тшттт
1Ж
at"
I» ч -

ББК 22.313
П21
УДК 530.12
ПАУЛИ В. Теория относительности: Пер. с нем. и англ.—
3-е изд., испр./Под род. В. Л. Гинзбурга и В. П. Фролова,— М.: На-
ука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. (Б-ка тсор. физики).—328 с—
ISBN 5-02-014346-4.
Классическая книга по теории относительности, еаиисаппая
известным физиком-теорвтиком. Содержит не только прекрасное
изложение специальной в общей теории относительности, по так-
же критический анализ попыток построения едины! теорий.
2-е изд.— 1983 г.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших
курсов, интересующихся вопросами теоретической физики и ис-
тории иаукц.
Ил. 5. Бнблиогр.: 539 пазв.
1604030000—013-по пп . ©«Наука» Фиамаглит,
054@21 41 перевод на русский язык, 1983;
v ' с изменениями, 1981
ISBN 5-02-014346-4

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В связи с тем что второе русское издание книги дав-
но разошлось, редакция решила опубликовать настоящее
третье издание. Текст заново просмотрен и устранены
пекоторые замеченные опечатки. Кроме того, добавлена
новая литература (соответствующий добавления отмече-
ны двумя звездочками).
Сентябрь 1989 г. В. Л. Гинзбург, В. П. Фролов
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Книга В. Паули «Теория относительности» появилась
впервые в 1921 г. на немецком языке {Pauli W. Relativi-
tatstheorie) в виде статьи в Enzyklopadie der mathema-
tischen Wissenschaften (Band V, Helf IV, Art. 19, 1921),
а затем вышла и отдельным изданием. Книга принадле-
жит к числу лучших и наиболее известных монографий
по теории относительности. Ее нельзя считать устарев-
шей и в настоящее время, тем более, что для английско-
го издания книги (Theory of Relativity, Pergamon Press,
1958) В. Паули написал целый ряд примечаний и фак-
тически дополнений. При оценке книги нельзя, конечно,
пройти и мимо того факта, что ее автор принадлежит к
числу крупнейших физиков-теоретиков нашего века и,
следовательно, его трактовка и мнение о проблемах тео-
ретической физики представляют особый интерес*).
*) Труды Вольфганга Паули B5 апреля 1900 г.— 15 декабря
1958 г.) по квантовой теории изданы в двух томах в серии «Клас-
сики естествознания» (М.: Наука, 1975, 1977). Кроме того, у нас
были изданы: сборник статей В. Паули «Физические очерки» (Ы.:
Наука, 1975) и посвященный памяти В. Паули сборник статей
«Теоретическая физика XX века» (М.: Изд-во иностр. лит,, 1962).

6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Русский перевод книги В. Паули, выполненный с не-
мецкого издания, был опубликован в 1947 г. (Паули В.
Теория относительности.—М.; Л.: ОГИЗ, ГТТИ). При
этом главы I, III, IV и V были переведены В. Л. Гинз-
бургом (за исключением § 65, переведенного Э. Г. Ана-
ниашвили) и глава II переведена Л. М. Левиным. Для
настоящего издания В. П. Фролов проверил весь текст
по английскому изданию, а также перевел предисловия
и все внесенные В. Паули дополнения и примечания
(кроме дополнений 19 и 23, переведенных ранее для
упомянутой выше в примечании книги «Теоретическая
физика XX века»).
Со времени подготовки английского издания книги
прошло четверть века. За это время, естественно, было
выполнено огромное число работ, посвященных теории
относительности, и получен ряд существенных результа-
тов. Редакторы книги считали, однако, неуместным де-
лать много примечаний к классической книге В. Паули.
Поэтому мы ограничились лишь ссылками на соответст-
вующую литературу, в основном, на русском языке (от-
меченную звездочкой), а также немногими замечаниями.
В соответствии с немецким и английским изданиями
ссылки на фундаментальные статьи, учебники и моногра-
фии, работы по специальным вопросам и работы фило-
софского характера помещены в разделах I—IV перед
цитируемой литературой. Ссылки на соответствующую
литературу, добавленную в эти разделы редакторами пе-
ревода, выглядят следующим образом: например, [II.5 *]
означает работу 5 из раздела II.
Мы надеемся, что выдающаяся по своим качествам
книга В. Паули, написанная около 60 лет назад и уже
более чем па 20 лет пережившая своего автора, послу-
жит еще не одному поколению физиков и астрономов.
Такой судьбе может позавидовать любая научная книга.
Апрель 1981 г. В. Л. Гинзбург, В. П. Фролов

ПРЕДИСЛОВИЕ А. ЗОММЕРФЕЛЬДА
К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ КНИГИ
Ввиду той явно неудовлетворенной потребности, кото-
рая испытывается в литературе по теории относительно-
сти как популярной, так и специальной, особенно в Гер-
мании, я счел необходимым посоветовать издателям вы-
пустить в виде отдельной книги великолепную статью
господина В. Паули (младшего), которая появилась
в пятом томе Энциклопедии математических наук. Хотя
господин Паули в то время еще был студентом, он был
знаком благодаря своим исследованиям не только с са-
мыми сложными вопросами теории относительности, но и
полностью знал литературу по этому предмету.
По своему построению эта статья была споциальпо
предназначена для Математической энциклопедии.
В этом отдельном издании, конечно, остались некоторые
ссылки на ранее появившиеся в энциклопедии статьи, но
это, однако, вряд ли вызовет затруднения у читателя.
Одной из них, в частности, является ссылка на статью
Лоренца по электронной теории, которая в своей послед-
ней части предвещает теорию деформируемого электрона
и поэтому сама является лехой ва пути создания тео-
рии относительности. В соответствии с общим характе-
ром энциклопедии математические соотношения пред-
ставлены в самом общем, абстрактном виде. В особенно-
сти это касается части II, в которой используются мате-
матический аппарат теории инвариантов и многомерные
пространства. В то же время, ввиду цели этого специаль-
ного тома, посвященного физике, на первом плане нахо-
дятся физические приложения и уделяется должное вни-
мание вопросам возможной экспериментальной проверки
теории. Так, в части I излагается вариант теории, пред-
ложенной Ритцем, и содержится критический разбор
?той теории, основанный на экспериментальных данных

8 ПРЕДИСЛОВИЕ К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ КНИГИ
и проведенный с такой тщательностью и глубиной, кото-
рые отвечают роли создателя этой теории.
По своей исчерпывающей полноте анализ эксперимен-
тальных данных, представленный в настоящей работе,
отличает ее от известного изложения теории пространст-
ва-времени Вейля. Целью последнего было выразить оп-
ределенные взгляды самого Вейля, несколько отличные
от взглядов Эйнштейна. В последней части книги Паули
содержится критический анализ теории Вейля и идей
Ми, развивающего эту теорию. С другой стороны, статья
Паули отличается от учебника Лауэ тем, что в ней дока-
зательства не приводятся полностью, а лишь указывают-
ся их наиболее существенные моменты. Поэтому мате-
риал, попавший в учебник Лауэ, естественным образом
ограничен, в то время как статья Паули освещает все
наиболее важные работы по теории относительности, ко-
торые появились к концу 1920 г. Более того, во многих
разделах статьи излагается также собственное мнение
автора по обсуждаемым вопросам.
Следует надеяться, что эта книга станет полезным до-
полнением к имеющейся литературе по теории относи-
тельности и поможет как физикам, так и математикам
глубже понять эту теорию.
Мюнхен, 30 июля 1921 г, А. Зоммерфельд

ПРЕДИСЛОВИЕ ВОЛЬФГАНГА ПАУЛИ
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Тридцать пять лет назад эта статья по теории относи-
тельности, написанная мною в возрасте двадцати одного
года для Математической энциклопедии, была впервые
опубликована в виде отдельной кнаги. Предисловие
к ней написал Зоммерфельд, который был редактором
этого тома Энциклопедии и в качестве редактора отвечал
за мою работу.
Цель статьи состояла в том, чтобы дать полный обзор
всей литературы по теории относительности, которая су-
ществовала в то время (в 1921 г.). С тех пор число пуб-
ликаций по теории относительности: учебников, докладов
и статей, непрерывно росло. Этот потон работ особенно
усилился в 1955 г., когда праздновался пятидесятилетний
юбилей первых работ Эйнштейна но теории относитель-
ности, в тот самый год, когда все физпкд скорбили о его
смерти.
В такой ситуации пришлось сразу же отбросить
мысль о том, чтобы в новом, переработанном, издании
отразить всю появившуюся к настоящему времени лите-
ратуру по данной теме. Поэтому я решил сохранить ха-
рактер книги, которая является своего рода историче-
ским документом, и перепечатать старый текст в его пер-
воначальном виде, снабдив его, однако, рядом примеча-
ний. Эти примечания помещены в конце книги и касают-
ся некоторых утверждений из основного текста. В них
читатель найдет основные сведения о дальнейшем разви-
тии теории относительности, а также изложение моей
точки зрения на отдельные нерешенные вопросы.
В особенности в последнем из этих примечаний, по-
священном единым теориям поля, я пе скрываю от чита-
теля своего скептицизма относительно попыток такого

10 ПРЕДИСЛОВИЕ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
рода, сделанных до сих пор, и относительно возможных
шансов на успех подобных теорий.
-Эти проблемы тесно связаны с вопросом об области
применимости понятия классического поля в приложе-
нии к атомным явлениям природы. Моя критика воз-
можности решения этой проблемы на классическом пути,
которая высказывалась в последнем разделе первона-
чального текста, в результате выполненного в 1927 г.
теоретико-познавательного анализа квантовой (волновой)
механики стала еще более обоснованной.
С другой стороны, сам Эйнштейн до конца своей жиз-
ни надеялся найти общее решение этих проблем в рам-
ках классической теории поля. Такое различие мнений
отражает существование великой нерешенной пробле-
мы — проблемы отношения теории относительности и
квантовой теории. Эта проблема, вероятно, еще долго бу-
дет волновать физиков. В частности, пока еще совсем не
ясна связь между общей теорией относительности и
квантовой механикой*).
Поскольку в последнем замечании я подчеркиваю
различие во взглядах самого Эйнштейна, с одной сторо-
ны, и большинства физиков, включая меня, с другой сто-
роны, на проблемы, выходящие за рамки специальной и
общей теории относительности, я хотел бы закончить это
предисловие примирительными замечаниями о месте тео-
рии относительности в развитии физики.
Существует точка зрения, согласно которой теория от-
носительности знаменует собой конец «классической фи-
зики», т. е. физики в стиле Ньюгона — Фарадея — Макс-
велла с ее «детерминистической» формой описания при-
чинности в пространстве и времени, на смену которой
пришла новая физика, описывающая законы природы
квантовомеханическим образом. Эта точка зрения пред-
ставляется мне лишь отчасти правильной и не вполне
отражает то огромное влияние, которое Эйнштейн, созда-
тель общей теории относительности, оказал на общий
ход мышления современных физиков.
*) В последние годы эта проблема обсуждается особенно ин-
тенсивно. Среди полученпых здесь результатов в первую очередь
следует упомянуть обнаруженный Хокингом [354*] эффект кван-
тового испарения черных дыр. Более подробео об этом ем. fill. 14*,
355*] и указанную там литературу. О современном состоянии иро-
блемы синтеза квантовой механики и обшей теории отпосителыю-
ста см. обзоры [356*—358*].— Примеч. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ Ц
Благодаря своему эпистемологическому анализу след-
ствий конечности скорости распространения света (и,
вместе с ним, скорости всех сигналов), специальная тео-
рия относительности стала первым шагом на пути отказа
от наивных наглядных представлений. В ней было по-
кончено с представлением об эфире — гипотетической
среде, вводимой ранее для описания распространения
света. Это случилось не только потому, что такая среда
оказалась ненаблюдаемой, но также и потому, что в ка-
честве элемента математического формализма она оказа-
лась лишней, так как нарушала присущие этому форма-
лизму теоретико-групповые свойства.
В общей теории относительности, благодаря расшире-
нию группы преобразований, Эйнштейну удалось изба-
виться от представления о выделенности инерциальных
систем отсчета, так как это представление оказалось не-
совместимым с теоретико-групповыми свойствами теории.
Формулировка квантовой механики в ее современном
виде была бы невозможна без этого общего критического
подхода, в котором предпочтение отдается концептуаль-
ному анализу соответствия между экспериментальными
данными и математическими величинами в формализме
теории перед наивными наглядными представлениями.
Анализ следствий конечности кванта действия в кванто-
вой теории, с присущей ей «дополнительностью», еще
дальше уводит нас от наглядности. На этот раз в жертву
рациональным обобщениям приносятся как понятие
классического поля, так и понятие траектории частиц
(электронов) в пространстве и времени. И снова от этих
понятий отказались не только потому, что траектории
ненаблюдаемы, но также и потому, что они стали лиш-
ними и нарушают симметрию, присущую общей группе
преобразований, которая лежит в основе математическо-
го формализма теории.
Теорию относительности я рассматриваю как пример,
показывающий, как фундаментальное научное открытие,
иногда даже вопреки воле его автора, дает начало новым
плодотворным направлениям, развитие которых происхо-
дит уже по их собственному пути.
Я признателен Институту фундаментальных исследо-
ваний (Institute for Advanced Study) в Принстоне за
предоставленную возможность во время моего пребыва-
ния там в начале 1956 г. написать дополнительные
замечания к этой книге.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ В, ПАУЛИ Н АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Я благодарен моим коллегам из Принстопа, с которы-
ми я обсуждал многие проблемы, отраженные в этих за-
мечаниях.
Я искренне признателен доктору Джерарду Филду из
Отделения математической физики Бирмингемского уни-
верситета за его превосходную помощь в качестве пере-
водчика.
Цюрих, 18 ноября 1956 г,

ГЛАВА I
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ \. Исторический обзор
(Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн)
Изменение физических понятий, вызванное теорией
относительности, подготовлялось уже давно. Еще в
1887 г. Фогт в одной из работ [1], основываясь на упру-
гой теории света, показал*), что в движущейся системе
координат математически удобно вводить местное вре-
мя t'. При этом начало отсчета времени ?' рассматрива-
лось как линейная функция пространственных коорди-
нат, в то время как единица времени считалась неизмен-
ной. Введением местного времени достигалась справедли-
вость волнового уравнения
также и в движущейся системе координат. Это указание
Фогта оставалось, однако, совершенно незамеченным,
и лишь подобные преобразования появляются снова в
фундаментальных работах, опубликованных в 1892 и
1895 г. Г. А. Лоренцем [2]. К формальному пониманию
удобства введения в движущейся системе местного вре-
мени t' здесь прибавляются существенные физические
результаты. Лоренц показал, что при учете движения
расположенных в эфире электронов все эффекты первого
порядка относительно vjc, которые были обнаружены
при наблюдениях (v — скорость поступательного движе-
ния вещества, с — скорость света), могут быть количест-
венно описаны теорией. В частности, теория объясняла
отсутствие в первом порядке влияния на электромагнит-
*) Формулы Фогта получаются из приводимого ниже уравне-
ния A), если положить к = }'1 — р2.

14 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ные явления движения материи и наблюдателя с одина-
ковой скоростью относительно эфира*).
Отрицательный результат интерференционного опыта
Майкельсона **), поставленного для обнаружения эф-
фекта второго порядка относительно vjc, представлял,
однако, большие затруднения для теории. Чтобы устра-
нить эти трудности, Лоренц [7] и независимо от него
Фитцджералд предположили, что все тела, движущиеся
поступательно со скоростью v, изменяют свои размеры.
Именно, было предположено, что в направлении движе-
пия уменьшение размера тела определяется множителем
хУ1— v2lc2, где к — изменение размеров в направлении,
перпендикулярном к скорости тела; само х остается не-
определенным. В целях обоснования этой гипотезы Ло-
ренц указывал на возможность изменения молекулярных
сил при поступательном движении. Действительно, если
предположить, что молекулы находятся в положениях
равновесия, а силы взаимодействия между ними носят
чисто электростатический характер, то из теории непо-
средственно следует, что в движущейся системе равнове-
сие наступит тогда, когда все расстояния между частица-
ми в направлении движения сократятся в отношении
У1 — v2jc2, а расстояния в направлениях, перпендику-
лярных к скорости тела, останутся неизменными.
Далее возникла задача органически ввести это «ло-
ренцево сокращение» в теорию и объяснить отрицатель-
ный результат других опытов [8], поставленных с целью
обнаружить влияние движения Земли на различные про-
цессы. Здесь следует прежде всего упомянуть Лармора,
*) Брейс [3] и Штрассер [4] доказали ошибочность противо-
речащих как теории относительности, так и электронной теории
результатов Физо, обнаружившего влияние движения Земли на
поворот плоскости поляризации света при его наклонном прохож-
дении через стекляпную пластинку. Упомянем, далее, что теория
Лоренца оставляет открытой возможность обнаружения эффектов
«эфирного ветра» первого порядка при помощи гравитации. Напри-
мер, как было указано Максвеллом, движение Солнечной системы
относительно эфира должно иметь следствием первого порядка
неравенство времен затмения спутников Юиитера. Бэртон [5] (си.
также [6]) нашел, однако, что ожидаемые ошибки так же велики,
как сам указанпый эффект, и, таким образом, наблюдение спут-
ников Юпитера пе может быть привлечено для решения вопроса
о справедливости старой теории эфира.
**) Описание этого опыта есть у Лоренца (см. статью V, 14
в Enzyklopiidie der mathematischaften).

§ 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 15
который еще а 1900 г. вывел формулы, известные в на-
стоящее время под названием преобразований Лоренца,
и, таким образом, учел также изменение масштабов вре-
мени при движении [9]. В законченной в конце 1903 г.
обзорной статье Лоренца [10] содержатся краткие заме-
чания, оказавшиеся в дальнейшем очень плодотворными.
Лоренц предположил, что если масса неэлектромагнитно-
го происхождения так же зависит от скорости, как масса
электромагнитная, то можно теоретически доказать, что
и при наличии молекулярного движения единственным
следствием поступательного движения тела будет упомя-
нутое его сокращение. В связи с этим был бы объяснен
результат опытов Троутона и Нобля. Кроме того, был
поднят важный вопрос о возможном изменении при дви-
жении размеров электрона [11]. Однако во введении
к своей статье Лоренц еще принципиально стоит на той
точке зрения, что все процессы зависят не только от от-
носительного движения рассматриваемых тел, но также
от движения относительно эфира [12].
Мы подходим теперь к рассмотрению трех работ, Ло-
ренца [13], Пуанкаре [14] и Эйнштейна [15], в кото-
рых были установлены положения и развиты соображе-
ния, образующие фундамент теории относительности*).
В появившейся раньше других работе Лоренца содер-
жится доказательство инвариантности уравнений Макс-
велла относительно преобразования координат вида
A)
(Р = vie)
при условии подходящего выбора выражений для напря-
женности электрического и магнитного полей в штрихо-
ванной системе **). Это, однако, было строго доказано
только в отношении уравнений для пространства без за-
рядов. Члены, содержащие плотность заряда и ток в
*) Статьи [13—15] были переведены на русский язык и на-
печатаны в сборнике «Принцип относительности» (М.: ОНТП,
1935).— Примеч. ред.
**) Чтобы из формул Лармора и Лоренца получить форму-
лы A), нужно еще эамеЕить х на х — vt, так как в них уже сде-
лан обычный переход к движущейся системе.

16 ГЛ. I, ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
штрихованной системе у Лоренца, отличаются от тако-
вых в движущейся системе, так как плотность заряда и
ток были им не вполне правильно преобразованы. По-
этому он рассматривает обе системы как равноправные
не вполне точно, а лишь с большим приближением.
Предполагая, что электрон при поступательном движе-
нии испытывает деформацию A), а любые силы и массы
зависят от скорости так же, как электромагнитные силы
и масса, Лоренц смог показать, что сокращение размеров
имеет место для всех тел даже при наличии молекуляр-
ного движения, а также разъяснить причины отрица-
тельного результата всех известных попыток обнаружить
влияние движения Земли на оптические процессы. Более
отдаленным следствием является то, что необходимо по-
ложить к = 1, т. е. что в направлении, перпендикуляр-
ном к движению, размеры тел не изменяются, если ука-
занное объяснение вообще возможно. Следует подчерк-
нуть, что и в этой работе принцип относительности для
Лоренца отнюдь не был очевиден. Далее, характерна для
него, в противоположность Эйнштейну, попытка понима-
ния сокращения тел как причинно обусловленного
явления.
В работе Пуанкаре были заполнены формальные про-
белы, оставшиеся у Лоренца. Принцип относительности
был им высказан в качестве всеобщего и строгого поло-
жения. Поскольку Пуанкаре, как и остальные упомяну-
тые авторы, принимает, что уравнения Максвелла для
пустоты справедливы, отсюда вытекает требование кова-
риантности всех законов природы относительно «преоб-
разований Лоренца»*). Неизменность перпендикуляр-
ных к направлению движения размеров тела совершенно
естественно вытекает из того требования, чтобы преобра-
зования, с помощью которых осуществляется переход от
неподвижной к движущейся системе, образовывали груп-
пу, содержащую в качестве подгруппы обычные сдвиги
системы координат. Далее, Пуанкаре исправил лоренце-
вы формулы преобразования плотности заряда и тока и,
таким образом, достиг полной ковариантности уравнений
электронной теории. О трактовке в этой работе вопросов
тяготения и применении мнимой координаты ict будет
еще сказано ниже (см. § 50 и 7).
*) Названия «преобразования Лоренца» и «группа Лоренца»
впервые фигурпруют именно в этой работе Пуанкаре,

§ 2, ПОСТУЛАТ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 17
Основы новой теории были доведены до известного
вавершения Эйнштейном. Его работа 1905 г. была на-
правлена в печать почти одновременно с сообщением
Пуанкаре, и написал ее Эйнштейн, не зная о работе Ло-
ренца 1904 г. Исследование Эйнштейна содержит не
только все существенные результаты обеих названных
работ, но также прежде всего отражает совершенно но-
вое и глубокое понимание всей проблемы. Ниже это ис-
следование излагается детально.
§ 2. Постулат относительности
Отрицательный результат многих опытов*), постав-
ленных с целью обнаружить влияние движения Земли
на различные процессы путем измерений на ней самой,
позволяет почти с достоверностью утверждать принципи-
альную независимость любых явлений в движущейся си-
стеме от поступательного движения этой системы в це-
лом (см. примеч. 1). Точнее можно сказать, что имеется
троекратно бесконечное множество **) равномерно и
прямолинейно движущихся друг относительно друга си-
стем отсчета, в которых все явления протекают одинако-
во. Мы будем ниже, следуя Эйнштейну, называть такие
системы галилеевыми, так как в них соблюдается закон
инерции Галилея. Представляется неудовлетворитель-
ным, что не все системы рассматриваются как равно-
правные или, по меньшей мере, что отсутствует логиче-
ское обоснование для выделения определенного семейст-
ва систем. Этот недостаток устранен в общей теории от-
носительности (см. гл. IV). Пока же мы должны ограни-
читься галилеевыми системами отсчета, т. е. относи-
тельностью при равномерном и прямолинейном дви-
жении.
Постулат относительности устраняет из физических
теорий эфир, рассматриваемый в качестве субстанции.
*) Кроме [8] укажем на повторение опыта Майкельсона [16]
(см. также дискуссию [17]), опыты для установления двойного
лучепреломления, обязанного движению Земли [181'. опыт для ус-
тановления изменения электрического сопротивления проволоки в
зависимости от ее ориентации относительно направления движения
Земли [19]. Об экспериментальных основаниях специальной тео-
рии относительности см. также обзор [20].
**) Мы отвлекаемся здесь от изменений начала координат и
вращения координатных осей,
2 в, Паули.

18 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Действительно, не имеет никакого смысла говорить о по-
кое или движении относительно эфира, если они прин-
ципиально не могут быть обнаружены с помощью наблю-
дений. Это еще менее смутит нас в настоящее время,
когда уже с успехом стали сводить упругие свойства ма-
терии к электрическим силам. Пытаться же после этого
снова объяснять электромагнитные явления с помощью
упругих свойств гипотетической среды было бы совер-
шенно нелепо*). Механическая теория эфира стала, соб-
ственно говоря, излишней и тормозящей дальнейшее раз-
витие уже тогда, когда упругая теория света была заме-
нена электромагнитной. В этой последней материальный
эфир всегда был чужеродным телом. Уже после создания
теории относительности Эйнштейн [22] предложил снова
ввести понятие эфира, рассматриваемого уже не как суб-
станция, а лишь как совокупность тех физических вели-
чин, которые должны быть приписаны пространству, не
заполненному материей. Понимаемый в этом более ши-
роком смысле эфир действительно существует, однако
следует помнить, что он не имеет, конечно, никаких ме-
ханических свойств; иными словами, пространство без
материи не обладает такими физическими характеристи-
ками, как положение и скорость.
Может показаться, что после отказа от представлений
об эфире принцип относительности становится очевиден.
Однако более подробное рассмотрение показывает, что
это не так**). Действительно, ясно, что мы не можем
сообщить поступательного движения всей Вселенной и
проверить, влияет ли это движение на течение каких-ли-
бо процессов. Принцип относительности имеет поэтому
эвристическое и физическое значения только в том слу-
чае, если он справедлив в отношении любой замкнутой
системы. Возникает, однако, вопрос, когда можно считать
систему замкнутой? Достаточно ли для этого условия от-
даленности всех масс, не входящих в рассматриваемую
систему***)? Ответ, в соответствии с опытом, гласит, что
в случае равномерного и прямолинейного движения это-
го достаточно, а для других движений недостаточно. За-
*) Соображения, близкие к высказанным, приводит М. Борн
[21].
**) См. также [23].
***) На необходимость принимать во впимание отдаленные
массы в специальной теории относительности указывал в другой
связи Гольст (II. Hoist [48J),

g 3. ПОСТУЛАТ ПОСТОЯНСТВА СКОРОСТИ СВЕТА 19
метим, что необходимо еще объяснить привилегирован-
ность равномерного и прямолинейного движения (см.
гл. IV, § 62), Резюмируя, мы можем сказать, что посту-
лат относительности включает в себя утверждение, что
равномерное и прямолипейное движение «центра тяже-
сти» Вселенной относительно некоторой замкнутой систе-
мы пе влияет на процессы в этой системе,
§ 3. Постулат постоянства скорости света.
Теория Ритца и родственные теории
Принятия принципа относительности еще недостаточ-
но для того, чтобы сделать вызод о ковариантности за-
конов природы относительно преобразований Лоренца.
Так, классическая механика вполне согласуется с прин-
ципом относительности, хотя преобразования Лоренца
неприменимы к ее уравнениям. Лоренц и Пуанкаре, как
мы видели выше, положили в основу своего рассмотре-
ния уравпения Максвелла. С другой стороны, абсолютно
необходимо настаивать на том, что такое фундаменталь-
ное утверждение как принцип ковариантности должно
выводиться по возможности из самых простых основных
положений. Эйнштейн показал, и в этом его большая
заслуга, что для этой цели достаточно принять только
следующее электродинамическое положение: скорость
света не зависит от движения источника. Если источник
света точечный, то во всех случаях фронтом волны явля-
ется сфера с покоящимся центром. Это положение мы
будем, как принято, коротко называть положением о
«постоянстве скорости света», хотя такое название мо-
жет дать повод к недоразумениям. Об универсальном по-
стоянстве скорости света в пустоте не может быть речи
уже потому, что скорость света постоянна только в гали-
леевых системах отсчета. Независимость же скорости
света от движения источника сохраняется и в общей
теории относительности. Положение о независимости ско-
рости света от движения источника оказывается также
истинным ядром старого понимания эфира. (О равенстве
числового значения скорости света во всех галилеевых
системах см. § 5.)
Как будет показано в следующем параграфе, приня-
тие принципа относительности и положения о постоян-
стве скорости света приводит к изменению старых поня-
тий о времени. Поэтому Рдтц [24] и независимо от него
2*

20 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Толмен [25], Кунц [26] и Комсток.[27] подняли вопрос
о возможности, отказавшись от принципа постоянства
скорости света и сохраняя только первый принцип, по-
строить теорию, согласующуюся с опытом и в то же время
не приводящую к таким радикальным изменениям. Ясно,
что при этом необходимо отбросить не только существо-
вание эфира, но и уравнения Максвелла для пустоты, и,
таким образом, вся электродинамика должна быть по-
строена заново. Это было выполнено в форме системати-
ческой теории только Рптцем. Он сохранил уравнения
rot Е + — Н = 0; div Н = 0,
С
так что напряженности полей могут быть, как и в обыч-
пой электродинамике, выражены через скалярный и век-
торный потенциалы:
Е = — grad ф — А; Н = rot A.
Уравнения обычной электродинамики
[rpp']t'=t-r/C
заменяются следующими:
'\t'=t—Tj{Q + VT
в соответствии с предположением, что скорость света
равна с лишь относительно источника, так же как ско-
рость электромагнитного возмущения равна с лишь от-
носительно электрона, его вызывающего. Теории, в кото-
рых делается подобное предположение, мы будем имено-
вать коротко теориями истечения. Так как принцип от-
носительности в них удовлетворяется сам собой, все они
объясняют результат опыта Майкельсона. Необходимо,

§ 3. ПОСТУЛАТ ПОСТОЯНСТВА СКОРОСТИ СВЕТА 21
однако, выясвить, согласуются ли теории истечения со
веема остальными оптическими явлениями.
Заметим прежде всего, что теории истечения ие со-
гласуются с молекулярным объяснением преломления и
отражения света, для которого существенно предположе-
ние об интерференции падающей золпы со вторичными
волнами, излучаемыми элементарными диполями среды.
В самом деле, если, например, считать среду покоящей-
ся, а источник света движущимся относительно нее, то
согласно Ритцу волны, излучаемые диполями, имеют
скорость (равную с), отличную от скорости падающей
волны, а следовательно, интерференция между ними не-
возможна. Далее, теории истечения позволяют объяснить
фундаментальный для оптики движущихся сред опыт
Физо (ср. § 6) лишь с помощью искусственных дополни-
тельных гипотез. Рассмотрим здесь более подробно пред-
сказания теории истечения относительно эффекта Допле-
ра. Простые соображения показывают, что частота света
должна изменяться точно так же, как в теории эфира;
длина волны, напротив, вследствпе изменения скорости
света должна оставаться такой же, как при неподвижном
источнике*). Следовательно, нужно выяснить, что изме-
ряется при обычном, астрономическом наблюдении доп-
лер-эффекта: изменение частоты или изменение длины
волны. Можно, пытаясь сохранить теории истечения,
принять, что при наблюдениях с призменными прибора-
ми речь идет об измерении изменения частоты. При на-
блюдении с дифракционными решетками решить вопрос
значительно труднее. Толмои придерживается взгляда,
что в данном случае речь идет о длине волны и, таким
образом, теории истечения опровергаются; Стюарт [28],
однако, придерживается противоположного мнения. Ре-
шение этого вопроса не может быть найдено просто по-
тому, что само объяснение дифракции в теории истече-
ния очень неясно. Предсказания различпых теорий исте-
чения об эффекте Доплера при отражении света от дви-
жущегося зеркала расходятся между собой. Так, соглас-
но Дж. Дж. Томсону [29] и Стюарту [28] движущееся
зеркало в отношении скорости отраженного луча эквива-
лентно зеркальному изображению источника света; сот
гласно Толмену оно действует как новый источник света,
находящийся на его поверхности; наконец, согласно
*) Это впервые было отмечиво Толмсиом [25],

22 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ритцу *) скорость отраженного луча равна скорости па-
раллельного ему луча, испускаемого первичным источни-
ком света. Поэтому при неподвижном источнике и движу-
щемся зеркале по Томсону — Стюарту доплер-эффект
длины волны должен отсутствовать, по Толмену он дол-
жен быть равен половине эффекта, предсказываемого
в обыкновенной оптике, а по
Ритцу — совпадать с этим по-
следним.
Доплеровское изменение
длины волны света, отраженно-
го от движущегося зеркала, не-
*>ис- * однократно определялось с по-
мощью интерферометра [31] и
с несомненностью свидетельствует о справедливости пред-
сказания классической оптикой величины эффекта. По-
этому предположения Томсона — Стюарта и Толмена нуж-
но считать опровергнутыми. Майорана [32] наблюдал да-
лее доплер-эффект от движущегося источника с помощью
интерферометра, причем было обнаружено, что эффект
равен ожидаемому на основании классической оптики.
Опыт Майораны не опровергает, однако, теорию Ритца, на
что указывал в особенности Мишо [33]. Если L — источ-
ник света, удаляющийся со скоростью v от неподвижного
зеркала 5 (рис. 1), и А — некоторая неподвижная точка
перед зеркалом, то, в конечном счете, в опыте Майораны
измеряется изменение разности хода при прохождении
туда и обратно отрезка AS = I, связанное с увеличением
скорости источника света от нуля до v. При прохожде-
нии отрезка AS от А к 5 скорость света равна с — v, ча-
стота vi =v(l — v/c) и, таким образом, К\ =(с— v)jv\ =
= %. При отражении от неподвижного зеркала 5 частота
остается той же, а скорость становится равной с + v, т. е.
длина волны %2—ic + v)/v^, Яг = ХA + 2v/c), если огра-
ничиваться величинами первого порядка. Искомое изме-
нение полной разности хода равно
b=2JLi=JL.2l,
с с
так же как в классической теории. Вообще можно пока-
*) W. Ritz (P. Ehrenfost) [24]. См. также [30]. Когда в после-
дующем будет идти речь о «теории Ритца», следует подразумевать
под этим названием упоминаемое здесь не вполне свободное от
произвола положение.

g 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 23
зать, что в величинах первого порядка, если рассматри-
вать лишь замкнутые световые пути, нет разницы между
оптикой Ритца и оптикой обыкновенной, или релятивист-
ской. Поэтому опыты на Земле могут иметь решающее
значение для оценки теории истечения лишь в том слу-
чае, если они распространяются на эффекты второго по-
рядка*). В качестве подобного experimentum crucis мог
бы служить согласно Ла-Роза [34] и Толмену [35] ин-
терференционный опыт Майкельсона, если его провести
со светом не земного источника, а Солнца. Из теории
Ритца, в отличие от теории относительности, следует, что
в этом случае должно наблюдаться смещение полос при
вращении прибора (см. примеч. 2).
Эффекты первого порядка могут противоречить тео-
рии Ритца, если в опыте световой путь разомкнут, а не
замкнут. Подобная возможность имеется не при земных,
а при астрономических измерениях. Уже Комсток [36]
указал на возможные эффекты при наблюдении двойных
звезд. Де Ситтер [37] позднее рассмотрел вопрос количе-
ственно и пришел к следующему выводу: в случае непо-
стоянства скорости света наблюдаемое изменение доплер-
эффекта во времени будет для спектроскопической двой-
ной звезды, движущейся в действительности по круговой
орбите, таким, как если бы траектории обеих звезд были
эксцентрическими. Наличие известных траекторий двой-
ных звезд с очень небольшим эксцентриситетом позволя-
ет установить, что скорость света почти не зависит от
скорости двойной звезды. Если представить скорость све-
та в виде с + kv, то должно быть к < 0,002. Этот резуль-
тат в сочетании с уже упомянутыми трудностями при
объяснении опыта Физо и при построении молекулярной
теории преломления позволяет почти с достоверностью
считать правильным положение о постоянстве скорости
света, а теории истечения Ритца и других признать веду-
щими к непреодолимым затруднениям.
§ 4. Относительность одновременности.
Вывод преобразований Лоренца из обоих постулатов.
Аксиоматика преобразований Лоренца
При поверхностном рассмотрении принцип относи-
тельности и принцип постоянства скорости света кажут-
ся несовместимыми. Пусть, например, наблюдатель А
*) Эго было отмечено Эренфсстом [24] (Phys. Z.).

24 ГЛ., I, ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
движется со скоростью v относительно источника света
L, а наблюдатель В покоится относительно L. Оба на-
блюдателя при этом в качестве фронта волны видят сфе-
ры, центры которых покоятся относительно наблюдате-
лей, т. е. видят две различные сферы. Противоречие, од-
нако, исчезает, если допустить, что до точек пространст-
ва, до которых свет дошел одновременно с точки зрения
наблюдателя Л, с точки зрения наблюдателя В свет до-
ходит не одновременно. Таким образом, мы непосредст-
венно приходим к выводу об относительности одновре-
менности. С этим вопросом связана необходимость сна-
чала дать определение синхронности двух часов, находя-
щихся в различных местах пространства.
Эйнштейн предложил следующее определение син-
хронности часов: часы в точках Р и Q синхронны, если
световой сигнал, посланный из Р в момент tP, придет в Q
в момент tq (tQ измеряется по часам в Q), причем tq =
= (tp + tP)/2, где tP — время возвращения света, отра-
женного в точке Q, обратно в Р. Эйнштейн выбирает
в качестве синхронизирующего сигнала световой сигнал
потому, что пользуясь принципом постоянства скорости
света, можно высказать определенные утверждения
о процессе распространения света. Вообще говоря, син-
хронизация часов возможна и другими методами: с по-
мощью переноса часов из одного места в другое, с по-
мощью упругой связи и т. д. Мы должны потребовать
только, чтобы при подобной синхронизации не получа-
лось никаких неразрешимых противоречий с синхрониза-
цией часов посредством световых сигналов.
Теперь мы в состоянии вывести формулы преобразо-
вания, связывающие координаты х, у, z, t и х\ у', г', t'
двух систем К и К', движущихся относительно друг дру-
га равномерно и прямолинейно. За ось х выберем на-
правление движения и при этом так, чтобы система К'
двигалась относительпо системы К со скоростью v в по-
ложительном направлении оси х. Все авторы начинают
интересующий нас вывод с требования линейности фор-
мул преобразования, которое можно обосновать тем, что
движение, равномерное и прямолинейное в системе К,
должно быть таким же и в системе К' (при этом счита-
ется само собой разумеющимся, что конечные значения
координат в системе К остаются конечными и в системе
К'. Подразумеваются также однородность пространства
и времени и справедливость евклидовой геометрии).

8 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 25
Вследствие обоих принятых постулатов уравнение
г - Л2 - 0 B)
влечет за собой уравнение
~'2 J_ ,/2 _L '2 -,2+'2 __ О (О'\
Это возможно в силу линейности преобразования, толь-
ко если
(г'% 4-' 7/'2 + г'2 Г^Г'Ц = У (г7 + 7/2 + 22 A2V
где к — постояпная, зависящая от v. Если учесть также,
что любое движение, параллельное оси х, после преобра-
зования должно оставаться параллельным этой оси, то
отсюда на основапии элементарных соображений следу-
ют формулы A). Теперь нужно еще особое рассуждение,
для того чтобы показать, что к = 1. Эйнштейн проводит
это доказательство, применяя преобразование A) еще
раз (на этот раз к А"), и при этом с обратной скоростью:
V 1-P2
z =k{—v)z'; t = x (- v) -p=r.
Отсюда
x" = %{v)k{—v)x\ у" = и(и)х(—i>)y;
Так как система Z" покоится относительно К и, следо-
вательно, идентична с нею, должно иметь место ра-
венство
Как отмечено в § 1, и (у) равно изменению поперечных
размеров тела и не должно, следовательно, из соображе-
ний симметрии, зависеть от направления скорости. По-
этому к(у)=х(—v), откуда в сочетании с предыдущим
равенством следует, что %(v)= 1, поскольку у. должно
быть положительным.
Пуанкаре пришел к этому выводу похожим путем.
Он рассмотрел множество всех преобразований, перево-
дящих уравнение B) само в себя (это множество естест-

26 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
венным образом образует группу), и потребовал, чтобы
эта группа содержала б качестве подгрупп:
a) однопараметрическую группу перемещений парал-
лельно оси х (в качестве параметра фигурирует ско-
рость v)\
b) обычные вращения системы координат.
Отсюда опять следует, что и = 1, поскольку требова*
ние Эйнштейна х{и)=к(—v) содержится в Ь). В итоге
мы приходим к вполне определенным формулам преоб-
разования:
д> X~vt . „'_„. 2'_г- t> «-(»/*')* m
У1 - ^ У 1 — Р
х'2 + у'2 + г'2 - сЧ'2 = х5 + у2 + z2 - Л2, (II);
Преобразования, обратные (I), получаются заме-
ной v -*¦ —v:
x'4-vt' , , . t'+(v/c2)x' л. /т ,
К 1 — р3 У 1 —
Простое строение формул (I) делает естественным
вопрос о возможности их получения из общих теоретико-
групповых соображений, без требования инвариантности
*) Для некоторых применений нужно знать также формулы
преобразования в общем случав, когда ось х не параллельна ско-
рости движения. Эти формулы получаются, если разбить г на ком-
поненту Гц, параллельную скорости v относительного движения
систем К и К', и компоненту гх, перпендикулярную к V. Из A)
следует
Уl-f У \ —
в силу соотношений
(rv) v (rv) v , ' ,
ГЦ =i—5—; гЛ = г —г, = г — ^—^—; г = гц + г
полученные формулы можно записать и в такол виде:
1
Л
Эти формулы получены Герглотцем [38].

§ 5. ЛОРЕНЦЕВО СОКРАЩЕНИЕ И ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ 27
уравнения B). В какой мере это возможно, показывают
работы Игнатовского и Франка и Роте [39]. Если пред-
положить, что:
1) преобразования образуют однопараметрическую од-
нородную линейную группу,
2) скорость системы К относительно К' равна с об-
ратным знаком скорости К' относительно К,
3) сокращение масштаба, покоящегося в К', с точки
зрения наблюдателя в К, равно сокращению масштаба,
покоящегося в К, с точки зрения наблюдателя в К',
то можно показать, что формулы преобразования долж-
ны иметь вид
, х — vt , t ~ avx .„.
х = , —; t = ¦ - — ¦ (о)
Относительно знака, величины и физического смысла a
сказать на основе высказанных положений ничего нель-
зя. Таким образом, из теоретико-групповых соображений
можно получить лишь внешний вид формул преобразова-
ния, но не их физическое содержание. Заметим, что из
C) вытекают, если положить a = 0, формулы преобра-
зования обычной механики:
х' = х — vt; t' = t, D)
Эти формулы, следуя Ф. Франку, называют теперь пре-
образованиями Галилея. Они получаются, конечно, так
же, если положить в (I) с = °°.
§ 5. Лорепцсво сокращение п замедление времени
Лоренцево сокращение является простейшим следст-
вием преобразований (I), а следовательно, и обоих ос-
новных положений теории. Рассмотрим стержень, лежа-
щий вдоль оси х и покоящийся в системе отсчета К'.
Следовательно, координаты х1 и т2 его концов не зависят
от t', и величина
х'2 — х[ = 10 E)
равна длине покоящегося стрежня. Длину стержня в си-
стеме К можно определить следующим образом. Найдем
х\ и хч как функции от ( и назовем длиной I стержня в
движущейся системе отсчета расстояние между двумя
точками, которые совпадают с концами стержня одновре-

28 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
менно с точки зрения наблюдателя в системе отсчета К:
Поскольку в системе К' эти точки ае одновременны, мы
не можем ожидать, что I будет равно Iq. В самом деле,
из A) имеем
и, следовательно,
J,- *_; l-l0Vr=J>. G)
У1-Р2
Таким образом, стержень сокращается в отношении
VI —Р2: 1, как это было принято еще Лоренцем. Вслед-
ствие неизменности поперечных размеров тел при пере-
ходе в движущуюся систему сокращение объема описы-
вается той же формулой:
Как уже было упомянуто, лоренцево сокращение свя-
зано с относительностью одновременности; поэтому вы-
сказывалось мнение [40], что это сокращение является
«кажущимся», иными словами, связанным только с на-
шим выбором способа пространствепно-временных изме-
рений. Если считать некоторое явление действительным
только в том случае, если оно констатируется одинако-
вым образом с точки зрения наблюдателей во всех гали-
леевых системах отсчета, то лоренцево сокращение нуж-
но, конечно, считать кажущимся, так как, например, для
наблюдателя, покоящегося относительно системы К',
стержень не представляется сокращенным. Мы не счи-
таем, однако, подобное мнение целесообразным, так как
во всяком случае сокращение стержня принципиально
наблюдаемо. Для обсуждения этого вопроса поучителен
мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном
[41]. Этот эксперимент показывает, что необходимая для
наблюдения лорепцева сокращения констатация одновре-
менности происходящих в различных местах событий мо-
жет быть осуществлена с помощью одних масштабов, без
использования часов. Рассмотрим, например, два масшта-
ба, А\В[ и AiB% одинаковой длины 2о (в покоящейся си-
стеме), движущихся относительно К с равными по абсо-

§ 5. ЛОРЕНЦЕВО СОКРАЩЕНИЕ И ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ 29
лютной величине, но противоположно направленными
скоростями v и —V. Отметим в системе К точку Л*,
в которой перекрываются точки ^i и А2, и точку В*,
в которой перекрываются точки В{ и В2. (Из соображе-
ний симметрии ясно, что оба эти события одновременны
в системе К.) Расстояние А*В*, измеренное масштабом,
покоящимся в системе К, равно
Поэтому мы должны сказать, что лоренцево сокращение
не есть свойство одного масштаба, а представляет собой
принципиально наблюдаемое взаимное свойство двух
движущихся относительно друг друга масштабов.
Масштаб времени при движении испытывает измене-
ние, аналогичное изменению масштаба длины. Рассмот-
рим часы, покоящиеся в системе К'. Время ?', которое
они показывают в К', есть пх собственное время т. Ко-
ординату часов х' мы можем положить равной нулю. Из
Aа) тогда следует
(8)
Таким образом, часы, движущиеся со скоростью v, при
измерении в единицах времени системы К идут медлен-
нее в отношении VI— р2: 1, чем покоящиеся часы. Эго
следствие из преобразований Лоренца, неявно содержа-
щееся уже в исследованиях Лоренца и Пуанкаре, было
ясно выявлено Эйнштейном.
Замедление времени приводит к кажущемуся пара-
доксальному следствию, упомянутому еще в первой рабо-
те Эйнштейна и рассмотренному более подробно Ланже-
веном [42J, Лауэ [43] и Лоренцем [44]. Пусть в точке
Р находятся синхронизованные часы С\ и С2. Если те-
перь заставить часы Сг двигаться в течение времени t со
скоростью v по некоторой кривой до точки Р', то после
этого они перестанут быть синхронными с часами С\.
В момент прибытия в точку Р' часов Сц они будут пока-
зывать время t }'l — fi2 вместо t (момент, когда часы
начали двигаться, принят за момент 2 = 0). Указанное
отставание часов С% имеет место и в том частном случае,
когда конечная точка пути Р' совпадает с начальной Р.
Влиянием ускорения на ход часов можно пренебречь,
если мы находимся в галилеевой системе отсчета. Если

30 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
рассматривать частный случай, когда часы С<х движутся
по оси х до точки Q, а затем обратно к точке Р, так что
изменения скорости в Р и Q будут противоположвыми,
то влияние ускорения, во всяком случае, не зависит от t
и легко может быть исключено. Парадокс заключается
в следующем: если рассматривать весь процесс с точки
врения наблюдателя в системе отсчета К*, относительно
которой часы С% покоятся, а часы С\ движутся так же,
как часы Ci движутся относительно К, то окажется, что
часы Ci опередили часы С\. Решение этого парадокса
заключается в том, что система К* не есть галилеева си-
стема, и, значит, в ней влиянием ускорения на ход ча-
сов пренебречь нельзя; это связано с тем, что в системе
К* ускорение вызывается не внешними силами, а по
терминологии механики Ньютона, силами инерции. Пол-
ное выяснение вопроса возможно, конечно, лишь в рам-
ках общей теории относительности (см, гл. IV, § 53, р\
о четырехмерной • формулировке парадокса часов см.
гл. III, § 24). Заметим, между прочим, что синхрониза-
ция часов путем их перемещения, о которой было упомя-
нуто в предыдущем параграфе, приведет к правильным
результатам, только если экстраполировать показания
часов на нулевую скорость их переноса*).
Вполне очевидно, что согласно теории относительно-
сти опыты, ставящие своей целью обнаружить влияние
прямолинейного движения всей системы на явления,
происходящие в ней, должны привести к отрицательным
результатам. Одиако поучительно выяснить, как будут
выглядеть эти опыты с точки зрения несопутствующей
системы К, т. е. системы, относительно которой наблю-
датель и приборы движутся. С этой целью обсудим ин-
терференционный опыт Майкельсопа. Пусть h и 1% —
длины параллельного и перпендикулярного к направле-
нию движения плеч прибора, измеренные в системе К.
Временные интервалы t\ и t%, за которые свет проходит
эти расстояния, определяются, как известно, из соот-
ношений
*) Подробное обсуждепие этого вопроса можно пайтп в книге
Скобельцына [111.11*].— Примеч. ред.

S 5. ЛОРЕНЦЕВО СОКРАЩЕНИЕ И ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ 31
Вследствие лоренцева сокращения
Поскольку h = h, получаем ct\ — ct2 = 2lofl/1 — ^2. Мо-
жет показаться, что наблюдатель в системе К', движу-
щейся вместе с прибором, обнаруживает скорость света,
равную
отличную от измеряемой наблюдателем в К. Такого мне-
ния придерживался Абрагам [45]. Согласно Эйнштейну,
напротив, скорость света в системе К' — такая же, как
в К, так как необходимо учитывать замедление хода ча-
сов, а поэтому
*' - t /Г^р и ct[ = cfj = 210.
По Абрагаму, замедление хода часов отсутствует. Точка
зрения Абрагама, согласующаяся с результатами опыта
Майкельсона, противоречит, тем не менее, принципу от-
носительности, так как допускает принципиальную воз-
можность установить «абсолютов» движение системы*).
Остановимся несколько более подробно на различии
взглядов Лоренца и Эйнштейна. Прежде всего Эйнштейн
показал, что при более глубоком анализе понятия вре-
мени исчезает разница между «местным» и «настоящим»
временем. «Местное» время Лоренца оказывается просто
временем движущейся системы К . Существует столько
же «времен» и «пространств», сколько галилеевых си-
стем отсчета. Далее, весьма важно, что Эйнштейн сделал
теорию независимой от специальных предположений о
строении материи.
Следует ли на этом основании вообще отбросить
стремление к атомистическому пониманию лоренцева со-
кращения? По нашему мнению это не так. Сокращение
масштаба является не простым, а напротив, крайне
ложным процессом**). Оно не имело бы места, если бы
*) Упомянем здесь мысленные эксперименты, предложенные
В. Вином [461 и Г. Н. Льюисом в Р. Толменом [47], доказываю-
{vie2) * _
щие присутствие члена — г ^ в формуле преобразования
у \ — р
для t.
**) Подробнее этот вопрос анализируется в работах [362*,
363*].— Примеч. ред,

S2 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПКПЛАЛЫГОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
не только основные уравнения электронной теории, но и
еще неизвестные ваконы, определяющие строение элект-
рона, не были бы ковариантными относительно группы
преобразований Лоренца. Мы можем только постулиро-
вать это предположение, зная, что когда указанные за-
коны станут известными, теория будет в состоянии дать
атомистическое объяснение поведению движущихся мас-
штабов и часов. При этом нужно, конечно, сознавать
равноправие обеих движущихся относительно друг друга
систем.
Теоретико-познавательные основы теории относитель-
ности подверглись недавно рассмотрению и о философ-
ской точки зрения*). При этом высказывалось также
то мнение, что теория относительности выбросила за
борт причинность. Мы полагаем, что с теоретико-позна-
вательной точки зрения вполне удовлетворительно счи-
тать относительное движение причиной лоренцева сокра-
щения, так как это последнее есть не свойство одного
масштаба, а соотношение между двумя масштабами. Мы
думаем, далее, что для сохранения причинности нет не-
обходимости использовать наличие масс вселенной, как
это делает Гольст.
§ 6. Теорема сложения скоростей Эйнштейна.
Аберрация. Коэффициент увлечения.
Эффект Доплера
Непосредственно видно, что способ сложения скоро-
стей, применяемый в старой кинематике, непригоден
в кинематике релятивистской. Ясно, например, что ско-
рость v < с, сложенная со скоростью с, должна дать сно-
ва с, а не с + v. Формулы преобразования (I) полностью
содержат в себе необходимые правила. Пусть в К' зада-
но некоторое движение:
Ему соответствует в К движение:
x~x(t); y-y(t); z = z(t).
Мы хотим установить связь между компонентами скоро-
*) См. в особенности [48].

g 6, СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ. АБЕРРАЦИЯ
сти в К':
dx' r dy' > dz' t
__Ux_ucosa; gp-*= и„; w-ux\
, л/ Га Га Га
и - V ия + иу + иг ,
и соответствующими величинами в К\
dx du dz
и — У и% + и\ + и\.
Из Aа) получаем
(хх =* у j dy != dy | dz = dz'*
V i-p2
,, dt' + (p/с8) Лс'
Отсюда путем деления на последнее уравнение находим
t
1 -f- vux/c
Эти соотношения имеются также в цитированной ранее
работе Пуанкаре. Из них следует сразу, что
У и'3 + у2 + 2u'v cos a' — — (u'v sin a'J
с
1 + u't> cos a'/ca
или в другой записи
с 1 -j- и'" соз а,'/с
И
tga_J_i
3 в, Паули

S4 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Обратные формулы получаются из приведенных заменой
v — —V. Для абсолютных значений скоростей при сло-
жении имеет место коммутативный закон; он не имеет
места для направления скоростей. Из A0) сразу получа-
ются формулы, относящиеся к тем частным случаям,
когда складываемые скорости параллельны или перпеп-
дикулярны друг другу.
Далее, из (Па) следует, что сумма двух скоростей,
меньших скорости света, всегда меньше скорости света.
Невозможность скорости относительного движения двух
тел, большей, чем скорость света, следует уже из того,
что преобразования (I) в этом случае приводят к мни-
мым значениям координат. Можно утверждать даже
больше: если действие распространяется в системе К со
сверхсветовой скоростью, то имеются такие системы К',
движущиеся относительно К со скоростями v < с, в кото-
рых событие, происходящее в К после некоторого друго-
го, происходит раньше этого последнего. Именно, прини-
мая, что щ = и, = 0 и и > с, имеем после обращения
формулы A0)
если с/и < vjc < 1. Поскольку, таким образом, понятия
причины и следствия меняются местами, необходимо сде-
лать вывод о невозможности сигналов, распространяю-
щихся со сверхсветовой скоростью [49]. Поэтому ско-
рость света в теории относительности играет во многах
отношениях роль предельно большой скорости. Для того
чтобы предотвратить возможные недоразумения, кото-
рые часто возникают, следует подчеркнуть, что по само-
му ее выводу теорема о невозможности сверхсветовых
скоростей справедлива лишь в галплеевых системах
отсчета *).
Рассмотрим теперь подробнее тот случай, когда одна
из складываемых скоростей равна скорости света, т. е.
и — с. Направление светового луча оставим произволь-
*) Речь идет о невозможности движения со сверхсветовой ско-
ростью сигналов, с помощью которых можно передавать инфор-
мацию. Теории относительности не противоречит существование
сиерхсветовых скоростей (которые могут, например, возникать при
движении светового зайчика по экрану: См., например, [И.З*,
с, 212] и [ПА*, гл, 9].— примеч. ред.

t в. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ, АБЕРРАЦИЯ 85
ным. Прежде всего из A1)" видно, что и = с, т. е. сумма
скорости света и скорости, меньшей скорости света, рав-
на опять скорости света. Соотношение A2) дает
V 1 — Р2 sin а' ,,О\
tga = - 7-т-к—, A3)
6 cos а + р v '
Это выражение представляет собой релятивистскую фор-
мулу для аберрации света, которую Эйнштейн вывел
уже в своей первой работе. Ее более строгое обоснование
будет дано ниже. С точностью до величин первого поряд-
ка она совпадает с классической формулой. Теория отнэ-
сительности вносит здесь принципиальное упрощение,
заключающееся в установлении полной идентичности
двух случаев: движущийся источник света — неподвиж-
ный наблюдатель и неподвижный источник света — дви-
жущийся наблюдатель.
Второе важное применение теоремы сложения скоро-
стей Эйнштейна, на которое впервые указал Лауэ [51]
после неудачной попытки Лауба [50], состоит в объяс-
нении френелевского коэффициента увлечения. Как и в
случае аберрации, релятивистская формула с точностью
до величин первого порядка совпадает с выведенной Ло-
ренцем*) в рамках старой теории. Релятивистский вы-
вод имеет, однако, то большое преимущество, что он про-
ще и из него очевидна независимость конечной формулы
от специальных предположений о механизме преломле-
ния света. Кроме того, само понимание вопроса иное.
Раньше опыт Физо рассматривался как прямое доказа-
тельство существования неподвижного эфира, поскольку
принималось**), что световые волпы распространяются
относительно движущейся среды не со скоростью с/п,
а со скоростью с/п — v/n2. С релятивистской точки зре-
ния это не так, в силу невозможности применять
здесь обыкновенную кинематику. Мы должны принять,
что для наблюдателя, движущегося со средой, свет рас-
пространяется во все стороны со скоростью с/п. Уже из
этого следует, что для наблюдателя, движущегося со ско-
ростью v относительно среды, свет распространяется не
со скоростью с/п + v, а с некоторой скоростью У, опре-
*) См. статью V, 14, § 16 в Enz. math. Wiss. Более простой
вывод коэффициента увлечения методами электронной теории Ло-
ренц дает в [52].
**) См., например, [53],
3»

36 гл, i, основы специальной теории относительности
деляемой соотношениями A0). Мы ограничимся здесь
случаем, когда направление света совпадает с направле-
нием движения наблюдателя относительно среды. В об-
щем случае, к которому мы вернемся в гл. III, § 36, if,
применение теоремы сложения скоростей требует осто-
рожности. Полагая и'х — и' — с/п; их = и — V, получаем,
используя первое из уравнений A0),
i + vlcn п \ п2)
где второе выражение получается, если ограничиться
членами первого порядка. В случае диспергирующей сре-
ды в правую часть этой формулы нужно внести, как от-
метил Лорепц [54], еще одну поправку. Как ясно из
вывода, в этом случае п есть показатель преломления
для длипы волпы V, измеряемой в сопутствующей систе-
ме координат К'. Вследствие эффекта Доплера, теория
которого рассмотрена ниже, она выражается через длиау
волны К, измеряемую в системе К:
(мы ограничиваемся и здесь членами первого порядка),
поэтому
с dn « nv
~ 1? dk e
и, если писать п вместо я(Я), получаем окончательно
Зееману [55] удалось экспериментально доказать нали-
чие добавочного члена
Экспериментальное устройство многократно изменя-
лось, причем свет выходил через движущуюся поверх-
ность, а не через неподвижную, как раньше. Иногда свет
входил перпендикулярно к направлению движения тела,
в котором определялось увлечение. При этом использова-
лись стекло и кварц вместо жидкости, применявшейся

S 6. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ. АБЕРРАЦИЯ 37
Физо. В указанных случаях теория нуждается в извест-
ных изменениях (ио сравнению с теорией опыта Физо),
приводящих к конечной формуле, отличпой от A4а)*).
Поступательное движение в ряде экспериментов заменя-
лось вращением. Особенно замечателен опыт Саньяка
(в котором вращались вместе все части прибора), так
как из него следует, что вращение системы отсчета отно-
сительно галилеевой системы может быть установлено
оптическими опытами внутри самой этой системы. Ре-
зультат опыта находится в полном согласии с теорией
относительности. Еще ранее Майкельсон [62] предложил
аналогичный опыт для доказательства вращения Земли.
С теоретической точки зрения это предложение подробно
обсудил Лауэ. Мы имеем здесь дело с оптическим анало-
гом опыта Фуко с маятником (см. примеч. 3).
Разберем теперь эффект Доплера, третье фундамен-
тальное для оптики движущихся тел явление, хотя оно
и не связано с теоремой сложения скоростей. Рассмот-
рим очень удаленный источник света L, покоящийся в
системе К. Наблюдатель находится в системе К', движу-
щейся относительно К со скоростью v в направлении по-
ложительных значений коордипаты х. Пусть линия, со-
единяющая источник света и наблюдателя, образует с
осью х в системе К угол а и, кроме того, ось z перпен-
дикулярна к плоскости, определяемой двумя этими на-
правлениями. Тогда в К фаза световой волны задается
выражением
Го . Г, х cos а -\-у sin al
exp puv ^ j^-J
где v — собственная частота источника света. Как мы по-
кажем подробнее в гл. III, § 32, б, фаза должна быть
инвариантна. Поэтому должно иметь место равенство
exV[2mv'[t' -*'cos"' +/ sin a'
v [t -
= exp \2mv [t - х cos я + у sin a]
*) Подобные эксперименты проведены Саньяком [56] (теория
дана в [57], [58]). (О теоретическом понимании см. [59] и, нако-
нец, [60].) Теория всех этих опытов детально развита в рабо-
те [61].

88 ГЛ. I. ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
С помощью (I) сразу получаем отсюда
v' _ у 1~Рс08Ю, A5)
, cos а—р . , smcc у 1 — а /ла\
cosa =-;—а —; sma =—;—-^ ^—, A6)
1 — р cos а 1 — E cos a '
откуда, далее, следует, что
Л/ л о!
tga'= о ¦— A6а)
cos a — В
Установим формулу преобразования телесного утла dQ
некоторого светового пучка. Так как
= d cos a'/d cos a,
из соотношения
1 + Pcosa'=(l-P2)/A-K°sa) A6c)
путем дифференцирования сразу получаем
dQ' _ {~Р dQ. A7)
A — Р cos af
Формула A5) есть выражение эффекта Доплера, форму-
ла A6а) представляет собой обращение ранее встречав-
шегося уравнения A3). Мы получили, таким образом,
новый, более строгий вывод релятивистской формулы
аберрации. Как и следовало ожидать, выражение A5)
для эффекта Доплера также совпадает с классическим,
с точностью до членов первого порядка, которые только
и доступны для экспериментальной проверки. Как и в
случае аберрации, теория относительности вносит здесь
по крайней мере одно принципиальное упрощение, так
как рассматривает как совершенно идентичные разли-
чавшиеся в старой теории и в акустике случаи: покоя-
щийся источник — движущийся наблюдатель и движу-
щийся источник — покоящийся наблюдатель.
Для теории относительности характерно, что даже
тогда, когда скорость источника света перпендикулярна
к направлению наблюдения (т. е. cosa = 0), эффект

§ 6. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ. АБЕРРАЦИЯ 39
Доплера не исчезает. В этом случае согласно A5)
имеем *)
p2. A7а)
Это поперечное доплеровское смещение в красную сторо-
ну находится в полном согласии с замедлением времени,
постулированным для любых часов (см. § 5). Сразу же
после того как Штарк наблюдал эффект Доплера в све-
те, излучаемом каналовыми лучами, Эйнштейн [63] ука-
зал на возможность обнаружения поперечного эффекта
Доплера путем исследования свечения каналовых лучей.
До сих пор, однако, не удалось осуществить этот экспе-
римент, так как крайне трудно сделать а близким к 90°
и отделить релятивистский поперечный эффект Доплера
от обыкновенного продольного (см. примеч. 4).
*} Обычно встречается несколько иная постановка вопроса:
рассматривается частота источника, движущегося перпендикуляр-
но к наблюдателю в лабораторной системе отсчета (т. в. в системе
отсчета К', в которой наблюдатель покоится). Если обозначать
6 = я — а' угол между вектором скорости источника и направле-
нием на него в системе К', то, используя A5) и A6), имеем
v = v -^—g—^ и, в частности, когда источник движется пер-
1 — р соя о
пендикулярно к наблюдателю в системе К', то cos 9 «* 0 и v' .=«¦
= vyi — Р2 (смещение в красную сторону).— Примеч. ред.

ГЛАВА II
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 7. Четырехмерный мир (Минковский)
Как было показано в предыдущей главе, постулаты
относительности и постоянства скорости света приводят
к инвариантности всех законов природы относительно
группы Лоренца. Под группой Лоренца мы подразумева-
ем совокупность всех °°10 линейных преобразований,
удовлетворяющих уравнению (II). Каждое такое преоб-
разование может быть составлено из вращения координат-
ной системы (к совокупности которых можно прибавить
и отражение) и специального лоренцева преобразо-
вания типа (I)*). С точки зрения математики специаль-
ная теория относительности является теорией инвариан-
тов группы Лоренца.
Ее основы заложены работами Мипковского [64]**),
которому удалось придать этой теории очень изящную
математическую форму, используя два обстоятельства.
1. Если ввести вместо обычного времени t мнимую
величину и — ict, то формальное поведение пространст-
венных координат и координаты времени будет одинако-
вым в преобразованиях группы Лоренца и, следователь-
но, во всех законах природы, инвариантных относитель-
но этой группы. Действительно, тогда характерный для
группы Лоренца инвариант
х2 + г/2 + z2 - сН2
*) При переходе от преобразования координат к преобрауова-
пию их дифференциалов смещение начала координат не вызывает
преобразования. Об ограничении на допустимые преобразования
группы Лоренца, вытекающие из условия действительности, и
об изменении знака времени см. § 22.
**) В дальнейшем эти труды цитируются как «Минковский
I, II и III».
В качестве предшественника Минковского нужно упомянуть
Пуанкаре (Rend. Pal., см. [14]), который вводил мнимую коорди-
нату и = ict и часто объединял вместе как координаты точки в
Д4 величины, сейчас называемые компонентами вектора. Некото-
рую роль играет в его работах также инвариантное расстояние,

g 7. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ МИР 41
переходит в
x2 + y2 + z2 + u2. A8)
Поэтому представляется целесообразным с самого начала
не разделять пространство и время, а рассматривать че-
тырехмерное пространственно-временное многообразие,
которое мы вместе с Минковским кратко будем называть
миром.
2. Выражение A8) инвариантно относительно преоб-
разования Лоренца и является квадратичной формой ко-
ординат, что наводит на мысль рассматривать его как
квадрат расстояния мировой точки Р(х, у, г, и) от нача-
ла координат по аналогии с соответствующим квадратом
расстояния х2 + у2 + z2 в обычном пространстве. При
этом в четырехмерном мире вводится геометрия (метри-
ка), весьма родственная евклидовой геометрии. Полного
совпадения обеих геометрий, однако, нет вследствие мни-
мости одной из координат. Например, две мировые точ-
ки, находящиеся на нулевом расстоянии друг от друга,
не обязательно совпадают. В § 22 это будет разъяснено
более подробно. Несмотря на это различие в геометриче-
ских свойствах, мы можем, однако, рассматривать лорен-
цево преобразование по аналогии с вращением коорди-
натной системы в i?3 как ортогональное линейное преоб-
разование мировых координат и как вращение (мнимое)
мировых осей. И, так же как обычные векторное и тен-
зорное исчисления можно рассматривать как теорию ин-
вариантов линейного ортогонального преобразования ко-
ординат в i?3, теория инвариантов группы Лоренца при-
нимает форму четырехмерного векторного и тензорного
анализа*). Мы можем, таким образом, сформулировать
второй важный для теории момент следующим образом:
вследствие того, что группа Лоренца сохраняет инвари-
антной квадратичную форму четырех мировых коорди-
нат, теория инвариантов этой группы допускает геомет-
рическое представление и оказывается естественным
обобщением обычного векторного и тензорного исчисле-
ния на случай четырехмерного многообразия.
•) В основном эти идеи содержатся в уже цитированных ра-
ботах Минковского, однако систематическое изложение их дано
впервые Зоммерфельдом [65].

42 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 8. Более общие группы преобразований
Чтобы развить здесь математический аппарат, при-
годный и для общей теории относительности, приведем
некоторые ее положения.
В общей теории относительности уже нельзя больше
определить расстояние между двумя точками, находящи-
мися на конечном расстоянии друг от друга, так просто,
как это было сделано с помощью соотношения A8). Од-
нако и в этом случае квадрат расстояния ds1 между дву-
мя бесконечно близкими точками можно представить в
виде квадратичной формы дифференциалов координат.
Обозначим координаты не х, у, z, и, а ж1, х2, х\ xi или,
короче, х\ а коэффициенты квадратичной формы — gih.
Опустим {по Эйнштейну) зпак суммирования, приняв
раз навсегда, что производится суммирование от 1 до 4
по каждому индексу, встречающемуся дважды. Мы мо*
жем написать поэтому:
ds2 = g(hdx<dx* (*й~*м). 'A91
Суммирование справа производится так, что индексы i и
к пробегают значения от 1 до 4 независимо друг от дру-
га. Комбинации г, к, в которых i ?* к, встречаются поэто-
му в A9) по Два раза, комбинации, в которых к = i,—
только по одному разу. Это приводит, например, к тому,
что при дифференцировании квадратичной формы
по и' получается
dJ/du' = 2g<ku\ B0)
что соответствует теореме Эйлера
u'dJjdu* = 2/.
В выражении A9) gik, вообще говоря, могут быть произ-
вольными функциями координат. Соответственно общая
теория относительности после того, как величивы gtt оп-
ределены, имеет дело с теорией инвариантов группы
всех точечных преобразований
Следуя эрлангенской программе Клейна [66], мы даем
следующий перечень важнейших для физики групп пре-
образований, отчасти дополняя сказанное выше. Каждая

§ 8, БОЛЕЕ ОБЩИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 43
введенная в нем группа (за исключением В') содержит
предыдущую в качестве подгруппы.
A. Группа линейных ортогональных преобразований
(группа Лоренца), которая оставляет инвариантным
квадрат расстояния
s" = х\ + х\ + xl + х\.
Неоднородные преобразования можно при этом по жела-
нию причислять к группе или нет. Если определить ло-
ренцеву группу как группу линейных преобразований
дифференциалов координат, при которых остается инва-
риантным квадрат расстояния бесконечно близких точек
ds2 = dx\ + dx\ + dx\ + dxl,
то она будет состоять из °°6 однородных преобразований.
Для некоторых приложений, однако, важны именно сме-
щения начал координат. Необходимо также различать
группу собственно ортогональных преобразований с
функциональным определителем, равным +1, которые
непрерывно могут переходить в тождественное преобра-
зование, и охватывающую ее группу, содержащую также
связанные с отражениями несобственные ортогональные
преобразования с определителем, равным —1.
B. Аффинная группа, содержащая все линейные пре^
образования.
В'. Группа аффинных преобразований, которая сохра-
няет неизменным уравнение светового конуса
x\ + xl + xl + xl = 0.
При этом
/2 /2 '2 /2 / й 2 9 2\
Хх + Х2 + ХЪ + Ж4 = р (Zj + Х2 + Х3 + ХА),
где р — произвольная функция координат. О применении
этой (конформной) группы к уравнениям Максвелла и о
ее роли в теории гравитации Нордстрема см. § 28 а 65, S.
C. Проективная группа дробно-линейных преобразова-
ний. Она играла большую роль в ранних исследованиях
математиков по неевклидовой геометрии. Для физиков
эта группа не так важна (см., однако, § 18).
D. Группа всех точечных преобразований, сохраняю-
щих инвариантной дифференциальную форму A9), Тео-

44 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
рття инвариантов этой группы представляет собой тензор-
ное исчисление общей теорип относительности.
Е. Более общая группа Вейля (см. гл. V, § 65).
§ 9. Тензорное исчисление в аффинной геометрии *)
Чтобы избежать различного написания одних и тех
же формул в специальной и общей теории относительно-
сти, мы сразу не будем ограничивать себя ортогональны-
ми преобразованиями и положим в основу наших рас-
суждений группу аффинных преобразований. Геометри-
чески это означает, что мы будем рассматривать косо-
угольные (но не криволинейные) системы координат.
Коэффициенты gih при этом постоянны, но не нормирова-
ны условием gik = 6f, имеющим место в ортогональных
координатах. Что касается величин <si, то они определя-
ются следующим образом:
. (О, если гФк,
6 Ч/ -2. B1)
11, если i = к.
Тензорное исчисление можно вводить различными
способами. Можно, например, интерпретировать компо-
ненты тензора как проекции некоторого геометрического
образования или описать чисто алгебраически заданием
их поведения при преобразовании координат. Минков-
ский рассматривал геометрически только четырехмерный
вектор, в то время как введенное им впервые понятие
бивектора (или, как он называл его,— вектора второго
рода) было определено чисто алгебраически. Работы Зом-
мерфельда [65] сделали, однако, геометрический метод
господствующим, которым он оставался до тех пор, пока
группа Лоренца не была заменена более общими группа-
ми преобразований.
В работах Риччи и Леви-Чнвиты [fi7], в которых был
заложен фундамент тензорного исчисления для общей
*) Кроме перечисленной б § 7 литературы, следует отметить
[67]. Несколько отличную терминологию употребляют в [68]. Да-
лее см. [69]. Относительно системы взаимных векторов см. также
С. Runge [70], где изложепие ограничено, однако, Д3. Далее, см.
по поводу следующих разделов [71]. Нужно еще отметить, что
изложенное здесь тензорное исчисление аффипиой группы преоб-
разований координат только по терминологии отличается от обич-
иой теории инвариантов алгебраических форм.

§ 9. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ 45
группы точечных преобразований, за исключением по-
пытки иатерпретации ко- я коптравариаптпых компонент
вектора, вет никаких геометрических рассуждений. Толь-
ко в последующих работах Гессснберга, Леви-Чивиты и
Вейля [72, 78—80] спова более подчеркивается геомет-
рическая сторона вопроса. Такой подход к проблеме в
полной мере характерен и для диссертации Ланга [69].
Чисто алгебраическое изложение предпочтительно из-за
простоты, геометрическое же — из-за наглядности. Мы
пачнем с алгебраического подхода, однако позднее в от-
дельных случаях дадим геометрическую интерпретацию
рассмотренным понятиям и теоремам.
Величины атшт...1 в которых индексы независимо
друг от друга могут принимать значения 1, 2, 3, 4, на-
зываются компонентами тензора, кооариантного по ин-
дексам iklm... и контравариантного по индексам rst,.., ес-
ли при аффинном преобразовании координат
хл = аЬ\ B2)
обратным которому будет преобразование
я* = а\х'1 B3)
(где коэффициенты оц удовлетворяют соотношениям
a&l = «Я* = «?), B4)
они преобразуются по закону *)
'S S^ .. B5)
В этих выражениях, согласно принятому правилу, произ-
водится суммирование по индексам, встречающимся дваж-
ды (об обобщении этого определения на любое преоб-
разование координат см. § 14), Число индексов в компо-
ненте тензора называют его рангом. Тензоры сервого
ранга называют также векторами. Простейшим примером
последних являются (контравариантные) координаты х*
некоторой точки. Величины 6j, определенные соотноше-
*) Мы считаем правильным заменить исторически более ран-
ние названия «ко- и контраградиентные» на «контра- и ковари-
антныр», причем коптравариантпыми назыпаются величины, пре-
образующиеся так же, как и координаты. Танин образом, мы при-
держиваемся обычных обозначений, введеаиых Риччи и Леви-
Чивитой и примененных Эйнштейном и Вейлем.

46 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
нием B1), согласно B4) являются компонентами тензо-
ра, ковариавтного по индексу i и контравариангного но
индексу к. Кроме того, тензор 6^ обладает тем свойством,
что его компоненты имеют одинаковые числовые значе-
ния в любых системах координат.
При сложении двух тензоров получается новый тен-
зор того же ранга, при умножении — тензор высшего
ранга. Например,
Ь{ = d,
афк = cih, аф* = 4.
При свертывании, т. е. при суммировании компонент
тензора по двум индексам, из которых один — ковариант-
ный, а другой — контравариантный, получается тензор
низшего ранга. Так, из тензора второго ранга t\ получа-
ется инвариант t =» 1%. Можно также комбинировать ум-
ножение и св^ртыванве. Например, образуем сначала
путем умножения щ и Ь' тензор
а затем свертываниел аолутим инвариант
Его можно было получить непосредственно из я, и Ь' пу-
тем иперации
$ — а,Ь'.
Подобным же образом можно получить из тензора вто-
рого ранга aih и векгора xk вектор
и инвариант
Примененные здесь правила допускают обращение. Так,
если а(хг является иавариавтом при любом векторе *', то
а< суть ковариантныв компоненты вектора. Если aik = ам
и а'кх{хк есть иввариаат при любом векторе xt, то а'* суть
компоненты тензора второго ранга, и т. д. Обобщение
этих положении на тензор любого ранга получается ве*
посредственно.

