М. Л. ГЕРВЕР, Н. Н. КОНСТАНТИНОВ и А. Г. КУШНИРЕНКО
(Москва)
ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИЗУ,
ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ УЧАЩИМСЯ IX и X КЛАССОВ
Ниже представлена часть курса анализа, пройденная в тече-
ние полутора лет (IX класс и первая половина X) в математиче-
ских классах школы № 7. В этот курс включены и элементы
традиционного курса алгебры, естественно примыкающие к ана-
лизу. Этот предмет занимает в часов в неделю, из которых 2 не
обязательны для посещения (консультация).
Не нужно думать,.что в нашей школе проходится какой-то не
представленный здесь курс анализа, а задачи являются к нему
упражнениями. Предлагаемые задачи — это и есть сам курс
анализа. В сборник включены определения, достаточные для
самостоятельного решения всех задач. Проходя таким образом
материал, школьники шаг за шагом овладевают техникой мате-
матического мышления. Овладение такой техникой на серьезном
профессиональном уровне — основная цель курса.
Хотя научиться математическому мышлению можно почти на
любом материале, мы старались подобрать его так, чтобы под-
вести учащихся к наиболее актуальной тематике. Здесь, конеч-
но, сказывается вкус преподавателя. Мы считаем, что именно
свободное владение основами анализа (техника работы с поня-
тиями непрерывности и предела в разных видах) есть та база,
на основе которой можно начинать серьезные занятия различ-
ными областями математики.
Логической стороне понятия предела у нас уделено значи-
тельно больше внимания, чем вычислительной. Это вполне соот-
ветствует современному стилю работы математиков, в особен-
ности вычислителей-программистов. Один из основных выводов
нашей работы состоит в том, что нужно очень много времени,
чтобы хорошо усвоить основные понятия анализа: понятия пре-
дела и непрерывности. Если случится, например, что какой-ни-
будь из учеников, даже из лучших, не сможет в течение месяца
доказать эквивалентность двух определений непрерывности
(на е, 6-языке и на языке последовательностей),— не подска-
зывайте ему. Дайте ему возможность самостоятельно преодолеть
эти трудности.
На занятиях по анализу у нас присутствует одновременно
несколько учителей, от 3 до 6 в разных классах. Задания вы-
41
даются каждому в виде листочков, размноженных на машинке
(один листочек на одно или несколько занятий). Ученики сидят
в классе и решают задачи. Их же они продолжают решать дома,
так как в классе, как правило, не успевают. Никаких специаль-
ных домашних заданий не задается.
Из таких листков, переписанных подряд, и составлен настоя-
щий сборник (с добавлением контрольных работ). Преподава-
тели заняты в классе тем, что по очереди беседуют со всеми. За
час можно побеседовать с одним-тремя учениками. Во время
беседы ученик рассказывает преподавателю решенные им задачи.
Беседа напоминает экзамен, с тем различием, что ученик расска-
зывает только то, что сам сделал. Отметка за это не ставится.
Одновременно может происходить консультация, но она зани-
мает, как правило, небольшую долю времени.
Большинство задач первой части курса, до действительных
чисел, не обязательно. Начиная с действительных чисел, боль-
шинство задач обязательно. Обязательность понимается в том
смысле, что мы не переходим к следующему разделу, пока боль-
шинство учеников не решат почти все задачи. Мы не практикуем
искусственного ускорения темпа, то есть прохождения курса
с большей скоростью, чем ученики могут его усвоить при само-
стоятельной спокойной работе.
Контрольные работы в большинстве случаев разрешается не-
сколько раз переделывать, пока не будет написано аккуратное
решение. При этом мы не возражаем, чтобы каждый решил зада-
чи своими методами и не узнал методов, примененных другими.
Некоторые контрольные не завершают тему, а начинают ее.
Естественное требование к задачникам предлагаемого типа
состоит в том, чтобы задачи были хорошо подогнаны друг к другу,
т. е. чтобы каждая задача была хорошо приспособлена для ре-
шения дальнейших задач. Однако слишком хорошую подогнан-
ность мы считаем вредной: чрезмерная гладкость в задачнике
обернется беспомощностью в дальнейшей работе математика.
Часто мы нарочно разрушали цепочки задач, в которых каждая
задача подсказывает метод решения следующей.
В нашем курсе основная техника математического мышления
отрабатывается на понятии предела. Можно было бы положить
в основу понятие непрерывности, что и сделано в некоторых клас-
сах нашей школы. Фактически тема предела начинает понемногу
появляться в задачах предыдущих тем. Несмотря на такую под-
готовку, понятие предела все же оказывается в логическом отно-
шении намного труднее, чем все, что встречается в предыдущих
темах.
Существенную трудность для учащихся представляет не толь-
ко само решение задачи, но и запись решения. От тех учеников,
которые нечетко рассказывают устно, обязательно требовать,
чтобы решения записывались. Если решение записано плохо, мы
42
возвращаем его для доработки. Ничего, если способ решения не
самый удачный, мы предоставляем ученику довести до конца его
собственное решение.
Иногда у нас происходят занятия обычного типа, когда пре-
подаватель у доски беседует с классом. Таких занятий бывает
очень мало — 2—5 в полугодие (например, вводная лекция к те-
ме «Неравенства», где говорилось о натуральном числе).
При такой системе проведения занятий возникают следующие
проблемы:
1)	В классе, где одновременно 4 ученика рассказывают зада-
чи своим преподавателям, бывает шумно. Мы завели у себя
в школе «тихую комнату» (вроде читальни, но без книг). В «ти-
хой комнате» вовсе запрещено разговаривать. В основном классе
тоже становится тихо, так как там остается меньше народу.
2)	Ученики решают задачи по-разному, причем часто плохим
способом. Конечно, когда задача как-то уже решена, можно рас-
сказать ученику лучшее рещение; но не нужно навязывать уча-
щимся свои привычные рассуждения.
3)	Ученики идут в разном темпе. К этому мы приспособи-
лись так: скорость поступления новых задач мы берем такую,
чтобы с ней справлялись самые тихоходные. Тогда у части клас-
са образуется резерв времени, который мы используем для фа-
культативных тем и кружков. Их тоже можно проводить «в лис-
точках», так что добавочных часов они не требуют. ‘
4)	Необходимо много преподавателей. У нас учителями ана-
лиза работают научные сотрудники ряда институтов, аспиран-
ты и студенты. Привлечение лучших студентов — резерв, который
может быть использован во многих местах.
Хотя мы редко задаем формально обязательные задания (на
дом), необходимым условием успешности нашей работы являет-
ся большой резерв свободного домашнего времени учащихся.
Перегрузка домашними заданиями по другим предметам делает
применение наших методов невозможным.
Решения некоторых задач
Задачи на предел — узловое место курса. Следует добиваться
совершенно четких решений, ясного понимания всех определе-
ний, умения формулировать противоположные утверждения.
Решение задачи 188. Пусть последовательность
<2^4-00. Рассмотрим ах. По определению, существует такое N,
что при n>N anZ>av Выберем из чисел а2; а3; ...; o,n (их
конечное число) наименьшее. Пусть это будет а\ а^ах.
Теперь сравним а с произвольным аь Если i<N, то a<azno
выбору а, а если i>N, то	по выбору N. Но а есть
член нашей последовательности, и все доказано.
43
2й- при
0 при х<г„
Указание к задаче 207. Заметим, что 0<е—а„<^-,
т. е. е-ап=-^-, где 0<«р„<1 при любом п.
т-т	т	т (1 । 1 । 1 । 1 ।	1 1 А Тп
Пусть е—— ; тогда -^-П+н + 2! + 3! + - +яг) =
Умножим обе части на я!. Слева получим целое число,
справа — не целое.
Задача 225. Занумеруем все рациональные числа: гь г>,
г3, ••• •
Построим функции: fnkx) —
п
gn=£fi; F(x) = limg„(x).
П^-оо
Можно проверить, что F(x) — искомая функция.
В задачах 235—245 необходимо получить доказательство,
либо пример.
Задачи на показательную функцию вызывали некоторые
трудности, для их решения требуется полное овладение техникой
пределов и сечений.
Следует очень подробно проработать задачи 286—305 (кроме
задачи 292, которая очень трудна). Каждое свойство непрерыв-
ных функций необходимо доказывать несколькими способами. На
этот раздел программы ушло очень много времени, и для неко-
торых он оказался трудным. Поэтому в начале X класса этот
раздел был доработан в задачах «Повторение», которые были
даны на дом и затем проверены у каждого ученика. Так что
в итоге материал был усвоен полностью.
Задачи 311 явились подготовительными к теме «Асимптоты».
В задачах 314 и 320 необходимо использовать то обстоятель-
ство, что площадь отсекаемой части многоугольника есть непре-
рывная функция от положения прямой или многоугольника.
Задача 322 довольно трудна. Следует сперва доказать, что
lim (1 + —)”=е.
г п)
В задаче 335 доказывается, что функция f(x) =
= 1 +-* + у + ...+ ^+— непрерывна и удовлетворяет функ-
циональному уравнению /(х + у) =f(x)-f(y), а поскольку
/(1)=е, то f(x)=ex (см. задачу 304).
Много времени было потрачено на отработку вычисления пре-
делов. Требовались не только правильные, но и самые короткие
решения с широким использованием «о малых».
Под рубрикой «Контрольная» (задачи 353—371) приведены
все три варианта (по 6 примеров каждый).
44
Назначение задач 372—379 — дать понятия о скоростях рос-
та и убывания функций и показать, как в несколько этапов ре-
шается трудная задача (задача 379).
В задачах 387—392 необходимо получить доказательство или
пример.
Задача 394а имеет различные решения. Приведем наиболее
короткое.
Рассмотрим g(x) =4(х— у)2—1; функция F(x) =f(x) — g(x)
обращается в нуль в точках 0 и 1. Легко видеть, что между этими
точками она имеет по крайней мере еще один корень, т. е.
f’(O) =F(C) =F(\) =0, 0<С<1, но между двумя корнями функ-
ции лежит по крайней мере один корень производной, т. е. суще-
ствуют Ci=/=C2-, такие, что F'(Ci) = F'(C2) =0; аналогично най-
дется такое С3 (С!<С3<С2), что Г"(С3)=0. Но F" = f"-g";
g"(x) =8; поэтому в точке C3f"(C3) =g"(C3) =8, и т. д.
После того как понятие производной было усвоено, каждому
ученику на дом было дано вычислить производные от 25 элемен-
тарных функций.
Формулой Тейлора изучение дифференциального исчисления
было закончено. Во втором полугодии X класса изучалась алгеб-
ра. Кроме того, на дом давались довольно объемистые задания
по построению графиков (около 70 графиков на учащегося, прав-
да, в три приема и в течение длительного времени).
IX КЛАСС
§ 1 *. Тема. Конечные суммы, прогрессии,
математическая индукция (6 часов)
1.	1+2+3+...+&=^-^. Доказать.
2.	1+3+5+...+(2А:+1)=?
3.	Доказать, что плоскость, на которой проведено k прямых,
можно раскрасить двумя красками так, что каждый кусок рас-
крашен одной краской, а два куска, имеющие общий участок гра-
ницы,— различными.
4.	Доказать, что число, записанное 3k одинаковыми цифрами,
делится на 3\
5.	13+23+33+...+Л3=(1+2+3+...+А)2. Доказать.
6.	+ 2?3 + 374+--+ 99-100 = 100 • Доказать.
* Деление на параграфы, весьма условное, имеет чисто служебное назна-
чение— облегчить пользование задачником, очертив, хотя бы приблизительно,
естественные границы между отдельными группами задач, не всегда совпа-
дающие с переходами между темами программы.
45
7. Рассмотрим числа:
1*	2ft-l*		
2fe		(3*-2*)—(2*—1*)	
	3*—2ft			
3*		(4*_3*)_(3*_2*)	
	4k—3*			
. . .			
				
. . •				
				
		• •	
	nk—(n — 1)*		
nk			
				
• . •			
			
(Каждый элемент этой таблицы во всех столбцах, кроме первого,
есть разность чисел, стоящих слева от него.) Доказать, что все
числа, стоящие в (&+1) -м столбце, равны.
8. На сколько частей делят плоскость k прямых в общем по-
ложении?
9. На сколько частей делят пространство k плоскостей в об-
щем положении?
[k плоскостей (прямых) находятся в общем положении, если лю-
бые три (две) из них пересекаются в единственной точке и ни
в какой точке не пересекаются четыре (три) из них.]
§2. Принцип математической индукции. Пусть
7\, Т2,	... — последовательность теорем. Если
1. Верна 7\ и
2. Верна теорема: «из Tk следует Tk+\», то верны все
теоремы последовательности.
