Текст
                    УДК 51
ББК 22.1
А94
АВТОРЫ:
В. И. Афанасьев, О. В. Зимина, А. И. Кириллов,
И. М. Петрушко, Т. А. Сальникова
Решебник. Высшая математика. Специальные разделы / Под
ред. А.И. Кириллова. — 2-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. —
400 с. - ISBN 5-9221-0423-3.
Книга содержит примеры решения типовых задач по теории функций
комплексной переменной, операционному исчислению, рядам Фурье, преоб-
преобразованию Фурье, уравнениям математической физики, теории вероятностей
и математической статистике. Каждой задаче отведен отдельный раздел,
содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми
теоретическими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того,
в раздел включены десять задач для самостоятельного решения и ответы
к ним.
Для студентов, аспирантов и преподавателей технических, экономиче-
экономических и сельскохозяйственных вузов, университетов, а также для научных
работников и инженеров; может быть использована как при очной, так и при
дистанционной формах обучения.
Ил. 43.
© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003
© В. И. Афанасьев, О. В. Зимина, А. И. Кириллов,
ISBN 5-9221-0423-3	И. М. Петрушко, Т. А. Сальникова, 2001, 2003


ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ 9 ПРЕДИСЛОВИЕ 15 Глава 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 17 1.1. Извлечение корня из комплексного числа 17 1.2. Кривые в комплексной области 19 1.3. Аналитичность, условия Коши-Римана 20 1.4. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части 23 1.5. Интеграл от функции комплексной переменной 26 1.6. Интеграл от аналитической функции 30 1.7. Ряд Тейлора 32 1.8. Ряд Тейлора рациональных функций 34 1.9. Разложение в ряд Тейлора с использованием табличных разложений 37 1.10. Ряды Лорана рациональной функции 39 1.11. Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее особой точки . . 44 1.12. Нули аналитической функции 47 1.13. Тип изолированной особой точки 51 1.14. Особые точки функции вида <p(z)/i/j(z) 53 1.15. Вычисление вычетов 54 1.16. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов ... 58 1.17. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов . . 60 1.18. Несобственные интегралы от рациональных функций 63 1.19. Несобственные интегралы от функций R(x) cos Аж и R(x) sin Аж 67 Глав а 2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 72 2.1. Понятия оригинала и изображения 72 2.2. Изображение функции вида $^=1 Ckfk(t) 75 2.3. Изображение функции вида f(at) 76 2.4. Изображение функции вида e~at f(t) 77 2.5. Изображение функции вида J^^=1 Д(^ — TfcO7(t — т/г) 78 2.6. Изображение функции вида tnf(t) 80 2.7. Изображение функции вида f(t)/t 81 2.8. Восстановление оригинала по изображению Pm(p)/Qn(p) • • • 83
Оглавление 2.9. Восстановление оригинала по теореме разложения 85 2.10. Восстановление оригинала по изображению F(p) • G(p) .... 87 2.11. Восстановление оригинала по изображению R(p)e~pT 89 2.12. Решение линейных дифференциальных уравнений 90 2.13. Решение систем линейных дифференциальных уравнений . . 93 ГлаваЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ 96 3.1. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на интервале (—тг,тг) 96 3.2. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на интервале (—/,/) 100 3.3. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на интервале (а, Ь) 104 3.4. Ряд Фурье функции f(x) на интервале (О,тг) по тригонометрической системе 108 3.5. Ряд Фурье функции f(x) на интервале @,/) по тригонометрической системе 113 3.6. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на интервале (—/,/) в комплексной форме 119 3.7. Ряд Фурье функции f(x) на интервале (а, Ь) по заданной ортогональной системе 122 Глава4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 137 4.1. Синус-преобразование Фурье 137 4.2. Косинус-преобразование Фурье 139 4.3. Комплексное преобразование Фурье 141 4.4. Комплексное преобразование Фурье функции BH^Y,nk-iakXmkfk(bkx + ck) 142 4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Фурье .... 146 Глав а 5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ . 151 5.1. Тип и канонический вид уравнения 152 5.2. Общее решение гиперболического уравнения 158 5.3. Общее решение параболического уравнения 159 5.4. Общее решение эллиптического уравнения 161 5.5. Уравнение Лапласа в круге 162 5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре 169 5.7. Уравнение Лапласа в шаре 176 5.8. Уравнение Гельмгольца в круге 182 5.9. Уравнение Гельмгольца в шаре 188 5.10. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа 194 5.11. Уравнение Пуассона в кольце 199 5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 206
Оглавление 5.13. Уравнение Пуассона в шаре 217 5.14. Однородное волновое уравнение на отрезке 220 5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 225 5.16. Однородное волновое уравнение в прямоугольнике 230 5.17. Задача Коши для волнового уравнения на прямой 237 5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке 241 5.19. Уравнение теплопроводности в круге 246 5.20. Задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой . . 251 Главаб. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 254 6.1. Классическая вероятностная модель 255 6.2. Гипергеометрическая формула 257 6.3. Размещение шаров по ящикам 261 6.4. Геометрические вероятности (ограниченная область) 263 6.5. Геометрические вероятности (неограниченная область) .... 266 6.6. Независимые события 269 6.7. Схема Бернулли: фиксированное число испытаний 272 6.8. Схема Бернулли: неограниченное число испытаний 274 6.9. Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона 275 6.10. Простейший поток событий 281 6.11. Формулы полной вероятности и Байеса 283 6.12. Распределение дискретной случайной величины 287 6.13. Распределение непрерывной случайной величины 290 6.14. Числовые характеристики дискретной случайной величины . 293 6.15. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 295 6.16. Распределение и числовые характеристики дискретного случайного вектора 299 6.17. Распределение непрерывного случайного вектора 303 6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора 306 6.19. Характеристическая функция 312 6.20. Распределение функции случайной величины 315 6.21. Числовые характеристики функции случайной величины . . . 317 6.22. Распределение функции случайного вектора 320 6.23. Числовые характеристики функции случайного вектора . . . 323 6.24. Нормальное распределение 325 6.25. Центральная предельная теорема 327 Глав а 7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 329 7.1. Группированный статистический ряд абсолютных частот . . 330 7.2. Группированного статистический ряд относительных частот 334 7.3. Полигон абсолютных частот 338 7.4. Полигон относительных частот 340 7.5. Гистограмма относительных частот 342 7.6. Эмпирическая функция распределения 346
Оглавление 7.7. Выборочное среднее несгруппированной выборки 349 7.8. Выборочное среднее группированного статистического ряда абсолютных частот 351 7.9. Выборочная дисперсия несгруппированной выборки 354 7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда абсолютных частот 355 7.11. Определение параметров закона распределения методом моментов 358 7.12. Определение параметров закона распределения методом наибольшего правдоподобия 361 7.13. Метод наименьших квадратов 366 7.14. Выравнивание результатов измерений 371 7.15. Случайные интервалы 374 7.16. Доверительный интервал для единственного неизвестного параметра распределения 377 7.17. Доверительные интервалы для параметров нормального закона 384 7.18. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Уилкоксона 389 7.19. Критерий согласия Пирсона %2 392
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ Учебные пособия серии РЕШЕБНИК создаются в рамках проекта EduXXI, начатого О.В. Зиминой и А.И. Кирилловым в апреле 1999 г. Главная цель EduXXI — максимально облегчить учебу, сделать ее интересной и побуждающей к самостоятельным исследованиям. Ос- Основными средствами достижения этой цели в проекте EduXXI служат компьютеры и учебные пособия нового типа — учебные комплексы и решебники. Учебный комплекс точно соответствует программе дисциплины и содержит конспекты лекций, разработки практических занятий с по- подробным решением типовых примеров, задачи и упражнения для са- самостоятельного решения, контрольные вопросы по всем темам (с от- ответами), варианты контрольных работ, а также программы зачета и экзамена с образцами зачетного и экзаменационного билетов. Пока в России существует только один учебный комплекс — книга „Линей- „Линейная алгебра и аналитическая геометрия" О.В. Зиминой (М.: Изд-во МЭИ, 2000.— 328 с). Решебник, согласно толковому словарю русского языка под редак- редакцией профессора Д.Н. Ушакова, — это учебное пособие, содержащее подробные решения задач, помещенных в каком-нибудь задачнике; ключ к задачнику. Учебные пособия серии РЕШЕБНИК — ключи сразу к нескольким основным задачникам по соответствующей дис- дисциплине. Они содержат классифицированные образцы решения типо- типовых задач. Каждой задаче отведен отдельный раздел. Он начинается с общей постановки задачи. Затем следует полный и подробный план решения, содержащий необходимые теоретические сведения. Общая постановка задачи и план ее решения пояснены примерами. Они могут служить основой для рассуждений по аналогии. Раздел за- завершают задачи, предназначенные для самостоятельного решения в точности тем же способом, что в плане и примерах. Все задачи при- приведены с ответами. Чтобы научиться решать задачи того или иного типа, рекомен- рекомендуется сначала изучить план решения в общем виде (алгоритм), за- затем рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае и, по
10 Предисловие редактора серии аналогии с ним, решить несколько задач из числа предлагаемых для самостоятельного решения. Хотя в отечественной учебной литературе имеется целый ряд пре- превосходных книг, она не соответствует государственным образова- образовательным стандартам во многих отношениях. Учебные пособия серии РЕШЕБНИК призваны устранить этот недостаток в части, касаю- касающейся предусмотренных стандартами навыков решения задач. Чтобы приобрести устойчивый навык решения типовых задач, не- необходимо решить не менее трех-пяти задач каждого типа. Однако в имеющихся задачниках редко встречается достаточное количество задач одного типа и отсутствует детальная классификация типовых задач по методам их решения. Поэтому решебник, содержащий реше- решения задач из одного задачника, для большинства учащихся окажется бесполезным. Иначе обстоит дело со сборниками заданий для типовых расчетов. Эти сборники представляют собой сравнительно новый вид учебной литературы и содержат большое количество задач одного типа. Во многих из них задачи хорошо классифицированы. Типовые расчеты выполняются студентами после изучения одного или нескольких разделов курса. Поэтому в заданиях предполагается, что студенты имеют навыки решения определенного круга задач и для выполнения задания должны использовать совокупность этих на- навыков. Каждый студент выполняет только один вариант типового расчета. Поэтому студенты не могут научиться решать комбиниро- комбинированные задачи, т.е. именно такие, с какими они впоследствии будут сталкиваться в своей профессиональной деятельности. В книгах серии РЕШЕБНИК задачи детально классифицированы таким образом, чтобы решение каждой задачи вырабатывало, по воз- возможности, единственный навык. В каждом разделе решебника со- содержится не менее десяти задач одного типа. Преподаватели могут предложить часть задач на аудиторных практических занятиях, дру- другие — в виде домашних заданий, остальные — использовать в конт- контрольных работах, на коллоквиумах, зачетах и экзаменах. Решение объективно необходимого количества задач не преду- предусмотрено действующими учебными планами из-за недостатка вре- времени. Студенты должны все понять, решив лишь одну-две задачи, при том, что их внимание отвлекается от сути дела на второстепен- второстепенные или уже пройденные вопросы, а также на выполнение различных громоздких преобразований и расчетов. Из-за недостатка времени на практических занятиях приходится
Предисловие редактора серии 11 опускать некоторые этапы решения задач, графические иллюстра- иллюстрации и анализ ответов, а также анализ и проверку промежуточных результатов. Поэтому студенты не вполне уясняют себе суть задач и методы их решения. Некоторые важные и интересные задачи имеют столь громоздкие решения, что преподаватели не могут предложить их студентам. В результате у студентов остаются более или менее обширные пробелы в знаниях. Еще хуже то, что из-за недостатка времени содержание учебных дисциплин существенно отстает от развития науки и техно- технологии. Например, в курсе высшей математики не нашли отражения теоремы и методы, разработанные за последние сто лет. Серьезные недостатки, имеющиеся в содержании и качестве выс- высшего образования, все чаще и сильнее ощущаются обществом в виде техногенных катастроф и социальных катаклизмов. Неудовлетвори- Неудовлетворительная оценка нашего высшего образования стала доминирующей среди профессионалов. Так, по данным ряда опросов, около 60 % спе- специалистов, имеющих высшее образование, не довольны его качест- качеством. Следовательно, нужна реформа. Любая реформа должна быть подготовлена. В образовании подготовка реформ обязательно вклю- включает в себя издание учебных пособий нового типа. Каковы их основ- основные черты? Современное учебное пособие должно представлять собой комп- комплекс „книга+дискета", с которым возможно разнообразное общение: от пассивного чтения книги до диалога с соответствующим компью- компьютерным пакетом и даже внесения в него изменений. В процессе работы пакет экономит время учащегося, выполняя за него всю рутинную работу, и помогает концентрировать внима- внимание на сути дела. Пакет адаптируется к потребностям учащегося, совершенствуется, помогает ему применять на практике полученные знания и становится элементом личной электронной библиотеки, ко- которую студент впоследствии будет использовать в своей профессио- профессиональной деятельности. При использовании таких пакетов на компьютеры возлагается вся та работа, которая скучна, утомительна и отвлекает от сути изуча- изучаемого. Компьютеры могут выполнить эту работу гораздо быстрее и лучше, чем человек. Поэтому высвобождается много времени на изучение и глубокую проработку учебного материала, отвечающего современным требованиям, а внимание учащихся удается концентри- концентрировать на тех проблемах, которые действительно достойны внимания разумного человека в начале XXI века.
12 Предисловие редактора серии Книги серии РЕШЕБНИК сопровождаются программным обес- обеспечением, разработанным на основе пакета AcademiaXXI. Это про- программное обеспечение удовлетворяет следующим требованиям, кото- которые должны предъявляться к программному обеспечению учебной и исследовательской деятельности: • использование компьютерных программ должно осуществлять- осуществляться только по лицензиям производителей; • программы должны реализовывать современные алгоритмы об- обработки математических выражений в численной и символьной форме с автоматическим контролем точности вычислений, а также алгоритмы компьютерной графики; • программа не должна отнимать время на изучение правил ее использ ования; • итогом работы с программой должен быть документ высокого типографского качества, пригодный для публикации, а также для редактирования в стандартных текстовых процессорах; • программы должны быть пригодны для решения не только учеб- учебных, но и профессиональных задач. Подробное объяснение необходимости соблюдения этих требова- требований имеется на сайте www.AcademiaXXI.ru. Пакеты, входящие в комплексы РЕШЕБНИК, состоят из докумен- документов MS Word, программ Word-CAS Interface и системы символьной математики типа DERIVE, Maple V, MuPAD, Reduce и т.п. Документы MS Word, в основном, идентичны включенным в кни- книгу, но являются интерактивными шаблонами для документов сту- студентов и преподавателей. Например, если студенту нужно решить какую-нибудь задачу, то он может: 1) легко найти задачу данного типа; 2) изучить план ее решения; 3) изучить пример; 4) изменить исходные данные и выполнить действия с ними; 5) сохранить содержание окна в каком-нибудь файле; 6) передать файл преподавателю непосредственно или предвари- предварительно распечатав его. Программы Word-CAS Interface позволяют переслать математи- математические выражения из документа Word в систему символьной мате- математики, поручить ей выполнить математические действия и графи- графические построения и вставить результат в документ Word как его органическую часть, а не как объект OLE.
