-----Traité de Génie Civil-
de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne
publié sous la direction de René Walther
Volume 15
CONSTRUCTONS
HYDRAULIQUES
Ecoulements stationnaires
Richard O. Sinniger
Professeur à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne
Willi H. Hager
Ingénieur à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne
PRESSES POLYTECHNIQUES ROMANDES
-------------Traité de Génie Civil-------------------
de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne
Cet ouvrage fait partie d’une série d’une vingtaine de volumes qui seront publiés sous la direction de
René Walther, professeur à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, dont la liste suivante,
non exhaustive, présente le plan général de publication
1.	ANALYSE DES STRUCTURES I
2.	ANALYSE DES STRUCTURES II
3.	ANALYSE DES STRUCTURES III
4.	BÉTON ARMÉ ET PRÉCONTRAINT I
5.	BÉTON ARMÉ ET PRÉCONTRAINT II
6.	BÉTON ARMÉ ET PRÉCONTRAINT III
7.	CONSTRUCTION MÉTALLIQUE I
8.	CONSTRUCTION MÉTALLIQUE II
9.	CONSTRUCTION MÉTALLIQUE III
10.	CONSTRUCTION EN BOIS
11.	GÉOTECHNIQUE
12.	FONDATIONS
13.	OUVRAGES SOUTERRAINS
14.	HYDRAULIQUE
15.	CONSTRUCTION HYDRAULIQUE
16.	BARRAGES
17.	SYSTÈMES ÉNERGÉTIQUES
18.	AMÉNAGEMENTS ÉNERGÉTIQUES
19.	VOIES DE CIRCULATION
20.	MATÉRIAUX DE CONSTRUCTION
Le Traité de Génie Civil est une publication des
Presses polytechniques romandes, fondation scientifique dont le but
est principalement la diffusion des travaux de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne.
Le catalogue de ces publications peut être obtenu aux Presses polytechniques romandes, CH-1015 Lausanne
Première édition
ISBN 2-88074-163-7
© 1989, Presses polytechniques romandes
CH-1015 Lausanne
Tous droits réservés
Reproduction, même partielle, interdite
Préface
Cet ouvrage constitue un document d'accompagnement des cours de «Constructions hydrauliques»,
dispensés en troisième et quatrième années du deuxième cycle d’étude en Génie Civil à l’Ecole Polytech-
nique Fédérale de Lausanne. La matière traitée dépasse le cadre des cours et fournit des éléments
complémentaires utiles pour l’élaboration des projets et des travaux pratiques de diplômes. Cet ouvrage,
qui se limite au traitement des écoulements stationnaires, est également conçu comme manuel de
référence à l’intention des ingénieurs praticiens et des chercheurs.
Il est admis que le lecteur maîtrise les bases des mathématiques, de la mécanique et de l’hydraulique.
Un rappel des équations fondamentales de l’hydraulique est cependant présenté dans le chapitre 1. Les
chapitres 2 et 3 traitent des écoulements dans les conduites en charge alors que les notions de hauteur
uniforme, de hauteur critique, de hauteurs conjuguées et de courbes de remous sont expliquées dans les
chapitres 4 et 5. L’ensemble de ces cinq chapitres représenté un rappel des connaissances de base.
Les écoulements sur les déversoirs et par-dessous des vannes de différentes géométries sont discutés
dans les chapitres 6 à 9. Le chapitre 10 est consacré aux canaux à adduction latérale, alors que les
chapitres 11 et 12 traitent des écoulements dans des canaux courbes, en jonction et dans des canaux non
prismatiques. Les effets d’aération superficielle sur les coursiers et le phénomène de la cavitation font
l’objet des chapitres 13 et 14.
Le ressaut hydraulique et plusieurs types de dissipateurs sont discutés dans les chapitres 15 à 17. Dans
les chapitres 18 et 19, des questions concernant les ouvrages de prise d’eau et de vidange sont traitées.
En plus d’un aperçu historique de l’hydraulique, les annexes comprennent une définition de termes
utilisés en hydraulique, ainsi que des propriétés et des lois de similitude de la mécanique des fluides.
L’ouvrage tient à préciser et à discuter les hypothèses qui régissent les modèles de calcul présentés.
L’approche unidirectionnelle est utilisée de préférence. Une fois les équations de base établies, la
formulation adimensionnelle en facilite la discussion et la représentation des solutions. Des exemples
numériques constituent l’application de ces équations à des problèmes concrets. Ces exemples se
distinguent du texte principal par l’impression en petits caractères.
De nombreuses réferences, regroupées à la fin de chaque chapitre, permettent de retrouver les
hypothèses faites dans l’établissement des divers modèles de calculs et d’obtenir des informations
supplémentaires. L’utilisation fréquente de nombreux symboles a conduit à en établir des listes de
notations qui figurent à la fin de chaque chapitre. Il arrive quelquefois qu’un même symbole soit utilisé
dans des chapitres differents, avec des significations différentes.
Les auteurs remercient vivement M1”* Mary-Lise Tanner qui a effectué la saisie du texte de cet
ouvrage et des nombreuses versions qui l’ont précédées. Les remerciements vont également à M. Roger
Bremen, ingénieur civil EPFL, qui a apporté un soin particulier à la vérification du texte, des équations,
des figures et des exemples, ainsi qu’à M. le professeur Robert Wanoschek, Dr ingénieur, Francfort, qui
a aussi participé à cette vérification lors du congé sabbatique qu’il a passé dans notre Institut. M. Pierre
Verstraete, ingénieur physicien EPFL, nous a apporté une aide appréciable en ce qui concerne la
formulation du texte et la correction de la langue; nous le remercions sincèrement, ainsi que tous les
collaborateurs de l’institut d’Hydraulique et d’Energie pour leurs nombreuses interventions au cours de
l’élaboration de cet ouvrage.
Lausanne, décembre 1988
R. Sinniger, W.H. Hager
Table des matières
PRÉFACE............................................................................... v
TABLE DES MATIÈRES................................................................... vu
I.	RAPPEL DES BASES.................................................................. 1
1.	Equations fondamentales.............................................................. 3
1.1	Introduction........................................................................  4
1.2	Principe de continuité............................................................... 5
1.3	Principe de la quantité de mouvement................................................. 6
1.3.1	Forces extérieures........................................................... 6
1.3.2	Fluide parfait............................................................... 7
1.3.3	Fluide réel.................................................................. 7
1.4	Equation de Bernoulli............................................................. 8
1.5	Ecoulements courbes............................................................... 8
1.6	Equation intégrale de la quantité	de	mouvement...................................... 11
1.7	Hydraulique des écoulements....................................................... 13
Références.......................................................................... 14
Notations......................................................................... 14
2.	Pertes de charge.................................................................. 15
2.1	Introduction...................................................................... 16
2.2	Pertes de charge réparties........................................................ 16
2.2.1 Ecoulement turbulent........................................................ 16
2.2.2 Régimes turbulents	lisse et rugueux......................................... 20
2.2.3 Formules empiriques du domaine rugueux ....................................... 23
2.2.4 Formule de Manning-Strickler.................................................. 24
2.2.5	Rugosité dans des conduites................................................. 25
2.3	Pertes de charge locales............................................................ 26
2.3.1	Définitions................................................................. 26
2.3.2	Stabilité de l’écoulement................................................... 30
2.3.3	Eléments locaux............................................................. 31
2.3.4	Elargissement et rétrécissement............................................. 32
2.3.5	Entrée et sortie............................................................ 35
2.3.6	Coude....................................................................... 37
2.3.7	Branchement................................................................. 42
2.3.8	Grilles et vannes........................................................... 50
Références......................................................................... 57
Notations.......................................................................... 58
VIII	TABLE DES MATIÈRES
3.	Conduites en charge..................................................................... 61
3.1	Introduction............................................................................ 62
3.2	Conduite de section constante........................................................... 65
3.2.1 Sortie à l’air libre.............................................................. 65
3.2.2 Sortie immergée................................................................... 66
3.3	Conduite de section variable............................................................ 67
3.4	Systèmes de conduites................................................................... 68
3.5	Conduite de distribution................................................................ 70
Références........................................................................... 77
Notations............................................................................ 78
4.	Hauteurs typiques de l’écoulement.................................................... 79
4.1	Introduction......................................................................... 80
4.2	Hauteur uniforme..................................................................... 81
4.2.1 Formule de Manning-Strickler................................................... 81
4.2.2 Formule de Darcy-Weisbach...................................................... 82
4.2.3 Corrélation entre les équations de Darcy-Weisbach et de Manning-Strickler ...	86
4.2.4 Détermination du coefficient de rugosité....................................... 86
4.2.5 Canaux à rugosité composée..................................................... 90
4.2.6 Canal circulaire partiellement rempli.......................................... 91
4.3	Hauteur critique..................................................................... 93
4.4	Hauteurs conjuguées.................................................................. 95
4.5	Evaluation des hauteurs typiques..................................................... 97
4.5.1 Profils de canaux considérés................................................... 97
4.5.2	Profil	trapézoïdal............................................................. 98
4.5.3	Profil	trapézoïdal plein......................................................  99
4.5.4	Profil	en U.................................................................... 99
4.5.5	Profil	circulaire............................................................. 100
4.5.6	Profil	exponentiel............................................................ 101
Références...........................................................................  113
Notations............................................................................. 113
5.	Courbes de remous...................................................................... 115
5.1	Introduction........................................................................... 116
5.2	Modèle simplifié....................................................................... 118
5.3	Canaux prismatiques à pente constante.................................................. 118
5.3.1 Discussion de l’équation de base................................................ 118
5.3.2 Canal rectangulaire de grande largeur........................................... 119
5.3.3 Canal de section quelconque..................................................... 120
5.4	Section de contrôle.................................................................... 123
5.5	Calcul de la courbe de remous.......................................................... 126
5.6	Ponceau................................................................................ 132
5.6.1 Description des types d’écoulements............................................. 132
5.6.2 Corrélation entre débit et charge............................................... 134
TABLE DES MATIÈRES
IX
5.6.3 Diagramme d’écoulement........................................................ 136
5.6.4 Dimensionnement du ponceau.................................................... 137
Réferences.......................................................................... 138
Notations........................................................................... 138
IL	DÉVERSOIRS ET VANNES................................................................. 141
6.	Déversoirs à crête rectiligne........................................................ 143
6.1	Introduction et classification....................................................... 144
6.2	Déversoir en mince paroi............................................................. 144
6.3	Déversoir standard................................................................... 148
6.3.1 Développement d’un déversoir standardisé...................................... 148
6.3.2 Géométrie du déversoir standard............................................... 149
6.3.3 Effet de charge sur le déversoir standard..................................... 150
6.3.4 Limite supérieure	de la charge................................................ 154
6.4	Effet des piliers.................................................................... 157
6.5	Déversoir à seuil épais.............................................................. 159
6.6	Déversoirs noyés..................................................................... 160
6.7	Aération des déversoirs.............................................................. 162
Références.......................................................................... 164
Notations..........................................................................  164
7.	Déversoirs à crête non rectiligne.................................................... 167
7.1	Introduction......................................................................... 168
7.2	Déversoir à crête circulaire......................................................... 168
7.2.1	Fonctionnement............................................................... 168
7.2.2	Géométrie du déversoir circulaire standard................................... 169
7.2.3	Ecoulement dénoyé..........................................................   170
7.2.4	Ecoulement noyé.............................................................. 173
7.2.5	Entraînement d’air........................................................... 174
7.2.6	Aération de l’écoulement aval................................................ 176
7.2.7 Dimensionnement............................................................... 177
7.3	Déversoir labyrinthe................................................................. 178
7.3.1 Description de l’écoulement................................................... 178
7.3.2 Dimensionnement du déversoir labyrinthe....................................... 179
Références........................................................................ 180
Notations......................................................................... 181
8.	Déversoirs contrôlés par des vannes.................................................. 183
8.1	Introduction......................................................................... 184
8.2	Fonctionnement d’une vanne........................................................... 185
8.2.1 Description de l’écoulement................................................. 185
8.2.2 Description de la géométrie................................................. 187
X
TABLE DES MATIÈRES
8.3	Ecoulement dénoyé...................................................................... 189
8.3.1 Equation de base................................................................. 189
8.3.2 Vanne plane et vanne secteur..................................................... 190
8.3.3 Profil de surface aval........................................................... 191
8.3.4 Force sur la vanne............................................................... 193
8.4	Ecoulement noyé........................................................................ 195
8.5	Vanne de déversoir..................................................................... 197
8.5.1 Vanne plane verticale............................................................ 197
8.5.2 Vanne secteur.................................................................... 199
8.6	Clapet................................................................................. 204
Références............................................................................. 206
Notations.............................................................................. 207
9.	Déversoirs latéraux.................................................................... 209
9.1	Introduction........................................................................... 210
9.2	Equations de base...................................................................... 210
9.3	Intensité du débit latéral............................................................. 213
9.4	Formulation adimensionnelle............................................................ 213
9.5	Conditions asymptotiques............................................................... 214
9.6	Conditions aux limites................................................................. 216
9.7	Solutions et leur discussion........................................................... 217
9.8	Application des résultats.............................................................. 222
Références............................................................................ 223
Notations............................................................................. 224
III.	CANAUX............................................................................... 225
10.	Canaux à adduction latérale.......................................................... 227
10.1	Introduction......................................................................... 228
10.2	Hypothèses et équations de base...................................................... 229
10.3	Conditions aux limites............................................................... 231
10.3.1 Généralités................................................................. 231
10.3.2 Point singulier.............................................................. 232
10.3.3 Condition pseudo-critique.................................................... 233
10.4	Profil de surface dans des auges trapézoïdales........................................ 234
10.4.1 Auge à faible pente du radier................................................ 234
10.4.2 Auge à forte pente du radier, xs<L........................................... 236
10.4.3 Auge à forte pente du radier, x^L............................................ 238
10.5	Commentaires supplémentaires.......................................................... 240
10.6	Applications.......................................................................... 242
Références.......................................................................... 243
Notations........................................................................... 244
TABLE DES MATIÈRES
XI
11.	Canaux courbes et canaux à branchements............................................... 245
11.1	Introduction.......................................................................... 246
11.2	Canaux courbes........................................................................ 246
11.2.1 Ecoulement	fluvial.......................................................... 246
11.2.2 Ecoulement	torrentiel......................................................... 248
11.2.3 Détails constructifs........................................................... 251
11.3	Canaux à jonction..................................................................... 252
11.3.1	Généralités..................................................................... 252
11.3.2	Ecoulement fluvial.............................................................. 253
11.3.3	Ecoulement transitoire.......................................................... 255
11.3.4	Ecoulement torrentiel........................................................... 256
Références................................... ........................................ 260
Notations............................................................................. 261
12.	Canaux non prismatiques............................................................... 263
12.1	Introduction.......................................................................... 264
12.2	Types d’écoulement......................................... .......................... 264
12.2.1 Rétrécissement et élargissement de la section................................. 264
12.2.2 Combinaison rétrécissement-élargissement........................................ 266
12.3	Rétrécissement local de la section....................................................   266
12.4	Caractéristiques d’écoulement à travers un rétrécissement............................... 268
12.5	Ecoulement contrôlé par le rétrécissement............................................... 270
12.6	Ecoulement contrôlé par l’aval.......................................................... 272
12.6.1 Coefficient de contraction...................................................... 272
12.6.2 Hauteur amont................................................................... 273
12.6.3 Effet de la	courbure	de l’entrée................................................ 275
12.7	Rétrécissement dans des conditions d’écoulement torrentielles........................... 277
12.8	Elargissement dans des conditions d’écoulement torrentielles............................ 280
Références............................................................................  282
Notations.............................................................................. 282
13.	Aération superficielle......................... ...................................... 283
13.1	Introduction.......................................................................... 284
13.2	Canaux rectangulaires à forte pente................................................... 286
13.2.1 Evolution de l’écoulement..................................................... 286
13.2.2 Début de l’aération superficielle............................................. 287
13.2.3 Ecoulement non uniforme aéré.................................................. 288
13.2.4 Zone d’aération uniforme...................................................... 289
13.3	Conduite circulaire partiellement remplie............................................. 292
Références........................................................................... 294
Notations............................................................................ 295
Xn	TABLE DES MATIÈRES
14.	Cavitation et aération forcée......................................................... 297
14.1	Introduction.......................................................................... 298
14.2	Description physique de la cavitation................................................... 299
14.3	Cavitation dans des rétrécissements..................................................... 300
14.4	Irrégularités de surface................................................................ 302
14.5	Aération forcée des coursiers .......................................................... 302
14.5.1 Types d’aérateurs............................................................... 302
14.5.2 Principe de fonctionnement...................................................... 304
14.6	Caractéristiques d’écoulement........................................................... 305
14.6.1 Longueur du jet et rayon d’influence............................................ 305
14.6.2 Entraînement d’air.............................................................. 305
14.6.3 Systèmes d’entraînement d’air................................................... 306
14.6.4 Espacement des aérateurs........................................................ 306
Références............................................................................. 307
Notations.............................................................................. 307
IV.	OUVRAGES DE DISSIPATION............................................................ 309
15.	Ressaut hydraulique................................................................ 311
15.1	Introduction......................................................................... 312
15.2	Ressaut hydraulique sur radier	horizontal............................................ 312
15.2.1 Phénomène du ressaut hydraulique............................................ 312
15.2.2 Hauteurs conjuguées......................................................... 313
15.2.3 Perte de charge relative.................................................... 315
15.2.4 Longueur du ressaut......................................................... 316
15.3	Ecoulement interne du ressaut	hydraulique plan....................................... 317
15.3.1 Introduction................................................................ 317
15.3.2 Types de ressaut............................................................ 318
15.3.3 Profil de surface........................................................... 318
15.3.4 Vitesses à la surface....................................................... 319
15.3.5 Vitesses au fond............................................................ 320
15.3.6 Répartition de la vitesse................................................... 321
15.3.7 Répartition de la masse volumique et de la pression......................... 321
15.3.8 Aération du ressaut hydraulique............................................. 322
15.4	Ressaut hydraulique sur pente positive............................................. 324
15.4.1 Classification de ressauts.................................................. 324
15.4.2 Ressaut sur pente type C.................................................... 324
15.4.3 Ressaut sur pente type B.................................................... 325
15.5	Position du ressaut hydraulique.................................................... 327
Références......................................................................... 328
Notations.......................................................................... 328
TABLE DES MATIÈRES
xm
16.	Bassins amortisseurs................................................................... 331
16.1	Introduction.............................................................................. 332
16.2	Marches positive et négative.............................................................. 334
16.2.1 Types de ressauts et hauteurs	conjuguées.......................................... 334
16.2.2 Stabilité, efficacité et compacité................................................ 337
16.3	Seuil transversal......................................................................... 340
16.3.1 Description....................................................................... 340
16.3.2 Seuil dénoyé...................................................................... 340
16.3.3 Seuil noyé........................................................................ 342
16.4	Blocs dissipateurs.................................................................... 344
16.5	Dissipateurs non prismatiques......................................................... 349
16.6	Combinaisons d’éléments de dissipateur................................................ 351
16.6.1 Généralités.......................... ......................................... 351
16.6.2 Bassins amortisseurs types	USBR................................................... 352
Références............................................................................... 354
Notations................................................................................ 355
17.	Auge, saut de ski et déflecteur.......................................................... 357
17.1	Introduction............................................................................. 358
17.2	Dissipateur à auge........................................................................ 358
17.2.1 Généralités...................................................................... 358
17.2.2 Description de l’écoulement....................................................   359
17.2.3 Dimensionnement du dissipateur................................................... 360
17.3	Saut de ski............................................................................... 361
17.3.1 Description...................................................................... 361
17.3.2 Types d’écoulement..............................................................  362
17.3.3 Caractéristiques de l’écoulement sur l’auge...................................... 363
17.3.4 Saut de ski noyé................................................................. 366
17.3.5 Trajectoire du jet............................................................... 367
17.4	Auge de déflection........................................................................ 368
17.4.1 Description.....................................................................  368
17.4.2 Dimensionnement.................................................................. 369
Références.............................................................................. 370
Notations............................................................................... 371
V.	OUVRAGES DE PRISE	ET	DE VIDANGE................................................... 373
18.	Prise d’eau............................................................................. 375
18.1	Introduction............................................................................ 376
18.2	Classification des vortex............................................................... 376
18.3	Prise verticale......................................................................... 379
18.3.1 Equations de base............................................................... 379
18.3.2 Répartition des vitesses........................................................ 380
XIV
TABLE DES MATIÈRES
18.3.3 Coefficient de débit........................................................ 381
18.3.4 Submersion critique......................................................... 382
18.4	Prise horizontale.................................................................. 384
18.5	Prise à grande profondeur.......................................................... 386
18.5.1 Géométrie du jet plan......................................................... 386
18.5.2 Géométrie de l’entrée d’une prise............................................. 389
Références......................................................................... 391
Notations............................................................................ 392
19.	Vidange de fond.................................................................. 393
19.1	Introduction..................................................................... 394
19.2	Vannes de fond................................................................... 395
19.2.1 Types de vannes............................................................... 395
19.2.2 Vibrations de vannes.......................................................... 397
19.2.3 Caractéristiques du débit..................................................... 399
19.3	Aération des vidanges de fond........................................................ 400
19.3.1 Moyens d’aération............................................................. 400
19.3.2 Mécanismes d’aération......................................................... 402
19.3.3 Ecoulement libre.............................................................. 403
19.3.4 Ecoulement à ressaut.......................................................... 404
19.3.5 Aérateur de fond.............................................................. 404
Références........................................................................... 408
Notations............................................................................ 409
ANNEXE I - Bref historique des hydrauliciens................................................412
Références........................................................................... 418
ANNEXE II - Définition de termes............................................................419
ANNEXE III - Propriétés physiques des fluides...............................................421
III	. 1	Introduction..................................................................... 421
III	.2 Masse volumique, poids spécifique et gravité........................................ 421
III	.3	Frottement, viscosité et turbulence................................................ 422
III	.4	Vitesse du son, capillarité......................................................... 423
III	.5	Caractéristiques thermiques de	l’eau.............................................. 424
ANNEXE IV - Lois de similitude dans la mécanique des fluides................................425
IV	. 1	Introduction....................................................................... 425
I	V.2	Détermination des nombres de	similitude............................................. 425
IV	.3	Limites des lois de similitude..................................................... 428
Références.......................................................................... 428
INDEX.......................................................................................429
INDEX DES AUTEURS...........................................................................437
1. Equations fondamentales
Lignes de courant indiquant l’écoulement de surface à l’amont d’un déversoir.
I.	RAPPEL DES BASES
Les cinq premiers chapitres de cet ouvrage traitent des principes
fondamentaux de l’hydraulique et servent de base aux développements
présentés par la suite.
Le chapitre 1 constitue un résumé des bases de l’hydrodynamique et
présente notamment les équations de conservation de la masse, de l’éner-
gie et de l’impulsion totale. L’accent n’est pas mis sur l’établissement
rigoureux de ces équations (ce sujet étant traité de manière exhaustive par
divers ouvrages de référence), mais plutôt sur l’application de ces expres-
sions à des questions d’écoulement unidirectionnel. Une tentative est
faite afin de préciser les hypothèses et de définir les limites d’un tel
traitement simplifié des écoulements.
Dans les chapitres 2 et 3, les écoulements dans des conduites en
charge sont analysés. Le chapitre 2 traite des pertes de charge réparties
et locales. En partant de l’équation de Colebrook-White pour une con-
duite circulaire, les écoulements turbulents en régimes pratiquement lisse
ou rugueux sont discutés. En particulier, on établit les limites d’appari-
tion des deux régimes; pour des canaux types comme ceux que l’on
rencontre dans la pratique, le régime rugueux est d’un intérêt essentiel.
Dans la deuxième partie de ce chapitre figurent les coefficients de pertes
de charge dues à diverses singularités, telles que entrées et sorties de
conduites, élargissements et rétrécissements, coudes et bifurcations.
Le chapitre 3 est basé essentiellement sur les définitions du chapitre
2. Les conduites et les systèmes de conduites en charge caractérisés par
divers éléments locaux sont traités. Ainsi, les questions concernant la
capacité des conduites et leur dimensionnement peuvent être résolues.
Dans la deuxième partie, les conduites de distribution seront analysées.
Les chapitres 4 et 5 concernent les calculs de base des canaux décou-
verts. Les hauteurs uniformes, critiques et conjuguées sont déterminées
pour différentes géométries des canaux. La priorité est donnée à l’écoule-
ment turbulent en régime pratiquement rugueux. Les résultats sont
appliqués au calcul des courbes de remous; dans le chapitre 5, les divers
types de profils des surfaces sont présentés. Les applications directes de
ces calculs se réfèrent aux canaux prismatiques. En introduisant un canal
de substitution, la détermination approximative du profil de surface peut
être effectuée aisément. Finalement, l’écoulement dans les ponceaux sera
considéré.
RAPPEL DES BASES
1.1	Introduction
Comparé à un corps rigide, un fluide constitue un milieu matériel continu et déformable qui peut
s’écouler sous l’action de forces faibles. Son comportement doit être décrit par des relations qui tiennent
compte de ces caractéristiques. Si on considère un écoulement d’eau plus ou moins pure, le champ des
vitesses peut être représenté par la notation eulérienne\ celle-ci donne la réponse à la question: de quelle
manière le fluide se comporte-t-il en un point particulier! Par contre, l'approche lagrangienne suit une
particule le long de sa propre trajectoire. A quelques exceptions près, c’est la première méthode qui est
appliquée aux problèmes hydrauliques.
La figure 1.1 montre la trajectoire d’une particule; celle-ci constitue par définition une ligne de courant
et correspond à l’enveloppe du vecteur de la vitesse au temps t = tQ. En régime stationnaire, les lignes de
courant ne se déplacent pas. Par contre en régime non stationnaire, elles ne représentent qu’une image
instantanée de l’écoulement. Les lignes de courant ne se croisent jamais et le profil de la surface libre
correspond toujours à une ligne de courant.
Un tube de courant se compose de plusieurs lignes de courant; il s’applique aux considérations
unidirectionnelles et tient ainsi compte des caractéristiques moyennes de l’écoulement.
Fig. 1.1 (?) Ligne et @ tube de courant.
Les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie constituent
les principaux moyens d’analyse des écoulements. Elles se prêtent à décrire les performances d’un système
en fonction des quantités qui entrent et sortent d’un volume de contrôle, même si le processus qui se
déroule à l’intérieur de celui-ci n’est pas connu en détail. Ces équations de conservation ne dépendent
pas d’une géométrie bien précise mais constituent une base générale. La notion de conservation peut être
appliquée en définissant une surface de contrôle qui enferme complètement un domaine appelé le volume
de contrôle.
La masse volumique de l’eau p (voir Annexe III) reste normalement constante (sauf pour des
écoulements biphasiques). Les inconnues à déterminer sont donc la pression p et la vitesse V en fonction
du lieu et du temps. En choisissant une représentation eulérienne avec des coordonnées cartésiennes
(x, y, z), ces inconnues peuvent être exprimées par p = p(x, y, z, t) et V = V(x, y, z^t). Par conséquent,
quatre équations (une pour la pression et trois pour les composantes du vecteur V = (u, v, w)) doivent
être établies.
Comme représenté à la figure 1.2, la coordonnée longitudinale est x, la coordonnée verticale est z et
y caractérise la coordonnée transversale, u, v, w sont respectivement les composantes dans ces directions,
et V = (u2 + v2 + w2)l/1 correspond à la valeur absolue du vecteur de vitesse V.
ÉQUATIONS FONDAMENTALES
5
Fig. 1.2 Notation pour le vecteur de vitesse en espace eulérien.
Pour des écoulements à surface libre, la hauteur d'eau doit satisfaire la condition cinématique et la
condition de pression (normalement pression atmosphérique). Pour des écoulements le long de parois
fixes, la vitesse V doit être parallèle à la paroi.
1.2	Principe de continuité
Le principe de continuité exprime la conservation de la masse, ce qui signifie qu’aucun fluide ne peut
ni être créé, ni disparaître dans un volume donné. Pour des écoulements stationnaires de fluides incom-
pressibles et homogènes, ce principe exprime la conservation du volume (à l’exception de la cavitation)
[19]
ÔU	ÔV	ÔW	_
div(V) = — + — + — = 0.	(1.1)
ox	oy	9z
Les écoulements bidirectionnels, pour lesquels |w| < |u|, donc V~(u, v, 0), constituent un cas particu-
lier de cette équation. 11 est alors possible d’intégrer l’équation de continuité sur la hauteur d’écoulement
h, ce qui donne le résultat suivant [1.9]
Dans le cas le plus simple, celui des écoulements unidirectionnels, la composante de la vitesse latérale
v et sa dérivée par rapport à y sont beaucoup plus petites que u. Autrement dit, l’écoulement se produit
essentiellement dans la direction longitudinale x, donc
= 0 o q = uh	(1.3)
Ox
où q est une constante d’intégration. Celle-ci peut être identifiée avec le débit par unité de largeur. Pour
une section mouillée A = A(h, x) le débit résultant s’exprime par
Q = V A	(1.4)
où V = u est la valeur absolue de la vitesse dans la direction longitudinale x du canal.
6
RAPPEL DES BASES
Pour des conditions non stationnaires dans des canaux rectangulaires de largeur b, l’équation (13)
prend la forme suivante [1.9, 1.10]
9h ô(Vh)\
TT +	= -qL
Ot 0X J
(1.5)
où qL est l’adduction ou la déduction latérale du débit (voir figure 1.3). Cette relation exprime que le
changement local du débit correspond à la variation de la hauteur d’eau h par rapport au temps. Pour
un écoulement sans apport latéral, la somme des changements temporels de la section mouillée et locale
de débit devient nulle.
Fig. 1.3 Ecoulement unidirectionnel non stationnaire, changement de la vitesse V et de la hauteur h en fonction de la coordonnée
longitudinale x et du temps t; qL = qL (x, t) est le débit par unité de longueur qui est ajouté ou soustrait du canal.
1.3	Principe de la quantité de mouvement
1.3.1 Forces extérieures
D’après le troisième théorème de Newton, le produit de l’accélération d’un corps ou d’une particule
par sa masse est égal à la somme des forces extérieures actives. On distingue les forces intérieures des
forces extérieures. Les premières résultent des interactions qui s’exercent à l’intérieur de la masse
considérée. D’après le premier principe de Newton, ces actions sont équilibrées par des réactions; leur
somme est donc nulle, mais le travail de ces forces est différent de zéro. Il est donc important de les
mentionner; les pertes de charge (chap. 2), par exemple, résultent de ces forces internes (forces de
viscosité).
Les forces extérieures agissent sur une surface fermée. On distingue ainsi les forces suivantes [1.6,
1.9, 1.10]:
-	les forces de volume (conséquences de la gravitation ou des champs magnétiques);
-	les forces de pression résultant des composantes normales des forces moléculaires à proximité des
bords de la particule considérée. On notera que la pression p est une quantité scalaire;
-	les forces de viscosité résultant des interactions entre des particules différentes en mouvement dans
un fluide réel. Elles dépendent du coefficient de viscosité et du changement de la déformation
angulaire;
-	les forces de surface (agissant de l’extérieur sur la particule par attraction moléculaire, leur action
est limitée à des couches d’épaisseur très limitée);
ÉQUATIONS FONDAMENTALES
7
-	les forces capillaires (dues à la différence de l'attraction moléculaire de deux milieux differents) et
- les forces géostrophiques (accélération de Coriolis due à la rotation de la terre).
Dans le cadre des constructions hydrauliques, la force de gravitation (pg) par unité de volume, les
forces de pression et les forces de viscosité sont déterminantes.
Le théorème de la quantité de mouvement stipule que les forces extérieures sont en équilibre avec la
force d’inertie spécifique F = p  (dV/dt). Ce principe mène à diverses relations selon les hypothèses faites.
1.3.2 Fluide parfait
Un fluide parfait est un fluide non visqueux incapable de mettre en œuvre des forces de frottement.
L’approche la plus simple ne tient compte que de la force de gravitation et des forces de pression. Avec
la notation vectorielle, l’équation de la quantité de mouvement s’exprime par [1.2, 1.3, 1.6]
dV
P * — + grad(p+pgz) = 0 .	(1.6)
dt
La composante selon la direction x, par exemple, s’écrit
/ôu	t ôu	du	ôu\	ô .	.	_
Pl 77 + u7“ +	+ WT + HP + Pëz) =
\ôt ôx	ôy	ôz/	ôx
(1.7)
inertie
locale
. pression, gravité
convective
Deux équations analogues s’écrivent pour les directions y et z. Ce système constitue les équations
d’Euler.
Avec l’équation de continuité (1.1), l’ensemble des problèmes hydrodynamiques non visqueux peut
être résolu. Le système d’équations est mathématiquement du premier ordre mais non linéaire à cause
des termes convectifs. Ces termes du second degré sont à l’origine de problèmes importants dans la
recherche mathématique des solutions.
1.3.3 Fluide réel
En tenant compte des forces de viscosité on obtient l’équation de Navier-Stokes [1.2, 1.6, 1.8, 1.10]
qui s’exprime comme suit
<V2	\	ôV	-»
p—- -I- p H- pgz ) = — p-p(rotV) x V + pAV
2	/	ôt
(1.8)
où p est la viscosité dynamique (Annexe III). Cette relation vectorielle exprime l’équilibre entre la force
d’inertie et les forces de gravité, de pression et de viscosité. Elle doit être résolue en tenant compte des
conditions aux bords solides, où V = 0. L’équation (1.8) est du deuxième ordre à cause du terme laplacien
AV. Pour des écoulements laminaires, p est un coefficient qui dépend du fluide considéré et de sa
température. Pour des écoulements turbulents, par contre, p dépend en plus de la structure interne de
l’écoulement [1.2, 1.6].
8
RAPPEL DES BASES
1.4 Equation de Bernoulli
Dans le cas stationnaire (ôV/ôt = 0), irrotationnel (rot V = 0) d’un fluide parfait de viscosité p = 0,
l'équation (1.8) se simplifie et devient
,/pV2
gradl 5— + p 4- pgz
donc
p V2
— 4- —
Pg 2g
(1.9)
(1.10)
où H est une constante d’intégration. Cette relation est connue sous le nom d'équation de Bernoulli., H
est la charge, p/(pg) la hauteur de pression et V2/(2g) la hauteur de vitesse. Pour un écoulement
stationnaire d’un fluide parfait, l’équation (1.10) exige que la somme de la hauteur z d’une particule par
rapport à un niveau de référence fixe et de ses hauteurs de pression et de vitesse reste constante le long
d’une ligne de courant (fig. 1.4).
Fig. 1.4 Explication de l’équation de Bernoulli pour une particule sur une ligne de courant s d’un fluide parfait à condition d’écoulement
stationnaire.
Pour un tube de courant, comprenant plusieurs lignes de courant, la constante peut varier d’une ligne
à l’autre. La charge H ne reste constante dans le domaine entier de l’écoulement que pour un écoulement
potentiel.
1.5 Ecoulements courbes
Un écoulement potentiel plan de débit q par unité de largeur comporte des lignes de courants
différentes les unes des autres, celles situées près des bords (le radier et la surface pour des écoulements
à surface libre) étant particulièrement intéressantes. Normalement, on connaît la géométrie du radier du
canal z(x), le débit q par unité de largeur et on cherche la surface libre de l’écoulement. Ce but est atteint
par intégration des équations eulériennes (1.6), en spécifiant les conditions aux bords du domaine
considéré. Evidemment, il ne s’agit pas d’un calcul élémentaire; des solutions approchées et plus simples
permettant de déduire les caractéristiques les plus importantes de l’écoulement sont donc d’un grand
ÉQUATIONS FONDAMENTALES
9
intérêt. Les développements présentés ci-après se rapportent au cas, souvent rencontré dans la pratique,
des écoulements à filets à faible courbure et peu inclinés. Les résultats découlent d’une procédure de
résolution plus simple que celle concernant l’écoulement à deux dimensions.
En désignant par s la coordonnée le long des lignes de courant et n celle qui lui est perpendiculaire
en chaque point, les équations d’Euler pour des écoulements plans et stationnaires s’expriment comme suit
[1.3, 1.10]
-, 9V	1 9p	9z
V — =---------- — g —,
9s	p 9s	9s
(1-11)
V2	1 9p	3z
— =------- — g —,
R	p 9n	9n
(1.12)
où z est la coordonnée verticale mesurée à partir du fond du canal et V la valeur absolue de la vitesse
(fig. 1.5). L’équation (1.11) correspond à la dérivée de l’équation (1.10) suivant la direction s. L’équation
(1.12) indique la répartition de la pression le long d’une ligne potentielle de longueur N.
Fig. 1.5 Notations pour des écoulements courbes à deux dimensions; «o» et «u» caractérisent les lignes de courants de la surface libre
et du fond du canal.
Lorsque 9H/9n = 0 (écoulement potentiel), et en éliminant la pression avec l’équation (1.10), l’équa-
tion (1.12) s’écrit
ÊY = Y = kv
9n R
(1.13)
où R= 1/k est le rayon de courbure de la ligne de courant au point considéré de l’écoulement. Les
inconnues, les composantes du vecteur de la vitesse et la pression p en fonction de x et de z ne peuvent
être déterminées à partir des deux équations (1.10) et (1.13). Cependant, si les variations de l’angle 0 et
de la courbure k (fig. 1.5) avec la coordonnée transversale n en une section sont supposées linéaires entre
les deux lignes de courant aux bords de l’écoulement (c’est-à-dire entre le fond du canal et au point à la
surface correspondant), on obtient
0(v) = 0u + (0o-0u)v,	(1.14)
k(v) = ku + (ko—ku)v	(1.15)
dans lesquelles v = n/N, N = N(x) étant la longueur de la normale. Cette approche permet la séparation
des quantités recherchées V(s, n) et p(s, n) en V(n), V(s) et p(n), p(s). En éliminant k(v) des équations
(1.13) et (1.15), la répartition transversale de la vitesse devient [1.4]
10
RAPPEL DES 1ASES
V/Vo = 1 + Nko(r(v—1) -F (l-r))|
(1.16)
avec r = ku/ko et Vo comme vitesse à la surface. Avec la relation géométrique h/N = 1 — (3z'2 + 3z'h' + h/2)/6
et ku~z", ko~z" + h", où les primes indiquent des dérivées par rapport à la coordonnée longitudinale
x, l’équation (1.16) s’écrit également [1.4]
q/h
3z'2 + 3z'h' -|- h'2	, /	1\
------------------------1- hz I v-------1
6	\	2/
,, „/3v2 -
-I- hh I----------
\	6
(1.17)
La répartition transversale de la pression p(n) se calcule au moyen de l’équation suivante
= (l-v; + -%[2hz"( - v) + hh"(l—v2)];
Pgh	2gh
(1.18
celle-ci emporte deux membres, à savoir la répartition hydrostatique p/(pg) = h — z et la répartitio -
d^ namiq te. La figure 1.6a) montre les répartitions de la pression et de la vitesse dans un écoulement an
trt. /ers o un canal à fond courbe vers le haut (z" > 0) et vers le bas (z" < 0) pour z' = h' = 0 (extrema du
rcnd et du profil de surface). Les équations (1.17) et (1.18) permettent de considérer que ces répartitions
provennent de la répartition non hydrostatique des pressions et de la répartition non uniforme des
vitesses.
Avec H = h+Vj^(2g) où Vo = V(v = 1 ) est la vitesse en surface, l’équation de Bernoulli modifiée s’écrit
[!.4j
H = z + h + -5L-F1 + —- - + hz" - h'z' - z'2
2gA2L 3
(119*
h = h(x) étant la hauteur de pression (à ne pas confondre avec la longueur de la normale N et la hauteur
d’eau t (fig. 1.6b)).
Fig. 1.6 a) Répartitions de pression et vitesse dans un canal à extrema du profil de fond z(x); b) hauteur de pression h, longueur de
la normale N et hauteur d’eau t dans un canal à pente constante Js= — z', z" = 0.
ÉQUATIONS FONDAMENTALES
11
L’équation (1.19) ue s’applique qu’à des écoulements dont la pente et la courbure des lignes de
courants sont faibles (les valeurs absolues de h'2, hh", h'z', z'2, hz" en un endroit ne doivent pas dépasser
approximativement 1/2). Une fois z=z(x) spécifié et deux conditions aux limites imposées, l’intégration
de l’équation (1.19) permet d’obtenir le profil de la surface libre h(x). Les répartitions de la pression et
de la vitesse en un point quelconque résultent ensuite des équations (1.17, 1.18). Le ressaut ondulaire
constitue une application type de l’équation (1.19) et est discuté dans [1.5].
Pour des écoulements dont les lignes de courants sont très peu inclinées et présentent une faible
courbure, l’équation (1.19) se simplifie et devient
H = z + h +
Q2
2gA2
(120)
Cette relation correspond à l’équation d’énergie utilisée normalement en hydraulique. Elle peut être
établie i partir des équ.. lions eulériennes en faisant les hypothèses de
-	répartition uniforme des vitesses, V = u, v = w = 0, et de
-	répartition hydre Gotique des pressions, p/(pg)=h —z.
Ces simplifications sont restrictives et des informations essentielles sur la structure interne de
l’écoulement sont ainsi perdues.
D’autre part, l’application de l’équation (1.20) à des problèmes hydrauliques est simple; c’est la
principale raison pour laquelle la plupart des problèmes hydrodynamiques sont abordés par une
approche hydraulique.
1.6 Equation intégrée de la quantité de mouvement
11 existe un grand nombre de problèmes techniques pour lesquels il suffît de connaître les caractéristi-
ques de l’écoulement autour de la surface du volume de contrôle sans qu’il soit nécessaire d’en connaître
la structure interne. Comme on l’a vu au paragraphe 1.3, le théorème de la quantité de mouvement
exprime que le changement temporel de lu force d’inertie soit en équilibre avec les forces externes agissant
sur le volume de contrôle. Le choix de ce volume est arbitraire, mais on doit être capable de le tracer d’un
trait. Le choix doit é1 .lemment être tel que le théorème de la quantité de mouvement s’applique
facilement (fig 1.7).
Fig. 1.7 Choix du volume de contrôle (hachuré) pour le problème de bifurcation d'un jet sur une paroi, a) lignes de courant parallèles
dans chacune des trois sections, b) lignes de courants courbes, problème bidirectionnel.
12
RAPPEL DES BASES
Le théorème de la quantité de mouvement exige que
— = R	(1.21)
dt
où dl/dt est la dérivée substantielle de l'impulsion par rapport au temps t et I =m • V. R correspond
à la résultante des forces extérieures qui se compose normalement des forces de gravité, de pression et
de viscosité.
Pour des écoulements stationnaires, l'équation (1.21) se simplifie en [1.9, 1.10]
JpVdQ = R;	(1.22)
la différence des quantités de mouvement entrant et sortant du volume de contrôle est égale aux forces
extérieures agissant sur ce volume fixé. Cette relation ne demande pas la connaissance des mécanismes
internes de l’écoulement.
L'équation (1.22) peut être simplifiée dans le cas où l'écoulement est déterminé par un tube de courant;
soient Aj et A2 les sections d’entrée et de sortie et S2 les deux directions correspondantes (fig. 1.8).
Pour un fluide de masse volumique p variable, le théorème de la quantité de mouvement exige que [1.7]
(Pi +pjVj)A1cosÔ1 — (p2 + p2V2)A2cos52 = Rcosô	(1.23)
où V est la valeur absolue de la vitesse et Rcosô la résultante des forces extérieures, à l’exception des
forces de pression agissant sur les sections Aj et A2. On appelle force de courant [1.1, 1.7]
S = (p+pV2)Acosô	(1.24)
la somme de la force de pression et de la quantité de mouvement dans une section de surface A.
L’équation (1.23) exprime donc que la différence des forces de courant est égale à la somme des forces
extérieures RcosS entre deux sections. Elle est valable quelle que soit l'orientation de l’axe de référence
considéré. On considère que p et g sont des valeurs constantes; il est d'usage d’exprimer la quantité S/(pg)
par Vimpulsion totale S[m3], (spécifie force; Stützkraft) [1.7].
Fig. 1.8 Application du théorème de la quantité de mouvement intégré sur l’écoulement dans un tube de courant.
(• • •) axe de référence.
R peut correspondre à des composantes de forces s’exerçant sur la surface de contrôle, à des apports
de débit, à la composante de la gravité ou aux forces de frottement dans la direction considérée. Des
applications de l’équation (1.23) sont présentées aux chapitres 4, 10, 15 et 16.
ÉQUATIONS FONDAMENTALES
13
1.7 Hydraulique des écoulements
L’hydraulique, à la différence de l’hydrodynamique, traite les écoulements par une approche uni-
directionnelle. En résumé, l’hydraulique des écoulements stationnaires se base sur deux hypothèses
essentielles, à savoir:
-	répartition uniforme des vitesses dans une section et
-	répartition hydrostatique des pressions.
Avec ces deux hypothèses, l’écoulement stationnaire est régi par les équations suivantes:
continuité,	Q = V-A;	Q' = ±qL.	(1.25)
charge,	V2 H = z 4- h 4- —; 2g	H' = -JE,	(1.26)
impulsion totale	S = hpA 4- QV/g;	S' = -jfa,	(1.27)
où JE et JF sont respectivement les changements longitudinaux de la charge H et de l’impulsion totale
S. hp correspond à la distance verticale entre la ligne de pression (surface libre pour des canaux
découverts) et le centre de gravité de la section A considéré (fig. 1.9). Ces équations s’appliquent aussi
bien aux écoulements en canaux découverts qu’aux conduites en charge pour lesquelles h->p/(pg).
Fig. 1.9 Force de pression F= pghpA a) dans une conduite en charge, b) dans un canal découvert. (• • •) ligne de pression, (—) ligne
de charge, (------------------------------------------------) ligne de centre de gravité.
Dans de nombreux cas, les termes dynamiques des équations (1.26) et (1.27) sont multipliés par des
coefficients de correction, notamment a • (V2/2g) et P • (Q • V/g) où
fu • (u2 4-v2 + w2)d A
a = i--------------------,	(1.28)
V’A
fu2 • dA
P = J________.	(1.29)
P V2A
Ces deux termes tiennent compte de la répartition non uniforme des vitesses et Jaeger [1.7] démontre
que 1 p a. a et P ne peuvent évidemment être déterminés que par des approches spatiales. Leurs effets
14
RAPPEL DES BASES
sur l’écoulement ne sont pas encore complètement analysés. Dans la pratique de l’hydraulique, on admet
que a = p= 1 pour les écoulements turbulents.
Dans ce qui suit, rapproche hydraulique sera préférée. On ne considérera que des problèmes en
écoulements stationnaires soit en charge, soit à surface libre.
Références
[1.1]	Carlœr, M., Hydraulique générale et appliquée, Collection de la Direction des Etudes et Recherches
d’Electricité de France, Vol. 14, 2e édition, EyroUes, Paris, 1980.
[1.2]	Comolet, R., Mécanique expérimentale des fluides, Masson, 1982, 3e édition, Paris.
[1.3]	Daily, J.W., Harleman, D.R.F., Fluid dynamics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1966.
[1.4]	Hager, W.H., Hutter, K.., «Approximate treatment of open channel flow», Acta Mechanica, Vol. 51, 1,
1984, 31-48.
[1.5]	Hager, W.H., Hutter, K., «On pseudo-uniform flow in open channel hydraulics», Acta Mechanica,
Vol. 53, 1984, 183-200.
[1.6]	Hug, M., éditeur, Mécanique des fluides appliqués, Eyrolles, Paris, 1975.
[1.7]	Jaeger, C., Hydraulique technique, Birkhâuser, Bâle, 1949.
[1.8]	Marchi, E., Rubatta, A., Meccanica dei fluidi, UTET, Torino, 1981.
[1.9]	Méhauté Le, B., Hydrodynamics, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1976.
[1.10]	Truckenbrodt, E., Strômungsmechanik, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1966.
Notations
A	[m2]	section mouillée	S	[m3]	impulsion totale
b	[m]	largeur du canal rectangulaire	S	[N]	force de courant
F	[N]	force	t	[s]	temps
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle	t	[m]	hauteur d’eau sur canal en pente
h	[m]	hauteur d’eau	u	[ms‘]	vitesse dans la direction de x
hp	[m]	hauteur de pression	v	[ms-’j	vitesse dans la direction de y
H	[m]	charge	V	[ms"’]	valeur absolue de la vitesse
r	[Ns]	impulsion	V	[ms’’]	vecteur de vitesse
Je	[-]	pente de la charge	vo	[ms-’]	vitesse de surface
•If	[-]	pente de l’impulsion totale	w	[ms’]	vitesse en direction de z
J,	[-1	pente du radier	X	[m]	coordonnée longitudinale
k m	[m"*] [kg]	courbure niasse	y	[m]	coordonnée transversale horizon- tale
n	[m]	coordonnée transversale courbe	z	[m]	coordonnée transversale verticale
N	[m]	normale	a	[-]	coefficient d’énergie cinétique
P q	[Nm~2] [m2s-']	pression débit par unité de largeur	P	[-1	coefficient de quantité de mouve- ment
qL Q	[m2s~ '] [m3s~‘]	débit par unité de longueur débit	5	[-]	angle d’orientation de la section de contrôle
r R	[-] [m]	rapport de courbures rayon de courbure	S	[-]	angle de la résultante de la force extérieure
R	[N]	résultante des forces extérieures	e	[-1 .	angle de la ligne de courant
R	[N]	valeur absolue de la résultante des forces extérieures	p p	[kgm [Nsm	’] masse volumique 2] viscosité dynamique
s	[m]	coordonnée curviligne longitudi- nale	V	[-]	coordonnée transversale normalisée
Pertes de charge
Visualisation d’écoulements à deux dimensions: a) élargissement brusque, b) rétrécissement brusque, c) coude à angle vif,
d) jonction et e) bifurcation.
6
RAPPEL DES BASES
2.1	Introduction
L’écoulement de fluides peut être décrit par des relations qui tiennent compte de l’interaction entre
•’a pression et la vitesse. La charge H comporte les éléments suivants
d V2
H = z + — + 2-	(2.1)
Pg 2g
où z est la hauteur de la particule considérée par rapport à un niveau de réference fixé, p/(pg) la hauteur
le pression et V2/(2g) la hauteur de vitesse. Pour un fluide parfait, la charge H reste constante le long
du chemin de la particule. Pour un fluide réel, par contre, H diminue dans la direction de l’écoulement,
dH/dx < 0. Ceci est dû à la nature visqueuse du fluide qui dissipe une partie de l’énergie mécanique. Ainsi
'écoulement lui-même conduit à une perte d’énergie mécanique et ce phénomène constitue la perte de
charge. La somme de toutes les formes d’énergie reste évidemment constante dans le temps et l’espace,
conformément au théorème de la conservation de l’énergie.
Selon l’origine des pertes de charge, on distingue les pertes de charge réparties AHR d’une part et les
pertes de charge locales AHL d’autre part. Les premières sont une conséquence de la viscosité du fluide
et de la rugosité des parois. Par contre, les pertes de charge locales sont dues aux mouvements internes
le l’écoulement et, comme leur nom l’indique, elles se manifestent seulement en des endroits bien
précis (singularités). La perte de charge totale AHT entre deux sections correspond à la somme
AHt=AHr4-AHl. Ce chapitre traite des deux types de pertes de charge dans des conduites en charge,
nais sans s’étendre de manière détaillée ni sur la théorie de la turbulence, ni sur la structure interne de
l’écoulement. Ces aspects sont présentés de manière complète par Carlier [2.4], Comolet [2.6], Daily et
Harleman [2.8], Hug [2.20], Idelcik [2.21], Schlichting [2.34] et Ward-Smith [2.39].
2.2	Pertes de charge réparties
2.2.1 Ecoulement turbulent
Considérons une conduite circulaire en charge rectiligne prismatique à rugosité de paroi uniformé-
ment répartie. L’écoulement dans cette conduite est supposé stationnaire avec un fluide de température
*t de viscosité constantes. Quelles sont les caractéristiques de l’écoulement?
Cette question a été traitée par un grand nombre de chercheurs, mais une réponse complètement
satisfaisante n’a pas encore été trouvée. Du point de vue pratique, par contre, des réponses correctes
•euvent être apportées aux questions les plus importantes. Hagen (1797-1884) fut le premier à faire une
distinction entre l’écoulement laminaire et turbulent. Le mouvement des particules du premier suit des
lignes de courant bien définies. L’écoulement turbulent, par contre, se caractérise par une superposition
le composantes moyenne et oscillatoire par rapport au temps. Cette dernière est due à des fluctuations
ransversales importantes, comme cela a été démontré expérimentalement par Hagen. Plus tard, au début
du XXe siècle, Prandtl (1875-1953) et ses collaborateurs, entre autres, ont essayé de quantifier ce
phénomène. Les résultats qu’ils ont obtenus mettent en évidence les relations entre la répartition
transversale des contraintes de viscosité et la vitesse. La plupart des résultats dépendent du nombre
adimensionnel
PERTES DE CHARGE
17
dans lequel V est la vitesse moyenne, D le diamètre de la conduite et v la viscosité cinématique du fluide
(voir Annexe III). Ce nombre porte le nom de Reynolds (1842-1912), qui a apporté d'importantes
contributions à l'analyse du problème de perte de charge dans les conduites. La transition entre
l'écoulement laminaire et l'écoulement turbulent se situe près de R ^2300.
La perte de charge répartie AHR divisée par la longueur L du tronçon concerné est appelée pente de
frottement Jf=AHJL. Selon Darcy-Weisbach Jf s’écrit, pour le profil circulaire
V2 f
2g D
(2.3)
où g est l'accélération gravitationnelle, f est le coefficient de frottement (ou coefficient de résistance) et a
été déterminé expérimentalement par divers chercheurs, notamment des collaborateurs de Prandtl.
Moody a été le premier à présenter un abaque y relatif, qui porte aujourd'hui son nom. Pour des conduites
du commerce, dans lesquelles la répartition locale des éléments de rugosité est accidentelle (par opposition
à une répartition artificielle), Colebrook et White proposent pour le régime turbulent [2.8]
o i I” e _i_ 2,51“
- 2 • log — 4------------
l_3,7	R JfJ
R > 2300
(2-4)
dans laquelle caractérise la rugosité relative des parois. k8[m], appelé rugosité équivalente de
sable, est égal au diamètre des grains de sable, homogènes et uniformément répartis qui provoqueraient
la même perte de charge que la surface de rugosité naturelle d’une conduite du commerce. La figure 2.1
Fig. 2.1 Diagramme de Moody représentant le coefficient de frottement f en fonction du nombre de Reynolds R et de la rugosité relative
e=k^D. (------------) régime lisse, (—) 0,75% et (• ••) 1,5% de déviation par rapport à f(€,R-*oo). (--) régime laminaire.
représente l’équation (2.4) en coordonnées logarithmiques. Pour les écoulements turbulents pour lesquels
f est uniquement fonction de la rugosité relative £ = kg/D, l’écoulement est hydrauliquement rugueux. Si
f dépend uniquement de R, l’écoulement est dit hydrauliquement lisse. Entre les deux régimes d’écoule-
ment se trouve une zone de transition dans laquelle f = (R,e).
18
RAPPEL DES BASES
La fonction f=64/R, valable pour R <2300, est également représentée dans la figure 2.1; elle décrit
la variation du coefficient de frottement pour le régime laminaire.
Pour R^ 107 et e < 10-6, le coefficient de frottement f est indépendant de e et correspond au minimum
possible, caractérisé par le régime turbulent lisse. La perte de charge est alors uniquement due à la
viscosité v du fluide. Si e croît, par exemple à e = 10~4, l’écoulement se trouve en régime transitoire, et
les effets de R et £ ont une influence sur f. Enfin, en augmentant e jusqu’à e = 10“2 (soit par kg croissant
ou par une réduction du diamètre D), l’écoulement est caractérisé par le régime turbulent rugueux. On
constate que f±r4 • 10“2 pour R> 105.
Le coefficient de frottement correspondant au régime lisse, f=f(R,E->0) est représenté par la courbe
traitillée. Les courbes qui correspondent à 0,75% et 1,5% de déviation de f par rapport au régime
rugueux, f=(e,R-*oo) sont également représentées sur cette figure. La dernière valeur peut être considé-
rée comme une limite raisonnable pour la pratique. Par conséquent, toutes combinaisons de (e,R) qui
se trouvent au-dessus de la courbe pointillée, décrite par [2.18]
1050
(2.5)
peuvent être admises comme hydrauliquement rugueuses.
L’écoulement turbulent dans les conduites circulaires est influencé par les cinq paramètres Q, D, Jr,
kg et v. La vitesse V=4Q/(tcD2), le coefficient de frottement f=2gDJf/V2, le nombre de Reynolds
R = 4Q/(îtvD) et la rugosité relative e = k^/D peuvent être déterminés à l’aide de ces paramètres de base.
Dans les problèmes, quatre des cinq paramètres doivent être donnés et le cinquième peut être calculé à
l’aide des équations (2.3) et (2.4). En pratique, trois questions se posent:
1)	Détermination de la pente de frottement Jf,
2)	Détermination du débit Q, et
3)	Détermination du diamètre D.
La première question peut être résolue d’une manière élémentaire à l’aide de la figure 2.1. Une fois
le coefficient de frottement f déterminé, Jr se calcule selon l’équation (2.3).
Le deuxième problème nécessite la combinaison des équations (2.3) et (2.4). En posant
Q N Tgj^
4^’ v
(2.6)
on obtient pour le débit relatif
K i
q-------;=  lo«
V2
g 2,51
.3,7 + V2Nj ’
(2-7)
relation représentée dans la figure 2.2. On constate que q augmente en même temps que e'1 et N. Sont
à nouveau indiquées la courbe correspondant à 0,75% de déviation de f selon la figure 2.1 et, en pointillé,
la limite entre les régimes transitoire et rugueux, correspondant à 1,5% de déviation de q par rapport
à q(E,N->oo). Cette courbe peut s’exprimer de façon approchée par [2.18]
er = (0,01N)-'0'’.	(2.8)
Le troisième problème, qui consiste en la détermination du diamètre D pour Q, Jf, ks et v connus, peut
être résolu à l’aide de [2.36]
PERTES DE CHARGE
19
où
Fig. 2.2 Détermination du débit q=Q/(gJfDs),/I en fonction de Ns=(gJfDï),/2/v et £ = kJD selon l'équation (2.7). (---) régime lisse,
(—) 0,75% déviation en f selon la figure 2.1, (•••) 1,5% déviation en q par rapport au régime rugueux.
V* =
_ k? ~|D*3'2
'	’	3,7D* J 1,776
(2.9)
D* = D/DO, ks*=k,/D0, v* = vDo/Q,
Do = [Q2/(gJf)],/5 •
(2.10)
L’équation (2.9) est implicite en D* = D*(v*,kJ). Elle est représentée à la figure 2.3 en coordonnées
semi-logarithmiques. On constate que, pour des valeurs usuelles 10-6<kJ<10-2, D*ne varie que dans
Fig. 2.3 Détermination du diamètre D* = D/DO en fonction de v* = vDo/Q et k,* = k^Do selon l'équation (2.9). (-) régime lisse,
(—) 0,75% déviation en f selon la figure 2.1, (• • •) 1,5% déviation en D* par rapport au régime rugueux.
20
RAPPEL DES BASES
le domaine 0,35 < D* <0,55. Par contre, f, selon la figure 2.1, est compris entre 5 - 10~3 < f < 5 • 10-2 pour
10-6<e< 10-2. L’effet de v* et k* sur D* est donc relativement faible. Ici encore, les courbes limites
correspondant à une déviation de 0,75% par rapport à f selon la figure 2.1 et 1,5% par rapport à D*
sont rapportées. La dernière peut être exprimée de façon approchée par [2.18]
kj = (60v*),0/9 .	(2.11)
Cependant, il convient de noter que l’équation (2.11) entraîne des écarts de 7% sur f. L’équation
[2.11) s’applique donc uniquement à la détermination du diamètre.
Exemple 2.1
Soit donnés Q= 10m3s-1, Jf=0,01, k,= 10-3m et v= 1,15 • 10-6m2s-1. Quel est le diamètre D à choisir?
Avec DO=[1(F/(9,81 • 0,01)]l,5=4,00m on obtient v* = 1,15 • 10-6 • 4/10=4,6 • 10 7 et ks*=0,001/4=
2,5 • 10-4, d’où D*=0,429 selon la figure 2.3, donc D=0,429 • 4= 1,72m. L’écoulement se trouve dans le
régime turbulent rugueux.
Exemple 2.2
Déterminez le débit Q pour les données de l’exemple 2.1, à savoir k,= 10-3m, v= 1,15 • 10-6m2s-1 et
D= 1,72m si Jf=5 10 3!
AvecN = (9,81 • 0,005 • l,723)1/2/l,15 • 10-6=4,35 • 105 et 8=0,001/1,72 = 5,8 • 10-4 d’après les équations
(2.6), l’équation (2.7) indique que q= — n/^/2 - log[(5,8 • 10-4/3,7)-|-2,51/(^/2 • 4,35 • 105)) = 8,42m donc
Q = 8,42(9,81 • 0,005 • l,725)1/2 = 7,24m3s-1. L’écoulement se trouve également dans le régime turbulent
rugueux.
Exemple 2.3
Quelle est la pente de frottement Jf nécessaire si Q=lm3s-1, D= 1,72m, kg=10-3m et
v= 1,15 • 10-6m2s-1?
Avec V = 4- l/(7t- l,722)=0,43ms-1, donc R=0,43  1,72/1,15 • 10-6= 6,4 • 105 et 8 = 0,001/1,72 =
5,8 • 10-4, la figure 2.1 indique f = 1,8 • 10-2, donc Jr=0,432 • 0,018/(19,62 - 1,72) = 10-4 selon l’équation (2.3).
Cet écoulement se trouve dans le régime transitoire, parce que e, = 1,64 • 10"3 > e = 5,8 • 10 “4, voir l’équation
(2.5).
Un écoulement peut être considéré comme pratiquement lisse, si l’effet de ks sur Jf, Q ou D est inférieur
à 1,5% par rapport à k^=0 (régime hydrauliquement lisse). En comparant les équations (2.3) et (2.4) avec
l’équation (2.4) pour ks = 0, les limites suivantes peuvent être établies [2.18]
e8 =	(3,475R)-0,9	pour	Jf,
es =	(3,125N)-0’9	pour	Q,et	(2.12)
k* =	(l,31v*)8/9	pour	D.
L’indice «s» caractérise la limite pratique entre les régimes lisse et transitoire. Si e<es ou k*<k*s,
l’écoulement peut être analysé avec suffisamment de précision en posant 1^=0. Si E>Er d’après les
équations (2.5) et (2.8) pour la détermination de Jf et de Q, ou kj>k* d’après l’équation (2.11) pour la
détermination de D, l’écoulement se trouve dans le régime rugueux. Les inconnues Jf, Q ou D peuvent
être déterminées alors avec suffisamment de précision en posant v-»0, donc R-»oo. Par contre, si
Er < e < es ou k* < k* < k*, l’écoulement se trouve dans le régime transitoire, et les effets de la rugosité des
parois (ks) et de la viscosité (v) doivent être considérés.
2.2.2 Régimes turbulents lisse et rugueux
Les figures 2.1 à 2.3 montrent que le domaine de l’écoulement turbulent transitoire est relativement
petit. Par conséquent, les applications se situent le plus souvent dans les régimes turbulents pratiquement
PERTES DE CHARGE
21
lisse ou rugueux. Il importe donc de chercher des formules simplifiées applicables à ces deux derniers
régimes [2.37].
Par la suite une distinction entre les régimes turbulents pratiquement lisse ou rugueux sera faite pour
les trois problèmes considérés, notamment pour la détermination de la pente de frottement Jf, du débit Q
et du diamètre D.
Régime pratiquement lisse
Pour un écoulement pratiquement lisse, l’équation (2.4) se simplifie et devient
2 • log
2,51
.R VfJ’
(2-13)
qui est une relation implicite en f=f(R). Selon Swamee et Jain [2.36], la relation explicite
f =
2 • log
-2
(2.14)
est une approximation de l’équation (2.13) avec une précision meilleure que 1,5%, si 5 • 103<R< 108.
Soit donnés Q,D,v et e<es où es est défini par l’équation (2.12); la pente de frottement devient alors
8 Q2
7C2 gD5
2 • log
(2.15)
La partie gauche de la figure 2.4a) représente N = (gJfD3)1/2/v en fonction de R.
Parce que R>/f=\/2N, l’équation (2.14) donne explicitement le débit relatif
Vgïp5
2,511
_V2Nj’
(2.16)
relation représentée dans la partie gauche de la figure 2.4b).
Enfin, étant donné que R et f dépendent de D, l’équation (2.13) est implicite pour la détermination
du diamètre. Pourtant, dans le domaine 10-9<v*< 10~3, correspondant à 104<R<4 • 109, le diamètre
D* s’exprime par l’équation suivante [2.18]
2
D* = | log
54,64
log(v*)
(2.17)
La partie gauche de la figure 2.4c) représente l’équation (2.17).
Régime pratiquement rugueux
Pour un écoulement pratiquement rugueux, l’effet de la viscosité peut être négligé, v-+0, donc R-*oo.
L’équation (2.4) se réduit à
- 2 • log
e
V
(2.18)
La pente de frottement Jf et le débit Q = q(gJfD5)1/2 se calculent par conséquent comme suit
Î2
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.4 Relations entre les caractéristiques de l’écoulement, a) pente de frottement, b) débit relatif, c) diamètre relatif, régime lisse (à
-gauche) et régime rugueux (à droite). R=VD/v, N = (gJfD3)l/2/v, e = k^D, q=Q/(gJfDs)l/2, v*=vD(7Q, D* = D/Do, k* = kJDo avec
D.MQ^gJf)]1'5-
4	' log(e/3,7)
girD	>/2
(2.19)
où E = kg/D. Les parties droites des figures 2.4a) et b) représentent q '(e) et q(e).
Finalement, pour Jf, Q, ks et v donnés, le diamètre D peut être déterminé à l’aide de [2.18]
D* = k*0,03/l,853 , 10~8 < s < 7 • 10~4;
D* = k*1/16/l,422, 7 • 10-4 < e < 7  10“2,
(2.20)
représentées dans la partie droite de la figure 2.4c).
PERTES DE CHARGE
23
Exemple 2.4
Reprenons l’exemple 2.1 où k,*=2,5 • 10-4>k£=(60 • 4,6 • 10-7),0/’=8,6 • 10~6 selon l’équation (2.11).
L’écoulement se trouve donc dans le régime rugueux. En appliquant l’équation (2.20), le diamètre D*
s’exprime par D*=(2,5 • lO-4)0,03/!,853=0,421 donc D=0,421 • 4= 1,68m, comparé à D= 1,72m selon
l’exemple 2.1. On vérifie que e= 1,49 • 10~4<7 • 10~4.
Exemple 2.5
Soit Q = lOm’s-’, Jf=0,01, k,= 10"sm et v= 1,15 • lO'SnV. Quel diamètre D faut-il choisir?
Compte tenu de la faible valeur de k,, l’écoulement pourrait se trouver dans le régime pratiquement lisse.
Pour les valeurs Do=[102/(9,81 • 0,01 )]vs=4.00m et v*= 1,15 • 10“6 • 4/10=4,6 • 10~7, on obtient k* = 10"5/
4=2,5 • 10~6~(1,31 • 4,6 • 10“7)8/9 = 3 • 10-6=k£ résultant de l’équation (2.12)3. L’équation (2.17) s’applique
donc de façon approchée et donne D*=0,4 - log[—54,64/log(4,6 • 10"7)]=0,374, d’où D=0,374 • 4= 1,50m.
Par rapport à l’exemple 2.4, la réduction du diamètre est de (1,68 —1,5)/1,5= 12%.
2.2.3 Formules empiriques du domaine rugueux
Il est intéressant de comparer les résultats précédents avec des formules empiriques proposées
ultérieurement. La forme la plus simple s'exprime par l’équation
V = CJ^D»
(2.21)
dans laquelle % est un exposant et C un coefficient de proportionnalité qui dépend uniquement des
caractéristiques de rugosité. Le débit relatif q=Q/(gJfD5)1'2 devient donc
5 . C . ni-i/2
4 x/g
(2.22)
En comparant cette formule avec l’équation (2.16) pour le régime pratiquement lisse, on constate que C
dépendrait également de N, donc de D, Jf et v, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse qui veut que
C soit uniquement fonction de la caractéristique de rugosité k,.
Par contre, en comparant les équations (2.19) et (2.22)
- 2 V2 • log(E/3,7) = CD1’1'2/^
(2.23),
on constate qu’il existe une relation entre k,, D et C dans le régime turbulent rugueux. Il s’agit donc
d’éliminer le diamètre D pour établir une relation unique entre C et kg. Avec C[m’ -xs~ ’] et C/Vg [m1/2 ~x],
l’expression d = [C/Vg]2/(1~2x) a la dimension d’une longueur. Soit ê=k8/d et 8 = D/d; l’équation (2.23)}
s’écrit alors
- 2 ^2 • log[e/(3,7S)] = d(1~2x)/2 • Dxl/2 = 5x"l/2.
(2.23)2
Cette fonction est représentée à la figure 2.5a) pour différentes valeurs de x> 1/2. On constate que,
pour chaque %> 1/2 fixé, la fonction e(£) possède un maximum, emax, représenté par une ligne pointillée
dans la figure 2.5a). Au voisinage de cette ligne, ê reste presque constant, et Ê=Ë(%) uniquement. Par
conséquent, il existe des domaines de 5 pour lesquels x seul permet de définir e. En d’autres termes, une
valeur de x donnée ne décrit la rugosité e que pour un domaine de 8 limité. Il importe donc de spécifier
le domaine de 8 qui intervient dans les applications.
Selon la figure 2.1, le domaine rugueux que l’on trouve le plus souvent se situe entre
5 • 10-4<e<5 • 10-2 pour des nombres de Reynolds 105<R< 107. Par conséquent, avec e = (e/8), le
domaine de 8 se trouve entre 103 < 8 < 106 (fig. 2.5b). En reportant ce domaine de 8 dans la figure 2.5a),
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.5 a) Relation e(5) pour divers exposants x dans le domaine rugueux, b) e/S en fonction de S et x- (-----------------) domaine d’intérêt.
~.n constate que 0,65 <x <0,75 satisfait l’exigence que e(ô) devienne maximal. En particulier, la valeur
= 2/3 semble constituer le meilleur choix.
En comparant ce résultat avec les formules empiriques du type de l’équation (2.21), notamment [2.4],
V = Cjf^D1'2
V = C2J}/2D2/5
V = C3J}/2D0’7
V = c4jJ/2d2/3
v = c5jJ/2d5/8
Chézy (1775),
Gaukler (1868),
Forchheimer (1914)
Manning (~ 1885),
Christen (---),
(2.24)
mies les propositions de Forchheimer, Manning et Christen semblent raisonnables. Compte tenu des
commentaires précédents, l’équation de Manning (2.24)4 semble la meilleure des trois. En effet, surtout
u vu des résultats des mesures de Strickler [2.35], cette formule est très utilisée et s’applique aujourd’hui
dus la forme suivante
V = K • J}/2 • R2'3,	(2.25)
Lh étant le rayon hydraulique. K est le coefficient de rugosité et possède la dimension K[m1/3s-1]. Pour
une conduite circulaire, Rh = D/4, donc C4=K/42/3.
Beaucoup d’autres formules empiriques ont été proposées, chacune dans des domaines d’application
ien précis, mais de formes plus compliquées que l’équation (2.21) [2.12], [2.35]. On constate que toutes
ces formules sont valables si les domaines d’application sont strictement respectés.
k.,2.4 Formule de Manning-Strickler
Manning et Strickler (voir Annexe II) ont respectivement établi et confirmé une forme simple reliant
i vitesse moyenne V avec la pente de frottement Jf et le rayon hydraulique Rh, voir l’équation (2.25).
Dans une conduite circulaire complètement remplie, cette formule s’écrit
V = K • J}/2 • (D/4)2/3, ou
q = ~^-kj;/2d8/3 .
Comme cela a été démontré par Hager [2.18], l’équation (2.26) s’applique uniquement si
k,* > (60v*)10/’ et 7 • 10“4 < e < 7 • 10~2.
(2-26)
(2.27)
PERTES DE CHARGE
25
La première exigence correspond au régime pratiquement rugueux, voir l’équation (2.11), tandis que
la deuxième adjoint la formule de Manning-Strickler à un domaine de rugosité particulier, le domaine
fortement rugueux, voir l’équation (2.20). Selon la figure 2.1, les nombres de Reynolds correspondants
se situent entre 104<R< 107. Dans ce domaine, l’équation (2.27)] peut également être exprimée de façon
approchée par
kg* > 30v* , donc ksQ/(vD1 2) > 30
ou kg > 30v[g2jjQ]-I/5.
(2.28)
Pour les diamètres et les vitesses normalement rencontrés en pratique, le nombre de Reynolds Rmax = 107 est
rarement dépassé. Pour R> 107, le domaine rugueux est exprimé par d’autres relations approchées [2.18].
En posant X=2/3 (Manning-Strickler), la longueur de rugosité type d = [C/Vg]2/(1-2z) s’écrit
d=[K-42'3A/g]-6, voir les équations (2.21, 2.26). La relation entre la rugosité de sable équivalente kg et
le coefficient de rugosité K d’après Strickler (ou l/n=K d’après Manning) est [2.18]
K • kj/6 o n
---7=~~ = 8,2 .
Vg
(2.29)
Une fois k8 connu, le coefficient de rugosité K se calcule aisément, si l’écoulement se trouve dans le régime
rugueux et 104< R< 107. Selon l’équation (2.29), K est peu sensible à une variation de ks; une variation
de 50% en kg n’entraîne qu’une variation de 7% de K.
Exemple 2.6
Reprenons l’exemple 2.4 dans lequel Q=10m3s-1, Jf=0,01,-k,= 10“3m et v=l,15- 10-6m2s~‘. Avec
kg=2,5-10“3> 30-1,15-10-6-[9,812-0,012 • 10]“1/5 = 5,5-105 selon l’équation (2.28)3, l’écoulement se
trouve dans le domaine rugueux. L’équation (2.29) indique que K = 8,2 • 9,811/2(10~3pl/6 = 81,2m1/3s-1. Le
diamètre se calcule selon l’équation (2.26)2, soit D = [45/3 • 10/(ir • 81,2 • 0,01l/2]3/8= 1,67m. Cette valeur est
inférieurede 1% comparativement à l’exemple 2.4. Avec £=k,/D= 10-3/l,67=6-10-4, la valeur de e se situe
pratiquement dans le domaine d’application de la formule de Manning-Strickler selon l’équation (2.27)2.
La figure 2.6 représente le coefficient de rugosité K en imposant les mêmes vitesses dans les équations
(2.7) et (2.26)z pour D = 1m et D = 10m, et pour 0 k8 < 5mm. On constate que, dans le domaine tramé,
K dépend de la pente de frottement Jf; l’écoulement se trouve donc dans le régime turbulent transitoire,
où e<ef. Dans le domaine non tramé, l’écoulement se trouve dans le régime turbulent rugueux.
Cependant, l’équation de Strickler ne s’applique que si 7 • 10r4<E<7 • 10-2, voir l’équation (2.27)2,
ce qui correspond à ks>0,7mm pour D=lm et ks>7 mm pour D=10m. Il s’ensuit que le maxi-
mum de K dépend essentiellement du diamètre D, notamment Kmax(D— lm)=85m1/3s-1 et
Kmax(D= 10m) = 55m^3s~'. En tout cas, la valeur de K = 90m1/3s-1 ne doit jamais être dépassée pour
que la précision de la formule de Manning-Strickler reste acceptable.
2.2.5 Rugosité dans des conduites
Comme le montre l’équation (2.4), l’écoulement dans une conduite est influencé généralement par la
viscosité cinématique v du fluide et la rugosité équivalente de sable k8. Comme indiqué dans l’Annexe III,
v dépend uniquement du fluide et de sa température T [°C]. Pour l’eau (presque pure), v peut se calculer
selon la formule de Poiseuille
1 78
v[m2s“'] =---------------------------, —20°C < T < 100°C.
1 + 0.0337T + 0.00022T2
(2.30)
RAPPEL DES BASES
g. 2.6 Coefficient de rugosité K[m’/3s *] fonction de JX%), et k,[mm] pour (•••) D= 1m et (------) D= 10m selon les équations (2.7),
(2.26)2. L’effet de Jr devient négligeable dans le domaine non tramé.
L’équation (2.4) n’est strictement valable que si la conduite est rectiligne, prismatique et à rugosité
; paroi uniformément répartie. ks est normalement spécifié en [mm]. Le tableau 2.1 indique des valeurs
j pes pour ks dans des conduites [2.21]. On distingue les conduites en acier et celles en béton. On constate
que k8^0,l [mm] peut être admis comme minimum et ks~ 5 [mm] comme maximum pour des conduites
1 métal. Pour les conduites en béton, ks se trouve approximativement entre 0,5mm kg 10 mm.
Il convient d’attirer l’attention sur le cas des conduites de diamètre important, D > 2m. Comme cela
a été décrit par [2.1], [2.7] et [2.29], l’écoulement dans de telles conduites peut s’écarter de la proposition
; Colebrook-White. Ces derniers ont établi l’équation (2.4) pour des diamètres 0,1 < D < 2,0m et R < 106
537]. Pourtant, ces effets sont souvent négligeables comparés aux incertitudes résultant de la difficulté
d’une évaluation précise de kg.
Le tableau 2.2 donne des valeurs du coefficient de rugosité pour la formule de Manning-Strickler. Il
convient de noter que la précision de ces valeurs est moins bonne que celle des valeurs données au
tableau 2.1. Par conséquent, il est préférable de baser les calculs sur l’approche de Colebrook-White, de
îrifier selon les équations (2.27) si l’écoulement se trouve dans le régime rugueux et, si oui, d’appliquer
l'équation (2.29).
2.3 Pertes de charge locales
2.3.1 Définitions
Un système de plusieurs conduites peut présenter des éléments locaux, comme des bifurcations, des
Jonctions, des élargissements, des contractions ou des coudes. Ces éléments locaux sont à l’origine des
pertes de charge locales AHL. Entre ces éléments, des pertes de charge réparties AHR apparaissent à cause
î la viscosité du fluide et de la rugosité des parois, comme cela a été expliqué sous 2.2. La perte de charge
rotale AHt est constituée de la somme
AHt = AHl + AHr .
(231)
PERTES DE CHARGE
27
Tableau 2.	1 Rugosités équivalentes de sable pour des conduites de divers matériaux et états de surface [2.21].
Rugosité des conduites
Groupe	Types de tuyaux et de matériaux	Etat de la surface des tuyaux et conditions d’exploitation	ks [mm]
		A. Tuyaux métalliques	
I	Tuyaux étirés sans sou- dure en laiton, cuivre et plomb Aluminium	1. Techniquement lisses 2. Idem	0,0015 à 0,0100 0,015-0,06
11	Tuyaux étirés sans soudure en acier (du commerce)	1.	Neufs, non utilisés 2.	Nettoyés après plusieurs années de service 3.	Revêtus de bitume 4.	Tuyaux de blindage dans diverses conditions après plusieurs années d’exploitation 5.	Tuyauteries de systèmes de chauffage à eau quelles que soient les conditions à l’alimenta- tion 6.	Oléoducs pour des conditions d’exploitation moyennes 7.	Moyennement corrodés, petits dépôts de tartre 8.	Tuyauteries d’eau depuis longtemps en service 9.	Importants dépôts de tartre 10.	Surface des tuyaux en mauvais état. Recouvre- ment inégal des joints	0,02-0,10 jusqu’à 0,04 jusqu’à 0,04 0,06-0,22 0,20 0,20 «0,4 1,2-1,5 «3,0 ^5,0
III	Tuyaux en acier soudé	1.	Neufs ou vieux, en bon état; joints soudés ou rivés 2.	Neufs, revêtus de bitume 3.	Depuis longtemps en service, le bitume partiel- lement disparu, corrodés 4.	Depuis longtemps en service, corrosion uniforme 5.	Sans inégalités notables aux joints; intérieure- ment enduits (épaisseur de la couche: 10 mm environ); mauvais état superficiel 6.	Conduites après de nombreuses années d’exploitation 7.	Avec rivure transversale simple ou double; enduits intérieurement (épaisseur de la couche: 10 mm), ou sans revêtement, mais non corrodés 8.	Enduits intérieurement, mais non exempts d’oxydation; encrassés au cours du service avec de l’eau, mais non corrodés 9.	Avec double rivure transversale, non corrodés; encrassés en cours de service avec de l’eau 10.	Dépôts faibles 11.	Avec double rivure transversale, fortement cor- rodés 12.	Dépôts importants 13.	Surface des tuyaux en mauvais état; recouvre- ment non uniforme des joints	0,04-0,10 «0,05 «0,10 «0,15 0,3-0,4 «0,5 0,6-0,7 0,95-1,0 1,2-1,5 1,5 2,0 2,0-4,0 >5,0
8
RAPPEL DES BASES
Tableau 2.1 Rugosités équivalentes de sable pour des conduites de divers matériaux et états de surface [2.21] (suite).
Groupe	Types de tuyaux et de matériaux	Etat de la surface des tuyaux et conditions d’exploitation	ks [mm]
rv	Tuyaux en acier rivés	1.	Rivés en long et en travers avec une seule ran- gée de rivets; intérieurement enduits (épaisseur de la couche 10 mm); bon état de la surface 2.	Avec rivure longitudinale double et transversale simple; intérieurement enduits (épaisseur de la couche 10 mm) ou non, mais non corrodés 3.	Avec rivure transversale simple et longitudinale double; intérieurement goudronnés ou enduits (épaisseur de la couche: 10 à 20 mm) 4.	Avec quatre à six rangées longitudinales de ri- vets; longue durée de service 5.	Avec quatre rangées transversales et six rangées longitudinales de rivets; joints intérieurement recouverts 6.	Surface des tuyaux en très mauvais état; recou- vrement non uniforme des joints	0,3-0,4 0,6-0,7 1,2-1,3 2,0 4,0 >5,0
V	Tuyaux en acier galva- nisé	1. Neufs, galvanisation propre 2. Galvanisation ordinaire	0,07-0,10 0,1-0,15
VI	Tuyaux en tôle galva- nisée	1. Neufs 2. Depuis longtemps en service avec de l’eau	0,15 0,18
VII	Tuyaux en fonte	1.	Neufs 2.	Neufs, revêtus de bitume 3.	Asphaltés 4.	Tuyauterie d’eau, depuis longtemps en service 5.	Depuis longtemps en service, corrodés 6.	Avec dépôts 7.	Dépôts importants 8.	Nettoyés après plusieurs années de service 9.	Fortement corrodés	0,25-1,0 0,10-0,15 0,12-0,30 1,4 1,0-1,5 1,0-1,5 2,0-4,0 0,3-1,5 jusqu’à 3,0
B. Conduites et canaux en béton, en ciment et autres			
1	Tuyaux en béton	1.	Bonne surface, avec lissage 2.	Conditions moyennes 3.	Surface rugueuse	0,3-0,8 2,5 3-9
II	Tuyaux en béton armé		2,5
III	Tuyaux en fibrociment	1. Neufs 2. Durée moyenne d’utilisation	0,05-0,10 «0,60
rv i		Tuyaux en ciment	1.	Lissés 2.	Bruts 3.	Solution de ciment non lissée aux joints	0,3-0,8 1,0-2,0 1,9-6,4
PERTES DE CHARGE
29
Tableau 2.1 Rugosités équivalentes de sable pour des conduites de divers matériaux et états de surface [2.21] (suite).
Groupe	Types de tuyaux et de matériaux	Etat de la surface des tuyaux et conditions d’exploitation	k, [mm]
V	Canal avec enduit de ciment	1. Bon enduit en ciment pur avec joints lissés (toutes les inégalités sont supprimées) travaillé avec un coffrage métallique 2. Avec lissage	0,05-0,22 0,5
VI	Enduit sur toile métal- lique		10-15
VII	Canaux en grès vernissé		1,4
VIII	Dalles en béton de sco- rie		1,5
IX	Dalles en béton de sco- rie, de sciure et d’albâ- tre	Dalles soigneusement exécutées	1,0-1,5
C. Conduites en bois, en contre-plaqué et en verre			
I	Tuyaux bois	1.	Planches très soigneusement rabotées 2.	Planches bien rabotées 3.	Planches non rabotées, bien ajustées 4.	Planches plus grossières* 5.	Tuyaux en douves	0,15 0,30 0,70 1,00 0,60
II	Tuyaux en contre- plaqué	1. En bon contre-plaqué de bouleau avec disposi- tion transversale des fibres 2. En bon contre-plaqué de bouleau avec disposi- tion longitudinale des fibres	0,12 0,03-0,05
		Tubes en verre	Verre pur	0,0015-0,010
L’étude simplifiée des pertes de charge locales considère ces dernières comme un phénomène ponc-
tuel; elles se trouvent donc concentrées en un endroit particulier. La figure 2.7 montre schématiquement
la différence entre les deux types principaux de pertes mécaniques d’énergie.
La perte de charge locale ne se réfère pas à une longueur type de l’élément (par exemple la longueur
d’un coude) et ne peut donc pas être exprimée comme une pente de frottement. D’autre part, pour des
écoulements turbulents, la perte de charge locale est également proportionnelle au carré d’une vitesse
type V* (par exemple la vitesse à l’amont ou à l’aval de l’élément), donc
ahl = ^,
2g
(232)
Ç étant un facteur de proportionnalité, appelé coefficient de perte de charge. Ç n’est normalement qu’une
fonction de la géométrie de l’élément local considéré.
30
RAPPEL DES BASES
Tableau 2.	2 Coefficient de rugosité K[ml/3s-1] de la formule de Manning-Strickler en fonction des
caractéristiques de rugosité de la conduite [2.20].
Nature des parois mouillées	Etat des parois		
	bon	assez bon	mauvais
- en fonte, sans enduit	85	70	65
- en fonte, avec enduit	90	85	75
- en acier	75	65	60
- en grès (pour les canalisations)	90	75	65
- ordinaires en argile (pour les drainages)	85	70	60
- en béton de ciment	85	65	60
- en briques à surface polie	90	75	65
- en briques avec mortier de ciment, conduites d’égouts	85	65	60
Parois en ciment lissé	90	85	75
Canaux revêtus de béton	85	65	55
Moellons bruts assemblés au ciment	60	50	35
Pierres sèches	40	30	25
Moellons dressés	75	65	60
Fig. 2.7 Pertes de charge réparties et locales dans une jonction de conduites, où H2<H3.
2.3.2 Stabilité de l’écoulement
La charge H d’un écoulement à travers une surface mouillée A peut être représentée par l’expression
suivante (chap. 1)
H=z+h+
aQ1 2
2gA2
1 étant le coefficient de correction de l’énergie cinétique due à la répartition transversale des vitesses.
Pour deux sections distantes de dx, le changement de la charge H est [2.10]
(2.33)
PERTES DE CHARGE
31
V2
dHL = — • da ,
2g
donc JL
V2
2g
da
dx
(2.34)
Par conséquent, les pertes de charge locales augmentent avec le carré de la vitesse locale et avec la
non-uniformité de la répartition des vitesses. Pour une répartition invariable des vitesses dans le sens de
l'écoulement, da=0, le changement de la charge H devient nul pour n'importe quelle valeur de la vitesse.
La figure 2.8 représente une coupe longitudinale d'une conduite. A l'endroit xo un corps immergé
perturbe l’écoulement. La répartition des vitesses à l’amont de xo est typique d’un écoulement turbulent.
Fig. 2.8 Ecoulement perturbé par un corps immergé à x,, et répartitions transversales types de vitesses.
Le corps immergé modifie brusquement cette répartition. Cette perturbation diminue-t-elle ou s’accroît-
elle en direction de l'écoulement? Dans le premier cas, on parle d'un écoulement stable, tandis qu'il serait
instable dans le deuxième cas. Comme la pente de frottement JL.de l’équation (2.34) est toujours négative
(diminution de l’énergie mécanique), il en résulte da<0. Par conséquent la valeur de a diminue et la
répartition transversale des vitesses dans la direction de l'écoulement x devient de plus en plus uniforme.
Ce phénomène de stabilité des courants liquides est d'ailleurs pleinement confirmé par des essais. On sait,
par exemple, que les inégalités de vitesse dans une conduite, créées par un élargissement du profil ou par
un coude, disparaissent toujours à une certaine distance à l'aval de la perturbation. Cette constatation
justifie que l’on considère la perte de charge locale comme un phénomène ponctuel.
2.3.3 Eléments locaux
Comme cela a été démontré, chaque perturbation locale crée des pertes de charge locales. L’analyse
qui suit est limitée aux éléments les plus souvent utilisés, notamment:
-	élargissement, rétrécissement,
-	entrée, sortie,
-	coude arrondi, coude brusque,
-	jonction, bifurcation,
-	grille, vanne.
Chacun de ces éléments peut être décrit géométriquement de manière assez générale. Du point de vue
constructif pourtant, les plus simples à réaliser sont souvent les éléments à angles vifs. Comme cette
dernière forme produit presque toujours le maximum de perte de charge, l’analyse s’y réfère normale-
ment. Dans ce qui suit, les pertes de charge locales ne sont plus pourvues de l’indice «L» mais d’un indice
caractérisant la géométrie.
De plus, l’écoulement à travers l’élément est toujours supposé turbulent, avec 104<R< 106, de façon
à ce que l’effet du nombre de Reynolds n’intervienne plus. Finalement, le volume de contrôle est délimité
par les sections A! et A2 choisies suffisamment à l’amont et à l’aval de l’élément local considéré.
RAPPEL DES BASES
>2
2.3.4 Elargissement et rétrécissement
Elargissement
Un élargissement se définit par les sections amont AH aval A2> Aj et l’angle d’ouverture 6. Pour
0=90°, l’élargissement est brusque, pour 0< 8 <90°, il est graduel. La figure 2.9a) montre un élargisse-
ment dans une conduite circulaire où d et D sont les diamètres amont et aval respectivement.
?ig. 2.9 Elargissement de la section a) géométrie et répartition type de vitesses transversales, b) coefficient	pour (—) la conduite
et pour (-----) le canal [2.17].
La transition entre les deux sections provoque une répartition transversale des vitesses extrêmement
pon uniforme et, à la limite, une séparation sur une longueur Ls de l’écoulement principal des parois.
Cette non-uniformité de la répartition des vitessses est à l’origine de pertes de charge importantes, comme
on l’a vu ci-dessus.
Théoriquement, le coefficient de perte de charge ne peut se calculer que pour le cas où S = 90°.
L’application du théorème de la quantité de mouvement dans la direction longitudinale s’écrit
P1Aj + pVjQ + Px = p2A2 + pV2Q	(2.35)
dù p est la pression, Px la composante longitudinale de la force de pression sur les parois divergentes et
p la masse volumique. D’après Borda-Camot
Px = P1(A2-A,),	(2.36)
d’où
(P1-p2)A2 = pQ(V2-Vj) .	(2.37)
L’application du théorème généralisé de Bernoulli exige que
Pi	V?	p2	V2
—+—=—+—+ AHé,
pg	2g	pg	2g
(238)
AHé étant la perte de charge locale due à l’élargissement. Si on pose
AHé = JU(V?/2g)	(2.39)
PERTES DE CHARGE
33
selon l’équation (2.32) et élimine la différence des pressions (P1-P2) à l’aide des équations (2.37) et (2.38)
on obtient
= (1 - (A,/A2))2.	(2.40)
On notera que 1 et que est rapporté à la vitesse amont Vk Le maximum de l’énergie dissipée
localement est AHé=V|/(2g) et correspond à un élargissement infini et brusque.
Pour un changement graduel de section, l’équation (2.40) peut être modifiée en introduisant un
coefficient de correction <Dé=<Dé(S) d’où
= <Dé(l - (A,/A2))2.	(2.41)
L’évaluation de résultats obtenus sur modèle mène à [2.17]
<I>é = E( — + sin(2S)J, 5 < 30° ;
\ 7t	/
/5 S\	(2'42)
G = E - - —	30 < S 90°
\4 2nJ
avec E = 1 pour des conduites circulaires en charge et E = 0,75 pour des canaux découverts. La perte de
charge augmente rapidement pour de petits angles S, mais reste sensiblement constante pour de grands
angles 5. La validité des expressions (2.42) pour des écoulements en canaux découverts doit être modifiée
dans le cas des ressauts hydrauliques (chap. 16).
L’écoulement interne des élargissements a été analysé expérimentalement par un nombre important
de chercheurs. Etant donné les nombreuses applications des élargissements, notamment dans les diffu-
seurs de machines hydrauliques, le processus qui se déroule dans cet élément local est d’un intérêt
particulier. Un excellent résumé en est présenté par Ward-Smith [2.39].
Kalinske [2.23] étudie la conversion de l’énergie cinétique en énergie potentielle dans un élargissement
d’une conduite circulaire. L’écoulement interne est analysé à partir de considérations sur l’intensité de
la turbulence, sur l’énergie turbulente diffusée et dissipée, et sur l’analyse de la répartition moyenne et
fluctuante des vitesses. Kalinske trouve que la variation d’énergie la plus importante est due à la
répartition du profil de vitesse, voir également l’équation (2.34). La source principale de dissipation
d’énergie se trouve à l’interface entre l’écoulement à haute vitesse et la zone de séparation (fig. 2.9a).
Chaturvedi [2.5] décrit les caractéristiques des élargissements axio-symétriques. Les répartitions de
la pression, de la vitesse moyenne et de l’intensité des turbulences axiale et radiale y sont présentées pour
des conduites caractérisées par A2/Aj = 4 et S = 15°, 30°, 45°, 90°. La figure 2.10 montre certains résultats
d’essais typiques.
On constate que les répartitions de la pression et de la vitesse sont analogues pour 5^30°. Selon la
figure 2.10 la longueur de séparation Ls croît avec S; elle correspond à peu près à Ls/d=4 où d représente
le diamètre amont du diffuseur.
Rétrécissement
En inversant la direction de l’écoulement et les indices, la figure 2.9a) représente une contraction
caractérisée par A] > A2 et l’angle de rétrécissement S. Pourtant, comme cela est montré à la figure 2.11 a),
la répartition transversale des vitesses est différente par rapport au cas de l’élargissement; le long de la
zone convergente, elle est presque uniforme, par conséquent la dissipation d’énergie devient négligeable
selon l’équation (2.34). Dû à l’arête brusque de la réduction de la section à l’aval du rétrécissement,
l’écoulement principal se sépare des parois. Il en résulte une contraction de l’écoulement. Les pertes de
34
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.10 Répartitions (•• •) de pression et (-) de vitesse dans des diffuseurs à D/d = 2 et divers angles d’ouverture S, [2.5].
charge locales proprement dites sont ainsi à l’origine de l’élargissement ultérieur des lignes de courant.
L’analogie avec la figure 2.9a), donc avec l’élargissement de section, devient ainsi évidente.
Etant donné que l’écoulement entre la section (ï) et la section de lignes de courant contractées est
approximativement sans pertes, la perte de charge locale dans un rétrécissement se calcule en appliquant
le théorème de la quantité de mouvement entre la section d’écoulement principal de largeur (pd) et la
section à l’endroit (5). En admettant une répartition uniforme de pression dans la section contractée
(indice c)
pcA2 + pQVc = p2A2 + pQV2.	(2.43)
Avec p=Ac/A2 et V = QA, le coefficient de perte de charge locale Çr dû au rétrécissement devient,
selon l’équation généralisée de Bernoulli,
2	( 1Ÿ
= AH/(V2/2g) = 1 - -) .	(2.44)
\ VJ
Gardel [2.14], en analysant les étranglements coniques, trouve expérimentalement
1 - (1 —a)(l,032A+l,38a1,48A0,7)(l,495—A0,49)
“ ’-----------------1,03-(MBA -----------------1	(2 45)
avec a = A2/A| et A=S°/180°. £,r avec p. selon l’équation (2.45) est représenté à la figure 2.11b). On
constate que augmente en même temps que (1/a) et Ô. La valeur maximale est atteinte pour un
rétrécissement brusque (a=0, A= 1/2), et vaut ^rmax= 1/2. La corrélation des équations (2.44) et (2.45)
avec d’autres propositions est bonne [2.27]. Une autre approche, présentée au chapitre 12, donne
également des résultats en bon accord avec la figure 2.11b).
PERTES DE CHARGE
35
Fig. 2.11 Rétrécissement de la section, a) géométrie et caractéristiques de l’écoulement, b) en fonction de a=Aj/A, et 6.
2.3.5 Entrée et sortie
Entrée
Les figures 2.12a) et 2.13a) montrent des entrées types; la première présente un tube disposé vers
l’amont, de longueur L et d’épaisseur d, ainsi qu’un diamètre intérieur Dh de la conduite.
Fig. 2.12 Entrée à angle vif, a) géométrie considérée, b) coefficient de perte de charge
Le deuxième type représente une entrée à angle vif et à direction S quelconque. Pour L=0 et 8 = 90°,
les deux entrées deviennent identiques.
La figure 2.12b) représente £,e=AH/(V2/2g), selon Idelcik [2.21], en fonction de l’épaisseur relative de
la conduite d/Dh et de la longueur relative L/Dh. V est la vitesse moyenne dans la conduite, Dh=4Rh le
diamètre hydraulique (Rh étant le rayon hydraulique; pour des conduites de section circulaire, Dh = D
avec D comme diamètre).
Pour L = 0 on obtient 1/2, résultat déjà trouvé ci-dessus pour le rétrécissement brusque. Pour les
entrées à direction oblique (fig. 2.13a) la formule de Weisbach [2.21] peut être appliquée
L = -( 1 H— cosS H— cos2ô
2\	5	5
Pour le cas particulier 8=90°, on retrouve la valeur de £,e = 1/2.
(2.46)
36
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.13 Entrée à angle vif à direction oblique, a) géométrie considérée, b) coefficient de perte de charge Çe.
Finalement, on considère le cas esquissé à la figure 2.14a). Il correspond à celui de la figure 2.12a),
mais avec une entrée arrondie de rayon r. Les valeurs de se rapportent de nouveau à la vitesse V dans
la conduite et sont représentées dans la figure 2.14b) en fonction du rayon relatif r/Dh et de la longueur
relative L/Dh. On constate que les pertes de charge diminuent fortement avec l’augmentation du rayon.
En particulier, un rayon de r/Dh> 1/6 permet de rendre les pertes presque milles [2.24].
Sortie
La sortie immergée d’une conduite peut être prismatique, convergente ou divergente, d’angle Ô. Pour
les deux derniers cas, la géométrie est définie à la figure 2.15.
Pour la sortie divergente, il est avantageux d’exprimer le coefficient de perte de charge sous la forme
[2.21]
Ç8 = ^*(1+q)	(2.47)
où o = a(L/D) est donné dans le tableau 2.3. La figure 2.16a) permet de déterminer la valeur de en
fonction de la longueur relative L/D et de l’angle de divergence S.
Pour la sortie convergente, la figure 2.16b) donne en fonction du rapport (D/d) des diamètres et
de l’angle de convergence (6/2). Pour le cas particulier d’une sortie prismatique, on obtient Çs= 1.
Rappelons que les résultats précédents s’appliquent uniquement aux sorties immergées; pour des
sorties de conduite à l’air libre, la perte de charge peut être négligée.
PERTES DE CHARGE
37
Fig. 2.15 Sortie d’une conduite circulaire, a) à section divergente et b) à section convergente.
Tableau 2.3 Valeurs de <y en fonction de la longueur
relative L/D [2.21].
L/D	1	2	4 #	6	10
G	0,48	0,40	0,30	0,20	~0
Fig. 2.16 a) E,* pour une sortie divergente et b) pour une sortie convergente, rapportés à la vitesse amont V.
2.3.6 Coude
Coude circulaire
Les résultats présentés ci-dessous se réfèrent uniquement aux coudes circulaires de section prismatique
représentés dans la figure 2.17a). Les paramètres géométriques en sont le rayon moyen de courbure R,
la section A et l’angle de déviation S. Pour des conduites circulaires de diamètre D ou rectangulaires de
largeur b et hauteur t, voir figure 2.19, le coefficient de perte de charge £,c=AH/(V2/2g) dépend de 5, R/Dh
et de la géométrie de la section [2.21]. Dh = 4Rh est le diamètre hydraulique (Dh=D, section circulaire
pleine; Dh = 2tb/(t+b), section rectangulaire pleine).
Le mécanisme interne de l’écoulement au travers d’un coude n’est pas encore bien connu, malgré le
grand nombre de chercheurs qui ont analysé cet élément important. Certaines investigations conduisent
à la conclusion que le nombre de Reynolds influence également
Suivant les indications de Idelcik [2.21], les trois paramètres mentionnés peuvent être représentés sous
forme de produits de facteurs indépendants. Pour des coudes circulaires ou à section presque carrée
(t/b ~ 1), le coefficient de perte de charge devient [2.16], [2.17]
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.17 Coude circulaire, a) définition de la géométrie, b) coefficient de perte de charge en fonction de la courbure relative R/D^
et de l’angle de déviation S pour des sections circulaires ou presque carrées.
2 72 • sin(S/2)
(1+2R/Dh)2 ’
(2.48)
relation représentée à la figure 2.17b). On constate que est inversement proportionnel au rayon de
courbure R et augmente lorsque l’angle ô croît. Pour R/Dh> 1, le coefficient de perte de charge devient
faible. Par contre, le maximum de est atteint pour R/Dh->l/2, correspondant à un coude à angle vif.
La figure 2.18 représente en fonction de ô (°) et de R/D pour des coudes à profil circulaire et R/t
pour des profils rectangulaires [2.28]. t et b correspondent à la hauteur et à la largeur du rectangle
'fig. 2.19). inclut la perte de charge le long du coude et à l’aval de celui-ci lors du redéveloppement
du profil de vitesse. Selon Miller [2.28], jusqu’à 50% de la perte de charge peut apparaître à l’aval de la
sortie du coude.
Les combinaisons de ô et R/D (ou R/t) pour lesquelles devient minimal sont indiquées en lignes
pointillées. On constate que le rapport correspondant de R/D (ou R/t) est compris entre 0,8 < R/D < 3
ou 1 < R/t < 2. Ce rapport correspond donc à un minimum pour Çc(8). En respectant ce rayon de
courbure relative, le coefficient de perte de charge devient petit, ^<0,2!
selon la figure 2.18 a été observé pour R= 106. Pour d’autres nombres de Reynolds, la correction
suivante doit être apportée [2.28]
3 7
UUR=io6) A
log (R) - 2,3
104 < R < 107.
(2.49)
Comme le montre la figure 2.19, les pertes de charge dans un coude sont essentiellement la consé-
quence de deux phénomènes indépendants l’un de l’autre. En raison de la courbure de la conduite, un
écoulement secondaire peut s’établir, provoquant ainsi un mouvement hélicoïdal des particules. Lorsque
la courbure de la conduite est importante, l’écoulement se sépare même des parois extérieure et intérieure.
La pression dans ces deux zones de séparation est plus grande que dans l’écoulement principal. Ainsi, une
contraction importante apparaît à la sortie du coude et la perte de charge est essentiellement due à la
divergence ultérieure des lignes de courants.
On peut obtenir facilement une estimation de la différence des pressions entre la paroi intérieure et
extérieure (indices i et e) pour un écoulement non séparé à lignes de courants concentriques,
R(n) = Re-|-(R4 —Rç) • (n/b), où n est la coordonnée transversale mesurée en direction du centre de
PERTES DE CHARGE
39
c) b/t= 1, d) b/t = 2 pour R~ 106; (• • •) performance optimale [2.28],
courbure, voir figure 2.17a), et b la largeur de la conduite rectangulaire. Avec R,=R—b/2 et R^.=R+b/2
réquation (1.13) donne
9V _	ôn	_ ôn/b
v (R + J) + [(R_È)_ (R +ëYIh~z + 1_5’
\	2/ L\ 2/ \ 2/Jb 2 b
(2.50)
Z=R/b> 1/2 étant la courbure relative du coude. La solution de l’équation (2.50)
(2.51)
40
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.19 Ecoulement schématique au travers d’un coude circulaire, répartition type de la vitesse, zones de séparation et mouvements
secondaires.
où C est la constante d’intégration, indique que V(n=b/2) = C • b/R=Va donc C = VaR/b, Va étant la
vitesse axiale du coude. En éliminant C de l’équation (2.51), la répartition transversale V(n) des vitesses
devient
v|r + - - n
L 2
= VaR,
(2.52)
la vitesse augmente donc hyperboliquement en direction du centre de courbure. En particulier,
V(n = b)=Vj = VaR/(R —b/2) et V(n=0) = Ve = VaR/(R + b/2).
Le débit q par unité de hauteur se calcule comme suit
q
Ri
= J Vdn =
Re
f----—-----= VaZb • tn(2Z +	;
o z + - — -	^2Z -
2 b
(2.53)
le rapport q/(Vab) est toujours plus grand que l’unité.
En appliquant le théorème de Bernoulli au travers du coude, on obtient
Pi	V?	Pe
xi	।	i	,	* c	।	ç
pg	2g	pg	2g ’
(2.54)
et le coefficient du coude Cc=(pe—pf)/[pU2/2] peut être déterminé; U = q/b correspond à la vitesse
moyenne de l’écoulement. En éliminant U au moyen de l’équation (2.53) le résultat final s’écrit [2.19]
_________32Z_________
/2Z + 1\ (4z2 —1)
\2Z - 1/	’
relation qui est représentée dans la figure 2.20a).
(2.55)
PERTES DE CHARGE
41
L’approximation
(2.56)
s’écarte de moins de 5% de la solution exacte si Z> 1. Pour Z>4, Cc~2/Z, correspondant à Ap/(pg)=
(U2/g) • (b/R).
Soit Cpe=(pe—p„)/[pU2/2] et Cpi=(pi—p„)/[pU2/2] les coefficients de pression par rapport à la
pression po à l’amont du coude. La figure 2.20b) montre les répartitions longitudinales de Cp le long d’un
Fig. 2.20 a) Coefficient du coude Cc, fonction de la courbure relative Z = R/b, b) répartition des coefficients de pression, €^>0 et
€^<0, le long d’un coude de 5 = 90°, (-• •) Z=0,75, b) (--------------------------------) Z= 1,5, c) (—) Z=4 [2.19].
coude de 8 = 90°;	> 0 correspond à la paroi extérieure, tandis que < 0 représente la paroi intérieure.
La différence C^—Cpi = Cc croît en direction de l’axe de symétrie du coude et décroît pour la zone aval.
Cc, comme déterminé à partir de l’équation (2.55), représente la différence maximale des pressions entre
les deux parois du coude.
Le fait que la différence de pression entre les parois intérieure et extérieure dépende du rayon de
courbure relatif Z = R/b (ou R/D pour des conduites circulaires) est utilisé pour mesurer le débit. Les
indications correspondantes sont présentées par McPherson et Strausser [2.25], Fasso [2.9], Replogle et
al. [2.33].
Coude à angle vif
La perte de charge dans un coude à angle vif 8 (fig. 2.21a) peut être traitée par une approche
élémentaire.
L’analyse de Matthew [2.27] conduit à l’expression suivante
F _ f sinS + cos8 ~ 1Ÿ	n S7\
\ cos6 /
tandis que Hager [2.16] obtient l’expression
Çc = 2{1 — cos(38/4)}.	(2.58)
Idelcik [2.21] propose, suite à des essais, l’expression
= 0,95 • sin2(8/2) 4- 2,05 • sin4(8/2).	(2.59)
Les trois relations sont représentées dans la figure 2.21b) et on constate une forte augmentation de
£,c avec l’angle 8. Pour 8 = 90°, la perte de charge est de l’ordre de AHC=V2/2g. La comparaison de ces
42
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.21 Coude à angle vif, a) définition de la géométrie, b) en fonction de 6; d’après (—) [2.27], (------------) [2.16] et (•••) [2.21].
ésultats avec ceux concernant le coude de rayon R> D montre à nouveau l’effet important de l’arrondis-
ement sur les pertes d’énergie de l’écoulement.
Des répartitions types de vitesses sont représentées dans la figure 2.22. L’écoulement se sépare des
parois en deux endroits, à savoir sur la paroi extérieure, et à l’aval de la paroi inférieure, créant ainsi une
ig. 2.22 Ecoulement au travers d’un coude à angle vif (schématisé) avec les zones de séparation et les répartitions transversales de
vitesse.
one d’écoulement principale à coude arrondi. La répartition des vitesses dans la zone d’écoulement
principale est typique pour des lignes de courant courbes, avec une augmentation de la vitesse en
direction du centre de courbure. De plus, on constate une contraction de l’écoulement à l’aval de l’angle
if. L’élargissement ultérieur des lignes de courant est à l’origine de pertes de charge locales.
.3.7 Branchement
La figure 2.23 représente la géométrie d’une jonction et d’une bifurcation à angles vifs S; les indices
o», «u» et «z» se rapportent à l’amont, à l’aval et à l’adduction latérale, tandis que les indices «d» et
a» se réfèrent à la conduite principale aval et à la conduite bifurquant de la conduite principale.
onction
Considérons la figure 2.23a). La perte de charge AH est due aux écoulements dans la conduite amont
’’une part, et dans la conduite latérale d’autre part. Par conséquent, il faut faire une distinction entre
, et Avec
q = Qz/Q» ,
m = A.JA^, n = Ao/A„
(2.60)
PERTES DE CHARGE
43
et
Fig. 2.23 Géométrie a) d'une jonction et b) d’une bifurcation à angles vil
_ H2 - Hu Ho - Hu
V2u/2g ’	° V2u/2g
(2.61)
Vischer [2.38] déduit les expressions suivantes
Çz = 1 — 2m-,q2cos8z — 2(1 — q)2n-’cos8o + (m-Iq)2,	(2.62)
Ço = 1 — 2m~1q2cos8z — 2(1 — q)2n-1cosSo + {n“’(l—q)}2.	(2.63)
Ces expressions sont basées sur l’hypothèse suivant laquelle p0=pz, ce qui indique que la pression
au voisinage de l’angle vif amont ne peut pas changer abruptement. De plus, les directions des lignes de
courant sont supposées identiques aux directions 8Z et 8O des conduites latérale et amont, lors de l’entrée
dans le courant principal.
Çz et dépendent des cinq paramètres m, n, 8Z, 8O (géométrie) et q (rapport de débit). Dans le cas
particulier où n — 1 (Ao=Au) et 8O=0 les résultats de Vischer se simplifient et se ramènent à ceux obtenus
par Favre [2.11]
Çz = — 1 + 4q + q2(m 2 —2m '00582—2),
4» = q{2 —q(l+2m_|cos82)).
(2-64)
Une deuxième combinaison particulière s’applique à une jonction dans laquelle les vitesses sont
identiques dans les trois branches (Vo=Vz=Vu); les équations (2.62) et (2.63) conduisent aux expressions
suivantes
= 2{1 —qcos8z—(1 -q)cos8o}.	(2.65)
Enfin, on considère une jonction symétrique (8O=8Z=3) dans laquelle les vitesses Vo et Vz sont égales,
ce qui correspond à nq=m(l — q). Les équations (2,62) et (2.63) se simplifient alors et deviennent
= Çz = 1 — 2m-1qcos8 + (q/m)2 .	(2.66)
Une série d’autres cas particuliers a été analysée par Vischer [2.38] de même que la recherche d’une
configuration géométrique présentant un minimum de perte d’énergie mécanique. La configuration
8o=8z=0 présente une solution optimale. Pour des angles ô0 et 8Z donnés, le minimum des pertes
s’obtient pour
mopt = q/cosôz, nopt = (1 -q)/cos8o .