Определение. Арифметической прогрессией называется
последовательность чисел вида: a, a + dt a + 2d, ...a + kd, ... .
10.	Вычислить сумму первых k членов арифметической про-
грессии.
Определение. Геометрической прогрессией называется по-
следовательность чисел вида: b, bq, bq2, ..., bqn, ... .
11.	Вычислить сумму k первых членов геометрической про-
грессии.
12.	Обозначим через S, сумму первых i членов геометри-
ческой прогрессии Ь{, Ь2, ... . Пусть ^-=16; Е10 = 341.
Найти bv.
13.	Доказать, что (1+а)*^>1+^а (а>0,& — натуральное).
14.	12+224-32+...+«2= ?
46
15.	l+y + j+--- + 50o>5. Доказать.
16.	1 +^ + ^-+.„+ <2. Доказать.
Гармоническим называется ряд:
1+т+++-+т+т+++- •
17.	Рассмотрим сумму 1 + vr + y+ ••+у+ ^+..-+^ +
, 1 , , ' „
+ 20+... (в гармоническом ряде выорошены все слагаемые,
в написании которых участвует 9). Доказать, что сумма пер-
вых и чисел при любом п меньше 100.
18’ Доказать’
19.	Что больше: 300! или 100300? ,
Трудная задача.
20.	Рассмотрим -числа 2, 3, 7. Они обладают следующим
свойством: (2-3+1): 7, (2-7+1) :3 и (3-7+1): 2—целые числа.
Доказать, что никакая другая тройка натуральных чисел,
больших 1, не обладает этим свойством.
2L,+A+3^+"'+?S=S'
Доказать, что существует такое С, что при любом k
сумма S меньше С.
22.	Фигура называется выпуклой., если в нее целиком вхо-
дит отрезок, соединяющий любые две ее точки. На плоскости
дано п выпуклых фигур. Если любые три из них имеют общую
точку, то все они имеют общую точку. Доказать.
23.	Решить в целых числах: x2+y2+z2+/2=2xyzf.
1 1 ,1 1 , ,1 1	1/. , 1 . , 1 )
24,	1 ' 2n—1 + 3 ’ 2п—3-^"‘Д2л—1 ’ 1	3 "*"••• +2я— 1) '
Доказать.
25.	П19=71; 610=? (Пп=ЬгЬ2...-Ьп).
26.	Sio(E3o—S2o)—(22о—sio)2=? (В обозначениях задачи 12.)
27.	Пусть ах,а2,а2...—арифметическая прогрессия. Обозначим:
5г=<21+а2+-.-++- S5=S10;Si5=?
§ 3.	Тема. Комбинаторика, бином Ньютона
(14 часов)
28.	В комнате 5 лампочек, каждая из которых может гореть
и не гореть. Сколько существует различных способов освещения
(два способа считаются различными, если они отличаются со-
стоянием хотя бы одной лампочки).
47
29.	У мамы два яблока и три груши. Каждый день она выдает
ребенку по одному фрукту. Сколькими способами это можно
сделать? (Яблоки неразличимы и груши неразличимы.)
30.	Сколькими способами можно представить п в виде сум-
мы трех натуральных слагаемых (порядок существенен)?
31.	На рояле 88 клавиш. Сколько существует последователь-
ностей из четырех неповторяющихся звуков?
32.	Сколько существует аккордов из четырех звуков?
33.	Найти коэффициент при х" в выражении
(х—1) (х—2)...(х—100).
34.	Сколькими способами можно расставить на шахматной
доске 8 ладей, не бьющих друг друга?
35.	Какое наибольшее число слонов можно расставить на шах-
матной доске так, чтобы они не били друг друга? Доказать, что
число способов расстановки есть квадрат некоторого числа.
36.	Сколько существует автомобильных номеров (4 цифры,
3 буквы)?
37.	Комиссия состоит из пяти человек. На сейфе несколько
замков, и у каждого несколько ключей. Каждые 3 члена комис-
сии могут открыть сейф, а каждые 2 не могут. Сколько было
ключей и замков?
38.	Сколько членов получится после раскрытия скобок в вы-
ражении (а+1) (6 + 1) (^+1) (cf+1) (с+1) (f+l) (g+1)?
39	(продолжение задачи 38). Сколько при этом будет членов,
содержащих 3 буквы?
40.	В выражении (1+х5+х7)20 раскрыты скобки, но не приве-
дены подобные. Определить общее количество членов получен-
ного выражения.
41.	В предыдущей задаче приведены подобные. Определить
коэффициенты при х17 и х18.
Дополнительные задачи.
42.	Сколько существует телефонных номеров (шестизнач-
ных), в которых найдется цифра 1 и сразу за ней цифра 2?
43.	Существует ли 777-гранник, состоящий из одних треуголь-
ников? А из треугольников и пятиугольников?
44.	Из чисел 1, 2, ..., 2 k выбрано &+1 число. Доказать, что
одно из выбранных чисел делится на другое.
§ 4.	45. Сколько делителей имеет число 2X3X5X7X11?
46.	Сколько делителей имеет число 10!?
Определение. Треугольником Паскаля называется таб-
лица:
48
1
1 1
1	2	1
13	3	1
1	4	6	4	1
1	5 10 10	5	1
(по сторонам 1, а каждое из остальных чисел есть сумма двух
чисел, стоящих над ним).
Основные задачи.
47.	Доказать, что на k-м месте /?-й строки треугольника
Паскаля стоит коэффициент при х*-1 в разложении (х+1)р_1.
48.	Доказать, что сумма чисел k-fi строки треугольника
Паскаля равна 2А-1.
Дополнительные задачи.
49.	Доказать, что' для каждого числа С найдется такое
простое/?, что 1 + у + у + ---+У больше С (в знаменателях
все простые числа, не превышающие р).
50.	Множество М точек плоскости таково, что не сущест-
вует прямой, содержащей ровно две точки М. Доказать, что
либо М лежит на некоторой прямой, либо содержит беско-
нечно много точек (либо и то и другое одновременно).
ci гт	(2а)! (26)!
5I.	Доказать, что	---целое число.
§ 5. 52. Доказать, что 3fe> - •
53.	Доказать, что разложение натурального числа на простые
сомножители единственно.
54.	Доказать, что простых чисел бесконечно много.
55.	Фабрика выпускает погремушки в форме кольца, на ко-
торое надеты 8 шариков: 3 красных и 5 синих. Две погремушки
считаются различными, если они остаются различными в любом
положении, как бы мы их не двигали. Сколько различных погре-
мушек можно сделать?
56.	Доказать, что в треугольнике Паскаля существует беско-
нечно много таких строк, в которых все числа нечетные.
57.	Упростить: I • l!+2-2! + ...+n-n!.
58.	Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося
после раскрытия скобок и приведения подобных в выражении
(1+3х—Зх2)714 (1-Зх+Зх2)713.
59.	В разложении (1 +7х — х2) 1963 найти сумму коэффициентов
при четных степенях х.
60.	Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску двух королей так, чтобы они не били друг друга?
4 648	49
61.	В выпуклом й-угольнике никакие 3 диагонали не пере-
секаются в одной точке (кроме вершин). На сколько частей они
делят многоугольник?
62.	Сколькими способами можно распределить Зп предметов
между тремя людьми так, чтобы каждый получил п предметов?
63.	Рассмотрим шестизначные числа со следующим свойст-
вом: если на каком-нибудь нечетном месте стоит 5, то следующая
цифра тоже 5 (разряды нумеруются слева направо). Сколько
таких чисел?
Определение. С°=С" = 1; С*=0 при n<k;
c^^k)\ ПРИ
64.	Доказать, что на &-м месте /г-й строки треугольника
Паскаля стоит .
65.	Пусть имеется п ламп. Доказать, что число способов
освещения, при которых горят k ламп, есть Ckn.
66.	а) Доказать, что 2*=С°-|-С^+...+С*.
б)	Найти Cok+C2k+... .
в)	Найти С^+С^+... .
67.	Доказать, что (l + ^-j^l+j+^- (пРи
68.	Что больше: 995°+10050 или 101s0?
69.	Что больше: 1,0000011000000 или 2?
70.	Что больше: 1001999 или 10001000?
Контрольная работа.
71.	Сколькими способами из карточной колоды (36 карт)
можно вынуть 6 карт так, чтобы среди них нашелся туз?
72.	Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску 2 белые ладьи и 2 черные так, чтобы белые не били черных?
73.	Между каждыми двумя соседними цифрами числа 14641
вставлено k нулей. Доказать, что получился полный квадрат.
74.	В разложении (х2+х)10 найти член, содержащий х7.
75.	Сколько диагоналей можно провести в выпуклом
^-угольнике?
Задачи дополнительной контрольной.
76.	Сколько различных четных пятизначных чисел с неповто-
ряющимися цифрами можно составить из цифр 0; 1; 3; 5; 4?
77.	Сколькими способами можно разложить в два кармана
9 монет различного достоинства?
78.	В классе изучается 10 предметов; в среду 6 уроков, при
этом все уроки различные. Сколькими способами можно соста-
вить расписание на среду?
50
§ 6. Тема. Неравенства (20 часов)
Неравенством называется запись вида а<Ь, где а и ft-
числа. Эта запись читается так: «а меньше ft» и понимается
в общепринятом смысле. Таким образом, неравенство есть
запись некоторого утверждения о двух числах. Так, верны
следующие утверждения: 2<5, —1<0, —и т. п., и не
верны: — iq< — Ю и т. п. Наряду со знаком < (меньше) упо-
требляется знак > (больше); записи «a<ft» и «ft>a» мы будем
считать равнозначными.
Записи «a<Cft» и «ft>#» мы также будем называть неравен-
ствами. Смысл их таков: «a<ft» есть запись, следующего
утверждения: «верно одно из двух утверждений: а<Ъ или
a=ft» (читается: а меньше или равно ft). Тот же смысл имеет
неравенство «й^а». (Упражнения: верно ли неравенство
2<.2? 2 3?) Конечно, когда мы говорим: «верно нера-
венство 2<10», то имеем в виду: «неравенство 2<10 есть
запись верного утверждения». Заметим, что «неравенство»—
это не то же самое, что «отсутствие равенства». (К непра-
вильному пониманию этого термина в известной степени под-
талкивает само строение слова «неравенство».)
Такими первоначальными сведениями о неравенствах обла-
дает по существу всякий человек. Это объясняется тем, что поня-
тия «меньше» и «больше» принадлежат к числу наиболее употре-
бительных в обиходе понятий. Этого интуитивного понимания
в принципе достаточно для решения всех содержательных задач
предлагаемой темы. Но при таком подходе доказывать, что
(я —ft)2>0, не следует, в то время как неравенство a2 + ft2>2aft
уже требует некоторого доказательства.
Какие же факты нужно доказывать? На первый взгляд логич-
на точка зрения, что неочевидные факты нужно доказывать исхо-
дя из очевидных. Но где проходит граница между очевидными
и неочевидным? Если мы не зафиксируем эту границу, понятие
доказательства расплывется.
Например, в геометрии — что считать более очевидным: тот
факт, что через точку, лежащую вне прямой, проходит только
одна параллельная к этой прямой, или то, что через точку можно
провести только один перпендикуляр к прямой?
В математике выходят из этого затруднения следующим об-
разом. Составляется список основных фактов (аксиом), которые
считаются «очевидными»; все остальные факты считаются «не-
очевидными». При этом вовсе не требуется, чтобы аксиомы были
действительно очевиднее теорем с точки зрения здравого смысла.
Такой способ изложения и принят у нас в теме «Неравен-
ства». Четыре основных свойства неравенства выделены в каче-
стве аксиом.
51
При этом оказалось, что все остальные верные утверждения
о неравенствах можно вывести из этих аксиом. Например, ока-
залось, что неравенство 0< 1 можно доказать. С точки зрения
здравого смысла это столь же очевидный (или даже более оче-
видный) факт, как и, например, 4-я аксиома. Но неравенство
0<Ч можно вывести из аксиом, поэтому мы не включаем его
в число основных фактов. Можно вообще забыть о том, что озна-
чает неравенство (забыть общепринятый смысл понятия «мень-
ше») и помнить только аксиомы, а затем из аксиом с помощью
формальных рассуждений вывести и самый смысл понятия
«меньше» (выяснению смысла знака < посвящены задачи
79—84). Иначе говоря, если некоторое соотношение между чис-
лами, обозначаемое значком <, удовлетворяет выбранным че-
тырем аксиомам, то это и есть соотношение «меньше».
