^63-aSi {
/с77 IF
Ч. «- ®a Я-Ш^издуц M
ОРДЕНА ЛЕНИНА
АКАДЕМИЯ KA
им. Жуковского
Инженер-майор
А. С. КРАВЕЦ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА
ИНЕРЦИИ
ВОЗДУШНОГО ВИНТА
ТЕХНИЧЕСКИЕ
ЗАМЕТКИ
' ’1
Пл Выпуск
,,1961 г.
ВОЕННАЯ ВОЗДУШНАЯ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
АКАДЕШ
мм. Жуковского
Инженер-майор
А. С. КРАВЕЦ
O5S3-02
К
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПОЛЯРНОГО МОМЕНТА
ИНЕРЦИИ
ВОЗДУШНОГО ВИНТА
Под редакцией
профессора
и к Hitmen-п одпол ковника
Г. Г. БАРАНОВА
ТЕХНИЧЕСКИЕ
ЗАМЕТКИ
с>
С
Ч'4
Выпуск
ИЗДАНИЕ АКАДЕМИИ
19 4 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ЧИСЛЕННЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
В расчетах динамических характеристик воздуш-
ных винтов встречается необходимость в определении
момента инерции виита относительно оси его вра-
щения.
Полярный момент инерции винта (фиг. 1) зависит
от материала винта и его геометрических параметров
и определяется по формуле
I=k f a*dm—k J [r'+p^dm —
= k§r*dm-\-k^ p*dm, кгмсек\ (ll-
где	k—число лопастей;
,	кг сек*
dm — элемент массы одной лопасти,-------;
а — радиус элемента массы, м> связанный с коор-
динатами г и р соотношением а* = г* -4- р*.
Фиг. 1. Координаты элемента массы
При длинных и узких лопастях современных вин-
тов второй член в уравнении (I) очень мал и его
3
можно отбросить. По расчетам Н. П. Лопухова*),
максимальная ошибка при этом не превышает 0,5%.
Тогда для момента инерции получим выражение
I = k f г® dm.	(2)
Элемент массы может быть записан в виде
dm = pdv~pSdr,	(3)
л	кг сек2
где р — массовая плотность материала винта,—;
Ч)—объем, Jf3;
— площадь сечения, м\
Подставляя значение элемента массы в формулу
12) и распространяя интегрирование по всей длине
допасти, получим
R.
I=kJrtfSdr.	(4)
о
Для винтовых профилей можно принять, что
5 = 0,75^,	(5)
где b — ширина (хорда) профиля, м;
с — максимальная толщина профиля, м\
0,75 — коэфнциеит полноты площади профиля.
Коэфициент полноты площади профиля зависит
от типа профиля и от положения по лопасти. Винто-
вые профили не имеют острых кромок н коэфициент
полноты у них выше чем у крыльевых профилей.
Обычно коэфициент полноты крыльевого профиля
принимался равным 0,71—0,725. Произведенные рас-
четы площадей распространенных винтовых профилей
показали, что среднее значение коэфициента полноты
может быть принято равным 0,75.
Применяя формулу (5) и принимая, что лопасти
изготовлены из изотропного материала, получим для
момента инерции винта выражение
/?
7 = 0,75 k р J* r'bc dr.	(6)
О
°) Н. П, Лопухов, Силы инерции в лопасти пропеллера,
Сборник ЦИАМ, № 1, ОНТИ. 1936.
4
Переходя к относительным значениям
__ Г _ Г	-	&	__ с
'~~R~D\T	b~ D’	с~ Ь ’
где D — диаметр винта, можно написать, что
г’ = ггП2/4	(7)
bc = bi~cDi	(8)
=	(9)
Подставляя значения (7), (8) и (9) в формулу (6)
и выводя из-под знака интеграла постоянные величи-
ны, получим
гу> 4°
7=0,75/гР^- Г ^Pcd-r.	(10)
о J
о
Значения массовой плотности материалов, приме-
няемых в винтостроенни, даны в табл. 1.
Таблица 1
Массовая плотность материалов воздушных винтов	
Материал	Массовая плотность кг ce/fl м*
Дуралюмиа	280
Сталь	785
Латунь	885
Орех к красное дерево	70
Ясень й дуб	С5
Клен	60
f 0,75 k р Обозначив К=—о—£ о	можно формулу (10) пред-
ставить в виде
1,о__
I = KD* р г* &2 с dr, кгм сек2.	(11)
о
Значения коэфициента в зависимости от числа
лопастей и материала представлены в табл. 2.
