) 141, 177, 181
Торн Кип (Kip Stephen Thorne) 49
Уилер Джон (John Archibald Wheeler) 49
Фейнман Ричард (Richard Phillips Feynman) 10, 25
Фет Абрам Ильич 17, 26
Финслер Пауль (Paul Finsler) 45
Фуко Леон (Jean Bernard Leon Foucault) 67
Ханукаев Юрий Исламович 173
Челноков Юрий Николаевич 16, 26, 181
Черток Михаил Борисович 163, 179
Шаль Мишель (Michel Chasles) 162
Шмыглевский Игорь Петрович 14, 25, 180
Штуди Эдуард (Eduard Study) 39, 160
Эйлер Леонард (Leonhard Euler) 12, 35, 36, 49, 158, 159
Эйнштейн Альберт (Albert Einstein) 66
Юкава Хидэки (Hideki Yukawa) 14, 25
Яглом Исаак Моисеевич 25
Предметный указатель
Акселерометр 9, 10, 22, 64, 65,
68-70, 74, 75, 105, 112,
126
Бикватернион
Гамильтона 15, 16, 19, 20,
23, 39, 40, 55, 58, 98,
117, 173
Клиффорда 16, 19, 38, 39,
173
БИНС 25, 74, 98, 103, 105, 112,
121, 180
Буст 19-22, 40, 48, 55-62, 78, 88,
94-96,105,108,109,114,
116, 117, 120, 139, 147,
174
Вектор ориентации 49, 50, 72,
84, 86, 93, 98, 124, 136-
138, 141, 158, 164-166
Гироскоп 9, 16, 65, 67, 68, 75,
140-142
Группа
Аристотеля 87, 88, 146, 178
вращений 15, 18, 47, 48, 83,
174
Галилея 6, 9, 18, 22-24, 57,
59-61,83-92,94, 96,105,
107-110, 112-115, 126,
140, 147-150, 176-178,
181
Галилея-Ньютона 24, 150,
151, 155
Евклида 17,19,146,160,178
кватернионная 20, 57, 59,
60, 87, 103, 104, 176
конформная 23, 24, 27, 89,
114-119, 121, 122, 124,
140, 176, 177, 181
Лоренца 15, 19, 55-57, 59,
139, 174
Ньютона 150-152
Пуанкаре 6, 7, 9, 18, 23, 47,
57-62, 87-89, 98, 99,
103-105, 114, 115, 117,
119, 123, 127, 174, 176,
177
ДУС 22, 64, 65, 67, 68, 81, 126,
137, 170, 175
Единица
дуальная 16, 34, 38, 40
комплексно-дуальная 40
мнимая 11, 15, 16, 29, 34,
35, 38, 40, 98, 101
обычная (вещественная) 11,
30, 31, 34, 38-40, 49
Закон Ньютона
второй 6, 10, 169
первый 145
188
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Масштабный множитель 116,
121, 123, 124
Навигационная система
инерциальная (ИНС) 6, 9,
10,23,63-65,69-71,73-
75, 78, 175
интегрированная 64, 175
спутниковая 65
Октонион 32, 173
Ориентация
инерциальная 137, 138, 140
орбитальная 131, 132, 137,
177
Перегрузка 68
Перемещение 16, 17, 19, 39, 52-
55, 105, 146, 160-162,
174, 178
Перенос 19-22,39,48, 52, 53, 55-
58, 60-62, 78-84,86, 88,
91, 94-96, 98, 105, 108-
111, 115, 116, 146, 160,
161, 174, 176
Поворот 18-20, 22, 32, 33, 39,
40, 47-59,65, 69, 72, 74,
78, 81-84, 86, 92-96,98,
100, 105, 107, 108, 114,
115, 117, 120, 127, 129,
130, 134, 137-140, 146-
148, 150, 155-166, 169,
174, 176, 178, 180
Преобразование
Галилея 57, 59, 61, 94, 147
гравитационное 23, 85, 86,
108, 111, 113, 117, 120,
123, 150
Лоренца 20, 33, 40, 55, 56,
59
масштабное 23, 89,116,117,
120, 121, 124
Прецессия 141, 177, 181
Принцип
относительности 18, 46, 66,
86
перенесения 39, 160
Симметрия 6, 9, 11, 17, 18, 26,
35,45, 46, 66, 70, 72, 78,
150, 176, 180
Система отсчёта
базовая 21, 50, 72-74, 77, 86,
90, 112-114, 130, 138,
139, 152, 167
инерциальная (ИСО) 6, 11,
21,72-74, 77, 86,90,131,
138, 139, 166-168
лабораторная 50, 130, 139,
166, 167
связанная 21, 22, 50, 72, 77,
91, 112-114, 148, 166,
168
Скорость
абсолютная 167, 168
кажущаяся 68, 69, 86
обычная 56, 57, 120, 124