Предисловие редактора серии 13 Такая технология предложена А.И. Кирилловым в 1999 г. и ре- реализована им в пакете AcademiaXXI. Пакет AcademiaXXI является единой образовательно-научной информационной средой, в которой все элементы новых информационных технологий находятся во взаи- взаимодействии и работают как единый организм. Пакет подробно пред- представлен на сайте www.AcademiaXXI.ru. Мощные модули AcademiaXXI являются основой для пакетов, ко- которые, в сочетании с книгами серии РЕШЕБНИК, образуют комп- комплексы „книга+дискета", Использование комплексов РЕШЕБНИК предоставит студентам возможность решать столько задач, сколько действительно необхо- необходимо, чтобы приобрести устойчивые навыки. Кроме того, студенты смогут анализировать полученные ими решения, исследовать, как эти решения изменяются в зависимости от исходных данных, и исполь- использовать компьютерную графику для иллюстраций. Таким образом, возникает основание для индуктивных умозаключений, которых сту- студентам так не хватает при традиционном обучении. Использование комплексов РЕШЕБНИК позволит преподавателям переложить на компьютеры составление и проверку обязательных за- заданий, поможет подбирать примеры для лекций и практических за- занятий и снимет ограничения на трудоемкость предлагаемых студен- студентам задач. Кроме того, благодаря использованию модулей пакета AcademiaXXI становится возможной разработка и применение новых методов решения задач, важных для приложений. При разработке компьютерной поддержки занятий с книгами се- серии РЕШЕБНИК совершенствуются имеющиеся и создаются новые алгоритмы решения задач. В процессе такого развития теории алго- алгоритмов имеются этапы, на каждом из которых становится возмож- возможным полностью передать компьютерам решение некоторого класса типовых задач. Подобно тому как с появлением калькуляторов из учебных про- программ были исключены, например, правила извлечения корня „уг- „углом", в будущем из учебных программ исключат и рецепты решения целого ряда задач высшей математики и выполнения инженерных расчетов. В триаде „Что—Зачем—Как" (делается, решается, вычис- вычисляется и т.п.) акцент сместится с „Как" на „Что" и „Зачем". Таким образом, книги серии РЕШЕБНИК вносят вклад не только в совер- совершенствование образования, но и в изменение его целей и содержания. Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодар-
14 Предисловие редактора серии ность Первому заместителю Генерального директора МАИК „На- „Наука/Интерпериодика" Николаю Георгиевичу Аванесову и Генераль- Генеральному директору ООО Издательская фирма „Физико-математическая литература" Марии Николаевне Андреевой за то, что они увидели перспективность и значение учебных пособий типа РЕШЕБНИК и предоставили все имеющиеся в их распоряжении силы и средства для их издания. В серии РЕШЕБНИК выйдут книги по математике, информа- информатике, физике, теоретической механике, а также по обще техническим дисциплинам. Часть из них готовится к печати, над другими рабо- работают их авторы, а для создания третьих лишь только формируются творческие коллективы. Обсуждение серии организовано на сайте www.AcademiaXXI.ru. Замечания и предложения можно также на- направлять по адресу: 111250, Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Московский энергетический институт (ТУ), кафедра высшей мате- математики, профессору А.И. Кириллову, или электронной почтой по ад- адресу KirillovAI@mpei.ru. Новая книга серии РЕШЕБНИК — „Высшая математика. Специ- Специальные разделы" — содержит методы решения задач из разделов выс- высшей математики, наиболее часто используемых в приложениях. Для написания книги потребовалось участие авторитетных специалистов по уравнениям математической физики, теории вероятностей и ма- математической статистике. Я глубоко благодарен В.И. Афанасьеву и И.М. Петрушко за то, что они нашли возможность стать активными членами авторского коллектива. В процессе научного редактирования книги возникало много науч- научно-методических проблем. Я очень признателен О.В. Зиминой за де- детальное обсуждение этих проблем и помощь в их решении. Москва, 1 августа 2001 г. А.И. Кириллов
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕШЕБНИК „Высшая математика. Специальные разделы" явля- является естественным продолжением книги РЕШЕБНИК „Высшая математика" и содержит примеры решения типовых задач по специ- специальным разделам высшей математики: теории функций комплексной переменной, операционному исчислению, рядам Фурье, преобразова- преобразованию Фурье, уравнениям математической физики, теории вероятнос- вероятностей и математической статистике. Изучение этих разделов представляет большие трудности как для студентов, так и для преподавателей по нескольким причинам: • сложно сформулировать стандартные задачи и алгоритмизиро- алгоритмизировать процедуру их решения; • громоздкие вычисления, необходимые для решения многих за- задач, особенно по рядам Фурье и уравнениям математической физики, не позволяют рассмотреть достаточное количество примеров и задать для самостоятельного решения несколько за- задач каждого типа; • недостаточное количество существующих задачников, особенно по уравнениям математической физики, теории вероятностей и математической статистике. Все эти причины, в сочетании с растущими потребностями об- общества в качественно новом образовании, низкий уровень матема- математической подготовки специалистов в современных областях науки и технологии, и особенно в области экономики, финансов и менед- менеджмента, побудили авторов соединить свои силы и опыт преподавания для написания данной книги. РЕШЕБНИК „Высшая математика. Специальные разделы" — ключ к нескольким основным задачникам, используемым при изуче- изучении математики. Вместе с тем, в книге впервые объясняется реше- решение ряда задач, важных для приложений, а также излагаются новые методы решения некоторых задач математической физики и мате- математической статистики. Отметим, что новые методы математичес- математической статистики относятся к важнейшим практическим приложениям, связанным с анализом выборок малого объема. Разработка этих
16 Предисловие методов стала возможной благодаря использованию модулей пакета AcademiaXXI. Авторы надеются, что эта книга окажется удобной и полезной при изучении математики в аудитории и дома, при очной и дистан- дистанционной формах обучения, а также будет способствовать повышению уровня подготовки студентов и аспирантов именно в тех областях математики, которые в настоящее время изучаются недостаточно, но которые именно сейчас приобретают особую важность при под- подготовке специалистов, способных ставить и решать задачи не только сегодняшнего, но и завтрашнего дня. Хотелось бы, чтобы книга была полезной для инженеров и исследователей как подробный справочник по прикладной математике. Для эффективной работы с книгой необходим компьютерный па- пакет РЕШЕБНИК.ВМ, созданный на основе модуля STEM Plus пакета AcademiaXXI. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ распространяется через сайт www.AcademiaXXI.ru и продается на дискетах в киосках вузов. Те, кто уже освоил работу с пакетом РЕШЕБНИК.ВМ при изуче- изучении основного курса математики, не испытают никаких затруднений при использовании его возможностей для решения более сложных и громоздких задач, а также легко освоят использование многочислен- многочисленных дополнительных функций, содержащихся в новой версии пакета. Особенно полезны эти функции при обработке статистических дан- данных, результатов измерений, таблиц и т.п. Те читатели, которые будут использовать компьютерный пакет РЕШЕБНИК.ВМ впервые, смогут быстро освоить его, одновременно повторяя те разделы основного курса, которые особенно важны для успешного продолжения математического образования. К началу каждого семестра выпускается новая версия пакета РЕШЕБНИК.ВМ. Она отличается от предыдущих версий большим количеством текстов с планами и примерами решения задач, усовер- усовершенствованным модулем STEM Plus и более удобным интерфейсом. Поэтому использование пакета РЕШЕБНИК.ВМ помогает не только более успешно учиться, но и непрерывно повышать квалификацию в решении прикладных задач. Авторы благодарны A.M. Роговой за любезно представленные предварительные материалы для раздела „Математическая статис- статистика". Глубокую признательность А.И. Кириллову выражают ос- остальные авторы за ценные идеи, плодотворное обсуждение постано- постановок задач и методов их решения, а также за помощь в выполнении компьютерных расчетов.
Глава 1 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ При изучении темы ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕ- ПЕРЕМЕННОЙ вы научитесь оперировать с комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; по- познакомитесь с элементарными функциями комплексной переменной, научитесь дифференцировать, интегрировать и находить разложения в ряды Тейлора и Лорана функций комплексной переменной; научи- научитесь исследовать аналитические свойства функций, находить нули и особые точки; познакомитесь с теорией вычетов и научитесь приме- применять вычеты для вычисления контурных, определенных и несобствен- несобственных интегралов. С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы сможете производить дей- действия с комплексными числами, находить разложения рациональных функций на элементарные дроби, вычислять производные и интег- интегралы, производить вычисления и проверять полученные вами резуль- результаты. 1.1. Извлечение корня из комплексного числа Постановка задачи. Найти все значения корня п.-ой степени из комплексного числа z = х + гу. План решения. 1. Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет п различ- различных значений, которые определяются формулой (р + 2тгк . . (р + 2тгк\ cos У г sin , A) п п ) где г = |z|, if = arg z и к = 0,1, 2,..., п — 1. 2 В.И. Афанасьев и др.
18 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 2. Находим модуль и аргумент числа z = х + гу по формулам г = \z\ = = arg z = < arctg -, X тг + arctg —тг + arctg тг 2 ' тг ж' У_ [ по формуле A) значения х : X < X < X - X - >0, = 0, = 0, = 0, = 0, корня w У У У У kit <0, >0, <0. с = 0,1,... ,п — 1) и представляем их в алгебраической форме. Записываем ответ. Пример. Найти все значения \/—27г. Решение. 1. Корень 3-й степени из комплексного числа z = — 27г имеет три различных значения, которые определяются формулой w = \/-27i = 3 B) где г = | - 27г|, (р = arg (-27г) и fc = 0,1, 2. 2. Находим модуль и аргумент числа z = — 27i (ж = 0, у = — 27): г = - 27г| = 27, = arg (-27г) = -тт/2. 3. Находим по формуле B) значения корня ii;o, wi, W2 ПРИ к = = 0,1, 2 и представляем их в алгебраической форме: = 3e-'r8/e=3(cos(-^)- _ Зе77*/2 = 3(cos —h г sin —) = Зг, Q тж1 _, 7тт 7тт = Зе б =3(cosy+zsmy) = 3. -г. Ответ. \/—27i имеет три значения 3\/3 3 " *' 3i' -
1.2. Кривые в комплексной области 19 Условия ЗАДАЧ. Найти все значения корня из комплексного чи- числа. 1. у/1. 2. Щ. 3. ^Т. 4. ^4. 5. у/2 + 2л/3г. 6. л/-2 + 2\/Зг. 7. д/-2-2л/Зг. 8. ^27. 9. ^Т. 10. л/-8 - 8\/Зг. Ответы. 1. 1, (-1 ± л/Зг)/2- 2- -^ (±\/3 + г)/2. 3. -1, A ± л/Зг)/2. 4. ±A±г). 5. ±(л/3 + г). 6. =ЬA + л/Зг)- 7. ±A - л/Зг). 8. ±л/3г, ±C±л/Зг)/2. 9. ±1, ±A±л/Зг)/2. 10. ±1 ± л/Зг. 1.2. Кривые в комплексной области Постановка задачи. Определить вид кривой, заданной уравне- уравнением z(t) = x(t) + гг/(?), t G (—оо, оо). План решения. 1. Составляем параметрические уравнения кривой Г х = ж(?), \ у = y(t), t G (-00,00), где x(t) = Rez(t) и y(t) = Imz(t). 2. Исключая параметр t из параметрических уравнений, получаем уравнение кривой в виде F(x,y) = 0. 3. Используя канонические формы уравнений кривых на плоскос- плоскости, определяем вид искомой кривой. 4. Находим области значений x(i) и y(i) и выясняем, какая часть кривой определяется исходным уравнением. Замечание. Точка с координатами x(t),y(t) может пробегать кри- кривую неоднократно. Пример. Определить вид кривой, заданной уравнением z(t) = t2 - It + 3 + i(t2 - 2t + 1), t G (-00, 00). Решение. 1. Составляем параметрические уравнения кривой х = t2 - 2t + 3, y = t2 -2t + i, te (-00,00). 2. Исключая параметр t из этих уравнений, получаем у = х — 2. 2*
20 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 3. Данное уравнение определяет прямую на плоскости. 4. Так как x(i) = t2 - 2t + 3 ^ 2 и у = t2 - 2t + 1 ^ 0, то исходное уравнение определяет часть прямой х — у — 2 = 0, лежащую в первой четверти. Ответ. Часть прямой ж — г/ — 2 = 0 (ж ^ 2, г/ ^ 0). Условия ЗАДАЧ. Определить вид кривой, заданной уравнением z(t) = ж(?) + гг/(?), t Е (—ос, ос). 1. z(t) = t3 - i(t3 + 16). 2. z(f) = 2?2 + 2t + 1 - г(?2 + * + 4). 3. z(t) = t2 + 2t + 5 + i(t2 + 2t + 1). 4. z(?) = t - 2 + г(^2 - U + 5). 5. z(t) = 2e" + е"^/2. 6. z(t) = -2eu + e"**. 7. z(t) = Зе^ - е~и/2. t. 9. z(t) = 2ch3t-3ish3t. 10. z(i) Ответы. 1. Прямая х + у — 16 = 0. 2. Часть прямой х-\-2у-\-7 = 0(х^ 1/2, у ^ —15/4). 3. Часть прямой х — у — 4 = 0 (х ^ 4, у ^ 0). 4. Парабола у = ж2 + 1. 5. Эллипс 4ж2/25 + 4у2/9 = 1. 6. Эллипс х2 + г/2/9 = 1. 7. Эллипс 4ж2/25 + 4у2/49 = 1. 8. Гипербола у2 - х2/9 = 1. 9. Часть гиперболы х2/4 — у2/9 = 1 (х ^ 0). 10. Часть эллипса х2 -\- у2/Ъ = 1 (У ^ 0). 1.3. Аналитичность, условия Коши—Римана Постановка задачи. Исследовать аналитические свойства функции w = /(z) и найти ее производную. План решения. Если функции Kew = и(х,у) и Imu> = v(x,y) дифференцируемы в точке (жо,уо) и в этои точке выполняются усло- условия Коши—Римана ди dv ди dv то функция /(z) = u(x, y)-\-iv(x, у) комплексной переменной z = х-\-гу дифференцируема в точке zq = xq + гуо- Если хотя бы одно из условий A) нарушается, то функция /(z) не является дифференцируемой. Функция /(z) называется аналитической в точке zo, если сущест- существует окрестность точки zq, в каждой точке которой /(z) дифферен- дифференцируема. Замечание. Если функция /(z) дифференцируема в области, то она аналитична в этой области.
