ДЛЯ ФИЗИКОВ
Часть I
Воронеж 1997

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.И.КОНОНЕНКО, Л.А.МИНИН, Н.М.РАТИНЕР,
В.В.ВОЛОВИЧ, Д.Л.ДОРОФЕЕВ, В.В.МОРДВИНОВ, В.Е.ЧЕРНОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ДЛЯ ФИЗИКОВ
ЧАСТЫ
Учебное пособие
Воронеж 1997

В.И.КОНОНЕНКО, Л.А.МИНИН, Н.М.РАТИНЕР,
В.В.ВОЛОВИЧ, Д.Л.ДОРОФЕЕВ, В.В.МОРДВИНОВ, В.Е.ЧЕРНОВ.
Линейная алгебра для физиков. Часть I. Учебное пособие. - Воронеж:
ИПЦ Воронежского педуниверситета, -1997. - 102с.
© В.И.Кононенко, Л.А.Минин, Н.М.Ратинер,
В.В.Волович, Д.Л.Дорофеев,
В.В.Мордвинов, В.Е.Чернов, 1997г.

1
Глава 1
Пространство R
1.1. Векторы в Ж1
* Мы знаем, что число , может задавать тонку на прямой, если на пря-
мой выбраны начало отсчета, напрвление и отрезок, называемый
единичным. Пара чисел (х,у) задает точку на плоскости, если выбраны начало
координат, оси и единичные отрезки на осях. Аналогично, тройка чисел
(я, у, z) определяет точку в пространстве, если фиксирована декартова
прямоугольная или афинная система координат.
Вместо точки на прямой, на плоскости или в пространстве можно
рассматривать вектор, выходящий из начала координат в данную точку. Мы
будем называть множество векторов на прямой одномерным
пространством Vi, множество векторов на плоскости — двумерным
пространством ^2, множество векторов в пространстве, в котором мы живем,—
трехмерным пространством Уз (все векторы мы предполагаем
выходящими из начала координат). Таким образом, число (х) задает вектор из
Vi, пара чисел (#,у) — вектор из V2, тройка чисел (ж,у, z) — вектор из
Vs. Нам трудно представить себе пространство V4, но ничто не мешает
рассматривать наборы (х,у, z,u) из четырех чисел, наборы (я, у, z,u,v)
из пяти чисел и т. д.
Определение 1. Арифметическим n-мерным вектором называется
упорядоченный набор из п вещественных чисел, записанных либо в строку
Х = (яь...,хп),
либо в столбец
-(!)■

ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВО R
2
Мы будем пока эти две формы записи считать равноправными. Хотя,
как мы увидим позже, правильно записывать вектор в столбец, а запись
в строку используется только для экономии места.
Для геометрических векторов имеется две очень важные операции:
сложение векторов и умножение на число. При этом мы знаем, что при
сложении векторов складываются их координаты, а при умножении на
число — все координаты умножаются на это число. Поэтому естественно
определить сложение и умножение арифметических векторов следующим
образом:
Определение 2.
;>UM,.;J
\ хп / \ лхп /
По аналогии с геометрическими векторами, числа Х{ будем называть
координатами вектора X.
Определение 3. Множество всех арифметических векторов, состоящих
из п координат, называется n-мерным арифметическим пространством
и обозначается Rn.
Пример 1. Пусть X = (1,0,3,-2), Y = (-1,1,4,3). Тогда X + Y =
(0,1,7,1), 3-Х = (3,0,9,-6).
Тот факт, что векторы X и У имеют 4 координаты, кратко
записывается так: X в М4, Y e R4.
Арифметический n-вектор, состоящий только из нулей, называется
нулевым и обозначается 0. Нулевой вектор обладает важным свойством:
для любого вектора X £ Rn: X + 0 = X.
Для вектора X G Мп через —X обозначим вектор с координатами
(—si,...,—жп). Очевидно, что —X = (-1) -X и X + {-X) = 0.

ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВО Ж
3
1.2. Линейная зависимость и независимость
Пусть Хь... ,Хк G R", сь... ,ск € К.
Определение 4. Вектор X = С\Х\ + • • • + скХк назьшается линейной
комбинацией векторов Х\,..., Хк € К". Если с\ = ... = ск = 0, то такую
линейную комбинацию называют тривиальной.
Пример 2. Пусть
*1 =
/ 1 \
О
3
-2
V-i/
х* =
/-1 \
1
4
3
V о/
х3 =
/-5\
3
5
3
V 7/
Тогда
2Х\ — ЗХо + Х$ =
о
-1
-10
V Ч
Если вектор X является линейной комбинацией векторов Х\,.
мы будем также говорить, что X линейно выражается через Х\,.
Определение 5. Система векторов -Xi,.. .,Xfc называется линейно
независимой, если из условия Ci-Yi Н VCkXk = 0 вытекает, что ci = ... =
<* = 0.
Иными словами, нулевой может быть только тривиальная линейная
комбинация.
Определение 6. Если существует нетривиальная линейная комбинация
векторов, равная нулю, то такая система векторов называется линейно
зависимой.

ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВО R
4
Замечание. Пусть Xi,..., X* — линейно зависимы. Тогда один (по
крайней мере) из коэффициентов с,- отличен от нуля (например, с\ ^ 0). Тогда
v с2 ск
ci ci
Следовательно, если векторы линейно зависимы, то один из них линейно
выражается через все остальные. Это свойство можно взять за
определение.
Пример 3. Векторы Х\ = (1,1), Хъ = (1,2), Х$ = (2,3) линейно
зависимы, т. к. Х$ = Х\ + Х2. Любые два из них линейно независимы.
Упражнение 1. Доказать следующие утверждения:
1) Система векторов, состоящая из одного нулевого вектора, линейно
зависима.
2) Система векторов 0,X\j..., Хк линейно зависима.
3) Если система Xi,...,Xk линейно зависима, то для любых векторов
Xk+i,..., Xk+m система Хх,..., Xk+m также линейно зависима.
4) Если система Х\,..., Х^,..., Xk+m линейно независима, то система
Xi,..., Хк также линейно независима.
Ф
1.3. Базис в Шп
Рассмотрим в W1 систему векторов
ех = (1,0,...,0)
е2 = (0,1,...,0)
(1.1)
еп = (0,...,0,1)
Эти векторы линейно независимы, т. к. если
ciei + • • • + cnen = (сь..., cn) = О,
то ci = ... = сп = 0. Для любого X = (a?i,..., хп) справедливо равенство
X = xiei Н hxnen,

ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВО R*
5
т.е. любой вектор можно разложить по векторам ei,..., еп. Можно также
проверить, что это разложение единственно. Эти два факта —
возможность разложения и единственность разложения — очень важны.
Поэтому введем следующее определение.
Определение 7. Система векторов Х\,..., Х8 называется базисом в Rn,
если:
1) они линейно независимы;
2) любой вектор X € Кп можно представить в. виде
X = c1X1 + ... + csXs, (1.2)
где С{ — некоторые числа.
Теорема 1. Разложение (1-2) вектора X по базису Ъ единственно.
^Предположим противное: пусть существует второе разложение
a
X = Y,c'kXk.
Вычитая из этого равенства (1.2), получим
S3 6
Это означает, что векторы Xk линейно зависимы, что противоречит
определению базиса. ►
В дальнейшем будет показано, что если Xi,..., Х8 — базис в Кп, то
8 = п, и любые п линейно независимых векторов образуют базис в Rn.
Базис, заданный формулами (1.1), называется каноническим.
1.4. Подпространства в мп
Определение 8. Подпространством в Rn называется такое
подмножество L, которое обладает свойствами:

ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВО R
6
1° VX,YeL=>X + Y eL;
2° мх e L, va e R => xx e L.
Если L — некоторое подпространство в Rn, a Xq - фиксированный вектор
в 1п, то множество векторов
X0 + L = {XeRn\ Х = Хо + Х\ X' eL},
называется линейным многообразием, полученным сдвигом
подпространства L на вектор Хо.
Упражнение 2. Показать, что:
1) Если Х0 е L, то Х0 + L = L.
2) Подмножество L\ = {X = (#, О,..., 0)} - подпространство в Кп.
3) Подмножество L2 — {X = (х\, #2,..., хп) \ х\ + х2 Н Ь xn = 0} -
подпространство в Rn.
4) Подмножество Ls = {X = (xi,x2,яз) 1Зях - 2х2 + х$ = 0} -
подпространство в R3.
5) Подмножество М = {X = (х\, #2, яз) 13xi - 2x2 +жз = 2} - линейное
многообразие, полученное сдвигом L$, например, на вектор (0,0,2).
С подпространствами и линейными многообразиями в Rn мы
встретимся в главе 3 при решении систем линейных уравнений.
1.5. Скалярное произведение
Для геометрических векторов кроме операций сложения и
умножения на число есть еще операция скалярного произведения. Мы не можем
определить скалярное произведение в W1 той же формулой, что и для
геометрических векторов, т.к. в W1 не определена длина вектора и
угол между векторами. Мы поступим иначе.
Определение 9. Скалярным произведением двух векторов Х,У G Rn
называется число
(X,Y) = хгу1 + • • • + хпуп

ГЛАВА 1. ПРОСТРАНСТВО Ж
7
Это определение не покажется удивительным, если мы вспомним
формулу для вычисления скалярного произведения в декартовой
прямоугольной системе координат.
Пример 4. Пусть X = (1,0,3, -2), Y = (-1,1,4,3). Тогда
(Х,У) = Ь(-1) + 0-1 + 3-4 + (-2).3 = 5.
Векторы X и Y называются ортогональными, если (JT, Y) = 0.
Нулевой вектор ортогонален всем векторам. Для ортогональных векторов в
дальнейшем будем использовать обозначение X±Y.
Упражнение 3. Какие из следующих пар векторов ортогональны:
a) (1,-1,1) и (2,1,5)
b) (-6,2,-4) и (3,-1,2)
c) (тг,2,л/2) и (2,'-тг,0)
Упражнение 4. Доказать, что скалярное произведение в Rn
удовлетворяет следующим свойствам:
1. (X,Y) = (Y,X);
2. (X + Y,Z) = (X,Z) + (Y,Z);
3. (XX,Y) = X(X,Y);
4. {Х,Х)>0, (X,X) = 0*=>X = 0.
Если для базисных векторов выполняется соотношение
{XhXj) = \o, \~Л
то такой базис называется ортонормированным. Очевидно, что
канонический базис (1.1) ортонормирован.

Глава 2
Матрицы и операции над
ними
2.1. Линейные операции над матрицами
^Определение 10. Матрицей размера тхп называется прямоугольная
таблица чисел, в которой т строк и п столбцов:
*i
А =
Краткая запись:
А = Ц), г = 1,...,т; j = l,...,n
Обратим внимание, что верхний индекс г у элемента матрицы (а})
означает номер строки, нижний — номер столбца. Заметим, что можно
было бы оба индекса писать вверху или оба внизу, пока что эти три
способа равнозначны для нас.
Научимся теперь складывать матрицы и умножать их на числа.
Определение 11. Суммой двух матриц А — (а*) и В = (6J) называется
матрица
A + Bd±f(a) + b)).
Умножение матрицы А на число Л определим так:
XAd= (Aaj).

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
9
Пример 5. Пусть
Тогда
'•'■(! 1 !)■ *♦*-(:;-;)
Теорема 2. Введенные операции обладают следующими свойствами:
1) А + В = В + А,
2) (А + В) + С = А + (В + С),
3) 1 • А = А,
4)(\(i)A = \(»A),
5) \{А + В) = \А + \В,
6) (\ + ц)А = \А + »А.
2.2. Умножение матриц
Введем еще одну операцию — умножение матриц. Пусть А — матрица
размера т хп, В — матрица размера п х к.
Определение 12. Произведением матрицы А на матрицу В называется
матрица С размера т х к, элементы которой вычисляются по формуле:
Часто в математической и физической литературе опускают знак суммы,
предполагая, что производится суммирование по повторяющимся
индексам. Например в сумме, стоящей в правой части предыдущего равенства
суммирование производится по индексу /, при этом индекс / встречается
дважды. Таким образом, мы можем записать
4=а\Ь>.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
10
Такое обозначение было введено Эйнштейном.
Заметим, что матрицу А можно умножать на В только в том случае,
когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Пример 6. Пусть
А
Тогда
-o^).-(l-i)
г-ъ ^ -,-,1 '
А В
Вектор-строку I = (ii,...,xn)GKn можно рассматривать как \хп-
матрицу, а вектор-столбец
X = I : I е Rn
— как п х 1-матрицу. В первом случае X называется вектор-строкой, во
втором — вектор-столбцом. При этом матрица 1x1 — это просто число.
2/1
Пусть Х = (si,...,x„), Y = I : I. Тогда
X Y = (д?ь...,хя)« : =xiyi + --- + xnyn.
Следовательно, матричное умножение вектор-строки на вектор-столбец
дает скалярное произведение этих векторов в Кп. (Важен порядок
сомножителей, поскольку Y • X — матрица размера пхп).
Для матрицы А размера тп х п через Aj обозначим j-ый столбец, а
через А* — г-ую строку, т. е.
А;=\ : , Л' = (а},...,<)•
a?

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
11
С учетом введенных обозначений матрицу А размера тхп можно
записать так:
А1
А=(ЛЬ...,ЛП)= I : I. (2.1)
Произведение А • В матрицы А размера тхпна матрицу В размера пхк
можно записать так:
А^Вг ... AlBk \ (А1В
АВ=\ : : \=(А.Ви...,А-Вк) =
АтВ1 ... Ат-Вк
\ АтВ
Пример 7. Пусть А и В те же, что и в примере 6. Тогда
А1 = (1,-1,0), А2 = (2,3,4), В, = | 2 ) , В2 = ( -1 ) ,
А1В1 = -1, А1 • В2 = 2, А2 • Вх = 20, А2 - В2 = -1,
А1 • В = (-1,2), Л2 • В = (20, -1).
Важную роль в матричном исчислении имеет операция
транспонирования матриц. Пусть А — т х п-матрица.
Определение 13. Матрица С размера пхт называется
транспонированной к А, если c*j = a\ для всех t .и j.
Будем использовать обозначение С = Ат. Таким образом,
транспонирование заключается в замене строк матрицы столбцами и наоборот.
Пример 8, Пусть А и В те же, что и в предыдущем примере. Тогда
ВТЛТ=(~2 ")=(*-Д)т.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 12
Упражнение 5. Доказать, что
{А - В)т = Вт • Ат, (А + В)т = Ат + Вт, (АЛ)Т = А . Ат
Указание. Использовать запись матрицы в виде (2.1).
Пример 9. Пусть X nY — вектор-строки, Jf, Y 6 Мп. Тогда
(X,Y) = XYJ = YXJ.
Пусть X и У — вектор-столбцы, X, У G Rn. Тогда
(Л-,У) = ХТ-У = УТ.Х
В дальнейшем для векторов из Кп мы будем использовать
преимущественно представление в виде вектор-столбцов.
2.3. Ассоциативность умножения матриц
В этом пункте мы докажем ключевое для дальнейшего изложения
утверждение.
Теорема 3. Умножение матриц ассоциативно, т. е.
(Л-В)-С = А-(В-С),
где А — матрица размера гпхп, В — размера пхк,С — размера кхр.
«^Введем следующие обозначения: D = А-В, F = D-C, G = В-С, Я = A-G.
Нам надо показать, что все эти операции умножения определены и что
F = Н. Выпишем размеры матриц:
D : тхк, F : тхр, G : пхр, Н : тхр.*
По формуле умножения матриц получаем:
<*!' =' E«i4ftf,
М = EJU 4</J = E»i Eti 4^.
Для завершения доказательства достаточно заметить, что двойные
суммы получаются друг из друга заменой порядка суммирования. ►

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
13
Упражнение 6. Пусть А, В — матрицы размера т х п, С — размера
п х к. Доказать, что
{А + В)-С = А-С + В'С,
иными словами, операции сложения и умножения матриц обладают
свойством дистрибутивности.
2*4. Квадратные матрицы
Матрицу называют квадратной, если число ее строк совпадает с
числом столбцов. Пусть А = (а}) — квадратная матрица размера п х п.
Элементы а\ с одинаковыми индексами образуют главную диагональ
матрицы. Опишем некоторые часто используемые типы квадратных
матриц.
1) Единичная матрица
'-$)
(\ °
о 1
V о о
о
1/
Здесь Sj — символ Кронекера:
<>-{к
2) Скалярная матрица
О
А = Х1 =
3) Диагональная матрица
О
def
A = diag(Ab...,An) =
О \