5
Таблица 2
О 75 k р
Значении коэфициента К———-
		 Число лопастей Материал винта	'	-—	2	3	4	6
Дура лю мии	53	83	106	160
Стал ь	148	222	296	444
Латунь	166	250	332	500
Орех и красное дерево	13	20	26	40
Ясень и дуб	12	18	24	36
Клеи	10,5	16	21	32
110 _
Интегрирование выражения f г2 b2 с dr совершает-
о
Фиг. 2. Геометрическая характеристика лопасти виита
Центральная часть винта занята втулкой н про-
филированные лопасти начинаются на относительном
радиусе 0,2—0,3. Поэтому на графиках геометриче-
ских характеристик винта отсутствуют величины, со-
ответствующие сечениям, расположенным в централь-
ной части винта. Однако, поскольку эти сечения рас-
положены на малых относительных радиусах, влияние
масс этих сечений при интегрировании выражения
г2&2с по всей лопасти очень незначительно. Это на-
глядно видно на фиг. 3, где дано распределение ве-
личины по радиусу винта.
Прн выводе формулы (10) было принято, что ло-
пасть от оси винта до конца выполнена нз одного
материала. Для втулки винта, однако, применяется
материал (обычно сталь), отличающийся от материала
лопастей (дуралюмин, дерево). Но так как втулка
расположена в центре винта, момент инерции ее не-
значителен н этим уточнением можно пренебречь.
В табл. 3 дан пример численного интегрирования
и определения момента инерции для двухлопастного
деревянного винта диаметром D = 1,0 м.
7
Центральная часть винта занята втулкой и про-
филированные лопасти начинаются на относительном
радиусе 0,2—0,3. Поэтому на графиках геометриче-
ских характеристик винта отсутствуют величины, со-
ответствующие сечениям, расположенным в централь-
ной части винта. Однако, поскольку эти сечения рас-
положены на малых относительных радиусах, влияние
масс этих сечений при интегрировании выражения
гг&2с по всей лопасти очень незначительно. Это на-
глядно видно на фиг. 3, где дано распределение ве-
личины г2 &2с по радиусу винта.
При выводе формулы (10) было принято, что ло-
пасть от оси винта до конца выполнена из одного
материала. Для втулки винта, однако, применяется
материал (обычно сталь), отличающийся от материала
лопастей (дуралюмнн, дерево). Но так как втулка
расположена в центре винта, момент инерции ее не-
значителен и этим уточнением можно пренебречь.
В табл. 3 дан пример численного интегрирования
и определения момента инерции для двухлопастного
деревянного винта диаметром D=l,0 м.
7
Таблица 3
1X1
Интегрирование выражения f 7®Fc dr при dr=0,05.
г	Ъ	с	г2	ьг	г о с	r^b'cdr
1,00	0,000	0,081	1,00	0,0000	0,000000	о.ооовооо
0,95	0,045	0,082	0,90	0,0020	0,000149	0,0000037
0,90	0,051	0,085	0,81	0,0026	0,000177	0,0000081
0,85	0,063	0,090	0,72	0,0049	0,000257	0,0000108
0,80	0,067	0,096	0,64	0,0045	0,000278	0,0000133
0.75	0,072	0,103	0,56	0,0052	0,000304	0,0000146
0,70	0,075	0,110	0,49	0,0'57	0,000306	0,0000152
0,65	0,079	0,117	0,42	0,9062	0,000307	0,0000153
О56О	0,082	0,129	0,36	0,0067	0,000311	0,0000155
0,55	0,082	0,138	0,30	0,0068	0,000283	0,0300149
0,50	0,083	0,150	0,25	0,0069	0,000259	0,0000138
0,45	0,081	0,168	0,20	0,0066	0,000226	0,0000121
0,40	0,079	0,199	0,16	0,0062	0,000190	0,0000104
Б,35	0,075	0,220	0,12	0,0056	0,000151	0,0000085
0,30	0,067	0,278	0,09	0,0045	0,000113	0,0000066
0,25	0,063	0,335	0,06	0,0040	0,000083	0,0000049
0,20	0,060	0}40Э	0,04	0,0036	0,0001)5/	0,0000035
0,15	0,060	0,480	0,02	0,0032	0,000035	,0000023
/РР с ^7 = 0,0001735
Для двухлопастного винта нз ясеня коэфициеит
/С, согласно табл. 2, равен 12, тогда
1,0
/=	р’"=с d~r = 12.0,0001735 = 0,00208 кгм сек*.
