в
з
--.-1----Uj-,-*---1- ----------------—• О. Кунгу. E.B. Orkrpob
• . . .	_,1 ... J 1 ,  U 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
РУКОВОДСТВО К PEUEHUKI зядяч *
К.Н. Кунгу. Е.В. Arkrpob
высшая МАТЕМАТИКА РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ зндвч
Часть 1
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям и специальностям
МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2010
УДК 510
ББК 22.1
Л 84
Лунгу К. Н., Макаров Е. В. Высшая математика. Руководство к решению задач. 4.1. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМ АТЛИТ, 2010. - 216 с. - ISBN 978-5-9221-0903-1.
Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий по высшей математике в Московском государственном открытом университете на различных факультетах. В пособии большое внимание уделяется решению типовых задач по вычислению пределов, по построению и исследованию графиков функций, по дифференциальному исчислению. Наряду с большим числом решенных задач, приводятся упражнения для самостоятельного решения; ко всем главам даны контрольные задания.
Пособие рассчитано на студентов очной, заочной и вечерней форм обучения факультетов, где математика не является профилирующей дисциплиной.
Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям и специальностям.
ISBN 978-5-9221-0903-1
© ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2010
© К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров, 2008, 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................................... 6
Глава I. Системы линейных уравнений............................... 8
§ 1.	Метод	Жордана-Гаусса...................................... 8
§ 2.	Метод	Крамера............................................. 17
§ 3.	Метод	обратной матрицы.................................... 24
§ 4.	Ранг матрицы. Исследование систем......................... 30
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости................... 36
§ 1.	Декартовы системы координат. Простейшие задачи........... 36
§ 2.	Полярные координаты...................................... 38
§ 3.	Линии первого порядка.................................... 43
§ 4.	Линии второго порядка.................................... 49
§ 5.	Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду........................................... 59
Контрольные задания (к главам I и II)......................... 64
Глава III. Элементы векторной алгебры............................ 66
§ 1.	Понятие вектора. Линейные операции над векторами......... 66
§ 2.	Скалярное произведение векторов.......................... 70
§ 3.	Векторное произведение векторов.......................... 73
§ 4.	Смешанное произведение векторов.......................... 75
Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве................. 79
§ 1.	Плоскость в пространстве................................. 79
§ 2.	Прямая в пространстве.................................... 84
§ 3.	Плоскость и прямая в пространстве........................ 87
§ 4.	Поверхности второго порядка.............................. 94
Контрольные задания (к главам III и IV)...................... 101
Глава V. Функции................................................. ЮЗ
§ 1.	Основные понятия......................................... ЮЗ
§ 2.	Деформация графиков функций............................. 106
4
Оглавление
§ 3.	Предел последовательности.............................. 112
§ 4.	Вычисление пределов функций............................ 117
§ 5.	Односторонние пределы.................................. 127
§ 6.	Непрерывные функции.................................... 129
Глава VI. Элементы высшей алгебры.............................. 134
§ 1.	Понятие комплексного числа............................. 134
§ 2.	Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.............. 135
§ 3.	Арифметические действия с комплексными числами......... 137
§ 4.	Извлечение корня из комплексного числа................. 139
§ 5.	Разложение рациональной дроби на простейшие............ 142
Контрольные задания (к главам V и VI)....................... 147
Глава VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной................................................. 149
§ 1.	Определение производной................................ 149
§ 2.	Геометрическая, механическая и экономическая интерпретации производной.................................................. 150
§ 3.	Связь дифференцируемости с непрерывностью.............. 152
§ 4.	Таблица производных и правила дифференцирования........ 152
§ 5.	Дифференциал функции и ее линеаризация................. 156
§ 6.	Производные и дифференциалы высших порядков............ 158
§ 7.	Дифференцирование обратных функций. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.................... 159
§ 8.	Основные теоремы дифференциального исчисления.......... 163
§ 9.	Применения производной................................. 164
§ 10.	Асимптоты....................................;........ 170
§ 11.	Исследование функций на выпуклость, вогнутость и перегиб при помощи второй производной.................................... 173
§ 12.	Применение высших производных......................... 174
§ 13.	Исследование функций и построение графиков............ 177
Контрольные задания......................................... 185
Глава VIII. Функции нескольких переменных...................... 187
§ 1.	Определение функции нескольких переменных.............. 187
§ 2.	Предел и непрерывность функции двух переменных......... 188
§ 3.	Частные производные и дифференциал функции двух переменных 191
§ 4.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Линеаризация функций двух переменных...................................... 194
§ 5.	Частные производные и дифференциалы высших порядков.... 196
§ 6.	Производная по направлению. Градиент................... 198
§ 7.	Формула Тейлора для функций двух переменных............ 201
Оглавление	5
§ 8.	Экстремум функции двух переменных..................... 202
§ 9.	Наибольшее и наименьшее	значения функции.............. 206
§ 10.	Метод наименьших квадратов........................... 208
Контрольные задания........................................ 210
Список литературы............................................. 212
Предисловие
Настоящее учебное пособие написано авторами на основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения практических занятий по высшей математике в Московском государственном открытом университете на различных факультетах очной, заочной и вечерней форм обучения, где математика не является профилирующей дисциплиной.
Авторы поставили перед собой цель — привить студенту умение грамотно выбрать правильный подход к решению конкретной задачи. Перед тем как начинать решать любые задачи, имеет смысл познакомиться с теорией по учебникам, список которых указан в конце книги. Хотя в книге достаточно много теоретической информации, иногда имеется намек на то, откуда тот или иной факт можно извлечь. Например, из теорем, приведенных в §8 гл. VII, получается много других правил (алгоритмов) и формул: правило Лопиталя, необходимые условия экстремума, формулы Тейлора и др.
Каждый параграф всех восьми глав, как правило, имеет единую структуру. В начале параграфа даны основные теоретические сведения, формулировки теорем, их интерпретации, формулы. Затем приведено достаточное количество примеров, которые позволяв грамотно выбрать правильный подход к решению конкретных задач. Решенные в пособии задачи не только имеют алгоритмический характер, но и способствуют формированию и развитию у студента аналитико-синтетического стиля мышления, который должен обеспечить возможность проанализировать и решить любую задачу из раздела «Упражнения», помещенного в конце параграфа.
Отметим отдельные методические особенности настоящего пособия. В гл. I, наряду с методом Гаусса решения линейных систем, мы приводим хорошо известный более экономный метод Жордана-Гаусса (мнемоническое правило прямоугольника). При этом все системы можно поместить в одну таблицу Гаусса — компактное средство получения решения. В таблице Гаусса удобно найти матрицу, обратную для данной, определить ранг системы, ранг матрицы, произвести другие действия. Авторы считают методически оправданным прием введения формул Крамера (в §2) до понятия определителя. Это должно стимулировать желание студента узнать, что такое определитель и как он вычисляет
Предисловие
7
ся. В §3 гл. II мы строим график специфической функции, заданной в полярных координатах (пример 3). Цель примера состоит в том, чтобы заложить основу понимания многолистных функций комплексной переменной. Большое внимание уделяется построению графиков функций посредством их преобразования, вычислению пределов. Построено большое количество графиков функций с полным их исследованием.
Некоторые задачи могут быть решены разными способами, и мы рекомендуем читателю выбрать простейший.
Опыт работы студентов и преподавателей МГОУ с аналогичным пособием показал целесообразность его создания.
Главы I, III, VI—VIII написаны К.Н. Лунгу, а главы II, IV, V — Е.В. Макаровым.
Существенному улучшению настоящего издания способствовали замечания, подсказки и советы профессоров Л.А. Уваровой (МГТУ «Станкин»), В.И. Михеева (РУДН), А.Б. Будака (МГУ) н особенно А.А. Пунтуса (МАИ). Всем им авторы признательны и благодарны.
s
Глава I
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод Жордана-Гаусса
1°. Система из т линейных уравнений с п неизвестными в общем случае записывается так:
' ацх\ + 0122:2 + ••• + а\пхп =bi,
, 021^2 + 022^2 + •••+ а2пХп = &2,	Щ
,	Ctm2*^2 4“ • • - 4~	— Ьт*
Коэффициенты {а^}, г = 1,2, ...т, j = 1,2, ...п, и свободные члены {bj}, г= 1,2,...т, — заданные действительные числа. Первый индекс i в записи а,; обозначает номер уравнения, второй — j — номер неизвестной.	1
Решить систему (1) — значит найти все ее решения, т. е. все такие наборы чисел (оц, х%, хп), которые при подстановке во все уравнения системы превращают их в верные равенства, или доказать, что решений нет.
Система (1) называется:
—	совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
—	определенно совместной, если она имеет только одно решение;
—	неопределенно совместной, если она имеет более одного решения;
—	несовместной, если она не имеет ни одного решения.
2	°. Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе несовместны.
Переход от одной системы к равносильной осуществляется при помощи множества элементарных преобразований:
§ 1. Метод Жордана-Гаусса
9
—	умножение обеих частей любого уравнения на отличное от нуля число;
—	прибавление к одному из уравнений произвольного другого, умноженного на любое число;
—	удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения Oxj + 0^2 + • • • + Qxn = 0;
— если в системе имеются два или более уравнений с пропорциональными коэффициентами, то сохранить нужно только одно из них.
Уравнение Oxj + Охг + ... + 0хп = Ь, где b / 0, не имеет решений. Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т. е. несовместна.
3°. Один шаг метода Жордана-Гаусса состоит в приведении системы (1) к виду
'а'иХ1 + ... + a\q_jXq-i +a'lg+1xg+i + ... + a'Inxn =b\,
< a'plxi + ... + a'pq_1xg-l +Xg+a'pg+lxq+i + ... + а'рг1хп =b'p,	(2)
- amlXl + •• • + О-™ q-iXg-l	+°m Q+I xq+l +  •• + amnXn= bm,
в котором одна неизвестная xq сохранена с коэффициентом 1 только в р-м уравнении, а из остальных исключена. Систему (2) назовем разрешенной относительно неизвестной xq, поскольку ее легко выразить через остальные неизвестные данной системы.
Для того, чтобы получить систему (2), требуется следующее:
1)	коэффициент apq при xq в уравнении с номером р должен быть отличен от нуля; в дальнейшем apq назовем ведущим, или разрешающим коэффициентом, а р-е уравнение — ведущим уравнением',
2)	р-е уравнение надо разделить на аР9;
3)	для получения нулевых коэффициентов при xq в остальных уравнениях следует из г-го уравнения вычесть ведущее уравнение, сначала разделенное на apq, а затем домноженное на aiq.
Тогда все остальные коэффициенты а^и bi преобразуются по формулам
а;. = ai. _	, b'i = bi -	, i^p, j/ q.
Эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса. Расчет по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямоугольника, наглядно показанным на следующих диаграммах:
apj
Q-pg
Q-iq
aij
Qiq
Ьр
10	Гл. I. Системы линейных уравнений
Смысл диаграмм следующий: новый коэффициент а.1?- (или bj) получается из старого вычитанием из него произведения соседних (по прямоугольнику) коэффициентов, деленного на противолежащий (разрешающий) коэффициент apq.
4°. На втором шаге сохраним с коэффициентом 1 другую неизвестную в другом уравнении, исключая из остальных.
Через г (г т) шагов систему (1) можно привести к системе, состоящей из г уравнений (остальные (т — г) тривиальных уравнений, если такие были, отброшены) и содержащей г разрешенных неизвестных. Эти г неизвестных назовем базисными (используя векторную терминологию, которая появится позже), остальные — свободными, или независимыми. Основная часть метода Жордана-Гаусса завершена.
Если г = т = п, то система разрешена относительно всех неизвестных, т. е. однозначно совместна.
Если г < п, то, выражая базисные (зависимые) неизвестные через свободные (независимые), получаем «общее» решение системы в соответствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать и из которого можно получать различные частные решения, в том числе базисное (так называется решение, соответствующее нулевому набору свободных неизвестных).
Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независимыми, произвольными), а какие — зависимыми (базисными).
5°. Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таблицы, которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной единицы, будем называть единичным столбцом. Цель преобразований Жордана-Гаусса — получить г (г т) единичных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столбцам, являются базисными, остальные — свободными. Последний блок таблицы изображает систему, разрешенную относительно г базисных неизвестных.
Примеры с решениями
Пример 1. Решить линейную систему
' X] + 2^2 — Зхз — Х4 —	10,
—2x1 — 3x2 + 7хз = —23, 2х[ + 6x2 — 5хз — 5x4 = 18,
, —Х[ +	Зхз —4х4 = —11.
Решение. Имеем т = 4, п = 4.
Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид («св. ч.» означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта соответствует знакам равенства):
$ 1. Метод Жордана-Гiycca
11
Ж1	Х2	хз		св. ч.
ф	2	-3	-1	10
-2	-3	7	0	-23
2	6	-5	-5	18
-1	0	3	-4	-11
1. Выполним первую итерацию, т. е. получим первый единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента ац = 1 (в таблице он обведен кружком). Для этого над строками таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены справа от таблицы):
1)	первую строку сохраняем (переписываем);
2)	первую строку, умноженную на 2, прибавим 9 ко второй;
3)	первую строку, умноженную на —2, прибавим к третьей;
4)	первую строку прибавим к четвертой.
Получаем второй блок таблицы:
Х\	Х2	хз	Х4	св. ч.
1	2	-3	-1	10
0	1	Ф	-2	-3
0	2	1	-3	-2
0	2	0	-5	-1
2.	Приведем к единичному третий столбец, в нем уже имеется один нуль. Ведущий коэффициент одз = 1 обведен кружком. Далее:
1)	вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем вместо первой строки;
2)	перепишем вторую строку без изменения;
3)	вторую строку, умноженную на —1, прибавим к третьей;
4)	четвертую строку перепишем без изменения.
Эти действия выражаются числами и стрелками, показанными справа от второго блока таблицы. Третий блок таблицы имеет вид:
XI	Х2	хз	Х4	св. ч.
1	5	0	- 7	1
0	1	1	-2	-3	t
0	Ф	0	-1	1	—5 1—11—2
0	2	0	-5	-1 1
3.	Следующая итерация заключается в получении третьего единичного столбца. Для этого примем в качестве ведущего коэффициента аз2 = 1 и выполним следующие действия: третью строку, умноженную на —5, —1, —2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку переписываем без изменений. Получаем четвертый блок:
*) Вычитание в формулах пункта 3° заменяется прибавлением по арифметическим соображениям (вычитание есть прибавление противоположного числа).
12
Гл. 1. Системы линейных уравнений
X]	Х2	хз	Х4	св. ч.
1	0	0	-2	—4
0	0	1	-1	-4
0	1	0	-1	1
0	0	0	Q	-3
4.	Наконец, последнюю итерацию выполним, выбирая в качестве ведущего коэффициента «44 = —3. Четвертую строку разделим на —3. Остальные действия очевидны. Получаем:
X]	Х2	хз	Х4	св. ч.
1	0	0	0	-2
0	0	1	0	-3
0	1	0	0	2
0	0	0	1	1
5.	После четырех итераций получили таблицу, соответствующую системе, разрешенной относительно всех неизвестных (г = т = п = 4):
х> = —2, Х2 = 2, хз = —3, 2:4=1.
Запишем это также в виде: X = (-2,2,-3, 1). Система определенно совместна.
Примечание. Подставьте эти значения неизвестных в данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства.
Пример 2. Решить линейную систему
' —Х[ — 2x2 — 6x3+ 3^4 = —1, 2x1 + 5^2 + 14хз — 7x4= 3, 3xi + 7x2 + 20хз — 10x4 = 4, - Х2 - 2хз + Х4 = -1.
Решение. Каждый раз в качестве ведущего будем принимать простейший коэффициент, т. е. либо 1, либо —1. Подчеркнем, что цель преобразований заключается в получении нулей в ведущем столбце. Как получить нулевые коэффициенты в единичном столбце, видно из решения примера 1. Для этого ведущую строку надо умножить на надлежащие числа (иногда на 1 или —1) и прибавить к остальным строкам, не содержащим 0 в этом ведущем столбце. Поэтому ограничимся выделением в каждом блоке ведущего коэффициента, не комментируя сами преобразования и не указывая соответствующие числа со стрелками. Результаты вычислений поместим в единую таблицу Гаусса, которая имеет следующий вид:
§ 1. Метод Жордана-Гаусса
13
Х1	Х2	хз	Х4	св. ч.
0	-2	-6	3	-1
2	5	14	-7	3
3	7	20	-10	4
0	-1	—2	1	-1
1	2	6	-3	1
0	Ф	2	-1	1
0	1	2	-1	1
0	-1	-2	1	-1
1	0	2	-1	-1
0	1	2	-1	1
Последние две строки удалены как нулевые (они соответствуют тривиальным уравнениям).
Из последнего блока таблицы получаем систему
Х[ = — 1 — 2хз + Х4, Х2 = 1 - 2хз + &4, выражающую «почти» общее решение исходной системы. Смысл слова «почти» заключается в неравноправном участии неизвестных.
Положим хз = а, Х4 = (3 (а и /3 — произвольные постоянные или параметры).
Тогда система
Xi = -1 - 2а + /3,
Х2 = \ — 2а + /3, хз = а, ,х4 = (3
представляет общее решение системы в параметрическом виде. Все неизвестные выражены (равноправно) через два параметра а, (3 € Ж.
Решения, получаемые из общего при фиксированных значениях параметров а и (3, называются частными.
Например, при а = 1, /3 = 2 получаем: xj = -1, Х2 = 1, хз = 1, Х4 = 2.
При а = -1, /3 = 1 получаем xi = 2, Х2 = 4, Х3 = -1, х4 = 1. Базисное решение соответствует нулевому набору свободных переменных: если а = 0, (3 = 0, то х\ ~ -1, Х2 = 1, хз = О, Х4 = 0.
Ответ запишем так: Хо = (—1 - 2а 4- /3, 1 - 2а 4- !3,а,Р), ХЧ1 = (-1, 1, 1,2), Хч2 = (2,4,-1, 1), Х6 = (-1, 1,0,0).
Пример 3. Решить систему уравнений
Xi + 2x2 + Зхз 4- х4 = 1, 3x1 + 13х2 + 13хз 4- 5x4 = 3, 3xi 4- 7х2 4- 7хз 4- 2x4 = 12, Xi 4- 5x2 4- Зхз 4- Х4 = 7, 4xi 4- 5х2 + 6x3 + х4 = 19.
14
Гл. I. Системы линейных уравнений
Решение. Вместо таблицы Гаусса будем использовать другую, более компактную интерпретацию ее блоков. Вертикальная черта в блоках соответствует знакам равенства в уравнениях системы. Знак ~ (читается «тильда») между двумя соседними блоками означает, что системы, соответствующие этим блокам, равносильны. Имеем:
/Ф 2	3 1	1\	/ 1	2	3 1	1\	/ 1 2		3 1	1\
3 13 3 7	13 5 7 2	3 12	0 ~ 0	7 1	4 2 —2 -1	0 9		0 7 0 1	4 2 -2 -1	0 9
1 5	3 1	7	0	3	0 0	6	: 3	оф	0 0	2
\ 4 5	6 1	19/	\0	-3	-6 -3	15 J	:(-3)	к» 1	2 1	-5/
единичный столбец второго блока получен в результате умножения первой строки на —3, —3, — 1, — 4 и последующего прибавления ко второй, третьей, четвертой и пятой строкам соответственно; во втором блоке произвели почленное деление четвертой и пятой строк на 3 и —3, т. е. сокращение уравнений
/1 О
О О о о
О 1
\о о
3
4
—2 О
2
1
2
-1 О
1
~3\
-14
7 2
-7/
10 3 1
0 10 0
0 0 2®
10 10
0 10 0
0 0 2 1
4 \
2 .
-7 /
Вторая и третья строки четвертого блока отброшены как пропорциональные пятой. Заметим, что выделение ведущего (разрешающего) элемента однозначно определяет действия по обнулению элементов ведущего столбца, поэтому мы отказались от применения чисел и стрелок, обозначающих действия над строками блока.
Последний блок изображает систему, состоящую из трех уравнений (г ~ 3, т ~ 5) с четырьмя неизвестными (п = 4). Соответствующая система приведена к трем базисным неизвестным; разрешая ее относительно этих неизвестных, получаем
fxi = 4 — хз,
Х2 = 2,
Х4 = -7 - 2жз.
Положим хз = а, затем а = 0. Тогда общее р базисное решения принимают вид соответственно:
Хо = (4 — а,2,а,—7 ~ 2а), Х6 = (4,2,0, -7).
Заметим, что переменную х2 нельзя получить среди свободных (свободная переменная может принимать любые значения, тогда как х2 = 2).
Пример 4. Решить систему уравнений
' Xi +	хз + 2x4	+	3^5 — 4x6 =	20,
2x1+	Х2	-	Зхз	+	Х5 + 2хб = -13,
* 5х] —	Х2	+	Хз + 2x4	+	6x5	—	20,
ч 2xi -2x2	+	3хз	+	2x5 + 2хб =	13.
Решение. В предыдущих примерах преобразования Жордана-Гаусса свелись к действиям над уравнениями системы, или строками таблицы, потому что все ведущие коэффициенты были равны 1. Если
§ 1. Метод Жордана-Гаусса
15
же ведущие коэффициенты отличны от 1, то действия над строками
могут вызывать затруднения, и в таких случаях следует пользоваться формулами преобразования Жордана-Гаусса, т. е. правилом прямо
угольника.
С целью экономии места решение этой системы приведем также в блоковой записи:
/1	0	12 3-4
2 ф -3 0 1 2
5-1	126	О
\ 2 -2 3 0 2 2
/ -6 0 3 0-40
21-30	1	2
7/2 0 -1 1 7/2	1
\ 6 0 -3 0	4	6
20 \	/ 1 0 1 2 3 -4 20 \
-13 I [21-301 2 -13 I
20	~	7 0 -2 ® 7 2	7
13/	\ 6 0 -3 0 4 6-13/
13
-13
7/2
-13
1 0 -1/2 0 2/3 1
0 1	-2 0 -1/3 О
5/2 0 -1/2 1 17/6 О
—13/6 \
-26/3
17/3 /
(последняя строка пропорциональна первой, поэтому она удалена). Подчеркнем, что цель наших преобразований состоит в получении единичных столбцов.
Приведем примеры применения правила прямоугольника в третьем блоке. При этом одна из вершин каждого прямоугольника должна совпасть с ведущим элементом ащ = —6, противоположная вершина — с элементом, подлежащим пересчету:
-6 -	- (-6) 1 щ - 7	(~6)1 - 7	1 - 5-
7/2 - 3 -	1	2	-6	2	2 1	«23 = -3-^ =-2;
-3 -@ •	-	2	-6 -	13 ।	V _ 7	13-1	7 ,13	17
1 •	_ 7/2	2	~6	2	6	3
Из последнего блока получаем общее решение системы в базисе (х2, Х4, хе):
	'Xi = Н,
26	0,1 Х2 =	 + 2хз + - Х5, 3	3	Х2 = — — + 2t2 + - 4з, 3	3
17	5	,1	17 Х4 = — — - X] + - Хз — — Хз,	хз = t2, 17	5 ,	1 ,	17
3	2	2	6	х4 = — - - ti + - t2 - — t3,
13	,1	2 хр, =	-х\ + -хз - -хз, т. е.	3	2	2	6 Х5 =t3,
<6	2	3	13	. , 1 .	2 , Хб = — —	4- - t<2 — - t3, <6	2	3
t\, t2, t3 Е Ж.
16
Гл. 1. Системы линейных уравнений
При £[ = 1, £2 = — 1, £з = 2 получаем частное решение Хч = = (1, -10,-1,-3,2,-5). Базисное решение имеет вид Xf, = = (0,-26/3,0, 17/3,0,-13/6).
Пр имечание. Метод Гаусса (усеченный метод Жордана-Гаусса) допускает получение в очередном блоке таблицы Гаусса столбца, отличного от единичного, т. е. неизвестную не обязательно исключать из всех уравнений, кроме одного. В этом случае говорят о приведении системы уравнений к ступенчатому виду. Это важно в смысле экономии времени, когда коэффициенты системы «неудобные», особенно, если система окажется неразрешимой.
Пример 5. Решить систему уравнений
' 5xi + 12x2 + 19хз + 25x4 = 25, lOxi + 22x2 + 16хз + 39х4 = 25, 5xi + 12x2 + 9хз + 25х4 = 30, , 20xi + 46x2 + 34хз + 89х4 = 70.
Решение. Нули в столбцах будем получать только под диагональю соответствующей матрицы.
0
0
® 12 10 22 5 12 20 46	19 16 9 34	25 39 25 89	25 \ 25 I 30 ~ 70 /	< 1 0 0 о	12/5 19/5 @ -22 0 -10		5 -И 0 -11	5\ -25 5 -30 /
					—2	-42		
12/5 19/5			5 5\		Z1	12/5	19/5	5
1	11	11/2 25/2			0	1	11	11/2
0 (			0	5		0	0	1	0
0 -	^0		0 -5 J		\0	0	0	0
выражает противоречивое
5\ 25/2 -1/2 -15/
Последняя строка несовместна.
уравнение
система
Упражнения 1
Методом Жордана-Гаусса решить линейные системы.
' 5xi + 4хз + 2х4 = 3, . Х[ — Х2 + 2хз + х4 = 1, 4xi + Х2 + 2хз = 1,
, Xi + Х2 + хз + х4 = 0.
{xi + 2x2 - 4хз = 1, 2xi+ Х2 — 5хз = — 1,	4.
XI - Х2 - ХЗ = -2.
{Х1 +3x2 — 5хз = — 1, 2x1— хг + 3хз= 4,	6.
3xi+2x2 —5хз= 0.
' X] + 2x2 + Зхз + 4х4 = 5,
2 X] + Х2 + 2хз + Зх4 = 1, xi + Зхз + 4х4 = 2, k X] + Х2 + 5хз + 6х4 = 1.
' —5x1 — 6x2 + 2хз — 6х4 = 4, < —xi + 3x2 + Зхз — 8х4 = —5, Зх[ + 7x2 + хз — 2х4 = — 7, , —xi — 2хг	~ 2.
X] — 3x2+2хз — Зх4 — 2x5 = 4,
Х1 - Х2 - Хз - Х4 + Х5=	1,
Х1+2Х2	+ х4 + 3X5 = — 6,
,3x1—2x2 + хз-Зх4 + 2х5= 0.
§ 2. Метод Крамера
17
Х[ — 3x2— 5хз + Х4 =	3,
—5xi+7x2+ хз + 11х4= 65, 2xi —6х2+3хз+12x4= 4, 3x1—5x2—4хз— 3x4=—17.
X] — 5x2— 8х3 + Х4 = 3, 3X1+ Х2 — Зхз—5x4= 1, xi- 7хз+2х4=—5, 11х2+20хз—9x4 =20.
Решить системы в указанных базисах.
(Х1+2хг + Х4+Зх5 = —6, 2x1—4х2+4хз-5х4+ Х5=-6, 2xi+3x2+ хз + Х5= 2
В (х3,Х4,Х5).
{2x1 + Х2 — Хз — 2X4	+ Хб = 4,
Х1+Х2+ Хз + Х4 + Х5 + Хб=1, xi + Х2 - 2хз + 3x4 — Х5 + Хб = 8
В (Х1,Х2,Хз).
Ответы
1. XI = 1, Х2 = —1, х3 = —1, Х4 = 1. 2. X] = х4 = 2. 3. xi = 2а — 1, х2 = а + 1, хз = а.
3
х2 = - , х3 =
4	2
X] = 2 — 2а, х2 = —2 + а, х3 = 1 + а, Х4 = а
в базисе (хь х2, хз),
Х6 =(2,-2,1,0), Хч] = (0,-1,2, 1)
или
X] = -2 - 2/3,
12 = 13,	,	.	, х, =(-2,0,3,2),
Сз-З+Д » базисе (а,,,вд.зч),	3).
, х4 = 2 + /3,
5. X = (1,1,1). 6. Система несовместна. 7. X = (14,12,-4,5).
8.	Система несовместна.
а V	( д	17	25	7	д Ч	5	7	а	11	,	1	L	1
9.	Хо	=	( а, в,	—	—	— а	—	— /3, 5	—	-	а —	- /3, —-F	— а	+	-/31,
\	3	12	2	4	2	3	12	2 /
х6 = (о, о, - , 5, - - Y
\ з 3 )
iav" ( 5.13,	1, г- г*,	,	72,	2 , , , , А
10.	Хо= - - Н---1, —12,5-6ti-13,-------1- -t\ — t2,ti,t2,t3 ,
\ 3	3	3	333	/
x6 =	- , 5, z , 0,0, oY
\ 3	3 J
§ 2. Метод Крамера
1°. Если в системе (1) число уравнений равно числу неизвестных (т = п):
011X1 + а (2 Х2 + ... + ai п Хп, Ь\, a2i X] + а22х2 + ... + а2пхп = Ь2,
®п1Х1 + On2X2 + ... + С1ПпХп — Ьп
(3)
18
Гл. I. Системы линейных уравнений
и система имеет единственное решение, то оно может быть найдено при помощи формул Крамера
где Д — основной определитель записывается так:
системы (3),
который
символически
Д=
«11
«21
«12
«22
«1п
«2п
(5)
^п2 ••• О'пп
а Д1, Дг, , Дп получаются из Д, если в нем заменить соответственно первый, второй, ..., п-й столбец на столбец из свободных членов. Д называется определителем порядка п: он состоит из п строк и п столбцов.
Сначала рассмотрим определение и вычисление определителей раз
личных порядков п.
2°. Если п = 1, то Д состоит из одного элемента (числа) Д = |ац| (в этом случае вертикальные черточки означают «определитель», а не «модуль»). По определению |ац| = ац.
Если тг = 2, то Д =	“^1 = аца12 - a2ia22.
3°. Для указания способа вычисления определителя третьего и более высоких порядков (см. (5)) введем необходимые понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором Mij элемента определителя (5) называется определитель порядка (?2 — 1), получаемый из (5) вычеркиванием строки с номером г и столбца с номером j.
Величина Aij = (— Г)г+з называется алгебраическим дополнением элемента а^.
Например, для определителя третьего порядка
Д =
1 — 2	3
-4	5	6
О 1 —2
имеем:
1)	an = 1, Ми = J J = -10 - 6 = -16,
Лц = (-1)I+1 - ЛГц = -16;
2)	ai2 = —2, М12 = | -J _6 | = 8, Д12 = (-1)‘+2  М12 = -8;
3)	О1з = 3, М1з = | -4 J | = _4> Л13 = (_i)i+3.	= _4
4°. Способ вычисления определителя порядка п выражается следующей теоремой о разложении определителя по строке или столбцу (под линией понимается строка или столбец).
§ 2. Метод Крамера
19
Теорема 1. Определитель порядка п (п 3) равен сумме произведений элементов какой-либо линии на их алгебраические дополнения.
Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо линии на алгебраические дополнения другой параллельной линии равна нулю.
Например, для определителя из п. 3° воспользуемся разложением по первой строке. Получаем
1 —2	3
-4	5	6
О 1 -2
Д =
= 1 . (-16) + (-2) • (-8) + 3- (-4) =
= -16 + 16- 12 = -12.
5°. С теоретической точки зрения при вычислении определителя безразлично, какую строку или какой столбец взять для разложения. С практической точки зрения лучше брать ту линию, которая содержит нулевые элементы, и чем их больше, тем лучше.
Например, для вычисления определителя четвертого порядка
2	3-14
л - 5 1	0 °
- 0 6 О 3
0-8	0-4
лучше брать сначала разложение по третьему столбцу:
Д = -1 . (-1)1+3
5	1	0
0 6-3
0-8	4
5	1	0
0	6-3
0-8	4
Этот определитель третьего порядка разложим по первому столбцу:
Д = -5 • I J "J I = -5 • (-24 + 24) = 0.
6°. При вычислении определителей порядка п 3 могут оказаться полезными следующие их свойства.
1)	При транспонировании (так называется действие замены строк столбцами и столбцов строками с сохранением их порядка) значение определителя не изменяется. Таким образом, строки и столбцы определителя равноправны.
2)	Если определитель содержит нулевую линию (т. е. состоящую из одних нулей) или две параллельные пропорциональные линии, то его значение равно 0.
3)	При умножении любой линии на произвольное число значение определителя умножается на это число. Иными словами, общий множитель элементов некоторой линии можно вывести за знак определителя.
4)	При перестановке двух параллельных линий значение определителя изменяется на противоположное (определитель меняет знак).
20
Гл. I. Системы линейных уравнений
5)	Значение определителя не изменится, если к элементам произвольной линии прибавить соответственные элементы любой другой параллельной линии, умноженные на одно и то же число.
7°. Теорема 3 (Крамера). 1) Если для квадратной системы (3) Д ф 0, то она имеет единственное решение, которое определяется по формулам (4).
2)	Если Д = 0 и хотя бы один из определителей Д? А 0 (j = = 1,2,..., п), то система несовместна.
3)	Если Д = Д1 = Д2 = ... = Дп = 0, то система (3) неопределенно совместна.
Примечание. В случае 3) решить систему можно методом Жордана-Гаусса. Вместе с тем ее можно решить также методом определителей. Только формулы Крамера применимы не к системе (3), а к модифицированной системе (см. пример 4 ниже).
8°. Определители третьего порядка встречаются чаще. Поэтому для них (и только) покажем два простых правила вычисления.
а)	Правило параллельных линий заключается в следующем. К исходному определителю приписываем два первых столбца и составляем две группы произведений, как указано на диаграмме:
Д =
а2 Ь2 а^Ь^
А
= (ai&2C3 + Ь1С2аз + щаг^з) —
- (азЬ2С1 + Ьзс2а[ + 0302^1) = А - В.
в
Например,
= (_5 + о - 40) — (0 - J6 - 60) = 21.
б)	Правило Саррюса (треугольников) заключается в том, что множители произведений, составляющих суммы А и В, образуют фигуры, показанные на следующей диаграмме:
В
= А — В.
Например,
= (12 - 12 + 30) - (10 + 16 - 27) = 30 + 1 = 31
(показана только фигура А).
§ 2. Метод Крамера
21
Примеры с решениями
Пример 1. Решить систему уравнений
2rCl — Х2 — 3, 3^1 + 4^2 = 7.
Решение.
А = | з | = 2-4-3-(-1) = 8 + 3+ И, Д1 = | 7 “I | = 12 - (-7) = 19, Д2 = | 2 -3 | = 14 - 9 = 5.
пл,	V	19	5	„/19	5
По формулам Крамера: xi	=	— , Х2 = —	, или X =	(	— , —
Пример 2. Решить систему
Г	3^1	-	2x2	+	хз	=	—10,
<	2^1	+	Зжг	-	4жз	=	16,
[	х\	—	4^2	+	Зжз	=	—18.
Решение. Имеем:
д= u-j|=4-< "1+2-|?"НМ =
= 3(9 - 16) + 2(6 + 4) + (-8 - 3) = -21 + 20 - 11 = -12,
Д1 =
-10 —2	1
16	3	—4
-18 —4	3
= 12,
Д2 =
3 -10	1
2	16	—4
1 -18	3
= -24,
Аз —
3 —2 -10
2	3	16 = 36.
1 —4 -18
Следовательно, Х{ = -1, Х2 = 2, х$ = —3, или X = (-1,2, -3).
Пример 3. Решить систему
Xi	—	2х2	+	Зжз	=	5,
2^1	+	Зжг	—	хз	=	7,
3rci	+	Х2	+	2.т3	=	10.
Решение. Вычисление следующих свойствах 2) и 5) из п. 6°. Имеем
определителей основано на
Д =
1-2	3111	11—231
2 3-1	’ = 3	12=0.
3	1	2 |	| 3	1 2 |
22
Гл. I. Системы линейных уравнений
Стрелка с числом обозначает умножение соответствующей строки на это число и прибавление результата к указанной стрелкой строке. Далее:
5-2 3
2	0 0 =
10	1 2
=	2| = +14.
Система несовместна.
Пример 4. Решить систему
Х1 — 2х2
2xi + 3x2 3xi +
+ Зхз = 5. - хз = 7, + 2жз = 12
Решение. Имеем (предлагаем самостоятельно убедиться в этом):
	1	—2	3				5		— 2	3	
А =	2	3	-1		= 0,	А! =	7		3	-1	= 0,
	3	1	2				12		1	2	
	1	5	3					1	—2	5	
д2 -	2	7	-1		= 0,	Аз =		2	3	7	= 0
	3	12	2					3	1	12	
Система неопределенно совместна. Покажем, как обойтись формулами Крамера в этом случае.
Если первое уравнение прибавим ко второму, то получаем систему
Xi — 2х2 + Зхз =	5,
Зап + Х2 + 2хз = 12, За?! + Х2 + 2жз = 12
Xi — 2x2 + Зхз =	5,
З.Т] + Х2 + 2хз = 12.
I
Не прибегая к методу Жордана-Гаусса, перепишем систему так (это будет модифицированная система):
Xi — 2х2 = 5 — Зхз, 3^1 + Х2 = 12 — 2а;з.
Произвольно объявили хз свободной неизвестной, a xi и Х2 — базисными. Это возможно потому, что
д=|;
Далее,
Д1 = |	~2! | = 5 - Зхз + 24- 4.т3 = 29 - 7ж3,
Д2 = | з JI | = 12 - 2жз - 15 + 9ад = -3 + 7х3.
§ 2. Метод Крамера
23
г	29 — 7хз
Следовательно, xi = -------
1
нечное множество решений.
29	3
Общее решение имеет вид xi =-------а, хг =------h а, хз = а, или
7	7
х2 = 3 + 7жз. Система имеет беско-7
3
7
29
7
Пример 5. Решить систему
{2^1 + 2х2 — хз + Х4 + 4^6 = 0, Х[ + 2х2 + 2жз + З.тг5 + х(, = -2, XI — 2X2	+ Х4 + 2хз = 0.
Решение. Теорема Крамера непосредственно к этой системе не применима, так как система не квадратная. Тем не менее систему можно решить относительно трех каких-либо неизвестных, если соответствующий определитель отличен от нуля. Перепишем систему в виде	« с
Г 2х\ + 2x2 — хз = — Х4 — 4^6,
< xi + 2X2 + 2.т3 = -2 - З.Т5 - х§,
( Х1 — 2x2
= —Ж4 — 2ж5.
2
Основной определитель Д = 1
1
2
2
—2
-1
2 =16/0.
0
Вторая (модифицированная) система может быть решена по формулам Крамера, если принять в качестве свободных членов выражения, стоящие в правых частях уравнений (они содержат свободные неизвестные, что и оправдывает их название). Рекомендуем проверить равенства:
Д1 = —4 — 10^4 — 18x5 — 18жц, Дг = —2 + З.Г4 + 1х$ — 9^6,
Дз — —12 + 2ж4 — 22а?5 + lOrrg-
Следовательно,
Д1
= “Г
3 .3 = --
(перепишите общее решение
1	5
— - — - Хл —
4	8
3 ----.Т4 +
16
+ -Х4 -8
в параметрической форме);
7
— Ж5 -
16
8
9	9
- х5 - - х6, 8	8
9
5 -ж6
8
—3,-2, 1,
1,-5,о,0,0).
8	4	)
24
Гл. I. Системы линейных уравнений
Упражнения
Решить системы уравнений при помощи формул Крамера.
( 5xi + Зхг = 8, I 7X1 — 6x2 = 1.
( xi — 2х2 = 4, 2xi — 4хг = 8.
_ ( 3xi + 2х2 = 8,
16xi + 4хг — 9.
( 2xi + Зхг + 2хз = 7, 4. < 3xi — 5хг + 2хз = О,
I Х1 — 5^2 + Зхз = — 1 •
5.
6.
2x2 — Хз + 2x4 = —3, XI + х2 + Зхз = 10, —2x1 + Х2 — Зхз + 2x4 = —12, 3xi 4- 2x2	— Х4 =	3.
' 3xi + 2x2 + 2хз + 2x4 = 9, 9xi — 8x2 + 5хз + Юх4 = 16, 5xi — 8x2 + 5хз + 8x4 = 10, ч 6xi — 5x2 + 4хз + '7-т4 = 12.
{xi + Х2	+	4хз	+ Х4 + Х5+Хб	=	-1,
3xi — 2x2	—	Хз	+ 2x4 + Х5 — Хб	=	1,
2xi	+	Зхз	~ 2x4 + 2x5 + Хб	=	—3
относительно (хг,хз,Х4).
!xi — 2x2	—	хз	+ 2x4 =	7,
2xi — Х2	+	Зхз	— Х4 =	5,
3xi — 3x2	+	2хз	+ Х4 =	10.
Ответы
1. (1,1). 2. 0. 3. (2а + 4, а), (4,0), (0,-2). 4. (1,1,1).
5.	(2,-1,3,1). 6. (1,1,1,1). 7. х2 = 1 + -xi + хз + -х5,
2	3
112	1	7 о 13	, 7 о г
хл= -—X]—-хз—xs, хе = —-—3x1— — хз'—-xs. 8. Система 3	3	3	6	3	3	3
несовместна.
§ 3. Метод обратной матрицы
(6)
1°. Матрицей размерности т х п называется таблица, состоящая из тп чисел или выражений, называемых элементами и расположенных в т строках и п столбцах:
ап а,2	... ain
“21	а22	а2„
^7П1 ^ТП2 ••• ^ТПП
Можно обозначать А = (а^)^[ П=1 или просто (а^).
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размерности и элементы, стоящие на одинаковых местах (i.jj, равны.
§ 3. Метод обратной матрицы
25
Матрица в называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:
0 0 0 0
0 0 0 0 бобо
Если число строк т матрицы (6) равно числу столбцов п, то такая матрица называется квадратной.
Элементы квадратной матрицы «ц 1,0,22,  ,апп (с одинаковыми строковыми и столбцовыми индексами) составляют главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побочной.
Квадратная матрица Е называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1, а все остальные — нулю:
/1 0 о 0\
Е = ° 1 0 0 I \0 0 О 1/
Замена строк столбцами, а столбцов — строками (с сохранением их порядка) называется транспонированием матрицы.
Обозначение:
(«11	«21	«т1\
«12	«22	••• «m2 I .	= Д
а2п. ••• О'тп /
2°. Для матриц определяются три действия: умножение матриц на число, сложение (вычитание) и умножение матриц.
1)	Произведение матрицы А на число А есть матрица ХА, или ДА, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число А.
Например,
/ 1	2 \	/ 3	6 \
3-0	1	=	0	3 ;
\ 2 -4 /	\ 6 -12 /
0	0 2 А
1 -3 4 ) ’
0 0-4
—2 6 -8
2)	Суммой А + В (разностью А — В) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С, каждый элемент су, которой равен сумме (разности) соответствующих элементов и bij. Имеем А + В = = В + А.
Например, (2 — 1 4) + (0 2 5) = (2 1 9);
-1	4	—2	\	/	5	6 2 \	/	-6	—2	—4 \
0	-1	3	)	-	2	-1 3 )	=	-2	0	0	.
4	5	6	)	\	0	15/	\	4	4	1/
3)	Произведение АВ определяется не для произвольных матриц А и В. Оно имеет смысл только в том случае, когда число столбцов
26
Гл. I. Системы линейных уравнений
А равно числу строк В. При этом А  В есть матрица С, каждый элемент сщ которой равен сумме последовательных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
cij = ацЬу + <+2 Д' +  . + aikbkj
(k — число столбцов матрицы А и число строк матрицы В).
Например:
? л)-(| J) =
/1-2 — 2-3 + 3-0 11 —2-0 —3-1\_Л—4 —2 \
^ 0-2+1-3 — 20 0-1 + 10 + 2-1 /~ ( 3	2 J ’
/ 2
ВА = 3
\ 0
1 —2	3
0	1 —2
( 2- 1 + 1-0
3-1+0 \ 0- 1 -0- 1
-2 • 2 + 1  1
-3-2+0- 1
-0-2-11
2-3- 1 -2 \ 33-0-2 0-3+ 1 -2 )
2 -3 4 \
3 -6 9 ,
0—12/
сравнивая А • В и В • А, видим, что, вообще говоря, АВ / ВА;
1 2 3 4 \ ( 1
5 6 7 8 ) Д 3
9 \
4 1 невыполнимо (число столбцов первой матрицы
не равно числу строк второй);
л	R	/3 -5	\	(	4	5\_/3-4 + 5-2 3-5-5-3\_/ 22	0\
~	(2	4	) Д	—2	3/“Д2-4 — 4-2 2-5 + 4- 3/-^	0 22 Д
R	Л	_	( 4	5	\	(	3	-5 \ _ ( 3-4 + 5- 2 4-5-5-4\/	22	0\
13	‘ Л	~	I —2	3	Д	I	2	4 ) ~ I —2 • 3 + 3 • 2 2 • 5 + 3 • 4 ) ~ I	0	22
— это «редкий случай», когда А  В = В • А;
/ 2 1 \ ( 1	2 \	( 0 0 \
(6 3/1—2 —4 ) = ( о 0 ) — произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.
3°. Действия с матрицами обладают следующими свойствами:
1)	А{В + С) = АВ + АС, (Л + В)С = АС + ВС, (АВ)С = = Л(ВС).
2)	АЕ = ЕА = А (Л — квадратная матрица).
Например,
2-з 1 \ / 1 0 0 \
4	5	6-0 1 0
7	8 - 9 ) \ 0 0 1 )
1 0 0 \	/ 2 -3	1 \
0 10-4	5	6
001/ \ 7	8-9/
2-3	1 \
4	5	6	;
7	8	-9	/
2-3	1 \
4	5	6	;
7	8	-9	/
§ 3. Метод обратной матрицы
27
если А = ( _ j —2 ) , то А3 - ЗА = (А2 - ЗЕ)А = 0 (указание: А2 = — А- А, А3 = А2 • А).
3)	(АВ)Т = ВТАТ.
Например, в этом можно убедиться на следующих парах матриц:
/2-3	4 1 \	/ 1
А =	6	0-23, В = о
\ 4 -2	15/	\ 4
5°. Квадратная матрица А называется невырожденной, если соответствующий определитель (называемый определителем матрицы и обозначаемый det А) отличен от нуля; если det А = 0, то А называется вырожденной матрицей.
Матрица, обозначаемая А-1, называется обратной для матрицы А, если А  А-1 = А-1 • А = Е.
Теорема 4. Если А — невырожденная квадратная матрица, то для нее существует обратная матрица, которая может быть определена по формуле
(Ап	А21	/1з1	...	А„]\
Л|2	А22	-4.32		4п2
......:   I
Л2п	А^ П	•••	Ann/
где Aij — алгебраическое дополнение элемента в det А (см. § 2, п. 3°).
6°. Система из т линейных уравнений с п неизвестными может быть записана в матричной форме так (согласно определениям произведения матриц и равенства матриц):
где
АХ = В,
(7)
(8)
Теорема 5. Если (7) — квадратная система (т = п) и Д = = det А 0, то ее решение может быть определено по формуле
X = А~1  В.
7°. Обратную матрицу можно найти методом элементарных преобразований Жордана-Гаусса, а вычисления производить в таблице Гаус
28
Гл. I. Системы линейных уравнений
са. Блоки таблицы Гаусса делятся на две равные части. В левую часть блока заносятся элементы квадратной невырожденной матрицы А, для которой надо найти обратную матрицу А-1. Правая часть блока заполняется элементами единичной матрицы той же размерности, что и А. Выполняя преобразования над строками блока с целью получения единичной матрицы в левой части таблицы, в правой ее части получаем искомую обратную матрицу.
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 6°). Решить систему
Решение. Имеем
<3 -5\ Л _ |3 —5
^2	4j’	|2	4
Ап = 4, А12 = —2, A2i = +5, А22 = 3,
л-1 _ 1/4 5\ _ / 2/11 5/22\
71 - 22 \~2 3/	К-1/!! 3/22/ ‘
V - 4-1 R — 1 С 4 5\ /2А _ 1 / 4 • 2 + 5 • 5\ _ 1 /33\ _ /3/2\
Л -А	3Д5^ - 2Д_2.2 + 3.5>) -
Получили xi = 3/2, Х2 = 1/2, или X = (3/2,1/2).
Пример 2 (к п. 6°). Решить систему
3^1 — Х2 + Зхз = 5, 2ж1 — Х2 + 4жз = 5, xi + 2x2 — Зхз — 0.
Решение.
3'
4
/3 -1	3'
А = 2 -1	4
\1	2	-3
3 -1
detA= 2 -1
1	2
3
4 =ч-Ю.
Следовательно, А — невырожденная матрица, поэтому она обладает обратной матрицей А-1.
Вычислим 9 алгебраических дополнений (см. §2, п. 3°):
Л,,= d| = -5. Л„ = -|| _’| = 10.	Л,3=	-‘| = 5,
=	_з| = 3. fe= |f _g|=—12, Л!3 = -1’	= -7,
Al- |z] ’l"-1’ А2 = -|г 5| = -6. Аз= ||	=
Согласно теореме 1
1	1 /	-5	3
А-1 =	- —	10	-12
10 к	5	—7
§ 3. Метод обратной матрицы
29
Настоятельно рекомендуем проверить равенства А • А 1 = = А"1 -А = Е.
Таким образом, по теореме 5, имея в виду обозначения (8), получаем
X =
-5
10
5
3
-12
—7
-1
-6
-1
\ /5\ 5
) \0/
1\	Г	Х\
1 ] , т. е. < Х2
1/ I тз
1,
1,
1.