I t, ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ 47
Тензор называется симметричным (соответственно,
анти- или кососимметричным) относительно индексов i и
к, если при перестановке этих индексов его компоненты
не изменяются (соответственно меняют знак), например,
ал — аы (соответственно а* = —ак1). Легко убедиться,
что это свойство не зависит от выбора координат. Одна-
ко существенно, чтобы индексы г и к были либо оба
верхние, либо оба нижние.
Величины gik, введенные в A9), образуют тензор, что
следует из инвариантности g^x4*). Этот тензор имеет
важнейшее значение как для геометрии, так и для фи-
зики и называется фундаментальным (или метрическим)
тензором. С помощью gik можно получить новые тензор-
ные компоненты следующим образом. Образуем вначале
детерминант g из gih:
g-Ы. B6)
Затем разделим миноры, соответствующие g^, на g. Мы
получим 10 величин glh {g'k — ghl), которые удовлетворя-
ют соотношениям
8j. B7)
Отметим, что
\gik\ - Не. B6а)
Докажем, что glh являются контравариантными компо-
нентами тензора второго ранга. Действительно, из конт-
равариантных компонент вектора ah путем умножения
на gik и последующего свертывания получаются ковари-
антные компоненты вектора
в» = gufl"- B8)
Разрешая эти уравнения относительпо аь, получаем
af = gmah. <28aJ
Так как компоненты ah полностью произвольны, тензор-
ный характер glh вытекает из приведенной выше теоремы.
Мы называем величины at и а' ковариантными и кон-
травариантными компонентами одного и того же вектора.
Аналогичным образом можно определить опускание или
*) В аффинной геометрии обе точки, квадрат расстояния меж-
ду которыми определен формулой gikx'xh, не должны быть обяза-
тельно бесконечно близкими (см. следующий параграф).

48 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
поднятие индексов и для тензоров высших рангов и рас-
сматривать полученную таким образом систему величин
как совокупность компонент того же тензора. Так,
a-ih = girghsa™ = girul,
>, Uob)
aik _ girghsura _ gtrabt
Поднятие и опускание индексов не меняют соотношения
между тензорами. Необходимо только, чтобы при сверты-
вании суммирование всегда производилось по паре ин-
дексов, один из которых верхиий, а другой — обязатель-
но нижний, например,
/ = сцЬ1 = а{Ъг; сг = aihbh = a^bh] с1 = alhbh = a{bk,
B9)
Этим исчерпываются правила тензорной алгебры. Тензор-
ный анализ, т. е. правила, по которым из тензоров пу-
тем дифференцирования по координатам получаются но-
вые тензоры, является для аффинной группы следствием
тензорной алгебры, так как операторы д/дх" во всех отт
ношениях формально ведут себя как ковариантные ком-
поненты некоторого вектора. Определение и геометриче-
ская интерпретация этого оператора могут быть даны
лишь при изложении тензорного исчисления общей груп-
пы преобразований.
§ 10. Геометрическая интерпретация
контра- в ковариантных компонент вектора *)
Геометрически можно представить вектор в виде от-
резка и назвать его поэтому линейным тензором. Его
контравариантными компонентами являются параллель-
ные проекции этого отрезка на координатные оси. Если
начальную точку вектора поместить в начале координат,
то эти проекции будут представлять собой координаты
конечной точки вектора. Последние же на основании пре-
дыдущего параграфа ведут себя при переходе к новой
системе координат как контравариантные компоненты
вектора. Как и в пространстве трех измерений, можно
представить сумму двух векторов диагональю паралле-
лограмма.
*) В этом параграфе мы придерживаемся изложения Гес-
сенберга [72],

I 10. КОНТРА- В КОВАРИАНТНШ КООРДИНАТЫ 49
Мм должны теперь ввести понятия длины и угла. Бу-
дем исходить при этом из декартовой (ортогональной)
системы координат (Х\, Хг, Хз, X*). В пей квадрат дли-
ны некоторого вектора х с компонентами Xt определяет-
ся формулой *]
х2 = 2 х* C0)
и два вектора называются ортогональными, если
равно нулю. Величина (ху) называется скалярным про-
изведением векторов х и у. Инвариантность этого опре-
деления относительно ортогональных преобразований сле-
дует из инвариантности C0) и из соотношения
(%х + цуJ = Х2х2 + 21ц (ух) + ц2у2.
Так как это — форма, положительно определенная отно-
сительно к и ц, то
(хуJ-х2у2<0,
причем знак равенства относится к случаю параллельно-
сти х и у, т. е. к случаю, когда х = ау. Вследствие этого
мы можем определить угол между двумя направлениями
соотношением
cos(x, у) = (ху}/УхуС C2)
Геометрический смысл скалярного произведения такой
же, как в трехмерном пространстве: оно равно ортого-
нальной проекции вектора х на направление у, умножен-
ной на длину у. В этом можно непосредственно убедить-
ся, выбрав ортогональную систему координат так, чтобы
одна из осей совпадала с направлением у, что всегда
возможно.
Чтобы найти теперь выражения для длин и скаляр-
ного произведения векторов в любой косоугольной систе-
ме координат, охарактеризуем эту систему четырьмя ба-
зисными векторами еА (А = 1, 2, 3, 4), контравариантные
*) При этом мы пока принимаем, что в C0) все квадратк
имеют положительный знак и координаты вещественны. К отлич-
ному от этого случаю пространственно-временного мира мы вер-
немся в § 22,
4 в, Паули

50 ГЛ. II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
координаты которых в этой системе равны
в1 =A,0, 0,0), е2=@, 1,0,0),
C3)
е3 = @, 0, 1, 0), с4=@, 0, 0, 1).
Их длины в общем случае отличны от единицы. Таким
образом, хотя длина вектора будет измеряться единым
масштабом во всех координатных системах, проекции его
на оси, вообще говоря, даже для разных осей одной и
той же системы коордипат будут измеряться различными
масштабами. Тогда каждый вектор х может быть пред-
ставлен в форме
х = Л„. C4)'
Следовательно, длина и скалярное произведение равпы
х*~(х%)(х*ек) = (е*н)х'х* = §«х<х\ C5)
(ху) = (х'ек) {укек) = (е^)хУ = tf«*V\ C6)
где
?* = (<*>>). C7)
Из равенства C7) можно усмотреть геометрическое зна-
чение величин gtk.
Введем теперь четверку векторов е&, взаимных четвер-
ке векторов е*. Она определяется соотношениями
Ы) - 8?, C8)
т. е. векторы е$ перпендикулярны к подпространствам,
образуемым соответствующими тремя векторами еи и их
длины к тому же определенным образом нормированы.
Если мы теперь обозначим Xi параллельные проекции х
на взаимные оси, измеренные в соответствующих масшта-
бах, то
х - хк*Ъ C9)
Чтобы получить соотношение между хг и х1, умножим
равенство
хье1 «= x4h C9а)
скалярно на ef. Учитывая C7) и C8), получаем
D0)

I 10, КОНТРА- И КОВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ 51
Другими словами, параллельные проекции вектора х на
взаимные оси, измеренные в единицах масштаба, соответ-
ствующих этим осям, являются ковариантныма координа-
тами вектора*). В то же время, умножая C9а) ска-
лярно на ej, ыаходим
х* = (е?е*) хп
и, так как х' = gihxk, то
D1)
Образуя квадраты выражений C4) и C9), а также пе-
ремножая эти выражения, получаем
x7*=gikx<xh = gfkxixk = xixi. C5а)
Аналогично,, образуя скалярное произведение векторов
х = j*eh = xhe*h и у = yhek = yke*k,
находим
(ху) = gbtfy* = txtyh = xty' == sty,. C6a)
Остается установить поведение базисных векторов е(
при преобразовании координат. Если е, — базисные век-
торы новой (штрихованной) системы координат, то для
любого вектора х имеем
х = x^e'i = xhek-
Из соотношений B2) и B3) следует, что
| ^ D2)
D3)
*) У Гиччи и Леви-Чавиты, а также у Ланга (см. [67—691)
ковариантные компопенгы вектора интерпретированы как ортого-
нальные проекции воктора на обычные оси. При этом, однако, не-
обходимо добавить еще множитель, нарушающий простоту а сим-
метрию формул. Из C9) скалярным умножением на е* мы полу-
чим xt «• (е(Х). На основании C7) ортогональная проекция х яа
е< равна
xi xi xi
У(&) Ya
(по I здесь суммировать не нужно). Надо еще заметить, что в де-
картовой системе координат, для которой gik = 8*, разница между
контра- и ковариантньши компонентами исчезает, а базисные век-
торы ej совпадают со взаимной им четверкой векторов,
4*

52 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Таким образом, сц являются компонентами новых базис-
ных векторов в старой системе, сс\ — компонентами ста-
рых базисных векторов в новой системе. В заключение
отметим, что на основании C7) и D2) для фундамен-
тального тензора gik легко установить формулы преобра-
зования B5).
§ 11. Бивекторы и тривекторы*).
Четырехмерные объемы
Поверхность — это следующий по числу измерений
после линии геометрический объект. И аналогично тому,
как связаны векторы и линии, имеются связанные с по-
верхностью тензоры второго ранга, которые называют
бивекторами. К этому понятию мы можем прийти следу-
ющим путем. Два вектора х и у определяют двумерный
параллелепипед. Параллельные осям его проекции на
шесть двумерных координатных плоскостей задаются
выражениями
Г = *У-*У, D4)
если за единицу площадей брать площади параллелепи-
педов, образованных соответствующими базисными век-
торами е,-. Они образуют контравариантные компоненты
тензора второго ранга, антисимметричного в силу соот-
ношений
Г = -&**. D5)
Если в указанных операциях заменить базисные векторы
взаимными в(, то можно получить ковариантные ком-
поненты
!(* = XtVk — xkyt. D4a)
Будем называть бивектором любой антисимметричный
тензор второго ранга, т. е. тензор второго ранга, компо-
ненты которого удовлетворяют соотношениям D5). Хотя
не каждый такой тензор может быть представлен в фор-
ме D4) —для этого ?,ih должны удовлетворять соотноше-
нию
*) Мы употребляем принятые в математической литературе
термины «бивектор» и «тривектор» вместо используемых автором
выражений «поверхностный» и «объемный» тензоры.— Примеч. ред.

§ И. БИВЕКТОРЫ И ТГИВЕКТОРЫ 53
но всегда возможно представить его в виде суммы двух
бивекторов вида D4). Если ?,-„ и г\А — два бивектора спе-
циального типа D4), то инвариант
/~'ШГ* D7)
представляет собой квадрат площади параллелограмма,
а инвариант
/=VsW D8)
представляет собой произведение плошади r\th и ортого-
нальной проекции параллелепипеда |й на двумерное на-
правление r\ih. Аналогичные инварианты для произволь-
ных бивекторов суть суммы подобных произведений*).
О значении в теории инвариантов левой части D6), если
?'*—произвольный бикектор, см. § 12.
Тривектор может быть представлен трехмерным па-
раллелепипедом, построенным на трех векторах х, у, z.
*) Мы можем в связи с этим указать на плюккеровы коорди-
наты прямой. Если х\, ..., Хь и уи ¦ • ¦, V*—однородные координаты
xi
двух точек на прямой в трохмерпом пространстве (так что —,
xi
хг хз yi y2 ys
~,— и — ,— ,-г—обычные координаты), то прямая определя-
Х4 Xi V4 У4. У4
ется шестью величинами р« = х\уи — хьт/t, отношения которых не
зависят от того или ипого выбора двух точек на прямой. Эти вели-
чины рц, удовлетворяют соотношению D6). Таким образом, имеет
место полная формальпая аналогия с бивекюром в четырехмер-
ном пространстве.
Если, далее, |<*— бивектор типа D4а), то уравнение dx* =
= \ihXh ставит п соотв.егствие каждому вектору х* бесконечно
малое смещение. Так как dx1 лежит в плоскости бивектора %ih и
перпендикулярен к ж*, эта операция соответствует бесконечно
малому вращению Яь величина и направленно которого задается
lid. Если ?,-й — бивектор общего вида, то рассматриваемое смеще-
ние образуется сложепием двух вращений, ортогональных друг к
другу, и может быть обозначено как винтовое движение. Уже
Минкозский (III [64J) отмечает аналогию бивектора с силовым
винтом (Kraftschraube).
Соответствующая аналогия в трехмерном пространстве нахо-
дит далеко идущее применение к механике в теории винтов Бол-
ла [73].
Нужно еще отметить, что самостоятельное 8начепие бивекто-
ров в геомегрии многомерных пространств было осознано Гроссма-
пом [67] и обстоятельно им исследовано,

54 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Его компонентами являются детерминанты:
? 4h
л fi
{49)
Тензор D9), очевидно, антисимметричен, так как при
перестановке любых двух индексов меняется знак ком-
поненты. Число независимых компонент есть 4. В отли-
чие от бивектора тензор D9) является наиболее общим
тривектором, т. е. любой тензор третьего ранга, компо-
ненты которого удовлетворяют указанным выше услови-
ям, может быть представлен в форме D9).
Четыре вектора хП), хB), хC), х<4) определяют некото-
рый четырехмерный параллелепипед. В декартовой си-
стеме координат его объем равен детерминанту, состав-
ленному из 4X4 компонент векторов х. На основании
C4) и C6) этот объем выражается через компоненты в
косоугольной системе следующим образом:
et|ei| = det |a?{)| |? |
|-det |
E0)
Выражение E0) находится применением правила умно-
жения детерминантов; det led и det | е* | означают при
этом детерминанты, составленные из 4 X 4 компонент век-
торов et (соответственно ei) в декартовой системе коорди-
нат. Их можно определить, возведя в квадрат и снова
применив правило умножения детерминантов, учитывая
при этом C7), D1) и B6а):
(det|e,|J = det|e, • е*| = det \gth\ = g;
(det I e* |J = det I ef -ej I = det | ** | = i/g.
Таким образом, инвариантный объем равен
5 = det|^«4-/i = det|4i)|- '
Так как четырехкратный интеграл
vs
E1)
dxl dx2 dx* dx*,
который для краткости мы будем записывать в виде J dx,
при переходе к новой системе координат преобразуется
как detlx'"*!, объем какой-либо произвольной области

I II, БИВЕКТОРЫ И ТРИВЕКТОРЫ 65
равен, по E1),
S=J/idr. E2)
Если интеграл
инвариантен, то по Вейлю [74] 2Л называется скалярной
плотностью. Она образуется умножением обычного ска-
ляра на 1g.
Аналогично этому векторная плотность с компонента-
ми Ш{ определяется условием, что интегралы j mldx (no
бесконечно малой области) образуют компоненту векто-
ра. В подобном же смысле мы говорим и о тензорной
плотности. Она также получается умножением обычного
тензора на Yg.
Введенная в § 9 систематика тензоров не принимает
во внимание симметрии компонент тензоров. Мы, одна-
ко, видели, что, например, антисимметричный и симмет-
ричный тензоры второго ранга в геометрическом отноше-
нии совершенно различны. В тензорном анализе это
различие обнаружится в новом аспекте (см. §§ 19 и 20).
Рекомендуется поэтому по примеру Вейля [75] и в согла-
сии с терминологией грассмановского учения о протяжен-
ности ввести наравне с ранее примененной и новую си-
стематику тензоров. Образуем, как в D4) и D9), ряды
величин %*, %ih, %m, ... Тензоры первого порядка (линей-
ные тензоры) первого, второго, третьего... рангов возни-
кают из линейных, квадратичных, кубичных.., форм од-
ного смещения |f:
Точно так же тензоры второго порядка (бивекторы) воз-
никают из форм
Ь6<* 1, t«fc!m
ihi , Oiximl § , ...
Чтобы коэффициенты однозначно определялись формой,
они должны удовлетворять известным условиям норми-
ровки; aih, аш, ... должны, например, при перестановке
двух любых индексов оставаться неизменными, Ьл долж-
ны быть антисимметричны, компоненты bWm бивектора

66 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
второго ранга (см. примеч. 5) должны удовлетворять со-
отношениям
Viklm = —bhilm = —bikmi = bimih,
bikim + Ьцтк + Ъ1тЫ = О E3Ь)
[последнее следует из соотношений D6) ]. Таким бивек-
тором второго ранга является тензор кривизны (см. § 1В).
Число независимых компонент этого тензора в простран-
стве п измерений понижается на основании E3а) и
E3Ь) до п2(п2—1)/12. Изложенная здесь систематика
не охватывает всех величин, которые по сформулиро-
ванному в § 9 определению являются тензорами. Но в
физических приложениях играют роль только такие тен-
зоры, которые включены в эту систематику.
§ 12. Дуальные тензоры
В четырехмерном многообразии каждой площадке
можно сопоставить нормальную площадку такую, что все
прямые, лежащие в ней, перпепдикулярпы ко всем пря-
мым, лежащим в первой площадке. Мы назовем ее дуаль-
ной к |'к, если она, кроме того, равна последней по ве-
личине. Она определяется в виде
6 — X У — X* у* ,
где векторы х*\ у*' перпендикулярны к х', у*;
Простой расчет показывает, что компоненты |*'* получа-
ются из компонент %ik путем образования четной ^пере-
становки индексов 1, 2, 3, 4 и умножения на 1/У#:
111
Г14=vi1аз; ^*24 = v71н; 1*3 = wii2:
—у- S14- 6 - у- S24> 6 — у- S34-
E4а)
Аналогично, меняя местами |*'* и |а, имеем
^6 . 184- 81 * E4Ь)

§ 13, ПЕРЕХОД К ГЕОМЕТРИИ РИМЛНА 57
При помощи таких же соотношений сопоставляют любо-
му бивектору I ему дуальный. Умножение бивектора \ih
на дуальный ему бивектор \*lh с последующим свертыва-
нием дает на основании D8) инвариант чрезвычайно
простой структуры:
/ = \ &&** = ^ (?»5»4 + Ым + Ы23Ь D6а)
Точно таким же образом тривектору |ш сопоставляют
дуальный вектор |*!. Он представляет собой отрезок, ко-
торый перпендикулярен ко всем образующим параллеле-
пипеда, определяющего тривектор. Длина этого вектора
раина объему параллелепипеда. Для любой четной пере~
становки индексов iklm имеет место равенство
§ 13. Переход к геометрии Римана
Перейдем теперь к изложению теории инвариантов
группы всех точечных преобразований. Для этого необ-
ходимо сначала рассмотреть определение длины и основ-
ные положения общей геометрии Римана. Старые гео-
метрии Болиаи и Лобачевского, отказываясь от евклидова
постулата о параллельных прямых, сохраняли аксиому о
свободном движении твердой системы точек (аксиома
конгруэнтности) и являлись, таким образом, геометриями
пространства с постоянной кривизной. Исходя из проек-
тивной геометрии, также нельзя прийти к метрике более
общего вида. Возможность построения ее впервые была
рассмотрена Римапом [76]. Изменения представлений о
твердом теле, вносимые специальной и общей теорией
относительности, привели к отказу от казавшейся до тех
пор очевидной аксиомы конгруэнтности и к необходимо-
сти в основу рассуждений о пространстве и времени по-
ложить общую геометрию Римана.
Предположим, что в конечной окрестности каждой из
точек многообразия, которое мы рассматриваем (и кото-
рое иногда для краткости будем называть пространством),
может быть введена однозначная и непрерывная система
координат х\ х2, ..., хп. Относительно всего многообра-
зия, однако, мы не высказываем этого предположения.
Число измерений многообразия п оставим пока произ-
вольным. Исходным понятием метрики является длина 5

58 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
кривой, заданной уравнением
j, к = 1, 2, .,., га,
где t — какой-нибудь параметр. Результаты математиче-
ского исследования можно будет применять к многообра-
зиям, с которыми приходится иметь дело в действитель-
ности лишь после того, как длина s будет физически
определена. В /?з мы должны во всяком случав пред-
ставить себе твердый масштаб замененным идеально гиб-
кой измерительной нитью.
Таким образом, нам нужно сделать относительно s(t)
какие-либо приемлемые предположения. Поскольку по-
добные предположения делаются относительно dsldt, а не
относительно s, риманова геометрия является дифферен-
циальной геометрией, в противоположность евклидовой
геометрии, геометрии в целом. В качестве первой аксиомы
мы примем следующую.
Аксиома I. Величина ds/dt в данной точке кривой
зависит только от производных dxk/dt в этой точке и не
зависит от высших производных и от остального хода
кривой.
Так как длина дуги s не зависит от выбора парамет-
ра t, то ds/dt должна быть однородной функцией первой
степени от величины dxh/dt. За расстояние между двумя
точками мы примем длину дуги кратчайшей из соединя-
ющих их линий. Назовем одну из таких линий перпен-
дикулярной к другой, если расстояние между какой-ни-
будь точкой Р линии 1 и точкой пересечения S обеих
линий меньше, чем расстояние от Р до любой другой
точки Q линии 2. Согласно аксиоме I это обстоятельство
зависит не от положения точки Р на линии 1, а только
от производных (dx"/dt)x и (dx"/dt'J в точке S. В этом
случае говорят также, что направление 1 перпендикуляр-
но к направлению 2. Вообще говоря, отсюда еще не сле-
дует, что и направление 2 перпендикулярно к направ-
лению 1. Вид функции ds/dt мы уточним второй ак-
сиомой.
Аксиома II. Величина ds/dt есть квадратный ко-
рень из некоторой квадратичной формы производных
d^/dt:
ds "l/ dx{dxh
4i= У «"II1

g 13, ПЕРЕХОД К ГЕОМЕТРИИ РИМАНА 59
что можно написать короче в виде
ds2 - gl,dxtdx\ A9)
Это равенство было написано еще в § 8. Аксиома II
может рассматриваться как пифагорова теорема для двух
бесконечно близких точек. Именно это ограничение об-
ласти ее применимости характеризует переход от геомет-
рии в целом к геометрии в малом. Вследствие аксиомы II
ортогональность двух направлений является взаимной.
Обратно, если ортогональность линий всегда взаимна, то
элемент линии должен иметь форму A9) [77]. Можно
поэтому аксиому II заменить следующей.
Аксиома II'. Если направление 1 в точке Р орто-
гонально к направлению 2, то направление 2 ортогональ-
но к направлению 1.
Если мы положим в оспову аксиому II, то в случае
п — 2 вернемся к гауссовой геометрии произвольных кри-
вых поверхностей. Подобно тому как эти поверхности
можно рассматривать как поверхности в евклидовом про-
странстве /?з, каждое риманово пространство Rn можно
рассматривать как подпространство в евклидовом /?„<п+1)/2
(п(п+ 1)/2 соответствует числу компонент gik). Однако
можно получить все важные для теории относительности
геометрические положения и не используя этого факта.
Угол A, 2) между двумя направлениями dx' и бх* в точ-
ке Р можно определить точно так же, как и в евклидо-
вом пространстве, только прямые следует заменить бес-
конечно малыми отрезками. Аналогично с C2) находим,
что
Зная линейные элементы по п(п+ {) 12 независимым на-
правлениям (т. е. по п(п + 1)/2 направлениям, для кото-
рых п(п + 1)/2-строчные детерминанты из величин dxlbxk
не равны нулю), можно определить gih в любой точке.
При произвольном преобразовании координат
х'{ = х«(х\а*,...,х')ъ i-1, 2, .... в, E7)
дифференциалы dxh преобразуются однородно и линейно:
{\ E8)

60 ГЛ. II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
где
а\ = дх'УдхК E9)
Обратно:
da* = щк их'1, F0)
где
о{ = дхЪ/дх'1, F1)
Такие же соотношения имеют место по B2) и B3) для
аффинного преобразования координат. Отсюда очевидна
связь общей группы преобразований с аффинной груп-
пой. Существенным, однако, обстоятельством является то,
что а\ не могут быть произвольными функциями коор-
динат, а должны удовлетворять условиям интегрируе-
мости
даЦох* = да\/дз* F2)
или эквивалентным им обратным соотношениям
дакг/дх'1=^даУдх'г, F3)
В одной же точке Ро at могут принимать произвольные
значения. До тех пор, пока мы имеем дело с соотноше-
ниями между тензорами в одной и той же точке, а не с
дифференцированием и интегрированием тензорного по-
ля, можно все тензорные операции аффинной группы
непосредственно переносить на тензоры общей группы
преобразований. Все это иначе можно выразить следую-
щим образом: в тензорной алгебре риманово простран-
ство в рассматриваемой точке Pq можно заменить каса-
тельным пространством, которое получается, если поло-
жить коэффициенты gih всюду постоянными и равными
величинам gui(Po), которые они принимают в римановом
пространстве в точке Ро. Так как форма els'2 инвариантна,
gik являются ковариантными компонентами тензора вто-
рого ранга. Правила перехода к контравариантным ком-
понентам g'h, а также правила образования элемента
объема rfS могут быть также взяты из тензорной алгебры.
§ 14. Параллельный перенос вектора
Для геометрического обоснования тензорного исчис-
ления в римановом пространстве понятие параллельного
переноса векторов является одним из основных. Впервые

I 14. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА 61
оно было введено Леви-Чивитой [78], который при этом
рассматривал римаяово пространство й„ как поверхность
в евклидовом пространстве Лп^+ь/а (см. предыдущий
параграф), затем Вейль [79] дал непосредственное его
определение. Позднее Вейль ввел аксиоматически это по-
нятие для пространства, в котором даже не определена
метрика (см. гл. V) [80].
Пусть имеется кривая
Рассмотрим в каждой ее точке Р совокупность всех вы-
ходящих из нее векторов. Из всех отображений
совокупности векторов в Po(ia) на совокупность векторов
в P(t) нужно выбрать инвариантным образом некую
специальную группу отображений, которые можно было
бы назвать параллельным переносом, или трансляцией.
При этом нельзя просто постулировать, что два парал-
лельных вектора в двух точках, отстоящих друг от друга
на конечном расстоянии, имеют одинаковые компоненты,
так как такое определение неинвариантно относительно
выбора системы координат. Вместо этого свойства транс-
ляции нужно сформулировать так:
1. В каждой точке Р имеется такая система коорди-
нат, в которой равно нулю изменение компонент вектора
при бесконечно малой трансляции вдоль всех исходящих
из Р кривых, т. е. в которой для точки Р
dgldt = 0.
То, что с помощью преобразования координат удает-
ся устранить бесконечно малые изменения компонент
векторов одновременно для всех кривых, выходящих из
точки Р, связывает между собой параллельные переносы
вдоль различных кривых. Простое рассуждение показы-
вает, что изменение компонент вектора в произвольной
системе координат вследствие требования 1 должно
иметь вид
где ГГ8 зависят только от координат, но не от dx'ldt,
и симметричны относительно перестановки нижних

62 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
индексов:
Т1и = It, F5)
Обратно, можно показать, что требование 1 выполняется,
если верны соотношения F4) и F5). При линейном пре-
образовании координат Г'8 ведут себя как компоненты
тензора. Однако это верно только для линейного преоб-
разования, а не для общей группы преобразований.. По-
следнее видно уже из того, что величины Г*8 можно в
некоторой системе координат обратить в нуль, тогда как
компоненты тензора равны нулю во всякой системе ко-
ординат, если они исчезают в одной какой-нибудь систе-
ме, так как они преобразуются линейно и однородно.
Определим еще величины Г*.,-, при помощи соотно-
шений
Г4.„ =giftr*, Г*8 = /srft,rs, F6)
Определение параллельного переноса будет завершено
вторым требованием (см. примеч. 6).
2. Трансляция есть конгруэнтное отображение, т. е.
она оставляет неизменной длину вектора:
i (**& V) = -J- Ш = о-
Этим величины Тгтв связываются с фундаментальным
метрическим тензором. Простым следствием требования 2
является неизмеппоетъ угла между векторами при парал-
лельном переносе. Из того, что F4) и F7) должны
удовлетворяться при произвольных |*, следует, что
^-1\,Р. + ГГ1и F8)
и
ir 3gis dg\
? + 57"S?J-ri-"' F9)
Величины r'g получаются по F6). Кристоффель в своей
работе [81]*) впервые ввел величины П« и I\rs. Он
записывал их при помощи символов | t вместо Trs и
•) Упомянутая работа Римана была написана для парижского
конкурса в 1861 г. и впервые была опубликована в первом изда-
нии собрания трудов Римана (Ges. Werke, 1-е изд., с. 370),

§ ti. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА 63
ГгЛ
i вместо Г(,г,. Часто эти величины называют символами
Кристоффеля второго и первого рода.
Вейль [82] назвал их компонентами аффинной связ-
ности, так как бесконечно близкий перенос по F4) пред-
ставляет собой аффинное отображение векторов. В этой
книге они будут называться коэффициентами связности
данной координатной системы. Координатная система,
в которой они исчезают в точке Р, называется геодези-
ческой в точке Р.
Из инвариантности \{ц* при любом if нолучаются на
основании F4) формулы преобразования для ковариант-
ных компонент |<:
"и = Г'^г = Гм. Ж1, G0)
и, наконец, из
~ (еЧЫ = о
следует тождество
|? + girr% + ёкТГп = 0. G1)
Дифференцируя B6) и B7), получаем соотношения
dgn--tgk"di'.: dgih =-giTghsdgr'\ G2)
и
dg-gglkdgih^-gglKdg<k; G3);
5-«¦?—«•?• w
Из F9) свертыванием получим
Tir = ^ rr,is _T r._ _ _ _ e __- G4)
и затем, на основании G1),

64 ГЛ, П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 15. Геодезические линии
Направление кривой xh = x"(t) в какой-либо точке Р
характеризуется вектором и':
и* •= dx*lds (s —. длина дуги). G6)
Этот вектор касается кривой в точке Р, и длина его рав-
на 1, так как
Геодезической линией называется кривая, направле-
ние которой во всех точках постоянно [83]. Другими сло-
вами, если в некоторой точке Pq геодезическая линия
имеет касательный вектор и\ то касательный вектор к
этой линии в других точках получается параллельным
переносом вектора и' вдоль нее. По F4) и G0) это мож-
но выразить аналитически следующим образом:
или (что эквивалентно),
4^ = - rljuru*. G9)
Последнее равенство можно представить в виде
<*V i ri dxT dx* n
Соотношения (80) представляют собой дифференциаль-
ные уравнения геодезической линии. На основании (80),
обратно, вследствие инвариантности длины вектора при
параллельном переносе следует, что
dxl dxh . ,пп .
Sih—i—г- = const, (''a)
° " ds ds ч
т. е. (80) справедливо только для такого параметра s, ко-
торый с точностью до постоянного множителя равен
длине дуги.
Геодезические линии могут быть определены также
при помощи вариациоппого принципа. Именно, они экви-
валентны упомянутым в § 13 «.кратчайшим» линиям,
или, точнее, «экстремалям» [84], для которых вариация
длины кривой равна нулю (последнее необходимо, но не-
достаточно для минимума). Действительно, пусть А и

§ 15. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ 65
В — фиксированные начальная и конечная точки, s —
длина дуги, к — любой параметр; покажем, что для гео-
дезической линии
в в
gik при этом — заданные функции координат х\ Варьиру-
ются лишь функции хк = хк(к).
Проделаем над (81) известное из механики преобра-
зование*). Для этого мы выбираем параметр к таким
образом, чтобы на экстремалях он совпадал с длиной
дуги s и пробегал всегда ту же область значений.
В окончательных дифференциальных уравнениях можно
будет тогда к заменить на s. Положим, что
т 1 йхх dxk
Тогда
«Г*-Г ,ил ,,
А А У в.. _ _
V lhdX dl
и так как для экстремали выражение в знаменателе рав-
но 1, вместо (81) можно просто написать
в в
f 8L dk = б \bdk = O. (83)
А А
Таким образом, получается полная аналогия с принци-
пом Гамильтона в механике, если рассматривать L как
лаграежеву функцию. Написав х' вместо dx'/dk = dx'/ds,
получим из (83) дифференциальное уравнение **)
AIL. - д± = 0. (84)
ds qx\ dxl
*) В механике оно соогветствует переходу от принципа наи-
меньшего действия в форме, данной Якоби, к принципу Гамиль-
тона (см. [85]).
**) В то время как в обычной механике лагранжевы уравне-
ния получаются, если для прострапственпых коордипат допустить
все возможные точечные преобразования, сказанное выше показы-
вает, что та же форма уравнений сохраняется и в том случае,
если произвольным образом изменять также время; независимой
переменной теперь будет, конечно, не t, a s (см. [86]),
5 в. Паули

68 ГЛ. II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Так как согласно B0)
8L dxh
получаем
ds \gik dsj 2 gxi ds ds '
что совпадает о G8). (В многообразиях, в которых фор-
ма ds2 не дефинитна, приведенный вывод не годится для
кривых, на которых ds = 0. Об особенностях этих «нуле-
вых» линий см. § 22.)
§ 16. Кривизна пространства
Понятие кривизны пространства было впервые введе-
но Риманом [76] как обобщение гауссовой кривизны по-
верхности на случай многообразия п измерений
(см. § 17). Однако относящиеся к этому аналитические
идеи остапались неизвестными до публикации им париж-
ской конкурсной работы. Эта работа содержит его ре-
зультаты полностью: как метод исключения, так и ва-
риационный метод. Уже ранее, однако, Кристоффель [81]
и Липшиц 187] *) получили те же результаты, исследуя
условия возможности преобразования квадратичной
формы
gibdx'dx* (gik — функции х)
к виду
Эта проблема в свою очередь является частным случаем
проблемы эквивалентности двух квадратичных дифферен-
циальных форм, которая также была сформулирована
Кристоффелем, и заключается в нахождении условий воз-
можности преобразования друг в друга двух форм:
и g'ihdx!i dx'\
Эта общая проблема эквивалентности не оказалась, одна-
ко, пока существенной для физики. На основании чисто
*) Последняя работа появилась в печати после опубликова-
ния конкурсной работы Римана (см. сноску на с. 62),

g 16. КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВА 67
формального, но очень короткого, по сравнению с кри-
стоффелевскими вычислениями, рассуждения Риччи и
Леви-Чивиты [67] пришли к понятию тензора кривизны.
К их рассмотрению кривизны примыкает и Эйнштейн
[67]. Наконец, Гессеиберг [72] и Леви-Чивита [78] дали
наглядное геометрическое объяснение этого понятия, свя-
зав его с параллельным переносом векторов*).
В § 14 рассматривался все время параллельный пере-
нос вектора вдоль задапной кривой, а не простой пере-
нос вектора из точки Р в точку Р'. Последний же только
в евклидовой геометрии не зависит от пути. Если же в
общем случае перенести вектор |' вдоль замкнутой кри-
вой в начальную точку, то перенесенный вектор |*' бу-
дет отличен от начального вектора |*. На основании это-
го можно определить тензор кривизны. Пусть задана со-
вокупность кривых
зависящая от двух параметров. Перенесем произвольный
вектор |* из точки Рт(и, v) через точки Р\о(и + Аи, v),
Ри(и + Аи, v + Av), Poi(a, v + Av) снова в точку
Роо(и, v). Перенос будет происходить поочередно по кри-
вым с постоянным v и кривым с постоянным и. Разница
|*" — |" _ дц д0ЛЖна быть, очевидно, порядка ДыДу,
так как опа равна нулю, когда Аи или Ду равно нулю.
as'1
Предел Пш —г- может быть на основании F4) сразу
Д ааау
hv 0
определен. Он равен
At _ „л и dJ dxh
где
/А — "х'>' VLih 4- Vi Га Г^ Т?и (RC\
4ft — aft a i ' l ha1-ii i jaL ih' \ov)
от1}, от*
Заметим, что А|* — разность двух векторов в одной и
той же точке. Поэтому левая часть (85) имеет векторный
характер, а, стало быть, векторным характером обладает
и правая часть (85). В силу этого величины Вщ, пред-
ставляют собой компоненты тензора. Этот тензор и есть
*) Ср. также изложение Вейля в 1-м и 3-м изданиях Raum-
Zeit-Materie,

68 ГЛ. Et. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
тензор кривизны, который в честь математиков, впервые
его получивших, назван тензором Рима па — Кристоффе-
ля. Смысл формул (85) становится наглядпее, если пе-
ренгп в них от произподпых к дифференциалам. Будем
дх> , . „ дхк ,
писать ах1 «место -х- аи и рх вместо TftT ш введем
бивектор
do* = dx'8x* — dx"8x'.
Учтя антисимметричность Rijk относительно индексов
/ и к, мы можем придать равенству (85) вид*)
Л6* = 1/2f^Vda>\ (87)
Аналогично можно получить изменение ковариантных
компонент вектора при параллельном переносе вектора
вдоль замкнутой кривой. На основании G0) следует, что
Л|„ =¦ 42Rb,,?do», (88)
где
—Г] jV +
+ ) +
xdxh dxhdxj dxldx> dxhdxh/
+ ga|J (ra.«re>ifc - ra,ftArPjii). (89)
Далее, легко показать, что
Д1Л = ?*аЛГ (90)
и вследствие этого
RhiJk^ghaHijk- (91)
Из соотношения (89) следует, что П,,^ удовлетворяет
условиялг симметрии
А» + Д«м + Л**« - 0 (92)
ш поэтому на основании § 14 является бивектором вто-
*) В двумерном многообразии изложенный способ приводит
к известной связи между гауссовой кривизной и дефектом суммы
углов геодезического треугольника, которая впервые была указа-
на Гауссом.

§ 17. РИМАНОВЫ НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 69
рого ранга (см. примеч. 5). Соотношения (92), как по-
казал Гессенберг [72], могут быть также выведены непо-
средственно из определения тензора кривизны (87). Так
как Римап вместо RMjk писал. (hijk), эти величины иног-
да называют четырехиндексными символами. Они равны
нулю в евклидовом пространстве, так как исчезают в той
системе координат, в которой gih постоянны, а следова-
тельно, исчезают и в любой координатной системе. Это
равенство нулю RMjh является необходимым условием
возможности преобразования формы gfhdx'dxk в форму
1
Из бивектора второго ранга /^д свертыванием полу-
чаем линейный тензор второго ранга Rtk (см. примеч. 5):
(93)
Его свойства симметрии следуют из равенств
*""#««* = ftRnai = ga*R*m.
Компоненты тензора Rik согласно (86) равны
Вторичным свертыванием из него получается инвариант
кривизны*)
R = gihRi>. (95)
Нужно еще заметить, что у Герглотца [88] и в
работах Вейля [80] тензор кривизны определен со зна-
ком, противоположным знаку, употребляемому здесь и
у других авторов.
§ 17. Римановы нормальные координаты
и их применения
Во многих случаях полезно введение следующей ко-
ординатной системы, рассмотренной Риманом в диссер-
тации. Пусть задана произвольная система координат х\
Проведем из какой-нибудь точки Pq все геодезические
линии. Их направления определяются касательными век-
торами в точке Ро с компонентами (dxklds)o. В некоторой
¦) Впервые встречается у Липшица [87],

70 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
окрестности Ро будет существовать только одна геоде-
зическая линия, проходящая через Ро и через заданную
точку Р. Если s — длина геодезической дуги РРо, то точ-
ка Р однозначным образом определяется величинами
*= ?U (96)
г,*
у и являются римановыми пормальпыми координатами.
Очевидно, координатная система у касается координатной
системы х в Ро так, что в ней совпадают gih и вообще
компоненты любых тензоров; мы будем отмечать эти ком-
поненты кружком над буквой, например gtk. Произволь-
ному преобразованию х-системы соответствует аффинное
преобразование [/-системы. Оставляя теперь в стороне
«-систему, найдем выражение линейного элемента в нор-
мальной системе. Заметим сначала, что в точке Ро по
(80) все rjs исчезают, так что уравнения всех геоде-
зических линий, выходящих из Ро, являются линейными:
Н» - 0; (97)
это значит, что риманова нормальная система координат
является геодезической в точке Ро- В произвольной точ-
ке Р линейны уравнения не всех геодезических линий,
проходящих через нее, а только уравнение одной геоде-
зической линии, проходящей также через Ро. Это обсто-
ятельство выражается уравнениями
rJ.GOffV-0, (98)
где Тгг(у)— значения коэффициентов связности в точке
с координатами у. Эти уравнения должны выполняться
для всех у. Наоборот, если для какой-либо координатной
системы выполняются равенства (97) и (98), то она яв-
ляется нормальной системой. Можно показать [89], что
вследствие этих соотношений линейный элемент ds2 име-
ет форму:
2 Р1Ч}Лу){ун<1у*-У*<1ун)<У}йуЬ-уЧу!). (99)
В этой сумме пары индексов (hi) и (jk) пробегают не-
зависимо друг от друга все п(п~ 1)/2 возможных комби-
наций. Из (99) следует (97) и (98), так что такая форма

$ 17, РИМАНОВЫ НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 71
линейного элемента является необходимым и достаточ-
ным условием того, чтобы данная система координат ук
была нормальной. Величины /?ЛЦЙ представляют собой ре-
гулярные функции у и при линейном преобразовании у
ведут себя как компоненты бивектора второго ранга (см.
примеч. 5) и могут быть определены так [90], чтобы удов-
летворять свойствам симметрии E3) этого тензора (см.
§ 11). Тензор кривизны в точке начала координат связан
с Phtih очень просто, именно
з/>ый. (юо)
Поэтому тензор Ниц, непосредственно измеряет в этих ко-
ординатах отклонение геометрии от евклидовой. Риман
далее отметил, что в случае пространства двух измере-
ний, линейный элемент которого задается формулой
ds1 = "judu2 + 2f i2^u dv
единственная независимая компонента тензора кривизны
/?i2i2 определяет гауссову кривизну поверхности К по
формуле
К = R™_ t. A01)
Эта формула получается при непосредственном сравнения
(89) с гауссовой формулой для К. Если и, v — нормаль-
ные координаты поверхности, то линейный элемент ее
имеет вид
ds% — indu1 + 2*{\2dttdv + ^dv2 + n(u, v) (udv — vduJ
A02);
о
и гауссова кривизна К в Pq согласно A00) и A01) равна
~ V12
A03)
Знак К не связан с метрикой самой поверхности. Он
имеет историческое происхождевае и получился при рас-
смотрении поверхности как вложенной в евклидово про-
странство трех измерений. Исходя из выражения (99)
ддя линейного элемента, казалось бы, естественнее вы-
брать обратный знак и, например, кривизну сферы на-
ввать отрицательной.

72 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
С помощью нормальных координат можно свести по-
нятие кривизны Rn к кривизне поверхности. Этим спосо-
бом Римае собственно и пришел впервые к определению
кривизны. Пусть заданы два направления, которые опре-
деляются векторами |* и г)'. Длины этих векторов произ-
вольны. Они определяют линейный пучок направлений
Ъ'и + х)'и
и двумерное направление
Ith - 1У - 6V-
Вдоль каждого направления пучка построим геодезиче-
скую линию, выходящую из Ро- Совокупность этих геоде-
зических линий образует поверхность, кривизна которой
нас интересует. Линейный элемент поверхности получает-
ся из (99) подстановкой
у* = 1'w + r\(v.
Он имеет форму A02), где
Yn = gikl't = Ы\ Via = lUk (*еУ + &У) = ii-П*;
° ° , . . vi fhUjh
Y23 = SihV\*T = Лг'П 5 Л = 2j Phijkl I .
Отсюда па основании A00) и A03) получается выражение
для кривизны
_ g __ (M)Uk) = (ki)Uh)
A04)
(индекс e опущен).
Полученный результат уже не связан с нормальными
координатами (площади \гк, очевидно, выпадают). Каждо-
му двумерному направлению, таким образом, соответству-
ет инвариантная гауссова кривизна, которую по Риману
называют кривизной пространства Rn, соответствующей
данному двумерному направлению (при этом ей припи-
сывают обратный но отношению к A04) зпак). В изло-
женном выше ясно проявляется то, что величины /?А!/Й
представляют собой компоненты (см. примеч. 5) битен-
зора второго ранга (в смысле §11),

S IT, РИМАНОВЫ НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 73
В связи с выведенной Римапом формулой A04) Герг-
лотц [88] показал*), как можно геометрически интерпре-
тировать свернутый тензор кривизны и ипвариант кри-
визны. Он пришел к следующим результатам. Пусть да-
ны п взаимно перпендикулярных направлений, которые
in \
определяют N I двумерных направлений. Если K(rs)-~
кривизна пространства в двумерном направлении, опре-
деляемом r-м и s-м векторами, то инвариант кривизны
равен
R = 2?lK{rs), A05)
где суммирование распространено на все комбинации ин-
дексов (rs). Сумма не зависит от выбора п направлений
и может быть названа средней кривизной Д„ в данной
точке. Если вектор \* определяет некое направление, ко-
торому мы припишем индекс 0, то сумма
= -2Zj- A06)
(Or) til*
определяет свернутый тензор кривизны Rih. Эта сумма
также не зависит от выбора п направлений. Эти интер-
претации дают геометрическое доказательство тензорно-
го характера Rlk и инвариантности Я, которые ранее бы-
ли доказаны алгебраическим методом. Если теперь при-
нять направление 0 совпадающим с одним из ортогональ-
ных направлений, например с 1, то получается соотно-
шение
A07)
tit4
Из "A05) и A07) следует, что средняя кривизна Rn-i
перпендикулярного к заданному вектором |' направле-
нию 1 равна
2 K{r,s) = ±R-I^ = -?iff, (Ю8)
*) Интерпретация инварианта кривизны еще до Герглотца
встречается у Лоренца [91],

74 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
где
G* « Я»-'/:#»& A09);
Этот тензор играет важную роль в общей теории относи-
тельности. (Его называют тензором Эйнштейна.)
Упомянем еще простую теорему [92] Фермейля, ос-
нованную на выражении (99) для линейного элемента.
Объем шара радиуса г в евклидовом пространстве Rn
имеет простое выражение
у _ п гп
где Сп — коэффициент, значение которого для нас здесь
несущественно. В римановом пространстве Vn — сложная
функция г. Если разложить ее в ряд по степеням г и
ограничиться только одним членом, следующим за Спгп,
получим
{J}} A10)
где R — инвариант кривизны в центре шара. Дифферен-
цированием получаем отсюда формулу для площади по-
верхности шара Sn:
Мы можем эти соотношения использовать для нового
геометрического определенна инварианта кривизны.
Именно
*Lt (И2)
г2 V ;
Введение нормальных координат сводит вопросы ин-
вариантности при любом преобразовании к инвариантно-
сти при линейном преобразовании*). Можно показать
(отвлекаясь от несущественного постоянного множителя),
что R является единственным инвариантом, который за-
висит только от gib е их первых в вторых производных,
*) См. общие указания [93]; вывод у Н. Vermeil [90].

% 18. ПРОСТРАНСТВО ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 75
причем от последних линейно [92, 94]. Все линейные
тензоры второго ранга, которые обладают теми же свой-
ствами, имеют вид [92, 94]:
c\Rik + C2Rgih + czgih (си с2, сз — постоянные). (ИЗ)
§ 18. Евклидова геометрия и геометрия пространства
с постоянной кривизной
Равенство нулю тензора кривизны в евклидовом про-
странстве очевидно (см. § 16). Однако уже Риман в своей
диссертации указал, что верна и обратная теорема: если
тензор кривизны равен нулю, то пространство евклидо-
во, т. е. тогда можно найти такую систему координат, в
которой gih постоянны. Впервые обстоятельное доказа-
тельство этого утверждения дал Липшиц [87]. Очень
изящное и наглядное рассуждение было проведено Вей-
лем [95]. В общем случае результат параллельного пере-
носа вектора существенно зависит от пути, по которому
он выполняется. Этого не будет, только если компонен-
ты вектора могут быть определены ее только как функ-
ции s, но и как функции координат хк, так чтобы всюду
и для всех направлений кривых выполнялись уравнения
F4). Это означает, что ?' должны удовлетворять диффе-
ренциальным уравнениям
ctf/dx1 = - Г*ДГ, A14)
Если искать условия их интегрируемости, то можно убе-
диться, что они совпадают с равенством йл,% = 0. Если,
таким образом, тензор кривизны равен нулю, то система
уравнений разрешима, перенос направления не зависит
от пути, и можно сказать, что уравнения интегрируемы.
Употребим теперь вместо заданной системы координат К
с базисными векторами eh новую координатную систему
К' с базисными векторами е,, обладающими следующи-
ми свойствами: е4 в любой точке Р\ должны быть па-
раллельны е^ в любой второй точке Рг- Компоненты аг
в системе К (см. § 10) должны поэтому удовлетворять на
основании A14) уравнениям
dai/дх' = - Г?Я A15)
Такой выбор координат возможеп потому, что вслед-
ствие A15) условия интегрируемости F3) выполняются.

76 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Действительно, выражения
dz'< dxs l l
симметричны относительно 1 и г. В каждой точке имеется
поэтому п векторов, именно п базисных векторов е*, ком-
поненты которых в К' остаются постоянными при любой
бесконечно малой трансляции. Так как произвольный век-
тор х есть линейная функция е^ и так как бесконечно
малая трансляция по § 14 аффинна, компоненты х в К'
при этом не меняются. Это, однако, возможно, только
если коэффициенты связности в К' исчезают, т. е. если
gik постоянны, что может быть легко подтверждено и
прямым вычислением dgih/dx' . Этим самым доказатель-
ство закончено.
Среди римановых пространств можно выделить класс
таких пространств, для которых кривизна не зависит ни
от двумерного направления, ни от точки и в которых,
следовательно, по A04) имеют место соотношения
Rhm + a {gbjgib - ghbga) =0, A16);
где а — постоянная величина (положительная или отри-
цательная). После свертывания отсюда получается
0 A17)
R = -n(n-l)a. A18)
Для будущих приложений заметим, что тензор Gih, опре-
деляемый A09), приобретает при этом вид
При а = 0 мы возвращаемся к случаю нулевой кривизны.
Примером пространства постоянной кривизны являет-
ся сфера п измерений, рассматриваемая как гиперповерх-
ность евклидова пространства п + 1 измерений. Когда
речь идет только о ее внутренней метрике, обычно гово-
рят о сферическом пространстве Rn.
Мы имеем в этом случае:
ds* = Ц (dx J + (cfe"+iJ; A20)
i
= я2- A21)

§18. ПРОСТ PA HUTtSU цичипшиш oj».u...^.^ ,,
Суммирование по индексам производится от 1 до п. Вве-
дем сначала в качестве координат точек на сфере
xi (i = l, 2, ..., п), представляющие собой параллельные
проекции точек сферы на экваториальную плоскость
а;"+1 = 0. Исключая хп+\ из A20) при помощи A21) по-
лучаем
"Г '"г'"гЧ21 ~ с'J- A22)
Экватор ?n+1 = 0 является осооий линией этой координат-
ной системы. К каждому набору значений координат,
кроме тех, которые соответствуют точкам экватора, отно-
сятся две точки сферического пространства /?„• Можно
также проектировать точки сферы из центра на плоскость
xn+l = —а, что'соответствует преобразованию координат
А- = ^^ = - " A23)
а Va2 + r'*
Опустив в конечном результате штрихи, получим для
линейного элемента выражение
Эта система координат охватывает только половину сфе-
ры, причем акватору соответствуют координаты г = °°.
Аналогичным образом можно ввести координаты с по-
мощью стереографической проекции
г' ~ 2а
(l -Ь г2/4в4)
142.
A26)
причем в конечном результате снопа опущены штрихи.
Эта система имеет особую точку xn+i = a; в этой точке
Г = те.
Четвертая форма линейного элемента получается при
введении нормальных координат, что достигается подста-

78 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
НОВКОЙ
_L = JLsinJL; xn+i==acosJL A27)
р р а ' а
в A22). При этом получаем
& = ijl sin2_L ^ {dyf + ± A - |-sm2-f j (j,4j,<)*.
A28)
Так как
2 О/W - ydiff = Р2 2 (<W - (yWf A29)
(Ш
(при суммировании слева кагкдая комбинация (ik) учи-
тывается только один раз), линейный элемент можно
также записать в виде
A - 4 ^пг -г) 2 w - *да. A28а)
\ Р / AА)
Таким образом, у' — действительно нормальные коорди-
наты. Можно эти же выражения получить «окольным»
путем, исходя из полярвых координат. Начало координат
системы у' соответствует точке xn+l = а; р — ал соответ-
ствует особая точка, так как всем значениям у\ кото-
рые удовлетворяют условию р = an, соответствует одна и
та же точка хп+] — —а. Мы получим все точки сферы,
если ограничим р условием р < ал.
Из A28а) следует ва основании (99) и A00), что в
точке у* = 0 кривизна ирострапсгва не зависит от дву-
мерного направления и что в этой точке удовлетворяется
соотношение A16). Коэффициент а имеет, в силу
1 (» а2 • 2 Р
рЧ р а
л в силу A00), значение
а = 1/а2. A30)
То, что соотношения A16) с одним и тем ?ке значением

I 18, ПРОСТРАНСТВО ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 79
а удовлетворяются во всех точках сферического простран-
ства, следует из существования группы движений Gn(n+1)/2,
которая содержит преобразования, позволяющие перевес-
ти какую угодно точку и связанный с ней ««-мерный ба-
зис» в другую точку и другой re-мерный базис, такие,
что при этих преобразованиях длины всех кривых остают-
ся неизменными. Обозначим S переход A27) от си-
стемы хх, ..., xn+i евклидова Я„+1 к нормальным коорди-
натам сферического Rn пространства, а Т обозначим
п(п+ 1)/2-параметрическую группу ортогональных
преобразований системы х1, ..., xn+l. Тогда
= S~ TS
и есть искомая группа движений. Вследствие этого линей-
ный элемент имеет одинаковую форму во всех системах
нормальных координат, где бы ни находилась в сфериче-
ском пространстве Rn их начальная точка. Отсюда сле-
дует, что соотношения A16) и A30) удовлетворяются во
всем сферическом пространстве. Это можно, конечно, под-
твердить и непосредственным расчетом.
Пространство Rn, очевидно, обладает постоянной кри-
визной, когда оно характеризуется следующими свойства-
ми: в некоторой (конечной) окрестности каждой точки
Rn можно определить систему координат так, что линей-
ный элемент в ней имеет одну из четырех эквивалент-
ных форм A20), A22), A24) или A28); а не обязатель-
но должна быть положительной. Если а отрицательна, то
в формулах всюду а2 можно ааменить величиной —а2 и
а - -\Ja\ 'A30a)
Риман в своей диссертации (см. [76]) указал, а Липшиц
[87] впервые доказал, что и наоборот, если всюду удов-
летворяется соотношение A16), то следуют упомянутые
свойства Rn. Фермейль [90] при помощи разложения ли-
нейного элемента в степенной ряд в нормальных коорди-
натах дал простое доказательство теоремы, заключаю-
щееся в том, что задание тензора кривизны однозначно
определяет форму линейного элемента в нормальных
координатах. Указание на эту теорему имеется уже у Ри-
мана. В физике эта обратная теорема пока не нашла ни-
какого применения.
Для космологических вопросов (см. гл. IV) имеет зна-
чение следующее обстоятельство: форма линейного эле-
мента не определяет однозначпо метрических свойств

80 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
пространства в целом. Дифференциально-геометрическое
рассмотрение должно быть дополнено в этом пункте
проективным. Последнее позволяет для пространств по-
стоянной кривизны сразу ответить на вопрос о свойствах
всего пространства в целом. Например, как впервые ука-
зал Клейн*), для пространства постоянной положитель-
ной кривизны имеются две возможности, в зависимости
от того, соответствует ли системе значений координат в
представлении A22) одна или две точки пространства.
В первом случае пространство называется сферическим,
во втором случае, на основании проективной терминоло-
гии,— эллиптическим. Оба вида пространств являются
хотя и неограниченными, но конечными в римановом
смысле. Общий объем эллиптического пространства, оче-
видно, в два раза меньше, чем общий объем сферического
пространства той же кривизны. Совершенно такие же
соотношения имеют место для полной длины (замкну-
тых) геодезических линий обоих пространств. Для про-
странств постоянной отрицательной кривизны число
различных возможностей значительно больше. Особенно
замечательна поверхность Клиффорда, которая показы-
вает возможность конечного многообразия с нулевой кри-
визной. Вопрос о геометрии в целом многообразий по-
стоянной кривизны назван Киллингом проблемой
клиффорд-клейновских пространственных форм.
§ 19. Интегральные теоремы Гаусса и Стокса
в четырехмерном римановом пространстве
Усложнение тензорного анализа общей группы преоб-
разований по сравнению с анализом аффинной группы
состоит в том, что в нем нельзя уже просто складывать
компоненты двух тензоров, связанных с различными точ-
ками. Поэтому, чтобы получить из тензора дифференци-
рованием новый тензор, нужно, вообще говоря, прибегнуть
к помощи развитого в § 14 понятия о параллельном пере-
носе. Получающиеся при этом правила были впервые
чисто формально установлены Кристоффелем [81] и
позднее приведены в систему Риччи и Леви-Чивитой (см.
в [67]). Упрощения и геометрические интерпретации бы-
*) См. [96] и особенно [97], где проблема была решена в са-
мой общей форме, а также [98].

g 19. ТЕОРЕМЫ ГАУССА И СТОКСА &1
ли даны в работах Вейля [99], Гессенберга [72] и
Ланга [69].
Для части операций, которые мы прежде всего рас-
смотрим и которые распространяются на тензоры пер-
вого ранга (в смысле § И), коэффициенты связности не
входят в конечный результат. Поэтому естественно тре-
бовать, чтобы при определении их не применялись поня-
тия параллельного переноса. Прежде всего мы можем из
скаляра ф дифференцированием образовать вектор grad ф,
что непосредственно следует из инвариантности
При этом нужно заметить,- что величины дц>/дх' пред-
ставляют собой ковариантные компоненты:
grad(9 = Зф/Зж'. A31)
Чтобы пайги дальнейшие соотношения, надо приме-
нить в нашем случае интегральные теоремы Гаусса и
Стокса, причем мы ограничимся четырехмерным простран-
ством. Обобщение гауссовой и стоксовой теорем для
пространств любого числа измерений имеется у Пуанка-
ре [100] и Гаусса [101]. Для случая специальной теории
относительности (евклидова геометрия и ортогональные
координаты) формулы были получены Зоммерфельдом*).
Пусть
f, F'\ Аш A32)
— компоненты вектора, бивектора и тривектора, а
ds\ doih, dSihl, dZ A33)
— элементы длины, поверхности, пространства и четы-
рехмерного мира, абсолютные величины которых равны
ds, da, dS, \dZ\. A33a)
Компоненты A33) выражаются через координаты сле-
дующим образом: ds' просто равна дифференциалам ко-
ординат
ds' = dx'; A34а)
далее, если dx\ §х< и соответственно dx', бх\ Ах1 —
компоненты независимых линейных элементов, принадле-
*) A. Sommerfeld [65]. Дивергенция бивектора выводится у
него другим способом.
В. Паули

82
ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
жащих поверхностному или пространственному элемен-
ту, то
doik =
dSm =
dxi
dxh
rfx*
dxk
dxl
bxk
6x*
6a:1
t
Дхй
Дх!
A34b)
A34c)
Введение этих выражений в какой-либо поверхностный
(пространственный) интеграл J cp {х) daih [J cp (х) dSiM\ соот-
ветствует способу написания многократных интегралов,
введенному Клейном [102] и названному им грассманов-
ским. Он является наиболее естественным способом на-
писания, так как непосредственно указывает на поведение
интеграла при преобразовании координат; поэтому Клейн
[102] и предпочитает его обычному способу написания.
Однако последний имеет преимущество большей про-
стоты, хотя он и не указывает сразу на поведение подын-
тегрального выражения при преобразованиях координат.
Мы получим это написание, если возьмем независимые
направления d, б (d, б, А)- для компонент элемента по-
верхности (объема) параллельными соответствующим ко-
ординатным осям. Тогда
dalh = dx6a*i dSM
или, записывая еще проще,
- dx'dz'dx1.
A35)
Но надо, конечно, помнить, что эти выражения при пре-
образовании координат ведут себя как компоненты
би- (три-) вектора.
Мы можем образовать инварианты из тензоров "A32)
и A33) двумя способами.
1. Помножив ортогональную проекцию f, F, А на ds,
da, dS на величину соответствующего тензора (длину,
площадь, объем):
A36а)
"A36Ь)
A36с)
i,ds =
FJo = Fihdath;
'A8dS

§ 19. ТЕОРЕМЫ ГАУССА И СТОКСА 83
2. Помножив ортогоаальную проекцию вектора f на
направление, перпендикулярное к dS, на объем dS; по-
множив ортогональную проекцию бивектора F на дву-
мерное направление, перпендикулярное к da, на пло-
щадь do и, наконец, помножив ортогональную проекцию
тривектора А на трехмерное направление, перпендику-
лярное к ds, па длину ds. Эта выражения можно найти
с помощью дуальных дополнений к ds, do, dS [см. § 12,
E4b), E5]:
fndS = fdS*= 2 VgfdShlm = 2 fdShlm; A37a)
(ihlm) (ihlm)
*k= 2 YgFihdolm= 2
(ihlm) (ihlm)
= 2 VgAih'ds™= 2
(ihlm) (iklm)
A37b)
A37c)
Суммирование 2j распространено на четные переста-
(ihlm)
новки, a f, 8, St суть тензорные плотности, соответствую-
щие f, F, А (см. §11).
Обобщения интегральных законов Гаусса и Стокса
можно теперь сформулировать следующим образом. Если
мы проинтегрируем A36а) по замкнутой кривой, A36Ь),
A37Ь)— по замкнутой поверхности, а A37а)— по замкну-
той гиперповерхности, то эти интегралы могут быть пре-
образованы в интегралы по поверхностным, простран-
ственным и мировым областям, ограниченным ими:
j fsds ¦¦= j rot.yf da = j rotiftf daih; A38a)
J FadS = J rotnF dS = J rotift,F dSm; A38b)
§fndS = jdivfd2= jbtmf dx\ A39a)
[FKda= f divnFd5= f 2 bim^dS™ A39b)
* J •> (ihlm)
(аналогичные теоремы для A36с) и A37с) мы оставля-
ем в стороне, так как они до сих пор не имели в физике
6*

84 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
никакого применения). При этом положено
dA dli. A40a)
дхг дхл
BP-h dF,t dF,
A41a)
A41b)
Важно, что инвариантность начальных интегралов влечет
за собой инвариантность конечных. Это может быть, од-
нако, только в том случае, если подынтегральное выра-
жение инвариантно в каждой точке, так как область ин-
тегрирования можно всегда выбрать как угодно малой.
Отсюда следуит, что rotlftf и rotm/F являются ковариант-
ными компонентами б и- и тривектора, bttt> F — скалярная
плотность, a bito: F—контравариантпые компоненты век-
торной плотности. Эти свойства операций rot и Ыю могут
быть выражены следующими правилами:
1. Операция rot повышает ранг тензора (см. § И),
а операция biro понижает его.
2. При операции rot дифференцируются ковариантные
компоненты тензора, а при операции Ыю — коптравариаат-
ные компоненты тензорной плотности.
3. Операции rot и bit© являются дуальными. Это сле-
дует из соотношений A37). Действительно, например,
легко проверить, что
rotiWF = bil»mF*. A42)
Как в обычном векторном исчислении, операции grad,
rot, bin? можно комбинировать. Имеют место соотношения
rot grad ф = bill» Mu>F = rot rot f = 0. A43)
Применяя последовательно к скаляру <р операции div
и grad, получают обобщение лапласовского оператора /Л,
По предложению Кошц его обозначают символом а. Уже
Бельтрамн 1103) ввел его в теорию инвариантов /г-мер-
ных многообразий; его первое применение в специальной
теории относительности встречается у Пуанкаре. Для по-
лучения его, согласно A41а), нужно найти контраварп-

§ 20. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 85
антные компоненты векторной плотности градиента:
ПФ = div gradq,-^ ?(/***$). A44)
Отсюда следует, что при постоянных gtk
дх\ A44а)
Б этом специальном случае можно при помощи операто-
ра О образовать из вектора Д новый вектор. Как и в
обычном векторном исчислении, имеет место соотношение:
div( rot f = gradt div i — ?/(. A45)
Это соотношение, однако, не имеет обобщения для слу-
чая, когда gih не являются постоянными.
Нужно отметить, что введенная в § 11 на геометри-
ческой основе систематика тензоров может быть подкреп-
лена и вычислительными соображениями. Именно, тензо-
ры первого ранга аналитически отличаются от тензоров
высших рангов тем, что из них без помощи коэффициен-
тов связности можно образовать дифференцированием
новые тензоры.
§ 20. Введение инвариантных
дифференциальных операций
с использованием коэффициентов связности
Перейдем теперь ко второй группе дифференциаль-
ных операций, для которых понятие параллельного нере-
носа играет существе иную роль. Для физических прило-
жений только две такие операции имеют значение, имен-
но те, которые соответствуют операциям
did = dajdxh
ti — dt\ldxk (div тензора второго ранга)
аффинной группы. Чтобы получить их выражения в об-
щей группе преобразований, сделаем следующее построе-
ние. Пусть в каждой точке кривой х* = хь{1) задан век-
тор с компонентами а*. Выберем произвольным образом
некоторую точку кривой Р и построим путем параллель-
ного переноса вектора а'(Р) вдоль кривой вторую сово-
купность векторов а*{Р'), где Р — любая точка кривой.

86 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
В точке Р а' а а' совпадают:
а*(Р) = а<(РЬ
Тогда при помощи соотношения
можно инвариантным образом определить новый вектор,
так как в числителе стоит разность двух векторов в од-
ной точке. Из F4) и G0) следует, что
л da1 . ri dxk
IF "¦'*"'¦ IF*
dxh .. ,„,.
A46b)
Если мы подставим вместо t длину дуги s и вместо а* ка-
сательный вектор ц1 — dx'/ds, то получим вектор «ускоре-
ния», компоненты которого В1 совпадают с левой
частью (80):
Если вектор а' задан не только вдоль кривой, но и в не-
которой области, то ~~Л = ~ь.~Л ¦> и ПРИ ПО^ОЩИ A46)
каждому направлению dx"/dt можно сопоставить вектор
. dxh А г d.cA
Отсюда следует, что
4 = ^ + rV; . A48а)
ай = ^1_Г'йа, A48Ь)
являются компонентами некоторого тензора. Этот тензор
и есть искомое обобщение тензора dai/dxk аффинной
группы.
Векторное поле а\ для которого тензор аш исчезает
в некоторой точке Р, называется стационарным в этой
точке. По § 16 и 18 в евклидовом пространстве и только

I 20. ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 87
в нем существуют векторные поля, стационарные во всех
точках некоторой конечной области.
Так как система величин а,-» ве симметрична и не ан-
тисимметрична, то мы имеем дело с тензором в смысле
§ 9, а ее в смысле § 11. Мы можем разбить aih на анти-
симметричную часть
J_
и симметричную часть
A48с)
С помощью стационарных векторных полей можно,
используя процедуру Вейля 1104], образовать диверген-
цию тензора второго ранга Г'*. Пусть %' — векторное поле,
стационарное в Р, так что в этой точке
Образуем тогда согласно A41а) дивергенцию вектора
= 1 Ik = * feS *
Введя в нее значение производных %it получим
Mm i = —i = bimiS'g1 = btm^-Ei, A49)
где
= ?*1 -f Zrsr\,, A50b)
X — тензорная плотность, соответствующая Т, и из ин-
вариантности A49) следует, что A50а) и A50Ь) суть
ко- а контравариантные компоненты некоторой векторной
плотности.
В евклидовом пространстве можно дивергенцию тен-
зора второго ранга интерпретировать иначе. Если г1 и

88 ГЛ, II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
s* — два единичных вектора, то можно назвать величину
TV») = 7V"V компонентой тензора по этим двум направ-
лениям. Пусть f задано в точке Р произвольным обра-
зом; тогда в любой точке Р' рассматриваемого евклидова
пространства можно однозначным инвариантным образом
указать параллельное г* направление.Р. Векторное поле
f, очевидно, всюду стационарно и может быть подстав-
лено в A49) вместо |':
btm (Sr) = btmr-S.
Положив, далее, в A39а) F=($r), придем к
{-}dS = J ЬЫЛ dx = \ btm-S d2, A51)
f
lim J
T,~.dS
bim-S = lim J /s} , A51a)
формуле, полученной Лангом (см. [69]). Далее, неевкли-
дово пространство можно заменить касательным евкли-
довым, так как вторые производные gth в конечный ре-
зультат A50) не входят, а первые производные gik можно
соответствующим выбором координат сделать в обоих про-
странствах одинаковыми. Поэтому результат предельно-
го перехода в A51а)—векторный характер bttt>j?—мо-
жет претендовать на общность, хотя интеграл правой
части имеет смысл только в евклидовом пространстве.
Ради полноты приведем здесь еще общую формулу,
которая, однако, в физике не играет никакой роли. Из
тензора aiklrst... при дифференцировании получается тен-
зор высшего ранга:
Ш... дп% r's't.., . Ti phi... j_
a rst,,,,,p = —td г -1 юа rut,,, ¦+¦
+ lppa v Tit... + ¦ ¦ ¦ — l prd pSt — lpsa rP(... —... AЬ^)
Операция A52), найденная еще Кристоффелем, названа
Риччи и Леви-Чивитой коеариантным дифференцирова-
нием.
Мы использовали ранее эту операцию для получения
дивергенции тензора второго ранга. Именно путем диф-
ференцирования Tih согласно A52) мы получили тензор

§ 21. АФФИННЫЕ ТЕНЗОРЫ И СВОБОДНЫЕ ВЕКТОРЫ 89
Т\кш затем свернули его:
div{ T = T{h.
Следует еще упомянуть о том, как Риччи и Леви-Чивита
(см. [67]) получили выражение для тензора кривизны*).
Для произвольного вектора а( образуют по A48b) aik,
а затем по A52) aiKi. Правая часть эюго выражения со-
держит члены, в которые входят только аи и члены, в ко-
торые входят первые и вторые производные от at. Пос-
ледние, однако, исчезают для разности й,м — пц,к- Тан
получают, что
nh
O-ik.l — aU,h — ¦" ihlah>
Таким образом, выясняется тензорный характер R ш- Од-
нако этот метод не раскрывает геометрического значения
тензора R ш (см. примеч. 7).
§ 21. Аффинные тензоры и свободные векторы
Хотя общая теория относительности имеет дело толь-
ко с уравнениями, ковариантными относительно любых
преобразований координат, однако о ней встречаются си-
стемы величин, ведущие себя как тензоры только по от-
ношению к линейным (аффинным) преобразованиям.
Назовем их аффинными тензорами. Такими аффинными
тензорами, например, ямляются коэффициенты связности.
В частности, встречаются аффинные тензоры Ui, тен-
зорные плотности которых U; = Ui у g в любой системе
отсчета удовлетворяют уравнениям
dUt/dx" = 0. A53)
Ясно, что при общем преобразовании координат 1/\
не будут преобразовываться линейно и однородно. Мож-
Trh
но, однако, из сч интегрированием получить систему ве-
личин Л, которая по отношению к группе преобразова-
ний значительно более общей, чем аффинная, ведет се-
бя как вектор.
Чтобы это показать, приведем слачала подготови-
тельное вспомогательное рассуждение. Пусть дан 4-вектор
*) Ср. также изложение Эйиштейаа (см, Ann, Fhys.t [67]).

80 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
s* с соответствующей векторной плотностью s\ диверген-
ция которой равна нулю:
д$к/дх* = 0. A54)
Пусть ниже величина S* только внутри «мировой труб-
ки» отлична от нуля или, во всяком случае, пусть она
так быстро спадает вне ее, что интегралы, которые ниже
будут встречаться, распространенные на область, доста-
точно удаленную от трубки, равнялись бы нулю. Мы рас-
сматриваем ниже только такие координатные системы,
в которых все подпространства постоянного времени
(хА = const) пересекают мировую трубку по односвязным
областям. Используем теперь то обстоятельство, что по
A39а) и A54) интеграл yndS всегда равен нулю, если
он распространен на замкнутую гиперповерхность. В ка-
честве области интегрирования выбираем два сечения
х4 — const, соединяющихся между собой гиперповерхно-
стью, лежащей вне трубки. Тогда из A37а) следует, что
интеграл
хЫх3 A55)
одинаков для обоих сечений трубки, т. е. что он не за-
висит от х4. Введем теперь вторую координатную систе-
му К', которая имеет вне трубки постояивые gtk, а внут-
ри трубки удовлетворяет лишь тому условию, что про-
странства х'4 = const пересекают трубку по односвязным
областям. В качестве областей интегрирования мы возь-
мем теперь сечение х4 = const и сечение х'4 — const, ко-
торые всегда можно выбрать так, чтобы они не пересека-
лись; тогда
J эЧх1 dx2 dx* = J s'W1 dx'* dx'3,
т. е. интеграл / инвариантен относительно всех допусти-
мых здесь преобразований координат.
К этому случаю можно привести интегрирование
компонент аффинного тензора. Умножим аффинный тен-
зор на вектор р", компоненты которого внутри трубки
постоянны:
Uk = U\p*\
V ведет себя по отношению ко всем линейным преобра-
зованиям как вектор. Во всех координатных системах К\

С 21, АФФИННЫЕ ТЕНЗОРЫ И СВОБОДНЫЕ ВЕКТОРЫ . 91
которые получаются из первоначальной системы К при
помощи таких преобразований, компоненты р'{ постоян-
ны внутри мировой трубки и поэтому удовлетворяется
уравнение
= 0.
Вследствие A55) интеграл
J = J U W dx2 dx3
инвариантен относительно линейных преобразований и в
любом сечении имеет одну и ту же величину. Так как
где
Jk = j Viidx1 da* da* A56)
и вектор р" произвольный, величины Jh имеют вектор-
ный характер относительно линейных преобразований*).
Покажем теперь по Эйнштейну [107], что эти ве-
личины сохраняют векторный характер, если перейти от
координатной системы К к любой другой координатной
системе К', совпадающей с К вне трубки. Для этого до-
статочно только построить координатную систему, кото-
рая в одном сечении, х"А = а, совпадает с К, а в другом
сечении — х"* = а, совпадает с К'. Так как уже показа-
но, что Л одинаково для двух различных сечений я4 =
= const одной и той же координатной системы, то тем
самым показано, что Л в К и К' равны. Интеграл Л, та-
ким образом, вообще не зависит от выбора координат
внутри мировой трубки. Интересно, что, исходя из аф-
финного тензора Ui, который ковариантен только при
линейных преобразованиях координат, мы интегрировани-
ем получили систему величин Л, которая ведет себя как
вектор относительно значительно более общей группы
преобразований. Вектор Jh отличается от обычных векто-
ров тем, что он не связан с определенной точкой. Мы
назовем его вместе с Клейном и в согласии с терминоло-
гией механики свободным вектором.
*) Это впервые показал Клейн в [105], где обстоятельно ра-
вобрапы свободные векторы. Изложенное здесь доказательство
взято у Вейля [106].

