Сборник задач по теории вероятностей. Учебное пособие - Чистяков В.П., Севастьянов Б.А., Зубков А.М.

Автор: Чистяков В.П. Севастьянов Б.А. Зубков А.М.
Теги: теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов математика учебное пособие сборник задач
ISBN: 978-5-8114-0975-4
Год: 2009
Похожие
Сборник задач по теории вероятностей
Теория вероятностей и математическая статистика в задачах
Задачи по теории вероятностей
Прикладные задачи теории вероятностей
Текст
                    Α. Μ. ЗУБКОВ,
Б. А. СЕВАСТЬЯНОВ,
В. П. ЧИСТЯКОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Издание третье, стереотипное
h
ЛАНЬ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ · МОСКВА · КРАСНОДАР
2009

ББК22.171я73
391
Зубков А. М., Севастьянов Б. Α., Чистяков В. П.
3 91 Сборник задач по теории вероятностей: Учебное
пособие. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань»,
2009. — 320 с. — (Учебники для вузов. Специальная
литература).
ISBN978-5-8114-0975-4
Задачи сборника охватывают все разделы теории, включаемые в
начальный курс: простейшие вероятностные схемы;
последовательности испытаний; случайные величины; предельные теоремы;
производящие и характеристические функции; простейшие случайные
процессы; элементы математической статистики. Кроме большого
количества простых задач имеются задачи повышенной сложности,
снабженные указаниями и решениями. В каждой главе приведены
краткие сведения о необходимых понятиях и утверждениях теории,
а также примеры решения задач.
Учебное пособие предназначено для студентов математических
и физических специальностей вузов.
ББК22.171я73
Обложка
А. Ю. ЛАПШИН
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2009
© А. М. Зубков, Б. А. Севастьянов,
В. П. Чистяков, 2009
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие , 5
ЧАСТЬ I. ЗАДАЧИ 7
Глава 1. Простейшие вероятностные схемы . . . · 7
§ 1. Классическое определение вероятности .... 13
§ 2. Геометрические вероятности ....... 22
Глава 2. Последовательности испытаний 26
§ 1. Условные вероятности 37
§ 2. Независимость событий 39
§ 3. Формула полной вероятности ...... 41
§ 4. Схема Бернулли 45
§ 5. Полиномиальная схема 48
Глава 3. Случайные величины 50
§ 1. Распределение вероятностей случайных величин 66
§ 2. Математические ожидания 77
§ 3. Условные распределения- 94
§ 4. Нормальное распределение 99
Глава 4. Предельные теоремы. Производящие и
характеристические функции 106
§ 1. Закон больших чисел. Лемма Бореля — Кантелли ИЗ
§ 2. Прямые методы доказательства предельных теорем 118
§ 3. Характеристические и производящие функции . . 126
§ 4. Неравенства Бонферрони и сходимость к
распределению Пуассона 135
§ 5. Применения центральной предельной теоремы и
метода характеристических функций 138
Глава 5. Простейшие случайные процессы .... 148
§ 1. Разные задачи 154
§ 2. Пуассоновские процессы ISO
§ 3. Цепи Маркова 163
Глава 6. Элементы математической статистики . . 174
3

Часть II. УКАЗАНИЯ 186
Часть III. РЕШЕНИЯ 236
Часть IV. ОТВЕТЫ 278
Таблицы 306
Нормальное распределение 306
Распределение Пуассона 308
Распределение Стьюдента 309
Х2-распределение 310
Случайные числа 311
Равномерно распределенные случайные числа . . . 311
Нормально распределенные случайные числа . . . 312
Программные датчики псевдослучайных чисел .... 314
Список литературы 319

ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот сборник задач является учебпым пособием по
начальному курсу теории вероятностей для студентов
университетов и технических вузов. Математический
аппарат, используемый при решении большей части задач,
не выходит за пределы обычного курса математики в
технических вузах. Каждая из шести глав задачника
имеет введение, где приводятся краткие сведения о
понятиях и утверждениях теории вероятностей,
необходимых для решения задач этой главы. Введения к первым
трем главам содержат, кроме того, примеры решения
простых стандартных задач. Конец каждого примера
отмечен знаком А.
В сборнике имеются задачи разной степени
трудности. G одной стороны, в каждой главе есть простые
задачи, решение которых сводится к прямому применению
основных формул и приемов. Номера таких задач
отмечены знаком °. Эти задачи можно использовать на
семинарских занятиях как в технических вузах, так и в
университетах.
С другой стороны, в каждой главе есть достаточно
сложные задачи, решения которых содержат
принципиально важные идеи или связаны с аккуратным
проведением математических выкладок или рассуждений.
Номера таких задач отмечены знаком *, а их полные
решения приводятся в части III.
Остальные задачи занимают промежуточное
положение. Если первые попытки решения такой задачи не
приводят к успеху, то можно воспользоваться
указаниями (см. часть II), которые практически для каждой
задачи в сжатой форме перечисляют все сколько-нибудь
нетривиальные соображения, на которых основано ее
решение. Иначе говоря, указания разбивают задачу
средней трудности на несколько более простых задач.
Авторы стремились сделать задачи интересными как
по форме, так и по содержанию и подбирали задачи так,
5

чтобы помочь учащимся освоиться с основными
понятиями и методами теории вероятностей. Особое внимание
уделяется тем элементарным методам, которые
«работают» практически во всех областях применения теории
вероятностей, например: представлению исследуемой
случайной величины в виде суммы индикаторов,
использованию линейности математического ожидания, методу
моментов, представлению исследуемой случайной
величины в виде суммы более простой случайной величины
и «лтлого» добавка, и т. п. Большая часть этих приемов,
как правило, не находит отражения в стандартных
курсах теории вероятностей и может быть усвоена только
при самостоятельном решении задач.
При составлении задачника был использован ряд
отечественных и зарубежных источников (учебников,
задачников, журнальных статей и т. п.), а также
задачи, возникавшие в научных и педагогических
коллективах, хорошо знакомых авторам.
При подготовке второго издания были исправлены
замеченные неточности и добавлены новые задачи.

Часть I. ЗАДАЧИ
Глава 1
ПРОСТЕЙШИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Математические модели случайных явлений,
рассматриваемые в теории вероятностей, основываются на
понятии вероятностного пространства, т. е. тройки (Ω, s4-, Ρ),
где
Ω = {ω} — непустое множество, элементы ω которого
интерпретируются как взаимно исключающие исходы
изучаемого случайного явления;
si — набор подмножеств множества Ω, называемых
событиями (предполагается, что множество si- содержит
Ω и замкнуто относительно взятия противоположного
события и суммы событий в не более чем счетном числе,
т. е. si является σ-алгеброй);
вероятность Ρ — функция, определенная на событиях
deii удовлетворяющая следующим условиям:
1) Р{А)> 0 при любом А ^si;
2) Ρ(Ω)=1; (1.1)
3) Ρ I U Αη = Έ,?{Αη), если AKAj = 0 при любых
i Φ /'■
Символ 0 означает пустое множество (или
невозможное событие).
Определение операций над событиями, определение
алгебры и σ-алгебры событий можно найти в учебниках
по теории вероятностей (см., например [2], [5], [10] —
[13]). В этой главе рассматриваются два простейших
класса вероятностных пространств.
Пусть Ω = (ωι, α)2, ..., ω,}. В σ-алгебру событий si
включаются все 2* подмножеств А = (он , ..., со{й]
множества Ω. При классическом определении вероятности
полагают Ρ(ωι) = ... = Ρ(ω„) = 1/s, поэтому вероятность
Ρ (А) события А = {o)j , . .., cujftj равна отношению числа
элементарных событий *) ωέ, входящих в А, к общему
*) Здесь и ниже число элементов любого конечного
множества Μ будем обозначать \М\.
7

числу элементарных событий в Ω:
Такая вероятностная схема является математической
моделью случайных явлений, для которых исходы опыта
в каком-либо смысле симметричны, и поэтому
представляется естественным предположение об их равновоз-
можности.
Пример 1.1. Брошено две игральных кости.
Предполагая, что элементарные события равновероятны,
найти вероятность события А = {сумма выпавших очков
делится на 6}.
Решение. Исход опыта можпо описать парой
чисел (г, ;'), где i — число очков, выпавших на 1-й кости,
а / — на 2-й (i, j — 1, 2, ..., 6). Поэтому мы полагаем
Ω = {(ί, У): 1 = 1,2 6; / = 1, 2,..., 6).
Нетрудно проверить, что общее число элементарных
событий ΙΩΙ = 36. Событие А соответствует подмножеству
А = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (6,6)} множества
Ω. Так как \А\ = 6, то по формуле (1.2) получаем
Дадим описание двух часто встречающихся
вероятностных схем, в которых детализируется общее
классическое определение. Обозначим через Jf множество из
N чисел: Ж = (1, 2, ..., N}; пусть a=(i\, h, ..., к) —
упорядоченный набор из η элемептов множества JC.
Вероятностную схему, в которой
Ω = {ω=(ϊ,, fe, ..., iB): ί,ε/, ft = 1, 2, ..., η) (1.3)
и все элементарные события ω равновероятны,
называют схемой случайного выбора с возвращением.
Схемой случайного выбора без возвращения
называют вероятностную схему, в которой
Ω = {ω=(ΐι, *2, ...,in):h^J¥, к = 1, 2, ..., п,
среди i\, ..., i„ нет одинаковых} (1.4)
и элементарные события ω равновероятны.
При вычислении вероятности по формуле (1.2) часто
оказываются полезными различные комбинаторные
формулы. Приведем основные из них. Пусть дано
множество Jf из N элементов: Л'' = {αϊ, аг, ..., αΝ). Подмножест-
8

ва множества Jf называют сочетаниями. Число
сочетаний, которые можно образовать из N элементов Jf,
выбирая различными способами подмножества по η
элементов, обозначают Сдг или (Ν\. Справедливы формулы
rn _ JV[n] N\ rn _ rN-n
tN n\ n\ (M - n)\ ' ϋ^-°^ ,
где n\ = ί ■ 2 · . . . ■ η ш
Νι^ = Ν(Ν — ί)...(Ν — η+ί). (1.5)
Упорядоченные цепочки ai сц ... ain, образованные из
различных элементов Jf, называют размещениями.
(Размещениями являются, в частности, элементарные
события ω=(ίι, ..., ίη) в схеме случайного выбора без
возвращения (1.4). Число размещений из N элементов по
п, т. е. число различных упорядоченных цепочек длины
η из N элементов Jf, обозначают А1^. Для Ατχ имеем
формулу А^ = Мп). Размещения с η = Ν называют
перестановками. Число различных перестановок,
образованных из N элементов, равно Ν\
Пример 1.2. В урне лежат пять карточек,
занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5. По схеме случайного
выбора с возвращением из урны трижды вынимается
карточка. Какова вероятность того, что ровно в двух
случаях из трех будут вынуты карточки с нечетными
номерами?
Решение. Вероятностная схема определяется
формулой (1.3) с N = 5, п = 3; элементарное событие ω =
= (ίι, h, h) соответствует номерам вынутых карточек.
Так как ц, г2, 1зеИ, 2, 3, 4, 5}, то существует ровно
5 ■ 5 ■ 5 = 53 = 125 различных элементарных событий
ω=(ίι, Ϊ2, Ϊ3)£Ω. Значит, |Ω|=53=125. Далее, 5 —
= (ровно в двух случаях из трех вынимаются карточки
с нечетными номерами) = {ω =(h, 12, г'з)е^: ровно одно
из чисел ϊι, Ϊ2, J3 четное) = 5, U Z?2 U Вз, где события
Bh = (ω =(ti, h, 1з)е^: число ih четное, а остальные
два числа нечетные), к = 1, 2, 3, попарно не
пересекаются. При любом к = 1, 2, 3 число различных ω =
= (h, h, iz)^-Bh равно 2 · 3 · 3 = 18 (к-ю карточку можно
выбрать двумя способами, а каждую из двух
остальных—тремя). Поэтому \В\ = IS, UB2UB3\ = 15,1 +
+ \В3\ + Ш =3-18 = 54 и
Ρ (5) =
= -ш- °-432·

Пример 1.3. Найти вероятность того же события,
что в примере 1.2, для схемы выбора без возвращения.
Решение. Вероятностная схема определяется
формулой (1.4) с N = 5, п = 3. В отличие от примера 1.2
элементарные события ω=(ιΊ, Ϊ2, £з) являются теперь
размещениями, т. е. |Ω | = Аь = 5·4·3 = 60. Используя те
же обозначения, что в примере 1.2, находим, что
B = BiUB2UB3, Bk Л В, = 0 при к¥=1,
и что \Bk\ — A\.A\ = 2'3-2 — i2 при любом к - 1, 2. 3
(к-ю карточку можно выбрать А\ = 2 способами, а пару
остальных — 4j = 3-2 способами). Поэтому теперь |5| =
= |51| + |β2| + |β3Ι = 3·12 = 36 и
ρ (В) = 1^1 = — = о б а
1 ' | Ω | 60 '
Часто оказывается полезной следующая
классическая формула, известная как уточненная формула
Стерлинга (см. [И], т.1, с. 73, (9.15)):
п\ - /2πη и"е-"е^, ш + ι <θ"<1· ί1·6)
В формулировках некоторых задач используется
выражение: «целое число а сравнимо с целым числом b по
модулю /га» (/га — целое), или, в символической записи,
a = b(vaodm). (1.7)
Сравнение (1.7) эквивалентно утверждению: существует
такое целое число t, что а — b = tm (т. е. а и Ь при
делении на /га дают одинаковые остатки). В частности,
запись α β 0 (mod /га) означает, что α делится без
остатка на т.
Целую часть действительного числа χ (наибольшее
целое число, не превосходящее х) будем обозначать [х].
Рассмотрим второй класс вероятностных пространств
(Ω, S&, Р). Пусть Ω — множество в /г-мерном
евклидовом пространстве, объем μ(Ω) которого положителен и
конечен; σ-алгебра s& состоит из всех измеримых (т. е.
имеющих объем) подмножеств A cz Q. Вероятность Ρ
определяется равенством
РИ) = $йЬ A^si-. (1.8)
10

Определение вероятности (1.8) называют
геометрическим определением вероятности.
Пример 1.4. Коля и Петя договорились
встретиться на остановке автобуса между 9 и 10 часами. Каждый,
придя на остановку, ждет другого 15 минут, а потом
уходит. Найти вероятность встречи Коли и Пети,
предполагая, что моменты их
прихода являются координатами „„
точки, имеющей равномерное
распределение в квадрате
[9, 10] X [9, 10].
Решение. Пусть Коля
приходит на остановку в 9 ч
и мин, а Петя — в 9 ч. ν мин.
В качестве множества
элементарных событий выберем
Q = {(u, v): 0<u<60,
0 si v < 60}.
60 и
Рис. 1
Тогда событие А =- {встреча Коли и Пети происходит}
соответствует множеству
А = {(и, ν): \и — v\ «S 15, 0 < и < 60, 0 «2 ν < 60) с Ω,
изображенному на рис. 1. Так как
μ (Ω) = 602, μ (А) = 602 - 452 = 60а · [l - (-jj\ = -^ · 602
то по формуле (1.8) находим
Р(А\ МЛ) 602·7/16
6(Г
7
16"
Приведем формулы, которые часто используются при
решении задач. Пусть Ά обозначает событие,
противоположное событию А. Для любых событий А\, А2, ...
имеем
и к
П=1
П An,
оо оо
П 4n= U Αη.
n=i n~x
При любых А и В верна формула
Р(А U В)==Р(А)+ Р(В)-Р(А П В),
в частности, при А П В = 0 имеем
Ρ (A UB)=P(A)+P{B).
(1.9)
(1.10)
(1.11)
11

Вероятность объединения произвольных η событий
находится по формуле
Р(^или...ил,)= Σ p(Ah)- Σ P(Ah(]Ah)+
+ Σ р(Лпла ПЛ3)-...
... +{_1)"-1Р(л1пл2п...п^п) =
η
-Σ(-ί)1-1 Σ р(4,п...п\> (1Л2>
' = I Kft1<...<ftj<« т
Пример 1.5. Четыре поздравительных открытки
случайно разложены по четырем конвертам с адресами.
Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка
попала в свой конверт.
Решение. Множество элементарных событий Ω
состоит из всех расположений открыток но конвертам:
ΙΩΙ =41 = 24. Событие
А = {хотя бы одна открытка попала в свой конверт}
можно представить в виде
Α=Αι[}Α2[}Α3ϋΑ^
где Аг = {1-я открытка попала в свой конверт}.
По классическому определению вероятности
р(А) = !г = т. рИ1пЛ) = |- = -413г!
Ρ (А, П Л П А3) = Ρ (Аг Л At П А3 Л A J = ±-.
Нетрудно проверить, что при любых попарно
различных ί, /, к
P(^) = P(A) = -1, Р(44П^)-Р(^1П^) = -й-,
Ρ (Л4 П Aj П А) = Ρ (А, П 4 Л /У = ~.
По формуле (1.12) находим
Ρ (A, U Λ2 U A* U А) -
1 /^2 1 ι /^З 1 ,-4 1
4 ~"°4· 12 "Ι" ^4- 24 W 24
Во всех задачах § 1 данной главы предполагается,
что элементарные события равновероятны; слова «слу-
12

чайное», «случайно выбирается» нужно понимать как
предположение о равновероятности элементарных
событий. В § 2 выражение «точка равномерно распределена
на множестве Ω» означает, что вероятности нужно
вычислять по формуле (1.8).
§ 1. Классическое определение вероятности
1.1°. Из ящика, содержащего три билета с номерами
1, 2, 3, вынимают по одному все билеты.
Предполагается, что все последовательности номеров билетов имеют
одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что
хотя бы у одного билета порядковый номер совпадает
с собственным.
1.2°. Колода из 36 карт хорошо перемешана (т. е. все
возможные расположения карт равновероятны). Найти
вероятности событий:
А = {четыре туза расположены рядом},
В = {места расположения тузов образуют
арифметическую прогрессию с шагом 7).
1.3°. На полке в случайном порядке расставлено
40 книг, среди которых находится трехтомник А. С.
Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в
порядке возрастания слева направо (но не обязательно
рядом).
1.4°. Брошено три монеты. Предполагая, что
элементарные события равновероятны, найти вероятности
событий:
А = {первая монета выпала «гербом» вверх},
В = {выпало ровно два «герба»},
С = {выпало не больше двух «гербов»}.
1.5°. Из множества всех последовательностей длины
п, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна.
Найти вероятности событий:
А = {последовательность начинается с 0},
В = {последовательность содержит ровно т + 2
нуля, причем 2 из них находятся на концах
последовательности},
С = {последовательность содержит ровно т единиц},
D = {в последовательности ровно /по нулей, т\
единиц, m<i двоек}.
13

ί.6°. Из 28 костей домино случайно выбираются две.
Найти вероятность Ρ<ι того, что из пих можно составить
«цепочку» согласно правилам игры.
1.7°. В записанном телефонном помере 135—3. —..
три последние цифры стерлись. В предположении, что
все комбинации трех стершихся цифр равновероятны,
найти вероятности событий:
А = (стерлись различные цифры, отличные от 1,3,5),
В — {стерлись одинаковые цифры),
С = {две из стершихся цифр совпадают).
1.8°. Какова вероятность того, что четырехзначный
номер случайно взятого автомобиля в большом городе:
а) имеет все цифры разные? б) имеет только две
одинаковые цифры? в) имеет две пары одинаковых цифр?
г) имеет только три одинаковые цифры? д) имеет все
цифры одинаковые?
1.9°. Найти вероятность ρΝ того, что случайно
взятое натуральное число из мпожества {1, 2, ..., Ν)
делится на фиксированное натуральное число к. Найти
lira ρ
Ν-χχ
1.10. Из чисел {1, 2, ..., Ν} случайно выбирается
число а. Найти вероятность ρΝ того, что: а) число а
пе делится ни на αϊ, ни на аг, где ах и а2 —
фиксированные натуральные взаимно простые числа; б) число α
не делится ни на какое из чисел а\, а-2, ..., ah, где числа
а< — натуральные и попарно взаимно простые. Найти
lira pv в случаях а) и б).
1.11. Из множества {1, 2, ..., Ν) случайно
выбирается число а. Найти lim pN, где pN — вероятность того,
что а2 — 1 делится па 10.
1.12. Из множества {1, 2, ..., N) случайно
выбирается число а. Найти вероятность pN того, что а при
делении на целое число г ^ 1 дает остаток q. Найти
lira pN.
N->oc
1.13. Целое число ξ случайно выбирается из
множества {0, 1, 2, ..., 10" — 1). Найти вероятность того,
что в десятичной записи это число /с-зиачно, т. е.
представимо в виде ξ = ξ„ · ΙΟ*-1 + |»_ι · ΙΟ"-2 + ...
... + |2 · 10 +ξι, где 0sS|iSS9 при всех i = 1, ..., к и
lh>0(k>l).
14

1.14. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел {1, 2, ..., Л"},
выбираются числа ξ и η. Найти вероятность qN того, что ξ и η
взаимно просты. Найти lim </jv, используя известное ра-
ΣΙ π2
1.15°. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {1, 2, ..., Ν) выбираются
числа ξ и η. Обозначим ρΝ вероятность события ξ2 + η2 «^
<Ν2. Найти Htn p .
iV-»oo
1.16. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {0, 1, 2, ..., 10" — 1}
выбираются числа ξ и η. Обозначим рт вероятность того, что
сумма | + η будет иг-значным натуральным числом
в десятичной записи. Найти вероятности pn-h+i, ft =
= 0, 1, ..., п, и qh = Hm pn_h+, ft = 0, 1, 2, ...
1.17. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {0, 1, 2, ..., 10" — 1}
выбираются числа ξ и η. Обозначим рт вероятность того,
что произведение ξη будет wi-значным натуральным
числом в десятичной записи. Найти qh = lim P2n_k, к =
= 0,1,2,...
1.18*. Из множества {1, ..., Ν) по схеме случайного
равновероятного выбора с возвращением выбираются
элементы Хь ..., Х^, а по схеме равновероятного выбора
без возвращения — элементы Хь ...,Xk. Показать, что
для любой совокупности st-= {Αι, ..., AM}t состоящей
из попарно различных ft-элементных подмножеств
А(={аии ..., аа}с:{1, ..., N),
0^P{[Xl,...,X'h}e=s*)-P{{X'u...,X'h}e=sfi}^!±Ck.
1.19*. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел {1, 2, ..., Ν), Ν ^ 4,
выбираются числа X и Y. Что больше:
Р2 = Ρ (X2 - Υ2 делится на 2)
или
Р3 = Ρ (X2 — Υ2 делится на 3}?
1.20. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел {1, 2, ..., Ν}, Ν > 6,
15

выбираются числа X и У. Показать, что
Ρ (А4 - У4 = 0 (mod 2)} < Ρ {А4 - У4 = 0 (mod 3) I <
<P{X4_ F4^0(mod5)}.
1.21. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества {1, 2, ..., N} выбираются числа X и У.
Используя малую теорему Ферма (если ρ — простое
число и целое число а не делится па р, то αν~ι =
63 1 (mod ρ)), найти вероятность Qn(p) того, что число
А*"-1 — γν-\ делится на простое число р. Найти
Hm QN(p) = Q(p), lim QN(p) = Q.
Л/-»оо p,iV-»oo
1.22*. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества {1, 2, ..., Л'} выбираются числа X и У.
Показать, что при /V > 4
Ρ {X3 + У3 ^ О (mod 3)} < Ρ {А3 + У3 = 0 (mod 7)}.
1.23°. Из совокупности всех подмножеств множества
S = {1, 2, ..., N} по схеме выбора с возвращением
выбираются множества Αι, Αι. Найти вероятность того,
что Ах П А2 = 0.
1.24. Из совокупности всех подмножеств множества
S = (1, 2, ..., Ν) по схеме выбора с возвращением
выбираются подмножества Л], /Ь, ..., Аг. Найти
вероятность того, что множества А\, А2, ..., Аг попарно не
пересекаются.
1.25*. В урне содержится (2гс+1)2 карточек, на
каждой из которых написана упорядоченная пара целых
чисел (х, у) (х и у принимают значения от —η до п,
каждая пара чисел написана ровно на одной карточке).
Из урны по схеме выбора без возвращения извлекаются
три карточки: (ξι, ηι), (ξ2, η2), (|з, У]з). Рассмотрим эти
пары как координаты случайных точек Ξι, Ξ2, Ξ3
плоскости в декартовой системе координат. Найти
вероятность рп того, что Ξι симметрична Ξ2 относительно 5з.
1.26°. Брошено 10 игральных костей.
Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны.
Найти вероятности событий:
а) не выпало пи одной «6»;
б) выпало ровно три «6»;
в) выпала хотя бы одна «6»;
г) выпало хотя бы две «6».
1.27. Из множества {0, 1, ..., Ν} по схеме
равновероятного выбора с возвращением извлекаются числа
16

Xu
.. ., лт.
Uh,N =
Пусть
= Р{Хг+ ... + Хт = к), 0 < fc < /raTV,
а) Доказать, что bffl = &Йу-*,л.
б) Доказать, что
5. ЧТО
Dft,iV =
mN
2Α.^ -(jV + 1)4 i_, J ·
[ίί/(Λ' + Ι)]
~~ (JV + Ι)"1 Д* ^ ^ Ch-J(N+l) + m-lCm,
т. е
Α = 0, 1, ..., mN.
1.28. Найти вероятность того, что в номере случайно
выбранного в большом городе автомобиля сумма первых
двух цифр равна сумме двух последних.
1.29. Некоторые москвичи считают трамвайный,
троллейбусный или автобусный билет «счастливым», если
сумма первых трех цифр его шестизначного номера
совпадает с суммой последних трех цифр. Найти
вероятность получить «счастливый» билет.
1.30°. Из карточек разрезной азбуки составлено
слово «СТАТИСТИКА». Затем из этих 10 карточек по
схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5
карточек. Найти вероятность того, что из отобранных
карточек можно составить слово «ТАКСИ».
1.31°. Из 30 чисел (1, 2. ..., 29, 30) случайно
отбирается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:
А = {все числа нечетные),
В = {ровно 5 чисел делится на 3),
С = {5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно
одно число делится на 10).
1.32°. Из урны, содержащей Μι шаров с номером 1,
Ж2 шаров с номером 2, ..., МК шаров с номером Ν,
случайно без возвращения выбирается η шаров. Найти
вероятности событий:
1) появилось т.\ шаров с номером 1, пц шаров с
номером 2, ..., τηΝ шароп с номером Л';
2) каждый из N номеров появился хотя бы один раз.
1.33°. Из множества чисел {1, 2, ..., Ν) но схеме
выбора без возвращения выбираются числа ξι и |г·
Найти Ρ{ξ2>|ι}. При выборе трех чисел найти вероятность
того, что второе число лежит между первым и третьим.
17

1.34°. Из множества чисел {1, 2, ..., Ν) по схеме
выбора без возвращения отобрано η различных чисел.
Расположим их в порядке возрастания: г(1, < ζ(2) < ...
...<ζ(η). Найти вероятность того, что z(m) ^ Μ < 2(т+));
вычислить ее предел при Ν, Μ -*■ °°, Μ/Ν -*- α ξ [0, 1 ].
1.35. Из множества И, 2, ..., УУ} случайно без
возвращения выбирается к + 1 чисел: ам, аг2, · · ·, Ям-ь
Первые /с чисел, расположенные в порядке возрастания,
обозначим х{\) < £(2) < ... < £(„). Найти
Ρ {ζ(ί) <xh+i <ar(,fi,>.
1.36. Десять рукописей разложены по 30 папкам (на
одну рукопись 3 папки). Найти вероятность того, что в
случайно выбранных 6 папках не содержится целиком
ни одной рукописи.
1.37. За круглый стол рассаживаются в случайном
порядке 2/г гостей. Какова вероятность того, что гостей
можно разбить на η непересекающихся пар так, чтобы
каждая пара состояла из сидящих рядом мужчины и
женщины?
1.38°. Участник лотереи «6 из 49» на первой
карточке отметил номера (4, 12, 20, 31, 32, 33), а на второй —
(4, 12, 20, 41, 42, 43). Найти вероятность того, что
участник получит ровно два минимальных выигрыша,
т. е. что каждый из этих наборов имеет ровно 3 общих
элемента с набором номеров (αϊ, ..., аб)сИ, 2, ..., 49),
появившихся при розыгрыше тиража.
1.39. Найти вероятность того, что при случайной
расстановке двух ладей на шахматной доске они не будут
угрожать друг другу.
1.40*. Найти вероятность Pk того, что при случайной
расстановке к (2 < к < 8) ладей на шахматной доске
никакие две ладьи не будут угрожать друг другу. При
каких к эта вероятность меньше 1/2? Меньше 1/100?
1.41. Собираясь в путешествие на воздушном шаре,
Пончик положил в каждый из 20 карманов своего
костюма по прянику. Через каждые 10 минут полета у
Пончика возникает желание подкрепиться, и он
начинает в случайном порядке просматривать свои карманы до
тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти
вероятность того, что поиск к-то пряника начинается с
пустого кармана.
1.42. В условиях задачи 1.41 найти вероятность Pk
того, что первые к пряников Пончик найдет с первой
18

пояытки. Вычислить эти вероятности при к — 1, 2,
3, 4, 5, 6.
1.43*. Решить задачу 1.42 в случае, когда число
карманов в костюме Пончика равно 10, и в каждый карман
Пончик положил по 2 пряника. Найти численные
значения вероятностей при к = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
1.44. По 20 карманам своего костюма Пончик
разложил 18 пряников и 2 конфеты (до одному предмету в
каждый карман). Для той же схемы, что в задаче 1.41,
найти вероятность того, что первые два раза Пончик
будет подкрепляться конфетами.
1.45. Решить задачу 1.44 в случае, когда в костюме
Пончика 10 карманов и в один карман Пончик положил
2 конфеты, а в остальпые — по 2 пряника.
1.46. В каждой из трех урн лежит по три карточки.
На карточках в первой урне написаны числа аи а2, аз,
во второй урне — числа b\, Ь2, Ъъ, в третьей —
числа с\, с2, сз. Из каждой урны наудачу вынимается
по карточке. Пусть α, β, γ — числа на карточках,
вынутых из первой, второй, третьей урн
соответственно. Найти Ρ{α<β}, Ρ{β<γ} и Ρ {γ < α) в случаях,
когда:
а) (й[, а2, а3) = (Ьи Ъ% b3) = (ch с2, с3) = (1, 2, 3),
б) (о,, оз. о3) = (1, 2, 3), {Ъи Ьг, 6з) = (2, 3, 4),
(си с2, с3) = (3, 4, 5),
в) (о,, о2, о3) = (1, 5, 9), (Ь,, Ъ2, Ь3) = (2, 6, 7),
(ci, c2, c3) = (3, 4, 8).
1.47*. В условиях задачи 1.46 найти такой способ
расстановки чисел па карточках, при котором сумма
Ρ {а < β} + Ρ {β < γ} + Ρ {γ < α} принимает наибольшее
возможное значение. Чему оно равно?
1.48. Пусть ξ,, |2, 1з, §4 — числа, выпавшие при
одновременном бросании четырех игральных костей. Найти
Р(|2>Ы, Р{|з>Ы, Р(§4>Ы и Ρίξ, >Ы в двух
случаях:
а) па гранях каждой кости паписаны числа 1, 2, 3,
4, 5, 6;
б) на гранях первой кости написаны числа 6, 7, 8,
9, 23, 24, на гранях второй — числа 10, 11, 12, 13, 14,
15, на гранях третьей — числа 1, 2, 16, 17, 18, 19, на
гранях четвертой — числа 3, 4, 5, 20, 21, 22.
1.49. В условиях задачи 1.48 найти такой способ
расстановки чисел на гранях, при котором сумма
Ρ ih > Ы + Ρ Из > Ы + Ρ (U > Ы + Ρ (ξι > U)
принимает наибольшее возможное значение. Чему оно равно?
19

1.50. Равновероятной схемой размещения частиц по
ячейкам называют схему размещения, в которой
номера ячеек, последовательно занимаемых частицами,
получают посредством случайного выбора с
возвращением.
Обозначим μΓ = μΓ(η, Ν) число ячеек, содержащих
ровно по г частиц после размещения η частиц по N
ячейкам. Найти вероятности следующих событий:
1) μ0(η, Λ7)>0 (при η = Ν);
2) μ0(η, /V)=0 (при « = /V+ 1);
3) μ0(η, Ν)=ί (при η = Ν+ 1);
4) найдется ячейка, содержащая хотя бы две
частицы (при любых соотношениях между η и Ν).
1.51. (см. 1.50). Найти Ρ {μ0(η, Ν)=0] при
произвольных η, Ν.
1.52. По N различимым ячейкам размещается
случайно η неразличимых частиц. (Элементарными
событиями являются наборы чисел (п, гг, ..., rN), где г„ —
число частиц в k-κ ячейке, к = 1, 2, ..., Лт.) Найти
вероятности событий:
1) μ„(η, JV)>0; 2) μ0(η, JV)=l.
1.53. В нервом ряду кинотеатра, состоящем пз N
кресел, сидит η человек. Предполагая, что все
возможные размещения этих η человек в первом ряду
равновероятны, найти вероятности следующих событий:
а) Αη_χ = (никакие 2 человека не сидят рядом};
б) ΒηΝ = {каждый из η человек имеет ровно одного
соседа};
в) Cn.N = (из любых двух кресел, расположенных
симметрично относительно середины ряда, хотя бы одно
свободно}.
1.54. В зале кинотеатра в первых двух рядах,
каждый из которых состоит из N кресел, сидит η человек.
Найти вероятности следующих событий:
а) в первом ряду никакие 2 человека не сидят рядом;
б) во втором ряду каждый человек имеет ровно
одного соседа;
в) в нервом ряду из любых двух кресел,
расположенных симметрично относительно середины ряда, хотя бы
одно свободно.
1.55°. Из всех отображений множества {1, 2, ..., п]
в себя случайно выбирается отображение. Найти
вероятности событий:
20

а) выбранное отображение каждый из η элементов
переводит в 1;
б) элемент ί имеет ровно к прообразов;
в) элемент t переводится в /;
г) выбранное отображение элементы iu h, ..., i»
(1 *S i[ < i2 < ... < }„ < n) нереводит в элементы /ι, /2, .. ·
..., /fi соответственно.
В задачах 1.56 — Ι.ίίΟ рассматриваются взаимно одно-
зпачные отображения множества {1, 2, ..., п} на себя.
Такие отображения называют подстановками степени п.
Множество всех подстановок степени η обозначают Sn.
Если элементы ii, k, ..., ih<^ii, 2, ..., η) различны и
подстановка σ из S„ переводит i\ в in, h в г'з, ..., h-\ в
tft и ik в U (i\ -*■ h -*■ h -*■ ■■■ -*■ h-\ -*■ i* -*■ h), то говорят,
что элементы Zj, г'г, ..., г'„ образуют цикл длины к.
1.56°. Из множества Sn случайно ьыбирается
подстановка. Найти вероятности событий:
а) выбрана тождественная подстановка
б) выбранпая подстановка элементы ц, г'г, ..., г„
(ii < г2 < . .. < г„) переводит в элементы /Ί, /2, ..., U
соответственно;
в) элемент i в выбранной подстановке образует
единичный цикл, т. е. г -> г;
г) элементы 1, 2, 3 образуют цикл длины 3: ί -*■ 2 -*■
-*■ 3 -*■ 1 или 1 -> 3 -»■ 2 -> 1;
д) все элементы образуют один цикл.
1.57. Найти вероятность Рп того, что в случайно
выбранной подстановке степени η найдется хотя бы один
цикл единичной длины. Найти lim Pn.
П->ос
1.58*. Из множества Sn случайно выбирается
подстановка σ. Доказать, что если λι — длина цикла
подстановки σ, содержащего элемент 1, то
Ρ {Xj = к} = — при любом к = 1, 2, ..., п.
1.59*. Из множества Sn случайно выбирается
подстановка. Найти вероятность того, что элементы 1 и 2
лежат в одном цикле.
1.60. Обозначим символом [lai2as ... я""] (см. [9])
множество подстановок, у которых αϊ циклов длины 1,...
..., а„ циклов длины п. Из множества [ΐαι2α2 .. . пап\
21

случайно выбирается одна подстановка. Найти
вероятности событий:
а) выбрана заранее указанная подстановка из
[lai2V.. η""];
б) элемент i образует единичный цикл;
в) выбранная подстановЕса переводит ί в / (i¥=j).
§ 2. Геометрические оероятности
1.61°. Случайная точка А равномерно распределена на
отрезке [0, 1] и делит этот отрезок на две части. Пусть
ηι — длина большей части и η2 — длина меньшей части.
Найти Ρίηι^ζ}, Ρ{η2^^} при любом х.
1.62°. Случайная точка А имеет равномерное
распределение в квадрате со стороной 1. Найти вероятности
следующих событий:
а) расстояние от точки А до фиксированной стороны
квадрата не превосходит х;
б) расстояние от точки А до ближайшей стороны
квадрата не превосходит х;
в) расстояние от точки А до центра квадрата пе
превосходит х;
г) расстояние от точки А до фиксированной
вершины квадрата не превосходит х.
1.63°. Случайная точка А имеет равномерное
распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти
вероятности следующих событий:
а) расстояние от А до ближайшей стороны
прямоугольника не превосходит х;
б) расстояние от А до любой стороны
прямоугольника не превосходит х;
в) расстояние от А до диагоналей прямоугольника
не превосходит х.
1.64°. Случайная точка А имеет равномерное
распределение в квадрате со стороной а. Найти вероятность
того, что расстояние от А до ближайшей стороны
квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей
диагонали квадрата.
1.65°. Случайная точка X имеет равномерное
распределение в квадрате А = {(х, у): \х\ < а, \у\ < а}. Найти
вероятность того, что квадрат с центром X и сторонами
длины Ъ, параллельными осям координат, целиком
содержится в квадрате А.
1.66. Случайная точка X равномерно распределена
в квадрате А = {(х, у): \х\ + \у\^а). Найти вероят-
22

ность того, что квадрат с центром X и сторонами длины
Ь, параллельными осям координат, целиком содержится
в квадрате А.
1.67. Случайная точка X равномерно распределена d
правильном треугольнике с вершинами (а, 0), (—а, 0),
(0, аУЗ), Найти вероятность того, что квадрат с центром
X и сторонами длины 6, параллельными осям
координат, целиком содержится в этом треугольнике.
1.68. Случайная точка X равномерно распределена в
круге S = {(х, у): x2 + y2^R2}. Найти вероятность того,
что параллельный оси абсцисс отрезок длины R с
серединой в точке X целиком содержится в круге S.
1.69. Случайная точка А имеет равномерное
распределение в правильном ^-угольнике. Найти вероятность
Р„ того, что А находится ближе к границе
многоугольника, чем к его диагоналям. Найти такие числа С
и а, что
Рп = Cna(i + о(1)), ге->°о.
1.70°. Случайная точка (ξι, |г) равномерно
распределена в единичном квадрате Κ = {(ιι, ν): 0 < и < 1,
O^y^l). Обозначим η число действительных корней
многочлена
Найти вероятности
Ρ {η = k), k--=i,3.
1.71°. На паркет, составленный из правильных
/с-уголышков со стороной а, случайно бросается монета
радиуса г. Найти вероятность того, что упавшая монета
не заденет границу ни одного из /с-угольников
паркета для;
а) к = 3;
б) fc = 4;
в) к = 6.
1.72*. Случайно подброшена монета. Будем считать,
что толщина монеты равна 0 и что вектор нормали,
приложенный к стороне монеты с гербом, при вращении
образует конус (рис. 2). Ось конуса образует угол θ
(—π/2 < θ < π/2) с горизонтальной плоскостью, α —
угол между образующей конуса и его осью (0 < α <
«S π/2). В момент падения монеты конец вектора
нормали равномерно распределен на окружности оспования
23

конуса. Найти вероятность ρ (α, Θ) того, что монета
упадет гербом вверх. При каких условиях ρ (α, θ)= 1/2?
1
N
»1
Рис. 2
1.73°. Парадокс Бертрана. В круге радиуса R
случайно проводится хорда. Обозначим ξ ее длину.
Найти вероятность Qx = Ρ (ξ > χ), если середина хорды
равномерно распределена в круге. Вычислить вероятности
Qr и Q Rf- того, что длина хорды больше стороны
правильного вписанного шестиугольника и треугольника
соответственно.
Результат зависит от того, как понимать слово
«случайно». См. задачи 1.74 и 1.75.
1.74°. Решить задачу 1.73, если направление хорды
задано, а ее середина равномерно распределена на
диаметре, перпендикулярном ее направлению.
1.75°. Решить задачу 1.73, если один конец хорды
закреплен, а другой равномерно распределен на окружности.
1.76. На плоскость, разлинованную параллельными
прямыми (расстояние между соседними прямыми равно
2а), брошена полуокружность радиуса г < а; точка
(φ, χ) (χ — расстояние от центра окружности до
ближайшей прямой, 0<#ϊ£α; φ — угол между этой прямой
и диаметром, соединяющим концы дуги) равномерно
распределена в прямоугольнике [0, а] X [—π/2, π/2].
Найти вероятность того, что прямая будет иметь к (к =
= 0, 1, 2) пересечений с полуокружностью.
1.77е. В интервале времени [О, Т] в случайный
момент и появляется сигнал длительности Δ. Приемник
включается в случайный момент г; е [О, Т] на время t.
Предположив, что точка (и, ν) равномерно распределе-
24

на в квадрате [О, Τ] Χ[Ο, Τ], найти вероятность
обнаружения сигнала.
1.78°. Пассажир может воспользоваться трамваями
двух маршрутов, следующих с интервалами 7Ί, 7Y
Момент прихода пассажира определяет на отрезках
[О, 7Ί], [О, Т2] числа и и ν, равные временам,
оставшимся до прихода трамвая соответствующего маршрута.
Предполагая, что точка (и, и) равномерно распределена
на Ω = {(υ, ν): О *S и < Ти 0 < ν < TJ, пайти
вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку,
будет ждать не дольше ί (0 < t < mm(Z'i, Τι)).
1.79. Однородный прямой круговой цилиндр
случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти
вероятность того, что цилиндр упадет на боковую
поверхность, если его высота h, а радиус основания г.
Вычислить эту вероятность при h = 2г. При каких h и г
вероятности упасть на основание и на боковую
поверхность одинаковы?
1.80. Неоднородный прямой круговой цилиндр
случайно бросается на горизонтальную плоскость. Радиус
основания цилиндра г, центр тяжести расположен на
оси симметрии цилиндра на расстоянии а от одного
основания и Ъ > а от другого основания цилиндра.
Найти вероятность того, что цилиндр упадет: а) на
основание, расположенное ближе к центру; б) на
основание, более удаленное от центра тяжести; в) на боковую
поверхность.
1.81. Однородный прямой круговой конус с высотой
h и радиусом основания г случайно бросается на
горизонтальную плоскость, а) Найти вероятность того, что
он упадет на основание; б) вычислить эту вероятность
при r = h; в) при каком отношении r/h эта вероятность
равна 1/4?
1.82. Однородное тело, ограниченное сферой и
плоскостью, проходящей через центр сферы (полушар),
случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти
вероятность того, что полушар упадет на плоскую часть
своей границы.
1.83. Длинный однородный брус прямоугольного
поперечного сечения размера а X Ъ, Ь> а, случайно
бросается на горизонтальную плоскость так, что его ось
параллельна этой плоскости, а угол поворота
относительно этой оси равномерно распределен в [0, 2π].
Найти вероятность того, что он упадет на более широкую
грань.
25

1.84*. На плоскости проведено η окружностей S\, ...
..., Sn с общим центром О; радиус окружности Sh равен
к (k = i, 2, ..., η). Случайная точка А имеет
равномерное распределение в круге, ограниченном окружностью
5„; ABC — правильный треугольник, одной из вершин
которого является А, а центром — точка О. Найти
вероятность Рт того, что граница треугольника ABC
пересекает ровно т окружностей, т = 0, ί, ..., п.
1.85. Найти вероятность Рп того, что случайная
точка Ε = (ξ1; ..., ξη), имеющая равномерное распределение
в «-мерном кубе Кп = {(х1, ..., хп) ^. В.""· max |ж{|^1)4
принадлежит гс-мерному шару 5„ = \(хг, ..., хп) ξ Rn:
з?\ + ... +Жп<!1}) вписанному в Кп. Вычислить Р„ для
η = 2, 3, 10, 20.
Глава 2
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ
В построении математической модели
последовательности испытаний важную роль играют понятия
независимости событий и условной вероятности. Условная
вероятность Р(В\А) события В при условии, что событие А
произошло, определяется формулой
Р(В\А) = ^-, Р(Л)>0. (2.1)
Это равенство может быть записано в виде «теоремы
умножения»
Р{АВ) = Р(А)?(В\А). (2.2)
Обобщением (2.2) является формула
Р(А1А2...Ап) = Р(А1)Р(А2\А1)?(Аз\А1А2)...
...Р{Ап\АхА2...Ап-х). (2.3)
Равенство
Р{В\А) = Р{В) (2.4)
естественно интерпретировать как независимость
события В от А. В качестве определения независимости
двух событий А к В принимается более симметричное
условие
Р(АВ) = ?(А)Р(В), (2.5)
эквивалентное (2.4), если Р(<4)>0. Из (2.5) следует не-
записимость (см. задачу 2.18) еще трех пар событий:
26

А и В, А и В, А и В. События А\, Αι, ..., А„
называются взаимно независимыми (или независимыми в
совокупности, или просто независимыми), если для всех
комбинаций индексов 1 =ξ ί\ < Ϊ2 < ... < ih «£ η (fc = 2, ..., η)
имеем
Ρ (AuAit ... Aih) = P( Лч) Ρ (Лд ... P(Aik). (2.6)
Если (2.6) выполняется только при к = 2, то события
Αι, ..., Ап называют попарно независимыми; о связи
попарной и взаимной независимости см. задачи 2.22 и 2.23.
Многие важные модели серии опытов со случайными
исходами часто описываются либо условными
вероятностями, либо предположением
о независимости исходов
различных опытов и
заданием безусловных
вероятностей исходов. В таких
случаях по формулам (2.3) или
(2.6) можно, используя
заданные условные
вероятности или независимость,
вычислить вероятности
элементарных событий.
Пример 2.1. Возмож- Рис.3
ные превращения
радиоактивного ядра палладия "ePd можно представить в виде
графа, приведенного на рис. 3. В обозначениях ядер
нижний индекс равен числу протонов в ядре, верхний
индекс — сумме числа протонов и числа нейтронов. Буква
m в верхнем индексе означает возбужденное состояние
ядра. Дугами обозначены возможные превращения ядер;
рядом с дугами указаны вероятности соответствующих
превращений. Найти вероятность того, что ядро
палладия 4ePd превратится в ядро кадмия 4gCd.
Решение. Обозначим Аи Αι, Аз события,
состоящие в том, что в превращениях участвовали ядра "ePd,
47Ag, zlCd. Тогда условия задачи можно записать в
виде Ρ(4ι)=1, Р(Л2и,) = 0,73, Р(Л3и1Л2) = 0,915. Нужно
найти ρ — Р(А\А2Аз). По формуле (2.3) находим
p = P(Ai)P(A2\A{)P(A3\AiA2) = 0,73 -0,915 = 0,66795. А
Схема случайного выбора без возвращения (см. гл. 1)
естественно определяется в терминах условных
вероятностей: если известен результат первых к испытаний, то
27

при (7с + 1)-м испытатшп с равными вероятностями может
появиться любой из оставшихся элементов. Модель
случайного выбора, сформулированная в терминах условных
вероятностей, совпадает с определением из гл. 1. В
терминах независимости и равновероятности результатов
отдельных испытаний может быть описана и схема
случайного выбора с возвращением, определенная в гл. 1.
Пример 2,2. Из урны, содержащей 3 белых и 2
черных шара, по схеме случайного выбора без возвращения
последовательно извлекаются шары. Найти вероятность рк
того, что черный шар впервые появится при к-и
испытании (к = 1, 2, 3, 4).
Решение. Обозначим С{ событие, состоящее в том,
что в i-м испытании появился черный шар. Тогда
события
Bk = {впервые черный шар появился при fe-м испытании},
к = 1,2, 3,4,
можно выразить через С, и Сс.
5)== С), B<i = C\C<i, Bt, = ii\C<iC%, В\ = С\СгС%Сь
По формуле (2.3)
Р(Я,) = Р(С0, Р(52) = Р(С,)Р(С2|С,),
P(B3) = P(C1)P(U2\Cl)P(C3\CiU2),
P(Bi)=P(Cl)P(C2\Cl)P(C3\C1C2)P(Ci\CiC2C3).
По классическому определенщо вероятности
Р(Са)=-|. P(Ci) = |-, Ρ (Ci-н I Ci ■ · · С ι) = |=j,
P(Ci+1|C1.,.Ci) = ^-, i= 1,2,3.
В результате получим
Pl = Ρ (Β,) = А = 0,4, Pi - Ρ (Β2) = i-4 = 0,3,
Рз=р(53)=444 = 0'2'
ρ4 = ρ(βι) =4444 = ο,ι.
Дадим определение последовательности испытаний.
Пусть
Ω» = {(<ь «2, ..·, in): i* «HI, 2, ,.., <V}, ft - 1, 2, ..., η].
(2.7)
28

Элементарное событие ω=(ίι, Ϊ2, ..., к)
интерпретируется как цепочка исходов в η последовательных
испытаниях, каждое из которых имеет N несовместных исходов:
1, 2, ..., N. Если положить
Ρ(ω) = /> ρ ... ρ . , . , (2.8)
Ί 1г1 1 'η|Ί' 2' ' η—1
Λ'
где -Diji i , > °» Σ Pi ι, i =ι («= ι, ..., »;
ite(l, ..., Ν), l<fc<s), то на подмножествах
множества Ω„ однозначно определяется вероятность
Ρ {Λ)= Σ Ρ (ω), 4£=Ω„.
Построенное вероятностное пространство является
математической моделью последовательности η испытаний.
Последовательностью независимых однородных
испытаний является частный случай приведенной общей
модели, в которой формулу (2.8) надо заменить формулой
Ρ (ω) = р.р.^ . .. р.п (ifce={l, ...,N), 1 <й<*), (2.9)
где pl + p2 + ... + pK = l,pi>0,l = l,2,...,N.
Определение последовательности независимых
испытаний можно дать в форме произведения вероятностных
пространств. Положим Ωο = {1, 2, ..., Ν); тогда Ωη в
(2.7) можно записать в виде
^'п === ^0 X 0 X · · · X *"о == 0
и для любого А = Αι X ЛгХ ... X Ап, где Αι, ..., Αη<=Ωο,
имеем
?{Α) = ?{Αι)?{Α2)...?(Αη).
Здесь Ρ (Ai) = ρ + ρ + .. . + ρ , если Л4 = {гь i2,..., Q.
Обозначим Л·, событие, состоящее в том, что в 1-й
испытании наступил исход U. В модели (2.7), (2.8)
а в модели (2.7), (2.9)
P{Ay\A^...^} = Pi.
Обозначим Вщ событие, состоящее в том, что в г-м
испытании исход принадлежит множеству Si = {L, .. .
■ · ·' ''Mi)}· Для независимых испытаний события #st,
29

Β£2, ..., #s„ являются взаимно независимыми при
любом выборе iSi, ..., Sn.
Если в (2.8) положить р. ,. = р{1) ]>0, р[1) + ...
у ' ιι\ιι !г—ι ч г
... + р^ = 1, то получится последовательность
независимых (неоднородных) испытаний, в которых
вероятности исходов зависят от номера испытаний (но не от
результатов предыдущих испытаний).
Вероятностную модель, определенную формулами
(2.7), (2.9), называют также полиномиальной схемой.
Обозначим через ξ„, < число появлений исхода г в η
испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач
полезна формула
р {ξη,ι = гпъ ξη>2 = m2, ..., ξη>Ν = mN} =
= —i—Η τ Pi Pz · · · Pn , (2.10)
mAm ! ... mN\ c L ci r ' v '
где m,i>0 (г = 1, 2, ..., iV) целые и η = mi + тпч + ...
... + mN.
Последовательность исходов полиномиальной схемы с
N = 10, в каждом испытании которой каждый из
исходов 0, 1, 2, ..., 9 появляется с вероятностью 1/10,
называют случайными числами.
Пример 2.3. Найти вероятность того, что среди 10
однозначных случайных чисел ровно 4 четных числа и
2 нечетных числа, кратных 3.
Решение. Однозначное случайное число четно с ве-
5 1 о
роятностью Pi = гк = у, нечетно и кратно ό с вероят-
2 1
ностью Рг = 7q= тг- Вероятность остальных исходов
3
р3 = 1 — Pi — Р2 = Тп- Если ξι — число четных чисел
среди 10 случайных чисел, |г — число нечетных чисел,
кратных 3, то число остальных чисел |з=Ю —ξι —ξ2, и по
формуле (2.10) с Ν = η = 10 находим
Ρ {I, = 4, ξ2 = 2} = Ρ {ξ, = 4Д2 = 2, ξ3 = 4} =
Частный случай полиномиальной схемы с N = 2
называют сяелгой Бернулли. Ниже два исхода каждого
испытания в схеме Бернулли будем обозначать символами
1 и 0 или называть успехом и неудачей, а
соответствующие им вероятности — буквами ρ и q = 1 — р. Если μ„ —
30

число успехов (или число единиц) в η испытаниях Бер-
нулли, то
Ρ {μ„ = т) = Рп (т, р) = С™рпЧп~т, m = 0,i,...,n.
(2.11)
Пример 2.4. Проводится η независимых опытов,
состоящих в одновременном подбрасывании к монет.
Вычислить вероятности событий:
А = (хотя бы один раз все к монет выпали гербами},
В = (ровно т раз все к монет выпали гербами}.
Решение. Появление к гербов в одном опыте будем
1
называть успехом. Вероятность успеха ρ = —. Проще
вычислить вероятность противоположного события
А = {за η испытаний все к монет ни разу одновременно
не выпали гербами}.
Положим
Ci = {в 1-м испытании произошел успех}.
Тогда A=C\U2...Cn, и по формуле (2.6) находим
р(а>-цр<г,)-(1_$)г.
Для вычисления Ρ (Ά) можно было также воспользо-
ваться формулой (2.11), положив в ней т = О, P=-g, q —
= 1 £· Таким образом,
Р(Л) = 1_р(л) = 1 — (l
Вероятность события В определяем по формуле (2.11):
p(5) = C(l)m(i-lp.
Если в формуле (2.11) параметр р = ρ„ = λ„1η, где
λ„ -»■ λ (0<λ<°ο) при п-*-°°, то согласно теореме
Пуассона
(λ \m / λ \П—7П |Л1
т)(«-т) -ir*"*.
τη = О, 1, 2, ... (2.12)
31

Правая часть формулы (2.12) используется в
приложениях как приближенное значение вероятности Ρίμ^ =
= т) при больших значениях η и малых значениях- р.
Известно (см. [2], с. 124, теорема 9), что при любом
множестве В с: (0, 1, 2, ...}
Ρ{μη€=5}_ У [ЦРГе-пР
ШЕЙ
^.пр2
(это можно вывести также из задачи 4.107, см. гл. 4).
Пример 2.5. В партии из η = 200 изделий каждое
изделие независимо от остальных может быть
бракованным с вероятностью ρ = 0,01. Оцепить вероятность того,
что число μ„ бракованных изделий в этой партии
равно трем.
Решение. Величина пр"2 = 0,02 мала. В качестве
приближенного значения искомой вероятности можно
использовать предельное значение в (2.12) (теорему Пуас-
23
сона) с λ = ηρ = 2: Ρ{μη= 3} « ^-е-2. По табл. 3 (с. 308)
находим числовое значение: ΡίμΛ = 3} « 0,18045 ...
Точное значение вероятности можно найти но формуле
(2.11):
Ρ {μη = 3} = С2300 (0,01)3 (0,99)197 = 0,181355 ... ж
Приведем формулировки двух теорем Муавра —
Лапласа.
Локальная теорема. Если ге-*-°°, ρ = const,
0<р<1, 0<с1<зут = ^=^<с2<оо, mo
"<"· - "> =УЙ7?«Р Г ^ll1 + °Ш) (2ЛЗ)
равномерно по значениям хп.т^\с\, сг].
Интегральная теорема. Если ге-+-°°, ρ = const,
0<р< 1, то
равномерно по хи х2 ( — °° < х\ *£ %2 < °°)·
Правые части формул (2.13) и (2.14) дают хорошее
приближение, когда η достаточно велико, а р и q не
очень близки к нулю. Часто нормальным приближением
пользуются при npq > 20. Ошибка при использовании
32

нормального приближения может увеличиваться из-за
дискретности допредельного распределения (см. зада-
чи 2.61, 2.62). Эта ошибка имеет порядок O(illnpq).
Приведенные замечания очень приближенны и лосят
скорее качественный характер.
Предельное выражение в (2.14) легко можно
выразить через значения одной из функций
X X
ф^=^Л е'1<2/2""' ф°(ж)=уУе_и2/2^
—°° о
Для вычисления предельных выражений в (2.12) и
(2.14) можно использовать табл. 3 и 1.
В качестве примера, иллюстрирующего использование
интегральной теоремы, рассмотрим пример 2.5 с
измененными значениями параметров.
Пример 2.6. В партии из η = 22 500 изделий,
каждое изделие независимо от других может быть
бракованным с вероятностью ρ = 1/5. Найти вероятность того, что
число μ„ бракованных изделий заключено между 4380
и 4580.
Решение. Значение npq = 3600 велико, поэтому
можно воспользоваться нормальным приближением
(2.14). Вычтем пр = 4500 из трех частей неравенства
4380 < μ, < 4560
и получившееся неравенство поделим почленно на
У npq = 60:
_2<^<1.
Упрд
1 *2
Используя (2.14), получим
Ρ{4380<μη<4560} = ρ|-2<ί^7^<ΐ)«-1= f е~Т dx.
[ ynpq j y2n J
Так как
Ы β~ώ-ΐ^ίβ"ώ+ уУе"^Ф0(1) + Ф0(2),
-2 0 0
то (см. табл. 1, с. 306—307).
Р{4380 < μ„ < 4560} « 0,3413 + 0,4772 = 0,8185. А
Иногда в задачах требуется указать отрезок, в
котором с заданной вероятностью лежат значения числа ус-
33

пехов μ„. В этом случае нужно находить решения
уравнений вида 1 — Ф(ж) = а и строить по ним приближения
для искомого отрезка. В табл. 2 приведены величины иа,
определяемые равенством 1 — Ф(иа) — а. При наличии
микрокалькулятора для вычисления Φ (χ) и иа можно
также пользоваться приближенными формулами *)
оо
X
c:.J (83z + 351)* + 562l <55.
еХР1 70377+165 |' υ<^^°50»
2 · Ю-7 <Р*<1,
ν:
((4у + 100) у + 205) у*
((2у + 56) у +192) у + 131'
где у = —In P». В указанных интервалах значений
χ и Рх относительная ошибка первой формулы не
превышает 0,042%, а абсолютная ошибка второй —
0,00013. Для значений χ и Рх, лежащих вне указанных
интервалов, можно использовать приближенные формулы
-|/((2у + 280)у + 572)у iQ-U2 p „ ,Q-7
X=V (у +144)у + 603 ' ιυ <^*<^·ιυ .
где ι/ = — In Ρ*.
Во многих задачах приходится рассматривать
бесконечные последовательности испытаний. В этом случае
полагают
Ωοο = {(ίι, 1ь ...): 1*е<1, 2, ..., Μ), (2.15)
σ-алгебра событий si- порождается событиями вида
4i.V.in = K*i.· h, · · -У- К = 1и ·..,!*„- 7«). (2.16)
В случае независимых испытаний
Ρ{<1'.".ί'}=Λ1···Ρ;η. (2.17)
Равенства (2.17) однозначно определяют вероятность на
s& (см. [5]).
*) См.: Derenzo S. Ε. Approximations for hand calculators
using small integer coefficients // Math, Comput,—1977.— V. 31,
№ 137.— P. 214—225.
34

Пример 2.7. Найти вероятность того, что в схеме
Бернулли первый успех появится в к-м испытании, если
вероятность успеха в отдельном испытании равна р.
Решение. Событие Ак = (первый успех появился в
ft-м испытании} определяется исходами в к первых
испытаниях. Пусть событие
d = {в i-м испытании наступил успех).
Тогда
Ак = С\С2... Ск-\Ск,
и по формуле (2.17) находим
P(Ah) = P(Ci)P(C2)...P(Ck-l)P(Ch) = qk-lp. A
Приведем еще две формулы, полезные в тех случаях,
когда заданы или могут быть легко вычислены условные
вероятности. Если события В\, В2, ..., Вп попарно
несовместны и В[ U В% U ... U Вп = Ω, то для любого
события А имеем
Р(А)= Σ P(Bh)P(A\Bh) (2.18)
ft = l
(формула полной вероятности) и
Р(Вт\А)= пР(Д^)Р(Л|Д"') t ι» = 1 л, (2.19)
(формула Байеса).
Пример 2.8. В ящик, содержащий 8 исправных
изделий, добавлено 2 изделия, взятых со склада; известно,
что доля бракованных изделий на складе равна 5%.
Найти вероятность того, что взятое наудачу из
пополненного ящика изделие пе будет бракованным.
Решение. Определим события А, Во, В[, В?.
А = (изделие, взятое из пополненного ящика,
не бракованное},
Вк = {из двух изделий, добавленных в ящик,
к бракованных},
ft-0, 1, 2.
Очевидно, что В0 U B\ U В2 = Ω и BkBt = 0 (кΦΙ).
Можно воспользоваться формулой полной вероятности
(2.18):
P(A) = P(B0)P(A\Bo)+P(Bl)P(A\Bi) + P(B2)P(A\B2).
35

Если произошло событие Bh, то в ящике из 10 изделий
к бракованных, следовательно,
P{A\Bh) = ^, к = 0,1, 2.
При выборе малого числа изделий из большой
партии схемы выбора без возвращения и с возвращением
имеют близкие вероятности исходов (см. задачу 1.18).
Считая поэтому, что каждое из добавленных изделий
независимо от другого может быть бракованным с
вероятностью 0,05, находим
Р(#о) = 0,952, Р(5,)-2-0,95-0,05, Р(52) = 0,052.
Таким образом,
Ρ (А) = 0,95».1 + 2.0,95.0,05· i + 0,052·^ - 0,99. А
Пример 2.9. Из урны, содержащей 3 белых и 2
черных шара, по схеме выбора без возвращения отобрали
2 шара. Шар, взятый наудачу из этих двух, оказался
белым. Какова вероятность того, что второй шар тоже
белый?
Решение. Определим события
Вк = {среди двух отобранных из урны шаров А; белых},
к = 0, 1, 2,
А = {шар, взятый наудачу из двух отобранных, белый}.
Условную вероятность ?(Въ\А), которую требуется
найти, можно вычислить по формуле Бапеса (2.19):
Ρ (52) Ρ (А | 52)
Р {В*'А) = Р(я0)',И1яо) + р(я1)рИ1я1)+р(я1)р(^1в.)·
Вероятности, связанные с извлечением двух шаров из
урны, найдем с помощью классического определения
вероятности:
Р(2?0)=Л=0,1, Р(51) = ^ = 0,6, Ρ (β,) = £1-0,3.
Так же определяются условные вероятности, связанные
с извлечением одного шара из двух отобранных:
Р(4|Д0) = 0, P(4lSi) = 0,5, Р(Л|В2)=1.
Значит,
0 3 1
Р (52 ! А) = 0,1-0+ 0,б!о,5 +0,3-1 = "2 · *
36

§ 1. Условные вероятности
В задачах 2.1—2.6 вероятностное пространство
считается заданным; для вычисления условных вероятностей
нужно использовать формулу (2,1).
2.1°. Из множества чисел {1, 2, ..., N) по схеме
случайного выбора без возвращения выбираются три числа.
Наши условную вероятность того, что третье число
попадет в интервал, образованный первыми двумя, если
известно, что первое число меньше второго.
2.2°. Брошено две игральные кости. Предполагается,
что все комбинации выпавших очков равновероятны.
Найти условную вероятность того, что выпали две
пятерки, если известно, что сумма выпавших очков
делится на пять.
2.3°. Из 100 карточек с числами 00, 01, ..., 98, 99
случайно выбирается одна. Пусть η] и η2 —
соответственно сумма и произведение цифр на выбранной карточке.
Найти ρ{ηι = ί|η2 = 0}, ί = 0, 1, ..., 18.
2.4. Из урны, содержащей Μ белых и N — Μ черных
шаров, последовательно без возвращения извлекают η
шаров. Пусть А0г) (А\г)1—событие, состоящее в том, что i-й
шар был черный (белый). Используя классическое
определение случайного выбора (гл. 1), найти
р{ли+1,|4;)4;)...4;)}, ε, = ο,ι.
2.5. Решить задачу 2.4 в случае выбора с
возвращением (см. введение к гл. 1, (1.3)).
2.6 . Случайный выбор двух подмножеств А\ ж Ач жэ
множества S = {1, 2, ..., Ν} производится так же, как и
в задаче 1.23. Найти условную вероятность Ρ(\Αι\ =Ίι,
IЛг1 = h I Αι П Ач = 0} того, что множества А\ ж А%
состоят из 1\ и 12 элементов соответственно при условии,
что Ах и Л2 не пересекаются.
В задачах 2.7—2.11 предполагаются заданными
условные вероятности; при решении используются формулы
(2.2),в(2.3).
2.7 . Среди 25 экзаменационных билетов 5
«хороших». Два студента по очереди берут по одному билету.
Найти вероятность того, что:
а) первый студент взял «хороший» билет,
б) второй студент взял «хороший» билет,
в) оба студента взяли «хорошие» билеты.
2.8°. Два игрока поочередно извлекают шары (без
возвращения) из урны, содержащей Μ белых и N — Μ
37

черных шаров. Выигрывает тот, кто первым вынет белый
шар. Используя формулу (2.3), найти вероятность
выигрыша первого участника, если: а) N — А, М = 1; б) N =
= 5, Af=l; в) N=-7, Μ = 2.
2.9°. Из урны, содержащей Μ белых и Ν — Μ черных
шаров, по одному без возвращения извлекаются все
шары. Используя определение случайного выбора в
терминах условных вероятностей, найти вероятности событий:
Ak = {к-й шар белый},
Βκι = {к-й и 1-й шары белые),
Ск, ι = (fc-й шар черный, а 1-й белый}.
2.10°. Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных
и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по
одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым
вынет белый шар. Если появляется красный шар, то
объявляется ничья. Пусть А\ = {выигрывает игрок,
начавший игру}, Ач = {выигрывает второй участник}, В =
= {игра закончилась вничью}. Найти ?{А\), ?{Ач), Р(В).
2.11°. Из урны, содержащей Νι белых шаров, /Уг
черных и N3 красных, последовательно без возвращения
извлекают шары до тех пор, пока не появится красный
шар. Используя формулу (2.3), найти вероятности
следующих событий:
1) вынуто ηι белых шаров и пч черных;
2) не появилось ни одного белого шара;
3) всего вынуто к шаров.
2.12°. Из урны, содержащей а белых и Ъ черных
шаров, два игрока извлекают шары по очереди. Выигрывает
тот, кому раньше попадается белый шар. Найти
вероятность выигрыша первого игрока в случаях, когда шары
извлекаются:
а) по схеме равновероятного выбора с возвращением,
б) по схеме равновероятного выбора без возвращения.
2.13°. Из урны, содержащей а белых и Ъ черных
шаров, три игрока извлекают шары по очереди.
Выигрывает тот, кому раньше попадается белый шар. Найти
вероятности Pi, P2, Рз выигрыша 1-го, 2-го, 3-го игроков
в случаях, когда шары извлекаются:
а) по схеме равновероятного выбора с возвращением,
б) по схеме равновероятного выбора без возвращения.
2.14. На остановку прибывают автобусы маршрутов
1, 2, ..., к. Номера последовательно прибывающих
автобусов получаются по схеме равновероятного выбора с
возвращением из урны, содержащей шары с номерами
38

1, 2, ..., к. Найти вероятность Ph того, что до появления
автобуса маршрута 1 ни на одном из остальных
маршрутов не придет более одного автобуса. При каком
минимальном к ^ 2 эта вероятность меньше 1/2?
§ 2. Независимость событий
В задачах 2.15—2.19 предполагается, что задано
вероятностное пространство; требуется выяснить, зависимы
или независимы некоторые события.
2.15. Брошены две игральные кости. Положим
A, = {число очков, выпавшее на первой кости,
делится на О,
B, = {число очков, выпавшее на второй кости,
делится на Ϊ),
C, = {сумма очков, выпавших на первой и
второй костях, делится на ΐ).
Отправляясь от классического определения вероятности,
установить, являются ли независимыми следующие пары
событий: a) Ah Bh — при любых I, к; б) Аъ, Сг; в) Аь, Cii
2.16. Игральная кость брошена 2 раза, Χι и Х% —
числа очков, выпавшие при этих испытаниях.
Рассмотрим события
Αι = (Χι делится на 2, Хг делится на 3),
Ач = {Χι делится на 3, Хг делится на 2},
Аъ = {Χι делится на Хг},
А^ = {Хг делится на Χι),
А5 = {Χι + Хг делится на 2},
Ад = {Χι + Хг делится на 3).
Найти все пары {А(, А3), тройки {Ah Ah Ah] и т. д.
взаимно независимых событий.
2.17. Случайная точка (ξι, |г) имеет равномерное
распределение в квадрате {(а:[, #г): Ο^Χι, £г ^ 1). При
каких значениях г независимы события Ат —
= {|ξι - Ы > г) и Вт = {ξ, + la < Зг}?
2.18. События А и В независимы. Являются ли
независимыми события: а) А и В, б) А и В?
2.19. Случайная точка ξ = (ξι, |г) имеет равномерпое
распределение в квадрате О *S χ, у < 1. Пусть
Α-{ξ, «у}, Л,-(-.«4}.
ΉΜ)Μ)<4
39

Показать, что любые два события из А\, Ац, Аз
независимы, но все три события Αι, Α2, А$ зависимы.
Являются ли зависимыми события А\Ач и Лз?
2.20 (см. 2.19). Обобщая пример, приведенный в
предыдущей задаче, показать, что для любого целого η 2* 4
существует совокупность Μι, ..., Ап) событий,
обладающая следующими свойствами:
а) события Αι, ..., А„ не являются независимыми,
б) при удалении из А\, ..., Ап любого события
остающаяся совокупность состоит из пезависимых событий.
2.21*. События А\, Αζ, ..., Ап удовлетворяют условиям
Ρ Ш = Pi, р { f^ ^j = Pi ... Pi, i - 1, 2 n.
Является ли {Аи ..., AJ совокупностью независимых
событий?
2.22*. Пространство элементарных событий Ω состоит
из η элементов. При каких ft на подмножествах Ω можно
определить вероятность Ρ и события А\, ..., Ah так,
чтобы события Αι, ..., Ah были независимыми в
совокупности и 0< ?{At)< 1 (г = 1, 2, ..., ft)?
2.23*. Пространство элементарных событий Ω состоит
из η &* 4 элементов. При каких ft можно так определить
на подмножествах Ω вероятность Ρ и события А\, ..., Ак,
что 0 < Р(Л()< 1 (t = 1, ..., ft) и события А\, ..., АК
попарно независимы?
В задачах с 2.24 по 2,28 предполагается независимость
некоторых событий; требуется вычислить вероятности
других событий.
2.24е. Упрощенная система контроля изделий состоит
из двух независимых проверок. В результате fc-й
проверки (ft=l, 2) изделие, удовлетворяющее стандарту,
отбраковывается с вероятностью β*, а бракованное изделие
принимается с вероятностью <xk. Изделие принимается,
если оно прошло обе проверки. Найти вероятности
событий:
а) бракованное изделие будет принято;
б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет
отбраковано.
2.25е. Измерительное устройство состоит из двух
приборов. Вероятность безотказной работы ft-ro прибора за
рассматриваемый период времени равна 1— а^ (ft = 1, 2).
Оценить вероятность ρ того, что оба прибора будут
работать:
40

а) если поломки происходят независимо;
б) если ничего не известно о зависимости между
поломками этих приборов.
2.26° (см. задачу 1.38). Два человека купили по
одной карточке лотереи «6 из 49» и независимо друг от
друга отметили по б номеров. Найти вероятности
событий:
а) каждый получит минимальный выигрыш;
б) каждый получит какой-либо выигрыш.
2.27. Электрическая цепь составлена из элементов Ак,
к = 1, 2, ..., 5, по схеме, приведенной на рис. 4. При
*,
Рис. 4
выходе из строя любого элемента цепь в месте его
включения разрывается. Вероятность выхода из строя эа
данный период элемента Ак равна ph, к = 1, ..., 5.
Предполагается, что элементы выходят или не выходят из строя
независимо друг от друга. Найти вероятность события
С = {за рассматриваемый период по цепи может
проходить ток).
2.28°. По цели производится η независимых
выстрелов. Вероятность попадания при г-м выстреле равна pt,
i = l, ..., п. Найти вероятность того, что при η
выстрелах будет не менее двух попаданий.
§ 3. Формула полной вероятности
2.29°. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных
шаров, а во второй — 1 черный и 5 белых шаров. Из
каждой урны по схеме случайного выбора без
возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары
ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар,
вынутый из третьей урны, окажется белым.
2.30°. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных,
а во второй — 1 белый и 7 красных. В первую урну до-
41

бавляются два шара, случайно выбранпых из второй
урны.
а) Найти вероятность того, что шар, выбранный из
пополненной первой урны, будет белым.
б) Пусть из пополненной первой урны по схеме
случайного выбора с возвращением извлекают к шаров.
Найти вероятность того, что все они будут белыми.
2.31°. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных
шара, наудачу извлекают 2 шара и добавляют в урну один
белый шар.
а) Найти вероятность того, что после этого наудачу
выбранный из урны шар окажется белым.
б) Пусть из урны по схеме случайного выбора с
возвращением извлекают к шаров. Найти вероятность того,
что все они белые.
в) Найти ту же вероятность, что в п. б), для схемы
выбора без возвращения.
2.32°. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для
которых вероятность исправпой работы в течение месяца
равна 0,90, и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью,
равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизора,
взятые наудачу в пункте проката, будут работать
исправно в течение месяца.
2.33°. В одной урне содержится 1 белый и 2 черных
шара, а в другой урне — 2 белых и 3 черных
шара. В третью урну кладут два шара, случайно
выбранных из первой урны, и два шара, случайно выбранных
из второй.
а) Какова вероятность того, что шар, извлеченный из
третьей урны, будет белым?
б) Найти вероятность того, что при выборе с
возвращением из третьей урпы двух шаров один из них будет
белым, а другой — черным.
в) Найти ту же вероятность, что в н. б), для схемы
выбора без возвращения.
2.34°. Изделия поступают на проверку, описанную в
задаче 2.24. Предполагая, что каждое изделие
удовлетворяет стандарту с вероятностью р, найти следующие
вероятности:
а) вероятность того, что поступившее на проверку
изделие не будет отбраковано;
б) вероятность того, что неотбракованное изделие
удовлетворяет стандарту.
2.35°. Из урны, содержащей Μ белых и N — Μ
черных шаров, утеряно г шаров, Сравнить вероятности из-
42

влечения белого шара: а) до утери; б) после утери при
г= 1; в) после утери при г> 1.
2.36. Отрезок [0, а] случайной точкой делится на две
части, из которых случайно выбирается одна часть.
Обозначим η длину выбранной части. Найти Ρ{η < χ), 0 <
sg x sS α, предполагая, что координата ξ случайной точки
равномерно распределена на отрезке [0, а] и вероятности
выбора любой из полученных частей отрезка одинаковы.
2.37. При переливании крови надо учитывать группы
крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую
группу крови, можно перелить кровь любой группы;
человеку со второй или третьей группой крови можно
перелить кровь либо той же группы, либо первой; Человеку
с первой группой крови можно перелить только кровь
первой группы. Среди населения 33,7 °/о имеют первую,
37,5 % — вторую, 20,9 % — третью и 7,9 % — четвертую
группы крови.
а) Найти вероятность того, что случайно взятому
больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
б) Найти вероятность того, что переливание можно
осуществить, если имеются два донора; три донора.
2.38. Во время испытаний было установлено, что
вероятность безотказного срабатывания реле при
отсутствии помех равна 0,99, при перегреве — 0,95, при
вибрации — 0,9, при вибрации и перегреве — 0,8. Найти
вероятность Р\ отказа этого реле при работе в жарких странах
(вероятность перегрева равна 0,2, вероятность
вибрации 0,1) и вероятность Рч отказа при работе в
передвижной лаборатории (вероятность перегрева 0,1, вероятность
вибрации 0,3), предполагая перегрев и вибрацию
независимыми событиями.
2,39 (см. 2.38). Найти границы, в которых могут
изменяться вероятности Pi и Ρ<ι в предыдущей задаче, если
отказаться от предположения о независимости перегрева
и вибрации.
2.40°. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах
находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й
урнах — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно
выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная
вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна, если
извлеченный шар оказался белым?
2.41. В стройотряде 70 % первокурсников и 30 %
студентов второго курса. Среди первокурсников 10 %
девушек, а среди студентов второго курса — 5 % девушек.
Все девушки но очереди дежурят на кухне. Найти ве-
43

роятность того, что в случайно выбранный день на кухне
дежурит первокурсница.
2.42°. По каналу связи передается одна из
последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с вероятностями
Рь Р2, рз (р\ + Р2 + рз = 1). Каждая передаваемая буква
принимается правильно с вероятностью α и с вероятно-
1 1
стями у (1 — а) и γ (1 — а) принимается за каждую из
двух других букв. Предполагается, что буквы
искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того,
что было передано АААА, если принято АВСА.
2.43°. При рентгеновском обследовании вероятность
обнаружить заболевание туберкулезом у больного
туберкулезом равна 1 — β. Вероятность принять здорового
человека за больного равна а. Пусть доля больных
туберкулезом по отношению ко всему населению равна γ.
а) Найти условную вероятность того, что человек
здоров, если он был признан больным при обследовании.
б) Вычислить найденную в п. а) условную
вероятность при следующих числовых значениях *): 1 — β = 0,9,
α = 0,01, γ = 0,001.
2.44°. Отдел технического контроля (ОТК) проводит
сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый
прибор независимо от остальных имеет дефекты с
вероятностью р. При проверке в ОТК наличие дефектов
обнаруживается с вероятностью а; кроме того, с
вероятностью β исправный прибор при проверке может вести
себя как дефектный. Все приборы, у которых при
проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются.
Найти вероятность ρο того, что незабракованный прибор
имеет дефекты, и вероятность q\ того, что забракованный
прибор имеет дефекты. При каких условиях qo> q\7
2.45°. В урне находится 3 черных и 2 белых шара.
Первый игрок по схеме выбора без возвращения
извлекает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если
среди вынутых шаров больше было черных; в противном
случае возвращается белый шар. Второй игрок после
этого извлекает один шар и по его цвету должен
угадывать число белых шаров среди трех шаров, вынутых
первым игроком. Найти условную вероятность того, что у
первого игрока было: а) 0 белых, б) 1 белый, в) 2
белых шара,— если второй игрок вытащил белый шар.
*) Эти значения приведены в книге: Закс Л. Статистическое
оценивание.— М.: Статистика, 1976.— С. 49,
44

§ 4. Схема Бернулли
2.46°. Проведено 20 независимых испытаний, каждое
из которых заключается в одновременном подбрасывании
трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном
испытании появятся три «герба».
2.47°. При передаче сообщения вероятность
искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того,
что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено, б)
содержит ровно 3 искажения, в) содержит не более трех
искажений?
2.48°. Испытание заключается в бросании трех
игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти
независимых испытаниях ровно два раза выпадет по три
единицы.
2.49°. Найти вероятность того, что в 2п испытаниях
схемы Бернулли с вероятностью успеха ρ и неудачи
q = 1 — ρ появится т + η успехов и все испытания с
четными номерами закончатся успехом.
2.50°. Из множества S = {\, 2, ..., Ν) случайно и
независимо выбираются два подмножества А\ и Αι так, что
каждый элемент из S независимо от других элементов с
вероятностью ρ включается в подмножество Αι и с
вероятностью q = 1 — ρ не включается. Найти вероятность
того, что Αι Π Αι = 0.
2.51°. По той же схеме выбора подмножеств из S =
= {1, 2, ..., Ν}, что в задаче 2.50, независимо
выбираются г подмножеств Αι, Αι, ..., АТ, г>2. Найти
вероятность того, что выбранные подмножества попарно не
пересекаются.
2.52° (см. 2.50). Из множества 5 = {1, 2, ..., Ν)
независимо выбираются г подмножеств Αχ, Αι, ..., Ат.
Механизм выбора состоит в следующем: любой элемент
множества S независимо от других элементов с вероятностью
Pi включается в множество А( и с вероятностью qt = 1 —
— pi не включается (t = l, ..., г). Найти вероятность
того, что подмножества Αι, Αι, ..., Ат попарно не
пересекаются.
2.53 (см. 2.50). Из множества 5 = {1, 2, ..., Ν)
случайно и независимо выбираются подмножества А\, ..., Ат.
Механизм выбора такой же, как в задаче 2.50. Найти:
а) ?{\Αι П... П Ar\ =k}; 6) Ρ (U, U ... U Ar\ = к), где
\B\ обозначает число элементов множества В.
2.54. Каждую секунду с вероятностью ρ независимо
от других моментов времени по дороге проезжает авто-
45

машина. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 с.
Какова вероятность того, что подошедший к дороге
пешеход будет ожидать возможности перехода: а) 3 с;
б) 4 с; в) 5 с?
2.55. В одном из матчей на первенство мира по
шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех нор,
пока один из участников матча не набирал 6 очков
(выигрыш— 1 очко, проигрыш и ничья — 0 очков). Считая
участников матча одинаковыми по силе, а результаты
отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что
при таких правилах в момент окончания матча
проигравший набирает к очков, к = 0, 1, ..., 5.
2.56. Обрабатываемые на станке детали сортируются
по размерам на две группы. Каждая очередная деталь
независимо от предыдущих с равными вероятностями
попадает в первую или вторую группу. Пусть в начале
смены для каждой группы деталей приготовлено по
ящику емкости г. Какова вероятность того, что в момент,
когда очередную деталь будет некуда класть, в другом
ящике будет т деталей?
2.57°. По каналу связи передаются сообщения из
нулей и единиц. Из-за помех вероятность правильной
передачи знака равна 0,55. Для повышения вероятности
правильной передачи каждый знак сообщения повторяют
η раз. Полагают, что последовательности из η принятых
знаков в сообщении соответствует знак, составляющий в
ней большинство. Найти вероятность правильной
передачи одного знака при гс-кратпом повторении, если η = 5.
2.58° (см 2.57). Подобрать η так, чтобы вероятность
правильной передачи знака была не меньше 0,99.
2.59°. По каналу связи передается 1000 знаков.
Каждый знак может быть искажен независимо от остальных
с вероятностью 0,005. Найти приближенное значение
вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.
2.60°. В таблице случайных чисел цифры
сгруппированы по две. Найти приближенное значение вероятности
того, что среди 100 нар пара 09 встретится не менее
двух раз.
2.61*. Пусть |„ — число успехов в η независимых
испытаниях Бернуллп с вероятностью успеха, равной 1/2.
а) С помощью теоремы Муавра — Лапласа найти
приближенные значения
?{\^-ί\<ψ},φη-ί\>ψ}
при η = 100.
46

б) Вычислить те же вероятности, что в п. а), с
погрешностью ICh5, используя уточненную формулу
Стерлинга.
Сравнить результаты пн. а) и б) и истолковать их.
2.62*. Решить предыдущую задачу, полагая η = 128.
2.63°. Найти приближенное значение вероятности
того, что число «девяток» среди 10000 случайных чисел
заключено между 940 и 1060.
2.64°. Из таблицы случайных чисел отбирают числа,
делящиеся на 3, до тех пор, пока не наберется 1025
таких чисел. Найти приближенное значение вероятности
того, что потребуется таблица, содержащая не меньше
2500 чисел.
2.65°. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два
разных входа. Около каждого из входов имеется свой
гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из
гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все
зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через
который они вошли? Рассмотреть два случая: а) зрители
приходят парами; б) зрители приходят поодиночке.
Предположить, что входы зрители выбирают с равными
вероятностями.
2.66°. В поселке 2500 жителей. Каждый из них
примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая
дни поездок по случайным мотивам независимо от
остальных. Какой наименьшей вместимостью должен
обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще
одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).
2.67°. Пусть r\N — суммарное число появлений «5» и
«6» в N бросаниях игральной кости. При iV = 1800 найти
вероятность того, что η* > 620.
2.68°. Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти
приближенное значение вероятности того, что событие
«герб — герб» появится меньше 1140 раз.
2.69°. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле равна 0,01. Найти приближенное значение
вероятности того, что при 100 выстрелах будет не больше трех
попаданий.
2.70°. Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных
шара, по схеме случайного выбора с возвращением
проводят 2500 извлечений шаров. Найти приближенное
значение вероятности того, что число появлений белого шара
заключено между 480 и 540.
2.71°. На одной странице 2400 знаков. При
типографском наборе вероятность искажения одного знака равна
47