Пример 3 (к п. 7°). Найти А *, если
/ 3	-1	3	\
А =	2	-1	4	.
\ 1	2	-3	/
Решение. В левую часть первого блока таблицы Гаусса заносим элементы матрицы А. В правую часть блока записываем единичную матрицу третьего порядка. Переход от одного блока к следующему осуществляем при помощи формул Жордана-Гаусса. Ведущие коэффициенты обведены. Рабочая таблица имеет следующий вид:
	-1	3	1	0	0
2	-1	4	0	1	0
1	2	-3	0	0	1
1	-1/3	1	1/3	0	0
0	Р7з)	2	-2/3	1	0
0	7/3	—4	-1/3	0	1
1	0	-1	1	-1	0
0	1	-6	2	-3	0
0	0		-5	7	1
1	0	0	1/2	-3/10	1/10
0	1	0	-1	6/5	3/5
0	0	1	-1/2	7/10	1/10
/ 1/2 -3/10 1/10 \ Получили А 1 =	-1	6/5 3/5 ) .
\ -1/2	7/10 1/10 /
Упражнения
Найти матрицы, обратные для данных матриц.
/52	1 \
7.	3 7 -11	.
\ 8 1	6 /
/ 2	6	2	2	\
| 3	1	3	4	1
5	2-1	7
\ 0	5	6	-1	/
30
Гл. I. Системы линейных уравнений
Решить системы матричным способом.
Г 2^1 + Зжг — 5я?з = 0,	( — xi + 3^2 + 2жз = 4,
9. < —3^1 + 2х2 + 4а?з = 3,	10. < 2a;i + Х2 + Зхз = 6,
( — xi + 2x2 + Зхз = 2.	[	2x2 + хз — 3.
Х2 + 2хз - х4 = 4, 3xi — а?2	+ 2х4 = 9,
2x2 + 2хз = —2, ч 2xi + Зхз + х4 = 15.
Ответы
1	/	Э	17	11	\
1.	—	11	-13	5	.
76	\	15	3	—7	/
,	/	0	5	5	\
3.	—	-6	0	3	.
15	\	9	-5	—2	)
9	(	3/19	2/19	\
5/19 -3/19 ) 
/	1/2	-3/10	1/10	\
4.	-1	6/5	3/5	.
\	-1/2	7/10	1/10	)
(1/3	1/6	-1/2	0\	/175	35	-70	0	\
2/3 -1/6	-11/2	1 I 20	7 -12	8
-1/3	1/3	1	-1	' °’ 105	150	42	-62	-17
-1	-1/2	2	1/2 /	\-10	7	13	3	/
7. Не существует. 8. Не существует. 9. X = (—13/31,17/31,5/31).
10. Х = (1,1,1). И. Х = (1,2, 3,4).
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
1°. Обратимся к матрице (6) из §3, п. 1°. В ней фиксируем некоторые к строк и к столбцов. Из элементов, стоящих на пересечениях этих к строк и к столбцов, можно составить минор (определитель) Mk порядка к. Он может равняться нулю или’ нет. Наибольший из порядков всевозможных отличных от нуля миноров Mk, где к = 1, 2,...,min(m, п), называется рангом матрицы А и обозначается rank А. Очевидно, что rank А min(m, п).
2°. Простейший способ определения ранга матрицы состоит в приведении ее к ступенчатому виду или к единичным столбцам при помощи последовательности элементарных преобразований, к которым относятся:
— умножение строки на произвольное число, отличное от нуля;
— прибавление к некоторой строке любой другой строки, умноженной на любое число;
— вычеркивание нулевой строки.
Элементарным преобразованиям матрицы соответствуют элементарные преобразования системы уравнений.
Теорема 6. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг.
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
31
3°. Между рангом матрицы А и рангом системы уравнений А • X = В есть связь, выражаемая следующей теоремой.
Теорема 7. Ранг системы уравнений равен rank А.
4°. Иногда важно знать, совместна или нет система уравнений А • X = В, не интересуясь самим решением этой системы.
Если к матрице А присоединим столбец В свободных членов системы, то получаем расширенную матрицу А.
Теорема 8 (Кронекера-Капелли). Для совместности системы уравнений А  X = В необходимо и достаточно, чтобы rank А = rank А.
4°. Однородной называется система уравнений
ацХ1 + Ц12Ж2 + ... + ainxn = О,
(121X1 + 022X2 + --. + О2пхп = О,	/гл
, О'тДЯ'! “1“ От2Х2 Ч-  -. 4“ ОтпХп — 0.
Эта система всегда имеет нулевое решение х\ = 0, Х2 = 0, ..., хп = 0, или Х° = (0,0... ,0). .
В связи с однородной системой возникает вопрос, при каких условиях она имеет нетривиальное (ненулевое) решение? Ответ выражается через соотношение типе терминах ранга матрицы А, составленной из коэффициентов системы при неизвестных.
Теорема 9. Если т < п, то система (9) всегда имеет ненулевое решение.
Теорема 10. Система (9) имеет ненулевое решение, если rank А < п.
Свойства множества ненулевых решений однородной системы выражаются теоремой.
Теорема 11. 1) Если X — (xi,X2,... ,хп) — некоторое решение системы (9), то АХ (X — произвольное действительное число) тоже является решением системы (9).
2) Если х\ и Х2 — два различных решения системы (9), то Aixi + Ч- А2Р2, где Ai и Аг — произвольные действительные числа, также являются решениями системы (9).
5°. Предположим, что однородную систему (9) можно разрешить относительно г первых неизвестных (г — ранг системы (9)):
ai,r+l -Tr+l Ч- ^l,r+2^r4-2 Ч-  • • 4“ (Xln^n>
Т2 СУ2,г-|-1	4” ^2,r+2*^'r+2 4“ • • • 4“ О2г!.Хп,
Xr ^r.r+l^r-l-l 4“ (Xr,r-\-2Xr^-2 4“ • • • 4“ (ХтпХп
32
Гл. I. Системы линейных уравнений
Неизвестные irr+i, жг+2, хп являются свободными, и они могут принимать произвольные действительные значения. Предположим, что набор (xr+i,xr+2,... ,жп) принимает последовательно значения (1,0,0,...,0), (0,1,0,... ,0), ..., (0,0,... ,0,1). Этим наборам соответствуют частные решения .Xj = (ai,r+i,o:2,r+i, ,ar.r+i, 1,0,... ,0), Х2 — (ai.r+2, СУ2.1—H2v • • > ^r,r-j-2> 0, 1,0,..., 0), . . ., Xn—r — (o'ln, O'2n,-  • > 0,0,..., 0,1). Множество этих решений называется фундаментальной системой решений (9).
Теорема 12 (о структуре общего решения однородной системы). Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы
Хоо = Cl X [ -|- С2Х2 + ... + С‘п—,Х„г,
где сь сг, ..., сп_г — произвольные действительные постоянные. Рассмотрим теперь неоднородную систему
anxi + 0122:2+ •+ Щпхп = Ь1, 021^1+ U22X2 + ---+ а2пХп = Ь2,	/1ГП
UmlXl И- ат2Х2 Н- • • • Н-
Система (9) называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (10).
Теорема 13 (о структуре общего решения неоднородной системы). Общее решение Хал неоднородной системы (10) равно сумме Хоо + Хч, где Хоо — общее решение соответствующей однородной системы (9), а Хч — некоторое частное решение системы (10).
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 1°). Дана матрица
/ 1 2 3 5 8 \ А = 0 1 4 6 9 .
\ 0 0 1 7 10 )
Определить ее ранг.
Решение. Имеем
лд = |1мо, м2=|; ;ро,
3
4
1
2 1 о
1 о о
м3 =
/0.
Миноры более высоких порядков составлять нельзя. Ответ: rank А = 3.
Пример 2 (к п. 2°). Найти ранг матрицы
3	-1	1	2	-8
7	-1	2	1	-12
11	-1	3	0	-16
10	—2	3	3	-20
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
33
Решение. После вычитания первой строки из всех остальных (из последней — с множителем 2) получаем эквивалентную матрицу
/3—11	2 -8 \
Л	4	0	1—1—41/3—11	2 -8 \
8	0	2 -2 -8 | I 4	01—1—4)'
\ 4	0	1 -1 —4 /
Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две нулевые строки, которые мы отбро-
СИЛИ.
Ясно, что rank А = 2, ибо Мг =
3 -1
4 0
= 4.
Пример 3(к п. 4°). Выяснить, разрешима ли система
Xi + 2.Г2	— хз	+	З.Т4 —	х$ =	0,
2^1 —	Х2	+ З.Тз	+	Х4 —	хз = — 1,
Xi —	Х2	+ Хз	+	2х4	=	2,
4ж1	+ Зхз	+	6x4 —	2^5 =	5.
Решение. Напишем расширенную матрицу и получим в ней как можно больше единичных столбцов. Каждый раз ведущий коэффициент обведем кружком:
/1	2-13
2-1	3 1
1 0 12
\ 4 О 3 6
/ 2 0 0) 8
10	2-1
1—11—1 —2 \ 2 0 -1	8
-1	°\	( 3	0	1	7 -1	0
-1	-1	1	0	2 -	-1 0	-3
0	2	~	1	-1	1	2 0	2
—2	V	0	0	3	6 —2	5 /
0	7 \	/ 2	0	-1	8 0	7
-1	-3	5	0	0	15 -1	11
0	-2	~	-3	1	0	10 0	-9
0	П )	к 0	0	0	0 0	4
На языке (в терминах) уравнений последней строке соответствует уравнение Oxi + 0x2 + Охз + 0x4 + Orcs = 4 — это противоречивое уравнение. Однако нас интересует матричная терминология. Напомним, что А — основная матрица, она расположена левее вертикальной черты. Последняя ее строка нулевая, значит rank А не может быть больше, чем 3. А минор порядка 3, не равный нулю, существует:
М3 =
2 0-1
5 0	0
-3 1	0
В расширенной матрице последняя строка ненулевая. Найдем в ней минор М4, не равный нулю. Вот он:
М4 =
2 0 -1 ;	7
5 0	0,	11
-31 О' -9
0 0 о) 4
2 0-1
5 0	0
-3 1	0
= -5-4 = -20
(разложили по последней строке).
Система несовместна (теорема 6).
Итак, rank А = 3 < 4 = rank А.
2 К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров
34
Гл. I. Системы линейных уравнений
Пример 4 (к п. 5°). Решить систему
{Х[ + 2X2 — Хз + Х4 — 2хз = — 3, х\ + 2x2 + Зхз — Х4 + 2х5 = 17, 2^1 + 4^2 + 2жз	= 14.
Решение. Решим сначала однородную систему
{Х1 + 2X2 ~ Хз + Х4 - 2xs = О, 2?1 + 2x2 + Зхз — Х4 + 2x5 = О, 2xi + 4^2 + 2хз	= 0.
Вычтем из третьего уравнения сумму первых двух. Получим тривиальное уравнение, которое отбросим. Затем из второго уравнения вычтем первое. Получим равносильную систему
J XI +2х2~ хз + Х4 — 2х5 = 0, _	(xi+2x2+ Хз+ Х4 — 2x5 =0,
[	4хз	— 2x4 + 4x5 = 0 ' ''	[	2хз — Х4+2x5 = 0;
Гх1+2хг+ хз	=0, ___ J xi = —2x2 — хз,
1	2хз— Х4 + 2X5 = 0	[Х4= 2хз+ 2X5-
Свободным переменным (хг,хз,х5) дадим последовательно значения (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Получим три частных решения Xi = = (-2, 1,0,0,0), Х2 = (-1,0, 1,2,0), Хз = (0,0,0, 2, 1). Они составляют фундаментальную систему решений однородной системы. Общее решение однородной системы имеет вид
Хоо = с\Х[ + С2Х2 + С3Х3 =
= ci (-2,1,0,0,0) + с2(-1,0,1,2,0) + с3(0,0,0,2,1).
Для получения общего решения неоднородной системы нужно какое-то частное решение. Заметим, что X, = (2, 1,3, —£, 1) удовлетворяет неоднородной системе (откуда взялось это решение; несущественно). Тогда
Х>н = -Too + Хч — (—2ci — С2 + 2, ci + 1, С2 + 3, 2с2 + 2сз — 2, С3 + 1),
где ci, С2, сз — произвольные действительные постоянные (параметры).
Отсюда при различных значениях постоянных ci, сг, сз получаем различные частные решения исходной системы.
Упражнения
Матричным способом исследовать системы на совместность.
{3x1 — 2x2 — хз + Х4 = 4, 2xi + Х2 + 4хз + Юх4 — 16, Х1 + Х2 + Зхз + 7x4 = 11-
2.
2,
XI + 2х2 + Зхз = 2xi + Х2 + 2хз = . 2, 3xi + 2x2 + 4хз = 3, xi + Зх2 + 4хз = -3.
§ 4. Ранг матрицы. Исследование систем
35
{2xi — Зхг — 8x3 — 6x4 = 1, 4xi — Зхг — Юхз =	5
—4xi + 5^2 + 14жз + 8х4 = —3.
( 6xi + 8хг + 2хз + 2х4 = 1, 4. < 4ас 1 — З.Г2 + Зхз — 2x4 = 1> (.xi — 7x2 + 2хз — 3x4 = —5.
Решить системы тремя способами: при помощи формул Крамера, методом Жордана-Гаусса и методом обратной матрицы.
{xi+2х2 + 3хз=	О,	Г2Х1+Х2+ хз = 4,
2xi + 4x2 + Зхз =	-1,	6.	< xi — Х2 + хз = О,
Зх; + 5x2 + бхз =	1.	L 3xi + Х2 + 2хз = 5.
{2X1 + 3X2 — Зхз + Х4 = О, 3xi - 2x2 + 4хз — 2х4 = 3, 2xi + Х2 + 3x4 = 4, 3xi + 3x2 — 4хз + 2х4 — 2.
8.
' 2xi + 4x2 + 4хз + 6x4 = 18, 4xi + 2x2 + 5хз + 7x4 = 24, 3xi + 2x2 + 8хз + 5x4 = 13, _ 2xi + 8x2 + 7хз + 3x4 = 6.
Исследовать системы на совместность.
{3X1	+ 2хз + Х4 + Х5 = —2,
XI + Х2 + ХЗ + Х4 + Х5 = -3, 4xi + 2х2 + хз+х4+х5 = - 5.
Xi — Х2	—	Хз	—	Х4	+	Х5 =	1,
3xi + 2x2	—	Х4	+	Х5 =	О,
2xi + 3x2	—	2хз	+	3x4	+	Х5 =	5,
„ 6xi + 4x2	—	Зхз	+	Х4	+ 3x5 =	11.
Найти общие решения систем, если известно одно частное решение Хч.
{2X1—Зхг+ Хз	+Хб= 6,
Х1+2x2 —ЗХ3+Х4+ х5 =-9, 3x1— хг + 2хз+х4 —Зхь + хб= 1, Хч = (1, —2, 3, —1,2, —3).
{xi~2хг+3хз— Х4+2Х5	= —2,
2xi- Х2-Зхз-2X4	+ Хб = —11,
хг+Зхз— Х4+2Х5+ хц= —5,
3x1 —2хг+9хз—4x4+4xs+4x6= —18, Хч=( 1,0, — 1,2, 1, —2).
{xi + хз + 2x4 + 3x5 = 8,
—XI + 3x2	— 3x4 — Х5 = —2,
2xi - 2х2 + Зхз +2x5=15, Хч = (2,-1, 1,-2,3).
Ответы
1. Несовместная. 2. X = (1,2,—1). 3. Неопределенная. 4. Несовместная. 5. X = (5, -4,1). 6. X = (2,1,-1). 7. X = (1, —1,0,1). 8. X = (2,0,-1,3), det .4 = 296. 9. Совместная. 10. Несовместная.
2*
Глава II АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Декартовы системы координат. Простейшие задачи
1°. Введение координат позволяет решать многие задачи алгебра-
ическими методами и, обратно, алгебраическим рбъектам (выражени-
ям, уравнениям, неравенствам) придавать геометрическую интерпретацию, наглядность. Наиболее привычна для нас прямоугольная система координат Оху: две взаимно перпендикулярные оси координат — ось абсцисс Ох и ось ординат Оу — с единой единицей масштаба.
2°. Расстояние между данными точками М\(х\,у\) и ЛГг^г.У^) (рис. 2.1) вычисляется по формуле d = d(M\,M2) = = М{М2 = у(.т2 - ал)2 + (уг - У1)2 
3°. Будем говорить, что точка М(х,у) делит отрезок М]М2 в отношении А, если ММ\ : ММ2 = А (рис. 2.2). Если M](xi,yi) и М2(х2,у2) — данные точки,
то координаты точки М определяются по формулам
XI + Al2 _ У1 + Ау2 х —	, у —
1 + А	1 + А
При А= 1 точка М делит М\М2 пополам и
Х1 +х2	+Д2
, у —	.
2	2
§ 1. Декартовы системы координат. Простейшие задачи
37
Примеры с решениями
Пример 1. Отрезок АВ делится точкой С(-3,0) в отношении АС 2
Л = — = - . Найти длину АВ, если задана точка 4(—5, -4).
СВ 3
Решение. 1) Для нахождения искомой длины по формуле п. 2° необходимо знать координаты точки В(х2,у2), которые определим по формулам п. 3°.
2) Имеем: г 2	2
- 5 + - х2	-4+-У2
-3 = ------—, 0 = --------— ,
.	2	,	2
откуда Х2 = 0, У2 = 6. Итак, В(0,6).
3) АВ = ^(0 + 5)2 + (6 + 4)2 = /125 = 5/5.
Ответ. 5/5.
Упражнения
1> Даны координаты вершин треугольника АВС\ А(2, -5), В(5, -1), С(—4,3).
1)	Найти длины сторон и определить вид треугольника по углам.
2)	Найти длины медианы ВМ, высоты СН и биссектрисы AD.
3)	Найти площадь треугольника и координаты точек М и D. Сделать чертеж.
2.	Дан треугольник АВС с вершинами 4(5,5), В(1, —2), С(-1,2).
1)	Определить вид треугольника.
2)	Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника.
3)	Найти площадь треугольника и угол С. Сделать чертеж.
3.	Даны три последовательные вершины параллелограмма 4(11,4), В(—1,1), С(5,7). Определить координаты четвертой вершины.
4.	Даны вершины треугольника 4/i, yi), В/ьуг), С'/з.уз). Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.
5.	Отрезок AD разделен на три равные части точками В(0,-1), С(2, -3). Найти координаты концов отрезка AD.
6.	Отрезок, заключенный между точками 4(0, 2) и В(8,0), разделен в таком же отношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат. Найти координаты точки деления.
7.	От точки 4(1, —1) до точки В(—4, 5) проведен отрезок. До какой точки нужно его продолжить в том же направлении, чтобы длина его удвоилась?
38
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Ответы
1. 1) 5, 10, д/97, остроугольный; 2) 6, —, —; 3) 5 = 24, М(—1,1), 3	5
D ^2,	2. 1) прямоугольный; 2) 0(2,5,1,5); 3) 15, 90°. 3. 0(17, 12).
4. Q (Ж1 + х2 + х3), 1 (т/1 + т/2 + т/3)) . 5. (-2,1), (4, -5). 6. (1,6,1,6).
7. (-9,11).
§ 2. Полярные координаты
1°. Если прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными осями координат Ох и Оу, то полярная система задается одним лучом (например, Ох), который обозначается Or и называется полярной осью, а точка О — началом полярной оси, или полюсом. В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется двумя числами: углом р (в градусах или радианах), который образует луч ОМ с полярной осью, и расстоянием г = ОМ точки М от начала полярной оси. Записываем М = М(г,<р). При этом для точки О: г = 0, <р — любое.
Если поворот от оси Or к ОМ совершается против часовой стрелки, то р считают положительным (рис. 2.3, а), в противном случае — отрицательным.
' Переменный луч ОМ описывает всю плоскость, если р изменять в пределах [0; 2л) или (—л; л].
Иногда есть смысл считать, что ё (—оо; +оо). В таком случае луч ОМ описывает плоскость бесконечное множество раз (иногда говорят, что ОМ описывает бесконечное множество плоскостей).
2°. Можно совместить ось Or с лучом Ох прямоугольной системы Оху, для того чтобы получить связь полярных координат точки М с прямоугольными (рис. 2.3,6). Имеем очевидные формулы:
2? = Г COS <£>,	7/ = rsin<yj.	(1)
Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через полярные.
§ 2. Полярные координаты
39
Полярные координаты выражаются через прямоугольные по формулам
г = \/х2 + у2, tg<^= - (ж 0).	(2)
х
Формула tg = - определяет два значения полярного угла Из этих X
двух значений следует брать то, которое удовлетворяет равенствам (1).
3°. Если в системе Оху привычно иметь дело с функцией у = у(х) (хотя можно и х = х(уУ), то в полярной системе Орг столь же привычна функция г = г(р).
4°. Построение кривой г = г(<^) выполняется по точкам (чем их больше, тем лучше) с учетом правильного анализа функции г = т-(<^>), обоснованных выводов о ее свойствах и точности глазомера при проведении линии.
Примеры с решениями
Пример 1. Построить кривую г — р (линейная функция).
Решение. Ясно, что р измеряется в радианах, или р — число,
иначе г — р не имеет смысла. Функция г = р определена только при р 0, и р может изменяться от 0 до +оо. Точки с полярными координатами (р, р) и (9? + 2тгп, р + 2тгп) расположены на одном луче (рис. 2.4).
Таким образом, график линейной функции представляет собой спираль с началом в точке О. Эта спираль — след точки М = М(г, р) при неограниченном повороте теку
щего (переменного) отрезка ОМ вокруг точки О против часовой
стрелки.
Пример 2. Построить кривую г = 2 sin 3<^.
Решение. Проведем анализ данной функции.
1) Эта функция нечетна, поэтому можно ограничиться значениями
г 0, а тогда 0 г 2.
2) Поскольку г ( р + ~

=2 sin 3 f р+ } =2 8т(3<£>+2тг)=2 sin Зр,
то г = 2sin3<yj — периодическая функция с периодом 2тг/3. Можно
предположить, что будет какое-то «повторение» графика (это в самом деле имеет место, но аналогия с графиком у = sin За: не совсем адекватная).
40
Гл. И, Аналитическая геометрия на плоскости
плоскости
2тг
3) Функция г = 2 sin имеет смысл, если G 0; — . Этот обозначен на рис. 2.5 знаком «+». Если же G (
сектор
3 Г
то Зу> ё (тг;2тг), а тогда sin3y> < 0, и равенство г = 2 sin3</? не имеет смысла. На рис. 2.5 этот сектор плоскости заштрихован (изьят из рассмотрения).
4) Далее рассмотрим промежуток
[О; з ] И составим таблицу значений функции г = 2 sin3<yj, 0 С ip -. Для того чтобы получить как можно больше точек (<£>, г) искомой кривой, берем набор табличных значений для
3<yj, т.е. как будто мы заполняем сначала третью строку этой таблицы, а затем первую строку, вторую и четвертую (г = 2 sin 3^).
град	0°	10°	15°	20°	30°	40°	45°	50°	60°
<р, рад	0	тг/18	тг/12	тг/9	тг/б	2тг/9	тг/4	5тг/18	7Г/3
Зр	0	7г/6	тг/4	7Г/3	тг/2	2тг/3	Зтг/4	5тг/6	7Г
Г	0	1	л/2	V3	2	у/3	л/2	1	0
5) На девяти различных лучах в промежутке tp & 0;
построить точки на обозначенных в таблице расстояниях. Правда, на
надо
первом и последнем лучах соответствующие точки кривой совпадают с началом координат. Конечно, мы делаем это весьма приблизительно, но именно тут точность глазомера даст наиболее эффективный чертеж. Хорошо при этом иметь под рукой транспортир и циркуль.
6) Мы получили «лепесток» (рис. 2.6) — это треть графика. Другие два лепестка расположены внутри углов со знаками «+». Периодич-
2тг
ность сводится к повороту нашего рисунка на угол —, затем повторению этого поворота.	3
7) Полученная трехлепестковая фигура — результат периодичности. В этом состоит отличие от периодичности функции y = sin3;r: все точки вида (х + 2тг,у), п ё Z, различны, а здесь из точек вида 2тг
(<^4---п, г) только три различны (при п = 0, п = 1, п = 2), остальные
геометрически совпадают с одной из них (рис. 2.7).
§ 2. Полярные координаты
41
Пример 3. Построить кривую г = 3 cos - .
Решение. 1) Для того, чтобы построить график рассматриваемой
функции, ограничимся плоскостью Оху, на которой 0 < <р 2тг.
2) Если р ё 0; — , 2
то cos -	0, а если <р е ( — ; 2тг ), то
3	\ 2 J
cos - < 0.
3
3) Остается взять табличные значения для - и построить соответствующую таблицу:
	0	тг/2	Зтг/4	7Г	Зтг/2
<р/3	0	7г/6	тг/4	7Г/3	тг/2
г	3	ЗуД 2	Зл/2 2	3 2	0
4)	Соединяя соответствующие точки,
5)	Если бы мы изменяли в проти-_ п Зтг \ воположную сторону: € 0, — — ), то получили бы аналогичную линию; она обозначена пунктиром.
6)	Для того чтобы получить полную замкнутую линию — график функции г = 3 cos — , рассуждаем так.
Нам надо иметь для <р промежуток длиною в период Т = бтг. Далее,
s -	-, т. е. <р
3	2
и> _ Зтг
— < — , т. е. <р е 3	2
a)	cos -3
Л
О при — -
б)	cos ~ < 0 при - <
3	2
Зтг ф Зтг 2 ’ 2
Зтг ф 9тг \
2’2)
е
42
Гл. И. Аналитическая геометрия на плоскости
в) От — до — имеем как раз один период Т = 6л.
г) Этот промежуток делим на две половины - —;
—; — ). На первой его половине реализуется полная 2	2 )
Зтг
— И
2 _
ЛИНИЯ,
г = 3 cos - , на второй она не определена.
7) Остается изобразить эту линию на чертеже — это OABCDEO (рис. 2.9). Угловые координаты этих точек таковы:
0(0), D
2
Зтг
2
Реализована эта линия при полутора полных оборотах текущего радиуса около начала координат, или как бы на двух листах-плоскостях.
Упражнения
1.	Определить расстояние между точками М (3, - ) и Ли 4, — ).
\	4 )	\	4 )
2.	Определить полярные координаты точки, симметричной точке М(р, <£>) относительно начала координат.
3.	Найти полярные координаты точки, симметрично^ точке М(р, <р) относительно прямой, проходящей через полюс перпендикулярно полярной оси.
4.	Составить уравнение полупрямой, .проходящей через полюс и образующей с полярной осью угол а.
5.	Составить уравнение окружности диаметра а, если полюс лежит на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности.
6.	Построить линии, заданные полярными уравнениями:
1)	г = 5; 2) г = 1 + cost/?; 3) г = 2 — sin/s; 4) г = 3 — sintyjcostyj;
5) г = а/8 cos ip; 6) г = у/cos р ; 7) г = у/sin </? — cos р; 8) г = у/cos 2</?; 9) г = i/sin2<yj.
Ответы
1. 5. 2. М\(р, р + 7г). 3. М\(р, 7г — р). 4. р = а. 5. р = a cos р.
§ 3. Линии первого порядка
43
§ 3. Линии первого порядка
1°. Прямая линия на плоскости отождествляется с множеством
всех точек, координаты которых удовлетворяют некоторому линейному
уравнению. Различают следующие виды уравнения прямой:
1) Ах + By + С = 0, где А и В не равны одновременно нулю, — общее уравнение прямой;
2) у = kx + Ъ — уравнение прямой с угловым коэффициентом к; при этом к = tga, где а — угол наклона прямой к оси Ох (точнее, а — угол, на который на
до повернуть ось Ох против часовой стрелки до совпадения с прямой, рис. 2.10); b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу;
3) - + — = 1 (а 0, b ± 0) - уравне-а Ь
ние прямой в отрезках. Здесь а и b суть отрезки, отсекаемые прямой от осей Ох и Оу соответственно (рис. 2.11);
4) х cos <р+у sin р — р = 0 — нормальное уравнение прямой. Здесь р — угол между положительным направлением оси Ох и перпендикуляром ОР, |р| — длина
перпендикуляра ОР (рис. 2.12).
Примечание. Заметим, что одна прямая (один геометрический
объект) может быть задана формально разными уравнениями. Это означает, что соответствующие уравнения для одной прямой должны быть равносильными, а тогда каждое из них можно привести (преобразовать) к любому другому (кроме некоторых исключительных случаев). В связи с этим отметим соотношения между параметрами различных уравнений:
, А , Ь
к = — — , к =---, cos р =
В	а
\/а2 + В2 ’
В	с
sin р =	р = -	и пр.
yj А2 + В2	у/А2 + В2
2°. Уравнения конкретных прямых I.
1)	У ~ Уо = к(х — 2?о) — I проходит через данную точку Мо(хо, уо) и имеет данный угловой коэффициент к (или данное направление а: tga = к) при условии, что I ft Оу (рис. 2.13);
2)	х — хо = 0 при условии, что I || Оу;
44
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
3)	у —	= У2—_ i ПрОходит через две данные точки
Х2 - Т1
Mi(xi,yi) и М2(х2,у2) при условии, что Х2 / xi (рис. 2.14, а);
4)	х — xi =0 при условии, что х2 = xi (рис. 2.14, б).
б
М1(хьл) М2(Х1>У2)
х
X = %1
Рис. 2.14
3°	. Угол в между прямыми 1р у = kix + bi н fa: у = кгх + Ь2
. Л ко — kt
определяется через тангенс: tg0 = -----; стрелка означает, что угол
1	+
О определяется как угол поворота от прямой Ц к прямой 12-
Отсюда, в частности/следуют признаки параллельности и перпен-
дикулярности прямых:
11	|| h к\ = кг! h -L ^2 к\ • /ед = — 1, или к2 ----.
4°. Точка пересечения двух прямых 1\ и I2 определяется решением системы, составленной из уравнений этих прямых:
,	, Г Aix + Biy + Ci = 0,	( у = kix + bi,
1	2 ’ [ А2х + В2у + С2 = 0	[ у = к2Х + Ь2-
5°. Расстояние от данной точки Мо(хо,уо) до данной прямой Г. Ах + By + С = 0 определяется по формуле
d(M0, Z) = 1^0 + ^№ +£1 = |д.о cog + уо sin .
V А2 + В2
В частности, о?(О, Z) = —= |р| — расстояние от начала координат до прямой I.
6°. Пересекающиеся прямые Ц и 1% определяют два смежных угла. Уравнения биссектрис этих углов имеют вид
А]Х + Bixi + С1! _ _|_ а2х + в2у + С% xj А\ +	xJa^ + В2
Эти биссектрисы взаимно перпендикулярны (предлагаем доказать это).
7°. Множество всех прямых, проходящих через точку Мо(хо,уо), называется пучком прямых. Уравнение пучка имеет вид у — уо =
§ 3. Линии первого порядка
45
= k(x — хр) или a(Aix + В}у + Ci) + /3(.4.2£ + В2У + Сд) = 0 (а, /3 — произвольные числа, Мо — точка пересечения Ц и I2).
8°. Неравенство Ах + By + С 0	0) определяет полуплоскость
с ограничивающей ее прямой Ах + By + С = 0. Полуплоскости принадлежит точка (аго, Уо), в которой Ах0 + Вуо + С > 0 (< 0).
Примеры с решениями
Зж — 2 2v — 1
Пример 1. По данному уравнению прямой —----------—---- = 1
найти ее
1)	общее уравнение;
2)	уравнение с угловым коэффициентом;
3)	уравнение в отрезках;
4)	нормальное уравнение.
Решение. 1) Приведя к общему знаменателю, получим общее уравнение прямой (п. 1°) За; - Ау — 4 = 0.
2)	Отсюда легко получить уравнение прямой с угловым коэффици-
3	1
ентом у = - х — 1.
4
3)	Уравнение в отрезках получим из общего уравнения эх — 4у = 4 почленным делением на свободный член: ——I—— = 1.
4/3	-1
4)	Для получения нормального уравнения найдем cosip = А	3	3.	в	4
= —-	=	= -; sin <р =	,.	=_ = и
Уд2 + В2 УЭПб 5	у/А2 + В2 5
С	- 4	4	3	4	4
р =---—	= —----- = - . Таким образом, -х — -у — - = 0 —
yj А2 + В2	5	5	5	5	5
нормальное уравнение.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + у — 2 = 0 и За; + 2у — 5 = 0 перпендикулярно к прямой За; + 4у - 12 = 0.
Решение. 1) Координаты точки Мо пересечения прямых найдем, решив систему
{з«+л;=5	«(‘щ-
2) Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны (п. 3°) так: = — l/Aii- Угловой коэффициент данной прямой равен к] = — — = — - (п. 1°). Значит, кг =--— = - •
В 4	-3/4	3
3) Искомое уравнение прямой, проходящей через точку Мо(1,1) и имеющей угловой коэффициент /сг (п. 2°), запишем в виде у — 1 = = | (а; — 1). Приведем его к общему виду: 4а; — Зу — 1 = 0.
Пример 3. Дан треугольник с вершинами А(1,—1), _В(—2, 1), <7(3,-5). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
46
Гл. И. Аналитическая геометрия на плоскости
Решение. 1) Сделаем схематический чертеж (рис. 2.15).
2) Медиана ВМ точкой М делит отрезок АС пополам, значит (п. 3°),
т.е. М(2,-3). 4 5 6
-3-1
2 + 2
(ж + 2),
3) Уравнение ВМ запишем (п. 2°) в виде у — 1 = или у + х + 1 = 0 => /свм = -1.
4) Из условия AN J_ BN следует, что kAN = 1 (п. 3°).
5) Искомое уравнение имеет вид: у — уо = к(х — а?о), или у + 1 = 1 (х — 1).
Ответ, х — у - 2 = 0.
Пример 4. Дан треугольник с вершинами А{7,0), В(3,4), 0(2, —3). Найти уравнения стороны АВ, высоты CD, биссектрисы BE, их длины и угол А. Определить вид треугольника по углам. Описать треугольник системой неравенств. Сделать чертеж. 1
Решение. Чертеж построен (рис. 2.16).
1) (АВ): — = х + у- 7 = 0.
3-7	4-0
2) \АВ\ = 7(3 - 7)2 + (4 - О)2 = а/42 + 42 = 4v'2 .
3) Угловой коэффициент кЛВ = — 1.
4) CD J_ АВ => kCD = 1, (СВ): у + 3 = l(ir — 2); х — у — 5 = 0.
5) Для составления уравнения биссектрисы BE (п. 6°) нужно знать — 3 — 4
уравнения ВС и АВ. Найдем уравнение (ВС): у - 4 = ——— (х -- 3) => 1х - у - 17 = 0. Теперь (ВС): ж+^~ 7 = - -7-^~ 17 =>	+
+ y-13 = 0.	2
6) Для нахождения высоты CD используем формулу п. 5°:
d(C, АВ) =
2-3-7 уг+т
-8
V2
= 472.
§ 3. Линии первого порядка
47
7)	Длину биссектрисы BE найдем так. Точка Е есть точка пересечения двух прямых BE и АС. Найдем уравнение АС:
у — 0 = (х — 7); у = | (ж — 7); Зх — 5у — 21 = 0.
Координаты точки Е найдем как решение системы
Зх + у — 13 = О, Зх — 5у — 21 =0
/ 43	4 \
Итак, Е I у , — - I. Теперь определим расстояние ВЕ‘.
ВЕ = \ ( —	— з\ + (— -	— 4^	= \ ( — \	f 16	— 16v^Q
V \* * 9 / к з / у \9 /	\3 /	9
8)	Угол А находим по формуле tgX = ——— , где ki = kBC = 7, 1 + k[ki
ki = kBA — — 1. Имеем: tgA = ----- = - , а тогда A = arctgl
1 — 7	3
9)	Пусть a, b, с — стороны треугольника, с — большая из них. Если а2 + Ь2 = с2, то треугольник прямоугольный, если а2 + Ь2 < с2 — тупоугольный, если а2 + Ь2 > с2 — остроугольный, Квадраты сторон нашего треугольника равны: АВ2 = (3 — 7)2 + (—4 - О)2 = 32, АС2 = = 52 + З2 = 34, ВС2 = I2 + 72 = 50. Поскольку ВС — большая сторона и АВ2 + АС2 > ВС2, то треугольник остроугольный.
10)	Уравнение (АВ): х + у - 7 = 0. Треугольник АВС находится по отношению к этой прямой в полуплоскости, содержащей точку С(2, -—3). В этой точке левая часть уравнения равна 2 — 3 — 7 = — 8<0. Все внутренние точки треугольника лежат в полуплоскости х + у - 7 <0.
Уравнение (АС): Зх — 5у — 21 =0. Подставим в левую часть координаты точки .8(3,4): 9 — 20 — 21 <0. Внутренние точки треугольника АВС лежат в полуплоскости Зх - 5у — 21 <0.
Составим уравнение (ВС): 7х — у — 17 = 0. Внутренние точки треугольника принадлежат полуплоскости 7х — у — 17 >0 (ибо в точке А(7,0) имеем неравенство 7 • 7 — 0 — 17 > 0).
Под треугольником подразумевается множество точек, лежащих внутри треугольника и на его сторонах, поэтому мы записываем нестрогие неравенства:
(АВС) :
х + у — 7^0, Зх — 5у — 21 < 0, 7х — у — 17	0.
7
Пример 5. Полярное уравнение г= ------------'---- записать в
2 cos — 5 sin
прямоугольных координатах.
48
Гл. П. Аналитическая геометрия на плоскости
Решение. Перепишем сначала данное уравнение в виде 2r cos — — 5r sin tp = 7 и используем формулы: г cos <р = х, г sin р = у. Получаем уравнение прямой: 2х — 5у = 7-.
Упражнения
1.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника, заданного вершинами А(2,5), В(5, —1) и С(8,3), перпендикулярно к прямой х + у + 4 = 0.
2.	Найти уравнения сторон треугольника, если известны координаты их середин (2,1), (4,3) и (-2,5).
3.	Составить уравнения сторон треугольника, если известны координаты одной из его вершин (1,3) и уравнения двух медиан х — 2у + 1 = 0, у — 1=0.
4.	Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой 4.г + Зу — 12 = 0, концы которого лежат на осях координат.
5.	Найти расстояние от точки М(2,— 1) до прямой, отсекающей на положительных направлениях осей Ох и Оу отрезки а = 8, 6 = 6 соответственно.
6.	Даны координаты вершин треугольника АВС: А(—2, —4), Р(2,-1), С(—4,1).
1)	Составить уравнения сторон треугольника, медианы AM, высоты ВН.
2)	Описать системой неравенств область, принадлежащую треугольнику АВС.
3)	Найти внутренний угол В треугольника АВС.
4)	Найти координаты точек М и Н. Сделать чертеж.
7.	Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD: А(4, 2), В(-1,-2), С(—3,2).
1)	Найти координаты четвертой вершины D и точки пересечения диагоналей параллелограмма.
2)	Вычислить площадь параллелограмма и длины его высот.
3)	Проверить равенство АС2 + BD2 = 2(АВ2 + АР2). Сделать чертеж.
8.	Даны уравнения одной стороны ромба х — Зу + 10 = 0 и одной из его диагоналей х + 4у — 4 = 0. Диагонали ромба пересекаются в точке F(0, 1). Найти уравнения остальных сторон и диагоналей ромба и координаты его вершин. Сделать чертеж.
9.	Даны уравнения сторон треугольника: у = х + 2, у = - х + 1 и точка Р(4,2) пересечения его медиан. Написать уравнение третьей стороны.
10.	Написать уравнения сторон квадрата, две противоположные вершины которого — точки А(1,3), С(6,-2).
§ 4. Линии второго порядка
49
11.	Составить уравнения всех сторон квадрата, если известно, что координаты двух смежных вершин квадрата .4(1,4) и .8(4,0), а рершина С находится на оси ординат.
12.	Определить угол между прямой 2х — Зу + 5 = 0 и прямой х = 0.
13.	Дан треугольник с вершинами .4(4,6), 8(—3,0), С(2,3). Найти уравнение биссектрисы AD.
Ответы
1.	Зх — Зу — 8=0. 2. х + Зу — 5 = 0, х — у + 7 = 0, х + у — 7 =	0.
3.	х + 2у — 7 = 0, х — у + 2 = 0,	х — 4у — 1 = 0. 4.	Зх — 4у — 9 =	О,
Зх — 4у + 16 = 0, 4ж + Зу — 37 = О (либо 4ж + Зу + 13 = 0). 5.	4,4. 6. 1) Зх — 4у — 10 = 0,	5х + 2у — 18 = 0,	х + Зу + 1 =	0;
2)	Зх — 4у — 10 < 0, 5х + 2у + 18	0, х + Зу + 1 < 0;	3) В = arctg	;
4) М(-1,0), Н(—72/29,—82/29). 7. 1) £>(2,6), 0(1/2,2); 2) 28, 14/V5, 28/х/4Т. 8. З9.г + 37у + 82 = 0, 39ж + 37у - 156 = О, х + 4у — 4 = 0, х — Зу — 4 = 0, 5х — 7у — 28 = 0; А(—4,2), 8(7/11,39/11), 0(4,0), £>(-7/11,-17/11). 9. 5х + у - 34 = 0. 10. х = 1, х = 6, у = -2, у = 3. 11. 4.г + Зу — 16 = 0, Зх — 4у — 12 = О, 4.г + Зу + 9 = 0, Зх — 4у + 13 = 0. 12. arctg |. 13. 5х — Зу — 2 = 0.
§ 4.	Линии второго порядка
К кривым второго порядка относятся следующие четыре линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Координаты х, у точек каждой из этих линий удовлетворяют соответствующему уравнению второй степени относительно переменных х и у.
Ниже под геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) подразумевается некоторое множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют определенному условию. Определения кривых второго порядка дадим через ГМТ, указывая свойства этих точек.
4.1.	Окружность
Окружностью радиуса R с центром в точке Мо(хо,уо) называется ГМТ, равноудаленных от точки Мо на расстоянии R.
Каноническое уравнение окружности имеет вид (ж — 2?о)2 + + (z/-z/o)2 = R2-
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой Зх — -2у+ 12 =0.
Решение. На рис. 2.17 изображена прямая Зх — 2у + 12 = 0. Она пересекает координатные оси в точках А(-4,0), 8(0,6).
50
Гл. И. Аналитическая геометрия на плоскости
1)	Центром окружности является точка Мо(хо,Уо) — середина отрезка АВ. Координаты этой точки определим по формулам (см. гл. II, § 1): х0 = —+° = -2, уо = — = 3, МО(-2,3).
2)	Радиус R окружности, равный АМ0 = MqB, вычисляем, например, по формуле (см. гл. II, § 1):
R = ^/(—4+ 2)2+(0-З)2 = V4T9 =713.
3)	Каноническое уравнение искомой окружности имеет вид (z + 2)2 + (У - З)2 = 13.
Примечание. Если в последнем уравнении выполнить обозначенные действия, то получаем уравнение х2 + 4х + у1 — бу = 0. Оно называется общим уравнением окружности. Это неполное уравнение второй степени относительно переменных х и у.
4.2.	Эллипс
Эллипсом называется ГМТ, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. (Данная величина больше расстояния между фокусами.)
Если предположить, что фокусы эллипса расположены в точках Fi(—с, 0), Fz(c, 0) (с > 0), а данная величина равна 2а, то из его определения можно получить каноническое уравнение эллипса
2	2
х- + у- = 1. а% 62
При этом а > 0 — большая полуось, Ъ > 0 — малая полуось, с — фокусное расстояние и а2 = с2 + Ь2. Точки (а,0) и (—а,0) называют вершинами эллипса.
Сам эллипс изображен на рис. 2.18. Важными характеристиками эллипса являются:
— эксцентриситет е = - (0 < е < 1); если е « 0, то эллипс почти круглый, т. е. близок к окружности, а если е к, 1, то эллипс сплющенный, близок к отрезку [—а; а];
§ 4. Линии второго порядка
51
— директрисы эллипса — прямые с уравнениями х = ± -;
— расстояния точки М(х,у) эллипса до его фокусов (п до левого, Г2 до правого), вычисляющиеся по формулам:
Г] = а + £х, Г2 = а ~ гх.
Примеры с решениями
Пример 2. Составить уравнение эллипса, симметричного отно-. Л 16 \ сительно координатных осей и проходящего через точки А 13, — у ) /	12 \
и В I -4,---I. Найти расстояния от точки А до фокусов. Найти экс-
\	5 J
центриситет эллипса. Составить уравнения его директрис. Построить чертеж.
ж2 1?
Решение. 1) Параметры а и b эллипса — +	= 1 найдем,
подставив в это уравнение координаты точек А и В. Это приводит к системе
После умножения первого уравнения на 16, а второго на —9 и
сложения полученных результатов имеем
256-16	144-9	-	iTKz.2 оопл
---------------- = 7, или 175о = 2800.
25Ь2	25&2
Отсюда с учетом Ь > 0 находим b = 4, а тогда а = 5.
Каноническое уравнение эллипса найдено: -—р — = 1.
25	16
2)	Фокусное расстояние с = Ла2 - Ь2 = у25 —16=3.
3)	Эксцентриситет равен е = = - =0,6.
5
4)	Расстояние от А до фокусов: и = 5 + 0,6 • 3 = 6,8; г2 = 5-0,6-3 = 3,2.
5)	Уравнения директрис: х = = ± —, т. е. х = — — (левая), 0,6	3
х = — (правая).
Чертеж построен (рис. 2.19).
52
Гл. И. Аналитическая геометрия на плоскости
Пример 3. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точку А(—3, 1,75) и имеющего эксцентриситет е = 0,75.
Реше ние. Имеем систему уравнений относительно параметров а, Ь, с = у/а2 — Ь2:
(—З)2	1 752
-—-—I—:— = 1 (эллипс проходит через точку А),
а2 Ь2
,/о2 _	„2 _ 1.2
-------- = 0,75, или ------- = 0,5625 (дан эксцентриситет).
а	а2
Из второго уравнения находим:
/ \ 2	/ \2
1-I-) = 0,5625, т.е. (-) = 0,4375, или Ь2 = 0,4375а2.
\ а )	\ а )
Подставляя это в первое уравнение, получим а2 =16, Ъ2 = 7, с2 = 9.
X2 V2
Уравнение эллипса — + — = 1.
16	7
9	7
— 4-----= 1, а тогда
а2	а2
Пример 4. Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на оси Ох, если его эксцентриситет равен е,
= а2 —Ь2. Как видно, достаточно FiMq:
а прямая, проходящая через его левый фокус и точку Мо(хо,уо), образует с осью Ох угол а.
Решение. 1) Сделаем чертеж (рис. 2.20).
2) Каноническое уравнение иско-х2 у2 .
мого эллипса есть — + — = 1, и > а2 №
задача сводится к нахождению параметров а и Ь.
3) Вспомним, что е = - и с2 = а
найти с. Составим уравнение прямой
X. - (~с) _ у-Ъ Z0 - (-с) Уо - о
=Ф у = Уо (ж + с) => к = Уо хо + с	х0 + с
С другой стороны, по определению, угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона прямой к оси Ox, tga = к. Значит,
Уо ~ кхр _ уд -xpiga k	tga
По найденному значению с определим а = - и Ь2 = а2 — с2. £
§ 4. Линии второго порядка
53
Пример 5. Записать в прямоугольных координатах полярное 2 уравнение г = -------.
4 — sin ip
Решение. Сначала перепишем данное уравнение в виде 4г = = г sin ip + 2 и воспользуемся формулами (заменами) г = \/.г2 + у2,
г sin 95 = у. Получаем: 4д/'ж2 + у2 = у + 2 (у + 2	0). Далее, возведя
сначала это равенство в квадрат, после преобразований и выделения полного квадрата получаем: 16(ж2 + у2) — у2 + 4у + 4, 1 б.г2 + 15у2 -
/	2
Получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке I 0, —
Z	1 о
и полуосями а = —— и о = — . У15	15
4.3. Гипербола
1°. Гиперболой называется ГМТ, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. (Данная величина меньше расстояния между фокусами.)
2°. Если фокусы гиперболы расположены в точках Fi(—с,0), Fz(c, 0), с > 0, а данная величина равна 2а, то такая гипербола имеет
каноническое уравнение
а2 Ь2
где а2 + Ь2 = с2.
При этом а — действительная полуось, b — мнимая полуось (а > О, b > 0), с — фокусное расстояние (с > 0) (рис. 2.21).
3°. Прямые с уравнениями у = ± - х называются асимп-а
тотами гиперболы. Величина
е = - (1 < е < +оо) называется эксцентриситетом гиперболы (при а
больших е ветви гиперболы широкие, почти вертикальные, а при е « 1 ветви гиперболы узкие, гипербола приближается к оси Ох).
Расстояния от точки М(х, у) гиперболы до ее фокусов (и от левого,
Г2 от правого) равны: и = |а + ex|, гг = |а — ех\.
Прямые с уравнениями х = ± - называются директрисами гиперболы.
54
Гл. И. Аналитическая геометрия на плоскости
Примеры с решениями
Пример 6. На гиперболе с уравнением — — — = 1 найти точку М, такую, что MF\ = 2MF?. Составить уравнения асимптот и директрис гиперболы. Найти ее эксцентриситет. Сделать чертеж.
