/
Автор: Чебышев В.В.
Теги: электротехника общая радиотехника радиотехника антенны радиоэлектроника телекоммуникации учебное пособие для вузов
ISBN: 978-5-9912-0559-7
Год: 2016
Текст
ьность
Основы проектирования
антенных систем
В. В. Чебышев
Основы
проектирования
антенных систем
Рекомендовано УМО по образованию в области
Инфокоммуникационных технологий и систем связи в
качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению подготовки 11.03.02,
11.04.02- «Инфокоммуникационные технологии и системы
связи» квалификации (степени) «бакалавр», «магистр» и
11.05.04- «Инфокоммуникационные технологии и системы
специальной связи» квалификации «специалист»
Москва
Горячая линия - Телеком
2016
УДК 621.396.67
ББК 32.845
С61
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор И. Ф. Будагяд доктор
техн, наук, профессор Э. Л. Портнову доктор техн, наук, профессор
А. Ю. Гринев
Чебышев В. В.
С61 Основы проектирования антенных систем. Учебное пособие для
вузов. - М.: Горячая линия - Телеком, 2016. - 150 с.: ил.
ISBN 978-5-9912-0559-7.
Изложены основы проектирования антенных систем. Даны общие
понятия электродинамики и теории электромагнитного поля примени-
тельно к решению электродинамических задач теории антенн. Рас-
смотрены основные численные методы решения, такие, как проекци-
онные методы, метод конечных разностей, метод конечных элементов
и метод интегральных уравнений. Изложены основные теоретические
сведения, необходимые для численного анализа антенн с использова-
нием пакетов прикладных программ MWO, HFSS и ЭДЭМ. Рассмот-
рены основные положения теории проволочных и микрополосковых
антенн, имеющих широкое практическое применение для систем связи.
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Инфо-
коммуникационные технологии и системы связи» (степени «бакалавр»
и «магистр»), будет полезно для магистров по направлению подготов-
ки «Радиотехника» по профилю «Радиотехнические средства переда-
чи, приема и обработки сигналов» и студентов других радиотехниче-
ских специальностей.
ББК 32.845
Адрес издательства в Интернет WWW. TECHBOOK.RU
ISBN 978-5-9912-0559-7 © В. В. Чебышев, 2016
© Издательство «Горячая линия - Телеком», 2016
ВВЕДЕНИЕ
Проектирование СВЧ устройств, антенн и т. п. начинается с вы-
бора физической модели, основанной па определённом уровне зна-
ния физических процессов, происходящих в устройстве. При этом
нужно выделить наиболее существенные черты явления и отбросить
второстепенные. Математические модели в электродинамике бази-
руются на уравнениях Максвелла (или вытекающих из них) при учё-
те тех или иных условий, что даёт исчерпывающие сведения о кон-
кретном физическом процессе.
Точное решение электродинамической задачи для выбранной
математической модели, как правило, возможно лишь в случае, ког-
да исходная физическая проблема (а следовательно, и математичес-
кая модель) упрощена за счёт целого ряда идеализаций.
В силу теоремы единственности электродинамический анализ
структуры сводится к нахождению решения уравнений Максвелла с
краевыми условиями на границе и условием на рёбрах. Если рас-
сматривается внешняя задача, то для однозначности решения крае-
вой задачи формулируется дополнительное условие на бесконечнос-
ти (условие Зоммерфельда). Электродинамический анализ может
проводиться с использованием уравнений Максвелла в интеграль-
ной или дифференциальной форме. При этом область, в которой
ищется решение, может подвергаться разбиению (созданию сетки),
что приводит к дискретизационпым методам: методу конечных раз-
ностей и методу конечных элементов.
При выборе метода решения приходится полагаться на опыт
предшествующего решения задач, па возможности метода (слож-
ность области решения, неоднородность среды, вычислительные ре-
сурсы и т. д.), интуицию и сравнение с экспериментом, а также отве-
чать за точность результатов. Выделим численные методы реше-
ния электродинамических задач, рассмотренные в книге, а именно
проекционные методы: метод моментов (ММ) и метод 1 ’итца; ме-
тод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ)
и метод интегральных уравнений (МИУ).
ильной стороной ММ является удобство моделирования рассе-
яния на металлических телах, поскольку анализ сводится к решению
поверхностных интегральных уравнений, и не требуется дискретиза-
ции области решения вне тел. Однако для ММ проблема сложных
4
Введение
сред, имеющих сложную форму, всегда связала с поиском подходя-
щего представления функции Грина, выражающей поля в структуре
через токи па некоторых поверхностях. Эта работа связана с ана-
литическими преобразованиями, которые выполняются не компью-
тером, а разработчиком программы. В го же время использование
функции Грина существенно уменьшает размерность решаемой за-
дачи. В ряде интересных случаев, например плоскослоистой среды,
функции Грина известны и для них разработаны эффективные чис-
ленные алгоритмы.
Особый случай — это антенные задачи, т. е. задачи, связанные с
расчётом излучения в свободное пространство. Поскольку функция
Грина свободного пространства хорошо известна, то, следователь-
но, и реализация ММ здесь не должна вызывать затруднений. В то
же время при расчёте поля в дальней зоне на основе МКЭ необхо-
димо дискретизировать достаточно большую область пространства.
Поэтому в этих задачах можно ожидать преимущества ММ по срав-
нению с МКЭ.
Метод конечных элементов обладает существенными достоинст-
вами для анализа в частотной области сложных СВЧ и антенных
конструкций: алгоритмическая простота, универсальность, естест-
венный учёт неоднородных, анизотропных и дисперсионных сред.
МКЭ обладает некоторыми свойствами, сближающими его с ММ.
Действительно, в методе моментов все поля в структуре выражают-
ся через некоторую величину, заданную на поверхности (электри-
ческий или магнитный ток). Отличие от ММ состоит в том, что
ММ не требует дискретизации пространства и оперирует непрерыв-
ными полями и токами, тогда как МКЭ припци пиально основан па
дискретизации пространства. В тех случаях, где ММ может быть
реализован, он приводит к увеличению скорости решения и эконо-
мии компьютерных ресурсов.
На основе МКР, МКЭ и МИУ разработаны уникальные ком-
мерческие программные продукты, обладающие необходимой общ-
ностью моделирования и оптимизации электромагнитных полей в
сложных ('ВЧ устройствах и антеннах. Программное обеспечение
включает программу черчения трёхмерных объектов, программу
расчёта, включающую несколько методов решения граничных задач,
и постпроцессор для обработки и детального анализа полученных
результатов. Перед решением электродинамической задачи необхо-
димо начертить анализируемое устройство, задать материалы для
каждого объекта, указать порты и граничные условия на поверх-
ностях. Затем рассчитается электромагнитное поле в каждой точке
исследуемой структуры и определение по этим данным S-параметров
Введение
5
и других характеристик. После завершения расчётов наступает этап
анализа и внедрения результатов. Большое значение при этом имеет
наглядность и доступность представления полученных результатов.
Книга состоит из десяти глав. Глава 1 посвящена общим вопро-
сам, составляющим электродинамические основы теории антенных
систем. Приведены постановка задачи возбуждения в однородной и
слоистой среде, построение функций Грина для представления ре-
шения и обзор численных методов электродинамики.
Глава 2 содержит изложение общих схем решения краевых задач
электродинамики па основе классических проекционных методов:
метода моментов и вариационного метода Ритца. Важным момен-
том при этом являются обсуждение ортогональных систем функций
и ортогональных рядов, выбор базисных и проекционных функций.
В главе 3 изложен метод конечных разностей (МКР), базирующийся
па решении дифференциальных уравнений в частных производных,
представленных в конечно-разностной форме.
В главе 4 рассмотрены основные этапы метода конечных элемен-
тов МКЭ: дискретизация пространства на элементы, выбор функции
формы элемента, процедура объединения элементов и ограничение
области моделирования для определения характеристик антенн и по-
лей рассеяния. Приводится описание пакета программ для числен- -
ного анализа электромагнитных полей с помощью МКЭ.
Глава 5 посвящается интегральным представлениям и интег-
ральным уравнениям, главная ценность которых состоит в том, что
с их помощью многие задачи рассеяния и возбуждения электромаг-
нитных воли, сначала формулируемые в терминах дифференциаль-
ных уравнений, удаётся свести к интегральным уравнения, у кото-
рых условия для открытых областей (условия излучения) уже учте-
ны при выборе функции Грина. Излагаются общие сведения об ин-
тегральных уравнениях (Фредгольма второго и первого рода и син-
гулярных уравнений). Приводятся векторные представления элек-
тромагнитного поля в трёхмерном случае и векторные интегральные
уравнения для внешних задач дифракции, получаемые с помощью
функции Грина. Завершается глава описанием пакета программ
для численного анализа антенн методом интегральных уравнений
(МИУ).
В главах 6, 7, 8 приводится описание теоретических основ рабо-
ты с пакетами прикладных программ Microwave Office (MWO), High
Frequency Structure Simulator (HESS) и Электродинамика Элементов
из Металла (ЭДЭМ) соответственно.
В главах 9, 10 приведена теория проволочных вибраторных ан-
тенн и микрополосковых (печатных) антенн соответственно, кото-
6
Введение
рые интересны в практическом отношении и находят применение в
различных радиотехнических системах.
Автор надеется, что содержание книги позволит читателю овла-
деть необходимыми основами теории электромагнитного поля, при-
обрести навыки в постановке электродинамических задач и постро-
ении математических моделей отдельных видов антенн, в частности
из проволочных и полосковых структур, а также ознакомиться с
методами анализа последних с помощью прикладных программ чис-
ленного исследования.
1 Основные понятия электродинамики
и теории электромагнитного поля
1.1. Постановка электродинамической задачи
возбуждения. Единственность решения
Реальное электромагнитное поле всегда связано с токами и заря-
дами, как источниками поля, и описывается уравнениями Максвелла
[1]. В дальнейшем будем рассматривать гармонические во времени
колебания поля с зависимостью ехр(гси/;). Среда характеризуется ди-
электрической проницаемостью е(М), проводимостью <т(7И) и маг-
нитной проницаемостью где — точка наблюдения.
Тогда векторы электрической Е(М) и магнитной Н(М) напряжен-
ности поля связаны следующей системой уравнении Максвелла (в
комплексной форме) [1]:
rot Н = wj£E + j3;
rotE = —zcjcH — jM,
(1.1)
где ё = £ — j (j/ш — комплексная диэлектрическая проницаемость
среды; j3,jM — сторонние электрические и магнитные токи, кото-
рые считаются заданными. Последние возбуждают поля, но сами
не возбуждаются рассматриваемыми полями. Магнитные токи jM
вводятся в уравнения поля (1.1) из формальных соображений для
того, чтобы обеспечить расчет полей, создаваемых сложными рас-
пределениями источников.
Различные задачи, которые приходится решать в теории гармо-
нических электромагнитных полей, можно разбить на внутренние
задачи и внешние задачи. Во внутренних задачах рассматривает-
ся поле в ограниченной части пространства, окруженной замкнутой
поверхностью S. Внутри области с поверхностью S задаются сторон-
ние токи, а на самой поверхности либо касательная составляющая
электрического поля Et, либо касательная составляющая магнитно-
го поля Ht, либо на части поверхности S — Et, а на остальной части
поверхности — Ht- Во внешних задачах рассматривается поле в нео-
граниченном пространстве вне некоторой области с поверхностью S,
на которой задана касатслЕшая составляющая Et или H't либо их
комбинации, а вне этой поверхности в окружающем пространстве
заданы сторонние токи. К внешним задачам примыкают так назы-
ваемые дифракционные задачи, в которых задают первичное поле
Е°, Н° — поле сторонних источников при отсутствии поверхности S.
Для обеих задач можно доказать теорему единственности, пред-
полагающую единствеппость решения, т. е. определив каким-либо
способом решение внутренней или внешней задачи, можно гаран-
тировать, что оно действительно существует, и другого решения
нет. Теорему единственности удается доказать в предположении,
что в каждой точке пространства существуют электрические потери
(<7 0) или магнитные потери.
Предположение о потерях в среде является физически необхо-
димым. Так, для внутренней задачи можно предположить сущест-
вование поля, отличного от пуля, для некоторых резонансных час-
тот объемного резонатора с замкнутой поверхностью S. Решение
внешней задачи в среде теряет свою единствеппость из-за возмож-
ного решения в виде расходящихся сферических волн, распростра-
няющихся от источника и сферических волн распространяющихся
к последним из бесконечности.
Поэтому для теоремы единственности решения задачи требует-
ся формулировка дополнительного условия излучения па бесконеч-
ности. При наличии потерь среды (ст 0) условие излучения па
бесконечности можно определить соотношениями
lim RZ = 0, (1-2)
где Z = (Е,Н); = у/(х — ж')2 + (у — у')2 + (z — г')2; М(х,
y,z) — точка наблюдения; М'(х', у', z') — точка истока.
При отсутствии поглощения формулировка дополнительного
условия излучения на бесконечности имеет вид предельных соотно-
шений — условий Зоммерфельда
lim
где Z = (Е, Н) представляет решение на бесконечности (R —> оо) в
виде расходящихся от источников сферических волн.
Для случая неоднородной изотропной среды, предполагая па-
раметры е, ст, у кусочно-гладкими функциями координат точки на-
блюдения М, необходимо иметь условия сопряжения для компонент
Основные понятия электродинамики
9
векторов Е и Н, которые следуют из уравнений Максвелла. Такие
условия можно определить как условия непрерывности касательных
к границам раздела векторов поля:
[Ет| = 0;
[Нт| = 0,
(1-3)
где квадратные скобки обозначают разность предельных значений
данной величины с различных сторон поверхности разрыва пара-
метров среды.
Если поверхность S в электродинами-
ческой задаче является незамкнутой, то не-
обходимы дополнительные условия, кото-
рые называют условиями на ребре. Пусть
контур L представляет собой ребро (кром-
ку) незамкнутой поверхности S (рис. 1.1).
Условия па ребре можно записать [2]
lim р Е = 0:
р->0
lim pHI - 0.
р->0
Эти условия обеспечивают существова-
ние интеграла, определяющего энергию
электрического и магнитного полей в лю-
Рис. 1.1. К определе-
нию условий на ребре
бом конечном объеме Vp, охватывающим контур L. Из (1.4) и уравне-
ний Максвелла (1.1) следует, что касательные к ребру составляющие
поля Ет, Нт должны быть ограниченными, а нормальные к ребру
составляющие Еп, Нп могут иметь особенность р 01, где 0 < a < 1.
Вблизи тонкого проводящего контура L будем иметь
Е„\ = о(у/р)-, \Н„\ = о(у/р), р
(1-5)
Таким образом электродинамическая задача возбуждения (ди-
фракции) на поверхности S состоит в определении векторов поля
Е, Н, удовлетворяющих уравнениям Максвелла (1-1), граничным
условиям для касательных составляющих поля на поверхности S,
условиям излучения и условиям на ребре. Отметим, что для аб-
солютно проводящей поверхности S граничное условие имеет вид
ЕТ(М) = 0, М 6 S. Тогда электродинамическая задача возбужде-
ния имеет единственное решение.
1.2. Электродинамические потенциалы
для векторов поля. Функция Грина и решение
неоднородного волнового уравнения
При построении решения электродинамической задачи возбуж-
дения (дифракции) удобно ввести вспомогательные функции, кото-
10
Глава 1
рые называют векторными потенциалами: Аэ — для электрических
токов и Ам — для магнитных токов. Граничная задача для потен-
циалов во многих случаях оказывается проще исходной, сформули-
рованной для векторов поля Е, Н.
Пусть сначала в (1.1) jM = 0. Введем векторный потенциал А3
соотношениями:
1
— rot А ;
Е = — grad<D — геи А'.
(1-6)
где А, Ф — векторный и скалярный потенциалы. Равенства (1.6)
допускают неоднозначное определение вектора А, так как при его
замене на А = А + grad 9?, где — некоторая скалярная функция,
вектор Н остается неизменным. Поэтому следует наложить допол-
нительное условие на функции АиФ, которое называют условием
калибровки. Это условие обычно формулируется в виде
div Аэ 4- iejs = 0.
(1-7)
Соотношение (1.7) позволяет выразить векторы Е, Н через один
векторный потенциал Аэ в виде
Н=— rot А3; Е =------— grad div А3 — iwuA3. (1-8)
/z we/z
После подстановки (1.8) в уравнения (1.1) можно получить пёод-
породное волновое уравнение для потенциала А (уравнение Гельм-
гольца)
V2A3 + к2 А3 = -j3,
(1-9)
где V2 = А — оператор Лапласа; к = Шу/ёД, которое далее рассмат-
ривается при решении задачи.
Аналогично, полагая в (1.1) j3 = 0, можно определить магнит-
ный потенциал Ам из соотношений:
Е = — rotAM;
Н ------— grad div Ам — icje Ам
(1.10)
и получить неоднородное волновое уравнение (уравнение Гельмголь-
ца)
V2AM + fc2AM = -jM-
(1-11)
Если векторные потенциалы А3 и Ам вводятся одновременно,
то векторы поля Е, Н определяются наложением соотношений (1.8)
и (1.10) и являются решением уравнений (1.9), (1.11). Таким обра-
зом решение задачи возбуждения сводится к решению неоднородных
уравнений (1.9), (1.11) с последуютцим вычислением векторов поля
Е, Н из (1.8) и (1.10).
Основные понятия электродинамики
11
Известно, что если в области пространства V, ограниченной до-
статочно гладкой поверхностью S, задана векторная функция jM’3.
'io решение задачи может быть представлено с помощью векторной
функции
Аэ’м(М) = / j3’M(P)G(A/,F)di/p, (1.12)
где M(x,y,z') — точка наблюдения; Р(х',у', z') — точка источников
поля в области V. Скалярная функция Грина G(M, Р), соответст-
вующая однородной задаче, является функцией двух точек — точки
наблюдения и точки источника. Относительно этих точек функ-
ция Грина является симметричной. Для неограниченного свободно-
го пространства
G(M, Р) =
। e~ikRMP
4-тг Rmp
(1-13)
где Rmp — \/(ж — т')2 + (у — у'}2 + (z — Р)2. Подставив (1.12) в
уравнения (1.9), (1.11), для функции Грина будем иметь уравнение
Гельмгольца
V2G(P, М) + k2G(P, М) = -8(Р - М), (1.14)
где 6(Р — М) — трехмерная дельта-функция. Для неограниченно-
го пространства в зависимости от решаемой задачи функция Грина
может иметь различные представления [3].
При помощи функции Грина можно построить решение неодно-
родного уравнения Гельмгольца с однородными граничными услови-
ями на поверхности S, или решение однородного уравнения с неод-
нородными граничными условиями на S. или решение неоднородно-
го уравнения с неоднородными граничными условиями па S в силу
линейности уравнения Гельмгольца путем наложения частных реше-
ний при помощи известных формул Грина [3].
1.3. Постановка задачи возбуждения и основные
соотношения для поля в слоистой среде.
Исследование излучающих полосковых систем методом интег-
ральных уравнений основано на построении интегральных представ-
лений электромагнитных полей в плоских слоистых средах. Для
этого используется известный в электродинамике формализм тен-
зорных функций Грина, который является наиболее универсальным
способом представления решения электродинамических задач для
неоднородных сред.
12
Глава 1
Для однородной среды определение скалярной функции Гри-
на эквивалентно нахождению скалярного и векторного потенциалов
для поля элементарных источников. Эта функция известна. Интег-
ральные представления поля локальных источников в этом случае
имеют вид формул Стреттона-Чу [2, 3], которые позволяют свес-
ти задачу возбуждения для дайной области в однородной среде к
интегральным уравнениям. Для неоднородных сред подобные пред-
ставления можно получить на основе векторных формул Грина как
решения задачи о поле элементарного источника в неоднородной
среде.
Для слоистой среды с одной границей раздела сред задача о
поле диполя была решена еще Зоммерфельдом. Появление допол-
нительных границ раздела сред (трех и более) вызывает существен-
ное усложнение задачи. Исследованию электромагнитных полей в
плоских слоистых средах посвящено большое число работ, среди ко-
торых отметим [4]. В зависимости от способа построения тензорной
функции Грина для слоистой среды имеются различные ее пред-
ставления .
Для плоских сред удобно выбрать один из векторов координат-
ного базиса в направлении изменения параметров среды, которое
называют характеристическим направлением. В этом случае ком-
поненты тензора Грина выражаются через одну параметрическую
скалярную функцию фундаментальную функцию слоистой среды
[4]. Такое представление тензора Грина легко обобщается на слу-
чай слоистых сред с областями, имеющими границы, нормальные
характеристическому направлению.
Рассмотрим задачу возбуждения электромагнитного поля в
плоской слоистой среде локальным распределением электрического
тока с объемной плотностью j( АД), Mq е V. Предполагается гармо-
ническое изменение поля во времени по закону exp(ztjt). Слоистая
среда характеризуется в общем случае параметрами:
an(z) > О,
п = 1,2, ...N,
где еп, р,п, <уп — параметры n-го слоя. Среда имеет границы раздела
ёп, п = 1,2, ...N. В пределах слоя параметры среды постоянны.
Задача состоит в решении системы уравнений Максвелла для
векторов поля (Е,Н):
rot Н = icu£(z)~Ei + j3;
rot Е = —icde(z)n — jM
(1.15)
при условии непрерывности для касательных составляющих векто-
Основные понятия электродинамики
13
ров поля Et, Ht па границах Ln раздела сред:
[Et] = О,
[lit] — 0 на Ln, n = 1,2,....А,
(1.16)
где квадратными скобками обозначен разрыв функций па границе
раздела, и условия излучения на бесконечности. В случае абсолютно
проводящей границы £пр условия (1.16) должны быть дополнены
условием
Et - 0 па Lnp. (1.17)
Будем характеризовать поле в слоистой среде векторным А и
скалярным ср потенциалами, которые введем соотношениями:
тт 1
Н = — rot А;
М
(1.18)
Е = — шА — gradO.
Поле (Е, Н) из (1.18) удовлетворяет второму уравнению системы
(1.15). Потенциалы поля в (1.18) определены неоднозначно. Исполь-
зуем калибровку Лоренца, из соотношений (1.18) получим
— rot А;
М
(1.19)
Е = — шА------grad - div
Подставим соотношения (1.19) в первое уравнение системы
(1.15). Если провести покомпонентную запись левой и правой час-
тей, то из этого уравнения следует, что компонента тока порожда-
ет компоненты потенциала Ах, Az, компонента тока j3 — компоненты
потенциала Ау, Az, а компонента тока j3 — компоненту потенциа-
ла Az. Такая зависимость может быть представлена в операторной
форме как А = Aj, где А — некоторый интегральный оператор,
обладающий свойствами тензора. Для однородной среды указан-
ная зависимость имеет вид объемного потенциала. Аналогично, для
неоднородной среды так же можно ввести линейный оператор, пред-
ставляющий указанную зависимость в виде
А(М) = £ уTj(Mo)G(M,Mo)dwo,
(1-20)
где Mq = Мо(жо, уо, zq) — точка источника; Mq G и\ М = M(x,y,z) —
точка наблюдения, Rmm0 = л/(ж ~ яо)2 + (т/ - ?/0)2 + (^ - ^о)2;
G(M,Mq) = G(RmMq) — тензорная функция точечного источника.
Тензорную функцию G(M, Mq) будем характеризовать матри-
цей элементов {gij(M, Mq)}, i,j = 1,2,3. Тогда в силу указанной вы-
14
Глава 1
ше зависимости, используя матричную форму записи, тензор Грипа
имеет вид
911 О О
О д22 О
Ц31 932 9зз
(1.21)
Элементы тензора gij(M, Мо) можно определить как характе-
ристику поля диполя в слоистой среде в точке наблюдения М, если
индексом i определять направление вектора системы координат, в
котором наблюдается поле, а индексом j — направление вектора той
или иной системы координат, в котором ориентирован диполь, поло-
женный в точке источника Mq . Представим объемное распределение
тока диполя в виде j3 = рДМ — Мо), где р = Idl — момент диполя;
Ь(М — Мо) — трехмерная дельта-функция. Тогда из (1.20) следует
А(М) =
^G(M,Mo)p(Mo).
47Г
(1.22)
По правилу перемножения матриц из (1.21) и (1.22) можно опре-
делить, например, элемент тензора gij, если известна компонента
потенциала Ai для диполя, ориентированного в направлении орта
j. Например, для диполя, ориентированного по оси х, элементы
i = х, у, г, образуют первый столбец тензора G (1.21). Таким образом
элементы тензора Грипа можно определить, рассматривая задачи о
поле вертикального и горизонтального диполей в слоистой среде.
Для однородной среды решение задачи имеет вид интеграла
Зоммерфельда
А(М) = р^--------------?
4-7Г Rmm0
( е_77о4(г-го)7()/Л
0 90
(1.23)
где р = Idl — момент диполя, t = (z — zq)/\z — го |; do — у A2 — кц\
Reцо > 0; RmMq = у/p2 + (г - г0)2; р = у/(х- х0)2 + (у - ?/о)2; к0 =
= cv^/soMo-
Выражение (1.23) является интегральным представлением фун-
даментальной функции Грипа и характеризует разложение поля ди-
польного источника в непрерывный спектр парциальных цилиндри-
ческих волн. Это представление имеет множитель, характеризуio-
щий распространение парциальных воли в направлении оси z. Для
этого множителя знак (+) в показателе экспоненты выбирается при
(z — zq) > 0, а знак (—) при (г — zq) < 0.
Для слоистой среды представления элементов тензора (1.21)
можно построить на основе интегральных представлений вида (1.23).
Основные понятия электродинамики
15
Примеры построения тензора Грина (1.21) для многослойной среды
приведены в [6].
1.4. Численные методы решения
электродинамических задач
В настоящее время для исследования электродинамических
свойств сложных объектов па основе строгой постановки электроди-
намических задач используются численные методы решения, пред-
полагающие применение ЭВМ. В ограниченном числе случаев для
областей правильной формы с однородным заполнением существу-
ют аналитические решения, часто в виде бесконечных рядов или ин-
тегралов. При проведении вычислений, например, рядов приходится
ограничивать число членов ряда, т. е. имеет место процедура получе-
ния за конечное число шагов вычислений приближенного решения,
обеспечивающего некоторую заданную точность. Для сложных об-
ластей аналитическое решение задачи обычно найти не удается и ее
приходится решать приближенно.
На этом пути можно выделить следующие этапы:
• постановка электродинамической задачи, учитывающая наибо-
лее существенные свойства физического объекта исследования;
• построение математической модели объекта, которое состоит в
преобразовании исходных уравнений электродинамики к виду,
удобному для решения задачи;
• дискретизация как переход от непрерывных функций и функци-
ональных уравнений к дискретным и алгебраическим формам,
приближающихся к исходным функциям и уравнениям, и фор-
мирование системы алгебраических уравнений задачи;
• решение полученной в результате дискретизации системы ал-
гебраических уравнений;
• расчет требуемых характеристик электродинамического объек-
та по полученным данным.
Существенной характеристикой приближенного решения явля-
ется погрешность получаемого результата исследования, которая
складывается из погрешностей, вносимых на каждом этапе реше-
ния, а именно:
• неустранимой погрешности, возникающей па первом этапе при
определении исходных данных исследуемого объекта;
• погрешности математической модели, возникающие вследствие
неполной адекватности математического описания;
• погрешности численного метода, выбранного при дискретизации
задачи;
16
Глава 1
• вычислительной погрешности, связанной с точностью представ-
ления чисел и конечным числом операций над ними в ЭВМ.
При строгой электродинамической постановке задачи и опре-
делении адекватной математической модели основная погрешность
возникает па этапе выбора алгоритма численного решения и числен-
ного исследования модели, которая может быть оценена средствами
вычислительной математики.
Решение любой электродинамической задачи основано на реше-
нии уравнений электродинамики (или эквивалентных соотношений)
с граничными условиями и дополнительными требованиями, учиты-
вающими сингулярность решения. Достаточно условная классифи-
кация аналитических и численных методов приведена на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Классификация аналитических и численных методов
Основные понятия электродинамики
17
Аналитические методы наглядны, как правило, более просты и
экономны при реализации, однако их применение достаточно огра-
ничено. Численные методы позволяют решать задачи для сложных
областей (объектов), неоднородных и анизотропных сред, анализи-
ровать процессы в широкой полосе частот и т. д., однако они требуют
существенных вычислительных затрат.
Выделим основные численные методы решения электродинами-
ческих задач:
• проекционные методы: метод моментов (ММ) и метод Ритца;
• метод конечных разностей (МКР);
• метод конечных элементов (МКЭ);
• метод интегральных уравнений (МИУ).
Сильной стороной ММ является удобство моделирования рассе-
яния на металлических телах, поскольку анализ сводится к решению
поверхностных интегральных уравнений и нс требуется дискретиза-
ции области решения вне тел. ММ идеально подходит для модели-
рования проволочных антенн при одномерной (двумерной) дискре-
тизации. Метод эффективен для СВЧ устройств и антенн, содер-
жащих плоскослоистые диэлектрические структуры, таких, как пе-
чатные пли диэлектрические резонаторные антенны, поскольку ди-
электрические слои могут быть учтены специальными функциями
Грина. ММ автоматически (через функции Грина) учитывает усло-
вия излучения, т. е. убывание поля в дальней зоне, что чрезвычайно
важно при решении задач излучения или рассеяния. После нахож-
дения токов на объектах моделирования основные характеристики
(например, эффективная поверхность рассеяния, входное сопротив-
ление антенн, диаграмма направленности, коэффициент усиления)
определяются непосредственно или в результате прямого численно-
го интегрирования.
Возможности ММ существенно ограничены при моделировании
антенн и СВЧ устройств со сложной конструкцией, включающей
анизотропные и неоднородные среды, поскольку ММ не обладает
гибкостью сеточных методов. Трудоёмкая алгоритмическая подго-
товка и существенные вычислительные затраты требуют большого
расчётного машинного времени при анализе больших структур (осо-
бенно антенных решёток), содержащих миллионы неизвестных ве-
личин.
МКР базируется на решении дифференциальных уравнений в
частных производных эллиптического типа, представленных в ко-
нечно-разностной форме. Метод состоит в замене дифференциаль-
ного уравнения, граничных условий (условий сопряжения) системой
сеточных уравнений с последующим решением этой системы. При
18
этом большое значение имеет правильный выбор разностной схемы
и правильная аппроксимация дополнительных условий. Для задач
электродинамики — это условия возбуждения, условия на границах
разрыва параметров и условие па бесконечности. Поведение реше-
ния вблизи точек источников поля, как особых точек, учитывает^
ся лишь приблизительно, и границы этого приближения установить
трудно. Метод конечных разностей, применяется для решения диф-
ференциальных задач в конечной области пространства. Если рас-
сматривается неограниченная область, то ее заменяют конечной вве-
дением дополнительных условий. Сеточная аппроксимация диффе-
ренциальной задачи приводит к системе алгебраических уравнении,
из решения которой получаются значения искомой функции во всей
рассматриваемой области. Погрешности решения задачи сильно за-
вися!’ от выбираемой разностной схемы и имеют тенденцию увели-
чиваться вблизи поверхностей разрыва граничных значений. Ме-
тод достаточно универсальный, требует минимальной аналитичес-
кой подготовки и легко программируем, однако требует обращения
матричных уравнений большого порядка.
Математическая суть метода МКЭ кратко, хотя не очень полно
и точно, может быть выражена так: МКЭ — это проекционный метод
со специальными координатными функциями. МКЭ обладает сле-
дую гцими достоинствами для анализа в частотной области сложных
СВЧ и антенных конструкций: алгоритмическая простота, универ-
сальность, естественный учёт неоднородных, анизотропных и дис-
персионных сред. Общее решение уравнений электродинамики при
анализе устройств, реализуемое па основе МКЭ, базируется па пря-
мых проекционных (вариационных) методах Ритца, Галёркипа или
взвешенных невязок и сводит задачу к системе линейных алгебраи-
ческих уравнений (СЛАУ) с разреженными матрицами.
При решении электродинамических задач с использованием чис-
ленных методов можно выделить ряд этапов. На первом этапе па ос-
нове уравнений Максвелла формируется основное уравнение метода.
ММ с успехом используется при решении интегральных уравнений.
Уравнения Максвелла или волновые используются в МКЭ для ва-
риационной формулировки или в форме взвешенных невязок и т. п.
На втором этапе осуществляется дискретизация области (выбор ба-
зисных функций) на пространственные ячейки выбранной формы и
размеров, в результате решение задачи сводится к системе линей-
ных уравнений. Последующие этапы связаны с решением матрич-
ных уравнений и постобработкой, например расчётом S-параметров,
диаграммы направленности и т. п.