1/800. Найти приближенное значение вероятности того,
что на странице не менее двух опечаток.
2.72°. Вероятность успеха в каждом испытании
схемы Бернулли равна р. Найти вероятность того, что к-й
но порядку успех происходит при 1-м испытании.
В задачах с 2.73 по 2.78 рассматриваются
бесконечные последовательности испытаний. Воспользоваться
частным случаем вероятностного пространства, который
определяется формулами (2.15) — (2.17) при N = 2.
2.73°. Две игральные кости бросают до выпадения «6»
хотя бы на одной из них. Найти вероятность того, что
впервые «6» появляется при к-м бросании, /с = 1,2,3,...
2.74°. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает
тот, кто первым получит «герб». Найти вероятности
событий:
а) игра закончится до 4-го бросания;
б) выиграет начавший игру (первый игрок);
в) выиграет второй игрок.
2.75. В схеме Берпулли ρ — вероятность исхода 1 и
q — l~ ρ — вероятность исхода 0. Найти вероятность
того, что цепочка 00, состоящая из двух нулей подряд,
появится раньше цепочки 01. В частности, вычислить
эту вероятность при ρ = 1/2.
2.76. Пусть выполнены условия задачи 2.75. Найти
вероятность того, что цепочка 00 (два нуля подряд)
появится раньше цепочки 10. В частности, вычислить эту
вероятность при ρ = 1/2.
2.77. Пусть выполнены условия задачи 2.75. Найти
вероятность Рооцп того, что цепочка 00 появится раньше
цепочки 111. В частности, вычислить эту вероятность
при ρ = 1/2.
2.78. Движением частицы по целым точкам прямой
управляет схема Бернулли с вероятностью ρ исхода 1:
если в данном испытании схемы Бернулли появилась 1,
то частица из своего положения переходит в правую
соседнюю точку, а в противном случае — в левую. Найти
вероятность того, что за η шагов частица из точки 0
перейдет в точку т.
§ 5. Полиномиальная схема
2.79°. Отрезок [0, 10] точками 1, 2, 3, 4, 7 разделен
на 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка длины 3. Пусть
Αι, ..., As — независимые случайные точки, имеющие
равномерное распределение на отрезке [0, 10]. Какова ве-
4S

роятность того, что из этих точек в два каких-либо
отрезка длиной 1 попадет по 2 точки, а в каждый из
оставшихся отрезков — по одной точке?
2.80. При прохождении одного порога байдарка не
получает повреждений с вероятностью pi, полностью
ломается с вероятностью р2, получает серьезное
повреждение с вероятностью р$ (pi + Р2 +рз — 1). Два
серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти
вероятность того, что при прохождении η порогов
байдарка не будет полностью сломана.
2.81. Сообщения, передаваемые по каналу связи,
составляются из трех знаков А, В, С. Из-за помех каждый
знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и
принимается ошибочно за любой из двух других знаков с
вероятностью 0,2. Для увеличепия вероятности
правильного приема каждый знак передается 5 раз. За
переданный знак принимается знак, который чаще всего
встречается в принятой пятерке зпаков. Если наиболее частых
знака два, то из них выбирается равновероятно один.
Найти вероятность правильного приема знака при
указанном способе передачи.
2.82. Пусть |Λι (— число появлений исхода ί в η
первых испытаниях полиномиальной схемы (см. введение
к гл. 2). Найти Р{|„, ι = т\}.
2.83. В схеме, описанной в задаче 2.82, пайти
условную вероятность
Ρίξη, 2 = m2, ..., I», w = "ΐηίξη. ι = mi).
2.84. Β Ν ячейках, разбитых па две группы по Νι
и Л?2 ячеек соответственно (Νι + Ν2 = Ν), независимо
одну от другой размещают η частиц; пусть р(} (г = 1, 2;
7 = 1, 2, ..., Л'<)— вероятность попадания частицы в /-ю
ячейку г-и группы, а Цц — число частиц, попавших в
/-ю ячейку г-й группы после размещения η частиц. Найти:
a) Plniii'-Aii, ί = 1,2, j = l,...,Nh,
б) ρ{^ + ... + ^ = 4
в) Р{ци = ки, / = ι, ...,Λτ1Ιηίι+ ... + 42Ν2 = η2].
2.85. В N ячейках независимо размещают η частиц.
Вероятность попадания каждой частицы в ί-ю ячейку
равна 1/iV, i = l, 2, ..., Л'. Обозначим μ0(η, Ν)
число ячеек, оставшихся пустыми. Найти Ρ ίμο{η, N)=k).
2.86. Игральную кость бросают до первого появления
на ней меньше пяти очков. Какова вероятность получить
при последпем бросании не меньше двух очков?
49

2.87. Исходы θι, 02, ... последовательности испытаний
с N = 3 возможными исходами 1, 2, 3 и вероятностями
ИСХОДОВ pi, pi, рз объеДИНЯЮТСЯ В ТРОЙКИ (6з(,+ 1, 6зй+2,
дзк+з). Из первой тройки (θ3ν+ι, 03v+2, 03v+3), в которой
все исходы различны, выбирается 03v+i. Найти P{03v+i =
= i).
2.88. Испытания в полиномиальной схеме с исходами
1, 2, 3, имеющими вероятности ри р^, рз соответственно,
заканчиваются, когда впервые не появится исход 3.
Найти вероятность того, что испытания закончатся
исходом 1.
2.89. Игрок А подбрасывает 3 игральные кости, а
игрок В — 2 кости. Эти испытания они проводят вместе и
последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на
одной кости. Найти вероятности событий:
а) А = {впервые «6» появилось у игрока А, а не В);
б) В = {впервые «6» появилось у игрока В, а не А);
в) С = {впервые «6» появилось одновременно у А
и В).
Глава 3
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть задано вероятностное пространство (Ω, όΦ, Ρ).
Случайной величиной называется действительная
функция от элементарного события ξ = ξ(ω), aeQ, для
которой при любом действительном χ множество
{ω: |(ω)^^} принадлежит όΦ (т. е. является событием)
и для него определена вероятность Ρ{ω: ξ(ω)<ζ},
записываемая кратко Р{| ^ х). Эта вероятность,
рассматриваемая как функция х, называется функцией
распределения случайной величины ξ и обозначается обычно
либо Ft{x), либо F(x) (иногда функцией распределения
называют вероятность ?{%<х)).
С помощью функции распределения F\(x) можно
однозначно определить вероятности Р{|е5} для борелев-
ских множеств В на числовой прямой (определение бо-
релевских множеств см. в [5], е. 32, или в [2], с. 28—29).
В частности, борелевскими множествами являются
интервалы вида (х\, яг], [х\, #г], [х\, £г), (χι, жг), их конечные
и счетные суммы. Вероятность Р{| е В}, рассматриваемая
как функция от борелевского множества S, называется
распределением вероятностей случайной величипы ξ и
50

обозначается Pt(B). Иногда Ρξ(В) называют законом
распределения случайной величины ξ или просто
распределением ξ. Таким образом, распределение вероятностей
Ρι(Β) можно задать функцией распределения Ft(x).
Важным классом распределений вероятностей
являются абсолютно непрерывные распределения, задаваемые
плотностью вероятности ρι(χ) — р(х), т. е. такой
неотрицательной функцией ρ (χ), что для любого борелевского
множества В
Ρ {ξ е= В} = f ρ (χ) dx;
в
в общем случае рассматривается интеграл Лебега,
который совпадает с интегралом Римапа (собственным или
несобственным), если последний существует. Другой
класс составляют дискретные распределения, задаваемые
конечным или счетным набором вероятностей Ρ{ξ = xk),
для которых
Функция распределения F^(x) в этом случае ступенчатая
и задается суммой
Если распределение случайной величины абсолютно
непрерывно или дискретно, то говорят также, что сама
случайная величина или ее функция распределения
соответственно абсолютно непрерывны или дискретны.
Пример 3.1. Пусть точка А=(и, ν) равномерно
распределена в квадрате Ω = {(ΐί, ν): 0<и<1, 0^у<
^ 1} (см. формулу (1.8) из введения к гл. 1). Положим
ξι = ξι(", v) = u,
1 при u^v,
— 1 при и < v.
Найти: а) функцию распределения и плотность
распределения вероятностей случайной величины ξι; б)
функцию распределения и вероятности значений дискретной
величины |г.
Решение. Событие {ξι *ζχ) = {(и, ν): и s£ χ, (и, v)e
ей} при χ>ί совпадает с Ω, а при χ < 0 — с 0.
При 0 < χ < 1 множество точек, определяющих событие
{ξι sS χ), образует прямоугольник со сторонами 1 и х.
51
ξ2 = ξ2 (и, ν) =

Таким образом,
О при χ ^ О,
р\х (х) = р {li < х) = х ПРИ 0<ж<1,
. 1 при x^i.
Производная /^ (я) в ее точках непрерывности
совпадает с плотностью распределения:
( О при χ
Pi (х) = л
*ι ' 11 при χ
О при ζ<=έ[0, 1],
[О, 1].
-Кх< 1
{ξ2<ζ} = {(α, и)
Значит,
*ц(*) = Р(Б,<*} = ·
' 0
1/2
. 1
Функция распределения ξ2 находится аналогично. Если
χ>ί, то {ξ2ί£ζ} = Ω; {|i^i;} = 0 при х<— 1, а при
у, (а, у)е Ω).
при х<. — 1,
при — ls^z<l,
при х~^\.
Случайная величина |2 дискретна; ее распределение
сосредоточено в двух точках: —1 и 1. Действительно,
Ρ{ξ2 = 1) = Р((и, v): u>v, (и, v)e Q} = 1/2,
Ρ{ξ2 = -1} = Ρ{(α, у): и<у, (и, v)«==Q} = l/2. а
В задачах обычно говорится о случайной величине ξ
и о ее распределении Р&(·) без явного указания того
вероятностного пространства, на котором она
определена. Это означает, что соответствующее утверждение или
вычисление справедливо для любого вероятностного
пространства (Ω, si-, P), на котором можно определить
случайную величину | = |(ω) с заданным распределением
Ρι(·); в частности, таким вероятностным пространством
можно считать (R, $1, Ρε), где R = ίχ] — числовая
прямая, $ — борелевская σ-алгебра ее подмножеств, Ρξ —
распределение вероятностей случайной величины |,
которая задается функцией \(х) = х.
Если на одном и том же вероятностном пространстве
(Ω, S&, Р) определены случайные величины ξι, ξ2, ..., ξι-,
то иногда говорят, что задан случайный вектор |=(|,, ...
..., ξ,). Многомерной функцией распределения (или
совместной функцией распределения) ξι, ξ2, ..., ξΓ
называется вероятность Ρίξι^^ι, ..., |г<жг}, рассматривав-
52

мая как функция от точки х = (х{, ..., хг) г-мерного
евклидова пространства Rr и обозначаемая Ft ir (хг, ...
...,хг) (кратко Fi(x)) или F {х\, ..., хг) (кратко F{x)).
С помощью функции распределения однозначно
определяются вероятности P{|s#} для r-мерных борелевских
множеств В. Функция множеств Ρξ(Β)=Ρ{ξε5}
называется r-мерным распределением вероятностей ξ.
Абсолютно непрерывное r-мерное распределение вероятностей
задается r-мерной плотностью р$(х) = р% t (хг, ■ ■., хг),
т. е. такой неотрицательной функцией рг (χ), что для
любого борелевского множества В <=^Rr
Ρ {ξ е 5} = J ... j p (хъ ..., жг) йж1 ... dxr.
в
Дискретное r-мерное распределение задается с помощью
конечного или счетного набора вероятностей Р{| = х(к)},
x(k)^RT, так что для любого борелевского множества В
Ρ{ξεδ}= Σ Ρ {ξ = *(£)}.
k:x(h)eB
Пример 3.2. Найти распределение величины η =
= ξι, где случайная величина ξι та же, что в
примере 3.1.
Решение. Функция распределения η при 0 < χ «ξ 1
определяется следующей цепочкой равенств:
= F4{Vx)-Fh{-Vx) = Yx.
Очевидно, что F^{x) = Q при х<0 и F^{x)=i при χ > 1.
При 0 < χ < 1
Ρη (х) = F'^ ( Ух) = j±=-;
Ρη(χ) = 0 при х<0 я при χ > 1. Таким образом,
величина η абсолютно непрерывна и ее плотность
распределения определяется формулой
/>„(*)= 1/(2У£) при же (0, 1),
Рг,(х) = 0 при z$£(0, 1). А
Пример 3.3. Случайная величина ξ имеет
плотность распределения pi(x) = e~* (x>0), рг(х) = 0 (х <
^0). Найти распределение случайной величины η =
= Tl(l) = [|]2, где [ξ] обозначает целую часть ξ.
53

Решение. Так как {η = к2} — {ft< ξ < к + 1}, то
вероятность Ρ{η = к2} определяется равенствами
Ρ {η = к2} = Ρ {к < ξ < к + 1} =
h+1 ft+1
-§pt(x)dx- j β_ϊώ=ί-*(ΐ-ί-1)1 ft=0,l,2, ... a
ft ft
Пример З.4. Случайная величина ξι принимает
значения 0 и 1, а случайная величина |г — значения — 1,
О и 1. Вероятности Ρ{ξι=ί, |г = /} задаются следующей
таблицей:
>^
0
1
—1
1/16
1/16
0
1/4
1/4
1
1/16
5/16
Найти распределение случайной величины η = ξιΐ2.
Решение. Произведение %\%2 равно нулю, если
равен нулю хотя бы один из сомножителей:
{η = 0} = {ξ,=0, 12 = -1>U
U ίξ, = 6я = 0} U {ξ, = 0, ξ2 = 1}υ<1, = 1, 12 = 0},
Отсюда
р^-°>-й + т + й + т-т-
Оставшиеся два значения (1, —1) и (1, 1) пары величин
(1ь Ы приводят к двум значениям η: —1 и 1. Следо-
вательно,
Ρίη = —1> = 1/16, ρ{η = 1> = 5/16.
Таким образом, величина η дискретна; ее распределение
сосредоточено на значениях —1, 0, 1, и вероятности этих
значений равны соответственно 1/16, 5/8, 5/16. А
Если s-мерный случайный вектор η = £(ξ) есть
функция от r-мерного случайного вектора ξ, т. е. r\h =
-**(& &), ft-1 8, £(·) = (£,(■), ..., g.(·)), ТО
Ρ{η е Я} = Ρ{ξ =£_,(#)}, (3.1)
где g-i (В)— прообраз борелевского мпожества Б при
отображении g. В частности, если r==s=l, а функция
54

y — g{x) непрерывна и строго возрастает, то F„(i/) =
= Fl(g-i(y)). Если, кроме того, g(x) дифференцируема
и распределение 5, имеет плотность р%{х), то
распределение η имеет плотность
рц (у) - р, (*_, (у)) j—^y.
Если r = s, отображение y = g(x) взаимно однозначно и
a(g1, ..., ^Γ)
якобиан -'я(х) = тП- 7Т не обращается в нуль, то
°\xv ···< хг)
плотность рп(х) можно вычислить по плотности pi(y) с
помощью равенства
Рц (У) = Pt (g-i (У)) μ /У—1 (у)ч ι = Pi ^-i W) 1 ^-ι (») Ι-
(3.2)
В общем случае, как правило, удобнее сначала
вычислить функцию распределения η но формуле (3.1), а
затем найти плотность распределения η
дифференцированием.
Случайные величины ξι, ..., ξΓ называются
независимыми, если для любых борелевских множеств Ви ..., Вт
имеет место равенство
Р{1г^Ви ...,b^Br} = JlP{lh(=Bh}. (3.3)
Следующие определения независимости равносильны
определению (3.2):
β общем случае: для любых х\, ..., ι,εβ
г
Flx ιΛχν ···- *r) = n.Fh(xhy,
для абсолютных непрерывных распределений: для
любых х = (хи ..., xT)^RT (кроме, может быть, точек,
образующих мпожество меры нуль)
г
/у „ £,(*!> ·■·' хг) - Π л. to);
для дискретных распределений: для всех х —
= (хи ..., xr)^Rr
г
Ρ & = χν ... ,lr = χ,} =IlPfe = *»}.
ft=-l
55

Если случайные величины ξι, ..., ξ, независимы, то
функции от них ти = ЫЫ. & = 1. ···, г, также будут
независимыми случайными величинами.
Пример 3.5. Случайные величины |] и |г
независимы; их плотности распределения определяются
формулами
ί 1
1 при ze[0,1], \Т при are [0,2],
V*)
0 при хф. [0, 1], 62
Р6 (*)
[0 при χ ^[0,2].
Найти функцию распределения и плотность
распределения величины η = \\%ь
Решение. Так как величины \\ и %% независимы,
то двумерная плотность распределения вектора (ξι, Ι2)
есть ptih(u, ν) = ph(u) ph(v).
Найдем сначала функцию
распределения η:
= J J p, (и) ρ- (ν) du dv,
где Dx={(a, ν): uv^x). Отсюда
F^) = Y^dudvf
где D'x = Dxf]{(u, ν): 0<u<l,
0^y^2}. Очевидно, что D* =
= 0 при χ < 0 и D*= {(и, ν)ι 0 < и < 1, 0 < ν < 2} при
гг ^ 2; следо вател ьно,
Ρ{η<Λ;} = 0 (х<0), Ρ{η^«} = 1 (*>2).
При 0<ж<2 (рис. 5)
Г \ dudv=1-\ + J -^ du = χ — хIn j.
Χ/2
Таким образом,
ί(*-Ητ
при а; ^ 0,
при 0 < χ < 2,
при ж ^2.
56

Отсюда находим плотность распределения
I 0 дри χ <=έ(0, 2],
М*)=| 1 . χ ,п 0.
— γ 1н γ при #<=(0,2]. а
Если ξ и η — независимые случайные величины, то
по плотностям ρι(χ), ρΆ(χ) можно вычислить плотность
Р1+ъ(х) их суммы с помощью формулы композиции (или
свертки):
оо оо
ρΕ+η (χ) = I Pt (у) Ρη (Ж — ?У) <fy = J РЕ (X — У) Рц (У) dy.
— ОО —ОО
(3.4)
Полезны также формулы композиции для функций
распределения
оо
^ί+η(*)- j Fl(x-y)pr](y)dy,
Г (3.5)
/W*) = J Fi(x-y)dFr](y)
—оо
(последний интеграл в общем случае надо понимать как
интеграл Лебега — Стилтьеса).
Пример 3.6. Найти плотность распределения
величины η = ξι + %2, где ξι, ξ2 независимы и каждая из них
равномерно распределена на отрезке [0, 1].
Решение. По формуле (3.4)
оо 1
Рч (*) - ί ΡΐΎ (У) Plt (х — У)аУ=°\ PI, (х — У) dy.
—оо О
Подынтегральная функция ρι2 (χ — у) положительна и
равна 1, если 0<а: — г/«S 1. Отрезок интегрирования [0, 1]
и отрезок [х—1, гг] значений у, при которых р| (#—1/)>
>0, не пересекаются, если х<0 или х>2. В этих
случаях р„(х) = 0. Если 0<ж^1, то [0, 1]П [аг— 1, х\ =
« [0, х\ и
ρη (а;) = J dy = ж.
о
Если 1<г<2, то [0, 1] Π [ж - 1, ж] = [я - 1, 1] и
ι
р„ (#) = J dy = 2 — χ.
χ—i
57

Таким образом,
10, если χ << 0 или х~>2,
х, если O^z^l,
2 — а:, если 1<[£^2. А
Математическим ожиданием случайной величины ξ
называется число
Μξ=]'ξ(ω)Ρ(ώω),
Ω
если интеграл Лебега, стоящий в правой части этого
равенства, существует (см. [5], с. 60, или [2], гл. 4, § 1).
Если ξ имеет плотность, то Μξ может быть
вычислено по формуле
00
Μξ = хр. (х) dx. (3.6)
—оо
Для случайной величины ξ с дискретным
распределением
Μξ = 2^Ρ{ξ = ^}. (3-7)
h
если ряд (3.7) сходится абсолютно. В общем случае
00
Μξ= j xdFi(x)t (3.8)
—00
где интеграл понимается как интеграл Стилтьеса.
Если η=£(|), то для вычисления Μη = Μ^(|)
можно применять следующие формулы, аналогичные (3.6) —
(3.8) (также с оговоркой об абсолютной сходимости):
00
Μ*(ξ)- J g(x)Pl{x)dz, (3.9)
Mg(t)=lg(*k)P{l = *k}, (З.Ю)
h
оо
Μ£(ξ)= J g(x)dFl(x) (3.11)
— оо
(в формуле (3.11) в общем случае интеграл понимается
как интеграл Лебега — Стилтьеса). Формулы (3.9) —
(3.11) обобщаются на случай, когда r\ = gCE,u ..., |г),
где g — функция, отображающая R* в /?'. В частности,
58
Μη =
Μη =
Μη =

формула (3.9) в этом случае превращается в
= j ... J £ (*ι> · ■ ■. χτ) ΡΕ ... Er (χι, ...,xT)dx1... dxT.
(3.12)
Для действительной случайной величины ξ
математическое ожидание М|* называется к-м моментом или
моментом к-го порядка, Μ|ξ|" называется абсолютным
моментом k-го порядка, М(| —Μξ)"—центральным
моментом k-го порядка, Μ|ξ — М||" — абсолютным
центральным моментом k-го порядка. Факториальным
моментом k-го порядка называется Μξ"" = Μξ(ξ — 1).. .(ξ —
— k+i). Второй центральный момент называется
дисперсией и обозначается ϋξ = Μ(ξ — Μξ)2. Корень
квадратный из дисперсии называется средним квадратиче-
ским отклонением.
Пример 3.7. Для случайной величины η,
определенной в примере 3.2, найти Μη и ϋη.
Решение. Если плотность распределения известна,
то для вычисления Μη удобно воспользоваться формулой
(3.6), а для вычисления ϋη формулой
D>1 = ) (χ — Μη)2Ρη И dx,
1 I
Μη = \ χ — dx = -5-, Dti = \ (χ— -ζ-1 ■=■ dx ■■
которая является частным случаем (3.9) с g(x) =
= (х — Μη)2. Подставляя в эти формулы плотность
распределения ρη(ζ), вычисленную в примере 3.2, получим
ι ι
_4
45*
о ' о
Можно было также воспользоваться формулами (3.9)
при g(x) = x2, g(x) = (x — Μη)2 с заменой р\(х) на
плотность Р5, (χ), определенную в примере 3.1:
оо 1
Μη = Μξι = J χ2 ρ (x) dx = J x2dx = g-,
—oo 1 0
Dn-M(^_4)'_ ] (x-^JPli(x)dx =
1
1
= ι (*-■№* = ^.
0
59

Математическое ожидание Μξη произведения двух
случайных величин ξ и ц называется смешанным вторым
моментом. Смешанный центральный второй момент
Μ(ξ — Μξ) (η — Μη) называется ковариацией случайных
величин ξ и η и обозначается cov(|, η). Коэффициентом
корреляции ξ и η называется отношение ρ (ξ, η) =
-; всегда Ιρ(|, η)Ι=^1. Случайные величины
cov (Ι, η)
"1/d|dt)
ξ и η некоррелированы, если ρ(ξ, η) = 0.
Ковариационной матрицей случайного вектора ξ = (ξι, · ■ ·ι I»)
называется матрица
С = С (ξ) = || cov (ξί, ξ^Ιί,-ι.
Матрица С (ξ) неотрицательно определена.
Отметим важные свойства математических ожиданий:
1. Свойство аддитивности: для любых ξ и η с
конечными Μξ и Μη
Μ(ξ+η) = Μξ + Μη. (3.13)
2. Свойство линейности: для любого числа с
М(с|) = сМ|. (3.14)
3. Свойство мультипликативности: для любых
независимых ξ и η с конечными Μξ и Μη
Μξη=ΜξΜη. (3.15)
С помощью этих свойств легко получаются следующие
формулы для вычисления дисперсии и ковариацин:
D1 = Μξ2 -(Μξ)2 = Μξ[2) + Μξ -(Μξ)2,
οον(ξ, η) = Μξη - ΜξΜη;
для независимых ξι, ..., ξ„
D (ξχ + ... + ξ„) = 2 ϋξΛ, cov (ξ*, ξ,) = 0 (i ^ /). (3.16)
В общем случае
D (I, + ... + ξ„) = Σ °L· + 2 2 cov (ξΛ, ξ,).
Если векторы ξ(1> = (ξ<«, ..., ^>), ..., ϊη) = (ΐ[η\ ...
.. „ &п>) независимы и С (ξ(1)), ..., С (ξ(η)) -
соответствующие им матрицы ковариаций, то
С(|(1> + ... + ξ(η,1 = C(|ll,) + ... + С(|("»). (3.17)
60

Если имеются две дискретные случайные величины ξ
и η, то условная вероятность события (ξ = Χι) при
условии η = У) определяется равенством
Ρ {I = Xi I η = Σ/;} = '^yi^J^ · (3-18)
Совокупность условных вероятностей (3.18) при всех i
задает условное распределение случайной величины ξ
при условии η = у,. Условное математическое ожидание
% при условии г) = У) определяется формулой
М И Ι η = У]} = Σ Xip {I = ж» Ι η = у;) =
i
χ? {ξ = Xj, η = у,}
-Σ-
Ρ{η = !/;·}
(3.19)
Формулы (3.18) и (3.19) определяют условные
вероятности и условные математические ожидания при
условии r\ = yj. Условные вероятности Ρ(ξ = £,|η} и условные
математические ожидания Μ(ξ|η) при условии η
определяются как случайные величины, принимающие на
каждом множестве (ω: η(ω) = у,) с: Ω значения (3.18) и
(3.19). Общие определения условных распределений и
условных математических ожиданий можно найти в
книгах А. А. Боровкова [2], А. Н. Колмогорова [5], Б. А.
Севастьянова [10].
Вычисляя математическое ожидание от условного
математического ожидания Μ{ξ|η}, получаем полезную
формулу
Μξ = Μ[Μ{ξ|η}]. (3.20)
В частности,
Ρ{ξ-ΛΪ=ΜΡ{ξ = β,|η}. (3.21)
Для вычисления D| можно использовать формулу
D6-M[D<ilT|}] + D[M{fcW], (3.22)
где условная дисперсия ϋίξΐη} определяется формулой
D {I Ы = Σ (Xi ~ Μ {ξ Ι η})2Ρ {ξ = Xi Ι η}. (3.23)
i
Аналогичные формулы верны и для абсолютно
непрерывных распределений. Условная плотность ξ при
условии η = у определяется формулой
j />|,η (". У) du
61

а условное математическое ожидание — формулой
00
°° J ΧΡ1,Ά (*' у) dX
Μ{ξ|η = ί/}= j ^„-„W^-^ ·
~°° j />ξ>η (x, У) dx
— оо
Рассматривая условную плотность ρι\^{χ) как случайную
величину, которая при η = у принимает значение
Р51ч=»(#). получаем
оо
Μ{ξ|η}= J *Pih(x)<te,
— оо
со
0(ξ|η)= J (ι-Μ{ξ|η})»ρΕ|η(ί:)ώ.
—оо
Формулы (3.20) и (3.22) остаются справедливыми и
в этом случае, а (3.21) заменяется формулой
Pt(*)=MpE[,(a:).
Перечислим основные способы вычисления
математического ожидания. При подходящем способе задания
закона распределения случайной величины наиболее
удобным может оказаться прямое вычисление по формулам
(3.6), (3.7) или (3.9), (3.11), (3.12).
Иногда легко вычисляются или имеют простой вид
условные математические ожидания. Тогда для
вычисления безусловных математических ожиданий используется
формула полного математического ожидания (3.20).
Использование свойств аддитивности и
мультипликативности математического ожидания позволяет свести
вычисление М| к более простым вычислениям
математических ожиданий величин, через которые удается
выразить |. Наиболее частым среди таких приемов является
прием введения сумм индикаторов. Индикатором события
А называется случайная величина %а = %а((>>),
принимающая значение 1, если ω^Α, к значение 0, если ω Φ-А.
Часто оказывается, что можно указать такие события
Αι, Α2, ..., Ак, что интересующая нас величина
представляется в виде
6 = У-А1 "т" %А2 + · · · + f-AN·
62

Особенно удобно то, что свойство аддитивности верно
и для зависимых слагаемых. Таким образом,
Пример 3.8. Пусть η„ — число переходов от успеха
к неудаче или обратно в η испытаниях схемы Бернулли,
в которой вероятность успеха в отдельном испытании
равна р. Найти Μη„ и Dr)„.
Решение. Представим η„ в виде суммы
индикаторов
ηη = ξ] + ξ2 + ... + ξη-ι,
где ξ,= 1, если исходами έ-го и (i + 1)-го испытаний
были соответственно «успех» и «неудача» или «неудача» и
«успех». В противном случае |i = 0. Тогда
М|, = Ρ{ξ, = 1} = ρ(ί - ρ) + (ί - ρ)ρ = 2ρ(1 - ρ)
и, следовательно,
Μη„ = Μξ, + ... + Μ|._ι = 2(ι» - 1)ρ(1 - ρ).
Найдем теперь ΜηΛ. Так как
η—ι τι—1 η—1 η—2 η—1
τ£= Σ Й + Σ Ui= Σ h + 2 Σ Ыш + Σ Us
ΊΦ) li-j'l>2
И
Μξ,ξί+ι = Ρ (1 — Ρ) Ρ + (1 — Ρ) Ρ (1 — Ρ) = Ρ (1 — />),
Μξ& = Μξ4Μξ^ =. 4ρ» (1 - р)а (| i - Л > 2),
то
Μη* = 2p(l - ρ) (η - 1) + 2 (*-2)ρ(1 - ρ) +
+ 4ρ2 (1 — pf {η3 — 5η + 6).
Отсюда, используя обозначение q = 1 — ρ, получаем
Drln = Μη^ - (Μηη)2 - /lpq (1 - 3pg) ι» - 2pq (3 - 10/>g). A
Способы вычисления математических ожиданий с
помощью производящих и характеристических функций
рассматриваются в гл. 4.
При вычислении математического ожидания можно
пользоваться также теоремой о монотонной
сходимости (если In ^ 1п+и η = 1, 24 ,, fl lim ξ„ = ξ и Μξ^ Μξ
П-*оо
63

конечны, то Μξ = lim Μξη) и теоремой о мажорируе-
мой сходимости (если | ξη| ^ η, Μη < оо, и ξ = lim ζη
п-ьоо
с вероятностью 1, то Μξ = lim Μξη). В частности, если
П-*сс
оо
I = 2 In, где ξ„ ^ 0 и 2 м£п сходится, то
п=1 п
оо
Μξ = ^ м|г,
п=1
Приведем в заключение часто встречающиеся законы
распределения. Сначала перечислим некоторые
дискретные распределения.
1. Вырожденное распределение:
Р{| = а} = 1, а — постоянная.
2. Гипергеометрическое распределение (параметры: Ν,
Μ, η — натуральные числа, Μ < Ν, η^ Ν):
Ρ{ξ = /η}=-^-^, m = 0, 1, ...,min(M, n).
3. Биномиальное распределение (параметры: η —
натуральное число, 0 < ρ *S 1):
Ρ {ξ = к} = С,У (1 - р)п-\ Л = 0, 1, ..., п.
4. Распределение Пуассона с параметром λ > 0:
Ρ{ξ = Α} = ^-<Γ\ fc = 0, 1, 2, ...
5. Геометрическое распределение с параметром
р(0<р<1):
P{l = k} = p(l-p)\ fe = 0, 1, 2, ...
Далее перечисляются некоторые абсолютно
непрерывные распределения, определяемые плотностью ρ (χ).
1. Равномерное распределение на отрезке [a, b], a <
<ib: ρ (χ) = £~з^' если а ^ ^ ^ Ь, р(х) = 0, если а: §έ [α, 6].
2. Нормальное (пли гауссовское) распределение с
параметрами α, σ2, —оо < а < °°, 0< а < °":
. . 1 ί (χ — а) ) _, _
Ρ ^ = w^- ехР ~ Ч-^" · -°°<-г<00·
|/2π σ [ 2σ
64

Нормальное распределение с параметрами (0, 1)
называют также стандартным нормальным распределением.
3. Показательное распределение с параметром λ > 0:
ρ (χ) = Ке->* (х>0), р(х) = 0 (х<0).
4. Гамма-распределение с параметрами λ > 0, α > 0:
I здесь Г (а) = xa~1e~xdx — гамма-функция .
5. Распределение Коши с параметром Ъ > 0:
р(х) = -- J-;- — оо<а;<оо.
' п 1 + Л
Введем еще многомерное нормальное распределение.
Если случайные величины |ь |г, ..., ξ, независимы
и имеют нормальные распределения с параметрами
(«ft, Ой), k = i, 2, ..., г, соответственно, то г-мерная
плотность нормального распределения имеет вид
Pi . % \χ1ι · · · ι хг) ==
»1 »Г
К-у)
■ехр
Если в (3.25) aj = a2 = ... = ar = 0 и σι = 02 = . ..
... = σ, = σ, то мы имеем плотность сферически
симметричного нормального распределения
ί r 1
(ζ,, ..., xr) = ; ехр { ;У4 . (3.26)
Л г ' ; (2л)т/2аг F[ 2σ2~ j v
Эта плотность инвариантна относительно ортогональных
преобразований пространства R\ оставляющих на месте
начало координат.
В общем случае говорят, что вектор η=(ηι, ..., ηΓ)Ξ
s Rr имеет нормальное распределение с вектором
математических ожиданий α=(Μηι, ..., ΜηΓ) и матрицей кова-
риаций В = |jcov (η{, η,·)||ί,ί=ι (короче: с параметрами
(а> Щ )ι если он распределен так же, как вектор
η* =α+ξ4= (Μηι + Σ Sia»b ...,^+Σ &а,Л (3.27)
\ i=l i-1 /
65

где случайный вектор |=(|ι, ..., b,h) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с σι = ... =
= σΛ — 1, а прямоугольная матрица
аи
ан
й12 ·
а
22
ак2 ·
• av
■ «2Г
• ahr
такова, что матрица ковариации вектора η*, равная
А'А
(см. задачу 3.274) совпадает с матрицей В. Параметры
(а, В) определяют многомерное нормальное
распределение однозначно.
Если матрица ковариации В положительно
определена, то ее определитель det5 положителен и существует
обратная матрица В* = \\Ьц\ = 5-1, а нормальное
распределение с параметрами (а, В) имеет r-мерную плотность
Р1Х Ιτ(χι> ••·,χτ) =
(2ji)r/2T/det В
exp —-о Zi b*i(xi — αϊϊ{,χ1 — ai)\
i,j=l
Если же матрица В вырождена (detZ? = 0), то
нормальное распределение с параметрами (а, В)
сосредоточено на гиперплоскости, размерность которой равна
рангу В (см. задачу 3.159,6), и поэтому такое нормальное
распределение r-мерной плотности не имеет.
§ 1. Распределение вероятностей
случайных величин
В задачах 3.1—3.15 рассматриваются одномерные
распределения; в 3.16—3.38 — законы совместного
распределения нескольких случайных величин; в 3.49—3.53 —
случайные величины, связанные с последовательностями
испытаний.
3.1°. Распределение дискретной случайной величины
| определяется формулами
Ρ {ξ = i) = -L, * 2, — 1, 0, 2.
Найти распределения величин ηι = — ξ, η2 "= ΙξΙ.
3.2°. Распределение случайной величины |
определяется формулами Ρ{ξ = к) = С/к(к+ 1), к = 1, 2, ...
Найти: а) постоянную С; б) Ρ(ξ^3>; в) Р{п\ *S ξ < щ).
№

3.3°. Распределение дискретной случайной величины
| определяется формулами: Ρ{ξ = к) = С/к(к + 1) (& + 2),
к=1, 2, ... Найти: а) постоянную С; б) Ρ{ξϊ*3};
в) Р{щ < ξ < щ}.
3.4°. Плотность распределения случайной величины ξ
задана формулами:
рг(х) = С/х* при £^1;
ρζ(^)= 0 при χ < 1.
Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения
η = 1/|; в) Р{0,1< η < 0,3).
3.5°. Случайная величина | имеет показательное
распределение с параметром α: Ρ{ξ < χ} = 1 — е~ах (х>0).
Найти плотности распределения случайных величин:
а)тц = У|; 6)η2 = ξ2; υ)η3=—Ιηξ.
3.6°. Случайная величина ξ распределена так же, как
в задаче 3.5. Найти плотности распределения величин:
а) ηι = {ξ} ({ξ}—дробная доля ξ); б) η2 = 1 — е-*5.
3.7°. Случайная величина ξ равномерно распределена
на отрезке [0, 1]. Найти плотности распределения
величин: а) η, = 21+1; б) η2 ln(l —ξ).
3.8°. Случайная точка В имеет равномерное
распределение на окружности х2 +(у — а)2 = г2 с центром в точке
Л=(0, а), а случайная точка С = (\, 0) является
пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через А и В.
Найти функцию распределения и плотность
распределения случайной величины ξ. (Распределение ξ
называется распределением Коши.)
3.9°. Случайная величина ξ имеет распределение Ко-
1 1
ши с плотностью р% (х) =— г· Найти плотность рас-
я ι _|_ χ
пределения величин η = ξ2/(1 + ξ2), ζ = 1/(1 +ξ2).
3.10. Случайная величина ξ имеет такое же
распределение, как в задаче 3.9. Найти плотность распределения
случайных величин η = 2|/(1 — ξ2), ζ = 1/ξ.
3.11. Пусть h(x) — плотность распределения
случайной величины |; функция g(x) дифференцируема и на
интервале (0, 1) монотонно возрастает от —°° до +°°.
Найти: а) такую функцию φ(χ), что случайная величина
П = ф(1) имеет своей плотностью распределения /(#) =
— h(g(x))g' (х); б) распределение случайной величины
t = g(r\).
3.12°. Случайная величина ξ имеет непрерывную
функцию распределения F(х) = Р{| *S x). Показать, что
67

случайная величина r\=F(e,) имеет равномерное
распределение на отрезке [0, 1].
3.13. Пусть η имеет равномерное распределение на
[О, 1], а
f_,(i/) = sup{a;: F(x)<y), O^y^i,
— функция, обратная к функции распределения F(x) (не
обязательно непрерывной!). Доказать, что случайная
величина \ = F-X(r\) имеет функцию распределения F(x).
3.14. Построить пример такого абсолютно
непрерывного распределения случайной величины ξ с плотностью
Ρι(χ) и такой непрерывной функции g(x), что
распределение случайной величины η = #(ξ) не вырождено и
дискретно.
3.15. Функция распределения F(x) непрерывна в
каждой точке. Доказать, что она равномерно непрерывна на
всей прямой — °° < χ < <».
3.16°. Совместное распределение ρ« = Ρ{ξι=£, \^ — ί)
случайных величин ξι, |г задано таблицей:
\ i
i \
—1
1
—1
1/8
5/24
0
1/12
1/6
1
7/24
1/8
Найти: а) одномерные распределения/?!. = P{|j = г},
p.j = Ρ{ξ2 = /};б) совместное распределение <Ζ« = Ρ{ηι —г,
η2 = /} случайных величин ηι = ξι + ξ2, Ц2 = %\Ы в)
одномерные распределения qu = Ρ{ηχ = i}, q.j = Ρ{η2 = У'}·
3.17°. Случайные величины ξ и η независимы. Найти
Ρ{ξ = η), если: а) ξ и η имеют одно и то же дискретное
распределение Ρ{ξ = xj = Ρ(η = xj = Рь k = Q, 1, ...;
б) функция распределения ξ непрерывна.
3.18°. Совместное распределение ξ, η является
равномерным в единичном круге х2 + у2 < 1. Найти ΡίΙξΙ ^ 3/4,
|η| <3/4>.
3.19°. Плотность совместного распределения величин
ξ, η определяется равенствами: pit„(и, ν) = 1 при
(и, p)eG, pi,n{u, v) = 0 при (и, v)<£G, где G = I(u, ν):
68

0^u^2, 0<1у<;1—2~α|· Найти плотность
распределения ρι{χ) случайной величины ξ.
3.20°. Плотность совместного распределения Pilti2 {и, ν)
величин ξι, |г определяется равенствами Ρι,ιΛ (и, ν) =
= С (и + ν) при OsSusSl, (XysSl и pi ,| (и, ν) = 0,
в остальных случаях. Найти: а) постоянную С; б)
одномерные плотности распределения ξι и |г; в) плотность
распределения η = max (ξι, ξ2).
3.21°. Плотность совместного распределения величин
2
ξι, |г определяется равенствами: р% &2(и, ν) = ——^ g-j
при иг + ν2, 2> 1 и ρξ ^ (и, у) =. 0 в остальных случаях.
Найти плотность распределения η =
3.22. Случайные величины ξ и η имеют плотности
распределения f(x) и g(x) и функции распределения
F(x) и G(x) соответственно. Случайный вектор ζ =
1=1 (ζι» £2) имеет плотность распределения
ρ(«, ί^) = /(^)ίΤ(^)(1 + Γ(^(*), G(»))),
где функция г(х, у) удовлетворяет условиям
ι ι
min г (и, ν) ^ — 1, \ г (и, v) dv = \ г (и, v) du ξ=0.
ο<"<ι о о
Найти плотности pi и рг распределения компонент ζι и
ζ2 вектора ζ.
3.23. Неотрицательные случайные величины ξι, ξ2
независимы и имеют одну и ту же плотность
распределения р(х), £ >0. Найти плотность q(u, v) совместного
распределения случайных величин ηι=*1ι— Ъ, !Ъ =
3.24. Случайные величины ξι, ξ2 независимы и имеют
одну и ту же плотность распределения р(х). Найти
совместную плотность распределения q(r, φ) полярных
координат (г, φ) точки (ξι, |г).
3.25°. Случайные величины ξ, и ξ2 независимы и
имеют одно и то же показательное распределение: Ρ{ξί ^
*ζχ} = 1-β-χ, х>0, i = l, 2. Найти Ρ{|ξι - 121 < 1>.
3.26°. Случайные величины ξ и η независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке [0, а]. Найти
плотности распределения случайных величин: а) ξ + η;
б) ξ-η; в) ξη; г) ξ/η.
69

3.27°. Случайные величины ξ и η независимы и
имеют показательное распределение с плотностью е~х (х^О)
каждая. Найти плотность распределения: а) ξ + η;
б) ξ-η; в) ll-ηΙ; г) ξ/η.
3.28°. Найти плотность распределения суммы ξ + η,
если | и η независимы, ξ имеет равномерное
распределение в отрезке [0, 1], а η — равномерное распределение
в отрезке [0, .2].
3.29°. Найти плотность распределения суммы
независимых случайных величин ξ и η, если ξ равномерно
распределена в [0, 1], а η имеет показательное
распределение с плотностью е~х (х5?0).
3.30°. Случайные величины ξι, ξ2, |з независимы и
имеют равномерное распределение в [0, 1].
Найти плотности распределения сумм: а) ξι + ξ2»
б) ξι + ξ2 + ξ3.
Найти Р{0,5 *£ ξι + ξ2 + |з *£ 2,5).
3.31°. Точка (ξι, ξ2) имеет равномерное
распределение в квадрате {(х, у): 0 < χ < а, 0 < у < а). Показать,
что распределения случайных величин Ιξι — |г1 и
min (ξι, ξ2} совпадают, т. е. что для любого t
Ρ{|ξ,-ξ2Ι < f> = Pimin {ξ,, &><*>·
3.32°. Найти распределение суммы двух независимых
слагаемых ξι и ξ2, если слагаемые распределены:
а) показательно с одним и тем же параметром а;
б) по закону Пуассона с параметрами λ ι и λ2.
3.33°. Случайные величины ξι, ..., ξ„ независимы и
распределены показательно с одинаковым параметром а.
Найти плотность распределения величин:
а) η) = max {ξι, ..., ξ„},
б) туг = min {ξι, ..., %J.
3.34°. Случайные величины ξι и ξ2 независимы и
имеют гамма-распределения: ξι—с параметрами (λ, α),
ξ2 — с параметрами (λ, β). Пользуясь формулой
\f--x(\ ί)β-^-Γ(α)Γ(β)
у (i t) at = Γ (α + ρ) ,
ο
найти плотность распределения случайной величины
ii + Ь-
3.35°. Случайные величины ξι, ..., ξ„ независимы;
случайная величина ξί имеет гамма-распределение с па-
70

раметрами (λ, α(), г = 1, ..., п. Найти плотность
распределения случайной величины ξι + ... + ξ„.
3.36°. Случайные величины ξι, ..., ξ„ независимы и
имеют показательное распределение с параметром р\
Найти плотность распределения суммы |, + ... + |„.
3.37°. Найти плотность распределения случайной во-
t
личины η = g Τ- , если |ь ξ2 независимы и равномерно
=ι "Г 52
распределены в отрезке [0, 1].
3.38. Случайные величины ξι, ξ2, ..., ξη, η > 2,
независимы и имеют показательное распределение с плот-
Е
ностыо е~* (£>0). Обозначим η = j—r—* it ·■ Найти
ίχ\ · · · "rfen
плотность распределения η.
3.39. Величины |ь |2 независимы; Ρ{ξι =0} = Ρίξι =
= 1} = 1/2, ξ2 равномерно распределена на отрезке [0, 1].
Найти закон распределения величины ξι + ξ2.
3.40. Пусть случайные величины ξ и η независимы,
ξ имеет функцию распределения F{x), а η равномерно
распределена в интервале [а, Ъ]. Показать, что ξ + η
F (χ — a) — F (χ — b)
имеет плотность —; τ ; -
Ъ — а
3.41°. Сумму двух независимых равномерно
распределенных на (0, 1, ..., 9) случайных однозначных чисел ξ
и η можно записать в виде ξ + η = 10ζ2 + ζι (0 < ζ,- < 9).
Найти законы распределения ζι и ζ2. Зависимы ли
ζι и ζ2?
3.42°. Произведение двух независимых равномерно
распределенных на {0, 1, ..., 9} однозначных чисел ξ и
η можно записать в виде ξη = 10ζ2 + ζι, где ζι, ζ2 —
целые числа, принимающие значения от 0 до 9.
Зависимы ли ζι и ζ2?
3.43. Случайная точка А=(%\, ξ2, ξ3)^/?3 имеет
равномерное распределение на сфере χ2 + у2 + ζ2 = 1. Найти
распределение проекции (ξι, ξ2) точки А на плоскость
(х, у) и проекции ξι точки А на ось х.
3.44. Ввести на сфере в качестве координат широту
и долготу, считая их изменяющимися в отрезках [—π/2,
л/2] и [—π, π] соответственно. Найти плотность Ρι(χ)
распределения широты ξ случайной точки, имеющей
равномерное распределение на сфере.
3.45. Пусть ξι, ξ2, |з — независимые случайные
величины, имеющие равномерное распределение на
множестве целых чисел от —п до п. Подберем многочлен
второй степени А (х) = аах2-\-а\Х + а2, принимающий при
71

х = —\, О, 1 значения ξι, |г, |з соответственно. Найти
вероятность Рп того, что числа αο, αϊ, аг целые.
3.46. К переговорному пункту с двумя кабинами
подошли три клиента: 1-й и 2-й клиенты заняли
соответственно кабины № 1 и № 2, а 3-й клиент остался ждать.
Предполагая, что времена τι, тг, тз разговоров клиентов
независимы и распределены показательно с параметром
λ, найти: а) вероятность того, что 3-й клиент попадет
в кабину № 1; б) плотность распределения времени
ожидания 3-го клиента; в) вероятность того, что 3-й
клиент закончит разговор раньше 1-го или 2-го клиентов.
3.47. В переговорном пункте телефоны-автоматы
расположены в трех залах: в i-м зале щ автоматов (г =
= 1, 2, 3; п = п\ + п2 + пз). После перерыва посетители
одновременно заняли все автоматы. Введем события At =
= {посетитель, закончивший разговор первым, находился
в г-м зале), i = 1, 2, 3. Найти вероятности событий Ац
i=l, 2, 3, если времена разговора посетителей являются
независимыми одинаково распределенными случайными
величинами с непрерывной функцией распределения.
3.48. Случайная величина ξ с равномерным
распределением на [О, 1] записывается в виде бесконечной де-
сятичной дроби: ξ = 2 £пЮ_п, где %п — целые, 0 < |„ «S 9.
Доказать, что случайные величины ξι, |г, ... независимы.
3.49°. В схеме Бернулли с вероятностью успеха ρ
обозначим через ν„ (к = I, 2, ...) номер испытания, при
котором происходит к-ж успех, и положим τι = vi, xk =
— ^ —ν„_ι (к = 2, 3, ...). Найти совместное
распределение величин τι, хй. Являются ли эти величины
независимыми?
3.50°. В полиномиальной схеме с исходами (1,2,..., Ν)
вероятность i-ro исхода в каждом испытании равна ри
i = l, 2, ..., N. Положим
J1, если в s-м испытании появился i-й исход,
s-' \θ в противном случае.
Являются ли независимыми случайные величины:
а) ε5<, εβ>ί (s, i, / — фиксированы);
б) ε5, (, et,j (s^i);
в) ει, *, 62, <, ..., ε„, <;
Ν Ν Ν
γ) 2 е^Сг,, 2«2ftCft, ..., 2enftCh, если сг, с2, ...,cN—
ft=l h=1 fe=l
некоторые постоянные?
72

3.51°. Игральную кость бросают до того момента,
когда впервые выпадает меньше пяти очков. Обозначим
через θ число очков, выпавших при последнем бросании
игральной кости, и через ν — число бросаний кости.
Найти совместное распределение θ и v. Являются ли
случайные величины θ и ν зависимыми?
3.52°. В N ячеек независимо бросают частицы; для
каждой частицы вероятность попадания в t-ю ячейку
равна pt=\IN (i = 1, 2, ..., Ν). Обозначим через νι <
< V2 < ... < vw номера бросаний, при которых частицы
попадают в пустые ячейки; положим τι = νι = 1, xk =
= νΛ — Vb_i (к ^=2) и обозначим через θ„ номер ячейки,
в которую попадает частица при ν,,-м бросании. Найти:
а) совместное и одномерные распределения величин
Х2, хз;
б) совместное и одномерные распределения величин
Т2, хз, ..., Xw (являются ли эти величины
независимыми?) ;
в) совместное распределение θι, 9г, ..., Qn·
3.53°. В схеме размещения частиц, описанной в
задаче 3.52 (с ρι^ί/Ν), найти совместное распределение
θι, ..., ΘΝ.
3.54°. Из урны, содержащей Μ белых и N—Μ черных
шаров, по схеме случайного выбора без возвращения
вынимаются все шары. Пусть ξι — число черных шаров,
извлеченных до появления 1-го белого шара, |4 — число
черных шаров, извлеченных между (i—1)-м и г-м
(г = 2, ..., М) белыми шарами, ξΜ+ι — число черных
шаров, появившихся после последнего белого. Найти:
а) Ρ{ξ, = Μ;
б) Pih=k, Ъ = П;
в) Ρ{ξι = ки ξ2 =k2l ..., ξΜ+ι = kM+l}.
3.55°. Дана функция распределения F(x, у) пары
случайных величин |, η. Найти Pixi < ξ *S χι, У\<ц<У2),
x\ <*2, г/i < г/2.
3.56. Двумерное распределение случайных величин
ξ, η задано функцией распределения
если min (χ, у) <; О,
если 0 ^ min (χ, у) ^ 1,
если min (χ, у) > 1.
Найти Р{ (| - 1/2)2 + (η - 1/2)2 ^ 1/4}.
73
P{l<;X,4<y}-F(x,y)~
\ °'
= min (г, г/),
[ 1,

3.57. Построить пример непрерывной в точке (хо, Уо)
двумерной функции распределения F% „(я, у), для
которой одномерные функции распределения 1'\{х) и Fn{y)
разрывны в точках хо и г/о соответственно.
3.58. Построить такой пример непрерывной во всех
точках двумерной функции распределения Ft_ „(я, у),
чтобы функция распределения ^.т^ {χ, у), где ξι = ξ + η,
ηι = ξ — η, имела точки разрыва.
3.59. Доказать, что двумерная функция
распределения /\ η(#, у) непрерывна в точке (хо, у0), если
соответствующие одномерные функции распределения Fi(x),
Fr,(y) непрерывны в точках хо и уо соответственно.
Пусть ξι, |г, ..., ξ„ — независимые одинаково
распределенные случайные величины. При каждом ω е Ω
расположим числа ξί,(ω), к = 1, ..., ге, в порядке
возрастания и перенумеруем их заново: ξ(ι, < ξ(2> < ... < 1(П).
Полученная последовательность случайных величин
называется вариационным рядом, а сами случайные величины
!(*) — членами вариационного ряда. Таким образом,
в частности, ξ(1) = min ξή, ξ(η) = max ξκ. Задачи 3.60—
3.66 связаны с вариационным рядом.
3.60. Случайные величины ξι, |г, ..., ξ„ (д>2)
независимы и одинаково распределены с функцией
распределения F(x). Найти: а) функцию распределения ξ(ι,;
б) функцию распределения |(в); в) двумерную функцию
распределения ξ(),, |(п).
3.61. По независимым одинаково распределенным
случайным величинам ξι, ..., |„, имеющим функцию
распределения F(x) и плотность р(х), построен вариационный
ряд l(i, <1(2) ^ ...< 1(П>. Найти: а) плотность
распределения 1(т); б) совместную плотность распределения 1(й,
и 1(т, (к < га).
3.62. Случайные величины ξι, ..., In, lft+i независимы
и имеют одну и ту же непрерывную функцию
распределения. Пусть Id, s£ |(2, < ... <! 1(Л, — вариационный ряд
величин ξι, ..., 1ft. Найти
ρ{ξ,+,ε[ξ(ί>, ξ(ί+1,]}, ζ = ι fc-i,
Ρ{ξ*+,<ξ(„}, Ρ{ξ^ι>ξ<„}.
3.63. Случайные величины ξι, ..., ξ„ независимы и
имеют одинаковое распределение с плотностью ρ (χ).
Найти д-мерную плотность рп(х\, ..., хп) распределения
членов вариационного ряда ξ(ι>, ξ(2„ ..., 1<г>,.
74

3.64*. Случайные величины ξι, |г ..., 1» независимы
и имеют показательное распределение с параметром а:
Ρ{|ί «Ξ χ) = 1 - е~ах, ζ S3 0, ί = 1, ..., η,
a |(i) < 1(2, <...<1(П) —значения ξι, ..., ξ„,
расположенные в порядке неубывания (вариационный ряд).
Показать, что случайные величины
Δι = 1(1), Δ( = l(i) — l(,--i), г = 2, ..., η,
независимы и что
Ρ{Δ,· < χ) = 1 - e-ain-i+Ux, i = 1, ..., п.
3.65*. Случайные величины ξι, |г, ..., ξ» независимы
и имеют одно и то же показательное распределение с
параметром λ. Доказать, что случайные величины
max^j, ξ„ ..., ξ„} и ξα + -γ + -§-+ ··· + χ
одинаково распределены.
3.66. Пусть 1„-=(1η,ι, ..., in.*), re = l, 2, ....—
последовательность независимых векторов, у которых
координаты |„_ ι, ..., |n_ „ — независимые случайные величины,
имеющие одну и ту же непрерывную функцию
распределения F(x). Положим
An = /ξη,ί< min gm>il i = 1,
{ l<s£m<n
Доказать, что при к > 2
ftl
3.67. Случайные величины ξι, §г, ... независимы и
имеют одну и ту же непрерывную функцию
распределения. Доказать, что события
Вп = {ξ„ < min {ξι, ..., ξη-ιΗ, η = 2, 3,
независимы.
3.68. Пусть выполнены условия задачи 3.66. Найти
Ρ U 4г.
\ П=2 )
3.69. Случайные величины ξ и η независимы.
Доказать, что если функция распределения ξ непрерывна, то
функция распределения ξ + η тоже непрерывна.
75

3.70*. Случайная величина ξι распределена по
закону Пуассона с параметром λι:
P{li = k}-^e-%\ fc = 0,l,2t...,
а случайная величина |г распределена по закону
Пуассона с параметром λ2>λι. Доказать, что при любом
целом к
Ρ{ξι*£Μ>Ρ{ξ2*£&}.
3.71. Функции распределения F\(t) и Fi{t)
удовлетворяют условию
Fi(t)<F2(t) для любого t.
Показать, что можно так задать на одном вероятностном
пространстве случайные величины ξι и ξ2 с функциями
распределения F\(t) и F2(t) соответственно, что
Ρ{ξ,3*ξ2} = 1.
3.72. Случайные величины ξ и η независимы и имеют
равномерное распределение на отрезке [0, 1J, а случайпая
величина ζ удовлетворяет условиям
Ρ{ξ = ξ>=Ρ{ζ = η> = 1/2.
Найти максимально и минимально возможные значения
Ρι ζ 2~ ^ Чи указать, при каких совместных
распределениях ξ, η и ζ эти значения достигаются.
3.73. Случайные величины ξ и η независимы и имеют
одно и то же распределение с непрерывной функцией
распределения F(x), а случайная величина ζ
удовлетворяет условиям
Ρ{ζ = ξ} = Ρ{ξ = η} = 1/2.
Пусть mc = sup{z: Ρίζ < χ) ^3 1/2} — медиана
распределения ζ. Найти минимальное и максимальное значения то5
и указать, при каких совместных распределениях ξ, η и
ζ эти значения достигаются.
3.74. Пусть Χ, Υ — независимые целочисленные
случайные величины, Ζ = Χ+ Υ,
а = min {η: ?{Ζ = η) > 0},
b = max{re: P{Z = n}>0).
Доказать, что
min {?{Z = a), ?{Z = b}} < 1/4.
76

§ 2. Математические ожидания
В задачах 3.75—3.112 используются прямые способы
вычисления математических ожиданий; задачи 3.113—
3.131 иллюстрируют возможности метода индикаторов
(см. введение к гл. 3). Задачи 3.132—3.138 содержат
полезные формулы для математических ожиданий
различных функций от случайных величин. Разными методами
решаются задачи 3.139—3.188.
3.75°. Распределение дискретной случайной величины
ξ определяется формулами Ρ{ξ = ί} = 1/5, i = — 2, — 1, О,
1,2. Найти математические ожидания величин ηι = —ξ,
Л2= 111.
3.76°. Распределение дискретной случайной величины
4
ξ определяется формулами Ρ {ξ = к} = fe(fe+1)(fe+2). k =
= 1,2, ... Найти математическое ожидание случайной
величины ξ.
3.77°. Плотность распределения случайной
величины ξ задана формулами рг(х) = 0 при х<1, Рг{х) =
= 3/х* при £3*1. Найти математические ожидания и
дисперсии случайных величин ξ и η = 1/ξ.
3.78°. Найти Μξ, D|, M|U] {к = 1, 2,...), если:
л πι
а) P{t = m} = ±re-\ m = 0, 1,2, ...;
б) Ρ {ξ = т} = C™pmqn-m, q= 1 - ρ, m = 0, 1, 2, . ..,η.
3.79°. Плотность совместного распределения Pg |2(ы, у)
величин ξχ, ξ2 определяется равенствами р§ ^ (и, у) =и +
+ у при O^u^l, 0^><!1; pi ,|2(u, v)=0 в остальных
случаях. Найти М£ь Μξ2, D£b ϋξ2? οον(ξχ, ξ2).
3.80°. Совместное распределение ξι, ξ2 определяется
условиями Ρ{ξ,ξ2 = 0} = 1, Р{|, = 1} = Ρ{ξ( = -1} = 1/4, i =
= 1, 2. Найти Μξι, Μξ2, Dgr, D|2, cov(|,, ξ2).
3.81°. Случайная величина ξ равномерно
распределена на отрезке [0, 2π]; t]i = cos|, ϊ]2 = sin ξ. Найти Μηι,
Μη2, οον(ηι, η2). Являются ли ηι и η2 независимыми?
3.82°. Случайная величина ξ равномерно
распределена на отрезке [—π, π].
а) Найти Μ sing, M cos ξ, Dsin|, Dcos|.
б) Найти Μ sin "ξ, Μ cos "ξ при любом целом /t>l и
асимптотику Μ sin "ξ, Μ cos *ξ при &->-«>.
3.83°. Случайная величина ξ равномерно распределена
на отрезке [0, π].
а) Найти Μ sin ξ, Μ cos ξ, D sin ξ, D cos ξ.
77

б) Найти Μ sin "ξ, Μ cos "ξ при любом целом к>1 vl
их асимптотики при к -> °°.
3.84°. Плотность совместного распределения
случайных величин ξι, \ζ определяется равенствами ръ ,| {и, ν) =
2 .
= ~~п 5Тч при и2 + ν2 > 1 и Pi £„ (w, v) = О в осталь-
π(ιτ + ί/Τ ь> 2
ных случаях. Найти Μ У Ц + gjj.
3.85°. Случайная величина | имеет показательное
распределение: Ρ{ξ>χ} = е~* при х>0. Найти Μξ(1 — e~al).
3.86°. Случайная точка А имеет равномерное
распределение в круге радиуса R. Найти математическое
ожидание и дисперсию расстояния ξ точки А от центра круга.
3.87°. Случайная величина ζ имеет равномерное
распределение на отрезке [0, 1]. Найти коэффициент
корреляции случайных величин ηι, цг, если:
а) ηι =αζ, ΐ)2 = bt (a, b>0),
б) η]=οζ, η2 = δζ (α<0<6),
в) ηι = ζ, η2 = ζ2,
г) ηι-ζ-χ. η2 = (ζ--τ).
д) η1 = sinj-ί-ζ), il2 = cos(-5-£j.
3.88°. Пусть (ξ, η) — координаты случайной точки,
имеющей равномерное распределение в области D <= R2.
Найти коэффициент корреляции ρ (ξ, η), если:
a) D — часть единичного круга, лежащая в первом
квадранте: х2 + у2 < 1, χ > О, у > 0.
6)2) — треугольник: χ + г/ < 1, χ > 0, у > 0.
3.89. Пусть ξι, ξ2, ..., ξ„ — независимые случайные
величины, имеющие равномерное распределение на
отрезке [0, 1], а ξ(ι, «S ξ(2) sS...sS ξ(„, — построенный по
ξι, ..., ξ„ вариационпый ряд, т. е. значения ξι, ..., ξ„,
расположенные в порядке неубывания. Найти плотность
р,(х) распределения ξ{, м£») №= 1, 2, ...), Dg(i).
3.90. Пусть 1,1, *S ξ(2, *S ... ^ ξ(„, — вариационный ряд,
построенный по независимым случайным величинам ξι,
ξ2, ..., ξη, имеющим равномерное распределение на
отрезке [0, 1] (см. задачу 3.89). Найти ковариацию и
коэффициент корреляции ρ(ξ{<>, ξ»,). При каких условиях
lira ρ(ξ(ί), ξ(Λ) = 0?
П-*оо
3.91°. Доказать, что если случайные величины
ξ и η независимы, Μξ = Μη = 0, Μ|ξ|3<<», M|Tjl3<oof
το Μ(ξ + η)3 = Μξ3 + Μη3.
78

3.92°. Случайные величины ξ и η некоррелированы.
Доказать, что Μξη=ΜξΜη.
3.93. Случайные величины ξ, η и ζ попарно
некоррелированы. Верно ли равенство Μξηζ = ΜξΜηΜζ?
3.94. Случайные величины ξ, η, ζ имеют нулевые
математические ожидания, дисперсии σ2 и попарно
некоррелированы. Чему равны минимальное и максимальное
значения Μξηζ?
3.95°. Найти ковариационную матрицу случайного
вектора ξ=(ξι, ξ2, 1з), если:
а) 1ь £2» |з независимы и имеют стандартное
нормальное распределение;
б) вектор ξ имеет равномерное распределение в кубе
Х1, Х2, хз)'- таХ \хг ! < УЩ>
l<:i<3 I
в) вектор ξ с верятностью 1/6 принимает каждое из
6 значений (О, О, ±УЗ), (О, ±У370), (±УЗ, Ο, 0).
3.96°. Какие из приведенных ниже матриц могут,
а какие не могут быть ковариационными для случайного
вектора | = (|ь ξ2, |з):
в) -
{('
е)
3.97. При каких значениях χ существует случайный
вектор | = (1ι, 1г, |з) с ковариационной матрицей:
ίί χ χ\ ι 1 χ — χ\
а) ж 1 ж 1, б) I * 1 ж I?
,1 it
ционную матрицу Ι Ρι2
J12F23
КТО
Pl2
1
Раз
<
Ρ (Ιί
Pl3\
Р2з ·
ι /
V(i-
, l2i Ъ)
Доказать,
- ΡΪϊ) (1 -
имеет
ЧТО
- ра2з).
коварна
3.99. а) Показать, что если распределение случайного
вектора (ζι, ζ2) совпадает с распределением вектора
79

(-ζ,, -ζ,) и Μζ* + Μζ*<οο, το
οον(ζ,, ?2) = 2M(C,max(0i ζ2)).
б) Пусть (ξι, ηι) и (ξ2, ^—независимые одинаково
распределенные векторы, Μ (ξ\ + r\\) <; οο. Доказать, что
covdi, ηι) = Μ((η,-η2)ιη&χ(0, Si — 6a))-
3.100. Случайные векторы ξ = (ξχ, ..., |„)e Rn и ξ* =
= (Ιϊ, · · ·, tn) ^ -йп независимы, Μξ = (m1( . .., wi„) = те,
Μξ* = (mlt , , #) щ*) = ^*, матрицы ковариаций ξ и ξ*
равны σ=|σ^|| и σ* = |σ^| соответственно.
Найти: а) математическое ожидание и дисперсию
случайной величины ζ = |ι+ ... + !„; б) математическое
ожидание и дисперсию случайной величины η = (|, а) =
==«ι|ιΗ-... + αηξ,„ где а=(аи ..., ап) — даниый
неслучайный вектор; в) математические ожидания и
ковариационные матрицы векторов ξ + ξ*, ξ — ξ*, αξ + b\* (a,
b — постоянные).
3.101°. Пусть [χ] обозначает наибольшее целое число,
не превосходящее χ (целую часть х), а {х) = х — [х] —
дробную часть х. Доказать, что если случайная величина
ζ такова, что распределение (ζ) равномерное на отрезке
[0, 1], то
Μ [ζ] = Μζ - 1/2.
3.102°. Случайные величины ξι, ξ2, ... независимы и
Ρ{ξ( = 1} = Ρ{ξ( = -1} - 1/4,
Р{|( = 0} = 1/2, 1-1,2,...
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины S„ = ξι + ... + ξ„.
3.103°. Случайные величины ει, ε2, ... независимы и
одинаково распределены:
Ρ(ε( = 0} = Ρ{ε(=1} = 1/2, t = 1, 2, ...,
а δί = εί— εί+2, ί= 1, 2, ...
а) Показать, что случайные величины δι, δ2, ...
распределены так же, как случайные величины ξι, ξ2) ... в
задаче 3.102, и что при любом ί = 1, 2, ... случайные
величины 6,, 6i+J независимы, если / > 0 — целое, /' Φ 2.
б) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины /?„ = δι + ... + 6„, η > 2.
80

3.104°. Случайные величины ξι, |г, ··· независимы и
имеют равномерпое распределение на отрезке [0, 1].
Найти математическое ожидание случайной величины
η
Цп = Σ I £i+i — li !·
i=l
3.105°. Найти дисперсию случайной величины ηη,
введенной в задаче 3.104. Сравнить ее с »D||2 —Ы =
= 0(|ξ27ξ,Ι + Ιξ4-ξ3ΐ+...+ Ιΐ2,-|2„-ΐΙ).
3.106°. Случайные величины ξι, ..., ξ„, ηι, ..., η„
независимы. Положим
ζη = 1ι+ ... +ln, ζη = ξχΤ)! + . . . + Ιηζη-
Найти Μζη, Μζ*, Οζη, ϋζ*, cov (ζη, ζη), если
Μξ„ = α, D& = σ2, Ρ{% = 1> = ρ,
Pir)h = 0) = q = i-p (k = i,2,...,n).
3.107°. В экспедиции, рассчитанной на η дней,
ежедневно от запаса продуктов нужно отделять
соответствующую часть: в 1-й день — l/n-ю часть, во 2-й день —
1/(ш —1)-ю часть от остатка и т. д. В действительности
нужная часть продуктов отделяется с ошибкой. Пусть
η* (А; = 1,2, ..., га—1) — часть от остатка продуктов,
которая отделяется в к-й день. Предполагается, что величи-
ны η„ независимы, Mr]ft = ah = _ , ..Найти
математическое ожидание случайной величины ζ, равной части
продуктов, оставшейся к последнему дню:
ζ=(1_ηι)(1_η2)...(1-η„-,).
3.108°. Случайные величины ξι, ξ2, ... независимы и
имеют одно и то же математическое ожидание а и одну
и ту же дисперсию σ2. Положим η^ ί = ξ< — ξ;·. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайных величин
ζήυ = ηι,2 + Пза + η5,β + ... + η2η-ι,2η,
ζη} = ηι,2 + η2,3 + η3,4 + . ·. + ηπ,η+ι,
ζη} = ηι,2 + Τ)ι.3 + ηι,4 + · ■ · + ηι,η+ь
ζή4> = ηι,2 + η2,3 + η3,4 + ... + ηπ-ι,η + τ)η,ι·
3.109°. Случайные величины |ь ξ2, ... независимы и
имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию
81

σ2. Найти математические ожидания и дисперсии
случайных величин ζ^1', ζ(η2), ζη3\ ζη4), определенных в задаче
3.108, если η4, ,-=!&.
3.110°. Решить задачу 3.109 в случае, когда ξι, ξ2, ...
независимы и имеют равномерное распределение на
отрезке [0, 1].
3.111°. Решить задачу 3.109 в случае, когда ξι, |2, ...
независимы и имеют математическое ожидание а и
дисперсию σ2.
3.112. Случайные величины |ь |2, ... независимы
Μξ( = 0, Οξ,· = σ2<°°, г =1,2, ... Найти математическое
ожидание и дисперсию случайных величин
£п = 1Х + ξ2 + ... + ιη и тп = ц + ξν2 +... + ξνηί
где vi, V2, ...— независимые и не зависящие от ξι, ξ2, ...
случайные величины, имеющие равномерное
распределение на множестве {1, 2, ..., к).
3.113°. Обозначим через ΘΓ число циклов длины г в
подстановке, случайно выбранной из множества всех п\
подстановок степени п. Найти: а) Μθι, D9i; б) Μθ2;
в) ΜΘ, (r>i).
3.114°. В урне содержится М, шаров с номером 1,
М2 шаров с номером 2, ..., MN шаров с номером N. По
схеме случайного выбора без возвращения выбирается п.
шаров. Найти математическое ожидание числа неноявив-
шихся номеров.
3.115°. Из урны, содержащей Μ белых и N — Μ
черных шаров, но схеме выбора без возвращения
извлекается выборка объема п. Число белых шаров ξ в выборке
имеет гинергеометрическое распределение: Ρ {ξ = m) =
pmpn—m
bMbN-M
Найти Μξ и D£.
3.116°. В N ячейках случайно размещаются л частиц.
Каждая частица независимо от остальных с вероятностью
ί/Ν может попасть в любую фиксированную ячейку.
Обозначим через μο(η, Ν) число пустых ячеек. Найти
Μμο(«, Ν), Ομο(η, Ν) и асимптотические формулы для
них при η, Ν ->- °°, re/iV-*ae(0, °°).
3.117°. Пусть выполнены условия задачи 3.116 и
μτ(η, Ν) — число ячеек, в которые попало ровно г частиц.
При г = 1, 2, ... найти ΜμΓ(«, Ν) и асимптотические
формулы для ΜμΓ(η, Ν) при r = coust, η, Ν -»- °°, η/Ν->-α<Ξ
= (0, °°).
82

3.118°. В группе учится 25 студентов. Предполагая,
что дни рождения студентов независимы и равномерно
распределены по 12 месяцам года, найти математическое
ожидание числа μ, тех месяцев, на которые приходится
г дней рождения, для всех таких г, что ΜμΓ>0,01.
3.119. По N ячейкам случайно размещаются ге
неразличимых частиц (см. задачу 1.52). Все размещения
предполагаются равновероятными. Обозначим через μΓ число
ячеек, содержащих ровно г частиц. Найти ΜμΓ и
асимптотические формулы для ΜμΓ при η, Ν -*- °°, η/Ν-+α^
е(0, °°). Сравнить с результатами задач 3.116 и 3.117.
3.120°. Пусть |„_ i — число появлений г-го исхода в η
независимых испытаниях с N несовместными исходами и
вероятностью р} появления /-го исхода в s-м испытании
(]' = 1, ..., N; s = l, ..., re; pi + ... + pN = 1). Найти:
a) Μξη>ί; 6) D|„.,·; в) cov(|n,,, ξη,;·) (*¥=/).
3.121. Сопоставим описанной в задаче 3.120
последовательности η пезависимых испытаний процесс
размещения η частиц по N ячейкам, интерпретируя появление
7"-го исхода в к-м испытании как попадание к-ш частицы
в /-ю ячейку. Обозначим через μΓ = μΓ(«; р\, ..., ρΝ)
число ячеек, в которых после размещения η частиц
оказалось ровно по г = 0, 1, ... частиц. Найти: а) Μμο; б) ΜμΓ;
в) min Μμ0(«; ри ..., ρΝ).
Рх PN
3.122 . В N ячейках последовательно размещают
частицы. Каждая частица независимо от остальных
попадает в любую фиксированную ячейку с вероятностью UN.
Обозначим через vh минимальный номер частицы, после
размещения которой число занятых (т. е. не пустых)
ячеек станет равным к. Найти Mv„, Dvh и
асимптотическую формулу для Mvw при N ->- °°.
3.123. По маршруту ходит N автобусов без
кондуктора. В каждом автобусе имеется касса, в которой перед
выходом в рейс было г билетов. Всего эти автобусы
перевезли η пассажиров. Найти математическое ι ожидание
числа | пассажиров, которым не досталось билетов,
предполагая, что каждый пассажир независимо от остальных
может сесть в любой из автобусов с одной и той же
вероятностью 1/Ν.
3.124°. Из 30 чисел (1, 2, ..., 29, 30) по схеме
равновероятного выбора без возвращения отбирается 10 чисел.
Найти математическое ожидание суммы выбранных чисел.
3.125°. В схеме Бернулли ρ — вероятность исхода 1
и q = 1 — ρ — вероятность исхода 0. Будем считать, что
83

при i-м испытании (i>2) появилась цепочка 00, если
при (i— 1)-м и при г-м испытаниях исходами были нули.
Найти формулы для математического ожидания и
дисперсии числа μοο появлений цепочек 00 в η испытаниях
(га->-°о). Сравнить их с формулами для математического
ожидания и дисперсии числа μό появлений исхода 0 в
га—1 независимых испытаний Бернулли, когда
вероятность исхода 0 равна q2.
3.126°. В схеме Бернулли задачи 3.125 найти
формулы для математического ожидания и дисперсии числа μπι
появлений цепочки 111. (Цепочка 111 появляется при г-м
испытании, если исходами (i — 2)-го, (г—1)-го и i-ro
испытаний были единицы.) Сравнить их с формулами для
математического ожидания и дисперсии числа μι
появлений исхода 1 в га — 2 независимых испытаниях схемы
Бернулли, когда вероятность исхода 1 равна р3.
3.127°. Пусть проведено га испытаний по той же схеме
Бернулли, что в задачах 3.125 и 3.126. Назовем серией
единиц цепочку исходов последовательных испытаний
вида 011... НО (при этом считается, что исходами
дополнительных испытаний с номерами 0 и га + 1 были
нули). Пусть η„ — число серий единиц. Найти: а) Ρ{ηη = 0>;
б) Ρ{η„ = 1}; в) Μη„; г) lim η-Φηη.
П-*оо
3.128. На бесконечный лист клетчатой бумаги
(сторона клеточки равна 1) случайно бросается круг
единичного радиуса. Считая, что центр круга равномерно
распределен на том единичном квадрате, на который он
попал, найти математическое ожидание числа ξ точек с
целочисленными координатами (х, у), покрытых этим
кругом.
3.129*. Каждую целочисленную точку числовой оси
независимо от остальных назовем белой с вероятностью ρ
и черной с вероятностью q = 1 — р. Пусть S — множество
всех таких целочисленных точек х, что расстояние от χ
до ближайшей черной точки (включая х, если точка χ
черная) не меньше расстояния от χ до начала
координат. Найти математическое ожидание числа \S\
элементов множества S.
3.130*. Точки С\, ■ ··, Сп независимы и имеют
равномерное распределение в круге К с центром О и
радиусом 1. Пусть случайное множество А состоит из тех и
только тех точек круга, которые находятся ближе к
центру О, чем к границе круга и к любой из точек Си ..., Сп.
Найти математическое ожидание площади ξ множества А.
84

3.131. На плоскость независимо брошено N кругов
радиуса rN так, что центры этих кругов равномерно
распределены в круге радиуса 1. Обозначим через μ™ площадь
множества точек плоскости, покрытых ровно т кругами.
Найти
Ню——, если Νγν—*λ<< οο.
3.132. Случайная величина ξ принимает только
целые неотрицательные значения. Доказать, что
σο
3.133. Случайная величина ξ принимает только
целые неотрицательные значения. Доказать, что для
любого целого к > 2
Μξ(ξ-Ι) ш..(Ъ-к + 1) =й | Β№-ϋΡ{ξ>η}.
3.134. Пусть А\, Лг, ...— совокупность событий, χ(—
индикатор события At (i= 1, 2, ...), т. е.
il, если событие Л{ происходит,
О в противном случае,
и 1 = χι + /г +...— число одновременно происходящих
событий из А], А2, ... Доказать, что
Mgt« = fc| 2 P{AiAi Aih) =
1<^<г2<...<»й
-Л! Σ Ρ{χ4= ..- =Xlft-l}.
3.135*. Неотрицательная случайная величина ξ имеет
функцию распределения
F (ж) = Р{| < ж}.
Доказать, что
ос
Μξ = J (1 — /■ (ж)) ώ.
о
3.136. Случайная величина ξ имеет функцию
распределения F(х) — Р{| =S х). Доказать, что если М|||<°°,
то
оо О
Μξ = J (1 — F (χ)) dx— j F {χ) dx.
о —°°
85

3.137. Неотрицательная случайная величина ξ имеет
функцию распределения F(x)= P{| s£ x). Доказать, что
для любого действительного α Φ О
оо
Μξα = | α I j χ"-1 (1 — F (χ)) dx.
о
3.138. Случайная величина \ имеет функцию
распределения F(x) = Ρ{ξ s£ χ}. Показать, что если
F.l{y) = suVix: F(x)<y),
то для любой интегрируемой функции h(x)
ι
m(l) = ^h(F_1(y))dy.
о
При решении задач 3.139—3.143 можно использовать
следующее простое замечание.
Если случайные величины ξι, ..., |„ независимы и
одинаково распределены, а число к < п, то наборы
£v Ц, · · ·, iift), l*Zii<i2<...<i„<n, одинаково
распределены и для любой измеримой функции ]{χι, ...
..., xh) случайные величины щг ift = / (Ц, ..., Uh),
где 1 ^ i], ..., jR< η, ir Φ i, (гФв), тоже одинаково
распределены.
3.139. Пусть вероятностное распределение Ρ на
плоскости В2 таково, что если точки Χι, Хг, Хз е R2
независимы и имеют распределение Р, то
Р{Х\, Хг, Хз лежат на одной прямой} =0.
Найти математическое ожидание угла Х1Х2Х3.
3.140*. Случайные точки Αι, Αι, Аз, Ai независимы
и имеют равномерное распределение в выпуклой плоской
фигуре С с /?2t площадь которой равна 1. Доказать, что
вероятность того, что выпуклая оболочка точек Αι, Α%,
A3, Ai есть треугольник, в 4 раза больше
математического ожидания площади треугольника ΑιΑιΑζ·
3.141*. Пусть вероятностное распределение Ρ на
плоскости R2 таково, что если точки Χι, Хг, Хзе R2
независимы и имеют распределение Р, то
ΡίΧι, Хг, Хз лежат на одной прямой} = 0.
Показать, что если точки Χι, Хг, Хз е R2 независимы я
имеют распределение Р, то
Рз = Р{один из углов ΔΧ1Χ2Χ3 не меньше 120°} > 1/20.
86

3.142*. Пусть вероятпостное распределение Ρ на
плоскости такое же, как в задаче 3.141. Показать, что если
точки Х\, Х2, Хз, X* e R2 независимы и имеют
распределение Р, то
Pi = Ρ {Χι, Х2, Хз, Xi образуют
выпуклый четырехугольник) > 1/5.
3.143. Независимые случайные величины ξι, |г, ..., 1»
положительны и имеют одинаковое невырожденное рас-
пределение. Обозначим η& = ?—— , ? . Найти: а) ма-
тематическое ожидание η„; б) коэффициент корреляции
г];, и η,; в) коэффициент корреляции ηι + ... + η* и
ηι + . .. + η(.
3.144. Из урны, содержащей Μ белых и N — Μ
черных шаров, по схеме случайного выбора без
возвращения вынимаются все шары. Обозначим χι число шаров,
извлеченных до появления 1-го белого шара (включая
этот шар), Т( — число шаров, извлеченных после (г— 1)-го
белого до появления г'-го белого включительно, τΜ+\ —
число шаров, извлеченных после М-го белого шара.
Найти Мх,.
3.145. Обозначим через S(Ai, ..., Ак) площадь
выпуклой оболочки точек А\, ..., Лй е Д2. Установить
тождество
2S(Ai, A2, Аз, 44) =
= S(AU A2, A*)+S(Ai, А2, A4)+S(AU A3, А,) +
+ S(A2l Аз, Аа)
и вывести из него, что для независимых одинаково
распределенных случайных величин ξι, \2, |з, §4 <= R2
Μ5(ξ,, la, |з, ξ4)=2Μ5(ξ,, ξ2, |з)·
3.146. Случайные величины ξ, η (возможно,
зависимые) обладают конечными дисперсиями: Οξ = аи Оц =
= а\. Указать пределы, в которых может изменяться
0(ξ + η).
3.147. Пусть ξ=(ξι, . .., |i,)s R" — векторная
случайная величина. Доказать, что если Μίξ,Ι < °°, i = 1, ..., к,
то
|М|| «ΞΜ|ξ|,
где | χ | = у х\ + ... + х\ при χ = (хг, ..., xk) e Rk.
87

3.148. Пусть ζ = ξ + ir\ — случайная величина,
принимающая комплексные значения. Доказать, что если
М||| <°°, Μ|η| < оо, то |ΜξΙ s£M|£|.
3.149. Показать, что если ξ и η — независимые
случайные векторы в Rd, а (х, у) = х\у\ + ... +
xdyd—скалярное произведение векторов х = (х\, ..., xd) и у =
= (Уи ···, У*), то
Μ(ξ, η) = (Μξ, Μη).
3.150. Пусть ξι, |г, .. ., ξη — случайные величины с
нулевыми математическими ожиданиями и единичными
дисперсиями. Доказать, что если все эти величины
одинаково коррелированы, т. е. ρ(ξ<, \}) = С при любых i,
j'e{l, ..., η), i¥·], то С> —^Τι·
3.151. Доказать, что если Μ|ξ|*< °°, то
lim;rfeP{|||>;r} = 0.
Х-»оо
3.152. Показать, что если ξ — действительная
случайная величина с конечным математическим ожиданием и
/(#)— функция, выпуклая вниз, то
Μ/(ξ)^/(Μξ),
а если f(x) выпукла вверх, то
Μ/(ξ)^/(Μξ).
3.153. Показать, что для любых случайных величин
1ь |г, ..., ξΛ с конечными r-ми (г 5*1) моментами
справедливо соотношение
м1|1 + ...+Ыг<й'-,(м1Ы' + ... + м1Ыг).
3.154. Доказать, что при 1 *S r ^ 2 справедливо
неравенство
\х + у\'+\х-у\т<2(\х\т+\у\г), -°°<х, у<оо,
и с его помощью показать, что если случайные
величины ξ и η независимы и распределение η симметрично
(т. е. распределения η и —η совпадают)', то при любом
г, 1 si r sS 2,
Μίξ + ηΙ'^ΜίξΙ' + ΜίηΙ'.
3.155. Показать, что если случайные величины ξι, ...
..., ξ„ независимы, имеют симметричные распределения
и ΜΙξΠ" < оо5 i = l, ..., п, для некоторого ге[1, 2], то
Μ|ξ, + ... + ξπΙΓ^Μ|ξ,|Γ + ... + Μ|ξ„ΙΓ.
88