Решение. 1) Имеем а = 4, Ь= 3, <? = а2 + Ь2, с = 5. Гиперболу строим так (рис. 2.22): в прямоугольнике со сторонами х = ±а и у = ±Ь (т. е. х = ±4, у = ±3) про-
5
2) Имеем е = -. Искомую точку формулы Г] = 2Г2, или
= 2 4— -х 4
водим диагонали (это асимптоты гиперболы, т. е. прямые \ ъ	1 3 х
у = ± - х; у нас у = ± - х).
а	4
Ветви гиперболы проходят через точки (4,0), (-4,0), приближаясь к асимптотам, создавая впечатление почти параллельных линий. Фокусы М(—5,0), Гг(5,0) считаются лежащими внутри гиперболы.
М(х,у) определим при помощи
4 + - х
4
4 + - х = 2(4 — -х )
4	\	4 J
4 + - х = — 2(4 — - х
4	\	4
Т т	1 и
Находим х = — их — — . 5	15
Поскольку М(х,у) лежит на ординаты соответствующих точек
гиперболе — - — = 1, то найдем из этого уравнения
при найденных значениях х: у = ± - у/х2 — 16, и если х = — , 4	5
Г/ \2
, 3 / ( 48 \	,с 3 /гТа	16
то у = ±-а/ —	—16 = ±-V119, а если х = —, то
4 у \ 5 7	5	15
Г/	I-----
, 3 / I 16 \	, з / 3344 ,
2/ = ± — w I — I —16= ± - у—(это число не существует в нужном нам смысле).
Получили две точки, удовлетворяющие данным условиям,
Г 48 3 /Т7п\	, г (48
Ml — , - v 119 , М2 = —
\ 5 5 J	\ 5
3) Уравнения директрис данной гиперболы: х = ± — = ± — .
5/4	5
§ 4. Линии второго порядка
55
гиперболы различные
чертеж изображены две
2	2
Пример 7. На гиперболе — у = 1 найти точку М(х,у), такую, что ее расстояние до одной асимптоты в три раза больше, чем расстояние до другой асимптоты.
Решение. 1) Сделаем символический (рис. 2.22) и ее асимптот. На нем возможные ситуации, удовлетворяющие условиям задачи: расстояние от точки М до асимптоты I# в три раза больше, чем расстояние до асимптоты Ц; для точки Mi — наоборот.
2)	Уравнения асимптот:
Il:	у = - х, Зх — 4у = 0; 4 з h'- у — — - х, Зх + 4у = 0.
4
3)	Для точки Mi(x,y) имеем d(MiJi) = 3d(Mi, I2). По соответствующим формулам (§ 3, п. 5°) это равенство можно переписать в виде
Д-4^ = 3^+4г4	_	= !
' Зх — 4у = §х + 12у, Зх — 4у = — 9х — 12у,
Зх = — 8у, Зх = — 2у.
4)	Так как М\ лежит на гиперболе, то нам надо решить еще системы
9	2
— -^1=1
16	9
Зх = —2у.
2	2
_ - = 1
16	9
Зх = — 8у
и
Из первой находим х =	У = -FV^, что соответствует двум
точкам Mi (—— , у/3 ), М', [	, — д/З ).
\ Vs J 1 \Vs J
Вторая система решений не имеет.
5)	Что касается	координат точки	М,	то предлагаем	убедиться	са-
/ g ____\	/	8	_\
мостоятельно в том, что М I — , v3 I, М' I — — , — v3 I.
\ у/3	J \ \/з	J
Пример 8. Определить координаты точки пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы — — — = 1, если известно, что точка А(6, —2) лежит на прямой, проходящей через ее правый фокус.
Решение. 1) Сделаем чертеж (рис. 2.24) и выпишем параметры гиперболы. Имеем а = 4, 6 = 3, с = 5, Fi(—5,0), ^2(5,0). Переходник вычислениям.
56
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
2)	Составим уравнение AFz по двум точкам:
	 = —- =Ф у = —2(ж — 5), или 2х + у — 10 = 0. 6 — 5--------— 2 — 0
3)	Составим уравнение прямой F[M, проходящей через Д перпендикулярно прямой AF?. Имеем /сдд2 = —2, а тогда ^^ = 1/2. Получаем (F]Af): у — 0 = 1/2 (ж + 5), или х — 2у + 5 = 0.
4)	Координаты точки М получаются как решение системы
2х + у — 10 = 0, х — 2у + 5 = О
=> М(3,4).
4.4. Парабола
Параболой называется ГМТ, для которых расстояние до фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой. Если фокус параболы расположен в точке F |, О), а директриса имеет уравнение х = — , то такая парабола имеет каноническое уравнение у2 = 2рх. При этом р называется параметром параболы. Расстояние от точки М(х, у) параболы до фокуса F равно г = х + | (рис. 2.25).
Примеры с решениями
Пример 9. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу, если она проходит через точки пересечения прямой х — у = 0 и окружности х2 + у2 — бу = 0.
Решение. Уравнение искомой параболы должно иметь вид х2 = = 2ру; она изображена на рис. 2.26. Найдем точки пересечения данных прямой и окружности:
Г У = х,
| х2 + у2 — бу = 0;
2х2 — бх = 0; xi = О, Х2 = 3.
§ 4. Линии второго порядка
57
Получили Mi (0,0) и Мг(3,3). Так как точка Мг(3,3) лежит на параболе, то справедливо равенство З2 = 2р • 3 => р= у и искомое уравнение параболы есть х2 = Зу.
Пример 10. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если известно, что парабола проходит через точку А(2,2).
Найти длину хорды, проходящей через точку М(8,0) и наклоненной к оси Ох под углом 60°.
Решение. 1) Сделаем чертеж (рис. 2.27).
2) Каноническое уравнение такой параболы имеет вид у2 = 2рх. Неизвестный параметр р определим из условия прохождения параболы через точку А(2,2):
22 = 2 • р- 2 =ф р = 1.
Итак, уравнение параболы у2 = 2х.
3) Найдем координаты точек Bi(xi,yi) и В2(х2,у2)', точки Bi и Bi лежат на параболе, поэтому у2 = 2a?i и у2 = 2x2. Из прямоугольных треугольников МВ2С2 и МВ[С[ имеем соответственно: Р2 = (лг — 8) tg 60° = \/3 (а?2 - 8) и yi = — \/3 (8 - 2?i). Итак, неизвестные координаты точек В[ и В2 удовлетворяют системам
Г у] = 2а?1,	( у1 = 2X2,
\ 3/1 = — л/з (8 — ЯТ1) И | у2 = л/з (2:2 - 8), / 32	8 \
решив которые, найдем Bi(6,-2v3) и В2 I —; — I. Искомая длина к 3 V 3 J
Г/ Z	/	\2
1.	+2х/3^ = - .
/3	)	3
хорды В1В2 = ы ( у -
Ответ. В1В2 = — 3
58
Гл. И. Аналитическая геометрия на плоскости
Пример 11. Уравнение параболы у2 = 5х записать в полярных
координатах.
Решение. Подставляем
= г sin р. При х	0, т. е. р Е
5 cos и ,	,
или г = —-Г (р 0).
sirr
в данное уравнение х = rcostp, у =
получаем г2 sin2 р = 5r cos р,
7Г _ 7Г
2 ’ 2
Упражнения
1.	Составить уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке Л(6,0) и проходящей через точку В(9,9).
2.	На параболе у2 = З2.г найти точку, расстояние которой от прямой 4гг + Зу + 10 = 0 равно 2.
3.	Найти уравнение ГМТ, равноотстоящих от окружности х2 +4х + + у2 = 0 и точки М(2,0).
4.	Составить уравнение множества точек, расстояние которых от точки Л(0, 1) в два раза меньше расстояния до прямой у - 4 = 0.
5.	В уравнении параболы у = х2 + рх + q найти значения параметров р и q, если известно, что парабола проходит через точку Л(— 1,3) и ее ось симметрии задана уравнением х = 4.
6.	Найти угол между диагоналями прямоугольника, вершины которого находятся в точках пересечения эллипса х2 + Зу2 = 12 и гиперболы х2 — Зу2 = 6. Сделать чертеж.
(Зл/5 \
6,		 I, симметрична от-
носительно осей координат и имеет действительную полуось а = 4. Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.
8.	Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2\/3, -\/б) и Л(6,0). Составить его уравнение, найти эксцентриситет и расстояние от точки М до фокусов.
9.	Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой у = х и окружности х2 + + у2 + бх = 0 и симметрична относительно оси Ох. Построить прямую, окружность и параболу.
10.	Построить по точкам линию с данным полярным уравнением при р G [0, 2л) и найти уравнение соответствующей линии в прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом полярной системы, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью:
1) г = ---; 2) г = -------; 3) г = -----------.
1 4- cos 9?	2 + cos 9?	3 — cos ip
11.	Написать канонические уравнения следующих кривых второго порядка, заданных в полярных координатах:
9	9	3
1) г = -------; 2) г = ---------; 3) г = -------.
5 — 4 cos	4 — 5 cos	1 — cos ip
§ 5. Канонический вид уравнения кривой второго порядка 59
12.	Составить полярные уравнения следующих линий, заданных каноническими уравнениями: 2	2
1)	|- + Д- = 1 (полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится: а) в левом фокусе, б) в правом фокусе);
2)	= 1 (полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс — в
центре гиперболы);
3)	(х — R)2 + у2 = R2 (полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс находится: а) в центре окружности; б) в начале координат).
Ответы
1. (х - 6)2 + (у - 5)2 = 25. 2. М(0,0), Ml (18, -24). 3. х2 -	= 1.
т2 ,2	о	4
4. —- +	= 1. 5. р = —8; q = —6. 6. arctg - . 7. у = ± - (х + 5).
8. — + — = 1; е = —. 9. у2 = -Зх. 10. 1) у2 = 1 — 2х — парабола;
(	1 \2	/	2
+ 7 I „2	(ж — л/8 )	у2
2) ----=Ц- 4-----= 1 — эллипс; 3) А--------—L н------------ = 1 —
42	(8V2\2
к т/З ) k 2 )	k3/
эллипс. 11.1) — + — = 1; 2) -—h — = 1; 3) у2 = 6x. 12. 1) a) r = 25	9	16	9
= --------, 6) r = ---------; 2) r2 = ---------; 3) a) R = 7?cos<^,
5 — 3 cos	54-3 cos	cos2 — 1
6) r2 — 2rcosp = R2.
§ 5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
1°. Даны две прямоугольные системы координат Оху и O\xiy\ со свойствами (рис. 2.28): оси Ох и O\Xi, а также Оу и Ojyi параллельны и одинаково направлены, а начало Oi системы Ojxiyi имеет известные координаты Oi = О[ (а, Ь) относительно системы Оху.
Тогда координаты (х, у) и (TJi.yi) произвольной точки М плоскости связаны соотношениями:
\ х = Х\ + а, \ Х\ = х — а, [ У = У\ + b; [ yi = у - Ь.
Формулы (3) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей координат.
2°. Предположим, что прямоугольные системы координат Оху и Oxiyi имеют общее начало, а ось Oxi составляет с осью Ох угол а (под а понимается угол поворота оси Oxi относительно Ох). Тогда
60
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 2.28
координаты (х, у) и (sci,yi) произвольной точки М плоскости связаны соотношениями (рис. 2.29):
х = 2?i cos а — у\ sin а, у = xi sin а + yi cos а;
a?i = х cos а + у sin а, yi = —х sin а + у cos а.
(4)
Формулы (4) называются формулами преобразования координат при повороте осей координат.
3°. Общее уравнение второго порядка относительно переменных х и у имеет вид
Ах2 + 2Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0.
(5)
Существует угол а, такой что формулами поворота осей на угол а уравнение (5) можно привести к виду (в нем коэффициент В\ при xiyi равен нулю)
Л12?] + С\у2 + D[ 2?i + Eiyi + F} = 0.	(6)
При этом
А] = A cos2 а + С sin2 а + 2В sin a cos а,
С\ = A sin2 а + С cos2 а — 2В sin a cos а,
D\ = Deos а + Е sin а,	(7)
Ei = —D sin а + Е cos а, Fi = F.
Соответствующий угол а можно найти из уравнения
(С — A) sin a cos а + B(cos2 а — sin2 а) = 0.	(8)
4°. Уравнение (6) приводится к каноническому виду при помощи формул параллельного переноса.
Заметим, что окончательное уравнение может и не иметь геометрического изображения, что подтверждает, например, уравнение х2 + у2 + 1 = 0.
§ 5. Канонический вид уравнения кривой второго порядка 61
Примеры с решениями
Пример 1. Привести к каноническому виду следующие уравнения второго порядка: 1) 8я?2 + 4ху + 5у2 - 56а: — 32у + 80 = 0; 2) За:2 + + 10а??/ + Зу2 — 2х — 14у —13 = 0; 3) х2 — 4а?у + 4у2 — 2а: — бу + 2 = 0; 4) х2 + у2 — За; + 2у = 0; 5) За;2 — 4ху + Зу2 + 20 = 0.
Построить геометрическое изображение каждого уравнения.
Решение. 1) Этот пример решим достаточно подробно, не прибегая к формулам (7) и (8).
а)	Выполним поворот осей координат на угол а при помощи первых формул (4). Имеем последовательно
8(a;i сова: — yi sin се)2 + 4(a?i cos a — yy sina)(a?i since + yi cosa) + + 5(a?i since + yi cos a)2 — 56(a:i cos a — yi since)—
— 32(a:i since + yi cosce) + 80 = 8a;2 cos2 a — 16a?i У1 cos a sin ce+ + 8yf sin2 a + 4a:f cos a since + 4xyyy cos2 a + 4xyyy sin2 a—
— 4y2 sin a cos a + 5x2 sin2 a + lOajjyi sin a cos a + 5y2 cos2 a— — 56(au cos a — yi sin a) — 32(a?i sin a + yi cosce) + 80 = 0.
б)	Выделим отдельно слагаемые, содержащие произведение хууу: — 16a?iад sin a cos а + 4хууу cos2 а — 4хууу sin2 а + 10а;iyi since cos a.
Ставим условие, чтобы это выражение было тождественно равно нулю. Это возможно при условии
4 cos2 а — 4 sin2 а — 6 sin се cos a = 0, или 2tg2ce + 3tgce — 2 = 0.
Отсюда находим tgee = — 2 или tgee = 7 Выберем угол а так, что tgee = 7 Это соответствует тому, что ось Оа?] составляет с осью Ох положительный угол се = arctg -. Из равенства tg се = - нахо-2	2	1	. 2	1
дим: cos се =	—=====	=	-=	, sm се	= tg се • cos се —	—= ,	sin се	—	- ,
yH-tg2a	75	5	75	5
2	4	.	2
cos се = - , sm се cos се — - . 5	5
в)	Подставим полученные выражения в последнее уравнение из п. а). Получаем последовательно (слагаемые, содержащие хууу, опускаем — их вклад в уравнение равен нулю, чего добились в п. б):
8 2 । 32 2 , 8 2	82, л 2 . 2
“ xi + V + 7 х\ ~ ~	+У1~
5	5	5	5
-	+2yi) + 8° = °,
V5	V 5
9а:2 + 4у2 — ху-----уу + 80 = 0,
v5 v5
62
Гл. II. Аналитическая геометрия на плоскости
9(х2- 26)+4(yf- Ayi) + 80 = V5	V5
г) В круглые скобки добавим надлежащие числа для получения полных квадратов. После вычитания соответствующих слагаемых приходим к равносильному уравнению
/ \2 ( \2
9 ( Xi---) + 4 ( у\ —	] = 36.
\ v5 / у v5 /
д) Для приведения этого уравнения к каноническому виду воспользуемся формулами параллельного сдвига, полагая
8	1
Х‘2 = X!--— И У2 = У1------
v5	vo
и последующего почленного деления уравнения на 36. Получаем Кано-
2,2 у2
ническое уравнение эллипса — я—- = 1 в системе координат О2Х2У2 4	9
(рис. 2.30).
2)	Этот пример решим, используя формулы (7) и уравнение (8). Имеем: А = 3, В = 5, С = 3, D = —2, Е = —14, F = —13. Уравнение (8) принимает вид cos2 а — sin2 а = 0, откуда а = 45°, sin а = cos а =	.
По формулам (7) последовательно находим: Aj =8, С\ = -2, Di = Е} = Fi = -13.
V2	у/2
В системе координат Ох\у\ исходное уравнение принимает вид
8х2 - 2yf - Xi - -д у\ - 13 = 0.
§ 5. Канонический вид уравнения кривой второго порядка 63
почленно разделим на 4. Получаем каноническое уравнение гиперболы у —	= 1, изображенной на рис. 2.31.
3)	Уравнение (8) в данном случае приводится к виду 2tg2 а + 3tga - 2 = 0. Принимаем tga = -. По формулам (7)
приходим к новому уравнению byY - —^у\ —	+2 = 0, или
2	v5 v5
(	1 \	2 / V5 \	.
I yi —	— I	— — I Ж1	- — I	= 0. Формулы	параллельного переноса
+5	1
Х2 = х\ — —, У2 = У1 — —— приводят к каноническому уравнению параболы у£ = —х% (рис. 2.32).
15
4)	Для приведения этого уравнения к каноническому виду достаточно составить полные квадраты:
/	\ 2
/	3 )	, I , 1\2	13
ж - - +(у+1) = -• \	2 /	4
Получили уравнение окружности радиуса с центром в точке °' Q’-1) (РИС' 2'33)'
5)	Соответствующее уравнение (8) имеет вид cos2 а — sin2 а = 0, а тогда а = 45°, sin а = cos а = ——, sin a cos а = - .
+2	2
Коэффициенты нового уравнения равны: Ai = 1, Ci = 5, Ft = 20. Само уравнение имеет вид ж2 + 5у2 + 20 = 0 и геометрического изображения не имеет. Оно выражает мнимый эллипс + У- = — 1.
Упражнения
7д. । 2
1.	Найти координаты центра гиперболы у = ----.
2х — 3
2.	Показать, что уравнение х2 + 2ху + у2 + 2х + 2у + 1 = 0 определяет прямую.
64
Гл. И. Аналитическая геометрия на плоскости
3.	Какую линию определяет уравнение 5х2 3 4 * * + 4ху + 8у2 + 8х + 14у + + 5 = О2?
2х — 5
4.	Найти координаты вершин гиперболы у = ---.
х + 3
5.	Найти площадь треугольника, вершина которого лежит в центре окружности х2 + у2 — 4х — 8у — 5 = 0, а основанием треугольника служит вырезанный окружностью отрезок на оси абсцисс.
Привести уравнения к каноническому виду.
6.	бху + 8у2 — 12т; — 26у +11=0.
7.	Эх2 + 24ху + 1 бу2 + 50х — 100у + 25 = 0.
8.	5х2 — бху + 5у2 — 32 = 0. 9. 2х2 + Зу2 + 8х — бу + 11 =0.
10. 8х2 — 4ху + 5у2 + 4х — 10у — 319 = 0.
Ответы
2	2
1. (1,5, 3,5). 2. х + у + 1 = 0. 3. Эллипс:	= 1.
v	7	1/4	9/16
.	___ _________ х	2	2
4. (+УТТ-3, ±vTT+2j. 5. 12. 6. Гипербола:	= 1.
2	2	19
7. Парабола: х% — 4у2. 8. Эллипс: ^ + ^-=1.9. Точка: 2х| + 2>у^ = 0.
2	2	16	4
10. Эллипс: ^ + ^2 = 1.
81	36
Контрольные задания
(к главам I и II)
1. Следующие системы линейных уравнений решить тремя способами:
Г Зт> — 2тт — 7 Г 2xi Х2 + Зхз — 9, 1) Зх - 2х\-1-	2)	Зх1+2х2-Зх3= 10
pxi 2X2- Г [ Х[ _ 222 _ Зх3 = -6
{2x1—2х2+Зхз— Х4+2х5=0, Х1— 2х2— Хз+2Х4 —3X5=0, X]—Зх2+2хз— Х4+Зх5=0;
Х1+2х2 —Зхз+2х4 —3X5= 1. 2x1— х2+2хз+Зх4+2х5= 2, 3xi+2x2— хз +3x5=17, ,6xi+3х2—2хз+5х4+4х5=20.
2. В треугольнике точка М пересечения медиан лежит на оси абсцисс, две вершины — точки А(2, —3) и В(—5,1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С.
3. В полярной системе координат составить уравнение окружности диаметра а, если известно, что полюс лежит на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности.
4. Через точку А(4, —3) проходит прямая, отсекающая от коорди-
натного угла треугольник площадью 3. Определить координаты точек
пересечения этой прямой с осями координат.
Контрольные задания
65
5.	Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в верши-нах эллипса------h — = 1, а директрисы проходят через фокусы этого
эллипса. 100	64
6.	Привести к каноническому виду уравнение 25.г2 — 14а;у + 25у2 — — 64а: — 64у — 224 = 0 и построить его геометрическое изображение.
7.	Даны координаты вершин треугольника Л(—1,0), В(1,4), С(-5,8). Требуется:
1)	найти вид треугольника по углам;
2)	составить уравнения сторон, биссектрисы AD, медианы BE, высоты СН;
3)	найти угол А и координаты точек D и Н;
4)	найти площадь треугольника АВС;
5)	описать системой неравенств треугольник АВС, включая его внутренность.
3 К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров
Глава III
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1.	Понятие вектора. Линейные операции над векторами
1°. Любые две точки A(xi, у\, zj) и В(х2, У2, ^2) пространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от А к В). Направленный отрезок, называется вектором. Вектор с началом в Л и концом в В обозначается АВ или а. Длина вектора, обозначаемая |ав|, АВ или |а|, а, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: АВ = {х2 — Xi, у2 — yi, Z2 — zi}. Тогда длина вектора найдется так: |лв| = у/(Х2 - Xl)2 + (У2 - У1)2 + (z2 - Zi)2 .	;
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора а и b называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут а = Ь. Равные векторы имеют равные координаты.
Векторы а и b называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления: b -- —а.
Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается 0 или 0.
2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.
1.	Если начало b совмещено с концом а, то начало а + b совпадает с началом а, а конец — с концом Ь (рис. 3.1).
§ 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
67
2.	Если начала векторов а и Ь совмещены, то начало а — b сов^ падает с концом Ь, а конец а — b совпадает с концом а (рис. 3.2).
3.	При умножении вектора а на число (скаляр) А длина вектора умножается на |А|, а направление сохраняется, если А > 0, и изменяется на противоположное, если А < 0 (рис. 3.3).
Вектор ё3 = — называется ор-|а|
том, или единичным вектором вектора а, его длина равна единице: |е3| = 1.
А < 0 Ай а Ай А>0
Рис. 3.3
3°. Запись а = {ах, ау, az} = axi + ayj + azk означает, что вектор а имеет координаты ax,ay,az, или а разложен по базису i,j,k (i,j,k — орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом
а= |а| = Jo2+а2 +а2.
4°. Числа cos а = — , cos/? = — , cos 7 = — называются направ-|а|	|а|	|а|
ляющими косинусами вектора а; а /3, 7 — углы между вектором а и координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор еа = {cos a, cos/?, cos7} — орт вектора а. Для любого вектора справедливо: cos2 а + cos2/? + cos2 7=1.
5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть а = {ax,ay,az} и b{bx,by,bz}, тогда а ± b = {аж ± bx, ау ± by, az ± bz} и Аа = {Ааж, Аа^, Аа2}.
Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.
6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов а и Ь, устанавливаемое равенством b = Аа, может быть записано соотношениями Ьх = Ааж; Ьу = Аау', bz = Аа2, из которых следует пропор-dm du dz циональность их координат: — =	.
Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если ах = Ьх = 0, то векторы а, b ± Ох).
з*
68
Гл. III. Элементы, векторной алгебры
7°. Система векторов 01,02, От называется линейно независимой, если равенство
Aiai + Аг яг + •.. + Amam =0	(1)
(Ai, Аг,..., Am — действительные числа) возможно только при Ai = = Аг = ... = Ат = 0. Если же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе (Ai, Аг,..., Ат) (0,0,... ,0), то система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.
Примеры с решениями
Пример 1. Доказать, что треугольник с вершинами в точках Л(1,2), В(2,5), 67(3,4) прямоугольный.
Решение. Построим векторы, совпадающие со сторонами тре-
угольника (см. п. 1°): АВ ={1,3}, АС ={2,2}, ВС ={1,-1} (рис. 3.4).
Найдем длины сторон: |дв| = ^/1 +9 = = уТо, |йс| = д/8, \вс\ = УТ+Т = л/2.
Нетрудно видеть, что АС2 + ВС2 = АВ2. Следовательно, треугольник АВС прямоугольный с гипотенузой АВ = т/10 и катетами АС = 2д/2 и ВС = д/2.
Пример 2. Проверить, что точки А(2, -4,3), В(5, —2,9), 67(7,4,6) и 0(6, 8, —3) являются вершинами трапеции.
Решение. Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):
АВ = {3,2,6}, ВС = {2,6, -3}, CD = {-1,4, -9}, DA = {-4,-12,6}.
Имеем DA= -2ВС; значит, ABCD — трапеция.
Пример 3. Найти орт и направляющие косинусы вектора а = {6, -2, -3}.
Решение. Имеем |а| = V36 + 4 + 9 = 7. В соответствии с п. 3°, 4°
{ 6	2	3 }	6
ео=< - , —	> и направляющие косинусы вектора a: cosa= -,
cos/3 = — - , cos7 = — - , причем у/cos2 а + cos2(3 + cos27 = |аа| = 1.
§ 1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами 69
Пример 4. Определить точку В, которая является концом вектора а = {3, -4,2}, если его начало совпадает с точкой А(2, -1,1).
Решение. Пусть точка В имеет коор-
динаты В(х,у, z) (рис. 3.6). Тогда координа-	-
ты вектора (п. 1°)
АВ = а = {т;-2,у-(-1),г-1} ={3, -4,2}.	Рис. 3.6
Следовательно, х — 2 = 3; у + 1 = —4; z — 1 — 2.
Ответ. В(5, —5,3).
Пример 5. Вектор d = {—9,2,25} разложить по векторам а. = = {1, 1,3},	{2,-1,-6} и с= {5, 3,-1}.
Решение. Необходимо найти такие числа х, у, z, что ха + yb + + zc = d, т. е. {а:, х, За:} + {2у, — у, — бу} + {5z, 3z, — z} = {—9,2,25}. Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений
{х + 2у + 5z = —9, х — у + 3z = 2, Зх — бу — z - 25,
из которой
( У = -з,
I z = -1.
Ответ. d = 2a-3b — c.
Пример 6. Показать, что система векторов di = {2, 1,3}, 02 = = {1,0, — 1} и аз = {0,0,1} линейно независима.
Решение. В данном случае равенство (1) имеет вид А[ {2, 1, 3} + -I- А2{1,0, — 1} + Аз{0,0, 1} = 0, или {2Ai + Аг, Aj, 3Ai + A3} = 0. Отсюда получаем систему уравнений
[ 2Ai + Аг = 0,
< А1 = О,
I 3Ai + Аз = О,
из которой следует, что Ai = 0, Аг = 0, Аз = 0. Это подтверждает линейную независимость данных векторов.
Пример 7. Показать, что система векторов ai = {2,1,3}, аг = {1,1,-1} и аз = {1,—1,9} линейно зависима.
Решение. Равенство (1) равносильно системе уравнений
{ 2А[ + Аг + Аз = О, < Ai + Аг — Аз = О, I 3Ai — Аг + 9Аз = 0.
Она имеет ненулевое решение, например, Ai =2, Аг = -3, Аз = -1. Таким образом, 2d) - Заг - а"з = 0. Отсюда видно, что а"з = 2d! - За"г,
70	Гл. III. Элементы векторной алгебры,
т. е. вектор од линейно выражается через а\ и аД Очевидно, что од можно выразить через од и од, а од — через од и оз-
Упражнения
1. Коллинеарны ли векторы а и Ь и каково отношение их длин:
1) а = {2,-1,1}, Ь={4,—2,4};
2) а = {4,3,-2}, 5 = {8,6,-4}?
2.	Даны вершины Д(0,0,0), В(2, -3,5), С(-3,4,-2) параллелограмма ABCD. Найти вершину D.
3.	Написать разложение вектора а = {0, —2,3} по координатным ортам.
4.	Найти углы, образуемые вектором а = {—2,2,1} с осями координат.
5.	Вектор Ь = {1,6,1} разложить по векторам од = {0, 1,— 2}, од = {1, — 1,0} и од = {2, — 1,3}.
)  )
6.	По сторонам О А и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы m и п. Выразить через тип векторы О А, ОС, АВ, если |ОД| = 3, |ОВ| = 5.
7.	Какому условию должны удовлетворять три вектора од Ъ, с, чтобы из них можно было составить треугольник?
8.	В треугольнике АВС векторы АВ=с, А(5=Ь и медиана AD=p. Разложить вектор р по векторам с и Ь, вектор Ь по векторам рис.
9.	Дано: АВ = а + 2Ь; ВС = -4а - b; CD = — 5а - ЗЬ. Доказать, что ABCD — трапеция.
10.	Четырехугольник ABCD есть ромб. Из векторов АЁ, ВС, DC, AD, СВ, CD выбрать равные.
।
Ответы
1. 1) Нет, И! = _L ; 2) да, .2. D(-5, 7, -7). 3. а = 0?- 2j + |Ь| ч/б	|Ь|	2
+ 3к. 4. а » 131°49'; /3 « 40° 11'; 7 « 70°32'. 5. Ь = 4од - 5од 4-Зод.
6. О А = Зт, ОС — Зт + 5гг, АВ = 5п — Зт. 7. а + Ь + с = 0.
8. р= 1-Ь+ 1-с, Ь = 2р — с. 9. В& || AD. 10. АВ = DC, В(5 = AD.
§ 2. Скалярное произведение векторов
1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и Ь называется число, равное произведению их длин на косинус угла <р между ними:
ab = |а| • |Ь| cos<p.
§ 2. Скалярное произведение векторов
71
Из ДОВВ' (рис. 3.7) имеем OB' = OB cos р = праЬ = |Ь| cos</>. (пргЬ — проекция вектора Ь на направление вектора а).
Итак, ab = |а| пргЬ = |Ь|пр^а.
2°. Если а = {ах, ау, az} и b = {bx, by, bz}, то ab = ахЬх + ауЬу + + а2Ь2, т. е. скалярное произведение векторов равно сумме произведе-
ний одноименных координат этих векторов.
При этом аа = а2 = |а|2 (р = 0); если же р = 90°, т. е. а±Ь, то ab = 0, поскольку cos 90° = 0 {условие перпендикулярности двух векторов).
3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:
ab _______	Ьх + ау Ьу + а2 bz
1^1 У4 +	+ 1>2 +
Примеры с решениями
Пример 1. Перпендикулярны ли векторы р и q, если р = = {2,0,-3}, q = {3,4,2}?
Решение. Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) pq = 0; в нашем случае
pV=2-3 + 0- 4- 3- 2 = 0 => р Bq.
Ответ. Да.
Пример 2. Найти проекцию вектора т = 2г - 4j + к на направление вектора п = 2г — j + 2к.
Решение. Имеем пр-m = |т| cosр (п. 1°). Подставив сюда выражение для cos</> из п. 3°, получим
_>	|_>| тп	тп	2 • 2 + (—4)(—1) + 1  2	10
пр-^т = m • ------ = --- = ----,__v _. 7	— = — .
|m| |n|	|п|	д/22 + (-I)2 + 22	3
Ответ. —.
3
Пример 3. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: АВ = {1,2,— 1} и ВС = {2,0,—4}, найти внутренние углы треугольника АВС.
Решение. Имеем (рис. 3.8)
cos р = cos (л — В) = 	- =
рв||вг|
1 .2 + 0-2+(-1)(-4) д/12 + 22 + (-1)2 722 + 02 + (-4)2
6
V^x/20
л/ОД.
72
Гл. III. Элементы векторной алгебры.
АС = {3,2,-5}, cosX =
2х — Зу + 2z = 0,
-х + Зу =0,	=>
х2 + у2 + z1 = 49
При помощи таблиц находим В = тг — агссозд/ОД ~ 123° 10'. Для нахождения других углов нам понадобится вектор АС, который является суммой АВ и ВС (§ 1, п. 2°); АС = АВ + ВС, поэтому
АВ АС 1^1 _ 3 + 4 + 5 _	12	_	УТ2
|ав| I I ~ \/6x/38 ~	Убх/38	~~	УТ9	’
АС ВС _ 6 + 0 + 20 _	13	_	13
|ас| |в5|	\/38\/2б	л/19\Д0 V^OO ’
Ответ. 123° 10', 19°29', 37°21'.
Пример 4. Найти координаты вектора х, если xJ-ci, х±С2, где ci = {2,—3,2}, сг = {—1,3,0} и |ж| = 7.
Решение. На рис. 3.9 имеем xDci, x-Lcz.
Из условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем х • ci = 0; х • сг = 0. Положим х = {x,y,z}. Условие задачи перепишем в виде системы
х = Зу,
_	3	( У = ±2,
z ~ 2У’	=><ж = ±6,
9у2 + у2 + - у2 = 49 I z = т3-4
Ответ, х = {±6,±2, +3}.
Упражнения
1.	Найти единичный вектор, перпендикулярной векторам а = = {1,0,2} и 6 = {0,-1,2}.
2.	Векторы а, Ь, с имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор с, если а = i + j, b = j + k.
3.	При каком значении т векторы а = {т, 1,0} и b = {3, —3,4} перпендикулярны?
4.	Найти скалярное произведение векторов За — 2Ь и 5а — 6Ь, если |а| = 4, |Ь| = 6 и угол между векторами а и Ь равен - .
5.	В треугольнике АВС, вершины которого лежат в точках Л(1,1,-1), В(2, 3,1), (7(3,2,1), найти: 1) внутренние углы; 2) длины сторон; 3) острый угол между медианой BD и стороной АС.
6.	Найти проекцию вектора CD = {—1,4,—9} на направление вектора AD = {4,12, -6}.
7.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а = 2г+/и6 = -2j + к.
§ 3. Векторное произведение векторов
73
8.	Вычислить За2 — 2ab + 4b2, если а = |, Ь = 6, (а, Ь) = 60°.
9.	Доказать, что диагонали ромба, построенного на векторах а и Ь, взаимно перпендикулярны.
10.	Вычислить а2 + ЗаЬ — 2Ьс + 10, если а = 4т — п, b = т + 2п, с — 2т — Зп, т2 = 4, n2 = 1 и т ± п.
11.	Даны вершины А(0,0,0), В(2, —3,5), СД—3,4,—2) параллелограмма ABCD. Найти координаты вершины D.
Ответы
1. ±	(—2г + 2j +
2. с = г + к или с = - (—г + 4j + к). 3. т = 1.
4. -96. 5. 1) 76°22', 76°22', 27° 16'; 2) 3, 3, л/2; 3) 49°40'. 6. 7. 7. 90°.
8.	143. 10. 113. 11. D(-5,7,-7).
§ 3.	Векторное произведение векторов
1°. Векторы а, b и с, приведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора с на плоскость векторов а и Ь, то кратчайший поворот от а к b совершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).
Рис. 3.10
Рис. 3.11
2°. Векторным произведением ненулевых векторов а и b называется вектор с, обозначаемый axb, удовлетворяющий следующим трем условиям.
1)	а х Ь ± а и а х b 1 Ь, т. е. вектор а х b перпендикулярен плоскости векторов а и Ь.
2)	Вектор а х b направлен так, что векторы а, b и а х b образуют правую тройку.
3)	|а х Ь\ = |а| • |b|sin</>, т. е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 3.11), таким образом, |а х b\ = S.
Если векторы а и b коллинеарны, то под а х b понимается нулевой вектор: а х b = 0 (sin <р = 0).
74
Гл. III. Элементы векторной алгебры
3°. Если известны координаты векторов-сомножителей а = — {ax,av,az}, b = {bx,bv,bz}, то для отыскания координат векторного произведения служит формула
7 к
ау by bz
в которой определитель следует разложить по
элементам первой
строки.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В(3,2, 1), (7(1,0, 1).
Решение. Найдем координаты векторов АВ = {2,0,—2}, А(Г = = {0,-2,—2}. Определим координаты векторного произведения АВ х х АС (рис. 3.12):
Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): S = |АВ х Ж7| = 4л/3. Площадь треугольника бд равна | S, т. е. 5д = ~ • 4д/3 = 2-\/3 .	’
Пример 2. Построить параллелограмм на векторах а = 2j + к и b — i + 2k; вычислить его площадь и высоту, опущенную на а.
§ 4. Смешанное произведение векторов
75
Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем S — \а х б|. Отдельно вычисляем векторное произведение:
г j к
О 2 1
1 0 2
= 4г + j - 2к.
Следовательно, S = Li + j —2fc| = д/16 + 1+4 = а/2Т, h =	=
Упражнения
1.	Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах а = к — j и b = i + j + к.
2.	Векторы а, Ь, с удовлетворяют условию а + Ь + с = 0. Доказать, что а х b — h x с = сх а.
3.	Даны векторы а = {3, — 1, —2} и b = {1,2, — 1}. Найти координаты векторных произведений: 1) (2а + Ь) х Ь; 2) (2а — Ь) х (2а + Ь).
4.	Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам а ={2, -3, 1} и Ь — {1, -2,3} и удовлетворяет условию х(г + 2j - 7к) = = 10.
5.	В точках Д(1,-2, 8), В(0,0,4) и С(6,2,0) находятся вершины треугольника. Вычислить его площадь и высоту BD.
6.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2,1,7), В(5,6,2), <7(3,—1,4).
7.	Даны вершины треугольника А(1, —1,2), В(5,—6,2) и 0(1,3, — 1). Вычислить его высоту, опущенную из вершины В на сторону АС.
8.	Вычислить синус угла, образованного векторами а = {2, —2,1} и Ь= {2,3,6)}.
Ответы
1. |а + б| = |а — б| = а/5 ; S = х/б. 3. 1) {10,2,14}; 2) {20,4,28}.
4. х = {7,5,1}. 5. S = 7v/5; BD =	6. \/762. 7. 5. 8.	.
1	1	3	21
§ 4. Смешанное произведение векторов
1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение а х Ь, а другой — вектор с. Обозначение: а • b • с = (а х Ь) • с. Если а, b и с образуют правую тройку, то а • b • с > 0. Если а, b и с образуют левую тройку, то а • b • с < 0.
76
Гл. III. Элементы, векторной алгебры
Модуль смешанного произведения векторов а, Ь и с равен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, V = = |а • Ь- с|. Условие а • Ь • с = 0 равносильно тому, что векторы а, Ь и с расположены в одной плоскости, т. е. компланарны. Имеет место
равенство
а • Ь • с =
о,д. ciy az
Ьх by bz ^у Cz
Объем тетраэдра с вершинами в точках H(2?i,yi,zi), В(х2, У2, ^2),
С(хз, уз, гз), D(x4, у4, 24) можно вычислить по формуле УТ = - |Д|, где
Рис. 3.14
Z2 - ZI
Z3 - Zl
Z4 - Z]
2°. Условие а • Ь • с 0 равносильно условию линейной независимости а, Ь и с, а тогда любой вектор d линейно выражается через них, т. е. d = x- a + y- b + Z'C. Для определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений.
।
Примеры с решениями
Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а{1,2,3}, Ь{0,1,1}, с{2,1,-1}.
Решение. Искомый объем V = | а • Ь • с|. Поскольку
1 2	3
О 1	1
2 1 -1
= -4,
то V = 4.
Пример 2. В точках 0(0,0,0), Л(5,2,0), В(2,5,0) и 0(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Решение. 1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).
§ 4. Смешанное произведение векторов
77
2)	Введем векторы АВ = {—3,3,0}, АС = {—4,0,4}, АО = = {-5,—2,0}. Объем пирамиды О АВС (тетраэдра) равен
VT =
-3	3	0
-4	0	4
-5 -2 0
(-84) = 14.
6
£
6
3)	Площадь грани АВС:
Sabc = х ЛС| = 1
г j к
-3 3 0
-4 0 4
= |12г + 12} + 12fc| = 6д/3.
4)	Объем пирамиды V? = - Sabc • OD, отсюда OD = -
3	Sabc
3-	14 _ 7^3
6Д ~ 3
Ответ. 14; 6л/3;
3
Упражнения
1.	Показать, что точки +1(2,—1,-2), В(1,2, 1), <7(2,3,0) и D(5,0, — 6) лежат в одной плоскости.
Указание. Проверьте условие компланарности векторов.
2.	Дана пирамида с вершинами +1(2,0,0), В(0,3,0), С(0,0,6) и 0(2,3,8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.
3.	Даны три последовательные вершины параллелограмма +1(1, —2, 3), В(3,2,1) и <7(6,4,4). Найти его четвертую вершину D.
Указание. Из равенства векторов AD = I3C следует, что равны их координаты.
4.	Определить углы Д.АВС с вершинами +1(2, —1,2), В(1,1,1) и <7(0,0, 5).
5.	Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
6.	Даны векторы О>( и ОВ, причем |Сб£| = 2, |ОВ| = 4, а ААОВ = = 60°. Определить угол между медианой ОМ треугольника АО В и стороной о!
7.	Векторы а и Ь составляют угол 45°. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а - 2Ь и За + 2Ь, если |а| = |b =5.
8.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7,3,4), В(1,0,6) и <7(4,5,—2).
9.	Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах а = Зг + 4}, Ъ = —Зг + k, с = 2j + 5к.
10.	Вычислить объем параллелепипеда ОАВСО}AiBiCi, в котором даны три вершины нижнего основания 0(0,0,0), А(2, -3,0) и <7(3,2,0)
78
Гл. П1. Элементы векторной алгебры
и вершина верхнего основания 81(3,0,4), лежащая на боковом ребре ВВ\, противоположном ребру ОО\.
11.	Вектор Ь = {14,9,-13} разложить по векторам ai = {1,5,2}, а2 = {2,-1,-3}, а3 = {3,2, -3}.
12.	Показать, что векторы ai = {1,2,1}, а2 = {1,—1,—3} и аз = {1,3, -5} линейно независимы, и разложить вектор Ъ= {0, 17,8} по этим векторам.
13.	Показать, что векторы а = 1г - 3j + 2k, b = 3? — 7j + 8k, с = i - j + к компланарны.
14.	Найти высоту пирамиды, опущенную на грань BCD, если вершины пирамиды имеют координаты: Л(0,0, 1), 8(2,3,5), 0(6,2,3), £>(3,7,2).
15.	Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках Л(2,1, —1), 8(3,0,1), 0(2, —1,3). Найти координаты четвертой стороны D, если известно, что она лежит на оси Оу.
Ответы
2. V = 14, h = л/14. 4. ЛА = 90°, ZB = ZC = 45°. 5. arccos0,8.
6. arccos ~. 7. 50д/2. 8. 24,5. 9. V = 60. 10. V = 52. V7
11. Ъ = dt + 2а2 + Заз- 12. b = 3aj — 5а2 + 2аз. 14.
15. А(0,8,0), £>2(0,-7,0).	17
Глава IV АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Плоскость в пространстве
1°. Всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно декартовых координат переменной точки плоскости.
Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат определяет плоскость.
2°. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Mq(xo, уо, z0) перпендикулярно вектору N = {А, В, С}:
А(х - а?о) + В(у - у0) + C(z - z0) = О,
N называется нормальным вектором плоскости (рис. 4.1).
3°. Общее уравнение плоскости
Ах + By + Cz + D = 0.
Примечание. На самом деле в качестве нормального вектора плоскости можно брать любой вектор, коллинеарный N, координаты
которого наиболее приемлемы для вычислений.
Неполные уравнения плоскости:
1) если D = 0, т. е. Ах + By + Cz = 0, то плоскость проходит через начало координат;
2) отсутствие в общем уравнении плоскости коэффициента при какой-либо переменной означает, что нормальный вектор N = {А, В, С}
N
Рис. 4.1
имеет соответствующую нулевую т. е. перпендикулярен к этой оси, лельна этой оси.
Например, если А = 0, то By + Cz + D = 0, ее нормальный параллельна оси Ох (рис. 4.2, а)
координату,
а плоскость, следовательно, парал-
уравнение плоскости имеет вид вектор N = {0, В, С} и плоскость если В = 0, то N = {А, 0, С} и
80
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
плоскость параллельна оси Оу (рис. 4.2,6); если В = С — 0, т.е. Ах + D = 0, то N = {Л, 0,0}±Ожу, а плоскость параллельна плоскости Oyz, т.е. перпендикулярна оси Ох (рис. 4.2, в).
4°. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M\(xi,yi, zi), М2(х2,У2, zz) и Мз(хз, уз, хз), получается раскрытием следующего определителя:
X — Х[ х2 - Х1 хз - Х1
У — У1
У2 - У1
Уз - У1
z — Z\
Z2 - 21
Z3 - Z\
= 0.
5°. Уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях отрезки а, Ъ, с (рис. 4.3), имеет вид
х- + у- + z- = 1 а Ь с
и называется уравнением плоскости в отрезках.
6°. Если |р| есть длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость (рис. 4.4), a cos a, cos/3, cos 7 — направляющие косинусы этого перпендикуляра, то a; cos а + ycos/3 + ZC0S7 — р — 0 называется нормальным уравнением плоскости.
Общее уравнение плоскости всегда можно привести к нормальному виду умножением всех его членов на нормирующий множитель
1
и = ----,	----,
± у/А2 + В2 + С2
где знак перед корнем берется противоположным знаку D.
§ 1. Плоскость в пространстве
81
7°. Расстояние d от точки Mi(x\, гц, zj) до плоскости с уравнением Ах + By + Cz + D = 0 определяется по формуле
j	Aj.'। + Ву\ + Cz\ + Г>|	।	,	I
d = -1-------—	---—1 = kri cos а + у\ cos р + z\ cos 7 — р .
\/а2 + в2 + с2	11 у	1
8°. Угол между плоскостями, заданными уравнениями Aix +
+ В\у + C|Z + D[ — 0 и А%х + В2У + Cjz + D% — угол (рис. 4.5), который измеряется углом между нормальными векторами этих плоскостей (см. гл. III, § 2):
7V1 Л'2	-Al А% + В\ + С\ С?
COS (Г> = -——:	t ... .	.
NM ^а2л-в2л-с2^а2 + в2 + с2
Условие перпендикулярности плоскостей равносильно условию перпендикулярности их нормальных векторов: N1N2 = 0, или Л1Л2 + + В1В2 + С}С2 = 0. Условие параллельности плоскостей совпадает с условием коллинеарности векторов JV] и N2'-
Ni = XN2, или = ^ = 2k = а.
Аг В2 С2
0, есть двугранный
Рис. 4.5
Примеры с решениями
Пример 1. Построить плоскости, заданные уравнениями:
а)	Зя + 2у + 4z — 8 = 0; б) х — у = 0; в) 2х + Зу — 6 — 0; г) z — 2 = 0. Решение, а) Данное уравнение приводим к уравнению в отрез-
ках:
8/3	4	2	\	3
6 = 4, с=2
На оси Ох откладываем отрезок а = - (от начала координат), на Оу — отрезок 6 = 4, на оси Oz — отрезок с = 2. Остается соединить полученные точки (получаем сечения плоскости координатными плоскостями, рис. 4.6, а).
82
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
б)	Данная плоскость содержит ось Oz и пересекает плоскость Оху по прямой х — у = 0, принадлежащей этой плоскости (рис. 4.6, б).
в)	Это неполное уравнение плоскости, параллельной оси Oz. Она пересекает плоскость Оху по прямой 2х + Зу — 6 = 0. Добавим, что эта плоскость перпендикулярна вектору N = {2,3,0} (рис. 4.6, в).
г)	Плоскость перпендикулярна вектору N = {0,0,1}, т. е. оси Oz, и пересекает эту ось в точке (0,0,2) (рис. 4.6, г).
Пример 2. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Ох отрезок О А = 3 и перпендикулярной вектору N = {2, -3, 1}.
Решение. По условию точка Л(3,0,0) принадлежит искомой плоскости. Согласно п. 3° уравнение этой плоскости имеет вид
2(ж — 3) — 3(у — 0) + (z — 0) = 0, или 2х — Зу + z — 6 = 0.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки (1,0, 1) и (—2, 1,3).
Решение. Уравнение плоскости, параллельной оси Oz, имеет вид Ах + By + D = 0. Подставив сюда координаты заданных точек плоскости, получим систему для определения коэффициентов уравнения:
Ai+B-0 + D = 0, А- (-2) + В - 1 + D = 0
=> D = -А, В = ЗА,
т. е. Ах + ЗАу — А = 0, или х + Зу — 1 =0.
Пример 4. Установить, что плоскости с уравнениями 2х + Зу — — 4z + 1 = 0 и Ъх — 2у + z + 6 = 0 перпендикулярны.
Решение. Запишем нормальные векторы данных плоскостей: Ni = {2,3,-4} и N2 = {5,—2,1}. Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение Nj N2 — 0. Имеем 2 • 5 4- 3 • (-2) + (-4) -1=0 (см. п. 8°).
Пример 5. Найти расстояние от точки А(2, 3, — 4) до плоскости 2х + бу — 3z + 16 = 0.
Решение. По формуле п. 7° имеем
d _ |2-2 + 6-3-3(-4) + 16| _ 7 2 _ V4 + 36 + 9	- 7 ’
Ответ, d = 7 - .
7
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(l,2,0), М2(\, -1,2) и М3(0, 1,-1).