92 ГЛ. II, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 22. Геометрия реальпого мира
До сих пор мы молчаливо предполагали, что форма
ds2 — определенная форма. В действительном пространст-
венно-временпом мире это не имеет места, так как ds2
в нормальной форме имеет трп члена положительных и
один отрицательный. Формально все до сих пор выведен-
ные результаты можно перенести и на этот случай, так
как введение мнимой координаты позволяет свести один
случай к другому (см. § 7). Геометрически, однако, фор-
мулы будут истолковываться несколько иначе.
Если оставаться сначала в области применимости
специальной теории относительности и ввести в качестве
четвертой координаты z4 = ct, то при заданном начале
координат можно разделить мир инвариантным, относи-
тельно лоренцевых преобразований, способом на две ча-
сти, характеризующиеся условиями
А. + Х1 + ^з — х\ < 0 (будущее и прошлое), (А)
#i + х\ + хз — xt > 0 (промежуточная область). (В)
Они разделяются поверхностью конуса
^1 + ^ + ^з-^ = 0, (С)
по которой проходят мировые линии световых лучей.
Если начало некоторого вектора совпадает с началом
координат О, то он называется пространственным векто-
ром, если конец его лежит в области (В), временным
вектором, если он лежит в области (А), и нулевым век-
тором, если он лежит на конусе (С). Преобразование Ло-
ренца благодаря измененному знаку четвертой перемен-
ной представляет собой не вращение координатной си-
стемы, а переход от одной системы сопряженных диамет-
ров гиперболоида
Xi + Х% -f- Xs — Х^ = 1
к другой. (Эта интерпретация преобразования Лоренца,
а также понятия, применяемые в дальнейшем, встреча-
ются впервые у Минковского.) Простым геометрическим
рассуждением или простым применением формулы (I)
можно показать, что при помощи подходящего выбора
координат можно добиться для точки области (А) про-
странственного, а для точки области (В) временного
совпадения (одновременности) с началом координат,

8 22. ГЕОМЕТРИЯ РЕАЛЬНОГО МИРА 63
г. е. что всегда можно при помощи соответствующего
выбора координат сделать временную компоненту прост-
ранственного вектора и все пространственные компонен-
ты временного вектора равными нулю. Кроме того, на ос-
новании результатов § 6, только точки области (А) мо-
гут быть причинно-связанными с началом координат. Рас-
смотренная геометрия, определяемая линейным элементом
<2s2 = (dx1}2 + (dx2J + {dx3J - (ci.r4J,
ножет быть названа по Клейну и Гильберту псевдо-
щ$клидовой.
Вполне аналогичные различия между геометриями
положительно определенной и неопределенной форм ли-
нейного элемента имеют место в общей геометрии Рима-
на. Построим все выходящие из точки Ро геодезические
линии, которые удовлетворяют в Ро условиям
dx1 dk
в л и
dj_ d^
илп
dx* dxk
(t— параметр кривой). Эти линии непрерывно заполня-
ют области пространства-времени или (С') поверхность
светового конуса. Соответствующие направления (векто-
ры) в точке Ро называются, как а выше, временными,
пространственными и нулевыми направлениями (нулевые
векторы).
Это разделение пространственно-временного мира име-
ет своим следствием, как это подчеркнул Гильберт [108],
ограничение допустимых преобразований координат.
Именно, в допустимых координатных системах три пер-
вые координатные оси должны быть всегда пространст-
венно-, а четвертая — всегда временшгодобной. Это вы-
полняется, если, во-первых, квадратичная форма, полу-
чающаяся из ds2 при dx4 = 0, является положительно
определенной формой, для чего требуется соблюдение

94
условий
ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
'11
4i
^22
О,
Я S
о go О
23
^32
и если, во-вторых,
?44 < 0.
Эти неравенства не могут быть нарушены допустимым
преобразованием координат. Так как детерминант g, со-
ставленный из gtk, вследствие этих аеравенств всегда от-
рицателен, нужно в тензорных формулах, выведенных
для случая определенной формы, всюду заменить Yg на
V-g*).
По (А)" длина дуги мировой линии может быть и мни-
мой; это всегда будет, например, в случае мировой линии
материального тела. Удобно поэтому вместо длины дуги s
в этом случае ввести собственное время т, определенное
равенством
$ — icx. A57)
Опо определяет время, указываемое часами, которые дви-
жутся по этой мировой линии. Поэтому для координат-
ной Системы, в которой в данный момент времени часы
покоятся, dx = dt. Введем также вместо
и = -у
ds
вектор
d%<
A58)
*) Минковский [64] и Клейн [66] налагают на допустимые то-
чечные преобразования еще одно ограничивающее условие:
дхн/дх* > 0; тогда замена прошедшего будущим исключается, и
мы имеем дело с действительно непрерывной группой. Однако из
ковариантности относительно этой узкой группы следует уже чи-
сто формально ковариантность относительно перемены направле-
ния времени, если только уравнения не содержат очень искусст-
венных иррациональностей (относительно этого последнего пункта
см. гл. V). Кроме того, ковариантность всех законов природы от-
носительно изменения зпака времени по современным представле-
ниям физически обоснована. Поэтому мы не используем здесь
упомянутого ограничения,

| 22. ГЕОМЕТРИЯ РЕАЛЬНОГО МИРА 95
для которого имеет место соотношение
uV - щи* - -с1. A59}
Среди геодезических пиний нулевые геодезические ли-
нии, лежащие на конусе (С), играют исключительную
роль. Хотя для них верен вариационный принцип (83)
и дифференциальные уравнения (80), но вариационный
принцип (81) не имеет места. В самом деле, во-первых,
координаты не могут быть выражены здесь в виде функ-
ций длины дуги вследствие равенства ее нулю, а следова-
тельно, и в (80) также должна фигурировать не длина
дуги, а какой-нибудь другой параметр кривой, определен-
ный с точностью до постоянного множителя. Во-вторых,
ко-
вследствие равенства нулю выражения V/ ёа^ ^
торое появляется в знаменателе при выводе (83) из (81),
этот вывод не может быть уже приведен. Следует нуле-
вые геодезические линии определить так: нулевые геоде-
зические линии отличаются от других линий, лежащих
на конусе (С), тем, что для них существует параметр %,
для которого удовлетворяются уравнения
а следовательно, и вариационный принцип (83). Для не-
нулевых геодезических линий остаются верными все фор-
мулы § 15.
Результаты Фермейля, касающиеся зависимости объе-
ма шара в римановом пространстве от инварианта кри-
визны (§ 17), нельзя непосредственно применить в слу-
чае неопределенного линейного элемента, так как шару
здесь соответствует бесконечно протяженный гиперболоид.
В заключение можно упомянуть, что обычно в специ-
альной теории относительности нормальная форма ли-
нейного элемента определяется как форма с тремя по-
ложительными и одним отрицательным знаком, в то вре-
мя как в общей теории относительности она определяет-
ся как форма с тремя отрицательными знаками и одним
положительным. Мы будем всегда использовать толъно
первый способ обозначений.

96 ГЛ. И. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 23. Бесконечно малые преобразования координат
и вариационные принципы
Если некоторая величина инвариантна относительно
преобразования координат вообще, то она, конечно, ин-
вариантна и относительно бесконечно малых преобразо-
ваний координат. Польза рассмотрения последних осно-
вана на том, что из инвариантности величины относи-
тельно бесконечно малых преобразований можпо вывести
дифференциальные уравнения, которым эта величин;
должна удовлетворять. Мы определим такое преобраз(
вание координат формулой
х* = х1-ъ\'{х), A60
где е — бесконечно малая величина, а |' могут произволь-
ным образом зависеть от координат. Все разности между
функциями с чертой и без черты разложим в ряд по сте-
пеням е. При этом мы будем иметь дело только с члена-
ми первого порядка, которые называются вариациями со-
ответствующих функций. Чтобы получить вариации ка-
ких-нибудь тензоров при переходе от координатной си-
стемы без черты к системе с чертой, нужно в общие фор-
мулы преобразования B5) вставить величины
i дх1 .« ,dl\ -k_dxh ft dt
ah = —г = oh -\- e —?-, a, — -=j = Oj — e —т. (lbl)
dxh дх11 дх1 дхх
„ д~с{ dxh &i
Последние выражения следуют из равенства —г -=- = оа
дх11 дха
и верны, конечно, только с точностью до величин
первого порядка относительно е. Отметим еще, чго
детерминант преобразований равен
det
Таким
жения
dxh
образом, мы
Ф
дх"
получим для
1 дх1 '
дз
вариации
вектора
A62)
выра-
A63)
а для вариации тензора второго ранга — выражения
1 дай
дхг дхт

§ 23. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 97
* /V , dlr \
\dxl dxh j
Соответствующие формулы справедливы, в частности,
и для вариации gik. Отметим еще, что для любой систе-
мы симметричных величин tik из G2) следует соотноше-
ние
tik8gih = -tn6gtk A65)
(причем, как обычно, ?'* = gfaghtlta»). Из G3) следует
«также, что
G3b)
В A63) и A64) речь идет о вариациях
&а< = с?(х)-а<(х), ..., 8ai" = aih(x)-aa(x), ...; A66)
существенно отлична от них вариация
6*a{ = ai{x)-a'{x),...,6*ai>' = ail'(x)-aih(x), .... A67)
Она связана с предыдущей символическим соотношением
б* = б - вЪ'д/дяГ, A68)
откуда непосредственно получаются выражения для
6*а*, б*сц и т. д. Из A64) и A67) имеем важную
формулу
/te - Р f Г & & - ± d±L ZrsA dx
или на основании A50а)
A69)
Рассмотрим теперь вариацию интеграла
/ = J Ш (х) dxt
7 В. Паулц

98 ГЛ. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Имеем
6/ = \ Ш (х) dx — f Ш {х) dx =
-Jg*(S)
X
и так как
то на основании A62)
б \ 2Я dx = \ 6*i№ Лг -f- е \ -—— dx, A^0)
J J J to1
причем 6*5И = 271 (ж)— Ш(х). Если |' исчезают на границе
области интегрирования, то второй член в правой части
A70) исчезает, так как он на основании A39а) может
быть преобразован в поверхностный интеграл. Если J —
инвариант, т. е. ЭД1 — скалярная плотность, то вариация
A70) исчезает для любого |(. Установив сначала общее
выражение для 6271 при произвольной вариации тензоров
поля, из которых образована 271, и образуя затем по A64)
вариацию последней специально для бесконечно ма-
лого изменения системы координат, получают из A70)
некоторые тождества. Можно в некоторых случаях при-
нять, что |* исчезает на границах области интегрирова-
ния, и это упрощает вычисления. Разъясним это на сле-
дующих примерах, которые понадобятся для последую-
щих физических приложений.
а. Образуем из вектора ср( при помощи операции rot
бивектор
Fik = дщ/дх* - dyjdx*, A71)
а из него инвариант
L = }/2FikF'\ A72)
Если 8 — скалярная плотность, соответствующая L (8 =
— LY—g), то можно из интегрального инварианта
Zdx

рода. Провис иыча:л'е!,ия lift оснииакии AЙ5) дадут
5Й = ^4= S,, = F,,*W—f Г„Г%. A73)
fi j 5 ^ = j B6'Sv, - S'*6?i.) r/r. A74]
где
npnieu
Й7(Э/-=О. A75а]'
исчезают 'ita границе облпепг 'Учтя (loll) „' A6S)*
\ ftt1 Ох*)
A75aJ найдем
0= JBss!b*[|\ —©'VfbO = — 2bJ(/''u-jS'' —bira,S)s'd*-
^в( - -Ли, S
или, иваче,
t'TO ТОЖДССТЕО С}Д&Т 1ICD0JIЬЗОВЛИО li 3 '-'О II O't*

100 Глава IV. Принципы общей теории относительности
начинаться с описания методов наблюдения — истинных или
мыслимых, при помощи которых должны быть установлены
координаты. Подобное ограничение свободы исследователя
не представляется обоснованным, и одна аналогия, заимство-
ванная из механики Ньютона, может прояснить этот вопрос.
Хорошо известно, что механическую систему в механике
Ньютона зачастую можно описывать с помощью уравнений
Лагранжа^ что приводит к большим преимуществам. Но уже
в самих этих уравнениях используются обобщенные коор-
динаты, для выбора которых не дается никакого правила.
Можно даже утверждать, что ценность метода Лагранжа
заключается как раз в отсутствии подобных правил. Когда
дело доходит до применений уравнений Лагранжа к кон-
кретной физической ситуации, исследователь, разумеется,
приписывает обобщенным координатам физический смысл,
однако зачастую он может сделать это многими способами.
Такая же процедура используется в общей теории относи-
тельности: в каждой рассматриваемой физической ситуации
мы a posteriori приходим к интерпретации четырех координат
события, не считая эту интерпретацию заранее существенным
элементом теории.
Следующим шагом является изображение или представле-
ние всех рассматриваемых событий в виде точек в. четырех-
мерном римановом пространстве, которое обладает следую-
щими двумя свойствами:
а) тензор Римана — Кристоффеля и тензор Риччи имеют
ненулевое значение по крайней мере в одной точке про-
странства;
б) когда вблизи некоторого события введены локальные
декартовы координаты, метрика принимает вид
з
ds2 = (gLY4J — 1 У (dXlf; D.101)
другими словами, риманово пространство таково, что оно
„локально" совпадает с пространством-временем Минковского.
Это не имеет места для произвольного четырехмерного
риманова пространства, и поэтому пространство, принадле1-
жащее подклассу используемых в общей теории относитель-
ности, мы будем называть рамановым пространством-вре-
менем по аналогии с пространством-временем Минковского

§ 4.1. Пространство-время Римана и уравнения Эйнштейна 10]
специальной теории относительности. Требование (а) утверж-
дает, что риманово пространство-время является искривленным
и его метрика в координатах (л;) имеет вид
ds2==g^(x)dxv-dx\ D.102)
Теперь должно быть специализировано распределение
вещества, история которого была „изображена" таким образом.
В качестпе общего руководящего соображения используется
принцип, ковариантности или принцип эквивалентности;
он утверждает, что не существует привилегированных коор-
динатных систем, так что исследователь может произвольно
выбрать любую такую систему, по существу не меняя исполь-
зуемых им уравнений. Для обеспечения этого следует исполь-
зовать тензоры и тензорные уравнения, и ниже этот принцип
будет применен к описанию распределения вещества; § 3.8
подсказывает, как это может быть сделано при условии, что
вещество считается идеальной жидкостью. В каждой точке-
событии риманова пространства-времени жидкость будет
описываться 4-вектором скорости в11, скалярной плотностью р
и скалярным давлением р, причем все шесть величин рас-
сматриваются как функции от четырех координат этого собы-
тия. Если в данной точке-событии вещество отсутствует,
то и^, р и р равны в этой точке нулю. 4-вектор скорости
является единичным вектором, и поэтому всилу формулыB.213)
удовлетворяет соотношению
«4 = ^«V=1, D.103)
тогда как тензор энергии жидкости по определению равен
Ч-^?. D.104)
Этот тензор имеет те же свойства симметрии, что и
тензор C.804) специальной теории относительности, а кова-
риантмая и смешанная формы этого тензора аналогичны
выражениям C.806) и C.807). Тензор энергии в специальной
теории относительности удовлетворяет четырем уравне-
ниям C.805), которые утверждают, что векторная дивергенция
тензора энергии равна нулю. Следовательно, они являются
тензорными уравнениями и могут быть применены к любому
риманову пространству-времени с метрикой D.102). Поскольку,

102 Глава IV. Принципы общей теории относительности
однако, метрические коэффициенты уже не являются по-
стоянными, равенство нулю векторной дивергенции выра-
жается теперь с помощью формулы B.407) посредством соот-
ношения
Последние четыре уравнения можно рассматривать как обоб-
щение уравнений Ньютона C.202) и C.203) на случай общей
теории относительности.
Риманово пространство-время, используемое для рас-
пределения вещества, должно быть теперь связано с физи-
ческими характеристиками этого распределения. Мы будем
рассматривать тензор энергии распределения вещества как
краткую сводку этих физических характеристик. Мы уже
отметили, что векторная дивергенция этого тензора равна
нулю. Так как наиболее существенные черты риманова про-
странства-времени определяются его метрическим тензором,
возможная взаимосвязь между распределением вещества и
свойствами пространства может быть получена приравни-
ванием тензора энергии некоторому тензору, который зави-
сит от метрического и также имеет равную нулю векторную
дивергенцию. Этим свойством обладает тензор Эйнштейна,
и мы постулируем, что риманово пространство-время,
которое представляет распределение вещества с тензо-
ром энергии Г1, обладает метрическим тензором, удо-
влетворяющим десяти уравнениям
— xc2rv = /Г — 1 g^ (Я' — 2А) , D.106)
где хс2—некоторый коэффициент пропорциональности, под-
лежащий определению в дальнейшем!). Эти уравнения из-
') Космологическая постоянная Л была введена Эйнштейном
для получения статического решения в изотропной модели мира. От-
крытие «красного смещения" в спектрах галактик, свидетельствую-
щее о расширении известной нам области вселенной, позволяет по-
ложить Л = 0. Значение А ф 0 исключает метрику Минковского
(галилееву метрику) из числа решений уравнений тяготения для
пустого пространства (Г1"' = 0), что является физически неудовлет-
ворительным. — Прим. ред.

§ 4.2. Физический смысл постоянной * 103
вестны под названием уравнений Эйнштейна; опуская
индексы, мы можем записать эти уравнения в эквивалентных
видах
— «с27> = Я? —s- ^ (Я' — 2А) , D.107)
= Я^ — -тг gf» (Я" — 2Л), D.108)
В силу B.703), имеем
1
Ох"
%с Т
¦2АП.х =
—4-8i(/? —2Л)) =0, D.109)
откуда видно, что уравнения D.106) — D.108) автоматически
удовлетворяют четырем уравнениям D.105).
В некоторой точке-событии, или в совокупности точек-
событий, где тензор энергии равен нулю, уравнения Эйн-
штейна принимают более простой вид
ЯГ—5-tf(# —2Л) = 0.
Свертывая, получаем Яа = 4А, и уравнения Эйнштейна могут
быть написаны в одной из следующих форм:
Rr = Agva, Я? = Л8Г. /?рт = А^,. D.110)
Наконец, если космологическая постоянная равна нулю, то
D.110) принимает вид
/^v = 0, Я? = 0, Яр., = 0. D.111)
§ 4.2. Физический смысл постоянной х
В § 3.8 мы показали, что историю распределения веще-
ства можно представить в пространстве-времени Минковского,
задав 4-вектор скорости, плотность и давление и потребовав
затем, чтобы тензор энергии распределения вещества удо-
влетворял уравнениям C.805). Уравнения Эйнштейна, однако,
содержат в себе нечто большее, поскольку они связывают
тензор энергии с метрическим тензором пространства-вре-

104 Глава IV. Принципы общей теории относительности
мени. Поэтому можно поставить вопрос, что произойдет,
если эти уравнения применить к пространству-времени Мин-
ковского? Так как пространство-время Минковского плоское,
тензоры #'"=#" = 0 и уравнения D.106) принимают вид
D.201)
Метрический тензор дается формулой C.701), а тензор
энергии — D.104). Вспоминая, что Imn используются -для
циклической подстановки индексов, и пренебрегая условием
суммирования, получаем следующие выражения для десяти
уравнений D.201):
|^ ^Х| А, D.202)
0, D.203)
/.с2 Т" = — у.с2|(р + -|-)(игJ + р} = — с2А, D.204)
0, D.205)
к которым следует добавить уравнение D.103), а именно
з
(а4)8 — -^2(я'J=1- D'206)
Уравнения D.203), D.205) и D.206) показывают, что
мг = 0, и4=1,
так что распределение вещества находится в покое относи-
тельно данной инерциальной системы. Уравнения D.202) и
D.204), чем бы не являлась постоянная х, дают
А_ __Л
Таким образом, плотность и давление постоянны и обяза-
тельно имеют противоположные знаки, за исключением слу-
чая Л = 0, когда они равны нулю. Таким образом эти
результаты являются либо физически неприемлемыми, либо
тривиальными. Отсюда вытекает, что уравнения Эйнштейна,
примененные к пространству-времени Минковского, не дают

§ 4.2. Физический смысл постоянной *. 105
осмысленных результатов, и что физическая интерпретация
постоянной ¦*. таким путем не может быть получена.
Иная ситуация возникает, когда уравнения Эйнштейна
применяются к риманову пространству-времени, метрический
тензор которого мало отличается от метрического тензора
пространства-времени Минковского. Рассмотрение космоло-
гической постоянной мы отложим до гл. VI и будем пока
считать, что космологическая постоянная пренебрежимо мала.
Примем также, что метрика совпадает с метрикой ортого-
нального, статического и изотропного пространства-времени
з
где
?44=1+6/. }
,„=->+.*.} D207)
причем s — малая постоянная, квадратом и более высокими
степенями которой можно пренебречь, а / и h — функции
только трех пространственных координат. Как и в случае
пространства-времени Минковского, мы будем предполагать
что s и х4 имеют размерность времени, а х1, х2, х3 — раз-
мерность длины. Поэтому е/ и eh являются безразмерными
величинами. В силу D.207),
и, следовательно,
Я44 = 1 — е/, gu = — с2 A —- s/г),
Поэтому тензор энергии D.104) имеет следующие составляю-
щие:
-7м4 = (р + ^") («4J - ? О - s/),
'и4, D.209)

106 Глава IV. Принципы общей теории относительности
Вычисление тензора Эйнштейна для этого частного случая
проще всего провести, если исходить из тензора Римана—
Кристоффеля B.504). Поскольку в символы Кристоффеля
входят только частные производные от g^, символы Кри-
стоффеля будут порядка е; следовательно, произведения сим-
волов Кристоффеля будут иметь порядок е2 и ими можно
пренебречь. Таким образом B.504) сводится к
о _ 1 / **« ¦ *П» Уёи »g*. \
•" 2 \ дх1 dxv- ~ дх" дхж дх* дх1 дх" дхх )
Компоненты этого тензора также имеют порядок е. Тензор
Риччи равен
так как члены порядка е в gv-v в выражении D.208) будут
давать члены порядка е2 в #ХA. Используя D.207), D.210)
и D.211) и полагая
мы получаем, что
R L
11 2
о — 1 -
Klm~~ 2
Поднимая один нижний индекс, имеем
я)ги«
и, следовательно,
1^! 22 D.213)

§ 4.2. Физический смысл постоянной %
107
Поднимая оба нижних индекса, получим
я44——\
Ru = 0,
(<Эл:гJ
D.214)
Поэтому, используя D.106), D.209), D.213) и D.214), полу-
чаем следующие уравнения Эйнштейна с Л = 0:
, D.215)
D.216)
D-217)
D.21B)
где в силу D.103) и D.207) 4-вектор скорости удовлетво-
ряет условию
г = 1
Уравнения D.126) и D.219) показывают, что
и1 = 0 (г = 1, 2, 3), м4 = 1 — j е/,
так что распределение вещества находится в покое относи-
тельно используемой координатной системы. Поэтому, со-
гласно D.218),
и три уравнения D.217) приобретают вид
) - V2 (/ + К)) ¦ D.221)

108 Глава IV. Принципы общей теории относительности
На этом этапе появляется типичное условие, которое будет
весьма важным впоследствии. Необходимое условие совмест-
ности трех уравнений D.221) имеет вид
что является ограничением возможного выбора функций /
и h, диктуемым алгебраической формой тензора энергии
в комбинации с априорным выбором формы D.207) для
метрического тензора. Возникающие таким образом уравне-
ния мы будем называть условиями совместности; они не
являются тензорными уравнениями, но играют фундаменталь-
ную роль в приложениях уравнений Эйнштейна. Уравнения
D.220) и D.222), очевидно, удовлетворяются при
и остающиеся уравнения Эйнштейна, согласно D.215) и
D.221), имеют вид
— у.рAН-еЛ) = е?2/г, ¦ D.223)
v.p(\—eh) = Q. D.224)
Последнее из этих уравнений показывает, что давление равно
нулю в пределах принятой нами степени точности. Теперь
мы предположим, во-первых, что в общей теории относи-
тельности должны фигурировать, помимо Л, две мировых
постоянных кис; и, во-вторых, что общая теория относи-
тельности должка сводиться к ньютоновской теории тяготе-
ния, когда с отождествляется с ?f. Первое предположение
удовлетворяется, если положить е= 1/с2, что находится
в согласии с предположением о малйсти этой постоянной.
Второе предположение совместимо с наличием множителя 1/с2
в постоянной у. и с предположением, что р, р, / и h не
содержат множителей порядка с2. Тогда ньютоновским при-
ближением к D.223) служит
— уравнение, которое тождественно уравнению Пуассона
— 4icGp = V2V, если h = 2V, и
= ^-= 1,864- 107 см- г; D.225)

§ 4.3. Принцип геодезических линий 109
последнее равенство определяет %. Если вместо V исполь-
зуется потенциал ^ = V/4tcG, то мы имеем
е/г = — e/=?
Метрика пространства-времени статического распределения
вещества, ньютоновский потенциал тяготения которого есть
О:1, х2, х3), имеет, в силу D.207), вид
}, D.226)
при условии, что были опущены квадраты и более высокие
степени 1/с2 при раскрытии уравнений Эйнштейна.
§ 4.3. Принцип геодезических линий
В § 3.7 было указано, что времяподобная геодезическая
линия пространства-времени Минковского представляет исто-
рию движения частицы, подчиняющейся первому закону дви-
жения Ньютона. Более того, в § 3.3 было показано, что
движение частицы в однородном поле тяготения обладает
всеми свойствами движения, подчиняющегося первому закону
Ньютона, за исключением того, что движение является уско-
ренным. Поэтому мы можем предположить, что геодезические
линии риманова пространства-времени представляют историю
движения частицы, подверженной гравитационному ускоре-
нию, — предположение, которое может быть подтверждено
исследованием геодезических линий пространства-времени
D.226). Так как метрика ортогональна, применимы уравне-
ния B.807), и уравнения геодезической линии имеют вид
^2 (^Г } = ° ('=1. 2, 3). D.302)
У1 >

110 Глава IV. Принципы, общей теории относительности
Первое уравнение может быть проинтегрировано и дает
где р — постоянная интегрирования. Но первый интеграл
B.808) в нашем случае имеет вид
., ..(dx*^ 1+*ф Vi/^'V *
v-Щ-зг) c^lhr) =1
i = i
и, следовательно,
7=1
Таким образом, уравнение D.302) может быть записано
в виде
2 дхг к '
D.304)
Ньютоновское приближение получается при отождествлении с
с if, так что в силу D.226)
s==x"==7\ D.305)
и в этом случае (х1, х2, хг) превращаются в прямоугольные
координаты (Xv X2, Х3) ньютоновской инерциалы-юй системы.
Более того, х-> 8irO/«^2--> 0, -/.с1 ~ 8тгО, и в силу D.303)
и D.305) р->1. Поэтому уравнения D.304) приобретают вид
что представляет собой систему ньютоновских уравнений
движения частицы в поле тяготения с потенциалом V, при-
чем собственными гравитационными эффектами частицы пре-
небрегается.
Этот результат подсказывает следующий постулат: в лю-
бом римановом пространстве-времени с метрикой D.Ю2),
представляющем распределение вещества, времяподобная
геодезическая линия представляет историю движения частицы
(с пренебрежимо малым собственным тяготением) в гравита-
ционном поле этого распределения вещества. Поэтому уравне-

§ 4.3. Принцип геодезических линий 111
ния геодезической линии, записанные в римановых коорди-
натах § 2.6, которые локально применимы вблизи любой
точки-события, принимают вид
"^• = 0 (а=1,2,3,4);
движение частицы локально совпадает с движением частицы,
подчиняющейся первому закону Ньютона, и применимы
результаты § 3.7, относящиеся только к времяподобным
геодезическим линиям. Выражаясь физически, можно сказать,
что эти локальные римановы координаты образуют систему,
которая свободно падает в поле тяготения заданного распре-
деления вещества вблизи рассматриваемой точки-события.
Для общей координатной системы (х), в которой метрика
риманова пространства-времени имеет форму D.102), мы
определим 4-вектор скорости частицы по аналогии со слу-
чаем пространства-времени Минковского как в § 3.7. Если
dx"/ds (<з=1, 2, 3, 4) — компоненты единичного танген-
циального вектора геодезической линии, представляющей
движение частицы, то 4-вектор скорости частицы имеет вид
v» = -^- (о=1, 2, 3, 4), D.306)
и этот вектор, будучи единичным, должен удовлетворять,
в силу B.213), соотношению
g^V=l. D.307)
Историю движения светового луча мы представим нулевой
геодезической линией риманова пространства-времени. Это
очевидное обобщение соответствующего результата для про-
странства-времени Минковского, если предположить, что
результаты § 3.7 справедливы в римановых координатах.
Представление истории движения малых пробных частиц и
световых лучей соответственно с помощью времяподобных
и нулевых геодезических линий представляет собой принцип
геодезических линий.
Согласно сказанному выше, принцип геодезических линий
предполагает, что распределение вещества дается тензором
энергии, соответствующее риманово пространство-время опре-
деляется при помощи уравнения Эйнштейна и сама частица
ничего не вносит в распределение, под воздействием тяготе-
ния которого она движется. Однако саму малую частицу

Ц2 ГЛ, III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Таким образом, заряд, содержащийся в определенном
элементе объема материи, есть инвариант. Тот факт, что
полный заряд частицы не изменяется при ее движении,
следует, конечно, прямо из (А) и может считаться на-
дежно установленным эмпирически, так как в противном
случае электрическая нейтральность атома нарушалась
бы от одного изменения движения его электронов. Соот-
ношение B00Ь) означает, кроме того, что заряд любого
элемента объема остается инвариантным.
Зоммерфельд [129, 65], напротив, исходя из B00а),
следующим образом показывает векторный характер s\
Четырехмерный объем
dVdx* (x4
образуемый пространственным объемом dV за время dt,
является инвариантом. То же относится, с учетом B00а),
к произведению
ipdV.
Так же инвариантное отношение ip/dx* этих величип
после умножения на компоненты вектора dx\ dx2, da;3,
dxi дает систему определенных уравнением A98) вели-
чин s', образующих, таким образом, также четырехвектор.
С помощью вектора и\ используя A90) и A90а), мож-
но придать s' простой вид
в*=A/с)раи\ B01)
Уравнение непрерывности принимает тогда форму
= 0. A97а)
О доказательстве векторного характера s' на основе
уравнений Максвелла см. следующий параграф; об ис-
толковании закона сохранения A97) в теории Вейля см.
гл. V, § 65, б.
§ 28. Ковариантность оеновных уравнений
электронной теории
Еще в § 1 было отмечено, что нековариантность урав-
нений Лоренца для электромагнитного поля относительно
преобразований Галилея явилась одним из главных по-
буждений для создания теории относительности. В своей
работе 1904 г. [13] Лоренц был очень близок к тому,
чтобы установить ковариантность этих уравнений отно-

§ 28. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ ИЗ
сительно группы преобразований теории относительности.
Полностью это доказательство было дано, независимо друг
от друга, Пуанкаре [14] и Эйнштейном [15]. Четырех-
мерная формулировка вопроса принадлежит Минковско-
му (Минковский I, см. [64]), который впервые ввел по-
нятие бивектора.
Для того чтобы представить уравнения поля в четы-
рехмерной инвариантной форме, рассмотрим сначала те
из них, которые не содержат плотности заряда, т. е.
уравнения (см. [130])
rot Е + -L Н = 0; div H = 0. (В)
Полагая
.(*«, F42, Fi3)=iE: (Fas, F3U F12)=H B02)
и соответственно в действительной системе (Fih = —FM),
можно записать (В) так:
dF-b dF,, dFb,
-Т+—т + —Т
dxl dxh дх%
= 0) B03)
[см. A40Ь)].
Из инвариантности выражения B03) относительно
преобразования Лоренца следует далее, что система вели-
чин Fih образует бивектор. Остающийся вначале в форму-
лах преобразования неопределенный множитель может
быть исключен многократно упоминавшимся выше спосо-
бом. Если вместо Fik ввести определяемый согласно E4)
дуальный тензор F*1"
(F*23, F**\ F*12) = -iE, B02a)
то система уравнений B03) мо?кет быть записана в виде
[см. A42) и A41Ь)]
dF*ih/dxh = 0 (div F* = 0). B03а)
Как известно, в обыкновенном пространстве Е есть
полярный, а Н — аксиальный вектор, но не наоборот. Мы
должны поэтому считать описание электромагнитного по-
ля с помощью тензора B02) естественным, а описание
поля с помощью тензора B02а)— искусственным. У Мин-
ковского (Минковский I, см. [64]) приведены оба напи-
сания уравнений поля. Первое из них, во многих случаях,
8 В. Паули

114 ГЛ. III, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
в частности в общей теории относительности, более на-
глядное и удобное, оказалось впоследствии забытым и,
например, це используется Зоммерфельдом [65], Впер-
вые на него вновь обратил внимание Эйнштейн [131]
в 1916 г.
Из тензорного характера Fih следуют формулы преоб-
разования напряженностей полей при переходе к движу-
щейся системе отсчета. Скорость v, фигурирующая в пре-
образованиях Лоренца, может быть здесь произвольным
образом ориентирована относительно оси х координатной
системы. При этом
E'o = E, E^ =
(?YIC\ B04)
h' н н' (H"^H,
Таким образом, разделение поля на электрическое и маг-
нитное имеет лишь относительный характер. Если, на-
пример, в системе К имеется только электрическое поле,
то в системе К', движущейся относительно К, есть также
и магнитное поле. Это замечание устраняет известную
трудность, возникавшую при объяснении явления индук-
ции, с одной стороны, при помощи движения магнита,
а с другой стороны, при помощи движения проводника,
в котором индуцируется ток.
Электромагнитные потенциалы теории Лоренца: ска-
лярный ф и векторный А, также имеют простое четырех-
мерное истолкование. Как впервые было отмечено Мин-
ковским (см. [64], Минковский I), они могут быть соеди-
нены в один вектор четырехмерного мира — четырехмер-
ный потенциал:
(фь Ф2, фз) = А, <р4 = кр. B05)'
Выражения для напряженности поля [132]
Н = rot A; E =¦ — grad ф — -^
принимают при этом вид {см. A40а))'
SS B06)

§ 28. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ Ц5
Четырехмерный потенциал представляет собой вспо-
могательную величину, оказывающуюся часто полезной,
но не имеющую в теории Лоренца никакого физического
смысла. Первая система уравнений поля — система
B03)—является следствием уравнений B06) и, наоборот,
если имеет место B03), то векторное поле <Pi всегда мо-
жет быть определено так, чтобы удовлетворялись уравне-
ния B06). Этим требованием ф( не определяется, однако,
однозначно; более того, если ф< есть решение уравнений
B06) при заданном Fik! то эти уравнения удовлетворяют-
ся также величинами ф< + д$/дхи где i|) — произвольная
скалярная функция пространственно-временных коорди-
нат. Поэтому для однозначного определения ф( в теории
Лоренца (см. [132], § 4, уравнение B)) добавляется
условие *)
которое можно записать в четырехмерной форме:
^- = 0 (div ф = 0). B07)
Четырехмерное истолкование вектора Герца Z до сих пор
не дано.
Вторая система уравнений Максвелла (см .[132], § 2,
уравнения (I), (II) и (IV)), содержащая плотность за-
рядов
rotH-J-E = p-^-; divE = p, (С)
может быть преобразована аналогично системе (В). Из
A98) и B02) непосредственно следует, что
дР*/да* — s1 (div F = s) B08)
(см. A41b)). Если определить плотность заряда системой
уравнений (С), то сразу очевиден векторный характер
системы величин s(, что было уже обосновано другим
способом ранее. Подставляя в B08) согласно B06) век-
торный потенциал, получаем (см. A45))
div< rot ф = grad4 div ф — Пф< = s{
*) Уравнение B07) приводит к тому, что величина 1|) должна
удовлетворять уравнеиию DiJ) = 0, поэтому утверждение, что <pj
условием B07) определяется однозначно, не вполне точно.— При-
меч. ред.
8*

116 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
и, вследствие B07),
?ф; = SU B09)
Ковариантность уравнений электромагнитного поля
относительно группы Лоренца наводит па вопрос о том,
нет ли еще более широкой группы преобразований, отно-
сительно котором ковариантность уравнений сохраняется.
Ответ на этот вопрос был дан Кэннингхэмом и Бэйтме-
ном [133], Наиболее общей группой указанного типа яв-
ляется группа конформных преобразований (см. § 8,
п. В'), переводящая уравнение светового конуса
само в себя. Кроме преобразований группы Лоренца она
содержит преобразования инверсии относительно четырех-
мерного шара или гиперболоида в действительной систе-
ме координат. Теорема Бэйтмена предстала в новом свете
с точки зрения теории Вейля (см. гл. V), Ф. Франк [134]
дал простое доказательство того, что группа Лоренца
в соединении с обыкновенными преобразованиями подо-
бия представляет собой единственную линейную группу,
относительно которой ковариантны дифференциальные
уравнения Максвелла.
§ 29. Пондеромоторная сила.
Динамика электрона
Уже в своей первой работе Эйнштейн показал, что
теория относительности позволяет сделать вполне опре-
деленные заключения о законах движения точечного за-
ряда, движущегося в электромагнитном поле с произволь-
но большой скоростью, если эти законы известны для
движения с бесконечно малой скоростью. Под точечным
зарядом здесь понимается любой заряд, размеры которого
так малы, что в области, занимаемой зарядом, внешнее
поле может считаться однородным. «Точечный заряд»
может, таким образом, не быть электроном. Если Е — на-
пряженность внешнего электрического поля, а е и то —
заряд и масса нашего «точечного заряда» в системе К',
относительно которой заряд в рассматриваемый момент
покоится, то в этой системе
!dt'2 = eE', B10)

§ 29. ПОНДЕРОМОТОРНАЯ СИЛА Ш
С помощью формул A94)" и B07) можно сразу же
установить закон движения в системе К, относительно ко-
торой заряд (и система К') движется со скоростью и в
направлении положительных значений координаты х.
При этом получаем
A _ p*K/i Л2
+ ~[^ф B11)
A—; J = е (е -b -i- [иН])г.
Прежде всего мы видим, что в правой части стоит
как раз сила Лоренца (см. [132], § 3, уравнение (VI)).
Если в старой теории эта сила вводилась в качестве но-
вой аксиомы, здесь она получена как следствие принци-
па относительности. В связи с этим следует, правда, за-
метить, что в формулах B11), включающих члены второ-
го и высшего порядков относительно и/с, содержится не
физический закон, а определение силы. Действительно,
вначале отнесение различных членов к правой или левой
части уравнений B11) кажется произвольным. Можно,
например, помножить обе части на A — ^2K/2 пли соот-
ветственно на A — Р2I/2 и называть теперь компонентами
силы выражения, стоящие в правой части уравнений.
Первоначально Эйнштейн называл силой и в движущей-
ся системе координат величину еЕ'. В релятивистской
механике было, однако, показано, что приведенное выше
сформулированное Плавком [135] определение силы, т. е.
принятие для силы, действующей на произвольно дви-
жущийся заряд, лоренцева выражения
B12)
является наиболее целесообразным и единственно естест-
венным; именно, оказывается, что только при таком опре-
делении силы она может рассматриваться как производ-
ная по времени от импульса, остающегося постоянным
для замкнутой системы (см. § 37).
Из B12) и B04) вытекают формулы преобразования
для силы:
=F, B13)

118 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
если предположить, что в системе К' материя, па кото-
рую действует сила, покоится в рассматриваемый момент
времени.
В старой литературе, на основании B11), часто назы-
т т
вали . Гзу^ продольной, а — - ^ поперечной мас-
сой. Целесообразнее, однако, записывать B11) в форме
¦?-(™) = К, B14)
причем теперь везде роль массы играет выражение *)
т = ^1 B15)
Это выражение для зависимости массы от скорости было
впервые получено для массы электрона Лоренцом [13],
исходившим из предположения о том, что и электроны
испытывают при движении лоренцево сокращение. Тео-
рия твердого электрона, принадлежащая Абрагаму, при-
водит к более сложной формуле для изменения массы**).
Вытекающее из теории относительности обоснование ло-
ренцева закона изменения массы без всяких специальных
предположений о форме электрона и распределении за-
ряда в нем является ее несомненным успехом. О природе
массы также не нужно делать никаких предположений;
выражение B15) справедливо для любой массы; здесь
это показано для электромагнитной силы, а в релятивист-
ской механике обобщается для любых сил (см. § 37).
Старая точка зрения, согласно которой путем опытов с
отклонением катодных лучей можно отличить «постоян-
ную истинную» массу от «кажущейся» электромагнитной
(см. [130], § 65), поэтому не может быть сохранена.
Формула B15) для изменения массы или, правильнее,
закон движения B11), открывает возможность проверить
теорию относительности путем опытов с отклонением
быстрых катодных шли fj-лучей в электрическом и маг-
нитном полях. Старые измерения Кауфмана [139] гово-
*) Этот результат неявно содержится ужо у Планка [135];
позже он был подчеркнут, в частности, Толмено.м.
**) См. II. A. Loreutz [130], § 21, уравнения G7), G8). Упо-
мянем еще, вследствие его исторического интереса, о деформируе-
мом электроне постоянного объема Бухерера [137]. См. М. Ab-
raham [138],

в 29. ПОНДЕРОМОТОРНАЯ СИЛА Ц9
рили в пользу формулы Абрагама. Кауфман, однако,
переоценил точность своих измерений. Опытами Бухере-
ра*), Гупка [143] и Ратновского [144], а затем, совер-
шенно однозначно, опытами Неймана [145] (с дополне-
нием Шефера [146] и Гюи и Лаванши [147]) была
установлена справедливость релятивистской формулы.
В настоящее время удается гораздо точнее определить
зависимость массы электрона от скорости, если использо-
вать для проверки предсказание теории относительности,
касающееся тонкой структуры атома водорода**). Со-
ответствующий эксперимент полностью подтверждает фор-
мулу специальной теории относительности. До сих пор,
однако, не удалось установить на эксперименте изменение
массы для других, отличных от электрона, частиц, по-
скольку этот эффект мал даже для быстрых а-частиц
(см. примеч. 9).
Уравнение B11) может быть представлено в четырех-
мерной инвариантной форме, если перейти от силы, дей-
ствующей на весь заряд, к силе
B12а)
на единицу объема (плотности силы). Это выражение
наводит на мысль построить произведение бивектора Fn
и четырехмерного вектора тока s":
{216J
Получающийся вектор А имеет компоненты
Сила на единицу объема (плотность силы) представляет
собой три пространственные компоненты четырехмерного
вектора, временная компонента которого есть (деленная
на с) работа в единицу времени, приходящаяся на еди-
ницу объема (плотность мощности). Это важное обстоя-
•) Bucherer [140]. См., кроме того, заключительные опыты
Вольца [141], а также дискуссию между Бухерером и Бестельмейе-
ром [142].
**) К. Glitscher [148]. Выдержки в [149]. См. также A. Som-
merfeld [150], где указано, что впервые это доказательство пере-
менности массы дал Ленц (W, Lenz),

120 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
тельство было в значительной мере установлено еще Пу-
анкаре [14] и позже ясно сформулировано Мпнковским
[64]. Из B01) и B16) следует, что четырехмерный век-
тор плотности электромагнитной силы /* перпендикуля-
рен к вектору скорости иг
/,u' = 0. B18J
Теперь можно сформулировать в четырехмерной ин-
вариантной форме закон движения B14); это можно сде-
лать двумя способами. С одной стороны, можно ввести
четырехмерный вектор Kt с компонентами
<*-*«•*•> = 7=1; ** = 77TF B19)
То, что эти величины действительно образуют четы-
рехмерный вектор, следует из формул преобразования
B13) для силы. Выражение K/V1 — ?}2 называется силой
Минковского, в отличие от ньютоновой силы К. Уравне-
ния движения имеют в этом случае вид
то^ = К1 или тор = К» B20)
GET tT
С другой стороны, можно отнести уравнения движе-
ния к единице объема. Если до — плотность массы покоя
mo/VOi то ч
Iiod2x{/dx2 = f; noduifdx = U B21)
Следует заметить, что физический смысл уравнений
B21) не совсем ясен, если они применяются к электро-
ну (см. гл. V, § 63), по крайней мере до тех пор, пока
вектору /j придается значение B16). Уравнения B21) в
этом случае справедливы, только если в правую их часть
не включено собственное поле рассматриваемой частицы.
При i = 4 уравнения B20) и B21) выражают закон
сохранения энергии, являющийся следствием уравнений
движения. В соответствии с этим как уравнения B20),
так и уравнения B21) не зависимы друг от друга, так
как путем скалярного умножения их на и\ учитывая
A92) и B18), получаем тождество 0 = 0. Об обобщении
определения вектора силы и уравнений движения
см. § 37.

§ 30, ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 121
§ 30. Импульс и энергия электромагнитного поля.
Дифференциальная и интегральная формы
законов сохранения
В электродинамике доказывается, что плотность ло-
ренцевой силы f может быть представлена как сумма по-
верхностной силы, вызванной максвелловскими напряже-
ниями и взятой с обратным знаком производной по вре-
мени от плотности импульса электромагнитного поля
{см. [132], § 7), т.е.
где максвелловские напряжения
Г/ V С1 1 / I72R Л _1_ / V V 1
ik — ^fiififc — 12ft Oik) 1 V" i"fc —
((, ft-1, 2, 3),
и плотность импульса (см. [132], § 7)
g = 4-s; s = c[EH],
с
Покажем, что векторное уравнение (D) вместе со скаляр-
ным уравнением для энергии (см. [132], § 6)
~ + div S = - (fu); tF = -^(E2 + H2) (E)
могут быть соединены в четырехмерное векторное урав-
нение. Образуем сперва из бивектора Fih симметричный
тензор второго ранга
О; = /2{Г irr —t iTt ) — Г i,r — 1цГг4 °i« КА^Ч
Заметим, что
S\ = 0. B23)
Компоненты тензора S,- равны:
Si = — rift для i, к = 1, 2, 3;
(Si, Si S4) = (SU1 Su, SSi) = -f S = «eg; B24)
C^ С _. C44 IT/
O^ — Ojj —-O — r'i
Таким образом, пространственные компоненты тензо-
ра S равны с точностью до знака компонентам максвел-
аовских напрязкений; пространственпо-временныо компо-

122 гл. ш. специальная теория относительности
ненты равны вектору Пойнтинга и плотности импульса,
и временная компонента равна плотности энергии с об-
ратным знаком. Уравнения (D) и (Е) можно тогда, как
впервые отметил Минковский ([64], II), путем введения
определенного соотношения B16) вектора f, записать в
виде единой системы уравнений
f{ = _ dSt/dx* (f = — div S). B25)
Для f = 1, 2, 3 получаем закон сохранения импульса, для
i = 4 — закон сохранения энергии. Поэтому закон B25)
называют законом сохранения энергии-импульса, а тен-
зор S — тензором энергии-импульса электромагнитно-
го поля.
Далее оказывается, что вывод уравнений (С) и (D)
из уравнений поля (А) и (В) сильно упрощается при ис-
пользовании четырехмерной формы записи: формула A7G)
тождественна с B25), если отождествить ц>{ с четырех-
мерным потенциалом, Fih с бивектором напряженности
поля и s' с четырехмерным током; поэтому нужно только
применить вывод а), § 23 к случаю постоянных gih (от
этого вывод сильно упрощается), чтобы получить B25).
Прямое вычисление также осуществляется без труда.
Релятивистское понимание закона сохранения энергии
и импульса представляет интерес не только с формаль-
ной, но и с физической точки зрения. Если закон сохра-
нения энергии (четвертая компонента B25)) имеет место
в любой системе координат, то закон сохранения им-
пульса получается сам собой. Оба закона играют при
описании процессов природы вполне равноправную роль.
В соответствии с пониманием вектора S в (Е) как пото-
ка энергии представляется последовательным говорить о
величинах Tih как о компонентах потока импульса. По-
скольку импульс сам есть вектор, этот поток образует
(в обыкновенном пространстве) тензор, в отличие от век-
тора S в случае потока энергии. Максвелловские напря-
жения, которые раньше рассматривались как чисто вспо-
могательные величины (см. [132], §7, с. 163), приобрета-
ют поэтому физическое значение; оно было предложено
Планком [151]*) (обобщение этого толкования и урав-
*) Принимая такое толкование, нужно, однако, иметь в виду,
что поток импульса может быть не равен нулю, даже если плот-
ность импульса везде исчезает (это имеет, например, место в слу-
ча" чисто электростатического поля). Для потока энергии подобная
возможность отсутствует,

§ 30. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 123
нений B25) на неэлектроыагнитпый импульс см. в § 42).
В местах, где на материю действуют пондеромоторные си-
лы, из механического импульса возникает согласно B25)
электромагнитный импульс, или наоборот. Аналогично
положение с энергией (о попытках представить любые
импульс и энергию как электромагнитные см, гл. V). Во
всех других местах импульс и энергия электромагнитного
поля «текут» как сжимаемая, а в частном случае стацио-
нарного поля — несжимаемая жидкость с неизменным
количеством вещества.
Тензор Sih относится к плотностям энергии и импуль-
са; нужно выяснить также, как ведут себя полные энер-
гия и импульс системы при переходе к движущейся си-
стеме координат. Для общего случая этот вопрос будет
рассмотрен в § 42; здесь же ограничимся тем случаем,
когда энергия и импульс носят чисто электромагнитный
характер, т. е. плотность силы /,• и плотность заряда вез-
де равны нулю, так что имеют место уравнения (см. B25))
Эти уравнения имеют место в случае свободно распростра-
няющейся в пространстве световой волны произвольной
формы. Для того чтобы полные энергия и импульс волны
были конечны, волна должна заполнять конечную область
пространства. В четырехмерном мире этой области соот-
ветствует трубка с конечным сечением. Из рассмотрения,
проведенного в § 21, следует, что величины S^ после ин-
тегрирования по объему образуют компоненты четырех-
мерного вектора
Г L
Согласно B24) эти компоненты простым образом связаны
с полным импульсом и полной энергией системы (свето-
вой волны):
j[/h h, /s) = cG; h = iE. '{227)
Мы можем поэтому сказать, что в этом случае полная
энергия и полный импульс образуют четырехмерный век-
тор. Отсюда немедленно следуют формулы преобразования

124 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(см. A86) и 187)):
, Сх-{и/с2)Е
У 1 -
Ц = "У»
Заметим еще, что вектор Jk ее может быть пространствен-
ноподобным. Если бы последнее имело место, то можно
было бы найти систему координат, в которой вектор G
не равнялся бы нулю, а энергия Е равнялась. Это, одна-
ко, невозможно, так как Е может исчезнуть лишь тогда,
когда поле вообще отсутствует. Поэтому имеем
111 < 0, G^E/c. B29)
Вектор J может, таким образом, быть или нулевым или
времениподобным вектором. Примером первой возможно-
сти является ограниченный в пространстве цуг плоских
волн. Для подобного цуга, как известно, G =¦ Е/с. По-
скольку это соотношение может быть записано в форме
JJ* = 0, оно должно иметь место в любой системе отсчета.
Если а есть измеренный в К угол между направлением
луча и скоростью системы К' относительно К, то из B28)
следует формула преобразований Эйнштейна для энергии
конечной плоской волны ([15], § 8)
1?. B28а)
Если вектор J времениподобен, то всегда имеется си-
стема /fo, в которой полный импульс равен нулю. Из
B28) следует, что если Ео есть значение энергии в этой
системе Ко, то в системе К, движущейся относительно Ко
со скоростью v,
Е = -7^=; G={y!C2f± = ^E. B28b)
1/Ря /P2 c
Примером в этом случае является сферическая волна ко-
нечной ширины или система двух совершенно одинако-
вых, но направленных в противоположные стороны пло-
ских волновых цугов (об обобщениях этих соотношений на
неэлектромагнитный импульс (или энергию) см. § 42).

§ 31. ИНВАРИАНТНЫЙ ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ 125
§ 31. Инвариантный принцип действия
в электродинамике
После того как Пуанкаре ([14], R. Р.) убедился в ин-
вариантности интеграла действия Шварцшильда [152]
(см. также [132], § 9) относительно группы Лоренца (см.
примеч. 10), Борн [153] применил четырехмерную век-
торную форму записи принципа действия, в результате
чего последний приобрел очень наглядный вид.
Шварцшильд сначала образует интегрированием по
пространству функцию Лагранжа
после чего получает функцию действия интегрированием
по времени. Естественно объединить интегрирование по
пространству и по времени введением четырехкратного
интеграла ([14], R. Р.). Обозначая через L инвариант
L = l/2FihFih^R2-E2, B30)
можно записать удвоенную функцию действия в виде
B31)
Рассматриваемый принцип действия состоит в том,
что при известных условиях вариация от W равна нулю:
8W = 0. B32)
Эти условия таковы:
1. Интеграл W берется по определенной области че-
тырехмерного мира; независимыми переменными являют-
ся компоненты ср( четырехмерного потенциала, имеющие
заданные значения на границах области интегрирования;
четырехмерный ток s', т. е. мировые линии электрических
зарядов и их величина, не варьируются. Согласно § 23
(см. A74) и A75)) при этом
ЬШ = 2 J fcft - s4 бф{ dl, B33)
и из B32) следует вторая система уравнений Максвелла
B08). Первая система имеет место уже вследствие вве-
дения векторного потенциала, и, таким образом, ее суще-
ствование предполагалось заранее.

126 гл. in. специальная теория относительности
2. Поле ф' есть определенная функция координат че-
тырехмерного мира и не варьируется; напротив, мировые
линии материи должны варьироваться. Поэтому интеграл
от L не вносит ничего в значение вариации; второй ин-
теграл нужно сперва преобразовать. Если de есть элемент
заряда, относящийся к определенному элементу материи,
и т—собственное время соответствующей мировой ли-
нии, отсчитываемой от какой-либо начальной точки, то,
учитывая B01), можно написать
] р0 dl — гс \ de \ dx; \ cpjS' dl, — i\ de 1 ф; -?- dx.
Интегрирование ведется по мировому цилиндру, который
получается, если на каждой мировой линии материи от-
ложить одинаковую длину. Начальные и конечные точки
мировых линий варьироваться не должны. Интегрируя
по частям, получаем
- i J de J Fihu4xi dx,
или
i/26W - - J Fihs4xi dS = - J fi6x' dS. B34)
Борн налагает на вариации мировых линий материи
дополнительное условие
б J ds = 0. B35)
Согласно § 15, для мировой линии с направлением, везде
времениподобным, как это и имеет место, при фиксиро-
ванных концах и постоянных gih:
u,
8x4x, B36)
Поэтому из B32) на этот раз получаем
\iodujdx = Д,
где Цо — постоянный множитель Лагранжа. Это соотно-
шение совпадает с B21), если считать цо плотностью
массы покоя. Как и в § 29, мы здесь отвлеклись от соб-
ственного поля рассматриваемой частицы.

§ 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 127
Вейль [154] в отличие от Борна не накладывает до-
полнительные условия B35), но добавляет к функции
действия член
2 J цос* dl = 2ic j" dm -с2 J Л
и получает
Wt - 2 J ц0с2 d2 + W\ bWx = 0. B31a)
Вследствие B34) и B36)' отсюда также следует уравне-
ние B21).
§ 32. Применения к специальным случаям
а. Интегрирование уравнений для по-
тенциалов. Как известно, дифференциальные урав-
нения B07) и B09), если si заданы как функции прост-
ранства и времени, имеют решения вида (см. [132], § 5,
уравнения (XI) и (XII))*)
B37)
В этих выражениях для потенциалов не использована
симметрия дифференциальных уравнений относительно
пространственных и временных координат. Последнее
имеет, однако, место в найденном Герглотцем [155] еще
до создания теории относительности методе, отправным
пунктом которого является частное решение уравнений
B09): 1/R%q, где теперь Р и Q — две мировые точки,
a R — четырехмерное расстояние между ними. Путем ум-
ножения на подходящую функцию s(Q) и интегрирования
по контуру, окружающему луч (tp, °°) в комплексной
fQ-плоскости, Герглотц получил обычное выражение для
потенциалов. Преимущество этого метода заключается в
том, что при вычислении напряженностей поля можно
сперва дифференцировать, а потом уже проводить интег-
•) Мы отвлекаемся от неоднократно, начиная с Ритца, обсуж-
давшейся [24] возможности решения в виде опережающего пд-
( ф \j t j)
[] р д
(в формулах t -\-rjc вместо t — rjc).

128 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
рированне по контуру, вследствие чего расчет делается
более наглядным. Под влиянием теории относительности
Зоммерфельд [156] позже модифицировал и развил ме-
тод Герглотца.
Для точечного заряда B73) переходит в формулу
для потенциалов Лиенара — Вихерта ([132], § 17, урав-
нение G0))
rp_(urp)/c
f
с
B38)
где тр есть вектор, соединяющий точку, в которой нахо-
дится заряд в момент t — гР/с, с точкой Р. Этот вектор,
согласно Минковскому ([64], III), имеет простой смысл
в рамках четырехмерной интерпретации. Пусть
V = VW B39)
есть мировая линия заряда как функция его собственного
времени, а Р, как и раньше, мировая точка наблюдения.
Проведем через Р ту полость мирового конуса, которая
направлена в прошлое. Мировая линия заряда пересекает
его в определенной точке Q и при этом в одной единст-
венной точке, если направление линии всегда времевипо-
добно. Если х* суть координаты точки наблюдения Р и
Х*-а:'-& B40)
то из требования
Х<Х' = 0 B41)
точка Q, а значит, и соответствующее значение т, опре-
делены как однозначные функции от х{:
т9 = /(;г(). B42)
Выражения B38) для потенциалов на основании B05)
и A90) можно теперь записать в виде одного соотноше-
ния:
pi = -euJ(urXT). . B38a)
Вычисление напряженностей поля существенно упроща-
ется вследствие введения собственного времени. Из B41)
находим сперва производные от функции B42) по коор-
динатам х" точки Р:
Хг Fji - и*дт/дх*) = 0; dx/dxh = Xh!(Xriir). B43)

§ 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 129
Дальнейший расчет совершенно элементарен и дает
~ (Г*? Iе2 + (Хг Ш{UiXh -UkXi) +
Wx>-dx+ B44>
Если в точке наблюдения поместить второй заряд е,
скорость которого равна п\ то из B16) получаем силу К,
с которой первый заряд действует на второй. Для силы
Минковского — четырехмерного вектора, определенного
выражением B19), получаем
. in'eF ihuk =
Зоммерфельд вывел как выражение B38а), так и вы-
ражения B44) и B45) путем комплексного интегрирова-
ния с помощью упоминавшегося выше метода. Формула
B45) совпадает с полученным Шварцшильдом [157] вы-
ражением для «элементарной электродинамической силы»
(см. также [132], § 25).
р. Иоле равномерно движущегося точеч-
ного заряда. Поскольку электронная теория паходит-
ся в согласии с теорией относительности, последняя при
определении поля заданным образом движущегося элект-
рона не может приводить к результатам, отличным от из-
вестных ранее в дорелятивистской теории Лоренца. Пра-
вила преобразования налряженностей поля избавляют,
однако, от необходимости прибегать к дифференциальным
уравнениям или к общим формулам B44), если только
поле известно для одной определенной системы коорди-
нат. Если, например, нужно найти поле заряда, равномер-
но движущегося в системе К, то сперва можно найти его
поле в системе К', относительно которой заряд покоится:
9 в. Паули

130 ГЛ. III, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
из B04) немедленно получаем
с в . ,, _ в у' . „ _ в *'_
[t'rfe]
Если обозпачнть г = (х, у, z) вектор, конец которого
находится в точке наблюдения, а начало — в точке, где
находится в тот же момент времени относительно систе-
мы К заряд, то *)
B46)
Напряженность электрического поля и здесь направлена
по радиусу, а напряженность магнитного поля перпенди-
кулярна к радиус-вектору и направлению движения. По-
верхностью равных (по абсолютной величине) напряжен-
ностей электрического поля в движущейся системе явля-
ется не сфера, а эллипсоид Хевисайда, введенный Хеви-
сайдом (см. [132], § 11, Ь) в электродинамику еще в
1889 г. Этот эллипсоид — просто та поверхность, в кото-
рую сфера переводится преобразованием Лоренца.
Поле B46) может быть также получено и из общей
формулы B44). Для этого введем вектор X', перпендику-
лярный к прямолинейиой в нашем случае мировой линии
заряда, начинающийся на этой мировой линии и кончаю-
щийся в мировой точке наблюдения. В покоящейся систе-
ме К' его компоненты равны (г', 0). Далее легко полу-
чаем
\Х'\ = -±(Хги%
Поэтому
toFih = —^5 (иДк - uhX\), . B46а)
е\ л. 1
•) Этот вывод впервые дан Пуанкаре ([14], § 5),

§ 32, ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 131
"f. Поле заряда, совершающего гипербо-
лическое движение. Простейшим движением после
равномерного является «равномерно»-ускоренное, т. е. в
теории относительности — гиперболическое движение (см.
§ 26). Поле заряда, совершающего гиперболическое дви-
жение, впервые было определено Борном [126]. Зоммер-
фельд [127] применил для его вычисления комплексное
интегрирование. Элементарное изложение имеется также
уЛауэ [158]*).
Поместим начало координат в центр гиперболы и при
этом совместим плоскость гиперболы с плоскостью zxzi.
Точка
fci-ecos-J-; ?4 = asin-^; |2 - I3 = О
мировой линии A96а) заряда, относящегося согласпо
B41) к точке наблюдения х\ ..., хА, определяется соот-
ношениями
cos (Ч> — <Р) — ^гА *-=-?-• B47)
Здесь положено
R = ixiz'; xl = pcos(p; a;4 = psinq). B48)
Компоненты четырехмерного потенциала равны
е sin г]? _ .
ф1 = 4яр 8щA|)-ф); *Ра — Фз — и;
е cos v|)
ф =
В системе, в которой заряд в момент ? — г/с покоится,
ф1 исчезает в момент t. В системе, в которой мировая
точка наблюдения одновременна с центром гиперболы,
напряженности поля равны (вместо х* пишем у):
р U <9ф _ ie [a cos D- — ф) — Pi
Р 4пар2 sins(v]p — ф)
в а2 [Я2 + а2 _ 2р2]
4npsin2 (ф —
¦*) По этому поводу см. также [II.4*] и указанную там лита-
у.— примеч. ред.
8*

132 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Е = и д±. == 1еУ _ B50)
у 4лр sin2 (^ — <р) aJf 4лара sin3 (!(> — <р)
2е а2р
н = о.
Гиперболическое движение выделяется, таким обра-
зом, также тем, что оно не связано с образованием вол-
новой зоны и соответствующего излучения. Напротив,
если два прямолинейных равномерных движения перево-
дятся одно в другое с помощью гиперболического движе-
ния, то излучение имеет место.
Возможно ввести для вычисления поля в случае ги-
перболического движения заряда систему отсчета, движу-
щуюся с зарядом и, таким образом, не галилееву. В ка-
честве координаты х в этой системе можно ввести вели-
чину, обозначенную выше р, а в качестве времени — угол
Ф, совпадающий с точностью до некоторого множителя
с собственным временем движущегося заряда. Линейный
элемент в этой системе равен
J + (|,JD4J
B511
(S("~P, ?B)=zB\ |C) = sC), |D) = Ф).
Уравнения пояя в таких координатах легко могут быть
написаны при помощи методов, изложенных в гл. II.
Проблема при этом оказывается статической, однако, не
одномерной, и расчеты существенно не упрощаются. С ис-
торической точки зрения интересно, что еще Борн [126]
рассматривал задачу с точки зрения сопутствующей си-
стемы отсчета. Вводившийся им временной параметр от-
личен от примененного выше; дифференциальные уравне-
ния он получал с помощью ранее сформулированного им
же инвариантного вариационного принципа (см, § 31).
6. Инвариантность фазы света. Отраже-
ние от движущегося зеркала. Давление
света. В § 6 из требования инвариантности фазы свето-
вой волны были получены релятивистские формулы для
эффекта Доплера и аберрации. Обоснование упомянуто-
го требования непосредственно следует из формул пре-
образования для напряженностей поля. Поскольку фаза
плоской волны является линейной функцией простран-
ственно-временных координат, ее можно записать в виде

§ 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 133
скалярного произведения:
-v?+ (kr)«Z,x4, B52)
где U — четырехмерный волновой вектор и к — трехмер-
ный волновой вектор, направление которого совпадает
с нормалью к волне, а величина равна 1/А,. Если, в част-
ности, нормаль к волне параллельна плоскости ху, то
Zi = (-^-cos а, — sin а, 0, — ). B52а)
\ с с с /
В вакууме U есть нулевой вектор. Формулы преобразо-
вания A5) ц A6) § 6 получаются непосредственно. На
основании соотношений B04) они могут быть дополнены
формулой преобразования для амплитуды А [15]
it B53)
Учитывая также преобразование объема V, ограничи-
вающего с боков конечный цуг волн:
— fS cos a
B54)
находим для полной энергии Е = Уг^2!7 снова формулу
B99а) [15]. Из сравнения с A5) мы видим, что энергия
и амплитуда преобразуются точно так же, как частота,
а объем преобразуется обратным образом:
Первое из этих соотношений Эйнштейп [15] отмеча-
ет особо; с ним связан закон смещения Вина.
В тесной связи с формулами преобразования для ча-
стоты и направления плоской волны при переходе к дви-
жущейся системе отсчета находятся законы отражения
света от движущегося зеркала, которое считается идеаль-
но проводящим и плоским. Эти законы могут быть, оче-
видно, сведены к законам для неподвижного зеркала пу-
тем введения системы К', движущейся с зеркалом [15].
И в этом случае теория относительности может внести
новое только в отношении самого вывода, но не его ре-
вультатов*). Формулы старой теории здесь даже строго
*) Подробное обсуждение законов отражения от движущего-
ея зеркала, появившееся до установления теории относительности,
см. в работах [159J.

134 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
справедливы, так как все входящие в них величины изме-
ряются масштабами и часами одной и той же системы от-
счета и, следовательно, лоренцево сокращение и замедле-
ние хода часов не могут повлиять на результаты расчета.
Обозначим ai и ссг измеренные в системе К углы меж-
ду нормалями к падающей и отраженной волнам и ско-
ростью зеркала, ах и а2 — соответствующие углы в систе-
ме К', vi и vs — частоты падающей и отраженной волн в
К и vx = v2 = v' — соответствующие' частоты в К'. Если
зеркало движется параллельно его плоскости, то аа =
= 2я— ссци из A5) и A6) следует, что и и.ч = 2л — а.\
и V2 = Vi. Таким образом, в этом случае закон отражения
не отличается от закона отражения для неподвижного
зеркала. Отсюда ясно, что интерес представляет- лить
компонента скорости зеркала в направлении нормали к
нему. Поэтому далее мы можем принять, что зеркало
движется нормально к его собственной плоскости; ско-
рость зеркала v будем считать положительной в направ-
лении внутренней нормали, ai и а2, так же каках и аа,
суть теперь углы падения и отражения и, очевидно,
а2 = л — аг.
Из A5) и A6) следует, что
V2(l-Pcosa2) = vi(l-Msai); B55J
B56)
v2sm
я —
Далее,
cos a.
-а2
>
, 1
1
Р
sine
+ р
-р
и
cos a,z —¦
Р
1 — 6 cos ах 1 —¦ р cos а2 '
откуда получаем
A + f) cos «x - 2
1 — 2р cos ctx -f p
1 — 2р со? а. 4- р2
= vi " g/ . B58)

S 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 135
Очень изящный способ вывода этих формул предло-
жил Бэйтмен [160], Чтобы получить в К' фазу отражен-
ной волны из фазы падающей, нужно просто заменить
х' на —х'. Это есть вместе с тем зеркальное отражение.
Чтобы получить искомое преобразование в К, нужно
сперва перейти к системе К' путем мнимого поворота на
угол +ф {см. A87)), затем поменять знак у х, после че-
го с помощью поворота на —ф вернуться в систему К.
Эти операции эквивалентны одному вращению на угол 2ф
и последующему отражению оси х.
Если положить
то, согласно A87),
с + и
,,6з ,вз B59)
и переход от «предмета» к «изображению» в движущемся
зеркале осуществляется преобразованием
, 2v B60)
c2~v2'
Одна точка движущегося зеркала, для которой х *=¦ vt,
преобразуется сама в себя (я=х, t = f); если предмет
движется с той же скоростью, что и зеркало (x = vt + a),
то то же самое имеет место в отношении изображения
(х =*vt + а), как это и должно быть. Изображение точки,
покоящейся в К, движется со скоростью U, которую мож-
но также получить с помощью теоремы сложения ско-
ростей для случая сложения усу. Фаза волны, отражен-
ной от движущегося зеркала, получается непосредственно
из фазы падающей волны заменой B60), а соотношения
B57), B57а) и B58) могут быть записаны в виде, со-
вершенно аналогичном формулам A6а), A6) и A5), если
еще заменить сег на я — <хг, вследствие отражения оси х;

126 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
cos а — U/c
cos
cos а — U/c
(л - а2) = 1_(и)е)сова1; B51 a)
Варичак [121] иптерпретировал эти формулы о точки
зрения геометрии Лобачевского — Больи.
Соотношения B54а) позволяют сразу найти изменение
амплитуды при отражении от движущегося зеркала:
vs V 1 - Р2
Разность между выходящей и входящей в единицу време-
ни через единицу поверхности энергиями должна быть
равна работе pv светового давления р в единицу времени
([15], § 7). Отсюда определяется р, которое оказывается
совпадающим с полученным до теории относительности
-^сов'а'-р'. B62)
Давление света есть инвариант. В § 45 будет показа-
но, что это справедливо для любого давления.
е. Излучение движущегося диполя. По-
ле осциллятора Герца содержится в B44) как частный
случай. Если ограничиться рассмотрением поля в волно-
вой зоне (т. е. на больших расстояниях), то можно не
только отсчитывать Х{ от середины диполя, по и принять
ц< равным не скоростям отдельпых зарядов, а скорости
середины диполя. Если обозначить v скорость диполя, a v
ускорение колеблющегося заряда в момент t — г/с; г и
R = г — г — — векторы, проведенные соответственно из
точек, где электрон находился в моменты t — rjc и t,
к точке наблюдения; ri — единичный вектор r/r; R\ —
вектор RIR = ri — v/c и 0 — угол между v и г, то с учетом
B41) получим
Е = —j ! 5 {(Flv) Rx - v (R,ri)} =»
* MRxvI), B63)
Апсгг A — р cos 6)'
н= ( '
4лЛ A — Р cos 0K

§ 32. ПРИМЕНЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 137
Теория относительности позволяет получить эти фор-
мулы, выведенные сначала Хевисайдом ([161], а также
[132], § 14, с. 180), а затем подробнее Абрагамом [162]
непосредственно из формулы Герца для поля покоящею-
ся диполя. Простейший способ состоит в том, что сперва
по примеру Пуанкаре (см. [14], Rend. Pal., § 5) убежда-
ются в сохранении и в движущейся системе перпендику-
лярности Е и II п каждого из них с rIf а также в равен-
стве их значений. Это обстоятельство можно выразить
с помощью инвариантных векторных уравнений
Затем нужно только вычислить плотность энергии с по-
мощью формул преобразования для тензора SiK.
Вычислением с точки зрения теории относительности
импульса и энергии излучения движущегося диполя за-
нимался Лауэ [163]. Уравнения B28Ь) остаются здесь
справедливыми, так как существование волнового поля
не зависит от наличия зарядов. При учете замедления
времени получаем отсюда выражение для энергии, излу-
чаемой в единицу времени:
-dE/dt = -dE'/dt'.
В покоящейся системе
~dt' ~ь^° '
и с помощью формул преобразования для ускорения A93)
получаем сразу
dE е* \ 4 ""?+'"']
1 (
A - Р2K A -
_2_
~~dt - сз dt
в согласии с вычислениями Абрагама, основанными на
поле вида B63). Излучаемая энергия аддитивно склады-
вается из частей, связанных с продольной и поперечной
компонентами v.
Если рассматривать процесс с точки зрения системы
А", то оказывается, что скорость диполя в результате из-

138 ГЛ. III, СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
лучения не меняется, оставаясь в К' равной нулю. Одна-
ко вследствие инерции энергии закон сохранения им-
пульса, несмотря на излучения импульса B64), не на-
рушается (см. § 41).
?. Реакция излучения. Если в рассматривае-
мый момент v = 0, то сила реакции излучения равна
([132], § 20, с. 190, уравнение G4))
Л ..
Лауэ [163] и Абрагам [164] независимо друг от друга
получили отсюда преобразованием Лоренца выражение
для силы реакции, действующей на движущийся заряд.
Для этого нужно согласно B19) найти такой вектор Kt,
три пространственные компоненты которого для v = 0
совпадают с приведенным выше выражением для К,
а четвертая компонента равна нулю. Для этой цели пред-
положим, что
и определим а из условия Кги1 = 0.
Учитывая A59) и A92), находим:
., -I , Ь ft 1 Я "W
и, таким образом,
V i v /, „2\ <T 41, „2\ Л
е™31 -
Абрагам [164] доказал также, что интеграл от К по вре-
мени излучения равен импульсу излученного света,
а также что интеграл по времени от (vK) равен излучен-
ной энергии. При гиперболическом движении К исчеза-
ет, как и должно быть, так как в этом случае никакого
излучения нет (см. выше, п. ч)\.