В настоящее время существует определённый и достаточно об-
Основные понятия электродинамики
19
ширный круг физических задач, для математического описания ко-
торых эффективно используются интегральные уравнения. К ним,
в частности, следует отнести краевые задачи о собственных волнах
и полосковых и щелевых структурах, дифракции электромагнитных
волн па металлических и диэлектрических телах, излучении антенн
и антенных решёток и т. д. Вообще при решении внешних задач полу-
чение интегральных уравнений наиболее распространено. Использо-
вание интегральных уравнений применительно к электродинамичес-
ким краевым задачам и задачам дифракции в отношении оконча-
тельно получаемых результатов эквивалентно применению диффе-
ренциальных уравнений, однако их применение позволяет получить
более компактные выражения за счёт включения в них граничных
условий и сокращения размерности задач и возможности сохранить
уровень точности вычислений.
Задачи, формулируемые в терминах дифференциальных урав-
нений, удаётся свести к интегральным уравнениям, в которых усло-
вия для открытых областей условия излучения уже учтены при вы-
боре функции Грина. При этом используются различные интеграль-
ные представления и преобразования: скалярные формулы Грина и
их векторные аналоги (формулы Стреттона-Чу), представления по-
лей через эквивалентные поверхностные электрические и магнитные
токи (используются для определение поля излучения (рассеяния) в
дальней зоне по известным значениям полей, рассчитанных в ближ-
пей зоне) и т. д. Для репюпия интегральных уравнений с успехом,
особенно для двумерных, используется метод моментов с использо-
ванием различных базисных функций. Гибридный подход, объеди-
няющий достоинства МКЭ и интегральных уравнений, применяется
при моделировании в областях с отрытыми границами.
2 Проекционные методы решения
электродинамических задач
При решении краевых задач электродинамики широко исполь-
зуются два классических проекционных метода: метод моментов и
метод Ритца. Метод моментов стартует с интегральных уравнений,
а метод Ритца — с вариационной формулировки задачи, каждый из
них имеет свои достоинства и недостатки. При этом общий подход
к задачам состоит, по-существу, в сведении исследуемого уравнения
к системе линейных алгебраических уравнений с N неизвестными,
которые представляют коэффициенты разложения искомого реше-
ния по некоторой системе функций. Центральным моментом метода
являются понятия об ортогональных системах функции и ортого-
нальных рядах.
2.1. Ортогональные системы функций
и ортогональные ряды
Две функции и и v называются ортогональными, если
(и, и) = / &UV* dV = О,
(2.1)
где (щ v) — скалярное произведение функций; V — пространственная
область задачи (при переходе к двумерным и одномерным задачам
V заменяется на S и £ соответственно); * — знак комплексного со-
пряжения, а о — неотрицательная весовая функция, в частном слу-
чае равная единице. С понятием скалярного произведения функций
связано понятие нормы функции
г/, || = у/ (и, ад*).
(2-2)
Приведём, основываясь на традиционном курсе электродинами-
ки, пример собственных функций, сформулировав следующие
утверждения, доказательства которых приведены, например, в [1, 2].
1. Решение краевой (граничной) задачи для уравнения Гельм-
гольца с граничными условиями на стенках прямоугольного метал-
Проекционные методы решения электродинамических задач
21
личсского волновода [1] и — 0 для Е-волн (условие Дирихле),
ди/дп = 0 для /Г-воли (условие Неймана) порождает систему так
называемых собственных функций и = щ, i = 1,2,..., ортогональных
в смысле (2.1). Вводя обозначения L — — V2L (двумерный оператор
Лапласа), приходим к задаче па собственные значения у2 оператора
L (Lu = х2и)'
2. Собственные значения у2 неотрицательные и могут быть рас-
положены в следующем порядке: 0 Xi X2 Xi ••
Ортогональная система функций всегда может быть нормиро-
вана, т. е. можно так подобрать постоянные коэффициенты в выра-
жениях щ, что выполняется условие где = 0 при
i ф к и 6ik = 1 при г = к (символ Кронекера).
Убедимся в сказанном на примере собственных функций, полу-
ченных при решении отмеченной выше задачи для Е-волн с гранич-
ными условиями па стенках волноводов и = Ez = 0. В соответствии
с [1, 2]
. тттх . птту
Ez = m = Ei sin------sin —
a b
v2
Атп
/ \ 9 / \ Q
= (ттта) + (птто) ,
m = 1,2,..., n = 1,2,....
Тогда ортогональные нормированные собственные функции имеют
вид
. 7П7ГХ . П7Гу
Ui — итп — rnn sin sin -—
где Nmn = 2/л/аЬ. Действительно, в соответствии с (2.1)
(^тп) Upq
П . ттгх . рях . птту . птгу
NrnnNpa sm-----sm------sm —-— sin —— az ay = 0ц~.
. _ a a b b
(2-3)
Возьмём далее ортонормированную систему {wn} и некоторую
функцию /, определённую в той же области, и построим ряд
(2.4)
Этот ряд называется ортогональным рядом или рядом Фурье
функции /; ап называются коэффициентами Фурье. Отличитель-
ным свойством ряда Фурье является выполнение равенства
= (Л «it) =
(2-5)
22
Глава 2
для всех к. Действительно, при составлении скалярного произведе-
ния с иь справа в (2.5) в силу ортонормировки получаем нуль во
всех членах за исключением к-го, который дает аК. Ряд Фурье (2.4)
сходится в среднем к /, т. е.
(2-6)
если система {пп} обладает, как говорят, свойством полноты, т. е.
при увеличении числа п функций U условие (2.6) выполняется сколь
угодно точно. В частности, рассматриваемая нами система собствен-
ных функций оператора Лапласа обладает свойством полноты.
Понимание сущности разложения Фурье хорошо интерпретиру-
ется, если трактовать функцию f как вектор в бесконечномерном
пространстве, а её ряд Фурье (2.4) как разложение, подобное раз-
ложению обычного вектора по трём координатным осям декартовой
системы координат.
При решении многих электродинамических задач искомое элек-
тромагнитное поле Е, Н представляют в виде разложения по неко-
торым системам функций {En}^=1, в общем случае не обя-
зательно удовлетворяющим уравнениям Максвелла:
(2.7)
где ап, Ъп— неизвестные коэффициенты.
Таким образом, решение электродинамической задачи, соответ-
ствующей устройству СВЧ, сводится к определению постоянных ко-
эффициентов {^n}n=u Для нахождения которых необходи-
мо построить соответствующую систему линейных алгебраических
уравнений. Сущность того или иного проекционного метода состо-
ит в том, каким образом задача сводится к системе алгебраических
уравнений относительно неизвестных an,bn.
Рассмотрение понятий собственных функций и собственных зна-
чений можно рассмотреть иа примере одномерного дифференциаль-
ного уравнения Штурма-Лиувилля (ШЛ):
Цу) + ^(х)у(х) = О,
где L(y) — ^(ж)?/'^)] — q(x)y(x) — дифференциальный оператор;
у(х) — собственная функция оператора L; Л — собственное значе-
ние; т](х) О — весовая функция, знак (') = d/dx. Задавая различ-
ные значения коэффициентов (функций) и граничные условия, мож-
но сформулировать различные одномерные краевые задачи, соот-
Проекционные методы решения электродинамических задач
23
ветствующие электродинамическим задачам (распространение вол-
ны между параллельными металлическими пластинами, отражение
плоской волны от металлической плоскости, покрытой диэлектри-
ком и т. д.). Полагая у(х) = u(x\ р(х) = 1, —q(x) = k2, у(х) = 1
и задавая нулевые условия на границах области, записываем кон-
кретное уравнение (2.8) для нахождения собственных функций ип
и значений Хп:
Из общих свойств уравнения ШЛ известно, что ип ортогональны
в смысле (2.1):
г°
/ UiUj dx — О,
Vo
в чём легко убедиться, решив (2.9) и нормируя ип:
\ 1 2 / \2
лп = к — (птга)
п = 1,2,3,.... (2.10)
Ортонормированпая система {wn} является базисной системой
для решения неоднородного уравнения типа (2.11), рассмотренно-
го ниже.
2.2. Метод моментов
Метод моментов (ММ) используется для решения дифферен-
циальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений
краевых внутренних и внешних задач. В отличие от методов КР,
КЭ, метод моментов не требует дискретизации области. Метод мо-
ментов успешно работает для структур с размером не более длины
волны, что ограничено существенными вычислительными ресурса-
ми, необходимыми для реализации метода.
Общая схема метода состоит в следующем. Рассмотрим некото-
рую электродинамическую задачу, сформулированную в виде опера-
торного уравнения относительно неизвестной функции и
Lu = f, (2.11)
где L — оператор задачи, например интегральный или дифференци-
альный (полагаем его линейным); f — заданная функция, выража-
ющая то или иное внешнее воздействие на объект.
Метод моментов, т. е. построение основной проекционной схе-
мы, позволяет свести решение задачи (2.11) относительно неизвест-
ной функции и к системе линейных алгебраических уравнений. Рас-
24
Глава 2
смотрим тождественно равную нулю функцию Lu — f — 0. Ьизлагая
её в ряд Фурье типа (2.4) по полной ортогональной системе базис-
ных функций {wn}, мы должны положить все коэффициенты Фурье
равными пулю:
(Lu — f,uk) = 0, к = 1,2,...,
(2.12)
при этом функции ик называют проекционными (пробными).
Приближённое решение задачи ищем в виде ортогонального
представления
n ^П1
(2.13)
где — неизвестные коэффициенты; систему функций
называют базисной системой функций ММ. Для каждой базисной
функции un должно иметь смысл выражение Lun. Подставим далее
представление (2.13) в (2.12) вместо и. Тогда имеем
(7л" - /,ик) - 0, /г = 1,2,...,М (2-14)
Совокупность равенств (2.14) — это условие ортогональности невяз-
ки (Lun — f) функциям ик, принадлежащим базису {ип}^=1. Выпол-
нение требования (2.14) должно привести к определённому выбору
коэффициентов и, следовательно, формированию приближённо-
го решения uN (2.13). Как видно из (2.14), при подстановке (2.13)
возникает следующая система линейных алгебраических уравнений:
(Lu^u^a^ + (Lu2,ui)a,2 + ... + (Lum^o^ = (/,ui);
(LuT, u2)ai + (Lu2, u2)a2 + ... + (LuM, u2)a^ = (f, u2);
............................................................ (2-15)
(L^i, uN)ai + (Lu2, un)o,2 + ... + (Lum, uN)a^ = (f, uM),
или в краткой записи
(2.16)
где L — матрица, элементы которой Lnk = (Lun,Uk)', a;v =
= (ttj , а^,... а]у)т — вектор-столбец неизвестных коэффициентов;
f — ((Л ui)> (f, и2), • • •, (f, w))T — вектор-столбец заданной функ-
ции; «т» — знак транспонирования.
Таким образом, нахождение коэффициентов сведено к решению
систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
обратная матрица. Приближённое решение uN в соответ-
Проекционные методы решения электродинамических задач
25
ствии с (2.13) принимает вид
оо
п=1
(2.18)
где uN — вектор-строка.
В рассмотренном выше методе базисные (2.13) и проекционные
(2.12) функции совпадают. В этом случае процесс нахождения ре-
шения носит название метода Бубнова-Галёркииа. В общем случае
они берутся различными, а изложенный выше подход называют ме-
тодом моментов.
Для одномерного дифференциального уравнения выше найдены
собственные функции и собственных значений. Покажем, как с их
помощью можно получить решение соответствующего неоднородно-
го уравнения
О С х а; 7/(0) = у(о) = 0.
Представим у(х) и g(ж) аналогично (2.13):
2/(ж) =
ОО
оо
П=1
(2.19)
(2.20)
где уп, дп — коэффициенты разложения, а ип(х) определена в (2.10).
Подставляя (2.20) в (2.19) и учитывая (2.10) находим
(2.21)
Сравнивая левую и правую части (2.21) можно записать следующее
соотношение между коэффициентами уп и дп :
Это выражение можно получить, используя ортогональность функ-
ций
Подставляя уп из (2.22) в (2.20), получаем решение (2.19) в сле-
дующем виде:
т/(ж) =
(2.23)
Выбор базисных и проекционных функций. При исполь-
зовании обсуждаемых методов следует иметь в виду, что к базисным
26
Глава 2
функциям предъявляются достаточно противоречивые требования:
• базисные функции должны быть линейно независимы и обла-
дать свойством ПОЛНОТЫ",
• базисные, а в ряде алгоритмов и проекционные функции долж-
ны принадлежать к области определения оператора L, что для
дифференциальных операторов означает существование произ-
водных функции соответствующего порядка и удовлетворения
краевым условиям задачи;
• должна достигаться минимальная ошибка аппроксимации реше-
ния (2.18) при заданном числе функций /V;
• должна обеспечиваться устойчивость решения (2.18) при увели-
чении числа функций АГ, т. е. сходимости проекционной схемы,
для чего следует задавать базисные функции с учётом особен-
ности на рёбрах (1.24).
К сказанному следует добавить простоту вычисления матрицы
[L] — минимальное число операций для вычисления с заданной точ-
ностью. Видимо, нет абсолютных критериев качества при таком
выборе. Виды базисных и проекционных функций можно условно
разделить на две группы: функции, отличные от нуля в пределах
некоторых подобластей, на которые разбита вся область анализа, и
функции, определённые во всей области анализа. Приведём приме-
ры некоторых функций первой и второй групп.
Импульсные функции. Пусть анализируемая область 0
< х С 1 разделена па N +1 равных интервалов шириной ёх = -- и
средними точками хп = n/(N 4 1), п = 1,2,3,.... Базовая импульс-
ная функция Р(х — хп) имеет вид (рис. 2.1,а)
Р(х - хп
для хп - <5;с/2 SC х
в остальных случаях.
(2.24)
О
Функции Р(х— хп) ортогональны, поскольку не перекрываются,
ни не могут быть использованы в задачах, где необходимы вторые
производные. Аппроксимация имеет вид
W 1
/(ж) = 2-^УпР{х - хп)
п
и показана для N = 4 на рис. 2.1,£.
Рис. 2.1. Базисные функции: a — импульсные функции; б— апроксимация
Проекционные методы решения электродинамических задач
27
Рис. 2.2. Базисные функции: a — треугольные функции; б— анроксимация
Треугольные функции. Эти функции могут быть дифферен-
цируемы дважды, удобны для вычисления интегралов в ММ, уско-
ряют сходимость и имеют вид
О
ДЛЯ Xn—i
ДЛЯ Xfi
(2.25)
в остальных случаях
Функции (2.24) для N = 4 показаны на рис. 2.2,а, а кусочно-
линейная аппроксимация — на рис. 2.2,6.
Для двумерного случая используется функция «плоская кры-
ша» — комбинация кусочно-линейной (2.25) аппроксимации по одной
переменной и импульсной (2.24) по другой.
Тригонометрические функции. Рассмотрим пространство
ТД-тг, я) функций с интегрируемым квадратом на отрезке (—тг, я).
В этом пространстве функции {cos пт, sin пт}, п = 0,1,2,..., образу-
ют полную ортогональную систему. Ортогональность этой системы
легко проверяется непосредственным вычислением, а соответству-
ющий ряд Фурье, сходящийся в среднем (2.6) к функции т/(ж) €
6 ТД-тг, тг), имеет вид
т/(ж) =
cos пх + bn sin пх.
Базисные функции, очевидно, преобразуются к виду
{cos(n7ra;/Z), sin(n7ra;/Z)}
для пространства ТД-М)> а также в случае комплексного пред-
ставления {ехр(п7гт//)}. Соответственно, имеем представление для
у(х) Е L2(—l,l) в форме
у(х)
Уп&ф
пттх
71= —ОО
Степенные многочлены. Аппарат степенных многочленов
относится к классическим средствам приближения функций. В част-
ности, разложение функции у (ж) Е Ь2(—1,Г) по многочленам Ле-
28
Глава 2
жандра
—гт— (ж2 — 1)п
nl2n dxn
имеет вид
оо
у(х) = У^УпРп(х),
п—0
где
Уп
у{х)Рп\х).
В качестве базисных функций можно также взять сумму дельта-
функций, т. е. удовлетворить решению в отдельных точках, реализуя
метод коллокации.
Полиномы Чебышева. Аппроксимация функции полинома-
ми Чебышева используется для учёта краевых особенностей поля и
ускорения сходимости. Например, в случае функции, имеющей осо-
бенность на полуплоскости (1.24), такое представление имеет вид
п
где Тп(х), х 6 [—/,/], — полиномы
ные в смысле
Чебышева 1-го рода, ортогональ-
при т = гг.
при т/п.
В качестве базисных используются также функции Бесселя,
сплайны, кусочно-синусоидальные и т. п.
Совокупность равенств (2.14) должно привести к выбору коэф-
фициентов а„ и, следовательно, к формированию приближенного
решения uN (2.11). При подстановке (2.13) в (2.14) имеет место сис-
тема линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение которой
состоит в нахождении коэффициентов .
В этом методе базисные (2.13) и проекционные (2.12) функции
совпадают. В этом случае метод нахождения решения называют
методом Бубнова-Галеркипа. В общем случае эти функции берут
различными, а изложенный подход называют методом моментов.
3 Метод конечных разностей
Метод конечных разностей (МКР) базируется на решении диф-
ференциальных уравнений в частных производных, представленных
в конечно-разностной форме. Метод достаточно универсальный,
требует минимальной аналитической подготовки и легко програм-
мируем, одпако требует обращения матричных уравнений большого
порядка.
3.1. Конечно-разностная аппроксимация
МКР включает следующие основные шаги.
1. Для получения основного уравнения производные в решае-
мом дифференциальном уравнении выражаются в разностной
форме.
2. Область дискретизируется в форме ячеек, содержащих ко-
нечное число узлов.
3. Конечно-разностная форма дифференциальных уравнений
применяется для каждого узла, тем самым формируя систему ли-
нейных уравнений.
4. Решается система линейных уравнений и находятся значения
неизвестной функции в узлах ячеек.
5. Значения неизвестной функции в узлах ячеек используются
для определения характерных параметров устройства (характерис-
тического импеданса, критической длины волны, резонансной час-
тоты и т.н.).
Пусть задана функция f{x) (рис. 3.1). Производная функции в
точке xq определяется как
/'(ж0) = lim ~ (3.1)
Х->ХО X — Xq
Выражение (3.1) является точным, однако неудобным для чис-
ленной реализации, поскольку значения функция /(т) могут быть
30
Глава 3
Рис. 3.1. К разностным формам аппроксимации первой производной
заданы только в дискретных точках. Поэтому аппроксимируем (3.1)
в виде
/'(жо)
= lim
Ах—>о
/(ж0 + Дж) - /(ж0)
/(ж0 + Аж) - /(ж0)
Аж
(3.2а)
где Аж — шаг дискретизации, а представление (3.2а) называется раз-
ностной аппроксимацией вперёд. Возможно аналогичное представ-
ление, называемое разностной аппроксимацией назад:
И /(ж0) - /(ж0 - Аж) _ /(ж0) - /(ж0 - Аж)
Лх—>о Аж Аж
(3.26)
Существует ещё одно возможное представление, называемое
центрально-разностной аппроксимацией
/(ж0 + Аж) - /(ж0 - Аж) ~ /(жр + Аж) - /(ж0 - Аж)
Ат—>р 2Аж 2Аж
(3.3)
Запишем разложение фу] гкции /(ж) в ряд Тейлора в окрестности
точки жр:
/'(ж0) =
df
У(ж0 ± Аж) = /(жр) ± Аж —
аж
(Аж)3 d3f
3! 'dx3
Используя разностную аппроксимацию вперёд, получаем
/(ж0 + Аж) - /(жр)
£
dx
XQ
(3-4)
.. (3.5а)
Второе, третье и последующие слагаемые в правой части (3.5а)
представляют погрешности аппроксимации для ж У 0. Аналогично
Метод конечных разностей
31
для аппроксимации назад
Складывая (3.5а) с (3.56), получаем выражение для центрально-
разпостиой аппроксимации
/(жр + Аж) - /(ж0 - Аж) df (Аж)2 d2f
---------Гх-----------= Тх х - — х +-- (3'5в)
Видно, что погрешность конечно-разностной аппроксимации
(3.5а), (3.56) порядка Аж, а для центрально-разностной аппрокси-
мации существенно меньше, поскольку Аж < 1. Эту погрешность
называют погрешностью дискретизации.
При решении методом конечных разностей волновых уравнений,
уравнений Лапласа, Пуассона необходима конечно-разностная ап-
проксимация вторых производных (d2f/dx2). Обратимся к рис. 3.1 и
используем разложение в ряд Тейлора (3.4), располагая тремя точ-
ками жо, жр + Аж и жр — Аж:
/(ж0 + Аж) - /(ж0 - Аж) =
= 2/(ж0) + (Аж)2
d?f 2 (Аж)1 d4/
dx2 „ + 4! dx4
хо
d2f ~ f(x0 + Аж) - 2/(ж0) + /(ж0 - Аж) _ (Аж)4 d4/
dx2 „ (Аж)2 12 с/ж4
хо v 7
/(жр + Аж) - 2/(жр) + /(ж0 - Аж)
(3.6а)
т. с. погрешность аппроксимации порядка (Ат)2 — О(Аж)2. Анало-
гично производная d2f/dy2 для функции двух переменных f{x,y)
имеет вид
хо
/fao + Ат/) - 2/fa0) + - Ат/)
(Ат/)2
(3.66)
3.2. Конечно-разностная аппроксимация
в некоторых задачах
Проиллюстрируем процедуру конечно-разпостпой аппроксима-
ции на примере решения основных двумерных уравнений электро-
статики
V2u = р(ж,т/),
32
Глава 3
Рис. 3.2. I еометр! ih узлов в
квадратной сетке
Складывая выражения
пожая на /г2, получим
или
д“^и д2и
+ = (3-7)
охл оу
конечно-разностным методом.
Запишем конечно-разностную ап-
проксимацию (3.7), используя форму-
лы (3.6) и ориентируясь па рис. 3.2:
д2и ui — 2и2 + из /г2 с)4и
дх2 h2 12 дх4 ’
д2и и2 — 2uq + u.i h2 д4и
ду2 h2 12 ду4
(3.8)
в (3.8), используя уравнение (3.7) и ум-
+ ... (3.9)
Таким образом, мы аппроксимировали значение функции в
центральном узле первым слагаемым в (3.9)
(3.10)
второе слагаемое — погрешность аппроксимации o(h4).
Уравнение (3.10) может быть записано для любого узла (г, J)
анализируемой области как
Уравнение (3.11) — основное конечно-разностное уравнение для
решения уравнения Пуассона (Лапласа); его также называю! пяти-
точечной копечпо-разпостной аппроксимацией обсуждаемых урав-
нений. Записывая (3.11) для каждого узла анализируемой области
и преобразуя эти уравнения, можно получить совместную систему
уравнений относительно значений функции и(х, у) в узлах сетки, ре-
шая которую, далее найти эти значения. Особенности учёта гранич-
ных условий, неоднородности среды в области анализа и т. п. будут
обсуждены ниже.
Рассмотрим конечно-разностный метод решения уравнения (3.7)
па основе конечно-разностного уравнения (3.11), конкретизировав
область решения — бесконечная металлическая труба (двумерная
задача), изолированная па углах (рис. 3.3) [8]. Внутри трубы вве-
дена прямоугольная сетка с шагом h х h: 14 фиксированных узлов
Метод конечных разностей
33
па поверхности (потенциал их задан) и 9 свободных узлов внутри.
Поскольку р(х, у) = 0 внутри трубы, то распределение электричес-
кого поля находится из решения уравнения Лапласа с граничными
условиями па проводниках и последующим использованием формул
для нахождения электростатического поля.
Используем разностную форму
(3.11) для узлов и потенциалов па
границе в соответствии с рис. 3.3 и
учтём симметрию области относи-
тельно оси. В результате получаем
систему
4wi — 0 + Vo 4- U2 + -щ;
4wi = щ 4- Vo + Щ + W5;
4ui = 0 + wi 4- u5 4- и7;
4us = U4+U4 + U4 + Us',
(3.12)
Рис. 3.3. Геометрия задачи
4-117 = 0 + ui + us + 0;
4ад8 = U7 + -Г U7 + 0,
которую можно представить в следующей г татричной форме:
-4 -1-1 0
-2 4 0 -1
-10 4-1
0-1-2 4
0 0-10
_ 0 0 0 -1
0
0
-1
0
4
2
’^1‘
U2
из
U4
U§
-U6-
(3.13)
о -
0
Решив (3.13), найдём соответствующие значения потенциалов
щ, далее можно найти вектор напряжённости электростатического
поля. Заметим, что матрица в (3.13) является разряженной с доми-
нантной главной диагональю.
3.3. Конечно-разностная аппроксимация
для граничных узлов
Рассматриваемый метод позволяет решать задачи для неодно-
родных сред и сред со сложной геометрией области. В частности,
узлы сетки могут располагаться на границе раздела сред, на краях,
в различных углах и т. д. Конечно-разностные уравнения для таких
узлов отличаются от внутренних.
Узлы на границе раздела сред. Узлы на границе разде-
ла сред встречаются при исследовании полосковых и микрополос-
ковых линий передачи, частично заполненных волноводов и т. д. На
34
Глава 3
Рис. 3.4. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов
рис. 3.4,а показана граница раздела двух сред с параметрами eai
И €а2>
Получим конечно-разностпое уравнение для центрального узла
с потенциалом uq. Полагая, что па границе отсутствуют электри-
ческие заряды, воспользуемся уравнением Лапласа, применив его к
пунктирной ячейке (задача двумерная) па рис. 3.4,а, ограниченной
контуром С:
(3.14)
где de = ndc —
реписать в виде
нормаль к контуру С; формулу (3.14) можно пе-
ди
de = О,
(3.15)
Поток (3.15) вычисляется по четырём участкам. Потоки 'Фав и
'Фев соответственно равны
Ui — Uq h Ui — Uo h
У AB = £al--7----ъ + £a2---{---7?
h, 2 h 2
U2 - Uo h U2 -Uoh
'PcD = £al ““2 + £“2 ~h~ 2
(3.16)
Аналогично потоки V’bc и Фва соответственно равны
'ФвС = £а1
U2 ~ Uq
'ФвА = ?а2
и^ — Uq
(3-17)
Соответственно полный поток (3.15) равен
Щ — Uq h U] — Uq h U2 ~ Uq h
+^—+£dl—h~2 +
U2 — Uo h U2 — Uo h U4 — Uq h
+ ££2^~2+Е£1~Ь~2+££2~Ь~2=°-
(3.18)
Метод конечных разностей
35
Перепишем (3.18) в форме основного разностного уравнения
ио = т
Уравнение (3.19) является основным уравнением центрально-
разностной аппроксимации при наличии узлов, расположенных на
границе раздела сред. Заметим, что запись (3.19) очевидным обра-
зом следует из (3.10), если брать среднее значение диэлектрических
проницаемостей сред (e^i + £«2)/2 для узлов «i, из, расположенных
па границе раздела.
Узлы с диэлектрической угловой неоднородностью. Ис-
пользуя изложенную выше процедуру, можно получить основное
уравнение центрально-разностной аппроксимации при наличии уз-
лов. расположенных на границе с диэлектрической угловой неодно-
родностью (рис. 3.4,6):
uq = -
U4
Узлы на границе области анализа. Такая ситуация встре-
чается, когда узлы 0, 1 и 3 (см. рис. 3.46) лежат на границе области
анализа, а узел 4 неизвестен поскольку не принадлежит области
анализа. В этом случае для нахождения U4 используют условие
du du U2 — U4
dn dy 2 Ay
где n — направление нормали к границе, соединяющей узлы 0, 1
и 3. Откуда
(3.21)
U4 —
и, подставив это в (3.21), получим следующее аппроксимирующее
значение функции в центральном узле на границе:
du
которое в случае однородного условия Неймана на границе прини-
мает вид
При иной ориентации границы уравнение (3.22) получается оче-
36
винной перестановкой. Однородное граничное условие Неймана ис-
пользуется также для уменьшения размерности задачи путём введе-
ния магнитных или электрических стенок при наличии симметрии
задачи.
Узлы на углах области анализа. Для угловых относительно
области анализа узлов основное уравнение центрально-разностной
аппроксимации имеет вид
U1 + U2 + из — 26у
о,1
(3.23)
Рис. 3.5. К трансформации сетки
для узлов на криволинейной границы
а для однородных условий Неймана
Uq — “(ill +112 + из)
(3.24)
Криволинейная граница.
Конечно-разностпый метод основан
на дискретизации уравнений, ис-
пользуя узлы регулярной сетки.
Для расчёта методом КР областей
со сложной геометрией без потери
точности необходимо трансформи-
ровать дискретизацию (3.9), услож-
нив связь между узлами (рис. 3.5).
3.4. Примеры анализа СВЧ структур методом
конечных разностей
Проиллюстрируем метод конечных разностей на простейших
примерах.
Определение характеристического импеданса и фазовой
скорости экранированной микрополосковой линии. Экрани-
рованная микрополосковая линия представлена на рис. 3.6.
Экранировка осуществлена для ограничения области решения.
Рассмотренный выше подход можно использовать для вычисления
экранированной микрополосковой линии на. основе следующих соот-
ношений:
Vo . 7 _0_ 1 С_
* vC voCCo' Со’
где Со, С — погонные ёмкости линии в свободном пространстве и
на подложке.
Распространение электромагнитной волны и численная
дисперсия. Конечно-разностная дискретизация позволяет решать
Метод конечных разностей
37
Рис. 3.6. Экранированная микрополосковая линия ха-
рактеристического импеданса Z и фазовой скорости ос-
новной волны (Т-волны)
Рис. 3.7. Одномерная
однородная сетка
уравнения численно, однако вносит погрешности, связанные с дис-
кретизации функции. Кроме того, когда МКР используется для ре-
шения задач распространения воли, возникает явление численной
дисперсии, т. е. зависимости постоянной распространения от часто-
ты, хотя среда распространения бездисперсионная. Для пояснения
этого явления обратимся к волновому уравнению и запишем его для
простейшего случая
+ /сд_Еу(ж) — О,
решение которого имеет форму бегущей волны
Ey(z) = Е'ое^о^.
(3.25)
(3.26)
Чтобы выявить численную дисперсию, дискретизируем (3.25),
определим постоянную распространения ко и сравним с истинным
значением. В результате применения центрально-разностной аппро-
ксимации типа (3.6), (3.8) к (3.25) для однородной сетки, представ-
ленной па рис. 3.7, получаем
2Еу(г) — Ey(i — 1) — Ey(i + 1) — (ко&х)2 Ey(i) — 0.
Решение (3.27) ищем в дискретном варианте:
EAz) = Е0^х,
Подставляя (3.28) в (3.27), находим
2 - (А:0Дт)2)£0 - Eoe+ik°x _ Еое~^х = 0,
ИЛИ
|_2 — (A?qA£)2J = 2cos(/3A:r),
(3.27)
(3.28)
(3.29)
38
Глава 3
или
cos
(/с0Ат)2 А
2 J 1
(3.30)
где (3 — постоянная распространения в дискретной среде.
Выражения (3.28) и (3.30) являются численным решением рас-
пространения плоской волны в направлении оси X (см. рис. 3.7),
задаваемой бесконечной однородной сеткой. Видно, что численный
коэффициент распространения /3 отличается от коэффициента рас-
пространения ко и зависит от шага /Хс и ко = 2-тг/Ар (длины вол-
ны Ар); при Ат —> 0 имеем /3 —> ко- Из (3.30) следует, что в сре-
де без потерь (3 является действительной величиной при условии
cos(/3At) — 1 или ко^х 2.
Следовательно, если размеры ячейки меньше Ат Артг, то по-
грешность численного решения связана с фазовой ошибкой Ф, кото-
рая на единичную ячейку равна
Ф = (ко — /3)Ат.
4 Метод конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) отличается от классических
методов моментов формулировкой функции-решения задачи. Реше-
ние для классических методов моментов ищется в виде ряда по ба-
зисным функциям, определённых на всей области решения и удов-
летворяющих граничным условиям. Основная идея МКЭ состоит
в том, что любая непрерывная величина (например, электрическое
или магнитное поле) аппроксимируется моделью, которая строит-
ся на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на
конечном числе подобластей, совокупность которых образует иско-
мую область. Поскольку подобласти достаточно малы, то базисные
функции могут быть достаточно простыми. Это особенно очевид-
но для двумерных и трёхмерных областей со сложными границами,
когда выбор базисных функций в методах моментов затруднителен
(см. главу 2). Кроме того, МКЭ удачно сопрягается с компьютерны-
ми технологиями. При использовании МКЭ поступают следующим
образом.
1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число то-
чек, называемых узловыми точками (узлами). Значение непрерыв-
ной величины, которая должна быть определена в каждой узловой
точке, считается переменной.
2. Область определения непрерывной величины разбивается па
конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элемен-
ты имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют
форму области.
3. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом эле-
менте полиномом (функцией элемента), который определяется с по-
мощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента
определяется свой полином, подбираемый таким образом, чтобы со-
хранить непрерывность величины вдоль границ элемента.