Решение. Согласно п. 4° уравнение искомой плоскости определяется равенством
х - 1 у - 2 z-0 0-3	2
-1 -1 -1
= 0.
§ 1. Плоскость в пространстве
83
Раскрываем определитель (гл. I) по элементам первой строки:
(ж — 1)5 — (у — 2)2 + z(—3) = 0, или Ъх — 2у — 3z — 1 = 0.
Упражнения
1.	Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Оу отрезок ОВ = 5 и перпендикулярной к вектору п = {3, —2,4}.
2.	Составить уравнение плоскости, проходящей через основания перпендикуляров, опущенных из точки 4(2,3, — 5) на координатные оси.
Указание. Воспользуйтесь п. 4°.
3.	Написать уравнение плоскости, если известно, что точка 4(2, 1,— 3) является основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат.
4.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки 4(2,-1,4) иВ(3,2,-1) перпендикулярно к плоскости x+y+2z- 3 = 0.
Указание. В качестве нормального вектора N- искомой плоскости нужно взять N = АВ х п, где п = {1,1,2}.
5.	Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М(2,3, -5) на плоскость 4х — 2у + 5z — 12 = 0.
6.	Найти угол между плоскостью 2х + у — 2z — 3 = 0 и координатной плоскостью Oyz.
7.	Найти расстояние между параллельными плоскостями х — у + + г-1=0и2ж-2у4-2г-5=0.
Указание. Взять на одной из плоскостей любую точку и применить формулу п. 7°.
8.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 4(1,-1,1) и перпендикулярной к плоскостям 2x-y + z-l=0 и х + 2у — z + 1 = 0.
Указание. Воспользуйтесь п. 3°, где N = N\ х N?-
9.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 4(2,-3,2), В(-1,—2,-1), С(-3,1,4).
Ответы
1. За; — 2у + 4z — 12 = 0. 2. 15а; + 10у — 6z — 60 = 0. 3. 2а; + у — 3z — -14 = 0. 4. \\x-7y-2z-2l =0. 5.	6. cos^= <^48°11'.
7.	. 8. х — Зу — 5z + 1 = 0. 9. 2а; + Зу — z + 7 = 0.
84
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 2. Прямая в пространстве
1°. Прямую в пространстве можно определить как линию пересечения двух плоскостей. Система уравнений
( Aix + В\у + C\z + D\ =0,
{ А2Х + В2У + C2Z + D2 = 0 задает общие уравнения прямой.
2°. Канонические уравнения прямой
1 ~ ^0 _ У-уо _ Z- ZQ т	п	р
определяют прямую, проходящую через точку МДгсо, уо, zo) параллельно вектору I = {т,п,р}, который называется направляющим вектором прямой (рис. 4.7).
3°. Параметрические уравнения прямой имеют вид х = xq + mt, У = Уо + nt, z = zq + pt, где параметр t изменяется в интервале —оо < t < 00.
/
4°. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M\(x\,y\,z\) и М2(Х2,У2, Z2}'.
X - Х\ _ у -у\ _ z — Z\
ж2 - xi у2- У[ z2 - Zi
(если знаменатель какой-либо дроби равен нулю, то ее числитель тоже равен нулю).
5°. Для приведения общих уравнений прямой к каноническому виду следует:
— взять две точки на Прямой, для чего одной переменной нужно придать два числовых значения и решить систему уравнений относительно других переменных (или взять два значения параметра i);
— написать уравнения прямой, проходящей через две точки (п. 4°).
6°. Направляющий вектор I прямой, заданной общими уравнениями (рис. 4.8)
Г -41 х + В\у + Ci z + Z?i =0,
{ А2Х + В2У + C2Z + D2 = 0,
имеет вид: I =
г j к
С1
Л2 В2 С2
— векторное произведение нормальных
векторов ТУ] = {Ль В\, Cj} и N2 = {А2, В2, С2}.
§ 2. Прямая в пространстве
85
7°. Под углом между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями
х ~ х\ _ У ~ У\ _ z ~ z\ „ Х-Х2 _ у — у2 Z-Z2
	 — 	 — 	 И 	 — 	 — 	 , ТП1----------------------------------------т-Pl-m2-П2-Р2
следует понимать угол <р (рис. 4.9) между направляющими векторами этих прямых (см. гл. III, § 2). Этот угол можно определить при помощи косинуса:
cos <р =
/1^2	_ rnim2 + П[П2 + Р\Р2
^1||^|	+	+ п22
Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем условие перпендикулярности их направляющих векторов:
11/2 = 0, ИЛИ ПЦт? + П1П2 + Р\Р2 = 0.
Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарности направляющих векторов:
У* » у-*	ТП|	711 Pl
h = или	—L = — = —.
ТП2 П2 Р2
Примеры с решениями
Пример 1. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой
( 2х — Зу — 3z — 9 = 0, х — 2у + z + 3 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой составим по двум точкам (как в п. 4°). Координаты двух точек прямой найдем по схеме п. 5°.
1)	Положим, например, z\ = 0 и решим систему
2х — Зу — 9 = 0, х — 2у + 3 = 0
=> xi = 27, у1 = 15.
Точка А/) (27, 15,0) лежит на прямой.
2)	Аналогично, пусть Z2 = —3. Тогда
2х — Зу — 0, х — 2у = 0
=> Х2 = 0, у2 = 0.
Точка М2(0,0,-3) также принадлежит прямой.
3)	Запишем уравнения прямой, проходящей через две точки (п. 4°):
X	у	z + 3	X	у	z + 3
— =	-°-	=	—!— ,	или	-	=	~	=	——
27	15	3	9	5	1
86
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Пример 2. Для направляющего вектора прямой ( 2х — Зу — 3z + 4 = О, 1 х + 2у + z — 5 = 0
найти направляющие косинусы.
Решение. Согласно п. 6° найдем направляющий вектор I данной
прямой
i
2
1
I = JVj х N2 =
j k
-3 -3
2 1
= 3i — 5j + 7k.
Найдем Zj = %/9 + 25 + 49 = \/83. Теперь (гл. Ill)
3	„	5	7
cos a = —== , cos p = — —= , cos 7 = —— .
+83	\/83	+83
Пример 3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку Л(—2,3, 1) параллельно прямой
( х -2у - z — 2 = 0,
1 2х + Зу — z + 1 = 0.
Решение. Чтобы записать канонические уравнения прямой (п. 2°), нам недостает направляющего вектора, который определим по п. 6° (см. пример 2):
i 3
1 -2
2 3
к
-1
-1
= 5г — j + 7к.
Искомые уравнения имеют
вид
I =
х + 2
5
У - 3 _ z - 1
-1 ~ 7 >
Упражнения
1.	Составить уравнения прямой, проходящей через точки АД (2,-1,-3) и М2(3, 1,-5), и найти ее направляющие косинусы.
2.	Найти угол между прямыми
х + у — z — 1=0, (х — z+l = 0, х — у + 2z +1=0 и [ у + 2z — 1=0.
3.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку
1, —3, 2) перпендикулярно к прямым
х — 2   у _ z x_y+l_z + 3
3	- 2	1’1	4	- 5
4.	Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3,2, —1) и пересекающей ось Ох под прямым углом.
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
87
5.	Вычислить расстояние между прямыми
х _ у — 3 _ z — 2 х — 3 _ у + 1 _____ z — 2
Т ~ 2	1	1	2~ - 1
6.	Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(2,1, —3) и образующей с осями координат углы а = 45°, /3 = 60°, 7 = 120°.
7.	Даны две вершины параллелограмма ABCD-. С(-2,3, -5) и _D(0,4, —7), а также точка пересечения диагоналей М(1, 2, — 3,5). Найти уравнения стороны АВ.
8.	Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки: Л(3,5, -5), В(4,6, -4), 0(5, 7, -3).
Ответы
, х- 2 у+1 z + 3	1	„2	2
1. --- = --- = --------; cos он = - , cos р = - , cos 7 = — - .
1	2	- 2	3	3	3
2/ л г- д п х 1 у Ч- 3 z 2 д х 3 у 2 z -j- 1 . arccos(-0,5456). 3. - = -- = -. 4. - = -- = ——.
387	0-21
5 5\/30 6 x-2_y-l_z + 3 у х — 4_j/-l_z-|-2 g д
6 ’ ’ -У2 ~ 1 ” -3 '	2	1
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
1°. Углом между прямой и плоскостью называется угол I 0	- I между прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть 1{т, п,р} — направляющий вектор прямой, a N {А, В, С} — нормальный вектор плоскости. Тогда (рис. 4.10)
( 7Г	\	.	N  I
COS - - И = sin (Л = п—i—г-г =
12	)
_	Ат + Вп + Ср
у/т2 + п2 + р2  х/^2 + В2 + С2
Рис. 4.10
Условие	перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с усло-
г	,7	А	В	С
вием параллельности векторов	I и	2V:	—	=	—	=	—.
т	п	р
Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с условием перпендикулярности векторов I и N: Ат + Вп + Ср = 0.
2°. Координаты точки пересечения прямой х = хо + mt, у = уо + nt, z = zo + pt с плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 определяются подстановкой параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости, нахождением значения параметра t и подстановкой этого значения в параметрические уравнения прямой.
88
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
3°. Координаты точки пересечения трех плоскостей определяются решением системы уравнений этих плоскостей:
А]Х + В\х + C\z + Di =0, А2х + В2у + C2z + D2 = 0, А3х + В3у + C3z + D3 = 0.
Примеры с решениями
Рис. 4.11
Пример 1. Даны вершины тетраэдра Л(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), £>(-5, -4,8). Найти:
1)	длину ребра АВ;
2)	угол между ребрами АВ и AD;
3)	угол между ребром AD и плоскостью АВС;
4)	объем тетраэдра ABCD;
5)	уравнение ребра АВ;
6)	уравнение плоскости АВС;
7)	уравнение высоты, опущенной из D на АВС;
8)	проекцию О точки D на основание АВС;
9)	высоту DO.
Решение. Условию задачи удовлетворяет построенный чертеж (рис. 4.11).
1) АВ вычислим по формуле
d = у/(х2 - Х1)2 + (у2 - У1)2 + (22 - Z1)2 ,
АВ =
17.
2) Угол р = (АВ, AD) вычислим по формуле (гл. III, § 2)
Ав  AD cosр .--.
M-И
а)	АВ = {2, —2, -3}, АВ = У17, AD = {-7, -7,7}, AD = 7\/3;
б)	АВ- AD = -14+ 14-21 = -21;
—0,42, рк 180° -65° = 115°.
3) Синус угла 0 между ребром AD и плоскостью АВС равен косинусу угла между ребром AD и нормальным вектором N плоскости АВС (рис. 4.12). Вектор N коллинеарен векторному произведению АВ х АС (гл. III, § 3).
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
89
а)	АВ = {2, —2, -3}, АС = 2{2,0,3},
Принимаем N = {—3, —6, 2}.
б)	AD = 7{ —1, — 1, 1}, sin# = ^_6+- «0,92; #«67°.
4)	Объем тетраэдра ABCD равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (АВ х АС)  AD (гл. III, § 4).
Имеем: АВ = {2, -2,-3}, АС = 2{2,0,3}, AD = —7{1,1,-1};
2 -2 -3
2 0	3
1 1 -1
= 2-
3
-1
+ 2-
= -22.
0
2 3	2
1-1 d 1
0
1
Искомый объем равен: V = —-—— = —. 6	3
5)	Уравнения прямой, проходящей через две точки, имеют вид (§ 2)
---------- = -------	 = -;	- направляющий вектор I прямой. т-----------------------------п _р
Принимаем I = АВ = {2, -2, —3}. Тогда
(AS) :	= —
2	-2-3
6)	Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (§ 1):
х — Х\
Х2 - Х1
хз - Х1
У~У1
У2 - У1
Уз - У1
Z — Z\
Z2 - Z\
Z3 ~ Z\
= 0.
Имеем
(ABC) :
x — 2 у — 3 z — 1
2	-2	-3
2	0	3
= 0,.
или, после раскрытия определителя: За; + бу — 2z — 22 = 0.
7)	В качестве направляющего вектора I прямой DO можно взять вектор I = N = N(ABC) = {3, 6, -2} (§ 2),
(DO}  ж + 5 = у + 4 — z ~ 8
' ’	3	6 ~ -2 ’
или
х = —5 + 3t, у = —4 + 6t, z = 8 — 2t.
8) Проекция D на АВС — это точка О (точка пересечения DO с АВС). Значения х, у и z, выраженные через параметр t, подставим в уравнение АВС. Найдем значение t и подставим обратно в выражения для х, у и z (§ 3).
90
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Получим 3(3i - 5) + 6(6i - 4) - 2(8 - 2t) — 22 = 0, 49t = 77, t = — . гт	г , 33	2	38	34	„ (	2	38	34 \
7	7	7	7	\	7	7	7 /
9) Высоту DO можно вычислить как расстояние между D и О, или как расстояние от D до плоскости, или используя формулу для объема тетраэдра (§1).
В любом случае получим II = OD =	= 11.
Пример 2. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(—6,7, — 9) относительно плоскости, проходящей через точки Л(1,3,-1), В(6,5,-2) и 0(0,-3,-5).
Решение. Воспользуемся эскизом задачи (рис. 4.13).
1) Составим
уравнение плоскости а
= (АВС), проходящей
через три точки:
ж—1 у — 3 z + 1
5	2-1
1	6	4
= 0.
Подробности опускаем, так как подобное действие выполнили в предыдущей задаче. После раскрытия определителя получаем уравнение (АВС) : 2х — Зу + 4z + 11 = 0.
2) Напишем уравнение прямой I, проходящей через точку Р перпендикулярно а. Принимаем I = Na = {2, -3,4};
= У.—Z _ z + 9 , или х = — 6 + 2t, у = 7 — 3f, z = — 9 + 4Л 2-3	4
3) Определим координаты точки О пересечения I и а. Имеем: 2(-6 + 20 - 3(7 - 30 + 4(-9 + 40 + 11 = 0, 297 = 58, t = 2. После подстановки t = 2 в параметрические уравнения ’прямой получаем: ж = 4 - 6 =-2, у = 7 —6=1, z = -9 + 8 = -l.
4) Точка О(—2,1,— 1) делит отрезок PQ пополам, т.е., в частности, ж0 = (хР + я;ч) : 2, или xQ = 2жо - хР. Аналогичные формулы используем для yQ и zQ. Получаем xQ = — 4 + 6 = 2, yQ = 2 — 7 = — 5, Zq = -2 + 9 = 7.
Ответ. Q(2, —5, 7).
Пример 3. Найти координаты точки Q, симметричной точке _Р(1,3,2) относительно прямой АВ, где Л(1,2, — 6), В(7, — 7,6).
Решение. 1) Имеем АВ = {6, —9,12}. Принимаем I = {2, —3,4};
. х — 1 __________ у — 7. _________ z + 6
'	2	~ -3	4~~
или
х = 1 + 2£, у = 2 — 37, z = — 6 + At.
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве
91
2) Уравнение плоскости он, проходящей через Р перпендикулярно АВ, имеет вид (рис. 4.14)
(а): 2(rr - 1) - 3(у - 3) + 4(z — 2) = 0.
3) Находим координаты точки О пересечения АВ и а: 2(1 + 2t — 1) — 3(2 — — 3t — 3) + 4(4t — 6 — 2) = 0, t = 1; х = 3, у = -1, z = -2. Итак, 0(3, -1, -2).
4. Координаты Q вычислим по уже использованным ранее формулам: xQ = 2хо — хР. Получаем xQ = 5, yQ = —5, zQ = —6.
Ответ. Q(5, —5, —6).
Пример 4. Определить расстояние от точки Р(—7, —13,10) до u , х — 1 у + 2 z прямой I : --- = ---- = - .
-2	10
Решение. 1) Через Р проводим плоскость а перпендикулярно I, принимая N = I = {—2,1,0}. Получаем (а): -2(х + 7) + (у + 13) = О, т. е. 2х — у + 1 = 0.
2)	Находим координаты точки О пересечения I и а. Выражения х = 1 - 2t, у — —2 + t, z = 0 подставляем в уравнение плоскости: 2(1 - 2t) - {t - 2) + 1 = 0. Находим сначала t = 1, затем х = — 1, у = —1, z = 0, т. е. О{— 1, — 1,0).
3)	Искомое расстояние равно
OP = ^/(—7 + I)2 + (—13 — 1)2 + 102 = 2\/83.
Ответ, d = 2v/83 .
Пример 5. При каких значениях В и С прямая -— = -— =
z I 2
= —— и плоскость Зх — 2у + 5z = 0 перпендикулярны?
Решение. Условие перпендикулярности прямой и плоскости равносильно условию параллельности их векторов I = {1, В, С} и N = = {3, —2, 5}. Соответствующие координаты этих векторов должны быть 1	5 С*	2	5
пропорциональными (§3): - = - = — . Отсюда В = — , С = - .
3—25	33
Пример 6. Через прямую с общими уравнениями
Зх — 2у + 5z + 3 = 0, х + 2у — 3z — 11 =0
и начало координат провести плоскость и составить ее уравнение.
Решение. Задачу сводим к построению плоскости по трем точкам (§ 1, п. 4°). Подставляем z = -2 в исходную систему и решаем ее относительно х, у. Получаем одну точку Mi(3,1, —2) на данной прямой. Другую точку на этой прямой найдем при z = 6: М^-1, 15,6). Остает
92
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
ся составить уравнение плоскости по трем точкам: т. е. 18х — 8у + 23г — 0.
X у Z
3	1	-2
-1 15 6
= 0,
Пример 7. Составить уравнение плоскости, содержащей точку Mi (3, 1,0) и прямую -—- = | =	.
Решение. Из уравнения прямой известны координаты точки Мо(4,0, 1) на ней и направляющего вектора I = {1,2,3}.
Пусть М(х, у, z) — текущая точка плоскости (рис. 4.15). Тогда векторы MqM, МоМ\, I лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Условие компланарности векторов (гл. III, § 4) будет искомым уравнением: MqM • М$М\ • I = 0. Имеем: Mq М = {ж — 4, у, z - 1},
MqMi = {-1,1,-1}. Уравнение искомой плоскости имеет вид
х — 4 у z — 1
-1	1	-1
1	2	3
= 0.
Раскрывая определитель 5х + 2у - Зг — 17 = 0.
по элементам первой строки, упрощаем
Рис. 4.15
Пример 8. Найти расстояние от точки Mi(a:i,yi,^i) до прямой
х- х0 _ у - уд _ г — г0 т	п	р
Решение. Искомое расстояние можно найти как высоту h параллелограмма, построенного на векторах (рис. 4.16) MqMi = {a?i — xq, yi ~ Уо, ~ zo} и I = {m,n,p}. Площадь параллелограмма, как известно (гл. Ill, § 3), равна модулю векторного произведения векторов MqMi и I.
Таким образом, h = Д- =	А^' х ,
Сравните с примером 4.
§ 3. Плоскость и прямая в пространстве 93
Упражнения
1.	Прямая I проходит через точку Mq(2, 1, -1) и точку пересечения прямой х 3 =	= z * 1 с плоскостью х — у + z — 1 =0. Найти
угол, образованный прямой I с плоскостью ж + 2у — z + 3 = 0.
2.	Найти расстояние от точки Л/(2,3, 1) до прямой = -—- = _ z ~ 3 ~ -2
3.	Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
( х + z — 1=0,	( х + z — 1=0,
[ у + 2z = 0 и у у + 2z — 1=0.
Указание. Надо на одной из прямых взять точку и найти расстояние от нее до другой прямой.
4.	Даны вершины тетраэдра: Л(2, —1,—4), В(—1,4, —1), С(—2,3,-2), £>(3,10,-15). Составить уравнение грани АВС и найти координаты точки D', симметричной D относительно этой грани. Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины D.
5.	Найти проекцию точки Р(8,5,2) на плоскость, проходящую через точки Л(3, —2, 3), В(4, —2,0) и С(-1,4,3).
6.	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х ~ 4 у “I- 3	7	4	1	г>\
—— =	= у и точку Л(3,1, —2).
7.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(4, —3, 1) параллельно прямым - = - = — и ^±2 = -—- = -—-. к ’	62-35	4	2
8.	Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую =
= -—- = - и перпендикулярной к плоскости Зх + у — z + 2 = 0. -14
9.	Треугольник АВС образован пересечением плоскости х + 2у + + 4z — 8 = 0 с координатными плоскостями. Найти уравнение средней линии треугольника, параллельной плоскости Оху.
10.	Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3,1,-2) u х — 1 у + 1 z — 2
и точку пересечения прямой ------ = ----- = ----- с плоскостью
2х — Зу — 5z = 3.
11.	Найти точку N, симметричную точке M(l, 1,1) относительно плоскости х + у — 2z — 6 = 0.
t„ п	х — 1 у + 2 z — 5 х - 7 у — 2
12.	Докажите, что прямые ---= ----=------- и ---— ------- =
2	— 3	4	3	2
Z ~ 1
=----- лежат в одной плоскости, и составьте уравнение этой плоско-
сти. 2
94
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Ответы
1. arcsin — . 2. 2VT6.3. — . 4. х + Зу - 4г - 15 = 0, £>'(-3, -8,9), 14	3	к	'
V = 26, hD = 3л/26. 5. 0(2, 1,0). 6. 8ж-9у-22г-59 = 0. 7. 16ж -
- 27у + 14г - 159 = 0. 8. х - 5у - 2г + 11 = 0. 9. - =	= — .
2	- 1 О
10. х + 1 = - =	. 11. JV(3,3, — 3). Указание. Сначала найдите
4	1-1
проекцию точки М на плоскость. 12. Юж - 1 бу — 13г + 27 = 0.
§ 4. Поверхности второго порядка
1°. Если в пространстве Ж3 ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то каждая поверхность будет задаваться некоторым уравнением F(x, у, z) = 0, где (ж, у, г) — координаты любой точки поверхности. Если F(x,y,z) — многочлен второй степени относительно совокупности переменных х, у, г, то уравнение F(x, y,z) =0 называется уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением, называется поверхностью второго порядка. Если
поверхность имеет специальное расположение относительно системы
координат (например, симметрична относительно некоторых коорди-
натных плоскостей), то ее уравнение имеет достаточно простой вид и называется каноническим уравнением.
2°. Для поверхностей второго порядка перечислим канонические уравнения и приведем эскизы.
1)	Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис. 4.17):
ж2 + у2 + г2 = R2.
Уравнение
(ж - Жо)2 + (у - Уо)2 + (г - го)2 = R2
изображает сферу радиуса R с центром в точке ЛД(жо, уо, г0).
2)	Эллипсоид с полуосями а, Ь, с и центром в начале координат (рис. 4.18):
2	2	2
± = 1.
а2	Ь2	с2
При а = Ь = с — R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.
§ 4. Поверхности второго порядка
95
3)	Гиперболоид однополостный (рис. 4.19):
2	2	2
Е2 _L	К.	—	_	= 1
а2	Ь2	С2
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h являются эллипсами:
т2 „2	к2
- + — = 1 + -. «2 Ь2	С2
Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами:
у2	Z2	_ | h2	х2	z2	_ 1 h2
b2	с2	а2	а2	с2	Ь2
4)	Гиперболоид двуполостный (рис. 4.20):
X2	у2	Z2
а2	Ъ2	с2
Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h, \h\ > с являются эллипсами:
ж2 , У2 _ fe2 _ |
а2 Ь2 с2
Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у — h являются гиперболами:
у2 z2 _ h2 । х2 z2 _______________________________________ h2
Ь2 с2 а2	а2 с2 tf2
5)	Параболоид эллиптический (рис. 4.21):
2	2
х- + у- = 2pz.
а2	Ъ2
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h (h > 0 при р > 0, h < 0 при р < 0) суть эллипсы:
Х1 + у1 = 2ph. а2 Ь2
Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами:
7,2	h2	г2	h2
У- =2pz -	— =2pz- ~
Ь2	а2	а2	62
Рис. 4.21
96
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
6) Параболоид гиперболический (рис. 4.22):
г2 а2
,,2
= Zpz.
Ь2
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h суть гиперболы — ------—-— = 1. Сечения вертикальными плоскостями х = h
2a2ph 2b2ph
или у = h являются параболами:
У2
&
= -2pz +
h2
а2 ’
h2
ж2 с, h2 — = Zpz + — .
а2	Ь2
b2
7) Конус эллиптический с вершиной
в начале координат
(рис. 4.23):
2	2
д , У а2	Ь2
,2
- = 0 с2
>
Если а = Ь, то конус круглый или круговой. Сечения конуса горизон
тальными плоскостями являются эллипсами:
д2 , у2 _ fe2
а2 Ь2 с2
(при h = 0 эллипс вырождается в точку). Сечения конуса вертикальными плоскостями х = h и у = h являются гиперболами:
у2	z2	h2	х2	z2	h2
— — — =--------ИЛИ — — — =------------.
Ь2	с2	а2	а2	с2	Ь2
3°. К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, направляющие которых — линии второго порядка. Мы ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости Оху, а образующие — прямые, параллельные оси Oz, что является следствием отсутствия переменной z в уравнении поверхности F(x,y) = 0.
§ 4. Поверхности второго порядка
97
Различают следующие цилиндры: 1) Эллиптический (рис. 4.24):
Если а = b = R, то цилиндр — круговой: х2 + у2 = R2.
2) Гиперболический (рис. 4.25):
х2 V2 х _ У _ | а2 &2
3) Параболический (рис. 4.26):
у2 = 2рх.
Примеры с решениями
Пример 1 (к п.2°). Определить тип поверхности и сделать чертеж: а) х2 — у2 = z2; б) — 2х2 + 2у2 + z2 = 4; в) 2х2 — у2 + z2 + 2 = 0;
г) Зу2 4- 2z2 = бх.
Решение, а) Запишем данное уравнение в виде у2 + z2 — х2 = 0. Сопоставив его с 7), определяем, что это круговой (а = Ь = с) конус с вершиной в начале координат и осью вращения Ох (ср. рис. 4.23, на котором ось вращения — Oz).
б)	Переписав уравнение поверх-2	2	2
хz , v , z	<
ности в виде------+ — + — = 1,
2	2	4
определим, согласно 3), что это одно-полостный гиперболоид (рис. 4.27).
Рис. 4.27
4 К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров
98
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
в)	Переписав уравнение поверхности в виде у — у + — = — 1, определяем, согласно 4), что это двуполостный гиперболоид (рис. 4.28).
г)	Переписав уравнение поверхности в виде -—Н — = х, определяем, согласно 5), что это эллиптический параболоид (рис. 4.29).
Пример 2 (к п. 3°). Определить тип поверхности и сделать чертеж: а) у2 = 4а;; б) z = х2; в) у2 + z2 = 4.
Решение, а) Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная z, то это цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей — параболой (рис. 4.30) с уравнениями
у2 = 4а;, z = 0.
б) Так как в уравнении поверхности отсутствует переменная у, то это цилиндр с образующими, параллельными оси Оу, и направляющей — параболой (рис. 4.31) с уравнениями
Г z = а;2,
| У = 0.
§ 4. Поверхности второго порядка
99
в) Цилиндр с образующими, параллельными оси Ох, и направляющей — окружностью радиуса 2 с уравнениями (рис. 4.32)
( у2 + z2 = 4,
| х = 0.
Пример 3 (кп. 2°,3°). Начертить тело, ограниченное данными поверхностями: а) 2у = х2 + z2, х2 + z2 = 1; б) z = 0, у + z = 2, у = х2; в) z — 6 — х2 — у2, х2 + у2 — z2 = 0.
Решение, а) Первая поверхность — эллиптический параболоид
—Н — = у, вторая — цилиндр с образующими, параллельными оси
Оу (рис. 4.33).
б) z = 0 — это координатная плоскость Оху, у + z = 2 — это плоскость, параллельная оси Ох\ у — х2 — это параболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz (рис. 4.34).
в) Тело ограничено параболоидом и конусом (рис. 4.35).
4*
100
Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
Упражнения
1. Определить тип поверхности и сделать схематический чертеж:
1)	z = 4 — у2\ 2) х2 = у2 + z2; 3) х — 6 — z2 — у2\ 4) х2 + у2 + z2 = а2;
5) За:2 - у2 + 2z2 = — 1.
2.	Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3,1, -2) и точку пересечения прямой х = 2t — 1, у = t + 2, z = 1 — t с плоскостью За; — 2у + z = 3.
3.	Найти расстояние от точки М(2,0,3) до прямой
С 2а; — у + z = 1,
[ х + у + г = 3.
х И- 1
4.	Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую —— =
= -—- = и точку М(3,2, — 1).
5.	Найти расстояние между параллельными прямыми
х — 1 _ у _ z + 1	х __ у + 1 _ z — 2
2	— — 1	3	2	-1 З’
6.	Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные х — 1 у + 2 z + 1 х у — 1 z + 2 прямые -- = ---- = ---- и - = -- = ---.
3-543-54
7.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку М(2,1, -3) и образующей с осями координат углы а = 45°, /3 = 60°, 7 = 120°.
8.	Начертить тело, ограниченное данными поверхностями:
1)	z = 16 — х2 — у2, х2 + (у — 2)2 = 4;
.2	„2	„2
2)	— = — + — , z = с, х = 0, у = 0.
с2	а2	Ь2
9.	Составить уравнение эллипсоида, осями симметрии которого служат оси координат, если на его поверхности лежат три точки А(3,0,0), Б(-2, 5,0) и <7(0, —1, -^г).
10.	Какую поверхность определяет уравнение z2 + х2 = m(z2 + у2) при: 1) т = 0; 2) 0 < т < 1; 3) т < 0?
11.	Составить уравнение сферы, если точки М(4,-1,-3) и 7V(0,3, — 1) являются концами одного из ее диаметров.
12.	Найти уравнения линии пересечения поверхностей z = 2 — х2 — — у2 и z = х2 + у2.
13.	Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2 + z2 = = 100, 2x + 2y-z~ 18.
Ответы
1. 1) цилиндр; 2) конус; 3) эллиптический параболоид; 4) сфера; 5) двуполостный гиперболоид. 2. -—5 = £211 —	3
Контрольные задания
101
4. х + у + 5z = 0. 5. -——. 6. 7х + у — 4z = 9. 7. -—? = -—- = 7	>/2	1
, I Q „2	,2	,2
= ~ .9.	+ у = 1. 10. 1) ось ординат; 2) конус; 3) начало
координат. 11. (х - 2)2 + (у — I)2 + (z + 2)2 = 9. 12. х2 + у2 = 1, z = 1 (окружность). 13. <7(4,4,-2); г — 8. Указание. Центр окружности — это точка пересечения плоскости с перпендикуляром из центра сферы на плоскость, а радиус окружности г определяется из равенства т2 = R2 - d2, где R — радиус сферы, ad— расстояние от ее центра до плоскости.
Контрольные задания
(к главам III и IV)
1. Даны координаты вершин пирамиды >1(0,0, 1), В(2,3,5), 67(6,2,3), 2?(3,7,2). Требуется:
1)	найти длину ребра АВ, косинус угла между ребрами АВ и АС;
2)	найти площадь грани АВС, длину высоты, опущенной на грань АВС, объем пирамиды ABCD;
3)	найти координаты точки Е, симметричной точке D относительно плоскости АВС;
4)	найти координаты точки Р, симметричной точке D относительно ребра ВС.
2.	Найти уравнение плоскости, отстоящей на расстоянии 3 от плоскости Зх - бу - 2z + 14 = 0.
3.	Составить уравнение прямой, принадлежащей плоскости Oyz и проходящей через начало координат перпендикулярно прямой
2х - у = 2, y + 2z = -2.
4.	Заданы прямая - —1 = - = - + 1 и точка М(0,1,2). Требуется:
1)	составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую;
2)	составить уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой;
3)	составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую;
4)	вычислить расстояние от точки М до прямой.
5.	Найти расстояние между прямыми:
6 х = 1 + 2t,
1) J у = 2-36, I z = t
6 х = 7 + 26, и < у = — 5 — 36, ( z = 2 + 6;
2) я + % _____ у - 3
1	2
z — 1	а: + 1 _ д-1-2 z + I
----- И ---------- — ------- — ------ '
3	0	4	5
102	Гл. IV. Аналитическая геометрия в пространстве
( х = 2t + 1,
3)	J y = 3t-\,	и ^-? = ^12 = —;
( z = —5	1	11
. > ( 2х + у + z — 2 = 0,	( х — 2у + z — 4 = 0,
' 2х — у -- 3z + 6 = 0 и 2а; + 2?/ — z — 8=0.
6.	Установить вид поверхности:
1)	а;2 — 3z = 0; 2) у2 + 2z - 4z2 = 3;	3) 2а;2 + Зу2 + 4z2 = 24;
4)	2а;2 + Зу2 - bz2 = 24;	5) 2а;2 + Зу2 - 4z2 = 0;
6)	2а;2 — Зу2 =1;	7) За;2 — 2у2 =0;	8) (х — I)2 + у2 = 5.
7.	Изобразить тело, ограниченное данными поверхностями:
1)	z — \/9 — х2 — у2 и 9z = 2а;2 + 2у2\
2)	z = 3\/а;2 + у2 и z = 10 — х2 — у2;
3)	z = 1 — 6 (а;2 + у2^ и z = 12а; + 1;
4)	z = 5 (а;2 + у2') + 1 и z = 10 — 18?/.
Глава V
ФУНКЦИИ
§ 1.	Основные понятия
1°. Переменная величина у называется функцией переменной х, определенной в некоторой области, если каждому значению х из этой области соответствует одно значение у.
Обозначение функции у = f(x), у = у(х) и т.п. введено Эйлером. Наглядным представлением функции служит ее график: множество всех точек плоскости Оху с координатами (х,у), где у = f(x).
2°. Графики основных элементарных функций.
1)	Степенная функция у = ха, где а — вещественное (действительное) число. Область определения степенной функции зависит от а: она определена при всех х > 0, а также при х < 0, если а рационально, несократимо и с нечетным знаменателем. При а > 0 степенная функция определена в точке х = 0. Примеры степенных функций и их графиков (рис. 5.1):
а > 0
104
Гл. V. Функции
2)	Показательная функция у = ах, а > 0.
Эта функция определена на всей числовой оси, она всегда положительна; это видно на графике (рис. 5.2).
3)	Логарифмическая функция у = loga х, а > 0, а / 1.
Эта функция определена при х > 0 и принимает произвольные значения у е R. При а > 1 функция возрастающая, при 0 < a < 1 — убывающая (рис. 5.3).
4)	Тригонометрические функции у = sin а;, у = cos а;, у = tga;, у = ctga;.
Функции у = sin а; и у = cos а; определены для любых х и принимают значения из отрезка [-1; 1] (рис. 5.4).
Функция у = tga; не определена в точках, где posa; = 0, т.е. при х = - (2k +1), к = 0; ±1; ±2,.... Прямые х = - (2к + 1) являются вертикальными асимптотами графика тангенса (рис. 5.5).
Функция у = ctga: не определена в точках, где sin а; = 0, т.е. при х = кк, к = 0; ±1; ±2,.... Прямые х = кк являются вертикальными асимптотами графика котангенса (рис. 5.6).
§ 1. Основные понятия
105
5)	Обратные тригонометрические функции.
Функции у = arcsina; и у = arccosa; определены для — 1 х 1 и принимают значения из [—тг/2;тг/2] и [0;тг] соответственно (рис. 5.7).
Функции у = arctg а; и у = arcctga; определены для всех значений аргумента и принимают значения из [—тг/2; тг/2] и [0; тг] соответственно (рис. 5.8).
3°. Предел функции.
Пусть функция /(а;) определена в некоторой окрестности точки х = а, за исключением, может быть, самой точки а.
Пределом функции /(а;) при стремлении х к а называется число В, такое, что разность |/(а;) - В\ принимает значения сколь угодно малые при всех х, достаточно близких к а. В этом случае пишут lim f(x) = В. х—>а
Если функция f(x) имеет предел В при х —> оо, то прямая у = В называется горизонтальной асимптотой графика функции /(а;) (рис. 5.9 и 5.10).
х = а называется вертикальной
Если lim f(x) = оо, то прямая х^а
асимптотой графика функции у = f(x) (рис. 5.9 и 5.10).
106
Гл. V. Функции
Число Вг называется пределом справа, и будем писать В2 = = lim f(x), или /(а + 0) = lim f(x), если х стремится к а, оста-х—>а+0	х—>а+0
ваясь правее точки х = а, т. е. х > а. Аналогично определяется и предел слева Bi = lim fix'), или f(a — 0) = lim f(x). При этом x x—>a—0	x—+a—0
стремится к а, оставаясь левее точки х = а, т. е. х < а (рис. 5.11).
4°. Непрерывность.
Рис. 5.11
Пусть функция у = f(x) определена в точке хо и некоторой ее окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке xq, если существует предел f(x) при стремлении х к хо, причем lim f(x) = f(xo). Ес-X—>#о
ли это условие не выполнено, то точка хо называется точкой разрыва функции f(x). Непрерывность функции f(x) в точке х = хо равносильна условиям lim f(x) = lim f(x0) = f(x0). Гово-
X —>Xq—0	X—>Xq+0
рят, что функция у = f(x) имеет в точке разрыв первого рода, если существуют
конечные пределы lim f(xo) = f(xo + 0) и lim f(xo)=f(xo-O), x—>xq+0	x—tXQ—0
причем
f(x0 + 0) f(x0 - 0), или f(xo + 0) = f(x0 -0) £ f(x0).
В последнем случае xq называется точкой устранимого разрыва. Разность f(xo + 0) - f(xo — 0) называется скачком функции в точке хо. Функция /(а;) имеет в точке хо разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или равен бесконечности.
Упражнения	;
1.	Найдите и укажите горизонтальные и вертикальные асимптоты функций, графики которых приведены на рис. 5.1-5.8.
Построить графики функций.
2.	у = 2х. 3.y = Vx2. 4. у = 2^. 5. у = 2“Н
6.	у = sina;. 7. у = 38ШЖ. 8. у = sin2 х. 9. у=^-^-.
X
4	/ч	COS X	1
10.	у =- 11. у =-------.
х	sin х
§ 2. Деформация графиков функций
Под деформацией графика функции у = f(x) мы имеем в виду построение геометрическими методами графика функции у = = Af(ax + b) + В, исходя из графика функции у = f(x).
Перечислим сначала основные частные случаи.
§ 2. Деформация графиков функций
107
1°. Если Г — график функции у = f(x), то имеют место следующие свойства.
1)	График функции у = /(—ж) симметричен Г относительно оси Оу.
2)	График функции у = —f(x) симметричен Г относительно оси Ох.
3)	График функции у = —f(—x) симметричен Г относительно начала координат.
4)	График функции у = f(ax) (а > 0) получается сжатием Г к оси Оу (т. е. вдоль Ох) в а раз при а > 1 или растяжением от оси Оу в -а раз при 0 < а < 1.
5)	График функции у = f(x - а) получается параллельным сдвигом (переносом) Г на а вправо при а > 0 или на |а| влево при а < 0.
6)	График функции у = Af(x) получается растяжением Г от Ох (вдоль оси Оу) в а раз при А > 1 или сжатием к оси Ох в — раз при 0 < А < 1.	А
7)	График функции у = f(x) + В получается сдвигом Г вдоль Оу на В вверх при В > 0 или на |В| вниз при В < 0.
Примечание. Практически параллельный перенос графика в ту или иную сторону относительно системы координат равносилен переносу координатных осей в противоположную сторону относительно графика.
8)	Для построения графика функции у = |/(ят)| нужно построить сначала график Г функции у = f(x). Далее ту часть Г+, которая расположена на и над Ох, надо сохранить, а ту часть Г~, которая расположена под осью Ох, — зеркально отразить относительно этой оси. Искомый график состоит из объединения построенных двух частей.
9)	у = /(И). Строим часть графика Г функции у = f(x), которая соответствует х 0. Затем эту часть зеркально отразим относительно оси Оу. Искомый график состоит из объединения построенных двух частей.
Ю) у = f(u(x)). Главное, что нужно для построения графика сложной функции у = f(u), где и = и(х), — это умение правильно использовать промежутки монотонности функции и = и(х) и сочетать это с монотонностью функции у = f(u).
2°.	Прежде чем строить график данной функции у = Af(ax + b) + + В, следует переписать эту функцию в виде у = Af(a(x — а)) + В, где Ъ
а =---, и выполнить затем последовательно следующие построения,
а
1)	График Г функции у = f(x).
2)	График Г1 функции у = f(x - а) — сдвиг Г вдоль Ох.
3)	График Г% функции у = f(a(x - а)) = f(ax + b) — сжатие или растяжение 1\, если а > 0 и последующее отражение относительно оси Оу, если а < 0.
4)	График Гз функции у = Af(ax + b) — сжатие или растяжение Г2 при А > 0 и отражение относительно оси Ох, если А < 0.
108
Гл. V. Функции
§ 2. Деформация графиков функций
109
5)	График функции у = Af(ax + 6) + В -г параллельный перенос Гз вдоль оси Оу.
Примеры с решениями
Пример 1. Построить график функции у= ± х2 + 2х - 1.
Решение. Перепишем данную функцию в виде у = (а; + 2)2 - 3.
1)	Гу = х2 — парабола (рис. 5.12,а) с вершиной в точке 0(0,0).
2)	Г2‘. у - (х + 2)2 — парабола (рис. 5.12,6) с вершиной в точке А(-2,0).
3)	Гз: у = (х + 2)2. Получается из Г2 сжатием в 2 раза к Ох (рис. 5.12,в).
4)	Г4: у = - (х + 2)2 — 3. Гз опускаем на 3 единицы вниз (рис. 5.12, г).
Пример 2. Построить график функ-о За? Ч- 1 ции у = 2--------.
2а? — 2
Решение. Представим данную функ-
цию в виде у ---------h - . Далее строим
х — 1	2
последовательно.
1)	В качестве Г принимаем график функции у = - — равнобочная гипербола X
(рис. 5.13, а).
2)	Л: у= -L-X - 1 на 1 вправо вдоль Ох
3)	Г2: у = - —Ц-X — 1
носительно оси Ох (рис. 5.13, в).
2
4)	Гз: у ----— растяжение Гi в
а? — 1
два раза от оси Ох (рис. 5.13, г).
— сдвиг Гз вверх на i (рис. 5.13, д).
— сдвиг гиперболы
(рис. 5.13, б).
— отражение Г от-
5) Г4: у = - ~	;
х — 1	2
Пример 3. Построить график функции
у = 2 sin | 2х + - ) — -
\	2/2
Рис. 5.14
Решение. Перепишем: ?/ = 2 sin 2 (а; + - I — -
но
Гл. V. Функции
1)	Исходим из графика Г функции у = sina; (рис. 5.14, а).
2)	Г\: у = sin ^а; — J, а = — .
Г\ получается из Г сдвигом вдоль Ох на ( - - ) влево (рис. 5.14, б). \ 4 /
3)	Гг: у — sin | 2а; + - ) = sin2 ( х + - ). \	2)	\	4 /
Гъ получается из Г сжатием к прямой х = — - в два раза. Волна Г2 4 стала в два раза «гуще», чем (рис. 5.14, в).
4)	Г3: у = 2 sin ^2;г +	.
Г3 получается из растяжением вдоль Оу в 2 раза (рис. 5.14, г).
5)	Г4: y = 2sin^2x +	— i .
Г4 получается из Г$ параллельным сдвигом вдоль Оу вниз на -(рис. 5.14, д).
Пример 4. Построить график функции у = cosх2.
Решение. Достаточно знать точки пересечения графика функции у = cosa;2 с осью Ох. Имеем cos а:2 = 0 при х ±	+ Ьг,
к = 0,1,2,.... При х = ±\/кя, к = 1,2, 3,... имеем cosa;2 = (— l)fe. График данной функции изображен на рис 5.15.
1
-1
Рис. 5.15
Пример 5. Построить график функции у = log2cosa;2.
Решение. Область определения этой функции находим из графика предыдущей функции: cosa;2 > 0 при х €	, 2^.^, х е
(а/Зтг	\/5тг 1	(	\/5тг	\/Зтг \	,,
----, --- , х G----------,-------и т. д. Учитываем монотон-
2	2 /	\	2	2 /
ность функции у — log21, а также равенство log21 = 0, log21 < О при t < 1 и log21 —» —00 при t —» 0 (t > 0). Следовательно, прямые
§ 2. Деформация графиков функций
111
/ 2k I 1
х = ±4/-----п, к = 0,1,2,являются вертикальными асимптотами
V 2
графика данной функции (рис. 5.16).
Пример 6. Построить график функции у = |log2 |я: — 2||.
Решение. График функции у = log2 |а:| состоит из графика у = = log2a: (х > 0) и симметричного с ним относительно оси Оу графика функции у = log2(—ж), х < 0 (рис. 5.17, а).
График функции у = |log2 |а;|| получается из расположенных на и над Ох ветвей предыдущего графика и отраженных относительно оси Ох отрицательных его ветвей. Если последний график сдвинем параллельно себе вправо на 2, то получим требуемый (рис. 5.17, в).
Пример 7. Построить линию, координаты точек которой удовле-
творяют уравнению |я?| — |т/| = 1.
Решение. При х 0 данное уравнение принимает вид |j/| = х — 1. Это уравнение имеет смысл при х 1 и изображается двумя лучами: у = х — 1 и у = —(х - 1). Они образуют прямой угол. Наличие модуля ]я?| в первоначальном уравнении означает, что его изображение симметрично относительно оси Оу. Итоговое изображение (рис. 5.18) симметрично относительно
обеих координатных осей.
112
Гл. V. Функции
Упражнения
Построить графики функций.
1. {/ = -/(а; - 2)2. 2. у = log2(x - 3). 3. у = |log2(a: - 2)|.
4. у = |log2 |а;+ 1||. 5. у = log2 |а;| + 1. 6. у = |log2 |я?| + 1|.
7. у = log2(2 + sina;). 8. у = log2(1 + sina;).
9. у = |log2(l +sina;)|. 10. у = log21 sina;|. 11. у = log2 tgx.
12. у = |log21 sina;||. 13. у = 2х. 14. у = 21ж1. 15. у = 2~1г1.
16. у = 2sin:c. 17. ?/ = sina:. 18. у = sin2 х. 19. у = sin2а;.
20.	у = sin2 2а;. 21. у = 2а; + 3. 22. у = |2а; + 3|.
23.	у = —|2а; + 3|.
Построить линии на плоскости, координаты точек которых удовлетворяют уравнениям.
24.	|j/| = х. 25. \у\ = х2 — За; + 2. 26. |j/| = sina;.
27.	\у\ = log2a;. 28. |j/| = |а;|. 29. \у - 1| = х - |а;|.
30.	^1 + 17/1 = 1. 31. |а; — 11 — |т/— 2| = 3. 32. |а;| - |т/| = 2.
33. |?/| = | tga;|. 34. |j/| = ] sina;|. 35. |j/| = log21 sina;|.
§ 3.	Предел последовательности
1°. Числовой последовательностью называется бесконечное занумерованное множество действительных чисел щ.аг,	По-
следовательностью называется также функция натурального аргумента ап = /(«). n € N (ц — натуральное).
2°. Рассмотрим поведение членов четырех последовательностей:
an = 1 +	. Ьп=п2, ста = (-1)”-п/ </та = (-1)"
п
при условии, что п = 1,2,3,....
Имеем:
	о,	3 2 ’	2	5 3 ’	4 ’	4 5	7	6 ’	6 ’	7 ’
Ьп •	1,	4,	9, 16,	25,	36, ...,
On •	-1,	2,	-3, 4,		5, 6, ...,
	-1,	1,	-1, 1,		1, 1, ....
1)	Члены {ап} сгущаются к числу 1: абсолютная величина разности |ап - 1|= - становится все меньше и меньше. Это означает, что ап—> 1 п при п —* ОО.
Кратко: lim ( 1 + —• ) = 1.
п—>оо \	n J
§ 3. Предел последовательности
113
2)	Члены {&п} положительны и неограниченно возрастают: с ростом п они становятся и остаются больше любого наперед заданного числа. Это означает, что Ьп —> +оо при п —► оо.
Кратко: lim п2 = +оо.
п—>ос
3)	Абсолютные величины [сп| членов сп неограниченно возрастают, т. е. |сп| —> +оо. Это означает, что сп —» оо при п —> оо.
Кратко: lim (—1)"-п = оо.
п—>оо
4)	Члены {dn} ни к чему не стремятся, ни к чему определенному не приближаются.
Кратко: lim (-1)" не существует.
п—»ос
3°. Число а называется пределом последовательности {ап} при п, стремящемся к бесконечности, если для любого е > 0 найдется такое натуральное число N = 7V(e) (зависящее от е), что при всех п > N имеет место неравенство |ап — А| < е. Кратко, при помощи кванторов:
lim ап = А о Ve > О ELV == N (е) : п > N => \ап — А| < е. п—*<х>
4°. Бесконечные пределы.
Кратко:
lim ап ~ +оо <=> Ve > О ELV == N (е) : п > N => ап > е\
п—><х>
lim ап = —оо <=> Ve > О ELV = N (е) : п > N => ап < — е;
п—>оо
lim ап = оо О lim \ап| = +оо. п—>ос	п—>схэ
Доказательство предложений п. 3°-4° сводится к решению того или иного неравенства с параметром е относительно п.
5°. Последовательность {ап} называется монотонно возрастающей (убывающей) при п > N, если an+i > ап (an+i < ап).