1.3. Аналитичность, условия Коши-Римана 21 1. Находим действительную и мнимую части функции f(z): и(х,у) = Re/(z), v(x,y) =Im/(z) 2. Находим частные производные функций и(х,у) и v(x,y) и де- делаем заключение о дифференцируемости функции и(х,у) и v(x,y). 3. Проверяем выполнение условий Коши—Римана A) и определяем, в каких точках z функция f(z) дифференцируема и аналитична. 4. Вычисляем производную функции f(z) в точках дифференци- дифференцируемости по одной из формул: „// ч ди .dv .,, ч dv .ди ох ох ду ду fVr^ — 7 f (z) — I- 7 аж ду ду дх Пример 1. Исследовать аналитические свойства функции w = ez и найти ее производную. Решение. 1. Находим действительную и мнимую части функции ez, исполь- используя определение показательной функции ez = ex (cos у + г sin г/). Получаем гл(ж, г/) = еж cosy, v(x, у) = еж sin у. 2. Находим частные производные ди dv — = ех cos j/, —- = еж cos г/, х • х • — = -е sin 2/, ^- = е sin 2/. ay аж Частные производные, очевидно, непрерывны всюду, и, следователь- следовательно, функции и(х,у) и v(x,y) всюду дифференцируемы. 3. Условия Коши—Римана ди dv ди dv дх ду' ду дх выполняются в любой точке (ж, у) G М2, и, следовательно, функция ez дифференцируема и аналитична во всех точках z G С.
22 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 4. Вычисляем производную функции ez, например, по формуле , ди dv , . . ч z f (z) = — +г^ = е (cos 2/ +г sin у) = е . Ответ. Функция f(z) = ez аналитична во всех точках z и f'[z) = ez. Замечание. Все элементарные функции комплексной переменной аналитичны в области их определения, причем справедливы таблица производных и правила дифференцирования, известные для функций вещественной переменной. Пример 2. Исследовать аналитические свойства функции w = \z\2 и найти ее производную. Решение. 1. Находим действительную и мнимую части функции W = х + гу\ = х + у . Получаем "'V 5 "/ — \ У 1 uyL") У) — и* 2. Находим частные производные ди dv Ъх=2х' dy=°' du dv — = 22/, 7Г = 0. Частные производные, очевидно, непрерывны всюду, и, следователь- следовательно, функции и{х,у) и v(x,y) всюду дифференцируемы. 3. Условия Коши-Римана ди dv du dv dx ду' dy dx выполняются только в точке х = 0, у = 0. Следовательно, функция \z\2 дифференцируема в единственной точке z = 0 и нигде не анали- аналитична. 4. Вычисляем производную функции \z\2 в точке z = 0, например по формуле: Ответ. Функция f(z) = \z\2 дифференцируема в одной точке = 0 и нигде не аналитична. /;@) = 0.
1.4. Восстановление аналитической функции 23 Пример 3. Исследовать аналитические свойства функции w = ~z. Решение. 1. Находим действительную и мнимую части функции w = z = х — гу. Получаем и(х,у) = ж, v(x,y) = —у. 2. Находим частные производные ди dv ди dv дх ^ ду ду дх Частные производные, очевидно, непрерывны всюду, и, следователь- следовательно, функции и(х,у) и v(x,y) всюду дифференцируемы. 3. Условия Коши-Римана A) не выполняются ни в одной точке. Следовательно, функция f(z) = ~z нигде не дифференцируема и не аналитична. Ответ. Функция f(z) = ~z нигде не дифференцируема и не анали- аналитична. Условия ЗАДАЧ. Исследовать аналитические свойства функции w = f(z) и найти ее производную. 1. f(z) = z. 2. f(z) = Rez. 3. f(z) = Imz. 4. f(z) = \z\Re. 5. f{z) = Rez2. 6. f(z) = (RezJ. 7. f(z) = (zJ. 8. f(z) = zz. 9. f(z) = sin z. 10. f(z) = l/z. Ответы. 1. Нигде не дифференцируема и не аналитична. 2. Нигде не дифференцируема и не аналитична. 3. Нигде не дифференциру- дифференцируема и не аналитична. 4. Нигде не аналитична, /;@) = 0. 5. Ни- Нигде не аналитична, /;@) = 0. 6. Нигде не аналитична, f'(iy) = 0. 7. Нигде не аналитична, /;@) = 0. 8. Нигде не аналитична, /;@) = 0. 9. Аналитична при всех z, f'(z) = cosz. 10. Аналитична при всех 1.4. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части Постановка задачи. Найти аналитическую функцию f{z) = = и + гг>, если заданы ее действительная часть и(х,у) [или мнимая часть v(x,y)) и значение f(z) в некоторой точке zq.
24 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной План решения. 1. Находим частные производные заданной функции и(х,у) (или v(x,y)). 2. Используя условия Коши-Римана dv ди dv ди ~ду = Ъх~' ~дх^~~ду' ( ' находим v(x,y) (или и(х,у)) с точностью до произвольной постоян- постоянной с. 3. Записываем искомую функцию f(z) = u{x, y)-\-iv(x, y) + C и пре- преобразуем полученное выражение к функции переменной z, например заменяя хирх выражениями через переменную z: z+z z-z B) 4. Находим значение постоянной С из условия f(z)\z=Zo = f(zo) и записываем ответ. Пример. Найти аналитическую функцию /(z), если ^(ж, у) = Re /(z) = x3 - Зху2 + 2у и /(г) = 2. Решение. 1. Находим частные производные функции и(х,у) ди 9 9 ди — =Зх2-ЗгД — дх ду 2. Из 2-го условия Коши-Римана A) dv ди находим v= -^dx + <р(у) = / (бжу -2)dx + g{y) = Зх2у - 2х Дифференцируя ипоу, получаем
1.4. Восстановление аналитической функции 25 Для нахождения функции д(у) используем 1-е условие Коши-Рима- на A). Приравнивая dv/dy = Зх2 + д'(у) производной получаем обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка я'{у) = -з?Л из которого определяем д(у) Таким образом, получаем функцию v(x, у) = Зх2у - 2х - у3 + С. 3. Записываем искомую функцию f(z) в виде f(z) = и + iv = х3 - Зху2 + 2у + гCж2у - у3 - 2х + Ci). Преобразуем полученное выражение к функции переменной z, исполь- используя выражения B) или равенства z = х + гу и z3 = (ж + гг/K = ж3 - Зжу2 + iCx2y - у3). Получаем /(z) = z3 - 2iz + С. где С — произвольная комплексная постоянная. 4. Находим значение С из условия /(г) = 2: 2 = г3 - 2г • г + С. Получаем С = г и, следовательно, /(z) = z3 - 2iz + г. Ответ, /(z) = z3 - 2iz + г.
26 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Условия ЗАДАЧ. Найти аналитическую функцию /(г), если за- заданы ее действительная или мнимая часть и значение f(z) в неко- некоторой точке zq. 1. Re/(z) = х2 - у2 + 2я, /(г) = 2г - 1. 2. Re/(z) = х/(х2 + г/2), /(тт) = 1/тг. 3. Im/(z) = arctg(y/z), /A) = 0. 4. Re/(z) = = Зж2 - 4ху - Зг/2, /(-г) = -3 - 2г. 5. Im/(z) = Южг/ - 6у, /A/5) = -1. 6. Im/(z) = sin2/ch(a; + 1), /(-1 + ттг/2) = г. 7. Im/(z) = 2у[у2 + (х + IJ], /(г) = г. 8. Im/(z) = х/(х2 + г/2) + ж, /A) = -2г. 9. Re/(z) = e"^(xcosx - ysinx), /@) = 0. 10. Re/(z) = xsmxchy — у cos x shy, /@) = 0. Ответы. I.f(z) = z2 + 2z. 2. f(z) = l/z. 3. f(z)=]nz. 4./(z) 5. /(z) = 5z2 - 6z. 6. /(z) = sh(z + l). 7. f(z) = (z 8.f(z) = i/z + iz. 9.f{z) = zeiz. 10. f{z) = zsinz. 1.5. Интеграл от функции комплексной переменной Постановка задачи. Вычислить интеграл f(z)dz, I- где L — кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D, в которой функция f(z) непрерывна. План решения. Интеграл от функции f(z) = u(x, y) + iv(x, г/), не- непрерывной в области D, выражается через криволинейные интегралы второго рода по формуле / f(z)dz= / udx — vdy-\-i / udy + vdx. A) L L L 1. Записываем f(z) в алгебраической форме f(z) = u(x,y) + iv(x,y). 2. Используя формулу A), представляем искомый интеграл в виде суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций и(х,у) и v(x,y) двух вещественных переменных хну.
1.5. Интеграл от функции комплексной переменной 27 3. Записываем уравнения кривой L в явном виде у = у(х) (или х = х(у)) или параметрически у = y(t), х = x(t). 4. Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определен- определенным, и записываем ответ. Замечание. Можно вычислять интеграл от функции комплексной переменной по формуле (z)dz = Jf(z(t))z'(t)dt, B) L а где z = z(t) — параметрическое уравнение кривой L в комплексной форме. Пример 1. Вычислить интеграл /¦ Re z dz, L где а) L — отрезок прямой от точки О@, 0) до точки 5A,1); б) L — ломаная с вершинами О@, 0), ЛA, 0), 5A,1). Решение. Интеграл от функции f(z) = и(х,у) + iv(x,y), непре- непрерывной в области D, выражается через криволинейные интегралы второго рода по формуле / f(z) dz = / udx — v dy + г I udy + v dx. L L L Случай а) 1. Записываем f(z) в алгебраической форме f(z)=x. 2. Используя формулу A), представляем искомый интеграл в виде суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций и(х,у) и v(x,y) двух вещественных переменных хну: / Kezdz = / xdx -\- г \ х dy. L L L 3. Записываем уравнение отрезка О В у = х, 0 ^ х ^ 1.
28 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 4. Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определен- определенным: 1 1 / xdx + i / xdy = / xdx -\- г I xdx = l l о о Ответ. 2 Случай б) Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записы- записываем интеграл в виде суммы двух интегралов: Rezdz= / Rezdz-\- / Rezdz, L OA AB и каждый интеграл вычисляем так же, как в случае а). 1. Записываем f(z) в алгебраической форме f(z) = х. 2. Используя формулу A), представляем искомый интеграл в виде суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций двух вещественных переменных хну: / Rezdz = / xdx -\- г I xdy. L L L 3. Записываем уравнения кривой L, т.е. отрезка О А: у = 0 @ ^ х ^ 1) и отрезка АВ: х = 1 (О $J у ^ 1). 4. Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определен- определенным: 1 1 / хdz + гхdy + / хdx -\- ixdy = I xdx -\- i I dy = —\- i. OA AB 0 0 Ответ. Rezdz = —hi. A L Замечание. Подынтегральная функция не является аналитической, поэтому интегралы по различным кривым, соединяющим две данные точки, могут иметь различные значения.
1.5. Интеграл от функции комплексной переменной 29 ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл /N Idz, L где L — верхняя полуокружность |z| = l, Rez>0c обходом против часовой стрелки. Решение. В данном случае удобно воспользоваться уравнением кривой L в параметрической форме z = elt @ ^ t ^ тг) и применить формулу B) = Jf(z(t))z\t)dt. L a 1. Находим ~z = e~lt, \z\ = 1, dz = гег* c/?. 2. Подставляем в подынтегральное выражение и вычисляем интег- интеграл / \z\~zdz = / e~ltielt dt = idt = гтг. l о о Ответ. / \z\zdz = гтг. Условия ЗАДАЧ. Вычислить интегралы от функций комплекс- комплексной переменной по заданным кривым. 1. / ~zdz, L — полуокружность \z\ = 1, Imz ^ 0. L 2. / z Re z dz, L — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки z2 = г. 3. z2\z\ dz, L — полуокружность \z\ = 2, Imz ^ 0. L 4. / zlmzdz, L — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки L Z2 = 1 + г. 5. / e'z' б/z, L — полуокружность |z| = 1, Rez ^ 0. L
30 -Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 6. / Im zdz, L — полуокружность \z\ = 1, Imz ^ 0. L 7. / zdz, L — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки Z2 = 1 + г. L 8. / |z| Kezdz, L — полуокружность \z\ = 3, Imz ^ 0. L 9. / zsin |z| c/z, L — полуокружность |z| =2, Rez ^ 0. L 10. / z Im zdz, L — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки ь z2 = 2 + 2г. Ответы. 1. ттг. 2. 0. 3. -16тт/3. 4. 2г/3. 5. -2ег. 6. -тт/2. 7. 1. 8. -27тгг/2. 9. 0. 10. 8 + 8г. 1.6. Интеграл от аналитической функции Постановка задачи. Вычислить интеграл Jf(z)dz, L где f(z) — функция, аналитическая в односвязной области D, L — кусочно-гладкая кривая, целиком лежащая в области D и соединяю- соединяющая точки z\ и Z2- План РЕШЕНИЯ. Интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой L G D от функции, аналитической в односвязной области D, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной то- точек z\ и Z2 и может быть вычислен по формуле Ньютона—Лейбница Z2 I f(z) dz = J f(z) dz = F(z2) - F(Zl), A) L Z! где F(z) — первообразная функции f(z). 1. Находим первообразную F(z), используя табличные интегралы, свойства интегралов и методы, известные из математического ана- анализа.
1.6. Интеграл от аналитической функции 31 2. Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница A). Записываем ответ в алгебраической форме. Пример. Вычислить интеграл sin2 z dz, L где L — отрезок прямой от точки z\ = 0 до точки z\ = г. Решение. Функция /(z) = sin z аналитична всюду, и, следова- следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона—Лейбница A). 1. Находим первообразную -F(z), используя формулы понижения степени 2. Вычисляем интеграл по формуле Ньютона—Лейбница о Ответ. sin2 zdz = jB-sh2). о Условия ЗАДАЧ. Вычислить интегралы от аналитических функций. 0 г 1+г 1. z cos zdz. 2. / (z2 + sin z)dz. 3. / Cz2 + 2z - 1) dz. i 0 1-г 2г 2г г i 4. / 4 cos2 zdz. 5. / 2ze^2dz. 6. / z ez dz. 7. / z sin zdz. О г 0 1 1 1+г г 8. (z + i) sin zdz. 9. / 2z cos z2 dz. 10. / Bz3 + 2z) sin z2 dz. 0 10 Ответы. 1. 1 - e. 2. 1 - ch 1 - г/3. 3. 6г. 4. D + sh4)i. 5. e~4 — e. 6. 1 — sin 1 — cos 1 + i(cos 1 — sin 1). 7. cos 1 — sin 1 — ie~1. 8. i(l + shl - 2chl). 9. -sinl + ish2. 10. 1 - cos 1 - sinl + zcosl.
32 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 1.7. Ряд Тейлора Постановка задачи. Функцию /(z), аналитическую в точке zo, разложить в ряд Тейлора в окрестности этой точки (по степеням z — zq). Указать область, в которой справедливо это разложение. План решения. Функция, аналитическая в точке zo, разложима в степенной ряд f^V4; zY A) n=0 Это разложение справедливо в области \z — zo| < R, где R — рас- расстояние от точки zq до ближайшей особой точки функции /(z), т.е. точки, в которой /(z) не является аналитической. Ряд A) называется рядом Тейлора функции f(z). 1. Находим производные функции: f(z), /"(*),...,/(">(*),... Если не удается установить формулу для n-ой производной, мы огра- ограничиваемся несколькими производными, количество которых опреде- определяется потребностями конкретной задачи. 2. Вычисляем значения производных в точке zq. 3. Составляем ряд Тейлора по формуле A). 4. Находим расстояние R от точки zq до ближайшей особой точки функции f(z) и указываем область справедливости полученного раз- разложения: круг \z — zq\ < R. Записываем ответ. Пример 1. Найти несколько первых членов разложения функции f(z) = tgz в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 (по степеням z). Указать область, в которой справедливо это разложение. Решение. 1. Находим производные функции f(z) = tgz непосредственно или по формулам: f{z) = ^-z = 1 + f(z), f"(z) = 2f(z)f'(z), f"(z) = 2[f'2(z) + f(z)f'(z)}, r(z) = 2[3f'(z)f"(z) + f(z)f"{z)], r(z) = 2[3/(z) + 4f'(z)f"'(z) + f(z)r(z)],...