§ 33. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА МИНКОВСКОГО 139
§ 33. Феноменологическая электродинамика
движущихся тел Минковского
Уравнения поля B03) и B08) электронной теории
принципиально позволяют ответить на все вопросы элект-
родинамики движущихся тел. Однако из-за несовершен-
ства наших знаний о структуре вещества представляется
также оправданным поставить вопрос о том, чтб можно
сказать, используя принцип относительности, о макроско-
пических процессах в движущихся телах, если процессы
в покоящихся телах считать известными из опыта. На
этот вопрос ответил Минковский ([64], II)*), показав-
ший, что из уравнений Максвелла для неподвижных тел
rotE + 4-aT^0: divB = 0; (F)
rotH--l-^ = J; divD = p; (G)
С OX
D = eE, В = цН; J = oE (H)
и принципа относительности однозначно следуют уравне-
ния для движущихся тел. Аналогично тому, как это дела-
ется при четырехмерной формулировке уравнений элект-
ронной теории, сперва соединяют уравнения, не содержа-
щие плотности тока и заряда, а затем уже остальные. Это
соединение дает повод ввести два бивектора
(FiU F42, F43)= Ж; (F23, Fai, F12)= В; B67)
(#41, #42, #43)= Ш; (#23, #31, #12) = И B68)
и четырехмерный вектор
(У\ Р, ;3)=J; f = ip B69)
с соответствующими формулами преобразовапия
F' Р Р' (E + Wc"vBJ>*.
Е„=Е„, ЕЛ=—у==—,
, , (B-(l/c)[vE])^ B67а)
в и =15 и, ьл> =—_ г —;
•) См. также в работе [165] вывод, в котором не используется
Тензорное исчисление,

140 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
н Н
Н||=Нц, Hj, = — ;
к 1 — Р
|I=7T37: J*=sJ*; р==
Если в К' материя покоится, то v есть скорость мате-
рии в К (в отличие от скорости электронов и) и [3 «= у/с.
Уравнения (F) и (G) сохраняются и для движущихся
тел, причем записываются так:
д1* 4- alH 4- —^ - П
<>*< + дх* ^ dxh
или соответственно —j- = 0); B70)
dlf/dx" = Г. B71)
Они строго справедливы только для равномерно движу-
щихся тел и, вследствие аддитивности полей, также при
наличии многих тел, движущихся равномерно с различ-
ными скоростями и разделенных вакуумом. Степень точ-
ности, с которой справедливы уравнения B70) и B71),
вообще говоря, тем больше, чем меньше ускорение
материи.
Что касается физического смысла входящих в них
величин, то нужно сказать, что Е и D (или В и И) в ва-
кууме есть силы, действующие на единичный, покоящий-
ся в К электрический (или магнитный) полюс; в матери-
альных телах смысл этих векторов не столь очевиден. Да-
лее, J и р и в системе К следует считать плотностями то-
ка и заряда. Основание к этому мы получим в непровод-
нике, где У =0, непосредственно из B69а), так как тог-
да р = р'Д1 — $2, так что de = р dV — инвариант, a J =
= pv/c совпадает с током конвекции. Далее, / удовлетво-
ряет уравнению непрерывности
дГ/дх1 = 0. B72);
Поэтому J всегда есть сумма тока проводимости и тока
конвекции, ар — плотность заряда.
Вместо Е и II удобно ввести измеряемые в К силы
Е* и Н*, действующие на единичный электрический
или магнитный полюс, движущийся вместе с материей,

§ 33. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА МИНКОВСКОГО 141
Согласно B13), B67а) и B68а) получим
Е* = Е + —[vB], II* = H ——[vD]. B73)
с
В противоположность Е и Н эти векторы имеют непо~
средственный физический смысл и внутри среды. Уравне-
ния поля B70) и B71) также принимают, при введении
векторов Е* и Н*, простую и наглядную форму. Если А
есть произвольный вектор, то операция А может быть оп-
ределена так:
•%¦ JAndff-JAn
причем интегрирование проводится по сопутствующей ма-
терии поверхности. Отсюда (см. [166], § 4, с. 78, уравне-
ния A2), A3))
А = дА/dt + v div A]— rot [vA],
и уравнения поля могут быть записаны в виде
rot Е* = — — В, div В = 0,
rotH* = -i-D + Jc, divD = p,
где Je — ток проводимости:
J = pv/c + Jc. B75)
Уравнения B74) позволяют сразу же перейти к ин-
тегральной форме ([166], V, 13, § 6 и V, 14, § 33)*). Из
формул преобразования B69а) следует, что разделение
тока на ток проводимости и ток конвекции не является
независимым от системы отсчета. Даже если в К' плот-
ность заряда равна нулю и имеется только ток проводи-
мости, то в К имеется плотность заряда, а следовательно,
и ток конвекции [167]. Соответствующие формулы преоб-
*) Употребляемые там величины Е', Н' идентичны с наши-
ми Е*, Н*, а уравнения (Ш'а), (IV'a) согласуются с B74). Хотя
уравнения (Ш"). (Iv") равносильны уравнениям (F), (G), все
же зависимость Н и Н у Лоренца иная, чем та, которая дается
вторым из соотношений B73). Напротив, Е у Лоренца совпадает
с нашим [ср. A06), loc. cit., с первым уравнением B73)]. См. так-
же у Минковского сравнение его формул с лоренцевыми ([64],
И, § 9).

142 ГЛ. III. СОЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
разования получаются из B69а) и B75):
Jc,i - у=%: J^ = J^> B7G)
i^b p= ,,±—J B77)
(об электронно-теоретическом обосновании этих формул
см. в § 34).
Уравнения (F) и (G) или B74) образуют лишь пус-
тую схему до тех пор, пока не введены соотношения, ус-
танавливающие связь между Е*, Н* и D, В. Эти соотно-
шения найдутся, если привлечь еще не использованные
уравнения (Н). Из B67а), B68а) и B73) сразу по-
лучаем
^; B78)
В -± [vE] = A fН -4 [vDl) = ^П*-
Разрешенные относительно D и В, эти уравнения после
исключения Е* и Н* дают
р, .&-m«+№-i)(f^]-.f(f«)};
B78а)
а после исключения Е а И с помощью B73);
2Le^1--L[vH*i
_ __ _ B78Ь>
В:
Для немагнитных тел а = i и эти уравнения с точ-
ностью до членов первого порядка совпадают с указанной

e 33, ЭЛЕКТРОДИНАМИКА МИНКОВСКОГО 143
Лоренцем связью между D и В и его величинами Е'
в Н', соответствующими нашим величинам Е* и Н* *).
Дифференциальная форма закона Ома для движущих-
ся тел получается из последнего уравнения (Н) анало-
гично B78). Согласно B76), B67а) и B73) имеем
El, B79)
к 1 —
или
Jc = , q fE* - — f— E*Yl. B79a)
Формулы преобразования B77) для плотности заряда
можно теперь записать так:
B77a)
Для уравнений B78)' и B79) Минковский предло-
жил четырехмерную форму записи [168]
Hihvh = EFihvh; F *hvh = \iH*hvh, или F,ku, +
+ Fm -r FiiVk = |x (Я»», + Як,р{ + HHvh) B80)
/,+.(^li»«--oFa»»f B81)
где vh — компоненты четырехмерной скорости материи.
Для доказательства справедливости этих уравнений нуж-
но только показать, что в сопутствующей материи систе-
ме К' они принимают вид (Н); в этом легко убедиться.
Каждое из трех соотношений B80) и B81) представ-
ляет собой систему четырех уравнений. Четвертое урав-
нение при этом есть следствие остальных, так как если
умножить B80) и B81) скалярно па v\ то обе части
тождествепно равны нулю.
Граничные условия получаются с помощью преобразо-
вания Лоренца из граничных условий для покоящихся
тел. На граничной поверхности движущегося тела танген-
циальные компоненты Е* и Н* и нормальные компоненты
*) Н. A. Lorentz [166], V, 14, § 45, с. 277, уравнение (XXXIV").
Для немагнитных тел по Лоренцу
В = II = Н' + Vi[VE]
[(ср. loc. cit., (XXX'), а также § 42).

144 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В должны быть непрерывны. При этом, однако, предпо-
лагается непрерывность v. В случае тела, граничащего
с пустотой, справедливы те же условия, если в выраже-
нии B73) для Е* и Н* сделать' одинаковыми скорости
с обеих сторон границы тела. Имеет также место соотно-
шение Ди — Dn2 — 4лш, где со — поверхностная плот-
ность электрического заряда. Эти условия получаются
прямо из B74), если потребовать, чтобы производные по
времени от описывающих поле величин для какой-либо
точки сопутствующей материи (эти производные находят-
ся с помощью оператора d/dt + (v gracl)) были конечны*).
Так же как уравнения Минкобского получаются из со-
ответствующих уравнений для неподвижных тел с по-
мощью преобразований Лоренца, преобразования Гали-
лея согласно Франку [170] приводят **) к уравнениям
теории Герца [171]***),
§ 34. Вывод макроскопических уравнений
из электронной теории
Поскольку уравнения электронной теории ковариант-
ны относительно группы Лоренца и для неподвижных тел
приводят при усреднении к уравнениям Максвелла, они
должны для движущихся тел приводить к уравнениям
Минковского. Борн [171] (см. также [172]), основываясь
на записках, оставленных Минковским, действительно
смог это показать, причем он рассматривал движение
электронов как варьированное движение материи. Из пер-
вой вариации получается электрическая поляризация, из
второй — следующая часть электрической поляризации
и магнитная поляризация.
Оставалось выяснить, почему Лоренц ([166], V, 14,
гл. IV) пришел па основе электронной теории к уравне-
ниям, отличным от уравнений Минковского. Для немаг-
*) Граничные условия в электродинамике Мипковского рас-
смотрены в работах [169]. По этому поводу см. также [11,4*, гл. 7;
377*—379*].— Примеч. ред.
**) Это утверждение поточно. Использование преобразований
Галилея приводит к уравнениям, отличающимся от уравнений Гер-
ца пространственными производными от скорости. Установленные
в § 33 феноменологические соотношения также справедливы лишь
с точностью до пространственных производных от скорости.
***) В [171] выводятся уравнения поля из обобщенного ва-
риационного принципа,

g а*, вывод макроскопических уравнений 145
нитных тел, как показал еще Ф. Франк [173], это объяс-
няется тем, что не было принято во внимание лоренцево
сокращение и замедление времени. Деленбах [174] есте-
ственным образом придал ходу рассуждепий Лоренца че-
тырехмерную форму, применимую притом к случаю лю-
бых движущихся тел. Тензор Fih оыределяется как сред-
нее значение микроскопического тензора поля Fik, вектор
тока /' — как среднее значение выражения (l/c)pouc +
(индексы С я К соответствуют электронам
С
()о ( у
проводимости и конвекционным зарядам). Средние зна-
чения распространяются на «физически бесконечно ма-
лый» объем четырехмерного мира. Согласно B08) речь
идет главным образом о том, чтобы найти среднее значе-
ние поляризационного тока роигР. Путем рассмотрения,
вполне аналогичного проведенному Лоренцем, но с заме-
ной везде пространственных областей мировыми, можно
показать, что
B82)
где Мл вначале определено соотношением
Mih = po(a;V) p.
Поскольку, однако, средние значения величин
d
равны нулю, можно положить
Mift = \ ро(х^-х"и^р. B83)
Если определить теперь Я1* соотношениями
Я'" -= F* - Mis, B84)
то B71) получается из B08) путем образования сред-
него значения. Если скорость электронов поляризации от-
носительно центра масс молекулы мала по сравнению со
скоростью света, то бивектор Mih равен:
Vl-v'lc2 B85)
В, Паули

146 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
где Р и М — определяемые обычным способом электриче-
ская поляризация и намагниченность:,
'(средние берутся но времени, N — число молекул в еди-
нице объема, и — скорость электронов, сумма S распро-
странена на все электроны молекулы, v — скорость веще-
ства).
Определение Hih (см. B84)) с учетом B67) и B68)
тогда таково:
D = Е + Р; Н = В - М. B84а);
Из B85) следуют формулы преобразования
fp-J_[vM])
р' — Vе /* •
р р
<285а>
Если в системе К' электрически неполяризованное тело
намагничено, то в системе К оно, кроме того, электрически
поляризовано; если в К' ненамагниченное тело поляризо-
вано, то в К оно также и намагничено (см. Lorentz
[167]). Таким образом, невозможно достаточно ясно раз-
личить электроны намагничения и электроны (электри-
ческой) поляризации, и мы поэтому выше и те и другие
называли электронами поляризации. В справедливости
формул B85а) можно убедиться и без применения тен-
зорного анализа, на основе определения Р и М. Если сре-
да такова, что в сопутствующей системе К'
Р'=(е-1)Е', M'=(|i-1)H',
то из ковариантности этих соотношений относительно пре-
образований Лоренца немедленно следуют тензорные со-
отношения:
vk; B86)
= (ц. - 1) Ш(hvi + Hklvt + Huvk},

§ 35. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 147
переходящие в B80) с помощью B84). Выразкеппя B86)
можно зааисать также еще и так:
Р - ~ [vM] = (е - 1) Е*; BSCa)
Теперь остается лишь теоретически обосновать форму-
лы преобразования плотности заряда и тока проводимо-
сти. EcjihvV-)., N~, u+, м_— числа положительных и от-
рицательных частиц в единице объема и их скоросш, то
по определению:
р' = е+Ы+ — <?_iV_; Jc = e+N +u+ — e_7V_u_,
и в системе К:
р = e+N+ — e_7V_; 3C = e+N+ (u+ - v ) — e_^V_ (u- - т_).
Введением систем К+ и К_, в которых положительные
и соответственно отрицательные заряды покоятся, нахо-
дим с помощью теоремы сложения скоростей:
Лг = N'
(u-v),=
где индексы плюс и минус опущены, так как для них
формулы одинаковы. Отсюда и из инвариантности заряда
(е = е') следуют сразу формулы B76) и B77). В част-
ности, таким образом получено электронно-теоретическое
объяснение замечательного факта появления заряда
в движущемся проводнике с током (Lorentz [167]),
§ 35. Тензор энергии-импульса
и пондеромоторная сила
феноменологической электродинамики.
Джоулево тепло
Припцип относительности позволяет сделать однознач-
ные заключения о тензоре энергии-импульса и пондеро-
моторной силе для движущихся тел, если известны соот-
10*

148 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ветствующие выражения для неподвижных тел. Относи-
тельно этих последних выражений различные авторы де-
лают различные предположения, и вопрос о том, какие
из них предпочесть, не может считаться окончательно яс-
ным. Рассмотрим вначале те следствия теории относи-
тельности, которые не зависят от специального выбора
выражений для тензора энергии.
Плотность энергии W, поток энергии S, плотность им-
пульса g и компоненты напряжений Tih (i, к = 1, 2, 3),
так же как для поля в вакууме, соединяются в тен-
зор Sik:
Sih = - Tik для г, к = 1, 2, 3;
(Su, S2i, S34) = «с?; (SiU Sa, S43) = {He) S; B87)
О симметрии этого тензора вначале не делается никаких
предположений. Уравнения
f = divT-g; B88)
определяют пондеромоторную силу и закон энергии так
же, как уравнения (D) и (Е) в § 30. В уравнении B89)
Q означает джоулево тепло, выделяемое в единицу вре-
мени в единице объема, и Л — работу, отнесенную к еди-
нице времени и объема:
A =(fv). B89а)
В системе К', в которой вещество в рассматриваемый мо-
мент покоится, А исчезает. Уравнения B88) и B89) ес-
тественно соединяются в четырехмерное векторное урав-
нение
U = - dS\[dxK B90)
Компоненты /f имеют тогда значения
</ь /2, /3)== f; U = (i/c){Q + A). B91)
Отсюда следует, что здесь /( не перпендикулярно к Vй.
Т|г. B92)
Поскольку правая часть этого уравнения, так же как
и левая, должна быть инвариантной, то
О = QlY^Y. B93)

g 35. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 149
Вследствие инвариантности четырехмерного объема, эта
формула справедлива также для всей теплоты, выделен-
ной при определенном процессе, в согласии с релятивист-
ской термодинамикой (см. § 46). Здесь формула B93)
является следствием предположения, что плотность силы
может быть выражена через компоненты напряжений и
плотность импульса так, как это сделано в формуле
B88), а также предположения о тензорном характе-
ре Sik.
То, что fiV* Ф О, ведет к своеобразной дилемме. Урав-
нения движения могут иметь форму B21):
цо dvjdx = fi
только в том случае, если (ftv') = 0, так как левая часть,
умноженная скалярно на v\ тождественно равна нулю.
Мы оказываемся, таким образом, перед альтернативой
допустить, что либо несправедливо уравнение B90) для
силы, либо несправедливы уравнения движения B21).
Минковский ([164], I) встал на первый путь. Он ведет,
однако, к отличной от B93) формуле преобразования для
джоулева тепла и, следовательно, к противоречию с тре-
бованиями релятивистской электродинамики. Правильное
решение вопроса, найденное Абрагамом [175]*), заклю-
чается в следующем. В общей релятивистской динамике
показывается, что всякой энергии должна быть приписа-
на инертная масса (см. § 41 и 42). Поэтому, если выде-
ляется теплота, то плотность массы покоя пе остается
постоянной и уравнения движения должны записывать-
ся в виде
•?iM = fi- B94)
Отсюда, путем скалярного умножения на vt, следует
(с учетом B92))
1г = - ^ Ui*) = + 4 -^= B95)
и, таким образом,
"-Ж = ¦? B95а>
в согласии с законом инерции энергии (см. § 41J.
*) См. также дискуссию между Абрагамом и Нордстрёмом
[176]. Возражения Нордстрёма поддержаны быть не могут,

150 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Из B94) следует замечательный факт, что скорость
тела не всегда должна меняться, если на него действует
сила [177]. Рассмотрим, например, проводник с током,
покоящийся в К'. Так как стационарный ток с точки зре-
ния системы К' не создает силы, действующей на про-
водник в целом, то последний остается в покое. Несмот-
ря на это, в системе К на него, согласно B94), действу-
ет сила (аналогичный случай встречался нам еще
в § 32, е).
Перейдем к обсуждению различных выражений для
тензора импульса-энергии Sih. Что касается неподвижных
тел, то все авторы сходятся на том, что для среды без
гистерезиса плотность энергии W и поток энергии S
равны
W = -|- {(ED) + (НВ)} и S = с [ЕН]. B96)
Однако в то время как Максвелл и Хевисайд предпола-
гают, что трехмерный тензор напряжений имеет вид
Тл = ЕгБк - ± (ED) 6* + НгВк - \ (НВN?
(i, ft =1,2,3),' B97)
Герц *) пользуется выражением, симметричным относи-
тельно i и к:
Tih= V2 {EiDh + EhDi) - V2 (ED) 6* +
+ V2 {HiBh + HkBi) - V2 (HB) b\, B98)
которое для апизотроппых тел (кристаллов) отличается
от B97). Точно так же и для плотности импульса g воз-
можны два выражения, или
B99);
что в однородной изотропной среде согласно B96) иначе
можно написать
g = eu/c2S, B99a)
или
4 -Vs- C0°)
*) Литературу см. в [166], § 23.

S 35. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 151
Если выражения для W, S, Т и g в неподвижных те-
лах заданы, то соответствующие величины для движу-
щихся тел однозначно определены, так как компоненты
тензора в любой системе координат могут быть получены
из значений его компонент в одной определенной систе-
ме. В соответствии с указанной выше неоднозначностью
выражений для 7^ и g до сих пор главным образом рас-
сматривались следующие возможности:
1. Выражение Минкоеского*) опирается на выраже-
ния B97) и B99) для неподвижных тел. Как легко по-
казать, тогда
S^FirH^-i/iHr^tf C01)
и выражения B96), B97), B99) остаются справедливы-
ми и для движущихся тел. Сохраняется также имеющее
место в пустоте условие B23):
Четырехмерная сила /< получается из 5? по B90). В по-
коящейся системе К' ее компоненты равны
(/i,/i,/i) = P'E' + [J«B'], /; = *№). C02)
Нужно еще отметить, что Деленбах [174] на основе
электронной теории пришел как раз к тензору энергии-
импульса Минковского, причем дал его в форме, справед-
ливой для произвольной неоднородной и анизотропной
среды. Однако этот вывод не достаточно убедителен. Де-
ленбах вывел те же выражения и другим способом —
из вариационного принципа, дающего также уравнения
поля [179].
2. Выражение Абрагама [175, 180]. Несимметрич-
ность выражения Минковского C01) для тензора энер-
гии-импульса ведет к весьма примечательным следствиям,
хотя и не противоречащим непосредственно опыту. Так,
при этом возникают моменты количества движения, не
компенсируемые изменением электромагнитного момента
импульса. Поэтому Абрагам построил симметричный теп-
зор энергии-импульса, причем для покоящихся тел им бы-
ли взяты выражения B98) и C00), Это приводит в слу-
*) Н. Minkowski II, [64]. К таким же выражениям для 5щ
пришли также Нордстрём, Дисерт, Гельсишфорс A908) и, исходя
из вариационного принципа, Ишивара [178].

152 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
чае однородных и изотропных тел к следующим соотно-
шениям:
+ HirFhr) - \ Fr,H"b1 - 4" (eji-1)X
X (viQh + aiVh) = FirHhr - \ FTi
C03)
где вектор Q* (Ruhstrahlvektor), введенный еще Мннков-
ским, определяется так:
Q* = VtFi {HiKvl + Hhlvf + W'v"). C04)
В сопутствующей веществу системе К' компоненты вхо-
дящих сюда векторов равны
(F[, F'2, F'3) = Е'; F\ = 0, (н[, Н'3, Н'3) = D', Н[ = 0;
(Qi, Qi, fli) = cS'; Qi = 0. C04a)
Тождественность трех выражений C03) следует из их
совпадения в покоящейся системе К'. Соотношение B23)
здесь также справедливо для движущихся тел; выраже-
ния B96), B98) и C00) для W, S, Тл и g здесь уже бо-
лее не справедливы. Абрагам [175, 180] вычислил соот-
ветствующие выражения, а также выражение для понде-
ромоторной силы. Примененная здесь четырехмерная фор-
мулировка предложена Граммелем [181]. Тензор энергии-
импульса Абрагама C03) приводит к добавлению члена
ер. — 1 dS
с2 "^Г
к пондеромоторной силе в покоящихся телах. Вследствие
малости этого члена вряд ли удастся предложить практи-
чески осуществимый experimentum crucis для сравнения
теорий Минковского и Абрагама. Заметим еще, что Лауэ
[182] присоединяется к предположениям Абрагама.
Очень существенным аргументом в пользу симметрии
феноменологического тензора энергии-импульса кажется
нам следующее, также принадлежащее Абрагаму [183]
соображение. Четырехснла должна равняться среднему
значению микроскопической четырехсилы; следовательно,
согласно B90) тензор энергии-импульса должен быть

§ 36. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ 153
средним значением мпкрпскопичоского*). Однако
рр образовании среднего своистна симметрии тензора не
теряются (так же как и выполнение соотношения B23))
(см. примеч. 11).
3. Выражение Эйнштейна и Лауба [184]. Эйнтптейн
и Лауб пришли к выражению для пондеромоторнои силы
(а следовательно, и к тензору энергии-импульса) в покоя-
щихся телах, совершенно отличному от выражений Мин-
ковского и Абрагама. Именно, они нашли, что наблюдае-
мая сила
действующая на покоящийся проводник с током, состоит
из двух частей — из поверхностной силы A — 1/jx) [JCHE]
(Н, — напряженность внешнего магнитного поля)
и силы
Эта последняя есть собственно объемная сила, в то время
как из C02) вытекает, что объемная сила равна [JCB]-
Тензор энергии-импульса, который дают указанные авто-
ры, также соответственно изменен. Соображения Эйн-
штейна и Лауба оспаривались, однако, Гансом [185] **).
§ 36. Применения теории
а. Опыты Роуланда, Рентгена, Эйхен-
вальда и Вильсона. Объяснение названных опы-
тов теория относительности может полностью перенести
нз электронной теории [186], если ограничиваться не-
магнитными телами п пренебрегать членами высшего по-
рядка относительно v/c (ср. также [187]). Последнее
ограничение мы сохраним вначале и здесь, но не будем
ограничивать значений магнитной проницаемости ц..
В расширении теории па памагнпчнвающиеся тела нужно
видеть значительный успех, которым мы обязаны электро-
динамике Минковского.
*) Возражения, которые высказывает против этого Деленбах
1174], не кажутся обоснованными.
**) Указание Граммеля [181] на то, что выражения Эйнштей-
на и Лауба противоречат принципу относительности, неверно, так
как эти выражения претендуют на справедливость только в покоя-
щейся системе К',

154 ГЛ. 111. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Опыт Роулапда показывает, что конвекционный ток
создает такое же магнитное поле, как и ток проводимо-
сти, равный (v/c)p. Его объяснение следует непосредст-
венно из уравнений поля (G) и формул преобразования
B69а) для тока J. В то время как раньше этот опыт счи-
тался аргументом в пользу существования эфира, с точки
зрения теории относительности он является просто след-
ствием того, что разделение электромагнитного поля па
электрическую и магнитную части зависит от системы от-
счета.
Опыт Рентгена [186] доказывает, что при движении
диэлектрика в электрическом поле на его поверхности
возникает поверхпостпый ток, создающий магнитное иоле,
Эйхеивальд показал позднее, что этот ток равен
ljl-piP|-P(e-i)IE|, '1305a)
где Р — поляризация диэлектрика. При практическом осу-
ществлении опыта диэлектрик вращается между пласти-
нами конденсатора. Однако представляется возможным,
по меньшей мере в хорошем приближении, перенести на
этот случай теорию для равномерного движущихся тел.
Пусть поэтому диэлектрик движется параллельно пласти-
нам конденсатора; поверхностная плотность свободных
зарядов на пластинах равна ю — Ел, Поскольку В ае
имеет источников и во внешнем пространстве совпадает
с Н, достаточно определить вихрь В. В силу того, что мы
имеем здесь дело со стационарным полем, Б и П, соглас-
но (F) и (G), не имеют вихрей. Далее, мы хотим после-
довательно пренебречь величинами высшего порядка от-
носительно v/c. Учитывая, что Н и В сами суть величины
первого порядка, имеем из B78а)
Вихрь В определяется, таким образом, вихрем выраже-
I А\ Г V хЛ
ния (f-j.1 — 1) — ь , который здесь сводится к поверх-
ностному вихрю j, имеющему величину
1Л-»Р(вц-1)|Е|, C05Ь)
где |Е| — значение Е внутри диэлектрика, и направление
V. Для и. = 1 выражение C05Ь) сводится к значению

§ 36. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ 155
C05а) электронной теории. Для магнитных тел эффект
не исследовался.
Опыт Вильсона [188]*) противоположен опыту Эй-
хенвальда. Между пластинами закороченного конденса-
тора в магнитном поле, параллельном его пластинам, вра-
щается цилиндр из диэлектрика. При атом наблюдается
зарядка пластин. Мы снова заменим вращение прямоли-
нейным движением и при этом будем считать, что оно
совершается параллельно пластинам, но перпендикуляр-
но к магнитному полю. Согласно (F) поле Е можно полу-
чить из потенциала ф. Поскольку пластины закорочены,
ф1 — фг = 0 и, следовательно, Е = 0, a D дает непосред-
ственно искомую плотность заряда со. Граничные условия
в этом случае показывают, что Н не испытывает никакого
скачка. Согласно B78а) имеем
Для немагнитных тел отсюда находим результат элект-
ронной теории:
w=(e-l)P#. C06b)
Г. А. и М. Вильсонам [190] удалось измерить эффект
в намагничивающемся изоляторе, который они искусствен-
но создали, вводя стальные шарики в сургуч. Их резуль-
тат подтверждает релятивистскую формулу C06а).
Старая теория Герца приводит вместо C05а) и C06а)
к значениям
Ijl =PIEI и <o = ptf,
которые противоречат опыту.
р. Сопротивление и индукция в движу-
щемся проводнике (см. также [191]). На основа-
нии B79) находим для конечного движущегося про-
водника :
R0J = J (E*<fe), C07)
*) О старых опытах Blondlot с воздухолг в качестве диэлект-
рика, давших отрицательный результат, и трактовке на основе
электронной теории см. Lorentz [186], V, 13, § 20; V, 14, § 45.
Обсуждение опыта Вильсона с точки зрения теории относительно-
сти см. [165, 189].

156 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
где Ro — сопротивление покоящегося проводника, J =»
= \j)A. Изменение проводимости, определяемое соотно-
шением B80), в точности компенсируется при вычисле-
нии сопротивления изменением длины проволоки и ее
сечения А вследствие лоренцева сокращения. Так выгля-
дит с точки зрения движущейся системы опыт Троутона
и Рэнкина [19]. Закон индукции для движущегося про-
водника вытекает из первого уравнения B74):
§ndo. C08)
Напротив,
Однако C08) также вполне согласуется с опытом, так как
согласно B79) не Е, а Е* определяет ток проводимости,
f. Распространение света в движущей-
ся среде. Коэффициент увлечения. Опыт
Э й р и. Для того чтобы найти законы распространения
света в движущейся среде, нет необходимости исходить из
уравнений поля. Они должны получаться с помощью пре-
образования Лоренца прямо из законов для неподвижных
сил. Рассмотрим сначала непоглощающую среду. Инвари-
антная фаза световой волны снова определяется соотно-
шением B52), причем теперь
Zi=(-?-cosa, ^sina, 0, ^), C09)
если ось z перпендикулярна к скорости тела и волновой
нормали. В сопутствующей системе К', в частности,
ш'-с/п. C10)
Отсюда вытекают формулы преобразования:
1 [3
, 1 + (v/u/) cos a' v , V cos а' + V
v = v — у —; — cos а = v , —;
1 cos a> + ±
— sina = ~sina'; — coscc = — —; C11а)
w ш w v
1 + -^7 COS «'

36 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ 157
— since =
W V
1 + —, cos a(
cos a' 4
и; = с
У {п cos a' + р1J + п2 sin2 a' (l — ?a)
Соотношения C11a) определяют эффект Доплера*},
(ЗИЬ)—аберрацию и C11с)—коэффициент увлечения.
С точностью до членов первого порядка они совпадают
с выражениями старой теории. Последнее соотношение
дает
w = Ь
п
(о влиянии зависимости коэффициента преломления от
длины волны см. § 6). Закон преломления движущейся
поверхностью раздела также может быть получен с по-
мощью преобразования Лоренца из закона преломления
неподвижной граничной поверхностью, но формулы ока-
вываются весьма сложными.
Обсудим здесь также результаты экспериментов Эйрп
[192], согласно которым аберрационный угол не изменя-
ется, если заполнить зрительную трубу (телескоп) водой.
Старая теория [193] **) для объяснения этих опытов
требовала довольно подробного исследования, так как она
описывала процесс в системе отсчета, относительно кото-
рой наблюдатель (Земля) движется. Если рассматривать
процесс в сопутствующей, т. е. движущейся с телом, си-
стеме, то результат Эйри оказывается очевидным. Дей-
ствительно, если направить трубу на то место, где, как
кажется, находится неподвижная звезда, то волны, испус-
каемые последней, падают па объектив нормально. При
заполнении трубы водой волны по-прежнему распростра-
няются перпендикулярно к поверхности раздела. Таким
образом, с точки зрения теории относительности опыт
Эйри, при рассмотрении с Земли, доказывает тот триви-
*) Об эффекте Доплера в среде см. статьи Франка [385*, 386*1,
а также [II.4*, гл. 6] и указанную там литературу. Там же ем.
об эффекте Вавилова — Черенкона.—ff/ш.иеч. ред.
**) Там же старая литература,

158 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
альный факт, что при перпендикулярном падении, когда
угол падения равен нулю, угрл преломления тоже ра-
вен нулю.
Заметим, что соотношения C11Ь, с) по соответствуют
теореме сложения скоростей. Только при а = О имеется
совпадение с последней (см. § 6). Лауэ [194] свел это
обстоятельство к различию между направлением луча и
направлением нормали к волне. Если определить вектор
лучевой скорости следующим образом:
wi ¦= S1W C12)
(S — вектор Пойнтинга, W — плотность энергии), то фор-
мулы преобразования для компонент wi строго должны
удовлетворять теореме сложения скоростей. Из вычисле-
ний Шейе [195] вытекает, что это имеет место на самом
деле, если положить в основу несимметричный тензор
энерпш-импульса Мпнковского. Кроме того, из закона
энергии следует, что в этом случае фазовая скорость ш
равна компоненте лучевой скорости в направлении волно-
вой нормали. Если, одпако, положить в основу тензор
Абрагама C04), то соотношения будут сложнее и теоре-
ма сложения песправедлива и для лучевых скоростей (см.
примеч. 11).
Обобщение теории на поглощающие (проводящие)
среды ц« дает принципиально ничего нового. Можно толь-
ко заметить, что согласно B77а) световая волна, распро-
страняющаяся в движущемся проводнике, связана с пе-
риодически меняющейся плотностью заряда.
6. Скорость сигнала и фазовая скорость
в диспергирующей среде. В диспергирующей
среде возможен случай, когда фазовая скорость световой
волны ^с. Это кажется противоречащим теории относи-
тельности, согласно которой никакое действие не может
распространяться со сверхсветовой скоростью (см. § 6).
Затруднение было устранено исследованием Зоммерфель-
да [196], в котором на основе электронной теории по-
казано, что гребень волны всегда распространяется со
скоростью света в пустоте с в, таким образом, возмож-
ность посылки сигналов со скоростью, большей скорости
света, в действительности не имеет места. Этот результат
был дополнен Бриллюэном A97], показавшим, что вдали
от области поглощения главная часть сигнала распрост-
раняется с групповой скоростью.

g 37. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 159
С. МЕХАНИКА И ОБЩАЯ ДИНАМИКА
§ 37. Уравнения движения.
Импульс и кинетическая энергия
Релятивистская механика *) исходит из предположе-
ния, что в системе К', в которой материальная точка в
рассматриваемый момент покоится, справедливы уравне-
ния движения старой механики
mod2i'/dt'2 - К', C13);
Принцип относительности позволяет, далее, примепяя пре-
образование Лоренца к C13), однозначно установить за-
коны движения в любой другой системе К. При этом,
однако, не устанавливается, что нужно определить как
силу в системе К, так как в трех уравнениях движения
остается вначале одинаковый произвольный фактор, ко-
торый может как угодно зависеть от скорости. Имеются
два существенно различных пути для устранения этой
неопределенности.
В первом случае используются электродинамические
соображения. Так, если принять лоренцево выражение
для пондеромоторной силы, действующей на движущий-
ся сколь угодно быстро заряд, то при этом задаются так-
же формулы преобразования для силы (см. § 29). Тот
факт, что все силы должны преобразовываться одинако-
вым способом, следует из того, что если две силы урав-
новешиваются в системе К', то они должны уравновеши-
ваться и в любой другой спстеме К. Формулы B13),
B14) и B15) могут, таким образом, быть обобщены на
любые силы. На месте вектора B17) стоит четырехмер-
ный вектор плотности силы-мощности
C14)
¦*) Ниже под релятивистской механикой всегда подразумевает-
ся механика специальной теории относительности, т. е. механика
группы Лоренца. Против употребления слов «релятивистская ме-
ханика» в этом смысле можно возразить, что и классическая ме-
ханика тоже является релятивистской, поскольку она удовлетво-
ряет постулату относительности. Однако термин «релятивистский»
приобрел ужо давно специальный смысл, означающий «относитель-
ный по отношению к группе Лоронца», подобно тому как это слу-
Чйлось и с термином «специальная теория относительности»,

160 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
перпендикулярный к четырехмерной скорости:
fku" = O. C15)
Уравнения движения опять имеют вид
A' i dui
Vo^^l ШШ ^"Л33^' C16)
где Цо — инвариантная плотность массы покоя. Можно
также ввести определяемую формулой B19) силу Мин-
ковского К{ и записать уравнения движения в виде B20).
Из уравнений
4(mu) = K; ± тс* = (Ки) C17)
следует, что импульс [135]
C18a)
а кинетическая энергия
т/
Evm = me2 + -const = ,- ° -f const.
V i — Pa
Можно стремиться выбрать здесь постоянную так, чтобы
.Екин исчезала для покоящейся материальной точки. Удоб-
нее, однако, положить эту постоянную равной нулю.
Тогда энергия покоящейся материальной точки равна
2, а в общем случае
2
т с
Е-тс* = Т7=ь- C18Ь)
Для малых р путем разложения в ряд получаем:
Е = т0с2A + 7гР2) = Ео +
в согласии со старой механикой. Целесообразность уста-
новленных здесь выражений ясна из того, что в этом
случае величины
(/i, h, /3)=cG; J4 = iE C19)
образуют компоненты четырехвектора, именно,
Jh = mQcuk. C20)

I 37. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 161
Отсюда следует, что для величин G и Е справедливы в
точности те же формулы преобразования, что и для за-
мкнутой электромагнитной системы без зарядов (свето-
вой волны; см. B28)):
?'~-_4, C21)
с соответствующими обратными формулами. Эти формулы
справедливы также для импульса и энергии системы сво-
бодно движущихся частиц.
Как и следовало ожидать, релятивистские уравнения
движения и выражения для импульса и энергии при ма-
лых скоростях переходят в соответствующие уравнения
старой механики. Более того, отклонение релятивистской
механики от обычной — второго порядка относительно
и/с. В этом, по Лауэ [198], причина того, что старая
электронная теория, опиравшаяся на обыкновенную ме-
ханику, правильно объясняла все эффекты первого по-
рядка.
Минковский [64] предложил также другую важную
форму записи уравнений движения C16). Введем кине-
тический тензор энергии-импульса
0* = }ЮЩик. C22)
Его пространствеппыо компоненты представляют собой
тензор потока импульса, смешанные компоненты (с точ-
ностью до фактора гс)—плотность импульса, а времен-
ная — плотность энергии. В силу уравнения непрерыв-
ности
дзР = 0 C23)
уравпения движения записываются в виде
ве?/&5* = /(. C24)
Отметим здесь еще, что уравнения движения C17)
в случае движения материальпой точки под действием
постоянной силы приводят к рассмотренному в § 26 ги-
перболическому движению.
11 В. Пауля

162 ГЛ III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 38. Независимое от электродинамики оооснование
релятивистской механики
Приведенный выше вывод неудовлетворителен в том
отношении, что опирается на электродинамические сооб-
ражения. Поэтому существенно, что Льюис и Толмен
[199] дали также другой вывод, совершенно не связан-
ный с электродинамикой*). В этом выводе первичным
является не понятие силы, а понятие импульса. Посту-
лируется, что каждой движущейся материальной точке
могут быть приписаны параллельный скорости векгор им-
цульса и кинетическая энергия и при этом имеют место
законы сохранения. Это значит, что при взаимодействии
между массами системы, при котором энергия и импульс
не излучаются и не выделяется теплота, суммы ;шерпш
и импульсов отдельных масс должны оставаться постоян-
ными. В честности, это должно иметь место при упругом
ударе. Далее, Льгоис и Толмен придумала мысленный
эксперимент, покалывающий, что форма зависимости
энергии в импульса от скорости однозначно определяется
из требования инвариантности законов сохранения отно-
сительно преобразований Лоренца.
Пусть два наблюдателя Л и В движутся в направле-
нии оси х с относительной скоростью v. Пусть наблюда-
тели бросают друг другу по оси уме одинаковой ско-
ростью и шары одинаковой массы, и при этом направле-
ние удара имеет направление оси у. Тогда прежде всего
сохраняются z компоненты скорости обоих шаров. Далее,
из соображений симметрии следует, что наблюдатель В
видит такое же днижение своего шара, какое наблюда-
тель А видит для своего. На основании теоремы сложе-
ния скоростей A0) находим значения компонент скоро-
сти wx, wy a w3 и wy обоих сталкивающихся тел
в К и К'.
До удара А
и>я = 0; и? у = и; w's — — v)
•) Возражения К'мпбелла [200] относятся больше к форме
доказательства, чел н его сущности. Эпштейн [3011 пок.ивл, то
заключгпвя Льюиса в Толмеаа могут быть вполне строго'обо-
снованы.

§ 38. ОБОСНОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ
До удара В
wx = v\ wv = —мУ1 - у2/с2;
w'x — 0; w'y= —и.
После удара А
и>х = 0; w-g = — и'; w'x = — v;
После удара В
wx = у; wv = +и'И 1 — v9/c7;
w'x = 0; (^ = + ц?.
Если tt* = !w| — абсолютное знлчппяе скорости, то им-
пульс можно записать так:
G = т(ш)\\,
где т по определению называется массой и может за-
висеть только от абсолютного значения скорости. Из со-
хранения импульса в направлении х следует, что
а из сохранения импульса в направлении у —
тп
i/j/l-i?=m(u)u. (a)
Переходя после деления пэ и к пределу и -*¦ 0 н за-
писыпал /Пи вместо /га(О), находим
что п требовалось доказать. Легко ппдеть, что выражение
(а) удовлетворяется этим соотношением при любом и.
Поскольку импульс определен, выражение C18Ь) для
кинетической зпергпи также легко получается с помощью
преобразонзпня Лоренца. Сила теперь определяется как
производная от импульса по времени, я формулы преоб-
разования для нее получаются сразу. Тем самым дока-
вана возможность обосновать релятивистскую механику
независимо от электродинамики (см. примеч. 12).

164 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Можно еще заметить, что законы упругого удара,
к которым ведет релятивистская механика, были для об-
щего случая выведены и разобраны Юттнером [202],
§ 39. Принцип Гамильтона
в релятивистской механике
Уравнения движения C17) могут быть получены, как
отметил еще Планк [217], из вариационного принципа,
Если ввести функцию Лагранжа
то, как легко проверить,
J
C25)
FL + К бг) dt = 0. C26)
'о
Здесь, как и в случае гамильтопова принципа обыкно-
венной механики, значения ti и t0 и конечные точки пу-
ти интегрирования заданы. Уравнения движения можно
записать также в гамильтоновой форме. Если вместо ком-
понент скорости ввести импульсы
Gx=^- Си = Ц-; С, = Д C27)
дх ду dz
и образовать функцию Гамильтона
„ •dL-dL.-dL r m 
Н = х— + у— +z— — L =
дх ду дг У 1 — ы2
то получим
х - дИ/дС ...; OGJdt -Кщ ... C29)
и т. д.
Интеграл действия J L dt должен быть инвариантен
относительно преобразовання Лоренца. Это имеет место,
так как
J Ldt = -moc* jdx, C30)
где т — собственное время. Вариационный принцип C26)

§ 40. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 165
пишется теперь так*):
т + J/W = 0 C31)
или даже в виде
б j dx = О, C32)
если ввести для вариаций бх' добавочное условие
Км* = 0.
Эта формулировка вариационного принципа принадлежит
Минковскому ([64], II).
Уравнения движения C17) допускают преобразова-
ние, соответствующее теореме вириала обычной меха-
ники:
L + ЕК1т + 4 (тит) = (Кг). C33)
Если г при движении остается ограниченным и скорость
и не приближается сколь угодно близко к скорости све-
та, то после образования среднего по времени получаем
1 + Д<иа=(Кг]. C33а)
§ 40. Обобщенные координаты.
Каноническая форма уравнений движения
В релятивистской механике, вообще говоря, нельзя
ввести потенциальную энергию, зависящую только от ко-
ординат, так как, согласно основным положениям теории,
взаимодействия не могут распространяться со скоростью,
большей скорости тела. Однако известны случаи, когда,
тем не менее, подобную потенциальную энергию можно
ввести.
Это удобно, например, когда материальная точка дви-
жется в постоянном во времени силовом поле. Данный
случай играет важную роль в теории тонкой структуры
бальмеровских линий. Можно написать:
К - -grad Еа„, C34)
L = - тс2 V1 - u2/cs - ?„от, 6 [ L dt = 0; C35)
*) На границах области интегрирования Ьх1 должны исчезать.

166 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Н (Gx,..., х,...) = Е„а + Eaoz = х дЦдх +...- L, C36)
х = дН!двх, ...; dGM^-dH/dx... C37)
Этим уравнения приведены к канонической форме. Пред-
ставляется возможным также ввести обобщенные коорди-
наты q\, .. ., #4- Канонически сопряженные импульсы рав-
ны тогда
pk = dL/dqk,
и мы получаем
я (р. <?) = 2 i-^ -Ь C38)
dqh
?Ч _ дН_, _fPft _ дН_
dt ~ dph ' dt " dgh '
Далее, имеет место, как и в обыкновенной механике,
уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби.
Приведенные выше формулы, согласпо самому их выводу,
справедливы лишь в одной системе координат, опреде-
ляемой характером проблемы.
§ 41. Инерция энергии
Простая связь C18Ь) между кинетической энергией
и масссй подсказывает предположение [203] *) о том,
что всякой энергии соответствует масса т — Elc2**).
В этом случае инерция тела должна возрастать при его
нагревании и, далее, излучение должно переносить мас-
су от испускающего тела к поглощающему. Что касает-
ся второго из этих явлений, то оно может быть прове-
рено путем следующих рассуждений. Пусть тело, покоя-
щееся в К', излучает энергию Егад таким образом, что в
целом импульс не излучается и, следовательно, тело оста-
*) См. также сборник «Принцип относительности». Здесь за-
кон инертности энергии высказан впервые. См. также [204]. Льюис
[205], наоборот, из требования, чтобы Е равнялось тс2 с по-
d dE
ыощыо уравнения u -jj- (mu) = -^j вывел зависимость массы от
скорости: т = то/}'\ — v2/c2.
**) По этому поводу см. также обзор [447].

§ 41. ИНЕРЦИЯ ЭНЕРГИИ 167
ется в системе К' в покое. В системе К, движущейся
относительно К' со скоростью v, при этом излучается
согласно B28) импульс
rad v „
Поскольку скорость тела v не изменяется, это возможно,
только, если его масса покоя то уменьшается на вели-
чину
Am = Е'тай/с2.
Аналогично рассматривая баланс импульсов, можно по-
казать, что и тепловой энергии должна быть приписана
масса. Это обстоятельство подсказывается следующим
рассуждением. Для полного импульса и полпой энергии
системы материальных точек, как уже указано, справед-
ливы те же формулы преобразования C-1), что и в
случае одной материальной точки. Если же система ко-
ординат Ко выбрана так, что в ней полный импульс G
исчезает, то в системе К снова имеем
с2 /l-p»' /l-P2
Система ведет себя, таким образом, как одна материаль-
ная точка с массой покоя т0 — Ео/с2 [206]. Идеальный
газ является, очевидно, подобной системой материальных
точек. Здесь Ео равно2 moc2 + U> где {/—тепловая энер-
гия. Ее инертность поэтому доказана.
Еще более общий случай был разобран Лоренцем
[207]. Рассмотрим произвольную, замкнутую физическую
систему, состоящую из масс, натянутых пружин, свето-
вых лучей и т. д. В системе Ко система покоится, т. е.
не имеет там никакого результирующего импульса. Тогда
в некоторой системе К физической системе должна быть
приписана та скорость и, с которой Ко движется отно-
сительно К. Чрезвычайно правдоподобно физическое
предположение, что импульс Gi системы в К равен
т
G1 = mu = г и,

168 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
как в случае материальной точки*). Тогда для G спра-
ведливы формулы преобразования
Дадим теперь нашей системе 1 вступить во взаимодей-
ствие с системой 2, состоящей из одного излучения. Если
AGi и AG2 — изменения импульсов, а &Е\ и А?г — из-
менения энергий обеих систем, то должны иметь место
равенства
AGX + AG3 = 0; AGi + AG^ = 0; ДЯ, + A?2 = 0,
и так как вследствие B28)
отсюда сразу следует, что
Дт = =^. C39)
с"
Это рассуждение показывает, что вид энергии для суще-
ствования соотношения C39) роли не играет.
Таким образом, можно считать доказанным, что прин-
цип относительности вместе с законами сохранения энер-
гии и импульса приводит к фундаментальному закону
инертности энергии любого вида**). Мы можем вместе
с Эйнштейном считать этот закон важнейшим результа-
том специальной теории относительности. Количествен-
ная экспериментальная проверка до сих пор еще не уда-
лась. Уже в своей перг.ой публикации по этому вопросу
Эйнштейн [203] указал па возможность проверки теории
при радиоактивных процессах. Однако отдельные дефек-
ты атомных масс радиоактивных элементов [209] слиш-
ком малы для того, чтобы их можно было установить
экспериментально. Возможность объяспешш несвязанных
с существованием изотопов отклонений атомных масс от
*) Если принять, что в системе действуют только электромаг-
нитные силы, то это предположение может быть обойдено (ел.
[208]). Ограниченный плоский цуг волны света представляет со-
бой исключение, так как его импульс ни в ьакоГу спсто.че не ис-
чезает (см. § 30). Поскольку в приведенной формуле в этом случае
нужно положить и == с, мы должны приписать нугу светокых волп
массу покоя, равную нулю (см. II. Л. Lorentz [2071).
**) Этот закон называется также законом эквивалентности
массы и энергии.

§ 42. ОБЩАЯ ДИНАМИКА 169
целых чисел наличием энергии взаимодействия частей
ядра в последнее время, после первого указания Ланже-
вена [210] *), многократно обсуждалась. Возможно, в бу-
дущем закон инертности энергии удастся проверить по
наблюдениям над стабильностью ядер. Указания па ка-
чественное согласие уже имеются [212] (см. примеч. 13).
§ 42. Общая динамика
Соотношения теории станут еще проще и нагляднее,
если перейти от полного импульса и полной энергии к
плотностям импульса и энергии. В § 30 (см. B25)) мы
видели, чго алектромагнитная четырехсила может быть
выражена через дивергенцию тензора напряжений ?j.
Естественно попытаться обобщить это положение на силы
любого вида. Можно доказать, что это действительно так,
поскольку мы знаем, что все силы (упругости, химиче-
ские и т. д.) сводятся к электромагнитным (от тяготе-
ния мы здесь отвлекаемся)**). Исключение составляют
лишь силы, с которыми движущиеся электроны и прото-
ны действуют сами на себя (см. гл. V). Поэтому мы по-
ступим так: в выражении B22) для тензора энергии-
импульса разделим тензор поля Fik на части, связанные
с отдельными заряженными частицами; при этом тензор
Si распадается на две части, одна из которых состоит
из произведений компонент поля различных частиц, дру-
гая — из произведений компонент поля одной и той же
частицы. Мы будем рассматривать только первую часть
Si, описывающую взаимодействие между частицами. Ес-
ли теперь образовать дивергенцию, то мы получим толь-
ко силы, с которыми частицы действуют друг на друга.
Мы можем, таким образом, написать
ц„ diii/dx = — dS\/dxk
и согласно C22) и C24):
д (el + S\)/dxh = 0.
*) Ланжевен хотел свести к инертности внутренней энергии
все отклонения атомных масс от целых чисел. Необходимость учи-
тывать возможные изотопы, которые опытами Астона теперь в
большинстве случаев действительно установлены, была сразу яке
указана Свинне [211].
**) Насколько обсуждаемая здесь динамика будет изменена
квантовой теорией, мы еще ничего сказать не можем.

170 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Материя, таким образом, может характеризоваться тен-
зором энергии-импульса Т\, дивергенция которого равна
нулю:
Tih = Qih + Sik; C40);
dThi/dxh = 0. C41)
Как и в B24), пространственные компоненты Tik пред-
ставляют собой напряжения и могут также рассматри-
ваться как компоненты потока импульса; остальные ком-
поненты определяют плотность импульса g, поток энер-
гии S и плотность энергии W:
ri4 = icg; T4i=(ilc)S; T» = W. C42)
Мы представили здесь тензор энергии-импульса как сум-
му механического и электромагнитного. О попытках све-
сти механическую часть к электромагнитной см. гл. V.
Для дальнейших чисто феноменологических рассуждений
природа тензора энергии-импульса несущественна, важно
только само его существование. С исторической точки
зрения заметим, что существование подобного тензора для
механической (упругой) энергии впервые указано Абра-
гамом и окончательно сформулировано Лауэ [213]. Сим-
метрия тензора энергии-импульса гарантируется сведе-
нием его к механическому и электромагнитному тензо-
рам; раньше она устанавливалась с помощью специаль-
ного постулата. Из симметрии тензора может быть полу-
чено одно важное следствие. Именно, из того, что Тц =»
= Тц, согласно C42) получаем
g = S/c2. C43)
Это — высказанный впервые Планком [214] закон им-
пульса потока энергии, вследствие которого любой поток
энергии связан с импульсом. Этот закон можно рассмат-
ривать как расширенную формулировку закона инертно-
сти энергии. В то время как последний относится ко
всей энергии, первый сообщает также нечто и о локали-
зации энергии и импульса.
Так же как в § 30, из C14) можно заключить, что
полная энергия и полный импульс замкнутой системы
образуют четырехвектор:
(Ju /2, /3) = cG; /4 = i?. B27)
Формулы B28) здесь также справедливы. Из них не-
посредственно вытекает инерционность любой формы

8 43, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА 171
энергии, в частности потенциальной. Заметим еще раз,
что аддитивная постоянная, входящая в выражение для
энергии, выбрааа так, что энергия покоящегося электро-
на раина тос2. Только тогда в общем случае Е = тс2.
Из C41) обычным способом 1215] вытекает также
сохранение момента импульса:
L = j [rg] dV. C4-i)
Для справедливости закона сохранения момента импульса
(вращательного импульса) существенна симметрия про-
странственных компонент тензора Tih. Если потребовать
наличие этой симметрии в любой системе координат, то
отсюда следует также симметрия смешанных компонент,
которая обусловливает выполнение закона сохранения
импульса потока энергии *).
§ 43. Преобразование энергии и импульса системы
при наличии внешних сил
Формулы B28) справедливы только в том случае,
если в Е и G включены все входящие в рассмотрение
импульсы и энергии. Поэтому, если, например, имеется
газ, находящийся под внешним давлением, или система
токоящихся электрических зарядов, то мы должны так-
ке учитывать упругую энергию сосуда, в котором на.хо-
гится газ, или соответственно упругую энергию заряжен-
?ой материи. Это было бы очень неудобно. Мы хотим
юэтому решить следующую общую проблему. Некото-
ше виды энергии, которые мы хотим рассматривать от-
тольно, вызывают силу /4, причем
dSi/dxh - - U, C45)
где Sik — тензор, соответствующий упомянутым видам
энергии. Требуется найти формулы преобразования пол-
ной энергии и полного импульса. Пусть рассматриваемая
система покоится в системе К', т. е. пусть в К' ее пол-
ный импульс равен нулю (G' = 0); пусть, кроме того,
величины, описывающие состояние системы, не зависят
от времени.
*) В связи с законом момента импульса укажем, что Эпштейн
[201] ввел в теорию момент сил как бивектор Nlh = XiKh — xhKi
[Ki — четырехмерная сила Маяковского).

172 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Далее можно идти двумя путями. Во-первых, можно
преобразовать сначала плотность энергии и плотность им-
пульса к движущейся системе, что легко осуществляется
с помощью формул преобразования компонент симмет-
ричного тензора, а затем интегрировать по объему. Таким
путем шел Лауэ [216]. При этом получаем
C46)
Если, в частности, напряжения представляют собой
постоянное в пространстве скалярное давление р, то, как
впервые показал Планк [209] в его основной для дина-
мики движущихся систем работе (см. также [217]),
G{E' + 'r) GG°
, / . N C46а)
Е - , * (Я' + Л- P>v'
Во-вторых, можно провести рассмотрение, подобно
проведенному в § 21 доказательству векторного характе-
ра величин Л. Здесь существенно учесть, что интеграл
по сечению х'* = const не может быть просто заменен
интегралом по сечению х* = const. Упомянутые интегра-
лы отличаются друг от друга интегралом
распространенным на четырехмерную область между
обоими сечениями. Если ось X направить по направле-
нию скорости системы К относительно К', то легко най-
дем, что
и после промежуточных вычислений получим

8 44. ПРИМЕНЕНИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 173
-^f^'dV; в,-...; C47)
Эти формулы получены Эйнштейном [218]. С по-
мощью интегрирования по частим они могут быть пре-
образованы в формулы Лауэ.
§ 44. Применение к специальным случаям.
Опыт Троутона — Нобля
Простое рассуждеЕше показывает, что согласно фор-
мулам преобразования релятшшстской механики движу-
щееся твердое тело находится в равновесии отнюдь не
тогда, когда результирующий момент приложенных к
нему сил равен пулю. Рассмотрим, например, стержень,
который в системе К двшкетея со скоростью и в направ-
лении сил х [219J. Пусть в сопутствующей стержню си-
стеме К' на оба конца стержня действуют по оси стерж-
ня равные, но противоположно направленные силы.
Пусть, далее, измеренный в К' угол между стержнем и
скоростью и (осью х) К' относительно К равен а. Если
х', у' суть разности координат концов стержня в К', а х
и у — соответствующие значения в К, то
K'x = \K'\cosa; АГ^ = i K'jsinct
и согласно B13):
в противоположность соотношениям
Таким образом, в К сила не направлена по стержню.
Возникает момент сил
Nz = A - |32) х'К'у - у'К'х = - $гх'К'у -
- — p3/0[Kr[sinacoscc. C48)
Теперь встает вопрос, почему, несмотря на наличие мо-
мента сил, вращение стержня не имеет места. Сразу же
заметим, что силы упругости, уравновешивающие в К'
внешние силы К, преобразуются совершенно тат-; же, как

174 гл ш. специальная теория относительности
вти последние. Поэтому в системе К присутствует момент
сил упругости, который компенсирует внсшппй момент /V.
Более глубокая причина того, что здесь силы упругости
не направлены по стержию, заключается в невозможно-
сти представить их в виде дивергенции некоторого тензо-
ра напряжений; именно, оказывается, что помимо этой
дивергенции присутствует член, выяваппый ишеиепиеы
плотности импульса во времени (см. § 42). Нижеследу-
ющее рассмотрение показывает, что отсюда получается
также и количественно правильное значение момента
сил. Момент упругих сил N равен взятой со знаком ми-
нус произиодной от полного упругого момента количе-
ства движения L, т. е. со(ласпо C44):
N =» — — у- \ [rg] dV, C44а)
ut . at J
Вывод этот аналогичен выводу Лоренца для случая
электромагнитных сил B20]. Поскольку в А" все вели-
чины не зависят от времени, легко находим
N =»-[uG]. C44 b)
Поэтому определение момента сил сведено к нахожде-
нию полною упругого импульса
G = -L S dV,
с J
В нашем случае поток анергии всегда параллелей на-
правлению стерзкни, а распространенный па сечеипе
стерягня интеграл
равец, в силу закона сохранения а'пергпи, р,аб"оте (Ки),
Поэтому
G==(l/c2)(Ku)r,
где г — вектор с компонентами хну. Подставляя это
значение в C4:Sb), получаем:
| N | - A/с3) (Ки) I [иг] | = §гК'ху' - ря1„! К11 sin a cos a.
Этот момент, таким образом, действительно тотао ком-
пенсирует момент C48).

§ 44. ПРИМЕНЕНИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ СЛУЧАЯМ 175
Аналогичные рассуждения позволяют разобрать слу-
чай прямоугольного рычага, для которого наличие мо-
мента сил было указано Льюисом и Толменом [221] и
объяснено на основе теоремы об импульсе потока энер-
гии Лауэ [222].
Если считать, что внешние силы, действующие на рас-
сматриваемый стержень, вызваны наличием на его кон-
цах маленьких заряженных шариков, то нужен лишь
небольшой шаг, чтобы прийти к экспериментальной уста-
новке Троутона и Нобля [8, 220]. Эти авторы исследо-
вали, устанавливается ли заряженный конденсатор пер-
пендикулярно к направлению движения Земли. В систе-
ме, в которой конденсатор движется со скоростью и в на-
правлении оси х, электромагнитное поле создает, вообще
говоря, момент сил, действующий н*а конденсатор*). Обо-
значим а.' угол между нормалью к пластине конденса-
тора и скоростью и, через W — плотность энергии и че-
рез ?" — электростатическую энергию в сопутствующей
системе К'. Импульс в сопутствующей системе подсчиты-
вается по C46). Поскольку поле в К' состоит только из
однородного электростатического поля между пластина-
ми конденсатора, которые ему перпендикулярны, имеем:
и для S'xx и S'xy находим
S'xx = W — Е'х2 = W A-2 cos2 a');
S'xy «= — Е'хЕ'у = Ж' sin a' cos a'.
Подставляя эти выражения в C46), получаем
Gx = -4- тт^Т B - 2 cos2 a') = 2 4 Т7^=ъ sini a"
Gu = —2-^E' sin a cos a' = — ^ E' sin 2a',
C49)
Если отвлечься от членов высшего порядка, то импульо
*) Последний вывод см. у Лауэ [223]. О повторения опыта
Троутона — Нобля с большей точеюстыо, а также о других экс-
неримепталышх работах, связанных с проверкой теории относи-
тельности и осуществленных до 1928 г., см. С. И. Вавилов [224*].—
Примеч. ред.

176 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
параллелен пластинам. Отсюда, согласно C44Ь), находим
момент сил:
INI = uGv = §2?' sin 2а'.
C50)
Тем не менее не наблюдается никакого вращения кон-
денсатора, что с точки зрения принципа относительности
ясно заранее. Еще в 1904 г. Лоренц (см. [225]) дал это-
му факту правильное объяснение, предположив, что уп-
ругие силы преобразуются так же, как электромагнитные.
Более глубоко представление Лауэ [226], согласно ко-
торому импульс потока упругой энергии вызывает момент
сил, в точности компенсирующий электромагнитный. Лауэ
[227] исследовал также в деталях, как образуется мо-
мент сил C50). Для этого существенно, что в К', наряду
с силами | Kj | = Е'Id, перпендикулярными к пластинам,
на кагйдую пластину действуют силы, перпендикулярные
к ее краю и лежащие в одной с ней плоскости. Если
пластины имеют форму прямоугольника со сторонами а
и Ъ, то перпендикулярно к краю b действует сила | К21 =
= 1/2Е'/а,перпендикулярно к краю а— сила| К'3\ = 1/2Е'/Ь.
Если, далее, край b перпендикулярен к скорости и, то
силу К3 можно не учитывать. Приложенные в системах
К' я К силы Кх и К2 и соответственно Ki и Кг изобра-
жены на рис. 4.
Путем преобразования сил к системе К сразу же полу-
чается момент сил. Пара сил Kt вызывает половину мо-
мента сил; обе пары сил Кг обусловливают другую поло-
вину. Выражение C47) для импульса также легко про-

§ 45. ГИДРОДИНАМИКА И ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 177
вернется. Оказывается, далее, что
J j'xx' dV> = ?" (sin2 a' - cos2 a');
J /^' dV = 2?" sin а' cos а',
откуда снова следуют формулы C49).
Момент сил возникает при равномерном движении и
при других распределениях заряда, а не только в случае
конденсатора и двух точечных зарядов на стержне. Так,
момент сил возникает в случае эллипсоида [228]. Одна-
ко, согласно теории относительности, вращение не воз-
никает никогда. В случае, если в соответствующей си-
стеме К' поле сферически-симметрично, то в К импульс
параллелен и и согласно C44Ь) момент сил исчезает.
Здесь
J S'xu dV = О, J S'xx dV = J S'm dV = J S'u dV,
и из Sxx + Syy + SZ2 = W следует также, что каждый
из трех последних интегралов равен ЧзЕ'. Поэтому со-
гласно C46)
Ч? -Е'{1+^'\ C51)
с2 Vi~f Yi-tf
(О применениях этих соотношений к отдельному элек-
трону см. гл. V.)
§ 45. Гидродинамика и теория упругости
Релятивистская теория упругости исторически возг
никла из попытки сделать пригодным и в теории отно-
сительности понятие твердого тела. Естественно, вначале
нужно было искать такое определение твердого тела, ко-
торое инвариантно относительно преобразования Лоренца.
Подобное определение было дано Борном [229J. Тело
считается твердым тогда, когда в системе Ко, в которой
определенный элемент объема тела в рассматриваемый
момент покоится, этот элемент не деформирован. Анали-
тически это может быть сформулировано так: течение
деформируемой среды мы будем описывать методом Лаг-
ранжа, т. е. зададим координаты х\ ..., х4 как функции
начальных координат I1, ..., |3 и собственного времени
12 в, паули

178 гл. ш. специальная теория относительности
т, или, из соображений симметрии, координаты |4 = /ет:
:г* = **(?', ..., %<)¦ C52)
Элемент мировой линии
двух соседних пространственно-временных точек пред-
ставляется тогда как квадратичная форма от дифферен-
циалов dQ:
ds2 = AikdVdt. C53)
Если мы будем, в частности, рассматривать те миро-
вые точки, которые одновременны для наблюдателя, со-
путствующего в данный момент элементу объема,— эти
точки удовлетворяют уравнению
udx* - идхЧдХЧХ* = 0 C54)
(щ — 4-скорость),— то d\": исключается из C53) и ds2
становится квадратичной формой пространственных диф-
ференциалов:
&*= 2 Pihdtdf. C55)
Отклонения величин /з« от их начальных значений
характеризуют деформацию элемента объема. Для твер-
дого тела эти отклонения должны всегда исчезать, т. е.
мы должны иметь
дрп/д%* = 0. C56)
Простое рассуждение Эренфеста [230] показывает,
однако, что подобное тело не может быть приведено во
вращение. Если бы это было возможно, то с одной сто-
роны, длина окружности, проведенной через точки тела,
должна была бы уменьшиться вследствие лоренцева со-
кращения, а с другой стороны, ее радиусы, всегда пер-
пендикулярные к скорости, не должны были бы изме-
няться. Далее, Герглотц [231] и Нетер [232] независи-
мо друг от друга показали, что твердое (в смысле Борна)
тело имеет только три степени свободы в противопо-
ложность шести степеням свободы твердого тела старой
механики. Если отвлечься от некоторых особых случаев,
то движение тела полностью определяется заданием дви-
жения одной его точки. Сказанное породило сильное со-

§ 45. ГИДРОДИНАМИКА И ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 179
мнение в возможности введения в релятивистскую
механику понятия твердого тела (см. также [233]).
Окончательное выяспение вопроса принесла работа Лауэ
[234]. Путем вполне элементарных рассуждений Лауэ
показал, что число кинематических степеней свободы лю-
бого тела согласно теории относительности не может
быть ограниченным. Действительно, поскольку никакое
действие не может распространяться со сверхсветовой
скоростью, постольку толчок, сообщенный телу одновре-
менно в п различных местах, вначале всегда вызовет
движение минимум с п степенями свободы.
Если, таким образом, понятие твердого тела в реля-
тивистской механике не имеет места, то тем не менее
необходимо и естественно ввести понятие твердого дви-
жения тела. Твердым естественно называть такое движе-
ние, при котором условие Борна C56) выполнено. Герг-
лотц [235] разнил поэтому релятивистскую теорию упру-
гости, базирующуюся на предположении, что напряже-
ния всегда возникают, когда условия Борна C56) на-
рушены. Уравнения движения выводятся из вариацион-
ного принципа
dg4-0, C57)
где Ф—функция величин Aik, описывающих деформацию
(см. C53)) и выбранных так, что в случае покоя Ф за-
висит от plh так же, как функция Лагранжа обыкновен-
ной теории упругости. Полученные отсюда уравнения
движения укладываются в схему уравнений Лауэ C40)
и C41).
Здесь можно также заметить, что Лауэ [213]*), в от-
личие от абсолютных, вводит также относительные на-
пряжения. Из C41) следует, что
('= 1-2,3). C58а)
2TT
Поскольку здесь в левой части стоит локальная, а не
полная {субстанциональная) скорость изменения плотно-
сти импульса, пространственные компоненты тензора Т
не есть компоненты упругих напряжений. Субстанцио-
нальная производная dgjdt плотности импульса опреде-
*) В элоктролипамике движущихся тол относительные напря-
жения еще раньше аналогичным образом ввел Абрагам [236].
12*

180 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬПАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ляется теперь так:
и, следовательно,
где
T<k~Tlk-gluh (i, fc-1, 2, 3). C59)
Следует иметь в виду, что относительные напряжения
Т<ц несимметричны. Формулы преобразования для них
таковы:
Тху
1 VV
~т
1 zx =
Т1" .
1 VVi
Vi-
У1 —
р2^
.; frj
71" •
!¦ -'i/z.
/ — 1 гу-
1/ л о2 т® . 7^
==K-L — Р * yxi * zx —
C60)
В отличие от соответствующих соотношений для абсо-
лютных напряжений плотность энергии Wo в формулы
преобразования не входит. Если в частном случае в по-
коящейся системе трехмерный тензор напряжений есть
скаляр, т. е.
то также
Таким образом, скалярное давление является инвари-
антом:
Р = Ро. C61)
Это следует также прямо из формул преобразования для
сил и площадей, если определить давление как силу на
единицу поверхности [237]*) (см. также в §32,6 об
инвариантности давления света).
•) Впервые на это указал Плапк [209].

§ 45. ГИДРОДИНАМИКА И ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 181
Уравнения движения принимают сравнительно про-
стую форму в случае жидкости, где трехмерный тензор
напряжений вырождается в скаляр. Этим специальным
случаем занимались кроме Герглотца [235|, Игнатовскпй
[238] и Ламла [239]; результаты этих авторов совпа-
дают. Если цо означает плотность массы покоя, р — дав-
ление и Р, как обычно в гидродинамике,— интеграл \ —,
то тензор энергии-импульса равен, для адиабатических
процессов,
^^ + рь1 C62)
Из уравнений
dT\/dxh = О
вытекает, после скалярного умножения на и*, уравнение
непрерывности
diiouk/dxh •. О, C63)
а затем и уравнение движения
(, , Р \ dui
В случае покоя Т°о равно обычному выражению для
плотности энергии.
Высказанные соображения представляют ценность
только в том отношении, что они показывают возмож-
ность создания непротиворечивой релятивистской гидро-
динамики и теории упругости. В физическом отношении
они ничего нового не дают, так как в средах, где ско-
рость упругих волн мала по сравнению со скоростью
света, уравнения релятивистской теории упругости прак-
тически не отличаются от обычных.
Как Герглотц, так и Ламла делают из своих уравпе-
ний тот вывод, что сжимаемость должна иметь нижнюю
границу, так как ипаче упругие волны могли бы распро-
страняться со сверхсветовой скоростью. Нам кажется,
однако, что из принципа относительности нельзя сделать
никаких выводов о величине сцепления. Если статиче-
ская сжимаемость приближается к указанной Герглот-
цем и Ламла границе, то феноменологические уравнения

182 гл. in. специальная теория относительности
уже, вероятно, неверны. Мы приходим поэтому к дис-
персии упругих волн, и положение становится подобным
рассмотренному в § 36, б для случая световых волн.
D. ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИКА
§ 46. Поведение термодинамических величин
при преобразованиях Лоренца
Формулы преобразования термодинамических величин
при переходе к движущейся системе координат были ус-
тановлены Плавком *) в его фундаментальной работе по
динамике движущейся системы. При этом он исходил из
вариационного принципа. Представляется, однако, воз-
можным, как показал Эйнштейп [241], вывести формулы
преобразования прямым способом; вариационный прин-
цип получается при этом как следствие.
Сопоставим сначала еще раз выражения для объемов,
давления, энергии и импульса, причем предположим, что
упругие напряжения определяются только скалярным
давлением
PJ; Ga)
Ро\ C61)
C46а)
Отсюда следует также, что
E + pV~b±j?±- G = ±(E + pV). C46b)
Мы должны теперь установить соответствующие со-
отношения для количества тенлоты, температуры и энт-
ропии. Если dQ обозначить количество подведенной к си-
стеме теплоты, a dA — произведенную над системой ра-
*) М. Р1ацск [209]. См. также работу [240], автор которой не-
вависимо от Планка пришел другим методом к тем н?е результатам,

§ 4в. ПОВЕДЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 183
боту внешних сил, то
dQ-^dE - dA\
C65)
Второй член здесь существен, так как, согласно C46),
он не исчезает даже в том случае, если при изменении
состояния системы ее скорость остается постоянной; по-
следнее ниже предполагается. Мы получаем
и, следовательно,
~^f. C66)
Это выражение совпадает с выведенным ранее преобра-
зованием для джоулева тепла (см. B93)).
Сообщение какой-либо системе скорости и может рас-
сматриваться как адиабатический процесс. Поэтому энтг
ропия остается неизменной, т. е. она одинакова для дви-
жущейся и покоящейся систем. Это означает, что энтро-
пия инвариантна относительно преобразования Лоренца:
S = So. C67)
Если количество теплоты dQ введено бесконечно медлен-
но, то
dQ = T dS.
Из C66) и C67) отсюда сразу находим:
Т^ГоУГН^ C68)
Полученные формулы позволяют сопоставить каждому
соотношению между характеризующими состояние систе-
мы величинами р0, Vq, Eq, Go и Го в покоящейся системе
соответствующее соотношение между этими величинами
в движущейся системе. В частности, может быть опреде-
лена зависимость уравнения состояния вещества от его
скорости.

184 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 47. Принцип наименьшего действия
В старой термодинамике уравнение состояния может
быть определено с помощью вариационного принципа
[242]
Ч
где F — свободная энергия:
F = Е - TS.
Независимыми переменными являются пространственные
координаты системы, объем и температура; ЬА есть ра-
бота, совершаемая при варьировании этих параметров.
При изменении независимых переменных варьируемая
функция изменяется известным образом. Функция дей-
ствия
L = -F + Е„„
распадается здесь на две частя, одна из которых зависит
только от скорости, а другая — от внутренних парамет-
ров тела V и Т. В релятивистской механике подобная
функция действия также существует, однако она уже не
может быть разложена указанным образом на две части.
Действительно, для:
L = -E + TS + (uG) C69)
имеем
•* 8^ „ к & дЬ _ „ t d dL _ „ .
_ __ js.x) —г — 1\у, -JJ- —г — лг,
дх 9" д* C70)
Из соотношения
dE = (К Л) - р dV + Т dS = (u dG) - р dV + Т dS
следует, что
dL=(Gdu) + pdV + SdT.
Формулы C70) представляют собой как раз уравнения,
вытекающие из вариационного принципа. Заметим еще,
что согласно C18а, Ь) и C25) для материальной точки

i 48. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА И СТАТИСТИКА 185
что может рассматриваться как частный случай выраже-
ния C69). В сопутствующей системе Ко L идентично
взятой со знаком минус свободной энергии Lo «=¦ — Ео +
+ T0S0. Согласно C46), C67), C68) для L имеет место
следующая формула преобразования:
L-И -$sLs. C71)
Отсюда вытекает, что интеграл действия j L dt является
инвариантом, как это и должно быть.
§ 48. Применение релятивистской механики
к статистике
В пространстве канонических переменных рк, qk (см.
§ 40) справедлива теорема Лиувилля:
dPl... dgK = dp; ... dg%, C72)
так как опа является непосредственным следствием
уравнений Гамильтона. Теорема справедлива, естествен-
но, и в пространстве других переменных х\, .. ., лггл-, ко-
торые получаем пз канонических путем преобразования
с функциональным определителем, равным единице, т. е.
dxx... dxi?i = dx\... dx\N. C72a)
В общих теоремах статистики не используются другие
предположения, кроме теоремы Лиувплля; очевидно, они
остаются справедливыми и в статистике, основанной на
релятивистской механике*). Сформулируем эти теоремы
так:
1. Пусть анергия как функция переменных х\, ..., Х2н,
удовлетворяющих условию C72а), что и предполагается
везде в дальнейшем, задана выражением
Я (*, xiK) = E. C73)
Энтропия тогда выражается в виде
S = k\gV, C74)
где V — объем, ограниченный поверхностью Н = Е, или
объем слоя между поверхностями Е < Н < Е + dE:
<&!... dxty, C75)
Н<Е
*) Мы отвлекаемся от изменений статистических теорем, свя-
занных с квантовой теорией.