4. Подстановка аппроксимаций в уравнения Максвелла (или эк-
вивалентные им) с учётом граничных условий дают СЛАУ, решая
40
Глава 4
которую определяют узловые значения искомой величины и, следо-
вательно, находят приближённое решение задачи.
4.1. Дискретизация пространства и линейные
интерполяционные полиномы
В соответствии с методом конечных элементов при решении
трёхмерных задач в качестве элемента разбиения используется тет-
раэдр, для двухмерных задач его аналог на плоскости — треуголь-
ник и, соответственно, линейный отрезок для одномерного случая
(рис. 4.1,н-в), а типичное разбиение двухмерной области анализа
показано па рис. 4.2.
Рис. 4.1. Типичные элементы разбиения области анализа
Рис. 4.2. Пример разбиения
двухмерной области анализа
Между размером ячейки, жела-
тельным уровнем точности и вычис-
лительными ресурсами имеется про-
тиворечие. С одной стороны, точ-
ность решения зависит от того на-
сколько мал каждый из отдельных
элементов (тетраэдров). С другой
стороны, решение задачи при боль-
шом количестве ячеек требует при-
менения быстродействующих про-
цессоров и большой оперативной па-
мяти. Поэтому необходимо искать
компромисс между точностью решения, временем и ресурсами, необ-
ходимыми для его реализации. Самым правильным критерием для
выбора размеров ячейки является критерий малой вариации поля в
ее пределах. В этом случае поле может быть корректно аппрокси-
мировано линейной функцией. Скорость изменения поля зависит от
Метод конечных элементов
41
рабочей частоты и неоднородности среды. Во всяком случае появ-
ление ячеек в размерами большими Л/10 (Л — длина волны в среде,
в которой ищется решение) нежелательно.
Одномерный элемент МКЭ. Ключевым моментом МКЭ яв-
ляется представление неизвестной функции и в виде разложения по
известным базисным функциям с неизвестными коэффициентами в
пределах каждой элементарной ячейки длиной L. Для простейшего
одномерного случая
и(х) = Hi + а2'х,
где di, а-2 — коэффициенты, определяемые узловыми значениями
Фг,Ф7 функции и(х) в точках Xi и Xj соответственно:
Фг — &1 + 0-2-^;
Ф7 = + 0,2^j'l
из этих выражений получаем
(4.3)
Подставляя найденные значения в (4.1) и группируя слагаемые,
получаем для и (ус) следующее выражение:
и(ж)
(4-4)
Линейные функции х в формуле (4.4) называются функциями
формы или интерполяционными функциями. Окончательно в соот-
ветствии с (4.4) неизвестная функция и(х) представлятся в матрич-
ном виде
u(x) = NiQi -I- АГ?-Ф?- = N<I>,
(4-5)
где Ф = (Фг,Ф7)т — матрица-столбец; N = (Ni,Nj) — матрица-
строка из элементов Ni — (х — ж7)/£, Nj — (xi — t)/L; «т» — знак
транспонирования.
Как видно из формулы (4.4), функция N равна единице в узле с
номером г и пулю в j-м узле. Аналогично функция N равна единице
в узле с номером j и нулю в г-м узле. Эти значения характерны для
функций элемента.
Двумерный элемент МКЭ. Двумерный элемент показан на
рис. 4.1,6. Это треугольник с прямолинейными сторонами и тремя
узлами, но одному в каждой вершине. Узловые значения функции
и(х,у) обозначаются через Ф^Ф^Ф/-, а координаты пары трёх уз-
42
Глава 4
лов — через (а^,?/г), (xj,yj), (хк,ук). Функция элемента имеет вид
у) — di + а2Х + азу,
(4-6)
где в], (12, аз — постоянные коэффициенты.
Выразив коэффициенты Д1,Д2?^з через узловые значения Ф;,
Ф7, Ф/с аналогично (4.2), (4.3), запишем решение для этих коэффи-
циентов в векторной форме:
а = А 1Ф,
(4-7)
где
Ф = (Фг,Ф„Ф,)т;
Уг
Уз
Ук
при этом определитель матрицы А равен удвоенной площади эле-
мента 25.
Так как
и(х, у) = ai + а2х + а3у = Ла,
где А = (Z,t,7/) — вектор-строка, то, используя формулу (4.7), полу-
чим для интерполяционного полинома
и(х,у) = ЛА гФ = NФ = + п^Ф^ + пкФк,
(4-8)
где функция элемента N = (Ni,Nj,Nk) представляется в виде
N = AA-1,
где
i — ^kyj)
Ni =
~ У к’,
aj — XkXi Xiyk,
- Уи
Nk =
В соответствии со сказанным ранее функции Ni, Nj, Nk равны
единице в одноименным узле с номером или к и равны нулю в
Метод конечных элементов
43
остальных. Действительно, вычислим значение Ni в г-м узле:
(tti + biX + Ciy) =
{xjXk - XkVj - VjXi + xkXi + xk - Xj) = 1,
поскольку выражение в скобках представляет собой определитель
матрицы А в формуле (4.7). Аналогичным образом можно показать,
что Ni равно пулю в остальных узлах. Эти значения характерны
для функций элемента.
Постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что
необходимо использовать очень малые по величине элементы, что-
бы аппроксимировать быстро меняющуюся функцию и(х, у). Обыч-
но в МКЭ используют полиномиальные аппроксимации неизвестной
функции. В частности, для двумерного случая функция (4.6) — пи
что иное, как полный полином первой степени. Полный полином
второй степени имеет вид
и(х, у) = Hi + а2х -I- а3у + н4ж2 + а5ху + а6у2,
при этом, если полином первого порядка содержал три коэффици-
ента, то полином второго порядка уже шесть. Соответственно, в
первом случае нам достаточно было трех значений функция фор-
мы элемента в трех точках — вершинах треугольника, то во втором
необходимо использовать дополнительные точки, как показано па
рис. 4.3.
По существу, формула (4.8) дает ап-
проксимацию, которая совпадает с точной
функцией в ряде дискретных точек. Эти
точки — узловые точки аппроксимации,
т. е. точки, в которых мы определяли Ф^,
Ф7, Фа-. Чем выше степень полинома, тем
больше число узловых точек, тем точнее
аппроксимация неизвестной функции. От-
метим. что в промежуточных точках ап-
проксимация всегда отличается от точной
Рис. 4.3. Вершины
для полного многочле-
на второй степени на
треугольном элементе
функции. Использование большей степени полинома в пределах эле-
ментарной ячейки повышает точность определения поля и позволяет
увеличить размер ячейки при сохранении точности. Таким обра-
зом, усложняя аппроксимацию, казалось бы, можно уменьшить чис-
ло разбиений области за счет увеличения размера ячейки и Ускорить
решение задачи. Во многом это иллюзорное представление. Дело в
том, что на скорость решения влияет не число ячеек, а число неиз-
вестных коэффициентов, входящих в СЛАУ. С этой точки зрения
увеличение размера ячейки за счет увеличения порядка базисных
44
Глава 4
функций может ничего не дать, так как общее число неизвестных
коэффициентов, равное произведению числа ячеек па число базис-
ных функций, может не измениться или даже увеличится. Поэтому
при численной реализации МКЭ предпочтение отдают простым ап-
проксимациям поля.
4.2. Решение одномерных задач методом конечных
элементов
Одномерный случай позволяет наиболее просто попять содержа-
тельную процедуру получения алгоритма решения и вычислитель-
ный процесс. Однако следует иметь в виду, что потенциал метода
проявляется в полной мере в случае сложных трёхмерных структур
с неоднородным материалом и анизотропией.
Алгоритм решения. Рассмотрим одномерное скалярное урав-
нение Гельмгольца, которое можно рассматривать в одномерном слу-
чае как частный случай уравнения Штурма-Лиувилля со всеми вы-
текающими свойствами для оператора. В данном случае уравнение
описывает распространение электромагнитной волны между парал-
лельными металлическими пластинами. Решение будем искать, ми-
нимизируя следующий стационарный функционал:
(4.П)
Выполняем процедуры п. 4.1 (рис. 4.4,а): делим область реше-
ния на Ne сегментов с размером Дж = l,Ne и вводим координаты
глобальных г-узлов: Xi = (г — 1)Дт, i = 1,2, ...,Q, где их число
Q — Ne 4-1. Поскольку два соседних элемента содержат общий узел,
то вводятся локальные узлы, которые на рис. 4.4,6 обозначены как
Х1 •> х2 1 гДе индекс (е) обозначает номер элемента. Локальные и
глобальные узлы связаны соотношением
= (е — 1)Дт = те; = еДт = те-|-1, е = 1,2,..., Ne. (4.12)
_ г(1>=у(2)
Элемент ,1 л2 . Л1
е 1 < 2 s
Узел 123
х= О
а)
Рис. 4.4. Дискретизация области решения
Метод конечных элементов
45
Дискретизация области на элементы приводит к дискретиза-
ции функционала (4.11), в котором для упрощения записи положим
Е(х) = и(х). Тогда
Ne
F(Ey) = ^F^u{e\
е=1
(4.13)
где
— fc2(u^)2 + 2gu^
dx.
(4.14)
Далее в соответствии с общим подходом представим решение
задачи и^е\х) на каждом сегменте в форме (4.13), конкретизировав
аналогично (4.14) для каждого одномерного элемента и учитывая
Рис. 4.5. Одномерные линейные интер- / ч
поляционные функции где Ф^- значение функции в
J-м глобальном узле, a 7V- — функция формы на сегменте (е) кон-
кретизированы выражением (рис. 4.5)
(4.16)
Подставив (4.15) в (4.16), получаем
F^e\u^) =
d(N^e\x)(P^)
-fc2 (дф)(а:)ф(е)')2 + 2д^е\х)Ф^
(4.17)
Возьмём производные относительно неизвестных узловых зна-
чении Ф,е :
46
Глава 4
Это уравнение может быть записано в матричной форме
dF^ < \ < х ( \
-* «- I 1 -ш- I £3 \ w I £3 1 — л. -Ж-Г-
Здесь
г
12
где элементы матрицы К(е) и Ь(е)
определены в соответствии с
dx
(4.21)
Матрица К?е) — симметричная, а её элементы, учитывая (4.16),
могут быть вычислены аналитически при следующих предположе-
ниях: к2 — постоянная величина в области решения или может
быть аппроксимирована константой внутри каждого (е)-элемепта,
а 9(х) — 9^е}- Тогда, учитывая (4.16), для элементов (4.21) матрич-
ного уравнения (4.19) получаем соотношения:
(4.22)
4.3. Решение скалярного уравнения Гельмгольца
методом КЭ
Обратимся к ещё одно примеру — задаче двумерного возбужде-
ния и распространения волн в экранированных волноводах сложного
сечения, например, как па рис. 4.6,а, которая сводится к решению
задачи для неоднородного скалярного уравнения Гельмгольца от-
носительно продольных компонент электрического Ez «магнитного
Hz) поля:
\72±Ег(х,у) +x2Ez(x,y) = 91(х,уУ
\72j_Hz(x,y) Fx2Hz(x,y) =92{х,у}
(4.23)
Метод конечных элементов
47
Конечные
элементы
а)
Рис. 4.6. Экранированные волноводы: а — Н-образпый; 6— прямоугольный с
треугольной сеткой
с граничными условиями иа стейках волноводов Ez = 0 иа для
jEz-воли (условие Дирихле), dHz/dn = nVHz = 0 на Zj_ для 77-волн
(условие Неймана). Здесь = д2/дх2 + д2/ду2 — оператор Лап-
ласа в декартовой системе координат; п — нормаль к контуру 1±
волновода; х2 = к2 — у2} к — волновое число; 7 — постоянная рас-
пространения; ^1,2 (ж, у) — возбуждающая (сторонняя) функция.
Поперечные составляющие электромагнитного поля Е±, Н± вы-
ражаются через продольные составлющие Ez, Hz, причём везде
вместо х,у можно взять произвольные криволинейные ортогональ-
ные координаты. Полагая и = {EZ,HZ}, уравнения (4.23) можно
записать единообразно:
Vlu(z,?/) + х2(т,?/) = g(x,y), д = дъд2, и(х,у) G
(4.24)
Вариационная формулировка МКЭ. Для (4.24) проблема
сводится к задаче минимизации следующего функционала:
dxdy.
(4.25)
Заметим, что для достижения функционалом F(u) экстремаль-
ного значения для точного решения и на пробные функции для Е-
воли должно быть наложено граничное условие Дирихле. С дру-
гой стороны, условие Неймана играет роль естественного краевого
условия, поскольку функция, удовлетворяющая требованию экстре-
мальности F(u) автоматически удовлетворяет и условию Неймана.
Несмотря па то что дифференциальные уравнения, описывающие Е-
п /7-волны, одинаковы, различные краевые условия для них приво-
дят к существенно отличным свойствам двух типов волн.
Дискретизация функции формы. Для простоты рассмот-
рим последовательно все процедуры МКЭ па примере прямоуголь-
ного экранированного волновода (рис. 4.6,6), поперечное сечение S±
48
Глава 4
Линейная аппроксимация
распределения поля
по треугольнику е
поля в узле
Рис. 4.7. Двумерные функции формы
которого разбито па четыре области с использованием треугольных
функций формы N = (Ni,Nj,Nk) (4.8), (4.9). Кружками обозначе-
ны глобальные узлы.
Аналогично (4.15) решение на каждом элементе ищется в виде
ц(е) (ж, 2/) = 52 Nj^ ^)ф7б) •
j=i
(4-26)
Очевидно, что для обеспечения необходимой точности число
разбиений должно быть достаточно велико, по крайней мере дли-
на стороны треугольника разбиений не более 0,1 от длины волны в
структуре. Напомним, что функции Ni,Nj,Nk равны единице в од-
ноименным узле с номером i,j или к и нулю в остальных узлах, что
показано на рис. 4.7. Тогда (4.25) принимает следующий вид:
Ne
F(l№) = 52F(e)(^(e))> Ne = 4.
е=1
(4.27)
Построение матрицы элементов. Подставляем (4.26) в (4.27) и
находим производные в неизвестных ф(е :
Это уравнение может быть записано в матричной форме
Метод конечных элементов
49
где
(е)
31
(е)
Элементы матрицы элементов К(е) и g(?/) определены в соот-
ветствии с (4.21):
г]
d(NV
dx dx
d(N$
dy dy
dxdy,
г
Поскольку функции формы (базисные функции) линейные, то
интегрирование в (4.28) может быть выполнено аналитически. В ре-
зультате получим
d(N^ d(N$e)
dx dx
d(N^ d(N^
dy dy
dxdy =
[f dxdy =
s(e)
(1 + dij)
где — площадь треугольного элемента (4.9); dij — символ Кро-
некера: dy = 1 при г = j и dij — 0 при i ф j. В результате для
имеем
bJ
(1 + dij\
i,j = 1,2,3.
Учитывая, что для произвольного ряда или столбца матрицы
К(е) выполняются уравнения
следовательно,
(4.29)
50
Глава 4
Уравнения (4.29) могут быть использованы для контроля рас-
считанных элементов матрицы К/е\ Элементы матрицы Юе' рас-
считаны аналитически, поскольку в соответствии с (4.23) параметр
%2 определён однозначно при известном 7, а коэффициенты д± в
(4.28) вычисляются после задания возбуждающей функции д(х, у).
4.4. Определение поля излучения по известным
значениям полей в ближней зоне
Для многих практических задач при использование МКЭ тре-
буется знание излучённого (рассеянного) поля в дальней зоне моде-
лируемого объекта (|В| > 2D2/Amin, где D — размер моделируемого
объекта, Amin — минимальная длина волны в спектре сигнала). Зада-
ние области моделирования вплоть до дальней зоны представляется
не оправданным, поскольку из-за больших размеров области тре-
бует существенных вычислительных ресурсов. Поэтому процедуру
определение поля излучения (рассеяния) в дальней зоне разбивают
на два этапа. На первом этапе при решение электродинамических
задач излучения антенн или рассеяния, используя МКЭ, находят
тангенциальные составляющими электрического и магнитного век-
торов на виртуальной поверхности (поверхность трансформации) в
ближней зоне области решения (рис. 4.8).
На втором этапе осуществляют преобразование (трансформа-
цию) поля с виртуальной поверхности 5тр в дальнюю зону. Из ос-
новного курса электродинамики [1] известно, что для решения урав-
Рис. 4.8. К определению поля в дальней зоне по известным значениям поля
в ближней зоне
Метод конечных элементов
51
нений Максвелла в случае однородной среды вводят два вспомога-
тельных векторных поля: векторный потенциал электрических то-
ков Аэ и векторный потенциал магнитных токов Ам. Векторы на-
пряженности полей определяются через эти потенциалы следующим
образом:
Е = —[V(V • Аэ) + к2Аэ] - V х Ам;
Ш£а (4.30)
Н = —— |V(V • Ам) + к2Ам] - V х Аэ,
а сами потенциалы удовлетворяют векторным неоднородным урав-
нениям Гельмгольца с возбуждающими электрическим J и магнит-
ным М токами. В силу теоремы эквивалентности поле Е,Н во
внешней области, ограниченной геометрической поверхностью STp
заданными на ней тангенциальными составляющими электрического
и магнитного векторов, тождественно совпадает с полем, возбужда-
емым электрическими и магнитными токами, распределёнными на
геометрической поверхности Sc поверхностными плотностями Js =
= пхНг и Ms = —пхЕг. Соответственно, уравнения для потенци-
алов имеют вид:
V2A3 + к2Лэ = —Js; V2Am + к2лм = -Ms. (4.31)
Заметим, что электрофизические параметры среды могут быть
комплексными. Решение в свободном пространстве с условием излу-
чения в приближении дальней зоны имеет вид:
5тр
5тр
(4.32)
Здесь
Отр
Отр
(4.33)
гк[г—rz|
где G(r,r') = -—j-----— — трёхмерная функция Грина свободного
4тг|г — г'\
пространства; г — ггр — вектор точки наблюдения (х,у, г); г' =
= г'г' — вектор точки интегрирования на £тр(ж', ?/, г'); R =
52
Глава 4
= |г — г'I; i/j — угол между гиг7; расстояние R в приближении
дальней зоны равно R = >/г2 + (г7)2 — 2rr' cos V’ ~ г — г' cos при
аппроксимации фазы, R & г при аппроксимации амплитуды. Для
разности хода можно получить явное выражение, представив его в
виде скалярного произведения:
т' cos = г'|го | cos ф = тт' = х' sin 0 cos 99 + у' sin Osintp + z' cos 0. (4.34)
Как следует из (4.31)-(4.34), данные функции зависят только
от угловых координат точки наблюдения и не зависят от расстояния
г. Для перехода от векторных потенциалов к векторам поля Е и Н
в дальней зоне необходимо выполнить операции пространственного
дифференцирования, предписываемые соотношениями (4.31). После
тождественных преобразований, а также отбрасывания членов, име-
ющих радиальную зависимость 1/г2 (или 1/г3), т. е. несущественных
в дальней зоне, получаем следующие соотношения для компонент
векторов поля в сферической системе координат:
Ег =0;
Нг = 0,
(4.35)
где Zq = \/цо Ао — характеристическое сопротивление свободного
пространства.
Для прямоугольной геометрии пространственных сеток и преоб-
разования поля ближняя-дальняя зоны удобно вычислять Еэ,м через
декартовы составляющие , переходя затем к сферическим ко-
ординатам с помощью соотношений:
F(T'M = F!’M cos9cos99 + F®,M cos9sin<z> — F?,M sin9;
U JU • (J • *
F9,M = _F3 M sin + F3 M CQS
kxz JLf 9(1 •
(4.36)
Тогда имеем:
ff(Jsx cos 9 cos v + Jsv cos 9 sin v - Л. sin 9^ ds';
5тр
Метод конечных элементов
53
(4.37)
jI (Msx cos в cos у? + Msy cos 0 sin ip — Msz sin 0)егкг cos ds';
STp
sx
При известном распределении векторных значений плотностей
электрического и магнитного токов Js {г'), Ms(г') на поверхности 5тр
(см. рис. 4.8) интегральные представления (4.37) могут быть най-
дены численно с учётом размещения и ориентации каждой из гра-
ней поверхности 5тр прямоугольной области решения размером 2ДХ,
2ДУ, 2AZ. Такую область можно разбить на три пары граней. На-
пример, х' = ±ДХ, на которых известными являются Jsy, Jsz и Msy,
Msz, фазовый множитель в (4.35) равен
г' cos ip = г'го = ±ДА” sin 0 cos 0 + у’ sin 0 sin <р + z' cos 0,
а интегрирование ограничено условиями
-ДУ у ДУ;
ds' = dy'dz'.
Аналогично получаем для других граней. Определив и У®’м,
можно найти угловое распределение составляющих вектора Е в
дальней зоне, характеризуемое зависимостью от угловых координат
Графическое представление этой зависимости называется диа-
граммой направленности (амплитудной, фазовой, поляризацион-
ной). Нормированная амплитудная диаграмма направленности для
0-м. и <р-й компонент определяются по формулам:
= igM;
\&0 шах
(4.38)
Вычислив среднее значение вектора Пойптинга
Пср = | Re[E х Н‘]
+ '-(ед,)
Го =
= ro32X^(|F“ + здэ|2 + |F“ “ Zo^|2)’
можно записать нормированную диаграмму направленности по мощ-
54
Глава 4
пости
Ф2(£М =
ПСр($, Ф)
| Иср |тах
(4.39)
Формула (4.39) является основой для вычисления коэффици-
ента направленного действия антенн или эффективной поверхности
рассеяния различных тел.
5 Метод интегральных уравнений
5.1. Функция Грина волнового уравнения
Поскольку применение функций Грина основано на представле-
нии произвольного источника суперпозицией точечных источников,
необходимо определить математически понятие точечного источни-
ка. Скалярной функцией Грина G(r,r'), где г, г' — радиус-векторы
точек наблюдения и источника соответст-
венно (рис. 5.1), неоднородного уравнения
Гельмгольца для волновой функции и (г)
(произвольной компоненты поля)
называется вспомогательная функция,
используемая при решении этого уравне-
ния, которая сама удовлетворяет уравне- Рис. 51. Координатная сис
нию с той же левой частью и с ^-функцией тема
(точечный источник) в качестве источника возбуждения f(r):
V2G(r, г') + k2G(r, г') = d'(r — г').
Это уравнение не определяет полностью функцию G, нужно за-
дать ещё условия на границе области решения задачи или условия
излучения. Полезно напомнить определение ^-функции. В качестве
определения <5(ж)-фупкции для одномерного случая обычно рассмат-
ривают следующее интегральное соотношение:
при этом
х — х') dx — 1,
оо
56
Глава 5
а для всякого ограниченного отрезка L
при х' 0 L;
при х1 Е L.
Переходя к определению дельта-функции 6 (г) для трёхмерного
случая, будем иметь
/(г)<5(г — /) dV = f(rr),
при этом
6(г — г') dV = 1,
а для всего ограниченного объема V
f(r)5(r — г') dV =
при г' L",
при г' Е V.
(5-2)
Аналогичные представления можно получить и для двухмерно-
го случая.
Определим функцию Грина свободного пространства. Для рас-
сматриваемого случая (5.1) дополняем условием излучения
Ит г
(5.3)
Чтобы найти G. вводим координатную систему с центром в точ-
ке г', что обеспечивает сферическую симметрию относительно этой
точки. Поэтому уравнение (5.1) можно записать в выбранной сфе-
рической системе координат в виде
1 d 2dG(ri,ty
ri dri L 1
+ /c2G(ti,0) = -J(n - 0).
(5.4)
где ri = |r — r'|. Если и = 0, то (5.4) можно записать в виде урав-
нения
d2 [и G(ri, 0)
drj
+ /c2G(n,0) = 0,
которое с учетом (5.3) имеет хорошо известное решение
G(ri,0) = Ае-^/п.
(5-5)
Для определения неизвестного коэффициента А подставляем
(5.5) в (5.4) и интегрируем по объёму сферы с центром в точке
4=0, устремляя в пределе её радиус р —> 0. В результате нахо-
дим А = 4тг — 1 и G(ri,0) = е~гкг1 Откуда в исходной системе
Метод интегральных уравнений
57
координат (см. рис. 5.1) функция Грина свободного пространства
G(r,r')
ifc|r-Г' I
с
4тг|г — г'
Следуя аналогичной процедуре, можно получить двумерную
функцию Грина двумерного волнового уравнения типа (5.1) [3]
G(p,rho') = ^Н^2\к\р- р'|),
a L
где р = Х[)Х-\-уоу, (к\р—р'[) — функция Ханкеля пулевого поряд-
ка второго рода, которая при больших значениях аргумента имеет
асимптотическое представление, отвечающее условию (5.3)
Н^\к\р - p'l)k|p-p'i->oo ~
e-i(fc|p-pz|)—тг/4
И, наконец, одномерная функция Грипа [3]
^(ж,ж')
1 ^—ik\x—x,\
2ik
Заметим, что при любых граничных условиях функция Грипа
симметрична: G(r, г') = G(r', г) и имеет особенности: hi\р — р'\ для
двух и |г — г'|—1 для трёх измерений.
5.2. Интегральные представления поля через
функцию Грина
Пусть для рассматриваемого двумерного Я2 случая (рис. 5.2)
задан объект Пу с границей Гу и внешняя область Поо (граница Гоо)
с расположенным в пей сторонними возбуждающими токами f(p).
В области Поо волновая функция и удовлетворяет неоднородному
уравнению Гельмгольца
v2u(p)+fe2«(p) = f(p), р е «оо.
(5.7)
Волновая функция должна
также удовлетворять условию
излучения
Рис. 5.2. Геометрия задачи
Наша предварительная цель состоит в получении интегрально-
го представления функции и(р) в области Qqq с помощью значений
58
Глава 5
функции и(р) и её производной на Го, а также функции f(p). Ключе-
вую роль в таком представлении играет функция Грина (5.6), удов-
летворяющая уравнения типа (5.1) с граничными условиями (5.3)
V2GW) + fc2GW) = -б(р-р')
(5.8)
и явно записана в (5.6). Будем искать общий вид решения уравне-
ния (5.7). С этой целью выполним в (5.7) умножение на G(p,p'Y а в
(5.8) — па w(p); произведём вычитание левых и правых частей и ин-
тегрирование полученных выражений по области как функций
р. В результате получим
[G(p, р') V2u(p) - w(p)G(p, р')] dQ. =
^оо
lG(p,p')f(p)dQ- I и(р)6(р,р')](К1.
oo ^OO
(5-9)
Выполним далее следующие преобразования.
1. Поверхностный интеграл слева заменим контурным при по-
мощи скалярной теоремы Грииа
(5-Ю)
где предполагается, что входящие в (5.10) функции непрерывны
вместе с производными до второго порядка везде вплоть до конту-
ра Г, который должен быть гладким в смысле Ляпунова (в каждой
точке контура существует нормаль).
2. Поскольку контур Г = Го + Гоо, а па Гоо выполняется условие
излучения, то в контурном интеграле остаётся интеграл только по
контуру Го.
3. Во втором слагаемом справа произведём интегрирование по
формуле (5.2), что даёт и(р').
4. Произведём замену обозначений р <-> р' (ввиду симметрии
функции Грина эта процедура не распространяется на функцию
Г рипа).
В итоге находим следующий общий вид решения уравнения (5.7)
ди(р') , , dG(p,p')
dr1 - / G(p, р')/(р') =
J ^оо
Р Hqo ,
р G По,
(5.11)
где функция G(p, рг) определена (5.6); нормаль п — внешняя по от-
ношению к области Qqo, a d£lf означает интегрирование по облас-
Метод интегральных уравнений
59
ти, где Из интегрального представления (5.11) следует, что
для нахождения решения в некоторой области Пос надо располагать
сведениями о его поведении па границе Гд: в контурный интеграл
входят функции и(р) и du(p)/dn. Из (5.7) следует, что если и(р) —
электрическое поле на Го, то du(p)/dn — магнитное поле и наобо-
рот. Если объект По отсутствует, то (5.11) характеризует внешнее
(падающее) поле
«в"(р) = -/ G(p, p') f (р1) dil1.
” ^оо
(5.12)
Интегральное представление (5.11) является фундаментальным
для получения интегральных уравнений для iz(p) и du(p)/dn:
du(p)
= Vtz n.
on
5.3. Общие сведения об интегральных уравнениях
Интегральными называются уравнения, в которых неизвестная
функция входит под знак интеграла. Рассматривая лишь линейные
интегральные уравнения, последние для одномерного случая могут
быть представлены в виде
a
Здесь у(х) — искомая неизвестная функция; K(x,s) — заданная
функция двух переменных, называемая ядром интегрального урав-
нения; А — числовой множитель (параметр уравнения); область ин-
тегрирования для простоты предполагалась одномерной, т. е. ж,
s G [а, 6], а ядро 7<(ж, s), определённое в квадрате а х С 6,
a s Ь, удовлетворяет условию
dxds
(5.14)
Уравнение (5.13) носит название неоднородного уравнения
Фредгольма второго рода. Если в (5.13) f(x) — 0, то получим одно-
родное уравнения Фредгольма второго рода
Сь
у\х) — X I К(х, s)y(s) ds = Q.
J a
(5.15)
Значения Л, при котором уравнение (5.15) имеет ненулевое ре-
шение у(х) 0, называют характеристическими числами уравнения,
60
Глава 5
а соответствующие им ненулевые решения — собственными функци-
ями. Полагая, что в левой части уравнения (5.13) у(х} отсутствует
получим линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Гъ
' К(х, s)y(s) ds = /(ж),
a
a С х b.
(5.16)
Трудности решения интегрального уравнения первого рода свя-
заны с тем, что эта задача является некорректной по Адамару. Усло-
вия корректности по Адамару кроме очевидных требований сущест-
вования и единственности решения (5.16), налагают ещё два условия:
1) решение уравнения должно существовать при любой правой
части уравнения (т. е. при любом внешнем воздействии);
2) малым возмущениям правой части уравнения соответствуют
малые (того же порядка) возмущения решения. Интегральное урав-
нение (5.16) не удовлетворяет пи первому, пи второму условию кор-
ректности. Если какие-либо свойства ядра АГ(ж,§) и правой части
f(x) различны, например одна из них имеет разрыв, а вторая пет, то
уравнение (5.16) не может быть удовлетворено. Отсюда видно, что
решение существует не при любой правой части.
Далее, к искомой функции y(s) добавим быстро осциллирую-
щую функцию, папример Asin(fls). Если ядро гладкое, то при лю-
бой величине А можно выбрать достаточно большую величину И
так, что
где е — любое сколь угодно малое (но конечное) число. Иначе го-
воря, как угодно малому возмущению правой части (добавление е)
соответствует как угодно большое возмущение решение (добавление
к нему Asin(Qs)). Заметим, что в задачах электродинамики некор-
ректность задачи решения интегрального уравнения первого рода
проявляется заметным образом не всегда. Это связано с тем, что
правая часть уравнения (5.16) не произвольная (например, при паде-
нии плоской волны на объект), а является полем, удовлетворяющим
уравнениям Максвелла (как и ядро). В противном случае необхо-
димо трансформировать к интегральному уравнению второго рода,
либо использовать общий метод регуляризации некорректно постав-
ленных задач, предложенный А.Н. Тихоновым.
Применительно к интегральному уравнению первого рода об-
щий метод регуляризации заключается в следующем. Решение урав-
нения (5.16) заменяют отысканием минимума следующего фупкци-
Метод интегральных уравнений
61
онала:
Ф1
[я, y(s)] =
' К(х, s)y(s) ds — f(x)
a
Обе задачи естественно эквивалентны, и минимизация ФЦж,
y(s)] также задача некорректная. Соответственно, к этому функцио-
налу добавляют норму решения ||т/(з)|| с некоторым положительным
коэффициентом а, т. е. далее минимизируется функционал
Ф2[ж,7/(з)] = Ф1[ж, ?/($)] + a||?/(s)
Здесь паразитная осциллирующая функция появиться не может,
так как эта функция увеличила бы норму ?/(«), участвующую в про-
цессе минимизации. Задача становится корректной, ио не соответст-
вующей первоначальной задаче, поскольку норму y(s) добавили со-
вершенно произвольно. Для того чтобы найти решение исходной за-
дачи, отыскивают минимум функционала ®w[rr,7/(s)] несколько раз
при всё уменьшающемся значении множителя а до тех пор, пока не
появится паразитная колеблющаяся функция. Решение ?/(«), соот-
ветствующее минимальному значению, при котором пет паразитной
колеблющейся функции, принимается за приближённое решение за-
дачи. Доказано, что при а —> 0 решение стремится к точному ре-
шению, а норма разности между правой и левой частями уравнения
стремится к пулю.