1.7. Ряд Тейлора 33 2. Вычисляем значения производных в точке zq = 0: /'@) = 1, /"@)=0, /'"@) = 2, /ш@) = 0, /»@) = 16,... 3. Составляем ряд Тейлора по формуле A) *г = * + Г8 + ^в + - B) 4. Особыми точками функции /(z) = tgz, ближайшими к точке Zq = 0, являются точки z = =Ьтг/2, поэтому R = тг/2 и равенство B) справедливо в круге \z\ < тг/2. О 1 С\ Ответ. tg^ = z+-^3 + —г5 + ..., |г|<тг/2. Пример 2. Функцию /(z) = chz разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 (по степеням z). Указать область, в ко- которой справедливо это разложение. Решение. 1. Находим производные функции f(z) = ch(z): 2. Вычисляем значения производных в точке zo = 0: fW(z) = <bz\z=0 = l, fBk+1\z)=shz\z=0 = 0, к = 0,1,... 3. Составляем ряд Тейлора по формуле A) 00 2п 4. Поскольку /(z) = chz аналитична всюду, Д = +оо и разложе- разложение B) справедливо при всех z G С. Ответ. chz = ^^yy, |z|<+oc. Условия ЗАДАЧ. Найти несколько первых членов разложения функции f(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0. Указать область, в которой справедливо это разложение. 1. f(z) = lncosz. 2. f(z) = 2/A + в"*). 3. /(z) = 1/A + sinz). 4. /(z) = ch2z. 5. ln(l + cosz). 6. /(z) = sh2z. 7. ln(l + sinz). 8. /(z) = e1/A-^). 9. /(z) = l/(l + ez). 10. /(z) = 1/cosz. 3 В.И. Афанасьев и др.
34 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Ответы. 1. f(z) = -z2/2 + 4z4/4! + 44z6/6! + ..., \z\ < тг/2. 2. /(z) = 1 + z/2 - z3/C! 22) - 3z5/E! 22) + ..., тт. 3. f(z) = 1 - z + z2 - 5z3/3! + 18z4/4! + ..., \z\ < тг/2. 4. /(z) = 1 + z2 + 8z4/4! + 32z6/6! + ..., \z\ < oc. 24) \ 26) + ..., 5. /(z) =ln2-z2/4H 6. /(z) = z2 + 8z4/4!- 7. /(z) = z - z2/2 + z3/3! - 2z4/4! + ..., \z\ < тг. 8. /(z) = e(l + z + 3z2/2! + 13z3/3! + ..., \z\<l. 10. /(z) = 1 + z2/2! + 5z4/4! + 61z6/6! + ..., \z\ <V/2. тт. 1.8. Ряд Тейлора рациональных функций Постановка задачи. Рациональную функцию М = §^ (Qm(o)^o) разложить в ряд Тейлора по степеням z. Указать область, в кото- которой справедливо это разложение. План решения. Имеем разложение в степенной ряд < 1. A) n=0 1. Если дробь —— неправильная, выделяем целую часть. Qrn(z) 2. Правильную рациональную дробь записываем в виде суммы эле- элементарных дробей вида —, B) где а ? С — простой корень уравнения Qm(z) = 0, и В C) где Ъ G С — /с-кратный корень уравнения Qm(z) = 0. 3. Элементарные дроби вида B) разлагаем в степенные ряды, ис- используя табличное разложение A): z — а А/а 'l-z/a z < а\. п=0
1.8. Ряд Тейлора рациональных функций 35 Элементарные дроби вида C) разлагаем в степенные ряды, сде- сделав аналогичные преобразования и используя теорему о почленном дифференцировании степенного ряда A): i + l)zn, \z\ < 1. n=l n=0 Продолжая процедуру дифференцирования, можно получить разло- разложение элементарных дробей 1/A — z)k при любом к = 2, 3,... 4. Складывая полученные ряды, получаем окончательный ответ. 5. Находим расстояние R от точки zq до ближайшей особой точки функции f(z) (где Qm(z) = 0) и указываем область, в которой спра- справедливо полученное разложение: круг \z — zq\ < R. Замечание. При разложении по степеням z — zq (Q(zo) ф 0) предва- предварительно вводим вспомогательную переменную t = z — zq и находим разложение функции f(t) по степеням t. ПРИМЕР. Разложить по степеням z функцию z)- Указать область, в которой справедливо это разложение. Решение. 1. f(z) — правильная рациональная дробь. 2. Разложим f(z) на элементарные дроби: z+1 112 1 11 (z-lJ(z + 2) 9z-l 3(z-lJ 3. Каждую элементарную дробь разлагаем в ряд по степеням п=0 1 zn, \z\ < 1; _ - (_l)nzn z/2 2^i 2" ^ 1 n=0 n=0 < 2.
36 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 4. Складывал полученные ряды, получаем (z-lJ n=0 n=0 9 n=0 5. Ближайшей к точке zq = 0 особой точкой функции f(z) является точка z = 1, поэтому й = 1 и равенство D) справедливо в круге Ответ. 2 + 1 \п+1 1+1 < 1. Условия ЗАДАЧ. Разложить в ряд Тейлора функцию f(z) no сте- степеням z. Указать область, в которой справедливо это разложение. 1. /(*) = 1/B + *). 2. /(г) = 1/B2 - 5). 3. f(z) = 1/A - *2/9). 4. /(г) = D2 + 2)/(z3 - 1). 5. /B) = E - 2z)/(z2 - 5z + 6). 6./(^) = D^+3)/(^-3z + 2). 7.f(z) = l/B + zJ. 8. f(z) = 1/A-z)\ 9. /(z) = 1/A - zf. 10. /(г) = C + z - z2)/B + z-2z2- z3). Ответы. <2. n=0 oo n=0 oo n=0 oo 11 2", <5/2. n=0 n=l n=0 n=0 n=0 n=0 < 1.
1.9. Разложение в ряд Тейлора 37 1.9. Разложение в ряд Тейлора с использованием табличных разложений Постановка задачи. Функцию /(z), аналитическую в точке zq, разложить в ряд Тейлора в окрестности этой точки (по сте- степеням z — zo), используя табличные разложения. Указать область, в которой справедливо полученное разложение. План решения. Табличные разложения функций в степенные ряды по степеням z: е = n=0 n=0 OO / -t \r> ft П=1 zn \z\<l, (rf;,, ii 77/. n=l 1. Выражаем функцию /(z) через функции, имеющие табличные разложения. 2. Находим разложение функции в ряд Тейлора, используя таб- табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. 3. Находим область, в которой справедливо полученное разложе- разложение: \z — zq\ < R, где R — расстояние от точки zq до ближайшей особой точки функции f(z). Для определения искомой области можно также использовать известные области сходимости табличных рядов. Замечание. При разложении по степеням z — zo (^о Ф 0) предва- предварительно вводим вспомогательную переменную t = z — zq и находим разложение функции f(t-\-zo) по степеням t. Пример. Функцию /(z) = sin z разложить в ряд Тейлора в окрест- окрестности точки z = 3 (по степеням z — 3), используя табличные разложе- разложения. Указать область, в которой справедливо полученное разложение.
38 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Решение. Введем новую переменную t = z — 3 и найдем разложе- разложение функции sm(t + 3) по степеням t. 1. Выражаем функцию sin(? + 3) через функции, имеющие таблич- табличные разложения: sin(? + 3) = sin 3 cos t + cos 3 sin t. 2. Находим разложение функции sin(?+3) в ряд Тейлора, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. Имеем |t|<oo. n=0 ^ ' n=0 Заменяя t на z — 3, получаем sinz = n=0 V ;' n=0 3. Поскольку f(z) = sinz аналитична при всех z G С, разложение справедливо при всех z G С. Ответ, sinz = Условия ЗАДАЧ. Разложить в ряд Тейлора функцию f(z) в ок- окрестности точки zq. Указать область, в которой справедливо по- полученное разложение. 1. f(z) = cosz, z0 = тг/4. 2. /(z) = еж, z0 = 1. 3. /(z) = lnz, z0 = 1. 4. f(z) = 1/z, z0 = -2. 5. /(z) = 1/E + 2z), z0 = 3. 6. f(z) = l/(z2 - 4z + 3), z0 = -2. 7. /(z) = y^, z0 = 2. 8. f(z) = = sinGrz/4), z0 = 2. 9. /(z) = 1C - zJ, z0 = 1. 10. /(z) = zq = 3. Ответы. ' ^—{z-l)n, |z-l|<oo. n=0
1.10. Ряды Лорана рациональной функции 39 п n=l 4- ElI^^-3)n' к - 3| < 5/2. п=0 „ п=0 • 9™ n! 1.10. Ряды Лорана рациональной функции Постановка задачи. Разложить в ряды Лорана по степеням z рациональную функцию где Pn(z) и Qm(z) — многочлены и Qm@) Ф 0. План решения. 1. Ьсли дробь ———— неправильная, выделяем целую часть. Qm\z) Находим корни уравнения Qm(z) = 0. Будем предполагать, что все корни zi, Z2,..., zrn — простые (нумерацию введем по возраста- возрастанию их модулей \z\\ < \z2\ < • • • < |zm|). 2. Точки zi, Z2,..., zm являются особыми точками функции f(z) (в них f(z) неаналитична).
40 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Кольца аналитичности функции /(*): N < Ы \z\ > |; 3. Разлагаем рациональную дробь на элементарные дроби: Р (?\ Ал Ап А Qm\Z) Z — Z\ Z — Z2 Z — Zm 4. В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в ряды, используя разложения в ряд Тейлора: п=0 и в ряд Лорана 1 _ 1 1 _ Разложение B) получено из A) заменой z на 1/z. Записываем полученные лорановские разложения функции f(z) в каждом кольце аналитичности. Замечание 1. Если z = 0 — корень Qm(z) кратности s, то функцию f(z) можно представить в виде найти лорановские разложения для функции Pn{z)/Qrn_s{z) и затем умножить их на l/zs. Отметим, что в этом случае z = 0 — осо- особая точка функции f(z) и первое кольцо аналитичности имеет вид 0< |г| < \Zl\. Замечание 2. Если z = а — корень Qn(z) кратности s, то в раз- разложении рациональной функции ему соответствуют элементарные дроби Ах А2 As (z — а)' {z — аJ' ""' (z — a)s'
1.10. Ряды Лорана рациональной функции 41 При разложении в степенные ряды элементарных дробей вида А* k>2 используем почленное дифференцирование рядов A) и B). Замечание 3. При разложении по степеням z — zq предварительно вводим вспомогательную переменную t = z — zq и находим разложение функции f(t-\-zo) по степеням t. Пример. Разложить в ряды Лорана по степеням z функцию Решение. 1. Дробь правильная. Находим корни уравнения z — 2z — 3 = 0. Имеем два простых КОрНЯ Z\ = — 1 И Z2 = 3. 2. Точки z\ = — 1 и Z2 = 3 являются особыми точками функции f(z) (в них /(z) не аналитична). Кольца аналитичности функции f(z): z\ < 1, z| < 3, 3. 3. Разлагаем f(z) на элементарные дроби: z + 2 11 5 1 (z + l)(z-3) 4z + l 4z-3' 4. В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в ряды, используя разложения в ряд Тейлора. При \z\ < 1 имеем 1 v y п=0 1 - ' ' -V Z" |*<3 B)
42 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Следовательно, в круге \z\ < 1 ряд Лорана функции f(z) имеет вид п=0 п=0 3n+1 п=0 Этот ряд является рядом Тейлора, так как в точке z = 0 функция f(z) аналитична. При 1 < \z\ < 3 ряд A) расходится, а ряд B) сходится. Поэтому вместо A) используем z\ > 1. (з) n=0 n=l Следовательно, в кольце 1 < \z\ < 3 ряд Лорана функции f(z) имеет вид 4 • 3^ z2 - 2z - 3 " n=l n=0 При |z| > 3 ряд (З) сходится, а ряд B) расходится. Поэтому вместо B) используем 11 3" z — 3 z 1 — - п=0 п=1 Следовательно, в области \z\ > 3 ряд Лорана функции f(z) имеет вид К °° ОП—1 °° ( 1\П| С ОП—1 1 О ^—л О ^—л ^ ±J ~~\~ О ' О ± А ' -J 2^ ^ 4 Zn п=1 п=1 Z2 -22 Ответ. 2 2 / Г2 3 -2z оо 71=1 2 2 -3 2 4 • z n=0 ~ (-1)" ^ 4 • г n=l n=0 _i)« +5. 3» 4 • 3™+x' n=l
1.10. Ряды Лорана рациональной функции 43 Условия ЗАДАЧ. Разложить в ряды Лорана по степеням z функ- функции f(z). 1. f(z) = l/(z - 2). 2. f(z) = l/(z2 + z). 3. f(z) = 2/(z2 + 2z). 4./(z) = l/(z4-z2). 5./(z) = l/(z3-3z2). 6./(z) = Bz-3)/(z2-5z + 6). 7. f(z) = 2/(z3 - 4z2 + 3z). 8. /(z) = l/(z4 - 3z3 + 2z2). 9. f(z) = = Bz + 3)/(z3 + 3z2 + 2z). 10. f(z) = 3/(z4 + 5z2 + 4). Ответы. n=0 ' oo 2- /(г) = ?(-l)"^-\ 0 < \z\ n=0 00 f n=0 4. 2"-2, 0 n=0 oo n_2 n=0 n=0 oo n=0 n=0 oo n=0 on , 2 n=0 3, ' 3<|z|<oo n=0 00 1 / 1 \ 7. /(z) = V 1 zn-\ 0 < \z\ < 1, n=(bo < 3, № = , 3 z\ < oo. n=0 oo П= ^ / 1 \ Hf^E1-^!2". 0<|z|<l, г-1 - 1 :, 2 < \z\ < oo. n=0
44 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной n=0 ^ ' f(z) = f>l)n (^ + f^), К И < 2, /(z) = ^(-l)n n+2 , 2 < |z| < oo. n=O 10. f (z) ~- " n=0 /(z) = ]T(-l)n ( —j+2 + 7^ )' ! < N < 2, n=0 ^Z ^ /(z) = ^(-l)n 2^ , 2 < |z| < oo. n=0 Z П 1.11. Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее особой точки Постановка задачи. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности ее особой точки z = а. Найти область, в которой справедливо полученное разложение. План решения. 1. Вводим вспомогательную переменную t = z — a. 2. Преобразуем функцию f(t-\-a) к виду, позволяющему использо- использовать табличные разложения. 3. Находим разложение функции f(t-\-a) в ряд Лорана по степе- степеням t, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. 4. Заменяем t на z — а и записываем полученное разложение в ряд Лорана. 5. Находим область, в которой справедливо полученное разложе- разложение: если f(z) не имеет других особых точек, кроме z = а, полученный ряд Лорана сходится к f(z) при всех z ф а; если f(z) имеет другие особые точки, кроме z = а, полученный ряд Лорана сходится к f(z) при всех z в кольце 0 < \z — а\ < R, где R — расстояние от точки а до ближайшей особой точки функции f(z).