3.156*. Показать, что если случайные величины ξ и
η независимы, Μη = 0, и М|||г<«>, Μ|η|Γ<οο для
некоторого действительпого г> 1, то
Μΐξ + ηΙ'3*Μ|ξ|Γ.
3.157. Используя задачи 3.153—3.156, доказать, что
если ξι, ..., ξ„ — независимые случайные величины,
Μξί = О, М||(|'<0°, г = 1, ..., п, для некоторого г, 1 ^
«£ г ££ 2, то
M!|1+...+|„lr<2r(M||1|' + ... + Mll„|r).
3.158. Случайный вектор ξ—(ξι, ..., ξ„) принимает
значения в Rh, и существует такой набор чисел
(а0, аь ..., а„)=£(0, 0, ..., 0),
что Ρίαιξι +... + ctftgft + а0 = 0} = 1. Доказать, что если все
элементы матрицы ковариаций В = 1Ισ«ΙΙ компонент
вектора ξ конечны, то:
а) det5 = 0;
б) (аи ..., ah) В = (В (а1( ..., aft)T)T = 0, где τ — знак
транспонирования.
3.159. Случайный вектор ξ=(ξι, ..., ξ&) принимает
значения вй'и имеет математическое ожидание теД*
и матрицу ковариаций В =» НЬЧН. Доказать, что:
а) матрица В неотрицательно определена, т. е.
k
2 Ьца^а,} = (а, Ва)^0 для любого аей ;
б)* если ранг матрицы В равен г, то существует
r-мерная гиперплоскость Lr <= Rh, для которой Ρ{ξ е
s L,} = 1, и Ρ{ξελ,-ι}< 1 для любой (г—1)-мерной
гиперплоскости Lr-\ <= В*.
3.160. Случайные величины ξι, |г, ..., ξ„ независимы
и равномерно распределены в отрезке [0, 1]. Найти
Ρίξι + |2 + · · · + ξπ =S х) при 0 < χ < 1.
3.161. Случайные величины ξ], |г, ... независимы и
равномерно распределены в отрезке [0, 1]. Определим
случайную величину ν равной тому значению к, при
котором впервые сумма ξι + \ι + ... + ξ& превзойдет 1.
Найти Μν.
3.162. Случайные величины ξι, ..., ξ„ независимы;
Οξί = σ|, ϊ = 1, ...,«. При каких с\, ..., с„,
удовлетворяющих условиям сй ^ 0, Ci + . .. + с„ = 1, случайная ве-
89

личина η„ = cigi -ι- ... + c„£„ имеет минимальную
дисперсию? Найти минимальную дисперсию.
3.163. По известному «правилу трех сигм»
вероятность отклонения случайной величины от своего
математического ожидания более чем на три корня из
дисперсии мала. Найти Ρ{|ξ — ΜξI < 3VD|}, если ξ имеет:
а) нормальное распределение;
б) показательное распределение;
в) равномерное распределение на отрезке [—1, 1];
г) Ρ{ξ = -1} = Ρ{ξ = 1} = 1/18, Ρ(ξ = 05 = 8/9;
д) распределение Пуассона с Μξ = 0,09.
3.164. Вычислить математическое ожидание и
дисперсию определителя Δ == ΙξίΗΐβοβη, элементы которого
\а — независимые случайные величины с М|ц = 0 и
Dt„ = σ2.
3.165. Пусть матрица Ξ = Wlihlli^u где ξ, ξ„ —
независимые случайные величины, имеющие
симметричные распределения (т. е. распределение |( совпадает с
распределением —ξ(, i = 1, ..., η). Показать, что если
Μίξί!* < оо7 ί = 1, .. ., д, для целого к > 1, то ΜΞ* —
диагональная матрица.
3.166. Неотрицательная случайная величина ξ имеет
монотонно убывающую выпуклую вниз плотность
распределения }(х), f"(x)>0. Что можно сказать о знаках
величин Μ sin ξ, Μ cos ξ?
3.167. Обозначим η„ = max {μ„, η — μ„}, где μ„ —
число успехов в схеме Бернулли с η испытаниями и с
вероятностью успеха р. Найти lim λΐ-1Μηη.
П-юо
3.168. По последовательности |ь |г, ... испытаний
Бернулли (Ρ{ξ, = 1}=ρ>0, Р{|, = 0} — д — 1 - р> 0,
ξι, |г, ... независимы) построим последовательность пар
(1ь Ъ)> (1з, li), ·.. π вычеркнем из этой новой
последовательности все пары вида (0, 0) и (1, 1). Для к =
= 1, 2, ... положим цк равным первому члену к-я не-
вычеркнутой пары.
а) Показать, что ηι, х\2, ...— последовательность
независимых случайных величин, Ρ{η„ = 0} = Ρ{η„ = 1) =
= 1/2, к = 1, 2, ...
б) Найти математическое ожидание числа ν членов
исходной последовательности, использованных для того,
чтобы определить значение ηι.
3.169. По той же последовательности ξι, |г, ..., что
в задаче 3.168, построим последовательность троек
(ξι, Ь, Ь), (14, Is, ξβ), ... и вычеркнем из нее все трой-
90

ки вида (О, О, 0) и (1, 1, 1). Для k = l, 2, ... положим
τμ равным 1, 2 или 3 в соответствии с номером того
члена fc-й невычеркнутой тройки, который отличается от
двух остальных.
а) Показать, что ηι, η2, ...— последовательность
независимых случайных величин, Ρ{η„ = i} = 1/3, ί = 1, 2,
3, для к = 1, 2, ...
б) Найти математическое ожидание числа членов
исходной последовательности, использованных для того,
чтобы определить значение ηι.
3.170е. В партии η изделий, каждое из которых
независимо от остальных с вероятностью ρ удовлетворяет
стандарту, а с вероятностью q = 1 — ρ — не
удовлетворяет ему. Изделия проходят проверку, описанную в
задаче 2.24. За каждое изделие, удовлетворяющее
стандарту и прошедшее проверку, предприятие получает а руб.;
за изделие, прошедшее проверку, но не удовлетворяющее
стандарту, уплачивается штраф Ъ руб; за изделие, не
прошедшее проверку (забракованное), уплачивается штраф
с руб. Найти математическое ожидание прибыли
предприятия, полученной за партию из η изделий.
3.171. Координата ξ случайной точки А на
действительной прямой имеет непрерывную функцию
распределения. Найти на этой прямой такую точку В, для
которой математическое ожидание длины отрезка АВ
минимально.
3.172. Случайные величины ξ, η имеют непрерывную
двумерную плотность распределения. Как выбрать точку
В=(х, y)^R2, чтобы величина φ (χ, у) = Μ{|ξ — х\ +
1+ Ιη — у\) была минимальной?
3.173. Случайная величина ξ имеет конечный второй
момент Μξ2. Найти minM(| — а:)2 и то значение х, при
X
котором этот минимум достигается.
3.174. Математическое ожидание квадрата расстояния
случайной точки Χ ε R2 от начала координат конечно.
Для какой точки А минимально М|ЛХ|2?
3.175*. Уровень весеннего паводка на реке является
случайной величиной ξ с непрерывной функцией
распределения F(x)= Ρ{ξ < χ). Плотина рассчитана так, чтобы
выдерживать паводок уровня не выше ζ. Предполагая,
что уровни паводков в разные годы независимы и
одинаково распределены, найти:
а) минимальное значение ζ, при котором
математическое ожидание времени до разрушения плотины
паводком будет не меньше Τ = 100 лет;
91

б) минимальное значение ζ, при котором вероятность
разрушения плотины паводком за Τ = 100 лет будет не
больше а = 1/100.
3.176*. Наблюдения за уровнями весенних паводков
в течение Τ лет дали значения %и ..., |г. На реке
построена плотина, которая может выдержать паводок,
если только его уровень не превосходит £T = max{li, ...
..., ξτ). Пусть Хг = min it: |г+( > ζΓ} — время до
разрушения плотины паводком. Предполагая, что случайные
величины |), |г, ... независимы и имеют одну и ту же
непрерывную функцию распределения, найти формулы
для Мхг, Ρ{χτ s£ и] и численные значения этих величин
при Τ = 100, и = 10.
3.177. Случайные величины ξι, |г, 1з независимы и
имеют одно и то же распределение с конечным
математическим ожиданием, ξ(ι, *S ξ(2} < ξ(3) — их
вариационный ряд (см. задачу 3.60).
а) Доказать, что
мй<з>-ы = тм1Б1-и
б) Доказать, что
Μ {min (ξ(2) — l(lh ξ(3) — ξ(2))} < -j Μ Ι ξα — ξ21.
3.178. Будем говорить, что случайная величина ξ
сосредоточена на отрезке [а, Ь], если ?{а < ξ ^ Й = 1 и при
любом ε > 0
Ρ{α^|<α + ε}>0 и ?{Ъ - ε < ξ < Ы >0.
Доказать, что дисперсия случайной величины,
сосредоточенной на отрезке длины I, не превосходит Ζ2/4.
3.179. Доказать, что если случайные величины ηι, η2
независимы и ц{ сосредоточена на отрезке длины k, i =
= 1, 2, то сумма ηι + η2 сосредоточена на отрезке длины
l = h + к-
3.180ο Говорят, что случайная величина ξ имеет
безгранично делимое распределение, если при любом
натуральном η ее можно представить в виде суммы ξι +...
... + ξ„ независимых одинаково распределенных случай-
пых величин. Доказать, что невырожденное безгранично
делимое распределение не может быть сосредоточено на
конечном отрезке.
3.18L Пусть события А\, Аг, ■ · ·, Ап таковы, что
РЫ(} = р, i = 1, ..., η, и событие Вт = {происходит не
92

менее т из событий А\, ..., Ап). Показать, что
3.182. Случайная величина ξι имеет функцию
распределения F[ (х) = Ρίξι < χ), а случайная величина 1г —
функцию распределения F2{x). Доказать, что если
Fx(x)< F2(x) при всех же(-«>, °°), то Μξι > М|2.
3.183. Случайные величины ξ и η заданы на одном
вероятностном пространстве. Описать множество
возможных значений Ρ{ξ «S η} в следующих случаях:
а) Μξ = Ι, Μη = 10;
б) ξ и η одинаково распределены;
в) ξ распределена равномерно на [0, 1], а η —
равномерно на [0, а], а¥= 1.
3.184. Случайные величины ξ и η имеют равномерное
распределение на отрезке [0, 1]. Доказать, что при любом
характере зависимости между | и η
Μ|ξ-η| si 1/2.
3.185. Случайные величины ξ и η независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1], а
случайная величина ζ удовлетворяет условию
Ρ{ζ = I) = Ρ{ζ = η} = 1/2.
Указать совместные распределения ξ, η, ζ, при которых
достигаются экстремальные значения Μζ, и найти
максимальное и минимальное возможные значения Μζ.
3.186. Случайная величина ξ имеет непрерывную
функцию распределения F(x), случайная величина χ
принимает только значения 0 и 1: Ρ{χ=1)=α, Ρίχ^
= 0} = 1 — а. Указать совместные распределения ξ и χ,
при которых достигаются экстремальные значения Μξχ,
и найти эти экстремальные значения.
3.187. Случайные величины ξ и η независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1], а
случайная величина ζ удовлетворяет условию
Ρ{ζ = ξ}=ρ^1/2, Ρ{ζ = η} = 1-ρ.
Указать совместные распределения ξ, η, ξ, при которых
достигаются экстремальные значения Μζ, и найти эти
экстремальные значения.
3.188. а) Векторы 1=(1ι, %з) и η=(ηι, η2)
независимы и cov(|i, 12)=^ 0, cov(r|i, ϊ]2)^0. Могут ли компо-
93

ненты ξι + ηι и 1г + Ц2 вектора % + ц быть
некоррелированными?
б) Векторы 1=(1ь 12) и η=(ηι, η2) независимы и
имеют зависимые компоненты:
Pill < an, 12 «£ χύ Φ Ρίΐι ^ χύ?Κ\ι < ж2},
Ρίηι «S Х\, ч\2 < χώ Φ Ρίηι «S Х\)?{ц2 < χύ·
Могут ли быть независимыми компоненты \\ + η ι и \ι +
+ η2 вектора 1 + η?
§ 3. Условные распределения
3.189°. Случайные величины 1 и η независимы;
?{\ = к) = Р{у] = к) =pqh~\
q = i -ρ, 0<ρ<1, k = i, 2, ...
Найти:
а) Ρ(1 = η}; б) Ρ(1>η}; в) Ρ(1<η};
Г) Ρ{ξ = Λ|ξ>η>; д) Ρ{ξ = Λ|ξ<η>;
е) Ρ(1 = Α;|1 = η}; ж) Ρ{ξ = Щ + η = I);
з) Μ(1Ι1 + η = », Ι >2.
3.190°. Найти распределение целочислепной
неотрицательной случайной величины ξ, если:
а) Р{0<1<°°} = 1, P{% = k + i\l>k}=p, к =
= 0,1,·.·;
б) Р(1 > 0) = 1, Р(1 = к + 1Ц е {ft, ft + 1}} = с < 1/2,
ft = 0, 1,...;
Β)/{ξ>0} = 1, Ρ{ξ = Λ+1|ξε{Λ,Λ+1}}=Γρ7ηΓΪ
r>0, fc = 0, 1, ...
3.191°. Случайные величины ξ, η независимы и
одинаково распределены. Найти условную плотность
pill+ri=z(x) распределения 1 при условии 1 + η = ζ в
следующих случаях: а) 1 и η имеют показательное
распределение с плотностью р(х) = λβ-1,1, χ S* 0; б) 1 и η
равномерно распределены в [0, 1]; в) 1 и η имеют
распределение с плотностью λ2χβ~λχ, χ > 0.
3.192°. Найти условную дисперсию 0(1Ι1 + η=ζ) в
случаях а), б), в), определенных в предыдущей задаче.
3.193°. Случайные величины 1, η независимы и
одинаково распределены. Найти Μ(1Ι1 + η=ζ). Разобрать
отдельно случаи, когда 1 имеет дискретное
распределение или положительную плотность.
3.194°. Плотность совместного распределения величин
1, η определяется равенствами: ρι,Ί(«, ν)= 1 при (и, у)<==
94

e= G, pi,n(u, v)=0 при (и, ν)Φ- G, где G = j(u, у): О<[α^
^2, 0<ι><1—2"w|· Найти плотность ρ^=ζ(χ)
условного распределения η при условии ξ = ζ.
3.195. Пусть ξι, |г, ..., |„ — результаты д
последовательных испытаний Бернулли, Ρ{ξ( = 1} = ρ, Ρ{ξ( = 0} =
= q = 1 — p. Доказать, что для любого к (О^к^п)
условное распределение набора ξ = (ξι, ..., ξη) при условии
ξι+ ... + !„ =/с является равномерным на множестве
всех Сп наборов, состоящих из к единиц и η — к нулей.
3.196. Случайная величина Х\ имеет биномиальное
распределение с параметрами (η, ρ), случайная
величина Х.2 при условии Χι имеет биномиальное
распределение с параметрами (Χι, ρ), Хз — при условии Х2 имеет
биномиальное распределение с параметрами (Х2, ρ),
,.., Х„ при условии Х„_1 имеет биномиальное
распределение с параметрами (Хк-\, р)· Доказать, что безусловным
распределением Х„ является биномиальное
распределение с параметрами (п, pk).
3.197. Случайные величины ξι, ξ2, ..., ξ« независимы
и распределены по закону Пуассона с параметрами λι,
λ2, ..., λ*. Найти: а) Ρίξι + ... + ξ, = mlgi + .. . + ξ* =
-л); 6) Μ{1, + ... + ξ»|ξ, + ... + ξ* = η>.
3.198. Из урны, содержащей Μ белых и Ν — Μ
черных шаров, сначала извлекается без возвращения
выборка объема п, а затем из этой выборки извлекается без
возвращения выборка объема щ < п. Найти закон
распределения числа ξ белых шаров во второй выборке.
Зависит ли этот закон от п?
3.199. Случайные величины ξι, ξ2, ξ3 независимы и
распределены нормально с одинаковыми параметрами
| 4-1 t
а = 0, σ = 1; положим η = ^7==· Найти распределе-
Vi + Ц
ние η.
3.200. На отрезок [0, а] брошено три точки, их
координаты ξι, ξ2, ξ3 независимы и равномерно распределены
на отрезке [0, а]. Найти двумерную функцию
распределения ξ2, ξ3 при условии, что ξι = ζ s£ mill (ξ2, ξ3), 0 <
< ζ< а.
3.201*. Пусть ξ, =(ξ„, ξ,2), ..., ξ„=(ξ„ι, |„2)-неза-
висимые случайные точки, имеющие равномерное
распределение в квадрате 0 ^ хи ж2 =S 1. Назовем точку |\ =
= (Ι*,ΐι 1*.й) граничной, если для любого / = 1, . · ·, η вы-
95

полняется хотя бы одно из условий
и обозначим через κ„ число граничных точек. Найти Μκ„.
3.202. Пусть |], |г, ...— последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин с
математическим ожиданием а > 0 и дисперсией σ2 < °°,
случайная величина ν не зависит от |ь ξ2, ... и
принимает целые положительные значения, Μν = Ъ, а
τ = ξι + Ь + · ■ ■ + ξν.
Найти Μτ и (при дополнительном условии Dv = δ2) Dr.
3.203. Случайные величины ξ, η независимы.
Доказать, что при любом χ
П\ > max (η, χ)} > Ρ{ξ > η}Ρ{ξ > χ).
3.204. Случайные величины ξ, η, ζ независимы.
Доказать, что
Pil > max(η, ζ)} > Ρ{ξ > η}Ρ{ξ > ζ}.
3.205. Случайные величины ξ,, |2, ... независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1].
Пусть δι = 1, и если η > 2, то
| 1 при 1„<πιϊιι{ξ1, ...,!„_]},
п 1 0 в противном случае.
Построим последовательность τ„ моментов появления
минимальных значений ξ„ и последовательность их величин
η„, т. е. положим хо = 0, ηο = 1, xk = min {w: rc>x„_i,
δ„ = 1}, η„ = ΙτΛ, /c= 1, 2, ...
а) Доказать, что при любых к > 1 и а; е [0, 1]
условное распределение r\h при условии η„_ι = Λ; является
равномерным на [0, х].
б) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины ζ„ = —In цк.
в) Найти условное распределение, математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Δ& = х„ —
— Тй-1 при условии η&_ι = х.
г) Найти МхА при к > 1.
д) Доказать, что случайные величины δι, бг, ...
независимы и Ρ {δη = 1} = —, η = I, 2,- ...
3.206. Пусть ξι, ζ2, . ·.— независимые случайные
величины, имеющие показательное распределение с
параметром λ: Ρ{ζ< ss f} = 1 - e~u, и S0 = 0, 5ι=ζι, S2 =
96

;>x\<e-c/°\
~ ζι + £г, ··· Пусть, далее, случайные величины ξ,,
ξ2, · · ·, ξη независимы, имеют равномерное распределение
на отрезке [0, α], α >0, и |(]) ^ |(2) ^ ... «£ ξ(„> — их
вариационный ряд, т. е. перестановка ξι, ..., |„ в порядке
неубывания. Доказать, что условное совместное
распределение (Si, S2, · ■ ·, Sn) при условии Sn^a< Sn+i
совпадает с совместным распределением (1(ι,, |<2), ..., 1(п)).
3.207. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и
дисперсией σ2. Показать, что при любых χ > 0, С > 0
3.208. В схеме Бернулли с вероятностью ρ исхода 1
и вероятностью q = 1 — ρ исхода 0 найти
математическое ожидание числа νοο испытаний до первого
появления цепочки из двух нулей. В частности, вычислить
Mvoo при ρ = 1/2.
3.209. В схеме Бернулли предыдущей задачи найти
математическое ожидание числа vm испытаний до
первого появления цепочки из трех единиц. В частности,
вычислить это математическое ожидание при ρ = 1/2.
3.210. В схеме Бернулли задачи 3.208 найти
математическое ожидание числа νοι испытаний до первого
появления цепочки 01. В частности, вычислить это
математическое ожидание при ρ = 1/2.
3.211. Точки Аи А2, ..., Ап независимы и имеют
равномерное распределение на окружности единичной
длины. Найти вероятность того, что длина наименьшей
дуги, содержащей все эти точки, не больше χ < 1/2.
3.212. Точки А\, ...,. А„ независимы и имеют
равномерное распределение на окружности S с центром О.
Найти вероятность того, что О лежит внутри выпуклого
многоугольника с вершинами А\, ..., Ап.
3.213. Точки Αι, ..., Ап независимы и имеют
равномерное распределение на окружности с центром О,
а случайная величина ν равна наименьшему п, при
котором выпуклый многоугольник с вершинами Αι, ..., Ап
содержит О. Найти Μν и Dv.
3.214. Точки А\, ..., Ап независимы и имеют
равномерное распределение на окружности радиуса R. Найти
вероятность того, что выпуклый многоугольник с
вершинами Αι, ..., А„ имеет непустое пересечение с
окружностью радиуса г = R/2, концентричной исходной
окружности.
97

3.215. Точки Αι, · · ·, Ап (η>2) независимы и
имеют равномерное распределение на окружности радиуса
г. Пусть 4(ι, = Αι, Л(2), Л(3), ..., А(п) — точки Αι, ..., Ап,
расположенные в том порядке, в котором они
встречаются при обходе окружности по часовой стрелке. Найти
закон распределения длины ξ дуги Ali)A(2) и значения
Μξ, Dl.
3.216. Пусть выполнены условия задачи 3.215 и ξ( —
длина дуги Л((,Л((+1,. Найти совместное распределение и
коэффициент корреляции ξι, %2·
3.217. Пусть выполнены условия задачи 3.216. Найти
закон совместного распределения ξι, ..., ξ* при к^п.
3.218. Пусть выполнены условия задачи 3.216.
Показать, что совместное распределение \г±, £i2, ...,\ih с
К U < Ϊ2 < ... ik ^ η совпадает с распределением
1ь · · ·. I*·
3.219. Пусть выполнены условия задачи 3.216 и ν —
число дуг Α(ί)Α{ί+ι) длины больше Δ, 0 < Δ < 2лг. Найти
Mv, Dv и асимптотические формулы для них при г =
= η/2πλ, η -*- °°.
3.220. Пусть выполнены условия задачи 3.216.
Найти закон распределения случайной величины
ri„ = max{S;i |п}.
3.221. Пусть выполнены условия задачи 3.220. Найти
Μη„ и асимптотическую формулу для Μη„ при η -*- °°.
3.222. Точки А, В, С независимы и имеют
равномерное распределение на окружности единичного радиуса.
Пусть S — площадь &АВС, ρ — его периметр,
г—радиус вписанного круга. Найти MS, Мр, Мл.
3.223. Стороны прямоугольника ABCD параллельны
осям координат. Найти математическое ожидание
площади σ прямоугольника ABCD в следующих случаях:
а) координаты (αϊ, αϊ) точки А фиксированы, 0^аи
яг^1, а точка С имеет равномерное распределение на
диагонали единичного квадрата, соединяющей его
вершины (0, 0) и (1, 1);
б) точки А я С независимы; точка А равномерно
распределена в единичном квадрате [0, 1] X [0, 1], а точка С
имеет то же распределение, что в п. а).
3.224*. Батарея из η орудий производит залп по цели,
находящейся в точке ое(-«>, оо). Если t-e орудие
наведено на точку β(ε(—οο; οο); то выпущенный из него
снаряд попадает в точку β( + |< + ζ, где \t — естественное
98

рассеяние для i-го орудия, а ζ — одинаковый для всех
орудий снос из-за ветра. Цель оказывается пораженной,
если хотя бы один снаряд попадает на отрезок [а — ε,
а + ε]. Пусть ξι, ..., ξ„, ξ — независимые случайные
величины, %t имеет равномерное распределение на отрезке
[—с, с], а ζ — равномерное распределение на отрезке
[—d, d], 0 < с < d. Найти и сравнить вероятности
поражения цели (и их пределы при η -»- °°) в следующих
случаях:
а) все орудия точно наведены на цель (βι = β2=·.·
,.. = β„ = α, с + ε < d);
б) точки прицела выбираются случайно (βι, ..., β„ —
независимые случайные величины, имеющие
равномерное распределение на отрезке [а — Ъ, а + Ъ], Ъ> с + d + ε).
§ 4. Нормальное распределение
3.225°. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
1. Какое из двух событий: {|ξ|^0,7} или {||| 5*0,7) —
имеет большую вероятность?
3.226°. Случайная величина % имеет нормальное
распределение с параметрами (0, 1). Что больше:
Р{-0,5 ss ξ si -0,1} или Р{1 ^ ξ =s: 2}?
3.227°. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
σ2. Найти Μξ\ к= 1, 2, ...
3.228. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
σ2. Показать, что при любом х~>0
Τ/2π Iх х31 Х ^ ' Τ/2π *
3.229°. Случайная величина \ распределена нормально
с параметрами (а, о2). Найти:
а) плотность распределения величины ηι = ξ2 при
α = 0;
б) плотность распределения величины х\2 = е5 при
произвольных α, σ.
3.230°. Случайные величины ξι и |г независимы и
имеют нормальное распределение с параметрами (0, σ2).
Найти функцию распределения случайной величины η ==
= 1\ + II
99

3.231. Случайные величины |ь ..., |„ независимы и
имеют нормальное распределение с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 1. Распределение случайной
величины цп = Ιι + ... + £п называется /"-распределением
с η степенями свободы. Найти плотность
распределения η„.
Какое из распределений, перечисленных в конце
введения к гл. 3, при соответствующем выборе параметров
совпадает с распределением η„?
3.232°. Случайная величина η„ имеет /2-распределе-
ние с η степенями свободы (см. задачу 3.231). Найти
Μη„, Dii„.
3.233°. Найти Μξ и D|, если In ξ имеет нормальное
распределение с параметрами (α, σ2) (в этом случае
говорят, что ξ имеет логарифмически нормальное
распределение).
3.234°. Для случайной величины ξ, определенной в
задаче 3.233, найдите точку, в которой максимальна
плотность распределения ξ (эта точка называется модой
распределения). Найдите отношение математического
ожидания ξ к ее моде.
3.235°. Некоторая категория людей имеет средний вес
/га кг и среднее квадратическое отклонение веса 3 кг.
Для случаев /га = 60 и /га = 10 определить вероятность
того, что вес случайно взятого человека отличается от
т не более чем на 5 кг; если: а)' вес имеет нормальное
распределение; б) вес имеет логарифмически нормальное
распределение.
3.236°. Для случайных величин ηι, г\2, определенных
в 3.229, найти Μη^, Μη*.
3.237°. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с нулевым математическим ожиданием и
единичной дисперсией. Найти Μξ cos ξ, Μ —^—j: M sin ξ.
ι +Ι
3.238. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и
дисперсией 1. Найти Μ cos ξ, D cos ξ.
3.239. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и
дисперсией 1. Что больше: D sin ξ или D cos ξ?
3.240. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и
дисперсией 1/2. Найти Μ cos (ξ2), Μ sin (ξ2).
100

3.241е. Случайные величины ξι, ξ2 независимы и
нормально распределены с параметрами (0, 1). Являются
ли независимыми величины ηι = ξι + |г, Ц2 = ξι — 1г?
3.242°. Случайная величина ξ нормально
распределена с параметрами (0, 1). Положим
Г ξ, если |ξ|<1,
η_\-ξ, если |ξ|>1.
а) Найти закон распределения η.
б) Имеет ли величина ξ + η нормальное
распределение?
3.243°. Случайные величины ξ и η независимы и
имеют нормальное распределение с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 1. Найти
Ρ{|ξ-η| *£lh
3.244°. Случайные величины ξι, ξ2, ξ3 независимы и
нормально распределены с параметрами (1, 1), (2, 5),
(О, 7) соответственно. Найти: а) Ρ{2ξι — ξ2 < 0},
б) Ρ{-3<2ξ,-ξ2<5}, в) Ρ{Κ2ξ,-ξ2 + ξ3<4}.
3.245. Случайный вектор (ξι, ξ2) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с ϋξι = ϋξ2 = σ2.
Найти распределение вектора (ξι, ξ2), если
ξι = ξι cos φ + ξ2 sin φ, ξ2 = —ξι sin φ + ξ2 cos φ.
3.246. Случайный вектор (ξι, ξ2) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с ϋξι = Οξ2 = 1.
Доказать, что случайные величины ξιξ2 и -у (ξ? — It)
одинаково распределены.
3.247°. Случайные величины ξι и |2 независимы и
имеют нормальное распределение с параметрами (0, 1).
Найти совместное распределение случайных величин ξι =
= all + Щ2, ξ2 =fh ~ bh при а, ЪФО.
3.248°. Случайный вектор (ηι, η2) имеет нормальное
распределение с Μηι == Μη2 = 0 и матрицей ковариаций
У of
Найти распределение вектора (с\Ц\, С2Ц2) при
си с2=#=0.
3.249. Случайный вектор (ξι, ξ2) имеет нормальное
распределение с Μξι = Μξ2 == 0 и матрицей ковариаций
!°ϊ У
\у σϊ
Случайные величины ξι и ξ2 независимы и име-
101

ют нормальное распределение, Μζι=Μζ2 = 0, Οζι—
= ϋζί = 1. Доказать, что случайные величины ξι|2 и
у (ζι (о^а + γ) — ζΐ (OjOj — у)) одинаково распределены.
3.250. Случайные величины ξι и |г независимы и
имеют нормальное распределение с математическим
ожиданием 0 и дисперсией а2. Случайные величины η ι и т)з
определяются соотношением
. (Ει + %)h
ηι + гтк — /,2 + ^wft-D/a»
где г = У — 1, а к> 0 — целое число. Найти совместное
распределение величин η ι и η2.
3.251. Случайные величины ξι, |г независимы и имеют
нормальное распределение с параметрами (0, 1). Найти
математическое ожидание величины
т, = в0!+*!)/"(1 + Й + и)-"\
3.252. Случайные величины ξ, η независимы и
нормально распределены с параметрами (0, а\), (0, о\)
соответственно. Вычислить при σι = 1, ог = 2 вероятность
попадания случайной точки (ξ, r\)^R2 в следующие
области: а) прямоугольник Ы < 1, \у\ ^2; б)
прямоугольник 0 «£ χ ££ 2, |iy|<2; в) прямоугольник 0 < χ < 2,
О ^ у < 4; г) трапецию а: + у < О, Ы ^ 1, ι/ > —2; д) об-
2 2
ласть -J -f—о ^ * > ограниченную эллипсом, вписанным
а Ь
2 2
в прямоугольник Ы < 1, |iyl < 2; е) область -^ + -Ц ^1,
с 4с
ограниченную эллипсом, описанным около
прямоугольника |х| «Ξ 1, \у\ <2.
3.253. Мост через реку представляет собой
прямоугольник, координаты которого в декартовой системе
координат удовлетворяют неравенствам: \х\ ^ 10, \у\ =S 100.
При артиллерийском обстреле моста точка попадания
снаряда (1, η) в той же системе координат имеет
двумерное нормальное распределение с независимыми
координатами и со средними квадратическими отклонениями
σΕ = 10, ση = 40. «Точкой прицеливания» назовем (Μξ,
Μη). Определить вероятность попадания в мост ари
одном выстреле, если точка прицеливания равна: а) (0, 0);
б) (10, 0); в) (5,20).
3.254. Случайные величины ξ, η имеют сферически
симметричное нормальное распределение с D| = Dn = 4.
102

Найти вероятность попадания точки (ξ, η) в
прямоугольник с вершинами (0; 3), (4; 0), (1,8; 5,4),
(5,8; 2,4).
3.255. Случайные величины ξ, η имеют двумерное
нормальное сферически симметричное распределение с
Μξ = Μη = 0, D| = Dr] = 1. Найти вероятность
попадания случайной точки (ξ, η) в:
а) треугольник с вершинами (0; 0), (1; 1), (2; 0);
б) треугольник с вершинами (0, 2), (2, 0), (2, 2);
в) треугольник с вершинами (2, 0), (1, 1), (1, 2).
3.256. Случайная точка (ξ, η) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с Dl·, = ϋη = 1.
Найти совместную плотность распределения ее полярных
координат.
3.257. Случайная точка (ξ, η) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с D| == ϋη = 1.
Найти вероятность попадания (ξ, η):
а) в квадрат С = {(х, у): \х\ < 3, \у\ s£ 3);
б) во вписанный в С круг;
в) в описанный около С круг.
3.258. Случайные величины ξ, η независимы и
нормально распределены с М| = Μη = 0, D| = ϋη = 4.
Найти вероятность того, что случайная точка (ξ, η)
попадет в:
а) кольцо {(х, у): 2 < Тх2 + у2 «£ 3};
б) область {(х,у): 2s£min(W, \у\), тах(Ы, Ы)<3};
в) область {(х, у): 2 s£ Ы + \у\ ^ 3}.
3.259. Случайные точки Αι =(ξι, ηι) и Αι = (\ι, η2) на
плоскости В2 независимы и имеют сферически
симметричное нормальное распределение с единичной матрицей ко-
вариаций. Найти функцию распределения длины отрезка
АХА%
3.260*. Случайные точки А\ = (ξι, ηι), A2=(h, 4ΐ)*
Лз = (ξ3, η3) на плоскости Я2 независимы и имеют
нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожиданий и единичной матрицей ковариаций. Найти
функцию распределения длины медианы АХМ\
треугольника А1А2А3.
3.261*. Доказать, что в условиях задачи 3.260 длина
стороны А^Аъ и длина медианы А\М\ треугольника
Л1Л2Л3 — независимые случайные величины.
3.262*. В условиях задачи 3.260 найти вероятность
того, что треугольник А1А2А3 — тупоугольный.
3.263. Случайные точки А\, Α<ι, Аг независимы и имеют
равномерное распределение на окружности единичной
103

длины. Найти вероятность того, что треугольник
А\А2Аз — тупоугольный.
3.264°. Случайный вектор ξ = (ξι, &)е Л2 имеет
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожиданий, область А — угол с вершиной
в начале координат и раствором а. Доказать, что если
область А' симметрична области А относительно начала
координат, то Ρ(ξ е= А'} = Р{| е А].
3.265. Случайный вектор ξ—(ξι, |г)е-й2 имеет
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором ма-
тематических ожидании и матрицей ковариации I „ I.
\° О
Найти ΡίΙξιΙ >оЦ2|}, а>0.
3.266. Случайный вектор ξ=(ξι, |г)еЛ2 имеет
невырожденное двумерное нормальное распределение с
нулевым вектором математических ожиданий и матрицей
ковариации || aalli-x, [ σΐ2!2 < опога. Найти
роо - Ρ(1ι > 0, %2 > 0}, poi - P(|i >0,Ь< 0},
Рю = Ρίΐι < 0, Ь > 0}, рп = Ρ{ξ, < 0, Ь < 0}.
3.267о Случайный вектор ξ = (ξι, |2)<=-Я2 имеет
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожидании и матрицей ковариации
α | <; σ2. Найти
РШ < 1ι <xb), х>0.
С'Л
3.268°о Случайный вектор ξ—(ξι, |г)е.Я2 имеет
невырожденное нормальное распределение с нулевым
вектором математических ожиданий и матрицей ковариации
/σιι σι2\
\°12 <W
Найти:
a)P{|i>al2>, — °°<α<°°;
б) Ρ{|ι>α|2 + Μ, -°°<α, Ь<°°.
3.269. Случайный вектор (ξι, |г) имеет нормальное
распределение с нулевым вектором средних и коварна-
Г? р\
ционной матрицей I . Показать, что функция т(х) —
\ Ρ О
= hK{\\\\<i = x) линейна, a s(a;) = D(|il§2 == ж} постоянна.
3.270. Случайные величины ξι, |г, ξ3 независимы и
имеют стандартное нормальное распределение, а ξ(ι, <
«£ ξ(2> < ξ<3) — их вариационный ряд (см. задачу 3.60).
104

а) Найти распределение вектора (12 —ξι, 1з — li).
б) Найти плотность ρ(χι, Χ2) распределения вектора
(1(2) — 1(1). 1(3) — 1(1))·
в) Найти распределение случайной величины ξ =
= (1(2) -1(1))/(1(3) -1(1))·
3.271. Случайные величины ξι, 1г, 1з и 1(]) < 1(2, < 1(з,
те же, что в задаче 3.270.
а) Найти распределение вектора (1г — li, 1з —12).
б) Найти плотность р(х\, xz) распределения, вектора
(1(2) - 1(1). 1(3) - 1(2))·
в) Найти распределение случайной величины ζ =
= (1(2) - 1(1))/(1(3) - 1(2,).
3.272. Случайные величины \\, 1г, ζ независимы и
имеют стандартное нормальное распределение. Положим
( ζ, если lila = 0,
ia~\ Klsgn^y, если Ы2Ф0(
где sgn(z) = х/\х\ при χ Φ 0.
а) Найти вектор математических ожиданий и матрицу
ковариаций вектора (ξι, 1г, 1з).
б) Найти распределение 1з и совместные
распределения векторов (li, 1з) и (12, ξ3).
в) Найти плотность р{х\, Х2, #з) распределения вектора
(1ь 1г, 1з)· Является ли оно нормальным?
3.273. Используя предыдущую задачу, построить
пример случайного вектора (ξι, 1г, . ··, In), распределение
которого не является нормальным, но любые η — 1 его
координат взаимно независимы и имеют нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и
дисперсией 1.
3.274°. Случайный вектор 1=(ξι, ..., In) имеет
сферически симметричное нормальное распределение с
нулевым вектором математических ожиданий и единичной
ковариационной матрицей. Найти распределение вектора
η = %А, где А — действительная матрица с к строками
и т столбцами.
3.275. Случайная величина 1=(1ι, ..., 1„), имеющая
нормальное распределение в /?" с нулевым
математическим ожиданием и невырожденной матрицей ковариаций
А = ΙΙα«ΙΙ, не зависит от случайной действительной
величины η, имеющей функцию распределения F(x), Μη2 =
= 1. Найти математическое ожидание и матрицу
ковариаций случайной величины ηξ =(ηξι, ..., ηξη).
3.276. Случайпые величины ξι, 1г, .. ., ξ„, η
независимы и имеют стандартное нормальное распределение.
105

Найти распределение вектора
ζ = (ξχ ]Λ - αί + mi, l2V\-a\+ ηα2, ...
..., 1η ΚΙ — αϊ + ηα„),
где αϊ, аг, ..., α» — числа из отрезка [0, 1].
3.277. Случайные величины ξι, |г, ..., |п независимы;
|i имеет нормальное распределение с параметрами (0, о\),
i = 1, 2, ..., гс. Найти распределение вектора
η=(Ι., gi + g», 1. + |2 + ξ3, ..., ξι + ξ2 + ... + !.).
3.278. Случайные величипы ξι, ξ2, ... независимы и
имеют нормальное распределение с параметрами (0, 1).
Найти минимальное значение к, при котором
Ρ {max {| У, |ξ2|, .. ., |ξΛ |}> 2} > -1-
3.279. Случайный вектор ξ=(ξι, ..., ξ&) имеет fc-мер-
ное нормальное распределение с математическим
ожиданием а е Rk и ковариационной матрицей Л. Что больше:
ΙπίΜξ,.,.ξ,Ι, ΜΙηΙξ,.,.ξ,Ι или 1πΜ|ξ,...ξ,|?
3.280. Случайный вектор ξ=(ξι, ξ2)Ξ/?2 имеет
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожиданий и ковариационной матрицей
I.Найти условное распределение ξι при усло-
СТ21 СТ22/
ВИИ ξ2 = Х-
3.281. Распределение случайного вектора ξ=(ξι, ξ2)<=
ей2 таково, что при любом x<s(—°°, «>) условное
распределение ξι при условии ξ2 = χ и условное
распределение ξ2 при условии ξι = χ нормальны. Является ли
нормальным распределение вектора ξ?
Глава 4
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. ПРОИЗВОДЯЩИЕ
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В курсе математического анализа рассматриваются
различные виды сходимости последовательностей
функций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду,
сходимость в среднем квадратичном и т. п. По аналогии
с этим и в теории вероятностей рассматриваются раз-
106

личные виды сходимости последовательностей случайных
величин (как функций, заданных на пространстве
элементарных событий), а также последовательностей
функций распределения.
Приведем определения тех видов сходимости
последовательностей случайных величин, которые используются
в задачах этой главы. Пусть на вероятностном
пространстве (Ω, S&, Р) заданы случайные величины ξ„ = ξ„(ω)
(ω ей, га = 1, 2, ...) и случайная величина ξ = ξ(ω),
ω eQ.
Последовательность ξι, |г, ... сходится к случайной
величине | с вероятностью 1 {почти наверное), если
Ρ /ω <= Ω: lim ξ„ (ω) = ξ (ω)) = 1.
Последовательность ξι, |г, ... сходится к случайной
величине ξ до вероятности, если для любого ε > О
1ίπιΡ{|ξη-ξ|>ε} = 0.
П-»оо
Последовательность ξι, |г, ... сходится к случайной
величине ξ β среднем квадратичном, если
lim Μ Ι ξη - ξ ρ = 0.
71-»οο
Последовательность функций распределения Fn(x) =
= Ρ{ξ„ ^ ж}, га = 1, 2, ..., слабо сходится к функции
распределения F(x) = Ρ{ξ =s; ж}, если для любой точки х, где
^(ζ) непрерывна, выполняется соотношение
lim F'n (χ) = F (χ)
П-юо
(в этом случае говорят также, что последовательность
случайных величин ξι, ξ2, ... сходится к ζ по
распределению; при этом ξ, ξι, ξί, ... могут быть заданы на
различных вероятностных пространствах).
Все эти определения естественным образом
распространяются и на случайные величины ξι, \г, ... и ξ,
принимающие векторные значения.
Понятие сходимости по вероятности чаще всего
используется, когда предельная случайная величина ξ
имеет вырожденное распределение (Ρ{ξ = α} = 1 для
некоторого числа а) и
5 ь1 Т" »2 "г · " "г 'п
107

где ζι, ζ2, ···—случайные величины (не обязательно не
зависимые или одинаково распределенные): если
limP
— а
>ε] = 0
для любого ε>0, (4.1)
то говорят, что последовательность ζι, £г, ...
удовлетворяет закону больших чисел. Из неравенства Чебышева
Ρ{|ξ-Μξ|>ε}<^
нетрудно вывести, что если случайные величины ζ ι,
£г, ... не коррелированы, Μζ„ = α, Οζ„ = σ2 < °° (п =
= 1, 2, ...), то (4.1) выполняется; однако закону
больших чисел удовлетворяют и другие последовательности
случайных величин (см. задачи § 1).
Если вместо (4.1) выполнено соотношение
Ρω: hm — = α[=1, (4.2)
т. о. последовательность сходится к числу
ас вероятностью 1, то говорят, что
последовательность ζι, ζ2, ... удовлетворяет усиленному закону
больших чисел. Соотношение (4.2) выполняется, например,
если случайные величины ζι, £г, ■·. не
коррелированы, Μζη = α, Οζ„ = σ2<°° (η = ί, 2, ...), см. задачи
4.22-4.24.
Пример сходимости по распределению дает
Центральная предельная теорема. Если
ζι, ξί, ···—независимые одинаково распределенные
случайные величины, Μζ„ = α, Όζη = σ2 < °° (лг = 1, 2, ...),
то для любого х, — °° < χ < °°,
χ
η-»οο Ι σ У η ^ J "ΐ/2π _J v
Сходимость распределений центрированных и
нормированных сумм случайных величин к стандартному
нормальному распределению имеет место и при других
предположениях о случайных слагаемых (см. задачу
4.134 и другие задачи из § 5).
Другим важным примером сходимости по
распределению являются теоремы о сходимости к распределению
Пуассона (см. задачи 4.105 и 4.113).
108

Практическое значение предельных теорем состоит в
том, что они позволяют аппроксимировать распределения
допредельных случайных величин |„ (при достаточно
больших п) распределением предельной случайной
величины ξ; это особенно полезно в тех случаях, когда
аналитическая запись функции распределения ξ проще
выражения для функции распределения |„. Следует иметь
в виду, однако, что вопрос о том, достаточно ли велико η
для того, чтобы обеспечить нужную точность
приближения, в каждом случае требует особого исследования; см.,
например, задачи 2.61, 2.62, а также 4.107, 4.123, 4.124.
Доказательства предельных теорем могут
использовать как прямые вероятностные методы (изучение
распределений допредельных случайных величин или их
моментов, см. задачи из § 2), так и аналитические
методы, основанные на использовании свойств производящих
или характеристических функций распределений
допредельных случайных величин (см. задачи из § 5).
Если случайная величина ξ принимает только целые
неотрицательные значения, то производящей функцией
распределения ξ называется функция комплексного
переменного ζ
00
φξ(ζ) = ΜΖξ= Σ **Р{£ = *}, |ζ|<ΐ;
ft=0
производящую функцию можно рассматривать и в
случае, когда ξ принимает и отрицательные значения, если
область сходимости ряда в правой части последнего
равенства отлична от окружности Ы = 1.
Если случайная величина ξ принимает
действительные значения, то характеристической функцией
распределения ξ называется функция действительного
переменного t
/{(*) = Мб"*, -οο<ί<οο;
в частности, если распределение ξ абсолютно
непрерывно и имеет плотность рг (х), то
00
/ί (<) = J eitxPl (*) dx.
— 00
Перечислим важнейшие свойства производящих и
характеристических функций.
1. Если Ρ(ΙξΙ<°°} = 1, то функции /s(i) = Me"8 и
φΕ(ζ) = Μζξ непрерывны и Д(0) = <р5(1)= 1.
109

2. Если Ml|l*<°° для некоторого целого к>1, то
5?Л(0
M?[ft]
(по поводу обращения этих утверждений см. задачи
4.67, 4.95, 4.9G).
3. Если случайные величины ξι, ξ2, ·.., In
независимы, то
/б1+... + 6„(')-/е1(*).../Бп(*),
ФЦ+...+in Μ = Φ6ί (ζ) · · · Фи (ζ)
(обратное утверждение неверно, см. задачу 4.157).
4. Если производящие (или характеристические)
функции распределений случайных величин ξι и ξ2
совпадают, то совпадают и функции распределения ξι и ξ2.
5. (Теорема непрерывности.)
Последовательность Fn(x) = P{'E,niS: χ) (η = 1, 2, ...) функций
распределения слабо сходится к функции распределения F(x) —
= Ρ{ξ ^ ζ} тогда и только тогда, когда существует
непрерывная функция
/(t) = lim/„(*),
п-»оо
где /n(i) = Me"sn. В этом случае /(i) = Me"s, и сходимость
/η(ί)->-/(ί) равномерна на каждом конечном интервале
значений t.
6. (Формулы обращения.) Если функция
/(£)=Мещ абсолютно интегрируема, то распределение
случайной величины ξ имеет ограниченную непрерывную
плотность ρ(χ) и
со
— 00
Если χ и χ + h — точки непрерывности функции
распределения F(x) = P{l*£,x}, то
оо
F(x + h) — F(x) 1 ,. С,... 2,2/1—е-*"1 ...
— 00
Производящие и характеристические функции
векторных случайных величин ξ=(ξι, ..., ξ„)<==/?* онределяют-
110

rl, · . ·, rft>°, T°
at J-... at*
r, Ψξ(Ζ1,
., **)
..., ζ
Ί"
и)
ся формулами
/l (ί!, ..., h) = Μ exp {i (t^ + ... + Ш},
<Pl(zu ..., zft) =Mz11 ... zft\
Их свойства аналогичны свойствам производящих и
характеристических функций одномерных случайных
величин. Например, если Μ | \х ] 1 ... | |ft | < оо для целых
= i'i+-+r"Mgr1i...g;ftl
= Μξ™ ... ξ™.
Таблицы А и Б содержат формулы для
производящих и характеристических функций наиболее часто
встречающихся распределений.
Отметим, что приведенная в табл. Б формула для
плотности многомерного нормального распределения в
Rh имеет смысл лишь в случае, когда матрица ковариа-
ций В не вырождена (т. е. определитель В отличен от
0), поскольку распределения с вырожденными
матрицами ковариаций не являются абсолютно непрерывными.
Однако формула для характеристической функции
многомерного нормального распределения справедлива при
любой матрице ковариаций В.
Многомерные нормальные распределения с
вырожденной матрицей ковариаций естественным образом
появляются как предельные распределения в многомерном
варианте центральной предельной теоремы: если ζι,
ζί, · · ·— независимые одинаково распределенные
случайные векторы со значениями в fr-мерном евклидовом
пространстве й\ с математическим ожиданием аей" и
матрицей ковариаций В (не обязательно невырожденной),
то последовательность распределений случайных величин
ζ1 + ... + ζη — па
~\/п
при η -»■ оо слабо сходится к многомерному нормальному
распределению в Rh с нулевым вектором математических
ожиданий и матрицей ковариаций В.
Ш

Таблица А. Производящие функции
Название
распределения
Формула для P(|=ft>
Производящая
функция
Равномерное
Геометрическое
Биномиальное
Пуассоновское
γ, Α = 1, 2, ..., N
(1-р)р\ А = 0, 1, ...
С*/Л (1-/>)"-*, А =0,1 η
-тге-\ * = 0, 1, ...
1-»'
1
1 — ρζ
е
λ(ζ-ι)
Таблица Б, Характеристические функции
Название
распределения
Формула для плотности
Характеристическая
функция
Равномерное
Равномерное
Показательное
Гамма-распределение
Нормальное
распределение
Распределение Коши
Многомерное
нормальное
распределение в Rh
—, 0 < χ < а
2а '
■ а^х^а
αβ~αχ, χ > О
Г (α)
1
-, ж>0
(sc-αΓ
2σ"
σ~ΐ/2π
— со < χ < со
1 6
— со < ж < оо
„—(ж—а, В~!(ж—а))/г
(2π)'!/2 Vdet Я '
„iai
гаг
sin αί
1
1 — it/a
1
(1 — ίί)α
. σ2ί2
tia —■
e 2
Й-Ы4|
i(i,a)—— (ί,Βί)
a 2
112

§ 1. Закон больших чисел.
Лемма Бореля — Кантелли
4.1°. Пусть функция g{x), x>0, неотрицательна и
монотонно возрастает. Показать, что для любой
действительной случайной величины ξ справедливо неравенство
4.2°. Пусть случайная величина ц„ равна сумме
очков, появившихся при η бросаниях симметричной
игральной кости. Используя неравенство Чебышева, оценить
сверху
^-3,5
>ε, ε>0.
4.3°. Пусть ξι, |г, ..., ξ„+ι — результаты η 4- 1
испытаний схемы Бернулли (Ρ{ξ, = 1} = ρ, Ρ{ξ< = 0} = 1 — ρ)
и случайная величина η„ равна числу таких г, 1 < i < η,
что |f = |4+i = l. Используя неравенство Чебышева,
оценить сверху
η" ■ ρ21 > ε), ε>0.
4.4. Последовательности ξι, |г, ... и ηι, ψ, ...
образованы одинаково распределенными случайными
величинами, независимыми внутри каждой
последовательности (случайные величины |( и r\t могут не быть
независимыми) , Μξ, = Μι]; = α, D|( = Dtij < o°. Выполняется ли
закон больших чисел для последовательности ζι, ζί,
Uk-\=\k, ξ2Λ = η«, к = 1, 2, ...
4.5°. Случайные величины ξι, |г, ... независимы и
имеют стандартное нормальное распределение,
ξ
ϊ)η = cos^-, n= 1, 2, ...
Ьп + 1
Удовлетворяют ли последовательности ηι, η3, η5, ... и
ηι, τ]2, η3, ... закону больших чисел?
4.6°. Последовательность ξι, ξ2, ... образована
независимыми случайными величинами, имеющими
нормальные распределения,
Μξ, = 0, D|s = Cfc«, C>0, α 5* О, к = 1, 2, ...
Описать множество тех значений а, при которых после-
113

дователыюсть ξι, |г, ... удовлетворяет 8акону больших
чисел.
4.7. Последовательность ξι, |г, ... образована
независимыми случайными величинами,
Μξ„ = 0, Dlk = Cka, Ο0, а>0, * = 1,2, ...
При каких значениях а последовательность ξι, ξϊ, ...
может удовлетворять закону больших чисел и при каких
значениях α может не удовлетворять ему?
4.8. Последовательность ξι, |г, ... состоит из
независимых одинаково распределенных случайных величин,
Μξ„ = О, D|„ = σ2 < °°, к = 1, 2, ... Удовлетворяют ли
закону больших чисел последовательности случайных
величин
Ini/з]
ζη = Sn + Ьп+1, Цп = 2j fen+Aj д — 1, 2, . . .?
ft=o
4.9. Случайные величины ξι, %ζ, ... независимы,
Μξ, = я, D|i = σ2 < °°. Пусть ζη = 2 £&■ Пока-
зать, что последовательность ζη удовлетворяет закону
больших чисел: для каждого ε > О
limP||^
V»
>ε =0.
4.10. Показать, что утверждение предыдущей задачи
останется справедливым, если в ее формулировке
заменить условие независимости ξι, ξ2, ... условием их
некоррелированности:
Μ(ξ,-α)(ξ,-α) = 0, 1 «Si </<«,.
4.11. Пусть функция }(х), 0 < χ «S 1, ограничена и
интегрируема, а ξι, ξ2, ...— независимые случайные
величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1].
а) Доказать, что при любом ε >0
/(ξχ)+...+/(ξη)
η
о
lim P
1
dx
>ε
0.
б) Найти
lim P
+ ... + /
Ы _ f
/ (ж) dj
ε
У»]'
ε>0.
114

4.12. Пусть ограниченная интегрируемая функция
/(#), — °° < х < °°, имеет период 1, а случайные
величины | и η независимы и равномерно распределены на
отрезке [0, 1]. Построим последовательность случайных
величин
ζ»-/(Ι + Λη), Λ = 1, 2, ...
а) Доказать, что случайные величины ξι, £г, ...
попарно независимы и одинаково распределены. Найти
Μζ,, ϋζι.
б) Показать, что для любого ε > О
hm Ρ -ί / (ж)
il-»oo И ^
^ п
dx
>ε
в) Показать, что если
I
/(0)-|/(*)*г
уе[а, Ь]<=(0, 1), то при любом га = 1, 2,
0.
>· ε при всех
ζχ + ... + E»
■J/W
dr
>β >2
4.13. Пусть случайный вектор ξ(η) = (Йп\ ..., &п))
имеет нормальное распределение в /?" с нулевым
вектором математических ожиданий и единичной матрицей
ковариаций, а Ζ?Γ, β — множество всех таких точек χ =»
= (χι, ..., xn)^Rn, что
(l-e)r<||*| = (*;+ ... + 4)1Л<(1 + е)г.
Показать, что при любом е > 0
4.14*. Пусть случайный вектор |<п) тот же, что в
предыдущей задаче, а Сг, * — множество всех таких точек
х=\х\, ..., i»)efl°, что
(l-8)r^Uil+...+ UJ<(l + e)r, ε>0.
Показать, что при любом ε > 0
lim P[lin)^C v-r 1 = 1.
Сравнить с результатом задачи 4.13.
115

4.15. Случайные величины ξι, |г, ... независимы,
одинаково распределены, имеют математическое ожидание а
и для некоторого ε, 0< ε < 1,
/η6 = Μ|ξι-αΙ,+ε<οο.
Показать, что для любого δ > О
lim Р<
П-»оо
~ η a >δ] =
4.16. Лемма Боре л я— Канте лли. Пусть Аи
А2, ...— события, заданные на одном вероятностном
пространстве, и случайная величина ν равна числу
одновременно происходящих событий. Показать, что:
оо
а) если 2р{-^п}<°°, то Ρ{ν<οο}=1,
η=1
б) если события А\, А^ ... попарно независимы и
00
2Ρ{Λ„} = οο, τοΡ{ν = οο} = 1.
n=l
4.17. Пусть А], Л2, ...— события, заданные на одном
вероятностном пространстве, и случайная величина ν
равна числу одновременно происходящих событий.
Показать, что если ?{Ап) > а > О, η — 1, 2, ..., то Ρ{ν =
= оо} 5г а.
4.18. Последовательность чисел с„ удовлетворяет
условиям 0^с„^1, lim cn = 0. Всегда ли существует та-
кая последовательность событий А\, А2, ..., что P{AJ =
= с„ и для числа ν одновременно происходящих событий
справедливо соотношение Ρ(ν < °°) = 1?
4.19. Последовательность ξι, ξ2, ... случайных
величин и случайная величина ξ удовлетворяют условию
оо
2 р {I In — ζ Ι > ε} < оо для любого ε > 0.
П = 1
Показать, что Ρ /lim ξη = ξ| = 1.
4.20. Последовательность ξι, \ъ, ... случайных
величин и случайная величина ζ удовлетворяют условию
оо
2 Μ (ξ„ - ζ)2 < оо.
Показать, что Ρ {lim ξη = ζ\ = 1.
\η->οο /
116

4.21. Случайные величины ξι, |г, ... независимы и
имеют одно и то же показательное распределение с
параметром λ:
Р{|„ si χ} = 1 - e-ta, χ > 0, η = 1, 2, ...
Пусть ε — произвольное число из интервала (0, 1/λ),
случайная величина vs равна числу одновременно
происходящих событий ^п = \т^>-т + ε г, а μ8 — числу
одновременно происходящих событий
а) Показать, что Ρ{νε < °°} = Ρ(μ8 < °°} = 1 при
любом ε=(0, 1/λ).
б) Вывести из результата п. а), что
последовательность случайных величин ζη = у^, n = i, 2, ...,
удовлетворяет условию
ρ(ίϊίτΤζη = 4-) = ι.
4.22. Случайные величины ξι, ξ2, ... имеют
математическое ожидание а и дисперсию σ2 < °° и не коррели-
рованы:
Μ(ξ( — α) (ξ, — α) = 0 при любых г =5^/.
Доказать, что
ι ξ+...+ξ, 1
Ρ lim - 5 2- -o=l.
4.23. Случайные величины ξι, |г, ... имеют
математическое ожидание а и дисперсию а2 < °° и не коррелиро-
ваны, а
ηη = max | ξ„2+1 + ξη2+2 + ... + ξ„ — (/с — и2) α Γ
n2<ft*£(n+l)2
η = 1, 2,...
Доказать, что PJlim -f = 0| = 1.
4.24*. Усиленный закон больших чисел.
Доказать, что если случайные величины ξι, |г, ... имеют
математическое ожидание а, дисперсию σ2 < °° и не кор-
релированы, то
pflime' + "+E--«Ul.
П-*оо J
117

§ 2. Прямые методы доказательства
предельных теорем
В этом параграфе задачи 4.25—4.32 связаны с
нахождением предельных распределений с помощью
анализа свойств допредельных распределений, задачи 4.33—
4.44 — с применениями закона больших чисел, в задачах
4.45—4.57 изучаются свойства различных видов
сходимости последовательностей случайных величин.
4.25. Случайные величины ξι, |г, ·. ·, %п независимы
и имеют одно и то же геометрическое распределение с
параметром р, О < ρ < 1:
Р{Ь = к}=(1-р)р\ к = 0, 1, 2, ...
а) Показать, что
Р{1г+ ... +In = Щ = С1+1п-1{\-РУр\ /е = 0, 1,2, ...
б) Найти
ςτ("> = lim Ρ Цг + .. . + ξ„ - т = к | ξ: + ,,, + ξη > т}}
= о, ι, 2, ...
4.26 (см. задачу 1.53). Первый ряд кинотеатра
состоит из N кресел. Зрители один за другим заполняют этот
ряд, причем каждый из них может с равной вероятностью
занять любое из кресел, свободных в момент его
прихода. Пусть χι (Ν)—порядковый номер первого зрителя,
который сел в кресло, находящееся рядом с уже занятым
креслом, τί(Ν)— порядковый номер первого зрителя,
который сел в кресло, симметричное относительно
середины ряда одному из занятых кресел. Найти законы
распределения τι(Ν) и Τ2(Ν) и предельные при N -*■ °° рас-
пределения случайных величин ._ , i = 1, 2, т. е.
функции Gi (χ) = lim Ρ Ρ^β < χ).
4.27°. Плотность ρι{χ) случайной величины ξ
непрерывна и ограничена на отрезке [а, Ь] и равна 0 вне [а, Ь].
Положим η„ = {п\}, где {х} — дробная часть числа х.
Найти
ΗπιΡ{η„<^}, 0<.г<1.
4.28. Показать, что утверждение предыдущей задачи
справедливо для случайной величины ξ с кусочрю-непре-
рывной плотностью.
118

4.29. Случайная величина ξ имеет непрерывную
плотность распределения ρ(χ). Найти предельное
распределение случайной величины tg η"ξ при η -> °°.
4.30 (см. задачи 4.28 и 4.29). Случайная величина ξ
имеет непрерывную плотность распределения р(х).
Найти предельное распределение случайных величин ξη =
1 (1 + i|)"-(l-il)" / · -,/—1\
= — ■—!—— 5 — при η-*-οο (здесь г= у— 1).
4.31*. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием а и дисперсией
σ2. Найти предельное (при а:->°°) распределение для
условного распределения случайной величины (ξ — χ)χ
при условии |>ж (ср. с задачей 3.228).
4.32. Пусть ξι, |г, ...— независимые одинаково
распределенные случайные величины с функцией
распределения F(x),& κ„ = max {ξι,..., ξ„). Найти такие
последовательности чисел α„ и Ъп, что последовательность α„κη +
+ Ъп сходится по распределению при η -*■ °° к
невырожденной случайной величине κ, и найти функцию
распределения κ в случаях, когда:
а) F{x) = 0 (ж<1), F{x) = i— \ (а:>1, α>0),
б) F (ж) = max {0, ί-\χ\α}(χ<0, α>0), F(a;) = l
(*>0),
в) F(.r)=max{0, 1 - e~x}.
4.33. Последовательности ξι, ξ2, ... и ηι, η2, ...
случайных величин таковы, что
lim Ρ {Ι ξ„ Ι ^ ε} = 1 для любого ε > 0,
и существует функция распределения F(x), для каждой
точки непрерывности которой выполняется соотношение
\im?{r\n<^x} = F{x).
П->оо
Доказать, что при любом характере зависимости
между ξη и н„ для каждой точки непрерывности F(x)
справедливы равенства:
a) \im?{y\n + ln<^x} = F{x);
6)ηΐΓωΡ{η„(1 + U^x} = F(x).
П-*оо
4.34. Случайные величины ζι, £г, ... независимы,
Ρ{ξ, = 1}=ρ, Ρ{ζ, = 0) = 1 - /», г = 1,2,...
119

Положим Й« = ζ, (1 - ζί+1ζί+2 ... Ь+к), η(« = ξ<»> +_...
... + %{ηΚ В случае когда 0 <ρ < 1, lim /?*("> V^n = О,
П->оо
найти
hm Р{ =^<ж .
п->оо I У«Р (1 — р) I
4.35. Пусть ξι, |2, ... и ηι, η2, ...— такие
последовательности случайных величии, что для некоторых чисел
а, Ъ для любого ε > О
lim Ρ {I ln - a | > ε} = 0, lim Ρ {| ηη - b\ > ε} - 0.
n-*-oo n-»oo
Доказать, что при любом характере зависимости между
In и η„ для любого е > 0:
а) lim Ρ {| ξ„ — α | < ε, | ηη — ί> | < ε} = 1;
б) если функция f(x, у) непрерывна в точке (а, Ь),
то для любого ε > О
ϋωΡ{|/(ξηιηη)-/(α,6)|<ε}-1.
4.36. Пусть |(г) = (ξι*, 1(2г)), ί = 1, 2, ...,— независимые
одинаково распределенные векторы в Л2,
Μξ({) = ах > 0, Μξ<*> = α2 > 0, i = 1, 2, ...
Доказать, что последовательность случайных величин
_ ι[1) + ι[2) + ..· + ι[η) _, _
fca ~ '2 ' · · · ~ »2
сходится по распределению к αι/аг, если либо а) Οζ[ι <
< оо, D&» < оо, либо б) Μ | ξ<» |!+ε < оо, Μ I If |1+ε <
<; oo для некоторого ε>0.
4.37°. В последовательности случайных величин
ξι, |г, ... случайная величина |„ при любом η = 1, 2, ...
имеет геометрическое распределение с параметром qn,
?п^"0 (ге-*°°). Найти предельное распределение
случайных величин
ζη = Чп\п при га -»- <».
4.38°. Время ξ безотказной работы прибора имеет
математическое ожидание α > 0 и дисперсию σ2 < °°. При
каждом отказе прибор подвергается ремонту (и тогда
время до следующего отказа не зависит от предыстории
и распределено так же, как ξ), после fc-ro отказа прибор
120

списывается как негодный. Пусть τ» — суммарное время,
которое прибор проработал до списания.
а) Найти ΜτΛ, Dxk.
б) Показать, что для любого ε > О
limPJ sr- —1 >ε| = 0
4.39. Пусть ξι, ξ-2, ...— последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин с
математическим ожиданием а > 0 и дисперсией σ2 < °°,
случайная величина ν не зависит от |ь |г, ... и
принимает целые положительные значения, Μν = Ъ и
τ = 1ι + ξ2 + ... + 1ν.
Найти Μτ и предельное распределение случайной
величины τ/(Μτ), когда распределение ν изменяется так, что
Μν -*- оо и существует непрерывная функция
распределения F(x), удовлетворяющая условиям .F(0) = 0,
limP^^}-*», 0<*<оо.
4.40. Время ξ безотказной работы прибора имеет
математическое ожидание а > 0 и дисперсию а2 < °°.
Каждый отказ прибора независимо от предыстории и длин
периодов безотказной работы с вероятностью ρ является
несущественным (прибор требует только наладки),
а с вероятностью q = i~p — существенным (прибор
нужно ремонтировать). Пусть хд — время от начала
работы прибора до его ремонта.
а) Найти Mxg, Dxg.
б) Найти предельное распределение случайной
величины Tg/Mxg, когда параметры α > 0 и σ2 < °°
фиксированы, a q -*- 0.
4.41*. На одном вероятностном пространстве заданы
событие А, ?{А) = р, и случайная величина ξ, имеющая
математическое ожидание а и дисперсию σ2<°°.
Доказать, что при любом характере зависимости между ξ и Л
Р{£>д|Л}< °2 , х>а,
р(х — а)*
|Μ{ξ|4}-α|<σιηίΠ{^2 ^ψ].
121

4.42*. Последовательность (ξι, ει), (|г, вг), ...
состоит из независимых пар случайных величин (внутри пар
случайные величины могут быть зависимыми),
Μξ( = α, ϋξ,^σ2,
Ρ{ε< = 1} = 1 — Ρ{ε( = 0> = ^.
min U > 1: ε< = 1},
ξι + ... + ξν-ι (τι = 0 при ν = 1),
τ2 = Ь + ... + ξν.
Найти предельные распределения случайных величин
ςττι, qxi, когда параметры α > 0 и σ2 < °° фиксированы,
4.43. Процесс работы прибора состоит из независимых
одинаково распределенных циклов; длина ξ цикла имеет
математическое ожидание а>0 и дисперсию σ2 < °°.
Вероятность того, что за один цикл прибор не сломается,
равна р, вероятность поломки прибора на любом
фиксированном цикле равна q= ί — ρ (поломка прибора может
зависеть от длины цикла). Пусть τ — время до первой
поломки прибора.
Найти предельное распределение случайной
величины qx/a, когда q -> 0, а -> а0 > 0, а2 ->■ а20 «< оо.
4.44. В бункер помещается не более N = 150 деталей.
Ежеминутно в бункер поступает случайное число
деталей, имеющее распределение Пуассона с параметром
λ = 2; числа деталей, поступающих в бункер в
непересекающиеся интервалы времени, независимы. Через
каждый час все находящиеся в бункере детали
перегружаются в тележку и отправляются на дальнейшую
обработку. В начальный момент времени бункер свободен.
Пользуясь предельными теоремами, указать
приближенное значение вероятности того, что за время Τ = 100
часов не произойдет ни одного переполнения бункера.
4.45. Показать, что если последовательность
случайных величин ξι, |г, ... сходится к ξ с вероятностью 1
или в среднем квадратичном, то она сходится по
вероятности и по распределению. Привести пример
последовательности ξι, |г, ..., сходящейся к ξ по вероятности, но
не сходящейся ни в среднем квадратичном, ни с
вероятностью 1.
4.46. Последовательность случайных величин ξ1;
|2, · · ·, сходится к ξ по распределению. Показать, что
можно задать на одном вероятностном пространстве слу-
122
Положим ν
Х\

чайные величины ξ^ ξ2> ■ · · и ξ' так, что для всех χ
Ρ{|'<^} = Ρ{ξ<2;}) Ρ{ξ;<ζ) = Ρ{ξ„<£},
л = 1, 2
и последовательность §i, S2, ··· сходится к ξ с
вероятностью 1.
4.47. Пусть /(#) — непрерывная функция, х^(—°°, °°),
а последовательность случайных величин ξι, |г, ...
сходится к случайной величине ξ (с вероятностью 1, по
вероятности или по распределению).
а) Сходится ли (в тех же смыслах)
последовательность /(ξ,), /(ξ,),... к /(ξ)?
б) Сходится ли (в тех же смыслах)
последовательность /(ξι), /(ξ2), ... к /(ξ), если f(x)
кусочно-непрерывна (имеет конечное число разрывов на любом
конечном интервале), а функция распределения ξ
непрерывна?
4.48. Последовательность ξι, ξ2, ... случайных
величин удовлетворяет условиям
р {In+i > L·} = 1 для любого η = 1, 2, ...,
lira Μξη = а<. оо.
П-»оо
Доказать, что существует случайная величина ξ, для
которой
Ρ/1ίιηξη = ξ) = 1.
Верно ли равенство Μξ = α?
4.49. Последовательность точек ξι, ξ2, ... на отрезке
[О, 1] строится по следующему правилу: ξι имеет
равномерное распределение на [0, 1], и если значения ξι, ...
..., ξ„_ι (к&>2) определены, то точка ξ^ имеет
равномерное распределение на минимальном по длине из к
отрезков, на которые [0, 1] разбивается точками ξι, ..., |s_i.
а) Доказать, что существует случайная величина ξ,
удовлетворяющая условию Ρ/Km ξη = ξΐ = 1.
\η-*οο /
б) Найти Μξ, D1.
4.50. Последовательность точек ξο, ξι, £г, ... на
отрезке [0, 1] строится по следующему правилу: ξο = 0, ξι
имеет равномерное распределение на [0, 1], а |„ при
любом и. 2г 2 имеет равномерное распределение на
интервале, образованном ξη_ι и |„_2.
123

а) Доказать, что существует случайная величина |,
удовлетворяющая условию Ρ Slim ξη = ξ\ = 1.
\η-»οο j
б) Найти Μξ, ϋξ.
4.51*. Последовательность случайных величин ξι,
|г, ..., последовательности чисел {ап}, {&„} и случайная
величина ξ удовлетворяют условиям
liman = a, |a|<oo, lim bn = 0, Ρ{|ξ|<οο} = 1,
П-*оо
Иш рЩ^<^Л = Р{|<4
П-»оо In J
в каждой точке непрерывности функции F(x) — Ρ{ξ «S х).
Функция g(x) непрерывно дифференцируема в
окрестности точки а и g'(a)¥=0. Доказать, что в каждой точке
непрерывности F(x)
limP'^-^ol-Ffr).
n-oo I bnS Ы ^ J W
4.52. Последовательность случайных величин ξι,
ξ2, ..., последовательности чисел {ап}, {bj и случайная
величина ξ удовлетворяют тем же условиям, что в
задаче 4.51. Функция g(x) имеет к >2 непрерывных
производных в окрестности точки а и
g' (a) = g"(a) = ... = £<*-» (а) - 0, gw (а) Ф 0.
Доказать, что
η-*» \ ьУ'ы J
в каждой точке непрерывности функции Fh(x) = Ρίξ"^^}.
4.53. Случайная величина μη равна числу успехов в
η независимых испытаниях Бернулли с вероятностью
успеха р, 0<р< 1.
а) Найти lim Ρ Γ**" "Р). <А
б) Пусть 0 < ζ < 1, ζ ¥= р. Найти такие
последовательности чисел Л„(г) и Βη(ζ), η=ί, 2, ..., для
которых
ίίΜ-η — иг}2 — А„(г) )
Пш ρ О > пК '^х\ = Ф(х), -оо<.г<оо.
П-,00 I ДП V2' )
4.54*. Случайная величина μ„ равна числу успехов в
η независимых испытаниях Бернулли с вероятностью
124

успеха ρ; функция g(x) определяется соотношениями
| zlnx + (1 — z)ln(l — χ), 0<χ<ί,
ё^^\ 0, χ = 0 или *= 1.
а) При ρ = 1/2 найти
б) При 0 < ρ < 1, ρ ^ 1/2, указать такую
последовательность Вп(р), п = 1, 2, ..., что
im Ρ {5η (ρ) (g (У - * (ρ)) < χ) - Φ (ζ),
1
П-»0О
4.55. Последовательность случайных величин |ь|г,...
и последовательности чисел а\, ач, ... и Ъ\, ί>2, ...
удовлетворяют условию
—τ ^^| = Ф(ж) для любого х, \х\
η J
< оо.
Пусть аь α2, ... и Ьх, ί>2, ... —две другие
последовательности чисел. Рассмотрим три группы условий:
a) lim ^2 = lim ^ = 1,
П-*ооап η-»οο η
б) lim (αή — α») = Hm (b'n — ί>„) = О,
П-*оо n-*oo
' /ι'
в) lim —τ = U, hm r- = 1.
n-»t» η η-»» η
Какие из условий а), б), в) обеспечивают выполнение
соотношения
для любого х, | χ | < оо?
4.56. Последовательность случайных величин ξι, |г, ·■ ·
сходится к случайной величине ξ по распределению.
а) Пусть существуют и конечны величины
т = Μξ, тп = Щп, т^ = lim mn.
П-*оо
Какие из соотношений т < т«,, т = т„, т> т«, могут,
а какие не могут выполняться?
б) Ответить на вопрос п. а) при дополнительном
условии Μξ2 < оо, lim Μξ* < оо.
п-+оо
125

4.57. Последовательность случайных величин ξι, |г,. ·.
сходится к случайной величине ξ по распределению.
а) Пусть существуют и конечны величины
Μ = Μξ2, Л/„-М&, М„ = НтЛ/п.
П->оо
Какие из соотношений Μ < М„, Μ ■= Мте, Μ > Мх
могут, а какие не могут выполняться?
б) Пусть существуют и конечны величины
П-»оо
Какие из соотношений σ2 <σ^, σ2 = σχ, σ2> σ„ могут,
а какие не могут выполняться?
§ 3. Характеристические и производящие функции
В этом параграфе задачи 4.58 — 4.83 связаны с
вычислением производящих функций, моментов случайных
величин и характеристических функций, в задачах
4.84—4.99 рассматриваются различные свойства
характеристических функций, а в задачах 4.100—4.104
вычисляются характеристические функции специальных
распределений и исследуются свойства многомерного
нормального распределения.
4.58°. Найти производящие функции целочисленных
распределений:
%h
а) пуассоновского: Ρ (ξ = ft} = ^- е~1, к = 0, 1,2, ...
0<λ<οο;
б) геометрического: Ρ {ξ = к) = pqk, к = 0, 1, 2, ...;
Ρ, ?>0, p + q = i;
в) биномиального: Ρ {ξ = к} = CnPhqn~k, k = 0, 1, ...
,.., η; ρ, q >0, p + q = 1.
4.59°. Найти производящую функцию φ (ζ) числа ξ„
успехов в п независимых испытаниях, если вероятность
успеха в каждом испытании равна р. Используя этот
результат, найти формулы для Μξη, Μξη (ft = 1, 2, ...),
Οξ„.
4.60°. Производящая функция распределения
случайной величины ξ, принимающей целые
неотрицательные значения, равна φ(ζ) = Μζξ.
а) Найти М|, D1, Μ(ξ — Μξ)3.
б) Найти производящие функции φί(ζ) = Μζ5ί
случайных величин ξι = |/2, ζ2 = 2|, ζ3 = — ξ и ζ4 = ξι — h,
126

где ξι и |г — независимые случайные величины,
имеющие то же распределение, что ξ.
в) Доказать, что при b > а > О
ι
Мг-|— = ζα-ΐφ(ζ)ώ,
о
1
М(^ + а)1(|-Ь6)=°12б"а"11Ца"1(Р(Ц)^^
4.61°. Пусть τι — порядковый номер первого из
испытаний схемы Бернулли (т. е. последовательности
независимых испытаний), которое окончилось успехом
(вероятность успеха в каждом испытании равна р,
неудачи — q = 1 — ρ). Найти Μτι, Dxi.MzV
4.62°. В схеме Бернулли обозначим через ΘΑ
порядковый номер испытания, в котором появился к-& успех;
Считая вероятность успеха в каждом испытании равной
р, найти:
1) ΜΘΑ, D%;
2) φθή(ζ) = Μζ\
4.63. Закон распределения случайной величины ξ
определяется формулой
Ρ {ξ - η} = CT1Wm, η = т, т + 1, ...,
где т — целое положительное число, 0 < ρ < 1, q =
= 1 — р. Найти производящую функцию распределения
ξ и Μξ, D|. Показать, что распределение ξ совпадает с
распределением суммы т независимых одинаково
распределенных случайных величии.
4.64. Найти закон распределения η = ξι + ξ2 + |з,
если ξι, |г, ξ3 независимы и при к = 1, 2, 3; 0 < ρ < 1,
5 = 1-ρ:
Ρ {L· = l} = C^pmW-m\ l = mk, mh + i,...
4.65. Случайная величина ν распределена по закону
Пуассона с параметром λ и не зависит от результатов
испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха р.
Обозначим μν число успехов в первых ν испытаниях
схемы Берпулли. Найти:
а) cpUv (ζ) = Μζμν.
б) Μμν, ϋμν.
127

4.66. Производящая функция совместного
распределения величин ξι, |г равна
где р\ + р2 + рз = 1, Pi > О, i = 1, 2, 3. Найти:
а) одномерные распределения ξι и ξ2;
б) Μξ,, Μξ2, Dgi, ϋξ2, cov(|i, ξ2).
Являются ли величины ξι и ξ2 независимыми?
4.67. Целочисленная неотрицательная случайная
величина ξ имеет производящую функцию (ps(z).
Доказать, что если для целого к > 1
1· d" / ч
lim тт Φι (z)
mk-
τοΜξ[« = Μξ(ξ-1)...(ξ-^ + 1)=/τι,.
4.68. Пусть ξη< — число появлений i-ro исхода в η
независимых испытаниях с N несовместными исходами
и вероятностью ps появления /-го исхода в каждом
испытании (/ = 1, ..., N). Найти
а) φ(ζ1, ..., zN) =MZl ... ζΝ· ,-
б) Μ&ΊΙ, Μ$%\ϊ)(ΐΦΓ, к, Ι = 1, 2, ...).
4.69. Пусть выполнены условия предыдущей задачи
и iV = 4,
ηη,ι = ξη,ι, η»,2 = ξη,2 + ξα,3, Лг.,з = ξη,4,
ζη.ί = ξη.ί + ξη,ί+ι (ί = 1, 2, 3).
Найти производящие функции распределений векторов
(ηη,ι, т)п,2, Пп,з), (tn,i, ξη,2, £п,з) и коэффициенты
корреляции ρ(η„,ι, Цп,2), ρ (ξη,ι, ζη,2)·
4.70. Пусть величина ν имеет распределение
Пуассона с параметром λ и не зависит от исходов испытаний
полиномиальной схемы, описанной в задаче 4.68.
а) Найти производящую функцию распределения
случайного вектора ξν = (ξν,ι, ..., Iv.w).
б) Найти производящую функцию распределения
числа μ^ компонент вектора ξν, равных к.
4.71. При каких значениях параметров
дробно-линейная функция φ (г) = " , 1* будет производящей фупкци-
γ -\- ог
ей целочисленной случайной величины?
4.72. Производящая функция целочисленной
случайной величины \ равна φε(ζ). Найти характеристическую
функцию |.
128

4.73. Найти характеристические функции
распределений:
λ"1
а) пуассоновского: Ρ {ξ = τη) = —г е~х, т = 0, 1, ...;
б) биномиального: Ρ {I = т) = CnPmqn~m, т= О,1,.,.,η;
в) показательного: /?|(ж)= ае-ои, ж > 0.
4.74. Случайные величины ξι, |г, ■·· независимы и
имеют показательное распределение с параметром а:
Ρ {ξ,- ^ х) = 1 — е-ах, я > 0, г = 1, 2, ...
Найти Μ(ξι + ... + ξη)" при любых значениях к, η =
= 1, 2, ...
4.75. Случайные величины ξι, |г, ... независимы,
одинаково распределены и имеют характеристическую
функцию /(i) = Mettsi (производящую функцию φ(β) =
= Ms*i), случайная величина ν не зависит от ξι, |г, .··,
принимает только целые неотрицательные значения и
имеет производящую функцию g(s)— Msv. Найти
характеристическую функцию (производящую функцию)
случайной величины
ί!ι+ ξ2 + ··· +ξν при ν>1,
ζ"" i 0 при ν = 0.
4.76. Производящая функция распределения
случайной величины ξ, принимающей целые неотрицательные
значения, равна φ(ζ)=Μζ6. Выяснить, при каких
условиях следующие выражения являются производящими
функциями вероятностных распределений, и если
являются, то указать, как соответствующие распределения
связаны с распределением |:
д)
ψ(2)==/ί^>'
4.77. Случайная величина ξ имеет биномиальное
распределение с параметрами (п, р), т. е.
Ρ {ξ = fc} = CV(l-/>)»-*, Л-0,1, ...,«.
129

При каких условиях можно представить ξ в виде
|-ξΐ + |2 + ... + ξ«,
где ξι, ..., %т независимы и при любом ί — 1, ..., η
случайная величина |( имеет биномиальное
распределение с параметрами (дг, pt) (п{ > 1, 0 <р,- < 1)?
4.78. Случайная величина ξ принимает только целые
значения, и /(i) = Me,i5— характеристическая функция
распределения ξ.
а) Доказать, что при любом целом к ^ 1
P{£ = 0(modfc)} = f2/(x)·
i=o
б) Найти формулу для Ρ {ξ ξ= /η(mod к)} при
иг= 1, 2, ..., к— 1.
4.79. Независимые случайные величины |ь |г, ...
имеют равномерное распределение на множестве
{1, 2, ..., Ък). Найти
max Ρ [1\ + ... + &нО(то<13)}1
minPU?+ ...+|^0(mod3)}.
4.80. Случайные величины ξι, |г, «·., ξη независимы.
Доказать, что для любого действительного λ,
удовлетворяющего условиям
MeUl<oo, 1 = 1, ..., η,
справедливо равенство
МеМ^1+-+Мс=ДмеяЧ
4.81. Случайная величина \ принимает
действительные значения. Доказать, что для любого
действительного χ
λ>0
Р{£<гг}<Ые**Ме-Ч
λ>ο
4.82. Пусть μη обозначает число успехов в η
независимых испытаниях с вероятностью ρ успеха в каждом
130

испытании. Доказать, что при а < р
Найти аналогичную оценку для Ρ{μη&*$η} при β>/> и
для Ρ (μ„ ^ п/2) при ρ > 1/2.
4.83. Случайные величины ξι, |г, ··. независимы и
одинаково распределены. Доказать, что если Μ|ξιΙ<°°
и при некотором δ > О
sup Me^i<<oo,
0<λ<β
то Μξτ == —- Me^i <oo и для любого ε>0 сущест-
αλ Ιλ=ο
вует такое аЕе (0, 1), что
Ρ{ξΐ+Τ+ζη>Μ^ + ε}<αΓ' *-1'2· -";
аналогично, если sup Me"- *ί << оо, то
0<λ<β
pJk+^l+in^M^-ej^a?, *-1,2,...
4.84°. Случайные величины ξι, |г и κ независимы,
характеристические функции ξι и |г равны /ι (ί) и /2 (О
соответственно, Ρ (κ =» 1} = 1 — Ρ {κ = 2) — ре (О,1).
Найти характеристическую функцию случайной величины
η = 1*
(распределение η называется смесью распределений
ξι и ξ2).
4.85. Показать, что если Ρ{|ξ|<°°} = 1, то функция
f(t)= Me"5, —00 < t < 00, равномерно непрерывна.
4.86. Характеристическая функция f(t) — Mein
принимает только действительные значения. Доказать, что
при любом действительном t
f(t) = f(-t).
4.87. Найти характеристическую функцию:
а) равномерного распределения на отрезке [0, а];
б) «треугольного» распределения с плотностью
ία(1 — α\χ\) при |ι|<α-»;
М*>-[ 0 при 1«|>α-ΐ;
131