относительная 167
предельная 102, 130
угловая 22, 67, 69, 74, 82,
84, 86, 95, 98, 101, 113,
114, 128, 129, 131-134,
136-138, 148, 169, 170
четырёхмерная 100, 101
Теория относительности
общая (ОТО) 24,46, 71,142
специальная (СТО) 17, 18,
21,45,46, 57,61,62,66,
100, 101, 105, 124, 127,
129, 130
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
189
Уравнения
инерциальной
навигации 10, 21-23, 61,
75-79, 81, 82, 84-91, 93,
95-105, 107, 110, 112-
114, 116, 120-129, 132,
134, 135, 138, 139, 142,
148, 149, 151, 152, 166,
168, 175-177, 181
ориентации 22, 83, 84, 98,
101, 126, 128, 140, 167,
169
Максвелла 24, 40, 115
Ускорение
гравитационное 10, 23, 68-
71, 74, 75, 85, 86, 88, 97,
108, 112-114, 120, 131,
134-136, 140, 141, 152,
168, 169, 175, 177
кажущееся 10,68-70, 74, 86,
95,98,112,117,134,136,
137, 140, 149, 151, 168,
175
полное 10, 70, 97, 112, 124,
135, 169
угловое 9, 65, 69
четырёхмерное 101
Формула Эйлера 12, 35
Часы 22, 64-67, 78-80, 175
Издательская группа
представляет/
/ 7 П////////////////Ж
зачемлужиа
Иа^кГгеГко егроГк«ГЗВаНИе:
Гакработает нрнрояз?
Ответ прост и лаконичен - в отличие от других теорий, описывающих те
или иные отдельные сложные системы, самоорганмзоваиная
критичность - первая общая теория сложных систем,
базирующаяся на прочном математическом фундаменте.
САМООРГАНИЗОВАННОЙ
КРИТИЧНОСТИ
I *№*
' жфХСЯ
критичности в своем большинстве имеют дело
с абстрактными сущностями, и их построение
и исследование скорее может трактоваться как
создание языка, нежели как описание реальных систем.
Однако уже сейчас делаются попытки говорить на этом
языке о сейсмической активности,
о солнечных вспышкам, строить
07 Прошлого
т будущему
геофизическую информацию...
Мещисцигшинарность обсуждаемой Пером Баком
теории привела к тому, что ее весьма активно начади
развивать и использовать в контексте
социоэкономики ч гобы выявить причины
биржевых крахов, проследить механизмы
их возникновения и выделить предвестники,
предшествующие подобным событиям^. Важный вопрос
поведении таких сложных систем, как эемкая
корп. ф^нтдовый рынок, бжкфера
и другие подобные объекты. Еще 30 лет назад многие
крупные ученые считали задачу прогноза
землетрясений неразрешимой, а то и вовсе
лежащей вне научного поля.
В.Э.Джашитов, В. М. Панкратов, А. В. Голиков
теоретическом
механики
КОРНИЧК
МЕХАНИКИ
Компьютерное математическое моделирование, анимация и динамическая
одно- двух- и трехмерная визуализация
Книга А Теория и компьютерный эксперимент: 29 лекций с раздаточным материалом.
X 24 компьютерные модели физических систем с широким диапазоном настроек.
Книга ^ Практикум и компьютерный эксперимент: 120 практических
L и учебно-исследовательских задач. 35 компьютерных моделей
/ / / / / ////////////////////////М
представляв тЦш
Издательская группа I
URSS
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
В РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧ
ИЗ СБОРНИКА
Вышли пособия • Динамика материальной точки
с решениями задач -
„следующим * Динамика материальной системы
разделам: • Аналитическая механика
• Кинематика
• Системы с качением. Неголономные связи
• Устойчивость равновесия. Малые колебания.