1.11. Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее особой точки 45 Пример. Разложить в ряд Лорана в окрестности ее особой точки функцию f(z) = zsin -. z — i Найти область, в которой справедливо полученное разложение. РЕШЕНИЕ. Функция f(z) имеет единственную особую точку z = 1, следовательно, ее надо разложить в ряд Лорана по степеням z — 1. 1. Вводим вспомогательную переменную t = z — 1. Получаем 2. Преобразуем функцию f(t-\-1) к виду, позволяющему использо- использовать табличные разложения: /(? + 1) = (t + l)sinGr+ -) = -? sin sin-. A) Т Ъ Ъ 3. Используя табличное разложение в ряд Тейлора и заменяя z на 1/t, находим разложение sin(l/?) в ряд Лорана 1 ^л (-1)П 1 sin- = > -7± —-г о ,, , 0 < \t\ < ос. t ^^ Bn + l)!t2n+15 ' ' n=0 v J Подставляя в A), получаем /(*) = - (-!)« 1 l)\t2n n=0 v ' r n=0 v ' 4. Заменяя t на z — 1, получаем ' w ^ Bn + 1)! (z - IJ" ^ Bn + 1)! (г - lJ^1" n=0 v y v J n=0 v y v y 5. Находим область, в которой справедливо полученное разложе- разложение. Так как f(z) не имеет других особых точек, кроме z = 1, полу- полученный ряд Лорана сходится к f(z) при всех z ф 1.
46 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Ответ. /(У) = ^ (-1)п 1 (-1)" ' 0< " ^ Bга + 1)! {z - IJ- ^ Bга + 1)! (z - 1J- Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в ок- окрестности ее особой точки. 1. f(z) = sin(l/z). г.Д^е/-2. 3./(г)=гсо8A/г). 4./(z) = = е2/^). 5. f{z) = cos(irz/(z + 1)). 6. f(z) = sm[(z + 2)/(z + 1)]. 7. f(z) = ег/(г-0. 8. /(г) = zcos[ttz/(z + 2)]. 9. f(z) = zez^z+3\ 10. f(z) = 1/A-z2). Ответы. -, 0 < \z\ < oo. n=0 n=0 =T' 0<|z|<oo n=0 n=0 (-1)" ^2n+l О < \z + l\ < oo. -^-, o< — г < oo. 9. f(z) = e n=0 oo . ^ n! (z + 3)™ ^ n! (z + 3)" =0 v J n=0 v y 10. n=0 n=0
1.12. Нули аналитической функции 47 1.12. Нули аналитической функции Постановка задачи. Найти нули аналитической функции f{z) и определить их порядок {кратность). План решения. 1. Находим нули аналитической функции f(z), решая уравнение /О) = о. 2. Определяем порядок каждого полученного нуля z = zq. Для этого используем одно из следующих (эквивалентных) утверждений: а) если разложение f(z) в степенной ряд (ряд Тейлора) в окрест- окрестности нуля z = zq имеет вид f(z) = cn(z-z0)n+cn+1(z-z0)n+1 + ..., где сп ф 0, A) то Zq — нуль п-го порядка функции f(z); б) если /(го) = f'(z0) = ... = fn~l{z0) = 0и fn(z0) ф 0, то z0 — нуль п-го порядка функции f(z)\ в) если функцию f(z) можно представить в виде f(z) = (z — zo)n ^(z)> B) где (p(z) аналитична в точке zq и ip(zo) ф 0, то zq — нуль п-го порядка функции f(z). Замечание. Если функция f(z) = fi(z) /2B), zq — нуль порядка п\ ФУНКЦИИ fl(z) Ж Zq НуЛЬ ПОрЯДКа П2 фуНКЦИИ /2B), TO Zq НуЛЬ порядка П1 + П2 функции f(z). ПРИМЕР 1. Найти нули функции f(z) = ez — 1 — z и определить их порядок. Решение. 1. Находим нули функции /(г), решая уравнение ez — 1 — z = 0. Получаем z = 0. 2. Определяем порядок полученного нуля z = 0. Для этого исполь- используем разложение функции f(z) в ряд Тейлора по степеням z: z z \ z z + Z+2[+3[ +  "Z=2[+3[ + "' Поскольку в полученном разложении коэффициенты cq = с\ = 0, а С2 = 1/2 ф 0, точка z = 0 — нуль 2-го порядка функции f(z). Ответ, z = 0 — нуль 2-го порядка функции f(z).
48 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Пример 2. Найти нули функции /(z) = (z4 + 2z + l)(z2 - 2z + 2) и определить их порядок. Решение. 1. Находим нули функции /(z), решая уравнение / (z) = 0. Разло- Разложив многочлены на множители, имеем Получаем z1 = г, z2 = -г, z3 = 1 + г, z4 = 1 - г. 2. Определяем порядок каждого нуля. Представим /(z) в виде f(z) = (z-iJ<p1(z), где <?i(z) = (z + iJ(z2 - 2z + 2) и <?i(zi) / 0. Согласно формуле B) Z\ = г — нуль 2-го порядка функции f(z). Представим /(z) в виде где (^2(^) = (z — iJ(z2 — 2z + 2) и ^2(^2) Ф 0- Согласно формуле B) Z2 = —г — нуль 2-го порядка функции /(z). Представим /(z) в виде где ^з(^) = (z4 + 2z + i)(z — A — г)) и ^з(^з) Ф 0- Согласно формуле B) Z3 = 1 — г — нуль 1-го порядка (простой нуль) функции /(z). Представим /(z) в виде где (f^iz) = (z4 + 2z + i)(z —A + г)) и ^4(^4) 7^ 0- Согласно формуле B) Z4 = 1 + г нуль 1-го порядка (простой нуль) функции /(z). Ответ. Z\ = г — нуль 2-го порядка функции /(z), Z2 = — г — нуль 2-го порядка функции /(z), Z3 = 1 + г — нуль 1-го порядка функции /(z), z3 = 1 — г — нуль 1-го порядка функции /(z).
1.12. Нули аналитической функции 49 ПРИМЕР 3. Найти нули функции f(z) = 1 + chz и определить их порядок. Решение. 1. Находим нули аналитической функции /(z), решая уравнение 1 + chz = 0. Поскольку chz = cosiz, имеем уравнение для определения нулей: cosiz = —1. Отсюда iz = тгB/с + 1) и zk =тггB& + 1), к = 0, ±1,... 2. Определяем порядок каждого нуля, вычисляя производные фун- функции f(z): f'(z) = shz, /"(*) = chz, и их значения в точках zj~: f'(zk) = sh7riBk + 1) = 0, f"(zk) = ch7riBk + 1) = -1 ф 0. Так как f(zk) = ff(zk) = 0 и f"(zk) ф 0, то z^ = гтгB&+1) являются нулями 2-го порядка функции f[z) = 1 + chz. Ответ. Zk = гтгBк + 1) (/с = 0,=Ы,...) — нули 2-го порядка функции f(z). ПРИМЕР 4. Определить порядок нуля функции /(z) = (e^2 -l-z2)sin5z в точке z = 0. Решение. 1. Функция задана в виде произведения двух функций: /i(z) и /2(z), где /1(z) = e^-l-z2, /2(z) = sin5z. 2. Для первого сомножителя fi(z) вычисляем порядок нуля z = 0. Разложим /i(z) в ряд Тейлора, используя табличное разложение п=0 4 В.И. Афанасьев и др.
50 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Получаем Так как со = с\ = С2 = сз = 0, с^ = 1/2 ф 0, то z = 0 является нулем 4-го порядка функции fi(z). Точка z = 0 — нуль первого порядка функции sinz, так как (smz)f\z=o = cos 0 = 1 ф 0. Поэтому z = 0 — нуль 5-го порядка функции /2B^) = sin z. Поскольку /(z) = /i(z)/2(z), точка z = 0 является нулем 9-го порядка функции /(z). Ответ, z = 0 является нулем 9-го порядка функции /(z). Пример 5. Найти нули функции sin4 z и определить их порядок. Решение. 1. Функция /(*) = аналитична при всех z ф 0 (/(z) не определена в точке z = 0). Нахо- Находим нули функции, решая уравнение /(z) = 0 (z ф 0). Получаем Точки z& = тгк — простые нули функции sin z и, следовательно, явля- являются нулями 4-го порядка функции sin z. Так как z2 ф 0 при z = тг/с, то • 4 = (z - zfcL • (^(z), <p(zk) ф 0. Из этого заключаем, что точки zk =тгк, fc = ±l,±2,±3,... являются нулями 4-го порядка функции /(z). Ответ. Zk = 7Г&, (/с = =Ы, ±2, ±3,...) — нули 4-го порядка функ- функции /(z).
1.13. Тип изолированной особой точки 51 Условия задач. Найти нули аналитической функции /(z) и определить их порядок. 1. f(z) = sinz - z. 2. (z2 + I)sh7rz. 3. /(z) = 1 - cosz - z2/2. 4. (z + lJsin7rz. 5. f(z) = {e2z - l-2z)sinz. 6. f(z) = z(l-chz). 7. /(z) = (z-shzJ. 8./(z)=sin2z/z3. 9. f(z) = ztgz. 10./(z)=sh2z/z. Ответы. 1. z = 0 — нуль 3-го порядка. 2. z = ±г — нули 2-го по- порядка. 3. z = 2тг& (& = 0, ±1,...) — нули 4-го порядка. 4. z = — 1 — нуль 3-го порядка; z = k (к = ±1,±2,...) — нули 1-го порядка. 5. z = 0 — нуль 3-го порядка; z = тгк (к = ±1, ±2,...) — нули 1-го порядка. 6. z = 0 — нуль 2-го порядка; z = 2тгЫ (к = =Ы, ±2,...) — нули 2-го порядка. 7. z = 0 — нуль 6-го порядка. 8. z = тг/с [к = ±1, ±2,...) — нули 2-го порядка. 9. z = 0 — нуль 2-го по- порядка; z = тгк (к = ±1,±2,...) — нули 1-го порядка. 10. z = тг/сг (fc = =Ы, ±2,...) — нули 2-го порядка. 1.13. Тип изолированной особой точки Постановка задачи. Определить тип изолированной особой точки z = а функции f(z). План решения. Так как z = а — изолированная особая точка функции /(z), то существует окрестность этой точки, в которой /(z) разложима в ряд Лорана. 1. Находим разложение в ряд Лорана функции /(z) в окрестности точки z = а: (^ Первая сумма в A) называется главной частью ряда Лорана. 2. Определяем количество слагаемых в главной части ряда Лорана функции /(z). Если главная часть отсутствует (все с_п = 0), то z = а — устра- устранимая особая точка функции /(z). Если главная часть содержит конечное число слагаемых, то z = а — полюс, причем его порядок равен старшей степени l/(z — а). Если главная часть содержит бесконечное число слагаемых, то z = а — существенно особая точка функции /(z).
52 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Замечание. Тип особой точки функции /(z) можно установить, вычисляя предел /(z) при z —>• а: если lim /(z) = А, то z = а — устранимая особая точка; z—Уа если lim /(z) = 00, то z = а — полюс *) ; z—Уа если lim /(z) не существует, то z = a — существенно особая точка. z—b-a Пример. Определить тип особой точки z = 0 функции f(z) = z3cos-. z Решение. 1. Находим разложение в ряд Лорана функции /(z) в окрестности точки z = 0, используя табличное разложение для cos z и заменяя в нем z на 1/z: Главная часть ряда Лорана функции f(z) есть 1 1 2. Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагае- слагаемых, следовательно, z = 0 — существенно особая точка функции f(z). Ответ, z = 0 — существенно особая точка функции f(z) = z3 cos -. Условия ЗАДАЧ. Определить тип изолированной особой точки z = 0 функции f(z). 1./(z) = zsinB/z3). 2./(z) = (l-cosz)/z2. 3. /(z) = z2 cos(l/z2). 4. /(z) = (e*-l)/z3. 5. f(z) = ze1/z. 6./(z) = (sinz-z)/z3. 7. f{z) = = (cosz-l + z2/2)/z5. 8. /(z) = (e2*-l-2z)/z4. 9. /(z) = e2/*2/*3. 10. /(z) = (cos(l/z) - l)/z2. Ответы. 1. Существенно особая. 2. Устранимая. 3. Существенно особая. 4. Полюс 2-го пор. 5. Существенно особая. 6. Устранимая. 7. Полюс 1-го пор. 8. Полюс 2-го пор. 9. Существенно особая. 10. Существенно особая. *) Таким способом нельзя установить порядок полюса.
1.14. Особые точки функции вида ^Ч 53 1.14. Особые точки функции вида ^|4 Постановка задачи. Найти особые точки функции /(*) = $$, где (p(z) и i/j(z) аналитичны при всех z, и определить тип особых точек. План решения. 1. Так как функции <p(z) и ф(г) аналитичны при всех z, особые точки функции /(z) определяются нулями знаменателя ф(г). Поэ- Поэтому находим нули ф(г) (корни уравнения ф(г) = 0). 2. Для каждого корня z = Zq: а) определяем порядок нуля z = zq функции ф(г) и обозначаем его п (п = 1, 2,...); б) определяем порядок нуля z = zq функции ip(z) и обозначаем его т (т = 0,1, 2,...). 3. Делаем вывод о характере особой точки z = zq: если т ^ п, то zq — устранимая особая точка функции /(z); если 7тг < п, то zo — полюс функции /(z) порядка п — т. Пример. Найти особые точки функции /(г) = e*:l~* sin z и определить их тип. Решение. 1. Так как функции (p(z) = ez — 1 — z ?i ^(^) = sin2 z аналитичны при всех z, особые точки функции /(z) определяются ну- нулями знаменателя ф(г). Поэтому находим нули ф(г) (корни уравнения sin2 z = 0.) Получаем Zk = тгк (к = 0, ±1, ±2,...). 2. Для каждого корня z& = тг/с: а) определяем порядок нуля z& = тгк функции i/j(z) = sin z. Так как ф'{тгк) = 2sinzcosz|z=7rfe = 0 и ф"(тгк) = 2cos2z|z=7r/c / 0, то ^ = тг/с — нули 2-ого порядка функции ip(z) = sin z; б) определяем порядок нуля Zk = тгк функции <p(z) = ez — 1 — z. Так как (р(тгк) ф 0 при /с / 0, точки z& = тгк (к = ±1, ±2,...) не являются нулями функции <?>(z).