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
14
4) Матрица А = (а}-) называется верхней треугольной, если aJ. = О
при « > j (т. е. все элементы ниже главной диагонали равны нулю).
Аналогично, В = (5J-) называется нижней треугольной, если fcj = О
при г < j (т. е. все элементы выше главной диагонали равны нулю).
Для верхней и нижней треугольных матриц мы будем использовать
обозначения А = ( XJ J, В = ( Nr J
5) Матрица А = (aj) называется ctwucempuwotf, если aj- = а\ (т. е.
элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны).
Условие симметричности можно записать в виде равенства А = А*.
6) Матрица А = (aj) называется кососимметричной, если aj- = — а\
(т. е. элементы, симметричные относительно главной диагонали,
противоположны). Условие кососимметричности можно записать в
виде равенства А = — Ат.
Упражнение 7. Доказать следующие утверждения:
1) Для любой матрицы А справедливо равенство
Л/ = /А ["
2) Пусть для любой матрицы А и некоторой матрицы Е справедливо
равенство
АЕ = ЕА.
Доказать, что Е — скалярная матрица. Указание. Проверьте
сначала это утверждение для матриц размера 2x2.
3) Произведение и сумма диагональных матриц — диагональная
матрица.
4) Произведение и сумма верхних (нижних) треугольных матриц —
верхняя (нижняя) треугольная матрица.
Квадратные матрицы фиксированного размера можно перемножать
в любом порядке, при этом результат — опять квадратная матрица того
же размера. Умножение матриц некоммутативно, т. е. при перестановке
сомножителей результат может измениться, как показывает следующий
пример.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
15
Пример 10. Пусть
Тогда
*■>-(Si)- BA<ID- •
Упражнение 8. Пусть А — произвольная прямоугольная матрица.
Доказать, что матрицы А • AJ и А • А — квадратные и симметричные.
2.5. Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить линейные комбинации матриц А и В.
и зл+2В, *-(*i-i).*-(:|J!)-
2)(l + J)A + (l-i)B, Л-(}_{), B=(j {)•
2. Вычислить:
/ п п 1 \
-1 -1
Г!)о).
■>(!::).'• »(:;)"■.
4ч / А 1 \ . / cosa — sin a \
' \ 0 A у ' 'у sin a cosor у
3. Найти значения многочлена f(A) от матрицы Л:
1) /(*)=3*2-4, А=(* J);
2)/(*) = *2-3* + 1, А=( _\ з)-

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦЖ НАД НИМИ
16
4. Доказать, что любую квадратную матрицу А можно представить
в виде А = В + С, где В - симметрическая, а С - кососимметрическая
матрицы, причем такое представление единственно.
Q J. шжажитц ^ ллк *лтп _ ^*+т.
к
5. Пусть Нк = I k
6. Пусть Л = ( 0
7. Пусть
*-(!
)•
О-
Покажите, что Яд. • Ят = #*+г
Покажите, что J* • Jm = У*+г
Покажите, что
(l 0 )\ с d )-[ а Ь J'
V с d у V 1 0 )~\ d с J'
2.6. Определители n-го порядка
V-X Мы уже знакомы с определителями второго и третьего порядка.
Напомним, что для п = 2
ai,
= a\al-a\a\,
а для п = 3
а\
Л2
^1«2а3 + а2аЗа1 + аЗа1а2 ""
,1Л2Л3
*1"3"2
1Л2Л3
атаках — аДагао — а\а%а%
2и1а3
,1Л2Л3
(2.2)
(2.3)
*3"2"1-
Для матрицы размера пхп определителем называется число, которое мы
введем по индукции, т.е. предположим, что определитель порядка п — 1
мы вычислять уже умеем.
Определение 14. Алгебраическим дополнением элемента а} матрицы А
размера пхп (обозначается А^) называется число (—l)'"*"JMj, где Mj
определитель матрицы порядка п — 1, которая получается из А
вычеркиванием г-ой строки и j-ro столбца.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
17
Пример 11. Пусть А = (a'j) — матрица размера 3x3. Тогда
А{ =
*> 2
а\ а\
А1 - -
аг а3
a? al
,ит. д.
(2.4)
Определение 15. Определителем квадратной матрицы А называется
число
detA = J2a)A)
i=i
Для определителя матрицы мы будем использовать и другое обозначение:
Л1
detA =
а\
*?
Правую часть формулы 2.4 будем называть формулой разложения
определителя по первой строке.
Пример 12. Пусть А — матрица размера 3x3. Тогда
det A = а\
2 2
#2 а3
al al
-<4
а? а^
Лз „з
+ 4
„з Лз
Раскрывая определители второго порядка, получаем формулу (2.3).
Приведем без доказательства следующее важное утверждение.
Теорема 4. Справедливы формулы
п
det А = 2J в}-^}> г = 1,..., п;
detA = ]Ta}4}, j = l,...,n,
га. e. npti разложении определителя по любой строке и любому столбцу
получается одно и то же число.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 18
Упражнение 9. Проверить утверждение теоремы для п = 2 и п = 3.
Упражнение 10. Доказать, что определитель диагональной или
треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Упражнение 11. Проверить, что
|я*| = 1, |Л| = 1, M = -i.
Замечание. Это не единственный способ введения определителя п-го
порядка. Кроме того, использовать его для вычислений утомительно, а
иногда просто невозможно. В следующем пункте мы изучим свойства
определителей, которые позволят вычислять определители более
эффективно.
2.7. Свойства определителей
Пусть А — матрица размера пхп. Если отождествить столбцы j4i, ...,
Ап матрицы А с векторами пространства Rn, то определитель этой
матрицы становится функцией от п векторов:
det A = det (А\,..., Ап).
Теорема 5. Как функция каждого вектора Aj определитель есть
линейная функция, т. е.
det(4i,...,B + C,...1iln) = det"(Ai,...fB,...,An)
+ det(Ai,...,C,...,An),
det(Ai,...,AB,...,4n) = Adet(Ai,...lB,...,j4«)
Аналогичное утверждение можно записать для строк. Кроме этого
свойства, которое мы выделяем особо, справедливы еще следующие
свойства:
1) При транспонировании матрицы определитель не меняется, т. е.
detAT = detA
2) При перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
•

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
19
3) Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен
нулю.
4) Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то такой
определитель равен нулю.
5) Если к строке матрицы прибавить линейную комбинацию других
строк, то определитель не изменится. То же верно для столбцов.
6) Определитель произведения матриц равен произведению
определителей, т. е.
det(A ■ В) = det А • det В.
Первое, второе и шестое свойства мы приводим без доказательства.
Остальные легко доказать, исходя из них.
Упражнение 12. Доказать остальные свойства.
2.8. Примеры вычисления определителей
Пример 13. Вычислить определитель
Д =
1111
12 11
113 1
1114
Вычтем первую строку из остальных строк. В силу свойства 5
определитель не изменится. Поэтому
Д =
1111
0 10 0
0 0 2 0
0 0 0 3
= 1-1-2-3 = 3!.
Упражнение 13. Доказать формулу
1
= (п-1)!

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
20
Пример 14. Вычислить определитель
Д =
1 1 1
а Ъ с
а2 Ь2 с2
Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на а, из второй —
первую, умноженную также на а. Получим
1 1 1
0 Ь — а с — а
0 Ь(Ь — а) с(с — а)
Разлагая теперь по элементам первого столбца, получаем
Д = 1-
Ь — а с- а
Ь(Ь — а) с(с — а)
= (Ь — а)(с-а)
1 1
Ь с
= {Ь-а)(с-а)(с-Ь).
Упражнение 14. Обобпщть этот пример на случай произвольного п,
т. е. доказать формулу
1
Аг
А?
1
А2
А1
д1
П —1 \П —1
1
А„
А2„
хп-1
= П(А<-Л;)-
i>j
Последний определитель называется определителем Вандермонда и
равен нулю если и только если среди чисел Ai,..., Ап есть хотя бы два
одинаковых.
2,9. Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить определители:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
3
8
2
4
7
-1
-5
-2
8

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
21
а + х х х
х Ь+х х
х х с + х
2. Вычислить определитель:
1 1
1 -1
1 1
1 1
а2 +1 а(3 cry
а/3 Р2 +1 /?7
<*7 01 72 +1
1 1
2 2
-1 3
1 -1
3. Вычислить определители:
2
4
а
3
-3 4 1
-2 3 2
bed
-14 3
5
5 а 2
4 & 4
2 с 3
4 d 5
-1
-3
-2
-4 t
2.10. Обратная матрица (g)
Рассмотрим две квадратные матрицы
Их можно перемножать в любом порядке,причем
т. е. А - В = В - А = J.
Определение 16. Пусть А матрица размера тхп. Матрица В размера
пхт называется правой обратной к матрице А, если А • В = /. Матрица
С размера пхт называется левой обратной к А, если С • А = /.
Теорема 6. Если у квадратной матрица А существуют правая и левая
обратные матрицы В и С, то они совпадают: В = С.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
22
^Нам дано, что 1 = А-Ви1 = СА. Умножив первое равенство на С
слева, получим
С = С • I = С • (А - В) = (С • А) - В = J • В = В.
В доказательстве мы использовали ассоциативность умножения матриц.
Определение 17. Матрица В называется обратной для квадратной
матрицы А, если она является правой и левой обратной: А • В = В • А = /.
Обратная матрица обозначается В = А"1.
Не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Пусть,
например,
Покажем, что А- В ф I для любой матрицы В = (Ь*). Действительно,
Теорема 7. Ясл« обратная матрица существует, то она единственна.
^Предположим, что имеются две обратные матрицы для квадратной
матрицы А. Каждая является и правой, и левой обратной матрицей для А.
В частности, первая из них является правой обратной, а вторая - левой
обратной. Следовательно, по предыдущей теореме они совпадают. ►Как
узнать, существует обратная матрица или нет, и как найти обратную
матрицу, если она существует? Для ответа на эти вопросы нам
понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Пусть А — матрица размера пх п. Тогда
х:«м}-««-<|-*-{1* \ц
Здесь А* — алгебраическое дополнение элемента ajf, 5,j — символ Кро-
некера.

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
23
<4Если j = t, то Sij = 1, и мы получим формулу разложения определителя
по г-му столбцу. Если г ф j, то сумма Y^l=\ aMj равна определителю
матрицы, у которой г-ый столбец заменен j-ым столбцом матрицы А,
а все остальные столбцы — те же, что и у А. В силу совпадения двух
столбцов определитель равен нулю>
Упражнение 15. Сформулировать и доказать аналогичное
утверждение для строк матрицы.
Теперь мы можем указать критерий существования и способ
нахождения обратной матрицы.
Теорема 8. Обратная к А матрица существует тогда и только
тогда, когда det А ф 0. При этом
А\ ... А?
41 Ап
лп • • • лп
«^ Во-первых заметим, что из равенства А • А"1 = / и свойства б
определителя следует равенство
det Л-det A"1 =det/= 1.
Поэтому из существования обратной матрицы вытекает, что det А ф 0
(а также det А"1 ф 0).
Пусть теперь справедливо предположение det А ф 0. Обозначим через
Aj-
В матрицу с элементами Ь) = —х—, через С — произведение А • J5. По
формуле умножения матриц
4 = Е^ = й^£4а>,
В силу леммы 1
Следовательно, С = I. Аналогично доказывается, что В • А = /.►
det А,
fc=i fc=i
4-3534*"-*

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
24
Пример 15. Пусть
А =
Тогда det A = 24,
А{ =
5 2
1 4
12 =
= 18, А\ = -
= -12, А\ =
4 5
2 1
3 _ т
Ау — —7, А2 — 10, A3 — 1, Aj — —1, А2 — —2, Л3 — 7,
3Д -7/24 -V24
-V2 7l2 "Vl2
-V4 V24 7/24
Пример 16. Пусть
/1 1 0 0 \
А~ 0 0 1 1
\ 0 0 0 1 )
Выпишем только ненулевые алгебраические дополнения:
.4j = А2 = А3 = А4 = 1,
2 _ _
1 0 0
0 1 1
0 0 1
= -1, А\ =
з _
1 О О
1 1 О
О 0 1
= 1,
А1 — —1, Л2 — —1, А<± — 1, Л3 — —1.
= -е,
Так как матрица А — верхняя треугольная с единицами на главной
диагонали, то det Л = 1. Поэтому
А~1 =
/1
0
0
\о
-1
1
0
0
1
-1
1
0
-1\
1
-1
1/
2.11. Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать следующие утверждения:

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
25
1) Если А обратима, то А также обратима, причем (А ) 1 = (А *)т.
2)
3)
2.
3.
1)
Если Аи В обратимы, то А• В также обратима, причем (А-В) г =
в-1-а-1.
Обратная к верхней (нижней) треугольной матрице также верхняя
(нижняя) треугольная.
. Показать, что Н^1 = #_ь J*"1 = «^-Ь Я"""1 = А"
, Найти обратные матрицы для следующих матриц:
Л =
2)
3)
л __ ( cosa — sin a \
"~ \ sina cosa J
\
N.
А =
(l l
0 1
0 0
^ 0 0
4. Решить матричные уравнения
1)
0 •
1 •
1 •
0 •
•• 0\
• 0
•• 0
•• 1/
2)
{ИУх- (")

ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
26
3)
4)
5)
(J :J)-*-(!!)-("!?)
х =

27
Глава 3
Системы линейных
уравнений
3.1. Различные формы записи системы
aj^i + а£х2 Н h а*хп = di
а?*! + а^2 + • • • + а*хп = d2
(3.1)
а^Х! + а£*х2 + - ■ • + <xn = dm
Здесь а}-, #,- — заданные числа, Xj — неизвестные величины. Приведем
еше две формы записи системы. Пусть
А =
Х =
D =
а\ ...ei \
хп
матрица коэффициентов системы,
вектор-столбец неизвестных,
— вектор-столбец правых частей.
Теперь система уравнений (3.1) может быть записана таким матричным
равенством:
A-X = D (3.2)

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
28
Наконец, если записать матрицу А через столбцы
A=(j4i,...,An),
то систему (3.1) можно записать так:
Si-Ai + ... + xn-An = I>. (3.3)
Решением системы (3.1) называется набор чисел xi,..., хП1 которые
удовлетворяют всем уравнениям системы.
Определение 18. Система линейных уравнений называется
совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений
нет.
Определение 19. Совместная система называется определенной, если
она имеет одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного
решения.
Пример 17. Мы встречались с уравнением
Ах + By + Cz + D = О
в курсе аналитической геометрии. Это есть частный случай системы (3.1)
— одно уравнение с тремя неизвестными ж, у, z. В качестве решения
годится любая точка (x,y,z), принадлежащая плоскости, уравнение
которой записано.
Пример 18. Система двух уравнений
(Atx + Biy + dz + Dx^O
\А2х + В2у + C2z + D2=Q
задает прямую, если векторы (А\,Вх,С\) и {А2,В2,С2) не параллельны.
Решение этой системы — точка (х, у, z) на этой прямой.
Пример 19. Система
хг + 2х2 — 1
2хх + 4х2 = 3
несовместна, т. е. решений нет.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
29
Пример 20. Система
(х\ + х2 = 1
\х\ — Х2 = 3
совместна и имеет единственное решение Xi = 2, хо = —1, т. е. X =
(-!)■
3.2. Правило Крамера
Рассмотрим случай, когда в системе (3.2) число уравнений равно
числу неизвестных т. е. т = п. Тогда матрица А квадратная. В этом пункте
будем также предполагать, что определитель системы отличен от нуля:
det А ф 0. Эти предположения гарантируют существование обратной
матрицы А~х и с помощью этой матрицы система (3.2) решается очень
легко.
Умножим равенство (3.2) слева на матрицу А""1.
А-х(А-Х) = А-г Ъ. 0
В силу ассоциативности умножения матриц продол часть равна
А-Х(А • X) = (А"1 • А) • X = /. X = X.
Поэтому
X = А"1 • D. (3.4)
Таким образом, мы доказали, что всякое решение представимо в этом
виде, значит, решение единственно. С другой стороны, мы доказали
существование решения, т. к. легко теперь видеть, что (3.4) есть решение.
Наша задача далее — записать это решение не в матричном виде, а в
координатах.
Введем обозначения:
Д = det A = det(Ai,...,An);
Дх =det(AA2,...,An);
Д2 = det (АЬД Аз,..., Ап);
An = det(Ai,...,An_b£>).