Последовательность {ап} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (т), такое, что ап < М (ап т).
Теорема 1 (о существовании предела). Если последовательность {ап} монотонно возрастает (убывает) и сверху (снизу) ограничена, то она имеет предел.
Теорема 2 (о числе е). Последовательность < еп =(!+-] >
I у п J J имеет предел.
Этот предел обозначается буквой е:
(\ п
1 + - ) = е.
п /
При этом е = 2,7182818284590... « 2,72.
Предел е существует на основании теоремы 1 (можно доказать, что ета+1 > еп и еп < 3, п G N).
114
Гл. V. Функции
Примечание 1. Имеет место более общая формула:
(\ 0п
1 + - )	= еа^.
п /
Примечание 2. Функция у = ех называется экспоненциальной (показательной), а логарифмы с основанием е — натуральными: Ina; = loge х.
6°. Вычисление пределов последовательностей основано на их преобразовании, т. е. приведении к «удобным» выражениям, или на применении теоремы 2.
Например, вычислим несколько пределов:
,.	2п2+3п — 2	,.	(2 + 3/п — 2/п2)	2	(	,
lim ---------- = lim ---------------—= - ( используя тот факт,
п^оо 5п2 _ п + 1	п^оо	(5 — 1/п + 7/п2)	5	\
3	2	1	7	\
что если	п	—>	оо,	то	-	—>	0,	—	—> 0,	-	—>	0,	—	—>	0).	Данная
п	П2	п	П2	/
дробь	«неконтролируема»,	ибо ее числитель	и знаменатель стремятся
к оо. Вторая дробь получилась после сокращения первой на п2; она поддается анализу: числитель —► 2, а знаменатель —> 5;
12п2 + 3п — 2	(12+3/п—2/п2)	.. ( 1 12+3/n-2/п2\ п
п—»оо 7п3 + 6п2 — 3 п—юо п^ (74-6/п—3/п3)	п—►ооугг 7+6/п—3/п2 J
(поскольку второй сомножитель —> 12/7, а первый —» 0);
,.	7п3 + 6п2 — 3	,.	(	7 + 6/п — 3/п2 \	,
lim ---------- = lim п  -------------—	= +оо (поскольку мно-
п—«о 12п2 + 3п — 2 п-+оо у 12 + 3/п -2/п2/
житель п —► оо, а дробь —> 7/12).
Анализ вычисления этих пределов показывает, что предел рациональной дроби при п —> оо легко вычислить после вынесения за скобки в числителе и знаменателе их старших степеней и последующего сокращения. Этот же вывод справедлив для иррациональной дроби. При этом предел рациональной дроби при п —> оо равен: отношению «старших коэффициентов», если степени числителя и знаменателя равны; 0, если степень числителя меньше степени знаменателя; ±оо, если степень числителя больше степени знаменателя.
При вычислении пределов иррациональных выражений используется прием умножения и деления на выражение, сопряженное к данному. Например,
lim (у/п2 + Зп — 1 — у/ п2 — п) = <используем формулу а — Ь = --— > =
п—>оо \	/	а + b J
= lim +	= Нт	4п — 1-----=
п~>°° Уп2 + Зп - 1 + у п2 - п п~,о°	1 _|_ 2/п - 1/п2 + пу1 - 1/п
= Um	,	= ^ = 2.
П^°° ГН /1 +3/п-1/п2 + уЧ - 1/п)	1 + 1
§ 3. Предел последовательности
115
7°. Имеет место сложное равенство
lim qn
п—*+оо
+оо,	если	q >	1;
1,	если	q =	1;
о,	если	-1 <	: q
не существует,	если	q =	-1
оо,	если	q <	-1
Чтобы получить данный результат, достаточно брать конкретное числовое значение q с указанным условием (например, q = 2, q = 1, « = -^, «= q = -1, q = -2).
u	( Зп + 2
Например, lim
п—\
3 ,	7
qn — - + -------- >
2	2(2гс-1)
/	\ п/2
,.	( 5n + 1 \
lim -------
п^сю \7n-3 )
-,1/2
г I 3 .	ШИ
2п -	1	/	п^оо у 2
3	1	,
- >	1	при	п	1;
7	\
--------	= +оо, ибо
2(2n — 1) /
lim
22
5
7 ' 7(7п-3)
1/21
О,
ибо
5 _______22
7 + 7(7п -3) _
1 при п 3.
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 3°). Доказать, что lim --------- = 2.
п-»оо п + 2
Решение. Если е > 0 — произвольно малое число, то
2п — 3 п + 2
< £ О
2п — 3 — 2п — 4 п + 2
< Е О
7	7	7
о ---- < е о п + 2 > - , п>-2.
п + 2	е	е
Этим первоначальное неравенство решено. Оно должно выполняться при всех п
Принимаем N =
N = ЛГ(е). Остается указать N (N — целое число).
Т е
— 1 ([а] — целая часть а). Тогда при всех п > N
2п — 3 п + 2
— 1 = 699, в таком случае при п > 699 имеем:
имеем
7
- 2 < е (в частности, если е = 0,01, то N =
L 0,01
-2 <0,01). Это п + 2
2п — 3 г»
полностью согласуется с определением lim -------- = 2.
Пример 2 (к п. 4°). Доказать, что lim —-------—< + 2
116
Гл. V. Функции
Решение. Если е > 0 — произвольно большое число, то
2n2 — Зтг + 2 n + 2
Пусть N =
2п2 — Зп. + 2 п. + 2
2тг2 + 4п. 2п — 7
— 1п + 2
-7п- 14
16
—6 - > £ <= 2n — 7
- (например, если е = 106, то берем N =
. ,,	2п2 — Зп + 2
п > N, то -----------
2
= 500003). Если lim —	+ 2
п^оо п + 2
Пример 3 (к п. 4°). Доказать, что lim (— 1)” 1gтг. = оо. п—»оо
Решение. Если е > 0, то |(— l)nlgn| = 1gтг > е о п > Принимаем N = [10е] (например, если е — 1 гда если п > N, то |(—l)”lgn| > е. Это согласуется с тем, lim (-l)”lgn = оо (или lim Ign = +оо). п—>оо	n—»oo
z	ч n+2
Пример 4. Найти lim ( ——- ) n—>oo \ 3n + 2 /
2
106 + 7 ~ _
2
е. Это согласуется с тем, что
10е.
100, “то N = Ю100). То-
что
/	\п+2
/ Зп — 5 \ Решение. Способ 1. lim -------- I = lim
п—юо у Зп + 2 /	п—»о<
приводим вираже-T ние к теореме 2 L = Пщ (примечание 1) J	п—>сх
1-^-
Зп + 2
\п+2
7	\
Зп + 2 /
- (3n+2)/71 -7(п+2)/(Зп+2)
Способ 2.
§ 4. Вычисление пределов функций
117
Упражнения
Вычислить пределы.
.	,.	2п2 + Зп - 1	„ Зп2 + 7п+11
1. lim -----------. 2. lim ----±.
п—юо 12п2-7п-8	п—юо 2п3 + п — 2
о 1.	( 12	1	\	.	.. у/Зп^+Зп— 1
3. шп---------------- . 4. lim —	—.
«-»оо \ п + 2 п2 - 4 / п-+са ^/8п3+4п-7
- ,.	\/ п2+2п — у/ п2—Зп	с ,.	2 + Зп .
5.	шп -------------------. 6. пт ---------sm п.
п—»оо	5	п—>оо П2 + 5
7.	lim ——— cos7m. 8. lim З1/”. 9. lim е + е—. п—*оо Зп + 1	п—>оо	п—>оо еп _ е — п
10. lim п—*оо
2п + 3
2п+ 1
11. lim п—>оо
12. lim
1
2п - 1
2п—3
Ответы
1. -. 2. 0. 3. 1.4. оо. 5. -.6. 0. 7. Не существует. 8. 1. 9. 1. 10. е.
11. 0. 12. е.
§ 4. Вычисление пределов функций
1°. Если f(x) непрерывна в точке х = а, то lim f(x) = f(a). Если х—>а
f(x) не определена в точке х = а, то ее следует заменить (если это возможно) непрерывной функцией g(x), такой, что g(x) = f(x) при х / а, и принять lim f(x) = limg'(a:) = g(a). Воспользуемся утвер-х—>а	х—>а
ждением: каждая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. Вычисление предела lim f(x) начинается с х—>а
подстановки х = а, т. е. вычисления /(а). Если /(а) — число, то предел найден.
Например, lirn^sinx = sin - = 1; lim arctg \/ж2 —1 =arctg л/22 — 1 = = arctg \/3 =	; lim x + 2 = оо (в окрестности точки x = 2 чис-
литель дроби ограничен, а знаменатель стремится к нулю, тогда дробь становится сколь угодно большой по абсолютной величине); ,.	sin(7ra?/2) — 1	sin(7r/21 —1	( о\	„
шп —— '— = —ур]— = I - I ~ неопределенность. Результат ( о\	Л
1-1 взят в круглые скобки, потому что это не число, а символически обозначенное арифметически невыполнимое действие, которое и тт	( 0 \
называется неопределенностью. Что должно быть вместо I - I, увидим
ниже.
118
Гл. И Функции
2°. Если lim си (ж) =0, то а(х) называется бесконечно малой х—>а
функцией в окрестности точки а и символически обозначается так: а(х) = о(1) (читается о малое от 1) при ж —> а, или а(х) ~ 0 при х « а (читается: а(х) приблизительно равна нулю при х, близких к а).
Например, lim sina? = sinrr = 0, значит, sina; = о(1) при х —♦ тг;
х—*7Г
lim In (1 +t) = In 1 = 0 (запись: ln(l +1) « 0 при t « 0).
3°. Пусть /3 (ж) = ——. Если lim си(ж) = 0 и а (ж) / 0 при ж^а, а(х)	х^а
то принимаем по определению lim [3 (ж) = оо, и /3(ж) называется бес-х^а
конечно большой (функцией) в окрестности точки а.
Например, lim (ех —1)-1 = lim —!— = оо, поскольку lim(е33 — 1) = 0; я—>0	х—*0 ех — 1	я—>0
lim ----!----- = оо, т. к. lim (2ж2 + Зж — 5) = 0.
х—>1 2х2 + Зх - 5	х—>1
4°. Вычисление пределов дробных функций, f fxl Предположим, что требуется найти lim . g (х)
Если lim g(x) = g(a) 0, то lim	.
х-^а	х^а g(x) g(a)
и	,.	2х2 — Зх + 5	2-1—3-14-5	.
Например, lim ------------- = —------------ = 4.
х—> 1 у/х 4- 2х sin тгх	v 1 4- 2  1 • sin тг
Если lim /(ж) = /(а) / 0, lim g(x) = g(а) = 0, то lim = оо. х—>а	х^»а	х—>а g(x)
т,	,.	cos2?rx4-l	2	, £	2
Например, пт ------------------- = - = оо (обе записи - и оо
х-И t	. ТГ о	О
tg тгх 4- 4 arctg х — — правомерны).	х
Если lim /(ж) = f(a) = 0, lim g(x) =g(a) = 0, то lim = | - ), х—*а	х^а	х^а g(x) \ 0 /
т. е. имеем дело с неопределенностью ~ > и ее следует раскрыть. Вот этому мы научимся в п. 5°-8°.
5°. Алгебраическая (т.е. получающаяся из отношения многочленов) ( о А
неопределенность I - I раскрывается сокращением числителя и знаменателя дроби на множитель (ж — а).
Примечание. Запись lim(ж — а) или lim /(ж) предполагает, что я—»а	х^а
х принимает значения, близкие к а, но ж / а.
тд	г х2 4-2х — 3	(о\ ,. (at'-'l'ftz 4-3)	14-3	4
Например, lim ------------ = - = lim	—---------- = --- = -
х—>1 х2 + 5х — 6	\ 0 /	х~*1 J^-^Tj(x 4-6)	14-6 . ?•
(здесь мы известным образом разложили многочлены на множители);
§ 4. Вычисление пределов функций
119
lim х—>2
х4 — 16
х3 + 9х2 — Зх — 38
х3 + 9х2— Зх—38 | х—2 х3— 2х2	х2 + 11х + 19
=
11х2 — Зх
Их2-22х
► = lim
19от—38
я—>2
J+---'2'j(x2 + Их + 19) _ 45
J+^-'2'j(x + 2)(х2 + 4)	32
19а;—38
6
Примечание. Известна теорема Безу: если многочлен Р(х) имеет корень х = а, то Р(х) — (х — а) • Q(x), где Q(x) — многочлен степени на единицу меньше, чем Р(х). При этом Q(x) получается делением Р(х) на (ж — а) уголком или в столбик; именно это деление выполнено
выше.
Отметим, что в последних примерах имеем соответственно /(ж) = х + 3	/-.	./ ч х3 + 9х2 — Зх — 38
----- = gW при ж ± 1 и /(ж) = 	---------- = X + 6-X4 — 16
= ё'(ж) при ж^2.
__ х2 + 2х — 3 _
х2 + 5х — 6
_ х2 + 11х + 19
(х + 2)(х2 + 4)
Итак, случай отношения многочленов разобран.
6°. Переходим к отношению иррациональных выражений (с радикалами). Обратимся к формулам сокращенного умножения.
Например, lim	+——1
х^з ^/2х + 2 - 2
О
О
(а — 6) (а + b) = а2 — b2; а — \/5х + 1 , 6 = 4; (а — 6)(а2 + ab + Ь2) — а3 — б3; а = ^2х + 2, Ь = 2; числитель и знаменатель дроби умножаем на ненулевые выражения
= Цт (v/g^+T-4)(v/5^+T +4) .	у/(2х + 2)2 + 2Ж~+2 + 4	_
х—»3	V5x+ 1 +4	(^2х+2 -2) (^/(2х+2)2 + 2tySP+2 + 4)
= Пт ( 5ж+ 1 ~ 16	\/(2а; + 2)2 +2^2х + 2 +4 \ _
х-»3 у 2х + 2 — 8	у/5х + 1 +4 у
- Цт (	^(2х + 2)2 +2Ж~+2 +4 \ _ 5 4 + 4 + 4 _ 15
х—>3 у 2у/5х + 1 + 4	/	2	4 + 4	4
Примечание. По существу в предыдущих пунктах мы уже использовали основные теоремы о пределах.
Если lim f (ж) = A, lim g (х) = В, то: х~»а	х^>а
1) lirn (/ (ж) ± g (ж)) = А ± В;
2) lim С • f (ж) = С • А;
3) lim f (ж) • g (х) = А • В; х^а
120
Гл. У, Функции
4) lim = — (при В / 0);
g (х) В
5) lim = оо (при А / 0, В = 0).
х^а g (х)
г,	г VI + Зх — V2x + 6	/ 0 \
Например, lim ----------------------- = - =
х—>5	2х2 — 7х — 15	\ 0 /
умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а знаменатель разложим на множители, для чего решим уравнение
2ж2—1 х—15=0 => £1=5, Х2= — - =>
, => 2х2 — 1х — 15 = (2ж + 3)(ж — 5)
— I’m + ®х — V2x + 6) (>/1 + Зх + V2x + 6)
х—>5	(х — 5)(2х + 3) (VI + Зх + V2x + 6)
__ j.	1 + Зх — 2х — 6	_
х—>5 (х — 5)(2х + 3) (V1 + Зх + \/2х + 6)
= lim ______________1---------- = = -L.
(2х + 3) (VI + Зх + V2x + 6)	13- (4 + 4)	104
7°. Поиск пределов трансцендентных выражений (они содержат показательную и/или логарифмическую функцию) основан на особых формулах. Эти формулы доказываются строго, способ доказательства следует знать — это расширяет кругозор, усиливает убежденность, уверенность в собственных знаниях. Вот эти формулы:
lim (1 + а)^а = е	(1)
а—>0
(эта формула называется вторым замечательным пределом, а последующие являются ее следствиями);
aQ — 1	(	ea — 1	\
lim ----- = Ina (в частности, lim -------- = 1 I ;	(2)
a—>0	q	\	a—>0	q	J
log„ (1 + a)	1	(	r	Infl+a)
lim —------l — ---- ( в частности, lim —------L = 1 I .	(3)
a—>0 a	Ina	\	a—>0 a	J
А вот обобщения этих формул (в скобках написаны частные случаи, когда а = е, loge А = In А).
lim (1 +ma)k/a = emk	(1')
a—>0
(m и k — постоянные числа);
qTTIG. _ | lim ---------- = m In a
a^0 ct
pma _ i lim --------- = m
Ot^»Q Ct
lim loga(l +ma) _ m
a—>0	a	Ina
Infl 4- ma}	\
lim —----------- = m ) .
a—>0 ct	J
(2')
(3')
§ 4. Вычисление пределов функций
121
Похожие примеры доводятся до приведенных формул умножением и делением данного выражения на надлежащий множитель (постоянный или переменный).
Примечание. В левых частях формул (1) и (1') имеем неопределенность нового вида 1°° (1Л = 1, если А — число, а 1°° — невыполнимое действие, ибо оо — не число, а символ, позволяющий придать особый, логически завершенный смысл некоторым пределам). Все остальные равенства являются раскрытиями неопределенностей О вида -О
/	\ 2x+l
Например, lim ( ------- )	= (1°°) — неопределенность. Перепи-
z—>oo у x + 2 /
x—1	x+2—3	.3	1	1 о о ,	2 Q
шем: ----=--------=1—----- и заменим -----=a, x=------2, 2x+l=~ — 3;
x+2	x+2	x+2	x+2	a	a
/	\ 2ж + 1
если x оо, то a 0. Получаем lim I ---------]	= lim (1—3a)2/,Q 3=
= lim (1— 3a)2/Q  (1— За) 3 = lim (1 —За)2/“ • lim (1 —За) 3 =e 6-l=-^
a—>0	a—>0	a—+0	e°
(используем формулу (1') с m = — 3 и k = 2);
lim (1 + ksinx)m/sinx х—>0
пусть fcsinrr = а; тогда
sin;E=t'^ = ^ ? = lim (1 +a)mk/a = emk;
л	л I	a—>0
и если x —* 0, то а —* 0 )
lim (2ж - 3)ж/(з:“2) = (1°°) =
X—*2	(	44-а
I положим 2х — 3 = 1 + а, при этом х =
1 -2-я = — + 1; если х —> 2, то а —> 0 х — 2	а.
= lim (1 + a)4/“+1 = lim (1 + a)4/Q a^O	a—>0
 lim(l + а) = е4; а—>0х
О
О
положим Зз,+4 = 1 + а (о 2*-7=з^-7 = Ц^
= lim 1п(1 + а) а—*0
4
За ’
, 3x + 4 In -----
lim (2x — 7) [1п(3ж + 4) — In Зж] = lim -----—— =
2x — 7
y. —> 0); отсюда x = l _ 3a ’ 2x —7 ~ 8—2la
v Infl+a) v 8 —21a	8
= lim —---------- • hm -------- = -
3a	cn—>0	a	oi—>0	3	3
8-21a
так как по формуле (3) lim
а—>0
ln(l + а) _ j а
122
Гл. V. Функции
8°. Пределы, тригонометрических выражений. Большинство три-( 0 \
тонометрических неопределенностей вида 1-1 раскрываются либо сокращением дроби на некоторое выражение, не равное нулю, либо приведением к первому замечательному пределу
v sin л <
hm ----- = 1	(4)
а—>0 а
или обобщению
,. sin та	,.,,
hm ------- = т.	(4')
а—>0	а
Следствиями этих формул являются
,. arcsin та	,. tg та	,. arctg та	, г,
lim -------- = т, hm ---------- = т, hm --------2--- = т. (5)
а—>0 а	а—>0 а	а—*0 а
При решении примеров на эту тему будут использованы тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение, формулы приведения, двойного аргумента и пр.
Например,
sin3x	sin3x
„	/ „ \	---  Зх lim --------
r sin3x ( О \	Зх	х-^о Зх	Зх 3
lim ----- = I - I = lim —--------- = ------;----- • lim — =
х—>0 sin5x \ 0 /	x—>0 sin5x	sin5x x—>0 5x 5
4 7	---  5x lim --------
5x	я-»0 5x
(дважды использована формула (4) с а = Зх и а = 5ж соответственно);
lim я—>0
1 — COS X х2
О \	r	2sin2(a?/2)	r	sin(a;/2)	sin(#/2)
- I = lim -------—— = lim —- • —\d—L —
0 J	x—>0 x2	x—>0 x	x
= 2 lim	i	• sin(a'/2) • lim -	• sin^/2^	= -	= -
x—>0	2	x/2	x--»0 2	x/2	4	2
(использована формула (4) с a = x/2);
lim
tg x — sin x x3
0 \ _ Jim sin# (1/cosx— 1) ___________
0 J	x—>0 x	x2
v sin ж	1 — cos x 1
= lim -------- • lim ------- = -
ar—>0 x	x—>0 a;2cosa. 2
(использованы предыдущий пример, формула lim cos ж = 1 и первый x^Q
замечательный предел);
,.	1 — cos 4х
111X1 ---------
х—>0 2x-tg2x
0\	2sin^2x  cos2x
= lim ---------------
0 /	х—>0 2х  ginks'
(использовано: limcosa!=l);
§ 4. Вычисление пределов функций
123
lim (5ж- ctg3a;) = 5 lim---------
х—>0	х—>0 sin3x
0 X r ,.	3 x	,. cos Зх 5
-	= 5 lim ------- • lim ------ = -
0 J x-K> sin3x x—>0 3	3
(использовано: lim —— = 1); а—>0 sin а
lx • arcsin lim ---------------
X—*0 cos x — COS3 X
0
0
n	xarcsin5x n x2	arcsin5x c
= 2 lim --------------- = 2 lim —— • lim ----------- -5=10
x—>0 cos x (1 — cos2 x)	x—>0 sin2x x-»0 5x
.	9
/	т arcsina , v x	1 v	i\
(использовано: lim ------- = 1, lim —— = 1, limcosz= 1).
a—>0	q	ж—>0 sin2 x	ar—*0
Примечание. Случай x —> а приводится к разобранному подстановкой х — а = t, или х = а + t, при этом £ —> 0. X	X
COS - — Sin —	/ о \
Например, lim 	2-----2- = I - I. Используем сначала форат—>7г/2-----------------cos а;-\0/
мулу cos/3 - sin 3 = V2 sin	, затем положим х =	+t, t —»0.
Получим
lim
COSX
cos-----sin —
2	2
t sin -
2
. t t sin -  cos -
2	2
t sin -
= -a/2 lim ——— t—>0 — sin t
9°. Пределы на бесконечности.
Различаем три разновидности пределов lim f(x):
х—юо
1)	х —> +оо (это означает, что переменная х принимает значения, большие любого наперед заданного положительного числа);
2)	ж —> —оо (это означает, что если положим х — —t, или —ж = t, то t —> +оо);
3)	ж —> оо (это означает, что |ж| —> +оо).
Такие пределы можно вычислять подстановкой ж = - , - = t. При t х
этом: если ж —» +оо, то t —> +0; если ж —> —оо, то t —> —0; если
ж —> оо, то £ —» 0. Символические действия I — ) и (оо — оо) считаются
\°°/ невыполнимыми, или неопределенностями.
124
Гл. V. Функции
тт	х3 + 2х2 — 3	[ оо\ I	I
Например, lim ------------- = 1 —	= < t х > =
Х^ОО 4х3 — х + 2	\ ОО )	„	, ^4-	, л
'	'	I Ju ' у v ' XJ 1
l/t3+2/t2-3	l+2t-3t3	1 /	1
= lim —---------- == lim ---------- = - (замена x = - равносильна
t—>0 4/t3-l/t + 2	t^O4-t2 + 2t3	4	t
вынесению старшей степени числителя и знаменателя за скобки с последующим сокращением получившейся дроби);
lim
X —>оо
х2 + Зх — 1 lim ---------------
с—юо х3 + 5х2 — Зх + 2
4х4 + 2х3 — 1
5х3 + 7х + 9
2 — Зх — х4 lim ------------
х->оо X + 2х2 + Зх4
10°. Рассмотрим неопределенность вида (оо — оо). Ее надо привести ( 0 \	( оо \
к неопределенности вида I - I или I — I.
/ 2ж 1
Например, lim I —------ — ---- I = (оо — оо) =
х—*7 у х2 — 49 х — 7 у
2х — х — 7	/о\	1	1
= lim ----------- = - = hm --------- = —;
х—»7 (х-7)(х + 7)	\0	х—>7 х + 7	14
lim ( v х2 + Зх — 1 — х) = (оо — оо) =
х—>+оо \	/
2^ + Зх — I - f ОО \
= lim 'л —	=1 — I = lim
х-»+<х> у/х2 + Зх - 1 + X \ОО /	X—юо
(данное выражение умножили и разделили на сопряженное к нему);
§ 4. Вычисление пределов функций
125
11°. Рассмотрим теперь неопределенность вида (оо • 0). Ее легко ( 0 \	( °°\
свести к неопределенности вида - или — с помощью соответ-\ 0 /	\ оо /
ствующих преобразований.
Например, lim 2х sin — = (оо • 0) = a lim sinW2 ) = f 2^ = Х-+4-00	2 х	ж-»+оо а/2х \ 0 /
= a lim sm^ = а (здесь в = — , при этом х —> +оо, а В —* 0);
/3^0 /з	2х
lim (1 — х) tg — = (0 • оо) = lim (1 — х) sin^x/2\ =
X—»1	2	®-»1	cos(?rx/2)
г . тг ,.	(1 — х) тг/2 ( 0\	2 ,.	тг (1 — х)/2	2
= lim sin - х • lim--)------—— •	_ I = _	1----и.--- = _
x—>1	2	x—>1 . / тг тг \ тг/2 \0/ к х—>1 зт[тг (1 — х) /2] тг
Sin I	X I
\2	2 /
(использовано: lim sin	-х	= 1; cos о = sin ( -	— a);	lim	——	= 1;
х—>1	2	\ 2	/	а—>0	sina
применена подстановка - (1 - х) = а, а —► 0).
Упражнения
1. В чем состоит замена /(ж) на g(x) в п. 6°?
Проверить предельные равенства.
2. lim х~2	= 0. 3. lim	= оо.
®—>2 х24-3х—1	х—>3	х—3
4 lim 5;r3+2^2—х _	1 д j. х2—6х+8 _ 2
х—+0 2х	2 х-+4 х2—5x4-4	3
8. Um -------“----= 2. 9. lim	™ .
х—>0 ^/14-Зх —1	3	х—»0	х	3
10. lim (1—Л)1 = 1- И. lim(l 4- Зж)1/1 = е3. х—*оо '	х	х—>0
12. lim (зтж)1*1 = 1. 13. lim [ -—- ) х-»тг/2	п—><х> у 1 + п )
sin4x _ 4
х—>0 sin5x 5
17. lim
x—>0
14. lim (cos ж)1/* = —. 15. lim x—>0	yfe
,. cosx—1	1
16. hm
x—.0
Зх2
.6
18. lim
ат—»тг/2
COS X
sin
= -1.
19. lim
X—>тг/3
2n + l
= —e~4
1 — 2 cos х
/3 3
6
1 2
2
126
Гл. V. Функции
20. lim
X—>оо
2х3 - х + 1
5х3 + 2х2 — 1
22.
lim
п—>оо
п2 - 1 + п 2 п2 + 1 4- п~2
21. lim	=_j
5	n->oo yn3 + n _ n
1. 23. lim -”2 + 6° = 0. n—><x>	0,ln3
24.
lim x—>3
6 \ x2 — 9 /
- . 25. lim f v^n3 — n2 — n 6	n—>oo \
26. lim f\Лс2 + 1 — ж') = 0.
□?—»oo \	/
/ T3
27. lim	——
X —><x> у 2x2 — 1
X2
2x + 1
_ I
3 ’
£
4 '
1
x — 3
28. lim y/x sin - = 0. 29. lim (n • 2 n) = 0.
X—» + <X>	X	ri—> + oo
30. lim ж2	( cos	— — 1 )	=—0,5. 31. lim sin 2x ctg Зж =	-	.
x-*<x>	\	x J	x-+0	3
Вычислить пределы.
32. lim Sm—. 33. lim l±cos2*. 34. Ит
X—>1 ЗтЗтГХ	X —»ff/2	COSX	Ж-+ОО 1— COS-^/X
35. lim f . 36. lim f ~ +-^) —.
х^,ж> у x + 2 )	x^oo \ Зх + 2 / 2x
37. lim 1 -Jg2* . 38. lim f	.
x—>тг/4 sin x — cos x	x—>0 \ 2 — y/x ' ^/tgx
39.	lim (Vz2—Зж+1 — ж). X—>oo
40.	lim (ж + 2) • Г1п(ж2 + 5ж — 1) — 1п(ж2 + 3)1. X—*оо	L	J
41.	Вт У«г + Ь-' +г 42. „т +
X —ОО {/х3 + 5х - 22 - 1	Х-+ОО Vx + 2
„2х _ ox	Q/ 2	osin2x _ 1
43.	lim -----44. lim cos ж 3/1 . 45. lim -----------------------1
x^-0 x	я—>0	tg3a;
46.	lim ж (y/a — 1). 47. lim — (ж+-—— . 48. lim ~—-. X-+OO	X—>0	X	x—>1 X — 1
51.
lim x—*0
53.
lim
X^>(X)
55.
50. lim
x—>2
12 \
8 — x3 J
52. lim
x—>0
\/.ж3—2 'j . 54. lim - In. / LiiT.
/	x—>o x у 1 — x
i •	. 7ГХ • X Ct	i.
lim tg — • sm --------. 56. lim
2a	2	x—+0
sin x/(x-sin x)
§ 5. Односторонние пределы
127
Ответы
32. 1. 33. 0. 34. 0. 35. е. 36. е"1^. 37. 2v'2. 38. е. 39. - -. 40. 5. 3	2
41. 1. 42. 1. 43. 2-1пЗ. 44. е~3/2. 45. - 1п2. 46. Ina. 47. 1.48. 1.
6	3	2	4
49. —тг. 50. - -. 51. -.52. Ы. 53. 2. 54. 1. 55. - -. 56. е~'.
3	2	2	тг
§ 5. Односторонние пределы
Под односторонним пределом понимается предел функции /(ж) при стремлении х к а с левой стороны (ж—>а — Оож—>а и ж < а) или с правой стороны (ж а + 0 <+ ж —» а и ж > а).
Обозначим
lim Дж) = f (а) = Да —0), lim Дж) = f+(a) = f(a + 0) я—»а—0
— соответственно левосторонний и правосторонний, пределы.
Функция /(ж) имеет предел в точке а в том и только в том случае, когда она имеет равные односторонние пределы в этой точке.
Например, lim	= 0, так как показатель —!— стремится
х—1-0	х-1
к —оо, т. е. е~°° = —= 0; е+°°
lim	= сю, так как показатель --- возрастает, оставаясь
х—>1+0	х — 1
положительным, т. е. е+°° = +оо.
Примеры с решениями
ТТ	1 Т Т «	1 •	— ох + £ /и
Пример 1. Наити hm ------------ =
х^2 |;г2- 6х + 8|	\0
Решение.
lim (X- 1)(х-2) = lim (х-1)>^ = _ 1 .
х—>2—0 |х — 2| |х — 4|	х—>2 —	|х — 4|	2
lim	= цт	= 1.
х—>2+0 |х — 2| [х — 4|	х—>2 _£а>^2У [х — 4|	2
Левосторонний и правосторонний пределы существуют, но различны. Значит, искомый предел не существует.
Пример 2. Найти lim
Ж—>1
Решение.
{показатель степени по модулю увеличивается, а знак его отрицательный; величина, стоящая под знаком предела, уменьшается, оставаясь положительной
128
Гл. V. Функции
{показатель степени положителен и неограниченно увеличивается; величина, стоящая под знаком предела, неограниченно увеличивается, оставаясь положительной
Значит, lim	не существует.
X—>1
п( \ 2 / \
2х2 И- Зх 5 ।	/ 0 \
---------- ~ .
л?2 — 1	/ у 0 /
Решение.
Цт ( >^П(2х + 5)\2 = /Л2 = 49
-1-0 \	+	1) /	\2 J 4
lim (	+	5)	=1?
—1+0 \ j>-=-l5(x+ 1) 7	\ 2 /	4
)2
49 = — .
4
Пример 4. Пусть f(x) = { 2ж +/п^иж Найдем Л2 + °) и /(2-0):
Решение.
/(2 + 0) = lim /(ж) = 1шх(2ж + 1) = 5;
ж—»2+0	х—>2
/(2-°)=	/(ж) = Нт(-ж+1) =-1.
х—*2—U	х—*2
Упражнения
Найти пределы справа и слева функций.
L/w= П₽И1-
х2 при х < 3, х + 6 при х 3
2- /(*) = {
3. /(ж) = Vein ж при ж —> 0.
Найти односторонние пределы.
5. lim . 6.
х—>4±0 х — 4
8. lim arcsin - . z—1±0	2
11. lim x—>l±0
14. lim |с°5(ж-7г/4)|
Х^7г/4±0	|л? — тг/4|
х + 3
-^3±0 9-х
0.
при ж —> 3.
4. /(ж) = — при ж —> 0.
|х|
lim 1М"-4*)1 . Я?^-7г/4±0 х — 7г/4 10. lim arctg —
х—*1±0	х~ 1
13. lim 1^1. х
arcsin Зж
х
9. lim агссовж. ж—1±0
12.
lim ж—2±0
х2 — 4
15. lim
я—0±0
§ 6. Непрерывные функций	129
Ответы
1. /+(0) = 0, /-(0) = 1. 2. /(3 + 0) = /(3 - 0) = 9. 3. /-(0) не существует; /+(0) =0. 4. /_(О) = -1; /+(0) = 1. 5. ±1. 6. =роо. 7. ±4. 8. -.9. -. 10. ±-. 11. 0; +оо. 12. ±4. 13. ±1. 14. +оо. 15. 3.
6	2	2
§ 6.	Непрерывные функции
1°. Напомним (см. §1), что функция f(x) называется непрерывной в точке Xq, если выполняются следующие три условия:
1)	функция f(x) определена в каждой точке некоторой окрестности точки Xq',
2)	функция имеет предел в этой точке: lim f(x) = В;
X—»х0
3)	этот предел равен f(xo), т. е. lim /(ж) = /(жо).
X—*Xq
Нарушение какого-либо из перечисленных здесь условий означает, что /(ж) разрывна в точке жо. Классификация точек разрыва приведена в § 1.
Определение непрерывности применимо и к функциям, заданным различными формулами в различных промежутках. Функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной в этом интервале. Непрерывность функции в конце отрезка [а, Ь] принимается как односторонняя:
lim /(ж) = Да), lim Дж) = ДЬ).
ат—>а-М)	ат—>о—0
Ниже будем пользоваться утверждением о том, что каждая элементарная функция непрерывна во всех точках ее области определения.
Примеры с решениями
Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию
/И = <
х2- + Зх — 1
х + 2 (ж + 2)2 9ж + 1
при
при при
ж < —3;
— 3 ж С 4;
ж > 4.
Решение. Функция непрерывна в совокупности промежутков (—оо,-3) U [-3,4] U (4,+оо) (как состоящая из элементарных функций). Проверка непрерывности функции /(ж) сводится к проверке определения непрерывности в точках ж = —3 и ж = 4.
5 К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров
130
Гл. V. Функции
— = 1, - 1
а)	х = — 3 : lim /(ж) = lim х +-Зд'—1 =
х—»—3—0	я—*—3	х + 2
lim /(ж) = lim (ж + 2)2 = 1, х—*—3+0	я—*—3
/(—3) = (—3 + 2)2 = 1.
Функция /(ж) непрерывна при ж = —3, а эта точка — точка непрерывности этой функции.
б)	ж = 4 : lim /(ж) = lim(ж + 2)2 = 36 = /“(4),
я—*4—0	я—*4
lim /(ж) = 11т(9ж + 1) = 37 = /+(4). я—*4+0	х—*4
Односторонние пределы в точке ж = 4 существуют, но не равны, значит, функция /(ж) разрывна в точке ж = 4, а эта точка — точка разрыва первого рода со скачком
<т(/,4) =/+(4) -/“(4) = 37 — 36 = 1.
Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию
е 4
х2 + 7х
х2 + 19
4х + 2
х2 — 1
при
при
при
0,
•т С 1,
Решение. Данная функция непрерывна при х О и х / 1. Остается исследовать ее на непрерывность в этих двух точках.
Имеем:
lim f(x) = lim е l/x = 0, х—>0—0	ж—*0+0
lim f(x) = lim x +7x = 0, x—*0+0	x^0 x2 + 19	j
непрерывности f(x). Далее:
i• л/ \ i• x +7x 2 lim fix) ~ lim ------- = - ,
t^I— 0	x—*1 x2 + 19	5
lim fix') = lim -----ix + 2--- _
x—>1+0	x—>1+0 (x — l)(x + 4)
разрыва второго рода f(x). Прямая x — 1 — вертикаль-графика (вверх, односторонняя).
х = 0 — точка
х = 1 — точка ная асимптота
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию х2 + 7г+10 при х<2>х^-2, /(ж) = <	11	п
J' >	— при х = —2,
, 4ж — 3 при х 2.
§ 6. Непрерывные функции
131
Решение. Исследуем сначала непрерывность в точке х = —2. Имеем:
lim f(x) = lim *2 + 7ж+1° = ( °- ) = lim ++2)(* + 5) =
х—>—2	х—>-2 х2 — 4	\0/	ж-»—2 (а? + 2)(ж —2)	4
Л-2)= Н lim /(ж).
4	ж—» —2
х = — 2 — точка устранимого разрыва. Если бы /(—2) было определено числом — -, то /(ж) была бы непрерывна в точке х = —2.
4
А теперь рассмотрим точку х = 2:
„х х ,. х1 + 1х + 10 lim f(x) = lim ------------- = —сю,
я:—*2—0 J '	х-2-0 (х - 2)(.т - 2)
lim /(ж) = lim (4ж — 3) = 5, т—2+0	Х^2+О
ж = 2 — точка разрыва второго рода. Прямая ж = 2 — вертикальная асимптота (вниз, односторонняя).
Пример 4. Исследовать на непрерывность и построить график функции
С ж+ 1,5 при ж < —2, при — 2 ж < 0, ( 2ж при ж > 0.
Решение. Функция /(ж) определена на всем множестве действительных чисел, задана тремя выражениями на различных промежутках изменения аргумента.
Исследуем непрерывность функции в точках ж = —2 и ж = 0:
f(x) = { 1
/(-2-0)= lim (ж+1,5) = -0,5; /(-2+0)= lim -=-0,5. я—»—2—0	ж—»—2-f-O х
Из условия: /(-2) = —0,5. Значит, /(-2-0) = /(—2+0) = /(—2), т.е. функция /(ж) непрерывна в точке ж = — 2. Далее,
/(0 — 0) = lim - = —сю; ж—»—0 х /(0 + 0) = lim 2ж = 0. я—>4-0
Итак, в точке ж = 0 функция имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси она непрерывна. Пря-
мая ж = 0 — вертикальная асимптота	Рис. 5.19
графика (односторонняя, вниз) (рис. 5.19).
Пример 5. Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумен
5*
132
Гл. V. Функции
та; в случае разрыва найти предел в точке разрыва справа и слева и сделать схематический график функции
/(.ж) = 41/(3-;с)) Ж] = р Х2 = 3.
Решение. Функция /(ж) элементарная, значит, она непрерывна в любой точке из области определения. В точке ж, = 1 эта функция определена, значит, она непрерывна.
В точке жг = 3 функция не определена, поэтому она разрывна. Установим характер разрыва. Найдем
lim /(ж) = lim	= оо,
ж—>3—0	х—*3—0
так как показатель —?— —> +оо, 4+°° = +оо. Прямая ж = 3 — право-3 — х
сторонняя вертикальная асимптота вверх.
lim /(ж) = lim 41/(3“:с) = 0, х—>3+0	х—>3+0
1 так как показатель ------- —» —оо, т.е.
3 — х
4“°° = —= 0.
4+оо
Итак, жг = 3 есть точка разрыва второго рода. Для построения графика следует
знать поведение функции вдали от точки разрыва. Для этого найдем lim /(ж) = lim 41/(3-ж) = 4° = 1, т.е. для рассмотренной функции
X —*00	X—*(X)
прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой графика в обе стороны (рис. 5.20).
Упражнения
Найти пределы
1. lim
Я—>1 ,/rn — 1
2. lim	~2 . з. цт Зж4~2ж+1 .
я—>3	х — 3	х—^оо 2х3 — 5х%
4. lim (со8 2ж)'/зш х. 5. lim f Y-ж3 — ж2 — -^ж3 — ж Y я—>0 4	х—юо \	/
6. lim i'sio)tgr. 7. lim ж[1п(ж+5) — 1пж]. х^тг/2	х^оо
о	COS Ж— COS Зх Л ,. I 6—х\ 1 — X3
8. lim ------------. 9. lim ------- ------.
ж—>л-/2 . х х	х—><х> \ 7 — х / х2
sin---cos —	'
2	2
Ю. lim 1~cos3r-. 11. lim ln(2*4 + *2 + 1).
x->0 xsin2x	x—>°° ln(3x2 + x+l)
Исследовать на непрерывность и построить графики функций.
И и f ж2, ж^0,
12.2/=^. 13. 2/=|3 х=Г0
§ 6. Непрерывные функции
133
14. у = <
1
X — 1
Зх,
1.
1 > ч Г	X + 1
15. у = --------------
х2 — 2х — 3
- _	sin а?
17. у = -------
18. у = —1
Найти и классифицировать точки разрыва функции.
х£ — 4
19. у = cos - .
пп J 1 - Ж, 20. у = < . , & 1 1 _1_
2. '
Ответы
1. 3. 2. -. 3. оо. 4. е-2. 5.	6. 1. 7. 5. 8. -4\/2. 9. е~х.
4	3
10. -. 11.2. 12. х = 0 — точка разрыва первого рода. 13. х = 0 — устранимая точка разрыва. 14. х = 1 — точка разрыва второго рода. 15. х = 3 — точка разрыва второго рода, х = — 1 — точка устранимого разрыва. 16. х — ±2 — точки разрыва второго рода. 17. х = 0 — точка устранимого разрыва. 18. х = 0 — точка разрыва первого рода. 19. х = 0 — точка разрыва второго рода. 20. х = 2 — точка разрыва первого рода.
Глава VI
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Понятие комплексного числа
1°. Комплексные числа появились из необходимости решить любое квадратное уравнение, в частности, уравнение ж2 + 1 = 0.
Обозначим через i символ, квадрат которого равен —1, т. е. г2 = — 1. Тогда i = V-—Т, i2 = —1, i3 = —i, г4 = 1, г5 = г, и т.д. Символ i называется мнимой единицей. Введение мнимой единицы позволяет решать уравнения, которые раньше были неразрешимы, в частности квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
Например, если ж2 + 1 = 0, то х = ±г; если (х + 2)2 + 9 = 0, то (х + 2)2 = -9, а тогда х + 2 = ±3г, или х = -2 ± Зг.
2°. Числа вида z = а + Ы, где а и Ь — действительные числа, а г — мнимая единица, называются комплексными числами. При этом а называется действительной частью z (пишут а = Re z), a bi — мнимой частью z, Ь — коэффициент при мнимой единице г (пишут b = Im z).
Числа z = а + Ы и z = а — Ы называются взаимно сопряженными. Число z = а + Ы равно нулю, если а = 0 и b = 0.
Два числа zj = a, +b\i и гг = аг + b^i называются равными, (т. е. zi = гг) если а\ = аг и bi = бг-
Упражнения
Решить уравнения.
1. х2 + 4ж + 5 = 0. 2. Зж2 + 2ж + 5 = 0. 3. 2ж2 + ix + 1 = 0.
4. Зж2 + 2гж + г = 0. 5. 2гж2 + ж — 1 = 0.
6. гж2 + 4ж + 2г = 0. 7. ж2 — 4гж + 5 = 0.
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел
135
Ответы
1. х = —2 ± i. 2. х = — - ± - д/14. 3. xi = -,Х2 = —г. 3	3	2
4. х =	5 х = »±Л/1 + 8г 6 (2 ±	7	=
а?2 = 5г.
§ 2. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
1°. Число z = а + Ы можно изобразить точкой на плоскости IR2
с
координатами (а, Ь). При этом действительные числа z = а (для них 6 = 0) лежат на оси Ох, а мнимые числа z = Ы (для них а = 0) лежат на оси Оу.
Поэтому ось Ох называется действительной осью, а Оу — мнимой осью. Числу г = 0 соответствует начало координат 0(0,0).
2°. Положение точки (а, 6) можно задать также при помощи полярных координат (ср,г). При этом ср называется аргументом числа z и обозначается arg г, а г — модулем числа z и обозначается г = |г| (рис. 6.1).
Имеют место формулы (см. гл. II, § 2)
г = |z| = \/а2 + 62;
а = г cos ср, b = г sin ср;
cos ср =
sin ср =
a
\/«2 + b2 b
\/a? + b2
При этом если z 0, то —тг < argz С тг (иногда удобно считать, что 0 С ср < 2тг).
Примечание. Для числа z = 0 величина argz не определена. Это равносильно тому, что числу z = 0 может соответствовать бесконечное множество аргументов, т. е. — тг < argO С тг.
3°. Приведенные формулы позволяют записывать алгебраическое комплексное число z = а + Ы в тригонометрической форме:
z = г (cos<p + isinip) = |z| (cos(argz) + isin(argz)) .
4°. Приняты обозначения (это формулы, Эйлера.)-.
cos ср + г sin ср = е’*3, cos ср — г sin ср = e~lv,
или
е’*’ + e~iv
cos ср = -------------
2
ег¥> _ е-»¥>
sm ср = -------------
'	2г
136
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Тогда запись z = relv = |z|e’argz называется показательной формой комплексного числа.
Например, для алгебраического числа  z — —3 + 4г имеем: а = Re z = —3, b = Im z = 4, |z| = V32 + 42 = 5 (рис. 6.2),
f	4 \	4
arg z = 7Г + arctg I — - I = тг — arctg - , \ 3 J	3
I	4 \	/	4 \
— 3 + 4г = 5 cos I тг— arctg - 1 + i sin I тг— arctg - 1 =
С Г	(	4- 4 A , • • (	4- 4
= t> — cos I arctg - I + г sm I arctg -
Любое из этих равенств может быть принято в качестве тригонометрической записи комплексного числа z = -3 + 4г, а из первого получаем показательную запись
— 3 + 4г = 5eik-arctg(4/3)]_
Примечание. Ввиду периодичности косинуса и синуса (с периодом 2тг) принято обозначение Argz = argz + 2тт — </? + 2тггг, где п — произвольное целое число.
Это означает, что числу z ± 0 сопоставляется бесконечное множество аргументов, или тригонометрических углов, как это принято в тригонометрии.
При этом argz представляет собой частное значение Argz, получаемое при п = 0; argz называется главным значением Argz.
Таким образом,
z = |z| [cos(Argz) + г sin(Argz)] = |z| eiArgz = |z|eiargz.
Например, для числа z = 1 — г имеем (рис. 6.3): а = Re z = 1,
б = Im z = — 1, г =	, arg z = arctg (— 1) = — - , Arg z = — - + 2тггг,
4	4
§ 3. Арифметические действия с комплексными числами 137
Упражнения
1. Каждое из данных чисел представить в трех формах — алгебраической, тригонометрической, показательной — и изобразить точкой на плоскости:
1)2- 73г; 2) Зг; 3) -5; 4) -2 + г; 5)-l+\/3i; 6)г-л/3;
7) —2г; 8) 5 + 2г; 9) г - 1; 10) 2 +2г.
2. Какие множества точек плоскости задаются условиями:
1) Re z = а; 2) а < Re z (3; 3) Imz = 7; 4) Im z > <5, где a, (3, у, 6 — действительные числа?
3. Изобразите на комплексной плоскости множества точек, заданных условиями:
1) \z\ = г; 2) г < |z| < R; 3) argz = 9?; 4) <р < argz < ф, где г, R, tp, ф — действительные числа.
Ответы
2. 1) прямая х = а; 2) полоса между прямыми х = а и х = [3, включая последнюю; 3) прямая у = 7; 4) полуплоскость выше прямой у = 6, включая последнюю. 3. 1) окружность с центром в 0(0,0); 2) кольцо между окружностями радиусов г и R, включая внешнюю; 3) луч из начала координат под углом р к оси Ох\ 4) бесконечный сектор между лучами.
§ 3. Арифметические действия с комплексными числами
1°. Арифметические действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются как с выражениями, содержащими букву г. При этом действие считается выполненным, если результат имеет вид алгебраического комплексного числа, т. е. а + Ы.
Отсюда следует, в частности, что
(ai + Ьф) ± (а2 + 62г) = (ai ± а2) + (Ь] ± b2) i,
т.е. сложение и вычитание выполняются «покомпонентно».
Например, (2 + Зг) + (3 — 4г) — 5 — г, (2 + Зг) — (3 — 4г) = — 1 + 7г.
При умножении комплексных чисел следует учитывать, что г2 = — 1, г3 = —г, г4 = 1:
(ai + &]г)(а2 + б2г) = (aia2 - &id2) + (ai&2 + a2b\)i.
В частности, произведение двух комплексно сопряженных чисел есть действительное число:
(а + Ы)(а — Ы) = а2 + б2, т.е. z-z=|z|2, а |z| = УгТ.