54 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Так как <р@) = ez - 1 - z\z=0 = О, <р'(О) = ez - l\z=0 = 0 и ^"(О) = ez\z=Q ф О, точка z = О — нуль 2-ого порядка функции <?(z) = ez - 1 - z. 3. Делаем выводы о характере особых точек z = тгк. В точке z = 0 порядок нуля числителя и знаменателя равен 2, следовательно, z = О — устранимая особая точка. В точках z = тгк (к = ±1,±2,...) числитель не равен нулю, а порядок нуля знаменателя равен 2, следовательно, точки z = тгк (к = =Ы, dz2,...) — полюса 2-ого порядка. Ответ. z = 0 — устранимая особая точка, z = nk (к = =Ы, ±2,...) — полюса 2-ого порядка функции f(z). Условия ЗАДАЧ. Найти особые точки функции f(z) и опреде- определить их тип. 1. /(У) =smz/(ez -l-z2/2). 2. f(z) = A - cos z)/sin2 z. 3. f(z) = sin7rz/(z4 - 1). 4. /(z) = (cosz - l)/(z3 - ttz2). 5. /(z) = sin7rz/(z6 + 2z5 + z4). 6. /(z) = z/(ez - 1). 7. /(z) = zsinz/(z2 + ^zJ. 8. f(z) = 1/z4 + z/sinz. 9. /(z) = cosz/(z3 - ttz2/2). 10. /(z) = tgz/Bz - тг). Ответы. 1. z = 0 — полюс 2-го пор. 2. z = nk (k = О, =Ы,...) — устранимые. 3. z = ±1 — устранимые; z = ±г — полюса 1-го пор. 4. z = 0 — устранимая; z = тг — полюс 1-го пор. 5. z = 0 — полюс 3-го пор.; z = — 1 — полюс 1-го пор. 6. z = 0 — устранимая; z = 2тгЫ (к = =Ы, ±2,...) — полюса 1-го пор. 7. z = 0 — устранимая; z = —тг — полюс 1-го пор. 8. z = 0 — полюс 4-го пор.; z = ттЫ (к = ±1,±2,...) — полюса 1-го пор. 9. z = 0 — полюс 2-го пор.; z = тг/2 — устранимая. 10. z = 0 — устранимая; z = тг/2 — полюс 2-го пор.; z = тг/2 + тгк (к = =Ы, ±2,...) — полюса 1-го пор. 1.15. Вычисление вычетов Постановка задачи. Найти вычеты функции f{z) в ее изоли- изолированных особых точках. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Вычетом функции /(z) в изолированной особой точке z = zq называется число resz=Zo/(z), определяемое формулой resz=zof{z) = — j f(z) dz,
1.15. Вычисление вычетов 55 где 7 — произвольный контур, лежащий в области аналитичности функции, внутри которого содержится единственная особая точка функции z = zo (обход 7 совершается против часовой стрелки). Если разложить / (z) в ряд Лорана в окрестности особой точки zq (по степеням z — zo), то согласно формулам для коэффициентов сп iesz=zof(z) = c_i. Отметим, что для вычисления вычетов в полюсах удобно применять специальные формулы B)-D). 1. Находим изолированные особые точки функции /(z). 2. Определяем тип каждой особой точки z = zq и вычисляем в ней вычет: а) если особая точка zq является устранимой особой точкой функ- функции f(z) , то res,=,o/(z) = 0; A) б) если zq — полюс п-го порядка функции /(z), то 1 dn~1 vesz=zj(z) = j—^ Дт ^^ [(z - *„)»/(*)], B) в частности, при п = 1 точка zq — полюс 1-го порядка (простой полюс) и iesz=zof(z)= lim [(z-zo)f(z)]; C) z—>zo в) если функцию f(z) можно представить в виде где (f(z) и ф(г) аналитичны в точке zq и ip(zo) ф 0, ^(^о) = 0 й ф'(го) ф 0, то zo — полюс 1-го порядка функции и „„„/<„ _„.„*!! _?И; D) г) если zq — существенно особая точка функции /(z), то необхо- необходимо разложить /(z) в ряд Лорана в окрестности zq, п=оо и воспользоваться формулой resz=z J(z) = c_i. E)
56 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной ПРИМЕР 1. Найти вычеты в особых точках функции Решение. Представим функцию f(z) в виде tg z sin z № = z2 - ttz/4 z cos z(z - тг/4)' 1. Находим изолированные особые точки функции f(z). Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. 7Г z = О, z = тг/4, zk = - + тг/с, /с = 0,=Ы,... 2. Определяем тип каждой особой точки и вычисляем в ней вычет: z = 0 — устранимая особая точка, так как г t( \ v sinz 4 lim jiz) = lim г— = . z^O z^O Z COS Z(Z - 7Г/4) 7Г Поэтому по формуле A) resz=0 f(z) = 0. Точка z = тг/4 — простой полюс, поэтому по формуле C) resz=n/4f(z) = lim (z - vr/ z^tt/4 (z-7r/4)tgz tgz = lim -— ———- = lim = 4/7Г. z^tt/4 Z(Z — 7Г/4) z^tt/4 Z Точки Zk = тг/2+тг/с — простые полюса функции f(z). Представим f(z) в виде sinz _ z2 - ttz/4 _ ф)_ cosz VW причем (f(z) и ^(z) аналитичны в точках zj~ = тг/2 + тгк и () ^ Zk - TTZk/4: 0, ф(гк) = coszfe = 0, ip'izk) = -sinzfe / 0.
1.15. Вычисление вычетов 57 Поэтому по формуле D) sin (тг/2 + (тг/2 + тг/с)(тг/2 + тг/с - тг/4) - sinGr/2 + тгк) Ответ. resz=0 gZ = 0, resz=7r/4 2 gZ , = -, Z2 - 7TZ/4 ' Zl - 7TZ/4 7Г tgz 1 Пример 2. Найти вычеты в особых точках функции Решение. 1. Находим изолированные особые точки функции f(z). Точка z = 2 — единственная особая точка функции f(z). 2. Определяем тип особой точки z = 2 и вычисляем в ней вычет. Разлагаем /(z) в ряд Лорана в окрестности точки z = 2: 11 1 1 1 11 1 z-2 2!(z - 2J 3!(z - 2K ^ n!(z - 2)п' Поскольку главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, z = 2 — существенно особая точка функции f(z). По фор- формуле E) 1 resz=2ez-2 = c_i = 1. Ответ. resz=2e^2 = 1. Условия ЗАДАЧ. Найти вычеты функции f{z) в ее изолирован- изолированных особых точках. 1. f(z) = zsin(l/z). 2. /(*) = A - cosz)/z3. 3. f(z) = z^e1'*2. 4. f(z) = z/sinz. 5.f(z) = tg2z. 6.f(z)=sm(Trz)/i(z + l)(z-2J}. 7.№ = (e*-l)/[z*{z + l)]. 8.f(z) = Z/[(z-2)Hz + in 9. f(z) = = e2'*2/z. 10. f(z) = (smz)/(z3 - wz2/4).
58 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Ответы. 1. resz=of(z) — 0. 2. resz=of(z) — 1/2. 3. resz=of(z) — = 1/2. 4. vesz=0f(z) = 0; resz=wkf(z) = (-l)kirk (k = ±1, ±2,...). 5- resz=vBk+1)f(z) = 0 (fc = 0,±l,±2,...). 6. resz=_i/(z) = 0; resz=2/B;) = тг/3. 7. resz=0/B:) = 1; resz=_1/B;) = e - 1. 8- res2=2/(z) = -1/27; resz=_i/(^) = 2/27. 9. resz=0/(z) = 1. 10.res,=0/(^) = -4/тг; resz=v/4f(z) = y/2. 1.16. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов Постановка задачи. Вычислить интеграл <ff(z)dz, где Г — граница некоторой области D, f(z) аналитична в облас- области D, за исключением конечного числа особых точек, и непрерывна на Г. План решения. 1. Находим особые точки zi, Z2,..., zn функции /(z), расположен- расположенные внутри контура Г. 2. Определяем тип каждой особой точки zi, Z2,..., zn. 3. Вычисляем вычеты в этих особых точках. 4. Вычисляем интеграл по теореме Коши о вычетах: p fc=l ПРИМЕР. Вычислить интеграл dz \z-l\ = l Решение. 1. Находим особые точки функции f(z). Особыми точками функ- функции
1.16. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов 59 являются нули знаменателя. Находим все значения Zk = \/—Т ^+2^fe тг + 2тгк . тг + 2тг/с г^ = е 4 = cos \-ism , к = 0,1,2,3. 4 4 Определяем, какие из этих точек расположены внутри контура Г. Контуром интегрирования является окружность \z — 1| = 1. Так как \z — zq\ < 1 и \z — zs\ < 1, a |z — zi| > 1 и \z — z<i\ > 1, то внутри контура Г расположены точки 2. Определяем тип особых точек zo и Z3. Для этого функцию f(z) представим в виде где (f(z) = 1 и ip(z) = z4 аналитичны в точках z& и (p(zk) = 1 ф i\)(zk) = 0 и ф'(zk) = 4z| ф 0 (к = 0,3). Следовательно, zo и z3 полюса 1-го порядка функции /(z). 3. Вычисляем вычеты в точках zo и z3 по формуле Ф) = Фк) Получаем 1 _ 1 _ 1 _з^г _ 1 / у/2 .л/2А \ / 1 1 1 а*» 1 / л/2 .л/2\ 4. Вычисляем интеграл по теореме Коши о вычетах: dz f I I —л = 2тгг 1 / y/2 \/2 \/2 \/2\ \/2 Г dz y/2 . Ответ- /
60 -Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Условия ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с помощью вычетов. 1. I z3e1/zdz. 2. 3. / * 4. / Z2 + l |*| = 5. ctg2zdz. 6. Ф -г —^. z4 — 16 *—тг/2|=2 |*-Зг|=3 Г ezdz Г cos2 2 + 1 7. ф —: . 8. ф — —dz. J Z SHI Z J Zz — 7TZ \z+i\=2 \z-2\=3 . cos2 z + 1 9. ф —dz. 10. () z2(z-2)( |*-2|=3 |*|=5/2 Ответы. 1. ттг/12. 2. 2ttzcos1. 3. 0. 4. -ттг. 5. Зттг. 6. -Зттг. 7. 2ттг. 8. 2г. 9. 0. 10. 26ттг/675. 1.17. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов Постановка задачи. Вычислить интеграл 2тг / R(cosx, sin ж) б/ж, о где it^cosa^sinx) — рациональная функция sin ж и cos ж. План решения. 1. Вводим комплексную переменную z = егх. При этом область ин- интегрирования [0, 2тг] отобразится в окружность \z\ = 1, 0 $J argz^27r. 2. Вычисляем dz dz = ielxdx =^ dx = —. zz
1.17. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов 61 По формулам Эйлера cosx= = - ( z+- ) , sin ж = 2г 2г 3. Подставляя в заданный интеграл результаты п.2, получаем 2тг i?(cos ж, sin ж) б/ж = / о N1=1 N1=1 где 4. Вычисляем контурный интеграл от функции /(z) комплексной переменной z с помощью вычетов: а) находим особые точки z\, z^, • • •, zn функции f(z), расположен- расположенные внутри контура \z\ = 1; б) определяем тип каждой особой точки zi, z*i, • • •, zn\ в) вычисляем вычеты в этих особых точках; г) вычисляем интеграл по теореме Коши о вычетах: N1=1 k=1 Пример. Вычислить интеграл 2тг /dx E + 4 cos жJ' о Решение. 1. Вводим комплексную переменную z = егх. При этом область ин- интегрирования [0, 2тг] отобразится в окружность \z\ = 1, 0 ^ arg
62 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной 2. Вычисляем dz = ielxdx =>* dx = —. iz По формуле Эйлера + 22 3. Подставляя в заданный интеграл результаты п.2, получаем после преобразований /dx Г zdz E+ 4 cos жJ = J iBz2 + 5z + 2J' О |*| = 1 4. Вычисляем контурный интеграл от функции комплексной пере- переменной z с помощью вычетов: а) находим особые точки подынтегральной функции iBz2 + 5z + 2J 4i(z + 2J(z + 1/2J как нули B-го порядка) ее знаменателя: z\ = —1/2 и Z2 = —2. Точка Z2 = — 2 лежит вне контура, так как | — 2| > 1, а точка z\ = —1/2 лежит внутри контура, так как | — 1/21 < 1; б) точка z\ = —1/2 — полюс 2-го порядка; в) вычисляем вычет в точке z = —1/2 по формуле для вычисления вычетов в полюсе 2-го порядка (т = 2): 1 fjrn-l Получаем (z + l/2Jz —*=-i/aw >2л2(z + i/2V ~ z-> T/2 4?Yz + 2>l2fz + l/2>l2 ~ 27?' г) вычисляем контурный интеграл по теореме Коши о вычетах: 2тг /dx Г zdz E + 4cosxJ J 4i(z + 2J(z- o Nl=i Ютг 2тг _ , dx Ютг Ответ. E+ 4 cos жJ 27 о
1.18. Несобственные интегралы от рациональных функций 63 Условия ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с помощью вычетов. 2тг 1. 3. dx 2тг 3 + cos х 2. dx — 4 cos x о 2тг COS X + 1 sin x + 2 dx. sin2 х о 2тг >¦/ 7. 9. B + 3 cos2 жJ' dx '/И? J D-3 si dx. 2тг 5 + 3 cos ж dx 5 — 3 cos ж D-3 sin2 жJ с/ж E + 3 cos жJ' 2тг ю. /1±^ У 5 + 3 СО! dx. Ответы. 1. тг/\/2. 2. 2тг/3. 3. 2тг/л/3. 4. 2тг/9. 5. 6. 5тг/8. 7. тг/2. 8. 5тг/32. 9. тг/2. 10. 13тг/18. 1.18. Несобственные интегралы от рациональных функций Постановка задачи. Вычислить несобственный интеграл / где Рп и Qm — многочлены степени пит, Qm(x) j^0um^n-\-2. План решения. 1. Для того чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной Рп( /(*) = и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [-Q, д] и полуокружности Сд = {\z\ = g, Imz ^ 0}, выбрав д так, чтобы все
64 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной особые точки z^ (k = 1,2, ...,п) функции /(z), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах / J :\ resz=Zk f(z). A) св k=1 Переходим к пределу при д —>• +ос. Так как т ^ п + 2, то lim / /(z) б/z = 0. Поскольку правая часть в A) не зависит от д, имеем +°° р ( \ JL ~ *z=Zkf(z), B) / -оо 'ъ~" где Zk — особые точки функции f(z), лежащие в верхней полуплос- полуплоскости (Im. Zk > 0). 2. Находим особые точки функции /(z), лежащие в верхней полу- полуплоскости, и определяем их тип. 3. Вычисляем вычеты в этих точках. 4. Вычисляем искомый интеграл по формуле B). Замечание. Если f(x) = Pn{x)/Qm(x) — четная функция ж, то можно вычислять интегралы вида + ОО / f{x) dx = - f{x) dx 0 по формуле B). ПРИМЕР. Вычислить интеграл ¦ dx. О2 + 2х + 17J — оо Решение. 1. Для того чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной Q4
1.18. Несобственные интегралы от рациональных функций 65 и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [—?>, д] и полуокружности Сд = {\z\ = ?>, Imz ^ 0}, выбрав д так, чтобы все особые точки Zk (к = 1, 2,... , п) функции /(г), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах —п Q dx+1m dz =2т к=1 Переходим к пределу при д —>• +оо. Так как степени многочленов Р2 и Q4 удовлетворяют соотношению т ^ п + 2, то lim / f(z) dz = 0. Поскольку правая часть в C) не зависит от ?>, имеем X2 + 3 —^ —— dx = 2тгг ^z=zk / 2 9 -. 7ч2 ' 1/6 ~р Z//6 ~р у — оо ^=1 где Zjt — особые точки функции я*)=(,2+L++317J^ лежащие в верхней полуплоскости. 2. Находим особые точки функции f( ) = = /lZj (z2 + 2z + 17J (z + 1 - 4iJ(z + 1 + 4гJ как нули B-го порядка) ее знаменателя: z = — 1 + 4г и z = — 1 — 4г. Таким образом, точки z = — 1 + 4гиг = — 1 — 4г — полюса 2-го порядка. В верхней полуплоскости лежит единственная точка z = — 1 + 4г. 3. Вычисляем вычет в точке z = — 1+4г по формуле для вычисления вычетов в полюсах п-ro порядка {п = 2): 5 В.И. Афанасьев и др.