(2.67)
44
RAPPEL DES BASES
Ces conditions ne peuvent être satisfaites que pour un rapport de débit q particulier. La seule manière
de réduire substantiellement les pertes de charge consiste à arrondir tous les angles vifs. Ces effets ont été
examinés expérimentalement par Gardel [2.13] et Gardel et Rechsteiner [2.15].
La figure 2.24 représente et pour 5o=0 et AO=AU selon des essais discutés par Idelcik [2.21].
On constate des écarts importants entre ces essais et les équations (2.64) pour q~ 1 et m-*0. La figure
2.25 représente et pour des jonctions dans lesquelles Ao+Au (m+n= 1) pour divers angles 5Z
et ôo selon des essais [2.21]. Les coefficients de pertes de charge sont comparables à ceux de la figure 2.24.
Bifurcation
D’après la figure 2.23, les bifurcations sont l’inverse des jonctions de conduites. Cependant, les
résultats présentés ci-dessus ne peuvent être transposés au cas de la bifurcation. Ceci est dû à la structure
interne de l’écoulement qui est differente dans les deux cas (fig. 2.26).
L’écoulement dans une jonction est caractérisé par deux zones de séparation, l’une située à l’amont,
la deuxième à l’aval de l’apport latéral. On constate que l’angle des lignes de courants à l’entrée de la
branche latérale dans la conduite principale correspond à peu près à l’angle S de la conduite latérale,
hypothèse faite lors de l’établissement des équations (2.62), (2.63).
Les pertes de charge sont essentiellement dues à deux effets. Premièrement, pour VZ^VO, des pertes
sont à l’origine de décélérations et d’accélérations de l’écoulement dans les deux branches. C’est la raison
pour laquelle Çz(q<G) et E>o(q^l) peuvent être négatifs. Ce phénomène peut être comparé avec une
pompe à jet d’eau; l’écoulement de la branche dans laquelle la vitesse est la plus faible est aspiré par
l’écoulement de la branche à vitesse plus élevée. Deuxièmement, même pour VO = VZ, la jonction
provoque deux zones de séparation. L’écoulement est ainsi contracté dans les deux branches et s’élargit
à l’extrémité aval en dissipant une quantité d’énergie considérable.
L’écoulement dans une bifurcation (fig. 2.26b) se comporte de manière différente; du fait de la
dérivation latérale, une zone de séparation apparaît dans la branche latérale. Ainsi, l’écoulement est
contracté et donne lieu à des pertes de charge dues à l’élargissement ultérieur des lignes de courant.
L’écoulement dans la branche principale est tout d’abord accéléré suite à l’écoulement du latéral; pour
Qa^Qo» il apparaît donc un gain d’énergie mécanique aux dépens de l’écoulement latéral, Çd<0. Pour
Qa —Qo’ l’écoulement dans les deux branches est caractérisé par des pertes de charge considérables.
L’écoulement au travers de bifurcations est discuté en détail par Petryk [2.31], Gardel et Rechsteiner
[2.15], et Müller et Stratmann [2.30].
Comme cela a déjà été constaté dans la discussion de la figure 2.26b) l’angle moyen de l’écoulement
bifurquant ne correspond pas à l’angle du latéral, 8a. C’est la difficulté principale d’une approche
élémentaire pour déterminer
Ho — Hd _ H„ - Ha
V2/2g ’ a V2/2g
(2.68)
Néanmoins, en se limitant à une bifurcation caractérisée par ôa=0, et Ao=Ad = Aa, Hager [2.16]
déduit
Sd =
(2.69)
PERTES DE CHARGE
45
Fig. 2.24 (à gauche) et (à droite), fonction de m = et q pour n = 1 selon [2.21], a) Sz=30°, b) Sz=45°, c) ôz = 60°, d) 5z=90°;
8o=0.
16
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.25 (—) et (------) Ço, fonction de q = Ql/Qu et m=AJA^ pour A0+Az=A, et 5o=0 [2.21]. a) 5z = 30°, b) §,=45°, c) 5z=60°,
d) 51=90°.
Fig. 2.26 MNanismes internes schématisés pour a) la jonction et b) la bifurcation, q~ 1/2.
= 1 - 2q • cosQ SJ + q2
(2.70)
où q=Qa/Qo, 0<q< 1. On constate que l’effet de 5a sur disparaît et que Çd(q< 1 /2)<0, phénomène
liscuté en relation avec la figure 2.26b).
PERTES DE CHARGE
47
Fig. 2.27 Coefficients de perte de charge a) et b) é,d dans une bifurcation avec 5d = 0 et des sections identiques Ao=Ad=A,
d’après [2.16].
La bifurcation symétrique (fig. 2.28a) a été analysée expérimentalement par Marchetti et Noseda
[2.26]. Leur résultat, ^b=AH/(V^/2g) en fonction de q = Qa/Qo et de l’angle de bifurcation 8, résumé à
la figure 2.28b), indique un minimum de perte de charge, à savoir Çmin = 3(l — q2)/5.
Fig. 2.28 Bifurcation symétrique a) géométrie considérée, b) E,b
en fonction 5 et q = QJQo (• ••) minimum de £b(S).
Combinaison de jonction et bifurcation
Dans des systèmes de conduites, l’exploitation peut amener un changement du sens de l’écoulement
comme par exemple dans des systèmes d’alimentation en eau potable ou dans des chambres d’équilibre.
Les résultats de Gardel et Rechsteiner sont particulièrement intéressants parce qu’ils se réfèrent à
n’importe quelle configuration d’écoulement dans des branchements (adduction et dérivation latérales).
Les sections amont et aval étant caractérisées par (ï) et (5), et la branche bifurquante par (5), l’écoulement
48
RAPPEL DES BASES
dans chaque branche peut se faire dans un sens (+) ou dans l’autre ( — ); il existe donc quatre possibilités
réelles d’écoulement, comme indiqué dans le tableau 2.4.
O
©
©
Tableau 2.4 Définitions du sens et des modes de l’écoulement [2.15].
Sens d’écoulement			
4- 4- 4-	4- 4- 1	4- 1 4-	1 1 4-
Schéma
IV
II
III
Mode	I
Soit Qb Q2, Q3 les débits dans chacune des branches. On constate que pour chaque mode, l’un des
trois débits est la somme des autres. Une normalisation des débits consiste à se rapporter toujours au
débit total, donc Qj (mode I), Qg (modes III, IV) et Q3 (mode II), voir tableau 2.4. Ainsi, pour le mode
I, Q2 et Q3 sont rapportés à Qv qb q2, q3 désignent ces rapports de débits; ils conservent le signe du débit
qu’ils représentent et peuvent varier entre — 1 à 4-1. Ainsi, le mode II est caractérisé par q3= 1,0<qt < 1
et -l^q2^0.
En désignant par H], H2, H3 les charges dans les trois branches 1,2, 3, la perte de charge (par exemple
h21=h2-ho est la différence de deux charges considérées dans le sens indiqué (soit de la section (2) à
la section Q). Le coefficient de perte de charge (par exemple â,21 = H2I/(V]/2g) pour le mode I est toujours
rapporté à la vitesse de la branche parcourue par le débit total. De nouveau, le signe de Ç21, par exemple,
est celui indiqué si l’écoulement se fait de (2) à (T), mais Ç2I doit être multiplé par ( — 1) si l’écoulement
passe de la section Q à (2).
Gardel et Rechsteiner [2.15] ont examiné les branchements de conduites circulaires de diamètre
principal D et comportant une dérivation latérale 8=45°, 60°, 75°, 90°, 105°, 120°, 135° pour
A2 — A3.
Des arrondis relatifs p = r/D de 0,0,1 et 0,2 ont été considérés. En plus, des rapports de sections
de 1, 0,69 et 0,44 ont été testés pour A]=A3 et les mêmes p, mais pour 8 = 60°, 90°, 120°. Au total,
30 configurations avec 6000 observations ont été obtenues. Les figures 2.29 à 2.31 montrent Ç(q) pour
fes quatre modes et A2/A] = l, 0,69, 0,44.
Ces figures permettent de faire les constatations suivantes:
-	dans les modes I et IV, Ç31 est pratiquement indépendant de la forme géométrique,
-	des anomalies notables se présentent dans le mode III, surtout pour un partage très inégal du débit.
De plus, l’influence de l’arrondi (p>0) est appréciable, particulièrement pour un angle 8 prononcé ou
?our une section latérale plus petite que la section de la branche principale [2.13].
Des informations supplémentaires sur les pertes de charge dues à un branchement sont données par
[2.2] et [2.3]. Ito et Imai [2.22] analysent les branchements caractérisés par 8 — 90° (jonction et bifurcation)
sn tenant compte d’angles vifs et arrondis. Williamson et Rhône [2.40] étudient surtout les bifurcations
de type Y que l’on trouve souvent dans la pratique des constructions hydrauliques. Des trifurcations sont
analysées par Rao et al. [2.32].
PERTES DE CHARGE
49
Fig. 2.29 Coefficients de perte de charge	fonction de q pour A j = A2 = A, égales à angle vif et a) 6 = 45°, b) 6 = 90°, c) 8 = 135° [2.15].
50
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.30 Coefficients de perte de charge fonction de q pour A2=0,69A! à angle vif et a) 8 = 60°, b) 8=90°, c) 8= 120° [2.15].
2.3.8 Grilles et vannes
Grille formée de barreaux («Trash rack»)
La figure 2.32a) montre une grille formée de barreaux disposée dans un canal rectiligne. Le coefficient
de perte de charge Çg, rapporté à la vitesse amont Vo, dépend de la longueur relative L/d, d étant
PERTES DE CHARGE
51
Fig. 2.31 Coefficients de perte de charge fonction de q pour A2=0,44A( à angle vif et a) 5 = 60°, b) S=90°, c) 5= 120° [2.15].
l’épaisseur d’un barreau, de la distance a entre les barreaux et de l’espacement E des axes des barreaux.
De plus, la forme des barreaux doit aussi être considérée. La figure 2.32b) représente sept types de
barreaux souvent rencontrés.
52
b)
Fig. 232 a) Disposition d’une grille en plan et b) formes de barreaux types.
peut être représenté comme [2.21]
= PgÇc • sinô	(2.71)
où Pg dépend du type de barreaux (Tableau 2.5), Ç de L/d et de a=Ag/Ao. Ag et A^ sont, respectivement,
la section d’écoulement au travers des barreaux et la section amont. Pour une grille non obstruée, le
Tableau 2.5 pour diverses formes de barreaux selon la figure 2.32.
Type de barreau	1	2	3	4	5	6	7
p.	1	0,76	0,76	0,43	0,37	0,30	0,74
coefficientc= 1, mais 1,1 <c< 1,3 pour une grille à nettoyage mécanique et l,5<c<2 pour une grille à
nettoyage manuel. 5 est l’angle des barreaux par rapport à l’axe du canal (S=90° pour des barreaux
placés perpendiculairement à la direction de l’écoulement).
Si L/d=r 5 et â/b>0,5, l’équation (2.71) se modifie en [2.21]
F - Z R	f Ë _ i
Sg 3 Pg • ( -
4/3
| c * sinô .
(2.72)
Etant donné que la vitesse Vo à l’amont de la grille est normalement faible, la perte de charge selon
l’équation (2.72) devient petite pour la grille propre (c= 1). En règle générale, on admet une obstruction
de 50%. En première approximation, la perte de charge prise en considération globalement est de 5 cm
(souvent nettoyée) et de 10 cm (rarement nettoyée).
La figure 2.33 montre la grille d’une prise d’eau dans un canal découvert à angle 8 par rapport au
radier. La perte de charge AH se calcule selon l’équation (2.72). La distance a entre les barreaux doit être
choisie en relation avec les dimensions des corps flottants d’une part et l’utilisation ultérieure de l’eau
d’autre part. Ainsi, on fixe a = 2 à 3 cm pour les turbines Pelton et a=4 à 5 cm pour les turbines Francis.
L’épaisseur des barreaux d résulte d’un calcul statique et dynamique de la grille. La vitesse d’approche
Vo se situe entre environ 0,7 ms-1 et 1,0 ms’1.
Robinet-vanne («Gâte valve»)
La figure 2.34 montre une vanne submergée à l’aval, placée dans une conduite circulaire de diamètre
D ou rectangulaire de hauteur t. Le coefficient de perte de charge, Çv = AH/(Vg/2g), dépend uniquement
PERTES DE CHARGE
53
Fig. 2.34 Dispositifs de vanne dans une conduite circulaire et rectangulaire en charge.
du rapport a=Av/Ao, étant la section libérée de la vanne et A,, la section d’écoulement amont
(fig. 2.34). Etant donné que y = a/D et y = a/t sont reliés respectivement par a, on a £,v=£>v(y)-
La figure 2.35 représente le coefficient de perte de charge £>v pour les deux types de conduites. On
constate que £,v décroît exponentiellement avec l’ouverture relative y de la vanne.
Fig. 2.35 Çv en fonction de l’ouverture relative y de la vanne pour (—) conduite circulaire et (•••) conduite rectangulaire [2.21].
D’autres indications sur les vannes sont présentées aux chapitres 8 et 19.
Vanne papillon («Butterfly valve»)
La figure 2.36a) représente une vanne papillon dans une conduite circulaire ou rectangulaire prismati-
que d’ouverture S. Les coefficients de perte de charge E,p=AH/fV^g) dépendent essentiellement de 8 et
54
RAPPEL DES BASES
Fig. 2.36 Vanne papillon, a) géométrie, b) Çp en fonction de l'angle d’ouverture 5 selon [2.21]. (—) conduite circulaire et (• • •) conduite
rectangulaire.
peu de la géométrie de la conduite [2.21] et du type de papillon [2.1]. La figure 2.36b) représente £>p(8)
pour une vanne papillon standard selon [2.21]. Dans ce cas également, £>p(8) croît exponentiellement avec
l’angle d’ouverture 6.
Comparée à d’autres organes de fermeture, la vanne papillon présente des avantages particuliers,
notamment une construction simple et résistante, un besoin d’espace minimal, une disposition claire de
l’engrenage et une perte de charge faible en position complètement ouverte. Des désavantages notables
sont les difficultés de réaliser l’étanchement dans la position fermée de la vanne et des conditions
d’écoulement défavorables dans des positions d’ouverture partielle. Toutefois, les organes de fermeture,
à l’encontre des organes de réglage, sont utilisés en position soit complètement ouverte, soit complète-
ment fermée, les positions intermédiaires étant traversées rapidement.
La perte de charge d’une vanne papillon complètement ouverte (fig. 2.37a) dépend essentiellement du
rapport s/D, s étant l’épaisseur de l’organe. Ainsi que cela a été démontré par Knapp [2.24], £,p(8=0°)
croît fortement avec s/D (fig. 2.37b).
Fig. 237 Vanne papillon complètement ouverte, a) géométrie, b) en fonction de l’ouverture relative s/D [2.24].
Pour réduire davantage les pertes de charge dans le cas d’un aménagement hydro-électrique impor-
tant, la section de la conduite à l’emplacement de la vanne papillon est augmentée, garantissant ainsi une
section d’écoulement constante.
Vanne à pointeau («Needle valve»)
Ce type de vanne de réglage est utilisé pour des relâchements à haute pression. Le principe de la
construction de ce type de vanne consiste à accélérer l’écoulement le plus uniformément sur une distance
PERTES DE CHARGE
55
minimale. Les angles differents de l’aiguille (a) et de la buse (p) entraînent une contraction du jet sortant
de la conduite. Ce jet doit être le plus compact possible (fig. 2.38a).
Soit H la charge amont de la vanne, et V la vitesse du jet contracté. Selon Knapp [2.24]
v = 4>
2gH ï/2
.1 -
(2.73)
où 4> ~0,96 est un coefficient de correction et
p = 1 — 0,36
(2.74)
le coefficient de contraction. A/Amax est le rapport entre la section de sortie effective et la section de sortie
à rayon R sans pointeau. Si s est le déplacement axial du pointeau de la vanne (fig. 2.38b)), A/A^ est
uniquement fonction de S = s/R, a, p et s’exprime comme suit [2.24]
Fig. 2.38 Vanne à pointeau, a) géométrie et b) détail de la sortie.
C\ 2C/	sina(sinp—sina)
(2.75)
Le débit Q se calcule au moyen des relations suivantes
Q = V pA ,
A/R2 = rc(p —a)(sinp—sina)[sina/sin(p —a)]2 • S(2C —S).
(2.76)
(2.77)
L efficacité q de la vanne à pointeau
est plus ou moins indépendante de S. V2/2g est la hauteur de vitesse (égale à la charge car la pression est
égale à la pression atmosphérique) du jet et H la charge amont. Pour a = 30° et p=45° elle est à peu près
q=91% [2.24]. Le coefficient de perte de charge Ç=AH/(V2/2g) est donc 1^0,1.
»6
RAPPEL DES BASES
Vanne à jet creux divergent («Howell-Bunger valve»)
Ce type de vanne correspond à une vanne de réglage pour des relâchements à haute pression, et
assure une bonne dissipation d'énergie. A l’intérieur de la vanne se trouve un cône fixe dont le sommet
•st orienté vers l’amont, provoquant ainsi la divergence du jet. A l’extérieur, un cylindre mobile se
déplace vers l’aval pour assurer la fermeture. L’anneau d’étanchéité se trouve à la périphérie du cône.
La dissipation d’énergie est réalisée par la dispersion du jet dans l’air. La vanne à jet creux divergent est
raractérisée par un coefficient de perte de charge élevé, une construction simple et un coût peu élevé.
Etant exempte de vibrations et d’effets de cavitations, elle est mise en marche par l’intermédiaire d’un
‘.impie engrenage.
Fig. 239 Vanne à jet creux divergent, a) géométrie, b) selon (—) l’équation (2.80), (--------) Idelcik [2.21].
La figure 2.39a) montre la disposition schématique de ce type de vanne; l’ouverture du cône est
normalement de 2 • 45°. Selon Knapp [2.24], le débit au travers d’une vanne à jet creux divergent est
lonné par l’expression
irD2
Q = [1—0,15S2]S  — >/2gH,
4
(2.79)
dans laquelle H est la charge amont et S=s/smax l’ouverture relative de l’organe avec smax=D/2. Le
coefficient de perte de charge devient ainsi
L = -=F- = [S(l -0,15S2)]-2 -1
J V2/2g
(2.80)
et croît fortement avec S-1 (fig. 2.39b)). Le résultat de Idelcik [2.21] est également indiqué sur cette
figure.
£>j selon l’équation (2.80) se réfère uniquement à la dissipation d’énergie due à la contraction et au
changement de direction du jet. La plus grande partie de la dissipation d’énergie peut être accomplie en
guidant ce jet dans l’air. Cependant, pour réaliser la dissipation d’énergie dans un volume minimal, le
jet peut être introduit dans une chambre de dissipation [2.21].
La vanne à jet creux cylindrique («Hollow-jet valve») et d’autres organes de réglage sont présentés
également par Knapp [2.24].
PERTES DE CHARGE
$7
Références
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58
RAPPEL DES BASES
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Notations
Divers symboles peuvent apparaître avec les indices «s» ou «r» et se réfèrent ainsi à des écoulements turbulents
pratiquement lisses («smooth») ou rugueux («rough»). Les indices «L» et «R» indiquent des pertes de charge locales
et réparties, respectivement. Les indices «1» et «2» caractérisent les sections amont et aval du volume de contrôle
considéré. Enfin, les indices «o», «u», «z», «d» et «a» apparaissent dans la discussion des branchements et indiquent
respectivement la branche amont, aval, de provenance latérale dans les jonctions et aval et bifurquant latéralement
dans les bifurcations.
a	[-1	rapport des sections	m	[-]	rapport de surface
a	[m]	ouverture	n	[-]	rapport de surface, normale
A	[m2]	section mouillée	N	[-]	viscosité cinématique normalisée
b	[m]	largeur d’un canal rectangulaire	P	[Nm~2]	pression
b	[m]	espacement des barreaux	P	[N]	force de pression
c	[-]	coefficient de grille	q	[m2s ’]	débit par unité de largeur
C	[-]	constante	q	[-]	rapport de débits (jonction)
Cc	[-1	coefficient du coude	q	[-]	rapport de débit (bifurcation)
Cp	[-1	coefficient de pression	q	[-]	débit relatif
d	[m]	longueur type de rugosité	Q	[mV]	débit
a	[m]	épaisseur d’un barreau	r	[m]	rayon de courbure d’un élément
D	[m]	diamètre			arrondi
Dh	[m]	diamètre hydraulique	R	[m]	rayon de courbure de la ligne de
Do	[m]	diamètre de réference			courant
D*	[-]	diamètre adimensionnel	R	H	nombre de Reynolds
E	[-1	coefficient d’adaptation	Rh	[m]	rayon hydraulique
f	[-]	coefficient de frottement	s	[m]	épaisseur de la vanne papillon
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle	s	[m]	déplacement axial
H	[m]	charge	S	[-]	déplacement relatif
AH	[m]	perte de charge	t	[m]	hauteur du profil rectangulaire
Jf	F]	pente de frottement	T	[°C]	température
Jl	[-]	pente de la ligne de charge due à des	V	[ms ’]	vitesse moyenne
		pertes de charge locales	x	[m]	coordonnée longitudinale
k.	[m]	rugosité équivalente de sable	y	[-1	rapport entre largeur et hauteur du
K	[m,/3s ’]	coefficient de rugosité			profil rectangulaire
L	[m]	longueur	ÿ	[-1	ouverture relative
U	[m]	longueur de la zone de séparation	z	[m]	coordonnée du fond du profil
PERTES DE CHARGE
Z	1-1	courbure relative	P	[kgm~5]	masse volumique
a	[-1	coefficient de correction de la hau-	P	[-]	courbure relative d'un élément
		teur de vitesse relatif à la charge	v	[m2s ’]	viscosité cinématique
â	[-]	angle de l'aiguille	v*	[-]	viscosité cinématique relative
P	l-l	coefficient de correction de la hau-	X	[-]	exposant
		teur de vitesse relatif à l’impulsion	£	[-1	coefficient de perte de charge
		totale	CT	[-1	coefficient de correction
p	[-]	angle de la buse	P	[-]	coefficient de contraction
S	[-1	angle de déviation de la direction de		[-]	facteur de perte de charge
		l’écoulement	P,	[-]	facteur de la forme d’un barres
ô	[-1	diamètre relatif à d	4»	[-]	coefficient de correction
A	[-]	angle relatif		[-]	coefficient de correction, élargis-
E	[-]	rugosité relative, e = k,/D			ment
Ê	I-]	rugosité de sable relative à d		[-]	efficacité
3. Conduites en charge
Conduite de distribution dans la centrale de Riddes des Forces Motrices de Mau voisin SA, Valais, Suisse.
62
RAPPEL DES BASES
3.1	Introduction
Les calculs hydrauliques des écoulements dans des conduites en charge jouent un rôle important en
raison de leurs nombreuses applications aux systèmes de transport d’eau des plus variés. Un tel système
est représenté à la figure 3.1, où sont indiqués certains éléments types. Le système comporte différentes
Fig. 3.1 Système typique de conduites en charge.
conduites avec des entrées, des sorties, des coudes, des jonctions et des bifurcations et autres éléments
locaux d’une part et des tronçons prismatiques droits d’autre part. Le calcul hydraulique de tels systèmes
se base sur l’équation de Bernoulli généralisée, qui permet d’établir une relation entre deux points
quelconques du système. Si les indices «1» et «2» désignent deux points quelconques, on a
Hj=H2 + AH,	(3.1)
AH étant la perte de charge totale entre les points 1 et 2 (fig. 3.2). H représente la charge locale, qui
s’exprime par
P v2
H = z + — + —
Pg 2g
(3.2)
où, en un point précis de la conduite, z est la distance verticale entre l’axe de la conduite et un niveau
de référence fixe, p/(pg) la hauteur piézométrique, p la pression, p la masse volumique du fluide,
g l’accélération gravitationnelle, et V2/(2g) la hauteur de vitesse où V correspond à la vitesse moyenne
(fig- 3-2).
On distingue les pertes de charge locales des pertes de charge réparties. Les premières se manifestent
aux changements de géométrie d’une conduite (comme des élargissements ou des coudes) alors que les
deuxièmes représentent les pertes de charge dues à la rugosité de la conduite et à la viscosité du fluide,
comme cela a été exposé au chapitre 2. Pour des écoulements turbulents, les pertes de charge locales AHL
CONDUITES EN CHARGE
63
Fig. 3.2 Rapport entre deux points (T) et (2) d’une conduite et représentation qualitative des conditions énergétiques.
peuvent toujours être exprimées sous la forme du produit de la hauteur de vitesse de référence et du
coefficient de perte de charge correspondant
V2
AHl = Ç._.	(3.3)
2g
D’autre part, les pertes de charge réparties AHR sont provoquées par le frottement interne de
l’écoulement; elles se calculent par application d’une loi de frottement. En règle générale, AHR se calcule
par l’équation de Darcy-Weisbach
V2 f
AHr = Jf AL = — - AL
R	2g D
(3.4)
où AL est la longueur de la conduite considérée, f le coefficient de frottement et D le diamètre de la
conduite circulaire. Selon Colebrook-White, f peut être exprimé au moyen de la rugosité relative e — ks/D
et du nombre de Reynolds R = VD/v (éq. (2.4)). Cependant, f doit être déterminé par itérations dans la
plupart des problèmes, ainsi que cela a été démontré au chapitre 2. En première approximation, on admet
que f—0,01 à 0,02, selon la valeur de e. Une fois le système considéré calculé, et les cinq paramètres Q,
D, Jf, 1^, v connus, des itérations ultérieures permettent de déterminer f et donc AHR. Comme cela a été
montré au chapitre 2, deux régimes d’écoulement sont d’un intérêt particulier: les écoulements en régime
pratiquement lisse et ceux en régime pratiquement rugueux. Pour le régime pratiquement lisse, l’équation
(2.14) lie explicitement le coefficient de frottement f au nombre de Reynolds R. Pourtant, cette relation
ne correspond pas à une fonction de puissance comme l’équation (3.4). Une telle formule a été proposée
pour la première fois par Blasius, voir [3.4]
f = °>316
r!/4 '
(3.5),
Cependant, elle ne fournit une approximation de l’équation (2.13) avec un écar t inférieur à +5% que
dans le domaine des petits nombres de Reynolds, c’est-à-dire 2 • 103<R<5 • 105. Collins [3.3] a proposé
la formule
f _ 0,194
r1/5 ’
(3.5)2
64
RAPPEL DES BASES
relation qui donne une approximation de l’équation (2.13) avec un écart inférieur à (±5%) pour
105<R< 107. Plus généralement, on peut poser
Rm
(3.5),
où C et m sont des fonctions de R. La perte de charge AHR devient alors
2—m
AHr = —
2g
Cv”1
—;----AL ,
D1+“
(3.6),
donc, par exemple, selon la formule de Blasius (C=0,316, m= 1/4) résulte
0,316vl/4V7/4
AHn —	• AL .
2g • Ds/4
(3.6)2
On constate que AHR n’est pas proportionnel à V2 comme c’est le cas pour des pertes de charge locales,
selon l’équation (3.3).
Dans le domaine pratiquement rugueux, et pour 104 < R < 107, l’équation de Manning-Strickler (2.26)
peut être utilisée, soit
AHr = -5-------TH AL .
K2(D/4)4/3
(3.7),
Elle peut être transformée en
V2
ahr = çr-,
2g
(3-7)2
dans laquelle = 2gAL/(K2(D/4)4/3) est indépendant du débit. Plus généralement £>o = f • AL/D selon
l’équation (3.4). Les pertes de charge locales et réparties sont ainsi représentées de la même façon.
L’indice «R» désigne les pertes de charge dues au frottement. La perte de charge totale AH se compose
donc de la somme
AH = AHl + AHr .
(3-8)
Il est ainsi possible de calculer les caractéristiques hydrauliques en un point quelconque du système si
on connaît celles d’un autre point et les pertes de charge qui interviennent entre ces deux points. Les
exemples suivants montrent la marche à suivre et les calculs à effectuer pour quelques types de systèmes
de conduites simples. Pour des systèmes plus complexes, on se réfère à Comolet [3.1], Carlier [3.2], Daily
et Harleman [3.4], Daugherty et Franzini [3.5] et Press et Schrôder [3.8]. Les coefficients de perte de
charge sont donnés au chapitre 2 pour les cas les plus importants.
CONDUITES EN CHARGE
65
3.2	Conduite de section constante
3.2.1 Sortie à l’air libre
Les résultats précédents sont appliqués au_prôblème présenté dans la figure 3.3. On suppose une
retenue dans laquelle la vitesse longitudinale est Vo~0 et la surface reste à un niveau constant. Cette
Fig. 3.3 Conduite de vidange d’une retenue avec sortie à l’air libre; (-) ligne piézométrique et (—) ligne de charge.
retenue dispose d’une vidange de fond. Elle consiste en un tronçon de pente négative, suivi d’un tronçon
de pente positive pour se terminer finalement par une sortie à l’air libre. Il s’agit de déterminer les
caractéristiques hydrauliques dans le cas d’une conduite de diamètre D constant.
On suppose que l’on connaît la longueur AL et la section de la conduite ainsi que sa rugosité de sable
équivalente ks ou le coefficient de rugosité K, sa géométrie (entrée arrondie, coude et sortie à l’air libre)
et la dénivellation H entre la surface de la retenue et la sortie de la conduite. Il s’agit de déterminer le
débit Q, la ligne piézométrique et la ligne de charge. Comme on le remarque à la figure 3.3, deux éléments
sont à l’origine des pertes de charge locales: a) l’entrée et b) le coude. La sortie prismatique à l’air libre
ne donne pas lieu à des pertes de charge (chap. 2). Les pertes de charge réparties se calculent selon la
formule (3.7)2 dans laquelle ÇR est le coefficient équivalent de perte de charge. La perte de charge totale
est donc
" v2
AH = S Si • —
o ' 2g
Selon l’équation de Bernoulli généralisée rapportée à l’axe de la sortie (z=0, p/pg=0)
V2
H = — + AH
2g
(3.9)
(3.10)
ou, en combinant les équations (3.9) et (3.10),
n \
ESi).
0	/
(3.H)
66
RAPPEL DES BASES
Le débit est donné par Q = VA (A = nD2/4 pour la conduite circulaire), d’où
M I n	(3.12)
\1+SV
0
Le maximum du débit possible est obtenu lorsque les pertes de charge tendent vers zéro
Qm„ = AV2gH-	(3.13)
Cette dernière équation peut être utilisée pour des calculs approximatifs ou préliminaires. Le résultat
montre immédiatement si la section choisie permet d’évacuer le débit désiré. De plus, la figure 3.3 montre
que la disposition particulière de la conduite détermine par endroit des pressions internes négatives. Il
faut donc s’assurer qu’il n’y a ni effets de cavitation ni effets d’instabilité de la conduite.
3.2.2 Sortie immergée
La figure 3.4 présente un deuxième cas dans lequel la conduite débouche dans un bassin inférieur.
Pour VO~VU^V, le débit est donné par l’équation (3.12), H étant maintenant la dénivellation entre les
Fig. 3.4 Ecoulement en charge dans une conduite de section constante; la dénivellation H est la différence entre les niveaux de surface
des bassins amont et aval.
surfaces respectives des bassins. Le coefficient de perte de charge de la sortie prismatique dans l’eau est
de Ç3~l, étant donné que la vitesse d’écoulement dans la conduite devient nulle peu après la sortie.
Notons que Ç3 est compris dans l’équation (3.12), étant donné que l’équation de Bernoulli généralisée
3	2	2
H = 2^i • (V2/2g) = (V2/2g) • E^i + ^3] = (V2/2g) • [1+SU est formulée par rapport aux deux bassins,
ooo
Si Vo>0 ou Vu>0, on doit aussi tenir compte des hauteurs de vitesse. Ainsi H correspond à la
différence des deux niveaux de charge et Ç3 se calcule selon 2.3.4.
CONDUITES EN CHARGE
^7
3.3 Conduite de section variable
Pour la conduite esquissée à la figure 3.5, l’équation de continuité impose que
(3.P1'
Q = V,A, = V2A2 = VjAj.
Fig. 3.5 Ecoulement en charge dans une conduite de section variable pour le cas de sortie à l’air libre.
Les pertes de charge locales sont donc représentées par
V2	V2
AHl = !;l| . -1 + jj2 + .
2g	2g
V2/	A?
=	-^ +
2g \	Aj
A|
Al
(3.15)
alors que les pertes de charge réparties satisfont à
V2fc A2
2g V" A2
A2.
V2 V2	V2 /A2	A2
AHr = çR ’ + çR 2 + ... =	“ + ÇR2.	+ ...
2g 2g	2g \	Aj A{
(3.1
L’indice «u» se réfère à la sortie de la conduite. Selon l’équation (3.8) les pertes de charge totales so
V2r	A2	A2
AH = —^ ftLl + ÇRiA +	+ -
2g L	Af	A2
Les termes entre parenthèses peuvent être remplacés par
A2
% = (^RiM
A,
(3.1~
(3.18)
et, sous cette forme, correspondent à un coefficient de perte de charge généralisé. Ce coefficient tient
compte des effets de frottement, de pertes locales et des changements de vitesse pour un tronçcr
particulier de la conduite. Le théorème de Bernoulli exige
V2	V2/	n
H = — + AH = —( 1 + S
2g	2g k	o '
(3.15
68
RAPPEL DES BASES
d’où
(3.20)
qui est de la même forme que l’équation (3.12).
3.4 Systèmes de conduites
Une combinaison de deux ou plusieurs conduites, comme celle représentée à la figure 3.6a), dans
laquelle une conduite amont se partage en plusieurs branches qui se rejoignent ensuite en une conduite
Fig. 3.6 Systèmes de conduites, a) conduites parallèles, b) système complexe.
aval, est appelée système parallèle de conduites. En admettant que les sections des conduites amont et
aval, et celles des trois conduites parallèles sont identiques, et en négligeant les pertes de charge locales,
on a
AH! = AH2 = AH3 = (-L + z) - (-B- + z) ,
\Pg 7A \Pg 7b
(3.21)
Q = Qi + Q2 + Qj	(3.22)
Les indices «1», «2» et «3» se rapportent aux conduites parallèles, et «A» et «B» aux conduites amont
et aval.
Deux types de problèmes se posent: 1) connaissant les charges HA et HB, quel est le débit Q?, 2)
connaissant Q, quelle est la répartition du débit entre les différentes conduites?
Le premier problème se résout de façon simple, parce que le débit Q! est directement lié à AHj, etc.
La somme des débits permet de déterminer l’inconnue Q en appliquant l’équation (3.22).
Pour résoudre le deuxième problème on pose AHj = CjQ2 selon l’équation (3.7)2 ou plus généralement
selon les équations (3.19), (3.20). L’équation (3.21) se transforme alors en
CjQi — c2Q2 — c3Q| — cabQ2 .
(3-23)
CONDUITES EN CHARGE
69
Avec Qj = \/cAB/ci • Q, l’équation (3.23) indique
(3.24)
par analogie avec le calcul de la résistance de circuits électriques mis en parallèles. Le débit Q est réparti
de la façon suivante
QpQî-Qs-Q
(3.25)
La jonction de conduites, comme le montre la figure 3.1, est une configuration que l’on retrouve
souvent. Les élévations z, de la surface de l’eau dans chaque réservoir étant connues ainsi que le diamètre
et les caractéristiques de rugosité des conduites, on cherche le débit dans les diverses conduites.
L’équation de continuité indique que les débits entrant dans la jonction sont égaux à ceux qui sortent
de celle-ci. On a donc
Qi = Q2 + Q3 ou Qi + Q2 = Q3.	(3.26)
Si la ligne de charge à la jonction J est située au-dessus du niveau du réservoir 2, une partie de l’eau
coule dans ce dernier et l’équation (3.26)] s’applique; dans l’autre cas, comme le montre la figure 3.1, l’eau
s’écoule des réservoirs 1 et 2 vers le réservoir 3 et l’équation (3.26)2 est applicable. Les pertes de charge
locales peuvent être exprimées par les longueurs équivalentes des conduites et sont alors additionnées à
la longueur réelle de la conduite.
La solution du problème est trouvée par itérations. En admettant tout d’abord une hauteur de
pression Zj = [z+p/(pg)]j dans la jonction, on calcule les débits Qb Q2 et Q3. Si les équations (3.26) ne
sont pas satisfaites, une autre valeur z5 est admise de façon à satisfaire à l’équation de continuité [3.9].
Exemple 3.1
On suppose que les valeurs suivantes sont données:
L, = 3000 m, D, = 1,00 m, Ej = 0,0002, Zj = 30 m;
L2= 600 m, D2=0,45 m, e2=0,002, z2 = 18 m;
L3= 1000 m, D3 = 0,60 m, e3=0,001, z3 = 9 m
pour de l’eau à 20°C; z, caractérisent l’élévation de la surface de l’eau dans le réservoir au-dessus d’un niveau
de référence.
1)	En choisissant Zj = 23m, on obtient
3000 V2
7 = f(.	. Il, f, =0,015, V, = 1,75 ms~l, Q, = 1,38 mV;
1 2g
5 = f	f2=0,024, V2=l,75 ms-1, Q2=0,28 mV;
0,45 2g 2	2	V2
1 (10(1 V2
!4 = f .	f3 = 0,020, V3 = 2,87 ms', Q3=O,81 m3s '.
0,60 2g
La première de ces équations correspond à l’équation (3.4). ff a été estimé à partir de la figure 2.1 pour
R->oo. Il devient donc possible de calculer Vj et Qj. Avec z3>z2, l’équation (3.26), donne
Qi — Q2 — Q3=l,38 — 0,28—0,81 = 4- 0,29m3s ~1, ce qui indique que le débit entrant dans la jonction est plus
grand que le débit sortant. Il faut donc augmenter z3.
70
RAPPEL DES BASES
2)	Avec Zj = 24,6 m
5	4 = f, .2222.X1 f, =0,015, V, = 1,53 ms-1, Q, = 1,20 mV;
’	1	2g
66	= f	._É22_. Yl, f, = 0,024, V2 = 2,01 ms-1, Q2=0,32 m3s
’	0,45	2g	2
156 = f 1222.XI, f,=0,020, V3 = 3,O3 ms’1, Q3 = 0,86 mV.
3	0,60	2g
Etant donné que 1,2—0,32—0,86 = 0,02m3s“l >0, le débit qui entre dans la jonction est encore plus grand
que le débit sortant. L’extrapolation linéaire des deux résultats ci-dessus indique z3 = 24,7m, on en déduit
Qj = l,19m3s"‘, Q2 = 0,33m3s~‘ et Q3 = 0,86m3s-1.
3)	Vérification des hypothèses
Avec T = 20°C, la viscosité cinématique devient selon l’équation (2.30) v = 1 • 10-6m2s-1, donc
R, = 1,52- 106, fj = 0,0145, er=0,0007
R2=0,90 • 106, f2 = 0,024, er = 0,0012
R3 = 1,82 • 106, f3 = 0,020, Er=0,0006
où R^VjDj/v; les coefficients de frottement f, sont calculés à partir de l’équation (2.4) ou lus à la figure
2.1. Er est déterminé par l’équation (2.5), et on constate que Ej>Er, donc que l’écoulement se trouve en
régime pratiquement rugueux. Etant donné que les longueurs des tronçons de conduites sont prépondéran-
tes, les pertes de charge locales (entrée, jonction) sont négligeables.
Des systèmes de conduites, dans lesquels l’écoulement peut provenir de plusieurs circuits, sont
appelés réseaux de conduites (fig. 3.6b). Les calculs de tels réseaux sont complexes et procèdent par
itérations. Le calcul d’un circuit élémentaire est poursuivi jusqu’à ce que toutes les conditions de
l’écoulement soient satisfaites.
Il s’agit des conditions suivantes:
1.	Les sommes algébriques de toutes les pertes de charge le long de deux parcours differents d’un
circuit sont égales; par conséquent AHab —AHafhgb=0, etc.
2.	Les débits entrant dans une jonction sont égaux à ceux qui sortent de celle-ci.
3.	La perte de charge entre deux nœuds doit considérer les pertes réparties et locales.
Lorsqu’on applique la méthode de Hardy-Cross, on estime tout d’abord les débits dans chaque
conduite de telle façon que l’équation de continuité soit satisfaite dans chaque jonction. Des corrections
successives sont ensuite apportées, en tenant compte des conditions énergétiques; il est commode
d’exprimer les pertes de charge locales au moyen de longueurs équivalentes de conduite (paragraphe 3.3).
Une description détaillée du procédé numérique est donnée par Streeter et Wylie [3.9]. Un programme
FORTRAN y est également présenté et des exemples illustrent certains aspects pratiques du calcul de
réseaux de conduites.
3.5 Conduite de distribution
Dans une centrale hydro-électrique, l’eau peut être répartie entre plusieurs turbines par une conduite
de distribution. Dans les grandes usines, il peut y avoir jusqu’à dix turbines. La disposition de la conduite
de distribution doit satisfaire aux exigences suivantes:
-	conditions d’écoulement favorables,
-	pertes de charge faibles,
-	conditions statiques acceptables (déformations, forces de réaction).
CONDUITES EN CHARGE
71
Müller [3.7] discute diverses possibilités d’exécution du point de vue constructif. Dans le présent
contexte, seul le problème hydraulique est analysé.
La figure 3.7a) montre une conduite de distribution type; le diamètre de la conduite est progressive-
ment réduit au fur et à mesure de la diminution de débit Q le long de l’axe de la conduite. Pour des
Fig. 3.7 Conduite de distribution, a) configuration type, b) modèle de calcul.
conditions d’écoulement stationnaires, le débit reste constant entre deux bifurcations, mais décroît
localement dans une bifurcation.
Si la distance entre deux nœuds est relativement faible par rapport à la longueur totale L de distribu-
tion latérale, les bifurcations de section AL concentrées peuvent être réparties; ainsi, le système comprenant
un nombre n de conduites latérales se transforme en une fente de hauteur a = n • Al/L. La figure 3.7b)
montre le système de substitution dont la fente a une surface identique à la somme des sections des
conduites latérales de la figure 3.7a). De plus, la longueur de distribution L est identique dans les deux cas.
Avec h = p/(pg) comme hauteur de pression, l’équation de Bernoulli s’écrit
O2
H = h + -^.	(3.27)
2gA2
Le changement de la charge est dû à la pente Js de la conduite, aux effets de frottement du fluide
visqueux et à la perte de charge AHL due aux conduites latérales, donc
Hz = Js — Jf — JL	(3.28)
où Jl = AHl/Ax. Le prime indique la dérivée par rapport à la coordonnée longitudinale x.
Pour une conduite latérale isolée, le coefficient de perte de charge du tronçon principal a été
déterminé au chapitre 2. Par analogie avec la figure 3.7a), on peut poser pour la conduite latérale i,
1 ^i^n
AHLi = ^-(V^g),	(3.29)
Voi étant la vitesse à l’amont de la bifurcation i. Comme constaté au paragraphe 2.3.7, ne dépend
essentiellement que du rapport q; — AQj/Q^, AQ, étant le débit latéral à la bifurcation considérée.
Çdi est donné par l’équation (2.69) pour une conduite prismatique avec A0=Ad = Aa. Comme cela a
été montré par les essais de Gardel et Rechsteiner, voir 2.3.7, l’effet de sections différentes sur â,di n’est
pas important. Par conséquent, l’équation (2.69) peut être appliquée à des configurations géométriques
assez arbitraires.
72
RAPPEL DES BASES
Considérons une conduite de distribution comprenant un grand nombre n de conduites latérales, par
exemple n= 100. En première approximation, on admet une répartition linéaire du débit; par conséquent,
q, = 1/100 pour la première conduite latérale, q2= 1/99 pour la deuxième et ainsi de suite, =
l/(n+l — i), donc pour i=90 q90=l/ll. reste ainsi faible dans la plupart des conduites latérales, à
l’exception des dernières, q98= 1/3, q99= 1/2 et q100= 1. Cependant, la vitesse moyenne dans la conduite
décroît avec x et tend vers zéro pour i->n. La perte de charge locale AHL selon l’équation (3.29) décroît
donc également, même si ^>0. Il s’ensuit que pour la zone déterminante, ^,(^->0)= — (2/5)qj est une
bonne approximation de l’équation (2.69).
La pente de la ligne de charge due à la conduite latérale se calcule alors par [3.6]
, AH , V2 1	2 AQ Q2 1	1 Q AQ
L Ax ’ 2g ’ Ax 5 ' Q ' 2gA2 ’ Ax 5 gA2 Ax	(	)
où Voi-> V, Qoi~*Q. Pour un élément de longueur infiniment petite, Ax->dx (fig. 3.7b), cette pente devient
finalement JL= — QQ7(5gA2)>0. Comme cela a été démontré par Hager [3.6], ce résultat est conforme
aux essais effectués sur modèles réduits.
Le débit qui sort latéralement de la conduite dépend essentiellement de la géométrie de la bifurcation
et des conditions à l’aval d’une conduite latérale. En tenant compte de la vitesse d’approche, de l’angle
<|) sous lequel l’écoulement sort de la conduite principale (chap. 9) et des pertes de charge dans la
conduite latérale, on en déduit pour l’intensité de débit
/ \1/2
Q' = - pa( 2eï )	(3.31)
M + S V
p étant le coefficient de débit, a = a(x) la hauteur de la fente, et la somme de toutes les pertes de
charge, notamment £a provenant de la conduite latérale, Ê,R du frottement dans celle-ci, et £>s de la sortie
convergente avant la turbine (fig. 3.8a).
Fig. 3.8 Débit latéral AQ dans une conduite de distribution avec a) conduite latérale et b) ouverture à paroi mince dans la conduite.
p dans l’équation (3.31) ne dépend que de la forme géométrique de la sortie latérale; pour une sortie
aiguë de longueur L>3d, |i=0,82, tandis que |i~0,97 pour une sortie bien arrondie (fig. 3.9).
Le coefficient de perte de charge Çai d’une conduite latérale dépend de qi = AQi/Qoi, de l’angle de
bifurcation 6, du rapport des sections latérale et amont et de la forme géométrique de la bifurcation
(chap. 2). Pour q^O, la conduite latérale agit comme une prise de pression statique qui est indépendante
CONDUITES EN CHARGE
73
Fig. 3.9 Bifurcation latérale, a) sortie à angle aigu, b) sortie à angle arrondi.
du rapport des sections et de l’angle bifurquant, et pour laquelle £,ai — 1- Pour 0<qj<0,4, décroît; la
valeur Çai = 1 pour 1 ^i^n peut donc être admise comme une limite supérieure qui englobe également
les pertes de charge dues au frottement [3.7].
La figure 3.8 montre deux types de sorties latérales, notamment le cas considéré et une conduite à
ouverture à paroi mince. On considère tout d’abord le deuxième cas. Si l’indice «i», caractérisant la
conduite latérale considérée, est supprimé et si l’ouverture latérale est suffisamment petite par rapport
à la section de la conduite amont, la vitesse d’approche Vo est également représentative à l’amont de cette
conduite latérale. po étant la pression amont et ho = po/(pg) la hauteur de pression amont, la charge
amont est Ho = ho+Vo/(2g). En notant que la pression du jet sortant est égale à la pression atmosphéri-
que, l’application du théorème de Bernoulli indique U=^2gHo. Le débit latéral est QL=|i(AL • sin <|> )U,
<|) étant l’angle du jet libre par rapport à l’axe de la conduite. La composante de la vitesse latérale dans
la direction de l’axe, U • cos <t>, est approximativement égale à Vo (chap. 9). Par conséquent cos <|> =
Vo/U = >/2g(Ho — ho)/>/2gHo et sin <|> = (1 — cos24>),/2 = x/ho/Ho. Ainsi, le débit latéral devient QL =
pAL • V2gho. Ce résultat indique que seule la surpression dans la conduite par rapport à l’atmosphère
cause un débit latéral.
Pour une conduite perforée, comportant un grand nombre de conduites latérales, dont la conduite de
substitution peut également être ramenée à la figure 3.7b), l’intensité du débit latéral Q' = dQ/dx par unité
de longueur devient
Q' = - pa V^h	(3.32)
où a=a(x) est l’ouverture de la fente de substitution (fig. 3.7), p le coefficient de débit et h=h(x) la
hauteur de pression locale.
Si on considère maintenant le cas a) de la figure 3.8, l’angle moyen de l’écoulement à l’entrée de
la conduite latérale ne correspond pas à l’angle ô de cette conduite. Néanmoins sin <|> = >/ho/Ho est une
bonne approximation. En appliquant le théorème de Bernoulli généralisé au travers de la conduite
latérale (fig. 3.8a)
V2 V2	V2
ho +	= ha + ^(1+ÇR) +	{333)
où ÇR tient compte des frottements dans la conduite latérale et représente la perte de charge locale due
à la bifurcation latérale. Comme démontré au chapitre 2, Ça dépend de Ô, Aa/Ao, AQ/QO et de la forme
géométrique de la bifurcation. Pour AQ/QO< 1, une bonne approximation est ^a — 1- Par conséquent, en
négligeant les frottements dans la conduite latérale, l’équation (3.33) se simplifie et devient
(334)
74
RAPPEL DES BASES
où Vs est la vitesse de sortie à l’air libre. Ainsi l’équation (3.32) peut également être appliquée au cas a)
de la figure 3.8 une fois le système de substitution adopté; p correspond alors au coefficient de débit dû
à la contraction de l’écoulement à l’entrée de la conduite latérale. Pour une sortie à angle aigu, p~0,82;
pour une sortie bien arrondie, p~0,97. Par conséquent, le débit latéral du cas a) de la figure 3.8 est à
peu près de 30% plus élevé que dans le cas b), si h et a sont identiques, et la sortie est à angle aigu. Cet
effet est bien connu pour les sorties de réservoirs pourvues de tubes [3.6].
La pente de frottement J f dans la conduite de distribution, se calcule selon la formule de Darcy-Weis-
bach, en tenant compte du coefficient de frottement selon l’équation de Colebrook-White. Ces écoule-
ments peuvent souvent être supposés pratiquement lisses. Pour 2 • 103<R<5 • 105, l’équation (3.5), de
Blasius s’applique, d’où
0,316 • yvy/4
2gD5'4
(3.35)
selon l’équation (3.6). Ainsi, le système d’équations est complet.
L’évolution de la hauteur de pression h(x), du débit Q(x) et de la charge H(x) peut être déterminée
alors au moyen des équations (3.27), (3.28), (3.30), (3.32) et (3.35), une fois la géométrie de la conduite
de distribution A = A(x), de la fente a = a(x), le coefficient de débit p (forme de la bifurcation) donnés
et une condition limite imposée.
Dans le cas d’une conduite de distribution horizontale, Js = 0. En dérivant l’équation (3.27) par
rapport à x et en éliminant H' au moyen de l’équation (3.28), on obtient
rrA2 „a3	1 L
(3.36)
Souvent, une répartition uniforme de débit Q' = Q* est recherchée, correspondant à Q" = 0. En
admettant une fente de hauteur (a) constante, on a Q"=pa>/g/(2h)h' = 0 selon l’équation (3.32) et par
conséquent h' = 0: la hauteur de pression doit être constante le long de la zone de distribution. Cette
condition sera généralisée dans le chapitre 9 pour les canaux découverts.
L’analyse suivante vise à déterminer le diamètre D = D(x) en fonction de la coordonnée longitudinale
de telle façon que Q' = Q'+. La répartition locale du débit est alors
Q = q; x, x 0	(3.37)
où x=0 se trouve à l’extrémité aval de la conduite de distribution (fig. 3.7.b), d’où Q(x = 0) = 0. Avec
A=kD2/4, donc A' = 7tDD'/2, l’équation (3.36) montre que
(3.38)
c’est-à-dire une équation différentielle pour D(x), qui doit être résolue pour la condition limite
D(x= — L) = Do, Do étant le diamètre à l’amont de la conduite de distribution. La solution de l’équation
(3.38) est
D _ x
d;-l
, v 9/20—.4/3
Cù - (Cù-l)(t)
\x/
(3.39)
CONDUITES EN CHARGE
où © = (—v/Q'*)1/4 • (L/Do)3/4/8,05. Avec les valeurs usuelles p^0,8, a ~ 0,05m,	100m, T = 15°C, donc
Qi= — l,77m2s-1 et v= 1,15 • 10-6m2s-1, il résulte (—v/Q'*)1/4=0,03. Pour L/Do~50 on obti
© = 0,03 • 18,8/8,05 ~ 0,07. © est fortement influencé par L/Do mais est normalement proche de
Comme on le constate dans la figure 3.10, où est reportée l’équation (3.39), l’influence de © sur D(x)
est faible si © < 0,1. On obtient donc une approximation de l’équation (3.39) par la solution asymptotia
©->0
D/D„ = (x/L)2'5.
Ce cas correspond à l’écoulement non visqueux (v->0) et ne tient ainsi pas compte des pertes de chaige
dues au frottement. L’autre extrême, ©->1, entraîne une diminution linéaire du diamètre.
Fig. 3.10 Répartition locale du diamètre D/Do en fonction de la longueur relative x/L à condition que la distribution d’écoulement s
uniforme; (--------------------------------------------------) écoulement non visqueux.
Il est à noter que © dépend de l’intensité moyenne de débit Q* et par conséquent selon l’équation
(3.37) du débit amont Qo = — Q*L pour une longueur de la conduite de distribution fixée. Cependant,
cette influence sur © (©~Q'+-,/4) est faible; une géométrie fixe de la conduite entraîne une répartitic
uniforme du débit pour un grand spectre de débits amont Qo. Le fait de réduire le diamètre de la conduite
est donc un moyen important pour assurer une distribution uniforme du débit latéral.
Une deuxième configuration particulière est constituée par une conduite prismatique de distributio
de diamètre D constant dans laquelle la répartition des conduites latérales est uniforme. Par conséquent,
la hauteur de la fente (a) est également constante. En posant
X = —x, P = - Q ,	(3.41)
A	A >/2gH#	pa \gHj
l’équation de la répartition du débit devient [3.6]
P'P" + (l+Cp)PP' + xP7/4 = 0	(3.42
où Cp et un coefficient de recouvrement de pression. Selon l’équation (3.30) Cp= 1/5, mais Cp = 0 selon
la théorie conventionnelle.
La figure 3.11 montre P(X) et Y(X) pour les deux valeurs de Cp en fonction de x>0. Y = H/H# es
la charge locale relative et H* est la charge aval, H(x = 0) = H*. On constate que P(X) décroît vers la fin
de la conduite de distribution en X = 0. La solution pour x = 0 (écoulement non visqueux)
P = - (1 + Cp)-1'2sin((l + Cp)l/2X)
(3.43)
76
RAPPEL DES BASES
Fig. 3.11 Conduite de distribution prismatique à fente de hauteur constante; répartition de débit P(X) et de la charge Y(X) pour divers
x et a) Cp=0,2, b) Cp=0. (--------------------------------) Solution non visqueuse x=0. (O) Pœax, (•) Ymill.
CONDUITES EN CHARGE
77
est représentée par la courbe traitillée. Pour X>—0,7, cette relation est une bonne approximation
lorsque 0<x< 1. De plus, on voit que P(X) est alors presque rectiligne, donc P/(X)~0. La répartition
du débit latéral est donc presque uniforme.
La figure 3.11 indique que la longueur relative X ne doit pas être trop grande, | X | < 1, ou que x doit
être choisi relativement petit, x<0,5, pour que les pertes de charge ne soient pas excessives. Selon
l’équation (3.41)!, le rapport paL/A< 1, correspondant à pnAL< A; la somme des sections latérales doit
donc être plus petite que la section de la conduite de distribution, si tout le débit est déversé latéralement.
La deuxième condition amène Lmax<4(gH#A5/v2)1/8, H(Q=0) = H+ étant la charge à l’aval de la
conduite.
Les minimums de la ligne de charge, Ymin sont également indiqués dans la figure 3.1 la). Soit X^ les
endroits où se trouvent ces points pour divers x. Pour X<Xmin, la ligne de charge décroît dans le sens
de l’écoulement, les effets de frottement sont donc plus grands que l’effet de recouvrement de pression.
Par contre, pour X>Xmin, la ligne de charge croît et le phénomène inverse a lieu.
Exemple 3.2
On considère une conduite horizontale et prismatique de diamètre D = 2m (A = 3,14m2) et de débit amont
Q0=15m3s~* (Vo= 4,78ms-1). Quelle est la géométrie de la conduite de distribution à quatre conduites
latérales si on admet que la hauteur de pression aval est H(x=0)=H* = 100m et que les entrées dans les
conduites latérales sont bien arrondies (p=0,96)?
Avec Lmax<4[9,81 • 100 • 3,145/(1,15 • 10-6)2],/8 = 590m, on obtient a<3,14/(0,96 • 590)=0,006m. La lon-
gueur envisagée est L=30m<Linax d’où amâx=3,14/(0,96 • 30)=0,llm. En admettant une charge constante
H = H* = 100m, la hauteur de pression amont devient ho=H*—V^/2g= 100—4,782/19,62=98,85m. Par
conséquent, Q'=± -0,96 • a(2gho)1/2 et Qo= -Q'L, d’où a~ 15/(30 • 0,96  (19,62  99)1/2) = 0,0118m<ama,.
Il en résulte donc pour x=0,234 et X = —0,96 • 0,0118 • 30/3,14= —0,108. La figure 3.11a) donne alors
P=0,1078, d’où Qo=0,1078 • 3,14(19,62 • 100),/2= 15m3s-1. Si n=4 turbines sont prévues, leur distance
intermédiaire est 10 m et la section de sortie dans la turbine s’élève à AT=La/n=30  0,0118/4=0,0885m2,
donc Dt=(4 • At/tc),/2 = 0,33m.
Comme on le constate dans la figure 3.1 la), la charge à x= —30m est légèrement inférieure à H* = 100m.
De plus, l’effet de la dynamique de l’écoulement n’est pas important, parce que la distance relative X = — 0,108
est faible.
Références
[3.1]	COMOLET, R., Mécanique expérimentale des fluides, Masson, 1982, 3e édition, Paris.
[3.2]	Carlœr, M., Hydraulique générale et appliquée, Eyrolle, Paris, 1972.
[3.3]	Collins, M.A., Discussions [3.10], Proc. ASCE, J. Hydraulics Division, Vol. 102,1976, HY11, 1707-1709.
[3.4]	Daily, J.W., Harleman, D.R.F., Fluid dynamics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1966.
[3.5]	Daugherty, R.L., Franzini, J.B., Fluidmechanics, 6th édition, McGraw-Hill Book Company, New York,
1965.
[3.6]	Hager, W.H., «Flow in distribution conduits», Proc. Institution Mechanical Engineers, Vol. 200, A3, 1986,
205-213.
[3.7]	Müller, W.E., Druckrohrleitungen neuzeitlicher Wasserkraftwerke, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,
New York, 1968.
[3.8]	Press, H., Schrôder, R., Hydromechanik im Wasserbau, W. Ernst & Sohn, Berlin, München, 1966.
[3.9]	Streeter, V.L., Wylie, E.B., Fluid mechanics, McGraw-Hill, London, 1983.
[3.10]	Swamee, P.K., Jain, A.K., «Explicit équations for pipe-flow problems», Proc. ASCE, J. Hydraulics
Division, Nv\. 102,1976, HY5,657-664; HY11,1707-1709; Vol. 103,1977, HY4,460-463; Vol. 104, 1978,
HY2, 300.
78
RAPPEL DES BASES
Notations
a	[m]	hauteur de la fente	Q'	[m2s->]	intensité du débit latéral
A	[m2]	section mouillée	Q*	[m2s ’]	intensité constante du débit latéral
al	[m2]	section d’une conduite latérale	R	[-]	nombre de Reynolds
c	[sfo 5]	coefficient de perte	Rh	[m]	rayon hydraulique
C	[-]	facteur de proportionnalité	U	[ms ']	vitesse de sortie
Cp	[-]	coefficient de recouvrement de pres-	V	[ms ']	vitesse moyenne
		sion	Vo	[ms *]	vitesse d’approche
D	[m]	diamètre de la conduite	V,	[ms ']	vitesse de sortie
Do	[m]	diamètre amont	x	[m]	coordonnée longitudinale
f	[-]	coefficient de frottement	X	[-]	coordonnée longitudinale adimen-
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle			sionnelle
h	[m]	hauteur de pression par rapport à	Y	[-]	charge locale relative à H*
		l’axe de la conduite	z	[m]	coordonnée verticale
H	[m]	charge	z.	[m]	hauteur de pression
AH	[m]	perte de charge totale	S	[-]	angle latéral
AHt	[m]	perte de charge locale	P	[kgm 3]	masse volumique du fluide
AHr	[m]	perte de charge répartie	t.	[-]	coefficient de perte de charge
i	[-1	indication du latéral		[-]	coefficient de perte de charge d’une
Jf	[-]	pente de la ligne de charge due à la			bifurcation le long du latéral
		perte de charge répartie		[-]	coefficient de perte de charge d’une
JL	[-]	pente de la ligne de charge due à la			bifurcation le long du principal
		perte de charge locale	Sl	[-]	coefficient dû à une perte de charge
J5	[-]	pente de l’axe de la conduite			locale
k»	[m]	hauteur de sable équivalente	Çr	[-1	coefficient de perte de charge dû au
K	[m,/3s ']	coefficient de rugosité			frottement
L	[m]	longueur de la conduite de distribu-		[-]	coefficient de perte de charge dû à la
		tion			sortie
AL	[m]	longueur considérée d’un élément	¥	[-]	coefficient de perte de charge géné-
m	[-]	exposant du nombre de Reynolds			ralisé
n	[-]	nombre d’éléments	V	[mV]	viscosité cinématique du fluide
P	[Nm 2]	pression	£	[-]	rugosité relative
P	[-]	débit adimensionnel	P	[-]	coefficient de débit
q	[-]	rapport de débits	4>	[-]	angle latéral
Q	[m3s ’]	débit	K	[-]	caractéristique de la conduite de
AQ	[m3s-1]	débit latéral			distribution prismatique
4.	Hauteurs typiques de l’écoulement
a)
c)
d)
Rivières à coefficient de rugosité type: a) K. = 42m1/3s~', b) K —31ml0s“', c) K = 20m’/3s d) K = 13ml/3s 1 [4.2].

80
RAPPEL DES BASES
4.1	Introduction
Un canal constitue un élément d’un réseau de transport d’eau à surface libre. Les rivières, les canaux
artificiels (comme ceux que l’on trouve dans le domaine de l’irrigation) et les conduites partiellement
remplies en sont des exemples.
Un écoulement dans des canaux est caractérisé par la direction longitudinale. Les effets transversaux
sont souvent négligeables et l’écoulement peut être considéré comme presque unidirectionnel. Ainsi que
cela a été démontré au chapitre 1, cette hypothèse est satisfaite si
-	les effets de courbure des lignes de courant sont négligeables (théorie des écoulements à hauteur
d’eau peu profonde),
-	tous les changements de géométrie du canal sont graduels, et le débit reste presque constant
localement.
L’écoulement dans des canaux peut donc se traiter d’une façon simplifiée par rapport à la réalité et
la théorie correspondante considère V écoulement graduellement varié. Il est caractérisé par
- une répartition uniforme des vitesses,
- une répartition hydrostatique des pressions.
Pour les écoulements stationnaires, les inconnues sont la vitesse moyenne V = Q/A et la pression p;
celles-ci ne dépendent par conséquent que de la coordonnée longitudinale x. Q est le débit et A la section
mouillée.
L’écoulement stationnaire dans des canaux prismatiques, donc dans des canaux dont la section A est
indépendante de x, est d’un intérêt particulier. Il est certain que des cours d’eau naturels de ce type ne
se rencontrent que rarement dans la réalité, mais les rivières peuvent être souvent considérées comme
prismatiques si on considère des distances suffisamment longues. Si, de plus, on admet que la pente du
fond Js est presque constante et positive, et que les caractéristiques de rugosité ne changent pas
considérablement, un état d’équilibre peut apparaître, notamment l’équilibre entre les forces de pesanteur
et les forces de frottement. Cette configuration est appelée écoulement uniforme. La hauteur d’eau
résultante s’appelle la hauteur uniforme hN; elle ne dépend que du débit, du fluide, de la section considérée
ainsi que des caractéristiques du lit et des parois du canal. Dans un canal caractérisé par une pente, un
débit, une section et une rugosité invariables, cette hauteur apparaît toujours après une distance
suffisamment longue qui est indépendante des conditions d’écoulement amont ou aval. La hauteur
uniforme est donc une caractéristique importante de tout calcul hydraulique dans des canaux.
Une deuxième hauteur particulière est la hauteur critique hc. En posant H# = H —z où
V2
H = z + h + —	(4.1)
2g
est la charge, z=z(x) le profil du fond du canal et g l’accélération gravitationnelle, la charge par rapport
au fond devient
H* = h +
Q2
2gA2’
(4.2)
V = Q/A étant la vitesse moyenne dans la section considérée. Pour un canal prismatique, la section
mouillée dépend uniquement de la hauteur d’eau, A = A(h). Par conséquent, la fonction H* ne dépend
que de la hauteur d’eau, H* = H*(h), une fois le débit et la géométrie de la section spécifiés. La hauteur
critique h = hc correspond à la condition d’écoulement pour laquelle la fonction H*(h) est minimale.
Cette caractéristique de l’équation (4.2) est uniquement due à la surface libre de l’écoulement.
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
81
La troisième caractéristique d’écoulement dans des canaux à surface libre résulte de l’impulsion totale
(chap. 1)
(4-3)
où hp est la distance entre le centre de gravité de la section et la surface libre. Cette relation est comparable
à l’équation (4.2) et se compose d’un terme de pression hpA, et d’un terme dynamique QV/g=V2A/g. En
considérant à nouveau un canal prismatique à pente faible et constante, à débit invariable et à faible
rugosité des parois, l’équation (4.3) peut être appliquée à deux sections proches l’une de l’autre. En
admettant l’invariabilité de S, on obtient deux hauteurs d’eau différentes appelées hauteurs conjuguées.
Dans ce chapitre, la hauteur uniforme, la hauteur critique et les hauteurs conjuguées seront discutées
pour diverses géométries de canaux.
4.2	Hauteur uniforme
4.2.1 Formule de Manning-Strickler
Pour un canal à
-	écoulement stationnaire, à débit localement invariable,
-	écoulement unidirectionnel (répartition uniforme des vitesses et répartition hydrostatique des
pressions),
-	axe rectiligne,
-	géométrie de section prismatique, A(h),
-	pente constante et pas trop grande, Js< 10%,
-	caractéristique de rugosité constante,
il peut exister un écoulement de hauteur constante, appelée hauteur uniforme hN. Pour cet écoulement,
les pertes de charge ne sont dues qu’au frottement. En introduisant la perte de charge due au frottement
par unité de longueur Jf (chap. 2) appelée pente du frottement, on obtient dH/dx= — Jf (signe négatif à
cause d’une réduction de la charge en direction x). En tenant compte de ce que A = A(h), la dérivée de
H selon l’équation (4.1) par rapport à x est
où Js= — z' est la pente du fond du canal. Les primes indiquent la dérivation par rapport à x. Avec
A' = (dA/dh)h', l’équation (4.4) s’écrit
(4.5)
où, par définition,
F2 = QtÉà
gA3 dh ’
(4.6)
82
RAPPEL DES BASES
F étant le nombre de Fronde. Pour F< 1, l’écoulement est dit fluvial, et pour F> 1, on parle d’un
écoulement torrentiel. La limite entre les deux états d’écoulement, F= 1, correspond à la condition critique
(chap. 5).
L’écoulement uniforme (h' = 0) s’établit si la pente du canal est égale à la pente du frottement
Js = Jf	(4.7)
et ceci pour des conditions fluviales ou torrentielles. L’écoulement critique est exclu étant donné la
singularité (F= 1) de l’équation (4.5).
La pente du frottement ne peut pas être spécifiée de façon générale, du moins pour l’instant. De
nombreuses formules expérimentales ont été proposées pour tenir compte de l’écoulement turbulent
(chap. 2). Pour des canaux (et conduites) rugueux, la formule de Manning-Strickler
Jf = FrF	(4’8)
est considérée comme une bonne approximation de la réalité. Elle lie Jf à la vitesse moyenne V, la
géométrie du canal, exprimée par son rayon hydraulique Rh = A/P (où P est le périmètre mouillé) et un
facteur K, qui est le coefficient de rugosité. Avec V = Q/A et Rh = A/P, l’équation (4.8) s’écrit également
Q2p4/3
K2^’
(4.9)
Vu que A et P sont des fonctions de la hauteur d’eau h, et avec Js=Jf, cette formule permet de calculer
la hauteur uniforme h = hN en fonction de la géométrie du canal, du débit Q et du coefficient de rugosité K.
On obtient une forme de l’éqùation (4.9) qui se prête mieux à la représentation graphique des résultats
si P et A sont exprimés en grandeurs adimensionnelles. Les dimensions à considérer sont P [m] et A [m2].
Si «a» est une longueur de référence du canal, on peut écrire pour P = aPo et pour A=a2Ao, où les indices
«o» indiquent des termes adimensionnels. L’équation (4.9) devient ainsi [4.9]
Q
KJ^a8'3
(4-10)
Le premier membre ne dépend que de valeurs connues, alors que le second membre n’est fonction que
de la hauteur uniforme relative hN/a et, des paramètres géométriques du profil. L’évaluation approchée
de l’équation (4.10) pour des profils courants en pratique est donnée au paragraphe 4.5.
4.2.2 Formule de Darcy-Weisbach
Comme cela a déjà été constaté au chapitre 2, l’équation de Manning-Strickler (4.8) peut être
considérée comme une représentation asymptotique de l’équation de Darcy-Weisbach en tenant compte
du coefficient de frottement selon Colebrook-White. Les relations (2.3) et (2.4) ont été originalement
établies pour des conduites circulaires en charge. Cependant, en introduisant le rayon hydraulique
Rh = D/4, donc en remplaçant D dans les équations (2.3) et (2.4) par 4Rh, on obtient
V2 f
2g‘4R?
(4.H)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
83
2 • log -------+ -	.
5L3,7(4Rh)	V(4R„)7fJ
(4.12)
Cette formulation de l’équation de Darcy-Weisbach s’applique à des conduites en charge de profil
quelconque.
L’idée d’appliquer ces équations également aux canaux découverts est évidente. On établit ainsi une
relation qui permet d’exprimer la hauteur uniforme. Ce procédé a été vérifié au début des années
quarante mais seulement Marchi (voir pour la référence générale [4.17]) au cours des années cinquante,
a effectué les premiers essais systématiques correspondants. Bock [4.3], en 1966, présente des mesures
détaillées pour des écoulements dans divers profils de canaux en régime presque lisse.
En réalité, le rayon hydraulique Rh est un paramètre arbitraire utilisé pour caractériser un écoulement.
Par exemple, le rayon hydraulique Rh d’une conduite carrée et celui de la conduite circulaire inscrite sont
identiques. De plus, les rayons hydrauliques de la conduite pleine et de celle remplie à moitié sont
également identiques. Il est évident qu’un même Rh peut caractériser une infinité de profils de formes
géométriques différentes. Par exemple, pour un canal rectangulaire de largeur bo et de hauteur ho, donc
Rho — boho/(bo + 2ho), toutes combinaisons de h et b satisfaisant la relation
b h T b _ h _ 1 ,r, _ _,
— •—= — + 2— O /[1 + 2O]
bo ho Lbo ho J
(4.13)
avec <D = ho/bo conduisent au même rayon hydraulique Rfa=bh/(b+2h). Cette fonction est représentée
dans la figure 4.1 pour 0 = 1. On constate que
b/b0 > 2<b(H-2<D)-', h/h0 > (1+2®)-'.	(4.14)
Fig. 4.1 Formes de canaux rectangulaires possibles à rayon hydraulique R^, identique selon l’équation (4.13) pour 0=1.
(-----------------------------------------------------) équations (4.14).
Ainsi que cela ressort de la figure 4.2, les courbes f(R) dans le cas d’un canal rectangulaire de largeur b
sont parallèles à la courbe f(R,ks = O) correspondant à l’équation (4.12). Plus le rapport h/b décroît, plus
les courbes correspondantes s’éloignent. Il doit donc exister un effet de forme du profil sur la fonction
f(R). Cependant, toutes les courbes de la figure 4.2 peuvent être représentées par une seule courbe, si R
est transformé correctement, comme cela a été démontré par Bock. En introduisant le coefficient de forme
(qui dépend uniquement de la géométrie du profil)
= Rhe/Rh	«15)
84
RAPPEL DES BASES
Fig. 4.2 Effet de la forme (h/b) du profil rectangulaire découvert sur f en fonction du nombre de Reynolds, domaine turbulent lisse.
(------------------------------------------------) f(R) pour la conduite en charge [4.3],
où l’indice «e» caractérise le rayon hydraulique efficace, et avec R = 4( 4> Rh)V/v, £ = ks/(4( Rh)), l’équa-
tion (4.12) s’écrit
1
Vf
2 • log — +
L.3,7
2,51
R Vf
(4-16)
qui est identique à l’équation (2.4). De cette manière, la relation de Colebrook-White devient applicable
universellement pour des conduites et des canaux.
La figure 4.3 représente <t> pour les canaux rectangulaire, triangulaire, trapézoïdal et circulaire
partiellement remplis selon les mesures de Bock [4.3]. La géométrie des profils est définie dans la figure
4.10. La figure 4.3 permet de constater que, à l’exception du profil triangulaire, pour m> 1, le coefficient
de forme 4) est plus petit que l’unité. Par conséquent, le coefficient de frottement f est alors plus grand
que pour 4> = 1. On a évidemment 4> (h/D= 1)= 1, comme le montre la figure 4.3d).
Bock [4.3] propose les relations suivantes pour le coefficient de forme en régime turbulent lisse
~ l,629(h/b)
_1 + 2(h/b).
profil rectangulaire;
1 + (h/mb)
1 4- 2 VT+n?(h/mb)_
4) = [2,539m]0’15,
<t> = [h/D]1'4,
m ~ 1 , profil trapézoïdal;
profil triangulaire; et
profil circulaire.
(4.17)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
85
Fig. 4.3 Coefficient de forme 4 en fonction de paramètres géométriques, a) profil rectangulaire, b) profil trapézoïdal, m = 1, c) profil
triangulaire, d) profil circulaire. (---------------------------) essais, (---), extrapolation de mesures [4.3].
De plus, il propose d’appliquer ces relations également pour le régime turbulent rugueux, sans pourtant
avoir effectué les essais correspondants. La vitesse uniforme se calcule alors en appliquant les équations
(4.7), (4.11) et (4.16) au moyen de la relation suivante
V =
le
4	• iog —j— +
L14,8 4>Rh
2,5 Iv
84>V2^_ '
(4.18)
Exemple 4.1
Soit b = 2,50m, h= 1m, Js=0,1 %, ks = 5 • 10~4m, v= 1,15 • 10"6m2s"'; chercher la vitesse uniforme et le
débit correspondant.
Avec Rh = 2,5 • 1/(2,5 + 2) = 0,556m et h/b = 0,4, on déduit de l’équation (4.17)i 4=0,776, donc
Rta= 4 Rh = 0,431m. De l’équation (4.18) on tire V= -4(19,62  0,001  0,556)1/2 • log[0,0005/(14,8  0,431)4-
2,51 • 1,15- 10“6/(8 • 0,776(19,62 • 0,001 • O,5 563)1/2)= 1,698ms"1, donc Q = V  2,5  1 = 4,245m3s"*.
Par comparaison, en négligeant l’effet de forme sur la perte de charge (4=1), on déduit de l’équation
(4.18) V= 1,744ms"1, correspondant à une erreur de 2,7%.
D’autres études récentes sur le coefficient de forme ont été effectuées par Pillai [4.18], Jayaraman
[4.14], Kazemipour et Apelt [4.15], [4.16].
L’effet du coefficient de forme influence les écoulements dans les régimes turbulents lisse et rugueux.
Cependant, comme on le constate aussi dans l’exemple 4.1, c’est un effet du deuxième ordre. Comparé
à l’exactitude de la détermination de la rugosité équivalente de sable ks et aux conditions de base de
l’écoulement uniforme, 4 peut souvent être posé égal à 1. Par conséquent, les résultats discutés au
86
RAPPEL DES BASES
chapitre 2 sont immédiatement applicables aux canaux découverts, le diamètre D de la conduite étant
remplacé par le diamètre hydraulique Dh = 4Rh.
4.2.3 Corrélation entre les équations de Darcy-Weisbach et de Manning-Strickler
Ainsi que cela a été démontré au chapitre 2, l’équation de Manning-Strickler s’applique uniquement
si l’équation (2.5) est satisfaite, ce qui correspond à la relation suivante
ks> 1050v/V,	(4.19)
qui est indépendant du diamètre D et donc du rayon hydraulique Rh. En éliminant ks au moyen de
l’équation (2.29)
la relation (4.19) s’écrit
K < 2,57g1/2(V/v)1/6 .	(4.21)
Pour une température du fluide de T = 15°C environ, on a v = 1,15 • 10-6m2s-1; la valeur 'maximale
de K devient ainsi
K < 78 • V1/6	(4.22)
où V [ms-1]. On constate que le maximum de K ne dépend que légèrement de la vitesse uniforme. Pour
Vmin — 0,1ms ~1 et Vmaxcü5ms-1, le domaine de Kmax est compris entre 55<Kmax< 100mI/3s-1. Comme
cela a déjà été constaté au chapitre 2, le coefficient de rugosité ne devrait pas dépasser normalement la
limite de K^80m1/3s-1.
En éliminant V au moyen de l’équation de Manning-Strickler, l’équation (4.22) peut également
s’écrire comme suit
K < 185<j;/2Rj'3)l/5	(4.23)
où Rh[m]. Cette relation indique que le maximum admissible de K croît avec la pente du fond et avec
le rayon hydraulique.
Exemple 4.2
Reconsidérons l’exemple 4.1 et admettons que l’écoulement se trouve dans le régime pratiquement
rugueux. L’équation (4.20) indique K = 8,2 • 9,81l/2 • 0,0005~1/6 = 91ml/3s-1. Avec Js = 0,1% et Rh=O,556m, le
maximum admissible de K est Kmax = 85m1/3s-1 selon l’équation (4.23). L’écoulement se calcule donc de façon
approchée avec l’équation (2.8) V = 91  0,0011/2  O,5552/3= 1,94ms-1; l’erreur par rapport à la valeur de
l’exemple 4.1 est de 14%. Ce fait est dû à deux raisons: premièrement l’effet de la viscosité et deuxièmement
l’effet de forme qui augmente la valeur du coefficient de frottement et par conséquent réduit la valeur de K.
Pour arriver à la même vitesse V, on devrait poser K = 78m1/3s-1.
4.2.4 Détermination du coefficient de rugosité
Selon le «Soil Conservation Service» (SCS), le coefficient de rugosité K est estimé en partant d’un
canal idéalisé, qui a une section uniforme, un axe rectiligne et une pente et des caractéristiques de rugosité
régulières. Ensuite, par introduction de coefficients correctifs, les effets de la végétation, de la régularité
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
87
du profil, de l’irrégularité de la surface du canal, de la présence d’obstructions et du méandrage sont pris
en considération (voir French [4.8]). Il est évident que l’écoulement dans de tels cours d’eau ne peut pas
être considéré comme strictement uniforme. Cependant, pour effectuer un calcul pratique, la réalité peut
être représentée par ce modèle simplifié.
Une deuxième méthode, également exposée par French, se base sur des photos de ruisseaux et rivières
types calibrés. Ce procédé a été également proposé par Chow [4.5]. De plus, ce dernier présente une
méthode analogue à celle de French, qui utilise les valeurs du tableau 4.1. Ainsi, les effets de la rugosité,
Tableau 4.	1 Valeurs pour la détermination du coefficient de rugosité d’après
l’équation (4.24) [4.8].
Caractéristiques du cours d’eau			Valeurs
Matériau impliqué	Terre Rocher Gravier fin Gravier grossier	n0	0,020 0,025 0,024 0,028
Degré d’irrégularité	léger faible modéré important	ni	0,000 0,005 0,010 0,020
Modifications du profil en travers	régulières apparaissant occasionnellement apparaissant fréquemment	n2	0,000 0,005 0,010-0,015
Effet des obstructions	négligeable faible appréciable important		0,000 0,010-0,015 0,020-0,030 0,040-0,060
Végétation	faible moyenne importante très importante	n4	0,005-0,010 0,010-0,025 0,025-0,050 0,050-0,100
Présence de méandres	faible appréciable importante	mK	1,000 1,150 1,300
de la végétation, de l’irrégularité, de l’alignement de l’axe du canal, des sédiments, d’obstructions, de la
hauteur d’eau, entre autres, sur K sont considérés. Le calcul proposé se base sur la relation
1/K = (n0 -t- n, + n2 -t- n3 -|- n4)mK	(4.24)
dans laquelle les valeurs des paramètres du second membre sont tirées du tableau 4.1.
Le tableau 4.2 constitue une deuxième source de valeurs de K en fonction du type de cours d’eau et
de l’état de son lit.
88
RAPPEL DES BASES
Tableau 4.	2 Coefficient de rugosité K(ml/3s-1) d’après la formule de Manning-Strickler
en fonction du type du cours d’eau et de son état du lit (extrait de [4.5]).
Type du cours d’eau	Etat du lit		
	bon	assez bon	mauvais
Canaux - en béton, avec lissage	90	80	65
coulé	75	65	60
surface rugueuse	65	60	50
- en gunite, section plane	60	50	45
section ondulée	55	45	40
- en terre, rectilignes et uniformes	60	50	40
- à larges méandres	45	40	35
- dragués	40	35	30
- au rocher, lisses et réguliers	40	35	30
bruts et irréguliers	30	25	20
- avec lits de pierre rugueuse, herbes sur berges en terre	40	35	25
- à fond en terre, berges en galets (matériaux en suspension)	35	30	25
Cours d’eau naturels - Berges propres et rectilignes en eaux ordinaires • pas de seuils ni de mouilles	40	35	30
• avec quelques herbes et pierres	35	30	25
- Lits naturels avec méandres, • quelques étangs et endroits peu profonds, propres	30	25	20
• faibles tirants d’eau, sections et pentes plus faibles	25	20	18
- Zones à eau coulant lentement, avec assez de végétation ou avec fosses très profondes	20	15	10
- Zones avec beaucoup de végétation	10	8	7
Pour déterminer le coefficient de rugosité d’une rivière à lit de gravier, des méthodes empiriques ont
été développées récemment. Soit dn [m] le diamètre du grain représentatif du lit où n indique le poids
relatif (en pour-cents) des grains plus petits que dn. Les formules utilisées ont la forme suivante
K = t • dn-|/6,	(4.25)
t [m1/2s“ *] étant un coefficient de proportionnalité. Le tableau 4.3 donne quelques propositions à ce sujet
[4.12]. La figure 4.4a) représente r(n) et on peut approcher cette grandeur par la relation suivante
t ~ 20 • log(n) — 12,8 .	(4.26)
Pour appliquer l’équation de Colebrook-White dans de telles rivières, une corrélation entre ks et dn
doit être trouvée.
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
89
Tableau 4.3 t et n selon l’équation (4.25) [4.12].
Auteur(s)	Strickler	Raudkivi	Meyer-Peter et Muller
t [m'V1]	21,1	24,3	26,3
n, [-]	50	65	90
b)
Fig. 4.4 a) Corrélation semi-logarithmique entre t [ml/2s-1] et n selon le tableau 4.3. b) Comparaison entre (-) l'équation (4.28) et
(---) l’équation (4.29).
/
En éliminant K des équations (4.20) et (4.25), et en posant ks = dn on obtient t = 8,2  9,811/2=25,7.
L’équation (4.26) donne alors n = 84, donc ks~d84! La hauteur équivalente de sable ks correspond par
conséquent à peu près au grain d84.
Un deuxième type d’équation a été proposé par Limerinos (voir Hey et al. [4.12])
Rh;6/9
(4.27),
On constate que, avec d84~ks, et e = ks/(4Rh), cette équation s’écrit également
i _ Ri/6
K 5 - 18 • log(E) ’
(4.27)2
K dépend ainsi de ks et de Rh. Si la vitesse V dans l’équation de Darcy-Weisbach pour le régime rugueux
est remplacée par la vitesse selon l’équation de Manning-Strickler, on obtient
(4.27)3
La figure 4.4b) fournit une comparaison des valeurs de KRj/6 calculées selon les équations (4.27)2 et
(4.27)3 et on constate qu’il existe une bonne concordance entre ces valeurs. Pour e < 10 “2, les erreurs sont
inférieures à 10%. Le désavantage de l’équation (4.27)3, par rapport à l’équation (4.25), est que K dépend
de ks et de Rh. Toutefois, l’influence de Rh sur K est faible et la rugosité relative e est facile à estimer,
étant donné que ks = d84 représente le diamètre des grains qui constituent la majeure partie de la surface
90
RAPPEL DES BASES
du lit. Il convient de mentionner que la valeur maximale de K dans une rivière à lit de gravier est de
l’ordre de	ce qui correspond à dg4min~ 0,05m.
Exemple 4.3
Reconsidérons les valeurs de l’exemple 4.1: Avec e=0,0005/(4 • 0,556) = 2,25 • 10"4 et Rh = 0,556m,
l’équation (4.27), donne K = — 4 • 19,621/2  log(2,25 • 10“4/3,7) • 0,556"1/6 = 82ml/3s"’. La vitesse moyenne de
l’écoulement devient ainsi V = 82 • 0,0011/2 • 0,5562/3 = 1,76ms"1, et est de 3,5% plus élevée que celle obtenue
dans l’exemple 4.1.
Bray [4.4] analyse des rivières naturelles à lit de gravier à Alberta, Canada. Il trouve que l’équation
(4.27)) de Limerinos donne les meilleurs résultats concernant l’estimation de K. Si ks ne peut être estimé
avec suffisamment de précision, la formule empirique K=(O,1O4Jso,177)~1 peut être appliquée; pour
0,002 <JS< 0,1, la formule se simplifie et devient
K = 10Js-‘/6.	(4.28),
On obtient ainsi l’expression de la vitesse moyenne suivante
V = lOjy’Rj'’,	(4.28)2
celle-ci peut être comparée à la formule de Lacey (voir [4.13])
V = 10,8Jj/3hJ/3	(4.28)3
dans laquelle hh correspond à la hauteur d’eau moyenne. Jarrett [4.13] examine expérimentalement les
rivières qui présentent une pente de radier importante: Js> 0,002. Ces mesures ont été effectuées au
Colorado, USA. On a trouvé ainsi que la rugosité de telles rivières décroît si la hauteur d’eau croît; par
conséquent, la valeur de K selon la formule de Manning-Strickler est influencée par la pente du radier
et par la hauteur d’eau. En se basant sur ces essais, on trouve
K = 2,55Jf 0,38Rj’16	(4.29),
donc
V = 2,55jJJ2R’-M.	(4.29),
L’équation (4.29)2 peut être appliquée aux rivières naturelles avec des bords et un lit stables et
constitués par du gravier, des pierres et des éboulis. Les valeurs concernant la pente du fond et le rayon
hydraulique doivent rester dans les domaines 0,002 < Js < 0,05 et 0,15 < Rh< 2,1m. Finalement, la quan-
tité de sédiments en suspension devrait être faible.
4.2.5 Canaux à rugosité composée
Souvent, la rugosité varie au travers de la section d’un canal, comme le montre la figure 4.5. Il
importe, dans de tels cas, de connaître un coefficient de rugosité équivalent de la section complète.
En se basant sur l’équation de Manning-Strickler, les propositions suivantes ont été faites [4.8]
K = P2/3
n	-1-2/3
ZŒi/K3'2)
(4.30),
K = Pl/2 
n -1-1/2
S (P,/K-2)
(4.30)2
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
91
K = IPR^F'
L>= i J
(430),
Ces équations se basent, respectivement, sur les hypothèses selon lesquelles la vitesse dans chaque
sous-section A; est identique à la vitesse moyenne (4.30)], la force résistante totale est égale à la somme
le toutes les sous-forces résistantes (4.30)2, et le débit total est égal à la somme de tous les débits de
ious-sections (4.30)3.
D’autres méthodes présentées par French [4.8] proposent les relations
K = A
SCAi/KJ
= 1
(4.30)4
-2/3
(4.30)5
dans lesquelles les angles de bords sont partagés pour obtenir Aj (fig. 4.5).
Fig. 4.5 Canal à rugosité composée.
Exemple 4.4
Soit le canal de la figure 4.5, dont les éléments sont spécifiés dans le tableau 4.4. Quels sont les coefficients
de rugosité selon les équations (4.30), si les hauteurs ® = (5) — 5m?
Le résultat selon le tableau 4.4 est K = 36m1/3s-1 selon l’équation (4.30),, K = 34ml/3s~', selon l’équation
(4.30)2, K = 36ml/3s-1 selon l’équation (4.30)3, K = 31m1/3s-1 selon l’équation (4.30)4 et K = 30ml/3s~’ selon
l’équation (4.30)5.
4.2.6 Canal circulaire partiellement rempli
Normalement, la largeur B à la surface d’un canal croît avec la hauteur d’eau h, donc 9B/9h>0.
Cependant, cette propriété n’est pas vérifiée pour les canaux recouverts et partiellement remplis. Le type
de canal le plus courant est le profil circulaire de diamètre D (fig. 4.6). La hauteur d’eau h, le périmètre
P et la section mouillée A ne sont caractérisés que par l’angle S; on a ainsi
h = y(l —cosô),
(4.31)
P = Dô ,
(4.32)
92
RAPPEL DES BASES
Tableau 4.4 Calcul des caractéristiques de section, (*) A selon les équations (4.30)4 et
(4.30)5.
Elément Longueur [m] KJm^s1]	1 10 67	2 15 45	3 5 33	4 20 22	5 5 33	6 10 45	7 5 67
A, [m2]	25	75	37,5	200	37,5	50	12,5
Pi [m]	11,2	15	7,1	20	7,1	10	7,1
Rhi [m]	2,2	5	5,3	10	5,3	5	1,8
A.(*) [m2]	27,9	77,2	53,0	159	53	50	17,7
D2
A = —(8—sinScosS).
(4.33)
L’application de l’équation (4.10) donne
Q _ 1 /S — sin5cos8\5/3
Kj;/2D8/Î ” S2^ \	4	/
(4-34)
pour les conditions uniformes, avec a = D. Soit
kD8'5
45/3
(4.35)
le débit à remplissage complet, l’équation (4.34) s’écrit
q = Q/Qp =
(8 — sin8cos8)5/3
(4.36)
qp = Kjy2 •
où 8 = arccos(l — 2(h/D)). L’équation (4.36) est représentée à la figure 4.6, et on constate que q> 1 si
0,8 < h/D < 1. Par conséquent, il existerait dans ce domaine deux hauteurs uniformes h/D pour un même
débit relatif q.
Cette particularité n’est pourtant pas confirmée par des essais. En effet, l’équation de Manning-
Strickler ne s’applique plus à de tels écoulements dès que l’effet de l’air situé au-dessus de la surface
devient important. Généralement, h/D = 1/2 est considéré comme la limite supérieure de validité de
l’équation (4.36). Pour 0,5 < h/D < 1, de nombreuses propositions ont été présentées pour la fonction en
question. Selon les essais de Ackers [4.1], l’équation (4.36) peut être appliquée si h/D<0,7. Selon
Engelund [4.6]
q = -(l-cosfry))
(4.37)
où y = h/D. Les observations les plus complètes ont été effectuées par Sauerbrey. Sa proposition a été
simplifiée par Hager [4.10] et s’écrit
(4-38)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
93
Fig. 4.6 Relation entre le débit relatif q = Q/Qp et la hauteur d’eau normalisée h/D dans une conduite partiellement remplie.
La figure 4.7 présente une comparaison entre les différentes formules. L’équation (4.18) est également
représentée sur cette figure en tenant compte du coefficient de forme <t> selon l’équation (4.17)4. On
constate que, pour y >0,8, toutes les courbes sont situées au-dessus de la courbe correspondant à celle
de la figure 4.6.
Sauerbrey tire les conclusions suivantes de son analyse:
-	Pour des hauteurs d’eau relativement grandes, la couche d’air située au-dessus de l’écoulement
influence de façon significative les caractéristiques d’écoulement; cet effet peut se manifester par
une obturation brusque de la section,
-	l’écoulement uniforme ne s’établit que rarement dans la pratique. Trop souvent, cet état asymptoti-
que est perturbé par des changements de matériel, de pente, de débit ou de section,
-	l’écoulement uniforme stable ne peut s’établir que pour h/D < 0,95; ainsi, la fonction q(y) selon la
figure 4.7 reste unique.
A partir de l’équation (4.38) l’écoulement uniforme se calcule par
(439)
ou, pour q = Q/(KJj/2D8/3) donné,
y = ?(3-7^=28^)
(4.40)
La section mouillée, exprimée en terme de y = h/D, peut être approchée par l’expression [4.10]
A/D2 = ^y3/2( 1 - X _	(4.41)
3	\	4	25/
à partir de laquelle la vitesse moyenne V = Q/A se calcule facilement.
4.3 Hauteur critique
Pour des écoulements unidirectionnels et stationnaires, la charge H exprimée par l’équation (4.1)
dépend de la coordonnée longitudinale et de la hauteur d’eau, H(x,h). En une section donnée à l’endroit
94
RAPPEL DES BASES
Fig. 4.7 Relation entre le débit normalisé q=Q/Qp et la hauteur d’eau relative y = h/D selon (—) la figure 4.6, (-) Sauerbrey,
voir (4.10], (-•) Engelund [4.6] et (-) Bock [4.3] pour k^D = 10 4.
x=xM,, la charge par rapport au fond du canal H* = H(z=0) s’exprime par l’équation (4.2). Si le débit
reste localement constant, H* ne dépend que de la hauteur d’eau, H*(h). Les valeurs extrêmes de cette
fonction sont d’un intérêt particulier. Ce sont les solutions de l’équation suivante
«L = ! _ 01ÉA = _ p2 = 0
dh gA3 dh
(4.42)
Pour reconnaître si F = 1 correspond à un maximum ou un minimum, on calcule la dérivée seconde
d2H* = 3Q2/dA\
dh2 gA4\dh/
Q2 /d2A\
gA3\dh2/
(4.43)
Si (d2H*/dh2) < (>)0, la fonction H*(h) atteint un maximum (minimum). Il est facile de démontrer
(chap. 5) que F = 1 correspond à un minimum de la charge et ceci pour des profils de canaux quelconques.
En outre, on peut démontrer que le minimum de la fonction S(h), exprimée par l’équation (4.3), est
également atteint pour F = 1 (chap. 10). F= 1 est défini comme la condition d’écoulement critique. Elle
correspond donc à un écoulement pour lequel la chargeai* et l’impulsion totale S sont minimales pour
un débit Q fixé. En d’autres termes, le débit devient maximal pour F = 1 si la charge H* ou l’impulsion
totale S est fixée. La figure 4.8 représente ce fait.
Pour F = 1 et compte tenu de l’équation (4.6), le débit critique dépend uniquement de la section,
c’est-à-dire de A et de dA/dh. Si on admet à nouveau A = a2Ao et h = ah0, on a alors [4.9]
Q2 _ Ao
ga5 dA0/dh0 *
(4.44)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
95
Fig. 4.8 Relation entre a) la charge H* et la hauteur d’eau h pour un débit fixe, b) le débit Q et la hauteur d’eau pour une charge fixe.
Les deux fonctions possèdent la même hauteur critique hc.
Le second membre ne dépend que de la hauteur critique relative hja et des données géométriques du
profil. Pour un canal rectangulaire de largeur b par exemple, dans lequel A = bh et dA/dh=b, on a
hc =
(4-45)
Tenant compte de l’équation (4.2), la charge critique H+c correspondante s’écrit alors
H+c = 3hc/2 .	(4.46)
Pour des profils courants dans la pratique, la hauteur critique adimensionnelle est présentée dans le
paragraphe 4.5.
4.4 Hauteurs conjuguées
La figure 4.8a) met en évidence qu’un débit Q donné peut s’écouler, sous une même charge H*
donnée, avec deux hauteurs d’eau h bien distinctes (à l’exception de la hauteur critique). Pour une de ces
hauteurs l’écoulement se trouve dans le régime torrentiel (F> 1), et pour l’autre dans le régime fluvial
(F<1).
Le passage de l’écoulement torrentiel à l’écoulement fluvial se manifeste par un ressaut hydraulique
(chap. 15), c’est-à-dire par un changement «brusque» de la hauteur d’eau. Pour un tronçon de canal de
faible longueur, la figure 4.9 montre deux types d’écoulements à impulsion totale et débits constants.
Dans le premier cas a), aucun changement du régime d’écoulement n’a lieu, tandis que le deuxième cas
b) est caractérisé par un passage du régime torrentiel au régime fluvial. Dans le premier cas, la hauteur
d’eau et donc la charge H+ restent constantes, tandis que dans le deuxième cas, un changement brusque
se manifeste, associé à une perte de charge locale, AH. Les deux hauteurs d’eau, h] à l’amont et h2 à l’aval
du ressaut, sont appelées hauteurs conjuguées (fig. 4.9b). En réalité le ressaut occupe une certaine
longuebr, appelée longueur du ressaut Lj.
96
RAPPEL DES BASES
^AH
//7//7///77/////77///////
a)
/77T7777/7777777777///////
Fig. 4.9 Profils de surface schématisés pour S et Q constants, dans un canal prismatique a) régime d’écoulement non varié,
b) changement de F> 1 à F< 1.
Si les sections 1 et 2 sont placées suffisamment près du ressaut, la perte de charge due au frottement
entre les deux sections peut être négligée. Pour un canal prismatique à faible pente et à débit constant,
l’impulsion totale reste donc invariable et on a
Zi + 2Xi = Ï2 + 2Xz
Pg g Pg g
(4.47)
où F est la force due à la pression hydrostatique (chap. 1). L’équation (4.47) donne la relation implicite
qui existe entre les hauteurs conjuguées h} et h2, la géométrie du canal et le débit. La forme adimension-
nelle de cette relation est [4.9]
dans laquelle F = pga3F0 est la force de pression. Le second membre est uniquement fonction des deux
hauteurs conjuguées, h! et h2, et de paramètres géométriques de la section considérée.
Pour un canal rectangulaire prismatique à faible pente, pour lequel F/(pg) = bh2/2, l’équation (4.47)
donne
bh? Q2	bh2 Q2
—1 + -= —2 + _2S_.	(4.49)
2	gbh1 2	gbh2	V 7
En divisant l’équation (4.49) par bhf/2 et en posant
Y = h2/h, , F2
gb2h? ’
(4-50)
on obtient
1 4- 2 F2 = Y2 +
2F2
(4.51)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
97
La première des trois solutions possibles pour Y correspond à Y = 1 (hj = h2) (solution représentée
dans la figure 4.9a). Les deux autres solutions s’obtiennent en divisant l’équation (4.51) par (Y — 1). Ainsi
les solutions suivantes se calculent
Y =1(-1+7ÎT8F]).
** \
(4.52)
Il est évident que seul le signe positif donne une solution ayant un sens physique Y > 0, celle-ci est
connue sous le nom de formule de Bélanger.
4.5 Evaluation des hauteurs typiques
4.5.1 Profils de canaux considérés
Les relations adimensionnelles qui expriment la hauteur uniforme (4.10), la hauteur critique (4.44)
et les hauteurs conjuguées (4.48) sont relativement difficiles à appliquer. On indique les caractéristiques
géométriques des profils des canaux les plus courants, à savoir les profils
-	trapézoïdaux,
-	trapézoïdaux pleins,
-	en U, et
-	circulaires.
La figure 4.10 donne alors les éléments géométriques de ces canaux. La longueur de référence
correspond à la largeur de base b des profils trapézoïdaux et trapézoïdaux pleins symétriques; m est la
cotangente de l’inclinaison des parois. Les cas spéciaux, correspondant au profil rectangulaire et au profil
triangulaire, sont obtenus en posant respectivement m=0 et b = 0. Dans les cas du profil en U et de la
conduite circulaire, le diamètre D correspond à la largeur de référence a.
Fig. 4.10 Profils de canaux considérés: a) trapèze, b) plein trapèze, c) en U, d) conduite circulaire partiellement remplie.
98
RAPPEL DES BASES
4.5.2 Profil trapézoïdal
Avec a = b (largeur de base), on a
p0 = i +
(4.53)
\2	3b / \b/
Pour l’évaluation graphique de la hauteur uniforme relative à la largeur de base, hN/b, les deux
paramètres Q/(KJ/2b8/3) et m doivent être considérés (fig. 4.13a).
La hauteur critique relative hc/b dépend de Q/(gb5),/2 et de m. En tenant compte des nouveaux
paramètres mhc/b et m3/2Q/(gb5)1/2, une seule courbe, représentée dans la figure 4.13b), permet d’obtenir
la quantité recherchée ainsi que la charge critique relative mHJb qui est également représentée sur cette
figure.
Les figures 4.13c) et d) donnent les hauteurs conjuguées pour des canaux trapézoïdaux caractérisés par
m = l/>/3 et m = 1. Une représentation modifiée est donnée au chapitre 15, où sont également discutés
d’autres aspects du ressaut hydraulique dans ces canaux.
Les figures représentant les hauteurs critiques et les hauteurs uniformes permettent une détermination
simple de ces quantités. Cependant, pour des valeurs relatives faibles, la précision de lecture n’est pas
bonne. Ce domaine doit donc être analysé par une méthode approchée. La marche à suivre pour ce calcul
est illustrée ci-après pour un profil trapézoïdal, mais elle pourrait être adaptée à toute autre section.
Si l’on reprend les formules (4.53)] 7, en écrivant yN==hN/b et considérant les valeurs 0<m<3 et
yN< 1, on obtient Pj = (1 + 2yNV 1 +nr)21 +4yN>/l+m2 et par conséquent d’après l’équation (4.10)
~ tyN0+myN)f3 ~ yrA* +myN)
“N ~ (1 +4yN7ÎW)1'3	|_1 + 1  4yNVÏW
où qN = Q/(KVÏ^b8/3). Pour yN<^ 1 cette relation peut également s’écrire
r 4	-----
Qn/5 1 + -yNx/l+m2 - myN = yN .
(4.55)
On en déduit pour la hauteur uniforme
qN3/5
(4-56)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
99
qui donne explicitement yN = yN(qN,m). La différence entre les valeurs de qN données par l’expression
exacte et par l’équation (4.56) est inférieure à 5%, si hN/b<0,2 et m<3.
En tenant compte des relations (4.53)2 3, on peut également obtenir l’équation asymptotique de la
hauteur critique
q=-2/3
(4.57)
La différence entre les valeurs de qc=Q/(gb5)1/2 donnée par l’expression exacte et par l’équation (4.57)
est inférieure à 5%, si yc=hc/b<0,25 et m^3.
4.5.3 Profil trapézoïdal plein
Avec a = B (largeur de la surface) et p = b/B, les expressions de la partie supérieure du profil
(h/b^(l — p)/2m) deviennent
po = 2(5) + 0 +	1),
\B/	m
(4.58)
La partie inférieure du profil se calcule selon les indications du paragraphe 4.5.2. La limite entre les deux
parties est indiquée par la ligne traitillée dans la figure 4.14. Les hauteurs conjuguées de la figure 4.14c)
se rapportent au cas b = 0.
4.5.4 Profil en U
Le profil en U est composé d’un demi-cercle et d’une partie rectangulaire de largeur D. Ci-dessous,
seules les relations correspondant à h/D >1/2 avec a = D sont indiquées
Po = 21
K
2
n 1
8 — 2’
dAo = 1
dh0
(4.59)
v V h
Fo = - —
2\D
1\2 h	1\	1
— ) + —I — — — I + —
2/	8\D	2/	12
100
RAPPEL DES BASES
La figure 4.15a) représente le débit uniforme QN/(KJj/2D8/3) et le débit critique Qc/(gD5)1/2 en fonction
de la hauteur d’eau relative h/D.
Les hauteurs conjuguées sont représentées dans la figure 4.15b). Cependant, les domaines h]/De 1/2
et h2/D<l/2 ont été complétés par les indications concernant le profil circulaire, qui est traité au
paragraphe 4.5.5.
4.5.5 Profil circulaire
Dans le cas du profil circulaire, les paramètres caractéristiques ne peuvent pas être exprimés par des
fonctions explicites de h/D, et on utilise une forme paramétrique de l’angle 8 (fig. 4.10d). Avec a = D
(diamètre) on obtient
h = y(l-cos8),
P„ = 8,
8 — sinScosS
(4.60)
dA0 . _
----= sin8,
dho
_	1/ . s sin38 _	3
Fn = - sino------------8cos8 .
8\	3	/
La hauteur uniforme hN ne peut se calculer à partir des équations (4.60)1 et (4.60)2 et on applique
l’équation (4.38), comme cela est exposé au paragraphe 4.2.6. La figure 4.16a) représente l’équation (4.39).
La charge uniforme par rapport au diamètre HN/D peut s’exprimer par l’équation
hn = hN xV
D D 2A2
(4.61)
dans laquelle q = Q/(KJj/2D8/3) est donné par l’équation (4.39), Ao est donné par les équations (4.60)] et
(4.60)3, et x = KJj/2D,/6g~,/2 est la caractéristique de la rugosité. La figure 4.16a) représente, en lignes
traitillées, l’équation (4.61) pour 0<x^3- Pour x = 0, on obtient le cas particulier hN = HN.
La hauteur critique par rapport au diamètre, hc/D, est représentée dans la figure 4.16b). On constate
que hc/D croît avec Q/(gD5)1/2. Pour Q/(gD5)1/2> 1,5, la valeur asymptotique hJD~ 1 est atteinte et la
hauteur critique correspond alors au diamètre de la conduite.
La charge critique par rapport au diamètre, Hc/D, se calcule au moyen de l’équation (4.2) en tenant
compte de la condition critique
Hc _ hç	[Qc/(gD5)'/2l2.
DD 2A„
(4.62)
elle est également représentée dans la figure 4.16b). Il est facile de démontrer que le rapport hc/Hc = 3/4
pour hc<^D, mais qu’il tend vers hJH,. = 0 pour hc~D.
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
101
Finalement, les hauteurs conjuguées h|/D et h^D sont représentées en fonction de Q/(gD5)1/2 pour
hj^h2^D dans la figure 4.16c). Le cas où h|<D<h2, donc lorsque la conduite à l’aval du ressaut
hydraulique se met en charge, peut être analysé en faisant 52=180°, alors Ao2=tc/4 et Fo2=n/8 +
(hJD —1)k/4. La figure 4.16d) représente les deux hauteurs conjuguées en fonction du débit relatif,
Q/(gD5),/2.
Ce type de ressaut a été étudié par divers chercheurs. Fasso [4.7] détermine la quantité d’air entraîné
par le ressaut. Haindl [4.11] analyse expérimentalement le rapport des hauteurs conjuguées dans des canaux
de section rectangulaire fermée; une concordance satisfaisante est trouvée avec les résultats présentés
ci-dessus si la pente du radier de la conduite est faible. On constate que, pour un même nombre de Froude,
la perte de charge du ressaut dans ce profil est toujours plus petite que dans le canal rectangulaire
découvert. De plus, les longueurs du ressaut et de la zone aérée à l’aval du ressaut sont déterminées.
Rajaratnam [4.19] étudie le ressaut hydraulique dans des conduites circulaires horizontales. Le
rapport des hauteurs conjuguées h2/h| est présenté en fonction du nombre de Froude.
4.5.6 Profil exponentiel
On appelle profil exponentiel celui d’un canal dont la surface mouillée est liée à la hauteur d’eau par
une relation de la forme
A = k • hCT,	(4.63)
k[m2-CT] étant un facteur de proportionnalité. Les trois cas o= (3/2), 2, 3 sont d’un intérêt particulier
et correspondent aux profils parabolique, triangulaire et parabolique inversé (fig. 4.11). Pour o = 1, on
Fig. 4.11 Profils exponentiels, a) ci = 3/2, b) a = 2, c) o = 3 selon l’éq. (4.63).
obtient le profil rectangulaire. Tous ces profils sont symétriques par rapport à l’axe du canal. Il convient
donc de poser
z — k  y°, a > 0
(4.64)
pour la fonction de paroi, y étant la coordonnée transversale et k[m’ CT] un facteur de proportionnalité.
La section mouillée d’un tel profil se calcule au moyen de l’expression
ph____ _ ph ____ _	_ _____ _	_
A = 2 ydz=2| [z/k]l^dz = 2/k-|/’ h, + 1/'7(l + l/a),
Jo Jo
102
RAPPEL DES BASES
celle-ci devant être écrite de manière identique à l’équation (4.63). En comparant les exposants de h dans
les deux expressions, on trouve 14-ct-1=ct et par conséquent o = (o — l)-1; de plus k = [2/(ok)]1/(o-1),
d’où on tire
(4.65)
Le périmètre mouillé du profil z(y) est égal à P = 2 j (14- (dy/dz)2)1/2dz; avec dy/dz = o(cr — l)kz(o 2)/2
on obtient	0
P = 2 J
hr-
1/2
dz.
(4.66)
1 +
/	\ 2
Zo(o—l)k\ -2(ct_2)
\	2 J
o
En choisissant comme longueur de référence la largeur à la surface B = 9A/ôh, on obtient
B = B(h) = k • ohCTl selon l’équation (4.63) et on peut éliminer k = B/(ohCT-1) dans l’équation (4.66). On
obtient donc
z	v 2
f(CT-l)B\ -2(a_2)
\ J Z
Po
1/2
dz
T’
Ao
h.
oB ’
(4.67)
dAo
dho
Fo
1/(g-1)-,2 _
dÿ.
o > 1,
fB/2 -1 -	- -
On obtient l’équation (4.67)4 en posant F = pg I (h —z) dy où z(y) est donné par l’équation (4.65). Les
cas particuliers o = 1 et o = 2 seront considérés ci-après.
Canal rectangulaire
Avec b comme largeur de base, donc P = b4-2h, et Po= 1 H- 2y,y=hN/b, la condition de l’écoulement
uniforme s’écrit
Q =	y5/3
KJj/2b8/3	(14-2y)2/3 
(4.68)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
103
Cette relation est implicite pour y = y(q) (fig. 4.12). Lorsque q<l, y = q3/5 constitue une bonne
approximation de q. L’autre extrême, q^> 1, peut être approchée par la relation y = 22/,3q et la hauteur
uniforme dépend alors linéairement du débit relatif q. La première approximation conduit à des erreurs
sur q inférieures à 5%, si y <0,04, ce qui correspond à une valeur très faible; il s’agit d’un écoulement
à hauteur d’eau extrêmement peu profonde! Cette approximation, que l’on trouve souvent dans des
applications, est donc peu précise.
La formule
q =
-1-15/3
donc
(4.69)
approche l’équation (4.68) à mieux de 2%, si y < 1/2. La figure 4.12 représente les valeurs q(y) obtenues
par ces diverses approximations.
La hauteur critique et les hauteurs conjuguées se calculent explicitement selon les équations (4.45) et
(4.52).
Fig. 4.12 Condition uniforme dans le canal rectangulaire selon (----) l’équation (4.68), (--) l’équation (4.69) et (••) q = y5/3.