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
30
Теорема 9 (правило Крамера). Если А ф 0, то решение системы
(3.2) существует, единственно и может быть найдено по формулам:
_ Ai _ Д„
Х\ — , . . . 5 Хп —
(3.5)
д "■■'-» д
^Существование и единственность мы доказали выше. Формулы (3.5)
есть развернутая запись соотношения (3.4). Действительно, поскольку
А\ ... Л?
А-г = ±
Al
лп
то из (3.4) следует
1 '\
1=1
Далее, используя формулу разложения Ду по jf-му столбцу, получим
t=i
Сравнивая последние два равенства, видим, что
Пример 2]
Xi~ д.
L. Решить систему
<
Применим г
Д =
Д2 =
(равило Краме
3 2 1
1 1 -1
4-15
3 5 1
1 0 -1
4 3 5
у-
За?! + 2x2 + Жз = 5
1 х1 + х2 ~ ХЪ — 0
4txi — x<i + 5хз = 3
•ра:
= -11^0; Дг =
= -33; Дз =
5
0
3
3
1
4
2
1
-1
2
1
-1
1
-1
5
5
0
3
= 11;
= -22;

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
31
Дг 11 -33 „ -22 л
*1 = _ = _ = -1, х2 = — = 3, хз = — = 2.
3.3. Задачи для самостоятельного решения
1. Решить системы линейных уравнений, используя метод Крамера
4ж + у + z — О
а) \ х + Зу + г = О Ь)
х+ y + 2z = 0
с)
#1 ~ %2 + Хз = 2
21 + #2 - Х3 = 1 d)
Xi + 2х2 - х3 = 2
2. Разложить дробь на простейшие:
х2 + 2х + 6
2)
2а?! - х2 + Зх3 = 9
За?! - 5х2 - х3 = -10
4si - 7х2 + £з = -7
я 1 + ^2 + хз = б
Xi — Х2 — Х3 = 0
2xi - 3x2 + хз = 1
х + 1
(х-1)3(х + 3)'
'(х-1)(*-2)(х-4)'
Ответы.
1.(а) х = у = z = 0, l.(b) xi = 1, х2 = 2, х3 = 3,
l.(c) xi = 3/2, X! = 2, х3 = 3/2, l.(d) хх = 3, х2 = 2, х3 = 1.
3/5
2.1
1 + 7/5
х-1 х + 2 х + 4'
2.2
1/32 1/32 1/8
1/2
+ 3 х-1 +(х-1)2 + (х-1)
-IV**

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
32
3.4. Миноры А;-го порядка
Пусть А = (а*}) — матрица размера п х п. Выберем А: различных
строк с номерами ii < i2 < ... < г* и к различных столбцов с номерами
ii < j2 < - - • < jk-
Определение 20. Минором fc-ro порядка М^'^ (вверху — номера строк,
внизу — номера столбцов!) называется определитель матрицы,
составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов.
Пример 22. Пусть п = 3, к = 2. Тогда
Пример 23. Пусть п — любое, к = 1. Тогда Ж) = а}.
а\ а\
3.5. Ранг матрицы
Определение 21. Число г называется рангом матрицы А, если
существует минор порядка г, отличный от нуля, а все миноры большего
порядка равны нулю. Любой минор порядка г, отличный от нуля, называется
базисным, а для ранга матрицы используется обозначение гк А,
Пример 24. Пусть А — матрица размера 3x3:
А =
Единственный минор 3-го порядка Ж[Щ = det A = 0. Однако легко
видеть, что, например, минор
ж\г =
42
3 5
1 2
= 1#0.
Следовательно, гк А = 2. Найдем еще несколько миноров 2-го порядка:
м% =
= 2.
М?* =
= 1.
Любой из них можно назвать базисным.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 33
Запишем матрицу А размера m x n через строки (столбцы):
Д= : , Л = (А, Л„).
Выберем среди строк А1,...,Ат максимальное число линейно
независимых (Л,1,...,Л,Л). При этом остальные строки будут через них
линейно выражаться. Оказывается, число к равняется рангу матрицы. То
же самое справедливо и для столбцов. Это нетривиальное утверждение
вытекает из теоремы, которую мы приводим без доказательства.
(Доказательство можно найти в [2].)
Теорема 10 (о базисном миноре). Число линейно независимых строк
и столбцов матрицы одинаково и равно порядку базисного минора. При
этом строки (столбцы), входящие в базисный минор} линейно
независимы, а остальные через них линейно выражаются.
Таким образом, мы можем теперь дать другое определение ранга
матрицы, эквивалентное предыдущему.
Определение 22. Рангом матрицы называется максимальное число
линейно независимых строк или столбцов.
Следствие. 1. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и
только тогда, когда строки (столбцы) матрицы линейно зависимы.
Пример 25. Рассмотрим матрицу
/ 1 0 3 -2 \
Л = I -1 1 4 3 .
\ 2 1 13 -3 /
Ее первые две строки Л1 = (1,0,3,-2) и Л2 = (—1,1,4,3) линейно
независимы. В то же время система из трех вектор-строк А1, А2, Л3 линейно
зависима, т. к. ЗЛ1 + Л2 — Л3 = 0. Значит, гк Л = 2.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
34
3.6. Методы нахождения ранга матрицы
у Ьэтом пункте мы опишем два способа нахождения ранга матрицы:
метод элементарных преобразований и метод окаймляющих миноров.
Определение 23. Элементарными преобразованиями матрицы будем
называть следующие действия:
a) перестановку двух строк (столбцов),
b) вычеркивание нулевой строки (столбца),
c) вычеркивание одной из двух пропорциональных строк (столбцов),
d) умножение строки (столбца) на ненулевое число,
e) прибавление к одной из строк матрицы другой строки,
умноженной на любое число (то же для столбцов).
Теорема 11. Ранг матрицы не меняется при элементарных
преобразованиях.
На этой важной теореме основан практический метод вычисления
ранга матрицы, заключающийся в том, что с помощью элементарных
преобразований матрицу приводят к виду
Ь\ % ... bl ... bln
5=1 о ь\ ... ь* ... ъ\
о о ... к ..
в котором элементы с одинаковыми индексами Ь\, Щ,...,Ь^ отличны от
нуля, а элементы, расположенные ниже них, равны нулю (т. е. Щ = 0 при
* > j). После приведения матрицы к такому виду можно сразу написать,
что гкЛ = г.
Пример 26. Найти ранг матрицы
/-13 3 2
-3 5 2 3
А =
-3 1-5 0
\ -5 7 14

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
35
•«Принимая во внимание, что а\ ф О, добиваемся обращения в нуль всех
остальных элементов первого столбца. Для этого прибавим ко второй
и третьей строке первую, умноженную на —3, к четвертой — первую,
умноженную на —5. В результате получим матрицу
3 3 2 . 5 ". \
4 -7 -3 -11 I
8 -14 -6 -22 '
8 -14 -6 -24 /
Вторая и третья строки пропорциональны, вычеркнем третью:
(-133 2 5 \
О -4 -7 -3 -11 I .
О -8 -14 -б -24 /
Так как а\ ф О, добиваемся обращения в нуль элементов второго столбца,
стоящих под а\. Получим матрицу
-1 3 3 2 5 \
О -4 -7 -3 -11 I ,
О 0 0 0 -2 /
в которой переставим третий и пятый столбцы:
/ -1 3 5 2 3 \
О -4 -11 -3 -7 1.
\ 0 0 -2 0 0 /
Отсюда следует, что гк А = гк В = 3>
Перейдем ко второму способу вычисления ранга.
Определение 24. Минор порядка к + 1 матрицы А называется
окаймляющим для данного минора порядка к, если он получается добавлением
одной строки и одного столбца матрицы, не входящих в данный минор.
Теорема 12. Если у матрицы А существует минор порядка г,
отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то гк А = г.
А =
/-1
О -
О -
V 0 -

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
36
Отсюда вытекает следующая схема рассуждений для нахождения
ранга матрицы. Находим отличный от нуля минор первого порядка, т. е.
любой ненулевой элемент матрицы. Считаем окаймляющие миноры
второго порядка, пока не найдем ненулевой, и т. д. Процесс заканчивается
в случае, если все окаймляющие миноры порядка г + 1 будут равны нулю
или г станет равным минимальному из чисел га и га.
Пример 27. Найти ранг матрицы
А =
1 0
-1 1
2 1
3
4
13
-2
3
-3
^В качестве минора первого порядка возьмем М{ = а\ — 1. Далее,
находим окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля:
п\1 =
42
1 О
-1 1
= 1.
Убедимся, что все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю.
Действительно,
= 0,
123 _
123 —
123 _
124 —
1
-1
2
1
-1
2
0
1
1
0
1
1
3
4
13
-2
3
-3
= 0.
Следовательно, rk A = 2.^
3.7. Задачи для самостоятельного решения
1. Найти ранг матрицы
1)
12 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
10 0 0 5
2) ( 0 0 0 0 0
2 0 0 0 11

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
37
4 3 2' 2
4) j 0 2 1 1
0 0 3 3
1 -12 4 3
5) | -2 1 5 2 6 ] , 6)
2 -14 7 2
2-4 3 10
1-2 1-4 2
О 1-1 3 1
4-7 4-4 5
2. Чему равен ранг матрицы А при различных значениях Л?
(1 А -1 2
2-1 А 5
1 10 -6 А
3. Доказать, что тк(АВ) < тт{ткА,ткВ}.
4. Пусть А - невырожденная матрица. Тогда
rk( АВ) = rk В, тк(СА) = rk С.
Ответы. 1)1, 2)2, 3)2, 4)3, 5)3, 6)3.
3.8. Теорема Кронекера-Капелли
Понятие ранта матрицы позволяет получить критерий совместности
систем линейных уравнений. Рассмотрим систему (3.2) m уравнений с п
неизвестными:
А ■ X = D.
Если добавить к матрице коэффициентов системы столбец D правых
частей, то получим так называемую расширенную матрицу системы:
«i
(A\D) =
di
размера m x (n +1).
Теорема 13 (Кронекера-Капелли). Система (3.2) совместна тогда
и только тогда, когда ранг исходной матрицы равен рангу расширенной.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 38
4Для доказательства теоремы наиболее удобна векторная форма (3.3)
записи системы:
хх • Ах + • • • + хп • Ап = D.
Предположим, что система совместна, т. е. найдутся такие числа а?1? ...,
хп, что справедливо равенство (3.3). Это значит, что столбец D есть
линейная комбинация столбцов Ai,...,An. Отсюда следует, что rk.4 =
rk(A\D).
Пусть, наоборот, ранги А и {A\D) равны. Тогда базисный минор
матрицы А будет базисным и для (Л|£>). Следовательно, столбец D линейно
выражается через столбцы базисного минора. ►
Пример 28. Система
несовместна, так как
{
*1 + «2 = 1
х1 "" х2 = 3
2а-! + 2х2 = 1
rkA=rk 1 -1 j=2, rk(;4|JD) = rk | 1 -1 3 | = 3.
Пример 29. Система
{
Х\ + Х2 = 1
Х\ — Х% = 3
2a:i + 2д?2 = 2
совместна и имеет единственное решение Х\ = 2, #2 = — 1. При этом
rkA = rk(A|D) = 2.
Пример 30. Система
( хг+ х2 = 1
\2xi + 2х2 = 2
совместна и имеет бесконечно много решений Х\ = С, #2 = 1 — С, где С
— произвольное число. При этом гк А = rk(A|D) = 1.
Пример 31. Пусть число уравнений системы равно числу неизвестных,
т.е. матрица системы квадратная. Пусть определитель этой матрицы не
равен нулю. Тогда, как мы знаем, эта система может быть решена по

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
39
правилу Крамера и, стало быть, совместна. Применим теперь к этой
системе критерий Кронекера-Капелли. Матрица системы размера пхп
имеет ранг п, т.к. ее определитель отличен от нуля. Расширенная матрица
имеет размер п х (п + 1), ее ранг тоже равен п, т.к. миноров порядка
большего, чем п, у нее нет, а ненулевой минор порядка п - это
матрица системы (она, конечно, содержится в расширенной матрице). Таким
образом, теорема Кронекера-Капелли также дает совместность такой
системы.
3.9. Фундаментальная система решений од-
ф нородной системы. Структура общего
решения
Система линейных уравнений
АХ = 0 (3.6)
называется однородной. Данная система совместна, какой бы ни была
матрица Л, поскольку заведомо имеет тривиальное решение X = 0.
Наша дальнейшая задача — описать все нетривиальные решения, если они
существуют.
Теорема 14. Любая линейная комбинация решений однородной
системы также является решением этой системы,
^ Действительно, пусть Х\,..., Xk - решения однородной системы, тогда
А{а1Хг + ■ • • + акХк) = а1 АХ1 + - - - + акАХк = 0.
►
Таким образом, множество решений однородной системы линейных
уравнений образует подпространство в пространстве Rn. Это очень
важное свойство, неоднородные системы таким свойством не обладают.
Теорема 15. Пусть матрица А однородной системы имеет размер т х
п и ранг г. Если г = п, то система имеет только тривиальное
решение. Если г < п, то существует п — г линейно независимых решений,
называемых фундаментальной системой решений, а произвольное
решение однородной системы есть линейная комбинация этих решений.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
40
^Запишем систему в векторной форме:
х\ • Аг Н h хп • Ап = 0.
Если г = п, то векторы Ль ..., Ап линейно независимы. Следовательно,
xi = ... = хп = 0.
Пусть теперь г < п. Предположим, что первые г столбцов и г строк
матрицы А линейно независимы (в противном случае изменим порядок
переменных и уравнений). Теперь мы можем отбросить уравнения с
номера г + 1 до п, поскольку они линейно выражаются через предыдущие.
Неизвестные, не вошедшие в базисный минор, называются свободными.
Перенесем в правую часть слагаемые, содержащие свободные
неизвестные. Для удобства записи полученной системы введем следующие обознаг
чения:
,=,?), *_(Т), -(*)•
здесь У € Rr, Z € Rn"r. •
F =
fa\ ... «i\ /a*+1 ... a\\
• • . «- • •
Теперь нашу систему (мы оставили г уравнений!) можно переписать в
следующем виде:
FY = -GZ
Матрица F размера г х г невырождена, т. е. detF ф 0. Поэтому при
любом выборе правой части эта система имеет ровно одно решение:
Y^-F^GZ. ., (3.7)
Поскольку правая часть зависит от столбца свободных неизвестных Z,
то получаем, что для каждого набора Z свободных неизвестных мы
можем найти единственный столбец Y неизвестных, входящих в базисный
минор.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
41
Выберем п — г линейно независимых векторов Z\,..., Zn~r- Можно,
например, взять канонический базис в R"~r:
/1\
О
\о/
z2 =
(°Л
\о/
., Zn_r —
о
\1/
Найдем из (3.7) соответствующие Yi,..., Yn-r, т. е.
Yk = -F-1GZk, k = l,...,n-r.
Рассмотрим векторы
Они являются решениями исходной системы (3.6) и линейно независимы
в силу линейной независимости Z\,..., Zn_r. Для завершения
доказательства теоремы нам осталось показать, что любое решение X есть линейная
комбинация Х\,..., Хп-Г.
Действительно, пусть X — произвольное решение. Запишем его в
виде:
(ci
где Z = :
V сп_г
*-(*)•
Тогда
Z = с\Z\ Л Y c„_pZ„_P,
Y = -F^GZ = dYi + • • • + cn_PYn_r,
*-( z )=ciU )+-+с"-'(г;:)=сЛ+-+сл-А-
Таким образом, -Xi,..., -X*n-r — фундаментальная система решений.^
Общее решение однородной системы будем обозначать Лоо- Мы
доказали, что
^оо = ci^i Л V cn_rAn_r.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 42
Доказательство этой теоремы дает нам практический способ для
отыскания фундаментальной системы решений ( и, значит, общего решения )
для однородной системы линейных уравнений. Сформулируем его в виде
правила:
1) Найти базисный минор матрицы системы.
2) Вычеркнуть уравнения, не входящие в базисный минор.
3) Перенести в правую часть уравнений слагаемые, не входящие в
базисный минор.
4) Составить таблицу (здесь хг+ь •..,хп - свободные неизвестные )
Х\
...
хг
Sr+1
1
0
•
0
Sr+2
0
1
•
0
...
...
...
...
...
Хп
0
0
:
1
5) Заполнить таблицу, вычисляя для каждой строки по значениям
свободных неизвестных остальные неизвестные.
Строки таблицы будут представлять собой п — г фундаментальных
решений системы.
Замечание. Если свободная неизвестная одна, то ей придаем значение
1, в таблице будет только одна строка. Если свободных неизвестных нет,
т.е. г = п, то система имеет единственное тривиальное решение,
фундаментальных решений нет.
Пример 32. Рассмотрим однородную систему
{xi+x2+ хг + х4 = О
х\ - х2 + Зхз - х4 = О
^Матрица системы имеет вид:
/1 1 1 i\
\1 -1 3 -lj-