Например,
(2 + Зг)(3 - 4г) = 6 + 12 - 8г + 9г = 18 + г,
(2 + Зг)(2 - Зг) = (2)2 - (Зг2) =4 + 9=13.
138
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
При делении комплексных чисел приходится умножать числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю.
Например,
2 + Зг _	(2 + Зг) (3 + 4г)	_ 6- 12 +8г + 9г	_ -6 +	17г _ _ _6_	17_ .
3 — 4г	(3 — 4г) (3 + 4г)	9+ 16	25	25	25
2°. Возведение комплексного числа в целую степень удобнее выполнять в показательной форме (мы используем действия со степенями в символической форме):
гп = =rneinifi.
Из этого равенства следует, что при возведении в целую степень п комплексного числа:
— его модуль возводится в эту степень,
— его аргумент увеличивается в п раз.
Например, найдем (1+г)4. Имеем: |1+г| = '/2, arg(l-|-i)= arctg 1= - .
/ \4 ,4
Следовательно, 1 + i = у/2 е^^1, (1+г)4 =	= 4е7гг =
= 4 (cos л + г sin тг) = —4.
Примечание. При возведении в степень п можно использовать формулу бинома Ньютона, но при больших п эта формула громоздка. Сравним:
(1 + г)4 = 1 + 4г + 1—1 г2 + 4 3 2 г3 + г4 = 1 + 4г — 6 — 4г + 1 = —4.
1-2	1 -2-3
Упражнения
Выполнить действия.
1.1. 2.—. 3.-?—. 4. (1+гУЗ)3. 5. '(3 - 2г)2. г 1+г	1 - Зг v
6. (1 + г)3. 7. -—— . 8. (а + &г)3 — (а — &г)3.
4 + Зг
Решить системы уравнений (х,у, г € R):
q ( (3 - г)х + (4 + 2г)у = 2 + 6г,
( (4 + 2г)х — (2 + Зг)у = 5 + 4г.
( (2 + г)х + (2 — i)y = 6, ( (3 + 2г)х + (3 — 2г)у = 8.
{х + уг — 2г = 10, х — у + 2гг = 20, ix + 3iy — (1 + г)г = 30.
Ответы
1. —г. 2. —г. 3. 1 + -i. 4. -8. 5. 5 - 12г. 6. -2 + 2г. 5	5
7. — - —г. 8. 26(3а2 - &2)г.
25	25
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа
139
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа
1°. Пусть п	2 — целое положительное число. Если
г > 0, ip € (—тг; тг], к = 0, 1,2,..., п — 1, то комплексные числа сщ = у/r ег&+‘1к7Г'>/п различны и имеют одну и ту же п-ю степень (см. § 3, п. 2°):
/ пгГ ег(¥>+2тг/с)/гЛ n _ rei(<fi+2-rrk') _ г&йр.
Например, если n = 4, к = 0, 1,2,3,	= ег(7Г/’2^, то =
= (e’(7r/2)fc)4= e2fc7ri = 1. При этом
ivo = 1, W1 = е^/2^ = i, ш2 = е" = -1, щ3 = е<37Г/2^ = -г,
и каждое из этих чисел представляет одно из значений v'T •
2°. Корнем степени п из комплексного числа z / 0 называется каждое комплексное число ш, такое, что ivn = z. Из п. 1° следует, что существует множество {wk},fc = 0,	1, состоящее ровно из п
различных чисел, таких, что = z.
Эти числа вычисляются по формуле
Wfc = y/r el(v+2^k/n'^ где г= |г|, ^ = argz,
а у/г — известный арифметический корень степени п из положительного числа г.
Например, найдем . Имеем: z = i, |z| = 1, argz = -, i = е^/2^.
Тогда Wfc = tyl =	e[(’r/2+2fc7r)/3]®, k = 0, 1,2. Отдельные значения cvk
имеют вид
Стг/бН	ТГ , . . ТГ \/3 , 1 .
шо = е(77/°>г = cos - +г sm - =----------------h - г;
6	6	2	2
сщ = е(5,г/6)г = cos — +i sin — =— — + - г;
6	6	2	2
W2 = е(9,г/6)г=е(37г/2)г= cos — +г sin — =—i. 2	2
Предлагаем убедиться самостоятельно в том, что Wq = а;3 = ^2 = i (делать это рекомендуется в алгебраической форме, возводя в
куб по известной формуле сокращенного умножения).
Примечание. Пусть z О — данное комплексное число, п — целое положительное, п > 2. Тогда числа = y/z расположены в
вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R = y/]z\. Одна из вершин этого многоугольника расположена на
луче, образующем с осью Ох угол - argz.
72
140
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Например, числа \Гг являются вершинами правильного треугольника (рис. 6.4).
Примеры с решениями
Пример 1. Даны числа:
r~ I	v3 \	/	v3
a) z\ = 2 — i, б) Z2 = —v7 cos (arctg — 1 + zsin (arctg —
в) Z3 = — 2\/3 (1 — z), r) Z4 = --L e-2 arctg (л/3/2)г.
14V30
Требуется записать данные числа во всех формах.
2
-i arctg(l/2)
/ v3 \	/ v3 \	УЗ
б) Вычислим cos (arctg — I и sin I arctg — l. Положим arctg — =a.
Тогда a € | 0; - | и tga= —. Следовательно, cos a= — 1	=
\	4 /	2	у/1 + tg2 о
...1 =J - , sina=x/1 -cos2 a =J - . Тогда Z2=—x/l\-^~ + —
/ 3 V 1	V 7	V/7	v7?
1/1+-V 4
—2 — \/3z = \/7
ei(arctg(V3/2)-Tr)
в) Z3 = — 2\/3 + 2\/3z, |гз| = 2л/б, argza = тг — arctg 1 = —
4
= 2\/б е(37Г/4)г = 2\/б ( cos — + г sin — |.	>
\	4	4 )
V3 -----7Г
2
, • • И V3
+ z sin arctg I	—тг

Г) Z4 = ------—
14r/30
cos f —2 arctg -у- J + г sin f —2 arctg
; Z4 при-
л/З / 7Г \
надлежит четвертой четверти: arg24 = —2arctg — € I — - ;0 l, так как < 1 и поэтому — arctg 6	~;0^.
(\/3 \	/	x/3 \
2 arctg — J и sin ^2 arctg — J. Положим
a = arctg —,	t. e. tg a	= —	и a € (0; - |.	Тогда cos 2a = -—=
2	&	2	\	4 J	1 + tg2 a
I-3
____4
1 + ?
4
1 • n
-, sm 2a =
7
2tga
1 + tg2 a
4x/3 7
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа
141
1)
Следовательно, гл = —— I-------
14у/30 \ 7
Пример 2. Для данных п
—, 2) z%z, 3) zf, 4) \1 zxz^z^zn .
г2	V
Решение.	1)	— =
z2 z2i2
4\/3 — 2  3 — 4\/Зг — 2  Зг _ 4\/3 — 6
4~-ГЗ	7
2) z* 2 * • zi = (—2—\/Зг)2(2—г)=(4+
= 2+4х/3+8\/Зг-г=(2+4\/3) + (8\/3-1)г.
3) z35 = ( - 2v/3 (1 - г))5 = (2^6 е''3^4’4) 5 = 32 • 36^6 е(157Г-/4’1 = = 1152л/бе<-7Г/4)\
4) Чтобы найти yziz|z3Z4, представим сначала подкоренное выражение в показательной форме:
4\/3 Л _	1\/2 .
7	/	98V30	491/5
едыдущего примера вычислить:
(—2^/3 + 2\/Зг) (-2 + \/Зг)
f—2 — \/3^	+ ^3
4х/3 + 6 .
— --------г.
1
1х/Зг-3)(2-г)=(1+4\/Зг)(2-г) =
Z\Z2Z3Z4 =
= v/5e-®arct8(1/2).7e2iarct8(vz3/2).2v/6 е(37г/4)\_ 1	g—2 arctg(x/3/2)г _
14\/30
— е[Зтт/4-arctg(l/2)]i
Следовательно, zxz^z^zn = е^1/4^3’1'/4 arctg(I/2)+2fc’rh, i = о, 1,2, 3.
Упражнения
1. Данные числа записать во всех формах — в алгебраической, тригонометрической и показательной:
1) z	=	— sin	-	+	г cos -;	2)	z	=	4 + Зг;	3)	z = — 2	+	2\/3 г;
8	8
4) z	=	— cos	-	+	г sin -	;	5)	z	=	1 — sin а +	г cos а I	0	< а	<	-	I.
5	5	\	2)
2.	Найти степени данных чисел:
1)	fl - iy/з}  2) I 1 + I ; 3) (2 — 2г)7; 4)1 — 1.
\	/	\ 1 — i /	\ 1 + i )
3.	Найти все значения корней из данных чисел и привести их геометрические изображения:
1)	2) У=Д; 3)	4) \/2 -2^г.
4.	Вычислить:
1)	1	1	2) ___!________—
’ (3 - г)2	(3 + г)2 ’	’ (3 - г)2	(3 + г)2 ’
5.	Решить уравнения:
1)г2 + г = 0; 2) z4 - 16 = 0; 3) z6 - 4z3 + 8 = 0;
4) (— 1 + z)z2 + (7 + 3z)z — Юг = 0.
142
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Ответы ')
1.	1) Z = е(-57г/8)»;	2) Z = 5e’“Ctg(3/4). J) z = 4е(2тг/3)г.
4) Z =	5) z = v/2 (1 - sina) • е(^/4+«/2)г	2. р 26О.
2) 219(1 +iV3y, 3) 210(1 +г);	4) 1. 3. 1) ^2ет(2Ьг-тг/4).
2) ±1±2;	3) ±L±i;	4) ±(>/3-zY 4. 1)	2) -.
\/ 2	v2	\	'	25	25
5. 1) z\ =	— — + i ,	Z2 = — — i	—; 2)	z\ = 2, Z2 = 2i,	z^ = —2,
2	2	2	2
Z4 = —2г; 3)zi,2.....6 = V"2 e±7r/12+с2тг/3^г (A: = 0, 1,2); 4) zi = -1 - 3г,
Z2 = -1 - 2г.
§ 5.	Разложение рациональной дроби на простейшие
1°. Простейшими дробями называются следующие дроби:
А - (I типа), х — а
—	-— (II типа, если к > 1 — целое),
(ж — а)к
—	Ах + В— (П1 типа, если D = Ь2 — 4ас < 0),
ах2 + Ьх + с
—	+ в-- (IV типа, если к > 1, D < 0).
(аж2 + Ьх + с)к
2°. Рациональной функцией (дробью) называется отношение двух р ('ж) многочленов: R(x) = --	.
Если степень п числителя Рп меньше степени m знаменателя Qm, то такая дробь называется правильной. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь называется неправиль-
„ т т	1 ж2 + Зж — 7 ж3 + 2ж 1	2
нои. Например, ----, -------------, --------, -, ------- и т. п. —
ж —2	(ж—1)(ж + 2)4 ж4 — Зж + 1 ж ж2 + 2
л (ж—1)(ж + 2)4 ж —2 ж4 — Зж + 1 правильные рациональные дроби, a i----------— , ----, ------'— ,
ж2 + Зж — 7 2ж ж3 + 2ж х^ -4- 2
——— — неправильные дроби.
Теорема 1. Каждая неправильная дробь равна сумме многочлена и правильной дроби.
Этот многочлен называется целой частью дроби и получается делением числителя на знаменатель, к примеру, «в столбик» («уголком»).
*) Здесь мы указываем не все варианты ответов.
§ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие	143
Например,
Зх5 +4х3 4 +2х — 11 х3 +3х + 7
Зх5+9х3+21х2 Зх2 — 5
—5х3—21х2 +2х	—1
-5х3	— 15х —35
- 21х2 + 17х +34
Результат запишем в виде
Зж5 + 4ж3 4-2ж — 1 о 2 с , — 21ж2 + 17ж + 34
ж3 + Зж + 7	ж3 + Зж + 7
Р ( 2-')
3°. Теорема 2. Правильная рациональная функция пред-
<9(ж) ставляется единственным образом в виде суммы простейших дробей.
Разложение правильной дроби на сумму простейших производится по следующему правилу.
1) Многочлен Q(x) следует разложить на простейшие множители.
2) Каждому множителю Q(x) вида (ах + b)k (к 1) сопоставляется сумма из к дробей:
А1 । А2	Ак
ах + Ь (ах + Ь)2	(ах + Ъ)к
3) Каждому множителю Q(x) вида (ах2 + Ьх + с)к (к 1 и D < 0) сопоставляется сумма к дробей вида
С|ж + Г>|	। С2х + D2 ।	। C^x + Dk
ах2 + Ьх + с	(ах2 + Ьх + с)2	(«ж2 + Ьх + с)к
4) Неизвестные коэффициенты числителей вычисляются методом неопределенных коэффициентов.
Этот метод вытекает из следующих теорем.
Теорема 3. Две рациональные функции равны, если они имеют одинаковые числители и одинаковые знаменатели.
Теорема 4. Два многочлена равны, если они имеют одинаковые степени, а их коэффициенты при одинаковых степенях равны между собой.
Теорема 5. Два многочлена одинаковой степени п равны в том и только том случае, когда они принимают равные значения в системе из (n + 1) различных точек.
Примеры с решениями
Пример 1. Разложить на простейшие дроби: --------!----.
(ж -I- 1) (х 4~ 1)
144
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Решение. Имеем
1	_ А Вх + С _ A(r2 + l) + (Br + C)(r+ 1)
(а? + l)(z2 + 1) X + 1 х2 + 1	(х + l)(z2 + 1)
Применим теорему 3. Приходим к равенству 1 = Ах2 + А + Вх2 + Вх + + Сх + С (знаменатели равных дробей одинаковы). А теперь применим теорему 4 — приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в правой и левой частях от знака равенства. В правой части имеем многочлен второй степени. Считаем, что в левой части имеем тоже многочлен второй степени с равными нулю коэффициентами при положительных степенях переменной х. Соответствующие равенства записываем в виде
А + В = О, В + С = 0, А + С= 1
> + => 2(А + В + С) = 1 =>
2С = 1,
А= 2
С = -, 2
В = --
2
-------:	= 	+ (r+ 1)(г2 + 1)----2(1+1) х2 + 1
Пример 2. Разложить на простейшие дроби: --------------5-----
(г+1) (г+2)2 (г+3)
Решение. Согласно теореме 2 имеем разложение
_________1________ _
(®+ 1)(х + 2)2(х + 3)3
= Л	+ В	+ С	+ D	+ Е	+ F
л+1 х + 2 (z + 2)2	(® + 3) (z + З)2 (х + З)3	'
Правую часть этого равенства приводим к общему знаменателю. Согласно теореме 3 приходим к равенству	;
1 = А (х + 2)2 (х + З)3 + В (х + 2) (х + 1) (х +- З)3 +
+ С (х + 1) (х + З)3 + D (х + 1) (х + 2)2 (х + 3)2 +
+ В(х + 1)(х + 2)2(х + 3) + F(x + 2)2(х + 1).
Неизвестные коэффициенты найдем, сочетая теоремы 4 и 5. Сначала действуем при помощи теоремы 5.
1)	Положим х = —2 в полученном равенстве. Получаем равенство 1 = —С (все слагаемые правой части, кроме одного, обращаются в нуль). Отсюда С = — 1.
2)	Положим теперь х = — 1: 1 = 8А. Получаем А = - .
3)	Положим х = —3, — 2F = 1, F = — - .
2
4)	Положим х = 0: 1 = 108А + 54В + 27С + 36В + 12В + 4F +> =+ 54В + 36В + 12В = 16,5. Это уравнение будет использовано ниже.
$ 5. Разложение рациональной дроби на простейшие
145
Для определения остальных коэффициентов (с учетом уже полученных) используем теорему 4.
5)	Приравниваем коэффициенты обеих частей при ж5 и х4:
х5 : Q = А +В + D => В + D = - - .
8
х4 : 0 = 13А + 12В + С + 1 ID + В => 12В + 1 ID + В = - 5
8
6) Из системы
54B + 36D + 12В = 16,5,
В + £> = --,
8
12В + 11D + В = — -
8
г- 5
находим: Е = — 4
D = - — , В = 2.
8 Ответ.
(х + 1) (х + 2)* 1 2 (х + З)3
_	1	____2________1	_	17
8(л+1) х + 2 (z + 2)2	8(z + 3)
5	_	1
4(r + 3)2	2(z + 3)3'
Примечание. В дальнейших примерах мы опускаем раскрытие скобок в числителе правой дроби. Поиск коэффициентов при тех или иных степенях переменной выполняется, как правило, устно.
гт	о п	"	е. 2г4 — 13л3+32л2 —24л-Ь1
Пример 3. Разложить на простейшие дроби:---------!---------.
х3—5л2+6л
Решение.
1) Данная дробь неправильная, поэтому сначала выделим целую часть.	,	. ,
2х4 — 1 Зх3 +32х2 —24х +11 х3 — 5х2 +6х
2х4- 10х3 + 12х2	2х — 3
—Зх3 +20х2 —24х+1
-Зх3 + 15х2-18х
5х2 —6х + 1
п	2г4 — 13 л3 + 32г2 — 24г +1	n о 5г2 — 6л + 1
Получили ---------------------— = 2х — 3 Н----------2— .
г3 — 5г2 + 6г	г3 — 5г2 + 6л
2) Остается разложить на простейшие дробь из правой части этого равенства, для чего предварительно ее знаменатель разложим на простые множители.
5г2 — 6л +1 _ А । в । с _
х(х — 3)(л — 2) х х — 3 х — 2
_ А(х — 3)(х — 2) + Вх(х — 2) + Сх(х — 3)
х(х — 3)(л — 2)
146
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях числителей в правой и левой дробях. Это приводит к линейной системе из трех уравнений с тремя неизвестными А, В и С.
' х2; А + В+С = 5, < х1 : -54 - 2В - ЗС = -6, х° . 64= 1 =^4=1/6
' В + С= —,
6 31
2В + ЗС = —
6
9
2(^—2) ’
2ж4 — 13г3 + 32г2 — 24г + 1 о о , 1 ,	28
т в е т. ---------------------- = 2х—3 Ч------1-------
3 — 5г2 + 6г	6г 3(г—3)
Дальнейшие примеры с краткими решениями разберите самостоя
тельно.
Пример 4.
х _____	х	_ А । Вх + С ____________
Xs — 1 (х — l)(z2 + х + 1) х — 1 г2 + х + 1
_ Л(ж2 + х + 1) + (Вх + С)(х — 1)
(х — 1)(ж2 + х + 1)
' х2 : А + В =0,
< х1 : А-В + С= 1,	4 = В= -1, С = А.
х° : 4 - С = 0;	3	3	3
1	X — 1
3(г — 1) х2 + х + 1	;
Ох т в е т. -
г3 — 1
Пример 5.
1	А , В , Cx + D
------------------- _ — -|- ------- 4- —---------. х(х 4- 1)(1 4- х + я2) х х4-1 х2 4- х 4- 1
А(х + 1)(х2 + х + 1) + Вх(х2 + х + 1) + х(х + 1)(Сх + D) = 1.
Имеем:
х3 :	4 + В + С = 0,	В = -1,
х2 :	2A + B + C + D = Q,	С = 0,
х1 :	2A + B + D= 1,	Г> = -1,
х° :	4=1;	4=1.
х(х + 1)(г2 + х + 1) х х + 1 х2 4- х + 1
Контрольные задания
147
Упражнения
Разложить дроби на простейшие.
1	7-'1 2 + 2	2 _____—________ 3 __________!______
(г + I)3 (г — 2)	(х2 — 1) (х + 2) (х — I)2 (ж — 2)
. х5 — х4 — 8	- х4 + 4х3 + 11х2 + 12х + 8	„	1
4. ----------. О. ---------------=-------. о. --------.
х3 — 4х	(х2 + 2х + 3) (х+1)	х4 + 1
х3 + Зх2 + 5х + 7 q 5х — 8 q 2х2 — 5х + 1 х2 + 2	х3 — 4х2 — 4х х3 — 2х2 + х
2х2 + 4х — 9	< < х3 — 2х2 + 4
. -------------------- •	11. ------------5“.
(х-1)(х + 3)(х-4)	х3 (х — 2)2
2х3 — 10х2 + 10х — 5
х4 — 5х3 + 9х2 — 8х + 4
Ответы	
<	2,1	1	,	2	v	n 1.	1	— 		 4	. Указание. Разложение 9 (х+1)	3(х+1)2	(х + 1)3	9(х-2)	
А ,	В	,	С	, D „	о ,	1 имеет вид	1	5- 4	т 4	. 2. х — 2 4	 х+1	(х + 1)2	(х+1)3	х —2	6 (х — 1)	—
1	.	16	,	1	1	1	л 2	, л ,2 	Ь 	. 3.		~ . 4. х - х 4- 4 4— 2 (х 4-1)	3 (г 4-2)	х — 2 х — 1	(г—I)2	х	+
,5,5-1,	х—1	,7	А	Вх+С 4	1	. 5.	1	. Указание.	1	 ж —2 х + 2	х+1	(х2 + 2х + 3)2	х+1	х2+2х+3	4-
, Сх + D	,	с	1	х + V2 + 	= — общий вид разложения. 6. —— • 			 (х2+2х+3)2	2V2 х2 + xV2 + 1	—
	
__	« t//Vu-JUitWc. X |	1	1	1 1 1	1 X v	1 2у/2 х2 - xV2 +1	v	’	\	/	
= (х2 +х\/2 + iWx2 -xV2 + 1). 7. x + 3+5£±1. 8. -X	/ X	/	ж2 4-2	x 8-9\/2	8 4- 9a/2	g	1 (	1	2	—
s(x + 2 + 2V2^	8(x+2-2a/2)	x ' x - 1	(x-1) 10.	+	49	-	37 .... 11. 7 (x — 4)	12 (x-1)	12(x + 3)	4x	x3	4 (x - 2) 4	!	 12. 	!	 - 	-				 2 (x - 2)2	(x - 2)	(x - 2)2 x2 - x + 1 Контрольные задания (к главам V и VI)	2 ’ +
1. Построить графики функций:
1) у = |3х - 2|2; 2) у = log(l 4-sin |); 3) у = | tg(2x - 1)|;
4) у = log^(2 + cosx); 5) у = ----!---.
1 + sin х
148
Гл. VI. Элементы высшей алгебры
2. Вычислить пределы:
1) lim г2 ~ Зж + 2 ; 2) lim
X—*1 X2 — Г3	X —*1
УТТб -2 .
х _ 2	’
х3 Ч- г2 — 6х + 4 _
х3 + х2 — х — 1
о, Vi — 3
3) lim —----------
х—>3 т/3 + х — 2х
4) lim
Х-+2
5) lim
х—*8
V2x + 9 — 5
—2
3. Вычислить пределы:
1) lim 1 Г_со^; 2)lim^^; 3) lim х—*0 ех — 1	х—>0	5ж2	х—►тг/З
1 — 2 cos х _ 2тг — 6ж
4) lim	5) lim t6*~tg3 .
х^тг tg6rc	х—>3 sinln(4 — х)
4. Исследовать на непрерывность следующие функции, найти точки
разрыва и определить их типы,
сделать эскизы графиков:
4 — х,
х < —1,
1) у = 2 sin(3x + 2) — 1; 2)
3) у =
д/1 Н- т2 , 1 + sina;, 2 — cos ж,
х < О, О х < х л;
5,
х2 + 5,
7Г,	4) у =
— 1	< х	О,
х > 0;
ч/m2,	х	< 0,
[ж],	0	х
х2,	х	3.
3,
5. Представить в тригонометрической и показательной формах сле
дующие комплексные числа:
1) — 1 + х/Зг; 2) cos а — г sin а; 3) — 1 — 2г; 4) —2; 5) 4 — 7г;
6) -L_; 7) (3 - 2г)3.
о -j- i
6. Найти все значения корней:
1) Vi; 2) VV 3) Ж; 4) W 5) V-VV; 6) \А/3 - г.
7. Следующие рациональные функции разложить на сумму простейших:
< ч х2 — 2х _ Q4	1	о, 4r2 + 1 Ц — 3
1 - х4	(ж + I)2 (ж2 + I)2 ’ ж3 + 2х2 - х - 2 ’
.ч	2ж3 — 5х + 3
х (х3 — Зх2 + 2ж) (ж3 + Зж2 + 2х)
Глава VII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1.	Определение производной
Г. Производная непрерывной функции у = /(х) в точке хо определяется по следующему алгоритму.
1)	Вычислить у0 = /(х0) и у = /(х).
2)	Составить приращение функции Ду = Д/(хо) — f(x) — /(хо), соответствующее приращению аргумента Дх = х - хо.
Z-	« Ду Д/(жп)	— f(xn')
3)	Составить отношение приращении — = —4 ' =	.
Дж Дж	ж — жд
тт -	Т Д/(Жл)	f (х) — f (Жл)
4)	Наити предел lim — ' = hm	.
Дж—>0 Дж ж—>ж0 ж — жо
Если предел существует и конечен, то он обозначается /'(хо) и называется производной функции /(х) в точке хо, а функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке хо.
2°. Если вместо фиксированной точки хо взять переменную величи-
,	ж// ч V Д/(ж) т	+ Дж) -/(ж)
ну х, то производная у' = f (х) = lim v ' = lim —--------
Дж—*0 Дж	Дж—*0	Дж
будет функцией от х.
Число /'(хо) можно получить также подстановкой х = хо в выражение для /'(х); это обозначается так: /' (хо) = /' (х) |ж=ж0-
Например, если у = С (С — константа), то Ду = 0 и у' = С" = 0;
если у = х, то Ду = Дх и, следовательно, у' = 1;
если у = cos х, то Ду = cos(x+Дх) — cos х = —2 sin	• sin ^х+
Да;
д	sm --- / д \
a y'=(cosx)'= lim — =— lim ---------—. цт sin|x-|—-1= — sinx;
Дж—>0 Дж	Дж—>0 Дж	Дж—>о	у 2 )
,	2
следовательно, (cosx) = — sinx. В частности,
cos' (0) = (cos х)'|	=— sin0 = 0.
1ж=0
150 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Упражнения
Найти по определению производные функций.
1. tgx. 2. у = ах. 3. у = ех. 4. у = х3. 5. y = sinx.
6. у = In ж. 7. у = х2 + 4х + 2.
§ 2. Геометрическая, механическая и экономическая интерпретации производной
1°. Выясним геометрический смысл отдельных пунктов определения производной, исходя из рис. 7.1, где изображен график Г возрастающей функции, а Дх > 0. Имеем: Дх = АВ, Af(xo) = ВМ,
= _-L = tga — угловой коэффициент секущей AM, проведенной через фиксированную точку Л(хо,уо) и переменную точку М(х,у) = М(х, f(x)). При х хо, или Дх —»• 0, точка М(х,у) приближается к А вдоль Г, а секущая AM превращается в касательную t с угловым коэффициентом tgao (рис. 7.1):
tg сед = lim tg а =
Az—>0
Рис. 7.1	= lim
Az—>0 Л.т	v ’
Вывод. Существование производной f (х0) равносильно существованию касательной t к Г в точке Л(хо,уо), и f (хо) = tgao есть ее угловой коэффициент. Уравнение касательной^ имеет вид
(<) : У = Уо + к(х - х0), к = /'(х0).
2°. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания Л(хо, уо), называется нормалью к кривой Г. Уравнение нормали п имеет вид
(п) : у = уо - - (х - х0), k=f'(x0). к
3°. Если S = S(t) — путь, пройденный материальной точкой М за время t, то Д5 = S(t + Д£) - S(t) — путь, пройденный М за время AS
Д£, — — средняя скорость движения за время Дг, а производная Д<
S"(t) = Jim0 — ~ мгновенная скорость точки М в момент времени t.
4°. Пусть (3{х) обозначает прибыль, полученную в результате вложения в некоторое производство х денежных единиц (д. ед.). Дополнительное вложение h д. ед. изменит (увеличит или уменьшит)
§ 2. Интерпретации производной
151
прибыль на /?(х + /г) — /?(х). Тогда прибыль на одну д. ед. вло-0(х + h) - /3(х) о	,
жения равна —------. При достаточно малом h приходим к
h
(З'(х) = lim +-^—, /?'(х) — коэффициент изменения прибыли, показывающий динамику ее изменения; /?'(х) называется маргинальной прибылью, соответствующей затраченной сумме х.
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали к параболе у = х2 + 4х + 2 в точке А( 1,7).
Решение. Точка А( 1,7) лежит на параболе. Находим у' = 2х + 4 и у'(1) = 6. Следовательно (см. п. 1°), уравнение касательной имеет вид у = 7 + 6(х — 1), т. е. у = 6х + 1, а уравнение нормали (см. п. 2°) у = 7 — - (х — 1), т. е. х + бу — 43 = 0.
6
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку В(—1, 2) касательно параболе у = х2 + 4х + 9.
Решение. Точка В(—1,2) не лежит на параболе, поэтому способ, приведенный выше, неприменим. Обозначим через Мо(хо,уо) точку касания искомой касательной с параболой. Тогда ко = 2хо + 4 — угловой коэффициент этой прямой. Равенство уо = 2 + (2х0 + 4)(хо + 1) означает, что прямая, касательная к параболе, проходит через точки В(—1,2) и М0(х0,у0), а равенство уо = х^ + 4х0 + 9 означает, что Мо лежит на параболе. Из этих двух уравнений находим: Xq + 4хо + 9 = 2 + 2хц + бхо + 4, т. е. Xq + 2хо -3 = 0. Отсюда хо = 1 или хо = -3; уо = 14 или уо = 6. Таким образом, точками касания на параболе могут быть Мо(1,14) или Mq(-3,6). Уравнения касательных можно составить по двум парам точек В, Мо и В, Mq. Сами уравнения имеют вид у = —2х, у = 6х + 8.
Упражнения
Составить уравнения касательных и нормалей к данным кривым в данных точках.
1. у = х3, А(1, 1). 2. у = х2 + 5, А(2,9). 3. y = sinx, А(тг, 0).
Составить уравнения прямых, проходящих через данные точки и касающихся данных кривых.
4. В(0,—2), у = х2+х—1. 5. В(0, -1), у = —х2 — х — 2.
6. В(1,9), у = 2х2 + Зх + 10.
Ответы
1. Зх — у — 2 = 0, х + Зу — 4 = 0. 2. у = 4х + 1, х + 4у — 38 = 0.
3. у = тг — х, у = х — л. 4. у = Зх — 2. 5. у = —Зх — 1. 6. у = 7х + 2.
152 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
§ 3. Связь дифференцируемости с непрерывностью
1°. Напомним: функция, имеющая конечную производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке, в противном случае — недифференцируемой.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в данной точке, то в этой точке она непрерывна.
Из существования lim — = f'(x) следует, что lim Ду = О Дж—*0 Дх	Дж—>0
(непрерывность), так как в противном случае /'(х) = оо либо не существует.
2°. Функция, непрерывная в данной точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.
Например, функция у = |х| непрерывна (см. гл. V, § 1), но не дифференцируема в точке х = 0, поскольку действия алгоритма с учетом Уо = у(0) = 0 приводят к у' = |х|' = lim -^1, а этот предел не Ат->0 Да;
существует (при Дх > 0 выражение под знаком предела равно 1, а при Дж < 0 оно равно -1);
функция у = у/х в точке х = 0 непрерывна; она определена только при х 0, поэтому можно брать только Дх > 0. Имеем у'(0) = (\/ж)/ L_n = lim  &х- = lim = +оо; функция у = у/х х и	Дж—>0 Дх	Дж—*0 \/ /\х
имеет в точке х = 0 бесконечную производную и потому не дифференцируема в этой точке. Касательная к графику Г перпендикулярна к оси Ох (график см. гл. V, § 1).
3°. Функция, дифференцируемая в каждой точке данного интервала, называется дифференцируемой в этом интервале. Функция с непрерывно изменяющейся производной (касательной) называется гладкой.
График функции у = |х| не гладкий при х = 0 (имеет угол).
Упражнения
Установить, дифференцируемы ли функции у = /(х) при х = xq.
1. у = tyx, хо = 0. 2. у = |х — 113, хо = 1. 3. у = х2/3, хо = 0.
4. у = х5/3, хо = 0. 5. у = х3/5, хо = 0.
§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования
1°. Дифференцирование основных элементарных функций осуществляется при помощи следующих формул:
1)С' = 0.	2) х'= 1.
§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования 153
3) (хт)' = тхт	ll)(ctgx)	. sin2 X
4) (ах)' = ах1па.	12) (arcsin x)' =	1	. V 1 — x2
5)	(ехУ = ех. 6)	(logo ж)' = -у— • zma 7)	(Inx)' = 1. X 8)	(sinx)' = cosx.	13)	(arccosrr)7 = — — 1	. у/1 — X2 14)	(arctg x) - 1 + X1 15)	(arcctgx)' = - —. 1 + X2 16)	(VS)' = 2.\/x /	\ t
9) (соях/ = — sinx.	i?) f1) =-4- \X J	X1
Ю) (tga?)' = —L-. COS2 X	18) ( — ) = \xm /	xm+l
Формулы 16)-18) являются частными случаями 3). Все формулы
необходимо знать наизусть.
2°. Функции, составленные из основных при помощи арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиции (функция от функции), дифференцируются по правилам:
1)	(С 	= С  f'(x) (С — постоянная);
2)	(/(x)±g(x))' = /'(x)±g'(x);
3)	(/(®) • g(®))' = f'(x) g(x) + /(х) g'(x);
4)	(ZMY = /'(*). g(*)-/W g'W ( в часТности, f-J-Y = - Ш ;
\g(®)/	g2(®)	w-')/	g2(*)
5)	если /(u) и и = u(x) — дифференцируемые функции, то производная сложной функции (/ [ц(х)])' = [u(x)j • u'(x).
Примеры с решениями (во всех примерах найти у')
Пример 1. у = х10--х5 + 7.
5
Решение. Применяем правила 1) и 2), а также формулы 3) и 1): у1 = (х10)' — ( - х5) + (7)' = 10х9 — - • 5х4 + 0 = 10х9 — х4.
\ 5 j	5
Пл	“Ь \/х	1
ример 2. ?/ = ---------.
у/х
Сначала преобразуем: у = у/х + 1 - х-1//2.
Теперь дифференцируем, используя формулы 1), 16), 3) и правила
1) и 2): у' = — + -4= =	•
Ч-фх Ч'/х2
154 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пример 3. у = 2ж-со8а;.
Решение. Имеем производную произведения (правило 3)) функций, содержащихся в формулах 4) и 9): у' = (2',;)/cos х + 2х (cos ж/ = = 2х In 2 cos х — 2х sin х.
Пример 4. у=	.
у/х
Решение. Применяем правило 4), формулы 10), 5), 16). Производная частного:
Пример 5. у = arccos 1 х.
Решение. Применяем правило 4), частный случай, и формулу 13).
У
(arccos г)2
___________1_________
arccos2 х • у 1 — х2
1__________
х2  arccos2 X
У1 -
Пример 6. у = arctgу/х.
Решение. Применяем правило 5), формулы 14) и 16). Положим
и = у/х . Тогда у = arctg и, у'и = —!—, и' = —5—. Окончательно: 1 + и2	2-,/х
у' =______!___
“	2у/х{\ + х)'
Пример?. у = 1п^х + д/х2 + 1).
Решение. Положим у = In и, и = х + \/х2 + 1. и применим прави-
ло 5). Получаем у' = ---1	(1 4---.2г	] =	1	.
х + \/r2 + 1 \	2 л/^2 + 1 /	\/х2 + 1
Пример 8. у = cos Inх.
Решение. Обозначим у = cos и, и = 1пж. Находим у' = — sin Inx х
1 sin In х X - = —-----
X	X
Пример 9.
Решение. Дифференцируем частное двух сложных функций:
cos2 2х tg х2
! _ (cos2 2х)' • tgx2 — (tgz2)' • cos22rc _
y	(tgz2)2	2
_	_	_ 4 _	9 2x • cosz 2x
2 cos 2# • ( — sin2z) • 2tgar — ------- . .	 n 9 n 9 n
4	'	cos2 x2	— sm4x • sin2x£ — 2xcos* 2x
tg2 х2
sin2 x^
§ 4. Таблица производных и правила дифференцирования
155
Пример 10. у = sin3 х2 • arccos у/х.
Решение. Имеем дело с производной произведения сложных функций:
у' = (sin3 х2)' • arccos у/х + sin3 х2 (arccos у/х)' =
о • 2 2	2 л	Г~	sin3 X?
— 3 sm х  cos х  2х • arccos у/х--.	----- =
у/Т^х  2у/х
л • 2 2	2	Г~ sin3 х1
= ox sm х • cos х arccos у/х — ——	.
2у/ж(1 - х)
Примечание. При дифференцировании функций, состоящих из большого количества множителей, или функций вида у = /(х) рекомендуется предварительное логарифмирование.
п	11	(г + 2)2
Пример 11. у=-—\ / (х — I)3 (х + 5)4
Решение. Находим сначала In у, затем продифференцируем обе части полученного равенства, причем левую часть 1пу(х) — как сложную функцию: In у = 21п(х + 2) — 31п(х — 1) — 41п(х + 5) и 1 ,	2	3	4	/,	,/	1 ,
-у = ---- — ---- — ----; (ту) = -у — производная сложной
у х + 2 г—1 ж + 5	у
,	гу	/	(ж + 2)2	( 2
функции. Отсюда у = ---7 • -------------
У {х- l)3(z + 5)4	\rr-2
Пример 12. у = (1+х)ж.
Решение. Берем логарифм обеих частей
In у = xln(x +1). Дифференцируем: -у' = ln(x + 1) + У
3________4
х — 1 х + 5
равенства у = (1 + х)х:
. Отсюда
х + 1
х + 1
Упражнения
Найти производные функций.
1. у =	-		. 2. у = л/х2 + 4х + 3. ж2 + 1
3. у =	Ж /.	9,1	•	л	1 1	1 + х , 1	, - V 1 — xz + - arcsmx. 4. у = - In	 + - arctex. 2	2	4	1 - х 2
5. у =	sin ж — cos x „	l/o	\ /1	9 n , n	x + 1 	. 6. у = - (3 - x) v 1 - x2 - 2x + 2 arcsm	. sin a; + cosa;	2	v2 X	X
7. у =	1 1	x + 1	1	. 2x - 1	tg - +ctg - - In —  	— + —— arete 	. 8. у = 			— . 3 у/ ж2-ж+1	у/з	X
9. у =	• 2	9	.	• sin x	cos X	-а л	i пт* Фс т	(	\ sin X 	1	. 10. у = 10xtga;. 11. у = (cosa;) 1 + ctg X	1 + tg X
12. у = х?/ —— . 13. у = х ,^х +1) . 14. у = у/х3у/х^у/х .
У V х2+1	У у/Ц^Г) у у v v
156 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
15. у = In	 16. у =
х. 17. у = log^ ж.
2 '
2
Ответы
1. у —--------у. 2. у = —, -	. 3. у =Vl—xz. 4. у'=-----------.
(ж2+1)2	\Лг2+4а;+3	1—ж4
5. у' = ------2-----_ 6. у' = х\ . 7. у' = -±~. 8. у' =
(sm х + cos х)	у 1 — х‘ — 2х	х + 1
= _2(х cousin а) . 9 у' = —cos2x, 10. у' = KF^lnlO ftg®+ —— \
х2 sin2 х	\ cos2 х J
11	/	/ .sin xi	i	sin2 х \ iq ,	Зж2+5 q / х2
11. у' = (cosx) cosx  Incosa;—---------- . 12. у' = -------- ? ----- .
\	cosa? /	3 (ж2+1) у o;2 + l
13.
У' =
рифмируйте Указание.
15. у' = —
х3 (х2 + I)4 / 5	1
Дх (х — 1) \ 2х 2 (х — 1) обе части исходного
Преобразуйте правую 2х + 3	2х
2 + Зх + 1)	3 (х2 + 4)
часть равенства. 16. у' = (ж2 + 3}
Н---|. Указание. Лога-
х2 + 1 ) равенства. 14. у' = часть исходного равенства.
. Указание. Логарифмируйте правую
23
+ In
------ . Указание. 2Дх
Логарифмируйте обе части исходного равенства. 17. у' = 0. Указание.
Преобразуйте исходное равенство.
§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация
1°. Дифференциалом дифференцируемой функции у = /(ж) называется произведение ее производной на произвольное приращение аргумента:	;
dy = df(x) = Д(х)Д.х = у'Дж.
Для функции у = х ее дифференциал равен
dy = dx = 1 • Дж = Дж.
Дифференциал аргумента совпадает с его произвольным приращением, поэтому дифференциал функции записывают в виде
dy = df(x') = /''(x'jdx = y'dx.
Например, если у = tgж, то dy = ----.
COS2 X
Из определения дифференциала функции можно записать новое, формальное определение производной:
ах
= ± №)
dx dx
Это обозначение принято в дифференциальных уравнениях.
§ 5. Дифференциал функции и ее линеаризация
157
2°. Из рис. 7.1 видно, что df(xd) = ВС — приращение ординаты касательной при переходе точки х от хо к хо + Дх. При Дх —» О дифференциал — бесконечно малая величина. Дифференциал функции аппроксимирует приращение функции, т. е. если Дх « 0, то Д/(х) « df(x), или /(х + Дх) - /(х) « f'(x)  dx. Отсюда получаем приближенное равенство
/(х + Дх) « /(х) + f'(x)  Дх, Дх « О,
которое называется линеаризацией функции /(х) в точке х. Геометрически это означает замену дуги Г графика функции /(х) отрезком касательной t, что возможно при достаточно малых Дх.
3°. Линеаризацию функции в фиксированной точке хо можно использовать в приближенных вычислениях:
/(х) яа /(х0) + f'(xo)(x - хо), х и х0.
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить приближенно значение функции /(х) = = Ух2 + х + 3 при х = 1,97.
Решение. Принимаем хо = 2. Тогда уо — /(2) = V22 + 2 + 3 = 3.
Далее,
у' =
2х+ 1
2\/ х1 + а + 3
х=2
5
6 '
Так как Дх = х — хо, то Дх = —0,03 и, согласно формуле п. 3°, имеем \/1,972 + 1,97 + 3 ~ 3 + ^ (-0,03) = 2,975.
Пример 2. Вычислить приближенно увеличение объема цилиндра с высотой Н = 40 см и радиусом основания Д = 30 см при увеличении радиуса на 0,5 см.
Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте Н и переменном радиусе х есть функция от х: V=ttHx2. При х=7?=30 имеем У=36000тг. Приращение объема цилиндра заменим его дифференциалом:
ДУ « dV = 2тгЯх • Дх = 2тг • 40  30 • 0,5 = 1200тг.
Ответ. ДУ = 1200тгсм3, новый объем 37200тгсм3.
Пример 3. Найти дифференциал функции у = ех(х2 + 3). Вычислить величину дифференциала в точке х = 0.
Решение. Имеем:
dy = y'dx = (еж(х2 + 3) + 2x6*) dx = (х2 + 2х + 3)ежс?х, dy(Q) = (х2 + 2х + 3)ег|2;=0 dx = Зс?х.
158 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Упражнения
Найти дифференциалы функций.
1.	у = In ( 1 + х |	— - arctg ж.
\ 1 — х )	2
2.	у = —----- + In V1 + ж2 + arctgж.
Зх3	_____ ___________________
о	. а . , х — а .	1 , V х2 + 1 — х
3.	у = arctg - + In л /- . 4. у = - In --------.
х \ х + а	3 у х2 + 1 + х
Вычислить приращения и дифференциалы функций.
5.	у = 2ж2 — х при х = 1, Дж = 0,01.
6.	у = ж3 + 2ж, ж = — 1, Дж = 0,02.
Вычислить приближенные значения.
7.	sin60° 18'. 8.^735. 9. tg46°. 10. lnl,07.
Ответы
.	, x2dx п ,	х5+1 ,	„	,	2а3	,	.	,	2dx
1. dy = ----. 2. dy = ------аж. 3. dy = ---аж. 4. dy =----,	.
1-х4	х6+х4	у х4—а4	3^х2+1
5. Ду = 0,0302, dy = 0,03. 6. Ду = 0,0988, dy = 0,1. 7. 0,86863.
8. 3,0041. 9. 1,03553. 10. 0,0676586.
§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков
1°. Предположим, что производная у' = /'(ж) функции у = /(ж) есть дифференцируемая функция. Тогда ее производная (у')' называется второй производной функции /(ж) и обозначается у" = /"(ж). Производные высших порядков определяются последовательно: у"' — (y"Y< yIV = (.У'")', и т. д. Обозначения могут быть также: уС^уС^уС3),...^").
Например, если у = ж2 + 5ж — 6, то у' = 2ж + 5, у" = 2, у'" = 0.
Если у = cos ж, то производную любого порядка этой функции найдем следующим образом:
у' = (cos х)' = — sin ж = cos ^ж +	;
у" — — cos ж = cos ( ж + 2 - I ;
\ 2 /
///	•	j । О ТГ I
у = sm ж = cos ж + 3 - ;
\ 2 /
yIV = cos ж = cos I ж + 4 - I ;
y(n) _ cos
ж + n -2
n = 1,2,3,...
$ 7. Дифференцирование обратных функций
159
2°. Дифференциалы высших порядков определяются так: dny = f(n)(x)dxn. Отсюда /^п\ж) =	f —у Y
Например, dn(cos х) = cos ( ж + "у" ) ^х?г-
Упражнения
Найти производные и дифференциалы порядка п е N.
-	1	П	О х2 + 2х + 3 л г-
1. у = ---. 2. е. 3. —-——- . 4. у/х .
ах — Ь	х
5. Ха. 6. In ^Ж + 1 . 7. sin аж. 8. cos(3x.
Ответы
1. у(«) = (-1)"———. 2. уИ = З"с3а:. 3. у' = 1 - —, (ах — Ь)" 1 1	х2
= А „(") = i—п! 4 ?/(п) = ( 1 У1-1 1 ' 3  5 -   (2п - 3)
У х2’	х™+1 '	’	3	7	2" •
5.	= а(а — 1) • • • (а - п + 1)жа-п. 6. у^ = — (—l)n+1 ——.
33	хп
7. у(п( = ап sin ( ах + - п ]. 8. у^ = /Г1 cos ( ах + п - ).
§ 7. Дифференцирование обратных функций. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
1°. Пусть у = f(x) — функция, определенная и непрерывная на отрезке [а; Ь] и /(а) = A, f(b) = В. Если различным значениям х е [а; Ь] соответствуют разные значения у е [А; В] (или у е [В; А]), то функция y=f(x) обратима, т. е. имеет обратную функцию, обозначаемую х=<р(у). При этом f [у?(у)] = у, а х = р(у) непрерывна на отрезке [А; В].
Например, функция у = х2 обратима на каждом из двух лучей (-оо;0] и [0;+оо), при этом х = —y/у, у е [0;+оо), и х = y/у, у е [0; +оо);
у = tga; обратима в интервале	или в любом другом
интервале ~ + fcrr; + ктг^, где к — фиксированное целое число, при этом х = arctgу или х = arctg у 4- ктг, у Е ( —оо; +оо).
2°. Если различным значениям х Е [а; 6] соответствует одно значение у Е [А; В], то функция у = /(ж) имеет несколько обратных функций.
Например, непрерывная функция у = ж2, ж е (-оо;4-оо), имеет две непрерывные обратные функции ж = —y/у и ж = y/у, у е [0; 4-оо);
160 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
непрерывная функция у = sina;, х € (—оо; 4-оо), имеет бесконечное множество непрерывных обратных функций х = (— l)n arcsiny 4- тт, п <Е Z, у £ [— 1; 1].
3°. Если у = /(ж) дифференцируема на отрезке [а; 6] и fix') / 0, то обратная функция х = <р(у) также дифференцируема на [А; В] и
£
У1
х' = </(у) =
Например, пусть у = sina;, х €
2
обратной функции х = arcsiny, у € [—1; 1]
, • \/ ! 1 1
(arcsiny) =х = — =---------= -
у' COS X \
при у = ±1 имеем (arcsiny)' 1у=±1
;	, тогда у' = cos ж, для
имеем
sin2 х	у/1 — у1.
lim
= +оо, это согласу-
ется с тем, что sin7 (—1=0;
\ 2 /
если у = х3, х € (—оо, 4-оо), то у' = Зх2 и у' = 0 при х = 0, для обратной функции х = tyy имеем х' =	= 4-оо при у=0 (у(0)=0).
у/У2
4°. Если у как функция от х задается соотношением F(x,y) = О, то у называется неявной функцией от х, в отличие от явного способа задания у = f(x). Производная от у по х при неявном способе задания функции может быть определена дифференцированием выражения F(x,y) = 0 как сложной функции, считая у функцией от х; решая полученное уравнение относительно производной у', находим выражение производной от неявной функции в виде у' = f(x,y).
5°. Если функция у = у(х) задается параметрически, т.е. при помощи двух функций х = x(t) и у = y(t) аргумента t, a x(t) и y(t) — дифференцируемые функции, то производную у' = у'(х), обозначаемую еще у'х, находим при помощи дифференциалов:
v' = v' =	= dy(t> =
Х dx dx(t)
Вторую производную у" = у''2 = — dx^
ной из двух формул (они основаны на производной сложной функции, дроби и обратной функции t'x = —):
y'tpdt _ y'(t) x'(t)dt x'(t)
можно найти при помощи од-
й =’' = (хг)  *'
dx2	\x'(t)Jt	(x'ty
§ 7. Дифференцирование обратных функций	161
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 4°). Найти у', если 10а;3 + 4х2у + у2 = 0. Найти также у' при х = —2, у = 4.
