Е.М.Чирка
КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 272 с.

Книга посвящена геометрической теории функций многих комплексных
переменных. В ней изучаются множества нулей систем голоморфных функций,
которые широко используются не только в комплексном анализе, но и в
алгебраической геометрии, дифференциальной топологии и др. Новое
геометрическое изложение существенно облегчает освоение основ теории и
естественно подводит к современным методам. Наряду с основами излагаются
важнейшие достижения последних лет, еще не отраженные в монографиях.
Для специалистов по теории функций многих комплексных переменных, а
также для студентов и аспирантов математических факультетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
7
Условные обозначения
9
Глава 1. Основы теории аналитических множеств
11
1. Нули голоморфных функций.
11
1.1. Подготовительная теорема Вейерштрасса (11) 1.2. Зависимость
корней от параметров (12). 1.3. Дискриминантное множество (14).
1.4. Разложение на неприводимые множители (15). 1.5. Кратности
нулей. Дивизор голоморфной функции (16)
2. Определения и простейшие свойства аналитических множеств.
18
Множества коразмерности 1
2.1. Определение (18) 2.2. Простейшие топологические свойства
(19). 2.3. Регулярные и особые точки (20) 2.4. Размерность (22). 2.5.
Регулярность в Pn и C*n +1 (23). 2.6. Главные аналитические
множества (24). 2.7. Критические точки (25). 2.8. Локальное
представление множеств коразмерности 1 (26) 2.9. Минимальные
определяющие функции (28)
3. Собственные проекции
29
3.1. Собственные отображения (29). 3.2. Исключение переменных
(30). 3.3. Следствия (31). 3.4. Существование собственных проекций
(32) 3.5. О размерности >33) 3.6. Почти однолистные проекции (35)
3.7. Локальное представление аналитических множеств (36). 3.8.
Образы аналитических множеств (37).
4. Аналитические накрытия
39
4.1. Определения (39) 4.2. Канонические определяющие функции
(40) 4.3. Аналитические накрытия как аналитические множества (42).
4.4. Теорема Реммерта — Штейна — Шиффмана (43). 4.5.
Аналитичность sng A (44)
5. Разложение на неприводимые компоненты и его следствия
45
5.1. Связные компоненты regA (45) 5.2. Разложение по размерностям.
Аналитичность sngA и S (А) (47) 5.3. Неприводимость (47) 5.4.

Неприводимые компоненты (49) 5.5. Стратификации (51) 5.6.
Пересечения аналитических множеств (52) 5.7. Число определяющих
функций (54) 5.8. Теорема о собственных отображениях (55)
6. Одномерные аналитические множества.
6.1. Локальная параметризация (56) 6.2. Нормализация и
униформизация (58) 6.3. Принцип максимума (59)
7. Алгебраические множества
7.1. Теорема Чжоу (60) 7.2. Замыкания аффинных алгебраических
множеств (62) 7.3. Алгебраические множества как аналитические
накрытия (62) 7.4. Некоторые критерии алгебраичности (63)
Глава 2. Касательные конусы и теория пересечений
8. Касательные конусы
8.1. Определения и простейшие свойства (65) 8.2. Касательный конус
и отображения (66) 8.3. Касательный конус и σ-процесс (67) 8.4.
Аналитическое описание (68) 8.5. Касательные векторы и
одномерные сечения (70). 8.6. Отклонение (71)
9. Конусы Уитни
9.1. Определения и простейшие свойства (73). 9. 2. Иерархия и
аналитичность (74) 9.3. Касательное пространство (76) 9.4. Конусы
Уитни и проекции (76) 9.5. Особенности коразмерности 1.
Нормализация Пиюзо (78)
10. Кратности голоморфных отображений
10.1. Кратности проекций (80). 10.2. Кратности отображений (82)
10.3. Кратности и начальные многочлены (86) 10.4. Теорема Безу
(90) 10.5. Числа Милнора (91)
11. Кратности аналитических множеств
11.1. Кратность аналитического множества в точке (93) 11.2.
Кратности и касательный конус (94). 11.3. Степень алгебраического
множества (97). 11.4. Множества кратностей (98). 11.5.
Голоморфные цепи (100). 11.6. Касательный конус как цепь (101).
11.7. Зависимость касательного конуса от параметров (103)
12. Индексы пересечений
12.1. Случай дополнительных коразмерностей (104) 12.2. Некоторые
свойства индексов (107) 12.3. Пересечения голоморфных цепей
(109). 12.4. Свойства цепей-пересечений (111). 12.5. Кратности и
трансверсальность (114). 12.6. Кратности слоев голоморфных
отображений (116).
Глава 3. Метрические свойства аналитических множеств
13. Фундаментальная форма и формы объема
13.1. Эрмитовы многообразия (117). 13.2. Формы объема (120). 13.3.
Неравенство Виртингера (122). 13.4. Интегрирование в Р„ (123). 13.5.
Интегрирование по многообразиям инцидентности. Формулы
Крофтона (124). 13.6. Связь проективных и аффинных объемов (128)
14. Интегрирование по аналитическим множествам