в) распределения с плотностью
««(*) —-^(l — cos-^-j, — oo<z<oo.
В случае в) найти значение Са, при котором qa(x)
оказывается плотностью вероятности.
4.88. Случайная величина ξ имеет нормальное
распределение с параметрами (0, σ2). Установив тождество
оо
1 Г hx2 -χ2/2σ2 , 1 h ^, 1
оУ2л Jx Vl-2ho* 2σ2'
найти с его помощью формулы для Μη и ϋη, где
η = Ь1**.
4.89. Функция /(i), —oo<i<ooj обладает
следующими свойствами:
а) /(0)= 1, f(t)> 0 для любого t;
б) f(t)=f(—t) для любого ί;
в) графиком f(t), 0^ί<οο) является выпуклая вниз
ломаная линия, состоящая из конечного числа звеньев.
Является ли /(ί) характеристической функцией
распределения вероятностей?
4.90. Функция f(t), — °° < f < оо( обладает
следующими свойствами: /(0)=1, f(t)>0, f(t)—f(—t) для
любого t, f(t) непрерывна и f"(t)>0 для любого ίΦΰ.
Является ли f(t) характеристической функцией
распределения вероятностей?
4.91. Пусть а > 0 и функция /i (t) имеет период 4а,
Mi)-l_lii, |t|<2a.
а) Является ли /ι (ί) характеристической функцией?
б) Является ли характеристической функцией
функция Mt)=»l/i(t)l?
4.92. Случайные величины ξι, ..., ξ„ (к > 1)
независимы и имеют функцию распределения ^(а;), случайные
величины т)|, ..., η„ независимы и имеют функцию
распределения G(x). Следует ли из условия
Ρ{1,+...+ ξ»<*}-Ρ{η, + ...+ η*<*>
для каждого χ совпадение функций распределения F{x)
и С(ж)?
4.93. Изменится ли ответ на вопрос предыдущей
задачи, если дополнительно потребовать, чтобы Ρ{||ι + ...
132

... + IJ < <»} = 1 и характеристическая функция
распределения ξι нигде не обращалась в нуль?
4.94. Показать, что если характеристическая
функция /(f)= Me"5 удовлетворяет условиям
/(*!)=/(<2)=1,
то при любых целых т, η = 0, ±1, ±2, ...
f(mt] + nt2)= l.
4.95*. Характеристическая функция /(f) —Ме"е
дифференцируема при f = 0. Верно ли равенство
Рассмотреть случай, когда ξ имеет плотность
распределения р(х), причем
р(х) = р(—х)1 p(g) = 1t1"(1) (*-»-«>)·
a: In а;
4.96*. Характеристическая функция /(f)=Mei(i
удовлетворяет условию I/" (0) I < °°. Показать, что
Μξ2 = -/"(0).
4.97. Показать, что если характеристическая
функция /(f)=Me"s дважды дифференцируема при f = 0 и
1/"(0)|<оо, то l/'(f)l <П/"(0)| при любом t.
4.98. Являются ли характеристическими функциями
вероятностных распределений следующие функции:
а) е·*·"-1); д) | cos 112/3;
б) cos(f2); е) Щ*(1чь% 1 (f = 0);
в) cos2f; ж) е-2((<>0), —Ц5 (ί<0);
г) cos(|fl2/3); з) е-"1?
4.99. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины |, характеристическая функция
/(f) = Me"s которой равна:
а) — sin at (а Ф 0),.
б) — cos f sin2 -γ, в) — e{< sin2 -^-,
г) /2«-4Ч/1Я1п(-£-+1Ш) (α>0),
133

д) (1-ИГр(1 + «Г' (p,q>0),
агсвт(е.«), 0<θ<1.
' arcsinG
4.100. Случайные величины ξι, ξ2, ... независимы и
имеют одно и то же нормальное распределение с
параметрами (0, 1). Распределение случайной величины
х; = й + й+... + й
называют ^-распределением с г степенями свободы.
а) Найти функцию распределения и
характеристическую функцию х2-распределения с двумя степенями
свободы.
б) Найти характеристическую функцию и формулы
для моментов к-то (к = 1, 2, ...) порядка х2-распреде-
ления с г степенями свободы.
4.101. Исходя из формулы для плотности
гамма-распределения (см. введения к гл. 3 и 4), проверить, что
если случайные величины ξι и |г независимы, ξι имеет
гамма-распределение с параметром a, a %2 —
гамма-распределение с параметром β, то ξι + \ι имеет
гамма-распределение с параметром α + β. Используя это свойство
семейства гамма-распределений, найти
характеристическую функцию /α(ί) и формулы для моментов
"4' (к = 1, 2, ...) к-то порядка гамма-распределения с
параметром ос > 0.
4.102. Случайный вектор (ξι, ..., ξ„) имеет
многомерное нормальное распределение в Rk с вектором
математических ожиданий α=(αι, ..., ak) и матрицей
ковариаций В. Найти распределение случайной
величины
ζ = ci|j + ... + cR|R,
где С\, ..., с„ — действительные числа.
4.103. Случайный вектор (ξι, ..., ξ„) имеет
многомерное нормальное распределение в Rh с вектором
математических ожиданий а = (аи ..., ah) и матрицей
ковариаций В; матрица С = 11с,-,-11 (i = l, ..., m; j — 1, ...
..., к) состоит из действительных чисел. Найти
распределение случайного вектора (ζι, ..., £m), где
ζί = Cnli +... + cihlh, i = 1, ..., m.
4.104. Случайный вектор ξ=(ξι, ..., ξ„) имеет
многомерное нормальное распределение в Λ* с вектором
134

математических ожиданий α = (αι, ..., ah) и
невырожденной матрицей ковариаций В. Показать, что
существует такое ортогональное преобразование С пространства
Л* в себя, что вектор η=(ηι, ..., r\h)=Cl·, имеет
многомерное нормальное распределение с независимыми
компонентами.
§ 4. Неравенства Бонферрони
и сходимость к распределению Пуассона
4.105. Случайные величины ξ].η), £аП), ..., £пП)
независимы,
Ρ (ξΓ = 1) = 1 - Ρ {&η) = 01 = ph (η), к = 1, 2, ..., п.
Пусть при га -*■ °°
max ρ (и)-»-0, рг (»)+...+ рп (га)-*- λ, 0<λ<οο.
l-ift-gn
Используя метод производящих функций, доказать, что
1ίιηΡ|ξ<η) + ... + lin) = m\=^e-\ ™ = 0,1,2,...
П-»оо т>
4.106. Случайная величина ξ принимает значения
1 и 0 с вероятностями ρ и q = i — ρ соответственно,
а случайная величина η имеет распределение Пуассона
pk
с параметром ρ: Ρ (η =к) =^-e~v, к = 0, 1, 2,
Доказать, что ξ и η можно задать на одном вероятностном
пространстве так, что Ρ (ξ Φ η} < ρ2.
4.107. Случайные величины ξι, |г, ..., ξ„ независимы,
Ρ{ξ,·=1} = 1 — ρ{|4 = 0)=ρ(, ί' = 1, ..., га. Используя
результаты задачи 4.106, доказать, что
Г 2 Р №ι + · · · + In = Щ -
2
ft=o
(Pi + · · ■ + Pnf -(Pl + ...+P„)
к\ е
<ΣΛ
4.108. Пусть 4|, Αι, ..., 4л — совокупность событий
и событие Z?r состоит в том, что одновременно
происходит ровно г из событий Αι, ..., An- Доказать, что при
135

любом г = 0, 1, ..., N
P{Br}=%(-i)h-rcrksh,
fc=r
где£в-1, Sh= 2 Ρμ,^ At].
i^1<J2<...<ift«iv ! 2
4.109*. Случайная величина ξ принимает только
целые неотрицательные значения. Доказать, что если
mR = M|l*i = M|(|-l)...(|-4+l), 4 = 1, 2 и для
целого d > 1 величина /гага-1 < °°, то
2d 2d-l
Σ(-ΐ)*-Ιΐ<ρ{ε>ο}<2(-ΐ)*-Ι5·.
ft=l ft=l
4.110. Пусть выполнены условия задачи 4.109.
Доказать, что
n+3d— 1 n+2d
если и = 0, 1, ... и mn+2d-\ < °°.
4.111. Пусть выполнены условия задачи 4.109.
Доказать, что при любом η = 1, 2, ...
n+2d—1 n+2d
h=n ft=n
если /ran+2d-i < °°.
4.112. Метод моментов. Пусть ξ,, ξ г, ...—
последовательность неотрицательных целочисленных
случайных величин и
ΐίάη> = Μ&" (и, а = 1,2, ...).
Доказать, что если существует такая целочисленная
неотрицательная случайная величина |, что при любом
4 = 1,2,...
liming-Mg№1-mk<oo
и тк »= о (A! А_г), Λ; -*■ °°, для любого г < °°, то
1ίηιΡ{ξη = Α}=Ρ{ξ = 4}, 4 = 0,1,2,.,,
4.113. Пусть |ι, ^2, ...— последовательность
неотрицательных целочисленных случайных величин. Доказать,
136

что если при любом к = 1, 2, ...
lim M^h] = λ\ 0<λ<οο,
П->(*
λ"1 —λ
το lim Ρ {ξη = /га} = —re для любого /га = 0, 1, 2, ...,
т. е. распределение ξ„ сходится к распределению
Пуассона с параметром λ при η -*■ °°.
4.114. Пассажирский поезд состоит из N вагонов по
s мест в каждом вагоне. В момент отправления в поезде
находилось η пассажиров. Обозначим символом μ( =
= μι(η, Ν, s) число вагонов, в которых при отправлении
поезда находилось ровно i пассажиров, i = 0, 1, ..., s.
Предполагая, что все nlC^i, = (Ns)W вариантов
размещения пассажиров в поезде равновероятны, найти
формулы для факториальных моментов величин μο, μι, ...
..., μθ. Проанализировать поведение математических
ожиданий μ( при изменении и от 0 до Ns.
4.115. Пусть выполнены условия задачи 4.114. Найти
явное выражение для Ρ{μι(η, Ν, s)= к).
4.116. Пусть выполнены условия задачи 4.114.
Показать, что если s и I фиксированы, а га, N -*· °° так, что
Μμ<(/ι, Ν, «)-»-λε(0, °°), то при любом к = 1, 2, ...
Μ(μ,(η, Ν, ί))[Μ-λ\
Вывести отсюда, что тогда для любого /га = 0, 1, ...
л т
4.117. Пусть η частиц размещаются по N ячейкам,
причем каждая частица независимо от остальных с
одинаковыми вероятностями (равными ί/Ν) может попасть
в любую из N ячеек. Обозначим через μΓ(«, Ν) число
ячеен, в которых находится ровно по г частиц. Найти
формулу для Μμ,(η,Ν)κ доказать, что если г = 0,1,2,...
фиксировано, а п, N -*■ °° так, что /λμτ(η, Ν)-*-%,
0 < λ < °°, то
л. т
?{\ir(n,N) = m}-+^e-\ /га = 0, 1, ...
4.118. Пусть частицы последовательно и независимо
друг от друга размещаются по N ячейкам так, что г-я
(4 = 1, 2, ...) частица попадает в ]-ю (; = 1, ..., Ν)
ячейку с вероятностью IIN. Положим
ν, (Ν) = min {η: μ, (η, Ν) > 0J, г = 2, 3, ...,
137

где μΓ(«, Ν)— число ячеек, содержащих после
размещения η частиц ровно по г частиц. Найти такую
последовательность чисел δι, Ьг, ..., что распределения
случайных величин vr(N)/by при N -»■ °° и фиксированном г
сходятся к невырожденному закону, и сам предельный
закон.
4.119. Пусть η частиц независимо размещаются по
Ν2 ячейкам, расположенным в виде квадратной таблицы
размером Ν Χ N. Назовем ячейку свободной, если после
размещения η частиц ни в нее, ни в ячейки,
находящиеся с ней в одной строке или в одном столбце, не
попало ни одной частицы. Найти предельное
распределение числа к(п, Ν) свободных ячеек, когда
η = Ν(\ηλΝ + ο(1)), Ν-+<*.
§ 5. Применения центральной
предельной теоремы
и метода характеристических функций
4.120 (см. 4.2). Случайная величина η„ равна сумме
очков, выпавших при η независимых бросаниях
симметричной игральной кости. Используя центральную
предельную теорему, выбрать л так, чтобы
^-3,5
>0,ΐ}<0,1.
4.121. Складывается 104 чисел, округленных с
точностью до 10~т. Предполагая, что ошибки округления
независимы и равномерно распределены в интервале
(—0,5 · 10-т, 0,5-Ю-"1), найти пределы, в которых с
вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная
ошибка.
4.122. Случайные величины ξι, |г, .·. независимы и
одинаково распределены:
Р{Ь = *} = Р{Ь = 4-} = Т' z^1· * — 1,2,...
а) Найти пределы математического ожидания и
дисперсии случайной величины х\п = (ξι ... \п)1^п при
η -*■ °°.
б) Доказать, что при η -*- °° распределение η„
сходится к логарифмически нормальному распределению
(см. задачу 3.233). Найти параметры а, о2 предельного
логарифмически нормального распределения.
138

в) Сравнить найденные в п. а) значения Нт Μη„ и
Нт Оцп с математическим ожиданием и дисперсией слу-
П->00
чайной величины η, имеющей логарифмически
нормальное распределение из п. б).
4.123*. Случайные величины ξι, |г, ... независимы и
одинаково распределены:
Ρ {h = 1,25} = Ρ {ξ{ - 0,8} = -i, i = 1, 2, ...,
и η„ = |ι ... |n.
а) Найти Μη,οοο, Dt)iooo, Μίπη,οοο, ϋΐηηιοοο·
б) Пользуясь асимптотической нормальностью In η„
при η -*- °°, найти приближенные значения Ρίηιοοο^
^Ξ 0,001}, Ρ {rjiooo < 1), Ρ ίτ)ιοοο =*= 1), Ρ ί^ιοοο ^
в) Пользуясь формулой Стирлинга, найти Ρ{ηιοοο<
<1}, Ρ{η,οοο< 1>.
4.124. Случайные величины ξι, |г, ... независимы и
одинаково распределены:
Ρ{h = 1,25} = Ρ {h = 0,75} = 4, i = 1, 2,- ...,
и η« = |ι ... 1«.
а) Найти Μηιοοο, ϋηιοοο, Μΐηηιοοο, ϋΐηηιοοο·
б) Пользуясь асимптотической нормальностью In η„
при я -»- °ο, найти приближенные значения
Ρ{η,οοο<10-2°},
Ρίη,οοο < 1.25501 · 0,75499 » 1,6 · 10~14},
Ρ (ηιοοο ^ 1.25501 · 0,754"}, Ρ {η,οοο ^ 10~7}.
в) Пользуясь формулой Стирлинга, найти
Ρ{ηιοοο<1,25501·0,754"},
Ρ{ηιοοο<1,25501·0,754"}.
4.125. Случайные величины ξι, |г, ... независимы и
имеют стандартное нормальное распределение.
Распределение случайной величины
%п 1= 61 Т" · . » "Г 5п
называется распределением χ2 (хи-квадрат) с η
степенями свободы.
а) Доказать, что Нт Ρ
п-»оо
ε>0.
139
У2
i" л
η
>8·
0 при любом

б) Найти lim Ρ " . " < х\, - оо < χ < оо.
"-«> Ι Κθχ£ J
4.126. Случайная точка ξ=(|ι, ..., ln)^Rn имеет
равномерное распределение на единичной сфере в Л",
т. е. на множестве точек S71-1 = [(х1, ..., хп) ^ R '·
х\+ ... + xl = 1). Найти М|, и Μξίξ, при Ki,/<B.
4.127. Случайный вектор ξ=(ξι, ..., 1п)еД" имеет
сферически симметричное нормальное распределение с
нулевым вектором средних и единичной матрицей ко-
вариаций. Равенство
ξ = ρε, ρ = |ξ|, e = -jjj-£,
где Ι ξ Ι = У ξι + ... + ξΙ — длина вектора 1, дает
представление | в виде произведения скалярной случайной
величины ρ и вектора е. Доказать, что ρ и е
независимы и что е имеет равномерное распределение на
единичной сфере в Rn (см. задачу 4.126). Найти
распределение, математическое ожидание и дисперсию р2.
4.128. Пусть вектор e=(ei, ..., е„)е /?" имеет
равномерное распределение на единичной сфере в R".
Используя результаты задач 4.127 и 4.125, доказать, что
При П -*- оо;
а) распределение eiVre сходится к стандартному
нормальному распределению, _ _
б) распределение вектора (βιίη, ..., е„Уд), к = const,
сходится к совместному распределению к независимых
случайных величин, имеющих стандартное нормальное
распределение.
4.129. Случайные величины |о, ξι, 1г, .·· независимы
и имеют стандартное нормальное распределение.
Распределение случайной величины
/(Й+ ...+£)/«
называется распределением Стъюдента с η степенями
свободы. Найти
lim Ρ {тп5^а:}, —оо<ж<;оо.
п-юо
4.130. Пусть ξ»,« обозначает число появлений t-ro
исхода в η независимых испытаниях с N несовместными
исходами; вероятности появления этих исходов в
каждом из испытаний равны pi, рг, ..., рн&*0
соответственно

но, pi +... + pN = 1. Далее, пусть βι, ..., α* —
действительные числа и
η„ = βι|„, ι +... + α^ξη, ν·
Найти Μη„, ϋη„ и предельное распределение
*1τ.--Μ*1η
при и-> оо.
4.131. Случайные величины ξι, |г, .·. независимы в
одинаково распределены; Μξ„ = α, D|»=»i)2, А: = 1, 2, ...
Положим η» = lfc + lfc+i-Ь |*+2, А: = 1, 2, ... Найти:
а) Μη„, cov(^h, η,) (А*?Ч), Dx\k;
n-*x \ b уЪп ^ j
4.132. Случайная величина %\ распределена по закону
Пуассона с параметром λ. Найти
lim Ρ [1
λ-»οο
ш<*\
4.133. Два игрока заняты азартной игрой, состоящей
в подбрасывании несимметричной монеты, которая
падает «гербом» с вероятностью ρ > 0 и «решкой» с
вероятностью q = 1 — ρ > 0. Ставки игроков в каждом туре
равны соответственно αι>0 и а2>0 руб.; если монета
падает «гербом», то выигрыш а\ + aj получает первый
игрок, если «решкой» — то второй. Предположим, что
исходные капиталы игроков бесконечны, и обозначим через
c(i) -
оп суммарный выигрыш первого игрока за η туров,
а через S„2 (= — 5„ )— второго. Показать, что:
а) существует только одно такое значение χ > 0, что
при ai/a2 = ar для любого г/, \у\ < °°,
limP{Sn1)>y}<l и UmP{S%)>y\<l.
б) если а\ =й2Х, где значение χ то же, что в п. а), то
lim Ρ ДО > Sf} - lim Ρ {Stf < S^) - 4.
П->оо n-»oo
4.134. Последовательность случайных величин |)t
£г, ... такова, что при любом η = 1, 2, ...
In = ζη. 1 + ζη, 2 + . · · + ζη, η,
141

гДе ζ», ΐι · · ·, ζη. η — независимые случайные величины,
Μζ„,< = 0, i = 1, ..., га,
η η
4 - 2 Ds».* < °°' lim Λ 2 Μ ι ζ™^ ι3=°·
fc*=l "-*» snk=i
Доказать, что распределения случайных величин |«/s.
при η -*■ оо сходятся к стандартному нормальному
распределению.
4.135. Случайные величины ξι, ξί, ... независимы,
η* *
η= 1,2, ...,0<α<1.
Найти предельное распределение случайных величин
ζη = 1 ' при п-^оо.
4.136. Пусть для каждого ге = 1, 2, ... случайные
величины ξι , ..., ξ«η) независимы и одинаково
распределены:
Ρ{ξ5*>_ο}-ι—JL·
при любом / = 1, ..., га. Найти Μξ'·η), Dgjn) и предельное
распределение случайной величины
τι„ — -^ /" '" при д-э-оо.
4.137*. Пусть для каждого га = 1, 2, ... случайные
величины ξι , ..., ξη независимы и одинаково
распределены:
Ρ{ξ("> = 0} = ^-1
при любом ;' = 1, ..., п. Найти ΜξΓ'* ^Г' и предельное
142

распределение случайной величины
ξ<η>+ ...+#>
ηη = 7== при п-+оо.
VnDl[n>
4.138. Случайные величины ξι", , ,.,ξη" независимы,
Ρ(ξ^) = 0) = 1-ρ[η) (1 </<»),
а) Найти Μζ„, ϋξ„.
б) Доказать, что если 0ζη -*■ °° при д -*- °°, то
предельное при η -*■ оо распределение случайной величины
■—г— является стандартным нормальным.
У »п
в) Положим mn=f(pf) + ... + /(А"'), где /(ж)- О
при ι ^ 1/2 н /(#) — 1 при ж> 1/2. Найти предельное при
η -»- оо распределение случайной величины ζ„ — игП) если
Σ /4η)-λ0) s rf0-^,
κία κί<η
max min{pin), 1-ρίη)}-^0.
4.139. Случайная величина ξ„ имеет распределение
о дробно-линейной производящей функцией φ„(ζ) =
αη + (* ~~ ^п — ап)z
■= Ц—з , (Χ α„ < 1, (X d„ < 1. Какие невы-
рожденные законы распределения F(х) могут быть
предельными для последовательности/^п (ж) = М^г^^ь гДе
А„ -*■ оо — некоторые нормирующие константы? Какие
условия надо наложить на последовательности ап, dn, An,
чтобы lim Fn (χ) = F (χ), χ > О?
4.140. Случайные величины ξι, ξ2, ... независимы,
неотрицательны и одинаково распределены:
Ρ{ξ,^0} = 1, Μξι-μ>0,
D%i = a2, 0<σ2<«>;
пусть Nt = max Ы > 0: ξι +... + ξ„ < t), t>0 (если ξι >
> ί, το iVt = 0).
143

а) Доказать, что для любого ε > О
!ir{|T".-f|>«}=0·
б) Доказать, что для любого х, —<*> < χ < °°,
χ
lim Ρ (jV, < ± + Ϊ2- V1-) = 4= f e-^Чи.
4.141. Случайные величины ξι, |г, · ■ ·, In независимы
и имеют показательное распределение с параметром а:
Р{|, < х) = 1 - е~ах, х>0, i = 1, 2, ..., η,
a Id) < 1(2) ^... <|(„, — значения ξ,, ..., ξ„,
расположенные в порядке неубывания (вариационный ряд).
Используя результаты задачи 3.64, показать, что если
п, т -»■ °° и η — т -»■ °°, то:
а) Щ(т) = 1П —— , D|(m) - —
η (η —·ηιγ
6) IimPfim)~-^.1><
I /D£(m)
- lim Ρ {{alim) - In ^) /ΞΕΞΕ < ,} _ φ {χ),
— oo <; x<c oo.
4.142. Случайные величины ζι, ..., ζ„ независимы и
одинаково распределены:
Ρ{ζ{<χ)=Ρ(χ), ί-1, .... в,
а ζ(ΐ) <·..^ ζ(η) — их вариационный ряд (см. задачу
4.141). Доказать, что если в некоторой окрестности
точки χ = ζο существует непрерывная производная р(х)~
— F'(x)>0, то при m/n-+ F(z0), га-»-<»,
lim Ρ ( g(m)-zo^ ( } ^ J β φ (ж)
4.143. Частицы последовательно размещаются в Ν
ячейках так, что вероятность попадания /-й (/= 1, 2, ...)
частицы в 2-ю (i = 1, 2, ..., Af) ячейку равна ί/Ν и номер
ячейки, в которую попадает частица, не зависит от
номеров ячеек, в которые попали предыдущие частицы.
Пусть νΑ — порядковый номер частицы, после размеще-
144

ния которой впервые число занятых (т. е. не пустых)
ячеек становится равным к, и τ» = ν» — vk_i (vo = 0).
а) Найти производящую функцию распределения хт
и Р{тт > v» — vj, т>к>1.
б) Найти
lim max Р{тт> vm_i- vm_r}, r = 2, 3, ...
iV-*oo r<m<iV
4.144. Пусть случайная величина vk та же, что в
задаче 4.143. Найти предельное распределение случайной
величины vft — к, когда N -*■ °°, k2/N -*■ λ, 0 < λ < °°.
4.145. Пусть выполнены условия задачи 4.143. Найти
асимптотические формулы для Mvm, Dvm и предельное
vm — Mvm
распределение —.. , когда N-*-<*> и a\N < т < ct^N
при некоторых αϊ, аг, 0 < αϊ < аг < 1.
4.146. Производящая функция φ(ζ) = Μζ5 случайной
величины | является многочленом степени Ν, причем все
корни Ζ], ..., ζΝ уравнения φ(ζ) = 0 вещественны.
Доказать, что распределение ξ совпадает с распределением
суммы ζ = ξι Ч-... + ζ,ν, где случайные величины ζι, ...
..., ζΝ независимы и
Ρίζ,-D-p,, Ρίζ( = 0} = 1 - />f, i = l, ..., Ν.
Найти значения р\, ..., ρΝ.
4.147*. Производящая функция φ(ζ) = Μζ5 случайной
величины | является многочленом степени Ν, причем
все корни ζι, ..., zN уравнения φ(ζ) = 0 имеют
неположительные вещественные части: Re z< =£ 0, i = 1, ..., #.
Доказать, что распределение ξ совпадает с
распределением суммы ζ = ζι + ... + ζΜ, где случайные величины
ζι, ..., ζΜ независимы и
Ρ{ζ, = 2} = Γ(, Ρ{ζ( = 1}=Ρί, ρ{ζ( = 0} = 1-ρ<-Γ„
i = 1, ..., Μ.
Найти значения М, ри η (i = 1, ..., Μ).
4.148. Последовательность целочисленных
неотрицательных случайных величин ξι, |г, ··· такова, что при
любом η = 1, 2, ... производящая функция
ψη (Ζ) = ΜΖΙη
является многочленом степени ге, все корни которого
вещественны. Доказать, что если D|» -*■ °° при η -*■ °°, то
145

распределение случайной величины — при га ->- °°
сходится к стандартному нормальному распределению.
4.149. Доказать, что если выполнены условия
задачи 4.148, но D|„ -*■ λ < °° при η -> оо и, кроме того,
lim max znij = — оо,
n-*oo 1-йг.йп
где zn, ι, ..., z„,„ — корни уравнения φ„(ζ) = 0, то
распределение |„ при и -»· <» сходится к распределению
Пуассона с параметром λ.
4.150*. Пусть выполнены условия задачи 4.143 и
fn,N (2) = Μζμο(η' — производящая функция числа пустых
ячеек. Найти рекуррентное уравнение, связывающее
многочлены /„,ιν(ζ) и /n+i. w(z), и вывести из него, что все
N — 1 корней уравнения /„, я (ζ) == 0 вещественны при
любом га > 1.
4.151. Пусть выполнены условия задачи 4.143 в
цо(га, iV) —число ячеек, оставшихся пустыми после
размещения га частиц. Доказать, что если га, N -*- °° так, что
Μμο(«, iV)-*oo и Ν — Μμο(«, #)-»■«>, то предельное
распределение случайной величины
μ0(η, 7ν)-Μμ0(η, Ν)
Υθμ„ (η, Ν)
является стандартным нормальным.
4.152. Случайные величины ξι, ^2, ··· независимы а
имеют одно и то же распределение с характеристической
функцией f(t). Доказать, что если при некоторых ОО,
О < α *£ 2,
/(i)=-l-C|ila(l + o(l»f t-0,
то при га -*■ оо существует предельное распределение
случайных величин
j. \\ ~г б2 "Ь ·" ~Ь 6п
Найти его характеристическую функцию.
4.153*. Случайная величина 1 имеет абсолютно
непрерывное симметричное распределение с плотностью
р(х)~С\х\~а(\х\ -»·«>), где С>0, 1<а<3. Доказать,
что
оо
Ме"& = 1 — 2g 1 gl«-i (1 +о(1)) f1"™8"^, t-*.0.
146

4.154. а) Доказать, что решение <p(s)
функционального уравнения
. . s (1 + φ2 («))
ψ(*)-——ξ-121-,
удовлетворяющее условию 0<cp(s)<l при 0«Ss*Sl,
является производящей функцией неотрицательной
целочисленной случайной величины |. Найти
асимптотическую формулу для 1 — f(t) при £->-0, где /(i) = Me"s —
характеристическая функция |.
б) Случайные величины |lt |г, ... независимы и
распределены так же, как случайная величина ξ из п. а).
При каком значении α предел
lim Ρ(±(ξ1+,.. +b.)<iLc(i), 0<я<оо,
существует и является функцией невырожденного
собственного распределения? Найти характеристическую
функцию
g(t) = \eiixdG(x).
4.155. Случайная величина ξ имеет распределение
Когпи с параметром а, т. е. имеет плотность
распределения
Ρ (*) — 4" -ΤΤ~ν — оо<ж<оо.
" а + χ
Показать, что характеристическая функция Me1'5
распределения ξ равна е-""1. Вывести отсюда и из задачи 4.153,
что
ОО
ί
1 — cos и , π
а du = Τ'
4.156. Независимые одинаково распределенные
случайные величины ξι, |г, ... имеют абсолютно
непрерывное симметричное распределение с плотностью р(х),
непрерывной в точке гг = 0, 0<р(0)<°°. Используя
результаты задач 4.152—4.155, найти предельное
распределение последовательности случайных величин
u~"Hii+i+--- + i) при Λ">ββ·
147

4.157. Случайные величины ξι, |г, ξ3 имеют
распределение Коши с параметром а; при этом ξι и |г
независимы, а Ρ{ξ3 = ξι} = 1. Сравнить характеристические
функции и функции распределения суммы ξι + ξ2
независимых и суммы ξι + ξ3 зависимых одинаково
распределенных случайных величин.
4.158. Используя результат задачи 4.155, вычислить
оо
τ / \ _ Г du
'«.И1 1 /2 ι 2W..2 , , ч2\ '
J (а + и ) (Ъ + (х — и) )
Глава 5
ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В предыдущих главах рассматривались случайные
величины (т. е. измеримые функции, определенные на
вероятностном пространстве (Ω, st-, P)), принимающие
действительные или векторные значения. Случайная
величина, значениями которой являются бесконечные
последовательности, называется случайным процессом с
дискретным временем; если же значениями случайной
величины являются фупкции действительного
аргумента, то она называется случайным процессом с
непрерывным временем. Реализации случайного процесса
(последовательности или функции) называют его траекториями.
Существует много способов задания распределений на
множестве траекторий случайного процесса (см.,
например, задачи § 1).
Задачи § 2 связаны с пуассоновскими процессами и
потоками. Пуассоновский поток точек на действительной
прямой — это не более чем счетная случайная
совокупность точек Τ = {τ„} с(—°°, <») = Д1, удовлетворяющая
следующим условиям:
а) существует такая неотрицательная измеримая
функция λ (ж), x^R1, что для любого измеримого
множества BczR1 число %(В) точек совокупности Т,
попавших в множество В, имеет распределение Пуассона с
параметром Λ (В) = J λ (χ) dx,
в
б) для любых двух непересекающихся измеримых
множеств В\, Bi<=:W числа %(ВХ) и \(Вг) независимы.
Функция λ (χ) называется интенсивностью пуассонов-
ского потока.
148

В ряде случаев более удобным оказывается другое
(эквивалентное) определение пуассоновского потока: для
любого х^ R1 при h \ О
Ρ{ξ([*,* + Λ]) = 1}-λ(*)Λ + ο(Λ),
Ρ{ξ ([χ, χ + h]) = 0} = 1 - λ (χ) h + o(h),
и для непересекающихся интервалов (χ, x + h), (y,y + g)
(h, g>0) случайные величины %([x, x + h]) и ξ ([г/, y +
+ g\) независимы.
Если λ(χ)^λ, т. е. пуассоновский поток однородный,
а τι < Т2 < ...— все точки пуассоновского потока на
[0, <χ>), то случайные величины τι, тг — τι, тз —тг, .··
независимы и имеют показательное распределение:
Ρ{τ, ^ χ] - Phk+i - τ„ < х) - 1 - e"ta (я > 0).
Пуассоновский процесс |( (ί > 0) с интенсивностью
λ (ж) — это случайный процесс, связанный с
пуассоновский потоком с интенсивностью λ (χ) равенством ξ<—
= ξ([0, f]), т. е. ξι—это число точек потока, попавших
в отрезок [0, ί]. Таким образом, при любом ί>0
значение пуассоновского процесса |< с интенсивностью λ (χ)
имеет распределение Пуассона с параметром Л (t) —
= J λ (χ) dx, приращения ξ,+Λ-ξ« и ξ,+,-ξ. (s, t, h, g>
о
> 0) имеют распределения Пуассона с параметрами
A(t + h) — A(t) и A(s + g) — A(s) соответственно (и
независимы, если интервалы (i, t + h) и (s, s + g) не
пересекаются).
Важным классом случайных процессов являются цепи
Маркова.
Во введении к гл. 2 была определена общая схема
последовательности зависимых испытаний с исходами
1, ..., N, в которой вероятность появления цепочки
исходов ii, ..., ik в испытаниях с номерами 1, ..., к
представлялась в виде
Ρ(U, ···. h) = p(U)p(i2\U)...p(ik\i\...ih-l), (5.1)
где p(ij\ii... ij-\)> 0 — функции, удовлетворяющие
условиям
N
2 ρ (ij К ... iHl) = 1 (5.2)
для любого j>i и любых μ, ..., ij-ι е {1, ..., М.
149

В предыдущих главах, как правило, рассматривался
частный случай однородной последовательности
независимых испытаний, когда функции p(i}\i\... ij-i) — p(h)
не зависели ни от /, ни от i\, ..., ίΗ1. Β § 3 этой главы
рассматривается другой важный частный случай общей
схемы (5.1), в котором для любого / S? 2 и любых
ί'ι, ..., ij-\
p(ij\h ... ί,-ι) = Pij-litj (5·3)
если выполнено (5.3), то говорят, что последовательность
испытаний образует однородную цепь Маркова. Условие
(5.3) часто называют марковским свойством; оно
означает, что если исход какого-то испытания фиксирован,
то результаты испытаний, следующих за выбранным, не
зависят от результатов испытаний, предшествовавших
ему. При построении математических моделей ряда
реальных явлений предположение (5.3) оказывается
довольно естественным.
Для цепей Маркова начальному испытанию
приписывают номер 0 (а не 1, как в (5.1)), исходы 1, ..., N
называют состояниями цепи, вектор
р(0) = Ы°\ ...,Л0)) = (р(1), ...,р(Ю)
— вектором начальных вероятностей, а матрицу
/Рц Ри ··■ Pin
VjVi Pn2 ' · · PNN^
— матрицей вероятностей перехода. В силу (5.2) все
элементы матрицы Ρ неотрицательны и сумма элементов
каждой строки равна 1; матрицы, обладающие этими
свойствами, называют стохастическими.
Отметим, что все введенные здесь определения легко
распространяются на бесконечные последовательности
испытаний (цепи Маркова) с бесконечным множеством
исходов (состояний) {1, 2, ...}.
Из определений (5.1), (5.3) следует, что если ξ«-—
состояние цепи Маркова в момент t и
ρ«(ί) = Ρίξι=/Ιξο = ί} = Ρ{ξι+. = /Ι|. = ί}, s, t>0,
— вероятность перехода из состояния I в состояние / за
t шагов, то матрица
рщ=1рч(*)&-1->р*,
150

а векторы p(l) = (p\l), ..., pW), где pf = Ρ(ξ( = /),
удовлетворяют соотношению
ρ(Ι + .)=ρΙ.)ρι.
далее для любых 0^to<t\ <.. ..<tk, to,..., ih e
Ρ [£<„ = Όι 5»! = h lth = ik\ =
h
Таким образом, с формальной точки зрения
исследование многих свойств цепей Маркова сводится к изучению
соответствующих свойств степеней матриц вероятностей
перехода (об одном из способов получения явных
формул для элементов степеней матриц см. задачи 5.79—
5.81).
Важную роль при изучении цепей Маркова играет
классификация их состояний. Говорят, что состояние ;'
следует за состоянием i (£->-/), если ρ«(ί)>0 для
некоторого целого t > 0; если i -»■ / и / -*■ i, то состояния i и /
называют сообщающимися (£-*-*-/). Если для
состояния i найдется такое состояние j = j(i), что ι-*·/, но
/А/ (т. е. /?jf(i) = 0), то состояние i называется
несущественным; в противном случае состояние i существенное.
Множество всех существенных состояний с помощью
отпошения -*->- (нетрудно проверить, что это отношение
является отношением эквивалентности) разбивается на
классы сообщающихся существенных состояний;
переходы траектории цепи из одного такого класса в другой
невозможны. Множество несущественных состояний
тоже разбивается на классы сообщающихся состояний;
траектория цепи Маркова может выходить из любого
такого класса, но, выйдя из такого класса, вернуться в
него уже не может. Если множество состояний цепи
Маркова конечно, то с вероятностью 1 траектория цепи рано
или поздно выходит из множества несущественных
состояний и после этого остается в одном из классов
существенных сообщающихся состояний.
Говорят, что класс όΦ сообщающихся состояний
периодический с периодом d > 1, если для состояния i e $&
{i: pu(t)>0}c{d, 2d, 3d, ...} (5.4)
и любое число d\ > d не удовлетворяет (5.4);
определенное по формуле (5.4) число d зависит от класса όΦ, но
151

не от выбора элемента i е s&. Если (5.4) выполняется
только при d—l, то класс όΦ называют апериодическим.
Пусть все состояния цепи Маркова |< с матрицей
вероятностей перехода Ρ образуют один апериодический
класс сообщающихся состояний. Тогда существует такое
целое число t0, что при любом t > ί0 все элементы
матрицы Р' положительны и справедлива следующая
Теорема. Если для цепи Маркова с N<<*>
состояниями при некотором ίο > 0 все элементы матрицы Ρ °
положительны, то существуют
Нтру(г) = я;>0, i, /е={1, ..., Ν};
t-»oo
величины т, ..., Пу являются единственным решением
системы линейных уравнений
N
2)л4ру=л,·, f=i,...,N, πχ + ... + ηΝ= 1.
Распределение п = (п[, ..., πΝ) не зависит от
начального состояния i цепи |, и называется предельным или
финальным распределением |(. Кроме того,
распределение η стационарно, т. е. пР1 — η для любого t = 1, 2, ...
В случае, рассмотренном в теореме, стационарное
распределение единственно и совпадает с предельным; если
цепь Маркова имеет несколько апериодических классов
существенных сообщающихся состояний, то существует
много стационарных распределений и предельное
распределение зависит от начального; если цепь содержит
несущественные состояния, то соответствующие им
предельные вероятности равны 0.
Наконец, если все состояния 1, ..., N цепи Маркова
£< образуют один класс периода d > 1, то предельного
распределения |, при условии |о = i и t -*- «> не
существует; однако существуют такие распределения π =
-(πι4, ...,πίν1*), ...,ли)=(я[а\ ...,n!vd)), что для любого
ie{l, ..., Щ и любого целого к ^ 0
lim pl} (td + к) = Jif (i'h)),, / = 1, ..., Ν,
где функция /га(г, &) принимает значения 1, ..., d и при
любом /е(1, ..., Л?} лишь одно из чисел л$1),...,яУ>
отлично от 0.
Цепью Маркова |( с непрерывным временем и
множеством состояний {1, ..., № называют случайный про-
152

цесс, траектории которого являются
кусочно-постоянными функциями, принимающими значения 1, ..., N, и при
любых i, /еИ, ..., N), t и h>0 вероятности перехода
из состояния i в состояние j за время h
Pa(h) = Ρίξ,+* = /Ιξ, = fl = Ρ{ξί+ή - /И, = i, {ξ«>««>
не зависят от поведения процесса |и до момента t и
удовлетворяют условиям
Ра(к) = ацк + о(к) (i Φ]),
Pu(h)= 1 -aih + o(h),
Ν
fcJO, сц=2°^·, ije={l, ...,Ν).
Функции ptj(t), f 3*0, являются решением систем
дифференциальных уравнений Колмогорова — Чепмэна
N
Pi] У) = — «i/>ij (0 + 2 ^ihPhj (0.
Mi
I,/e {!,...,ΛΓ), (5.5)
и
JV
Pii (ί) = — a}pij (t) + 2 Pift (0 ««,
mJ
i,/e{l);..M^}, (5.6)
с начальными условиями р«(0)= 1, р«(0) = 0 [i*t*i, i, /e
e{l, .., tf>).
Классификация состояний описанных здесь цепей
Маркова с непрерывным временем отличается от случая
дискретного времени лишь тем, что состояния (и их
классы) не могут быть периодическими. Если все
состояния 1, ..., N цепи Маркова с непрерывным временем
сообщаются, то существуют
limpi}(t) — n}>0, i, }<={i, ...,N},
t-*<x>
и предельное распределение π = (πι, ..., ηΝ) является
единственным решением системы линейных уравнений
N
2 nhah} = ща}, 7 = 1, ...,Ν,
πι + ... + ηΝ = 1.
153

§ 1. Разные задачи
5.1°. Случайные величины ξ, (f = 0, ±1, ±2, ...)
независимы, Μξ( = α, D|( = σ2. По действительным числам
Со, С|, . . ., С„, уДОВЛеТВОрЯЮЩИМ УСЛОВИЮ С0 + С1 + ...
... + с„ = 1, построен случайный процесс
η< = colt + ci|(-i + ... + chl,-h, t = 0, ±1, ±2, ...
Найти Μη(, Dn,, οον(η(, η8). Показать, что οον(η,, η.) =
«=/?(|s —1\), т. е. зависит только от Is —il.
5.2°. Пусть выполнены условия задачи 5.1.
а) Доказать, что последовательность случайных
величин
I
ζη = — (V)i + ... + T)n)
при η -*- оо сходится но вероятности к а — Μξ(.
б) Сходится ли ζ„ к а с вероятностью при д -> °°?
5.3. Пусть выполнены условия задачи 5.1 и, кроме
того, а = 0, М£( = е<оо.
а) Доказать, что для любого целого s >0
последовательность случайных величин
ζη' = — OiiTh+i + η2η2+8 + ... + ηηηη+s)
при η -*- t» сходится по вероятности к R(s).
б) Сходится ли ζη к R(s) с вероятностью 1 при
Л -*■ оо?
5.4°. Случайный процесс ξ,, ί = 0, ±1, ±2, ...,
определяется формулой
ξ, = asm(At + $)+et,
где α, β, {et}^-», — независимые случайные величины,
Μα = 0, Da = l, β имеет равномерное распределение на
отрезке [—π, π], Με( = 0, De, = σ2. Найти М|(, D|(,
cov(|,,|s)·
5.5°. Случайный процесс ξ,, —оо < t < °°, задан
формулой
ξ, = sin(i + πηι) + 8Ϊηπ(ί + η2),
где ηι и η2 независимы и имеют равномерное
распределение на отрезке [—1, 1]. Найти Μξ(, D|(, cov(|(, |s).
5.6. Случайный процесс ξ,, —οο<ί<οο( задан
формулой
|( = ζι sini+ £2sinni,
154

где ζι и ζ2 независимы и имеют равномерное
распределение на отрезке [—1, 1]. Найти плотность распределения
случайной величины η = sup ξ*.
t
5.7*. Случайные величины αϊ, аг, ... независимы и
одинаково распределены, Maj = 0, Da< = 1. Случайные
величины β!, β2, ... независимы, не зависят от аь αϊ, ...
и имеют равномерное распределение на отрезке [— л, π].
Последовательность случайных процессов r\\(t), f]2(t), ...
определяется равенством
η
η™ (г) = г-f- 2 afcos (* + β*)·
а) Найти предельное распределение r\n(t) при п-+°°,
t = const.
б) Доказать, что η„(ί) = 0„cos(i + f„). Найти
предельное распределение вектора (·γ„, θ„) при η -*- °°.
5.8°. Случайный процесс ε,, 0 ^ t < °°, с вероятностью
1 имеет непрерывные траектории, Με( = 0, Det < °°,
οον(ε(, e,) = R(\t~s\) при любых t, s>0. Пусть r\t =
= J е„йи, ί>0. Найти Μη,, ϋη(, οον(η(, η8).
ο
5.9°. По траектории случайного процесса |(, t > О,
определяется случайная величина
τΝ = ίηι{ί^0: £,>#}.
Найти функцию распределения FN (χ) = Ρ{τΝ < χ} при
Ν>0 в следующих случаях:
а) ξ* = ζί, где Ρ{ζ<*} = 1__1_. (*>0, fc>0),
б) ξ, = ί2 - 2ίζ, где Ρ{ζ si χ) = 1 - e-u (ж S* 0),
в) 1< = ζ6<", где а>0 и Ρ{ζ < ж} - 1 - е-** (*>0).
5.10= По последовательности |о, ξι, ... независимых
одинаково распределенных случайных' величин построен
случайный процесс η„ = ξ„+1 — ξ*, k = Q, 1, ... Положим
τ, = inf{fe^0: η^0>,
T2 = inf{fc^0: η„<0}.
Найти Μτι и Мтг в следующих трех случаях:
а) Р {|о = 1> = Ρ (ξο = 2} = 1/2,
б) Ρ {ξο = 1> = Ρ (Ιο = 2} = ... = Ρίξο = d) = 1/d,
в) |о имеет равномерное распределение на отрезке
[0, 1].
155

5.11. Найти распределение корня τ случайного
уравнения %х + η = 0, где 1 и η — независимые случайные
величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
5.12. По последовательности ζι, ζ%, ... независимых
случайных величин, имеющих стандартное нормальное
распределение, строится траектория случайного процесса
ξ< (t > 0): |о = 0, lk — ζι +... + ζ„ при любом целом к >
> 1, а при t^(k, k+ί), к = 0, 1, ..., графиком
траектории %, является отрезок, соединяющий точки (к, |ft) и
(ft + Ι, ξ»+1), т. е.
6,=(ft+l-i)i* + (<-ft)l*+i при k<t<k + l.
Найти математическое ожидание числа μk нулей
процесса |, на полуинтервале [0,к) (к ~> 1 — целое) и
асимптотику Μμ„ при к -*■ оо.
5.13. Случайный процесс |п(#), —°°<х<°°,
определяется равенством
I» (*) = ξο + ζι* + ζ2Χ2 + ... + ζηχη,
где случайная величина ζο не зависит от случайного
вектора (ζι, ..., ζ„) и имеет непрерывную функцию
распределения. Доказать, что при любых фиксированных χ и а
Ρ{ξ„(*) = «ϊ = 0.
5.14. Доказать, что если выполнены условия задачи
5.13, то с вероятностью 1 все действительные корни
многочлена %п (х) — простые.
5.15. Случайный процесс !„(#), — °°<а:<<»,
определяется равенством
ξ„(*)-ζο + ζι* + ... + ζΛί\
где ζο, ζι, «· ·, ζη — независимые случайные величины,
имеющие нулевое математическое ожидание и
единичную дисперсию. Найти М|„(ж), D|n(z), cov(%n(x), in(y))·
5.16. Доказать, что если выполнены условия задачи
5.15, а случайные величины ζο, ζι, ..., ζ„ независимы и
имеют стандартное нормальное распределение, то при
любых действительных χι, ..., хк вектор (ξη(#ι), ..., 1п(я&))
имеет многомерное нормальное распределение.
5.17*. Случайный процесс |„(я), — <» < ж < «^
определяется равенством
ξ„ (*)= Со+ ζι*+... + &.*",
где ζο, ζι, ..., ζη — независимые случайные величины,
156

имеющие стандартное нормальное распределение.
Используя результаты задач 5.15, 5.16 и 3.266, доказать, что
lim -I- p{In(х)In(х + h)<0} =
На рис. 6 приведены графики функций gio(x), g2o(x),
gio(x)· Доказать, что при rat°° функции g„(x),
монотонно возрастая, стремятся к функции g (χ) ·= —j гт.
π 1 — χ \
5.18. Случайные величины ξι, %%, ... независимы и
имеют одно и то же распределение на множестве {—1, 0,
1, 2, ...} с производящей функцией f(s) = Ms4 По
случайному блужданию
ро = 0, ρ„ = |ι+...+ !„ (n>i)
построим случайные величины τι, тг, ...:
fmin In: ρ„ = — к), если inf ρ„ < — fc,
' v ' n>0
Tft =
00 в противном случае.
а) Доказать, что производящие функции yh (s) = MsVft
связаны соотношениями φ,, (s) = φ* (s), а производящая
функция φι (s) является решением уравнения s/(q>i (s)) = 1.
б) Найти функцию cpi(s), если
Pi|i-=ft}=(l-p)p*+1, Л 1, 0, 1, ...
157

в) Найти функцию <pi(s), если
Р{|, = 1}=р, ρ{ξ, = -1} = ΐ-Ρι 0<р<1.
5.19. По случайному блужданию рп, определенному в
задаче 5.18, построим случайную величину μ = inf pn.
а) Найти распределение μ.
б) Доказать, что Ρ{μ>—°°} = 1 тогда и только тогда,
когда Μξι > 0 или Ρ{ξι = 0} == 1.
5.20. Показать, что если ро = 0, р„ = ξι + ... + ξη —
случайное блуждание, построенное по независимым
одинаково распределенным случайным величинам ξι, ξϊ, .. .'·
Ρ{ξ„ = 1} = Ρ{ξ„ = -1} = 1/2, в-1,2,...,
то справедливы следующие соотношения:
а) Мрп - 0, DPn = η, Ρ {ρ2η+1 = 0} = 0, Ρ (ρ2„ =0}=
лП С)—2П 1 _
= C2„<i ~—j=, n-*-oo;
упп
б) М|Рп| = 2р{Р^ = °}~У1Г. п-*°°·
ft=0
5.21. Случайные векторы ξι, ξ2, ... в d-мерном
евклидовом пространстве независимы и при любом к = 1, 2, ...
Μξή = 0, Mfgft|»-oJ<oo,
где 1ξ„| — евклидова длина ξ^. Построим случайное
блуждание ро = 0, ρ„ = ξι + ... + ξ„ (н > 1). Доказать, что
Μρη = 0, Μ | рп 1> — σ? + ... +al
5.22. Случайные векторы ξ„ = (ξ», ι, ..., ξι,, d) (к =>
= 1, 2, ...) в d-мерном евклидовом пространстве
независимы и имеют равномерное распределение на единичной
сфере
S'^-Uxi, ...,xd)t=Rd: *J+ ... +*3= 1|.
Пусть ρ„ = ξι+... + ξη и |р„|—евклидова длина
вектора р„. Найти М|р„|2, D|p„|2.
5.23. Пусть выполнены условия задачи 5.22. Доказать,
что при любом α > 3/2
Ρ (lim JM =
5.24*. Случайные величины ξι, ξί, ... независимы,
принимают значения 1 и —1 с вероятностями ρ и g =
158

= 1 — ρ соответственно, и
S0 = 0, $„ = ξι + ... + &Β, л=1, 2, ...
Обозначим через ν число таких п, что 5„ = 0.
а) Показать, что если p¥=q, то Ρ{ν<°°} = 1;
б) показать, что если р = <? = 1/2, то Ρ{ν = °°} = 1.
5.25*. Независимые случайные векторы ξ„ = (ξη,ι, ...
···, In, j)s-ff% re=l, 2, ..., имеют независимые
компоненты и Ρ {ξη,ί=1}=Ρ {ξη,ί =- 1} =-γ,ί *£ « *£ «, ι»=1, 2, ...
Положим S„ = |i+ ... + !„, ra=l, 2, ..., и обозначим
через ν число таких п, что Sn = (0, ..., 0). Показать, что
Ρίν = °°} = 1 при s = 2 и что Ρίν < °°} = 1 при s > 3.
5.26. (Тождество Вальда.) Пусть случайные
величины ξι, |г, ... независимы, Μ|ί = α, М||<|^С<°°
(i>i). Пусть Bxc:R\ B2<=R2, B3<^R3, ... —
произвольная последовательность измеримых множеств, и
случайная величина ν определяется равенством
v = inf{*: (ξ,, .... ln)<£Bj
(v=o°, если (ξι, ..., ξ„)ε5„ при любом ге<°°).
Используя равенство
Σ ξ4 = Ι Ι1χ{ν>ΐ} = Σε1(ΐ-χ{ν<ί»
1=1 i=l ί=1
(где %{А} — индикатор события А), доказать, что если
MV < °°, ТО
V
Μ 2 ti = αΜν.
i=l
5.27. Проверить справедливость установленного в
задаче 5.26 равенства в следующих случаях:
а) Р{|(=1} = Р{|4 = -1} = 1/2, v = mm{re3*0: ξ, + ...
... + |«-i),
б) Ρ{ξ<=1} = Ρ{1< = -2} = 1/2, v = min{rc>0: ξι + ...
... + ξ„ = 1>.
Объяснить результаты.
5.28. Случайные величины ξι, |г, ... независимы и
одинаково распределены, α = Μξι>0 и P{||il<C} = l
при некотором С<°°. Пусть ро = 0, р„ = ξι + ... + |„
(п>1) и Nt = ini{n>0: Sn>t). Доказать, что при
любом t > 0
159

5.29. Случайные величины pi, рг, ... при любом целом
п> i удовлетворяют условию
M{pn+ilpi, ..., р„} >рп.
Доказать, что при любых целых к, η > 1
M{p„+4lpi, ..., р„> >р„.
5.30*. Неотрицательные случайные величины pi, рг, ...
при любом целом η > 1 удовлетворяют условию
Mipn+ilpj, ..., р„} >рп.
Доказать, что для любого δ > 0 и любого целого η ~> 1
P{max{Pl Ρη}>δ}<^.
5.31. Случайные величины ξι, |г, ... независимы,
Μξ< = 0, i=l, 2, ... Доказать, что для любого δ > 0 и
любого целого η > 1
P(max|g1 + ...+!ft|>6}<M^+;"+4
Ικικη / о
5.32. (Неравенство Колмогорова.) Случайные
величины ξι, ξ2, ... независимы, Μξ< = 0, D£i = o?<<x>
(i = l, 2, ...). Доказать, что для любого δ >0 и любого
целого η > 1
Pimax^-b ... +ξ„|>6) < ' ., .
§ 2. Пуассоновские процессы
5.33°. Найти οον(ξ,, ξ(+.) при t, s>0, если:
а) ξ, — пуассоновский процесс на [0, <») с
интенсивностью λ,
б) |( — пуассоновский процесс на [0, °°) с
интенсивностью λ(ί)·
5.34. Пусть {τ&}α°=ι (0 < τι < Т2 < ...) — положения
точек пуассоновского потока на [0, °°) с интенсивностью λ.
Доказать, что при любом Τ > 0
σο
ft=l
5.35. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти
Мх,,, Drk и плотность ph(x) распределения τ».
160

5.36. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти:
а) плотность р(Х[, ..., хк) совместного распределения
случайных величин τι, тг, ..., хй,
б) ?{%\ «= ska > Т), О ^ χ < °°,
в) Р(х, < хЫ ^Т< х2), 0 =s= χ < Т.
5.37. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти
условную плотность рт(х\, ..., Хк) совместного
распределения случайных величин τι, ..., τ„ при условии, что
τκ<Τ <τΗ+ι. Сравнить ρτ{χι, ..., %κ) с плотностью
qT{x\, ..., Xh) совместного распределения членов
вариационного ряда |(i, < |(2) <... *S 1(к„ построенного по
независимым случайным величинам ξι, ..., %h, имеющим
равномерное распределение на отрезке [О, Т].
5.38°. Найти математическое ожидание числа точек
пуассоновского потока с интенсивностью λ,
принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что справа от каждой из
них в интервале длины Δ нет других точек этого
пуассоновского потока.
5.39°. Найти математическое ожидание числа точек
пуассоновского потока с интенсивностью λ,
принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что расстояния от
каждой из них до ближайших точек пуассоновского потока
не меньше Δ.
5.40°. Пусть {xh}™=-°o—положения точек
пуассоновского потока на (—°°, °°) с интенсивностью λ. Перенумеруем
случайные величины τ4 так, чтобы они удовлетворяли
условиям 0*S |τ(ο,Ι < Ιτ(ι,Ι *3...
а) Как можно описать последовательность {| Т(й> |}£L0?
б) Что можно сказать о последовательности Θ» =
= τ(Λ)/Ιτ(Λ)|, к = 0, 1, 2, ..., знаков чисел т(к)?
5.41°. Пусть 0<χι <Х2<...— положения всех точек
пуассоновского потока на [0, °°) с интенсивностью λ.
«Проредим» этот поток, исключая из него каждую точку
независимо от остальных с вероятностью р, где ρ —
данное число, 0 < р< 1. Доказать, что прореженный поток
является пуассоновским. Чему равна его интенсивность?
5.42°. Пусть ρ (χ) — кусочно-непрерывная функция,
принимающая значения из отрезка [0, 1], а 0 < τι <
< Х2 <...— положения всех точек пуассоновского потока
на [0, °°) с интенсивностью λ(χ). «Проредим» этот поток,
исключая из него каждую точку х„ независимо от
остальных с вероятностью р(х„). Доказать, что
прореженный поток является пуассоновским. Чему равна его
интенсивность?
161

5.43°. Моменты поступления требований в систему
массового обслуживания образуют пуассоновский поток на
(—οοι с») с интенсивностью λ. Каждое требование
независимо от остальных находится в системе случайное
время τ с Ρ{τ < χ) = G(x), Μτ < <». Найти
распределение числа ξι требований в сиотеме в момент Ъ.
5.44. Для системы массового обслуживания,
описанной в задаче 5.43, найти функцию /(ί) = Ρ{ξ< =0|ξ0 = 01.
Убедиться в том, что f{t) монотонно не возрастает
по t.
5.45. Случайно расположенные на плоскости точки
образуют пуассоновское поле с интенсивностью λ, т. е.
число точек в любой квадрируемой области S имеет
пуассоновское распределение с математическим ожиданием
λΙ5|, где ISI — площадь области S, и числа точек в
непересекающихся областях независимы. Пусть pi *S
< р2 < ...— упорядоченные по возрастанию расстояния
от начала координат до точек этого поля.
а) Как можно описать последовательность {pk}T=i?
б) Найти плотность рп(х) распределения р„, точную
формулу для Мр„ и асимптотику Мр„ при η -*■ °°.
5.46. Случайно расположенные в пространстве Л3
точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью λ,
т. е. число точек в любой измеримой области V имеет
пуассоновское распределение с математическим
ожиданием λίνΐ, где 171— объем области V, а числа точек в
непересекающихся областях независимы. Ответить на те
же вопросы, что в задаче 5.45.
5.47. Автобусы прибывают на остановку в случайные
моменты времени τι<Χ2<... Случайные величины τι,
Т2, ... независимы и τη имеет равномерное распределение
в интервале (га—1, га).
а) Найти плотность ρ (χ) распределения интервала
δ™ = τη+) — τ„ между автобусами.
б) Найти плотность ph(xi, £2) распределения
двумерного вектора (δ„, δ„+Λ) при к = 1, 2, ...
в) Моменты || и \ι прихода двух пассажиров на
остановку независимы и имеют равномерное распределение
на интервале (0, 1). Найти вероятность того, что они
поедут на одном и том же автобусе.
г) Моменты ξι и |г прихода двух пассажиров на
остановку независимы, ξι имеет равномерное распределение
на интервале (0, 1), а ξ2 — на интервале (1, 2). Найти
вероятность того, что эти пассажиры поедут на одном
автобусе.
162

д) Пассажир приходит на остановку в случайный
момент ξ, имеющий равномерное распределение на
интервале (0, 1). Найти математическое ожидание, дисперсию
и плотность q(x) распределения времени ожидания
автобуса.
5.48. Решить задачу 5.47 в случае, когда
последовательность τι < Т2 < ... моментов прибытия автобусов на
остановку образует пуассоновский поток с
интенсивностью 1. Сравнить полученные результаты с
результатами решения задачи 5.47.
§ 3. Цепи Маркова
5.49. Цепь Маркова ξ, имеет множество состояний
{—6, —5, ..., О, 1, ..., 6). Переходные вероятности рц =
= Ρ{|(+ι = /Ιξί = 0 при i Φ 0 определяются соотношениями
_ II, если /=1 + 1^0 или / = I — 1 ^ 0,
υ 10 в остальных случаях.
Провести классификацию цепи Маркова и множества ее
состояний, если:
а) ро.6=1, Ро,( = 0 (г =И= 6),
б) ро, 6 = Ро, -6 = 1/2, ро,i = 0 (|г!¥=6),
в) Ро, 6 = ро, -5 = 1/2, ро. ,· = 0 (i Φ -5, i Φ 6).
5.50. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова
имеет вид
/0,1 0,5 0,4\
Ρ = 0,6 0,2 0,2 .
\0,3 0,4 0,3/
Распределение по состояниям в момент времени t = 0
определяется вектором (0,7; 0,2; 0,1). Найти:
1) распределение по состояниям в момент ί = 2;
2) вероятность того, что в моменты t = 0, 1, 2, 3
состояниями, цепи будут соответственно 1, 3, 3, 2;
3) стационарное распределение.
5.51. Пусть ξι — номер состояния в цепи Маркова в
момент времени ί; Ρ(ξ0 = 1)=1, и матрица вероятностей
/3/7 3/7 1/7 \
I 1/11 2/11 8/11 ;
\1/И 4/11 6/11/
_ fl, если lt = 1,
~\21 если \χφ\.
163
перехода имеет вид
положим
СП*

Показать, что последовательность η, является цепью
Маркова. Найти ее матрицу вероятностей перехода.
5.52. Случайные величины |(, t = 1, 2, ...,
независимы и
?(\t = i)-pt Ρ(ξ< 1)=1 —ρ —g.
Положим ηο = 0; η,+) = η( + |,+]. Является ли
последовательность r\t цепью Маркова? Найти P(r\t = m), m =
= 0, 1,2,...
5.53. Пусть ξ,, ί=1, 2, ...,— независимые случайные
величины, Р(|, = 1)=1 -Р(|, = -1)=р являются ли
цепями Маркова последовательности случайных величин:
а) η< = 1<1«+ι;
б) η, = ξιξ2...ξ<;
в) ηι=φ(|ι, |ί+ι), где φ(-1, -1)=1, φ(-1, 1)=2,
φ(1, -1) = 3, φ(1, 1) = 4?
Для цепей Маркова найти вероятности перехода за
один шаг.
5.54. В N ячейках последовательно независимо друг
от друга равновероятно размещают частицы. Пусть
μο(η) — число ячеек, оставшихся пустыми после
размещения η частиц. Показать, что последовательность μο(η),
и = 1, 2, ..., является цепью Маркова. Найти
вероятности перехода.
5.55. В N ячейках независимо друг от друга
размещаются комплекты, состоящие из т частиц. Частицы
одного комплекта размещаются в ячейках по одной, и все
возможные выборы т мест из Л' имеют одинаковые
вероятности. Обозначим через μο(η) число ячеек,
оставшихся пустыми после размещения η комплектов.
Показать, что последовательность μο(η), га=1, 2, ..., является
цепью Маркова. Найти вероятности перехода.
5.56. Урна вначале содержит N белых шаров. За 1
шаг из урны по схеме случайного равновероятного
выбора вынимают 1 шар и заменяют его новым, который —
независимо от предыстории процесса — является черным
с вероятностью ρ и белым с вероятностью q = 1 — р.
Обозначим через ξη число белых шаров в урне после д-го
шага.
а) Найти Ри = Р{1п+\ = Я|» = i), i, /ei0, 1, ..., Ν).
Является ли последовательность ξ„ цепью Маркова?
б) Найти limP{gB = к} = лк, ' к<={0, ί,.,.,Ν).
5.57. В бесконечной последовательности
занумерованных шаров каждый шар независимо от остальных явля-
164

ется черным о вероятностью ρ и белым с вероятностью
q — 1 — ρ. Будем считать, что в момент времени η е
е {0, 1, ...} урна содержит шары с номерами η+ϊ,
η+2, ..., η + Ν, и обозначим через ξ„ число белых
шаров в урне в момент п. Ответить на те же вопросы, что
в задаче 5.56.
5.58. Матрица Ρ = || Pij||i,j=i с неотрицательными
элементами называется дважды стохастической, если pti +
+ pi2 + ... + fiN = pu + P2t + ... + PNi= 1 для любого i =
= 1, 2, ..., N. Показать, что если цепь Маркова |« с
состояниями 1, ..., N имеет дважды стохастическую
матрицу вероятностей перехода Ρ = lpu\\ij=u то равномерное
распределение на множестве (1, ..., Ю является
стационарным для цепи ξι.
5.59. Пусть ξο, ζΐι ...— цепь Маркова с множеством
состояний {1, 2, 3), матрицей вероятностей перехода \\р^
и стационарным распределением п>. Показать, что если
Р\\ =Р22 = РЗЗ = 0 И П1 = Л2 = Пз = 1/3, TO Pl2 = P23 = P3t
И Plb = P2\ =РЪ2·
5.60. Пусть ηι, η2, ...— последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин, и
f(x, у) — функция, принимающая значения в множество
(1, ..., N). Является ли последовательность случайных
величин
ξο(Ρ(ξο=Α0 = ρ<°>), ξ,+1~/(ξ«,η(+1),
ί = 0,1,2, ...,
цепью Маркова?
5.61. Пусть ηο, ηι, η2ι ...— последовательность
независимых случайных величин, имеющих равномерное
распределение на отрезке [0, 1]. Показать, что для любого
начального распределения р<0) = (ρί0), ..., pff) и для
любой матрицы переходных вероятностей Ρ = | ру ]ji,j=i
можно указать такие функции f(x, у) и g(y)(ie{i, ..., Ν),
уе[0, 1]), что последовательность ξο = £(ηο), Ъ+ι —
= /(li. η<+ι), ί = 0, 1, ,.., будет цепью Маркова с
начальным распределением р<0> и матрицей вероятностей
перехода Р.
5.62. Игральная кость последовательно
перекладывается с одной грани равновероятно на любую из четырех
соседних независимо от предыдущего. К какому пределу
стремится при t -»■ °° вероятность того, что при £-м
перекладывании кость окажется на грани «6», если сначала
она находилась в этом же положении?
165

5.63. Цепь Маркова |( имеет два состояния: 1 и 2 —
и матрицу вероятностей перехода ( i1 . и). Пусть τ =
= min{t>i: l, = 2>.
а) Найти условное распределение τ при условии
|о=1.
б) Как изменится ответ, если матрица вероятностей
перехода будет равна
Л 1_Ч о<Р22<1?
5.64. Матрица вероятностей перехода \\ρν\\ цепи
Маркова ξ, с η + 1 состояниями имеет вид: р«— l — a, i =
= 1, 2, ..., га + 1; рц — а/п, i¥*j. В процессе, начавшемся
из состояния к, k¥=n+i, обозначим через х„ момент
первого попадания в состояние η+ί. Подобрать
последовательность Ап (Ап-*■<*> при д-*°°) так, чтобы
существовал предел
lim Ρ{τη/Αη>χ),
П-»оо
и найти его.
5.65. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова
|п с множеством состояний {1, 2, 3) имеет вид
/ 1 — ρ ρ 0 \
U-p-г ρ ε
V 0 ε2 1-eV
где 0 < ρ < 1 — е < 1. Предполагая, что ξόε) = 1,
рассмотрим случайную величину τ: (ε) — min [n^l: ξ^ε) = 1) —
время возвращения в состояние 1.
а) Доказать, что при любом t = 1, 2, ,..
lim P {xj (ε) = ί} = Ρ {Τι (0) = ί}.
ε-* ο
б) Показать, что Μτι(0)< °°, но ΙίιηΜτ^ε) = οο.
ε-» 0
в) Найти производящую функцию φΡ (s) = Μχτι(|ι).
5.66. Цепь Маркова ξ„ имеет начальное состояние
|о = 0 и переходные вероятпостп
Ρ{|η+ι = к + 1||„ = к) = ρ, Ρ{ξη+1 = Щп = ft} = 1 - ρ,
где /с, η = 0, 1, ... и 0<р<1. Найти распределение |п,
математическое ожидание и дисперсию |„.
166

5.67. По цепи Маркова |„, описанной в задаче 5.66,
построим последовательность случайных величин
хо = 0, х„ = min {η: ξη = к}, к = 1, 2, ...
а) Доказать, что {τ&}Γ=ο—тоже цепь Маркова. Найти
ее переходные вероятности.
б) Найти /vVrft, Djk, ср^ (.?) = MsXft.
5.68. Цепь Маркова |„ имеет начальное состояние
|о = 0 и переходные вероятности
Ρ{ξ„+ι = к + 1 |ξ„ = к) = ρ, Ρ{|„+ι = 0|ξη = ft} = 1 - ρ,
где /г, η ε (0, 1, ...} и 0 < ρ < 1. Положим
το = 0, тК = тт{п> ί: 1п = к}, к — 1, 2
а) Найти производящую функцию срй (s) = Ms " и Μτ,,.
б) Найти предельное распределение случайной вели-
Т* у ч
чины Ц/1 = jfa- при к -> °°, пользуясь результатом п. а)
и методом характеристических функций.
5.69. Переходные вероятности цепи Маркова |п при
любом η = О, 1, ... определяются равенствами
Ρ Цп+1 = 1 Ι ξ„ = 0> = р, Р{|и+1 = 0!ξ„ = 0) = 1 - ρ,
P{ln+i = k+l\ln = k} = p,
Ρ{ξπ + ι=Α·-1|ξη = Α;} = 1-ρ, fc = l, 2, ...
Пусть Τί, з — время перехода цепи ξη из состояния i в
состояние /':
P{xifj = t} = P{mm{n> 1: !„=/} = ί| £<> = *},
t= 1,2, ...
а) Найти производящую функцию φ0, i(s) = Ms*0-1 и
Μτο, ι.
б) Найти рекуррентные формулы, связывающие
производящие функции %,ft+1 (s) = Μχτ^+ι (Λ; = 0, 1, ...).
в) Используя результаты пп. а) и б), составить и
решить рекуррентные уравнения для Μτ1ιΗ.ι, /г = 0, 1, ...
Найти асимптотические формулы для Мхо, h при к -*■ °°.
5.70. Пусть ξι, |2, ...— независимые одинаково
распределенные случайные величины, Ρ{ξι = 1} = Р{|, ==
= —1> = 1/2; ζ0 = 0, zs = ζ*-] + gk, /г = 1, 2, ... Положим
τΝ = min {η > 1: |ζ„| = Ν}. Найти Μτ;, Μτ2, Мтз.
5.71. Пусть последовательность ζο, ζι, ... определена
как в задаче 5.70, Показать, что ΜτΛ = Ν2.
167

5.72. Движение частицы по целым точкам отрезка
[О, N] описывается цепью Маркова с N +1 состояниями
и вероятностями перехода за один шаг poi= Pivw = 1;
Pi,i+i = P, Pi,t-\ = i-p = q (г = 1, ..., iV — 1). Пусть
ξ(ί)—положение частицы в момент t и τ = miii it: ξ(ί) =
= Ν). Показать, что
mA = M{T|g(0) = fc} =
[(Ν -к) (Ν + к) (Р = Я= 1/2).
5.73. Движение частицы по целым точкам отрезка
[О, N] описывается цепью Маркова с JV+1 состояниями
и вероятностями перехода за один шаг poo = Pnn = 1,
Pi.i+\=P, Pi,i-i = Q (г = 1, ..., Ν-ί). Пусть ξ
Соположение частицы в момент t, pa(t) = P{%{t) = j\%(0) = i).
Найти вероятности поглощения частицы в точках 0 и N:
п^ = Нш pk0 (t), n{N) = Km pkN (t).
5.74. Вероятность появления брака при изготовлении
изделия равна р. При каждой проверке в ОТК наличие
брака обнаруживается с вероятностью q; в случае
обнаружения брака изделие возвращается на доработку. После
доработки изделие независимо от предыстории может
оказаться бракованным с вероятностью г. Доработанное
изделие снова поступает в ОТК, и цикл повторяется до тех
пор, пока ОТК не пропустит изделие как бездефектное.
Построив цепь Маркова, соответствующую описанному
процессу, найти:
а) распределение числа ξ раз прохождения изделия
через ОТК;
б) вероятность того, что изделие, признанное ОТК
бездефектным, в действительности является бракованным.
5.75. В городе N каждый житель имеет одну из трех
профессий: А, В, С. Дети отцов, имеющих профессии А,
В, С, сохраняют профессии отцов с вероятностями 3/5,
2/3, 1/4 соответственно, а если не сохраняют, то с
равными вероятностями выбирают любую из двух других
профессий. Найти:
1) распределение по профессиям в следующем
поколении, если в данном поколении профессию А имело 20 °/о
жителей, В - 30 %, С - 50 % ;
2) предельное распределение по профессиям, когда
число поколений растет;
1С8

3) распределение по профессиям, не меняющееся при
смене поколений.
5.76. По двум урнам разложено N черных и N белых
шаров так, что каждая урна содержит N шаров. Число
черных шаров в первой урне в момент t = О, 1, 2, ...
обозначим |(. В каждый целочисленный момент времени
случайно выбирают по одному шару из каждой урны и
меняют их местами. Показать, что |< является цеиыо
Маркова со стационарным распределением
nh = (ChN)'/C?N, fc = 0, ί,.,.,Ν.
5.77. Матрица вероятностей перехода Ρ и
распределение q по состояниям в момент t = 0 цепи Маркова |<
имеют вид
3/12 2/12 1/12 3/12 1/12 2/12
1/12 1/12 3/12 1/12 4/12 2/12
ρ 0 0 3/4 1/4 0 0
0 0 1/2 1/2 0 0'
0 0 0 0 1/3 2/3
0 0 0 0 2/3 1,3
« = (1/2, 1/2,0,0,0,0).
Найти:
а) несущественные состояния;
б) математическое ожидание времени τ до выхода из
множества несущественных состояний;
в) вероятности ρ* , р\ попадания в классы
состояний α = (3; 4}, β = {5, 6), если начальным состоянием
является ie{l, 2};
г) предельное при £->-«> распределение по состояниям,
т. е. величины nk = lim Ρ (ξ( = к).
ί-»οο
5.78. Цепь Маркова |„ имеет начальное состояние
%о — 0 и переходные вероятности
Р{Бп+1-*+1|Ь. = *>--т»
а
где к, ηε{0, 1, ...} и а > 1. Составить рекуррентные
уравнения для величин р(" = Ρ {ξη = Щ и с их помощью
найти МаЕ" и DaK
5.79. Показать, что если все собственные числа λι, ...
...^„матрицы Л = || ау |" j=1 различны, то элементы
169

матрицы Ат = | ay"' |]™,-=1 представляются в виде
а
„(™) V „"Οι"1 „, 19
5.80. Показать, что если матрица Л = || ац |™;·=1
имеет собственные числа λι, ..., λΓ, причем кратность Χι
равна s„ S\ + ... + sr = η, то элементы матрицы Ат =
— \\аа llt,j=i представляются в виде
α1«°- Σ*** Σ $'1)т\ m=i,2,...
ft=l !=0
5.81. Используя задачи 5.79 и 5.80, показать, что
получение формулы для вероятности перехода за η шагов
из состояния I в состояние / в цепи Маркова с N
состояниями может быть сведено к нахождению
собственных чисел матрицы Ρ = ||Pf;|ii,j=i вероятностей перехода
за один шаг, вычислению Р, Р2, ..., PN~l и решению
системы линейных уравнений.
5.82. Матрица вероятностей перехода Ρ — \\p{j\\ цепи
Маркова ξ, с состояниями 1 и 2 определяется формулами
Рп = 1 — а, ρΐ2 = α, ρ2ι = β, ριι = 1 - β.
Найти вероятности pu(t) перехода за время t и
стационарные вероятности π(.
5.83. Для цепи Маркова |(, рассмотренной в задаче
5.82, обозначим через νι (г) число попаданий в
состояние 1 за время t. Показать, что для любого / = 1, 2 при
t -*■ оо
MK(OIEo = i) = a-|pi(i+o(i)),
D{vI(i)l|o==/> =
5.84. Пусть выполнены условия задачи 5.83. Показать,
что для любого ε > 0 и любого /' =» 1, 2
lim Ρ < -Ц -τ:
>β|ξ0 = / -0.
5.85. Пусть выполнены условия задачи 5.83. Положим
το = 0 и введем случайные величины
τ* = miii {t > τ»-ι! ξ( = 1}, к — 1, 2, ...,
т. е. τΛ — момент /е-го попадания в состояние 1. Тогда
170

Vi(£) = max{fc: τ„ *ё i) — число попаданий в состояние 1
за первые t шагов.
а) Доказать, что случайные величины б* ■= τΛ+ι — τ„,
к = 1, 2, ..., независимы, не зависят от δο =· τι и что
Ρ{δΑ = /η} = Ρ{δο = /η|ξ0 = 1}, к, т — 1, 2, ...
Найти Μδι, D6i, ΜίδοΙξο = 2}, ϋίδοίξο ·= 2}.
б) Используя п. а) и задачу 4.140, найти такие
числа а, и 6, (f = l, 2, ...), что распределение случайной
Vj(i)-af
величины т]< == г при г -»- °° сходится к стандарт-
°(
ному нормальному распределению.
5.86. Пусть цепь Маркова ξ, с состояниями 1, ..., N
имеет матрицу вероятностей перехода Ρ = || рц |i,j=i
удовлетворяющую условию
iV
max 2 Ρϋ — Ίν ^ ε·
Показать, что если π = (πι, ..., jtjv)—стационарное
распределение цепи |(, то
JV
3=1
1
<8.
5.87. Пусть |( и It — цепи Маркова с матрицами
вероятностей перехода Ρ = I] py ||Jj=1 и Р' = |] р'у |jfj=1
соответственно, а π = (πj, ..., Jtjv) и π' = (щ, ..., jtjv) —
стационарные распределения этих- цепей. Следует ли из
близости элементов матриц Ρ и Р' (например, из малости
N
величины 2 I Ра ~~ Рч I) близость векторов π и π'?
5.88*. Частица совершает случайное блуждание по
множеству точек плоскости с целочисленными
координатами. За единицу времени частица перемещается на
единичное расстояние параллельно одной из осей координат.
После прохождения каждого единичного отрезка частица
выбирает направление дальнейшего движения: либо
продолжать движение в том же направлении, либо повернуть
налево, либо направо (каждый из этих вариантов
выбирается с вероятностью 1/3 независимо от предыдущих
движений частицы). Пусть ζη = (ζη\ ζή2)) — положение
171

частицы в момент п. Найти Μζ„ при условии, что ζ0 =
= (0,0), ζ, =(1,0).
5.89. Вероятность того, что атом радиоактивного
элемента, существующий в момент t, распадется на
интервале (t, t + h), при h I 0 имеет вид ah + o(h) и не
зависит от предыстории процесса. Найти:
а) вероятность того, что время τ до распада атома
будет больше t,
б) период полураспада, т. е. такое число Т, что Р{х >
> Т) = 1/2,
в) плотность pn(t) распределения времени до распада
хотя бы одного из η существующих в момент 1 = 0 и
независимо ведущих себя атомов.
5.90. Пусть ξ* — цепь Маркова с непрерывным
временем и множеством состояний {1, 2). Вероятности
перехода Pa{h)= Pi^t+h = /Ιξι = 0 удовлетворяют условиям
Pi2(h) = ah + o(h), p2\(h)=$h + o{h), h \ 0.
Найти pa(f), t>0, i, 7 = И, 2}.
5.91. Пусть P{a3)(t) = I pf^(t)\ — матрица
вероятностей перехода за время t цепи Маркова ξ() описанной
в задаче 5.90, а А = I " 12 I — стохастическая матрица.
\ 21 22/
Доказать, что для любого фиксированного числа и>0
цепь Маркова ξι, удовлетворяющая условию
Pia-n{u) = A,
существует тогда, и только тогда, когда ац + а22>1.
5.92. Для цепи Маркова |(, определенной в задаче
5.90, обозначим через τ&(ί) (к = 1, 2) суммарную
длительность пребывапия цепи в состоянии к за время t.
Найти m{(t) = Μ{τι(ί) Ι|ο == г) и главный член
асимптотической формулы для Ъ\ (Z) = D{x: (ί)| ξ0 = ί} при
t -*■ °°.
5.93. Движением точки по прямой управляет цепь
Маркова, определенная в задаче 5.90: если цепь Маркова
находится в состоянии 1, то точка движется в
положительном направлении со скоростью v\, а если цепь
Маркова находится в состоянии 2, то точка движется в
отрицательном направлении со скоростью V2. Пусть η, —
координата точки в момент t. Найти
Λ/,(ί, х)=МцЛт]о = х, lo = i}, t>0, i = l, 2,
172

и асимптотику В\ (t, χ) = D (η( [ η0 = χ: ξ0 = i], i = 1, 2,
при ί-*-οο.
5.94. На телефонную линию могут поступать вызовы
двух типов: простые и срочные. Любой вызов,
поступающий на свободную линию, занимает ее. Простой вызов,
поступающий на занятую липию, получает отказ и
теряется. Срочный вызов, поступающий на занятую линию,
обрывает ведущийся в этот момент разговор и сам
занимает линию. Моменты поступления простых и срочных
вызовов образуют пуассоновские потоки с интенсивиостя-
ми αϊ и ot2 соответственно. Вероятность того, что
разговор, ведущийся в момент t, окончится на полуинтервале
(t, t + h], не зависит от предыстории процесса и от типа
вызова и имеет вид $h + o(h) при h I 0.
Построить цепь Маркова с тремя состояниями,
соответствующую описанному процессу. Найти ее матрицу
интенсивностей переходов и предельные вероятности πι,
яг и яз того, что линия соответственно свободна, занята
простым вызовом и занята срочным вызовом.
5.95. Цепь Маркова ξ, с непрерывным временем
имеет мноя?ество состояний {0, 1, ..., Ν), а вероятности
Pu(h) — Ρίξί+Ί — /111 = О перехода из состояния i в
состояние /' за время h удовлетворяют при h I 0
условиям
Poo(h)= l — ah + o(h), pNN(h)= i — $h + o(h),
ρ«(Α)=1-(α + β)Α + ο(Α), ΚΚΝ-ί,
pt-i-{(h)== ah + o(h),
ptit-i(h)=^h + o(h), i^i^N,
PnW~ o(h), если \i — /I > 1,
где α, β — фиксированные положительные числа.
а) Составить систему дифференциальных уравнений
для Pij(t), 0<i,j^N,t>0.
б) Найти я}Я) = lim ρ (t), j =■ 0, 1, ..,, Ν, как функ-
f-»oo
ции от θ = α/β. Показать, что если θ = 1, то π^Ν) =· .,.
в) В случае θ<1 найти тх, == lim л] , / = 0,1, ...,
iV-»°o
а в случае θ> 1 найти л* = lim πίν_3·, j' = 0, 1, . ..
Ν-ΪΟΟ
173

Глава б
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В математической статистике исследуются способы
получения выводов на основе эмпирических данных.
Случайной выборкой объема η (или просто выборкой)
называется случайный вектор
х\, %г, ..., хп, (6.1)
где х< обычно предполагаются независимыми и имеющими
одну и ту же функцию распределения F{x)= P(xt < χ).
Случайная выборка (6.1) является математической
моделью последовательно проводимых измерений или
наблюдений. Возможны другие способы получения
эмпирических данных, приводящие к другим математическим
моделям. (См., например, задачи 6.16, 6.26, 6.42.)
Обычно для выборки (6.1) известен только тип
распределения (например, нормальный), но неизвестны па-
раметры, от которых зависит распределение. В этом
случае по выборке требуется каким-либо образом
определить приближенные значения неизвестных параметров.
Пусть Ρ (χι ^ χ) = F$ (χ, θ). Оценкой неизвестного
параметра θ назовем произвольную функцию θη =
= θ*(χ1, . .., хп). Оценка θη является несмещенной оценкой
Θ, если Μθη = θ. Если θη при η.-*■ <χ> сходится по
вероятности к Θ, то оценка θη называется состоятельной.
Может оказаться, что существуют такие функции
§„=£„(^1, ..., Хп) и θ„ = θ„(ζι, ..., хп), что Ρ(θ„<θ<
< θ„)= 1 — 2α одинакова при всех значениях
неизвестного параметра Θ. В этом случае интервал (θ„, θη)
называют доверительным интервалом, и вероятность 1 — 2а
того, что интервал (θ„, θη) накроет неизвестный
параметр Θ, называют доверительной вероятностью.
Если при η -*■ ею
Ρ(θη<θ<θ,)- 1-2α,
где значение α не зависит от Θ, то интервал (θ„, θη)
называют асимптотически доверительным интервалом.
В качестве примера рассмотрим выборку (6.1),
образованную независимыми случайными величинами,
имеющими нормальное распределение с неизвестными пара-
174

метрами: математическим ожиданием а и дисперсией σ2.
Покажем, как для неизвестных параметров а и σ2 можно
построить доверительные интервалы.
Пусть |о, Еь ···« En — независимые случайные
величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
Положим
%п = Ιι + .. · + In, τ η = r—-г.
Законы распределения этих величин называют
соответственно распределением χ2 и распределением Стьюдента
с η степенями свободы. Определим величины ta-n и %%,п
как решения уравнений
Ρ{Τη>ία,η} = α, Ρ{χη>χα,η) =α.
Построим по выборке (6.1) величины
η
* = Τ (*ι + · ■ · + *»)» ** = ТгЬ" 2 (** — ^)2·
Тогда (см. [7])
Рр — ία,η-ι η4^ < α < ж + ία,η_! -^=-| = 1 — 2α,
PJ(»-^<^<i^.Uua»,
l *α,η—ι Μ—<χ,η—lj
Отметим, что в рассмотренном случае (т. е. когда х\, ...
..., хп независимы и имеют одно и то же нормальное
распределение) случайные величины χ и s2 независимы.
Случайные величины (6.1), расположенные в порядке
неубывания их значений:
Х(1) <Я(2) < ... <Ж(„„ (6.2)
называют вариационным рядом. В частности,
х(1) = min {an, ..., х„), х(п) = max ix\, ..., ж„).
Эмпирической функцией распределения называется
случайная функция Fn(x), которая принимает при x^[x(k),
#(„+1,) значение к/п (здесь к = О, 1, ..., η и считается,
что ж(0) =»—«», ж(п+1) *= °°). Нетрудно проверить, что Fn(x)
является несмещенной и состоятельной оценкой F {х) при
любом х.
175