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
43
Ее ранг равен 2, а в качестве базисного минора можно взять М\%.
Фундаментальная система решений будет состоять из двух решений. Перенесем
свободные неизвестные в правую часть:
\Хх + Х2 = ~ #3 "" Х4
\х\ — Х2 = — Зхз + Х4
Составим таблицу:
Xi
Х2
хз
1
х4
О
Для первой строки таблицы xz = 1, х± = 0. Подставив эти значения,
получим систему:
Га?!+ я2 = -1
[Xi — Х2 = —3.
Вычисляем: х\ = —2, а?2 = 1- Аналогично для второй строки таблицы
берем Хз = 0, х± = 1, получаем Xi = 0, £2 = — 1- Заполняем таблицу
Таким образом, Х\ = (-2,1,1,0)г, Х2 = (0, -1,0,1)т - фундаментальная
система решений, а
-2\ /0
Хоо = С\
+ С2
где
мы>
Ci,C2 - произвольные числа, есть общее решение однородной систе
►
3.10. Структура общего решения
неоднородной системы
Рассмотрим теперь неоднородную систему (3.2):
АХ = D.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
44
Пусть U и V — два решения этой системы. Тогда их разность будет
решением соответствующей однородной системы:
A(U -V) = AU - AV ■= D - D = 0.
Обозначим теперь через Хон общее решение неоднородной системы, Хчп
— частное решение неоднородной системы. Из предыдущего следует, что
-Хон = Хоо + Xw
Таким образом, чтобы описать все решения неоднородной системы, нам
достаточно знать какое-то одно частное решение X4n и общее решение
соответствующей однородной системы.
Пример 33. Рассмотрим систему:
{
хг+х2 + х3 + х4 = 2
#1 ~ х2 + ЗХз — #4 = О
Для нахождения Х*ш положим хз = х* = 0. Тогда xi = 1, Х2 = 1.
Однородная система была решена в примере 32. Таким образом,
Хоя =
+ Q
+ С2
3.11. Задачи для самостоятельного решения
1. Для следующих однородных систем найти фундаментальные
системы решений:
1)
{
хх - 4х2 + х3 = 0
х\+ х2 — хз = 0
3xi ~ 2x2 - хз = 0
(2xi — х2 + Зхз + Х4 = 0
2) \ 2xi - 5х2 - х3 =0
4xi — 7x2 + хз + Зх4 = 0
2. Найти общее решение систем линейных уравнений:
;+ Х3 = 6
Hh 2х3 = 7 2)
Н- *з = 1
{^1 + *2 + Х3 = 6
3xi - 2х2 + 2х3 = 5
2xi ~ Зх2 + х3 = 1

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
45
Ответы.
l.l)X0o = c| 3 | 1.2)Х00 = с
5\ / 4
2.1) Хон = ( О I + с { 1 | 2.2) Несовместна.
3.12. Метод Гаусса решения линейных систем
Подведем итоги, проведенного в предыдущих пунктах исследования
систем линейных уравнений. Система совместна тогда и только тогда,
когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.
Если для совместной системы ранг матрицы равен числу неизвестных, то
система определена (имеет единственное решение), если ранг матрицы
меньше числа неизвестных, то система неопределена (имеет много
решений).
Единственный недостаток наших исследований состоит в том, что
пока у нас нет удобного способа для нахождения решений,
действительно, если базисный минор матрицы системы имеет размер больший или
равный трем, то весьма утомительно решать такую систему линейных
уравнений.
В этом пункте мы изучим такой способ, он называется методом Гаусса
и реально представляет собой метод исключения неизвестных.
Вспомним, что для нахождения ранга матрицы мы использовали
метод элементарных преобразований. Заметим, что перестановка двух строк
расширенной матрицы соответствует изменению порядка уравнений,
умножение строки на число означает умножение обеих частей уравнения на
число, прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на число
А, означает соответствующее преобразование над уравнениями системы,
вычеркивание одной из пропорциональных строк означает, что в системе
было фактически два одинаковых уравнения, и мы одно из них
вычеркнули. Ясно, что все эти преобразования приводят к эквивалентной системе
линейных уравнений. Мы не будем делать элементарные преобразования

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
46
со столбцами матрицы, единственное преобразование со столбцами,
которое мы разрешим, это перестановка двух столбцов матрицы в случае
необходимости. Перестановка двух столбцов матрицы А означает смену
номеров неизвестных (перестановку неизвестных),
Цель наших преобразований будет состоять в получении системы
вида: (если исходная система совместна):
(b\xi + Ь\х2 Н V Ь\хг + Ь Ьпхп = pi
I Цх2 + --- + Ь?гхг + --- + 1%хп=р2 ,3g4
[ Ъггхг + -- + Ъгпхп=рг,
где диагональные элементы Ь\,..., Ь£ отличны от нуля. Преобразованная
система может иметь меньше уравнений, чем исходная за счет
отбрасывания уравнений вида
О • хг + • • • + 0 • хп = 0.
Однако, в результате преобразований может получиться уравнение
0 • xi + • • • + 0 • хп = d ф 0.
В этом случае наша система несовместна.
Нам осталось исследовать систему (3.8). Очевидно, что М^***£ -
базисный минор. Поэтому sr+i,..., хп ~ свободные неизвестные, и мы можем
придавать им произвольные значения. Положим
£r+l ss Ci, . . ., Хп = Сп—Г
и перенесем эти неизвестные в правую часть. Относительно неизвестных
xi,...,xr наша система легко решается, поскольку матрица В = (6J),
i, j = 1,..., г, — треугольная с ненулевыми диагональными элементами.
Из последнего уравнения находим яг, из предпоследнего — xr_i и т. д.
Заметим, что по ходу реализации метода Гаусса мы одновременно
определяем ранги исходной и распшреннои матриц, т. е. проверяем
совместность системы и устанавливаем число свободных переменных,
принимающих произвольные числовые значения.
Как именно приводить расширенную матрицу системы к виду (3.8)
мы увидим из следующего примера.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
47
Пример 34. Решить систему:
4xi + яз - 7х4 = 3
2X2 """ ЗХз + Х4 = 1
2xi + 3x2 — 4хз — 2x4 = 3.
^Выпишем расширенную матрицу:
/2 1
! 4 0
0 2
^ 2 3
-1
1
-3
-4
-3
-7
1
-2
2\
3
1
з/
Сначала мы получим нули в первом столбце (все, кроме а\). Для этого
вычтем из четвертой строки первую, а из второй — удвоенную первую:
/ 2
: 0
0
Vo
1 -1
-2 3
2 -3
2 -3
-3
-1
1
1
2\
-1
1
1/
Теперь получим нули во втором столбце, для этого мы оставим первую
и вторую строку без изменений, а к третьей и к четвертой прибавим
вторую строку:
\
2
0
0
0
1
-2
0
0
-1
3
0
0
-3
-1
0
0
2
-1
0
0
/
Значит, система совместна и г = 2. Обозначим Хз = с\, х± = С2- Тогда
{
Отсюда:
2xi+ х2= 2+ Ci + 3C2
-2x2 = -l-3Ci+ C2
fx2= У2+3/2<?1-72С2
I Xx = 3А - 74^1 + 7/4С2.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
48
Окончательно:
X
<%k ~ V4C1 + 7А<*>
_ | V2 + 3/2Cl - V2C2 | _
С\
+ С1
1
+ С2
\
7А
-V2
о
1
3.13. Задачи для самостоятельного решения
1. Решить системы методом Гаусса:
1)
{Зх + 2у + z =
Х+ у- 2 =
4х - у + 5г =
= 5
О
3
2)
Xi - 2X2 + Х4 => -3
Зхх - х2 - 2х3 = 1
2xi + Х2 - 2хз ~ х4 = 4
xi + 3x2 — 2хз — 2х4 = 7
з)<
I 3xi — 2x2 — 5хз + Х4 = 3
2xi — 3x2 + #3 + 5х4 = ~*3
Xi + 2x2 — 4х4 = —3
#i - Z2 - 4х3 + 9х4 = 22
4)
Х\ + Х2 — бХз — 4X4 :
3xi — Х2 — бХз — 4X4 '
2ха + Зх2 + 9х3 + 2х4
^4xi + х2 + 9х3 4- 2х4
4
8
-3
1
5)
[ 3xi + *2 — 8хз + 2х4 + х5 = О
2xi - 2х2 - Зхз - 7х4 + 2х5 = О
( 2х! + 7х2 + Зхз + х4 = О
s;iS:.s;^::s:x •> ters-r2??*-!
Xi — 5x2 + 2хз - 16х4 + Зх5 = О
(9xi+4x2+ х3 + 7х4 = 2
2. Используя метод Гаусса, найти фундаментальные системы решений
{3xi + 4x2 + #3 + 2х4 = О
6xi + 8х2 + 2х3 + 5х4 = О
9xi + 12х2 + Зх3 + 10х4 = О
2)<
f2xi + 5x2 -8x3 = 0
4xi + 3x2 - 9хз = О
2xi + 3x2 - 5хз = О
xi + 8x2 - 7х3 = О
з)
#i + 2x2 + Зхз = О
Зхх + 2х2 + х3 = О
£l + S2 + Х3 = О
2xi + Зх2 - х3 = О
^1+^2 =0
4)
{xi + 5х2 +
2xi - х2 +
5xi + 3x2 +
4х3 + Зх4 = О
2хз - х4 = О
8хз + х4 = О

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
49
Ответы. 1.1 х = —1, у = 3, z = 2.
1.2)
1.4)
1.5)
1-6) ° + <П ,Т +<* о 2.1) сА " +с2
2.2) j О J 2.3)
1
-4
V о/
3.14. Метод Гаусса нахождения обратной
матрицы
Пусть А — матрица размера пхп, det А ф 0. Напомним, что матрица
В называется обратной к А, если АВ = В А — I. Распишем равенство
АВ = / подробнее:
АВ = А(В1,...,Вп) = (АВ1,...,АВп) = 1.

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
50
Обозначим
0
/°\
Ei = I . | , ..., Еп —
0
V о У Vi/
Тогда I = (f?i,..., Еп), а нахождение матрицы В равносильно решению
п линейных систем:
A-Bi = Eu ..., АВп=Еп.
Так как у всех систем матрица А общая, то их удобнее решать
одновременно. Для этого составим расширенную матрицу
(А\1) =
1 0
о о
о
1
и с помощью элементарных преобразований над строками (только над
строками!) приведем ее к виду:
1 0
(1\В) =
0 0
к
Ь"
Матрица В является обратной к Л, поскольку ее столбцы есть решения
систем А • Bj = Ej.
Замечание. Бели матрица А вырождена, то расширенную матрицу (А\1)
нельзя элементарными преобразованиями над строками привести к виду
(7|В), так как гкЛ < гк/ = п.
Пример 35. Найти обратную матрицу для
А =
Поставим третью строку на место первой, на второе место поставим
сумму первой строки и третьей, умноженной на (-2), на третье - сумму

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
51
второй строки и третьей, умноженной на (—3):
2
3
1
1 1
1 2
-1 0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-1 0
1 1
3 1
0 0
-1 1
1 0
1
-1
-2
Первую строку не меняем, вторую строку поставим на место третьей, а
на место третьей - разность между третьей и второй:
Умножим вторую строчку на (—3) и сложим с третьей:
Разделим третью строку на (—2), затем отнимем от второй строки
третью, затем прибавим к первой строке вторую:
Следовательно,
А~1 =
1 -V2 Ч*
1 -у2 -Ч*
2 з/2 _i/2
1 -Уг Уг
1 _i/2 _i/2
-2 з/2 _i/2
3.15. Задачи для самостоятельного решения
1. Найти обратные матрицы методом Гаусса:

ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
52
1)
2)
/1
1
1
1\
-1
-1
1/
з)
/110
0 1 1
О 0 1
0 0 0
0\
о
о
1/
. 4)
/О 0 1 -1 \
0 3 1 4
2 7 6-1
\1 2 2 -1 /
2. Найти обратную матрицу двумя способами и сделать проверку.
1) ( J? 4 ) , 2) ( 6 3 4 ) , 3) | 2 -3
Ответы.
-7/3 2 -1/3
1.1) | 5/3 -1 -1/3
-2 1 1
1.3)
/1-1 1-1
0 1-11
0 0 1-1
5 -2
2.2) 1/4
(-I)""1 \
(_1)-2
(_1)п-з
1.4)
2.1)
v О О О О
-1/6 1/2 -7/6 10/3 \
-7/6 -1/2 5/6 -5/3
3/2 1/2 -1/2 1
1/2 1/2 -1/2 1 /
1 -1
-38 41
27 -29
(Л).-)(
3 -5 -1
1\
34
24 7
/
, 2.3)
' -8
-5
L 1
29
18
-3
-11
-7
1

53
Глава 4
Линейные (векторные)
пространства
@
В предыдущей главе изучалось пространство Rn. Напомним, что это
пространство представляет собой множество всех арифметических
векторов (а?1,...,жп), т. е. упорядоченных наборов из действительных
чисел. В этом пространстве определены две операции: сложение векторов и
умножение вектора на число.
Внимательный анализ основных свойств арифметических векторов
показывает, что само по себе представление вектора в виде столбца (или
строки) из нескольких чисел не играет существенной роли. Важным
является то, что выполнимы две операции: сложение векторов и умножение
их на числа — и что эти операции обладают определенными свойствами,
позволяющими оперировать с выражениями вида аа + /?Ь Н Ь 7е по
обычным законам школьной алгебры.
Поэтому далее "векторами" мы называем любые объекты, для
которых определены две операции: сложение векторов и умножение их на
числа, при условии, что эти операции подчиняются некоторым
естественным требованиям, которые называются аксиомами векторного
пространства.
Определение 25. Множество L называется вещественным линейным
(или векторным) пространством, если в Аем определены две операции:
сложение и умножение на вещественные чиейа, т. е. для любых двух
элементов а и b из L определен элемент а + Ь Е L, называемый суммой
а и Ь, и для любого вещественного числа А и любого a Е L определен
элемент Аа € L, называемый произведением А на а. При этом должны
выполняться следующие свойства:
1° а + b = b + a — коммутативность сложения;

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
54
2° (а + Ь) + с = а + (Ь + с) — ассоциативность сложения;
3° 3 элемент О Е L такой, что Va £ L а + 0 = а;
4° Для V a £ L . 3 элемент (—а) Е L такой, что а+ (—а) = 0;
5° Va G L 1 • а = а;
6° Для V чисел Л, \х А(//а) = (A/i)a;
7° Для V числа А и Va,b € L A(a + b) = Ab + Ab;
8° Для V чисел А, ц и Va € L (А + /i)a = Аа + А*а.
Элементы линейного пространства обычно называют векторами.
Элемент 0 называют нулевым вектором, а элемент (—а) — вектором,
противоположным вектору а.
4.1. Примеры линейных пространств
1) Пространство К
Мы умеем складывать арифметические векторы и умножать их на
числа, легко проверить выполнение всех восьми аксиом, поэтому W1
является линейным пространством. Оно является одним из
важнейших, т. к. практические вычисления часто проводятся путем
сведения к пространству Rn, то есть оно является вычислительной базой
для многих задач в физике и линейной алгебре. Это мы увидим.
2) Пространства V<i и V%
Это множества всех выходящих из начала координат
геометрических векторов на плоскости и в трехмерном пространстве соот-'
ветственно. С этими пространствами мы уже встречались в 1-ом
семестре. Поэтому мы знаем, как складывать векторы, и как их
умножать на числа. Не будем путать эти пространства с
пространствами R2 и R3. Элементы R2 и R3 — это соответственно двойки и
тройки чисел, а элементы V% и V$ — это геометрические векторы.
Читатель сам догадается, что такое Vi и почему оно похоже на R1.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
55
Упражнение 16. Множество вещественных чисел является
линейным пространством (оно совпадает с R1). А будет ли линейным
пространством множество всех целых чисел?
Замечание. Обратите внимание, что теперь слово "вектор" мы
будем употреблять в различных смыслах. Вектор может быть
геометрическим, т.е. направленным отрезком, а может быть элементом
произвольного линейного пространства, в частности, как будет
видно из следующих примеров, "вектором" может оказаться матрица,
многочлен, функция и т.д.. Каждый раз, употребляя слово "вектор",
вы должны понимать о каком именно векторе идет речь.
3) Пространство \Рп
Рассмотрим множество всех многочленов степени < п — 1:
{P(t) = а».!*"-1 + - • • + axt + а0} .
Складывать два многочлена P(t) = an-itn~x + • • • + o,q и Q(t) =
bn-itn~l H h &o будем по правилу:
P(t) + Q(t) =f (a»-i + bn^)tn~l + ... + (во + bo).
Умножение на число определим так:
к ■ P(t) d= kan-!tn-1 + - - • + ka0.
Эти правила совпадают с обычным сложением функций и
умножением их на числа, это привычно нам из математического анализа.
Заметим, что складывая два многочлена, мы опять получаем
многочлен из нашего пространства. То же происходит и при умножении
многочлена на число. Проверка всех аксиом линейного
пространства очевидна. Например, коммутативность сложения:
P(t) + Q(t) = Q(t) + P(t)
нам известна еще из школы.
4) Пространство С[а,б]