Canal triangulaire
En posant o = 2 et m = k dans l’équation (4.63), on obtient le profil triangulaire symétrique. La
largeur de surface est donc B = 2mh, d’où on déduit P(o = 2) = 2(l + m2)l/2h selon l’équation (4.67)i et
A=mh2. La condition de l’écoulement uniforme s’écrit alors de manière explicite
Q
Kjyi
(mh2)5/3
(2(1 +m2),/2h)2/3
™5h8 -1V3
m n
_4(l+m2)_
(4.70)
104
RAPPEL DES BASES
Avec A = mh2, donc dA/dh = 2mh, la condition de Y écoulement critique s’exprime par
2Q2 = j
gm2h5
Il est facile à démontrer que le rapport (H/h)c = 5/4.
Avec F=pgmh3/3, le rapport des hauteurs conjuguées se calcule par la relation suivante
mh? Q2 = mhj	Q2
3	gmh2 3	gmh| ’
en divisant cette relation par mh3/3, et en posant Y=h2/h1} on obtient
Y3 - 1 = 22V ! _ ±Y
gm2hj\ Y2/
Une des solutions de cette équation en Y est Y = l. Les autres se déterminent alors
l’équation
Y2(Y2 + Y + 1) = 3Q2
Y + 1 gm2h.
Cette relation est présentée sous une forme modifiée au chapitre 15.
(4.71)
(4-72)
(4.73)
partir de
(4.74)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
105
a)
b)
Fig. 4.13 Profil trapézoïdal symétrique, a) hauteurs uniformes, b) hauteurs critiques.
106
RAPPEL DES BASES
Fig. 4.13 Profil trapézoïdal symétrique, hauteurs conjuguées pour c) m = 3 1/2 (30°) et d) m= 1 (45°).
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
107
Fig. 4.14 Profil trapézoïdal symétrique plein, a) hauteurs uniformes. q = Q/(KJj/2Bl!/3).
0,2	0,4	0,6
108
rappel des bases
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2	0,4	0,6
o 0,2	0,4	0,6
Fig. 4.14 Profil trapézoïdal symétrique plein, b) hauteurs critiques. q = Q/(gB5),/2
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
109
Fig. 4.14 Profil trapézoïdal symétrique plein, c) hauteurs conjuguées pour b = 0. q = Q/(gB5)1/2.
110
RAPPEL DES BASES
Fig. 4.15 Profil en U, a) hauteur uniforme et hauteur critique; b) hauteurs conjuguées.
b)
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
111
Fig. 4.16 Profil circulaire, a) hauteur uniforme et charge uniforme pour divers % = KJ]/2D1/6g 1/2; b) hauteur critique et charge critique.
112
RAPPEL DES BASES
Fig. 4.16 Profil circulaire, hauteurs conjuguées pour c) h2/D< 1 et d) hz/D> 1.
HAUTEURS TYPIQUES DE L’ÉCOULEMENT
113
Références
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[4.13]	Jarrett, R.D., «Hydraulics of high-gradient streams», Proc. ASCE, J. Hydraulic Engineering, Vol. 110,
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[4.14]	Jayaraman, V.V., «Résistance studies on smooth open channels», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division,
Vol. 96, 1970, HY5, 1129-1142; HY9, 1925-1926; HY12, 2667-2668; Vol. 97, 1971, HY1, 204-207; HY2,
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[4.15]	Kazemipour, A.K., Apelt, C.J., «Shape effects on résistance to uniform flow in open channels», J.
Hydraulic Research, Vol. 17, 1979, 2, 129-147; Vol. 18, 1980, 2, 169-185.
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[4.17]	Marchi, E., Rubatta, A., Meccanica dei Fluidi, UTET, Torino, 1981.
[4.18]	Pillai, N.N., «On uniform flow through smooth rectangular open channels», J. Hydraulic Research, Vol. 8,
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[4.19]	Rajaratnam, N., «Hydraulic jump in horizontal conduits», Water Power, February 1965, 80-83.
Notations
Divers symboles peuvent apparaître avec les indices «N», «c» et se réfèrent ainsi aux conditions uniforme et
critique, respectivement. Les indices «t» et «2» caractérisent les hauteurs conjuguées à l’amont et à l’aval d’un ressaut
hydraulique.
a	[m]	longueur de référence	F	[-]	nombre de Froude
A	[m2]	section mouillée	g	[ms 2]	accélération gravitationnelle
A,	[-]	section mouillée adimensionnelle	h	[m]	hauteur d’eau
b	[m]	largeur de base du canal trapézoï-		[-]	hauteur d’eau adimensionnelle
		dal	hh	[m]	hauteur d’eau moyenne
B	[m]	largeur de surface	hp	[m]	distance entre la surface d’eau et le
d	[m]	diamètre d’un grain de gravier			centre de gravité de la section
D	[m]	diamètre de la conduite	H	[m]	charge
Dh	[m]	diamètre hydraulique, Dh = 4Rh	H*	[m]	charge relative par rapport au fond
f	[-]	coefficient de frottement			du canal
F	[N]	force de pression	Jf	[-]	pente de frottement
Fo	[-]	force de pression adimensionnelle	J,	[-]	pente du radier
114
RAPPEL DES BASES
ks	[m]	rugosité équivalente de sable	Rhe	[m]	rayon hydraulique effectif
k	[m2’]	facteur de proportionnalité de la	R	1-]	nombre de Reynolds
		section	S	[m3]	impulsion totale
k	[m1"]	facteur de proportionnalité de la	V	[ms ']	vitesse moyenne
		paroi du profil	x	[m]	coordonnée longitudinale
K	[m1/3s-1]	coefficient de rugosité	y	[-]	hauteur d’eau relative dans la con-
m	[-]	cotangente de l’inclinaison du profil			duite
		trapézoïdal	ÿ	[m]	coordonnée transversale de la paroi
mK	[-]	coefficient correctif dû au degré des			du profil
		méandres	yc	[-]	hauteur critique adimensionnelle
n	[-]	pourcentage de grain par poids	yN	[-]	hauteur uniforme adimensionnelle
n,	[m l/3s]	coefficient correctif dû à l’irrégula-	z	[m]	coordonnée du fond du canal
		rité d’un canal	z	[m]	coordonnée verticale de la paroi du
P	[Nm-2]	pression			profil
P	[m]	périmètre	p	[-]	rapport de largeurs
Po	[-]	périmètre normalisé	S	[-]	demi-angle de centre
q	[-]	débit normalisé par rapport au dé-	£	[-]	rugosité relative
		bit à conduite pleine	V	[m2s ’]	viscosité cinématique
q	[-]	débit normalisé, q = Q/(Kjy2Dy3)		[-]	coefficient de forme
		pour la conduite circulaire, q=		[-1	rapport de hauteur à largeur d’un
		Q/(KJ’/2b8/î) pour le canal rectan-			canal rectangulaire
		gulaire	'P	[-]	coefficient de forme
qc	[-]	débit critique adimensionnel	T	[-]	facteur de rugosité
qN	[-]	débit uniforme adimensionnel	X	[-]	caractéristique de rugosité
Q	[m3s *]	débit	o	[-]	exposant de section pour le profil
Qp	[mV]	débit à conduite pleine			exponentiel
Rh	[m]	rayon hydraulique			
5. Courbes de remous
Embouchure du Rhin dans le lac de Constance, (Wasser- und Energiewirtschaft, Vol. 67, 1975, 5/6).
116
RAPPEL DES BASES
5.1	Introduction
Les écoulements dans les canaux et les rivières peuvent être répartis en écoulements des types
stationnaire et non stationnaire. Dans ce qui suit, seuls les écoulements stationnaires, pour lesquels
9/9t=0, seront considérés. De tels écoulements peuvent varier graduellement ou rapidement en fonction
du lieu. Une variation d’un écoulement est considérée comme graduelle si tous les paramètres qui
l’influencent, notamment la surface mouillée, le coefficient de rugosité ou le débit, subissent des petits
changements locaux, tandis que dans le cas des écoulements à variation rapide, la hauteur d’eau, par
exemple, peut changer brusquement (ressaut hydraulique). Le cas le plus simple est celui qui ne présente
aucune variation et correspond à l’écoulement uniforme qui a été décrit au chapitre 4. La figure 5.1
résume les diverses conditions d’écoulement.
Fig. 5.1 Résumé des diverses conditions d’écoulement dans des canaux découverts et des rivières.
Les courbes de remous résultent d’un écoulement graduellement varié. Tous les paramètres de
l’écoulement varient donc faiblement en fonction de la coordonnée longitudinale, x. La figure 5.2
représente une rivière en plan et en coupe, à laquelle cette théorie pourrait être appliquée. L’extension
longitudinale d’un tel cours d’eau est beaucoup plus grande que ses dimensions transversales. De façon
arbitraire, on peut représenter la rivière de manière approchée par un tube de courant (chap. 1) el
appliquer la théorie des écoulements unidirectionnels.
Le calcul hydraulique de ces écoulements s’effectue à partir de considérations énergétiques. Comme
il ressort de la figure 5.3, la charge locale, H, est donnée par l’équation
H = z + h +
Q2
2gA2
(5.1
COURBES DE REMOUS
117
Fig. 5.2 a) plan et b) coupe longitudinale d’une rivière avec variations graduelles de tous les paramètres déterminants.
dans laquelle z=z(x) caractérise la géométrie du radier par rapport à un niveau de référence fixé et h est
la hauteur d’eau. Q = Q(x) est le débit et A=A(h,x) la surface mouillée de l’écoulement. «Graduellement
varié» veut dire mathématiquement que toutes les dérivées secondes de ces fonctions par rapport à x sont
très petites (par exemple d2z/dx2-»0).
Les écoulements à débit localement varié peuvent être des écoulements à débit décroissant (chap. 9)
ou des écoulements à débit croissant (chap. 10). Ces écoulements ne seront pas considérés dans le présent
chapitre; dans ce qui suit le débit reste donc constant dans le tronçon considéré.
La question à laquelle on répondra dans ce qui suit peut être formulée de la façon suivante: quelle
est l’évolution de la surface libre d’un cours d’eau de débit donné, lorsqu’on connaît la hauteur d’eau
à l’amont ou à l’aval?
118
RAPPEL DES BASES
5.2	Modèle simplifié
Supposons un écoulement dans lequel
-	les variations transversales des paramètres influençant l’écoulement sont négligeables et ne sont
fonction que de x (écoulement unidirectionnel),
-	la répartition des pressions est hydrostatique,
-	la répartition des vitesses est uniforme,
-	l’axe du canal présente une faible courbure,
-	la pente maximale du radier ne dépasse pas 10%,
-	le fluide est homogène et incompressible.
Pour les écoulements graduellement variés, le changement de la charge H par rapport à x résulte
uniquement de la perte de charge due au frottement. Cette dernière peut être exprimée, dans des canaux
ou des rivières à régime d’écoulement turbulent rugueux, par la formule de Manning-Strickler (chap. 4)
k2rJ/3
(5-2)
dans laquelle Jf est la pente de frottement, V = Q/A la vitesse moyenne, K le coefficient de rugosité et
Rh = A/P le rayon hydraulique. Tous ces paramètres peuvent être des fonctions de x, donc Jf= J^x).
Avec dH/dx= — Jf, on peut retrouver l’équation de la surface libre des écoulements graduellement
variés à partir des équations (5.1) et (5.2). Si l’on tient compte du fait que A(x,h), donc que dA/dx = ôA/
dx + dA/ôh  h', où ( )' = d( )/dx, et que la pente du radier est Js= — z', on obtient
h' =
_________gA3 dx
i _ Q2 aA
gA3 dh
(5-3)
L’équation (5.3) est une équation différentielle ordinaire du premier ordre pour l’inconnue h(x). En
spécifiant les fonctions Js(x), Jj(x), A(x,h) ainsi que le débit Q et une condition à la limite h(x = xo) = ho,
on peut l’intégrer numériquement.
Les détails du procédé numérique sont présentés par Chow [5.2], Prasad [5.18], French [5.5] ou dans
l’ouvrage de référence [5.12].
5.3	Canaux prismatiques à pente constante
5.3.1 Discussion de l’équation de base
Les canaux prismatiques (d A/dx = 0) à pente Js constante sont d’un intérêt particulier; avec A = A(h)
l’équation (5.3) devient
h' =
Js - Jf
1 - F2’
(5.4)
COURBES DE REMOUS
119
où F est le nombre de Fronde
= Q^dA
gA3 dh
(5-5)
Normalement, le numérateur et le dénominateur du second membre de l’équation (5.4) sont différents
de zéro ce qui signifie que la pente de la surface libre h' est déterminée et différente de zéro.
Il faut cependant distinguer les trois cas particuliers suivants:
a)	Js=Jf et 1: il en résulte h' = 0, donc h = constante; cet état correspond à l’écoulement uniforme
(chap. 4),
b)	F= 1 et Js^Jf: l’écoulement est critique (chap. 4), et la surface d’eau serait ainsi verticale,
c) F= 1, et Js=Jf: l’écoulement est indéterminé, étant donné que h'=0/0.
Le cas b) ne satisfait pas l’hypothèse faite concernant la répartition des pressions: c’est-à-dire que des
écoulements graduellement variés possèdent toujours une surface peu inclinée et à faible courbure; h' ne
peut pas dépasser une certaine limite, par exemple | h' | < 1/2. L’équation (5.4) n’est donc pas valable pour
des écoulements presque critiques, F~ 1.
5.3.2 Canal rectangulaire de grande largeur
Le profil rectangulaire à hauteur d’eau très faible, h/b->0 constitue un cas particulier. Le rayon
hydraulique Rh = bh/(b + 2h) devient alors Rh(h/b-»0)-»h. Avec A=bh et dA/dh=b, l’équation (5.4)
s’écrit
h' =
K2h10/3b2
i--£-
gb2h3
(5-6)
en tenant compte de l’équation (5.2) ou, en introduisant les paramètres adimensionnels
X = Jsx/hN, Y = h/hN, f=hc/hN
on obtient ainsi
1 _ Y"10'3
y, = 1------1---
1 - (f/Y)3
Le signe ()' indique maintenant la différentiation par rapport à X. hN et hc sont respectivement les
hauteurs uniforme et critique, définies par les relations suivantes (chap. 4)
Q2 = KW . Q2 = gb2^ •	<5 9>
L’équation (5.8) est la relation de Bresse qui est discutée en [5.2]. Etant donné que f3=h’/h{) =
Q2/(gb2h’,) = F2 selon l’équation (5.5), f3/2 = FN correspond au nombre de Froude de l’écoulement
uniforme.
Il faut distinguer entre les cas f>(<)l pour Y>(<)!; la figure 5.4 résume les configurations
d’écoulement correspondantes. Le cas dans lequel on a simultanément Js = Jf et F=1 (h' = 0/0) est
déterminé pour la configuration particulière Js = Jc, où Jc = Jf(F = 1) correspond à la pente critique. Il
s’ensuit que l’écoulement critique ne peut s’établir dans un tel canal que dans le cas d’un écoulement
uniforme.
120
RAPPEL DES BASES
Fig. 5.4 Types de profils de surface Y(X) d’après l’équation (5.8): (----) courbes de remous, (-----) hauteur uniforme Y= 1,
(• • •) hauteur critique Y = f.
Pour F< 1 et f < Y < 1, le signe de Y' est négatif, la hauteur d’eau diminue dans le sens longitudinal;
pour Y~ 1, la pente Y’ est presque nulle, et Y = 1 est l’asymptote de la solution Y(X). Pour Y->f, la pente
du profil de surface tend vers l’infini et la droite Y = f coupe perpendiculairement la courbe Y(X).
Pour F < 1, mais Y > 1, le signe de Y' est positif et la hauteur d’eau augmente dans le sens longitudi-
nal; si Y>f, l’équation (5.8) se simplifie et devient Y'= 1 — Y-10/3.
Pour F>1 etO<Y<l,le signe de Yz est également positif, la hauteur d’eau augmente dans le sens
longitudinal et se trouve au-dessous de la hauteur uniforme. Cette condition est atteinte par exemple à
l’aval des vannes. Pour Y<f, l’équation (5.8) se simplifie et devient Y'= (f3Y1/3)“1.
Pour F> 1 et 1 <Y<f, le signe de Y' est négatif; ce cas est analogue au cas où F< 1 et f< Y< 1,
considéré ci-dessus.
5.3.3 Canal de section quelconque
L’équation (5.4) a été analysée par un nombre important de chercheurs. En admettant pour la pente
de frottement la relation Jf = V2/(C2RJ), où C est un facteur de proportionnalité et n l’exposant du rayon
hydraulique, divers types de sections, notamment les profils exponentiel, trapézoïdal et circulaire ont été
analysés par Mononobe [5.16]. Les résultats obtenus par la méthode proposée ont été comparés à des
mesures effectuées dans des canaux rectangulaire, triangulaire et trapézoïdal, et trouvés en bonne
concordance avec ces derniers.
Une des rares sources de résultats d’essais sur modèles réduits est celle de Lansford et Mitchell [5.13].
41 séries de mesures portant sur sept profils différents (rectangulaire et profils composés, à rugosité
composée) ont été effectuées pour Js=0,3 %. Le débit a varié entre 0,02 et 1,15 m3s ~1, la largeur en surface
des canaux étant de 1,52 m. En comparant les observations avec la courbe de remous basée sur l’équation
(5.4) et la pente de frottement selon la formule de Manning-Strickler, une bonne concordance est
observée dans la plupart des cas.
Une méthode particulière de calcul pour les courbes de remous a été élaborée par Chow [5.3]. En
tenant compte de l’équation de Manning-Strickler, les profils de type A3 = CjBhM ont été considérés, Cj
étant un facteur de proportionnalité, B la largeur en surface et M un exposant de la hauteur d’eau. De
COURBES DE REMOUS
121
plus, des sections présentant une caractéristique de débit de la forme Q2 = C2JshN ont été examinées
L’équation (5.8) peut ainsi être généralisée et devient dY/dX = (l — Y-N)/(l — Y-M). L’intégration de
cette équation peut être effectuée en supposant M et N constants. Il n’existe cependant que peu de profils
pour lesquels ces deux exposants sont indépendants de la hauteur d’eau.
Rao et Sridharan [5.19] recherchent l’effet de la géométrie du canal sur les courbes de remous. Les
profils rectangulaire, trapézoïdal, triangulaire et parabolique sont examinés en utilisant la formule de
Manning-Strickler pour la description des pertes de charge réparties. En particulier, la longueur relative
du remous L^hu est calculée en fonction d’un nombre de Froude de référence et de caractéristiques
géométriques du profil.
Dans toutes les contributions mentionnées ci-dessus, on admet comme hypothèses une répartition
uniforme des vitesses et une répartition hydrostatique des pressions dans une section. Ainsi que cela a
été démontré par Boussinesq, résumé par Forchheimer [5.4], ces hypothèses sont assez bien satisfaites
pour des écoulements correspondant à un petit et à un grand nombre de Froude. Cependant, pour
0,5<F<2 environ, l’effet de la courbure des lignes de’courants devient important. Des résultats plus
précis concernant les courbes de remous sont présentés par Serre [5.20]. Lebreton [5.14] donne un résumé
des connaissances actuelles de ce phénomène. Les aspects historiques du développement de l’équation des
courbes de remous sont présentés par Müller [5.17] et Merkl [5.15].
Pour des canaux découverts et prismatiques, l’équation des courbes de remous (5.4) dépend de A,
dA/dh et de Rh, ces derniers étant fonction de la hauteur d’eau h pour des valeurs constantes de Q, Js
et K (chap. 4). L’intégration de l’équation (5.4) doit tenir compte du profil considéré, mais il faut bien
préciser qu’elle est basée sur des simplifications entraînant certaines limitations. Elle ne constitue donc
qu’une bonne approximation de la réalité [5.6].
Pour traiter l’écoulement dans un canal prismatique de profil quelconque de manière généralisée, on
transforme le profil effectif en un profil de substitution. Etant donné que la hauteur uniforme hN et la
hauteur critique hc sont des caractéristiques d’un profil, une fois le débit Q, la pente du radier Js et le
coefficient de rugosité K donnés, ces deux hauteurs sont calculées pour le profil effectif. Ainsi, la
condition d’écoulement uniforme et la condition d’écoulement critique sont satisfaites pour le profil
effectif. Seule la courbe de remous est calculée pour le profil de substitution. En prenant le profil de
substitution le plus simple, c’est-à-dire le canal rectangulaire de largeur b, ce procédé conduit à des
différences de 10% au maximum relativement à la courbe de remous du profil effectif [5.6].
En introduisant 4> = hN/b pour caractériser la forme du canal rectangulaire, l’équation des courbes
de remous du profil de substitution devient [5.6]
dX
(5.10)
4> peut prendre des valeurs 0< 4> < oo. Pour 0 =0 (largeur infinie), cette équation prend une forme
proche de l’équation (5.8).
Si on compare les résultats de l’équation (5.10) pour différentes valeurs de 4>, on constate peu de
variations de Y(X) [5.6]. En moyenne, on peut admettre 4> = 1, d’où
y3 (l+2Y)(10-Y)
dY _ __________27
dX ~ Y3 - f3
(5.H)
122
RAPPEL DES BASES
Cette relation permet, une fois l’intégration effectuée, d’exprimer Y(X) par une fonction unique de
f=hc/hN.
L’état uniforme est atteint de manière asymptotique. En pratique, on admet qu’un écoulement est
uniforme si | Y — 11 < 0,01. On cherche donc la solution de l’équation (5.11) sous les conditions aux limites
Y(X = 0) = 0,99 pour Y<1 et Y(X=0)= 1,01 pour Y> 1. Ainsi, l’origine delà coordonnée longitudinale
est placée au point où l’écoulement uniforme est (pratiquement) réalisé. La figure 5.5 montre la solution
complète pour —9<X<4-4etO<Y<3,2. Les surfaces d’eau types sont également indiquées.
On distingue divers cas:
-	Y= 1, correspond à l’écoulement uniforme, h = hN,
-	Y = f, correspond à la condition d’écoulement critique h = hc (ligne traitillée),
-	Y>f correspond à des conditions fluviales de l’écoulement, alors que Y<f correspond à des
conditions torrentielles de l’écoulement,
-	f> 1 correspond à des conditions torrentielles pour l’écoulement uniforme, tandis que f< 1 corres-
pond à des conditions fluviales de l’écoulement uniforme,
-	un point particulier est (X,Y) = (0,l), où Y = 1 et Y = f, donc également f= 1.
Avant de discuter l’application de la figure 5.5, une description de la section de contrôle est donnée.
La connaissance de l’endroit de cette section particulière est indispensable pour entreprendre le calcul de
certaines courbes de remous.
COURBES DE REMOUS
123
5.4 Section de contrôle
On définit la section de contrôle comme étant le lieu où, pour toutes les conditions d’écoulement, le
débit Q représente une fonction unique de la géométrie A(h) de cette section. La condition d’écoulement
uniforme ne peut être réalisée dans cette section car elle dépend de plus de la pente du radier Js et de la
rugosité K du canal.
Le point de contrôle x=xc correspond à l’endroit où la section de contrôle s’établit. Dans ce point,
non seulement la fonction Q(h) est unique, mais également la fonction H*(h), H* étant la charge par
rapport au radier, donc H* = H — z selon l’équation (5.1). Pour que H*(h) soit unique, cette fonction doit
atteindre forcément un extrême, ce qui exige dH#/dh = 0.
Pour simplifier les calculs, considérons un canal prismatique à section rectangulaire, dont le débit par
unité de largeur est q = Q/b. La charge
q2
H, = h +	(5.12)
2gh
ne dépend que de la hauteur d’eau h. S’il s’agit d’une section de contrôle, il existe une valeur unique h = hc
qui définit une valeur extrême de la charge H# = H#C. Cette dernière est obtenue par
dH,/dh = 1 - -ï- = 1 - F2 = 0.	(5.13)
gh
Par conséquent il existe une seule valeur extrême de la fonction H*(h) qui s’établit pour l’écoulement
critique, F = 1. Soit H* = H*c et h = hc les valeurs correspondantes dénommées charge critique et hauteur
critique (chap. 4).
Pour déterminer si F = 1 correspond à un maximum ou à un minimum de la fonction H*(h), la dérivée
seconde doit être analysée,
d2H,/dh2 = ^ = ^.	(5.14)
gh4 h
Cette expression reste toujours positive, ce qui signifie que HJ|e(h) atteint un minimum pour F = 1. Selon
l’équation (5.12), il est égal à H*c = hc[H-q2/(2ghç)] = hc[l 4-F2/2] = 3hc/2. La relation entre le débit
critique qc et la hauteur critique hc est obtenue également à l’aide de l’équation (5.12) et s’écrit
qe=[gh’l1'2 = (g),'2t2H«/3]3'2 (chap. 4).
Après avoir trouvé que l’écoulement est critique dans la section de contrôle, il faut encore déterminer
la position du point critique x = xc. Dans ce but, on considère un écoulement potentiel pour lequel la
charge
n2
H = z + h + -9X	(5.15)
2gh2
reste constante. Pour un radier z(x) continu, les deux premières dérivées de la charge par rapport à la
coordonnée longitudinale x deviennent
(2 \
1 - -9-1 = 0,	(5.16)
gh3/
124
RAPPEL DES BASES
(5.17)
Sachant que la section de contrôle exige F= 1, l’équation (5.16) indique que zz = 0. Au point de contrôle,
il existe donc un extrême du radier. Pour analyser si cet extrême correspond à un minimum ou un
maximum de la fonction du fond, l’équation (5.17) donne, au point de contrôle
H"(F=l) = 4' + ^ = 0.
(5.18)
Cette équation fournit une relation entre la courbure du radier au point critique et la pente de la surface
d’eau h7 correspondante
h; = ±(-hX73)V2.	(5.19)
Une solution réelle de cette équation n’existe que pour z" < 0, correspondant à un maximum du profil
du fond (fig. 5.6b). De plus, il est facile de démontrer que h^. < 0 caractérise la transition de l’écoulement
Fig. 5.6 Ecoulement à débit constant. Effet d’un extrême du profil du radier z' = 0 (à gauche) et de la largeur du canal B' =0 (à droite).
La condition critique peut être réalisée seulement si, soit le radier a un maximum (z" < 0), soit la largeur atteint un minimum (B" > 0).
Avec les deux autres possibilités, représentées en haut, F= 1 ne peut donc pas être atteint.
fluvial (F< 1) à l’écoulement torrentiel (F> 1). Le cas h'>0 correspond à la transition de l’écoulement
torrentiel à l’écoulement fluvial (ressaut hydraulique), ce dernier n’est cependant plus un écoulement
potentiel.
Les calculs ci-dessus fournissent les informations suivantes:
-	équation (5.16): la condition critique F=1 donne hc = (q2/g)1/3,
-	équation (5.15): la charge critique est H+c = 3hc/2, donc qc = (8gH*c/27)1/2,
-	équation (5.19): la pente critique de la surface libre devient h'= — ( —hcZ''^)^2,
-	équation (5.16): le lieu critique, z'(x = xc) = 0 et de l’éq. (5.19) la condition z" <0.
COURBES DE REMOUS
125
Pour discuter le cas général pour lequel la géométrie du radier est z = z(x), la géométrie de la section
A = A(x,h) et le débit varient avec x, on considère l’équation de Bernoulli
H = z + h +
2gA2
(5-20)
La pente de la ligne de charge H' = dH/dx est égale à
H' = -Pf+Jt)
(5.21)
où Jf est le gradient dû à des pertes locales (élargissement ou rétrécissement de la section, réduction ou
augmentation locale du débit). Le point de contrôle s’établit à l’endroit où le nombre de Froude est égal
à l’unité. La dérivée première de l’équation (5.20), combinée avec l’équation (5.21), donne
h'
Q2 9A\
g A3 9h/ +
QQZ	Q2 9A
_gA2	gA3 9x
(5.22)
1 -
•J s + Jf + A — o
où Js= — zz. Pour que F2 = Q2(9A/9h)/(gA3) = 1 (voir l’équation 5.3), le terme entre crochets doit simulta-
nément s’annuler.
La discussion générale de toutes les possibilités d’écoulement étant trop longue et difficile [5.8, 5.11],
les considérations suivantes se limiteront à un tronçon du canal restreint pour lequel la somme
Js—Jf—J£ = 0 (écoulement local). Pour un canal prismatique (9A/9x=0) le point de contrôle se trouve
alors à l’endroit où le changement du débit est caractérisé par Qz = 0, donc au début ou à la fin du tronçon
présentant un changement du débit (chap. 9 et 10).
Pour un canal non prismatique à débit constant, le point de contrôle est défini par 9A/9x = 0, donc
pour la section de surface extrême dans le sens longitudinal. Pour le canal rectangulaire le point de
contrôle se situe donc à l’endroit où la largeur B atteint une valeur extrême. Un calcul analogue à celui
effectué ci-dessus pour l’écoulement d’un canal à radier courbe entraîne que le point de contrôle se trouve
à l’endroit où la largeur du canal est minimale [5.8].
Les ouvrages dont la cote du radier présente un maximum local, zz = 0, z,z < 0 sont connus sous le nom
déversoirs (fig. 5.6b). Les ouvrages pour lesquels la largeur en surface est caractérisée par Bz = 0, Bzz>0
sont connus sous le nom canaux de type Venturi (fig. 5.6b). Grâce à la relation unique qui existe entre
la charge critique et le débit, ces deux installations sont souvent utilisées comme structures de mesure de
débit. Des indications à ce sujet sont présentées par [5.1], [5.9].
Considérons encore une fois le déversoir à crête arrondie, esquissé à la figure 5.7. Pour un écoulement
potentiel, la ligne de charge H(x) reste horizontale. La condition critique est satisfaite à la crête du
déversoir, où zz=0 et z"<0. Ecoulement critique veut dire que la charge spécifique H^H—z devient
minimale par rapport à la hauteur d’eau h. Cette figure, dans laquelle H^x) est aussi représenté, permet
de constater que le minimum se trouve exactement au lieu critique. Cette section correspond donc bien
à une section de contrôle.
Comme cela a déjà été constaté dans la figure 5.4, la hauteur d’eau change considérablement autour
du point critique x = xc. L’effet de la pente de frottement peut donc être considéré comme négligeable et
l’hypothèse d’un écoulement potentiel, admise ci-dessus, est pratiquement satisfaite. Par conséquent, une
section de contrôle dans un canal prismatique se trouve à l’endroit d’un changement de pente du radier
où l’écoulement fluvial devient torrentiel. Elle constitue donc le point de départ pour le calcul des courbes
de remous à l’amont et à l’aval.
126
RAPPEL DES BASES
Fig. 5.7 Déversoir à crête arrondie avec lignes de charge H(x) et H» = H—z dont le minimum H*c se trouve à la section critique.
5.5 Calcul de la courbe de remous
La figure 5.5 représente la solution générale des courbes de remous. Pour résoudre des problèmes,
il faut encore déterminer le point de départ x0 relatif à la hauteur d’eau h0 en ce point. On peut distinguer
deux cas:
-	conditions d’écoulement prescrites à l’amont ou à l’aval du tronçon considéré,
-	condition d’écoulement critique (section de contrôle).
Il est bien connu que des intumescences peuvent se propager dans les directions amont et aval pour
des conditions fluviales de l’écoulement, mais seulement à l’aval pour des conditions torrentielles de
celui-ci. En tenant compte de ce fait,
-	les écoulements fluviaux (h > hç.) doivent être calculés dans la direction inverse de celle de l’écoule-
ment,
-	les écoulements torrentiels (h<hc) doivent être calculés dans la direction de l’écoulement.
Ainsi, pour ho> hj. et hN>hc, le calcul de la courbe de remous est effectuée dans la direction inverse
de l’écoulement jusqu’à ce que la condition uniforme h = hN soit réalisée. Pour ho> hc et hN < hc, le calcul
est également effectué dans la direction inverse de l’écoulement jusqu’au point où h = hc (F= 1). Au-delà
de ce point, l’écoulement est torrentiel.
Cependant, pour ho<hc et hN<hc, le calcul de la courbe de remous est effectué dans le sens de
l’écoulement, jusqu’à ce que la condition uniforme soit atteinte. Pour ^<1^ mais hN>hc, le calcul est
également dans la direction de l’écoulement jusqu’au point où h = hc (F= 1). Plus à l’aval de ce point,
l’écoulement est fluvial (fig. 5.8).
Le calcul de la courbe de remous à partir d’une hauteur d’eau h0/hc au point de départ ne peut
s’effectuer que pour un tronçon sans changement de la condition d’écoulement. Des cas typiques sont
représentés dans la figure 5.8. Le calcul se fait à l’aide des figures 5.10 a) à d), avec plus de détails des
extraits de la figure 5.5.
Exemple 5.1
Soit un canal prismatique et symétrique ayant un profil trapézoïdal de largeur de base b = 15m et dont
la pente des parois est m = 3_|/2 (60°). A l’endroit x = 0, une vanne plane crée une surélévation du plan d’eau
amont de ho —7 m (zone 1). Le coefficient de contraction du jet aval est Cc = 0,65. Calculez les courbes de
remous dans les deux zones pour K = 45m1/3s-1 (d’après Manning-Strickler), le débit Q = 400m3s-1, et les
pentes du radier Jsl = 0,4%, et Js2= 1,9%.
COURBES DE REMOUS
127
Fig. 5.8 Types de profils de surface d’eau dans des canaux prismatiques pour F < 1 (gauche) et F> 1 (droite). (-) et (•••) caractérisent
la hauteur uniforme et la hauteur critique, -> direction de l’écoulement et O—> direction du calcul. ho correspond à la hauteur d’eau
au point de départ, a) conditions d’écoulement non-variable, b) conditions initiales d’écoulement critique, c) conditions d’écoulement
avec ressaut hydraulique.
1.	Hauteurs uniformes:
amont: avec Q/(KJ‘/2bB/3) = 400/(45  0,0041/2  158/3) = 0,103 et m = 0,58 on tire du diagramme 4.13a) ou de
l’èquation (4.56) hN/b = 0,27, donc hNI=4,0m;
aval: avec Q/(KJ‘/2b8/3) = 400/(45 • 0,019l/2  158/3) = 0,047 et m = O,58 on tire du diagramme 4.13a) ou de
l’équation (4.56) hN/b = 0,16, donc hN2 = 2,4m.
128
RAPPEL DES BASES
2.	Hauteurs critiques:
amont et aval: Q/(gb5)1/z = 0,146, donc avec m = 0,58 et le diagramme 4.13b) ou selon l’équation (4.57) pour
hc/b = 0,26, donc hj. = 3,9m.
L’écoulement uniforme est alors fluvial pour x<0 (zone 1) et torrentiel pour x>0 (zone 2).
3.	Détermination de l’influence des courbes de remous:
amont: avec hc/hN = 3,9/4=0,975 et ho/hN = 7/4= 1,75, on a Js • xo/hN = 0,95 (fig. 5.10b), donc pour
L = 0—x0= —950m. De plus on peut trouver les hauteurs d’eau h en divers endroits dans le tableau 5.1.
Tableau 5.1 Hauteurs d’eau à divers endroits x à l’amont de la
vanne.
x [m]	-200	-400	-600	-800	5$-950
h [m]	6,28	5,60	4,92	4,38	4,0
aval: avec Cc=O,65 et B~b=15m, on obtient pour l’ouverture de la vanne (chap. 8) a = Q/
(CcB(2gho)l/z) = 3,5m, donc ho2 = Cca = 2,27m. Avec 11^ = 3,9/2,4=1,62 et h0/hN = 2,27/2,4=0,95, le
diagramme 5.10d) indique Jsx0/hN= —2,3, donc L = 2,3 • 2,4/0,019 = 290m. De plus, les hauteurs d’eau
pour des valeurs intermédiaires de x sont données dans le tableau 5.2.
La figure 5.9 représente la solution sous forme de coupe longitudinale à échelle déformée.
Tableau 5.2 Hauteurs d’eau à divers endroits x à l’aval de la vanne.
x [m]	50	100	150	200	250	^290
h [m]	2,30	2,33	2,35	2,37	2,39	2,40
Fig. 5.9 Exemple 5.1, représentation de la solution; (—) profil de surface, (--) hauteurs uniformes, (• • ) hauteur critique
COURBES DE REMOUS
129
Chaque variation de la pente du radier, du débit, de la géométrie du canal et du coefficient de rugosité
entraîne une modification de la hauteur uniforme hN ou de la hauteur critique h,.. Une fois le calcul
effectué pour le premier tronçon avec des paramètres de base constants, la hauteur d’eau obtenue à
l’extrémité de ce dernier sert de nouvelle hauteur d’eau au point de départ h0 du tronçon suivant, comme
le montre l’exemple 5.2.
Exemple 5.2
Soit un canal rectangulaire de longueur totale L = 1600m, divisé en trois tronçons de longueurs L, = 200m,
L2=900m, L3 = 500m, énumérés de l’aval vers l’amont. La pente du radier J„ le coefficient de rugosité K, la
largeur b et le débit Q sont spécifiés pour les trois tronçons dans le tableau 5.3. Quelle est la courbe de remous
lorsque ho=2,0m à l’aval du tronçon 1?
1. Les hauteurs uniformes hN sont données dans le tableau 5.3.
2. Les hauteurs critiques sont également données dans le tableau 5.3. On constate que f< 1 pour tous les
tronçons; l’écoulement uniforme se trouve donc toujours en régime fluvial. De plus, la hauteur d’eau ho
au point de départ est plus grande que la hauteur uniforme correspondante, hNi = 1,69m.
Tableau 5.3 Caractéristiques du canal considéré.
Tronçon	Js [%]	K [ml/3s_|]	b [m]	Q [m3s ’]	hw [m]	hc [m]	hc/hN 1-]
1	0,2	60	30	180	1,69	1,54	0,91
2	0,3	55	25	130	1,45	1,40	0,97
3	0,5	40	10	40	1,36	1,18	0,87
3.1.	Soit x = 0 le point de départ pour lequel hol=2,0m. Avec (hc/hN)j = 0,91 et (ho/hN)] =2/1,69= 1,18, la
coordonnée longitudinale est (Jsxd/hN)i = 0,5, d’où xdl=0,5 • 1,69/0,002 = 420m. Avec L]=200m, on a
pour X]=xdl —L]=220m, alors Xj =220 • 0,002/1,69 = 0,26. Selon la figure 5.10b), h/hN = l,07, donc
hj = 1,07 • 1,69= 1,81m. hj correspond à la hauteur d’eau au point de départ du tronçon 2,
hi~+ho2= 1,81m.
3.2.	Avec (hc/hN)2=0,97 et (h0/hN)2= 1,25 la coordonnée longitudinale est (J,xd/hN)2 = 0,40 (fig. 5.10b), donc
xd2=193m. Etant donné que xd2<L2=900m, l’écoulement uniforme est atteint dans le tronçon 2,
ho3 = hN2= 1,45m.
3.3.	Avec (hc/hN)3 = 0,87 et (h0/hN)3= 1,07, la coordonnée longitudinale est (Jsxd/hN)3 = 0,34, (fig. 5.10b), donc
xd3 = 92m. Ici encore, étant donné que xd3 < L3 = 500m, l’écoulement uniforme est atteint dans le tronçon
3, hN3= 1,36m.
A l’amont du tronçon la hauteur d’eau est h3 = hN3= 1,36m.
Si le changement d’un paramètre de base est tel que hN > hc dans le tronçon amont et hN < hc dans
le tronçon aval, le point de départ se trouve à l’intersection des deux tronçons et la hauteur de départ
correspond à la hauteur critique hc (point de contrôle). Les cas dans lesquels les paramètres concernés
sont la largeur ou le débit, sont discutés au chapitre 12 et aux chapitres 9 et 10 respectivement. L’exemple
5.3 se réfère à un changement de la pente du radier (fig. 5.8b).
130
RAPPEL DES BASES
Fig. 5.10 Courbes de remous généralisées, a) secteur Q, b) secteur ® de la figure 5.5.
COURBES DE REMOUS
131
Fig. 5.10 Courbes de remous généralisées, c) secteur Q, d) secteur @ de la figure 5.5.
132
RAPPEL DES BASES
Exemple 5.3
Soit une rivière à profil trapézoïdal de b = 30m et m = 3. Quelle est la courbe de remous si K = 30m1/3s
Q= 150m3s-1 et les pentes des deux tronçons Js, =0,1 % (amont) et Js2= 1,3% (aval)?
1.	Hauteurs uniformes
Avec Q/(KJ]/2b8/3), = 150/(30 • 0,001,/2 • 308/3) = 0,0182,Q/(KJl/2b8/3)2 = 150/(30 • 0,013,/2 • 3O8/3) = 0,00505 et
m = 3, on tire de la figure 4.13a) hN1 = 2,57m et hN2 = 1,25m, comparé à hN1 = 2,60m et hN2= 1,23m selon
l’équation (4.56).
2.	Hauteur critique
Avec m3/2Q/(gb5)1/2 = 33/2 • 150/(9,81 • 305)l/2 = 0,0505, la figure 4.13b) indique mh^b = 0,131, correspondant
à 11,.= 1,305m. De l’équation (4.57), on tire h,. = 1,306m. Avec (hc/hN)! = 1,305/2,57 = 0,508 et (hc/hN)2 =
1,305/1,225 = 1,065, l’écoulement devient fluvial dans le tronçon amont, et torrentiel dans le tronçon aval.
Au changement de pente (x = 0), la condition critique h0 = hc s’établit.
3.	Détermination de l’influence des courbes de remous
Avec (hc/hN)1 =0,508 et 1^=1^, l’influence de la courbe de remous à l’amont est environ Xo = — 1 selon la
figure 5.10c), donc xol= — 1 • 2,57/0,001 = —2570m. Par contre, avec (h^/hN)2= 1,065 et 1^=1^, la figure
5.10a) indique environ Xo= 4-0,1, donc xo2= 4-0,1  1,225/0,013 = 9,5m.
Si l’écoulement amont se trouve en régime torrentiel et si une submersion s’établit à l’aval, un ressaut
hydraulique apparaît le long de ce tronçon. L’endroit où le ressaut hydraulique se produit se trouve à
l’intersection de la hauteur conjuguée h2 (chap. 4 et 15) et du profil de surface aval. L’exemple 5.4 montre
un cas simple de ce type.
Exemple 5.4
Reprenons le tronçon aval de l’exemple 5.1 avec hN = 2,4m et hc = 3,9m. Quel est l’endroit où le ressaut
hydraulique se produit si la submersion aval est de h(x = xo) = h0 = 8m?
La hauteur conjuguée h2 par rapport à h1 = hN = 2,4m calculée avec les équations (4.48, 4.532, 4.534) est
h2 = 6,02m (Aoi =0,175, Fol =0,0136). Avec dA/dh= 17,77m, le nombre de Froude relatif à h| est F| =
4002 • 17,77/(9,81 • 39,323) = 4,76 selon l’équation (5.5).
Les paramètres adimensionnels de la courbe de remous deviennent hc/hN = 3,9/2,4= 1,63 et h0/hN = 8/
2,4=3,33, donc Xo = —2,8 selon la figure 5.5 (extrapolé) et xo= —2,8 • 2,4/0,019 = —354m. La coordonnée
longitudinale où s’établit la hauteur conjuguée h2 = 6,02m, ou h2/hN = 6,02/2,4=2,51 pour hjh^ 1,63, est
X2= —3,6 selon la figure 5.5, donc x2=3,6 • 2,4/0,019= —454m. La distance du ressaut de l’endroit de la
submersion aval s’élève donc à Ax = xo—x2= 100m.
En règle générale, des conditions uniformes ne s’établissent ni à l’amont ni à l’aval du ressaut; par
conséquent, la hauteur conjuguée h2 par rapport à la courbe de remous amont hj =hj(x) est également
variable. La position du ressaut hydraulique se trouve alors à l’endroit où la courbe de remous aval coupe
la courbe h2(x) de la hauteur conjuguée du profil de surface amont.
5.6 Ponceau
5.6.1 Description des types d’écoulements
On appelle ponceau une conduite, normalement de section circulaire constante, qui peut dériver un
écoulement en charge ou à surface libre. On trouve souvent ces ouvrages au passage d’un canal en
dessous d’une chaussée ou comme ouvrage de dérivation pour un barrage en construction. Leurs
géométries peuvent être décrites par leur longueur L, leur diamètre D, leur pente de radier Js, leur valeur
de rugosité K et leur rayon de courbure r à l’entrée (fig. 5.11). Un des problèmes liés aux ponceaux est
la définition du type d’écoulement qui s’établit pour une certaine géométrie de la conduite, si les hauteurs
COURBES DE REMOUS
133
d’eau ho à l’amont et hu à l’aval, par rapport aux côtés du radier correspondants, et le débit Q sont
donnés. Un deuxième problème concerne l’entrée du ponceau. En raison de l’accélération importante et
de l’asymétrie de l’écoulement d’approche, des vortex considérables peuvent s’établir, perturbant l’écou-
lement dans le ponceau. De plus, des effets de cavitation et d’entraînement d’air peuvent se manifester.
Dans le contexte de ce paragraphe, seules les caractéristiques du débit pour un ponceau à faibles pertes
de charge locales seront analysées.
A l’amont et à l’aval du ponceau, les vitesses moyennes de l’écoulement sont souvent si faibles que
les hauteurs d’eau ho et hu correspondent pratiquement aux charges correspondantes, Ho et Hu. Pour
établir une relation entre le débit Q et la charge amont Ho, les paramètres suivants sont à considérer
Q = Q(H0,Hu,D,r,Js,K,L).	(5.23)
Pour le dimensionnement du ponceau, les paramètres (r, Js, K, L) sont normalement définis, et le
calcul permet d’obtenir D pour Ho, Hu supposés et le débit de dimensionnement QD donné. La deuxième
étape du calcul considère la relation qui existe entre le débit Q < QD et les charges amont et aval.
La figure 5.12 représente les types d’écoulement possibles. On distingue les écoulements à surface libre
«D à ®), à surface partiellement libre «4» et en charge ((5) et ©). De plus, il faut considérer les
écoulements dont le point de contrôle se trouve à l’entrée ou à la sortie du ponceau.
Si Ho est plus petit que le diamètre D, si la pente du ponceau est plus grande que la pente critique
et si l’écoulement n’est pas submergé de l’aval, l’écoulement est du type Q. A l’entrée du ponceau, un
écoulement analogue à celui d’un déversoir à seuil épais (chap. 6) s’établit, provoquant ainsi la condition
d'écoulement critique. Une fois que la charge amont dépasse la valeur 1,2<HO/D< 1,5, l’écoulement du
type (î) apparaît. L’analogie avec l’écoulement libre sous une vanne est immédiate (chap. 8).
Pour les écoulements des types (£) et (2), un changement des conditions d’écoulement de F< 1 à F> 1
intervient. Si, par contre, la pente du radier est inférieure à la pente critique, la charge amont est faible
(Ho < 1,2D) et si le plan d’eau aval se trouve au-dessous de la hauteur critique, le point de contrôle se
trouve à la sortie du ponceau et l’écoulement est du type Si la longueur L de ce dernier est
suffisamment importante pour que la condition d'écoulement uniforme puisse s’établir à l’entrée du
ponceau, la charge amont Ho correspond à la charge uniforme HoN (en supposant que les pertes de
charges à l’entrée sont négligeables).
Une fois que la submersion aval est suffisamment importante, hc < Hu< D, et que la pente du radier
Js est inférieure à la pente critique correspondante, \'écoulement est noyé de l'aval. L’écoulement du type
(4) représente un cas à surface partiellement dénoyée.
Dès que HU^D, {'écoulement dans le ponceau se met en charge (types (5) et © ). L’écoulement du
type (5) s’établit également pour HO>D et une longueur L relativement petite. Une description plus
détaillée des types d’écoulement est présentée par Chow [5.2] et Henderson [5.11].
134
RAPPEL DES BASES
Une analyse simplifiée des conditions d’écoulement dans les ponceaux peut être faite en se basant
uniquement sur les écoulements critique, uniforme, sous vanne ou encore dans des conduites en charge
(chap. 3,4 et 8). Les considérations ci-dessous se réfèrent à l’approche présentée par Hager et Wanoschek
[5.10].
5.6.2 Corrélation entre débit et charge
Considérons une conduite circulaire prismatique de diamètre D. écoulement critique s’établit pour
F= 1, relation qui donne la hauteur critique en fonction du débit (chap. 4). Cette relation peut également
être exprimée en fonction du débit et de la charge critique comme le montrent l’équation (4.62) et la figure
4.17b). La figure 5.13 représente en ligne pointillée la relation adimensionnelle qui existe entre Q/(gD5)1/2
et Ho/D, HO = HC étant la charge critique.
COURBES DE REMOUS
135
Fig. 5.13 Relation entre le débit normalisé Q/(gD5)l/2 et la charge amont relative au diamètre Ho/D, ( • •) condition d’écoulement
critique, (—) condition d’écoulement uniforme avec x=KJ]/2D1/6g-l/2, (•) maximum de l’écoulement critique, (-------) limite de mise
en charge.
L’écoulement uniforme, selon la formule de Manning-Strickler, dans des conduites partiellement
remplies a été discuté au paragraphe 4.2.6. L’équation (4.39) exprime la relation qui existe entre le débit
adimensionnel et la hauteur d’eau y = h/D. L’équation (4.61) spécifie de plus la relation qui existe entre
le débit adimensionnel et la charge uniforme HN/D. Cette relation est influencée par la caractéristique
de rugosité x = KJ’/2D1/6g~1/2. Dans la figure 5.13, ces courbes sont également représentées en lignes
pleines, selon la figure 4.17a).
Selon le paragraphe 4.2.6., la limite supérieure de la hauteur uniforme stable est hN/D = 0,95; cette
condition détermine la courbe traitillée de la figure 5.13. De plus, cette figure permet de constater que
l’écoulement critique s’établit toujours si x>2.
L'écoulement dénoyé sous vanne peut être décrit par l’équation (chap. 8)
Q = Cd^2g(H„-CdD)
(5.24)
dans laquelle Cd est le coefficient de débit. En négligeant l’effet de Ho/D sur le coefficient de débit, Cd est
fortement dépendant du rayon de courbure rapporté au diamètre, î] = r/D. Pour un ponceau à paroi
amont presque verticale, on peut poser [5.10]
n _	0,96
Cd----------
1 +-• exp(-15ri)
(5.25)
Pour l’écoulement en charge, la relation qui existe entre le débit et la différence de charge
Hd = H0+JSL —Hu est, selon le paragraphe 3.2.2,
tt ri
Qp = ^-(2gHd/(l+lQ)l/2
(5.26)
dans laquelle la perte de charge due à la sortie aval du ponceau est comprise. Cependant, les pertes dues
à l’entrée, et au frottement doivent être considérées dans la somme des Ç. Dans le cas où r/D> 1/6, seules
les pertes réparties influencent l’équation (5.26), telles que £^->Ç0 = 2 • 44/3 -gL/(K2D4/3) par la formule
de Manning-Strickler.
136
RAPPEL DES BASES
5.6.3 Diagramme d’écoulement
La figure 5.13 se réfère uniquement aux conditions d’écoulement à charge amont Ho/D< 1,2 à 1,5,
de façon que l’écoulement dans le ponceau reste entièrement à surface libre. Pour inclure toutes les
possibilités d’écoulement non submergé, le nouveau paramètre Z = HO/(HO + D), O<Z<1, doit être
considéré. La figure 5.14 représente le débit relatif Q/(D2VgHo) en fonction de Z pour diverses valeurs
Fig. 5.14 Caractéristique d’écoulement à surface libre du ponceau circulaire en fonction de x = KJj/2D,/6g 1/2 et de r/D; ( ••) limite de
condition uniforme.
de x et de r/D selon [5.10]. La partie inférieure de ce diagramme correspond à la modification de la
figure 5.13.
Une fois la géométrie du ponceau (x, r, D) fixée et la charge amont Ho donnée, le débit Q se calcule
facilement à l’aide de la figure 5.14. Ce résultat doit être comparé avec l’équation (5.26). Si Qp> Q, on
obtient un écoulement à surface libre; par contre, si Qp<Q, l’écoulement se met en charge.
Exemple 5.5
Soit un ponceau de longueur L = 20m, pente du radier Js = 1 % et coefficient de rugosité K = 70m1/3s _ 1. Son
entrée, arrondie, est caractérisée par r = 0,20m et Hu = 0,60m. Quel est le débit pour Ho = 2,5m et D= 1,50m?
Avec r/D = 0,13 et Z = 2,5/(2,5+l,5)=0,625, la figure 5.14 donne Q/(D2(gHo),/2) = 0,675, d’où
Q = 0,675 • 1,52 • (9,81 • 2,5)1/2 = 7,5m3s-1. De plus, on remarque que le débit pourrait être légèrement aug-
menté si r = 0,25m.
Avec Hd = 2,5+ 0,01 • 20-0,6 = 2,1m et ^=^ = 2 • 44/3 - 9,81 - 20/(702 • 1,54/3)=0,30, le débit en charge
devient selon l’équation (5.26) Qp = n • 1,52/4 • (19,62 • 2,1/(1 +0,3))I/2 = 9,95m3s~1 >Q. L’écoulement à sur-
face libre est donc déterminant et le débit recherché est Q = 7,5m3s-1.
COURBES DE REMOUS
137
5.6.4 Dimensionnement du ponceau
Pour le dimensionnement du ponceau on admet généralement que les paramètres connus sont les
caractéristiques de la conduite (K, Js, L, r) et le débit Q. On détermine le diamètre D du ponceau pour
Ho et Hu donnés.
Normalement, pour le dimensionnement, on admet HO^D. Selon la figure 5.14, la transition du type
d’écoulement O en type (2) est (Z;Q/(D1 2VgHJ) = (0,55;0,55), correspondant à
Qc, max = 0,61^, Ho/D < 1,22.	(5.27)
Si l’écoulement dans le ponceau doit toujours être à surface libre, le débit maximal est donné par
Qmax = Qc,max selon l’équation (5.27).
La figure 5.14 n’est pas directement applicable aux écoulements pour lesquels Ho/D> 1,22, étant
donné que l’inconnue D est contenue dans tous les paramètres. Il est préférable de considérer une
variante de la figure 5.14 dans laquelle Q/(gHo)1/2 est reporté en fonction de D/Ho et r/Ho (fig. 5.15). Pour
Fig. 5.15 Détermination du diamètre D pour l’écoulement de type par-dessous la vanne libre.
0<D/Ho<0,8, les courbes correspondant aux différentes valeurs de r/Ho sont pratiquement identiques.
Il suffit donc de tenir compte de l’approximation [5.10]
2
(5.28)
où Q = Q/(gHo)1/2, 5= 1,05 pour l’entrée bien arrondie et 8 = 1,2 pour l’entrée à angle vif (r/D->0).
Pour l’écoulement en charge, la somme des pertes de charge est de l’ordre de VX d’où [5.10]
D = [Q/(gHd)l/2]l/2.	(5.29)
Exemple 5.6
Soit le ponceau de l’exemple 5.5 avec L = 20m, Js= 1%, K = 70mI/3s-1, r = 0,20m et Hu=0,60m. Quel est
le diamètre D nécessaire pour le débit de dimensionnement QD=5m3 *s-1?
1. Condition critique: selon l’équation (5.27) D = [(5/0,61 )2/9,8 l]l/5 = 1,47m.
2. Ecoulement en charge: Avec Hd= 1,47 + 0,01 • 20 —0,6= 1,07m, l’équation (5.29) donne D= 1,24m.
L’écoulement critique est donc déterminant et on choisit D = 1,50m.
3. Avec x = 70 • 0,01l/2  1,51/6 • 9,81 ~1/2 = 2,4 et Q/(gD5)1/2 = 5/(9,81 • 1,55),/2 = 0,58, la figure 5.13 indique
H0/D=l,17, d’où Ho=l,76m = HoN>Hoc= 1,47m. L’écoulement dans le ponceau est donc vraiment
torrentiel du type Q et Ho= 1,22D= 1,83m.
138
RAPPEL DES BASES
Références
[5.1]	Bos, M.G., Discharge measurement structures, Rapport 4, Laboratorium voor Hydraulica en Afvoer-
hydrologie, Landbauwhogeschool, Wageningen, Nederland, 1976.
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[5.3]	Chow, V.T., «Integrating the équation of gradually varied flow», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division,
Vol. 86, 1955, HY11, paper Nr. 838, 1-32.
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[5.6]	Hager, W.H., «Stau- und Senkungskurven im Kanalbau», Gas-Wasser-Abwasser, Vol. 61, 1981, 157-167.
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[5.8]	Hager, W.H., «Critical flow condition in open channel hydraulics», Acta Mechanica, Vol. 54, 1985,
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[5.9]	Hager, W.H., Discharge measurement structures, Communication 1, Chaire de Constructions Hydrauli-
ques, Département de Génie Civil, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, éd. R. Sinniger, Lausanne,
1986.
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[5.11]	Henderson, F.M., Open channel flow, MacMillan, New York, 1966.
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[5.13]	Lansford, W.M., Mitchell, W.D., An investigation of the backwater profile for steady flow in prismatic
channels, Bulletin University of Illinois, Vol. 46, No 51, Bulletin Sériés No 381, Engineering Experiment
Station, Urbana, 1949.
[5.14]	Lebreton, J.-C., «Ecoulements filaires», dans Mécanique des fluides appliquée, éd. par Michel Hug,
277-396, Eyrolles, Paris, 1975.
[5.15]	Merkl, G., «Ueber die schrittweise Berechnung von Stau- und Senkungskurven», Die Bautechnik, 1973,
Heft 4, 114-120.
[5.16]	Mononobe, N., «Back-water and drop-down curves for uniform channels», Trans. ASCE, Vol. 103, 1938,
950-1001.
[5.17]	Muller, R., Geschlossene Berechnung von Stau- und Senkungslinien, Mitteilung Nr. 9, Inst. Hydraulik und
Gewâsserkunde, TU München, ed. P.-G. Franke, München, 1972.
[5.18]	Prasad, R., «Numerical method of computing flow profiles», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division, Vol. 96,
1970, HY1, 75-86.
[5.19]	Rao, N.S.L., Sridharan, K., «Effect of channel shape on gradually varied flow profiles», Proc. ASCE,
J. Hydraulics Division, Vol. 97, 1971, HY1, 55-64; HY9, 1562-1565; Vol. 98, 1972, HY4, 712.
[5.20]	Serre, F., «Contribution à l’étude des écoulements permanents et variables dans les canaux», La Houille
Blanche, Vol. 8, 1953, 374-388; 830-782.
Notations
A	[m2]	section mouillée du canal	hN	[m]	hauteur uniforme de l’écoulement
b	[m]	largeur du canal rectangulaire	he	[m]	hauteur critique de l’écoulement
B	[m]	largeur variable du canal rectangu-	ho	[m]	hauteur d’eau au point de départ
		laire	H	[m]	charge
C	[ms-2]	facteur de proportionnalité	Hd	[m]	différence de charges
c.	[m2-M]	facteur de proportionnalité de sec-	Ho	[m]	charge amont
		tion	Hu	[m]	charge aval
c2	[m6Ns~	2] facteur de proportionnalité du débit	H*	[m]	charge par rapport au fond
cd	[-]	coefficient de débit	A	[-]	pente de frottement
D	[m]	diamètre	Js	[-]	pente du radier
f	[-]	f = h./hN	K	[ml/3s 1	] coefficient de rugosité
F	[-1	nombre de Froude	L	[m]	longueur du ponceau
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle	m	H]	cotangente de la pente du profil tra-
h	[m]	hauteur d’eau			pézoïdal
COURBES DE REMOUS
139
M	[-]	exposant de la hauteur d’eau	z	[m]	hauteur du radier du canal
P	[m]	périmètre mouillé	z*	[m]	hauteur verticale d’un point, mesu-
q Q	[mV] [mV]	débit par unité de largeur débit	Z	[-]	rée du point le plus bas de la section hauteur d’eau relative à l’amont du
$	[m3s '] [-]	débit sous charge débit adimensionnel	ô	[-]	ponceau coefficient de correction
r	[m]	rayon de courbure	n	[-]	rayon de courbure relative à l’en-
Rh v	[m] [ms ']	rayon hydraulique vitesse moyenne	<t>	[-]	trée du ponceau coefficient de forme, = hN/b
x	[m]	coordonnée longitudinale		[-]	coefficient de contraction
	[m]	constante d’intégration	ç	[-]	coefficient de perte de charge
X	[-]	coordonnée longitudinale adimen-	CT	[-]	exposant du rayon hydraulique
Y	[-]	sionnelle hauteur d’eau adimensionnelle	X	[-]	caractéristique de rugosité
6. Déversoirs à crête rectiligne
a)
b)
c)
Déversoir en mince paroi standard (à gauche) et déversoir standard (à droite); a) H/HD= 1/2, b) H/HD= 1 et c) H/HD = 3/2.
II. DEVERSOIRS ET VANNES
Les déversoirs jouent un rôle important dans les constructions
hydrauliques. Ils sont utilisés pour les mesures de débit d’une part et
servent souvent d’ouvrages de contrôle d’autre part. Les chapitres sui-
vants se limitent en principe à cette deuxième application, bien que les
aspects fondamentaux développés soient également valables pour les
dispositions de mesures du débit.
Comme ouvrages de contrôle, les déversoirs sont réalisés partout où
la limitation d’un débit ou d’un niveau d’eau doit être effectuée sans
installations mécaniques. Mais des déversoirs sont également réalisés en
combinaison avec des organes mobiles, en particulier des vannes et des
clapets installés à leur sommet.
Les plus grands déversoirs sont sans doute réalisés dans les aménage-
ments équipés d’un évacuateur de crue où leur bon fonctionnement est
impératif pour la sécurité. Il ne faut pas oublier que les parties amont et
surtout aval du déversoir sont également de grande importance. Elles
nécessitent autant de soin que le déversoir lui-même.
Malgré les progrès effectués au niveau de la conception de ces
ouvrages et les résultats d’un grand nombre d’essais in situ et en labora-
toire, il n’est pas toujours possible de traiter les problèmes posés de façon
purement analytique. Chaque fois qu’une vérification expérimentale des
calculs s’impose, des essais sur modèle sont indispensables.
Après un bref rappel des notions de base, le chapitre 6 traite des
déversoirs plans à crête rectiligne, horizontale et arrondie dans le sens de
l’écoulement. Des diagrammes permettent la détermination des caracté-
ristiques les plus importantes, notamment le coefficient de débit, la
surface d’eau pour divers cas de dimensionnement, la répartition longitu-
dinale de la pression au fond du canal. Les déversoirs à seuil épais et les
déversoirs noyés ne sont qu’abordés.
Le chapitre 7 traite des déversoirs à crête non rectiligne avec prédomi-
nance des déversoirs à crête circulaire, suivis d’un puits vertical. Les
indications données permettent le dimensionnement de tels ouvrages du
point du vue de l’hydraulique.
Le chapitre 8 est lié aux vannes sur radier horizontal et aux déversoirs
contrôlés par des vannes. Une classification de ces ouvrages est suivie de
considérations générales sur leur dimensionnement. Il est démontré que
les écoulements sous vanne et sur un déversoir libre peuvent être calculés
en bonne approximation au moyen d’une seule formule.
Le chapitre 9, finalement, considère en détail les déversoirs latéraux.
Une théorie générale des écoulements à débit localement varié et des
investigations liées à de tels ouvrages conduisent à la définition de la
surface libre et à la répartition du débit en fonction du lieu.
144
DÉVERSOIRS ET VANNES
6.1	Introduction et classification
Le déversoir dénoyé est un ouvrage dont la crête limite le volume accumulé dans une retenue.
L’écoulement est donc nul pour des hauteurs d’eau inférieures à la hauteur du déversoir, et, comme on
le verra, augmente fortement et de manière univoque pour des hauteurs supérieures à celle du déversoir.
Cette caractéristique spécifique en justifie l’utilisation en tant que;
-	dispositif de mesure du débit en laboratoire et sur les cours d’eau,
-	ouvrage de réglage et de contrôle dans les rivières et les canaux,
-	évacuateur pour les retenues naturelles et artificielles.
Les propriétés de l’écoulement d’un déversoir dépendent de la forme géométrique de ce dernier. Les
formes les plus importantes sont représentées à la figure 6.1. Il faut en outre considérer les paramètres
a)	b)	c)	d)
Fig. 6.1 Types de déversoirs: a) coupe longitudinale (en mince paroi, à seuil épais, à crête arrondie), b) coupe transversale (profil
rectangulaire, trapézoïdal, rectangulaire avec pilier), c) vue en plan (à crête perpendiculaire et oblique à l’axe, déversoir latéral), d) types
d’écoulement (dénoyé, noyé, adhérant).
hydrauliques, et l’on voit facilement qu’une seule théorie générale ne permet pas de traiter tous les types.
Dans ce qui suit, on se limite aux cas les plus importants du point de vue de leur application dans les
constructions hydrauliques. Il s’agit notamment du déversoir en mince paroi et du déversoir standard. Ce
dernier peut actuellemment être considéré comme un ouvrage à fonctionnement optimal. C’est la raison
pour laquelle un poids important est mis sur les caractéristiques hydrauliques de ce type de déversoir.
Des informations supplémentaires sont données par Chow [6.5], Henderson [6.10], Knapp [6.12], Kobus
et al. [6.13] et Rao [6.17].
6.2	Déversoir en mince paroi
Le déversoir en mince paroi de largeur b permet de déterminer le débit Q en connaissant uniquement
la hauteur d’eau à l’amont de l’ouvrage. Ce type de déversoir constitue donc une structure qui permet
une mesure de débit. Si la paroi est placée verticalement dans un canal rectangulaire prismatique, la crête
ayant la forme de la figure 6.2b) et la nappe inférieure étant suffisamment aérée, cette structure est appelée
déversoir en mince paroi standard (tous les symboles s’y référant sont surmontés d’une barre). Un tel
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
145
Fig. 6.2 Déversoir en mince paroi standard, a) définition de la géométrie, b) détail de la crête.
déversoir est caractérisé par la hauteur w du fond du canal jusqu’à la crête, sa largeur b et sa hauteur
d’eau amont ho (fig. 6.2a). Selon Bernoulli, la charge amont sur le déversoir est donc
2gb2(E0+w)2
(6-1)
Ce type de déversoir fut étudié avec grand intérêt, notamment déjà par Poleni (1683-1761). En se
basant sur diverses simplifications, le débit Q est corrélé avec la hauteur d’eau amont h0 par
Q = Cdb>/2g • R'2	(6.2)
où Cd est le coefficient de débit et g l’accélération gravitationnelle. Cette équation indique que le débit
croît linéairement avec la largeur b du déversoir, mais dépend plus fortement de la hauteur d’eau ho sur
le déversoir. Etant donné que les déversoirs de ce type sont souvent utilisés comme structure de mesure,
Cd a été déterminé expérimentalement par un grand nombre de chercheurs [6.3, 6.9, 6.24]. La formule
de Rehbock [6.18] est universellement acceptée
Cd
0,4023 1 +
0,135h	,	0,001 n'
w JL h0 J
(6.3)
Cd dépend donc des conditions d’approche au déversoir (h0/w) et de la tension superficielle (Cd~h0‘1).
Cette relation permet de déterminer le débit avec une précision meilleure que 0,5%, si h0/w<l/2,
ho/b< 1/2, 0,07m ^h0^ 0,60m, b > 0,30m et w> 0,30m. Une valeur moyenne pour Cd est 0,42.
Ainsi que cela a été démontré par divers expérimentateurs, l’écoulement au-dessus d’un déversoir en
mince paroi standard peut être considéré comme un écoulement potentiel. En d’autres termes, la ligne de
charge H reste constante. Soit x et z les coordonnées horizontales et verticales de la nappe inférieure par
rapport à la crête (0,0). L’épaisseur verticale du jet à l’endroit x est t (fig. 6.2a). Les vitesses aux surfaces
inférieure (index u) et supérieure (index o) sont données par l’équation de Bernoulli
Vo = [2g(H—z-h)]1'2, Vu = [2g(H — z))1'2
(6.4)
en admettant que la pression est égale à la pression atmosphérique aux surfaces des nappes. Il est à noter
la distinction qui existe entre la hauteur de pression h, la longueur de la ligne équipotentielle N et
l’épaisseur verticale du jet t (chap. 1).
146
DÉVERSOIRS ET VANNES
En raison de la courbure des lignes de courant, la répartition des pressions et des vitesses à l’intérieur
du jet ne peut être déterminée qu’en faisant appel à des méthodes de calcul complexes. La figure 6.3
Fig. 63 Nappes inférieure et supérieure d’un déversoir en mince paroi standard, H/w-»0; répartition transversale de la pression relative
p/(pgïï) (©) et de la hauteur de vitesse relative V2/(2gïï) (@) [6.9].
Fig. 6.4 Répartitions transversales de la pression relative p/(pgH) et de la composante horizontale de la vitesse relative u/(2gH)l/2,
a) section du déversoir, b) section contractée.
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
147
représente la géométrie des nappes et la répartition de la pression sur la paroi et à l’intérieur du jet pour
un déversoir de hauteur infinie [6.9]. On constate que, dans la section du déversoir (D (fig. 6.2a),
t/H—0,85. La paroi du déversoir étant verticale, la nappe inférieure atteint un maximum au point (H/4,
H/9); cette section, dans laquelle l’épaisseur jdu jetjest t/H ~ 2/3, est appelée «section contractée» (2)
(fig._6.2a). lien résulte Vo/(2gH),/2=(2/9),/2 et Vu/(2gH),/2=(8/9)1/2 selon les équations (6.4) en admettant
h~t, donc Vu/Vo = 2 dans la section contractée.
La figure 6.4 représente la répartition de la pression p et de la composante horizontale u de la vitesse
dans la section du déversoir et dans la section du jet contracté. On constate que la pression est maximale
à des hauteurs de 20%, et de 35% de la charge H dans ces deux sections respectivement. Par contre, les
extrêmes de la vitesse se trouvent aux nappes.
Fig. 6.5 Nappes généralisées d’un déversoir en mince paroi standard, H > 0,05m [6.20].
La figure 6.5 représente les nappes adimensionnelles d’un déversoir en mince paroi standard selon les
observations de Scimemi [6.20]. En fait, toutes les géométries de nappes provenant de charges H
148
DÉVERSOIRS ET VANNES
différentes deviennent identiques si l’on se réfère aux coordonnées normalisées x/H et z/H. L’effet de la
tension superficielle se manifeste seulement pour H < 0,05m [6.6]. Cette limite doit être considérée sur
modèles réduits. Par contre, la viscosité du fluide ne semble pas avoir d’effet sur la géométrie des nappes.
L’effet de la vitesse d’approche a été étudié par Rajaratnam et al. [6.15].
6.3	Déversoir standard
6.3.1 Développement d’un déversoir standardisé
Pour les ouvrages qui doivent contrôler des débits importants, la géométrie du déversoir ne dépend
pas seulement de considérations hydrauliques; en effet, la stabilité de l’ouvrage, les caractéristiques du
sous-sol, le type de barrage choisi et la topographie doivent être également pris en compte.
Les premiers déversoirs construits au début du XXe siècle étaient caractérisés par une géométrie
polygonale. En d’autres termes, la coupe longitudinale de la structure ressemblait souvent à un trapèze
dont le radier était plus raide à l’amont qu’à l’aval, et comportant une partie centrale horizontale de
longueur Le (fig. 6.21). En raison du changement abrupt de la pente à l’arête amont du déversoir,
l’écoulement se sépare de la structure et crée ainsi une zone de haute turbulence associée à des sous-pres-
sions importantes. Pour améliorer les conditions d’écoulement, l’arête amont du déversoir pourrait être
arrondie. Néanmoins, des zones locales de sous-pressions subsisteraient encore le long du radier.
Pour éviter de telles zones de sous-pressions le long du radier, la nappe inférieure du déversoir en
mince paroi standard pourrait être reprise comme géométrie du déversoir à crête fixe. Ainsi, pour un
débit identique à celui passant par un déversoir en mince paroi à charge H, on obtient pour le déversoir
à crête fixe une charge HD = H —AH, HD étant la charge de dimensionnement (fig. 6.6). La distance
verticale AH entre les deux crêtes est à peu près AH = H/9 [6.20].
Fig. 6.6 a) Déversoir en mince paroi standard et b) déversoir standard correspondant.
Un déversoir à crête fixe qui présente la géométrie de la nappe inférieure d’un déversoir en mince
paroi standard est appellé déversoir standard. Comme les effets de frottement ne se manifestent pas le long
du radier (longueur de crête très limitée), les deux déversoirs correspondants produisent des écoulements
pratiquement identiques sous la charge de dimensionnement. Comme la charge H est mesurée à partii
de la crête du déversoir standard, l’équation (6.2) devient
Q = Cdbx/2gH3/2.	(6.5;
Cd est le coefficient de débit du déversoir standard.
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
149
6.3.2 Géométrie du déversoir standard
La géométrie de la nappe inférieure d’un déversoir en mince paroi standard est représentée par Z(X)
dans la figure 6.5. En transformant cette fonction en Z(X) où X=x/HD et Z = z/HD, on obtient également
une fonction unique pour la géométrie d’un déversoir standard. La figure 6.7b) représente la proposition
Fig. 6.7 Géométrie de la crête du déversoir standard à parement amont vertical; a) définition du système des coordonnées, (?) quadrant
amont, (2) quadrant aval; b) détail du quadrant amont (tous les chiffres par rapport à HD= 1m) [6.23].
du «United States Army, Corps of Engineers» (USCE) [6.23] pour le parement amont vertical; cette
courbe se compose de trois arcs circulaires au quadrant amont (x ^0) et de la fonction de puissance [6.21]
-Z = ix185, X > 0
2
(6.6)
pour le quadrant aval. (X,Z) = (0,0) correspond à l’origine des coordonnées et coïncide avec la crête du
déversoir standard. Les origines des arcs circulaires et les rayons correspondants sont indiqués au
tableau 6.1. La courbure de la fonction Z(X) ainsi définie présente des discontinuités aux points
Tableau 6.1 Origines O, rayons de courbure R et domaines de validité relatifs
à Hd du déversoir standard (quadrant amont).
i	Oi/HD	Ri/HD			
1	( — 0,2418/—0,1360)	0,04	-0,2818	< X	-0,276
2	(—0,1050/—0,2190)	0,20	-0,276	< X	: -0,175
3	(0/-0,5000)	0,50	-0,175	< X	; 0
X = (—0,2818, —0,276, —0,175 et 0). Pour des parements amont inclinés, les recommandations du
USCE peuvent être consultées [6.23].
Pour rendre la construction d’un déversoir standard plus économique, le parement amont peut être
modifié en ménageant une saillie (fig. 6.8). Ainsi, une masse importante de béton peut être éliminée si elle
n’est pas requise pour la stabilité de l’ensemble de la structure. Selon l’USCE, l’effet de N/Hd>0 sur
150
DÉVERSOIRS ET VANNES
l’écoulement n’est pas significatif sauf pour de très petites valeurs de M/HD. Il est recommandé de choisir
le rapport M/N plus grand que 1/2 et M/HD>0,6 pour encore pouvoir utiliser la géométrie de la crête
donnée dans la figure 6.7.
Fig. 6.8 Déversoir standard à parement amont surplombant.
6.3.3 Effet de charge sur le déversoir standard
Comme cela a déjà été constaté sous 6.3.1, les écoulements sur un déversoir en mince paroi standard
et sur le déversoir standard correspondant sont pratiquement identiques si la charge H sur ce dernier est
égale à la charge de dimensionnement HD. La figure 6.7 montre ainsi qu’il existe une géométrie bien défi-
nie de la crête de ce déversoir, une fois HD fixé. La valeur HD seule caractérise entièrement l’écoulement.
Considérons maintenant un déversoir standard caractérisé par la charge de dimensionnement HD et
voyons ce qui se passe lorsque la charge H sur ce même déversoir varie. Pour H < HD, par exemple
H/Hd= 1/2, la nappe inférieure du déversoir en mince paroi standard serait plus fortement courbée vers
le bas, tandis que pour H > HD, cette nappe serait moins courbe vers le bas (fig. 6.9). Etant donné que
Fig. 6.9 Déversoir standard et nappes provenant de déversoirs en mince paroi standard (ï) H/HD= 1/2 et (2) H/HD=3/2.
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
151
le radier du déversoir standard reste fixe, il provoque un écoulement moins fortement courbé pour
H/Hd < 1 et plus fortement courbé pour H/HD > 1. La courbure des lignes de courant est identique pour
les deux déversoirs pour H/HD = 1 seulement. Comme cela a déjà été démontré au chapitre 1, la courbure
des lignes de courant influence considérablement les pressions internes d’un écoulement. En d’autres
termes, plus la courbure sur un radier fixe est forte, plus l’écart de la pression par rapport à la pression
hydrostatique est important. Dans le cas d’un déversoir (courbure vers le bas), plus la charge croît, moins
la pression sur le fond est grande. Par conséquent, la pression sur le fond du déversoir standard par
rapport à la pression atmosphérique est positive pour H/HD< 1, égale à zéro pour H/HD = 1 et négative
pour H/Hd> 1. Comme le représente la figure 6.10, la pression au fond n’est pas tout à fait nulle pour
Fig. 6.10 Déversoir standard (—) profil de surface et (•••) ligne de pression pour diverses charges relatives H/HD (écoulement plan)
[6.23],
H/Hd= 1. Ce fait doit être attribué surtout à la géométrie approchée du déversoir standard selon la
figure 6.7. Des écarts faibles de la géométrie du radier par rapport à la nappe inférieure du déversoir en
mince paroi standard peuvent suffire pour provoquer un changement important de la pression.
Si H/Hd < 1 on parle d’un déversoir standard sur dimensionné, tandis que le déversoir standard est
sous-dimensionné pour H/HD> 1. Comme on le constate dans la figure 6.10, la ligne de pression auprès
de la crête est considérablement au-dessous du radier pour H/HD> 1. Le minimum de la pression Apf par
rapport au fond apparaît à X~ —0,2 et vaut Apf~ — 0,43(pgHD) pour H/HD= 1,33. Selon l’équation de
Bernoulli la vitesse près du fond est Vf = [2g(H — Apf/(pg) — z)]1/2, donc Vf/(2gH)1/2 = [1 + 0,43 + 0,05]1/2 =
1,22.
La répartition longitudinale de la pression Apf par rapport au fond a été observée expérimentalement
par l’USCE [6.23], La figure 6.11 représente les profils de surface et AP = Apf/(pgHD) en fonction de la
coordonnée longitudinale X = x/HD pour divers rapports H/HD. Üne distinction est faite entre l’écoule-
ment plan (b) et l’écoulement influencé par des piliers (c,d) (voir aussi 6.4).
La figure 6.11a) permet de constater que les profils de surface sont le plus bas pour l’écoulement à
deux dimensions. Les piliers provoquent une surélévation du plan d’eau axial; celle-ci croît proportion-
152
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 6.11 Déversoirs standards: a) profils de surface, (-) axial entre les piliers, (-) écoulement plan; pressions relatives au fond:
b) écoulement plan, c) axiales entre les piliers, d) le long des piliers [6.23].
nellement avec H/HD. Le profil de surface le long des piliers (non indiqué sur la figure 6.11a) subit une
surélévation à l’amont d’un pilier, mais s’approche de l’écoulement plan plus à l’aval.
La figure 6.11b) montre que le minimum de pression relative au fond apparaît sur le quadrant amont
àX~ —0,2. Ce minimum est déterminant pour le dimensionnement d’un tel déversoir (voir 6.3.4). Il est
uniquement fonction de la charge relative H/HD et peut être exprimé par la relation linéaire
AP™ = Apfmi„/(pgH) = <o(l-H/HD).
(6.7)
La courbe de la figure 6.12 représente l’équation (6.7) et des résultats expérimentaux ont été reportés dans
cette figure à titre de comparaison. On constate que © = 1 est une bonne approximation si H/HD < 4.
Les figures 6.11c) et d) montrent que les pressions relatives au fond entre deux piliers sont moins
grandes que dans le cas de l’écoulement plan, tandis que l’inverse se produit le long des piliers.
L’extension longitudinale des piliers doit en tout cas dépasser la zone de sous-pression sur le radier du
déversoir (voir aussi 6.4).
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
153
Fig. 6.12 Pression minimale relative sur le fond AP^ du déversoir standard en fonction de H/HD, pour l'écoulement plan, (• • •) [6.19],
(-----------------------------------------) [6.4], (—) pression de fond à la crête [6.19].
L’effet de la charge relative H/HD sur le coefficient de débit Cd selon l’équation (6.5) a été également
observé expérimentalement. La figure 6.13 représente des résultats de divers expérimentateurs. Cd croît
Fig. 6.13 Coefficient de débit Cd, fonction de H/HD; écoulement plan [6.19], [6.23].
avec H/Hd, mais plus fortement pour les petites valeurs de ce rapport. Pour H/HD-+0, le minimum de
Cd=0,385 est atteint; pour H/HD= 1, cette valeur s’élève à CdD=0,494; le maximum est de l’ordre de
Cd~0,55. Ces valeurs sont uniquement valables si les effets de la tension superficielle et de la viscosité
peuvent être négligés. Comme démontré par exemple par Matthew [6.14], la charge doit s’élever au
minimum de près H = 5cm, valeur souvent retrouvée sur des modèles réduits [6.6].
La proposition de Chow [6.5] pour le coefficient de débit s’écrit
Cd/CdD = (H/HD)“12	(6.8).
donc
Q/Qd = (H/Hd)1,62;	(6.8)2
cette équation est seulement valable pour 0,2<H/HD<2. Des indications supplémentaires sur Cd se
trouvent sous paragraphe 8.5 et [6.22].
La variation du coefficient de débit Cd est uniquement fonction de la répartition des vitesses. La
figure 6.14 montre le champ de vitesse normalisé, V/(2gHD),/2 pour H/HD=1 et H/HD = 2 [6.8]. On
constate bien l’augmentation transversale de la vitesse vers le centre de courbure.
154
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 6.14 Champ de vitesse normalisé de l’écoulement par-dessus un déversoir standard a) H/HD = 1, b) H/HD = 2 [6.8]. ( • •) répartition
de la pression de fond.
6.3.4 Limite supérieure de la charge
Le déversoir standard le plus économique, sur la base de la figure 6.13, résulterait d’une charge de
dimensionnement minimale (HD-*0), pour laquelle le rapport H/HD devient maximal. Cependant, le
déversoir ainsi défini serait en mince paroi et, l’écoulement se séparant de la crête, le coefficient de débit
se calculerait selon l’équation (6.3). Le rapport H/HD doit donc être limité à un maximum imposé par
les deux contraintes suivantes:
-	la séparation de l’écoulement du déversoir standard et
-	la sous-pression aux environs de la crête du déversoir standard.
La séparation de l’écoulement du radier du déversoir peut être provoquée par l’aération de la nappe
inférieure du jet si une zone de sous-pression existe. En effet, celle-ci s’établit toujours lorsque le rapport
H/Hd> 1. La séparation est un processus abrupt et peut provoquer une surélévation importante AHS du
plan d’eau. De plus, des vibrations considérables sur la structure sont à craindre. Il faut donc éviter, en
tout cas, toute séparation de l’écoulement.
La figure 6.15 montre les deux configurations les plus fréquentes. Des piliers à géométrie non
hydrodynamique ou d’extension longitudinale trop faible donnent souvent naissance à des chemins de
pénétration de l’air. Comme le montre la figure 6.15b), l’air peut également pénétrer dans les zones de
sous-pressions, si l’extension du déversoir est limitée à la crête.
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
155
Fig. 6.15 Séparation de l’écoulement d’un déversoir standard, a) dû au pilier malformé, b) dû à la géométrie du fond non conforme.
(-----------------------------------) profil de surface non séparé, (-) profil de surface séparé.
La surélévation du plan d’eau AHS peut se calculer facilement en admettant que la distance Az entre
le maximum de la nappe inférieure séparée et la crête du déversoir est négligeable (fig. 6.15a). «n» et «s»
étant les indices relatifs aux écoulements non séparé et séparé, l’équation (6.8)2 donne (Qn/QD) =
(Hn/HD)1,62. Pour l’écoulement séparé le coefficient de débit est Cd = 0,494, valeur identique à celle relative
au débit de dimensionnement, donc (QS/QD) = (HS/HD)1,5. Avec Qs=Qn, ces deux équations donnent
Finalement, avec Hs = Hn-|-AHs, il en résulte
AHs/Hd = [(H„/Hd)°'°s - l](Hn/HD).	(6.9)
La figure 6.16 permet de constater que AHS/HD croît assez fortement avec Hn/HD; par conséquent, il faut
que l’écoulement ne se sépare pas du radier. Etant donné qu’il n’est pas encore possible de prédire cette
séparation, des observations sur modèle réduit s’imposent pour des ouvrages importants.
Fig. 6.16 Surélévation AHJHD du plan d’eau dans le réservoir due à la séparation de la nappe inférieure d’un déversoir standard de
charge H = Hn>HD.
156
DÉVERSOIRS ET VANNES
Une deuxième limite supérieure pour la charge H/HD est imposée par les sous-pressions. Une fois la
géométrie du déversoir fixée, la répartition longitudinale de la pression au fond pf dépend uniquement
du rapport H/HD. Comme décrit sous 6.3.3, la fonction P(X) avec P = pf/(pgHD) et X = x/HD est unique
pour une charge relative H/HD donnée. Le minimum de la pression relative au fond, Pmin, s’établit à peu
près à l’endroit X = —0,2; elle est exprimée par l’équation (6.7).
Comme indiqué au chapitre 13, l’eau pure à la température T [°C] se vaporise si la pression p est
inférieure à la pression de vapeur pv. Cette dernière quantité dépend fortement de T et peut être exprimée
par [6.8]
, /l + 7?\
P./P» = M—3-------- >	(6.10)
pa étant la pression atmosphérique et t=T/100°C. Pour T = 100°C, donc t= 1, la pression de vapeur pv
correspond à la pression atmosphérique. Pour T = 10°C, le rapport pv/pa = 0,013 est seulement atteint.
Avec pa = 760mm Hg, donc pa=10m de colonne d’eau, la pression de vapeur devient pv=0,13m de
colonne d’eau, soit —9,8m de colonne d’eau par rapport à la pression atmosphérique.
En réalité, l’eau n’est pas pure, et la hauteur de pression de vapeur est plus grande que pv/
(pg)= —9,8m. De plus, la vaporisation n’est pas un processus qui commence à une sous-pression bien
définie. Il faut donc distinguer le début de la cavitation («incipient cavitation») de la cavitation accomplie
(«supercavitation»).
Comme discuté au chapitre 13, la cavitation n’est pas dangereuse en soi. Cependant, le danger lié à
ce phénomène réside dans le potentiel d’endommagement d’une structure si le processus apparaît suffisam-
ment près de la limite du liquide. Dans les constructions hydrauliques, ces limites sont normalement celles
des parois: en effet, une fois que suffisamment de bulles de vapeur se sont formées par cavitation dans
un écoulement (donc dues à des zones de sous-pressions importantes), et que cet écoulement retrouve des
zones de pressions supérieures à pv, l’énergie libérée par l’implosion des bulles peut sérieusement
endommager une paroi. Le phénomène, appelé érosion de cavitation, érode la surface rigide et, le cas
échéant, entraîne une perte de stabilité et de résistance de la structure. Il faut donc que la cavitation
elle-même n’apparaisse jamais sur des structures pour lesquelles la zone d’implosion des bulles de vapeur
est située à proximité des parois.
Dans le cas des déversoirs, la zone de sous-pressions se trouve près du fond. Ces structures sont donc
particulièrement exposées au danger d’érosion de cavitation. Même pour une surface idéalement lisse,
et particulièrement pour des déversoirs à surface rugueuse (chap. 13), il existe donc une limite de
sous-pression pour éviter l’érosion de cavitation.
Les considérations suivantes se limitent aux déversoirs à surface «assez lisse». Comme cela a été
démontré expérimentalement [6.1, 6.2], la sous-pression ps, pour laquelle la cavitation apparaît, est de
l’ordre de ps= —7,6m de colonne d’eau. En tenant compte de l’équation (6.7), on obtient une relation
entre la charge relative H/HD et la charge H en mètres. La figure 6.17 représente des résultats d’essais
sur modèles réduits. Une distinction est faite entre le début de la cavitation et la cavitation accomplie.
Le calcul décrit ci-dessus conduit à des résultats qualitativement pareils; cependant, la valeur de ps n’est
vraisemblablement pas constante mais dépend de H/HD.
Comme le montre la figure 6.17, la limite supérieure H/HD d’un déversoir standard par rapport aux
effets de la cavitation dépend fortement de la charge H. Sur un modèle réduit, on peut facilement
augmenter la charge jusqu’à H/HD = 4 sans provoquer la sous-pression nécessaire à l’apparition de la
cavitation, tandis que pour H= 10m, le maximum de H/HD n’est que 1,6. Pour H~20m, actuellement
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
157
Fig. 6.17 Domaines de cavitation provoquée par un déversoir standard. (—) début de la cavitation, (• • ) cavitation accomplie, charge
H(m) en fonction du rapport H/HD [6.21.
limite supérieure de la charge, seul un rapport de H/HD = 1,4 peut être envisagé. Dans le cas de structures
importantes, il est recommandé de faire des observations précises sur des modèles réduits et la figure 6.17
devrait servir uniquement d’orientation.
6.4 Effet des piliers
Un déversoir de largeur importante est souvent subdivisé par des piliers de différentes formes et tailles
(fig. 6.18). Ces piliers servent à
-	imposer à l’écoulement une direction déterminée, pour que le débit soit distribué uniformément
tout au long du déversoir,
-	supporter un pont d’accès traversant le déversoir,
-	loger ou supporter des installations mécaniques ou électriques comme des vannes ou des clapets
(chap. 8).
Fig. 6.18 Types de piliers simples et coefficients de contraction latérale K?; b et B caractérisent l’épaisseur des piliers et la distance entre
ceux-ci [6.12].
Si B est la largeur géométrique entre deux piliers, la largeur efficace Be est
Be = B — 2Kp • H
(6.11)
158
DÉVERSOIRS ET VANNES
où Kp est te coefficient de pilier, donc (2Kp) pour une passe. Selon la figure 6.18 Kp est constant pour un
type de pilier donné et décroît avec l’amélioration de la géométrie de celui-ci. Les valeurs indiquées
peuvent servir de base d’orientation.
La figure 6.19a) montre cinq types de piliers en plan, recommandés par l’USCE [6.23]. Le type Q)
est presque carré, arrondi à R1=O,O33HD. Le type @ est caractérisé par un demi-cercle amont à
Fig. 6.19 Types de piliers selon [6.23]; a) géométrie, dimensions en fractions de HD, Rj=O,O33HD, R2=O,B3HD, R3—0,267HD,
R31=0,20Hd, chiffres en [ ] pour type ®. (-) crête du déversoir; b) Kp en fonction de H/HD, type de pilier (-) Q, (-)	(—)
( •)©,(— -)®.
R2 = 0,133Hd; pour les types (T> et ®, la partie amont comporte deux arcs circulaires à R3 = 0,267HD
et R3a=0,20HD. Finalement, le type © présente un nez triangulaire. La largeur d’un pilier est 0,267HD,
sauf pour le type ®. La distance horizontale entre l’extrémité amont des piliers et la crête du déversoir
est 0,28 18Hd; tes piliers commencent donc à l’extrémité amont du déversoir standard (type (2) de la
figure 6.20a).
La figure 6.19b) représente Kp en fonction de H/HD; on constate que Kp décroît lorsque H/HD croît.
Pour H/HD> 1, Kp est pratiquement plus petit que zéro. Pour 1e dimensionnement préliminaire d’un
déversoir, on peut donc admettre Be. Selon [6.23], tes types (2), (3) et ® sont recommandés pour des
charges H importantes.
Des expériences récentes, effectuées par Indlekofer [6.11] montrent une concordance qualitative de
ces résultats avec [6.23]. On constate également que Kp peut, dans certains cas exceptionnels, devenir
négatif. Ces effets apparaissent surtout dans tes parties latérales lorsque l’écoulement n’est pas plan.
Ramponi [6.16] donne l’effet des piliers à face amont inclinée sur 1e profil de surface d’eau.
L’effet de la position amont d'un pilier par rapport à la face amont du déversoir a été étudié également
par l’USCE [6.23]. La figure 6.20a) montre une coupe transversale du type (2) de la figure 6.19a). Soit
AX>0 l’écart des deux faces amont, d’où AX = 0 pour le type (2), AX = 0,3 pour 1e type ®, AX = O,55
pour le type @ et AX = 0,8 pour 1e type ®. La figure 6.20b) montre Kp en fonction de H/HD. On constate
que, par rapport au type (2), Kp des types @ à ® est plus proche de la valeur Kp = 0. Toutes ces valeurs
ont été obtenues pour des déversoirs standards à vanne voisine ouverte.
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
159
Fig. 6.20 Effet de l’extension amont du pilier type (T), a) géométrie, b) K,, en fonction de H/HD, (—) (2), (------------) ®, (—)	(•••)
® [6.231.
Les profils de surface d’eau d’un déversoir muni de piliers ont été observés pour H/HD=0,5,1 et 1,33
[6.23]. Ces déversoirs consistent en trois passes séparées par des piliers du type (2). Pour X < 0 (à l’amont
de la crête), la hauteur d’eau près des parois est plus grande que sur l’axe, tandis qu’elle est plus faible
près des parois pour X > 0.
Exemple 6.1
Le débit maximal à évacuer par un déversoir standard s’élève à Q=200m3s“ *. Quelle est la largeur B du
déversoir, en supposant que le niveau d’eau maximal ne dépasse pas la crête de plus de 2m, si deux piliers
(Kp=0,025) d’une largeur b= 1m divisent le déversoir en trois passes identiques?
Si l’on choisit le rapport Hm„/Hn= 1.7 (fig. 6.17), la hauteur de dimensionnement est de HD=
2/1,7 1,20m. Selon la figure 6.13, le coefficient de débit devient Cd=0,525 pour Hma,=2m. La largeur totale
effective du déversoir se calcule d’après l’équation (6.5) à	=Q/(Cd(2gH3),/2) = 200/(0,525(2 • 9,81 • 23),/2] =
30,4m. Pour une passe du déversoir on obtient Be=Be>t0(/3±i 10,15m.
Selon l’équation (6.11), la distance entre deux piliers s’élève à B = Be+2Kp • H = 10,15 + 2 • 0,025 • 2=
10,25m. La largeur totale du déversoir, comprenant les deux piliers et tenant compte de leur effet sur
l’écoulement, s’élève à 3 • 10,25 + 2 • 1 = 32,75m. La géométrie du déversoir est déterminée à partir de la
figure 6.7, en introduisant HD= 1,20m.
6.5	Déversoir à seuil épais
Ce type de déversoir à angles vifs, représenté dans la figure 6.21, peut s’imposer notamment pour des
phases de construction de barrages. Comparé au déversoir en mince paroi, deux paramètres supplémen-
taires relatifs à la pente amont 0 et la longueur de la crête Le du déversoir doivent être considérés. Le
calcul simplifié introduit le coefficient de correction ce dans la formule générale du déversoir en mince
paroi (6.2), donc
Q = CdcebV2j  H3/2,
(6.12)
160
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 6.21 Déversoir à seuil épais, géométrie polygonale.
où ce=c££^e=(H—w)/Le, 0). Considérant que la vitesse d’approche est normalement faible, c’est-à-dire
que w>H, la hauteur d’eau amont ho de l’équation (6.2) devient presque égale à la charge ïï. Des essais
hydrauliques indiquent que [6.7]
2sin0
9(1+&
(6.13)
d’où 7/9 ce 1. La capacité d’un tel déversoir reste alors inferieure à celle d’un déversoir en mince paroi.
Une amélioration peut être obtenue par arrondissement de l’arête amont. Ainsi, l’écoulement ne se sépare
plus de la crête [6.7].
De nombreuses références sur d’autres types de déversoirs sont données par Bos [6.3].
6.6	Déversoir noyé
Le débit passant par un déversoir dénoyé n’est contrôlé que par une seule section constituant la
section de contrôle (chap. 5). A l’amont de cette section, l’écoulement est fluvial tandis qu’à l’aval il est
torrentiel; dans la section de contrôle et pour un débit donné, la charge atteint une valeur minimale. Si
le niveau aval est progressivement élevé, il peut en résulter un effet sur l’écoulement et le débit n’est plus
déterminé par une seule section, mais par les deux sections amont et aval: l’écoulement devient noyé.
Celui-ci s’établit lorsque la condition d’écoulement critique n’est plus réalisée dans la section de contrôle.
Pour une grande catégorie de déversoirs, l’équation (6.5) peut être modifiée comme suit
Q = CdSbV2gH3'2	(6.14)
où S est le coefficient de submersion. Pour des conditions d’écoulement dénoyé, on obtient S = 1 tandis
que pour toutes les conditions d’écoulement noyé, on a 0 < S < 1. S dépend fortement du rapport Hy/H,
où Hu correspond à la charge aval, mesurée à partir de la crête du déversoir (fig. 6.22). Une bonne
approximation de S est donnée par la formule [6.7]
S = (1 - (H„/H)2),/2 .	(6.15)
La relation entre la charge H et la hauteur d’eau amont ho au-dessus du niveau de la crête du déversoir
s’écrit H = ho + Vo/2g où Vo = Q/((ho + w)b), w étant la hauteur du déversoir. Avec ces deux relations, le
débit peut s’exprimer en fonction de ho.
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
161
Fig. 6.22 Déversoir noyé pour lequel l’écoulement dépend des charges amont H et aval Htt.
L’écoulement noyé au-dessus des déversoirs standards a été analysé plus en détails par l’USCE [6.23].
La figure 6.23 montre quelques types de profils de surface libres et les répartitions de pression correspon-
dantes sur le fond. On distingue a) l’écoulement aval entièrement torrentiel (écoulement dénoyé selon
6.3), b) l’écoulement à ressaut hydraulique à l’aval, c) l’écoulement à ressaut hydraulique sur le coursier
et d) l’écoulement complètement noyé.
Une fois le coefficient de débit Cd calculé pour l’écoulement dénoyé selon la figure 6.13, la figure 6.24
permet d’obtenir la réduction ACd (en pour-cents) du coefficient du débit en fonction de la perte de chute
relative Ah/H pour une géométrie du déversoir donnée (hu + Ah)/H. Avec w comme hauteur du déversoir
standard, et pour un fond amont et aval à niveaux identiques, il existe la relation w+H = h„ + Ah, H étant
la charge effective et hu la hauteur d’eau aval (fig. 6.24).
lïg. 6.23 Ecoulement noyé, déversoir standard; [(hu +Ah)/H, hJH] = a) [2,14, 1,75], b) [2,14, 0,955], c) [2,14, 0,513], d) [2,14, 0,142].
(—) profil de surface, (• •) profil de pression sur le fond [6.23]. Voir aussi fig. 6.24.
Les zones de types d’écoulements de la figure 6.23 sont également incluses dans la figure 6.24. On
constate que ACd est principalement influencé par (hu+Ah)/H dans les zones @ et ®, et par hy/H dans
les zones © et ©.
162
DÉVERSOIRS ET VANNES
3 (h, + Ah)/H 4
Fig. 6.24 Réduction ACd du coefficient de débit [%], fonction de (h,+Ah)/H et hJH (6.23).
6.7	Aération des déversoirs
La figure 6.25 montre deux déversoirs suivis d’une chute libre. Dans les deux cas indiqués, il faut
absolument veiller à ce que l’espace entre la lame déversante et la structure soit suffisamment aéré. Sinon,
la lame devient instable et transmet des vibrations à la structure; le cas échéant, la lame se plaque
temporairement contre la surface à l’aval de l’ouvrage.
Si la nappe ne suit pas un coursier mais se détache du déversoir, une cavité d’air existe au-dessous
de la nappe. Sans aération, une partie de l’air est prise par l’écoulement et la hauteur d’eau aval
augmente.
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
163
Fig. 6.25 Aération de la lame déversante pour garantir des conditions d'écoulement stables; a) pour un barrage-voûte,
b) pour un évacuateur de crue. Les canaux d'aération ((2) et (T)) sont disposés dans le déversoir même ou latéralement
dans des murs guidaux. Des piliers Q permettent également l’aération.
b)
Selon [6.3] la quantité d’air Qa se calcule par
Qa =
Q
(hp/ho)3/2
(6.16)
où hp est la hauteur d’eau à l’aval du déversoir et ho la hauteur d’eau amont (fig. 6.26). hp est soit une
fonction des conditions aval (écoulement noyé) ou du débit et de la hauteur Az de la chute. Pour le dernier
cas, Bos [6.3] propose
hp/Az = [QWAz3)]0’22.	(6.17)
En cas de ressaut submergé à hauteur d’eau aval h2 (fig. 6.26) on peut poser hp~h2.
Fig. 6.26 Géométrie à travers un déversoir avec système d’aération. (?) ressaut libre, (2) ressaut submergé.
Pour le dimensionnement des canaux d’aération, on admet une différence de pression entre l’atmo-
sphère et l’espace au-dessous de la nappe de l’ordre de 0,1m de colonne d’eau. La perte de charge due
à l’écoulement de l’air se calcule alors selon les indications du chapitre 3, en tenant compte du frottement
et des pertes de charge locales dans les canaux d’aération (chap. 2).
164
DÉVERSOIRS ET VANNES
Références
[6.1]	Abecasis, F., Soleiras descarregadoras, Laboratorio Nacional de Engenharia Civil, LNEC Memoria 175,
Lisboa, 1961.
[6.2]	Abecasis, F., Discussion à [6.4], Proc. ASCE, J. Hydraulics Division, Vol. 96, 1970, HY12, 2654-2658.
[6.3]	Bos, M.G., Discharge measurement structures, Laboratorium voor Hydraulica an Afvoerhydrologie,
Landbouwhogeschool, Wageningen, The Netherlands, Rapport Nr. 4, May, 1976.
[6.4]	Cassidy, J.J., «Designing spillway crests for high head operation», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division,
Vol. 96, 1970, HY3, 745-753.
[6.5]	Chow, V.T., Open channel hydraulics, McGraw-Hill, New York, 1959.
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[6.7]	Hager, W.H., Discharge measurement structures, Communication 1, éd. R. Sinniger, Chaire de Construc-
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[6.8]	Hager, W.H., Standard spillway, Communication 3, éd. R. Sinniger, Laboratoire de Constructions
Hydrauliques, Dép. de Génie Civil, EPFL, Lausanne, à paraître.
[6.9]	Hay, N., Markland, E., «The détermination of the discharge over weirs by the electrolytic tank», Proc.
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[6.12]	Knapp, F.H., Ausfluss, Ueberfall und Durchfluss im Wasserbau, G. Braun, Karlsruhe, 1960.
[6.13]	Kobus, H.E., Rao, N.S.L., Characteristics of self-aerated free-surface flows, Water and Waste Water,
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[6.14]	Matthew, G.D., «On the influence of curvature, surface tension and viscosity on flow over round crested
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[6.17]	Rao, N.S.L., Theory of weirs, Advances in Hydroscience, éd. par V.T. Chow, Vol. 10, Academie Press, New
York, 1975.
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[6.19]	Schirmer, A., Dœrsch, H.-J., «Untersuchungen zum hydraulischen Verhalten von festen rundkronigen
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[6.20]	Scimemi, E., «Sulla forma delle tracimanti», L’Energia Elettrica, Vol. 7, 1930, 293-305.
[6.21]	Scimemi, E., «Il profilo delle dighe sfioranti», L’Energia Elettrica, Vol. 14, 1937, 937-940.
[6.22]	Sinniger, R., Hager, W.H., Flood control by gated spillways, Proc. Commission Internationale des Grands
Barrages, ICOLD, Quinzième Congrès, Lausanne, 1985, Q.59, R.9, 121-149.
[6.23]	U.S. Army, Corps of Engineers, Hydraulic design criteria, Army Waterways Experiment Station, Vicks-
burg, Mi., différentes feuilles d’années variées.
[6.24]	White, W.R., «Thin plate weirs», Proc. Institution Civil Engineers, London, Vol. 63, 1977, 2, 255-269.
Notations
Divers symboles peuvent apparaître avec des barres et se rapportent ainsi au déversoir en mince paroi standard.
L’index «f» indique le fond du déversoir standard. Les écoulements séparé et non séparé par-dessus le déversoir
standard sont indiqués par les indices «s» et «n». L’indice «D» caractérise des quantités de dimensionnement du
déversoir standard. Les indices «o» et «u» se rapportent aux sections amont et aval d’un déversoir.
b	[m]	largeur du déversoir	g	(ms 2]	accélération gravitationnelle
B	[m]	largeur géométrique du déversoir	h	[m]	hauteur d’eau
Be	[m]	largeur effective du déversoir	K	[m]	longueur de crête
ce	[-]	coefficient de correction	H	[m]	charge
cd	[-1	coefficient de débit	Hu	[m]	charge aval
DÉVERSOIRS À CRÊTE RECTILIGNE
165
Kp U	[-] [m]	coefficient de pilier longueur de la crête	T u	[°C] [ms ’]	température composante horizontale de la vi-
M	[m]	épaisseur verticale de la partie sur-			tesse
		plombante	V	[ms’*]	vitesse
N	[m]	épaisseur horizontale de la partie	w	[m]	hauteur du déversoir
		surplombante	X	[m]	coordonnée longitudinale
N	[m]	longueur de la ligne équipotentielle	X	[-]	coordonnée longitudinale adimen-
0	[m]	coordonnée de l'origine des rayons			sionnelle
		du quadrant amont	z	[m]	coordonnée verticale
p	[NnT2]	pression	Zp	[m]	hauteur de chute
P	[-]	pression de fond relative	Z	[-]	coordonnée verticale adimension-
Q	[m3s-‘]	débit			nelle
Q.	[mV]	débit d’air	P	[kgm-3]	masse volumique
R	[m]	rayon de courbure du profil du dé-	e	[-]	pente de la face amont
		versoir standard		[-]	coefficient de forme
S	[-1	coefficient de submersion	T	[-]	température normalisée
t	[m]	hauteur verticale d’eau	©	[-]	coefficient de proportionnalité
Déversoirs à crête non rectiligne
Déversoir à crête circulaire: a) écoulement libre, b) écoulement transitoire, c) écoulement noyé (VAW 19568, 19572, 19574).
168
DÉVERSOIRS ET VANNES
7.1	Introduction
Pour réduire l’emprise d’un ouvrage d’évacuation, un déversoir à crête courbe ou en ligne brisée peut
s’avérer économique. En effet, les déversoirs à crête circulaire ont des dimensions minimales en plan, et
peuvent être plus économiques que les déversoirs rectilignes suivis d’un coursier, surtout si une galerie
horizontale existante (dérivation) peut être raccordée au puits. De plus, ce type de déversoir se situe
entièrement en dehors du barrage, ce qui est particulièrement intéressant dans le cas d’une digue. Le choix
définitif du type de déversoir dépend pourtant aussi d’autres facteurs, importants pour la construction
d’un tel ouvrage, comme par exemple les conditions topographiques et géologiques.
Pour les déversoirs à crête rectiligne, l’écoulement est pratiquement à deux dimensions (écoulement
plan). Les déversoirs à crête non rectiligne, par contre, provoquent un écoulement spatial. Dans ce qui
suit nous nous occuperons surtout du déversoir circulaire à crête fixe standardisée et du déversoir en ligne
brisée (fig. 7.1). Le premier est normalement suivi d’un puits vertical et d’une galerie horizontale tandis
que le second déverse les eaux dans un canal découvert.
Fig. 7.1 Types de déversoirs à crête non rectiligne: a) à crête circulaire, b) à crête polygonale.
L’accent sera mis sur la définition géométrique de telles structures et sur la relation qui existe entre
la charge sur le déversoir et le débit. Des questions relatives à l’entraînement d’air et à l’aération forcée
de l’écoulement dans le puits complètent les informations nécessaires pour le dimensionnement d’évacua-
teurs en tulipe. Les procédures de dimensionnement seront également présentées.
7.2	Déversoir à crête circulaire
7.2.1 Fonctionnement
Le déversoir à crête circulaire nécessite une évacuation des eaux bien différente de celle du déversoir
à crête rectiligne. En effet, l’évacuateur en tulipe («moming glory spillway») provoque tout d’abord un
écoulement vertical, comme le montre la figure 7.2. Pour le débit de dimensionnement, la lame d’eau
déversante reste collée à la paroi du puits en laissant le noyau libre pour la circulation de l’air. Ainsi le
débit est contrôlé par le déversoir (écoulement dénoyé). Etant donné la vitesse importante de cette lame
d’eau, l’écoulement peut entraîner une quantité d’air considérable. L’air entraîné et l’air s’écoulant dans
le noyau doivent être dérivés dans la galerie sans perturber l’écoulement de l’eau. Pour garantir un
écoulement à surface libre dans l’ensemble de l’évacuateur, des dispositifs d’aération sont placés à l’entrée
du coude. A l’aval du coude, situé au pied du puits, l’eau s’écoule à surface libre dans une galerie plus
ou moins inclinée. La dissipation de l’énergie s’effectue par frottement dans le puits vertical et dans la
DÉVERSOIRS À CRÊTE NON RECTILIGNE
169
Fig. 7.2 Evacuateurs de crue, avec déversoirs à crête: a) circulaire et b) rectiligne.
galerie et encore dans un ouvrage de dissipation d’énergie particulier placé à l’aval de la galerie. On ne
traitera dans ce chapitre que le déversoir et le puits, en se référant aux ouvrages de dissipation
(chap. 16-17) et au problème d’aération dans la galerie (chap. 19).
L’écoulement par-dessus le déversoir circulaire doit être guidé en direction radiale au moyen de piliers
(chap. 6) placés sur le pourtour du déversoir (fig. 7.1). Sans ces dispositions particulières un écoulement
rotationnel (comme dans une baignoire) peut s’établir, ce qui provoquerait une diminution de la capacité,
dès instabilités d’écoulement et des vibrations dangereuses de l’ouvrage. On peut considérer que l’écoule-
ment radial présente une symétrie de rotation.
7.2.2 Géométrie du déversoir circulaire standard
Lors de la définition de la géométrie d’un déversoir circulaire à crête arrondie, on considère, comme
cela a déjà été discuté pour le déversoir à crête rectiligne (chap. 6), le déversoir circulaire en paroi mince.
Ce dernier correspond à un tube vertical de rayon R, dont l’extrémité amont possède une mince paroi
(fig. 7.3). L’origine O du système des coordonnées (x, z) est placée à la crête de ce déversoir. Toutes les
quantités se référant à cette origine sont surmontées d’une barre: la charge sur ce déversoir est donc H.
Fig. 7.3 Définition de la géométrie du déversoir circulaire en mince paroi.
170
DÉVERSOIRS ET VANNES
La nappe inférieure du jet présente un maximum dont les coordonnées sont (xo, zo). En plaçant un
nouveau système de coordonnées (x, z) en ce point, et en supprimant les barres pour toutes les quantités
se référant à ce nouveau système, on obtient H = H — zo pour la charge et R = R—xo pour le rayon. Des
essais sur modèle réduit fournissent les relations suivantes [7.8]
X„ = 0,144 +
H/R _
Z„ = 0,055 + 0.03H/R
(7.1)
où Xo=xo/H et Zo=zo/H. Le tronçon amont de la nappe inférieure peut être représenté par un arc
circulaire de rayon
Ï/ÏT =	, 0 < X < Xc
2\ Zo J
(7-2)
et le tronçon aval, en bonne approximation,
z/H = 0,608 (x/ïï)1,80	(7.3)
où H est la charge de dimensionnement par rapport à l’origine O. De plus, Lazzari [7.9] trouve comme
relation expérimentale entre H et la charge de dimensionnement HD
Hd/H = 0,946 - 0,03H/R.	(7.4)
Une fois H et R déterminés, le profil standard du déversoir circulaire est entièrement défini.