Одним из методов получения оценок является метод
наибольшего правдоподобия. Пусть (6.1) — независимая
выборка, соответствующая случайной величине ξ, которая
имеет плотность распределения ρι(χ; θι, ..., Qh).
Функцией правдоподобия называется функция
а
L (хъ ..,,хп; θχ, .,., ΘΛ) = Π Pi (χΰ θχ, ,.... θ*)·
Оценками наибольшего правдоподобия параметров θι, ...
..., ΘΛ называется набор θ: = θ: (хи .,,,. хп), ,,., 0ft =
= ®k {xu < ·»ι χη), максимизирующий значение L{x\, ...
..., xn; θι, ..., θ„) при данных х\, ..., хп. Если
плотность ρι(χ; θι, ..., Эй) дифференцируема, то θχ, ..,, θ* —
решение системы уравнений
д In L п . ,
-щ- = 0, j = l,...lk.
При довольно общих условиях оценки наибольшего
правдоподобия являются состоятельными и асимптотически
нормальными (см. [7]). Аналогично определяется
функция L для дискретных случайных величин.
Другой круг задач математической статистики связан
с проверкой различных гипотез. Пусть предполагается,
что свойства выборки (6.1) соответствуют одной из двух
гипотез:
Ηι: χ = (χι, ..., хп) имеет распределение Pi,
Н%: χ=(χι, ..., хл) имеет распределение Рг,
где Pi, Рг — два известных распределения.
Статистический критерий, на основании которого
принимается решение о том, какой из этих гипотез
соответствует выборка (6.1), определяется множеством В <=: Rn
и имеет вид: если (х\, ..., ijefl, то принимается гипо·
теза #2, в противном случае — Н\. Вероятность α =
— ?\{х^ В), т. е. вероятность принять гипотезу И2,
когда в действительности верна Н\, называют ошибкой 1-го
рода. Вероятность $ = Р2(а:^ В), т. е. вероятность
принять //[, когда верна /7г, называют ошибкой 2-го рода.
Если множество В задано в виде
{(χι, ..., х„) efl) = {η,, = η„ (хи ..., χη) > С),
то функцию г\п = цп(х\, ..., Хп) называют статистикой
критерия. Например, пусть р\(х)—плотность
распределения каждого х{ при гипотезе Н\ и рг{х\ — соответству-
176

ющая плотность при гипотезе Яг. Положим
Μ*ι)Μ*»)·"Μ*η)
η Μ*ι) М*а) —'ι Ы '
Согласно критерию Неймана — Пирсона при η„ > С {С —
некоторая постоянная, определяемая но ошибке 1-го
рода) принимается гипотеза Яг, а в противном случае —
Н\. Этот критерий среди всех критериев с
фиксированной ошибкой 1-го рода имеет наименьшую ошибку 2-го
рода (см. [7], с. 576, 577). Аналогично формулируется
критерий для дискретных распределений.
Иногда формулируется только одна гипотеза о
выборке (6.1). Эту гипотезу нужно либо принять, либо
отвергнуть. Пусть, например, гипотеза состоит в том, что
выборка (6.1) соответствует случайной величине ξ с
Р(| «5 х) = F{x). Для статистической проверки этой
гипотезы используется критерий χ2. Разобьем числовую ось
па г+1 непересекающихся полуинтервалов Δι, Дг, ...
Г+1
..., Дг+1> (J Δι = (— оо, оо). Положим pk = Ρ{ξ s Д„}, к =
i-l
= 1, ..., г+1. Обозначим через mh число хц попавших
в &к. Статистикой критерия χ2 является величина
г+1
Оказывается, что если элемепты выборки (6.1)
независимы и имеют функцию распределения F(x) (т. е. если
гипотеза верна), то (см. [10], § 57) для любого χ при
η -»■ с»
р {W < 4-*р (%г<*}· (6.3)
По критерию χ2 гипотеза отвергается, если η„,, > С.
Величина С выбирается так, чтобы вероятность Ρ{ηηι, > С) =
= а была мала. При таком выборе С в случае η„,Γ > С
говорят, что гипотеза отвергается с уровнем значимости
а. Используя предельное распределение (6.3), можно
положить С = χ„ιΓ, где Ρ Ιχ?> Χα,τ·) = α, и тогда в силу (6.3)
Ρΐη„.Γ > С) -* а, п-*- оо.
Если распределение F(x) зависит от неизвестных
параметров θ=(θι, ..., θ»), то- вероятности ρ,(θ) = Ρ{ξ е дг}
вычисляют, заменяя параметры θ их оценками
(например, оценками максимального правдоподобия). В этом
случае в предельном распределении (6.3) число степеней
177

свободы г должно быть уменьшено на число оцениваемых
параметров (см. [7], о 460—463).
6.1. Пусть χι, Χ2, ..., хп — случайная выборка с tAxk =
= a, Dxk = σ2, Μ(£„ — α)4 < °°, & = 1 п. Найти
математическое ожидание величины
ί! = 1 \ ί!=Ι /
Является ли s2 состоятельной оценкой σ2?
6.2. Найти математическое ожидание и дисперсию
*ι τ ■ · · τ хп
эмпирического момента пгг = независимой
выборки, соответствующей случайной величине ξ с
Щк = о», 1 S3 к 5S 2г.
6.3. По неоднородной выборке х\, ..., аг„, где хк, к =
= 1, ..., д, независимы, Mxh = a, D£h = aft(aft известны),
найти несмещенную линейную относительно xh (к =
= 1, ..., га) оценку а* параметра я, которая имеет
наименьшую возможную дисперсию.
6.4*. Пусть Хц,,..,х%щ (ϊ — 1, ...,/) — независимые
нормально распределенные величины о
параметрами (а, о\);
ГЦ Щ
хг — ~ 2d Xihi Si ~ η — 1 ^tad (a'ih — ^W '
{ fc=l * h=l
Является ли оценка
ι
-!■
C{ =
г-Х
·; + ...+'
несмещенной оценкой параметра α?
6.5. Пусть Х\, ..., хп — независимые одинаково
распределенные случайные величины с D#i >0, M#*<; oo.
Положим
η η
* = τ Σ **> * = τ~ϊ Σ (^ ~ *)2·
Найти
lira P
П-*оо
47У«
6.6. Пусть (х\, у\), ..., {хп, Уп) — независимая
выборка, соответствующая случайному вектору (ξ, η), т. е.
178

Ρ(χ{*ζχ, yt^y)= Ρ(ξ<*, f)^y)· Показать, что
величина
η
т => -^j 2 («л - х) (yh - U)i
ft=l
где
η η
ι ν - ι ν
является несмещенной и состоятельной оценкой cov(|, η).
6.7. Пусть μ„ — число успехов в η испытаниях схемы
Бернулли с вероятностью успеха ρ в каждом испытании.
Найти оценку наибольшего правдоподобия/)* параметра/?.
Доказать ее несмещенность и состоятельность.
6.8. Пусть μ„ — число успехов в η испытаниях схемы
Бернулли с вероятностью успеха ρ в каждом испытании.
Построить для ρ асимптотически доверительный
интервал с доверительной вероятностью 1—2а.
6.9. Используя таблицу случайных чисел, получить
реализацию выборки х\, ..., х„, где xh равномерно
распределены на отрезке [0, 1] (значения xh взять с тремя
знаками; η = 50). Найти:
а) вариационный ряд ar(]) *S х^ ^ ... «д χ(η)·
б) эмпирическую функцию распределения (построить
ее график и график теоретической функции
распределения) ;
в) χ = — (хг + ... + хп) (сравнить с Ma;ft);
п.
г) s2 = n — i 2 (хк — xf (сравнить с Dxh).
fc=l
6.10. Используя таблицу нормально распределенных
случайных чисел, получить реализацию выборки х\, ...
..., хп, где xk имеет нормальное распределение с
параметрами α = Μ£„ = 0,5, a2 = Dxh — 1; и = 50. Найти: а)
вариационный ряд, б) эмпирическую функцию распределения,
в) х, г) s2 (см. задачу 8.9).
6.11. По выборке, полученной в задаче 6,10, построить
доверительный интервал для а (считая а и σ
неизвестными) с доверительной вероятнотью 0,95.
6.12. Используя метод наибольшего правдоподобия,
л т
найти по выборке х\, ..., хп, где Р(хи =т)=~^г6~λι т =
= 0, 1, ..., оценку λ* параметра λ. Будет ли эта оценка
несмещенной и состоятельной? Найти Μλ*, Ολ*.
179

6.13. Пусть χι, Χ2, ..., хп — выборка, соответствующая
показательному распределению с параметром λ. Найти
оценку максимального правдоподобия λ* для λ.
Вычислить Μ—, D-^r·
6.14*. Для оценки параметров а, Ъ, с имеются три
независимые выборки а,\, ..., ап; Ь\, ..., bn; ch ..., с„.
Известно, что с = а + Ъ и величины at, b{, c( распределены
нормально с Маг = а, М6( = Ь, Мс< = с. Дисперсии Da4 =
= σα, D64 = с%, Dcj = Ос известны. Найти:
а) оценки наибольшего правдоподобия a*, b*, с*
параметров а, Ь, с, используя для каждого параметра только
соответствующую ему выборку, а также найти Μα*, Мб*,
Мс*, Da*, D6*, Dc*;
б) оценки наибольшего правдоподобия а**, Ь**, с**,
используя сразу три выборки и связь с = а + Ь, и также
найти Ma**, Mi)**, Mc**, Da**, Db**, Dc**.
6.15. Пусть ί/W = (y[k), z/2h)), к = 1, ..., η, —
независимые нормально распределенные случайные векторы,
М#> = аи Dy«> = a], i = 1,: 2, cov (у™, у™) = ρσισ2. Па-
раметры оь σ2, ρ известны. Найти:
а) оценку максимального правдоподобия (аь а2)
параметров (αϊ, аг) по выборке г/(1>, ..., у(п);
б) оценку максимального правдоподобия а-г
параметра а-г по выборке г/Р, ..., г/<п);
в) Ma4, Dai5 Ms4 , Da4 .
6.16*. Пусть r/W = (i/<ft), ί/W), ft = 1, ..., n,—
независимые нормально распределенные случайные векторы,
Mjtf0 - alt My™ = a2, D^« = 1 (i = 1, 2), cov (»<«, ^ft)) =
= ph (ft = 1, ,.., n). Параметры pfc известны. Найти:
а) оценки максимального правдоподобия ol5 a2
параметров οι, αζ по выборке уи), ..., г/(">;
б) оценку максимального правдоподобия ах
параметра а1 по выборке уЫ, ..., у[п>
в) Ma*, Ma* , Da*, Da! ;
г) доказать, что Daj ^Dax .
6.17*. Решить задачу 6.16 в случае, когда известно,
что параметр а2 = My[k) = 0.
6.18. Пусть ξι, ..., ,|m независимые случайные
величины, равномерно распределенные в области G <= R". Для
оценивания интеграла а = \ ... J f{x) άχχ ... dxn {x =
с
180

= (хъ *.., %η))ηο методу Монте-Карло используется вели-
т
чина г\т = — ^ / (li).
а) Найти Μη™, Оцт.
б) Построить несмещенную оценку Ь*2 дисперсии
D/(|0 по реализациям /(ξι), ..., /(ξ™).
в) Предполагая, что J ... J /4 (у) dxi ... άχηΚ. οο,
G
построить при т-*■ °° асимптотически доверительный
интервал для а с доверительной вероятностью 1—2а.
6.19. Для величины А = а + βα + γ6 получены оценки
Л! = а + βζ: + γζ3, Л2 = а + βζ2 + yz3,
где α, β, γ — известные постоянные, Ζ\, Ζ2, %г —
независимые оценки неизвестных параметров: Мгз = b, Mzi =
= Μζ2 = α; Dzj = σι, г =» 1, 2, 3. Подобрать постоянные
с\, С2 так, чтобы оценка А* = с3Л5 + с2Аг была
несмещенной и имела среди несмещенных оценок
наименьшую дисперсию.
6.20*. Пусть z\, 22, Z3 — несмещенные оценки
параметра a; DZi = 1 (г = 1, 2, 3), cov(zi, z2) = p, cov(z,·, z3) = Q
(г = 1, 2). Найти несмещенную линейную оцепку z =
= C\Z\ + C2Z2 + C3Z3 параметра а с наименьшей возможной
дисперсией и дисперсию зтой оценки. Рассмотреть
случаи: a) Ipl < 1, б) ρ = —1, в) ρ = 1.
6.21. Функция у = Ах измерена в точках х\, ..., хп.
Пусть результаты измерений являются реализацией
независимых случайных величин у ι, г/г, ..., у„, у которых
ΜίΛ = У* == Axt, Dy( = σ2 < с» (ί = 1, 2, ..., η). Найти:
а) оценку Ап параметра А, используя метод
наименьших квадратов, т. е. минимизируя по А выражение
η
I [А) - Σ (р, - Axty-,
б) МЛ*, ΌА*п.
Доказать, что оценка Ап состоятельна, если Х„ =
η
= Zj £?—>-оо при η—>-οο.
6.22*. Проведено д измерений значений функции у =
= Ля и ее аргумента х. Пусть результаты измерений
являются реализацией η независимых двумерных случайных
векторов (Xi, y~i) (г=1, ..., и), у которых координаты
181

независимы, hAxt = х{, Mi/, «= yt = Axt, Dxi = σ2, Dyt = σ2«
Найти:
а) оценку Ап параметра Ап, минимизируя по А и
χι, ..., χη выражение
η η
i(A,xu..., χη) = Σ(ν{- Axif + Σ&- *i)2·
ί=1 i=l
б) Показать, что оценка Ап состоятельна, если при
η -»· °°
η
^rt = 2 $ -*■ °° , »Дп -*■ 0.
6.23. Функция у = Ах измерена щ раз в точке х\, ...
..., пк раз в точке xh. Пусть результаты измерений yi}
{]' = 1, ..., Πι, Ι = 1, ..., к) некоррелированы и имеют вид
ytj = Ах( + 6ц,
где Μ6ϋ = 0, D6y = σ2.
а) Найти оценку А* параметра А, используя метод
наименьших квадратов, т. е. минимизируя по А выра*
жение
k пг
б) Найти МЛ* и DA*.
6.24. В предыдущей задаче обозначим
"i
Vi-irHiVw t=i,...,k.
Подобрать с\, ..., c„ так, чтобы оценка
А* = С\У\ + С2У2 + . . . + Chyh
была несмещенной и имела наименьшую дисперсию.
Найти DA* при наилучшем выборе с\, а, ..., ск.
6.25. Из урны, содержащей N белых и черных шаров,
производится выборка объема η с возвращением. Пусть
μη — число белых шаров в выборке, а М — неизвестное
число белых шаров в урне. Для оценки величины ρ =
= Μ/Ν используется статистика рп = μη/η· Найти МрП)
Ор*п.
6.26. Из урны, содержащей N белых и черных шаров,
производится выборка объема η без возвращения. Пусть
182

μ„ — число белых шаров в выборке, а М — пеизвестное
начальное число белых шаров в урне. Для оценки
величины ρ = Μ/Ν используется статистика рп = μη/η.
Найти Мр**, DPn .
6.27. Для сравнения точности оценок р*, р**,
определенных в задачах 6.25, 6.26, найти lim (Dp**/Dp*) в
7t-»30
следующих случаях: а) д->оо, — ~*-у (0<γ<οο);
б) п~*-оо, η/Ν—*-0.
6.28. Из урны, содержащей неизвестное число шаров
N (шары занумерованы), производится выборка объема
η с возвращением. Для оценки числа N используется
величина 1/η„, где
N
\ = п(п — 1) 2л *k (S'< — !)'
' h=l
ξ„ — число появлений шара с номером к в выборке.
Найти Μη„ и асимптотическую формулу для ϋη„ при га,
N ~* °°, η/Ν -»- α «ξ (0, оо).
6.29*. Пусть xi\) *S ... *S х(п) — вариационный ряд,
построенный по выборке Х\, ..., хп, где хк независимы и
равномерно распределены на отрезке [а, Ь]. Являются ли
оценки а* = X(i}, b* = x(n, несмещенными оценками а и
Ь? Найти Μα*, Mfe*, Da*, Db*, cov(a*, Ь*).
6.30*. Пусть χιι) «£ ж(2) < ... <я(п) — вариационный
ряд, построенный по выборке х\, χι, ..., хп, где ж„
независимы и имеют показательное распределение с
плотностью p(x) = ae~aW (ж>0). Найти М£(1)) Мх(п), D«(i,,
D;£(n>, cov(a;(i„ z(n)).
6.31. Пусть ж(1, < ar(2, «S ... < ж(П) — вариационный ряд,
построенный по выборке Ж|, жг, ..., хп. Положим
1 η ' J 2
Найти ΜΘ*, D6h (к = 1,2), если:
а) выполнены условия задачи 6.29,
б) выполнены условия задачи 6.30.
6.32. Пусть а;(|, < ж(2, «S ... =ζ а:(П) — вариационный ряд,
построенный по выборке хи х%, ..., ха, где xh независимы
и имеют плотность распределения, равную ес~* при χ >
^ с > 0. Является ли оценка с* = ;%) несмещенной
и состоятельной оценкой с? Найти Мс*, Dc*.
183

6.33. Чтобы оценить ширину кольца, образованного
двумя окружностями с общим центром, измерялись их
радиусы Л и г, т. е. была получена выборка у\, ..., уп,
χι, ..., хп, образованная независимыми случайными
величинами, которые имеют нормальные распределения с
tAyi = H,_hAxi = r (R>r), Dxt =_Di/, = σ2, ί-i, 2, ..., η.
Пусть х=(х\+_... + Хп)1п и у ={yi + ... + yn)ln. Для
оценок α = у — χ, α* = max(0, г/ — χ) ширины кольца α =
= /? —г пайти: Μα, Μα*, УМ (α —α)2, УМ (α* —α)2.
Вычислить эти величины при R = 1001 м., г = 1000 м., σ = 10 м.,
η = 200.
6.34. Независимые наблюдения Эь ...,θ
η имеют не-
известные математические ожидания Μθ{ = θ4 и
известные дисперсии D0{ ·=σ\, ί = 1, ..., д. Для оценки
линейной комбинации / = ΰιθι + ... + спЭ„ с заданными
С|, ..., с„ используются статистики
/jv = сХ + ... + cNQ*N (1 <#<»).
а) Доказать, что /„ — несмещенная, a IN при Ν < η —
смещенная оценка /.
б) Найти M(/jv — J)2· При каких условиях среднеквад-
ратическое отклонение смещенной оценки 1п-\ меньше
среднеквадратического отклонения несмещенной
оценки /„?
6.35. Используя критерий χ2, проверить гипотезу о том,
что выборка,, полученная в задаче 6.9, соответствует
равномерному распределению на отрезке [0, 1]. Уровень
значимости а = 0,05.
6.36. Используя критерий χ2, проверить гипотезу о том,
что выборка, полученная в задаче 6.10, соответствует
нормальному распределению; параметры а ж а считать
неизвестными. Уровень значимости положить равным 0,05.
6.37. Найти статистику η„ критерия Неймана —
Пирсона для различения по выборке х\, ..., хп гипотез
Hi: xh распределены нормально с параметрами (а\, а2),
Нч\ xh распределены нормально с параметрами (яг, σ2).
6.38. Найти статистику η„ критерия Неймана —
Пирсона для различения по выборке х\, ..., хп гипотез
Нг: P{xh = i} = pY\ t = i,2,...,N,
Н2: ?{xh = i) = pf, i = i,2,...,N.
6.39*. Статистика ξ„ при гипотезе Н( (I = 1, 2) имеет
нормальное распределение с М|„ = nat, ϋξη = пей αλ < α<ι.
184

Гипотеза Яг принимается, если \п> С, в противном
случае принимается Η и Найти: а) постоянную С = Са так,
чтобы ошибка 1-го рода была равна а; б) формулу,
связывающую ошибки 1-го и 2-го рода α и β„; в) lim β„
при η -*- °°, α = const > 0.
6.40*. Пусть χι, ..., хп — выборка. Гипотеза Hi
состоит в том, что х( равномерно распределены на
интервале (0, 1) и независимы, а гипотеза Яг — в том, что xt
независимы и имеют непрерывно дифференцируемую
плотность распределения g(x); g{x)^i при 0 «£ χ < 1,
g(x) — 0 при χ Φ- [О, 1]. Разобьем [0, 1) на /V полуиптер-
Ν ' Ν
валов
o.i
, 1 и ооозначим через
Λ"
μο число полуинтервалов, в которые не попало ни одно из
значений xt. При гипотезах Н\ и Я2 найти а( =
= 1ίπι(Μμο/ΛΟ, / = 1, 2, когда η/Ν -*- γ е=(0, °°), д, iV -*■ °°.
6.41. Пусть 0 < τι < Х2 < ...— положения точек пуас-
соновского потока с неизвестной интенсивностью λ.
Найти: а) оценку максимального правдоподобия λ
η
параметра λ, построенную по τι, ..., τ„; б) Μλη, Ολη.
6.42. Пусть χι2(ί) — число переходов в цепи Маркова,
определенной в задаче 5.82, из состояния 1 в состояние 2
за время t.
а) Найти limM-^-—, HmD-JLi—.
ί-»οο ί->οο
б) Является ли величина Τΐ2(ί)/ί состоятельной оцен-
кои параметра γ ==—j-p- при t-^ooi

Часть II. УКАЗАНИЯ
Глава 1
1.3. Предположить, что все расположения книг равновероятны.
Найти число расположений книг с фиксированным расположением
трехтомника.
1.4. За множество Ω принять множество всех
последовательностей длины 3, составленных из символов Г — «герб», Ρ —
«решетка».
1.8. Для простоты считать, что в каждой буквенной серии
имеются все 104 номеров от 0000 до 9999. (На самом деле номер 0000
не выдается. Кроме того, в некоторых сериях не все номера
выданы, а часть номеров отсутствует в связи со снятием автомобиля
с учета.)
1.10. Положим Ai = {выбранное число а делится па а(}.
Воспользоваться тем, что
Далее применить формулу (1.12).
1.11. Поскольку а'г = 1 (mod 10) тогда и только тогда, когда
c = l(mod 10) или a=s=9(mod 10), надо подсчитать среди чисел
1, 2, ..., N число тех, которые в десятичной записи оканчиваются
на 1 или 9. Положив Л' = 10/г + I, рассмотреть следующие случаи:
I = 0, 1 sc I < 9, I = 9.
1.12. Если среди чисел 1, ..., N есть ровно т чисел, дающих
при делении на г остаток д, то (т — l)r+g:g;iV< mr + <?, т. е.
тг ^ N + г — д < (т + 1) г.
1.14. Введем обозначения для следующих событий:
Ah = {ξ делится на к},
Bk = {η делится на к},
CN = {числа | и η взаимно просты}.
Тогда CN— U (А [\В ), где объединение берется по всем
простым числам р, не превосходящим N. Вероятность Ρ (СЛт)
находится по формуле (1.12). Воспользоваться решением задачи
1.10 и равенством А„ Π Ап Q ... {]Ап = Ап „ , верным для
1 V ι Усу Pj> У ^Уiy-· · f у
любых простых ρχ < р.г < ... < рг. Показать, что
1
In
■Σ-
186

1.15. Искомая вероятность ря = Ая/У, где An—число точек
плоскости с целыми координатами (ж, у), удовлетворяющими ус-
π 2
ловиям χ ^ 1, у ^ 1, χ2 + ι/2 < Ν2. Показать, что Л)у ~ -ζ- Ν при
ΛΓ-»- оо.
1.16. Число 1 + η будет (п — fe + 1)-8начным тогда и только
тогда, когда
10»-* sS 1 + η < 10»-*+', 0 < к sg п, (1)
поэтому pn_k+l = 2W , где Лп, ц — число точек плоскости с
целыми координатами (х, у), 0 ^ х, у ^ 10™ — 1, для которых
выполнены неравенства (1).
1.17. Произведение ξ и η будет (2д — /с)-значным тогда и
только тогда, когда
IQSn-ft-i <g ξ η < ΐο2»-^, (1')
Bn,h
поэтому P2n_ji = 2та , где ΰ„, ii — число точек плоскости с
целыми координатами (я, у), 0 < х, у ^ 10" — 1, для которых
справедливы неравенства (Г). Показать, что Вп, ь ~-бь-Ю2" при п-»-оо,
где Вн — площадь части единичного квадрата 0 sg ж, у ^ 1, для
координат (ж, у) точек которой справедливы неравенства Ю-*-1 ^
< ху ^ 10_*.
1.18. Представить указанную разность вероятностей в виде
м
2(р(|х;',...,х;;} = л{)-р({х;,...,х;} = л{)), w
убедиться в том, что Μ <: С^, что значения слагаемых в
сумме (#) не зависят от г, и оценить слагаемые в (*) сверху и снизу.
1.19. Разность X2 — Υ2 делится на 2 тогда и только тогда,
когда четность X и Υ одинакова; X2 — У2 делится на 3 тогда и только
тогда, когда X ж Υ одновременно либо делятся, либо не
делятся на 3.
1.20. При к = 2, 3, 5 имеем
{Х«—Y« = 0(mod к)} = {Χ, Υ = 0(mod к)} [j {X, Υ Φ 0 (mod к)}.
1.21. Вывести из малой теоремы Ферма, что
{χρ-ι _ yp-i = о (mod p)} =
= {X, K==0(mod ρ)} U {X, 7^0(mod p)}.
1.22. Чтобы получить явные формулы для указанных в
условии вероятностей, воспользоваться соотношениями
{Xs -f- У3 = 0 (mod 3)} =
= {X, У ==0(mod 3)} U {Χ^Ι, Υ ^-1(шоа 3)} U
U{X=-1, У ^1 (mod 3)},
{Х3+ У3==0(го9(1 7)} =
= {X, У ^0(rnod 7)} и{ХеЛ/ь У 6= Ж2} U (iei'i УеЛ/,},
187

где М\ — множество всех чисел вида Тк + 1, 7к + 2, Тк + 4, Л/2 —
множество всех чисел вида 7ft + 3, 7ft + 5, 7ft + 6. Для
доказательства неравенства при N > 7 воспользоваться тем, что а2/4 — 1 ^
<g; uv < а2/4 при и + ν — а, |и — р| < 2. При 4 sg Ν <ζ 7
неравенство проверяется непосредственно с помощью явных формул.
1.23. Множеству Аа (1, ..., jV) взаимно однозначно
соответствует составленная из нулей и единиц строка хл = (х^,...
..., ж$), где xf = 1, если i е А, и xf- = О, если t φ А; а
случайным подмножествам Α., A cz{l,...,N} соответствует пара
строк χ 1, χ 2, элементы χχ 1, ..., х^1, χχ 2, ..., χΝ2 которых
независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью 1/2.
Наконец,
1.24. См. указание к задаче 1.23. Множества А:, ..., Ат попар-
по не пересекаются, если xi г + ... + ж,· г ^ 1 при всех i e
е={1, ..., .V}.
1.25. Разбить указанное в условии задачи событие па
непересекающиеся события по значениям разностей |3 — ξι = |г — 1з и
1.26. В пп. в) и г) найти вероятности противоположных
событий.
1.27. а) Заметить, что {Χι + · · · + Xm = к} = {(Ν — Xi)-f...
...+ (N-Xm) =mN-k).
б) Число (1 + N)m b^ таких наборов χ,, ..., xm e {0 Ν},
что χι + ... + xm = к, равно коэффициенту при zA в (l + г + ...
, N\m \l — z I _
. ..-ι-ζ / =—~. ~Z—· Далее воспользоваться разложением
(1 — ζ)'"
функции (1—z)_m в степенной ряд.
1.28. См. указание к задаче 1.8. Убедиться в том, что
равновероятный выбор номера автомобиля из множества 104 номеров
от 0000 до 9999 эквивалентен выбору чисел Хи Х-2, Хз, Х4 из
множества 0, 1, ..., 9 по схеме равновероятного выбора с
возвращением. Воспользоваться равенством
= 2
fe=0
18
h~0
18 ι
= 2wK(*r*i): «j.^slO.l, .... 9), xa+*,=*} |a
и том, что согласно задаче 1.27
\{(xv *,): χν хг s (0, 1, ..., 9}, Sl +x2 = к) J =
= СтЩк,1я-п)+1 = * + min (ft, 18 - к).
188

1.29. См. указание к задаче 1.28.
1.32. 2) Найти вероятность противоположного события А,
состоящего в том, что хотя бы один номер не появился. Событие А
представить в виде А = Αι [}...[) AN, где Ац (к = 1, ..., N) —
событие, состоящее в том, что шар с номером к не появился.
1.35. Воспользоваться равенством
р {*tl<*,,<... <*ift+1) =рК<*2< ··· < W
при любых попарно различных
к, к, ···, ift+i е {1, 2, ..., к + 1}.
1.36. Найти вероятность противоположного события,
состоящего в том, что в отобранных папках содержится целиком либо две
рукописи, либо ровно одна.
1.37. В условии не указаны числа женщин и мужчин среди
гостей. Задача имеет тривиальное решение, если эти числа не
равны друг другу. Если же среди гостей имеется η женщин и η
мужчин, то для подсчета искомой вероятности можно воспользоваться
формулой P(ii)fl) =Р(4)+Р(В) —Ρ(ЛЯ), где А = {«пары»
занимают места (1, 2), (3, 4), ... (2п — 1, 2п)} (при некоторой
нумерации мест по кругу), В = {«пары» занимают места (2, .8),
(4,5), ..., (2п-2, 2д-1), (2η, 1)}.
1.38. Шесть номеров, вышедших в тираж, выбираются без
возвращения из 49 номеров. Предположим, что все возможные
шестерки номеров равновероятны. Если на данной карточке ровно
3 номера совпадут с номерами, вышедшими в тираж, то по
данной карточке игрок получит минимальный выигрыш. Найти
вероятность события Ah, состоящего в том, что на каждой карточке
угадано ровно 3 номера, причем к = 0, 1, 2, 3 угаданных номеров
являются общими для двух карточек.
1.39. Нужпо считать равновероятными все CJL расположений
двух ладей. Найти вероятность противоположного события.
1.40. Ладьи не угрожают друг другу, если все они стоят на
разных горизонталях и вертикалях. Выбрать сначала к горизонталей
и к вертикалей, а затем из к2 клеток на их пересечении выбрать к
клеток, удовлетворяющих нужному условию.
1.42. Рассмотреть все исходы первых к просмотров карманов.
1.46. Воспользоваться равенствами вида
1 Vi
Ρ{α<β}=Τ Ζ *{\<\}'
где χ{α < 6} = 1, если а < b, и χ{α < 6} = 0 в противном случае.
1.47. См. указания к задаче 1.46. Заметить, что при любых
ii, h, h
X (aif < bg + χ (bi2 < eg + χ jci3 < α^} < 2.
1.48. См. указания к задаче 1.46.
1.49. См. указания к задаче 1.47.
1.50. 3) Рассмотреть заполнения двух типов: а) в одной из
ячеек нет частиц, в двух ячейках — по две частицы и в (N — 3)
189

ячейках — по одной; б) в одной из ячеек нет частиц; в одной —
три частицы ив (N — 2) ячейках — по одной частице.
4) Найти вероятность противоположного события.
1.51. Пусть Ai — событие, состоящее в том, что г-я ячейка
осталась пустой. Найти P(4i U A2 U ... U AN).
1.52. Рассмотреть строки из Ν + η — 1 символов: η частиц и
N — 1 «перегородок» между ячейками. Число таких строк
совпадает, очевидно, с числом представлений числа η в виде η = ιί +
-j- Г2 +... -f- гЛ-, где все rh ^ 0 — целые числа.
1) Событие μ0 = 0 происходит тогда и только тогда, когда все
п ^ 1. Число наборов (п, ..., rN), удовлетворяющих этому
условию, равно числу представлений числа η — N в виде η — N =
= (г, - 1) + ... + (ην - 1), где г* - 1 > 0.
2) Фиксировать пустую ячейку, а в остальных разместить
частицы, как в п.1).
1.53. а) Число таких вариантов размещения η человек в ряду
из N кресел, когда никакие 2 человека не сидят рядом, есть
произведение п\ и числа решений уравнения хо +χι + ... + хп =
= N — η + 2 в целых положительных числах (xt — расстояния
между запятыми креслами, 0<г^п). Последнее число есть
Civ—η+ι· ^Μ· указания к задаче 1.52.
б) Каждый человек имеет ровно одного соседа тогда и только
тогда, когда все сидят парами, изолированными одна от другой.
Поэтому при нечетном η искомая вероятность равна 0. При
четном η рассуждать аналогично п. а).
в) Если £>„, я — число таких способов размещения η человек в
ряду из Л' кресел, когда выполняется условие в), то при четном N
число £>„, w равно произведению 2" и числа размещений η человек
в Л'/2 креслах. При нечетном N
Dn, ν = ϋη, jv-i + nDn-i, λ·-ι.
1.54. Использовать указания к задаче 1.53.
1.57. Пусть Л, —событие, состоящее в том, что в выбранной
подстановке i-> i. Найти Ρ(Αι [} А2 U · · ■ U Ап).
1.58. Найти число подстановок σ е Sn с λι = к.
1.59. Для каждого к = 2, ..., η найти число подстановок из Sn,
содержащих элементы 1 и 2 в одном цикле длины к.
Ι .α,ηα„ αηΛ
1.60. а) Найти число подстановок в классе [1 '2 2 ... η |.
б) Если исключить единичный цикл i -* i, то получится под-
Г <χ.-ι„α ,а„_1'\
становка из множества II1 Ζ г ,.. (п — 1) J.
в) Показать, что события i-+i (/е{1, 2, ..., г?}\{£})
равновероятны.
1.61. Использовать равенства
{ηι<*} = {ξ<*}Π{1-! <*},
{η2 > х} = {I > х} П {1 -1 > χ),
где ξ —координата точки А.
1.69. Проверить, что геометрическое место точек,
расположенных ближе к границе многоугольника, чем к его диагоналям,
состоит из равнобедренных треугольников, построенных на сторонах
многоугольника как на основаниях и имеющих при основании
углы л/(2д).
190

1.70. Установить зависимость числа корней от значений
многочлена в точках максимума и минимума.
1.71. Центр монеты можно считать равномерно
распределенным в том ft-угольнике, в который он попал. Монета не заденет
границу fe-угольника, если центр будет отдален от нее на
расстояние, большее г.
1.72. Монета падает гербом вверх, если конец вектора нормали
расположен выше его начала, т. е. середины стороны монеты с
гербом.
1.73. Пусть (ρ, φ) — полярные координаты середины хорды.
Выразить | через R и р.
1.78. Интересующее нас событие описывается подмножеством
А = {(«, v): mm(u, υ) ^ *}.
1.79. Слова «случайно бросается» здесь естественно понимать
как случайную равномерно распределенную ориентацию цилиндра
относительно вертикального направления. Так как цилиндр
однородный, то центр описанной вокруг него сферы совпадает с его
центром тяжести. Цилиндр упадет на боковую поверхность, если
вертикальный направленный вниз из центра тяжести луч
пересечет боковую поверхность. Соответствующая вероятность находится
как отношение площади сферического пояса описанной около
цилиндра сферы, ограничивающего боковую поверхность цилиндра,
к площади всей сферы.
1.80. (См. указание к задаче 1.79.) Вероятность того, что
цилиндр упадет на какое-то основание, пропорциональна телесному
углу, под которым это основание видно из центра тяжести.
1.81. (См. указания к задачам 1.79, 1.80.) Центр тяжести
конуса расположен на его высоте на расстоянии Λ/4 от основания.
1.82. (См. указания к задачам 1.79, 1.80.) Найти центр тяжести
полушара и определить величину телесного угла, под которым
видна плоская часть границы полушара из центра тяжести.
1.83. Положение бруса определяется положением
прямоугольника в плоском сечении, перпендикулярном оси бруса. Брус
упадет на ту грань, которую пересечет луч, направленный по
вертикали вниз из центра тяжести прямоугольника. (Ср. с задачами
1.79, 1.80.)
1.84. Если А находится между Si, и Sk+i, то расстояние от 0 до
сторон A ABC находится в интервале (к/2, (к + 1)/2), т. е. А АВС
содержит внутри себя окружности S{ с 1 ^ г ^ [к/2], находится
внутри окружности S{, к -{- 1 ^ г ^ п, и граница Δ ABC пересекает
окружности Si с [к/2] < i^k.
1.85. Найти n-мерный объем Vn(r) n-мерного шара радиуса г,
воспользовавшись рекуррентной формулой
Vn (г) = J J Vn_2 ( Υ? - и> - ν2) du dv =
= 2π J xVn_2 ( Vr2 — хг) dx = 2π \ uVn_2 (u) du
о о
и равенствами Fi(r) = 2r, V2(r) = nr2.
191

Глава 2
2.3. Вероятность выбора любой заданной карточки равна 0,01.
2.6. Использовать определение условной вероятности и
результат задачи 1.23.
2.7. Пусть событие At состоит в том, что i-й (г = 1, 2) студент
возьмет «хороший» билет. Положит^ Ω = {Α\Αι, А\Аг, А\А2, А\А2},
Р(Л|) = 1/5, Ρ(Α2\Αι) =4/24, р(А2\А,) = 20/24. Отсюда однозначно
определяются вероятности элементарных событий.
2.8. а) Пусть событие С, = {появлепие белого шара в i-м
испытании} (испытания с нечетными номерами относятся к игроку,
начавшему игру); событие А = {выигрыш игрока, начавшего игру}.
Воспользоваться равенствами А = С, \) С,С2С3, A = CiC2 [} С^СчС^С^.
б, в) Решение аналогично а),
2.9. Пусть D^ (0^) — событие, состоящее в том, что /-й
шар черный (белый). Воспользовавшись формулой (2.3), показать,
что все события Ζ)ε D^ ... Z)Ejv с εχ + е2 + ... + ζΝ = Μ (е{ =
= 0,1; i = 1, ...,Λ*) равновероятны. Поэтому Ρ Mft) = РМ,)>
р (^й ι) = р (^ι г)' р (^ft г) = р ip\ 2). Воспользоваться равенствами
°1,2 ^1 ^1 > °Ι,2 — ^0 1 ·
2.10. Цепочками из букв к, ч, б будем обозначать появление
красного, черного, белого шаров в испытаниях, соответствующих
месту буквы в цепочке. Например, событие кчч = {в 1-м
испытании появился красный шар, во 2-м — черный, в 3-м — черный}.
Использовать равенства
Αι = б U ччб U ччччб,
А?, = чб U чччб U чччччб,
В = к U чк U ччк U чччк U ччччк U чччччк.
2.12. Решается аналогично 2.10.
2.13. Решается аналогично 2.10.
2.14. Найти вероятность того, что до появления автобуса
маршрута номер 1 появится ί = 1, 2, ,. .^автобусов разных маршрутов.
2.18. Использовать равенство АВ у АВ = А.
2.20. Пусть (|ι, ..., 1η-ι) —координаты точки, равномерно
распределенной в (п— 1)-мерном кубе {(хи ..., χη-ι): 0 sg x{ < 1,
i = 1, ,.., η — 1}. Рассмотреть события
Ai = {|^1/2}, t = 1,2 n-1,
^η = {Π(ξ;·-1/2)<0}.
2.21. При η = 3 приписать вероятности 8 событиям А\АчА^,
Α\ΑϊΑ·ό AiA^A'i так, чтобы условия задачи выполнялись, но
события Αι nij пе были бы независимыми.
Г ^ (ε·\
2.22. Рассмотреть совокупность событий { П А\ г', ε4 = 0 пли
1(ί = 1, ...,*)}. где Л^ = ^, А\» = А{
192

2.23. Сопоставить каждому событию А< а {1, 2, ..., η} = Ω
вектор а.( е ft", у которого /-я (/ = 1, ..., п) координата равна 0 (если
) φ Ai) пли j'/jj (если /е^4()- Переходя к_векторам Ъ\, ..., Ь^ ξ
е /?"■ ортогональным к ао = (Vpi, ■. ·, Урп): δι = α( _ Ρ(-4()αο
(г = 1, ..., к), показать, что события Ли ..., Ah попарно
независимы тогда и только тогда, когда векторы Ьи . ■., ?'& попарно
ортогональны.
2.24. Пусть At = {изделие прошло i-ю проверку}, i = 1, 2. По
условию задачи события J, и!г независимы в обоих случаях. _
2.25. б) Воспользоваться неравенством ?{ΑλΑ^) «ς Ρ (1ι) + P(A2),
где А[ и И 5 — события, состоящие в том, что 1-й и 2-й приборы
будут работать.
2.26. Участник лотереи получает минимальный выигрыш, если
он угадал ровно 3 номера, и какой-либо выигрыш, если число
угаданных им номеров не меньше 3. Положим Аь. = {k-ii участник
получает минимальный выигрыш}, Ви = {k-is участник получает
какой-либо выигрыш}, к = 1, 2. Найти Р{Аь), ?(Bh), к = 1, 2.
2.27. Положим А(к~> = {k-ii элемент не вышел пз строя}, А(к> =
= {к-й элемент вышел из строя}, к = 1, 2, ..., 5. По условию
задачи события любого набора, составленного из событий ,4<*>, к ==
= 1,..., 5, с попарно различными индексами, являются взаимно
независимыми. Обозначим В событие, состоящее в том, что по
участку, содержащему элементы Αι, А2, Аь может проходить ток.
Воспользоваться равенствами
В = (ДО U Д<2))Л«> = ДОЛИ) у aJuAWW»,
С = Л<5>Л<3> иЛ<5М~>Я.
Заметим, что для вычисления вероятности Ρ (В) непосредственно
использовать равенство В = Л<'>.4<4> U Л<2М<4> нельзя, так кав
Л(1М(4> и Л(2»Л<4> не являются несовместными событиями.
2.28. Положим А^г' = {при ί-м выстреле допущен промах},
Ау> = {при г-м выстреле происходит попадание}. По условию
задачи события A&i , Аг , ..., Агп {г{ = 0, 1; /= 1, ..., п)
взаимно независимы. Найти вероятность того, что было меньше двух
попаданий.
2.34. Пусть С = {изделие, поступившее на проверку,
удовлетворяет стандарту}. В задаче 2.24 вычислены вероятности Р{А\А^\С),
P{AiA2\C}, где Л] = {изделие прошло первую проверку}, Аг =
= {изделие прошло вторую проверку},
2.35, в) Использовать равенства
м
(Μ - т) CZ = MC%_V 2 см-г CrN~-M = Ъ-у
2.37. Введем события С = {перелить кровь можно}, Αι = {до-
пор имеет ио группу крови}, В( = {больной имеет ί-ω группу
крови}. Найти Р(Аг), Р(В>), Р(С|5<) в предположении, что группы
крови донора и больного независимы и распределены согласно
приведенной в задаче статистике.
2.38. Положим С = {вибрация}, В = {перегрев}. Найти
вероятности событий СВ, СВ, СВ, СВ.
193

2.39. Используем те же обозначения, что в указаниях к задаче
2.38. Положим Ρ (ВС) = х. Найти вероятности событий ВС, ВС, ВС
как фуикпии от х, ?(В), Р(С). Показать, что 0 ε£ χ ^ min (P(/?),
Ρ (С)).
2.40. Положим А = {случайно выбрапиая урна содержит 2
белых и 3 черных шара}, В = {случайно выбранная урна содержит
1 белый и 1 черный шар}, С = {из выбранной урны извлечен
белый шар}. Используя условие задачи, определить вероятности
Ρ (А), Р(В), Р(С\А), ?(С\В).
2.42. Введем следующие обозначения событий: А = {передана
последовательность АААА), В = {передана последовательность
ВВВВ), С = {передана последовательность СССС], D = {принято
АВСА). Так как при приеме АВСА вместо АААА буква А была пс-
1 — α 1 — а
кажена два раза, то нужно положить Ρ {D \ А] ~ а —« 2— а'
Аналогично определяются вероятности P{D\B}, P{D\C}.
Воспользоваться формулой Байеса.
2.45. Пусть А^ — событие, состоящее в том, что i-ii игрок
(ί=1,2) извлек к белых шаров. Из условия задачи естественно
определяются вероятности Ρ {А^} № = 0, 1, 2), Ρ {л£2) | 4^}
(А = 0, 1; / = 0, i, 2). Найти Ρ И/Ч^Ь * = °> *. 2.
2.46. Найти вероятность противоположного события.
2.50. Искомую вероятность можно найти, используя то, что для
любого элемента ieJ
?{x<£AiAi) = 1 — ?{Х1=А{А2} = 1 — Р{х s= А,}Р{х еЛ2}
и что отбор разных элементов в множества At происходит
независимо.
2.51. Множества А\, ..., Ат попарно не пересекаются, если каяг-
дый элемент ieS либо не включается ни в одно из г множеств,
либо включается ровно в одно множество.
2.52. Решать так же, как и задачу 2.51.
2.53. а) Каждый элемент isi независимо от остальных вклю-
v
чается в Л Ai с вероятностью рг. б) Воспользоваться соотноше-
ί=ι
г г
нием U\ А = Π А, и свести задачу к п. а).
i=l i=l
2.54. Моделью исследуемого явления мояшо считать схему
Бернулли. Обозначим через At событие, состоящее в том, что в
момент ί по дороге мимо пешехода проезжает машина, t = 1, 2,
3, ... События Αι, Αι,,.. независимы, P(At) = ρ, Ρ (At) = 1 —ρ = q.
Выразить интересующие нас события через А|, Аг, ... Например:
{пешеход ожидает 4 с} ■= А^Л^АВАЛА6А^.^ использовать
взаимную независимость событий.
2.55. Результативные партии рассматривать как испытания Бер-
нулли с одинаковыми вероятностями исходов.
2.56. Последовательно обрабатываемые детали по
принадлежности к 1-й или 2-й группе образуют симметричную схему Бернулли.
Событие, вероятность которого мы ищем, можно записать в виде
Am. rC U Bm, гС, где Ат,г— {из r+т первых деталей в 1-ю
емкость попало г деталей, а во 2-ю попало т деталей}, Вт, г = {из
194

г + т первых деталей ко 2-го емкость попало г деталей, а в 1-го
попало т деталей}, С = {(г + т + 1)-я деталь поиала в 1-ю емкость}.
Предлагаемая задача является переформулировкой известной
задачи Банаха (ем. fill )·
2.58. Воспользоваться теоремой Муавра — Лапласа.
2.59. Воспользоваться предельной теоремой Пуассона.
2.60. Использовать теорему Пуассона.
2.61. При решении п. б) вывести равенство
p{l6im-«l<*} =
2*™\т + 1\^т + 2\^ \ ^ т + к ] jjj
а затем применить уточненную формулу Стпрлиш-а для
вычислена <1 — гтгт
ПИЯ с С2т.
2.63. Использовать теорему Муавра—Лапласа. В ответе оста«
вить знаки, не меняющиеся при изменении границ 940, 1060 на
+ 1. (См. введение к гл. 2, а также задачи 2.61, 2.62.)
2.64. Пусть ν — порядковый номер 1025-го числа, делящегося
па 3, μ„ — число чисел, делящихся на 3, среди первых η чисел
таблицы. Использовать равенство
P{v Ss 2500} = Ρ{μ2499 < 1025}.
В ответе сохранить разумное число знаков. (См. указание к
задаче 2.63.)
2.65. а) Пусть в гардеробах по χ мест; обозначим через μ чпс-
ло пар, выбравших гардероб одного входа; тогда 500 — μ — число
пар, выбравших другой гардероб. Используя теорему Муавра —
Лапласа, подобрать χ так, чтобы
Ρ{2μ < χ, 1000 — 2μ < я} да 0,99.
2.66. Воспользоваться схемой Бернулли с η = 2500, ρ = 6/30 =■
= 0,2, q = 0,8.
2.72. Рассмотреть все цепочки исходов длины I, содержащие к
успехов, из которых один стоит на конце цепочки.
2.73. Воспользоваться схемой Бернулли, в которой
испытанием является бросание двух костей; за два исхода каждого
испытания принять выпадение или невыпадепие хотя бы одной «Θ».
Рассматриваемая схема является частным случаем (2.15)—(2.17).
2.74. Занумеруем подряд бросания монеты. Бросания с нечвт-
ными номерами производятся первым игроком; остальные —
вторым. Пусть С< — событие, состоящее в том, что в i-u бросании
выпал «герб».
а) Событие, состоящее в том, что игра закончится до 4-го
бросания, представляется в виде Ct (J СхСг [} C\C£s;
б), в) рассматриваются аналогично.
2.75. Вероятностное пространство определяется формулами
(2.15) — (2.17) с N = 2, pt = ρ, ρ2 = q. Обозначим рассматриваемое
событие А. Положим Bk = {нуль впервые появился при fc-м испы-
тании}. Тогда Ρ (А) = ^ р (ABh).
fe=i
195

2.76. (См. указание к задаче 2.75.) Нетрудно установить, что
рассматриваемое событие может произойти лишь в том случае,
когда первые два испытания приводят к двум нулям.
2.77. Обозначим рассматриваемое событие А. Исход ί-го
испытания {0 или 1) обозначим |j. Для условных вероятностей />о =
= Ρμ|ΐ, = 0}1 ρι = Ρ{4|ξι«1},ριι = ΡΜ|6ι = b=l} можно,
пользуясь формулой полной вероятности, составить систему
линейных уравнений. Решив ее, находим Рво\ш = Р{А) ■= qpu -г ρ ρ ι.
При составлении системы использовать равенства вида
Ρ{Α|Ιι = ο, |2 = ΐ} = ρμ||, = ΐ}=/),,
ρμ|ξ, = ι, ι2 = ο}==ρμιι, = ο} = Ρο,...
2.78. Число единиц в η испытаниях схемы Бернулли
однозначно определяет положение частицы.
2.81. Найти вероятность противоположного события.
Неправильная передача происходит в следующих случаях: К =
{искажено не менее 4 знаков}, L = {два знака принято правильно, а
остальные знаки одинаковы}, Д/ = {два знака принято правильно;
среди остальных ровно два одинаковых; ив двух пар частых
знаков Выбирается пара неверно принятых знаков}.
2.82. Возможны два подхода.
1, Воспользоваться формулами
Ρ {6».ι = т1 Ъ,н = Ы * тЛ.П..тЛ *Г*· · · P^N
(аг +
2. Положим Βψ да {в /-м испытании появился исход 1) t
В^ = {в /-м испытании не появился исход 1), Тогда события
Β'ι1*, £<s>,.... В[п) (ε^ з= 0,1) взаимно независимы и Ρ [В^} *= ρν
2.33. Использовать решение задачи 2.82.
2.84. Решается аналогично 2.82.
2.85. Положим^ = {s-я ячейка осталась пустой}. Тогда
ίμίη, Щш=к}= П (AiAl ...Al П П Αλ.
Из решения задачи 2.84 следует, что
£
ί ь?г
С
)'-
,JV
=
S
·=
m.
1 +
mA'}*=
, + ...
...+Jft=.
m1l
+ m
.«i"
П]
...
'■n)<
s\
1
mN
«ftl
nmi
1 pi
S1
P/ П 2,U< ... A.\
\ Jed w> " *» **f
совпадает с вероятностью ϊογο, что после размещения χ частиц по
N — к ячейкам, отличным от it, ,.., й,, среди этих ячеек нет
пустых. Воспользоваться решением задачи 1.38.
19Θ

2.86. Обозначим θη число очков, выпавшее при п-и
бросании; ν — номер последнего бросания. Положим Ап => {0Я 5= 5},
В„ = {2 ^ θ„ < 5}. Возможпы два подхода к решению.
1) Событие С, вероятность которого требуется найти, можно
представить в виде С = В% [} I (J ^j^2 ... 4η_1ΰη|.
2) Доказать равенства
P{C}=P<S,} + P{4i}P{C|4,},
Р{С|Л,} = Р{С}.
2.87. Найти вероятность того, что в /е-п тропке все исходы
различны. См. указания к задаче 2.86.
2.88. См. указания к задаче 2.86.
2.89. Обозначим через Д< пояилогте хотя бы одной «Θ» у
игрока А при i-м бросании; аналогично определяем 5< для игрока В.
Можно воспользоваться любым пз подходов, описанных в
указаниях к задаче 2.86,
Глава 3
3.2. Воспользоваться формулами
1 1 1
2р«=к) -1.
ft (А: + 1) к & + 1
3.3. Воспользоваться формулой
2 1 1
к (к + 1) (А + 2) - к (к + 1) (к + 1) (к + 2)'
3.8. Угол между положительным направленпем оси ординат и
лучом АВ имеет равномерное распределение на отрезке [0, 2л].
3.9. Найти функцию распределения η.
3.10. Найти сначала Ρ{|η| ^ х], P{|t| Ξ3= *} и воспользоваться
тем, что распределения η и ζ симметричны, т. е. Ρ{η ^—х) s=
= Ρ{η S? ж}, Ρ{ζ < —χ} == Ρ{ζ > *}, — оо < χ < оо.
3.12. Заметить, что P{F(l·,) εζ F(x)} = F(x) для любого г,
— оо < ж < оо.
3.13. Показать, что {F_, (η) ^ χ} = {τ\ίζΡ(χ)} для любого χ,
— со < χ < оо.
3.14. Распределение величины r\—g{%) будет иметь атом в
точке у, т. е. Ρ{η = у) > 0, если, например, уравнению g(.r) = у
удовлетворяют все точки интервала х\ ιζ, χ ^ а;2 π вероятность
события {χι sc. ξ ^ х2} положительна.
3.15. Воспользоваться тем, что при достаточно больших N
значения F(—Ν) и i—F(N) могут быть сделаны как угодно малыми,
а на любом замкнутом интервале [—Ν, Ν] непрерывная функция
равномерно непрерывна.
3.17. б) Оценить сверху вероятность Р{| = ц) суммой
Л7п—1 .
Г{11\>Л.\1\\>Я}+ У, Ρ |-Л- < ξ < ~ —, А < η < ^±J I
—* 1л η η η )
197

и показать, что 8а счет выбора достаточно больших η и N эта
сумма может быть сделана сколь угодно малой.
3.23. Использовать формулу (3.2).
3.24. Использовать формулу (3.2).
3.25. Убедиться в том, что Ρ{|ξι — Ы < 1} = 2P{0=s: ξι - Ъ <
=5Ξ 1}. Воспользоваться равенством
Ρ {0 < 1г - 1г < 1} = J Ρ (и < Ιχ < и + 1) d? {ξ2 < и).
о
3.26. Найти сначала функции распределения, рассматривая па-
РУ (1> Ή) как случайную точку, равномерно распределенную в
квадрате со стороной а, и вычисляя площади соответствующих
фигур.
3.27. Воспользоваться тем, что двумерная плотность
распределения (ξ, η) равна е~х~у, χ ^ 0, у > 0. Вычислить сначала
функции распределения,
3.29. Воспользоваться формулой композиции (3.4). Учесть, что
плотности ρι(χ), Ρη(ι/) на разных интервалах определяются
разными аналитическими выражениями.
3.30. См. указание к задаче 3.29.
3.31. Показать, что при любом t e [0, а]
I2 + 2( (a— I) I t\ t
(2а — ί) t I t\ t
Ρ{™ίη(ξ1,Ι2)<ί} = ί-^τ2- = (2-7)^.
3.35. Воспользоваться результатом задачи 3.34.
3.36. Воспользоваться результатом задачи 3.35.
3.37. Найти сначала функцию распределения η.
3.38. Найти сначала Ρ{η ^ х], используя равенство
ΡΙη<*} = ρ{ξ1<1-^(ξ2+...+ξη)) =
ΌΟ
о
и результат задачи 3.36.
3.39. Воспользоваться независимостью ξι и ξ2 и равенством
P(li + l2 s£ χ) = P{L· ss *, |, = 0} + Р{Ь < χ - 1, ξι = 1}.
3.40. Использовать формулу композиции,
3.43. Площадь части поверхности сферы, лежащей в
полупространстве {х\ ^ х}, равна 2π(1 — χ) (|х| ^ 1).
3.44. Воспользоваться результатом задачи 3.43.
3.45. Показать, что Рп = Ρ{1ι + Ъ — четное число}.
3.46. а) Воспользоваться тем, что ti—τ2 и τ2— τι одинаково
распределены и что (см. задачу 3.17, б) Ρ{τι = τ2} = 0; б) время
ожидания 3-го клиента равно min (τι, τ2); в) событие, состоящее
в том, что 3-й клиент закончит разговор раньше 2-го, можно
записать в виде τι+τ3<τ2. Найти сначала плотность
распределения τι + τ3.
198

3.47. Пусть %h — время разговора к-го посетителя. Вероятность
Р* того, что к-ж посетитель закончит разговор первым, равна
Рк = Р{т& < τι, τ* < τ2,..., %k < τ*_ι, τ* < ти+и .... τ* < τ„}.
Показать, что Pi = ... =Pn
3.51. Пусть |, — число очков, выпавших в s-м испытании.
Выразить событие (Θ «ai, ν = η) через события, связанные со
случайными величинами ξ», s = 1, 2, ...
3.52. а) Найти Ρ{θι = i, t2 = ί2, θ2 = ;', τ3 = h, θ8 = к}, б), в)
Найти совместное распределение (θι, ..., Qn, τι, .,,, Тл).
3.53. См. указавие к задаче 3.52.
3.54. а), б) Использовать равенства
£i = ktli = ly = AU) ... 4h>4<* + 1>4*+a> ... ^0ft+! + I'4(ft+i+2),
где А^ = (fc-й шар черный}, Л<'!) = {/с-й шар белый}, в) Событие
{lx = fcr ξ2 = *а, ..., ξΜ+Ι = ^м+i} однозначно определяет
моменты появления белых и черных шаров.
3.56. Показать, что ξ и η равномерно распределены на [0, 1]
и Ρ{ξ = η} = 1. См. задачу 3.55.
3.57. Рассмотреть распределение двумерной случайной
величины (ξ, η): Ρ{| = 0, η = 1} = Р{1 = 1, η = 0} = 1/2. Положить
хо = уо = 0.
3.58. См. задачу 3.56.
3.59. Воспользоватьси при αϊ ^ α2, Ь\ ^ 6j соотношением
В < а2, η S3 62}\{ξ < α,, η «ξ 61} с {α, ^ ξ < a2} U {&ι «S η *S 62}.
3.60. а) Использовать равносильность событий ίξ,^ > х\ и
п
Π (|->г) и независимость |4; б) использовать равносильность
п
событий {£(„) ^ х}в П (li^^) и независимость ξ4; в) использовать
i=l
η
равносильность событий {^j<S(1)}n {ε(„)<«2} ".D {Ж1<^Т2}
и независимость |(.
3.61. а) Пусть Вт = {значения т — 1 величин из ξι, ..., ξ„
попали в (—оо, я), одно значение — в [я, χ + Дж) и n — лг
значений в [χ + Δχ, +οο]}. Показать, что
P{{l(m) е (х, а: + Дж)}\Дт} == о (Да) при Ах -> 0.
Воспользоваться полиномиальной схемой,
б) Решение аналогично п. а),
3.62. Использовать равенства
р 14 <4<···<4+Ι}=ρ{ξ1<4< ···<**+!>·
где (ib ί2, ..., id+i) — любая перестановка (1, 2, ..., /ί + l), и
учесть, что Ρ(ξ< = |j) = 0 при ι Φ) (см. задачу 3.17, б).
199

3.63. Пусть Xi < (/,■ < ж( + 1 < j/f+I (ί = 1, ,.., η—1). Найти
вероятность Р{х% < £<,, £g г/,-, г = 1, ..., /ζ}. Разделив эту вероят-
п
ность па JJ (г/{—я4) и устремив \ц к ат4, г = 1, ..., д, получаем
1 = 1
искомую плотность.
3.64. Найти плотность совместного распределения Дь ..., Дп,
преобразовав с помощью формулы (3.2) вайденную при решении
задачи 3.63 плотность совместного распределения |(и,..., |,п).
3.65. Воспользоваться результатом задачи 3.64.
3.66. Вывести из задачи 3.62, что Р(Ап) = n~h, η = 2, 3, ...,
и воспользоваться неравенствами
р/и
п 1 η
1 < 1
η* ^2ft-2
Г 1 _
Vn-"2
1
1
3.67. См. указания к задачам 3.62 н 3.66.
3.68. Использовать задачу 3.67 и указания к задаче 3.66.
3.69. Использовать вторую из формул (3.5). Показать, что
sup \Ff (χ + ε) — Ff (я) I -»- 0 при ε \ 0.
3.70. Воспользоваться результатом п. б) задачи 3.32.
3.71. Выбрав любое вероятностное пространство, на котором
задана случайная величина η, имеющая равномерное
распределение на отрезке [0, 1], и воспользоваться задачей 3.13.
3.72. Показать, что Ρ{ζ = ξ или ζ = η} = 1 и что поэтому
Ρ min
2|·
η —
ι
<
ζ-
<!max·
ι--,
-4Kb
Далее заметить, что случайные величины ζ; и ξ2 ίζι = ξ* *2 = η
при |— 2"|< η — ~2 ]; ζι = η, ζ? = I в противном случае)
удовлетворяют условиям Ρ{ξ( = ξ} = Ρ{ξ( -- η} = 1/2, i = i, 2.
Тем самым все сводится к вычислению функций распределения
случайных величин
Е- U
5 2 '
mm
«-4
3.73. Использовать соотношения
P{min (ξ, η)< ζ < max (ξ, η)} = 1
и указания к задаче 3.72.
3.74. Заметить, что если ах = min {л; Р{Х = л)>-0},
Ьх = max {η: Ρ(Χ = «) > 0} и аналогично определены вУ и Ьу,
то α = αχ 4- ar, 6 — bx + by. Вынести отсюда, что
min {P(Z = a), P(Z = fc)} < min {xy, (1 — *) (1 - г/)},
200

где χ = ?{Х = α.ν), у = Р{7 = яу}. Максимизировать правую часть
псравенства сначала по у (при фиксированном х). а затем по ж.
3.76. См. указание к задаче 3.2.
3.78. б) Использовать формулу т^С™ *= rcUi]C™l£.
3.81. Заметить, что Ρ {η, + η^ = 1} = 1.
3.82. а) При вычислении дисперсии воспользоваться
равенством sin2 χ + cos2 χ = 1; б) убедиться в том, что ть = Μ sin* ξ =
= Μ cos* ξ и составить рекуррентное уравнение для тпн с помощью
интегрирования по частям. Затем использовать формулу Стерлинга,
3.83. См. указание к задаче 3.82.
3.84. Воспользоваться формулой (3.12).
3.85. См. указание к задаче 3.84.
3.89. Плотность распределения |(j) найдена в задаче 3.6ί. Для
интегралов, возникающих при вычислении моментов, получить
рекуррентные формулы с помощью интегрирования по частям.
3.90. Показать, что для вычисления M{|(-i)||(j) = as}, 1 ^ i -<
< / ^: η, можно воспользоваться результатом задачи 3.89, так как
совместное распределение |(п, ...» £(j-» при условии %(^=х
совпадает с распределением ят](1), ..., «η(,-_υ, где ηιη^...^
εξη(;·_ΐ) — вариационный ряд, построенный по независимым
случайным величинам η ι, .,., t]j-i, равномерно распределенным на
отрезке [0, 1].
3.93. Пусть χι, χ2, %з — индикаторы событий Αι, Аг, Аз,
определенных в задаче 2.19. Положить α = χι — Μχι, β = χ%—Μχ2,
γ = χ3 —Μχ3.
3.94. Подожить % == 2κα, η = 2κβ, ζ = 2κγ, где α, β, γ —
случайные величины, построенные в указании к задаче 3.93, а слу«
чайная величина к не зависит от α, β, γ и удовлетворяет условиям
Μκ2 = σ2, Μκ3 «= оо, Р{к 3s 0} = 1 или Р{х < 0} = 1.
3.96. Ковариационная матрица должна быть симметричной и
положительно определенной,
3.97. См. указание к задаче 3.96.
3.98. См. указание к задаче 3.96.
3.99. а) Если выполнены условия задачи, то в правой части
равенства
Μζ,ζ, = Μζι max (0, h) f Μ (-ξι max (0> ξ2))
значения слагаемых одинаковы,
б) Использовать утверяедение п. а) и формулу {3.!7)«
3.103. б) Выразить Rn через Si, eg, ,..
3.104. Найти пяотноегь распределения ||i+t·— |i|,
3.105. Найти Μη*, пользуясь указанием к задаче 3.104 и
формулой
1 1 1
м I tj+1- It 11 Ij- h-ι i - J J.f К - *. 11 *« - *« Ι ώι dx*dx*=
oeo
" ί ίί ' ** ~ X* i ! *· ~* *2 I &1 ^3 I ^ ^ J( ί ' ^ ~ *2 I dX) ^
0 \0 0 / 040 /
3,108. При вычислении дисперсии преобразовать ζ„ в
сумму независимых случайных величин, выразив г\ц через %%, |j.
201

3.112. Использовать формулу Μ|ν.ξν.= ^ М?ДЛЛ5> гДе
1 J r,i = i
Χχν = 1, если ν* = у, и ϊ4 = 0 в остальных случаях.
3.113. а) Положить θι = ξι + ... + |„, где ξ,- = 1, если г-»-г,
и |4 = 0 в противном случае; тогда
°ί = Σ ε& = 2^ + 21^·
б) Положить θ2 = —^|у, где ξ<ι = 1, если г->-/-> г, и
lij = 0 в остальных случаях.
в) Написать для ΘΓ формулу, аналогичную случаям г — 1 и
г = 2.
3.114. Пусть μο — число непоявившихся номеров. Тогда μο =
= ξι + 1г + ·.·+1я, где Is = 1, если к-& номер не появился, и
ξ* = 0 в противном случае.
3.115. Представить | в виде суммы индикаторов ξ = 6ι + δ2 -f-
+... + δη, где δ,- = 1, если i-й шар в выборке белый, и б< = 0 в
остальных случаях (предполагается, что шары вынимаются из
урны поочередно). Воспользоваться тем, что
3.116. Воспользоваться равенством
μ„(η, Ν) =θι+.,.+ θ№
где θι = 1, если ί-я ячейка пуста, и θ< = 0 в противном случае.
3.117. См. указания к задаче 3.116.
3.118. Используя задачу 3.117, вывести рекуррентпую формулу
η — г 1
Mt*r+i = 7+1 N — 1 Μμ''' г^0·
3.119. См. указания к задаче 3.116.
3.120. Использовать равенство |n, < = 6i, t + ... + ε„, j, где
е», j = 1, если в /с-м испытании появился /-Й исход, и ε*, j = 0 в
противном случае.
3.121. См. указания к задачам 3.116 и 3.117. При решении п. в)
использовать выпуклость вниз функции хп.
3.122. Использовать равенство v* = ti + ... + Хк, где τι = 1,
Xj = Vj — Vj~\ (j = 2, 3,...,) и результаты задачи 3.52.
3.123. Если δ{ — число пассажиров i-ro автобуса, которым не
досталось билетов, то
| = б, + ... + блг.
3.124. Пусть ^h (к = 1. 2, ..., 10) — к-е по порядку извлечения
число. Доказать, что ξΛ (к = 1, ..., 10) одинаково распределены,
3.125. Представить μ<χ> в виде суммы индикаторов η2 + Яз +
■+... + г\п, где г|а = 1, если при к-м испытании появилась
цепочка 00, и r\k = 0 в остальных случаях. Найти Μμ0οι ΜΜοο·
3.126. Решение аналогично решению задачи 3.125.
202

Я.127. Заметить, что /-е испытание является первым в серии
едишщ тогда II толыго тогда, когда в этом испытании появилась
единица, а в (/— 1)-м — пуль. Поэтому если θ, = 1, когда j-e
испытание является началом серии единиц, и Q) = 0 в противном
случае, то: 1) η„ = 0, + θ2 + ... + θπ; 2) Μθι = Ρ, Μ'θ3· = pa
(/ > 1); 3) Ρ(θ^θ3+, =0) = 1; Q} и Qh независимы при \j — к\ ^2.
Далее см. указания к задаче 3.125.
3.128. Представить ξ в виде суммы Θ1 + Θ2 + Θ3+Θ4, где
θί = 1, если г-я вершина квадрата, в который попал центр круга,
лежит в круге.
3.129. Представить \S\ в виде ] S \ = 2 ah' гДе а* ~ *'
если Jei, иац = 0, если /с φ S.
3.130. Определить на круге случайную функцию
(1, если Ρ {г, φ) е Л,
Х(Г,Ф) = (0, если Ρ (г, ψ) φ А,
где Ρ (г, φ)—точка о полярными координатами г, φ. Тогда
I = ] \ % (г, ф) г dr άφ. В данном случае внаки математического
к
ожидания и интеграла можно поменять местами, так как
Ι Ι Μ | χ (г, φ) I r dr άψ < 00 (см. [6], теорема Фубини),
κ
3.131. Пусть Хт(ж, г/) = 1, если точка (ж, ι/) покрыта ровно
т кругами, и χ™ (ж, г/) = 0 в остальных случаях. Тогда
оо
μ»ι = j" j xm (*. y)dx dy)·
—со
Воспользоваться тем, что
0 < V-m — \\ %т (*, У) dx dy <
**+!/*< l-rw
< π (1 + rjv)2 — π (1 — rN)2 = 4π rw ->■ 0, #->.oo,
с вероятностью 1. По теореме Фубини
М J J *»**'^ dx dy ** JJ Μχ™(;Ε' ^ ώ ^'
Найти Мхт(ж, у) при as2 + ys =£ i — г».
«—1
3.133. Предварительно доказать, что п^=*к 2 m№ ^ Для
т=1
любых п, к > 2, где «rff5 = г{я —1).,«(» — у -j- 1), а затем
преобразовать правую часть равенства
М|№] = 2 »[ft]p il = »}·
»—ι
203

3.134. Заметить, что селя у = х^ -\- х2 + .
принимают только значения 0 и 1, то
УШ = *! 2
где все слагаемые
■<ч
%Ti2
χ. ,
Ч
3.135. Использовать результат задачи 3.13, геометрическое ПС-
Г
толкование иптеграла и формулу (1
■ /'' (г)) dx = ^ /?_., (г/) dy
пах (0, ξ)
3.136. Использовать равенство ξ == max (0, ξ) —max (0, —ξ) и
задачу 3.135.
3.137. Рассмотреть отдельно случаи а > 0 в α < 0. Найти
функцию распределения |а и воспользоваться задачей 3.135.
3.138. Использовать результат задачи 3.13.
3.139. В треугольнике ΧιΧ2Χ3 углы Xi, Х2 u Хз одинаково
распределены, а их сумма равна 180°.
3.140. Событие {выпуклая оболочка Αι, А2, А), А4 —
треугольник} есть объединение четырех попарно непересекающихся
событий Bt = {At лежит в треугольнике, образованном тремя
остальными точками}, i = 1, 2, 3, 4.
3.141. Рассмотреть независимые точки Χι, ..., 1'6е /?2,
имеющие распределение Р. Показать, что если ив — число
треугольников XiXjXi,, 1 ^ i < / < к ίζ 6, имеющих хотя бы один угол не
меньше 120°, то: а) Μκ„
С-'Р-,
6 3
б) Р{и5^ 1} =1, т.
Μκ6
1.
Доказательство п. б) сводится к рассмотрению двух случаев:
1) точки Х|, ..., Х6 образуют выпуклый 6-угольник,
2) одна из точек паходптся внутри треугольника,
образованного какими-то тремя другими.
3.142. Рассмотреть совокупность X,, Х2, Хз, Хч, Хб независимых
случайных точек В2, имеющих распределение Р. Показать, что
если И5 — число выпуклых четырех-
угольппков, образованных точками
Χι, г = 1, ..., 5, то: а) Мк5 = 5Р>,,
С) Р{и5 ^ 1} = 1, и поэтому Ми» ^
^ 1. При доказательстве б)
использовать рис. 7.
3.143. Воспользоваться тем, что
г|] + ... + т)п = 1 и распределения
rii, ..., х\п одинаковы. Распределения
пар г\г, гц (г Φ j) также одинаковы.
3.144. Показать, что случайные
величины |г, ..., |зг+ь
определенные в задаче 3.54, одипаково
распределены и что τ, = 1,- + 1, ί = 1, ···
.... Μ, Тм+i = 5m + i. Использовать
равенство li + Is + ... τ 1м-м =
= ΛΓ - Μ.
3.146. Выписать явную формулу для D(|-}-r|) и заметить, что
коэффициент корреляции может принимать любое значение из
[-1. 1].
3.147. При Ml = т Φ (0, 0, ..., 0) рассмотреть случайную ве-
1
личину (|, ет), где em — r—jm, и заметить, что
Рис.
1(1, «»)|^li|, |М(6,вт)| —|ш|.
204

3.150. Выразить D(||-J-.,. + ξ„) через С и воспользоваться
неотрицательностью дисперсии.
3.151. Заметить, что при М|||* < °°
Ml
1|* = lira uk rfP {|| |< и], \\u\h d? {| l |<«}>г'Р {\l\> χ).
3.152. Воспользоваться тем, что выпуклая вниз функция /(ж)
удовлетворяет неравенству
f(x)>f{x0) + c*0{x-x0)· -°°<х<°°,
где ]im /'(г)<С, < lim f (χ).
3.153. Использовать выпуклость вниз функции f(x) = |β|'
(г :=г 1) и задачу 3.152.
3.154. При доказательстве первого неравенства показать, что
можно ограничить случаем 0 ^ у ssC х и что при 0 «Г у »ζ. χ
производная по у разности правой и левой частей неотрицательна.
Далее заметить, что при указанных в формулировке аадачи
условиях распределения случайных величии ξ + η и ξ — η совпадают,
и поэтому Μ|| + ηΓ = -2(Μ|| + ηΓ + Μ|| — η Γ).
3.155. Применить метод математической индукции и задачу
3.154.
3.156. Использовать задачу 3.152 и равенство
Μ|6 + η|' = Μ(Μ{|| + η|'|ξ}).
3.157. Показать, что если Sh = ξι + ... + \к и случайная
величина |ft , χ не зависит от 5» и от ξι,+ι и распределена так же,
как Id+i, то распределение ξ&+1 — ξ&+1 симметрично и
м | sh+1 Г < м j sk+1 + ih+1 - i'h+l \r < μ | sk Г + 2гм ι tk+1 !r.
8.158. Утверждение п. а) следует иа утверждения п. б), а это
последнее следует из линейности операции cov (ξ, ξ) по каждой
из переменных.
3.159. а) Показать, что {а, Ва) = D(a, ξ).
б) Воспользоваться тем, что условие {ранг В не больше г)
эквивалентно условию {существуют линейно независимые
векторы Ьи .,,, bk-r, для которых iB6j=0}, условие {Оц »= 0} —
условию {Ρ{η = С} = 1 для некоторого С}, а такясе п, б) задачи 3.158.
3.160. Применить математическую индукцию и формулу (3.5).
3.161. Воспользоваться соотношением Ρ{ν > η] «= Ρ{ξι +...+
+ In ^ 1} н результатами задач 8.132 и 3.160.
3.162. Использовать метод неопределенных множителей Ла-
гранжа.
3.164. Воспользоваться формулой A = ^]C±i10C ·»·5η<χ )t
/i 2 ... η
где сумма берется по всем подстановкам α =[ „
V*l α2 · · · "n
205

3.165. Заметить, что еслп матрица А = II a- fl^V.,''1'0
Σ eirA,-r ···*-■ - α
1 'Г 2 n<-2rh-l rh~
Воспользоваться тем, что Μξ™ = 0 для любого нечетного т βζΚ.
3.166. Представить Μ sin ξ и Μ cos ξ в виде суммы интегралов
по [2пк, 2л(&+1)], к = 0, 1, ..., а затем показать, что каждый
из этих интегралов может быть представлев в виде интеграла по
(О, ίϊ/2) или по (0, я) от положительной функции.
3.167. Если ρ = 1/2, то M^!=-i+M — — L
η 2 \ η 2
далее
воспользоваться неравенством Μ
η 2
<i/d!^. ΓΙρπ ρφ1/2,
например, при ρ > 1/2, заметить, что — = — — 1- (1 — — |£„,
η л > \ η Г
где |я = 1, если μ„ ^ η — μ„, и |„ = 0, если μ„ > η — μ„. Найти
lim M£n = lira Ρ \—-^ — >c помощью теоремы Муавра—Лапласа.
3.168. а) Положить А\ = {|2ft„1 = ε Φ |2ft}, Sft = {ξ2Λ_χ =ξ2,}
и использовать разложение
{ll^6!· •••.η„=ετ1}=
ε1 /Α * ( Π ί?Λ
■U- -W-^nii,.^^
б) Заметать, что {ν = 2А-} = (А\ \J А\) Βύ ... S^_r
3.169. См. указание к задаче 3.168.
3.170. Прибыль предприятия η представить в виде η = ξι -f"
+ 1»+·-·+Ιηι где |ц — прибыль за к-е изделие. Вычислить
Ал|» с помощью задачи 2.24.
3.171. Найти производную по χ фупкции ψ(χ) = Μ|ξ — х\, где
χ — координата точки В.
3.172. Воспользоваться решением задачи 3.171.
3.173. Воспользоваться равенством
Μ(|-ζ)2=Μ(1-Μξ)24- (аг-М1)*.
3.174. Если (1, η) — координаты точки X, (а, 6) —координаты
точки А, то №\АХ\2 = Μ{(ξ — α)2+ (η— &)2}. Воспользоваться
задачей 3.173.
3.175. Если ξι, ξj,....— уровни весенних паводков в
последовательные годы, а х* — время до разрушения плотины паводком, то
Ь > г\ = / max Р. <г\. Случайная величина т, при любом
t > 0 имеет геометрическое распределение
8.176. Найти функцию распределения ζτ. Воспользоваться
формулой Р{хг > и) = М[Р(гг > κ|ζτ)} и тем, что условное
распределение τ при условии ζτ = z — геометрическое при любом г.
3.177. Рассмотреть случайные величины pij = Ц( — ξ(|, Ι ^
<- ί ■< / ^ 3, и воспользоваться соотношениями
206

а) Pis+Pis-f P23 = 2(|i3) —Id)),
б) miu {\l2) — Id). Ιοί ~ 1(2)} =ξ '/2(1(3) — 1m).
3.178. Пусть ?{a *ζ 1 < b) = 1, b — a = l. Воспользоваться тем,
что D?<M(E—(α+6)/2)2 (см. задачу 3.173).
3.179. Воспользоваться тем, что при щ ^ Ь<
{α, < η, ss: 6|}П{й2 55 Пг^5 Ы с {aj + α2 5ξ η, + η2 < δι + &2>.
3.180. Воспользоваться задачами 3.178, 3.179 и доказать, что
пз предположения о том, что 1 сосредоточена на отрезке ддины
I < °°, и из безграничной делимости распределения 1 следует
равенство D1 = 0, т. е. вырожденность распределения ξ.
3.181. Вводя индикаторы χι, ..., χΛ событий Αι, ..., Ап,
установить равенство
η η
«ρ = Μ (χ, + ... + χη) = 2 р (Bk) = Σ *ρ (*Λ\**+ι)
fs=X fc^l
и вывести из пего, что для любого т = 1, 2, ..., η
тР(Вт) £ζ пр ίζ т — 1 + (п — m + l)P(5m).
3.182. Воспользоваться результатом вадачи 3.136.
3.183. а) Рассмотреть случайные величины ξ = 1 и η:
Ρ(η = 0) =1-ρ, Ρ(η = 10//>)=/>, ?e(fl,l].
б) Рассмотреть случайные величины ξ и η, имеющие
равномерное распределение на [0, 1] и такие, что η = {1 + ρ}, т. е. η
равно дробной части числа 1 -f- p.
в) Показать, что Ρ(1<η) ^α при о < 1, Рассмотреть
случай, когда
η
Τ = {I + Р} на множестве (шей: ξ< α}.
Случай я>1 сводится к а<1 делением па а: Ρ(ξ^η) =
= 1 — Ρ(η/α< 1/о).
1
3.184. Вычислить Μ ξ — -ψ
Ι ί I
и Μ η — -ρ-1 и воспользоваться
неравенством j.r— y\ sg; [zj + |y|.
3.185. Показать, что случайные величины min (|, η) и
max (I, η) удовлетворяют условиям задачи и что
Ρ{ζ = ξ или ζ = η} = 1.
3.186. Если
F_i(y)=sup{a;: f(i)<s} и {χ = 1} =. {$ > F_,(l-α)} = Л,
то для любой другой случайной величипы χ', Ρ{χ' = 1} = а,
Ρ{χ'а= 0} = 1 — а и {χ' = 1} = А' ф А, справедливо неравенство
Μχ| — Μξχ' 5г 0, так как
Μ (ξ max (χ -χ', 0)) ^ F^'A - α)Ρ(Α\Α'),
M(imai(x'-x,0))<f,-i(i-e)P(4'V4)
Ρ(Α'\Α) = Ρ(Α\Α').
Минимальное значение Μ(1χ) достигается при {χ = 1} =
= {1 ^^_1(а)}. Для вычисления экстремальных значений Μ(1χ)
воспользоваться вадачами 3.135 и 3.136.
207

3.187. Представить ζ в виде ζ = η + (ξ —η) χ, где случайная
величина χ принимает значения 0 и 1 и {χ = 0} = {ζ = η},
{χ = 1} = {ξ == ξ}. Далее воспользоваться аддитивностью
математического ожидания и результатом задачи 3.186
(предварительно вычислив функцию распределения ξ — η).
3.188. а) Воспользоваться свойством аддитивности матриц ко-
вариаций.
б) Использовать результат п. а) и формулу для плотности
двумерного нормального распределения.
3.189. а), б), в) Найти Р{| = η}; использовать равенство
Ρ{ξ>η} = Ρ{ξ<η} = (1-Ρ{| = Τ)})/2.
3.190. Составить и решить рекуррентные уравнения: в случае
а) —для Р{| > к}, В случаях б) и в) —для Ρ{ξ = к}.
3.191. Использовать вадачи: 3.32 — в случае а), 3.26 —в
случае б), 3.34 — в случае в).
3.192. Использовать результаты вадачи 3.191.
3.193. Условные распределения ξ и η при условии ξ -f- η = z
совпадают. Если Р{ [ I + η — z [ <е}=0 при некотором ε > 0, то
условное распределение ξ или η при условии | + η = * не
определено.
3.195. Показать, что если χ = {х\, ..., хп) и у = (у ι, ..., Уп) —
любые два набора, состоящие из к единиц и η — к нулей каждый,
то Р(| — *)·= Р(| = у).
3.196. Доказать индукцией по к, что если |jj (1 = 1, ·. ·ι "">
/ = 1, 2, ...) —независимые случайные величины,- Р{1о = 1} = Р,
Ρ{ξ(ί = 0} = 1 — ρ при любых ι, /, то
Хй = f u .. · £u + 1г1 .· · 1г» + ··· + 1ш .·· in*.
3.198. Обозначим через η число белых шаров в первой
выборке. Тогда по формуле полной вероятности
η
P(l = m) = 2 Ρ(η = *)Ρ{ξ = ι»|η=*}.
г=о
3.199. Найти услонную плотность распределения η при
фиксированном |3.
3.201. Вводя индикаторы событий, показать, что Μκ„ =
•=пРЦц ίζ f„l ИЛИ ij2^ln2 ДЛЯ /=1, ..., П —l), И ВЫЧИСЛИТЬ
последнюю вероятность, используя независимость |ι, ..., |п и
формулу полной вероятности (фиксируя множество А(Ъ,п) =
= {/; 1л sS Ini или Iji < 1„2} и значения |п1, £„2).
3.202. Использовать условные математические ожидания и
формулу Dt = Μτ2— (Μτ)2.
3.203. Показать, что в равенстве
Р{|^шах(т1, х)\1>х) =М„{Р(£>тах (η, χ) |ξ > χ, η)}
выражение под знаком математического ожидания можно оценить
снизу величиной Ρ{|^η|η} при любом фиксированном
значении η.
3.204. Воспользоваться задачей 3.203.
3.205. а) Заметить, что
Ρ{η* s£ i/hft-i = χ) = Ρ{1ι < у\Ь < χ}.
б) Вывести из п. а), что распределения η/ι и ξιξ2.·.ξ*
совпадают.
208