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
56
Рассмотрим пространство всех функций /(£), непрерывных на
отрезке [а, Ь]. Операции сложения функций и умножения их на
числа определим естественным образом, как в математическом
анализе. Из анализа мы знаем, что сумма, двух непрерывных функций
есть функция непрерывная. Аналогично, произведение непрерывной
функции на число есть опять непрерывная функция. Таким образом,
введенные операции не выводят из множества непрерывных
функций. Вспоминая из анализа свойства этих функций, мы видим, что
выполняются все аксиомы линейного пространства. Это линейное
пространство обозначается C[fli&]. Сравнивая два последних
примера, мы видим, что 7 С С[а,б]-
5) Пространство jVtm,n
Рассмотрим множество Mm,n всех матриц размера тхп. Мы умеем
складывать две матрицы и умножать матрицу на число. Видим, что
эти операции не выводят из множества Mm,n- Осталось проверить
выполнение всех аксиом линейного пространства. Вы проверите их
самостоятельно. Заметим только, что нулевым вектором
пространства матриц будет матрица i
(О ... 0>
О ... 0>
а матрица, противоположная матрице А, получается из
Алумножением на (-1), т.е. -А = (-1)А.
4.2. Задачи для самостоятельного решения
Выяснить, являются ли следующие множества линейными
пространствами.
1. Множество геометрических векторов, выходящих из начала
координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.
2. Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих
условию \х\ > 2.
3. Множество всех сходящихся последовательностей.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
57
4. Множество всех расходящихся последовательностей.
5. Дано множество всех упорядоченных пар положительных
действительных чисел х = {xi,xo)' Является ли это множество линейным
пространством, если сложение двух элементов определяется равенством х +
У = (#1Уь£2У2)> а умножение на действительное число - равенством
Ах = (^1,^2). Какая пара будет нулевым вектором этого пространства?
Какая пара будет противоположна паре х = (xi,X2)?
6. Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного вектора;
2) из двух различных векторов?
7. Из линейного пространства исключен вектор х. Может ли
полученное после этого исключения множество оставаться линейным
пространством?
4.3. Линейная зависимость и независимость.
Базис
В ранее рассмотренных примерах элемент пространства имел
конкретный смысл. Теперь мы начинаем привыкать к работе с абстрактным
пространством L. Напомним, что теперь L — множество абстрактных
элементов, в котором заданы две операции: сложение элементов и
умножение элемента на вещественное число, и эти две операции подчиняются
восьми аксиомам предыдущего пункта. Элемент
х = AiXi + • • • + Аа.х*
будем называть линейной комбинацией элементов Xi,.. .х&.
Определения линейной зависимости и независимости полностью
совпадают с соответствующими определениями для пространства Rn,
которое мы дали в пункте 1.2. Следующее определение будет для нас
важнейшим.
Определение 26, Пусть Q С L — произвольное множество векторов
линейного пространства L. Упорядоченная система векторов Ъ = (ei,..., ев)
из Q называется базисом в Q, если
1° система Ъ = (ei,..., es) линейно независима,

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
58
2° для любого х € Q найдутся такие числа £i,..., х8, что
5
Формула (4.1) называется разложением вектора х по базису Ъ.
Коэффициенты xi,"..\,xs называются координатами этого вектора в базисе
Ъ.
Если множество Q совпадает с всем линейным пространством L, то
|мы говорим о базисе в линейном пространстве.
Теорема 16. Разложение ЦЛ) векторах по базису Ъ единственно,
^Эта теорема доказывается также, как соответствующая теорема для
базиса в Rn. Докажите ее самостоятельно>
Теорема 17. Все базисы системы Q (линейного пространства),
состоят из одного и того же числа векторов.
Определение 27. Число векторов в базисе линейного пространства
называется размерностью этого пространства и обозначается п = dimLn.
Не во всяком линейном пространстве имеется базис. Если пространство
L имеет (конечный) базис, то оно называется конечномерным и обозна-*
чается £п, где ц — размерность пространства. В противном случае
пространство называется бесконечномерным.
Число векторов в базисе системы Q мы будем называть рангом Q
(rkQ).
Прежде, чем доказывать теорему, докажем следующую лемму.
Лемма 2. Из к векторов ei,...,e^, можно построить не более к ли-
нейно независимых комбинаций.
«*Без ограничения общности мы можем считать, что векторы ei,..., е*
линейно независимы, т.к. иначе мы фактически имеем линейные
комбинации меньшего числа векторов.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
59
Пусть у нас есть к +1 линейных комбинаций векторов ei,...,е*
xi = а\ег + ... + a£efc
х*+/ = <4+/ei + ••• + a*+ie*
Покажем, что эти к +1 векторов обязательно линейно зависимы, т: е.
существует их нетривиальная линейная комбинация. Пусть линейная
комбинация векторов Xi,... ,Xfc+/ равна нулю:
CiXi + . .. + Ск+1*к+1 = 0.
Перепишем правую часть равенства, подставляя вместо векторов х, их
разложения по векторам ei,..., е^ и группируя слагаемые, содержащие
вектор ei, затем в2 и т.д.:
(ci<x\ + ... + Ck+tal+^ei + ... + (ciq£ + ... + cfc+fa£+/)e* = 0.
Векторы ei,.., ,e* линейно независимы, поэтому из равенства нулю лх
линейной комбинации вытекает, что все коэффициенты нулевые:
сга\ + ... + <*+/<*£+/ = О
da\ + ... + cfc+ja£+/ = 0
Таким образом, коэффициенты ci,..., c^+i являются решениями системы
к линейных уравнений с к +1 неизвестными. Какие бы ни были числа aj
эта система всегда имеет нетривиальные решения, т.к. ранг матрицы не
превосходит fc, и, следовательно, система имеет не менее / = (к + /) — к
фундаментальных решений.►
Теперь мы легко докажем теорему.
^Пусть ei,..., еп и fi,..., fm два различных базиса. Векторы fi,..., fm
могу быть разложены по первому базису, поэтому, согласно лемме, т < п.
И наоборот, векторы ei,..., ето могу быть разложены по второму базису,
поэтому п < га. Отсюда га = п>
Пример 36. В пространстве V$ заданы векторы
ei =i + j, e2 = i-j, е'3 = -i + 2j-k.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
60
Доказать, что система Ъ' = (е^е^вз) — базис в Vz. Найти координаты
вектора х = i — 2j + 21с в базисе Ъ'.
^Докажем, что векторы е^, е^, е3 линейно независимы. Действительно,
a(i+J)+0(i-J) + 7(-i + 3i-k) = O=>
(a + /3-7)i + (a-,9 + 27)j-7k = 0.
В силу линейной независимости векторов i, j, k, получаем
=> a = 0, р = 0, 7 = 0.
а + /?- 7 = 01
а -/3 + 27 = (П
- 7 = 0J
Таким образом, только тривиальная комбинация векторов е^, е^, е^ равна
нулю, т. е. они линейно независимы и Ъ — базис.
Найдем координаты вектора х в этом базисе:
*i(i+j) +4(i- J) + 4(~i + 2j - k) = i-2j + 2k
Xi ,~г 3?2 == ~~A I
xi + x£- x£ = \\
Xi ~~ X^ i ~Xo == "~"^ }
- *3= 2j
Xi "— Xo -—• ^
x3 = —2
*i = V* *2 = -3/2» *3 = ~2-
Отметим, что в этом примере мы фактически пользуемся еще одним
базисом: Ъ = (в1,е2,ез), где ei = i, ег = j, ез = к. Запись х = i — 2j + 2к
означает, что вектор х имеет в этом базисе координаты xi = 1, Х2 = —2,
х3 = 2>
Пример 37. Пусть 7(t) — множество многочленов от одной переменной
t с естественными операциями сложения и умножения на число (см. п. 3).
Линейное пространство 7{t) бесконечномерно, т. к. система многочленов
e\(t) = 1, в2(£) = t, ез(£) = £2, ..., en(£) = tn~l линейно независима для
любого натурального п.
Пример 38. Пространство С[ад бесконечномерно. Почему?

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
61
4.4. Канонический базис в
Напомним (проверьте!), что векторы
ei =
/1 \
О
V о У
1
«52 =
,..., 6П
\о/
о
\1/
образуют базис в Rn. Этот базис называется каноническим. Если теперь
мы рассмотрим произвольный вектор
х = (a?i,... ,#п),
то числа a?i,..., хп мы можем трактовать как координаты этого вектора
в каноническом базисе.
4-5. Задачи для самостоятельного решения
1. Указать простейший базис в пространстве 3Vtm,n всех матриц
размера т хп. Убедиться, что dim JVtm,n = тп • п. Чему равны координаты
произвольной матрицы А Е Mm,n в этом базисе?
2. В пространстве Мг,2 заданы четыре матрицы:
(_1 _2)'(о -l)'(l 4j'(-l о)'
Образуют ли эти матрицы базис в пространстве Мг,2^
3. Доказать, что система многочленов 1, t< i2, ...,
зис в пространстве 7п. следовательно, dim 7п = п. Этот базис называется
каноническим. Найти координаты многочлена (1 + t2)(l - 5t) в
каноническом базисе пространства 3V
4. Доказать, что система многочленов t2 +1, — t2 + 2t, t2 — t образуют
базис в пространстве Уз. Найти координаты многочлена — 2t2 + t — 1 в
этом базисе.
5. Показать, что элементы ei = (1,10) в2 = (10,1) линейного
пространства, рассмотренного в задаче 5 пункта 4.2 образуют базис. Найти
координаты вектора х = (2,3) в этом базисе.
Ответы. 4. (-1,0,-1). 5. (Ig3,lg2).
,n-l
образуют ба-

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 62
4.6. Новая форма записи разложения по
базису
Пусть Ln — произвольное линейное пространство, Ъ = (ei,...,en)
— фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору хе!п взаимно
однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе:
(*\
j
Хп
Теперь разложение вектора по базису можно записать в виде
произведения двух матриц:
/ *i \
x = xiei + --- + xnen=S-X = (ei,...,en)- : (4.2)
V *п )
4.7. Переход к новому базису
Пусть Ъ = (ei,...,en) и Ъ' — (е[,...,е'п) — два различных базисав
L„. Каждый из векторов "нового" базиса Ъ' разложим по базису Ъ:
et = «ie1 + -.. + tJen *=*• JSt=j : . (4.3)
Матрицей перехода Т<в-*ъ> от базиса Ъ к базису Ъ' называется матрица
/t\ ... «J
Тъ->Ъ' = I ; : j >
W - *s
fc-й столбец которой есть столбец Е'к координат вектора ej. в базисе Ъ.
Теорема 18. Справедливо равенство
Ъ1 = Ъ • Тъ-+ъ' или, если подробно,

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
63
(t\ ... *\
(е'1,...,е'п) = (е1,...,еп). : : . (4.4)
\«? ••• *s/
4Легко видеть, что это эквивалентно равенству (4.3) ►
Пример 39. Доказать, что матрица перехода всегда невырождена.
^Предположим противное: матрица Тз->©' вырождена. Тогда столбцы
этой матрицы линейно зависимы, и значит, какой-нибудь столбец,
например первый, есть линейная комбинация остальных. Тогда из
равенства (4.4) видим, что первый вектор ei базиса Ъ' есть такая же линейная
комбинация остальных векторов. А это противоречит тому, что Ъ* —
базис. ►
Упражнение 17. Если векторы ei,...,en образуют базис в
пространстве Ln, а матрица Т = (£*•) невырождена, то векторы е'1?... ,е^,
полученные по формуле 4.4, также образуют базис.
Пример 40. Доказать равенство Tw-ьъ = {Тъ-ьЪ') •
Умножим обе части равенства (4.4) на (Тъ-+ъ')~ справа, получим
Ъ • [ Тъ-ьЪ1 я №b-+3') ) = В • / = В.
Перепишем это так:
Ъ = Ъ' • уГъ-ьЪ1)
и сравним с (4.4). Видим, что (Тъ'->ъ) = (Тъ-+ъ')~ • Заметим, что в этом
доказательстве мы воспользовались свойством ассоциативности
умножения матриц.
Пример 41. Доказать, что если !В, Ъ1 и Ъ" — базисы в L, то справедливо
матричное равенство

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
64
•^Умножим (4.4) справа на Тъ>->ъ»'
Ъ'-Тъ
►
4.8. Преобразования координат при
изменении базиса
Используя формулы (4.2) и (4.4), получаем
х = В'. X1 = (ЪТЪ.+Ъ,) Х' = Ъ- {Тъ^ъ, • X') =>
X = Т3-з<-Х', (4.5)
Заметим, что формула (4.4) дает выражение нового базиса через старый,
а формула (4.5) дает выражение старых координат через новые.
Пример 42. Найти координаты вектора х = —i + 2j + k в базисе Ъ1 =
(ei =i+j, e'2 = j + k, е'3 = i + k).
«^Выпишем столбцы координат векторов ej, ej, ej в старом базисе Ъ =
(i,j,k):
Отсюда матрица перехода Гз-»в' имеет вид
/10 1
Тъ^ъ' =1110
\ 0 1 1
Обращая матрицу перехода и используя формулу (4.6), находим
т. е. х = 2е£ — е'3.^

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
65
Пример 43. Пусть Q — произвольная система векторов из L.
Подсистема {ei,...,e5} С Q называется максимальной линейно независимой
подсистемой Q, если {ei,..., е5} — линейно независимая система, и
всякая расширенная система {ei,..., es, x}, где х — произвольный вектор из
Q, линейно зависима. Доказать, что всякий базис в Q есть максимальная
линейно независимая подсистема в Q, и наоборот.
^Пусть ei,..., es — базис. Тогда любой вектор х Е Q имеет вид
х = xiei Н ha;5es.
Но тогда очевидно, что система {ei,..., е5^= {еь ..., ев, £*=1 %{£{}
линейно зависима. Это значит, что {ei,...,es} — максимальная линейно
независимая подсистема.
Наоборот, пусть {ei,...,es} — максимальная линейно независимая
подсистема. Это значит, что система {ei,...,es,x} линейно зависима:
поэтому х представляется в виде линейной комбинации:
х = xiei + Ь х8е8.
А это означает, что еь.... е8 — базис.►
Рассуждения этого примера для нас особенно важны, когда Q = Ln.
Поэтому базис в линейном пространстве Ln — это максимальная ли-
нейно независимая система.
Пример 44. Пусть
(е'1,...,е'п) = (еь...,еп)- : : I.
\q ... tl)
Сколько имеется независимых векторов в системе Ъ' = (е^,..., eJJ? Здесь
Ъ = (ei,..., еп) — система векторов из некоторого абстрактного
линейного пространства L, и Т — некоторая числовая матрица.
^Если мы перемножим матрицы, стоящие в правой части равенства, мы
увидим, что векторы в системе Ъ1 представляют линейные комбинации
векторов системы В, поэтому из леммы 2 вытекает, что число
линейно независимых векторов в системе Ъ' не больше, чем в В. С другой
стороны, если ранг матрицы Г равен г, то среди ее столбцов г линейно