7.2.3 Ecoulement dénoyé
Lors du développement historique du déversoir circulaire, ce sont les déversoirs en mince paroi qui
ont servi de base aux déversoirs à crête arrondie. Comme pour le déversoir rectiligne, il existe, pour une
charge H=HD, une géométrie unique de la crête pour laquelle la pression au fond devient égale à la
pression atmosphérique. A cette charge particulière HD, correspond une autre charge unique
H=ÏÏD=Hd -1- zo sur le déversoir circulaire en mince paroi, qui servira de base pour les calculs ultérieurs.
Le débit Q en fonction de la charge H par rapport à la crête du déversoir circulaire en mince paroi
(fig. 7.3) s’exprime par
Q = Cd2nKV2iH3'2,	(7.5)
Cd étant le coefficient du débit. Cd dépend évidemment de la géométrie du déversoir, HD/R, et de la charge
normalisée, H/HD. Pour H/HD=1 Lazzari [7.8] trouve
Cdl = 0,371 (Hd/R)-°’°5 .	(7.6)
L’équation (7.6) amène un débit presque identique à celui calculé par la formule de White-McPherson
[7.12].
Comme le montre la figure 7.4, dansjaquelleje rapport entre Cd/Cdl et H/HD est représenté selon
les essais de Lazzari, on peut poser Cd/Cdl = (H/HD)1/5, donc
Cd = 0,371 [(R/Hd) • (H/HD)4]1/20,	(7.7)
expression vérifiée sur modèle réduit dans les domaines 0,1 ^Hd/R^0,4 et 0,4^H/Hd^ 1,85.
DÉVERSOIRS À CRÊTE NON RECTILIGNE
171
Fig. 7.4 Coefficient de débit Cd/Cn, en fonction de H/HD.
Les indications ci-dessus se réfèrent à la charge de dimensionnement HD au lieu de HD, et sur R au
lieu de R. Afin d’obtenir une relation entre les quantités se référant à la crête arrondie, on écrit
Q = Cd2nR,/2gH’/2	(7.8)
au lieu de l’équation (7.5). Pour le débit de dimensionnement QD, donc H = HD, on obtient [7.9]
Qd —
Qd
__________	0,0587
= 1*0,946 _ sq
L HdJ
—(Hd/Hd)5'2
(7.9)
Cette relation est représentée dans la figure 7.5. On constate que qD ‘(HD/HD=0,946) = 0 et que la courbe
obtenue est presque rectiligne. Par conséquent, on peut poser qp1=0,2074—11,60(HD/HD—0,928) ou
Hd = U,7qp
Hd ll,06qD - 1 ’
(7-10)
Une fois QD et HD donnés, on calcule qD; la valeur HD/HD est donnée par la figure 7.5 et on peut
donc calculer HD. L’équation (7.4) fournit ensuite le rayon R, et à l’aide des équations (7.1), on trouve
xo et zo.
Fig. 7.5 Débit relatif qD’= V^HdVQd, fonction de la charge relative HD/HD selon l’équation (7.9).
172
DÉVERSOIRS ET VANNES
Exemple 7.1
Soit Qd= lOOm’s-1 et HD= 1,2m. Quelle est la géométrie d'un déversoir circulaire standard?
Avec qD= 100/[(19,62)l/2l,2s/2]= 14,3 l’équation (7.10) donne HD/HD= 1,065, donc HD= 1,277m. Avec
n=Hp, l’équation (7.4) indique HD/R=[0,946 — HD/nD]/0,03 = 0,235, expression qui est compatible avec
0,1 <Hd/R<0,4. Le rayon K du déversoir circulaire en mince paroi correspondant devient R = 5,44m. Les
équations (7.1) donnent xo=(0,144+0,011 -5,44/1,277)- 1,277 = 0,24m et ^=(0,055+0,03- 1,277/5,44)-
1,277=0,08m. Le profil du fond se calcule alors au moyen des équations (7.2) et (7.3).
Exemple 7.2
Quelle est la charge H si le débit s’élève à Q = 150m3s-1 et la géométrie du déversoir circulaire est celle
de l’exemple 7.1?
Avec Hq/R^ 1,277/5,44=0,235 l’équation (7.6) donne Cdl = O,371 • (0,235)~005=0,399. L’équation (7.5)
peut également être exprimée par
Q = üdl2xR72g.H'^H^,	(7.11)
d’où H=(150/[0,399 • 2n • 5,44 • (19,62)1/2(l,277)_|/5])10/n= 1,75m. Finalement, on tire pour H=H-zo =
1,75-0,08 = 1,67m.
Pour H/Hd= 1, la pression à la crête du déversoir est pratiquement égale à la pression atmosphérique.
La figure 7.6 montre la répartition de pression pf normalisée par (pgHD). Le profil de surface pour divers
Fig. 7.6 (•••) Répartition de pression relative_P=pf/(pgHD) «£(—) profil de_surface avec X = x/HD, Z=z/HD et HD/R=0,2 [7.9).
a) H/Hd=0,86; b) H/Hd=1,00; c) H/HD=1,13.
rapports H/HD est également représenté dans_cette figure. On constate que, pour H/HD = 1, pf/
(pgHD) = + 0,04 à la crête du déversoir. Avec HD/R = 0,2, il résulte de l’équation (7.4) HD=0,94HD, d’où
pf/(pgHD)= + 0,042 >0. On se trouve donc du côté de la sécurité par rapport aux sous-pressions le long
du profil de la crête. La valeur P(X=0)=0 est atteinte lorsque H/HD=1,13 [7.9].
D’autres approches pour le calcul du débit en fonction de la charge ont été présentées par Faure et
Pugnet [7.3], Marchi et Rubatta [7.10] et par le «United States, Corps of Engineers» (USCE) [7.11], Ces
derniers donnent la géométrie du déversoir circulaire pour diverses valeurs de w/R et H/R, w étant la
DÉVERSOIRS À CRÊTE NON RECTILIGNE
173
hauteur du déversoir. L’application de ces données est indiquée pour la définition finale de la géométrie
de la crête. Le tableau 7.1 représente leurs propositions pour w/R^2. L'origine des coordonnées
Tableau 7.1 Equations du fond d’un déversoir circulaire standard selon [7.11], w/K > 2.
Hd/R x0/Hd	Zo/HD	Amont	Aval
0,2	-0,237	0,1035	X = -0,635 • Z0-410, X >	• -0,190 Z = 0,610  X'85,	x
0,3	-0,209	0,0893	X = -0,568 • Z0’397, X >	► -0,166 Z = 0,685  X, M + 9 • 10"6 - X,s-6, X
0,4	-0,174	0,0764	X = -0,538 - Z0-424, X >	► -0,145 Z = 0,830 • X'85 + 0,035- X12’2, X
< 3,20
< 2,25
(X,Z) = (0,0) est placée à la crête du déversoir arrondi, et X = x/HD, Z=z/HD sont les coordonnées
adimensionnelles de la crête du déversoir selon la figure 7.3. On constate que la partie aval de la crête
est presque identique à celle de l’équation (6.6).
7.2.4 Ecoulement noyé
La figure 7.7 représente les deux cas d’écoulement types, c’est-à-dire l’écoulement dénoyé (qui vient
d’être analysé) et l’écoulement noyé. Entre ces deux types se trouve une zone de transition.
Fig. 7.7 Fonctionnement d’un déversoir circulaire sous la variation du débit Q, a) coupe transversale, b) relation débit-charge.
I écoulement dénoyé, II écoulement transitoire, III écoulement complètement noyé. Dispositif d’aération forcé modifié.
Comme on l’a vu sous 7.2.3, l’écoulement dénoyé est caractérisé par Q~H3/2, H étant la charge sur
le déversoir. Si le débit est continuellement augmenté, une submersion complète du déversoir s’établit
finalement (fig. 7.7a). C’est alors le puits qui contrôle le débit. Pour que l’écoulement dans le coude et
dans la conduite horizontale ne puisse jamais se mettre en charge (créant ainsi des sous-pressions et des
vibrations) il faut garantir un écoulement aval à surface libre par Vaération forcée (voir 7.2.6).
174
DÉVERSOIRS ET VANNES
Comme cela a déjà été constaté, il faut veiller à ce que l’écoulement correspondant au débit de
dimensionnement soit dénoyé. Cependant, pour des crues exceptionnelles, le débit peut être si élevé que
le système déversoir-puits se mette en charge et que l’écoulement soit noyé. Dans ce cas, l’équation de
Bernoulli généralisée s’applique entre la surface libre du déversoir et l’étranglement à l’amont du coude.
Avec Zp comme hauteur du puits (fig. 7.7), le débit devient (chap. 3)
Q = nR£[2g(H+Zp)/(l +Si)],/2	(7.12)
où Ro est le rayon de la conduite contractée, et JX la somme des coefficients de pertes de charge le long
du tronçon considéré.
La combinaison de l’équation (7.8), écrite par rapport à la crête du déversoir standard, et de
l’équation (7.12) entraîne, pour la charge de transition H = Ht entre l’écoulement dénoyé et noyé, la
relation
2CdRH?'2 = RjKH,+zp)/(l +2X)],/2 ;	(7.13)
cette équation du troisième degré permet de calculer Ht>0, et donc Qt=Q(Ht).
Lors de la conception de l’évacuateur de crue, il faut donc veiller à ce que le débit de dimensionnement
Qd soit inférieur au débit Qt, pour lequel le système s’engorge. Ceci peut être réalisé par
-	une faible charge H = HD par rapport au rayon R du déversoir et
-	un rayon de puits Rp et un rayon de la sortie Ro suffisamment grands par rapport à R.
7.2.5 Entraînement d’air
L’entraînement d’air dans le puits vertical d’un déversoir circulaire peut être important; sous
certaines conditions d’écoulement, il se forme même des courants d’air en sens inverse, conduisant à des
expulsions d’air [7.11]. De plus, l’air entraîné par l’écoulement dans le puits doit être évacué, une fois que
l’écoulement bi-phasique s’établit dans la galerie (fig. 7.11).
Le débit d’air entraîné dans le puits par l’écoulement dépend fortement du type d’écoulement. Si
celui-ci est contrôlé par le déversoir (Q~H3/2), l’entraînement d’air est dû en premier lieu à l’action de
la turbulence à l’interface eau-air (région I de la figure 7.8) [7.5]. En augmentant le débit sur le déversoir,
Fig. 7.8 Entraînement d’air Q„ a) relation entre le débit d’eau Qe et la charge, b) relation entre le débit d’air Q, et la charge (schématisé).
la lame d’eau déversante peut fermer entièrement le puits, ce qui correspond à la limite supérieure de la
région 11. Cette situation est caractérisée par un ressaut annulaire à l’entrée du puits. Une fois le déversoir
complètement noyé, il n’y a plus d’air entraîné par le puits (région III) (fig. 7.7).
DÉVERSOIRS À CRÊTE NON RECTILIGNE
175
La connaissance de l’entraînement d’air est particulièrement importante pour l’écoulement qui se
trouve dans la région I. En effet, dans la condition normale d’écoulement, l’eau coule le long du périmètre
du puits et libère un anneau central d’air (fig. 7.9a). Ce type d’écoulement peut être comparé au coursier
Fig. 7.9 Mécanisme d’entraînement d’air dans le puits, région I, a) vue d’ensemble, b) détail de l’écoulement.
(chap. 13) sauf que la direction d’écoulement est maintenant verticale. Les indications suivantes se
réfèrent à Hack [7.5], qui démontre que le débit d’air entraîné Qa par un puits vertical (à écoulement
d’approche radial) ne dépend que du nombre de Froude local de l’écoulement d’eau pure (index «e»)
F = Fe = Ve/(ghe)w	(7.14)
et de la concentration moyenne d’air Ca dans une section. La seconde quantité peut être représentée par
ca = [1 + 4(1 - expIKdt'’-F4'3)])-']-'	(7.15)
où K tient compte des effets de rugosité. Fo correspond au nombre de Froude où Ca=0. Si E = kg/(4h)
caractérise la rugosité relative (chap. 2) et h est la hauteur d’eau locale (fig. 7.9b), on peut poser
K = 1,8e + 0,0108 .	(7.16)
On constate ainsi que Ca augmente avec K et avec (F—Fo).
La figure 7.10 représente Ca en fonction de (F—Fo) pour des modèles réduits, hydrauliquement lisse
et rugueux, respectivement. En tenant compte d’une valeur de rugosité de K= 85m1/3s-1, donc
kg = 7,6 • 10 ~4m selon l’équation (2.29), et avec la valeur typique h = 1m pour la hauteur d’eau, l’équation
(7.16) amène K = 0,011.
Le rapport du débit d’air total Qat au débit d’eau pure Qe,
P = Qat/Qe	(7-17)
ne dépend que de la concentration d’air moyenne Ca et se calcule par [7.5]
P = 0,35 + 16,09Ca88	(7.18)
176
DÉVERSOIRS ET VANNES
Pour Ca=0, donc des puits trop courts pour entraîner de l’air dans l’écoulement d’eau, l’écoulement d’air
se manifeste uniquement dans le noyau central en raison des frottements à l’interface eau-air. Cependant,
le nombre de Froude limite
F»
(7.19)
avec V|=V(h=ht), est atteint à l’endroit où la hauteur d’eau h —ht est égale à l’épaisseur de la couche
limite 5 — 8j.
Fig. 7.10 Concentration d*air moyenne C,, fonction de (Fo —F) pour des écoulements hydrauliquement (—) lisse (K = 0,011) et
(------------------------------------------------) rugueux, (K=0,022) [7.5].
Hack [7.5] présente un calcul complet pour la recherche du point où l'aération superficielle commence.
Ce calcul, d’où sort Fo, est analogue à celui présenté au chapitre 13 pour les coursiers. Fo croît avec le
débit Qe et est typiquement compris entre 8<F0< 14.
Le débit d’air entraîné par l’écoulement se calcule par
Qae/Qe =	•	(7.20)
Le débit d’air transporté par le noyau Qan est donc la différence entre Qat—Qæ selon les équations
(7.17) et (7.20).
7.2.6 Aération de l’écoulement aval
Une fois que l’écoulement a dépassé le coude, des pressions dynamiques importantes agissent sur sa
paroi extérieure. Si le rayon de courbure du coude R^. est trop petit, l’écoulement se sépare de la paroi
intérieure et peut ainsi créer une obturation brusque de la section. Ce phénomène conduit à des vibrations
qui peuvent endommager la structure. Selon Bretschneider [7.1], R^. doit être plus grand que 6Rp.
L’aération de l’écoulement à l’aval du coude est réalisée par une conduite d’aération qui débouche à
hauteur du rétrécissement du puits, situé à l’amont du coude. La figure 7.11 en montre des détails. Pour
garantir des conditions d’écoulement d’eau et d’air bien définies, un changement brusque termine le puits.
La conduite d’air est souvent incorporée dans le puits, surtout pour des hauteurs de chute importantes
(hp> 20m). La section de telles conduites varie généralement entre 1m2 et 2,5m2. Actuellement, il n’existe
pas encore de moyens pour déterminer d’une manière précise le débit d’air nécessaire à introduire dans
l’écoulement.
DÉVERSOIRS À CRÊTE NON RECTILIGNE
177
Fig. 7.11 Entrée de la conduite d’air dans le puits [7.2].
7.2.7 Dimensionnement
Un évacuateur en puits consiste en un déversoir circulaire, un puits vertical proprement dit, un coude,
une galerie à écoulement découvert et un dissipateur d’énergie aval.
Le dimensionnement du déversoir se base sur F écoulement dénoyé. Pour les structures types la charge
amont HD devrait être plus petite que HD= 1m. Les hauteurs maximales de la crête du déversoir jusqu’au
pied du coude sont comprises entre 50m et 60m. Des déversoirs de capacité plus importante ont été
réalisés dans lesquels QD se situe autour de 1500m3s-1. Comparée aux déversoirs circulaires plus petits
(comme indiqué ci-dessus), la charge amont et les diamètres de la crête du déversoir et du puits sont
évidemment plus grands. Pour des ouvrages de telles tailles, des essais sur modèles.réduits sont indiqués.
De nombreux évacuateurs réalisés présentent un diamètre de puits compris entre 3m et 4m pour des
débits de dimensionnement inférieurs à 125m3s-1 [7.1]. La relation entre le rayon de la crête du déversoir
R et celui du puits Rp peut s’exprimer par la relation approchée Rp[m]= 1+0,lR[m]. Le diamètre
178
DÉVERSOIRS ET VANNES
minimal du puits 2Rp est de l’ordre de 3m pour que des corps flottants puissent être évacués sans
problèmes. Le rayon moyen du coude est de l’ordre de R^ôRp.
7.3 Déversoir labyrinthe
7.3.1 Description de l’écoulement
Pour augmenter la longueur d’une crête déversante, normalement rectiligne (chap. 6), on peut leur
donner une forme polygonale en plan. La figure 7.12 représente un tel déversoir, dit déversoir labyrinthe
Fig. 7.12 Géométrie et configuration d’écoulement du déversoir labyrinthe, a) plan, b) coupe longitudinale.
(«labyrinth weir», «Labyrinthwehr», «stramazzo a zig zag»). L’avantage du déversoir labyrinthe, com-
paré au déversoir à crête rectiligne, est une capacité de débit augmentée pour des charges faibles, de
l’ordre de 1m. Cette structure est .donc inappropriée pour des débits importants.
On considère un élément de base de largeur p d’un déversoir labyrinthe et de longueur déversante
L=4a + 2b (fig. 7.12a). L’eau déverse d’abord par-dessus les sections amont, de largeur (2a), diminuant
ainsi la hauteur d’eau. Entre les parois longitudinales de longueur b du déversoir, l’écoulement peut être
comparé à celui d’un déversoir latéral (chap. 9); le profil de surface d’eau croît donc pour un écoulement
fluvial le long du chemin parcouru. Finalement, il existe un déversement perpendiculaire par-dessus
l’extrémité aval du déversoir labyrinthe de largeur 2a. La figure 7.12b) représente les profils de surface
schématisés correspondants.
Du point de vue performance et construction, le déversoir labyrinthe à crête trapézoïdale en plan est
un optimum [7.6]. La géométrie d’un tel déversoir est complètement définie par le rapport caractérisant
l’augmentation de la largeur L/p, l’angle Ç (fig. 7.12a), le nombre d’éléments de base n et la hauteur
relative du déversoir p/w. Par conséquent, la performance q* du déversoir, définie comme le rapport entre
le débit du déversoir labyrinthe et celui du déversoir rectiligne q* = QL/QR, dépend de L/p, Ç, n, p/w, et
H/w, H étant la charge sur le déversoir.
L’effet de H/w sur q* peut se résumer comme suit: pour H/w< 1, l’effet du déversoir labyrinthe est
maximal, donc q*-+q*ax = L/p. Cependant, q* décroît lorsque H/w croît. Une augmentation du rapport
L/p diminue la performance d’un déversoir labyrinthe. Suite à des considérations statiques, ce paramètre
devrait se situer entre 2^ L/p^8.
DÉVERSOIRS À CRÊTE NON RECTILIGNE
179
L’angle Ç peut varier entre zéro (forme rectangulaire en plan) jusqu’à un maximum qui conduit à une
forme triangulaire en plan. Comme cela a été démontré par Hay et Taylor [7.6], la dernière configuration
conduit au maximum de la performance en q*. Par contre, pour cette géométrie, les différents jets se
croisent et peuvent, sous certaines conditions, également conduire à une réduction de q*.
Les grandes valeurs du paramètre p/w n’influencent pas la performance d’un déversoir labyrinthe.
Par contre, pour des petites valeurs de p/w, la structure de l’écoulement est modifiée. A la limite, pour
p/w->0, où w reste fini, la longueur L tend vers 4a, donc q* = 1. Finalement, le nombre n d’éléments de
base n’a pas d’influence sur q*.
Dans ce qui suit, le déversoir labyrinthe complètement aéré sans submersion aval (hauteur d’eau aval
inférieure à la crête du déversoir) sera considéré. La crête du déversoir est toujours en mince paroi.
7.3.2 Dimensionnement du déversoir labyrinthe
Hay et Taylor [7.6] recommandent les principes de dimensionnement suivants:
-	Si l’on envisage une charge relative H/w<0,5, on ne devrait pas dépasser la valeur L/p=4.
-	Le paramètre p/w devrait être supérieur à 2 pour les déversoirs trapézoïdaux en plan, et supérieur
à 2,5 pour les déversoirs triangulaires en plan. Pour H/w<0,25, et pour une grande hauteur du
déversoir w, le rapport p/w < 2 est encore acceptable.
-	L’effet de Ç sur q* est important. Le maximum de q* est atteint pour le déversoir labyrinthe
triangulaire.
Le dimensionnement peut être fait en suivant la démarche décrite ci-après:
1)	Détermination de la hauteur du déversoir w, et de la largeur du déversoir B = n • p selon les conditions
du site.
2)	Définition de la charge maximale, Hmax, et du débit maximal, Qmax = Ql-
3)	Avec w et B donnés, on détermine le débit QR maximal sous la charge Hmax d’un déversoir en mince
paroi rectiligne (chap. 6.2).
4)	Calcul de q* = (Ql/Qr) qui correspond à Hmax/w.
5)	Avec (H/w et q*) donnés, la figure 7.13 permet de déterminer l’augmentation de longueur L/p.
Une fois L/p trouvé, le plan du déversoir labyrinthe peut être établi. Les détails seront présentés dans
l’exemple 7.3.
Exemple 7.3
Soit Q = 76m3s-1 sous une charge amont de H = 1,0m pour une largeur B= 15m. Quelle est la géométrie
du déversoir labyrinthe?
1)	Avec w = 2,5m et B=15m, 2) 14^= 1,0m et Qmax = 76m3s~‘, 3) on obtient selon l’équation (6.3)
Cd=0,4023(1 +0,135 • 1/2,5)(1 + 0,001 l/l)3/2=0,425, donc Q = QR=0,425 - 15(19,62)*'2 • l,03/2 = 28,2m3s~’.
4)	Le rapport q* devient alors q*=76/28,2 = 2,7. 5) Avec (H/w;q*) = (0,40;2,7) la figure 7.10a) donne
L/p = 2,9.
Avec a=0 (plan triangulaire) on obtient pour L = 2b, donc Ç = arcsin[p/(2b)] = arcsin[p/L] =
arcsin(2,9~*) = 20°. Parce que p/w devrait être plus grand que 2.5, on met p=7,5m, d’où L = 7,5 • 2,9 =
21,75m, donc b=L/2= 11,4m.
Hay et Taylor [7.6] présentent également un graphique de dimensionnement pour des déversoirs
trapézoïdaux en plan, valable pour p/w >2 et Ç = (3/4)Çmax (fig. 7.13b). D’autres indications sur de telles
structures sont présentées par Gentilini [7.4], Indlekofer et Rouvé [7.7].
180
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 7.13 Dimensionnement du déversoir labyrinthe a) triangulaire en plan, p/w>2,5; b) trapézoïdal en plan, p/w>2,0;
Ç = (3/4K»„.
Références
[7.1]	Bretschneider, H., «Kreisformige Fallschâchte fur die Hochwasserentlastung bei Talsperren», Wasser-
wirtschaft, Vol. 70, 1980, 88-93.
[7.2]	Bretschneider, H., Krause, D., «Die Modellversuche fur die Hochwasserentlastungsanlage der Innerste-
Talsperre im Harz», Inst, fur Wasserbau und Wasserwirtschaft, TU Berlin, Mitteilung, Vol. 62, éd.
H. Press, Berlin, 1965.
[7.3]	Faure, J., Pugnet, L., Etude d’alimentation d’un évacuateur en puits, VI Convegno di Idraulica, B6, 1-7,
-	Padova, 1959.
[7.4]	Gentilini, B., «Stramazzi con cresta a pianta obliqua e a zig-zag», L’Energia Elettrica, Vol. 18, 1941,
653-664.
[7.5]	Hack, H.-P. «Lufteinzug in Fallschâchten mit ringformiger Strômung durch turbulente Diffusion»,
Versuchsanstalt fûr Wasserbau, TU München - Oskar v. Miller Institut -, Bericht, Vol. 36, éd. F. Hartung,
Mûnchen/Obemach, 1977.
[7.6]	Hay, N., Taylor, G., «Performance and design of labyrinth weirs», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division
Vol. 96, HY11, 1970, 2337-2357; Vol. 97, HY8, 1971, 1246-1251; Vol. 98, HY4, 1972, 708-711.
[7.7]	Indlekofer, H., RouvÉ, G., «Discharge over polygonal weirs», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division
Vol. 101, HY3, 1975, 385-401.
[7.8]	Lazzari, E., «Ri ce rca sperimentale sullo sfioratore a pianta circolare», L’Energia Elettrica, Vol. 31,1954
838-849.
[7.9]	Lazzari, E., «Ricerca sperimentale sugli sfioratori a calice», L’Energia Elettrica, Vol. 36, 1959, 641-651
[7.10]	Marchi, E., Rubatta, A., Ricerca sperimentale sugli sfioratori a calice, VI Convegno di Idraulica, B9, 1-8
Padova, 1959.
[7.11]	US Army, Corps of Engineers, Hydraulic design criteria, sheets 140-1 to 140-8, Engineer Waterway
Experiment Station, Vicksburg, Mi., diverses années de révisions.
[7.12]	Whtte, M.W., McPherson, M.B., discussion à «Détermination of pressure-controlled profiles», de W.E
Wagner, Trans. ASCE, Vol. 121, 1956, 345-384.
DÉVERSOIRS À CRÊTE NON RECTILIGNE
181
Notations
Divers symboles peuvent apparaître, surmontés d’une barre ou non et se réfèrent aux déversoirs circulaires en
mince paroi et à crête arrondie respectivement. L’indice «o» se rapporte au point maximal de la nappe inferieure. Les
indices «a», «e» et «b», caractérisent respectivement des quantités relatives à l’air, à l’eau pure et à la somme des deux.
L’indice «1» indique la limite du paramètre considéré.
a	[m]	partie de la largeur du déversoir labyrinthe	Ql Qr	[m’s-] [m’s-]	débit du déversoir labyrinthe débit du déversoir rectiligne
b	[m]	partie de la longueur du déversoir	Q.	[m’s-]	débit transitoire
		labyrinthe	r	[m]	rayon de courbure
B	[m]	largeur totale du déversoir laby*	R	[m]	rayon de la crête du déversoir circu-
		rinthe			laire
C	[-1	concentration moyenne	Rc	[m]	rayon du coude
Ca	[-]	coefficient de débit	R»	[m]	rayon de la section rétrécie
F	(-]	nombre de Froude	R„	[m]	rayon du puits
F *o	[-]	nombre de Froude au début de	s	[m]	coordonnée curvilinéaire
		l’aération superficielle	V	[ms *]	vitesse moyenne
8	[ms-2]	accélération gravitationnelle	w	[m]	hauteur du déversoir
h	[m]	hauteur d’eau	X	[m]	coordonnée horizontale
H	[m]	charge	Xo	[m]	distance horizontale entre les ori-
hd	[m]	charge de dimensionnement			gines des déversoirs circulaires en
H.	[m]	charge de transition			mince paroi et à crête arrondie
K	[m]	rugosité équivalente de sable	X	[-]	coordonnée horizontale adimen-
K	[m,/3s—]	coefficient de rugosité			sionnelle
K	[-]	paramètre de rugosité	z	[m]	coordonnée verticale
L	[m]	longueur d’un élément de base	Zo	[m]	distance verticale entre les origines
n	[-]	nombre d’éléments de base			des déversoirs circulaires en mince
0	l-l	origine			paroi et à crête arrondie
P	[m]	largeur de base du déversoir laby-	Zp	[m]	hauteur du puits
		rinthe	Z	[-]	coordonnée verticale adimension-
Pr	[Nm'2]	pression de fond			nelle
P	[-]	pression de fond adimensionnelle	P	[-1	rapport entre le débit d’air total
q*	[-1	performance d’un déversoir laby-			entraîné et le débit d’eau pure
		rinthe	S	[m]	épaisseur de la couche limite
Q	[m’s-1]	débit	E	[-1	rugosité relative
Q«	[m’s—]	débit d’air entraîné par l’écoule-	P	[kgm	3] masse volumique
		ment	Ç	[-1	coefficient de perte de charge
Qan	[m’s-]	débit d’air dans le noyau	C	[-1	angle polygonal
Qd	[m’s-]	débit de dimensionnement			
8.	Déversoirs contrôlés par des vannes
Ecoulement contrôlé par une vanne secteur, effet de l’ouverture relative de la vanne Z, pour H/HD = 1 et (Xt,Zt,R) = (3,84;l, 55;4,02).
a) Z( = 0,79; b) Z( = 0,60; c) Z, = 0,50; d) Z, = 0,40; e) Z( = 0,31; 0 Z, = 0,275.
184
DÉVERSOIRS ET VANNES
8.1	Introduction
Une vanne est un organe mobile, permettant de modifier localement la section d’écoulement, de la
fermeture à l’ouverture complète. Un tel organe permet de régler la hauteur d’eau amont à un niveau
désiré. Une vanne sépare donc deux tronçons bien distincts, c’est-à-dire les tronçons amont et aval. Les
forces agissant sur une vanne sont transmises sur des piliers et les parois adjacentes à la vanne.
L’impulsion nécessaire pour le mouvement d’une vanne peut être soit fixe, soit variable en position.
Selon le type de vanne, le mouvement de l’organe est glissant, roulant ou tournant. La vanne peut être
appuyée latéralement sur des rails, des rouleaux ou des crémaillères. Elle est logée dans des niches ou
tourne autour d’un axe de rotation.
Les déversoirs non équipés d’organes de fermeture présentent le désavantage de ne pas être réglables.
L’évacuation de l’eau nécessite donc une surélévation du niveau amont. Pour parer à une telle situation,
on fait souvent appel à des organes de fermeture mobiles installés sur les déversoirs. Une telle disposition
permet l’évacuation d’eau sous un niveau amont constant ou même un rabattement de ce niveau si
l’apport est inférieur au débit sortant. Par contre, ces organes nécessitent un entretien permanent et font
très souvent appel à une source d’énergie pour les manœuvres, ce qui présente un certain risque lors du
passage des crues. Des dispositions particulières pour garantir l’évacuation des débits exceptionnels sont
donc indispensables.
On distingue principalement deux types d’organes mobiles selon qu’ils sont prévus pour les aménage-
ments hydro-électriques (vanne de déversoir, vanne de prise, vanne de fond, vanne turbine, etc.) ou pour
des cours d’eau (écluse, vanne de canaux découverts). La figure 8.1 représente une vanne de déversoir
constituée d’une vanne secteur sur un déversoir standard. Elle permet de libérer complètement la section
de passage.
Une autre catégorie d’organes faisant l’objet de larges applications est constituée par les clapets dont
quelques types sont représentés dans la figure 8.2. Ces clapets nécessitent une force qui les maintient en
position fermée. L’ouverture en cas d’urgence est donc possible sans apport d’énergie, mais un risque
d’ouverture intempestive existe.
Une troisième catégorie d’organes, utilisés surtout dans les aménagements à basse chute (barrage
mobile) est représenté dans la figure 83. Les vannes de cette catégorie permettent l’écoulement de l’eau
- sur la vanne,
- sous la vanne,
-	par une combinaison des cas précédents.
L’exigence principale pour toutes les vannes est l’étanchéité en position de fermeture complète. En
outre, une vanne doit être capable de résister, dans chaque position, aux forces statiques et dynamiques
dues à l’eau et de rester sans vibrer dans la position exigée. Normalement, on demande au constructeur
de la vanne que celle-ci soit en mesure [8.21]
-	de maintenir le niveau amont pour une gamme de débits prescrite,
-	de garantir la sécurité de fonctionnement par un service simple et sûr,
-	d’entraîner des frais d’entretien minimaux,
-	de s’incorporer discrètement dans le paysage.
Etant donné la diversité des géométries des vannes et clapets, on ne considérera par la suite que
quelques types d’organes d’utilisation courante. Il s’agit notamment de la vanne plane verticale ou
inclinée, de la vanne secteur sur fond presque horizontal ou sur déversoir standard, ainsi que du clapet
cylindrique.
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
185
Fig. 8.1 Vanne secteur sur déversoir à crête arrondie.
8.2	Fonctionnement d’une vanne
8.2.1 Description de récoulement
La figure 8.4 représente la géométrie d'une vanne plane verticale à hauteur d’ouverture (a) sur un
radier horizontal. A proximité de la vanne, l’écoulement peut être considéré comme un phénomène local.
La charge H reste donc localement constante. A un débit Q correspond une hauteur d’eau amont ht. La
vanne constitue une discontinuité dans le canal. L’écoulement ne suit pas le contour de la vanne, mais
s’en sépare. Il existe donc une zone d’écoulement principal et, à l’amont de la vanne, une zone de
séparation. Les vitesses dans la première zone sont beaucoup plus faibles que dans la deuxième. Par
conséquent, la surface située au-dessus de la zone de séparation monte en direction de la vanne, la
hauteur maximale étant égale à la charge H (point de stagnation). Une étude détaillée de cette zone a
été effectuée par Rajaratnam et Humphries [8.18]. L’effet du rayon de courbure de l’arête inférieure de
la vanne sur l’écoulement est décrit par Keutner [8.9], [8.10].
A l’aval de la vanne, l’écoulement se contracte depuis la hauteur d’ouverture de la vanne (a) jusqu’à
la hauteur aval h2 = Cca, Cc étant le coefficient de contraction. A l’amont et à l’aval de la vanne, les lignes
de courant sont parallèles, mais elles sont considérablement inclinées et courbées près de la vanne. Ce
fait nécessite une analyse de l’écoulement par des moyens hydrodynamiques.
186
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 8.2 Divers types de clapets [8.13].
La figure 8.4 représente également la ligne de pression au fond; la répartition de la pression sur le
parement amont de la vanne est montrée dans la figure 8.10. On constate que, comparativement à la
répartition hydrostatique des pressions, il existe une zone de sous-pression à l’amont et une zone de
surpression à l’aval de la vanne. Ce fait découle de la courbure des lignes de courant (chap. 1). La
répartition de la pression sur la vanne est caractérisée par la pression atmosphérique qui s’exerce sur les
deux surfaces libres, notamment au point de stagnation et sur l’arête inférieure de la vanne. La répartition
entre ces deux points est tout d’abord presque hydrostatique à cause de la présence de la zone de
séparation, mais se trouve modifiée près de l’arête inférieure de la vanne.
Ce type d’écoulement s’établit qualitativement pour tous les types de vannes. Des modifications en
ce qui concerne le débit, la répartition des pressions et le profil de surface interviennent à cause des
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
187
Fig. 8.3 Divers types d’organes mobiles sur radier horizontal [8.13].
géométries différentes du fond et de la vanne. Diverses géométries de vannes seront présentées dans le
paragraphe suivant.
8.2.2 Description de la géométrie
Selon le type d’ouvrage, on distingue les vannes situées sur fond rectiligne presque horizontal et celles
sur fond courbe vers le bas. La première configuration se trouve normalement dans de longs canaux (par
exemple dans des canaux d’irrigation, des ouvrages de prise, des vidanges de fond), tandis que la seconde
comprend les vannes de déversoir.
La figure 8.5 représente les deux types de vannes les plus importants, à savoir la vanne plane et la vanne
secteur. La première est caractérisée uniquement par l’ouverture (a) et l’angle 5 par rapport au fond du
canal. La vanne secteur est également caractérisée par (a) et 5, § étant l’angle entre la tangente au secteur
à l’arête inférieure de la vanne et le fond du canal. De plus, le rayon de courbure r du secteur doit être
considéré.
Fig. 8.4 Vanne plane verticale en mince paroi: géométrie et mécanisme d’écoulement schématisé [8.4]. (—) surface libre, (-) zone
de séparation, (•••) pression au fond.
188
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 83 Géométrie a) de la vanne plane inclinée et b) de la vanne secteur.
L’écoulement par-dessous une vanne est particulièrement influencée par la géométrie de son arête
inférieure. La figure 8.6 représente diverses configurations courantes. Il s’agit notamment de la vanne en
c)
d)
Fig. 8.6 Schémas de types d’arêtes de vannes, 5 inclinaison de la vanne, e inclinaison de l’arête de la vanne par rapport au fond.
mince paroi amont (fig. 8.6a), de la vanne à arête inclinée sous l’angle e, normalement utilisée dans des
galeries à hautes pressions (fig. 8.6b), de la vanne à arête courbe au rayon ra (fig. 8.6c) et de la vanne à
arête inclinée, combinée avec une courbure de rayon ra. Les types b) à d) de la figure 8.6 répondent
particulièrement bien aux exigences d’étanchéité, d’absence de vibrations et de produire un jet aval bien
séparé de l’arête. Etant donné que ces derniers types d’arêtes sont particulièrement appliqués aux vannes
de vidange de fond (chap. 19), on ne traitera dans ce chapitre que les phénomènes de débit.
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
189
8.3 Ecoulement dènoyé
8.3.1 Equation de base
Considérons l’écoulement par-dessous une vanne plane dans un canal rectangulaire prismatique de
largeur b comme indiqué dans la figure 8.4. En admettant un écoulement potentiel, l’équation de
Bernoulli donne la relation qui existe entre deux sections suffisamment à l’amont (indice «1») et à l’aval
(indice «2») de la vanne
H = h, +
Q2
2gb2hJ
h . Q2
= n2 H-----.
2gb2h2
(8.1)
Si l’ouverture de la vanne est (a), l’écoulement à l’aval subit une contraction h2 = Cca où Cc^l est le
coefficient de contraction. L’équation (8.1) donne donc pour le débit
r ~1,/2
Q = b(Cca) Qa	(8.2)
L1+ VJ
Cette relation peut s’écrire de manière simplifiée
d = c<flb^t,	(8.3)
où
(8.4)
est le coefficient de débit. Le débit s’écoulant par-dessous la vanne dépend donc de la section libérée par
la vanne (a * b), de la hauteur d’eau amont (h J et du rapport de l’ouverture et de la hauteur d’eau amont
Â=a/h!.
L’équation (8.3) est actuellement considérée universellement pour exprimer la relation entre le débit
Q et la hauteur d’eau amont h] pour une géométrie quelconque de la vanne et pour des conditions aval
non submergées, donc F2=Q/(gb2h2),/2> 1 où h2=Cca. En effet, Cd dépend uniquement de la géométrie
et de A.
L’ouverture relative de la vanne, A, varie dans les limites O^A^ 1. Pour A->0, la hauteur d’eau h]
est beaucoup plus grande que l’ouverture; pour A= 1, la vanne est complètement relevée. Pour A->0, le
nombre de Froude amont F! tend vers zéro. La surface libre à l’amont de la vanne est donc horizontale.
Ce type d’écoulement peut être calculé par la théorie des écoulements potentiels. La première solution,
due à Kirchoff (1854), est Cc=Cd=n/(n+2)=0,611 pour la vanne plane verticale. Plus tard, Von Mises
[8.20] a obtenu d’autre solutions pour des cas souvent rencontrés dans la pratique. La figure 8.7 montre
le coefficient de débit de base, Cdo=Cd(A->0) pour une vanne plane inclinée sous l’angle 5 (fig. 8.5a). On
constate que la variation de Cdo avec 5 est la plus importante pour de petits angles 5; au-delà de 5 = 90°,
la diminution est faible. Pour 5= 180°, la valeur minimale est Cdo(5= 180°)= 1/2, valeur déjà trouvée au
paragraphe 2.3.5.
Pour A=l, donc Cc=l, l’équation (8.4) entraîne Cd=l/>/2; avec a = hj le débit Q = b(gh?)1/2
correspond au débit critique qui constitue la limite supérieure d’un écoulement non perturbé.
190
DÉVERSOIRS ET VANNES
La discussion précédente indique que le coefficient de débit Cd dépend fortement du rapport A = a/hj
et de la géométrie de la vanne considérée. On peut admettre qu’il varie dans le domaine 1/2 < Cd < 1. Les
considérations suivantes visent à quantifier le coefficient de débit pour certains types de vannes dans des
conditions d’écoulement bien précises. On admet une ouverture minimale de la vanne de a > 0,05 m pour
pouvoir négliger les effets de la tension superficielle [8.12].
Fig. 8.7 Cda en fonction de ô selon [8.20],
8.3.2 Vanne plane et vanne secteur
La figure 8.8 représente Cd en fonction de A et de 5. Le domaine 0,6 < A< 1 est exclu à cause de
['instabilité de l’écoulement pour de grandes ouvertures relatives.
Fig. 8.8 Coefficient de débit Cd en fonction de l’ouverture relative A^a/h(, et de l’inclinaison 5 [8.12].
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
191
Les valeurs de Cd selon la figure 8.8 sont d’environ 2% inferieures aux résultats selon la théorie des
écoulements potentiels. Cet effet doit être attribué à la pesanteur agissant sur le liquide [8.4].
Le coefficient de débit Cd selon la figure 8.8 peut être exprimé par l’équation
r r- r A/,	62Y|	_ J4 + 5e-°’7“1
C<i — Cd0  expl	6 H ’ Cdo — £	- I	(8.5)
où Ç=0,98 pour les vannes planes inclinées (fig. 8.5a), et Ç=0,96 pour les vannes secteurs (fig. 8.5b). Il
s’ensuit que, pour S et A identiques, Cd est légèrement plus grand pour la vanne plane que pour la vanne
secteur. Cet effet doit être attribué à l’extension plus grande de la zone de séparation (fig. 8.5b) pour la
vanne secteur.
Les valeurs de Cd dans la figure 8.8, ou obtenues au moyen de l’équation (8.5), peuvent également
être appliquées pour la vanne verticale type b) de la figure 8.6 si 0,1 ^d/a ^4 [8.12]. Pour de telles vannes,
soit l’écoulement ne se sépare donc pas de l’arête inférieure amont, soit la longueur de séparation est plus
courte que l’extension longitudinale de la vanne d/cosô. Pour les arêtes types c) et d) de la figure 8.6, les
coefficients de débit Cd sont comparables à ceux de la vanne plane inclinée (Ç=0,98) en admettant 5=8,
si 8 est compris entre 15°^e^45° et 0,33<d/a<2.
Comme déjà constaté précédemment, l’équation (8.5) est valable uniquement pour a> 5cm. Pour des
ouvertures de vannes plus faibles, comme on les rencontre souvent sur des modèles réduits, l’effet du
nombre de Weber W = pgh2/o, o étant la tension superficielle (Annexe IV), devient important. Cd croît
alors lorsque (a) décroît, si A et 5 restent constants [8.12].
Comme cela a été vérifié par Nago [8.12], l’effet de a/b, donc la forme de la section libérée par la
vanne, n’influence pas Cd.
8.3.3 Profil de surface aval
Pour certaines questions relatives à la position d’un ressaut ou à l’aération de l’écoulement à l’aval
d’une vanne (chap. 19), le profil de surface aval doit être connu [8.1]. En admettant un écoulement proche
de la vanne dont la charge reste constante par rapport au fond rectiligne (Js = Jf), Caulk [8.3] trouve
, -TVXFl-1)1	1
y = i + (fl-i)ch-2	(x+x.) ,
L 4*2	J
avec Xo = ±
2F2
_	arth
L/3(F22-1)1/2J
L F2 - 1
(8.6),
X 0
Tu2 r,-1T1^2
où X = x/(Cca), y = h/(C_a) et F? = Q2/(gb2C3a3). Les fonctions «f» dans l’équation (8.6) sont définies par
ch(f) = (ef+e^)/2 et arth(f)=( 1 /2)ln(( 1 + 0/(1 - f)), f < 1.
Une fois A fixé et Cd déterminé, Cc se calcule à partir de l’équation (8.4)
(8.7)
De plus, on peut démontrer que F! = (CcA)3/2F2 et que Fj = V2(ACd), d’où
f2 = [2/(CcA(l + CcA))]1/2.
(8-8)
192
DÉVERSOIRS ET VANNES
Cc et F2 dans l’équation (8.6) sont ainsi exprimées par Cd et A. Cd en lui-même est donné par l’équation
(8.5) et dépend seulement de S, A et Ç. Pour une vanne de géométrie donnée sur radier rectiligne, le profil
de surface est alors uniquement fonction de Â. Comme démontré par Caulk, le signe positif de Xo dans
l’équation (8.6)2 s’applique à F2> 1,29, et il est négatif pour 1 ^F2^ 1,29.
La figure 8.9 représente les profils de surface ÿ=h/a en fonction de X = x/a pour diverses valeurs de
Â=a/hj en tenant compte de Ç=0,98 pour une vanne plane indinée de 8 = 30°, 60°, 90° et de Cd selon
Fig. 8.9 Profils de surface à l’aval d’une vanne plane à a) 8 — 30°, b) S = 60° et c) ô=90° selon l’équation (8.6). (-) A=0, (• • •) A = 0,5,
(---)X=1.
l’équation (8.5). Il est constaté que l’effet de A sur le profil de surface y(X) devient de plus en plus faible
lorsque 5 croît. De plus, la contraction du jet sortant de la vanne est pratiquement achevée à l’endroit
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
193
X=2. Finalement, pour 5 pas trop petit, on peut approcher le profil de surface y(X,A) par celui obtenu
pour Â->0. Une analyse asymptotique indique que
ÿ(Â-O) = Cc 4- (1 — Cc) • exp[— V3 • X/Cc], X > 0 .	(8.6),
Pour Â->0, le coefficient de contraction Cc est évidemment égal au coefficient de débit, Cd, voir l'équation
(8.4). A l’origine X=0, la pente de surface dÿ/dX= — >/3((l -Cc)/Cc) • exp(—>/3 • X/Cc) est égale à
dÿ/dX(0)= — y/ï(\ — Cc)/Cc, correspondant à —23° pour 5 = 30°, —39° pour 8=60° et —49° pour
5=90°. Cette pente est alors considérablement plus faible que 8, ce qui constitue un défaut de la théorie
de Caulk. Cependant, en excluant le tronçon du jet proche de la vanne, l’équation (8.6) donne des
résultats qui sont proches des valeurs observées.
Comme déjà mentionné, les considérations précédentes ne sont valables qu’à proximité et à l’aval de
la vanne. L’évolution ultérieure du profil de surface doit tenir compte du frottement (chap. 5).
8.3.4 Force sur la vanne
La force F qui s’exerce sur la vanne est une des données indispensables pour le dimensionnement de
celle-ci. La composante longitudinale, Fx, peut être calculée simplement par l’application du théorème
de la quantité de mouvement. La figure 8.10 représente une vanne plane inclinée sous l’angle 8. Avec h,
comme hauteur d’eau amont et h2=Cca comme la hauteur d’eau aval, il existe la relation
bh* , Q2	b(Cca)2 , Q2 , Fx
2	gbhj 2 gbCca pg
(8.9)
Fig. 8.10 Répartition de la pression et de la force sur la vanne.
et le coefficient de force, 4> = 2Fx/(pgbhJ), devient
4> = 1 - (CeA)2 4- 2F2 1 -
(8.10)
Considérons les deux cas extrêmes: 1) A = 0->F) =0 d’où = 1, et 2) A = 1, donc Cc = 1, d’où 4> =0.
Dans le premier cas, la vanne est fermée et la force Fx correspond à la force hydrostatique du plan d’eau
amont; dans le deuxième cas, la vanne libère complètement la section et la force Fx (et F) est nulle.
En éliminant Q au moyen de l’équation (8.2), le nombre de Froude amont devient F2 = Q2/(gb2h]) =
2(CcÂ)2/(1+CcÂ), donc
$ = 1 — c2 4- 4c( --------1, 0 < c < 1
\c 4- 1/
(8-11)
194
DÉVERSOIRS ET VANNES
au lieu de l’équation (8.10) avec c = C<A. La figure 8.11 permet de constater que $ (c) décroît rapidement
avec c. Une fois la géométrie de la vanne et son ouverture relative données, et Cc calculé par l’intermé-
diaire de l’équation (8.7), <t> et donc Fx sont déterminés.
Fig. 8.11 Coefficient de force 4> = 2Fx/(pgbh[), fonction de l’ouverture relative c—Cca/hj de la vanne selon l’équation (8.11).
La pression p sur une vanne est normalement représentée par la hauteur de pression hp=p/(pg)
reportée perpendiculairement à sa surface amont. La figure 8.12 en montre quelques exemples. Il est
Fig. 8.12 Répartitions de la pression sur une vanne secteur, a) 5 = 30°, b) 8 = 60°; [8.5], [8.6].
constaté que la pression augmente selon la loi hydrostatique sur presque toute la hauteur de la vanne;
vers l’extrémité inférieure seulement, la ligne de pression est fortement courbée vers la vanne, pour
atteindre la pression atmosphérique à l’arête inférieure de la vanne.
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
195
8.4	Ecoulement noyé
L’écoulement dénoyé par-dessous une vanne est réalisé si le nombre de Froude aval F2=
Q/(gb2C3a3)1/2> 1. La distance entre la section de la vanne (dans laquelle h = a) et la section du jet
contracté (h=Cca) est de l’ordre de Ax = 2a (fig. 8.9). La submersion aval limite est donc atteinte si le pied
d’un ressaut hydraulique se trouve à l’endroit de la section contractée (fig. 8.13a). La hauteur d’eau aval
h», se calcule donc selon l’équation (4.52) à '
h,/(Cca) = 1[(1+8F^'2-1].	(8.12)
Pour hy < hs, l’écoulement au-dessous de la vanne est dénoyé, mais il est noyé si hu>hs, étant la
hauteur d’eau aval.
Fig. 8.13 a) écoulement dénoyé à submersion limite, b) écoulement noyé.
Dans ce qui suit, on considère ^écoulement noyé. Comme représenté à la figure 8.13b), il se forme deux
zones d’écoulement à l’aval de la vanne: la première à haute vitesse située au fond, la deuxième à la
surface voisine de la vanne, qui est une zone de séparation. Dans cette dernière, on a un rouleau de
surface, dont la longueur est Lr. La vitesse dans cette zone est beaucoup plus faible que dans la zone
proche du fond. On peut même négliger le mouvement dans le rouleau de surface et le considérer comme
une masse d’eau stagnante. La hauteur d’eau à cet endroit est hy. A la fin du rouleau, le profil de surface
monte légèrement pour atteindre la hauteur aval hu>hv.
Selon Rajaratnam et Subramanya [8.16], la vitesse maximale à l’aval de la vanne est pratiquement
égale à
Vmax = V2g(hi-hv)-	(8.13)
La répartition adimensionnelle de la composante horizontale u de la vitesse dans la zone près du fond
a été analysée expérimentalement. On constate que la fonction umax = umax(x) croît tout d’abord jusqu’à
un maximum (x/a~ 1), reste à cette valeur maximale, 1 ^x/a^3, et puis décroît à cause des effets de
frottement dus au fond. Au-dessus de cette zone d’écoulement presque potentiel, il existe une région de
diffusion turbulente, dans laquelle la vitesse décroît jusqu’à zéro, et change même le signe près de la
surface.
Le débit qui s’écoule par-dessous une vanne submergée peut être exprimé par [8.15]
Q = Ccabx/2g(h^hJ	(8.14)
où Cc est sensiblement égal à la valeur de l’écoulement dénoyé traité sous 8.3.
196
DÉVERSOIRS ET VANNES
Dans les applications, on connaît souvent la hauteur d’eau aval 1^, mais la hauteur hy n’est pas
connue. Une relation entre ces deux hauteurs d’eau s’obtient en appliquant le théorème de la quantité de
mouvement. Soit Vmax selon l’êquation (8.13) la vitesse moyenne dans la section contractée. La hauteur
d’eau correspondante h* de l’écoulement principal est donc h* = Q/(bVmax) = Cca. Par conséquent, on
obtient
Qym„
g
+
— ‘kll2 _L
2 gbhy
(8-15)
si la répartition de vitesse est supposée uniforme au travers du courant principal et égale à zéro dans la
zone de séparation. Avec Q = bh*Vmax = bh*[2g(h1 — hy)]1/2 on tire de l’équation (8.15) [8.15]
^ = 2(1 - —
h* \ hj
(8.16)
Cette relation est représentée dans la figure 8.14. On constate que, pour une certaine valeur h*/hj,
h,, = hy = hj correspond à la valeur minimale pour laquelle le débit reste nul. Pour des valeurs plus grandes
Fig. 8.14 Relation entre h, et hu en fonction de h* = C,a. et hr (•) h1 = h, = hv, (-) h„ = hv.
de h*/hu, h*/hy croît tout d’abord presque linéairement pour tendre finalement vers l’infini. Le domaine
h*/hv > 1 doit évidemment être exclu physiquement: pour h*/hv = 1 un ressaut dénoyé s’établit.
Exemple 8.1
Soit a = 1,5m l’ouverture d’une vanne plane verticale, b = 2m sa largeur et h! = 4m la hauteur d’eau amont.
Quel est le débit Q pour les deux hauteurs d’eau aval hu = 3,5m et hu = 2m?
Avec Cc~0,6 on tire pour h* = Cca = 0,90m. De plus on calcule pour h*/hu = 0,9/3,5 = 0,257, h*/h, =0,225
d’où h*/hv=0,284 (eq. 8.16), donc hv = 0,9/0,284 = 3,17m. En tenant compte de l’équation (8.14), le débit
s’élève à Q = 0,6 - 1,5 - 2 - [19,62(4-3,17)],/2 = 7,3m3s-’.
En admettant Cd~Cc~0,6 pour l’écoulement dénoyé, le débit devient Q = 0,6  1,5-2- (19,62 • 4)1/2 =
16,0m3s-1. Le nombre de Froude de la section contractée est donc F* = Q/(gb2(Cca)3),/2 =
16,0/(9,81 • 22(0,6 • l,5)3)l/2 = 2,98. Par conséquent, la hauteur conjuguée se calcule à h2 =
0,9[(l+8 • 2,982)l/2—1]/2= 3,37m selon l’équation (8.12).
Dans un calcul plus précis, l’effet de l’ouverture relative À de la vanne sur Cc et Cd devrait être considéré.
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
197
Concernant la longueur du rouleau de surface, on peut poser [8.14]
r(hu-hy) J_]8/9’	(8.17)
l h. ’ F* J
hc = [Q2/(gb2)]1/3 étant la hauteur critique de l’écoulement. La longueur du ressaut submergé Lj a été
trouvée expérimentalement [8.14]
Lj/h2 = 6,1 + 4,9S	(8.18)
où S = (hu —h2)/h2>0 est le facteur de submersion et h2 la hauteur conjuguée par rapport à h* = Cca du
ressaut dénoyé (chap. 4 et 15). Ainsi, on constate que le ressaut submergé est toujours plus long que le
ressaut dénoyé (chap. 15).
La dissipation relative d’énergie, qs=AH^Hj, peut être plus faible ou plus grande que dans le ressaut
dénoyé correspondant. La valeur qs pour le ressaut submergé dépend du nombre de Froude F* dans la
section contractée et de S. Par contre, la valeur q pour le ressaut dénoyé dépend uniquement du nombre
de Froude Fj =F* au pied du ressaut (chap. 15). Soit E=qg/q le rapport des dissipations relatives du
ressaut submergé et du ressaut dénoyé. Comme démontré par Rajaratnam [8.14] E devient très faible
pour des grandes valeurs de S (ressauts fortement submergés). Cependant, E peut être plus grand que
l’unité si S < 0,5 et le nombre de Froude F* sont simultanément petits.
Exemple 8.2
Quelles sont les pertes de charge AH pour les écoulements examinés à l’exemple 8.1?
Avec Q = 7,3m3s-1 pour l’écoulement submergé, on obtientH,=4 + 7,32/(19,62 • 22 • 42)=4,04m. A l’aval
du ressaut la charge s’élève à Hu=3,5 4-7,32/(l 9,62 • 22 • 3,52) = 3,55m, d’oùri,=AH1/Hl=(4,04-3,55)/4,04=
0,121. Avec S=(3,50—3,37)/3,37=0,04 la longueur du ressaut devient L, = (6,1+4,9 • 0,04)3,37 = 21,2m
selon l’équation (8.18).
Avec Q= 16,0m3s-1 pour l’écoulement dénoyé et h|=4m on déduit pour Hj = 4,20m. Avec h2 = 3,37m la
charge aval est Hu = 3,66m d’où q = (4,2—3,66)/4,2 = 0,129. La longueur d’un tel ressaut dénoyé s’élève à
L, 6h2 = 6 3,37m = 20,2m (chap. 15).
Comme le décrit Rajaratnam [8.14], l’efficacité et la longueur du ressaut hydraulique submergé ne sont
pas avantageuses par rapport au ressaut dénoyé, en tout cas pour des submersions importantes. Par
conséquent, le ressaut dénoyé devrait être préféré au ressaut submergé si la dissipation d’énergie est
recherchée. Des approches de calculs pour diverses questions relatives à l’écoulement par-dessous une
vanne dénoyée et noyée sont présentées par Rajaratnam et Subramanya [8.17].
8.5	Vanne de déversoir
8.5.1 Vanne plane verticale
La figure 8.15 représente une vanne plane verticale installée sur un déversoir standard (chap. 6). On
ne considérera que le cas où, en position fermée, l’arête inférieure se trouve identique à la crête du
déversoir, x = 0. L’effet d’un déplacement horizontal de la vanne a été considéré par l’USCE [8.19] et par
Lemos [8.11].
Soit Zj la distance verticale entre la crête du déversoir et l’arête inférieure de la vanne et HD la charge
de dimensionnement du déversoir standard. Pour un débit donné, Ho est la charge opérationnelle en cas
de présence de la vanne et H est la charge correspondante du déversoir standard sans vanne (chap. 6).
198
DÉVERSOIRS ET VANNES
La relation entre H et le débit Q d’un déversoir non équipé de vanne s’écrit selon l’équation (6.5)
Q = Cdb(2gH3)1/2
(8.19)
où Cd est le coefficient de débit, qui ne dépend que de la charge relative x = H/HD. Selon Hager et Bremen
[8.7] on peut l’exprimer par
(8.20)
Pour le cas particulier X=l, on obtient la valeur CdD=0,495. Le débit correspondant, Q(x=l) = QD
devient donc
Qd = CdDb(2gH3D)''2.
(8.21)
Fig. 8.15 Configuration d’écoulement schématisée.
Le débit contrôlé par une vanne plane verticale montée sur un déversoir standard dépend de la charge
de dimensionnement HD, H et Ho, et de la position de l’arête de la vanne, z8. Soit
X = H/Hd, Xo = Ho/Hd , Z8 = z8/HD
(8.22)
des paramètres normalisés par HD. Qg étant le débit s’écoulant par-dessous une telle vanne de déversoir,
on peut poser [8.7]
Qg/Qo = [Xo2 - (Xo-Z,)3'2] i + Z,
6
(8.23)
Une fois le déversoir standard dimensionné par HD, b et QD, toutes combinaisons de z8 et de Ho
permettent le calcul du débit Qg.
L’équation (8.23) a été vérifiée pour 0<Z8<2 et xo>(4/3)Zl. Pour xo<(4/3)Zl la vanne n’est plus
immergée, et l’écoulement se fait par-dessus un déversoir non influencé par la vanne. On doit alors poser
Xo~+X et Qg->Q, d’où
9 + 5x_
(8-24)
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
199
au lieu de l’équation (8.23). Les équations (8.23) et (8.24) sont représentées dans la figure 8.16. Tous les
Fig. 8.16 Relation entre le débit relatif Q,/Qo et la charge amont normalisée Ho/Hq, fonction de Zj/H,,. (—) équation (8.23),
(•••) équation (8.24).
paramètres sont normalisés par des quantités de dimensionnement QD et HD. Cette figure permet un
calcul immédiat de Qg une fois Ho, HD et Z, donnés.
La répartition de la pression sur le fond du déversoir ainsi que les profils de surface ont été observés
expérimentalement par Lemos [8.11].
8.5.2 Vanne secteur
L’écoulement par-dessus un déversoir standard contrôlé par une vanne secteur est influencé par un
nombre important de paramètres. Comme le représente la figure 8.17a) la géométrie de la vanne par rapport
au déversoir standard peut être décrite par le rayon de courbure R = r/HD, la position de l’arête inférieure
(Xt=xt/Hd, Z|=Z|/Hd) où l’indice «i» se référé à l’arête (en anglais «gâte lip»), l’angle a de la tangente à
l’arête inferieure par rapport à l’horizontale, la distance la plus courte entre l’arête inférieure et le déversoir
normalisé par HD, G, la coordonnée horizontale correspondante sur le déversoir, Xw=xw/HD, la pente
Y du déversoir dans ce point, et la coordonnée horizontale du point sur le déversoir où se trouve le siège
de la vanne, X8=Xg/HD (en anglais «gâte seat»). Finalement, on doit connaître les coordonnées de l’axe de
rotation de la vanne secteur, (X^Xj/Hq, Zt=Zt/HD) où l’indice «t» se réfère au mot anglais «trunnion».
La figure 8.17b) représente l’écoulement schématisé par-dessus un déversoir contrôlé par une vanne
secteur. La charge de dimensionnement du déversoir standard (chap. 6) est HD, la charge opérationnelle
étant H; la charge effective He sera définie ci-après.
L’écoulement par-dessus un tel déversoir est influencé par la géométrie de la vanne et du déversoir
standard, leur position relative, et la charge effective H,.. Celle-ci est un indice de la vitesse aval et est égale à
Hc = H , Xt 0,
He/HD = H/Hd + Ixi85, X, >0.	(825)
200
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 8.17 Vanne secteur installée sur un déversoir standard, a) géométrie normalisée par HD, b) écoulement schématisé.
L’équation qui relie le débit Qg et la hauteur He peut être exprimée par [8.8]
Qg = Cdgb(GHD)  (2gHe)1'2	(8.26)
où He est donné par l’équation (8.25). Cdg est le coefficient de débit qui dépend de l’angle 0 = y — a et de
la charge relative xo=Ho/HD. La distance adimensionnelle entre l’arête inférieure et le radier du déversoir
se calcule par
G = [(X.-XJ2 + (Z.-ZJ2]1'2 - po, -0,176 «Xw«0	(8.27)
avec Xo = 0, Zo= —0,5, po=0,5 et
-0,176 < Xw < 0.
(8.28)
Pour Xt>0, G se calcule par
G = (1 - |xr) (z, + |xj#î
Les angles a et y sont définis par les relations suivantes
(8.29)
(8.30)
2X
ta"Y = * ->7 1	~0’176 < X» < 0
ZZ/j “T 1
(8.31)
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
201
OU
tany = - ^{x, 1 +	J , X, > 0
Finalement on arrive à [8.8]
Cd = 0,908^ 1------LA (—)
df k	277°/ (JW
(832)
(833)
Exemple 8.3
Soit un déversoir standard de hauteur de dimensionnement HD=4,0m et de largeur b = 15m. Quel est le
débit Qg si le déversoir est contrôlé par une vanne secteur dont le rayon de courbure est de 5m; la coordonnée
verticale de l’axe de la vanne est de z,=4m, la coordonnée verticale de l’arête de la vanne s’élève à zl = 1,6m
et x,=0,8m?
En termes adimensionnels, les données deviennent R = 1,25; Z,= 1,0; Z, = 0,4 et X,=0,2. Pour X,>0 la
position horizontale de l’axe de la vanne est [8.8]
X, = X, + [R2 — (ix,'85 + Zt)2],/2
(834)
donc Xt=0,2+[l,252—(0,5 • 0,21,85 +l)2]‘/2 = 0,915 et xt = 0,915 • 4=3,66m. De plus, la distance horizontale
entre l’arête inférieure de la vanne et la crête du déversoir s’élève à
x, = X, - [R2—(Z.—ZJ2]172	(8.35)
d’où X»=0,915-[1,252—(0,4-1)2],/2= -0,182, donc xa= -0,73m.
Avec X,<0 la charge effective He est égale à la charge H = 5m. D’après l’équation (8.28), on obtient
pour Xw=—0,5[(0,4+0,5)2/(—0,182)2+1]'1/2 =—0,099 et il faut appliquer l’équation (8.27) pour déter-
miner G. On obtient G = [(-0,182)2+(0,4+0,5)2]1/2-0,5 = 0,418. Les équations (8.30) et (8.31) four-
nissent tana=—[l,252/(—0,182—0,915)2—l]-1/2= —1,831 et tany=+2 - 0,182/(2  0,4+1)=0,202, d’où
a = -61,35° et y = 11,4°, donc p=y-a= +72,8°.
Le coefficient de débit C^—0,908(1 —72,8/277X1,25)O12 = 0,688 se calcule par l’intermédiaire de l’équa-
tion (8.33). Ainsi, on obtient le débit Qg=0,688 - 15 • (0,418 • 4) • (19,62 • 5)‘/2 = 170,9m3s-1. Le coefficient
C = Q/(bH^) = 1,424 est seulement de 1% inferieur à celui déterminé expérimentalement par Lemos [8.11].
La répartition de la pression au fond a été observée par Lemos [8.11]. Par la suite, on se limite aux
résultats pour le déversoir standard à face amont verticale. La figure 8.18 représente la pression relative
au fond P = pf/(pgHD) en fonction de la coordonnée S = s/HD le long du déversoir. Les mesures types,
effectuées sur modèle réduit, sont caractérisées par Xs= +0,2. Ces données expérimentales (et d’autres
résultats non présentés) permettent de constater que P décroît près de l’arête de la vanne de déversoir,
atteint un minimum Pmin à peu près à X=X,+0,2 et par la suite s’élève vers P->0. Par conséquent les
sous-pressions importantes s’établissent à l’aval de l’arête de la vanne. Elles sont déterminantes par
rapport à la séparation de l’écoulement du déversoir, des effets de la cavitation et par rapport à
l’extension longitudinale des piliers.
La figure 8.19 représente Pmin = pmin/(pgHD) en fonction de Zt pour toutes les configurations analy-
sées par Lemos [8.11]. La définition des symboles utilisés dans cette figure se trouve dans le tableau 8.1.
Comme relevé par Lemos, l’effet du rayon de la vaHne secteur, R, n’influence ni P(S) ni P^. Par contre
l’effet de xo sur Pmin est prononcé. Les courbes Pmin(Zl) croissent de Pmin(Zj = 0)=0 à un maximum situé
autour de Zt = 0,4. Pour les configurations analysées par Lemos, Pmin ne dépasse jamais la valeur
de -0,44.
202
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 8.18 Répartitions de la pression relative P = pf/(pgHD) par rapport au fond du déversoir standard pour diverses ouvertures de
vanne Zt=zt/HD et X,=0,2 [8.11], (• •) Z, = 0,8; R = 1 ; Xo = 1 ; (—) Zt = 1,0; R = 1,25; Xo = 1,25 (à gauche) et (• • •) Z,=0,31 ; R = 1 ; Xo = 1,
(—) Z,=0,4; R = l,25; Xo = 1,25. (O) minimum de pression.
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
203
Fig. 8.19 Pressions minimales relatives Pmû»/(P8HD) en fonction de l’ouverture relative de la vanne de déversoir Z,, notation selon
le tableau 8.1 [8.11].
Lemos a également étudié des vannes de déversoir standard à parement amont incliné. De plus, il a
présenté des observations relatives à des vannes planes verticales sur de tels déversoirs.
204
DÉVERSOIRS ET VANNES
Tableau 8.1 Notation pour la figure 8.19.
(•••) H/H?=l pour R-1 etR=l,25;(—)H/HD=1,25 pour R= 1,25.
Les chiffres spécifient les valeurs de Zt. La figure 8.18 représente les cas (j) et (5).
	x»	(...)	(—)
1	0	0,8/1,0	1,0
2	0	0,63/0,8	0,8
3	0	0,43/0,56	0,56
4	0,1	0,8/1,0	1,0
5	0,1	0,63/0,8	0,8
6	0,1	0,43/0,55	0,55
7	0,2	0,8/1,0	1,0
8	0,2	0,58/0,74	0,74
9	0,2	0,31/0,4	0,4
10	0,4	0,62/0,8	0,80
8.6 Clapet
Le clapet secteur («drum gâte», «Sektorklappe») correspond à une vanne secteur de rayon r entraînée
par un flotteur logé dans une chambre. Sa position est réglée par le niveau de l’eau dans cette chambre.
Elle est utilisée pour un contrôle automatique du plan d’eau amont. Le clapet secteur ressemble à un
déversoir à parement amont courbe. L’angle 0 se trouve entre l’horizontale et l’arête de la vanne
(fig. 8.20). Pour 0>O, la vanne correspond hydrauliquement à un déversoir en mince paroi, dont le point
de contrôle se trouve à sa crête; celui-ci sert également de plan de référence pour la charge He (fig. 8.20a).
Pour 0 0, la vanne correspond hydrauliquement à un déversoir à radier courbe dont le point de contrôle
se situe au point culminant de la surface de la vanne, et la charge He est mesurée à partir de cette cote
(fig. 8.20b).
Cette structure peut être considérée comme un déversoir, le débit déversant étant
Q = Cdc • b(2gHg),/2	(8.36)
avec la charge He, Cdc étant le coefficient de débit du clapet. La figure 8.21 représente Cdc en fonction de
He/r et 0 selon Bradley [8.2]. Pour une géométrie Hc/r fixée, Cdc augmente lorsque 0 croît pour atteindre
à environ 0=25° un maximum de Cdc~ 0,485. Pour des angles de 0 plus élevés, Cdc décroît. Par contre,
pour un angle 0 < 25° fixé, Cdc augmente avec He/r.
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
205
Lors du passage d’une crue, par exemple, les deux quantités He et 0 sont variables. Pour des calculs
de rétention il faut donc tenir compte de la fonction Cdc(Hc/r,0). Par conséquent, cette relation a été mise
en équation. Soit = Cdc(0 = —20°) où
T	1 /H
Cdcmi, = 0,313 1 + ^—)
L	2\ r J
(8.37)
et
donc le rapport entre les deux
Avec la substitution
où
c
''de, max
r i /h \vh
= 0,483 1 4- —
69\ r )
c = Cdc’^n = 0,648 1 +
C
'-'de, max	L
1/3-
9 4- 20°
9max + 20'
9ma. = 20° 1 +	]
(8.38)
(8.39)
(8.40)
(8.41)
A =
1
206
DÉVERSOIRS ET VANNES
est l’angle 0 où le coefficient de débit atteint le maximum, on obtient
= c + (1 -c) • (A • exp(l —A)]4.
'-'de, max
(8.42)
Cette dernière relation permet de déterminer et donc Q, lorsque la géométrie du clapet (ô, r) et celle
du déversoir (Hc, b) sont connues.
Les moments de rotation agissant sur la vanne pendant le fonctionnement sont présentées par
Wickert et Schmausser [8.21].
Références
[8.1]	Benjamin, T.B., «On the flow in channels when rigid obstacles are placed in the stream», Journal Fluid
Mechanics, Vol. 1, 1956, 227-248.
[8.2]	Bradley, J .N., «Rating curves for flow over drum gates», Trans. ASCE, Vol. 119, 1954, 403-420.
[8.3]	Caulk, D.A., «On the problem of fluid flow under a sluice gâte», International Journal Engineering Science,
Vol. 14, 1976, 1115-1125.
[8.4]	Fangmeœr, D.D., Strelkoff, T.S., «Solution for gravity flow under a sluice gâte», Proc. ASCE, J. Engi-
neering Mechanics Division, Vol. 94, 1968, EM1, 153-176; EM4, 1009-1010; EM6, 1585-1588.
[8.5]	Gentilini, B., «Sui processi di efflusso piano», L’Energia Elettrica, Vol., 18, 1941, 361-380.
[8.6]	Gentilini, B., «Efflusso dalle luci soggiacenti aile paratoie inclinate e a settore», L’Energia Elettrica.
Vol. 18, 1941, 361-380.
[8.7]	Hager, W.H., Bremen, R., «Plane gâte on standard spillway», Proc. ASCE, J. Hydraulic Engineering,
Vol. 114, 1988, HY 11, 1390-1397.
[8.8]	Hager, W.H., «Discharge characteristics of gated standard spillways», Water Power and Dam Construc-
tion, January 1988, 15-26.
[8.9]	Keutner, C., «Die Strômungsvorgânge an unterstrômten Schûtztafeln mit scharfen und abgerundeten
Unterkanten», Wasserkraft und Wasserwirtschaft, Vol. 30, 1935, 5-8, 16-21.
[8.10]	Keutner, C., «Wasserabfùhrungsvermôgen von scharfkantigen und abgerundeten Planschützen», Bou-
te chnik, Vol. 10, 1932, 266-269; 303-305.
[8.11]	Lemos, F. de Ouveira, Criteriospara o dimensionamento hydraulico de barragens descarregadoras, Labora-
torio National de Engenharia Civil, LNEC, Memoria 556, Lisboa, 1981.
[8.12]	Nago, H., Discharge coefficient of underftow gâte in open channel, Department of Civil Engineering,
Okayama University, Okayama, Japan, April 1983.
[8.13]	Press, H., Wehre, Wilhelm Ernst & Sohn, 2. Auflage, Berlin, 1959.
[8.14]	Rajaratnam, N., Hydraulic jumps, Advances in Hydroscience, Vol. 4, ed. V.T. Chow, Academie Press,
New York, 1967.
[8.15]	Rajaratnam, N., Subramanya, K., «Flow équation for the sluice gâte», Proc. ASCE, J. Irrigation and
Drainage Division, Vol. 93, 1967, IR3, 167—186.
[8.16]	Rajaratnam, N., Subramanya, K., «Flow immediately below submerged sluice gâte», Proc. ASCE,
J. Hydraulics Division, Vol. 93,1967, HY4, 57-77; Vol. 94,1968, HY1,340-341; HY2,601-603; HY6,1528.
[8.17]	Rajaratnam, N., Subramanya, K., «Practical problem of sluice-gate flow», Water Power, March 1969,
112-115.
[8.18]	Rajaratnam, N., Humphries, J.A., «Free flow upstream of vertical sluice gates», J. Hydraulic Research,
Vol. 20, 1982, 5, 427-437.
[8.19]	US Army, Corps of Engineers, Hydraulic design criteria, design charts 311-1, Army Engineer Waterways
Experiment Station, Vicksburg, Mi., diverses années.
[8.20]	Von Mises, R., «Berechnung von Ausfluss- und Ueberfallzahlen», Zeitschrift Verein deutscher Ingenieure,
Vol. 61, 1917, 447-452; 469-474; 493^198.
[8.21]	Wickert, G., Schmausser, G., Stahlwasserbau, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1971.
DÉVERSOIRS CONTRÔLÉS PAR DES VANNES
207
Notations
Les indices «1» et «2» peuvent se référer, respectivement, aux sections suffisamment à l’amont et à l’aval de la
vanne, ou à l’amont et à l’aval du ressaut non submergé.
a	[m]	ouverture verticale de la vanne	S	H	coordonnée adimensionnelle le
À	[-]	ouverture de la vanne normalisée			long du radier du déversoir
		par la hauteur d’eau amont	u	[ms"']	composante horizontale de la vi-
b	[m]	largeur de la vanne			tesse
c	[-]	contraction relative		[ms"‘]	vitesse maximale de l’écoulement à
c	[-]	rapport de coefficients de débit			l’aval d’une vanne noyée
Cc	[-]	coefficient de contraction	W	[-]	nombre de Weber
cd	[-]	coefficient de débit	x	[m]	coordonnée longitudinale
C*	[-]	coefficient de débit du clapet	X	[-]	coordonnée longitudinale adimen-
Cdg	[-]	coefficient de débit de la vanne de			sionnelle
		déversoir	X	[-]	coordonnée longitudinale normali-
c*,	[-]	coefficient pour À-+0			sée par l’ouverture de la vanne
d	[m]	épaisseur de la vanne	X,	[-]	coordonnée horizontale de l’arête
E	[-]	rapport de dissipation d’énergie			inférieure de la vanne par rapport à
F	[-]	nombre de Froude			hd
F*	[-]	nombre de Froude relatif à h*	Xo	[-]	coordonnée horizontale du centre
Fx	[NI	composante horizontale			de courbure par rapport à HD
		de la force	X,	[-]	coordonnée horizontale du siège de
g	[ms’2]	accélération gravitationnelle			la vanne de déversoir par rapport à
G	[-]	distance minimale entre l’arête infé-			hd
		rieure de la vanne secteur et le dé-	Xt	[-]	coordonnée horizontale de l’axe de
		versoir standard, relative à HD			la vanne secteur de déversoir par
h	[m]	hauteur d’eau			rapport à HD
h.	[m]	hauteur de submersion limite	X.	[-1	coordonnée horizontale sur le dé-
K.	[m]	hauteur d’eau aval			versoir standard où se trouve le
K	[m]	hauteur d’eau à proximité aval de la			point le plus proche de l’arête infé-
		vanne			rieure de la vanne secteur par rap-
h*	[m]	épaisseur minimale du courant			port à Hd
		principal d’un ressaut submergé	y	[-]	hauteur d’eau normalisée par rap-
H	[m]	charge (opérationnelle)			port à la lame d’eau contractée
hd	[m]	charge de dimensionnement	ÿ	[-1	hauteur d’eau normalisée par rap-
H.	[m]	charge effective			port à l’ouverture (a) de la vanne
Ho	[m]	charge en présence d’une vanne de	Zi	[m]	distance verticale entre la crête du
		déversoir			déversoir et l’arête inférieure de la
Jf	[-]	pente de frottement			vanne
J,	[-1	pente de fond	4	[-]	coordonnée verticale de l’arête infé-
Lî	[m]	longueur du ressaut			rieure de la vanne de déversoir par
Lr	[m]	longueur du rouleau			rapport à HD
P	[Nm-2]	pression	Zo	[-]	coordonnée verticale du centre de
Pr	[Nm-2]	pression au fond			courbure par rapport à HD
P	[-]	pression relative au fond	Z,	[-]	coordonnée verticale de l’axe de la
Pmin	[-]	pression adimensionnelle minimale			vanne secteur de déversoir par rap-
		au fond			port à Hd
Q	[m3s-‘]	débit	a	[-]	angle de l’arête inférieure de la
Qd	[m3s-1]	débit de dimensionnement			vanne secteur de déversoir
Q«	[m3s-1]	débit de vanne de déversoir	P	[-]	différence d’angle, 0=y — a
r	[m]	rayon de courbure	7	[-]	angle à l’endroit X=X„ sur le dé-
R	[-]	rayon de la vanne secteur normalisé			versoir standard
		par Hd	5	[-]	angle de l’arête inférieure par rap-
s	[ml	coordonnée le long du radier du			port au fond horizontal
		déversoir	A	[-]	angle normalisé
S	[-]	facteur de submersion	E	[-]	angle d’arête
208
DÉVERSOIRS ET VANNES
n	[-]	dissipation d'énergie relative du			soir en présence d’une vanne de dé-
		ressaut dénoyé			versoir
n,	[-1	dissipation d’énergie relative du	P	[kgm 3]	masse volumique
		ressaut noyé	Po	[-1	rayon de courbure de déversoir
0	[-)	angle de la crête du clapet			standard relatif à HD
x	[-]	charge par rapport à HD du déver-		[-]	coefficient de force
		soir non équipé de vanne	CT	[kgs 2]	tension superficielle
Xo	[-)	charge par rapport à HD du déver-	;	[-1	coefficient correctif de la géométrie
9. Déversoirs latéraux
Déversoir latéral sur le Duero près de Valladolid (Espagne).
210
DÉVERSOIRS ET VANNES
9.1 Introduction
Comme cela a été décrit au chapitre 1, les débits des écoulements stationnaires en canaux découverts
peuvent être soit constants, soit localement variés. Dans le deuxième cas, on distingue les écoulements à
débit croissant (chap. 10) et les écoulements à débit décroissant. On rencontre ces derniers dans les
déversoirs latéraux, les ouvertures latérales ou les ouvertures de fond (fig. 9.1). L’écoulement sortant du
Fig. 9.1 Types de canaux à débit décroissant a) déversoir latéral, b) ouverture latérale et c) ouverture de fond.
canal peut être dénoyé ou noyé latéralement. Seul le premier cas nous intéresse dans ce qui suit. Parmi
les autres cas pour lesquels le débit décroît dans la direction longitudinale, on peut citer les canaux à fond
perméable et les canaux dans lesquels l’évaporation est importante. La bifurcation de canaux est
considérée comme un changement ponctuel du débit; elle ne sera pas traitée.
Dans ce chapitre on considérera les déversoirs latéraux en particulier. La méthode présentée s’appli-
que cependant également aux canaux de distribution d’eau. Le but principal sera de présenter l’approche
générale et d’en appliquer les résultats au déversoir latéral de section rectangulaire. Une importante
littérature [9.1, 9.3] peut être consultée pour les autres cas.
9.2 Equations de base
Les écoulements à débit localement varié possèdent normalement - comme ceux à débit constant -
une direction d’écoulement principale le long de l’axe du canal. Le principe de Bernoulli et le théorème
de la quantité de mouvement s’appliquent donc également dans de tels cas. En admettant une répartition
uniforme des vitesses et une pression hydrostatique en une section donnée, l'énergie spécifique E est
/	v2\
E = Q H = h 4- — )Q
\	2g/
(9.1)
où V = Q/A est la vitesse moyenne, h la hauteur d’eau, g l’accélération gravitationnelle, Q = Q(x) le débit
et A = A(x,h) la section mouillée. La variation de E par rapport à la coordonnée longitudinale x se
compose du gain de niveau (canal à pente du radier Js), de la perte de charge due au frottement, Jf, et
de la perte d’énergie mécanique due au débit sortant latéralement, donc
= (Js-Jf)Q +
dx
(9-2)
où p = p(x) et U = U(x) sont la hauteur de pression et la vitesse au bord déversant du canal considéré
(fig. 9.2). dQ/dx=Q'^0 correspond à l’intensité du débit sortant.
DÉVERSOIRS LATÉRAUX
211
Fig. 9.2 Définition des paramètres d’un déversoir latéral, a) coupe longitudinale, b) coupe transversale.
En dérivant la relation (9.1) par rapport à x et en tenant compte de l’équation (9.2) on obtient
(9.3)
En posant A' = dA/dx=9A/9x+9A/9h • (dh/dx) pour la variation totale de la section mouillée et
F2 = Q2 • (9A/9h)/(gA3) pour le nombre de Froude (chap. 5), on obtient [9.7], [9.8]
h' =
bdo' -F 1	r	u2 - 3v2i p - h +			 L	2g J	Q2 9A + gA3 9x
1 - F2
(9.4)
Il est intéressant de noter que, pour Q' = 0, on retrouve l’équation générale des courbes de remous (5.3).
Pour 9A/9x = 0 et Q' = 0 on retrouve l’équation (5.4), valable pour les canaux prismatiques.
D’une manière analogue (chap. 10), en considérant un élément infiniment court, l’application du
théorème de la quantité de mouvement dans la direction longitudinale conduit à [9.3]
_	_ QTVU • cos 4> - 2V2“| Q2 9A
j — j- _|~ — ----------------------- ~|~ —- —
____________QL___________g__________J gA3 Qx
1 - F2
(9.5)
où U * cos <|> est la composante de la vitesse du courant sortant en direction de l’axe x. On note que les
termes entre crochets des équations (9.4) et (9.5) doivent être identiques pour une même inclinaison de
la surface d’eau. Pourtant la relation entre V et U que l’on tire de ces deux équations ne peut pas être
utilisée puisqu’elle contient les inconnues p et . Par contre, on peut démontrer [9.3] que l’équation (9.5)
peut également être déduite du système
H' = Js
H = h +
2gA2
t	QQ' ( i	Ucos<t>
Jf — ---TI *	~
gA2\ V
(9-6)
212
DÉVERSOIRS ET VANNES
La variation longitudinale de la charge H' se compose donc (comme décrit au chapitre 5) des effets de
la pesanteur, Js, de frottement H'R = - Jf et des effets du débit localement varié,
H'l =
QQ'Z Ucos<|>\
V ~ v /
(9.7)
En notant que Q' < 0 et U, cos <t> et V sont positifs, on obtient
a) V > U • cos<|> ->H[> 0,
b) V = U • cos<|> -+H'=0,
c) V < U • co s $ -> Hl < 0.
(9.8)
Pour un canal dans lequel J8 = Jf, la charge H croît dans la direction longitudinale dans le cas a), mais
décroît dans le cas c). Le cas a) présente une particularité qui a déjà été constatée au chapitre 2 pour les
bifurcations de courant, pour lesquelles le coefficient de perte de charge, peut être négatif. Ce gain
d’énergie du courant principal est compensé par une perte accentuée dans la sortie latérale.
Pour les déversoirs latéraux avec une direction de l’écoulement sortant latéralement non perturbée,
les observations montrent que le cas b), V~U • cos<|>, est une bonne approximation de la réalité [9.3].
Ce fait facilite le développement des équations (9.6).
En réalité, la zone dans laquelle l’écoulement varie localement est relativement courte par rapport à
la longueur totale du canal. Jf=Jf(x) de l’équation (9.6) peut donc être remplacé par sa valeur moyenne
(indice «a»)
L
Jfc = T-pf • dx’	(9.9)
Lo
L étant la longueur de l’ouverture latérale. Soit
J = Js “ Jfa	(9.10)
la pente de la ligne de charge par rapport au fond d’un canal à pente Js constante. Le système (9.6)
s’intégre alors et on obtient
O
H(x) = Ho + Jx = h +
2gA2
(9.11)
où H(x=0) = Ho est la constante d’intégration et J est indépendant de x. Pour des pentes de radier
positives et petites que l’on rencontre souvent en pratique, 0< Js< 0,01, l’effet de J sur l’écoulement peut
même être négligé. La relation (9.11) se réduit donc à H=H0 = constante, correspondant à une charge
constante par rapport au fond du canal. Dans des conditions pseudo-uniformes (J =0) l’équation dynami-
que d’un écoulement à débit décroissant est alors donnée par
H = h +
2gA2
H' = h' + ^_^ = 0.
«A2
(9.12)
DÉVERSOIRS LATÉRAUX
213
En éliminant le débit Q entre les relations (9.12)z et (9.12)h l’équation de la surface libre devient
finalement
h' 1 -
2(H —h) 0A1	2(H —h) 8A _ Q'V2g(H-h)
A dh. A ôx gA
(9-13)
Cette équation différentielle en h(x) doit être résolue en spécifiant l’intensité du débit sortant Q'(x) et en
partant d’une condition limite, h(x=0) = ho.
9.3	Intensité du débit latéral
Plusieurs formules ont été proposées pour calculer Q'(x) [9.5]. L’approche la plus simple tient compte
des lois valables pour le déversoir ou l’orifice (chap. 3 et 6). On peut démontrer, d’autre part, que les effets
de la vitesse dans le canal (V) et la direction ( ) du débit sortant par rapport à l’orientation de l’axe du
canal sont importants. Pour des canaux presque prismatiques à faible pente, l’angle local $ par rapport
à l’axe du canal est donné par [9.4]
sin<t>
y - W
3 — 2y — W,
(9-14)
où y = h/H, W=w/H, w étant la hauteur de la crête du déversoir (fig. 9.1). Il faut noter que 4> =90° pour
y = 1 (F —>0). Par contre 4* ->0 pour y->W. L’approche habituelle qui consiste à faire comme hypothèse
= 90°, quel que soit le nombre de Froude local F, est donc éloignée de la réalité.
Le débit sortant par unité de longueur, Q', devient [9.4]
3	____
Q' — — -n*cVgH3(y—W)3/2
i - w
— 2y — W/ L
\y - W/
(9.15)
où n* indique si la sortie latérale se trouve sur une paroi (n*= 1) ou sur les deux parois (n* = 2). c est
le coefficient de forme du déversoir, et vaut c= 1 pour une mince paroi. Pour d’autres formes de déversoir
(à seuil épais, à crête arrondie), c est défini en fonction de la géométrie de la crête [9.4]. Le terme entre
crochets dans l’équation (9.15), notamment 0 = (l/h) • (ôA/ôx), permet de considérer des canaux non
prismatiques.
9.4	Formulation adimensionnelle
Le nombre élevé de paramètres intervenant dans la description de la surface libre h(x) et le développe-
ment longitudinal du débit Q(x), conduit à adopter une représentation adimensionnelle. Pour une section
rectangulaire non prismatique pour laquelle
A = Bh, B = b + 0x	(9.16)
où B(x = 0) = b, et 0 est le changement longitudinal de la largeur, les dérivées partielles deviennent
ôA/ôh = (b+0x), ôA/ôx = — 0h. Soit k = n* • c un coefficient caractérisant la forme géométrique de la
sortie. En introduisant les valeurs adimensionnelles
X = kx/b, y = h/H , © = 0/k, W = w/H,
(9-17)
214
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 9.3 Surface d’eau type d’un déversoir latéral à écoulement fluvial et contraction linéaire, 0<0.
l’équation (9.13) devient [9.2]
, _ 20y(l-y) - Q'V2(r^)/k
y	(3y-2)(l+0X)
où Q'=Q7>/gH3 est le débit relatif. D’après l’équation (9.15) ce terme devient
\y — W/
1 - w
3 — 2y — W.
(9.18)
(9.19)
t. -
Le profil de la surface libre, y(X), à partir du système ci-dessus, ne dépend donc que de la hauteur
adimensionnelle du déversoir W et de 0.
9.5	Conditions asymptotiques
A partir de l’équation (9.18), on peut montrer que des canaux divergeant dans le sens de l’écoulement,
0 > 0, produisent une pente de surface plus grande que des canaux convergeant dans le même sens (notez
que Q' < 0). On vise à obtenir une longueur minimale pour le déversoir latéral, donc un écoulement à
pente de surface proche de Y horizontale. La pente de la surface devient ainsi y' = 0 si
a = 0yV2(l-y) - Q'/k = 0	(9.20)
à condition que a) y #2/3 et b) X# —1/0. y = 2/3 représente la condition critique (F = 1), et il est facile
de démontrer que X = —1/0 donne une largeur de canal B=0.
La condition (9.20) ne peut être réalisée que si 0 < 0 (car Q' < 0). En particulier, cette condition est
également satisfaite si Q'=0 (hauteur d’eau relative y = W) pour 0 = 0 ou y = 1. Ces conditions condui-
sent à une asymptote horizontale de la solution y(X). La figure 9.4 représente l’équation (9.20) pour le
déversoir latéral en tenant compte de la relation (9.19).
La hauteur résultant de l’équation (9.20) est représentée par yPN, indiquant que des conditions
pseudo-uniformes y'(y = yPN) = 0 apparaissent. La hauteur d’eau reste donc constante, la vitesse V=Q/A
DÉVERSOIRS LATÉRAUX
215
Fig. 9.4 Condition pseudo-uniforme pour laquelle la hauteur d’eau reste constante. (• • •) yPN=2/3; (-) yPN=W.
ne varie pas et l’intensité du débit sortant latéralement est uniformément répartie, mais le débit Q change
localement.
Si l’on introduit les conditions pseudo-uniformes h=hPN et V=VPN dans l’équation (9.12)j, on
obtient pour deux sections de largeur B et B—AB [9.6]
M-h  Q2	(Q-AQ)2	.....
2gB hPN	2g(B—AB) hPN
d’où (B —AB)/B = (Q—AQ)/Q ou
AB _ AQ
B ~ Q
(9.22)
Pour réaliser des conditions pseudo-uniformes, la variation de débit relatif doit être égale à la variation
relative de la largeur du canal (fig. 9.5). Cette relation simple n’est valable que dans des canaux où J~0,
et doit être modifiée dans des canaux à pente de fond quelconque [9.3].
Fig. 9.5 Diminution de la largeur du canal pour provoquer des conditions pseudo-uniformes; a) plan, b) coupe longitudinale.
b)
216
DÉVERSOIRS ET VANNES
Exemple 9.1
Soit un déversoir latéral en mince paroi (c = 1) de hauteur w=0,5m, de charge H = 1,0m, de convergence
9 =—0,2 à deux parois déversantes, n* = 2. On a donc W=0,5, k = 2, 0 = 0/k=—0,1, d’où on obtient
ypN=0,728 par la figure 9.4, et hPN=0,728-1=0,728m. Le débit sortant par unité de longueur devient
selon l’équation (9.19) Q' = -k • 0,6 • 0,228^ - (0,48)1/2 • 1,19= -0,108, alors Q'= -(9,81 • 13),/2 • 0,108 =
-O/BSmV.
Pour un canal de largeur amont Bo=5m et de débit aval Qu=Qo/5 le changement de largeur devient
AB = (8/10) • 5=4m d’après l’équation (9.22), donc Bu=lm. Le débit amont se calcule alors par
Qo=Boho(2g(H—ho)),/2=5 • 0,728(19,62(1-0,728)),/2=8,41m3s-1 en posant ho=hPN. Le débit déversé par
unité de longueur est Q' = —0,338m2s-1, donc AL=AQ/Q'=6,73/0,34=20m pour la longueur du déversoir
latéral. Les hauteurs critiques amont et aval sont, respectivement, 11^=0,74m=11^. L’écoulement est donc
presque critique au travers de la zone du déversement latéral.
On notera que la condition pseudo-uniforme peut être réalisée pour le débit de dimensionnement et
sert pour la définition de la géométrie du déversoir latéral (0). Pour tous autres débits, l’équation (9.18)
doit être résolue.
Fig. 9.6 Types de profil de surface pour F< 1 et F> 1, (--) conditions pseudo-uniformes; (-) conditions pseudo-critiques.
9.6	Conditions aux limites
L’équation (9.18) peut être résolue numériquement une fois qu’une condition à la limite,
y(X=X0)=y0, est posée. La solution générale considère tous les cas possibles, donc W^y< 1 (pour
y<W, le débit latéral étant nul, chap. 5).
F = 1 (y = 2/3) correspond au passage de conditions fluviales aux conditions torrentielles. La pente
y'(y=2/3) devient infinie, sauf pour 0y(2(l — y))1/2=Q'/k, comme indiqué à l’équation (9.18). Ce dernier
cas est, comme cela a déjà été démontré au chapitre 5, la seule possibilité physique (point singulier de
l’équation (9.18)). Une analyse détaillée indique cependant que le profil de surface auprès du point
singulier ne s’exprime pas seulement en fonction des paramètres de l’équation (9.17). Etant donné que
la zone de l'écoulement critique est très localisée, on peut approcher la transition deF<làF>l par la
condition pseudo-critique (F= 1, y'->oo). Cette procédure simplifie fortement la représentation des
solutions et est en accord avec les hypothèses qui sont à la base de l’équation (9.18). La solution y(X)
qui en résulte doit pourtant être exclue lorsque 0,6<y <0,7 [9.2].
DÉVERSOIRS LATÉRAUX
217
Les écoulements fluviaux se calculent en remontant, alors que la direction du calcul et de l’écoulement
est la même pour des conditions torrentielles. Pour 0 = 0, les conditions aux limites sont donc y(X = 0) = 1
pour 2/3 < y < 1 et y(X = 0) = 2/3 pour W < y < 2/3. Pour 0 < 0, il faut encore prendre en considération
la hauteur pseudo-uniforme. Soit F< 1 et 2/3<yPN< 1. Pour yPN<y< 1, y = 1 (F = 0) correspond au
point de contrôle. Par contre pour 2/3 < y <yPN, y = 2/3 a la fonction de ce point. De la même manière
on peut démontrer pour F> 1 que les points de contrôle sont y = W pour W<y<yPN, et y = 2/3 pour
yPN < y < 2/3. Le tableau 9.1 donne le résumé de ces valeurs.
Tableau 9.1 Points de contrôle pour l'écoulement dans des
déversoirs latéraux.
	J	J	“ ’ y = 2/3;	j rrx 2/3 «	 J < y «	Ypn
F > 1	y = 2/3	y = 2/3;	Ypn	< y	< 2/3
		y = W;	W <	y <	yPN
9.7 Solutions et leur discussion
Les solutions de l’équation (9.18) dépendent du nombre de Froude F2=2(1 — y)/y et de o défini dans
l’équation (9.20). Etant donné que B/b = (l +0X)>O, la pente de la surface libre y'(X) devient positive
pour <r>0, F< 1, et pour <r<0, F> 1.
Les extrêmes de y(X) se trouvent à l’endroit où y'=0, donc <r=0, F^ 1 (conditions pseudo-unifor-
mes) et y = 1. La condition pseudo-critique (F = 1, <r^0) apparaît pour y=2/3. La figure 9.6 montre les
solutions possibles en fonction de F et 0.
La solution y(X) de l’équation (9.18) est représentée dans la figure 9.7 pour 0=0, —0,1, —0,2 et
—0,4, W<y<2/3 (conditions torrentielles) et 2/3<y< 1 (conditions fluviales) [9.2]. Ces diagrammes
doivent être utilisés comme ceux du chapitre 5.
Exemple 9.2
Soit donné 0=0 (canal prismatique), H = lm et w=0,6m. La figure 9.7a indique que des conditions
fluviales (2/3 < y < 1) ne sont possibles que si AX<6,5. Pour des déversoirs latéraux plus longs, un ressaut
hydraulique doit apparaître. Par contre, cette restriction n’est plus valable si —0,1; le profil de surface
se rapproche de plus en plus de l’horizontale pour des valeurs de 0 plus faibles.
Si la hauteur aval est de hu=0,9m, donc Vu = (2g(H—hM))1/2=l,4ms71, le débit devient Qu=Vubuhtt=
l,26m3s-> pour b=lm. Quelle est la hauteur amont pour un débit amont Qo=l,7m3s~’ dans un canal
prismatique?
En tenant compte de l’équation (9.12)(, on peut démontrer que ho=0,7m [H=0,7 + 1,T2/
(19,62 * 0,72)=lm]. A partir du diagramme de la figure 9.7a) et pour W=0,6, la longueur initiale devient
X^(y=0,9)=—3,18, et la longueur finale Xo(y=0,7)= — 6,5. La longueur du déversoir latéral est alors
AX=XW—XO=3,32. Si la crête du déversoir est à seuil épais, le coefficient k de l’équation (9.17), est
approximativement k=0,8, donc L=AX * b/k=4,0m.
Avec la même condition à la limite aval, mais pour 0= —0,4, on tire du diagramme de la figure 9.7b)
X„=— 2,1. Cette valeur est située sur la courbe décroissante dans la direction de l’écoulement. Pour
Qo= l,7m3s-1 la hauteur d’eau amont ne peut être trouvée que par itérations. Soit yo=0,92, donc X^= —4
et Bo = b+(-0,4) • (-1,9)= 1,76m. Déplus, V0=(2g(H-h0)),/2=1,25ms’1 etQo=Vo • Boho=2,02m3s’1. Le
résultat final donne h^O,915m et la longueur du déversoir latéral n’est que de L= 1,29/0,8= 1,61m.
218
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 9.7a Profils de surface, y(XX pour diverses hauteurs du déversoir, W=w/H, et 0=0 (en haut), O= —0,1 (en bas); conditions
d’écoulement fluviales.
DÉVERSOIRS LATÉRAUX
219
Fig. 9.7b Profils de surface, y(X), pour diverses hauteurs du déversoir, W = w/H, et 0 = —0,2 (en haut), 0 = —0,4 (en bas); conditions
d’écoulement fluviales.
220
DÉVERSOIRS ET VANNES
Fig. 9.7c Profils de surface, y(X), pour diverses hauteurs du déversoir, W=w/H, et 0=0 (en haut), 0= —0,1 (en bas); conditions
d’écoulement torrentielles.
DÉVERSOIRS LATÉRAUX
221
Fig. 9.7d Profils de surface, y(X), pour diverses hauteurs du déversoir, W=w/H, et 0= —0,2 (en haut), 0= — 0,4 (en bas); conditions
d’écoulement torrentielles.
222
DÉVERSOIRS ET VANNES
La comparaison de ces deux exemples montre l’effet de la diminution longitudinale de la largeur B.
Le premier cas présente une répartition non uniforme du débit sortant, les vitesses dans le canal
proprement dit sont également très différentes. Finalement, un examen des diagrammes montre que
0= —0,25 conduit, pour l’exemple cité, à. un profil de surface d’eau proche de l’horizontale.
9.8 Application des résultats
Le procédé du calcul sera présenté dans l’exemple suivant.
Exemple 9.3
Soit un canal rectangulaire pour lequel Bo = 10m, Q„=100m3s-1, K=80m1/3s~ * et J,=0,01, situé à l’amont
d’un déversoir latéral à déversement libre sur une paroi (n* = 1) à seuil large (c^ 0,9). Le débit aval ne doit
pas dépasser Qu=20m3s“* et la hauteur du déversoir est limitée à w> 0,45m. Quelles sont les dimensions du
déversoir latéral et les caractéristiques de l’écoulement?
En partant des conditions uniformes pour le canal amont, la hauteur d’eau amont se calcule à
hoN = 1,25m, donc VoN = 8,0ms-’ et HoN=4,50m. La hauteur critique correspondante est 11^,= 2,17m>hoN;
l’écoulement est donc torrentiel.
1)	Si l’on admet des conditions pseudo-uniformes, la largeur aval devient Bu=2m d’après l’équation (9.22).
Avec yo=yu=yw= 1,25/4,5=0,28, et W=0,45/4,5=0,1, la figure 9.4 donne 0 = —0,12. On tire le débit
sortant par unité de longueur de l’équation (9.20) Q'= — 0,9 - 0,12 • 0,28(2(1 — 0,28))1/2= —0,036, donc
Q' = —0,036 • (9,81 • 4,53),/2= — l,08m2s~’ et la longueur du déversoir latéral devient AL= —AQ/Q' =
80/1,08 = 74,5m.
2)	Si l’on avait un déversoir latéral à section prismatique, Bo=Bu=10m, le diagramme supérieur de la
fig. 9.7c) donnerait comme valeur de la constante d’intégration X(y =0,28)=XO=3,5. Avec H=hu+Q^/
(2gb2h£)=4,5m, le calcul de la hauteur d’eau aval donne h^=0,22m <w=0,45m. La solution AQ=
80m3s-1 et w^0,45m n’existe donc pas.
Par contre, avec une longueur du déversoir latéral AL=74,5m comme sous 1), donc AX=0,9-
74,5/10=6,7 et X„=3,5+6,7 = 10,2, la figure 9.7c) donne yu=0,18, alors hu=0,80m et
Qu= 10 • 0,8(19,62(4,5—0,8))l/2=68,2m3s-1, d’où AQ=31,8 m3s-’<80m3s~’. La comparaison entre les
cas 1) et 2) montre l’effet important du rétrécissement sur le débit déversé latéralement.
3)	Pour O = —0,4, donc 0 = — 0,9 • 0,4= —0,36, c’est le diagramme inférieur de la figure 9.7d) qui doit être
utilisé. Il en résulte X0(y0=0,28) = 1,78 (W=0,1), donc b(X=0) = B/( 1 + 0XJ = 10/(1 - 0,4 • 1,78) = 34,7m
selon l’équation (9.16)2 et xo = 1,78 * 34,7/0,9 = 68,6m. Le tableau 9.2 indique des hauteurs aval et des débits
Tableau 9.2 Calcul du profil de surface pour l’exemple 9.3.
X (-1	x [m]	x~xo [m]	y f-]	hu [m]	vu [rns'l	Bu [m]	Qu [m3s->l
2	77,1	8,5	0,34	1,53	7,63	6,94	81,0
2,2	84,8	16,2	0,43	1,93	7,09	4,16	56,9
2,35	90,6	22,0	0,50	2,25	6,64	2,08	31,1
2,40	92,5	23,9	0,52	2,34	6,51	1,39	21,1
aval pour differentes positions X. Il s’ensuit que la longueur du déversoir doit être AL=24m pour que
AQ=80m3s~‘. On constate que la hauteur d’eau augmente dans la direction aval, ce qui donne des
intensités de débit Q' plus élevées que dans le cas 1). Pour déverser AQ=80m3s-1, le tiers de la longueur
correspondante suffit.
DÉVERSOIRS LATÉRAUX
223
Les écoulements à débit localement décroissant se traitent par la théorie des écoulements graduelle-
ment variés. Il suffit normalement de considérer une approche unidirectionnelle en tenant compte d’une
répartition uniforme des vitesses et d’une répartition hydrostatique des pressions. Les conclusions
suivantes peuvent être formulées:
1.	L’équation de la quantité de mouvement se réduit pour des écoulements graduellement variés à
l’équation de Bernoulli (9.11) et prend une forme élémentaire (9.12) pour des canaux dont la pente
du radier est faible (< 1 à 2%).
2.	L’intensité du débit sortant du canal doit tenir compte de la géométrie du canal et de l’ouverture
latérale; de plus, des effets dynamiques et de direction par rapport à l’axe du canal doivent être
considérés pour des écoulements à vitesse importante. L’équation (9.15) englobe ces exigences d’une
manière complète.
3.	Une formulation adimensionnelle permet une représentation concise des résultats. Des solutions
pour des déversoirs latéraux dans des canaux à profil rectangulaire non prismatique sont présentées.
4.	La condition pseudo-uniforme, pour laquelle la surface d’eau reste parallèle au fond du canal, la
variation de la vitesse longitudinale étant nulle et l’intensité du débit sortant constante, est particuliè-
rement intéressante. Les conditions à remplir pour la satisfaire sont spécifiées et discutées. La
procédure de calcul est finalement expliquée par des exemples.
5.	La précision avec laquelle le profil de surface et le débit déversé latéralement peuvent être déterminés
s’élève à peu près à 5%, si la formation de ressauts hydrauliques est exclue [9.3]. Les calculs sont en
bonne concordance avec des essais sur modèles réduits [9.2].
Références
[9.1]	El-Khashab, A., Smith, K.V.H., «Experimental investigation of flow over side weirs», Proc. ASCE,
J. Hydraulics Division, Vol. 102, HY9, 1976, 1255-1268; Vol. 103, HY5, 1977, 580-581; HY8, 941-943;
HY9, 1107-1108; Vol. 104, HY1, 1978, 126-128.
[9.2]	Hager, W.H., «L’écoulement dans des déversoirs latéraux», Canadian Journal of Civil Engineering, Vol. 15,
1985, 5, 501-509.
[9.3]	Hager, W.H., Volkart, P.U., «Distribution channels», Proc. ASCE, J. Hydraulic Engineering, Vol. 112,
HY10, 1986, 935-952.
[9.4]	Hager, W.H., «Latéral outflow of side weirs», Proc. ASCE, J. Hydraulic Engineering, Vol. 113, HY4,1987,
491-504.
[9.5]	Kosinsky, V., de, «Etude expérimentale de déversoirs latéraux», Revue Universelle des Mines, Juillet 1968,
199-211.
[9.6]	Ramamurthy, A.S., Subramanya, K., «Uniformly discharging latéral weirs», Proc. ASCE., J. Irrigation
and Drainage Division, Vol. 104, 1978, 399-412.
[9.7]	Yen, B.C., Wenzel, H.G., «Dynamic équations for steady spatially varied flow», Proc. ASCE, J. Hydrau-
lics Division, Vol. 96, 1970, 801-814.
[9.8]	Yen, B.C., «Open-channel flow équations revisited», Proc. ASCE, J. Engineering Mechanics Division,
Vol. 99, EM5, 1973, 979-1008; Vol. 101, EM4, 1975, 485-488.
224
DÉVERSOIRS ET VANNES
Notations
Les indices «o» et «u» se rapportent aux sections amont et aval du déversoir latéral. Les primes caractérisent des
dérivées totales par rapport à la coordonnée longitudinale x, c’est-à-dire ( )' = d( )/dx. «PN» indique des conditions
d’écoulement pseudo-uniformes.
A	[m2]	section mouillée	P	[m]	hauteur de pression latérale
b	[m]	largeur du canal au point de con- trôle	Q Q'	[m’s-1] [m2s ’]	débit changement longitudinal du débit
B	[m]	largeur variable du canal '	U	[ms"‘]	vitesse latérale
c	[-]	coefficient de forme du déversoir	V	[ms ’]	vitesse moyenne
E	[m4s~’]	énergie spécifique	w	[m]	hauteur du déversoir
F g	[-1 [ms 2]	nombre de Froude accélération gravitationnelle	W	[-]	hauteur adimensionnelle du déver- soir
h	[m]	hauteur d’eau	x	[m]	coordonnée longitudinale
H J	[m] [-]	charge pente totale	X	[-1	coordonnée adimensionnelle longi- tudinale
Jf	(-1	pente de frottement	y	[-1	hauteur d’eau adimensionnelle
J,	[-1	pente du radier	4>	[-1	angle latéral
k	(-1	coefficient caractérisant la forme géométrique de la sortie latérale	e,@	[-1	changement longitudinal de la sec- tion
K L n*	[m^s-’J [m] [-]	coefficient de rugosité longueur de l’ouverture latérale nombre de parois déversantes	CT	[-1	coefficient décrivant la condition pseudo-uniforme
10.	Canaux à adduction latérale
c)
Ecoulement dans un canal à adduction latérale de débit, a) vue vers l’aval, b) vue vers l’amont, c) plan.
m. CANAUX
Bien que les chapitres 4 et 5 se rapportent déjà aux écoulements dans
des canaux ou des rivières, il peut y avoir des éléments distincts que l’on
retrouve surtout dans les constructions hydrauliques et qui nécessitent un
traitement plus approfondi.
Ainsi, le chapitre 10 traite du canal à adduction latérale. Cette
structure se trouve souvent en combinaison avec le déversoir d’un éva-
cuateur de crue et fonctionne comme auge collectant l’eau déversante.
Cette configuration d’ouvrage s’impose pour tous les cas où le déversoir
ne peut pas être prolongé par un coursier perpendiculaire à l'axe du
déversoir. Les différentes conditions d’écoulement dans l’auge et dans le
canal qui la prolonge seront discutées.
Un deuxième élément particulier d’un canal peut être donné par une
courbe, provoquant un changement de direction pour l’écoulement. Vu
qu’il existe une similarité d’écoulement avec les canaux à jonction, le
chapitre 11 porte sur les divers aspects d’écoulement que l’on retrouve.
La distinction est faite entre les conditions d'écoulement fluviale et
torrentielle.
Le changement important de la section du canal, soit des élargisse-
ments ou des rétrécissements, présente un troisième élément particulier.
Des questions y relatives seront abordées dans le chapitre 12; de nouveau
les conditions d’écoulement fluviale et torrentielle sont analysées.
L’aération superficielle se remarque surtout dans des écoulements à
haute vitesse que l’on retrouve souvent sur des coursiers. L’effet de
l’aération sur l’écoulement est traité dans le chapitre 13.
L'apparition de sous-pressions dynamiques, qui peuvent même créer
des érosions de cavitation, est également liée à l’écoulement à haute
vitesse. Ce phénomène ainsi que des mesures constructives pour y remé-
dier seront présentés dans le chapitre 14.
228
CANAUX
10.1	Introduction
Les canaux de fuite des évacuateurs de crues ne sont pas toujours disposés dans la direction de
récoulement du déversoir, mais lui sont souvent perpendiculaires. Une auge, longeant latéralement le
déversoir, collecte donc les eaux déversées, comme le montre la figure 10.1. Le débit Q dans cette auge
croît localement avec la coordonnée longitudinale x.
Fig. 10.1 Canal avec adduction latérale, a) vue en plan, et b) coupe longitudinale.