Многие электродинамические задачи (экранированные полоско-
вые, щелевые и т. д. структуры) и их алгоритмизация основаны иа
уравнениях типа (5.13), (5.15), (5.16), ядра которых содержат в неяв-
ном виде логарифмические особенности (In — т| при и —> v) или
сингулярности типа Коши [(г — t)-1 при т —> t]. Такие интегральные
уравнения называются сингулярными (СИУ). Типичным примером
являются СИУ типа Коши
~ [ Щ<1т = f(t), (5.17)
К j£T-l
где £ — гладкая кривая Ляпунова (кривая с непрерывной кривиз-
ной); <Дт) — функция точек этой кривой, ядро (5.17) имеет сингу-
лярность (г — t)-1.
Процедура алгоритмизации задачи, как правило, включает
простое усечение бесконечных рядов в ядрах уравнений. В резуль-
тате такая процедура с математической точки зрения равносильна
переходу от корректно поставленной задачи (СИУ первого рода ие
относятся к классу некорректных задач) к некорректной — урав-
нению Фредгольма первого рода. В результате точность и устой-
чивость результатов решения зависит от числа слагаемых в ядрах
62
Глава 5
уравнений и в представлении решений, а также от выбора базиса.
Именно этим объясняется явление относительной сходимости реше-
ния, требующее выбора этих параметров и проверки соответствия
решения физической задаче.
Кроме того, известно, что наличие рёбер па граничных поверх-
ностях приводит к неоднозначному решению уравнений Максвелла,
из которых только одно наиболее адекватно описывает исследуемое
явление. Поэтому для обеспечения единственности решения необхо-
димо ввести некоторое дополнительное физическое ограничение на
поля, известное как условие на ребре.
В литературе доказано существование решения СИУ, ядра ко-
торых содержат в неявном виде логарифмические особенности или
сингулярности типа Коши, для функций, принадлежащих к классу
Н*. Определим прежде класс функций </>(т) G Н, удовлетворяющих
так называемому условию Гельдера: функции принадлежат клас-
су II, если для двух точек п, Т2 в любом замкнутом интервале па
контуре [—tk, +t/c]l кривой |</?(т2) — </Чт1)| < где A,v — по-
ложительные числа и 0 < v 1. Соответственно, по определению
Н* есть класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера для
любых двух точек Т], т-2 в любом замкнутом интервале, нс включа-
ющем концов, а вблизи любого конца Тк имеет вид
(tk Т r)v
Решая интегральные уравнения, например, методом Галёркина
с учётом особенности на рёбрах, целесообразно в качестве базисных
функций ит использовать йт(т) = ст-1 (т)ит(т), где {ггт(т)} - пол-
ная и ортогональная па [—it, +tfc] с весом о 1(т) система функций,
удовлетворяющая необходимым по условию задачи граничным усло-
виям. Вообще же к системе базисных функций предъявляются два
основных достаточно противоречивых требования. Во-первых, сис-
тема функций должна как можно точнее описывать действительный
характер распределения отыскиваемых полей (токов). Во-вторых,
желательно аналитическое (наиболее простое) вычисление интегра-
лов от произведения базисной функции па ядро интегрального урав-
нения.
Более строгий подход к решению электродинамических задач
с использованием базисов Трефтца — применение математическо-
го аппарата теории сингулярных интегральных уравнений, суть ко-
торого заключается в сведении СИУ к интегральным уравнениям
Фредгольма второго рода путём выделения сингулярности, а также
процедура обращения (нахождение решения) уравнения.
Метод интегральных уравнений
63
5.4. Примеры интегральных уравнений для задач
электродинамики.
Примеры интегральных уравнений для различных задач элек-
тродинамики приведены в [4].
Интегральные уравнения электродинамики весьма разнообраз-
ны и существуют разные способы их вывода. При решении внешних
задач электродинамики получение интегральных уравнений наибо-
лее распространено. Вернёмся к фундаментальному интегральному
представлению (5.11) для получения некоторых интегральных урав-
нений относительно п(р) и du^pj/dn, учитывая различные свойства
объекта По (рис. 5.3).
Е-поляризация; интегральное уравнение первого рода.
Пусть объект Ио — идеально проводящий, u(p) = Ez, выполняется
условия излучения (или убывание поля при наличии поглощения), а
также следующее граничное условие для полного поля (рис. 5.3):
Ez{p) — О,
Р 6 Го-
(5.18)
Полагаем, что для полного поля отсутствуют изменения вдоль
оси z (не только среда, но и источники возбуждения обладают плос-
костной симметрией). Примером такой возбуждающей первичное
поле функции является возбуждение нитью электрического тока J
с амплитудой /, расположенной в точке с координатами (ро-<ро):
f(p) — zqI8{p — ро)<5(<р — <ро)- Подставляя это возбуждение находим
векторный электродинамический потенциал А(р) = zo/i0IG(p, р')-
Окончательно получаем, учитывая, что VA = 0:
-= —wjA = — Zq
гг2/7 I
——Яо
Учитывая асимптотику функции Хаикеля, можно также задать
возбуждение плоской волной. С учётом сказанного представление
(5.11) принимает вид
где в соответствии с (5.12)
ЕТ(Р)=1 G(p,p')f(p')d£l.
J ^ос
Применяя (5.19) па Го и учитывая (5.18), получаем следующее
интегральное уравнение первого рода относительно дЕ/дп на Го,
64
Глава 5
специфика которого обсуждена выше:
Р £ Го-
(5.20)
Учитывая, что Ez(p') — электрическое поле, то согласно (5.7)
dEz(p'\/дп — магнитное поле. Поскольку на поверхности металла
магнитное поле испытывает скачок, то dEz(p'y/дп пропорциональна
поверхностному электрическому току.
Н-поляризация; интегральное уравнение второго рода.
Пусть объект По — идеально проводящий, и(р) = Hz и выполня-
ется следующее граничное условие для полного магнитного поля
(рис. 5.3):
dHz(p)/dn = ti, р G Го.
(5.21)
Первичное поле побуждается нитью магнитного тока М, при
этом выражение для Н получается аналогично предыдущему слу-
чаю с заменой еа = ра. Тогда представление (5.11) принимает вид
Н™+<£ Hz(p’)dG(£’р,) dT =
Jrr, дп
Hz(p), Р G Hqq,
0 р G По,
(5.22)
где в соответствии с (5.12)
ЯГ(р)=/ G(p,p')/(p')dQ.
О DO
Чтобы получить интегральное уравнение относительно Я, мож-
но перевести точку па металлический контур и воспользоваться гра-
ничными условиями (5.21). Однако в отличие от предыдущего слу-
чая на контуре Го равно нулю не поле Яг, а его производная. По-
этому рассмотренная выше схема не работает, кроме того, интеграл
в (5.22) имеет сильную особенность. Для гладких тел можно исклю-
чить особенность из ядра интегрального уравнения, учитывая (5.21),
и воспользовавшись следующим соотношением:
Z НДр')р,) dr' = |яДр) + f Яг(р')Э(?д ’ дГ', (5 23)
/г0 on 2 Jr0 дп
где интеграл с сильной особенностью заменяется интегралом в смыс-
ле главного значения, в котором особая точка р = р’ исключена из
области интегрирования и выделена в виде свободного члена. Дока-
зательство формулы (5.23) сводится к следующему: интеграл в ле-
вой части (5.23) разбивается на интеграл по полуокружности малого
радиуса с центром в точке р плюс оставшийся интеграл, который при
Метод интегральных уравнений
65
стремлении радиуса полуокружности к нулю сводится к интегралу в
смысле главного значения, в котором особая точка р = р' исключе-
на из области интегрирования. Кроме того, если р —> Го с внешней
стороны fig, то интеграл по полуокружности малого радиуса равен
Hz(p)/2\ если же р —> Гд с внутренней стороны fig, то интеграл по
полуокружности малого радиуса равен Hz(p). Подставляя (5.23) в
(5.22) и преобразуя, получаем следующее интегральное уравнение
второго рода относительно тока па Го:
|я2(р)- / Hz(p')dG^P'} dr' = Н^‘(р\, ре Го. (5.24)
Е-поляризация; двумерное интегральное уравнение вто-
рого рода. Пусть объект fig 11а рис. 5.3 — диэлектрическое те-
ло, характеризуемое комплексной диэлектрической проницаемостью
е(р),£1(р), в области Qoq — однородным значением ci; u(p) = Ez,
выполняется условие убывания поля па бесконечности и граничные
условия для полного поля в виде непрерывности касательных ком-
понент электрического Ez и магнитного dEz(p)/dn полей. Следуя
рассмотренной выше методике, можно получить систему интеграль-
ных уравнений второго рода относительно Ez и dEz (р) / дп на Гд. Мы
продемонстрируем иную технику получения интегрального уравне-
ния. В области fig полное электрическое поле Ez, удовлетворяет
следующему волновому уравнению:
V2E2(p) + к^еЕ^р) = f(p),
р 6 fig,
(5.25)
где ko = cug£g//g — постоянная распространения свободного прост-
ранства; е(р) — относительная диэлектрическая проницаемость об-
ласти fig, зависящая в общем случае от точки р 6 fig. Прибавляя
и вычитая в левой части (5.25) слагаемое к^еЕг, мы сводим зада-
чу в неоднородном пространстве к следующей задаче в однородном
свободном пространстве с иным возбуждением в правой части:
V2Ez(p) + ^£1(р)Ег(р) = /(р) - Kz(p),
(5.26)
р €: fl ОС 7
где Kz(p) = к%(е- £i)Ez, р 6 fig, — индуцированное возбуждение.
Используя формулу (5.11) и учитывая, что интеграл по Гоо ис-
чезает из-за того, что для поля и для функции Грина выполняются
условия излучения, получаем следующую формулу, которую можно
рассматривать как поле, созданное заданными источниками: пер-
вое слагаемое — результат возбуждения реальными токами и отсут-
ствии объекта fig (полагаем, что источник возбуждении обладают
66
плоскостной симметрией), а второе — индуцированное возбуждение:
ЕМ = ££"(/>) - / KM)G(p, р') dtl’.
J Qq
(5-27)
Для точек внутри тела р Е Но (5.27) представляет собой ин-
тегральное уравнение второго рода, в котором неизвестное поле Ez
внутри диэлектрика содержится и в свободном члене и под интег-
ралом. Для точек вне тела р £ Но (5.27) — уже пе интегральное
уравнение, а выражение для поля вне диэлектрика через поле в ди-
электрике.
Интегральное представление (5.11) является фундаментальным
для получения интегральных уравнений в двумерном случае. В
трёхмерном векторном случае (рис. 5.4) аналогичное представление,
полагая, что присутствуют только сторонние электрические токи
JCT 0 называется формулами Стреттоиа-Чу, имеет вид [3]
G(r - r') dV' +
V(V • JCT)
+ У [VG х (n] х Е) - iupaG(H х n') - (n’ • E)VG] ds1-
H(r) = - [ G(r- r')(V x JCT) dV +
JVoo
+ у [VG x (n' x H) - icjeaG(E x n') - (n' • #)VG] ds',
(5.28)
гдеС(г,г') = е~гА:1г_г,1/47г|г—r'l; S — SqUSoo- Если геометрия задачи
и электромагнитное поле пе зависят от координаты z (д/partialz =
0), то переход к двумерному случаю в (5.28) осуществляется очевид-
ным образом согласно рис. 5.3.
5.5. Пакет программ ЭДЭМ для численного
анализа антенн.
Программа ЭДЭМ (Электродинамика Элементов из Металла)
предназначена для специалистов в области прикладной электроди-
намики и позволяет исследовать электродинамические свойства
структур, допускающих аппроксимацию набором проводящих по-
верхностей [8]. Это металлические тела, рефлекторы, экраны, за-
мкнутые и незамкнутые оболочки произвольной формы, а также
системы из них с характерными размерами от долей до нескольких
длин воли. Анализируемые системы могут содержать проводящие
или импедансные пленки, а также сосредоточенные емкости и ин-
Метод интегральных уравнений
67
дуктивности. Исследуемые структуры могут также образовывать
бесконечные периодические решетки.
Анализируемые объекты могут находиться в свободном прост-
ранстве или над проводящей бесконечной плоскостью. Если иссле-
дуемая структура обладает симметрией, это можно эффективно ис-
пользовать для сокращения требуемого объема оперативной памяти
и времени решения.
Источниками возбуждения могут быть плоские волны, точеч-
ные источники в виде дельта-функций, элементарные электрические
и магнитные вибраторы, апертуры с заданными распределениями
источников, линейные вибраторные излучателя, а также любые их
комбинации.
ЭДЭМ позволяет находить электрические и магнитные поля,
возникающие в окрестности таких структур — внутри, снаружи и на
любом удалении, вычислять пространственные распределения ком-
нон епт полей и плотности потока мощности, рассчитывать диаграм-
мы направленности, находить полную излучаемую системой мощ-
ность, к.п.д., определять фазовые центры, поляризационные харак-
теристики и многое другое.
Найденные распределения плотностей токов, наведенных па
анализируемых структурах, могут изображаться в виде линейных
диаграмм, в трехмерных задачах также в виде карты амплитуд и
с помощью получившей в настоящее время распространение цвето-
вой шкалы. Отображение распределения компонент полей реализо-
вано в виде линейных диаграмм, в виде двумерных рельефов или
с помощью цветовой шкалы, а также с помощью комбинации этих
способов.
Решение задачи на основе строгой постановки гарантирует учет
всех физических явлений, которые могут возникнуть в той или иной
системе, и обеспечивает достаточную точность результатов.
Программа обладает также средствами для приближенного ре-
шения задач па основе эвристических подходов, таких, как метод
физической оптики.
Настоящая версия ЭДЭМ допускает решение шести типов задач
для монохроматического поля, которые перечислены ниже. К пер-
вому из них относятся наиболее сложные для численного решения
задачи для структур с произвольной трехмерной геометрией и про-
извольным возбуждающим полем. В ряде случаев на практике мож-
но использовать ту или иную специфику задачи (значительную про-
тяженность структуры вдоль одной из координат, симметрию вра-
щения и т.п.) для существенного упрощения анализа. Таким путем
68
можно, например, в сотни раз увеличить характерные размеры ис-
следуемой структуры, для которой можно решить задачу на том же
компьютере, повысить точность решения и т. д. В настоящей версии
ЭДЭМ выделено пять типов таких задач.
Итак, данная версия ЭДЭМ позволяет получать численное ре-
шение задач следующих типов.
1. Задачи для структур с произвольной трехмерной геометри-
ей и произвольным возбуждающим полем. Такая задача, наиболее
сложная из перечисленных, сводится к двумерному векторному ин-
тегральному уравнению.
2. Плоские цилиндрические задачи для ^-поляризованного по-
ля, когда исследуемая структура имеет бесконечную протяженность
вдоль одной из осей координат, а вектор напряженности электричес-
кого поля параллелен этой оси. Контур Г сечения структуры может
быть произвольным — как замкнутым, так и незамкнутым, а так-
же состоять из нескольких кривых. Задача сводится к одномерному
интегральному уравнению с логарифмической особенностью ядра.
3. Плоские цилиндрические задачи для If-поляризованного по-
ля, когда исследуемая структура имеет бесконечную протяженность
вдоль одной из осей координат, а вектор напряженности магнитно-
го поля параллелен этой оси. Контур Г сечения структуры может
быть произвольным — как замкнутым, так и незамкнутым, а так-
же состоять из нескольких кривых. Задача сводится к одномерному
интегральному уравнению.
4. Осесимметричные задачи для ^-поляризованного поля, ког-
да исследуемая структура образована вращением контура Г вокруг
некоторой оси, а вектор напряженности электрического поля имеет
только азимутальную составляющую (параллелен краю структуры
в случае незамкнутого контура Г). Контур Г сечения структуры мо-
жет быть произвольным — как замкнутым, так и незамкнутым, а
также состоять из нескольких кривых. Задача сводится к одномер-
ному интегральному уравнению с логарифмической особенностью
ядра.
5. Осесимметричные задачи для К-поляризовапиого поля, ког-
да исследуемая структура образована вращением контура Г вокруг
некоторой оси, а вектор напряженности магнитного поля имеет толь-
ко азимутальную составляющую (параллелен краю структуры в слу-
чае незамкнутого контура Г). Контур Г сечения структуры может
быть произвольным — как замкнутым, так и незамкнутым, а так-
же состоять из нескольких кривых. Задача сводится к одномерному
интегральному уравнению.
Метод интегральных уравнений
69
6. Задачи для поверхностей вращения и первой Фурье-компо-
ненты возбуждающего поля, когда исследуемая структура образова-
на вращением контура Г вокруг некоторой оси, а в разложении воз-
буждающего поля в ряд Фурье по азимутальной координате отлич-
ны от нуля только первые гармоники составляющих напряженности
электрического и магнитного полей. Контур Г сечения структуры
может быть произвольным — как замкнутым, так и незамкнутым,
а также состоять из нескольких кривых. Задача сводится к системе
из двух одномерных интегральных уравнений ядра которых имеют
особенности различных типов.
В случае трехмерной задачи дифракции электрического поля Е
на поверхности S произвольного вида основное интегральное урав-
нение относительно плотности j наведенных на поверхности токов
имеет вид
где G = егкЬ/kL, a L — расстояние между точками наблюдения М
и интегрирования Q.
Особенностью этого уравнения и приведенных далее одномер-
ных уравнений является наличие знака предельного перехода перед
интегралом. Левая часть уравнения понимается как предельное зна-
чение напряженности вторичного электрического поля при стремле-
нии точки наблюдения к поверхности. Более подробные сведения об
этом уравнении и методе его численного решения можно найти в [8].
Плоская задача для цилиндрического экрана S с бесконечной
образующей и ^-поляризацией первичного поля, когда вектор Е па-
раллелен краю экрана, сводится к одномерному уравнению с лога-
рифмической особенностью ядра [8]
^jH^°\kL)dH = E\M Е Г.
Для //-поляризации первичного поля, когда краю экрана парал-
лелен вектор Н, задача сводится к уравнению вида
ЙУ Л*0
T°)jH^\kL)ddr
— _(^°,Е|мег),
где Г — контур сечения экрана, a t и т — изменяющиеся вдоль кон-
70
Глава 5
тура Г координаты, которые относятся к точкам наблюдения и ин-
тегрирования соответственно. Более подробные сведения об этом
уравнении и его численном решении можно найти в [7].
Когда анализируемая поверхность образована вращением кон-
тура Г вокруг некоторой оси, задача может быть сведена к систе-
мам одномерных уравнений путем разложения рассматриваемых ве-
личин в ряды Фурье вида
оо
W(q,t, </?) = q(t) cos(m(p) + W^m\q,t) ~ (mip)
m—0
по азимутальной координате
Система уравнений для компонент плотности токов при этом
имеет вид:
где
t и и — отсчитываемые вдоль контура Г координаты, относящиеся
к точкам наблюдения и интегрирования соответственно, а величины
r(t), z(t), р(и), С(и) определяют контур Г.
Во многих случаях использование таких одномерных уравнений
дает большую выгоду, например когда ряд Фурье, определяющий
Метод интегральных уравнений
71
первичное поле, быстро сходится или состоит из копенного числа
гармоник. В частности, при распространении плоской волны вдоль
оси вращения в первичном и вторичном полях в цилиндрической сис-
теме координат отличны от пуля лишь первые гармоники (m = 1)
и задача сводится к одной системе из двух одномерных уравнений.
К этому же типу относятся поля элементарных диполей, располо-
женных па оси вращения перпендикулярно ей, поле волны Нц в
круглом волноводе, поле конического рупора с таким волноводом
и др.
Если первичное поле создается осесимметричным источником,
от пуля отличны только нулевые гармоники (т = 0) поля. Общая
задача такого вида распадается па две независимые. В одной из них
отличны от пуля только составляющие Hz и Нг магнитного поля и
составляющая электрического (Е-поляризация), а в другой — со-
ставляющие Ez и Ег электрического поля и составляющая маг-
нитного (Л-полярпзация).
В случае Е-поляризацпи (например, когда источником возбуж-
дения является осевой магнитный вибратор) задача сводится к одно-
му скалярному уравнению, ядро которого имеет логарифмическую
особенность ядра:
ik2
j(r)Sopdr = Е\М(=г-
В случае ^/-поляризации (например, когда источником возбуж-
дения является осевой электрический вибратор) задача сводится к
одному скалярному уравнению вида
_T\/f Рdr - к2 [^^j^pSodr
Z у с 1V1—>1 С/L Jp (JC Jp
= (t°,E|Mer)-
Более подробные сведения об этих уравнениях и методах их чис-
ленного решения можно найти в [9].
Все приведенные уравнения подробно рассмотрены также в об-
зорной работе [4], где, кроме того, можно найти ряд примеров ре-
шения практических задач.
6 Теоретические основы работы
программы MWO
Решение электродинамической задачи в MWO основано на ре-
шении уравнений Максвелла., сформулированных для трехмерного
устройства, находящегося в прямоугольном корпусе, заполненном
пленарными кусочно-ломаными слоистыми средами. Четыре боко-
вые стенки прямоугольного корпуса всегда являются идеально про-
водящими. Верхняя и нижняя границы корпуса могут моделиро-
ваться как идеально проводящие поверхности, поверхности с поте-
рями или как бесконечные волноводы (в Z-направлении) [5].
Полная задача электромагнитного моделирования всегда разде-
ляется на набор задач в отдельных блоках, в которых можно чис-
ленно решить уравнения Максвелла. Электромагнитные моделиру-
ющие программы традиционно относятся к трем категориям: «2-D»,
«З-D» и «2.5-D».
2-D моделирующие программы могут анализировать только не-
прерывные структуры, бесконечные в одном направлении. Прак-
тически к этому классу относятся лишь идеальные линии передачи
и некоторые волноводные задачи. 2-D моделирующее устройство
анализирует планарные структуры и определяет постоянную рас-
пространения однородного отрезка линии, волновое сопротивление
и коэффициент связи. 2-D моделяторы самые быстрые, по наиболее
ограниченные.
З-D моделирующие программы могут анализировать практичес-
ки любую структуру и предназначены для расчета планарных кон-
фигураций с коаксиальным Т-соединением и других трехмерных за-
дач. З-D моделирующие устройства могут анализировать почти лю-
бую задачу, но они требуют большего количества времени и больших
вычислительных затрат.
2.5-D моделирующие программы разработаны в основном для
планарных схем (содержащих микрополосковые, полосковые линии).
В то же время они менее гибкие, чем З-D программы, но работают
Теоретические основы работы программы MWO
73
Рис. 6.1. «Крышная» функция и суммирование решения в методе моментов по
одной координате
f Xanfn Взвешенная сумма
базовых функций
намного быстрее и идеально подходят для микрополосковых линий,
полосковых и других подобных конфигураций.
MWO выполнен как моделирующее устройство 2.5-D. Он мо-
жет решать планарные задачи, а также задачи с перемычками через
отверстия и другими Z-направленными токами. Таким образом, эта
программа классом выше, чем программы 2.5-D, которые не пред-
полагают задания Z-направлепных токов. Фактически MWO можно
рассматривать как З-D моделирующее устройство, потому что он
может учитывать токи, текущие в Z-направлепии.
Рассмотрим структуру, в которой имеются три диэлектрических
слоя. П лоские проводники считаются бесконечно тонкими листами
между слоями. Токи Jz, направленные по оси Z, моделируют токи
между различными слоями и токи, направленные к заземленному
слою. Z-направленные токи протекают через металлические пере-
мычки, смоделированные как колонки токов в направлении Z без со-
ставляющих в направлениях X или Y. Эти Z-направленные токи —
приближение, справедливое для слоев, которые считаются тонкими
относительно длины волны.
Токи проводников пространственно дискретизируются посред-
ством базисных «крышных» функций (рис. 6.1) для токов в X- и Y-
направлепиях и перемычек, по которым токи текут в Z-направлснии.
Разбиение проводников выполняется па однородной прямо-
угольной сетке. В процессе решения определяется вклад отдельных
базисных функций так, что, когда все базисные функции сумми-
руются, вместе они обеспечивают точную аппроксимацию токов на
проводниках. Процесс решения разделен на отдельные шаги.
6.1. Формулировка электромагнитной задачи
и описание моделируемой структуры
Дадим общее описание краевой задачи, которая решается чис-
ленно.
Анализируемая структура монолитной ИС находится внутри
трехмерного прямоугольного объема, ограниченного электрически-
74
Глава 6
ми или магнитными стенками. В общем случае объем заполнен сло-
истой средой, которая может состоять из произвольного числа изо-
тропных однородных диэлектриков или магнитных слоев, как пока-
зано па рис. 6.2.
Рис. 6.2. Многослойная планарная
струкутура слоями, лежащими
на координатах dj и средой Qj
Электрический (Е) и магнитный
(Н) векторы поля связаны системой
уравнений Максвелла (в частотной
области):
rotH = icvEpEi + Jz; '
rotE = — icj/ipH;
div Е = 0;
> (ж, у, z) € Q
р»
divH-Q,
где Jz — вектор объемной плотности
Z-направленных токов: гр и цр — от-
иосительные диэлектрическая и маг-
питная проницаемости сред слоев
(для среды с потерями ер — комплек-
сная величина).
Токи, направленные вдоль оси Z, считаются постоянными внут-
ри слоя, ио они могут изменяться от слоя к слою, что дает возмож-
ность дискретизации по оси Z. Таким образом, мы имеем шесть
составляющих электрического Е и магнитного Н полей внутри слоя
с постоянным током поперек пего. Компоненты тока вдоль X и Y
могут существовать только в металлическом слое z = dj, параллель-
ном поверхностям со раздела.
Граничные условия для металлического слоя имеют вид:
lz{E(+dj)-E(-dj')} = 0,
где у — поверхностный ток.
Металлизированный слой имеет сложную форму, содержащею
как области с идеальной проводимостью, так и области с частич-
ными потерями, связанными с наличием диэлектрических пленок,
обладающих резистивными свойствами.
Поскольку MW0 — это программа, соответствующая формуле
2.5-D, все структуры, которые она анализирует, сводятся к многос-
лойным, где каждый из слоев — пассивная схема с дискретными эле-
ментами. Диапазон возможных устройств, которые может анализи-
ровать программа, достаточно широк, но часто интегральная схема
СВЧ требует разбиения на несколько ЕМ-структур и схем, состоя-
Теоретические основы работы программы MWO
75
щих из дискретных элементов: отрезков линий, L, С, FET. Первый
шаг в решении задачи с помощью MWO состоит в разбиении струк-
туры и распределении ее по слоям. Включение активных элемен-
тов предполагает разделение задачи па ЕМ-структуру и отдельные
схемы и описание всей структуры в виде блоков с использованием
различных конструкций.
Формально в MWO пет ограничения па максимальное число
слоев, но реальное количество слоев равно 5-10. Часто встречаю-
щийся случай с двумя диэлектрическими слоями используется для
моделирования микрополосковых структур, где верхний диэлект-
рик — воздух, а нижний — подложка микрополосковой линии. Ди-
электрические слои могут быть без потерь или с потерями. Если
все диэлектрические слои структуры не имеют потерь, то элементы
матрицы моментов — действительные числа.
Диэлектрический слой без потерь имеет нулевой тангенс угла
потерь и нулевую объемную проводимость. Если у какого-либо из
диэлектрических слоев эти параметры ненулевые, то для расчета
элементов матрицы моментов используют аналитические методы.
Для решения некоторых простых задач время вычисления матри-
цы моментов невелико. Однако при решении более сложных задач
время расчета значительно возрастает.
Кроме диэлектрических слоев должны быть определены про-
водники, которые иногда называются сигнальными, поскольку тра-
диционно считается, что поле распространяется вдоль проводников.
ЕМ-структура может иметь настолько произвольную форму, что в
пей уже трудно выделить традиционные микрополосковые линии,
шлейфы и прочие элементы. В типичной микрополосковой струк-
туре из двух диэлектрических слоев проводники будут рисоваться
сверху подложки (слой 2).
Проводники, как и диэлектрики, могут быть смоделированы как
без потерь (идеально проводящие), гак и с потерями. Если все про-
водники и все диэлектрические слои в структуре не имеют потерь,
то решение матрицы моментов может быть найдено путем вычисле-
ния только действительных чисел, что обеспечивает значительную
экономию времени для большинства задач. Использование действи-
тельных чисел уменьшит время расчета матрицы моментов в 3...7
раз (в зависимости от параметров анализируемого устройства).
6.2. Разбиение форм на ячейки. Метод моментов
В MW0 производится разбиение металлических слоев на ячей-
ки, чтобы можно было представить планарную конструкцию в виде
76
Глава 6
набора перекрывающихся «крышных» функций в X- и /-направле-
ниях. Каждая такая функция строится на площадке, имеющей ши-
рину, равную по крайней мере одной ячейке, и длину, равную двум
ячейкам. Базисная функция имеет конфигурацию элементарного
участка — базиса размером 1x1 ячейку. Основная базисная функ-
ция состоит из двух ячеек. Базисные функции размером больше,
чем 1x1 ячейка, конструируются из взвешенной суммы основных
базисных функций. Например, па рис. 6.3 показаны базисные функ-
Рис. 6.3. Базисные функции
распределений плотности тока
(крышные функции ) формиру-
ются раздельно по осям X и Y
Z = О
Z = -d{
Z =
T.=-dN
Рис. 6.4. Многослойная среда, кото-
рая включает несколько проводящих
объектов. Эти N слоев соприкаса-
ются со средой, наполовину запол-
ненной воздухом, 0 < z < оо, и
импедансной! стенкой при z = —
ции по координате X, которые со-
ответствуют прямоугольной ячей-
ке, изображенной в основании гра-
фика.
Для того чтобы использовать
«крышную» базисную функцию,
необходимо осуществить привязку
топологии к сетке. Метод решения,
используемый MWO, требует, что-
бы геометрия была согласована с
узлами однородной прямоугольной
сетки. Это необходимо для того,
чтобы точки излома крыш совпали
с узлами однородной сетки. MWO
во время разбиения топологии ав-
томатически передвинет любые
формы к сетке, хотя часто это мо-
жет приводить к непредвиденным
результатам. Например, очень уз-
кие линии, которые имеют шири-
ну меньше, чем ширина одной ячей-
ки, могут быть превращены в фор-
мы нулевой ширины. Для форм,
которые имеют грани, не совпада-
ющие с однородной сеткой, жела-
тельно просмотреть ячейки перед
решением, чтобы удостовериться,
что разбиение форм проведено пра-
вильно.
Рассмотрим геометрию, где не-
сколько проводящих объектов на-
ходятся в слоистой среде (рис. 6.4).
Эта среда составлена из N парал-
лельных слоев между верхним по-
Теоретические основы работы программы MWO
77
лупространством z > 0 (обычно воздух) и плоскостью земли Z =
— —du.
Предположим, что плоскость соприкосновения двух слоев мо-
жет быть смоделирована как импедансная граница, па которой су-
ществует простая связь между электрическим Et и магнитным Ht
полями, а именно
Et = ezZsHt, (6.1)
где Zs — поверхностный импеданс (s означает surface — поверх-
ность). Электрические и магнитные стенки включены в уравнение
(6.1) как частные случаи при Zs — 0 или Zs — оо соответственно.
Существование импедансной стенки подразумевает, что задача
может быть решена без знания фактических полей, которые могут
существовать ниже конечной плоскости z = — d^.
Каждый слой считается изотропным (однородным) и с возмож-
ными потерями, т. е. материал имеет комплексную диэлектрическую
постоянную е и комплексную проницаемость ц.
Аналогично предполагаем, что металлические проводники в
слоистой среде характеризуются граничными условиями на своих
поверхностях:
n-E = ZsnJs, (6.2)
где Zs — поверхностный импеданс, равный нулю для идеальных
электрических проводников; п — внешний вектор, нормальный к
поверхности; J6 — поверхностный ток, существующий в проводнике.
Этот ток возбуждает поле Е<; и в свою очередь создает отраженное
и/ или дифракционное ноле Ed. Суммарное поле в уравнении (6.2)
равно сумму возбуждаемых и рассеиваемых (дифракционных) по-
лей. Дифракционное поле Е“ в каждой точке может быть выражено
с помощью двухмерной функции Грипа Ge (г, г'\.
dEd(r) = GE(r,r')I(r')dl',
(6.3)
где г — система полярных координат. Суммарное дифракционное
поле получается интегрированием уравнения (6.3) над поверхностью
проводников S.
Строго говоря, вложенные проводники должны рассматривать-
ся как диэлектрики, имеющие очень высокие омические потери, и
каждое частное поле Ed явилось бы результатом эквивалентных маг-
нитных токов, определенных на поверхностях проводников. Однако,
если проводимость очень высокая. этими магнитными токами можно
пренебречь. Граничное условие (6.2) приводится к окончательному
78
Глава 6
виду
(6-4)
который является обобщенной формой интегрального уравнения
электрического поля (EFIE — Electric Field Integral Equation) для
неизвестного тока Js. Функция Грипа Gе (г, г') известна для прос-
тых форм. Например, для прямоугольной площадки это диаграмма
направленности поля источника, близкого к точечному. Знак интег-
рирования в (6.4) — это суммирование полей от всех площадок, по
которым текут токи.