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
66
независимых, а остальные через них линейно выражаются. Пусть, для
определенности, первые г столбцов линейно независимы. Но тогда
векторы ej.+1,...,ejj линейно выражаются через первые г векторов, поэтому
rkB'<rkT. Итак
ткЪ' <min(rk!B,rkT).
Частный случай этой задачи нам знаком: если Г имеет полный ранг и
системаЪ — базис, то Ъ1 —'также базис и матрицаТ тогда играет роль
матрицы перехода:
Т = Т$-+з'
Замечание. В предыдущем примере знака равенства может не быть.
Действительно, рассмотрим векторы ei = (0,0)т,в2 = (0,1)Т и матрицу
Т = ( 0 1 )" Т°ГДа е'г = °'е2 = °- ПоэтомУ гкВ' = °> гкв = гкГ = !•
Пример 45. Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических
векторов
X! = -i + 2j, x2 = 2i-j + k, x3;=-4i + 5j + k, X4=3i-3j + k
^Используя идею предыдущего примера, можем написать:
(xbx2,X3,X4) = (i,j,k)
Система Ъ = (i,j,k) имеет ранг rk!B == 3, поэтому нам осталось найти
ранг и базисный минор матрицы
Делая очевидные элементарные преобразования над строками, получаем:

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
67
-12-4 3
0 1-11
0 0 2 0
Поэтому видим, что, например, базисным минором матрицы Т будет
Mi =
-1 2 -4
2-15
0 1 1
,4 0.
Значит, векторы хь х2, Хз являются независимыми, а Х4 — их линейной
комбинацией. Это означает, что в системе В' = (хх,Х2,Хз,Х4) базисом
является система (xi, X2, Х3). Легко видеть, что базисным является также
минор
I 2 -4 3 I
Ж2 = -1 5 -3 U* 0.
J 1 1 1 I
Это означает, что в качестве базиса годится также и система (хг, хз, Х4)>
4.9. Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что система многочленов
ei - t* + t2 + t + 1, e^ = t2 +1 + 1, e'^ = t + 1, e'4 = 1
линейно независима.
Указание. Можем записать
(el,4,4,e;) = (l,MV3)
Осталось проверить, что ткТъ-+ъ* = 4.
2. Доказать, что система многочленов 1, t — а,..., (t — a)n~l образуют
базис в Уп. Найти матрицу перехода от канонического базиса 1, £, ...,
tn"1 к базису 1, t - а, ..., (t - а)п"1.
3- Найти координаты многочленах = t2 — t+2 в базисе 1, £ — 1, (£ — I)2.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
68
4. В абстрактном пространстве L3 векторы е{, е'2, е'3 и х заданы
своими координатами в некотором базисе Ъ:
1) Е[= 1 , 2^= 1 , 2$= 2 > X
2) £J = 1 , E2=l 2 \, E'3=l -1 \, Х =
Доказать, что система Ъ' = (е^е^ез) — базис в L$ и найти столбец
координат вектора х в этом базисе:
5. В абстрактном пространстве L$ заданы векторы ei, ег, ез и ei, e^,
ез своими координатами в некотором базисе:
1) Ег = 2 , Е2 = 3 , Яз =
2) i?i= 1 , ^= 2 , £5 =
Требуется доказать В = (ех,е2,ез) и Ъ' = (е^е^ез) суть базисы в L$ и
написать матрицу перехода Тз-»$/. ~
Указание. Воспользоваться примером 41.
Ответы. 8.1. (1,2,3)г. 8.2. (1,1,1)г.
Изоморфизм линейных пространств
В этом пункте мы изучим важное понятие — изоморфизм
линейных пространств. Изоморфные пространства оказываются одинаковыми
с точки зрения тех свойств, которые изучаются в линейной алгебре.
Пусть L и V — два произвольных линейных пространства.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
69
Определение 28, Отображение (p:L -» V пространства L в
пространство V называется линейным, если оно сохраняет линейные операции,
т.е.:
Iе v(Ax) = A^(x)
2° р(х + у) = *>(х)+у(у)
для любых xjGIh для любого числа А.
Упражнение 18. Бели <р — линейное отображение, то ф(0) = О.
Определение 29. Отображение <p:L -> V называется взаимно одно-
значным если
1° из того, что f{x\) = /(а^), следует xi = х% для Vxi,X2 € X.
2° для любого элемента у £ Y найдется некоторый элемент х G X
такой, что f(x) = г/.
Таким образом, отображение является взаимно однозначным, если
никакие два различных элемента не переводит в один и отображает
пространство L "на" все пространство I/.
Определение 30. Линейные пространства L и V называются изоморф-
ными, если существует отображение <p:L -¥ L' линейное и взаимно
однозначное.
~ Всякое линейное и взаимно однозначное отображение называется
изоморфизмом.
Теорема 19. Конечномерное пространство размерности п изоморфно
арифметическому n-мерному пространству Rn.
^Рассмотрим конечномерное линейное пространство Ln размерности п.
Зафиксируем какой-нибудь базис Ъ = (ei,..., еп) в пространстве Ьп.
Зададим отображение (р: Ln -* Rn по правилу: вектору х € Ln поставим в
соответствие столбец его координат X = (xi,...,хп)' в базисе В. Мы
знаем, что если координаты двух векторов равны, то равны и сами
векторы. Кроме того, если Хо = (a?i,..., ап)т - какой-нибудь вектор из Rn,
то вектор хо = aiei + Ь <*пеп переходит в Хо при отображении <р,

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
70
т.е. <р(хо) = Хо. Таким образом, установлено взаимно однозначное
соответствие между пространствами Ln и W1. Это соответствие сохраняет
линейные операции. Действительно,
х = х + у = Ъ-Х + Ъ¥ = Ъ-{Х + У) = Ъ-г «=* Z = X + Y,
у = А.х = А.(З.Х) = ф.(АХ) = В.У <=»> У = АХ
Здесь мы используем только свойства алгебраических операций над
матрицами. Установленное соответствие пространств Ln и Rn
является изоморфизмом и дает возможность свести любые вычисления в Ln к
аналогичным вычислениям в№п>
Пример 46. Является ли изоморфизмом заданное отображение V$ на
М3: <p(xi + у] + zk) = (2x-y,z,x + y + z)T.
«Пусть а = zii + yj + *ik, Ь = x2i + 2/2J + z2\l. Тогда
<p(a + b) = if ((xi + x2)i + (2/1 + 2/2 )j + (*i + z2)k) =
= (2(a?i + x2) - (yr + y2), zx + z2, (хг + x2) + (уг + y2) + {zx + z2))T =
= (2xi - yi,zuxi + 2/1 + zi)T + (2x2 - y2,22,x2 + y2 + z2)T «
Аналогично, легко доказать, что у?(Аа) = А<р(а). Чтобы проверить
взаимную однозначность, запишем отображение (р в виде
v*(*i + ai + *k)= ( -1 о 1 1 ( у J = лх.
Тогда нужное нам утверждение следует из того, что матрица А —
невырожденная. Действительно, если (p(xli + у1} + zlk) = (p(x2i + j/2j 4- 22k),
то А • X1 = A • X2. Умножим обе части этого равенства на материну А""1
справа. Получим X1 = X2. Если теперь У - произвольный вектор из R3,
то столбец A"1 -У задает координаты геометрического вектора, который
переходит в У, поскольку А • (Л_1У) = У.
►
Следующий пример является обобщением этой ситуации.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
71
Пример 47. Пусть отображение tp: L„ -¥ Мп произвольного
пространства Ln на пространство К„ имеет вид
(а\ ... а\ \ ( xi
«" ••• <)
где Ъ = (ei,...,en) — некоторый базис в Ln, a А — невырожденная
матрица порядка п. Доказать, что это отображение — изоморфизм и,
следовательно, что Ln ~ Rn.
««Проверим линейность.
¥>(х + У) = Ч> (J2 х'е'*+ Л yiei) = V (Ю** + 2/,')е0 =
«1 •'•• ^ \ / ^i+2/i
ai • • • ап / \ Хп + Уп
= A-(X + Y)-A = A.X + A-Y = ip(x) + <p{y).
Необходимо еще показать, что ^>(Ах) = А^(х). Это делается аналогично.
Взаимная однозначность как и в предыдущем примере вытекает из
невырожденности матрицы А.*
Упражнение 19. Установить, является ли данное отображение
изоморфизмом:
а) (p(xi + y} + zk) =5 (x + y,-y + 2z,x + 2y-2z);
б) <p(xi + yj + Л) = (х + у - 1,2z, 3j/);
с) ^(хь х2> #з) = (2si + 3x2 — #з> 2xi — а?2 — хз, xi + Зхг + хз);
Пример 48, Доказать, что множество С всех комплексных чисел с
обычным сложением и умножением на действительные числа образует
действительное пространство, изоморфное пространству R2.
«*Во множестве С рассмотрим два элемента ei = 1,в2 = «. Тогда любое
комплексное число z = а + (5i представимо в виде их линейной
комбинации:
z = аег + /Зв2 = а • 1 + /3 • i = а + /W.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
72
Причем эти элементы линейно независимы, т.к. из равенства нулю их
линейной комбинации
aei + /Зе2 = a-l+/?-t = a + /?i = 0
(с действительными коэффициентами а и (3) вытекает, что а = (3 = 0.
Введём отображение <р: С —>> R2:
<p(z) = ( * Ь где z = а + /?t.
Легко проверить, что это отображение является изоморфизмом. Здесь
существенно, что С рассматривается как линейное пространство над
полем R вещественных чисел.^
Упражнение 20. Написать матрицу перехода от базиса Ъ = (1, г) к
базису Ъ' — (1 + г, —г) и для числа —2 + Зг написать разложение по базису
Ъ'.
4.11. Подпространства и линейные многообра-
(ft зия
Мы уже встречались с подпространствами и линейными
многообразиями в пространстве Rn. Определения для произвольного линейного
пространства совершенно такие же.
Определение 31. Подпространством линейного пространства L
называется такое подмножество V С Z, которое обладает свойствами:
1° Vx,y€i'=*x + yeZ';
2° Vx € L\ VA € К => Ax € Ь'.
Если I/ — некоторое подпространство в L, то множество векторов
V + х0 = {х G L | х = х' + хо, х7 € L'}, хо G L,
называется линейкъш многообразием, полученным сдвигом
подпространства V на вектор Хо.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
73
Пример 49. Всякое подпространство V линейного пространства L
также является линейным пространством (при этом dimZ/ < dimL).
Действительно, линейные операции из подпространства не выводят, и надо
проверить только выполнение аксиом. Но все 8 аксиом выполняются даже
в пространстве. В частности, они выполняются и в подпространстве.
Пример 50. Рассмотрим множество всех геометрических векторов из Vz,
лежащие в плоскости, проходящей через начало координат. Ясно, что
линейные операции над векторами не выводят из этой плоскости. Таким
образом множество таких векторов образует подпространство.
Пример 51. Является ли подпространством множество векторов из Vz.
удовлетворяющих условию (х, а) = 0, где а — фиксированный вектор?
^Является, т. к. линейные операции не нарушают условие (х,а) = О,
поскольку скалярное произведение линейно по первому множителю. ►
Пример 52. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений
{а\хг + а\х2 + Ь а\хп = О
(4.7)
а?х1 + а?х2 + -- + а%хп = 0
Мы уже видели (глава 3, теорема 14)f4To множество решений этой
системы есть линейное подпространство вКп,и его размерность равна п — г,
где г — ранг матрицы нашей системы. Любой базис этого
подпространства называется, как мы знаем, фундаментальной системой решений.
Пример 53. Является ли подпространством множество всех векторов
произвольного пространства Ln, координаты которых в фиксированном
базисе удовлетворяют условиям:
а) хх = хп Ь)хг Н 1- хп = 0 с) xi — х2 = 1.
^а) и Ь) суть частные случаи примера 52. Случай с) в матричной форме
записывается так: А • X = В. Пусть х и у — два решения. Тогда А • (X +
Y) = A-X + AY = B + B = 2-Bt£B, поэтому множество решений
подпространством не является. ►

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
74
Пример 54. Являются ли подпространством множество всех матриц
порядка п, удовлетворяющих условиям:
а)Ат = А fe)detA = 0.
«*В случае а) ответ положительный, т. к. линейные операции не выводят
из множества симметричных матриц. В случае Ь) ответ отрицательный,
т. к. det(A + B) ф det A + det JB. В качестве контрпримера можно
рассмотреть матрицы А = (Ц) и В = (£?)>
Пример 55. Пусть задана система уравнений
Х\ + Х2 — ЗЖз — х4 + Х5 = 1
3xi - х2+ х3 + 4х4 + За?5 = 4
#i + 5гг2 - 13х3 - 8х4 + хъ = 0.
a) Доказать, что множество решений этой системы есть линейное мног
гообразие в пространстве R5.
b) Сдвигом какого пространства получается это линейное
многообразие?
c) Найти размерность и какой-нибудь базис этого подпространства.
d) Найти какой-нибудь вектор сдвига.
^Легко видеть, что ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной
матрицы равен двум. Действительно, все миноры третьего порядка
расширенной матрицы
1 1-3-11
3-1 14 3
1 5 -13 -8 1
равны нулю. Можно иначе: видим, что третья строка матрицы есть
линейная комбинация двух: 7з = ^1\ — 72- Поэтому наша система
эквивалентна системе
#1 + #2 ~~ ЗХз — Х\ + Х5 = 1
I Зхх - х2 + х$ + 4х4 + Зх5 = 4.
t

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
75
Видим, что минор
М2 " I 3 -1 I
отличен от нуля; значит, в качестве основных неизвестных можно взять
х\ и #2, а остальные неизвестные — свободные. Найдем сначала частное
решение этой системы. Для этого полагаем х% = х4 = х& = 0. Отсюда
находим Хх = 5Д, х2 = - У4. Запишем это частное решение в виде столбца:
x4H = (V4,-74,o,o,o)T.
Ищем теперь общее решение соответствующей однородной системы. Для
этого находим фундаментальную систему решений. Даем свободным
неизвестным такие значения: xz = 1, Х4 = #5 = 0. Тогда для основных
неизвестных получаем систему
Г хг + х2 = 3
\3xi -х2 — -1.
Решая ее и вспоминая свободные неизвестные, получаем
Ха = (!&%, 1,0,0)т
Аналогично находим
*2 = (-3/4,7/4,0,l,0)T, Х3 = (-1,0,0,0,1)т.
Таким образом, общее решение однородной системы есть
-^оо = С\Х\ + С2Х2 + С$Х$,
или, в подробной записи,
XoO = C1(V4,9/4,l,0,0)T + C2(V2,3/2,0,l50)T-fC3(V4,-1/4,0,0,l)T.
Мы видим, что это — линейная оболочка (см. ниже), натянутая на
систему Х\, Х2, Х$. Поэтому это множество является подпространством в R5.
Обозначая его V', решение исходной неоднородной системы можно
записать так:
Хон = ^чн + С\Х\ + С2Х2 + Сз-Х"з = -Хчн + L •