186 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ИЛИ
V = \ dx1,,, dxiN,
E<H<E+dE
2. Свободная энергия F — Е — TS задается выраже-
ниями
F = ~kT\gZ, C76)
Z =
= J e hT dxx...
3. Закон равномерного распределения: средние по
времени от величии ZidH/dXi равны
= kT для всех i от 1, .. ., 2iV;
XidH/дх, = 0 для i Ф }, C77)
В частности, для канонических переменных
= кТ. C77а)
Здесь имеется некоторое отличие от обычной механики.
В последней EKBll = lJ2 2рД' так что первое из уравне-
ний C77а) означает иросто, что средние по времени от
частей кинетической энергия, соответствующих одной сте-
пени свободы, все равны между собой и при этом равны
i/zkT. В релятивистской механике связь между законом
равномерного распределения и, средней кинетической
энергией теряется.
4. Закон распределения Максвелла — Больцмана.
Пусть энергия нашей системы разбивается на две части
'U-H^xu .... x2n)+H2(Xi ВД, C78)
зависящих от различных переменных. Пусть, далее, чис-
ло 2я переменных первой части гораздо меньше числа
2./V переменных второй части. Наконец, потребуем, чтобы
обе группы переменных независимо друг от друга полу-
чались из различных канонических переменных путем
преобразования с функциональным определителем, рав-
ным единице. Тогда вероятность того, что первые пере-
менные независимо от значений вторых переменных име-
ют в объеме dx\...dx2n значения Х\, ..., Хгп, равна
w{xv • • • i xnn)d%i... dx2n=Ae w dxl,,, dx2n, C79)

g 49. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ 187
Не зависящая от х величина А определяется из условия
J w(xlf ..., x2n)dx1 ... dx2n = 1. C79а)
Для справедливости закона распределения C79) нужно,
по предположению, чтобы величина Hi была мала по
сравнению с (постоянной) величиной Я.
§ 49. Специальные случаи
а. Излучение в движущейся полости.
Этот случай представляет исторический интерес, так как
он может быть рассмотрен электродинамически и без тео-
рии относительности. При этом с необходимостью при-
ходят к заключению, что движущейся световой энергии
нужно приписать импульс, а следовательно, и инертную
массу. Интересно, что этот результат был найден еще до
установления теории относительности Газенорлем [243],
выводы которого в отдельных местах нуждаются в уточ-
нении. Полное решение проблемы впервые дал Мозен-
гейль [244], его результаты широко использовались и
были обобщены Планком [209] при выводе формул ди-
намики движущейся системы.
Теория относительности позволяет без труда устано-
вить зависимость светового давления, импульса, энергии
и энтропии от температуры, а также зависимость спект-
рального распределения от температуры и направления
движения путем сведения движущейся полости к непод-
вижной. Для последней имеем
Е0 = аПУ0; Ро=*±аТ*; So --i в7Х C80а)
и, согласно C69),
L = 1 аЦУ0.
Наконец, для интенсивности излучения в интервале ча-
стот dv и в телесном угле dQ получаем
Oh v dv
Kovo dv0 dQ0 = -4J- -jJj-fi- dQ0. C81a)

1SS ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Согласно формулам § 40 отсюда прежде всего получаем
Еп
_ _ 1 Т4
~ Ро ~ Т ai
C80Ь)
G4 и 1 4 т,,; 1 и
= -г—2—7~м ?0 = — a/ I -, jj-j- —.
Для того чтобы определить и спектральное распре-
деление в движущейся полости, используем следующие
легко получаемые из формул A5), A7) и B53) соот-
ношения:
/l-p»
(i — p cos ay
v' j ' лг\> vi лП- PcosaJ
Ky, av аУ = Kv dv dQ- —5——.
Последняя величина должна преобразовываться, как
квадрат амплитуды Л. Поэтому
C81b)
е — 1
Далее, вследствие того, что
„' л , ts j A — р cos a)
Kv,dx =*K,dv ^py' .
v,
находим
= 4лГ ^Ц|

8 49. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАЙ 189
Эта формула дает зависимость полной (т. е. проинтег-
рированной по всем частотам) интенсивности излучения
от направления. Формула C82) может, конечно, быть
получена и из C81Ь) путем интегрирования по v. Пол-
ная энергия, получаемая из C82) с помощью соотно-
шения
Е = У Г -
совпадает с первым уравнением C80Ь). Возможность
экспериментального доказательства инертности энергии
излучения представляется нереальной вследствие мало-
сти ожидаемого эффекта.
р. Идеальный газ. Отклонения поведения идеаль-
ного газа вследствие релятивистских эффектов (зависи-
мости массы от скорости) от вычисленного по старой
механике можно, естественно, ожидать лпшь тогда, когда
средняя скорость молекул становится сравнимой со ско-
ростью света. Определяющим здесь является параметр
о = тосЧкТ. C83)
При нормальных температурах этот параметр исклю-
чительно велик и становится небольшим только при тем-
пературах порядка 1012 К. Поэтому вопрос об отклоне-
ниях поведения идеального газа от обычных законов
вследствие релятивистских аффектов имеет лишь теоре-
тическое значение*). Проблема была разработана Ют-
тнером [245]. Проще всего прийти к цели, вычисляя
свободную энергию с помощью теоремы 2 § 48. Посколь-
ку энергия материальной точки, выраженная через им-
пульсы, равна
*) Релятивистские поправки к уравнению состояния сущест-
венны, например, для белых карликов п нейтроппых звезд. Устой-
чивость белых карликов обеспечивается дввлепием вырожденного
электронпого, а нейтронных звезд — вырожденного нейтронного га-
за. При массе звезды, превышающей критическую Миг (для белых,
карликов А/ог « 1,4Д/Э, для нейтронных звезд Л/Сг J3 ЗЛ/Э), плот-
ность вещества настолько возрастает, что вырожденный газ ста-
новятся релятивистским. При этом уравнение состояния «смягча-
ется» и звезда теряет устойчивость. По этому поводу см., наири-
мер, книгу [И.б*].— Примеч. ред.

190 гл. ш. специальная теория относительности
то, если принять, что имеется 1 моль вещества, мы имеем
-Vjjj
exp
^
где L есть число Авогадро; V — объем моля газа. Вы-
числение доказычает, что
F-- nr\\gV + lg [- '?^5| + const j,
где Н^ — цилиндрическая функция Ганкеля i-го рода и
п-го порядка с i = 1, 2.
Все остальные тррмодпнаыичсские величины получа-
ются из свободной энергии обычным сиособом, например,
r,— —EL.- г — F T dF — т2 д F
1 dV дТ ~ дТ Т
(независимые переменные У и Г). Из первого уравнения
следует, что
p = RTIV. C85)
Таким образом, уравнение состояния идеального газа ос-
тается неизменным и в релятивистской механике. Это
связано с тем обстоятельством, что зависимость свобод-
ной энерши и интеграла состояния 7, от объема в реля-
тивистской механике ие изменяется, что ясно и a priori.
Зависимость ннергии от температуры уже, однако, ее та-
кая, как в старой теории, так как
C8G)
Для больших зпачений а можно замолить функции Гап-
келя их асимптотическими значениями
- Ш2г (to) = -

§ 49. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ 191
Путем логарифмического дифференцпрования отсюда сле-
дует соотношение
^Г^) , , 1
которое после подстановки в C86) дает
Е - RT(a + 3/s) = Lmc2 + 3/2Я7\ C86a)
что, как это и должно быть, находится в согласии со
старой теорией. Выражение C86) для энергии можно
было бы также получить из максвелловского закона рас-
пределения, который согласно теореме 4 § 48 отличается
от закона распределения старой механики только видом
зависимости фактора А от температуры.
Юттнер [246] исследовал также на основе релятиви-
стской динамики влияние движения идеального газа на
его термодинамические свойства. Соответствующие соот-
ношения могут быть сразу получены с помощью формул
преобразования § 46. Для экспериментальной проверки
вакона инертности энергии идеальный газ еще менее при-
годен, чем заполняющее полость чррное излучение.

ГЛАВА IV
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 50. Историческое введение *)
(до работы Эйнштейна 1916 г.)
Закон всемирного тяготения Ньютона, требующий
мгновенной передачи действия силы на расстояние, не-
совместим со специальной теорией относительности:.
Последняя требует распространения самое большее со
скоростью света**), а также ковариантности законов тя-
готения относительно преобразований Лоренца. Еще Пу-
анкаре [14] пытался найтп такое видоизменение закона
тяготения Ньютона, которое удовлетворяло бы этим тре-
бованиям. Этого можно достигнуть многими способами,
приводящими к тому, что силы взаимодействия двух ма^-
териальных точек зависят не от их одновременного по-
ложения, а от положений, различающихся промежутком
времени t = г/с, а также от скоростей и, возможно, ус-
корений. Отклонения от закона Ньютона всегда второго
порядка по v/c и, таким образом, всегда очень малы и не
противоречат опыту***). Мпнковсктш [64] и Зоммер-
фельд [65] придали выражению Пуанкаре форму, соот-
ветствующую четырехмерному векторному исчислению;
один специальный закон обсуждался Лоренцем [248].
Против всех этих исследований можно возразить, что
они основаны на элементарном законе для силы, а не на
дифференциальном уравнении Пуассона. Между тем, если
уж оказывается, что действие распространяется с конеч-
ной скоростью, то ожидать простых общеприменимых за-
*) О старых попытках изменения закона тяготения Ньютона
см. статью Ценнека (Zenneck), V 2. в Оппенгенма, VI2, 22, в Enz.
Math. Wiss., особенно разд. V. Мы осветим здесь историю вопроса
лишь в общих чертах; многие детали имеются в статье Коттле-
ра, VI2, 22.
**) Если принять, что скорость распрострапения гравитацион-
ных воздействий не зависит от состояния движения тела, вызы-
вающего эти воздействия, то оказывается даже, что она должна
в точности равняться скорости света в вакууме.
***) Подробное обсуждение этого вопроса см. в работе [247],

§ 50. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 193
конов можно только в том случае, если их удается выра-
зить с помощью величин, непрерывно изменяющихся в
пространстве и времени (т. е, поля), а также найти
дифференциальные уравнения этого поля. Проблема по-
этому заключается в нахождении такого изменения урав-
нения Пуассона
АФ
и уравнения движения для материальной точки
d2r/dt2 = -grad Ф,
чтобы получившиеся выражения были инвариантны от-
носительно преобразований Лоренца.
Однако, прежде чем эта задача была решена, разви-
тие пошло по иному пути. Сразу же после того как фи-
зические следствия специальной теории относительности
были доведены до состояния известной законченности,
Эйнштейн [249] предпринял попытку распространить
принцип относительности на системы, отличные от дви-
жущихся равномерно и прямолинейно. Он постулировал,
что общие законы природы должны были сохранять свою
форму не только в галилеевых системах (см. § 2). Воз-
можности для этого открывает так называемый принцип
эквивалентности. В ньютоновой теории система, находя-
щаяся в однородном поле тяжести, в механическом отно-
шении вполне эквивалентна равномерно ускоренной систе-
ме отсчета*). Содержание эйнштейновского принципа
эквивалентности, являющегося краеугольным камнем соз-
данной им позже общей теории относительности, заклю-
чается в требовании, чтобы и все другие процессы в обеих
системах протекали одинаково (см. § 51). Поскольку те-
чение процессов в ускоренной системе может быть опре-
делено с помощью вычислений, открывается возможность
определить также влияние однородного поля тяжести на
любой процесс. В этом эвристическая сила принципа эк-
вивалентности. Таким образом, Эйнштейн показал, что в
местах более низкого гравитационного потенциала часы
идут медленпее, чем в местах более высокого потенциала,
и что уже отсюда вытекает смещение в красную сторону
спектральных липин, излучаемых Солнцем (см. § 53, fl),
Далее оказалось, что в поле тяжести скорость света изме-
*) Строго говоря, равноускоренное движение должно быть эа-
менепо гиперболическим движением (см. § 26), вследствие чего
формулы преобразования для координат усложняются (см, [250]),
13 в. Паули

194 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
няется, вследствие чего световые лучи должны искрив-
ляться, а также, что любой энергии Е должна быть при-
писана не только инертная, но и тяжелая масса тп — Е1с2,
В следующей работе Эйнштейн [251] показал, что искрив-
ление световых лучей имеет своим следствием доступное
проверке смещение положения звезд, наблюдаемых у
края солнечного диска. Значение смещения им было тогда
определено равным 0,83".
Уже эта теория однородного гравитационного поля
выходила из рамок специальной теории относительности.
Вследствие зависимости скорости света и скорости хода
часов от гравитационного потенциала здесь уже не может
быть проведено данное в § 4 определение одновремен-
ности, и преобразования Лоренца теряют свой смысл. Та-
ким образом, с этой точки зрения специальная теория
относительности может быть правильна только в отсут-
ствие гравитационных полей. После введения гравитаци-
онного потенциала законы природы нужно понимать как
соотношения между гравитационным потенциалом и ос-
тальными физическими величинами; далее, нужно тре-
бовать их ковариантности относительно группы преобра-
зований, для которой гравитационный потенциал также
преобразуется подходящим образом. Теперь встала задача
установить подобную, опирающуюся на принцип эквива-
лентности теорию для случая неоднородных гравитацион-
ных полей. Эйнштейн и Абрагам [252] пытались характе-
ризовать общее статическое гравитационное поле значе-
нием скорости света с в каждой точке пространства-вре-
мени, которое, таким образом, играло бы роль гравитаци-
онного потенциала, и искали дифференциальные уравне-
ния, которым скорость с должна удовлетворять. Даже
если отвлечься от того, что эти теории принимают во
внимание лишь гравитационные поля специального вида,
они и так приводят к затруднениям.
Поэтому Нордстрём [253]*) предпринял попытку по-
следовательно придерживаться строгой справедливости
специальной теории относительности. В его теории ско-
рость света постоянна и отклонение лучей в поле тяготе-
ния не имеет места. Нордстрём логически безукоризнен-
но решает указанную выше задачу придания уравнению
Пуассона и уравнению движения материальной точки
формы, ковариантной относительно преобразования Ло-
*) См, также [254],

8 50, ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИИ 193
рейда. В его теории соблюдаются также закон сохране-
ния энергии и импульса и закон равенства инертной и
тяжелой масс. И несмотря на это, теория Нордстрёма не
может быть принята, так как, во-первых, она не удовлет-
воряет общему принципу относительности (или во всяком
случае не удовлетворяет ему простым и естественным
образом, см. § 56); во-вторых, она противоречит опыту —
не приводит к искривлению световых лучей, а для дви-
жения перигелия Меркурия дает неправильный знак;
в отношении красного смещения она совпадает с теорией
Эйнштейна. Ми [255] также построил теорию тяготения,
базирующуюся на специальной теории относительности.
Поскольку она не удовлетворяет строго закону равенства
инертной и тяжелой масс, она заведомо маловероятна.
Эйнштейн, однако, несмотря на трудности проблемы,
не ошибся в своем стремлении придать законам природы
такую форму, которая была бы коварпантпа отпоситель-
но возможно более широкой группы преобразований.
В выполненной совместно с Гроссманом работе [256] ему
удалось достичь существенного успеха в этом направле-
нии. Если квадрат элемента длины преобразован к про-
извольным криволинейным пространственно-временным
координатам, то он представляет собой квадратичную
форму дифференциалов координат с десятью коэффициен-
тами ^ (см. § 51). Гравитационное поле теперь опреде-
ляется уже не скалярной скоростью света, а этим тензо-
ром gih. Вместе с тем, введением тензора gih уравнения
движения материальной точки, закон энергии и импульса
и уравнения электромагнитного доля для вакуума пред-
ставлены в этой работе в окончательной, общековариант-
ной форме*). Однако установленные тогда дифференци-
альные уравнения для g^ сами не были общековариантны.
В следующей работе [258] Эйнштейн пытался подробнее
обосновать эти дифференциальные уравнения и даже ду-
мал, что нашел доказательство того, что уравнения, опре-
деляющие самый тензор gih, могут не быть общековари-
антными. Однако в 1915 г. он обнаружил, что требования,
предъявлявшиеся им раньше с точки зрения теории ин-
вариантов к уравнениям гравитационного поля, отнюдь
не определяют этих последних однозначно. Для того
*) Интересно, что вне связи с теорией тяготения соответст-
вующие формальные результаты, а также запись уравнений элект-
ромагнитного поля в общековариантной форме были еще раньше
Даны Коттлером [257],
13*

196 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
чтобы ограничить возможности, Эйнштейн вернулся к
требованию общековариантности уравнений, от которого
он раньше «отказался лишь с тяжелым сердцем». При
помощи римановой теории кривизны ему, действительно,
и для самих gik удалось установить общековариантньте
уравнения, соответствующие всем исходным физическим
требованиям*) (см. § 56). В дальнейшем сообщении
[261] Эйнштейн смог показать, что его теория количест-
венно правильно объясняет движение перигелия Мерку-
рия и предсказывает отклонение световых лучей в гра-
витационном иоле Солнца, которое вдвое больше выведен-
ного с помощью принципа эквивалентности для однород-
ного поля. Непосредственно за этим появилась заключи-
тельная работа Эйнштейна «Основы общей теории отно-
сительности» [262]. Последующее изложение посвящено
основам и дальнейшему развитию этой теории.
§ 51. Общая формулировка
принципа эквивалентности.
Связь между гравитацией и метрикой
Первоначально принцип эквивалентности был устано-
влен лишь для однородных полей тяготения. В общем
случае он может быть сформулирован так:
Для бесконечно малой области четырехмерного мира
(г. е. для области, столь малой, что пространственно-вре-
менными изменениями силы тяжести в ней можно пре-
небречь) всегда существует такая система координат Ко
(X\f X2, Х$, Х$), в которой сила тяжести не влияет ни
на движение материальной точки, ни на любые другие
физические процессы. Коротко говоря, в бесконечно
малой области мира любое поле тяготения может быть
уничтожено с помощью преобразования координат. Мест-
ная система координат Ко может быть мысленно реализо-
вана в виде свободно парящего, достаточно малого ящика,
на который не действуют никакие внешние силы, кроме
силы поля тяготения, в котором он свободно падает.
*) A. Einstein [259], Одповромепно с Эйнштейном и незави-
симо от него общековаряантные уравнения поля была установле-
ны Гильбертол1 [2оО]. Изложение Гильберта было, однако, непри-
вычно для физиков, так как Гильберт, во-первых, аксиоматически
вводил вариационный принцип и, во вторых, что важнее, его урав-
нения были выведены не для произвольной материальной систе-
мы, а специально из теория материи Ми (см. гл. V). О других
результатах Гильберта см. § 56 и 57,

§ 51. ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 197
Очевидно, что указанное преобразование возможно
только потому, что поле тяготения обладает фундамен-
тальным свойством сообщать всем телам одинаковое ус-
корение, или, иначе говоря, потому, что тяжелая и инерт-
ная массы всегда равны. Это утверждение имеет очень
надежный экспериментальный фундамент. Действительно,
при исследовании того, зависит ли результирующая силы
притяжения Земли и центробежной силы (вращения
Земли) от вещества тела, Этвеш [263] (см. также [264|)
показал, что инертная и тяжелая массы равны с точ-
ностью до 1/108. В связи с законом инертности энергии
представляет далее интерес исследование Саутернса
[264], показавшее, что отношение массы к весу для оки-
си урана отличается от соответствующего отношения для
окиси свинца самое большее на 1/B • 10°). Из принципа
эквивалентности, действительно, следует, в сочетании с
законом инертности энергии, что любой форме энергии
нужно приписать также вес. Если бы внутренняя энер-
гия, освобождающаяся при радиоактивном распаде урана,
имела инертную массу и не обладала тяжелой, то ука-
занные отношения отличались бы друг от друга на
1/26 000, Этвеш [263] подтвердил это, причем точность
оказалась еще большей.
Представляется довольно естественным принять, что
в Ко справедлива специальная теория относительности.
Все законы этой теории должны, таким образом, сохра-
ниться, если вместо галилеевой системы (см. § 2} ввести
определенную для бесконечно малой области систему Kq.
Все системы Ко, получаемые друг из друга путем преоб-
разований Лоренца, равноправны. В этом смысле мы мо-
жем сказать, что инвариантность физических законов
относительно преобразований Лоренца сохраняется в бес-
конечно малом. Двум бесконечно близким точечным со-
бытиям мы можем отнести определенное, могущее быть
измеренным число — расстояние между ними ds. Для это-
го мы должны только с помощью преобразования коор-
динат удалить поле тяготения, после чего образовать в
Ко выражение *)
ds* = dX\ + dX\ + dX\ - dX\. C87)
*) В отличие от других авторов, мы и в общей теории отно-
сительности сохраняем в выражепип для ds2 три знака плюс и
один знак минус. Это обстоятельство нужно иметь в виду при
сравнении нижеследующих формул с обычно встречающимися.

198 ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
При этом дифференциалы координат dX\, ..., dXn следует
определять непосредственно с помощью эталонных часов
и масштабов. Рассмотрим теперь любую другую систему
координат К, в которой соотношение между мировыми
точками и значения координат ж1, ..., х4 совершенно про-
извольны, если отвлечься от условий однозначности и не-
прерывности. Тогда в каждой точке пространства-времени
дифференциалы dXt будут линейными однородными функ-
циями дифференциалов dxh и величина ds2 перейдет в
квадратичную форму
ds* = gibd^dx*, C88)
где коэффициенты gih являются фупкциями координат.
Далее ясно, что при переходе к новым координатам ве-
личины gik преобразуется так, что ds2 остается инвари-
антным. Соотношения, таким образом, здесь вполне ана-
логичны имеющим место в неевклидовой геометрии мно-
гомерных многообразий (см. § 15). Система Ко в свобод-
но падающем ящике играет роль геодезической системы
§ 16; в ней gik постоянны, если пренебрегать их вторыми
дифференциалами, а элемент длины с точностью до вели-
чины второго порядка имеет вид C87). Совокупность зна-
чений ?;ь во всех мировых точках назовем G-полем.
Закон движения материальной точки, на которую не
действуют никакие силы, кроме гравитационных, может
быть просто сформулирован так: мировая линия подобной
материальной точки есть геодезическая линия (§ 17) и,
согласно (81) и (80),
s=O; (81)
где FrS определены формулами F6) и F9). В системе Ко
материальная точка в рассматриваемый момент движется
равномерно и прямолинейно, т. е. a2X'/ds2 = 0. Эти урав-
нения одновременно являются уравнениями геодезической
линии в Ко. Утверждение, что мировая линия матери-
альной точки есть геодезическая, инвариантно и, следо-
вательно, справедливо и в общем случае. (При этом, ко-
нечно, принято, что закон движения для материальной
точки не содержит вторых производных величин gih по
координатам.) Справедливость такого простого закона не
удивительна. Мы попросту определили элемент длины та-

§ 51, ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 199
ким образом, чтобы мировая линия материальной точки
была геодезической. Мы видим, таким образом, что 10
компонент тензора gth играют в теории Эйнштейна роль
скалярного ньютонова потенциала Ф; образуемые из их
производных компоненты Г*Г8 определяют значение силы
тяготения.
Совершенно аналогичное рассуждение может быть
проведено для световых лучей. В системе Ко световые
лучи представляют собой прямые линии *) и, кроме того,
удовлетворяют соотношению
Поэтому мировыми линиями световых лучей являются
в общем случае нулевые геодезические линии (см. § 22):
tfV rj dxr dx*
ds2 = g^dx* = 0. (81a)
Кречман [266] и Вейль [267], кроме того, показали, что
наблюдения над приходом световых лучей достаточны
для определения G-поля в конкретной системе координат
и без рассмотрения движения материальной точки.
Существует, однако, еще третий способ измерения G-
поля. С помощью масштабов (или лучше масштабной ни-
ти) и часов можно определить в некоторой определенной
заданной системе координат зависимость величины ли-
нейного элемента ds от дифференциалов координат dzh
на всех выходящих из какой-либо точки мировых линиях.
G-поле получается отсюда непосредственно. Оно, таким
образом, характеризует не только гравитационное поле,
но и поведение масштабов и часов, метрические соотно~
Шения (метрику) четырехмерного мира, содержащие гео-
метрию обыкновенного трехмерного пространства как ча-
стный случай. Это слияние двух раньше совершенно раз-
личных объектов метрики и тяготения должно рассмат-
риваться как прекраснейшее достижение общей теории
относительности. Как мы видели (и как в этом можно
убедиться с помощью простых примеров), слияние мет-
рики и гравитации является необходимым следствием
принципа эквивалентности и справедливости специальной
*) При этом, копочпо, предполагается, что мы находимся в
области применимости геометрической оптики. Это не имеет места
яри наличии дифракции (см, об этом сноску аа с, 211).

200 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
теории относительности в бесконечно малой области. Дви-
жение материальной точки под влиянием воздействия од-
ного гравитационного поля может теперь рассматривать-
ся так же, как свободное, т. е. происходящее без воздей-
ствия сил. Прямолинейным и равномерным оно не явля-
ется потому, что четырехмерный пространственно-времен-
ной континуум не является евклидовым; поэтому в нем
равномерное и прямолинейное движение не имеет ника-
кого смысла и заменяется движением по геодезической
линии. В соответствии с этим закон инерции Галилея за-
меняется законом
6 J ds = 0,
имеющим то большое преимущество по сравнению с га-
лилеевым, что он носит общековариаитныи характер. Тя-
готение в теории Эйнштейна является такой же кажу-
щейся силой, как силы Кориолиса и центробежная в те-
ории Ньютона (с таким же правом можно, конечно, пред-
ставить дело так, что в теории Эйнштейна ни одна из
названных сил не должна считаться кажущейся). То
обстоятельство, что сила тяготения в конечных областях,
вообще говоря, не может быть устранена с помощью пре-
образования координат, в то время как центробежная п.
корполисова силы могут быть устранены, здесь не имеет
значения. 13 бесконечно малых областях тяготение всегда
может быть устранено, и только это является решающим.
Тот факт, что неевклидов характер пространства-времени
крайне мало сказывается на свойствах масштабов и часов,
а на отклонении движения материальной точки от пря-
молинейного и равномерного (т. е. в гравитационном дей-
ствии) сказывается очень сильно, связан, как мы увидим
в § 53, со значением скорости света. Вследствие слияния
гравитации и метрики находит удовлетворительное раз-
решение не только гравитационная проблема, но и проб-
лема геометрии. Вопросы о справедливости геометриче-
ских законов и о действительно господствующей п мирз
геометрии лишены смысла до тех пор, пока геометрия
имеет дело только с мысленными образами, а не с пред-
мотами реального мира. Если же добавить к законам гео-
метрии определение, что длиной {бесконечно малого) от-
резка яиляется число, определяемое известным способом
с помощью твердого стержня или масштабной нити, то
геометрия становится частью физики и указанные вышз

I 52. ОБЩАЯ КОВАРИАНТНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ 201
вопросы приобретают определенный смысл [268]. Здесь
общая теория относительности позволяет сразу сделать
общее утверждение, что поскольку тяготение определя-
ется материей, то же самое должно быть постулировано
и для геометрии. Таким образом, геометрия пространства
не задана a priori, а определена материей (подробнее см.
§ 56). Аналогичного мнения придерживался еще Риман
[76]. Однако в то время подобное мнение оставалось
лишь смелой гипотезой, поскольку установление связи
между геометрией и тяготением возможно только после
того, как метрическая взаимозависимость пространства и
времени уже осознана.
§ 52. Постулат общей ковариантности
физических законов
Этот постулат является требованием, которое послу-
жило настоящим побуждением к созданию общей теории
относительности и которому последняя обязана своим
названием. Постулат общековариантности имеет различ-
ные корни. Во-первых, произвольно движущиеся системы
отсчета кинематически совершенно равноправны, и это
подсказывает предположение об их равноправности и в
динамическом и вообще физическом отношении. Конечно,
a priori утверждать существование подобной равноправно-
сти нельзя, и лишь результаты могут дать оценку сделан-
ных предположений.
Легко видеть, однако, что нельзя удовлетвориться вве-
дением произвольно движущихся систем отсчета. Действи-
тельно, как показал Эйнштейн [262] на примере вращаю-
щейся системы отсчета, в кегалилеевых системах время и
пространственные расстояния но определяются просто с
помощью часов и твердых единичных масштабов; евкли-
дова геометрия отказывается здесь служить. Поэтому не
остается ничего другого, как допустить рассмотрение всех
мыслимых систем координат. Координаты рассматривают-
ся как вполне произвольные параметры, произвольным
однозначным и непрерывным образом поставленные в со-
ответствие с мировыми точками (гауссовы координаты).
Достаточность подобного описания мира вытекает из сле-
дующих соображений Эйнштейна [262, 269]. Все физиче-
ские измерения сводятся к констатации пространственно-
временных совпадений; ничто кроме этих совпадений не
наблюдаемо. Если, однако, два точечных события имеют

?02 ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
одинаковые координаты в одной гауссовой системе коор-
динат, то это имеет место и в любой другой гауссовой
координатной системе. Поэтому мы должны обобщить
принцип относительности следующим образом: общие за-
коны природы должны быть выражены в такой форме,
чтобы они имели одинаковый вид в любой гауссовой си-
стеме координат, г. е. были бы ковариантны относительно
любых преобразований координат*).
Эта ковариантность оказывается возможной вследствие
того, что величины gik вводятся в физические законы.
(Выражаясь математическим языком: общие законы
природы допускают после введения инвариантной квад-
ратичной формы
ds2 = gbdx'dx"
любые точечные преобразования.) В самом деле, каждый
закон специальной теории относительности может быть
сделан общековариантным путем формального введения
величин gih по схеме, установленной в гл. II; в § 54 это
еще будет показано на отдельных примерах. Поэтому
Кречман [269] высказал мнение, что постулат общекова-
риантности вообще не содержит высказываний о физиче-
ском содержании законов природы, а говорит лишь об их
математической формулировке; Эйнштейн [272] вполне
согласился с этой точкой зрения. Общековариавтная фор-
мулировка законов природы приобретает физическое со-
держание лишь благодаря принципу эквивалентности,
в силу которого тяготение описывается только величина-
ми gik и эти последние величины не задаются независимо
от материи, а, напротив, сами определяются уравнениями
поля. Только поэтому gik могут рассматриваться как фи-
зические величины [273]. Постулат общековариантности
имеет, однако, как подчеркнул Эйнштейн [272], и другое
значение. Дифференциальные уравнения для самого G-
поля должны быть определены так, чтобы они были воз-
можно более просты и прозрачны с точки зрения общей
теории ковариантов. Эта эвристическая сторона постулата
общековариантности наилучшим образом оправдалась на
деле (см. § 56).
*) Ленард [270] (см. также дискуссию [271]) развивает сооб-
ражения против употребления общих координатных систем и про-
тив реальности гравитационных полей, которые, по Эйнштейну,
должны в них проявиться. Автор не может присоединиться к этим
соображениям.

§ 53. СЛЕДСТВИЯ ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 203
Были произведены попытки, в частности, Кречманом
[269] и Ми [274], несмотря на общековариантность, из-
вестным образом нормировать координатную систему. Все
предложенные нормировки представляются, однако, воз-
можными либо имеющими практическое значение лишь
в специальных случаях. В общем случае и в принципи-
альных вопросах общая ковариантность необходима.
§ 53. Простые следствия
принципа эквивалентности
а. Уравнения движения материальной
точки ъ случае малых скоростей (см. [2621,
§21) и слабых полей тяготения. Уравнения
движения материальной точки (80) допускают значи-
тельное упрощение, если скорость материальной точки
мала по сравнению со скоростью света, так что величи-
нами порядка v2lc2 можно пренебречь. Кроме того, пред-
положим, что гравитационное поле слабо. Это значит,
что gik должны лишь крайне мало отклоняться от их
нормальных значений
?о> = +1 для i — k = 1,2,3, #44 = -1,
gik = 0 для 1Фк,
так что квадратами этих отклонений можно пренебречь.
Тогда имеем
cPxi/dt2 = — с2Г44 для i= 1, 2, 3, х4 = ct, C89)
Кроме того, пусть поле будет статическим или квазиста-
тическим, так что временными производными gih можно
пренебречь. В этом случае вместо Г44 можно подставить
1 dg..
Ti44, или о ¦> и уравнения движения C89) прини-
z дх1
мают ньютонову форму;
А* _ дФ
д.? дх*
если положить
Неопределеппая вначале аддитивная постояппая в выра-
жении для потенциала Ф определена так, что Ф равно
Вулю, если #44 принимает свое нормальное значение —1.

204 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Интересно, что в применяемом здесь приближении
в уравнения движения входит лишь величина #44, хотя
отклонения остальных gih от их нормальных значений
могут быть такого же порядка, как у gu- На этом осно-
вывается возможность приближенного описания гравита-
ционного поля с помощью скалярного потенциала.
[к Красное смещение спектральных ли-
ний. Следствием только что указанного обстоятельства
является возможность общего утверждения о влиянии
гравитационного поля на часы даже в том случае, когда
законы G-поля еще не установлены, поскольку это влия-
ние определяется величиной #44- Аналогичные утвержде-
ния о свойствах масштабов могут быть сделаны только,
если известны также и остальные gik.
Представим себе систему отсчета К, вращающуюся с
углоиой скоростью со относительно галилесвой системы
Ко. Неподвижные п К часы идут тогда, вследствие попе-
речного эффекта Доплера, тем медленнее, чем они нахо-
дятся дальше от оси вращения; в этом мы сразу же убе-
димся, если рассмотрим процесс с точки зрения наблюда-
теля а системе А'о. Замедление времени определяется
выражением
t т т
/l_,,V /l-(l/c2)coV '
Наблюдатель, вращающийся вместе с системой К, не бу-
дет истолковывать это сокращение времени как попереч-
ный эффект Доплера, так как относительно него часы
покоятся. Однако в К имеется гравитационное поле (поле
центробежной силы), имеющее потенциал
ф = _i/2uJr2.
Наблюдатель в К придет также к выводу, что часы идут
тем медленнее, чем меньше в рассматриваемой точке гра-
витационный потенциал. Именно, замедление времени At
в первом приближении равно
т /. Ф \ At Ф
Эйнштейн [251] провел аналогичное рассуждение для
равномерно ускоренной системы отсчета. Таким образом,
поперечный эффект Доплера и замедление времени
вследствие тяготения являются двумя различными спосо-
бами выражения того факта, что часы всегда показывают

§ 53. СЛЕДСТВИЯ ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 205
собственное время
1С
Вообще говоря, время t = x4/c отличается от нормального
собственного времени т покоящихся часов. В силу того,
что элемент мировой линии покоящихся часов равен
согласно A57) получаем
C92)
Уравнение C92) имеет следующий физический смысл:
если одни из двух покоящихся одинаковых и вначале
синхронных часов поместить на некоторое время в грави-
тационное поле, то после этого оба прибора уже не идут
синхронно, а напротив, побывавшие в гравитационном
иоле часы отстают. Как указал Эйнштейн [275], на этом
основывается также объяснение рассмотренного в § 5
парадокса часов. В системе К*, в которой часы Сч все
время покоятся, во время торможения имеется гравитаци-
онное поле, которое наблюдатель в К* и может считать
причиной отставания покоящихся часов С2.
Соотношение C92) имеет одно важное следствие, под-
дающееся опытной проверке. Если принять за часы све-
товой колебательный процесс, то перенос часов может
быть осуществлен с помощью светового луча. В случае
статического гравитационного поля всегда можно так вы-
брать временную координату, чтобы величины gih от нее
не зависели. Тогда число волн светового луча между дву-
мя точками Pi и Pi также будет независимым от времени
и, следовательно, частота света в луче, измеренная в за-
данной шкале времени, будет одинаковой в Р\ п Р2 и,
таким образом, независимой от места наблюдения*). На-
против, частота, измеренная в шкале собственного вре-
мени, зависит от места наблюдения. Поэтому, если на-
блюдать на Земле спектральную линию, излученную на
Солнце, то вследствие соотношения C92) эта линия будет
смещена в красную сторону но сравнению с соответству-
*) Лауэ [276] подтвердил это прямым вычислением на огпо-
ве волнового уравнения для света.

206 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ющей линией земного происхождения на величину
*~^. CS3)
где Фв — значение гравитационного потенциала на Земле,
а Фв — на поверхности Солнца. Численный расчет приво-
дит к значению
^-=2,12.10-', C93а)
соответствующему эффекту Доплера при скорости
0,63 км/с.
Было сделано очень большое число опытов с целью
экспериментально проверить это соотношение. Еще Джу-
элл [277] обнаружил смещение спектральных линий
Солнца в красную сторону, рассматривая его, однако, как
эффект давления. После того как позже Эвершед [278]
показал, что это смещение не совпадает с эксперименталь-
но установленным смещением от давления, казалось есте-
ственным привлечь для объяснения явления эффект Эйн-
штейна [251, 279]. Однако, при более подробном иссле-
довании оказалось, что различные линии смещены на
разную величину, так что эффект Эйнштейна во всяком
случае недостаточен для объяснения деталей явления.
Значительно лучше подходят для проверки теории Эйн-
о
штейна новые измерения для полосы азота X = 3883 А
(так называемой циановой полосы). Эта полоса отличает-
ся тем, что не обнаруживает заметного смещения при
давлении. Сравнение абсорбционных линий этих полос в
спектре Солнца с соответствующими земными эмиссион-
ными линиями было впервые выполнено Шварцшильдом
[280], а затем с большей точностью Септ-Дшоном [281]
в обсерватории Маунт-Вильсон, а также Эвершедом и
Ройдсом [282]. Все эти авторы иаптли значительно мень-
шие смещения линий, чем предсказывалось теорией,
а Сент-Джон вообще твердо не установил никакого сме-
щения. Поэтому некоторое время казалось, что теория
противоречит опыту*). Однако Гребе и Бахем [284] в
*) Указанные противоречия между теорией Эйнштейна и эти-
ми измерениями побудили Вихерта рааработать теорию тяготения,
содержащую столь большое число произвольных постоянных, что
ее можно приспособить к любым эмпирическим значениям крнс-
ного смещения, искривления световых лучей и параметрам дви-
жения перигелия Меркурия [283J,

( 58, СЛЕДСТВИЯ ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ?07
ряде новых исследований показали, что измеренные сме-
щения имеют совершенно различные значения у разных
линий, и затем путем измерения линий с помощью ре-
гистрирующего микрофотометра Коха установили, что
причины этого, кажущегося сначала весьма странным, об-
стоятельства лежат в перекрытии различных линий сол-
нечного спектра. В случае невозмущепных линий смеще-
ния, в пределах погрешности, измеренные значения сов-
падают с теоретическим C93а). При этом, правда, не воз-
мущено сравнительно небольшое число линий. Однако не-
давно Гребе [285] нашел, что и среднее значение смеще-
ния ста возмущенных и невозмущенных линий указанной
полосы азота согласуется с теорией. Перо [286] также ис-
следовал красное смещение этих полос и получил поло-
жительный результат. Последний не может, однако, счи-
таться особо убедительным, так как возможное перекры-
тие линий во внимание не принималось.
Фрейндлих [287] пытался доказать наличие красного
смещения и для неподвижных звезд. В случае звезд это,
однако, возможно только с помощью довольно неясных
гипотез, необходимых для разделения гравитационного и
доплеровского эффектов. Первые результаты Фрейндлиха
были вследствие этого опровергнуты Зеелигером [288].
Резюмируя, можно сказать, что экспериментальные
результаты относительно красного смещения в настоя-
щее время благоприятны для теории, но не дают еще
окончательного ее подтверждения (см. примеч. 14).
1. Принцип Ферма в статических грави-
тационных полях. Примем, что мы имеем дело со
статическим гравитационным полем, т. е. что система ко-
ординат может быть выбрана так, чтобы все gik не зави-
сели от времени и четырехмерный линейный элемент
имел форму
ds2 = da2 - f2dt2, C94)
где da2 — положительно определенная квадратичная фор-
ма от трех дифференциалов пространственных координат;
/ — зависящая от точки скорость света. Кроме того, в этом
случае
ён - ?24 ¦= *м = 0, gu - -f/c2. C94a)
Выполнение первых трех написанных соотношений во
всех статических G-полях является особой гипотезой, ко-
торая может быть оправданной, лишь если исходить из
Дифференциального уравнения G-поля. В частном случае

208 ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
сферически-симметричных статических полей, конечно,
a priori видно, что с помощью подходящей нормировки
времени всегда можно добиться исчезновения этих ком-
понент gn (i — 1, 2, 3) *).
Мы хотим здесь исследовать траекторию светового лу-
ча в подобном поле. Согласно § 51 эта траектория опре-
деляется условием, что она должна быть нулевой геоде-
зической линией. В рассматриваемом специальном случае
это положение, как показали Леви-Чивита [293] и Вейль
[294], может быть выражено в форме принципа Ферма.
Для доказательства будем исходить из вариационного
принципа (83) (см. § 15)
г 1 dxl dxh
При этом координаты концов пути интегрирования не
варьируются. Если теперь подставить для gik значения,
следующие из C94), то получим
L— — {—Y — /2 (—
2 \dX I \d~k
и вариационный принцип при варьировании t дает урав-
нение
При соответствующей нормировке параметра К мы мо-
жем положить
f|- = l. C95)
Изменим теперь условия варьирования следующим
образом.
1. Фиксированными должны оставаться лишь прост-
ранственные концы траектории; временная координата
пусть варьируется и в начальной и в конечной ее точках.
2. Варьированная траектория также должна быть ну-
левой линией (но не обязательно геодезической). Вслед-
ствие последнего условия
*) Итальянские математики отличают статический случай, в
котором ga = 0 для i=l, 2, 3, от более общего стационарного
случая, в котором gik только независимы от времени, но gn Ф 0.
См. [291], где рассматриваются траектории материальных точек
и световых лучей в стационарном случае; см. также [292],

g 54. ТЯГОТЕНИЕ И МАТЕРИАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 209
во всех точках траектории. С другой стороны, при варьи-
ровании временной координаты
Это выражение также должно быть равно нулю, если
варьированная траектория является нулевой линией. Ус-
ловие C95), означающее, что нулевая линия есть геоде-
зическая, может поэтому быть заменено соотношением
И
или, после исключения времени с помощью условия
L = 0, соотношением
efe~0. C96)
Это есть не что иное, как принцип Ферма. Отсюда сле-
дует, что в статическом гравитационном поле световой
луч не является геодезической линией трехмерного про-
странства, иначе он подчинялся бы условию
б J da = 0,
Только мировая линия светового луча в четырехмерном
мире является геодезической. Поэтому световой луч в
гравитационном поле искривляется. Степень искривле-
ния зависит, однако, от вида da и в отличие от красного
смещения может быть определена только, если уравне-
ния G-поля сами известны (см. § 58, ч).
Для траектории материальной точкд в статическом
гравитационном поле также можно аналогичным обра-
зом найти вариационный принцип, не содержащий боль-
ше временной координаты [293, 294]. Однако он не
имеет наглядного толкования.
§ 54. Влияние поля тяготения
на материальные процессы *)
Представляется удобным вместе с Эйнштейном назы-
вать материей все, кроме G-поля. Тогда задача заключа-
ется в том, чтобы придать законам материальных про-
*) См. также A. Einstein и М. Grossmann [256], ч. I, § 6;
A. Einstein [258], Abschn С,; [262], Abschn. D,
14 в, Паули

?10 ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
цессов общековариантную форму. В принципе она разре-
шается следующим рассуждением. Пусть сначала задана
система Ко, в которой величины gth в конечной области
мира имеют свои нормальные значения. Тогда законы
природы имеют здесь ту форму, которая считается пра-
вильной в специальной теории относительности. Введем
теперь любую другую произвольно движущуюся гауссо-
ву систему К и определим с помощью прямого расчета
форму законов в К. На основании принципа эквивалент-
ности ясно, что таким способом одновременно находится
влияние гравитационных полей на материальные процес-
сы. Далее, этот результат переносится на случай, когда
нельзя найти никакой системы Ко, в которой гравитаци-
онное поле может быть удалено с помощью преобразо-
вания для конечных областей мира. Подобное перенесе-
ние возможно, конечно, лишь на основе в известной ме-
ре произвольной гипотезы, что вторые производные от
gm не входят в рассматриваемые законы природы.
В математическом отношении положение аналогично
имеющему место при переходе от тензорного исчисления
евклидовой геометрии к тензорному исчислению геомет-
рии Римапа (см. § 13, 20). Используя методы гл. II,
можно любому закону специальной теории относительно-
сти сразу же придать общековариантную форму; для
этого нужно заменить входящие в них тензорные опера-
ции соответствующими обобщенными операциями рима-
новой геометрии. При этом нужно, конечно, учитывать
разницу между ко- и контравариантными компонентами
тензора, а также между тензорами и тензорными плот-
ностями.
Изложенные общие положения будут сейчас разъяс-
нены на примере уравнений Максвелла для поля в пу-
стоте. Определим опять тензор поля Fih соотношениями
B02). Тогда, согласно A40Ь) (см. § 19), уравнение
B03) сохраняется:
дх1 dxh дх1
Вторая система B08) уравнений Максвелла должна,
однако, согласно A41Ь) записываться несколько иначе.
Введем контравариантные компоненты тензорной плот-
ности, соответствующей Fik:
ял в— у ggaig^hF в C97)

§ 54. ТЯГОТЕНИЕ И МАТЕРИАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 211
а также тензорную плотность, соответствующую векто-
ру тока
g< = fZJ*1. C98)
В этом случае имеем
&8ihldxh = s', B08а);
откуда вытекает также обобщение уравнения непрерыв-
ности A97)*),
д$Чдх' = 0. A97а)
Пондеромоторпая сила вычисляется совершенно так
же, как раньше (см. B16)):
U = FikSh,
а соответствующая тензорная плотность равна
U-y^gffF^ B16а)
Смешанные компоненты плотпости тйнзора энергии им-
пульса, согласно B22), равны
- iUFrff'ti. B22a)
Важно обобщение соотношения B25). На основании
правила A50а) общего тензорного анализа находим:
или также
B25а)
Второй член левой части характерен для влияния
гравитационного поля. Тот факт, что B25а) и в общем
случае является следствием соотношений B03), B08а)
и B16), вытекает из вычислений, проведенных в § 23, а.
Аналогичным образом могут быть записаны в обще-
ковариантной форме уравнения движения жидкости. Об-
щие уравнения Герглотца для упругих тел были рас-
смотрены Нордстрёмом [295]. Так же как B25а) полу-
*) Лауэ [276] указывает применение этого уравнения. Именно,
он показал, что из этих уравнений для мировых линий световых
лучей в пустоте в рамках применимости геометрической оптики
действительно вытекают уравнения (80) и (81) для нулевой гео-
дезической линии.
14*

212 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
чается из выражения B25) для пондеромоторной силы,
из общего закона сохранения энергии и импульса C41)
вытекает закон сохранения энергии и импульса для ма-
терии при наличии гравитационных полей:
?!?_ 4-5-^ = 0. C41а)
dxh 2 дхг ч I
В физическом отношении уравнение C41а) очень су-
щественно отличается от ранее рассмотренной формы за-
кона сохранения энергии и импульса. В то время как из
прежней формы с помощью интегрирования может быть
получен закон сохранения полного импульса п полной
энергии, в случае новой формы C41а) это уже невоз-
можно, вследствие присутствия второго члена в левой
части. Дело здесь в том, что энергия и импульс гравита-
ционного поля могут переходить в энергию и импульс
материи, и наоборот (подробнее см. § 61). Если внешние
силы отсутствуют, то, в частности, для Tik можно ввести
кинетический тензор энергии-импульса 6« по C22),
ct-h л Г dxa dxk
а следовательно, для -Ч выражение ц0 у —SSia~^~-
Уравнения C41а) сводятся тогда к уравнению геодези-
ческой линии (см. примеч. 15).
§ 55. Вариационные принципы
для материальных процессов
при наличии гравитационных полей
Как впервые показал Гильберт [296], тензор энор-
гшышпульса Tfh очень просто связан с функцией дейст-
вия, что отчетливо проявляется лишь в общей теории
относительности. Мы покажем это на примере вариаци-
онного принципа механики — электродинамики (см.
§ 31), который запишем в форме Вейля B31а):
t = J [~- FikFih - 2eplS* + 2u.0c2j d2 =
= J 4" V* d- - J de J 2^dxi +
-gifcH4*ftdZ, B31b)
вариационный принцип остается справедливым и в

§ 55. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 213
поле тяготения [109, 110, 294], если не варьировать ве-
личин gik. (Варьируются опять независимо друг от друга
мировые линии материальных точек и потенциал
ПОЛЯ ф(.)
Нечто повое будет, если варьировать gih. Мировые
линии вещества и потенциалы (pf мы теперь оставляем
неизменными. В этом случае, согласно § 23, а, первый
интеграл вносит слагаемое
второй интеграл не вносит ничего (т. е. равен пулю) и
третий
Поэтому в итоге
8W = - J r"8gil. dx^+ J S,ft6g» dx. C99)
Таким образом, те>1зор эиергии-импулъса материи полу-
чается варьированием G-поля в интеграле действия
[296]. Это правило справедливо всегда, а не только в
рассмотренном случае. Для тепзора упругой энергии это
было показано Нордстрёмом [295] (о теории Ми см.
гл. V, §64).
Связь между тензором энергии импульса материи и
функцией действия, которая здесь обнаруживается, ока-
зывается исключительно важной для применения в об-
щей теории относительности принципа Гамильтона (см.
§ 57). Далее, если для 6gfh принять просто вариацию
6*g,s, получающуюся варьированием коордипатпой си-
стемы, для которой bW тождественно равно нулю
(§ 23), то на основе A69) можно сделать следующее
общее утверждение: во всех тех случаях, когда законы
поля для материальных процессов могут быть выведены
из вариационного принципа, а тензор энергии получает-
ся из интеграла действия путем варьирования G-поля
описанным образом, закон сохранения энергии-импульса
C41а) является следствием этих законов поля. Для это-
го заключения существенно, что члены, получающиеся
благодаря вариации б* переменных, характеризующих
состояние материи, исчезают вследствие принципа Га-
мильтона.

214 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 56. Уравнения гравитационного поля
Основная и важнейшая задача общей теории относи-
тельности — установление законов для самого G-поля.
От этих законов нужно, конечно, требовать, чтобы они
были общековариантны. Однако для однозначного их ус-
тановления нужно поставить и другие требования. Ос-
новными соображениями являются при этом следующие:
1. Согласно принципу эквивалентности тяжелая мас-
са равна инертной массе,' а значит пропорциональна
полной энергии. То же самое относится, очевидно, и к
силе, действующей в поле тяготения на материальную
систему. Поэтому представляется естественным принять,
что и наоборот, только полная энергия существенна для
поля, создаваемого материальной системой. Однако со-
гласно специальной теории относительности плотность
энергии не может быть описана скаляром, а является
44-компонентой тензора Tih, в котором к энергии равно-
правным образом присоединяют импульс и напряжения.
Сформулируем поэтому наше предположение следующим
образом:
В уравнения гравитационного поля не должны вхо-
дить никакие другие переменные, характеризующие со-
стояние материи, кроме полного тензора энергии-импуль-
са Тш.
2. Сверх того, по аналогии с уравнением Пуассона
АФ = 4л/ф0,
Эйнштейн делает предположение, что тензор энергии-
импульса Tih должен быть пропорционален дифферен-
циальному выражению второго порядка, образованному
только из gih. Поскольку это выражение вследствие по-
стулата общей ковариантности, обязательно должно
быть тензором, согласно (ИЗ) (см. § 17) находим сле-
дующую форму для дифференциальных уравнений
G-поля:
+ c2Rgih + czgih = kTik, D00)
где Rih—определенный формулой (94) (свернутый)
тензор кривизны, a R — соответствующий инвариант
(95). О геометрическом смысле этих тензоров см. § 17.
Сущность сделанных предположений отчетливо выяс-
няется при сравнении с теорией Нордстрёма, которая
согласно Эйнштейну и Фоккеру [254] также может

I БВ, УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ?15
быть представлена в общековариантной форме. В грави-
тационные уравнения Нордстрёма сходит только скаляр
Т — Т(', причем он пропорционален инварианту кривиз-
ны R. Остальные уравнения теории Нордстрёма, которые
еще до сих пор не установлены в развернутом виде, дол-
жны содержать утверждение, что линейный элемент при
подходящем выборе координат всегда может быть приве-
ден к виду
т. е. что в некоторой системе координат скорость света
постоянна. Мы видим, что эти уравнения поля, с точки
зрения абсолютного дифференциального исчисления, ка-
жутся совершенно искусственными и запутанными по
сравнению с уравнениями теории Эйнштейна, в которые
все компоненты Tih входят равноправно.
3. Для того чтобы определить входящие в уравнения
D00) вначале неопределенные постоянные С\, с% и сз,
мы должны рассмотреть связь общей теории относитель-
ности с принципом причинности. Если мы нашли какое-
нибудь решение общековариантпых уравнений поля, то
путем выбора других координат можно получить сколь
угодно много других решений, поэтому общее решение
уравнений поля должно содержать четыре произвольные
функции. Среди десяти уравнений поля D00) для деся-
ти неизвестных g\* должны, таким образом, иметься че-
тыре тождества. Вообще в релятивистской теории для m
неизвестных должно существовать лишь m — 4 незави-
симых уравнения. Противоречие с принципом причинно-
сти является только кажущимся, так как все возможные
решения уравнений поля отличаются друг от друга
лишь формально, оставаясь физически вполне равно-
правными. Изложенные здесь соображения принадлежат
Гильберту [296]*).
Мы пришли, таким образом, к требованию, чтобы
между десятью уравнениями D00) имелось четыре тож-
*) В историческом отношении интересно, что еще Э. Мах при-
шел на основе релятивистских рассуждений к результату, соглас-
но которому число уравнений, выражающих физические законы,
должно быть меньше числа неизвестных [297].
Заметим далее, что Эйнштейн некоторое время придерживался
ошибочного взгляда, согласно которому указааная неоднозначность
решений позволяет заключить, что уравнения тяготения не могут
быть общековариантны (см. [258]).

§ 57. ВЫВОД ГРАВИТАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 217
Как уже было указано в § 50 (см. сноску на с. 196),
эти же уравнения в том же году были выведены Гиль-
бертом. В то время как у Гильберта исходным является
вариационный принцип, в нашем изложении, как и у
Эйнштейна, этот последний получается как математича-
ское следствие (см. следующий параграф).
§ 57. Вывод гравитационных уравнений
из вариационного принципа*)
То обстоятельство, что тензор Gih удовлетворяет
уравнению A82), связано, согласно § 23, с тем, что он
получается путем варьирования G-поля из интегрально-
го инварианта
б J Ш dx = J ®ihbga dx, A80)
если вариации компонент поля исчезают на границах.
Далее, в § 55 мы видели, что тот интегральный инвари-
ант J Ш dx, который при варьировании материальных пе-
ременных приводит к дифференциальным уравнениям
механического (упругого) и электромагнитного полей,
при варьировании G-поля дает тензор энергии-импульса
материи
б J ЭЙ dx = j ?«6^ dx, C99a)
Оба эти соотношения приводят к тому, что все физиче-
ские законы могут быть объединены в один вариацион-
ный принцип
6 j Ш dx = 0, D03)
2В = Я + хШ. D04)
На границах области интегрирования вариации компо-
нент поля должны при этом исчезать. Особенностью этой
функции действия является возможность разделить ее
на дно части, из которых одна независима от материаль-
ных перем.епных, а другая — от производных glh (о бо-
лее общих функциях действия, не обладающих этим
свойством, см. гл, V).
Вариационный принцип D03) приводит одновремен-
но, на основании § 55 и 56. к наглядному объединению
*) См. [109-113].

218 ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
соотношений между уравнениями поля материальных
процессов и тяготения: из обеих систем уравнений сле-
дует закон сохранения энергии-импульса C41а) (см.
§ 54). Согласно A84) из § 23 закон сохранения энер-
гии-импульса может быть представлен еще и в другой
форме. Полагая
1 D05)
где U\ определены соотношениями A83) и A85),
вследствие A84) и D01) находим
fl(&? + l?)/te* = 0. D06)
Согласно выводу, эти уравнения общековариантны, хотя
величины $ лишь при линейных преобразованиях пре-
образуются как компоненты тензора. В отличие от фор-
мы C41а) закона сохранения энергии-амаульса, из
D06) можно получить законы сохранения энергии и им-
пульса также и в интегральной форме. Поэтому Эйн-
штейн назвал величины t\ компонентами, энергии-им-
пульса гравитационного поля, сопоставляя их, как в из-
вестной степени равноправные, с компонентами Т\ тен-
зора энергии-импульса материи. О дальнейших физиче-
ских следствиях этой точки зрения см. § 61.
Вариационпый принцип D03) имеет, наконец, прак~
тическое значение при интегрировании уравнений поля
в некоторых частных случаях. Позволяя обойтись без
обращения к общим дифференциальным уравнениям,
этот принцип значительно сокращает вычисления (под-
робнее см. § 58, р1).
§ 58. Сравнение с опытом *)
а. Теория Ньютона как первое прибли-
жение (см. [261, 262]). В § 53, а мы видели, что в
слабых квазистатических граьитационных полях уравне-
ния движения переходят в ньютоновы. Чтобы дополнить
доказательство того, что теория Ньютона содержится в
релятивистской теории как предельный случай, нужно
еще показать, что в указанном частном случае скалярный
*) Относительно современного состояния вопроса об экспери-
ментальной проверке общей теории относительности см, [399*—
401*, 11,3*. 11.11*, т. 3]-Примеч. ред.

t 58. СРАВНЕНИЕ С ОПЫТОМ 219
потенциал C91) удовлетворяет уравнению Пуассона
ДФ = inkjia. D07а)
Для этой цели найдем компоненту 44 уравнения D01а).
Для Tik мы можем ввести кинетический тензор энергии-
импульса HoUiUh. Пренебрегая величинами порядка м/с,
можно положить все компоненты Tih, кроме Г44, равны-
ми нулю. Компонента Т^ равна
Т 44 = ЦоС2
и, следовательно,
Поэтому уравнение D01а) дает
D08а)
Значение Ru можно взять из (94). Поскольку производ-
ными по времени и произведениями Г?8 мы пренебрега-
ем, получаем просто
я
и так как
а Г 1/
44 ~ I <Х,14 ~ - /
ю
последнее равенство получено согласно C91). Подстав-
ляя это в D08а), находим окончательно
дф = 7гхс4ц0. D07Ь)
Таким образом, уравнение Пуассона действительно
оказывается справедливым. То обстоятельство, что об-
щая теория относительности на основании очень общих
постулатов § 56 без дальнейших гипотез приводит к за-
кону тяготения Ньютона, является ее большим успехом.
Кроме того, благодаря этому мы теперь в состоянии кое-
что сказать о знаке и числовом значении постоянной к.
Действительно, сравнивая D07а) с D07Ь), находим, что
ИС2 = §5* = Ц. 6,7 ¦ 10~8 = 1,87 • 10~2? см/г. D09)

220 ГЛ, IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Одновременно оказывается, что и положительно, вслед-
ствие чего отрицательный знак в правой части уравне-
ния D01) оправдан. Таким образом, общая теория отно-
сительности не дает никакого физического истолкования
знака (т. е. гравитационного притяжения, а не отталки-
вания) и значения гравитационной постоянной; эти дан-
ные теория берет из опыта *).
р. Строгое решение для гравитационного
поля материальной точки. Для определения
движения перигелия Меркурия и искривления световых
лучей нужно для поля материальной точки знать не
только #44, но и все остальные gih, а кроме того, и gu
вычислить с точностью, на порядок большей. Уже в
1915 г. Эйнштейн [261] решил эту задачу методом по-
следовательных приближений. Шварцшильд [299], а за-
тем независимо Дросте [300] впервые дали ,строгое ре-
шение для G-поля материальной точки. Движение пери-
гелия и отклонение лучей получаются из него практиче-
ски такими же, как у Эйнштейна. Большой математиче-
ское упрощение внесла работа Вейля [301], который
вместо полярных координат ввел декартовы и, кроме то-
го, пользовался не общими дифференциальными уравне-
ниями для G-поля, а вариационным принципом.
Поскольку поле материальной точки является стати-
ческим и сферически-симметричным, квадрат линейного
элемента может быть приведен к виду
ds2 = f [(da?1J + (dz*J + {dx3J] +
+ 1(хЧх1 + хЧх2 + хгйхъJ + gu{dx*)\ D10)
где y, I a gu — функции только
Однако этим координатная система еще не определена
однозначно. Действительно, при преобразовании
D11)
*) В D09) стоит кс!, а не к, как у большинства авторов, так
как здесь Тц имеет размерность плотности энергии, а ее аяот-
ности массы.

§ 58. СРАВНЕНИЕ С ОПЫТОМ 221
содержащем произвольную функцию f(r), квадрдт ли-
нейного элемента сохраняет форму D10). Поэтому мы
можем ещ'е далее нормировать координаты. Следующие
два вида нормировки оказываются, в частности, удоб-
ными:
+ l(xldx[ + x2dx°- + x!dx3J + gu{dx4J; D10a)
1 = 0:
ds2 = -i[(dx1J + (dx2J + {dx2J} + guidx*J. D10b)
Мы будем производить интегрирование уравпений поля
в координатах, в которых квадрат линейного элемента
принимает форму D10а). Уравнения поля в области, не
содержащей массы, которую мы здесь только и рассмат-
риваем, согласно D01а), имеют простой вид
А» = 0. D12)
Компоненты Rih тензора кривизны в нашем случае пос-
ле введения сокращений
h2 = 1 + lr2; Д = 1-g = A 1-gM D13)
выражаются, как можно установить расчетом из D10а),
так:
Rik = [R22]ti+([Iin]-[Ri2])^r Для i, A = 1,2,3,
D14)
2 dr
«44
Пы - ,«л " 2 dr
где [Ли] и [-/?гг] суть значения /?ц и соответственно
#22 и йзз в точке х] = г, х2 = хъ = 0. Эти значения Лц
должны быть подставлены в D12). Из первого и третье-
го уравнения D15) сразу находим
Д' = 0, Д = const.

222 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Если мы наложим еще условие, чтобы в бесконечности
gib принимали свои нормальные значения (только после
этого проблема становится определенной (см. § 62)), то
далее получим
Д = 1 D16I
и из второго уравнения D15) следует, что
Sf44 = -l + 2m/r, D17)
где т — постоянная интегрирования. Сравнивая с нью-
тоновым потенциалом Ф (см. C91)), находим, что эта
постоянная связана с массой М материальной точки, соз-
дающей поле, формулой
т = кМ/с2. D18)
Поскольку т имеет размерность длины, мы будем назы-
вать эту величину гравитационным радиусом массы.
Легко убедиться в том, что соотношения D16) и D17)
действительно удовлетворяют всем уравнениям поля*).
Согласно Вейлю, вычисление выражений D15) дела-
ется излишним, ?сли исходить из вариационного прин-
ципа D03). Для свободного от материи пространства мы
можем также согласно A77) написать
0. D19)
В нашем случае можно здесь не вводить ни времени,
ни координат xi, хг а хг, а рассматривать © как функ-
цию только г. Вычисление дает
*) В настоящее время принято называть гравитационным ра-
диусом величину гв = 2кМ/с2. Область пространства-времени, ле-
жащая внутри сферы радиусом rg, не описывается решением
Шварцшильда, и потому это решение не полно. Выражение для
метрики полного сферически-симметричного пустого пространства-
времени было получено Сингом [402*] и Крускалом [403*]. Свой-
ства этого решения таковы, что если при сжатии (коллапсе) тело
достигает размеров меньших гравитационного радиуса, то далее
процесс коллапса становятся необратимым и приводит к развитию
сингулярности. Для внешнего отдаленного наблюдателя область,
лежащая внутри сферы радиусом rg, недоступна для наблюдений,
поскольку сигналы о событиях, происходящих там, удерживаются
сильным гравитационным полем и не могут выйти наружу. Эта
область получила назвапие «черная дыра». Более подробно см.
[II.6*, 111.18**, 20**, 22**, 24**], а также [404*, 405*].-При-
меч. ред.

в 58. СРАВНЕНИЕ и ОПЫТОМ 223
и D19) в силу того, что dx ~ 4яг2йг, принимает вид:
A'dr = O. D20)
При варьировании h имеем Д' = О, Д = const. Варьиро-
вание Д дает
откуда, вследствие определения Д по D13), снова полу-
чается поле D16), D17).
Квадрат элемента линии принимает согласно D13)
вид
ds* = {dx1J + {dx2J + {dx3J +
2m
_|— {xldxl -j- x2dx2 -
т (r — 2m)
D21a)
Первая часть этого выражения, относящаяся к трех-
мерному пространству, может быть по Фламму [302]
наглядно истолкована следующим способом. На каждой
плоскости, проходящей через центр (например, я3 = 0),
геометрия такая же, как в евклидовом пространстве па
поверхности четвертого порядка, z = У8т(г — 2т), полу-
чающейся вращепием параболы
tf-8m[xl — 2m), х2 = О
вокруг оси z. Действительно, на этой плоскости
ds2 = {dx1J + {dx2J + -j-i^ {хЧх1 + x2dx2f =
г (г — 2т)
= {dx1J + {dx2J -f dz2.
В точке г = 1т координатная система имеет особенность.
Вторая нормальная форма D10Ь) получается, по
D11), с помощью преобразования
r=.ij j ^.\ г' д.'* == r xi n __ j 2 3) D22)
Тогда
ей» = f 1+^-Y к^1J + (^2J + (^3Jj —
— \~~ml'^{dxif. D21b)
X —p- lYlf ?iT
Эта координатная система распространена до г = w/2,

224 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ч. Движение перигелия Меркурия и ис-
кривление световых лучей. Теперь мы перехо-
дим к вычислению траекторий материальных точек и
световых лучей в гравитационном поле D21). Эти тра-
ектории являются геодезическими линиями четырехмер-
ного мира, определяемыми вариационным принципом
б J ds = О, (81)
или дифференциальными уравнениями (80). Из послед-
них после простого расчета следует, что
,2 1 ,2 2 л2„3
а х а х а х 123 //OQ\
17:1^:1г~х :х :х' D >
Для материальной точки т означает собственное время,
для светового луча — произвольный параметр, удовлет-
воряющий дифференциальному уравнению A05). Отсю-
да прежде всего можно заключить, что траектория мате-
риальной точки и светового луча является плоской и,
далее, что если ось х3' перпендикулярна к этой плоско-
сти и введены полярные координаты
то существует закон площадей
r2d<p/dx = const = В. D25)
С другой стороны, из (81) путем варьирования вре-
мени, так же, как в § 53, у, получаем
gadx^/dx = const.
Возводя эти выражения в квадрат и исключая dx4/dx
dr dxh „
с помощью соотношения gift-^р -^ = — С для материаль-
dxi dxh .
нои точки и соотношения gih -г- -т- — идля светового лу-
ча, находим для этих случаев соответственно
dr \ 2 ( ^ф 1 2пгс с. I dqi\ „ „
D26а)
-т? ) = const, D26b)

§ 58. СРАВНЕНИЕ С ОПЫТОМ 225
D26а) есть закон сохранения энергии. Оба
отличаются от ньютоновых только наличием
члена. Если ввести еще с помощью D25) в
[езависимой переменной ф вместо т, то
dr \2 11 2тс2 2тВ2
^; D27а)
' + Л" - "тг = const = -4 • D27b)
г г А
эаектории этими уравнениями определяются
Последний члеп формулы D27а) вызывает
еригелия планетных орбит в направлении об-
ланет, равное за один период обращения
т/аA-е2) D28а)
ая полуось, е — эксцентриситет). Учитывая
тий закон Кеплера
= кМ = тс2
д обращения), выражение D28а) можно
кже в виде
24л'a2
гается еще обсудить уравнение D27Ь) для
уча. Если бы последнего члена в левой части
i световой луч был бы прямой линией, прохо-
расстоянии А от центра. Возмущающий член
:скривление светового луча, вогнутое к цент-
1 своим следствием общее отклонение на угол
Ь, D29)
)ь означает расстояние от центра до асимптот
ш луча. Примененный здесь метод вычисле-
ления луча предложен Фламмом [302]. Рас-
!Йна [262], основанный на применении прин-
шса, приводит к тому же результату, как это
ыть согласно § 53, f.
йденные здесь следствия теории тяготения
допускают проверку на опыт;е. Что касается
терпгелия, определяемого формулой D28), то
>чно велико лишь у Меркурия, вследствие

226 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
близости его к Солнцу и большого эксцентриситета его
орбиты. Теоретическое значение для Меркурия таково:
Дя = 42,89", еДя = 8,82" в столетие
(см. таблицу в [303]).
Со времени Леперье [304] астрономам известно, что
в движении перигелия Меркурия имеется остаток, не
объясняемый возмущениями со стороны остальных пла-
нет. Согласно новым перерасчетам Ныокома [305] этот
остаток ранен
Ад = 41,24" ± 2,09", еДя = 8,48" ± 0,4?,".
Таким образом, теоретическое значение в приделах по-
грешности совпадает со значением Ныокома. Вопрос о
том, насколько надежно само значение Лъкшома (или
оно неточно, как утверждают некоторые астрономы, ни-
за ошибок, допущенных им при вычислении), обсужда-
ется в статье Ф. Коттдера (Kollle.r F. II Enz. Math.
Wiss., V.h, 22). Там же см. о перолятивиотегатх причи-
нах движения перигелия Меркурия, к числу которых: от-
носятся, например, сплющенность Солнца, -вращение эм-
пирической системы относительно инерцналыюй., ненла-
петпые возмущающие массы, особенно образующие зо-
диакальный свет (Зеелигер [306]). Эйнштейновское
объяснение выгодно отличается от объяснения Зеелигера
во всяком случае тем, что не нуждается ни в каких не-
определенных параметрах. Совпадение значений Эйн-
штейна и Ныокома означает большой успех, даже не-
смотря на то, что в настоящее время трудно судить о
точности числового значения Ньюкома*).
Недавно еще раз обсуждалась старая попытка Гербе-
ра [307] объяснить движение перигелия Меркурия ко-
нечностью скорости распространения гравитации. Эта
попытка с теоретической стороны совершенно не уда-
лась, несмотря на то, что привела на основе неверных
утверждений к правильной формуле D28), хотя даже и
в этом случае в последней имелся новый числовой мно-
житель.
Недавно общая теория относительности полупит.
в результате измерения отклонения световых лучей, еще
более важное подтверждение, чем в случае движения
перигелия Меркурия. Согласно D29) световой луч. про-
*) См. примеч. ред. на с. 218.

§ 59. СТРОГИЕ РЕШЕНИЯ В СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 227
ходящий у края Солнца, испытывает отклонение, равное
6 = 1,75".
Этот эффект может быть проверен путем наблюдения
неподвижных звезд вблизи Солнца во время полного
солнечного затмения. Экспедиции в Бразилию и на ост-
ров Принсиие во время солнечного затмения 29 мая
1919 г. действительно установили наличие предсказан-
ного Эйнштейном эффекта [308]. Количественное сов-
падение также хорошее. Первая из названных экспеди-
ций нашла среднее, приведенное к краю Солнца откло-
нение лучей, равное 1,98" +0,12", вторая экспедиция
1,61" ±0,30". О методах приведения, с помощью кото-
рых найдены эти числа, см. в статье Коттлера
(VI2, 22)*).
Вычисленное первоначально Эйнштейном половинное
значение для е (см. § 50), получаемое также на основе
ньютоновой теории для материальной точки, движущей-
ся со скоростью света, оказывается, таким образом, не-
совместимым с экспериментом (см. примеч. 16).
§ 59. Другие специальные строгие решения
в статическом поле
Поле D21) материальной точки имеет особенность
при г = 2т или г = т/2; поэтому представляется инте-
ресным с теоретической стороны исследовать G-поле
внутри массы. Для этого необходимо сделать определен-
ные предположения о физических свойствах создающей
поле массы, так как иначе тензор энергии Тл остается
неопределенным. Простейшим предположением является
несжимаемый жидкий шар. Для этого случая уравнения
поля были проинтегрированы Шварцшильдом [309]; вы-
числения были упрощены Вейлем [310]. Тензор энер-
гии-импульса согласно C62) равен
Tik = ( Нч) + ~Т ) uiuh + Pgiln
так как вследствие постоянства цо Р = р/цо- Граничные
условия теории упругости требуют непрерывности всех
gik и исчезновения давления р на поверхности шара.
При учете этих требований иоле определено однозначно.
*) См. примеч. ред. на с. 218.
15*

228 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Во внешнем пространство (г>го, /"о—радиус шара) по-
ле такое же, как в случае материальной точки. Гравита-
ционный радиус при этом равен
¦•- г-о-- D30)
с э
Внутри шара, напротив, если писать квадрат линейного
элемента в нормальной форме D10а), имеем
\ от , За — h h — h
2 ^"^ Q ' * О 44 ^? 2. ?. ' л Г 0 5 ?i I*
n r0 о о
D31)
(ho—значение h на поверхности), где h имеет то же
значение, что и в D13). Поэтому квадрат линейного
элемента внутри шара равен
ds* = {dx1J + (dx*f + (dx3f}+
где
a = го Mro/2m. D33)
Для того чтобы линейный элемент вне шара оставался
регулярным, нужно, чтобы ro>2m. Как показывает
сравнение с A32а), геометрия трехмерного пространства
внутри жидкого шара есть геометрия постоянной поло-
жительной кривизны (сферическая или эллиптическая);
а имеет значение радиуса кривизны. Вычислением G-no-
ля в случае шара из сжимаемой жидкости занимался
Бауэр [311].
Следующей проблемой, допускающей строгое реше-
ние, является поле электрически заряженного шара.
Для вопроса о строении элрктрона интересно исследо-
вать, в какой мере электростатическое поле заряженного
шара изменено его гравитационным полем и, наоборот,
какое гравитационное поле создается электростатической
энергией. Эта задача впервые была решена Рейснером
[312], а затем, исходя из вариационного принципа, Вей-
лем [301, 313]. Оказалось, что электростатический по-
тенциал в точности равен кулоновскому
Ф = е/г. D34)
Здесь мы применяем вместо единиц Хевнсайда ебычные

g 59. СТРОГИЕ РЕШЕНИЯ В СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 229
единицы СГС. Однако G-поле в нормальной форме D10)
определяется уже не выражениями D16), D17), а соот-
ношениями
A = l; -gii = ±.= l-^ + x-?. D35)
Последний член здесь есть гравитационное поле, соз-
данное электростатической энергией. Он сравним с нью-
тоновым членом 2т/г только на расстояниях порядка
а = яе2/т = e2jMc2. В случае электрона значение а рав-
но входящему в старые теории «электронному радиусу»,
т. е. ~-10~13 см. Гравитационное притяжение, которое
один электрон оказывает на второй или на собственный
элемент заряда, всегда много меньше электростатическо-
го, кулоновского отталкивания; отношение этих сил
равно
Ш2/е2 ~ Ю0,
так что гравитационное поле D35) электрона не может
обеспечить его устойчивость.
Леви-Чивита [314] исследовал также гравитационное
поле, создаваемое однородным электрическим и магнит-
ным полями. Если ось хъ выбрана в направлении перво-
го из этих полей, напряженность которого равна F, то
квадрат линейного элемента принимает форму
dsi = (dz1J + (dx*f + {dx3f
a — r
— [c^ a +c2e a ) (dx*J, D36)
где г = V(л;1J +(х2J; с\ и c-2 — постоянные; a == c2j}'k-F.
Пространство обладает цилиндрической симметрией от-
носительно направления поля; на любой плоскости, пер-
пендикулярной направлению поля, имеет место такая
Же геометрия, как на сфере радиуса а в евклидовом про-
странстве. Радиус кривизны в полях нормальной величи-
ны исключительно велик; например, в поле F = 25 000 Гс
a = 1,5 • 1015 км.
Вейль [301, 315] и в целой серии сообщений Леви-
Чивита [316]*) дали также общие решения для произ-
вольных распределений заряженной и незаряженной ма-
*) Общую форму дифференциальных уравнений б-поля для
статического случая Леви-Чивита дает в статье [2931,
16 В. Паулд

230 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
терии, обладающих цилиндрической симметрией. В этом
случае G-поле само обладает цилиндрической симметри-
ей и является статическим. В соответствии с нелиней-
ным характером дифференциальных уравнений gu зави-
сит от масс не аддитивно.
§ 60. Общее приближенное решение Эйнштейна
и его применения
Строгие решения уравнений гравитационного поля до
настоящего времени удалось найти лишь для статиче-
ского случая. Поэтому очень важно, что Эйнштейном
[317] был указан метод, позволяющий приближенно оп-
ределить G-поле в случае масс, движущихся сколь угод-
но быстро; при этом требуется, чтобы массы были доста-
точно малы. Тогда go, лишь мало отличаются от их нор-
мальных значений, так что квадратами отклонений gih
от этих значений можно пренебречь и в дифференци-
альных уравнениях гравитационного поля D01) нужно
сохранить лишь линейные члены; поэтому их интегри-
рование может быть осуществлено без труда.
Если мы введем здесь снова мнимую временную ко-
ординату х4 — ict, то можем положить
gift = б* + Ту» D37)
откуда, вследствие соотношения giagka = 6itc точностью до
членов высших порядков, получаем
g* = $ - Уги- D37а)
Следует заметить, что величины "f<» имеют тензорный
характер лишь относительно преобразований Лоренца.
Учитывая выражение (94) для свернутого тензора кри-
визны, приходим к следующему виду уравнений поля
D01) в выбранном приближении:
д2у V ^«e
dxhdxa дхг
v „ \
б? = _ 2x7».. D38)
Здось введено сокращение
У = 2 Y««. D39)

§ 60. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА 231
Далее, для упрощения, введем величины
Ък = Yift - V,6fy, D40)
а также присоединим еще обратные уравнения, решен-
ные относительно нештрихованных величин:
Y» = ylk ~ V^iY*' D40a)
Y' = 2Y^ = -Y. D39a)
Тогда из D38) получим
D38а)
Эти уравнения могут быть ещё значительно упроще-
ны в случае подходящей нормировки координатной си-
стемы. Требованием, чтобы gik лишь немного отличались
от их нормальных значений, координатная система уста-
навливается лишь с точностью до величин порядка у*-
Поэтому можно выбрать координатную систему, в част-
ности, так, чтобы в нормированной системе выполнялось
уравнение
Гильберт [108] дал математическое доказательство
того, что при любых заданных значениях Yift в первона-
чальной системе всегда может быть сделан такой выбпр
координатной системы, чтобы новые координаты отлича-
лись от старых лишь на величины порядка y« и одно-
временно выполнялось требование D41). В нашем рас-
поряжении имеется как раз четыре функции для того,
чтобы удовлетворить четырем уравнениям D41).
Очевидно, что при условии D41) дифференциальные
уравнения D38а) принимают простой вид
D42)
где, как и в специальной теории относительности,
означает ^ zrzz- Интегрирование осуществляется извест-
с
16*

232 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ньщ способом с помощью запаздывающих потенциалов:
'ih (,, „, М) - ? J r^'":f"r/g) & $ *• D43)
yih
В силу закона сохранения энергии C41а) эти решения
с принятой здесь точностью удовлетворяют также урав-
нениям D41).
Из D43) вытекает, что гравитационные воздействия,
так же как и электромагнитные, распространяются со
скоростью света. Форма гравитационных волн в пустом
пространстве получается из D41) и D42), если поло-
жить Tih = 0. А именно, для плоской волны, распростра-
няющейся по оси хх,
Y» = aihex])[iv(t — x/c)], D44)
из D41) следует, что
ahi = —iah\. D45)
Уравнения D42) выполняются тождественно. Эйнштейн
[318] показал, кроме того, что при подходящем выборе
системы координат можно добиться также выполнения
соотношений
Оц = <ZJ = Й13 = 0, Й22 = —Язз- D46)
Об излучении и поглощении гравитационных волн будет
сказано в следующем параграфе (см. примеч. 17),
Для ноля покоящейся материальной точка уравнения
D43) дают
Ум = — Ат/г, все остальные y'ik = 0,
т. е.
Т44 = — 2т/г, Tfn = Т22 = Тзз =+2т/г.
Таким образом, снова получаются величины первого
порядка по полю D21Ь). Без особых затруднений мо-
жет также быть вычислено поле п движущихся точек*).
При этом прежде всего оказывается, что отклонения
движения от законов механики Ньютона — второго по-
рядка относительно v/c — в согласии с требованиями
опыта.
Отклонение от механики Ньютона связано также со
следующим обстоятельством. Релятивистская теория тя-
*) Это вычисление было проведено Дросте [319], применяв-
шим несколько отличный от эйнштейновского интегральный метод.