Численные методы решения интегрального уравнения (6.4) сво-
дятся к так называемым проекционным, к которым относится и ме-
тод моментов, являющийся развитием метода Галеркина. В методе
Галеркипа базисные функции и функции тестирования идентичны.
В методе моментов используются базисные треугольные («крыш-
ные» ) функции и дельта-функции как весовые (иногда их называют
тестовые). Если базисные и весовые функции различны, как в ме-
тоде моментов, то правая часть системы уравнений приобретает как
бы «момент» вместо нулевой правой части.
б.З. Алгоритм, формирование матрицы метода
моментов
Метод моментов (МоМ) преобразует интегральное уравнение
(6.4) в систему алгебраических уравнений, которая решается чис-
ленно. Метод моментов широко используется в современных про-
граммах, например в Momentum Microwave Explover, IE3D.
Повторим, что сначала металлическая область разбивается на
малые элементарные ячейки и задаются простые аппроксимации для
поверхностного тока на каждой ячейке. Размер ячеек зависит от
характера и геометрии задачи. В любом случае линейный размер
ячейки не должен превышать одну десятую длины волны.
Неизвестные токи нужно разложить в системе базисных функ-
ций. Чтобы заряд в пределах площадки был постоянным, ток растет
линейно от одного края к другому. В общем случае поверхностный
ток будет зависеть от двух координат ж, у, по можно использовать
базисные функции, которые внутри каждой ячейки постоянны вдоль
поперечной координаты. Это позволяет разложить и Js по коорди-
натам х и у соответственно.
Матрица моментов формируется па основании тестовой (весо-
вой) функции. Существует по крайней мере три возможные ком-
бинации базисных и весовых функций. С точки зрения использо-
Теоретические основы работы программы MWO
79
Рис. 6.5. Продольные сегменты тестирования Ci, связывающие центры смежных
ячеек S, и S ~. Поперечные сегменты С? и С~ содержат линии плотности зарядов
в точках согласования
О
вания вида аппроксимации решения, можно считать, что метод мо-
ментов — это сочетание «крышных» базисных функций и метода
Галеркина.
«Крышная» функция для двух составляющих поверхностного
тока состоит также из двух компонентов Jsx и Jsv. Согласно уравне-
нию непрерывности, базисные функции для заряда qs имеют вид ме-
андровых функций. Уравнения MPIE тестируются (проверяются) в
этом случае с использованием тех же самых «крышных» функций, в
отличие от метода Галеркина. где базисные и тестовые функции раз-
ные. Определим функцию Т как векторную «крышную» функцию,
связанную с двумя смежными ячейками S* и S (рис. 6.5). Границу
этих двух ячеек обозначим как Sj. В общем, нам нужно рассмот-
реть Nx функций в направлении х и Nv функций в направлении
у, и, таким образом, общее число базисных функций будет равно
N = Nx + Nv:
У^гу>
(6-5)
Ток и заряд представляются в следующем виде:
Js
N
(6-6)
где аг — неизвестные коэффициенты, а функции i = —VTi/jw имеют
форму прямоугольных меандров.
Стандартное применение метода моментов теперь дает матрич-
ное уравнение, которое получается при подстановке (6.6) в (6.4):
Ма = Ь.
Элементы матрицы моментов М описываются выражением
(6-8)
Глава 6
80
где вклады излучаемых А, отражаемых V и омических (тепловых)
I потерь равны соответственно:
p')Tj(p') dS' dS;
Сл(р
(6-9)
' Ti(p)Tj(p)dS.
St
Численную процедуру формулирования и составления матриц
потерь мы наблюдаем как процесс создания, заполнения и решения
матрицы моментов.
Применение метода моментов для решения электромагнитной
задачи — это применение вариационного подхода, сводящегося к оп-
тимизации вектора всевозможных решений, с целью минимизации
сформулированной целевой функции. В нашем случае цель состоит
в удовлетворении граничным условиям па границах каждой ячейки,
на которые разбита анализируемая структура.
Чтобы провести начальную аппроксимацию искомой функции,
необходимо выбрать набор базисных функций (у нас это «крышные»
функции). Обозначим этот набор /1, /2 > /з > • • • в области корпуса и
положим
п
где ап — неизвестные постоянные коэффициенты;
Щ) = АЛ/(/).
(6-И)
М и L — линейные операторы (матрицы), описывающие скалярную
среду и связанные через собственные решения (числа) X; М и L за-
висят от металлических форм и корпуса. Подставляя (6.10) в (6.11),
имеем
(6.12)
Теперь предположим, что произведена операция скалярного
произведения (или проекция) (f, си), где ш — весовая функция. Тог-
да мы выбираем набор тестовых (или весовых) функций
и проводим тестирование для т областей (у пас т — все ячейки,
которые нужно «пересечь» со всеми другими с тем, чтобы удовлет-
ворить граничным условиям на всех границах). Считаем, что для
каждой точки т (т. е. на внутренних границах ячеек) эти произве-
Теоретические основы работы программы MWO
81
дения (проекции) равны
/ Lfn) = А у схп Mfn), (6.13)
п п
где т = 1,2,3,..., и могут быть записаны как элементы матрицы
(6.14)
Итак, матрица моментов имеет вид
rb,Wi)
(^2, Mfi)
^2,Vf2)
(6.15)
Левая матрица [Zmn] имеет вид (6.14), но с заменой М на L,
вектор-столбец [ап] — вектор постоянных чисел (который, по сути,
ищется). Уравнение (6.12) имеет решение, если
det I
ТПП
^^гпп
Итак, элементы матрицы [ттп] есть (evf, Mfe). Эта проекция —
интеграл каждой базисной («крышной») функции, умноженной на
тестовую функцию ejj. Эта матрица трехмерная. Сначала находятся
связи на первом слое, затем межслойные связи на основании условий
(6.1) и (6.2).
Так как матрицы моментов могут быть очень большими, то в
каждый момент времени только одна матрица моментов может умес-
титься в оперативной памяти. Размер задачи, которая может быть
решена EMSight, определяется только общим объемом физической
памяти, доступной для хранения матрицы моментов. Программа
EMSight будет решать очень медленно, если матрица моментов не
умещается в ОЗУ и требует использования находящейся на диске
виртуальной памяти.
Матрица моментов — всегда симметричная матрица. EMSight
может сохранять матрицу моментов как полную матрицу (сохраняя
все элементы) или как симметричную матрицу (где только полови-
на элементов сохранена). Обычно лучше всего использовать сим-
метричную память, так как в этом случае объём памяти сокращает-
ся в 2 раза. Единственный случай, где выгодно использовать пол-
ное решающее устройство, — случай, когда вся матрица состоит из
действительных чисел (нет потерь в диэлектриках, подложках или
границах). В этом случае решающее устройство оптимизировано
и работает значительно быстрее, чем решающее устройство, кото-
рое использует симметричное хранение (вдвое быстрее). Если опция
82
Глава 6
Matrix Solver установлена как Default, то EMSight автоматически
выберет лучший метод на основании размера задачи и доступной
физической памяти.
6.4. Численное решение матрицы моментов
Чтобы определить неизвестные амплитуды базисных функций,
используемых для аппроксимации плотности тока па проводниках,
необходимо решить матричное уравнение. Матрица, которая долж-
на быть решена, называется матрицей моментов. Опа является квад-
ратной матрицей с одной строкой и одним столбцом для каждой ба-
зисной функции, созданной в процессе разбиения па ячейки. Каж-
дый ее элемент описывает связь между базисными функциями. На-
пример, элемент матрицы моментов в первой строке и во втором
столбце представляет связь между первой и второй базисными функ-
циями.
Обычно вычисление элементов матрицы моментов занимает
большую часть времени в методе моментов. В EMSight используется
алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), чтобы обеспечить
быстрый и эффективный метод для вычисления элементов матрицы
моментов. Алгоритм БПФ вычисляет элементы матрицы моментов
двумя шагами.
Первый шаг — генерирование таблиц моментов, не зависящих
от фактических проводников, которые дискретизировались во вре-
мя процесса разбиения на элементы. Таблицы моментов зависят от
размера корпуса, числа разделов сетки, определенных для корпу-
са, характеристик диэлектрических слоев, их толщины, граничных
условий в верхнем и нижнем сечениях корпуса и частот анализа.
Второй шаг — вычисление элементов матрицы моментов с ис-
пользованием таблицы моментов. Элементы матрицы моментов мо-
гут быть быстро вычислены из таблиц моментов после того, как таб-
лицы были сгенерированы. Например, матрица моментов, которая
соответствует связи между двумя примитивными базисными функ-
циями, может быть вычислена посредством суммирования четырех
элементов из таблиц матрицы моментов. Для пепримитивных ба-
зисных функций (базисных функций элементов, по площади боль-
ших, чем (1x1) ячейки) элементы матрицы моментов вычисляются
суммированием элементов связи примитивных базисных функций.
Базисные функции, которые покрывают очень большое количество
примитивных ячеек, могут требовать больших вычислительных за-
трат па матрицу моментов. Это наиболее значимо, когда удачное
разбиение сетки используется относительно габаритов проводника.
Теоретические основы работы программы MWO
83
Если шаг Fill Moment Matrix (заполнение матрицы моментов) зани-
мает много времени, то это объясняется особенностями генерирова-
ния таблиц моментов при использовании алгоритма БПФ.
Обычно основанные на БПФ программы работают наиболее эф-
фективно, когда число разделов сетки 2 в целой степени. В EMSight
используется БПФ, основанное на смешанной системе исчисления,
что является эффективным, когда число разбиений 2 в какой-то
степени или произведение малых простых чисел. Например, если
используются 100 разбиений, то алгоритм будет все еще очень быст-
рым, потому что 100 = 2 • 2 • 5 • 5, где 2 и 5 — малые простые числа.
Поскольку таблицы моментов зависят только от корпуса и рас-
положения подложек, они могут быть сохранены и использованы
для следующих многократных этапов решения задачи, в которой
тот же корпус и структура подложек (и те же самые частоты ана-
лиза). EMSight использует алгоритм, который автоматически со-
храняет эти таблицы в кэш-памяти компьютера для последующего
использования. Для многих задач (например, анализ микрополос-
ковых неоднородностей) генерирование таблиц моментов отнимает
наибольшее время в процессе решения. Для таких задач многократ-
ное использование предварительно сохраненных таблиц моментов
может существенно уменьшить время решения. Когда используется
решающее устройство FFS (быстрое частотное свипирование), гене-
рирование таблицы моментов может занимать много времени, так
что использование кэшируемых таблиц моментов с FFS решающим
устройством обеспечивает значительное уменьшение времени моде-
лирования.
Решение матрицы моментов. Поскольку матрицы моментов
могут быть очень большие, только одна матрица моментов находит-
ся в RAM в данный момент времени. Размер задачи, которая может
быть решена EMSight, ограничивается физическим RAM. доступ-
ным для сохранения матрицы моментов. EMSight станет работать
на порядок медленнее, если матрица моментов не помещается в RAM
и требует виртуальной памяти на жестком диске.
Матрица моментов является и симметричной, и плотной. Сим-
метричная она в том плане, что элементы — зеркальные изобра-
жения друг друга относительно диагонали матрицы (Znm = Zmn),
плотная в том смысле, что очень немногие элементы матрицы пу-
левые. EMSight может хранить матрицу моментов как полную мат-
рицу (сохраняя все элементы) или как симметричную матрицу (где
только половина элементов сохранена). Поскольку число неизвест-
ных величин становится большим, требуемый объем оперативной па-
мяти резко возрастает, так как в этом случае объем памяти равен
84
Глава 6
V = KmN2, где Кт является постоянной величиной. Использова-
ние симметричной матрицы позволяет решить задачу с количеством
неизвестных, большим примерно в 1,4 раза по сравнению с полной
матрицей.
Метод хранения определен опциями в Matrix Solver. Решающее
устройство Full Direct хранит полную матрицу, в то время как реша-
ющее устройство Symmetric Direct Solvers и все решающие устройст-
ва Iterative Solvers хранят только половину матрицы. Более того,
интерактивное решающее устройство Iterative Solvers требует боль-
шого объема памяти, которая зависит от выбранного решающего
устройства и фактических элементов матрицы.
Прямое решение матрицы. Решающие устройства Direct
Solvers, имеющиеся в EMSight, включают методы храпения момен-
тов Full (полное заполнение) и Symmetric (симметричное заполне-
ние). По умолчанию задается прямое решающее устройство, кото-
рое пытается выбирать оптимальное решение на основании структу-
ры EMSight и доступной RAM компьютера. При этом выбрано ре-
шающее устройство Full или Symmetric. Решающее устройство Full
хранит полную матрицу, тогда как решающее устройство Symmetric
хранит только половину матрицы. Разница между этими двумя ме-
тодами в фактически требуемом времени решения. Так обстоит де-
ло и с прямым решающим устройством. Используя полную память,
алгоритм обычно решает матрицу существенно быстрее, чем исполь-
зуя симметричную память. Как правило, для комплексной матрицы
мы получаем ускорение в четыре раза, в то время как для двойных
матриц — в два раза.
Изучение плотности алгоритмов прямого решающего устройст-
ва показывает, что требуемое число шагов решения и, таким обра-
зом, требуемое время решения пропорционально кубу неизвестных
величин (время = KtN3, где Kt — постоянная). При изменении ал-
горитма мы влияем только на Kt, а не па N3. Таким образом, когда
размер задачи увеличивается, время, необходимое на решение мат-
ричного уравнения, доминирует в методе моментов ЕМ.
Итерационное решение матрицы моментов. Как следует
из названия метода, итерационные матричные решающие устройства
ищут вектор решения матричного уравнения Ах — rhs итерационно.
Итерационные методы решения матричных уравнений уменьшают
время моделирования на порядок, но они более «капризны» при ис-
пользовании, чем прямые решающие устройства. Фактически, пока
компьютер имеет достаточно RAM, прямые решающие устройства
ие требуют никакого вмешательства пользователя. Однако, если это
необходимо, можно пойти на значительное уменьшение времени ре-
Теоретические основы работы программы MWO
85
шения, используя итерационные решающие устройства. Рекоменду-
ется в первую очередь использовать прямые решающие устройства
перед попыткой использования итерационных решающих устройств.
Приведем список проблем решения матричных уравнений итераци-
онным методом:
• итерационные методы не гарантируют сходимость к правильно-
му решению;
• время решения для итерационного решающего устройства уве-
личивается линейно с увеличением числа правых частей, или (в
терминах ЕМ) числа портов;
• итерационные методы сходятся на заданном допуске и затем
останавливаются (это обычно не связано с машинной точно-
стью) ;
• нет точного способа сообщить заранее требуемую RAM, время
расчета, будет ли процесс сходиться, пока вы не предпримете
попытку сделать это;
• итерационные решающие устройства выгодны только для очень
большого количества неизвестных величин;
• если правильно выбрать параметры расчета, на решение уйдут
минуты, а не часы, как для некоторых задач.
Цель итерационного решающего устройства состоит в том, что-
бы найти вектор решения х, который решает следующее матричное
уравнение:
Ах = rhs,
(6.16)
где rhs — правая часть, зависящая от возбуждения (числа портов).
Решающее устройство делает первую оценку решения вектора
х. Затем используется итерационный метод, чтобы определить ап-
проксимацию для решения, основанного на предыдущей оценке и
информации, полученной из матрицы. Этот процесс продолжается,
пока не выполнятся критерии сходимости. Итерационные методы
очень похожи па методы оптимизации для N переменных, и при этом
встречаются те же самые проблемы, например сходимость. Для ре-
шения этих проблем используется метод предварительного условия.
Оп включает умножение правой и левой части матричного уравне-
ния на матрицу Р, называемую предварительным условием:
(Р • А)х = (Р • rhs). (6.17)
Это умножение на Р с обеих сторон не изменяет решение вектора
х. Если вектор является решением одного уравнения, то оно бу-
дет также решением другого. Однако это умножение может изме-
нить скорость сходимости итерационного процесса. Рассмотрим слу-
чай, когда это предварительное условие равно обратной матрице А
86
Г л а в a 6
(Р = А-1). В этом случае предыдущее уравнение упрощается:
(А-1 • А)х = (А-1 • rhs). (6.18)
Очевидно, если мы сумели определить обратную матрицу А, то
мы не должны использовать итерационный метод. Более того, этот
процесс, как и вышеупомянутый, требует KtN3 времени и KmN2 па-
мяти RAM. Однако можно видеть, что, когда Р = А-1, процесс схо-
дится быстро при использовании итерационных методов. Это было
подтверждено экспериментально.
Ниже приведем общий краткий обзор того, как работает итера-
ционное решающее устройство:
1) выбирается начальное предположение вектора решения х;
2) формируется приблизительная матрица А;
3) выполняется инверсия этой приблизительной матрицы, и эта
матрица называется заранее предопределенной матрицей Р.
И матрица А. и правая часть матричного уравнения предвари-
тельно умножаются на заранее определенную матрицу Р.
Итерационный метод используют, чтобы определить аппрокси-
мацию для решения, основанного на предыдущей оценке решения и
информации, собранной от матрицы. Как правило, эта информация
получается при векторном умножении матриц (Р • А)х.
Итерационный метод продолжается, пока не выполнятся крите-
рии сходимости. Например,
(Р • А)х — (Р • rhs) < tolerance. (6.19)
Прямые решающие устройства будут всегда быстрее работать
для малого числа неизвестных величин. Однако для задач с чис-
лом неизвестных менее некоторого будут использоваться прямые ре-
шающие устройства, даже если выбрано итерационное решающее
устройство.
Время решения для итерационных решающих устройств про-
порционально числу требуемых решений. Это связано с тем, что, в
отличие от прямых решающих устройств, которые эффективно ин-
вертируют матрицу моментов, итерационные решающие устройства
определяют ток для каждого требуемого возбуждения (или, в мате-
матических условиях, для каждой правой стороны rhs). В случае
EMSight число rhs равно числу портов. Поэтому время, затраченное
при итерации решающего устройства для ЕМ-задачи, которая имеет
4 порта и 3000 неизвестных величин, будет в 4 раза больше времени,
затраченного при итерации решающего устройства для ЕМ задачи с
1 портом и 3000 неизвестных величин.
Теоретические основы работы программы MWO
87
Предварительное условие формируется только однажды, неза-
висимо от числа, портов (правые стороны). Поэтому для моделирова-
ния со многими портами предварительное условие лучше выбирать
более осторожно.
Итерационное решающее устройство задается именем и характе-
ром итерактивного процесса. Как и в методе гармонического балан-
са, он может иметь проблемы с медленной сходимостью или несходи-
мостыо. Сходимость определена несколькими параметрами, вклю-
чая предварительное условие, характер матрицы, которая будет ре-
шена, и начального предположения при решении.
В методе ЕМ хорошо предопределенная матрица имеет значи-
тельные элементы по диагонали и величины элементов матрицы спа-
дают, когда мы отходим от диагонали. Каждый элемент в матри-
це представляет связь между каждой неизвестной базисной функ-
цией. Диагональный элемент — собственный импеданс, который
всегда больше, чем взаимный импеданс и связь с любыми други-
ми элементами. Величина каждого элемента зависит от нескольких
факторов, включая интервал между двумя базисными функциями в
терминах длины волны и направления базисной функции (ж-, у- или
^-направленные токи). Если величина матричных элементов не спа-
дает быстро, когда мы двигаемся от диагонали, матрица может быть
плохо обусловленной и итерационные решающие устройства могут
не решить ее, если они не имеют очень хорошее предопределение.
На основании этого мы можем сделать несколько выводов.
Структуры, которые малы по сравнению с длиной волны, бу-
дут иметь большую связь между базисными функциями, и элемен-
ты матрицы будут спадать медленнее, когда мы двигаемся от диа-
гонали. Мы можем заключить, что режим сходимости из-за этого
замедляется и требует лучшего предопределения.
Если структура многослойная, с большим количеством базис-
ных функций одна около другой в z-направлении, то связь между
этими элементами относительно высокая, и величина связи падает
медленнее, когда мы двигаемся от диагонали в матрице. Мы мо-
жем заключить, что режим сходимости из-за этого замедляется и
требует более точного предопределения.
Чтобы точно представлять структуру, нужно разбить ее «по сет-
ке» (шаг сетки намного меньший, чем размер моделируемой струк-
туры) , тогда большая часть базисных функций расположится рядом
и будет мала в терминах длины волны. В этом случае спад величин
этих элементов от диагонали медленный, потому что большая часть
элементов в условиях длины волны расположена очень близко. Мы
88
Глава 6
можем заключить, что режим сходимости из-за этого замедлился и
требует улучшенного предопределения.
Объем подготовки в интерактивном методе решения в EMSight
зависит от выбора решающего устройства и характера матрицы.
Поскольку характер матрицы не известен априорно, точная оценка
RAM, требуемого для храпения предварительного условия, и время,
необходимое для его создания, неизвестны.
Предварительное условие предопределения создается во время
выполнения шага Factor Matrix Operation.
Итерационная часть алгоритма решения реализуется в течение
Solve Operation для каждого порта в файле синхронизации.
Допуск сходимости, который определяет, когда итерационное
решающее устройство останавливается, может быть установлен в за-
кладке Solvers диалога ЕМ Options.
Итерационные решающие устройства, имеющиеся в EMSight,
изменяют только объем предподготовки, которая требуется для ра-
боты с первоначальной матрицей импедапсов. Доступные итераци-
онные решающие устройства различаются следующим образом:
• итерационно большие (размер >0,1 Lambda) — низкая предпод-
готовка;
• итерационно средние (размер >0,01 Lambda) — средняя пред-
подготовка;
• итерационно малые (размер <0,01 Lambda) — высокая преднод-
готовка;
• задаваемые итерационно — задаваемая пользователем предпод-
готовка.
Величина Dim (размер) оценивает над величин элементов связи
от диагонали, который медленнее для структур, меныпих по разме-
ру в терминах длины волны. Однако это не единственная причина,
почему матрица МОМ может быть плохо обусловленной. Фактичес-
ки решающее устройство устанавливает параметры, чтобы быстро
формировать предварительные условия.
Теоретические основы работы
программы HFSS
Один из самых мощных моделирующих пакетов HP HFSS —
трехмерный электромагнитный моделировщик для проектирования
СВЧ структур [5]. HFSS, разработанный фирмой Ansoft, являет-
ся первой коммерческой программой, которая моделирует сложные
трехмерные конфигурации произвольной формы. Впоследствии
программа стала еще более популярной, потому что с се помощью
инженеры-проектировщики получили широкие возможности расче-
та па электродинамическом уровне. Начиная с 2000 г., многочислен-
ные улучшения позволили рассчитывать ближние и дальние зоны
диаграммы направленности антенн, были введены частотные раз-
вертки для широкополосного моделирования, ферритовые материа-
лы для невзаимных приборов.
HFSS (High Frequency Structure Simulator) — это мощный пакет
программ, который вычисляет многомодовые S-параметры и элек-
тромагнитные поля для пассивной трехмерной структуры произ-
вольной формы. Он имеет интуитивный интерфейс, упрощающий
описание проекта, мощную программу расчета электромагнитного
поля, адаптирующуюся к требуемой точности решения, и мощный
постпроцессор для беспрецедентного представления электромагнит-
ных характеристик. Эта программа превосходит традиционное ма-
кетирование методом «Cut-and-try» (проб и ошибок), ускоряя и
улучшая качество проектирования.
HFSS реализует мощь метода конечных элементов (finite ele-
ment — FEM), используя методы типа автоматического адаптивно-
го генерирования и деления ячеек, метод конечных элементов для
векторов поля и адаптивную развертку (Adaptive Lanczos Pade —
ALPS). HFSS автоматически вычисляет кратные адаптивные реше-
ния до определяемого пользователем критерия сходимости. Реше-
ния для поля, найденные из уравнений Максвелла, точно предсказы-
вают все дисперсионные характеристики, существующие типы волн,
преобразования типов волн, потери в материалах и на излучения.
90
Глава 7
7.1. Дискретизация пространства. Вариационная
формулировка МКЭ
Основу решения трехмерных и двумерных задач электродина-
мики в HFSS составляет метод конечных элементов (Finite Element
Method) — МКЭ. Смысл метода состоит в том, что пространство
разбивается на простейшие элементы, имеющие форму тетраэдров.
Разбиение осуществляется специальной программой Mesher. Размер
тетраэдра должен быть достаточно мал для того, чтобы поле в его
пределах можно было описать простой функцией или набором функ-
ций с неизвестными коэффициентами. Эти коэффициенты ищутся
из уравнений Максвелла и граничных условий. В результате элек-
тродинамическая задача сводится к системе линейных алгебраичес-
ких уравнений (СЛАУ) относительно этих коэффициентов. Решение
СЛАУ легко реализуется па ЭВМ.
Отметим, что в ходе разбиения форма отдельных элементов
структуры искажается. Это относится, в первую очередь, к элемен-
там, имеющим искрив лепную поверхность. Поэтому ограничения па
размер тетраэдра накладывает пе только точность определения по-
ля, но и точность аппроксимации исходной структуры новой струк-
турой, составленной из тетраэдров.
Пример тетраэдра показан па рис. 7.1.
При решении задач на плоскости или двумерных задач в качест-
ве элемента разбиения используется двумерный аналог тетраэдра -
треугольник (тонированный участок па рис. 7.2):
Рассмотрим далее алгоритм МКЭ при решении двумерной элек-
тростатической задачи. Решение электродинамических трехмерных
задач отличается только более сложными математическими выра-
жениями, не внося при этом нового физического содержания.
Пусть требуется иайти потенциал электростатического поля в
области, показанной па рис. 7.3.
Анализируемая структура состоит из двух металлических про-
водников — внешнего и внутреннего (2 и 1). Пространство между
проводниками заполнено воздухом.
Рис. 7.1. Элемент разбиения Рис. 7.2. Типичное разбиение области анализа
трехмерного пространства в двумерном случае
Теоретические основы работы программы HFSS
91
Внутренние
вершины
W
Вершины на
металлических
поверхностях
Рис. 7.3. Анализируемая структура
Такая структура может служить моделью коаксиальной линии
с проводниками со сложным поперечным сечением. Поле в попереч-
ном сечении коаксиальной линии описывается уравнением Лапласа,
т. е. мы имеем дело с электростатической задачей. В электростати-
ке принято выражать поле через электростатический потенциал 92,
являющийся функцией двух координат хиу. Известно, что потенци-
ал поля па поверхности проводника является постоянной величиной.
Поэтому можно положить, что потенциал внешнего проводника ра-
вен пулю, а внутреннего — некоторой величине W. Легко понять,
что W — это напряжение между проводниками, создаваемое внеш-
ним источником.
На рис. 7.3 показана часть разбиения внутреннего пространст-
ва между проводниками на элементарные ячейки — треугольники.
Пусть вершины треугольников пронумерованы так, что первые N
вершин лежат на внешнем проводнике, вершины с номерами от
7V1 + 1 до N2 лежат на внутреннем проводнике, а всего разбиение
содержит N вершин.
Задача определения потенциала 99 может быть сведена к задаче
минимизации следующего функционала:
; ы=fb (
д2<р
дх2
dxdy =
dxdy,
где S
(7-1)
область, в которой ищется потенциал, т. е. область, заклю-
ченная между внешним и внутренним проводниками. Под миними-
зацией функционала понимается поиск такой функции <р(х,у), на
которой интеграл в (7.1) достигает своего минимального значения.
Из теории уравнения Лапласа известно, что функция, на которой
функционал (7.1) достигает своего минимума, одновременно явля-
ется решением уравнения Лапласа в той же области S.
92
Глава 7
7.2. Базисные функции и интерполяционные
формулы
Ключевым моментом метода конечных элементов является
представление неизвестной функции в виде разложения по
известным базисным функциям с неизвестными коэффициентами в
пределах каждой элементарной ячейки. Это разложение имеет сле-
дующий вид:
N
</?(я,?/) = 52 АЛ (ж,?/), (7.2)
г=1
где Ai — неизвестные коэффициенты; fi(x,y) — базисные функции.
Коэффициенты Ai ищутся из условия минимума функционала (7.1),
примененного к каждому элементарному треугольнику разбиения.
Совокупность этих условий, записанных для всех элементарных яче-
ек, позволяет записать искомую СЛАУ относительно неизвестных
коэффициентов Ai.
Особенностью МКЭ является то, что в качестве неизвестных
коэффициентов Ai берутся значения неизвестной функции у? (ж, у) в
вершинах треугольников для самой простой аппроксимации потен-
циала (конкретный ее вид мы рассмотрим ниже). Если речь идет
о более сложных функциях, аппроксимирующих потенциал в пре-
делах элементарной ячейки, то в дополнение к значениям tp(x, у) в
вершинах добавляются значения потенциала в других характерных
точках. Таким образом, в МКЭ используется следующее представ-
ление неизвестной функции:
N
4>(х, у) = 52 Uifi(x, у), (7.3)
г=1
где Ui — потенциал в характерных точках.
Рассмотрим, как получается разложение (7.3) для простейшего
случая линейной аппроксимации потенциала. В исходной форме она
имеет следующий вид:
tp = a + axx + ayy, (7.4)
где a,ax,av — постоянные коэффициенты. Рассмотрим некоторую
ячейку (рис. 7.2), вершины которой имеют номера i, j, к. Тогда
для записи разложения (7.3) нам необходимо выразить постоянные
a, ax, av через значения потенциала <£>(я, у) в вершинах треугольника
Теоретические основы работы программы HFSS
93
Ur.j.k- Сделать это можно, решая следующую очевидную СЛАУ:
62 (LxXk Л СЪуУк —
(7-5)
Решение (7.5) в
= A-1U, где
форме имеет следующий вид: а =
векторной
(7-6)
Теперь мы можем записать разложение типа (7.3) в компактной
векторной форме: <р(х,у) = ipTA-1U -1, где
(7-7)
индекс «т» означает операцию транспонирования. Введем следую-
щее обозначение:
f(T, у) = гртА \ (7.8)
Тогда с учетом (7.8) можно записать представление для потенциа-
ла, справедливое ие только для линейной аппроксимации, по и для
любой другой аппроксимации:
</>(т,?/) = f(z,?/)U, (7.9)
где в общем случае U — вектор значений потенциала не только в
вершинах треугольника, ио и в других характерных точках.
Обычно в МКЭ используют полиномиальные аппроксимации
неизвестной функции, хотя возможны и другие варианты, напри-
мер аппроксимация тригонометрическими функциями. Тем не ме-
нее, наибольшее распространение получили аппроксимации полны-
ми полиномами разных степеней. В частности, функция (7.4) — это
не что иное, как полный полином первой степени. Полный полином
второй степени имеет следующий вид:
a + bx + су Т dx2 + еху + fy2. (7.10)
Аналогично строятся полные полиномы более высоких степе-
ней. Нетрудно убедиться, что число неизвестных коэффициентов
растет с ростом порядка полинома. Так, если полином первого по-
рядка содержал три коэффициента, то полином второго порядка —
94
Рис. 7.4. Вершины
для полного многочле-
на второй степени на
треугольном элементе
Степень Слагаемые
полинома полинома
Рис. 7.5. Распределение узловых точек для полиномов
разных степеней
уже шесть. Соответственно, в первом случае нам достаточно было
трех значений потенциала в трех точках — вершинах треугольника,
а во втором необходимо использовать дополнительные точки, как
это показано па рис. 7.4.
Эти точки взяты па серединах отрезков прямых, образующих
стороны треугольника. Увеличение порядка полинома требует уве-
личения количества точек. На рис. 7.5 показана схема распределе-
ния узловых точек при увеличении порядка полинома.
Отметим следующее обстоятельство, проясняющее смысл пред-
ставления неизвестной функции полиномами разных степеней. По
существу формула (7.3) дает аппроксимацию потенциала, которая
совпадает с точной функцией в ряде дискретных точек. Эти точ-
ки — узловые точки аппроксимации, т. е. те самые точки, в которых
мы определяли Ц\. Чем больше число узловых точек, тем точнее
аппроксимация неизвестной функции. Отмстим, что в промежуточ-
ных точках аппроксимация всегда отличается от точной функции.
Использование большого числа базисных функций в пределах
элементарной ячейки повышает точность определения поля (потен-
циала) и позволяет увеличить размер ячейки при сохранении точнос-
ти. Таким образом, усложняя аппроксимацию, казалось бы, мы мо-
жем уменьшить число разбиений за счет увеличения размера ячейки
и ускорить решение задачи. Во многом это иллюзорное представле-
ние. Дело в том, что на скорость решения влияет не число яче-
ек, а число неизвестных коэффициентов, входящих в СЛАУ. С этой
точки зрения, увеличение размера ячейки за счет увеличения чис-
ла базисных функций может ничего не дать, так как общее число
неизвестных коэффициентов, равное произведению числа ячеек на
число базисных функций, может не измениться или даже увеличить-
ся. Поэтому при численной реализации МКЭ предпочтение отдают
простым аппроксимациям поля полиномами первого и второго по-
рядка.