66 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Получаем z=-1^(z2 + 2z + UJ d Г (z2 + 3)(z + 1 - 4iJ 1 5 = lim — ; ;— = —;. 4. Вычисляем искомый интеграл по формуле D): + ОО / 5 5тг = 2ПШ = 32 • + ОО °ТВеТ- ; ^T2TrWfa=32- Условия ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с помощью вычетов. + ОО +ОО оо ~-ж+3 7 х4 + Юж2 + 9 — оо + ОО +ОО 3 /" ^ 4 / ' У (а;2 + 4)(Ж2 + 9)' ' J { /х dx Г х dx (х2 + 2ж + 10K' У ^П' — оо О оо оо Г х2 dx Г х4 dx ' J (x2 + 3J' У (х2 + 2) О оо оо О Ответы. 1. тт/54. 2. тг/2. 3. тг/30. 4. Зу^тг/64- 5- -тг/648. 6. л/2тг/4. 7. тг/12. 8. \/27г/128- 9- Зтг/16. 10. 5тг/36.
1.19. Несобственные интегралы от функций R(x)cosXx и R(x)sinXx 67 1.19. Несобственные интегралы от функций R(x) cos Хх и R(x) sin Xx Постановка задачи. Вычислить несобственные интегралы вида + ОО +ОО / R{x) cos Xx dx, I R(x)smXxdx, — oo —oo где R(x) — правильная рациональная дробь и А > 0. План решения. Для решения задачи достаточно вычислить не- несобственный интеграл [ R{x)eiXx dx — oo и воспользоваться формулами + ОО +ОО / R(x) cos Xx dx = Re R(x)eiXx dx, A) — oo —oo ИЛИ + OO +OO I R(x) sin Xx dx = lm f R(x)eiXx dx. A') — oo —oo 1. Чтобы применить теорему Копей о вычетах, вводим функцию комплексной переменной /(*) = R(z)eiXz и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [—д, д] и полуокружности Сд = {\z\ = ?>, Imz ^ 0}, выбрав д так, чтобы все особые точки Zk (к = 1,2,...,п) функции f(z), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах f R(x)eiXxdx+ [ f(z)dz = 27ri^2ieszj(z). B) -q св к=1 Переходим к пределу при д —>• +оо и используем лемму Жордана. 5*
68 .Гл. 1. Теория функций комплексной переменной Лемма Жордана. Пусть g(z) аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек, и maxzGce \g{z)\ —>- О при д —>• +ос. Тогда VA > О +Нх> / д^ lim / g(z)etAz dz = 0. ^+°° J Так как в нашем случае g(z) = R(z) — правильная рациональная дробь и А > 0, то условия леммы Жордана выполнены и, следова- следовательно, lim [f(z)dz = O. Поскольку правая часть в B) не зависит от д, имеем ° п R(x)eiXxdx = 2тгг ^ resz=ZkR(z)eiXz, C) + ОО -оо n/~J- где Zk — особые точки функции f(z), лежащие в верхней полуплос- полуплоскости. 2. Находим особые точки функции f(z), лежащие в верхней полу- полуплоскости, и определяем их тип. 3. Вычисляем вычеты в этих точках. 4. Вычисляем несобственный интеграл о R(x)eiXx dx — оо по формуле C). 5. Используя формулы A) или A;) вычисляем искомый интеграл. Пример. Вычислить интеграл + ОО — cos х dx. с2 - 2х + 2 — оо Решение. Для решения задачи достаточно вычислить несобст- несобственный интеграл Г xJrl J x2 - 2х - егх dx + 2
1.19. Несобственные интегралы от функций R(x)cos\x и R(x)sin\x 69 и воспользоваться формулой /X + 1 Г X + 1 — cosxdx = Re / — elx dx. D) ж2 - 2х + 2 У х2 - 2х + 2 у J — оо —оо 1. Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной и строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси [-Q, д] и полуокружности Сд = {\z\ = Q, Imz ^ 0}, выбрав д так, чтобы все особые точки Zk (к = 1,2, ...,п) функции /(г), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах -Q CQ k=1 Переходим к пределу при д —>• +ос. Так как в нашем случае есть правильная рациональная дробь и Л = 1 > 0, то условия леммы Жор дана выполнены и, следовательно, lim lim / f(z) dz = 0. Поскольку правая часть в E) не зависит от ?>, имеем где Zjt — особые точки функции
70 Гл. 1. Теория функций комплексной переменной лежащие в верхней полуплоскости. 2. Находим особые точки функции -2z- как нули A-го порядка) ее знаменателя: z = 1 + zhz = 1 — г. Таким образом, точки z = 1 -\- г и z = 1 — г — полюса 1-го порядка. В верхней полуплоскости лежит единственная точка z = 1 + г. 3. Вычисляем вычет в простом полюсе z = 1 + г по формуле где <p(z) = (z + 1)ег2: и ^(z) = z2 — 2z + 2. Получаем (z + l)eiz (z-\-l)e> 2 - 2z + 2 2z - 2 2г 4. Вычисляем несобственный интеграл по формуле F): -|-oo Г s + 1 У х2-2х B 4- ? - 2х + 2 2г = тге-^г + i)(cos 1 + г sin 1). 5. Используя формулу D), вычисляем искомый интеграл +00 У ж2 - 2x -\ cos ж с/ж = Re +00 / 2 -eix rfa; = Re (тге B + г) (cos 1 + г sin 1)) = тте B cos I —sin 1) + ОО /X -\~ 1 —2 cosxdx = тге B cos 1 — sin 1). X Zx ~\~ Z
1.19. Несобственные интегралы от функций R(x)cos\x и R(x)sin\x 71 Условия ЗАДАЧ. Вычислить интегралы с помощью вычетов. + ОО +ОО /х cos х f cos 2x — dx. 2. / — dx. х2 - 2х + 10 J x2 - х + 1 * / — оо + ОС ' I — оо оо (х — 1) cos ж х2 - 2х + 2 Ж' х2 - cos ж ж2 + 4J 16 dx. Ответы. 4. -e-18Ccosl2 3 ш. |.-. 4. + О / ж sin 6ж ж2 + 4ж + 13 оо r^sinx аж. 6. / —^ аж. 0 оо 8/5 COS Ж - б/ж. ж sin ж (х2 + IJ 1. ^e-3(cosl-3sinl). 2. -^L 3 З уЗ 3. - 5. -^ Зтг е3 7Г 2б
Глава 2 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ При изучении темы ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ вы позна- познакомитесь с понятиями функции-оригинала и ее изображения (по Лап- Лапласу), изучите свойства оригиналов и изображений, научитесь при- применять их для решения операционным методом обыкновенных диф- дифференциальных уравнений и систем. С помощью пакета РЕШЕБНИК ВМ вы сможете вычислять ин- интегралы, находить разложения рациональных функций на элементар- элементарные дроби, вычислять производные и выполнять все другие действия, необходимые при изучении темы. Когда вы в ней освоитесь, вы смо- сможете вычислять изображения и восстанавливать оригиналы по их из- изображениям простым нажатием кнопок на клавиатуре компьютера, используя возможности модуля STEM Plus, входящего в пакет РЕ- ШЕБНИК.ВМ. 2.1. Понятия оригинала и изображения Постановка задачи. Доказать, что функция f(t) является оригиналом и найти ее изображение (по Лапласу). План решения. Комплекснозначная функция f(t) действитель- действительной переменной t называется оригиналом, если она удовлетворяет трем условиям: а) /(?) = О при всех t < 0; б) на любом конечном отрезке [а, Ъ] С [0, оо) функция f(t) имеет не более конечного числа точек разрыва первого рода; в) существуют числа М > 0 и s ^ 0 такие, что \f(i)\ <Mest Vt>0. Наименьшее число s, для которого выполняется это неравенство, на- называется показателем роста функции f(i).
2.1. Понятия оригинала и изображения 73 Если f(t) — оригинал, то ее преобразование Лапласа F(p) (р — комплексная переменная) определяется формулой F(p)= e-*f(t)dt. Jo A) Функция F(p) комплексной переменной р называется также изобра- изображением (по Лапласу) функции f(i). Связь оригинала и изображения обозначается символом /(*) ^ F(p). Замечание. В полуплоскости Кер > s (s — показатель роста ори- оригинала /(?)) интеграл A) сходится абсолютно и определяет аналити- аналитическую функцию F(p). 1. Доказываем, что функция f(t) является оригиналом, проверяя выполнение условий а)-в). Определяем показатель s роста функ- функции f(t). 2. Находим изображение F(p), вычисляя интеграл A) в полуплос- полуплоскости Кер > s. Пример 1. Доказать, что функция Хевисайда rj(t) = = Г 1, *>0, \ 0, t<0 является оригиналом, и найти ее изображение (по Лапласу). Решение. 1. Условия а)—в), очевидно, выполняются. Так как функция rj(t) ограничена, то ее показатель роста s = 0. 2. Находим изображение F(p) по формуле A): F(p) = / Jo = --e~pt т.к. из о V _ e-tRep следуеТ; чт0 °°_ 1 О ~ Р' lim e pt = 0 при Rep > s = 0. t^ + oo Ответ. rj(t) <—> -. Пример 2. Доказать, что функция f(t) = ф)еа\ аеС является оригиналом, и найти ее изображение (по Лапласу).
74 Гл. 2. Операционное исчисление Решение. 1. Условия а)-в), очевидно, выполняются. Показатель роста s функции f(t) = rj(t)eat равен Re a. 2. Находим изображение F(p) по формуле A): F(p)= Г eatt Jo o(a-p)t a — p a — p p — a т.к. из равенства = e-*(Rep-Rea) следуеТ5 чт0 Ответ. lira e(o"p)t = 0 при Rep > Re a. 1 p — a Замечание. Поскольку все функции-оригиналы имеют вид f(i)rj(i) (условие а), в дальнейшем rj(i) будем опускать: например, 1 <—> 1/р, Условия ЗАДАЧ. Доказать, что функция f(t) является оригина- оригиналом, и найти ее изображение (по Лапласу). 1- fit) = з. № = 1, 0<t<l, 0, t < 0, t > 1. 1, 1 < t < 3, 2, t > 3, 0, t<l. 5-да= о,1 «<o,(>l 7- № = 9- f(t) = -1, 2- 4- № = 6- 2, 8. /W = 0, t < 0, ? > 2. *, 0 < t < 1, 0, * < 0, t > 1. О, 0, t > 2. 0, t<l, - 1, Kt<2, 1, t>2. 10. /(*) = 0, 0, t<0 (fc = O,l,...). t, 0 < t < 1, -t + 2, 1 < t < 2, 0, t < 0, t > 2. Ответы. 1. F(p) = A - e-p)/p. 2. F(p) = A - 2e~p + e~2p)/p. 3. F(p) = (e"p + e~3p)/p. 4. F(p) = A - e~p - pe~p)/p2. 7. F(p) = A — e~p)/(p-\-pe~p). 8. F(p) = 9. F(p) = A - 2e"p + e~2p)/p2. 10. F(p) = e"p/(p + 1).
2.2. Изображение функции вида J^ Ckfk(t) 75 k=i 2.2. Изображение функции вида Е Ckfk(t) Постановка задачи. Найти изображение функции k=l если fk{i) <—> Fk(p) (k = 1,2,... ,rc). План решения. Свойство линейности. Если /х(?), /2(?),..., fn(t) — оригиналы и Fi(p), F2(p),..., Fn(p) — их изображения, то Vc^ G С функция f(t) = Е^=1с/сД(^) также яв- является оригиналом и ее изображение F(p) определяется формулой F(p) = ciFi(p) + c2F2(p) + ... + cnFn(p). 1. Представляем функцию /(?) в виде линейной комбинации функ- функций, изображения которых известны. 2. Используя свойство линейности, находим искомое изображение. Записываем ответ. Пример 1. Найти изображение функции Решение. 1. Функция f(i) является линейной комбинации функций, изобра- изображения которых известны: - и ~* р р+1 2. Согласно свойству линейности получаем . 1 1 4 + Зе~г <—> 4- + 3 . V _+ 4 3 Ответ. 4 + Зе <—> --\ . Пример 2. Найти изображение функции f(t) = cost.
76 .Гл. 2. Операционное исчисление Решение. 1. Представим /(t) = cost в виде линейной комбинации функций pit _|_ P~if 1 1 ^^ = _e +_e- изображения которых известны: eit < у 1 e~it < у 1 р — V р + г' 2. Согласно свойству линейности получаем cos* = \еи + \е-н ^ \^— + |-^т Р Ответ, cost <—> — . Условия задач. Найти изображение функции f(t)rj(t). 1. /(t) = sint. 2. /(t) = cht. 3. f(t) = sht. 4. /(t) = sin(t + ip). 5. f(t) = cos(t + y?). 6. f(t) = be~2t + 3cost. 7. /(t) = sint + cost. 8. f(t) = sht - sint. 9. /(t) = cht - cost. 10. /(t) = cos2(t/2). Ответы. l.F(p) = l/{p2 + l). 2.F{p)=p/{p2-l). 3. F{p) = l/(p2-l). 4. F(p) = (cos^ + p sin <p)/(p2 + 1). 5. i^(p) = (pcoscp — sin (f)/(p2 + 1). 6. F(p) = (8p2 + 6p + 5)/(p3 + 2p2 +p + 2). 7. F(p) = (p + l)/(p2 + 1). 2.3. Изображ:ение функции вида f(at) Постановка задачи. Найти изображение функции f (at) (a>0), если f(i) <—> F(p). План решения. Теорема подобия. Если функция /(t) — оригинал и F(p) — ее изображение, то У а > 0 функция f(at) также является оригиналом и ее изображение определяется формулой Пример. Найти изображение функции f(i) = cos ut (u>0).