Устойчивость движения
/ / / //////mmrn
представляет
/ 7 / / ШШЛШШ
Издательская группа
Ю. С. Владимиров • Между физикой и метафизикой
Ю. С. Владимиров
Цикл работ посвящен становлению фундаментальной теоретической физики в нашей стране.
В книгах этого цикла рассказывается о природе пространства-времени, о его ключевых свойствах
(размерности, метрике, сигнатуре и т.д.), о гипотезах происхождения и эволюции мира,
о построении единой теории взаимодействий, о соотношении науки, философии и религии.
Период от начала XX
века до 1960-х годов.
Свойства и сущность
пространства-времени и
его связи с физическими
взаимодействиями.
Несоответствие
принципов новой физики
догматам марксистско-
ленинского диалектиче¬
ского материализма,
которое отразилось на
развитии отечественной
науки и на судьбах
ведущих физиков-
теоретиков первой
половины XX века.
История развития в СССР
в середине XX века
принципов общей теории
относительности, а также
более глобальных идей
о сущности пространства-
времени и геометризации
всей физики. Взгляды
ведущих отечественных
ученых того времени на
ключевые проблемы этого
фундаментального
раздела физики, их
собственные идеи.
Метафизический анализ
физических теорий
и программ по геометри¬
зации физических понятий
и закономерностей.
Развитие в 1970-1980-е
годы принципов общей
теории относительности.
Попытки ревизии и
замены этих идей в СССР.
Смена поколений
физиков-гравитацио-
нистов. Деятельность
секции гравитации
НТС Минвуза СССР, ее
упразднение и рождение
Всесоюзного гравита¬
ционного общества.
Метафизический анализ
доминировавших в те
годы идей, попытка
определения среди них
наиболее перспективных
программ.
Развитие реляционного
подхода к природе
пространства-времени
и концепции дально¬
действия. Идеи Э. Маха
и их роль в становлении
теории относительности;
дискуссии 1920-1930-х
годов в СССР. Суть работ
Р. Фейнмана и Дж. Уилера
1940-1950-х годов.
Исследования прямого
межчастичного
взаимодействия в СССР
в 1960-1980-х годах;
основные идеи и
результаты исследований
автора по бинарной
геометрофизике.
Космофизика
Чижевского:
XX век
Доказательство того,
что в XX веке основные
идеи фундаментальной
теоретической физики,
как правило, выдвигались
(признавались)в
периоды максимальной
солнечной активности
или в их непосредст¬
венной близости. Анализ
отечественной истории
XX века через призму
работ Чижевского.
Воспоминания автора
о коллегах, научной
деятельности и жизни
ученых.
П. Г. Куликовский • Справочник любителя астрономии
Трудно представить себе
российского астронома,
который не пользовался бы
«Справочником любителя
астрономии» Куликовского.
Эта книга, успешно выдержавшая несколько переизданий, заняла место на рабочем
столе почти каждого астронома - как любителя, так и профессионала. Обширный
справочный материал каждого нового издания полностью обновляется с учетом
новейших данных, что делает «Справочник» одной из самых полезных практических
книг по астрономии. В нем излагаются задачи и методы современной астрономии,
дается описание небесных объектов - звезд, планет, комет и др. Описываются
методы астрономических наблюдений, доступных скромным средствам любителей.
Стивен Вайнберг • Космология
Фундаментальный труд
нобелевского лауреата,
автора книг «Гравитация и космология» и «Квантовая теория поля»
Стивена Вайнберга
Эта монументальная монография обобщает результаты прогресса, достигнутого за
последние два десятилетия в современной космологии. Она является уникальной
по охвату материала, манере его изложения и тщательности математической
проработки. Цель книги - дать замкнутое описание космологии, а также идей
и формул, которые используются и проверяются в современных космологических
наблюдениях. Впервые в рамках одной книги собран столь всеобъемлющий материал
по современному состоянию теории.