В теме «Неравенства» мы считаем известными правила дей-
ствий над целыми и рациональными числами. Этот момент тре-
бует пояснений.
Строго говоря, если мы не хотим аккуратно строить систему
целых и рациональных чисел, то мы должны были бы по край-
ней мере точно выписать, какими свойствами целых и рацио-
нальных чисел и действий с ними мы будем пользоваться. Одна-
ко это увело бы нас в сторону. Поэтому ограничимся нестрогим
изложением ситуации. Что значит, что мы «знаем целые и ра-
циональные числа и правила действий с ними»? Это значит, что:
1.	Мы умеем считать: 1, 2, 3, 4, ... (в частности, знаем принцип
математической индукции). Кроме того, вводим в обиход символ О
и символы —1, —2, —3, —4, ... .
Символы 1, 2, 3, 4, ... называем натуральными числами.
(Заметим, что понятие «меньше», в частности «меньше О»,
пока не использовано.)
2.	Для любых двух целых чисел а и b мы можем вычислить
а + Ъ, а — Ь, а-b и в некоторых случаях у, причем выполняются
обычные свойства этих операций, например a + b = b + a,
a(b + c) =ab + ac, и т. д.
3.	Мы вводим в рассмотрение дроби (рациональные числа),
т. е. символы вида ~, где р, q — целые и q=^Q. Две дроби
р ТП	„ Р
у и — считаются равными, если p-n=q-m. Дробь отож-
дествляется с числом р.
4.	Для любых двух дробей и мы можем вычислить
сумму, разность, произведение и частное (если яг=г=0), причем
эти операции снова обладают обычными свойствами. Например,
считается известным, что (—2)*(—ПРИ 9Т0М не может
быть речи о том, что —2<0, так как понятие «<» не вводи-
52
лось: оно не нужно для определения операций. Правило зна-
ков «минус на минус дает плюс» — это не то же самое, что
утверждение «произведение двух чисел, меньших нуля, есть
число, большее нуля, или положительное». Еще считаются
известными факты: 4=^5 и т. п.
§ 7.	Основные свойства отношения «меньше»
(аксиомы неравенства)
1.	Для любых двух чисел а и b верно одно и только одно из
утверждений: а<Ь, а = Ь, Ь<а.
2.	Если а<Ь и Ь<с, то а<с.
3.	Если а<Ь, то а + с<Ь + с. (Напоминаем, что правила дей-
ствий с целыми и рациональными числами мы считаем извест-
ными.)
4.	Если а<Ь и 0<с, то ас<Ьс.
Задачи.
79.	Доказать, что 0<1.
80.	Всякое натуральное число положительно (положитель-
ное — значит большее нуля). Доказать.
81.	Если k — натуральное, то (—^)—отрицательное (отрица-
тельное — значит меньшее нуля). Если р—&>0, то р>£. Дока-
зать.
Замечание: d>b означает Ь<а.
82.	Если р и k — натуральные, то у>0, — ^<0.
Определение. Модулем х (обозначается | х |) назы-
вается: х, если xi>0 и —х, если х<0.
83.	Доказать, что | ху | = | х | • | у |; |у| = -jyj-.
84.	Пусть ръ kt, р2, k2 — целые числа и и k2 отличны
от 0. Обозначим Ф- через а, через Ь. Тогда
«1	«2
1)	если а<0, 6>0, то a<J)-,
2)	если а>0, 6>0 и	IP2I, то а>д;
3)	если а<0, 6<0 и ‘|а|>|^|, то
85.	Если а>0, то а+-Г>2. Когда достигается равенство?
9
86.	Найти наименьшее значение выражения .
87.	Если а>0 и Z»>0, то ^-^-^УаЬ. Доказать.
(д_1_#\2	Л2_1_£2
—2~J	—2—• ^казать геометрический
смысл.
53
§8. Вспомогательные свойства отношения
неравенства
89.	Если a<Jj, c<Cd, то a-^c<_b-\-d. Доказать.
90.	Если 0<а<£, то а2<&2. Доказать.
п п
91.	Если 0<а<&, то ]/"а<У&. Доказать.
(Корни берутся положительные.)
Задачи о независимости аксиом (дополни-
тельные).
92.	Доказать, что аксиому 4 нельзя доказать, исходя из ос-
тальных.
93.	Доказать, что аксиому 3 нельзя доказать, исходя из ос-
тальных.
94.	Доказать, что аксиому 2 нельзя доказать, исходя из ос-
тальных.
[Во всех случаях пока предполагается, что рассматриваемое нами
отношение неравенства (точнее, отношение «меньше») определе-
но в области рациональных чисел.]
Система аксиом 1, 2, 3, 4 обладает следующим свойством: ни
одна из них не может быть выведена (доказана), исходя из ос-
тальных. Этот факт называется независимостью аксиом.
Приведем решение задачи 92.
Введем отношение а-^b, определяемое следующим образом:
а-^b, если Ь<а (< —обычный знак «меньше»). Иначе говоря,
введем в качестве «меньше» обычный знак «больше». Тогда ак-
сиомы 1, 2, 3, в которых вместо < поставлено-Н, выполняются
(легко видеть), а аксиома 4 не выполняется, так как —1<0, т. е.
ОН —1 (1), и в то же время 0<1, т. е. 1Н0 (2), в то время как из
аксиомы 4, применяя ее к (1)> имеем 0-ЧЬ что в сопоставле-
нии с (2) противоречит аксиоме 1.
Но если существует понятие (а именно, И), для которого вы-
полняются аксиомы 1, 2, 3 и не выполняется 4, то аксиома 4 не
может быть доказана, исходя из остальных.
§9.	Важные задачи.
95.	Доказать, что найдется такое k, что при любом n>k,
2n>niQ.
96.	Доказать, что найдется такое k, что при всех n>k
2«2-F2n+l	2^3
3/22—2	3 100 •
97.	Доказать, что найдется такое k, что при всех n>k
1000-2л<л!.
98.	Пусть |#|<1. Доказать, что для любого е>0 найдется
такое k. что при любом n>k имеет место неравенство
|?|я<е.
54
Дополнительные задачи.
99.	В городе 57 автобусных маршрутов. На каждом маршру-
те не меньше трех остановок. С любой остановки на любую мож-
но попасть без пересадки. Для любых двух маршрутов найдется
ровно одна общая остановка. Сколько остановок на каждом
маршруте?
100.	Придумать такое алгебраическое действие, т. е. правило,
по которому двум числам а и b однозначно сопоставляется
третье, обозначаемое через а 0 Ь, чтобы было:
1)	а 0 b = b <S> а>
2)	(п06) 0с = а0(б0с),
3)	(а0Ь)+с= (а + с) 0(6 + с).
§ 10. Важные задачи (полезные для дальнейшего, но
трудные, а потому не обязательные).
п._________
101.	Пусть Тогда ai+^+...+а^пУ аг-а2-,..-ап. До-
казать.
102.	Рассмотрим многочлен P(x)=xs~Зх-|-1.
Доказать, что найдется такое рациональное р, что
^(РХ юоо •
103.	Найти такое 8>0, чтобы при всяком неотрицательном k,
меньшем 4-, было |Р(/г8)—Р((/г—1)3)| <^.
104.	Существует ли такое В, чтобы неравенство предыду-
щей задачи выполнялось при любом /г?
Обязательные задачи.
105.	Доказать, что |a+&K|a| + |6|.
. AA А	(Х 2)	(Л + 3) а
106.	Решить неравенство 3---- , Д------->0.
(•* о)
Пояснение. Говорят, что число удовлетворяет нера-
венству, содержащему х, если в результате подстановки в это
неравенство числа х0 вместо х получается верное неравенство.
Решить неравенство, содержащее х,— значит дать явное
описание всех х, которые ему удовлетворяют.
I jc—1-21
107.	Решить неравенство гд >3.
108.	Дана функция Ф(х)=ах2-|-6х-(-с (а>0) и число х0.
Найти такую линейную функцию p(x) = kx+g, чтобы
было
1) Х*о) = ф(*о),
2) р(х)^Ф(х) при всех х (выразить k и g через а, Ь, с).
109. k-p человек выстроились в ряды и шеренги (k рядов,
р шеренг). Кто выше: самый высокий среди самых низких
в шеренге или самый низкий среди самых высоких в ряду?
55
§ 11. Основные задачи.
НО. Доказать, что |х — а\<.Ь тогда и только тогда, когда
a— Ь<_х<а-\-Ь.
111.	Пусть трехчлен ах2-|-6х4-с имеет два различных корня
х0 и хь причем а положительно и х0 меньше Какой знак при-
нимает трехчлен для х, меньших х0, какой для х между х0
и xt и какой для х, больших х1~!> Что можно сказать о знаке
трехчлена, который не имеет корней или имеет только один
двойной корень?
112.	Доказать, что р(х)=ах2-\-Ьх-\-с при й>0 есть строго
,	/х+у\	р(х)+р(у)
выпуклая функция, т. е. Ру—^у-^	, причем знак
равенства может стоять только, если х=у.
113.	Решить неравенство	-4х+3
§	12. Дополнительные задачи.
114.	Построить на прямой систему попарно не пересекаю-
щихся отрезков единичной длины так, чтобы во всякой арифме-
тической прогрессии нашелся член, лежащий на одном из от-
резков.
115.	Доказать, что среди треугольников, вписанных в окруж-
ность, правильный имеет наибольшую площадь.
116.	Среди прямоугольных треугольников с данной гипотену-
зой найти треугольник с наибольшим периметром.
117.	Доказать, что в треугольнике сумма квадратов сторон
меньше половины квадрата периметра.
ио гт	1-3.5.7	99	1
118.	Доказать, что 2 4	... Тоб<Т2 •
119.	При каком х трехчлен x2-\-px~{-q достигает минималь-
ного значения. Найти это значение.
Контрольная работа.
120.	Верно ли, что существует бесконечное число таких
целых р, что выполняется неравенство:
У7+(-1)р./^<^.
121.	Верно ли, что найдется такое С, что при всех целых k
выполняется неравенство:
122.	Доказать, что при всяком натуральном k имеет место
неравенство 1^1 +>U + y) •
123.	Верно ли, что для любого С найдется целое k такое,
что имеет место неравенство: &-sin&>C?
56
§ 13.	Основные задачи.
р _
124.	Доказать, что существует такое р, что Vр< 1,001.
125.	Найти геометрическое место точек на плоскости, коор-
динаты которых удовлетворяют неравенствам:
а) 0<х<у, б) 0>х>у, в) 0<х<у, г) 0<х<?у,
д) 1<х2+у2<4, е) л2<у, ж) 2хЦ-5у>0, з) х<у и 1—х<у,
и) sinx<y и sin • Сделать рисунки.
(Запись 0<х<у употребляется как сокращение, заменяющее
два неравенства: 0<х и х<у; требуется, чтобы эти два неравен-
ства выполнялись одновременно, то есть мы ищем такие пары
чисел х, у, чтобы выполнялись оба неравенства.)
Дополнительные задачи.
126.	На плоскости дана система точек. Допустим, мы хотим
каждой паре точек (а, Ь) [в том числе и парам (а, а)] поста-
вить в соответствие число р(а, Ь) так, чтобы выполнялись тре-
бования:
1) р(я, Ь) неотрицательно; 2) р(а, а)=0; 3) р(а, 6)=0 вле-
чет а=Ъ\ 4) р(а, 6) = р(6, а); 5) р(а, &)+р(^, ^)>р(^, £).
Доказать, что эта система требований непротиворечива, и ис-
следовать ее независимость.
127.	Доказать, что два равновеликих параллелограмма мож-
но разрезать на равное число попарно конгруэнтных фигур.
§ 14.	Тема. Некоторые сведения о множествах
(4 часа)
128.	Доказать, что между двумя рациональными числами
найдется бесконечно много рациональных чисел.
129.	Не существует рационального числа, квадрат которого
равен 2. Доказать.
130.	Не существует рационального числа, квадрат которого
равен 5. Доказать.
131.	Если]Лг = у, то Уп — целое. Доказать.
Определение. Говорят, что между множествами Л11 и М2
установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому
элементу множества Mi поставлен в соответствие один опреде-
ленный элемент множества М2 таким образом, что при этом каж-
дый элемент множества М2 оказался поставлен в соответствие
одному и только одному элементу множества Мь
Определение. Взаимно однозначное соответствие двух
числовых множеств Mi и М2 называется подобным соответстви-
ем, если оно сохраняет порядок, т. е. из неравенства Xj <yi сле-
дует неравенство х2<у2 (х2 и у2 — элементы М2, соответствующие
57
л'1 и Vi). Пусть теперь Mi есть множество рациональных чисел,
больших 0 и меньших 1.