§ 60. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА 233
готения совпадает с ньютоновой в том отиошении, что
гравитационное поле покоящегося шара оказывается та-
ким же, как поле материальной точки. Это, однако, не
имеет места в случае вращающегося шара. Тирринг и
Лензе [320] применили к этому случаю формулы Эйн-
штейна и вычислили возмущения орбит планет и Луны,
вызпанные вращением центрального тела. Бее они слиш-
ком малы, чтобы поддаваться наблюдению. Общая дис-
куссия вопроса о возмущениях орбит планет и Луны,
вытекающих из теории Эйнштейна, имеется у до Ситте-
ра [321]. Кроме движения перигелия Меркурия, нет ни-
каких возмущений, которые можно было бы наблюдать.
Однако важнейшим из применений приближенного
решения D43) является исследование Тирринга [322]
об относительности центробежной силы. Поскольку в об-
щей теории относительности явления могут описываться
и в системе отсчета, вращающейся относительно галиле-
евой, нужно, чтобы центробеяшую силу можно было
также рассматривать как гравитационный эфрект, вы-
зываемый относительным вращением неподвижных звезд.
Можно было бы думать, что допустимость такого пони-
мания в общей теории относительности гарантирована
уже в силу общей ковариантности уравнений поля. Это,
однако, не так, потому что здесь существенны гранич-
ные условия на бесконечности (подробнее см. § 62). По-
этому Тирринг не ставил перед собой задачи доказать
полную эквивалентность относительного вращения звезд
небесного свода и вращения системы отсчета относитель-
но галилеевой системы; вместо этого оп так модифици-
ровал постановку вопроса, что трудности, связанные с
установлением граничных условий, отпали.
Представим себе в иеерциальпой системе теории тя-
готения Ньютона вращающийся полый шар, находящий-
ся вдали от покоящихся или медленно прямолинейно и
равномерно движущихся звезд. С релятивистской точки
зрения ясно, что если масса полого шара сравнима с
массой звездной системы, внутри шара появятся центро-
бежная и кориолисова силы. Однако из соображений не-
прерывности следует, что и в том случае, когда масса
шара мала, подобные силы, хотя, быть может, и очень
слабые, будут налицо. В последнем случае (т. е. если
масса шара мала), мы можем б[ез дальнейших усложне-
ний применять формулы D43), так как gik, очевидно,
лишь мало отличаются от их нормальных значений.

234 ГЛ. IV. ОБГЦЛЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Вычисление показывает, что материальная точка, находя-
щаяся внутри полого шара, испытывает ускоренно, впол-
не аналогичное центробежному и кормолиеову ускорени-
ям классической механики. Если « — вектор угловой
скорости, г—перпендикуляр от оси вращения к матери-
альной точке и v — ее скорость, то эти ускорения, ко-
нечно, не равны прямо выражению
2 [<av] + со2г,
получающемуся, согласно классической механике, в си-
стемах отсчета, вращающихся с угловой скоростью отно-
сительно измерительной системы; выражения Тирринга
равны этим двум членам, умноженным иа фактор поряд-
ка отношения гравитационного радиуса полого шара
т = kMjc2 к 'его радиусу а. Поскольку это отношение
для всех имеющихся в нашем распоряжении масс край-
не мало, всякая надежда проверить экспериментально
этот принципиально важный результат тщетна. Понят-
но также, почему примитивный опыт Ньютона с враща-
ющимся сосудом с водой, а также более точный опыт
Б. и Т. Фридлендеров [323], пытавшихся обнаружить
центробежную силу внутри вращающегося махового ко-
леса, должны были привести к отрицательным ре-
зультатам.
§ 61. Энергия гравитационного поля
В § 54 уже говорилось, что при наличии гравитаци-
онного поля дифференциальные законы для тензора
энергии не принимают той формы, которую они имеют в
специальной теории относительности:
а имеют вид
Поэтому для замкнутой системы из них не следует закоп
сохранения
пх1 dx2 d'j? = const.
Однако в § 57 мы показали, что вследствие уравнений

§ 61. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ 235
гравитационного поля D01), закон сохранения энергии
и импульса C41а) имеет своим следствием систему
уравнений
= 0, D06)
гд? величины \\ определены соотношения ми D05),
A83) а A85). Из этой системы уравнений для замкну-
той системы вытекают законы сохранения
/* = J (г\ + tf) dxl dx* dx* = const. D47)
Поэтому Эйнштейн называет систему величин U компо-
нентами энергии гравитационного поля, /(—полным им-
пульсом и полной энергией замкнутой системы (см. § 57).
При более близком рассмотрении появляются, однако,
большие затруднения, которые на иерпый взгляд проти-
воречат подобному пониманию. В конечном счете зги за-
труднения проистекают из-за того, что величины to, не
образуют тензора. Поскольку эти величины не содержат
производных от gth выше первого порядка, можно сразу
заключить, что при подходящем выборе координат (в гео-
дезической системе отсчета) они могут быть сделаны
равными пулю в любой заданной мировой точке.
По, более того, как обнаружил Шродингер [324], для
поля материальной точки, которое совпадает с полем вне
жидкого шара, все компоненты энергии тождественно ис-
чезают. Этот результат может также быть получен и в
случае поля D35) заряженного тиара.
С другой стороны, Бауэр [325] показал, что в резуль-
тате простого введения полярных координат в евклидо»
линейный элемент специальной теория относительности
компоненты энергии принимают значения, отличные от
нуля, и арн этом полная энергия даже бесконечна! Кро-
ме того, компоненты tik отнюдь не симметричны, а плот-
ность энергии —1\ не всюду положительна. Именно знак
плотности энергии гравитационного поля вызывал затруд-
нения еще в старых теориях тяготения *).
Несмотря па эти затруднения с физической точки зре-
ния, трудно отказаться от требования существования ана-
логов интегралов энергии и импульса теории Ньютона.
Поэтому Лоронц [109] и Леви-Чивига (см. [314], с. 381)
*) Ср., например, Abraham [253].

236 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
предложили считать компонентами энергии не величины
fjt, а величины — С1Л. Тогда из D01) получаем
ih -Г к ih )
а также
дхк
Эйнштейн [318] справедливо возразил, что при таком оп-
ределении гравитационной энергии полная энергия замк-
нутой системы всегда была бы равна нулю и сохранение
этого значения энергии не требует продолжения суще-
ствования системы в каком бы то пи было виде. Таким
образом, мы не смогли бы извлекать из законов сохра-
нения таких следствий, к каким мы привыкли. В ответе
на статью Шредингера Эйнштейн [326] смог далее пока-
зать, что при взаимодействии многих масс tik заведомо
не исчезает везде.
Окончательное разъяснение вопроса принесла работа
Эйнштейна «Закон энергии в общей теории относитель-
ности» [326]. Здесь было дано доказательство того, что
выражения D47) для полной энергии и полного импуль-
са замкнутой системы в значительной степени не зависят
от координатной системы, хотя локализация энергии в
различных системах координат, вообще говоря, осуще-
ствляется совершенно но-разпому. Это доказательство бы-
ло затем дополнено Клейном [327] (см. § 21). Таким
образом, мы должны отказаться от придания физического
значения самим величинам U; другими словами, нельзя
провести локализацию энергии и импульса в гравитаци-
онном поле общековариантным и физически удовлетво-
рительным способом. Интегральные величины D47) име-
ют тем не менее определенный физический смысл. Зна-
чение уравнения D06) заключается лишь в том, что оно
позволяет простым способом вычислять изменение энер-
гии материи в замкнутой системе.
Доказательство инвариантности величин Jh, опреде-
ляемых соотношениями D47) при определенных, указан-
ных ниже преобразованиях координат, проводится очень
просто. Пусть дана ограниченная замкнутая система.
Пусть вне некоторой области В этой системы линейный
элемент будет таким же, как в специальной теории от-

g 61. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ 237
носительности (в галилеевой системе). Будем рассмат-
ривать только такие системы К, которые вне области В
совпадают с галилеевой. Поэтому, например, полярные
координаты исключаются. Тогда подынтегральное выра-
жение D47) исчезает вне мировой трубки В и все пред-
ложения § 21 выполнены. Из сказанного там следует,
что, во-первых, интегральные значения энергии и им-
пульса не зависят от выбора координат внутри В, если
Только эти координаты непрерывно переходят в галиле-
евы координаты вне В; во-вторых, величины /< ведут со-
бя относительно линейных преобразований координат
(причем теперь координаты изменяются и впе В) как
ковариантные компоненты вектора. (Об аналогичном за-
коне в случае пространственно-замкнутого мира см. сле-
дующий параграф.)
Остается еще обсудить вопрос о том, определяются ли
однозначно величины t\ с помощью уравнений D06),
т. е. выяснить, нет ли еще других величин и^, кроме за-
даннвгх выражениями D05), A83) и A85) величин tt>
которые тождественно удовлетворяют уравнениям D06)
вследствие уравнений поля D01). Как показал впервые
Лоренц [109] и как отметил также Клейн [113], это
действительно так, если допустить, что wi могут содер-
жать также вторые производные gik. Сказать что-либо
против этой возможности, исходя из физических сообра-
жений, нельзя. Конечно, для полной энергии системы
получаются различные значения в зависимости от того,
кладем ли мы в основу величины Ц Эйнштейна или ве-
личины w\ Лоренца.
Эйнштейн [318] указал на важное применение урав-
нения D06) к излучению и поглощению гравитационных
волн, поле которых было установлено в § 60. Если в ма-
териальной системе происходят колебания или другие
движения, то из теории следует, что система излучает
волны. Излучение при этом определяется третьими про-
изводными по времени от ее момента инерции
Dih = j цох*хк dxl dx2 dx* {j, A: = 1, 2,3). D48)
Поток энергии волн, излучаемых вдоль оси х\ равен

238 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(к — обыкновенная гравитационная постоянная), а пол-
ная энергия, излучаемая по всем направлениям в едини-
цу времени, равна
Последнее выражение, согласно D49), всегда положи-
тельно. Излучаемая энергия так мала, что не приводит
ни к каким астрономическим эффектам, заметпым в до-
ступных рассмотрению промежутках времени. Она имеет,
однако, принципиальное значение для атомной физики.
Эйнштейн полагал, что квантовая теория должна будет
видоизменить и теорию тяготеиия.
Аналогично вычисляется поглощаемая энергия. Так,
если гравитационная волна типа D44), D45), D46) па-
дает вдоль оси Xs на материальную систему, размеры ко-
торой малы по сравнению с длиной падающей волны, то
в единицу времени поглощается энергия
dE__ 1 \ду23 ¦¦ 1 ^Т22-У33) 1 (jl Ъ
dt Г [~W 23 "¦" 2 Ш 2 ^ 23 ~~ и
D51)
где величины уэз< Т22, *fзз относятся к волновому полю
(см. примеч. 17).
§ 62. Изменение уравнений поля.
Относительность энергии
и пространственно-замкнутый мир * )
а. Принцип Маха. При рассмотрении в § 58 дви-
жения перигелия Меркурия мы не указывали особо, чем
физически определяется применявшаяся там система Ко,
относительно которой должно измеряться движение пе-
ригелия. Эта система отличается от всех других, равно-
мерно вращающихся относительно нее систем отсчета К,
сферической симметрией G-поля и прежде всего поведе-
нием gih в пространственной бесконечности; именно, в
*) Изложенные в этом параграфе соображения развиты Эйп-
штейпом в работе «Koemologische IMrachtungtni гт allgemeinen
Relalivitatslhcorie» (Berl. Rer.— 1917.— S. 142), которая пеперечата-
ва в сборпике «Принцип относительности» под заглавием «Вопро-
сы космологии и общая теория относительности» (см. такя5е при-
меч. 19).

§ 62. ИЗМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ 239
бесконечности gtk принимают их нормальные значения.
Граничные условия в пространственной бесконечности,
которые нужно ввести для полного определения тензора
gik по заданным положениям и скоростям масс или, вооб-
ще,— по материальному тензору энергии Tik, выделяют
определенную систему Ко из всех других. При рассмотре-
нии вопроса об относительности центробежной силы (см.
§ 60) эта трудность дала себя знать особенно сильно.
Хотя подобное выделение некоторых систем координат
с помощью граничных условий, вообще говоря, несовме-
стимо логически с постулатом общековариантности, од-
нако противоречит духу релятивистской теории и должно
рассматриваться как большой теоретико-познавательный
недостаток. Эйнштейн [262] поразительно осветил его с
помощью мысленного эксперимента с двумя жидкими ша-
рами, вращающимися относительно друг друга вокруг
соединяющей их линии. Этот недостаток остается не толь-
ко в классической механике и в специальной теории от-
носительности, но и в развитой выше, базирующейся на
уравнениях D01) теории тяготения. Он будет устранен
лишь тогда, когда граничные условия будут сформулиро-
ваны в общековариантной форме.
Мы выставляем поэтому следующее требование: G-no-
ле должно определяться однозначным и общековариант-
ным образом при задании одних только значений тензора
энергии Tih. Поскольку Мах [328] ясно осознал именно
этот указанный выше недостаток механики Ньютона и
заменил абсолютное ускорение ускорением относительно
остальных масс Вселенной, Эйнштейн [329] назвал этот
постулат принципом Маха. Этот принцип, в частности,
требует, чтобы инерция материи определялась только ок-
ружающими его массами и таким образом исчезала, если
все остальные массы будут устранены, так как с реля-
тивистской точки зрения не имеет никакого смысла гово-
рить о сопротивлении абсолютному ускорению (относи-
тельность инерции).
[}. Замечания о статистическом равно-
весии звездной системы. Х-член. Даже если
отвлечься от вопроса о граничных условиях в простран-
ственной бесконечности, мы сталкиваемся с дальнейшей
трудностью при применении употреблявшихся до сих пор
уравнений поля к системе неподвижных звезд как цело-
му. Преодоление этой трудности принесет также выпол-
нение требогандя, поставленного в п. а.

240 rJl. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Еще Нейман [330] и Зеелигер [331] указали, что за-
кон всемирного тяготения Ньютона может быть строго
применен лишь в том случае, если плотность массы Все-
леппой при г -*- °° стремится к нулто быстрее, чем 1/г2.
В противном случае сила, действующая на материальную
точку со стороны всех масс Вселенной, будет неопреде-
ленной. В следующем сообщении [332] Зеелигер обсуж-
дает возможность того, что плотность массы конечна на
любых расстояниях, а ньютонов потенциал заменен бы-
стрее убывающим с расстоянием потенциалом
Ф= А
,-УГт
Этот потенциал был уже в другой связи математически
исследован Нейманом [333]; из его результатов вытекает,
что уравнение Пуассона
ДФ = AnkyL0 (A)
должно быть заменено уравнением
АФ - ЯФ = 4я&и.о. (В)
Тогда трудность, возникающая в теории Ньютона, ис-
чезает.
Против первой возможности — строгой справедливости
закона Ньютона и достаточно быстрого уменьшения плот-
ности материи в бесконечности — можно, следуя Эйнш-
тейну, выставить существенные аргументы, если стать
на ту точку зрения, что вся звездная система должна
находиться в статистическом равновесии. Если бы потен-
циал на больших расстояниях был конечен (следователь-
но, плотность массы достаточно быстро уменьшалась), то
целые небесные тела могли бы покидать звездную си-
стему и последняя «пустела» бы до законам статистиче-
ской механики до тех пор, пока полная энергия системы
оставалась бы больше работы, необходимой для удаления
одного из небесных тел в бесконечность. Исключенный
еще Нейманом и Зеелигером случай бесконечных значе-
ний потенциала на очень больших расстояниях (это име-
ет место, если плотность массы не убывает достаточЕю
быстро при г-ц») по Эйнштейну исключается сотому,
что он противоречит опытному факту довольно малых
скоростей звезд. В случае справедливости (В) все эти
затруднения исчезают, так как тогда динамически воз-
можны равномерное распределение материи с ядощостья!

§ 62, ИЗМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ 241
цо и существование постоянного в пространстве потенциа-
ла, который оказывается равен
В релятивистской теории положение вполне анало-
гично имеющему место в теории Ньютона. Если придер-
живаться уравнений D01), то оказывается невозможным
выбрать граничные условия так, чтобы одновременно из-
бежать «опустения» звездной системы (т. е. выхода из
нее звезд) и не вступить в противоречие с тем фактом,
что скорости звезд незначительны. Представляется, од-
нако, возможным изменить уравнения поля способом,
вполне аналогичным переходу от (А) к (В). Действитель-
но, при установлении уравнений поля в § 56 мы просто
опустили в D00) пропорциональный gih член czgu,, чего
не требовали ни постулат общековариантности, ни закон
сохранения энергии-импульса материи. Теперь мы можем
снова ввести этот член в D01):
Gih - Xgth = -иГ», D52)
где вместо сз, следуя Эйнштейну, пишем —X. После свер-
тывания отсюда получается, что
R + 4X = +kT D53)
Л* + Ь** = -и (Тл - 4zgiJ) ¦ D52а)
Если основываться на этих модифицированных уравне-
ниях, то легко показать, что заполненный материей по-
стоянной плотности мир находится в равновесии. Кроме
того, оказывается, что этот мир является сферическим
или эллиптическим, т. е. пространственно-замкнутым. Ес-
ли сделать, например, частное предположение:
a —l(x) + (x ) + (x ) J D04)
#* = °> #44 = — 1 (г, ft = 1,2, 3),
то, согласно § 18, A17), A18), A19) и A30)i
d_ 2_ , „_ (^ r _J_
a a a
(для i,k = i, 2, 3);
Ли = i?44 = 0.

242 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Далео, Ти — цос2; остальные Tih = О, Т = —Цос2,
и уравнения D52), таким образом, удовлетворены,
если
L * ^ D55)
Из уравнений поля D01), напротив, в силу Я, = 0, сле-
довало бы также 1/а2 = цо = 0.
Поскольку в этом примере, а также, вероятно, и для
других, более общих распределений массы мир простран-
ственно замкнут, необходимость в граничных условиях
в бесконечности отпадает. Таким образом уравнения по-
ля D52) не только разрешают противоречия между
малыми скоростями звезд и статистической механикой,
но и устраняют упомянутый теоретико-познавательный
недостаток, который был присущ теории в предыдущей
форме. Решение D54) уравнений поля передает средние
свойства метрики мира. Лишь вблизи отдельных масс g\h
заметно отличаются от значений D54). Для системы
масс, размеры которой малы по сравнению с исключи-
тельно большим радиусом кривизны мира, например для
Солнечной системы, Х-членом можно пренебречь, и реше-
ния уравнений поля D01) сохраняют свою силу. Прин-
цип Маха также, по-видимому, выполняется при приме-
нении уравнений поля D52), хотя общее доказательство
этого утверждения еще не найдено. Именно, хотя урав-
нения D01) при исчезновении материи имеют общее ре-
шение gift = const *), для уравнений D52) это не так;
в этом случае gik должны равняться нулю. В совершенно
пустом пространстве вообще не может быть никакого
G-поля; при этом не было бы возможно ни распростра-
нение света, ни существование масштабов и часов. С этпм
связано также выполнение постулата относительности
инерции. Следует, однако, заметить, что де Сигтер [335]
нагпрл для совершенно пустого пространства решение
уравнений D52), отличное от решения ?« = 0; именно,
он нашел решение в виде четырехмерного, псевдосферн-
•) Утверждение, что это решение уравнений D01) для совер-
шенно пустого пространства является едвветвенным, для общею
случая до сих пор еще ве доказано. В статическом случае доказа-
тельство бьт.-рт, едтгвко, пай депо [334] (см. примеч. 18).

§ 62. ИЗМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ 243
ческого мира:
gik=ti+ &- (S, к =1,2, 3,4; з* = Ш);
? D56)
Гл = |Л> = 0; Я = 3/а2. D57)
Это решение отлично от «цилиндрического мира» Эйн-
штейна, определяемого формулами D54). Эйнштейн
[336], однако, высказал утверждение, что решение де
Ситтера не везде регулярно, так что, собственно, пред-
ставляет собой не G-поле пустого мира, а поле мира с
поверхностным распределением материи. К такому же
результату приходит Вейль [337]*). Однако вопрос еще
не решен окончательно.
Астрономические следствия уравнений поля D52) об-
суждались де Ситтером [338] и Лензе [339].
•у. Энергия замкнутого мира. Уравнения
D52), так же как уравнения D01), могут быть полу-
чены из вариационного принципа. Для этого нужно толь-
ко к функции действия D04) добавить член 2AV—g.
В результате получаем
б j
dx = 0, D58)
|Г= 9? + 2X1^+ уЖ. D59)
Закон сохранения энергии снова справедлив в форме
где вместо h ставят величины
~t? = t1—^6l D61)
Эти соображения содержатся в цитированной (см. с. 349)
работе Эйнштейна и подробнее развиты Клейном.
Далее, необходимо выясйить, справедлив ли для пол-
ной энергии замкнутого мира указанный в § 61 закон
независимости интегральных значений энергии от коорди-
натной системы. Доказательство этого закона здесь долж-
но быть проведено заново, так как в прежнем доказа-
*) См. также F. Klein [327], в особенности § 9. Здесь подроб-
но разобраны геометрические соотношения.

244 ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
тельстве предполагалось, что вне рассматриваемой замк-
нутой системы gih = ± б?; очевидно, что в случае замк-
нутого мира это не так. Эйнштейн [326] и Клейн [113],
занимавшиеся этим вопросом, свели задачу к доказатель-
ству равенства нулю некоторых поверхностных интегра-
лов. Последнее для специальных систем координат было
показано уже Эйнштейном, а в общем случае доказано
Громмером [340]. Кроме того, оказывается, что как пол-
ный импульс, так и полная энергия замкнутого мира,
поскольку они обусловлены гравитационным полем, рав-
ны нулю:
J "t}dxl dx* dz2 = 0. D62)
Однако, если вместо компонент величины t\ Эйнштейна
пользоваться компонентами Лоренца (см. § 61), содер-
жащими также вторые производные gik, то, как показал
Клейн, пол пая энергия гравитационного поля уже не бу-
дет равна нулю.

ГЛАВА V
ТЕОРИИ О ПРИРОДЕ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
§ 63. Электрон и специальная теория
относительности
Уже с давних пор делались попытки объяснения ме-
ханических свойств электрона из электромагнитных прин-
ципов. При этом уравнение движения
dG/dt = К D63)
(G — импульс электрона, К — внешняя сила) истолковы-
валось следующим обрауом (см. [109], § 21). Во-первых,
постулировалось, что все действующие на электрон силы
имеют электромагнитную природу, т. е. определяются вы-
ражением Лоренца B12а); во-вторых, принималось, что
полная сила, действующая на электрон, должна всегда
равняться нулю:
7 = 0. D64)
Интегрирование в выражении D64) распространяется на
объем электрона. Полная сила D64) может далее быть
разделена на две части: силу, создаваемую внешним
полем,
которая стоит в правой части D63), п силу, с которой
электрон действует на самого себя
(G — электромагнитный импульс собственного поля элек-
трона). В случае не очень больших ускорений (при ква-
зистационарном движении) для G можно принять выра-
жение, равное импульсу электрона, движущегося равно-
мерно и прямолинейно с соответствующей данному мо-
менту скоростью. Этот импульс зависит, конечно, от рас-
пределения заряда б электроне.
17 в. Паули

246 ГЛ. V. ТЕОРИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Наиболее естественным было предположение, что
электрон является совершенно твердым. Теория для этого
случая была полностью дана Абрагамом [341]. Однако
в 1904 г. Лоренц [10] показал, что импульс и энергия
электрона зависят от скорости таким образом, как это
необходимо для соблюдения принципа относительности
только в том случае, если принять, что электрон сокра-
щается в направлении движения в отношении Y1 — $2: 1.
Эйнштейн [15] затем показал, что зависимость энергии,
массы и импульса от скорости вытекает из одного прин-
ципа относительности без всяких предположений о при-
роде электрона (см. § 29). Поэтому, и наоборот, из на-
блюдений над изменением массы электрона нельзя сде-
лать никаких заключений о его природе.
Легко, однако, видеть, что принцип относительности,
по крайней мере, если оставаться на почве теории Макс-
велла — Лоренца, с необходимостью приводит к суще-
ствованию у электрона энергии не электромагнитного
происхождения. Это было впервые отмечено Абрагамом
[342]. Примем сначала, что распределение заряда в по-
коящемся электроне является сферически-симметричным.
Тогда энергия и импульс движущегося электрона, если
они имеют электромагнитную природу и описываются
выражениями теории Максвелла — Лоренца, согласно
C51) равны:
G/ Д ()' Г* 0 1*3'/ ^ к- ..
= и ' —; Е = —- .-- =—. (Зо1)
Если бы эти выражения определяли одновременно пол-
ный импульс и полную энергию, то согласно C17) и
C18) имело бы место соотношение
Е =
Оно, однако, места не имеет, так как интеграл в правой
части равен
4/зД° + const.
Если принять, что импульс, в противоположность энер-
гии, имеет чисто электромагнитный характер, то для пол-
ной энергии Е движущегося и полной энергии Ей покоя-

I 63. ЭЛЕКТРОН И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 247
щегося электрона, а также для массы покоя получаем
1^ ^* ^ 4^
где масса покоя то определяется из соотношения
Эти соотношения находятся, как и должно быть, в согла-
сии с законом инертности энергии (аддитивная постоян-
ная в выражении для Е уже выбрана в соответствии с
этим заколом). Полная энергия покоящегося электрона
равна 4/з его лоренцевой электромагнитной энергии*).
На ссвдвашш предыдущих рассуждений создается
впечатление, что твердый электрон старой классической
теории в отличие от электрона теории относительности
совместим с чисто электромагнитной картиной мира (точ-
нее, со специальной электромагнитной картиной мира,
базирующейся на теории Максвелла — Лоренца). Однако
это неверно в силу следующих причин. Гипотеза о твер-
дом электроне является в электродинамике совершенно
чужеродным элементом. Вместе с тем, если бы мы ее
не ввели, нам пришлось бы потребовать, чтобы исчезла
ве только полная сила D64), действующая на электрон,
но и сила, действующая в любой отдельной точке:
Ясно, что существование покоящегося заряда (v = 0) с
этим требованием несовместимо, так как, с учетом урав-
нения div Е = р, из него следует, что р = 0. Мы видим,
таким образом, что электродинамика Максвелла — Лорен-
ца до тех пор, пока она не дополнена существенно посто-
ронним теоретическим элементом, вообще несовместима
с существованием зарядов. Поэтому при чисто электро-
магнитном понимании электрон старой классической тео-
рии в действительности не имеет никаких преимуществ
перед электроном теории отпосительности. В обоих слу-
чаях необходимо вводить силы, удерживающие элоктрон
*) Отсюда яспа понозможпость чисто элсктромашитио:'! интер-
претации массы электрона. Обсуждаемые ниже в этом параграфе
вопросы подробно освещены в книге [343*].— Примеч. ред.
47*

248 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
в равновесии, несмотря на кулоновское отталкивание его
частей; в обоих случаях эти силы но получаются из
электродинамики Максвелла — Лоренца. Пуанкаре [14],
понимавший эту необходимость, чисто формально ввел
скалярное поверхностное давление р, о природе которого
он сказать ничего не мог.
В общем виде проблема электрона может быть сфор-
мулирована так: тензор энергии-импульса Sik электроди-
намики Максвелла — Лоренца нужно дополнить такими
членами, чтобы законы сохранения для полного тензора
энергии и импульса
дТ\1дх* = 0 C41)
были совместимы с существованием частиц. Эти добавоч-
ные члены, во всяком случае, должны зависеть от физи-
ческих величин, которые определяются причинным обра-
зом посредством дифференциальных уравнений. (В § 42
для тензора энергии одного изолированного электрона
сделано феноменологическое предположение Р« = 1юи,ик.)
О том, в какой мере эта формулировка должна быть из-
мепена с точки зрения общей теории относительности,
будет сказано в § 65, 66.
Мы можем теперь также ответить на поставленный
Эренфестом [34] спорный вопрос о том, может ли без
действия сил двигаться равномерно и прямолинейно элек-
трон, который не обладает сферической симметрией даже
в состоянии покоя. В этом случае электромагнитный им-
пульс движущегося электрона не всегда направлен па-
раллельно его скорости, так что на электрон будет дей-
ствовать создаваемый электромагнитными силами момент
вращения. Однако, как указал Лауэ [226], положение
здесь вполне аналогично имеющему место в случае опы-
та Троутона и Нобля. Так же как там, электромагнит-
ный момент вращения компенсируется моментом, созда-
ваемым потоком упругой энергии, здесь компенсация про-
исходит в силу наличия потока энергии, связанного с упо-
мянутыми добавочными членами в тензоре энергии и
импульса. Введение этих добавочных членов оказывается
необходимым не только в случае движущегося, но уже
и в случае покоящегося электрона. Таким образом, на
вопрос Эренфесга должен быть дан утвердительный
ответ.
Остается разъяснить вопрос о том, что можно сказать
с описанной теоретической точки зрения и в согласии с

§ 63. ЭЛЕКТРОН II ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 249
опытом о размерах электрона. Основываясь на опытных
данных, мы можем сегодня с достаточной уверенностью
утверждать, что всякое вещество состоит в конечном сче-
те из ядер водорода и электронов. Все, что мы говорили
выше об электроне, относится, разумеется, и к прото-
нам*}. Опыт позволяет пам заключить о размерах этих
частиц лишь то, что они но должны превышать 10~13 см,
т. е. что две такие частицы, удаленные друг от друга на
это расстояние, ведут себя в отношении сил, с какими
они воздействуют друг еа друга, практически, как точеч-
ные заряды. То, что размеры частиц могут быть еще
много меньше чем 10~13 см, отнюдь не исключается на-
копленными опытными данными. Теоретически мы можем
высказывать определенные суждения по данному вопросу
лишь с точки зрения лоренцевых воззрений, именно, сле-
дующее: заряженный шар радиуса а с равномерной по-
верхностной плотностью заряда обладает энергией
Е = е2/8яв,
где е — измеренный в единицах Хевисайда общий заряд.
Из D65) следует тогда
D66)
влас
При ипом предположении о распределении эаряда мы
пришли бы лишь к изменению числового множителя,
порядок же величины а остался бы неизменным. По-
следний получается из известных масс покоя электрона
и протона, для электрона он 10~13 см, для протона, вслед-
ствие большей его массы, примерно в 1800 раз меньше.
Следует, впрочем, отметить, что это рассуждение имеет
под собой очень слабое теоретическое основание. Оно ос-
новано, как мы видели, на следующих двух гипотезах:
1) распределение заряда электрона (протона) облада-
ет сферической симметрией;
2) полный импульс движущегося электрона (протона)
определяется выражением
G = -L j [EH] dV
теории Максвелла — Лоренца; это выражение считается,
*) В оригинале «ядрам водорода»,— Примеч. ред.

250 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
следовательно, справедливым даже при чрезвычайно боль-
ших плотностях зарядов и напряженностях поля.
Вторая из высказанных гипотез представляется осо-
бенно сомнительной. Эмпирические основания, которые
позволили бы отнестись с доверием к вычисленным та-
ким образом размерам, а особенно к теоретическому тре-
бованию, чтобы радиус протона был столь значительно
меньшим радиуса электрона, до сих пор не могут счи-
таться найденными*).
§ 64. Теория Ми
Первая попытка построения теории, объясняющей су-
ществование электрически заряженных элементарных ча-
стиц, была предпринята Ми [345]**). Он поставил перед
собой задачу так обобщить уравнения поля и тензор
энергии-импульса теории Максвелла — Лорспца, чтобы
внутри элементарных заряженных частиц кулоновские
силы отталкивания уравновешивались другими силами
также электрического происхождения, а вне частиц от-
клонения от обыкновенной электродинамики были неза-
метны.
Ми оставляет неизменной первую систему уравнений
Максвелла (см. § 28):
dF dF • dF
—^^ ll + —" = 0, B03)
дх дх дх-
из которой вытекает существование 4 потенциала
Далее, во всяком случае, должно выполняться уравнение
непрерывности для 4-тока
Отсюда следует, что существует бивектор Н%" = -~Нк1,
*) Мы не можем в этом пункте присоединиться к изложению
в книге М. Борпа «Теория относительности Эйнштейна».
**) См. еще работу М. Борпа [346], где разбирается аналогия
вывода закона сохранения энергии-импульса из принципа дейст-
вия в теории Ми с выводом закопа сохранения энергии из гамиль-
тонова принципа в обычно:'! механике (см. также [347]).

I 64. ТЕОРИЯ МИ 251
удовлетворяющий уравнению
в' = дНл/дх\ D67)
При этом Н,к связывает воедино векторы D и Н так же,
как Fih связывает векторы Е и В. Очевидно, что если
дм _ рл^ то эти уравнения переходят в уравнения обык-
новенной электродинамики, и что они по форме совпа-
дают с уравнениями феноменологической электродинами-
ки в материальных телах.
Но эти уравнения поля приобретают новое физиче-
ское содержание благодаря следующему решающему по-
ложепию: величины Н'к и s" должны быть универсаль-
ными функциями Fik и ф(:
Я* = МР, <F); sh = vh(F, Ф). D67а)
Первые шесть соотношений существенно отличаются от
соответствующих формул феноменологической электроди-
намики тем, что в них явно входят ф,. В теории Ми
имеют реальпый смысл не только разности потенциалов,
но и их абсолютные значения. Уравнения теории не
остаются неизменпыми, если заменить <р на <р + const.
Ниже мы увидим, что ио этой причипе в теории Ми по-
является серьезное затруднение. Четыре последних урав-
нения D67а) важны для установления факта существо-
вания и законов движения материальных частиц (элек-
трона и протона). Ми называет, более или менее про-
извольно, ф( и Fih — интенсив постными величинами, a s*
и Hih — величинами количественными.
Уравнения D67а) вводят в теорию не менее десяти
универсальных функций. Однако, как нашел Ми, принцип
энергии обусловливает и здесь большое упрощение, так
как позволяет свести десять неизвестных универсальных
функций к одной единственной функции. Именно, оказы-
вается, что из B06) и D67) только тогда вытекает урав-
нение вида
-щ- + divS = 0
(W—плотность энергии, S — поток энергии), когда су-
ществует инвариант (сперва относительно группы Лорен-
ца) L(F, ф), из которого IIth и s' получаются путем диф-
ференцирования:
= ^7; s ~WS

252 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
так что
8L = Hih8Fih - 2s*6q>,. D68a)
Простой расчет показывает тогда, что уравнения вытека-
ют из вариационного принципа
d2 = 0 D69)
при условии, что соотношения B06) справедливы и для
варьированного поля.
О виде инварианта L, который часто называют миро-
вой функцией, можно сделать некоторые общие высказы-
вания. Независимые инварианты, которые можно обра-
зовать из бивектора Рщ и вектора ф;, таковы:
1) квадрат бивектора РцС- -у f «F1 ;
2) квадрат вектора <р<: <р<ср*;
3) квадрат вектора Fikyh: FiT<f,Fu($r;
4) квадрат вектора^ф*1 или, что го же, квадрат три-
вектора Fikq>, + Fw<p< + Ри({,к.
Поэтому L должно зависеть только от этих четырех
инвариантов (см. примеч. 20). Если L равно первому из
указанных инвариантов, то уравнения поля Ми вырож-
даются в обыкновенные уравнения электронной теории
для пространства без зарядов. Таким образом, L может
заметно отличаться от '/г FikFih только внутри материаль-
ных частиц. Дальнейших высказываний о мировой функ-
ции L сделать уже нельзя. Нельзя сузить число возмож-
ностей настолько, чтобы однозначно прийти к опреде-
ленному выбору мировой функции. Напротив, для выбо-
ра L остается бесконечное число возможностей.
Мы должны теперь найти тензор энергии-импульса
Tih как функцию переменных поля. Соответствующие вы-
числения чрезвычайно упрощаются, если согласно Гиль-
берту [108] и Вейлю [347] записать уравнения поля Ми
в форме, удовлетворяющей общей теории относительно-
сти, а затем применить метод вариации величин gik (см.
§ 55). Только в этом случае формальные соотношения
становятся понятными. Выше мы уже учли это обстоя-
тельство, используя форму записи, отличную от приме-
нявшейся Ми, который в своих работах 1912 и 1913 г.,
конечно, стоял на почве специальной теории относитель-
ности. Прежде всего, так же как в обыкновенной элек-
тродинамике (см. § 54), система уравнений B03), B08)

§ 64. ТЕОРИЯ МИ 253
сохраняется в любом G-поле. Напротив, уравнения A97)
и D67) заменяются такими:
д*Чдх1 = 0, A97а)
$' - дфл/да?. D67Ь)
Заметим вместе с Вейлем, что теперь «количественные»
величины имеют характер тензорных плотностей, т. е.
умножены на У—g, в то время как «интенсивностные»
величины остаются обыкновенными тензорами. Соотно-
шения D68), D68а) и принцип Гамильтона D69) так-
же сохраняются; последний может, конечно, быть запи-
сан в виде
б J 8 dx = 0. D69а)
Для нахождения тензора ТЛ мы должны только опреде-
лить вариацию функции действия при варьировании G-
поля. Поскольку здесь L не зависит от производных gih,
мы должны, при условии постоянства электромагнитного
поля, просто иметь
и, следовательно,
Если, с другой стороны, в общее выражение
8L = ^ fi?« + Hih8Flh - 25'бфь
вытекающее из D68а), подставить такие частные вариа-
ции переменных поля, которые получаются при бесконеч-
но малых преобразованиях координат, то 8L должно
тождественно обращаться в нуль (см. A63), A64)); та-
ким образом, должно иметь место тождество
что возможно, лишь если выражение в скобках само тож-
дественно равно нулю. Подставляя получающееся отсюда
значение —ihSrh в D70), получаем окончательно
Т\ = HhrFir - в»Ф, - V2b6?, D70а)

254 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Из вывода следует, что соответствующие ковариантные
компоненты 7^ симметричны. Далее, на основании ре-
зультатов § 55 можно сразу заключить, что закон сохра-
нения энергии и импульса, имеющий в отсутствие грави-
тационных нолей вид
а т)
а при налички гравитационных нолей вид
является следствием уравнений поля. Выражение D70)
для тензора энергии-импульса идентично полученному
Ми путем прямого вычисления.
Возвратимся теперь к вопросу о законе движения и
возможности существования материальных частиц.
В обыкновенной электродинамике напряженность элект-
рического поля определяется как сила, действующая на
(покоящийся) единичный заряд. Этот простой смысл на-
пряженности поля в теории Ми внутри материальных
частиц пе сохраняется; напротив, пондеромоторная сила
везде равна пулю. Несмотря на это, практическое значе-
ние полного заряда частицы сохраняется. Действительно,
рассмотрим заряженную элементарную частицу, находя-
щуюся во внешнем поле. Для этого случая из C41)
следует
dx
J T\dxx dx* dx9 = — J (Т\nh )da (к = 1,2, 3)
(nh—единичный вектор в направлении нормали к по-
верхности). Второй интеграл мы будем брать по доста-
точно удаленной от частицы поверхности. Поскольку на
этой поверхности справедлива обыкновенная электроди-
намика, поверхностный интеграл имеет то же значение,
что и в электронной теории, т. е. равен силе Лоренца.
Таким образом, теория Ми дает электродинамическое
обоснование закопа движения B10) для электрона. Одно-
временно мы видим, что масса покоя то материальной
частицы определяется в согласии с законом инертности
энергии выражением
т0 = ^ = - j Т\йхл dx1 dx3. D71)

§ 64. ТЕОРИЯ МИ 255
Для 7*4 нужно подставить выражение, вытекающее из
D70).
Ми считает поле покоящегося электрона статическим
и сферически-симметричным. Последнее предположение,
правда, как показано в предыдущем параграфе, не обос-
новано экспериментально, но принимается ввиду его про-
стоты. Теперь нужно найти решения уравнений поля, ко-
торые везде, и в частности при г = 0 и г = °°, регулярны.
От мировой функции, соответствующей действительности,
мы должны требовать, чтобы для каждого сорта заряжен-
ных частиц она имела только одно такое решение. Миро-
вая функция, удовлетворяющая этому требованию, еще не
найдена. Напротив, обсуждавшиеся до сих пор предполо-
жения о виде L приводят к противоречащему опыту ре-
зультату, о возможности существования элементарных
частиц с произвольным полным зарядом. Отсюда еще, од-
нако, не следует, что электродинамика Ми должна быть
отброшена, так как еще не доказано, что нельзя найти
мировой функции, приводящей к существованию опреде-
ленных элементарных частиц*).
Значительно более серьезную трудность, по-видимо-
му, представляет следующее обстоятельство, отмеченное
еще Ми. Если найдено решение для электростатического
потенциала ср некоторой элементарной частицы, то ф +
+ const уже решением пе будет, так как в уравнения по-
ля Ми входят абсолютные значения потенциалов. Поэто-
му материальные частицы оказываются неспособными к
существованию в постоянном внешнем потенциальном
поле. Это обстоятельство представляется нам очень вес-
ким возражением против теории Ми. В обсуждаемых ни-
же других теориях подобная трудность не возникает.
Следует еще упомянуть попытку Вейля истолковать
на основе теории Ми асимметрию (различие масс) двух
родов электричества (см. примеч. 21). Если L не явля-
ется рациональной функцией У—ф;ф', то можно положить
_ JV2 V + w(+V -Ф*фО при ф4ф» < 0, ф4 > 0;
' ~ \llo_FihFih + w(-V—q>i<pO при ф1ф* < 0, ф4 < 0,
*де w — любая нечетная функция. Тогда уравнения поля
оказываются в статическом случае неинвариантными от-
*) Теории поля тппа теории Ми рассматривались Борном и
Инфельдом, а также Боппом и Подольским [348*].— Примеч. ред.

256 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
носительпо замены <р -*¦ —ф (положительного электриче-
ства отрицательным). Вообще, если L является много-
значной функцией указанных выше инвариантов, то
представляется возможным выбрать в качестве мировых
функций для положительного и отрицательного зарядов
различные однозначные ветви этой функции {см. об этом
еще в § 67).
§ 65. Теория Вей ля *)
В ряде работ Вейль [349] развил чрезвычайно глубо-
кую теорию, в основе которой лежит обобщение рнмапо-
вой геометрии; эта теория пытается свести все происхо-
дящее в физическом мире к явлениям тяготения и элек-
тромагнетизма, а эти последние—к метрике простран-
ства. Поскольку теория Вейля содержит определенные
высказывания о природе элемелтарвых частиц, мы изло-
жим здесь ее основы и полученные до сих пор резуль-
таты.
<х. Чистая геометрия окрестности. Калиб-
ровочная инвариант н ость. Для того чтобы пе-
рейти от евклидовой геометрии к геометрии Римана, мы
предположили в гл. И, что при переносе направления
вектора из точки Р в точку Р' путь перехода между эти-
ми двумя точками пе безразличен. Вейль делает следую-
щий шаг, допуская подобную же зависимость от пути
длины вектора при его переносе. При таком предположе-
нии возможно еще сравнивать длины, измеренные в од-
ной и той же мировой точке, но уже нельзя сравнивать
длины, измеренные в различных мировых точках. В со-
ответствии с этим в теории Вейля измерения позволяют
установить только отношения go, друг к другу, но не са-
ми эти величины. Фиксируя сначала абсолютные значе-
ния gih каким-либо произвольным образом, определим
квадрат длины масштаба выражением
ds2 = gihdx'dxh,
если dx'—разности координат его концов. (Мы будем
говорить здесь и в дальнейшем для краткости о длине
масштабов, но, конечно, в случае, времениподобиого ли-
нейного элемента все сказанное следует относить к пе-
риоду часов.) Если мы перенесем теперь наш масштаб
См. примеч. 22.

§ 65. ТЕОРИЯ ВЕЙЛЯ 257
вдоль определенной кривой x* — x{(t) из точки Р' (t)
в точку P'(t + dt), то квадрат длины его ds2 — I при
этом изменит свое значение. Мы постулируем, что это
изменение происходит всегда на одну и ту же часть пер-
воначального значения I:
D72)
где ф — определенная функция t, не зависящая уже от
I, В качестве второй аксиомы примем, что dqi/dt зависит
лишь от первых производных координат dx'fdt. Так как,
далее, уравнение D72) должно оставаться справедливым
при любом выборе параметра t, то dq/dt должна быть од-
нородной функцией первой степени от dx'/dt. Мы можем
еще уточнить вид этой функции, рассмотрев разъяснен-
ное в § 14 понятие параллельного переноса. Это понятие
было введено в § 14 через посредство двух требований,
из которых одно устанавливает неизменность компонент
вектора при бесконечно малом параллельном переносе в
соответственным образом выбранной системе координат,
тогда как другое устанавливает неизменность длины век-
тора при параллельном переносе. Первое предположение
мы можем сохранить неизменным; оно приводит к выра-
жению F4), определяющему изменение компонент
вектора:
dt ~ Lrs dt S '
где
Второе предположение, очевидно, теряет здесь смысл, так
как два вектора в различных точках уже нельзя срав-
нить по длине. Вместо этого мы должны ввести требова-
ние, чтобы при параллельном переносе длина изменялась
согласно D72):
-at Utts I) - -ji КЫ ) = -g»l I -jj,- D73)
Используя F4), получаем сразу, что величина dq>/dt
должна быть линейной формой dx /dt:
D74)
Только в этом случае, следовательно, возможен парад-

258 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕИПЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
лельный перепое. Далее, учитывая, что
Tt,r, = giA rj. = g"rfctW FC)
получаем
dgirldx' + gir(pB = Г,.,, + Г,.,,. D75)'
Таким образом, коэффициенты связности геометрии Вей-
ля отличаются от соответствующих коэффициентов рима-
новой геометрии. Мы будем всюду выражения для по-
следних, получающихся из первых при ф, = 0, отмечать
звездочкой. Итак, если Г^г,— величины F9), то
Мы установили абсолютные величины gih совершенно
произвольно. Вместо системы величин gik мы могли бы
с тем же успехом применить систему величин kglk, где
Я — произвольная функция точки. Все элементы длины
пришлось бы тогда умножить па К, и вместо ср( мы полу-
чили бы согласно D72) систему величин фг у- =
дх1
= т. — ;. Установление множителя X, калибровки,
т' А. дх1
в геометрии Вейля столь же произвольно, как и выбор
координатной системы в рпмановой геометрии. Так же
как в геометрии Римана мы требовали инвариантности
всех геометрических соотношений и физических законов
относительно любого преобразования координат, в геомет-
рии Вейля мы должны потребовать сверх того еще инва-
риантности их относительно подстановок
gih = hgih, ф4 = tpj ^ —., D77)
г. е. относительно изменений калибровки {калибровочная
инвариантность).
р. Электромагнитное поле и метрика ми-
р а. Из D72) в результате интегрирования получаем
р> / р' \
In I \р' = — [ <fidx\ lP, = ZPexp — f (fidxi . D78)
Если линейная форма фДк' нредстянляет собой полный
дифференциал, то длина вектора не зависит от пути, по
которому он переносится, и мы возвращаемся к римано-

§ 65. ТЕОРИЯ ВЕЙЛЯ 259
вой геометрии. Необходимым и достаточным условием
для этого является равенство нулю выражений
дх дх
В самом деле, в этом случае всегда возможно соответст-
вующим выбором калибровки достичь того, чтобы вектор
ф( был равен нулю. В общем случае, однако, величины
Fih будут отличаться от нуля. Они образуют ковариант-
ные компоненты бивектора, которые, сверх того, остаются
неизменными при изменении калибровки по D77). Они
удовлетворяют, далее, уравнениям
О, D80
^ + ^+^O,
дх1 дх" дх1
вытекающим из D79). Легко видеть, что соотношения
D79), D80) совершенно одинаковы с уравнениями B06),
B03) электронной теории. Аналогия, однако, идет еще
дальше. Если стать (в противоположность утверждениям
теории Ми) на ту точку зрения, что все электромагнит-
ные явления первично обусловлены пространственно-вре-
менным распределением намряженностей полей, потен-
циалы же имеют лишь значение математических вспомо-
гательных величин, то все значения потенциала ф(, при-
водящие к одинаковым напряжениостям поля Fih, будут
физически совершено равнозначными, так что в них всег-
да будет оставаться неопределенным градиент д\р/дх\ Но
мы видели, что то же самое относится к метрическому
вектору ф*. Таким образом, мы приходим вместе с Вей-
лем к отождествлению величин обоих типов: метрический
вектор ф„ определяющий согласно D78) изменение дли-
ны при перенесении, должен (с точностью до произволь-
ного числового множителя) совпадать с электромагнит-
ным ^потенциалом. В теории Эйнштейна гравитацион-
ные эффекты внутренне связаны с поведением масштабов
и часов, так что одно следует однозначно из другого;
в теории Вейля то же имеет место в отношении электро-
магнитных действий. В этом смысле и гравитация,
и электричес1во в теории Вейля являются следствиями
метрики мира.
Эти представления Вейль вынужден, одпако, несколь-
ро видоизменить. Именно, основные положения теории

260 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
непосредственно приводят, как подчеркнул Эйнштейн*),
к выводам, по-видимому, противоречащим опыту. Пред-
ставим себе электростатическое поле, связанное с неко-
торым статическим G-полем. Пространственные компо-
ненты ф( (i —1, 2, 3) тогда исчезают, а временная компо-
нента ф4 = ср. так же как gih, не зависит от времени. Тем
самым калибровка, с точностью до постоянного числово-
го множителя, определена. Применив соотношение D78)
к периоду т покоящихся часов, получим
т = тоеа11", D81)
где а — коэффициент пропорциональности. Смысл этого
уравнения заключается в следующем. Пусть двое идущих
с одинаковой скоростью часов С\, Сг сначала находятся
в точке Pi с электростатическим потенциалом фь Пусть
часы Сч переносятся на время t секунд в точку Рг с по-
тенциалом фг и затем обратно в Р\. Результатом будет то,
что скорость хода часов Съ увеличится или уменьшится
(смотря по знаку а и разности ф2 —q>i) в ехр[—а(фг —
— ф[)?] раз по сравнению со скоростью хода часов С\. Этог
эффект должен был бы особенно проявиться для спект-
ральных линий того или иного определенного вещества,
и спектральных линий определенной частоты вообще не
могло бы существовать. Ибо даже если а мало, различие
с течением времени должно согласно D81) произвольно
возрастать. Вайду этого Вейль принимает следующую
точку зрения. Идеальный процесс конгруэнтного перено-
са мировых отрезков в том виде, как он задается соотно-
шением D72), не имеет ничего общего с реальным пове-
дением масштабов и часов; метрическое поле не опреде-
ляется непосредственно показаниями этих измерительных
приборов. Таким образом, величины gih и ф,-, в противопо-
ложность линейному элементу ds2 теории Эйнштейна,
принципиально не могут быть получены прямыми на-
блюдениями. Это — чрезвычайно большой недостаток. Он
лишает с физической точки зрения теорию Вейля — хотя
она не противоречит прямо опыту — ее внутренней убе-
дительности **). Так, снязь между электромагнетизмом и
метрикой мира оказывается уже не физической, а чисто
*) См, Einstein A. // Bert Bor.— 1918.— S. 478 и следующий за
ним ответ Вепля.
**) Эйнштейн считает, что теория Вейля и при таком понима-
нии не соответствует действителызости [350J.

§ 65. ТЕОРИЯ ВЕЙЛЯ 261
формальной. В самом деле, между электромагнитными
явлениями и поведением масштабов и часов в этом по-
нимании теории уже нет непосредственной связи; такая
связь имеется лишь между электромагнитными явления-
ми и идеальным процессом, математически определенным
как конгруэнтный перенос вектора. Кроме того, связь
между метрикой мира и электрическими явлениями име-
ет под собой лишь формальное, а не физическое основа-
ние, в противоположность связи между метрикой мира
и тяготением, которая имеет в факте равенства инертной
и тяжелой масс надежную эмпирическую опору и явля-
ется необходимым следствием принципа эквивалентности
и специальной теории относительности.
у. Тензорное исчисление в геометрии
В е й л я. Прежде чем перейти к построению законов по-
ля, необходимо кратко изложить формальные правила
составления калибровочно инвариантных уравнений. Оче-
видно, что понятие тензора должно быть в теории Вейля
изменено таким образом, чтобы система уравнений, выра-
жающих равенство нулю всех компонент какого-нибудь
тензора, оставалась инвариантной не только при произ-
вольном преобразовании координат, но епге и при про-
извольном изменении калибровки по D77). А именно,
оказывается целесообразным называть тензорами лишь
такие величины, которые при преобразовании D77) про-
сто умножаются на К", т. е. на некоторую степень X;
е называется весом тензора. Например, gik является тен-
зором веса 1, gik— тензором веса —1, У—g в четырехмер-
ном мире имеет вес 2, величины 1\ь согласно F4) или
D76) абсолютно инвариантны относительно калибровки,
т. е. их вес равен нулю.
Все те операции, в основе которых лежит только по-
нятие параллельного переноса, могут быть, естественно,
сразу перенесены в геометрию Вейля, с той разницей,
что Tlk будут задаваться выражениями F6) и D76)
вместо выражений F6) и F9). И здесь также геодези-
ческие линии могут быть определены требованием, чтобы
касательные к ним оставались всегда параллельными са-
мим себе; они по-прежнему удовлетворяют уравнениям
(80). Уравнения G7а) (щи1 = const) должны быть, од-
нако, по D72), D74) заменены уравнениями
(щ1)

ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Если, в частности, для одной из точек геодезической ли-
нии UiU1 = 0, то пто равенство сохраняет силу повсюду.
На этом основа 1та возможность установления нулевых
геодезических линий. Снойстно геодезических линий быть
кратчайшими в геометрии Вейля отпадает, поскольку по-
нятие длины кривой оказывается в ней лишенным смыс-
ла. Далее, так же как в § 16, при помощи параллельного
переноса вектора вдоль замкнутой кривой мы приходим
к тензору кривизны
nh ij 1Ш , r>h ra vh -pa /np\
jh ~ !bF —о~^ ~ ik'
Написанные здесь компоненты иметот вес 0, а поэтому
вес компонепт Нм--к есть 1. Соотношения симметрии для
тензора кривизны геометрии Вейля, однако, ииыо, чем
для риманоиа, определимого согласно (92). Вейль ис-
следовал его еще подробнее и вычислил выражение (8G)
для тензора кривизны в ямюм виде, подставив соотноше-
ние D76). Так же, как к § 17, и здесь мы можем полу-
чить свернутый тензор кривизны Rih (94), коварпантные
компоненты которого имеют вес 0, а также инвариант R
(95), вес которого parsen —1. Наконец, все операции
§ 19 и 20 сохраняют силу и и тензорном анализе теории
Вейля, если, во-первых, дифференцируемые компоненты
тензоров и тензорных плотностей имеют нулевой вес и,
во-вторых, величины П,;1 как выше, задаются выраже-
ниями F6) и D76). Легко заметить, что для доказатель-
ства большинства высказанных положений совершенно
достаточно знать, что при помощи величин Г^ понятие
параллельного переноса устанавливается по F4) инва-
риантным образом, снязь же с метрическими величинами
gih и ф,- не обязательно должна быть известной. В послед-
них изложениях своей теории Вейлъ особенно подчерки-
вает ото обстоятельство, предпринимая трехступенчатое
построение геометрии. Б нерпой ступени излагаются те
полозкопия, которые сохраняют свою справедливость в
любом многообразии, во второй — соотношения, опира-
ющиеся на понятие параллельного переноса («аффинной
связи» по Вейлю), и, наконец, в третьей ступени — след-
ствия существования обеих метрических фундаменталь-
ных форм: квадратичной gikdx!dxk (тяготение) и линей-
ной tyidx1 (электричество). Соединение обоих этих, разде-
ленных в старых теориях, явлений физики приводит, та-

§ C5. ТЕОРИЯ ВЕПЛЯ 203
кип образом, простым формальным путем к тому, что
иеаичииы gih п ср, фигурируют одновременно в геодези-
ческих компонентах Г'^, а следовательно, л п большин-
ство других уравнении, шшарнантных относительно ка-
Л]]ГфОВКЛ.
Особую важность дли физических применении имеют
видоизменения, которые вносит теория Веилн в сообра-
жения о бесконечно малых координатных преобразовани-
ях и об интегральных инвариантах, изложенные в § 23.
Прежде всего, наряду с бесконечио малыми коордипат-
ными преобразованиями вводятся бесконечно малы» из-
менения калибровки. Для этих последних, но D77), при
л=1 + ел(.г-),
6 (б'* '*); 6ф, - - в -g-
Таким образом, очевидно, что в теории Беиля лишь
скалярные плотности 555 нулевого веса приводят к интег-
ральным инвариантам \3iilx. Соответствующие скаляры
имеют тогда, благодаря множителю V—#, в четырехмер-
ном мл ре нес —2. Скаляры ;>того рода будут поэтому иг-
рать и последующем важную роль. Среди них имеется
четыре составленных рационально из компонент тензора
кривизны*):
7ЯГй*"*, Д«ДД*'Й, ЛЛЯ*. R2. D83)
Входящий в вариационный принцип теории Эйнштейна
инвариант R имеет, напротив, нес —1. Веплъ указывает,
что .что обстоятельство, т. е. тот факт, что соответствую-
щие D83) скалярные плотности имеют нулевой пес, от-
личает четырехмерный мир от метрического .многообра-
зия любого другого числа измерений. В самом деле,
п uTiix последних но существует скалярпьгх плотностей
нулевого веса, построенных столь простым образом.
6. 3 а к о п ы и о л я п в а р и а ц и о и п ы и п р н п-
ц и и. Физические следствия. Мы должны теперь
отыскать кплпбропочно-инкарнантпмс законы природы.
По Венлю все Я1!ленпя природы должшл быть сведены к
электромагнитным и гравнтацпотшм де1'гст:шям. Таким
об]»азом, мы будем иметь дело с 14 независимыми пере-
*) То, что при но донные шшлрнлптм ян/ншпея рдкнетвеппы-
»ш инвариантами этого рода, показывает BuiiiieuGC-к [351].

264 ГЛ, V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
менными ф,, gih, определяющими состояние. Но так как
в добавление к инвариантности относительно преобразо-
вания координат мы должны требовать еще и инвариант-
ности относительно изменения калибровки, то в общем
решении уравнений поля мы будем иметь уже не четыре,
а пять произвольных функций, вследствие чего и среди
14 уравнений поля пять окажутся тождествами. Мы уви-
дим, что, как и в теории Эйнштейна, четыре тождества
выражают закон сохранения энергии-импульса, а пятое
тождество соответствует закону сохранения заряда.
Прежде всего мы должны попытаться сохранить урав-
нения Максвелла — Лоренца и отождествить материаль-
ный тензор энергии с максвелловским, а в уравнениях
Эйнштейна просто заменить тензор кривизны римановой
геометрии таким же тензором геометрии Вейля. Оказы-
вается, однако, что лишь первая из этих двух задач осу-
ществима. Исследуем сначала теорию Максвелла. Первая
система уравнений Максвелла, как легко видеть, выпол-
няется с самого начала. Поскольку напряженности поля
Fiit — нулевого веса, то и контравариантные компоненты
соответствующей тензорной плотности Ъ'к в четырехмер-
ном мире обладают также нулевым весом. Уравнения
поэтому инвариантны относительно изменения калибров-
ки. Уравнения Максвелла остаются неизменными при
замене gih -*- %gik. Теорема Бейтмана, согласно которой
уравнения Максвелла инвариантны относительно кон-
формных преобразований (§ 28), содержится в этом по-
ложении как частный случай. В самом деле, подобное
преобразование переводит обычные значения <54 компо-
непт gik, встречающиеся в специальной теории относи-
тельности, в значения X6,ft. Калибровочная инвариантность
уравнений Максвелла связана с калибровочной инвари-
антностью интеграла действия / = ] 1/iFik%1 dx, из ко-
торого они выводятся. Заметим еще, что и упомянутое
(в § 30, уравнение B23)) как случайное исчезновение
следа максвелловского тензора энергии также вытекает
из калибровочной инвариантности этого интеграла дей-
ствия. Именно, варьирование этого интеграла дает, со-
гласно § 55, если сохранять Fih постоянными,

в Я5. ТЕОРИЯ ВЕИЛЯ 265
Если теперь исследовать условие, требуемое для того
чтобы / оставалось неизменным при бесконечно малом
изменении калибровки Я = 1 + ел (х), то получим по
D82) непосредственно Щ = 0, что и требовалось дока-
зать *).
Совершенно иначе, чем с максвелловской теорией, об-
стоит дело с теорией Эйнштейна. Уже тот закон, согласно
которому мировые линии материальных точек и световых
лучей являются геодезическими, в общем случае не вы-
полняется в теории Вейля. Материальная точка движется
по геодезической линии лишь при отсутствии электромаг-
нитных полей, а для светового луча уравнение геодезиче-
ской линии теряет смысл, так как даже при отсутствии
гравитационных попей члены, содержащие 4-потенциал
ф(, вносят осциллирующие функции того же периода, что
и световое колебание, в уравнение геодезической линии.
Только калибровочно-инвариантное уравнение
gihdx1dxk — О
нулевого конуса остается справедливым для мировых ли-
пий световых лучей. Попытка использовать в теории Вей-
ля уравнения поля теории Эйнштейна, заменив в них
тензор кривизны римановой геометрии более общим вей-
левским тензором, терпит неудачу, потому что в урав-
нении
*) Так как ср( содержится в I лишь в виде инвариантных от-
носительно изменения калибровки Fa,, нет нужды их варьировать.
Изложенный результат допускает интересное применение к тео-
рии тяготения Нордстрёма. Поскольку линейный элемент имеет
в ней, как упоминалось в § 56, вид
из калибровочной аивариаптоости уравнений Максвелла сразу сле-
дует, что эти последние в теории Нордстрсма остаются справедли-
выми в неизменном виде и в гравитационном поле, т. е. что
гравитационные поля не влияют на электромагнитные явления
(например, отсутствует искривление световых лучей). Спра-
ведливо также и обратное: благодаря равенству нулю следа макс-
велловского тензора энергии-импульса в теории Нордстрёма элект-
ромагнитная энергия не порождает гравитационного поля, так как
в уравнения тяготения входит лишь этот скаляр. Согласно изло-
женному выше, и это обстоятельство также имеет формальное
основание в инвариантности макевелловских уравнений относи-
тельно калибровочных преобразований.
18 В. Паули

266 ГЛ. V, ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
левая сторона имеет вес 0, а правая —вес — 1; послед-
нее легко видно на примере максвелловского тензора
энергии. Причина же этого заключается в том, что ин-
теграл действия ] 31 dx, на котором основаны уравнения
поля Эйнштейна, не инвариантен относительно калибров-
ки, ибо подынтегральная величина обладает в нем весом
1 вместо 0. Таким образом, если держаться принципа
калибровочной инвариантности, то нужно отказаться от
уравнений поля Эйнштейна. Последнее замечание ука-
зывает, однако, путь, которым можно прийти к калибро-
вочно-инвариантным уравнениям иоля. Надо установить
вариационный принцип
б j SB dx = 0, D84)
в котором интеграл инвариантен также и относительно
отклонений в калибровке. Вообще, если при варьирова-
нии <р< и got (принимая, что вариации на границах рав-
ны нулю)
б J SB dx = J (гс!6фг -f ®lh8gih) dx, D85)
то уравнения
j>' = 0, SB*-0 D86)
суть законы природы. Отыскивая условия, при которых
j SB dx инвариантно относительно бесконечно малых пре-
образований координат и относительно бесконечно малых
изменений калибровки, мы получим среди этих 14 урав-
нений пять тождеств:
?? + дв!»О; D87)
как и требовалось из соображений причинности. Далее,
из рассмотрения таких вариаций интеграла действия,
которые не исчезают на границе, вытекает возможность
построить из него определенным образом векторную плот-
ность з' и плотность аффинного тензора ©?, тождественно
удовлетворяющие соотношениям
^ D89)

I 65. ТЕОРИЯ ВЕЙЛЯ 267
и не исчезающие в силу D86). Вейль называет поэтому
0! 4-током, © i — компонентами энергии. Мы видим, что
закон сохранения заряда в теории Вейля фигурирует на-
ряду с законом сохранения энергии как формально со-
вершенно ему равноправный. Оба эти закона вытекают
из законов природы, в результате чего среди этих послед-
них оказывается пять необходимых тождеств. Компонен-
ты полной энергии, которые, как и в теории Эйнштейна,
составляют лишь аффинный тензор, т, е. ковариантны
только относительно линейных иреобразоианий, не могут
уже больше быть разложены на две части, зависящие од-
на от тяготения, а другая — от собственно материи; та-
ким образом, в теории Вейля вовсе нет тензора энергии-
импульса материи ?». Нельзя не признать, что вариаци-
онный принцип выражает эти зависимости значительно
более простым и удобообозримым образом. Но мы могли
бы, однако, добавить, что с физической точки зрения от-
нюдь не является само собой разумеющимся, что законы
природы должны выводиться из вариационного принципа.
Гораздо более естественно выводить законы природы из
чисто физических требований, как было сделано в теории
Эйнштейна (см. § 56).
Чтобы прийти к дальнейшим выводам, мы должны
сделать специальные предположения о функции дей-
ствия. Число возможностей здесь, впрочем, не так вели-
ко, как в теории Ми. Именно, тогда как в последней из
любых инвариаптов J\, /2 • • • при помощи произвольной
функции /{/i, h, ¦. ¦) можно было получить новый инва-
риант; здесь это уже невозможно, поскольку инварианты
должны быть веса — 2, чтобы соответствующие им ска-
лярные плотности были нулевого веса. Поэтому, самое
большее, лишь однородная функция первой степени этих
инвариантов может привести к новой допустимой функ-
ции действия. Тем не менее многообразие Допустимых
функций действия все еще остается значительным. Наи-
более естественное предположение заключается в том,
что инварианты действия построены рациональным обра-
зом из компонент кривизны. Согласно сказанному в пунк-
те "f)i функция действия должна для этого являться ли-
нейной комбинацией инвариантов D83)*), Вычисление
*) Вейль [349] считает правдоподобным, что, в частности,
предположение W = lJ^thFik + cRhijhRhi'h соответствует действи-
тельности,
18*

208 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЁННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
приводит тогда сразу к справедливости уравнений Макс-
велла
<?5W = s\ B1 Г)
а также к выражению
Si^kidR/dx' + Ryt) D90)
для четырехмерного тока (R — инвариант кривизны вей-
левской геометрии, к — некоторая постоянная). Для ста-
тического случая отсюда вытекает
Д = const. D91)
В случае наличия зарядов эта постоянная, вообще говоря,
не может равняться нулю. Если предположить, что она
положительна, то положительная кривизна пространства
и, следовательно, замкнутость мира следуют отсюда сами
собой, без всякого добавления в уравнениях гравитаци-
онного поля особого А,-члена. Это обстоятельство пред-
ставляет собой существенное достоинство теории Вейля.
Наконец, что касается уравнений гравитационного поля,
эти последние и в случае отсутствия электромагнитного
ноля (<pi = 0) не совпадают с уравнениями Эйнштейна,
как этого и следовало ожидать ва основании всего изло-
женного выше; порядок этих уравнений выше второго.
Можно, однако, показать, что в единственном практиче-
ски важном случае статического, сферически-симметрич-
ного поля вокруг «материальной точки», т. е. в случае,
с которым приходится иметь дело в задачах о движении
перигелия Меркурия и искривлении световых лучей, гра-
витационное поле D21) теории Эйнштейна является так-
же решением уравнений поля вейлевской теории. Следо-
вательно, обе теории одинаково пригодны для истолкова-
ния движения перигелия Меркурия и искривления
световых лучей в гравитационном поле*).
Остается сказать о выводах теории Вейля, касающихся
проблемы материи. Задача заключается снова в том, что-
бы найти такие статические, сферически-симметричные
решения уравнений поля, которые нигде не являются
сингулярными. От функции действия, которая соответ-
ствует действительности, мы должны снова потребовать,
чтобы она допускала только по одному такому решению
*) Ср. цитированиые работы Вейля [349], а также [352], где
в основу положен вариационный принцип, упомянутый в [349].

§ 66. ТЕОРИЯ ЭЙНШТЕЙНА 269
для каждого из двух видов электричества. В качестве
существенно нового момента сравнительно с теорией Ми
здесь, благодаря замкнутости мира, появляется требова-
ние регулярЕюсти не в бесконечности, а на «экваторе»
мира. Таким образом, мы приходим к тому, чтобы ожи-
дать связи между величиною мира и размерами электро-
на, что, впрочем, может показаться несколько фантастич-
ным. Силы, удерживающие электрон целым, имеют здесь
лишь частично электрическую природу, частично же яв-
ляются гравитационными силами. Однако даже для осо-
бо подробно рассмотренных здесь предположений о функ-
ции действия дифференциальные уравнения настолько
сложны, что интегрирование до сих пор не выполнено.
Кроме того, дифференциальные уравнения эти одинаковы
для обоих родов электричества (ср. § 67), так что дей-
ствительные совершенно асимметричные соотношения, во
всяком случае, передаются ими неверно*) (см. примеч.
21). Резюмируя, можно сказать, что теории Вейля до сих
пор не удалось приблизиться к решению проблемы ма-
терии. Напротив, как подробнее будет разобрано в § 67,
многое говорит за то, что решение проблемы материи
вообще не может быть найдено на этом пути,-
§ 66. Теория Эйнштейна
С совершенно другой точки зрения подошел к вопросу
о природе материальных частиц Эйнштейн. Уравнения
поля D01) и D52) были основаны на предположении о
существовании материального тепзора энергии-импульса,
который удовлетворяет уравнению
^-тг"^ = °- C4da>
Мы хотим сохранить здесь это предположение. Посколь-
ку тензор энергии Максвелла (см. § 54)
S^F^-V^rt B22а)
удовлетворяет уравнению C41а) лишь в пространстве,
лишенном зарядов, в ©{ нужно ввести еще другие чле-
ны. Ми принял, что эти члены—электрического проис-
*) Напомним, что книга написапа до открытия позитрона, и,
таким образом, «антиподом» электрона считается протоп.— При-
меч. ред.