В книге не просто сообщаются результаты, полученные численными расчетами, но
делается упор на аналитическое описание космологических явлений, позволяющее
проникнуть в их суть. В «Космологии» детально описываются многие самые смелые
современные идеи, которые редко встречаются в обзорах по космологии и для
изучения которых надо погружаться в специальные статьи. В монографии также
представлены актуальные измерения космологических параметров, для того чтобы
дать читателю представление об успехах наблюдательной науки.
ттттттттт
/ / /////////
Издательская группа
Один из самых влиятельных
умов современности
Дэвид
Чалмерс
и его знаменитый труд
да1
^философия сознания
I) The Conscious Mwd
x< TSsxm* ^
Дэвид ЧАЛМЕРС
СОЗНАЮЩИИ
УМ
В поисках М
фундаментальной %
теории
на русском
языке
в переводе доктора философских наук,
профессора МГУ имени М. В. Ломоносова
Вадима В. Васильева
Эта книга
впервые опубликованная в 1996 г.,
стала одним из самых
заметных философских
трактатов конца XX века. В наши дни
уже не удастся найти серьезных работ
по проблеме сознания, в которых не
было бы ссылок на Чалмерса.
«Сознающий ум» - увлекательный
философский рассказ о глубочайших
парадоксах и тайнах сознания. Это
провокативная работа,
в которой сделана попытка
обосновать «натуралистический
дуализм», исходя из тезиса автора о
нефизической природе
сознания и его зависимости от
функциональных схем в мозге.
Чалмерс также утверждает, что его
теория открывает новые перспективы
для интерпретации квантовой
механики и позволяет говорить
— о возможности
сознательных роботов.
Дэвид Чалмерс родился в Австралии
в 1966 г. Изучал математику в
Университете Аделаиды и в Оксфордском
университете. В1995 г. защитил
диссертацию по философии под
руководством Д. Хофштадтерз. Приобрел
мировую известность после выступления
«а Первой Чуссанекой конференции
в 1994 г. с докладом о «трудной»
и «легких» проблемах сознания.
Издательская группа
представлявт
/ / / / / / / /////////////
/ / / / / / / / / / //г ///////,
(|)ИЗИ1СА на переломе
1 Фж|-
тысячелетии
я ^
В. К. Вороное, А. В. Подоплелов
Том ■ Физика самоорганизующихся и упорядоченных
систем. Новые объекты атомной и ядерной физики.
Квантовая информация. Происхождение жизни и
мышления сточки зрения современной физики
В. К. Воронов, А. В. Подоплелов
Том 2 Конденсированное состояние
В. К. Воронов, А. В. Подоплелов, Р. 3. Сагдеев
Том 3 Физические основы нанотехнологий
Шизика 2
„tynvme
тысячелетии
ШШ 111 .4 II .
«ост:***»
1
физике!
на перелвте
тысячелетий
Физ.-MOch/fr
НН мюгфзгцал&мй
Выдающиеся достижения физики
за последние 50 лет
Б. С.Горобец
ЯДЕРНЫИ
РЕВАНШ
СОВЕТСКОГО
союзш
Фундаментальный труд по истории Атомного проекта СССР,
который охватывает путь, пройденный ядерной физикой
от открытия радиоактивности Беккерелем до создания
современных образцов двухкамерной водородной бомбы,
а также тот участок пути, который называют постсоветским,
когда многое из созданного ранее было разрушено...
ЯДЕРНЫИ
РЕВАНШ
СОВЕТСКОГО
СУДЬБЫ
Героев
дважды Героев 3~
трижды Героев £»■ $;
АТОМНОЙ ЭПОПЕИ
Кто он
РЕДАКТОР —
АРХИТЕКТОР КНИГ
Тот, кто совершает путь
«От замысла — к книге»:
► Осмысляет, наглядно представляет, оформляет
результаты авторского научного труда.
► Обсуждает и определяет вместе с автором
окончательную информационно-дидактическую
структуру произведения.
► Транслирует вйдение автора
издательскому коллективу
и воплощает его в книге.
Приветствуются:
► опыт редактирования книг;
► знания по всем разделам своей специальности,
позволяющие свободно ориентироваться в различных
областях этой науки;
► внутренняя потребность в непрестанном освоении новых тем;
неуемная тяга к знаниям;
► умение видеть проблемы, связанные с особенностями перевода,
и грамотно справляться с ними;
► желание активно делиться своими знаниями и идеями с коллегами,
открытость к конструктивной критике;
► умение работать в системе LaTeX.