132.	Можно ли установить подобное соответствие между Mi
и множеством М2 рациональных чисел, больших 0 и меньших 2?
133.	Тот же вопрос, если М2 есть множество рациональных
положительных чисел.
134.	(Тонкий вопрос.) Тот же вопрос, если М2 есть множест'
во рациональных чисел, для которых или 0<х<1, или 2<х<3.
Определение. Множество М называется счетным, если
можно установить взаимно однозначное соответствие между М
и множеством натуральных чисел; множество, не являющееся ко-
нечным или счетным, называется несчетным.
135.	Доказать, что множество всех целых чисел счетно.
136.	Доказать, что множество всех положительных простых
чисел счетно.
137.	Доказать, что множество всех рациональных чисел
счетно.
Теорема. Множество всех последовательностей из 0 и 1 не-
счетно. (Говорят, что задана последовательность из 0 и 1, если
каждому натуральному числу приписан 0 или 1.)
138.	Доказать, что множество конечных слов русского алфа-
вита счетно.
139.	Множество М состоит из восьмерок, лежащих на пло-
скости и не пересекающих друг друга (восьмерка — пара касаю-
щихся окружностей). Доказать, что М конечно или счетно.
140.	Число х0 называется максимумом функции <р(х), если су-
ществует положительное число d такое, что в интервале
(х0—d, x0+d) ф(х) больше всякого другого значения функции
в этом интервале. Доказать, что множество максимумов любой
функции конечно или счетно.
§ 15. Тема. Действительные числа (32 часа)
Для строгого изложения анализа необходимо аккуратное по-
строение системы действительных чисел. Дело в том, что мате-
матический анализ требует значительно более высокой степени
логической подготовки, чем традиционная элементарная мате-
матика. Часто случается, что учащийся, успешно справляющий-
ся с задачами из элементарной геометрии, но обладающий пло-
хой логической подготовкой, не может отличить два простых
утверждения из анализа, одно из которых верно, а другое невер-
но. В нашем курсе переход от элементарной математики к выс-
шей сделан по возможности постепенным, в соответствии с чем
и уровень логических требований повышается непрерывно. Все
же при нашем изложении при переходе к теме «Действительные
числа» в этом отношении имеется скачок. Это неприятное обстоя-
тельство у нас было в какой-то степени скомпенсировано тем, что
58
на прохождение темы было отведено много времени. Контроль-
ных работ не проводилось. Для контроля усвоения было задано
письменное домашнее задание, состоящее из задач 154, 160, 161,
165, 170, 171, которое долго разбиралось индивидуально с каж-
дым учеником. В зависимости от уровня подготовки и направ-
ленности интересов класса можно мыслить различные способы
прохождения темы «Действительные числа», отличные от наше-
го. Один из способов состоит в том, чтобы предложить учащимся
выучить действительные числа по книге А. Я. Хинчина «Восемь
лекций по математическому анализу» (лекция 1, до лемм) и про-
верить усвоение у доски. Вообще, нужно заметить, что в каждом
из четырех классов нашей школы эта тема проходилась по-свое-
му, и у преподавателей школы нет единого мнения по вопросу,
какой способ является наилучшим. Одним из важных психологи-
ческих результатов прохождения темы должно быть убеждение,
что нет «бесконечно малых величин», которые отличны от нуля,
но в то же время меньше любого конечного числа.
Определение.'Если А и В — подмножества множества М,
причем 1) каждый элемент множества М входит в одно и только
одно из них, 2) в каждое из этих подмножеств входит хотя бы по
одному элементу, то говорят, что подмножества А и В образуют
разбиение множества М.
Множество рациональных чисел обозначим через Р.
Определение. Разбиение множества Р на два подмноже-
ства А и В называется сечением множества Р, если каждый эле-
мент одного подмножества меньше каждого элемента другого
подмножества. Подмножество, содержащее меньшие элементы,
называется нижним классом сечения, другое подмножество —
верхним классом.
Сечение обозначается так:	Сечения бывают четы-
рех типов:
1)	в	Хп	есть наибольший	элемент,	в	Хв	нет наименьшего;
2)	в	Хн	нет наибольшего	элемента,	в	Хв	есть наименьший;
3)	в	ХИ	нет наибольшего	элемента,	в	Хв	нет наименьшего;
4)	в	Хн	есть наибольший	элемент,	в	Хв	есть наименьший.
§ 16.	Задачи.
141.	Привести пример сечения 1-го типа, 2-го типа.
142.	Доказать, что не существует сечений 4-го типа.
143.	Доказать, что если существует подобное соответствие,
которое требуется в задаче 134, то оно порождает сечение
3-го типа в множестве
144.	Отнесем к классу Хн все отрицательные рациональные
числа и все такие рациональные числа, квадрат которых
меньше 2, а к классу Хв — все такие положительные рацио-
нальйые числа, квадрат которых больше 2.
Доказать, что это сечение. Доказать, что оно 3-го типа.
59
145.	Доказать утверждение: если два сечения (A'JA'J
и (КП|УВ) не совпадают, то имеет место одно и только одно
из двух обстоятельств:
а) Хн входит в Кн, YB входит в Хв; b) Y„ входит в Ан,
Хв входит в YB.
146.	Пусть (AJA”,,)—сечение. Тогда для любого положитель-
ного числа е>0 найдутся числа а из Ха и b из Хв такие, что
\Ь—а|<е. Доказать.
Определения: 1) Действительным числом называется
сечение множества рациональных чисел.
2)	Действительные числа х=(Ан|Ав) и у = (У„| Кв) считаются
равными тогда и только тогда, когда
а)	либо АН=У'Н, XB=YB (то есть когда они совпадают),
Ь)	либо в XR есть наибольший элемент а, в YB есть наи-
меньший элемент b и а = Ь,
с)	либо в У„ есть наибольший элемент а, в Хн есть наи-
меньший элемент b и а = Ь.
Определение. Сечение 3-го типа называется иррацио-
нальным числом; сечения 1-го и 2-го типов называются рацио-
нальными действительными числами (наибольший элемент
Хн в первом случае и наименьший элемент Хв во втором назы-
ваются рациональными числами, соответствующими данному
рациональному действительному числу.
Замечание. До задачи 159 включительно мы делаем
различие между рациональными числами и рациональными
действительными числами.
Определение. Пусть х=(Ан|Ав) и у=(КН| Кв) — дей-
ствительные числа. Говорят, что х меньше у, если найдется
два рациональных числа р^Рг, принадлежащих одновременно
Хв и У„.
147.	Пусть хх=х.> и Xi меньше у. Доказать, что х2
меньше у. Почему для определения неравенства в области
действительных чисел нужно это утверждение?
148.	Доказать, что среди действительных чисел выполняется
первая аксиома неравенства.
149.	Доказать, что выполняется вторая аксиома (транзитив-
ность) .
150.	Доказать, что между любыми двумя действительными
числами найдется бесконечно много рациональных действитель-
ных чисел.
Определение. Пусть х=(Ан|Ав) и у=(Ун|Кв) — дейст-
вительные числа. Определим сечение z=(ZH\ZB) следующим
образом: к классу ZH отнесем всякое такое рациональное
число р, что найдется а из Хн и b из Ун такие, что р <а-\-Ь,
а к классу ZB — все остальные рациональные числа. (Дока-
жите, что это сечение.) Сечение z называется суммой
60
х и у и обозначается через х-|-у (если есть другое действи-
тельное число, равное z, то оно тоже называется суммой
х и у).
Определение. Пусть х=(Агн|Л’в) и у = (Кн|Кв). Если Хн
состоит из элементов Кв, взятых со знаком —, а Хв — из эле-
ментов YH, взятых со знаком —, то говорят что число у про-
тивоположно числу х и пишут у=—X.
151.	Доказать, что х+ (—х) =0.
152.	Рассмотрим сумму двух действительных чисел. Дока-
зать, что если заменить слагаемые на равные им числа, то сумма
не изменится (с точностью до равенства).
153.	Определить произведение действительных-чисел.
154.	Доказать, что квадрат числа, определенного в задаче
144, есть сечение, производимое двойкой.
Дополнительное упражнение.
155.	Определить разность и частное действительных чисел.
156.	Пусть х и у.—рациональные числа, Xi и yi —соответ-
ствующие им рациональные действительные числа. Тогда, если
х меньше у, то xt меньше уь
157.	Доказать, что сложение рациональных чисел и соответ-
ствующих им рациональных действительных чисел приводят к со-
ответствующим результатам.
158.	То же для умножения.
Дополнительное упражнение.
159.	То же для разности и частного.
Замечание. Теперь мы не будем делать различия между
рациональными числами и соответствующими им рациональными
действительными числами.
160.	Доказать, что в области действительных чисел верна
аксиома 3 для неравенства («к обеим частям неравенства можно
прибавить равные числа»).
161.	Доказать, что верна аксиома 4 (об умножении неравен-
ства на положительное число).
162.	Доказать, что в области действительных чисел
a + b = b + a.
Примечание. Аналогично доказываются остальные свой-
ства действий.
§ 17. 163. Доказать, что сечения в области действительных
чисел не бывают 3-го типа.
Определение. Пусть а и Ь—действительные числа и а<Ь.
Отрезком [а, 6] называется множество действительных чисел х,
удовлетворяющих неравенству а<х<&.Если в последователь-
ности отрезков Ai, А2, ... каждый отрезок, начиная со второго,
принадлежит предыдущему, то говорят, что это система вложен-
ных отрезков.
61
164а. Доказать лемму: система вложенных отрезков имеет
общую точку.
164b. Система вложенных отрезков называется стягивающей-
ся, если для любого е>0 найдется такое N, что длина /г-го от-
резка будет меньше е, как только n>N. Доказать, что стягиваю-
щаяся система вложенных отрезков имеет одну и только одну
общую точку.
Запись действительного числа с помощью
десятичной дроби
(для простоты рассматриваются положительные числа)
1)	Обозначим через П множество символов вида
axa2...an,kxk2... , где at и kt могут принимать значения 0, 1,
2, ... , 9 может равняться 0 только при п=1), и хотя бы
одно из чисел ah kt отлично от 0. Эти символы называются
положительными, десятичными дробями, (Дробь всегда счи-
тается бесконечной, даже если она кончается последователь-
ностью из одних нулей.)
2)	Дробь называется простоватой, если начиная с некоторого
места в ней идут одни нули или одни девятки.
3)	Если х (0) и Х(9) — две простоватые дроби, причем в них
некоторое количество первых знаков совпадает (это количество
может равняться 0), потом в Х(9)идет какая-то цифра р, а затем
девятки, а в %(0) идет р+1, а затем все нули, то эти дроби назы-
ваются близнецами.
4)	Определим множество D следующим образом: а) всякая
дробь из П, не являющаяся простоватой, входит в D; всякая пара
близнецов входит в D (как один элемент множества).
165.	Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством D и множеством всех положительных действитель-
ных чисел (так, чтобы это соответствие не противоречило обще-
принятому употреблению десятичных дробей).
Аналогично строится множество D2 для двоичных дробей (за-
писываемых нулями и единицами).
166.	Задача, аналогичная 165, но для двоичных дробей.
167.	Определить сумму двух десятичных дробей так, чтобы
при этом соответствующие действительные числа складывались.
168.	Доказать, что рациональные числа соответствуют перио-
дическим дробям.
169.	(Дополнительная задача для тех, кто знает систему
аксиом геометрии.) Установить взаимно однозначное соответ-
ствие между действительными числами и точками прямой (поль-
зуясь аксиомами геометрии).
§ 18. 170. Пусть х15 х2, ..., хк — монотонно возрастающая
и ограниченная сверху последовательность. Доказать, что
среди чисел, больших всех хп, есть наименьшее. (Последова-
62
тельность х15 х2,..., xk,... называется монотонно возрастающей,
если x,<xt+i для всех t; ограниченной сверху, если найдется
такое С, что xz<C.
171. Пусть Ар—периметр правильного 2Р - угольника,
вписанного в окружность диаметра 1, Ур — то же для описан-
ного многоугольника. Доказать, что существует число к,
заключенное между всеми Хр и Yp, и что оно только одно.
§ 19.	Тема. Предел (26 часов)
Определение. Число а называется пределом последо-
вательности xz, х2, х3, ... , если для каждого положительного
числа е найдется номер k такой, что при всех n>k выпол-
няется неравенство \а—х„|<е. Обозначения: lim хп—а, или
просто lim хп=а, а также хп-+а.
Некоторые последовательности, используемые
в следующих задачах
(1)	1 - - -
10 4 2’3’4’—
(2)	1, 0, 4 , О, 0, у, О, О, 0, у, о, о, о, о, ...