8
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
Для быстрого подсчета полярного момента инер-
ции винта можно воспользоваться некоторыми при-
ближенными формулами.
Выражение I—k fr* dm может быть приближенно
проинтегрировано, считая, что вся масса винта скон-
центрирована на некотором радиусе инерции г..
Тогда
= Aj,r’dm = Az-I.2m = r;!y,	(12)
„	кг секг
где т—масса одной лопастн,-------;
м
G — вес винта, кг;
g — ускорение силы тяжести, м[сек\
Величину радиуса инерции А. Е. Заикин*) реко-
мендует принимать 0,4 — 0,45 R для деревянных вин-
тов н 0,35 — 0,4 R для металлических винтов.
По формулам Свена, приведенным в работе
А. Е. Заикина:
для деревянных винтов 7 = 0,0021	— 0,0026 Д5 (13)
„ дуралюминовых „ 7 = 0,028	(14)
„ стальных	„ 7=0,013 D4-4	(15)
*) А. Е. Заикии, Авиационные двигатели, Оборонгиз, 1911.
9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ОПЫТНЫМ ПУТЕМ
Момент инерции воздушного винта может быть
определен также опытным путем, методом бифиляр-
ного подвеса. Для этого винт подвешивается на не-
скольких совершенно одинаковых проволоках так,
чтобы центр тяжести винта приходился как раз на
середине расстояния между нитями (фиг. 4)< При по-
Фиг. 4. Подвеска винта
для определения момен-
та яиерцнн опытным
путем
(16)
вороте винта вокруг вертикальной оси, проходящей
через центр тяжести, проволоки станут наклонными,
а винт несколько приподымется. Отпустив винт, мы
заставим его совершать колебания.
Момент инерции винта с приспособлением для
подвески определится из выражения*)
г _ О, 7/а8
11 ” 4^Z ’
где Gx — вес винта и приспособления, кг\
Т\ — период колебания (время двойного колеба-
ния), сек;
а — расстояние от оси винта до проволоки, я;
I — длина проволоки, м.
*)В. В. Добровольский, Руководство к лабораторным
занятиям по теории механизмов и машин, ВВА, 1938.
10
Зная вес приспособления О0 и замерив период
колебания приспособления Тс, определим момент
инерции приспособления для подвески — /0, после
чего определим момент инерции винта
г г r _GlT12a2 60Т02а2_
1	4rc2Z 4r2/ “
= 4^7 № Ti'-O'TJ)	(17)
Решение сводится к замеру периода колебаний,
которое берется нз опыта, как среднее арифметиче-
ское нз нескольких наблюдений.
СРАВНЕНИЕ ВЕЛИЧИН МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ,
ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ
Для сравнения величин моментов инерции, опре-
деляемых расчетом по различным формулам и опыт-
ным путем, в лаборатории кафедры теории механиз-
мов н машин Военной Воздушной Академик был под-
вешен на даух проволоках двухлопастный деревянный
вннт английской серии диаметром 1 м.
При высоте подвески	расстоянии между
проволоками 2а — 0,16 л/, весе вннта О = 0,5 кг и весе
приспособления G^ — 0,4 кг, период колебания винта
с приспособлением 7\ = 5,3 сек, а период колебания
приспособления То= 1,24 сек. При этих значениях
момент инерцнн, определенный по формуле (17), ока-
зался равен 0,0021 кг мсек2. Расчет по формуле (11),
приведенный в табл. 3, дал для момента инерции ве-
личину I = 0,00208 кг м сек2. По приближенной фор-
муле (12) для этого винта момент инерции будет
0,00203 — 0,00259 кг м сек2, а по приближенной фор-
муле (13) момент инерцнн дает значения 0,0021—0,0026
кгмсек2.
11
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Определение момента инерцнн численным интегрированием 3
Приближенные формулы для момента инерцнн.............. 9
Определение момента инерцнн опытным путем............ ГО
Сравнение величии моментов инерции, определяемых различ-
ными способами........................................ 11
"Кий-Институт
9093
Техн, редактор А. Г. Шицгал корректор М. Ф. Малкова
Г-18029	Разр. к печати 6/Ш 1945 г. 3/8 печ. л. 0,47 авт, л.
Типо-литография ВВА	Зак. 126