Рассматриваем кандидатуры без опыта работы
Предлагаем Вам
реализовать свои знания
и творческий потенциал
у нас, в научном
издательстве URSS,
в качестве
Издательская группа
URSS
Сохранять,
развивать
и приумножать
научное
наследие
Мы уверены, что
Вы сможете стать специалистом
высокого класса или управленцем*
что у нас Вы найдете свой Путь.
ПРОФЕССИЯ
КАК ДЕЛО ЖИЗНИ
Наши мечты схожи? Мы с Вами на одной
волне? Наука вошла в Вашу жизнь
и Вы не хотите с ней расставаться?
Нефть, газ, лес — не единственное наше достояние! Нам всего лишь
повезло родиться в стране с богатейшей природой. Но Россия не есть
только источник природных ресурсов. Нет! Она — кладезь человеческого
капитала — капитала, который должен неустанно давать цивилизации
всё новые научно-культурные богатства. Надо принять вызов — до¬
биться, чтобы нашу страну ассоциировали в первую очередь с созданием
высококачественных интеллектуальных ценностей.
МЫ МОЖЕМ И ДОЛЖНЫ
ЗАРАБАТЫВАТЬ ИНТЕЛЛЕКТОМ!
Научно-издательское дело — неотъемлемая часть
института науки. Предлагаем Вам реализовать свои
знания и творческий потенциал у нас, в научном
издательстве URSS •••
► Общение с ведущими учеными, деятелями науки и культуры.
► Работа с интеллектуальным богатством.
► Духовное и научно-культурное обогащение.
► Продвижение знаний.
► Утверждение интеллектуальных и культурных ценностей.
Донесем интеллектуальный и духовный капитал
страны до всех, живущих в русскоязычном
пространстве, и до мирового сообщества!
► Раскрыть свой потенциал.
► Быть уверенным, что Ваше время вкладывается со смыслом.
► Понимать, что выбранный путь обеспечивает Вам рост благосостояния
и экономическую устойчивость.
► Ощущать, что Ваша работа зажигает оптимизмом и укрепляет
жизненные силы.
Научно-издательская деятельность — это правильный
выбор для тех, кто хочет оставаться в научной среде!
Если Вы:
► целеустремленный и активный,
► работоспособный и креативный,
► заинтересованы в личностном росте,
► стремитесь усваивать новые знания и умения,
► готовы делиться Вашими опытом и навыками,
► хотите влиться в коллектив профессиональных и эффективных, честных
и надежных людей, и усилить его Вашей индивидуальностью —
это тот достаточный багаж, с которым мы с радостью
примем Вас в наш коллектив.
Присоединяйтесь к проекту URSS!
Поможем, поддержим, научим!
гге содействовать
1ИТИЮ
1ественной науки
Если Вам
переверн!
страницу
Василии
Филиппович
ЧУБ
Автор книги
выступает с докладом
на конференции
«Физические
интерпретации
теории
относительности — 2013»
(фото Ю. А. Лебедева)
Наше издательство предлагает следующие книги
V
^ гу Брайан
giWpMH
i Э. Вигнер
КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
IX ПРИМЩ1НИ1
В ГЕОМЕТРИИ
I
КВАТЕРНИОНЫ
в релятивистской
9 78
ЭКРУЧЕННЫЕ
ПАССАЖИ
Проникая в тайны
скрытых pa шсрностей
п ростра жшы (
основы
КОСМИЧЕСКОЙ
НАВИГАЦИИ^
Издательская группа р
URSS\
Каталог изданий
в Интернете:
http://URSS.ru
E-mail: URSS@URSS.ru
МАТЕМАТИКА'
■ 5L1 -I
ОБОБЩЕНИЯ
ЧИСЕЛ
\
117335, Москва, Телефон/факс
Нахимовский (многоканальный)
проспект, 56 +7(499)724 25 45
Отзывы о настоящем издании, а также обнаруженные
опечатки присылайте по адресу URSS@URSS.ru.
Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги на сайте
http://URSS.ru