Un tel déversoir est réalisé normalement à flanc de coteau à une faible distance à l’amont du barrage,
la crête du déversoir fixant ainsi la retenue normale. Cette disposition est adoptée pour les aménagements
qui ne permettent pas d’incorporer l’évacuateur dans le barrage lui-même, soit en raison du manque de
place, soit à cause du type de barrage.
L’auge du déversoir est prolongée par un canal découvert ou par une. galerie. L’eau ainsi recueillie
dans l’auge contourne le barrage et rejoint le fond de la vallée suivant un tracé plus ou moins raide,
imposé par la hauteur du barrage et la topographie du site.
Les premières investigations concernant les canaux à débit localement croissant ont été effectuées
dans les années 1920/30 dans le cadre du projet de Hoover Dam aux USA. Plus tard, Favre [10.2, 10.3]
a présenté une théorie générale des écoulements stationnaires graduellement variés en tenant compte des
apports ou des sorties latéraux. La comparaison avec des essais à faible nombre de Froude a montré une
bonne concordance entre la théorie et les observations. L’approche choisie par Favre se base sur les
hypothèses habituellement introduites dans des calculs hydrauliques. Elles seront discutées dans le
prochain paragraphe. Les équations qui en résultent ne peuvent être résolues que par des méthodes
numériques. Le but des développements qui suivent est de simplifier l’équation de base pour qu’elle puisse
être appliquée plus aisément aux problèmes rencontrés couramment.
Des approches un peu différentes de la nôtre ont été présentées par Hsu [10.9] et par Henderson [10.7].
Des essais sur modèle ont été réalisés par des Italiens, notamment Citrini [10.1], de Marchi [10.10] et
Sassoli [10.11].
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
229
10.2	Hypothèses et équations de base
Le débit entrant latéralement dans l’auge de longueur L perturbe l’écoulement dans l’auge elle-même.
Ce fait est à l’origine de pertes de charge additionnelles non négligeables qui ne permettent pas d’appliquer
l’équation de Bernoulli. Le profil de la surface de l’eau doit donc être déterminé par application du
théorème de la quantité de mouvement.
Supposons dans le canal un écoulement stationnaire et unidirectionnel, pour lequel la répartition des
pressions est hydrostatique et celle des vitesses uniforme. En se référant à la figure 10.2, on constate que
l’application du théorème de la quantité de mouvement doit tenir compte des forces de pression et d’inertie
amont et aval (indices «o» et «u»), de la composante longitudinale du poids de l’eau entre les deux
sections, des forces de frottement et de la force exercée par le débit latéral.
Soit A = A(x,h) la section mouillée du canal, hp la position de son centre de gravité, Q = Q(x) le débit
et g l’accélération gravitationnelle. La quantité spécifique de mouvement S est alors (chap. 1)
Q2
S = hpA + 4.
gA
(10.1)
La variation longitudinale dS/dx est égale à la somme des forces extérieures (fig. 10.2). Ces dernières
se composent du poids du liquide dans la direction longitudinale, JsAdx, du frottement, — JfAdx, de la
Fig. 10.2 Forces principales agissant sur le volume de contrôle dans un canal avec adduction latérale; a) coupe longitudinale, b) plan.
force sur les parois du canal non prismatique, (dA/dx)hpdx et du débit dQ> 0 entrant latéralement sous
angle 4> par rapport à l’axe du canal, Ucos 4> dQ/g, U étant la vitesse latérale d’entrée, donc
dS = (Js—Jf)Adx -F hpA'dx -F	.
g
(10.2)
En dérivant l’équation (10.1) par rapport à x et en l’identifiant à l’équation (10.2) divisée par (dx), on
obtient
v* .2QQ'	Q'A'	n i\* Ucos<t>Q'
h A + —---------— = (Js—Jf)A -F------------
gA	gA2	g
(10-3)
230
CANAUX
avec hj>=h' (répartition hydrostatique de la pression). Etant donné que la section mouillée dépend de la
hauteur d’eau et varie longitudinalement avec x, A=A(x,h), donc A' = (ôA/dx)+(ôA/ôh) • h', la relation
(10.3) peut être écrite comme suit
VUcos4> - 2V2\Qz t Q2 ÔA
< g /Q gA3 9x
(10.4)
et correspond donc à l’équation (9.5). F2 = [Q2/(gA3)J • (ôA/ôh) est le nombre de Froude et la surface
devient verticale pour F=1 sauf si le numérateur de l’équation (10.4) est simultanément nul (point
singulier).
Comme cela a déjà été exposé au chapitre 9, la variation de la perte de charge locale due au débit
Q' entrant latéralement est donné par (9.6)2. Pour des déversoirs à crête parallèle à l’axe de l’auge, la
direction de l’apport est à peu près perpendiculaire à cette dernière, donc 4> =90°. Ce gradient de perte
locale devient alors

QQ/
gA2
Y!. 21
g Q
(10.5)
L’adduction perpendiculaire du débit dQ par longueur dx provoque toujours une perte de charge.
En pratique on cherche des auges à perte de charge minimale. En tenant compte de la formule de
Manning-Strickler (chap. 4) pour la perte de charge due au frottement
Jf K2Rj/3 ’
(10.6)
K étant le coefficient de rugosité et le rayon hydraulique, on constate que et Jr dépendent tous deux
de la vitesse locale V=Q/A. Pour un canal aval prismatique (x > L) donné, il faut donc minimiser les
vitesses dans l’auge. Les vitesses dans une auge divergente en direction de l’écoulement sont évidemment
plus élevées que les vitesses correspondantes dans une auge prismatique (pour des raisons d’économie,
une auge convergente n’est pas concevable). Par conséquent, des auges prismatiques sont préférables du
point de vue hydraulique (fig. 10.3).
Comparée à la longueur du canal aval, la zone à débit localement varié est courte. La perte de charge
due au frottement, Jf, peut donc être approchée par sa valeur moyenne, Jfm=[Jf(x=0) + Jf(x=L)]/2. Pour
des auges dont la pente du radier Js est constante, la différence entre les deux, J=Js—Jfm, devient ainsi
indépendante de la coordonnée longitudinale x.
Finalement, le débit entrant latéralement dans l’auge est souvent uniformément réparti; pour une auge
fermée à son extrémité amont, il en résulte Q(x) = qx, q = Q'>0 étant le débit latéral par unité de
longueur.
Dans les cas usuels, l’équation générale du profil de surface (10.4) se simplifie et devient
j _ 2QQZ
(10.7)
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
231
OÙ
Fig. 10.3 Comparaison entre a) variante divergente et b) variante prismatique pour des conditions hydrauliquement identiques. Ah„
est la différence de niveau entre a) et b) à l’extrémité amont du canal collecteur par rapport à (•) la même condition aval.
Q = qx,
Q = qL = Qu,
0 x < L,
x > L.
(10.8)
On peut démontrer que, avec les hypothèses précédentes, cette équation différentielle est équivalente au
système
Q2
S = hpA + ^,
gA
S' = JA.
(10.9)
On notera la similitude avec le système (9.6) pour les écoulements à débits localement décroissants.
Pour des auges dont la pente du radier est positive, Js>0, on peut distinguer deux cas. Le premier
correspond à une auge à radier presque horizontal, 0<J,<0,01, pour lequel J^O, donc S'=0 d’après
l’équation (10.9)2. Le deuxième cas est caractérisé par un radier de pente non négligeable J, >0,01, pour
lequel J Js. Ces deux cas seront analysés en détail pour des auges à section trapézoïdale.
10.3	Conditions aux limites
10.3.1 Généralités
La relation (10.7) pour le profil de surface, h(x), peut être intégrée dès qu’une condition limite est
prescrite. Pour les canaux aval (x>L) il faut distinguer les cas où Js< Jc (hN > hj et J8>JC (h^h,.), Jc
et h,, étant la pente et la hauteur critique pour un débit donné (fig. 10.4).
Pour x=0 (auge fermée à l’amont), la hauteur d’eau h(0)=ho>0, mais Q(0)=0 selon l’équation
(10.8)j. Le nombre de Froude amont devient alors F=0. L’initialisation du calcul doit donc être
recherchée pour x > 0.
232
CANAUX
Fig. 10.4 Différences entre des canaux aval où a) hN >11,. et b) ^<1^; ((----------) hauteur uniforme hN, (•••) hauteur critique),
directions de calcul.
Pour J8<JC, où hN>hc (fig. 10.4a), une condition d’écoulement connue à l’aval du canal considéré
fournit le point de départ. Un calcul de la courbe de remous (chap. 5) permet de retrouver la hauteur
d’eau h = hy du point x = L. Cette hauteur, h(x= L)=> hç, est égale à la hauteur hN si le canal aval est
long, prismatique et sans changement de pente, de rugosité et de débit. Le profil de surface dans une auge
de section trapézoïdale est discuté, pour ce cas, sous 10.4.1.
Pour J8> Jc ou h^hç (fig. 10.4b) l’écoulement doit forcément passer, pour un x>0, de l’état fluvial
à l’état torrentiel. Considérons un canal aval prismatique de pente et de rugosité constantes. Ainsi que
cela a été décrit au chapitre 5, une transition de F < 1 à F > 1 est impossible dans un tel canal. L’état
critique doit donc apparaître déjà le long de l’auge, donc pour 0< x^L. Les deux positions possibles du
point de départ 0<x(F= 1)<L et x(F = 1)=L sont discutées sous 10.3.2 et 10.3.3, respectivement.
10.3.2 Point singulier
On définit comme point singulier (x8, h8) d’une équation différentielle ordinaire de premier ordre,
comme par exemple l’équation (10.7), l’endroit où le numérateur et le dénominateur sont simultanément
nuis. Comme cela a été démontré au chapitre 5, le point singulier x=x, correspond au point critique d’un
écoulement graduellement varié (x8, h, définissent donc le point de départ).
Pour obtenir des résultats simples de la détermination de x8 et h,, on analyse tout d’abord un canal
prismatique et rectangulaire avec A=bh. Avec hp=h/2, les équations (10.9) deviennent, respectivement
o bh2 Q2
S —------+-------,	1
2 gbh	(10.10)
S' = Jbh.
En dérivant l’équation (10.10)] par rapport à x et tenant compte de (10.10)2, on obtient
_£Lj_
gb2h3/
2QQZ
gb2h2
(10.11)
La condition critique signifie F2 = 1, donc Qj=q2^—gb2hj et, simultanément gb2h^J = 2QSQ'= 2q2x, avec
Q, = qXj. Ces deux relations pour les inconnues x, et hj ne sont évidemment valables qu’au point singulier
(indice «s») de l’équation (10.11).
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
233
En éliminant x,,, on trouve
4q2
gb2J2’
donc xs =
8q2
gb2J3 ’
(10.12)
Etant donné que l’on a introduit l’équation (10.8)!, qui est valable pour 0^x<L, cette solution
correspond à une première possibilité pour la position du point critique. La transition deF<l àF>l
se situe donc à l’endroit x=xs<L. La hauteur correspondante est h,.
La pente du profil de surface au point singulier \ se détermine à l’aide d’une nouvelle dérivation de
l’équation (10.11). En tenant compte de F = 1 et J = 2QgQ^(gb2hJ), le résultat s’écrit
3h;2 - 3Jh; + Ç +
2Q,q;'
gb2h,
(10.13)
Comme supposé, Q"=0 si 0<x<L, donc [10.4]
K = i(i ±7î/3).
(10.14)
La solution avec le signe positif correspond à la transition F > 1 à F < 1 [10.4] qui n’est pas considérée
dans ce contexte. La solution avec le signe négatif, par contre, apporte la solution recherchée h^=0,21 U.
L’intégration de l’équation (10.7) démarre donc de (xd,hd) = (xs,hs) dans les directions positive (F > 1) et
négative (F < 1) pour 0 < x < L. Pour x > L, les courbes de remous sont appliquées pour déterminer le profil
de surface, ultérieur (chap. 5).
Le procédé décrit ci-dessus ne s’applique qu’à des canaux pour lesquels J>0 (voir l’équation
(10.12)2), et xs<L (voir l’équation (10.8)).
10.3.3 Condition pseudo-critique
Pour les données q, b et J, la grandeur xs de l’équation (10.12)2 peut pourtant dépasser la longueur
de l’auge, xs>L, ce qui n’est pas compatible avec l’équation (10.8). Comme l’écoulement dans le canal
aval est supposé torrentiel suite à la condition Jg>Jc et que 0<xd<L est discuté sous 10.3.2 (point
singulier), la seule possibilité pour Xj correspond donc à Xj = L. La hauteur correspondante 1^ se calcule
selon hd=hc=[Q^/(gb2)]1/3. (Xdîhd) correspondent aux coordonnées du point de départ pour le calcul du
profil de surface h(x).
Un autre développement pour le même cas est donné par [10.6]. L’équation (10.7) pour ce cas
«dégénéré» près du point critique ne s’applique pas à cause de la discontinuité de la répartition locale du
débit, Q(x). En particulier, le terme Q"(x=xc) de l’équation (10.13) n’est pas défini.
Une analyse simplifiée ne considère que les sections aux limites, donc x=0 («1») et x=xd=\ = L
(«2»). L’application du théorème de la quantité de mouvement le long de l’auge, Ax=L, donne alors
So - Stt = Gx	(10.15)
où S est défini par l’équation (10.9)t et Gx est la composante de la différence du poids du liquide et la
force moyenne de frottement en direction de l’axe de l’auge, x. A partir de l’équation (10.9)2, cette
dernière quantité peut également être définie par Gx = ojLS'dx=J A L. L’équation (10.15) permet de
calculer la hauteur d’eau h(x = 0) = ho à l’extrémité amont de l’auge.
234
CANAUX
En résumé, il faut distinguer trois possibilités pour le point de départ du calcul h(x = xd)=1^ (fig. 10.5)
1)	> hj. (Fu< 1), calcul de l’aval vers l’amont:
2)	hy < h,. ; x, < L, (Fu > 1) point singulier:
3)	hu<hj xs> L (Fu> 1) point pseudo-critique:
Xd = L, hd=ha,
xd=xs, hj — hg,	(10.16)
x^L, hu=hc=[Q2/(gb2)l1/3.
Fig. 10.5 Points de départ (•) et directions de calcul («-,-») pour les écoulements dans des auges, a) conditions fluviales, b) point
singulier à 0 < x < L pour x, < L, c) point de contrôle à la sortie de l’auge pour x, > L.
10.4 Profil de surface dans des auges trapézoïdales
10.4.1 Auge à faible pente du radier
Pour une faible pente positive du radier (0<J8<0,01) pour laquelle Fu< 1, la différence J=J8—Jf,
définie au paragraphe 10.2, devient presque nulle. Etant donné que la longueur de l’auge, L, est petite
par rapport à la longueur du canal aval, la variation de S selon x est négligeable. L’équation (10.9) se
simplifie donc en S=constante pour O^x^L.
La force de pression hydrostatique dans un canal de section trapézoïdale symétrique à pente (l:m)
est (chap. 2)
fbh2 mh3\
p = pg(T + —)
et la section mouillée
A = bh + mh2.
(10.17)
(10.18)
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
235
La quantité du mouvement spécifique, S, devient donc
s = — + — + Q2
2	3 g(bh+mh2)
Avec Q(x = 0) = 0, le théorème de la quantité de mouvement impose
bh2	mh^ = bh^	mh^
2	3	2	3	gCbh.+mh;)
(10.19)
(10.20)
où les indices «o» et «u» se rapportent aux sections amont (x=0) et aval (x = L) de l’auge.
Avec les paramètres adimensionnels
Y = ho/h„, M = mhjb, f = Qj/fgb2^)	(10.21)
où Qu=qL, l’équation (10.20) s’écrit
Y2 4- 2MY3/3 = 1 4- 2M/3 4- 2f/(14-M);	(10.22)
cette forme représente une relation du troisième degré en Y. f est le nombre de Froude aval pour m=0,
et Qu=qL est le débit aval à l’endroit x>L. La solution retenue de l’équation (10.22), Y(f), est
représentée à la figure 10.6 avec M comme paramètre. Il en résulte que Y > 1 pour toutes les valeurs de
f. De plus, Y augmente avec f et avec M“*.
Fig. 10.6 Représentation adimensionnelle du rapport Y=hg/h. en fonction de f= Qi/(gb2hJ) et M=mhjb pour les canaux prismatiques
trapézoïdaux pour une adduction latérale. L’écoulement critique est marqué par la ligne hachurée. (•••) Domaine à conditions
d’écoulement torrentielles exclu, Fa> 1.
Le cas particulier m=0 (section rectangulaire) amène
(10.23)
Pour un canal de section triangulaire symétrique (b=0) l’équation (10.20) donne
/	3o2 \1/3	/	3 \1/3
Y = (1+-%) = (1 + IF4
\ gmzh?J \	2 /
(10.24)
où F> 2Qj/(gm2hi) est le nombre de Froude aval (chap. 4). Pour Fu= 1 (conditions critiques), le rapport
des hauteurs d’eau à l’amont et à l’aval de l’auge devient Y = (5/2)1/3 = 1,357. La figure 10.6 permet de
constater que, pour f, b et hu fixés, la hauteur amont h,, décroît lorsque M croît.
236
CANAUX
La hauteur critique d’un écoulement en canal trapézoïdal est déterminée par la condition 9H/9h=0,
92H/9h2>0 (chap. 4), où H et h représentent la charge et la profondeur locales de l’écoulement. En
valeurs adimensionnelles, on obtient
f(l+2M) _
(l+M)’
(10.25)
relation qui est représentée dans la figure 10.6 par la ligne hachurée. Elle partage le domaine des solutions
en deux zones, l’une avec un écoulement fluvial en tout point, et l’autre avec une transition de l’écoule-
ment fluvial à l’écoulement torrentiel. Ce dernier domaine est exclu pour le cas considéré, Fu< 1.
Exemple 10.1
Un évacuateur de crues est constitué d’un déversoir latéral suivi d’un long canal rectiligne. Le débit à
évacuer s’élève à Q=100m3s~* et la longueur du déversoir est L = 50m. La largeur de l’auge ne doit pas
dépasser B = 12,5m, et la pente du fond est J,=0,3%. Quelles sont les caractéristiques de l’écoulement si le
coefficient de rugosité de l’auge est K=50m,/3s~‘?
Choisissons une auge prismatique de section trapézoïdale avec b = 5m et m=0,8, pour laquelle la hauteur
uniforme devient hN = 3,2m et la hauteur critique est 1^=2,95m (chap. 4), donc hv=hN>hc(Fu< 1). Les
paramètres adimensionnels sont M=0,8 • 3,2/5=0,51 etf= 1002/(9,81 • 52- 3,23)=1,24, d’où Y = 1,42 d’après
la figure 10.6, donc h„=4,55m. La largeur de surface Bo=b+2mht>=5+2 0,8 • 4,55= 12,27m est inférieure
à la largeur maximale de 12,5m préconisée.
10.4.2 Auge à forte pente du radier, xs<L
Cette approche s’applique à des auges pour lesquelles la pente du radier Js dépasse considérablement
la pente moyenne de frottement Jfm, donc J=Js—Jfm>0,01. En tenant compte des équations (10.8)i,
(10.9) et (10.19), le profil de surface le long de l’auge (0^x<L) s’exprime par [10.6]
4i _ x20+2xy)1 = i _ x
2L y3(i+zy)3J /(i+zy)2
(10.26)
où
x = ^-x,
8q2
(10.27)
et ( )'=d( )/dX.
Cette relation permet de déterminer le profil h(x) si J, q, m, et b sont donnés et une condition limite
est prescrite. Comme cela a été démontré au paragraphe 10.3, le point de contrôle (F = 1) est alors situé
le long de l’auge, 0<xJ<L. Les coordonnées du point singulier (indice «s») dans le profil trapézoïdal
peuvent être déterminées par analogie à 10.3 par [10.6 ]
y,G +zy.)(i+2xys) = 1, x, = y?(i+xys)2.
(10.28)
Ce système à deux inconnues (X,,ys) est représenté dans la figure 10.7.
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
237
Fig. 10.7 Coordonnées (X,,yJ au point singulier d’après le système (10.28).
Exemple 10.2
Soit b—2m, m=0,577 (60°), J = 0,10, q=0,58m2s-1, donc x=l. La figure 10.7 donne y,=0,399 et
X,=0,311, d’où (xs,h8)=(21,3m, 1,37m). Au point singulier, le débit s’élève à Q,=qx,= 12,35m3s-1, et il est
facile de démontrer à l’aide des indications données au chapitre 4 que 11,=!^.= 1,37m.
Pour x < x,, l’écoulement est fluvial, tandis qu’il est torrentiel pour x> xs. Cette règle ne se réfère qu’à
des écoulements présentant une transition des conditions fluviales aux conditions torrentielles. Une
analyse détaillée [10.6] indique en plus que la pente du profil de surface au point singulier devient
3(l+2xys) - x/3 4- 16%ys 4- 16x2y2
ys0+xyJO+i0zy,4- iox2y?)
(10.29)
Cette valeur de y' au point singulier permet l’évaluation numérique de l’équation (10.26); les profils de
surface y(X) en résultant sont représentés dans la figure 10.8. On constate que la hauteur d’eau croît en
direction 4-x.
Les solutions de l’équation (10.28) ne sont valables que si la longueur de l’auge xs< L. Comme cela
a été expliqué au paragraphe 10.3, les conditions d’écoulement sont encore fluviales pour l’autre cas,
xs>L, à l’endroit x=L. Cette configuration ne peut pas exister physiquement dans le canal.
Fig. 10.8 Profils de surface y(X) pour diverses valeurs % types dans un canal à débit croissant de section prismatique et trapézoïdale
pour J>0. (•) Points singuliers. Solutions pour \<L.
238
CANAUX
10.4.3 Auge à forte pente du radier, xs>L
Ce cas se présente si le point singulier, est situé en dehors de l'auge. Comme indiqué sous 10.3.3,
il peut être analysé en considérant globalement l'auge. En tenant compte d'une section trapézoïdale
prismatique, l'équation (10.15) devient (voir aussi 10.4.1 et [10.5])
bh2 mh3	zl_. , bh2 mh3 Q2
-V + -r + ~[(bh<,+mhj) + (b^+mh^JL =	.	(10.30)
2	3	2	2	3	g^l^+mh;)
Avec les paramètres adimensionnels
Y = hjl^, yu = mhjj/b, j = JL/h^	(10.31)
et avec la condition critique Qj = gb2hj(l 4- yu)3/(l + 2yu) à l’endroit x<j=x,, = x,. = L, l'équation (10.30) se
transforme en
(Y2-1) + |y„(Y3-1) + j[Y + 1 + y„(Y2+1)] =	.	(10.32)
3	1 + 2yu
Avec 1^=h,. (F= 1), J=Js—Jfu et Jfu~ Jfc/2, les paramètres yu et j sont définis. La figure 10.9 permet alors
de déterminer Y, d’où on tire ho=Y • h^.
Fig. 10.9 Rapport des hauteurs d’eau amont et aval de l’auge, Y=ho/h1„ en fonction de la hauteur aval, y,=mhjb, et de la pente
relative, j=JL/h,. La condition d’écoulement pour x = L est critique.
On voit que Y diminue lorsque ytt et j croissent. L’expression asymptotique de Y(j,yu->oo) est
|(Y’-1) + j(Y2 + l) - 1 =0, yu-oo.	(10.33)
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
239
Cette expression, et l’autre extrême yu->0, donc
Y = [(j2/4) - j + 3]1'2 - j/2, y„-0,	(10.34)
sont représentés dans la figure 10.10. L’équation (10.33) constitue une solution dans le cas d’un profil
triangulaire, tandis que l’équation (10.34) donne la solution pour un profil rectangulaire, voir aussi
10.4.1. Il est à noter que Y peut être plus grand ou plus petit que Y = 1.
Fig. 10.10 Solution asymptotique de l’équation (10.32) pour les profils rectangulaire (y„=0) et triangulaire (ya-*oo).
La différence d’élévation entre le plan d’eau amont et le niveau du fond à la sortie de l’auge est
A = JS • L+ho~J • L+hp, ou A=Â/hu=j + Y. Elle permet d’estimer l’effet de j sur A. La figure 10.9
indique que A est minimal pour j =0, mais augmente lorsque j croît. Par conséquent, il faut choisir une
valeur faible de la pente du radier Js pour que la dénivellation A soit minimale.
La perte de charge relative résultant de l’adduction latérale du débit se calcule à l’aide de l’expression
Ho = ho + JL = h. + -% + AH = H, + AH	(10.35)
2gA;
ou, en tenant compte de h^hc et HU = HC
AH Y+j
T| = ----------------------------------- = -----------------1 .
* Hc j + 1 -h ya	(10.36)
2(l+2yu)
En éliminant Y=Y(j,yu) entre les équations (10.32) et (10.36), on obtient une représentation
B—'n(j,yu) (fig- 10.11). On constate que q ne dépend que légèrement de yu, mais augmente fortement
lorsque j croît.
Les résultats présentés peuvent être également appliqués aux auges pour lesquelles le point de
contrôle, x=xc = L, est «artificiellement» forcé, par exemple par un changement de pente à la sortie de
l’auge. Si, par contre, le canal collecteur est submergé par l’aval, ou si un écoulement torrentiel amont
peut s’établir, une approche plus générale doit être choisie [10.3]. Cette approche se base sur l’équation
(10.11) et est valable pour l’écoulement dans un canal rectangulaire.
240
CANAUX
Fig. 10.11 Perte de charge relative T| = AH/Hc due à l'adduction latérale de débit en fonction de y^mhjb et j = JL/h,; écoulement
critique à la sortie de l’auge.
10.5 Commentaires supplémentaires
Les calculs précédents sont fondés sur l’hypothèse selon laquelle le canal aval est rectiligne et la pente
du radier constante. Dans la plupart des cas, on trouvera pourtant des variations de la pente et même
des zones courbes en plan. Le choix de la section de l’auge doit être en accord avec le canal aval. Ce
dernier peut être exécuté comme canal découvert, ou en galerie avec écoulement à surface libre. La
transition à la sortie de l’auge, x~L, doit être faite d’une manière continue. Une transition brusque
entraîne des instabilités d’écoulement dans la galerie elle-même, soit des ondulations de surface pour
l’écoulement fluvial, soit des ondes de choc et des pulsations pour les écoulements torrentiels, voir par
exemple Hôrler [10.8], et les chapitres 5, 11 et 12. Si la pente du canal aval est importante, il faut tenir
compte de l’aération superficielle et de la cavitation éventuelle (chap. 13 et 14).
Divers points présentés ci-dessus concernant la pente de l'auge indiquent une valeur Js faible,
0,01 < Js<0,05; ainsi la pente du radier est légèrement supérieure à la pente critique, Jc. Les raisons de
cette règle générale sont du point de vue
statique:	- que la poussée d’Archimède s’exerçant sur la dalle de la construction augmente avec la
profondeur de l’auge,
-	qu’une valeur faible de la pente du radier J8 entraîne une surélévation minimale du plan
d’eau amont (voir 10.4.3),
-	que la stabilité des parois latérales de l’auge est meilleure pour de faibles profondeurs
de la construction,
hydraulique: - que la stabilité de l’écoulement dans la zone de transition de l’auge au canal aval est
augmentée pour des nombres de Froude F > 1,
-	que, si la pente moyenne du terrain est importante, on devrait plutôt choisir une pente
faible pour l’auge et une pente élevée pour le canal aval. Le changement de pente se
situant peu à l’aval de la sortie de l’auge, il doit être graduel,
constructif: - que la pente minimale du radier ne devrait pas être inférieure à J8=0,01 (imprécision
d’exécution avec zones de flaques),
-	que la largeur minimale de la section de l’auge doit être choisie entre 3 et 5m pour des
débits importants afin de faciliter l’exécution et l’entretien,
-	que la transition de section entre l’auge et le canal aval doit être continue.
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
241
Différentes formes de l’auge peuvent être envisagées comme le montre la figure 10.12. En outre, pour
autant que les conditions topographiques s’y prêtent, l’apport latéral peut provenir des deux côtés, ce qui
conduit à une réduction de la longueur L de l’auge.
Fig. 10.12 Types d’entrée latérale dans l’auge; a) à un côté, auge rectangulaire, b) à deux côtés, auge trapézoïdale.
Des dénivellations latérales de l’écoulement se forment dans l’auge à cause de l’entraînement d’air et
de l’apport latéral. La figure 10.13 montre deux exemples typiques de ce phénomène.
Fig. 10.13 Calcul de la dénivellation latérale; a) ressaut hydraulique libre, b) ressaut hydraulique submergé.
La dénivellation latérale peut être estimée en appliquant le théorème de la quantité de mouvement
dans la direction transversale. V, étant la vitesse d’entrée dans l’auge et hg, h^ les hauteurs d’eau aux deux
sections opposées, on obtient
~ h; V2h,
2 g
(10.37)
où, avec hm=(h|+he)/2 et Vl=q/h1
Ah = q^gh.hj	(10.38)
avec Ah=hc—ht. Cette valeur correspond au maximum [10.12]; une grandeur plus réaliste devrait être
Ah = q2/(ghi) .	(10.39)
242
CANAUX
Si hft>2q1 2/(gh^), la formation du ressaut n’est plus possible, l’écoulement entrant latéralement est
donc noyé par l’écoulement principal (fig. 10.13b). Ce cas est le plus courant pour les débits élevés, tandis
que le ressaut hydraulique libre se forme plutôt pour les apports faibles.
10.6 Applications
Les méthodes de calcul développées pour des auges de section trapézoïdale prismatique sont utilisées
pour le dimensionnement des ouvrages. Pour des auges sans apports amont, la marche à suivre peut être
résumée de la façon suivante:
1) Détermination des caractéristiques d'écoulement pour le canal aval, donc calcul de la hauteur
uniforme hN, de la hauteur critique h,, pour le profil donné, et Js, K, Q spécifiés (chap. 4).
2) Si la hauteur d’eau 1^ à la sortie de l’auge est hy> 1\., on tient compte du paragraphe 10.4.1. Il en
résulte des conditions d’écoulement globalement fluviales (petites pentes J8 du radier).
Si la hauteur uniforme du canal aval est hN < 1\. (F > 1), on calcule la pente critique Jc(x = L). La pente
réduite, J=JS—(1/2)JC, et la géométrie du profil de l’auge permettent alors de déterminer le point
singulier, x=x,, voir l’équation (10.28) ou la figure 10.7.
- Si Xg> L, le point singulier se trouve à l’aval de l’auge et l’écoulement se calcule d’apres 10.4.3.
- Si x, < L, on détermine les caractéristiques de la surface selon les indications du paragraphe 10.4.2.
La figure 10.8 donne en particulier la hauteur d’eau h(x=L)=hu, et on détermine, d’une manière
itérative, la pente Jf(x=L), d’où J=J8—Jfu(L)/2.
Exemple 103
Considérons un déversoir standard de longueur L=30m et une charge maximale H=2,0m (suite à un
calcul de rétention). Le débit qui en résulte s’écoule dans une auge de largeur de base b=5m et de pente des
parois latérales m=0,60 (~60°). La pente du canal aval trapézoïdal est de J,=5% et le coefficient de rugosité
K=85ml/3s“*. Quelles sont les caractéristiques de l’écoulement?
1) Le débit considéré correspond à Q=CdL(2gHî)‘/a2:0,5 • 30 • (19,62 • 23 *)1/2=188m3s~* (chap. 6). Pour
J,= 5%, K=85ml/3s~‘, b=5m il résulte Q/(KJi/2b*/3)=0,135, donc 1^/6=0,315 (fig. 4.13a) et hN = 1,58m.
La hauteur critique se calcule avec la figure 4.13b) et s’élève à h^=4,37m ((Q/(gb5)l/î—1,074, hjb=0,874)).
La condition d’écoulement dans le canal aval est donc torrentielle, F> 1. Les vitesses respectives sont
VN=20,0ms'‘ et Vc=5,64ms-'. La pente critique devient Je=\^/(K2R^) = 5,642/(852 • 2,19*)»0,0015,
donc J af J,=0,05.
2) Avecq=Q/L=188/30=6,27mV,b=5mctm=0,6,onobtientx=4.0,6 6^/(9,81 • 53- 0,052)=30,78
d’après l’équation (10.27),, donc X,=0,0394 et y,=0,0657 d’après les équations (10.28). Le point singulier
de l'équation (10.26) est défini par (x,; h,)=(404m; 16,85m) d’où x,>L. On doit donc calculer la surface
d’eau à partir des indications du paragraphe 10.4.3.
3) Avec yB=0,6 • 4,37/5 =0,524 et j=0,049 • 30/4,37=0,336, la figure 10.10 nous donne Y=l,28, donc
ho=l>28 • 4,37= 5,60m. La perte de charge due à l’adduction latérale est q=0,18, donc AH =
q • ^=0,18 • 6m = 1,08m où 1^=11,+V^/2g=4,37+1,63 =6,0m (Ho+J„L-HC+AH).
L’écoulement dans le canal aval se calcule en tenant compte du chapitre 5. La courbe de remous part du
point critique, x~xc=L et se rapproche asymptotiquement de h=hN= 1,58m. La valeur de la vitesse
correspondante, VN=20ms-', rend nécessaire l’examen de l’entraînement d’air (chap. 13). La figure 10.14
montre l’évolution du profil de surface.
CANAUX À ADDUCTION LATÉRALE
243
Fig. 10.14 Profils de surfaces (—) pour les exemples 10.3 et 10.4. (-----) hauteurs critiques et (• ••) hauteurs uniformes dans le canal
aval, (•) point de départ.
Exemple 10.4
Quelles sont les caractéristiques de l’écoulement pour la même géométrie du canal mais pour un débit de
Q=10m3s-1 seulement?
1)	hN=0,21m, h,.=0,72m, donc Fu> 1; VN = 9,3ms-’, Vc=2,55ms-1. La pente critique est Jfc(x=L)=2,552/
(852 • 0,594/3) = 0,18%, donc J^JS=O,O5.
2)	Avec q= 10/30=0,33m2s-’, on obtient x=4.0,6 - 0,332/(9,81 • 53 • 0,052)=0,088, donc (X,;y,) =
(0,765;0,815) et (xg;h1) = (21,7m;0,58m). Pour ce cas x,<L; le point de départ est à xd=x,, où Qd=
qxï = 7,23m3s1.
La longueur adimensionnelle de l’auge est Xu = (30/21,7) • 0,765 = 1,06 (fig. 10.8), d’où yu=0,96, donc
=0,70m. Par contre, le calcul de la hauteur amont donne y(X=0,% =0,88)=0,28, donc h(x=0) = 0,20m.
Le profil de surface qui en résulte est également représenté dans la figure 10.14.
3)	Avec hu=0,70m, la pente de frottement devient Jfa=2,642/(K2 • 0,524/3)=0,23% (Vu=2,64ms-’). Une
deuxième itération devrait donc partir de J=0,049. Les résultats qui s’ensuivent sont cependant presque
identiques que ceux calculés ci-dessus.
Références
[10.1]	Citrini, D., «Canali rettangolari con portata e larghezza gradualmente variabili», L’Energia Elettrica,
Vol. 19, 1942, 254-262.
[10.2]	Favre, H., Contributions à l’étude des courants liquides, Rascher & Cie, Zürich, 1933.
[10.3]	Favre, H., Braendle, F., «Expériences sur le mouvement permanent de l’eau dans des canaux découverts,
avec apport ou prélèvement le long du courant», Bull. Technique Suisse Romande, Avril/Mai 1937.
[10.4]	Hager, W.H., «Open channel hydraulics of flows with increasing discharge», J. Hydraulic Research,
Vol. 21, 1983, 177-193.
[10.5]	Hager, W.H., «Die vereinfachte, hydraulische Berechnung von Sammelkanâlen», Schweizer Ingénieur und
Architekt, Vol. 103, 1985, 446-452.
[10.6]	Hager, W.H., «Trapezoidal side-channel spillways», Canadian Journal of Civil Engineering, Vol. 12, 1985,
774-781.
[10.7]	Henderson, F.M., Open channel flow, MacMillan, New York, 1966.
[10.8]	Horler, A., «Der Gefallswechsel in der Kanalisationstechnik», Schw. Zeitschrift Hydrologie, Vol. 29,
Fasc. 2, 1967.
[10.9]	Hsu, W.H., «Open channels with non-uniform discharge», Trans. ASCE, Vol. 103, 1955, 255-280.
[10.10]	Marchi, de, G., «Canali con portata progressivamente crescente», L’Energia Elettrica, Vol. 18, 1941,
351-360.
[10.11]	Sassoli, F., «Canali collettori laterali a forte pendenza», L’Energia Elettrica, Vol. 36, 1959, 26-39.
[10.12]	Viparelli, C., «Sul proporzionamento dei canali colettori a servizio di scarichi di superficie», L’Energia
Elettrica, Vol. 29, 1952, 341-353.
244
CANAUX
Notations
Les indices «o» et «u» indiquent les extrêmes amont et aval de l’auge, «c» et «s» caractérisent respectivement le
point critique et singulier. Les indices «i» et «e» indiquent des quantités se situant aux deux côtés de l’auge. L’indice
«d» caractérise le point de départ du calcul.
A	[m2]	section mouillée	M	[-]	hauteur aval relative
b	[m]	largeur de la base	P	[N]	force de pression
B	[m]	largeur	q	[m2s *]	débit latéral spécifique
f	[-]	nombre de Froude pour m=0	Q	[m3s“l]	débit
F	[-1	nombre de Froude	Rh	[m]	rayon hydraulique
g	[ms-2]	accélération gravitationnelle	S	[m3]	quantité de mouvement spécifique
G	[m3]	pesanteur relative	U	[ms	vitesse latérale
h	[m]	hauteur d’eau	V	[ms *]	vitesse moyenne
Kb	[m]	hauteur d’eau moyenne	x	[m]	coordonnée longitudinale
hp	[m]	position du centre de gravité de la	X	[-1	coordonnée longitudinale relative
		section		[-1	hauteur d’eau relative
H	[m]	charge	Ç	[-]	rapport des hauteurs aux sections
HL	[-]	gradient de la perte de charge locale			limites
j	[-]	pente relative du canal	4>	[-]	angle d’entrée par rapport à l’axe
J	[-]	pente totale			de l’auge
Jc	[-1	pente critique	n	[-]	perte de charge relative
Jf	[-]	pente de frottement	S	[m]	différence d’élévation du plan d’eau
J.	[-]	pente du canal			amont
K	[m1/3s‘]	coefficient de rugosité	A	[-1	différence d’élévation adimension-
L	[m]	longueur de l’auge			nelle
m	[-]	pente du profil trapézoïdal			
11. Canaux courbes et
canaux à branchements
b)
Canal à jonction, effet de la variation du débit relatif q=Qo/Q,. a) q=0, b) q=0,25, c) q=0,5, d) q=0,75, e) q= L
246
CANAUX
11.1	Introduction
La disposition et le type d’un barrage ainsi que la géométrie d’une vallée nécessitent quelquefois la
construction de canaux courbes, soit pour les évacuateurs de crue, soit pour les dérivations. Si l’écoule-
ment dans les canaux droits peut presque toujours être ramené à un problème bi-dimensionnel, l’écoule-
ment dans les canaux courbes est un phénomène spatial. De plus, comme on le verra, il faut distinguer
les conditions d’écoulement fluviales des conditions torrentielles. Les premières causent une dénivellation
latérale de l’eau, provoquée par la courbure des lignes de courant; les secondes, par contre, provoquent
des ondes stationnaires de surface. Dans ce qui suit, nous nous occupons des aspects les plus importants
du point de vue de l’application, en s’abstenant de formuler la théorie générale qui est présentée,
partiellement du moins, par Henderson [11.9] et Rouse [11.16].
Les canaux à branchements, à savoir la jonction et la bifurcation, ont des mécanismes d’écoulement
analogues à ceux des canaux courbes. Il faut également distinguer les écoulements fluviaux des écoule-
ments torrentiels parce que les approches de résolutions sont différentes.
On rencontre souvent des jonctions de canaux dans des cours d’eau naturels. L’écoulement dans les
trois branches est normalement fluvial. Par contre, la condition d’écoulement peut devenir torrentielle
dans des canaux artificiels. Des canaux bifurquant sont rencontrés à l’amont des ouvrages de prise, ou
comme canaux de distribution. Par la suite, seuls des écoulements entièrement fluviaux, des écoulements
à transition de la condition d’écoulement fluviale à la condition torrentielle, ou des écoulements à
condition d’écoulement torrentielle dans toutes les branches seront analysés. Ainsi, la formation de
ressauts hydrauliques dans des canaux à branchements est exclue.
La bifurcation de canaux ne sera pas traitée par la suite, étant donné que Bouvard [11.2] est l’auteur
d’un ouvrage complet sur le sujet. Des réferences supplémentaires, se rapportant particulièrement aux
aspects hydrauliques, se trouvent.dans [11.10], [11.12] à [11.14] et [11.17].
11.2	Canaux courbes
11.2.1 Ecoulement fluvial
En se limitant aux canaux rectangulaires prismatiques de largeur b, le débit spécifique est caractérisé
par q=Q/b et la géométrie du canal courbe par le rayon de courbure moyen R, l’angle de déviation 8,
la pente du radier Js et la rugosité par le coefficient de rugosité K de Manning-Strickler (fig. 11.1). Dans
les conditions fluviales, l’exécution du calcul est inverse à la direction de l’écoulement. Les caractéristi-
ques à l'aval de la courbe comprennent la hauteur d’eau h^, d’où Vu=q/hu et Fu=Vll/(ghu)l/2< 1.1^ est
obtenu par un calcul de la courbe de remous en commençant par une section de contrôle aval (chap. 5).
Elle correspond à la hauteur uniforme hN pour un canal aval prismatique suffisamment long, de pente
et rugosité constantes.
En supposant que les lignes de courant sont partout parallèles aux parois latérales du canal, elles
deviennent concentriques dans le tronçon courbe et rectilignes dans les tronçons amont et aval. La
répartition transversale des vitesses suit la loi (chap. 18)
V(r) = C/r	(11.1)
où C est la constante de circulation et r la coordonnée radiale. La vitesse à proximité de la paroi intérieure
(«i») est donc plus élevée que près de la paroi extérieure («e»).
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
247
En tenant compte de la force centripète mV2/R divisée par pg, le théorème de la quantité de
mouvement, appliqué sur un élément de volume dans le sens radial, donne (fig. 11.2)
h?(R-b/2)A8/2 + -^•bRhmA8 = h.2(R+b/2)A8/2 .	(11.2)
Fig. 11.2 Caractéristiques a) longitudinales et b) transversales dans un canal courbe.
Pour b/R< 1, cette expression peut être représentée par
Ah_ b 2
(113)
où Ah = 1^—1^ est la différence entre les niveaux d'eau. hm = (hc+hi)/2 est la hauteur d'eau moyenne et
F2 = q2/(ghJj) le nombre de Froude moyen dans une section. L’équation (11.3) donne une estimation du
niveau maximal de l’eau et de la hauteur correspondante de la paroi extérieure.
L’équation (11.3) ne donne qu’une information concernant la surface perpendiculaire à l’axe de
l’écoulement. Le développement du courant dans le sens longitudinal n’est plus accessible par cette
théorie élémentaire; on obtient une solution approchée en posant (fig. 11.3)
Ho + Az = Hu + Azf + Azp,	(11.4)
où les indices se réfèrent aux sections amont (o) et aval (u) de la courbe, au frottement (f) et à la perte
de charge locale (p). Az = zo—est la différence entre les deux niveaux du fond, Jf est la pente de
248
CANAUX
Fig. 113 Coupe longitudinale d'un canal courbe, charges en amont et en aval de la courbe.
frottement, donc AZf=Jf- L avec L=R - S pour la longueur de la courbe. La perte de charge d’un
écoulement courbe peut être représentée par ÂZp=^p(V2/2g) où
_ 2^sin(8/2)
p ” (l+2R/b)2
(11.5)
est le coefficient de perte de charge (chap. 2). Pour une vitesse V donnée, la perte de charge AZp augmente
avec le rapport b/R et avec Ô, et devient négligeable pour l/R->0 où 6->0.
Pour des estimations grossières de l’écoulement à l’entrée de la courbe, il suffit de calculer la hauteur
amont h0 à l’aide de Ho=Ho(h) à partir de l’équation (11.4). La relation (11.3) permet d’évaluer les
hauteurs extrêmes aux bords du canal. On peut admettre que le profil de surface h(s) entre les sections
amont et aval est presque linéaire,
h(s) = h, + (ho-ho)^-
.L,
(U.6)
où s correspond à la coordonnée curviligne le long de l’axe de la courbe.
Exemple 11.1
Un canal rectangulaire de largeur b=2,5m et Js=0,5% présente un coefficient de rugosité de
K=75m1/3s-1. Estimez les caractéristiques de l’écoulement pour une courbe de R=9m, 8=70°, un débit de
Q= 12m3s 1 et une hauteur d’eau aval hu= 1,8m.
Avec Vu=Q/(bhJ = 2,67ms-1 et F^=V^/(ghu)=0,40 la dénivellation latérale devient Ah=
(b/R)hmF^=0,20m selon l’équation (11.3). La profondeur d’eau est donc 1^= 1,9m sur la paroi extérieure et
h,= 1,7m sur la paroi intérieure.
La longueur de la courbe est L=R8=llm et Az=J, • L = 0,055m. Avec Jr=V^lCR^3), où
V~Vu=2,67ms-1 et R*=(2,5 • 1,8)/(2,5+2 • l,8)=0,74m, Jf=0,19%, donc Azf=J(L=0,021m. Finale-
ment, avec R/b=3,6, l’équation (11.5) donne Çp=0,024, donc pour Azp=^pV2/(2g)=0,009m. Avec
Hu=hn+V£/2g=2,16m, la charge amont vaut Ho+Àz=Hu+Azf+Azp=2,19m. La pente du fond du canal
est supérieure à la pente de la ligne de charge.
Avec Ho=2,135m on obtient h„ = 1,75m et V?=2,75ms-1 (Fo=Vo/(gho)1/2=0,66< 1). Cet exemple montre
que l’on peut admettre approximativement une ligne de charge parallèle au fond, Ho=Hn, pour l’écoulement
fluvial dans une courbe.
11.2.2 Ecoulement torrentiel
L’écoulement torrentiel dans un canal courbe est tout à fait différent de l’écoulement fluvial. Si ce
dernier peut être considéré comme un écoulement avec des variations indépendantes dans les directions
longitudinale et radiale, l’écoulement torrentiel dans une courbe présente des phénomènes complexes. La
théorie traditionnelle de cet écoulement sera brièvement exposée ci-après.
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
249
Un écoulement torrentiel est défini comme un courant ayant une vitesse moyenne V supérieure à la
vitesse d’une intumescence c, V > c = (gh)1/2. Considérons un canal présentant le changement de direction
brusque représenté dans la figure 11.4, et appliquons les équations de continuité et de la quantité de
mouvement perpendiculairement au front du choc [11.3]
hjVisinp = h2V2sin(P —0),	(11.7)
hj — h2 _ h2V2sin2(P—0) - hjV2sin2p
Fig. 11.4 Onde de choc pour un écoulement plan avec des lignes de courant parallèles.
où les indices «,» et «2» indiquent respectivement les sections amont et aval de l'onde de choc, 0 et P sont
les angles de déviation de la paroi et de l’onde de choc, et g est l’accélération gravitationnelle. On peut
démontrer de plus que les projections des vitesses Vj et V2 sur le front d’onde de choc ne varient pas,
donc [11.16]
hjtanp = h2tan(P~0).	(11.9)
Si l’on connaît hj, Vi et 0, les équations (11.7) à (11.9) donnent des expressions pour les inconnues
h2, V2 et p. L’élimination du terme V2sin(P—0) dans (11.7) et (11.8) donne pour l'angle de choc
où Y = h^hi; pour Y ~ 1, correspondant à de petites variations de la surface de l’amont à l’aval, on obtient
sinp = Ff1 .	(11.11)
L’angle de choc devient P = 90° pour Fj = 1 et diminue pour des nombres de Froude élevés. Un choc
provoqué par une déviation infinitésimale d0 de la paroi provoque un changement infinitésimal dh de la
hauteur et dV de la vitesse. La combinaison des équations (11.7) à (11.9) amène [11.16]
= V tanp,	(11.12)
<10 gho
250
CANAUX
où ho = hj correspond à la hauteur d’eau amont et y=h/h,, avec h=h(9,P). On peut démontrer [11.5] que
pour des nombres de Froude élevés, la vitesse V ne change pas de valeur, donc V = VO=V1. Avec
y(9=0) = 1 comme condition limite, l’intégration de l’équation (11.12) donne
y = F2 • sin2f 0 + |
(11.13)
OÙ Fo=Vo/(gho),/2=F1 M>1 est le nombre de Froude amont et 0 l’angle de déviation.
Knapp, voir Rouse [11.16], trouve comme relation entre 0, p et b/R (fig. 11.5)
a ♦ ( b/R \
0 = arctanl-----------------)
\(1 4- b/(2R))tanP/
(H.14)
où b est la largeur du canal et R le rayon moyen de la courbe. L’angle 0 indique le long du canal courbe
où s’établissent pour la première fois un maximum et un minimum de la hauteur d’eau aux parois
(fig. 11.6). Ces dénivellations de la surface libre se répètent pour les multiples de 0.
Fig. 113 Relation entre l’angle de déviation 9, le nombre de Froude et la géométrie de la courbe.
La combinaison des équations (11.11), (11.13) et (11.14) permet de calculer (y) en fonction de b/R
et Fo. Cette relation est représentée dans la figure 11.7; notez que y>l augmente avec Fo et b/R
croissants; les dénivellations les plus prononcées se présentent pour des courbures fortes et des nombres
de Froude élevés. La même figure montre qu’il existe une limite supérieure (b/R-+oo) qui ne peut pas
être dépassée.
La dénivellation maximale entre les hauteurs d’eau intérieure et extérieure peut être estimée par la
formule empirique de Knapp, voir Rouse [11.16]
Ah/h0 = 2|f2,
K
c’est-à-dire deux fois la valeur de l’équation (11.3) (écoulement fluvial).
(11.15)
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
251
Fig. 11.6 Ecoulement torrentiel dans des canaux courbes [11.16].
Fig. 11.7 Hauteurs d'eau relatives le long des parois intérieure (y< 1) et extérieure (y> 1), en fonction du nombre de Froude amont
Fo=Vû/(gho),/2 et du rayon de courbure relatif b/R.
Exemple 11.2
Un canal rectangulaire de largeur b=3,0m, Jg=2,5% et K=70m,/3s-1 doit dériver un débit de
Q=50m3s~ *. A l’endroit x=0, ce canal s’incurve avec R = 15m et S = 75°. Quelles sont les caractéristiques les
plus importantes de l’écoulement?
Pour x<0, on peut supposer un écoulement uniforme; d’après la formule de Manning-Strickler
K>= 1,74m, et V0=Q/(bh0) =9,6msOn a donc pour le nombre de Froude amont Fo=Vo/(gho)l/2=2,32 et
pour l’angle de choc correspondant "P=arcsin(l/F0) = 25,6°.
Avec b/R = 3/15=0,2 et l/Fo=0,43 la figure 11.5 donne 0 = 20,8°. Les valeurs extrêmes de la surface
correspondent alors à 0( = 20,8o, 02=41,6°, 03=62,4°. Les hauteurs maximales et minimales changent tou-
jours de paroi en produisant un écoulement présentant une oscillation latérale. Ces valeurs extrêmes se
déterminent à l’aide de la figure 11.7. Pour b/R=0,2 et l/Fo=0,43 on obtient ymai = 1,85 et yBriB=O,38, donc
hMi = hoymax=3,2m et himn = h0youn=0,66m. Il semble évident que ces perturbations de la surface ne cessent
pas après la courbe mais qu’elles sont transmises à l’aval.
11.2.3 Détails constructifs
Comme on l’a vu dans l’exemple 11.2, les hauteurs maximales d’eau peuvent dépasser considérable-
ment la hauteur d’eau moyenne. Pour cette raison, des moyens ont été recherchés pour réduire ces
252
CANAUX
surélévations locales. Une proposition simple faite par Knapp (voir Rouse, [11.16]) consiste à partager
une section en deux parties, celle de l’extérieur présentant un fond plus élevé que celle à l’intérieur. On
obtient ainsi des surfaces d’eau plus lisses et moins perturbées. La figure 11.8 donne les détails d’une telle
disposition.
Fig. 11.8 Séparation de la section en deux parties le long d’un canal courbe pour éviter des surélévations notables, a) section A-A,
Az,=V^/CgR), b) plan, c) coupe longitudinale avec les fonds intérieur et extérieur.
L’inclinaison moyenne du fond dans la direction transversale devrait être V2/(gR), où V représente
de nouveau la vitesse amont. De cette manière, on compense la force centripète par la pente latérale du
canal, et l’écoulement peut être traité comme dans un canal rectiligne. Rouse [11.16] montre qu’avec cette
disposition les ondes de surface ne se forment pratiquement plus.
Une deuxième méthode permettant de supprimer les ondes de choc consiste à réaliser une variation
graduelle du rayon de courbure. Rouse [11.16] recommande de placer entre la partie du canal de rayon
R et les tronçons rectilignes amont et aval deux zones de transition ayant des rayons 2R. Des essais sur
modèles réduits ont montré que les spirales ne sont pas plus favorables.
11.3 Canaux à jonction
11.3.1 Généralités
Les canaux à jonction sont caractérisés par un nombre important de paramètres géométriques,
notamment les formes des sections, les pentes du fond, les arrondis éventuels à Injonction et les largeurs
de surface. Chacun de ces paramètres peut varier dans la branche amont, latérale ou aval. Par la suite,
on se limitera aux canaux dont la section des trois branches est rectangulaire, en admettant que la pente
du fond près de la jonction est compensée par la pente de frottement. En d’autres termes, seul l’effet des
pertes de charge locales sur les profils de surface sera analysé.
Dans une jonction de canaux qui comporte trois branches, on doit distinguer six cas possibles selon
les conditions d’écoulement, soit
-	l’écoulement est entièrement fluvial,
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
253
-	l’écoulement est fluvial dans les branches amont et latérale, mais devient torrentiel dans la branche
aval,
-	l’écoulement est fluvial dans l’une des branches amont ou latérale et reste fluvial à l’aval (formation
d’un ressaut hydraulique dans l’une des branches latérale ou amont),
-	l’écoulement est fluvial dans l’une des branches amont ou latérale mais devient torrentiel à l’aval,
- l’écoulement est torrentiel dans les branches amont et latérale mais devient fluvial dans la branche
aval, et
-	l’écoulement est entièrement torrentiel.
Le cas le plus souvent rencontré dans des cours d’eau naturels est caractérisé par un écoulement fluvial
dans toutes les branches (paragraphe 11.3.2).
Si la largeur de la branche aval est trop faible par rapport à la somme des deux largeurs en amont
de la jonction, une transition d’un écoulement fluvial à un écoulement torrentiel apparaît à l’entrée de
la branche aval. Ce cas sera traité au paragraphe 11.3.3.
Des écoulements à ressaut hydraulique dans la jonction sont à éviter à cause du risque d’érosion
considérable. Ces phénomènes ont été analysés par Milano et Sassoli [11.11] et Rice [11.15] et ne sont
pas considérés par la suite. Une jonction bien dimensionnée ne devrait pas présenter ce cas d’écoulement.
Dans des coursiers à pente importante ou dans les galeries des vidanges de fond, on peut rencontrer
des jonctions dans lesquelles l’écoulement est torrentiel dans les trois branches. Ce type de jonction sera
analysé dans le paragraphe 11.3.4.
11.3.2 Ecoulement fluvial
Considérons la jonction représentée dans la figure 11.9. La largeur b des trois branches est identique
et les arêtes sont vives. En admettant que le nombre de Froude aval soit beaucoup plus petit que F= 1,
Fig. 11.9 Jonction considérée, (• • -) volume de contrôle.
on peut remplacer le canal découvert par un canal couvert de hauteur constante. Cette astuce permet
d’exclure l’effet de la surface libre sur l’écoulement dans la jonction.
En appliquant le théorème de la quantité de mouvement au volume de contrôle représenté dans la
figure 11.9, on trouve l’expression suivante pour le coefficient de contraction p de l’écoulement à l’entrée
de la branche aval [11.6]
r —	— /	2 i \ i ~i^2
1 4- (1— q)(2 — q)( 1-cos©--cos2©) 4- -cos2© |
1 L	\	3	3 J 9 J
H	.1
1 4—cos©
3
(H.16)
254
CANAUX
oj—(8/9)5 est l’angle réduit du confluent à angle 6 par rapport à la direction de la branche aval et
q=Qo/Qu le rapport des débits amont et aval. Cette expression est en accord avec les mesures de Best
et Reid [111] qui sont présentées à la figure (11.10a). On constate que p(5 = 0) = 1 et p(q= 1) = 1.
Fig. 11.10 Jonction à condition d’écoulement en tout point fluvial, a) Coefficient de contraction p à l’entrée de la branche aval et
b) longueur relative L^b de la zone de séparation selon [11.1].
La longueur de la zone de séparation Lg a été observée expérimentalement et est représentée dans la
figure 11.10b). L,/b en fonction de (1 —q) a le même comportement que (1 —p) également en fonction
de(l-q).
Une fois la fonction p(5,q) connue, on peut facilement calculer les coefficients de pertes de charge
Ço=AHou/(Vj/2g) par rapport à la branche amont et £,=AHlu/(Vj/2g) par rapport à la branche latérale.
En comparant ces valeurs avec les indications relatives du chapitre 2, on obtient une concordance presque
parfaite. Par conséquent, la jonction à petit nombre de Froude aval, Fu< 0,5, se calcule en admettant les
coefficients de pertes dé charge des conduites. Ainsi, les effets de diverses géométries peuvent être pris en
considération. En partant d’une hauteur d’eau aval hu et d’un débit Qu connus et pour une répartition
de débit q envisagée, on applique V équation de Bernoulli généralisée
Ho = Kj +
7*ï(i+W
2gAJ
(11.17)
pour la branche amont et
H, = ht +
Ki +
(11.18)
pour la branche latérale. Les relations Ao(ho) et A^h^ étant évaluées, les inconnues et ht se calculent
itérativement. On ne doit donc considérer que les solutions pour lesquelles Fo< 1 et Ft< 1.
Exemple 113
Soit une jonction de largeur b0=ba=bu= 10m et d’angle 8 = 45°. Le débit aval s’élève à Qu=20m3s~‘ et
la hauteur d’eau aval est de h, = 1,2m. Quelles sont les hauteurs d’eau et ha si Qa=5m3s" *? Quelle est la
géométrie de la zone de séparation si la jonction est à angles vifs?
Selon les équations (2.64) on trouve ^=Ça= — 0,15 et ^,=0,35, donc Ht= 1,32m et Ho= 1,39m. Les
hauteurs d’eau correspondantes s’élèvent à h,= 1,31m et 1\,= 1,32m. L’équation (11.16) donne p=0,876 et on
en déduit que la largeur de la section contractée devient |ib=8,76m. La longueur de séparation s’élève à
L,/b=0,6 selon la figure 11.10b), donc L,=6m.
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
255
11.3.3 Ecoulement transitoire
Il semble qu’aucune étude de ce type d’écoulement dans des jonctions n’ait été présentée, à l’exception
de Hager [11.7]. Par la suite, cette approche sera brièvement exposée car elle s’applique également, à
quelques modifications près, aux jonctions traitées sous le paragraphe 11.3.2.
En admettant
-	les frottements compensés par la pente du fond,
-	une répartition uniforme des vitesses et une répartition hydrostatique des pressions,
-	des lignes de courant parallèles aux parois latérales autour du volume de contrôle (fig. 11.9), et
-	des hauteurs d’eau identiques dans les branches amont et latérale,
l’application de l’équation d’énergie spécifique (chap. 9) indique que
+	+ + iâJ  + ssv] 111
où p 1 est le coefficient de contraction dû à l’entrée dans la branche aval.
L’équation de continuité exprime que
Qo + Qi = Qu	(11.20)
La figure 11.9 montre que l’écoulement autour de la zone de séparation est fortement incurvé. Le sens
de la courbure entraîne une réduction de la pression. Pour tenir compte de cette dépression locale, on
admet que la zone de séparation est vide.
Soit N = pgnbhjCosS/2 la force de pression sur le volume de contrôle de la paroi du latéral (fig. 11.9)
où n^ 1 est un coefficient de pression qui tient compte de la hauteur d’eau le long de cette paroi.
L’application du théorème de la quantité de mouvement le long de l’axe de la branche aval amène
2 gbh,
-ll2
+ cos8 —i(l — n)
QU	nbhj; ! Q2,
gbh, J 2 gpbhu
(11.21)
Comme cela a déjà été constaté sous 11.3.2, ce système d’équations doit être complété par des
conditions selon lesquelles
p(Ô=0) = 1 et p(q= 1) = 1 .	(11.22)
Finalement, l’écoulement est supposé transitoire, c’est-à-dire que la condition critique Fu= 1 s’établit
à l’entrée de la branche aval; en d’autres termes, il faut imposer que (chap. 5)
gn2t>X
(11.23)
Une fois le rapport des débits q=Qo/Qu et l’angle du confluent choisis, la résolution de ces équations
détermine p en fonction de q et de 5 [11.7]. Les solutions se situent dans deux zones, l’une correspondant
à n< 1 et l’autre à n> 1. Pour cette dernière, il faut donc imposer n = 1.
Soit Y* = ho/h^. = h|/h^. où hj. = [Qj/(gb2)]1/3 est la hauteur critique nominale de la branche aval
(p= 1). Le résultat du calcul précédent indique alors que la fonction Y*(q) pour diverses valeurs de Ô
(0^8^90°) est comprise entre 1,0^Y*^ 1,85. Plus Y* devient grand, plus 5 est important.
256
CANAUX
En comparant les résultats du calcul avec ceux obtenus par des essais sur modèle réduit, on constate
une bonne concordance générale. Si les écoulements pour lesquels q>0,85 sont exclus (le débit latéral
étant beaucoup plus petit que le débit aval Qu), les écarts sont toujours inférieurs à 7%. Pour q>0,85,
l’écoulement ne peut plus devenir critique à l’entrée de la branche aval; l’écoulement reste donc
entièrement fluvial (paragraphe 11.3.2).
Ainsi, la condition de formation d’un écoulement transitoire dans une jonction se réduit à
0 q ^0,85. La figure 11.11 présente une proposition pour le dimensionnement, qui se base sur l’approche
Fig. 11.11 Diagramme de dimensionnement pour l'écoulement transitoire dans des jonctions [11.7].
Y*=ho/hj.=hl/h£ avec h* = ((X/Cgb2))13 en fonction de q=Qo/Qu pour divers angles 6.
théorique et les observations. Les hauteurs d’eau à l’amont de la jonction peuvent être calculées par la
formule empirique [11.7]
Y» = 1 + 0,92{(l,l—q)[q + (1 -q)sin3/2(5/2)]}l/2 .	(11.24)
Exemple 11.4
Soit une jonction à 8=45°, à pente de fond J, = 1% et à coefficient de rugosité K = 83m,/3s->. Cherchez
les hauteurs d’eau h„ et h, pour un débit de Qu=50m3s~l si b=6m et Ql=30m3s-1.
La hauteur uniforme dans le canal aval s’élève à 11^= 1,14m et la hauteur critique nominale est de
hX=(502/(9,81 • 62))l/3= 1,92m > h^. Par conséquent, l’écoulement dans le canal aval non submergé est
torrentiel.	_
De l’équation (11.24), on tire Y*(q=0,4) = 1,574, c’est-à-dire h0=ht= 1,574- 1,92 = 3,02m. On peut
démontrer que, pour des conditions d’écoulement uniforme dans les branches amont et latérale, des ressauts
hydrauliques s’établissent bien à l’amont de la jonction.
Pour mieux illustrer l’écoulement interne dans une jonction, la figure 11.12 a été préparée. Elle
montre la répartition des vitesses (moyenne par rapport à la hauteur d’eau locale) relatives à la vitesse
critique VJc=(gh^.),/2 et les hauteurs d’eau y* = h/hj. le long des parois.
11.3.4 Ecoulement torrentiel
Par opposition à un écoulement fluvial dans des canaux découverts, un écoulement torrentiel peut
provoquer des ondes de choc, c’est-à-dire des ressauts hydrauliques présentant des fronts d’ondes
obliques. Comme cela a déjà été constaté au paragraphe 11.2.2, l’écoulement à l’aval du front d’onde peut
rester torrentiel, mais une perte de charge locale s’établit. De tels phénomènes apparaissent également
dans une jonction de deux courants à écoulement torrentiel.
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
257
Fig. 11.12 Répartition de la vitesse et des hauteurs d'eau y* le long des parois (chiffres indiqués) pour a) q=0, b) q = 1/4, c) q = 1/2,
d) q=3/4 [11.7].
258
CANAUX
La figure 11.13a) présente schématiquement le plan d'une jonction de canaux rectangulaires de
largeur b identique dans toutes les branches, c’est-à-dire des branches amont («o»), latérale («l») et
aval («u»).
Fig. 11.13 Jonction de deux courants torrentiels, a) plan et front de choc principal, b) tronçon amont-aval et lignes de courant
schématisées, (  ) fronts de choc.
On suppose connues les hauteurs d’eau ho, ht et les vitesses d’approche moyennes Vo et Vt. Par
conséquent, les nombres de Froude Fo et Ft peuvent être calculés. L’application du théorème de la
quantité de mouvement perpendiculairement au front de choc principal, 0 étant l’angle par rapport à la
direction du canal aval, indique alors [11.4]
1 - Y2 = 2Y2F2sin20 - 2Fjsin2(5-0)	(11.25)
où Y = ho/h| et 5 est l’angle du confluent. Une fois Y, Fo, Ft et 5 donnés, cette relation permet de
déterminer implicitement l’angle 0. Une approximation de 0 est [11.8]
(11.26)
elle s’applique si 6^45°. L’équation (11.26) permet de constater que 0 est proportionnel à Ô.
La figure 11.13b) représente les lignes de courant de l’écoulement à deux dimensions de la branche
amont à la branche aval. Une telle configuration s’établit si la hauteur d’eau est en tout point beaucoup
plus petite que la largeur b du canal. La figure 11.13b) permet de constater que l’écoulement est alors
analogue à la configuration retrouvée dans un rétrécissement de canal (paragraphe 12.7). Ainsi, la
hauteur d’eau croît de la zone amont (o) à la zone (T) et à la zone (2), d’où FO>F! >F2. Le long de la
paroi située vis-à-vis de la branche latérale (points C-B-E de la figure 11.13b) une onde apparaît dont
le maximum se situe au point B. En appliquant la théorie des ondes de choc, la hauteur maximale relative
W=hmax/ho de cette onde se calcule uniquement en fonction du paramètre fo = ï/20Fo> 1 [11.8]. Comme
démontré par des essais sur modèle réduit, l’approximation linéaire
W = 4,5f0	(11.27)
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
259
représente bien les résultats des observations pour 5 = 22,5° et f0> 1,4. En tenant compte de l’équation
(11.26) la hauteur maximale de Tonde devient
Knax/ho = 20(
8 \ FOF|
180°/YF0 + Ff
5	30° .
(11.28)
Le domaine d’application de cette relation a été étudié pour diverses combinaisons pour lesquelles
l’angle 5 < 30°. L’équation (11.28) permet de constater que W dépend linéairement de 5 et qu’il faut donc
rendre cet angle minimal par des dispositions constructives. Il est ainsi possible de réduire la hauteur de
la paroi sur laquelle l’onde s’établit. Cette réduction de hauteur s’impose particulièrement dans le cas de
jonctions de canaux couverts, comme par exemple dans des galeries de vidanges de fond (chap. 19). Si
la hauteur du canal couvert n’est pas suffisante, un ressaut hydraulique s’établit, et des phénomènes tels
que des pulsations, associées à un entraînement d’air ou la transition à un écoulement en charge peuvent
se produire.
Dans le cas d’une jonction de 5—45°, des essais sur modèle indiquent que le modèle de calcul présenté
auparavant ne s’applique pas bien. Ceci est dû surtout à la courbure de l’écoulement latéral entrant dans
la branche aval. Cependant, pour 30° 5 60°, la hauteur maximale de l’onde peut être calculée par
[11.8]
h^/h, = <t> • sinSH + |fJ
(11.29)
où ~ 8/9 est un coefficient de pression.
Les points B et E, correspondant approximativement au début et à la fin de l’onde, peuvent être
localisés par les angles et 5— 0t, où [11.8]
= 9 1 +
3 \
2^9fJ ’
(3	\
1 +~7=— )•
2>/2eF1/
(11.30)
(11.31)
A l’aval du point B dans la figure 11.13b), l’onde de choc principale est réfléchie et il se forme une
surface ondulée analogue à celle qui apparaît à l’aval d’un canal courbe (paragraphe 11.2.2).
La limite inférieure d'apparition Ylim d’un écoulement entièrement torrentiel dans une jonction a été
trouvée par les relations [11.8]
< Fo - 2,5, 8 = 22,5°
et
(11.32)
Y.™ < |(F„—2), 8 = 45'
(11.33)
à condition que 3 < Fo < 7.
260
CANAUX
Références
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Recherches d’Electricité de France, Vol. 54, Eyrolles, Paris, 1984.
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[11.8]	Hager, W.H., «Supercritical flow in channel junctions», Proc. ASCE, J. Hydraulic Engineering, à paraître
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Vol. 92, 1966, HY2, 207-231; HY5, 278-279; HY6, 237-239; Vol. 93, 1967, HY2, 52-56; HY5, 294-297.
[11.11]	Milano, V., Sassoli, F., «Ricerca sperimentale suite confluenze fluviali in régime permanente», L ’Energia
Elettrica, Vol. 54, 11, 497-508.
[11.12]	Mock., F.-J., Strômungsvorgânge und Energieverhtste in Verzweigungen von Rechteckgerinnen, Institut fur
Wasserbau und Wasserwirtschaft, TU Berlin, Mitteilung Nr. 52, Berlin, 1960.
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pourvus de retenues», La Houille Blanche, Vol. 30, 1975, 4, 267-273.
[11.15]	Rice, C.E., Discussion à «Conformai mapping for channel junction flow», par Modi, P.N., Ariel P.D., et
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1949.
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893-912.
CANAUX COURBES ET CANAUX À BRANCHEMENTS
261
Notations
Les indices «o» et «u» se rapportent à la section amont et aval, respectivement, et «1» indique la branche latérale
d’une jonction. Les indices «c» et «N» caractérisent des conditions d’écoulement critique et uniforme, «i» et «e»
indiquent la paroi intérieure et extérieure d’un canal courbe. L’indice «m» caractérise la valeur moyenne, et «p» se
rapporte à la perte de charge locale. Les indices «1» et «2» indiquent des conditions d’écoulement à l’amont et à l’aval
d’un ressaut à front oblique.
A	[m2]	section mouillée	s	[m]	coordonnée le long de la courbe
b	[m]	largeur du canal	V	[ms-1]	vitesse moyenne
c	[ms"1]	vitesse d’intumescence	W	[-]	hauteur d’onde maximale relative
C	[m^-1]	constante de circulation	x	[m]	coordonnée longitudinale
fo	[-1	nombre de Froude amont modifié	y	[-]	hauteur d’eau relative
F	[-1	nombre de Froude	y*	[-]	hauteur d’eau adimensionnelle le
g	[ms’2]	accélération gravitationnelle			long de la paroi
h	[m]	hauteur d’eau	Y	(-]	rapport des hauteurs d’eau dans les
h	[m]	hauteur d’onde maximale			branches amont et latérale
H	[m]	charge	Ÿ	(-1	rapport des hauteurs d’eau
AH	[m]	perte de charge	Y*	[-]	hauteur d’eau adimensionnelle
Jr	[-]	pente de frottement		(-1	limite inférieure de Y
J.	(-]	pente du radier	z	[m]	hauteur verticale
K	[ml,3s-’]	coefficient de rugosité	t.	[-1	coefficient de perte de charge
L	[m]	longueur du canal courbe	P	[-]	angle de choc
U	[m]	longueur de la zone de séparation	8	[-]	angle de déviation d’un canal
n	[-]	coefficient de pression			courbe, angle du confluent
q	[m2s->]	débit par unité de largeur	e	[-]	angle de déviation, angle de choc
q	[-]	débit amont relatif au débit aval			principal
Q	[m’s->]	débit	ii	t-]	coefficient de contraction
r	[m]	coordonnée radiale		[-]	coefficient de pression
R	[m]	rayon moyen de courbure	(D	[-]	angle réduit
Rb	[m]	rayon hydraulique			
12. Canaux non prismatiques
Modèle réduit d’un rétrécissement local dans la Limmat à Zurich (VAW 26 749).
264
CANAUX
12.1 Introduction
Lesécoulements dans des cours d’eau naturels et artificiels peuvent être graduellement ou rapidement
variés. Pour calculer les caractéristiques d’écoulement dans le premier cas, il faut tenir compte des
variations de la charge dues au frottement. Dans le deuxième cas, par contre, ces pertes de charge n’ont
qu’une faible influence sur le phénomène local. Le type d’écoulement le mieux connu de cette deuxième
catégorie est le ressaut hydraulique (chap. 15), mais il existe d’autres applications pratiques d’impor-
tance.
Pour des cours d’eau de débit, pente et rugosité constants et d’axe rectiligne, un changement local de
la section crée des variations locales de niveau. Une telle variation locale de section peut être provoquée
par l’enceinte d’une fouille ou résulter d’un événement extraordinaire, par exemple l’instabilité d’une rive.
D’autres exemples qui nécessitent une variation de section sont dus à une variation de la pente du radier
(une pente croissante amène une réduction, une pente décroissante une augmentation de la largeur du
canal). Des changements locaux de section peuvent donc être des rétrécissements ou des élargissements,
ou des combinaisons des deux.
Si A=A(x) représente la section mouillée en fonction de la coordonnée longitudinale x, la charge H
par rapport au fond s’écrit
H = h +
2gA2
(12.1)
où h est la hauteur d’eau, g l’accélération gravitationnelle et Q le débit. Les hypothèses qui sont à la base
de cette relation sont une répartition uniforme des vitesses et une répartition hydrostatique des pressions
(chap. 1).
Tout changement de section du canal considéré provoque une surface d’écoulement non plane. Ces
dénivellations latérales sont négligeables pour des écoulements fluviaux, mais deviennent importantes
pour des écoulements torrentiels, ce qui justifie le traitement séparé des deux types d’écoulement.
Les cours d’eau naturels se caractérisent normalement par des conditions d’écoulement fluviales et
par une hauteur d’eau beaucoup plus faible par rapport à la largeur du lit. On peut donc considérer un
canal rectangulaire de largeur B variable, B = B(x). Ce canal reste prismatique si B'=0 et converge
(diverge) pour B'<(>)0, où les primes indiquent la différentiation ordinaire par rapport à x. Le
problème considéré par la suite sera de calculer le profil de surface h(x), connaissant la géométrie du
canal, le débit et une condition limite. Il faut distinguer le cas où l’écoulement à travers le rétrécissement
local est influencé par l’aval d’une part (paragraphe 12.6) et celui où l’écoulement est indépendant des
conditions aval d’autre part (paragraphe 12.5). Les résultats permettent de déterminer la surélévation du
plan d’eau amont.
Des conditions d’écoulement torrentielles ne se retrouvent pratiquement que dans des canaux
artificiels. Dans le paragraphe 12.7, on considérera des rétrécissements graduels de sections (transition
de canal large à canal étroit), alors que les canaux à largeurs divergentes seront discutés sous 12.8.
12.2 Types d’écoulement
12.2.1 Rétrédssement et élargissement de la section
Des canaux non prismatiques peuvent être convergents ou divergents en largeur. Un cas particulier
est le changement brusque de la section passant d’une largeur constante amont à une autre largeur
CANAUX NON PRISMATIQUES
265
constante aval. Soit B et b ces deux largeurs avec B>b. La figure 12.1 montre les deux possibilités en
plan. Le cas a) correspond à un rétrécissement de section, et le cas b) à un élargissement de section. Pour
Fig. 12.1 Plans de canaux avec changement brusque de la section: a) rétrécissement et b) élargissement de la section.
analyser les profils de surface d’eau possibles, supposons connus les hauteurs amont ho et aval hy, le
débit Q et les largeurs B et b. Les nombres de Froude correspondants Fo et Fu sont donc également
connus.
Le rétrécissement de la section signifie une largeur amont B et une largeur aval b < B. F < ( > )1 carac-
térise des conditions fluviales (torrentielles) et F = 1 correspond à la condition critique. Il y a quatre types
d’écoulement possibles [12.1]
-	FO<1 àFu<l: conditions purement fluviales, ho et hu sont donc plus grandes que les hauteurs
critiques h,, correspondantes;
-	Fo< 1 à Fu> 1: transition continue de conditions fluviales aux conditions torrentielles, établissement
de la condition d’écoulement critique F = 1;
-	Fo> 1 à Fu< 1: transition discontinue des conditions torrentielles aux conditions fluviales avec la
formation d’un ressaut hydraulique;
-	Fo> 1 à Fu> 1: conditions purement torrentielles, les hauteurs d’eau amont et aval sont plus petites
que les hauteurs critiques correspondantes.
La figure 12.2a) représente les profils de surface, correspondant aux hauteurs moyennes dans le sens
transversal pour un rétrécissement. Ces profils restent toujours continus sauf dans la transition des
conditions torrentielles aux conditions fluviales, c’est-à-dire lors de la formation d’un ressaut hydraulique
(chap. 16).
La figure 12.2b) montre les surfaces correspondant aux quatre types d’écoulement possibles pour un
élargissement de la section en direction de l’écoulement. On constate une similitude évidente entre le
rétrécissement et l’élargissement.
Lorsque la largeur varie de manière quelconque B = B(x), on rencontre toujours un ou plusieurs des
cas discutés ci-dessus. Les profils de surface se distingueront pourtant quantitativement et il est impos-
sible de traiter d’une manière générale toutes les formes géométriques possibles des variations de section.
Pour des écoulements partout fluviaux (Fo< 1, Fu< 1), les profils de surface se calculent approximati-
vement en tenant compte des pertes de charge locales selon les indications données sous 2.3.4. Pour
diminuer les zones de séparation de l’écoulement des parois, le rétrécissement ou l’élargissement est formé
de manière continue.
Les écoulements comportant des changements de conditions de Fo < 1 à Fu > 1 ou Ftt < 1 seront traités
sous 12.5 et 12.6 (rétrécissements locaux). Les écoulements présentant des transitions de Fo> 1 à Fu< 1
266
CANAUX
b)
Fig. 12.2 Profils de surface types en fonction des nombres de Froude F amont et aval pour a) rétrécissement et b) élargissement de
la section. La direction de l’écoulement est de gauche à droite, et les hauteurs critiques h, sont indiquées par des droites traitillées.
B--------------b
seront discutés sous chapitre 16 (dissipateur, élargissement de section). Finalement, les écoulements à
travers des rétrécissements et des .élargissements correspondant aux conditions Fo> 1 et Fu> 1 seront
examinés sous 12.7 et 12.8.
12.2.2 Combinaison rétrécissement-élargissement
Une combinaison des deux éléments de la figure 12.1 mène aux deux cas représentés dans la
figure 12.3. Dans les constructions hydrauliques, la diminution locale de la section est la configuration la
Fig. 12.3 Combinaisons des éléments de base de la fig. 12.1, a) rétrécissement local et b) élargissement local de la section.
plus courante. Les largeurs amont Bo et aval Bu sont normalement d’ordres de grandeur comparables,
BO~BU=B. Dans ce qui suit (paragraphes 12.3 à 12.5), ce rétrécissement local est considéré pour des
écoulements caractérisés par un nombre de Froude amont Fo< 1.
12.3	Rétrécissement local de la section
La figure 12.4 montre la géométrie du canal considéré, de largeur B constante à l’amont et à l’aval,
avec une diminution locale de largeur constante b sur une longueur L; les angles formés par les tronçons
de transition sont a et f, mesurés par rapport à l’axe du canal.
Si l’on se limite à des canaux de pente Js constante relativement faible et de rugosité pas trop
importante (ce qui est typique pour des rivières), des conditions fluviales pour l’écoulement uniforme
CANAUX NON PRISMATIQUES
267
Fig. 12.4 Rétrécissement local de la section d’un canal à pente constante J(; les courbes traitillées indiquent les zones où l’écoulement
se sépare des parois.
s’établissent, donc hNo = hNu > hJB) (l’indice «N» se rapporte aux conditions uniformes et les indices «o»
et «u» à la zone amont et aval, respectivement). Pour un long canal aval, la hauteur à l’aval du
rétrécissement est identique à la hauteur uniforme hNu.
A partir de la figure 12.2, les profils de surfaces possibles sont tracés dans la figure 12.5. Il faut
distinguer (j) des transitions de conditions fluviales à des conditions torrentielles dans le rétrécissement
Fig. 12.5 Possibilités de l’écoulement à travers une contraction locale dans un canal à faible pente. (ï) transition de conditions fluviales
à des conditions torrentielles avec ressaut hydraulique à l’aval, @ écoulement purement fluvial, a) b/B variable à débit fixé et hB=hNa,
b) b/B fixé et h„ variable.
suivi par un ressaut hydraulique à l’aval et @ des écoulements purement fluviaux. Pour un canal de
largeur B donnée, les deux types d’écoulement sont la conséquence de l’importance du rétrécissement b/B
et sont représentés dans la figure 12.5a).
268
CANAUX
Les deux cas d’écoulement mentionnés ci-dessus peuvent également apparaître à* la suite d’un
changement de la hauteur d’eau h^ pour une géométrie de la contraction fixée (fig. 12.5b). La hauteur
aval hu est différente de hNu suite à une submersion aval (changement de pente, de débit, de rugosité, de
largeur).
Comme mentionné au chapitre 5, le calcul s’effectue à l’inverse de (dans) la direction de l’écoulement
pour des conditions fluviales (torrentielles). Le niveau aval h,, est donc connu et on cherche le niveau à
l’amont 1^ du rétrécissement. Le seul endroit où on peut déterminer lequel des cas Q ou (5) apparaît
correspond à la section de contrôle, donc à la section la plus contractée où B'(x)=0 et B"(x) > 0 (chap. 5).
Comme le montre la figure 12.4, les lignés de courant se séparent des parois, provoquant ainsi une
diminution de la largeur de l’écoulement (lignes traitillées). La section minimale contractée a une largeur
jib, p^l. Le coefficient de contraction p dépend de la forme géométrique de la transition amont et des
conditions d’écoulement: il sera déterminé ci-dessous.
12.4	Caractéristiques d’écoulement à travers un rétrécissement
Le calcul approximatif de l’écoulement à travers un rétrécissement est analysé à l’aide de l'écoulement
en charge et nous servira par deux aspects:
-	cet exemple nous montrera une application des théorèmes fondamentaux,
-	la solution de ce problème particulier nous indiquera la marche à suivre pour le calcul en cas de
surface libre.
Considérons, dans un canal en charge de hauteur constante (fig. 12.6), un rétrécissement dont la
largeur contractée est beaucoup plus faible que la largeur amont (B>b). Le débit par unité de hauteur
Fig. 12.6 Vue en plan d’un rétrécissement où b/B-*0: Q section d’entrée, (2) section contractée, (3) section de recollement; la courbe
hachurée indique la zone de séparation.
sera désigné par q. Dans la zone d’approche de ce rétrécissement, les lignes de courant peuvent être
supposées radiales. Si b est la largeur aval et (a/2) la direction moyenne de la vitesse dans la section Q,
la largeur correspondante devient b=b/ços(a/2). La vitesse au même endroit s’écrit V1 = q/b=
q • cos(a/2)/b.
L’écoulement se sépare de la paroi à l’aval de la section Q à cause du changement brusque de
direction de la paroi. La zone d’entrée consiste donc en une zone à écoulement principal et en une zone
d'eau morte. La largeur minimale de la première est atteinte à la section (2) et s’exprime par pb. Plus à
l’aval, l’écoulement diverge et présente à la section (î) à nouveau la largeur b.
CANAUX NON PRISMATIQUES
269
En appliquant le théorème de la quantité de mouvement entre les sections Q et © en direction de l’axe
aval et en supposant que la pression p2 est uniformément répartie à la section on obtient
pjb + pq  VjCOs(a/2) = p2b + pq • V2	(12.2)
ou, en tenant compte de Vj défini ci-dessus et V2 = q/(pb),
Pi - P2 = Tri - - cos2(«/2) ) 	(12.3)
b \p	/
Il est bien connu que des écoulements dont les lignes de courant sont convergentes peuvent être
considérés comme des écoulements potentiels. Il est donc raisonnable de supposer une charge constante
entre les sections (D et d’où
Pi - Pi = |(V2-VÎ).	(12.4)
En éliminant les vitesses Vj et V2 au moyen des expressions ci-dessus, et après quelques calculs, on obtient
pour l’inconnue p
|i = (1 + sin(a/2))-1 .	(12.5)
Pour des valeurs typiques de a = 0, 90° et 180°, on trouve p= 1,0, 0,586, 0,50.
La perte de charge entre les sections (5) et (5) peut être calculée en appliquant une deuxième fois le
théorème de la quantité de mouvement
Pîb + 29L = p b + pq  V,	(12.6)
pb
où V3 = V = q/b. Cette relation peut se simplifier en
P2 ~ Pî = PV2 • sin2(a/2) .	(12.7)
D’après l’équation de Bernoulli généralisée, la perte de charge AH23 est
Pî - Pi = PgAH23 + |(V2-V’).	(12.8)
En définissant le coefficient de perte de charge Ç tel que
V2
AH23 = £—-,	(12.9)
2g
l’élimination de (p2—p3) des équations (12.7) et (12.8) donne
É, = sin2(a/2).	(12.10)
Ce développement, dû à Matthew [12.10], mène à deux conclusions:
-	le bon choix des lignes de courant d’un écoulement à deux dimensions et une application correcte
des lois de l’hydraulique permettent une détermination élémentaire des propriétés les plus impor-
tantes de cet écoulement,
270
CANAUX
- la perte de charge AH peut être considérée comme négligeable dans les écoulements à lignes de
courant convergentes, mais est importante pour les écoulements à lignes de courant divergentes.
Les équations (12.5) et (12.10) se réfèrent à une conduite en charge de hauteur unitaire et de largeur
B>b. Matthew [12.10] considère par la suite des rapports b/B plus grands que zéro. Les résultats finals
s’écrivent
“= ,+(‘-b)	!
1 -1
sin(a/2) ►
v 2-(a/x)
5/
sin2(a/2).
(12.12)
(12.11)
La fonction (12.11) est reportée dans la figure 12.7, et on constate que 0,5 p 1 ; p augmente lorsque
(b/B) croît et lorsque les angles a décroissent. Ces résultats nous permettront de déterminer les caractérisa
Fig. 12.7 Coefficient de contraction p en fonction de l’angle d’entrée a et du rapport des largeurs b/B d’après Matthew [12.10], valable
pour des conduites rectangulaires en charge.
tiques d’un écoulement à travers un rétrécissement local à surface libre. Il convient de faire une
distinction entre les conditions noyées et les conditions dénoyées à l’aval.
12.5	Ecoulement contrôlé par le rétrécissement
L’écoulement à travers un rétrécissement n’est contrôlé par ce dernier que s’il y a une transition de
l’écoulement fluvial à l’écoulement torrentiel. Dans ce cas, les conditions à l’aval de la section critique
n’ont pas d’influence sur l’écoulement amont.
Comme démontré au chapitre 5, un rétrécissement local peut provoquer une telle transition. La
section critique apparaît à l’endroit où l’écoulement est le plus contracté, présentant donc une largeur pb.
Pour le canal rectangulaire considéré, la hauteur critique hj. correspondante s’écrit donc
\ = [tf/toW'1	(12.13)
où pb est la largeur effective de l’écoulement. Le coefficient de contraction p est influencé par l’angle
d’entrée a, le rapport v = b/B entre la section rétrécie b et la section amont B et la longueur relative de
la contraction Z = L/b. p peut être retrouvé par une méthode analogue à celle présentée sous 12.4.
CANAUX NON PRISMATIQUES
271
L’effet de la longueur relative X sur p est analysé en considérant les deux cas extrêmes, X->0 et X-> oo.
Le premier est caractérisé par une zone de séparation vide (fig. 12.6), pour le deuxième, la zone de
séparation est complètement remplie d’eau [12.4].
L’effet de a sur p se calcule en considérant y->0 pour les deux valeurs extrêmes de X mentionnées
ci-dessus. L’effet de y sur p est déterminé en posant a->180° pour les deux extrêmes de X. Les solutions
p(a,y->0) et p(a-*180°,v), pour X->0 et X->oo sont superposées d’où l’on tire [12.4]
g = fi + (1 -g)^ y1*1 'j ;
R =
1-----1 + 2sin(a/2) +	_ lsino.«(a/2)
1 + X|_(l + sin(a/2))	\	8
(12.14)
La figure 12.8 représente l’équation (12.14) pour X=l. Elle a été comparée à des essais sur modèle
hydraulique. Les divergences entre les valeurs de p obtenues par la formule et les observations ont
Fig. 12.8 Coefficient de contraction g en fonction de a et y pour ï, condition d’écoulement dénoyée.
toujours été inférieures à 5%. Comparée au cas décrit sous 12.4 (conduite rectangulaire en charge), la
valeur de p calculée par l’équation (12.14) est toujours plus grande que d’après l’équation (12.11) pour
deux rétrécissements géométriquement identiques. 11 est intéressant de noter que la valeur de p dans
l’équation (12.11) est indépendante de X.
L’application des équations (12.13) et (12.14) permet une estimation simple de la surélévation du plan
d’eau amont due à un rétrécissement. En supposant la condition critique dans le tronçon rétréci, donc
F(x=Xç) = 1, la charge amont Ho est égale à la charge critique Hc. Il s’ensuit
2\gg2b2/
(12.15)
Cette expression peut également être écrite comme suit
x/g^hj ’
(12.16)
272
CANAUX
qui permet de déterminer f = f(a,y,X). La figure 12.9 représente f = f(a,y) pour X=0,1 et bo. Des exemples
de calcul seront présentés sous 12.6.
Fig. 12.9 f=Q/(gbïhJ)w en fonction de y=b/B, pour des angles d’entrées a et k = L/b.
12.6	Ecoulement contrôlé par l’aval
12.6.1 Coeffident de contraction
On ne retrouve des conditions d'écoulement critiques que pour une submersion de l'aval limitée ou
un rétrécissement important b/B< 1. Si la hauteur aval hy augmente (ou, si v s'approche de l'unité), on
passera du cas Q au cas (5) de la figure 12.5. Pour ce deuxième cas, qui sera examiné ci-après,
l'écoulement devient purement fluvial et est contrôlé par l'aval.
On peut démontrer [12.5] que le coefficient de contraction p dépend à nouveau des paramètres
géométriques (a,y A); de plus, il faut encore tenir compte de la submersion aval	1 où h,, est
la hauteur d'eau amont et h2 la hauteur d'eau à la section contractée (fig. 12.10).
CANAUX NON PRISMATIQUES
273
Fig. 12.10 Définition des sections dans un rétrécissement noyé te l’aval.
L'application du théorème de la quantité de mouvement pour différents volumes de contrôle conduit
à une expression du coefficient de contraction p, notamment [12.5]
H = R. + (l-MC^),
\	4	/
a
+ 2(Z—1) 1 - -ân°(«J2)
8
(12.17)
14- sin(a/2)
par analogie à l'équation (12.14).
Des considérations sur la perte de charge locale entre les sections @ et @ de la figure 12.10 indiquent
que le cas X->0 entraîne des pertes de charge négatives [12.3]. Par conséquent, la zone de séparation
complètement vide ne peut exister et il n’y a plus d'effet de X sur p poui) l’écoulement noyé: l’équation
(12.17) se réfère donc à une zone d'eau morte. La figure 12.11 montre p = |i(ct,\y) pour Z= 1 (submersion
Fig. 1X11 Coefficient de contraction p en fonction de y=b/B pour divers angles Centrée a. a) Z— 1, b) Z—1,5.
très importante) et Z =1,5 (limite de submersion). On constate que p augmente avec Z croissant
(1 ^Z< 1,5). Pour a et y fixés, p augmente avec une submersion aval croissante. A la limite (ho=h2=hj
on retrouve les résultats de Matthew [12.10].
12.6.2 Hauteur amont
L'écoulement dénoyé à travers un rétrécissement local peut être analysé en considérant la zone amont
de la section critique et en négligeant des pertes de charge locales. Pftr contre, le cas noyé considère
l'ensemble de la zone amont (h,,) jusqu'à la zone aval (hj. C'est la zone d'écoulement à lignes de courant
divergentes qui est évidemment la source de pertes de charge importantes. Le coefficient de perte de
charge Ç24=AH24/(V|/2g) peut être représentée en fonction de a, Ç, Z dt h^. Ç24 croît avec a, h^ et
décroît pour Z et v croissant [12.5].
274
CANAUX
La surélévation du plan d'eau à l’amont du rétrécissement local se calcule à partir de l’équation
(12.17) en tenant compte de Ç24- Avec
Y = h<,/h„, F1 2 = Q2/(gB2hJ)	(12.18)
on peut représenter Y = Y(a,y,Fu) (fig. 12.12).
Fig. 12.12 Relation entre Y = h„/h, et le nombre de Froude aval F„=Q/(gB2t£),/2 pour divers angles d’entrée, a, et rapports de largeurs
V = b/B.
Ces résultats s’appliquent à des rétrécissements relatifs y = 1/3, 1/2, 2/3, 5/6. Les lignes hachurées*
pointillées indiquent les limites entre les conditions noyées et les conditions dénoyées. Les essais effectués
sur modèles hydrauliques montrent que ces résultats sont en accord avec les observations et que les
divergences par rapport à la hauteur amont ho sont inférieures à 3% [12.5].
Exemple 12.1
Considérons un canal à pente de radier constante J,=0,4%, coefficient de rugosité constant
K.=30m1/3s-1, largeurs amont et aval constantes B=50m. Le rétrécissement est caractérisé par la largeur
b=30m, les angles sont, respectivement, a=45°, 3=60° et la longueur est de L=60m. Quelles sont les
caractéristiques de l’écoulement pour un débit de Q=500m3s-1?
1) Conditions aux limites: selon l’équation (4.68) la hauteur uniforme est hNo=hNu=2,84m, q=0,008,
hN/B=0,057 et le calcul de la hauteur critique donne 11^,=11^=2,17m. L’écoulement uniforme est donc
fluvial (VN = 3,52ms’ HN = 3,47m).
2) Condition dénoyée: avec y = b/B = 0,6,1 = 60/30=2 et a=45°, on tire de la figure 12.9b) Q/(gb2h^)l/2 =
0,54, donc pour 1^=4,60m. Avec une vitesse Vo=2,2ms-1, la charge amont devient Ho=4,84m.
3) Condition submergée: avec Fu=FNu=Q/(gBîh3)1/2=0,67 (hu=hNu=2,84m), a=45° et y=b/B=0,6, la
figure 12.12b) et c) ne fournit pas de solution Y.
CANAUX NON PRISMATIQUES
275
4) Ecoulement déterminant: l’écoulement pour le cas considéré est contrôlé par le rétrécissement, la hauteur
amont est donc h„=4,60m. L’écoulement à l’amont de la section «o» doit être calculé en utilisant les
indications du chapitre 5.
Exemple 12.2
Quelles sont les conditions d’écoulement pour une pente J,=0,1% et K=25m1/3s"1 à travers le rétrécisse-
ment considéré dans l’exemple 12.1?
1)	Conditions aux limites: hNo=hNu=4,93m et h€O=h€U = 2,17m, donc FNo=FNu<1 (VN=2,02ms-1,
HN = 5,14m).
2)	Condition dénoyée: y=0,6, 1=2, a=45°, donc f=Q/(gb2h^)l/2=0,54 et ho=4,60m comme pour
l’exemple 12.1.
3)	Condition submergée: avec Fu=0,29, on tire de la figure 12.12c) pour Y = 1,025, donc h„=5,05m. La
figure 12.12b) donne Y = 1,02, donc 11,,=5,03m. Pour y=0,6, on obtient ho~ 5,04m et Ho=5,24m.
4)	Ecoulement déterminant: l’écoulement considéré est maintenant contrôlé par l’aval. Avec Z~ 1, le coeffi-
cient de contraction devient g ~ 0,79; avec Z= 1,5, on obtient p=0,87. En admettant g=0,83, la largeur
contractée est alors gb=24,9m. En posant H2=H0=5,24m, on tire pour h2=3,86m >hc=(5OO2/
(9,81 • 24,92)),/3 = 3,45m.
12.6.3 Effet de la courbure de l’entrée
Dans les considérations ci-dessus on a admis des rétrécissements présentant des changements brusques
de sections sous les angles a et p. Cette géométrie particulière présente certains avantages quant à la
construction du rétrécissement, mais provoque des séparations auprès des parois. Ces séparations sont
à l’origine d’une contraction hydrodynamique.
Si les caractéristiques géométriques (rétrécissement important) ou hydrauliques (submersion forte de
l’aval) sont telles que la surélévation amont devient considérable, la contraction hydrodynamique de
l’écoulement peut être évitée par un choix approprié de la géométrie du rétrécissement. En arrondissant
l’entrée du rétrécissement, la séparation de l’écoulement des parois peut partiellement ou même entière-
ment être supprimée (fig. 12.13). La partie aval du rétrécissement n’est pas concernée par ces détails
Fig. 12.13 Amélioration de l’écoulement en incurvant les changements de la largeur à l’amont du rétrécissement. Le coefficient de
contraction devient g= 1, la surélévation amont est donc minimale.
constructifs; par conséquent un changement linéaire de la largeur du canal à la sortie de la zone rétrécie
sous l’angle P peut être prévu.
Si (n) représente la coordonnée transversale mesurée à partir de l’axe du canal vers son bord et la.
longueur de la normale est B = B(x), x étant la coordonnée longitudinale, les rayons de courbure R des
lignes de courant dépendent de n et de x. Avec k= 1/R comme courbure, où k(n=0)=0 le long de l’axe
du canal, mais k=l/Ro = B" pour n = B le long de la paroi, on peut calculer le profil de surface
276
CANAUX
transversal. Pour des lignes de courant à faible courbure en plan, on peut supposer une variation linéaire
(chap. 1)
(12.19)
avec v = n/B (v=0 à l’axe du canal et v = 1 à la paroi). Il est évident que k=k(x,v), tandis que Ro—Ro(x).
Le profil de surface transversal d’eau pour des lignes de courant courbes en plan est presque horizontal
près de l’axe, mais devient de plus en plus raide près de la paroi (fig. 12.14). Pour une séparation complète,
Fig. 12.14 Coupe transversale d'un canal de largeur B et surface d’eau séparée de la paroi intérieure.
la hauteur intérieure devient h=0. En appliquant le théorème de la quantité de mouvement dans le sens
transversal, la force de pression sur une paroi fictive située sur l’axe doit compenser la force centripète,
donc
i	v2 
-h?Ax = —Bh Ax .
2	gR
(12.20)
La courbure moyenne devient
(12.21)
V=Q/(Bhm) étant la vitesse moyenne et en posant h^l^, l’équation (12.20) se simplifie et devient
B = J_
Ro F2
(12.22)
où F2=V2/(ghm) est le nombre de Froude à la section considérée. Pour des rayons de courbure de la paroi
du canal Ro< B • F2 il y aura un écoulement séparé et ce ne sera pas le cas pour Ro> B • F2. Le rayon
de courbure R^, doit donc tendre vers zéro pour F->0, mais R^oo pour F->oo. Pour l’écoulement
critique il faut
Roc = Bc = b/2
(12.23
CANAUX NON PRISMATIQUES
277
pour éviter une séparation. Le minimum du rayon de courbure est égal à la largeur b/2. Cette valeur peut
être diminuée à l’amont du rétrécissement à cause de la réduction de F.
Exemple 12.3
Dans l'exemple 12.2, quelles sont les dimensions à l'entrée du rétrécissement, et comment le niveau amont
varie-t-il pour qu'il n’y ait pas de séparation de l’écoulement des parois?
1)	Conditions aux limites: hNo=hNu = 2,84m, hco=hcu=2,17m.
2)	Condition dénoyée: avec b/B=0,6, X=1, ot=0 (sans séparations) la figure 12.9 donne f=Q/(gb2h^),/2=0,6,
donc ho=4,28m, Vo=2,33ms-1 et Ho=4,56m.
3)	Condition submergée: FB=Q/(gB2h^)I/2=0,67 et b/B=0,6 ne donne pas de solution pour a=0 (fig. 12.12).
4)	Conditions déterminantes: le résultat est ho=4,28m (conditions critiques), la valeur diffère de 7% de celle
sans arrondissements. Le rayon de courbure minimal doit être Ro ^n = 15m.
12.7 Rétrécissement dans des conditions d’écoulement torrentielles
La figure 12.15 montre un rétrécissement linéaire symétrique sous l’angle 0 d’un canal rectangulaire
de largeur amont B et de largeur aval b. Si les conditions d’écoulement à l’amont (o) et à l’aval (u) sont
b)
Fig. 12.15 Rétrécissement linéaire à écoulement torrentiel pour Q = QD. Elimination des ondes de choc au point C; a) plan, b) coupe
longitudinale; profil de surface (------------------) le long des parois, (-) le long de l’axe du canal [12.2].
telles que Fo> 1 et Fu> 1, ce changement de la largeur du canal provoque un système d’ondes de choc.
En particulier, les fronts d’ondes partent des points A sous un angle pi (chap. 11). Les deux ondes de
choc des points A se rencontrent au point B situé sur l’axe du canal. Pour un certain choix de 0, les ondes
de choc à l’aval de B touchent exactement les points C sous l’angle p2 à l’entrée du canal prismatique
de largeur b. A l’aval d’un tel rétrécissement, il n’y aura plus de réflexions d’ondes et la surface d’eau
sera plane.
Il est évident que le choix de 0 dépend du nombre de Froude amont FO=F1 et du rapport des largeurs
y = b/B. Une fois y et 0 fixés, chaque changement de F1 conduit à la situation représentée dans la
278
CANAUX
figure 12.16. Le front d’onde provenant de B ne touchera donc plus le point C mais touchera la paroi
au point D soit à l’amont ou à l’aval du point C. Il se formera une nouvelle réflexion et la surface d’eau
b)
Fig. 12.16 Rétrécissement identique à celui de la figure 12.15 pour Q<Qd. a) plan, b) coupe longitudinale. Les ondes de choc AB ne
touchent pas les points C.
à l’aval de l’entrée du canal aval ré.tréci sera fortement perturbée. Des ondulations stationnaires
entraîneront une surélévation importante de ses parois. Par conséquent, le dimensionnement d’un tel
rétrécissement se base sur le débit maximal Qma*=QD> ^es ondulations pour tous les autres débits
inférieurs Q < QD sont tolérables. Il faut encore noter qu’un système d’ondes négatives se forme dans le
cas où les points C et D ne sont pas identiques (fig. 12.16).
Ce qui suit se limite au cas de dimensionnement présenté dans la figure 12.15. L’application du
théorème de la quantité de mouvement longitudinalement et perpendiculairement au front d’onde A-B
de l’équation de continuité fournit les relations (11.7) à (11.9). A partir de la figure 12.15, des considéra-
tions géométriques indiquent de plus que L( — B/(2tanpt), L2 = b/(2tan(P1—0)), donc pour
L = L1 + L2 = (B - b)/(2tan0).
Comme cela a été démontré par Sturm [12.12], on tire des équations (11.7) à (11.9)
hi+i =
K tan(p|—0)’
sinft = 1T tanft (... tanfe + ùf,	(12.24)
P' F,l2 -ton(pj-9)\tan(P,-0) /J
F, sm(Pi-ô)
où i = 1,2. Pour i= 1, les équations (12.24) se rapportent au tronçon A-B, pour i = 2 au tronçon B-C du
système des ondes de choc.
L’équation (12.24)2 permet de calculer 0.(1= 1) pour F, et 0 fixés. Les valeurs pour h^j et Fi+1
résultent alors des deux autres relations. Ensuite, on répète le même procédé pour Fi+,, 0 fixé, le résultat
CANAUX NON PRISMATIQUES
279
étant Pi+1(i= 1) et Fi+1, ^^(1=2). La condition pour que l’onde de choc touche la paroi au point C
(fig. 12.15) est [12.8]
=	« sip(Pi~e) ♦ sin(P2—Q)
sin^i • sin02
(12.25)
qui permet d’établir la figure 12.17. Cette figure représente y = b/B et Y = h3/hi en fonction de G et FP
Des solutions asymptotiques des équations (12.14) ont été présentées dans la discussion de [12.12], ainsi
qu’une comparaison avec quelques mesures sur modèle réduit.
Fig. 12.17 Relation entre a) y=b/B et 9, b) hj/h, et 9 en fonction de FP (---------) F3=l, (•••) ressaut hydraulique à l’amont du
rétrécissement. Dans la zone tramée des effets d’hystérèse peuvent apparaître.
Comme déjà représenté dans la figure 12.2, le profil moyen de la surface pour un rétrécissement
(Fo> 1-»FU> 1) croît dans la direction de l’écoulement. Autrement dit le nombre de Froude décroît le
long du rétrécissement, F1>F2>F3. A la limite, F3 peut devenir égal à l’unité, indiquant des conditions
critiques. Une diminution ultérieure de F3 conduit à des conditions d’écoulement fluviales à l’entrée du
canal aval et à l’établissement d’un ressaut hydraulique. La ligne traitillée de la figure 12.17 représente
la condition F3 = l.
La limite théorique F3=l ne garantit aucune sécurité. Par conséquent, le dimensionnement des
rétrécissements considérés ne devrait jamais se situer dans la zone pointillée de la figure 12.17.
Une deuxième limite d’application de la figure 12.17 est due à l’apparition d’un ressaut hydraulique
à l’amont du rétrécissement. Comme l’a démontré Henderson [12.7], la courbe pointillée est définie en
posant S] = S2 et H2 = H3 = Hc. La dernière relation montre l’existence de conditions critiques à l’entrée
du canal en raison de la diminution de la largeur de ce dernier. Ce cas peut être comparé avec celui décrit
sous 12.5, à la différence près qu’un ressaut apparaît à l’amont de la zone de largeur convergente
(fig. 12.18).
Comme la différence des deux courbes limites l’indique, les différents types d’écoulement dans des
rétrécissements sont gouvernés par des effets d’hystérèse. Pour effectuer un dimensionnement sûr on se
tiendra donc toujours au-dessous de la ligne pointillée.
Exemple 12.4
Soit un canal rectangulaire donné de largeur amont B = 20m, Jw=5% avec une transition de pente à
Jsu=10% et une largeur aval b=10m. Quelles sont les dimensions du rétrécissement pour le débit de
dimensionnement Q= 1200m3s~‘ si le coefficient de rugosité K = 80m,/3s-1.
280
CANAUX
Hauteurs uniformes hNo = 2,24m et hNu=3,08m, donc VNo=26,8ms ' ’ et VNu=38,95ms_ 1. Pour le nombre
de Froude amont Fo = F, = 26,8/(9,81 • 2,24)1/2=5,7 la figure 12.17 indique 0 = 4,5° et h3/hl=2,2 donc
h3=2,2 • 2,24 = 4,95m. La longueur de la transition est L=(20—10)/2 • tan(4,5°) = 63,5m. On retrouve le
profil de la surface aval au moyen des indications du chapitre 5, en partant avec h=hu=4,95m.
Fig. 12.18 Limites d'applications de la figure 12.17, a) engorgement à l’aval, b) ressaut hydraulique à l’amont de la contraction.
Pour des canaux non rectangulaires, les indications données par Harrison [12.6] et Jayaraman et al.
[12.9] peuvent être consultées.
12.8 Elargissement dans des conditions d’écoulement torrentielles
Par opposition à une réduction de la largeur d’un canal, où la vitesse moyenne V diminue et la
hauteur d’eau h augmente en direction de l’écoulement (figure 12.2), V dans des canaux à parois
divergentes augmente et h décroit pour des conditions pseudo-uniformes. La figure 12.19 montre une
variation graduelle de la largeur du canal.
Alors que la hauteur d’eau décroît, l’angle de choc augmente et les ondes de choc divergent en
conséquence. C’est la raison pour laquelle de tels écoulements n’entraînent pas de variations rapides de
la hauteur. Il est possible de traiter ces écoulements à l’aide d’équations à deux dimensions, mais cette
approche sort du présent contexte.
CANAUX NON PRISMATIQUES
281
Rouse et al. [12.11] ont présentés des résultats permettant le dimensionnement des élargissements dans
des conditions d'écoulement torrentielles. Un tel élargissement est représenté dans la figure 12.20 où bj
Fig. 12.20 Géométrie d'un élargissement dans des conditions d'écoulement torrentielles, a) coupe longitudinale, profil de surface
(—) le long de l’axe, (-------------------) le long des parois, b) plan; (O) points d’inflexions, (•) début et fin de la transition.
et b2 sont, les largeurs à l'amont et à l'aval du canal rectangulaire. L'écoulement provient d'un canal
amont prismatique de largeur b, sur un canal aval de largeur infinie (fy/b^O), la fonction de largeur
B=B(x) dans la transition est [12.11]
B
*>1
i /r -iW
1/ X I
(12.26)
où F1 est le nombre de Froude amont.
Fig. 12.21 Courbes de transition pour les élargissements dans des conditions d’écoulement torrentielles, notation voir figure 12.20.
(O) points d’inflexion, (•) début et fin de la transition.
282
CANAUX
Pour0<b1/b2< 1, Rouse et al. [12.11] proposent les courbes de transition indiquées à la figure 12.21.
Il convient de noter qu’il faut prévoir des zones de transitions courbes en plan pour les élargissements,
tandis que les transitions linéaires conduisent à des solutions optimales pour les rétrécissements discutés
sous 12.7.
Références
[12.1]	Carlœr, M., Hydraulique générale et appliquée, Eyrolle, Paris, 1972.
[12.2]	Chow, V.T., Open channel hydraulics, McGraw-Hill, New York, 1959.
[12.3]	Hager, W.H., «Verlustbeiwerte in Rohren und Gerinnen», Wasser, Energie, Luft, Vol. 76, 1984,253-261.
[12.4]	Hager, W.H., Dupraz, P.-A., «Discharge characteristics of local, discontinuons contractions, I»,
J. Hydraulic Research, Vol. 23, 1985, 421-433.
[12.5]	Hager, W.H., «Discharge characteristics of local, discontinuons contractions, II», J. Hydraulic Research,
Vol. 25, 1987, 197-214.
[12.6]	Harrison, A.J.M., «Design ofchannels for supercritical flow», Proc. Inst. Civil Engineers, London, Vol. 35,
1966, 475-490; Vol. 37, 1967, 557-565.
[12.7]	Henderson, F.M., Open channel flow, MacMillan, New York, 1966.
[12.8]	Ippen, A.T., «Channel transitions and Controls», in Engineering Hydraulics, ed. H. Rouse, John Wiley &
Sons, New York, Chapman & Hall, Ltd., London, 1950.
[12.9]	Jayaraman, R., Sethuraman, V., «Design of channel transitions in supercritical flow», Indian J. Civil
Engineering, Vol. 54, Match 1974, 135-143.
[12.10]	Matthew, G.D., «Simple approximate treatment of certain incompressible duct flow problems involving
séparation», J. Mech. Engng. Sciences, Vol. 17, 1975, 57-64.
[12.11]	Rouse, H., Bootha, B.V., Hsu, E.Y., «Design of channel expansions», Trans. ASCE, Vol. 116, 1951,
326-346.