Решение. Считаем, что у = у(х). Продифференцируем левую часть данного уравнения как сложную функцию, приравняем нулю полученное выражение и найдем у'~.
30т2 + 8ту + 4х2у/ + 2уу' = 0.
Отсюда у' = ————. Подставляя х = —2, у = 4, получаем + у
Пример 2 (к п. 4°). Найти у', если еу+ху=е. Найти также у'(0).
Решение. Дифференцируем обе части данного равенства, имея в виду, что у = у(х) : еуу' + у + ху' = 0, откуда находим у' = — —-— .
еУ + х
В частности, если х = 0, то у = 1 и у'(0) = — - . е
Пример 3 (к п.4°). Для функции у(х), определенной неявно уравнением уех + еу = е + 1, найти у".
Решение. После двух последовательных дифференцирований данного уравнения с учетом у = у (ж) получаем
у'ех + еху + еуу' = 0
у"ех + еху' + еху + еху' + е^у')2 + еуу" = 0.
Из второго равенства находим
у" = _2еХу' +еХу+ еУ(у')2 ех + еУ
Из первого равенства находим
, УеХ
У = —-— ех + еУ
и подставляем это в предыдущее равенство. После упрощения получаем п _ - 2е2ху (е* +	+ еху (ех + еУ) 2 + у2еУе2х
У	(е^+еУ)3
Пример 4 (кп. 5°).	Найти у' и у", если	х = arctgC	у =	ln( 1 + Z2).
Решение. Имеем:	х\ = —1—, у*	=	2* ,	у'	= — =
4	1+t2	‘	1+t2	х	x't
2t 1
= ------ : ---- = 2t. При помощи первой из формул для у"2 находим
У"> =	< = (2*)' • 4 = -Г- = 2(1 + Л
x't	1
1 +t2
6 К. Н.Лунгу, Е. В. Макаров
162 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пример 5 (к п. 5°). Найти у", если х = In С у = sin2z.
Решение. Для определения у" будем использовать вторую фор-
мулу. Сначала находим: x't = - , х”г = —-Следовательно,
у{ = 2cos2Z, у"2 = —4sin2t.
— 4 sin 2t • - + — -2 cos 2t
y”2 = -------------i------------- = — 4Z2 • sin 22 + 2t cos 2t.
( t)
Упражнения
Найти производные у' = — . dx
1. х3 + у3 — Зах.у = 0. 2. ху = arctg - . 3. еу = х + у. у
4. х = e-t, у = e2i. 5. х = \Л2 + 1, у = * 1 .
Vt2 + 1
6. х = arccos , 1	, у — arcsin —— 	. 7. у = (arctg хС.
УТСЛ2 ’ У	^1+42	V 6 ’
8. у = хх*.
Найти производные функций, заданных неявно уравнениями.
9. х3у3 + 5ху + 4 = 0. 10. х sin у + у sin х = 0.
11. ху — ух = 0. 12. х = e-tsint, у = е*cost.
13.	х = In С у = sin2t.
Найти производные любого порядка.
14.	у = еах. 15. у = sinax + coste.
16.	у = хех. 17. у = —!— . 18. у = —-— . ах + b	х2 — 1
Ответы	'
1. у' =	2. у' =	3. у1 = --*-- =
ах — у2	х (1 + х2 + I/2)	х: + у — 1 еУ — 1
4. у' = —2e3t. 5. у' = - *+ 1 . 6. у' = -1 при t < 0; у' = 1 t(t2 + 1)
при t > 0. 7. у' = (arctgx)1 I In arctg х + ----------- I. 8. у' =
\	(1 + х2) arctg х )
= x^+1(l+21nx). 9. у' = -3^+5Д. 10. у' = Hycosx + sinj/) . 2х3у + 5х	х cos у + sin х
П. у' = y(y~Tlny) . 12. у' = e2t. 13. у' = 2tcos2t. 14. у^ = апеах. xlx — г/1пж)
15. у^ = ап sin (ах + ~ + bn cos (bx + "у	= (х + п)ех.
17. 7П) =	, 18. 7П) = (-1)"- (-------!----- + ---!---Y
(аж + Ь)п+*	2 \ (ж+!)"+*	(ж— 1)п+* /
§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления.
163
§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
1°. Точка хо называется точкой относительного максимума (минимума) функции f (х), если в некоторой окрестности этой точки имеет место неравенство f(x) < /(яо)	> /(®о)) при х / xq. -Точки
относительного максимума и минимума /(ж) называются точками экстремума, а значения в этих точках — экстремальными значениями.
На рис. 7.2 изображен график функции с тремя экстремумами.
Теорема 2 (Ферма). Если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке хо, то р(хф) = 0.
В точке экстремума касательная горизонтальна, а для нее к = = tga = f (®о) = 0.
Теорема 3 (Ролля). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема в интервале (а; 6) и /(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка с £ (а; Ь), в которой /'(с) = 0.
Такая функция либо постоянная, т. е. f(x) = С, и тогда f'(x) = 0, х £ [а; Ь], либо имеет хотя бы одну точку экстремума с е (а; 6), и тогда Г(с)=0.
Теорема 4 (Лагранжа). Предположим, что функция /(я) непрерывна на отрезке [а; 6] и дифференцируема в интервале (а; 6). Тогда существует хотя бы одна точка с € (а; Ь), такая, что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), или о—а
Геометрически теорема 4 означает что на кривой существует хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде АВ, f'(c) — ее угловой коэффициент (рис. 7.3).
Теорема 5 (Коши). Пусть f(x) и g(x) — две функции, непрерывные на отрезке [а; Ь] и дифференцируемые в интервале (а; 6), причем g'(x)	0, х е (а; 6). Тогда существует хотя бы одна точка, такая,
что
/(&) ~ /(а) _ /' (с)
g-(6)-g-(a)	g-'(c)
6'
164 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Примеры с решениями
Пример 1. Проверить, справедлива ли теорема Ролля для функции /(ж) = х2 + 2х + 7 на отрезке [—6;4], и если да, то найти соответствующее значение с.
Решение. f(x) = х2 + 2х + 7 непрерывна и дифференцируема на любом отрезке, в частности, на [—6; 4], и /(6) = Д4) = 31. Значит, f(x) = 2х + 2 = О при некотором х € (-6; 4). Имеем х = с = — 1.
Пример 2. Найти точку с, о которой идет речь в теореме Лагранжа, для функции у = х2 + 6а; + 1 на отрезке [— 1; 3].
Решение. Имеем у(— 1) = — 4, у(3) = 28, А(—1,—4), В(3,28), клв = —-+ - = 8. Нам надо решить уравнение у' = 2х + 6 = 8. Нахо-3 + 1
дим х = 1, т.е. с имеет координаты (1,8). Касательная в этой точке параллельна хорде АВ.
Упражнения
Проверить, справедлива ли теорема Ролля для данных функций на данных отрезках, и найти соответствующие значения с (если они существуют).
1. f(x) = \х- 1|, [0;3]. 2. Да;) =	[-2;0].
3. f(x) = x2, [—1;2].
Найти точку с, о которой идет речь в теореме Лагранжа, для данных функций на данных отрезках.
4. Да;) = |а;| — 3, [—2;2]. 5. Да;) = а;3, х € [—1; 1].
6. Да;) = х2 — 6а; + 1, [0; 1].
I
Ответы
1.-4. Нет. 5. ± —. 6. -. Уз 2
§ 9.	Применения производной
9.1.	Уравнения касательной и нормали к кривой
В §2 приведены уравнения касательной (t): у = уо + к (х - хо), k = f'(xo) и нормали (п): у = уо — - (х — а;о), к = f (а;о) к кривой у = Да;) в точке А(хо,уо), уо = Дж0).
Если кривая задана неявным или параметрическим образом, то угловой коэффициент к = Д (а;о) нужно искать как производную неявной или параметрически заданной функции.
9. Применения производной
165
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = х In х, проведенных в точке с абсциссой х = е.
Решение. Имеем: хо = е, уо = у (е) = е, у' = 1пж+ 1, fc = y'(e)=2,
(t): у = е + 2(а: — е), (п): у = е — - (ж — е) (см. §2).
1	3
Ответ. (t): у = 2х — е, (п): у = — -х + -е.
Пример 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой а:2 + Зу2 = 4, проведенных в точке с ординатой у = 1 и отрицательной абсциссой.
Решение. При у = 1 находим х = — 1 и х = 1. В задаче идет речь о точке А(-1,1). Находим у' из уравнения х2 + Зу2 = 4. Имеем 2х + бу  у' = 0, отсюда у' = — — , а значит, подставляя сюда х = — 1,
Ъу
1	,	,	1
у — 1, получаем к — у — - .
Следовательно, (t): у — 1 + (х + 1), (п): у = 1 - 3(ж + 1).
Ответ, (£): у = -х + - ; (п): у = — Зх — 2.
Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу х = 4 cos С у = 3sini, проведенных в точке, получаемой при Z = ^.
Решение. Имеем: xq = 4 cos - =2, уо = 3 sin - =3 — ; у' = 3	__ 3	2
dy 3cost	3 , , 7	3 . тг v3 /-.
= — = --------- — — _ ctgf; к = — - ctg - = — —. Следовательно,
dx	— 4 sin t	4	4	3	4
z.\	3V3 л/З / qx z \	3V3	4	/
G): У = — - — (x - 2); (n): у = — + — (x - 2).
Ответ, (t): у = — —x + 2\/3; (n): у = x —	.
4
9.2.	Исследование на монотонность и экстремум
1°. Предположим, что функция /(ж) непрерывна в интервале (а; 6) и xi и Х2 — любые две точки этого интервала, причем xi < Х2-
Функция /(ж) называется в этом интервале:
— возрастающей (неубывающей), если /(Ж1) < f(x2) (f(xi) С f(x2))',
— убывающей (невозрастающей), если /(Xl) > f(x2) (f(xi) > f(X2))',
— монотонной, если она либо возрастающая (неубывающая), либо убывающая (невозрастающая).
166 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Например, функция у = х2 в интервале (—оо;0) монотонно убывает, в (0; оо) монотонно возрастает, в (—оо; оо) не является монотонной (рис. 7.4).
Теорема 6. Если f (ж) > 0 при х е (а; Ь), то f(x) монотонно возрастает в этом интервале.
Если fix'). < 0, х € (а; 6), то f(x) монотонно убывает в этом интервале.
2°. Следующие две теоремы выражают достаточные условия для того, чтобы данная точка хо была экстремальной для дифференцируемой функции /(ж).
Теорема 7. Если при х < жо f'(x) > 0, а при ж > жо f'(x) < 0, то хо — точка максимума функции f(x). Если при х < хо f'(x) < 0, а при х > хо f'(x) > 0, то хо — точка минимума функции f(x).
Точки, в которых производная непрерывной функции равна оо или не существует, называются критическими. Точки, в которых f'(x) = 0, называются стационарными.
Если непрерывная функция /(ж) имеет экстремум в точке хо, то эта точка — критическая для этой функции.
Теорема 8. Если хо — стационарная точка, то при /"(жо) > 0 хо — точка минимума, а при /"(жо) <0 жо — точка максимума.
Примеры с решениями
Пример 4. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию /(ж) = (х — 1).
Решение, /(ж) определена при всех ж € R. По формуле произ-„	.	2	,	, Згт 5х — 2	2
водной произведения	/ (ж)	= —-—	(ж	— 1) + Уж2	= —-—;	ж = -	и
Зух	5
ж = 0 — критические точки /(ж). На верхней оси диаграммы (рис. 7.5) обозначено распределение знаков /'(ж), а на нижней — поведение функции /(ж) согласно теоремам 6 и 7.
/2	\
Ответ. В интервалах (—оо;0) U I -;+оо I /(ж) монотонно возрас-у 5	J
(2\
0; - 1 монотонно убывает, ж = 0 — точка 5 /
максимума с утах = 0, ж = - — точка минимума с ут;п = —0,6^0,16.
max min
max min х
Рис. 7.5
Рис. 7.6
9. Применения производной
167
Пример 5. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию у = 2ж3+Зж2 —12ж+1. Найти также наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [—1; 5].
Решение. Находим у' и исследуем ее знак:
у' = 6х2 + Ьх — 12 = 6(ж — 1)(ж + 2).
Знаки у' и области монотонности изображены на диаграмме (рис. 7.6); х = —2, х = 1 — стационарные точки, х = 1 — точка минимума, х = — 2 — точка максимума. При этом ymin = у(+1) = —6, Утах = У (—2) = 21. Эти значения — экстремальные. Вычислим еще у(—1) = 14 и у(5) = 266.
Ответ. Функция монотонно возрастает в (—оо; —2) U (1;+оо), убывает в (—2; 1), имеет максимум при х = —2, утах = 21; имеет минимум при х = 1, ymin = —6 — наименьшее значение; наибольшее — 1/(5) = 266.
9.3.	Раскрытие неопределенностей
1°. Неопределенности видов - и О сю
Пусть функции /(ж) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, самой точки а (при этом а может быть конечным числом или +оо, —оо, оо).
Предположим, что
1) lim /(ж) = lim g(x) = 0 или 2) lim /(ж) = lim g(x) = оо. х—*а	х—*а	х—*а	х—>а
f'(x}
Правило Лопиталя. Если существует предел lim ’ = А, то х^а g-'(z)
существует и предел lim = А. х^а g-(x)
Правило Лопиталя позволяет при помощи производных раскрыть 1 \	0	сг.	ОО
неопределенность: в случае 1) вида -, а в случае 2) — вида —.
О	оо
При необходимости правило Лопиталя можно применить повторно или несколько раз при соответствующих условиях на /'(ж) и g'(x), f"(x) и g"(x) и т.д.
Например, вычислим пределы: 1) lim ----; 2) lim -------.
х—>0	X	X—>+оо х?
D	0
В первом случае имеем неопределенность вида -, во втором —
вида —. В том и другом случае условия применимости правил Лопи-оо
таля удовлетворяются. Переход к производным по ходу решения примеров будем отмечать знаком «=». Переходим к вычислениям, замечая заранее, что во втором примере правило Лопиталя применим дважды.
168 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1)	Ит ( 2Ulim = lim = 1.
х—>0 х \ 0 / ^—>0 х'	х—>0 1
т ех — 1	( оо \ !	.. ех {оо \ !	,. ех
2)	lim ------ = — = lim — = 1 — = lim — = + оо.
х—>+оо х1 \оо ) X—>+оо 2х	\оо )	х—>+оо 2
2°. При помощи правила Лопиталя можно раскрыть неопределенности других видов: оо - оо, 0 • оо, оо°, 1°°, 0°. Для этого исходные выражения необходимо приводить к виду .
В нижеследующих примерах необходимые преобразования выполним по ходу решения. Заметим, что иногда приходится избавляться от «мешающих» множителей — это делается при помощи теоремы о пределе произведения.
Примеры с решениями
Пример 6. Вычислить пределы: a) lim ( ----------------- — ----- );
X—> 1 у х — 1	In X )
б) lim ж3еж; в) lim (cosa:)^-^/2/ г) lim(l — sinai)ctg2:c.
х—> — оо	х—>тг/2	X—>0
Визуальный обзор указывает на наличие разных неопределенностей.
Решение.
, ,.	( X 1 \	ч ,. х  In х — х + 1
a)	hm (------------ = (оо — оо) = lim ------------- =
X—>1 у х — 1 Inx ]	х—>1 (х — 1) 1пт
(0 \ ! ,. Inx-f-l —1	,. v I 1пх
=	-	= lim ------------- = lim х  lim --------- =
V 0 /	х—►!	х — 1	х—>1	х—>1 xlnx + х — 1
v '	In x 4---
x ./o')!,.	{/x	1
\ 0 )	x^> 1 In x + 1 + 1	2
Здесь мы избавились от множителя х, усложняющего производную, и дважды применили правило Лопиталя.
б)	lim х3 • ех = (оо • 0) = lim -5— = (— = lim ——— = х—> — оо	х—>—оо е~х у оо ) х—»—оо — е~х
Рекомендуем вычислить этот предел при помощи замены х = — t (х —> —оо => t —+ +оо).
§ 9. Применения производной
169
в)	Найдем предел логарифма выражения, стоящего под знаком предела. Воспользуемся теоремой о возможности перехода к пределу под знаком непрерывной функции:
lim 1п(со8®)ж	= lim
x—>7г/2	x—>7г/2
V In cos х lim -----------
я—>7г/2	1
ОС'
ОС'
lim — sinx/cosx х—*7г/2
1
\ 2
х — —
2
2
О
О
lim sin х  lim -----------—
X—>7г/2	X—>7г/2	cos X
2 X- -lim —-----------2.2. = 0.
х—>тг/2	sin re
Вывод: искомый предел равен е° = 1.
г)	Этот пример, как и предыдущий, можно решить при помощи основного показательно-логарифмического тождества: А = е1пЛ(А > 0). z-	\ de2 х	lim ctg2 rcln(l— sin х) _
Следовательно, lim(l— sin®) 6	= (1 ) =	. Для
х—*0
компактности выражений берем отдельно предел показателя:
lim cos2 х  lim
х—>0	х—>0
ln( 1 — sinx) . о
sinz X
= 1 • lim
x—>0
= — lim
x—’0
— cosx/(l — sin a:)
2 sin x cos x
________1_______ _
2sinx(l — sinx)
+ OO,
—oo,
x < 0, x > 0.
Получили два различных односторонних предела, следовательно, искомый предел не существует. Тем не менее зафиксируем односторонние пределы:
lim (1 — sin®)ctg х = 0, lim (1 — sin®)ctg2:c =+оо.
х—>0+0	х—>0—0v
Упражнения
1.	Найти точки, в которых касательные к кривой у = З®4 + 4®3 — — 12®2 + 20 параллельны оси абсцисс.
Указание. Найти точки, в которых у' = 0.
2.	Написать уравнения касательных и нормалей к кривой у = = (® — 1)(® — 2)(® — 3) в точках пересечения с осью абсцисс.
3.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой ® = 1+^, 3	1
у = — + — в точке с прямоугольными координатами (2,2).
Указание. ® = 2 и у = 2 при t = 1.
4.	Определить интервалы монотонности функций:
1)	у = ®2(® — 3); 2) у = (® — 3)У®; 3) у = еж2_4ж; 4)у = ®1п®.
170 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
5.	Исследовать функции на экстремумы:
1)	у = х(х- 1)2(ж —2)3; 2)у = (ж-2)Ц^;
х2 — 6х + 13 .ч	,2
3) у = --------; 4) у = х In х.
х — 3
Применяя правило Лопиталя, найти пределы.
6. lim	T~arctg*	. 7. lim	e^‘ -	. 8. lim	е*~е~*-2з:.
x—>0 x3	x—«0	cos x — 1 x—>0 x — sinx
9. lim ( —— — j. 10. lim [ ctga; — - j. 11. lim (x?exlx x—>1 у Inx	Inx /	x—>0 у	x J	x—>0 \
/	\ x
12. lim ^ж)2ж-7Г. 13. lim x (ell/x — 1). 14. lim | In - ) x->v/2	м v	'	T^0+0 \ x )
t 2
15. lim 1пж • ln(l — x). 16. lim I - arctgx X—>1-0	X—>+oo \ 7Г
/	\ 1/V	/	\ \/x2
17. lim ( -^inx )	. 18. lim (	. 19.
x—>0 \ x	J	x—>0 \	x J
lim
In sin 2x
x—>0 In sin 3т
Ответы
1. x = 0, x = 1, x = —2. 2. у = 2x — 2, у = -—-; у = —x + 2,
у = x — 2; у = 2x — 6, у = -—- . 3. lx — 10у + 6 = 0, Юж + 7y — 34 = 0. 4. 1) (0;2), убывает; 2) (0; 1), убывает; 3) (—oo;2), убывает; 4) (0;e-1), убывает. 5. 1) ymin(0,23) « -0,76, ymin(l,4) « -0,05, ymax(l) « 0; 2) ymax(3,2) = -^; 3) Утах(1) = -4, Утт(5) = 4; 4) ymax (e-2) = 4e-2, 16
ymin(l) = 0. 6. 1.7. —2. 8. 2. 9. -1. 10. 0. 11. OO.12. 1. 13. 1. 14. 1.
15. 0. 16. e-2/71'. 17. &e. 18. —. 19. 1.
-y/e
§10. Асимптоты
10.1. Вертикальные асимптоты
Напомним (см. гл. IV, § 1), что если х = а — точка разрыва функции /(ж) и lim /(ж) = оо, то прямая ж = а называется вертикальной х—>а
асимптотой графика этой функции.
Примеры с решениями
Требуется определить точки разрыва данной функции, исследовать их характер, найти вертикальные асимптоты и построить график в окрестности точки разрыва.
$ 10. Асимптоты
171
п	. г / \ x2 + 5x + 4
Пример 1. /(ж) =   ——
— 1
Решение, х = — 1 и ж = 1 — точки разрыва. Имеем:
lim а;2+5а:+4 = lim (ж+1)(ж+4) = _ 3
X—»-1 X2— 1	Ж—>—1 (х+ 1) (ж-1 )	2
lim f(x) = lim ж + 4 = —оо, х—>1— 0	х—>1— 0 х — 1
lim f(x) = lim ж + 4 = +оо. х—>1+0	х—>1+0 х — 1
Ответ, х = — 1 — точка устранимого разрыва, х = 1 — точка разрыва второго рода. График построен (рис. 7.7), х = 1 — вертикальная
асимптота вверх и вниз.
Пример 2. /(ж) = ----------.
|sin х|
Решение, х = кк, к £ Z — точки разрыва. Рассмотрим отдельно х = 0 и х = ктг, к 7= 0.
lim —-— = lim —-— = -1, х—>0—0 |sinx|	х—>0 — sin ж
lim —-— = 1,
x—>0+0 |sina:|
lim x — k7r —f +°°’ ПРИ > 0’ x—>fcvr |sinx| +0 ( О^> при к < 0.
Ответ. ж = 0 — точка разрыва первого рода со скачком <т(0) = 2; х = ктг, к / 2 — точки разрыва второго рода. Прямые х = к~ (к / 0) — вертикальные асимптоты: вверх при к > 0, вниз — при к < 0 (рис. 7.8).
Пример 3. /(ж) = е1/!1	.
Решение, х = 0 и х = 1 — точки разрыва,
lime1/^^1-^] = +оо, х—*0
lim е1 /[х2( 1 -ж)] = +оо, х—>1— О
lim е 1/[зс2О_ж)] = 0. х—>1+0
Ответ, ж = 0, ж = 1 — точки разрыва второго рода, прямые х = 0, х = 1 — вертикальные асимптоты (рис. 7.9).
172 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
10.2. Наклонные асимптоты. Горизонтальные асимптоты
Прямая с уравнением у = kx + Ь называется наклонной асимптотой графика функции /(а;), если lim [f(x) — (kx + 6)] = 0 (возможно X —*оо
х —» +оо ИЛИ X —» —оо).
После деления на х выражения, стоящего под знаком предела, и перехода к пределу получаем
k = lim , затем b = lim (f(x) — kx). х—*ОО X	х—>оо
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при к = 0 и Ь / оо, т. е. это прямая у = Ь, если lim f(x) = b.
Примеры с решениями
Требуется найти наклонные асимптоты графика данной функции, если они есть.
П	Л	У X3 + Зх2
Пример 4. f(x) =
х‘ — 2
Решение.
, V f (ж)	!• Ж3 + Зя2 — 1	1
к = hm = hm —-------------- = 11
х-^оо х Х->ОО X (х2 - 2)
b = lim (/ (х) — kx) = lim	———- = 3,
х—*ОО	X —>ОО	— 2
у = х + 3 — наклонная асимптота.
Пример 5. f(x) = х + у/х.
Решение. Функция определена только при/а: > 0. Наклонной асимптоты нет, поскольку
к = lim (1 + — ] = 1, b = lim у/х = +оо.
X—>оо\	у/х )	X —> + оо
Пример 6. f(x) = —.
уД
Решение. Данная функция определена при х > 0, поэтому х —> се означает х —* Ч-се;
j v In X к = lim -----
ОО \ V —	= lim
00 J	X—>ос
применяем пра- I _ q
вило Лопиталя |	’
7	,.	In X
b = hm -------
Х-^ОО ./х
00
00
lim -^7 = О, (у<Ё)
у = 0 — горизонтальная асимптота (вправо, х —* +оо).
§11. Исследование функций при помощи второй производной 173
Упражнения
Определить точки разрыва функций, исследовать их характер, найти вертикальные асимптоты и построить графики в окрестностях точек разрыва.
.	_ cosx п 2х + тг „ х2 —7x4-6
х — —
I 2 I
4. у = —— . 5. у = 5^i+2^^2-4\ 6. у = a;ctga;.
х 4-1
Найти наклонные асимптоты функций.
7. /И= V6:~3< 8./(а;) = х-х-1.
х1 — 2х 4- 13
9. /(ж) = ж+^па:. Ю, /(ж) =	2 .
11. /(ж) = \/а:2 + За: — 5 - х. 12. /(а;) = хех.
Ответы
7. у = —3. 8. у = х. 9. у = 1. 10. у = 1. 11. у = . 12. у = 0.
§ 11. Исследование функций на выпуклость, вогнутость и перегиб при помощи второй производной
1°. Дифференцируемая функция /(а;) называется выпуклой {вогнутой) в некотором интервале, если ее график расположен ниже (выше) касательной, проведенной в каждой его точке с абсциссой в этом интервале.
Теорема 9. Если f"(x) < 0 при всех х € (а; Ь), то в этом интервале f(x) выпуклая. Если f"(x) > 0, х € (а;Ь), то f(x) вогнутая в (а; Ь).
2°. Точка (а;о,уо) графика непрерывной функции f(x), отделяющая участок выпуклости от участка вогнутости, называется точкой перегиба.
Теорема 10. Если f"(x) < 0 при х < хо и f'(x) > 0 при х > хо или наоборот, то xq — абсцисса точки перегиба функции f(x).
Следует из теоремы 9.
Примеры с решениями
Пример 1. Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб функцию у = х3 + За;2 + 6а; + 7.
Решение. Имеем: у' = За;2 + 6а; + 6, у" = 6а; + 6. Знаки у" указаны на числовой прямой.
174 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Ответ. В интервале (—оо; — 1) f(x) выпуклая, в интервале (—1;+оо) /(ж) вогнутая, х = — 1 — абсцисса точки перегиба (рис. 7.10) и Упер = У(—1) = 3.
Пример 2. Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб функцию у = fyx + 2 .
Решение. Надлежит исследовать знак второй производной.
Имеем:	.	„
у' =	, у" =	, ~	;
3W + 2)2	9S/O + 2)5
у” нигде не обращается в нуль, но меняет знак в точке х = —2. Знаки у" указаны на диаграмме; здесь же указан вид графика (рис. 7.11): х = — 2 — абсцисса точки перегиба, упер = у(—2) = 0. На (-оо; -2) функция у вогнутая, на (—2;+оо) выпуклая.
Упражнения
Исследовать функции на выпуклость, вогнутость и перегиб.
1. у = ——— . 2. у = х2е~х. 3. у = х3 — 6ж2 + 12ж — 7.
(х + I)2
4. у = х2 In х. 5. у = (1 + ж2) ех.
Ответы
1. Выпуклая в (-оо; —1) U (—1; 5); х = 5 — точка перегиба. 2. Выпуклая в ^2 - д/2 ; 2 + д/2 ); х = 2 ± д/2 — точки перегиба. 3. Выпуклая в (—оо; 2); х = 2 — точка перегиба. 4. Выпуклая в (0;е-3/2); х = е-3/2 — точка перегиба. 5. Выпуклая в (—3;—1); х = — 3,х = — 1 — точки перегиба.
§ 12. Применение высших производных
1°. Запись f е <Сп (а - 1; а + I) означает, что функция /(ж) непрерывна в интервале (a-Z;a + Z) вместе со всеми ее производными порядка 1,2, ...п включительно, п £ N.
2°. Многочлен степени не выше п
Тп (ж) = Тп (ж; /) = со + ci (ж - а) + с2 (ж - а)2 + ... + сп (х - а)п
§12. Применение высших производных
175
называется многочленом Тейлора функции /(ж) с центром в точке х = а, если его коэффициенты <+ (к = 0; п) вычисляются по формулам
л z	г/ / \ f"	Г" (а)
со = f (а), Cl = f (а), с2 = —, с3 = —
, ---------------------
п‘
(n! = 1 • 2 • 3... п, читается: п-факториал).
Теорема 11 (Тейлора). Если f € Cn+l (a — Z; а + 1), то имеет место равенство
f(x) = Тп(х) + Rn(x),
} = /(»+) (a + flfr- a))	_ а)„+1 0 < в < !
v	(п+1)! к
— остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Величина Rn(x) — бесконечно малая порядка (п + 1) относительно (х — а) в окрестности точки а.
При а = 0 многочлен Тейлора называется также многочленом Макларена. Многочлен Тейлора-Маклорена служит достаточно хорошим средством приближенного представления функции и широко применяется в приближенных вычислениях.
3°. Многочлены Маклорена для некоторых из элементарных функций имеют следующий вид (рекомендуется получить их и знать).
1)	(!+< =
= 1 + пх +	-— Ж2 +	---‘Q- X3 + ... + пхп~1 + хп.
1-2	1 -2-3
Эта формула называется биномом Ньютона. Множители
Ск =
п(п — 1) ... (п — к + 1) к\
— биномиальные коэффициенты — находят широкое применение в комбинаторике и теории вероятностей.
ran 2	ranTt
2)	Тп(х;ех)= 1 + ж + - + -+...+ —.
' v '	2!	3!	п!
При этом ех = Тп (х) + Rn (ж), Rn (х) = --------xn+1, х е R. Здесь и
(п + 1)!
далее 0 < 0 < 1.
гл /	•	\	х3	X5	X7	, 1Чп-1 х2"-1
3)	Тп (х; sini = х---------1-—-----Н...-Н —1)	-------.
'	3!	5!	7!	v	(2п—1)!
При этом
sin ж = Тп (ж; sin х) + Rn (х),
Rn (х) = sin | Ох + - (п + 1) |	, х € К.
\ 2 /(п+1)!
^,2	„4	^,6	„
4)	Тп(Ж;сО8®) = 1- - 4- - - - +... + (-1)П 2!	4!	6!
х2п
7^)! '
176 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
При этом
cos х = Тп (г, cos х) + Rn (ж),
Rn (%) = COS \ вх + - (п + 1) ] —---- , ж € К.
\	2	) (п+ 1)!
5)	Тп (ж; (1 + <) =
- 1	4- а (а -	„2 , а (а - 1) (а - 2) 3	а (а - 1) (а - п + 1) „
1-2	1-2-3	п!
При ЭТОМ
(1 + х)а = Тп (ж; (1 + ж)а) + Rn (ж), Rn(x) = М<*-1)-(<*~п) (1 + вх)а~п~1 хп+1, -1 <х< 1.
(п + 1)!
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить с точностью до 10 3 значение sin20°. Решение. Имеем
• НЛО	•	7Г	7Г
sm 20 =	sin	-	=	-
9	9
Число членов в правой части
Для п = 3 имеем |ЯП| = —
следует брать из условия /	\	/ \ 4
sin ( вх + 4 -
\	2
9
< 0,00063 < 10 3. Следовательно, sin20° = - -9
= 0,342 ± 10~3.
Ответ, sin20° яв 0,342.	.
|7?п| < Ю-3. \ 4
Пример 2. Многочлен у = х3 — 2х2 + Зж + 5 разложить по целым положительным степеням бинома х — 2.
Решение, у' = Зх2 - 4ж + 3, у" = 6ж - 4, у'" = 6, yIV = 0. Далее, у(2) =11, у' (2) = 7, у" (2) = 8, у'" (2) = 6. Согласно п. 2° можем писать у = 11 + 7{х — 2) + 4(а; - 2)2 + (ж - 2)3. Это и требовалось.
Ответ, х3 — 2х2 + Зх + 5 = 11 + 7(я — 2) + 4(х — 2)2 + (ж — 2)3.
Пример 3. Написать многочлен Тейлора третьей степени с центром в точке х = 3 для функции /(ж) = 71 + ж •
Решение. Имеем ТДж) = со + ci (ж-З) + сг (ж-3)2 + с3 (ж-З)3,
где cfc =
. Сначала найдем производные: х=3
(х) fc!
f"(x) =
f"'(x)=^=. 8V(i W
-1
4^0 W ’
$ 13. Исследование функций и построение графиков
177
Вычислим теперь с^.
«> = /(3)=2,
= Г" (3) = 1
3!	512 ’
Ответ. 7з (ж) = 2+ - (ж - 3) - — (х — З)2 Н—— (х — З)3. 4	64	512
Упражнения
Написать многочлен Тейлора степени п с центром в точке х = а для данной функции.
1. у = у/1 + х, п = 4, а = 0. 2. у = $4 + я;, п = 3, а = 0.
3. у = еж, п = 5, а = —1. 4. у = 1пж, п = 5, а = 1.
5. у = tga;, п = 3, а = 0. 6. у = --------  ,	п = 4, а = 2.
- Зх + 2
Ответы
1. 1+--- + -- —.2.	+	з, 1 + 1(2;+!) +
2	8	16	32	3	9	81 ее
(х+1)2 (х + 1 )3	(х+1)4	.	.	(х- I)2 (х - I)3
Т	“Г	“Г	. *Х •	«1<	1	I
2е	3!е	4!е	2	3
(х — I)4 (х — I)5	- х3 с 13/ о. 9 , п\Ч .
- ---------- + -----— . 5. х - — . 6.---------------1--(х - 2)-------(х - 2г+
4	5	3	4	16	64
, 27 /	91 /	п\4
4------(я; - 2) - -------(х - 2).
256	'	1024
§ 13. Исследование функций и построение графиков
Построению графика данной функции у = /(ж) предшествует полное ее исследование, включающее выявление характерных свойств и особенностей этой функции. К ним относятся: область определения D = D(f), область изменения E(f), непрерывность, дифференцируемость, четность, нечетность, ограниченность, периодичность функции, ее интервалы знакопостоянства, монотонности, выпукло-сти/вогнутости, наличие асимптот (вертикальных, горизонтальных, наклонных). Кроме этого, необходимо определить характерные точки: разрыва, пересечения графика с координатными осями, точки экстремума (максимума, минимума), точки перегиба и проч.
Приведем сначала определения тех понятий, которые не встречались выше.
Напомним, что функция у = f(x) называется:
—	четной, если /(—я;) = /(я;), х £ D;
—	нечетной, если /(-ж) = —/(я;), х € D;
• — ограниченной сверху (снизу), если существует число М (т), такое, что /(ж) М (f(x)	т), х G D;
— ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу;
178 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
— периодической, если существует число Т > 0, такое, что f(x + T) = f(x), xG D.
Исследование функции выполняется по определенной схеме, пункты которой установим по ходу исследования. Заметим, что если по некоторым признакам мы не имеем позитивной информации, то соответствующий пункт может быть опущен.
Примеры построения графиков
,.	,	3 (х — 1)
Исследовать функцию у = —-------и построить ее
(х+1)
область определения: х ф —1; D = (—сю;—1) U
Пример 1. график. 1) Находим
U (—1; +оо).
2)	Простейшие свойства — четность, нечетность, периодичность, ограниченность. Таких свойств не обнаруживаем.
3)	Определим точки пересечения графика с координатными осями и интервалы знакопостоянства функции.
Положим у = 0. Находим х = 1. Положим х = 0 и находим у = —3.
Точки А(1,0) и В(0, — 3) лежат на Ох и
Оу соответственно и на графике функ- ---------------------у +
ции. Знаки /(ж) изображены на диа- у—' х
грамме (рис. 7.12).	Рис- 7.12
3 (х _ п
4)	Исследуем точку разрыва х = — 1. Имеем: lim —----4 = —сю,
х—►-! (х+1)
х = — 1 — вертикальная асимптота вниз.
5)	Исследуем функцию на монотонность и экстремум (рис. 7.13):
/ _ g (х + I)2 - (х - 1)  2 (х + 1) _ — j х - 3
У~	+ I)4
з
х = 3 — точка max, ymax = у(3) = - . В интервалах (-сю; -1), (3; +сю) 8
функция убывает, а в интервале (— 1; 3) она возрастает.
-1
у не сущ.	min
Рис. 7.13
не сущ. перегиб х
Рис. 7.14
Везде «не сущ.» означает «не существует».
6)	Исследуем на выпуклость, вогнутость и перегиб (рис. 7.14):
,, _	2 (ж + 1)3 — 3(х + I)2 (х — 3) _ 2 х — 3
У ~	(х+1)6	(х+1)4 ’
§13. Исследование функций и построение графиков
179
х = 5 — абсцисса точки перегиба, упер = у(5) = i. В интервалах (-оо; — 1), (—1;5) функция выпуклая, а в интервале (5;+оо) — вогнутая.
7)	Исследуем поведение функции на бесконечности и определим горизонтальные и (или) наклонные асимптоты. Имеем: lim —-----£ =
= 0, у = 0 — горизонтальная асимптота в обе стороны.
8)	Результаты исследования поместим в таблицу для компактности:
X	(—оо; —1)	-1	(-ГЗ)	3	(3;5)	5	(5; +оо)
у'	-	не сущ.	+	0	-	-	-
у"	-	не сущ.	-	-	-	0	+
У		—оо, верт. ас.		max, 3 8		перегиб, £ 3	*
В первую строку таблицы заносим точки разрыва, экстремума,
перегиба и интервалы между ними. Во второй строке располагается информация о f'(x) и ее знаках, в третьей строке — информация
о /"(ж) и ее знаках. Третья
строка показывает вид графика в соответствующих интервалах и характерные его точки,
9)	Построение графика начинается с построения асимптот и точек с известными координатами (рис. 7.15). Приближение графика к асимптоте должно быть плавным и создавать впечатление неограниченного продолжения.
Пример 2. Исследовать
3 — х2
функцию у = ------ и постро-
х + 2
ить ее график.
1) х —2, х 6 (—оо; —2) U U (—2; +оо).
Рис. 7.16
2) График пересекает ось Ох, если 3 — х2 = 0, т. е. при х = ±\/3,
а ось Оу при у = |. Интервалы знакопостоянства обозначены на
рис. 7.16 «волной» знаков функции у =
х + 2
180 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
3) Исследуем точку разрыва х = -2. Находим односторонние пределы	g	о 2
lim ------- =	lim —------ = —оо;
х—>—2—0 X + 2	х—>-2+0 х + 2
х = — 2 — вертикальная асимптота вверх и вниз.
4\	_	-2х(х + 2)-3 + х2 _ (х + 1) (х + 3)	/ оч _
’ У ~ (х + 2)2	“ (х + 2)2	’	“ Ь’
Утах (-1) =2 (рИС. 7.17).
5)	у" = ~	+ 4) (ж + 2)2 + 2 (х2 + 4х + 3) (х + 2) _ _	2 Точек
У	(х + 2)4	(х + 2)3 ’
перегиба нет, схема выпуклости/вогнутости представлена на рис. 7.18.
х-*оо х	х—>оо х (х + 2)	х—>оо
,.	/3-х2,	\	..	3 - х2 + х2 + 2х о	, п
= lim------------h х = hm -------------- =2, у = -х 4- 2 —
х—>оо у х + 2	)	X—>ОО	х + 2
уравнение наклонной асимптоты в обе стороны.
7) Таблица:
X	(—оо; —3)	-3	(-3;-2)	-2	(-2;-1)	-1	(-1; +оо)
у'	-	0	+	не сущ.	+	0	-
у”	+	+	+	не сущ.	-	-	-
У	*	min 6		+ — верт. ас.		max +2	
8. График построен (рис. 7.19).
Примечание. Последовательность действий может быть изменена (вертикальные асимптоты можно искать параллельно с горизонталь-
§ 13. Исследование функций и построение графиков
181
не сущ. тах не сущ. х
Рис. 7.20
Рис. 7.21
ними и наклонными), а некоторые пункты схемы могут быть опущены,
если это не влияет на выводы исследования.
Пример 3. Исследовать функцию у= ------------- и построить ее
х2 — 1
график.
Укажем основные элементы исследования и приведем график.
1)	х / —1, х / 1, т.е. х = —1, х = 1 — точки разрыва.
( —х!2	X2
2)	Функция четная, так как f (—ж) = —ь—О.— = -------- = /(ж).
(—х)г — 1	X2 - 1
График функции симметричен относительно оси Оу. 9	2
3)	lim —— = —оо, lim —-— х—*1—0 х2 — 1	х—*1+0 х2 — 1
асимптота вниз и вверх (х = — 1 — вертикальная и вниз, по четности).
4)	у'=-----——-, х = 0 — точка
(ж— 1)2(х+1)2
max, ymax = у(0) = 0 (рис. 7.20, а).
5)	у” = —2 (За: +	. Точек пере-
(х - I)3 (х + 1)3
гиба нет, схема выпуклости/вогнутости представлена на рис. 7.20, б.
X2
6)	lim ---- = 1, у = 1 — горизон-
*ос х2 - 1
тальная асимптота. Общий вид функции показан на рис. 7.21.
Пример 4. у = (ж — 1) sZ? (рис. 7 , 5х — 2	/ 2 А
Указание, у' = —— , ymin = у -Зух	\ 5 /
= 0, у" = 2 5-х- — , Упеп I — - ) = —1,2^0,04. Никаких асимптот нет.
У 9^? Р\ 5)
= 4-оо, х = 1 — вертикальная асимптота вверх
Утах. У (0)
182 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пример 5. у = е~х2 — четная, х е R (рис. 7.23).
у' = -2же-х , х = 0 — точка максимума, у" = 2 (2х2 — 1) е~х , ,1	, Л 1 А 1 л
х = ± — — точка перегиба, упер I ± — I = —, у = О — горизонтальная асимптота.
Пример 6. 1/ = 2sinге Ч- cos2х (рис. 7.24).
Функция определена при х е R, имеет период 2тг: 2sin(a: + 2тг) + + cos2(a; + 2тг) = 2 sin х + соз2ж.
Исследование на экстремум проводим по такому признаку. Если хо — стационарная точка и у” (жо) < 0 (у" (жо) > 0), то .то — точка max (min).
Имеем: у'=2 cosx (1 -2 sin ж);
«	7Г	Зтг
cos х = 0, xi = - , Х2 = — ;
2	2
1 - 2 sin х = 0 => sin х = - , х$ = -, х$ = — .
2	6	6
Функция имеет 4 стационарных точки: - ; — ; - ; — . Определим 2	2	6	6
знак у" в них:
у” = —2 sin х — 4 cos 2х,
Функция не имеет асимптот.
§13. Исследование функций и построение графиков
183
Упражнения
Построить графики функций.
1. у = Л3 — Зж . 2. у = —— . 3. у = ж4 — 2ж2 + 3. х + 1
Провести полное исследование функций и построить их графики.
.	16	_	4®-12	„	8
4. у = -----. 5. у = -------- . о. у = —	.
х2(х —4)	(х — 2)2	х -\/ х2 — 4
7. у = Л - ж2. 8. у = (2 + ж2)е“< 9. у = —ж 3 . (х2 - 1)
Ответы
(приведены некоторые характерные признаки функций и их графиков) 1. ymin(l) = — У = ж — асимптота, ymax(— 1) = ^2, точки перегиба (—Л ,0), (0,0), (Л ,0). 2. ymin(0) = 1, ж = — 1, у = 0 — асимптоты, точек перегиба нет. 3. у111ах(0) = 3, ymin(± 1) = 2, асимптот нет, перегиб , 1	.	( 8 \	27	л . л
в точках ± — . 4. утал - ) = — — ,ж = 0, ж = 4, у = О — асимптоты. V3	\ 3 /	16
5. Утах(4) = 1, Упер(5) = |, ж = 2, у = 0 — асимптоты. 6. ж = —2, ж = 2, у = 0 — асимптоты. 7. Четная, ymax(0) = 1, упер(±1) = 0. 8. Четная, утах(0) = 2, упер(±1) = -. 9. Нечетная, ж = ±1 — асимпто-,	х2-3	„	- 2х (х2-9)
ты, у — —,	, у = —..	- .
•^2-1)4	9W2-!)7
* * *
Дополнительные упражнения
1.	Найти производные данных функций:
1)	у = (ж — 1 )2 \/ж2 + 1 ; 2) у = a sin cvt + b cos wt;
3)	у = In (ж + л/а2 + ж24) у = ж81П х;
5)	у = arctg In ж; 6) ж2 у + arctg - = 0. X
2.	Найти вторые производные данных функций:
1 \	глч т О\	COS X
l)y = fiCOST; 2)у= -----------;
sin а;
. f x = acos3t, . ( х = a (sint — tcost), ' | y = asin3t; ( У = a (cost + isini).
184
Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
3.	С помощью правила Лопиталя вычислить пределы:
1)	lim (Ina; — у/х); 2) lim х2е~2х; х—> + ос>	х —>4- ос
3)	lim	4) lim ln(l.+ *2)	.
X —>0 sinx— X	X—ТО	( ТГ	\
In — — arctg х к 2	)
4.	1) Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = yfx в точке Мо(4,2).
2)	Определить угловой коэффициент касательной к кривой ж3 + + у3 — ху — 7 = 0в точке A7q(1,2).
5.	Определить интервалы монотонности функций:
1)у=—; 2)у = е“г2; 3)у = а;1па;.
1 - XJ
6.	Исследовать на экстремум функции:
1)	у = 4х — х4', 2) у = х2е^х;
3)	у = х + х/а;2 + а2 ; 4) у = —х2у/х2 + 2.
7.	Найти точки перегиба и интервалы вогнутости (выпуклости) графиков функций:
1) у =	; 2) у = За;4 — 8а;3 + 6а;2 + 12; 3) у = In (1 + а;2).
8.	Найти асимптоты функций:
1)	у = —ех/х\ 2) у = 2х ---— ;
х — 1
х2 + Зх + 2	sinx
3) у =----------—; 4) у =------.
X + 1	X
9. Провести исследование и построить графики функций:
1) У =	: 2) у = In (а;2 -2а; + 2);
(1+х)д	’
3) у = xiex\ 4) у = х 
Ответы
1	(х - 1) (Зх2 - X + 2)	1
1.	1) ------- ;	-----2) aucosut — ousmut; 3)	;
\/«2 + Я2
+ сова; Ina;); 5) --------Ц—; 6)	+ y
X	J	X p + In2 x)	X4 + x2y2 + X
2. 1) eCOS3:(sin2 X- cos a;); 2) LL~c°s:r) ; 3) ----!-----; 4)-------!— .
sin3 x	3a sin t cos4 f	at sin3 t
3. 1) —oo; 2) 0; 3) —2; 4) —2. 4. 1) x — 4y + 4 = 0; 4a; + у — 18 = 0;
2) — -1. 5. 1) (-oo;—i) и (l;oo) — убывает, (— 1; 1) — возрастает;
2) (-oo;0) — возрастает, (0; ос) — убывает; 3) (0;е-1) — убывает, (е-1;оо) - возрастает. 6. 1) утах(1) = 3; 2) ymin (0,5) =	; 3) экс-
4)
.81П X
Контрольные задания
185
тремумов нет; 4) утах(0) =0. 7. 1) (—оо;0) и (0;оо) — выпуклость;
2) ( -; 1 I — выпуклость, ( — оо; - ) и (1;оо) — вогнутость, абсциссы \ 3 /	\ з j
точек перегиба xt = -, х2 = 1; 3) (— 1; 1) — вогнутость, (—оо;—1) и (1;оо) — выпуклость, Mi(l,ln2), М2{— 1,In2) — точки перегиба. 8. 1) х = 0, у = -1; 2) х = 1, у = 2х\ 3) х = —1, у = х + 2; 4) у = 0.
13
9. 1) асимптоты ж = -1 и у = х-3, ymin (0) = 0, ymax (-4) = -9 — , точек перегиба нет; 2) асимптот нет, ymin (1) = 0, точки перегиба (2, In 2) и (0, In2); 3) асимптота у = 0, ут-щ(~3) « -1, абсциссы точек перегиба 0 и 3 ± V3; 4) асимптоты х = 2 и у — х + 1, экстремумов нет, точек перегиба нет.
Контрольные задания
1. Найти производные следующих функций:
1) у = —1 +	_ . 2) у = cos2 х — cos ж2;
\/2 + Зх — 4х2
3) у = log3 (х2 - у/х + 2); 4) у = (1 + ж2^агссО8а:.
, ч	f х = е4 sin 2t,
5) ycosa; = simz + у); 6) <	,	. о,
' у	-	у'	[ у = t — sin2i;
_ cos t + t sin t
7)	<
V =	.
У? + 4
2. Найти вторые производные следующих функций:
1) у = е~х cos 2,г; 2) у = у/х + \/1 + х ; 3) у = -°ёз х ;
X3
4) tg(z + 2у) = лД2 + У3 ; 5) { У Z X t;
_ 1
х~ ^2 _|_4 ’	7\ J х = sint — tcost,
' |	1	' j у = cosi + £ sint
I t3 + 2
3. Под каким углом пересекаются кривые:
1) у = sina:, у = cosx, 0 < х < тг; 2) у = а/е, у = 2 - х; 3) у = = ж4 + 2, у = Зж2?