56
60

65
65

7

80

93

104

117
117

131

14.1. Теорема Лелона (131) 14.2. Свойства интегралов по
аналитическим множествам (132) 14.3. Теорема Стокса (133) 14.4.
Аналитические множества как минимальные поверхности (136) 14.5.
Касательная и нормальная составляющие объема (138). 14.6. Объемы
аналитических подмножеств шара (140)14.7. Объемы
алгебраических множеств (142)
15. Числа Лелона и оценки снизу
15.1. Числа Лелона (143) 15.2. Интегральные представления (145).
15.3. Оценки объемов снизу (147). 15.4. Площади проекций (149).
15.5. Последовательности аналитических множеств (153)
16. Голоморфные цепи
16.1. Последовательности голоморфных цепей (155). 16.2. Цепипересечения как потоки (156) 16.3. Формулы Пуанкаре — Лелона
(160). 16.4. Формулы Йенсена (163)
17. Оценки роста аналитических множеств
17.1. Условие Бляшке (167). 17.2. Метрическое условие
алгебраичности (169). 17.3. Оценки роста гиперплоских сечений
(171). 17.4. Обратные оценки (173). 17.5. Следствия и обобщения
(176)
Глава 4. Аналитическое продолжение и граничные свойства
18. Устранимые особенности аналитических множеств
18.1. Особенности малых размерностей (178) 18.2. Заразительность
продолжения (179). 18.3. Устранение плюриполярных особенностей
(182). 18.4. Продолжение через Rn(183). 18.5. Препятствия малых
CR-размерностей (186) 18.6. "Лемма Гартогса" для аналитических
множеств (188)
19. Границы аналитических множеств
19.1. Регулярность возле границы (190) 19.2. Граничные теоремы
единственности (193) 19.3. Задача Плато для аналитических
множеств (194) 19.4. Подготовительные леммы (195) 19.5. Границы
аналитических накрытий (197)19.6. Теорема Харви — Лоусона (200)
19.7. Об особенностях аналитических пленок (203)
20. Аналитическое продолжение
20.1. О продолжении аналитических множеств (204) 20.2.
Компактные особенности (205) 20.3. Продолжение через
псевдовогнутые поверхности (206) 20.4. Продолжение через ребро
(209) 20.5. Принцип симметрии (210)
Приложение. Элементы многомерного комплексного анализа
П 1. Устранимые особенности голоморфных функций
П 1.1. Голоморфные функции в Cn (212). П 1.2.
Плюрисубгармонические функции (217). П 1.3. Голоморфное
продолжение вдоль сечений (219) П 1.4. Устранимые особенности
ограниченных функций (221). П 1.5. Устранимые особенности

143

155

167

178
178

190

204

212
212

непрерывных функций (223)
224
П 2. Голоморфные отображения. Многообразия в Cn
П 2.1. Голоморфные отображения (224) П 2.2. Теорема о неявной
функции и теорема о ранге (226) П 2.3. Комплексные многообразия в
Cn (229) П 2.4. Вещественные многообразия в Cn (230)
П 3. Проективные пространства и грассманианы
232
П 3.1. Абстрактные комплексные многообразия (232) П 3.2.
Комплексное проективное пространство Pn (234) П 3.3.
Комплексные плоскости в Pn (236). П 3.4. Грассманианы G(k,n)
(236). П 3.5. Многообразия инцидентности и σ-процесс (238) П 3.6.
Вложение грассманианов в PN (239)
П 4. Комплексные дифференциальные формы
240
П 4.1. Внешняя алгебра (240). П 4.2. Дифференциальные формы
(242). П 4.3. Интегрирование форм. Теорема Стокса (245). П 4.4.
Теорема Фубини (246) П 4.5. Положительные формы (248)
П 5. Потоки
250
П 5.1. Определение. Положительные потоки (250) П 5.2. Операторы
d, ∂ и интегральные представления (252) П 5.3. Регуляризация (253).
П 5.4. ∂ -Проблема и теорема о скачке (254)
П 6. Меры Хаусдорфа
256
П 6.1. Определение и простейшие свойства (256) П 6.2. Hm на mмерном многообразии (258) П 6.3. Лемма о слоениях (259) П 6.4.
Сечения и проекции (260).
Список литературы
261
Добавление к списку литературы при корректуре
267
Предметный указатель
269
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— продолжение 204
Алгебраическое множество 61
Безу теорема 90
— — аффинное 60
— — проективное 60
Биголоморфное отображение 227,
233
Александера теорема 141, 183
Биразмерность потока 251
Аналитическое множество 18
Бистепень потока 251
— — главное 24
— — локальное неприводимое 48
— формы 243
Бишопа лемма 180
— — неприводимое 47
— теорема 182, 183
— — — в точке 48
Бляшке условие 167
— — однородное по размерности 22
Вейерштрасса многочлен 11
— — с краем 133
— теорема 213
— — чисто р-мерное 22
— — подготовительная 11
— накрытие 39
Вектор касательный 65, 229
— — обобщенное 39
— подмножество 18
— комплексный касательный 231