Теоретические основы работы программы HFSS
95
7.3. Вывод и решение СЛАУ
Рассмотрим далее реализацию МКЭ в общем случае, когда чис-
ло базисных функций равно М. Подставим выражение для потен-
циала в виде суммы базисных функций в формулу (7.1):
где индексы г, j,k показывают, что данный параметр относится к
треугольнику с вершинами z,J, к. В развернутой форме функционал
выглядит следующим образом:
(7-12)
lijkiSP) —
dxdy.
2
СЛАУ для элементарного треугольника ищется из условия ми-
нимума функционала по всем аргументам Uijk,n-
n = 1,2, ...M.
(7.13)
Применение (7.13) к (7.12) приводит к следующей СЛАУ отно-
сительно значений потенциала в узловых точках:
dxdy,
m = 1,2,..., М.
(7.14)
Введем следующее обозначение:
Тогда СЛАУ (7.14) запишется в компактном виде: ZljkUijk = 0.
Аналогичные СЛАУ можно записать для всех элементов разби-
ения. Объединяя их в одну СЛАУ, получаем
Ur
ZU = 0; и =
(7.16)
UN
где N — общее число вершин в разбиении. Матрица Z составлена
из элементов матриц Z^k.
96
Отметим далее, что первые вершины лежат на поверхности
металлических проводников. Выделим в векторе U вектора, отвеча-
ющие вершинам, лежащим па проводниках:
(7-17)
где индекс «о» (от английского слова outer — внешний) соответствует
вершинам па поверхности проводников, а индекс «i» (от английского
слова inner — внутренний) соответствует вершинам, лежащим между
проводниками. Тогда СЛАУ (7.16) приобретает следующий вид:
(7-18)
Отметим, что вектор Uo известен, так как по условию задачи
значения потенциала иа проводниках заданы:
Поэтому имеет смысл выразить неизвестный вектор Uj через из-
вестный вектор Uo:
Ui = /'7\-
(7.19)
Соотношение (7.19) дает формальное решение искомой задачи.
Таким образом, нам удалось выразить потенциал внутри струк-
туры через его значения на границе. Это означает, что изложенный
выше алгоритм МКЭ обладает некоторыми свойствами, сближаю-
щими его с методом моментов. Действительно, в методе моментов
все поля в структуре выражаются через некоторую величину, задан-
ную па поверхности (электрический или магнитный ток). В пашем
случае ситуация аналогична. Отличие от метода моментов состоит
в том, что он по требует дискретизации пространства и опериру-
ет непрерывными полями и токами, тогда как МКЭ принципиально
основан па дискретизации пространства.
Представление значения векторного поля. Величина век-
торного поля (такого, как /7-поле или А-поле) в точках внутри каж-
дого четырехугольника интерполируется по значениям поля в вер-
шинах четырехгранника. На каждой вершине HFSS накапливаются
компоненты поля, тангенциальные трем ребрам четырехгранника.
Кроме того, система может сохранять этот (такой же) компонент
векторного поля в середине выбранных краев, тангенциальных к
лицевой части и нормальных к краю.
Теоретические основы работы программы HFSS
97
Размер сетки (разбивки) и точность. Существует компро-
мисс между размером этой сетки, нужной степенью точности и ре-
сурсами для расчетов. С одной стороны, точность решения зависит
от того, насколько мал каждый из отдельных элементов (четырех-
гранников). Решения, основанные иа сетках, использующих тысячи
элементов, более точны, чем решения, основанные на простых (гру-
бых) сетках, использующих относительно мало элементов. Для то-
го чтобы получить точное описание поля, каждый четырехгранник
должен занимать область, достаточно небольшую для того, чтобы
поле можно было адекватно интерполировать по узловым величи-
нам.
С другой стороны, получение решения поля включает в себя
инвертирование матрицы приблизительно со столькими элементами,
сколько имеется узлов иа четырехграннике. Для сеток с большим
количеством элементов такая инверсия требует большого объема па-
мяти и мощности. Поэтому желательно использовать сетку доста-
точно частую для того, чтобы получить точное решение ноля, по
не настолько, чтобы переполнять имеющуюся память компьютера и
его способность к обработке.
Для получения оптимальной сетки HFSS используется процесс
повторения, когда сетка автоматически очищается в критических
областях. Во-первых, находится решение, основанное па грубой на-
чальной сетке. Во-вторых, проводится очистка сетки в областях с
более высокой степенью погрешностей и выдается повое решение.
Когда выбранные S-парамстры сходятся в пределах желаемого
предела, система выходит за рамки цикла.
Волновое уравнение. Картина поля бегущей волны внутри
волновода может быть определена посредством решения уравнения
Максвелла. Следующее уравнение, которое решается двумерным
решающим устройством, получено прямо из уравнения Максвелла.
Решая уравнение, двумерное счетное устройство получает кар-
тину поля для комплексной амплитуды Е(х,у). Это решение неза-
висимо от z и i, и только после умножения на с--7^ они станут бе-
гущими волнами.
Однако заметим, что вычисленная картина поля справедлива
только для одной частоты. Для каждой частотной точки вычисля-
ются различные картины ноля.
Моды. Для волновода или линии передачи с заданным попе-
речным сечением имеется ряд базовых картин поля (моды), кото-
рые удовлетворяют уравнениям Максвелла на конкретной частоте.
В волноводе может существовать любая линейная комбинация этих
мод.
98
Глава 7
Преобразование мод. В некоторых случаях необходимо учи-
тывать влияние мод более высоких порядков, потому что структура
действует как преобразователь мод. Например, если мода 1 (основ-
ная) на одном порту преобразуется (т. е. передается через структуру)
в моду 2 на другом порту, то получаются S-параметры для моды 2.
Моды, отражения и распространение. Возможна такая си-
туация, что при генерации сигналом возбуждения одной конкретной
моды поле будет содержать отраженные волны более высокого по-
рядка, которые возникают из-за неоднородностей в СВЧ структуре.
Если эти моды более высокого порядка отражаются назад к пор-
ту возбуждения или передаются па другой порт без особых потерь
или не распространяемых типов волн, то могут быть рассчитаны
S-параметры, связанные с этими модами.
Если затухание типов волн более высокого порядка перед до-
стижением любого порта (либо из-за ослабления, либо потому что
это нс распространяющая недолговечная мода) значительно, то пет
никакой необходимости получать S-параметры для этой моды. По-
этому единственный путь избежать вычисления S-параметров для
мод более высоких порядков состоит в том, чтобы включить отрезок
волновода, который имеет достаточную длину для затухания моды
более высокого порядка.
Например, если мода 2 волны связана с некоторыми портовыми
затуханиями около ноля па расстоянии от порта 0,5 мм, то длина
геометрической модели с «постоянным поперечным сечением», ве-
дущей до порта, должна быть, по крайней мере, 0,5 мм. Иначе, для
точного расчета S-параметров вторые моды должны быть включе-
ны в S-матрицу.
Вычисляются различные картины поля. Длина сегмента с по-
стоянным поперечным сечением, который будет включен в модель,
зависит от величины постоянной затухания моды а.
Моды и частота. Картины поля, связанные с каждой модой, в
общем случае меняются с частотой. Однако и постоянные распрост-
ранения, и полные сопротивления всегда изменяются с частотой. По-
этому, когда требуется качание частоты, решение рассчитывается в
каждой частотной точке, представляющей интерес.
При выполнении качаний частоты нужно быть уверенным, что,
когда частоты увеличиваются, вероятность появления мод более вы-
сокого порядка также увеличивается.
S-матрицы. Одним из самых важных понятий в HFSS явля-
ется вычисление S-матрицы. Для расчета S-матрицы, связанной с
созданием структуры, система делает следующее:
• делит структуру (конструкцию) на сеть конечных элементов;
Теоретические основы работы программы HFSS
99
• рассчитывает волны на каждом порту конструкции, отмеченной
линией, имеющей ту же плоскость пересечения, что и порт;
• рассчитывает полную диаграмму электромагнитного поля внут-
ри конструкции, считая, что каждый из портов возбуждается
одной из волн.
Процесс решения. Имеется три варианта процесса решения:
• адаптивное решение:
• неадаптивное дискретное изменение частоты;
• пеадаптивиое с быстрым изменением частоты.
Адаптивное решение. Это решение, в котором сетка конеч-
ных элементов создается и автоматически очищается в областях с
наибольшим количеством ошибок, что повышает точность последу-
ющих адаптивных решений. Система осуществляет адаптивное ре-
шение на одной частоте (частота — это первый шаг в получении
решения с пеадаптивным изменением частоты или быстрым измене-
нием частоты).
Неадаптивное дискретное изменение частоты. Для осу-
ществления этого типа решения система использует существующую
сетку для получения решения целого диапазона частот. Выделяются
начальные и конечные частоты и интервал, в котором определяются
новые частоты.
8 Теория проволочных антенн
Проволочные вибраторные антенны, особенно в составе реше-
ток, являются наиболее распространенным типом современных ан-
тенн различного назначения и диапазонов волн. С развитием и
усложнением радиоэлектронной аппаратуры выдвигается проблема
проектирования проволочных антенн, особенно для современных
систем связи, имеющие конструктивные и технологические преиму-
щества.
В настоящее время огромное число работ посвящено решению
задач дифракции и возбуждения для проволочных и полосковых
структур, используя различные, часто эвристические методы. Рас-
смотрение этих задач иа электродинамическом уровне предполагает
адекватное математическое моделирование. Основой математичес-
кого моделирования и создания вычислительных алгоритмов анали-
за указанных антенн является редукция соответствующих гранич-
ных задач электродинамики к интегральным уравнениям для тока
антенны. Интегральные уравнения справедливы для всего частотно-
го диапазона, имеют меньшую размерность, чем граничная задача,
и универсальность по отношению к геометрии проводников антенны.
С вычислительной точки зрения наиболее эффективным представ-
ляется использование интегральных и интегро-дифференциальных
уравнений первого рода, которые приводят к построению единооб-
разных и эффективных алгоритмов численного анализа антенн. Ес-
ли ток антенн известен, то расчет ее характеристик не вызывает
принципиальных трудностей.
Численное решение интегрального уравнения или системы ин-
тегральных уравнений (для системы проводников) состоит в их дис-
кретизации и сведении к системе линейных алгебраических урав-
нений (СЛАУ) относительно искомой функции. Для дискретиза-
ции возможно использование проекционных методов, например ме-
тода Галеркина или метода коллокаций. СЛАУ для рассматриваемо-
го класса задач характеризуется полной (заполненной) комплексной
Теория проволочных антенн
101
матрицей. Для достаточно произвольных по геометрии и размерам
проводниковых антенных структур СЛАУ оказываются высокого по-
рядка, и для их решения необходимы специальные вычислительные
алгоритмы в сочетании с использованием больших вычислительных
ресурсов, которые часто не могут предоставить современные ком-
пьютеры.
Целью настоящей главы является построение адекватных мате-
матических моделей для проволочных антенн с последующей разра-
боткой единообразных и эффективных численных алгоритмов рас-
чета их характеристик. Для этого выделяется ключевая задача воз-
буждения указанных антенн с произвольной геометрией проводника
с последующим обобщением на модели криволинейных антенн и мо-
дели антенных решеток.
8.1. Математическая модель антенны
для произвольного провода
Как ключевую задачу можно выделить задачу возбуждения (ди-
фракции) па тонком проводе произвольной геометрии.
Рассматривается задача дифракции плоской электромагнитной
волны па проволочной антенне, которая представляет из себя на-
бор из N линейных отрезков лежащих в одной плоскости. Требу-
ется определить диаграмму рассеяния, которая определяется через
наведенный ток в проволочной антенне, исходные данные: длина
каждого отрезка проволочной антенны, диаметр проволоки и углы
между соседними отрезками; три угла, определяющие направление
распространения плоской волны, по отношению к плоскости, в ко-
торой лежит проволочная антенна. Выходные данные: диаграмма
рассеяния, которая является функционалом найденного тока в про-
волочной антенне.
В свободном пространстве распо-
ложена планарная тонко-проволочная
структура произвольной геометрии
(рис. 8.1). Требуется определить элек-
тромагнитное поле (Е, Н) в присутст-
вии проводника 5пр в данной среде
(е, ц) возбуждаемое первичным полем
(Е°, Н°). Задача состоит в решении си-
стемы уравнений Максвелла для векто-
ров поля (Е, Н), удовлетворяющих гра-
ничным условиям па поверхности провода и условию излучения на
бесконечности. Временная зависимость поля принимается по зако-
ну exp(zcdi).
Рис. 8.1 Планарная тонко-
нроволочная структура
102
Глава 8
Под действием первичного поля (Е°,Н°) па поверхности про-
вода наводится поверхностный ток JS(M), М € 5Пр- Поле (Е, Н),
создаваемое этим током, будем характеризовать векторным А и ска-
лярным Ф потенциалами. По аналогии с фундаментальным реше-
нием [1, 3] представим
А(М) = II Js(Mo)G(M,Mo)<foM(),
5пр
(8-1)
где М, Mq — точки наблюдения источника; G(M,Mq) = ——-------
AJq
— фундаментальная функция Грина; к = ш/у/ё/lq. Скалярный по-
тенциал Ф связан с потенциалом А условием калибровки
div А + швцоФ = 0.
(8-2)
Тогда для векторного поля имеем
Е = — grad Ф — гео А; Н = — rot А. (8-3)
Мо
Подставляя (8.1) в (8.2) при М —> Snp получим
ф(М) = /j divM [JS(MO)G(M, Mo)] d<zMo • (8.4)
Snp
Используя соотношение divM[Js(Mo)C?] = (JsgradG), получим
Ф(М) = —I [ |JS(MO) grad±M G(M, Mo)| daMo. (8.5)
47ГО)До J J
Snp
где grad± — операция для координат провода Snp.
Другое представление Ф(М) следует из соотношения
gradM G(M, Мо) = - gradM() G(M, MQ)
и имеет вид
Ф(М) = 11|JS (Mo) grad±Mo G(M, Mo)] daMo. (8.6)
Snp
Используем граничное условие для касательной составляющей
полного электрического поля на поверхности провода Snp
(Е + Е°), = 0,
М 6 S„p.
(8-7)
Теория проволочных антенн
103
Тогда при М —> Snp из (8,1), (8,3), (8,6) с учетом (8,7) получим
предельным переходом интегро-дифференциальное уравнение
п=0
к2 11 Js(M0)G(Mn,M0)daMQ
~ grad±M
JS(MO) grad±Mo G(Mn, Mo) daMo
= n°(Mn) x E°,
(8-8)
где N — число разбиений провода па элементы длиной ф п°(Л/п) —
нормаль к элементу провода.
Полагая, что для тонкого провода распределение поверхност-
ного тока Js по контуру поперечного сечения не меняется, введем
полный ток провода по формуле
р27Г
I(x) = a / Js(x^)d(p
Jo
и получим
(8-9)
Подставляя (8.9) в
(8.8), получим
I
47TCJ£
71=0
\ I к2 (xm, x^) G(Mn, ) daMo ~
[Jo
OX 71 'kkl J
m~ 1,... ,N,
(8.10)
nr(O)z (0) (0)x ,r / x
где Mk {Xn ,Уп ) — точка на выделенном отрезке; Mm = (xm, ym) —
точка наблюдения.
Система уравнений (8.10) представляет собой дискретное раз-
биение интегрального выражения для тока провода па N частей,
которых может быть произведено произвольно много.
8.2. Интегральные уравнения для тока
криволинейной проволочной антенны
Криволинейную проволочную антенну (рис. 8.2) с размером про-
вода ka << 1, к = Л — рабочая длина волны, будем характе-
ризовать образующей в виде кусочно-гладкой кривой С. Геометрия
104
Глава 8
Рис. 8.2. Криволинейная проволочная антенна
последней описывается ортогональной криволинейной системой ко-
ординат (s,f) с коэффициентами Ламе Вход антенны пред-
ставим с щелью размером ~1ъ,къ 1. При разности потенциалов U
на входе в щели устанавливается первичное поле Е°.
Потребуем выполнения граничного условия (8.7) в виде
(Е + Е°
М 6 1g,
(8.11)
где S0 — единичный вектор, касательный контуру С.
Подставляя (8.1), (8.3), (8.6) и (8.11), при М -> Snp предельным
переходом получим
1 л
Sghs(Mo) — G(M, Mo) d<7Mo -
/1] Ob Мп
/it dSM
S00)ja(M0)G(M,M0)daMo [> = —4гтгше(Е°, S°).
(8-12)
Используя представление тока проволочной антенны (8.9), из
(8.12) получим
И(8°,3“)/(/0)^-С(М,М(1) -
-к2 [ (S°,Sg)/(Zo)^-G(M,JWo)dZo = -4гтгше(Е°, S°). (8.13)
J С vlf)
где (S°, Sq), (E°, S°) — скалярные произведения единичных векторов
в точках М и Мо (см. рис. 8.2), dl = h^ds — элементы длины. Уравне-
ние (8.13) является интегро-дифференциальным уравнением для то-
ка /(Z) проволочной антенны. В задаче возбуждения Е° = U/2Ь, где
U — разность потенциалов на входе антенны. Интегральное уравне-
ние (8.13) известно как интегральное уравнение Поклингтона.
Теория проволочных антенн
105
Рассмотрим случай кривых £ постоянной кривизны Д1,/?2 =
= const. При преобразовании интегрального уравнения (8.12) ис-
пользуем представление (8.5). Тогда, выделяя дифференциальный
оператор (д2/д12 + к2) и используя известную формулу обращения,
окончательно получим
/* к [
/ I(Lq)K(1, /о) dlo = i— / E°(u) sin(A:|Z — w|) du + щ sinkl + C2 coski,
J£ 2w J£
(8.14)
где ядро уравнения имеет вид
К(1, /о) = (S°, S°).G(M, Mo); G(M, Мо) =
aS + (6 — r)z
(8.15)
a — радиус провода; M, Mo G £. Коэффициенты q и C2 в (8.14)
выбираются из дополнительных условий (равенства пулю) тока на
концах провода. Интегральное уравнение (8.15) известно как интег-
ральное уравнение Галлена.
Интегральное уравнение (8.15) используется для анализа про-
водниковых структур постоянной кривизны к которым относятся ли-
нейные, кольцевые и эквиугольныс структуры. Используя комбина-
ции фрагментов такого вида можно составить весьма произвольные
протяженные проволочные структуры.
Интегральные уравнения (8.13) и (8.14) являются уравнениями
Фредгольма первого рода (см. разд. 5.3). Применение уравнения По-
клингтона (8.13) или Галлена (8.14) не даст больших преимуществ.
Однако уравнение Галлена. (8.14) является более общим в части зада-
ния поля в правой части уравнения, создаваемого источником воз-
буждения.
Определим используемый в теории проволочных антенн функ-
ционал. Пусть интегральное уравнение для тока антенны имеет вид:
J K(M,M')I(M')dl = Е°(М), (8.16)
где К(М,М') — ядро уравнения; 1(М') — ток провода; отсюда сле-
дует функционал
Z = (8.17)
4) Jc jС
где То — ток па входе антенны; Z — входное сопротивление проволоч-
ной антенны. Этот функционал используется для расчета входного
сопротивления антенны.
106
Глава 8
8.3. Проекционные методы решения интегральных
уравнений
При всем многообразии наиболее распространенные методы ре-
шения интегральных уравнений Фредгольма базируются па обшей
идейной основе, и относятся к классу так называемых проекционных
методов (гл. 2). В основе этих методов лежит подход, называемый
процессом Бубпова-Галеркина, приводящий к построению проекци-
онной схемы. Рассмотрим процедуру решения в общем виде.
Запишем интегральное уравнение (8.16) в операторном виде
Е = AI,
(8.18)
где А — интегро-дифференциальный оператор, который каждой
функции I из множества искомых токовых функций ставит в со-
ответствие вполне определенную функцию из множества функций
распределения тангенциального поля I рассеяния.
Искомая функция является элементом некоторого линейного,
вообще говоря, бесконечномерного пространства U. В рамках проек-
ционной схемы решения ищется приближенно. Рассмотрим некото-
рое n-мерное подпространство UN в пространстве V. Введем в этом
подпространстве ортогональный базис и будем искать приближен-
ное решение задачи в виде функции IN, принадлежащей данному
подпространству, т. е. функции, которая может быть представлена и
притом единственным образом в виде линейной комбинации
7jy(Z) — + • • • +
где Jk — некоторые неизвестные (искомые) коэффициенты. Это
означает, что переход к конечномерному пространству позволяет от
проблемы нахождения функции перейти к проблеме нахождения N
чисел.
Предполагается, что последовательность , lNi,..., Ni < N% <
..., сходится к точному решению 1Т. Следовательно, точное решение
может быть представлено в виде
Иначе говоря, в U N можно найти функцию 7Л, которая приближает
точное решение с точностью до некоторой «добавки» — малой по
норме функции SN, не принадлежащей U.
Подставляя в уравнение (8.18) решение в таком виде, определим
невязку
ain -е = asn.
Теория проволочных антенн
107
Потребуем, чтобы невязка как элемент С7Л равнялась пулю.
Это равносильно равенству нулю проекции невязки на UN или, что
то же самое, ортогональности невязки всем базисным функциям
..., (равенство нулю всех проекций невязки на координат-
ные оси пространства £/Л ). Однако совсем необязательно для раз-
ложения повязки использовать тот же базис, что и при разложении
искомой функции. Для этой цели может быть использована иная
система из N линейно независимых функций. Базисные функции,
используемые для разложения невязки, называются весовыми или
координатными. Обозначим набор весовых функций Pi,...,
Ортогональность невязки всему подпространству UN означает
равенство нулю скалярных произведений:
(AIn - Е, ик) = 0,
(8.19)
Учитывая дистрибутивность скалярного произведения, (8.19)
можно записать иначе:
= (E,vk), k=l,...,N.
(8.20)
Подставляя сюда выражение (8.19), получим систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
N
= (Е,ик),
г=1
или в явном виде
' (Affifi) Ji + (Aipz, Pi) J2 + ... + (Асрк, = (E, Pi);
(A-^1, P2) Ji + (A</?2, ^2)^2 + • • . + (AtpNi V2)Jn — (E, П2У,
\ (A</?i, P3) Ji + (A</?2, ^з)Л + ... + (A<pn, U3) Jn = (E, P3);
(8.21)
(8.22)
k (A^i, piv) Ji + (A(/?2, vn)J2 + ... + (ApN, vn) Jn = (E, un).
Решением СЛАУ (8.22) находятся коэффициенты Д,..., Ду, ко-
торые, будучи поставлены в (8.19), совместно с соответствующими
базисными функциям восстанавливают приближенное решение за-
дачи.
(Систему линейных алгебраических уравнений (8.22) называют
проекционной схемой Бубпова-Галеркипа.
Базисные функции </?i,..., не обязательно должны быть ор-
тогональными, достаточно, чтобы они были линейно независимыми.
Линейной независимости достаточно и для набора весовых функций
P1,...,P1V.
108
Глава 8
Применительно к данному случаю СЛАУ (8.22) с учетом (8.17)
можно записать следующим образом:
где
Zij = [[ К(l^')Vj(f)dldl'-, Ei= f E(l)v*(l)dl,
i = = (8.24)
Далее будем также использовать компактную форму.
Более общий подход с использованием, в том числе, неортого-
нальных систем базисных и весовых функций в литературе получил
название метода моментов.
Неопределенность выбора систем весовых и базисных функций
обусловит большое многообразие разновидностей метода, отличаю-
щихся именно набором этих систем, от которого в значительной сте-
пени зависит эффективность метода и его ресурсоемкость. Посколь-
ку метод моментов является, в сущности, развитием проекционной
схемы, все эти методы обычно объединяют общим термином проек-
ционные методы.
При построении методик решения интегральных уравнении ан-
тенной (электродинамики одними из основных являются вопросы
формализации сторонних источников (выбора модели возбуждения),
выбора системы базисных функций (базиса), а также системы коор-
динатных (весовых) функций. Обычно, базисы подразделяются на
два типа. К первому типу относятся базисные функции, опреде-
ленные и неравные нулю во всей области определения оператора А
(8.18). Систему базисных функций этого типа называют базисом
полной области. Базисные функции второго типа определены па об-
ласти U и обращаются в пуль на части этой области. Выбор базиса
существенно влияет па устойчивость матрицы импедансов (8.23).
Метод Галеркипа представляет собой разновидность метода мо-
ментов при выборе весовых функций, соответствующих базисным
функциям
vt (е) = (е), i =
Тогда формулы (8.24) для расчета коэффициентов и свободных чле-
нов СЛАУ (8.22) принимают вид
Zij= f f K(l,l'}(p*(l’)dldl'\ Ei = I E(l)p*(l)dl. (8.25)
jC J £
Теория проволочных антенн
109
Другой вариант выбора весовых функций — выбор (5-функций
(дельта-функций Дирака). Такая разновидность метода моментов
называется методом коллокаций или методом сливания в точках.
Тогда при выборе весовых функций щ(Г) = 5(1 — Ц), i — 1,2... TV,
формулы (8.25) можно упростить:
Zij^ / К(/,Г)^(/')Ш'; Ег = Е(Ц). (8.26)
JC
Это определяет данный метод как наименее ресурсоемким.
Приведем примеры систем базисных функций полной области,
используемых при исследовании проволочных антенн выбранного
типа [11]:
• разложение Фурье
I(z) — /1 cos
7ГЖ
+ h cos
+ /3 cos
• разложение Чебышева
I(z) = 7iTo(x) + I2T2(x) + 1зТ4(х) + ...;
• разложение Маклорепа
• разложение по полиномам Лежандра
I(z) = ДРо(ж) + I2P2(х) + I3P4(х) + ...,
где х = 2z/2l; 21 — длина вибратора.
Разумеется, можно пользоваться и другими полными системами
функций.
В качестве примеров систем базисных функций подобластей на-
зовем следующие:
• кусочно-постоянные (импульсные) функции
J(2) ~ { О1
при z в области Д/у;
при z вне этой области;
• кусочно-линейные функции
-G fe+i - z) + 7j+i sin k(z - Zj)
при z 6 Azj;
при z £ Lzj\
110
Глава 8
кусочно-синусоидальные функции
0
квадратичная интерполяция
0
при
при
синусоидальная интерполяция
2
0
Обратимся к отысканию решений интегрального уравнения Гал-
лена для линейного симметричного вибратора (8.14):
___ sm k z
5
где функция ядра K(z — z') определяется выражением (8.15).
Решение уравнения (8.27) можно представить в виде разложе-
ния искомой функции тока в ряд по системе функций /i(z),/2(2),
7L
где 1п — коэффициенты разложения, подлежащие определению.
Функции fn(z) называются базисными функциями] они должны
быть линейно независимыми. В случае точного решения уравнения
Галлена они должны составлять полную систему функций и сумми-
рование в (8.28) должно быть бесконечным. Удобно функции fn(z)
выбирать так, чтобы удовлетворялись граничные условия для тока
па концах вибратора, т. е. /n(±Z) = 0.
Для сравнительно коротких вибраторов, представляющих наи-
больший практический интерес, оказывается достаточным с инже-
нерной точки зрения ограничиваться несколькими членами ряда
(8.28). Из подстановки разложения в уравнение (8.27) получаем
.—sm к z
п
Разрешение этого уравнения относительно неизвестных коэф-
фициентов 1п может быть проведено, например, методом Галерки-
па. Для этого умножают левую и правую части (8.29) на выбранные
Теория проволочных антенн
функции fm(z), где m — фиксированное значение индекса, и интег-
рируют по z от —I до I. В результате задача сводится к решению
системы линейных алгебраических уравнений
fn(z')fm(z)K(z - z') dzdz'
(8.30)
Решение системы уравнений (8.30) необходимо проводить па
ЭВМ. Некоторую трудность при этом составляет многократное вы-
числение двойных интегралов по переменным z и z’.
Можно, однако, применить другой метод сведения к системе ал-
гебраических уравнений, который называется методом согласования
в точках. Для этой цели умножают левую и правую части (8.29) па
дельта-функции 5(z — zp), где р = 1,2,3,... — номера точек разбие-
ния интервала — I z С I на отрезки. Затем интегрируют получен-
ное выражение по z от —I до I и получают систему алгебраических
уравнений в виде
п
j2irU
W
sin к | zp
(8.31)
При этом интегрирование упрощается, однако уравнение (8.29)
удовлетворяется только в отдельных точках вибратора.
В качестве базисных функций можно выбирать, в частности,
тригонометрические функции, т. е. разлагать искомый ток в ряд
Фурье по синусоидальным функциям, удовлетворяющим граничным
условиям на концах вибратора:
/ ч тт(1 — \z )
fn(z)= sm----—----
n = 1,2,3,....
Для недлинных вибраторов оказывается удобнее выбирать ба-
зисные функции в виде более простых степенных выражений:
fn(z) —
п = 1,2,3,...,
и, следовательно, представить разложение (8.31) в виде полинома.
Поскольку в уравнениях (8.31) содержится неизвестная посто-
янная С, порядок системы этих уравнений должен быть па единицу
больше порядка степени полинома N. Таким образом, задача сво-
дится к решению на ЭВМ следующей системы линейных алгебраи-
112
Глава 8
Рис. 8.3. Распределение тока на одном плече симметричного вибратора:
a — I = 0,375А, 2а = 0,14А; б — I = 0,625А, 2а = 0,14А; линии — результаты
расчета; кружки — эксперимент
ческих уравнений:
п
fl«U ц
S1H КI Zp
p=l,2,...,N + l,
(8.32)
где
Fn(z) = [ (1 _ И V ехр(-уУ(7- z'Y _+ a?) dz,
J-l\ I J y/{z~z')2 +a2
Выбор координат точек разбиения zp удобно производить по
правилу
и определять, таким образом, в (8.32) значения коэффициентов толь-
ко по точкам Zp одного плеча вибратора. Для симметричного вибра-
тора этого вполне достаточно. После определения коэффициентов
Теория проволочных антенн
113
Рис. 8.4. Входной импеданс симметричного вибратора: 2а = 0,14А; линии —
результаты расчета; кружки — эксперимент
1П находится распределение тока в вибраторе по формуле
71
и затем входное сопротивление вибратора
ВХ --
п
На рис. 8.4 показаны расчетные и
Как показывают расчеты и сопоставление расчетных результа-
тов с экспериментальными данными, для вибраторов с длиной плеча
1/Х = 0,625 и меньше достаточно брать полиномы порядка N = 2 или
N = 3. Такие расчеты были проведены, и соответствующие графи-
ки распределения тока показаны на рис. 8.3. Точкам на графиках
показаны экспериментальные данные, полученные для вибраторов
тех же поперечных размеров.
экспериментальные графики вещественной и мнимой частей вход-
ного импеданса симметричного вибратора с радиусом проводника
a = 0,007Л. Здесь обращает па себя внимание тот факт, что уточ-
ненный входной импеданс полуволнового вибратора с отношением
l/a = 70 оказался равным примерно (94 + J37) Ом. против величи-
ны (73,1 + J42,5) Ом, следующей из расчетов по методу наводимых
э.д.с. для топкого вибратора.
При возбуждении вибратора сосредоточенной в его центре сто-
ронней э.д.с. напряженность электрического поля К1? связана с на-
пряжением генератора U посредством дельта-функции.
9 Теория микрополосковых антенн
Микрополосковые и полосковые антенны с токоведущими по-
лосковыми структурами представляют перспективный для многих
приложений тип антенн, при изготовлении которых используется
технология печатных и пленочных гибридных интегральных схем
СВЧ. Полосковые антенны в слоистых средах находят применение в
радиотехнике, радиолокации и связи. Обычно слоистая среда явля-
ется конструктивным элементом в виде подложки и укрытия полос-
ковых проводников антенн. В задачах диагностики слоистая среда
моделирует ткань объекта или оптическую среду.
Полосковые антенны имеют большое разнообразие. Среди при-
знаков, которые могут быть положены в основу их классификации,
выделим те из них, которые определяют полосковые антенны ре-
зонаторного типа в виде планарных проводящих поверхностей раз-
личной геометрии или систем поверхностей и полосковых антенн в
виде узких ленточных проводников, имеющими аналогами прово-
лочные структуры. Для этих типов полосковых антенн ниже при-
водятся описания математических моделей в виде интегральных и
интегро-дифференциальных уравнений первого рода и численный
анализ последних.
9.1. Математическая модель полосковой антенны
в виде планарной структуры
Рассматривается следующая задача электродинамики. В облас-
ти с плоским слоистым заполнением па одной из границ расположена
планарная полосковая поверхность 5пр из тонкого ленточного про-
водника. Среда моделирует свойства подложек и укрытия для Snp
и характеризуется параметрами e(z), сг(г), До и может содержать в
качестве граничного слоя проводник. При возбуждении первичным
полем (Е°,Н°) требуется определить электромагнитное поле (Е, Н)
в присутствии проводника <S’np в слоистой среде. Задача состоит в
Теория микрополосковых антенн
115
решении системы уравнений Максвелла для векторов (Е, Н), удов-
летворяющих граничным условиям на поверхности проводника S^p,
условиям на его ребре, условиям непрерывности для касательных
составляющих векторов поля на границах раздела сред и условию
излучения на бесконечности. Первичным полем может быть поле
плоской волны (задача дифракции) или квазистатическое поле па
входе антенны (задача возбуждения).