270 ГЛ. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
хождения, т. е. являются функциями Ftk и <р(. Напротип,
Эйнштейн считает, что материальные частицы сохраняют
устойчивость только из-за наличия гравитационных сил,
т. е. что добавочные члены должны зависеть от #л и их
производпых. Хотя максвелловский тензор ©t теперь не
может считаться полным тензором энергии материи и не
удовлетворяет уравнению C41а), Эйнштейн и здесь, как
в § 56, исходит из предположения, что этот максвеллоа-
ский тензор ©? должен быть пропорционален дифферен-
циальному выражению второго порядка, построенному из
одних gih. Это простое предположение является для тео-
рии Эйнштейна решающим. Отсюда следует, с учетом
требования общековариантности (см. § 56), что уравне-
ния поля должны иметь вид: /?«, + cRgik =—к$ш. При-
бавлять сюда еще один член, пропорциональный gih, ока-
зывается излишним. В силу того, что для S^ уравнение
C41а) места не имеет, мы уже не имеем права, как
раньше, положить с = —'/г! напротив, для определения с
существенно другое обстоятельство. Согласно B23) ска-
ляр S\ равен нулю; поэтому, для того чтобы тождествен-
но исчезал также и скаляр левой части уравнений поля,
с должно равняться —'Д и, таким образом, уравнения
поля принимают вид
Да - Vtf*fl = -xSih. D92)
Кроме того, должны оставаться в силе уравнения элект-
ронной теории B03), B08):
Простой подсчет показывает, что B03) и D92) содержат
ровно на четыре независимых уравнения меЕ1ьше, чем не-
известных, как и должно быть в общей теории относи-
тельности. Заметим, что в этом случае уравнения поля
как будто не могут быть получены из принципа действия.
Поскольку дивергенция S(h яа основании B03) и B08)
равна —Ftts\ т. е. равна вектору лоренцевой силы с об-
ратным знаком, а дивергенция Rik — '/г^Д равна нулю,
дивергенция уравнений поля D92) приводит к соотно-
шению

t 6fl. ТЕОРИЯ ЭЙНШТЕЙНА 271
Оно показывает, что в теории, основанной на уравнениях
поля D92), кулоновские силы отталкивания действитель-
но уравновешиваются гравитационным давлением. Если
положить s" = ром\ то, кроме того, имеем
to1 di '
т. е. R остается постоянной на мировой линии некоторого
определенного элемента материи. Согласно D93) в про-
странстве без зарядов dRjdx' = 0 и, следовательно,
Д = const = До. D95)
Внутри материальных частиц R уменьшается от значения
До ко все более и более малым значениям, вплоть до
центра частицы. Величина -тгг-Я согласно D93) пред-
ставляет собой потенциальную энергию гравитационного
взаимодействия, обеспечивающего равновесие частицы.
Мы должны теперь найти тензор энергии-импульса
материи Tih. Для этого тензора уравнение D52), содержа-
щее К-член, должно сохраняться. Согласно D53) здесь в
пространстве без материи До = —4Х. Сравнивая с D95),
находим, что
До — —4А., Х--До/4 D96)
Важнейшим преимуществом новой формулировки явля-
ется то обстоятельство, что постоянная К здесь присут-
ствует не в самом основном законе, а играет роль посто-
янной интегрирования. Уравнения D52) и D92) запи-
шутся теперь соответственно в виде
= -*Та и Gft + 'URgiu = -х5«.
Сравнивая, получаем
Tlh=*Sih + ±{R-RQ)gb. D97)
Вследствие D92) этот тензор удовлетворяет уравнению
D52), а следовательно, также уравнению C41а); кроме
того, он исчезает в пространстве без материи. Поэтому и
с физической точки зрения представляется вполне оправ-
данным называть этот тензор тензором энергии-импульса
Материи. Плотность энергии материи — ?? слагается из
двух положительных частей, связанных соответственно с
йлектромагпитпьщ и гравитационным полями. Легко ви-

272 ГЛ, V. ТЕОГИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
деть, что пространственно-замкнутый мир с постоянной
покоящейся плотностью массы (Т\ = Т\ = Т33 = 0, Т\=
== — ц,ос2) является решением новых уравнений поля.
Все соотношения § 62, $ остаются неизменными. Электро-
магнитный тензор ?'? вычисляется в общем виде из D97)
Si = Т\ - 4J%, D98)
следовательно, в нашем случае,
S\ = S\ = Sl = V4Mo^ S\ = ~^^oc\ D99)
Энергия пространственно-замкнутого мира состоит на три
четверти из энергии электромагнитного поля и на одну
четверть из энергии гравитационного поля. Электромаг-
нитная часть полной энергии в точности равна вычислен-
ной в § 63 для электрона на основе специальных, вовсе
не обязательно выполняющихся предположений.
Если попытаться на основе дифференциальных урав-
нений B03), B06), B08) и D92) определить поле мате-
риальной частицы, то окажется, что в случае статиче-
ских сферически-симметричных решений не хватает
одного уравнения. Согласно развиваемой здесь теории
Эйнштейна любое статическое сферически-симметричное
распределение электричества находится в равновесии. Та-
ким образом, и эта теория, несмотря па удовлетворитель-
ность ее основных положений, не в состоянии решить
проблему материи.
§ 67. Общие замечания о современном состоянии
проблемы материи *)
Каждая из обсуждавшихся теорий имеет свои преиму-
щества, и недостатки. Их общая неудача побуждает нас
тщательно обсудить те недостатки и трудности, которые
являются общими для всех трех теорий.
Целью всех теорий поля является сведение атомизма
электричества к существованию у дифференциальных
уравнений поля дискретного числа везде регулярных
статических сферически-симметричных решений, и при
этом по одному такому рсшепию для положительного и
отрицательного видов электричества. Ясно, что диффе-
ренциальные уравнепия, обладающие такими свойствами,
должны быть исключительно сложными. Нам кажется,
*) См. примеч. 23,

§ 67. О СОВРЕМЕННОМ СОСТОЯНИИ ПРОБЛЕМЫ МАТЕРИИ 273
что это усложнение законов природы само по себе гово-
рит против теорий поля, так как с физической точки
зрения нужно требовать, чтобы простой и фундаменталь-
ный факт атомизма заряда объяснялся теорией просто и
элементарно, а не появлялся в качестве некоего аналити-
ческого фокуса.
Далее, мы видели, что в теориях поля необходимо вво-
дить особые силы, должные уравновесить кулоновские
силы отталкивания внутри элементарных заряженных ча-
стиц. Если принять, что эти силы имеют электрическую
природу, то придется придать абсолютный смысл и элект-
ромагнитному 4-потенциалу, что приведет к указанным
в § 64 затруднениям. Против другой возможности, имен-
но, что устойчивость частиц объясняется действием гра-
витационных сил, в свою очередь говорит следующий
веский эмпирический аргумент. В этом случае нужно бы-
ло бы ожидать, что тяжелая масса и заряд электрона
находятся в простом численном отношении. В действи-
тельности же соответствующая безразмерная величина
е/тпУк (к— обычная гравитационная постоянная) имеет
порядок 1020! (см. также § 59).
От уравнений поля, сверх того, требуется, чтобы они
воспроизводили асимметрию (различие масс) обоих родов
электричества (см. примеч. 21). Между тем, легко ви-
деть, что это противоречило бы в формальном смысле
общей ковариантности этих уравнений [363]. В статиче-
ском случае уравнения поля содержат' в качестве пере-
менных кроме gih (i, к = 1, 2, 3 или г === А; = 4) лишь
электростатический потенциал ср. Одним из специальных
следствий общей ковариантности является то, что диф-
ференциальные уравнения должны быть ковариантными
также и относительно обращения времени ж'4 = —х4. Но
при этом ф переходит в —ср, тогда как gtk остаются неиз-
менными (в нашем случае gn — О для ? = 1, 2, 3). Если,
таким образом, ср, g,h(gu = 0) есть решение уравнения
поля, то и — ср, gik{gii = O) является таким решением, что
противоречит асимметрии обоих родов электричества.
Можно было бы попытаться избежать этого результата,
вводя нерациональные инварианты действия, как это по-
казано в конце § 64. Но тогда, во-первых, уравнения по-
ля становятся еще более сложными, а во-вторых, выбор
однозначной ветви функции действия уже нельзя произ-
вести общековариантным способом, поскольку, например,

274 ГЛ. V, ТЕОРИИ ЗАРЯЖЁННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
о ковариантности относительно поворота времени я'4 =
= —х* в этом случае не может быть речи.
В заключение отметим еще одно отвлеченное сообра-
жение [352]. Теории поля оперируют без всяких оговорок
с обыкновенным понятием напряженности электрического
поля и в случае поля внутри электрона. Напряженность
поля, однако, определена как сила, действующая на проб-
ный заряд, и так как пробных тел, меньших электрона
или протона, не существует, поле внутри частиц пред-
ставляется принципиально не наблюдаемым и, таким об-
разом, физически бессмысленным фиктивным понятием.
Если сопоставить все приведенные аргументы, то ста-
нет ясным, что для удовлетворительного решения пробле-
мы материи основы созданных до сих пор теорий должны
быть дополнепы новыми элементами, чуждыми понятию
непрерывности поля.

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Примечание 1. Кеннеди и Торндайк [359] выполнили важный
эксперимент, который является разновидностью опыта Майкель-
сона и в котором разность длин плеч интерферометра была боль-
шой. Отрицательный результат этого эксперимента исключает воз-
можность того, что время прохождения светом любого замкнутого
пути в лаборатории на Земле зависит от скорости движения Землп.
Теоретический анализ этого эксперимента можно найти в статье
Робертсона [360].
Примечание 2. Опыт Майкельсона для света от небесных ис-
точников (Солнца и звезд) был выполнен Томашеком [361]. Он
дал отрицательный результат.
Примечание 3. Поганы [364] повторил опыты Гарреса и Санья-
ка. Был также выполнен оптический эксперимент с целью обна-
ружить вращение Земли [365].
Примечание 4. Эффект Доплера второго порядка был действи-
тельно обнаружен на опыте путем сравнения среднеарифметиче-
ского сдвига частоты для двух световых пучков, движущихся
точно в противоположных направлениях с частотой света, излу-
ченного покоящимися атомами. Этот опыт был выполнен Ивесом
и Стилвелом [366] и повторен Оттингом [367]. Причем предсказа-
ние специальной теории относительности подтвердилось с большой
точностью. (Таким образом, экспериментально опровергнуто пред-
положение Абрагама, о котором упоминалось выше.)
Зависимость времени жизни распадающихся мезонов от их
энергии может использоваться как хороший метод для проверки
эффекта замедления времени специальной теории относительно-
сти. Теория предсказывает, что время жизни должно быть пропор-
ционально энергии частиц, определенной по соответствующим ре-
лятивистским формулам (см. | 37). Качественно это предсказание
проверено как в яксперимевтах с космическими лучами (см., на-
пример, [368]), так п в экспериментах с искусственно получен-
ными мезонами (в опыте Дурбпна, Лоара и Хэвепса [369] было
измерено время жизни я-мвзона с энергией 73 МэВ, для которого
коэффициент замедления времени порядка 1,5, и было показано,
что с 10 %-пой погрешностью подтверждается теоретическое пред-
сказание для этого коэффициента). Однако в настоящее время точ-
ность этих экспериментов еще недостаточно высока, поскольку до
сих пор не проводились специальные эксперименты, единствен-

276 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
ной целью которых была бы проверка теоретических формул для
замедления времени*).
Примечание 5. Ввсдеппая нами терминология не привилась в
литературе. В настоящее время читателю совсем непривычпо, на-
пример, что ранг (iiiTeiHOpa отличен от числа его тензорных ин-
дексов. В частности, хоти у тензора кривизна четыре индекса, мы
его называем битензором второго ранга.
Примечание 6. Имеется логическая возможность отказаться от
всякой связи между связностью Tlih и метрикой пространства go,.
В этом случае постулируют следующий закон преобразования для
«псевдотензорного поля*:
WI дхг дх'
дхч дх'к V дх* " дхгдх',
Эх'
который совпадает с требованием общей ковариантности для оп-
ределения F4) параллельного переноса контравариантпых
векторов.
Вместо условия F7), содержащего метрику явным образом,
необходимо теперь постулировать инвариантность скалярного про-
изведения о'6( контравариантного вектора а' и ковариаптпого век-
тора bi при параллельном переносе. Из условия
ИH
для ковариантных векторов мы получаем из F4) следующий эа-
кон переноса:
db. jr'
-Л = Г" — Ъг. B)
Описанное выгпе обобщение ретмановой геометрии называют
аффинной геометрией: соответствующий параллельный перенос
векторов называют аффлняой связностью, а пространство, в ко-
тором этот перенос определен,— пространством аффинной
связности.
На первый взгляд кажется естественным сохранить требова-
ние F5) симметрии Г по нижним индексам, поскольку антисиммет-
ричная часть Ilik образует некоторый новый объект, который, как
видно из приведенного закона преобразования A), является уже
настоящим тензором. Преобразованием координат можно обратить
в нуль в данной точке только симметричную часть T\h. Позднее
*) Проверка с точностью до 2 % увеличения времени в слу-
чае с A — у2/с2)/2 « 12 п накопительном кольце выполнена в ра-
боте [370*] (см. также [371*]). О современном состоянии экспе-
риментальной проверки специальной теории относительности см,
[11.16*].— Примеч. ред.

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 277
(в примоч. 23) мы, однако, рассмотрим также и несимметричные
Tik, в связи с вопросом о применении в физике аффинной гео-
метрии. В примеч. 7 мы ограничимся рассмотрением только сим-
метричпых r|ft.
Примечание 7. в. Ковариантное дифференцирова-
ние в пространстве аффинной связности. (Стан-
дартное изложение этого материала можно найти, например, в кни-
ге Схоутева [372].)
Как уже упоминалось, используя только связность r'ft = Tlhi
без всякой метрики, можно однозначно определить ковариантное
дифференцирование Риччи и Леви-Чивиты. Обозначим ковариант-
ное дифференцирование точкой с запятой (что слегка отличается
от обозначений, принятых в основном тексте), так что, например
(см. A48а) и A48Ь)),
dbi
Постулируем для коиариантного дифференцирования следующие
правила действия на скаляр с и па произведение тензоров (в част-
пости, допускаются и свертки):
дс
C)
(<>^Ь = бС*С + СС;й- D)
Эти правила аналогичны правилам действия обычной производной
на произведение. Используя эти правила, нетрудно получить со-
отношения A) и B) одно из другого, так как
и члены, содержащие Г, выпадают. Более того, общая формула
A52), приведенная в основном тексте для ковариантной производ-
ной от тензора, находится в соответствии с соотношением D) и
вытекает из него, если дополнительно предположить, что выполня-
ются соотношения A), C) или B), C).
Нетрудно распространить определение параллельного перено-
са на случай тензорных полей. Условие инвариантности тензорпо-
ного поля а " при параллельном переносе вдоль данной кривой
записывается в виде
С;г^ = °- E)
at
Если а'\ не определено вне кривой, то в формуле E) следует
заменить
Sa"\ dxr da"
На '
дхг ^ dt

278 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
При такой замене определение {5) годится и для случая, когда
а"^ задано только на выбранной кривой.
Заметим далее, что определение A52) согласуется с тем, что
ковариантная производная от тензора, компоненты которого равны
6-символу Кронекера, обращается в нуль.
Применяя правило D) для вычисления ковариаптной произ-
водной от детерминанта D — del \ащ\ тензора второго ранга аа
(который преобразуется так же, как g), получаем
и, следовательно,
дхп с
Исполы^уя это равенство и формулу C), для скалярной плотности
Щ = aiD имоом
Для дивергенции от векторной плотности Г-символы выпадают,
и мы получим
Ь. Тензор кривизны в пространстве аффинпой
связности. Поскольку выражение (86) для тензора кривизны
nh vl \j l ift , vh ra -ntt ipos П\
ijk "dJ ~ U + Ы i} ~ Ja ik' ()
приведенное в § 16, не содержит метрики, его легко перенести па
случай пространства аффинной связности. Этот тензор по-прежие-
му обладает свойствами симметрии
Одпако теперь уже нельзя опустить первый индекс, п поэтому
нет аналога свойства (92) антисимметрии по первой парс индек-
сов Вы iii-
Вследствие этого свернутый тензор кривизны, который по ана-
логии с (93) и (94) определяется как
Rih = П iah = ~^- - —?¦ + Гга Гй|3 - riftrSp- Gb)
не является симметричным и его можно разложить на две непри-

ПРИМЕЧАНИЯ В, ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 279
водимые составляющие — симметричную и антисимметричную!
Rih = R%h + RW
{мы использовали здесь условие симметричности Г F5)) и
Антисимметричная часть удовлетворяет тождеству
dRik dRH dRkl
_J*+ "+ У.о. A0)
&' 5ft 5{
Поскольку для вариационного принципа важно иметь скалярную
плотность (см. § 23), мы заметим вдесь, что простейшей скаляр-
ной плотностью, которую можно построить из тензора кривизны
алгебраически (без использования производных), является
3= V|det|%Tf. (H)
Это очевидно, потому что для построения инвариантного элемента
объема можно использовать любой симметричный тензор второго
ранга, точно так же, как это делавтря для метрического тензора.
Можно следующим образом определить соответствующий тея-
вор с верхними индексами:
и использовать его затем для поднятия индексов у Л.д!
Простейший инвариант имеет йид
Используя A1) и A4), можно построить скалярную плотносты
«\«u\\- A5)
Здесь a — произвольный параметр. Эта скалярная плотность со«
стоит из двух выражений, сложенных друг с другом, чего так стре.
мятся избежать авторы, разрабатывающие единые теории {см. при-
меч. 23). (Можно по аналогии о тем, как это сделано в примеч. 20,
построить третий инвариант.)
с. Тождество Бианки. Для получения дифференциаль.
ных тождеств Бианки, которые имеют место как в римановом про,
странстве, так и в более общем пространстве аффинной связности,

280 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
удобно начать со следующего равенства:
приведенного в основпом тексте.
Из этого равенства можно получить для произвольного тензо-
ра второго ранга Sat выражение
Slh',l\m~Sih;mU ~ ~ \R hlmSih~*>~ R UmShk)'
Это очевидно для тепзора 5^ специального вида Sik = сцЪн- Ис-
пользуя линейность, можно показать, что оно справедливо для лю-
бой линейной комбинации таких тензоров, а следовательно, и для
тензора общего вида.
Подставляя в A7) тензор 8и = сц,\ и складывая равенства,
полученные из исходного циклической перестановкой индексов
к, I, т, можно с учетом Gа) получить
(ai;h\r,m — ai\V,h\m) + (ai;l\m\h ~ ai\m\V,k) +
A8)
С другой стороны, ковариантпо дифференцируя A6) и затем скла-
дывая равенства, полученные циклической перестановкой к, I, т,
находим
(ai;k]V,m — ai;v,h\m) + {ai;i;m;h ~~ al\m\i\h) +
+ (а1жы ~ av,h\m;i) = - (Rhiimah;h + R\hiah;m +
Левые части A8) и A9) совпадают. Совпадает также и правая
часть A8) с выражением в первых круглых скобках в правой ча-
сти A9) (если пе обращать внимания на порядок члепов). Поэто-
му для произвольного векторного поля должно обращаться в нуль
выражение, стоящее во вторых круглых скобках в правой части
A9). Таким образом, приходим к известным тождествам Биаики
Сверткой h «= к — а получаем из них
Bil;m — Rim;l + Railm\o. = °>
или, изменяя обозначение индексов,
d. Случай риманова пространства. Для риманова
пространства можно согласовать метрику и аффинную связность
с помощью следующего естественного постулата: метрика #<»(*)
инвариантна относительно параллельного переноса вдоль любой
кривой. Из этого требования с помощью E) немедленно получаем
**:, = <>, B2)

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПЛУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 281
пли
Последнее равенство в еяду F6) совпадает с F8). Соотношение
F9) для Г<, „ вытекает из вего, если только Г-символы с;т\т-
метричны.
Условие B2) можно переписать в виде
Лг = °- B2а)
совпадающем с G1) основного текста. С помощью этих формул
можно поднимать и опускать ивдексы у тензора под знаком кова-
риантной производной. Если, как обычно,
at •= girar; a' = giraT,
ТО
ei;ft = ^y;ft; «^А* B3)
Заметим, что равенство F7) основного текста также эквивалентно
B2). Используя равенства C), D) и соотношение F4) основного
текста, получаем
Для метрического тензора кривизны, построенного из Г^;, опреде-
ленных равенствами F6) и F9), нетрудно доказать остальные
свойства симметрии:
Raim = -Rkiim B4)
или
Для этого достаточно подставить ga вместо Sa в общее соот-
ношение A7). Поскольку в силу B2) обращается в нуль левая
часть полученного соотношения, то и правая часть, совпадающая
с B4а), должна обращаться в нуль.
В § 16 было показано, что вследствие B4) свернутый тензор
кривизны /?а симметричен, что означает обращение в нуль анти-
симметричной части /?^. Именно это позволяет в случае метри-
ческого пространства однозначным образом строить инварианты из
тензора кривизны {см. формулу A13)).
Получим, наконец, из соотношения B1), вытекающего из тож-
деств Бианки, равенства A82а), A82Ь) для тензора (см. A09))
GiK = Я<»
Эти равенства записываются в виде
Gi\k-G\.h = 0. B5)
Для этого умножим B1) на ghh и затем свернем по индексам к и
19 в. Паули

282 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Л. Используя B3) и ghhttahih (см. (93)), имеем
или
что совпадает с B5). Важность того обстоятельства, что четыре
соотношения B5), столь существенные для общей теории относи-
тельности, так просто связаны с тождествами Бианки, было отме-
чено Эйнштейном в его более поздней работе.
Примечание 8. Метод Палатини состоит в следующем: прежде
всего он обращает внимание на то, что хотя Г^ь не являются тен-
зорами, вариации 6Т[Й этих величин согласно G1) образуют тен-
зор. Используя формулу (94) для /?**, можно получить
Это сразу можно увидеть в геодезических координатах, в которых
в одной выбранной точке величины Г обращаются в нуль, хотя
их производные в этой точке, вообще говоря, отличны от нуля.
А поскольку обе части уравнения имеют тензорный характер, то
это равенство будет справедливо и в произвольной системе ко-
ординат.
Используя правило ковариантного дифференцирования про-
изведения, имеем
Первый член представляет собой ковариантную дивергенцию, и,
следовательно, согласно уравнению Fа), примеч. 7, после интег-
рирования по объему сводится к поверхностному интегралу. По-
следний равен нулю, поскольку вариации Г исчезают на границе.
Поэтому имеем
j V~g gik6Bik dx = J [(Y~g s'% -
— W~S gis);s 6*] 5Vik dx -f Г (по поверхности). B)
Используя
получаем
б J" ffl dx = j ®.k68ih dx-\-j [{V~g gih);r -
— i.V—~g SU);S б?] 6Г[Ь dx -f Г (по поверхности). C)
До сих пор мы нигде ие использовали обращение в нуль коварп-
антной производной метрического тензора (см. уравнения B2) и
B3), примеч. 7). Если воспользоваться этим условием, то второй

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 283
интеграл в правой части обращается в нуль, и мы приходим к
формуле A80) (с. 101). Используя этот метод, предложенный Па-
латина, можно модифицировать вариационпый принцип (см. § 57)
и рассматривать 10 функций gik и 40 функций Г[й в качестве
независимых переменных действия [373].
В том случае, когда подынтегральное выражение ?И части
действия, отвечающей за материю (ем. выражение D04)), не со-
держит явно величин Trlh, при варьировании TTih согласно C)
имеем
(V=l?*tt)ir-<V=1 **%«*=о,
откуда сразу вытекает, что glh.<r — 0. Таким образом, эти уравне-
ния, наряду с уравнением D01) для гравитационного поля, входят
и состав полевых уравнений, вытекающих из вариационного
принципа.
Условие независимости от Trik части ?Я интеграла действия
очевидным образом выполняется для электромагнитного поля в от-
сутствие электрических токов (см. A72)). В общем случае, одна-
ко, возникают определенные ограничения на применимость кон-
цепции классического поля, и указанное выше условие вовсе не
кажется тривиальным. В частности, случай, когда Ш1 содержит спи-
Норные поля, требует более впимательного рассмотрения.
В римаповом пространстве представляется более простым и
естественным с самого начала предполагать выполнение равенств
Sik-.r = ° пли 8% = °
и рассматривать вариационный принцип, в котором 10 функций
gik(x) являются единственными независимыми переменными.
Об использовании метода Палатини в уравнениях Эйнштейна
см. примеч. 22.
Примечание 8а. Равенство A84)
становится очевидным, если воспользоваться соотношением
впервые полученным П. Фрейдом [374], Здесь S3 — аптисимметрич-
ная по к и I величина
©f+©!ft==0. (Ill)
(Для выражения, обозначенного в нашей кпиге как — (uj -j-
j), Фрейд использовал обозначение llf = и (if + Т\) "J/ — g,
hi
„hi
поэтому его величина U? имеет знак, противоположный по срав-
нению с принятым у нас знаком S^.) Он также получил для
19»

284 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
аффинной тензорной плотности Э^ выражение
( ^ ( )]. A)
Результаты Фрейда можно также вывести, используя обобщение
формулы A81) для вариации i S4 cJa; и произвольных функций %*,
при этом следует учесть вклад поверхностного интеграла A77).
После некоторых преобразований, используя A82а), получаем
Jя dx=2 J Ь [ к+®i) ^ - ®г 5
где
Обращение в нуль подынтегрального выражения B) для произ-
вольных функций %' приводит к тождествам (I), (II) и (III), в
то время как выражение C) совпадает с выражением (I) Фрейда.
Равенство (II) полезно, поскольку оно позволяет выразить ип-
тегралы по объему от полной энергии и импульса в виде потока
через поверхность.
Примечание 9. В настоящее время во всех экспериментах с
частицами высоких энергий, будь то космические лучи или заря-
женные частицы, ускоряемые до высоких энергий в ускорителях
(циклотропах, бетатронах и т. п.), релятивистский закон зависи-
мости эпергии и импульса от скорости принимается как нечто са-
мо собой разумеющееся. Для расчета орбит частиц в ускорителях
также важно использовать соответствующие релятивистские фор-
мулы, предсказание которых всегда согласуется с экспериментом.
Специальный эксперимент для проверки релятивистской формулы
зависимости массы электрона от скорости при v — 0,8 с был вы-
полнен Роджерсами и Мак-Рейнольдсом [375].
Примечание 10. Здесь имеется историческая неточность. Ука-
занный вариационный принцип был известен уже Лармору [376].
Примечание 11. Лауэ [380] показал, что при феноменологиче-
ском описании движущихся тел (а также для покоящихся кри-
сталлов) правильным является только несимметричный тензор
энергии-импульса, предложенный Минковским. Им подчеркивает-
ся также, что теорема сложения лучевых скоростей (ср. с C12))
согласуется только с этим выбором тензора энергии импульса *).
*) Этот вопрос обсуждался в дальнейшем, причем выяснилось,
что более правильным является симметричный тензор энергии-
импульса Абрагама, хотя в определенпых условиях можно поль-
зоваться и тензором Мпнковского. Более подробно об этом см.
[II.4*, гл. 13, 11.10*, 381*—383*]. Вся проблематика, связанная с
вопросом о пондеромоторной силе в среде, затрагиваемым, в част-
ности, в п. 3 па с. 153, рассмотрена в статье Бревика [384*].—
Примеч. ред.

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 285
Примечание 12. Рассмотрение Льюиса и Толмеаа существен-
но упрощается в системе центра масс сталкивающихся сфер.
Примечание 13. Весьма впечатляющим примером, иллюстри-
рующим эквивалентность массы и энергии, является излучение
при анпигиляции электрона и позитрона, где полная масса пре-
образуется в энергию. (Относительно измерения длины волны из-
лучаемых фотонов см. [387].)
Первое количественное подтверждение балавса массы-энергии
в ядерных реакциях было получено Коккрофтом и Уолтоном [388]
в реакции, при которой пара а-частиц возникала при бомбарди-
ровке 7Li протонами.
В настоящее время эквивалентность массы и эпоргии (пнерт-
ность энергии), постулированная Эйнштейном, является одним из
наиболее установленных фактов, лежащих в основе ядерной фи-
аики. Эта эквивалептпость дает возможность интерпретировать аиа-
чения масс фундаментальных частиц как собственные значения
оператора эпергии.
Примечание 14. Хотя за прошедшее время из-за различных
мешающих эффектов не удалось добиться прогресса в обнаруже-
нии красного смещения спектральных линий на Солнце, имеется
хорошее согласие между теорией и экспериментом для красного
смещения линий спектра излучения спутника Сириуса. Это сме-
щение примерно в 30 раз больше, чем на Солнце, вследствие край-
не высокой плотности этой звезды. Более детально об атом см.
Proceedings of the Congress «Jubile of Theory of Relative»,—
Berne, 1955.
Примечание 15. Тот факт, что закон еохрапения энергии-им-
пульса C41а) для материи (в том числе и для электромагнитного
поля) является следствием одних лишь гравитационных уравне-
ний, заставляет ожидать, что уравнения движения материальных
частиц (которые феноменологически можно описать тенаором
энергин-импульса Вц, — см. C22)) тоже должны следовать без
каких-либо дальнейших предположений из уравнений для грави-
тациопного поля.
То, что это действительно так, было доказано в серии работ
Эйнштейна с сотрудниками и, позднее, Инфельдом с сотрудника-
ми [389—395] (см. также Bergmann P. G. Introduction of the Theory
of Relativity.—New York, 1942, ch. XV). Они рассмотрели,
в частпости, точечную сингулярность (мировую линию сингуляр-
ности в четырехмерном пространстве-времени) во внешнем поле
и показали, что как следствие условия обращения в нуль кова-
риаптной дивергенции Go, существование сингулярности метрики
на мировой линии, вне которой справедливы уравнения Gj*. = 0
(или Rn, — 0), возможно только тогда, когда эта линия является
геодезической.
Для доказательства этого использовались различные методы
приближения. Наиболее удобным является разложение по степе-
ням с~2, что соответствует разложению по числу производных по
времени (квазистатические поля, ср. § 58, а). Другой метод состо-
ит в переходе к пределу бесконечпо малого значения массы проб-
ного тела. Этот метод, применяемый Инфелъдом и Шильдом, го-
дится и для случая быстропеременных полей.
Этот результат означает, в частности, что не существует ре-
шений уравнений гравитации, соответствующих случаю, когда две
точечные массы покоятся, Имеются, однако, статические решения,

?86 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
в которых метрика сипгулярва па лпппи, соединяющей две точка
в пространстве. Эта сингулярность соответствует одноморпому рас-
пределению плотности вещества.
Аналогичным образом можно показать, что из одних только
уравнений гравитации следует, что электрически заряженная то-
чечная масса движется в соответствии с законом движения пря
наличии силы B16) (см. уравнение B25а)).
Я хочу подчеркнуть, что хотя способ представления вещества
с помощью точечной сингулярности может иметь формальный ма-
тематический интерес и оказаться полезным в приложениях, тем
не менее при исследовании вопроса об уравнениях движения в
общей теории относительности он не является определяющим.
Можно ввести формально тензор энергии-импульса T{h вещества в
полевые уравнения D01), не предполагая, что он выражается че-
рез другие величины, а просто для описания малой, но конечной
области пространства-времени, в которой правая часть этих урав-
нений отлична от нуля (см., налример, в книге Вейля [396] § 38,
а также в книге Фока [397]). Тогда вытекающее из них уравне-
ние дивергенции C41а) можно использовать для исследования
движения центра масс этой области во многом аналогично тому,
как это делалось при выводе движения сингулярностей. Этим спо-
собом Ху [398] исследовал малую силу радиационного трения,
возникающую при излучении гравитационных волн. Хотя эта сила
при разложении по с~2 возникает только в очень высоком, прак-
тически недоступном для наблюдений порядке, она представляет
фундаментальный интерес, поскольку в этом порядке почти не-
возможно провести резкое различие между внешним полем и са-
модействием вещества.
Примечание 16*). Большинство специалистов считает, что наи-
лучшее определение отклонения света Солнцем по-прежнему при-
надлежит Кэмпбеллу и Трумплеру (из Ликской обсерватории),
оно находится в хорошем соответствии с теоретическим значением
(см. доклад Трумплера и его обсуждение в трудах конгресса, по-
священного юбилею теории относительности в Берне, 1955 г.).
Примечание 17. Интересен и не разрешен вопрос о том, су-
ществуют ли точные решения вакуумных уравнений Rtk = 0, всю-
ду регулярные и на оесконечностп трехмерного пространства име-
ющие асимптотику, совпадающую с элементом длины специальной
теории относительности. Доказано (см. следующее примечание),
что нет статических или стационарных решений такого рода, од-
нако можно было бы ожидать существования таких зависящих от
времени решений, которые соответствовали бы стоячим гравита-
ционным волнам (например, сферическим). Легко видеть, что для
плоских волн таких решений нет. Эйнштейн и Розен построили
для цилиндрических волн точное решение [406], однако оно не
обладает свойством асимптотической евклидовости на пространст-
венной бесконечности.
Желательно было бы решить эту довольно общую математи-
ческую проблему о существовании подобных точных решений. Ес-
ли только такие решения существуют, то представляется невоз-
можным сформулировать принцип Маха в такой форме, чтобы он
являлся следствием релятивистских полевых уравнений. Во вся-
*) См. примеч. ред. к с. 218.

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 287
ком случае, в связи с новыми результатами, полученвыми в по-
следнее время при исследовании космологической проблемы (см.
примеч. 19), следует вновь рассмотреть этот принцип.
Примечание 18. После того как Серипи доказал невозможность
существования статических регулярных решений вакуумных по-
левых уравнений Ru = 0, возник аналогичный вопрос относитель-
но решений, у которых gM {а = 1, 2, 3) отличны от нуля, но тоже
не зависят от времени. Первый шаг па пути доказательства несу-
ществования этих более общих (стационарных) решений был сде-
лан в работе Эйнштейна и Паули [407]. Они показали, что если
такое решепие существует, то его отклонение от метрики Минков-
ского на больших расстояниях г должно убывать быстрее, чем г.
(Старый метод, принадлежащий Серини, приведен в приложении
к этой работе.)
Это ограничение преодолел Лихнерович [408, 409], который
доказал в самом общем виде, что отсутствуют стационарные ре-
шения уравнений Да = 0, которые на бесконечности стремятся
к метрике Минковского. Как и Серини, он показывает, что обраща-
ются в нуль некоторые интегралы от положительно определенно-
го выражения.
Примечание 19. Космологическая проблема. С момента перво-
го издания этой книги в теорию был сделан новый важный вклад.
Фридман [410] нашел новые решения уравнений поля Эйнштейна,
описывающие пространственно-однородный мир с метрикой, зави-
сящей от времени. Эти решения существуют также в отсутствие
космологического члена Эйнштейна (—'kgib в уравнении D52)) во
всех трех случаях — положительной, равной нулю и отрицатель-
ной постоянной кривизны трехмерного пространства. Эти решепия
для реальной Вселенной впервые применил Леметр [411]. Он по-
казал также, что статическое решение Эйнштейна неустойчиво по
отношению к зависящим от времени изменениям шютности ве-
щества. Приложение этих решений к реальной Вселенной окала-
лось возможным после того, как Хаббл открыл красное смещение
спектральных линий излучения тумаввостей, пропорциопальпое
расстоянию до туманностей. Красное смещение можно удовлетно-
рительно интерпретировать лишь как сдвпг Доплера, обусловлен-
ный движением туманностей в смысле расширения Вселенной кап
целого.
Узнав об этой новой возможности, Эйнштейн [412] полностью
отказался от космологического члена, считая его излишним и бо-
лев но оправданным *). Я целиком присоединяюсь к точке арепия
Эйнштейна**).
•) О Я-члене см. также [II.7*, гл. 4]. Заметим, что тензор
анергии-импульса вещества с уравнением состояния р =» —и име-
ет формально тот же вид 7\,v = ug^, что и выражения для Х-чло-
на. Такой вид, например, имеет тензор энергии-импульса нулевых
колебаний вакуума. Уравнение состояния р •=• —и естественным
образом возникает при фазовых переходах в современных единых
теориях электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.—
Примеч. ред.
**) В связи с нижеследующим см. монографии Толмена, Лауэ
и Иордана, приведенные в разделе литературы II. Учебники и мо-
нографии.

288 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Фридман выбрал следующую форму для метрики:
ds2 = R2 (t) do2 — dx\, xi=ct, A)
где da — не зависящий от времени трехмерный элемент длины,
соответствующий пространству с постоянной кривизной е, кото-
рую можно нормировать так, чтобы она была равна +1, 0 или —1;
тогда при е ф 0 единицей измерения х1, х2, х4 будет радиус кри-
визны R(t). Масштаб времени определяется выбором #44 = —1 в
уравнении A); координаты х" (а = 1, 2, 3) являются постоянными
для вещества, движущегося вместе с расширяющимся пространст-
вом. Пространственную часть da2 = fa& X dxadxb. (а, 6 = 1, 2, 3)
можно взять в виде
Для свернутого тензора кривизны Раь, относящегося к da2, мы
получаем Раъ = — ^Щаь (согласно A17), поскольку п = 3). Из
уравнения для геодезических линий следует*), что для материаль-
ной частицы
\p\-R = const, C)
где р = mv(l — i>2/c2)~1/2— импульс частицы.
Если ввести длину волны де Бройля X = hfp, то соотношение
C) можно записать в виде
ЯД = const. (За)
Последнее соотношение справедливо также для света (фотонов).
Если масштаб времени определен линейным элементом, квадрат
которого имеет вид A) с #44 = —1, то скорость света постоянна,
и частота света в этом масштабе времени удовлетворяет соотно-
шению
vR = const, Cb)
На это обстоятельство указал Лауэ [413], который не пользовался
какими-либо кваптовыми понятиями, а лишь отметил, что в си-
лу конформной инвариантности уравнений Максвелла частота v',
соответствующая линейному элементу ds2 = R2(t') (da2 — c2dt'2), не
должна зависеть от времени.
Пусть (г — плотность массы, и = цс2 — соответствующая плот-
ность энергии, р — давление, причем вир зависят от времени,
но одинаковы во всех точках пространства. Тогда для компонент
тензора энергии-импульса Га получаем (а, Ъ = 1, 2, 3)
Т« = и, Ты = 0, Tab = рел = pR2lab. D)
*) См. монографии, цитируемые выше. Можно рассмотреть
частный случай х3 = х3 = 0, х1 = г, da = dr[\ + (e/4)r2]-'/2. Для
частицы с массой покоя, отличной от нуля, v = R dajdt.

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 289
Следовательно,
Т = -и + Зр,
T44-1/2g44T=I/2(tt+3p), E)
Tab — 'hgabT = 7г(и — p)gab.
Вычисление компонент тензора Rik приводит к следующим резуль-
татам (точка означает дифференцирование по х4 = ct):
Л44 = 7Г' Л4а=°- Rab = ~ УаЬ Bе + ^ + ™)- F)
Уравнения поля без космологического Я,-члена в виде D01а)
позволяют получить
3-д =- у(и + 3р),
2е -f 2Л2 -f Дй =  Л2 (u — J3),
ИЛИ
3 д3 Я", ^г'<:Р- (8)
Закон сохранения энергии-импульса (равенство нулю ковариаят-
пой дивергенции Ttk) при i = 4 (остальные три уравпония выпол-
няются тождественно) даст соотношение
ЗЛ
ч+1Г(и + р) = 0, (9)
что также следует непосредственно нз G) или (8). "Уравнение (9)
можно, кроме того, записать в виде
d(u№) + pd(R3) = 0, (9а)
что выражает постоянство энтропии для некоторого объема ве-
щества.
Если в «объеме содержатся только частицы е массой, то
р = 0, и№ = const = 'М, (9Ь)
если только фотоны, то
р = '/з», uRA = const. (9c)
Практически представляет иптерес, по-видимому, только случай
р = о, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Подстановка
(9Ь) в первое из соотношений (8) приводит ц

290 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
е. A0)
Последнее соотношение нетрудно проинтегрировать. Например,
при кривизне, равной нулю, полупаем
е = 0,
Отсюда следует, что постоянная Хаббла равна
1 Я 1 Д/кЛ 2 1
или
t-te-V.fe-V^-1. A3)
В этом решении момент времени to отвечает точке Я = 0, и = оо,
где исходные предположения модели уже не верны. Теоретически
невозможно продлить это решение в прошлое далее момента (о.
в котором состояние вещества характеризуется огромной плот-
ностью, и в этом смысле время t — to можно интерпретировать как
возраст Вселенной.
Остальные случаи е = -j- 1 и е = —1 читатель найдет в ци-
тируемых на с. 287 монографиях и в [412]. Если величину Я =
= 1/(н по-прежнему определять равепством A2) и Я = 0 при
t = tg, то для «возраста Вселенной» t — Ц можно найти следующие
неравенства:
t—h< 2/з«н при е = +1, A3а)
t — to>V3tH при е = — 1. A3Ь)
В последнем случае протяженность времени t-~t0 ограничена при
данном ts также возможными значениями Я/хА.
Нижнюю границу для t — t0 дает возраст земной коры, кото-
рый составляет около 3-Ю9 лет. Одно время казалось, что сущест-
вует некоторое расхождение между возрастом Вселенной и изме-
ренным значением постоянвой Хаббла; оцевка для возраста Псе-
ленной оказывалась слишком низкой в цитируемых выше работах
Эйнштейна и Иордана. Недавно астрономы получили, однако, не-
сколько меньшео значение постоянной Хаббла*) [414]:
tH = ЦН = E,6 ± 2) ¦ 109 лет.
Ныне, по-видимому, не существует сколько-нибудь серьезных рас-
хождений между постоянной Хаббла, возрастом Вселенной и урав-
нениями общей теории относительности без космологического
члена **)
Примечание 20. Здесь ошибочно опущен инвариант
*) Современные оценки значения постоянной Хаббла заклю-
чены между примерно 50 и 100 км/{с-Мпк), а возраст Вселенной
примерно A0—13) • 109 лет.— Примеч. ред.
**) См. доклад Робертсоиа в сб.: Proceedings of the Congress,
Jubilee of Theory of Relativity.— Berne, 1955,

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 291
Эта величина является псевдоскаляром, т. е. меняет свой зпак при
обращении пространственных координат (.т^ = — ха< а = 1,2,3).
Поскольку встречающиеся в природе физические лагранжианы ин-
вариантны относительно пространственных отражений, они могут
содержать только квадрат указанного инварианта. Как было пока-
зано Гейзенбергом и Эйлером [415], при применении квантовой
теории позитронов к вычислению поляризации вакуума во впеш-
них однородных электрическом и магнитном полях такие члены
действительно возникают. Они также играют роль в нелинейной
электродинамике Борца — Инфельда [416, 417]. Остальные ин-
варианты, указанные в п. 2—4, не возникают, поскольку они на-
рушают калибровочную инвариантность.
Примечание 21. После того как было показано, что свойства
положительно и отрицательно заряженных частиц симметричны,
был экспериментально открыт отрицательно заряженный анти-
протоп [418].
Таким образом, следует отбросить все рассуждения в тексте,
которые основывались на «асимметрии двух сортов электричества».
Примечание 22. Теория Вейля. Хотя и раньше никогда не бы-
ло экспериментальных указании на то, что масштабы длины (для
измерительных линеек) и времени (для часов) зависят от их
предыстории (см. § 65, п. 3), после установления квантовой меха-
ники очень изменилась и теоретическая ситуация. В квантовой
механике комплексное волновое уравнение, описывающее движе-
ние электрически заряженного вещества (волновая функция Ч*
может иметь одну или несколько компонент), допускает группу
(h — постоянная Планка, деленная на 2я, е — элементарный элект-
рический заряд)
Ф; = ф.-^^-; V> = Ve4(*\ A)
которая аналогична группе преобразований D77) теории Вейля,
с той лишь разницей, что множитель перед lF является экспопен-
той от мнимой величины, a gtk преобразуется с помощью реальной
экспоненты. Более того, связь закона сохранения электрического
заряда с этой новой группой та же, что и со старой.
После открытия волновой механики Лондон [419] и сам Вейль
[420] сразу же обратили внимание па этот факт. С тех пор на-
звание «калибровочная группа» прочно вошло в волновую меха-
нику для описания группы преобразований A), указывая тем
самым на тесную историческую связь с теорией Вейля, о ее не-
интегрируемой длиной.
Теперь, однако, более нет причин верить в пеинтегрируемость
длины, и сам Вейль объявил об ошибочности своей старой теории.
Сейчас, по-видимому, все согласны с тем, что измеримы сами
gu, а не их отношения, и что при градиентном преобразовании
электромагнитных потенциалов они не меняются*).
*) Независимо от преобразования электромагнитных потенциа-
лов можно рассматривать конформные преобразования gih «=»
= X?jft, где Х(х) —произвольная функция (о подобных преобра-
зованиях для уравнений Максвелла см. на с. 258). Как показал
Р. Бах [421] (см, также [422]), используя принцип действия, ска-

292 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Примечание 23. Другие попытки построения единой теории
поля. Прежде чем перейти к подробному описанию некоторых по-
пыток «унификации» теорий поля, необходимо сделать ряд за-
мечаний об области применимости классической физики в объяс-
нении двойственности свойств вещества, характеризуемой интуи-
тивными представлениями о «волне» и «частице» и описываемой
статистическими законами, которые провозглашены квантовой (или
волновой) механикой после 1927 г.*). Большинство физиков, вклю-
чая автора, придерживаются взглядов, высказанных Бором и Гей-
зенбергол при теоретико-пояпавательном анализе ситуации, со-
здавшейся в связи с этими идеями, и потому считают невозмож-
ным полное решение открытых вопросов в физике па путп воз-
врата к представлениям классической теории ноля.
С другой стороны, Эйнштейн после того, как он рсволюциони-
ровал мышление физикой, создан общие методы, которые имеют
фундаментальное зпачепие также для квантовой механики и ее
интерпретации, до конца своих дней сохранял надежду, что даже
квантовые черты атомных явлений смогут быть в принципе объяс-
нены с позиций классической физики полей. Несмотря на то, что
принцип дополнительности Бора обобщил представление о физиче-
ской реальности в атомной физике и привел к рассмотрению всех
экспериментальных устройств как существенной части описывае-
мого теоретически явления, Эйнштейн хотел остаться верным иде-
алу классической небесной механики, согласно которому объек-
тивное состояние системы совершенно не должно зависеть от спо-
соба наблюдения.
Эйнштейн честно признавал, что его надежды на полное ре-
шение проблемы на этом пути еще пе осуществились и возмож-
ность создания такой теории им еще не доказана, он считал, что
вопрос остался открытым. Поэтому, когда он говорит о «единой
теории поля», он имеет в виду именно эту далеко идущую програм-
лярпая плотность в котором квадратична по копформному тензору
кривизны (тензору Вейля), можно получить уравнения, инвариант-
ные по отношению к конформным преобразованиям (об этих урав-
нениях см. [423]).
Одно время Эйнштейн также рассматривал уравнения гравита-
ции, обладающие свойством конформной инвариантности. Однако
он сам и другие физики вскоре отказались от этой точки зрения,
поскольку оказалось, что она приводит к физически неразумным
выводам.
*) Следует подчеркнуть, что в квантовой механике фундамен-
тальное изменение претерпело не только понятие частицы класси-
ческой механики, но и понятие волны классической теории поля.
Действительно, как показал Шредингер, системы взаимодействую-
щих частиц можпо описывать лишь волнами в многомерном кон-
фигурационном пространстве, а не волнами в обычном пространст-
венно-временном многообразии. В тех случаях, когда частицы рож-
даются или аппигилируют (т. е. полное число частиц меняется
со временем), приходится вводить в рассмотрение наборы таких
конфигурационных пространств с различным числом измерений.
Этому подходу эквиналоитпо так называемое «квантовапие поля»,
при котором амплитуды волновых полей в обычном пространствен-
но-временном многообразии заменяются выбранными должным об-
разом операторами (см. [425—427]).

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 293
ыу построения теории, которая решает все проблемы, рассматри-
вая элементарные частицы вещества с помощью всюду регулярных
(лишенных особенностей) классических полей.
Физики, которые придерживаются интерпретации квантовой
механики Бора — Гейзенберга, вкладывают в понятие унификации
классических полей, подобных гравитационному и электромагнит-
ному полям, лишь ограниченный смысл, пока не затрагиваются
источники полей, например массы и электрические заряды. Для
описания источников и их свойств вводятся волновые поля для
вещества и их квантование с соответствующей статистической ин-
терпретацией. Но даже эта программа, по-видимому, еще далека
от реализации*).
Читатель этой книги увидит в § 07, что уже в то время я с
большим сомнением относился К возможности объяснения атомиз-
ма вещества и особенно элекгричеекого заряда с помощью только
представлений о непрерывных полях. В этой связи следует на-
помнить, что атомизм электрического заряда нашел выражепие
уже в определенном числовом значении постоянной тонкой струк-
туры, теоретического объяснения которого пока не существует.
В частности, я почти не сомневался в фундаментальном характере
двойственности (или, как говорят после 1927 г., дополнительности)
между измеряемым полем и пробным телом, которое служит как
измерительный прибор. Этот вопрос был впоследствии поднят
Н. Бором на восьмом Сольвеевском конгрессе в 1948 г.
Сделав эти общие вводные замечания, мы переходим к обсуж-
дению двух попыток создать единую теорию поля, которые обоб-
щают формально теорию относительности Эйнштейна в различных
направлениях.
а. Теории с несимметричными gn и Г|&*)- Сущест-
вует два варианта таких теорий. В более ранних работах симмет-
*) В последние годы на этом пути наметилось значительное
продвижение вперед. С одной стороны, была создана перенорми-
руемап единая теория электромагнитного и слабого взаимодейст-
вий и достигнуты значительные успехи в построении в рамках схе-
мы «Великого объединения» евиной теории электромагнитного,
слабого и сильного взаимодействий. (По этому поводу см., напри-
мер, [428*, 429*] и указапиую там литературу.) С другой сто-
роны, был открыт новый вид симметрии — суиерсимметрия, связы-
вающая фермионы и бозоны, что привело к построению теории
супергравитации (суаерсимметричного расширения гравитации),
предсказывающей, в частности, существование наряду с гравито-
ном новой частицы — гравитиво, обладающей спином 3/2, и теории
расширенной супергравитации, в которой имеется возможность для
объединения гравитации и электромагнетизма. (О супергравита-
ции, см., например, обзоры [430*—432*]). Все это является зпачп-
тельным шагом вперед в реализации программы построения еди-
ной теории всех взаимодействии.— Примеч. ред.
**) Для сравнения см. монографию Эддингтона, ряд докладов
Эйнштейна в S. В. preuss Aead. Wiss., 1923—1925, книгу Шре-
дингера Space — Time — Structure (Cambridge, 1950), где приведены
результаты работ автора в Proc. Roy. Irish Acad,, 1943—1948 и
уравнение Эйнштейна — Штрауса [433]. Кроме того, ел. работу
Эйнштейна [434].

294 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
ричные или неснмметрпчпые символы г\к фигурировали как едип-
ственные исходные величины теории. В последующих работах и
несимметричные gtk или gih и несимметричные Tlik рассматри-
вались как независимые переменные. В первом случае метрический
тензор предполагается пропорциональным симметричной части Ra,
свернутого тензора кривизны.
Это предположепие оправдано лишь в том случае, если в урав-
нение поля входит космологический член. Поскольку его сущест-
вование более не оправдано, остаются теории второго типа, в кото-
рых несимметричные ga и Г,ь рассматриваются как независимые
переменные. В соответствии с этим Эйнштейн впоследствии рас-
сматривал только теорию второго типа.
Все эти теории сталкиваются с одним возражением — они на-
ходятся в противоречии с принципом, гласящим, что в теорию по-
ля должны входить лишь неприводимые величины. Этот принцип
удовлетворителен с формальной точки зрения, и отступлений от
него в физике никогда не встречалось. Поэтому я думаю*), что
должны быть приведены убедительные математические причины
(например, постулат инвариантности относительно более широкой
группы преобразований), объясняющие, почему не происходит
разложения приводимых величин, использованных в теории (на-
пример, Ra, gik и Г&).В опубликованной литературе этого до сих
пор сделано не было **).
Однако Эйнштейну это возражение было хорошо известно,
и он тщательно рассмотрел его в одной из последних своих работ
(см. [436]). Прежде чем излагать точку зрения и результаты Эйп-
штейна и Кауфмана, мы приведем выражение для свернутого тен-
зора кривизны Rib через несимметричные символы Tlik:
где теперь порядок пиждих индексов у V\h имеет существенпое
значение***). Авторы затем указывают, что это выражение инва-
риантно по отношению к %-преобразованиям
где Х(х)—произвольная функция. Они вводят постулат, что все
уравнения должны быть инвариантны относительно этого Я-пре-
образования (^-инвариантность). Формально этот постулат делает
использование симметричных символов Г невозможным.
*) Той же точки зрения придерживается Вейль [435].
¦*) Уже в теории с симметричными Г?й как единственны-
ми переменными поля выбор У—det|ffj/,| в качестве плотности в
интеграле действия является произвольным. Расщепление /?<ь на
симметричную и антисимметричную части дает еще большее число
возможностей.
***) В дальпейтаем операция (...),н всегда означает обычное
дифференцирование по xk. Общпй знак fiih, выбранный Эйнштейном
И Кауфмапом, оставлен здесь, хотя он обратеп знаку, использо-
ванному в остальной части этой книги.

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 295
В качестве второго постулата Эйнштейн и Кауфман вводят
транспозиционную инвариантность. Это означает, что все уравне-
ния остаются в силе, если все величины Л<* заменять транспони-
рованными Ajk = Akl. Тензор Rik, определенный через Tlih, не
удовлетворяет этому требованию. К требуемой инвариантности,
однако, можно прийти, еслв ввести новые величины, определен-
ные следующим образом;
"/»-!»-11,6'; Tl^ulk-4sUlt6l. C)
Свернутый тензор кривизны выражается через и[к при помощи
соотношения
Rik(U) = V!k,-U'itUlh + VaU*h D)
и является теперь транепозиционно-ипвариантным. Для i/|h %- пре-
образование записывается в виде
Закон преобразования U\k при координатных преобразованиях
приведен в работе [437]. Уравнения поля получаются путем ва-
риации интеграла действия по gih и по Uih как по независимым
переменным.
Вместо gth можно использовать также тензорную плотность
с компонентами g(*, которые в четырехмерном пространственно-
временном континууме определены соотношениями
8 /r^iTN' "/^ттч ()
В соответствии с духом обычной общей теории относительности
выбор скалярной плотности й в интеграле действия ограничен
требованиями, чтобы й не содержало производных от gik, а содер-
жало только первые производные от Ulih и зависело линейно от
последних*). Эти требования вместе с требованиями Я-инвариант-
ности и транспозиционной инвариантности, упомянутыми выше,
приводят к выражению для в, линейному по /?<л, выраженному
через Ulih. Если космологический член, не зависящий от Яц,, опу-
щен, то при должном выборе поля g<h мы приходим к выражению
Эйнштейна для скалярной плотности в подынтегральном выраже-
нии интеграла действия
е = &ihRn, G)
удовлетворяющему всем перечисленным постулатам (величины gs*
определены соотношениями F)).
*) При обсуждении вида скалярной плотности в чисто аффин-
ных теориях (см, примеч. 7) мы не использовали этого ограни-
чения,

296 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Вывод уравнений поля и тождественных соотношений менаду
ними можно найти в цитированной выше литературе. В частном
случае, когда антисимметричные части gib. и Г-^ обращаются в
нуль, мы приходим снова к обычным уравнениям поля общей тео-
рии относительности в отсутствие вещества.
Довольно сомнительно, что уравнения поля этой теории, ос-
нованные на формальных постулатах Х-инвариантности в транс-
позитивной инвариантности, лишенных непосредственного физиче-
ского или геометрического смысла, имеют вообще какое бы то ни
было отношение к физике.
В этой «единой теории поля» полностью отсутствует какой-ли-
бо ведущий физический принцип, подобный принципу эквивалент-
ности в общей теории относительности, который был бы основан
на данных опыта. Более того, в обычной общей теории относитель-
ности непосредственный физический смысл имеет элемент длины
и вместе с ним квадратичная форма gadx*dx\ а не псевдотензор
Tlih, который управляет параллельным смещением векторов.
Далее мы рассмотрим другие попытки создания «единой тео-
рии поля», в которых используются лишь неприводимые величины.
Ь. Пяти мерные и проективные теории*). Калу-
ца [437] нашел интересное геометрическое представление в кова-
риантном виде уравнений электродинамики Максвелла, которое
впоследствии было улучшено и обобщено Клейном**).
Рассматривается пространство с цилиндрической метрикой
ds2 = ^vdz»dx4 (8)
(в дальнейшем греческие индексы ц, v, ... пробегают значения от
1 до 5, а латинские индексы i, к, ... — от 1 до 4). Условие цилинд-
ричности лучше всего записать в специально выбранной системе
координат***), в которой "fnv не зависят от х5:
fl^v/Зж5 = 0. (9)
Кроме того, Калуца и Клейн предполагали, что
455 = 1. (Ю)
Положительный знак ^55 означает, что пятое измерение метрически
пространственноподобно. Причина такого выбора будет ясна поз-
же. Помимо координатных преобразований общей теории относи-
тельности, для координат х* в избранных системах координах до-
пустима группа преобразовапий
*'»=. *» + /(*', .,., *¦). A1)
Если записать выражение (8) в виде
is2 =» (Ac6 + iibdx(y + g{hdx<dx\ A2)
то нетрудно убедиться, что gn инвариантны относительно преоб-
*) Обзор этих теорий читатель найдет в книге Бергмана,
гл. XVII и XVIII.
**) В первых двух из работ Клейна [4381 Уже принята во
внимание периодическая зависимость метрики от пятой коорди-
наты.
***) Формулировка для общей системы координат содержится
в цитированной книге Бергмана (New York, p. 227),

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 297
разосавиЗ A1)
тогда кан
Ti-vto
Сравнение (8) в A2) позволяет получить
A5)
Если gik, как обычно,-* обратная матрица К gth, a "f — обратная
матрица к fnv, то легко получить
det | v| » j^lj
т* = 1 + ViAYi57ft5: Y11--^; Y"Wft. A6)
Вид преобразований A4), аналогичных градиентным преобразова-
ниям, наводит на мысль об отождествлении Y*s с электромагнит-
ным потенциалом <р< с точностью до некоторого множителя. Анти-
симметричный тензор
инвариантный относительно «градиептпых преобразований» (М),
пропорционален тогда напряшепностям алектромагнитного поля.
К определению коэффициента пропорциональности мы вернемся
позже.
Геодезические линии метрики (8) ала A2) также можно ин-
терпретировать физичоски при таком подходе. Из независимости
lav от х1 непосредственно следует, что при надлежащем выборе па-
раметра s на геодезических линиях постоянны два выражения
^ ^ C A8)
dx_ dx_ =
ш ds ds
Постоянную в уравнении A8а) можно нормировать к —1. Урав-
нения геодезических линий имеют вид
d[p dxh) I dgrsTxTdx* _„ dxh
Но это соотношение представляет собой уравнение для траектории
варяжеавой частицы во внешних граьитационном и электромаг-
нитном полях. Поэтому постоянная итерирования С пропорцио-
нальна отношению elm заряда и массы частицы.
Мы упомянем здесь кратко другой путь геометризация грави-
тационного в электромагнитного полей, а именно — проективную
формулировку. Многие авторы внесли здесь свод вклад, в средя
20 в, Паули

298 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
них Веблен и Гоффман, Шутен и ван Данциг и я*). Бергман по-
казал, однако (в противоположность тому, что думал раньше сам),
что эта теория не является более общей, чем теория Калуцы,
и что нетрудно перейти от одной из этих формулировок к другой.
Введем однородные координаты Xv пра помощи соотношения
Xv D p{xt)e*b B0)
(с произвольными функциями /v); обратные соотношения имеют
вид
' " ?!
""хъ
( . I -И
а; = In
где #A> — однородная функция первой степени. Нетрудно убе-
диться в том, что «градиентные преобразования» A1) в комбина-
ции с общими преобразованиями координат хк в точности соответ-
ствуют группе всех однородных преобразований первой степени
координат X*. Именно последние преобразования рассматриваются
в проективной формулировке теории. Вниду взаимно однозначного
соответствия между двумя формами теории **) мы не будем даль-
ше рассматривать проективную форму.
Геометрическая форма общоковприантных законов электромаг-
нитного поля, принадлежащая Калуце и изложенная выше, ни в
коей мере не представляет собой «унификации» гравитационного
и электромагнитного полей. Наоборот, любая общековариантная
и градиентпо инвариантная теория может быть представлена в
форме Калуцы. При отсутствии электрических зарядов (токов)
уравнение Максвелла в общековариантиой форме можно получить,
варьируя интеграл действия с плотностью
+ \ FihFik\ B1)
где Fih *- напряженности электромагнитного поля. Однако и более
сложная зависимость скалярной плотпоети в интеграле действия
от напряжепностей могла бы с тем же успехом быть согласовала
с цилиндрически-симметричной пятимерной метрикой.
Калуца и Клейн, однако, получили еще один интересный ре-
зультат. Они вычислили скаляр Р, образованный от тензора кри-
визны, который соответствует выбору пятимерной метрики в ви-
де (8) или A2), и нашли
Р = R + У^,*/1* B2)
*) Помимо книги Бергмана, литературу по этому вопросу
можно найти в монографии Людвига [439].
**) Для метрического тензора Т^, соответствующего Хч, импем,
согласно B0),
№9XZ_
- l I*V fob дзЬ - 1 j,vA А .

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 299
где Й — тензор кривизны, определенный для четырехмерной мет-
рики dss = gikdx'dxk, а /4» определены соотношениями A7). Это
выражение тождествеппо совпадает с B1), если положить
/a = y2xFjS, tf5 = У2»Гф|. B3)
Следует отметить здесь, что знак второго члена в правой части
уравнения B2) изменился бы, если бы мы выбрали пятую коор-
динату времениводобяой (^55 = —1). а не пространственноподоб-
ный. Пятое измерение должно быть выбрано пространственноио-
добным, чтобы в B2) знак правой части был тот же, что и в B1).
Можно сказать также, что при выборе Р в качестве инварианта
в интеграле действия эмпирический знак гравитационной постоян-
ной представлен пространственноподобяым знаком у55-
Однако не существует причин с точки зрения ограниченной
группы цилиндрической метрики, чтобы в качестве подынтеграль-
ного выражения в интеграле действия выбрать именно пятимер-
ную скалярную кривизну Р. Нерешенная проблема отыскания та-
ких причин заставляет, по-видимому, думать о расширении группы,
преобразований. Это связано с возможностями обобщения форма-
лизма Налуцы, которое мы сейчас кратко рассмотрим.
Одно из обобщений формализма Калуны заключается в отка-
ее от условия A0) ^55 ~ 1 при сохранении условия (9). С точки
зрепия группы преобразований общей теории относительности "E5
представляет собой теперь новое скалярное поде, которое по-
прежнему предполагается не зависящим от х&. Полагая
Ъи = Л Т>'5 = '/*; Т** = й-* + Jhh, B4)
получаем
ds2 = i^dx^dx-- = }(dxb + Jidx*)* + ЦъпхЧх* B5)
e «градиентной» группой
1. B6)
Иордан [440], первоначально сформулировавший свою теорию
в проективной форме, воспользовался давними идеями Дирака
[441] и сделал интересную попытку использовать это новое поле /
для построения теории, в которой гравитационная постоянная
обычной теории заменяется зависящим от времени полем. С ма-
тематической точки зрения эта идея была независимо исследована
Тири [442] (см. также [443]). Как показал Фирц [444], введение
вещества приводит в этой теории к дополнительным предположе-
ниям, без которых временная зависимость стандартных длин, по-
лученных ез атомных размеров и по гравитационному взаимодеГЕ-
ствию между частицами с массой, не равной нулю, еще не опре-
делена. Мы не будем здесь касаться вопроса об эксперименталь-
ных свидетельствах в пользу этой теории.
Другое, более фундаментальное обобщение теории Калуцы за-
ключается в отказе от условия цилиндричности (9). Уже в пер-
вых своих работах 1926 г. Клейн рассмотрел периодическую зави-
симость всех переменных поля от х5. Если выбрать в качестве пе-
риода 2л, то это предцодщевда I («gee комдааевды ^ являются
?0*

300 ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
периодическими функциями хъ с периодом 2л») можно также вы-
разить е помощью разложения Фурье
Т^ (*'.**)- 5 СИИ™1 B7)
П»=— оо
при обычном условии действительности:
„(-П) = 1Лп)\*
'(IV \'(JIV/ '
Геометрически хь можно интерпретировать как угловую перемен-
ную, так что все значения хь. различающиеся па целое кратное 2л,
соответствуют одной и той же точке пятимерного пространства, ес-
ли значения х' одни и те же. Из одного этого предположения еще
не следует существование замкнутых геодезических линий без раз-
рывов в их направлении. Эйпштейн и Бергман [445] (см. также
[446] и цитируемую выше монографию Бергмана) исследовали,
в частности, следствия дополнительного предположения II: через
каждую точку иятимераых пространств проходит только одна гео-
дезическая линия, которая возвращается в эту же точку, непре-
рывно меняя направление. Они показали, что в этом случае всег-
да существует избранная система координат, где
¦Уев = 1; 075</<3*6 = 0. B8)
Группа преобразований остается той же, что и в первоначальной
теории Калуцы (см. A5) и A6)), но go, могут теперь зависеть пе-
риодически от а;5.
Авторы затем строят наиболее общий инвариант относитель-
но рассматриваемой группы преобразований, отвечающий тем те
общим требованиям к порядку дифференцирования, что и в обыч-
ной теории относительности (а именно, линейности по вторым про-
изводным поля и отсутствию высших производных). Соответствую-
щие уравнения поля являются, вообще говоря, интегро-дифферен-
циальпыми.
При всех этих предположениях не удается прийти к интерпре-
тации или оправданию выбора Р в качестве скаляра в принципе
наименьшего действия, однако ситуация существенно меняется,
если отбросить предположение II, сохранив предположение I.
Группа преобразований тогда будет иметь вид
*'5 = *5+ /(**, х*); х'1 *=р*(А xk), B9)
где ру — произвольные периодические функции хъ с периодом 2я.
Эта общая группа ташке рассматривалась Клейном, но ее матема-
тические и физические следствия нуждаются в дальнейшем
изучении.
Справедливо, что единственным скаляром, который можно со-
ставить из "f|,v при помощи только обычного процесса дифферен-
цирования (с ограничениями на порядок дифференцирования, на-
лагаемыми обыкновенно в общей теории относительности), явля-
ется теперь скаляр Р, отвечающий пятимерной метрике. Однако
все еще остается нерешенным вопрос о том, существуют ли какие-
нибудь другие нелокальные инварианты, которые можно было бы

ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 301
выразить как интегралы по должным образом выбранным замкну-
тым кривым и использовать в принципе наименьшего действия*).
Помимо математических трудностей, остается еще проблема
физической интерпретации общих функций, периодически завися-
сящих от хь, заданных соотношениями B7). Эта проблема ведет к
волновой механике и поэтому также к проблеме квантования по-
ля **). Тензоры, подобные ТцПу (¦r*)i соответствуют спину, равно-
му 2, который, кстати, никогда не встречался в природе и из ко-
торого никаким сложением нельзя получить спин, рамый 1/2.
С нашей точки зрения (см. вводную часть к этому примеча-
нию), ясно, что, помимо поля "\^(хъ, х'), доляшы существовать
другие поля квантовомеханического типа такие, например, как
спинорные поля, описывающие частицы с малой массой [438].
Таким образом, вопрос о том, имеет ли формализм Калуцы
какое-либо будущее в физике, ведет к более общей главной нере-
шенной проблеме синтеза общей теории относительности и кван-
товой механики.
*) Бергман любезно обратил мое внимание на следующую
проблему: существует ли всегда в пятимерном многообразии с топо-
логией цилиндра, бесконечно протяжепного в пространстве хх, ,.,
,,. х4, и с метрикой, удовлетворяющей предположению I, избран-
ная система координат, в которой ду^/дх5 = 0 при ц = 1, .,., 5,
**) См. примеч. 2 на с, 296.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Фундаментальные статьи
Mach E. Die Mechanlk in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dar-
gestellt.— Leipzig, 1883.
Riemann B. Uber die Hypotliesen, die der Geometrie zugrunde He-
gen.— Berlin, 1920 (Nach Ges. Wiss. Gotlinge.— 1868.— Bd 13.—
S. 133)
Lorentz H-, Einstein A., Minkowski H. Das Relativitatsprinzip.—Leip-
zig, 1913; 3rd revised edn., 1920.
Minkowski H. Zwei Abhandlungen iiber die Grundgleichungen der
Elektrodynamik.— Leipzig, 1910 (Nachr. Ges. Wiss. Gottingen.—
1908 - S. 53; Math. Ann.- 1910- V. 68- P. 526).
Einstein A., Grossmann M. Entwurf einer verallgemeinerten Relati-
vitatstheorie und einer Theorie der Gravitation.— Leipzig, 1913
(Z. Math. Phys.— 1914.— Bd 63.— S. 215).
Einstein A. Die Grundlagen der allgemeinen Relalivitatstheorie.—
Leipzig, 1916 (Ann. Phys., Lpz.— 1916.—Bd 49.—S. 769).
1*. Эйнштейн А. Собрание научных трудов.— M.: Наука, 1965.—
Т. 1; 1966.— Т. 2, 3; 1967.— Т. 4.
2*. Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Сб. статей: Пер. о
англ., нем., фр.— М.: Мир, 1979.
3*. Принцип относительности: Сб. работ по специальной теории
относительности.— М.: Атомиздат, 1973.
II. Учебники и монографии
V. Laue M. Das Relativitatsprinzip.—Leipzig, 1911; 3rd edn., 1919.—
V. 1.
Das Relativitatsprinzip der Lorentz-Transformation; 4th edn,. 1921.
Die Relativitatstheorie.— Braunschweig: V. 1. Speziell Relativitats-
theorie.— 6th edn., 1955; V. 2. Allgemeine Relativitatstheorie.—
3rd edn., 1953.
Weyl H. Raum — Zeit — Materie: Lectures on the General Theory of
Relativity,— Berlin, 1918; 3rd edn., 1920; 4th edn., 1921,
Raum — Zeit — Materie.— 5th edn., Berlin, 1923.
Space — Time — Matter.— New York, 1950.
Eddington A, S. Space, Time and Gravitation.—Cambridge, 1920.
The Mathematical Theory of Relativity.— Cambridge, 1924 (reprint,
1953); Berlin, 1925.
Kopff A. Grunaziige der Einsteinschen Relativitatstheorie.— Leipzig,
1921J

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 803
Freundlich E. Die Gmndlagen der Einsteinchon Gravitationstheorie.—
Berlin, 1916.
Einstein A. Ober die spezielle und die allgomeine Relativitatstheo-
rie.— Braunschweig, 1917.
The Meaning of Relativity.— 5th edn.— Prinston. 1956.
Born M. Die Relativitatstbeorie Einsteina und ihre physikalischen
Grundlagen.—Berlin, 1920.
Tolman R. С Relativity, Thermodynamics and Cosmology.— Oxford,
134. (Русский перепад Толмен Р. Относительность, термодина-
мика и космология: Пер. с апгл,— М.: Наука, 1974.)
Bergmann P. G. An Irtlrodnotion to the Theory of Relativity.—New
York, 1942. (Русский перевод Бергман П. Г. Введение в теорию
относительности: Пер. с англ.— М.: Изд-во иностр. лит., 1947.)
Schrodinger E. Space — Time Structure.—Cambridge, 1950.
Lichnerowicz A. Theories relativistes de la gravitation et de Гelectro*
magnetisme.— Paris, 1955.
Jordan P. Schwerkraft und Weltall.—2nd edn., Braunscweig, 1955;
Cinquant' anni di relativita, 1905—1955.— Florence, 1955.
Proceedings of the Congress «Jubilee of Theory of Relativity».— Ber-
ne, Jule 1955; Helv. phys. acta, Suppl. IV, 1956.
Volume «Einstein» in the Library of living Philosophers.— Evanston,
1949; 1951, 2nd edn.; Stuttgart, 1955.
1*. Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные
волны: Пер. с англ.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
2* Вейнберг С. Гравитация и космология: Пер. с англ.— М,: Мир,
1975.
3*. Гинзбург В. Л. О теория относительности,— М,: Наука, 1979.
4*. Гинзбург В. Д. Теоретическая физика и астрофизика,— М.;
Наука, 1981.
5*. Гравитация и относительность/Под ред. X. Цзю и В. Гоффма-
на: Пер. с англ.— М.: Мир, 1965.
6*. Зельдович Я, В., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция
звезд.— М,: Наука, 1971.
7*. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселен-
ной.— М.: Наука, 1975.
8*. Лайтман А., Пресс 5., Прайс Р., Тюколъски С. Сборник задач
по теории относительности и гравитации: Пер. с англ.— М.г
Мир, 1979.
9*. Ландау Л. Д., Лифшщ Е. М. Теория поля.—7-е изд.— M.s
Наука, 1989.
10*. Мёллер К. Теория относительности: Пер, с англ.— М.: Атом-
издат, 1975.
И*. Мизнер Ч., Торн К,, Уилер Дж. Гравитация: Пер. с англ.—М.:
Мир, 1977.—Т. 1—3.
12*, Новейшие проблемы гравитации: Сб. статей/Под ред. Д. И. Ива-
ненко.— М.: Изд-во ипостр. лит., 1961.
13*. Сипг Дж. Общая теория относительности: Пер. с англ.—М.:
Изд-во иностр. лит., 1963.
14*. Пиблс П. Физическая космология: Пер. о англ.— М.: Мир
1975.
15*. Рис М., Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитацион-
ные волны и космология: Пер, с англ.—М.: Мир, 1977.
16*. Угаров В. А. Специальная теория относительности,— М,: Нау-
ка, 1977.
17*. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная: Пер, с англ,—
М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

S04 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
18* Уилер Дж. Предвидение Эйнштейна: Пер. с англ.— М.: Мир,
1970.
19*. Утияма Р. Теория относительности: Пер. с англ.— М.: Атом-
издат, 1979.
?0*. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения.— М.{
Гостехиздат, 1955.
21*. Хокинг С, Эллис Дж. Крупномасштабная структура простран-
ства-времени. Пер. с англ.— М.: Мир, 1977.
22*. General relativity. An Einstein Centenary survey/Ed. S. W. Haw-
king, W. Israel,— Cambridge Univ. Press, 1979,
III. Работы по специальный вопросам
Poincare H. Six lectures given at Gottingen 22—28 April, 1909; La
mecanique nouvelle.—Leipzig, 1910 Fth lecture).
Ehrenfest P. Zur Krise der Lkhtather — Hypothese (Inaugural lectu-
re delivered at Lcyden).— Berlin, 1913.
Lorentz H. A. Das Relatmtfitsprinzip (three lectures given at the Tey-
lcr Foundation, Haarlem),—Leipzig, 1914.
Einstein A. Athor und Relativitatstheorie (Lecture given at Leyden
on 5 May 1920).—Berlin, 1920.
Klein F. Gesammelle mathematische Abhandlungen.— Berlin, 1921.—¦
V. 1.
Brill A. Das Relativitatsprinzip.— Leipzig, 1912; 4th edn., 1920,
Cohn E. Physikalisches fiber Raum und Zeit.— Leipzig, 1913.
Witte H. Raum und Zeit im Lichte der neueren Physik.— Braun-
schweig, 1914; 3rd edn., 1920.
1*. Гравитация. Проблемы и перспективы: Сб. статей.— Киев:
Наукова думка, 1972,
2*. Гравитация и топология: Сб, переводов/Под ред. Д. И. Ива-
ненко.—М.: Мир, 1966.
3*. Захаров В. Д. Гравитационные волны в теории тяготения
Эйнштейна.— М.: Наука, 1972.
4*. Инфелъд Л., Плебанъский Е. Движение и релятивизм.—М.:
Изд-во иностр. лит., 1962.
5*. Квантовая гравитация и топология: Сб. переводов/Под ред.
Д. И. Иваненко.— М.: Мир, 1973.
6* Пенроуз Р. Структура пространства времени: Пер и англ —
М.: Мир, 1972.
7*. Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительно-
сти.— М.: Наука, 1966.
8*. Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.— М.:
Атомиздат, 1970—1081.
9*. Родичев В. И. Теория тяготения в ортогональном репере,—
М.: Наука, 1974,
10*. Станюкович К. П. Гравитационное поле и элементарные ча-
стицы.— М.: Паука, 19R5.
11*. Скобельцын Д. В. Парадокс близнецов в теории относитель-
ности.— М.: Наука, 1966,
12*. Франкфурт У. U. Сиецпальпая и общая теория относительно-
сти: Исторические очерки.— М.: Наука, 1968.
13*. Фролов В. П. Метод Нъюмана — Пинроуза в общей теории
относительности.—Труды ФИАН, 1977.—Т. 96.—С. 72.
14*. Черные дыры: Сб. статей.— М.: Мир, 1978.
15*. Эйнштейновские сборники.— М.: Наука.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ JOB
16**. Биррелл Я., Девис П. Квантованные поля в искривленном
пространстве-времени: Пер, с англ.— М.: Мир, 1984.
17**. Бичак И., Руденко В. Д. Гравитационпые волны в ОТО и про-
блема их обнаружения,— М.: Изд-во МГУ, 1987.
18**. Галъцов Д. И. Частицы и ноля вокруг черных дыр.— М.:
Изд-во МГУ, 1986.
19**. Точные решепия уравнеппй Эйнштейпа/Д. Крамер, X. Ште-
фани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум: Пер. с англ.— М.: Энерго-
атомиздат, 1982.
20**. Новиков И. Д., Фролов В. П. Физпка черных дыр — М : Нау-
ка, 1986.
21**. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время: Пер
с англ.— М.: Мир, т. 1, 1987; т. 2, 1988.
22**. Тори К., Прайс Р., Макдоналъд Д. Черные дыры — мембран-
ный подход: Пер. с англ.— М.: Мир, 1988.
23**. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике:
Пер. с англ.— М.: Энергоатомиздат, 1985.
24**. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: Пер о
англ.— М.: Мир, 1986.
IV. Работы философского характера
Schlick M. Raum und Zeit in der gegenwartigen Physik, zur Einfiih-
rung in das Verstandnis der allgemeinen Relativitatstheorie.—
Berlin, 1917; 3rd edn., 1920.
Hoist H. Vort fysiske Verdensbillede og Einsteins Relativitetstheori.-
Copenhagen, 1920.
Beichenbach H. Relativitatstheorie und Erkenntnis a priori.—Berlin,
1920.
Casslrer E. Zur Einsteinschen Relativitatstheorie.— Berlin, 1921.
Petzold J. Die Stellung der Relativitatstheorie in der geistigen
Entwicklung der Menschheit— Dresden, 1921.
1*. Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и време-
ни.—М.: Прогресс, 1969.
2*. Марков М. А. О природе материи.— М.: Наука, 1976.
3*. Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и реля-
тивистская космология/Под ред. П.. С. Дышлевого и А. 3. Пет-
рова.— Киев: Наукова думка, 1965.
4*. Пространство и время в современной физике/Под ред.
А. 3. Петрова и П. С. Дышлевого.— Киев: Наукова думка, 1968.
Цитируемая литература
1 Voigt W. Uber das Dopplersche Prinzip // Gott. Nachr.—
1887-S. 41.
2. Lorentz H, A. La theorie electromagnetique de Maxwell et son
application aux corps mouvants / Arch. Neerl.— 1982.—V. 25.—
P. 363; Versuch einer Theorie der elektrischen and magneti-»
schen Erscheinungen in bewegten Korpern,— Leyden, 1895,
8. Brace D. B. I/ Philos. Mag.— 1908.— V. 10.-P. 591.
4. Strasser B. II Ann. Phys— 1907.—Bd 24.- S. 137.
5. Burton С V. // Philos. Mag.—1910.—V. 19 — P. 417.
6. Lorentz H. A. Das Relativita'tsprinzip, 3 Haarlemer Vortrage.—
Leipzig.— 1914.— S. 21.
7. Lorentz H. A. De relative beweging van de aarde en dem
aether / Amst. Versl,— 1892,— V. 1,— P, 74,

306 СПЙСОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
8. Trouton F. Т., Noble H. R. // London Philos. Trans.— 1903.—
V. А202,— P. 165; Lord Rayleigh // Philos. Mag.— 1902,— V. 4,—
P. 678.
9. Larmor J. J. Aether and Matter.— Cambridge, 1900.— P, 167—
177.
10. Lorentz H. A. Enz. math. Wiss.—Leipzig. 1904, Article V14,
final § 64 and 65,
11. Ibid.—P. 278.
12. Ibid.- P. 154.
13. Lorentz H. A. Electromagnetic Phenomena in a System Moving
with any Velocity Smaller than that of Light // Amst. Proc—
V. 6.— P. 809; 1904.— V. 12.— P. 986.
14. Poincari H. Sur la dynamique de l'electron / Compt. Rend.
Acad. Sci., Paris.— 1905.— V. 140.— P. 1504; Sur la dynamique
de Г electron / Rend. Pal.— 1906.—V. 21.—P. 129.
15. Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Korper / Ann,
Phys.- 1905.- Bd 17.- S. 891.
16. Morley E. W., Miller D. С // Philos. Mag.—1904.-V. 8.-
P. 753; 1905.— V. 9.— 680.
17. Laroth J. И Munchen Ber., Akad. Wiss.—1909.— Bd 7;
Kohl E. II Ann. Phys.- 1909- Bd 28.- S. 259, 662; Laue M. //
Ann. Phys.— 1910.— Bd 33.— S. 156.
18. Brace D. // Philos. Mag.—1904.—V. 7.—P. 317; 1905.—
V. 10.—P. 71; Boltzmann — Festschrift.—1907.—P. 576.
19. Trouton F. Т., Rankine A. O. // Proc. Roy. Soc— 1908.— V, 8,—
P. 420.
20. Laub J. И Jahrb. Rad. El.— 1910.— Bd 7.— S. 505,
21. Вот М. И Naturewiss.— 1919.— Bd 7.— S. 136.
22. Einstein A. // Aether und Relativitatstheorie,— Berlin, 1920
(лейденская речь).
23. Einstein A. // Ann. Phys.— 1912.— Bd 38.— S. 1059.
24. Ritz W. II Ann. chim. et phys.— 1908.— V. 13.— P. 145 (Ges
Werke.—P. 317); Arch, de Geneve.—1908.—V. 16.—P. 209
(Ges. Werke —P. 427); Scientia.- 1908.— V. 3.—P. 260 (Ges.
Werke.—P. 447). См. также Ehrenfest P. // Phys. Z.— 1912.—
Bd 13,— S, 317; Rede gehalten in Leyden.—1912.— Berlin,
1913.
25. Tolman R. С. Ц Phys. Rev,-1910.-V. 30,—P, 291; 1910,-
V. 31.- P. 26.
26. Kunz J. II Amer. J. of Science.-1910.-V. 30.-P. 1313,
27. Comstock D. F. // Phys. Rev.— 1910 — V. 30.— P. 267.
2,8. Stewart О. М. Ц Phys. Rev.—1911.—V. 32.—P. 418.
29. Thomson J. J. // Philos. Mag.—1910.-V. 19—P, 301.
30. Tolman С II Phys. Rev.—1912.—V. 35.—P. 136.
31. Michelson A. A. // Michelson A. A. / Astrophys. J.— 1913.—
V. 37.— P. 190; Fabry Ch., Bulsson H. // С R.— 1914 — V. 158.—
P. 1498; Majorana Q. // С R.— 1917.— V. 165.— P. 424. Philos.
Mag.-1918.-V, 35,-P, 163; Phys. Rev.-1918.-V. 11,-
P. 411.
32. Majorana Q. // Philos. Mag.— 1919.— V. 37.— P. 190,
33. Michaad P. // C. R.— 1919.— V. 168.— P. 507.
34. La Rosa M. // Nuovo Cimento.— 1912.— V. 3.— P. 345; Phys. Z,—
1912.—Bd 13.-S. 1129,
35. Tolman С II Phys. Rev.- 1912.- V. 35- P. 136.
36. Comstock D. F. // Phys. Rev,— 1910.—V. 30,— P. 267.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 307
37. De Sitter W. // Amstr. Proc—1913.—V. 15.—P. 1297; 1913.—
V. 16.— P. 395; Phys. Z.— 1913.— Bd 14.— S. 429, 1267; cp так-
же Guthnik P. И Astr. Nachr.—1917.— Bd 195,— S. 4670;
Freundllch E. // Phys. Z.— 1913.— Bd 14,— S. 935; Znrhel-
len W. I/ Astr. Nachr.—1914.—Bd 198.—S. 1.
38. Herglotz G. II Ann. Phys.-1911.—V. 36.—P. 497 (eq. (9)),
39. Ignatowsky W. I/ Arch. Math. Phys.—1910.—V. 17.—P. 1;
1911.—V. 18.-P. 17; Phys. Z.— 1910.— Bd 11.— S. 972; 1911.—
Bd 12.—S. 779; Frank Ph., Rothe H — Ann. Phys.—1911.—
Bd 34.—S. 925; Phys. Z.—1912.—Bd 13.-S. 750,
40. VaHcak V. // Phys. Z.— 1911 — Bd 12.— S. 169.
41. Einstein A. // Ibid.— 1911.— Bd 12.— S. 509.
42. Langevin P. devolution de l'espace et du temps.— Scientia,—
1911.-V. 10-P. 31.
43. V. Lane M. // Phys. Z.— 1912.— Bd 13.— S. 118.
44. Lorentz H. A. Das Relativitatsprinzip.—1914.—S. 31. 47 (three
lectures given in Haarlem).
45. Abraham M. Theorie der Elektrizilat.—2nd edn.—Leipzig.—
1908.— Bd 2,— S. 367.
46. Wien W. a Wiirzb. phys. med. Ges.— 1908.— S. 29; Taschenb.
Math. Phys.— 1911 — Bd 2,— S. 287.
47. Lewis G. N., Tolman R. // Philos. Mag.— 1909.—V. 18.—P. 516.
48. Petzold ].— Z. pos. Phil— 1914.— Bd 2 — S. 40; Verh. Deutsch.
phys., Ges.—1918.—Bd 20.—S. 189; 1918 —Bd 21.—S. 495;
Z. Phys.— 1920.- Bd 1,— S. 467; Jakob M. Ц Verh. Deutsch.
phys., Ges—1919.—Bd 21 —S. 159, 501; Hoist H. // Kgl.
danske Vid. Selsk. Math.-fys. Meddelolser, II.—1919.—S. 11;
Z. Phys.— 1920.— Bd 1.— S. 32; 1920.— Bd 3.— S. 108.
49. Einstein A. // Ann. Phys.— 1907.— Bd 23.— S. 371.
50. Laab J. II Ibid.— 1907.— Bd 23.— S. 738.
51. V. Laue M. // Ibid.— 1907.— Bd 23.— S. 989.
52. Lorentz B. A. // Naturw. Rundsch.— 1906.—Bd 21.—S. 487.
53. Lorentz II. A. // Enz. math. Wiss.—Bd V. 13, 21.—S. 103,
54. Lorentz H. A. Versuch einer Theorie der elektrischen und opti-
schen Erscheinungen in bewegten Korpern.— Leyden.— 1895,—
S. 101.
55. Zeemann P. // Amst. Versl.—1914,—V. 23.—P, 245; 1915.—
V. 24.- P. 18.
56. Sagnac G. // С R. Acad. Sci., Paris—1913.—V. 157.—P. 708,
1410. J. Phys. theor. appl. E); 1914.—V. 4.—P. 177.
57. V. Laue M. // Munch. Ber,— 1911.— S. 404; Das Relativitats-
prinzip.— 1919.
58. Burress F. Dissertation, Jena, 1911; Knopf O. // Ann. Phys.—
1920.- Bd 62 — S. 389.
59. Haner P. // Astr. Nachr.—1914.—Bd 198.—S. 378; 1914.—
Bd 199.—S. 10; Einstein A. // Ibid.—1914.—Bd 199.—S. 9, 47.
60. Zeemann P. // Amst. Versl.—1919.—Bd 28.—S. 1451; Zee-
mann P., Shethlage A. // Ibid.— 1919.— Bd 28.— S. 1462; Amst.
Proc— 1920.— V. 22 — P. 462, 512.
61. V. Lane M. // Ann. Phys.— 1920.— Bd 62.— S. 448.
62. Michelson A. A. // Philos. Mag,—1904 —V. 8 —P. 716;
Laue M. Ц Much. Ber., Math.-Phys. Kl.—1911.—S. 405.
63. Einstein A. I/ Ann. Phys.— 1907.— Bd 33.— S. 197.
64. Minkowski U. I. Das Relativitatsprinzip. Доклад математиче-
скому обществу в Геттингене 5 ноября 1907 г. Напечатано в
Jahresbers Deutsch. Math. Ver,— 1915,— Bd 24,— S, 372; Ann.