в) Воспользоваться равенством
Р{Ак = та|т1й_1 = х) = P{im<z, If > х (i = 1, .,., т — 1)}.
г) Заметить, что %ь = Δι +... + Дй, и, пользуясь результатами
пп. б) ив), найти МДь.
д) См. указания к задаче 3.67.
3.206. Показать, что n-мерная условная плотность
распределения {Si, ..., Sn) при условии Sn ίζ α < S^+i равна 0 вне
множества Dn{a) = {{χι, ..., χη): 0^ х\ ί£... ^жя ^а} и постоянна
на Ζ)η(α). Плотность распределения (Id), ..., 1(п>) найдена в
задаче 3.63.
3.207. Представить Ρ | ξ — χ >—| и Ρ{ξ > χ) в виде
интегралов по промежутку fa:, oo).
3.208. Положим |( = 1, если в испытании с номером t
появилась 1, и ξ( = 0 в противном случае. Для условных
математических ожиданий т0 = M{v0oili = 0}, т\ — Μ{νοο||ι = 1} составить
систему линейных уравнений, используя равенства
M{Voo|ll = |2 = 0} = 2,
M{v00|ii=0, ξ2=1} =1 + ι»ι,
M{voo|ii =1, ξ2 = 0} = 1 + π»ο,
M{v0o|ii = %2 = 1} = 1 + mi,
и формулу (3.20). Найдя из этой системы та0, пи, получаем Mvoo =
= pmi -f- qmQ.
3.209. Для условных математических ожиданий
та = Μ{ν1Μ||ι =0}, mt = M{vm||i = 1},
тп = Μ{νΜι|ξι = |2 = 1}
составить систему линейных уравнений. Найдя из этой системы
т0 и ти получим Mvm = qma + рт\. См. также указание К
задаче 3.208.
3.210. См. указание к задаче 3.208.
3.211. Пусть Bi = {точки Αι, ..., А„ лежат на дуге А,С
длины χ (направление от At к С — по часовой стрелке)}. Искомое
событие есть В{ [)...[] В„. Показать, что Bi f) В, = 0 при Ι Φ j,
и найти Р{В,\А, = X).
3.212. Указанное в условии событие не происходит тогда и
только тогда, когда длина дуги, содержащей Ль ..., Ап, не
превосходит половипы длины окружности. См. вадачу 3.211.
3.213. Если Вп — событие, описанное в вадаче 3.212, то
{ν ^ п) = Вп. Для вычисления Μν и Dv использовать задачи 3.132
и 3.133.
3.214. Найти длину дуги, на которой должны быть
сосредоточены точки Аи ..., Ап, чтобы событие, указанное в условии
задачи, не выполнялось. Использовать результат задачи 3.211.
3.215. Если длина дуги А,В равна х, то {| > х) = {А2, .,., Ап
не принадлежат дуге А\В}.
3.216. Использовать формулу полной вероятности
2 ЯГ
Ρ (|j > χ, ξ2 > у) = j P {|2 > у I ξ, = ζ) ρ^ {ζ) dz,
X
209

где ps (z) — плотность распределения ξι, и указания к задаче
3.215.
3.217. Использовать формулу полной вероятности
Ρ (|χ > sv ... , lh > xh) =
= J ?{^>Χ2 Eft > *ft ί &x = *> P£l («) Λ.
Xl
метод математической индукции (по к) и результаты задач 3.215
и 3.216.
3.218. Воспользоваться результатом задачи 3.217 и тем, что
р(Ч>х1'--Ч>л*) =
= Р {&!>*,· (/ = !...., A), l„l>0 (*=*Ί. --Λ)]·
3.219. Заметить, что ν = θι + .·.. + θ„, где {θ; = 1} = {%ι > Δ},
{θί = 0} = {ξί ^ Δ}. Далее использовать задачи 3.132 и 3.133, 3.215
и 3.218.
η
3.220. Заметить, что |ηη > х\ = (J {£ft > ж}. Использовать фор-
мулу (1.12) из введения к гл. 1 и результат задач 3.217, 3.218.
3.221. Использовать задачи 3.220, 3.135 π равенство
й = 1 0 0
3.222. Пусть α, β, γ —длины дуг ВС, СА, АВ. Использовать
равенства
1
S = -у- (sin α -\- sin β + sin у),
ρ = 2 (sin .fL + sin _L + sin -L ] ,
2.9 α β γ
г = — = cos -ψ- -f- cos -5- + cos -о-,
результаты задачи 3.215 и свойство аддитивности математического
ожидания.
3.223. а) Использовать равенство
1я max(alta2)
Μσ-= [(i/-fll)(,v-a2)di/-2 j (j, _ βι) (tf - a2) cfjf.
ό m)n(Oj,o2)
б) Подставить результат п, а) в формулу Μσ = Μ{Μ(σ|/1)}«
3.224. а) Найти вероятность поражения цели при условии, что
ζ фиксировано; б) воспользоваться результатом задачи 3.40.
3.227. Получить рекуррентную формулу для M|ft, используя
интегрирование по частям.
210

3.228. Представить каждую часть неравенства в виде
интеграла по интервалу (х. °о) от ее производной и сравнить
подынтегральные выражения.
3.230. Записать Ρ{η ^ х] в виде интеграла и вычислить его,
переходя к полярным координатам.
3.231. Использовать результаты задач 3.35 и 3.229, а).
3.233. Пользуясь тем, что интеграл от плотности нормального
распределения равен 1, найти Ме^ и Με2η, где случайная
величина η имеет нормальное распределение с параметрами (α, σ2).
3.234. Воспользоваться задачами 3.233 и 3.229, б).
3.235. б) Заметить, что
/ In Ь — Μ In ξ \ /In о—Μ In ξ\
Найти Μ]ηξ и D In ξ, используя результаты задачи 3.233.
3.236. См. указания к задачам 3.227 и 3.233.
3.237. Воспользоваться тем, что случайные величины ξ π —|
одинаково распределены.
3.238. Разложить cos ξ в ряд Тейлора, по | и с помощью
результатов задачи 3,227 найти математическое ожидание каждого
слагаемого. При вычислении Μ cos2 ξ предварительно перейти к
функции от двойного угла.
3.239. Воспользоваться результатами задач 3.237 и 3.238 и
равенством Μ sin2 | = 1 — Μ cos2 ξ.
3.240. Вычислить (М cos ξ2 + ίΜ sin ξ2)2 = (ме'»2)2,
записав эту величину в виде двойного интеграла и затем переходя к
полярным координатам. При определении квадратного корня най-
ти знак 1га Ме'^ , делая в интеграле замену переменных а = хг
и рассматривая интегралы по и от Ink до 2π(/ί-{-1), fc=0, 1, ...
3.241. Найти плотность совместного распределения ηι, nj.
3.242. а) Использовать равенство Р(—ξ < х, ||| ^ 1) =
= Ρ(ξ<χ, |6|>1).
б) Найти Р(| + η = 0).
3.243. Случайная величина | — η имеет нормальное
распределение.
3.244. Случайные величины 2ξι — |2, 2ξι — |2+ 1з имеют
нормальное распределение.
cos φ — sin φίΙ
3.245. Линейное преобразование с матрицей s;n m сояф!
ортогональпо.
3.246. Воспользоваться задачей 3.245 с φ = π/4.
3.249. Используя задачи 3.247. 3.248, представить (ξι, ξ2) в
виде подходящего линейного преобразования случайного вектора
(ξι, ξ2), имеющего сферически симметричное нормальное
распределение с Οζι = Οζι = 1.
о.2о0. Записать отображение ζ — χ -f- ?>/ -*■ —; 2\ih—i)/z B
полярных координатах и воспользоваться сферической
симметричностью совместного распределения ξι п |2.
3.252. а)—в) Воспользоваться независимостью ξ и η; г)
воспользоваться решением а) и симметричностью двумерной
плотности распределения (ξ, η) относительно начала координат; д), е)
вычислить с помощью интегрирования двумерной плотности.
211

3.254. Воспользовавшись тем, что плотность сферически
симметричного нормального распределения инвариантна относительно
поворота вокруг начала координат, повернуть прямоугольник так,
чтобы его стороны стали параллельны осям, а вероятность
попадания в него не изменилась.
3.255. Воспользоваться симметричностью двумерной плотности
относительно любой прямой, проходящей через начало координат,
и ее инвариантностью относительно вращений вокруг начала
координат.
3.257. б), в) Найти плотность (|, η) в полярных координатах.
3.258. а) Выразить искомую вероятность через плотность в
полярных координатах (см. задачу 3.256).
б), в) См. указания к задаче 3.254.
3.259. Вектор (ξι — ξ2, ηι — η2) имеет нормальное сферически
симметричное распределение. Воспользоваться задачей 3.230.
3.260. Вектор А,М, = (-1, + (ξ, + ξ3)/2, -η, + (η, + η3)/2).
См. укавание к задаче 3.259.
3.261. Показать, что точка Μι и вектор АгА3 независимы.
Вывести отсюда независимость векторов А\М\ и А%А3 (и, значит, их
длин).
3.262. Треугольник является тупоугольным тогда и только
тогда, когда одна из его сторон больше удвоенной медианы,
проведенной к этой стороне. Эти события, относящиеся к трем разным
сторонам, несовместны и имеют одну и ту же вероятность. Найти
эту вероятность, исподьвуя результаты задач 3.260 и 3.261.
3.263. Треугольник А\А^АЪ не имеет тупых углов тогда и
только тогда, когда он не содержит внутри себя центр описанной
около него окружности. Использовать задачу 3.212.
3.264. Заметить, что распределения случайных величин ξ и — ξ
совпадают.
3.265. Ввести вспомогательный случайный вектор |' =
—(iji Ι2)=(^ι/σΐ' ξ2/σ2)ιимеющий сферически симметричное
двумерное нормальное распределение.
3.266. Из результата задачи 3.264 вывести, что достаточно
найти роа. Подобрать числа at, bi, bt так, чтобы случайный вектор
ξ=(ζι, ξ5) = (aiii, bili + isli) имел сферически симметричное
нормальное распределение с плотностью :пг е~^х +у "2 и чтобы
ill > 0, ξ2 Ss 0} = {ζι 5s 0, ξ2 Ss bifri).
Для вычисления р<» воспользоваться последним равенством и
сферической симметричностью распределения ζ.
3.267. Найти такие числа вир, что случайные величины ξι и
η = «ξι + ι>ξ2 независимы и одинаково распределены. Записать
искомую вероятность в терминах вектора (|ί, η) и
воспользоваться сферической симметричностью его распределения.
3.268. Найти распределение ξι — a|s.
3.270. а) Вектор (|2— li, 1з~ ξ J является разностью двух
векторов (|г, |з) и (|h ξι), имеющих нормальные распределения,
б) Распределение (|(s> — ξ(ι>, 1<г> —|<п) совпадает с условным
распределением (1г—it, %з— li) при условии, что 1ι<ξ2^ΐ3·
Вероятность события \ σ, < |вг =ζ | р3 не зависит от перестановки
(σι, σ2, σ3) элементов (1, 2, 3). в) Воспользоваться задачей 3.267.
3.271. См. указание к задаче 3.270.
212

3.272. Ср. с задачей 2.19.
3.278. Найти функцию распределения
3.279. Воспольаоваться соотношением |Μζ|<Μ|ζ| и
результатом задачи ЗЛ52.
3.281. Рассмотреть распределение с плотностью
Ρ (*ν χ2) = С'1 ехр {- (х\ + х\ + х\х\)},
00
с = j j esp {- (*; + *; + φ») j лхлу
Глава 4
4.1. Заметить, что если /*(«) = 0 при |г| < г, /χ(ί) = 1 при
\t\^x, тоР{[&1 :&*} =М/*(|) и *(ί) >/«(«)*(*)·
4.4. Показать, что для любых ε > 0 и η = 1, 2, ...
:1 + ...+ζ„ _в|>е|g|| gt + ... + ξ[(η+1)/2ΐ _flI>ε| u
[(n+l)/2]
η1 + ...+η[η^ΐ_ J>e\
I h/2] I >
и использовать приведенные во введении к гл. 4 условия
выполнения закона больших чисел.
4.5. Применить результат задачи 4.4.
4.6. Показать, что
η α -j- l
найти распределение {ξι + ... + ξ„)/η и испольвовать точную
формулу для Ρ{|1ι Η-...+ ln)/n\ sg e}.
4.7. Воспользоваться неравенством Чебышева и результатом
задачи 4.6. Выяснить, при каких значениях а удовлетворяет закону
больших чисел последовательность случайных величин ξι, |г, ...,
если они независимы и при к =. 1, 2,...
Р{1к = 0} = 1-2-*,
ρ{ξ„ = 2*с*«} = p{|ft = —2*с&«} = 2-*-·.
4.8. Оценить сверху дисперсии ζι + .·· + ζη и гц +...+Г|п и
применить неравенство Чебышева.
4.9. Вычислить математическое ожидание, дисперсию ζη/^Ί»
н воспользоваться неравенством Чебышева.
4.10. Заметить, что
ε»=-τ (& + ·■■+**»)'-(si + - + tt))
213

(I ЧТО ПОЭТОМУ
Cl
> ε < Ρ
+ Ρ
Uh +
nUn-i)
3 ~α > —
1 ί^2 U L ϊ2
3 ι .-г (и — 1) 3
(1)
Оценить первое слагаемое в правой части (1) с помощью
неравенства Чебышева, а второе и третье — с помощью неравенства из
задачи 4.1 для фупкции g(x) — \х\.
4.11. Найти Μ/(|ι) и D/(|i) и воспользоваться законом
больших чисел.
б) Использовать центральную предельную теорему.
4.12. а) Если {х} обозначает дробную долю х, то {| + кг\} и
{1г\} при любых целых /с, I независимы и имеют равномерное
распределение на [0, 1].
б) Воспользоваться неравенством Чебышева.
в) Заметить, что
ζχ+.-.+ζη
/ (χ) dx
>ε,
если {ξ + η}, ..., {ξ + nr\) принадлежат отрезку [а, Ь].
4.13. Утверждение задачи можно вывести из закона больших
чисел.
4.14. Применить закон больших чисел.
4.15. Воспользоваться результатом задачи 3.157 и
неравенством из задачи 4.1.
4.16. а) Показать, что Mv < оо.
б) Ввести случайные величины vn — χι + ... + χη, η ■.
где Xi = 1, если происходит событие А;, и %ι = 0 в противном
случае. Показать, что Ρ{ν ^ ν„} = 1, re = 1, 2, ...; вычислить
математическое ожидание и дисперсию \п и с помощью неравенства
Чебышева убедиться в том, что для любого N < оо
lim P{v„>/V} = 1.
1,2,.
4.17. Рассмотреть случайную величину v№ совпадающую с
•ν при ν Eg Л' и равную 0 при ν > N. Очевидно, Mvw < N. Пока-
что предположение «существует такое N < оо, что
зать,
P{v > Ν] < а-
такое
■ ε < а» приводит к противоречию, если вычислять
математическое ожидание νΝ по формуле
Mv,
= 2PH,n{v<JV}}> Σ(Ρ{Αη}-Ρ{ν>Ν}).
4.18. Связать события Ап со значениями одной и той же
случайной величины, имеющей равномерное распределение на
отрезке [0, 1].
214

4.19. Показать, что если ve — число одновременно
происходящих событий {| |п — ζ! >. е}, η — 1, 2, ..., то
„_ σο ( , Л оо
/ lim ё„=* CI = U Hm ( ξ„ - ζ | > * = U {v1/k = °°}.
m-»oo } fc=i ln-»°° ' ft J ft=i *
и применить лемму Бореля — Кантелли (задачу 4.16),
4.20. Показать, что выполняются условия задачи 4.19.
4.21. а) Показать, что
р {41 = -&&, р{^!<ехР{-^},
и применить лемму Бореля — Кантелли (задачу 4.16).
б) Использовать соотношение
ε -JL
tn λ
Jim
П-»оо
>e c{ve=oo}u {με = °ο}·
4.22. Найти D ((=ι + ··· + «„а)/"2)» применить неравенство
Чебышева и результат задачи 4.19.
4.23. Найти D/| 2+i+S a+2"l·" · · · + ?ft)- использовать оценку
Λ7
Ρ {max {tr ζ2, ..., ζΜ} > ε} < 2 Ρ {^ > 8}·
i=l
неравенство Чебышева и результат задачи 4.19.
4.24. Вывести усиленный закон больших чисел из результатов
задач 4.22 и 4.23.
4.25. а) Применить метод математической индукции (по п).
б) Найти
. Ρ {^+ ··.+?„ =■*+!}
Ι™» ρ {^+ ... + !„ = *} *
4.26. Воспользоваться результатами задачи 1.53 и равенствами
Ρ{τ,(ΛΤ) > п} = Р{Л„, Ν}, Ρ{τ2(Ν) > гс} = P{C„,W}.
При нахождении предельных распределений полезно соотношение
In (1 — χ) =— х + 0(х2), х-+0.
4.27. Представить вероятность Ρ{ηη ^ ж} (0 <! χ < 1) в виде
м (fc+.v)/'n
р{^<*} = Σ J" Ρξ(Ό*4
fc=—» ft/η
к каждому слагаемому применить теорему о среднем.
4.28. Показать, что для любого 8 > 0 можно найти такой
набор {δι, ..., δ,,,} непересекающихся отрезков, что
215
Ρ Ее U δ, >1-β
l i=l

и плотность ρι(χ) на U δ{ непрерывна и ограничена. Далее
воспользоваться решением задачи 4.27.
4.29. Воспользоваться равенством tg п\ = tg Ι π | η Λ. Η и
результатами задач 4.28 и 3.8.
4.30. Используя тригонометрическую форму записи
комплексных чисел, показать, что ζ„ = tg (rcarctgf), и применить
результаты задач 4.28 и 3.8.
4.31. Использовать неравенства из задачи 3.228 и определение
условной вероятности.
4.32. Использовать равенство Р{хп^ж} = Fn(x) и
асимптотическое соотношение lim (1 — — I = е~с.
η
4.33. а) Воспользоваться справедливыми при любом ε > 0
включениями
{ητιίξζ — ε, |ξ„| s£ ε} = {η„ + ξ„ < ζ, |ξ„| s£ ε} с
Ξ{η„ sgz + ε, ||„| s£8}
и тем, что _
ρμ} — ρ{θ} ^ ρμθ} sg ?{A).
б) Доказывается аналогично а).
4.34. Использовать теорему Муавра — Лапласа и п. а)
задачи 4.33.
4.35. а) Воспользоваться неравенством
P{/4B}sSmin{P{/l}, Ρ {Я}},
справедливым для любых двух событий А, В.
б) Использовать определение непрерывности функции двух
переменных и результат п. а).
4.36. Показать, что при каждом I = 1, 2 последовательность
ζ|η) = (^х) + ... + ξ-η))/« сходится по распределению к at,
когда η -*■ оо, и применить результат задачи 4.35. В случае а)
сходимость ζψ* κ а< следует из закона больших чисел (см. введение
к гл. 4), в случае б) — из задачи 4,15.
4.37. При вычислении Ρ {ξ„ < χ] воспользоваться
соотношением lim(l —e)1/8 = e-1.
ε-* о
4.38. Заметить, что ть. можно представить в виде суммы к
независимых случайных величин, распределенных так же, как |,
Воспользоваться неравенством Чебышева.
4.39. Значение Μτ вычислялось в задаче 3.202. Чтобы найти
распределение τ, заметить, что
Т V tej "Г · · · + 6у . /м
Μτ Μν ν
используя оценку
6j + · · · + Sv
< Ρ ίν < η} + sup рЛ11.+ ,,,+Ч — a >e),
m^n \\ m \ J
213

показать, что второй сомножитель в (1) сходится по вероятности
К 1, и воспользоваться п. б) задачи 4.33.
4.40. Заметить, что случайная величина xq имеет такое же
распределение, как сумма |ι + ...ξν, в которой ξι, |г, ... и ν
независимы, ξι, |г, ... распределены так же, как |, a v имеет
геометрическое распределение с параметром д. Далее при решении
п. а) использовать задачу 4.37, а при решении п. б) — вадачу 4.39.
4.41. Первая оценка следует из неравенства Чебышева. Для
доказательства второй можно ввести индикатор %л события А и
воспользоваться результатами вадач 3.186, 3.138, неравенством
Копт — Буняковского и переходом к дополнительному событию.
4.42. Используя задачи 4.41 и 4.39, показать, что нахождение
предельного распределения gti сводится к применению вадачп
4.37. Затем с помощью вадач 4.33 и 4.41 показать, что предельные
распределения ?τι и qx3 совпадают.
4.43. Убедиться в том, что процесс работы прибора
удовлетворяет схеме, описанной в задаче 4.42, и что для искомой случайной
величины τ и случайных величин τι и τ2 из задачи 4.42
справедливо соотношение
Ρ{τι s£ τ < τ2} = 1.
4.44. Применить результат вадачи 4.43. Использовать
аппроксимацию пуассоновского распределения нормальным.
4.45. Использовать определения указанных видов сходимости,
При построении примера рассмотреть такие невависимые
случайные величины |п, что
Вычислить М(£„ — I)2 и использовать лемму Бореля — Кантелли
(задачу 4.16) для доказательства того, что
РШпГ|&п-1|=0}=0.
4.46. Если F(x) и F„(χ) —функции распределения ξ и |„
(п = 1, 2,,..) соответственно, F* (г) и Fn (χ) — обратные функции,
а случайная величина ξ имеет равномерное распределение на
отрезке [0, 1], то последовательность случайных величин |„ =
= ^(ζ) сходится к 1'=ί*(ζ) е вероятностью 1.
4.47. а) В случае когда |г, сходится к | по вероятности,
воспользоваться равномерной непрерывностью f{x) на любом
конечном отрезке и включением
(i/(w~/«)i >*>s=Mi>nu<iii<r, 16.-Ы >«г
справедливым для любых ε >0, Т< со при некотором ε' = ε'(ε, Γ).
Случай сходимости с вероятностью 1 рассматривается аналогично,
а случай сходимости по распределению сводится к любому из
рассмотренных с помощью результатов задач 4.45 и 4.46.
б) Рассуждения проводятся так же, как в п. а), но при по<
строении множества, иа котором fix) равномерно непрерывна,
нужно исключить из отрезка [—Т, Т] окрестности всех точек
разрыва f(x).
217

4.48. Существование величины ξ = lim En следует из моно-
п-*<х>
тонности последовательности ξη, а равенство Μξ — а — из
интегрального представления М| (см. задачу 3.138) и из теоремы о
монотонной сходимости (см. введение к гл. 3).
4.49. а) Показать, что если Δλ (к ^ 2) — минимальный по
длине отрезок из тех, на которые отрезок [0, 1] разбивается
точками ξι, ..., |»_,, а |Δ*| —его длина, то ΔΛ+ι gAi (к = 2, 3, ...)
и Μ | Ak [ -»- 0 при к -*■ оо.
б) Вычислить Μξ и Μξ2, пользуясь тем, что условное
распределение ξ при условии %ι = χ совпадает с распределением ϊξ,
если χ ^ 1/2, и с распределением 1 — (1 — а;) ξ, если χ ^ 1/2.
4.50. а) Показать, что Ρ / lim Ι ξ — ξ Ι = θ)= 1, и воспользо-
ваться леммой о вложенных отрезках.
б) Воспользоваться тем, что условное распределение ξ при
условии \\=х совпадает с безусловным распределением
*(1-6).
4.5!. Показать, что случайные величипы а„, определенные
равенствами
g (In) — g (ап) _ %п-ап
удовлетворяют условию
lim Ρ Л α Ι > ε) = 0 при любом ε > 0.
П-»оо '
Далее воспользоваться задачей 4.33, б).
4.52. См. указания к задаче 4.51. В отличие от задачи 4.51
определить случайные величины ап равенствами
g(Sn)-gK)_jL/gn-any
μη — пр
4.53. а) Распределение случайной величины — —■
Vnp(l-p)
при η -*■ с» сходится к стандартному нормальному распределению.
И· л 2
б) Использовать задачу 4.51 с ξη = — — ζ, gn (г) = ж .
4.54. а) Использовать задачу 4.52.
б) Использовать задачу 4.51.
4.55. Показать, что для любого ε > 0
lim P
In'
>ε =0,
если выполнены условия п. в). При построении примеров,
доказывающих, что условия а) и б) не обеспечивают совпадения пре-
*>?г ап 5п ап
дельных распределений —г и —-; , рассмотреть случаи-
°п 0п
ные величины |„ = Ьп\ + ап, где случайная величина ξ имеет
218

стандартное нормальное распределение, и подобрать
соответствующим образом последовательности ап, Ьп, ап, Ьп.
4.56. а) Рассмотреть случайные величины
ξη = χηξ + (1-%п)Сп, η = 1,2,...,
где χι, χ2, ... — случайные величины, не зависящие от ξ,
Ρ{χ» = 0} + Ρ{χ« = 1} = 1.
б) Сравнивая
Μξ = j zdP {I < x} и Μξη = j zdP {|n < *},
-_oo — oo
показать, что за счет выбора достаточно большого Τ интегралы
J ийр{|<*}и j μμρ{|η<^}
|ж|>Т |х|>Г
можно сделать сколь угодно малыми, а разность интегралов по
области \\х\ <Т) при п->-оо стремится к 0.
4.57. а) Рассуждая так же, как в п. б) задачи 4.56,
показать, что
lim (Мп — М) = lim lim f xd? Л ξ„ I < χ) > 0.
Построение примера, в котором М«, > М, провести аналогично
п. а) задачи 4.56.
б) Случайные величины ξη — Μξ„ и ξ—Μ| удовлетворяют
условиям п. а).
4.59. Случайная величина |„ имеет биномиальное
распределение с параметрами (п, р).
4.60. а) Использовать равенство M|Iftl = φ<*> (Ι).
б) См. определение производящей функции и ее свойства.
ι
в) Использовать равенство I zadz — , α> — 1.
J 1 + α
о
4.62. Показать, что Θα = τ ι -f-... -f- τ*, где τι, ..., τ^ —
независимые случайные величипы, распределенные так же, как случайная
величина τι в задаче 4.61.
4.63. Сравнивая ряды
Μζ^= У C™-}pmqn-mzn и 1 ~ qz Μζξ,
+^ ' 1 ΠΖ
составить рекуррентное уравнение, связывающее производящие
функции Mz£ при соседних вначениях πι, и найти его решение.
4.64. Пользуясь результатами задачи 4.63, найти производящие
функции распределений |i, |j, ξ3 и их суммы η.
4.65. а) Воспользоваться формулой полного математического
ожидания.
б) Использовать результат п. а).
219

4.66. Найти Р{|! = Ь = 0}, Р{|, - 0}, Р{|2 = 0}.
4.67. Представить φ&(ζ) в виде степенного ряда.
Воспользоваться правилами почленного дифференцирования рядов и
неотрицательностью коэффициентов ряда дли φ'^ (ζ).
4.68. Сопоставить ft-му испытанию вектор (ей, ι, .... ε», s)tJc s=
= 1, 2, ..., где £h, j — 1, если в ft-м испытании появился /-й
исход, и ей, j = 0 в противном случае. Воспользоваться равенством
η
(£„д. .·., |П-ЛГ) = Zj (ε*,ι» ···· eft,w)
и свойствами производящих функций векторных случайных
величин.
4.69. Использовать результат задачи 4.68.
4.70. а) Воспользоваться формулой полного математического
ожидания и результатом задачи 4.68.
б) Вывести из результата п. а), что компоненты ξν, ь ···) I*."
независимы и |ν, ι имеет распределение Пуассона с параметром λρ(.
4.71. Воспользоваться тем, что φ (ζ) —аналитическая функция
в круге {\z\ ig 1}, что <р(1) = 1 и что φ (ζ) равлагается в ряд
Тейлора по степеням ζ с неотрицательными коэффициентами.
4.74. Вычислить характеристическую функцию ξι + ... Н-In.
4.75. Использовать формулу полного математического ожидания
и свойства характеристических функций (производящих функций).
4.76. а), б) Представить ψ (ζ) в виде степенпого ряда по ζ.
в), д) Представить ψ(ζ) в виде степенного ряда по φ(ζ) и
использовать результат задачи 4.75.
г) Выразить φ (ζ) через ψ (ζ) и использовать результат
задачи 4.75.
4.77. Вычислить производящие функции Μζ5, Μζξί, i = 1, ...
..., m, и заметить, что если выполняются условия задачи, то
Mz^=MzSi...Mz£m.
4.78. а) Использовать соотношение
*х —г— t 1ft, если η делится на ft,
2j е ~* \о в противном случае.
3=0
б) Заметить, что {| при делении на к дает остаток т) =
= {| — та = 0(mod к)}, и воспользоваться утверждением п. а).
4.79. При каждом i = 1, 2, ... заменить ξ? случайной
величиной ζ« — остатком от деления |* на 3. Найти распределение и
характеристическую функцию ζ* и воспользоваться задачей 4.78.
4.80. Использовать независимость |ι, ..., |η.
4.81. Представить Με±λ5 в виде интеграла и оценить его
снизу, пользуясь положительностью и монотонностью показательной
функции.
4.82. Использовать задачи 4.80 и 4.81.
4.83. Использовать задачи 4.80 и 4.81.
4.84. Применить формулу полного математического ожидания.
220

4.85. Воспользоваться неравенством
<Γ|ί-ί0|Ρ{|ξ|<27+2Ρ{|Ι1>Γ}·
4.86. Представить f(t) в виде суммы действительной и мнимой
частей. Воспользоваться условиями задачи и четностью
функции cos χ.
4.87. б) Показать, что ра(х)—это плотность распределения
суммы двух независимых случайных величин, одна из которых
имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1/а], а
другая—равномерное распределение на отрезке [—1/а, 0].
в) Использовать формулу обращения для преобразования
Фурье (см. введение к гл. 4) и результат п. б).
4.88. Для доказательства тождества сравнить подынтегральное
выражение с плотностью соответствующего нормального
распределения. Так как распределение η симметрично, то Μη = 0, если
только Μ[η| < оо. Для вычисления Оц = Μη2
продифференцировать обе части интегрального тождества по h.
4.89. Покавать, что описанная в условии вадачи функция /(f)
может быть представлена в виде
k
/(0 = Р0 + 2 Р{ти{1-в1|М.°},
i=l
где к — число звеньев ломаной (графика функции f(t) на полуоси
(0, оо)), числа αϊ, ..., <ц, pi, ..., рк положительны, р0 > 0 и ро +
+ pi +... + Р* = 1. Далее воспользоваться результатами задач
4.84 и 4.87.
4.90. Рассмотреть последовательность f\(t), fi{t), ...,
характеристических функций, удовлетворяющих условиям задачи 4,89 и
таких, что lim /n(t) = / (ί) для любого ί, |ί| < со. Затем вос-
П-»оо
пользоваться теоремой непрерывности для характеристических
функций (ом. введение к гл. 4).
4.91. а) Разложить /ι(ί) в ряд Фурье и убедиться в том, что
коэффициенты этого разложения определяют распределение
вероятностей.
1 + 1Х (20
б) Заметить, что /2 (ί) = jj > и получить разложение
h{t) в ряд Фурье с помощью результата п. а).
4.92. Использовать результат задачи 4.91.
4.93. Заметить, что функции / (ί) — Me !и g(t) —
= Ме I 1 *** *' связаны соотношением /*(ί) = g(t) и что
согласно задаче 4.85 функции g(t) и /(О непрерывны.
4.94. Полагать, что Me*'6 = 1 тогда и только тогда, когда
P{f|e{0, ±2π, -+-4π, ...}} = 1.
4.95. Показать, что если | имеет плотность р(х), указанную в
условии задачи, то
оо
1 _ / (ί) = 2 f (1 — cos tx) ρ (χ) dx = о (11 |) при ί -*■ 0,
о
221

и поэтому /' (0) = 0. Для опенки интеграла разбить его на два: от
0 до Τ и от Τ до оо; использовать неравенства 1 — cos у ^ у2/2 и
асимптотическую формулу для р(х), я-»- оо.
4.96. Использовать равенство
/" (х) = lim -^ (/ (х - t) - 2/ (χ) + f(x + t))
2 COS ίξ — 1
и следующее из него соотношение /" (0) = limM| ,2—.
ί-^ο ('ς) /^
4.97. Воспользоваться результатом вадачи 4.96 и оценкой
(Μ|ξ|)'<Μξ2.
4.98. Использовать результаты задач 4.86, 4.94, 4.97.
4.99. Найти начальные члены разложений указанных функпий
в ряды Тейлора.
4.100. а) При вычислении функции распределения %^
перейти в интеграле к полярпым координатам.
б) Воспользоваться результатом п. а) и вадачей 4.93 для вы-
числения Me x.
4.101. Найти сначала характеристическую функцию
гамма-распределения с параметром а = 1, затем (пользуясь задачей 4.93)
с α = 1/g, g = 1, 2, ,.., затем с α = p/q (ρ, 9=1,2,...) и,
наконец, с помощью теоремы непрерывности — для
произвольного α > 0.
4.102. Найти характеристическую функцию
4.103. Найти характеристическую функцию распределения
вектора (ζ,, ..., U)·
4.104. Воспользоваться теоремой из курса линейной алгебры о
приведении симметричной квадратичной формы к диагональному
виду с помощью ортогональной замены координат.
4.105. Используя формулу Тейлора для 1п(1 —х), найти предел
логарифма производящей функции Щ1' + ... + I» ПРИ п ""*" °° ■
4.106. Рассмотреть случайную величину ζ, имеющую
равномерное распределение на отрезке [0, 1], и построить такие функции
fp(x), gpix), х е [0, 1], что случайная величина /ρ(ξ) распределена
так же, как ξ, ?Ρ(ξ) —так же, как η, и при к = 0, 1, ...
Ρ{/Ρ(ζ) = gp(l) = *} = min {Ρ{ξ = ft}, Ρ{η = к}}.
4.107. Тем же способом, что в задаче 4.106, построить по
независимым случайным величинам ζι, ..., ξ„, имеющим равномерное
распределение на [0, 1], случайные величины ξι, ..., ξη и
максимально совпадающие с ними независимые случайные величины
ί)ι, ..., г\п, имеющие распределения Пуассона с параметрами р\, ...
,.., рп соответственно. Далее воспользоваться соотношением
и свойствами распределения Пуассона (см. также книгу [2]).
222

4.108. Рассматривая непересекающиеся события вида А-г
... А{2^ ... ~А~д, где {i, г,} и {/ι Jn-ч) = {1 N)
и А — событие, дополнительное к А, показать, что
g=ft
Подставить эти выражения в правую часть равенства, указанного
в условии задачи, и привести подобные члены, изменяя порядок
суммирования.
4.109. Разложить производящую функцию φ(ζ) = Mzs по
формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа) в точке
ζ = 1 и заметить, что φ(0) = Ρ{ξ = 0}, φ("'(1) =тци φ(*>(ζ) Зг 0
для любых г е [0, 1] и к — 0, 1, 2, ...
4.110. Заметить, что если φ(ζ) = Μζξ, то φ<"'(ζ) = M|t"5z5-n,
т. е. φ(η>(0) = д!Р{| = η). Далее рассуждать так же, как в
задаче 4.109.
4.111. Если φ(ζ) = Μζξ, то
оо
Далее рассуждения аналогичны проведенным в задачах 4.109 и
4.110. Равенство
dh 1 - φ (ζ) Ι φ<*+1> (1)
установить, используя формулы Лейбница и Тейлора.
4.112. Воспользоваться неравенством ив задачи 4.110.
4.113. Применить утверждение задачи 4.112, выбрав в качестве
1 случайную величину, имеющую распределение Пуассона с
параметром λ.
4.114. Представить случайную величину μι(«, Ν, s) в виде
суммы индикаторов
μ{ (η, Ν, s) = Xp> + χ<2>+ ... + %f
и воспользоваться формулой задачи 3.134 для факториальных
моментов. Исследовать функцию fi(n) =Μμ{(η, Ν, s), рассматривая
отношение /i(n-f* 1)/Д"(я)·
4.115. Использовать задачу 4.108.
4.116. Вывести из результатов решения задачи 4.114, что при
укаванном предельном переходе выполняется соотношение
min{re, N — я} = o(N), Далее использовать явные формулы для
факториальных моментов \ii(n, N, s) и задачу 4.113.
4.117. Представить μΓ(η, Ν) в виде μτ(η, Ν) — %λ + .,. + χ*,
где χ( = 1, если i-я ячейка содержит ровно г частиц, и %г — 0 >
противном случае. Вычислить факториальиые моменты μ\(η, Ν),
используя результат задачи 3.134, и применить утверждение
задачи 4.113.
4.118. Так как
{μν{η, Ν)+μτ+ί(η, Ν) +... = 0} = {Vr(N) > η] ί= {μτ(η, Ν) = 0},
223

то при условиях
Ρ{μτ(η,Ν) = 0}4·Ο, ρ{ 2 μΛ(η, Л')=0)-М d)
выполняется соотношение P{vr(iV) > и}-* С. Значение С и связь
между значениями η и Л', при которой выполняются условия (1),
найти с помощью задачи 4.113.
4.119. Если μ!1-1 (", Л') — число строк, в которые но попало
ни одной частицы, а μ'2' (η, А)—чнсчо таких же столбцов, то
случайные величины μ^ (η, А) и μ® (в, Л') независимы и их
предельные распределения можно найтя с помощью результата
задачи 4.117, а κ (η, А) = μ^ (и, Α) μ(02) (η, Α).
4.121. Применить центральную предельную теорему.
4.122. При любом к = I, 2, ...
Μη* =
zhV~n + z-hV'x
Использовать соотношение lira (1 + —
П-»оо \ .
б) Случайная величина In η„ является нормированной суммой
независимых слагаемых.
4.123. а) Воспользоваться задачей 4.122.
б) Заметить, что
^ 1 111
Ρ /η ^ 4\ _ V . rh - — — Г500
ν'ιοοο ^ / j£d 21000 1о0°— 2 2 21000 юоо·
й=о
4.124. См. указания к задаче 4.123.
4.125. Применить закон больших чисел π центральную
предельную теорему.
4.126. Так как сфера 5"-1 переходит в себя при любой
перенумерации координат и при отражениях относительно
координатных гиперплоскостей, то величины ξι, ..., ξη одинаково
распределены и при любых ϊΦί вектор (|i, £}) имеет такое же
распределение, как (|j, —gj). Для вычисления MS·2 нужно использовать
еще адлптивиость математического ожидания и уравнение сферы.
4.127. Из сферической симметричности распределения вектора
\ следует, что условное распределение вектора ε— \Ι\\\ при
условии ρ == г является равномерным на единичной сфере, т. е. не
зависит от г.
4.128. Ввести случайную величину рп, которая не зависит от
вектора ε и такова, что р2 имеет χ2-распределение с η степенями
свободы, Мр2г = п, Dp2 = 2п. В силу задачи 4.127 случайный
вектор рпе имеет n-мерное нормальное распределение с нулевым
вектором математических ожиданий и единичной матрицей ковариа-
ций. Предельные распределения случайных векторов (Btpn, ..,
.., e/tP„) и (ειΐ/re, ..., е^У/г) при к = const, η-*- сю совпадают в сплу
224

того, что
У*
— 1
>в <Р
ΡΪ
в
>Ц<=$
для любого б > 0 (см. задачу 4.33, б),
4.129. Использовать результаты п. а) задачи 4.125 и п. б)
задачи 4.33.
4.130. Ввести случайные величины е^,« (1 sg J ^ Ν, f = 1, 2,,..):
e, , = 1, если в /-м испытании появился <-й исход, и ej, ι = 0 в
η / Ν \
противном случае. Тогда ηη =" 2 ! 2 aiuj.i}' Далее воспользо-
ваться независимостью внутренних сумм и центральной
предельной теоремой.
4.132. Найти предел логарифма характеристической функции
4.133. Представить З^'ввпде суммы η независимых одинаково
распределенных случайных величин и воспользоваться цеитраль-
пой предельной теоремой.
4.134. Используя независимость ξ„, ι, ,.ч ξη, η, равеаство
.« =
1 _}_ ίί —. -.
Θ1ί|3
Ιθ|<1,
1
и оценку МI £|3Ss(D£)3/2 (из которой следует, что —— max Οζ . .
.— 0, η-»- оо), показать, что для любого i, |ij < оо,
Μ
»lnlsn
-f-h
4.135. Воспользоваться утверяадениом задачи 4.134.
4.136. Воспользоваться утверждением задачи 4.134,
4.137. Для нахождения предельного при η -> оо
распределения случайной величины г\п использовать метод производящих
функций.
4.138. б) Использовать задачу 4.134.
в) Представить ξ„ в виде ζη = ζ^ — ζ™, где
40,= 2 ^η). Ζ
ω
(,ι)
Pi <l/2
2- (i-tf°).
(")
Pi >l/2
Предельные распределения £,(г0) и ζ^ найти с помощью
задачи 4.105.
4.139. Характеристическая функция случайной величины £„/Л„
при «-►оо должна сходиться к характеристической функции
предельного распределения.
4.140. а) Воспользоваться равенством
{Л/(< к] = {!, + ... + lh>t)
а законом больших чисел.
225

б) В отличие от п. а) воспользоваться центральной
предельной теоремой.
4.141. Используя утверждение задачи 3.64, представить £(т>
JB виде суммы т независимых случайных величин. Для
доказательства асимптотической нормальности случайной величины (|(т) —
— Μ!(τη))/}Όξ(„,) показать, что выполняются условия задачи 4.134
(при этом удобно применить результаты вадачи 4.74). Второе
утверждение п. б) вывести из результата п. а) и задачи 4.55.
4.142.Заметить, что если F-\(y) —функция, обратная к F(x),
то, согласно задаче 3.13, распределения ζ(„0 и F_i(1— ехр{— al(m)})
совпадают (вдесь |(d ^ ,.. ^ |(т)—те же случайные величины,
что в вадаче 4.141). Далее воспользоваться утверждениями п. б)
задачи 4.141 и задачи 4.51.
4.143. а) Вычислив P{Tm>rc]v0, Vi, ..., vm-i}, показать, что
хт не зависит от v0, vh ..., vm_i. Для нахождения ?{хт > ν*— ν;}
воспользоваться формулой полной вероятности по значениям
ν* — v< и равенством ν* = ti + ... + хк-
б) Из точной формулы для P{tm > vm_i —vm_r} получить
двусторонние неравенства, воспользовавшись оценкой
1 1-я 1
1 -|- ж · 1 — жу - 1 —(- у' ^- » ^- ^-
4.144. Используя результаты задачи 4.143, найти предел
логарифма производящей функции vs — k.
4.145. Для нахождения предельного распределения использовать
утверждение задачи 4.134, а для вычисления
моментов—полученные в решении задачи 4.143 равенства vm = ti + ... + хт (где
τι, ..., Хт — независимые случайные величины) и формулу для
производящей функции т*.
4.146. Показать, что ζ\, ..., ζΝ ^ 0. Отсюда и из равенства
φ(1) «= 1 вывести, что
N
φ(«) = Π (l-Pl+M' Где ^i = 1/(1-zi)·
4.147. Многочлеп cp(z), удовлетворяющий условиям задачи,
можно представить в виде произведения N — Μ квадратных
трехчленов и 2М — N линейных двучленов, причем коэффициенты всех
сомножителей неотрицательны, а при 2 = 1 каждый из них
принимает значение 1.
4.148. Использовать задачи 4.146 и 4.134.
4.149. Использовать задачи 4.146 и 4.105.
4.150. Для составления рекуррентного уравиения использовать
формулу полной вероятности, связывающую распределения
μ0(η, Ν) и ц0(я+1, Ν). Показать, что если ζ«. ν-\ ίξ ζη, п~г =ζ · ■.
. ..< 2η, ι ^ 0 — корни уравнения /η, w(z)=0, το ζη+],κ~ι^
^ Ζη, Ν~\ =$ 2„+ι, jv-2 =ξ 2„ J.J й^ ... ίζ ϊη+1, 1 ϊ£ %п, 1 ^ 0 И Ζη, j + i <
< Zn+J, i < Ζη, (, еСЛИ ТОЛЬКО Ζ„, ( + 1 < Ζη, <.
4.151. Воспользоваться задачами 4.148 и 4.150.
4.153. Пользуясь симметричностью распределения £,
представить 1 — Με'ιξ в виде интеграла от 0 до оо. Чтобы исследовать
асимптотическое поведение 1 — Me*'5 при t -*■ 0, разбить этот
интеграл на два: от 0 до ΐ = T(t) и от Τ до оо — и оценить первый
интеграл по модулю, а при исследовании второго использовать
асимптотическую формулу для р(х) при х-*- оо.
226

4.154. а) Получить явную формулу для <p(s) и разложить q>(s)
в ряд Маклорена. При нахождении асимптотики 1 — /(ί) при f-»-0
проследить за изменением arg(l — φ(ζ)), когда ζ = 1 — teix, —л <
sg χ ig π, ί -»- 0.
б) Воспользоваться справедливым для любого комплексного
числа с соотношением (1 — сп~1)п -*■ е~е, «->-оог и теоремой кв-
прерывности для характеристических функций.
4.155. Используя формулу обращения для характеристических
функций, приведенную во введении к гл. 4, показать, что
распределение с характеристической функцией е—а|" имеет плотность
а 1
Ρ (Χ) =~Ζ 2 9 ·
4.156. Показать, что плотность распределения случайной вели-
чипы 1/|ι удовлетворяет условиям вадачи 4.153 с α = 2 и С =
= πρ(0). Использовать задачи 4.152, 4.155 и теорему
непрерывности для характеристических функций.
4.157. Воспользоваться свойствами характеристических
функций и тем, что ξι + |3 = 2|ι.
4.158. Заметить, что 1а,ь{х) лишь постоянным множителем
отличается от плотности суммы двух независимых случайных
величин, имеющих распределения Коши с параметрами а и Ь.
Рассматривая характеристические функции, показать, что зта сумма
сама имеет распределение Коши.
Глава 5
5.2. а) Показать, что D£n-»-0 при «->· оо.
б) Представить ζ„ в виде линейной комбинации случайных
величин ξ,-d, |2-ft, ..., in и воспользоваться усиленным законом
больших чисел.
5.3. а) Вычислить Μζ^ и показать, что Οζ^->-0 при п-*-оо.
б) Представить ζ^' в виде квадратичной формы от ξι_*,
%2-к, ■ ■.. In+s и разбить эту форму на сумму конечного числа сумм
независимых слагаемых. Далее воспользоваться усиленным
законом больших чисел.
5.4. При вычислении ковариации |( и |s использовать
равенство 2 sin-ж sin у = cos (χ — у) — cos (г + у).
5.5. Показать, что если ί -f- πηι = 2&ιπ + αϊ (ί). π(ί + η2) =
= 2к2л-\- α2(ί). где числа к\ и к2 целые, а αι(ί), α2(ί) е [0, 2л),
то αϊ (г) и ai(t) независимы и имеют равномерное распределение
в отрезке [0, 2л], и \t = sin αϊ (г) +sinaj(i). См. также указание
к задаче 5.4.
5.6. Так как число π иррационально, то η = |ζι | -f* !£г!·
5.7. а) Воспользоваться центральной предельной теоремой,
б) Представить x\n{t) в виде
rln(i, = Re{e«1^2«^'1}·
Применить многомерную центральную предельную теорему к
сумме
η
-л/ϊ 2 (a" cos β"· ahsiah)·
227

5.8. Обосновать возможность перестановки знаков интеграла
и математического ожидания.
5.9. Если траектория процесса |< монотонно возрастает, то
{xw ^ χ) = {ξ* < Щ.
5.10. Для вычисления Μτ< использовать формулу ив задачи 3.132.
Доказать, что число строго возрастающих последовательностей
«о, ..., хт, составленных из чисел 1, ,.., d, равно С™+1, а число
таких же неубывающих последовательностей равно Cjj^Jj.^. В
случае в) использовать указание к задаче 8.62.
5.11. Найти сначала функцию распределения τ = —η/ξ,
пользуясь сферической симметричностью распределения вектора (|, щ).
5.12. Представить μ& в виде μ* = η0 + ηι +...+η*-ι, где r)j =
= 1, если на полуинтервале Г/, / + 1) имеется нуль процесса ξ ί,
и ηί = 0 в противном случае. При вычислении
Р{1Ц = 0}-=Р{|Ь+,|> |b+...+ til, Cj+i«i+... + 5i)<0)
воспользоваться задачей 3.266.
5.13. Применить задачу 3.17 и формулу полной вероятности
P{U(x) = α} = ΜΡ{ξ„(ζ) = α\ζ , ζ„}.
5.14. Многочлен |п(*) имеет кратные действительные корни
тогда и только тогда, когда существует такое число и, что
έ (к*+^ + — + Спя") U*в». w
ζο = - (Cib + ζ2ΐί2 + ... + ζ«Β"). (2)
При условии (1) число значений правой части (2) не превышает
к — 1. Далее воспользоваться формулой полной вероятности по
значениям ζι, ,.ч ζη (см. указания к задаче 5.13).
5.16. Найти характеристическую функцию распределения
вектора
т—о
5.17. Кроме задач, указанных в условии, воспользоваться
асимптотической формулой
arcsin У'"! —У2=-тр — у (1 + 0(1)), „ J 0.
6.18. Случайные величины τι, τ2 — τι, тз — Т2, ... независимы
и одинаково распределены. Пря выводе уравнения для q>i(s)
воспользоваться тем, что случайные величины τι и 1 + τ 1+|t
одинаково распределены (здесь τ0 = 0).
5.19. а) Используя указания к вадаче 5.18, доказать, что
Ρ{μ<-&|μί£— к) =<Ρι(1).
б) Из условия φι (0) =0, непрерывности <pi(s) и уравнении
s/(q>i(s)) = 1 вывести, что
φχ (η = inf L > 0: /(*)<—j,
223

т. е. что cpi (1) < 1 тогда и только тогда, когда уравнение /(s) = l
имеет корень s, 0 < s < 1.
5.20. а) Использовать формулу Стирлинга (1.6) из введения
к гл. 1.
б) Заметить, что Μ{|ρη+ι| |р„ = ft} = \к\ при к Φ 0 и
Μ{|ρη+ι| |ря =· 0} = 1, и составить рекуррентное уравнение для
М|ря|, используя формулу полного математического ожидания.
5.21. Составить рекуррентное уравнение дня М|р„|2, используя
равенство
|ρη+ι|2= (ρ»+Ιη+ι, Ρ«+Ιη+ι) = |р«12+|1»+1|г + 2(рп, |n+1).
5.22. См. указания к вадаче 5.21. При выводе рекуррентной
формулы для М|рп|4 использовать соотношения
Р{|Ы=1} = 1. М(р„, ξη+1) =0,
М(Р«. ?п+1)2=М|Р„|2М^+ы
и M^,i = 7 fcM· заДачУ 4· 126),
5.23. Использовать результаты задачи 5.22, неравенство Чебы-
шева и лемму Вореля—Кантелли (задачу 4.16).
5.24. а) Использовать лемму Вореля — Кантелли (п. а
задачи 4.16) и формулу Стирлинга.
б) Убедиться в том, что п. б) задачи 4.16 неприменим.
Вычислить Μν двумя способами: вводя индикаторы событий {р™ = 0} и
вводя вспомогательные случайные величины
τι = min{n S» 1: pn = 0}, τ*+ι =»гшп{л > τ*: ρ» = 0},
fc=l, 2,...
(которые удовлетворяют условиям {ν ^ ft} = {τ* < оо}.
5.25. Заметить, что компоненты Ρη, ι, . ·., pn, s вектора рп
являются независимыми реализациями величин, рассматривавшихся
в п. б) задачи 5.24. При s > 3 использовать лемму Вореля —
Кантелли, при s = 2 рассуждать так же, как в п. 6) задачи SL24.
5.26. Случайные величины ξ,- и χ{ν < i} независимы.
Обосновать законность перестановки знаков суммирования н
математического ожидания.
5.28. Применить тождество Вальда (вадачу 5.26), Для
доказательства того, что MiVt < оо, использовать задачу 4.83 и
соотношение
мл(= 2 ρ{#,>«}< 2р{Рп<'}·
η=0 η=ο
5.29. Использовать метод математической индукции (по к) и
формулу полного математического ожидания (по значениям ρη+ι).
5.30. Ввести случайную величину
__\ п + 1, если max{plt .... Р„} < б,
" \ min {/ ^ 1: ρ} > δ} в противном случае.
Используя задачу 5.29, оценить снизу
^1%, = Σ р{т» = *}м{уп| *„=■*>.
229

5.31. Использовать задачу 5.30. Для доказательства неравенства
м{||, + ... + |,,+,| \h ίη}> ||ι + ...+ ξ«|
использовать задачу 3.152.
5.32. Воспользоваться задачей 5.30, равенством
Р/тах 1|1 + ...+|,|>5)=Р/тах (| + ... + |Л2 > δ21
и указаниями к задаче 5.31.
5.33. Использовать равенство 1г+, = |t+ (|ι+β — ξι) и
независимость случайных величин |( и |ί+, — |4 (s > 0),
5.34. Воспользоваться равенством {τ;, ^ Т) = {|т ^ /с},
задачей 3.132 и свойствами пуассоновского процесса.
5.35. Случайные величины Δι = ть Δ2 = Хг — τι, Дз = ~ъ — Хь . ··
независимы и одинаково распределены:
Ρ{Δ* ίξ χ) = 1 - e-u (ζ Зг 0, ft = 1, 2, ...).
Воспользоваться формулой для плотности гамма-распределепия,
5.36. См. указания к задаче 5.35. В случае в) воспользоваться
тем, что {τι < Τ < х2) = {ξΓ = 1}, где ξ* — пуассоновский
процесс с интенсивностью λ.
5.37. См. указания к задаче 5.35 и задачу 3.63.
5.38. Используя обозначения из задачи 5.34, ввести индикаторы
( 1, если τΛ.<7· π τΛ+1-τΛ>Δ,
h \ 0 в остальных случаях.
оо ос
При вычислении Μ ^ '^ = 2 Р Ι1!'· = ^} ЗМ1бтить, что случай-
ные величины ть и Τϋ+ι —τ& независимы.
5.39. См. указания к вадаче 5.38.
5.43. Величина |t равна чпслу требований, которые поступили
в систему па (—оо, ?] и не покинули ее к моменту ί. Использовать
конструкцию, описанную в задаче 5.42, и свойства пуассоновского
потока.
5.44. См. указания к задаче 5.43.
5.45. б) Величина Р{рп > г'} равна вероятности того, что в
круге радиуса χ имеется не более η — 1 точек пуассоновского поля.
5.46. См. указания к задаче 5.45.
5.47. а) Случайная величина бп есть сумма двух независимых
случайных величин, имеющих равномерное распределение на
отрезке [0, 1].
б) В случае к = 1 воспользоваться равенством
ι
Ί (xv хг) = ί ρι (χν χ21 ") du<
ο
где pi(£b *2|ы)—плотность условного совместного распределении
δ„ и δη+ι при условии, что хп+] = η + и:
( 1 если и^х ίζ и + 1, 1—и ίζ χ ίζ 2 — ы,
ρ (ι , ι Ι ") = i
'l " 2I ' 10 в остальных случаях.
в) Найти вероятность дополнительного события.
230

г) События {τι < ξι} и {τ2 > |2} независимы.
д) При вычислепии Μκ и Μκ2 воспользоваться равенством
κ = χ{τι > Ι) (τι - ϊ) + χ {τ, < 1}(τ2 - ξ),
а при нахождении плотности q(x)—равенством q(x) = М?(я1£).
где q(x\u)—плотность условного распределения κ при условии,
что ξ = и:
q(x\u)--
1, если 0 ^ ж ^ 1—к,
и, если 1 — ы<а;^2-
0 в остальных случаях.
5.48. Воспользоваться определением пуассоповского потока и
указаниями к задаче 5.47.
5.53. а) Найти р\ = Ρ{η3 = 1|η2 = —1}, Рг = Р{г\з = 1|ηι = 1,
η2= -Ι}.
5.54. Вычислить Ρ{μο(η + 1) = 1\ Цо(п) = к}, к, 1 = 0, 1, ...
..., Ν, и
Ρ{μο(« + 1) = 1\μ0{η) = /с, μ0(η— 1) = Αι, .,., μ0(0) = кп}
при любых допустимых значениях к, к\, ..., кщ I.
5.55. См. указания к задаче 5.54.
5.56. б) Убедиться в том, что цепь Маркова ξ„ удовлетворяет
условиям теоремы, сформулированной во введении к гл. 5.
Проверить, что биномиальное распределение с параметрами (./V, <?) яв-
лнется стационарным.
5.57. а) Для вычислепия рц воспользоваться тем, что при
условии ξ„ = i все ClN вариантов окраски шаров с номерами
к + 1, ..., п + N равновероятны. Сравнить Ρ{ξι = 1, ξ2 = 0|ξ0 = 0}
и ροιριο-
б) Распределение ξ„ не зависит от п.
5.59. Показать, что матрица | р{± jjf j=1 — дважды
стохастическая (см. задачу 5.58).
5.60. Показать, что при фиксированном значении ξ(
распределение |( + | но зависит от |0, ξι, ..., %t-\.
5.61. Построить кусочно постоянные функции g(y) и f(x, у)
так, чтобы при любых г, / е {1, ..., Λ'} мера множества тех
значений у, при которых g(y) = / (/(г, у) = /), была равна р(-о) (р^).
5.62. За состояние принять число очков иа той грапи, на
которой лежит кость. (Сумма очков на противоположных гранях
равна 7.) Выписать матрицу вероятностей перехода, применить
теорему о финальных вероятностях.
5.64. Заметить, что pj, n+i = α/д для любого / = 1, ..., η и что
поэтому распределение τ„ совпадает с распределением τη =
= min/i^l: ζ( = 1), где ζ ζ , ...—последовательность Бер-
нулди:
Р& = 1}=Т. Р{^ = °}=1-^ ' = 1.2....
Воспользоваться задачей 4.37.
231

5.65. а) Использовать соотношения Ρ{τι(0)< οο} = 1 и
б) Заметить, что при ε > О
Μτχ (ε) > Ρ {If = 3 I gW = 11 Μ (min [n > 0: |W ** 3] | |<f> = 3|.
в) Пользуясь формулой полной вероятности по значениям
ι^ε\ сначала составить и решить уравнение для производящей
функции ψε (*) = М[ ,Ti(e) | ξ<ε> = 2).
5.66. Последовательность ηη = |r.+i — In состоит из
независимых одинаково распределенных случайных величин.
5.67. б) Воспользоваться тем, что P{ts+i —τ* = в|т& = t} не
зависит ни от к, ни от ί.
5.68. а) Составить уравнение для <рь(«), польвуясь формулой
полного математического ожидания (по вначениям δ = mining l:
i» = o».
5.69. б) Использовать формулу полного математического ожи-
дания по значениям ξι.
5.70. Заметить, что Ρ{τι = 1} = 1. Для вычисления m0(N) =
«= Μ{τ»|ζο = 0}, Ν = 1, 2, ..., составить и решить системы
линейных уравнений для rrih(N) = Μ{τκ[ζο = к], к = 0, ±1, ±2, ...,
пользуясь формулой полного математического ожидания
(разложением по значениям ζι). Сократить число неиввестных, ваметив,
что mk(N) = m-k(N).
5.71. Так же, как в вадаче 5.70, составить систему линейных
уравнений для mk(N), к = 0, 1, ..., N — 1. Рассмотреть вначения
m0(N) — mh{N), к = 1,.2, ..., N— 1 при N = 2, 3.
5.72. Используя формулу полного математического ожидания
(разложения по значениям ξ(1)), составить систему линейных
уравнений, которым должны удовлетворять та0, тпи ..., mN;
убедиться в том, что указанные значения ггц являются единственным
решением этой системы.
5.73. Так же, как в задаче 5.70, составить систему линейных
уравнений, связывающих рн. n{t+i), ρη~ι,Ν(ή, pt+liW(i) и,
пользуясь монотонностью по t величин ρ*ι»(ί)> перейти от этой системы
к системе линейных уравнений относительно π^ ', к = 0, 1,..., N.
Вывести из этой системы, что отношение —щ щ-- не зависит
от к, и воспользоваться равенствами л^ = 0, π^=1.
Аналогично получить формулы для л^0', к = 1, ..., N.
5.74. Рассмотреть цепь Маркова с тремя состояниями: Е0 =
{изделие исправно}, Ει = {при проверке в ОТК обнаружен брак},
Ег = {изделие бракованное, но прошло через ОТК}.
5.76. Найти матрицу Ρ вероятностей перехода цепи Маркова ξ<
и проверить, что πΡ = π, где π— (π0, πι, ..., nw), и что π0 +
-f- πι + ... + пи = 1. Использовать равенство С\ = С^~к и
метод производящих функций.
5.77. б) С помощью формулы полного математического
ожидания (разложения по значениям ξι в классе несущественных
состояний) составить систему линейных уравнений для величин mf =
232

*= Μ{τ|ξο = t}« » = li 2. Решить эту систему и заметить, что в
нашем случав
Μτ = Р{|о = i}mi + Р{|0 = 2}го2.
в) Аналогично п. б) составить системы линейных уравнений
для ρψ>, pV> и Для р<»\ pf.
г) Заметить, что есди q, = lim Ρ (ξ, = / | ξ0 = /'}, / = 3, 4, S,
' t-*oo
6,— предельные вероятности для цепи, начальное состояние
которой принадлежит существенному классу, то
*i =*{% = О *i°4 + Р &> = 2} *?% * = 8· 4-
πί = Р ft, =*} ^Ч + Р ft, - 2) rf\' I = 5' 6·
5.79. Пусть ci, .,., cn — собственные векторы
(векторы-столбцы) матрицы А, соответствующие собственным числам λ ι, ..., λΛ,
вектор-столбец α^η) имеет координаты а^\ ..., affl и все
координаты вектора-столбца ej равны 0, кроме /-й координаты, равной 1«
то
ΕΜΗβ1=ιβ»'<ί1+...+β«'βι,,
ej«) = ^ = il»2 Λ = Σ β№ν
5.80. Испольвовать указания к задаче 5.79 и приведение
матрицы Л к жордановой нормальной форме.
5.81. По собственным числам матрицы Ρ и по значениям Р,
Р2, ..., Р"~1 можно составить систему N линейных уравнений
относительно коэффициентов c<j в формулах задач 5.79 и 5.80.
5.82. Использовать результат вадачи 5.81.
5.83. Представить νι(ί) в виде суммы индикаторов: Vi(t) =
= θ, +...+Θ,, где {θ* = 1} = {U = 1}, {θ* = 0} = {ξ* = 2} ft =
= 1, 2, ... Используя результат вадачи 5.82: р^ (к) = ■ , о +
+ ejh, где |ejft(^| 1 — α — β Iй,и равенства ΜΘΛ= рл(Аг), ΜΘλΘι =
= Р)\(к) ри(1—к), i^.k^.1, установить приведенную в
условии задачи асимптотическую формулу для Μ{νι(ί) |ξο = /} и
доказать, что при ί -»- оо
Μ {ν* (ί) | ξ„ = /} = (1 + о (1)) (Μ (να (t) 110 = /})2.
t
Пользуясь представлением νχ (ί) — Μνχ (ί) = Σ (Pk~~N®k)> мож"
но показать, что
D{vi(t)IEo = /}=ft(l + o(l)), ί-
■ оо.
5.84. Использовать результат вадачи 5.24 и неравенство Че-
бышева.
5.86. Использовать равенство
233

/1 — ε ε Ν
5.87. Рассмотреть матрицы Ρ = 2 , 2 и ^ —
\ ε 1 — ε /
= ί* ~~ ^ , ^ 1 при β φ 0.
V ε 1 — ε/
5.88. Показать, что последовательность ξη = ζη+ι — ζη образует
цепь Маркова с 4 состояниями. Найти явное выражение для к-й
степени матрицы вероятностей перехода этой цепи, представляя
ее в виде разности коммутирующих матриц / и G (т. е. таких,
что IG = G1). Далее вычислить м|й и воспользоваться равенством
ζη = Ιο Η- ξι + · ■ ■ + Ιη-ι·
5.89. а) Состояние атома описывается разложимой цепью
Маркова с двумя состояниями.
5.90. Решить в данном частном случае систему уравнений (5.5)
или (5.6).
5.91. Используя результат задачи 5.90, рассмотреть систему
уравнений />ι"'β) (ί) = а Р^'® (г) = а2з относительно
неотрицательных неизвестных α, β.
5.92. Положить
Г 1, если lt = 1,
χ(0==( 0, если \χφϊ.
Тогда
t t t
rx (ί) = j χ (*) ds, xf (ί) = 2 J J χ ('J X (»2) *V*V
0 0 Sj·
Использовать результат задачи 5.90 и указания к задаче 5.83.
5.93. Использовать равенство
η (ί) = η(0) +ι>ιτι(ί) — υ2τ2(ί) = η (0) — v2t + (ί>ι + ^hUO
и результаты задачи 5.92.
5.94. Составить систему дифференциальных уравнений для
вероятностей перехода Pn(t) за время ί и перейти к системе
уравнений для πι, п% яз, заменяя />ij(<) на Jtj(i) == Jij, / = 1, 2, 3.
5.95. См. указания к задаче 5.94.
Глава 6
6,1. Положим yh = xh — а, У — — У, у^· Показать, что s =·
1 п
= п_, 2 (ί/ft- У)2· Найти Ms2. Доказать, что Ds2 = О (1/п) при
Я -*■ оо.
6.3. См. задачу 3.162.
6.4. Использовать независимость xt и s?.
6.5. Величина s2 является состоятельной оценкой Da;, (см.
задачу 6.1), т. е. s2 — Dxt при п-*-оо сходится но вероятности к 0.
Воспользоваться решением задачи 4.33.
234

6.6. Выразить величину т через ζ;· = а^ — Μξ, у. =\jj — Μη.
Найти Mm. Доказать, что Dm = 0(lfn) при η -*■ οο.
6.7. Найти М/>*, Dp*. Использовать неравенство Чебышева.
6.8. Используя теорему Муавра — Лапласа и результаты задач
6.7, 4.33, доказать, что если р* = μη!η, то при η -*■ со
Ρ (,/ ?,ΓΡ·\, <х\ -+ Ф (ж)'
IV р* (1 - />*)/» J
6.14. б) Найти максимум функции правдоподобия при условии
а + Ь — с = 0.
6.18. Воспользоваться результатом вадачи 6.1, центральной
предельной теоремой и задачей 4.33.
6.19. Оценки Ау и А2 зависят от общей оценки г% и,
следовательно, нельзя воспользоваться решением вадачи 6.3. Из условия
несмещенности М4* = А получим Ci 4- Cs = 1. Отсюда Л* = а +
+ β[°ιζι+ (1 — ci)*i] +1fz3· Найти DA* и подобрать ci так, чтобы
дисперсия была минимальной.
6.22. б) В формуле для Ап положить £< = #< + бц, xt = «j -f*
+ δ2ι. Использовать задачу 4.33.
6.26. См. задачу 3.115.
6.28. Воспользоваться формулами
х* = ж[21 + я, ж3 = г"' + ЪхЮ + х,
х* = XW + ба:'3! Н- 1хт + г (z[ft] = «(* —1)...(» — А: 4-1))
и решением задачи 3.116.
6.29. Использовать результаты задач 3.89, 3.90.
6.30. Использовать результаты вадач 3.64, 3.65.
6.31. Использовать результаты задач 6.29, 6.30.
6.32. Использовать результат задачи 6.30.
6.33. Использовать формулу(3.9) и формулу
σο οο
-4= Г A-V.dB_ *.-■/,+ * Г.-■/.„„.
У 2π J 1/2π у2л J
ж
6.39. Использовать квантили иа нормального распределения:
1 — Ф(и«) = а.
6.40. Воспользоваться решением задач 3.116, 3.121 и формулой
*(*)=*(^) + (*-^)ί'(θΛ) (9*е
fe = 0, 1, .... iV-1.
6.41. Воспользоваться решением задачи 5.36.
6.42. Использовать представление Tia(i) в виде
τι*(ί) =ηΐί(1) 4·..· + ηΐ2(ί).
где ηι2(«) = 1, если в момент s был переход из 1 в 2 (т. е. ξ(«) =
= 1 и !(« 4- 1) = 2), и ηΐ2(«) = 0 в противном случае.
Воспользоваться задачей 5.82.
Ν' Ν )·
235

Часть III. РЕШЕНИЯ
Глава 1
1.18. При Ai Φ Aj события \XV ..., X'h) = Aia [X'v ..., X'h)
= А^ не пересекаются. По формуле (1.12)
м
Р(К Κ}Β*)-Σ>({χχ К}-^)·
1=1
То же верно и для |Х_, ...,Х'^\. Поэтому
р(1К Κ} = *)-?([χΊ 4)s^) =
Μ
=Σ('(ΐκ χΐ}=Α)-ρ(ΐ^ χ;}=4)). (*)
Для любого множества Аи состоящего из к элементов,
TV"
Так как Ν1*1 ^ Л"1 при fc 5s 1, то
дгй. дг[й]
°<Р(К' ^} = ^Ьр(1^ **Н4)<*' ^м .
(2)
Далее,
/а-1 \1/а
ЛГ^ = TV (TV - 1) ... (Ν — k + 1) = Д (TV —£) (N—k+i+i)
\ i=0
fft-1
11=0
f fc — l\a /fc — 1 .\a
1/2
= W
& —l\ft/a
>{(7V2-(fe-l)yv)ft}1/2==
j, / &(A —1)\
"Ч1—sr1} <3>
Из (1), (2) и (З) и того, чтоЛ/^С^, следует неравенство
ο<ρ({χ;,...,^}β^)-ρ(μ; ^;isrf)<
А (Л — 1) 1 „
<MMi5vivW<iv^
236

1.19. Легко проверяется, что
iv2 L 3 J '
Покажем, что Рг < Рз при TV ^ 4:
'.-.-4([4]-[ί])^([ίΓ-[ίΓ)-
>о.
1.22. Нетрудно проверить, что
{Xa+y3 = 0(mod3)} =
= {Х= y = 0(mod 3)}(J{Xi
—y = l(mod 3)}U
U{X = -F = -l(mod3)},
т. е.
^. + ^_„(mod3)b±([f]42p^][£±i]).(1)
Так как
[*М
ЛГ + 1
+
TV+ 2
l·
N и функция
f (х) = х (а — х)
а* ( а\* а2
= — — \х —■ — ^ —,
4 I 2/^4'
(2)
то
Ρ
1 1\ ЛИ2 1 / Г ЛП\2 \
1 /iV
JVH2
■"■-il+4-
(3)
Далее, если Μι — множество чисел, дающих при делении на 7
остатки 1, 2 или 4, Д/2 — множество чисел, дающих при делении
на 7 остатки 3, 5 или 6, то для любого η е М\ число п3 при
делении на 7 дает остаток 1, а для (leKj чисдо п3 при делении на 7
дает остаток —1. Поэтому
{Хз-Ь y3 = 0(mod 7)} =
= {X s У = 0(mod 7)} U {X е il/,, У е М2} U{XeJ/2, У е Jl/i}
и
W + 3"
237

Пользуясь равенством в (2) и тем, что для любого N ^ I
получаем
Ρ {Χ3 + У3 - 0 (mod 7)} > jjj ([-f J + 2 (| (лг - [-f ])' - l)) =
Из (3) и (5) следует, что
Ν2 (Ρ (Χ3 + У3 в 0 (mod 7)} — Ρ {Χ3 + У3 = 0 (mod 3)}) >
-([ί]-[τ])(*-4([4]+[4]))-»>
при Ν > 7. Для W = 4, 5, 6, 7 соотношение Р{Х3-Ь У3= 0(mod 7)}>
>· P{Xi + Υ3 = 0 (mod 3)} проверяется непосредственно с помощью
формул (1) и (4).
1.25. Если Ξι симметрична Ξ2 относительно Зз, то
Is — ii = Ь — 1з = di, η3 — ηι = η2 — η3 = dt (l)
для некоторых целых чисел d\ и fl!2, не равных одновременно 0 и
удовлетворяющих условиям |di|^re, |d2l < п. При
фиксированных dt и й2 число троек карточек (ξι, ηι), (ξ2, η?), (|3, Лз), для
которых выполнено (1), равно (2«+1 — 2]di|) (2и + 1 — 2|d2|).
Суммируя по d\ и d2, находим число троек попарно различных
карточек, Для которых Ξι симметрична Ξ2 относительно Ξ3:
2 (2n + l-2|d1|)(2n + l-2|d2|) = (2n + l)2 J] (2n +
d, ,<!,=—n d2=i
dj + di^O
n / η
+ l_2<g + 2 2 (2/1 + 1-2^)1211+1 + 2 ^ 2re+l-2d2)
d,=l \ d„=l
= 2 (2n + 1) (re (2re + 1) — re (n + 1)) + 2 (n (2re + 1) — η (n + 1)) X
X (2re + 1 + 2 (re (2re + 1) — re (n + 1))) = 4д2 (n -f l)2.
238

Так как общее число упорядоченных троек попарно различных
карточек есть
(2п-М)г((2и + 1)2-1)((2п + 1)*-2) =
= 4«(n+l)((4n(n+l))2-l),
то искомая вероятность равна
п(в + 1)
Р» (4n(„-|-i))2—1*
1.40. Число способов выбора к горизонталей, занятых к
ладьями, равно числу способов выбора к вертикалей и равно Cg. На к1
клетках, по которым пересекаются выбранные вертикали и
горизонтали, к клеток для расстановки ладей можно выбрать ft!
способами. Поэтому число расположений ft ладей, не угрожающих
друг другу, равно (С*)2 к\ =(&Щ2/к\. Значит,
_(С*)Ч[ _ 7 (6№-ау
Ь Ск 9 69^-2]'
иР2="Т>4"· Рз = "Й<Т· ^6=0,0493566... > 0,01, Р6 =
= 0,0075289... < 0,01.
1.43. Пусть поиск /-го пряника Пончик начинает с кармана с
номером щ. Тогда число удачных вариантов начал поиска первых
к пряников равно числу таких последовательностей п\, ..., гщ,
составленных из символов 1, 2, ..., 10, что каждый символ
встречается не более чем дважды. Число таких последовательностей, в
которых т символов встречается дважды, a ft — 2т символов — по
разу, равно С2т —· 10^_тЛ Общее число вариантов начал
(Ζ! I fTt\
поиска к пряников равно 10*. Значит, искомая вероятность равиа
10й m~ lmm\
1.47. Пусть χ (А) = 1, если событие А выполняется, и χ (А) =
= 0 в противном случае. Тогда
S = Ρ {α < β) + Ρ {β < γ) + Ρ {γ < α} =
Но при любых {α{, blt сЛ?=1 и любых ϊχ) i2, i3^{l, 2, 3}
χ (% < \) + χ (4 < %)+ χ (%< %) < 2·
1 -
Значит, S^-ryj'O ·2 = 2. Если, например,
max а4 < min bt, max bi < min <^,
ккз uka Kks ккз
то 5 = 2.
239

1.58. Цикл (ti = 1, h,...,ik) можно выбрать (п — 1)[*-Ч
способами, а остальные η—к элементов можно переставлять (и —А.·)!
способами. Поэтому число подстановок usS, с λι = ft равно
(и-1)[»-П(п_&)! = (и-1)! и Ρ{λ, = к} = (п-1)1/и! = Цп.
1.59. Число пиклов (ίι = 1, г2, ..., г*) длины к, содержащих
элементы 1 и 2, равно С^_г (п — 2)|й~2\ а общее число
подстановок, содержащих 1 и 2 в одном цикле, есть
2^.1(n-2)l*-«(n-*)!=JL(2ZliI
(и-
h=2
-2)! = 4·
т. е. 1 и 2 содержатся в одном цикле с вероятностью 1/2.
1.72, Так как по условию толщина монеты предполагается
равной 0, то вероятность того, что монета после падения встанет на
ребро, тоже равна 0. Будем считать, что монета ложится гербом
вверх, если в момент цаденпя конец вектора нормали оказывается
Рис. 8
выше его начала, т. е. центра монеты. Па рис. 8, а изображено
сечение вертикальной плоскостью π, проходящей через центр О
монеты и ось OS, вокруг которой вращается монета АВ; отрезки ON\
0N2 — это положения вектора нормали ON в момент его
прохождения через плоскость π, прямая ОХ — это линия пересечения π с
горизонтальной плоскостью γ.
Если θ ^ α, то весь конус, по которому скользит вектор ON,
расположен выше плоскости γ, и тогда ρ (α, Θ) = 1. Если θ ^ —а,
то конус расположен ниже плоскости γ, и ρ (α, θ) = 0. Если θ =
= 0 < α < π/2 или α = π/2 > | θ |, то плоскость γ делит
окружность, которую описывает конец N вектора ON, на две равные
части, и поэтому ρ (α, Θ) = 1/2. В общем случае 0 < |θ| sg α < π/2,
изображенном на рис. 8, а. рассмотрим окружность, которую
описывает конец N вектора нормали ON (рис. 8, б). Искомая
вероятность ρ (α, Θ) равна отношению длины дуги ΜΝ%Μ' к длине всей
окружности. Из рис. 8, а находим:
Ο,Λ', = 0,/V2 = ОуМ = 00{ tg α, OiL = 00] tg 0;
поэтому .(см. рис. 8, б) угол ΜΟχΝ\ равен
1 tge
= l--ai-ccosf-.
arccos j— и ρ (α, θ) =
240

1.84. Граница ЬАВС пересекает ровно т окружностей, если А
находится между iS2m-i и S2m+i (при т = 0 — внутри Si, при
2т — 1 < η < 2т + 1 —между Sn и Sa-i), и поэтому
1/гс2, та = 0,
8/ге/д2, 1<т<[(п—1)/2],
(2д — 1)/па, та = п/2, « четное,
О, т > и/2.
Глава 2
2.21. Если гс = 2, то из условий задачи
Ρ(Λι)=ρι, Р(А2)=рг, Ρ(ΑιΑ2) = Pifs
следует независимость /li и Л2.
При η — 3 уже можно привести пример совокупности
зависимых событий, удовлетворяющих условию задачи:
Ρ(ΑιΑ2Α3) = Р(Л,Л2Лз) = 1/8, Р(/М2.43) = p(AiAgA3) = 1/8 - ε,
Р(4,121~з) = Ρ(ΧμΜ3) = 1/8 + ε,
P(AiAiA%) = 1/8 + 2ε, Ρ(Ζ,Ι2Ι"3) = 1/8 — 2s,
где 0 < ε =ξ 1/16. В этом'случав P(At) = 1/2; ί = 1, 2, 3, Ρ(ΑιΑ,) =
= 1/4, Р(/М2Лз) = 1/8, но Р(/Мз) = 1/4- ε Φ P{Ai)P{As).
2.22. Пусть события Αι, ..., А-я удовлетворяют условиям зада»
чи. Оценим снизу число элементов множества Ω. Для любого на-
бора (ε,,..., 8ft), ε, =0пли 1 (ί = 1, 2 к), p\f] л'^А > 0,
bU^'j
ft . .
где А^ = Αι, А(У = Av т.е. [\А\1)Ф0. Так как при
(ej, ..., ε;!)=^(ε^, ..., e£) события П А\1' и П А\1' не
пересекаются, и число различных наборов (ε,, ..., гЛ равно 2*, то
A'^log п. Экстремальным примером является Ω = Us·., ..., εΛ;
Ei= 0 или 1} с Ρ {(8ι, ..., в,,)} = 2~ft и Ai = (8i =0}, ί = 1 к.
2.23. Пусть Ω = {ω,, ..., ω„}, P(Wj)=Pj>0 (/= 1 η),
ρ, + ... + ρ„=1. Событиям /1(C=Q, 0=Η=4(=?ί=Ω (ί = 1, ..., к)
сопоставим векторы в Rn
at = (χ<ιΤ'ρι, ..., Xtnipn), ί = 1 к,
гДе Χ*] = 1,_если (ujj^At, ш %t) = 0 в противном случае, и
положим а0 — (Ур,, ...,Ур„) е= «". Тогда при «,/ = !,...,& (а0, во) = 1,
(вэ, а,) = P(Ai), (т, т) — P(AiAj). Векторы 6( = ai — Р(/4<)а0
(г = 1, ..., &) удовлетворяют следующим соотношениям:
(6i, а0) = (я<, а0) — P(Ai) (а0, а0) = 0 (ί = 1, ..., к), (1)
(Ь4, bj) = (а(, aj) — Р(Лл)(а(, а0) — Р(Л<)(а0, aj) +
+ Р(/1,-)Р(Л,)(а0, а0) = Ρ (Α,Α ι) — Ρ (A ,) Ρ (Α ι)
(i, / = 1 *)· (2)
241

Равенства (1) означают, что иекторы Ь\, ..., Ьк лежат в (п —1)«
мерной гиперплоскости {х е Rn: (χ, α0) = 0}. В силу равенств (2)
события Αι, ...,Аъ попарно пезависимы тогда и только тогда,
когда векторы δι, ..., bk попарно ортогональны. Следовательно, ft^
sg η — 1.
Если η S? 4, то пример ή — 1 попарно независимых событий
дает следующая конструкция: Ω = {ωι, ,.., ω„},
4ω;}
(η-2γ
(/' = 1, ..,, η~ 1),
Ы·
ι
(и-2)а'
Α( = {ω,;, ω„}, 1=1,,.. η—ί.
2.61. а) Согласно теореме Муавра — Лапласа
η
limP
n-»oo
< ]^!.| = 2Ф0(1)= 0,68269...
IimPj
П->оо
> Υ± Ι = 1 _ 2Φ0 (1) = 0,31730
Эти предельные значения и являются приближениями для
искомых вероятностей.
б) При ρ = q = 1/2 из формулы (2.11) находим
Ρ {ξη = *} = С*2-\ * = 0, 1, ...,"·
Отсюда и из равенств
Р{|Ы~50| <5} = Ρ{45<ξ100^55},
Р{ Цюо - 501 ^ 5} = Р{|100 < 45} + Р{|100 ^ 55} =
= 1—Р{46:
находим
(1)
;54}
■^ьо—к
Ρ {45 < |100 < 55} = 2-"" 2 Сш = 2~10П°о 1 + 2 Σ "ИГ ) =
Г6
ft=l 100
С50 / 50/ 49/ 48/ 47/ 46
^(ι + 2^(ι+μ(1 + ^1 + ΊΓ4(1 + 5Τ
51
С"0
= 9,15635 -12?. (2)
2юо
Используя уточненную формулу Стирлипга (см. стр. 10),
находим
/100\юо { ι 0,
100! = 1/200π —■ ехр
. /100\
Τ/200π / —J
-,/ /50\50 f 1
50! = У 100л \j) ехр{ш
1200 1200.1201J'
е..
600-601
242

гдр, О ^ θι, θ2 ^ 1. Поэтому при некоторых θ<, |θ(| ^ 1, I = 3, 4, 5,
Г50 i { \ θ
С'"" *_ exp|--L+. я
2100 5"ΐ/2π I 400 1,8·105
= 1 Л__1_ , 9з ,, θ4 ^_ 0-9975+ 65.10-ь
5T/2SV ^ 1,8-Ю5 2-3992 j 5У^
Из (2) и (3) следует, что
Р{45 < |юо < 55} = 0,72874 + θ6·10-5, |θβ| < i.
Аналогичпо находим, что
P{ilioo-50| ^5} = 0,36820+ θ7.10-», |θ7| s£ 1.
Отличие значений вероятностей, полученных в п. а), от
истинных значений объясняется двумя причинами: заменой
допредельных значений вероятностей предельными, а также тем, что
события {||юо — 501 < 5} и {|ξιοο — 50[ Зг 5} пересекаются.
2.62. а) То же, что в предыдущей задаче.
б) Аналогвчно решению задачи 2.61 получаем
P{U128-64l<4Vi} = P{59<i128<69} =
С™ ( 128 / 63 / 62 / 61 / 60 \\\\\ „ „ С?*
=#8 I1 + Ж (*+·ββ I1 + ТГ7 (* + 68 (1 + 69 )))))=9·50563# "
= 0,66906+ Θ-10-5, 1θ\<1,
и так как 4У2 — число не целое, то
Р{ ||,28-64| >4}'2} =
= l-P{ig,2S-64i <4V2) =0,33094+ θ·ΙΟ"5, |θ| < 1.
Глава 3
3.64. Используя результат задачи 3.63, подучим формулу для
плотности распределения ρι{χ), х = (х\, ...» Хп), вектора | =
— (£<1>1 ···> 1(п)):
Р|(,) = |й!аПГа(Х1+,"+Ч о<^<-<^
1.0 в остальных случаях.
Плотность распределения η = (Δ,, ..., Ая) можно найти по
формуле (3.2) с функцией g(x) = (gt(x), ..., gn(x)), gi(x) — χι,
gi{x) = х< — xt-i, i = 2, ..., п. Нетрудно проверить, что якобиан
Jg преобразования у = g{x) тождественно равен 1. Обратное
преобразование χ — g-i(y) определяется формулами xi = yi + ...
... + !/(, i = 1, ..., п. Подставляя в (3.2) приведенные выражения
для Ρξ(ζ), g-i(x), h, получим
Bla«r.p*i+<n-ihrt+...+Mf fi>0,...,9n>o,
0, если min(i/1, .... г/п) <0.
243
Ρη (У) =