(3)	х*=1+у + 4+у+...+ -^- (х^ — число, стоящее на
Л-м месте последовательности)
и, х.=1+4О!+(4Г+...+(>)*
(5)	1, 1, 1, 1,...
(6)	1, -1, 1, -1...
(7)	1, -1, 1,	1,|, 1. ...
<8) 1, -4,	-4,...
2 ± 1 JL 1 JL JL J_ _L ± _L _L _L
Т’ 1U6 ’ Т"' (знаменатель дроби, стоящий на четном месте,
равен числу знаков знаменателя предыдущей дроби).
,	.1	2233445
(10) 2 ’ 1 ’ 3 ’ 2 ’ 4 ’ 3 ’ 5 ’ 4 ’ —
172.	Доказать, что 0 есть предел последовательностей (1),
(2), (8), (9).
173.	Найти пределы последовательностей (3), (4), (10).
174.	Доказать, что 1 не есть предел последовательности (1).
175.	Имеют ли пределы последовательности (5), (6), (7)?
63
Определение. Точка х0 называется предельной тонкой
последовательности {х„}, если в любой окрестности точки х0
найдется бесконечно много членов последовательности.
(Окрестностью точки х0 называется множество точек х таких,
что л0—Л1<х<х0+Л2.)
176.	Придумать такую последовательность, чтобы число а
было предельной точкой этой последовательности, но не было
ее пределом.
177.	Придумать такую последовательность, чтобы все нату-
ральные числа были ее предельными точками.
178.	Придумать последовательность, которая удовлетворяет
условиям предыдущей задачи и в которой нет при этом целых
чисел.
179. Придумать последовательность, для которой все числа
вида */п являются предельными точками.
180. Придумать последовательность, для которой все рацио-
нальные числа являются предельными точками.
§ 20. 181. Написать, что означает, что число а не является
пределом последовательности {х„} (не употребляя отрицаний).
182.	Выяснить, что означают следующие 16 условий (л—
«для любого», н — «найдется такое ..., что ...»):
н k н я>&
н k н /г>&
н k л п>&
н к л ге>&
л к н п>£
л к н п>£
л к л n>k
л к л n>k
н k н п>£
н к н «>&
н k л п>к
н к л «>&
л к н п>к
л к п n>k
л к л n>k
л к л n>k
1.	н е>0
2.	н е>0
3.	н е>0
4.	н е>0
5.	н е>0
6.	н е>0
7.	н е>0
8.	н е>0
9.	л е>0
10.	л е>0
И. л е>0
12. л е>0
13. л е>0
14. л е>0
15. л е>0
16. л е>0
хп-а
хп-а
х-а
хп-а
хп-а
хп-а
хп-а
хп—а
хп-а
хп-а
х-а
х—а
хп-а
хп—а
хп-а
хп-а
Определение. Точка а называется тонкой прикосно-
вения последовательности {хп}, если в любой окрестности
точки а найдется хотя бы один член последовательности {хл}.
183.	Может ли а быть точкой прикосновения последова-
тельности {хп}, но не быть при этом ее предельной точкой?
184.	Доказать, что условия
1)	л е>0 л k н n~>k |хп—a|>s
и
2) л е>0 л k н n>k |х„|>е
64
эквивалентны при любом а: если последовательность удовле-
творяет одному из них, то она удовлетворяет и другому.
185.	Доказать эквивалентность условий:
1)	н	е>0	л	k	л	ti>k	хп—а	<е
2)	н	е>0	н	k	л	/г>&	хп—а	<е
3)	н	е>0	л	п	хп—а	<е
4)	н	з>0	л	п	|хл|<е
186.	Контрольная называется легкой, если на каждой парте
найдется ученик, который решил все задачи. Сформулировать
определение трудной контрольной (трудная — значит не
легкая).
187.	Контрольная называется легкой, если в каждом
варианте найдется задача, которую решили все ученики,
пишущие этот вариант. Сформулировать определение трудной
контрольной.
§ 21. 188. Доказать, что если последовательность стремится
к 4-оо, (т. е. л е н k л п > k хп > е), то среди принимаемых
ею значений найдется' наименьшее.
189.	Доказать, что если последовательность стремится
к числу а, то среди принимаемых ею значений либо найдется
Наименьшее, либо наибольшее, либо и то и другое.
190.	Доказать следующее утверждение: если {xj — моно-
тонно возрастающая последовательность и а — ее предельная
точка, то а есть предел последовательности {хл}.
191.	Доказать, что если л=11тхл и то [Ь не есть
оо
предельная точка последовательности {х„}.
2п—1
192.	Доказать, что —------->0.
193.	Доказать, что -^-->0.
2”
194.	Доказать, что
195.	Доказать, что если |<?|<1.
п
196.	Доказать, что	> если 1<7|<1-
/=1
§ 22.	197. Доказать неравенство	—]£].
198.	Если lim хп существует и равен а и lim у„ существует
и равен Ь, то lim (х„+уя) существует и равен а-\-Ь. Доказать.
199.	lim (х„—y„)=lim хп—lim у„. Доказать.
200.	lim (x„-y„) = lim xn-lim уп. Доказать.
Л со	Л	Л
5 648
65
201.	Аналогичная теорема для частного. Написать форму-
лировку и доказать.
202.	Если lim хп>0, то все х„, начиная с некоторого,
больше 0. Доказать.
203.	Доказать, что предел последовательности есть ее пре-
дельная точка.
204.	Если последовательность монотонно возрастает и огра-
ничена, то она имеет предел. Доказать.
205.	Всякая ограниченная последовательность имеет пре-
дельную точку. (Последовательность ограничена, если суще-
ствует такое С, что |ап|<С при любом п.)
206.	Доказать сходимость последовательности {az}, где
я< =	+ + 7Г •
Ее предел обозначим через е. Доказать, что 2<£<3.
207.	Доказать, что £ —иррациональное число.
§ 23.	Определения
1.	Пусть а<Ь. Интервалом (а, Ь) называется множество то-
чек х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь.
2.	Окрестностью точки х называется любой интервал, содер-
жащий эту точку.
3.	^-окрестностью точки х называется интервал длиной 2 в,
центром которого служит точка х\ иными словами, е-окрест-
ностью точки х называется множество чисел у, удовлетворяющих
условию |х— у|<е.
4.	Пусть М. — множество на прямой. Точка х называется пре-
дельной точкой М, если в любой окрестности точки х найдется
точка множества М, отличная от х (эквивалентное определение:
если в любой окрестности точки х найдется бесконечно много то-
чек из Л4).
5.	Множество М называется ограниченным, если существует
число С такое, что для любого х из М имеет место неравенство:
л|<| С.
6.	Множество М называется ограниченным сверху, если су-
ществует число С такое, что для любого х из М имеет место не-
равенство х<С.
6а. Множество М называется ограниченным снизу, если су-
ществует число С такое, что для любого х из М имеет место не-
равенство С<х.
7.	Множество называется непустым, если в нем есть хотя
бы один элемент.
8.	Число С называется точной верхней гранью множества М,
если выполнены два условия:
66
а)	для всякого х из М имеет место неравенство: х<^ С;
б)	для всякого 8>0 найдется х из М такое, что х>С — е.
(Из задачи 211 следует, что ограниченное сверху множество
имеет точную верхнюю грань.)
Аналогично определяется точная нижняя грань множества
(и доказывается ее существование для множества, ограниченно-
го снизу).
9.	Определение предела функции Ф(х) при х,
стремящемся к х0.
Пусть М — множество на прямой, Ф(х)—функция, опреде-
ленная на М, Xq — предельная точка М.
Число А называется пределом функции Ф(х) при х, стремя-
щемся к х0, если для любого положительного 8 найдется положи-
тельное б такое, что для всякого х из М, отличного от х0 и удо-
влетворяющего неравенству |х — х0| <б, выполняется неравен-
ство |Ф(х)~ Л|‘<8.
Замечание. Мы не придаем самостоятельного смысла сло-
вам: «х стремится к >х0» или «предел функции Ф(х)». Смысл
имеет только все сочетание слов: «предел функции Ф(х) при х,
стремящемся к х0», и этот смысл высказан в вышеприведенном
определении.
10.	Частный случай определения предела, если М — вся чис-
ловая прямая.
Число А называется пределом функции Ф(х) при х, стремя-
щемся к х0, если для любого положительного 8 найдется поло-
жительное б такое, что для всякого х, отличного от Хо й удовле-
творяющего неравенству |х —х0| <б, выполняется неравенство
|Ф(Х)- Л| <8.
И. Оределение предела в некоторых несобст-
венныхслучаях.
Пусть М — множество на прямой, не ограниченное сверху,
Ф (х) — функция, определенная на М.
Число А называется пределом функции Ф(х) при х, стремя-
щемся к плюс бесконечности, если для любого положительного 8
найдется такое положительное б, что для всякого х из М, которое
больше б, выполняется неравенство |Ф(х)— Л| <8.
В частном случае, если М — натуральный ряд, применяют
специальную терминологию: функцию называют последователь-
ностью, аргумент пишут в виде индекса и не говорят слов «при
х, стремящемся к плюс бесконечности».
Число Л называется пределом последовательности Фп, если
для любого положительного е найдется N такое, что из неравен-
ства k>N следует неравенство | Ф* — Л| <8.
§ 24.	208. Доказать, что если множество ограничено и сверху
и снизу, то оно ограничено.
209.	Не употребляя отрицаний, сформулировать определение
множества, неограниченного сверху.
67
210.	Пусть М ограничено сверху. Верно ли, что среди чисел,
которые больше всех чисел из М, найдется наименьшее?
211.	Пусть М ограничено сверху и непусто. Верно ли, что сре-
ди чисел, не меньших каждого числа из М, есть наименьшее?
212.	Существует ли множество, предельными точками которо-
го служат все числа вида натуральное) и только они?
213.	Рассмотрим запись: lim Ф(.г)=Д. Символу а будем
придавать один из четырех смыслов: 1) а есть число, 2) а есть
бесконечность, 3) а есть плюс бесконечность, 4) а есть минус
бесконечность.
Символу А также будем придавать эти четыре смысла. Про
извольно комбинируя указанные четыре смысла а с четырьмя
смыслами'А, получим 16 понятий (в том числе 2 старых). Дайте
определение каждому из них (через е —б).
§ 25. 214. Примем снова сокращенные обозначения: л — «для
любого», н — «найдется ... такое, что'...».
Рассмотрим условия:
1.	л е>0 л 8>0 л
2.	л s>0 л 8>0 л
3.	л s>0 л 8>0 н
4.	л s>0 л 8>0 н
5.	л е>0 н $>0 л
G. л е>0 н 8>0 л
7. л е>0 н 8>0 н
S. л е>0 н 8>0 н
9.	н s>0 л 8>0 л
10.	н е>0 л 8>0 л
11.	н £>0 л 8>0 н
12.	н £>0 л 8>0 н
13.	н s>0 н 8>0 л
14.	н s>0 н 8>0 л
удовлетворяющего неравенству |х—х0|<8,
выполняется неравенство |Ф(х) —A <е.
удовлетворяющего неравенству |х—х0 <8,
выполняется неравенство |Ф(х)— А
такое, что \х—х0
и |Ф(х)—А
такое, что |х—х0
и |Ф(х)—А
удовлетворяющего неравенству |х -х0
выполняется неравенство |Ф(х)—А
х^х0, удовлетворяющего неравенству |х—х0
выполняется неравенство |Ф(х)— А
такое, что |х—х0
и |Ф(х)—А
такое, что |х—х0 •
и |Ф(х)—А \
^^=^07 удовлетворяющего неравенству |х—х0 <8,
выполняется неравенство |Ф(х)—A <s.
х^х0, удовлетворяющего неравенству |х—х0 <8,
выполняется неравенство |Ф(х)—A
х^хв,	такое, что |х—хе<8
и |Ф(х) — А <£.
такое, что |х—хв <8
и |Ф(х)—
х^=х0, удовлетворяющего неравенству |х—х0 <8,
выполняется неравенство |Ф(х)—A <е.
х^х0, удовлетворяющего неравенству |х—хе <8,
выполняется неравенство |Ф(х)—А >8.
-*'¥=-^07
'07
q
8.
8
8.
Х^Х0,
о?
Х=^=Х0,

О
68
15. н е>0 н В>0 н
такое, что |х—х0 <$
и |Ф(х) — A <s.
такое, что |х—xQ
и |Ф(х) — А 5>е.