Под действием первичного поля (Е°, Н°) на поверхности про-
водника Snp наводится поверхностный ток Js. Поле (Е, Н), создава-
емое этим током, будем характеризовать векторным А и скалярным
Ф потенциалами. По аналогии с решением задачи для однородной
среды представим
А(М) = В jl3^Mo')G(M,Mo)daMo,
5пр
(9-1)
где М, Мо — точки наблюдения; G(M,Mq) — тензорная функция
Грина, которая в матричной форме имеет вид [4]
где G0,g, Gi
’ Go 0 0 '
А _ О Go О
дд дд 1 ’
-дх ду s(z0) Т-
элементы тензорной функции Грина.
Подобно (8.5) и (8.6) для скалярного потенциала Ф можно по-
лучить представления
Ф(М) = АА //
г' *J J
Srip
И
Ф(М) = - УJs(M)grad±Mo G(M, Мо) daMo,
Snp
(9-4)
где
G(M,M0) = G0(M,M0) +
Тогда для векторов поля имеем
Е = — grad Ф — zcj А;
— rot А.
Р-о
(9-5)
116
Глава 9
Используя граничное условие на поверхности проводника Дч>
(Е(М) + Е°(М))( = О, MeSnp.
(9.6)
Тогда из (9.1), (9.4). (9.5) и (9.6) получим интегро-дифференциаль-
ное уравнение первого рода
— нормаль к поверхности АД,; gradL — операция для ко-
Элемепты тензорной функции Грипа Gq(M, Mq) и
где п°
ординат Snp.
— (М,Мо\ которые входят в ядра уравнения (9.7), зависят от рас-
oz
стояния рммо и при М
равен о(1/рмм0), Рмм^
теграла приводит к сильной особенности ядра. Интеграл с таким яд-
ром следует понимать в смысле его конечного значения по Адамару.
Mq имеют особенность, порядок которой
„ , 0. Дифференцирование под знаком ин-
Численное решение уравнения (9.7) состоит в его дискретизации
и сведении к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
относительно значений искомой функции. Для дискретизации ис-
пользуются проекционные методы, например метод Галеркипа или
метод коллокаций.
Для метода коллокаций (см. разд. 8.3) представим, что задается
сетка значений проводника S'np с шагами h\ и /?2 и узлами {xp,yq},
где
a + - А2, Р = 1,2,..., АГ]; q = 1,2,..., N2,
так, чтобы поверхность Snp целиком находилась в прямоугольни-
ке П со сторонами АДь и N2h2. Прямоугольник II разбивается па
элементарные площадки А<$пр с центрами в узловых точках. Тог-
да интегральное уравнение аппроксимируется СЛАУ относительно
значений искомой функции в выделенных узловых точках.
Другой подход к решению задачи состоит в преобразовании ин-
тегро-дифференциального уравнения (9.7) к дифференциальному
уравнению, разрешимому в квадратурах, с последующим выделе-
нием интегрального уравнения со слабой особенностью ядер Фред-
Теория микрополосковых антенн
гольмовского типа. Используем (9.1), (9.3) и (9.6) и получим
———п°(Л7) х
4тГй?£
grad±M J J J Д Мо) grad G(M, Мо) dcr
«$пр
[IJS(MO)GO(M, Mo) da
lim
->S'np
мо
_w0
о
Рассмотрим это равенство в каком-либо сечении Snp. Для ука-
занной выше прямоугольной сетки Snp с прямоугольником П в се-
чении, например yq = const, можно выделить дифференциальный
оператор (d2/dx2 + ti2) и использовать далее формулу обращения.
В результате в узлах сетки 5пр для ортогональных сечений
{хр, yq}, р = 1,2,...,^; q = 1,2,..., TVjj, получим совместную сис-
тему интегральных уравнений для тока Js = (jx, jy). Ядра, входя-
щие в уравнения системы, имеют особенность порядка о(1/рмм„ )-
PmMq —> 0. Поэтому эта система интегральных уравнений является
фредгольмовой.
Для криволинейных узких ленточных проводников полосковых
антенн, имеющих проволочные аналоги, интегральные уравнения
(9.7), (9.8) можно преобразовать к одномерным интегральным урав-
нениям. Подобно уравнению (8.12) для тока Js(Mo), Mq £ ^пр,
криволинейной антенны в системе ортогональных координат (s,f)
можно получить
-| I /* /» -| г\
// ^°,S°)Js(M0)-——G(M,M0)daMu +
All ОЬм J J Al oh Мп
k Snp
+ [[(y°,S°o)js(Moy-^-G(M,Mo)daMo 1 -
J J a2 dVMc] u
SIip U J
-k2 [[(S°,S°0) J S(MO)GO(M,MO) da Mq = —4гтги£(Е°, S°). (9.9)
Введем понятие полного тока как интегральной характеристики
поверхностного тока Js на узком (kd 1) ленточном проводнике
1 fd
1(1) = - / Js(l,t)dt,
J—d
где d — ширина ленточного проводника. Учитывая условие на ребре
118
Глава 9
Snp, получим представление
^(М) = /(0/л/<Р-г2.
(9.10)
При условии kd 1 (t 1) можно принять
-’РЛ/Л/0 e-iPQ / Г—---\
-------~ = ( 1 + «Го - i\/Ро +12 I +о(/2), t 0; М, MQ 6 £.
Рмм0 vPo+^2 \ /
Эти представления позволяют провести интегрирование ядер в (9.9)
для переменных t с весом 1/\4Z2 — i2.
В результате с учетом представления (9.10) из (9.9) получа-
ем интегро-дифференциальное уравнение первого рода относитель-
но полного тока /(Z)
£{/£(sO’s“)/(;)^6(Mo)d(+
+ /(v°,Sg)/(/o)^G(Z,/o,t)^o) -
j£ )
- k2 [ (S°, Sg)/(Zo)Go(Z, lo) dl = -г4жие(Е°, S°) (9.11)
Jc
криволинейной полосковой антенны.
Для случая кривых С постоянной кривизны подобно уравнению
(8.14) для полосковой криволинейной антенны можно получить ин-
тегральное уравнение
sin £|Z — и\ du-}-Ci sinfcZ+c2 cosfcZ (9.12)
с ядром
z=OJ
о dg(Mn,M0,z) _u\du_
dz
\ f , /o0 o0\ /1 7 \ 1 Zo, 2')
dg(Mu, Mo, z)'
du.
Интегральное уравнение (9.12) является интегральным уравне-
нием Фредгольма первого рода (см. разд. 5.3). Для численного реше-
ния этого уравнения используются регуляризирующие алгоритмы.
Порядок СЛАУ при дискретизации уравнения зависит от длины по-
Теория микрополосковых антенн
119
лосковой структуры (количества фрагментов постоянной кривизны),
которая может достигать большого значения.
9.2. Алгоритмы численного решения
интегро-дифференциальных уравнений
и интегральных уравнений 1-го рода
Для токов полосковых антенн имеем интегро-дифференциаль-
ные или интегральные уравнения 1-го рода. Численное решение
Э1 их уравнений предполах ает их дискретизацию и сведение к систе-
ме линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для токов антенн.
Решенйе уравнений 1-го рода является, в общем случае, некоррект-
ной задачей по А.Н. Тихонову из-за численной неустойчивости ре-
шения (в зависимости от правой части уравнения, определяющей
способ возбуждения антенны) и требует регуляризации. Методы и
алгоритмы регуляризации могут быть различными. Для рассмат-
риваемых интегральных уравнений наиболее удобен простой метод
регуляризации, который называют методом саморегуляризации. Ме-
тод использует априорное свойство гладкости искомого решения и
слабой (вид) особенности ядер интегральных уравнений. Пре дпола-
гая ограниченность производной решения, выделяется компактный
класс решений, где задача корректна.
Как пример рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение
(9.9) для тока полосковой антенны.
ъ г'/'лглг^ дд(М,М0)
Элементы Gq(M,Mq) и ----------, которые определяют ядро
oz
G(M, Л/g), зависят от расстояния р(М.Мо) и при М —> Л10 имеют
особенность, порядок которой равен о(1/р), р —> 0, что определяет
слабую особенность ядра.
Обозначим размер А = тах(/г, 2d), где h — шаг дискретизации.
Тогда в силу особенности ядра G(M, Mq) при рмм$ < А его можно
представить в виде
б(Л/, Л/о)
~jkpMMn
А--------
Pmmq
+ Р(М,М0),
(9.13)
где Р(М, Мо) — регулярная функция; А — весовой коэффициент.
При рмм^ > А функция G'(A/, A/о) является регулярной. Предель-
ный переход в (9.9) осуществляется после дискретизации уравнения.
Алгоритм, реализующий принцип саморегуляризации уравне-
ния (9.11), следующего из (9.9) после кратного интегрирования, со-
стоит в выделении особенности его ядер, локальной интерполяции
искомого решения и его вычислении в заданном наборе точек колло-
каций. Определим наибольший размер полосковой структуры Snp по
Глава 9
120
контуру £ как 2L и разобьем его па N отрезков с шагом h = 2L/N.
Для концов отрезков разбиения и узлов отрезков определим зна-
чения
1г—1/2 — £h(i 3/2), ^г+1/2 — L/h(i 1/^)» Ц Lhty 1),
i = 2,..., N.
Предполагаем кусочно-постоянную аппроксимацию тока и в уз-
лах определим коэффициенты ЦЦ) = Ц. В точках коллокаций по-
лучим из (9.11) СЛАУ
г=2
/ = 2,...,7V,
(9.14)
где
Dj,i—1/2 Bji,
j = N/2 + 1;
j 1 N/2 -I- 1.
G(l, ii-1/2)
В (9.14) учтены условия на концах ленты /?пр Л, • • •, In+i — 0.
При достаточно малом значении h диагональные элементы СЛАУ
при i = j, которые определяются значениями 1Д,г-1/2, Ду^щ/г, пре-
восходят по абсолютной величине остальные элементы матрицы как
следствие выделенной особенности в (9.13). Диагональное преобла-
дание матрицы системы (9.14) обеспечивает ее устойчивое решение.
Шаг дискретизации h < 0,05А.
Рассмотрим интегральное уравнение (9.12), ядро которого, в
силу выделенной особенности вида (9.13), является интегральным
уравнением Фредгольма 1-го рода. Алгоритм его численного реше-
ния, реализующий принцип саморегуляризации, состоит в выделе-
нии особенности ядра, локальной интерполяции искомого решения и
сведении при его дискретизации с шагом h, где h — расстояние меж-
ду соседними точками коллокации, к хорошо обусловленной СЛАУ.
В отличие от рассмотренного выше алгоритма предполагается, что
точки коллокации совпадают с узлами интерполяции. Зададим раз-
биение проводника на N частей с шагом h = 2L/N и образуем сет-
ку переменных {Д/Д, i,j = 1,...,N + 1. Предполагая кусочно-
постоянную аппроксимацию тока I(li) = £, на шаге дискретизации
Теория микрополосковых антенн
121
h из (9.12) получим СЛАУ
Ajili = Bj + ci sin lj + C2 cos lj,
i=‘2
(9.15)
J = 1,..., TV + 1,
где
F°(u) sin \lj — u| du\
^i+i/2 — — 1/2) — L\
В системе (9.15) учтено условие иа концах проводника —
= I(—L) = 0. При этом матрица доопределяется элементами Aji =
= — coslj, Aj^N+i = — sinZj, j = 1,..., N + 1, а коэффициенты ci, C2
входят в число неизвестных системы. Матрица системы (9.15), в си-
лу выделенной особенности ядра, имеет диагональное преобладание,
и решение системы является устойчивым. Параметром регуляриза-
ции является шаг h < 0,05А.
9.3. Микрополосковый вибратор на многослойной
подложке
Рассматривается следующая задача электродинамики для виб-
раторной антенны. Вибратор имеет вид тонкого ленточного провод-
ника Snp с шириной 2d и длиной 2L, ленточные проводники обра-
зуют плечи вибратора с зазором между ними размером 2Ь. Пред-
полагается, что выполняются условия kd 1, kb 1, kL > 1, где
к = 2тг/А, А — рабочая длина волны. В области зазора можно ввес-
ти понятия тока и напряжения и определить вход вибратора, причем
эти предположения принимаются обычно для вибраторных антенн
из топких ленточных проводников. Возбуждение вибратора обес-
печивается разностью потенциалов U на его входе, при которой в
области щели устанавливается первичное поле Е°. Структура этого
поля зависит от условий конструктивного перехода фидерной линии
к полосковому вибратору и в строгом виде ее анализ затруднителен.
Принимая во внимание размеры вибратора в области щели и
предполагая его эффективное возбуждение, расчет поля Е° можно
провести в квазистатическом приближении [6]:
ж| b, |?/| < d.
(9.16)
Под действием первичного поля на ленточном проводнике Snp
вибратора наводится поверхностный ток j(Mo), Mq 6 Snp. Поле
122
Глава 9
(Е, Н) вибратора, создаваемое этим током, будем характеризовать
векторным потенциалом А = (AX,AZ). Тогда для слоистой среды
имеем выражение
А(М) = II
Snp
где G(M, Л/q) — тензорная функция Грипа.
тензорная функция Грина имеет вид (9.2).
j = х0Д имеем
В матричной форме
Для тока вибратора
АДМ) = ^ // jx(Mo')Go{M,Mo)daMo-,
'Пр
л (М\ _ [[ (1\т ,дд(М,М0)
AZ(M) — JJ jx(Mq) Эх d<TM0,
где М — точка наблюдения; Mq — точка истока. Граничное условие
на ленточном проводнике Snp имеет вид
(Е + Е°)г = 0.
(9-17)
Тогда из (9.1), (9.4), (9.5) и (9.17) в результате получим интегро-
дифференциальное уравнение
(£ + fc2) [[|<?о(М,Мо) + Эд(у/о)1 daMo =
\ CJJU / J J kJ tL
Snp
= fc2 II jx(M0)^^^-d<7M0-iwE°x. (9.18)
Snp
Обращение уравнения (9.18) приводит к интегральному урав-
нению
J I jx(M0)K(M,M0)da^0 =
Snp
2тг [ъ
=—i— / Е„.(и) sinfcliz — ж| + Сл sinfca? -
где ядро уравнения имеет вид
— Go(Af, Mq) +
К(М, Mq) =
dg(M,MQ) 1 f .
дд(Ми,Мо) ,
----z----du.
Теория микрополосковых антенн
123
Рассмотрим случай среды с ди-
польным источником, расположен-
ным на общей границе в точке zq = О
(рис. 9.1). Случаи горизонтального
и вертикального диполей позволяют
определить все элементы тензорной
функции Грина для данной слоистой
среды [6]. Ниже приведены основ-
ные выражения для элементов тен-
зорной функции Грипа, входящих в
Экран
Рис. 9.1. Слоистая среда с эк-
раном, нагруженным на по-
верхностный импеданс Zs
ядро уравнения (9.19). При этом выделяются члены элементов, име-
ющие дипольную особенность.
При zq = 0, 0 С z Н2, имеем
&о(р) —
Q-ik2p
г00 \
/ fG(X)-J0(Xp)dX,
z=o J О ^2
(9.20)
где
R = Vp2 + ^2; p = \/(ж - ж0)2 + (?/ - Ы2; P2 = \ x2
2 — fG{X) =
Коэффициенты отражения Rq,H и R^,h в выражении (9.20)
определяются по методике [6]. При численном интегрировании в
(9.20) предполагается возможность ограничения верхнего предела
в несобственных интегралах. Действительно, для подынтегральной
функции fG(X) имеем асимптотику о(1/А2). Л —> оо, что обеспечи-
вает сходимость несобственного интеграла. Представляет интерес
также элемент тензора dg/dz. Указанный элемент удобно предста-
вить при z = 0 в виде
gff(B)
dz
z=0
fg(X)J0(Xp) dX,
(9.21)
где
Л (A) =
е2 -ei 1 + RqH) + Я1Н)(1 + R{0H})e~2^H2 A
£2 + ^1 1 — T/2
124
Глава 9
Tfy R^H} - Д^н)(1 + й<н)е~2та^2 П2 R^> - <>(1 + д‘Е)е~2”2я2
А 1 - R[H)R{0H)e-2’i2H2 ' л 1 - Д,<Е)я‘Е)е-2Ч2»2
Ядро уравнения имеет слабую особенность, что определяет ин-
тегральное уравнение как интегральное уравнение Фредгольма пер-
вого рода.
Используем представление для тока вибратора
где /(ж) — полный ток вибратора. Тогда с учетом (9.16) можно
получить из (9.19) одномерное интегральное уравнение для тока I
х, жо) dxQ
— —i—UJo^kb) sin к\х\ + C’i sinA:# + С2 cos кх,
(9.22)
где W = у/к = cjy/ejr, Jq — функция Бесселя; G(x,xq) — ядро
сложной структуры.
Для численного решения интегрального уравнения (9.22) наибо-
лее приспособлен метод саморегуляризации, который состоит в вы-
делении особенности ядра в явном виде, локальной интерполяции
искомого решения, дискретизации уравнения методом коллокаций и
сведении уравнения к хорошо обусловленной системе линейных ал-
гебраических уравнений для значений тока в узлах дискретизации.
При этом параметром регуляризации является шаг дискретизации.
Наиболее экономичный алгоритм численного решения интегрально-
го уравнения (9.22) предполагает кусочно-квадратичную аппрокси-
мацию тока вибратора Т(жо) на шаге дискретизации, что позволяет
проводить расчет довольно протяженных микрополосковых струк-
тур.
Проведем редукцию интегрального уравнения (9.22) к системе
линейных алгебраических уравнений, используя равномерное разби-
ение отрезка интегрирования на N частей с шагом h = 2L/N. В ре-
зультате получим сетку переменных (xi,Xj) таких, что xq = {xi —
= (г - 1)Д - L}, х0 = {xj = (j - l)h - L}, i,j = 1,2,..., TV + 1.
В узлах сетки {xi,Xj}, i,j = 1,2,...Д + 1, имеем систему линейных
алгебраических уравнений
N+1
1=1
2tvU
~W~
Jo(b) sin |ж7 |,
j = l,2,...,W + l,
Теория микрополосковых антенн
125
где
7 = 2,4,...,tv;
‘ (ж0 - Жг+1)(ж0 - Xi+2)G(Xj,Xo)dXo +
xi-2
fxi+2
f (xo - xi+1)(xo - Xi+2)G(Xj,Xo)dxO,
j = 3,5,...,N-l;
— COS Xj,
< — sin Xj,
j = l; j = l,2,...,N + l;
i = N + l-j = 1,2, ...,W + 1.
При этом коэффициенты Ci, C2 в (9.22) определяются из допол-
нительных условий, выражающих равенство пулю тока на концах
вибратора.
Процедура вычисления диагональных элементов состоит в «вы-
резании» особенности ядра на промежутке Джо < 0,3 и интегриро-
вании ее в явном виде. На остальных частях отрезка 2h интегриро-
вание проводится по квадратурной формуле Гаусса с двумя узлами.
Последняя используется также для вычисления других элементов
системы линейных алгебраических уравнений. Допустимые значе-
ния шага дискретизации при относительной погрешности тока, не
превышающей 5 %, составляют h < 0,105А.
Характеристики вибраторных структур можно изменять, если
представить их набором фрагментов линейных ленточных проводни-
ков, а также использовать сосредоточенные элементы в виде чипов,
представляющих нагрузки, включенные в плечи вибраторов. Изме-
няя положение фрагментов и значения включенных нагрузок, изме-
няем электрическую длину вибратора и, следовательно, его входной
импеданс.
Влияние двухслойной слоистой среды па изменение электричес-
кой длины вибратора показано па рис. 9.2.
Подключение сосредоточенных нагрузок в плечи вибратора осу-
ществляется либо непосредственно, либо в виде навесных элементов.
В этом случае граничное условие (9.17) следует рассматривать в виде
м
(Е + Е°х°) = 1(ж) ^т£(ж - жт),
тп—\
где ZTO, т — 1,..., 7И, — сосредоточенные импедансы, включенные в
вибраторную структуру; хт — координаты включений; 6(х — жт) —
дельта-функция. Тогда интегральное уравнение (9.19) принимает
126
Глава 9
а)
Рис. 9.2. Изменение входного импеданса вибратора: а — Е] = 3,25; £2 — 3,25;
б— £1 = 6,0; Е2 = 3,25
б)
ВИД
J dxo —
—i—UJofb) sin |ж| + Ci sin a? + C2 cos x —
m=l
Слоистая структура (см. рис. 9.1) может поддерживать поверх-
ностные волны как типа ТМ, так и типа ТЕ в направлении их рас-
пространения вдоль структуры. Поле поверхностных волн как след-
ствие его локального распределения вблизи поддерживающей по-
верхности можно рассматривать как реактивное поле микрополос-
ковой антенны (МПА), а слоистую структуру как накопитель ре-
активной энергии. Поэтому с учетом диапазонных свойств МПА
необходимо принять меры, препятствующие возникновению поверх-
ностных волн. Это относится к выбору толщины и диэлектрической
проницаемости слоев слоистой среды и использованию дополнитель-
ных «сторонних» структур в виде нагруженных экранов, которые пе
поддерживают поверхностные волны.
9.4. Микрополосковые спиральные антенны
Плоские микрополосковые спирали используются в диапазоне
частот от 0,2 до 18 ГГц. Для частот более 2 ГГц их изготавливают
по технологии гибридных интегральных схем СВЧ, что позволяет
миниатюризировать антенны и унифицировать их основные узлы.
Достоинства микрополосковых спиралей и антенных решеток из
них: малые габаритные размеры; малая масса; небольшая стоимость
при высокой точности изготовления и воспроизводимости характе-
ристик.
Теория микрополосковых антенн
127
Конструктивные особенности микрополосковых спиралей: сло-
истая среда, представляющая, в частности, подложку и укрытие ан-
тенны, а также топология ленточной структуры и условия ее воз-
буждения, реализуемые с помощью коаксиальных или микрополос-
ковых линий и переходов.
Для получения одностороннего излучения спирали размещают
в резонаторе или над экраном. Обычно микрополосковые спирали
имеют две ветви, которые возбуждаются линией передачи, совме-
щенной, как правило, с согласующимся устройством. Различаются
они законом, задающим спираль на диэлектрической подложке, кон-
струкцией резонатора и согласующего устройства.
Широкое распространение получили логарифмические (равноу-
гольные) и архимедовы спирали, а также их комбинации.
Логарифмическая спираль по своим диапазонным свойствам
приближается к взаимно дополняющим структурам, однако имеет
сравнительно большие размеры, необходимые для стабилизации па-
раметров в диапазоне частот.
Архимедова спираль проще по топологии и отличается более
плотной намоткой на ее концах. Хорошим приближением к архиме-
довой спирали служит полукольцевая спираль, состоящая из набора
полуколец разного размера, имеющая наиболее простую топологию.
В зависимости от способа возбуждения спираль может работать
в режиме осевого и ненаправленного излучения.
Режим осевого излучения — основной, он возникает при про-
тивофазном возбуждении ветвей спирали, причем главный лепесток
ДН ориентирован по нормали к плоской спирали.
Режим ненаправленного излучения с воронкообразной ДН воз-
никает при синфазном возбуждении ветвей спирали.
Излучение в архимедовой спирали достигается следующим об-
разом. Существующие в плечах спирали токи распространяются
по виткам вплоть до излучающей кольцевой области и оказываются
в смежных элементах синфазными. Излучение происходит во всех
кольцах, средний периметр которых составляет почетное число длин
волн. За пределами основного излучающего кольца с периметром,
равным рабочей длине волны Л, дополнительные кольцевые области
излучают лишь малую часть энергии. При изменении длины волны
основное кольцо перемещается по спирали так, что сохраняется его
электрическая длина. Следствием этого является независимость ДН
спирали от частоты. Создаваемое спиралью поле с круговой поляри-
зацией имеет направление вращения, совпадающее с направлением
намотки спирали.
128
Г л а в a 9
Рис. 9.3. Геометрия микрополосковой двухзаходной спирали
Аналогично происходит излучение в логарифмической спирали
при достаточно плотной намотке ее витков.
Однако существующие в плечах спирали токи распространяют-
ся навстречу токам, возбужденным на ее входе, возникающим в ре-
зультате отражения волн тока от концов спирали, влияния экрана
и нарушения симметрии при ее возбуждении. Эти токи излучают
поле с направлением вращения, противоположным основному, и яв-
ляются нежелательными. В результате поле спирали имеет эллипти-
ческую поляризацию и ДН с нарушением симметрии относительно
направления нормали к плоскости спирали.
Плоские спирали обладают двух- и более кратным перекрытием
по рабочему диапазону волн. Причем нижняя граничная длина вол-
ны Ан определяется максимальным диаметром спирали, а верхняя
Ав — устройством возбуждения и входа спирали.
Параметрами плоской спирали (рис. 9.3) является топология ее
ветвей, угол намотки ф (шаг спирали t), число витков А, а также
радиус спирали RCTl (диаметр Dcn), ширина ленточного проводника
2d и размер щели па входе 2Ь.
Архимедова спираль. Для двухзаходной архимедовой спи-
рали существуют соотношения
П (</?) = а<р + Ь; г2 (</>) = а (</? + тг) + b; tg^ = т(<р)/а;
t = 2тгщ Rcn — b + 2Атгп,
где а,Ь — параметры спирали (при </? —> оо угол ф —> 90°, а спираль
приближается к окружности).
Длина дуги спирали между точками, определяемыми на ветви
Теория микрополосковых антенн
129
углами и 992,
1
Для ленточного проводника спирали выполняется условие 4d < t.
Логарифмическая спираль. Соотношения для двухзаходной
логарифмической спирали имеют вид
г 1(9?) = Ьехр(щ?);
г2(</?) = &ехр[а(у? + тг)];
tgV> = 1/а;
t — т(99)[ехр(2тга) — 1];
Ren = Ьехр(27Утга),
Длина дуги спирали I = (л/1 + а2/а)г(9?)|^2.
Размер ленточного проводника выбирается из условия 4d < t =
= 6[ехр(2тга) — 1].
Численный анализ микрополосковой спирали основан на выводе
интегрального уравнения для его тока эквиугольной спирали, гео-
метрия которой характеризуется постоянной кривизной, и основан
па интегральном уравнении (9.11)
где £ — образующая спирали; W = yjpoje] U — разность потенци-
алов на входе спирали.
Используя понятие полного тока спирали 1(1), в приближении
узкой ленточной структуры получим интегральное уравнение Фред-
гольма 1-го рода для полного тока спирали. Ядро интегрального
уравнения имеет вид
Go(p) +
dg(Ru)
dz
dg(Ru)
sin\l — u\du —
Gq(pu)
sign(/ - u) cos(Z — u) du. (9.24)
К(р) = (S°,S°0)
где p(M, Mo) = y/r^(M) + 7q(M) — 2r(M)r0(M) cos(</2 — R =
— л/p2 + (z — zq)2; hi = a/y/l + a2 — коэффициент Ламе; Sq,Sq —
единичные векторы, касательные к образующей С в точках наблю-
дения М и истока Мд; величины R и р выражаются через длину
дуги I как параметр.
При выводе интегрального уравнения (9.23) принята квазиста-
тическая модель возбуждения спирали (см. разд. 9.3).
Элементы Go и dg[dz, входящие в ядро (9.24), определяются
как элементы тензора Грина плоской слоистой среды [6]. Для сло-
истой среды в виде диэлектрического слоя как подложки спирали с
130
Глава 9
укрытием, расположенным над экраном и моделирующим полость
резонатора, указанные элементы имеют вид, как в разд. 9.3.
Для численного решения интегрального уравнения (9.23) с яд-
ром (9.24), имеющим логарифмическую особенность, наиболее при-
способлен метод саморегуляризации, состоящий в выделении особен-
ности ядра, локальной интерполяции искомого решения и сведении
уравнения в выбранном наборе точек коллокаций к СЛАУ, числен-
ное решение которого устойчиво. Для тока протяженной микропо-
лосковой структуры спирали представляется удобным использовать
квадратичную аппроксимацию на шаге дискретизации уравнения.
Введем разбиение длины спирали 2L на N частей с шагом h —
= 2L/N. На отрезке 2h применим интерполяцию с тремя узлами,
что предполагает квадратичную аппроксимацию искомого тока
I(M — Ii-1
(Z() — — li+1)
2h2
+ Ii+1
(Iq — — li)
2h2
В узловых точках таких, как Zq = {k — G — 1)^ — L},
I = {lj = (j — l)h — L}, 2,7 = 1,2,..., N + 1, имеем СЛАУ
где
— lij-2)к(lj, Zq) dlo +
J г
0 )К(1},1о)Мо
г
— COS lj
— sinZ,-
Вычисление элементов Aij матрицы СЛАУ проводится по квад-
ратурной формуле Гаусса с тремя узлами на отрезке интегрирова-
ния. Метод саморегуляризации предполагает преобладание диаго-
нальных элементов матрицы, что обеспечивает устойчивое решение
СЛАУ. Преобладание диагональных элементов обусловлено особен-
ностью ядра (9.24). Процедура вычисления диагональных элементов
Теория микрополосковых антенн
131
Рис. 9.4. Графики распре-
деления тока по проводнику
плеча эквиугольной спирали
состоит в «вырезании» особенности ядра на достаточно малом про-
межутке AZ < 0,3 и интегрировании ее в явном виде. На остальных
частях отрезка 2h интегрирование проводится по указанной квадра-
турной формуле. Численный эксперимент показывает, что шаг дис-
кретизации h может достигать величины h < 0,9 при относительной
погрешности вычисления тока в несколько процентов. Это позволя-
ет существенно уменьшить порядок решаемой СЛАУ для протяжен-
ных проводников спирали.
Решение СЛАУ (см. разд. 3.2, 3.3) позволяет определить рас-
пределение тока микрополосковой спирали и затем найти такие ее
характеристики, как входной импеданс и поле излучения.
Как пример численной реали-
зации алгоритма иа рис. 9.4 при-
ведено амплитудное распределение
тока 1(1) по проводнику плеча эк-
виуголыюй спирали.
Спираль с размерами L = 2,9А,
b = 0,05А, 2d = 0,08А и парамет-
ром кривизны a = 0,1 расположе-
на на диэлектрической подложке с
толщиной Hi = 0,05А и параметра-
ми si = 1,01; 2,56; 9,9.
Отметим наличие пика тока вблизи конца проводника спира-
ли, что находит экспериментальное подтверждение для спиралей с
достаточно плотной намоткой. Указанный пик тока соответствует
кольцевой области на спирали, обеспечивая ее основное излучение.
Другую часть спирали вне кольцевой области можно рассмат-
ривать как линию питания для излучающего кольца. Увеличение
диэлектрической проницаемости подложки Ei и ее толщины Hi при-
ближает распределение тока на этой части проводника спирали к
распределению тока в режиме бегущей волны и уменьшает отраже-
ние волны тока от конца спирали.
Определим поле излучения и ДН микрополосковой спирали.
Поле эквиугольной спирали в ортогональной криволинейной сис-
теме координат (s, v, z) с коэффициентами Ламе hi — a/y/\ + а2,
h2 = l/x/lW для элементов длины di — hids, dt — h2dv будем
характеризовать векторным потенциалом А = (As,AV,AZ).
Используем соотношения для поля спирали в дальней зоне
Eq = — ikWAe’, — —ikWA^,
где Ае = h2 cos0Av + hi cos6As — Az sin$; A^ = hiAv — h2As.
132
Глава 9
-2000 -
Рис. 9.5. Диаграммы направленности (а) и графики изменения входного
импеданса эквиугольной спирали для слоистой среды с £i = £2 — 3,8 (6) и
£1 = £2 — 6,0 (в) с экраном в частотном диапазоне
Из этих соотношений, вычисляя компоненты потенциала As, Av,
Az для токов спирали 1(1) в приближении дальней зоны, можно по-
лучить для составляющих поля излучения спирали:
Eo — cosO I I(Iq) ехр[—i(hilo + 6)(s°, s$) sin#]x
x {(fo(A)cos0[/zi(sO,So) - Mv°,so) - ^i(A)(s°,So)sin^]}d/o;
E^^cosO J I(Zo)exp[-i(/i1Zo + 0(s°,SQ)sin0]^o(A)[/ii(v°,So)rfZo,
(9.25)
где A = sin#: (v°, Sq), (s", Sq) — скалярные произведения единичных
векторов; Е — образующая спирали.