Плотность распределения Рп{у) вектора η = (Δι,..,, Δ«) представ,
ляется в виде произведения одномерных плотностей
показательных распределений:
*^-Π[«<»-'+1>·"β*,"ι+1,Η
1=1
Отсюда следует, что случайные величины Δι, ..ч Δη независимы и
Δ* имеет показательное распределение с параметром а(л — i + 1),
3.65. Согласно задаче 3.64 соответствующие вариационному ря-
ДУ Id) ^ 1(2) < ... ^ |(п) (построенному по ξι, ..., |„) случайные
величины
Δι — Ι(ΐ)ι Δλ = lift) — ξ<*-π» k = 2, 3, ..,, η,
независимы и Δλ имеет показательное распределение с параметром
(я — к -f- 1)λ, ft = 1,..., и. Остается заметить, что
max{li, ,,ч |n} = In» =Δι + Δ2 + .·.+ Δη,
что случайные величины |s/ft, fc = 1, 2, .. ч в, независимы и lk/k
имеет показательное распределение с параметром кК, т. е.
распределено так же, каи Δη-Λ+».
3.70. Введем вспомогательную случайную величину |з, не
зависящую от ξι и имеющую распределение Пуассона с параметром
Кг — λ|. Согласно п. б) задачи 3.32 распределение ξι + ξ3 совпадает
с распределением Is. Поэтому для любого ft = 0, 1, 2, ...
P(i2<A) = P(|1 + |3<ft) =
k
β Σ p(&3 = m)P(Si<ft-ra)<P(£i<fe)P(&3<fe)<p(Si<*)·
m*=o
3.129. Начало координат OeS. Точка χ eS(\x\ ^ 1), если при
s > 0 точки 1, 2, ..., 2х — 1 — белые и при χ < 0 точки —1,
—2, ..., —2х +1 — белые. Пусть Θ* = 1, если jeS, и Θ* = 0,
если χ φ S. Тогда
оо
2Х—1
|5|= 2 θα, μθ0-ι, Μθα = Ρ;
2р
ж=—оо
и, следовательно,
3.130. Воспользуемся представлением ξ = ) \ X (г, φ) г dr άψ ,
К
предложенным в указаниях. Тогда χ (г, φ) = 0 при г ^ 1/2
и Χ(Γι ф) — 1. если г < 1/2 и в круг Kr,v радиусом г с центром в
точке (г, φ) не попала ни одна из точек 6Ί, ..., С„. Для каждого
i = 1, ..., и вероятность того, что точка С< попала в круг Кг, ф,
равна лг2/л = г2 и, следовательно,
Μχ(Γ, φ) = Ρ{χ(Γ, φ) = 1} = (1 -г2)»,
если г ·< 1/2. Меняя местами знаки математического ожидания и
244

интеграла в правой части равенства
Μξ = Μ ί 1 χ (r, φ) г dr dcp,
К
получпм
2π 1/2
Μξ => ι f Μχ (г, φ) rdrdq= \ dq \~ (l — г2)" г dr «
к Ό ο
3.135. Пусть F_i(i/) = sup{a:: Р(я)^г/}; тогда, согласно
задаче 3.13,
ι
Μξ = j F_x (у) dy,
о
т. е. Μξ — площадь области {(ж, ;/): 0 ^ у ^ 1, 0 ^ ж ^ F_i(y)}.
Но
f F-i (ΰ) dy - [ (1 - F (x)) dx.
о о
3.150. Событие
D = {выпуклая оболочка А\, Αι, А3, Аь — треугольник}
есть объединение четырех попарно несовместных событий:
Bi = {Ai лежит в треугольнике, образованном остальными точками},
I = 1, 2. 3, 4, вероятности которых одинаковы ввиду
симметричности распределения набора Аи А2, Аъ, Л4. Поэтому P(D) = 4Р(5<).
Так как точка Л4 не зависит от Αι, Аг, Аз и имеет равномерно·
распределение в области, площадь которой равна 1, то условная
всфоятцоеть Ρ(θ4|Λι, Α2, А3) (при условии, что положения точек
Аи Αϊ, Аъ фиксированы) равна площади S ЛА А А треугольника
A\AiAb По формуле полного математического ожидания получим
Ρ {D} = 4М Ρ {54 | Αν Аг, Аз} = 4М5ДД . А^.
3.141. Чтобы доказать неравенство Рз Ξ3= 1/20, воспользуемся
следующим соображением. Пусть ΧΊ, .. ч X,efl! — независимые
точки, имеющие одно и то же распределение Р, и κ„ — число таких
троек (г, /, к), для которых l^i<f<i^n и выполняется
событие A,jh = {один из углов &X{XjXk не мепьше 120°}. В силу
аддитивности математического ожидания
Μ*η = Σ Р (Ат) = С*пРа.
Поэтому Ρ = Мип/С^. Для доказательства требуемой оценки
Ρ > 1/20 = l/(7g достаточпо установить, что Μκ3 Γ& 1. Докажем
более сильное утверждение: Р{у,ь 5ϊ 1) = 1. Действительно, любые
243

6 точек Χι, ..., Х6, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, либо образуют выпуклый шестиугольник, либо одна из этих
точек (скажем, X,) содержится в треугольнике, образованном
какими-то тремя другими {скажем, Х2, Х3, Х<). В первом случае щ >= U
поскольку сумма углов шестиугольника равна 180°· (6—2) = 720°,
т. е. по крайней мере один из его шести углов не меньше 120°.
Во втором случае κ6 ^ 1, поскольку углы Х2Х,Х3, Х3Х1Х4 и Χ4ΧιΧ2
треугольников Х]Х2Х3, Х1Х3Х4, Х1Х2Х4 в сумме составляют 360°.
3.142. Рассуждения аналогичны проведенным в решении
задачи 3.141. Если Χι, ..., Хп е R2—независимые точки, имеющие
распределение Р, и κ„ — число выпуклых четырехугольников,
образованных точками Χι, .,., Хп, то в силу аддитивности
математического ожидания
и для доказательства приведенной в условии задачи оценки
достаточно показать, что Μκ5 ^ 1. Но Ρ{κ5 ^ 1} = 1, поскольку 5 точек,
из которых никакие 3 ие лежат на одной прямой, либо образуют
выпуклый пятиугольник (и тогда κ3 ^ 1), либо одна из этих точек
(скажем, Х4) лежит внутри треугольппка, образованного тремя
другими (скажем, Χι, Х2, Хз). Эта конфигурация изображена на
рис. 7 (см. указание к задаче 3.142). Отрезки и лучи, приведенные на
этом рисунке, разбивают плоскость па 9 областей. Легко проверить,
что в какую бы из этих областей ни попала точка Xs, из точек Χι,Χ2,
Хз, Х< можно выбрать 3 точки, которые вместе с Х5 образуют
выпуклый четырехугольник. Значит, и в этом случае κ5 Ξ5= 1, что и
требовалось доказать.
3.156. Так как функция j(x) — \х\г при г;=г 1 выпукла вниз,
то при любом действительном х, согласно задаче 3.152,
М|ж + Г||гЭ= |М(ж + г|)г= Иг.
Поэтому при г ^ 1
Μ|ξ + η|'=.Μ(Μ{|ξ + η|Ί6}) S* Μ|ξ|'.
3.159. б) Если ранг матрицы В равен г, то существуют такие
ливейно независимые векторы Ъ\, ..., bk~r e Rh, что Bbt — 0, i =
= 1, ..., k-r. Поэтому D((6,, ξ)) = (Ь4, B6i)=0, i=l, ...
..., к — г, т. е. Ρ{(6ί,ξ) = с,} — 1 для некоторых чисел с\, ...,cfc_.r.
Значит, существует (--мерная гиперплоскость Lr cr Rh,
ортогональная подпространству, натянутому па bi, ..., bk-r, и
удовлетворяющая условию ?{'£, е LT} = 1.
Обратно, если существует ^-мерная гиперплоскость Lq a R\
для которой Р{| е Lq} = 1, то существуют линейно независимые
векторы Ь\, ..., bii-q, ортогональные Lq, и числа с\, ..., сд_9,
удовлетворяющие условиям
Ρ{(ξ, bi) = Сг} = 1, i = l, ..., к — q.
Согласно п. б) задачи 3.158 тогда Bbi — 0, ί = 1, ..., к — д, т. е.
ранг θ не превышает д. Так как по условию раиг В равен ι\ то
соотношение Ρ(ξ е i,-i} = 1 не может выполняться ни для какой
(г—1)-мерной гиперплоскости Lr-\ с: Rh.
3.175. Пусть ξι, g2, ··· уровни весенних паводков в
последовательные годы, а 1г — время до разрушения плотины паводком.
246

Тогда
{T2>i} = /mas |,<«\= П {!,<*}
и, следовательно, Ρ{τ, > г} =^'(г). Отсюда, используя результат
задачи 3.132, получим
σο 00 оо
ί=ι ίί=ο <"=о
В п. а) требуется найти минимальное значение г, при котором
Μτ2 Зг Г, где Τ = 100 лет. Такое ζ удовлетворяет уравнению
1
= Г и, следовательно,
■ F (*)
: = i?_1(l-^-)=i;'_1(0I99),
где F-t(u) = sup{;r: F(z) sg it}—функция, обратная к J^z),
β п. б) требуется найти минимальное г, при котором Р{хг < Т} з$
s^ α = 0,01, т. е. 1—^(zj^a или (1 — a)l'T s£ F (z). Отсюда
ζ
F_,((l—a)1") = F_, (0,99е·01) «f_i(0,9999).
3.176. Приведем два решения, а) Пусть F(г) = Ρ{ξ,· ^ х).
Тогда
{τ > £, ζτ = ζ} = {ξΤ+ι < ζ, .. „ ξΓ+ί < «, &τ — ζ)
и
Ρ{τ>ί|ζΓ = ζ} = /»(*).
Кроме того, Ρ (ξτ < ζ\ = Ρ ί max ξ. < ζ\= Fr (ζ). Найдем теперь
Ιι^ί«ίΤ /
Ρ {ττ>«\, воспользовавшись формулой полной вероятности (3,21):
Ρ |τΓ > в} = MP (τΓ > и I ζτ} = MF" (ζΤ) =
σο οο
= ^FU (z) d (FT (z)) = Τ j F"+r-i (z) «tf (г),
о о
Отсюда, полагая χ = F(z), получим
ι
Ρ {τΓ > «} = Τ f ^+:Γ-1ώ = ^рг.
о
Следовательно,
и
Ρ {ττ<i "} — „ _1 τ (и^®)> ΜτΓ = оо,
P{tioo<10} = 1/11.
б) Случайные величины ξι, ξ2, ··· по условию независимы и
имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения F(x).
247

Построим по случайным величинам ξι, ..., ξτ+и их вариационный
ряд £п) ^ ... ^ |(г+и)| в силу непрерывности F(x) с
вероятностью 1 все числа |(о,.,., |(т+«) различны. Тогда
{хт s£ и) = {ξ(Τ+ι0 <= {Ът+и ..., £г+и}}. (1)
При условии, что значения ξ<ΐ), ,,., i(r+u) фиксированы, набор
(ξι, ..., ξτ+«) имеет равномерное распределение на множестве
всех (Г + в)! перестановок чисел |(|), ..., |<г+и)· Из этих (Т + и)[
перестановок ровно для в(Г + в —1)1 выполняется событие в
правой части (1). Поэтому
и(Т+и — 1)! и
Р{хг<и}« {Т + и)\ -и+Г
3.201. Пусть %i «= 1, если точка |ч — граничная, и χ< = 0 в
противном случае. Тогда κη = Χι +-..-f-Xn и Μκη = ΛΜχ„,
поскольку точки ξ!, ..., ξη независимы и одинаково распределены.
Пользуясь формулой (3.21), получаем Μχ„ = Р{5л^ ξηΐ или |js ^
=ζ1η3, /= 1, ..ч »—1} = ΑΛΡη-]{ξιι< 1«1 или ξΐ2 <6η2|6η-ι,
ξ»2} = M(l — (1 — !„,) (1 — Ιηϊ))"-1 = М(1 — ξηΐξ^)71-'. По
условию случайные величины ξ„, и ξη2 независимы и равномерно
распределены на отрезке [0, 1]. Значит,
Мк„ = пМ^ = „М (1 _ ξηιξηϊ)»-ι =
= η J (- D^M^, = η J (- Dft ^ 7^ =
1
ft=0 q fe=0 0
1 n 1 η
О 0 ft=1
3.224. а) По условию i-e орудие поражает цель, если
|βί + ξ< + ζ-α| = |ξ* + ζ| ^ε.
Так как случайные величины ζ, ξι, ..., ξ„ независимы, Ρ {ζ ^ χ) =
_χ + d
— nj—, \x\ ^ d, a gi, ..., ξη одинаково распределены, то
вероятность Qn поражения цели валпом из η орудий определяется
формулой
en = i-p{l?i-Kl>8' i = 1 n} =
= 1-ΜΡ{|ξ. + ζ|>ε, ί = 1 η|ξ} =
,ι=1
7 -Λ-
= 1- J J! Ρ { | €ί 4- ^ | > ε} dP {ζ ^ ^} =
α
248

Используя равномерность распределения ii на [—с, с] и условие
с + е < d, находим
Ιε/c, если | χ | =sj с — ε,
(с + ε — |χ|)/2с, если с — г<|г|<с + е,
О, если | г | > с -f- ε.
Значит,
c+ε d
·.—4-(Т('-тГ*+У(«-г±4Р-Г*^*)-
V о е—ε с+е '
~ d "~ d [* с) d(n + i)[l \l c) j~
=τ('-^)Ν'-τ)"Η(-^)(.-τ)"+ι,
uQn-*-(c+ ε)/d < 1 при »■+»■
б) Введем вспомогательные случайные величины β4 =β4—о,
ί = 1, ..., η; эти случайные величины независимы н имеют
равномерное распределение на отрезке [—Ь, Ъ], Ъ > c + d + ε. Условие
поражения цели l·κ орудием принимает вид
|β{ + ξ{-Κ-*| = |β* + Ι{ + ζ|<ε.
Аналогично п. а) получаем для Qn формулу
ρη = 1-ΜΡ{|β* + ξ, + ζ|>ε, i = l η|ζ,ξ1 gj-
d с
1
— ι
-d~c -с' Х
(1)
Так как β{ имеет равномерное распределение на отревке [—Ь, Ь]
и по условию b> c + d+e^ \j/i\ -{- \х\ + в при любых yi е
е [—с, c],ie [—d, d], то в подынтегральном выражении в (1)
2ε ε
р{ |P* + !/i+H<e} =26!="б"· еслн|!/{|<с, | z | < d.
Значит,
d с с
—d —с —с
= 1 — И ~ "ь") "*" * ПРИ п "*" °°·
Сравнение результатов пп. а) и б) показывает, что при
достаточно больших η введение искусственного рассеивания при
прицеливании увеличивает вероятность поражения цели. Этот
неожиданный эффект (в более сложной ситуации, когда случайные ве-
249

личины ζ, |(, βί имеют иормальпое распределение), был отмечеп
А. Н. Колмогоровым.
β, + Ц
3,260. Середина Μ стороны Л А имеет координаты
■λ β
-j, а вектор Α Μγ = I-
ξχ, 2 ""li/· Из
условий задачи следует, что ξχ, ξ2, gg, η1, η2, η3 незавпсимьг и
имеют стандартное нормальное распределение. Поэтому компоненты
вектора А Мг независимы и имеют нормальное распределение с
1 + 1 3 _
нулевым средним и дисперсией 1 +—τ— =~j>· Значит, при
любом χ ^ 0
Ρ{μ1^1Κ*} = ρ{μ1Λ/1|2<*2} =
= 4 JJ ехР|--1-з-^)^1^2=Зй|2'1ге~г2/з^ =
2 2,2 0
х2/з
= f e~udu = 1 - е~х2/з.
3.26!. Докажем более сильное утверждение: векторы А2А3 и
/ΙιΛίι независимы. Имеем А2АЪ = {\ъ— 1г, г\3 — г\2> и (см. решенпэ
/62 + £, Чг + Чч \
задачи 3.260) Л1Л/1 = I ;,—~~ fei> о — Ή ι /· Поскольку
наборы случайных величин {ξι, 12, ξ3} и {η,, η?, η3} независимы и
одинаково распределены, достаточно доказать, что независимы слу-
чайные величины ξ3 — 1г и т-,— — ξ . Случайные величины
1ь \% \ъ но условию независимы и имеют стандартное
нормальное распределение. Независимость случайных величин |3 — ξ2 и
(S2+ 1з)/2 доказывается так же, как в задаче 3.241; вычитание из
(&2-т-|з)/2 случайной величины ξι, не зависящей or ^3 — 1г, не
нарушает независимости.
3.2G2. Так как треугольник А\А2А3 не может иметь более
одного тупого угла, то события {Ζ_^ι>90°}, {/_Л2 > 90°} и
{Ζ-43 > 90°} несовместны. Из независимости и одинаковой
распределенности точек А], А2, А3 следует, что вероятности этих
событий одинаковы. Значит,
Ρ {Δ ΑχΑ2Α3 — тупоугольный} =3 Ρ {Ζ. Αχ > 90°} =
=ЗР{|Л1А#1|
< τ I ΑΛ
поскольку половина стороны треугольника больше проведенной
к ней медианы тогда и только тогда, когда противолежащий
угол — тупой. Вектор А2А3 = (ξ3 — ξ 2, Лз —η2) имеет нормальное
распределение с нулевым вектором средних и матрицей коварна-
250

. (2 °\
ции Iq 2)1 поэтому
{
dx
1 г г -(4+4)/* ι Γ„ νν.
2 , 2 *
κ2/4
1-е"
:V*
Согласно задаче 3.261 случайные величины |j4243| и |4ιϋ/ι| неза-
2,1
виснмы, и Ρ { Ι ΛιΜ11 < χ\ — \ _, е-х 13 согласно решению задачи
3.200. По формуле полной вероятности находим
ос
о
σο σο
Х -8/3to!
та
1-jTe ^" = -4·
Следовательно, Ρ{ΑΑιΑ«Α3— тупоугольный} = 3/4.
Глава 4
4.14. Из определения множества Сг, ε следует, что
1ξ<η)|+...+|&η)|
Ρ №п) е С
nVi/n,ej
<ε
(1)
«У2/п
По условию случайные величины | ^"'1, ·.., [l^*'| независимы,
одинаково распределены и
MHi
ОО СО
п> ι = -L Г ге-^а/2 & = -|= f e-u <ь=ι/"-,
■ ' T/2nJ T/27cJ r π'
»ин=м(етчм1^Ч)2=1-1<~.
Из этпх соотношений и закона больших чисел следует, что правая
часть (1) стремится к 0 при η -*■ оо для любого фиксированного
е > 0,
251

Сравнение результатов вадач 4.13 и 4.14 (с учетом
сферической симметричности распределения вектора ξ(η) и множества
Βν— ) показывает, что при достаточно больших η гиперсфера
и поверхность n-мерного «октаэдра»
CnYW*,o = {x&Rn'· |»1|+...+|»B|-»V2^1
близки друг к другу, а именно: для любого ε > 0 отношение
(я — 1)-мерного объема множества тех точек χ ξ Β^-~ , для кото-
' ti,0
рых отрезои |(1—е)*, (1+е)х] не пересекается с С y-j- , к
(п — 1)-мерному объему By— /т. е. к «площади поверхности»
гиперсферы By— \ стремится к 0.
424. Для любого и = 1, 2, ... справедливы следующие
равенства (в которых η™ — величина, введенная в задаче 4.23):
е1+...+с_ _fo-^ + "+(W-'W
а iynf п +
п IV-nf
Из ревультатов задач 4.22 и 4.23 следует, что
ρ ι jim
{ lim —-; — =0} = 1,
,. V"] tyn]
2
значит,
Ρ
Ρ lim ——- ——— = (И = 1,
U.(Jd^u_.).„}_,
что и требовалось доказать.
4.31. Согласно задаче 3.228 при χ > α
β -(*-о)*/20а f σ σ3 1 β-(Χ-α)2/2σ2 σ
.)»/9С«/ σ σ3 Ι
<
т. е.
lim Ρ (ξ > ϊ}"ΐ/2π^χ-α)2/2σ2^—- = 1.
252

Поэтому для любого у ^ О
Ρ {ξ > χ 4- ух-1}
11m Ρ((6-«)*>ΐΜΙ>*}~ Hm гб^..Т_< L =
:=^6ΧΡ{~έ((2!+^-α)2-(ί:-'ΐ)2)} =
ί ι/(2-|-(ί/--2α*)ζ-2)
!= lim esp
SC-»oo
2σ"
4.41. Первое утверждение легко следует из неравенства Че-
бышева:
ри-^ , л\ Р&>х> Л> ~ 1 ρ/ε- , - q2
Ptf>-M)- рЩ—<7Р{|>Ж><р(ж_а)2·
Для доказательства второго утверждения введем индикатор
события А:
11, если А происходит,
О в противном случае.
Тогда
Μξχ. J 1
Μ{ξ|4}=-ρ^ = 7ΜξχΑ=α-|-7Μ(ξ-α)χΑ. (1)
Пусть ^_х (у) = sup{ί: Ρ 1| — а< ί}< г/} — функция, обратная к
функции распределения случайной величины ξ—α. Согласно
задаче 3.186
ρ ι
j'f_1(")d"<M(i-a)xA< j" Р_г(и)аи, (2)
О 1-ί>
а согласно задаче 3.138
ι
o2=D| = M(| —я)2 = J fij (в) «fu. (3)
о
Применяя к (2) неравенство Коши—Буняковского и пользуясь (3),
получаем
| Μ (ξ — β) χΑ j < max J J | F_x (ρ) | rfy, j | F_x (ν) | ιίμ <
Ιο ι—ρ J
<max|l/ f Fti (и) du ( du, j/ | ^ (it) dw j dit<oVp.
* ο ο ι—ρ ι—ρ ^
Отсюда и из (1) следует, что
|Μ{|μ}-α|<σ/}>. (4)
253

Если р ;> 1/2, то с помощью равенства
а=рЩ1\А}+ (l-p)fA{l\A)
и оценки (4), примененной к М{£[Л}, паходим:
4.42. Рассмотрим сначала случайную волячииу -ц. Из условий
задачи следует, что образующие τι слагаемые ξ,, ξ2, ... независимы,
не зависят от числа слагаемых ν — 1, распределение каждого
слагаемого совпадает с условным распределением ξι при условии
ει = 0, и при q -*0
P{g(v — 1) ^г}-+1 — е~х, χ > 0.
Из задачи 4.41 следует, что
M{SlIei = °} = a + er=T· l0!^1' ' = 1.2,...;
кроме того,
ο{ξ.|(5.==0} = Μ(ξ||ε. = 0]-(Μ{ξί|εί = 0})2<
Μξ? й2 + σ2
<Τ=ί<Ύ=Τ<°°· * = ι,2, ...
Применяя задачи 4.39 и 4.37, получаем соотношение
limP {qx <а} = 1 — е~х/а, г>0.
д->о
Покажем теперь, что предельные распределения случайных
величин q%\ и дт2 при д-*-0 совпадают. Согласно п. а) задачи 4.33
для этого достаточно показать, что при любом δ > 0
P{g|, s£6|e( = l}-+i, g-*0.
Но из первого неравенства задачи 4.41 следует, что
4.51. Пусть g'(x) непрерывна в отрезке Га — δ, о + б], δ > 0.
По теореме Лагранжа при х, а„ е [а — 6, α -f- о]
g(x) — S(an) = g'(an+ (x — βη)θι)(« — α„),
где функция θι = 0j (ж, ап) удовлетворяет неравенству 0 ^ θι < 1.
Для каждого и = 1, 2, ... определим случайную величину ап
равенством
*(En)-s(«n) 6n~gn ,. . . ...
= —т (1 + α„). (1)
Кё'Ы ~ I
Из (1) следует, что если | о — а„ | ^ 6, то на множество
254

{ω: |ξ„-α| < 6}
g (i„) - g («„)
g'(an)(tn-an)
1 =
?'(α»+(ξη-Μθΐ)
*'Ы
I g' («0 I
<ft(o)= sup -Γ7-Τ-1 ,
It)—a|«6
Функция ft (б) стремится к 0 при δ J О, так как по условию g'(x)
непрерывна при χ = а и g" (а) Ф 0. Значит, при любом ε > О
Ρ{|αη| >ε}^Ρ{||π-α| > δ} + Ρ{|ξ„-α| > Λ_,(ε)>, (2)
если η достаточно велико, так что \ап — а\ ·< h-i(e), где fc-i(·) —
функция, обратная к h(·). Но в сиду условий задачи при любом
г > 0
[а — г — ап 1п — ап
lim P{|g„-a|>2}=l|-limP <— <
П-»оо Ч " · > n-»oo ^ υη υη
ln — an
<
α Η-ζ — αη1
<1— lim Ρ
П-»СО
<
i}=0·
Отсюда и из (2) следует, что при любом ε > О
lim Ρ {|α„|>ε} = 0.
(3)
Используя (1), (3) и задачу 4.33, б), получаем, что в каждой точке
непрерывности F(x)
4.54. а) Применим утверждение к задаче 4.52 с
1
t _U2L _i
По теореме Муавра — Лапласа
δ„ =
п 2У«·
ί Бп -1/2 1
«1£p(i7GW<xrPtf<'}' — <■<"·
где ξ имеет стандартное нормальное распределение. Далее,
«•(4)-(4
1—а;
X х=1/2
= 4.
= 0,
х = 1/2
255

Согласно утверждению задачи 4.52
( g (In) - S (1/2) Ι
n— \g» (1/2)/(2У«Г J n^°° x yn>^ / -- ί
= p {i2 < 4 = 2Ф0(уг)« =pjL J в-«'/2йв.
о
б) Применим утверждение задачи 4.51 с
In = V αη = Ρ· δη - V η ·
По теореме Муавра —Лапласа при любом х, —оо < г < со,
11т Р л/1ГР и < 4 = ф <*> = ЧТъ* f «"u2/2rf«·
η-»» [VP{l — p)ln j Τ/2π J
— σο
Далее, g1 (ρ) =lr> ^_р¥=0 при ρ φ 1/2, и согласно
утверждению задачи 4.51
g(ln)-g(p) 1
■<ж} = Ф(ж), — оо<я<оо.
lim P
η-»οβ
i г'(р)Ур(1-р)/п
ι p I"11/ n
ln 1-P| Г p(l —/»)·
Следовательно, Вп{р) =
λ Ё
4.83. Из условий sup Me x < oo, Μ Ι ξ Ι < оо и свойств про-
ο«λ<δ ' х'
изводящих функций следует, что функция ψ (λ) = Me *
определена и дифференцируема в полуинтервале [0, 6) и что ML =
ss^'iO). Согласно задачам 4.81 и 4.80
Ρ{1χ + ··. + Ι„>4Μη + ε)}< inf *~λ"№+εν(λ) =
= ( inf tWrl(M^f.
\(Κλ<δ /
Из формулы Тейлора
ψ(λ)-Ψ(0) + (1 + « (1))λΨ'(0) = 1+ (1 + ο(1)) λΜξ1( λ J 0,
получаем, что ψ (λ)< е ^ * ε' при достаточно малых λ > 0,
поэтому
αβ= inf ψ(λ)*~λ(Μξί+ε)<1.
o<>.<6
Второе утверждение задачи следует из первого: достаточно
заменить 1{ на — |4.
256

4.88, Сначала докажем тождество, указанное в условия
задачи. Если 2/ш2<1, то
W1
2 I _2
-2^а^_,»/яп»_ 1 ^fi-2ha* )
1
2π - σ V 2π "* Ι 2a2/(l-2W
expW
— плотность нормального распределения с параметрами
[' 7=^7)'поэтому
σο
а~\/2п J
e/,x2e-xV2a2& = 1 2Λσ2 < 1. (1)
V 1 — 2Λσ2
Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами (θ, σ ), а
η = |еЛ^ , то
σο
оУ2л J
Μη= .— xehx e~x /2<J Лг, (2)
СЮ
Μη2=—i= f a?e*h*%-*il*,>t dx. (3)
—oo
В (2) под интегралом стоит нечетная функция, значит, Μη =
= 0, если только интеграл (2) абсолютно сходится. Это заведомо
имеет место при 2ha <1, гак как тогда
зхр \x2lh — тгт ) Г = °(е аХ)< а>0, при |ж|->-оо.
(4)
Чтобы вычислить интеграл (3), продифференцируем по h обе
части тождества (1); в силу (4) дифференцирование под знаком
интеграла в этом случае законно:
оо
σΊ/2π J
^x%-xV2a^x=__£__f 2,σ2<1# (5)
Сопоставляя (З) и (5), получаем:
Dti = Μη2 = (1_4°йа2)3/2 при iha2 < 1.
Если 4.Ίσ5!> 1. то интеграл (3) расходится и Dt] = оо.
4.95, Если М||| ■< оо, то (см. введение к гл. 4) по свойствам
характеристических функций /'(0) = ίΜξ. Покажем, что если
распределение | имеет плотность р(х), указанную в условии задачи,
10 1/'(0)| <. °°, а ЛЛ J Е, ( = оо, Последнее соотношение легко
257

проверяется:
оо 2 σο
dx
Μ Ι \ I = 2 \χρ (χ) dx = 2 ί χρ (χ) dx + 2 Γ ^£
— = οο,
0 0 2
где О^а(ж) < οο и α(ζ) -»-1 при ж-»·». Для доказательства
соотношения |/'(0)1 < «> покажем, что
|1 —/(01 =о(0 при ί-*О
(тогда /' (0) = Iim (1 — f (t))/t — θ). Действительно, из оценки 1—
\ t-»o )
— cos # < г/2/2 следует-, что если
Г-*оо, 2Ίί|-»·0,
то
оо
1 — / (ί) = 2 (i — cos tx) ρ (χ) dx =
о
/Τ оо \
= θί iV [P(x)dx+ \^-Ί~
τ
— cos ix
dx
x
ο τ
\ J и ln(u/|i |)
\ \t\T
( 2 Г 1 — COS
J aMn(u/|;
τ
f 2 I 11 (* 1 — cos и \
= 0 (ir)2+-^j—ir-du .
^ 0 '
Если Г ~ (|i| In |i|)-1/2 при г-»-0, то последняя оценка дает
1-^ί)=°(τϊ!πι)=0(|ί|)'
что и требовалось доказать.
4.96. Если функция f(x) дважды дифференцируема в
точке х, то
f" (x) = Iim -τ .
ί-*ο l
Следовательно, в нашем случае
,»,m 1· /(-0-2 + /(Q „ ,-«Ε_2 + ,«8
/ (0) = hm 2 = lim Μ 2 ■
ί-*ο t ί-»ο г
Так как выражение под знаком математического ожидания
вещественно, то можно рассматривать только его действительную часть:
cos t\ — 1 » cos ίΕ — 1
/" (0) = 2 Iim Μ \ = Iim Μξ2 » ,
ί-»ο ί ί-»ο Сб) /2
258

cos ty — 1
Функция gt (у) = a неположительна и для каждого
(*ί/) /^
у, |!/| < оо, стремится к —1 при t-*■(). Поэтому из
предположения Μξ2 = оо следует равенство
/"(0)=iimM|% (!) = _«>,
t-»o
которое противоречит условию задачи. Значит, Μξ2 < оо я
/"(0)=-Μξ2.
4.109. Пусть <p(w,(l) < оо. Разложим производящую функцию
со
φ (ζ) = 2 Ρ {ξ = /с} zfe по формуле Тейлора в точке ζ = 1 с ос-
таточным членом в форме Лагранжа:
«pw = 2i—*r-<*-*> + (]ντΐ)! (ζ
0 < θ < 1.
•1)
iV+1
Полагая вдесь ζ = 0 и замечая, что φ(*> (ζ) 3= 0 при любом
ζ е [0, 1], получаем
φ (0) = Ρ {ξ = 0} = 2 (- 1)" ^-JT2 + <- *> +1*N+v aN+l>^
Отсюда и из того, что φ<*> (Ι) = т&, следуют неравенства,
указанные в условии задачи.
4.123. а) Из независимости ξι, ξ2, ... и равенств
м>1 = У (т + 4) = i·025· м»? = У (§ + Щ = 1'10125·
М In |j = 0, D In Ιχ = Μ 1η2|χ = In2 -| « 0,0248965
следует, что
Mrliooo = (M^i)100°^5·295·1010·
*Чооо = W00 - 7,6899-10» « Οηωοο,
Μ In η,οο = 1000Μ In ξ, = 0, D In η,00 = 1000D In |i « 24,8965.
б) Так как In η„ == In ξι + ... + ln ξ„, слагаемые In ξι, ..., In ξ„
независимы, одинаково распределены и Din ξι = In21,25 <С оо, то
согласно центральной предельной теореме
X
Ншр! 1/-^=·<4°ΦΗ=Τ^= Γ «~"2/^"·
n^=o } J/nDln| ^ j У2я J
— σο
Из этого соотношения следуют приближенные равенства
259

Подставляя вместо у указанные в условии задачи значения и
пользуясь результатами п. а), находим:
Ρ{ηιοοο < 0,001} « Φ (-1,384) « 0,0832,
Ρ{η.οοο < 1} « Ф(0) = 1/2, Ρ{η,οοο < 1} « Ф(0) = 1/2,
Ρ{ηιοοο < Ю6} « Φ(2,769) « 0,9972.
Сравнивая последний результат с найденным в п. а) значением
Mriiooo * 5,295 · 1010, обнаруживаем, что почти вел масса
распределения г)юоо сосредоточена значительно левее его математического
ожидания.
в) Событие {люоо < 1} происходит, если число значений ξι, ...
···, Ιιοοο, равных 1,25, не превосходит 499, а событие {ηιοοο«ζ 1} —
если это число не превосходит 500, т. е.
49S 500
г
1000'
р {п„оо <1) =2"1000 Σ *!«*. р {ч1000 < i} - 2-1000Σ cl
h~0 k=0
409 J000 .
Так как j С»000 = J <7}000 = γ Г " *!!S.). τ°
h=0 fc=S01
Ρ{η1οοο<1} = τ(1-2-10θηθο0ο).
ΡΜ1οοο<1} = Τ(1 + 2-1000^ο°ο)·
По формуле Стирлинга
1/2ττ.1000·10001000/ еьт
6 >°о° е1000 ^ У 27x^500· 5006
1
У 500л
ί0,02523,
Следовательно, Ρ{η!0οο < 1} « 0,4874. Ρ{η,00ο < О ~ 0,5126.
Отличие этих значепий от приближения 0,5 из п. б)
объясняется, во-первых, тем, что распределение случайной величипы
tjiooo имеет атом в точке 1 (а нормальное распределение абсолютно
непрерывно), и во-вторых, заменой допредельного распределения
предельным.
4.137, Математическое ожидание и дисперсия ζ\ вычисляются
непосредственно: М||п' = 0, D||in) = 1. Найдем производящую
функцию η,,, пользуясь независимостью слагаемых:
ύη)/τΓήη_(η-ι + * + ζ-Λη
Μζ% = [Μζ°
\ η · αι ι
( 2-1 z"1-
= 11 + -2Г+—2ΊΓ
Поэтому при любом фиксированном ζ
lim Μζ = exp 1 —7.— f exp \ τ>—
260

Так как е'1-1'/2 — производящая функция случайной величины ξ,
имеющей распределение Пуассона с параметром 1/2, а е —Ш2 —
= Μζ~*, то распределение η„ при д -* оо сходится к
распределению разности двух независимых случайных величин, имеющих
распределение Пуассона с параметром 1/2:
НшР{Л„ = *}-2
-1/2 е-1^2
2rrtm! 2iA|+ra(|/r| + m)! '
m = o
А = 0, ±1, ±2, ...
4.147. Множество всех /V корней многочлена φ (ζ) с
действительными коэффициентами разбивается на множество {ζ,, ..., ζΜ}
действительных (неположительных) корней и множество
{ζ.ν + ι, · ·., ζΛ·} пар комплексно сопряженных корней, т. е.
zm+2j = z,v+2j-i, Ιηιζ.ν+2ί^0, / = 1, ..., (Ν —Μ)β. Так как
φ(1) = 1, το
φ (ζ) = Μζ^ =
Д ι — ζ, -1111 — ζ, ι 11 ιι г„, . |2
причем ζ2 —2z RezM+2j + |zM+2j|2 = (z_ zM+2j_i) (z — z«+2j) и
ζ — Zj — мпогочлены с неотрицательными коэффициентами.
Первые Μ сомножителей являются производящими функциями
случайных величин ξι, ..., ζ.ν, принимающих значения 0 и 1:
а последние (Ν — Μ)/2 сомножителей — производящими функция-
ып случайных величин ξ-,/+ι, ..., £<w+M)/2, принимающих
значения 0, 1 и 2:
I Х ZM+2j | I * ZM + 2j |
р {ζ; = 2} = ——— ^, j = l (/V-M)/2.
I ZM + 2j I
Если так определенные случайные величины ξι, ..., ζ(Λτ+Μ)/2
независимы в совокупности, то распределение их суммы совпадает
с распределением ξ.
4.150. Так как частицы размещаются по ячейкам независимо и
равновероятно, то при любых целых η, Ν и к
Ρ {μ0 (η + 1, Ν) - к J μ0 (η, /V) = fc} = 1 - ^,
Ρ{μ0(Λ + 1,#) = *-1|μο(ι», iV) = к) = -£.
261

По формуле полной вероятности
ρ{μ0(" + ι, #) = *} =
- Ρ {μ0 (η + 1, Ν) = fr, μ0 (η, TV) = *} +
+ Ρ {μ0 (η + 1, tf) = ft, μο (η, ЛГ) = к - 1} =
= (ι - i)ρ κ (»· ^) = *}+Чг1 ρ {μο(ra-Λ,) =/c+*}·
Умножая обе части этого равенства на zh и суммируя но к от 0
до оо, получаем:
fn+ι,Ν (г) = fn,N (2) ~~ N dz fn,N (z) +Д?άζ^η,Ν <ζ) —
1 —г d
= fn.N (ζ> + IT" S fn,N W· W
Так как Ρ{μ0(η,Λ') sg W — 1} = 1 и Ρ{μ0(η, iV) =W— 1} = Λ"~η > 0,
το /η,Λ'(ζ) —многочлен степени N — 1 при любом η ^ 1. Докажем
теперь индукцией по п, что все корпи ζ„, ι, ..., ζ„, w-i многочлена
fn, ν (ζ) вещественны и что если —оо = ζη, ν < z„, w-i ^ ...
t . .^ Z ii, 2 ίΞί Zn, ι ^ 0, TO 2n+|, ΛΓ—Ι =ξ Z„, «-lis Zn+], jv-2< zn, W-2 ^. · .
...^!>,!<!η+ι,ι<4ι И! более того, «л, i + i < гп+|, ( < г», ι,
если только ζ„. <+ι <! ζ„, <. (Ясно, что отсюда следует утверждение
задачи.)
При л = 1ип = 2 имеем:
f /гл_2Я-1 , , . _ ^ -1 JV-2 ι -L -JV-1
Ί,;ν(ζ'~ζ ' /2.JV (ζ) — iV ^ iV '
Т. е. 2l, n-l = · · · = Z\, ι = 0, Ζ2, jv_i = —Ν + 1 < Ζ2, w_2 = . . ,
... == гг. ι =0, и доказываемое утверждение справедливо.
Допустим теперь, что все N — 1 корней многочлена /n. w(z)
вещественны и неположительны. Нетрудно проверить, что /„, w(z) >0 при
ζ > 0 и lim г-(№-1'/п Ν (ζ) = Λ"~" > 0 и что если zn.i (I s5 j <
< / + & ^ N) — корень кратности к, т. е.
Zn, j-1 > Zn, j = Ζ„, j + i = . . . = Z„, j-f-ft— 1 > Zn, }+k (2)
(здесь мы считаем, что ζη, ν = —°°, ζη, ο = +°°), το
/».JV (V;) = ΐ'η,Ν (ζη,;) = · ■ ■ = /i,**" (ζη j) = 0, /<fy (ζ„,ί) * 0.
В силу (1) тогда
fn+l,N (znj) = —/V Ai,iV (zn,i) ПРИ k = 1'
fn+l,N {zn,j) — fn+\,N (zn,j) = · ■ ■ = fn+ι,Ν (zn,j) ~ ®i
1 — ζ ■
/я+lVw (Zn,i) = —JT51 /»*№ (*n.i) "P" * > 2·
Иными словами, при переходе от /„, Ν{ζ) κ /η+ι, w(z) кратность
каждого корня z„, ,■ уменьшается на 1.
262

Далее, если zn, j+i < z„, ,·, το /„. «(ζ) не меняет знак на
интервале (z„, j+i, z„. j) π равна нулю на его концах, a fn N (z) имеет
на этом интервале ровно один корень (так как все корни
многочлена /„, .ν (ζ) по предположению индукции действительны, то
корни /η. ν(ζ) и /п jv (z) чередуются). Отсюда и из (1) следует, что
Λι+ι,λγ(ζ) меняет знак на интервале (zn.j+i, z„.,-), т. е. имеет на
нем корень (ровно один, поскольку в противном случае общее
число корней мпогочлена /η+1ιΛ-(ζ) превысило бы N — 1). Тем самым
индуктивный переход от η κ η + 1 полностью обоснован.
4.153. Так как распределение ξ симметрично, т. е. р(х) =»
— Р(—х), то Me-"5 — М<?*'5 = Μ cos t%,
„т.
J ei,xp (χ) dx = 2 [ρ(ι)ι
Me"5 = \ e'ui)(i;)(ii = 2 pWcosiidi.
—°° о
Выберем ε так, чтобы выполнялось условие 0 < е < 3 — а, тогда
при ( \ 0, используя соотношение 1 — cos и ~ и2/2 (и->-0),
получим:
(1)
1 — Mei<s = 2 (1 — cos to) p (.r) dx =
о
t-E/2
= 2 I (1 — cos /ж) ρ (χ) dx + 2 I (1 — cos tx) ρ (χ) dx =
ο /-ε/2
οο
= 0(ί2-ε) + 2 j" (1_соВа)л(у)^.
(l-e/a
Далее, в силу условия ρ (χ) ~ С\ χ |—α, |ж|->-оо, имеем:
оо оо
f I u\du С Си~а
(1 - cos it) Ρ I J J — = (i + "(l)) (l-cosu)-^rrf"==
(Ι-ε/a (ΐ-ε/2
σο
„ ι Γ 1 — COS Ы
= (1 + о(1))Сга-1 j ^— rfu, ί|0. (2)
о
Из (1), (2) и того, что 0(г2~в) = о(?а-') при ί|0 и 0<«<
.< 3 — а < 2, следует, что
оо
Ме^ = 1-2С|г|а~1(1 + о(1)) Г j ~ c^s » dUy \t\-+0.
о
Глава 5
5.7. а) Так как <Xk и β», независимы, то
Μα», cos (t + βΛ) = MaftM cos (t + β*) = О,
DaA cos (г + βή) = Ma|M cos2 (г + β6) = Μ cos2 βΛ =-- 1/2.
203

Применяя центральную предельную теорему к независимым
одинаково распределенным случайным величинам cu cos (ί + β»,), ft =
= 1, 2, ..., иолучаем, что пределышм распределением ηη(ί) при
п-*-<ж>, t = const является нормальное распределение с
параметрами (0, 1/2).
б) Используя тригонометрическую форму записи комплексных
чисел, находим
1
= Re
IV* i£i
τ7=Σα*
У" fc=l
η
If ^,
"l/n
fc=l
.*p* =
cos г + arg ^ αί
.'Pft
т. e. ηη («) = θ„ cos (I + vn), где
1 V*
ν«έ
'Ρ*
V„ = arg
2af
,%
Рассмотрим случайные величины a^e h, ft = 1, 2, ..., как
двумерные векторы (as cos βί, abSinPb). Так как αϊ, α2, ,.. и
βι, βί, ... независимы, а β;, имеют равномерное распределение на
отрезке [—π, π], то распределение αχβ *+ ... + апе п
сферически симметрично, т. е. θη и γ„ независимы и γ* имеет равномерное
распределение на отрезке f—π, π].
По условию векторы (a;, cos рц, assinPft), к => 1, 2, ...,
независимы, одинаково распределены, M(aj,cos3it, ось sin β&) = (0, 0),
/Ί/2 0 \
а их матрица ковариации, как нетрудно проверить, равна I ' и
Согласно многомерному варианту центральной предельной
теоремы предельное распределение вектора
L =
1
У η ίϊ,
У (ah cos βΛ, aft sin βΛ)
является асимптотически нормальным с нулевым вектором
математических ожиданий и матрицей ковариации ( ' ). Поэтому
lim Ρ {θη>*1 - Hm ρ {ι >η Ι > χ\ - lim Ρ {| %η \2 > χ4 =
ОС 00
: dt = е_ж .
5.17. В силу задач 5.16 и 5,15 вектор (!л(ж), 1п(я + й)) имеет
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором матема-
264

тических ожидании и матрицей ковариации
z2n+2 - 1
:j ж?(х + /г)7
< \х> (х + /г)' (х + /г)2
(x(.r-b'»?)"+1 — 1N
■ _ \ х(х + h) — 1
(χ (x+h))n + l -1 (.τ + ^)2?ι+2-1
г (χ + fe) - -1 (x _|_ й)2 _ ι
(если ж, ζ + А или ж (ж + ^) равно 1, то значения дробей в правой
части определяются по непрерывности). Согласно задаче 3.268
., , cov(!n(*Un(z + fc))
Ρ Ι* (χ) ξ_ (χ + Κ) < 0} = 1 -1 arcsin , Κ :. (2
Рассматривая разность между 1 в квадратном аргументе arcsin:
1_ (соу (£„(*), U* + fe)))2 _
Din (*) О ln (x + Λ)
((ж (χ + fe))"+1 - I)2 (*2 - 1) ((* + hf - 1)
'(*(* + Λ) - l)a (z2n+2 - 1) ((χ + А)2И+2 - 1) '
приведем ее к общему знаменателю и преобразуем числитель;
(ж2П+2 _ j) ((a. + h)2n+2 _ !) (J. (Я + fe) - I)2 -
- ((х (х + А))п+1 - I)2 (*2 - 1) ((х + hf - 1) =
= [((Ж (X + A))n + ! - I)2 - (*"+! - (ж + й)^1)2] (Ж (* + Л) - I)2 -
- ((х (х + h))n+1 - I)2 [(x (x + h) — if -(x- (x+ h)f] =
= fc2((z (x-f-fe))n+l_ l)2 - (χη+ι - (χ + A)n+1)2 (ж (ж + Л) - Ι)2 =
= 1
« A2 (x(x+ h) - Ι)2 ^ (* (ж + *))*)'
Отсюда и из асимптотической формулы
Ма.
(Σ
\fe=o
zft {x + Л)и-Й
arcsin
/
i-V = у-г/(i + o(i)), у | о,
(3)
получаем прп j а; I =?ь 1:
iimTp{^)in(* + u)<0}
п-»о Д
i-Iim
л ft-»o
2(*(*+л)к)а-(2*Л(:г+Л)П"
ft=o
1/2
X
χ (ж2«+2 _ ή^χ + fe)2n+2 __ iJ-l/S,
265

π 11 — χ I у
(η+ί)τ*
1 — χ
1_ж2П + 2
Если Ι ж 1 = 1, то матрица коЕариаций (1) принимает вид
+ 1 (ΐ+^)η+1-ι
(l+fc)n+i_l (l + ft)2"+a - 1 J'
2A + A2
и при А -*■ О
<_(οον(ξηί1),ξη(1 + Α)))2_
D|n(l)D|„(l + A)
((1 + Λ)"+ι - I)2 ft (2 + A) ((I + Ы"+г - 1) (2 + h)
/г2(д+1)((1+А)2П + 2_1) А(и+1)((1+А)П + 1 + 1)'
П (η + 1) о / ί>\
2 + (ге + 1) A + 2 A2 + о (А2)
_ 1 \(n(n + l)_n(n-l)_n)hi + „№]_n(n+2)h*y+n
2 ΙΑ 2 3 2 ) \ 12
Остается воспользоваться формулами (2) и (3).
1
Монотонная сходимость функций gn (-г) к g (χ) = —τ- ψτ
при η f οο следует из того, что последовательность функций
1 \ \— т2П+2 1
— —(г—п Л- τ~η+2 4- 4-ζη-2 4-а·")
д+1х"1-г2 ~ д + 1 1* + ж +···-!* + * >
прн re f оо монотонно стремится к оо для каждого χ, \χ\φί.
5,24. а) Согласно лемме Бореля — Кантелли (см. задачу 4.16)
достаточно показать, что
(1)).
ЁР{Рп=0}<со.
(1)
Но Р{р„ = 0} = 0 при любом нечетном п, а если η — 2к, то по
формуле Стирлинга при к-*■ оо
ρ {ρ» = о} = c\hM ~ 2J2h РУ = L=-. (2)
При р φ q имеем ipq < 1, а отсюда следует (1).
266

б) Хотя, согласно (2), при ρ — q = 1/2
l_
Упк
p{p^ = °}~vb <*-*°°> (3>
и, значит, 2 Р{Рг,=0\ = оо, мы не можем применить лемму
?г=1
Вореля — Кантелли, поскольку события {р„ = 0}, η = 1, 2, ..., не
являются независимыми.
Введем случайные величины
τι = min {η ^ 1: р„ = 0},
τ*+ι = min {η > τΑ: ρ„ = 0}, k = 1,2, ...
(в случае, если множество, стоящее под знаком min, пусто, следует
полошить min равным оо). Из независимости и одинаковой рао-
пределенности ξ,, ξ2, ... следует, что случайные величины ta+i — τ&,
Л· = 1, 2 независимы, не зависят от τι и распределены так же,
как τι. Поэтому
Ρ {v >/c} = Р{т^ <оо} =
= Р {τι < °°} Π Р Pj+i ~ τ3 < °°} = (Ρ {h < "}Д W
3=1
и, согласно задаче 3.132,
С другой стороны, если χη «= 1 при рп = 0 и χη = 0 в
остальных случаях, то ν = χι + χ2 -f *»· и в силу (3)
оо сю
Из (5) и (6) следует, что Ρ{τι < оо} = 1, а тогда в силу (4) и
Ρ{ν ^ к} = 1 при любом & < оо, т. е. Ρ{ν = оо} = 1.
5.25. Заметим, что компоненты р„, ι, ..., р„, s вектора рп яв«
ляются независимыми реализациями случайных величин,
рассматривавшихся в п. б) задачи 5.24, и поэтому при η = 2fe
Ρ {Ρη =(0, ..., 0)}=- (Ρ{ρηα- 0}/ ~ (-*-)"', к _ со,
и P{pn = (0, .,., 0)} = 0, если η нечетно. Значит,
со
Σ Ρ{Ρη = (° 0)}<оо
прп t>3, ив силу леммы Вореля — Кантелли P{v < оо} = 1 при
s ^ 3. В случае s = 2, повторяя рассуждения из п. б) задачи 5.24,
находим, что Mv = оо, и если τι = min {η: ρη = (0 0)}, то
267

1
M v= 1 —ρ/τ <οο)· Значит· ρίτι < °°) = ! 3 ρ(ν S* ;'Ί =
= (Ρ{τ; < °°})* = 1 при любом к < oot т. e. P{v = оо} = 1.
5.30. Положим
in-j-1, если max {ρχ, ..., ρη| < δ,
I min//^1: ρ . ^ δ} в противном случае.
Тогда в силу неотрицательности рп
п+1
ΜΡη=Σ^{τ» = Α-}?Λ{Ρη|τη = ^}>
η
> Σ ρ Ν = к}м {Μ {Ρη | Ρχ Ρ/.} | τη = k}·
Согласно задаче 5.29 и определению τη
M{M{p„|pi, ..., рл} |τ„ == fe} ^ Μ{ρΛ|τη = fe} ^ δ,
поэтому
ΜΡη> £р{*„ = ^:
= δΡ {τ„ < д} = δΡ (max (pj, ..., ρη) > δ}.
Это неравенство эквивалентно приведенному в условии задачи.
5.88. Обозначим через е\ и е2 единичные векторы на осях
координат и положим In = ζη-н — ζη. Тогда ζ„ = ξ0 + Ιι + · · · + ξη-ι,
т. е. Μζ„ = Μξ0 + ■ · · + М|я_1, и последовательность £0, ξι, ···
образует цепь Маркова с множеством состояний {ei, e2, е3 =
== —е2, е4 = —et}, матрицей переходных вероятностей
/1/3 1/3 1/3 0 л
1/3 1/3 0 1/3 J _ i_
1/3 0 1/3 1/3 I — 3 (/_G)-
0 1/3 1/3 1/3/
1 1 1\ /0 0 0 Г
11 111 00 10
1 1 1 1 !■ G ~ 1 0 1 0 0
1111/ \ 1 0 0 0.
и начальным состоянием ξ =е Чтобы вычислить Μξ^, заметим,
что при начальном условии ξ = е
№ = «<})£-!= (*■ °, о, o)i*.
Так как IG = G1 = I, то
ft-i
(/ _ G)h = 2 (- !)m C^/ft-m + (- l)fe Gh;
268

далее, Г = V~4, Gh = G ПРИ нечетном к и
10 0 0'
,0 1 0 О
Gh — Ε—\ η q . « I при четном к.
.0 0 0 1·
fc-i
Учитывая равенство 2 (-i)m С4*""1 = (4_ ^ (~ ^ нах°-
дим: ^ = li/-(-l)"L=i£!j, т. е. при cfl = βχ
1 2 — (— l)ft . 1
P{^-ei} = T+ 4.3" ' Ρ^=Μ = Τ«
1 1 2 — (— 1)*
Р{^ = -*2} = Т' P{^=-ei}-T- 4-3" ·
1
Отсюда следует, что M*ft= -^ и
Μ
t =е V ι =е ι - з-" _ з „ ( ±)
Глава 6
6.4. Случайные векторы (хj, «(), i=i, ..., /, независимы,
поскольку являются функциями от независимых векторов
(хц, .. ·, πίηΛ, t = 1, ..., I, соответственно. Кроме того, при условиях
вадачи 6.4 для любого ( величины Si и s( независимы (см.
введение к гд. 6), т. е. х\ и с\ независимы при каждом 1=1, ,,., /. Так
как fAxi = α, С] + .,, + ci = 1> то
ι _ ι _ ι г
M'i= 2 МсЛ=2 Мс.Ма^я^ Μ^=αΜ ^ сг = °-
1=1 1=1 г=1 1=1
6.14. а) Функция правдоподобия, соответствующая выборке
οι, ..., ап, имеет вид
L(a,, ,,.,α· а) — ехр<— J— V fab — а)2 .
U' "' > (2*0-)"* Η 2a»nU M
Приравнивая нулю производную ее логарифма по а, получим
линейное уравнение относительно неизвестного параметра а
-^-■г? *->-?<:->■
д In £ _ Л
;ft=l
269

единственным решением которого является искомая оценка
максимального правдоподобия а* = а. Очевидно, Ma* ~ a, Da* = a\f п.
Рассуждения для выборок {bk} и {сц) отличаются лишь
обозначениями.
б) Функция правдоподобия, соответстиующая полной выборке
{eft'Vcfc}iUi· имеет ВИД
= L_ ехР(- j (<я» ~ ">' + {Ь" ~ ¥ + &=*)].
ъ*'°1°Ус I έΛ κ н κ ц
Чтобы найти точку максимума In L при условии а + b — с = О,
попользуем метод неопределенных множителей Лаграпжа, т. е.
приравняем нулю производные функции
In L — (а + Ь — с) λ
по а, Ь, с и λ. Получим систему линейных уравнений относительно
а, 6, с и λ:
η τι
-^2к-а)=х' \Σ (δ*-6)=λ·
η
или
a — а = λσ2,, δ — δ = λσ£, с"— с = — λσ*, α -f- δ — с = 0.
(1)
Вычитая из суммы первых двух уравнений третье, находим
~a+l-~c = l(°l + ol + °l),
т. е. λ = (а + 5 — с)/о2, где σ = σ^ -f σ? 4- а2с. Подставляя это
значение λ в уравиепия системы (1), получаем искомые оценки
максимального правдоподобия
2
а** = а _ _1 (a -j- δ — с),
σ2
2
&** = δ —^L (a + b — c),
σ
σ2
с** = с — -L (α + b — с).
270

Поэтому Mo** = α, Mb** = b, Mc** = c,
°l Π. аП2 . σ? , „ . „Λ σ? /. σ*
" V V σ2/ α* ч " '" ' "· V σ2
6.16. а) Функция правдоподобия L (у(1), ,,., Ип); α , α2)
имеет вид
Ь(^,...,,(»);а1,а3) =
-(Й5^7Т^)«РН2г^[(^--хУ-
Приравнивая нулю производные In L по α и а , получим систему
уравнений для оценок максимального правдоподобия
fc=1 * ~~ "ft
Отсюда, положив
на ходим
ft=l
Решение этой системы определяется формулами
η
< - i Σ ь [(г0 - рЛ) ^ + (Γι - ркг„) ι4Μ].
η
α*" Τ Σ ν>= Ι(ΓΆ - Γι) ^ + (ΓΑ - Γο) ^4·
где Δ = Γ» - Γ«.
271

б) Оценкой максимального правдоподобия a ' параметра а1
по выборке, образованной первыми координатами, является
обычное среднее арифметическое (см. задачу 6.15, б):
Отметим, что αχ и а совпадают лишь в случае одинаково
распределенных г/(1), ..., у(п). ЕслирА = р, то Γχ — р/гГо = О, Г0 —
— ркГ.=п, А = д и. следовательно, α =αί · Обратно, если
а* = а**, то Tj— pftro = 0, А = 1, ..., w, т. е. рА = ρ не
зависит от &.
в) Используя свойство линейности математического ожидания,
находим
М <= ί Σ Ъ [(Г0 - Р^х) »1 + (Г1 - Ρ«Γθ) βϊ1·
Отсюда и из равенств
2 ^ (г0 - ρλγ,) = г; - г; = д, 2 т, (гх - Pftro) = о,
it=I ft=l
получим MaJ = α. Так как векторы (i/j^, ί/^), &=1| ··■>">
независимы, то
η
Отсюда, учитывая, что Dy^ =Dy^h) — 1, cov (y[h), y[h)) = pft)
получим
Dl(r„-Pftri)ifiw + (ri-pkr0)i,W] =
= (Г0 - Р.Г/ + (Гх - Р,Г0)2 + 2р,£ (Г0 - ΡλΓι) (Г1 - рАГ0) =
Значит, = (1 - Pi) (Г1, + Г* - 2Γ„ΓΑ).
^ = ^Στ^^ + γ?-2ΡΛγ^ = ^ιι£ο£Ι = ^
Λ ft=i а
Для оценки αχ непосредственно находим
272

г) Для доказательства неравенства —2-= Da, <: D^i = —
Δ η
умножим обе его части на гсД:
,Г0<Г20-Г^гЛиГ?<Г0(Г0-,),
а затем воспользуемся определениями величин Г0 и Г :
pk \ ^v i Ινί ι Л Uv ί V ρ^
Ξχΐ-Ρ?/ jgil-PftViSAl-Pj /У Α^ί1—PftjS
£ι-Ρ?£ι-"2
Остается заметить, что в левой части последнего неравенства стоит
квадрат скалярного произведения векторов
1 ! \ / Р, Р_п \
{Vl-p'i""Vi-p2n) \Vi-pl'""Vi-pnj
н в при вой части — произведение квадратов их длин.
6.20. Из условия несмещенности следует, что е3 — 1 — ci — cj.
Дифференцируя Dz = с^ + с| + (1 — εχ — с2)2 + 2εχε2ρ по с, и с2,
получим для определения с ι, с2 систему уравнений
2с,+ (1 + р)с2 = 1, (1+р)е, + 2е2 = 1. (1)
а) Вычитая из первого уравпения второе, получим (1 —p)ci —
— (1 — р)с2 = 0, или С] = с2- Следовательно,
1 1 +;> _. 1 + Р
ci = с2 = зТр - е3 = тТр " Dz = ^Тр·
б) Если ρ = —1, то из первого уравнения (1) получим с, =
= 1/2, а из второго с2 = 1/2. Следовательно, с3 = 0, т. е. в
наилучшую оценку включаются в этом случае только коррелированные
оценки ζ\ и ζ2. При ρ = —1 величины ζ\ и ζ2 имеют вид г\ = а + ξ,
г2 = a — ξ, где Ml =0, Dl = 1. Таким образом, ζ = (ζ, -f- ζ2)/2 =
== я, Dz = 0.
в) При р = 1 уравпения в (1) одинаковы: ci -f- c2 = 1/2. В этом
случае ζι = а, + ξ, ζ2 = а + ξ, где М£ = 0, D% = 1. Таким образом,
очевидно, что при любых с\, с2 (с, + с2 = 1/2) и с3 = 1/2 получаем
одно и то же выражение ζ = (α + ξ + ζ3)/2, и Dz = 1/2.
6.22. а) Приравнивая нулю производные от / по А и хъ,
получим систему уравнений
■а
4=1
— 2 (ι, — Tft) = 0, & = 1, ..., п.
Отсюда xh = ζή, А: = 1, ,.,, η, и
\ Ι/ "
273

б) Преобразуем полученное η π, а) выражение, положив
Ъ = У г + 5ii. *{ = *{ + 62i-
После очевидных преобразований получим
< = (А + Ίι,η + VnVC1 + Пз,п + *14,п).
где
η η
V» = γ"2 2 (6li + ^^ *{' η2.» = ^2 2 δϋ62ί'
г1з,п = ^2Ж{б2г' η4.η = ^2δ2ί·
η ϊ=ι η ί=]
Используя утверждение задачи 4.33, неравенство Чебыгпевэ и
неравенство Ρ{ξ^ε}^Μ|/ε (е > 0), верное для неотрицательных
случайных величин, нетрудно показать, что при η -*■ <χ> величины
η*, η (к = 1, 2, 3, 4) сходятся по вероятности к 0. Отсюда следует
сходимость по вероятности Ап к А.
6.29. Чтобы упростить вычисления, перейдем от выборки xt, ...
..., хп из равномерного распределения на [а, Ь] к выборке у\ =
= /(£|), ■··> Уп = /(ι.), где /(ж) = (ж — а)/(6 — а), из
равномерного распределения иа отрезке [0, 1]. Ввиду монотонности
функции / члены вариационного ряда y(i) ^ ... ^ у(П) удовлетворяют
соотношениям Уа) = f(xa)). Пользуясь результатами задач 3.89,
3.90, находим
1 η ιι
cov(^).^))={„+1)V + 2)·
Возвращаясь от у,^ к псходной выборке, получаем окончательно
D*U> = D*(«) = (n+1)»{nfl-f.2)' C°V ί'(«· *<»>> =(n+l)2(n+2)'
Таким образом, опенки а* = £(i) и Ь* = х{П) являются
смещенными, но их дисперсия при п-> оо убынает значительно быстрее, чем
дисперсия среднего арифметического χ — (χι -f- ... + х„)/п.
6.30. Из утверждений задач 3.64 и 3.65 следует, что хц) и ж(П)
можно представить в виде
ж(1) = -^-' *<το ~ ^1 + у + 1"~'
где |s (к = 1, ..., п) — независимые случайные величины, имега-
274

щие показательное распределение с параметром а. Таким образом,
Sri 1
мх(1)=м -ϋ- = —,
К1' η an
§т? L
re
cov(x(1),V))==cov(Ag1+... + -LSnj=D_ -5-j.
6.33. Очевидно, что Ma = Mj? — Mi = Д — г = а и,
следовательно, Μ(α— α)2=6β. Статистики жиг/ независимы, и поэтому
2σ2
Da = Dx + Dy = —.
Таким образом,
- , 2σ2
Μα=α, Μ (a— a)2 = . (1)
Статистику α, поскольку она имеет нормальное распределение
с параметрами (1), можно представить в виде о = а + Вц, где
В = У2а2/п, ц—случайная величина, имеющая стандартное
нормальное распределение. Тогда
а* = тах(0, а + Вц), а* — а = тах(—а, Вц).
Рассматривая а* и а* — а как функции от η, воспользуемся
формулой (3.9):
оо
Μα* = 1 max (0, α -f- В χ) φ (χ) dx,
— оо
οο_
(а* — α,γ = I [max (— α, Βχ)]2 φ (ж) dx,
Μ
где φ(χ)—плотность стандартного нормального распределения.
Отсюда, используя формулы
1 хц> (х) dx = φ( Ι Χ Ι ),
Χ
оо оо
(" χ2φ(3;)ώ=Χφ(|Χ|)+ f φ {χ) dx,
275

получим
Μα* = (α + Β χ) φ (χ) dx = α φ (ζ) -|- £φ [_£. ),
-α/Β _α/Β ^ '
—α/Β οο
Μ (α* — α)2=α2 Γ φ (χ) dx + Β2 [ ΐ2φ (ж) rfa: =
— сх> —а/В
—а/В оо
= α2 ί <р(ж)Лг: + #2 φ (ж) dx — аВ<р 1—\
—оо —а/В
Выражая оставшиеся интегралы через табличную функцию Ф0 (х) =
X
= j (p(v)dv, получим следующие формулы:
Ма* = а(0,5 + фД~jj + Βφ' "
В
а
(2)
Μ (α*- „)ί = α^0,5 -Φ„ (-J-))+ В'\0,5+Ф(![~ JJ-aBq,\^-f
Для указанных в задаче числовых значений имеем:
„ 2.100 м2 „ а
а = 1н, В = Ш) = 1 м , -g- = l,
ф0(1) == 0,3413, ср(1) = 0,2420.
Отсюда н из формул (2) паходим
Μα* = (0,5 + Фг,(1)) + <р(1) — 1,0833 м,
Μ(α·-α)»=(0,5-Φ0(1)) + (0,5 + Ф0(1)) - <р(1) =
= 1—φ(1) =0,7580 Μ2,
Таким образом,
Μα = 1 м, }'М(а — а)2 = 1 м,
Μα* = 1,0833 м, fM(а* — а)2 = 0,8706 м.
6,39. Пусть верна гипотеза /Л. Ошибка 1-го рода α
определяется формулой
( ς — па С — па ]
а = Ρ {ξη > С} = Ρ —--1 > -г-Ч.
Величина (ξ„— адОМУТГимеет стандартное нормальное распреде-
лешю и, следовательно, значение (С — W[)l0\}'n = ua
определяется соотношением
1. Г,-*3/2
е xl2dx = a. Отсюда
Са = С = «αϊ + "αΟιΥη. (1)
276

Пусть теперь верна гипотеза ff2. Тогда
Величина (ξ„ — ηα2)/σ2^η имеет стандартное нормальное
распределение и, следовательно, {С~~ηα2)Ισζ ν п = крп· Отсюда и из
равенства (1) получаем иаа1 + "β σ2 = (α2 ~~ αι) ~Vn· Значит
Ua -*■ оо при η -»-<», т. е. βη -»- 0 при ге -»- оо.
6.40. Выборке ж], ..., хп сопоставим процесс размещения η
частиц по N ячейкам: будем считать, что г-я частица попадает в
k-ю ячейку, если xi s —, ——I, к = 0, 1,..., Ν — 1. При такой
интерпретации получается схема независимого размещения частиц
по ячейкам, а случайная величина μ0 равна числу пустых ячеек.
При гипотезе //( вероятности попадания частиц в ячейки 1, 2, ...
.,.., Л' одинаковы и равны 1/.V, а при гипотезе Я2 вероятность
попадания в к-ю ячейку определяется формулой
(fc+D/Λ'
Ph= j" g(x)dz = ±g(JL} + *k(N), (l)
h/N
где max Ι ε. (Ν) Ι = Ο (ί/Ν2), поскольку по условию g(x) непрерыв-
по дифференцируема па отрезке [0, 1]. Математическое ожидание
и дисперсия величины μ0 при гипотезах II ι и Hi определяются
формулами, полученными в задачах 3.116 и 3.121. При гипотезе 11\
Отсюда
ΛΑμ
e, = lim ν — g~7, 0<γ<οο.
η/Λ'-»γ
При гипотезе Я2
Μμ0 = 2 (1 - P/t)", (2)
Из формулы (1) следует, что при п, N-*-oot η/Ν -*-γ равномерно
по к
С1 - Pkf = θχΡ Iй 1η Ι1 - Ж * ж) - Ёь (J
= exp {(- yg [~] - mk (/V)) (1 +o (1))} = e-v«ft/W)(i+o(i))+o(i/W)i
(2), полагая в ней п
lim ^o = fe-ViW,
JV-*=o iV J
Отсюда и из формулы (2), полагая в ней η = γ/ν(1 + о(1)),
получаем
n/JV->v
277

Часть IV. ОТВЕТЫ
Глава 1
1.1.2/3.1.2. Ρ (А) = 1/1785 = 0,0005602..., Ρ(θ) = 1/3927 =
= 0,0002546... 1.3. 1/6. 1.4. 1/2, 3/8, 7/8.
1.5. Ρ (А) = 1/3, Ρ (Б) = ст^2п-т-23-п (о < т< „ _ 2),
Ρ (С) = C™2"-m3-n (0 < т < η), Ρ (D)= —г^ г 4г (m„ +
v ' п v ^ ^ '' v ' m !m !m2! 3» V 0
+ n\ + ma = re).
1.6. 7/18=0,38888... 1.7. Ρ (4) = 0,21, Ρ (5) =0,01, P(C)=
= 0,27. 1.8. a) 0,504; 6) 0,432; в) 0,027; г) 0,036; д) 0,001,
1.9. Pw_^.
-1 (W-00).
1.10. a) „ff=l—1
X(l-i-) (*->oo);
+
л J Ι αΛ J J ν ν
χ
.,,„-,_ <j 2
(-«'
r=l l^ii<,si<ir<fe
/V
Vе*
■Πί1-^-) ("-<»>·
1.11. Если /V = lOfc 4- г, то pN = 2fc//V при 1 = 0, pN ·= {2k +
+ 1)//V при 1 < Ζ < 9, Pjv = 2 (A + 1)/7V при Ζ = 9; Pjv -*■ 1/5
(ЛГ-* oo).
1.12. P]v=JL-|"7y+r~g1->-L (ЛГ-.оо).1.13.9.10-<п-*+1>.
N ]_ r J r
00
1.14. gN = 1 + У (_ l)ft V -if. ^ T, где сум-
·*■■ ■"■■ /V2 Ρ-. .ι Рь
ft=i Ρϊ<..,<Ρίι JV L^i "'^ftJ
миров:шпя производятся по всем простым числам р., Р2, ...;
lim ?;ν = ]Τίΐ-Λ) = Λ = 0.607927...,
где произведение берется по всем простым р.
1.15. π/4 = 0,7853981...
278

1.16. pn+1 — 2 — 2.ion' Р"-ь+1 ~ 2-102ft n_2-10ft+n
1 99
1, ...,η), ?0 = γ, ?k = ^SiT (*=1, 2, ...).
1.17. ?fc = 9-10_ft_1+(9A—l).10-ft_1lnl0, & = 0, 1, ...
2
1.19. P2<P3 при /V>4. 1.21. (?JV(p) = l-1y
_2_ r_7V
+ N2 I p2
/r + l\iV n(ra+l)
1.24. -Ξ") · 1.25. —
4]
+
2 2 2 / 3 \«-
. <? ^ =1 - τ + 7' ρ = *■ L23· и J ·
2r / ' """" (4n(n + l))2-l
1.26. a) (5/6)1» = 0,1615055...; 6) C^ ·576-10 = 0,1550453...;
в) 1 — (5/6)10 =0,8384944...; г) 1- (510 + 10-59)/б10 = 0,5154833...
1.27. 0,055252. 1.28. 0,067. 1.29. 0,055252. 1.30. 2/21.
1 62016 99
ί·31·Ϊ0005 = 0'00009995··- 4ШГ5=0'1300384···· -Ш-
= 0,1484257...
rm\ rm2 rmN
1.32. 1) i—— , если Af=Л/ + Af2+... +M№ m=
= mi+... + miv, Wj^O;
2) ι + 2(-ΐ)5 2
(М-Л/^-...-^)!*!
Aft"!
1.33. 1/2; 1/3. 1.34. C£C%iy(?}„ C™am (1 - a)n~m, m = 0,
1 12546
1, 2, ..., n. 1.35. jq^. 1.36. Щ95 = 0,9508147...
1.37. О, если числа мужчин и женщин не равны друг
2η+ι _ 2
другу; —— , если число гостей каждого пола равно п.
2911 7 (б'*"2!)'
ll38· Ϊ27Ϊ256 = 0'00228986··· 1·39· 7/9· L40· Τ" 62[ft-23 ϊ ПРИ
OflW
fc>3; приА->6. 1.41. (к— 1)/20. 1.42. P. = _ ,P=1,P =
20^ *
= 6,95, Pg = 0,855, P4 = 0,72675, P. = 0,5814, Pe = 0,43605.
[ft/2] r Ί r,
1.43. P, = _L > i ™ ,'P, =1, Л, = 1, Р, = 0,99,
" 10ft^n 2mm\ ' 2 3
Ρ =0,963, Ρ =0,9144, P„ = 0,8424.
4 5 С
1.44. 1/190. 1.45. 1/100. 1.46. a) 1/3, 1/3, 1/3; 6) 2/3, 2/3, 0; в) 5/9,
5/9, 5/9. 1.47. {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}; 2. 1.48. a) 5/12, 5/12, 5/12,
5/12; 6) 2/3, 2/3, 2/3, 2/3. 1.49. {1, 2, 3, 4, 5, 6}; {7, 8, 9, 10, 11, 12},
{13, 14, 15, 16, 17, 18}, {19, 20, 21, 22, 23, 24}; 3.
279

!·50· i)l-$ 2) w; ^4-^^+^Цх
TV!
X ..jv-щ ; 4)1, если n^N+l; О, если п—0 или n = U
1 — ~7^Г, если 2 < η < Ν.
N . ... jv-i yvCN~2
1.51. J ^ (" D!(l ~ ^)". 1-52. 1) 1 - -%1_; 2)
-.iv-1
N+n—i ^ N+n—l
1<53· a> J^i : 6> ^1 «есливчет-
2n f N V"3
но, и 0, если п нечетно; в) —ггп(~р~/ t если ^ четно,
1.54. а) ί—У (ΛΓ—A+l)fftJ JVt"-ftl;
["/2]
б) ί— У (2fc)[ftl (N — 2k + 2)1-k]Nln-2hl;
(2W)L
fc=o
в) —L- У 2*/-£Y4 JVt»-«, если N четное?
если iV нечетное.
1.55. а) д-"; б) (д - i)n~hChnrrn\ в) п-1; г) n-*.
1.56. а) 1/гс!; б) 0, если среди /' , ,,., jh есть одинаковые;
1/п^, если все / , .,., /ft различны; в) 1/д; г) 2/«[31; д) 1/и.
1.57. Pn = 2 (-l)ft+15^-*l-4- (»-►<»). 1.59.1/2.
Leo. a) _Lft α №»ft. б) % в) д ~ "и
«I /У"! * ' " n(n-l)
1.61. Ρ{ηχ<κ} = max(0, 2ж —1) (0<ζ<1),
Ρ {τ)2 < χ} = mm (2x, 1) (0 < χ < 1).
1.62. a)min(i, 1) (x>0)\ 6) 4a; (1 — χ) (0<я<1/2),
1(х>1/2); в) πζ2(0<ζ<1/2), 1 (г > 1/1/2), а;2 ίπ-4 arccos ^-]+
280

1) + Υ7^~ι (1<*<у2).
2/ π
* —-arccos χ
1.63. а) χ(3 — 2х) (0<ζ<1/2), 1_(ж>1/2); б) 0 (z<i),
minfa— 1, 1)(х>1); в) 1 — (l — ж Т/5)2 (θ < χ < Ι/Τ/δ), 1
(*>1/V5).
1.64. tg (π/8) = 1/2—1 = 0,4142135.,
1.65. (l—^-j, 0<6<2α; Ο, Ь > 2α.
1.66. (1 — —) , Ο < Ь < α; Ο, 6 > а.
1.67. (l-TT^r)2' °<fc<2«V3(2-y3);
О, 6>2аУз(2 —1/3).
1.68. (4π — 3ΐ/3)/6π = 0,39103....
π π2
1.69. Pn = tg2^-.tg —= тд; (l + o(l)) (я-ν οβ).
1.70. 5/6, 1/6. 1.71. (ΐ-21Γ18"τ) . если г <~ctgj^\ 0 при
α π
r^yctg-ζ-, fc = 3, 4, 6.
1 tgO
1.72. 1, если θ > α; 1 — — arccos τ—, если Ι θ | < α; О, если
θ<-α! ρίγ, θ) = ρ(α, 0) = у.
/ .г \2 3 1
1.73. ^=l_(^)r qr~t,QrV_=1,
1.74. ρκ = |/"ι-(^)2, ^д =1^.= 0,866025.1М«?дГз=j.
1.75., <?„-!--arcsin^j-, <?д = у, <?л/5=Т·
1.76. Ρ (Αο) - 1 - ^ (у + Λ Ρ (4,) = ~ Ρ (4.) - £(£-
— 1), где Ah — событие, состоящее в том,что было к пересечений,
1 / Δ Υ if t Y
1.77. l-T(l_F] —2-(l-F).
i.78.1-(,-.£)(!_£).
1ί79, 7ЩТ; T7f=0·707106·'·' T=]T- = 0,8660254...
281

1 л 1
1-80. а) т- г- -; С) у--
Z 2 К α2 + '·
») 1
2 ^ ]/> + ,2 ' /в2 + г2
1.81. а) γ- .,/- F=r;6) 4·- ί—= 0,378732 ...;
Ζ 2 ]/ (4r)2 + А2 2 2 УГ7
г УЗ
в) j = \- = 0,4330127 ...
13 1 Ь
1.82. -д-— „-, /— =0,3244382... 1.83. — arete—.
2 2Т/73 π ё α
1.84. Р0 = 1/д2, Pra = 8m/n2 (1<го<„/2), Рп/2 = (In - 1)/п2
(и четкое), Рт = 0 (т>д/2).
1.85. ^2ft=2.4....-(2fr)(i2 j ' Ρ2*+ι = 1 ·3·5·... .(2k -f 1) (2 J ·
Ρ, = 0,785398 ..., Ρ =·- 0,523598 ..., Ρ = 2,49039 ... ·10~3, Ρ„ =
^ 3 10 20
= 2,46113...·10~8.
Глава 2
2.1.1/3. 2.2.1/7. 2.3.1/19(ί = 0), 2/19 (i = 1, 2, .. ., 9),
Μ — ε — ... - e„ μ
0(* = 10 18). 2.4. ^^ . 2.5. γ.
2·6· t π ,/»'; _г и -7F. 2.7. a) 1/5; б) 1/5; в) 1/30.
1 2' \ 1 2Г ^
2.8. а) 1/2; б) 3/5; в) 4/7.
Μ n Mt2] Μ (Ν-Μ)
2-9. P{^=F, Р{*м} = ^Г' Р{СМ> = д,и. ·
83 4 Я
2.10. Ρ {^}=2^= 0,3952..., Р{Л2} = 210= 0,2047 ..., ?{В) =
= 2/5.
2.11. 1) С^Л^'Л^Ч/^"»-*1·4-1!;
2) ^ Af[m]/V3/Mra+1];
mSso
3) (Jvt + лд^-члул'ГЧ yv = л^ + n2 + лг,.
00
2.12. a) £±±, 6) _1_ У ^
a + 26 "+δ^ο (e + j-nl!*]·
(α + bf Ь
2·13· 8) Pi = (a + δ)2 + b (a + 26) ' Ρ8=~ϊ+ΤΡι' Рз =
Ρ ;
a-j-b 1
00 сю
6) ρ ~ a У b ρ ~ ab V (b-i)[3ft]
1 α + δή(β + δ-1)^3^' 2 (а+6)^2^0(а+Ь-2)^Ч'
282

P„ =
abW у (b - 2)w
3 (a + b)W£0(a + b-Z)W
ft-1
\Ш
2.14. Р_=У1 ΓΓ— : при* = 6.
1 (fc-l)L
h —
/=n
2.15. a) Ai, Вн независимы при любых 1, к; б) /12, С2
независимы; в) At, C4 зависимы.
2.16. Независимы пары Ai, Aj с i, j <s {1, 2, 5, 6}, и события
наборов {Л,, 45, Л6} и {Л2, Л5, Л6}.
2.17. Только при г sg 0, г Ss 2/ 3 и г = 1/3.
2.18. а), б) Являются. 2.19. А\Аг и Аъ зависимы.
2.21. Является при η = 2; не обязательно является при η ^ 3.
2.22. к s5 log2 п. 2.23. к sg τ? — 1.
2.24. а)а,а2; б) 1 - (1 — β,) (Ι - β2). 2.25. а) р=(1_а,)Х
X(l — а2); б) ρ ^ 1 — а, — а2.
2.26. а) (С3вСус1,У =0,0003115 ..., б) ( £ Cfc^AuV^
\ft=s /
= 0,0003473 ...
2.27. «75(93 + рз?4(?1 + Piqt)}, где д< = 1 — />(.
/
2.28. 1_Д(1_Р1) 1+ 2РЛ/(1-^)
i = l \ ft-1
2.29. 38/105 = 0,3619047 ...
3 /1 \fc 1 /2\Ί
2.30. a) 5/28; 6) -j JyJ +т(т) '
2.31. a) 11/20;
6) 0,1 (|)" + 0,6 (y j" + 0,3 (|-)\ * = 1, 2, ...;
ifhl 2СЧ 3tfei
2.32. 0,87107... 2.33. a) 11/30, 6) 47/120, в) 47/90.
2.34. a) ρ(ΐ_β,)(1_β2) + (ΐ_ρ)αια2;
6) p(l - β,) (1 - β2)/[ρ(1 - β0 (1 - β2) + (1 -,Οο,ίυ].
2.35. а), б), в) M/N {r < Ν). 2.36. χ/α.
2.37. а) 0,573683; б) 0,7776829...; 0,8732712...
2.38. Ρ, = 0,0282, Р2 = 0,0428. 2.39. 0,027 ^ Pi ^ 0,033, 0,041 <
s£ Pi sg 0,047.
2.40. 5/11. 2.41. 14/17 = 0,8235294... 2.42. 2αρι/[2αρι + (1 -α) Χ
Х(р2 + рз)]·
2.43. а) α(1—γ)/[α(1 —γ)-Μ(Ι-β)], б) 0,9173...
2.44. ?0 = ρ(ΐ_α)/[ρ(1_α) + (ΐ_ρ)(1_β)1, 9ι = op/fop+
;+β(1 —ρ)], ?0 > 9ι ■«=»■ β > α. 2.45. a) 2/11; 6) 6/11; в) 3/11.
2.46. 1- (7/8) 20 = 0,930791...
2.47. а) 0,348678...; б) 0,057395...; в) 0,987204...
2.48. C\(^j[i- 4fJ = 0,00021137 ...
2.49. C™Pm+nqn-m. 2.50. (l - p2f. 2.51. (rg'-^-f- er)W.
283

2.52.
v2 ■ · ■ ?r h + Σ ^м
\ i=l /
2.53. a) iV* (!-/>')" *; 6) C^tw-« (l - /)\
2.54. a) p?3, б) (1-<?3)р?3, в) (1
73 7if73
P73)P?3.
3/32, q2 = 21/128, ?3
2.55. gh = С^42-»-л; ' q0 = 1/32, 9l
= 7/32, 9< = 63/256, 95 = 63/256.
2.56. C™+r2~r~™. 2.57. 0,593126... 2.58. 536. 2.59. 0,26502.
2.60. 0.26424. 2.61. a) 0,68269. 0,31731; 6) 0,72874, 0.36820. 2.62. a)
0,68269, 0,31731; 6) 0,66906, 0,33094. 2.63. 0,9 . 2.64. 0,846. 2.65. a) 558;
б) 541. 2.66. 547. 2.67. 0,1587. 2.68. 0,0228. 2.69. 0,98101. 2.70. 0,8185.
и , и , ъ /25\ft—ι 11
2.71. 0,80085. 2.72. c\Z\ph4 ■ 2-73. gg) gg. 2.74. a) 7/8; 6) 2/3;
в) 1/3. 2.75. q; 0,5. 2.76. q\ 0,25. 2.77. q(\ -p3)/(<? + p9); 0.7.
2.78. c<n+™)/2p(n+m)/a?(n-m)/2i ocnn („ + m)/2-целое, О в
противном случае.
2.79. С|8!(2!)-2 (0,1)G (0,3)2= 0,0054432... 2.80. Ρ? + ир?-1^·
γη 771 ?1 ТП
2.81.0,76896. 2.82. Сп ^ * (1 — ρχ) ι.
2.83.
(η - mj
m Μ
д.-
''iV' j=2
N.
2.84. a)«! ПУ-Πν
6)
re!
■Pi 4-
-1 Wj iV,
2J.
2J '
(n— n2)\ η J
!: ! ... k, N ! Hip
где pi = ρ,-j
если к
+ ^
11
Л* +
i = l, 2.
+ aijv =
;д—»?2, 0 в противном случае.
2.85. С\\\-^П
N~h I I уг
2.86. 3/4. 2.87. Ρ {e„Vj = г'} = 1/3, г = 1, 2, 3.
2.88. РГ1{РГЛ-Р2)- 2.89. а) 0,489142...; б) 0,295635...;
в) 0,215222...
Глава 3
3.i. P{ni = i) = 1/5, i =
|2 = ί} = 2/5, г = 1, 2.
3.2. а) С = 1; б) 3/4; в) (ге2
-2, -1, 0, 1, 2; Ρ{η2 = 0} = 1/5.
Ρ{η2 = ί} = 2/5, 'г = 1, 2.
3.3. а) С = 4; б) 1/6;
Л. а) С =
3
в) 2
"ι + 1)/(щ(ге2+ 1)), Щ «3 п2.
1 1
v"l("l+1) (n2+1)(n2 + 2)
3.4. а) С = 3; б) р„(г) = Зг2 (0 " · ~—"
9
-, ν ,..,ν~, - ,-' < *_< 1); в) 0,026.
3.5. а) 2ахе-ах"" (г>0); б) ae~aYl/{2 У χ) (г>0);
в)а2ехр{—а(еа* — ж)} (—оо<з;<оо).
3.G. а) ае-м/(1—е"а) (O^zsgl); б) 1 (ie[0, 1])
284
)