— разложимый 241
Вероятностная мера 172
Взвешенно однородный многочлен
89
Виртингера неравенство 122, 123
— теорема 120, 123
Внешнее умножение 241
Внешняя алгебра пространства 241
Вполне вещественное многообразие
230
Гартогса лемма 216
— — для а.м. 188
— ряд 216
Голоморфная функция 212
— цепь 100, 155
— — положительная 101
Голоморфное отображение 26, 224,
233
— продолжение 219
Грассманиан 237
Грассмана многообразие 237
Грина формула 136, 253
Грумена лемма 173
Дивизор голоморфной функции 17
— мероморфной функции 101, 160
Дискриминантное множество 14
Дифференциальная форма 242
— — биоднородная 243
— — бистепени (p, q) 243
— — вещественная 242
— — главная 248
— — положительная 248
Единственности теорема 214
— — граничная 193, 214
— — для а.м. 19, 52
Индекс пересечения 105, 110, 111
— — полный 108
Инцидентности многообразие 238
Йенсена формула 164, 165
Каноническая ориентация 241
— проекция 234
Канонические определяющие
функции 40,43, 101
Каноническое вложение 235, 239

Касательное пространство 74, 229
Касательные условия Коши —
Римана 232, 252
Касательный вектор 65, 229
— конус 65
— — в смысле цепей 102
— — проективный 67
Комплексная карта 233
— касательная плоскость 231
— плоскость в Рп 236
Комплексная структура 233
— — индуцированная 234
Комплексное многообразие 227, 233
— подмногообразие 227, 233
— проективное пространство 234
Комплексный атлас 233
— касательный вектор 231
Компоненты цепи 100
Конусы Уитни 73
Координаты комплексные 233
— однородные 234
— плюккеровы 239
Коразмерность 22, 33, 227
Коши формула 212
Кратность а.м. в точке 93
— — — вдоль подмножества 99
— голоморфной цепи 100, 101
— нуля 16
— отображения 83, 116
— проекции 81
Критическая точка 26
Критическое множество 39
Крофтона формула 128
Леви теорема 216
— форма 217
Леви-Чивита теорема 229
Лелона теорема 131
— число 143
Лемма Бишопа 180
— Гартогса 216
— — для а.м. 188
— Грумена 173
— Шварца 215
Лиувилля теорема 216

Локальный нормализующий
параметр 57
Максимально комплексный цикл 194
— — — неприводимый 194
Мартинелли — Бохнера форма
253
— — формула 253
Мера Хаусдорфа 257
Метрическая размерность 257
Милнора числа 91, 93
Минимальная определяющая
функция 28
Многообразие вполне вещественное
230, 231
— Грассмана 237
— инцидентности 238
— келерово 118
х
— комплексное 227, 233
— максимально комплексное 230,
232
— эрмитово 117
Множество аналитическое 18
— дискриминантное 14
— кратностей 98
— критическое 39
— локально устранимое 39
— плюриполярное 218
— — локально полное 218
— — полное 218
— полярное 218
— сингулярное 23
— устранимое 39
Многочлен Вейерштрассг 11
— взвешенно однородный 89
— однородный 215
Мультипликативность кратности 83,
96
Начальный однородный многочлен
16
Неприводимая компонента 49
Неприводимый множитель 16
Нормализация 58, 78
Носитель голоморфной цепи 100
— потока 250