16. н е>0 н 3>0 н x^x0,
Среди этих условий найдите определения знакомых вам поня-
тий и их отрицания. Про каждое из остальных условий скажите,
что оно означает. Для каждого из условий 7, 8, 11, 12, 13, 14, 16
приведите следующее исследование.
Рассмотрим скобки вида (х, у), где х — одно из чисел 1, 2, ...,
16, а у — одно из чисел 7, 8, 11, 12, 13, 14, 16. Скобке поставим
в соответствие 1, если из условия х следует условие у, и 0, если
из х не следует у.
Рассмотрите все скобки указанного вида. Каждой из них со-
поставьте 0 или 1 по указанному правилу. В случае «1» вы долж-
ны уметь дать доказательство, а в случае «О» — привести
пример.
215.	Доказать, что lim s--n-% -~1.
§ 26.	Тема. Непрерывные функции; свойства
непрерывных функций (42 часа)
Определение. Пусть f(x) есть функция, определенная
при хеМ (М — множество на прямой), f (х) называется непре-
рывной в точке х0, если: 1) хое7И и является предельной
точкой М; 2) lim/(x)=/(x0).
Другими словами, /(х) непрерывна в точке х0, если для
любого е>0 найдется такое 8>0, что как только. |х—х0|<5
(хеЛТ), |/(х)—/(х0)| <е (х0—предельная точка М). Функция
называется непрерывной на некотором множестве
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
216.	Сформулировать определение разрывности.
217.	Что будет, если в определении непрерывности отбро-
сить требование е>0. Какие функции окажутся непрерывными
по такому определению?
218.	Аналогичный вопрос для требования д>0.
219.	Доказать, что функция у=5х непрерывна.
220.	Привести пример функции, разрывной ровно в одной
точке.
221.	Всюду разрывной.
222.	Разрывной в точках вида и только в них.
223.	Непрерывной ровно в одной точке.
224.	Разрывной в рациональных, непрерывной в иррацио-
нальных.
69
Дополнительные задачи.
225.	Разрывной в рациональных, непрерывной в иррацио-
нальных и притом монотонной.
226.	Доказать, что для того, чтобы f(x) была непрерывна
в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы для любой после-
довательности х„-*х0 (хпаМ и предельна дляМ) lim /(хп)=/(л0).
Д-1.00
227.	Доказать, что достаточно потребовать существование
lim/(xrt) для любой последовательности.
П-*- с®
§ 27. 228. Придумать определения:
1)	ограниченной функции;
2)	f(x)^ + eo-,
х^а
3)	/(х)^а.
Л-> СО
Определение. Число а называется правым пределом
функции, заданной на множестве 714, если для любого е>0 най-
дется такое 8>0, что при 0<л—л0<&(хеЛ1) будет |/(л)—а|<е.
Аналогично определяется левый предел, правая и левая
непрерывность в точке.
229.	Верно ли, что если f(x) непрерывна при х>0 и ограни-
чена, то существует правый предел в точке О?
Контрольные.
з
230.	Доказать непрерывность функции у=х2 в точке у
(указать правило нахождения 3 по е).
231.	Доказать, что многочлен у=х3 х— 1 имеет корень.
 232. Доказать, что этот многочлен непрерывен в точке
х = 2.
233.	Доказать теорему:
если /(х) непрерывна в точке х0 и /(х0)>0, то существует
окрестность точки х0,- в которой всюду /(х)>0.
234.	Функция /(х), заданная на всей прямой, ограничена
и монотонна. Доказать, что существует limf(x).
X + со
235.	Ф(х)=р(х)+&(х); р(х), £(х) разрывны в точке х0.
Можно ли утверждать, что Ф(х) разрывна в точке х0?
236.	Ф(х)—р(х)+1г(х); р(х) непрерывна в точке х0, k(x)
разрывна в этой точке. Можно ли утверждать, что Ф(х) раз-
рывна в точке х0?
237.	Ф(х)=р(х)-к(х); р(х) непрерывна в точке х0, k(x)
разрывна в этой точке. Можно ли утверждать, что Ф(х) раз-
рывна, в точке х0?
238.	Ф(х)=р(х)-£(х); р(х) и k(x) разрывны в точке х0.
Можно ли утверждать, что Ф(х) разрывна в точке х0?
70
239.	Пусть функции /(х) и q(x) непрерывны в точке х0
f (х)
и q(x)=/=0. Доказать, что Ф(х) = ^у-у непрерывна в точке х0.
240.	Функция р(х) непрерывна в точке х0- Доказать, что
функция Ф(х) = |р(х)| непрерывна в точке.х0.
241.	Пусть функции /(х) и q(x) непрерывны в точке х0.
Доказать, что функция Ф(х) = тах (/(х), q(x)) непрерывна
в точке х0.
242.	Пусть функция Ф(х) непрерывна на всей прямой.
Определим функцию С(х) так: пусть £>0 — фиксированное
число. Положим С(х) = Ф(х), если |Ф(х)|^>/г; C(x)=k, если
Ф(х)>&, и С(х) = — к, если Ф(х)<—k. Доказать, что функция
С(х) всюду непрерывна.
243.	Функция Ф(х) разрывна в точке х0. Можно ли утвер-
ждать, что функция (Ф(х))2 разрывна в точке х0?
244.	Функции /(х) и q(x) заданы на всей прямой. Всюду
выполняется неравенство /(х)><?(х); lim/(x)=tz, lim<7(x) = #.
Доказать, что а^>Ь. Можно ли утверждать, что а>6?
245.	Функция называется выпуклой, если для любых двух
точек ее графика отрезок, соединяющий эти точки, лежит не
выше соответствующего участка графика. Что можно утвер-
ждать о непрерывности выпуклой функции, заданной на
отрезке?
246.	/(x) = sinx2. Найти правило, указывающее, как для
этой функции по е подобрать 8 (см. определение непрерыв-
ности).
247.	Найти такое положительное 8, чтобы из неравенства
|х|<8 вытекало неравенство I	|<Л0.
I 1 Л ЫН JC
1 -1-х2
248.	Доказать, что функция	ограничена на всей
прямой.
§	29. 249. Доказать непрерывность многочлена.
ПЕП U •>	1-	2х3+5х2—7х+4
250.	Наити hm 3%3_2%2+x_13 •
251.	Наити hm ^2хз+цл2+х+4 •
ПЕП	1*«и ClQXn-\-CliXn~ 14“
252.	Наити hm---boXm+biXm-^+bm------•
253.	Дан многочлен Л4(х)=а0х/,4-а1х"-1 + ...+ал; доказать,
что найдется такое k, что при |х|>£ |аохп|>|я1хл-1 + ...-|-ал1.
254.	Построить графики функций у=х2, у=х3, у=х ,
у=х100. Для функции у=х100 оценить область по х, где
У<0,1.	1 п
255.	Доказать, что предел (1 + y) при «->оо равен £. (См. 206.)
71
256.
257.
что lim
Дано: f(x)->a,	q(x)-+b,	b^=0. Доказать, что
x^c	x->c
x-c я (*) b
Условия задачи 256 —только
f(x)
/ \ oo,
?(x)
258. Найти пределы (m, n — всюду
4)
b=0, афО. Доказать,
1)
2)
..	x2—1
^2л2-х+1 ’
hm (1+X) (1+2л)...(1+ях)-1 .
5)
натуральные):
..	x3—2x2—4x+8
"7F-8x2+10 ;
lim	;
3)
(1+,).-<1+зд
6) lim
Обосновать возможность сокращения на общий множитель
многочленов, стоящих в числителе и знаменателе.
259.	Найти предел lim р(х+!1)~р(х\ , где _ многочлен.
Л-.0	х
260.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у=х’"°
и отрезками {0<><11, у=0} и {х = 1, у<С1).
261.	Пусть /?(x)=/(g(x)). Если g(x) непрерывна в х0,
а /(х) в точке g(x0), то F(x) непрерывна в х0. Доказать.
262.	Построить график	•
§ 30. Определение п о к а з а т е л ь н о й 2 ф у н к ц и и.
и
263.	Пусть а>1, а р натурально. Доказать, что существует
притом только одно такое число х>0, что хр = а.
— р _
Замечание. Такое х обозначают через ар или]/#.
264.	(ат)п= (ап)т = атп. Доказать.
265.	^ап = (ат)п=атп. Доказать.
f V ( L\^
266.	ат)п=^ ап ' . Доказать.
267.	= (ат)л. Доказать.
Определение аг (г—рационально и положительно):
п ___
аг=~\^ат> где 
268.	Доказать, что (аГ1)Гз = (аГз)Г1 •
72
269.	Доказать, что аГ1+г* = аг,-а'-, где rt, г2— рациональны.
270.	Доказать монотонность функции аг (г — рациональ-
но, г>0).
271.	Построить график функции аг (а>1, г>0 —рацио-
нально).
272.	Доказать непрерывность аг, заданной на множестве
рациональных г>0 (а>1).
273.	Доказать, что для всяких трех чисел а,Ь и с, удовле-
творяющих условиям 1<£<с и а>1, найдется рациональное
г>0 такое, что Z»<tzr<c.
274.	Пустьа и х — действительные числа, а>1, х>0, х—ир-
рационально. Доказать, что существует одно и только одно
число у такое, что для любого положительного элемента гх ниж-
него класса числа х аг*<у, а для любого элемента г2 верхнего
класса числа х а'2^>у.
Определение. Число у, существование которого дока-
зано в задаче 274, обозначается через ах.
Рассмотрим функцию ах для действительных х.
275.	Доказать, что ах монотонна при х>0.
276.	Доказать, что ах непрерывна при х>0.
277.	Доказать, что при всяких положительных х и у
ax+y = ax.ay
278.	В этих же условиях (ах)у=аху.
Определение. Положим а°=1 (а>1). Если х<0, поло-
жим а.х=-^—.
а
279.	Доказать, что ах монотонна и непрерывна всюду.
Нарисовать ее график.
280.	Доказать, что для любых пар х и у ах+у=ах-ау.
Определение. При 0<а<1 положим ах= t х
(х—любое).
281.	Доказать, что при любом х и 0<а<1
282.	Пусть 1<а<6, х>0.
Доказать, что
а)	ах^Ьх\
b)	ах<Ьх.
283.	Доказать, что (ах)у=аху при любом а>0 и любых дейст-
вительных х н у.
284.	Доказать, что (ab)x=ax • Ьх при любых а>0 и Ь>0 и лю-
бом действительном х.
285.	Поскольку уже определено число ах при условии а>0,
определена и функция ха при х>0. Доказать ее непрерывность
при х>0.
73
§31. Теоремы о непрерывных функциях
286.	Основная теорема Дедекинда. В любом сече-
нии действительных чисел в одном из классов существует макси-
мальный (минимальный) элемент (т. е. не бывает сечений третье-
го типа). Доказать.
287*. Система вложенных стягивающихся отрезков имеет
одну и только одну общую точку. Доказать.
288.	Любая ограниченная последовательность имеет хотя
бы одну предельную точку. Доказать.
289.	Всякое ограниченное сверху множество имеет точную
верхнюю грань. Доказать.
Определение. Система (множество) интервалов {/} назы-
вается покрытием множества М, если для любого хъМ най-
дется такой интервал Ze{/}, что хе/.
Примечание. Система {/} может быть конечной, счет-
ной или даже несчетной.
Пример. Рассмотрим множество точек отрезка [0,1],
т. е. множество таких х, что 0-<х<1. Тогда: А. Конечное
покрытие {/} состоит из интервала (—1, 2); В. Счетное
покрытие {/} состоит из интервала (у, 2) и интервалов вида
(—у, 1—у), я=1; 2; 3... ; С. Несчетное покрытие {/}
состоит из интервалов вида (—у,у), где 0<у (у — действи-
тельное число).
Определение. Пусть {/} — покрытие множества. Система
{Г)е{7), если каждый интервал, входящий в {!'}, входит
и в {/); если вдобавок {/'} покрывает М, то говорят что {Г}
есть подпокрытие {/}.
290.	Из всякого покрытия отрезка интервалами можно
выбрать конечное подпокрытие. Доказать.
291.	Критерий Ко.ши. Для того чтобы последователь-
ность {«„} имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для
любого е>0 существовало такое N, что как только n'^>N,
n"~>N, то |ал-—аЯ’|<е. Доказать.
291а. Сформулировать и доказать критерий Коши для
функций.
292.	Доказать, что не существует функции, непрерывной
в рациональных точках и разрывной в иррациональных.
293.	Пусть /(х) непрерывна на [а, 6]. Доказать, что /(х)
ограничена, т. е. существует такое С, что для любого хе[а, Ь]
|/(х)|<С.