3.7. a) 1/2 (*<= [1, 3]); б) е~* (х."> 0).
3·8· l+7arctgT· ττ^Ι (-°°<*<°°>·
3.9. рг,(х) = Ре(ж) = i/(Jij'ar(l ~х)) (0<аг<1).
3.10. ρη(ζ) = pt(ar) = р|(аг).
3.11. а) φ (ж) = g-i(x); б) распределение ζ совпадает с
распределением ξ.
3.16. а) Р_г = Pj . = 1/2, Р. _х = 1/3, Р. „ = 1/4, р.л = 5/12;
б) ?_21 = 1/8, 7_10 = 1/12, ?„,_;= 1/2, ?1ι0 = 1/β, <?2Д =1/8,
остальные ду = 0; в) ?_2 . = д2 . = 1/8, ?_1(. = 1/12, д1}. = 1/6,
?„,. = ϊ.,-ι= V2, ί.,β =«.,!=* 1/4- _
3.17. а)^ ρ2; б) 0. 3.18. 1 - ^4 arctg-^ —^)=0,7114...
ft
1
3.19. 1
(0<z<2).
1
3.20. а) С= 1; б) р„ (х) = ρε (ж) = χ + "о (° < ж < *)' в) to
(0<аг<1).
3.21. 4а:-5 (х > 1). 3.22. ρχ (χ) = / (ж), Р2 (х) = g(s).
3.23. i(Bll0=7__p^ j Jp^ 2
0<|и|<».
3.24. q (r, φ) = rp (r cos φ) ρ (r sin φ), r>0, 0<φ^2π,
3.25. 1 — e~1 = 0,6321
3.26. a) — 11 —
] (0<z<2a), 0 (*§έ[0, 2α]);
6) Ιί1-!^ )(1*1<α). 0(|*|>а); в) -5 In j(0<x^a2),
θ(χ<=έ(θ, α2)),' г) 1/2 (0<аг<1), i/(2*2) (χ>ί), 0 (*<0).
3.27. а) же~х (ж > 0); б) у е~|х| (—оо < ж < оо), в) е"
(*>0); г)
3_
х— 2
7-7—2 (*>°)
1 + χ
1 f 3
3.28. γ mil) jl, -^
3.29. l — e~x (0=ζζ<1); ^х~1'> - e~x (Κχ).
3.30. a) 1 — 1 1—ж I при 0<г<2, 0 в остальных точках;
Л I o\2 (3—xf
-—ц при
] (0<г<3); 0 (χ ξέ[0, 3]).
"2" при 0 ίζ χ ^ 1
з / 3V
• τ-[χ-τ)
при 1 ^ж ^ 2,
2^ж<3, 0 в остальных случаях. Вероятность Ρ {0,5 =sj ξ -f- |2 +
+ ξ, < 2,5} = g = 0,95833
3.32. a) Pg.^M
,(4 + yV(W m = 0tli...
= α2χβ~αχ (χ > 0); 6) Ρ {|j + ξ2 = m} =
285

3.33. a) a,ne-an* {x>0)', 6) пае~лх (l - e-«*)n-i (ζ>0).
3'34· %+ц(*)= Γ(α+β) *-*(*>0).
3.35. Гамма-распределение с параметрами (λ, α -{-...+ αη).
3-36. β ^-ΠΤ^ (.>0). Μ7. ff^l),
Ο (ϊ9έ[0, 1]).
3.38. (η— 1)(1 — τ)η-2 (0<ζ<1), 3.39. ρ|-+| (ζ) = 1/2
Ν|0,2|),
3.41. P{S1 = *}=0,1 (0<fc<9), Ρ{ζ2 = 0}=0,55, Ρ{ζ2=1}=
= 0,45. Случайные величины ξ и ζ зависимы.
ι " г
3.42. Зависимы. 3.43. p. , (χ, у) = ΐ/(2π У 1 — χ2 — ,/)
Ej,S2
(*2 + </2<l)i j>6 (*)«l/2 (|*|<1). 3.44. Р| (*) = у cos x
(|*Г<-у). 3.45. У + 2 (2Λ_ 1)2· 3.46. а) 1/2; 6) 2λ*~2λί (ί > 0);
в) 1/2. 3.47. ?(Ai) = niln, i = l, 2, 3.
3.49. Ρ^-ί,, τ2 = ί2) = 9'ί+ί2~ν, lv l2>l, 9 = 1-И
Ρ {τ. = Α = Ρ/τ = Α = ql~χρ, Ζ^Ι. Случайные величины
независимы. 3.50. а) зависимы; б), в), г) независимы.
3.51. Ρ(θ = /, ν= «) = (4')η""14(Ζ = 1'2' 3·4; "=1-2,...).
Случайные величины ν и θ независимы.
Ν
3.52. а), б) Ρ(τ2 = ί2 τ„ = ί№)=ΠΡ(ν='*)! ΡΚ=^)=
ft=2
fk—i\lh-l/ k—l\
= I дг I 1 — дг . Величины независимы, в) Ρ (θχ = / ,
θ2 == г'а, ..., 6^ = ijy) = 1/ЛЧ, если ij, ..., iN различны.
3.53. P(91 = i1, θ2=ί2, ...,QN=iN)=Pl Ι-^.ϊ—ί!_.....
Pi
»N
"· «-"i,---^-!
3.54. a) M (TV — M)W/JVt'i+1l; 6) M™ (N — M){h+nlΝ^+ι + Λ\
в) M\(N —M))/N\, если ^ + *2 + ... + &M+1 = iV—Μ, иОв
противном случае.
3.55. F (*Q, j,2) - F (*2, Vl) - F (xv y2) + F (*r у J.
3.56. 1-1/2/2 = 0,29289... 3.60. a) F% (x) = 1 — (l-Ffz))";
η!
3.61. а) (та_1)Кд_т)! Г-* (*) [1 - F Wl"~m P («
286

б)
η!
F*-1(*1W*,(*2)-*,(*i)]m~*~1
Χ
(ft —l)!(m—ft—l)!(re—m)!
3.62. l/(ft + 1) во всех случаях. 3.63. η! р{х\)р(хг) ■■■Ρ(χη), ее·
ли ϊιζΐ!<...ζιηι и 0 в остальных случаях.
"'■«-Д(-Я·
3.72. 4ί2< Ρ
ζ-
<ί<4ί(1-ί), 0<ί<1/2.
mt<f_,(l/y2), где F_i(y) = sup{/r:
3.73. f_,(l — 1/У2)
*"(*) < i/}·
3.75. 0; 6/5. 3.76. 2. 3.77. Μξ = 3/2; Μη = 3/4; D£ = 3/4;
ϋη = 3/80.
3.78. a) Μξ = D| = λ, Μξ[« = λ*;
6) Μξ = rep, D| = npq, M|t*l = κ[*'ρ*·
3.79. Mgj = -J-, D|j = щ (i = 1, 2), cov (ξ^ ξ2) = - щ.
3.80. Μξ, = 0, D|« = 1/2 (t = 1, 2), cov (ξ,, ξ2) = 0.
3.81. Μτ]ι = Μη2= οον(ηι, η2) = 0; случайные величины
зависимы.
3.82. а) М sin g = Μ cos | = 0, D sin ξ = D cos | == 1/2;
6) Μ sin2ft+1 | = Μ cos2ft+1 ξ = 0, Μ sin2ft ξ = Μ cos2ft ξ =
(2*)1 1 ,
= η—ζ—τ^~—-==- при «-+-00.
2 14
3.83. a) M sin ξ = — = 0,6366..., Dsing=-»-— —=0,0947...;
Μ cos ξ = 0, D cos ξ = 1/2;
6) Msin2ft+1g =
(2ft&l)2 2 1
(2*+i}T^г-уйГ при к-
■оо, остальные
моменты те же, что в задаче 3.82. 3.84. 4/3.
3.85. 1 — (1 Η- α)-2 при а > —1; — оо при а < —1.
3.86. Μξ = 2Д/3, D| = Д2/18.
1 /— 8 — 2π
3.87. a) 1; б) -1; в) т У15 = 0,9682 ...; г) 0; д) - ?
= — 0,91827 ...
9π — 32
3.88. а) 2«—-ξ „,
' 9π2 — 64
0,300137...; 6) —1/2. 3.89. ρ{(χ)
. Dl = i(n~i + l)
(в + *)[Ч ' (ί) (n+l)2(M-2)'
3.90. Если KKJKn, то cov(|(i), l(j)) = J^/^
τ /i (n — j + 1)
P(S<i>. M= V /(n-t + i) и Ρ(ξ(ΐ)'^))^°.
I / · n — г -Ь-1/
если re■
2)'
оо.
287

3.93. Равенство неверно. 3.94. αιΐηΜξηξ = —со, maxMEni;
/1 О ON
Ι ο ι
= + оо. 3.95. !0 1 О I во всех случаях. 3.96. а), г), ж) могут,
Vo о ι,
остальные —не могут. 3.97. а) х е [—1/2, 1]; б) же [—1, 1/2].
3.100. а) Щ,=*т1 + т9+... + тп, Οζ = g %-i б) Μη =
= (пг, a), Di] = ασα'; в) га + ,и*, т — m*i ат -\- Ьт*\ о -f- σ*,
σ + σ*, α2σ+δ2σ*.
3.102. MSn = 0, D5„ = л/2.
3.103. МЯп = 0, Dfl„ = l, n>2. 3.104. re/3.3.105. DT]n= (lire—
- D/180, reD I ^ - |a | = и/18. 3.106. Μξη = „β, Μζ^ = ηρα, Οζη =
= па2, Οζ*η = rep (σ2 + a*q), со ν (ζ„, Q = «Ρ^· 3·107· M^n = Vя·
3.108. м$> =0 (г = 1, 2, 3, 4), Dfe»> = 2,ш2, D&2) = 2σ2,
Dg<f=re(n+l)o-'\ D#> = 0.
3.109. Μζ,^ = 0, Οζ^ = reo4 (i = 1, 2, 3, 4).
3.110. Μζ<;> = и/4 (i = 1, 2, 3, 4), D^1' = 7re/144, D£<« =(13n-
- 6)/144, Οζ^3> = (Зл2 -f- 4n)/144, D^4) = 13re/144.
3. 111. M#> = rea2 (i = 1, 2, 3, 4), D#>= »σ2 (σ2 + 2a2), D#>=
= σ2[«(σ2+4α2)-2α2], D#> = no2 (rea2 + σ2 + a2), D#> =
= ,ισ2(σ2 + 4α2). ^_
3.112. M5„ = M^ = 0, DSn=na2, Dr„ = σ2η ί 1 + ^—J.
3.113. ΜΘγ=1/γ, γ>1; D0j = 1.
IV
3.114. 2 (-M - Aift)[n]/M[n], где Μ = Μχ + ... + Mw.
fe=i
о 1 < к ME * nt Ml, M\N — П
3.115. M| = re — , Dg = re -— 1 — ——. '
Λ^ Ν \ N J N—i
3.116. Μμο („, Ν) = nU - —Γ = Ne~a (1 + о (1)), Ομο(η, Л') =
=л.Ы(,-4)%4-т) Н('-^>№~*('-
— (1 + а) е~а) (1 + о (1)), η/Ν -> а, /V -> оо.
3.117. ММ„, iV)= ^ fl _*)""' = /V^ «"«(Ι + о (1))»
η
■α, Ν-
N
3.118. Μμο = 1,3629..., Μμ = 3,0975..., Μμ2 = 3,3791...,
Μμ3 = 2,3551..., Μμ4 = 1,1775. ,.Μμ& — 0,4496.,., Μμβ = 0,1362...,
Μμ7 == 0,0336...
288

3.119. Μμ, = NC^l^/C»^ = (уу + „ _ 1)Lr+1]
a
■Ν
(a-f-l)r+1'
3.120. a) η/κ; 6) np{ (1 — ί>{); в) — гер{/ъ..
iV Л'
3.121. a) 2(1 ~ P/i б) 2 С>5 (1 ~ РУ~Г' В) ^ t1 - ^)П·
j=l J-l
3.122. MV/! = ^2 ^4г7, Dvk«* 2 -* , MV;V==
= (1+ o(l)) TV In TV, Ν-*™.
3.124.155. 3.125. Μμοο =(и - 1) <Д ΟμΜ = ρ?2 (η - 1 + г χ
Χ (Зга - 5)); Μμ* = (η - 1) q\ Ομ* = (η - 1) ρ?2 (1 + ,).
3.126. Μμιη = (η-2)ρ3, Ομιίι = ρ39(«-2-|- (3η - 8) ρ +
ψ (5η-16) ρ2); Μμ*=(η-2)ρ3, Ομ* = (η- 2) ρ8, (1 + ρ + ρ2).
η
3.127. a) g"; б) 2 (л-НИЛ""^-^^^-?)-
- Ρ (?" - Ρ")) при Ρ ¥= 9, С2+12~п при р = g = 1/2; в) nP9 + ρ2;
r) pq(i—3pq).
3.128. Μξ = π. 3.129. I+T^ps-
3.130. π fl-f-L)"+1V 3.131. ^Le—λ. 3.139.60°.
η +1 \ V 4 / / m!
3.143. a) Mr)ft = if η; б) ρ (ηΛ, η,) = — l/(n — 1) (к φ I);
в) ρ(ηι + ...+ηΛ,η1+...+ηΙ) = |/'-^ζ1), 1 < 4 < г < п.
3.144. (iV + l)/(M + l)(i=l, ...,М), (N—M)/(M+1) (i=M+l).
3.146. (Oj— σ2)2 < D (ξ + η) ^ (0i + σ2)2. 3.160. zn/n!. 3.161. e =.
= 2,71828... 3.162. ^ = ΐ/(λσ2), где λ = (l/σ2) + ... + (l/σ2);
Οηη==ι/χ. 3.163.3) 0,99730... 6) 0,93168... η) 1; г) 8/9 = 0,8888...,
д) 0,91393... 3.164. ΜΔ = 0, ΟΑ = ΜΔ2 = η! σ2η. 3.166. Μ sin ξ >
>0, Mcosg>0. 3.167. max {ρ, I —ρ). 3.168. 6) if(pq).
3.169. 6)1/0*?). 3.170. «{Ρ[(1 — Рг)(1—β2)«—(1—(1 — βχ)(1 — β2))^]—
-?[а1а26+(1-а1а2)с]}.
3.171. Координата δ точки β —медиана распределения ξ,
т.е. Ρ(ξ<δ)=Ρ(ξ>6) = 1/2. у ν»
3.172. а; — медиана Ι, у — медиана η, т. е. Р(| г£ х) = Р(Е Зг х) =
-Ρ(4<»)"Ρ(4>ί)-1/2.
289

3.173. min Μ (ξ — χ)2 = D|; минимум достигается при ж = М|.
3.174. А = МХ.
3.175. a) z = F_ Ji- ±.\ =F_1 (0,99); б) z=F_i((l-a)1'r)=
= Ρ-τ (0,9999), где F_χ (и) = sup {ж: F (χ) < u} — функция,
обратная к F (χ).
3.176. Μττ = οο, P{TT<u} = u/(ti-f-f), Ρ {τι00 < 10} = 1/11.
3.183. а), б) Любое число из (0, 1]; в) любое число из [0, а]
при а<1; любое число из [(α —1)/α, 1J при а>1. 3.185. 1/3^
< Mt < 2/3.
•f-l(a)
3.186. aF_x (a) — f F (ж) da: < Μξχ < aF_j (1 — а) +
— С»
CO
_|_ f (1 — F (x)) dx, где F_± (y) = sup {x: F (x) < y}\ мини-
мальное значение Μξχ достигается при {χ = 1} = {ξ<ί'_1 (а)\, а
максимальное — при {χ = 1} = {ξ > F—1 (1 — α)}.
3.187. ^--p^l-i-V^j <Μζ<Ι. + ρ ^1 —_|_l/2?)j
экстремальные значения достигаются при {χ = 1} = {ξ—η < —1+
+ 1/27} и {χ = 1} = {ξ-η>1-ΐ/2^}. 3.188. а), б) Да.
3.189. a) p/(i + j); б), в) ?/2 (1 + д); г) 2 (1 -f. g) pgft~2 (l -
-7k-1) (*>2); д) 2(l + 9) pq^h~^ (A>1); e) (1+?) ρ?2*"-1*
(fc>l); ж) 1/(ί — 1) (k=l, ...,1 — ί); г) 1/2.
3.190. а) Р {| = fc} = Ρ (1 - pf-1; 6) Ρ {ξ = Λ} = ίΐ - j-£_)
х(г=7)Й; в) P^ = fc}=-Je~'' (ft = o, ι, ...).
3.191. a) — (*e[0, «]), 0 (*= <£ [0, z]);
6) 1/z (0<ж<г), если 0<z<l, 1/(2 —z) (z — 1<ж<1),
если 1 < ζ < 2; в) 6ж (ζ — ж)/г3 (0 s^ χ < г).
3.192. а) ζ2/12; б) z2/l2 при 0< г < 1; (2 - ζ)2/12 при 1 < ζ<
<2; в) ζ2/20.
3.193. Μ (ξ| ξ + η = ζ) = ζ/2, если Ρ(ξ + η = ζ)>0 или
плотность ρξ+η (ζ) > 0.
3.194. (1 — (ζ/2))_1(0<^<1— (ζ/2)) и 0 (χ φ [0, 1 — (ζ/2)1),
если 0 < ζ < 2.
3.197. а) С™р™ (ί - Ph)«-™, 6) nPk, где Ph=/*\* "'*Ч
3.198. Ρ (Ι = ι») = C^Zm/C^·
3.199. Стандартное нормальное распределение.
3.200. Р{6,<*я, 1Я<*3 !&!=«< min {ξ2, ξ,}} =,Р(*2) F(x3),
где /'(ж) =0 при χ*ζζ, F (χ) — min {(ж — ζ)/(α — ζ), 1} при ζ^ζ.
290
Χ

3.201. 1 + 1/2+... +1/". 3.202. Μτ = α6, Οτ = 6σ2 + α2δ2.
3.205. 6) Μζ^ = ΟζΗ = А; в) Ρ Mfc = m | ηft =*) =ζ (Ι-*)"-!,
1
Μ {Δ* I ^-ι = *} = Τ' D {Aft I 4k-i = *} = (!- ζ)/ζ2· г) M^ = 1,
Mtft = oo, k^2.
3.208. Mv0Q = (1 -f- g)/92, Mv00 = 6 при р = 1/2.
3.209. Mvin = (1 + ρ + ρ2)/ρ3, Mvlu = 14 при р = 1/2.
3.210. Μνοχ = l/(pg), Μνοί =4 при ρ = 1/2.
3.211. иг™-1. 3.212. 1- η21~η. 3.213. Mv = 5, Dv =4.
3.214. 1-лЗ-п+1.
3.215. Pa>x) = (i-x/(2nr))n-i (0<*<2jtr), Μξ = 2nr/n,
D| = 4jiV (га — l)/n2 (n + 1).
3.216. Ρ {ξι > χ, ξ2 > ί/} = [1 - ((* + У)1(2пг))Г-\ 0 < ζ, */, ζ +
+ у.^ 2яг; ρ = — 1/(ге — 1).
3.217. P{t1>*1 U>M!
,_ж1+...+^\"
2лг
, *;>
>0, ж + ... + zb < 2лг. 3.219. Mv=n (1 —_*_]" *:
1 ft l 2nr)
= де-лд (l+o (1)), Dv = C\ 1
+ Mv — (Mv)
= "β_λΔ [1 - (l + λ2Δ2) β-λΔ] (1 -u о (1)).
n
3.220. Ρ{ηη<^} = 2 (-1)кС»(1-^:)П"1' где х>0я
(a)-(-=max (α, 0).
n
Л -т- = (l + o(l)) Inn, n-voo.
Д «■■ /С И
3.221.
3
3.222. M5 =2^-= 0,4774..., Mp =
— 1 = 0,2158...
3.223. a) ^+(4 -^
12
π
3.224. c+8
c + ε
l--f_
<1, n-+oo. 6) 1— M— -i_T_*l, n-
12
< 3,8197..., Mr= —
π
α ] + _L|a —α |3· 6) _Ζ_
»/ Τ 3 Ι ι 2 Ι ' ' 60 '
(-КП
2c
(re + l)d
3.225. Ρ (Ι ξ |< 0,7) =0,5160... > Ρ (| ξ| > 0,7) = 0,4839....
3.226. Ρ (— 0,5 < ξ < — 0,1) = 0,1616... > Ρ (1 < ξ < 2) =
= 0,1359... 3.227. Μ^-ι = 0, Mtfh = 1.3-5-...-(2*—1) a2k =
= (2fc—l)lla2\ fc = l, 2, ...
ΐ_ (Ιηχ-α)2
1 "Λ*>0; 6)—J™ «σ1
αχ γ 2η
,ι>0,
291
3.229. a)
σ 1/2jw

3.230. 1 — exp (— ζ/(2σ2)) (χ > 0). 3.231. Гамма-pa определение
ολ=4~· α = 4"· 3·232, η; 2д· 3·233· мъ = «α+σ2/2, Οξ ■=■
= е2а+°2(е°2-1). 3.234. е«-°2; е3°2/2.
3.235. а) 2Ф0 (5/3)=0,9044... в любом случае; б) Φ (1,6268...)—
— Ф(-1,716...)=0,9050... при т=60, Ф(1,527...)—Ф(—2,214.. .)=
«=0,9233... при т = 10.
). М11з = ехР \ak-j- J_ σ2Α·
3.237. 0. 3.238. M(cos|)=e~l/2=0,6065..., D(cos 5) = y (Д-е-1)2 =
3.236. Μη^ = 1-3-5·
• (2/e
1
= 0,1997... 3.239. D (sin ξ) = -у (l - e~2) = 0,4323. ..> D (cos t) =
= i- (i _ e-i)2 = 0,1997... 3.240. Μ cos ξ2 = — V У 2 + 1 =
= 0,77688..., Μ sin ξ2 = -у У V2 — 1 = 0,32179... 3.241.
Являются. 3.242. а) Стандартное нормальное; б) нет. 3.243. φ (l/"|/2)—
_ φ (_ 1/-J/2) =0,5204... 3.244. а) 1/2; б) 0,7928; в) 0,2426.
3.245. Распределения (ζ1, ζ2) и (%ν iy одинакопы.
3.247. Двумерное нормальное распределение с нулевым средним и
|]а2 + &2 α2-δ2
ковариационной матрицей , 2 2 2 .
Ι α — о а -\- о
3.248. Нормальное распределение с Мс η . = Мс η =0 и ко-
- lci°i С1СгУ
вариационной матрицей х
!w с\а\ ,
3.250. Величины η и η распределены тан же, как L и ξ .
3.251. 1. 3.252. а) 4Ф2(1) = 0,4660...; б) 2Фо(1)ф0 (2) =0,3258...;
в) Ф2 (2) = 0,2277 ...; г) 2Ф2 (1) = 0,2330 ...; д) 1 - β-ΐΛ> =
= 0,3934 ...; е) 1 — е"1 = 0,6321 ...
3.253. а) 4Ф0(2,5)Ф0(1) = 0,6742...;б)2Ф0(2,5)Ф0(2) = 0,4713...;
в) (Ф„ (1,5) + Ф0 (0,5)) (Фо (3) + Ф„ (2)) = 0,6095 ...
=0,0849 ,
,25,[ф„(^Ь(^)][®.(^)+«„(¥1
3.255. а) Ф2 (1/2)/2 = 0,08876 ...; б) Ф2 (2) - Ф2 (1/2) =
= 0,05023 ...; в) (ф2 (2) - Ф2 (У2)/2 = 0,02511 ...
3.256. ге~т 2/(2л) (г ^ 0, 0<φ<2π), 0 в остальных случаях.
-°-" ■" "'" =0,9888 ...;
_0 - 0,9998 ..,
3.257. а) 22Ф2(3)= 0,9946...; б) 1-е
-9/2
в) 1 — в _, ...
3.258. а) е-2-e"»/2 = 0,1242...; б) 4 (Ф2 (3) - Ф2 (2))
= 0,0835 ...; в) 4 (Ф2 (Уз/2) - Ф2 (1/2/2)) = 0,1054 ...
3.259, Р{|41Л2|<Ж} = 1-е-х2/4е
292

3.260. Ρ { \ΑιΜι | < χ} = 1 - е-**13.
2 σ-
3.262. 3/4. 3.263. 3/4. 3.265. — arctg —7-. 3.266. ρ
2
«=^ϊ=- T + ^arcSinp, P01 = Pi0=T-&TarcsinP·
°12
где ρ = —, — коэффициент корреляции ξ и |„.
1/ л гт 12
"00
/V
22
1 О ■ χ(χ
3.267. -gjj- arctg —y===Ti 3.268. a) 1/2; 6) 1-
— ф\ъ[У a —2ασ + fl2 °22 )· 3.270. а) Нормальное
распределение с нулевым вектором средних и матрицей ковариаций
(2 Л * V3 -(**+*£-*,**)/8 п^ ^
И 2/' ^ п~~ е При °^ж1^г2 и 0 в ос-
3 rl/ч
тальных случаях; в) Ρ {£ < ж} = -г arctg *:— (0 < χ < 1).
я 2 — зг
3.271. а) Нормальное распределение с нулевым вектором
- ( 2 -1\
средних и ковариационной матрицей I л « >
_ 1/3 —(ж-,+χ,+χ х„)/з . . _
б) —— е х - х ζ при ι , г ^ОиОв остальных случаях;
3 г "1/3
н) p{S<^}=-^«'ctg-2^7 (°<z<°°)·
/1 0 0\
3.272. а) (0, 0, 0); 0 1 0 . б) ξ |2, ξ3 попарно независимы
\0 0 1/
и имеют стандартное нормальное распределение.
в) ?(*,, *а, *я) =
(гя3)"1/2 ехр {- (г2 + *2 + г2)/2}, если в^ > О,
(2зт)~3/2ехр ( — х\/2}, если х^2 = О,
, 0 в остальных случаях.
3.273. Положить
. ί ζ, если |ι · · · ξη-ι = °-
" ( Ι ζ Ι sgn (ξί ... ξ^), если Ιχ ... |η_1 =* 0,
где ξ , ..., ξη_,, ζ независимы и имеют стандартное нормальное
распределение. 3.274. Нормальное распределение с параметрами
((О, ...,0),А'А). 3.275. Μηξ=(0, 0, ...,0), cov (ηξ{, цЦ = ai}.
3.276. Нормальное распределение с пара-метрами ((0, ..., 0), |δί;·|,
где Ьу = 1 при i = ;' и blj = aiaj при г^=/. 3.277. Нормальное
293

распределение с параметрами ((0, ..., О), |]Ьу||). гДе Ь{- =
mill (i, j)
— Σ α1· 3·278· 15· 3·279· 1ηΜΙ?ι···^!· 3·280· Нормальное
°12
распределение с Μ (^ | ξ2 = ж) = ——ж и D (ξχ | ξ2 = г) =
/ „2
= Н
σ,,σ22
σ . 3.281. Вообще говоря, не является.
Глава 4
4.2. Ρ
4.3. Ρ
3,5
>ε <
8,75
^ , Ρ' (1 + Зр) (1 - Ρ)
не
4.4. Выполняется. 4.5. Удовлетворяют. 4.6. 0^α<1,
4.7. αΞ&Ο, α^Ι. 4.8. Удовлетворяют.
4.11. 6) 2Φ(—8/C), C= f f(x) dx—i f /(г) da
о \o
4.12. a) MCj = j / (г) cfa, Οζχ = \ f (χ) <fe - f / (x) dx .
о о \o /
4.18. Всегда. 4.25. 6) (i — p)pk.
π1 / n-l \ ji
4.26. P{t1(JV)>n} = Д 1--ДГГТ- , ^ (*) = 1 - β"* ,
/ δ(Ν)η \ViV, / + δ(Α0\
p(TaW>»)=(i+ λγΛ, + ι )Π ('-V^r) w «W = «
при нечетном JV и δ (TV) = 0 при четном Ν, G2 (χ) — 1 — e~x '2.
4.27. lim Ρ /ηη< ж} = г, 0<г<1.
4.29. Распределение Коши с параметром 1. 4.30.
Распределение Коти с параметром 1.
4.31. lim Ρ {(ξ — х)х^у\1>х} = 1-е-^°2, ^0.
Хн»оо
4.32. a) lim Ρ (ипд~1/а< г) = ?-χ~α (.г > 0);
71-» оо
б) lim Р(хпд1/а<*} = (Τ<-χ>α (г<0);
7l-»oo
в) lira Ρ Ып — In n < ж} = е~е .
rt-»oo
4.34. Φ (ж). 4.37. lim Ρ ίζη < ζ} = 1 — е-ж, 0 < χ < оо.
П->оо '
4.38. а) Мтк = ка, Dxk=ka2. 4.39. Μτ = aMv, ?\Jj^ < a:!-*- F (г).
294

4.40. a) Μτ? = Τ, Dtg = ±_L; 6) Jim Ρ J-^ < ,j =
= 1 — e~*, 0<ж< oo.
4.42. lim Ρ /?τ < x\ = lim Ρ /?τ, < ζ) = 1 — e_x/a, ζ > 0.
9н,о l x ' g-»o v 2 '
4.43. Ρ ί-^-<4-*-1 — «~Χ. 0<ж<оо. 4.44. 0,265.
4.47. а), б) Сходится. 4.48. Равенство верно.
4.49. б) M| = l/2, D| = 7/44.
4.50. б) М| = 1/3, D| = 1/18.
4.53. а) χ2 — распределение с 1 степенью свободы, б) Ап (ζ) =
= η2 (ζ - ρ)2, θη (ζ) = 2 (ρ - ζ) /η8ρ(1-ρ).
4.54. а) 2Φ0 (Vi), 6) β„ (ρ) = 11η ^- |_Ι ]/ρ (11 ρ) .
4.55. Условия в). 4.56. а) Любое соотношение может
выполняться, б) m=mM. 4.57. а) М<ММ; б) σ2<σ2ΰ. 4.58. а) βλ(ζ-ι>;
б) р/(1-?г); Β)(ρζ+?)η. 4.59. φ(ζ)=(ρζ+?)". Μξη = ηΛ М|И=дИр\
D|„ = «Р9, где ? = 1 - р. 4.60. а) М|= φ' (1), D| = φ" (1)—
- φ' (1) (Φ' (1) - 1), Μ (ξ - Μξ)3 = φ'" (1) + 3φ" (1) (1 - φ' (1)) +
+ φ' (1) (2φ' (1) - 1) (φ' (1) -1); 6) φχ (ζ) = φ (yj), φ2 (ζ) = φ (ζ2),
φ3 (2) = φ ί1/2). φ4 (ζ) = φ (ζ) φ ί1/2)·
«ι (τ^)'- «■«· "·5=(τ^Γ· «t-f- "«-?·
4.64. Ρ {η = 1} = C^Pmgl"m, m = mj + mz + mg, Ζ S= m.
4.65. a) βλρ(ζ-ι). 6) λρ) λρ-
4.66. а) ξ и |2 распределены по закону Пуассона с
параметрами λ (1 — р2) и λ (1 — ρχ) соответственно; б) М| = D| =
= λ(1 — р2), Μξ2 = D?2 = λ (1 — Pj), cov (|t, |2)= 0; случайные
'величины ξ и ξ зависимы.
4.68. а) (ρΛ+ ... +ρΝζ„)η; б) «WP?, «[ft+']P?Pj (i ^/).
4.69. M^i^i»,. =(PiZi + (?j + Ps) Zs + ρΛΓι
М^л.Ч^.з = (PjZj + p^ + Wa + p^
POVi'Vs) V (1 - /\) (1 - P2 - Ρ3γ
P« — {PX + P2) (P2 + P3)
P(En'1" ζ"'2) = V (1\+Ра£-Рг-Рг){Рг+Р*)£-Рг-Р*)'
295

4.70. a) exp {λ (p^ + ... + PwzN — 1)};
б)Ц v1_~^"e {1_г))· 4·71· α/ϊ = α' ρ/ν =
= 1_α —d, 6ly*=—d, где 0<я<1, 0<d<l. 4.72. φξ (e{/).
4.73. a) exp {λ(«"-ΐ)}; б) (р*«+?)п: в) t _^/α .
4.74. (η + fc- 1)Μ a~h- 4-75. Me"? = g (/ (ί)), Ms" = g (φ (s)),
4.76. a) Ρ{ζ=^} = -^|(/£+1) Ρ{ξ = Λ+1}, * = 0, 1, ...
б) Ρ {ζ = &} = "Τ^ξ- Ρ {ξ> Μ, * = 0, 1, ...
в) ζ = ξ + .. - + ξν< где ^ι' S2' ··· независимы и
распределены так же, как ξ, а ν не зависит от ξ , ξ2, ... л P{v = J}=(l-
— α) ah, k = Q, 1, ...;
г) ψ (z)—производящая функция тогда и только тогда, когда
| = ηι + ... + ην, где г\[, η2, ... независимы и одинаково
распределены, а ν не зависит от ηι, r\z, ... и имеет распределение Пуассона;
д) то же, что в п. в), но Ρ {ν = к] — ~\/l — а. а''2-2,,С^, к =
= 0, 1, ...
4.77. η + ... + пт = п, ρι= ...=рт = р.
ft—ι
4.78. б) к~г 2 f{2ni/k)e-23rim'/h. 4.79. 11/27, 1/9.
(71 — ρ \ι-Ρ ( Ρ \Цп
4.82. ?{?„>?»} <\[Т=р) (tJ)' Ρ<β'
Р{ц„<и/2)}<(2Ур(1-р))п, ρ > 1/2.
4.84. P^iO+fl-pJ^C).
eita _ i
4·87· a> —щ— (г^°)- 1 (г = 0>;
б) -χ (l-cos—J (ί*=0), 1 (t = 0);
ί2
в)Са=а/л, 1 —α|ί| (|i|<a_1), 0 (|ί|>α-1).
4.88. Μη = 0 при 2/ισ2<1, Μη не определено при 2fca2^sl;
σ2 2 2
Drl' =7 2\з/2 ПРИ ^σ <■ * и ϋη = оо при 4Λσ > 1.
4.89. Является. 4.90. Является. 4.91. а), б) Является. 4.92. Не
следует. 4.93. Изменится. 4.95. Равенство верно, если Μ|ξ| < оо.
4.98. а), в), е), з) Являются; б), г), д), ж) не являются.
4.99. а) 0, а2/3; б) 0, 7/6; в) 1, 1/6; г) 0, a2 (l + 2 У2)/4;
Д) Ρ~9' "+* ^ VTrlarceine ' (1-^·«ο»Βθ·
4.100. a) 1-β-*/2(ϊ>0), 1_2ίί;
296

б) Т. ^ТТлГ = ι, , /.,2W4 6χΡ
• ir
-γ arctg 2ί|, Μ(χ2\Λ
(1 _ 2ίί)''/2 (1 + it2)r/i
= r(r + 2) ... (Г + 2/С-2).
4·101· (!_»)« = (i+*2)^eiaarCtgt' «(«+!)·· ■(«+*-*)·
4.102. Нормальное распределение, Μξ = (α, с), D£ = (с, 5с).
4.103. Многомерное нормальное распределение в Rm с вектором
математических ожиданий Са и матрицей ковариаций С5СТ, где
τ— знак транспонирования.
N[h4c\)hCf^
4.114. Μ(μ,(η, Ν, s))W= · Ч Функция /,(„) =.
CIVs
= Μμ{(η, iV, s) при любом ί = 0, 1, ,.,, s имеет единственный
максимум в точке η — Ni и монотонна слева и справа от и «
При фиксированных i и s
11 m -ψ max Λ (») = С* ; ■,
rk Ν
r, j ι с 'f / ,nm—ft pm—k (M\m pn—mi
4>li0. n 7^ (—1) ''i-ii^J c(iV-m)s
4.117. Μμ (д, Ν) = C£ (TV - l)n~r N~n+1.
4.118. lim Ρ . /г <* ~l-exp - 7Г (*>0>
-ΐ)
4.119. Распределение произведения ξ,ξ2, где случайные
величины ξι и ξ2 независимы и имеют распределение Пуассона с
параметром λ.
4.120. д^790. 4.121. (—74,36· 10-т, 74,36·Ю-»).
4.122. a) lim Μηη = ехр ί-κ-In2 Л, lim Щп = еХг?г (β1ιΛ:- l);"
ПН»оо (. J 7l->oo
2 ι 2
б) α = 0, σ = -π- In z;
в) Μη = exp | -τ- In2 ζ I, Dr\ = exp j-g-ln2 zljexp | -9-In2 ζ I — 1).
4.123. a) Μη,οοο = 1.0251000 « 5,295·1010, ϋη,οοο « 7,6899· ΙΟ41,
Μ In η,οοο = 0, D In η,οοο « 24,8965; 6) Φ (-1,384) « 0,0832, Φ (0) =
= 0.5, Φ(0) =0,5, Φ(2,769) « 0,9972; в) 0,5126..., 0,4873...
4.124. а) Μη,οοο = 1, ϋη,οοο = 1,062510°° - 1 « 2,1327- ΙΟ29,
Μ In η,οοο « —32,2693, Din η,οοο « 65,2357; 6) Φ(-1,7064) » 0,0440,
Φ (0,0633) « 0,5252, Φ (1,9996) « 0,9772; Φ (0,0633) » 0,5252,
β) 0,5126..., 0,5378...
4.125. 6) Φ (χ). 4.126. Μξ,- = Mgigj = 0 (*¥=/), Μξ2 = 1/η.
4.127., ρ2 = ξ2 4-· ·· + In, τ· e· Ρ2 имеет х2-распределение с it
степенями свободы, Мр2 = п, Dp2 =2п. 4.129. Φ (ж).
IV / N / N \2\
4.130. η 2 α{Ρ{, n 2 "i^i- I 2 aipi I )' стандартное
нормальное распределение.
297

4.131. a) Μη& = 3α, Dr|ft = 3b2, cov(i>, T)k+i) = 2b2, cov(i>, т1г,+2) =
= b2, cov(r\k, η,) =0 (|&-М >3), б) Ф(ж/У3).
4.132. Ф(ж). 4.133. a) χ = p/(l —ρ). 4.135. Стандартное
нормальное распределение.
4.136. Щ,(р = 0, D|^n) = 1; при д->-оо распределение ηη
сходится к стандартному нормальному распределению.
4.137. Распределение разности двух независимых случайных
величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона с
параметром 1/2:
^P{"n = *}=2 m\(\k\+m)r * = 0.±1. ±2,·..
η η
4.138. а) 2 ρψ\ Σ р\П) (1 ~ Р^)' в) Распределение
i=l i=l
η — η , где η и η независимы и имеют распределения
Пуассона с параметрами λ0 и λ соответственно.
4.139. Fn (χ) -> α + (1 - α) (l - e-rax) (x>0), если 1 _ dnAn -»
-»- m e (0, oo), an->- a^l при и -ν οο.
ΐ „ / m — 1 \ // m — 1
4.143. а) *'п = [1—]Г-)'/1*—1Г-
[ m-l\k-lk-1 (I n\l( η η-I
PN,> -u - v;} = (-г-) Π Κ1 - atJ/ i1 - ж -ir
6) 2-r.
Ik.UA. Распределение Пуассона с параметром λ/2.
4.145. Mvm = (1 + о (1)) ЛЧп ^~т, Dvm = (1 + о (Ϊ)) Ν Χ
I m Ν \
Χ д, — — In д, __—■ Ι; стандартное нормальное распределение.
1
4.146. ρ,=~» , i = i, ..., Ν. 4.147. См. решение.
% ι — zi
1 — 2 d
4·150· /n+l,JV (z) =/n.JV <2) + "AT" й"/пд(г)·
4.152. ехр{-С|г|а}.
4.154. a) 1—/(г) = (1 — isgn i)V«(l + »(!)), ί-»-0, где sgn г =
= ί/|ί| (ί¥=0). 6) α = 2; г(г) = exp{-(l-isgni)VO·
4.156. Распределение Коши с параметром пр(0).
4.157. MeW(6i + 6=) = Me^i+h) = e-aa|«>
(а + δ) π
4.158. /„ h (χ) = τ—!—'-» ~Γ·
а'ь ν ; аЪ ((а + δ)2 + χ2)
Глава 5
ft ft.—|s—tl
5.1. Μη( = β, Dti( = o22 e?, cov (η,, η,) = σ2 ^ сЛ + !*-*|
5 = 0 J = 0
при I s — t К ft, cov (η(, η8) = 0 при | * — ί | > ft.
298

5.2. б) Сходится. 5.3. б) Сходится. 5.4. Μξ^Ο, D?t = σ2 +
1 1
+ -j, cov (lt, ξ.) = у cos /1 (s - ί), s =£ t. 5.5. М|г = 0, D%t = 1,
1
cov(?(, ξ8) = γ (cos (s—г) + cos π (s-i)). 5.6. ρη (χ) = max {0,
1_|1—a: I}.
5.7. а) Нормальное распределение с параметрами (0, 1/2);
б) θη и γ независимы, уп имеет равномерное распределение на
[- щ π], lim Ρ (θη < χ) = 1 - e~x* (χ > 0).
П-»оо
i
5.8. Μη( = 0, Drif = 2 j (ί - и) Λ (и) du, Cov (η,, η,) = 1 (Dr)/+
ο
+ Dr]s-Dr]|t_s|), «,s>0.
5.9. a) ίΐ + ^·Υ~\ я^0; б) 1 - expi-^ (ж2 - 7ν)|, ζ >
>VTV; в) exp{-X^Ve-aX}, ;t>0.
5.Ю. а) Mtl=j, Μτ2=2; 6) Μτ^ίЦ-^Г^2' Μτ,=(ϊΖΓϊ)',~2;
в) Μτ = Μτ = е — 2.
1 1
5.11. Распределение Коши с плотностью ρτ (χ) ——; »\.
π (1 -f- χ )
fc-i
5.12. Μμ/ί = 1 + π"1 2 arctS (l/VT) = (2 +o (1)) Vfc/π, *->°o.
7 = 1
J 2П+2 ,,
5.15. Ml·^ (x) = 0, D|n (.τ) = д8 _ 1 ' (I x I =* *>. <=ον (ξ„ (*),
Ж1/ 1 \ \ *
3:1
= ra+l.
5.18. 6) (l-"l/l-4sp(l-p))/(2p); B)(l- Vl-is2p(i-p„))/(2sp).
5.19. Ρ{μ = — оо} = 1, если φι (1) = 1, Ρ {μ = — к} =
= (1-φι(1))φί(1), * = 0,1, ..., если φχ (1) < 1. 5.22. Μ | pn f =
= д, D | ρη Ι2 =2д (д — i)/d. 5.27. В указанных случаях Mv = то.
t
5.33. а) λ<; б) Л (г) =■ \ λ (и) du. 5.35. Mrh = —, Dtft == A,
о
ρ, (χ) = Af e~%x, χ-^0.
k (fc—1)1
5.36. a) ρ (ж , ..., xh) = Xhe lXfe, если 0< xi < ... < xh,
%x
P(x , ...,хЛ=0 в остальных случаях; б) .m , , (0^ж<Г),
-λ(χ-Γ)
i — (χ ^ Γ); β) —.
λ^ + Ι Г
299

5.37. ρ (ж ..., xk) = к\ T~~k, если О < χχ < ... < xk < Τ,
ρ(χν ...,xh) = 0 в противном случае; q (χχ, ..., х^5=р(х1,.. ,,xhy
5.38. λΤβ~λ&. 5.39. \Τβ~2λ&.
5.40. а) Пуассоновскпй поток на [0, оо) с интенсивностью 2λ»
б) ΘΛ независимы, Ρ {9ft = + 1} = Ρ {9ft = - 1} = 1/2. 5.41. λρ.'
5.42. "Κ (χ)ρ (χ). 5.43. Распределение Пуассона о параметром
λΜτ. 5.44. / (/) = ехр |— λ f (1 - G (ж)) dx
5.45. а) Пуассоновскпй поток па [0, оо) с интенсивностью
λ(χ) = 2λπχ\
2λπχ(λπχ2)η~1 λ_„2 д Г (re +1/2)
6)*^° (re-1)! ^πΧ (*>°)·ΜΡ»βγ^=ϊ)Γ
λ* Ι/ 1
У λπ
5.46. а) Пуассоновскпй поток на [0, оо) с интенсивностью
λ (ж) =4λπζ2;
б) η (χ) = 4λπ/ (^пхУз)"-1 β-4λπ*3/3 (г ^ 0)j Mpn =
(п — 1^
^ Г(ге+1/3) »ГЗ~ ~ /Ж
Г(ге) V 4λπ Κ 4λπ'
5.47. а) р(х) = шах{0, 1 —|1 —ж|}, б) ρι(ζ-ι, яг) =
■=> шах{1 — |1 — х\\ — |1 — ж2|, 0} при 0 «£ хи х2 £ζ 2. (1 — χ ι) Χ
Χ (1 — χ2) Ξ& 0, ρι(Ж[, Х2) = max{0, min{^i, χ% 2 — жь 2 — ж2}} при
0 ^ χι, χι ^ 2, (1 — Ж[) (1 — £2) «ξ 0, р! (ж[, ij) = 0 в остальных
случаях; в) 5/6; г) 1/4; д) Μκ = 7/12, C-κ = 23/144, q(x) = 1 - z2/2 при
Osgssgl, ?(z) = (2 — χ)2β при Is5a;s5 2, 9(ж) = 0 при
5.48. а) e~x(x>0), б) е-^*2) (а^, ζ2 >0), в) 2/е « 0,73576,
г) (1-е-1)2» 0,39958, д) Μκ = 1, Dx = l, 9 (χ) = е"х (ж> 0).
5.49. а) Периодическая с периодом 6 (детерминированная),
состояния —6, ..., —1 несущественные, остальные—сообщающиеся;
б) периодическая с периодом 6, все состояния сообщающиеся;
в) непериодическая; состояние —6 несущественное, остальные —
сообщающиеся.
5.50. а) (0,385, 0,336, 0,279); б) (16/47, 17/47, 14/47).
5 51 (3/7 4/7 )
Vi/ii ю/и/'
t+m t-\-m t—m
5.52. Ρ{η( = m\ = Ct2 p 2 q 2, если t — m четно, | m \ ^ t,
Ρ [η( = m\ = 0, если t—m нечетно или |m[>i.
5.53. а) Нет, если ρ φ q, да, если ρ = q — 1/2; б) да, рп =
= P-i,-i = P, Pi, -1 = Р-1, ι = 1 — р; в) да, ра = р23 = рз1 =
= Р43 = 1 —ρ, Ρ12 = Pit = Рз2 = Р« = р.
5.54. Р{ц0(ге + 1) = Aki0(re) = к} = /c//V, Р{ц0(ге + 1) =/с—
-1|μ0(η) = /с} = (N-k)jN.
5.55. Ρ {μ0 (n+ 1) = *- г |μ0 (re) = *} = Су-'^_А/С™.
300

5.56. a) pu — P+{q — p)i!N, /4,4-1 = pi/N, pii{+i= g(N — i)/Nl
p,j = 0, если \i — j\ > 1; in —цепь Маркова; б) nk — C,NpN~kgki
k=0, ... N.
5.57. a) pa те же, что в задаче 5.56, ξ„ —цепь Маркова при
N = 1 и не цепь Маркова при N > 2; б) Jift = ChNpN~hgh, к —
= 0 iV.
5.60. Является. 5.62. 1/6.
5.63. a) P{t = A:||0 = l} = (l-Pil)P^1, fc=i, 2, ...;б)отвег
не изменится. 5.64. Iim P{rn>xnja\=e~x (х^О).
П-»оо
5.65. s[l-p+p(l —ρ-ε) Wl-ps- es
1 - (1 - ε2). .
5.66. Распределение |η — биномиальное с параметрами (η, ρ)ι
Μξ„= rep, D|n = np (1 — ρ).
5.67. a) P {xh+1 = ί + и I rft = «} = ρ (1 - p)u_1, i > 0, u > lj
6) Μτ, = k/p, Dxh = к (1 - p)/pa, φ, (.) = (_£_)*.
^V (1 _ pS) 1 _ „ft
5.68. a) φ. (s) = -. i ' ■ ьч, Μτ. = <—-r-
/TftW l-i(l-(i-p)PV) (1 — P)Ph
6) Ρ {r\k^x\-ye~x, &->oo, ж>0.
ps 1
5.69. a) φ0ι1 (») = 1 _ (1 _ p) 5, Мтод = -; б) %л+1 («) =
«pi+ii-Pl^jW^W; в) Mtft>fc+1 =
M,0ik-fc(* + i)(p=.|); ^o,,-^d?(VT (p<t).
Mt».»~2Pi(p>l)·
5.70. 1; 4; 9. 5.73. Jt(ftw> = (l - λ*)/(ΐ - λΝ) при ρ =£ ?J
где λ = <?/р; π<^> = A/7V при ρ = q = 1/2; ji(ft0) = 1 - π^>, * =
= 0,1 ...,7V.
5.74. α) ρ β = i} = i_pg, Ρ{ξ=*}= *>?(?!■)*-* (1 - jr) (A > 2);
fi, 1-? .„ a, /143 171 86 V ... > /15 18 8 \
6> r=^ "· 5·75· a> (400 ' 400 ' 40oJ' 6)' B) W 41' 4lJ·
138 52
5.77. a) {1,2}; 6) -§7- = 1,42268...; в) pf> = ^ = 0,5360 ...,
p(«) = g = 0,4123 ..., piP> = 1 - p(.«), / = 1, 2; r) πχ = π, = 0,
92 46 51
π3 = 29Ϊ = °·3161 · · " π4 = 291 = °'1580· · · - π5= π6=Ϊ94= °-2628 · ■ ·
301

5.78. p£»+» = p<"> (1 - a~k) + р[п„\а-к+\ Μα6» = „ (α-1)+1,
Dai» = (a-1)3^.
582 |4i<'> '«('Λ =_«__( Ρ «L(' + «-P)'v
^21(0 /»„(*)/ α+βΐβ «/^ α+β
Ι-Ρ Ρ/ ' α + β' 2
5.85. а) Μδχ = 1 + j, D6, = ^ (2 - a - β), Μ {δ0|ξ0=2} =|,
5.87. He следует. 5.88. |- e il — — 1. 5.89. a) e-ai;
6) -J-ln2; в) /-п(0 = а»«-а"( (t> 0). 5.90. f P" 1'\ P» (0 U
1 /β «\ , e-«H-P>* / α _α\
α + β\Ρ α/ «+β \~ Ρ β/
5.92. »α (!) = ^ + £^ϊ (1 - .-(Ч-Р)*), ™2 (0 = Α -
5.93. Μ, (ι, ,) = -^ , +., + -J-i±J> (i - .-«Ж*),
Ry — ау„ β (у + νΑ
(α+β)3
/-(«!+«.) Ρ β\
5.94. α -Κ + β) 0 , π = -L-r-R,
π3 ~ α 4- β' π2 = ^ ~ πί — π3- 5.95. в) Если θ<1, το π^ =
= θ'(1-θ), если θ> 1, το η* =(θ — 1)/θ'+1, / = 0, 1, ...
Глава 6
6.1. Ms2 = сг; s —состоятельпая оценка σ2. 6.2. Mmr = ar,
α2τ— a* Dfp й „ „, V -2 // -2 ,
r = ~ίγ"="τ-· 2/ с"жь'где с* = σ" /(σι + ·· ·
... + σ~2). 6.4. Является. 6.5. Φ (ж). 6.7. ρ* = μη/η.
302

Μ. [^-^/£^Ц^^+Вв/€11Ц1£!1]1 где
η
ρ* = μη/η, 1— Φ ("α) = α. 6.12. λ* = — Ν zft, оценка состоятедь-
1
ная и несмещенная; Μλ* = λ, DX* = χ/η.
6.13, Ι*-ЦУ«, , M*=.i
6.14* a) α*=α, Ь* = 6, с* = с, где а, Ь, с—средние
арифметические по соответствующим выборкам; Μα* = α, Мб* = 6, Мс* = с,
0«·=Τ°ϊ· D6* = ^o|,Dc* = ia2;
б) α** = ά+ (с — ά - Ъ) кга, Ь** = b + (J — α — Ь) к% с** =.
= е-+(-в-Я-Ь)*», где *2 = а2/<Д fc2 = a2/o-2, *? = σ2/σ2,
σ2 = σ2+σ2, + σ2; Μα** = α, Μδ** = 6, Mc** = c, Da** =»
=^Ξ (1 _ fc2), Db**=°± (1 - *g), Dc** = U (1 - *«).
6.15. а), б) α* = α** = f 2 j^' ) L в) Μα* = ait Da* = σ2/„.
η
6.16. a) «J = i2vk [(Г„ - ρήΓί) „<*> + (rf - pftr0) 4")],
где Yfc = V(l - p£), Γ0 = 2 Vk, Γχ = 2 РЛ- Δ = Γ2 - Г2;
π
б) «Г = 1 2 <С в) Ma* = Ma** = a,, Da* =£u, Da**= I.
&=i
6).;-=±2»!»;..K=(i;rLir,
6.18. a) a, i /" j ... j /2 (г) d^ ... d*n - «Л
в)
_ ** 1
Da = _.
1 η
Άη ~ Ua T/V Цт + "a y^J' Где * ~ ф Ы = a'
6.19. c.
! ог"2 + °ϊ
ί = 1, 2; D4* = yV„+ _2
303

6.20. a) ζ = (t + z2 + (1 + ρ) g )/(3 -f- p), Dz = (1 + p)/(3 + p);
1
6) * = (*t + «2)/2, Dz = 0; b)i = , Л + сЛ + j «,, ^ + c2 =
1
= y; Dz = 1/2.
6.21. a) 4 = ( £ ££ j /X|; 6)M< = 4, D< = σ2/*2.
6.22. а) <=(|^)|(|Д
6.23. Л* = (2wi)/(2 ηι*?)· Μ/ί* = ^ D/4*=^x
Χ(2χί Τ) ' гдвп=л1+п2+-"'+пл· ^=(^1+···+^)/^
\t = l " /
(i = l *).
6.24. См. ответ к задаче 6.23. 6.25. ρ, ρ(ί — ρ)/η.
6.26. ρ,·^ρ(1-ρ)]?Ξτ· 6·27· а) *-У' б> *■
6.28. Miln=l/JV, ϋηη = 2/(a2iV3) + О (l/iV4), n/N-+ae= (0, οο),
Λ?-*· οο.
6.29. Μα* = α+(6— a)/(re+ 1), Mb* =δ — (δ —а)/(л+ 1), Da* =
(b — a)2n 1
= Di* = J—s—* , covia*, δ*) = — Da*.
(и -f l)2 (n + 2) v ' η
i_ γ 1
6.30. M*(1) = !/(«„), D*(I) = l/(ai»)'f M*(n) = ^2rf T' DV);
ft=i
Λ 2 4-·cov (*(«· *(»>)=-ГТ·
6.31. a) ΜΘ* = Μθ* = (α + 6)/2, DO* = (6 — a)2/(12«), DO* =
2
(Ъ — αΫ „ * 1 * 1 * 1 / 1
:2(Λΐ)(^ + 2)= б> Μθίι "«· °θί*=^V Μθ2=2^(1 + Τ+
ι_ / J_ JL ι
'2=4a2 l1+22 + 32 +,,,+ (η-I)
+ ώ + |-). D°2=zr(i + i- + ^- + ...+ ,_ \,2 +
4
+ T
1
6.32. Является; Мс* = с, Dc* = -5. 6.33. Μα = 1 м, Μα* =
= 1,0833 м, V~IA(i—a)2 = l μ, Ι^Μ (α* — α)2 =0,8706 μ.
6.34.6) μ(/„_/)» = 2Φ?+ ί 21 са)2; Μ(Α-χ-ο2<
i=1 \i-iV+l /
< Μ С» - О2' еСЛИ ση > е«·
304

6.37. ηη = f 2 *k)\n. 6.38. η„ = Ι ξ, (in (#>/#>)),
где |ь — число величин х^, равных к.
6.39. a) C = «ai+uaoiy«; б) "ασι + %σ2 = (а^— а^Уй; в) 0.
ι
6.40. а1=в-'>, ββ = |·-νί(ϊ,ώ.
о
6.41. а) λ* = τη/η; б) λ, λ2/η.
αβ
b.42. а) , ο, 0; б) является.

ТАБЛИЦЫ
Нормальное распределение
Таблица 1. Значения функции Φ (χ)
а
Μ
Ί/2π
χ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
Сотые доли
0
0,0000
398
таз
0,1179
554
915
0,2257
580
881
0,3159
413
643
849
0,4032
192
332
452
554
641
713
0,4772
821
861
893
918
938
953
965
974
981
987
1
0,0040
438
832
0,1217
591
950
0,2291
611
910
0,3186
437
665
809
0,4049
207
345
463
564
649
719
0,4778
826
864
896
920
940
955
966
975
982
987
2
0,0080
478
871
0,1255
628
985
0,2324
642
939
0,3212
461
686
888
0,4066
222
357
474
573
656
726
0,4783
830
868
898
922
941
956
967
976
982
987
я
0,0120
517
910
0,1293
664
0,2019
357
673
967
0,3238
485
708
907
0,4082
236
370
484
582
664
732
0,4788
834
871
901
925
943
957
968
977
983
988
4
0,0160
557
948
0,1331
700
0,2054
389
703
995
0,3264
508
729
925
0,4099
251
382
495
591
671
738
0,4793
838
875
904
927
945
959
969
977
984
988
Таблица 2. Значения функции иа
1 Г -х2'
Функция иа определяется равенством α = ,—- и '
iUx
а
"а
0,001
3,0902
0,005
2,5758
0,010
2,3263
0,015
2,1701
0,020
2,0537
0,025
1,9600
306

Сотые доли
5
0,0200
596
987
0,1368
736
0,2088
422
734
0,3023
289
531
749
944
0,4115
265
394
505
599
678
744
0,4798
842
878
906
929
946
960
970
978
984
989
β
0,0239
636
0,1026
406
772
0,2123
454
764
0,3051
315
554
770
962
0,4131
279
406
515
608
686
750
0,4803
846
881
909
931
948
961
971
979
985
989
7
0,0279
675
0,1064
443
808
0,2157
486
794
0,3078
340
577
790
980
0,4147
292
418
525
616
693
756
0,4808
850
884
911
932
949
962
972
979
985
989
8
0,0319
714
0,1103
480
844
0,2190
517
823
0,3106
365
599
810
997
0,4162
306
429
535
625
699
761
0,4812
854
887
913
934
951
963
973
980
985
990
9
0,0359
753
0,1141
517
879
0,2224
549
852
0,3133
389
621
830
0,4015
0,4177
319
441
545
633
706
767
0,4817
857
890
916
936
952
964
974
981
986
990
сс
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2Д
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
а | 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050
~а 1,8808 1,8119 1,7507 1,6954 1,6449

Распределение Пуассона
л h
Таблица 3. Значения функции pk (λ) = -τ^-ε~λ
\ λ
0
1
2
3
4
5
β
/ί ^4
0
1
2
3
4
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
1(5
17
0,1
0,90484
0,09048
0,00452
0,00015
0,2
0,81873
0,16375
0,01638
0,00109
0,00006
0,6
0,54881
0,32929
0,09879
0,01976
0,00296
0,00036
0,00004
1,0
0,36788
0,36788
0,18394
0,06131
0,01533
0,00307
0,00051
0,00007
0,00001
0,3
0,74082
0,22225
0,03334
0,00333
0,00025
0,00002
0,7
0,49659
0,34761
0,12166
0,02839
0,00497
0,00070
0,00008
0,00001
2,0
0,13534
0,27067
0,27067
0,18045
0,09022
0,03609
0,01203
0,00344
0,00086
0,00019
0,00004
0,00001
3,0
0,04979
0,14936
0,22404
0,22404
0,16803
0,10082
0,05041
0,02160
0,00810
0,00270
0,00081
0,00022
0,00006
0,00001
0,4
0,67032
0,26813
0,05363
0,00715
0,00072
0,00006
0,8
0,44933
0,35946
0,14379
0,03834
0,00767
0,00123
0,00016
0,00002
4,0
0,01832
0,07326
0,14653
0,19537
0,19537
0,15629
0,10419
0,05954
0,02977
0,01323
0,00529
0,00193
0,00064
0,00020
0,00006
0,00002
0,5
0,60653
0,30327
0,07582
0,01264
0,00158
0,00016
0,00001
0,9
0,40657
0,36591
0,16466
0,04940
0,01112
0,00200
0,00030
0,00004
5,0
0,00674
0,03369
0,08422
0,14037
0,17547
0,17547
0,14622
0,10445
0,06528
0,03627
0,01813
0,00824
0,00343
0,00132
0,00047
0,00016
0,00005
0,00001
308

Распределение Стьюдента
Таблица 4. Значения функции t
Функция ta n определяется равенством
где случайная величина τη имеет распределение Стьюдента с η
степенями свободы. Плотность распределения τη равна
'-««-7(|)^г(,+-)
.. 2а
η ^^
5
6
7
8
9
10
12
14
16
IS
20
22
30
со
0,10
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,782
1,761
1,746
1,734
1,725
1,717
1,697
1,045
0,05
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,179
2,145
2,120
2,101
2,086
2,074
2,042
1,960
0,02
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,681
2,624
2,583
2,552
2,528
2,508
2,457
2,326
0,01
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
8,169
8,055
2,977
2,921
2,878
2,845
2,819
2,750
2,576
309

/^распределение
Таблица 5. Значения функции χ^
Функция χ^ m определяется равенством
ρ (з&> *£,»») = «.
где случайная величина χ2^ имеет х2-распределение с та
степенями свободы. Плотность распределения χ2^ равна
1 i
P2W = ' ι т\ х
\ α
m X^
1
2
3
4
5
С
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,10
2,7
4,6
6,3
7,8
9,2
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
0,05
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
0,02
5,4
7,8
9,8
11,7
13,4
15,0
16,6
18,2
19,7
21,2
22,6
24,1
25,5
26,9
28,3
29,6
31,0
32,3
33,7
35,0
36,3
37,7
39,0
40,3
41,6
0,01
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
0,005
7,9
11,6
12,8
14,9
16,3
18,6
20,3
21,9
23,6
25,2
26,8
28,3
29,8
31
32,5
34
35,5
37
38,5
40
41,5
42,5
44,0
45,5
47
310

Случайные числа
Таблица 6. Равномерно распределенные случайные числа
Приведенные в таблице цифры можно рассматривать как
реализации независимых случайных величин, принимающих значения
0,1, ...,9с одной и той же вероятностью, равной 0,1.
10
37
08
99
12
80
20
15
88
98
34
45
02
05
03
И
23
18
83
35
22
50
13
36
91
65
80
74
69
09
73
21
45
76
96
68
26
85
11
16
09
54
42
01
80
95
63
95
67
95
07
57
05
32
52
19
40
62
49
27
10
72
74
76
82
48
12
35
91
89
03
11
52
62
29
47
94
15
10
50
73
20
26
90
79
90
61
33
67
11
27
18
16
54
96
92
30
38
12
38
94
56
07
66
60
11
43
09
62
32
95
57
16
11
77
92
03
74
00
53
25
48
89
25
99
91
04
47
43
68
68
24
56
70
47
91
97
85
50
84
05
82
00
79
89
70
56
98
68
05
71
82
42
39
88
76
68
79
20
44
33
05
53
29
70
17
02
64
97
77
50
06
92
48
78
70
32
79
24
35
58
48
78
51
28
74
35
17
03
05
86
53
37
90
22
86
58
54
40
84
76
64
19
09
80
39
00
35
04
12
36
35
68
90
35
98
И
83
88
99
60
29
18
90
93
17
17
77
66
14
40
14
96
94
54
46
70
32
12
40
52
89
64
37
15
29
82
08
43
17
69
30
66
55
80
52
80
45
68
59
97
40
47
36
78
46
72
40
25
22
21
38
28
40
38
16
29
97
86
21
01
47
50
67
73
27
29
03
62
17
73
34
57
35
83
01
50
29
54
46
09
52
54
47
56
85
70
27
22
56
81
55
60
05
21
28
73
92
07
95
35
42
93
07
61
49
16
36
76
68
61
26
48
75
42
77
54
96
02
73
34
42
06
64
13
09
80
72
91
85
65
37
26
64
45
35
41
65
46
25
86
96
03
15
47
45
65
06
59
33
70
14
18
48
82
67
31
34
00
48
33
01
10
93
68
50
15
14
48
14
44
63
55
18
98
54
35
75
97
63
34
24
23
38
64
66
31
85
63
73
65
86
73
28
60
14
39
06
86
87
50
52
68
29
23
58
45
43
36
46
91
80
44
12
03
94
53
57
96
43
67
80
20
31
03
06
06
26
57
79
81
79
05
46
93
90
80
28
50
51
50
77
71
60
47
04
31
23
93
42
49
33
10
55
60
75
14
60
64
65
35
52
90
13
23
57
01
97
33
64
33
90
38
82
52
56
82
89
75
76
07
56
17
91
83
77
82
60
68
75
91
69
48
07
64
08
03
04
48
17
48
40
25
11
66
47
08
76
21
57
98
74
52
87
03
86
77
80
84
49
39
78
78
10
41
69
23
02
72
67
45
45
19
37
93
99
33
08
94
70
76
37
60
65
53
17
05
02
35
53
85
39
47
09
44
07
32
83
01
69
98
51
17
62
13
74
74
10
03
88
23
98
49
42
29
23
40
81
39
82
311

Таблица 7. Нормально распределенные случайные числа
Приведенные в таблице 7 числа можно рассматривать как
реализации независимых, случайных величин, имеющих нормальное
распределение с параметрами а = 0, о2 = 1.
0,464
0.060
1,486
1,022
1.304
0,9«Г>
i.m
—1,501
—0,690
1,372
—0,432
-1,376
—1,010
—0,005
1,393
—1,787
—0,105
—1,339
1,041
0,279
—1,805
—1,186
0,658
-0,439
—1,399
0,199
0,159
2,273
0,041
-1,132
0,763
0,375
—0,513
0//.92
1,026
— 1,834
-0,287
0,161
— 1,346
1,250
0.137
-2,256 ■
-0,354
—0,472
-0,555
-0,513 ■
-1,055
—0,488
0,756
0,225
1,678 ■
—1,150
0,598
-0,899
—1,163
-0,261
-0,357
1,827
0,535
-2,056
—2,008
1,180
— 1,141
0,358
-0,230
0,208
0,272
0,606
—0,307
-2,098
0,079
—1,658
-0,344
—0,521
2,990
1,278
-0,144
—0,886
0,193
-0,199
2,455 ■
-0,531 ■
-0,634
1,279
0,046
-0,525
0,007
-0.162
-1,618
0,378
-0,057
1,356 ■
-0,918
0,012 ■
-0,911
1,237
—1,384
—0,959
0,731
0,717
—1,633
1,114
1,151
-1,939
0,385
-1,083
-0,313
0,606
0,121
0,921
— 1,473
—0,851
0.210
1,260
-0,574
-0,568
—0,254
—0,921
— 1,202
—0,288
-0,323 ■
-0,194
0,097
3,521
0,321
0.595
0,769
—0,136
-0,345
0,761
-1,229
-0,561
1,598
-0,725
1,231
1,046
0,360
0,424
1.377
—0,873
0,542
0,882
—1,210
0,891
-0,649
-0,219
0,084
—0,747
0,790
0,145
0,034
0,234
—0,730
—1,206
-0,491
—0,109
0,574
—0,509
0,394
1,810
-0,068
0,543 ■
0.926
0,571 ■
2,945
0,881 ■
0,971
1,033
—0,511
0,181
—0,486
—0,256
0.065
1,147
—0,199
—0,508
-0,992
0,969
0,983
—1,096
0,250
1,265
-0,927
—0,227
—0,577
-0,291
—2,828
0,247
-0,584
0,446
—2,127
—0,656
1,041
-0,899
-1,114
—0,515
—0,451
1,410
-1,045
1,378
0,296
—1,558
1,375
—1,851
1,974
-0,934
0,712
0,203
—2,051
—0,736
0.856
—0,212
0,415
—0,121
—0,246
-1,630
—0,116
-1,141
-1,330
—1,396
—0,166
—0,202
0,425
0,602
0,237
1,221
-0,439
1,291
0,541
-1,661
0,665
0,340
0,008
0,110
1,297
—0,566
—1,181
-0,518
0,843
0,584
—0,288
0.187
0,785
0,194
—0,258
1,579
1,090
0,448
—0,457
0,960
-0,491
0,219
—0,169
1,096
1,239
—0,146
—1,698
—1,041
1,620
1,047
0,032
0,151
0,290
0,873
—0,289
1,119
—0,792
0,063
0,484
1,045
0,084
—0,086
0,427
—0,528
-1,433
2,923
—1,190
0,192
0,942
1,216
1,298
—1,190
—0,963
1,192
0,412
0,161
-0,631
0,748
—0,218
—1,530
-1,983
0,779
0,313
0,181
—2,574
-0,392
-2,832
0,362
—1.040
0,089
0,079
—0,376
—0,902
—0,437
0,513
0,004
—1,275
—1,793
—0,986
—1,363
—0,880
—0,15а
—0,831
-0,813
—1,345
0,500
—0,318
—0,432
1,045
0,733
312

Продолжение табл. 7
0,630
0,375
—1,420
—0,151
—0.309
0,424
0,593
0,862
0,235
—0,853
0,241
0,022
—0,853
—0,501
0,439
0,471
—0,310
0,610
—0,220
0,738
0.884
0,457
—0,798
—0,768
0,023
1,531
-0,443
1,409
1,730
—0,266
—0,537
—1,941
0,489
—0,243
0,531
-0,444
0,658
—0,885
-0,628
0,402
—0,957
0,525
—1,865
—0,273
—0,035
-1,029
0,479
2,709
-0,057
—0,300
—0,298
1,064
0,162
—0,129
—1,204
0,349
—0,292
—0,883
—0,056
0,757
0,782
0,247
—1,711
—0,430
0,416
0,593
-1,127
—0,142
—0,023
0,777 ■
—1,885
—0,255
—0,423
0,857
-0,260
-2,015
—0,623
—0,699
0,481
—0,586
1,066
0,736
—0,342
—0,188
1,395
—0,958
—0,248 ·
—0,095
—1,488 ·
-0,361
0,060
—0,491
—1,186
-0,762
—1,541
0,993
—1,407
—0,504
—0.463
0,833
-0,371
—0,702
—0,432
—0,465
0,120
—0,594
—1,047
—1,347
0,996
—1,023
1,097
—0,916
1,222
-1,153
1,298
-0,059
-0,539
0,229
-0,078
0,194
0,499
0,665
0,754
0,298
1,456
—0,106
— 1,579
0,532
—0,899
0,410
-2,830
0,953
-0,973
—1,691
-0,558
-0,579
-0,120
0,191
0,071
-3,001
-1,752
-0,291
-0,933
—0,450
0,512
0,415-
—1,382
0,129
—2,361 -
-1,078
-0,431
-0,135
-0,732
1,049
2,040
0,116
—1,616
1.381
—0,394
—0.349
-0,238
—0,869
—1,016
0,417
0,056
0,551
0,418
0,074
0,524
0,479
-0,329
0,085
0,130
—0,244
—0,882
- 1,084
0,318
0,367
-0,992
0,529
1,705
—0,145
—0,066
1,810
—0,124
0,484
1,458
0,022
—0,538
-1,094
—0,627
—1,108
—1,726
0,524
—0,573
0,359
—0,094
1,501
0,031
0,402
—1,256
1,701
0,674
0,072
0,490
-0,856
—0,276
0,379
1,468
-1.805
1,164
—0,498
1,006
2,885
0,196
-1.272
1.262
-0.281
1,707
0,580
0,561
-2,357
1,956
—0,281
0,932
0,326
1,114
1,068
0,772
0,226
0,318
—1,087
0,899
1,028
—1,304
—0,063
—1.110
—0,440
0,131
-0,772

ПРОГРАММНЫЕ ДАТЧИКИ
ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Теория вероятностей и математическая статистика
изучают свойства математических моделей случайных
янлений. Существование тех или иных свойств таких
моделей обосновывается, как и в других областях
математики, строгими дедуктивными рассуждениями.
Однако поиск этих свойств может проводиться путем
экспериментов с математическими моделями. Для постановки
таких экспериментов необходимо иметь в своем
распоряжении последовательности чисел, которые, с той или
иной точки зрения, можно рассматривать как
реализации последовательности независимых случайных
величин (см., например, задачи 6.9 — 6.11). Другой важной
областью практических применений таких
последовательностей чисел являются методы Монте-Карло,
простейшие примеры которых содержатся в задачах 4.11
и 4.12.
В большинстве случаев необходимые для
статистических экспериментов последовательности чисел
получаются с помощью ЭВМ. Существует много различных
программ, вырабатывающих детерминированные
последовательности чисел, которые имеют достаточно
сложную нерегулярную структуру и поэтому во многом
похожи на последовательности случайных чисел. Чтобы
подчеркнуть принципиальное отличие этих
детерминированных последовательностей от «настоящих»
случайных последовательностей, такие программы называют
датчиками псевдослучайных чисел.
Ниже приводится несколько датчиков
псевдослучайных чисел для программируемого микрокалькулятора
«Электроника БЗ-34». Каждую из этих программ можно
использовать как подпрограмму, если заменить стоящую
314

в ее конце команду БП безусловного перехода к началу
командой В/О возврата из подпрограммы.
Для тех, кто владеет основами программирования, не
составит труда написать аналогичные программы для
других микрокалькуляторов или перевести их на какой-
нибудь язык программирования.
1. Псевдослучайные числа с равномерным
распределением на отрезке [0, 1].
Один из простейших способов построения
последовательности vo, V\, ι>2, · · · псевдослучайных чисел из
отрезка [0, 1] с распределением, близким к равномерному,
дает рекуррентная формула
νη+λ = {KvJ, rc = 0, 1, ..., (1)
где {х) обозначает дробную долю числа х, а К — целое
число, определяющее свойства последовательности {ι>„}.
Чтобы последовательность ivj имела достаточно
большой период и не была слишком регулярной,
целесообразно выбирать в качестве К целое двузначное число,
дающее при делении на 8 остаток +3 или —3.
Программа А реализует преобразование (1) числа vn<^(0, 1),
находящегося на индикаторе и хранящегося в регистре
С (в случае, когда К = 37).
Программа А
00 ПС
01 3
02 7
03 X
04 1
05 +
06 ПД.
07 КИПД
08 XY
09 ИПД
10 -
И С/П
12 БП
13 00
Вычисление vn = 37уп + 1.
Вычисление целой части [уп] числа vn.
Вычисление vn+1 = {у*} = ν* - [у*].
Выдача результата.
Переход к вычислению νη , 2.
Например, если перед началом работы программы
ввести на индикатор число ν0 = 0,1357913, то получим
последовательность 0,0242781, 0,8982897, 0,236719,
0,758603,...
315

Если заменить в программе А число К — 37 числом
К = 93, то получим другую последовательность
псевдослучайных чисел: 0,628591, 0,458963, 0,683559,
0,570987,...
Приведем еще один датчик псевдослучайных чисел,
соответствующий рекуррентной формуле уп+1 =
= {11ϊ;η + π}, η — 0, 1, ...; реализующая его программа
В отличается от программы А лишь несколькими
первыми командами.
Программа В
00 ПС 07 КИПД
01 1 08 ΧΥ
02 1 09 ИПД
03 X 10 -
04 Fit 11 С/П
05 + 12 БП
06 ПД 13 00
Начиная работу программы В с того же числа vq =
= 0,1357913, получаем; 0,6352969, 0,129859, 0,5700416,
0,4120502,...
2. Псевдослучайные числа с равномерным
распределением на отрезке [а, Ь], с равномерным
распределением на множестве {1, 2, ..., п) или с показательным
распределением.
Датчик псевдослучайных чисел, имеющих
равномерное распределение на отрезке [0, 1], позволяет легко
получать последовательность псевдослучайных чисел,
имеющих заданную функцию распределения F(x), если
обратная к ней функция F_i(j/)= sup{x: ^(х)<г/},
0 < у < 1, вычисляется достаточно просто (см. задачу
3.13). Например, если F (х)—функция равномерного
распределения на отрезке [а, Ь], то F~\ (г/)— а +(Ь — а)у;
если F(x)—функция равномерного распределения на
множестве {1, 2, ..., п), то F_i(y)= 1 + [пу]; если
F(x)= 1 — е~ах — функция показательного
распределения с параметром а, то Р-1(у) = — а-11п у.
Приведенные ниже программы С, D, Ε реализуют
указанные преобразования. Эти программы имеют общее
начало (команды 00 — 11) и используют регистр С для
хранения текущего значения псевдослучайного числа,
имеющего равномерное распределение на отрезке [0, 1].
Перед пуском каждой из программ С — Ев регистр С
следует заслать начальное значение i>oe(0, 1) датчика
псевдослучайных чисел.
316

В программе С (равномерное распределение на [а, Ъ])
регистр А должен содержать значение а, регистр В —
значение Ъ — а. В программе D (равномерное
распределение на {1, 2, ..., п}) регистр А должен содержать
значение п. В программе Ε (показательное
распределение) регистр А должен содержать значение а.
Программы С — Ε
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
И
ИПС
9
3
X
1
+
пд
кипд
ΧΥ
ипд
—
ПС
12
13
14
15
16
17
18
С
ипв
X
ИПА
Jr.
с/п
БП
00
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
D
ИПА
X
1
+
пд
кипд
ИПД
с/п
БП
00
12
13
14
15
16
17
18
Ε
Fin
—
ИПА
-н
С/П
БП
00
При одном и том же начальном значении vq =
= 0,1357913 (заполнении регистра С) эти программы
выдают следующие результаты:
С(а = — π, Ь = п): 0,8079611, -0,2578431,...
Т)(га = 12): 8, 6, 9, 7, 2, 6, 5, 4, 3, 12,...
Е(а = 1): 0,4642745, 0,7787857, 0,3804423,...
3. Псевдослучайные числа с нормальным
распределением.
Для построения последовательности
псевдослучайных чисел с нормальным распределением метод,
использованный в п. 2, неудобен, потому что функция,
обратная к функции нормального распределения, вычисляется
сложно. Здесь можно использовать утверждение (ср. с
задачами 3.230 и 4.127): случайные величины ξι и |г
независимы и имеют стандартное нормальное
распределение тогда и только тогда, когда независимы
случайные величины ρ3 = ξι + ?2 и φ = arg(|i + 1|г), причем
P{Q<P*<x}=l-e-"2, P{0<cp<x} = minil, %Λ,
х>0.
Поэтому если случайные величины vi и v2 независимы
и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1],
817

то случайные величины
ξι = cos (2πνι) ί—2 In V2,
: (2)·
ς2 = sin(2nvi)i—21nv2
независимы и имеют стандартное нормальное
распределение с Μξι = М|2 = 0, D|i — DI2 = 1. Переход от
случайной величины |, имеющей стандартное нормальное
распределение, к случайной величине η, имеющей
нормальное распределение с параметрами Μη = а, Оц = а2,
осуществляется по формуле (3.27) из вводной части
к гл. 3:
η = а + σξ. (3)
Программа F реализует преобразования (2) и (3) и
ныдает псевдослучайные числа парами. Регистр А
должен содержать значение а, регистр В — значение σ,
регистр С — начальное значение у0е(0, 1) датчика
псевдослучайных чисел, содержимое регистра 9 перед
началом работы должно быть равно 0.
Например, при а = 5 и σ = 1 получаем, начиная с.
у0 = 0,1357913, последовательность 4,137646, 4,0978265,
4,5707727, 4,0322492, 5,9907414,...
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
БП
14
ипс
9
3
X
1
+
ПД
кипд
ΧΥ
ипд
—
в/о
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1
ИП9
—
П9
Fx^O
42
ПП
02
ПС
ПП
02
ИПС
Fn
X
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Пр
2
X
П1
Fcos
ΧΥ
НС
Fin
И
2
Χ
FV~
Π2
БП
45
о г ρ а м м a F
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
ИП1
F sin
ИП2
X
ИПВ
X
ИПА
+
С/П
БП
14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической
статистики.— 3-е изд.— М.: Наука, 1983.— 416 с.
2. Б о ρ о в к о в А. А. Теория вероятностей.— 2-е изд.— М.:
Наука, 1986.- 431 с.
3. Б о ρ о в к о в А. А. Математическая статистика. Оценка
параметров. Проверка гипотез.— М.: Наука, 1984.— 472 с.
4. И в ч е н к о Г. И., Медведев Ю. И. Математическая
статистика.— М.: Высшая школа, 1984.— 248 с.
5. К о л м о г о ρ о в А. Н. Основные понятия теории вероятностей.—
2-е изд.—М.: Наука, 1974.—119 с.
6. К о л м о г о ρ о в А. Н., Фомин СВ. Элементы теории
функций и функционального анализа.— 6-е изд.— М.: Наука, 1989.—
543 с.
7. К ρ а м е ρ Г. Математические методы статистики.— 2-е изд.:
Пер. с англ.—М.: Мир, 1976.—648 с.
8. Π ρ ο χ ο ρ о в А. В., Ушаков В. Г., У ш а к о в Н. Г. Задачи
по теории вероятностей. Основные понятия. Предельные
теоремы. Случайные процессы.—М.: Наука, 1986.—327 с.
9. Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ.— М.: ИЛ,
1963.- 287 с.
10. С е в а с τ ь я н о в Б. А. Курс теории вероятностей и
математической статистики.— М.: Наука, 1982.— 255 с.
11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее
приложения: в 2 т. Пер. с апгл.—М.: Мир, 1984.—Т. 1.—528 с; Т. 2.—
752 с.
12. Ч и с τ я к о в В. П. Курс теории вероятностей.— 3-е изд.— М.:
Наука, 1987.— 240 с.
13. Ширяев А. Н. Вероятность,—2-е изд.—М.: Наука, 1989.—
576 с.

Андрей Михайлович ЗУБКОВ
Борис Александрович СЕВАСТЬЯНОВ
Владимир Павлович ЧИСТЯКОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
Издание третье, стереотипное
ЛР№ 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.004173.04.07
от 26.04.2007 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lpbl.spb.ru; www.lanbook.com
192029, Санкт-Петербург, Общественный пер., 5.
Тел./факс: (812)412-29-35, 412-05-97, 412-92-72.
Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71
ГДЕ КУПИТЬ
ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ:
Для того, чтобы заказать необходимые Вам книги, достаточно обратиться
в любую из торговых компаний Издательского Дома «ЛАНЬ»:
по России и зарубежью
«ЛАНЬ-ТРЕЙД». 192029, Санкт-Петербург, ул. Крупской, 13
тел.: (812) 412-85-78, 412-14-45, 412-85-82; тел./факс: (812) 412-54-93
e-mail: trade@lanpbl.spb.ru; ICQ: 446-869-967
www.lanpbl.spb.rii/price.htm
в Москве и в Московской области
«ЛАНЬ-ПРЕСС». 109263, Москва, 7-ая ул. Текстильщиков, д. 6/19
тел,: (499) 178-65-85; e-mail: lanpress@ultimanet.ru
в Краснодаре и в Краснодарском крае
«ЛАНЬ-ЮГ». 350072, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1
тел.: (8612) 74-10-35; e-mail:lankrd98@mail.ru
ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ:
интернет-магазины:
«Сова»: http://www.symplex.rii; «Ozon.ru»: http://www.ozon.ru
«Библион»: http://www.biblion.ru
также Вы можете отправить заявку на покупку книги
по адресу: 192029, Санкт-Петербург, ул, Крупской, 13
Подписано в печать 20,07,09,
Бумага офсетная, Гарнитура Обыкновенная, Формат 84x108 1/32<
Печать офсетная, Уел, п, л, 16,80, Тираж 2000 экз,
Заказ №
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Издательско-полиграфическое предприятие «Правда Севера»,
163002, г, Архангельск, пр, Новгородский, д, 32,
Тел./факс (8182) 64-14-54; www.ippps.ru