[12.12]	Sturm, T.W., «Simplified design of contractions in supercritical flow», Proc. ASCE, J. Hydraulic Engineer-
ing, Vol. 111, 1985, 871-875; Vol. 113, 1987, HY4, 539-543.
Notations
Les indices «o» et «n» se rapportent à la section amont et aval, respectivememt. «c» et «N» indiquent des
conditions d’écoulement critique et uniforme, «m» caractérise la valeur moyenne. Les indices «1», «2» et «3» indiquent
des sections consécutives.
A	[m2]	section mouillée	Q	[m’s ’]	débit
b	[m]	largeur de la section rétrécie	r	[-1	rapport des largeurs
b	[m]	largeur de la section d’entrée	R	[m]	rayon de courbure
B	[m]	largeur amont et aval, largeur va-	V	[ms ’]	vitesse moyenne
		riable	x	[m]	coordonnée longitudinale
B	[m]	largeur variable	Y	[-]	rapport des hauteurs d’eau
f	[-]	caractéristique de l’écoulement	Z	[-1	submersion aval relative
F	[-1	nombre de Froude	a	[-1	angle d’entrée
g	[ms-2]	accélération gravitationnelle	P	[-1	angle de sortie
h	[m]	hauteur d’eau	Pi	[-1	angle de choc
H	[m]	charge	£	[-1	coefficient de perte de charge
AH	[m]	perte de charge		[-]	coefficient du diffuseur
J,	[-1	pente du radier	p	[kgm ’]	masse volumique
k	[m *]	courbure	V	[-1	rapport des largeurs
K	[m,/3s ’]	coefficient de rugosité	v	[-]	coordonnée transversale relative
L	[m]	longueur de la contraction	P	[-]	coefficient de contraction
n	[m]	coordonnée transversale	A	[-]	coefficient de contraction réduit
P	[Nm	pression	X	[-]	longueur relative de la contraction
q	[m’s-1]	débit par unité de largeur	e	[-]	angle de convergence de la paroi
13. Aération superficielle
Coursier de l’aménagement Tarbela, Pakistan (Photo Zschokke SA, Genève).
284
CANAUX
13.1 Introduction
Les écoulements dans les canaux découverts sont caractérisés par la surface libre. En raison de la
condition cinématique, la vitesse à l’interface eau-air est identique dans les deux fluides. Si la vitesse de
surface de l’eau est faible et Pair stagnant, l’interface est bien définie. Par contre, si la vitesse de surface
de l’eau est grande par rapport à la vitesse moyenne de l’air, on constate une surface d’eau rugueuse.
L’effet correspondant est observé en surface des lacs (faible vitesse moyenne de l’eau) sur lesquels le vent
provoque une agitation de l’eau.
Une différence considérable des vitesses près d’une interface eau-air provoque un échange d’énergie.
Plus particulièrement, des gouttes d’eau sont prises dans l’air et des bulles d’air peuvent être emprison-
nées par l’eau. Par conséquent un mélange d’eau et d’air s’ensuit et on parle d’une aération superficielle
de l’eau.
Les raisons conduisant à des mélanges biphasiques eau-air peuvent être d’origines différentes. On
distingue le phénomène local (le mélange apparaît seulement près d’un endroit précis) du mélange qui
se produit le long du chemin parcouru. De plus, la cause de l’aération peut être soit un écoulement
initialement non aéré mais à grande vitesse (écoulement dans des conduites ou des canaux découverts)
soit un jet d’eau qui pénètre de l’eau stagnante.
La figure 13.1 montre des dispositions types de constructions hydrauliques, où l’aération de l’eau joue
un rôle: a) représente un coursier, où la vitesse d’eau est considérable et l’aération apparaît le long du
Fig. 13.1 Mécanismes d’entraînement (-») et d’expulsion (—▻) d’air dans l’eau, a) canal à forte pente; b) ressaut hydraulique; c) saut
de ski; d) aérateur et e) jet plongeant.
canal. Comme pour les cas c) et d) l’entraînement de l’air est donc dû à la turbulence élevée qui existe
près de la surface libre et aux effets de diffusion des bulles d’air dans l’eau. Par contre, les exemples b)
et e) présentent deux cas avec aération locale. Aussi bien pour un ressaut hydraulique (écoulement dans
un canal) que pour un jet, la lame d’eau à l’amont de la zone biphasique est non aérée et l’aération se
fait en des endroits bien précis situés à l’interface des zones d’écoulement.
Comme indiqué au chapitre 15, l’endroit de l’aération dans le cas du ressaut hydraulique fibre est
situé au pied de celui-ci, et l’écoulement aval au-delà de ce point est divisé entre la zone à vitesse peu
perturbée et le rouleau à haute vorticité, contenant de l’air et siège d’une turbulence intense. Il est évident
AÉRATION SUPERFICIELLE
285
que les effets de diffusion réduisent progressivement les différences de vitesse et de concentration d’air
lorsqu’on s’éloigne du pied du ressaut.
Principalement sous l’effet de la poussée d’Archimède, les bulles d’air emprisonnées dans l’eau
montent et s’échappent à la surface de l’eau. La direction non verticale de l’écoulement permet de
distinguer nettement la zone d’aération de la zone de désaération pour des phénomènes d’aération locale
(fig. 13.1b et e). Par contre, dans le cas de V aération continue, comme représenté dans la figure 13.1a),
l’entraînement d’air dans l’eau et l’expulsion des bulles d’air de l’eau se produisent en même temps. Par
conséquent, il y a simultanément production de bulles d’air et perte d’air. Dans des conditions bien
définies, ce mécanisme peut être stable. Un tel écoulement d’un mélange eau-air est appelé écoulement
uniforme aéré.
Le but poursuivi dans ce chapitre est d’étudier les effets d’aération continue sur un écoulement d’eau
à haute vitesse. Plus précisément, des canaux découverts longs à forte pente seront traités en considérant
les questions suivantes: Quel est l’effet de l’aération sur l’écoulement d’eau? Quel est le mécanisme d’en-
traînement de l’air dans l’eau? Faut-il modifier la marche à suivre pour le dimensionnement de tels canaux?
Le mécanisme d’aération sera décrit ci-dessous. Dans le paragraphe 13.2, les caractéristiques d’aéra-
tion libre seront discutées pour un canal rectangulaire; le canal circulaire sera traité sous 13.3. Les autres
dispositions pour lesquelles l’aération de l’écoulement d’eau doit être considérée seront discutées dans
les chapitres 15 (ressaut hydraulique), 17 (saut de ski, jet plongeant dans un bassin) et 14 et 19 (aérateurs
de fond).
La forte turbulence auprès de la surface libre de l’eau s’écoulant à grande vitesse cause l’entraînement
de l’air dans l’eau. En effet, les composantes latérales du vecteur vitesse peuvent devenir si grandes
qu’elles arrivent à surmonter les forces de tension superficielle et la gravitation. Il en résulte une éjection
de gouttes d’eau dans l’air. En retombant dans l’écoulement,, la goutte «ouvre» la surface de l’eau et
celle-ci se referme sous l’action de la tension superficielle. La goutte entraîne avec elle une bulle d’air qui
se trouve emprisonnée dans l’écoulement [13.9]. Ce mécanisme d’entraînement, qui dépend surtout du
nombre de Froude local F, est représenté schématiquement dans la figure 13.2.
7:;
a) WWw/MWMVW
____________
b) 777777777777777777777777777
d) /ZZVZZZZZZ/VZZZZ ZZV. ”2
Fig. 13.2 Mécanisme de l’entraînement de l’air dans un écoulement à grande vitesse: a) la haute turbulence crée des composantes
latérales importantes et b) éjecte des gouttes d’eau dans l’air en retombant, c) elles ouvrent la surface qui, d) en se refermant,
emprisonne de l’air avec la goutte.
D’une part, les bulles d’air dans le mélange peuvent être entraînées par la turbulence bien en dessous
de la zone superficielle. D’autre part, les bulles montent dans le mélange à cause de la poussée d’Archi-
mède et d’effets de diffusion et ressortent de l’eau.
286
CANAUX
I /augmentation de volume résultant de la présence d'air dans l’eau modifie les caractéristiques
hydrauliques de l’écoulement. Le débit du mélange Qm est
Qm = Q« + Q.	(13.1)
où Qe est de débit de l’eau pure et Qa celui de l’air. La concentration moyenne du mélange devient alors
C = Qa/Qm, 0 < Ü =£ 1 .	(13.2)
13.2 Canaux rectangulaires à forte pente
13.2.1 Evolution de l’écoulement
Comme représenté à la figure 13.3, l’écoulement dans un long canal à pente du radier forte et
constante détermine plusieurs zones.
Fig. 133 Développement d'un écoulement biphasique dans un long canal à forte pente constante.
Dans le tronçon amont du canal existe une zone d'écoulement non aéré avec une couche-limite
turbulente qui s’épaissit dans le sens de l’écoulement. Au moment où cette dernière atteint la surface libre,
le mécanisme d’entraînement de l’air, décrit sous la figure 13.2, se développe. L’épaisseur de la lame d’eau
aérée s’accroît en direction de l’écoulement (zone d'écoulement non uniforme aéré). Si le-canal est
suffisamment long, l’écoulement du mélange devient uniforme et atteint la hauteur normale du mélange
^Nm (zone d'écoulement uniforme aéré).
AÉRATION SUPERFICIELLE
287
La longueur des zones d’écoulement non aéré, respectivement non uniforme aéré, n’est pas clairement
définie à l’heure actuelle. Ainsi les propositions indiquées ci-après pour localiser le début de chaque zone
devront encore être confirmées par des recherches ultérieures.
13.2.2 Début de l’aération superficielle
A l’aval d’un déversoir, prolongé par un canal à forte pente constante, l’épaisseur de la lame d’eau
diminue suivant une courbe de remous dans le domaine torrentiel [13.4]. Sans tenir compte des effets
d’aération superficiels, la hauteur uniforme de l’eau pure sera atteinte à une distance assez grande.
Toutefois, la couche limite turbulente s’accroît fortement pour atteindre la surface libre à une certaine
distance s du déversoir, oû se trouve le point initial de l’aération superficielle. Pour une disposition
d’ouvrage et un débit donnés se pose donc la question de la position du point à partir duquel l’eau
écumeuse caractérise la surface.
D’après Gangadharaiah et al. [13.2] il faut satisfaire deux conditions pour que l’aération superficielle
commence:
-	une couche limite turbulente doit être entièrement développée,
-	l’énergie cinétique des vortex superficiels doit permettre de surmonter la tension superficielle.
Keller et Rastogi [13.5] retiennent seulement la première de ces deux conditions. Ils font une
distinction entre la zone d’écoulement potentiel et la zone à couche limite turbulente, comme représenté
à la figure 13.4. L’épaisseur de cette couche limite S = S(s), mesurée perpendiculairement par rapport au
Fig. 13.4 Mécanisme conduisant à l’aération superficielle. Q écoulement potentiel, (2) couche limite turbulente, Q début de l’aération
superficielle et Q zone d’écoulement non uniforme aéré.
fond, croît de sa valeur initiale à la crête 5(s=O) = 5j vers l’aval. Lorsqu’elle atteint la surface libre
(indice s) l’épaisseur de cette couche devient égale à la hauteur d’eau, ô(ss)=h(ss). Pour s> ss l’aération
superficielle apparaît et c’est le mélange d’eau et d’air qui s’écoule.
Des essais ainsi que des calculs montrent [13.11] que ss croît avec le débit d’eau pure qg par unité de
largeur pour une rugosité et une pente du radier du coursier J, données. Pour qg fixé, ss augmente
également si la rugosité équivalente de sable du radier k, diminue (chap. 4). Par contre la pente J, n’a
qu’une influence de second ordre sur ss [13.6]. La position de ss peut donc être exprimée par
(13.3)
288
CANAUX
La figure 13.5 permet l’évaluation de la longueur sa-stQ^,qeJs). La précision des résultats est de ±5%
à condition que 0,5<H/HD< 1,33 et Js^ 10° [13.6].
Fig. 133 Distance s, entre la crête du déversoir et le début de l'aération superficielle en fonction de la rugosité équivalente de sable
du débit spécifique d’eau qe et de la pente J( (°).
Exemple 13.1
On considère un coursier ayant une pente de 30°, une rugosité équivalente de k,=0,001m et une largeur
de b = 50m. A quelle distance s, de la crête du coursier l’aération superficielle commence-t-elle si
Qe=3500m’s-1?
Avec qe=3500/50=70m2s~l et qe/(gk’)l/2=0,71 • 106, la figure 13.5 donne s^k,=0,23 • 106, d’où il résulte
que s,=230m. Une aération superficielle apparaît seulement si la longueur du coursier dépasse s,.
Si le coefficient de rugosité K selon Manning-Strickler est connu, la relation (chap. 2)
(13.4)
permet de calculer ks à partir de K pour le domaine d’application Js> 1%, Rh>0,2m et K<85m1/3s-1.
13.2.3 Ecoulement non uniforme aéré
Entre le point d’aération initial et la zone d’aération uniforme se situe la zone non uniforme aérée, dans
laquelle la concentration d’air moyenne C s’accroît de C(s = sg)=0 à sa valeur maximale C = CN.
Thandaveswara et Rao [13.8] ont étudié la variation de C(s) en fonction du nombre de Froude local
(F = V/Vgh), de la pente constante du radier Js et du coefficient de rugosité K. Ils concluent que C croîl
lorsque F augmente et décroît lorsque qe diminue. En outre, un fond rugueux provoque une concentra-
tion moyenne d’air plus élevée qu’un fond lisse. Leur procédure est purement expérimentale et ne peut
être généralisée pour des conditions hydrauliques quelconques.
Une méthode préliminaire estime l’évaluation de l’écoulement non uniforme aéré par analogie au?
courbes de remous [13.1,13.11], en introduisant pourtant les hauteurs typiques (i^^^jhcm) relatives av
mélange. Cette approche ignore cependant les mouvements internes de l’écoulement biphasique.
Avec la hauteur critique du mélange hcm=(qjl/g)1/3 et la hauteur uniforme du mélange hNm (voii
paragraphe 13.2.4), la courbe de remous s’exprime par
(,15:
AÉRATION SUPERFICIELLE
289
La solution de l’êquation (13.5) est obtenue selon la méthode exposée dans le chapitre 5. La figure 13.6
représente une extention des figures 5.10a) et 5.10d) contenant des valeurs 2<han/hNm<6 et
— 100<X<0. Les paramètres à introduire dans le présent contexte sont évidemment
X = J.s/hNm , Y = hm/hNm, f = h^/h^ .	(13.6)
La figure 13.6 permet de calculer la surface libre d’eau dans la zone d’aération non uniforme. De plus
les diagrammes présentés au chapitre 5 et dans la figure 13.6 peuvent être utilisés pour le calcul de la
surface libre dans la zone d’écoulement de l’eau pure située entre le déversoir et le point initial d’aération.
A cause de fortes fluctuations locales et temporelles de la surface libre, on peut considérer que l’écoule-
ment uniforme (aéré ou non aéré) est atteint pour | (h—hN)/hN | < 0,10. La méthode de calcul est expliquée
à l’aide d’un exemple présenté à la fin du prochain paragraphe.
13.2.4 Zone d’aération uniforme
Pour V écoulement uniforme aéré, il existe un équilibre entre l’air entraîné et l’air expulsé. Avec la
concentration d’air moyenne du mélange C définie par l’équation (13.2), la masse volumique moyenne du
mélange pm peut être exprimée par la relation semi-empirique [13.7]
pm/pe = 1 - 1,1C	(13.7)
où pe= 1 tm~3 correspond à la masse volumique de l’eau.
Une relation entre le nombre de Froude relatif à l’eau pure Fe=Vc/>/^ et C pour le canal
rectangulaire est donnée par [13.2]
1 -	~ 1 + F’'2(l,35/K)	(,3’8)
oùKen[m1/3s-1] est le coefficient de rugosité selon la formule de Manning-Strickler. Par la suite, l’indice
«N» caractérisant l’écoulement uniforme sera abandonné.
Pour un écoulement d’eau pure, dont on connaît les caractéristiques hydrauliques 1^ et K, l’équation
(13.8) permet l’estimation de C et la détermination de la hauteur uniforme du mélange
hm = h2/(l—C).	(13.9)
he et 1^ sont mesurés perpendiculairement au fond du canal. Le nombre de Froude du mélange, Fm,
est donné par l’expression empirique [13.2]
Fe/Fm = (l-C)’1'7,	(13.10)
donc Fm<Fe.
Pour un canal rectangulaire de largeur b, pente du radier a, débit d’eau spécifique qe et coefficient
de rugosité K donnés, la marche à suivre pour l’estimation de l’écoulement uniforme aéré est la suivante
1.	L’application de la formule de Manning-Strickler relative à l’eau
qe = K>/sîtïâheR^’	(13.11)
permet la détermination de hg en considérant que le rayon hydraulique est =hJO + Ihç/b).
L’équation (13.11) est représentée dans la figure 13.7.
2.	Le calcul de la concentration moyenne C s’effectue d’après l’équation (13.8) ou à l’aide de la
figure 13.8 qui la représente.
290
CANAUX
Fig. 13.6 Courbes de remous. Solution de l'équation (13.5) dans le domaine de l’écoulement torrentiel pour F élevé. (• • •) écoulement
critique, a) — 20<Xc0;b) -lOOcXC—20.
3.	Les caractéristiques de l’écoulement uniforme aéré, à savoir la masse volumique moyenne pm, la
hauteur h,* et le nombre de Froude Fm du mélange, sont obtenues à partir des équations (13.7), (13.9)
et (13.10). La vitesse du mélange Vm résulte de l’équation de continuité
v. = Q«/bh„ = QJ(1 -C)bK,,	(13.12)
et ainsi les caractéristiques les plus importantes d’un écoulement uniforme aéré sont définies.
AÉRATION SUPERFICIELLE
291
Fig. 13.7 Hauteur uniforme hjb de l’écoulement non aéré en fonction du débit adimensionnel qt=qJ(K^Jsmâbsp).
Fig. 13.8 Concentration moyenne du mélange C en fonction de la rugosité K et du nombre de Froude Fe, relatif à l'écoulement de
l’eau pure.
La figure 13.9 représente le rapport h^/hg en fonction de hjb et i] = (K2sin3abe/g3)l/4 [13.3]; T] dépend
en premier lieu de la rugosité et de la pente du canal, mais peu de la hauteur uniforme d’eau pure hç.
Fig. 13.9 Rapport h^/h^ entre la hauteur uniforme du mélange et la hauteur uniforme de l’eau pure en fonction de he/b et de
T] = (KIsinîahe/gï)‘/4.
292
CANAUX
Exemple 13.2
Un coursier de largeur b=5m et de pente Jt=35% a un coefficient de rugosité de K=75m,/3s- le débit
d’eau maximal est Qe= 100m3s-1. Quelles sont les caractéristiques hydrauliques de l’écoulement uniforme
aéré?
1.	Avec qe=Qe/b = 20m2s~l, ot = arctg(0,35) = 19,3°, sina=O,33 et qe/(K(sina),/2bî/3)=0,032, la figure 13.7
donne hNc/b = 0,14 donc hNe=0,70m, correspondant à la hauteur uniforme d’eau sans tenir compte de
l’aération. Elle est mesurée perpendiculairement au fond du radier. Le nombre de Froude correspondant
devient Fc=qe/(gh^),/2= 10,9 et la vitesse moyenne est Ve=20/0,70 = 28,6ms-1.
2.	D’après l’équation (13.8) la concentration moyenne d’air dans l’écoulement uniforme aéré devient
C=0,39, ce qui résulte également de la figure 13.8. Le débit spécifique total de l’eau et de l’air se calcule
à l’aide des équations (13.1) et (13.2), qw=qe/(l — C)=SSm’s-1. Pour le débit total d’air entraîné on obtient
Qa=(33 —20) • 5 = 65m3s-1.
3.	La hauteur uniforme du mélange 1^=0,7/(1 —0,39)= 1,15m est donnée par l’équation (13.9). Le même
résultat est obtenu à partir de la figure 13.9 en introduisant q = (752 • O,333 • 0,7/9,813),/4=0,62 et
11^=0,14, ce qui conduit à h^/h^ 1,64 et finalement à h„= 1,64 • 0,7= 1,15m comme précédemment.
4.	Les autres caractéristiques de l’écoulement du mélange sont définies par l’équation (13.10) pour
Fm= 10,9(1—0,39)1/7 = 10,1, par l’équation (13.12) pour Vm= 100/(1- 0,39)5- 1,15=28,5ms"1 et par
l’équation (13.7) pour pm= 1 — 1,1 • 0,39 = 0,57tm~3.
La formation d’un mélange eau-air lors d’un écoulement à grande vitesse conduit à une augmentation
considérable de la section nécessaire. Ainsi les parois latérales doivent avoir au minimum une hauteur de
1,15m+0,85m=2,00m. Le supplément de 0,85m est indiqué pour tenir compte des irrégularités de la surface
du mélange et des ondes stationnaires éventuelles.
Dans chaque cas particulier il est nécessaire d'examiner si l’état de l'écoulement uniforme aéré calculé
dans l'exemple 13.1 est effectivement atteint. En effet, des longueurs de coursiers considérables sont
nécessaires pour que cet état s’établisse comme le montre l’exemple 13.3 ci-dessous.
Exemple 133
On considère un déversoir comme celui de la figure 13.3 avec les mêmes caractéristiques hydrauliques et
géométriques que dans l’exemple 13.2. Avec K=75m,/3s“* la rugosité équivalente devient k,=(8,2gl/2/
K)6=0,0014m selon l’équation (13.4), donc qe/(gk^)1/2=0,12 • 106, ce qui donne s1/k1=0,09 • 106 à l’aide de la
figure 13.5. Il en résulte sk= 125m. Ce chiffre montre l’importance de la longueur nécessaire du coursier pour
que l’aération libre commence.
La hauteur d’eau au point s=s( se détermine approximativement à partir de la figure 13.6 en ne tenant
compte que de l’eau sans air. Ainsi les paramètres deviennent hNe=0,70m et hw=(q^/g)l/3=3,45m d’où
f = hjh^=4,9 et X=0,33 • 125/0,70 = 59. Il en résulte XO(Y=p = - 72, donc Xo -X = - 724- 59 = -13, d’où
Y(f=4,9, X= —13)= 1,1. La condition uniforme au point initial n’est donc pas complètement réalisée.
La zone d’écoulement non uniforme aérée se calcule en tenant compte de hNm= 1,15m et hca=(q^/
g)‘/3=(332/9,81),/3=4,8m. Avec h0.= 1,1 0,70=0,77m, f=4,8/1,15=4,17 et Yo=0,77/1,15 = 0,67, le point de
départ devient Xo= — 39 selon la figure 13.6b), donc x„=39 • 1,15/0,33 = 135m. La figure 13.10 représente le
profil de surface le long du coursier. Pour atteindre des conditions d’écoulement uniforme aérées, le coursier
doit avoir une longueur de plus de (1254- 135)m=260m.
13.3 Conduite circulaire partiellement remplie
On considère un écoulement dans une conduite circulaire partiellement remplie. Connaissant le débit
Qe, la pente (constante) Js, le diamètre D et la rugosité K, la hauteur uniforme hNe peut être déterminée
à partir des abaques du chapitre 4 pour l'écoulement de l'eau pure.
Volkart [13.9], [13.10] a étudié expérimentalement les caractéristiques de l’écoulement biphasique;
cette étude a montré que ce type d’écoulement dépend du nombre de Boussinesq Be=et non du
nombre de Froude. La figure 13.1 la) représente le nombre de Froude en fonction de la hauteur relative
AÉRATION SUPERFICIELLE
293
Fig. 13.10 Profil de surface selon l’exemple 13.3 (dimensions en m). (•) points particuliers de l’écoulement.
Fig. 13.11 Relations entre des valeurs caractéristiques dans des profils circulaires partiellement remplis a) nombre de Froude et
b) rapport entre les nombres de Froude et Boussinesq en fonction de la hauteur relative h/D [13.3].
h/D et du débit relatif Q/(gD5)1/2. La figure 13.11b) montre le rapport qui existe entre le nombre de
Froude et le nombre de Boussinesq, F/B, en fonction de la hauteur d'eau relative h/D.
La concentration moyenne d’air d’un écoulement biphasique est [13.10]
0,02(Be — 6)3/2 4- 1 ’
(13.13)
L’aération superficielle commence seulement pour Be > 6, donc pour des vitesses élevées ou des rayons
hydrauliques faibles.
Une représentation graphique des équations précédentes est donnée dans la figure 13.12 [13.3], où la
hauteur du mélange hm/D est représentée en fonction de la hauteur relative de l’eau h^D et du paramètre
x -
(1314)
L’écoulement uniforme aéré s’établit si h^hç (où Qm>Qe). Cette condition indique comme valeur
minimale x = 8 (fig. 13.12). Ce critère est évidemment plus simple à appliquer que le critère analogue
Bc=6. Si x<8 un écoulement uniforme aéré est donc impossible. Selon l’équation (13.14), soit la valeur
de rugosité K, soit la pente du radier Js ou soit le diamètre D de la conduite est trop faible.
Une hauteur relative h^D qui constitue une limite supérieure de l’écoulement correspond à un
remplissage de la conduite à 95%. Pour des remplissages du profil plus hauts, il en résulte une fermeture
brusque de la section (chap. 4).
294
CANAUX
Fig. 13.12 Rapport entre les hauteurs relatives h^/D (mélange) et hJD (eau pure) en fonction du paramètre x=KJ1/2 pour des
conditions uniformes aérées. La hauteur maximale h^/D ne doit pas dépasser 95% à cause de la fermeture brusque de la section.
Exemple 13.4
On considère une conduite de diamètre D= 1,5m à pente constante J,=20% et à coefficient de rugosité
K — 70m,/3s-’. Quelle est la hauteur uniforme pour Q= 18m3s-1?
Avecx=70 • 0,21/2 • l,5l/6 • 9,81 ~1,2 = 10,7 >8, l’écoulement uniforme est aéré. Avec Qe/(KJ]/2D8/3)=0,19 5,
la figure 4.16a) indique 11^0=0,57, donc h„/D=0,64 d’après la figure 13.12. La hauteur uniforme aérée
devient hni=0,64 • D = 0,96m.
Avec 11^0=0,57, le nombre de Froude est Fe = 3 • 18/(9,811/2 • l,55/2)=6,25 d’après la figure 13.11a) et
Fe/Be=0,75 d’après la figure 13.11b), donc Be=6,25/0,75 = 8,35. La concentration moyenne d’air est alors
C=0,07 d’après l’équation (13.13), donc Q,= 18 • 0,07/(1 —0,07)= 1,35m3s-1 et Qm= 19,35m3s-1.
La vitesse moyenne du mélange se calcule à l’aide de l’équation (4.41). Avec h„/D=0,64, la section
mouillée devient A/D2=0,53, donc A= 1,19m2, d’où Vœ= 19,35/1,19 = 16,2ms-1.
Les indications ci-dessus correspondent exclusivement à la condition d'écoulement uniforme aéré. Il
n’existe pas encore d’approche, ni pour la détermination du point initial de l’aération superficielle, ni sur
la zone d’écoulement non uniforme aéré.
Références
[13.1]	Chow, V.T., Open channel hydraulics, McGraw-Hill, New York, 1959.
[13.2]	Gangadharaiah, T., Rao, N.S.L., Seetharamiah, K., «Inception and entrainment in self-aerated flows»,
Proc. ASCE, J. Hydraulics Division, Vol. 96, 1970, HY7, 1549-1565.
[13.3]	Hager, W.H., «Abflusserscheinungen in ofienen Kanâlen», Schweizer Ingénieur und Architekt, Vol. 103,
1985, 252-264.
[13.4]	Hall, L.S., «Open channel flow at high velocities», Trans. ASCE, Vol. 108, 1943, 1394-1434.
[13.5]	Keller, R.J., Rastogi, A.K., «Prédiction of flow development on spillways», Proc. ASCE.J. Hydraulics
Division, Vol. 101, 1975, HY9, 1171-1184; Vol. 102, 1976, HY9, 1401-1404; Vol. 103, 1977, HY6, 664.
[13.6]	Keller, R.J., Rastogi, A.K., «Design chart for predicting critical point on spillways», Proc. ASCE,
J. Hydraulics Division, Vol. 103, 1977, HY12, 1417-1429.
AÉRATION SUPERFICIELLE
295
[13.7]	Rao, N.S.L., Seetharamiah, K., Gangadharaiah, T., «Characteristics of self-aerated flows», Proc.
ASCE, /. Hydraulics Division, Vol. 96, 1970, HY2, 331-355.
[13.8]	Thandaveswara, B.S., Rao, N.S.L., «Developing zone characteristics in aerated flows», Proc. ASCE,
/. Hydraulics Division, Vol. 104, 1978, HY3, 385-396; Vol. 105, 1979, HY3, 279-281; HY11, 1451-1452.
[13.9]	Volkart, P.U., «The mechanism of air bubble éntrainment in self-aerated flow», Int. J. Multiphase flow,
Vol. 6, 1980, 411-423.
[13.10]	Volkart, P.U., «Self-aerated flow in steep, partially filled pipes», Proc. ASCE, /. Hydraulics Division,
Vol. 108, 1982, HY9, 1029-1046.
[13.11]	Wood, I.R., Air waterflows, Keynote address, Vol. 6, 18-29, 21st IAHR Congress, Melbourne, Australia,
1985.
Notations
Divers signes peuvent se rapporter au mélange eau-air, à l’air seul ou à l’eau pure seule, ce qui est indiqué
respectivement par les indices «m», «a» et «e». Les indices «N» et «c» dénotent, respectivement, des conditions
d’écoulement uniforme et critique. Des symboles surmontés d’une barre se réfèrent au moyen de cette valeur.
A	[m2]	section mouillée	q	[m2s ’]	débit par unité de largeur
b	[m]	largeur du canal	Q	[m3s-1]	débit
B	[-]	nombre de Boussinesq	Rh	[m]	rayon hydraulique
C	[-1	concentration moyenne	s	[m]	coordonnée courbe longitudinale
D	[m]	diamètre	V	[ms“‘]	vitesse moyenne
f	[-1	f=l^hN	X	[-]	coordonnée longitudinale adimen-
F	[-]	nombre de Froude			sionnelle
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle	Y	[-]	hauteur d’eau adimensionnelle
h	[m]	hauteur d’eau	a	[-]	pente du radier en degré
H	[m]	charge	8	[m]	épaisseur de la couche limite
hd	[m]	charge de dimensionnement du ra-	P	[tm 3]	masse volumique
		dier du déversoir	n	[-]	caractéristique de l’aération dans
J,	[-]	pente du radier			un canal rectangulaire
K	[m,/îs‘]	coefficient de rugosité	x	[-]	caractéristique de l’aération dans
k,	[m]	rugosité équivalente de sable			une conduite circulaire
14. Cavitation et aération forcée
Aération d'un écoulement sur coursier à partir de l'extrémité aval des piliers (VAW D5413).
298
CANAUX
14.1	Introduction
L’eau peut être considérée comme incompressible; une surpression de 1000m de colonne d’eau, par
exemple, augmente la masse volumique de 0,5% seulement. Des surpressions dans les écoulements ne
présentent donc pas d’inconvénients au niveau des propriétés du fluide. Par contre, l’eau réagit assez
fortement à des sous-pressions, dont la limite inférieure est fixée par la pression de vapeur pv. Si la pression
dans un écoulement décroît jusqu’à cette limite, des particules d’eau s’évaporent à température ambiante
autour de germes. L’eau perd son homogénéité et l’écoulement devient biphasique, c’est-à-dire constitué
d’eau et de bulles de vapeur. Ce phénomène est appelé cavitation. Si la pression dans l’écoulement
augmente à nouveau, les bulles de vapeur reviennent brusquement à l’état liquide. Il en résulte une
implosion des bulles, libérant localement des énergies considérables. Celles-ci peuvent endommager les
matériaux en contact avec cet écoulement, ce qui conduit au phénomène de l’érosion de cavitation.
La cavitation hydrodynamique ne peut pas se manifester dans des écoulements à filets de courant
parallèles. Pour que les effets de cavitation apparaissent, il faut donc que les lignes de courant soient
courbes. De plus, la vitesse locale V doit être relativement élevée pour que la pression locale pft soit
inférieure à la pression de vapeur pv/(pg)=hv (Annexe III). Pour une température inférieure à 25 °C, hv
est compris entre — 10m et — 10,3m de colonne d’eau.
Un nombre caractéristique de ce phénomène est l’indice de cavitation défini par
a = P» ~ py = P8________	<141)
pVj/2 V*/2g
où Vo est une vitesse de réference. Pour o>0 (pt>pv) il n’y a pas de cavitation, mais des effets de
cavitation apparaissent dès que a<0.'La limite entre les deux états, a=0, correspond à la condition
critique par rapport à la cavitation.
La pression pft, en un endroit donné de l’écoulement, se compose de la pression moyenne, pft, et de
la fluctuation temporelle pj. a est évidemment positif si pt > pv, mais la cavitation peut apparaître à cause
de fortes fluctuations temporelles de la pression, pî(t). Par conséquent, pour des conditions stationnaires
de l’écoulement (débit constant), il ne suffit pas seulement de connaître les caractéristiques de l’écoule-
ment potentiel, mais il faut de plus tenir compte de la composante turbulente de l’écoulement. L’analyse
de la cavitation n’est donc pas élémentaire. Il n’existe qu’un nombre très limité d’approches théoriques
qui permettent de prédire de tels phénomènes. C’est normalement par des essais sur modèles réduits ou,
à cause des effets d’échelle, même par des essais sur prototypes qu’une réponse aux questions posées par
la cavitation pourra être trouvée.
L’effet de la cavitation sur les structures et les machines est bien connu: qu’il s’agisse de béton, d’acier
ou de tout autre matériau, ils sont agressés dynamiquement par les ondes de compression dues à
l’implosion des bulles. Il en résulte des dégâts à la surface limitant l’écoulement et, si le temps d’action
est suffisamment long, la destruction complète de la partie concernée de l’ouvrage. La cavitation joue un
rôle important dans les constructions hydrauliques notamment pour les canaux à haute vitesse (cour-
siers), les sorties de galeries, les parties proches des vannes de fond (grande vitesse et petite courbure des
lignes de courant), les déversoirs, les dissipateurs (seuils et blocs) et les entrées des galeries (vitesse
considérable et lignes de courant fortement courbes).
Tous ces ouvrages sont soumis à un risque d’érosion de cavitation dont il faut bien réaliser l’impor-
tance du point de vue de la sécurité de tels ouvrages. Le but de ce chapitre n’est pas d’établir une liste
de cas où la cavitation n’a pas été considérée de façon appropriée, ni d’établir un résumé des recettes à
appliquer pour empêcher les effets de cavitation. Cependant, il rassemble quelques règles bien établies
AÉRATION SUPERFICIELLE
299
qui peuvent conduire à une meilleure configuration géométrique des parties en question. De plus, une
liste de références renvoie à d’autres cas traités [14.4, 14.6].
14.2	Description physique de la cavitation
Dans le cas d’un écoulement potentiel, le théorème de Kirchhoff et Thompson joue un rôle essentiel.
Ces deux chercheurs du XIXe siècle ont trouvé que les valeurs extrêmes de la vitesse et de la pression se
retrouvent toujours aux bords limitant l’écoulement, mais jamais à l’intérieur de celui-ci. La pression
devient évidemment minimale là où la vitesse est maximale, et vice versa. Un exemple typique de cette
situation est donné dans la figure 6.4; le maximum de la vitesse d’un écoulement par-dessus un déversoir
est atteint sur la crête elle-même, tandis que la pression est minimale (chap. 6). Plus généralement, la
pression correspondante est toujours minimale là où l’écoulement contourne un obstacle à paroi
convexe. La figure 14.1 montre des cas typiques pour lesquels le phénomène de la cavitation peut
apparaître.
7///7///7777777777W7/77
b)
Fig. 14.1 Apparitions typiques des effets de cavitation: a) déversoir, b) obstacle dans un canal ou dans une conduite, c) marche négative
et d) marche positive.
Comme cela a déjà été mentionné, un abaissement de la pression dans l’eau produit tout d’abord une
sécrétion de gaz dissous et, dès que la pression de vapeur est atteinte, des bulles de vapeur se forment.
Ce phénomène correspond, sur le diagramme de Van der Waals (fig. 14.2), à un mouvement de A à B
où B est le point initial de la vaporisation. Meyer a pourtant montré que la limite B peut encore être
abaissée, si l’eau est pure et ne contient pas de germes. Dans ce cas, l’eau peut donc subir des tensions
négatives au-delà de (pghj et, si celles-ci agissent seulement pendant un court instant, elle ne s’évapore
pas [14.1].
Etant donné que l’eau que l’on trouve dans les constructions hydrauliques n’est pas pure, le
comportement décrit par les points BCDEF dans la figure 14.2 n’est pas valable. A cause de germes qui
existent dans une telle eau, l’évaporation commence approximativement lorsque h < h^.
300
CANAUX
Fig. 14.2 Isotherme d’après Van der Waals pour l'eau pure à température 0 constante. A état liquide, B début de la vaporisation,
E transition entre l’état à deux phases et vapeur uniquement. (----------------) état de deux phases liquide et ga*
La pression interne de la bulle p^, se compose de la pression de vapeur pv et de la pression du gaz pg.
La figure 14.3 [14.5] montre l’accroissement du rayon R d’une bulle de gaz en fonction de la pression p,
de la température 0 et d’une constante N. On constate un minimum des fonctions (p — pv)[R,N]. Si la
pression p est réduite, le rayon R croît d’abord faiblement (R < Ro). Une fois que le minimum de pression
est atteint (N fixé), donc R=Rp, la bulle devient instable et croît fortement sans réduction additionnelle
de la pression.
Fig. 143 Rayon de bulle de gaz R en fonction des conditions de pression; 0=20°C. () pression minimale pour laquelle R = RO.
Dès que la bulle considérée est transportée par l’écoulement dans des zones de pressions croissantes
(fig. 14.1) elle implose en un temps extrêmement court (quelques ms). Dans la dernière phase de
l’implosion, la bulle est fortement déformée et ses parois s’entrechoquent. L’onde de compression libère
des quantités d’énergie considérables (comparables à un choc de pression équivalent à 10 000m de
colonne d’eau) et entraîne une érosion de la surface rigide si l’endroit où se produit la cavitation se trouve
assez près de la paroi limitant l’écoulement.
14.3	Cavitation dans des rétrécissements
Un rétrécissement local d’une conduite en charge se prête bien à une description simple des phénomè-
nes de cavitation. Selon l’équation de Bernoulli, la vitesse maximale et donc la pression minimale
s’établissent dans la section la plus contractée. D’après le théorème de Kirchhoff, la pression minimale
de la section s’établit aux parois.
AÉRATION SUPERFICIELLE
301
Soit p1 la pression dans un réservoir (Vj = 0) et pm, Vm la pression et la vitesse moyenne dans la section
contractée de la conduite à l’aval du réservoir (fig. 14.4a). Selon l’équation de Bernoulli, il existe la
relation
V2
(Pl-Pm)/Pg = T2
2g
(14.2)
pour un fluide parfait. A l’aval du rétrécissement, le coefficient de perte de charge locale due au diffuseur
s’élève à environ Ç=0,3. Ackeret [14.1] en déduit qu’il faut une hauteur de pression absolue p,/
(pg)~4,3m pour que la cavitation apparaisse dans le rétrécissement.
Fig. 14.4 Essai de Ackeret a) disposition d’essai, b) hauteur de pression absolue p(x)/(pg) en (m) colonne d’eau le long de la section
contractée pour diverses vitesses Vm(ms-1), (—) mesuré, (• • •) calculé d’après Bernoulli.
Des mesures de pression p(x) le long de la paroi sont représentées dans la figure 14.4b). Pour des
vitesses de 11,0 et 13,1ms-1, les courbes p(x) correspondent à celles calculées d’après Bernoulli. Pour
Vm= 14,4ms-1, par contre, on observe une différence sensible entre les mesures et le calcul lorsque x> xc,
xc étant la coordonnée longitudinale de la section la plus contractée. Ces phénomènes sont encore plus
marqués lorsque Vm= 15ms-1, la pression le long de la paroi est presque nulle. Dans ce cas, l’observation
de l’écoulement permet de voir de la mousse le long de la paroi divergente. Ce ruban de mousse délimite
le domaine à basse pression. Plus en aval, la mousse disparaît; le phénomène de basse pression n’est pas
stationnaire mais fortement fluctuant. Une représentation comme celle de la figure 14.5 ne donne que des
Fig. 145 Evolution temporelle d’une zone de cavitation à l’aval d’une contraction locale.
images instantanées (photos). Dans la figure 14.4b) on peut également détecter un saut de pression pour
Vm= 14,4ms-1 à l’extrémité de la zone de cavitation. Dès que les bulles de vapeur pénètrent dans cette
zone, elles implosent immédiatement.
302
CANAUX
14.4	Irrégularités de surface
Comme cela a déjà été mentionné précédemment, des écoulements à haute vitesse et filets de courant
courbes peuvent provoquer des pressions proches de la pression de vapeur. La couche laminaire étant
très mince pour l’écoulement turbulent, de petites irrégularités de surface par rapport à la hauteur d’eau
représentent déjà un danger potentiel [14.10]. La figure 14.6 montre des cas typiques dans lesquels des
Fig. 14.6 Cas typiques où l’irrégularité de la surface d’un canal ou d’une conduite produit des zones de cavitation et d’érosion qui
peuvent en résulter (en noir); direction de l’écoulement de gauche à droite.
érosions de cavitation peuvent se manifester. Des changements brusques des parois, courbes ou ondu-
laires, doivent être atténués en grandeur, voire leurs formes modifiées (ou les deux), pour que les
dommages disparaissent.
Pour diverses hauteurs relatives s/h de seuils positifs, la figure 14.7 représente la hauteur de pression
minimale h^ (m) nécessaire pour que la cavitation n’apparaisse pas [14.2]. Bail indique encore d’autres
cas importants et présente des photographies qui illustrent les dommages de cavitation qui ont affecté des
constructions hydrauliques.
Exemple 14.1
On considère un canal à vitesse moyenne aval V = 18ms-1 et à hauteur de pression h=5m relative à la
pression atmosphérique, donc h=5 +10= 15m. Comme indiqué à la figure 14.7a) la hauteur du seuil ne doit
donc pas dépasser s/h= 1/16, soit s < 0,94m.
Si,	par contre, le seuil a une hauteur s=0,5m, on obtient h= 11,5m. Avec une pression atmosphérique
de ~ 10m de colonne d’eau, la hauteur d’eau doit être supérieure à h=(l 1,5—10)= 1,5m. Pour se situer du
côté de la sécurité, une hauteur d’eau d’environ 2m devrait être envisagée.
14.5	Aération forcée des coursiers
14.5.1 Types d’aérateurs
Comme cela est décrit ci-dessus, chaque irrégularité du fond ou d’une paroi latérale rectiligne peut
créer des lignes de courant courbes. Si le centre de courbure de la ligne de courant considérée se trouve
du côté de l’écoulement, il en résulte une pression supérieure à la pression hydrostatique. Par contre, si
AÉRATION SUPERFICIELLE
303
Fig. 14.7 Pression absolue minimale hmia(m) nécessaire pour que des effets de cavitation soient évités dans des canaux avec élévation
a) brusque et b) progressive du fond. (------------------------------) pression atmosphérique.
le centre de courbure est du côté extérieur de l’écoulement, la pression sur et près de la paroi est inférieure
à la pression hydrostatique (chap. 1).
Il existe plusieurs moyens d’éviter l’érosion de cavitation [14.3, 14.11]:
-	canal strictement rectiligne,
-	paroi du canal extrêmement lisse,
-	amortir les chocs provenant de l’implosion.
Les deux premières possiblités ne sont réalisables que dans des circonstances particulières ou sur des
modèles réduits. Par conséquent, si le danger d’érosion de cavitation devient important, il faut viser la
troisième possibilité. Le moyen le plus simple est d'aérer artificiellement l’écoulement près du fond. Le
résultat est alors un écoulement à pression atmosphérique en surface et au fond. Un tel écoulement peut
être comparé avec un jet dans l’air. La pression dans le jet n’est évidemment pas égale à la pression
atmosphérique, mais elle dépend de l’inclinaison et de la courbure des lignes de courant (chap. 1).
L’aération de la zone inférieure du jet peut être réalisée au moyen de differents types d’aérateurs
(fig. 14.8). On distingue, comme types de base, les déflecteurs, les gradins et les fentes. Les déflecteurs sont
Fig. 14.8 Coupe longitudinale de types d'aérateurs, a) déflecteur, b) gradin, c) fente.
caractérisés par un changement local de la pente dans un canal, produisant ainsi une discontinuité de
hauteur s. Les gradins, par contre, provoquent un changement brusque de l’élévation du radier. Une
combinaison des trois types d’aérateurs est possible. Quelle que soit la combinaison choisie, il est
304
CANAUX
important que l’espace ainsi créé sous le jet soit relié à l’air libre et que cette connection permette un
apport d'air suffisant.
Comme cela a été démontré par des essais sur modèles réduits, une fente peut se remplir d’eau et ne
peut être recommandée pour réaliser un aérateur efficace [14.12]. Un gradin ou un déflecteur seul n’aspire
pas suffisamment d’air et ne répond pas non plus aux exigences d’un aérateur.
Les résultats répondant au mieux aux besoins sont réalisés à l’aide d’une combinaison gradin-déflec-
teur. Cette disposition entraîne suffisamment d’air, lance le jet par-dessus le coursier sur une distance
importante et permet ainsi un espacement approprié entre les aérateurs (fig. 14.9). En particulier, l’angle
5 et la hauteur s du déflecteur sont des paramètres variables. Des dimensions typiques d’un tel dispositif
sont 0,1m<s< 1m et 8°<8< 12°; la hauteur du gradin est située entre 0,5m et 2m [14.12].
14.5.2 Principe de fonctionnement
Le mécanisme d’aération de l’écoulement provoqué par un aérateur est représenté à la figure 14.9a).
On distingue, en fonction de la concentration d’air moyenne auprès du radier, (î) une zone d’approche
Fig. 14.9 Comportement hydraulique d’un gradin-déflecteur a) zones d’écoulement et mécanisme d’entrainement d’air, b) répartition
longitudinale (—) de la pression au fond pr et (• - •) de la concentration moyenne d'air au fond Cf.
(Cf<Cmin), (5) une zone de transition (jet courbe vers l’atmosphère, pression plus haute que la pression
hydrostatique), (5) une zone d’aération (jet courbe vers le radier, pression inferieure à la pression
atmosphérique) et, une fois que la ligne de courant inferieure atteint à nouveau le fond, ® une zone
d’écoulement aéré au fond. La figure 14.9b) représente le profil de pression sur le fond; on constate des
AÉRATION SUPERFICIELLE
305
maximums de pression sur le fond à l’extrémité aval du déflecteur et au point d’impact de la ligne de
courant inférieure. Par contre, le minimum de pression est situé à l’aval du déflecteur. Si l’aérateur est
isolé dans un canal à pente et rugosité constantes, la hauteur uniforme aérée hNm (chap. 13) apparaît à
l’amont et à l’aval de l’aérateur, la zone d’aération se rapproche donc asymptotiquement de la zone
d’approche.
Pour le canal considéré, la concentration moyenne d’air au fond Cf est nulle à l’amont de l’aérateur,
s’élève jusqu’à Cf = 1 à l’aval de ce dernier, tombe presque à zéro à l’amont de la zone d’impact du jet
pour remonter vers un deuxième maximum (fig. 14.9b). A cet endroit l’écoulement est imprégné d’air.
Plus à l’aval, la concentration d’air diminue progressivement (zone de désaération) pour retomber
finalement à zéro auprès du fond. Seule la zone superficielle reste aérée (chap. 13), le fond n’étant plus
protégé contre l’érosion cavitationnelle. De ce fait résulte la nécessité de prévoir un nouvel aérateur. A
l’heure actuelle, seuls des essais sur modèle réduit permettent de déterminer la distance requise entre les
dispositifs d’aération.
14.6	Caractéristiques d’écoulement
14.6.1 Longueur du jet et rayon d’influence
Un aérateur isolé sur un canal avec un radier à pente forte et constante possède une certaine zone
d’influence à l’aval. Il faut distinguer la longueur du jet lui-même (zone (T) de la figure 14.9a), qui
caractérise la géométrie de la cavité à l’aval de l’aérateur, et la zone d’aération du fond, lr (zone @ de
la figure 14.9a).
Schwartz et Nutt [14.9] donnent des formules simplifiées pour la trajectoire du jet en fonction du
nombre de Froude amont, de la hauteur amont ho, de l’angle de départ sur le déflecteur par rapport à
l’horizontale et de la sous-pression relative sous le jet Ap/(pgho). Ces formules permettent de déterminer
approximativement la longueur ij (chap. 19). Wei et De Fazio [14.14] analysent le comportement à deux
dimensions du jet par la méthode des éléments finis.
Comme cela a déjà été décrit, la zone située à l’aval du point d’impact du jet est caractérisée par une
diminution asymptotique de la concentration d’air. Peterka [14.7] et d’autres ont démontré que la
réduction du poids de béton due à l’érosion cavitationnelle devient presque nulle si une concentration
minimale d’air près du fond du canal (hauteur ~ 0,20m) de Cmin = 6 à 8% est garantie. Ces chiffres ont
été établis pour une vitesse moyenne de V~ 35ms-1. Pour des vitesses plus élevées, et pour du béton de
qualité inférieure, doit être augmenté.
14.6.2 Entraînement d’air
Le coefficient d’entraînement d’air
P = Qa/Qe	(14.3)
dépend en premier lieu de la géométrie de l’aérateur et du système d’aération, des conditions d’approche
et de la géométrie de la cavité produite.
Pinto et al. [14.8] ont démontré, par des essais sur des prototypes, que l’on peut poser
P = Kp • (ij/hj	(14.4)
où Kp dépend de la géométrie de l’aérateur et du système d’aération. ho est la hauteur d’eau à l’amont
du dispositif. Le coefficient Kp se situe entre 0,023 <Kp^ 0,033.
306
CANAUX
Des essais sur modèles hydrauliques indiquent que:
-	la hauteur optimale de l’aérateur, s, dépend de ho,
-	p dépend fortement de la vitesse amont Vo=q/ho et n’est que légèrement fonction du débit
spécifique q = Q/h^.
Le phénomène d’entraînement de l’air fait actuellement l’objet de recherches intensives. Les résultats
donnés ci-dessus doivent donc être considérés comme préliminaires. Pour des ouvrages importants, des
essais sur modèles réduits doivent être envisagés. Les effets d’échelle peuvent jouer un rôle important dans
l’interprétation de tels essais [14.12, 14.13].
14.6.3 Systèmes d’entraînement d’air
La figure 14.10 représente différents types de systèmes d’approvisionnement d’air. L’air entraîné dans
l’écoulement provient soit des côtés du canal (changement local de la largeur du canal (a,b,c)), soit par
un pilier situé dans le canal (d), ou soit par des conduites d’air (e,f).
Fig. 14.10 Dispositions d’approvisionnement d’air.
Seuls les types e) et 0 de la figure 14.10 ne perturbent pas l’écoulement par des ondes de choc
(chap. 11, 12). Etant donné que la différence de pression Ap est maximale au centre du canal [14.13] il
faut veiller que cet endroit soit suffisamment alimenté en air. Par conséquent, la variante f) donne les
meilleurs résultats du point de vue de la répartition de l’air et de l’efficacité de l’aération de l’écoulement.
14.6.4 Espacement des aérateurs
A l’exception de débits minimaux, l’aération superficielle des écoulements à haute vitesse ne suffit pas
à aérer la zone en danger près du fond. En particulier, le maximum de la vitesse et le minimum de la
AÉRATION SUPERFICIELLE
307
concentration d’air sont atteints dans la zone axiale du coursier. Dans cette zone, une alimentation en
air suffisante doit donc être garantie.
Comme règle approximative, on peut admettre une perte d'air de 0,5 à 0,8% par mètre de longueur
d’un canal rectiligne, et de 1,2 à 1,5% par mètre d’un canal à fond concave [14.13].
Comme cela a déjà été indiqué, la distance entre deux aérateurs dépend fortement de la vitesse
moyenne de l’écoulement. Elle est normalement comprise entre 30 et 100m. Jusqu’à présent, les valeurs
de ces distances ne peuvent être déterminées qu’à l’aide de modèles réduits.
Références
[14.1]	Ackeret, J., Experimentelle und theoretische Untersuchungen ueber Kavitation im Wasser, Diss. ETHZ,
Nr. 548, Triasdruck GmbH, Berlin, 1930.
[14.2]	Ball, J.W., «Cavitation from surface irregularities in high velocity», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division,
Vol. 102, 1976, 1283-1297; Vol. 103, 1977, 469-472; Vol. 104, 1978, 1199-1200.
[14.3]	Eccher, L., Siegenthaler, A., «Spillway aération of the San Roque project», Water Power, September 1982.
[14.4]	Hamilton, W.S., «Preventing cavitation damage to hydraulic structures», Water Power, 1983, 40-43;
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[14.5]	Johnson, V.E., «Mechanics of cavitation», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division, Vol. 89, 1963, 251-275.
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[14.7]	Peterka, A.J., Effect of entrained air on cavitation pitting, Proc. Minnesota International Hydraulics
Convention, USA, 1955.
[14.8]	Pinto, N.L. de S., Neidert, S.H., Ota, J.J., «Aération at high velocity flows» Water Power, 1982, 34-38;
42-44.
[14.9]	Schwartz, H.I., Nutt, L.P., «Projected nappes subject on transverse pressure», Proc. ASCE, J. Hydrau-
lics Division, Vol. 89, 1963, 97-104.
[14.10]	VERNARD,J.K.ETAL.,«CavitationinHydraulicStructures»,ASymposium, Trans.ASCE, Vol.95,1947,1-124.
[14.11]	Vischer, D., «Die Schussrinnenbelüftung als Massnahme gegen Kavitationserosion», Oesterreichische
Wasserwirtschaft, Vol. 37, 1985, 117-123.
[14.12]	Volkart, P., Air slotsfor flow aération, Mittl. Nr. 66, VAW, ETHZ, Zürich, 1983.
[14.13]	Volkart, P., Rutschmann, P., Air entrainment devices, Mittl. Nr. 72, VAW, ETHZ, Zürich, 1984.
[14.14]	Wei, C.Y., DE Fazio, F.G., Simulation of free jet trajectories for the design of aération devices on hydraulic
structures; Finite Eléments in Water Resources, Proc. 4th Int. Conf., Hannover, Springer, Berlin, 1982.
Notations
Les indices «a» et «e» se réfèrent, respectivement, à l’air et à l’eau pure. L’indice «o» indique des conditions
d’écoulement d’approche à l’aérateur. Les quantités surmontées d’une barre se réfèrent à la moyenne temporelle.
L’indice «m» dénote le moyen.
b	[m]	largeur du canal	Pv	[Nm'2]	pression de vapeur
C	[-]	concentration moyenne d’air	q	[m2s-,J	débit par unité de largeur
9	[-1	concentration d’air au fond	Q	[m3s']	débit
Cmio	(-]	concentration minimale d’air	R	[m]	rayon de bulle
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle	s	[m]	hauteur du gradin, du déflecteur
h	[m]	hauteur d’eau	V	[m3]	volume
hv	[m]	hauteur de pression de vapeur	V	[ms ‘]	vitesse moyenne
Kp	[-]	coefficient de l’aérateur	P	[-]	coefficient d’entraînement d’air
	[m]	longueur d’aération du fond	o	(-]	indice de cavitation
tj	[m]	longueur du jet	p	fcgm 3]	masse volumique
P	[Nm'2]	pression	ô	[-1	angle du déflecteur
Pf	[Nm2]	pression au fond	e	[°C]	température
Pi	[Nm-2]	pression locale	S	[-]	coefficient de perte de charge
15.	Ressaut hydraulique
a)
Ressaut hydraulique dans le canal rectangulaire, a) et b) F| =4, c) et d) F, = 8
312
OUVRAGES DE DISSIPATION
15.1	Introduction
Les ouvrages de retenue réalisés sur un cours d’eau créent une dénivellation plus ou moins importante
entre les niveaux d’eau situés à l’amont et à l’aval du barrage. Pendant les périodes de crues, les eaux sont
restituées directement à la rivière si la retenue est pleine. L’importante différence de niveaux entre
l’évacuateur de crues et la partie aval de la retenue peut provoquer des débits considérables à haute
vitesse. Pour éviter des modifications importantes et non contrôlées du lit de la rivière sous l’effet de ces
eaux, des ouvrages de dissipation d’énergie,sont souvent indispensables. Le choix du type du dissipateur
dépend des conditions hydrauliques, topographiques et géologiques du site.
Le phénomène qui apparaît dans tous les dissipateurs est une diminution locale de la vitesse moyenne
sur une faible longueur, accompagnée d’une réduction importante de l’énergie mécanique de l’écoule-
ment. C’est la raison pour laquelle le ressaut hydraulique, dans lequel on rencontre cette dissipation
d’énergie, est traité séparément dans ce chapitre. Les bassins d’amortissement pour lesquels des aspects
concernant la stabilité, la compacité et des conditions d’exploitation variables interviennent seront
abordés dans les chapitres 16 et 17.
Ce chapitre traitera tout d’abord du ressaut hydraulique sur fond horizontal dans des canaux
trapézoïdaux. En complément du chapitre 4, on déduira des expressions des hauteurs conjuguées, de la
dissipation d’énergie mécanique et de la longueur du ressaut. Par la suite, l’écoulement interne du ressaut
plan (canal rectangulaire de largeur importante) sera discuté. Finalement, le ressaut dans un canal à
radier incliné sera traité; le ressaut noyé a été considéré au chapitre 8.
15.2	Ressaut hydraulique sur radier horizontal
(15.1)
15.2.1 Phénomène du ressaut hydraulique
L’écoulement dans des canaux découverts peut être caractérisé par le nombre de Froude (chap. 4)
gA3 9h
où Q est le débit, g l’accélération gravitationnelle et A=A(xji) la section mouillée, x est la coordonnée
longitudinale et h la hauteur d’eau. Le nombre de Froude peut être interprété comme un indice de
l’importance des effets d’inertie de l’écoulement considéré.
En introduisant la vitesse moyenne V=Q/A, le nombre de Froude s’exprime également par
F=V/<7gA/(9A/ôh). F=0 est obtenu pour V=0 et indique un état purement hydrostatique. L’autre
extrême F-> oo, correspond à un écoulement à vitesse V infiniment plus grande que la vitesse de référence
V, = VgA/(9A/0h).	(15.2)
Finalement, si V=V*, donc F=l, les effets d’inertie et de pression sont égaux; cet état est appelé
condition d'écoulement critique (chap. 4 et 5). Pour F < 1, l’écoulement se trouve dans la condition fluviale,
tandis que la condition torrentielle apparaît pour un écoulement caractérisé par F> 1.
La vitesse V absolue ne suffit pas pour caractériser la condition d’écoulement. Suivant la vitesse de
réference V#, un écoulement à vitesse donnée peut être fluvial et un deuxième écoulement à plus petite
vitesse peut être torrentiel. La vitesse de référence, V+, ne dépend pas du débit ou de la vitesse
d’écoulement, mais uniquement de la géométrie du profil en un point x=x* considéré.
Comme déjà indiqué au chapitre 5, F = 1 correspond à une transition d’écoulement. Lors du passage
deF<l à F> 1, la surface de l’écoulement se caractérise par un changement graduel. Etant donné que
RESSAUT HYDRAULIQUE
313
les lignes de courant convergent, les pertes de charge peuvent être pratiquement négligées. En première
approximation, ces écoulements peuvent donc être traités par la théorie potentielle.
Pour des écoülements caractérisés par la transition de F> 1 à F< 1, par contre, les lignes de courant
divergent fortement et l’écoulement devient rapidement varié en ce qui concerne le profil de surface. De
plus, des pertes de charge importantes accompagnent de telles transitions et des zones de séparations
peuvent se former autour de l’écoulement principal. Un ressaut hydraulique s’établit.
Le ressaut hydraulique est l’un des phénomènes hydrauliques les plus complexes. Bien que le débit
reste constant pour des écoulements stationnaires comportant un ressaut, l’écoulement à l’intérieur de
celui-ci est fortement non stationnaire. Par conséquent, ces écoulements sont caractérisés par des effets
de turbulence importants, qui mènent à des mouvements spatiaux. De plus, le phénomène d’entraînement
d’air, associé à l’écoulement biphasique (chap. 13), complique la description du ressaut.
Les connaissances actuelles sur le ressaut hydraulique ne sont pas encore suffisamment étendues pour
que l’écoulement interne soit parfaitement compris. Par contre, en ce qui concerne le phénomène dans
son ensemble, des approches simplifiées permettent d’en analyser les caractéristiques les plus marquantes.
En particulier, un ressaut hydraulique peut être décrit par ses hauteurs d’eau aux extrémités (hauteurs
conjuguées) et sa longueur.
Par la suite, l’attention sera surtout portée sur ces caractéristiques. Comme le profil trapézoïdal revêt
un intérêt particulier dans les constructions hydrauliques, c’est ce type de profil qui sera examiné. Les
profils rectangulaires et triangulaires en découlent comme des cas limites.
15.2.2 Hauteurs conjuguées
Les hauteurs conjuguées ont déjà été traitées dans le chapitre 4 pour différents profils de canaux
courants. L’approche adoptée dans ce paragraphe-ci est quelque peu différente du point de vue de la
présentation, mais les résultats obtenus sont identiques.
La figure 15.1 montre schématiquement un ressaut hydraulique sur fond horizontal. A l’amont du
ressaut, l’écoulement est caractérisé par la hauteur d’eau hi et la charge H, =hj +Q2/(2gA,). A l’aval du
Fig. 15.1 Notations adoptées pour le ressaut hydraulique sur fond horizontal en canal prismatique.
ressaut hydraulique de longueur L, l’écoulement devient de nouveau parallèle au fond, à hauteur d’eau
h2 et charge H2.
Les lignes de courant aux extrémités du ressaut étant parallèles au fond, on peut admettre que la
répartition des pressions est hydrostatique. De plus, la répartition des vitesses aux extrémités du ressaut
est sensiblement uniforme. Comme le ressaut hydraulique est un phénomène local, caractérisé par la perte
de charge AH = H1 — H2 due à la turbulence interne, les effets de frottement sont négligeables.
314
OUVRAGES DE DISSIPATION
L’application du théorème de la quantité de mouvement à un écoulement sur fond horizontal donne»
pour le profil trapézoïdal prismatique, la relation suivante
bh2 mhj Q2 _ bhj mh| Q2
T + ~ + gÂi-T + -r + ^
(15.3)
dans laquelle la force de pression relative a été introduite (voir équation (10.17)). 1 (vertical): m
(horizontal) est la tangente de la pente des parois latérales et A=bh+mh2 la section mouillée (chap. 4).
Le nombre de Froude est donné par l'équation (15.1)
_ (^(b+Zmh)
g(bh+mh2)3
Avec les paramètres adimensionnels
Y = h2/h,, M = mhj/b,
l'équation (15.3) peut également s'exprimer comme suit
(15.4)
(15.5)
(15.6)
1 + M
Y(1+MY)_
_L±2MrY2/1+2MY\/1+2M\1
2(1+M)2L \	3 / \	3 /J
La figure 15.2 montre le rapport des deux hauteurs conjuguées, Y ^hj/h, en fonction de M et Fr Pour
Fj fixé, Y décroît lorsque M croît.
Fig. 15.2 Rapport des hauteurs conjuguées Y dans le profil trapézoïdal en fonction de F( et M=mhj/b.
Les deux cas limites, M=0 et M-*co, correspondent respectivement aux profils rectangulaire et
triangulaire. Avec M=0, et en excluant la solution triviale Y= 1, l’équation (15.6) donne, pour le profil
rectangulaire
Y = 1(V1 + 8F? - IJ.
(15.7)
RESSAUT HYDRAULIQUE
315
Pour M->oo, et en excluant la solution Y= 1, l’équation (15.6) amène, pour le profil triangulaire
2Y2(Y2 + Y+1)
3(Y + 1)
(15.8)
Pour des nombres de Froude Fj > 3, des approximations des équations ( 15.7) et ( 15.8) sont respective-
ment [15.2], [15.3]
V2F,-1.
2	/
M = 0;
M ->• oo .
(15.9)
Il convient de noter que Y~Fj pour le profil rectangulaire, mais que Y ~F2/3 pour le profil triangulaire.
15.2.3 Perte de charge relative
L’intérêt technique du ressaut hydraulique est particulièrement dû à la dissipation d'énergie mécani-
que qu’il permet de réaliser. En se basant sur la figure 15.1, l’équation généralisée de Bernoulli impose
Ht - h, +	= h2 +	+ AH = H2 + AH.
2gA] 2gA2
(15.10)
L'efficacité q d’un ressaut hydraulique est définie par
q = AH/Hj ;
(15.11)
elle varie entre les limites 0 < q < 1. En tenant compte des paramètres Y, M et F!, elle peut être représentée
par
Y + *[	<1+M>3	1
2Y2|_(1-f2M)(1 + MY)2J
i + !_!/
2 \1 + 2M/
(15.12)
En éliminant Y à l’aide de l’équation .(15.6) on obtient q=q(M, F!). La figure 15.3 représente
q = q(M, Fi) pour les profils rectangulaire et triangulaire. Pour F! donné, l’efficacité du ressaut hydrau-
lique pour le profil triangulaire est plus élevée que pour le profil rectangulaire. Les différences sont
d’environ 10% pour 5<Fj < 15. Pour 1 <Fj <2,5, les courbes correspondantes sont traitillées. Comme
on le verra sous 15.3.1., l’équation (15.6) ne peut être appliquée à des écoulements caractérisés par de
tels nombres de Froude.
Ainsi que cela a été démontré par Hager et Sinniger [15.2], une approximation de q dans le cas du
profil rectangulaire peut s’exprimer par
q(M=0) =
Fj > 2,5 .
(15.13)
316
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fîg. 15.3 Efficacité, î]=AH/Hj en fonction de Fj pour les profils rectangulaire (M=0) et triangulaire (M-»oo).
En tenant compte de l’approximation (15.9)2, on en déduit pour le profil triangulaire [15.3]
r	zi2\1,3i2
n(M->oo) = 1 -
L	\Ff/ J
F1 > 2,5 .
(15-14)
Ces connaissances sur q et Y indiquent qu’il faudrait plutôt choisir des profils triangulaires (ou
trapézoïdaux à M grand) que des profils rectangulaires pour que la hauteur d’eau aval devienne aussi
petite que possible et l’efficacité T| aussi grande que possible. Pourtant, il existe des raisons pratiques qui
conduisent normalement à exclure les profils triangulaires.
15.2.4 Longueur du ressaut
Mises à part les hauteurs conjuguées et l’efficacité d’un ressaut hydraulique, la longueur sur laquelle
il se manifeste est importante. Jusqu’à présent, il n’existe que quelques modèles semi-empiriques qui
permettent de la quantifier [15.7].
Selon les critères appliqués, différentes extensions longitudinales d’un ressaut hydraulique peuvent
être considérées (fig. 15.1):
-	longueur du rouleau Lr,
-	longueur du ressaut hydraulique Lj,
-	longueur Lf jusqu’à ce que la vitesse Vf auprès du fond et la vitesse moyenne soient à peu près
identiques.
Du point du vue de la facilité d’observation, la longueur Lr peut être aisément estimée par des
observations expérimentales. Par contre, les deux autres longueurs L, et Lf (plus grandes que Lr) ne sont
pas suffisamment définies. En effet le profil de surface et la répartition verticale des vitesses s’approchent
asymptotiquement des valeurs de calcul, h2 et V2. C’est la raison pour laquelle les résultats concernant
Lj et Lf divergent considérablement selon différents observateurs.
De plus, comme cela a déjà été mentionné, l’écoulement interne du ressaut hydraulique n’est pas un
phénomène stationnaire; par conséquent, des ondes de surface et des fluctuations de vitesse empêchent
une détermination exacte des paramètres recherchés.
Les longueurs L,, Lj et Lf peuvent être rapportées aux hauteurs types du ressaut, soit
L = ^(hj-hO,
soit	L= <t>2(h|),	(15.15)
soit	L = <|> ,(h2) .
RESSAUT HYDRAULIQUE
317
Par analogie aux résultats concernant Y et t], il faudrait s’attendre à une relation <|>j= ^(Fj). La
figure 15.4 représente les rapports Lr/h2 et Lj/h2 en fonction de F, dans un canal rectangulaire [15.8].
Fig. 15.4 ( • •) Longueur du rouleau LJhi et (—) longueur du ressaut L^/h2 dans un canal rectangulaire prismatique en fonction de Fi
Peu d’essais ont été effectués pour déterminer l’extension longitudinale du ressaut dans des canaux
trapézoïdaux ou triangulaires. On peut toutefois mentionner Silvester [15.17], qui résume les mesures
effectuées dans divers canaux prismatiques non rectangulaires. Sa présentation se base pourtant sur la
définition du nombre de Froude,	ce qui est inexact pour les profils considérés et ne corres-
pond pas à l’équation (15.1).
Pour le canal triangulaire, les caractéristiques de longueur peuvent être exprimées par [15.4]
Lj/h2 = a • 2,4y/m 	(15.16)
où a=3/4 pour Lr/h2 et a = 1 pour Lj/h2. Comparé au ressaut dans un canal rectangulaire, le ressaut
hydraulique dans le canal triangulaire est fortement tridimensionnel.
Pour les canaux trapézoïdaux, les essais sur modèles réduits indiquent [15.17]
Lj = 7(1+ 10oM)(h2—h]) , 0 M 0,5	(15.17)
où o est un nombre correctif, 1 ^o<2.
Les différences de longueur en fonction de o proviennent de la formation de ressauts spatiaux.
Comparé au ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire, le ressaut dans le profil trapézoïdal ne
comporte pas seulement des zones de séparation au-dessus de la zone d’écoulement (rouleau), mais
également sur les côtés du canal. L’équation (15.17) avec o~2 correspond donc à peu près à la longueur
du ressaut sur les côtés du canal, alors que c^l correspond à la longueur dans l’axe du ressaut
hydraulique.
15.3 Ecoulement interne du ressaut hydraulique plan
153.1 Introduction
Ce paragraphe traite des répartitions de la vitesse axiale, de la pression, de la concentration de l’air
et de la densité du mélange eau-air pour le ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire horizontal.
C’est en effet ce type de ressaut qui a été étudié le plus en détail. Les caractéristiques de l’écoulement
turbulent ont été analysées par Rouse et al. [15.15] et par Resch et al. [15.13], [15.14].
318
OUVRAGES DE DISSIPATION
153.2 Types de ressaut
Selon la valeur du nombre de Froude amont, Fb un ressaut peut correspondre à differents types
d’écoulement. La figure 15.5 permet d’établir une classification selon l’allure générale de la surface libre.
1 <F1<1,7. ressaut ondulé
1,7 < F| < 2,5 ressaut faible
2,5<F| <4,5 ressaut oscillant
4,5<F,<9
ressaut stationnaire
9 <F|
ressaut fort
Fig. 153 Types de ressauts hydrauliques plans pour divers domaines du nombre de Froude F! [15.1],
Pour 1 <Ft < 1,7 un ressaut ondulé apparaît. La transition entre l’écoulement torrentiel et l’écoule-
ment fluvial est graduellement variée, les pertes de charge étant essentiellement dues au frottement sur les
parois du canal [15.1].
Pour 1,7 <Fj < 2,5, l’apparition du ressaut est encore ondulé, mais avec des zones de séparation à la
surface. La dissipation d’énergie est encore faible et c’est la raison pour laquelle le domaine 1 <Ft < 2,5
est normalement exclu pour les ressauts hydrauliques proprement dits.
Pour F) > 2,5, le ressaut hydraulique se présente sous la forme typique (fig. 15.5). Pourtant le domaine
d’application du ressaut dans les constructions hydrauliques se situe entre 3,5 < F! <9. Pour F! >9, le
ressaut est si fort qu’il devient presque impossible de protéger le dissipateur contre les forces libérées. De
plus, l’écoulement prend plutôt l’allure de mousse que d’eau, tant l’entraînement d’air est important.
Finalement une forte ondulation de la surface se manifeste à l’aval du ressaut [15.8].
1533 Profil de surface
Selon les essais de Rajaratnam et Subramanya [15.11] et Schrôder [15.16], la représentation adimen-
sionnelle du profil de surface est possible si 3,5 <Fj< 10 et hj > 0,05m. Selon Schrôder, on introduit
où x est la coordonnée longitudinale avec origine au pied amont du ressaut (fig. 15.1).
(15.18X
RESSAUT HYDRAULIQUE
319
La figure 15.6 permet la détermination du profil de la surface h(x), en supposant que h!, h2 et Lr sont
connus (paragraphe 15.2). A cause des ondes de surface et de la forte turbulence, la surface réelle du
ressaut n’est pas une ligne précise et unique. Des fluctuations temporelles caractérisent la surface sur
toute la longueur du ressaut.
15.3.4 Vitesses à la surface
La caractéristique longitudinale du ressaut qui est la plus facile à observer est la longueur du rouleau
Lr. Pour 0<x<Lr, les vitesses de surface V8 sont opposées à la direction principale de l’écoulement. Il
faut donc distinguer entre la zone du rouleau et la zone à l’aval du rouleau. Soit
V
X = x/Lr f =
Vt
(15.19)
où Vt= — (3/8)(Y—1)1/2V2 est une vitesse de référence; elle dépend de la vitesse moyenne aval
V2 = Q/(bh2) et du rapport des hauteurs conjuguées Y=. La figure 15.7 permet de déterminer Vs(x)
d’après les essais de Schrôder [15.16]. Dans cette figure, X—0 correspond au pied amont du ressaut et
X = 1 à l’extrémité aval du rouleau (x=Lr).
Pour x> Lr, la coordonnée longitudinale est définie par [15.16]
x* = 1 - |VŸ^”Î(X-1) , f = Xï.	(15.20)
o	V-,
On retrouve alors la même fonction f(X)=f*(X*) pour 0 < X < 1 et X > 1 (fig. 15.7). Bien que le fuseau
soit important, cette figure indique néanmoins les tendances prépondérantes pour les vitesses de surface.
320
OUVRAGES DE DISSIPATION
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
Fig. 15.7 Vitesse de surface adimensionnelle pour 0<x<Lr et x>Lr d'après les définitions (15.19) et (15.20).
15.3.5 Vitesses au fond
La vitesse de l’eau près du fond du canal Vf dans un ressaut hydraulique revêt un intérêt particulier
dans un cours d’eau à fond mobile. Si ces vitesses sont trop élevées, un endommagement sérieux par
érosion risque de se manifester.
Soit
x = x/Lr
V, - V2
(15.21)
où V| et V2 sont les vitesses à l’amont et à l’aval du ressaut. La figure 15.8 reflète les observations de
Schrôder [15.16]. On constate que f(X= l)=0,2, donc Vf=0,2V1+0,8V2.
Fig. 15.8 Vitesse relative f=(Vr—VJ/fV,—V2) le long du fond selon les équations (15.21).
RESSAUT HYDRAULIQUE
Pour X= 1,5, la figure 15.8 donne f~0,04, donc Vf= 0,04V! +0,96V2. X= 1,5 correspond à peu près
à l’extrémité aval du ressaut (longueur L,) défini à la figure 15.4. Avec Y = (V2Fj —1/2) d’après
l’équation (15.9), et V2=Q/(bh2) = V1h1/h2, on déduit
Vf/V2 ~ 1 + 0,06Fi pour X = 1,5.	(15.22)
Vf doit être comparée à la valeur limite pour laquelle le fond reste encore stable.
15.3.6 Répartition de la vitesse
La figure 15.1 la) montre l’évolution longitudinale et transversale de la vitesse axiale pour un ressaut
hydraulique à F! = 5,1. Il apparaît que la répartition verticale près du fond reste presque uniforme. Il
existe donc une zone non perturbée de hauteur Z| (fig. 15.9). Au-dessus de la ligne pointillée, les profils
de vitesse ont l’allure d’une fonction de Gauss.
Soit z la coordonnée verticale mesurée depuis le fond. Comme indiqué dans la figure 15.9, zx est
l’épaisseur du noyau potentiel (zone de jet non perturbée), qui dépend essentiellement de h!. D’après
Schrôder [15.16], on peut exprimer la coordonnée verticale adimensionnelle par
(15.23)
donc z1 = z1(h)=z1[h(x)]. Les valeurs extrêmes correspondent évidemment à z1(h=h1)=hl et à
Zi(h = h2) = 0.
Fig. 15.9 Notations pour l’écoulement interne du ressaut hydraulique.
Ces indications et les informations concernant les vitesses au fond et en surface permettent de préciser
le profil universel de la vitesse dans le ressaut hydraulique. Soit V = (VX—Vs)/(Vf—Vs) la composante
longitudinale de la vitesse en fonction de Z. La figure 15.10 permet alors d’évaluer Vx(z,x), une fois Vf(x),
Vs(x) et h(x) connus. Des résultats comparables ont été obtenus par Rajaratnam et al. [15.9],
Concernant la structure turbulente du ressaut hydraulique, les indications de Rouse et al. [15.15] et
Resch et al. [15.13] peuvent être consultées.
15.3.7 Répartition de la masse volumique et de la pression
Les figures 15.11b) et c) montrent la répartition de la masse volumique et de la pression en sens
longitudinal en divers endroits x, O^x^Lj. Quant à la masse volumique de l’eau pure pc(x=0) = Itm-3,
on constate qu’elle reste inchangée près du fond auprès du pied du ressaut. Pour x> Lr, la répartition
de p est de nouveau presque uniforme.
322
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig. 15.10 Représentation adimensionnelle de la répartition de vitesse V en fonction de Z [15.16].
La répartition de la pression est représentée dans la figure 15.11c). On constate une longueur
d’écoulement importante avant que la répartition hydrostatique apparaisse à nouveau.
153.8 Aération du ressaut hydraulique
Le transport d’air dans le ressaut est représenté à la figure 15.1 Id) [15.16]. On constate que l’air est
essentiellement entraîné au pied du ressaut entre l’écoulement proche du fond et le rouleau.
Les effets d'entraînement d'air dus à un ressaut hydraulique ne sont que rarement décrits. Rajaratnam
[15.10] fait exception et montre que la concentration moyenne de l’air croît fortement dans la zone
d’aération 0<x<Lr/6; pour des valeurs de x plus grandes (zone de désaération), elle décroît asymptoti-
quement vers zéro. Des essais à ce sujet ont été effectués par Resch et al. [15.14].
Soit p = Qa/Qc le rapport entre le débit d’air et le débit d’eau (chap. 13). Quant à la répartition locale,
on a donc p(x=0)=0 et p(x-»oo)=0. Le maximum de la fonction P(x) apparaît pour P(Lr/6) = p^ et
a été trouvée par Rajaratnam [15.10]
= 0,018(F, -l)1’25.	(15.24)
Les méthodes de calcul présentées dans le présent chapitre se fondent sur un écoulement d’eau pure,
c’est-à-dire sur un fluide homogène non aéré, à l’amont du ressaut. Or, pour des coursiers à pente et
longueur importantes, l’écoulement à l’amont du ressaut est normalement aéré, comme indiqué au
chapitre 13. Rajaratnam [15.10], se basant sur des essais et des calculs, conclut que la hauteur conjuguée
aval, par exemple, est au maximum de 10% plus grande pour un écoulement avec préaération, comparée
à la valeur calculée sans préaération. Si l’on considère pourtant l’incertitude relative aux valeurs de base
h, et F|, l’effet de l’écoulement aéré à l’amont du ressaut peut être négligé.
D’après les essais de Herbrand [15.5], un mélange d’eau et d’air à l’amont du ressaut hydraulique à
n’importe quel rapport p n’influence pas la pression au fond du lit. Un tel mélange peut donc être
considéré comme un fluide homogène qui ne diffère de l’eau pure que par sa densité, pm=a • pe, ct< 1.
Herbrand démontre en outre que la quantité de mouvement d’un mélange eau-air est plus grande quç
l’expression correspondante pour l’eau pure. Cette augmentation n’est influencée que parole terme de
pression; le terme d’inertie reste identique dans les deux cas. A l’amont d’un ressaut hydraulique en canal
rectangulaire, l’impulsion totale s’écrit
RESSAUT HYDRAULIQUE
323
o bh?	Q2	bh?	-
S = — +	= — 1 + 2F?].
2	gbhj 2
(15.25)
Pour Fj > 4, le second membre de la parenthèse est beaucoup plus grand que le premier. L'effet de
la préaération sur les hauteurs conjuguées et la longueur du ressaut est donc négligeable.
p/p.
b)
Fig. 15.11 Caractéristiques internes du ressaut hydraulique plan, FI = 5,1, h, = 0,067m, Lj = 1,84m. a) répartition des vitesses, b) réparti-
tion de la masse volumique, ( •) valeur uniforme pe= Itm-3, c) répartition de la pression, (•••) répartition hydrostatique, d) transport
de bulles d’air [15.16].
324
OUVRAGES DE DISSIPATION
15.4	Ressaut hydraulique sur pente positive
15.4.1 Classification de ressauts
A Pavai des ouvrages d’évacuation ou de vidange, un ressaut hydraulique se forme souvent à
l’extrémité d’un canal à pente 0>0. Si la submersion aval est faible, le ressaut apparaît entièrement sur
la partie pratiquement horizontale (ressaut type A), mais il se déplace vers l’amont pour des submersions
aval plus importantes (fig. 15.12).
Fig. 15.12 Types de ressauts hydrauliques à proximité d’un changement de pente, types A à D. (•) position de la fin du rouleau.
La classification des types de ressauts hydrauliques se base sur la position de la fin du rouleau [15.12].
On parle d’un ressaut type B si le rouleau apparaît partiellement sur les parties amont et aval du canal. Si le
rouleau se trouve entièrement à l’amont du changement de pente du radier, il s’agit d’un ressaut type D.
Finalement, le ressaut type C apparaît si la fin du rouleau se trouve exactement au changement de pente.
Les ressauts types B et C seront analysés exclusivement pour des canaux rectangulaires prismatiques.
15.4.2 Ressaut sur pente type C
Les essais de Kindsvater [15.6] et Peterka [15.8] indiquent que, pour un nombre de Froude amont
donné, le rapport des hauteurs conjuguées Y=h2/h1 augmente avec la pente amont, h!
correspond à la hauteur d’eau amont mesurée perpendiculairement au fond du canal. La relation
Fig. 15.13 Hauteurs conjuguées Y=hj/h, du ressaut hydraulique type C sur pente positive 0, en fonction du nombre de Froude amont
V|=V1/(ghl),/2.
RESSAUT HYDRAULIQUE
325
Y = [1 + tan(20)]2
(15.26)
reflète les résultats obtenus par ces auteurs. Elle est représentée dans la figure 15.13.
La longueur Lj d'un tel ressaut dépend du nombre de Froude amont Ft et de la pente 0 du canal
amont. Le rapport Lj/h2 en fonction de F] et 0 est représenté dans la figure 15.14. L'expression
approximative
Lj/h2 = [1 - sin(29)]
35^
8 + F,
(15.27)
peut être utilisée si 2 < F! <20 et 0< 30%.
Fig. 15.14 Longueur Lj/h2 du ressaut hydraulique type C sur canal à pente 0(%).
15.43 Ressaut sur pente type B
Pour des pentes de radier 0 élevées, la longueur du rouleau Lr dépasse normalement le point du
changement de pente et un ressaut type B apparaît (fig. 15.12). La figure 15.15 représente ce type de
ressaut que l'on rencontre souvent dans les aménagements hydro-électriques de basse chute. Soit h] la
hauteur de pression (chap. 1) au pied du ressaut,
F? =
(ÿcos2©
gb2hf
(15.28)
le carré du nombre de Froude d'un écoulement sur pente et zt la hauteur du fond au pied du ressaut par
rapport au radier horizontal aval. Les caractéristiques d'un ressaut type B peuvent alors être décrites
entièrement par Y=h2/h1, F1 et E=(h2—Zj)/h2. Le dernier paramètre indique la position du pied du
ressaut sur le canal à forte pente.
326
OUVRAGES DE DISSIPATION
Comme cela a été démontré expérimentalement pour 0=45°, le rapport des hauteurs conjuguées Y en
fonction de F! (3 <Fï < 11) et E suit la fonction [15.4]
/	3 V2
Y = 23,5 1 + -E)
\	2 /
^(Fi-3)
Th(-E)
\2 J
(15.29)
E = 0 correspond à un ressaut type B fortement submergé, tandis que E = 1 indique le ressaut type A.
Les ressauts types A et B peuvent être donc entièrement couverts avec 0 < E < 1. La figure 15.16 montre
Y(Fj,E); la limite entre les ressauts types A et B est également indiquée.
Fig. 15.16 Rapport des hauteurs conjuguées Y=h2/h1, fonction de F] selon l’équation (15.28) pour divers E=e/h2. ( -) limite entre
les ressauts types A et B.
L’efficacité d’un ressaut type B, q = AH/H] décroît avec E pour un nombre de Froude^F, fixé. La
longueur relative du rouleau de surface X, = Lr/h2 (fig. 15.15) en fonction de F! et E est représentée à la
figure 15.17. On constate que X est compris entre 4 et 7 et que, pour une valeur de E constante, il décroît
lorsque F] croît.
RESSAUT HYDRAULIQUE
327
15.5	Position du ressaut hydraulique
Le ressaut hydraulique dans un canal prismatique de faible pente 9 constante est un phénomène
entièrement contrôlé par la submersion aval (fig. 15.18). Si le ressaut hydraulique est considéré comme
Fig. 15.18 Position du ressaut hydraulique, (—J profil de surface h(x), (---) profil de la hauteur conjuguée h2(x). Q section de
contrôle amont, (2) position du ressaut, Q section de contrôle aval.
phénomène local, son extension longitudinale devient négligeable par rapport à l’extension du canal. La
position du ressaut est fixée par les hauteurs conjuguées. La démarche à suivre pour ce calcul peut se
résumer comme suit:
1)	Calcul des courbes de remous à l’amont (F > 1) et à l’aval (F < 1) du ressaut hydraulique, en partant
des sections de contrôle (chap. 5).
2)	Calcul de la hauteur conjuguée h2=h2(x) dans chaque point du tronçon amont du ressaut, résultant
en un profil de hauteur conjuguée pour lequel F< 1.
328
OUVRAGES DE DISSIPATION
3)	L’intersection de ce profil avec le profil de surface aval indique la position (moyenne) du ressaut
hydraulique.
4)	Une fois cette position connue, la longueur, le profil de surface et les caractéristiques internes du
ressaut hydraulique se calculent en tenant compte des indications ci-dessus.
Références
[15.11	Chow. V.T., Open channel hydraulics, McGraw-Hill Book Company, New York, 1959.
[15.2]	Hager, W.H., Sinniger, R., «Flow characteristics in a stilling basin with an abrupt bottom rise»,
J. Hydraulic Research, Vol. 23, 1985, 101-113; Vol. 24, 1986, 207-215.
[15.3]	Hager, W.H., Wanoschek, R., «Hydraulic jump in triangular channel», J. Hydraulic Research, Vol. 25,
1987, 549-564.
[15.4]	Hager, W.H., «B-Jump in sloping channel», J. Hydraulic Research, Vol. 26, 1988, 5, 539-558.
[15.5]	Herbrand, K., «Der Wechselspnmg unter dem Einfluss der Luftbeimischung», Wasserwirtschqft, Vol. 9,
1969, 254-260.
[15.6]	Kindsvater, C.E., «The hydraulic jump in sloping channels», Trans. ASCE, Vol. 109, 1944,1107-1154.
[15.7]	McCorquodale, J.A., Khalifa, A., «Internai flow in hydraulic jumps», Proc. ASCE, J. Hydraulic
Engineering, Vol. 109, 1983, HY5, 684-701.
[15.8]	Peterka, A.J., Hydraulic design of stilling basins and energy dissipât or s, Water Resources Technical
Publication, Engineering Monograph 25, US Department of the Interior, Bureau of Réclamation, Denver,
Col., 7th printing, 1983.
[15.9]	Rajaratnam, N., «The hydraulic jump as a wall jet», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division, Vol. 91, 1965,
HY5, 107-132; Vol. 92, 1966, HY3, 110-123; Vol. 93, 1967, HY1, 74-76.
[15.10]	Rajaratnam, N., Hydraulic jumps, Advances in Hydroscience, Vol. 4, ed. V.T. Chow, Academie Press,
New York, 1967.
[15.11]	Rajaratnam, N., Subramanya, K.., «Profile of the hydraulic jump», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division,
Vol. 94, 1968mHY3, 663-673; Vol. 95, HY1, 546-557; HY2, 725-727; Vol. 96, 1970, HY2, 579-580.
[15.12]	Rajaratnam, Fi., Murahari, V., «Flow characteristics of sloping channel jumps», Proc. ASCE,
J. Hydraulics Division, Vol. 100, 1974, HY6, 731-740; Vol. 101, 1975, HY4, 419-420; HY7, 1016-1017;
Vol. 102, 1976, HY5, 681.
[15.13]	Resch, F., Leutheusser, H.J., «Mesures de turbulence dans le ressaut hydraulique», La Houille Blanche,
Vol. 26, 1971, 17-31.
[15.14]	Resch, F., Leutheusser, H.J., Coantic, M., «Etude de la structure cinématique et dynamique du ressaut
hydraulique», J. Hydraulic Research, Vol. 14, 1976, 4, 293-319.
[15.15]	Rouse, H., Siao, T.T., Nagaratnam, S., «Turbulence characteristics of the hydraulic jump», Trans. ASCE,
Vol. 124, 1959, 926-966.
[15.16]	Schrôder, R., Die turbulente Strômung im freien Wechselsprung, Inst. Wasserbau und Wasserwirtschaft,
Mittl. 59, TU Berlin, ed. H. Press, Berlin, 1963.
[15.17]	Silvester, R., «Hydraulic jump in ail shapes of horizontal channels», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division,
Vol. 90, 1964, HY1, 2S-55; HY4, 339-358; HY5, 177-186; HY6, 265-268.
Notations
Divers symboles peuvent apparaître avec les indices «1» ou «2» et se rapportent alors aux sections amont et aval
du ressaut. Les indices «f» et «s» se rapportent au fond et à la surface libre, «e» et «a» caractérisent respectivement
Peau pure et Pair.
A	[m2]	section mouillée	g	[ms 2]	accélération gravitationnnelle
b	[m]	largeur du canal	h	[m]	hauteur d’eau
e	[m]	recouvrement de pression statique	H	[m]	charge
E	[-1	indice du ressaut type B	AH	[m]	perte de charge
f	[-1	quantité adimensionnelle	J,	l-l	pente du radier
F	[-1	nombre de Froude		[m]	longueur du ressaut
RESSAUT HYDRAULIQUE	329
Lr	[m]	longueur du rouleau	X*	[-]	coordonnée longitudinale de réfé-
m	[-]	pente de la paroi latérale			rence
M	[-]	hauteur d'eau adimensionnelle	Y	[-]	rapport des hauteurs conjuguées
N	[m]	longueur de la normale	z	[m]	coordonnée verticale
q	[m2s-*]	débit par unité de largeur	Z	[-1	coordonnée verticale adimension-
Q	Ks"1]	débit			nelle
U	[ms l]	composante longitudinale de la	P	[-]	rapport des débits air-eau
		vitesse	n	[-]	efficacité du ressaut
V	[ms-1]	vitesse moyenne	p	[kgm 3]	masse volumique
V	[-1	vitesse adimensionnelle	<y	[-1	nombre correctif
Vf	[ms l]	vitesse auprès du fond	6	[-]	pente du radier du canal
Vt	[ms-1]	vitesse de référence	X,	[-]	longueur relative du rouleau de sur-
x	[m]	coordonnée longitudinale			face
X	[-1	coordonnée longitudinale adimen-			
sionnelle
16. Bassins amortisseurs
Ressaut forcé par seuil continu, S «0,75, F(=4,2. a) coupe longitudinale, vue de l’ensemble, b) écoulement par-dessus le seuil,
c) séparation de l’écoulement principal derrière le seuil.
332
OUVRAGES DE DISSIPATION
16.1 Introduction
Toutes les retenues d’eau qui risquent d’être alimentées par des débits importants non contrôlables
comme, par exemple, ceux provenant d’une crue, doivent être équipées d’un ouvrage d’évacuation qui
permet une dérivation efficace des eaux excédentaires. Les évacuateurs les plus utilisés sont les déversoirs
libres ou contrôlés par des vannes ainsi que des orifices réglables (chap. 6 à 8). L’eau ainsi évacuée peut
être conduite par un coursier jusqu’au pied de la retenue et atteint souvent une vitesse très élevée. Ce débit
à haute vitesse peut endommager, à cause de l’importante quantité d’énergie cinétique enjeu, le lit naturel
de la rivière à l’aval de la retenue. La seule manière de contrôler l’écoulement à haute vitesse est de
dissiper une partie de l’énergie mécanique, et d’obtenir par des moyens appropriés un écoulement à
vitesse convenable dans le lit de la rivière. Ces ouvrages sont appelés bassins amortisseurs ou dissipateurs
d’énergie.
A cause des différentes configurations et types de barrages formant les retenues, de la topographie
et de la géologie uniques d’un site ainsi que des conditions hydrauliques, un grand nombre de types de
bassins amortisseurs a été développé [16.5], [16.18]. Un résumé des plus importants types est présenté par
Vischer [16.25].
La distinction doit être faite entre les dissipateurs dans lesquels l’écoulement suit le fond de la
structure et les jets qui plongent dans un bassin amortisseur. Ces jets fibres se forment dans des ouvrages
dénommés sauts de ski. Ainsi une partie importante de la dissipation d’énergie a déjà lieu dans l’air par
des effets de diffusion (formation de gouttes). Ce type de dissipateur et les dissipateurs à auge à rouleau
et à auge de déflection seront traités dans le chapitre 17. Un troisième type de dissipateur utilise des
conduites perforées ou des orifices, dans lesquels la dissipation est forcée par la diffusion de jets
submergés [16.15]. Ce type ne s’applique qu’à des débits relativement petits et ne sera pas discuté.
La figure 16.1 montre quelques types de dissipateurs dans lesquels a) l’écoulement est entièrement
guidé par un canal et b) des jets immergés ou libres sont créés.
Fig. 16.1 Types de dissipateurs: a,) canal à marche positive, canal à élargissement, b() dissipateur d’énergie à auge à rouleau,
bj saut de ski.
BASSINS AMORTISSEURS
333
Concernant la géométrie du canal, le profil rectangulaire ou trapézoïdal est normalement utilisé.
Comme pour la transition de F < 1 à F > 1 (chap. 5), on peut forcer la transition de l'écoulement torrentiel
à l'écoulement fluvial par un changement local
-	de la géométrie du radier,
-	de la largeur du canal,
-	du débit,
-	de la rugosité du canal.
Des combinaisons des quatre types mentionnés ci-dessus sont évidemment aussi possibles. La
figure 16.2 montre une structure type de chaque cas.
Comparés au ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire prismatique à fond horizontal et à
rugosité constante, ces quatre types de dissipateurs ont des avantages essentiels qui sont principalement
la stabilité de l'apparition du ressaut hydraulique, l’efficacité de la dissipation et la compacité de la
structure. Comme on le verra, ces trois exigences sont indispensables pour arriver à des dissipateurs
fonctionnels et économiques.
Comparés au ressaut hydraulique discuté au chapitre 15, les bassins amortisseurs doivent forcer la
formation d'un ressaut hydraulique en un endroit bien défini. Bien connu également sous le nom de
ressaut forcé, ce dernier est caractérisé par une efficacité maximale et une longueur minimale, sans
provoquer d'effets indésirables dans le lit non protégé de la rivière. C'est seulement en réalisant ces
objectifs que le potentiel d'énergie mécanique peut être contrôlé entièrement et économiquement, sans
imposer de restrictions sur l'écoulement à l'amont et à l'aval du dissipateur. Les indications qui suivent
s'appliquent aux bassins amortisseurs îes plus simples. Elles permettent une estimation des dimensions
d'un bassin amortisseur; par contre, au vu des formes géométriques quelquefois complexes et des
conditions hydrauliques variables, seuls des essais sur modèles réduits mènent à une solution finale
satisfaisante et fiable. Les types de dissipateurs discutés ci-dessous correspondent donc à des abstractions
géométriques schématisant des bassins amortisseurs réels. Plus précisément, on admet que l’écoulement
à l'approche du dissipateur est suffisamment rectiligne et uniformément réparti sur la largeur du canal.
Cette condition d’approche n'est souvent pas satisfaite dans la réalité.
334
OUVRAGES DE DISSIPATION
Par la suite, le dissipateur à marche positive et négative, le dissipateur à seuil continu et le dissipateur
à blocs seront discutés dans les paragraphes 16.2 à 16.4. Au paragraphe 16.5, le bassin amortisseur non
prismatique sera traité et des combinaisons de divers éléments de dissipateurs seront présentées sous 16.6.
16.2 Marches positive et négative
16.2.1 Types de ressauts et hauteurs conjuguées
Les marches positives et négatives constituent le moyen le plus simple de réaliser la transition de
l’écoulement torrentiel à l’écoulement fluvial par un changement local du radier. La figure 16.3 montre
Fig. 163 Types de ressauts hydrauliques sur une marche positive (à gauche) et sur une marche négative (à droite).
les deux types de géométries, caractérisées par un canal rectangulaire à pentes amont et aval presque
horizontales et une marche de hauteur s.
En raison des fluctuations importantes de la surface d’eau, la longueur du ressaut Lj ne peut être
définie avec suffisamment de précision. C’est la raison pour laquelle seule la longueur du rouleau L, est
prise en considération.
Par comparaison avec le ressaut hydraulique dans un canal sans marche, on distingue divers types
de ressauts. La transition d’un type à l’autre est normalement continue; du point de vue du dimensionne-
ment, les types limites revêtent un intérêt particulier.
Concernant la position limite amont, le ressaut hydraulique apparaît de manière comparable avec ou
sans marche. Cette limite est donc caractérisée par un ressaut pour lequel l’extrémité aval du rouleau
trouve au droit de la marche. La répartition des pressions est alors évidemment hydrostatique et
vitesses sont réparties presque uniformément dans les deux sections limitant le volume de contrôle,
type de ressaut est appelé ressaut type A (fig. 16.3a).

BASSINS AMORTISSEURS
335
Le rapport des hauteurs conjuguées Y =	, où hj et h2 sont les hauteurs d’eau à l’amont et à l’aval
du ressaut se calcule par l’application du théorème de la quantité de mouvement. En négligeant les effets
de frottement [16.6, 16.10]
h?.
2 eh,
M .
2 gh-
(16.1)
S
2
où le signe positif (négatif) se rapporte à la marche positive (négative). Avec les abréviations usuelles
Y = h2/h,, S = s/h), F] = q/Vghf	(16.2)
où q = Q/b est le débit par unité de largeur, les équations (16.1) deviennent
F2 _ Y[(Y±S)2 - 1]
1	2(Y—1)
(16.3)
Lorsque la hauteur d’eau aval hy est supérieure à h2 calculé à l’aide de l’équation (16.3), le ressaut
hydraulique se déplace vers l’amont. Par contre, lorsque 1^ devient inférieur à h2 calculé à l’aide de
l’équation (16.3), l’effet de la marche commence à se faire sentir.
Pour la marche positive, le ressaut type A se transforme en un ressaut type B. 11 correspond à la
position stable du ressaut situé le plus loin possible à l’aval (fig. 16.3b). Comme le montre la figure 16.4a),
Fig. 16.4 a) Zones de séparation d’écoulement pour une marche positive, 0 et 0 indiquent les surpressions et les sous-pressions par
rapport à la pression hydrostatique, b) Répartition de la pression autour du volume de contrôle.
il existe deux zones de séparation autour de la marche, celle située à l’amont est caractérisée par une
surpression, celle située à l’aval par une sous-pression par rapport à la pression hydrostatique. La
figure 16.4b) montre la répartition des pressions à considérer. Le rapport des hauteurs conjuguées pour
le ressaut hydraulique type B s’écrit donc [16.7]
= YRY+S)* + S* - 1]
2(Y —1)	v f
Pour h,, s et q donnés, l’équation (16.4) conduit à un nombre de Fj plus grand que celui résultant de
l’équation (16.3) si Y est supposé identique. Autrement dit, la valeur de Y tirée de l’équation (16.4) est
inferieure à celle tirée de l’équation (16.3) pour une même valeur de F!. Les deux relations ne deviennent
identiques que pour S=0, correspondant au ressaut hydraulique dans un canal sans marche, voir
équation (15.7).
Pour une marche négative, un abaissement de la hauteur aval hy au-dessous de la valeur h2 calculée
par l’équation (16.3) change tout d’abord le profil de surface en une onde de hauteur considérable
(fig. 16.5b). Un abaissement ultérieur fait apparaître deux jets de formes différentes: l’un courbé vers le
haut (fig. 16.5c), l’autre courbé vers le bas. La continuation de l’abaissement mène par la suite au ressaut
336
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig. 163 Certains cas types d’écoulement par-dessus une marche négative, a) ressaut type A, b) onde, c) jet courbé vers le haut,
d) ressaut type minimum B. (—) profil de surface, (-•-) profil de pression sur le fond [16.10].
hydraulique type B, qui se trouve partiellement à l’amont et partiellement à l’aval de la marche [16.8].
Finalement, la position la plus extrême est le ressaut type minimum B [16.10], qui se situe entièrement à
l’aval de la marche négative (fig. 16.5d). Les ressauts de ce type et du type A constituent les positions
extrêmes du ressaut influencé par la marche.
Pour des hauteurs de marche négative pas trop grandes, 1, l’écoulement par-dessus la marche
n’est pas aéré. Comme le montre la figure 16.6, la composante longitudinale de la vitesse amont, V13 est
alors conservée au travers de la marche. Par conséquent, la hauteur d’eau à l’aval du ressaut est identique
à la hauteur d’eau h) à l’amont de la marche [16.10].
fig. 16.6 Définition du ressaut hydraulique type minimum B.
Le rapport des hauteurs conjuguées est donc donné par la formule (15.7), c’est-à-dire
F? =
Y(Y + 1)
2
(16.5)
BASSINS AMORTISSEURS
337
Elle correspond à la relation applicable au ressaut hydraulique sur fond horizontal et est également
valable pour le ressaut type minimum B si 0<S<4.
La figure 16.7 montre le rapport des hauteurs conjuguées pour les marches positives et négatives en
fonction du nombre de Froude amont F1 et de la hauteur adimensionnelle de la marche S = s/h]. Les
courbes pointillées correspondent à la position extrême amont et les courbes pleines se réfèrent à la
position extrême aval de la marche. La courbe traitillée correspond à la limite inférieure de l'apparition
du ressaut sur une marche positive de la fonction Y(Ft) pour S fixé [16.7].
Fig. 16.7 Hauteurs conjuguées pour les marches positives et négatives dans un canal rectangulaire, prismatique; (•  ) ressauts type A,
(—) ressauts types B et minimum B, (-------------------) limite inférieure de l’apparition du ressaut sur une marche positive.
Si,	pour S et F] donnés, est plus petit que le minimum de hauteur d'eau aval h2 (ressauts types B
et minimum B), le ressaut est repoussé vers l'aval. Il en résulte un jet torrentiel à l'aval de la marche, sans
dissipation d'énergie importante (fig. 16.3c). Une telle configuration d'écoulement doit être évidemment
évitée en tout cas. Par conséquent, la hauteur aval doit être limitée de façon à ce que le ressaut
hydraulique apparaisse pour tous les débits envisageables.
16.2.2 Stabilité, efficacité et compacité
Comparé à un ressaut hydraulique dans un canal prismatique et à fond horizontal, un bassin
amortisseur doit forcer l'apparition du ressaut quelles que soient les conditions hydrauliques. En
particulier, le ressaut hydraulique ne doit pas sortir du bassin amortisseur.
La stabilité d'un bassin amortisseur est la capacité de l'ouvrage de maintenir la position du ressaut
sous des hauteurs d'eau aval variables, en fixant la hauteur amont ht et le nombre de Froude amont
F] correspondant.
Soit A Y=YA—Yb le changement maximal admissible de la hauteur d'eau aval, où YA caractérise le
ressaut type A, et YB le ressaut type B (marche positive) ou le ressaut type minimum B (marche négative).
Une estimation de AY est [16.10]
338
OUVRAGES DE DISSIPATION
s
A Y = -, marche positive ;
13S
A Y = -jy ; marche négative .
(16.6)
La stabilité des ressauts hydrauliques dans des bassins amortisseurs à marches positives et négatives est
donc indépendante du nombre de Froude. Pour les marches positives, elle est plus petite que pour les
marches négatives. Cela signifique que le dissipateur à marche négative est plus flexible que le dissipateur
à marche positive.
La dissipation relative d’énergie q = AH/Hj est définie par la perte de charge AH au travers du ressaut
hydraulique comparée à l'énergie amont, soit respectivement Hj=hj 4-q2/(2gh2) pour la marche positive
et Hj =«= s4-hj 4-q2/(2gh,) pour la marche négative.
La figure 16.8 représente q = q(FbS) pour les deux types de marche. On constate que q dépend
fortement de S et de Fb Pour Ft et S fixés, l'efficacité minimale est donnée par le ressaut hydraulique
Fig. 16.8 Efficacité t| = AH/H,, fonction de F, et de S. (• • •) ressaut type A sur marche négative, (S=0) ressaut type B sur marche positive
et (—) ressaut type minimum B sur marche négative.
type A sur la marche positive (non représenté sur la figure) et sur la marche négative, suivi par le ressaut
type B sur la marche positive. Comme cela a été démontré par Hager et Sinniger [16.7]
/	7ï\2
n = 1 - v- . F, > 2,5
\	*1/
(16.7)
pour le ressaut type B, ce qui est identique à l'équation (15.13) pour le ressaut hydraulique sur fond
horizontal (S=0). Finalement, l'efficacité relative la plus grande est obtenue pour le ressaut hydraulique
du type minimum B sur la marche négative.
La compacité d’un bassin amortisseur correspond à son extension longitudinale à condition que le
ressaut se trouve entièrement dans le dissipateur. Les indications suivantes se réfèrent à la longueur du
rouleau. Comme cela a déjà été constaté (chap. 15), la répartition de la vitesse à l’extrémité aval du
rouleau est loin d’être uniforme. En ajoutant encore 20 à 40% de la longueur du rouleau Lr, cette
répartition devient presque uniforme, la vitesse auprès du fond étant sensiblement égale à V2 = q/h2. ,
Des essais sur modèle réduit montrent que la longueur relative X=Lr/h2 (marche négative) et
X.=Lr/(h2-Fs) (marche positive) ne varient pas systématiquement avec Fb Pour les positions extrêmes,
on obtient les valeurs moyennes suivantes [16.10]
BASSINS AMORTISSEURS
339
X 4,75,
X 3,50,
X 4,25,
X 4,25,
ressaut type A+ ;
ressaut type A_ ;
ressaut type B+ ;
ressaut type B_ .
(16.8)
A+ signifie, par exemple, ressaut type A sur marche positive. Pour ces ressauts type A, la fin du
rouleau se trouve par définition à la marche. Pour le ressaut type B+ sur marche positive, le pied du
ressaut se trouve à peu près à une distance Lr/2 à l’amont de la marche. La distance du pied du ressaut
type B_ de la marche négative s’élève à quatre fois h,.
Pour Fj et hj donnés, les ressauts type A_ et B_ sont les plus longs, suivis par les ressauts types A+
et B+, à condition que la hauteur h2 corresponde à celle de la figure 16.7. De plus, avec U=>/2F1 — (1/2),
la longueur du fond protégée Lp se calcule par
(16.9)
/	6S i
Lp = 6( U —— \, marche positive
/	3S\
Lp = 7( U---------), marche négative,
\	8 /
avec Lp = Lp/hj. Concernant la stabilité et l’efficacité, l’avantage du bassin amortisseur à marche négative
est donc partiellement compensé par une moins grande compacité du dissipateur.
Exemple 16.1
Soit un canal rectangulaire prismatique presque horizontal. Le débit considéré est q=15m2s-1 et la
hauteur d’eau amont ht = lm. La charge aval par rapport au fond à l’amont est H2=6m. Existe-t-il des
moyens de dissiper la différence de charge par une marche?
L’écoulement à l’amont est caractérisé par Hj = 1 +152/(19,62 • 12)= 12,5m, Vj = 15ms-1 et F, = 4,8. Pour
un ressaut sans marche, la dissipation d’énergie s’élève à AH = 12,5 • (1— ^2/4,8)2=6,2m selon l’équation
(16.7); cette valeur est inférieure à la valeur envisagée AH = 12,5 —6=6,5m.
Pour une marche négative, le fond amont doit être placé plus haut que pour le canal sans marche. Il en
résulte un nombre de Froude inferieur à Ff =4,8. Par contre, le fond du bassin amortisseur est placé plus bas
pour une marche positive. Avec s= 1m, la charge amont devient H, = 1 +12,5= 13,5m, donc h]=0,955m et
F] = 5,13. D’après l’équation (16.7) on obtient q=0,525 pour un ressaut type B sur une marche positive, donc
AH=O,525 • 13,5 = 7,lm>6,5m. Avec s—0,5m, on obtient h,=0,98m, H1 = 12,92m, F=4,94, t|=0,505 d’où
AH = O,5O5 • 12,92=6,52m. La figure 16.7 indique Y(S=0,51, F,=4,94)=5,90, d’où h2=0,98  5,90=5,78m
et donc H2=6,12m. Les charges H, = 13,0m et s+H2+AH=0,5+6,12+6,52 = 13,14m ne sont pas tout à fait
identiques à cause de l’approximation (16.7).
D’après l’équation (16.8)3 la longueur du rouleau est L=4,25, donc Lr=4,25 • 5,78 = 24,6m. Avec
U=^/2  4,94—0,5=6,5, la longueur de la zone protégée devient Lp=6(6,5—0,60)0,98 ~ 35m partagée moitié
à l’amont et moitié à l’aval de la marche. La figure 16.9 représente une coupe longitudinale du bassin
amortisseur.
Fig. 16.9 Coupe longitudinale du bassin amortisseur selon l’exemple 16.1. (—) ligne de charge.
340
OUVRAGES DE DISSIPATION
16.3 Seuil transversal
16.3.1 Description
Alors qu’une marche correspond à un changement abrupt du fond du canal, le seuil est posé sur un
fond horizontal, représentant ainsi une irrégularité locale. Celle-ci est caractérisée par une hauteur s et
une longueur 1, cette dernière correspondant à la largeur du canal rectangulaire considéré pour la suite.
Les dimensions de la crête du seuil même peuvent varier dans des limites considérables, allant de la crête
mince à la crête épaisse.
Par rapport aux marches, l’avantage des seuils est de pouvoir conserver le niveau (presque horizontal)
du radier du canal. Le but principal du seuil est de stabiliser le ressaut hydraulique. La distance entre
le pied du ressaut et la face amont du seuil par rapport à la hauteur d’eau h] est un paramètre important.