* К этой задаче, фигурировавшей выше под номером 164b, мы сочли не-
обходимым в этом месте курса вернуться еще раз (и на этот раз добиться, что-
бы она была решена всеми учениками).
74
Примечание. Доказать тремя способами с помощью
теорем 287, 288, 290.
293а. Назовем функцию ограниченной в точке, если у этой
точки есть окрестность, в которой функция ограничена. Дока-
зать, что функция, ограниченная в каждой точке отрезка,
ограничена на всем отрезке.
294.	Пусть /(х) непрерывна на [а, Ь]; /(а)<0, /(b) >0. Дока-
зать, что найдется такая точка с, a<Zc<J), что /(с)=0.
Примечание. Тремя способами с помощью 287, 289, 290.
294а. Из теоремы 294 следует, что непрерывная функция
принимает все промежуточные значения. Всякая ли функция,
принимающая все промежуточные значения, непрерывна?
295.	Пусть /(х) непрерывна на [а, 6]. Доказать, что най-
дется такая точках х0, что /(х0)=Л4 и для любого хе [а, Ь]
Примечание. Воспользоваться 287, 288, 289, 293.
296.	Пусть дана /(х) такая, что для каждого у0 существует
лишь одна точка х0, для которой /(х0)=у0. Пусть функция
/-1у ставит в соответствие каждому у такое х, что /(х)=у.
По отношению к /(х) /-1(у) называется обратной функ-
цией. Пусть теперь /(х) непрерывна и строго возрастает на [а, Ь],
т. е. при Xj<x2 /(Xj)</(x2). Тогда на отрезке [/(a), /(b)]
существует, монотонна и непрерывна обратная функция
/-1(у). Доказать.
Определение. Функция, обратная к функции у=ах{а^= 1),
обозначается logay.
296а. Построить графики: y=logi_x, y=log2x, y=log10x.
2
296b. Доказать: 1) logax(-x2 = log^Xj + logax2; 2) loga^ =
= logax2; 3) logax!l=a-[ogax; 4) a,0V=x; 5) logax =
= logab-log6x.
296c. Доказать, что logax равномерно непрерывна прих>1.
Определение. Пусть /(х) задана на М. Если для каж-
дого е>0 найдется такое 3>0, что из (Xj—х2|<В (х&М, х2еМ)
следует |/(х1)— /(х2)|<е, то /(х) называется равномерно непре-
рывной на М.
297.	Теорема Ка нтор а. Функция, непрерывная на отрез-
ке, равномерно непрерывна на нем.
Примечание. Воспользоваться 288 и 290.
297а. Доказать, что для интервала теорема неверна.
298.	Пусть f (х) и g(x) равномерно непрерывны и ограничены
на всей прямой. Доказать, что f (х) -g(x) — равномерно непрерыв-
ная функция.
75
298а. Построить на прямой ограниченную непрерывную, но
не равномерно непрерывную функцию.
299.	Доказать теорему 290, пользуясь следующей идеей.
«Рассмотрим множество таких точек х, что отрезок [а, х] допу-
скает выбор конечного подпокрытия...».
300.	Доказать, что из всякого покрытия отрезка интервалами
можно выбрать конечное подпокрытие такое, что каждая точка
будет покрыта не более чем двумя интервалами.
301.	Доказать, что не из всякого покрытия интервала интер-
валами или отрезками можно выбрать конечное подпокрытие.
302.	Назовем покрытие минимальным, если при отбрасыва-
нии хотя бы одного интервала оно перестает быть покрытием.
Доказать, что из любого покрытия отрезка интервалами можно
выбрать минимальное подпокрытие, а из любого покрытия ин-
тервала интервалами — нельзя.
303.	Пусть /(х) такова, что для любых Xi и х2
I f (xi) — f(x2) | <	|Х1— х2|’. Доказать, что уравнение /(х)=х
имеет один и только один корень.
304.	Доказать, что если /(х) непрерывна и для любых х, у:
а)	/(х)=/(2х), то /(х) = const;;
Ь)	/(х+у) =/(•*) + /(у), то /(х) = Сх;
с)	/(*+у) = /(-*) 7(у), то f(x) = ax.
305.	Пусть /(х) —непрерывна, 0<7(х) <1 прихе[0,1]; f(0) =0;
/(1) = 1 и f[f(x)]=x. Доказать, что при 0	1 f(x)=x.
X КЛАСС*
§ 32. Определение, е-окрестностью (е>0) точки Ро плос-
кости с координатами (х0, у0) называется множество таких
точек Р(х, у), что р(Ро, Р) <s,
где р(Р0, Р)=У (х—хо)2+(у-уо)2«
306.	Доказать, что последовательность вложенных прямо-
угольников со сторонами, параллельными осям координат, и пе-
риметрами, стремящимися к нулю, имеет одну и только одну
общую точку.
307.	Точка (х*, у*) называется предельной точкой последо-
вательности (х„, ул) если для любого 8>0, е-окрестность точки
(х*, у*) содержит бесконечно много точек последовательности
(х„, у„). Доказать, что всякое бесконечное ограниченное множе-
ство на плоскости имеет предельную точку. (Множество М плос-
кости ограничено, если существует такой круг, что М целиком
ему принадлежит.)
* Задачи 306—310 — повторение материала IX класса.
76
308.	Поставим в соответствие каждой точке квадрата х<Д,
0<у<1 некоторую ее е-окрестность. Получим покрытие квад-
рата. Доказать, что из него можно выбрать конечное подпо-
крытие.
309.	Придумать определение непрерывности функции двух
переменных (аналогично определению для функции одного пе-
ременного).
310.	Построить f(x, у), такую, что при любом у0 f(x, у0)
непрерывна как функция х, а при любом х0 f(x0, у) непре-
рывна как функция у, но f(x, у) как функция двух перемен-
ных1 разрывна в точке (0, 0).
311.	Начертить графики:
х2-|-Зх—1	. ,, ,	х-ех
У=1п(1+^), У=^=г-
312.	Опр еделение асимптоты. Прямая kx-^-b является
при х—> + <» асимптотой графика функции /(х),если расстоя-
ние от точки графика (х, /(х)) до этой прямой стремится к 0
при х-> + °°. Аналогичное определение при х-> —то. Как по
/(х) найти k и &?
313.	Найти асимптоты графиков функций:
’''УН: >’ = 1П(1+О; У-Й-.
Дополнительная задача.
314.	На плоскости даны 2 многоугольника. Доказать, что
существует прямая, которая делит каждый из многоугольни-
ков на равновеликие части.
§ 33. Трудная задача.
315.	Найти асимптоты графика функции У=^_._ху '
Основные задачи.
316.	Придумать функцию /(х), такую, чтобы lim—— = 1,
a lim (/(х)~х) не существовал.
Л'-> + ОО
317.	Дать определение касательной к графику функции
у=/(х) в точке [х, f(x)]. Придумать пример непрерывной функ-
ции, не имеющей касательной в некоторой точке.
318.	Прямая I касается графика функции у =xk в точке
(Jto. Уо=Хок)- В какой точке I пересекает ось х?
319.	Под какими углами пересекает ось х синусоида y=sin х?
Дополнительная задача.
320.	На плоскости даны 3 луча, выходящие из одной точки,
и многоугольник М. Можно ли передвинуть М, как жесткое тело,
в такое положение, чтобы лучи разбили его на 3 равновели-
кие части?
77
§34. Основные задачи.
321.	Вертикальное сечение телескопа имеет форму пара-
болы у=ах2, а>0. Доказать, что световые лучи, падающие верти-
кально сверху, фокусируются в одной точке.
(ОО \
I
л=0 /
323.	Под каким углом график логарифмической функции пе-
ресекает ось %? Под каким углом график показательной функции
пересекает ось у?
Дополнительная задача.
324.	Доказать, что всякая выпуклая функция (определение
см. задачу 245) имеет в каждой точке правую и левую каса-
тельные.
Трудная задача.
325.	Лиса бежит по прямой с постоянной скоростью. Собака
гонится за лисой с той же скоростью, причем бежит так; что ви-
дит лису все время прямо перед собой. Считаем, что и лиса,
и собака — точки. Лиса бежит по оси х в положительном направ-
лении из точки О. В начальный момент собака находится в точке
(х0, Уо)- При каких х0 и уо собака догонит лису?
Контрольная работа.
326.	Построить графики:
y=yrx2jrx— X; у=]/~х2—Х—Х; у = —.
327.	Найти пределы при х-->0
tgx—sinx . с-х— 1
х3 ’ arcsinx ’
§35. Основные задачи.
328.	Под каким углом пересекают ось у графики:
У=]/1±х; у=]/’1+х; у=(1+х)2.
329.	Найти асимптоты У"х24-7х—6—х.
330.	Дано, что при х->0	->д. Можно ли утверж-
дать, что Пт	существует и равен а?
S\x)
Определения.
1. /(х) называется бесконечно малой, при х^х0, если
lim
х Х°2. Пусть Дх) и g(x) бесконечно малы при х^х0.
78
fix}
Пусть lim , \ =k. Если k=0, to f(x) более высокого no-
x-^x0S\x)
рядка малости, чем g(x)-, если k^Q, то /(x) и g(x) одного
порядка малости; если k=l, то f(x) и g(x) — эквивалент-
ные бесконечно малые.
В первом случае употребительно обозначение f(x)=o(g(x)),
в третьем f(x)—g(x).
331.	Доказать, что при х->0
sinx~x; tgx~x; arcsinx~x; arctgx—x; ln(l+x)~x;
l~x; ax— 1—x-lna; 1—cosx~y; (l-f-x)“— 1—ax.
332.	Дано, что У(х)~Л(х) и g(x)—gt(x) при x->x0. Если
fi(x)	t- f(x)	„
—y-r—> a, to lim существует и равен а. Доказать.
Х-+Хо	Х-^Хп
333.	Найти пределы. 1
.. ех— 1— х .. (1+х)х— е
11m—-2—; lim^-^--------.
х-0 Л	х-0 Л
Трудные задачи.
334.	Найти:
..	(1+х)п-1-пх . ..	2х2—1
arctg [sin2(ex— 1)] ’	1— cos3x '
335.	Исследовать ряд
1+х+§+§+...+ ^+....
§ 36. Основные задачи.
336.	Доказать, что если /i(x) = o(g(x)) и /2(^) = о(5'(л)), то
/i(x)+f2(x)=o(g(x)).
Например, о(х)+о(х) = о(х); о(х)—о(х) = о(х);
о(х2)+<?(х) = о(х).
337.	Если / (х) = o(g(x)) при х->х0 и А(х) ограничена
в окрестности х0, то /(х)- h(x) = o(g(x)). Доказать.
338.	Доказать, что /(х)—g(x) тогда и только тогда, когда
/(x)-g(x)=o(g(x)).
339.	Пусть при х->0 f(x) = kx-\-b+o(x).
Замена линейной функцией kx-\-b называется линеариза-
цией /(х) при х-»0. Каков геометрический смысл линеариза-
ции непрерывной функции?
340.	Написать формулы линеаризации при х->0 для функ-
ций: (1+х)";	; ]/1+х;	(1+х)а; sinx; arcsinx; tgx;
arctgx; cosx; ex-, ax; ln(14-x); loga(l+x).
79
341.	Доказать, что при х—О sinx—х = о(х2).
342.	Найти такой многочлен	.•+#«*", чтобы
при х^О	t а1х+а2х2+...+апхп+о(хп).
343. Найти:
llm (cosx)y 1+-Г—etgx .
X^Q sin x ’
..	(cos x)/ 1+6x2—^	алХ-а*°-
lim	2	, lim	*
x->o	x	x+o ax—a1
lim (]/x6+x5 — Ух6—x6).
X~>- °°
Основные задачи.
344.	Найти:
.. sin2 [e-v—2arctKxl ..	sin x—x	atg.r_asinx
in cos X-’ t1” (sec'x-g-^ ’ Й-------&-----•
3 _______
345.	Вычислить приближение ]/8,024 c 5 верными знаками.
346.	Яма имеет форму параболоида z=x2+y2. В яму бро-
сили шарик. Верно ли, что если шарик достаточно мал, то он
достигнет дна? Или, как бы шарик ни был мал, он застрянет
между стенками (как в случае конусообразной ямы)?
347.	Построить такую функцию /(х)^=0, чтобы для любого п
f(x) = o(xn) при х->0.