Составляющие поля излучения Ее,Еу спиральной антенны,
определяемые из (9.25) позволяют вычислить ДН антенны но ука-
занным составляющим и как производную характеристику — коэф-
фициент направленного действия (КНД) антенны, а также коэффи-
циент эллиптичности к3 поля антенны.
Поляризационные свойства поля излучения антенны определя-
ются следующим образом.
Вычисляя из (9.25) составляющие Ее — |^|ехр(гф), Е^ =
= \Еу>\ ехр(г^2); 6 = д'2 — Ф и значения элементов So = |^|2 + l-E^I2,
Si = |ЕД2 - |2?0|2, S2 = |£tf| \EV\cosd, 53 = |^| |ЕД sin д’, можно
Теория микрополосковых антенн
133
найти коэффициент эллиптичности кэ — tg[0,5 arcsin(<S'3/So)] и угол
наклона поляризационного эллипса ¥ = 0,5 arctg(£*2/5'1)1 •
Как пример, ниже приведены результаты исследования двухза-
ходпой микрополосковой эквиугольной спирали. Численный анализ
спирали проводится на основе интегрального уравнения (9.23) с яд-
ром (9.24). Эквиугольная спираль с параметрами a = 0,01, b = 0,13А
и размером ленточного проводника d = 0,01 Л расположена в сло-
истой среде (см. рис. 9.1) с параметрами Но = 0,13А, = 0,03А,
Н2 = 0,03А, £1 = £2 для значений £1 = 3,8 и 6.
На рис. 9.5 приведено изменение ДН спирали (Е#) па трех час-
тотах частотного диапазона /о, 5/о? 9/о п изменение входного им-
педанса Z спирали в этом диапазоне. Использование нагруженно-
го экрана приводит к более равномерному изменению входного им-
педанса в частотном диапазоне. Нагруженный экран предполагает
использование дополнительной слоистой структуры или какой-либо
нагруженной структуры для реализации величины Zs в смысле сто-
роннего импедансного граничного условия.
9.5. Микрополосковая антенна резонаторного типа
Представим данную антенну в виде резонатора с диэлектриком
[5], обладающим потерями, возникающими как вследствие излуче-
ния, так и вследствие потерь в самом диэлектрике.
Структура поля в резонаторе определяется геометрией антен-
ны (формой излучателя, высотой), ее возбуждением (включением
стороннего источника) и параметрами диэлектрика и металла.
Так как высота резонатора h
мала по сравнению с длиной вол-
ны, поле в основном концентриру-
ется в резонаторе. В связи с этим
задача может быть решена, если за-
менить боковую поверхность резо-
натора идеальным магнитным про-
водником «рис. 9.6), где касатель-
ная составляющая магнитного поля
равна нулю (Н/ = 0). Также ну-
лю должна быть равна нормальная
составляющая электрического поля
(Еп = 0). На металлических по-
верхностях, которыми являются
Рис. 9.6. Прямоугольная МПА
торцы резонатора, должны исчезать аналогично составляющие Н71
и Et, т. с. граничные условия имеют следующий вид:
(Н,г) = 0;
[£, z] = 0;
(9.26)
134
Глава 9
и на боковой стенке
(Е,п) = 0;
(9.27)
Условие (9.27) тем точнее, чем меньше высота резонатора h. Так
как высота мала, можно считать, что в полости резонатора
(9.28)
При данных упрощениях структура поля па резонаторе анало-
гична структуре поля на критической частоте ТЕ-волны в металли-
ческом волноводе, равного с резонатором поперечного сечения.
При определении полей во внешнем полупространстве для МПА
используется модель в виде щели различной формы, прорезанной в
бесконечном экране. Распределение поля находится в результате ре-
шения внутренней задачи — нахождения структуры поля в резона-
торе. Для этого воспользуемся понятием магнитного тока, протека-
ющего вдоль щели известной ширины. Плотность данного фиктив-
ного поверхностного тока определяется касательной составляющей
вектора Е в щели:
м
(9.29)
где пА — единичная внешняя нормаль к поверхности щели. В этом
случае поверхностный магнитный ток равен
Iм = = пА].
(9.30)
Фактически получилось, что этот поверхностный ток представ-
ляет собой напряжение между краями щели. Для МПА, как следует
из (9.28), Et — ZqEz, поэтому
Iм = dEz[z0,nA].
(9.31)
где zo — единичный координатный вектор.
Для МПА, изображенной па рис. 9.7, при расчетах полагалось,
что излучатель возбуждается в точке соединения линии с пластиной
с помощью генератора с ЭД С е, включенного между пластиной и
экраном. Ограничиваясь приближенными граничными условиями
(9.27), получим выражения для компонент поля внутри резонатора:
1 П7Г £
--------cos
kQZQ b d
1 ттг е .
-——------- sm
/со Zo cl d
Теория микрополосковых антенн
135
Резонансные частоты приближенно можно определить соотно-
шением
/о =
1
2^/до^о^г
m, п = 0,1,2,....
(9.32)
Целые числа тип показывают, сколько полуволн укладывается на
резонансе вдоль соответствующей щели резонатора.
Наибольший интерес представляет низший тип воли, когда т =
О и п = 1. Тогда из (9.32) можно найти распределение напряжения
магнитного тока вдоль щели:
U(y) = Iм (у) = с cos —,
о
х = 0, а-, 0 у Ь;
U(x) — Iм (ж) = £,
у — 0,6; О С х а,
т. е. при возбуждении антенны около щели на низшей резонансной
частоте напряжение распределяется по косинусоидальному закону с
пучностями па краях щелей и нулем в середине. Выражение опре-
деляет резонансный размер антенны для заданной частоты: длина
стороны пластины должна быть равна половине длины волны в ди-
электрике.
Так как на противоположных стенках резонатора поле Е имеет
разное направление, то, используя выражение (9.31), находим, что
магнитные токи в щелях совпадают по направлению:
4м (у = о) = 4м (у = ь),
в то время как в щелях, параллельных другим краям, токи меняют
правления, образуя при этом два противофазных участка.
Данная модель с магнит-
ными стенками является при-
ближенной, не учитывающей
ряд факторов. Поле в резо-
наторе имеет более сложный
вид, особенно около щелей
(рис. 9.7), что математически
описывается с помощью бес-
конечных рядов гармоник.
Рис. 9.7. Поле вблизи щелей
Формула (9.32) не учитывает влияния ширины антенны а на ре-
зонансную частоту. Для уточнения необходимо использовать слож-
ные эффективные диэлектрические проницаемости для МПА шири-
ной а и Ь. В этом случае резонансная частота определяется следу-
136
Глава 9
ющим образом:
рез
\/^эф(^)^эф(0 1 ~Т Д
(9.33)
где
0,164(гг - 1)
0,758 + In
£эф(м)
ние. 9.8. Вид резонансной
частоты (6 — 60 мм; ег = 2,02)
На рис. 9.8 показаны результаты
расчета fpe3 по формуле (9.32), когда
/рез = /о, а также результаты измере-
ний резонаторной частоты. Из рис. 9.8
видно, что при небольшой ширине из-
лучателя расчет по формуле (9.32) да-
ет неплохое совпадение с эксперимен-
том. Однако при увеличении а дейст-
вительная резонансная частота пада-
ет, что не отражается формулой (9.32).
В этом случае более приемлемые ре-
зультаты получаются с использовани-
ем формулы (9.33).
Рассмотрев картину распределе-
ния магнитного тока вдоль щели излу-
чателя, можно сделать вывод: излуче-
ние щелей, параллельных оси ОУ, ока-
зывается незначительным из-за противофазных участков магнитно-
го тока на каждой щели: созданное ими поле равно нулю в плоскос-
тях (/? = 0и</? = 7г/2 из-за полной компенсации излучения.
Компоненты поля в произвольном направлении, создаваемые
МПА, найдем посредством интегрирования распределения тока
(9.31):
e-jfcQrO
2Aotq
foa . n .
—— cos 99 sin и I cos
( . koa
exp 7 —
cos 99 sin в I exp [ j
kob
(9.34)
(ко cos 99 sin 0)2
(ко sine/?sin0)2
Теория микрополосковых антенн
137
e~jforo ,
JWTexp<
koa .
—- cos p sm #
Ло« . Л ( .
I —— cos p sin # exp I j
cos р sin 6
cos
k0 b
•2
[(^osin#)2 (ко siny?sin#)2 — (тг/Ь)2
В двух основных плоскостях р = тг/2 (£?-плоскость) и
(77-плоскость) структура поля упрощается:
/ 7г\ е—-^о го
/ 7ГХ
Е.п \<р = - =0
л (-к° • /Л
4га exp I j — sm # I cos
sin# ;
Ее (р = 0) = 0;
e-jfcoro
i —-----4еа exp
2 Ao r0
sin#
cos#----
ко a
sin#
(9.37)
Формулы (9.36) и (9.37) описывают поле излучения решетки
двух линейных источников (щелей длиной а) с равномерным рас-
пределением магнитного тока, разнесенных на расстояние 5; множи-
sin#
тель cos
kob
• /А (-к°
sm# I exp I j —
является множителем решетки,
записанным с учетом фазы, остальные множители описывают ха-
рактеристику направленности щели в соответствующей плоскости.
Влияние толщины подложки можно учесть при введении в формулы
для компонент поля множителя cos(koy/E^dcosO), получающегося в
предположении, что магнитный ток протекает в диэлектрике па вы-
соте d над экраном (т. е. в результате сложения полей от тока и его
изображения).
Типичные ДН приведены па рис. 9.9. В ^-плоскости диаграмма
близка к неправильной, а в 77-плоскости определятся множителем
cos#. КНД антенны в направлении # = 0 в зависимости от ее ши-
рины а при ег = 2,5; b = 0,316Ао = 0,5Ад, полученный в результате
численного интегрирования, представлен на рис. 9.10. Если предпо-
ложить, что структура поля в резонаторе не меняется, КНД моно-
тонно растет с увеличением ширины МПА.
Для расчета входного сопротивления Z& (входной проводимос-
ти прямоугольной МПА) используем эквивалентную схему в виде
138
Глава 9
Рис. 9.9. Вид ДН МПА для анализируемой модели: a - Е-плоскость (</? = тг/2);
6 — //-плоскость {ср — 0)
двух комплексных нагрузок, равных проводимостям Y = G + j/3
щелей длиной а, соединенных полосковой линией Ь, волновым со-
противлением рА (ширина проводника линии а, толщина подложки
d), причем Za (или Ya) определяется в сечении линии, отстоящем на
расстоянии уо от нагрузки (уо — координата включения генератора
в антенну, рис. 9.11). Тогда резонатор антенны представляется как
отрезок линии передачи с низким волновым сопротивлением. Вход-
ная проводимость антенны вычисляется по формуле трансформации
проводимости Yh через отрезок линии длиной I с коэффициентом
распространения j/3:
1 YHPAYjkg^l
Ра 1 + 3PaYh^^
(9.38)
где Л — длина волны в линии; /3 = 2тг/А. В результате получаем
у = 1 Г РаУ + jtg(/fy0)
А РА [l+jpAYtg(J3y0)
PaY_ + J tg/3(6 — i/0)
1 +jpaY tg(3(b-y0)
Проводимость Y состоит из собственной проводимости щели Ущ
и взаимной проводимости Увз двух щелей, разнесенных на рассто-
яние Ь:
У = УЩ + УВЗ-
Проводимость излучения щели, образованной открытым концом
Рис. 9.10. График зависи-
мости КНД от ширины МПА
Рис. 9.11. Эквивалентная схема МПА
Теория микрополосковых антенн
139
полосковой линии и имеющей эффективную ширину аэф,
L<M,Si(fco<M>) - 2 sin2 - 1 + sin№o°-^
12Отг2 2 /соПэсь
где Si(a;) — интегральный синус,
получим следующие упрощенные
приближенные выражения:
(аЭф/Ар)2 п „г» .
gg О.Эф V,3OAq,
(аэф/^о)2 > р or- ч
ion азф U,35Ар-
1 ZU
Реактивная проводимость
щели Вщ обусловлена ее емкостью
и определяется по формуле
Для разных отношений аэф/Ар
Рис. 9.12. График для определения
1экв
Вщ
^экв
60 Ар / .у/йэф
где 1ЭКВ определяется из графиков, представленных на рис. 9.12. Ак-
тивную взаимную проводимость GB3 можно выразить интегралом
„ 1 Г 1 2Л • Злт /27rbsin6>A
120тг Jq cos2 6 \ A / \ Ao /
Величина интеграла мало зависит от ширины антенны а, и по-
этому GB3 может быть выражена по приближенной формуле через
Ощ:
GB3 ~ СтщеТр(/срб).
Реактивная часть взаимной проводимости мала, поэтому ею
можно пренебречь. В этом случае проводимость МПА
Y = Сщ + GB3 + jBm.
Антенна считается настроенной в резонанс, если ее входная про-
водимость является вещественной. По этому условию и выбирает-
ся длина Ь, которая оказывается незначительно меньше, чем рас-
считанная по формуле (9.33). Резонансное входное сопротивление
Rpe3 антенны при возбуждении с краю (уо = 0) лежит в пределах
100...200 Ом, уменьшается с увеличением ширины а и мало зависит
от толщины подложки.
При смещении точки питания в глубину резонатора сопротив-
ление Врез падает по закону
Rpe3 = Rpe3(y = 0) cos2 (тгуо/ty .
140
Глава 9
Может быть найдена такая точка уо, где обеспечивается согласо-
вание со стандартной нагрузкой в 50 или 70 Ом. При сдвиге точки
питания резонансная частота может изменяться, т. е. антенна рас-
страивается.
Рабочую полосу частот по заданной величине КБВ можно по-
лучить в виде
jo у к <5ег
Расширить полосу квадратной МПА можно, или увеличив вы-
соту, или уменьшив диэлектрическую проницаемость, при этом для
обеспечения резонанса длина стороны должна увеличиваться про-
порционально в yjr раз, т.е. величина A///pe3 прямо пропорцио-
нальна объему антенны.
9.6. Микрополосковая спираль в составе
фазированной антенной решетки
Рассматривается неограниченная периодическая решетка из
альных плоских полосковых спиралей [6]. Плечи спирали образу-
ют ленточные проводники Snp длиной 2L и шириной 2d. Геометрия
проводников характеризуется гладкой кривой Г и описывается ор-
тогональной криволинейной системой координат (s, z/) с элементами
длины dl = hids, dt = h?dv, где Лг ~ коэффициенты Ламе. Пред-
полагается, что kod 1, koL > 1, где ко = Ъъ/Х, X — длина волны.
Вход спирального излучателя представляется в виде щели с разме-
ром 2Ь, kob 1.
Пространственная ячейка решетки представлена на рис. 9.13.
В дальнейшем рассматривается плоская двухзаходная экви-
угольная спираль. Спираль расположена на границе слоистой сре-
ды, представляющей собой поперечное слоистое заполнение прост-
ранственной ячейки. Среда моделирует свойства подложек и укры-
тия спиралей и характеризуется параметрами е(^), /zq. Среда может
содержать в качестве граничного слоя экран с поверхностным им-
педансом Zs.
Входы спиралей совмещены с узлами прямоугольной сетки ре-
шетки с периодами Dx,Dy. При разности потенциалов на входе из-
лучателей в области щелей устанавливается некоторое первичное по-
ле. Излучатели решетки возбуждаются с одинаковой амплитудой и
линейным набегом фазы. Фаза излучателя с номером (ш, п) опре-
деляется как 'фтп — тп'фх + п'фу, где 'фх^'Фу — управляющие фазы.
Теория микрополосковых антенн
141
Рис. 9.13. Пространственная ячейка решетки с полосковым спиральным
излучателем
Последние связаны с направлением волнового вектора ко, характе-
ризующего направление (0, <р) основного излучения решетки:
'фх = koDx sin 0 cos ip\ фу = koDy sin 0 sin tp.
При указанном возбуждении для поля решетки выполняются
условия почти периодичности (условия Флоке), так что его доста-
точно рассмотреть в пределах пространственной ячейки решетки
(канала Флоке).
Поле (Е, Н) микрополоскового спирального элемента решетки
в канале Флоке с током Js(Mq)> Mq G S'np, выразим при помощи
векторного потенциала А.
По аналогии с фундаментальным решением для векторного по-
тенциала в однородной среде, представим
А(М) = В// JS(Afo)G(M,Mo)],d5Mo,
<5пр
где G(M,Mq) — тензор Грина канала Флоке. Тогда векторы поля
определяются из соотношений:
Н=— rot А; Е = — геи А +
(9.39)
-у— grad | ту— div А
\e(z)
(9.40)
142
Глава 9
где е(г) = е(г) — ia(z)/co, е; <т, /Д) — параметры среды. Тензор Грина
в (9.39) представляется в матричной форме.
Элементы тензора зависят от координат точек М±_ и М]_ попе-
речного сечения S± канала Флоке и точек z,zq. Произвольный эле-
мент тензора Ga можно представить разложением в ряд по полной
системе функций в сечении S± и указать свойства этого разложе-
ния. Указанное разложение получим, определяя систему функций
{ОДЕ1 как решение задачи на собственные значения для операто-
ра Лапласа в сечении S±, которое удовлетворяет условиям Флоке с
параметрами фх^Фу- Разложение имеет вид
Ga(M,M0) =
1
Dx Dy Ъ'УтпПП
где
Umnix, y)Dmn (жо, ^o)Gmn(Amn,
г, г0), (9.41)
ОДп(ж, у) = ехр (г(Атж + Xny))-, 7mn = у/к? - А^ - А£;
\ _7 । 2?гш. \ _7 27Ш. ь - 'ОД , _ Фу.
Ч- ? — ку + , кх — ч ку ,
Ux Uy Ux Uy
к = hnn = А^ + X2n, m,n = 0, ±1,±2,....
Система функций где I — индекс, объединяющий ин-
дексы (т, п), является полной ортонормированной системой, удов-
летворяющей на контуре сечения Sj_ условиям Флоке. Функция
Gi(Xi,z,zo) в (9.41) определяется как дискретный аналог соответ-
ствующего элемента тензора для параметра А = Xi.
Как следствие выбора элементов тензора, поле из (9.40) удов-
летворяет всем условиям задачи, исключая условие на проводнике
5Пр спирали и условия на его ребре. Эти условия выполняются далее
при выводе интегрального уравнения для тока спирали и констру-
ирования его решения.
Представим, что в полосковую структуру включены сосредото-
ченные импедансы Zm, т = 1,2,... ,М. С учетом этих включений
потребуем выполнения граничного условия па указанном проводни-
ке Snp в виде
м
(Е + Е°, s°)r = 1(1) ZmS(l - lm), (9.42)
т—1
где 1(1) — полный ток полосковой структуры спирали; s° — еди-
ничный вектор, касательный линии Г; 1т — координаты включений;
6(1 — 1т) — дельта-функция; Е° — первичное поле.
Теория микрополосковых антенн
143
Подстановка (9.39), (9.40) в граничное условие (9.42) приводит
к интегро-дифференциальному уравнению относительно тока спи-
рали. Проведем обращение уравнения для кривых постоянной кри-
визны и получим интегральное уравнение
/> г п
11 Мо) daMl) + +г— £ ZmI(lm) =
q m=l
^пр
2тг Г
= — i— / (E°,s°)sin|Z — Zo|dZo + cisinZ + С2cosZ, (9.43)
И/ Jr
где M 6 Г; Mq G <$пр‘, VT = у/До/&2.
Ядро К(М, Mq) содержит элементы тензора Грина и имеет вид
К(М, Мо) = (s°, sg) [g0(M, Mo) + 99(A<M),z) _
oz
~ I / (sg, sg)M"'Z) sin du - QOCT(t2'), i->0. (9.44)
2 Jp oz
Элементы Go(M, Mo) и , входящие в ядро (9.44),
при М -> Mq имеют особенность, порядок которой равен о(1/рмм0),
PmMq —> 0.
Эта особенность ядра определяет уравнение (9.43) как интег-
ральное уравнение Фредгольма первого рода для тока Js (Mq). Выде-
ление указанной особенности в явном виде в представлениях элемен-
/пл- лл- \ 9g(Mu,MQ,z)
тов Go(AZ, Mq) и-----—-------позволяет улучшить сходимость раз-
ложений в представлениях элементов вне точки особенности (М £
Mq) и приводит к построению устойчивого алгоритма численного
решения интегрального уравнения на основе принципа саморегуля-
ции.
Используем представление поверхностного тока Js(Mq), Mq G
G Snp, как в [6], и перейдем в (9.43) к одномерному интегральному
уравнению для полного тока 1(1) полосковой структуры 5пр- В ре-
зультате получим
Г Эя М
/ I(lQ)K(l,l0)dlQ + г— V ZmI(lm) =
Jr W
=[(E°,s°) sin|Z — Zo| cZZo + ci sinZ + C2CosZ. (9.45)
W Jr
Обозначим размер Д = max(2d, h), где h — достаточно малый
размер, определяемый далее как шаг дискретизации при решении
интегрального уравнения. Ядро уравнения в области р(М, Mq) < Д
144
Глава 9
с учетом выделенной особенности имеет вид
К(1,10) = -А^у^= + +—^5- 52 52 { ехр(г(Атж + Ап?/))
тг V>2 + d2 DxDy I
x(s°,sg) (Gol^~^~T
\ OZ Al
4А
ехр(—г(Ата?0 + Ап?/о)) + —gi(Xi,h,d) -
Xi
(9.46)
где а = d/y/~j% + d2; F(7г/2, се) — полный эллиптический интеграл
1-го рода; ро — расстояние между точками М, Mq 6 Г; rc(Z), у(1),
жо(/о)5 У о Go) — координаты точек в зависимости от длины дуги как
параметра; 5m(Z, и) = sin \l — w| ехр[г(Атж(ад) + Апт/(ад))], gi(Ai, h, d) —
специальная функция; А — коэффициент, связанный с особенностью
поля точечного источника на границе раздела сред. Для рассмат-
риваемой среды А = 2е2/(^1 + £2)- Для области р(М, Мо) > 0, где
ядро регулярно, имеем
АГ(Мо) = 52 ^^^(Хт(х-х0)-\-Хп(у-у0))х
' !1
х ((s°,s“) [goi + If] - /(s°,sS)SUWd4 • (9.47)
[ oz j z oz
Jr J
Для численного решения уравнения (9.45) наиболее приспособ-
лен метод саморегуляции, который при дискретизации уравнения в
выбранном наборе точек коллокаций приводит к устойчивой систе-
ме линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для искомого тока
излучателя. Для представления последнего используется квадра-
тичная интерполяция. Вычисление элементов матрицы СЛАУ про-
водится по квадратурной формуле Гаусса. Преобразование диаго-
нальных элементов матрицы СЛАУ обусловлено особенностью ядра
(9.46). Процедура вычисления диагональных элементов состоит в
«вырезании» особенности ядра на достаточно малом промежутке и
интегрировании ее в явном виде. На остальных частях отрезка при
интегрировании используется указанная квадратурная формула.
Вычислив ток спирального излучателя из решения СЛАУ для
каждого угла сканирования (#, <р) можно определить характеристи-
ки ФАР. Входное сопротивление определяется как ZBX = U/Iq, где
U, Iq — разность потенциалов и ток па входе излучателя. Для со-
ставляющих поля излучения пространственной ячейки с током 1(1)
спирального излучателя можно получить выражения:
W CL
Eo)(p=ik— / I(l0)Fei(pexp [ik((h-il0 + r0)(s°, s£) sin#)] dlo,
Теория микрополосковых антенн
145
где
Fe = cos0[foi(s°,so) - ^2(vo,SQ)]/G(0)cos0 + z(so,So)/^0)sin0;
Fp = [7ii(v°,sg) + ft2(s°,So)]/G(0) cos0;
hi, h? —- коэффициенты Ламе кривой Г спирали; fc(6), fg(@) — функ-
ции, учитывающие свойства слоистого заполнения ячейки Флоке.
Интерес представляет парциальная диаграмма направленности
(ДН) спирального излучателя, которая определяется полем излуче-
ния ячейки решетки в режиме «свободного возбуждения», т. е. при
возбуждении излучателя падающей волной в фидерной линии с ТРф
при сохранении амплитудных и фазовых соотношений для излучате-
лей ФАР. Тогда для заданного значения ZBX парциальная ДН опре-
деляется как Ед^ = £?0)(po2ZBX/(ZBX + Иф). Для известных состав-
ляющих Ее^ определяются усиление и характеристики поля враща-
ющейся поляризации, в частности коэффициент эллиптичности к3,
В качестве излучателя решетки выбрана двухзаходная эквиу-
гольная микрополосковая спираль. Для исследования выбраны раз-
меры спирали го = 0,8; b = 0,01; d — 0,01 при четырех витках спи-
рали и размеры периода решетки Dx = Dy = 2,1, где линейные
размеры нормированы. Например, D — kD, где к — 2тг/Х', D — ли-
нейный размер. Слоистая среда с параметрами ei,s2 и размерами
Hi = Н2 = 0,2 расположена над экраном Н = 0,8 с поверхност-
ным импедансом Zs. На концах спирали могут быть расположены
сосредоточенные нагрузки с импедансом Zp.
На рис. 9.14-9.16 для слоистой среды с параметрами si = е2 =
— 3,8 приведены характеристики спирали в составе ФАР, таких как
парциальная диаграмма направленности (Eq), коэффициент эллип-
тичности к3 и входной импеданс ZBX (кривые 1), в сравнении со
случаем нагруженной спирали с нагрузками на концах спирали с
Zp = J600 Ом и нагруженным экраном с Zs — 40 Ом (кривые 2)
при ci = е2 = 3,8.
146
Глава 9
Рис. 9.15. Графики зависимости коэффициента эллиптичности
Рис. 9.16. Графики изменений входного импеданса
Можно видеть, что использование нагруженных спиралей и на-
груженного экрана позволяет уменьшить размер Н расположения
экрана, увеличить кэ и изменить частотные свойства входного им-
педанса спирали. Нагруженный экран предполагает использование
дополнительной слоистой структуры или нагруженной структуры,
которая предполагает реализацию величины Zs в смысле стороннего
импедансного граничного условия. В парциальной диаграмме мож-
но отметить провалы конечной глубины, которые зависят от разме-
ров ячейки решетки и замедляющих свойств ее слоистой структуры.
Литература
1. Никольский В.В, Никольская Т.Н. Электродинамика и рас-
пространение радиоволн. — М.: Наука, 1989. — 544 с.
2. Хенл X., Мауэ П., Ветпфаль К. Теория дифракции. — М.:
Мир, 1964. - 428 с.
3. Марков Т.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных
волн. — М.-Л.: Энергия, 1967. — 376 с.
4. Дмитриев В.И., Захарова Е.В. Метод интегральных уравне-
ний в вычислительной электродинамике. — М.: Макс-Пресс, 2008. —
310 с.
5. Нечаев Ю.Б., Николаев В.И., Андреев Р.Н., Винокурова Н.Н.
Антенны, СВЧ-устройства и их технологии. — Воронеж: ОАО «Кон-
церн «Созвездие», 2007./— 631 с.
6. Чебышев В.В. Микрополосковые антенны в многослойных
средах. — М.: Радиотехника, 2007. — 160 с.
7. Гринев А.Ю. Численные методы решения прикладных задач
электродинамики. — М.: Радиотехника, 2012. — 336 с.
8. Давыдов А.Г., Пименов Ю.В. О возможностях новой версии
программного комплекса EDEM // Тезисы докладов и сообщений I
Международной НТК «Физика и технические приложения волновых
процессов», Самара, 10-16 сентября 2001, т. 1, с. 21-26.
9. Davydov A.G., Zakharov E.V., Pimenov Yu.V. Numerical analy-
sis of fields in the case of electromagnetic excitation of unclosed surfaces
// Journal of Communication Technology and Electromagnetics. 2000.
Vol. 45, Suppl. 2. P. 5247-5259.
10. Чебышев В.В. Вычислительная электродинамика для полос-
ковых структур в слоистых средах. — М: ПСТМ, 2013. — 127 с.
11. Митра Р. Вычислительные методы в электродинамике. —
М.: Мир, 1977. - 488 с.
Оглавление
Введение...................................... 3
Глава 1. Основные понятия электродинамики и теории
электромагнитного поля ............................ 7
1.1. Постановка электродинамической задачи возбужде-
ния. Единственность решения...................... 7
1.2. Электродинамические потенциалы для векторов по-
ля. Функция Грина и решение неоднородного волно-
вого уравнения .................................. 9
1.3. Постановка задачи возбуждения и основные соотно-
шения для поля в слоистой среде................. 11
1.4. Численные методы решения электродинамических
задач .......................................... 15
Глава 2. Проекционные методы решения электродина-
мических задач........................................ 20
2.1. Ортогональные системы функций и ортогональные
ряды......................................... 20
2.2. Метод моментов............................. 23
Глава 3. Метод конечных разностей.................... 29
3.1. Конечно-разностная аппроксимация........... 29
3.2. Конечно-разностная аппроксимация в некоторых за-
дачах .......................................... 31
3.3. Конечно-разностная аппроксимация для граничных
узлов .......................................... 33
3.4. Пример анализа СВЧ структур методом конечных
разностей ...................................... 36
Глава 4. Метод конечных элементов.................... 39
4.1. Дискретизация пространства и линейные интерполя-
ционные полиномы................................ 40
4.2. Решение одномерных задач методом конечных эле-
ментов ......................................... 44
4.3. Решение скалярного уравнения Гельмгольца мето-
дом КЭ.......................................... 46
4.4. Определение поля излучения по известным значени-
ям полей в ближней зоне......................... 50
Глава 5. Метод интегральных уравнений ............... 55
Оглавление
149
5.1. Функция Грина волнового уравнения.......... 55
5.2. Интегральные представления поля через функцию
Грина.......................................... 57
5.3. Общие сведения об интегральных уравнениях.. 59
5.4. Примеры интегральных уравнений для задач элек-
тродинамики ................................... 63
5.5. Пакет программ ЭДЭМ для численного анализа ан-
тенн .......................................... 66
Глава 6. Теоретические основы работы программы
MWO.................................................. 72
6.1. Формулировка электромагнитной задачи и описание
моделируемой структуры ........................ 73
6.2. Разбиение форм на ячейки. Метод моментов... 75
6.3. Алгоритм, формирование матрицы метода моментов 78
6.4. Численное решение матрицы моментов......... 82
Глава 7. Теоретические основы работы программы
HFSS................................................. 89
7.1. Дискретизация пространства. Вариационная форму-
лировка МКЭ.................................... 90
7.2. Базисные функции и интерполяционные формулы . 92
7.3. Вывод и решение СЛАУ.......................
Глава 8. Теория проволочных антенн....................
8.1. Математическая модель антенны для произвольного
провода....................................... 101
8.2. Интегральные уравнения для тока криволинейной
проволочной антенны........................... 103
8.3. Проекционные методы решения интегральных урав-
нений ........................................ 106
Глава 9. Теория микрополосковых антенн .............. 114
9.1. Математическая модель полосковой антенны в виде
планарной структуры............................
9.2. Алгоритмы численного решения интегро-дифферен-
циальных уравнений и интегральных уравнений 1-го
рода.......................................... 119
9.3. Микрополосковый вибратор на многослойной под-
ложке ........................................ 121
9.4. Микрополосковые спиральные антенны ....... 126
9.5. Микрополосковая антенна резонаторного типа. 133
9.6. Микрополосковая спираль в составе фазированной
антенной решетки ............................. 140
Литература.................................. 147
Адрес издательства в Интернет ПТТТГ. TECHBOOK.RU
Учебное издание
Чебышев Вадим Васильевич
Основы проектирования антенных систем
Учебное пособие
Редактор Ю. Н. Чернышов
Компьютерная верстка Ю. Н. Чернышова
Обложка художника В. В. Казюлина
Подписано в печать 09.04.2016. Печать офсетная. Формат 60x88/16. Уч. изд. л. 9,38.
Тираж 500 экз. (1-й завод 100 экз.) Изд. К5 160559
ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия - Телеком»
В. В. Чебышев
Основы проектирования
антенных систем
Изложены основы проектирования антенных систем. Даны
общие понятия электродинамики и теории электромагнитного поля
применительно к решению электродинамических задач теории
антенн. Рассмотрены основные численные методы решения, такие,
как проекционные методы, метод конечных разностей, метод
конечных элементов и метод интегральных уравнений. Изложены
основные теоретические сведения, необходимые для численного
анализа антенн с использованием пакетов прикладных программ
MWO, HFSS и ЭДЭМ. Рассмотрены основные положения теории
проволочных и микрополосковых антенн, имеющих широкое прак-
тическое применение для систем связи.
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки
«Инфокоммуникационные технологии и системы связи» (степени
«бакалавр» и «магистр»), будет полезно для магистров по направле-
нию подготовки «Радиотехника» по профилю «Радиотехнические
средства передачи, приема и обработки сигналов» и студентов
других радиотехнических специальностей.
Сайт издательства:
www.techbook.ru