Il faut distinguer deux positions principales, soit une courte distance relative, pour laquelle l’effet du seuil
sur la dissipation est important. Par contre, si le seuil se trouve à l’aval de la fin du rouleau de surface,
on parle d'un seuil terminal («end sill»). Un tel seuil éloigne l’écoulement du fond. Cependant, son effet
sur la dissipation reste faible. Par la suite, on ne considère qu’une position du seuil qui se trouve à l’amont
de la fin du rouleau de surface.
Les types des profils de surface et des écoulements internes dus à un seuil transversal sont similaires
à ceux de la marche positive. Il existe pourtant des cas d’écoulement supplémentaires, notamment pour
une faible submersion à l’aval du seuil.
16.3.2 Seuil dénoyé
La figure 16.10 montre les types principaux d’écoulement provoqués par un seuil dénoyé dans un
canal rectangulaire, c’est-à-dire un seuil pour lequel la hauteur d’eau aval est inférieure à la hauteur
Fig. 16.10 Principaux types d'écoulement sur un seuil dénoyé; ressaut hydraulique a) à l’amont, b) au-dessus du seuil, c) onde
stationnaire sur le seuil avec rouleaux, et d) onde stationnaire à surface lisse.
critique hc=(q2/g),/3. Si la hauteur d’eau h, auprès du seuil est supérieure à la hauteur conjuguée h2
calculée d’après la formule de Bélanger (15.7), le ressaut hydraulique est situé entièrement à l’amont du
seuil (fig. 16.10a). L’écoulement vers le seuil est donc fluvial. Pour la hauteur d’eau limite, h^=h2, le seuil
constitue la limite aval du ressaut, comme indiqué dans la figure 16.10b). Une réduction ultérieure de h8
BASSINS AMORTISSEURS
341
provoque une onde stationnaire avec des rouleaux à l’amont et à l’aval du seuil (fig. 16.10c). Finalement
le jet s’approchant du seuil n’est que dérivé par ce dernier et aucun rouleau ne se forme (fig. 16. lOd). Ces
quatre types d’écoulement ne sont évidemment pas délimités de façon précise et la transition de l’un à
l’autre est continue.
Seul le type b) de la figure 16.10 revêt un intérêt particulier, en tant que dissipateur. Si Lr caractérise
la longueur du rouleau et L la distance du pied du ressaut à la face amont du seuil, on a L> Lr dans le
cas a), mais L<Lr dans les cas c) et d) de la figure 16.10. Par analogie avec le ressaut hydraulique
provoqué sans seuil (chap. 15) et comme l’ont démontré Forster et Skrinde [16.6], le cas b) de la
figure 16.10 s’établit si Lr/h2^5 avec h2=hs.
La figure 16.10b) montre le cas de dimensionnement pour un écoulement plan à seuil dénoyé.
L’application du théorème de la quantité de mouvement entre les sections «1» et «s» (fig. 16.12), et
l’élimination de la hauteur d’eau h,, à l’aide de la formule du déversoir permettent d’exprimer la hauteur
du seuil s en fonction des conditions d’écoulement [16.6]. La figure 16.11 représente la hauteur de seuil
Fig. 16.11 Hauteur de seuil nécessaire Sl=s/hl en fonction du nombre de Froude amont Ft =q/(gh|)l/2. (•••) calcul pour L—»oo, seuils
à (—) crête mince et (-------------------------------------------------) crête épaisse pour L=5h2.
nécessaire S^s/h, pour que le ressaut type b) apparaisse en fonction du nombre de Froude amont
Fj=q/(gh|),/2. Si S>(<)St, le ressaut hydraulique type A, ou type C respectivement apparaît.
Les résultats de la figure 16.11 se réfèrent à des seuils à crêtes mince et épaisse, et il convient de noter
que l’effet de la forme du seuil est beaucoup plus faible que celui de la hauteur s. Par conséquent
l’extension longitudinale du seuil peut être négligée pour le ressaut du type b) de la figure 16.10. Ce
résultat a déjà été trouvé pour les marches pour lesquelles la forme géométrique n’influence que peu le
ressaut hydraulique [16.10]. Pourtant, dès que l’écoulement à l’amont du seuil devient torrentiel
(fig. 16.10c) et d)), la forme du seuil doit être considérée.
Les calculs des déversoirs libres en mince paroi et à crête épaisse préconisent que la hauteur d’eau
aval hu n’influence pas l’écoulement par-dessus le seuil. Se référant à [16.7] et à la figure 16.12, les
conditions [16.6]
et
mince paroi,
crête épaisse
(16.10)
doivent être satisfaites.
342
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig. 16.12 Bassin amortisseur à seuil dénoyé a) en mince paroi et b) à crête épaisse.
Le bassin amortisseur prismatique et rectangulaire, contenant un seuil transversal dênoyê, est
dimensionné à l’aide du ressaut hydraulique. Les expressions trouvées dans le chapitre 15 sont donc
applicables, notamment l’équation (15.7) pour les hauteurs conjuguées, l’équation (15.13) pour l’effica-
cité du ressaut et la figure 15.4 pour la longueur du ressaut.
Un seuil de hauteur s appropriée, posé sur le fond droit d’un canal, est donc en mesure de provoquer
un ressaut hydraulique. Comme le débit déverse librement par-dessus le seuil, l’écoulement devient de
nouveau torrentiel à l’extrémité aval, 1^ < h^. Par conséquent la dissipation d’énergie par un seuil dénoyé
n’est pas complète.
16.3.3 Seuil noyé
Comme l’a démontré Rand [16.20], la longueur L^5hs correspond à la longueur maximale du
ressaut hydraulique due au seuil. Autrement dit, cette position du ressaut caractérise un extrême par
lequel le seuil constitue la limite aval du ressaut hydraulique. L’autre extrême, L^n, conduit à un ressaut
hydraulique à stabilité acceptable, mais à une hauteur conjuguée aval plus faible et à une compacité et
à une efficacité plus grandes (fig. 16.13)..Cet écoulement est caractérisé par une submersion aval h2>hc
et une extension du domaine d’écoulement torrentiel à l’aval du seuil. Par conséquent, les vitesses à l’aval
de ce dernier sont encore considérables et peuvent provoquer des zones d’érosion. La longueur du fond
à protéger est 1^ = 1^ >L.
Selon Rand [16.20] soit
1
(16.11)
un indice de la longueur (et donc du type de l’écoulement) du ressaut à l’amont du seuil, à hauteur ht fixée.
Pour K,=0 (K,= 1) L est égal à la longueur minimale (maximale) du ressaut.
Fig. 16.13 Bassin amortisseur à seuil noyé.
BASSINS AMORTISSEURS
343
Pour Ks=0,2, le ressaut hydraulique devient très agité, mais l’écoulement auprès du seuil est
relativement tranquille; par contre, K, <0,2 conduit à des dissipateurs à vitesse aval près du fond
importante; ce domaine de K, doit être exclu.
Pour Kj=0,4, le potentiel de l’érosion aval se voit réduit; pourtant le ressaut hydraulique est encore
agité. La limite supérieure est Kj~0,7, qui doit être respectée pour des écoulements à F|<3, dont la
surface est ondulaire et instable. L’effet de K, sur Y(Fi) est presque négligeable pour S < 3.
Rand [16.20] recommande le choix d’une valeur moyenne pour K, en tenant compte des conditions
particulières du site. Par exemple, K, doit se situer près de K,=0,7 pour une rivière facilement érodable,
ou des niveaux d’eau aval h2 peu stables. La figure 16.14 montre les hauteurs conjuguées Y=hj en
Fig. 16.14 Hauteurs conjuguées Y=h2/h, en fonction de F1 =q/(gh]),/2 et S = s/h| pour le bassin amortisseur à seuil transversal noyé;
a) K,=0,4, b) K,=0,7. (-------------------) équation (15.7) de Bélanger, (••) hauteur minimale relative [16.20],
fonction de Fj et S=s/hj pour K,=0,4 et Kg=0,7. On constate que les courbes Y(SJF|) sont limitées par
deux bornes. La limite supérieure correspond à l’équation (15.7) de Bélanger et la limite inférieure peut
être comparée avec la courbe pointillée de la figure 16.7 pour les marches positives. Dans le domaine situé
au-dessous de la limite inferieure, le ressaut ne se forme plus et l’écoulement peut être comparé à celui
de la figure 16.10c) et d). La figure 16.14 permet de constater que l’effet d’un seuil noyé est le plus grand
près de la limite inferieure. En augmentant F] pour une hauteur relative de seuil S fixée, la différence entre
les courbes Y(S=0) et Y(S) diminue de plus en plus. Pour F^oo, cette différence devient nulle.
Soit Fj, S et K, donnés; la figure 16.14 permet alors d’évaluer Y. Si Ye> Y, où Ye correspond au
rapport des hauteurs conjuguées existant, le ressaut est repoussé à l’amont, mais il se déplace à l’aval pour
Ye < Y. Le cas échéant, le ressaut hydraulique est entièrement repoussé en dehors du bassin amortisseur,
condition qu’il faut strictement éviter.
Une fois K, fixé, la longueur L à l’amont du bassin amortisseur se calcule d’après [16.21]
L/h, = 6(1 + 2(F,—>/2)KJ.	(16.12)
La longueur totale (fig. 16.13) des parties amont et aval du seuil à protéger contre l’érosion est selon
des essais sur modèles réduits [16.21]
Lt/h, = 10(1^+ l)(Fj —1)[1 - 0,04^-!)], F1 < 10.	(16.13)
Lt augmente donc avec F( et K,.
La dissipation d'énergie relative = (fig. 16.13) a été également examinée par Rand [16.23].
La figure 16.15 permet de comparer t](Ks=0) (courbe supérieure) et q (Ks= 1) (courbe inferieure) avec
344
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig. 16.15 Dissipation d’énergie relative p = AH/H1 en fonction de Fi pour (—) seuil transversal noyé (0<K,< 1) et (•  •) ressaut
hydraulique sans seuil.
l’efficacité du ressaut hydraulique sans seuil (courbe pointillée). L’effet du seuil transversal noyé sur la
dissipation d’énergie est donc important.
Exemple 16.2
Soit les caractéristiques amont de l’exemple 16.1. Avec F] =4,8, la hauteur minimale du seuil dénoyé
devient S=2,l selon la figure 16.11, donc s=2,lm. Avec l’équation (15.7) le rapport des hauteurs conju-
guées est h^! = ((14-8 • 4,82)l/2 —1)/2=6,3, d’où h2=6,3m. La longueur du rouleau est alors Lr~5 • h2=
5 * 6,3m=31,5m. La perte de charge relative devient q=0,5 selon l’équation (16.7), donc AH=0,5 - 12,5m=
6,25m < 6,5m comme exigé. Il faut donc noyer le ressaut pour dissiper l’énergie supplémentaire.
Avec K,=0,4, la dissipation d’énergie devient q=O,58 selon la figure 16.15, d’où AH=0,58 • 12,5=
7,25 > 6,5m. Il existe donc une hauteur de seuil qui satisfait la condition d’écoulement à son extrémité aval.
La hauteur d’eau aval à condition d’écoulement fluviale est h2=5,64m (H2 = 5,64+152/
(19,62 - 5,642)=6,0m). Le rapport des hauteurs conjuguées devient Y=5,64/1 =5,64. La figure 16.14 donne
donc S 1,6, d’où s = 1,6m < 2,1m comme pour le seuil dénoyé. La longueur amont du bassin amortisseur est
L=22,3m d’après l’équation (16.12). La longueur de la zone à protéger est L=45  1 =45m selon l’équation
(16.13). La figure 16.16 montre la coupe longitudinale du bassin amortisseur.
16.4 Blocs dissipateurs
Les marches et les seuils sont situés dans la zone aval du dissipateur, avec pour but principal de
stabiliser le ressaut hydraulique. Si ces chicanes sont placées trop à l’amont du bassin amortisseur, elles
Fig. 16.16 Bassin amortisseur selon l'exemple 16.2. (—) ligne de charge.
risquent d’être inefficaces et, à la limite, d’être affectées par l’écoulement à haute vitesse (conditions
torrentielles à l’amont et à l’aval).
BASSINS AMORTISSEURS
345
Pour raccourcir un bassin amortisseur, on peut augmenter la rugosité des parois du canal. Il faut
évidemment d’importants éléments de rugosité. Les blocs dissipateurs sont prévus à cet effet et peuvent
être considérés comme augmentation locale de la rugosité. Souvent les dissipateurs réels sont équipés de
tels blocs dissipateurs et de seuils ou marches terminaux (paragraphe 16.6). Les considérations qui
suivent ne se rapportent qu’à l’effet des blocs dissipateurs sur l’écoulement.
Les premières investigations systématiques concernant l’effet de blocs dissipateurs sur l’écoulement
dans un canal rectangulaire horizontal et prismatique sont dues à Harleman [16.11]. Soit s la hauteur des
n blocs identiques à largeur bB, xB la distance du pied du ressaut à leur face amont et nbB • s = AB leur
surface totale orientée contre la direction principale de l’écoulement (fig. 16.17). La section «1» se trouve
Fig. 16.17 Blocs dissipateurs de forme standard USBR.
à l’amont et la section «2» à l’aval du ressaut hydraulique, où la répartition des vitesses devient plus ou
moins uniforme. En appliquant le théorème de la quantité de mouvement, la composante horizontale de
la force P exercée par les blocs devient
P -‘rP	q71	1
ü —	“ ^2)	I r 77
Pgh 2	g \h2	hr
(16.14)
où b est la largeur du canal rectangulaire.
Connaissant le débit q et les hauteurs d’eau ht et h2 par des observations, le coefficient de traînée
C = -2L_
P PgbAB
(16.15)
et le coefficient par rapport à la vitesse amont Ç=2P/(pABVj) [16.17] peut être déterminé. Il existe
évidemment les relations Cp>0 s’il y a des blocs, mais Cp=0 pour un ressaut hydraulique sans blocs
(s=0).
La force P exercée par les blocs peut également être comparée à la force de pression aval
P2=pgbh^/2, donc
0 =—
PgbhL/2
(16.16)
D’après Harleman [16.11], 4> est fonction de Xg/s, h^h^, Lr/Lro et de la forme géométrique du bloc.
Lr indique la longueur du rouleau et l’indice «o» se rapporte au cas S=s/h] =0 (chap. 15).
346
OUVRAGES DE DISSIPATION
Pour 0,85 <S< 1,12, le ressaut hydraulique ne se forme pas sans submersion aval. Par contre, la
hauteur aval h2 peut être réduite par rapport à h^ déterminé d’après l’équation (15.7). Le rapport
h^io^ 1 diminue lorsque F1 croît et Xg/s décroît. La limite inférieure pour h2/h2o est donnée, comme
pour la marche positive et le seuil transversal, par le critère d’apparition du ressaut (voir, par exemple,
les figures 16.10c) et d)).
Le coefficient de force <|> calculé par l’équation (16.16) croît lorsque F! croît et lorsque Xg/s décroît
pour une forme de blocs donnée. Toutefois le maximum de $ est de 0,20, ce qui indique l’incapacité des
blocs à produire un ressaut sans submersion aval.
Rand [16.22] a examiné l’effet de blocs cubiques sur l’écoulement. La somme des espaces libres entre
les blocs est de 50% de la largeur du canal (fig. 16.17). Pour Ft, h1 et s donnés, l’effet de Xg/L^ modifie
fortement le type d’écoulement.
Une comparaison entre des blocs et un seuil transversal conduit aux remarques suivantes:
-	le seuil continu est capable de stabiliser le ressaut hydraulique pour des conditions aval torrentiel-
les. Pour Ft>5, les blocs seuls ne sont plus capables de provoquer un ressaut hydraulique;
l’utilisation des blocs dénoyés se limite alors à de faibles valeurs de nombre de Froude;
-	pour Ft > 5, la longueur totale du dissipateur devient plus importante avec des blocs seuls qu’avec
un seuil continu, qui est donc plus favorable du point de vue de la compacité;
-	l’efficacité du seuil continu est plus grande que pour les blocs;
-	l’effet de la forme des blocs sur la dissipation d’énergie est faible comparativement à l’effet de la
surface des blocs opposés à l’écoulement;
-	pour avoir une configuration d’écoulement comparable entre seuil continu et blocs, ces derniers
doivent avoir une hauteur supérieure à celle du seuil. L’effet du déversement de l’eau par-dessus
des blocs conduit pourtant à des vitesses aval plus importantes.
Des résultats facilitant l’application ont été trouvés par Basco [16.2] et Basco et Adams [16.1]. La
force exercée par les blocs n’a pas été déterminée par l’équation (16.14) mais a été mesurée directement.
Le rapport $ d’après l’équation (16.16) dépend de
4> = <t> (Ft,S,xB/h2o, bB/s, e/s, forme)	(16.17)
où e est l’espacement entre les blocs (fig. 16.17). Les nombres de Froude amont examinés se situent entre
S^Fj^lO.
Des essais préliminaires indiquent que 4* augmente lorsque S croît et xB/h2o décroît. 4>(S) croît
linéairement pour S< 1, et devient presque indépendant de S pour S> 1. Ces maxima valent à peu près
<|> ~0,35 indépendamment de Ft, pour autant que S soit assez grand pour que le ressaut hydraulique
apparaisse encore.
Les profils de surface sont classés en 4 types, notamment:
Type A: Le ressaut forcé par les blocs est presque le même que le ressaut normal (chap. 15); il n’y
a qu’un seul ressaut hydraulique compact.
Type B:	Le ressaut hydraulique est vraiment forcé par les blocs. Au-dessus des blocs, l’eau commence
à «bouillonner». L’efficacité du ressaut est excellente, et les ondes aval ne dépassent que de
peu la hauteur moyenne. Le jet plongeant derrière les blocs n’est pas considérable si
hs< l,15h2; il est guidé vers la surface de l’écoulement. E, est la hauteur d’eau maximale
au-dessus des blocs.
Type C:	Pour E,> 1,15h2, le jet plongeant à l’aval des blocs s’approche du fond du canal et provoque
une surface aval extrêmement ondulante et des érosions importantes dans un lit meuble. La
tendance à la formation d’un deuxième ressaut hydraulique devient évidente. L’efficacité de
ce dissipateur n’est que modeste.
BASSINS AMORTISSEURS
347
Type onde: La limite entre la formation d’un ressaut hydraulique et la transition d’un écoulement
entièrement torrentiel au voisinage des blocs s’établit.
Ces quatre types d’écoulement ont également été trouvés pour les seuils continus (fig. 16.10).
Le ressaut hydraulique forcé par blocs du type B présente le meilleur dissipateur d’énergie à longueur
minimale. Pour ce type, la force relative des blocs se situe entre 0,17< <|> <0,24. Basco [16.2] trouve par
des essais que l’optimum de l’efficacité des blocs standard USBR apparaît si
-	la largeur totale des blocs est de 50% de la largeur du canal, nbB=b/2,
-	les conditions hydrauliques de la figure 16.18 sont satisfaites.
Fig. 16.18 Dissipateur à blocs (50%, espacement 1:1, forme standard USBR). a) hauteur aval relative hj/h^, position longitudinale
Xu/h^ et hauteur relative des blocs S=s/h, en fonction de F]; b) efficacité q=AH/H|, fonction de F, pour (—) blocs et (•••) ressaut
hydraulique sans blocs.
Une fois h, et Fj connus, cette figure permet de calculer le rapport h^^ où h^ est la hauteur
conjuguée d’après l’équation (15.7). De plus, la hauteur relative S des blocs et la distance x^h^ sont
indiquées.
La figure 16.18b) représente l’efficacité q = AH/Hj d’un tel dissipateur. On constate qu’une augmenta-
tion de 5% comparée au ressaut sans blocs (S=0) est obtenue.
On a également trouvé qu’une deuxième rangée de blocs décalée par rapport à la première, n’aug-
mente que faiblement l’efficacité du dissipateur. Par conséquent, une seule rangée est normalement
suffisante. Une deuxième ligne de blocs pourrait pourtant réduire l’érosion aval. Basco trouve en outre
que la forme géométrique des blocs ne joue qu’un rôle négligeable quant à l’efficacité. Par contre, cette
forme devient importante dès que des çffets d'érosion de cavitation (chap. 14) sont à craindre.
Exemple 163
Quelle est la disposition d’un bassin amortisseur à blocs, si les données de l’exemple 16.1 sont considérées?
Avec F!=4,8, la dissipation d’énergie relative devient q=O,53, d’après la figure 16.18b), donc
AH=0,53 * i 2,5m=6,6m > 6,5m. B est donc possible de provoquer un ressaut hydraulique acceptable avec
les blocs standards type USBR.
La hauteur conjuguée d’un dissipateur sans blocs se calcule d’après l’équation (15.7) h2o=6,30m. Avec
h2/h2o=0,89 selon la figure 16.18a), la hauteur aval est h2=0,89 • 6,3m=5,6m. La position des blocs par
rapport au pied du ressaut devient xB/h2o=2,04 selon la même figure, correspondant à xB=2,04 • 6^n=
12,85m. Finalement, la hauteur des blocs selon la figure 16.18a) est S=1,16, donc s=1,16m. D’après 15.2.4
la longueur du ressaut est Lj(F1=4,8)=6 • h2o=6 • 6,3m=37,8m=1^. La figure!6.19 représente la coupe
longitudinale du bassin amortisseur à blocs dissipateurs.
348
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig. 16.19 Coupe longitudinale du dissipateur à blocs dissipateurs selon l’exemple 16.3. (—) ligne de charge.
L’écoulement interne autour des blocs a été analysé par Rajaratnam et Murahari [16.16]. Bhowmik
[16.3] apporte des indications supplémentaires pour les bassins amortisseurs à blocs à nombres de Froude
faibles F|<4. Dans la discussion du deuxième auteur, Sharma et Varshny trouvent des résultats
comparables à ceux de Basco [16.2]. De plus, ils indiquent que la longueur à protéger correspond à
peu près à la longueur du ressaut Lj sans blocs (fig. 15.4).
L’écoulement à travers des blocs et des seuils continus est analysé par Ranga Raju et al. [16.24]. Leurs
résultats se rapportent surtout aux forces moyennes (par rapport au temps) exercées par les deux types
de chicanes. La marche à suivre pour le calcul des dissipateurs à blocs est proposée. Le coefficient de force
4> d’après l’équation (16.16) dépend dans ce cas de
4> = 4>(S,%,Xb)	(16.18)
où XB=xB/h1 est la distance relative de la position des blocs et x = bB/(bB+e) est la largeur relative des
blocs identiques type standard USBR (fig. 16.17). En se basant sur des essais sur modèles réduits, le
résultat
4* = Vi * V2 * Va
est trouvé où
2S	7	1
V1 5 4- S ’	X. Va 7 + Xb 20 ’
(16.19)
(16.20)
Par conséquent, 4> croît lorsque S et x augmentent et décroît lorsque XB croît. Une fois S et x fixés,
XB->0 conduit au maximum de la force relative $. D’après l’équation (16.14) la hauteur d’eau h2 à l’aval
des blocs devient donc minimale. Cependant, la condition d’écoulement ne correspond pas à un ressaut
hydraulique provoqué par les blocs mais à un jet entièrement torrentiel (fig. 16.10d)).
Yi d’après les équations (16.20) découlent des résultats obtenus par des blocs trapézoïdaux en coupe
longitudinale (fig. 16.17). 4> devient plus petit pour des blocs rectangulaires [16.24]. On a également
trouvé que l’effet d’une deuxième rangée de blocs sur $ est négligeable.
Concernant les forces dynamiques sollicitant les blocs, les essais de Narayanan et Schizas [16.13]
peuvent être consultés.
Exemple 16.4
Quelle est la force exercée par un rang de blocs standard type USBR d’après l’exemple 16.3?
Avec ht = 1m, s = 1,16m et xB = 12,85m, les paramètres à considérer d’après l’équation (16.18) deviennent
S=l,16, x= 1/2 et XB= 12,85/1 = 12,85. Les équations (16.20) mènent à Y| =0,374, y2=3/2, y3=0,30.
D’après l’équation (16.19) ♦ =0,374 • 1,5 • 0,3= 0,17, donc P/B=0,17 • 1 • 6,32/2=3,4tm~* pour la compo-
sante horizontale de la force agissant sur les blocs par unité de largeur.
BASSINS AMORTISSEURS
349
16.5 Dissipateurs non prismatiques
Les indications des paragraphes 16.2 à 16.4 se rapportent exclusivement à des dissipateurs dans des
canaux rectangulaires prismatiques. L’interface de l’écoulement à haute vitesse auprès du fond du canal
et du rouleau situé au-dessus présente donc l’origine unique des pertes de charge considérables. Cet effet
peut être amplifié si deux interfaces supplémentaires sont créées aux côtés du jet entrant dans le
dissipateur. Cette configuration d’écoulement résulte d’un élargissement du canal dans la direction
longitudinale sous un angle 0. La divergence des parois latérales peut être continue (0 < 90°) ou abrupte
(6 = 90°). Dans ce qui suit, seul le dissipateur à divergence abrupte sera considéré.
La figure 16.20a) montre le dissipateur non prismatique à fond horizontal de largeur amont b et de
largeur aval B, P = B/b> 1. En raison de la discontinuité de la largeur du canal, l’écoulement torrentiel
Fig. 16.20 Dissipateur non prismatique avec zones latérales de séparation, a) ressaut hydraulique repoussé, b) ressaut hydraulique spatial.
entrant dans le dissipateur se sépare des parois de largeur B sous un angle œ sur une longueur Lo. Comme
démontré par Rajaratnam et Subramanya [16.19], © dépend uniquement du nombre de Froude amont F]
tara» =	= 3/(2F,).	(16.21)
Le pied du ressaut se trouve à l’aval du point où ce jet torrentiel s’est complètement étendu. Par
conséquent, on appelle ce phénomène un ressaut repoussé [16.19]. Qu’il s’agisse d’un changement abrupt
de la largeur ou d’un changement 0>© de la divergence des parois, l’écoulement se comporte de façon
identique, sauf dans la zone de séparation.
Le rapport des hauteurs conjuguées Y^h^h, se calcule à l’aide du théorème de la quantité de
mouvement. Soit h, la hauteur d’eau à la sortie du canal amont à largeur b et P la force en direction
longitudinale, exercée par les parois transversales à largeurs B—b, d’où
bh? ' Q2 । P _ Bh^ ! Q2
2 gbhj pg 2 gBh2 *
(16.22)
350
OUVRAGES DE DISSIPATION
Le maximum de cette force s’élève à PDiax=pg(B—b)h|/2 pour le saut situé entièrement dans le canal
amont de largeur b. Le minimum Pmin = 0, par contre, s’établit pour une séparation complète de
l’écoulement des parois transversales. Ce dernier cas est d’un intérêt particulier étant donné que la
hauteur d’eau aval h2 devient minimale. L’équation (16.22) s’écrit alors pour le ressaut repoussé [16.9]
f2 pY(PY2-l)
1	2(0Y —1)
(16.23)
où, en première approximation
(16.24)
Pour le canal prismatique (p = 1), l’équation (15.9), est ainsi retrouvée.
L’équation (16.24) reflète bien les essais sur modèle réduit pour 1 < P^3 [16.19]. Pour P> 3, l’écoule-
ment à l’amont du pied du ressaut n’est plus uniformément réparti, et le ressaut commence à osciller dans
la direction transversale [16.14]. On devrait donc se limiter à des rapports de largeurs P <3.
La perte de charge relative q = AH/H, se détermine à l’aide de l’équation (16.23) et devient approxi-
mativement [16.9]
n =
(16.25)
qui constitue une relation généralisée de l’éq. (15.13).
La longueur du rouleau n’est que peu influencée par Fj et peut être estimée à Lr/h2~ 3,5. Par contre,
la longueur du ressaut Lj varie avec F, et p. Cependant, cette variation n’est pas systématique; Lj/h2~6
à 8 peut être indiqué comme valeur moyenne. Finalement, le volume Vj occupé par le ressaut dépend
uniquement du nombre de Froude amont, notamment [16.9]
Vj/(bh?) = 8F?.
(16.26)
Exemple 16.5
Considérons les exemples précédents où h, = lm, F]=4,8 et AH=6,5m. Quelle est la largeur aval du
dissipateur à ressaut hydraulique repoussé si b= 1m?
Avec q=6,5/12,5=0,52, l’équation (16.25) amène 3= 1,12, donc B= 1,12m. B = 1,20m est choisi, d’où
P= 1,2 et Y = 5,74 d’après l’équation (16.24). La hauteur d’eau aval devient alors h2= 1 • 5,74m = 5,74m. La
longueur du dissipateur s’élève à L^7 • 5,74m=40m. L’angle d’ouverture des parois latérales est
œ=arctan[3/(4,8 • 2)]= 17°. Avec 0=20°, la longueur de la transition est Lo=(l,2—1)/(2 • tan20°)=0,28m.
La figure 16.21 montre le profil de surface.
Fig. 16.21 Profil de surface selon l’exemple 16.5.
BASSINS AMORTISSEURS
351
Si Ton augmente la hauteur d’eau aval au-dessus de la valeur indiquée par l’équation (16.24), de
l’eau peut couler de l’aval dans les zones de séparation. Ainsi, le jet torrentiel entrant dans le canal de
largeur B ne peut plus s’ouvrir librement. Au lieu d’une formation de ressaut, un jet s’établit. La
dissipation d’énergie est alors accomplie uniquement par la diffusion de ce jet, c’est-à-dire qu’il faut une
longueur de bassin beaucoup plus élevée.
En augmentant encore la hauteur aval h,,, on peut retrouver une deuxième position qui rend un
phénomène de dissipation stable et compact. Le pied du ressaut se trouve alors légèrement à l’afnont de
l’expansion abrupte, tandis que la fin du rouleau de surface se situe bien à l’aval. Ainsi, le ressaut ne reste
pas plan mais l’expansion latérale le rend tridimensionnel. Par conséquent, ce phénomène est appelé
ressaut spatial (fig. 16.20b).
La hauteur maximale aval h^^ se calcule à l’aide de l’équation (16.22) en admettant P=Pma3t.
Cependant, si le pied du ressaut se situe suffisamment près de l’expansion, on trouve que
0=Pmin<P<Pmajr L®8 essais de Herbrand [16.12] indiquent que h2(p)/h2(p = l) = p-3/8=(b/B)3/8. Par
conséquent, on trouve pour le rapport des hauteurs conjuguées du ressaut spatial
Y = ^(^F>-0-	(16.27)
Concernant la longueur du rouleau de surface, les relations suivantes peuvent être recommandées
L,(p) = Lr(P = 1)/VP,	K P S 1,56 ;
Lr(P) = 0,8 • L,(P=1), 1,56 < P < 3 .	1 ’ >
Lr(P= 1) correspond à la longueur du rouleau d’un ressaut plan (chap. 15).
Si la hauteur d’eau aval est encore augmentée au-dessus de h2 selon l’équation de Bélanger (15.7), le
ressaut se forme entièrement dans le canal amont de largeur b.
16.6 Combinaisons d’éléments de dissipateur
16.6.1 Généralités
Un dissipateur réel présente une combinaison de divers éléments discutés ci-dessus. Une distinction
doit être faite entre des éléments qui
-	augmentent l’efficacité,
-	améliorent la stabilité et
-	augmentent la compacité,
comparativement au ressaut hydraulique sans chicane (chap. 15). Les divers éléments d’un dissipateur
réel sont normalement soumis à des essais sur modèles réduits. Il n’y a qu’un nombre limité de
propositions généralisées de bassins amortisseurs. Les dissipateurs USBR des types I à IV sont bien
connus, ainsi que les propositions SAF (Saint Anthony Falls) [16.4]. Pourtant, ces bassins amortisseurs
ne se prêtent qu’à des débits relativement petits et ne s’appliquent qu’à des cas particuliers.
L’augmentation de l’efficacité (par rapport à la dissipation d’énergie mécanique) d’un ressaut hydrau-
lique selon l’équation (15.13) est souvent atteinte par des seuils noyés ou par l’élargissement latéral du
bassin. L’amélioration de la stabilité se fait normalement par des seuils situés à l’extrémité aval du bassin
amortisseur. Le volume minimal du dissipateur est obtenu en posant des blocs dissipateurs ou des seuils
transversaux.
352
OUVRAGES DE DISSIPATION
Jusqu'à présent, aucune recherche ne portait sur l'examen systématique de combinaisons de divers
éléments d'un dissipateur. Ce n'est évidemment que par de telles optimalisations que l'on obtiendra des
dissipateurs économiques et efficaces. Dans ce qui suit, les dissipateurs types USBR seront analysés.
16.6.2 Bassins amortisseurs types USBR
Le «United States Bureau of Réclamation» (USBR) a proposé divers types de bassins amortisseurs
qui ont été examinés sur prototypes et en laboratoire. Dans le contexte de ce chapitre, il s'agit notamment
des bassins types II et III. Le bassin type IV est uniquement recommandé si 2,5 <Fï <4,5 [16.15].
b)
Fig. 1622 Géométries des bassins amortisseurs USBR. a) type II et b) type III,
BASSINS AMORTISSEURS
353
Le bassin type II (fig. 16.22a) peut être utilisé pour des structures à haute chute et pour des canaux
larges. Il consiste en blocs («chute blocks») situés à l’amont et d’un seuil terminal denté («dentated end
sill») à l’aval du bassin de longueur L,,. A cause des hautes vitesses d’approche (donc d’érosions de
cavitation possibles), ce bassin n’a pas de blocs trapézoïdaux centraux. Le bassin type II a été testé pour
des hauteurs de structures jusqu’à 60m, des débits jusqu’à 13 000m3s-1 et des vitesses d’approche jusqu’à
Vt = 33ms-1. Le nombre de Froude maximal est presque F1 —11.
Soit Y=((1 + 8Fj)1/2—1)/2 le rapport des hauteurs conjuguées selon l’équation (15.7). Comme cela
a été démontré par des essais sur modèles réduits [16.15], le minimum du rapport des hauteurs conjuguées
s’élève à	0,97Y pour que le ressaut hydraulique ne sorte pas du dissipateur. Pourtant, le dimen-
sionnement du plan d’eau aval (ou de la hauteur du fond du bassin dissipateur) doit toujours considérer
le minimum Ymin=Y selon l’équation (15.7).
La longueur Lb du bassin amortisseur type II se détermine à l’aide de la figure 16.23. La longueur du
ressaut normal est indiquée par la courbe pleine et on constate que l’amortisseur type II est plus court
d’environ 30%.
Fig. 16^3 Longueurs relatives L^/hz du (—) ressaut hydraulique normal, (-) bassin type II, (- - •) bassin type III.
Comme recommandations générales, on peut noter que
-	le rapport des hauteurs conjuguées est au minimum égal à la valeur tirée de l’équation (15.7),
-	le nombre de Froude amont doit s’élever au minimum à F1=4,
-	la largeur des blocs et leur espacement doivent être approximativement égaux à ht,
-	la répartition transversale des blocs et des dents du seuil doit être uniforme.
Le bassin type II est souvent considéré comme trop conservateur (et donc pas très économique) pour
des débits et vitesses amont relativement petits. Pour Vj < 20ms-1 et Q<6m3s-1, un deuxième bassin a
été développé par l’USBR, le bassin amortisseur type III.
La longueur d’un dissipateur peut être réduite si des blocs brise-charge («baffle blocks») supplémen-
taires sont prévus à l’intérieur de l’ouvrage (voir aussi paragraphe 16.4). Ces chicanes additionnelles ne
doivent pourtant pas provoquer une obstruction. Des essais de l’USBR [16.15] ont montré que des blocs
de géométrie trapézoïdale-symétrique, escalier et trapézoïdale à face amont arrondie n’ont qu’une faible
contribution en ce qui concerne la dissipation d’énergie. Les blocs cubiques sont efficaces pour des
conditions d’approche particulières. Une deuxième rangée de blocs n’a que peu d’effet sur le ressaut.
Le bloc finalement retenu correspond au bloc trapézoïdal à face amont verticale (bloc standard type
USBR). Il est placé à distance 0,8h2 à l’aval de l’entrée du dissipateur (fig. 16.22b)). Les côtés des blocs
ne doivent pas être arrondis.
Pour assurer la résistance des arêtes, il convient de les pourvoir de profilés en acier. Les hauteurs s
des blocs et la hauteur ss du seuil terminal sont données en fonction de F] >4 dans la figure 16.24. On
354
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig 16.24 Hauteurs (—) des blocs s et (---) du seuil terminal s, du bassin amortisseur type III relatives à h, en fonction de F, [16.15].
constate que s > s8. La hauteur conjuguée h2 doit à nouveau être identique à h2 d’après l’équation (15.7).
La longueur L^, du bassin type III est donnée dans la figure 16.23 en fonction de FP
En conclusion, les bassins amortisseurs des types II et III de l’USBR sont caractérisés par une hauteur
d’eau aval h2 identique à celle du ressaut hydraulique normal (chap. 15). La dissipation d’énergie est donc
également identique à celle donnée par l’équation (16.7). Par contre, la longueur du bassin II n’est que
de 70%, et celui du bassin III même de 45% de la longueur du ressaut normal. Les deux bassins proposés
par l’USBR sont donc beaucoup plus compacts que le ressaut hydraulique. En ce qui concerne la stabilité
du ressaut hydraulique, le fonctionnement des deux bassins est moins sensible à une diminution de h2
que le ressaut sur fond horizontal. Si les bassins sont exécutés conformément aux propositions de
l’USBR, on peut renoncer à des essais sur modèles réduits.
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BASSINS AMORTISSEURS
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Heft 40.
Notations
Les indices «1» et «2» se rapportent aux sections amont et aval du dissipateur. L’indice «o» se rapporte au ressaut
hydraulique sans chicane. L’indice «u» indique la hauteur d’eau aval. Finalement, les indices A et B indiquent des
ressauts types A et B.
ab	[m2]	surface totale des blocs	q	[m2s-1]	débit par unité de largeur
b	[m]	largeur (amont) du dissipateur	Q	[mV]	débit
b»	[m]	largeur d’un bloc	s	[m]	hauteur de la marche, du seuil ou
B	[m]	largeur (aval) du dissipateur			du bloc
Cp	[-1	coefficient de traînée	S	[-]	S=s/h,
e	[m]	espacement entre les blocs	U	[-]	nombre de Froude modifié
F	[-1	nombre de Froude	V	[ms ‘]	vitesse moyenne
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle	Vj	[m3]	volume du dissipateur
h	[m]	hauteur d’eau	x	[m]	coordonnée longitudinale
K	[m]	hauteur critique	XB	[m]	distance entre le pied du ressaut et
K	[m]	hauteur d’eau auprès du seuil			le bloc
h.	[m]	hauteur d’eau maximale au-dessus	xB	[-]	distance relative
		des blocs	Y	[-]	rapport des hauteurs conjuguées
H	[m]	charge	n	[-]	efficacité du ressaut hydraulique
AH	[m]	perte de charge	x	[-]	longueur relative du rouleau
K,	[-1	indice de longueur du ressaut		[-1	longueur relative du fond protégée
£	[m]	longueur du seuil	C	[-]	coefficient de traînée
U	[m]	longueur du bassin amortisseur	4>	[-1	coefficient de force
Lj	[m]	longueur du ressaut	v	[-]	facteur de force
Lp	[m]	longueur du fond protégé	P	[-]	rapport des largeurs d’un dissipa-
Lr	[m]	longueur du rouleau			teur non prismatique
L,	[m]	longueur totale du dissipateur	(ù	[-]	angle de divergence de l’éçpulement
n	[“]	nombre de blocs	e	[-]	angle de divergence du dissipateur
P	[Nm2]	pression	x	[-1	largeur relative des blocs
P	[N]	force de pression			
17. Auge, saut de ski et déflecteur
Saut de ski de l’aménagement Jaguara, Brésil (Photo EWI 103 750). Coupe longitudinale voir Fig. 8.1.
358
OUVRAGES DE DISSIPATION
17.1	Introduction
Les bassins amortisseurs présentés au chapitre 16 sont caractérisés par une dissipation d’énergie au
moyen d’un ressaut hydraulique provoqué dans un bassin à fond presque horizontal. Tous les types de
bassins discutés nécessitent une longueur considérable.
Si les conditions à l’aval du coursier, notamment la stabilité du lit, le permettent, d’autres types
d’ouvrages de longueur réduite sont envisageables. Une disposition souvent utilisée, le dissipateur à auge,
sera discuté dans ce chapitre. L’extension longitudinale de ce dissipateur est de l’ordre de la hauteur d’eau
aval et est donc extrêmement courte. Le dissipateur proprement dit est formé par une contre-pente au
pied du coursier, créant ainsi une auge dans laquelle se produit un rouleau à condition de disposer d’un
niveau aval adéquat.
Un deuxième type de dissipateur d’énergie, le saut de ski, présente une géométrie analogue à celle du
dissipateur à auge en ce qui concerne l’ouvrage. Cependant, le fonctionnement hydraulique est different;
en dirigeant le jet d’eau à haute vitesse dans l’air, une partie importante de l’énergie cinétique peut y être
dissipée par la formation de brume. Là zone d’impact du jet biphasique eau-air qui retombe n’est donc
pas sollicitée de la même façon que par un jet d’eau compact.
Finalement, les déflecteurs seront examinés; ils sont caractérisés par un canal amont presque horizon-
tal et une partie courbe à contre-pente qui guide le jet dans l’air. Des déflecteurs peuvent lancer le jet soit
le long de l’axe du canal amont, soit en le déviant vers le centre de la vallée si l’ouvrage se trouve sur
le côté de cette dernière.
Ce chapitre ne traite que les phénomènes hydrauliques de ces trois types de dissipateurs. En ce qui
concerne les aspects relatifs au transport de sédiments et à l’affouillement de la zone d’impact, qui doivent
être également examinés, on se référera à [17.13].
17.2	Dissipateur à auge
17.2.1 Généralités
La figure 17.1 représente un dissipateur à auge situé à l’aval d’un évacuateur de crue. Si la hauteur
d’eau aval t, mesurée à partir de la cuvette de l’auge, est supérieure à h2 selon la formule de Bélanger
(15.7), le dissipateur à auge est noyé et représente une variante des dissipateurs discutés au chapitre 16.
La longueur d’un tel dissipateur est considérablement plus faible que celle du ressaut hydraulique sur
fond horizontal. Comme le montre la figure 17.1a), le dissipateur à auge peut être intégré dans l’ouvrage
d’évacuation de crue. Il faut distinguer le dissipateur à auge sans et avec dents comme indiqué aux
figures 17.1b) et c). Selon Peterka [17.10], la deuxième variante est plus favorable en ce qui concerne les
aspects essentiels d’un dissipateur; les indications qui suivent se rapportent donc exclusivement au
dissipateur à auge avec dents («slotted roller bucket»).
Soit R le rayon de courbure de l’auge dans le sens longitudinal; la largeur d’une dent est R/8, et
l’espace libre entre les dents est R/20 pour qu’il n’existe pas de sous-pression inadmissible autour des
dents (danger d’érosion de cavitation). Le point le plus bas de l’auge se trouve à R/20 au-dessus du radier
du canal aval. D’autres dimensions utiles qu’il est recommandé de respecter [17.10] découlent de la
figure 17.2.
La partie de longueur R/2 à l’aval des dents sert à faire jaillir les jets et est nécessaire pour uniformiser
l’écoulement au sortir de la structure. La pente finale de l’auge devrait être de 16°.
AUGE, SAUT DE SKI ET DÉFLECTEUR
359
Fig. 17.1 a) Disposition du dissipateur à auge, b) variante à auge plane, c) variante à auge avec seuil denté.
17.2.2 Description de l’écoulement
Les types d’écoulement autour d’un dissipateur sont représentés dans la figure 17.3. Lorsque la
hauteur d’eau t, mesurée à partir du fond de la cuvette (fig. 17.1) est faible, l’écoulement est soulevé par
l’auge (fig. 17.3a). Il en résulte un jet partiellement libéré du fond qui, en retombant, crée un affbuillement
considérable du lit meuble. Ce type d’écoulement peut être comparé à l’écoulement torrentiel à l’aval de
dispositifs tels que marches, seuils ou blocs dissipateurs (chap. 16).
Fig. 17.2 Dent du dissipateur à auge [17.10].
*HR/8 Ht R/8 I-»
•h •—R/20
La hauteur d’eau aval minimale t=hmin pour que l’écoulement soit contrôlé par l’auge est représentée
à la figure 17.3b). Le jet disparaît et deux rouleaux se forment; le premier se situe au-dessus et le deuxième
au-dessous de la zone d’écoulement principale. Les deux rouleaux à contresens sont à l’origine d’une forte
dissipation d’énergie.
360
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig. 173 Conditions d’écoulement types autour d’un dissipateur à auge avec seuil denté [17.10]. Canal aval à fond meuble.
Détails voir texte.
En augmentant le niveau d'eau aval, une limite supérieure t = est atteinte; si la hauteur d'eau
aval dépasse ce niveau, une érosion importante se forme auprès de l'auge (fig. 17.3c). L'écoulement vif
plonge le long du fond faisant disparaître le rouleau du fond. Dès que la zone de contre-pression aval
est atteinte, le jet remonte à la surface et une zone importante de dépôts est créée.
A cause des changements dans la répartition des dépôts, un deuxième état se forme sans modification
de la hauteur aval (fig. 17.3d). De nouveau, il y a un rouleau au fond et la répartition des dépôts est
presque uniforme. Après un certain temps, la force du rouleau de fond devient trop faible pour maintenir
cette condition d'écoulement. Par conséquent, le cas représenté dans la figure 17.3c) est recréé (change-
ment cyclique entre les cas c) et d)).
17.23 Dimensionnement du dissipateur
Pour un coursier donné, les caractéristiques de l'écoulement à l'amont du ressaut hydraulique se
déterminent à l'aide d'un calcul de courbe de remous (chap. 5 et 13). En particulier, le débit q par unité
de largeur, la hauteur d'eau hp mesurée perpendiculairement au fond, et le nombre de Froude Fj =
q/(gh}),/2 sont connus (fig. 17.1). Le dimensionnement doit répondre aux questions suivantes:
- Quelles sont les hauteurs aval extrêmes qui permettent un fonctionnement satisfaisant du dissipateur?
- Quel est le rayon de courbure R de l'auge présentée dans la figure 17.1?
Fig. 17.4 Rayon minimal relatif de l’auge avec seuil denté en fonction de F, = q/(ghJ),/2 [17.10],
AUGE, SAUT DE SKI ET DÉFLECTEUR
361
Le rayon minimal nécessaire R^ dépend de la charge Hj=hj + q2/(2gh,) et du nombre de Froude
amont FP La figure 17.4 montre le rapport en fonction de F! [17.10].
Les hauteurs d’eau aval extrêmes, et hmax, qui conduisent au bon fonctionnement du dissipateur
dépendent essentiellement de F] et du rayon de courbure R de l’auge. La figure 17.5 montre les résultats
Fig. 173 Hauteurs d’eau aval nécessaires pour le bon fonctionnement du dissipateur à auge avec seuil denté, minimum Ymia=
et maximum Y_____________________= h,__/ht en fonction de R/H, et F,. (-) équation de Bélanger (15.7).
d’essais d’après [17.10]. La solution de l’équation de Bélanger est également indiquée dans cette figure.
Elle peut être considérée comme limite supérieure pour R/H^O. Pour obtenir une bonne efficacité du
dissipateur à auge, la hauteur d’eau aval doit être supérieure .à celle calculée avec l’équation (15.7). Il
s’ensuit que le ressaut hydraulique sur fond horizontal dissipe plus d’énergie. Cependant, il faut être
attentif au fait que les niveaux de référence pour la charge amont Ht sont différents.
Le dimensionnement du dissipateur doit être fait pour tous les débits importants, et en considérant
les hauteurs d’eau aval correspondantes. Les extrêmes du niveau aval calculées par la figure 17.5 doivent
alors satisfaire la submersion aval. Ces calculs mènent à l’élévation optimale du point le plus bas de l’auge.
Exemple 17.1
Considérons un déversoir, dont le débit par unité de largeur est q=20m2s" Par un calcul de courbe de
remous (chap. 5), la hauteur d’eau amont est h( = 1,1m. Quelles sont les dimensions d’un dissipateur à auge
avec seuil denté et quels sont les niveaux extrêmes aval nécessaires au bon fonctionnement du dissipateur?
Avec F, = 20/(9,81 • 1,P)V2 = 5,5 et H, = 1,1 +2&I(19,()2  1,12) = 18m, le rayon de courbure minimal de
l’auge est	selon la figure 17.4, donc Rn^l=0,3 • 18 = 5,4m. Choisissons R=6m.
Avec R/H| = 1/3 et Fj = 5,5, la figure 17.5 donne = 8,2 et = 14. Les hauteurs aval peuvent varier
par conséquent entre 9,0m < t < 15,4m, mesurées à partir du point le plus bas de l’auge.
17.3 Saut de ski
17.3.1 Description
Les effets essentiels d’un saut de ski sont d’éloigner de l’ouvrage un jet d’eau guidé par une auge
recourbée vers le haut et de dissiper une partie de l’énergie du jet dans l’air. Le saut de ski se situe soit
au pied d’un barrage, soit à une hauteur intermédiaire entre le niveau de la rivière et le couronnement.
Le canal amont de l’auge est un coursier à pente considérable. La figure 17.6 montre une disposition type.
A cause des vitesses d’approche élevées de l’ordre de V~20 à 40ms-1, le jet sortant de l’auge entraîne
un volume d’air important. A partir du point de détachement du jet, celui-ci peut être considéré comme
362
OUVRAGES DE DISSIPATION
Fig. 17.6 Disposition typique d’un saut de ski.
un mélange air-eau (chap. 13). Selon la trajectoire parcourue, un jet d'eau avec une faible concentration
d’air rejoint le fond (petites distances), ou des gouttes d’eau retombent à terre (longues distances). C’est
dans ce deuxième cas que la dissipation d’énergie par formation de gouttes est déjà plus ou moins
accomplie dans l’air. Il importe donc de ne prévoir qu’une protection moyenne du fond à l’endroit de
chute. Si, par contre, le jet reste encore compact, il est nécessaire de bien protéger le fond contre l’érosion.
Pour des configurations particulières en présence de roche solide, l’érosion locale peut être acceptée.
Le saut de ski dirige le jet en un endroit d’impact déterminé et il est nécesaire de bien examiner toutes
les conséquences de cet impact du point de vue de l’endommagement de la rivière et de son lit. Il y a
également lieu de tenir compte des effets éventuels sur les ouvrages annexes situés près d’un site de
barrage, lesquels pourraient souffrir de la présence de brume dans l’air. Il est recommandé de vérifier les
caractéristiques d’écoulement par des essais sur modèle réduit.
Dans ce qui suit, les aspects concernant l’érosion de la zone de chute ne sont pas considérés. Des
investigations détaillées, élaborées par Damle et al. [17.3], da Cunha [17.2], Jain et Gupta [17.5] et Handa
et Thomas [17.4] répondent aux questions les plus importantes. Les considérations ci-dessous ne traitent
que de l’évolution du jet entre le coursier et le point d’impact.
173.2 Types d’écoulement
Le saut de ski est composé d’un canal amont de pente a>0, d’une partie courbe (rayon de
courbure R) dans la coupe longitudinale et d’une zone d’impact à l’aval.
On distingue deux cas d’écoulement; le premier cas apparaît pour des débits relativement faibles
(Q < Qd/10> Qd étant le débit de dimensionnement) et se manifeste par un ressaut hydraulique dans l’auge
et un déversement à son extrémité aval. Le deuxième cas est celui bien connu du jet qui s’élance vraiment
dans l’air et dont la zone d’impact se trouve loin à l’aval. La figure 17.7 représente ces deux configura-
tions.
AUGE, SAUT DE SKI ET DÉFLECTEUR
363
Fig. 17.7 Types d’écoulement, a) auge noyée, b) auge dénoyée.
Pour le dimensionnement de l’auge, le cas a) implique de connaître le débit limite pour lequel le
ressaut hydraulique apparaît encore. Par contre, la surpression sur le radier due à la courbure des lignes
de courant est la question principale soulevée par le cas b). De plus, les aspects concernant la cavitation
doivent être examinés. En effet, des sous-pressions importantes peuvent se manifester à l’extrémité aval
de l’auge. La géométrie près du point de détachement sous l’angle 5 (fig. 17.7b) nécessite une attention
particulière.
Le paragraphe 17.3.3 traite de la détermination de la surpression le long de l’auge; le débit limite pour
l’apparition d’un ressaut hydraulique sera calculé au paragraphe 17.3.4. Finalement, le paragraphe 17.3.5
décrit l’évolution du jet dans l’air pour un saut de ski dénoyé.
17.3.3 Caractéristiques de l’écoulement sur l’auge
Soit un canal amont rectangulaire prismatique de pente a et de largeur b. La hauteur d’eau ho à
l’amont se calcule d’après une courbe de remous. A cause de la vitesse élevée Vo = q/ho, le nombre de
Froude Fo=q/(gh^)1/2> 1. L’écoulement est torrentiel et des effets d’aération superficielle peuvent se
manifester (chap. 13).
La charge à l’endroit x(z=0) = x*, où z est la coordonnée verticale, s’écrit
H» = h» + zC = h/l +	•
2gh; \	2 /
(17.1)
Pour Fo > 1 l’équation (17.1) peut être approchée par Ho/ho F J/2. L’erreur de cette approximation est
inférieure à 10% si FO>4,3, et peut être négligée si Fo> 6 (moins de 5%). Par conséquent, le changement
longitudinal de la hauteur d’eau h(x) est négügeable. La hauteur d’eau au travers de l’auge correspond
alors à la hauteur d’eau amont, h ~ ho, 1$ charge correspondante étant H ~ Ho (fig. 17.7b). Par conséquent,
les lignes de courant sont circulaires concentriques le long de l’auge, et rectilignes à l’amont de l’auge.
La répartition transversale des vitesses V = V(r) au travers de l’auge à angle d’ouverture P suit la loi
(chap. 1 et fig. 17.9a)
V • r = const.,	(17.2)
r étant le rayon de courbure d’une ligne de courant. En tenant compte de la surface libre (index s),
l’équation (17.2) s’écrit également V • r=Vs • rs = VS(R—hj où Vg = (2g(Ho—hj)1^. Le débit q = JV • dr
entre les limites r = R—hoetr = R devient alors
q = Vs(ho—R) • Infl -
I K_
(17.3)
364
OUVRAGES DE DISSIPATION
Evidemment, h0< R; pour Ç=ho/R< 1, cette relation peut être approchée par
q/(v,ho) = (1-Ç)( 1 +	+ le) 1 - k - k2 •
\ Z 5 /	Z O
(17.4)
Comparée à l’équation (17.3), l’équation (17.4) est précise à moins de 2% près si 0<Ç<0,5. Le débit q
est donc toujours plus petit pour des lignes de courant courbées vers le haut que pour des écoulements
correspondant à des lignes de courant rectilignes.
La répartition transversale de la pression p(r) se calcule d’après l’équation de Bernoulli
V2
p/(pg) = H, —— (R-r).
2g
(17.5)
La pression à la surface libre est égale à la pression atmosphérique p(r=R—ho)=0 d’où H,=
ho+Vj/(2g); en éliminant V d’après l’équation (17.2), on déduit
V2 /R — h \2
p/(pg) = Hs--A ---------ÎS) -F r — R.
2g\ r J
(17.6)
La pression au fond pf du canal se calcule en posant r=R, donc
Pf/(pg) = ho + ^[1 -(l-O2].
2g
(17.7)
Pour Ç->0, la pression au fond est hydrostatique, pf= pghj,. Par contre, pour Ç> 0, V8 peut être éliminé
par l’équation (17.4) et la surpression due aux lignes de courant courbes s’exprime par
Apf/(pg) =
q2
2gh2
' l - (1—Ç)2 H
_(1 —Ç/2—Ç2/6)2J
(17.8)
ou approximativement par
a2 r /	1 \	~|
Apf/(pg) = 2Ç 1-k (1 - O'1 •
2ghJL \ 2 J	J
(17.9)
La figure 17.8 permet de comparer les valeurs de la surpression relative AP=Apr/(pgq2/(2gh2)) obtenues
par les relations exactes [17.6] avec celles obtenues par l’équation (17.9). Pour 0 <Ç<0,8, les écarts sont
inférieurs à 10%. On constate que AP est proportionnel au carré de la vitesse d’approche Vo=q/ho et
à la courbure {^hJR. Pour Ç<0,25, l’équation (17.9) s’écrit
Apf = F2 h»
Pgho ° R
(17.10)
AUGE, SAUT DE SKI ET DÉFLECTEUR
365
Fig. 17.8 Surpression relative AP au fond de l’auge en fonction de ^=hjR, comparaison entre (----) la courbe de Lauffer [17.6] et
(•••) l’équation (17.9).
Les résultats ci-dessus ne tiennent pas compte de l’effet de gravitation sur l’écoulement. Des calculs
numériques à deux dimensions ont été effectués par Lenau et Cassidy [17.7]. La figure 17.9b) donne un
résultat typique. La définition des paramètres est donnée dans la figure 17.9a).
Fig. 17.9 a) Notation pour l’écoulement sur l’auge d’un saut de ski. b) (—) profil de surface et (-) répartition du coefficient de
pression de fond Cp=Apr/(pgHo) pour l’exemple 17.2. X=x/R; T=t/R.
b)
Exemple 17.2
L’exemple se rapporte aux valeurs HJR = 5,13, q/(R(2gHo),/2) = 1 /3. En posant R = 1 m, la charge devient
Ho=5,13m, d’où q=3,33m2s-’, 1^=0,344m et V0=9,7ms-‘. Avec 0,344/1 =0,344, la figure 17.8 amène
AP=0,88, donc Apt=O,88 • 1000 • 9,81 - 3,337(19,62 • 0,3442)=41kNm"2. Le nombre de Froude amont est
Fo=9,7/(9,81 • 0,344)1/2 = 5,3, donc Apr=5,32 • (0,344/1) -1000 • 9,81 • 0,344 = 32kNm "2 d’après l’approxima-
tion (17.10), ce qui est inferieur de 20% à la valeur exacte.
Lenau et Cassidy [17.7] calculent le coefficient de surpression Cp=Apr/(pgHo)=0,73, donc Apr=
0,73 • 1000 - 9,81 • 5,13 = 37kNm-2 au point le plus bas de l’auge. Les essais indiquent que Apr=39kNm-2.
La valeur calculée de 41kNm~2 est conforme à 5% près à l’essai.
366
OUVRAGES DE DISSIPATION
17.3.4 Saut de ski noyé
Rouvé [17.12] a montré qu’un saut de ski noyé par un ressaut hydraulique dans l’auge peut créer des
problèmes d’érosion à l’extrémité aval proche de l’ouvrage. Il importe donc de connnaître la transition
de l’écoulement noyé à l’écoulement dénoyé. '
Soit w la hauteur du déversoir créé par l’auge et hmax=h2+w la hauteur d’eau maximale dans l’auge
(fig. 17.7a). Les déversoirs à paroi inclinée et à nappe aérée ont été examinés par Castinel et al. [17.1]. Soit
Cdo le coefficient de débit d’un déversoir en mince crête verticale (0=90°) et Cd — Cd(0) le même coefficient
du déversoir aéré à angle 0 < 90°. Le rapport des deux coefficients, X = Cd/Cdo> dépend essentiellement de
5. Pour 3O<0<9O°, les essais indiquent
x = 1 + A1 - 95°)	(I711)
Pour O<0<3O°, x devient de nouveau inférieur à la valeur maximale Xmax— M4 [17.8].
En appliquant le théorème de la quantité de mouvement entre les sections «1» et «2» de la
figure 17.7a) on obtient
Etant donné que h?/2 <$ q2/(ghj ) (correspondant à 1 /2 < F2) et (h2 4- w)2/2 > q2/(gh2), une solution approxi-
mative de cette équation est
h2 =: s/îh.F, - w.	(17.13)
La charge aval correspondante par rapport à la crête du déversoir est donc
p2
H, -	- W +	J
où W=w/hP Le débit déversé par l’auge se calcule par la relation
q = Cdz>/2gH2/2, Cd = 0,42 .	(17.15)
En éliminant H2 au moyen de l’équation (17.14), on obtient une relation entre Fl et la hauteur
adimensionnelle du déversoir W = w/hj (fig. 17.10). La courbe correspondante sépare les domaines
Fig. 17.10 Limite entre les types d’écoulement noyé et dénoyé. (-) Modèle de calcul.
AUGE, SAUT DE SKI ET DÉFLECTEUR
367
d’écoulement noyé et dénoyé. Le fuseau d’incertitude provenant de Cd et x est également indiqué dans
cette figure, ainsi que des effets de géométrie de l’auge qui n’ont pas été considérés dans l’approche
simplifiée. Finalement, il faut mentionner l’importance d’hystérèse sur le type d’écoulement [17.11]. En
effet, le nombre de Froude F] doit être plus grand pour repousser le ressaut hydraulique à l’extérieur de
l’auge pour qu’il réapparaisse une fois que le jet est lancé dans l’air.
17.3.5 Trajectoire du jet
La trajectoire parcourue par un jet plan quittant un saut de ski peut être déterminée approximative-
ment en considérant un point de masse jeté en l’air sous inclinaison initiale S et à vitesse de départ Vd.
Cette hypothèse néglige la présence d’une pression interne résiduelle dans le jet. Il est facile de démontrer
qu’elle est satisfaite pour Fd> 1.
En négligeant la résistance d’air sur le jet d’eau, la trajectoire du jet devient
t = tanS • x------ .
2Vdcos2ô
La définition des coordonnées (x,t) est donnée dans la figure 17.9a).
Avec T=t/H et X = x/H, l’équation (17.16) s’exprime par
x y
2cosS/
T = tanS • X -
(17.16)
(17.17)
H=Vj/2g est la charge amont liée à la vitesse de départ Vd. La géométrie de la surface du jet a été
observée sur modèle par Marchetti [17.9], Ses résultats sont comparés dans la figure 17.11 avec les
solutions de l’équation (17.16) pour 5 = 0°.
Fig. 17.11 Trajectoire du jet libre, (—) surfaces inférieure et supérieure du jet, (-) centre du jet, (•  •) équation (17.17) pour 5 = 0.
368
OUVRAGES DE DISSIPATION
La figure 17.12 montre la répartition locale du débit par unité de surface d’après les essais de
Marchetti [17.9]. L’endroit du point d’impact calculé est aussi indiqué. On constate que le maximum de
débit se concentre bien autour du point déterminé.
Les essais décrits ci-dessus se rapportent à une charge Hd = 3m et une chute verticale t= —3m.
Comparées au prototype, ces dimensions sont faibles. En augmentant Hd, t et S, le jet se disperse
beaucoup plus dans l’espace. L’endroit d’impact calculé par l’équation (17.16) correspond donc à une
valeur maximale. Ce fait doit être considéré pour des essais sur modèles réduits.
Fig. 17.12 Répartition locale du débit, (-) courbes de débit par unité de surface identique, (- - ) endroit calculé par l'équation (17.17).
17.4 Auge de déflection
17.4.1 Description
Les deux parties essentielles d’un déversoir déversant l’eau dans une galerie sont la crête du déversoir
à l’amont et le tunnel à l’aval. Du point de vue économique, le diamètre de la galerie doit être minimal;
il importe, par contre, que l’écoulement dans la conduite soit toujours dénoyé (possibilité d’écoulement
type syphon avec des sous-pressions dangereuses). Par conséquent, les vitesses dans la galerie sont élevées
et l’écoulement est sensible à la formation d’ondes de chocs dues à des changements locaux de la géométrie
de la galerie.
Les galeries de fuite à l’aval de vannes de fond (chap. 19) constituent un deuxième type d’ouvrage de
restitution. La figure 17.13 représente les zones d’entrée et de sortie d’une telle configuration.
A cause des vitesses élevées à la sortie de telles conduites et du manque de place, un dissipateur
comme celui présenté au chapitre 16 n’est pas toujours conforme aux exigences. Une autre variante
consiste à projeter de l’eau dans l’air par une auge de déflection. Ce n’est évidemment pas l’auge qui
correspond au dissipateur d’énergie mais la dissipation est réalisée partiellement dans l’air et partielle-
AUGE, SAUT DE SKI ET DÉFLECTEUR
369
Fig. 17.13 Zones amont et aval d’une vidange de fond.
ment à la zone d'impact. Les indications suivantes permettent d'effectuer un dimensionnement prélimi-
naire de ce type d'auge. Il est recommandé de faire toujours des essais sur modèles réduits pour examiner
l'écoulement dans une disposition particulière.
17.4.2 Dimensionnement
Le profil de la conduite amont de l’auge de déflection est normalement circulaire; par contre l'auge
de déflection elle-même devrait avoir un profil presque rectangulaire. Il importe de trouver une transition
entre les deux profils qui soit compatible avec un écoulement à haute vitesse (sous-pressions acceptables
autour de la transition). De plus, le drainage du canal amont doit être exempt de perturbations sur
l’écoulement à débit élevé. Une auge de déflection idéale doit satisfaire les exigences suivantes:
-	drainage simple du tunnel,
-	forme simple de l’auge,
-	pas de nécessité pour une transition de profils,
-	une surface d’impact du jet qui résulte d’une modélisation appropriée de l’auge de déflection.
Les indications ci-dessous se rapportent à une géométrie de l'auge de déflection comme celle proposée
par [17.10].
Fig. 17.14 Géométrie de l’auge de déflection, a) auge de transition, b) auge de tube; plans (en haut), coupes longitudinales (centre) et
coupes transversales (en bas).
370
OUVRAGES DE DISSIPATION
L’auge de déflection doit être située plus haut que le niveau maximal du plan d’eau aval. L’axe de
l’auge de déflection est un prolongement du canal amont. La direction longitudinale de l’ouvrage est telle
que l’écoulement est guidé vers le centre du cours d’eau aval.
La figure 17.14 représente deux types d’augç de déflection: l’auge de transition et le tube. L’angle de
divergence © de l’auge de transition est représenté dans la figure 17.15 en fonction de S, et F, — V1/(gh1 )1/2.
Fig. 17.15 Angle de divergence co en fonction de et F, pour a) l’auge de transition, b) l’auge de déflection plane, c) abaissement relatif
du plan d’eau aval [17.10].
Le jet qui frappe la surface d’eau aval peut être comparé à un éjecteur. Il provoque un abaissement
du plan d’eau à l’amont de la zone d’impact du jet. Il en résulte que des turbines, situées dans cette zone,
peuvent se trouver sans contre-pression aval suffisante. L’abaissement du plan d’eau aval Ah par rapport
à la hauteur d’eau aval hu décroît avec le rapport des sections aval et la section de l’auge de déflection,
Au/Ad. La figure 17.15c) montre l’abaissement relatif A = Ah/hu en fonction du rapport des sections
4> =AU/Ad.
La trajectoire du jet se calcule selon 17.3. Plus l’angle de départ est raide, plus le jet est diffusé par
la résistance de l’air. Par contre, l’angle d’impact devient également plus raide et le jet creuse plus
profondément le fit de la rivière. Si Sj est faible, la composante horizontale du jet frappant le plan d’eau
aval reste grande et l’érosion se produit le long des côtés du cours d’eau aval.
Le dimensionnement de (fig. 17.15) tient compte de ces deux effets opposés. Normalement, on
choisira 6| entre 15° et 35°. Concernant la trajectoire du jet, les indications données sous 17.3 peuvent
être utilisées. La comparaison des résultats calculés et obtenus sur modèle réduit avec les mesures sur
prototype indiquent que la trajectoire effective est de 10 à 20% plus courte [17.10].
Références
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Le Génie Civil, Vol. 147, 1970, 4, 214—218.
[17.2]	Cunha, da, L.V., La dissipation de l’énergie dans un évacuateur en saut de ski, observation de l’érosion,
XI' Congrès AIHR, 1.22, Leningrad, 1965.
[17.3]	Damle, P.M., Venkatraman, C.P., Desai, S.C., «Evaluation of scour below ski-jump buckets of spill-
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Symposium, Vol. 1, 154—163, Poona, 1966.
[17.4]	Handa, C.L., Thomas, K.C., «Performance of ski-jump energy dissipators»; Model and Prototype Confor-
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AUGE, SAUT DE SKI ET DÉFLECTEUR
371
[17.6]	Lauffer, H., «Strômung in Kanâlen mit gekrümmter Sohle», Wasserkraft und Wasserwirtschaft, Vol. 31,
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Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie, VAW, ETH Zürich, Mittl. 73, ed. D. Vischer, Zürich, 1984.
Notations
L’indice «s» caractérise des quantités à la surface de l’écoulement. Les indices «o» et «1» indiquent des conditions
d’approche et des conditions à l’amont du ressaut hydraulique. L’index «d» se réfère au départ d’un saut de ski.
A	[m2]	section mouillée	V	[ms-1]	vitesse
b	[m]	largeur du canal	V,	[ms-1]	vitesse de surface
cd	[-]	coefficient de débit	w	[m]	hauteur de l’auge
CP	[-1	coefficient de surpression	W	[-]	hauteur relative de l’auge
F	[-]	nombre de Froude	x	[m]	coordonnée longitudinale
g	[ms-2]	accélération gravitationnelle	X	[-]	coordonnée longitudinale adimen-
h	[m]	hauteur d’eau			sionnelle
H	[m]	charge	y	[m]	coordonnée transversale
P	[Nm-2]	pression	Y	[-]	rapport des hauteurs conjuguées
Pt	[Nm-2]	pression au fond	z	[m]	coordonnée verticale
AP	[-]	surpression relative	a	[-]	pente du coursier
q	[m2s ’]	débit par imité de largeur	P	(-]	angle d’ouverture de l’auge
Q	[m3s ’]	débit	5	[-]	angle de départ du jet
Qd	[mV]	débit de dimensionnement	P	[kgm 3]	masse volumique
r	[m]	coordonnée radiale	;	[-]	hauteur d’eau relative
R	[m]	rayon de courbure	X	[-]	coefficient de correction
t	[m]	hauteur d’eau aval	A	[-]	abaissement relatif du plan d’eau
t	[m]	coordonnée verticale de Ja trajec-	4>	[-]	rapport de sections mouillées
		toire du jet	0	(-]	angle d’inclinaison d’un déversoir
T	[-]	coordonnée verticale adimension-	œ	[-]	angle de divergence
nelle
18. Prise d’eau
Ecoulement vers une prise à axe vertical a) écoulement presque radial, b) écoulement à composante tangentieUe considérable
(VAW 23476, 23478).
V. OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
On distingue les prises d’eau à faible profondeur et celles à grande
profondeur. Les premières se trouvent typiquement dans des canaux ou
des bassins de rétention à faible hauteur d’eau par rapport à la crête de
la prise. La submersion de telles prises est souvent insuffisante; par
conséquent, il existe un danger potentiel de formation de vortex de surface
dans tous ces ouvrages. Dans la première partie du chapitre 18, une
classification de vortex est présentée. Ensuite, le vortex axisymétrique en
tant qu’abstraction d’une prise à axe vertical sera analysé. L’attention
sera portée sur des modèles de calculs simples qui permettent de définir
la répartition des vitesses, le coefficient de débit et la submersion néces-
saire pour éviter des vortex intenses. Par la suite, ce dernier problème sera
analysé pour des prises d’eau à axe incliné. Etant donné que la submer-
sion minimale ne peut souvent pas être réalisée, diverses précautions
constructives seront présentées grâce auxquelles la formation de vortex
intenses peut être supprimée.
La deuxième partie du chapitre 18 traite les prises d’eau à grande
profondeur, que l’on rencontre couramment dans les prises proprement
dites et les entrées des vidanges de fond. La géométrie de la transition du
réservoir dans la conduite de prise revêt un intérêt particulier.
On obtient ainsi une relation avec le chapitre 19 dans lequel seule la
partie aval de la chambre des vannes de fond sera considérée. L’accent est
mis sur la discussion de l’influence des niches et de l’arête inférieure de
la vanne sur l’écoulement aval. De plus, diverses formules sont présentées
pour la détermination du débit d’air nécessaire à l’aération des nappes
supérieure et inférieure du jet sortant de la vanne. Un aérateur de fond
peut fortement réduire le danger de l’érosion de cavitation.
376
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
18.1	Introduction
Les ouvrages de prise dans des réservoirs, des bassins de compensation ou des canaux devraient être
conçus de manière à provoquer le minimum de perturbations dans la conduite d’amenée. Généralement,
on peut distinguer les prises d’eau à grande profondeur des prises d’eau à faible profondeur. Les prises
sur des cours d’eau à lit mobile sont exclues.
Les prises à grandes profondeurs sont typiquement disposées dans des réservoirs de hauteur considé-
rable qui servent par exemple de bassin d’accumulation pour la production d’énergie hydro-électrique.
Les exigences hydrauliques pour une telle prise sont les suivantes:
-	écoulement sans apparition de cavitation,
-	pertes de charge minimales, et
-	absence de formation de zones de séparation qui pourraient conduire à des vibrations.
Par conséquent, il s’agit donc de trouver la géométrie adéquate pour l’entrée.
Les prises à faible profondeur devraient être les plus proches possible de la surface libre pour que la
construction soit économique. Cependant, la submersion minimale est dictée par la condition que la
formation de vortex soit limitée le plus possible.
Des écoulements tourbillonnants («swirling flow») provoqués par les ouvrages de prise tendent à la
formation de vortex. Ces derniers peuvent être définis comme structure cohérente d’un fluide rotationnel
caractérisée par une surface creuse. Par contre, le terme de tourbillon s’applique à tout mouvement de
fluide rotationnel et inclut donc les vortex. Ils peuvent donner naissance à des phénomènes complexes
dus à l’entraînement d’air, à la formation de vibrations et à la propagation de mouvement rotationnel
de la surface libre vers l’écoulement en charge.
Un ouvrage de prise permet à l’eau d’entrer dans le système d’amenée. Celui-ci est constitué d’une
entrée, suivie d’une conduite d’amenée. Vu que l’approche théorique se prête bien aux prises à axe
vertical, celles-ci recevront une attention particulière. Les prises à axe incliné, comme souvent rencontrées
dans la pratique, sont considérées par la suite.
Les exigences hydrauliques requises pour une prise d’eau sont les suivantes:
-	écoulement sans formation de vortex,
-	pas d’entraînement d’air dans le cas où un vortex ne peut être évité,
-	formation de mouvement rotationnel limitée.
Par la suite, des consignes concernant le dimensionnement de tels ouvrages seront présentées. Un traité
plus complet a été récemment présenté sur ce sujet par Knauss [18.14].
18.2	Classification des vortex
Il y a quatre possibilités de classifier les vortex, notamment:
-	la position du vortex relativement à l’ouvrage de prise,
-	les caractéristiques de l’écoulement dues au vortex,
-	la dépendance temporelle de son intensité,
-	la forme géométrique du vortex.
En ce qui concerne la position du vortex, on peut distinguer (fig. 18.1):
© le vortex de surface dans des prises bien submergées qui crée un écoulement tourbillonnant et,
éventuellement, un entraînement d’air,
© le vortex de sous-surface qui naît près du fond ou près des parois.
PRISE D’EAU
377
Fig. 18.1 Position du vortex relative à l’ouvrage de prise, (T) vortex de surface, (2) vortex de sous*surface.
En ce qui concerne la géométrie du vortex et son développement relatif à la prise, la figure 18.2
représente quelques types stables que l’on rencontre souvent dans des ouvrages à axe de prise vertical et
à sens d’écoulement descendant.
Fig. 18.2 Divers types de vortex de surface stables pour prises à axe vertical, a) vortex faible, b) vortex à submersion critique, c) vortex
fort avec entraînement d’air.
La définition des intensités des vortex de surface, représentées dans la figure 18.3, fait actuellement
encore l’objet de discussions. En particulier, il est important d’apprécier si un vortex de surface est plus
fort et persistant sur un prototype que sur un modèle réduit. Selon Hecker [18.11], la réponse peut être
Fig. 18.3 Classification de l’intensité des vortex de surface [18.11], Q Tourbillon de surface non cohérent, (2) fossette de surface,
tourbillon de surface cohérent, (3) noyau vers la prise, tourbillon cohérent le long de la colonne d’eau entière, Q vortex qui entraîne
des corps flottants mais pas d’air, (?) vortex qui entraîne des bulles d’air vers la prise, © noyau d’air continu vers la prise.
378
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
obtenue au moyen de la visualisation et de l’observation de caractéristiques typiques de tels vortex,
comme par exemple l’intensité de l’écoulement tourbillonnant. La figure 18.3 peut aider à apprécier
l’intensité d’un vortex de surface.
Parmi les diverses circonstances favorisant la formation de vortex, l’excentricité de l’écoulement
amont relative à la prise constitue la cause principale. Selon Durgin et Hecker [18.9] les trois causes
fondamentales de vorticité sont (fig. 18.4):
b)	c)
Fig. 18.4 Origines des vortex, voir détails dans le texte.
a)	la répartition des vitesses d’approche asymétrique due à l’orientation géométrique de l’ouvrage
(fig. 18.4a),
b)	la présence de couches d’écoulement secondaire à haut gradient de vitesse (fig. 18.4b), et
c) des ondes rotationnelles générées par des objets perturbant l’écoulement d’approche (fig. 18.4c).
La figure 18.5 représente quelques exemples de prises conduisant à la formation de vortex. Les
figures 18.5a), c) et e) représentent des cas où l’ouvrage de prise est asymétrique par rapport à l’axe du
canal d’approche. Dans les figures 18.5b), d) et f), la vorticité de l’écoulement est imposée par un
changement de direction principale immédiatement à l’amont de l’ouvrage de prise.
Fig. 183 Formation de vortex due à l’écoulement d’approche asymétrique (18.8].
PRISE D’EAU
379
18.3 Prise verticale
18.3.1 Equations de base
Les équations qui gouvernent l’écoulement rotationnel se composent des équations de Navier-Stokes
et de l’équation de continuité tridimensionnelle (chap. 1). Pour un écoulement stationnaire axi-symétri-
que d’un fluide incompressible, ces équations s’écrivent en coordonnées cylindriques [18.6]
9V.
-|(rV,) + ^ = 0
r or 9z
9r
9z
8V	ÔV,	Ni	1 Sp	/82Vr	1 0Vr	V,	82VA
vrT" + V'T---------=-------+ vt TT *--------T----Tï + "TT ) •
or	oz	r	p or	\ 8r	r or	r	8z /
„8Ve , „av, , VeVr ,/82Ve , 1 8Ve ve , a2^
r 9r z 9z r \ dr2 r 9r r2 dz2 /
w 9VZ 9VZ 1 dp /92Vz	1 9VZ 92VZ\
r 9r z 9z p 9z \ 9e2 r 9r 9z2 /
(18-1)
(18-2)
(18.3)
(18.4)
où Ve, Vz, Vr sont les composantes tangentielle, axiale et radiale du vecteur vitesse, z et r sont les
coordonnées axiale et radiale, g est l’accélération gravitationnelle, p la masse volumique, p la pression
et v la viscosité. Pour un écoulement laminaire v correspond à la viscosité cinématique; dans un
écoulement turbulent, par contre, v s’exprime par la somme des viscosités cinématique et dynamique.
Cependant, ce système d’équations est tellement complexe qu’il n’a été résolu que pour des cas particu-
liers et en admettant des hypothèses supplémentaires.
L’approche actuelle se base donc sur des modèles de calculs fortement simplifiés d’une part et sur des
observations sur modèles réduits d’autre part. Par conséquent, il est indispensable de connaître les lois
de similitudes (Annexe IV) pour transmettre les résultats aux prototypes. Quant aux modèles analytiques,
on peut citer
-	le vortex irrotationnel ou le vortex libre pour lequel la circulation T reste constante,
-	le vortex rotationnel ou le vortex forcé pour lequel la rotation est identique à celle d’un corps rigide,
et
-	le vortex de Rankine, c’est-à-dire une formation combinée du vortex forcé à l’intérieur et du vortex
libre à l’extérieur du domaine considéré (fig. 18.6).
Fig. 18.6 Vortex de Rankine, profil de surface (en haut) et répartition de la vitesse tangentielle V9(r) (en bas).
380
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Par définition, dans un écoulement irrotationnel les éléments constitutifs ne sont pas en rotation. Par
conséquent, tous les éléments sont caractérisés par une vitesse angulaire nulle. La circulation T d’un
écoulement est définie comme l’intégrale du vecteur vitesse prise le long d’un contour fermé. Si la
circulation
r = 2rcrVe
(18.5)
reste constante, l’écoulement est irrotationnel.
18.3.2 Répartition des vitesses
Le vortex de Rankine est un tourbillon qui se prête bien à la description. Dans la zone centrale, le
fluide effectue une rotation comme un fluide extrêmement visqueux. A l’extérieur, par contre, un vortex
libre apparaît. Entre ces deux zones, il existe une discontinuité quant à la répartition de vitesse et du profil
de surface. Selon Rankine, cette discontinuité se trouve en ro=D/2, où D est le diamètre de la prise
verticale (fig. 18.6). On peut donc poser pour la répartition tangentielle de la vitesse
Ve = cor, 0 r ro
V8 = C/r, r > ro
(18.6)
(18.7)
où œ est la vitesse angulaire en radian par seconde et C = T/2n la constante de circulation. Les équations
(18.6) et (18.7) impliquent que r0 = (C/©)1/2. L’effet de la viscosité sur les caractéristiques d’écoulement
n’est pas considéré dans le vortex de Rankine. Les indications suivantes se rapportent aux vortex à
écoulement laminaire.
Selon Anwar [18.2] la vitesse maximale tangentielle
Ve>MI = V2gHf/3,45
apparaît en r=ro où Hf est la profondeur de la fossette (fig. 18.6).
Cependant, Odgaard [18.18] trouve
(18.8)
(18.9)
pour la répartition V0(r) avec œ= 1,93(g/Hf)1/2. On constate que l’on obtient l’équation (18.6) pour r-*0
et l’équation (18.7) pour r-*oo. De plus, on déduit rj = 2,5v/œ d’où
V, max = 0,00516F2 —.
V
(18.10)
On appelle submersion critique Hs = Vj max/2g la charge correspondant à la hauteur de vitesse
tangentielle maximale. Odgaard a montré qu’il existe une bonne concordance entre sa théorie et les
observations. L’effet de la viscosité sur le vortex devient négligeable si
g
< 1,26 10-18
(18.11)
PRISE D’EAU
381
où
0,15
cf = ^Ü2	(18.12)
est le coefficient de traînée de cisaillement («shear drag coefficient») et RH=V0maxH/v Ie nombre de
Reynolds relatif à la vitesse tangentielle maximale.
Selon Odgaard [18.18], la répartition de la vitesse radiale est
Vr = - ©r = -l,93>/g/Hr	(18.13)
tandis que la vitesse axiale se calcule par la relation
V2 = 2<bz = 3,86Vg/H • z.	(18.14)
Selon des mesures effectuées par Daggett et Keulegan [18.7] Ve est indépendant de z à l’exception de
la couche située près du fond. Par contre Vr augmente considérablement de la surface libre au fond.
D’autres approches théoriques ont été présentées par Anwar [18.1, 18.3].
18.3.3 Coefficient de débit
L’effet de la vorticité sur le débit a été étudié par divers expérimentateurs. On considère la relation
entre le débit Q et la charge amont H
Q = C&tfmJîgÎL	(18.15)
où D est le diamètre de la prise (fig. 18.6) et Cd le coefficient de débit.
Stevens et Kolf [18.21] trouvent que le coefficient de débit Cd dépend uniquement du nombre de vortex
(«Kolf vortex number»)
K=d^-	(1816)
Ce nombre peut également être interprété comme le rapport de la vitesse tangentielle maximale
Vfl =V0(r=D/2) à la vitesse maximale à l’entrée de la prise V,^ = V2gH. Les résultats expérimentaux
peuvent être écrits comme suit
Cd = 0,6 — 0,138 K2 , os; K <0,8;
Cd = 0,686 — 0,218 K, 0,8 < K < z .	u '
Les équations (18.17) permettent de constater que Cd est pratiquement égal à la valeur maximale Cd = 0,6
(entrée à l’arête vive) si K <0,4. Cependant, la réduction de débit peut devenir importante si K> 1.
La difficulté de l’application des équations (18.17) réside dans l’estimation de la circulation T. La
proposition suivante formulée par Stevens et Kolf [18.21] peut être recommandée. Soit h* =h(r—D) la
hauteur du profil de surface à l’endroit où r=D (fig. 18.6). La vitesse de surface correspondante s’élevant
à V*(r=D)=(2g(H—h*))1/2, on trouve
K = 2ic((H—h*)/H)1/2 .	(18.18)
Etant donné que Cd(K=ît)=0 selon l’équation (18.17)2 la valeur maximale de (H—h*)/H devient
égale à 1/4. La figure 18.7 représente les relations qui existent entre h*/H et K, et entre K et Cd. Pour
connaître le coefficient de débit, il faut donc connaître, par exemple par des observations sur modèle
réduit, la charge H et la hauteur d’eau h*.
382
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Une littérature importante traite des effets d'échelle sur la formation des vortex du point de vue de
la comparaison des modèles réduits et' des prototypes. McCorquodale [18.16] trouve que ces effets sont
plus grands pour des vortex intenses que pour des vortex faibles. De plus, il recommande que le
diamètre D d’une prise verticale soit supérieur de 5 à 10 cm sur le modèle pour que la reproduction de
la vorticité soit similaire.
Zielinski et Villemonte [18.24] peuvent justifier les équations (18.17) si le nombre de Reynolds
R=VD/v relatif à la vitesse dans la conduite V = 4Q/(nD2) reste supérieur à 104. Pour R < 104, il y a lieu
de considérer l’effet de la viscosité sur le coefficient de débit.
Daggett et Keulegan [18.7] analysent le vortex provoqué par une entrée arrondie. Ils constatent que,
dans le domaine de leurs essais, l’écoulement était influencé par la viscosité et la circulation initiale.
Cependant, ils n’ont pas observé de modifications de l’écoulement du fait de la tension superficielle. Les
résultats qu’ils obtiennent pour Cd sont comparables à ceux de Zielinski et Villemonte [18.24], à
l’exception de la valeur de base Cdo=Cd(K=0), qui est évidemment plus grande pour une entrée arrondie
(chap. 2).
En se basant sur les équations (18.2) à (18.4), Hecker [18.11] démontre qu’il faut tenir compte en
général des paramètres adimensionnels suivants (fig. 18.6)
-	H/D, submersion relative de la prise,
-	rD/Q, circulation relative de l’écoulement d’approche,
-	nombre de Froude d’approche, avec VO=2Q/(DH),
-	Q/(vH), nombre de Reynolds d’approche,
-	pDVj/o, nombre de Weber d’approche.
183.4 Submersion critique
Selon Jain et al. [18.12] la submersion critique sc d’une prise d’eau correspond à la hauteur de
submersion s pour laquelle des vortex forts n’apparaissent pas. Si la submersion s est supérieure à sc, la
prise fonctionne bien; cependant des ennuis peuvent se présenter, comme par exemple l’entraînement de
corps flottants ou d’air dans la prise qui peuvent se produire si s<sc.
Jain et al. [18.12] ont effectué une étude qui considère la submersion critique observée sur des modèles
réduits d’une part et la transformation des résultats obtenus sur des prototypes d’autre part. La
figure 18.8 représente le modèle expérimental qu’ils ont utilisé dans des conditions d’écoulement critique.
D s’agit d’un bassin cylindrique dont le diamètre est D. Le diamètre de la prise verticale est D, l’entrée
PRISE D’EAU
383
Fig. 18.8 Submersion critique schématisée, a) coupe transversale, b) plan.
de cette conduite étant arrondie à D/2. Le rapport D/D a varié entre 0,015 et 0,040. Des guideaux, placés
autour de la prise, permettaient des angles d’approche 0<q^60° par rapport à la direction radiale.
T étant la circulation à l’endroit r=D/2, générée par les guideaux, V=4Q/(tcD2) la vitesse moyenne
dans la prise, p la masse volumique et o la tension superficielle, la submersion critique relative dépend
des grandeurs suivantes [18.12]
, _ sc _ Jg1/2D3/2 Tsc V PV2D1
c	D L v ’ Q ’ ^d’ o J'
(18.19)
Ces paramètres peuvent être identifiés respectivement par l’effet de la viscosité, de la circulation, de
la gravité et de la tension superficielle sur Sc. Il a été démontré que le dernier effet disparaît si
1,2- 102< pV2D/o < 3,4 • 104.
Hebaus, dans la discussion du travail de Jain et al. [18.12], relie Sc explicitement à Nr = FD/Q,
F = V/(gD)1/2 et R=VD/v. Avec Nv = g1/2D3/2/v, on obtient alors les résultats suivants
et
Sç = 0,060R0,53Np72F0,33 si Nv 5 • 104
Sc = 19,49Nj?72^’86	si Nv > 5 • 104 .
(18.20)
Pour Nv> 5 • 104, les effets de la viscosité sur la submersion critique sont négligeables. Considérons
par exemple v= 1,15 • 10 6m2s cette condition entraîne pour le diamètre D > 0,07m. De plus, pour un
modèle géométriquement semblable, il existe la relation
(rsc/Q)m = (rsc/Q)p,
(18.21)
où les indices «m» et «p» se rapportent au modèle et au prototype.
Exemple 18.1
Soit un modèle réduit à l’échelle 1:16, selon la loi de similitude de Froude, F = 0,75. Le nombre de
Reynolds dans le prototype s’élève à Rp=106, mais celui du modèle n’est que Kn=l ,56 • 10*. De plus, on
obtient pour (Nv)p = (R/F)p= 1,33 • 106> 5 • 10*. Les effets visqueux disparaissent alors sur le prototype.
Cependant, la grandeur (Nv)m du modèle devient 2,08 • 10* <5 • 10*. Dans ce cas on trouve alors
Sçp =	19,49(Nflr-72 • F°,a6)p
SOT " 0,06O(Ro,5î • N°r-72 - F-W)œ ’
(18.22)
384
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
A cause des relations Nrp=(Fsc/Q)p • S’1 et Nrm = (Fsc/Q)m • selon l’équation (18.21), l’équation (18.22)
s’écrit également
r~ -10,72
Sg, = 19,49	0,75°»S3
0,06 [Sq, J (1,56 - 104)0-53 ’
(18.23)
d’où Sq/Scn, = 1,35. La submersion critique du prototype Sq, sera donc de 35% supérieure à celle observée sur
modèle réduit.
18.4	Prise horizontale
Comparé au vortex axisymétrique qui peut être considéré comme une abstraction d’un vortex dû à
une prise verticale, le vortex auprès d’une prise non verticale est gouverné par des effets spaciaux. Pour
décrire de tels phénomènes, il faudrait donc tenir compte des équations complètes de Navier-Stokes. Les
difficultés qui ressortent d’un traitement numérique, particulièrement dans le cas d’un écoulement
turbulent, sont telles que la plupart des indications sur les vortex dues à des prises horizontales sont
basées sur des essais expérimentaux.
La détermination de la hauteur de submersion critique, c’est-à-dire la différence du plan d’eau
minimal et la hauteur de prise pour qu’un vortex intense n’apparaisse pas, fait l’objet d’un intérêt
particulier. Par la suite, quelques indications à ce sujet seront données. De plus, il est utile de connaître
des précautions constructives qui doivent être prises pour éviter la formation de vortex intenses dus à une
prise horizontale.
Considérons une prise horizontale, selon la figure 18.9, de diamètre hydraulique Dh=D pour une
conduite circulaire et Dh = 4Rh = 2(tb)/(t+b) pour un canal rectangulaire de hauteur t et de largeur b.
fig. 18.9 Prise horizontale schématisée.
Selon [18.10], [18.19] la hauteur de submersion ht nécessaire pour éviter l’entraînement d’air doit satisfaire
la relation
hJD > V/(gD),/2 .	(18.24)
Cette relation permet d’obtenir une estimation grossière de ht, une fois que la vitesse moyenne V dans
la conduite est connue.
Si l’on ne tient pas compte des effets de la tension superficielle et du nombre de Reynolds, hj/D ne
dépend que du nombre de Froude relatif à l’écoulement dans la conduite Fp=V/>/gDh et de la caractéris-
tique de circulation T/v. Des résultats relatifs à un ouvrage réel sont présentés par Bretschneider [18.5].
Cependant, il n’est souvent pas possible de couvrir une prise par une hauteur d’eau aussi importante que
celle indiquée par l’équation (18.24).
Selon Knauss [18.14], qui inclut les observations les plus récentes, il existe une relation bien définie
entre la submersion critique relative hJD et Fp=V/(gD)1/2, appelée nombre de Froude de la prise. Cette
PRISE D’EAU
385
dernière notation tient uniquement compte du rapport d’une vitesse et d’une vitesse de référence, mais
n’est pas comparable à un indice de l’écoulement comme celui qui a été introduit auparavant.
Soit une prise d'eau à axe incliné selon la figure 18.10. V étant la vitesse moyenne dans la conduite
de prise, D le diamètre et ht la hauteur de submersion, les vortex intenses ne s’établissent pas si l’on se
trouve au-dessus de la zone hachurée, c’est-à-dire si
ht/D > 1 + 2,3Fp.
(18.25)
Fig. 18.10 Prise à axe incliné, a) définition de la géométrie, b) submersion critique (hachurée) en fonction de Fp.
Dans la zone hachurée, on se trouve dans le domaine critique d’apparition de vortex intenses. Une
fois
h,/D<l,	0 « Fp < 1/4;
Kt/D<|+2F„, Fp > 1/4,
(18.26)
la prise d’eau est trop proche de la surface d’eau. Il faut donc veiller à ce que la submersion soit suffisante
pour n’importe quelle combinaison du débit Q et de la hauteur de la surface libre correspondante.
Denny et Young [18.8] proposent quelques mesures constructives pour éviter la formation de vortex
dus à la prise (fig. 18.11). Ils distinguent les précautions qui ont pour but
-	d’empêcher la rotation libre de l’eau dans le voisinage de la prise, et
-	de détourner la queue du vortex loin de la prise.
D’autres mesures réalisées sur des prototypes sont exposées par Berge [18.4]. Cependant, tous ces
moyens ne touchent pas à l’origine propre du phénomène et un faible effet peut donc persister dans des
circonstances particulières.
Knauss [18.13] propose les mesures suivantes contre les vortex qui aspirent de l’air dans la prise:
- la géométrie du bassin amont, particulièrement l’axe de l’écoulement et la position de la prise
relative à la direction d’approche, doit être choisie de telle façon que la circulation T qui apparaît
soit négligeable. S’il existe uqe excentricité entre l’entrée et la sortie, elle devrait être la plus petite
possible;
-	si une circulation T > 0 peut se former à l’amont de la prise, il faut veiller à ce que la hauteur de
submersion critique soit respectée, la section de la prise soit suffisamment grande, ou que la prise
se trouve à proximité de la paroi du bassin. Quant à l’inclinaison de la conduite de la prise, une
pente positive (Js~0,5 à 1) est préférable à un axe horizontal ou vertical. Par des dispositions
constructives ultérieures, la hauteur de submersion peut être réduite.
386
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Fig. 18.11 Précautions constructives pour empêcher rentraînement d’air à l’aide de parois et de grilles flottantes [18.8].
18.5	Prise à grande profondeur
18.5.1 Géométrie du jet plan
La charge auprès de l’entrée d’une prise d’eau peut se situer facilement au-dessus de H = 100m. Si la
géométrie d’une telle entrée de prise n’est pas suffisamment arrondie, la pression locale à la section
contractée atteint la pression de vapeur et le phénomène de cavitation s’établit (chap. 14). Un soin
particulier doit donc être apporté lors de l’exécution de cette partie d’une prise à grande profondeur.
Comparativement à la géométrie d’un déversoir standard (chap. 6), la géométrie de l’entrée d’une
prise à grande profondeur peut être modélisée à partir de la forme d’un jet dans l’air dû à une sortie en
mince paroi. La figure 18.12a) représente le jet résultant d’un orifice très large et b) l’entrée correspon-
dante. L’axe de ce jet est vertical, la géométrie du jet est donc axisy métrique. La pression sur la paroi à
l’entrée est égale à la pression atmosphérique; par conséquent, il n’existe ni sous-pressions, ni zones de
séparation. Le dimensionnement de l’entrée de la prise tient donc compte du débit de dimensionnement
Qo=Qmax- Cependant, pour une géométrie de l’entrée donnée, un phénomène analogue à celui qui
apparaît dans un déversoir standard s’établit pour tous les débits Q#QD (chap. 6). Pour Q<QD, la
pression sur la paroi devient supérieure à la pression atmosphérique, tandis que des zones de sous-pres-
sion apparaissent pour Q > QD. De plus, une perte de charge locale, comme dans le cas discuté sous 2.3.5,
apparaît. Finalement, si des grilles d'entrée sont prévues, des vibrations sont à craindre. La géométrie de
l’entrée doit donc garantir, pour tous les débits concernés, notamment pour le débit maximal, soit une
PRISE D’EAU
387
a)
Fig. 18.12 Jet plan à axe vertical, a) orifice à mince paroi, b) entrée à géométrie correspondante.
pression sur la paroi partout supérieure à la pression atmosphérique, soit seulement des sous-pressions
faibles par rapport à la pression atmosphérique.
Pour les jets axisymétriques à axes verticaux et de dimension suffisamment grande, seul l’effet du
nombre d’Euler (Annexe IV) doit être considéré. En d’autres termes, un tel jet s’établit également sous
une force de pression au lieu de la force gravitationnelle, comme cela a été démontré par Kirchhoff en
1883 et plus en détails par Von Mises [18.23]. Plus tard, Rouse et Abul-Fetouh [18.20] ont analysé des
jets dus à un orifice circulaire et un orifice plan (fente). Ils trouvent que la concordance entre l’essai et
l’approche théorique, basée sur l’écoulement irrotationnel, est presque parfaite. Le débit de la configura-
tion étudiée (fig. 18.13a) peut être calculé par
Q = CdA\/2gh	(18.27)
où Cd est le coefficient de débit, A la section de l’orifice, d est soit la hauteur de la fente, soit le diamètre
de l’orifice circulaire et h est la hauteur de pression dans le canal d’approche de hauteur D. De nouveau,
D correspond à la hauteur du canal rectangulaire ou au diamètre de la conduite.
Fig. 18.13 a) Définition delp géométrie, b) coefficient de débit Cd en fonction de d/D.
Le coefficient de contraction Cc dépend uniquement du rapport d/D. Pour d/D->0, la valeur limite
Cco = x/(tc 4- 2)=0,611 est atteinte; pour l’autre valeur limite, d/D = 1, Cc devient égal à l’unité (chap. 8).
Les valeurs de la fonction Cc[d/D] sont présentées dans le tableau 18.1. Elles se calculent au moyen de
l’équation implicite
1
- ----------Cc(d/D)
n|_Cc(d/D)
• arctg(cc^ •
(18.28)
388
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Tableau 18.1 Coefficient de contraction Cc et coefficient de débit Cd en fonction de d/D selon [18.23].
d/D	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
Cc	0,611	0,612	0,616	0,622	0,633	0,644	0,662	0,687	0,722	0,781	1
Cd	0,611	0,613	0,621	0,633	0,654	0,680	0,721	0,784	0,884	1,098	oo
Une fois Cc déterminé, le coefficient de débit Cd se calcule au moyen de l'expression
________ c_________
[1 - (Ccd/D)2],/2 ’
(18.29)
Cd en fonction de d/D est également donné dans le tableau 18.1 et présenté dans la figure 18.13b).
Les profils du jet sortant de l’orifice ont été calculés par Rouse et Abul-Fetouh [ 18.20]. La figure 18.14
montre y/(d/2) en fonction de x/(d/2) pour diverses valeurs de l’ouverture relative d/D. On constate que
la contraction du jet est pratiquement achevée si x/(d/2)>2. Des résultats comparables ont été trouvés
pour les jets d’eau s’écoulant sous des vannes (chap. 8).
Rouse et Abul-Fetouh [18.20] présentent également la répartition de pression et la répartition de
vitesse le long de l’axe et sur le contour de l’ouverture.
orifice horizontal, qui provoque un jet à axe vertical, est beaucoup plus simple à décrire que le même
orifice placé dans un plan vertical. Le jet sortant d’un orifice vertical dépend en effet non seulement du
nombre d'Euler, mais également du nombre de Froude. De plus, pour de petits orifices surtout, il faut tenir
compte de la tension superficielle, c’est-à-dire du nombre de Weber (Annexe IV). La surface d’un tel jet
est caractérisée par de fortes variations transversales et ne peut être décrite de façon simple [18.15, 18.17].
Cependant, près de l’orifice, l’effet de la pesanteur est encore modeste par rapport à celui de la
pression. Etant donné que la contraction d’un jet est pratiquement réalisée en x/(d/2) = 2, la géométrie
du jet dans ce domaine peut encore être approchée par une surface plane (fente) ou par une surface
axisymétrique (orifice circulaire). Par la suite quelques propositions à ce sujet seront présentées.
PRISE D’EAU
389
18.5.2 Géométrie de Feutrée d’une prise
Le but recherché par une entrée de prise profonde convenablement réalisée est
-	d’essayer de rendre la pression en tous points positive,
-	l’absence de zones de cavitation,
-	une variation de la pression continue et donc une perte de charge faible,
-	une faible dimension pour l’installation de batardeaux.
L’entrée d’une prise est normalement réalisée par un tronçon à section rectangulaire, dont la
hauteur t et la largeur b diminuent dans le sens de l’écoulement. Les courbes de transition sont des ellipses
qui se raccordent verticalement à l’entrée et horizontalement à la conduite. La figure 18.15 représente un
exemple typique d’une telle prise.
Fig. 18.15 Entrée de prise rectangulaire schématisée, 0 face amont du pilier d'entrée, Q batardeau, 0 courbe de transition, 0 niche
de vanne, 0 conduite de prise.
Si la contraction de la section est réalisée sur les quatre côtés de l’entrée, les courbes de transition sont
données par la fonction (fig. 18.16) [18.22]
(X-l)2 + (3Y+1)2 = 1	(18.30)
où X = x/t ou X = x/b, selon la coupe concernée. Les origines (X,Y) = (0,0) des courbes de transition se
trouvent à l’alongement de la conduite de prise prismatique au plan d’entrée. Comme la figure 18.16a)
le montre, le coefficient de pression
Cp = AH/(V2/(2g))	(18.31)
le long du plan de symétrie horizontal reste alors toujours inférieur àCp=l. Cependant, Cp le long du
plan de symétrie vertical et le long des arêtes supérieures atteint localement des valeurs supérieures à
l’unité. AH est la différence de pression entre le niveau du réservoir et l’axe de l’entrée et V est la vitesse
dans la conduite de prise.
Pour éviter une telle répartition de pression, le «US Corps of Engineers» (USCE) [18.22] recommande
la géométrie d’entrée double-elliptique (fig. 18.16b)
/Y	\
(X-1)2 + ----+ 1 = 1 , 0 X 0,33 ;
\0,32	J
(18.32)
390
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Fig. 18.16 Entrée de vidange à contraction sur quatre parois, (-) géométrie considérée selon a) l’équation (18.30) et b) les équations
(18.32), (18.33) avec les coefficients de pression Cp correspondants (18.22]. (• ••) Cp le long du plan de symétrie vertical et dans les arêtes
supérieures, (-----------------------------------------) plan de symétrie horizontal.
(X-1,2)2 4- (— + 1 ) = 1 , 0,33 X 1 .
\0,16	/
(18.33)
Comme le montre la figure 18.16b), le coefficient de pression Cp décroît alors de façon monotone jusqu’à
la valeur finale Cp= 1.
L’effet de la pente 8 de la face amont de l’entrée (fig. 18.15) sur Cp a été également examiné par
l’USCE. Ils ont trouvé qu’une pente supérieure à zéro augmente le maximum de la fonction Cp.
Pour des entrées de prise pour lesquelles seul le sommet est arrondi (fig. 18.15), l’USCE recommande
d’utiliser la géométrie représentée par la fonction [18.22]
(18.34)
où X = x/t et Y = y/t, t étant la hauteur de la conduite rectangulaire de la prise. La fonction Cp(X) atteint
le maximum Cp~ 1,4 à l’endroit X~0,7. Pour éviter une telle sous-pression, on peut adopter au lieu de
l’équation (18.34) la fonction [18.22]
0 X 1,5;
(18.35)
il en résulte que le maximum de Cp= 1,2 apparaît à l’endroit X = 1,2.
PRISE D’EAU
391
Références
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392
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Notations
Les indices «m» et «p» se rapportent au modèle et au prototype.
A	[m2]	section		[m]	rayon d’influence
b	[m]	largeur	R	[-]	nombre de Reynolds
cf	[-]	coefficient de traînée de cisaillement		[-]	nombre de Reynolds relatif à la vi-
C	[m^ ’]	constante de circulation			tesse maximale tangentielle
Cc	[-]	coefficient de contraction	s	[m]	hauteur de submersion de la prise
Cd	[-]	coefficient de débit			verticale
Cp	(-]	coefficient de pression	Sc	[m]	hauteur de submersion critique,
d	[m]	diamètre d’orifice			prise verticale
D	[m]	diamètre de la prise, de la conduite	Sc	[-]	submersion critique relative
		d’approche	t	[m]	hauteur de la conduite
	[m]	diamètre hydraulique	V	[ms ‘]	vitesse moyenne
F	[-]	nombre de Froude	Vo	[ms-1]	vitesse de réference
FP	[-]	nombre de Froude relatif à l’écou-	vr	[ms ‘]	vitesse radiale
		lement dans la conduite de prise	v,	[ms-1]	vitesse axiale
g	[ms-2]	accélération gravitationnelle	V.	[ms ’]	vitesse tangentielle
h	[m]	hauteur d’eau, hauteur de pression	x	[m]	coordonnée longitudinale
h*_	[m]	hauteur d’eau à r=D	X	[-]	coordonnée longitudinale adimen-
h,,ht	[m]	hauteur de submersion de la prise			sionnelle
		horizontale	y	[m]	coordonnée transversale
H	[m]	charge	Y	[-]	coordonnée transversale adimen-
Hf	[m]	profondeur de la fossette			sionnelle
H»	[m]	charge de submersion critique	z	[m]	coordonnée axiale
J,	[-]	pente de fond ou de Taxe de la con-	ô	[-]	angle d’entrée par rapport à la ver-
		duite			ticale
K	[-]	nombre de Kolf	P	[kgm3]	masse volumique
Nv	[-]	nombre de viscosité	V	[m^-]	viscosité cinématique
Nr	[-]	nombre de circulation	r	[m2s-']	circulation
P	[Nm-2]	pression	a	[Nm’1]	tension superficielle
Q	[m’s-1]	débit	0)	[s"*]	vitesse angulaire
r	[m]	rayon, coordonnée radiale	n	[-]	angle d’approche
19. Vidange de fond
Vidange de fond et dissipateur d’énergie (VAW 31/74/3).

394
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
19.1	Introduction
Les barrages de retenue modernes font souvent partie d’aménagements à buts multiples. Ces derniers
peuvent servir, entre autres, à l’approvisionnement en eau potable et industrielle, à la protection contre
les crues et, évidemment, à la production d’énergie hydro-électrique.
La vidange de fond constitue un élément indispensable d’un barrage de retenue. Elle sert notamment
à assurer
-	la montée contrôlée du plan d’eau pendant le premier remplissage du réservoir,
-	le contrôle du plan d’eau en cas d’événements particuliers, comme par exemple des instabilités des
rives,
-	un abaissement du plan d’eau en périodes de danger,
-	l’évacuation de dépôts de sédiments,
-	l’alimentation du cours d’eau aval en cas exceptionnels.
Les vidanges de fond de barrages importants constituent des organes de fermeture ou des organes de
réglage. Puisque les profondeurs de retenues peuvent, en de nombreux cas, dépasser quelques centaines
de mètres, la vitesse maximale de l’écoulement excède couramment les 40 ms-1. De telles vitesses risquent
de créer des sous-pressions dynamiques importantes. Par conséquent, des phénomènes comme la cavita-
tion (chap. 14), souvent accompagnés par l’érosion de cavitation, ou des vibrations des vannes apparais-
sent si l’on ne tient pas suffisamment compte des exigences constructives lors de la conception de
l’ouvrage.
Une vanne de fond crée normalement une transition d’un écoulement en charge à un écoulement à
surface libre. Un des éléments principaux permettant de garantir cette transition est un apport d’air
suffisamment important pour éviter ainsi des sous-pressions dynamiques. Ce moyen a été jugé efficace
A-A
Fig. 19.1 Vidange de fond schématisée Q transition du profil circulaire en profil rectangulaire. (2) chambre de vannes, (3) canal
d’aération, Q galerie de vidange, (5) sortie de la galerie.
et économique pour réduire considérablement l’érosion de cavitation et les vibrations des vannes de fond.
Comme cela est montré dans la figure 19.1, les canaux d’aération débouchent immédiatement à l’aval de
la vanne. Il importe que la pression à la sortie de ces canaux dans la galerie soit le plus proche possible
VIDANGE DE FOND
395
de la pression atmosphérique. En ce qui concerne l’érosion de cavitation, il faut veiller à ce que l’air puisse
pénétrer dans les zones de sous-pressions, notamment auprès du fond de ce canal (fig. 19.2).
Fig. 19.2 Schéma des écoulements d'air Q„ et d’eau Qe dans une vidange de fond. Aération de la nappe Q supérieure, (2) inférieure
et 0 entraînement d’air dans le ressaut hydraulique éventuel.
Pour des raisons de sécurité, il est en principe exigé que la vidange de fond soit constituée de deux
vannes, disposées l’une derrière l’autre. Celle située à l’aval est la vanne de service et celle à l’amont la
vanne de révision. Cette dernière se trouve normalement en position ouverte.
Pour des raisons constructives et d’exploitation, il se peut que deux passes soient disposées en
parallèle dans une même galerie. Il en résulte des problèmes particuliers pour réaliser des branchements
corrects entre la galerie et les passes de vannes [19.2]. Des solutions satisfaisantes doivent évidemment
tenir compte des conditions hydrauliques particulières, comme par exemple de débits différents dans les
deux passes [19.7], [19.9]. Pour simplifier l’approche, on considérera par la suite une galerie comportant
une vanne de service. Il importe de prévoir des essais sur modèles réduits pour toutes modifications de
ce cas fondamental, notamment en présence de débits et de charges importants.
19.2	Vannes de fond
19.2.1 Types de vannes
On peut distinguer trois types principaux de vannes de fond [19.4]
-	vanne à glissières,
-	vanne wagon et
-	vanne segment.
La figure 19.3 indique le rapport qui existe entre la charge Hr due à la retenue et les sections des
différents types de vannes. Il est important de noter que le potentiel de vibration et d’érosion de cavitation
d’une vanne de fond dépend du type de vanne et de détails constructifs (paragraphe 19.2.2).
La vanne à glissières (fig. 19.4a) s’impose surtout pour des charges importantes. La section A^ de la
vanne devient par conséquent relativement petite (fig. 19.3). Cette vanne repose sur des glissières
verticales aval qui servent également de dispositif d’étanchéité. La crête inferieure de cette vanne est
souvent réalisée selon les recommandations de l’USCE [19.15]. Comme le montre la figure 19.4a),
l’épaisseur de la vanne diminue vers les niches de vannes. Ces dernières sont donc de faible longueur et
ne favorisent que peu la formation de zones de cavitation. La principale force nécessaire pour la
396
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Fig. 19.3 Type de vanne en fonction de la charge due à la retenue Hr [m] et de la section de la vanne A, [m2]. Q Vanne à glissière,
Q vanne wagon, © vanne segment [19.4],
commande des vannes est due au glissement et nécessite l’action d’un servomoteur. Par conséquent, le
danger de vibrations est fortement réduit et ce type de vanne peut même être submergé de l’aval.