4. Вычислить следующие пределы (по правилу Лопиталя): _sin 2х -sin х	пх q	л х _ лбх
1) lim ®-------°---; 2) Um --------3) lim ---------— ;
х—>0	tgx	х—*1 Inx	х—0 tg5x —x
-2x 5x	ox o3x
4) lim —®------e------; 5) lim 6	----.
x—>0 3arctgx — sin3x	x—»0 arcsinx+x
186 Гл. VII. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
5.	Исследовать функции и построить их графики:
1)	у = (х — 2)(х2 — 4х + 1); 2) у = ^/х(х + З)2;
3)у=^ -	4)у=2^±1- 5)у=^.
6.	Найти асимптоты и построить графики:
Зх3 — х1 + 2х — 1	4х2 — 8	10 + х2
1)у=-------—-2--; 2)у=-—3^у=гг-гт-
2 — х*	2х — 1	4ж + 1
7.	Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:
1) у = х2 +	[1;8]; 2) у =	3 , [0; 7];
х	х1 — 2х + 3
3) у = х,{\+3\ , [-3; 5]: 4) у = ^ + 1)3(ж + 4), [-6; 2]. хх + 2х + 5
Глава VIII
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных
1°. Переменная величина z называется функцией переменных х, у, t, ...и, если каждому набору этих переменных соответствует единственное, определенное значение переменной z. Пишут z = f(x, у,, и), или z = z(x, у,..., и).
Каждая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать.
Например, функции
z = z(x, a, b), z = f(x,y,b), z = f(x,y,u),
где а, b — постоянные (параметры), являются функциями соответственно одной, двух и трех переменных.
2°. Функция двух переменных z = f(x,y) допускает геометрическое изображение в виде поверхности в пространстве.
3°. Линией уровня функции двух переменных z = f(x,y) назы-
вается множество всех точек плоскости Оху, для которых данная
функция принимает постоянное значение f(x,y) = С. Линия уровня
принадлежит области определения функции. Под областью опреде-
ления понимается множество всех пар (х, у), для которых функция
z = f(x,y) имеет смысл.
Например, функция z = х2 + у2 определена при всех (ж,у), т.е. на всей плоскости Оху, ее линии уровня — окружности х2 + у2 = С2 (точка при С = 0);
функция z = 1п(1 — х2 — у2) определена только внутри круга х2 + у2 < 1, ее линии уровня — тоже окружности х2 + у2 = С2 (|С| < 1);
Рис. 8.1
188
Гл. УШ. Функции нескольких переменных
функция z = arcsin - определена при -1 < у/х 1 (рис. 8.1),
X
линиями уровня этой функции являются прямые у = kx (— 1 < к < 1).
Упражнения
Найти области определения функций (1-9).
1.	z = —----- . 2. fix, у) =	Х~1 .
-У9 - х2 - г/2	у/х2 + у2
3. z = 2у + arcsin(;r + 2). 4. z = y/ху.
5. z = \/у2 — 1 4-\/1 — z2 • 6. z — ^/(ж2+у2—4)(9—ж2 —у2).
7. z = arccos у . 8. z = ^/cos(a:2 + у2). 9. z = tgzy.
х2 + у2
10. Дано f(x,y) = (ж + у)2 . Найти: 1) /(2,3); 2) / (1, 2ху	\ х
3) f(x,—x);4) f(p,y)-5) f
Ответы
1. Круг х2 + у2 < 9. 2. (х,у) /= (0,0). 3. Полоса — 3 < х < -1.
4. ху 0, I и III квадранты. 5. Две полуполосы: { |^| <	6. Кольцо
4 < х2 + у2 < 9. 7. «Внешность» двух окружностей с уравнениями /	\ 2	/	\2	/	\2	/	\ 2
I	Ч	,	!)	1	(	, 1 1	, I	, 1 )	1
I х---+ у---------— - и х Н—	+ уН—	= -, кроме точ-
V	2/ V 2 )	2	\	2 )	\	2 J	2
2
ки 0(0,0). 8. Объединение колец 2ктг — тг/2 х2 + у2 < 2kit + тг/2, к = 1,2,3,.... 9. Все точки плоскости, не лежащие на гиперболах ху = у, к = ±1, ±2, ±3,.... 10. 1)	2)	3) 0; 4) не существует; 5) 'х +	.
2ху
§ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных
1°. Число А называется пределом функции z = f(x,y) в точке А7о(^о,Уо)> если Для любого е > 0 существует 6 = 6(e) > 0, такое, что для всех точек М(х, у), отстоящих от Мо на расстояние меньше 6, выполняется неравенство \f(x, у) — А| < е. Употребляются обозначения
J-im f(x^ У) = А> 1™, f(M) = А> , 1™ . Кх’ У) = А-
yZyS	М-^Мо	(ж,у)^(жо,уо)
2°. Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке Мо(хо,уо), если f(xo,yo) = limof(x,y).
у->уо
§ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных 189
Точки, в которых не выполняются условия непрерывности, называются точками разрыва.
3°. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Для функций нескольких переменных, непрерывных в некоторой точке, имеют место свойства, аналогичные свойствам функций одной переменной.
В частности, если z = f(x, у) непрерывна в Мо и /(Мо) > 0, то в некоторой окрестности этой точки f(x, у) > 0.
4°. Область D называется замкнутой, если ей принадлежат все точки ее границы.	_
Функция, непрерывная в замкнутой области D, ограничена в этой области и достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений.
Например, функция точке Мэ(0,0) — это lim ----- = +оо;
х2 + у2 , 1 функция Z = ----- I
X2 - у дая точка параболы у = х2 (zo,yo) — точка параболы у = х2, то lim —:— = оо, в х~*хо X2 — у у—>уо "
z = ------- не определена только в
х2 + у2
точка разрыва данной функции, имеем
9
не определена в точках линии у = х , каж-
является точкой разрыва; при этом если 1
_ частности,
1
hm-------
х—>2 X2 — у у—
1- 1	1
= оо, a lim----------- = -
х—>2 X2 - у	2
У-*2
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить пределы:
a) lim tg^ + v2), б) lim , в) цт --------------------.
х—>0 х2 + у2	х—>0 х2 + у2 х—>0 д/4 — ху — 2
У-»0	у-»0	у-»0
tsfx^ “1“ ij2)	х2 у2
Решение. Заметим, что функции —---------— и ------— не опреде-
х2 + у2	X2 + у2
лены только в точке (0,0), а — х-~---- не определена на координат-
\/4 — ху — 2
ных осях х = 0 и у = 0.
а) Перейдем к полярным координатам х = rcosp, у = г sin ip, <р € [0,2тг). Тогда х2 + у2 = г2 и (х, у) —* (0,0) влечет г 0. Используя
следствие первого замечательного предела, получаем
lim ^2 + ?2) х—>0	4- у2
° ) = lim = 1.
0 J	г—>0 г2
190
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
б) Если (ж, у) (0,0) по разным лучам у = кх, к е R, то
2	2
lim
х—>0 х2 + у2
у-0 У
О \	-г2 - /Аг2
\J |	< • vV ГЬ X
= lim -------------
0 J x—>0 A + fc2x2
1-fc2
1 + fc2 ’
Правая часть этого равенства зависит от к, а потому предел данной функции при (ж, у) —> (0,0) не существует (предел должен быть единственным).
в) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя. Получаем
lim ^у(У4-жу +2)
Х-.0	- ху
у—0
= — lim (-у/4 — ху + 2^ = -4. у—>о
Примечание. Из определения непрерывности следует, что функции
/(ж,у) = / ~хЦу? ПРИ	И	°)’
[ 1 при (х, у) = (0, у) или (ж, у) = (ж,0)
и
/ \ ( ху------------- ПРИ (^,у) / (0.0),
( —4 при (ж, у) = (0,0)
2 _ 2 непрерывны на всей плоскости Оху, а функцию <р(х, у) = -----— нель-
х2 + у2
зя доопределить в точке (0,0) так, чтобы она была непрерывной в этой точке.
Упражнения
Вычислить пределы.	’
1. lim	^ху .	2.	lim lg(a; + у).	3.	lim	_-na;y .	4.	пт	ж + y .
x—»2	у	x—»3	x—»0	x	x—»0	x
y—^Q	y—^7	y—>0	y—>0
5. lim (ж+у) sin i - cos -. 6. lim 2'x
x у x^i (x-1)2 + (y-2)2 у—у—
7. lim
X—»cx y—>cx
x2+y2
X4+j/4
8. lim X.-±J^- . 9. lim .
x2 - ХУ + У2 s-*!? x2 + У2
y—»0
10. lim 1ПД±^
1 y/x2 + У2 у->о
11. lim
x^>2
^x + y
(x-2)2 + (y + 2)2 '
12. lim x—» —
У^2
x2 +2x + y2 — 4y + 5
x + 2y
Ответы
1. 2. 2. 1. 3. 0. 4. He существует. 5. 0. 6. He существует. 7. 0.
8. 0. 9. 0. 10. In2. 11. +oo. 12. 0.
§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух переменных 191
§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух переменных
1°. Частными приращениями функции z = f(x,y) по независимым переменным х и у называются разности
^z = f(x + Дж, у) - f{x, у), AyZ = f(x, у + Ду) - /(ж, у),
где Дж и Ду — приращения независимых переменных ж и у.
Полным приращением функции z = f(x,y) называется разность
Дг =/(ж + Дж, у + Ду) —/(ж, у).
В общем случае полное приращение не равняется сумме частных приращений:
Дг / Дгг + Дуг.
2°. Частной производной функции г = /(ж, у) по переменной ж или у называется предел отношения соответствующего частного приращения Дхг или Дуг к приращению данной переменной при условии, что приращение переменной стремится к нулю.
Для частных производных приняты обозначения
у) дх df(x, у) ду
= fx&,y) = lim
Дх—>0
= />,y)=Jimo
A^z Дх
Дуг
Дг/
lim f(x +Ах,у) ~ f(x,y) .
Дх—»0	Дх
lim /(х,У +Ay) ~ f(x,y)
Ay—>0	Ay
3°. При нахождении частной производной (дифференцировании) по
какой-либо переменной пользуются формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменную фиксированной, постоянной.
4°. Частная производная zx (z'y) в данной точке (жо,уо) равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности Z = f(x,y) ПЛОСКОСТЬЮ У = Уо
Рис. 8.2
(ж = Жо), г^(ж0,у0) = tga Ц(ж0,у0) = tg/?) (рис. 8.2).
5°. Частными дифференциалами функции г = f(x,y) называются
величины
dxz = z'xdx, dyZ = z'ydy, dx = Дж, dy = Pxy.
192
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
6°. Полным дифференциалом функции z = f(x,y) называется выражение
dz = dxz + dyz = z'xdx + z' dy = — dx + — dy. dx dy
Полный дифференциал dz представляет собой главную линейную (относительно Дж и Ду) часть полного приращения функции z = f ix, у).
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 1°). Найти частные и полное приращения функции z = х2у при начальных значениях х = 1, у = 2, если Дж = 0,1; Ду = -0,2.
Решение. Имеем:
Дхг = (ж + Дж)2  у — ж2у = (1 + 0,1 )2 • 2 — I2 • 2 = 0,42;
Дуг = ж2(у + Ду) - ж2у = I2 • (2 - 0,2) - I2 • 2 = -0,2;
Дг = (ж + Дж)2-(у + Ду)-ж2у= (14-0,1 )2-(2—0,2) - I2-2 = 0,178;
Дг / Джг + Дуг; 0,178 / 0,42 - 0,2 = 0,22.
Пример 2 (к п. 2°, 3°). Найти частные производные функции z = 2ху — ж  tg жу.
Решение. Имеем:
zx = 2уху~1 — tg жу — ж —-— ; z' = 2ху In ж — ж —-— .
COS2 ху	cos2 ху
Пример 3 (к п. 5°, 6°). Найти частные дифференциалы и полный дифференциал функции z = ж2у3. Найти также значение этих величин в точке (1,2).
Решение. Имеем: z'x = 2жу3, z' = Зж2у2. Следовательно, dxz = 2xyidx, dyz = 3x2y2dy, dz = 2xy3dx + 3x2y2dy. В частности, dxz(fL, 2) = 16с/ж, dyZ = \2dy, dz(l, 2) = 16с/ж + \2dy — дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями.
Упражнения
Найти частные производные, частные дифференциалы и полные дифференциалы функций.
1. z = In (х + т/х2 + у2 ) — arctg - . 2. z = жуе-ху2 + Intg - .
\	)	х	у
3.	z = Xy/у — 3 ——h - (ж3у — жу3). у/х 3
4.	z = sin - cos - — хху + жу1п(ж — у). у х
Найти частные производные функций в данных точках (5-8).
5.	z = yjx2 — у2 в точке (5, —3). 6. z = .'rctg(y + 1) в точке (0, 1).
§ 3. Частные производные и дифференциал функции двух переменных 193
7. z = ху в точке (1, 2). 8. z = —— в точке (2,1).
х - у
9.	Доказать, что функция г = In (ж2 + ху + у2) удовлетворяет усло-dz , dz с, вию х-----h у — = 2.
дх ду
10.	Найти частную производную по z функции трех переменных , у
и = arctg — .
XZ
11.	Показать, что функция z = у/х sin - удовлетворяет уравнению 2ж^+2у^=г. дх	ду
12.	Показать, что функция z = yin (х2 — у2) удовлетворяет уравне-1	dz	1	dz	z
НИЮ	- •---1-• — = — .
х	дх	у	ду	у2
13.	и = exyz sin - . Найти — . х	ду
Ответы
1.	dz =
+ у ) dx +
+y2	X2+y2 )	x2 + y2+x\/X2+y2
X2+y2
2.	dz =
y(\-xy2)e xyL 4-----?—
v	. 2x
ysin —
У
dx +
+ z(l—2жу2)е xy'
2x
2 . 2x y1 sin —
У
dy.
3.	dz =
3y 2Vx$
($X2y — У3) dx +
у
3
4.	dz = Г-	cos	-	cos	- + — sin	-	sin	--yxxy(\nx	+ 1)+
L у	у	xx2	у	x
+ у ln(z - у) 4—1	dx	+ [ —	—	cos	-	cos	- —
х —	у	i L	у2	у	х
— - sin - sin - — xxy+x Ina; + x 1п(ж — у)-]dy.
X у X	x — у J
5.	z'x = J , z'y = J . 6. z'x = ctg2, z'y = 0. 7. z'x = 2, z'y = 0. 8. z'x = -1, z' = 4. 10. — ------—— . 13. — = xzexyz sin - + - exyz cos - .
y	dz x2z2 + y2 dy	xx	x
7 К. H. Лунгу, E, В. Макаров
194
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Линеаризация функций двух переменных
1°. Касательной плоскостью к поверхности в точке Ро(^о> Уо, zo) называется плоскость, которой принадлежат все касательные к кривым, проведенным на поверхности через точку Pq.
Нормалью к поверхности в точке Ро называется прямая, проходящая через точку касания Ро и перпендикулярная касательной плоскости.
2°. Если поверхность задается функцией z = f(x,y), то уравнения касательной плоскости t и нормали п имеют вид
(*) : z - z0 = fx(xo,yo)(x ~ хо) + fy(xo,yo)(y ~ Уо);
Ж ~	- У~У0 _ z - ZQ
fL(?o,yo) Щро.уо) -1
3°. Если поверхность задана неявно посредством уравнения F(x,y, z) = 0, то уравнения tun имеют вид
(*) : Fx(po)(x - хо) + F^(Po)(y - уо) + F^(Po)(z - z0) = 0;
/	. х ~	_ у - уо _ Z — Zq
1	' F'(F0) “ F'(F0) " F'(F0) ’
4°. Замена полного приращения функции в данной точке ее полным дифференциалом называется линеаризацией функции. Геометрически это означает замену графика функции, т. е. поверхности, касательной плоскостью. Имеет место приближенное равенство
f(x, У) « /(®о, Уо) + f'x{xo, уо)Ах + fy(x0, Уо)Ду
при Дж = х — хо « 0, Ду = у - уо ~ 0.
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z — 2ж2 + у2 в точке Ро(1, — 1,3).
Решение. Имеем: z'x = 4ж, z'y = 2у; zx(l, -1) =4, Zy(l,-1) = -2. Следовательно,
(t) : z = 3 + 4(ж — 1) — 2(у + 1), или 4х — 8у — z — 3 = 0;
/ч х-1 у + 1 z - 3
(п) : --- =	= -----.
4	-2	- 1
Пример 2. Вычислить приближенно l,083,96.
Решение. Обозначим: z = f(x,y) = ху, хо = 1, уо = 4; тогда Дж = 0,08, Ду = —0,04.
Имеем: z'x = ужу-1, /£(1,4) = 1, z'y = ж^Ьах, /£(1,4) = 0, zo = /(1,4) = 1. Наконец, согласно соотношению п. 4°, получаем 1,083'96 « 1 +4 0,08 = 1,32.
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
195
Пример 3. Даны функция z = f(x, у) = z2 + у2 + 2z + 1 и две точки А(хо, уо) = А(2, 3) и В(х\, yi) = В(2,02, 2,99). Требуется:
1)	вычислить значение го функции f(x,y) в точке А и значение z\ в точке В;
2)	вычислить приближенное значение zi функции в точке В, исходя из значения го функции в точке А, заменив приращение функции дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;
3)	составить уравнение касательной плоскости к поверхности г = = f(x,y) в точке С(хо,уо, г0).
Решение. 1) Имеем z{(2,02, 2,99) = (2,02)2 + (2,99)2 + 2  2,02 + + 1 = 18,0605.
2) Найдем сначала:
го = /(.го,уо) = 22 + 32 + 2.2 + 1 = 18;
fx{x, у) = 2х + 2, /'(z0, Уо) = /'(2,3) = 2  2 + 2 = 6;
f^x,y) = 2У, /;Ь,Уо) = /'(2,3) = 2-3 = 6.
Из точки А в точку В придем с приращениями
Az = 0,02; Ду = -0,01.
Теперь применяем формулу п. 4°:
?i » /(гсо.уо) + fx(xo,yo)Ax + /'(zo,yo)Ay =
= 18 + 6 • 0,02 + 6 • (-0,01) = 18,06.
При вычислении по этой формуле возникает погрешность
6 =
*1 - Z|
Z1
100% =
18,0605- 18,06
18,06
100% = 0,003%.
3) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке С(2, 3,18) имеет вид (см. п. 2°)
г - 18 = 6(z — 2) + 6(у — 3), или 6z — бу — г - 12 = 0.
Упражнения
1. Найти относительную погрешность в примере 3 при условии B(xi,yi) = В(2,2, 2,9).
2. Найти значение полного дифференциала функции f(x,y) в данной точке (zo,yo) при данных Az и Ду, если:
1)	/(z, у) = z + у — a/z2 + у2, М(3,4), Az = 0,1, Ду = 0,2;
2)	f(x,y) = еху, 1И(1, 1), Az = 0,15, Ду = 0,1;
3)	г = х* + у4, М(1,2), Az = 0,03, Ду = -0,01;
4)	г = —, М(2,1), Az = 0,01, Ду = 0,03.
X2 — у2
7*
196
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
3.	Вычислить приближенно:
1)	In (^T7J3 +	-1); 2) l,O42 02;
3)	(0,96)2 (1,02)3; 4) \/1-024 + 1,983 .
4.	Вычислить приближенно изменение функции z = ---------- при
у - Зх
переходе от точки А(х, у) = (2,4) к точке А0(ж1, yj = (2,5, 3,5).
5.	Найти частные и полное приращения функции z = ху2 — - в точке А(3, —2), если Дж = 0,1 и Ду = —0,05.	у
6.	Составить уравнения касательной плоскости и нормали к данной поверхности в данной точке:
1) z = 1 У^ + Зу2 - 15, Мо(2, -3,2);
2) z = х2 ~ 2ху— , Мо(1,1,--).
у2 + 2ху + 1	4
Ответы
1. <5 = 0,2%. 2. 1) 0,08; 2) 0,25е; 3) -0,23; 4) 1/36. 3. 1) 0,005; 2) 1,08; 3) 0,98; 4) 2,933. 4. z(2,4) = -7; Дг = с£г(2,4) = 3,75; г(2,5, 3,5) = = -3,25. 5. Дж = 0,45; Ду = 0,57; Дг = 1,04. 6. 1) 2х - 9у - 8г - 15 = = о,	= z-21; 2) г + 1	1 (х - 1) - А (у - 1), — =
2	-9	-8	4	8v	2	1
= у-1 = z+1/4 -4	- 8
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
1°. Частными производными второго порядка функции г = = /(ж, у) называются частные производные от частных производных первого порядка:
= и	_ Э2г	_ <9 / <9г \ п	_ <)2z	_	( dz\
хх х дх2 дх у дх )	' ху дхду ду у дх )
и _	_ д ( 5z \	,, _ <)2г _ д ( dz \
ух дудх дх уду ) ’	ду2 ду у ду J
Частные производные второго порядка z”y и z'yx называются смешанными.
Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков:
г^'ж3 =
Э32
Эх3
д дх
zx2y
д ду
И т. д.
Теорема 1. Если смешанные производные zxy и zyx непрерывны, то они равны между собой.
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
197
Таким образом, результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Например, пусть z = х - у cosxy, тогда: z'x = 1 + у2 sin .ту, z'y = = — cosxy + zysinzy, z”2 = (z'xYx = у3 cosxy, zy2 = (z'yyy = xsinxy + + x sin xy + x2y cos xy = 2x sin xy + x2y cos xy, zxy = (z'xYy = 2y sin xy + + жу2созжу, z”x = (zy)x = 2y sinxy + xy2 cosxy. Видим, что z”y = z'^. Далее, z"3' = (z'^)'x = -у4втжу, z$y = {z'^)'y = -4у3зтжу - xy* cosxy И T. П.
2°. Дифференциалом п-го порядка функции z = f(x,y) называется дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка, т.е.
dnz = d(dn~lz), или dnf(x,y) =d(dn-lf(x,yY).
Если функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле
d2z = z”2dx2 + 2zxydxdy + z'^dy2.
Символически это равенство можно записать в виде
/	\ 2
,2	/ д , д , 1
d z = ( — dx + — dy z.
\ дх dy J
По аналогии, дифференциал n-го порядка можно записать символически в виде	п
т ( д , д , \ d z = — dx н-----dy \ z.
\дх ду J
Примеры с решениями
Пример 1. Найти d?z, если z =	.
х - у
Решение. Последовательное дифференцирование данной функции дает:
z> _ х — у — х — у _ __ 2у	_ х - у + х + у _ 2х _
Х (х - у)2	(х -у)2' У (х - у)2 (х - у)2 ’
// _ 4у	ц _ _9 х + У и _ 4х
х (ж - у)3 ' ху (х- у)3 у (х- у)2
Следовательно,
й2г = ^У dx2 _ 4^r+^ dxdy +	dyl = 4 ydx2-{x+y)d±dy+zdy2
(ж-J/)3	{х-у)3	(х-у)3	(х-у)3
Пример 2. Найти dz, d2z и cftz, если z = х5у3.
198
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Решение. Имеем:
dz = d(x5y3) = 5x4y3dx + 3x5y2dy, d2z = d(5x4y3dx + 3x5y2dy) = 20x3y3dx2 + 30x4y2dxdy + 6x5ydy2, d3z = d(d2z) = 60x2y3dx3 + 180x3y2 dx2dy + 90x4ydxdy2 + 6x5dy3.
Упражнения
1. Найти все частные производные первого, второго и третьего
порядков для функции z — х3 — х2у - у3.
2.	Найти z!Y, z1^ , z1? 2, если z = еху3. х х у	’
3.	Доказать, что:
1 \	п21	t \ п 92z , 92z n
1)	если z = 2 cosz lx-, то 2----1----= 0;
\	2 / dt2 dxdt
2)	если z =
х - у
3)	если z = In I -
4.	Найти:
a2z , о a2z , a2z 2 дх2 dxdy ду2 х — у 1 \	a2z , d2z	1
----, ТО---------1----= — . t /	dxdt dx2---x2
1) d2
xy
x + y
2) d3 ( - \ \y /
3) d2 ( arctg - ); 4) d3 \ x /
Ответы
1. z'x = Зж2 — 2xy, z'y = —x2 — 3y2, Z"2 = -6y, x% = 6, z'^ = -2, z\ zIV3
4.
_ £
У3
4) d3{^ \x+y,
<2 = 6x - 2y, z"y = -2x,
% = 6, z^y = —2, z'"2 = 0, z"' = -6. 2. z‘J = y^, = 3y8(3 + xy3)exy3, z1^ 2 = 3u4(10 + 14a;u3 + Зж2и6)еЖ2Л 1) d2 \ Xy ) = 2(~^2ffa2 + Zxydxdy - x2dy2) . , 2) ^3 f =
\ x + у )	(ж + у)3	’	\У J
dxdy2 - ^dy3-, 3) d2 (arctg	= 2(xydx2 + (y2-x2)dxdy-xydy2).
,	У4	\ x J	(x2 + y2)2
—-— [y2dy3—(2xy-y2)dx2dy—(2xy—x2')dxdy2+x2dy3\.
(.x+y)4
§ 6. Производная по направлению. Градиент
1°. Пусть а= {ах,ау} — некоторый вектор, |а| = уа2 +а2 — его модуль (длина). Тогда ах = a cos а, ау = а sin а, где а — угол наклона а к оси Ох.
Вектор еа = {cosa,sina} = J —, L = — коллинеарен векто-I l“l l“l J 1“1
ру а и называется ортом, или единичным вектором вектора а, модуль еа равен 1.
§ 6. Производная по направлению. Градиент
199
2°. Пусть z = f(x,y) — функция двух переменных, имеющая частные производные в некоторой области D, точка М(х, у) € D.
Пусть I — произвольный единичный вектор с началом в точке М, I = (cosa,sina). В направлении I на расстоянии Д/ берем точку М\{х + Дж, у + Ду). При этом Д/ = у/Дж2 + Ду2.
Разность Д;г = f(x + Дж, у + Ду) — /(ж, у) называется приращением функции z = f(x,y) вдоль направления I, а предел
— = lim — = lim + Аж^ + Аг/) ~ di	д/—о дг дг->о	дг
называется производной функции z = f(x, у) по направлению I в точке М(х, у).
Теорема 2. Если f(x, у) имеет непрерывные частные производные в точке М(х,у), то
dz	dz	dz .
—	=	—	cosa+	— sina.
dl	dx	dy
3°. Функция z = f(x,y), определенная в области D, называется также скалярным полем в этой области. Вектор
gradz =
называется градиентом скалярного поля, или градиентом функции f(x,y).	>
Обозначим через <р угол между вектором I и вектором gradz.
Теорема 3. Имеют место равенства
dz -----Ч р I-----5 I	j
— = gradz • I = |gradz| • cosy? = np;-gradz.
4°. Следующие свойства градиента вытекают из теорем 2 и 3.
1)	Производная в данной точке по направлению вектора I имеет наибольшее значение, если направление вектора I совпадает с направ-лением градиента; это наибольшее значение производной равно | gradz |.
2)	Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору gradz, равна нулю.
--->
3)	Вектор gradz направлен перпендикулярно к линии уровня f(x,y)=C.
Примеры с решениями
Пример 1. Найти производную функции z = х2 + у2 в точке М(3,1) по направлению к точке Mi (0,5).
Решение. Имеем: ММ\ = {0-3,5- 1} = {—3,4}, |mMj| =
= у/(—З)2 + 42 = 5, cos a = — - , sina = - .
5	5
200
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
гг	г ( 3 4 1	9z
Положим I = 4	, - > и находим — .
[ 5 5 J	91
Имеем: zx = 2х, zy = 2у, zx(3,1) =6, zy(3,1) = 2.
dz	/31	4
Окончательно, — = 6 — - +2- - = —2. Знак минус у значения 91	\ 5)	5
- 9z(3,1)	р,	,
производной —iозначает, что в направлении I функция убывает.
91
Пример 2. Найти направление максимального роста функции z = Зх2 — 2у2 в точке ЛГ(1,2). Найти также наибольшее из значений производных по разным направлениям в точке М.
Решение. Найдем градиент функции z в данной точке (1,2). Имеем zx = 6x, zx(l, 2) = 6, zy = -4y, zy(l,2) = — 8. Градиент данного поля в точке ЛГ(1,2) равен gradz= {6,-8}. Этот вектор указывает на направление максимального роста z. Наибольшее значение производной в (1,2) равно i/б2 + (—8)2 = 10.
Пример 3. Даны функция z = arcsin — , точка А(-2, — 1) и -t -t	х1
вектор а = Зг — 4j. Найти:
1) gradz в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора а.
Решение. 1) Для нахождения координат вектора gradz (см. п. 3°) найдем частные производные
Их значения в точке А(—2,— 1) следующие:
z^(-2,-1) = --L, zH-2,-1) = i-L;
'	л/15 у ’ VT5
значит,
2) Найдем направляющие косинусы вектора а = Зг - 4j:
3 з о 4	.
cosa = ——----- = - , cos о =--= sin a.
г/9Пб 5	5
Тогда (см. п. 2°)
— = ^(-2, — 1) cosa + z'(-2, — 1) sina =
9е	J
=_____1_ 3 + 1 ( 4 \ = _ 7
уТ5	5 + д/15 \ 5 J ~ 5vT5 '
По направлению вектора а функция убывает.
§ 7. Формула Тейлора для функций двух переменных
201
Упражнения
1.	Найти производную функции z = х2 + у2 — Зх + 2у в точке Мо(О,О) по направлению к точке Mi (3,4).
2.	Найти производную функции z = —в точке Мо(1, —1) по V х1 4- у2
направлению вектора а =	х/2, л/2
3.	Найти градиент скалярного поля z =	— в точке Мо(1,2).
а?2 + т/2
4.	Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля z = = 1п(ж2 + 4у2) в точке Мо(6,4).
5.	Найти градиент функции и =	, где г = \/х2 + у2.
6.	Найти направление максимального роста функции z = Зж2 + + ху — 2у2 в точке (2, 1).
Ответы
1. -1. 2.
е _ 3(жг + УЗ)
1	1	—3	(3	4
-. 3. gradz =	-; — -
2	\5	5
6. 1 = (13,-2).
53'
4.
V73
25
3 т
- г
5
§ 7. Формула Тейлора для функций двух переменных
Пусть z = f(x,y) — функция двух переменных х и у, непрерывная вместе со своими частными производными до (п+ 1)-го порядка включительно в окрестности данной точки Мо(а,Ъ). Тогда, аналогично тому, как это было в случае функций одной переменной (см. гл. VII § 12), функцию двух переменных можно представить в виде многочлена степени п от х — а и у — b и некоторого остаточного члена:
f(x,y) = f(a,b) + -df(a,b) + 1. d2 f{a,b) +    + 1^/(0) + ^; 1!	2!	n!
при этом можно считать, что dx = х — a, dy = у — Ь.
Многочлен, фигурирующий в этой формуле, называется многочленом Тейлора функции f(x, у). Он представляет приближенное значение данной функции в окрестности точки Мо(а,Ь).
Примеры с решениями
Пример 1. Составить формулу Тейлора при п = 2 для функции f(x,y) = ху в окрестности точки Мо(1,1) и вычислить приближенно 1.11’02.
Решение. Имеем
f(x,y) = /(1,1) +d/(l, 1) + l-d2f{l, 1) + R2.
202
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Находим сначала частные производные первых двух порядков: Л=У-^-1; % = ху-1пх;
= у{у ~	= ху~1 +ху~'  у\пх- /"2 = :ra(ln:r)2.
Теперь вычислим значения полученных частных производных в данной точке (1,1):/^.(1,1) = 1;/^(1,1) = 0; f''2 = 0; f"y(l, 1) = 1;/"2(1,1) = 0 и/(1,1) = 1.
Соответствующая формула Тейлора имеет вид
ху = 1 + 1 • (ж - 1) + 1 • (х - 1)(у - 1) + Т?2,
т. е.
ху ~ 1 + (х — 1) + (х — 1)(г/ — 1).
Подставляя х = 1,1, у = 1,02, х — 1 = 0,1, у - 1 = 0,02, получаем I,!1-02 « 1 +0,1 +0,1 -0,02 = 1,102.
Упражнения
Составить многочлен Тейлора степени п для данной функции f(x,y) в окрестности данной точки Мо (1-4).
1.	f(x,y) = у/1 - х2 - у2, п = 2, М0(0,0).
2.	f(x, у) = sinx  sin у, п = 2, Мо (	.
\ 4 4 )
3.	f(x, у) — ех+у, п е N, Мо(0,0).
4.	f (x, у) = — х2 + 2ху + Зу2— 6х — 2у — 4, п — 2, Мо(—2,1).
5.	Используя формулы Тейлора до членов второго порядка, вычислить приближенно: ___
1) О,952-01; 2)Ж07-^98.
Ответы
+ • •  + — (ж + у)п. 4. 1 + (ж + 2)2 + 2(х + 2)(у - 1) + 3(у - I)2. п!
5. 1) 0,902. 2) 5,998.
§ 8.	Экстремум функции двух переменных
1°. Функция z = f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке (хо,уо), если f(xo,yo) > f(x,y) (f (xo,yo) < f(x,y)) Для всех (ж,у), достаточно близких к (хо,уо) и таких, что (.г, у) / (жо,Уо)-
Максимумы и минимумы называются экстремумами.
§ 8. Экстремум функции двух переменных
203
Точка (жо,уо) называется критической для функции f(x, у), если частные производные z'x и z'y в этой точке либо равны нулю, либо не существуют.
Если zx = 0 и z'y = 0 в данной точке, то эта точка называется стационарной.
Теорема 4 (необходимые условия экстремума дифференцируемой функции). Если функция z = f(x,y) имеет экстремум в точке (ато.З/о), то эта точка стационарная, т.е. ftAxo,yo) = 0, %(х0,у0) = 0.
Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть (жо,Уо) — стационарная точка. Обозначим
д _ d2f(x0,y0)	& _ д2Дх0,у0)	£ = d2f(xg,yo)
дх2	дхду	ду2
1)	Если АС - В2 > 0 и А < 0 (С < 0), то (хо,уо) — точка максимума.
2)	Если АС — В2 > 0 и А > 0 (С > 0), то (хо,уо) — точка минимума.
3)	Если АС — В2 < 0, то точка (жо,уо) не является точкой экстремума.
4)	Если АС — В2 = 0, то в точке (хо,уо) функция f(x,y) может иметь и может не иметь экстремума (в этом случае требуется дополнительное исследование).
2°. Под условным экстремумом функции z = f(x,y) подразумевается экстремум этой функции при некотором дополнительном условии, например, уравнении у>(х, у) = 0.
Необходимый признак условного экстремума дифференцируемой функции. Если функция z = f(x,y) имеет экстремум в точке (хд,уф) при выполнении условия ip(x, у) — 0, то в этой точке
= 0> дг^уф = Q ^хоуо} = 0>	(1)
дх	ду
где F(x, у) = f(x,y) + Хр(х,у) — функция Лагранжа, соответствующая f(x,y) и </?(ж, у) = 0, А - постоянная величина (множитель Лагранжа).
Достаточный признак условного экстремума. Если точка (х0,уф) удовлетворяет системе уравнений (1) и d2F(xg,yo) < 0 (d2F(xo, уо) > 0), то точка (хо,уо) является точкой условного максимума (минимума) функции f(x,y') при условии </?(ж,у) = 0.
Примеры с решениями
Пример 1 (к п. 1°). Исследовать на экстремум функцию z = = х3 + у3 — Зху.
Решение. Функция определена и дифференцируема при всех (х, У)-
204
.Гл. VIII. Функции нескольких переменных
1) Найдем стационарные точки:
= Зж2 — Зу = 0,	( х2 — у = 0,	( у = х2,
z'y = Зу2 — Зх = 0	[ у2 — .г = О	( ж4 — ж = 0.
Имеем две стационарные точки Mi(l, 1) и Мг(0,0).
2) Проверим достаточные условия:
4'2 = z”y = -3, z”2 = Зу.
Для 1) имеем:
Л! = <2(1,1) = 6, вх =z';(i,i) = -3, G =z"2(i,i) = 6.
AiCi -Bl = 36 — 9 = 27 > 0 и Ai = 6 > 0.
В точке (1,1) имеем минимум и zmin = z(l, 1) = —1.
Для М2(0,0) имеем Аг = О, В2 = —3, С2 = 0, A2C2 — В2 = —9. В точке (0,0) функция z экстремума не имеет.
Пример 2 (к п. 2°). Исследовать на экстремум функцию z = = х2 — ху + у2 + 9х — бу + 25.
Решение (краткое).
z'x = 2х — у + 9 = О	( х = —4,
z'y = — х + 2у — 6 = 0	[ у = 1.
_о	_ _1	_ Q.
-2-2.2	^ху
А = 2, В = -1, С = 2-	>
АС - В2 = 3 > О, А = 2 > 0;
(—4, 1) — точка минимума, zmin = 4.
Пример 3 (к п. 2°). На гиперболе х2 — у2 = 9 найти точку, наименее удаленную от точки А(0, —3).
Решение. Исследуем на экстремум функцию, выражающую квадрат расстояния точки М(х,у) от точки А(0, —3):
AM2 = f(x, у) = х2 + (у + З)2,
при условии, что координаты точки М(х, у) удовлетворяют уравнению гиперболы х2 — у2 — 9 = 0.
Составим функцию Лагранжа:
F(x, у) = х2 + {у + З)2 + А(ж2 - у2 - 9).
§ 8. Экстремум функции двух переменных
205
Координаты точек, в которых функция f(x,y') имеет условный экстремум, найдем, решая систему уравнений
— = 2ж + 2Аж = 2ж(1 + А) = 0, дх
*	=2(у + 3)-2Ау = 2(у + 3-Ау),
ду
х2 — у2 = 9.
Получаем: А = — 1, у = — -, х = ±^^-. Функция f(x,y) может ( Э\/5 з\
иметь условный экстремум в двух точках: М\ I — —— , — - ) и
, , (3\/5	3 \	г-»
Мг ( ---, — I. Проверим для них достаточные условия, для чего
найдем дифференциал второго порядка функции F(x, у) в найденных точках. Имеем:
Г"2=2(1+А), F';=0, г;2 = 2(1-а);
d2F = 2(1 + A) dr2 + 2(1 - X)dy2.
Если A = — 1, то d2F = 4dy2 > 0. Следовательно, обе точки , , f Зх/5 3 \	, ( 3\/5	3 \
М\ I---— ,— I и М2( —	) являются точками условного
минимума нашей функции. При этом
/т.п(^,г/) = /(-^.-|) = /(^,-|) = 26. AM = 3jJ.
Упражнения
Исследовать функции на экстремум.
1. z = 2ху — Зх2 — 2у2 + 10. 2. z = 4(х — у) — х2 — у2.
3. z = х2 + ху + у2 + х + у + 1. 4. z = 4х2у + 24.гг/ + у2 + 32у - 6.
5. z = х3 + х2 — Зху — З9.г + 18у + 20. 6. z = ху + — + — .
х у
7.	z = е~х2~у2(2х2 + у2). 8. z = 4 - %/(х2 + у2)2.
Исследовать на условный экстремум функции z = f(x,y) при данном условии (9-14).
9.	f(x, у) = х2 + {у — 2)2, х2 — у2 — 4 = 0.
10.	f(x,y)= - + -, х + у — 2 = 0. ж у
11.	/(ж, у)=х + у, + У - | = °.
12.	f(x,y) = х2 + у2, - + --1=0.
4	3
206
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
13.	f(x, у) = ху, 2х + Зу — 5 = 0.
14.	f(x, у} = х2 4- у2 ху = 2.
15.	На параболе у2 = 4х найти точку, наименее удаленную от прямой у = х + 4.
Ответы
1. (0, 0) — max. 2. (2, —2) — max. 3. (—1, 1) — min. 4. (—3, 2) — min, (—4, 0); (—2, 0) — экстремума нет. 5. (5, 6) — min. 6. (5, 2) — min. 7. (0, 0) — min, в точках (0, ±f) экстремума нет; в точках (±1, 0) — max. 8. (0, 0) — max. 9. ЛТ(±-\/5, 1) — точка минимума с /min = л/б.
10. fmin = f (1, 1) = 2.11. /тах = Д-2, —2) = -4. 12. /min = в 25
, т ( 36	25	ЛЛ-/5	5 \ Л «	п
точке Мо\ — , — .13. /тах = — в точке Мо - , - . 14. /min = 2 \ 25	25 /	24	\ 4	6 /
в точке Мо (у/2, у/2^. 15. /min = /(1,2) = ~.
§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции
При отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в некоторой замкнутой области следует найти все внутренние точки области, в которых функция может иметь экстремум. Затем надо исследовать функцию на экстремум на границе области. При этом часто приходится разбивать границу области на части, заданные различными уравнениями. Вычислив значения функции во всех найденных экстремальных точках, следует сравнить их между собой: наибольшее (наименьшее) из этих значений и является наибольшим (наименьшим) значением функции во всей замкнутой области. <
Примеры с решениями
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z — 2х3 - бху + Зу2 в замкнутой области, ограниченной осью Оу,
X2
прямой у = 2 и параболой у = — при ж > 0.
Решение. Соответствующая область изображена на рис. 8.3.
1) Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Приравниваем нулю частные производные — = б.г2 — бу дх
и ~ = -бх + бу.
ду
§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции
207
Решив систему уравнений
( 6.г2 — бу = 0,
[ —бх + бу = О,
найдем две стационарные точки 0(0,0) иМ(1,1). Первая из них лежит на границе области, вторая внутри области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке М(1,1). При этом z(l, 1) = 12.
2) Исследуем функцию на границе области.
а)	На отрезке О А имеем х = 0. Поэтому на этом отрезке исследуем функцию z = Зу2, 0 С у С 2. Это — возрастающая функция одной переменной у; наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка О A, z(0,0) = 0, z(0,2) = 12.
б)	На отрезке АВ имеем у = 2 и 0 ж 2. Следовательно, на этом отрезке исследуем функцию одной переменной z = 2х3 — бх • 2 + + 3 • 22 = 2х3 — 12х + 12, 0 С х 2. Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в стационарных точках и на концах отрезка.
Находим производную z' = бх2 — 12. Решая уравнение z' = 0, или бх2 — 12 = 0, находим хцг = ±д/2.
Внутри отрезка 0 < х 2 имеется лишь одна стационарная точка х = -\/2; соответствующей точкой отрезка АВ является точка Q(V“2, 2). Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z на отрезке АВ находятся среди ее значений в точках А(0,2), Q(\/2, 2) и В(2’ 2)'
в)	На дуге ОВ параболы имеем у = —,
(\ 2
2 \	о
— ) = - .г4 — х3, 0 <: х 2.
2 )	4
Решаем уравнение z' = Зх3 — Зж2 = 0, или х2(х — 1) = 0 и находим его корни: = 0 и Х2 = 1. Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции у на дуге ОВ находятся среди ее значений в точках 0(0,0), F(l, 1) и В(2,2).
Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции z = = 2х3 - бху + Зу2 в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках О, A, Q, В, Р, М, т. е. среди значений z(O) = = z(0, 0) = 0, z(A) = z(0, 2) = 12, z(Q) = z(V2, 2) = 12 - 8V2, z(B) = z(2, 2) = 4, z(P) = z (1, -Q = -1, z{M} = z(l, 1) = -1. Наибольшее и наименьшее из них равны соответственно 12 и —1. Они и являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области:
^наиб = ^(0, 2) = 12, ZHaHM — z(l, 1) = 1.
208
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Упражнения
Исследовать функции на экстремум (1-4).
1. z = е~О2+у2). 2. z = ху.
У	2	2
3. z = 2х2 + Зу2 — х — 1у. 4. z = -—.
У	У	а*	Ь2
5.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 — — 2у2 + 4ху — бх — 1 в треугольнике, ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х + у = 3.
6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х + у в круге х2 + у1 1.
7.	Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x,y) в области S:
1)	}{х, у) = х2у(2 — х — у), S: треугольник х = 0, у = 0, у + х = 6;
2)	f(x, у) = ху, S: круг х2 + у2 С 1;
3)	f(x,y) = 1 — х2 - у2, S: круг (х - I)2 + (у - I)2	1.
Ответы
(1	7
-, -
4	6
= -6,625. 4. zmin = z(0,0) = 0. 5. гнаим(0,3) = -19; гнаиб(0,0) =
§10. Метод наименьших квадратов
1°. Предположим, что при проведении некоторого эксперимента получено п значений функции у при п значениях аргумента х. Соответствующие данные экспериментальных наблюдений помещены в таблице:
X		Х2	^3		
У	2/1	У2	УЗ		Уп
2°. По данным таблицы построим точки с координатами (х,у) (рис. 8.4). Предположим, что эти точки расположены вблизи некоторой прямой. Требуется найти уравнение у = kx + р этой прямой по методу
§ 10. Метод наименьших квадратов
209
наименьших квадратов, т. е. коэффициенты к и р должны доставлять минимум функции двух переменных к и р-.
82 = 82 (fc,р) = 57 (kxi + р - pi)2 -♦ min. г=1
3°. Если 62(к,р) имеет минимум в какой-либо точке, то частные производные этой функции должны быть равными нулю:
— = У? 2(кхг - р + yi)xi = 0, дк г=1 лх2 п
— = £2(fc^ - р-Уг) =0.
др г=1
Это приводит к системе уравнений относительно к и р, которую можно запи-
сать в виде
Aik + Bip = Ci, А2к + В2р = Сг,
А = Ё xt В1 = Ё xi’ Ci = Ё xtyi’
г=1	г—1	г=1
Ач = В\, В2 = П, С2 = 52 Уг-
7 = 1
Примеры с решениями
Пример 1. Составить уравнение прямой по методу наименьших квадратов, исходя из данных, приведенных в таблице.
X	1	2	3	5
У	3	4	2,5	0,5
Решение. Определим коэффициенты системы уравнений:
At = 12 xi = 39, Bi = 52-т, = 11, Ci = 12хгУг, A2 = U,B2 = 4,C2 = ^yi = 10.
Из системы уравнений
39k + 1 Ip = 21, 11 к + Ар = 10
,	26	159
находим: к =-----, р = — .
35	35
~	26	, 159
Ответ, у =-------х -|---.
35	35
210
Гл. VIII. Функции нескольких переменных
Упражнения
Методом наименьших квадратов составить уравнение прямой у = = kx + р по табличным данным.
X	0,5	0,1	2,0	2,5	3,0
У	0,62	1,64	3,7	5,02	6,04
X	1	2	3	5
У	0	1	-0,5	-2,5
Ответы
1. у = 2,08х — 0,5. 2.у = --х+-
35	35
Контрольные задания
1. Найти и изобразить области определения данных функций:
1) z = д/16 — я?2 — у2; 2) z = \/9 — 2х2 + Зу2; 3) z = х — arcsin у,
4) z = —— ; 5) z = у/х2 — у; 6) z = у/25 — 5.г2 — 15г/2. V^y
2. Найти полный дифференциал функций в данных точках:
1) z = arcsin(y/^ + 2у), (4,1); 2) z = ху, (4,2);
3) z = . ----— , (5,4); 4) z = arccos< - , (1,4);
у х2 +у2	у у
5) z = 1п(ж2 + у2), (3,4).
3. Доказать, что данные функции удовлетворяют уравнению Ла-d2z d2z n
пласа — Н-------= 0:
дх2 ду2
1) z = 1п(ж2 + у2); 2) z =	1	; 3) z = arctg - .
V х2 + у2	х
4. Найти производную данной функции в данной точке по направлению данного вектора. Найти также градиент каждой функции в данной
точке:
1)
2)
3)
z = х2 + у2 + ху, Mq(1,2), I = 2i + j;
z = arctg , Mo(3,3), I = (1, —2);
z = arcsiny/x — у, Mq(1, |), I = (—2,1);
4)
z = 2x + 3y , Mo(3>1)( i =
V x - 2v
Контрольные задания
211
5.	Найти экстремум данной функции:
1)	z = 4ж2 + 8жу + 2у2 — Юж + Зу + 1; 2) z = ху + — + — ; ж у
3)	z = х3 + Зху2 + 5х + 8у; 4) z = ж2у(4 — 2х — у).
6.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D:
1)	z = х2 + 2ху, D — треугольник АВС: А(0,0), В(4,0), (7(0,6);
2)	z = х2 — 2ху + у2, D — прямоугольник ABCD: А(0,0), В(4,0), (7(4,6), D(0,6).
3)	z = х2 + у2 — Зху — 2х — 2у, при х С 0, у < 0, х + у < 5;
7.	На эллипсе у + у = 1 найти точку, наименее удаленную от прямой Зх — Ау = 42.
Список литературы
1.	Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988.
2.	Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М.: Наука, 1988.
3.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1 и 2. — М.: Наука, 1988.
4.	Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988.
5.	Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. — М.: Наука, 1988.
6.	Сборник задач по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. — М.: Наука, 1983.
Учебное издание
ЛУНГУ Константин Никитович МАКАРОВ Евгений Васильевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Часть 1
Редактор В. С. Аролович
Корректор Н.А. Лихачёва Оригинал-макет: Я.В. Жабицкий Оформление переплета: А.Ю. Алёхина
Подписано в печать 15.11.2007. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,5. Уч.-изд. л. 15,9. Тираж 1500 экз. Заказ № К-1809.
Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАЙК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http.7/www.fml.ru
Отпечатано в ГУП «ИПК Чувашия», 428019 г. Чебоксары, пр-т И.Яковлева, 13