348.	Найти пределы:
.. pH-hx-sinx—I	cos (х•£*)—cos (х-е~-г)
S	; й ardg3 In (I—sin х)	
lim ln(x-lna)lnf 1пд<\1, Х-°	In- \ а / J 349. Найти пределы: 11m Xх; lim(ln—Г х- + ~	Л--+0' х lim Ух; lim Xх; lim (tgx)tgIU;; lin +	TC	X-*-1 4 350. Дано: w(x)->a, v(x)~^b при x^x( Доказать, что lim u(x)t’<-v>=a6.	a>0. 4 1 / COSX )•
80
351. Найти:
з
352. 11m
x-*0
Jim(-^arctg x)v;
1—cosx]/cos2x ]/cos3x
In COS X
Контрольная работа.
Вычислить пределы:
o-q .. arctg [ax2~t-r-sin.i- ]
353.	lim r . , x—rzjrrrr-, a>0, d>0.
[arcsin (ax—Ms*)]2 ’
354.	lim (sin -^-f-cos
355.	lim (l+x2)ctex.
jr—-0
X2
1—COSX— n-
356.	lim-----=—— .
x-*+o	_
2
357. lim
In [cos (x—sinx)—sin (x—sinx)]
arcsinx
358,Д"1(1^ x4+x3~siny—
359.
n-^ V n—x
360.	lim тЛcos |/x.
x—Ю r
<. cos sin x—1
lim-----;-----.
x-Ч)	x~
arcsinx
lim ........—-----—.
-v->0 sin x — a* x
lim cos'1—^=-.
п-М)	У П
1—cosx[l—cos(l—cosx)]
ДТ	arctg2 (sin x‘)
365. lim tg(si"*)-s>"(tgx)
x^O
366. lim(-^-V.
r—oc X--------Я /
362.
363.
364.
367. lim ex[ln (1—еЛ)—л|.
X—>+ oo
6 648
81
368.	lim V-*3+sin3x-[l/\-cos——V-M •
/ i	—V
369.	limltg—+e* .
Л->оо X X	'
370.	llm(^Msin
x->o \ x+a /
371. lim
x->0
tg(tg x)—sin(sin x)
tgx—sin x
§ 37. Основные задачи.
372.	Доказать, что, какова бы ни была последовательность
функций /t(x), /2(х), /з(х),	/„(х), ... (0<х<4-°о), можно
f (х\
построить такую функцию /(х), что для любого п lim -77—^ =0.
Х->оо J\X)
Рассмотреть примеры:
а) Ш)=я, /(х)=х; б) /п(х) = пх, /(х)=х2;
в) fn(x)=xn, f(x)=xx- г) /п(х)=хп, f(x)=ex.
373.	Построить на одном чертеже графики функций:
а) у=хп(п=1, 2, 3); б) у=]/х(п=1, 2, 3);
в) у=ех;	г) у=1пх.
374.	Построить график функции у=хх. Найти limxx. Найти
А'"* + 0
касательную к графику в точке О.
375.	Дана последовательность положительных функций;
при любом п /„(х)-> + со. Обязательно ли существует функция
/(х) такая, что lim ДД=О для любого п, a lim f(x) — -{- со?
Рассмотреть примеры:
п.
а) /л(х)=угх; б) /л(х)=1п 1п...1пх.
п раз
376.	Даны две функции /(х) и ^(х) такие, что lim:77^=0.
Существует ли такая функция г(х), что > 0 и -> 0?
+ j(x) х_> + оо
377.	Дана последовательность функций /п(х) и функция
f(x) такие, что при любом п lim "4 / =0. Существует ли та-
,V-*oo J \Х)
кая функция г(х), что при любом п ->0и ДД- -> + «>?
	Г(Х) х
->4-00 пх) х->+ оо
82
378.	Дана последовательность функций fn(x) и функция
/(х) такие, что при любом п -> 0. Существует ли такая
функция г(х), что при любом п lim 7-7^7=0 и lim Д^-=0?
х~►+ сю Jtl\X)	х~*+ оо Г(Х)
379.	Даны две последовательности функций fn(x) и gn(x)
k
такие, что при любых k и т —	->0? Существует ли такая
6 т\х) х^-+ оо
"f (х)
функция г(х), что при любом п lim --т— =0 и lim —^^=0?
Х~>4-00 1\Х)	jr-^-i-oo 8п\Х)
380.	Графики у—ех и у=хл не имеют общих точек при
п=А и имеют ровно две общие точки при достаточно боль-
ших п. (Доказать.)
Следовательно, при некотором а графики у=ха и у=ех
имеют ровно одну общую точку. (Доказать.) Найти это я.
381.	Дана последовательность функций /п(х) (0<х<-|-оо).
При любом п fn(x)-+O. Рассмотрим функцию /(х) = max
{/i(x),„. » fn(x)} ПРИ п—Кх-^п. Может ли случиться, что
Дх)->оо?
Х->4- оо
382.	Каковы различные взаимные расположения графиков
у=ах и y=Aogax (при разных а)?
383.	Пусть Ь(х) —непрерывная функция, определенная на от-
резке [а, &], имеющая в каждой точке касательную; /—прямая,
проходящая Через точки [a, f(a)] и [Ь, /(&)]. Доказать, что сущест-
вует точка х, в которой касательная параллельна I, т. е. доказать,
Г ХЛ	f (^) --f (й) ir { \
что существует точка хе[а, о] такая, что — д — = f (х).
Определение. Пусть /(а;) имеет касательную в точке х.
Угловой коэффициент касательной называется производной
и обозначается f'(x). Производную будем называть также первой
производной, п-й производной будем называть производную от
(п— 1)-й производной.
384.	Нарисовать эскиз-график f'(x) по заданной (графи-
ком) f(x).
385.	Найти производные функций: х, хп, sinx, cosx, ех, 1пх.
Определение. По отношению к своей производной f'(x)
функция f(x) называется первообразной.
386.	Доказать, что разность любых двух первообразных
одной и той же функции есть константа.
Верны ли следующие утверждения?
(В задачах 387—392 предполагается, что f(x) задана всюду
и в каждой точке имеет производную.)
387.	f(x) —монотонно возрастающая функция тогда и только
тогда, когда /'(х)>0.
83
388.	Пусть /(х) достигает максимума в точке х0. Тогда най-
дется 6>0 такое, что f(x)>0 при х0 — б<х<х0; f'(xo)=O;
f'(x)<0 при Xq<X<Xq + ().
389.	Дано: f'(a) =0, f'(b) = 2. Тогда найдется такое х, а<х<Ь,
что /'(х) = 1,5.
390.	Производная суммы равна сумме производных
f (х) +£'(*) =[/(*) +&(*)]'• Производная произведения
[/(х) -g-(x)У равна произведению производных f (х) -g'(x).
391.	f(x)=£ax + b. Найдется такая окрестность точки х0, в ко-
торой график f(x) и график касательной к f(x) в точке х0 имеют
ровно одну общую точку [х0, f(xoy\.
392.	Для любой точки х найдутся такие а и b (a<x<b)t что
хорда, соединяющая точки (a, f(a)) и (b, f(b)), параллельна
касательной в точке х.
§38. Основные задачи.
393.	Доказать, что производная сложной функции вычис-
ляется по формуле (f(g(x))'=f'(g) -g'(x).
394.	f(x) задана на отрезке [0, 1] и имеет производную в каж-
дой точке. /(0) =/(1) = 0, max /(х) = 1, 0< Доказать, что
найдется точка хоб [0, 1], где If (х) |>2.
394а. f(x) —дважды дифференцируема.	/(0) =f (1) =0.
min f(x)= — 1. Доказать, что maxf'(x)>8.
хе [0,1]	хе[0,1]
395.	f (x) задана и непрерывна на отрезке [а, Ь]; всюду, кроме
множества М, f(x) имеет производную, равную 0. (На Mf(x),
может быть, не существует.) Можно ли утверждать, что
/(х)= const, если а) М — счетно; б) М — меры 0? (М имеет ме-
ру 0, если для любого е>0 его можно покрыть конечным или
счетным множеством интервалов с суммой длин <е.)
Контрольная.
396.	Сформулировать и доказать теоремы о производной
частного и обратной функции.
397.	Найти производные функций tgx, ctgx, arcsinx, arccos х.
398.	При каких х принимают наибольшие и наименьшие зна-
чения и под каким углом пересекают ось х функции х21п|х|;
eA*sinx? Начертить графики.
399.	Построить функцию /(х) на отрезке [—1, 1], имеющую
производную только при х = 0.
На дом задано упражнение: 25 примеров на дифференциро-
вание (см. любой задачник по анализу).
400.	Известно, что	Продифференцируем чис-
литель и знаменатель и рассмотрим отношение производных:
cos2x C0SA _ 1 (1—cos3x) _ (1—cosx) (l+cosx+cos2x)	1
3л-	— cos-х-Зх2 —	cos2x-3x2	*
84
Этот предел еще не известен: lim --.
.г-0 х
1—COSX 1
Можно ли вычислить его аналогичным способом: —-----
6Х х-*0 °
а следовательно (?!), lim x~S-lnx —
х-0 х	°
Сформулировать и доказать общее правило.
Верны ли следующие утверждения?
401.	/(х)->0,/(х) имеет производную всюду.
Тогда /'(х)->0.
ОО
402.	Не существует функции /(х), дифференцируемой,
всюду и такой, что /'(х)—> ± 1 при х-> + 0.
403.	Для функций /(х) найти многочлен Р(х) такой, что
Дх)—Р(х) = о(хл) (х->0);
a)	/(x)=slnx
б)	/(x)=cosx
в)	/(х)=1п(1+х)
г)	/(х) = 1+х-2х2
/г=1, 2, 3;
п=1, 2, 3;
п=\, 2, 3;
«=1, 2, 3.
§39. Основные задачи.
404.	Доказать теорему: функции /(х) и g(x) определены
и непрерывны на отрезке [а, а], имеют конечные производные
f(x) и g'(x) на интервале (а, Ь); [/'(-*)]2+1ё’,(Л)]2¥=0 при
я<х<& g(a)=£g(b). Тогда найдется точка се(а, Ь) такая, что
g(b)—g(a) g'(cy
405.	Функция y = k-ecx удовлетворяет уравнению у'—су.
Имеет ли это уравнение другие решения?.
Трудная задача.
406.	Существует ли а) непрерывная, б) дифференцируемая
функция, не монотонная ни на каком отрезке?
Основные задачи.
407.	Найти производные функций arctgx, arctg Выве-
сти зависимость между этими функциями.
408.	Доказать тождества:
2arctgx + arcsiny^-=irsgnx при |х|>1;
3 arccosx—arccos(3x—4x3) = ir при |х|>у .
85
409.	/(х) непрерывна на отрезке [а, 6], имеет конечную
производную в каждой точке интервала (а, Ь) и не является
линейной. Доказать, что найдется точка се(а, Ь), где |/'(с)|>
!/(&)-/(*) I
b а
410.	Если на отрезке [а,	/'(х)>0 всюду, кроме, быть
может, конечного числа точек, в которых f'(x)=0 или не
существует (но /(х) непрерывна), то /(х) монотонна на [а, £].
Доказать.
411.	То же, но с заменой «конечного» на «счетного».
412.	Если /(х) достигает максимума или минимума в точке
х0 и f'(x). существует, то f'(xo)=O. Доказать.
413.	Может ли быть так: /'(х)->2,	—
х->+0
414.	Пусть функция г(х) имеет п производных в некото-
рой окрестности нуля и г(0) = г'(0)=г"(0) = ...=гл(0)=0. Тогда
г(х) = о(хл). Доказать.
415.	Пусть для функции /(х) существует многочлен р(х)
степени п такой, что Дх)=р(х)4-о(хл). Доказать, что /(х)
имеет п производных в нуле. Выразить эти производные через
коэффициенты многочлена.
416.	Показать, что условия задачи 415 необходимы и доста-
точны.
417.	Пусть / (х) имеет производные любого порядка.
/'(0)=0, /(*)(0)^=0. Написать достаточные условия максимума.
418.	Доказать неравенства:
а)	ех>1+х при х=И=0;
б)	х— -g-<ln(l-i-x) <х при х>0;
в)	х—-g-<sinx<x при х>0;
г)	tgx>x+y при 0<Х<у;
« _____ Р ’______
е) Yxa+ya>Vx9+y9 при х>0, у>0.0<а<§.
419.	Суточные расходы при плавании судна состоят из двух
частей: постоянной, равной а руб., и переменной, возрастаю-
щей пропорционально кубу скорости. При какой скорости v
плавание будет наиболее экономичным?
420.	Пусть /(х) непрерывна на отрезке [0, 1] и имеет на
нем п производных (в концах — односторонние производные).
Существует ли на всей прямой F(x), имеющая п производных
и совпадающая с /(х) на [0, 1]?
421.	То же, но /(х) задана на двух отрезках [0, 1] и [2, 3].