La vanne wagon convient comme vanne de fond pour des charges moyennes (fig. 19.3). Elle s’appuie
sur des roues posées sur des rails verticaux dans les niches. Par conséquent, la force de frottement est
réduite mais le danger de vibrations augmente. De plus, il faut prévoir des niches plus longues que pour
la vanne à glissières et le risque de cavitation augmente. La crête inférieure de cette vanne est souvent
en mince paroi (fig. 19.4b). Il est impératif que la largeur de la crête t soit la plus faible possible tandis
que l’angle 0 doit être le plus grand qui puisse être réalisé.
Le domaine d’application de la vanne segment est proche de celui de la vanne wagon (fig. 19.3).
L’élément s’opposant à la pression de l’eau est un segment à surface cylindrique, dont l’arête inférieure
est en mince paroi. Pour réduire la force de levage, le centre de rotation de la vanne peut être déplacé
par rapport au centre de courbure du segment. Cette construction ne nécessite qu’une faible force pour
la commande, normalement appliquée par un ou deux vérins hydrauliques. Cependant, elle est sensible
aux vibrations et ne doit donc pas être submergée par l’aval. Un des avantages de ce type de vanne est
l’absence de niches. Le risque de cavitation correspondant est donc exclu.
Fig. 19.4 Vannes de fond schématisées, coupe (en haut) et plan (en bas), a) vanne à glissières avec r=0,4d, b) vanne wagon.
VIDANGE DE FOND
397
19.2.2 Vibrations de vannes
Si Ton considère un écoulement par-dessous une vanne de fond comme un système hydro-élastique,
il faut distinguer sa masse (la vanne), son ressort (suspension de la vanne) et son amortissement (forces
de frottement dans ses étanchéités et ses paliers). La composante hydrodynamique de ce système contient
la masse hydrodynamique, la force de rétablissement, l’amortissement et l’excitation hydrodynamique
[19.8],
Les causes d’une vibration d’un tel système peuvent être
-	la séparation de l’écoulement de la vanne,
-	un apport insuffisant d’air dans les zones de sous-pression.
Les zones de séparation de l’écoulement sont la conséquence d’une mauvaise configuration de la
géométrie de la vanne de fond. Il en résulte un jet sortant de la vanne alternativement séparé et attaché
à cette dernière. Un ressaut hydraulique dont le pied se trouve proche de la vanne peut encore amplifier
ce phénomène.
Les zones de sous-pressions peuvent fortement influencer les vibrations de la vanne et la cavitation à
l’aval. Il est donc impératif de les réduire par une aération suffisante du jet sortant de la vanne.
Concernant les forces dynamiques agissant sur une vanne de fond, les recommandations de Nauda-
scher et al. [19.11] peuvent être consultées. A cause du gradient considérable de pression le long'de la face
inférieure de la vanne, cette dernière doit supporter des sollicitations considérables. Cependant, si la
géométrie de la tôle de guidage du jet, les niches de vanne et le dispositif d’étanchéité ont des formes
appropriées, les forces de succion et les vibrations de la vanne peuvent être supprimées. Il faut particuliè-
rement veiller à ce qu’il n’existe pas de zones de sous-pression le long de la face inférieure de la vanne
et que le jet d’eau sortant se sépare nettement de l’arête inférieure. Les éléments d’étanchéité doivent se
regrouper de préférence dans un seul plan perpendiculaire à la direction de l’écoulement principal.
Du fait des vitesses de sortie très élevées, le jet d’eau doit être guidé sans aucune perturbation le long
du fond. Par conséquent, le dispositif d’étanchéité inférieure est réalisé en posant la vanne sur le fond
rectiligne. La figure 19.5 représente quatre types d’arêtes inférieures de vannes de fond, dont les trois
premiers peuvent appartenir aux vannes à glissières. Le quatrième type, à étanchéité amont, correspond
à une vanne wagon.
Les commentaires suivants peuvent être faits relativement aux quatre types d’arêtes inférieures de la
figure 19.5 [19.16]
(T) Du point de vue constructif, cette arête est caractérisée par la conservation de l’épaisseur à proximité
de l’extrémité inférieure. A la suite des changements considérables de la direction de l’écoulement le
398
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
long de l’arête, il existe un risque de séparation du courant et de formation d’une zone de sous-pres-
sion qui lui est associée. Il faut donc compter avec des forces de succion. La séparation du courant
peut être irrégulière, ce qui conduit alors à des vibrations de la vanne.
(2) Du point de vue constructif, cette arête est assez difficile à réaliser. Cependant, à cause de la courbure
faible du guidage du jet, elle est très favorable du point de vue hydraulique. La chute de pression
jusqu’à l’arête est continue de telle manière qu’il ne se forme pas de zones de sous-pression. La
séparation du courant est donc stable et les forces de succion restent faibles.
(3) Du point de vue constructif, cette arête est favorable à cause de son épaisseur importante sur la plus
grande partie de sa hauteur et du déplacement vers l’amont de la surface d’appui. Il faut veiller à ce
que cette surface soit minimale et que la face aval remonte immédiatement sous un angle de 45° afin
que le jet ne puisse pas se rattacher à l’arête.
Q L’arête de séparation est située sur la face amont de la vanne et il n’est pas nécessaire de prévoir des
dispositions particulières pour le guidage du jet. La partie aval de l’arête remonte immédiatement
pour éviter le rattachement du jet. Les forces de l’écoulement agissant sur la vanne sont faibles.
Quant aux éléments d’étanchéité, on peut ajouter ce qui suit
©et (2) Ils se situent favorablement à l’aval de la vanne.
(3) L’étanchéité de fond est déplacée par rapport à celle longeant les parois. Par conséquent, il existe une
perturbation due aux niches, ce qui conduit à une contraction latérale considérable du jet, à la
vaporisation de l’eau et à la formation d’ondes de chocs dans la galerie, surtout pour une ouverture
faible de la vanne.
Q Le dispositif d’étanchéité se trouve dans un plan unique, mais celui-ci est situé à l’amont du corps
de la vanne. On rencontre des difficultés à étancher la vanne le long de la bordure supérieure. Etant
donné que les niches et le puits de vanne se situent en dehors de la pression amont, il n’y a que peu
de contraction latérale et de vaporisation du jet.
Les niches des vannes peuvent être considérées comme des élargissements locaux de la section dans
lesquels les vannes à glissières et les vannes wagon sont tenues. L’écoulement se sépare de l’arête amont
de la niche, s’élargit et heurte la face aval de la niche (fig. 19.6a). Autour du point de stagnation, la
Fig. 19.6 Niches de vanne, a) géométrie rectangulaire, b) exécution hydrodynamique. (•) point de stagnation.
pression est fortement augmentée, tandis qu’il existe une sous-pression considérable le long de la paroi
aval.
Si l’on recule la paroi aval, comme le montre la figure 19.6b), les sous-pressions dans cette zone
peuvent être considérablement réduites [19.15]. De plus, il faut veiller à ce que le rapport Ln/W soit le
plus petit possible tout en limitant au strict minimum la profondeur W de la niche. Des questions relatives
à la cavitation auprès de niches de vanne de fond ont été étudiées par Adami [19.1].
VIDANGE DE FOND
399
19.2.3 Caractéristiques du débit
Comme cela a été constaté au chapitre 8, l’écoulement par-dessous des vannes peut être soit libre, soit
submergé (fig. 19.7). L’écoulement libre est caractérisé par la pression constante à la surface du jet. Cette
Fig. 19.7 Ecoulement par-dessous une vanne de fond, a) écoulement libre à pression po de surface constante et b) écoulement submergé
à vitesse Vo constante le long de la (-----------------------------) surface de séparation [19.12].
condition indique que le coefficient de contraction Cc du jet ne dépend pas seulement de l’ouverture
relative A = a/to de la vanne, mais également du nombre de Froude dans la section contractée
F = --------------.
[g(Cca)3]1'2
(19.1)
q est le débit d’eau par unité de largeur de la vanne, «a» est son ouverture et to la hauteur du canal
rectangulaire amont.
Comme le montre la figure 19.8, Cc croît lorsque A et Fc augmentent. Pour Fc > 10, l’effet de la gravité
disparaît (chap. 18) et la vitesse Vo le long de la ligne de séparation reste constante (comme dans le cas
de la vanne submergée).
Fig. 19.8 Effet du nombre de Froude Fc sur le coefficient de contraction Cc pour diverses ouvertures relatives a/t^ d’une vanne de fond
selon Naudascher [19.12]. (•••) Nombre de Froude d'approche F,-»oo.
400
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Comme le nombre de Froude Fc dépasse normalement la valeur limite Fcl= 10,. l’effet de Fc sur le
coefficient de contraction Cc ne doit pas être considéré. Ainsi, les coefficients de contraction Cc et les
coefficients de débits Cd, présentés au chapitre 8 pour diverses géométries de vannes et d’arêtes inférieu-
res, peuvent être utilisées.
La figure 19.9 représente une vidange de fond schématisée dont la galerie aval est également en
charge. La ligne de pression et la ligne de charge sont indiquées. La dernière décroît à cause des pertes
Fig. 19.9 Vue schématisée d’une vidange de fond noyée de l’aval. (—) ligne de charge, (-) ligne de pression.
de charge locales (entrée, coudes éventuels, élargissement à l’aval de la vanne partiellement ouverte,
sortie) et des pertes réparties (frottement). Le débit se calcule alors par la formule (chap. 3)
Q = Ccab(2g(H-AHï-hï))'/2	(19.2)
où H—AHy correspond à la charge et h^ à la hauteur de pression dans la section contractée du jet.
Dans le cas de l’écoulement libre, pour lequel la dépression Ap/(pg) par rapport à l’atmosphère
s’établit à l’aval de la vanne, le débit se calcule au moyen de l’expression
/	A	\ 1/2
Q = Ccab( 2g(H—AHV—— — Cca) )
\ •	pg	/
(19.3)
19.3 Aération des vidanges de fond
19.3.1 Moyens d’aération
On distingue trois cas d’aération d’une vidange de fond [19.13]
-	aération superficielle pour un écoulement torrentiel,
-	aération superficielle par un ressaut hydraulique,
-	aération sur toutes les surfaces d’un écoulement torrentiel.
Si l’écoulement n’occupe que partiellement la section de la galerie aval, un débit d’air peut
provenir de la sortie de la galerie et aérer la zone proche de la vanne (fig. 19.10a) où la sous-pression par
rapport à la pression atmosphérique est la plus grande. Ce type d’aération n’est satisfaisant que si la
section de la galerie occupée par l’air est suffisamment grande et si la distance entre la vanne et la sortie
VIDANGE DE FOND
401
n’est pas trop importante. L’apport d’air auprès de la vanne de fond peut être augmenté d’un débit Qav
à l’aide d’une conduite d'aération (fig. 19.10b).
Fig. 19.10 Aération superficielle de l’écoulement à l’aval d’une vanne de fond, a) provenant de la sortie pour une galerie partiellement
remplie, b) avec une conduite d’aération en complément. Répartition type Q de la vitesse et Q de la concentration d’air, (T) de la
sous-pression d’air par rapport à l’atmosphère et @ du débit d’air Q, dans le mélange [19.6].
Un ressaut hydraulique se forme dans la galerie si la submersion aval est grande ou si la pente de la
galerie est trop faible par rapport aux pertes de charge (chap. 5). Comme cela a été décrit au chapitre 15,
un ressaut hydraulique dénoyé entraîne à son pied une quantité d’air considérable (fig. 19.1 Id). Une fois
que le pied du ressaut touche la vanne, le ressaut change de régime, devient noyé (chap. 8) et n’entraîne
plus d’air (fig. 19.1 If).
Une classification de types d’écoulements dans des galeries a été présentée par Sharma [19.14]. Pour
une ouverture relative de la vanne inférieure à 10%, l’écoulement s’échappe comme un spray, c’est-à-dire
que le jet s’écoulant de la vanne se vaporise. On utilise ici le terme de vaporisation alors qu’il s’agit d’une
dispersion très fine de gouttelettes d’eau et non de formation de vapeur. Le débit d’air Qav aspiré par la
conduite d’aération est considérable (fig. 19.11 a). L'écoulement dit libre (fig. 19.11b) peut apparaître sous
la forme de pulsations, d’ondes ou d’écoulement stratifié. Si la galerie est presque remplie d’un mélange
eau-air il s’établit un écoulement écumeux (fig. 19.11c). Dans la figure 19.11e) un ressaut hydraulique
suivi d’un écoulement en charge se forme.
402
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Fig. 19.11 Classification de types d’écoulements dans une galerie à aération forcée superficielle [19.14]. Détails, voir texte.
L'entraînement d'air est dû à la turbulence de l’écoulement (chap. 13). Cependant la remontée des
bulles d’air sous l’effet de la poussée d’Archimède s'oppose à l’aération profonde. Comme on l’a constaté
au chapitre 14, c’est donc la zone d’écoulement proche du fond qui est particulièrement impliquée dans
V érosion de cavitation [19.10]. C’est la raison pour laquelle il faut souvent prévoir d’autres approvisionne-
ments d’air qui garantissent une aération sur la circonférence de l’écoulement à haute vitesse [19.5].
La figure 19.12 représente un aérateur à l’aval de la vanne de fond. En raison de la discontinuité de
la géométrie du canal de vidange au radier et aux parois latérales, l’écoulement se sépare de celles-ci et
crée des zones de sous-pressions; ces zones provoquent l’aération complète du jet. La quantité d’air
requise est réglée au mieux par une conduite d’aération.
Comme cela a été décrit au chapitre 14, l’aérateur peut être du type à déflecteur, à gradin ou à fente,
ou encore une combinaison de deux de ces types. Par la suite, seule la combinaison déflecteur-gradin sera
retenue.
19.3.2 Mécanismes d’aération
Comparée à l’aération superficielle d’un écoulement à haute vitesse dans un canal découvert
(chap. 13), l’aération d’un écoulement dans une vidange de fond est caractérisé par les différences
suivantes [19.13]:
-	la pente du radier d’une galerie de vidange est normalement plus faible, la vitesse moyenne étant
pourtant plus élevée;
-	la couche limite auprès du fond d’une vidange de fond est fortement influencée par l’écoulement
d’approche, la géométrie de la vanne de fond et par les aérateurs éventuels;
-	le jet sortant de la vanne de fond peut être fortement perturbé par des vortex dus à la vanne et aux
niches;
VIDANGE DE FOND
403
-	comme le montre la figure 19.11, différents types d'écoulement peuvent apparaître à l’aval d’une
vanne de fond;
-	l’écoulement biphasique eau-air est limité par la calotte de la galerie. L’écoulement d’air est
fortement influencé par le type d’écoulement et par les dispositions d’aérations.
Fig. 19.12 Aération de l’écoulement par un aérateur [19.13].
Quant aux débits d’air, on peut distinguer [19.13] (fig. 19.12):
le débit d’air entraîné par l’écoulement biphasique;
Qau le débit d’air mis en mouvement au-dessus de l’écoulement biphasique en direction aval;
Qao le débit d’air aspiré depuis la sortie aval;
Qav le débit d’air qui provient des conduites d’aération («vent»); et
Qaf le débit d’air provenant d’aérateurs de fond.
Les débits Qav et sont évidemment des quantités qui sont définies de manière univoque. Les trois
autres débits dépendent pourtant également des conditions particulières d’écoulement du mélange
biphasique.
Pour la configuration pour laquelle un ressaut hydraulique apparaît dans la galerie de vidange, on
trouve Qao = Qau = 0.
19.3.3 Ecoulement libre
Pour la configuration d’écoulement de la figure 19.11b) le débit d’air dépend de la géométrie de la
conduite d’aération (exprimée par un coefficient de perte de charge globale) et de la galerie aval.
Le débit d’air relatif au débit d’eau, P = Qa/Qe peut être corrélé expérimentalement par [19.13]
(A*\0,90
F?62	(19.4)
OÙ
A.* = A,[l +	Stfr1'2	(19.5)
est la section du canal d’aération A*, réduite pour tenir compte des pertes de charge (chap. 3), et la
section de la galerie aval. L’équation (19.4) s’applique uniquement pour V écoulement libre défini par
0,12 a/to 1	et Fc	40.	(19.6)
Ce type d’écoulement a été aussi analysé par Ghetti et Di Silvio [19.6]. Ceux-ci trouvent également que
P est influencé par Fc et par la géométrie de la conduite d’aération.
404
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Exemple 19.1
Soit une vidange de fond rectangulaire avec b = 1,2m et t0= 1,6m. La charge à l’amont de la vanne s’élève
à H = 60m. L’écoulement dans la galerie, dont la surface est A„ = 3m2, est du type libre. Quel est le débit d’air
entraîné superficiellement si l’ouverture de la vanne est a=0,4m, le coefficient de contraction Cc=0,64 et
* = 2 pour la conduite d’aération?
Pour un diamètre estimé de D,=0,8m, donc avec A,=nDj/4 = 0,503m2, on trouve A^= 0,290m2 selon
l’équation (19.5).
Le nombre de Froude dans la section contractée devient Fc=(2H/(Cca))1/2 = 21,65, donc P=0,94 • (0,29/
3)0,9 • 21,650,62=0,77 selon l’équation (19.4). Le débit d’eau est Qe = Ccab(2gH),/2=0,64 0,4 1,2 (19,62-
60),/2 = 10,5m3s-1, donc QB=PQc=0,77 10,5 = 8,lm3s~l. La vitesse dans la conduite d’aération est
VB=4Q,/(nD^) = 16,1ms-1, ce qui est bien inférieur à la valeur limite VB~50ms-‘, pour laquelle l’effet de la
compressibilité d’air commence à se faire sentir.
Si l’ouverture relative de la vanne devient très petite, a/to<0,06, et si le nombre de Froude est
simultanément grand, Fc>20, la vaporisation de l’eau apparaît (fig. 19.11a). Ce domaine peut être
approché par [19.13]
» A* „
P =	• Fc
(19.7)
Une autre approche pour la détermination du débit d’air a été proposée par Sharma [19.14].
Exemple 19.2
Quel est le débit d’air nécessaire si l’ouverture de la vanne s’élève seulement à a=0,06m? Toutes les autres
valeurs sont identiques à celles de l’exemple 19.1.
Le nombre de Froude devient maintenant Fe=(2H/(Cca))1/2 = 55,9, donc p = (0,29/3) • 55,9 = 5,4 selon
l’équation (19.7). On constate que l’eau se vaporise dans ce cas.
Avec Qe= l,58m3s-1, le débit d’air devient Q,=5,4- l,58=8,53m3s-1 ce qui est supérieur à la valeur
déterminée dans l’exemple 19.1.
19.3.4 Ecoulement à ressaut
Dans ce cas d’écoulement (fig. 19.1 Id) et e)), il faut connaître soit la hauteur d’eau soit la hauteur
de pression h? à l’aval du ressaut hydraulique. La position du ressaut résulte d’un calcul de la courbe de
remous (chap. 5), en partant de la section contractée pour le tronçon amont et d’une section de contrôle
aval.
Si le rapport (Cca/hp) est plus grand que 0,04, le débit d’air relatif devient [19.13]
0,099
p = 0,019 I — )	F?’969.
(19.8)
Ce type d’écoulement obéit à la loi de similitude de Froude (Annexe IV).
Une autre approche pour le calcul du débit d’air dans ce cas d’écoulement a été proposée par Bollrich
[19.3].
19.3.5 Aérateur de fond
Pour ce type d’écoulement, représenté dans la figure 19.13, on distingue les trois cas suivants:
Q Pour des nombres de Froude Fc relativement faibles, le débit relatif d’air entraîné par l’aérateur
pf=Qaf/Qe augmente rapidement avec Fc;
VIDANGE DE FOND
405
Fig. 19.13 Géométrie du jet d’eau provenant d’une vanne de fond avec aérateur de fond.
(2) une fois la limite dépassée, 0f tend asymptotiquement vers la valeur
(5) pour des nombres de Froude Fc encore plus grands, l’eau vaporise et croît de nouveau.
A charge amont constante, ces trois cas sont successivement parcourus en fermant une vanne de fond.
Comme cela a été démontré expérimentalement par Rabben [19.13] dans le cas (î) ne dépend que
de la vitesse Vc=q/(Cca). La transition du cas (î) au cas (2) se caractérise par la longueur relative du jet,
X=L/(Cca). X. dépend essentiellement de l’écoulement d’eau, de la géométrie du déflecteur et de la
caractéristique hydraulique de la conduite d’aération de fond.
La figure 19.13 montre schématiquement l’écoulement considéré. Soit 0 la différence des pentes du
déflecteur et du canal de vidange, © = Ap/(pegCca) la différence de pression relative entre les nappes
inférieure et supérieure du jet compact et t le temps. La trajectoire du jet devient alors, en représentation
paramétrique [19.13]
X = — T + —  S'n-.e^ • fsinf^T + <!>)- sin <t>l,
© sin <P L \F2	/ J
~ F2 sin(—0) [~	/©2	.“|
Z = —-------— • cos| —T + <P - cos |
© sin L \F2	/ J
(19.9)
où X = x/(Cca), Z = z/(Cca) sont les coordonnées adimensionnelles, T = qt/(©C2a2) le temps adimension-
nel et
A . F W' sin(—0) ~]
= arctg ----------------— [.
L1 + © • cos(—0)J
(19.10)
(0, a, Cc) étant connus et la différence de pressions Ap calculée, on trouve pour chaque temps T les
coordonnées (X, Z) de la nappe inférieure du jet.
La figure 19.14 montre des nappes inférieures Z(X) pour les configurations suivantes: a) le paramètre
de pression © est variable et Fc = 5 est fixé; on constate alors que pour des conditions d’approche bien
définies, le jet est lancé plus loin lorsque © décroît; et b) le paramètre ©=0,l est fixé et les différentes
courbes représentent des conditions d’approche variables, exprimées par le nombre de Froude Fc dans
la section contractée. Le jet monte évidemment plus haut avec Fc croissant.
En considérant des valeurs faibles de 0 et ©, les équations (19.9) et (19.10) peuvent être simplifiées.
406
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Fig. 19.14 Nappes inférieures de jet Z(X) selon les équations (19.9) et (19.10). 0=4,5° pour a) Fc=5 et b) <o=0,l.
La solution explicite s’écrit en première approximation
____________________o2X ~|
+ ®9 L 2F*(4> + <d9)j
(19.11)
Cette relation permet de constater que les solutions Z(X) sont des paraboles. De plus, il est facile de
démontrer que Z(X) est proportionnel à (1 — ©), compte tenu que l’approximation =(—co9Xl —®)
existe.
Les points suivants revêtent un intérêt particulier:
-	la hauteur maximale du jet s^ et
-	la distance de lancement L* calculée des équations (19.9).
Selon l’équation (19.11) les coordonnées du maximum de la nappe inférieure sont
= F’(<t> +<B0)/a>2; Z„,„ = - <t>0F?/(2<o) .	(19.12)
VIDANGE DE FOND
407
De plus, lorsque la hauteur du gradin sg<0, la distance de lancement du jet Xl=xI/(Cca) vaut
4> 4- <û0
(O2
> I lü*
w J c
(19.13)
où Zj^SgXQa).
La comparaison entre le calcul et les observations indique pourtant que la valeur de L* calculée est
considérablement supérieure à la valeur L observée. Cet effet est dû à la turbulence du jet et à
l’entraînement d’air dans le jet. Il réduit la distance de lancement calculée à L=0,6 • L*.
Le débit d’air relatif entraîné par la nappe inférieure du jet se calcule alors par [19.13]
(19.14)
où est la section de la conduite d’aération, Ainax=bsm„ la section maximale au-dessous de la nappe
inférieure et L la distance effective de lancement du jet. Les coefficients c, sont présentés au tableau 19.1.
Tableau 19	.1 Coefficients q de l’équation
(19.14) pour divers angles de départ 0.
e	Co	ci	
0	0,046	0,43	1,25
4,5°	0,042	0,38	1,13
9°	0,041	0,47	1,20
Le calcul de est évidemment implicite. En admettant une valeur pour du même ordre de
grandeur que le débit d’eau Qe, on déduit Ap du calcul des conduites d’aération (chap. 3). Par la suite,
on peut calculer A^,, et L et vérifier si la valeur Pf calculée correspond à la valeur préconisée.
Exemple 193
Considérons la même vidange de fond que dans l’exemple 19.1. Cette fois, un aérateur de fond réalise
l’aération de l’écoulement dans la galerie. Sa section est de Alf=0,4m2; la hauteur du gradin s’élève à 0,5m,
l’angle du déflecteur est 0 = 6°. Quel est le débit d’air si la dépression Ap/peg=0,256m de colonne d’eau
s’établit?
Avec Fc=21,65 selon l’exemple 19.l,œ=0,256/(0,64 - 0,4) =1,0 = 6° et donc 4> = —3° on peut déterminer
les coordonnées de la nappe inférieure selon le tableau 19.2. Ce tableau comprend également la fonction Z(X)
selon l’équation (19.11) et on constate une bonne concordance entre les deux fonctions. Le maximum de la
nappe inférieure est donné par (X,Z)mM=(l,132;0,0593) selon l’équation (19.12). Ainsi on obtient
(x^U=(0,29m; 0,015m).
Avec sg= —0,5m, donc Z,= —0,5/(0,4 • 0,64)= —1,95 la distance relative de lancement devient X<=7,73
selon l’équation (19.13) et correspond à L* = xt=7,73 • 0,4 • 0,64= 1,98m.
Pour déterminer 0f, les valeurs des coefficients q sont estimées à Cq=0,042, c,=0,40 et c^= 1,15. Avec
A,f=0,4m2, Anm=(0,015+0,5)1,2=0,618m2, L=0,6 • 1,98 = 1,19m, le coefficient recherché devient
Pf=0,042(0,4/0,618)°*(1,19/0,64 • 0,4)MS=0,21, d’où Qlf=0,21 10,5 = 2,2m V.
408
OUVRAGES DE PRISE ET DE VIDANGE
Tableau 19	.2 Coordonnées de la nappe inferieure selon a) les équations (19.9,19.10) et b) selon
Téquation (19.11).
T	0	1	1,135	2	3	4	5	
X	0	0,996	1,131	1,993	2,986	3,971	4,944	
Z	0	0,0584	0,0593	0,0246	-0,1013	-0,3192	-0,6285	a)
X	0	0,996	1,133	1,993	2,986	3,971	4,944	LA
z	0	0,0585	0,0593	0,0252	-0,0991	-0,3125	-0,6113	D)
Pour le jet non compact pour lequel Pair entre les deux nappes est en communication, on trouve
expérimentalement [19.13]
/a*\1,02
pf = 13,44(2*.]	. p*».
(19.15)
Pour le jet vaporisé le besoin d’air se calcule selon l’équation (19.7).
Si un jet est aéré simultanément par des conduites d’aération situées au-dessus et au-dessous de
l’écoulement, le besoin d’air total se calcule par la somme des deux apports séparés.
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VIDANGE DE FOND
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[19.14]	Sharma, H.R., «Air-Entrainment of high head gated conduits», Proc. ASCE, J. Hydraulics Division,
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[19.16]	Wunderlich, W., «Die Grundablâsse an Talsperren», Wasserwirtschaft, Vol. 53, 1963, 70-75; 106-114.
Notations
Les indices «e» et «a» se rapportent respectivement à l’eau et à l’air, «f» et «v» dénotent l’aération par l’aérateur
de fond et par les conduites d’aération. L’index «c» se rapporte à la section contractée.
a	[m]	ouverture de la vanne	dessus du fond		
A	[-]	ouverture relative de la vanne	SB	[m]	hauteur du gradin
a?	[m2]	section réduite du canal d’aération	t	[s]	temps
	[m2]	section de la galerie aval	to	[m]	hauteur du canal amont
Ay	[m2]	section de la vanne	T	[-]	temps adimensionnel
b	[m]	largeur	V	[ms *]	vitesse
c	[-]	coefficient	W	[m]	profondeur de la niche
Cc	[-]	coefficient de contraction	x	[m]	coordonnée longitudinale
cd	[-1	coefficient de débit	X	[-1	coordonnée longitudinale adimen-
d	[m]	épaisseur de la vanne			sionnelle
	[-]	nombre de Froude du jet contracté	z	[m]	coordonnée verticale
g	[ms 2]	accélération gravitationnelle	Z	[-1	coordonnée verticale adimension-
h	[m]	hauteur d’eau			nelle
bp	[m]	hauteur de pression aval	P	t-]	rapport du débit d’air et du débit
Hr	[m]	charge due à la retenue			d’eau pour l’aération superficielle
L	[m]	longueur du jet observée	Pr	[-]	rapport du débit d’air et du débit
L*	[m]	longueur du jet calculée			d’eau pour l’aération du fond
U	[m]	longueur de la niche	S	[-1	coefficient de perte de charge
P	[Nm-2]	pression	X	[-]	longueur relative du jet
q	[m2s~*]	débit par unité de largeur	0)	[-]	différence de pression relative
Q	[m’s ’]	débit	P	[kgm 3]	masse volumique
r	[m]	rayon de courbure	e	[-]	angle du déflecteur
s	[m]	hauteur de la nappe inférieure au-		[-]	angle réduit
Annexes
Aménagement de la Baie James (Québec, Canada). Evacuateur de crue de LG3; débit de dimensionnement 9970m’s 1 (Photo SEBJ).
412
ANNEXE I
Annexe I
Bref historique des hydrauliciens
Archimède (287-212 av. J.-C.), le génial Syracusien, a écrit le premier chapitre de la science de
l’hydraulique. La légende veut qu’Archimède y parvint en résolvant le fameux problème de la couronne
d’Hiéron: comment reconnaître, sans la briser, si la couronne était d’or massif ou renfermait un autre
métal à l’intérieur? Ainsi, le principe d’immerger un corps dans un liquide et d’en mesurer le volume d’eau
déplacé a été fondé. De plus, le génie de l’Antiquité trouva le théorème de la poussée hydrostatique.
Le «prince» des ingénieurs, en particulier des hydrauliciens, est Léonard de Vinci (1452-1519). Dans
tous ses manuscrits, on trouve les traces de ses études sur les mouvements de l’eau et de ses projets
d’ouvrages hydrauliques. Ces dessins incluent des machines élévatoires, des canaux, des écluses, qui ne
sont pas des croquis d’artiste (sauf pour la beauté du trait), mais des dessins d’ingénieur, qui ne font pas
fi des détails de réalisation.
Evangelista Torricelli (1608-1647), disciple de Galilée (1564-1642) est bien connu par le principe qui
exprime la proportionnalité de la vitesse et de la racine carrée des pressions (ou des hauteurs), principe
fondamental inspiré à Torricelli par un rapprochement entre les travaux de Galilée sur la chute des corps,
et ses propres observations. Les applications englobent l’écoulement au travers d’orifices et les jets.
La vie de Sir Isaac Newton (1642-1727) fut une ascension continuelle vers la gloire, les honneurs et
la richesse. Sa célébrité est consacrée dans tout le monde savant en 1687 par la publication de son œuvre
maîtresse «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica». Newton s’est peu occupé d’hydraulique: ses
considérations sur l’écoulement par un orifice ou sur la résistance des fluides sont fondées sur des
raisonnements erronés. Ainsi, il énonce que la vitesse des vagues est proportionnelle à la racine carrée
de leur longueur. Il est universellement considéré comme le plus grand génie scientifique de son temps.
Ceci e4t particulièrement dû au développement du calcul infinitésimal et à la découverte de la loi suivant
laquelle la force est égale au produit de la masse par l’accélération.
Titulaire, à 26 ans, de la chaire d’astronomie à Padoue, puis de celle de physique, orienté vers
l’hydraulique, Giovanni Poleni (1683-1761) succéda en 1719 à Nicolas Bernoulli à la chaire de mathémati-
ques. Dans ses ouvrages, il mit au point plusieurs questions concernant le débit de divers types d’orifices;
en particulier, le débit d’une ouverture rectangulaire à surface libre fit l’objet d’une équation qui a
perpétué le nom de Poleni.
Le théorème de Daniel Bernoulli (1700-1782) est l’un des fondements les plus importants de l’hydrau-
lique. Après les prodigieuses découvertes de Pascal sur la notion de pression, les observations pénétrantes
d’un Galilée, d’un Torricelli ou d’un Pitot, Bernoulli sut dégager, dans sa célèbre «Hydrodynamica», le
caractère extraordinaire de ce théorème. Tel est l’aspect le plus retentissant de son œuvre. Pourtant son
génie s’exerça dans bien d’autres domaines: mécanique, physique, mathématiques, enrichissant encore
la contribution de cette dynastie des Bernoulli qui, en deux générations, réussit le tour de force de
produire au moins quatre mathématiciens de tout premier ordre. Né à Groningue en Hollande, il mourut
à Bâle en 1782.
BREF HISTORIQUE DES HYDRAULICIENS
413
La prodigieuse fécondité du cerveau de Léonhard Euler (1707-1783) est peut-être ce qui a frappé ses
contemporains. Il fit progresser toutes les branches des mathématiques. En hydraulique, il établit les
équations générales du mouvement des fluides parfaits, étudia l’équilibre et le mouvement des navires.
Un de ses mémoires contient un projet de turbine à réaction.
La formule de Antoine de Chezy (1718-1798) aura été une juste mais tardive réparation du sort envers
un homme qui fut essentiellement un modeste. De Chezy dirigea la construction de nombreux ouvrages
d’art. En 1794, il fut évincé de la direction de l’Ecole des Ponts et Chaussées et connut presque la misère.
Ce n’est qu’en 1797 qu’il fut finalement nommé à ce poste.
Pierre Louis Georges Du Buat (1732-1787) est souvent considéré comme le «père des essais hydrau-
liques». Avec de Prony et Eytelwein (1764-1848) il a trouvé que le frottement dû à un écoulement dans
des conduites est indépendant de l’état des parois. De Prony établit ce résultat en remarquant que la zone
d’écoulement auprès de la paroi n’a qu’une faible influence sur l’ensemble de l’écoulement. Cet argument
a été repris plus tard par Prandtl, qui démontra que le frottement interne ne dépend que de la viscosité
du fluide, étant admis que la conduite est hydrauliquement lisse.
Le nom de Jean Charles de Borda (1733-1799) fut le symbole de la triple valeur scientifique, technique
et militaire. Préoccupé par la dynamique des fluides, il s’adonna à l’hydrodynamique en étudiant la
résistance de l’eau sur les navires, les filets d’eau dans les pompes, les écoulements par des orifices ou des
ajutages. A ce sujet, il mit en évidence les pertes de charge par élargissement brusque connues sous le nom
de «pertes à la Borda», ainsi que leur expression (V j-V2)2/(2g); apparemment, Borda est le premier
hydraulicien à avoir introduit explicitement le facteur (2g) dans l’expression d’un écoulement.
En 1788, à propos d’une contestation sur un partage d’eau d’irrigation, Jean-Baptiste Venturi
(1746-1822) se manifesta pour la première fois dans le domaine de l’hydraulique. Venturi, né à Modène
et plus tard professeur à Pavie, est surtout connu par «l’effet Venturi», à savoir un abaissement local de
la ligne de pression à travers une contraction locale dans une conduite. Ce fait, qui était déjà connu mais
peu exploité avant Venturi, permet d’obtenir une estimation simple du débit.
En 1819, Louis Marie Henri Navier (1785-1836) publia une nouvelle édition du premier tome de
l’«Architecture hydraulique de Belidor». Elle est accompagnée de notes d’une telle ampleur qu’elles en
faisaient un livre nouveau. L’ensemble des développements donnés par Navier marque le passage de
l’hydraulique du XVIIIe siècle au XIXe siècle. Son nom et celui de Stokes sont devenus ceux d’un système
d’équations différentielles, qui figurent au début des cours d’hydrodynamique.
Jean-Baptiste Charles Joseph Bélanger (1789-1874) exposait en 1828 une méthode élémentaire de
calcul des courbes de remous, préfigurant les méthodes classiques actuelles et basées sur une équation
qui s’inspirait des travaux de Prony (1755-1839) sur l’expression du frottement en écoulement uniforme.
Il introduit également la notion du débit maximal sur un déversoir à large seuil. Finalement, il applique
le théorème de la quantité de mouvement à un ressaut hydraulique dans un canal rectangulaire prisma-
tique et donne l’expression familière des hauteurs conjuguées.
Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) est l’un de ces savants malchanceux dont le travail et
les découvertes tardent parfois à obtenir tout le crédit qu’ils méritent; si, pour caractériser un régime
d’écoulement, il ne parvint pas à établir un paramètre de similitude général tenant compte de la viscosité,
il reste évident qu’il précéda Reynolds dans plusieurs découvertes habituellement attribuées à ce dernier.
414
ANNEXE l
Adémas, Jean-Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) est connu surtout pour les travaux de
mécanique rationnelle et de résistance des matériaux. Ses travaux sur le mouvement non permanent des
cours d’eau et le système des équations fondamentales des écoulements unidirectionnels sont liés à son
nom. Dans la plupart de ces travaux, des approches théoriques solides sont utilisées dans des buts
pratiques et il va jusque dans le détail des réalisations.
Dijon d’abord, Paris enfin, marquèrent les deux étapes essentielles de la brillante carrière de Henri-
Philibert-Gaspard Darcy (1803-1858). L’alimentation en eau de Dijon en fut certainement le chef-
d’œuvre. Il lia indissolublement son nom à l’une des bases fondamentales des théories modernes sur les
écoulements en milieu poreux, la «loi de Darcy».
Arsène Jule Emile Juvénal Dupuit (1804-1865) est peut-être autant, sinon plus connu comme écono-
miste que comme ingénieur et hydraulicien. Il a construit et non pas seulement calculé ou pensé. Sa
première œuvre, «Etude théorique et pratique sur le mouvement des eaux courantes» publiée en 1848,
contient des sujets comme des écoulements à surface libre, des ondes de crue, des courbes de remous, et
les effets des élargissements et des rétrécissements des canaux en fonction de la ligne de profondeur
critique. Il fut un des premiers qui sut opérer un rapprochement entre le ruissellement et les précipita-
tions.
La plupart des formulaires de l’ingénieur signalent le nom et les travaux de Ludwig-Julius Weisbach
(1806-1871) à propos des coefficients de rugosité en canal ou de divers cas de pertes de charge singulières
en conduite. Il enseigna à l’Ecole des Mines à Freiberg, en Saxe, où il se consacra à la mécanique et à
l’hydraulique appliquée. Parmi ses nombreuses publications, l’hydraulicien retiendra son «Hydraulique
expérimentale» qui, parue en 1855, et rééditée par la suite à plusieurs reprises, est certainement l’un des
premiers ouvrages de ce type.
William Froude (1810-1879) a commencé, parmi les premiers, à déterminer les caractéristiques d’un
écoulement par des expériences. En fait, c’est à Torquay en Angleterre qu’il fit ses travaux les plus
connus, en particulier ses études devenues classiques sur la résistance de frottement des plans minces,
études complétées par des essais sur navires réels. Son nom est attaché au principe des études sur modèles
et le «nombre de Froude» tient compte des effets de la gravitation dans des écoulements unidirectionnels.
Robert Manning (1816-1897), né en Normandie, commença sa carrière d’ingénieur en Irlande. Si
Manning s’est principalement intéressé à l’hydrologie, c’est son mémoire de 1889 «On the Flow of Water
in open Channels and Pipes» qui lui a valu une grande notoriété dans le monde des hydrauliciens. La
formule et le coefficient qu’il proposa pour la perte de charge sont devenus classiques et sont encore
utilisés de nos jours.
Lorsqu’il s’éteignit à plus de 83 ans, ayant conservé, malgré une surdité quasi complète, sa vivacité
et sa pénétration coutumières, Sir George Gabriel Stockes (1819-1903) était déjà parvenu au sommet de
la notoriété. Né en Irlande, formé à Cambridge, il avait su donner à la science anglaise quelques-unes
de ses plus brillantes références en matière de physique théorique. Ses travaux forment une liste
impressionnante où les dates de publications s’étalent sur près de 60 années. Toutes témoignent du
double aspect du génie de Stokes: d’une part la grande envergure de ses théories générales, d’autre part
le souci de pousser dans les moindres détails. En plus de l’optique physique, la mécanique des fluides lui
doit essentiellement les équations générales des fluides visqueux, élaborées une vingtaine d’années
auparavant par le Français Navier.
BREF HISTORIQUE DES HYDRAULICIENS
415
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) donna sa première mesure dans son célèbre
mémoire «Ueber die Erhaltung der Kraft» (1847), qui fit époque, et traça les voies de l'énergétique
moderne. En 1851, il étudia les mouvements discontinus de l’eau et découvrit dès 1858 les lois fondamen-
tales de la théorie des tourbillons. Après il se tourna vers l’électricité et démontra l’existence d'un atome
d’électricité qui devait devenir l’électron. Il fut l’un des fondateurs de la thermodynamique chimique et
donna une théorie complète de la dispersion de la lumière par la matière. Une œuvre aussi riche fait de
lui l’un des plus grands esprits du XIXe siècle et justifie l’opinion selon laquelle il domina presque toute
la science de son époque!
Jacques Antoine Charles Bresse (1822-1883) succéda à Bélanger comme professeur à l’Ecole Natio-
nale des Ponts et Chaussées à Paris. Dans son «Cours de mécanique appliquée», il développa la théorie
des écoulements en canaux découverts en tenant compte de la charge spécifique et de la quantité de
mouvement, qui a été repris plus tard par Boussinesq.
L’œuvre de Henri-Emile Bazin (1829-1917) est surtout expérimentale car il eut le génie de compren-
dre, dans le domaine ardu où il évoluait, que la science ne pouvait servir que de guide et devait souvent
céder le pas à l’expérimentation. Qu’elles aient touché à l'écoulement de l’eau en mouvement unifonqe,
à la propagation des ondes et à l'influence de la rugosité des parois dans les canaux découverts, au débit
des déversoirs, à la répartition des vitesses, au ressaut hydraulique, ou à la mesure des pressions à
l’intérieur des nappes, ses expériences sont toutes marquées d’une rare perspicacité et d'une minutie
exceptionnelle.
Après ses travaux au sujet de la thermodynamique, ce sont surtout les recherches dans le domaine
de la mécanique des fluides qui rendent Osborne Reynolds (1842-1912) célèbre. Sa fameuse expérience,
qui montre les deux natures possibles - laminaire ou turbulente - de l’écoulement d’un liquide, a les
conséquences les plus fécondes. Elle permet de concilier les résultats apparemment discordants trouvés
quelques années auparavant par Poiseuille et Darcy en étudiant les pertes de charge dans des conduites.
Joseph Boussinesq (1842-1929) est l’un des très grands noms de l’hydraulique théorique et son
monumental «Essai sur la théorie des eaux courantes», même vieilli en maints chapitres, demeure une
bible pour le spécialiste attiré par la théorie. L’importance de ses travaux sur les «Ecoulements tourbil-
lonnants et tumultueux» et sur les ondes ne doit pas faire oublier cependant l’ensemble de son œuvre qui
concerne également l’optique, la chaleur et l’élasticité. Deux mots caractérisent le génie de Boussinesq:
intuition et sens des approximations. Son œuvre a, de ce fait, une allure très originale. Il est juste
d’associer à son nom celui de De Saint-Venant, qui découvrit son génie et le soutint dans ses débuts
difficiles.
«
L’œuvre principale de Philipp Forchheimer (1852-1939) ne fut en effet qu’un simple chapitre d’une
encyclopédie mathématique. Ce n’est que devant l'audience exceptionnelle obtenue par ce chapitre,
longtemps après, que son auteur consentit à ce qu’il fût réédité sous le titre «Traité d’hydraulique» qui
reste un commentaire remarquable des données hydrauliques classiques. Parmi les nombreuses publica-
tions qu’on doit à Forchheimer, ses travaux sur les lois de la circulation souterraine des eaux, l’alimenta-
tion des puits, la vérification de la formule de Manning doivent être mentionnés.
On peut dire de Hubert Engels (1854-1945) qu’il fut le père du laboratoire d’hydraulique fluviale,
utilisant les modèles réduits. Il fut l’un des premiers à explorer les ressources de la similitude pour
résoudre les problèmes posés par les ouvrages hydrauliques.
416
ANNEXE I
Peu de carrières furent aussi diversement et extraordinairement remplies que celle de John Ripley
Freeman (1855-1932), né à Maine aux Etat-Unis. Tour à tour chargé d'organiser tous les moyens de lutte
contre le feu, de mettre en valeur le fleuve Saint-Laurent, de développer l’énergie hydraulique au Canada,
de construire des grands barrages au Mexique et dans l’Idaho, d’étudier divers problèmes pour le canal
de Panama, d’améliorer, en Chine, le grand canal, les crues du Fleuve Jaune, il mit ses profondes
connaissances au service de nombreux pays. Par son autorité incontestée, Freeman mérite sans doute
d’être compté parmi les grands pionniers de l’hydraulique contemporaine. On peut le considérer comme
le principal promoteur de l’hydraulique américaine.
Le mardi de Pâques 1902, une conduite forcée éclatait à la Centrale électrique de Papigno en Italie.
Cet accident ne causa guère de dégâts, ne fit aucune victime, mais il est à l’origine d’un différend entre
la société exploitante et le constructeur de la conduite. Lorenzo Allievi (1856-1941) fut appelé pour
arbitrer le conflit. Intervention géniale qui, d’un seul coup, allait enfin illuminer le domaine resté si obscur
du «coup de bélier d’ondes». Quelques semaines suffirent à Allievi pour pénétrer le mécanisme physique
du phénomène.
Theodor Rehbock (1864-1950), ingénieur allemand et professeur à Karlsruhe, né à Amsterdam en
1864, mort en 1950, est bien connu pour ses réalisations de ponts, de barrages et d’ouvrages d’irrigation
et de drainage en Allemagne, aux Pays-Bas et en Amérique du Nord. En hydraulique, sa formule pour
le coefficient de débit de minces déversoirs est souvent appliquée. Les notions d’écoulements fluvial et
torrentiel ont été également introduites par Rehbock.
Ludwig Prandtl (1875-1953) est un maître incomparable de la mécanique des fluides. La Fondation
Kaiser Wilhelm II chargea Prandtl d’organiser à Goettingen un grand institut qui succéda à une première
installation modeste d’essais aérodynamiques. L’œuvre de Prandtl porte sur tous les domaines de la
mécanique appliquée. Outre la théorie de l’élasticité, il a apporté une contribution importante à la théorie
de la plasticité. Mais c’est principalement en mécanique des fluides que son rôle s’est montré décisif. Le
mémoire fondamental de Prandtl «Ueber Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Bewegung», présenté en
1904 à Heidelberg, eut d’emblée un grand retentissement car la notion nouvelle de couche limite
redonnait accès aux domaines des machines hydrauliques, des phénomènes de décollement et de surface
de discontinuité.
Louis Bergeron (1876-1948) a travaillé sur les problèmes de machines hydrauliques et de coups de
béliers. En suivant pas à pas les phénomènes dans le temps, la méthode proposée pour le calcul des coups
de béliers est féconde et permet même de résoudre des problèmes mathématiques inabordables par
l’analyse. Le nom de Bergeron reste ainsi attaché à la méthode graphique de résolution des problèmes
posés par les phémonènes transitoires.
Bien que né en Autriche, Victor Kaplan (1876-1934) était de nationalité allemande. Dès le début de
son enseignement à Brno (CSSR), il se livra à l’étude systématique des turbines pouvant avoir une vitesse
spécifique très élevée. Ses recherches l’amenèrent à concevoir un nouveau type de turbine axiale: la
turbine rapide à hélice avec roue comportant des pales orientables. Pendant longtemps, Kaplan dut lutter
pour faire admettre la valeur pratique de son principe. Son nom est aujourd’hui attaché à la turbine
employée dans les aménagements à basse chute.
Né à Tiflis, Boris Bakhmeteff (1880-1951) fit ses études à Saint-Pétersbourg et à l’EPF de Zurich. Au
cours de la Première Guerre mondiale, il fut envoyé aux Etats-Unis. Depuis 1931 jusqu’à son décès en
BREF HISTORIQUE DES HYDRAULICŒNS
417
1951, il fut professeur de génie civil à l’Université de Colombia. Son intérêt pour l’hydraulique inclut les
canaux découverts où il fut le premier à utiliser le diagramme débit-charge spécifique. D’autres publica-
tions intéressantes traitent du ressaut hydraulique (1936).
Eugen Meyer-Peter (1883-1969), à l’âge de 38 ans, fut nommé professeur titulaire de la chaire de
constructions hydrauliques et des fondations à l’EPF de Zurich et consacra une partie importante de ses
efforts au développement des bases de l’hydraulique et notamment des études sur modèles réduits. Il
devint le fondateur du laboratoire de constructions hydrauliques et de mécanique des sols à Zurich
(1930). Ses recherches (en collaboration avec H. Favre et R. Muller) sont liées aux écoulements
transitoires à surface libre dans des centrales à basse chute, aux affouillements à l’aval de barrage sur des
rivières, au débit de sédiments dans des rivières et torrents qui donnèrent une formule portant son nom.
C’est passionnément et avec des qualités de chercheur exceptionnelles que Giulio de Marchi,
(1890-1972) se consacra aux études hydrauliques. Entre 1922-1928, il fut professeur à Pise. Par la suite,
il fut appelé à occuper la chaire d’hydraulique de l’Ecole Polytechnique de Milan. Parce qu’il jugeait la
recherche expérimentale très importante, il installa des laboratoires. Une fois établi à Milan, son œuvre
se compléta par ses travaux sur les écoulements à surface libre avec débit localement varié, ses recherches
sur les canaux Venturi, son étude sur l’onde résultant de la rupture d’un barrage et l’examen des
écoulements uniformes dans les grandes conduites et les grands canaux.
Paul Boess (1890-1969) étudia sous la direction du professeur Rehbock et fut nommé professeur à
Karlsruhe en 1930. Il apporta une contribution importante à l’étude des écoulements dans des canaux
découverts rectilignes et courbes pour la résolution analytique des problèmes hydrauliques. La notion
de la «ligne de charge» a été introduite par Boess. Il se considéra toujours comme un ingénieur et estima
que sa première tâche était d’assister l’ingénieur praticien en résolvant ses problèmes.
La vie professionnelle d'Alfred Stucky (1892-1969) a commencé par une thèse présentée à l’EPFZ en
1920 et consacrée aux barrages-voûtes, qui restèrent une de ses préoccupations majeures. En 1926,
A. Stucky fut nommé professeur d’hydrométrie et de travaux hydrauliques à l’Ecole d’ingénieurs de
Lausanne où il créa divers laboratoires. Après les barrages-voûtes, il s’intéressa également aux problèmes
d’hydraulique comme les chambres d’équilibre, les écoulements portuaires, et aux questions de refroidis-
sements de grands volumes de béton. En même temps qu’il animait ainsi l’enseignement, il dirigea un
bureau technique de réputation internationale qui attache son nom à une quarantaine d’ouvrages
importants.
Henry Favre (1901-1966) naquit à Genève et étudia à l’EPFZ. Sa thèse «Sur une nouvelle méthode
optique de détermination des tensions intérieures» a été révolutionnaire. Plus tard, il travailla comme
directeur adjoint de la VAWE (EPFZ) auprès de E. Meyer-Peter. Des travaux de recherche comme la
«Contribution à l’étude des courants liquides», l’«Etude théorique et expérimentale des ondes de
translation dans des canaux découverts», et d’autres sur des problèmes de coups de bélier, de sédimenta-
tion et d’écoulement à débit localement varié datent de cette époque. En 1938, il fut nommé professeur
de mécanique à l’EPFZ et s’occupa dès lors de la théorie d’élasticité.
Arthur T. Ippen (1907-1974), d’origine allemande, immigra aux Etats-Unis en 1932, où il collabora
tout d’abord avec Robert T. Knapp et T. von Karman sur des questions d’écoulement à surface libre
à grande vitesse. Après, en 1945, il devint professeur au MIT et s’occupa notamment des problèmes de
l’hydrodynamique des systèmes liquides à surface libre et des systèmes liquide-solide.
418
ANNEXE I
Ven Te Chow (1919-1981) est né en Chine; après avoir terminé ses.études, il fit un doctorat à
l’Université d’Illinois. Parmi ses nombreuses activités dans le domaine de l’hydraulique, l’hydrologie et
les ressources en eau, Chow fut président de diverses associations internationales. De plus, il est auteur
de plusieurs ouvrages bien connus, notamment de «Open Channel Hydraulics» et «Handbook of Applied
Hydrology», et de plus de 200 publications techniques. Sa contribution à la science de l’hydrologie et à
l’aménagement des ressources en eau lui ont valu une renommée mondiale.
Références
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DÉFINITION DE TERMES
419
Annexe II
Définition de termes
Aération:	Action d’introduire de l’air dans un écoulement, soit par entraînement d’air superficiel, soit par un aérateur. La quantité d’air entraîné dans un écoule- ment dépend fortement de la caractéristique turbulente et de la géométrie du contour.
Canal:	Un canal découvert correspond à un réseau de transport à surface libre pour des liquides. Des rivières, des cours d’eau ou des conduites partiellement remplies constituent les canaux.
Cavitation:	Formation de cavités remplies de vapeur dans un fluide, résultant d’une réduction locale de la pression dans le fluide. La cavitation est un bouillon- nement local.
Charge:	Somme de l’altitude d’une particule par rapport à un niveau de référence, de la hauteur de pression locale et de la hauteur de vitesse en ce point. Exprime l’énergie locale de l’écoulement divisée par la masse et l’accélération gravita- tionnelle.
Coefficient de frottement:	Paramètre adimensionnel qui définit la perte de charge d’un écoulement par unité de longueur.
Conduite:	Une galerie rectiligne cylindrique servant au transport de fluide et caractéri- sée par son diamètre intérieur et la rugosité de sa surface.
Courbe de remous:	Profil de surface dans un cours d’eau, modifié longitudinalement par l’effet de frottement. L’écoulement est alors graduellement varié.
Déversoir:	Une structure construite en travers d’un cours d’eau pour maintenir un plan d’eau à l’amont.
Diamètre hydraulique:	Le quotient de quatre fois la section occupée par l’écoulement par le périmè- tre mouillé de cette section.
Dissipateur d’énergie:	Un ouvrage dans lequel la transition entre l’écoulement torrentiel et l’écou- lement fluvial est achevée, en tenant particulièrement compte de la stabilité, de la compacité et de l’efficacité du phénomène.
Ecoulement fluvial:	Ecoulement pour lequel la vitesse moyenne est plus petite que la vitesse d’une intumescence infinitésimale, c’est-à-dire pour laquelle le nombre de Froude est inférieur à l’unité.
Ecoulement irrotationnel:	Un écoulement sans vorticité. Un écoulement parfait, non visqueux est souvent irrotationnel.
Erosion de cavitation:	Si les bulles de vapeur parviennent dans des zones d’écoulement à pression plus élevée, elles implosent. Si l’implosion a lieu près des parois, l’énergie ainsi libérée peut attaquer la surface des parois et conduit ainsi à l’érosion due à la cavitation.
Fluide:	Milieu matériel continu, caractérisé par un déplacement simple de ses élé- ments constitutifs.
Jet:	Une source de masse et impulsion de fluide, qui entraîne le fluide environ- nant.
420
ANNEXE II
Ligne de courant:	Une courbe qui est toujours l’enveloppe des vitesses de l’écoulement. Il n’existe pas d’écoulement qui traverse les lignes de courant.
Ligne de charge:	Courbe qui rejoint localement les charges ponctuelles. Dans un écoulement à débit constant, la ligne de charge baisse dans la direction du courant.
Nombre de Froude:	Nombre qui caractérise la dynamique de l’écoulement. Un écoulement est fluvial si le nombre de Froude F est plus petit que l’unité, critique si F = 1 et torrentiel si F > 1.
Perte de charge:	Fait qu’une certaine quantité d’énergie mécanique soit dissipée lors de l’écoulement d’un fluide. La perte de charge peut être due au frottement ou à des singularités. Elle est souvent proportionnelle au carré d’une vitesse de réference.
Pression:	La force perpendiculaire par unité de surface sur un fluide (ou corps solide). La pression dynamique correspond à la vitesse V au carré fois la demi-masse volumique p, la hauteur de pression dynamique devient alors Pd/(pg) = V2/(2g). La pression statique ps dans un écoulement est mesurée par un observateur à même vitesse, ou par l’observation d’un manomètre, qui indique la pression statique par rapport à un petit trou dans la paroi. La pression totale pt est égale à la somme pt=ps+pd.
Point de stagnation:	Le point d’un champ d’écoulement où la vitesse devient nulle. Dans un écoulement incompressible, la pression au point de stagnation est égale à la pression totale.
Ressaut hydraulique:	La transition rapidement variée d’un écoulement torrentiel en un écoule- ment fluvial, associée à une perte de charge locale considérable.
Rugosité de surface:	Un paramètre d’unité de longueur, caractérisant les irrégularités d’une surface qui influencent l’écoulement.
Séparation:	La condition qui apparaît si l’écoulement principal d’un fluide visqueux ne suit pas la paroi du canal ou de la conduite.
Surface de contrôle:	La surface d’un volume de contrôle par laquelle se fait tout transport dans un système ou hors d’un système.
Transition:	Le processus selon lequel un écoulement fluvial devient critique (F= 1) et finalement atteint la condition d’écoulement torrentielle dans des canaux découverts. Egalement la limite entre les écoulements laminaire et turbulent.
Turbulence:	Mélange chaotique d’un écoulement visqueux, amené par des vortex de dimension importante et conduisant à une dissipation d’énergie considé- rable. La turbulence est amorcée par cisaillement comme .dans une couche- limite.
Vanne:	Installation de contrôle et de réglage, sous laquelle l’eau s’écoule. On distin- gue les vannes de surface et les vannes de fond. L’écoulement en dessous de la vanne peut être noyé ou dénoyé.
Vitesse: Volume de contrôle: Vortex:	Quantité exprimée par le rapport d’une distance au temps mis à la parcourir. Un volume de l’espace contenant un système d’intérêt. Une structure cohérente de fluide en rotation.
PROPRIÉTÉS PHYSIQUES DES FLUIDES
421
Annexe III
Propriétés physiques des fluides
III.	1 Introduction
Toutes les grandeurs utilisées en mécanique ont une dimension: longueur, temps, masse, force, énergie
ou quantité de mouvement. Elles peuvent être représentées par trois unités de base qui sont la
longueur (m), le temps (s) et la masse (kg). Dans le système international - SI - on définit de plus le
Newton (N) comme unité de force. Il est relié par
1 kgms"2 = 1 N.	(III. 1)
Avec les unités de base SI:
longueur temps masse	(m) mètre (s) seconde (kg) kilogramme
on déduit les dimensions des grandeurs suivantes:
surface	m2	volume	m
vitesse	ms-1	accélération	-2 ms
débit de volume	m3s~l	débit de masse	kgs-1
poids spécifique	Nm-3	masse volumique	kgm-3
tension (pression)	Pa = Nm“2	moment	Nm
travail (énergie)	J = Nm	puissance	W = Js“,=Nms"
III.2 Masse volumique, poids spécifique et gravité
La masse volumique d’un fluide p (kgm~3) est le rapport entre la masse d’un élément et son volume
p = dm/dV .	(III.2)
Elle dépend de la pression et de la température. Pour les liquides, elle est pratiquement indépendante de
la pression mais varie en fonction de la température
£. = A + tq
Po A -I- T
(III.3)
où A = 4560K est une constante par rapport à la température de référence TO=273K. Un changement
de volume de 1% résulte donc d’un changement de température de 50 °C. Par conséquent, pour l’eau
s’écoulant dans la nature, on peut poser p/po— 1, donc p = lOOOkgm-3. Par contre, des changements
locaux de la masse volumique sont importants pour les courants de densité.
422
ANNEXE III
A cause de l'élasticité de l'eau, une variation de la pression Ap provoque un changement de volume
AV. D’après la loi de Hooke
A	AV Ap
Ap = — Ef— = EF—
V p
(III.4)
où EF = 20,6Nm-2 est le module d’élasticité de l’eau. Normalement, l’eau peut être considérée comme
liquide incompressible. Par contre, dans les problèmes de coup de bélier, cette propriété ne peut plus être
négligée.
La pesanteur joue un rôle important dans le cas d’un liquide. Elle dépend de l’altitude z (m) par
rapport au niveau de la mer. ro = 6,37 • 106m étant le rayon moyen de la Terre, l’accélération de la
pesanteur s’exprime par
g(z) =
(IIL5)
où go = 9,807ms 2.
Le poids spécifique y (Nm'3) est le poids d’un volume unitaire de fluide. D’après la deuxième loi de
Newton
ï = pg
(III.6)
où p et g sont déterminés au moyen des équations (III.3, III.5). Pour l’eau, on peut admettre normale-
ment y =9807 Nm3.
III	.3 Frottement, viscosité et turbulence
Un fluide, gazeux ou liquide, est un milieu matériel continu, qui est caractérisé par un déplacement
simple de ses éléments constitutifs. Par rapport à un corps rigide, un fluide peut être facilement déformé.
Le comportement des fluides est donc caractérisé entre autres par tes forces tangentielles faibles agissant
entre les éléments qui se déplacent à des vitesses différentes. Ces forces par unité de surface correspondent
à des contraintes de frottement’, elles dépendent fortement de la variation de la vitesse perpendiculaire-
ment à la direction du mouvement. Les fluides, pour lesquels les contraintes de frottement sont négligea-
bles, sont appelés fluides parfaits; par contre, les fluides (réels) caractérisés par l’apparition des tensions
de frottement sont appelés fluides visqueux.
Le fait que le maintien d’un écoulement demande de l’énergie est dû à la viscosité du fluide réel. La
viscosité pour un fluide signifie la capacité de ce dernier de transmettre des contraintes tangentielles entre
deux de ses éléments.
D’après Newton, le frottement moléculaire interne entre deux éléments d’un fluide est indépendant
de la pression normale, mais proportionnel à la variation de la vitesse entre eux. Soit (u) et
u+9u/(9n) • dn les vitesses de deux éléments et 9n la distance perpendiculaire à la vitesse. La contrainte
de cisaillement t (Nm-2) est alors définie par
(III.7)
PROPRIÉTÉS PHYSIQUES DES FLUIDES
423
où g (Nsm-2 = kgm-1s-1) est un facteur de proportionnalité, nommé la viscosité dynamique, p caracté-
rise le fluide et dépend de la température. L’équation (III.7) est la loi élémentaire de Newton pour les
écoulements laminaires (fluides newtoniens). Pour l’eau, on en déduit
p/po = exp ——
(III.8)
avec po= 17,91 • 10-4Nsm-2, B = 511,6K, C= —149,4K, TO = 273K. p(T) décroît donc lorsque la tempé-
rature T croît.
La viscosité cinématique v (m2s-1) est définie par
v = p/p	(III.9)
où p est la masse volumique. Le tableau III. 1 donne la valeur de v en fonction de la température T (°C).
Ainsi, pour de l’eau d’une température de 10°C, on obtient v= 1,316 • 10-6m2s-1.
Tableau II1.1 v(T) pour de l’eau d’après l’équation (III.9).
T(°C)	-10	0	10	20	30	50	100
106v (m2s ')	2,573	1,791	1,316	1,010	0,803	0,549	0,287
III	.4 Vitesse du son, capillarité
Dans un fluide compressible, une perturbation se propage avec une vitesse finie due à l’élasticité.
D’après Laplace, la vitesse du son est
a = (dp/dp)1'2 = (EF/p)'/2	(III.10)
où dp/dp est la variation de pression par rapport à la variation de la masse volumique et EF, p sont
déterminés à partir des équations (III.3 et III.4). Avec EF = 2,06 • 109Nm-2 et p = lOOOkgm-3, la vitesse
du son dans l’eau devient a= 1435ms-1, donc acau~4 • aair. Pour un fluide incompressible, a-*oo.
Si un liquide est limité par une paroi rigide et une surface libre, les molécules du fluide sont influencées
par le milieu au-dessus de la surface du fluide et par cette paroi. On parle de liquides mouillants et non
mouillants, selon l’effet des forces d’attraction des molécules de la paroi par rapport à celles du voisinage
du fluide liquide. A proximité de la paroi, la surface du liquide considéré est donc courbe, soit convexe,
soit concave.
Chaque molécule d’un fluide stagnant est soumise à des forces d'attraction moléculaire; ces forces
n’ont toutefois qu’un rayon d’influence de l’ordre de ro~ 10-9m. Si la distance de la molécule de la paroi
est plus grande que ro, il y a équilibre et la molécule n’est pas influencée par la paroi. Par contre, si cette
distance est inférieure à ro, les composantes tangentielles des forces d’attraction moléculaires créent des
tensions le long de la surface délimitant le fluide. C’est la tension superficielle o (Nm-1). Celle-ci a
tendance à former des gouttes (volume de surface minimale). Pour une température de 20°C, on obtient
o=0,073Nm-1 si les deux fluides sont l’eau et l’air, et o = 0,020Nm-1 pour l’huile et l’eau.
424
ANNEXE III
ni.5 Caractéristiques thermiques de Peau
Certaines propriétés des fluides dépendent fortement de la température (masse volumique ou visco-
sité).
La chaleur spécifique c (J • kg-,K-1) d’un fluide correspond à la quantité de chaleur (en J) qui est
nécessaire pour augmenter de 1K la température d’une masse de 1kg. c dépend de la température et de
la pression du fluide considéré.
Pour de l’eau dont la température est comprise entre 0 et 20 °C, ces deux influences sont presque
négligeables; c(20°C)=4180Jkg’lK“' est une bonne approximation.
Le point d’ébullition d’un fluide dépend fortement de la pression. Une diminution de la pression
entraîne également un abaissement de la température d’ébullition. Aux basses pressions, comme cela est
possible pour des écoulements à hautes vitesses, la pression locale peut décroître jusqu’à la pression
d’ébullition. Ce phénomène s’appelle cavitation (chap. 14) et est caractérisé par le dégagement de vapeur
et des bulles de gaz qui conduisent à la formation de zones de vide. La pression d’ébullition de l’eau à
20°C correspond à une pression absolue de 2325Nm-2, c’est-à-dire à 9,87 • 104Nm~2 au-dessous de la
pression normale. Le tableau III.2 donne la relation entre la température et la pression d’ébullition.
Tableau IH.2 Pression de vapeur relative à la pression normale pHg - 760 mm Hg en
fonction de la température.
T (°C)	0	10	20	30	40	60	80	100
Pe/Pli,	0,006	0,012	0,023	0,042	0,073	0,197	0,467	1
LOIS DE SIMILITUDE DANS LA MÉCANIQUE DES FLUIDES
425
Annexe IV
Lois de similitude dans la mécanique des fluides
IV.	1 Introduction
Deux écoulements se comportent de manière semblable si les caractéristiques géométriques et
physiques sont liées par des relations bien définies à des temps correspondants.
La similitude géométrique concerne les longueurs, les surfaces et les volumes; par contre les propriétés
typiques d’un écoulement comme la vitesse, l’accélération et la force peuvent être liées par une similitude
physique. Il n’est pas possible de réaliser la similitude physique de deux processus d’écoulements qui sont
géométriquement semblables. Il est dès lors seulement possible de comparer les caractéristiques physi-
ques essentielles des deux écoulements. Cette comparaison se fait au moyen des nombres de similitude.
Ces nombres revêtent un intérêt particulier dans le contexte des essais sur modèles réduits. Un processus
d’écoulement est modélisé par un modèle à échelle réduite, qui satisfait la similitude géométrique avec
le prototype. En tenant compte des lois de similitude, les observations sur le modèle réduit peuvent être
interprétées pour le prototype [IV.4].
Il existe trois méthodes pour la détermination des nombres de similitude:
-	La méthode de l’analyse de la dimension
Connaissant tous les paramètres de dimensions différentes qui peuvent influencer le processus, la
combinaison de leurs produits conduit à des expressions adimensionnelles.
-	La méthode de quantités équivalentes
Cette méthode consiste à déterminer des rapports de quantités de mêmes dimensions (comme des
forces ou des énergies). Elle n’est que rarement appliquée.
-	La méthode des équations différentielles
Cette méthode n’examine plus les quantités singulières mais analyse un processus par rapport à
d’autres processus connus, qui sont représentés par le même formalisme mathématique. Comme
exemples, la vibration transversale d’une corde homogène, soumise à une traction constante, la
vibration de torsion d’une barre cylindrique homogène, de profil circulaire, le mouvement non
permanent d’un liquide dans une conduite forcée prismatique et les petits mouvements non
permanents d’un liquide dans un canal découvert prismatique rectangulaire se décrivent avec le
même système d’équations [IV.2].
Dans ce qui suit, seule la méthode de l’analyse des dimensions sera exposée.
IV.2 Détermination des nombres de similitude
♦
Chaque grandeur physique peut être représentée par un produit de puissances des unités de base
(paragraphe III. 1). En mécanique, elles correspondent à la longueur ft[m], au temps t[s] et à la masse [kg].
Il s’ensuit que chaque nombre de similitude se présente comme le produit de puissances des unités de
base. Les nombres de similitude sont donc indépendants des systèmes d’unités utilisés.
Le théorème de Buckingham (théorème n) [IV. 1] établit qu’une fonction entre n quantités à dimension,
mesurées par m unités de base indépendantes, ont (n — m) nombres de similitude differents.
426
ANNEXE IV
Concernant les quantités de base indépendantes d’un écoulement, la longueur £ (m) est une quantité
géométrique de référence. Les quantités cinématiques et dynamiques à dimension englobent le temps (s),
la vitesse (ms- ’), l’accélération (ms-2) et la pression (kgm- ’s-2). Les propriétés du fluide sont caractéri-
sées par la masse volumique (kgm-3), la viscosité cinématique (m2s-1), la vitesse du son (ms-1), et la
constante de capillarité (kgs-2). Certaines de ces neuf quantités sont décrites dans l’Annexe III.
Trois quantités indépendantes, qui forment un nombre de similitude, sont fixées par la longueur £,
la vitesse V et la masse volumique p. La quantité variable, caractérisée par e, est une des six autres
mentionnées. Le nombre de similitude mécanique N devient donc
N = V°fipp7Eô	(IV.l)
où a, P, y, S peuvent être déterminés par l’analyse dimensionnelle. Un des exposants, soit a, peut être
choisi égal à l’unité, a = 1. En tenant compte des dimensions de V, £, p et en posant e(masbkgc), il s’ensuit
(ms“I)(mp)(kgïm-T)(ma5sb5kg!c5) = m°s°kg° .	(IV.2)
L’équation (IV.2) conduit donc à un système de trois équations [IV.6]
(m)	1 +	P — 3y + a8 = 0,	
(s)	- 1	+ b8	= 0 ,	(IV.3)
(kg)	Y +	c8	=0.	
Les valeurs des exposants sont alors	a +	b + 3c	c „	1	
a = 1 , p =			, y =	, 5 = -. b	b	b	(IV.4)
Si l’on identifie e successivement avec le temps t, la pression p, la viscosité cinématique v, l’accélération
gravitationnelle g, la vitesse du son a et la constante de capillarité o, les équations (IV.4) conduisent au
tableau IV.l.
Tableau IV.l Nombre de similitudes à partir de diverses quantités de base dimen-
sionnelle.
E	t	P	V	g	a	o
N	VF't	Vp'/2p->/2	Viv~’	yt-l/2g-i/2	Va-'	V£'/2p'/2CT-'/2
Les nombres N du tableau IV.l portent les noms des chercheurs renommés qui ont travaillé dans le
domaine correspondant [IV.3]:
£
Nombre de Strouhal S = —
Vt
Euler E = -E-
pv2
LOIS DE SIMILITUDE DANS LA MÉCANIQUE DES FLUIDES
427
Reynolds
Froude
g*
Mach
Weber
w = ^
Le nombre de Strouhal S caractérise des écoulements non stationnaires. £/V correspond au temps
nécessaire pour qu’une particule du fluide parcoure la distance £ à la vitesse V. Si t> £/V, donc S->0, le
processus est quasi stationnaire. Si S devient grand, ce nombre doit être utilisé comme critère de
similitude.
Le nombre de Euler E caractérise le rapport des forces de pression et d’inertie.
Le nombre de Reynolds R donne le rapport des forces d’inertie et des forces de viscosité. Il permet
de distinguer les écoulements laminaires (R <2300) et les écoulements turbulents (R >2300) dans des
conduites circulaires; la longueur caractéristique devient alors le diamètre de la conduite, £ = D. Les
écoulements dans les constructions hydrauliques, pour lesquels R > 104, sont toujours turbulents. Si deux
écoulements semblables présentent des effets de frottement identiques, on a VM£M/vM=Vp£P/vP, où les
indices M et P indiquent le modèle réduit et le prototype, respectivement. Si le fluide des deux configura-
tions est de l’eau à même température, et si E = £M/£P est F échelle géométrique du modèle, on obtient
Vp=Vm/E.
Le nombre de Froude F est le critère de la similitude des écoulements à surface libre, où £ s’identifie
à la hauteur d’eau h. Soit E — £M/£P, d’où VP=VM/x/Ê. Pour des écoulements influencés par la gravitation
et la viscosité, il n’existe pas d’échelle identique. A partir du nombre de Reynolds, les vitesses sont
proportionnelles à l’échelle; par contre, les vitesses respectives par rapport au nombre de Froude se
rapportent à la racine de l’échelle E. On ne peut donc pas réaliser une similitude parfaite. Si les effets de
la gravitation sont plus importants F doit être préféré à R.
Pour des écoulements presque plans, la vitesse peut être exprimée par V=Q/bh, b étant la largeur
du canal. Avec VP=Vm/>/E par rapport à la similitude d’après Froude, on a QP/(bPhP)=QM/(bMhM>/Ë),
donc
Qp - Qm • E-3P.
(IV.5)
Si, par exemple, l’échelle du modèle d’un déversoir est 1:50 et le débit maximal du prototype
QP= 1000m3s-1, le débit maximal du modèle devient QM = 1000 • (l/50)2/5=0,057m3s-1. Avec une lar-
geur du déversoir du prototype bP= 100m, celle du modèle devient bM=bP • E = 100/50 = 2m.
Le nombre de Mach M donne la similitude des écoulements compressibles. Elle peut être appliquée
pour la modélisation des coups de bélier. Si M<0,4, donc V< 500ms-1 pour l’eau, l’écoulement est
incompressible.
Le nombre de Weber W tient compte de l’effet de la tension superficielle. Pour des modèles où la
hauteur de l’eau est inférieure à 5cm, ces effets peuvent se manifester.
428
ANNEXE IV
A partir des neuf paramètres essentiels d’un écoulement (V, fi, p, t, p, v, g, a, o); six nombres de
similitude types ont été déduits. Le comportement d’une quantité physique se représente alors par la
fonction
fj(S,E,R,F,M,W) = 0.
(IV.6)
D’après le théorème n, une de ces quantités est donc indépendante. Choisissons par exemple le nombre
de Euler E=p/(pV2); il s’ensuit alors pour la pression
p = £y2 • f2(S,R,F,M,W).
(IV.7)
IV.3 Limites des lois de similitude
L’application des lois discutées est encore arbitraire par rapport à l’échelle E. Du point de vue
pratique, il existe toutefois une limite inférieure pour E [IV.5]. Cette limite peut résulter de la transition
entre l’écoulement laminaire et l’écoulement turbulent, ou de la transition entre l’écoulement fluvial et
l’écoulement torrentiel. Si le prototype se trouve en régime turbulent torrentiel, le modèle doit également
montrer ces caractéristiques.
D’autres limites d’application des lois de similitude tiennent compte des effets de rugosité et de la
capillarité. De plus, les limites de la cavitation, du commencement de la sédimentation et de l’aération
doivent être satisfaites. Il est donc indispensable de choisir un modèle à échelle suffisamment grande,
pour reproduire l’aération dans des ressauts ou dans des coursiers, si ces effets doivent être étudiés pour
le prototype.
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INDEX
Les numéros de pages en gras se réfèrent à la page où un mot clé est défini ou à une suite de pages dans
lesquelles celui-ci est décrit de manière exhaustive
Adduction latérale	6, 227	Bifurcation	
Aérateur		- de canaux	252
- de coursier	302, 305	- de conduites	44, 70
- de vanne de fond	404	Blocs dissipateurs	344
Aération		- dénoyés	346
- continue	285	- forme standard	345
- début d'	287	- noyés	347
- de déversoir	162, 176	Branchement	42, 70, 246
- de vanne de fond	400	Bulles de vapeur	154, 299
- du ressaut hydraulique	322	Canal	
- forcée	173, 298,	- à adduction latérale	228
	302, 400	- conditions aux limites	231
- libre	285, 322	- détails constructifs	240
- locale	284	- équation dynamique	230
- mécanisme d'	304, 402	- point singulier	232
- superficielle	284	- profil de surface	234
Angle		- à aération superficielle	284
- de choc	249, 256	- début	288
- local du débit latéral	213	- écoulement non uniforme aéré	288
Approvisionnement d'air	162, 176,	- écoulement uniforme aéré	289, 293
	306, 400	- à jonction	252
Arête		- coefficient de contraction	253, 255
- de la vanne de fond	397	- coefficient de perte de charge	254
- du déversoir	145, 169	- dimensionnement	256
Auge avec seuil denté	358	- écoulement fluvial	253
- dimensionnement	360	- écoulement torrentiel	256
- hauteurs d'eau extrêmes	360	- écoulement transitoire	255
- rayon de courbure	360	- hauteur d'eau amont	254, 256
- types d'écoulement	359	- perte de charge	252
Auge collectrice	228	- ressaut hydraulique	253
- à faible pente	234	- zone de séparation	254
- à forte pente	236, 238	- à rugosité composée	90
- détail constructif	240	- circulaire	91, 292
- trapézoïdale	234	- courbe	246
Auge de déflection	368	- dénivellations de la surface	250
- dimensionnement	369	- détails constructifs	251
- trajectoire du jet	370	- écoulement fluvial	246
Barreau	52	- écoulement torrentiel	248
Bassin amortisseur	332	- onde de choc	249
- avec blocs	344	- perte de charge locale	247
- avec marche	344	- profil de surface	116, 248,
- avec seuil	340		250
- non prismatique	349	- réduction de surélévation	252
- types de	333	- répartition des vitesses	246
- types USBR	352	- surélévation	247
Bernoulli		- courbe de remous	116
- équation de	8, 62, 80,	- calcul	126, 130,
	116		290
430
INDEX
-	profil de surface -	section de contrôle	118, 288 123		148, 153, 170, 189,
- découvert	83, 116,		191. 200,
	246, 264		204, 381,
- de distribution	210, 246		387
- du type U	99	- entraînement d'air	175, 305,
- du type Venturi	125		400
- non prismatique	210, 246,	- force	193, 345
	264, 349	- forme	83
- écoulement critique	270	- frottement	17, 63, 82,
- écoulement noyé	272		419
- écoulement torrentiel	277, 280	- perte de charge	26,32, 65
- rétrécissement local	266		254, 268
- séparation	268	- pilier	158
- types d'écoulement	264	- pression	41, 365
- prismatique	80, 118	- rugosité	24, 26, 30,
- recouvert	91		82, 86
- rectangulaire	118, 213,	- équivalente	90
	286, 317	- submersion	160, 197
- trapézoïdal	98, 121,	- traînée	345
	229, 313	Concentration d'air	304
Cavitation	156, 298,	- moyenne	175, 286,
	389, 394, 419	Condition	289
- condition critique	298	- asymptotique	214
- description physique	299	- critique	93, 123,
- dommage de	156, 302		231, 255,
- effet de	298		270
- érosion de	154, 298	- limite	122, 216,
- indice de	298		231
- saut de ski	363	- pseudo-critique	216, 233
Changement		Conduite	
- de la pente du radier	129	- circulaire partiellement remplie	
- local du débit	210, 228	- concentration d'air	293
Charge	8, 419	- écoulement uniforme	91, 132
- conduite en	16, 62	- écoulement uniforme aéré	293
- critique	95, 98, 123	- effet d'aération	292
- de dimensionnement	148, 170,	- fermeture brusque	293
	197	- hauteur uniforme	293
- de transition	174	- nombre de Boussinesq	292
- locale	116	- nombre de Froude	292
- minimum de	93, 123,	- d'aération	
	216	- de déversoir	163, 176
Circulation	380	- de vanne de fond	401
- constante de	246	- en charge	16, 6 2
Clapet	204	- calcul	18, 22
Coefficient correctif	86	- coefficient de frottement	17
Coefficient de		- coefficient de rugosité	30
- contraction	55, 185,	- formules empiriques	23
	189, 253,	- rugosité équivalente	27
	268, 272,	- singularités	3 1
	387, 399	- longueur équivalente de	70
- correction	13	- partiellement remplie	91, 132,
- coude	40		292
- débit	135, 145,	Continuité, principe de	5
INDEX
431
Coude	37, 168	- dénoyé	144
- à angle vif	41	- dimensionnement	149, 170,
- circulaire	40		197,
Courant			214
- force de	12	- noyé	160
- ligne de	4, 8	- standard	148, 197
- tube de	4	- types	144
Courbe de remous	116, 130,	- à paroi inclinée	366
	288,	- circulaire en mince paroi	169
	419	- circulaire standard	170
- calcul	126	- en mince paroi	144, 204
- méthode numérique	118	- labyrinthe	178
- point de contrôle	123, 129	- à crête trapézoïdale	178
- point de départ	126	- à crête triangulaire	179
- profil de substitution	121	- dimensionnement	179
- ressaut hydraulique	132	- performance	178
- section de contrôle	123	- latéral	210
- sur coursier	288	- condition à la limite	216
- types de profils de surface	127	- débit latéral	213
Coursier	284, 302	- dimensionnement	214
Débit	5	- écoulement pseudo-critique	216
- critique	94	- écoulement pseudo-uniforme	212
- d'air	175, 286,	- effet de l'écoulement latéral	212
•	305, 322,	- équation dynamique	212
	400	- intensité du débit latéral	213
- de dimensionnement	149, 171,	- point de contrôle	216
	198,	- profil de surface	217
	214, 278	- standard	148
- latéral	213, 231	- cavitation	156
- localement varié	210, 228	- champ de vitesse	154
. - mesure du	144	- contrôlé par vanne	183, 197
- par unité de largeur	5	- dimensionnement	149
- répartition de	74, 214	- effet de la charge	150
Déflecteur	303, 351,	- géométrie	145, 149
	368	Déviation de direction	249
Déversoir	125. 419	Diagramme de Moody	17
- à crête circulaire	168	Diamètre hydraulique	35, 419
- à crête circulaire standard	170	Diffuseur	33
- aération forcée	173	Dispositif de mesure	144
- charge de dimensionnement	170	Dissipateur	
- coefficient de débit	170	- à auge	358
- conduite d'aération	176	- à auge avec dents	359
- débit d'air	. 175	- avec blocs	344
- écoulement à surface libre	168	- types USBR	352
- écoulement dénoyé	177	- avec marches	334
- écoulement noyé	173	- avec seuil	340
- pressions au fond	172	- non prismatique	349
- profil standard	170	- saut de ski	361
- ressaut annulaire	174	- types	332, 333
- à crête non rectiligne	168	Dissipation	
- à crête rectiligne	144	- d'énergie	56, 197,
- aération	162		338, 343,
- à seuil épais	159		347, 419
- avec piliers	157	- ouvrage de	309
- contrôlé par vannes	183, 197	- ressaut hydraulique	315
432
INDEX
Ecoulement	- la forme du profil		83
- à. haute vitesse	284, 298,	- la végétation	86
	394	- pilier	152, 155,
- à lignes de courant concentriques	363		157
- à lignes de courant courbes	8	- vorticité	381
- à ondes de choc	240, 249.	Efficacité	55
	256, 277	- ressaut hydraulique	315, 325
* à surface libre	80, 116,	Elargissement	32 , 264,
	144, 168,		280
	284	Elément local	31
- biphasique	284, 298	Energie spécifique	210
- critique	94, 118,	Entraînement d'air	155, 174,
	123, 255,		305
	270, 312	- mécanisme	285
- dans une auge	228, 359	- ressaut hydraulique	322
- dénoyé	144, 177,	- vidange de fond	402
	189, 340,	Entrée	35, 376
	399	Equation	
- en charge	16, 62	- de Bernoulli	8, 145, 210
- fluvial	82, 126,	- généralisée	254, 400
	216, 234,	- d'énergie	62, 116,
	246, 253,		210
	272, 419	- de Euler	7, 9
* graduellement varié	80, 116,	- de la courbe de remous	118, 121,
	228, 232		288
- hauteurs typiques	80	- de la quantité de mouvement	11, 211,
- interne du ressaut, hydraulique	317		255, 258
- irrotationnel	7. 380. 419	- de Navier-Stokes	7
- laminaire	7, 16	- dynamique	212
- non uniforme aéré	286, 288	- fondamentales	4
- noyé	160, 173,	Erosion	362
	195	- de cavitation	156. 347,
- potentiel	8, 145, 299		394,
- pseudo-critique	216		419
- pseudo-uniforme	212	- saut de ski	361
- rapidement varié	116, 312	Etanchéité	184, 395
- spatial	7, 168, 379	Evacuateur	144, 168,
- stabilité de 1*	30. 240		184. 228,
- stationnaire	80		286, 358
- torrentiel	82, 126,	Facteur de submersion	197, 382
	217, 236,	Fente	303
	256, 277,	Fluide	
	286, 363	- parfait	7, 16
- tourbillonnant	376	- réel	7, 16, 379
- transition d’	312	Force	
- turbulent	7, 16, 63	- centripète	247
- unidirectionnel	5, 116	- de courant	12
- uniforme	80, 118	- extérieure	6
- aéré	286, 289	- intérieure	6
- vanne de fond	399	Formule de	
Effet de		- Bélanger	97. 314
- cavitation	154, 172,	- Colebrook-White	17, 63, 82
	298	- Darcy-Weisbach	17, 82, 86
- charge sur déversoir	150, 170,	- Manning-Strickler	24, 26, 30,
	197		81, 86, 88.
INDEX
433
	118, 230, 289	Jonction	
		- de canaux	252
- Poiseuille	25	- de conduites	42, 69
- Rehbock	145	Ligne de courant	4, 8. 146,
Formules empiriques	23		419
Front de choc	249, 256,	- concentrique	363
	277	Longueur	
Frottement		- dissipateurs USBR	353
- coefficient de	17, 63, 83	- du ressaut hydraulique	95, 316,
- pente de	17, 74. 81,		325
	118,	- du rouleau	195, 316,
	230		326
Froude		- canal non prismatique	350
- nombre de	94, 119,	- canal prismatique	316, 334
	211, 293.	Marche	334
	312, 427	Masse volumique	421
Gradin	303	- moyenne d'un mélange	289, 293
Grille	50	Méandrage	87
Hauteur		Mécanisme	
- critique	93, 98,	- d'aération	284, 304,
	123, 129,		402
	236	- de cavitation	299
- de pression	8, 325	Mélange eau-air	
- de submersion	195, 384	- coursier	284
- de vitesse	8, 29	- déversoir	174
- pseudo-uniforme	214	- ressaut hydraulique	322
- uniforme	81, 98	- saut de ski	362
- d'un mélange	286, 289	- vanne de fond	400
Hauteur d'eau		Mesure de débit	125
- d'un mélange	286, 289	Minimum de charge	95, 123
- maximale dans une jonction	254, 256,	Nappe	
	258	- de jet	367, 405
- uniforme		- géométrie	147, 169
Hauteurs		Niche de vanne	398
- conjuguées	95, 98,	Nombre de	
	313, 324,	- Boussinesq	292
	326, 334	- Euler	387, 426
- canal non prismatique	349	- Froude .	81, 230,
- pour blocs	347		292, 312,
- pour marche	337		420
- pour seuil	343	- de la prise d'eau	384, 399
- de charge critique	95	- local	175
- typiques de l'écoulement	80. 97	- Kolf	381
		- Reynolds	16, 84, 382,
Implosion de bulles	300		427
Impulsion totale	12. 81, 96,	- vortex	381
	235, 314	- Weber	191, 388,
Intensité du débit latéral	# 213		427
Jet	419	Obstruction	87
- aéré	304	Onde	
- auge	361	- de choc	249, 256,
- saut de ski	367		277, 304
- trajectoire	387, 405	- stationnaire	11, 340
		Organe	
		- de fermeture	394
434
INDEX
- de réglage	197, 204, 394	- rectangulaire	103, 119, 312
- mobile	184, 187	- standard	
Ouvrage de		- déversoir à crête rectiligne	149, 197
- contrôle	144	- déversoir circulaire	170
- dissipation	309, 332.	- trapézoïdal	98, 313
	358	- trapézoïdal plein	99
- prise	373	- triangulaire	103, 317
- réglage	144, 197,	Profil de surface	118, 152,
	204, 394		211, 230,
- vidange	65, 373		288
Pente		- courbe de remous	116, 288
- critique	118	- déversoir	152, 211
- de frottement	17, 21, 81,	- ressaut hydraulique	318
	118, 212	Quantité de mouvement	6, 95, 196.
- due à l'écoulement latéral	212		229, 249,
Périmètre mouillé	82, 102		255, 269,
Perte de charge	16, 118,		314, 335,
	269		366
- additionnelle	229	Rayon hydraulique	83
- coefficient de	63, 67	- efficace	84
- locale	16, 26, 32,	Régime	
	95. 247	- laminaire	18
- répartie	1 6	- turbulent lisse	21, 84
- ressaut hydraulique	315	- turbulent rugueux	21, 85
- totale	16	Répartition de pression	
Pilier	157	- aérateur	304
Point		- déversoir circulaire	172
- de contrôle	123, 216,	- déversoir standard	152
	232	- saut de ski	10, 362
- de départ	126, 234	- vanne de déversoir	202
- singulier	232, 236	- vanne secteur	194
Ponceau	132	Répartition de vitesse	9
- dimensionnement	137	- auge	363
- relation débit - charge	134	- courbe	246
- type d'écoulement	133	- déversoir	153
Pression	4, 420	- jonction	257
- au fond	10, 152,	- ressaut	320
	172, 201,	- vortex	379
	304, 364	Répartition du débit	
- de vapeur	156, 298,	- déversoir latéral	215
	424	- saut de ski	368
- dynamique	176	Réseau	
- répartition de la	10	- de canaux	118
- sur vanne	194	- de conduites	70
Prise d’eau	376	Ressaut hydraulique	312, 420
- à axe incliné	385	- aération du	322
- à. axe vertical	377, 379	- annulaire	174
- à grande profondeur	386	- auge	362
- horizontale	384	* courbe de remous	132
Profil		- dissipation d'énergie	315
- circulaire	100, 292	- écoulement interne du	317
- de substitution	121	- efficacité	315
- en U	100	- hauteurs conjuguées	95, 313,
- exponentiel	101		324, 326
INDEX
435
- longueur du	316, 326	- noyé	366
- ondulaire	11, 318	- répartition de pression	362
- perte de charge	315	- types d'écoulement	362
- position du	327	Section	
- profil de surface	318	- de contrôle	123, 216,
- profil rectangulaire	102, 313		232
- profil trapézoïdal	98, 313.	- mouillée	5, 102
	317	Séparation	32, 154,
- répartition des pressions	321		185, 195,
- répartition des vitesses	321		254, 268,
- submergé	163, 195		335. 349,
- sur pente positive	324		397, 420
- sur radier horizontal	312	Seuil	340
- type B	325	- dénoyé	340
- type C	324	- déversoir à	159
- types de	318	- forme de	341
- vidange de fond	401	- noyé	160, 342
Ressaut hydraulique forcé		- terminal	340
- compacité	333	- transversal	340
* par blocs dissipateurs	344	Similitude	425
- coefficient de traînée	345	Sortie	36, 65. 394
- dissipation d'énergie	347	Submersion critique	380, 385
- hauteurs conjuguées	347	Système	
- par marches	334	- de canaux	118
- compacité	338	- de conduites	68
- dissipation d'énergie	338	Théorème de	
- hauteurs conjuguées	337	- Kirchhoff	299
- type A	334	- la quantité de mouvement	12, 196,
- type B	335		210, 229,
- type minimum B	336		269
- types de	334	Tourbillon	376
- par seuil	340	Trajectoire du jet	
- dissipation d'énergie	343	- déversoir	146, 169
- hauteur d'eau limite	340	- orifice	191, 367,
- hauteurs conjuguées	341, 343		405
- indice de longueur	342	Tube de courant	4
- seuil dénoyé	340	Turbulence	16, 284,
- seuil noyé	342		313, 379,
- stabilité	333		420, 422
Rétrécissement	33, 258,	Types de	
	264, 266,	- aérateurs	303
	300	- bassins amortisseurs	332
Rivière		- clapets	186
- à lit de gravier	88	- courbes de remous	127
- naturelle	90, 116	- déversoirs	144
Robinet-vanne	52	- dissipateurs	332
Rugosité		- profils de surface	127
- coefficient de	24, 30, 82,	- ressauts hydrauliques	324
	86	- singularités	31
- composée	90	- vannes	187
- dans conduite	25	- de fond	396
- équivalente de sable	17, 27, 82	- vortex	377
- relative	17, 82	Vanne	184, 420
Saut de ski	361	- à jet creux	56
- dénoyé	362	- à pointeau	54
436
INDEX
- arête inférieure de	188		
- clapet	204	- écoulement à ressaut	404
- de déversoir	184, 197	- écoulement libre	403
- de fermeture	54	- niche de	395, 398
- de réglage	54	- types d'écoulement	401
- fonctionnement	185	- types de vanne	395
- force sur	193	- vibrations de vanne	397
- papillon	53	Viscosité	7, 17, 82,
- plane	187, 190,		379, 420
	197	Vitesse	4
- pression sur	194	- d'une intumescence	249
- secteur	188, 190,	- hauteur de	8, 62, 116
	199	- latérale	211
- types de	186	- répartition de	9, 34, 146,
Vanne de fond	394		153, 257,
- aérateur	404		319, 379
- aération	400	Volume de contrôle	4, 11, 229,
- arête inférieure de	397		420
- caractéristique du débit	399	Vortex	420
- de fermeture	395	- classification	376
- de révision	395	- coefficient de débit	381
- étanchéité inférieure	397	- de Rankine	379
- niche de	395, 398	- de sous-surface	376
- types de	395	- de surface	376
- vibration	397	- forcé	379
Venturi		- formation de	378
- canal du type	125	- intensité de	377
Vibrations	162	- irrotationnel	379
« de vanne	397	- libre	379
Vidange de fond	394	- rotationnel	379
- aération	400	- submersion critique	382
- caractéristique du débit	399	Zone de	
- écoulement à aérateur	404	- aération	284
		- eau morte	268
		- séparation	185, 195, 265, 271, 335, 397
INDEX DES AUTEURS
Les numéros de pages en romain se réfèrent aux citations dans le texte et ceux en italique indiquent les
pages de référence.
ABECASISFM	156, 157, 164, 367, 371	DAGGETT, LL.	382, 391
ABUL-FETOUH A.-H.	387, 388, 391	DAILY J. W.	7, 9, 14, 16, 17, 57, 63, 64. 77,
ACKERET J.	299, 301, 307		299, 307, 379, 391
ACKERSP.	92, 113	D’ALPAOS L	148, 153, 164
ADAMIA	398, 408	DAMLEPM	362, 370
ADAMS JJL	346, 354	DAUGHERTYR.L	64, 77
ALTINAKARM.S.	250, 260	DEFAZIOG.F.	305, 307
ANASTASlG	295,408	DEKOSINSKYV.	213, 223
ANWARH.O.	380, 381, 391	DEMARCHIG.	228, 243
apeltcj.	85, 113	DENNYDJL	378, 385, 386, 391
ASCE BRANCH. COND.	48,57	DESAIS.C	362, 370
ASCE HYDR. STRUCT.	26, 54,57	DE THIERRY G	418
ballj.w.	302, 307	DŒRSCHH.-J.	153, 164
BARBE A.	366, 370	DlSDLVIOG.	401, 403, 408
BARNESH.H.	79, 113	DRACOST.	418
BASCO DJL	346, 347, 348, 354	DUPRAZP.A.	271, 282
BATHURSTLC.	88, 89, 113	DüRGNW.W.	378, 391
BENJAMIN T.B.	191,206	Eccherl	303, 307
BERGE J.-P.	385, 391	EL-KHASHABA.	210, 223
BEST LL.	254, 260	ELEVATORSK1E.A.	332, 354
BHOWMKN.G.	348, 354	engelundf.a.	92, 94, 113
BLAISDELL F.W.	48,57	FANGMEŒRD.D.	187. 191, 2 06
BOCK J.	83, 84, 85, 94, 113	FASSOC.	41, 57, 101, 113
BOLLRICHG.	404, 408	FAUREL	172, 180
BOOTHAB.V.	281, 282, 282	Favre H.	30, 43, 57, 228, 239. 243, 425,
BOSM.G.	125, 138, 145, 160, 163, 164		428
BOUVARD M.	246,260	FERRENDŒRM.	418
BOYER P.	246,260	FORCHHEIMERP.	24, 57, 121, 138
BRADLEY J-N.	204, 205, 206	FORSTER J.W.	335, 341, 354
BRAENDLEF.	228, 239, 243	franzinilb.	64, 77
BRAY D.T.	90, 113	FRENCH R. H.	87, 90, 91, 113, 118, 138
BREMENR.	198, 206	GANESHANVJL	348, 355
BRETSCHNEIDER H.	176, 177, 180, 384, 391, 395,	GANGADHARAIAH T.	287, 289, 294,295
	396, 402, 408	GARBRECHTG	418
BRETZN.V.	335, 336, 337, 338, 341, 354	GARDE RJ.	382, 383, 391
BRUSTKJ.	41,58	GARDEL A.	34, 44, 48, 49, 50, 51, 5 7
BUCKINGHAM E.	425, 428	GENTILINI B.	179, 180, 194. 206
carlœrm.	12. 14, 16, 24, 57, 64, 77, 265, 282	GHETTlA.	148, 153, 164, 401, 403, 408, 418
Cassidy JJ.	153, 164, 365, 371	GORDON LL	384, 391
CasttnelG.	366, 370	GREATED C.A.	258, 260
CAULKD.A.	191, 206	GUPTA S.N.	362, 370
CHATURVEDI M.C.	33, 34, 57	HACKH.-P.	174, 175, 176, 180
CHOWV.T.	87, 88. 113, 118, 119, 120, 133, 138, 144, 153, 164, 249, 260, 277, 282, 288, 289, 294, 318, 328, 351, 354	HAGERWJL	9, 10. Il, 14, 18, 20. 21, 22. 24, 25, 32, 33. 37. 41, 42, 44. 47. 57, 72. 74, 75, 82, 92, 93, 94, 96, 113, 121, 125, 134, 135, 136,
CITRINID.	228, 243		137, 153, 154, 156, 160, 164,
CLARIA J.	246, 260		198, 200, 201, 206, 210, 211,
COANTICM.	317, 322, 328		212, 213, 214, 215, 216, 217,
COLLINS M. A.	63, 77		223, 223, 233. 236, 237, 238,
COMOLETR.	7,14, 16, 57, 64, 77		243, 250, 253, 255, 256, 257,
DaCUNHALV.	362, 370		258, 259, 260, 271. 272, 273.
438
INDEX DES AUTEURS
274, 275, 282, 291, 293, 294,		Kraused.	177, 180
HAINDLK.	315, 316, 317, 326, 328, 335, 336, 337, 338, 341, 350, 354 101, 113	lansfordwm lauffere LAWS.W.	120, 138 364, 365, 371 246. 260
Hall L. s.	287, 294	lazzariR	170, 171, 172, 180
HAMILTONW.S.	299, 307	LEBRETON J.-C.	121, 138
hammtitf.g.	299, 307	leMéhautéb.	5, 6, 12. 14,418
HANDAC.L	362, 370	LEMOS F..OLTVEIRADE	197, 199, 201, 202, 203. 206
HARLEMAN DJLF.	7, 9,14, 16, 17. 57, 63, 64, 77,	LENAUC.W.	365, 371
harrisonaj.nl	345, 354, 379, 391 280. 282	LEPPMANNJ. lesig.	366, 371 395, 408
HA Y N.	145, 146, 147, 153. 154, 155,	Leutheusser h j.	317. 321, 322, 328
HECKERG.E.	164, 178. 179, 180 W, 382, 391, 378, 391	LINGS.C. MANSONP.W.	388, 391 48,57
HENDERSONEM.	125, 133. 138, 144, 164, 228,	MARCHETTI M.	47, 57, 367, 368, 370, 371
HERBRAND K.	243, 246,260, 279, 282 322, 328, 351, 354	MARCHIR MARGARITORAG.	7,14,83,113, m, 180 388, 391
HEYRD.	88, 89. 113	MARKLANDR	145, 146, 147. 164
HOLZKEH.	21. 26.58	matschossC	418
HÔRLERA.	240. 243	matthewg.d.	34. 41. 42, 57, 153, 164 , 269,
HSUEY. HSUW.H.	281. 282. 282 228. 243	McCORQUODALE j. a.	270, 273, 282 316, 328, 382, 391
HUANGWJL	40, 41, 57	mcnownls.	388, 391
HUDERJ.	418	MCPHERSONM.B.	40. 41. 57. 170, 180
hugm.	6, 7, 14, 16, 30, 57	MERKLG.	121, 138
HUMPHRIES J. A.	185, 206	MEYER-PETER E.	418
HUTTER K.	9. 10, 11, 14,57	MEYERSLR	41,58
IDELOKLR	16, 26, 27, 28, 29. 35. 36. 37,	MILANO V.	253, 260
IMAIK.	41, 42, 44, 45. 46. 52. 53. 54. 56,57 48,57	MILLER D.S. MTTŒELLW.D. MOCKF.-J.	38. 39. 57 120,138 246, 260
INCES.	418	Mononote N.	120,138
INDLEKOFERH.	158, 164, 179, 180,	MOSONYIE.	246, 260
IPPENA.T.	279, 282	MULLER R.	121, 138
rroH.	48.57	MULLER W.E.	26, 44.57,71,73. 77
JAEGERC.	12, 13, 14,418	MURAHARlV.	324, 328, 348. 355
jainajc.	18, 21. 58, 63, 77, 382. 383. 391	muraudhard.	148, 164
jains.k.	362, 370	Nagaratnams.	317, 321. 328
JANSENP.P.	118, 138	nagoh.	190. 191. 206
JARRET RJ).	90.113	Narayanana	348, 354
JAYARAMANR.	280, 282	Naudascherr	397, 399, 402. 408
Jayaraman v.v.	85. 113	NEIDERTS.H.	305, 307
Johnson Vf.	300, 307	Nosedag.	47, 57, 350, 354
KAUNSKEA.A.	33,57	NOUGAROJ.	246, 260, 366, 370
kasserp.	418	NUIT, LP.	305, 30 7
KAZEMIPOURA.K.	85. 113	ODGAARDAJ.	380, 381, 391
KELLERRJ.	287. 288, 294	OTA JJ.	305, 307
KEULEGANG.H.	381, 382, 391	PEDERSON F.B.	92, 94. 113
KEUTNERC.	185, 206	PERTERKA AJ.	317, 318, 324, 328, 328, 305.
KHAUFAA. kindsvaterce. KTFAALM.K. Knapp f.h.	316, 328 324, 328 348, 355 36, 54. 55. 56. 57. 144, 157, 164,	PETRYKS.	307, 332, 352, 353. 354, 355, 358, 359, 360, 361. 369, 370. 371 44.57
Knapp R.T.	426, 428 299, 307	PICKFORDJ.A. PILLAI N.N.	384. 391 85. 113
Knaussj.	376, 384, 385, 391	PINTON.L.DES.	305, 307
KOBUSHf.	144, 164	PRANDTLL.	425, 42 8
Koch HJ.	395, 408	PRASADR.	118. 138
KOLFR.Q	381, 391	PRESSE	64, 77, 186, 187, 206, 428, 428
kolkmanp.a.	397. 408	PUGNETL.	172, 180
KolupailaS.	418	QUINTELAA.C.	367, 371
INDEX DES AUTEURS
439
RABBENS.	400, 402. 403, 404, 405, 407,	SMTTHK.V.H. sridharank.	210, 223 121, 138
	408, 408		
Rajaratnam N.	101, 113, 148, 164, 185, 195. 196, 197. 206, 321, 322. 328, 332, 345, 348. 349, 350. 355	STEVENSJ.C. STRATMANNH. STRAUSSER H.S.	381, 391 44,57 41,57
RAMAMURTHY A.S,	215, 223	STREETERV.L.	69. 70. 77
RAMASWANY RJ.	48,58	strelkofft.s.	187. 191, 206
RAMPONIF.	158, 164	Strickler a.	24,50
RANDW.	342, 343, 346, 355	STURMT.W.	278, 279, 202
RANGARAJUK.G. RAO B.CS. RAON.S.L.	348, 355, 382, 383, 391 48, 58 48, 58, 121, 138, 144, 164, 287, 288. 289, 294,295	subramanyaK. SWAMEEP.K.	148. 164, 195, 196, 197, 206, 215, 223, 318, 328, 349, 350, 355 18, 21, 50, 63, 77
raop.v.	391, 408,418	TAYLOR EH.	246, 260
RASTOGIA.K.	287, 288, 294	TAYL0RG.	178, 179, 180
RECHSTEINER G.F.	44. 48, 49, 50, 51, 57	THANDAVESWARA B.S.	288, 295
REDDY Y.R.	384, 391	THOMAS K.C.	362, 370
REHBOCK T.	145, 164	THRONECJL	88, 89, 113
rhdl	254, 260	TRUCKENBRODTE	6, 7. 9. 12. 14, 426, 428
REPLOGLEJ.A.	41,50	UNSERK.	21, 26, 50
reschr.	317. 321. 322, 328	US ARMY, CORPS OF	26, 57, 149, 151, 152, 153. 158,
REYNOLDS AJ. RHONE TJ. RICECE.	246,260 48,50 253, 260	Engineers	159, 161, 162, 164, 172, 173, 174, 180, 197, 206, 389. 390, 391, 395, 398, 409
RICHTERA.	397, 408	VARGASP.	397, 408
ROBERTSON J.M.	40, 41, 57	VENKATRAMAN CP.	362, 370
ROUSE H.	246, 249, 250, 251, 252, 260, 281, 282, 202, 317, 321, 328, 387, 388, 391,418	VERMAMS. VERNARDJ.K. VILLEMONTE J.R.	348. 355 302, 307 382, 391
ROUVÉG.	179, 180, 366, 371	VlPARELLlC.	241, 243
RüBATTA A.	7,14, 83,113, \12,180	VISCHER D.	43, 50, 303, 307, 332, 355,418
RUTSCHMANNP. SASSOUF. SCHIRMERA.	306, 307, 307 228, 243, 253, 260 153, 164	VOLKARTP.U.	304, 306, 307, 307, 210, 211, 212, 215, 223, 223, 285. 292, 293, 295
SCHIZASL.S.	348, 354	VON MISES R	189, 190, 206, 387, 388, 391
SCHLEISSA SCHLICHTINGH.	358. 371 16,50	WANOSCHEKR.	134, 135, 136, 137, 138, 315. 316. 328
SCHMAUSSERG.	184, 206, 206	WARD-SMTTH A J.	16. 33, 50
SCHNTTTERG.	418	WEICY.	305, 307
SCHRODER R.	64, 77, 318, 319, 320, 321, 322, 328, 428, 42 8	WENZELH.G. WHTTEM.W.	211,223 170, 180
SCHWARTZ HJ.	305, 307	WHTIEWJL	145, 164
SOMENIE	147, 148, 149, 164	WHTTTAKERJ.G.	358. 371
SEETHARAMIAH K.	287, 289. 294,295	WKXERTG.	184, 206, 206
SERRER	121, 138	WILLIAMS GP.	418
SETHURAMANV.	280, 202	WILLIAMSON J. V.	48, 50
SHARMA HR.	401. 402, 404, 409	WONKG.	397, 408
SlAOT.T.	317, 321, 328	WOODLR.	287, 288, 2 95
SIEGENTHALER A.	303, 307	WUNDERUCHW.	397, 409
SlLVESTERR.	317, 328	WYLDEE.B.	69, 70, 77
SlNNIGERR.	153. 164, 315, 328, 335, 337, 338, 341, 350, 354	YenB.C. YOUNGGAJ.	211,223 378, 385, 386, 391
SKRINDER.A.	335, 341, 354	ZIELINSKI P.B.	382, 391
Richard O. Sinniger, né en Suisse en
1932, fit ses études à l'Ecole polytechnique
fédérale de Zurich qu'il termina en 1956
par un diplôme en génie civil. Après trois
années passées en tant qu'assistant à la
VAWE à Zurich, il travailla six ans aussi
bien comme ingénieur auprès d'entrepri-
ses, de direction des travaux que comme
ingénieur-conseil sur des chantiers d'im-
portants aménagements au Canada, en
Suisse et en Grèce. Par la suite, il participa,
au sein d'un bureau d'ingénieurs-conseils
suisse, à de nombreux projets et réalisa-
tions d'aménagements hydrauliques dans
le monde entier. Nommé professeur extra-
ordinaire à l'Ecole polytechnique fédérale
de Lausanne en 1973, il enseigna les fon-
dations jusqu'à sa nomination, en 1982,
au poste de professeur ordinaire pour ren-
seignement des constructions hydrauli-
ques. Actuellement, il est directeur de l'ins-
titut d'hydraulique et d'énergie à l'Ecole
polytechnique fédérale de Lausanne.
Willi H. Hager, de nationalité suisse, est
né en 1951. Il a obtenu son diplôme d'ingé-
nieur civil en 1976, à l'Ecole polytechnique
fédérale de Zurich. Après sept années
d'activités dans un bureau d'études pen-
dant lesquelles il a présenté une thèse sur
les écoulements à débit localement varié, il
travaille depuis 1983 à l'Ecole polytechni-
que fédérale de Lausanne. Son intérêt
s'est dès lors concentré sur la recherche
dans les domaines des constructions hy-
drauliques, de l'irrigation et des canalisa-
tions. Un nombre important de publica-
tions ainsi que des prix scientifiques témoi-
gnent de son activité dans ces domaines.
Photo de couverture
Partie aval de pertuis de l’évacuateur du
barrage-voûte de Contra (Tessin) lors de la
crue du 19 juillet 1987 (photo R. Bremen).
CONSTRUCTIONS
HYDRAULIQUES
Ecoulements stationnaires
Richard O. Sinniger
Willi H. Hager
Les constructions hydrauliques se situent parmi les ouvrages
les plus exigeants du génie civil, nécessitant un large spectre de
connaissances dans des domaines aussi variés que les fonda-
tions, les structures et, évidemment, l’hydraulique. En consé-
quence, il est indispensable que l’ingénieur projeteur d’une
construction hydraulique ait des connaissances approfondies
dans ces disciplines. Ce livre s’adresse donc en premier lieu à
l’ingénieur praticien et aux étudiants des deuxième et troisième
cycles.
La présentation des notions fondamentales de l’hydraulique
et leurs applications aux ouvrages tels que conduites, canaux,
déversoirs et dissipateurs d’énergie sont les préoccupations
primordiales des auteurs. Les solutions présentées sont, dans la
mesure du possible, développées à l’aide d’approches théori-
ques et appuyées par des résultats d’essais. Des exemples de
calcul facilitent l’application des sujets traités et une abondante
bibliographie permet l’approfondissement et l’élargissement des
connaissances. Ce livre est donc également un support pré-
cieux pour le chercheur.