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
76
Мы видим, что это есть линейное многообразие, полученное сдвигом
подпространства V на вектор Хчн = (5/*> — 1/л, О,0,0)Т. Базисом нашего
подпространства V является, в частности, система Х^Х^Хъ
(фундаментальная система решений однородного уравнения). Ранг
подпространства V равен rkl/ = dim!/ = 3.^
; В следующих упражнениях найти размерность и базис
подпространства решений системы уравнений:
Упражнение 21.
Упражнение 22.
(
Х\ + #2 - ЯЗ - #4 = О
#1 ~ Х2 + Х$ — Х4 = О
Зха + х2 - х3 + ^4 = 0.
xi — 2x2 + хз — ач + #5 = 0
) 2xi + X2-xz + 2x4 - Зх5 = 0
I За?! — 2xi ~~ х% + Х4 — 2хь = 0
\2х\ - 5х2 + хз - 2х4 + 2хб = 0.
Выполнить задания примера 55 в следующих двух упражнениях:
Упражнение 23.
r2xi+ х2- хг - х4+ х5 = 1
#1 — Х2 + Хз + Х4 — 2X5 = 0
3xi + Зх2 - Зхз - Зх4 + 4х5 = 2
4xi + 5х2 — 5хз — 5x4 + 7x5 = 3.
Упражнение 24.
r3xi + х2 - 2х3 + х4 - х5 = 1
2xi ~ Х2 + 7х3 — Зх4 + 5х5 = 2
xi + Зх2 - 2хз + 5х4 — 7x5 = 3
. 3xi — 2x2 + 7хз — 5x4 + 8x5 = 3.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77
4.12. Линейная оболочка ^?
Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов
£(Q) = {х | х = AiXi + - - • + A*xs, xi...xs G Q}.
Если Ъ — базис в L, то очевидно, что £(В) = L. Подчеркнем, что Q
— произвольная система векторов (конечная или даже бесконечная) из
линейного пространства L.
Пример 56. Пусть i, j, k — базисные орты в V&. Тогда
£(i) = ось Ох = V\\
£(i, j) = плоскость хОу = Vi\
£(i, j, k) = все пространство = V3.
Пример 57. Доказать, что
a) £(Q) — подпространство в L.
b) dim£(Q) = rk Q, причем в качестве базиса в £(Q) можно взять любой
базис системы Q.
^То, что -C(Q) — подпространство, очевидно, т. к. каждый элемент из £(Q)
— линейная комбинация, а сумма двух линейных комбинаций есть снова
линейная комбинация. Второе утверждение — также простое. Если в Q
все элементы линейно независимы, то очевидно, что Q — базис в £(Q),
т. к. каждый элемент £(Q) есть линейная комбинация элементов Q. Если
Q — линейно зависимая система, то нужно выбрать в Q максимальную
линейно независимую подсистему Q', остальные элементы из Q выразить
через Q;, и тогда ясно, что все элементы £(Q) можно представить как
линейные комбинации элементов Q', значит, Q' будет базисом в £(Q), и
равенство dim£(Q) = rkQ опять очевидно. ►
4.13. Сумма подпространств (3^
Мы введем сейчас операции, которые позволяют из данных
подпространств некоторого линейного пространства L строить новые
подпространства. Пусть L\ и Li — подпространства в L.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
78
Определение 32. Суммой подпространств L\ и L2 называется
подмножество в пространстве X, состоящее из векторов вида Xi + х2, Xi € £ь
х2 € 12:
Li+L2 = {xi + х2 | Xi e Lu x2 € L2} •
Пример 58. Сумма L\ + L2 подпространств Li и L2 есть
подпространство в L, причем Li С Xi + L2, £2 С L\ + L2, Li+ L2 С L.
«Пусть х = xi + х2, у = уг + у2, где хьу! G Lu a x2,y2 E L2, тогда
х + у = (xi +х2) + (yt +у2) = (X! +уг) + (х2 + у2), где (xi +уг) е Ьъ а
(Х2+У2) € Ь2. Поэтому сумма двух векторов из Ьг +L2 есть снова вектор
из Li+L2. Аналогично, если х = Xi +х2, то Ах = A(xi +х2) = Axi + Ах2,
где Axi G Li, a Ax2 Е L2. Таким образом линейные операции не выводят
изХ! + 12>
Пример 59. Пусть L = V$y L\ — ось Oz, L2 — ось Оу. Тогда L\ + L2 —
плоскость хОу. Действительно, *
Lx+i2 = {ai + /Jj| aieLu fteL2}.
Пример 60. Пусть L = V3, Lx = £(i,j), L2 = £(j,k). Тогда
ii + L2 = {(<*i + /3j) + (7j + Sk)} = {ai + //j + Лс} = Vz.
4.14. Пересечение подпространств
Пусть L\ и L2 — подпространства в L.
Определение 33. Пересечением L\ П L2 подпространств L\ и L2
называется их теоретико-множественное пересечение, т. е. множество
Li П L2 = {х | х G Za и х G L2}.
Упражнение 25. Доказать, что Li П L2 - подпространство.
Пример 61. £(i,j) n£(i,k) = £(i).
Пример 62. В пространстве V$ рассмотрим две (различные) плоскости
L\ и Ь2, проходяпще через начало координат. Эти плоскости являются
подпространствами в V3. Их пересечение L\ П L2 есть прямая (также
проходящая через начало координат). Это есть новое подпространство.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
79
Пример 63. Пусть L\ — множество точек (х,2/, z), удовлетворяющих
уравнению
сцх + Ьгу + cxz = О,
а £2 — множество точек (х, у, г), удовлетворяющих уравнению
й2Х + ЬъУ + C2Z = 0.
Тогда их пересечение jLi П L2 есть множество точек (х,г/, z),
удовлетворяющих системе
а\х + Ь\у + C\z = 0
а2х + Ь2у + oiz = 0.
Вы заметили, что в примерах 61, 62 и 63 говорится об одном и том же,
только "на разных языках". Можно рассматривать пересечение любого
числа подпространств.
Пример 64. Рассмотрим систему
{а\хх + а\х2 + • • • + а\хп = 0
afxx + а?х2 + • • • + а%хп = 0.
Аналогично предыдущему примеру, решение этой системы есть
пересечение L\ П L2 П ... П Lm, где Li — множество векторов из Rn,
удовлетворяющих первому уравнению, L2 — множество векторов из Мп,
удовлетворяющих второму уравнению, и т. д.
4.15. Прямая сумма подпространств
Вернемся к определению суммы L\ + L2 двух подпространств L\ и L2:
L\ + L2 = {х | х = xi + x2, Xi € Li, x2 € L2}.
Заметим, однако, что элемент х может неоднозначно представляться в
виде суммы Xi + х2.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
80
Пример 65. L = V3, L\ — плоскость хОу\ L<i — плоскость yOz. Тогда
ii = £(i,j), 1ъ = £(j,k), L\ + Li = V3. Однако любой элемент х G V3
неоднозначно записывается в виде суммы Xi + X2. Действительно,
х = ai+/?j+7k = (ai)+(/3j+7k) = (ai+/3j)+(7k) = (ai+5j)+(/Jj-*j+7k).
Эта неоднозначность исчезает, если подпространства L\ и L2
пересекаются только по нулевому вектору.
Теорема 20. Каждый вектор х 6 la + L2 представ им в виде х = Xi +
Х2, где Xi € £1, х2 € ^2 единственным образом тогда и только тогда,
когда L\C\L2 = {0}.
4Достаточность. Предположим противное: х = хх + Х2 = ух + у2. Здесь
xi € ^ь У1 €■ la, X2 € £25 У2 £ «^2- Из последнего равенства видно, что
Х1-у1=У2-х2.
Поскольку xi € la, yx € la, то правая часть принадлежит L\. Но
поскольку х2 € Хг2> У2 £ -^2> то левая часть принадлежит L2. Однако мы
предположили, что Li П L2 = {0}, а значит Xi = yl5 X2 = у2. Этим
доказана достаточность. Необходимость докажите самостоятельно.►
Определение 34. Пусть L\ C\L,2 = {0}. Тогда сумма L\ +Lo называется
прямой суммой и обозначается L\ © £2-
Таким образом, прямую сумму L\ ф L2 можно сделать не из любых
подпространств, а только из дизъюнктных (т. е. пересекающихся только
по нулевому вектору).
Пример 66. L = V3, L\ = £(i) — ось Ox, L<i = £(j, k) — плоскость yOz.
Тогда Li ф L2 = £(i) © £(j, k) = V8.
Пример 67. Пусть 2$ = (ei,..., en) — базис в L. Тогда L = £ (ei,..., e*)®
£(e*+1,...,en).
Замечание. Аналогично определяется прямая сумма любого числа
подпространств.
Пример 68. Пусть Ъ = (ei,...,еп) — базис в L. Тогда
L = Jb(ei) Ф £(в2) Ф • • • Ф Jb(en).

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
81
4.16. Задачи для самостоятельного решения
1. Является ли подпространством в Rn множество векторов вида:
a) х = (0, х2,0, х4, х5,..., **);
b) х = (1,х2,1,х4,хь,...,хп).
2. Является ли подпространством в V3 множество всех векторов а =
xi + yj + гк, где х,у иг- рациональные числа?
3. Является ли подпространством в С[ад множество всех четных
функций? Множество всех нечетных функций?
4. Найти размерность линейной оболочки £(xi,x2) арифметических
векторов Xi = (1,0,2, -1), х2 = (0, -1,2,0). Показать, что х = (1, -1,4, -1) €
£(xi,x2).
5. Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки
заданной системы арифметических векторов:
a) Х1 = (1,0,0,-1), х2 = (2,1,1,0), хз = (1,1,1,1), Х4 = (1,2,3,4),
х5 = (0,1,2,3);
b) Xl = (1,1,1,1,0), х2 = (1,1,-1,-1,-1), хз = (2,2,0,0,-1), х4 =
(1,1,5,5,2), х5 = (1,-1,-1,0,0);
6. Доказать, что множество Pi многочленов вида atf + ai и
множество Р2 многочленов вида М4 + М2 + 6г являются подпространствами в
пространстве всех многочленов не выше пятой степени. Найти
подпространства Pi П Р2, Pi + Р2.
7. Доказать, что пространство Е3 есть прямая сумма подпространств:
Xi, заданного уравнением 2а; i + Зх2 = 0, и L2, заданного уравнениями
Xi = х2 = я3.
4.17. Комплексное линейное пространство
До сих пор мы рассматривали вещественные векторные
пространства, т. е. линейные пространства над полем R вещественных чисел. Это
означает, что мы умеем складывать векторы и умножать их на веще-
ственные коэффициенты. Однако ничто не препятствует нам
рассматривать комплексное векторное пространство. В нем любой вектор х можно
умножить на комплексное число Л и это умножение удовлетворяет
ранее рассмотренным аксиомам линейного пространства, но все числовые

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
82
коэффициенты, фигурирующие в этих аксиомах, — комплексные числа,
т. е. лежат уже не в вещественном поле R, а в комплексном поле С.
Пример 69. Рассмотрим множество геометрических векторов на
плоскости, выходящих из начала координат, и для любого вектора х и любого
комплексного числа Л определим умножение
(A,x)i—»А-х = у
следующим образом:. Отождествляя очевидным образом вектор х с
точкой z на комплексной плоскости, умножаем два комплексных числа Л и
z. Их произведение w = А • z мы и отождествляем с вектором у, т. е. с
результатом умножения. Легко видеть, что все аксиомы линейного
пространства выполняются, что вытекает из свойств комплексных чисел.
Таким образом, на множестве % мы ввели умножение на комплексные числа
и тем самым превратили множество геометрических векторов на
плоскости, выходящих из начала координат, в комплексное векторное
пространство. Однако раньше мы рассматривали это множество как
вещественное векторное пространство. Значит, на одном и том же множестве
мы ввели две разные структуры: вещественную и комплексную. Разница
больщая! Как вещественное векторное пространство V£ имеет
размерность dim^Vo = 2, так как в базисе два элемента (например, ei = i и
ег = j). Как комплексное векторное пространство Vi имеет размерность
dime V2 = 1; в качестве базиса можно взять любой элемент, отличный
от нуля (например, е = i = (1,0)). Поэтому векторное пространство не
определяется одним лишь множеством его векторов; поле числовых
коэффициентов является неотъемлемой частью его структуры.
4Л8. Примеры комплексных линейных
пространств
1) Пространство С
: Все дальнейшие комплексные конструкции будут повторять
соответствующие вещественные. Так, пространство Сп есть обобщение
пространства Кп. Его элементами являются столбцы комплексных
чисел
Cn = {z| z = (*b...,*n)T, ^6С}.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
83
Введем линейные операции на этом множестве. Если z = (z\,..., zn)т,
u = (til,..., un)T, A € С, то положим
z + u = (zi + iii,..., zn + un)T, Xz = (A*b..., Xzn)T.
Очевидно, что линейные комбинации не выводят из множества С п и
эти операции удовлетворяют всем аксиомам. Легко также видеть,
что пространство из предыдущего примера изоморфно
пространству С1 (постройте этот изоморфизм!).
2) Пространство УП(С)
Рассмотрим множество всех многочленов степени < п — 1 с
комплексными коэффициентами:
{p(t) = an-if1-1 + • • • +axt + а0 | cti e С} .
Как и в случае пространства Уп, складывать два многочлена p(t) =
an-i**1""1 H h а0 и g(f) = Ьп_1*п~г Ч h bo будем по правилу:
p(t) + q(t) = (an.! + bn-i)^"1 + • • • + (a0 + 6o),
а умножение на комплексное число А определим так:
А - p(t) = (Aan-i)^-1 + - - - + (Aa0).
Проверьте, что определенные таким образом линейные операции не
выводят из множества 7п(С) и для этих операций выполняются
все аксиомы (комплексного) линейного пространства.
Вещественное пространство Уп будем теперь обозначать ^„(R)- В силу
естественного включения R С С, можно считать, что и 7п{Щ является
подмножеством в 7п(С): tPn(R) С УП(С). Однако ?n(R) не будет
подпространством в 7п(С)\ Почему?
3) Пространство С[в)ц(С)
Рассматриваем множество Cja,q(C) всех комплекснозначных
функций /(*), непрерывных на отрезке [а, 6], с естественным образом
введенными операциями сложения функций и умножения их на
комплексные числа. Очевидно, что это — линейное пространство.
Заметим, что подмножество С[ад = С[в1ц(К) и в этом случае не будет
подпространством в С[а>ц(С).

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
84
4) Пространство jVtm>n (С)
Рассмотрим множество Мт)„(С) всех матриц размера га х п с
комплексными элементами. Операции над такими матрицами введем
аналогично операциям в пространстве 3Vtm>n = 3VCm,n(R). Опять
заметим, что это пространство не будет подпространством в Мт,„(С).

85
Глава 5
Пространства со
скалярным
произведением
5.1. Евклидовы пространства
Предположим, что в действительном линейном пространстве Е
помимо линейных операций задана операция скалярного произведения. Это
означает, что задано отображение из Е х Е в R, которое каждой паре
векторов х и у из Е ставит в соответствие действительное число (х,у),
называемое скалярным произведением векторов х и у, и
удовлетворяющее следующим аксиомам:
1° (билинейность):
(х! +х2,у) = (xi,y) + (х2,у), (Лх,у) = А(х,у),
(х,У1 +У2) = (х,у2) + (х,у2), (х,/ху) = /i(x,y);
2° (симметричность): (х,у) = (у,х);
3° (положительная определенность): (х,х) > 0, причем (х,х) = 0 <=>
х = 0.
Заметим, что в силу симметричности требование билинейности может
быть заменено требованием линейности только по одному из аргументов
(вторая строка аксиомы 1° следует из первой). Билинейные отображения
будут изучаться позже в гл.7.