— формы 242
Однородные координаты 234
Однородный многочлен 215
Оператор d 243, 252
— dC 244
— ∂ 244,252
Ортогональность в Pn 235
Особая точка 20
Отклонение 72
Отображение биголоморфное 227,
233
— голоморфное 26, 224, 233
— собственное 29
Пересечение собственное 109, 110
— трансверсальное 114
Пиюзо нормализация 78
— параметризация 57
— показатели 73
Плюккеровы координаты 239
Подготовительная теорема
Вейерштрасса 11
Поливектор 241
— положительный 241
— разложимый 241
Полное пересечение 54
Полный индекс пересечения
108
Порядок нуля 16
— отклонения 72
Потенциал меры в Pn 172
Поток 250
— биразмерности (p, q) 251
— бистепени (r, s) 251
— вещественный 250
— положительный 251
— размерности m 250
— типа меры 250
Почти однолистная проекция 36
Принцип максимума 60, 215
Проективизация многочлена 61
Проективный касательный конус
67
Проекции в Pn 236

Прообраз формы 243
Пуанкаре — Лелона формула 161
Радо теорема 224
Размерность 227, 233
— а.м. 22
— — — в точке 22
— метрическая 257
— хаусдорфова 257
Ранг голоморфного отображения 225
Расстояние в Pn 235
Регуляризация 254
Регулярная точка 20
Реммерта теорема 55
Реммерта—Штейна теорема 44
Риманова поверхность 20
Росток а.м. 50
Рудина теорема 64
Руше теорема 86
Ряд Гартогса 216
— по однородным многочленам 215
— Тейлора 215
Сингулярное множество 23
Сингулярность потека 250
Слабо плюрисубгармоническая
функции 60
Слой голоморфного отображения 116
Собственное отображение 29
— пересечение 109, 110
Степень алгебраического множества
97
— конуса 97
— потока 251
— формы 243
Стокса теорема 134, 246
Страт 51
Стратификация 51
— примерная 52
Строго псевдовогнутая поверхность
— псевдовыпуклая поверхность 219
Сходимость последовательности
множеств 153
Считающая функция 164, 165
Теорема Александера 141, 183

— Александера — Тейлора —
Ульмана 150
— Безу 90
— Бишопа 153, 154
— Вейерштрасса 213
— — подготовительная 11
— единственности 214
— — граничная 193, 214
— — для а.м. 19, 52
— Леей, граничная 216
— Леви-Чивита 229
— Лиувилля 216
— Мользона — Шиффманз—
Сибони 175
— о неявной функции 226
— о ранге 227
— о скачке 254
— о среднем 146, 217
— Пуанкаре— Лелона 161
— Радо 224
— Реммерта 55
Теорема Реммерта — Штейна 44
— Руше 86
— Стокса 132, 134, 246
— Туплена 182
— Уитни 98
— Фубини 247, 248
— Харви — Лоусона 200
— Циха - Южакова 88
— Чжоу 61
— Шиффмана 43, 185
— Штолля— Бишопа 170
Точка критическая 26
— особая 20
— регулярная 20
Трансверсальная плоскость 68
Трансверсальное пересечение 114
Уитни конусы 73
— теорема 98
Универсальная накрывающая 59
Универсальное расслоение 238
Унитарное преобразование 224
Унитарный автоморфизм Р„ 236
Условие Бляшке 167

Условия Коши — Римана 212
— — — касательные 232, 252
Форма дифференциальная 242
— — биоднородная 243
— — бистепени (p, q) 243
— — вещественная 242
— — главная 248
— — положительная 248
Форма дифференциальная степени s
242
— евклидова 118
— Мартинелли — Бохнера 253
— объема 120, 245
— Фубини - Штуди 119
— фундаментальная 118
Формула Грина 136, 253
— Йенсена 164, 165
— Коши 212
— Крофтона 128
— Мартинеялк - Бохнера 253
— Пуанкаре- Лелона 161
— Сто кса 134
— — в потоках 135
Фубини теорема 247, 248
Фубини — Штуди метрика 119

— — форма 119
Фундаментальная форма 118
Функция голоморфная 212
— неприводимая 16
— — в точке 16
функция плюрисубгармоническая
217
— слабо плюрисубгармоническая 60
Цепь-пересечение 111, 159
Циха — Южакова теорема 88
Чжоу теорема 61
Числа Лелона 143
- Милнора 91, 93
Шиффмана теорема 43, 185
Штолля — Бишопа теорема 170
Эрмитова форма 117
Эрмитово многообразие 117
CR-размерность 232
CR-функцин 232
p-вектор 241
p-цепь 101
q-псевдовогнутая поверхность 206
σ-процесс 87, 239