808 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Phys.— 1915.— Bd 47.— S. 927; II. Die Grundgleichungen fur
Elektromagnetischen Vorgange in bewegten Korpern // Gott.
Nachr.—1908.—S. 53; Math. Ann.—1910.—V. 68.—P. 472, и
отдельно: Leipzig, 1911; III. Raum und Zeit. Доклад, прочи-
танный собранию естествоиспытателей в Кёльне 21 сентября
1908 г., напечатан в Phys. Ztschr.— 1909,— Bd 10.— S. 104 и в
сб.: Das Relativitatsprinzip.— Leipzig, 1913. (Русский перевод:
Пространство и время / Принцип относительности.— М.:
ОНТИ, 1935.)
65. Sommerfeld А. // Ann. Phys.— 1910.— Bd 32.— S. 749; 1910.—
Bd 33.— S. 649.
66. Klein F. Programm zum Eintritt in die philosophische Fakul-
tat. Erlangen, 1872. Перепечатано в Malh. Ann.—1893.—
V. 43.— P. 63. См. доклад Клейна: Uber die geometrischen
Grundlagen der Lorentz-Gruppe. // Jahresber. deutsch. Math.-
Ver.—1910.-Bd 19.—S. 281; Phys. Ztschr.—1911.—Bd 12.—
S. 17 См также примеч. в кн.: Klein F // Gesammelte mathe-
matische Abhandlungcn,— Berlin, 1921.— Bd 1.— S. 565—567.
67. Grassmann H. // Ausdehnungslehre.— Berlin, 1862; V. Laue M.
Das Relativitatsprinzip.—Braunschweig, 1911.— 3rd edn., 1919;
Weyl H. II Raum — Zeit — Materie.—Berlin, 1918; 2nd edn.,
1919; 3rd edn., 1920; Ricci G., Levi-Civita T. Meth. de calcul
differential absolu et leurs applications.— Math. Ann.— 1901.—
V. 54.— P. 135; Einstein A. Die formale Grundlage der allge-
meinen Relativilatstheore / Berl. Ber.— 1914.— S. 1030; Die
Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie / Ann. Phys.—
1916.— Bd 49.— S. 769 (в отдельпой брошюре — Leipzig, 1916).
68. Lewis G. N. // Proc. Amer. Acad.— 1910.—V. 46.—P. 165; Wil-
son E. В.. Lewis G. N. // Ibid— 1912.—V. 48.— P. 387 (см. до-
клад Lewis G. N. // Jahrb. Rad. El,—1910.—Bd 7.—S. 321).
69. Kafka H. I/ Ann. Phys.— 1919.—Bd 58.—S. 1; Lang H. Disser-
tation.— Munchen. 1919; Ann. Phys.— 1920.— Bd 61.— S. 32.
70. Runge C. II Vektoranalysis.— Leipzig, 1919.
71. Weltzenbock R. Ц Enz., math. Wiss.. Art. Ill, E7, Zweiter Teil,
Abschn. C.
72. Hessenberg G. // Math. Ann.—1917.—V. 78.—P. 187.
73. Ball R. A Treatise on the Theory of Screws.— Cambridge, 1900
(см также Klein F. // Ztschr. Math. Phys.— 1902.— Bd 47.—
S. 237; Math. Ann.— 1906.—V. 62.—P. 419).
74. Weyl H. I/ Ztschr. Math.— 1918. Bd 2.— S. 384; Raum — Zeit —
Materie.— 3rd edn.— Berlin 1920.— S. 92, and so on.
75. Weyl H. Raum —Zeit —Materie.—Berlin, 1918.—S. 45—51.
76. Riemann B. t)ber die Hypothesen, welclie der Geometrie zug-
runde liegen (диссертация, 1854 г., опубликована Дедекин-
дом в Gott. Nachr.— 1968.—Bd 13.—S. 133); также Riemanns
Gesammelte VVerke.— S. 254, отдельно издана Вейлом (Бер-
лин, 1920).
77. Hilbert D. Grundlagen der Physik, 2 Mitt ff Gott. Nachr.—
1917.— S. 53; Blaschke W. // Leipz. Ber. math.-phys. Kl,—
1916.—Bd 68.—S. 50.
78. Levi-Civita T. Notione di parallelismo etc. // Rend. Pal.— 1917.—
V. 42,- P. 173.
79. Weyl H. Raum — Zeit — Materies.—Berlin, 1918.—S. 97—101,
80. Weyl H. I/ Math. Ztschr—1918.-Bd 2.—S. 384; Raum—
Zeit — Materie.— 3rd edn.— Berlin, 1920.— S. 100—102.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 3Uy
81. Ckrtslojfel Е. В. II Crcllos J.— 1869,— V. 70,— P. 46 (см. также
Lipschitz R. II Ibid.—P. 71).
82. Weyl H, Raum — Zoit — Matcrie.— 3rd edn.—Berlin, 1920.—
S. 101.
83. Weyl H. Raum — Zeit — Maleric—Berlin, 1918.— S. 102,
84. Kneser A. // Enz. Math. Wiss. Art. II,— Bd 8.— S. 59.7, 600, '
85. Voss A. /I Ibid. Art. IV.— Bd 1,— S. 96.
86. Leei-Civita T. // L'enseignomentmathem.—1920.—V. 21,—P. 5.
87. Lipschitz R. I/ Crolles J.— 1869 — V. 70.— P. 71; 1870.— V. 71.—
P. 244, 288; 1870.— V. 72.— P. 1; 1877.— V. 82.— P. 316.
88. Herglotz G. Zur Einsleinschen Gravitatkmstheorie / Leipzig
Ber., math.-phys. KL, 1916.— Bd 68.— S. 199.
89. Weber H. Riemanns Ges. Werke.— 2nd edn., comments.— P. 405;
Schur F, I/ Math. Ann.— 1886.— V. 27.— P. 537,
90. Vermeil H. // Ibid.— 1918,— V. 79.— P. 289.
91. Lorentz H. A. I/ Amst. VersL— 1916.—Bd 24 — S. 1389.
92. Vermeil H. Notiz iiber das mittlere Kriimmungsmap einer
гг-fach ausgedehnten Riemarmschen Mannigfaltigkeit // Gott.
Nachr,, malh.-phys. Kl.— 1917.— S. 334.
93. Noether E. Invarianten beliebiger Differentialausdriicke //
Ibid.— 1918.— S. 37.
94. Weyl H. Raum — Zeit — Materie.—4th edn.—Berlin, 1921
(addition).
95. Weyl H. Raum — Zeit — Materie.—Berlin, 1918 —S. 111.
96. Klein F. I/ Math. Ann.—1871.—V. 4-P, 573; 1872,- V. 6.—
P. 112.
97. Klein F. I/ Ibid.- 1890,- V. 37.-P. 544.
98. Programm' zum Eintritt in die philosophische Fakultat In
Erlangen 1892 / Math. Ann.— 1893.— V. 43 — P. 63.
99. Weyl H. /I Raum — Zeit — Materie.—Berlin, 1918.— g. 103—
107.
100. Poincare H. I/ Acta Math.—1887.—V. 9 —P. 321.
101. Goursat E. // J. de Liouville F).—1908.—V. 4.—P. 331.
102. Klein F, // Uber die Integralform der Erhallungssatze usw /
Gott. Nachr., math.-phys. KL- 1918.- S. 394.
103. Beltrami E. Sulla tooria generate dei parametri differenziale /
Memorie Ace. di Bologna B).— 1869.—V. 8.—P. 549.
104 Weyl H. ltaum — Zeit — Materie— 3rd edn.— Berlin, 1920.—
S. 164.
105. КЫп F. Ubor die Integralform der Erhaltungssatzo usw /
Gott. Nachr., math.-phys. KL— 1913.—S. 394.
106. Weyl H. Raum —Zeit —Materie—3rd edn.—Berlin, 1920.—
8. 231.
107. Einstein A. // Berl. Ber.— 1913,— Й. 448.
108 Hilhert D. // Grundlagen Phys., 2 Mitt. Gott. Nachr., math,-
phvs. KL— 1917.— S. 53.
109. Lorentz H, A. // Amst. Versl.— 1915.—Bd 23 —S. 1073; 1916.—
Bd 24.— S. 1389, 1759; 1916.— Bd 25.- S. 468, 1380.
110. Hilbert D. I/ Grundlagen Phys., 1 Mitt. Gott. Nachr., math.-
phys. KL— 1У15.— S. 395.
111. Einstein A. // Berl. Ber.—1916.—S. 1115. (Русский перевод:
Принцип относительности.— М.: ОНТИ, 1935.)
112. Weyl H. II Ann. Phys— 1917.— Bd 54,— S. 117; Raum — Zeit —
Materie.—Berlin, 1918; 3rd edn., 1920.
113. Klein F. Zu HUberts erster Note iiber gie Grundlagen der Phy-
sik I/ Gott. Nachr., math.-phys. KL— 1917.— S. 469; Ober die

810 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Different ialgesetze von Impuls und Energie in der Einsteincher
Gravitationstheorie / Ibid.— 1918.— S. 235.
114. We,yl H. Raum — Zeit — Materie.—Berlin, 1918,—S, 191;
3rd edn., 1920.— S. 205, 206.
115. Palatini A. I/ Rend. Pal.—1919.—V. 43 —P. 203,
116. Schur F. II Math. Ann.— 1886 — V. 27.- P. 537.
117. Einstein A. II Ann. PLys.— 1916.— Bd 49.— S. 806.
118. Pauli W. Jr. I/ Phys. Ztschr.— 1919.—Bd 20.—S. 25.
119. V. Laue M. // Ibid.— 1912.— Bd 13.— S. 118.
120. Sommerfeld A. I/ Ibid.— 1909.— Bd 10.— S. 820.
121. Varicak V. // Ibid.—1910.—Bd 11.— S. 93, 297, 586; Belgrader
Akademieber.— 1911.— V. 8S.
122. Jahresber. Deutsch. Math.-Ver.— 1912.— Bd 21.— S. 103.
123. Agramer Akademieber.— 1914.— S.46; 1915.— S.86, 101; 1916.—
S. 79; 1918— S. 1; 1919.— S. 100.
124. Klein F. II Math. Ann.— 1871.— V. 4.— P. 112.
125. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien.—Braunschweig,
1919.- S. 320, 321; 2nd edn., 1920.- S. 317, 318,
126. Born M. II Ann. Phys.— 1909.— Bd 30.— S. 1.
127. Sommerfeld A. // Ibid.— 1910.— Bd 33.— S. 670.
128. Lorentz H. A. Enz. Math. Wiss., V. 14, § 2, eq. (II).
129. Sommerfeld A. // Ann. Phys.—1910.—Bd 32.—S. 749.
130. Lorentz H. A. // Enz. Math. Wiss., V, 14, eq. (IV), (V).
131. Einstein A. Eine neue formale Deutung der Maxwollschen
Gleichungen / Berl. Ber.— 1916.— S. 184.
132. Lorentz H. A. // Enz. Math. Wiss., V, 14, § 4, eq. (IX), (X).
133. Cunningham E. // Proc. Lond. Math. Soc— 1910.—V. 8.—P. 77;
Bateman H. Ц Ibid.— 1910.— V. 8.— P. 223.
134. Frank Ph. I/ Ann. Phys.— 1911.— Bd 35.— S. 599.
135. Plank M. jl Verh. deutsch. Phys. Ges.—1906.—Bd 4.—S. 136,
136. Tolman С // Philos. Mag.— 1911 — V. 21.— P. 296.
137. Bucherer A. 11. // Mathematische Einleitung in die Elektronen-
theories.— 1904.— S. 58.
138. Abraham M. // Theorie Elektrizitat. 2.— 3rd edn., 1914.— S. 188.
139. Kaufmann W. / Gott. Nachr., math.-nat. Kl.—1901.—S. 143;
1902.— S. 291; 1903.— S, 90; Ann, Phys.— 1909.— Bd 28,—
S. 513; Bd 20.— S. 639.
140. Bucherer A. // Verh. deutsch. Phys. Ges.— 1908.— Bd 6.— S. 688;
Phys. Z.— 1908,— Bd 9,— S. 755; Ann. Phys,— 1909,— Bd 28,—
S. 513; 1909.— Bd 29.— S. 1063.
141. Wolz K. I/ Ann. Phys- 1909- Bd 30.- S. 373.
142. Besielmeyer A. // Ibid.— 1909.— Bd 30.— S. 166; Bucherer A. /
Ibid.—1909.—Bd 30,—S. 974; Bestelmeyer А. Ц Ibid.—1910.—
Bd 32 — S. 231.
143. Hupka E. // Ibid.- 1910,- Bd 31.- S. 169; Hell W. ff Ibid.—
1910 —Bd 31 —S. 519.
144. Ratnowsky S. Dissertation.—Geneva, 1911.
145. Neumann G. Dissertation.—Bresiau, 1914; Ann. Phys.—1914.—
Bd 45.— S, 529. Реферат об этом исследовании Неймана:
Schafer G. // Verh. deutsch. Phys. Ges.—1913.-Bd 15.—
S. 935; Phys. Z.— 1913.— Bd. 14,- S. 1117.
146. Schafer С. Ц Ann. Phys.— 1916.- Bd 49.— S. 934.
147. Guye Ch., lavanchy Ch. // Arch, de Geneve.—1916.—V. 41.—
P. 286, 353, 441.
148. Glitscher K. Dissertation.— Miinchen, 1917.
149. Glitscher K. ff Ann. Phys,— 1917,— Bd 52.— S, 608,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 811
150. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien.—Braunschweig,
1919.—S. 373, 1920.—S. 370.
151. Plank M. I/ Verh. deutsch. Phys. Ges.— 1908.— Bd 6.— S. 728;
Phys. Ztschr.— 1908.— Bd 9.— S. 828.
152. Schwarzschild K. // Gott. Nachr., math.-nat. Kl.—1903.—
S. 125.
153. Вот М. И Ann. Phys.— 1909.— Bd 28,— S. 571.
154. Weyl H. II Raurn — Zeit-Materie.—Berlin.—1918.—§ 32.—
S. 215.
155. Herglotz G. I/ Gott. Nachr. math.-nat. Kl.— 1904— S. 549.
156. Sommerfeld A. // Ann. Phys.—1910.—Bd 33.—S. 665.
157. Schwarzschild K. // Gott. Nachr., math.-phys. KL— 1903.— S. 132.
158. V. Laue M. Das Relativitatsprinzip.— Leipzig, 1911.— S. 108,
§ 18d.
159. Hicks W. II Philos. Mag—1902.—V. 3 —P. 9; Abraham M. Ц
Boltzmann-Festschrift.— 1904.— S. 85; Ann. Phys.— 1904.—
Bd 14.—S. 236; Theorie der Elektrizitat B).—Leipzig, 1905.—
S. 343, § 40; Kohl E. // Ann. Phys.- 1909.- Bd 28.- S. 28.
160. Bateman H. ff Philos. Mag—1909.—V. 18.—P. 890.
161. Heaviside O. ff Nature.— 1902.— V. 67 — P. 6.
162. Abraham M. ff Ann. Phys.—1904.—Bd 14.—S. 236; Theorie
der Elektrizitat.— Leipzig, 1915.— Bd 2, § 13—15.
163. V. Laue M. Ц Verh. deutsch. Phys. Ges.—1908.— Bd 10,—
S. 888; Ann. Phys.— 1909.— Bd 28.— S. 436.
164. Abraham M. // Theorie der Elektrizitat B).—2nd edn,—Leip-
zig, 1908.— S. 387.
165. Einstein A., Laub J. ff Ann. Phys.—1908.—Bd 26,—S. 532,
166. Lorentz ff. I/ Enz. Math. Wiss., V. 13, § 4, S. 78.
167. Lorentz ff. Alte und neue Fragen der Physik / Phys. Ztschr.—
1910.-Bd 11-S. 1234 (esp. S. 1242); V. Laue M. Das Rela-
tivitatsprinzip.— 1911.— S. 119.
168. Weyl H. II Raum — Zeit — Materie.— Berlin, 1918.— S, 153,
eq. D6).
169. Einstein A., Laub J. ff Ann. Phys.— 1909.— Bd 28.— S. 445;
V. Laue M. Das Relativitatsprinzip.— 1911.— S. 128, 129.
170. Frank-Ph. // Ann. Phys.—1908.—Bd 27.—S. 897.
171. Henschke E. Dissertation, Berlin, 1912; Ann. Phys.—1913.—
Bd 40,—S. 887; Ishiwara I— Jahrbuch Rad. Elektr.—1912,-^
Bd 9.— S. 560; Ann. Phys.— 1913.— Bd 42.— S. 986.
172. Minkowski H., Born /I Math. Ann.—1910.—V. 68.—P. 526;
отдельная брошюра — Leipzig, 1910 (см. также Fokker A. D. Ц
Philos. Mag.- 1920.- V. 39.- P. 404).
173. Frank Ph. / Ann. Phys— 1908.— Bd 27.— S. 1059.
174. Dallenbach W. // Dissertation, Zurich, 1918; Ann. Phys., 1919.—
Bd 58.— S. 523.
175. Abraham M. Ц Rend. Pal.— 1909.— V. 28.— P. 1.
176. Nordstrom G. // Phys. Ztschr.—1909,—Bd 10.—S. 681; Abra-
ham M. II Ibid.—1909.— Bd 10.— S. 737; Nardstrdm G. Ц
Ibid.-1910.-Bd 11.-S. 440. Abraham M. Ц Ibid.— 1910.*-
Bd 11.- S. 527.
177. V. Laue M. Das Relativitatsprinzip.—Leipzig, 1911,—S, 134.
178. Ishiwara J. // Ann. Phys.— 1919.— Bd 42.— S. 986,
179. Dallenbach W. // Ibid— 1919.— Bd 59.— S. 28.
180. Abraham M. // Reud. Pal.—1910.—V. 30.—P. 33; Theorie der
Elektrizitat B),—3rd edn,—Leipzig, 1914.—S. 298 and so on,
| 38, 39,

812 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
181. Grammel П. // Ann. Phys.— 1913,— Bd 41.—S. 570.
182. V. Laue M. Das Relativitalsprinzip,—Leipzig, 1911,—§ 22.—
S. 135,
183. Abraham M. // Ann. Phys.-1914.-Bd 44.-S. 537.
184. Einstein A., Laub J. // Ibid.— 1908.— Bd 26.—S. 541.
185. Gans R. Uber das Biot-Savartscher Gesetz / Phys. Ztschr.—
1911.-Bd 12.-S. 806.
186. Lorentz II. I/ Enz. Math. Wiss., Art, V, 13, § 17; Art, V, 14,
§ 34 (там же старая литература).
187. Weber A. // Phys. Ztschr.- 1910.- Bd П.- S. 134.
188. Wilson H. А. И Phiios. Trans. (A).—1904.—V. 204.—P. 121.
189. V. Laue M. Das Reiativitatsprinzip.— Leipzig, 1911.—S. 129;
Weyl H. Raum —Zeit—Materie.— Berlin, 1918.—S. 155.
190. Wilson H. A., Wilson M. ff Proc, Roy. Soc. (A).—1913.—
Bd 89.— S. 99.
191. Abraham M. Theorie der Elektrizitat B).—3rd edn.—Leipzig,
1914.—S. 388; LaueM. Das Relativitatsprinzip —Leipzig, 1911.—
S. 126; Weyl 11. Raum — Zeit — Materie.-Berlin, 1918.—§ 22,
192. Airy G. B. I/ Proc. Roy. Soc-1871.-V. 20-P. 35; 1873.
V. 21,- P. 121; Phiios. Mag.-1872.-V, 43.-P. 310.
193. Lorentz II. А. Ц Arch, neerl,—1887,— V. 21,— P. 103 (Ges.
Abh.-XlV.-S. 341).
194. V. Laue M. Das Relativitatsprinzip.—Leipzig, 1911,—S. 134,
195. Scheye A. Ober die Fortpflanzung des Lichtes in einem beweg-
ten Dieleklrikum // Ann. Phys.— 1909,— Bd 30.— S. 805.
196. Sommerjeld A. Heinr. Weber / Festschrift; Phys. Ztschr.—
1907.— Bd 8.— S. 841; Ann. Phys.— 1914.— Bd 44.— S. 177.
197. Brillouin L. /I Ann. Phys.— 1914.— Bd 44,— S. 203.
198. V. Laue M. Das Relativitatsprinzip.— Leipzig, 1911.— S. 88.
199. Lewis G. N., Tolman R. // Phiios. Mag.— 1909.— V. 18.— P. 510.
200. Campbell N. Ц Ibid.— 191-1.— V. 21.— P. 626.
201. Epstein P. // Ann. Phys.—1911.—Bd 36.—S. 729.
202. Juttner F. Ц Ztschr. Math. Phys.— 1914- Bd 62.— S. 410,
203. Einstein A. // Ann. Phys— 1905.— Bd 18.— S. 639,
204. Einstein A. // Ibid.— 1906,— Bd 20.— S. 627.
205. Lewis G. Ц Thilos Mag—1908,—V. 16.—P. 705.
206. Einstein A. / Ann. Phys.— 1907.— Bd 23,— S. 371.
207. Lorentz H. A. Das Relativitatsprinzip, 3 Haarlemer Vortrage;
Lorentz II. A. Over de massa der energie.— Amst. Vesl. /
1911,—Bd 20.—S. 87.
208. Einstein A. ff Jahrb. Rad. El.— 1907.— Bd 4.— S. 440.
209. Planck M. // Berl. Ber.- 1907.- S. 542; Ann. Phys.- 1908.-
Bd 76.— S. 1: Einstein А. Ц Jahrb. Rad, El,— 1907,— Bd 4.—
S. 443.
210. Langevin P. // J. de Phys. E).-1913,-V. 3,-P. 533.
211. Swinne R. // Phys. Ztschr,— 1913.— Bd 14.— S. 145.
212. Harkins W. D., Wilson E. D. // Ztschr. aoorg. chem.— 1916.—
Bd 95,- S. 1, 20; Lenz W. ff Munch. Ber.- 1918.- S. 35; Natur-
wiss,—1920,—Bd 8.—S, 181; Stern O., Vollmer M. ff Ann,
Phys.—1919,—Bd 59.—S, 225; Smekal A. ff Naturwiss,—
1920.—Bd 8.—S. 206; Wien. Ber., math.-phys. Kl.—1920.
213. Abraham M. J Phys. Ztschr.—1909,—Bd 10.—S. 739;
V. Laue M. Das Relativitatsprinzip.—Braunschweig, 1911; Ann,
Phys,—1911,—Bd 35,—S. 524 (см. также Scholtky W. Disser*
tation, Berlin, 1912,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 813
214. Planck M. // Phys. Ztschr.— 1908.— Bd 9.— S. 828.
215. Lorenlz H. A. // Enz. Math. Wiss., V, 14, § 7.
216. V. Laue M. // Ann. d. Phys.— 1911.— Bd 35.— S. 524; Das Rela-
tivitatsprinzip.— Leipzig, 1911.—S. 87, eq. A02); S. 153,
eq. (XXVII).
217. Einstein A. // Jahrb. Rad. El.—1907.—Bd 4.—S. 411.
218. Einstein A. II Ann. Phys.— 1907,— Bd 23.— S. 371; Jahrb. Rad.
El.- 1907.- Bd 4,- S. 446, 447.
219. Epstein P. И Ann. Phys.— 1911.— Bd 36.— S. 779.
220. Lorentz H. A. // Enz. Math. Wiss., V, 14, § 7, 219.
221. Lewis G. N., Tolman R, C. // Philos. Mag.—1909.—V. 18.—
P, 510,
222. V. Lane M. // Phys. Ztschr-1911-Bd 12.-S. 1008.
223. V. Laue M. // Das Relativitatsprinzip.—Leipzig, 1911.—S. 99,
224*. Вавилов С. И. Экспериментальные основапия теории относи-
тельности — М : ГИЗ, 1928.
225. Lorenz Я. / Enz. Math. Wiss., V, 14, § 64.
226. V. Laue M. // Ann. Phys.- 1911- Bd 35.- S. 524,
227. V. Laue M. // ibid.— 1912.— Bd 38.— S. 370.
228. Abraham M. Ц Ibid-1903-Bd 10-S. 174; Theorie der
Elektrizilat B).— Leipzig, 1905.— S. 170.
229. Bom M. U Ann. Phys.- 1909.— Bd 30.— S. 1.
230. Ehrenjesi P. // Phys. Ztschr.— 1909.- Bd 10.—S. 918.
231. llerglotz G. I/ Ann: Phys.- 1910.— Bd 31,— S. 393.
232. Noether F. // Ibid.— S. 919.
233. Вот М. I/ Phys. Ztschr.—1910.—Bd 11.—S. 233;
Planck M. И Ibid.— S. 294;
Ignatowski W. II Ann. Phys.—1910.—Bd 33.—S. 607;
Ehrenfest P. // Phys. Ztschr.— 1910.— Bd 11.— S. 1127;
Bom M. II Gott. Nachr.— 1910.— S. 161.
234. V. Laue M. // Phys. Ztschr.— 1911.—Bd 12.—S. 85.
235. Iierglotz G. /I Ann. Phys.—1911.—Bd 36.—S. 493.
236. Abraham M. // Rend. Pal.- 1909.— V. 28,— S. 1.
237. Einstein A. // Jahrb. Rad. El.—1907.—Bd 4,—S. 441, § 13;
Sommerjeld A // Ann. Phys.— 1910— Bd 32.— S. 775.
238. Ignatowsky W. V. // Phys. Ztschr.-1911.-Bd 12,-S. 441,
239. Lamia E. Dissertation, Berlin, 1911; Ann. Phys.—1912.—
Bd 37,- S. 772.
240. HasenShrl F. // Wien. Ber.—1907.—Bd 116.—S. 1391.
241. Einstein A. // Jahrb. Rad. EL— 1907.— Bd 4.—S. 411, § 15, 16.
242. Helmholtz H. // Crelles J.— 1886.—V, 100.— P. 137, 213 (Ges,
Abb..- 1885.- Bd 3.- S. 225).
243. HasenShrl F. / Wien. Ber.—1904.—Bd 113.— S. 1039; Ana
Phys.- 1904,- Bd 15- S. 344; 1905- Bd 16- S. 589.
244. V. Mosengeil K. Dissertation, Berlin. 1906; Ann. Phys.— 1907.—
Bd 22.—S. 867; Abraham M. Theorie der Elektrizitat B),—
2nd edn,— Berlin, 1908.— S. 44.
245. Juttner F. g Ann. Phys.— 1911.—Bd 34.—S. 856,
246. J Miner F. /I Ibid.— 1911.— Bd 35.— S. 145.
247. De Sitter W. // Monthly Not.-1911.-V. 71.-P. 388.
248. Lorentz H. A. / Phys. Ztschr.—1910.—Bd 11.— S, 1234; Das
Relativitatsprinzip, 3 Haarlemer Vortrage.— S. 19.
249. Einstein А. И Jahrb. Rad. El.—1907.—Bd 4.—S. 411.
250. Lorentz H. A. Haarlemenr Vortrage.— S, 36; Ehrenfest P. g
Amst. Proc,- 1913,-V, 15,- P. 1187,

814 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
251. Einstein A. Uber den Einfluss der Schwerkraft auf die Aus-
breitung des Lichtes // Ann. Phys.—1911.—Bd 35.—S. 898
(см. также Das Relativitatsprinzip.—3rd edn., 1920).
252. Einstein A. // Ann. Phys—1912 —Bd 38.—S. 355, 443; Abra-
ham M. II Phys. Ztschr.—1912.—Bd 13.—S. 1, 4, 793. Дискус-
сия между Эйнштейном и Абрагамом: Ann. Phys.— 1912.—•
Bd 38-S. 1056, 1059; 1912.-Bd 39.-S. 444, 704.
253. NordstrOm G. // Phys. Ztschr—1912 —Bd 13.—S. 1126; Ann.
Phys.— 1913.— Bd 40.— S. 856; 1913.— Bd 42.— S. 533; 1914.—
Bd 43— S. 1101; Finska Vetensk. Verh.— 1914.— 1915,— Bd 57.
254. Behacker M. // Phys. Ztschr.—1913 —Bd 14.—S. 989; Ein-
stein A., Fokker A. D. // Ann. Phys.—1914.—Bd 44.—S. 321;
обзоры: V. Laue M. // Jahrb. Rad. EL—1917.—Bd 14.—S. 263;
Abraham M. // Jahrb. Rad. El.—1914 —Bd 11.— S. 470.
255. Mie G II Ann. Phys—1913.—Bd 40 —S. 1. sec. V; Elster —
Geitel — Festeschr.— 1915.— S. 251.
256. Einstein A., Grossmann M. // Ztschr. Math. Phys.—1914.—
Bd 63.— S. 215; обзорная работа: Einstein A. Zum gegenwarti-
gen Stand des Gravitationsproblem / Phys. Ztschr.— 1913.—¦
Bd 14.— S. 1249; дискуссия: Einstein A., Mie G., Nordstrom G. //
Phys. Ztschr.—1914.—Bd 15.—S. 115, 169, 176, 375.
257. Koitler F. // Wien. Ber.— 1912 — Bd 121.— S. 1659.
258. Einstein A. Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitats-
theorie / Berl. Ber.— 1914.— S. 1030.
259. Einstein A. // Berl. Ber.— 1915.— S. 778, 779. 844.
260. Ililbert D. Grundlagen der Physik, 1 Mitt; Gott, Nachr., math.-
nat. Kl- 1915.- S. 395.
261. Einstein A. ff Berl. Ber.— 1915.— S. 831.
262. Einstein A. / Ann. Phys.— 1916.— Bd 49.— S. 769 (см. также
в сб.: Das Relativitatsprinzip).
263. Edtvos R. II Math, naturw. Ber. aus Ungarn.— 1890.— Bd 8.—
S. 66; Edtvos Д., Pekdr D., Fekete E. Abh der XVI allgemeinen
Konferenz der internat.— Erdmessung, 1903.
264. Gott. Nachr., geschaftliche Mitteilungen.—1909.— S. 37; Pe-
kdr D. /I Naturw.— 1919.— Bd 7.— S. 327.
265. Southerns L. // Proc. Roy. Soc. A— 1910.— Bd 84.— S. 325,
266. Kreischmann E. // Ann. Phys.—1917 —Bd 53.—S. 575.
267. Weyi II. Raum — Zeit — Materie.— Berlin, 1918.— S. 182; 3rd
edn., 1920 — S. 194.
268. Einstein A. Uber die Spezielle und die AUgemeine Relativitats-
theorie.— 1917.— S. 2.
269. Kretschmann E. // Ann. Phys.—1915.—Bd 48.—S. 907, 943.
270. Lenard P. Uber Relativitatsprinzip, Ather. Gravitation.— Leip-
zig, 1918; 2nd edn., 1920.
271. Lenard P. // Phys. Ztschr.— 1920.— Bd 21.— S. 666.
272. Einstein А. Ц Ann. Phys.— 1918.— Bd 55.— S. 241.
273. Weyl H. Raum — Zeit — Materie.—Berlin. 1918.—S. 180, 181:
3rd edn., 1919.— S. 192, 193.
274. Mie J. // Ann. Phys.— 1920.— Bd 62.— S. 46.
275. Einstein A. // Naturw.— 1918.— Bd 6.— S. 697.
276. V. Laue M. // Phys. Ztschr.— 1920.— Bd 21.— S. 659,
277. Jewell L. E. // Astrophys. J.— 1896.— V. 3.— P. 89.
278. Evershed J. J Kodaik. Obs. Bull.—1914 —Bd 36.
279. Freundlich E. // Phys. Ztschr.— 1914.— Bd 15.— S. 369,
280. Schwarzschild K. // Berl, Ber,— 1914.— S, 120,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 313
281. John Ch. Е. St. И Astrophys. J.-1917.—V. 46-P. 249.
282. Ewershed J., u. Royds // Kodaik. Obs. Bull.— Bd 39.
283. Wichert E. // Gott. Nachr., math.-nat. Kl.— 1910.—S. 101; Astr.
Nachr., N 5054,—S. 211 (столбец 275); Ann. Phys.— 1920.—
Bd 63.— S. 301.
284. Grebe L.. Bachem A. / Verh. deutsch. Phys. Ges.—1919.
Bd 21.- S. 454; Zlschr. Phys.- 1920.- Bd 1- S. 51; 1920 —
Bd 2.— S. 415.
285. Grebe L. // Phys. Ztschr.— 1920,— Bd 21,— S. 662; Ztschr.
Phys.— 1921.- Bd 4.— S. 105.
286. Perot A. II С R.— 1920.— V. 171.— P. 229.
287. FreundUch E. Ц Phys. Ztschr.— 1915.—Bd 16.—S. 115; 1919.—
Bd 20.— S. 561.
288. Seeliger H. Ц Astr. Nachr.-1916.-Bd 202.-Spalte 83
(см. также FreundUch E. // Ibid.—Sec. 147).
289*. John St. I/ Astrophys. J,—1928.—V. 67.—P. 195; Adams //
Proc. Nat. Acad.- 1925.- V. 11.— P. 382.
290*. Вавилов С. И. Экспериментальные основания теории относи-
тельности—М.: ГНТИ, 1928,—Гл. 8 (см. также Эддингтон А.
Теория относительности: Пер. с англ.— М.: ГТТИ, 1934).
291. Palatini A. Atti del reale institute Veneto di scienze, lettere
ed arti,— 1919.— V. 78.- P. 2, 589.
292. De-Zuani A. // Nuovo Cimento F).—1919.—V. 18.—P. 5.
293. Levi-Civila T. Statica Einsteinaina // Rend. Ace. Line. E).—
1917.—V. 26.-P. 458; Nuovo Cimento F).—1918.—V. 16.—
P. 105.
294. Weyl H. / Ann. Phys.— 1917.— Bd 54.— S. 117; Raum — Zeit —
Materie.—Berlin, 1918.—S. 195, 3rd edn., 1920.—С 209, 210.
295. Nordstrom G. // Amst. Versl.—1916.—Bd 25.—S. 836.
296. Hubert D. II Grundlagen der Physik, I /J Gott. Nachr., math.-
nat., Kl.— 1915.— S. 395.
297. Mach E. Die Geschichte und die Wurzel des Satzes von der
Erhaltung der Arbeit.— Prag, 1877,— S. 36, 37; Mechanik.—
Leipzig, 1883.
298. Einstein A., Infeld L, Hofjmann R. // Ann. Math.—1940.—
V. 41.—P. 455; 1938.—V. 39.—P. 65; Фок В. А. // ЖЭТФ.—
1939.- Т. 9.- С. 375.
299 Schwarzschild К. Ц Berl. Ber.— 1916,— S. 189.
300. Droste J. I/ Amst. Versl.— 1916.— Bd 25.— S. 163.
301. Weyl H. II Ann. Phys.— 1917.— Bd 54— S. 117; Raum — Zeit—
Materie.—Berlin, 1918.-S. 199; 3rd edn., 1920 —S. 217,
302. Flamm L. // Phys. Ztschr.— 1916.- Bd 17.— S. 448.
303. Enz. Math. Wiss., VI. 2, 17.—S. 887 (Buuschinger).
304. Le Verrier U. J. // Ann. de l'Obs. (Paris).—1859.—V. V.
305. Newcomb S. // Wash. Astr. pap—1898.—V. 6.—P. 108.
306. Seeliger H. Ц Munch Ber.— 1906.— Bd 36.— S. 595.
307. Gerber P. Ц Ztschr. Math., Phys.— 1898.— Bd 43.— S. 93;
Jahresb. Real — Progyrrm.— Slargart, 1902. Перепечатана в
Ann. d. Phys.— 1917.— Bd 52.— S. 415; дискуссия: Seeliger H. //
Ann. Phys-1917.-Bd 53.-S. 31; 1917-Bd 54.-S. 38;
Oppenheim S. // Ann. Phys.; 1917.— Bd 53, S. 163; Laue M. //
Ann. d. Phys.-1917.—Bd 53.—S. 214; Naturw.—1920.—
Bd 8.— S. 735 (см. также Zenneck J. // Enz. Math. Wiss., V, 2,
§ 24; Oppenheim S. // Ibid., VI, 2, 22, § 316.
308. Dyson F. W.. Eddington A., Davidson C. A determination of
the deflection of light by the sun's gravitational field from
21*

316 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
observations made at the total eclipse of May 29, 1919 / Phi-
los Trans. Roy. Soc. A.—1920.—V. 220.—P. 291.
309. Schwarzschild K. // Bed. Ber.— 1916.— S. 424.
310. Weyl II. Raum — Zeit — Materie,— Berlin. 1918.—S. 208; 3rd
edn., 1920.— S. 225.
311. Bauer H. // Wien Ber. math.-nat. Kl., Abt. Ha.—1918.—
Bd 127.- S. 2141.
312. Reissner H. // Ann. Phys.— 1916.— Bd 50.— S. 106.
313. Weyl ti. Raum — Zeit — Materie.—Berlin, 1918,—S. 207; 3rd
edn., 1920.— S. 223.
811. Bauer а. Л Wien Ber, math.-nat. Kl., Abt. Ha.—1918.—
chi и Rend. Ace. Line. E).— 1917.—V. 26.—P. 458.
315. Weyl H. /I Ann. Phys.— 1919.— Bd 57,— S. 185.
316. Levi-Civita T. ds2 einsteiniani in campi newtonlani, I—IX //
Rend. Ace. Line. ( 5).—1917.—Bd 26; 1918.—Bd 27; 1919.—
Bd 28.
317. Einstein A. // Berl. Ber.— 1916.— S. 688.
318. Einstein A. Ober Gravitationswellen // Berl. Ber.—1918 —
S. 154.
319. Droste I/ Amst. Proc.— 1916.—V. 19.— P. 447.
320. Thirring H., Lease J. // Phys. Ztschr.— 1918.— Bd 19.— S. 156.
321. De Sitter W. // Monthly Not. Roy. Ast. Soc— 1916.— V. 76.—
P. 699; 1916.— V. 77.— P. 155; Planetary motion and the motion
of the moon according to Einstein's theory / Amst. Proc.—
1916.— V. 19.— P. 367.
322. Thirring H. I/ Phys. Ztschr.— 1918 — Bd 19,— S. 33; cp также
Phys. Ztschr.— 1921.— Bd 22.— S. 29.
323. Frledlander В., Friendldnder T. Absolute und relative Bewe-
gung.— Berlin, 1896.
324. Schrodinger E. // Phys. Ztschr- 1918.- Bd 19.- S. 4,
325. Bauer H. // Ibid,— 1918.— Bd 19.— S. 163.
326. Einstein A. // Ibid.— 1918.— Bd 19 — S. 115.
327. Einstein A. // Berl. Ber.— 1918.— S. 448; Klein F. Uber die
Integralform der Echaltungssatze und die Theorie der raum-
lich geschlossenen Welt // Gott. Nachr., math.-phys. Kl.—
1918.—S. 394.
328. Mach E. Mechanik, Кар. 11, § 6; Die Geschichte und die Wur-
zel des Satzes von der Erhaltung der Arbeit, Zusatznote, 1.
329. Einstein A. // Ann. Phys.— 1918 — Bd 55.— S. 241.
330. Neumann С // Abh. Kgh. sachs. Ges. Wiss. zu Leipzig, math.-
nat. Kl.— 1874.— Bd 26.— S. 97.
331. V. Seeliger H. // Astr. Nachr.— 1895.— Bd 137.— S. 129.
332. V. Seeliger II. // Munch. Ber.— 1896.— Bd 26.— 373.
333. Neumann C. Allgemeine Untersuchiingen uber das Newtonsche
Prinzip der Fernwirkungen.— Leipzig, 1896 (especially, S. 1).
334. Serini R. // Rand. Ace. Line. E).— 1918 — Bd 27.— S. 235.
335. De Sitter W. // Amst. Proc.—1917.—V. 19.—P. 1217; V. 20.—
P. 229.
336. Einstein A. // Berl. Ber.—1918,—S. 270; De Sitter W. //
Amst. Proc— 1918.— V. 20 — P. 1309.
337. Weyl H. I/ Phys. Ztschr.- 1919.- Bd 20- S. 31.
338. De Sitter W. Ц Monthly Not. Roy. Astr. Soc— 1917,— V. 78,—
P. 3.
339. Lense J. Ц Wien. Ber.— 1917.— Bd 126 — S. 1037.
340. Grommer J. // Berl. Ber.— 1919.— S. 860.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 317
341. Abraham M. // Ann. Phys.— 1903.—Bd 10.—S. 105 (см. также
Lorentz H. A. I/ Enz. Math. Wiss.. V, 14, § 21).
342. Abraham M. // Pliys. Ztschr.— 1904.— Btf 5 — S. 576; Theorie
der Eicktrizitat.— Leipzig, 1905.— Bd 2.— S. 205.
343*. Веккер Р. Электронная теория — M : ОНТИ, 1941.—§ 66.
344. Ehrenjest P. // Arm. Phys.—1907.—Bd 23.—S. 204 (замеча-
ния к этому см. Einstein A. // Ann. Phys.— 1907.— Bd 23.—
S. 206).
345. Mie G. Grundlagen einer Theorie der Materie / Ann. Phys.—•
1912.—Bd 37.—S. 511; 1912.—Bd 39.—S. 1; 1913.—Bd 40,—
S. 1.
346. Born M. /I Gott. Nachr math.-phys. Kl.— 1914— S. 23.
347. Weyl II. Raum — Zeit — Malerie.— Berlin, 1918.— § 25.— S. 165;
3rd edn., 1920,— S. 175.
348*. Born M. /I Proc. Roy. Soc— 1934.— V. 143.—P. 410; Born M.,
a Infeld L. II Ibid.— 1934.— V. 144.— P. 425; 1935.— V. 150.—
P. 141; Bopp F. /I Ann. Phys.— 1940.—Bd 38 —S. 344; PodoU
sky B. I/ Phys. Rev.— 1942.—V. 62.— P. 68.
349. Weil II. И Bed. Ber.- 1918.- S. 465; Math. Z.- 1918.- Bd 2.—
S. 384; Ann. Phys.—1919.—Bd 59.—S. 101; Raum-Zeit-Mate-
rie.—3rd edn.—Berlin, 1920.—Ch. II, IV, § 34, 35.—
S. 242 etc.
350. Einstein A. // Phys. Z.—1920.—Bd 21.—S. 651; Ather und
Relativitalstheorie.— Berlin, 1920 (речь, произнесенная в Лей-
дене).
351 WeitzenbSck R. // VVien. Ber,, math.-phys. Kl.— 1920.— Ha.—
Bd 129 — S. 683, 697.
352. Pauli W., Jr. // Verh. deutsch. Phys. Ges— 1919 — Bd 21.—
S. 742.
353. Pauli W., Jr. / Phys. Ztschr.— 1919.— Bd 20.— S. 457.
354*. Hawking S. W. // Cnram. Math. Phys.— 1975.— V. 43.— P, 199
(русский пер. см. в [1.2*]).
355*. Фролов В. П. II УФН.—1976.—Т. 118.-С. 473.
356. Gibbons G. W. Quantum field theory in curved spacetime ff
General relativity. An Einstein centenary survey/Ed. S. VV. Haw-
king; W. Israel.— Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1979.—
P. 639.
357. Dt Witt B. S. Quantum gravity: the new synthesis / Ibid.—
P. 680.
358. Hawking S. W. The path-integral approach to quantum gravi-
ty / Ibid.— P. 746.
359. Kennedy R. ]., Thomdike E. M. // Phys. Rev.— 1932.— V, 42.—
P. 400.
360. Robertson H. P. // Rev. Mod. Phys.—1949.—V. 21.—P. 378.
361. Tomaschek R. // Ann, Phys. Lpz.—1924.—Bd 73.—S. 105.
362*. Фейнберг Е. Л. Можно ли рассматривать релятивистское из-
менение масштабов длины и времени как результат действия
некоторых сил? // Эйнштейновский сборник 1975—1976.—
М : Наука, 1978.- С. 43.
363*. Сыроватский С. И. К вопросу о «запаздывании» релятивист-
ского сокращения движущихся тел // Там же.— С. 78.
364. Pogany В. /I Ann. Phys., Lpz.-1926—Bd 80.—S. 217; Na-
turw.-1927.-Bd 15.- S, 177; Ann. Phys., Lpz.-1928,-
Bd 85.— S. 244.
365. Michelson А. А. Ц Astrophys. J.—1925.—Bd 61.—S. 137;
Michelson A. A., Gale H. G. Ц Ibid,— 1925,- Bd 61,— S. 1401.

318 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
366. Ives H. E., S til well С. R. // J. Opt. Soc. Amer.— 1938.— V. 28.—
P. 215; 1941.— V. 31.—P. 369.
367. Otting G. II Phys. Z.— 1939.— Bd 40.— S. 681.
368. Rossi В., Hall D. B. II Phys. Rev.— 1941.— V. 59.— P. 223.
369. Durbin R. Loar H. П., Havens W. W. // Ibid.— 1952.— V. 88.—
P. 179 (especially p. 183).
370*. Farley F. J. M. et al. // Nuovo Cimeuto.— 1966,— V. 45.—
P. 281.
371*. Frisch D. H., Smith J. H. // Amer. J. Phys.- 1963.— V. 31.—
P. 342.
372. Schouten J. A. Rucci-Culculus.—2nd edn.—Berlin, London,
1954. j
373. Einstein A. // S. B. preuss. Acad. Wiss.—1925.—P. 414.
374. Freud P. // Ann. Math., Princeton.— 1939.— V. 40.— P. 417.
375. Rogers M. M., McReynolds A. W., Rogers F. Т., Jr, / Phys,
Rev.— 1940.— V. 57.— P. 379.
376. Larmor J. J. Aether and Matter.—Cambridge, 1900.—Ch. 6.
377*. Тамм И. Е. Основы теории электричества.— 9-е изд.— М.:
Наука, 1976.— Гл. 8.
378*. Столяров С. II. Граничные задачи электродинамики движу-
щихся сред II Эйнштейновский сборник 1975—1976.— М.;
Наука, 1978.— С. 152.
379*. Болотовский Б. М., Столяров С. Н. Усиление электромагнит-
ных волн в присутствии движущихся сред II Эйнштейнов-
ский сборник 1977.— М.: Наука, 1980.— С. 73.
380 V. Laue M. Relativitatstheorie.— 6th edn.— Braunschweig,
1955.—V. 1.—§ 19.
381*. Гинзбург В. Л., Угаров В. А. // УФН.— 1976.—Т. 118.—С. 175.
382*. Скобельцын Д. В. // УФН.—1973.—Т. 110.—С. 253.
383* Robinson В. N. // Phys. Rept.—1975.-V. С16.—P. 313.
384*. Brevik I. Ibid.— 1979.—V. 52 — P. 133.
385*. Франк И. И. Ц Изв АН СССР. Сер. физ.— 1942.— Т. 6.— С 3
386*. Франк И. М. II УФН.— 1959.— Т. 68.- С. 397.
387. Du Mond J., bind D. A. and Watson B. B. // Phys. Rev.— 1949.—
V. 75 — P. 1226.
388. Cockcrojt J. D., Walton E. Т. Ц Proc. Roy. Soc—1932.—
V. A137 — P. 229.
389. Einstein A., Grommer J. // S. B. preuss. Acad. Wiss.—1927.—
P. 6, 235.
390. Einstein A., Infeld L., Hoffman B. // Ann. Math., Princeton.—
1938.— V. 39.— P. 65.
391. Infeld L. II Phys. Rev.— 1938.— V. 53.— P. 836.
392. Einstein A., Infeld L. // Ann. Math., Princeton.— 1940.—V. 41.—
P. 455; Canad. J. Math.— 1949.—V. 1.— P. 209.
393. Infeld L., Schild A. // Rev. Mod. Phys.— 1949.—V. 21.—P. 408
(в пределе масса частицы стремится к нулю).
394. Infeld L, Scheidegger A. // Canad. J. Math.—1951—V, 3.—
P. 195.
395. Infeld L. I/ Acta phys. polon.—1954.—V. 13.—P. 187.
396. Weyi H. Raum — Zeit — Materie.—5th edn.—Berlin, 1928.—
§ 38.
397. Fock V. Theory of Space, Tiue and Gravitation.— London, 1958.
398. Ha N. I/ Proc. Roy. Irish Acad.—1947.—V. A51.—P. 87.
399*. Гинзбург В. Л. // УФН.— 1979.—Т. 128,— С. 435
400* Руденко В. II. // Там же.— 1978.— Т. 126.— С 361

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 819
401*. Will С. М. The confrontation between gravitation theory and
experiment / General Relativity/Ed S. W. Hawking, W. Is-
rael.—Cambridge; Cambridge Univ. Press, 1979.—P. 24—89.
402*. Synge J. L. ff Proc. Roy. Irish. Acad.— 1950.— V. A53.— P. 83.
403*. Kruskal M. D. // Phys. Rev.—I960.—V. 119.—P. 1743.
404*. Фролов В. П. Физика черных дыр: от Эйнштейна до наших
дней / Эйнштейновский сборник 1975—1976.— М.: Наука,
1978- С. 82.
405*. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация: Пер. с англ.—¦
М.: Мир, 1977.-Т. 3.
406. Einstein A., Rosen N. ff J. Franklin Inst.— 1937.— V. 223.—
P. 43.
407. Einstein A., Pault W. ff Ann. Math., Princeton B).—1943.—
V. 44 —P. 131.
408. Lichnerowicz А. ff С. R. Acad. Sci., Paris.—1946.—V, 222.—
P. 432.
409. Lichenerowicz A. Theories relativistes de la gravitation et de
l'electromagnetisme.— Paris, 1955.
410. Friedmann А. ff Z, Phys.— 1922.— Bd 10,— S. 377: 1924.—
Bd 21.- S. 326.
411. Lemaitre G. ff Ann. Soc. Sci. Brux.—1927.—V. A47.—P, 49.
412. Einstein A. ff S. B. preuss. Acad. Wiss.— 1931.— P. 235,
413. V. Laue M. ff Ibid.— P. 723.
414. Sandage A. R. ff Astr. J.—1954.—V. 59 —P. 180.
415. Heisenberg W., Euler H. ff Z. Phys.— 1936.— Bd 98.— S. 714.
416. Born M. ff Proc. Roy. Soc—1934.—V. A143.—P. 410.
417. Bom M., Infeld L. ff Ibid,— V. A144 — P. 425; 1934.— V. 147.—
P. 522; 1935.—V. 150.—P. 141.
418 Chamberlain O., Segri E., Wiegand C, Ypsilantit Th. ff Phys,
Rev.— 1955.— V. 100.— P. 947.
419. London F. ff Z. Phys.— 1927.— Bd 47.— S. 375.
420. Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik.— Leipzig,
1928; 2nd edn., 1931; Z. Phys-1929.-Bd 56.- S. 330; Rouse;
Ball lecture «Geometry and Physics» / Naturw.—1931.—
Bd 19.— S. 49—58; Report «50 Jare Relativitatstheorie» / Na-
turw.— 1951.— Bd 38 — S. 73.
421. Bach R. ff Math. Z,— 1921.— Bd 9.— S. 110.
422. Lanczos С ff Ann. Math., Princeton.— 1938.— Bd 39,— S. 842,
423. Weyl H. ff Nachr. Ges, Wiss. Gottingen, math,-nat. Kl,— 1921,—
S. 99.
424. Einstein A. ff S. B. preuss. Acad. Wiss.— 1921.— S. 261,
425. Jordan P., Klein O. ff Z. Phys.- 1927.- Bd 45.- S. 751.
426. Jordan P., Wigner E. ff Ibid.— 1927.— Bd 47,— S, 631,
427. Fock V.J Ibid.— 1932.— Bd 75.— S. 622.
428*. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки — 2-е изд.— М.: Наука, 1989.
429*. Окунь Л. Б. ff УФН.— 1981.— Т. 134,— С. 3.
430*. Славное А. А. Ц Там же.— 1978.— Т. 124.— С. 487.
431*. Огиевецкий В. И., Мезинческу Л. // УФН.—1975,—Т. 117,—
С. 637.
432* Фридман Д., ван Нъювенхейзен П. // Там же.—1979.—
Т. 128.— С. 137.
433. Einstein A., Straus E. G. ff Ann. Math., Princeton B),— 1946.—
V. 47.— P. 731.
434. Einstein A. // Ibid.— 1945.— V. 46.— P. 538.
435. Weyl H. I/ Naturw,— 1951.— Bd 38.— S, 73; Proc. of the Berne
Congress, 1955,

820 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
436. Einstein A., Kaufman В. // Ann. Math., Princeton.— 1955.—
V. 62.— P. 128; The Meaning of Relativity.— 5th edn.— Prince-
ton, 1955.—Appendix II.
437. Kalaza Th. // S. B. preuss. Acad. Wiss,— 1921.— P. 966.
438. Klein 0. // Nature, Lond.—1926.—V. 118.—P. 516, Z. Phys.—
1926 — Bd 37.— S. 895; Z. Phys.— 1928.— Bd 46.— S. 188; Ark.
Mat. Astr. Fys.— 1946.— V. 34.— P. 1 (см. также доклад Клей-
на в сб.: Proc. of the Berne Congress, 1955).
439. Ludwig С. Fortschritte der projektiven Relativitatstheorie.—
Braunschweig, 1951.
440. Jordan P. Schwerkraft und Weltall.— 2nd edn,— Braunschweig,
1955.
441. Dirac P. A. M. // Nature., Lond.—1937,—V, 139.—P. 323;
Proc. Roy. Soc— 1938.— V. A165.— P, 199.
442. Thiry Y. R. These.- Paris, 1951.
443. Lichnerowicz A. Theories relativistes de la gravitation et de
l'electromagnetisme.— Paris, 1955.
444. Fierz M. // Helv. Phys. Acta.-1956-V. 29-P. 128.
445. Einstein A., Bergmann P. G. // Ann, Math., Princeton,— 1938,—
V. 39 — P. 683.
446. Einstein A., Bargmann V., Bergmann P. G. Th. Karman Anniver-
sary Volume.— Pasadena, 1941.-- P. 212.
Ш**,Окунъ Л. Б. Ц УФН.- 1989.-Т. 158.-С. 511.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода к третьему изданию . , 9
Предисловие редакторов перевода ....... 5
Предисловиэ А. Зоммерфельда к немецкому изданию книги 7
Предисловие Вольфгана Паули к английскому изданию , 9
Глава I. Основы специальной теории относительности , s 13
| 1. Исторический обзор (Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн) 13
§ 2. Постулат относительности 17
§ 3, Постулат постоянства скорости света. Теория Рит-
ца и родственные теории ....... 19
§ 4, Относительность одновременности. Вывод преобра-
зований Лоренца из обоих постулатов. Аксиомати-
ка преобразований Лоренца 23
§ 5. Лоренцево сокращение и замедление времени , 27
§ 6. Теорема сложения скоростей Эйнштейна. Аберра-
ция. Коэффициент увлечения. Эффект Доплера 32
Глава И. Математический аппарат 40
§ 7. Четырехмерный мир (Минковский) .... 40
§ 8. Более общие группы преобразований .... 42
§ 9. Тензорное исчисление в аффиипой геометрии , 44
§ 10. Геометрическая иптераретация контра- и ковари-
антпых компонент вектора 48
§ 11. Бивекторы и тривекторы. Четырехмерные объемы 52
§ 12. Дуальные тензоры 56
§ 13. Переход к геометрии Римана 57
§ 14. Параллельный перенос вектора 60
§ 15. Геодезические линии 64
| 16. Крипнзпа пространства 66
§ 17, Римановы пормальпые координаты и их приме-
нения 69
§ 18. Евклидова геометрия и геометрия пространства о
постоянной кривизной 75
§ 19. Интегральные теоремы Гаусса и Стокса в четырех-
мерном римаиовом пространстве 80
§ 20. Введение инвариантных дифференциальных опера-
ций с использованием коэффициентов связности , 85
§ 21. Аффинные тензоры и снободпые векторы ... 89
§ 22. Геометрия реального мпра 92
§ 23. Бесконечно малые преобразоьания координат и
вариационные принципы , ,.,..,. 96

322 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 111. Систематическое построение специальной теории
относительности . . , .,.,.... 104
A. Кинематика ............. 104
§ 24. Четырехмерное представление преобразования Ло-
ренца .... 104
§ 25. Теорема сложения скоростей 107
§ 26. Преобразование ускорения. Гиперболическое дви-
жен-ие 108
B. Электродинамика , 110
§ 27. Сохранение заряда. Четырехмерный ток . . . ПО
§ 28. Ковариантность основных уравнений электронной
теории . . , , . , 112
§ 29. Пондеромоторная сила. Динамика электрона . . 116
§ 30. Импульс и энергия электромагнитного поля. Диф-
ференциальная и интегральная формы законов со-
хранения 121
§ 31. Инвариантный принцип действия в электродина-
мике , . ¦ ¦ 125
§ 32. Применения к специальным случаям .... 127
а. Интегрирование уравнений для потенциалов . 127
р. Поле равпомерно движущегося точечного заряда 129
¦у. Поле заряда, совершающего гиперболическое
движение 131
б. Ипвариантпость фазы света. Отражение от дви-
жущегося зеркала. Давление света . . . 132
8. Излучение движущегося диполя .... 136
?. Реакция излучения , 138
§ 33. Феноменологическая электродинамика движущих-
ся тел Минковского 139
§ 34. Вывод макроскопических уравнений из электрон-
ной теории 144
§ 35. Тензор энергии-импульса и пондеромоторная сила
феноменологической электродинамики. Джоулево
тепло 147
§ 36. Применения теории 153
а. Опыты Роуланда, Рентгена, Эйхенвальда и Виль-
сона 153
р. Сопротивление и индукция в движущемся про-
воднике 155
у. Распространение света в движущейся среде. Ко-
эффициент увлечения. Опыт Эйри .... 156
б. Скорость сигнала и фазовая скорость в диспер-
гирующей среде ......... 158
C. Механика и общая динамика .,..,... 159
§ 37. Уравнения движения. Импульс и кинетическая
энергия . 159
§ 38. Независимое от электродинамики обоснование ре-
лятивистской механики 162
§ 39. Принцип Гамильтона в релятивистской механике 164
§ 40. Обобщенные координаты. Каноническая форма
уравнений движения 165
| 41. Инерция энергии . . , ...... 163

ОГЛАВЛЕНИЕ $23
| 42. Общая динамика , 169
§ 43. Преобразование энергии и. импульса системы при
наличии внешних сил 171
§ 44. Применение к специальным случаям. Опыт Троу-
тона — Нобля i : : , i 173
§ 45. Гидродинамика и теория упругости , . . . 177
D. Термодинамика и статистика ,,,..... 182
§ 46. Поведение термодинамических величин при преоб-
разованиях Лоренца , t i t 182
§ 47. Принцип наименьшего действия . 184
§ 48. Применение релятивистской механики к статис-
тике ..... 185
§ 49. Специальные случаи . . . . . . . . 187
а. Излучение в движущейся полости .... 187
р. Идеальный газ , < 189
Глава IV. Общая теория относительности ..... 192
§ 50. Историческое введепие (до работы Эйпштейна
1916 г.) 192
§ 51. Общая формулировка принципа эквивалентности.
Связь между гравитацией и метрикой . . . 196
§ 52. Постулат общей ковариантности физических зако-
лов ,201
§ 53. Простые следствия принципа эквивалентности , 203
а. Уравнения движения материальной точки в слу-
чае малых скоростей и слабых полей тяготепия 203
D. Красное смещение спектральных линий . . 204
Ч- Принцип Ферма в статических гравитационных
полях .207
§ 54. Влияние поля тяготения на материальные про-
цессы 209
§ 55. Вариационные припцииы для материальных про-
цессов при наличии гравитационных полей . . 212
§ 56. Уравпспия гравитационного аоля ..... 214
§ 57. Вывод гравитационных уравнений из вариационно-
го принципа 217
§ 58. Сравнение с опытом 218
а. Теория Ньютона как первое приближение . 218
f. Строгое решение для гравитационного поля ма-
териальной точки 220
Ч. Движение перигелия Меркурия и искривление
световых лучей 224
§ 59. Другие специальные строгие решения в статиче-
ском поле 227
§ 60. Общее приближенное решение Эйнштейна и его
применения , , . . . , 230
§ 61. Энергия гравитационного поля ...... 234
§ 62, Изменение уравнений поля. Относительность энер-
гии и пространственно-замкнутый мир « , . 238
а. Принцип Маха 238
f$. Замечания о статистическом равновесии звезд-
ной системы. Я.-член ...,..,. 239
1. Энергия замкнутого мира , . , . . , 243

324 ОГЛАВЛЕНИЙ
Глава V. Теории о природе заряженных элементарных ча-
стиц ,.,... •
245
§ 63. Электрон и специальная теория относительности 245
§ 64. Теория Ми 250
§ 65. Теория Вейля 256
а. Чистая геометрия окрестности. Калибровочная
инвариантность , 258
р. Электромагнитное поле и метрика мира . , 258
If. Тензорное исчисление в геометрии Вейля . , 261
о. Законы поля и вариационный принцип. Физиче-
ские следствия , « ....»,, 263
§ 66. Теория Эйнштейна . ..,..>.. 269
§ 67. Общие замечания о современном состоянии пробле-
мы материи . . » , t t t .... 272
Примечания В. Паули к английскому изданию . . . « 275
Список литературы *...... 302

Научное издание
ПАУЛИ Вольфганг
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Серия «Библиотека теоретической физики», выпуск 8
Заведующий редакцией Н. А, Носова
Редактор В. В. Сатарова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Н. Д. Дорохова, Л. С, Сомова
ИБ J* 41035
Сдано в набор 07.03.90. Подписано н печати 07.12.90. Формат
84X108/32. Бумага тип. Mi 2. Гарнитура обыкновенная. Пе«
чать высокая. Усл. печ. л. 17,33. Усл. кр.-отт. 17,27. Уч,«
изд. л. 17,51. Тираж 17 700 эка, Заказ Mi 98. Цена 2 р, 50 н,
Издательско-производственное и книготорговое
объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 29

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
АБРАГАМ А. Время вспять, или физик, физик, где ты был?:
Пер. с апгл./Под ред. А. С. Боровика-Романова,— М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1991.—30 л.— ISBN 5-02-014712-5 (в пер.): 2 р. 50 к.
Автобиография А. Абрагама — французского ученого-физика,
внесшего немалый вклад в развитие физики, в особенности после-
военной, в области исследований по ядерному магнетизму. А. Абра-
гам был научным руководителем физических исследований в. Ко-
миссариате атомной энергии, вел курс ядерного магнетизма в Кол-
леж де Франс; награжден медалью Лоренца и был первым удо-
стоен премии Макса Планка. Автор пишет остро, яркими красками,
без желания кого-нибудь обидеть, однако называя вещи своими
именами.
Книга читается с большим интересом и предназначена широ-
кому кругу физиков. Особенно интересна она сейчас, в период
перестройки науки в нашей стране, так как знакомит с организа-
цией работ в ведущих институтах Великобритании, Франции
и США.
Книга объявлена в нашем темплане на 1991 год. Предлагаем
оформить на данное название предварительный заказ.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
МАРКОВ М. А. О трех интерпретациях квантовой механики,—
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 7 л.— ISBN 5-02-014713-3:
1 р. 40 к.
Обсуждаются три существующие интерпретации физического
смысла квантовой механики: геттингенекой (боровской), статисти-
ческой (Эйнштейн и др.) и многомировон (Эверетт). Рассказано об
образовании понятия объективной реальности в человеческой
практике. Рассмотрены гносеологические проблемы в рамках кван-
товой теории и принципиальная познаваемость микромира.
Для физиков (студентов, аспирантов, научных работников),
а также философов, интересующихся гносеологическими пробле-
мами естествознания.
Книга объявлена в нашем темплане на 1991 год. Предлагаем
оформить на данное название предварительный заказ.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ}
ЭБЕЛИНГ В., ЭНГЕЛЬ А., ФАИСТЕЛЬ Р. Физика процсссоз
эволюции: Пер. с нем./Под ред. Ю. Л. Климонтовича.— М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.—22 л.—ISBN 5-02-014349-9 (в пер.):
4 р.
Систематически излагаются физические основы эволюционных
процессов от начала Метагалактики до возникновения жизни на
Земле. Дается подробный анализ факторов, существенных для
понимания процессов эволюции. Эволюция рассматривается как
бесконечная последовательность процессов самоорганизации. Ана-
лизируются условия эволюции в космических и земных условиях:
экспорт энтропии, нелинейность и, в частности, мультистабиль-
ность среды, саморепродукция, селекция, роль мутаций и т. п.
Рассматриваются применение новых методов в теории сложных
(в том числе живых) систем, процессы переработки информации
и их значение в эволюционных процессах.
Для физиков, математиков, химиков и биологов, иптересую-
щихся проблемами синергетики и теории эволюции, а также для
студентов университетов соответствующих профилей.
Книга объявлена в нашем темплане на 1991 год. Предлагаем
оформить на данное название предварительный заказ.