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ86
Пример 70. Пусть для некоторых Xi, X2 Е Е и любого у Е Е выполнено
условие (xi,y) = (х2,у). Докажем, что Xi = Х2. В самом деле, пользуясь
линейностью скалярного произведения, получаем (xi — Х2,у) = 0 Vy Е Е.
Полагая у = xi -Х2, получаем (хг - Х2, Xi - х2) = 0, откуда на основании
положительной определенности следует Xi — х2 = 0.
Определение 35. Действительное линейное пространство, в котором
задано скалярное произведение, называется евклидовым.
Пример 71. Пусть х = (хь.. .,хп)т, у = (yi,...,yn)T — векторы из
Мп. В главе 1 было показано, что скалярное произведение
(х,у) = хгуг + • • • + хпуп = Ут • X
удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам. В дальнейшем под
евклидовым пространством Rn будем понимать пространство именно с этим
скалярным произведением.
Пример 72. Пусть числа аь..., а„ > 0. Доказать, что формула
(х,у) = а1Хш + .-- + апх„2/п (5.1)
также задает скалярное произведение в Rn.
^Выполнение аксиом билинейности и симметричности проводится
непосредственно. Остановимся подробнее на аксиоме 3°. Из формулы (5Л)
следует, что
(х,х) = ахх\ + • • • + апх2п > О,
причем сумма квадратов будет нулевой, если и только если каждое
слагаемое равно нулю.^
Пример 73, Пусть Е — произвольное евклидово пространство.
Доказать неравенство Коши-Бунлковского
|(х,у)|2<(х,х).(у,у). (5.2)
^В силу аксиомы 3° для любых х, у Е Е и любого действительного числа
t имеет место неравенство (х + £у,х + гу) > 0. Пользуясь аксиомами 1°,
2°, преобразуем это неравенство к следующему виду:
(x,x) + 2*(x,y) + *2(y,y)>0.
Неравенство (5.2) получается теперь как следствие неположительности
дискриминанта этого квадратного трехчлена. ►

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ^
Введем понятие длины (нормы) вектора в евклидовом пространстве:
||Х|[ = уД^Г).
Для любых двух ненулевых векторов можно определить угол <р между
ними по формуле
Действительно, из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что число,
стоящее в правой части этого равенства, по модулю меньше 1, поэтому
угол <р определен корректно. Таким образом, мы получили равенство
(x,y) = ||x|H|y||.cosp,
которое в аналитической геометрии является определением скалярного
произведения.
Определение 36. Говорят, что вектор х ортогонален вектору г/, х JL у,
если (я, у) = 0.
Заметим, что х ± у тогда и только тогда, когда cosy? = 0, т.е. угол
{р = 90°, Поэтому данное определение ортогональности является прямым
обобщением ортогональности (перпендикулярности) геометрических
векторов.
Замечание. Длина вектора и угол между векторами зависят от того,
какой формулой задано скалярное произведение в линейном
пространстве. В одном и том же линейном пространстве скалярное произведение
может быть задано разными формулами, при этом мы будем получать
разные евклидовы пространства.
® „
5.2. Ортонормированныи базис
Определение 37. Базис Ъ = (ei,..., еп) n-мерного евклидова
пространства Еп называется ортонормированным, если

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ^
Пример 74. Канонический базис в Мп
е1 = (1,0,...,0)т, ..., еп = (0,...,0,1)т
ортонормирован. Если рассмотреть в Rn скалярное произведение (5.1),
то ортонормированным будет базис:
1 1
Пример 75. Любая система попарно ортогональных векторов, не
содержащая нулевого вектора, линейно независима.
^Рассмотрим к ненулевых векторов ei,..., е& в евклидовом
пространстве Е, причем (e,-,ej) = 0 при г ф j. Предположим, что некоторая их
линейная комбинация равна нулю, т. е.
<*iei + • • • + а^е* = 0.
Умножим обе части этого равенства скалярно на ei. Так как (e2,ei) =
... = (e^,ei) = 0, то получим равенство ai(ei,ei) = 0, т. е. а\ = 0.
Аналогично показывается, что cl<i = ... = а*. = 0. Следовательно, данная
система векторов линейно независима. ►
Пусть Ъ = (ei,...,en) — некоторый базис в Е (не обязательно ор-
тонормированный!). Любой вектор х Е Е можно разложить по этому
базису:
x = x1ei + --- + a?nen. (5.3)
Нахождение коэффициентов xi,... ,хп этого разложения для
произвольного базиса - задача, вообще говоря, довольно сложная. В случае орто-
нормированного базиса можно сразу выписать ответ:
хг = (x,ei),...,x„ = (х,еп).
Для доказательства достаточно умножить (5.3) поочередно на ei,..., еп.
Определение 38. Коэффициентом Фурье
вектора х по отношению к вектору у называется
число
(у, у)

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ89
Поскольку для ортонормированного базиса (et,ei) = 1, то
коэффициенты разложения произвольного вектора х по этому базису являются
коэффициентами Фурье вектора х по отношению к векторам е,-.
Упражнение 26. Проверить, что если базис ортогональный (а не орто-
нормированный), то коэффициенты разложения по нему также являются
коэффициентами Фурье.
Определение 39. Проекцией вектора х на
у, пр-ж называется вектор су.
(у,у)у
Y=
Если у - вектор единичной длины, ||у|| = 1, то
прл^=(х,у)у
Пример 76. Пусть Е = V?.. Тогда
foy)Vrr И НУ || cos у _
(у>уГ Ну112
°у = иТткУ - „2—У =
''x''cosviiy|="x"cosv>yo-
Здесь у0 — единичный вектор в направлении у, т. е. ||у0|| = 1 и у0 =
у/И-
Таким образом, в случае пространства У% и обычного скалярного
произведения для геометрических векторов определение проекции совпадает
с обычным.
Следующая лемма очень важна.
Лемма 3. Вектор х - су = х - пр^л ортогонален у.

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ90
(х у)
«(у, х - су) = (у, х) - с(у, у) = (х, у) - i-iij.(у, у) = 0>
Теперь, опираясь на предыдущую лемму, мы покажем, что в
произвольном евклидовом пространстве существует ортонормированный
базис. Более того, приведем алгоритм его построения по произвольному
данному базису. Эта процедура носит название ортогонализации Грома-
Шмидта.
Пусть vl5...,vn — произвольный базис в пространстве Е. Будем
строить ортогональный базис. Положим
Wi =Vb
(V2,Wi)
w2 = v2 - пр v2 = v2 - 7 ywi-
(wbwi)
Таким образом, первый вектор мы оставляем, а в качестве второго берем
разность между вектором v2 и проекцией v2 на w2. Такой вектор, как мы
видели в лемме, будет ортогонален wi..Третий вектор w3 нового базиса
представляет собой разность старого третьего вектора Уз и его проекпий
на Wi и w2:
(v3,wi) (v3,w2)
w3 = v3 - j ^wi - 7 »w2.
(wbwi) (w2,w2)
Легко проверить, что W3±Wi и w3_Lw2. Таким же образом действуем
дальше. Окончательно вся процедура выглядит так:
Wi=Vb
(v2,Wi)
w2 = v2-f И*ь
(Wl,Wi)
w _v (V3,w2)_ (y3>wi)
W3 = V3 - -W2 - rWi,
(W2,W2) (WbWi)
'-. wn = vn-/V"'W"-1\wn-1---fti^llWl,
(Wn-l,W„-i) (Wi,Wi)
Новый базис (wi,...,wn) является ортогональным. Чтобы сделать его
ортонормированным, достаточно нормировать каждый его вектор: fi =

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ91
w,Y ||w,-||. Эту нормировку можно было выполнять и на каждом шаге.
Таким образом, процедура Грама-Шмидта привела к ортонормированному
базису (fi,...,fn).
Пример 77. Найдем ортогональный базис для векторного пространства,
которое есть линейная оболочка векторов:
а=(1,1,0,1)т, Ъ=(1,-2,0,0)т, с = (1,0,-1,2)т.
Пусть
Ь' = Ь-£4а.
(а, а)
Проведя вычисления, найдем:
Ь' = |(1,-5,0,1)Т.
Ищем третий вектор
Можем перейти и к нормированному базису:
н=>'1Л1)Т-
Й=^<4--5Л1>Т-
И = 7Ш(-4'-2'-7-6)Т-
Таким образом, последний базис — ортонормированный.
5.3. Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что в пространстве 7п многочленов степени < п — 1
скалярное произведение многочленов
p(t) = a0tn-1 + • • • + an»i и q(t) = М""1 + ... + &n-i
можно определить следующими способами:

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ92
п-1
a) (p,q) = а0&о + • • • + an-ibn-i = ^аД-;
tssO
n
b) ip,q) = У^р(**М**)» гДе ti,...,tn — произвольные попарно раз-
fc=i
личные числа.
с) (Р> в) = / р(*М*)^> гДе [а? Ч — произвольный отрезок, а < Ь.
а
2. Пусть х = (a?i,a?2) и У = (Vi>2fe) — произвольные векторы
пространства К2. Показать, что формула
(х,у) = 2хгух + Ъх2у2
задаёт скалярное произведение в М2, а формула
(х,у) = хгуг + хгу2 + х2у\ + х2у2
не задает скалярного произведения.
3. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать
неравенства треугольника:
а)||х + у||<||х|| + ||у||, Ь)|||х||-||у|||<||х + у||.
4. Применить процедуру ортогонализации к следующей системе
векторов в R3:
a) f1 = (l,-2,2)T, f2 = (-l,0,-l)T, f3 = (5,-3,-7)T.
b) f1 = (l,l,l,l)T, f2 = (3,3,-l,-l)T, f3 = (-2,0,6,8)T.
a) f1 = (l,2,2,-l)T, f2 = (l,l,-5,3)T, f3 = (3,2,8,-7)T.
5. Матрицей Грома системы векторов fx,...,ffc, назьгаается к х к-
матрица G =■ {дц):
Доказать, что векторы fi,..., f* линейно независимы тогда и только
тогда, когда det G ф 0.

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ93
6. Пусть (fi,..., fn) — базис в Е\ G — матрица Грама этих векторов;
х, у — произвольные векторы из Е. Доказать, что скалярное
произведение (х, у) можно записать в виде:
(x,y) = XT-G-Y.
5.4. Унитарные пространства
В комплексном линейном пространстве скалярное произведение
задается немного иначе, чем в вещественном.
Определение 40. Комплексное число (х, у) называется скалярным
произведением векторов х, у G [/, если выполняются следующие аксиомы:
Iе (х,у) = (у^);
2° (линейность по первому аргументу):
(x + y,z) = (x,z) + (y,z), (Ax,у) = A(x,y);
3° (положительная определенность): (х,х) представляет собой
вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в
случае, когда х — нулевой вектор.
Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если
в нем задана операция скалярного произведения.
Упражнение 27. Доказать, что скалярное произведение полулинейно
по второму аргументу:
(х,у + z) = (х,у) + (x,z), (x, Ay) = А(х,у).
Упражнение 28. Доказать что следующая формула задает скалярное
произведение в пространстве Сп:
(х,у) = хт +... + xnlfc = Y*X,
где У* «уТ^Р1.

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ^*
Все определения и результаты, сформулированные выше для
евклидовых пространств, очевидным образом переносятся на унитарные
пространства; нельзя только определить угол между векторами (почему?),
при этом понятие ортогональности векторов остается прежним.
Пример 78. Доказать неравенство Коши-Буняковского для унитарных
пространств.
^Аналогично вещественной ситуации рассмотрим неравенство
(х + Ау,х + Ау)>0,
верное для любого комплексного числа А. Пользуясь свойствами
комплексного скалярного произведения, перепишем это неравенство в виде:
(х, х) + А (х, у) + А(х, у) + АА (у, у) > 0.
Заметим теперь, что если у = 0, то неравенство Коши-Буняковского
превращается в верное равенство 0 = 0. Если же у ф 0, то мы выберем
А = — (£¥т и подставим его в предыдущее неравенство:
(Х Х) _ ЕЙ (Х у) _ &lZ)ЬГу) + (*»У)(5У) (у у) > 0
(' } (у,уГ'yj (у,у)('у) + (y,y)2 (y'yJ--
Сократив второе и четвертое слагаемые и умножив обе части
неравенства на положительное число (у,у), получим
(х,х) (у,у) > (х,у)(х,у) = | (х,у) |.
►
Упражнение 29. Доказать, что базис Ъ = (ei,..., е„) в унитарном
пространстве U является ортонормированным в том и только в том случае,
когда выполнено одно из следующих условий:
a) еслих = хгег + --- + хпеп, у = y\ex Н + упеп, то (х,у) = a?iJT +
• • • + *п!лГ;
b) если х = Ziei Н h xnen. то Х{ = (х, е,-).
Упражнение 30. а) Доказать теорему Пифагора: если х и у ортого-
нальны;то||х + у||2 = ||х||2 + ||у||2.
Ь) Показать, что обратное к теореме Пифагора утверждение верно
для евклидовых пространств и неверно для унитарных.

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМЭЬ
5,5. Ортогональное дополнение
Пусть L - линейное подпространство в евклидовом или унитарном
пространстве Е. Рассмотрим множество векторов, которые
ортогональны всем векторам из подпространства L. Обозначим это множество
1х = {уе£|(х,у) = 0 VxGL}.
Теорема 21. Множество LL является линейным подпространством в
Е. Оно называется ортогональным дополнением подпространства L.
««Пусть Ух,у2 6 L1, тогда для любого вектора х из L имеем:
(У1 +У2,х) = (Уи-х) + (у2,х) = О,
и если у £ £х, то для любого числа А и любого х € L
(Ау,х) = А(у,х) = 0.
Таким образом, линейные операции не выводят из Lx.^
Причина, по которой подпространство Lx называется ортогональным
дополнением, становится ясной из следующей теоремы.
Теорема 22. Пусть Е - евклидово или унитарное пространство, a L
- произвольное подпространство в Е. Тогда пространство Е может
быть представлено в виде прямой суммы подпространства L и его
ортогонального дополнения:
E = L®LL.
««Выберем в L ортонормированный базис ех,...,еь и дополним его до
ортонормированного базиса ei,..., е*, e*+i,...,вп во всем пространстве.
Тогда каждый вектор х из Е разложим по этому базису:
х = ariei Н h х*е* + Xfc+iefc+i Н h жпеп.
Обозначим ух = sid +• • - + #*е*, у2 = х^+1е^+1 +• • •+а:пеп. Тогда у Е Z,
а у2 G I1. Т.е. каждый вектор из Е можно представить в виде суммы
двух векторов, один из L, а второй из L1.
Докажем теперь, что L и L1 пересекаются только по нулевому
вектору. Пусть х 6 i и х G I1, тогда в силу определения подпространства
хбЬ1 (х, х) = 0, и следовательно х = 0>

96
Литература
[1] В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Линейная алгебра.М.Наука,1978.
[2] А.Г.Курош. Курс высшей алгебры.М.Наука,1971.

97
Оглавление
1. Пространство Ж 1
1.1. Векторы в К 1
1.2. Линейная зависимость и независимость вК 3
1.3. Базис в К 4
1.4. Подпространства вКп 5
1.5. Скалярное произведение 6
2. Матрицы и операции над ними 8
2.1. Линейные операции над матрицами 8
2.2. Умножение матриц 9
2.3. Ассоциативность умножения матриц 12
2.4. Квадратные матрицы 13
2.5. Задачи для самостоятельного решения 15
2.6. Определители n-го порядка 16
2.7. Свойства определителей 18
2.8. Примеры вычисления определителей 19
2.9. Задачи для самостоятельного решения 20
2.10. Обратная матрица 21
2.11. Задачи для самостоятельного решения 24
3. Системы линейных уравнений 27
3.1. Различные формы записи системы 27
3.2. Правило Крамера 29
3.3. Задачи для самостоятельного решения 31
3.4. Миноры к-го порядка 32
3.5. Ранг матрицы 32
3.6. Методы нахождения ранга матрицы 34
3.7. Задачи для самостоятельного решения 36
3.8. Теорема Кронекера-Капелли 37
3.9. Фундаментальная система решений 39
3.10. Структура общего решения неоднородной системы 43

ОГЛАВЛЕНИЕ 98
3.11. Задачи для самостоятельного решения 44
3.12. Метод Гаусса решения линейных систем .. ;. . . 45
3.13. Задачи для самостоятельного решения 48
3.14. Метод Гаусса нахождения обратной матрицы 49
3.15. Задачи для самостоятельного решения 51
4. Линейные пространства 53
4.1. Примеры линейных пространств :"1 . . V .\ .... 54
4.2. Задачи :' 56
4.3. Лин. зависимость. Базис ...-». ; 57
4.4. Канонический базис вЕ г 61
4.5. Задачи ; 61
4.6. Новая форма разложения 62
4.7. Переход к новому базису 62
4.8. Преобразования координат .....-..'. .......'... . 64
4.9. Задачи ; . . ....:.. 67
4.10. Изоморфизм линейных пространств . . 68
4.11. Подпространства и линейные многообразия . . 72
4.12. Линейная оболочка 77
4.13. Сумма подпространств 77
4.14. Пересечение подпространств 78
4.15. Прямая сумма подпространств 79
4.16. Задачи для самостоятельного решения 81
4.17. Комплексное линейное пространство 81
4.18. Примеры комплексных линейных пространств 82
5. Пространства со скалярным произведением 85
5.1. Евклидовы пространства 85
5.2. Ортонормированный базис •. . . Y ; '. 87
5.3. Задачи .-. . . 91
5.4. Унитарные пространства . . ... ...... 93
5.5. Ортогональное дополнение 95

10000
Учебное издание
В.И.Кононенко, Л.А.Минин, Н.М.Ратинер, В.В.Волович,
ДЛ.Дорофеев, В.В.Мордвинов, В.Е.Чернов
Линейная алгебра для физиков
Часть I
Учебное пособие
Подписано в печать 22.09.97г. Формат 60x84 1/16
Бумага книжно-журнальная Печать трафаретная
Усл. п. л. 6,3 Уч.-изд. л. 6,5
Заказ №81 Тираж 300
Отпечатано с готового оригинал-макета
в Издательско-полиграфическом Центре Воронежского педуниверситета
394043, Воронеж, ул. Ленина, 86, корп.1