2.4. Изображение функции вида е at f(t) 77 Решение. Имеем п cost <- р2 Тогда по теореме подобия Vo; > О 1 p/uj р cos cut р Ответ, cos (jot <—> — а (р/шJ + 1 р2 + и;2 ' Замечание. Вычисляя изображение по определению или используя формулу Эйлера и свойство линейности, легко убедиться, что полу- полученная формула справедлива \/uj Е С. Условия задач. Найти изображение функции f(t)rj(t). 1. f(t) = sin21 2. f(t) = ch2t. 3. f(t) = sh2t. 4. f(t) = = sin(>/2). 5. f(i) = cos(t/2). 6. f(i) = sin21. 7. f(t) = cos21. 8. f(t) = sin Ш • cos 2t. 9. f(t) = sm(ut + y?). 10. f(i) = cos(u;t + y?). Ответы. 1. F(p) = 2/(p2 + 4). 2. F(p) = p/{p2 - 4). 3. F(p) = = 2/{p2 - 4). 4. F(p) = 2/Dp2 + 1). 5. F(p) = Ap/{4p2 + 1). 6. F(p) = 2/(p3 + 4p). 7. F(p) = (p2 + 2)/(p3 + 4p). 8. F(p) = = Cp2 + 15)/(p4 + 26p2 + 25). 9. F(p) = (u;cos(p+psm(p)/(p2+lj2). 10. F(p) = (pcos<^ — uj sin (p)/(p2 + cc;2). 2.4. Изображ:ение функции вида e~atf(t) Постановка задачи. Найти изображение функции e~atf(t) (а е С), если f(t) <—> F(p). План решения. Теорема затухания (или смещения). Если функция f(t) — оригинал и F(p) — ее изображение, то \/а G С функция e~atf(t) также является оригиналом и ее изобра- изображение определяется формулой Пример. Найти изображение функции f(t) = e~l Решение. Имеем л cos 2t р2 + 4
78 .Гл. 2. Операционное исчисление Тогда по теореме смещения при а = 1 Ответ, е * р2 + 2р + 5 Условия задач. Найти изображение функции f(t)rj(t). 1. /(?) = e2*sin3?. 2. /(t) = е~*(со53^ + sin3^). 3. /(t) = e* cos2 t. 4. /(t) = e3*sin2t. 5. f(t) = eatcosu;t. 6. f(t) = eatsmu;t. 7. /(/) = ea*cos(^ + ^). 8. f(t) = eatsm(ut + <p). 9. t. 10. Ответы. 1. F(p) = 3/(p2-4p + 13). 2. 5. F(p) = (p-a)/(p2-2ap + a2+cj2). 6. F(p) = lu/(p2 - 2ap + a2 7. F(p) = (uucosip + (p - a)sin^)/(p2 - 2pa + a2 + cc;2). 8. F(p) = = [(p-a)cos^-cjsin^]/(p2-2pa + a2+cj2). 9. F(p) = _p3/(p4+ 4a;4). 10. V4 4 2.5. Изображение n функции вида J2 fk(t - тк)ф - тк) k=i Постановка задачи. Найти изображение F(p) функции если fk(t) <—> Fk(p). План решения. 1. Если функция fk(i) — оригинал и F^(p) — ее изображение, то по теореме запаздывания Vt^ > 0 функция Д(? — Tk)rj(t — Tk) также является оригиналом и ее изображение определяется формулой fk(t - rk)rj{t - тк) ^ e-pTkFk{p). 2. Используя свойство линейности, находим искомое изображение к=1 и записываем ответ.
2.5. Изображение функции вида ^2 Д(? — Tk)rj(t — Тк) 79 fe=i Замечание. Если функция f(t) задана разными выражениями на разных промежутках, то ее надо предварительно представить в виде к=1 Пример. Найти изображение функции /(*) = О, t < О, t > 1. Решение. Представим f(t) в виде fit) = ф) - v(t -1). 1. Имеем 1 V По теореме запаздывания при т = 1 о-р 2. Используя свойство линейности, находим искомое изображение F(P)=1--e~ Ответ. F(p) = 1-е-р V Р Р Замечание. Обычно функция rj(t) опускается. В случаях, к кото- которым применима теорема запаздывания, это может привести к ошиб- ошибкам. Условия задач. Найти изображение функции f(i). 3. 5- f(t) = О, t<l. 1, 0 < t < 1, -1, Kt<2, О, t < 0, t > 2. 4- О, *< ?, О < t < 2, 2 / > 2 О, t < О. О, 0, 0 < t < 1, 1<^<2, t < 0, t > 2. < 1. -1, 2A^ + l<t<2^ 0, t <0 (fc = 0,l,.
80 .Гл. 2. Операционное исчисление in^ *>°> 10 f(t)- \ Iе08*!' *>0' Ответы. 1. F(p) = e-P/p3. 2. F(p) = pe~2P Ip2+ \. 3. F(p) = = A - 2e~P + e~2P)/p. 4. F(p) = A - e-2^)/p2. 5. F(p) = = (l-2e-^ + e-^)/p2. 6. F(p) = e"V(p+l)- 7. F(p) = e~P/{p2 + p). 8. F(p) = (l-e-P)/(p+pe-P). 9. F[p) = 10. F(p) = (p + 2e-^/2 - pe- 2.6. Изображ:ение функции вида tnf{t) Постановка задачи. Найти изображение функции tnf(t) {п е N). План решения. Если функция f(t) является оригиналом и F(p) — ее изображение, то по теореме о дифференцировании изображения имеем \/п G N ^ (-l)nF^(p). A) 1. Находим изображение F(p) функции f(i). 2. Вычисляем производные F^n>(p). 3. Находим изображение функции tnf(t) по формуле A). Пример 1. Найти изображение функции f(t) =tn Vn Е N. Решение. 1. Имеем 2. Вычисляем производные pz po 3. Находим изображение функции tn по формуле A): Ответ. tn <—> —— Vn G N.
2.7. Изображение функции вида f(t)/t 81 Пример 2. Найти изображение функции f(t) =tsiat Решение. 1. Имеем 2. Вычисляем производную 2р 3. Находим изображение функции tsint по формуле A) при п = 1: 2р Ответ, ts'mt t sin t 2р Условия задач. Найти изображение функции f(t)rj(t). 1. f(t) = tsinut 2. f(t) =tcosut. 3. f(t) = tshut. 4. f(t) = tchut. 5. f(t)=t2eat. 6. f(t) =t2sinujt. 7. f(t) = t2 cosu;t. 8. f (t) = t2 shout. 9. /(t) = t2 chut 10. /(t) = tneat. Ответы. 1. F(p) = 2cup/(p2 + a;2J. 2. F(p) = (p2 - u;2)/(p2 + c^2J. 3. F(p) = 2cup/(p2 - u2J. 4. F(p) = (p2 + cu2)/(p2 - cu2J. 5. F{p) = 2/{p - a)\ 6. F(p) = 7. F(p) = Bp3 - 6cu2p)/(p2 + u2f. 8. F(p) 9. F(p) = {2p3 + 6c^2p)/(p2 - c^2K. 10. F(p) = n\/{p - a)n+1. 2.7. Изображение функции вида f(t)/t Постановка задачи. Доказать, что функция f(t)/t является оригиналом, и найти ее изображение. План решения. Если функции f(t) и f(t)/t являются оригиналами и F(jp) — изоб- изображение функции /(?), то по теореме об интегрировании изображе- изображения имеем M^JF(z)dz. (i) р 6 В.И. Афанасьев и др.
82 Гл. 2. Операционное исчисление 1. Если f(t) — оригинал, то функция f(i)/t является оригиналом, если она имеет конечный предел при t —>> 0 + 0. 2. Находим изображение F(p) функции f(t). 3. Вычисляем интеграл оо F(z) dz. 4. Находим изображение функции f(i)/t по формуле A). Замечание. Можно не проверять существование предела f(t)/t при ^ —^ 0 + 0, так как если интеграл /°° F(z) dz сходится, то функция f(t)/t заведомо является оригиналом и справедлива формула A). Пример. Доказать, что функция (sint)/t является оригиналом, и найти ее изображение. Решение. 1. Функция (sint)ft является оригиналом, так как существует sint hm = 1. t->>0+0 t 2. Имеем 3. Вычисляем интеграл dz ТГ = - - arctgp. р Так как интеграл сходится, то (sin t)/t — оригинал. 4. Находим изображение функции (sin t)/t по формуле A) _ sin t тг Ответ. <—> — - arctgp. Условия ЗАДАЧ. Доказать, что функция f(i)rj(i) является ори- оригиналом, и найти ее изображение. 1. f(t) = A - eat)/t. 2. f(t) = sin2 t/t. 3. f(t) = e-atsint/t. 4. f(t) = (l-cost)/t. 5. f(t) = sht/t. 6. f(t) = (l-cht)/t. 7. f(t) = = (cos 5^ - cos3i)/t. 8. /(t) = (sin 7t • sin3t)/t. 9. /(t) = (eat - ebt)/t. 10. f(t) = eat sin2 t/t.
2.8. Восстановление оригинала по изображению Pm(p)/Qn(p) 83 Ответы. 1. F(p) = ln^-^. 2. F(p) = ln^-^i. 3. F(p) = р pz 1 1 v2 1 v - 1 = arctg . 4. Ftp) = -ln^f—. 5. F(p) = - In . 2.8. Восстановление оригинала по изображению Pm(p)/Qn(p) Постановка задачи. Восстановить оригинал f(t) no изобра- изображению где Рт(р) и Qn(p) — многочлены степени тип, причем т < п. План решения. 1. Записываем F(p) в виде суммы элементарных дробей вида A A Mp + N Mp + N р — а' (р — а)к ' р2 + ар + C' (р2 + ар + (ЗI 2. Для каждой дроби находим ее оригинал, пользуясь таблицей изображений, свойствами преобразования Лапласа и теоремой умно- умножения изображений (теоремой о свертке). 3. Используя линейность преобразования Лапласа, находим иско- искомый оригинал f(t). Пример. Восстановить оригинал f(t) по изображению F{p) = ^g- Решение. 1. Записываем F{jp) в виде суммы элементарных дробей: „, , 1 1 111 р + 4 F(p) = -^ о = 1— + 2р + 4) 12р-2 2. Для каждой дроби находим ее оригинал. 6*
Гл. 2. Операционное исчисление Первая дробь ±v"y p-2 является изображением функции fi(i) = e2t. В знаменателе второй дроби выделим полный квадрат и запишем ее в виде, позволяющем использовать теорему смещения: Fo(p) = о Pt - = =+ 2р + 4 (р + 1J + (УзJ (р + IJ + (\/3J' По теореме смещения е~* /о 3. Используя линейность преобразования Лапласа и разложение A), находим искомый оригинал Ответ. f(t) = ^e2t - ^е~г cos(Vzt) - -^е~г sm(V3t). Условия ЗАДАЧ. Восстановить оригинал f(t) no изображению F(p). 1 1. F(p) = —— . 2. 3. F(p) = Т "Т"о ¦ 4. /^-ve 1 I /I /^-v Zj I I J nn 2p2 - 3p2 P3 + (P- 1 (P- -2p- + 3p- p2 H l)(p ¦+ 1K' P 4" 13 13p ¦2)(p- 3) p4 - 2p3 + p2' P 5-^(р) = 7 ТТ^^Ь ^- 6.— ^+P 4 7. F(p) = p4 -1' 9' FW = (p + 2J(p-lK- 10-
2.9. Восстановление оригинала по теореме разложения 85 Ответы. 1. f(t) = e2t + е~ь/2. 2. f(t) = t + 2 - 2е* + te*. 3. /(*) = -1 + 4e-2tcos3t - e~2* sin 3t/3. 4. /(*) = e*/9 - e2*/9 + +2teV3. 5. f(t) = -5eV6 + 8e-2Vl5 + 13e3Vl0. 6. /(t) = 2e*-4t-3. 7. f(t)=t2et/2. 8. f(t) = (cht-cost)/2. 9. /(t) = Ct2 + 2* - 2)e*/54 + + l)e-2*/27. 10. /(t) = -1/6 + e* - 3e2t/2 + 2e3t/3. 2.9. Восстановление оригинала по теореме разлож:ения Постановка задачи. Восстановить оригинал f(t) no его изоб- изображению F(p), используя теорему разложения. План решения. Если изображение F(p) оригинала f(t) является однозначной функцией р и имеет лишь конечное число особых точек РъР2> • • • ?Рп? то по 2-ой теореме разложения _ (!) к=1 1. Находим особые точки функции Fi(p) = eptF(p) и определяем их тип. 2. Вычисляем вычеты в этих точках. 3. Вычисляем оригинал f(t) по формуле A) и записываем ответ. Пример. Восстановить оригинал f(t) по его изображению используя теорему разложения. Решение. 1. Находим особые точки функции Fi(p) имеет два полюса: р = 1 — полюс 1-го порядка и р = — 1 полюс 2-го порядка. 2. Вычисляем вычеты в этих точках resp=i— iW__ , -,Л9 = nmt 77 i\/._ , i\2 = 7е '
86 .Гл. 2. Операционное исчисление resp=_i 1 t 1 3. Вычисляем оригинал f(t) по формуле A) (р+р + 1)в = resp=i7 —7——— +resp=_i (р1)(р + 1J р - -e* + -e~* - -te~*  +4 2 ' Условия ЗАДАЧ. Восстановить оригинал f(t) no изображению F(p) с помощью теоремы разложения. Ответ, /(t) = ^е* + ^e"* - ^ р(р-1)(р-2)(р-3)- 5- F(p) = ——L——. 6.F(p)= _ Qp3 ?r — 2p — 3 Ответы. 1. /(t) = t2e*/2. 2. f(t) = -1/6 + e* - 3e2t/2 + 2e3t/3. 3. f(t) = -ef/3 + e2t/4 + e-2t/12. 4. /(*) = 1 - 2e* + e3t. 5. /(t) = C-4cos?+cos2f)/12. 6. /(t) = -l/6-3e~3t/2+2e~4t/3+e~2t. 7. f(t) = 2ef - 4t - 3. 8. /(t) = -1/6 + e*/2 - e2t/2 + e3*/6. 9. /(t) = (e3t - e"*)/4. 10. /(t) = 1 - e"* - te"*.
2.10. Восстановление оригинала по изображению F(jp) • G(p) 87 2.10. Восстановление оригинала по изображению F{jp) • G(p) Постановка задачи. Восстановить оригинал по изображению F(p) • G(p), если F(p) является изображением функции f(t) и G(p) является изображением функции g(t). План решения. Если F(p) является изображением оригинала f(t) и G(p) является изображением оригинала g(t), то по теореме умножения изображе- изображений {теореме о свертке) f*g<^F(p)-G(p), A) где оригинал *9 = Jf(r)-g(t-T)dr называется сверткой оригиналов f(t) и g(t). 1. Восстанавливаем оригиналы f{t) и g{t) по их изображениям F(P) и G{p). 2. Вычисляем свертку г f*9 = Jf(r)-9(t-T)dT. О 3. По формуле A) записываем ответ. Пример. Восстановить оригинал по его изображению 1 Решение. В данном случае ПР) = G(p) = -J-. 1. Восстанавливаем оригинал f(t) по его изображению F(p): 1 sin t i—> — .
Гл. 2. Операционное исчисление По теореме умножения изображений 1 sin t * sin t P2 + 1 P2 + 1 2. Вычисляем свертку г s'mt = / si sin t * sin t = I sin(t — t) sin r dr = -t cos t sin t. 0 3. По формуле A) записываем ответ: f(t) = —t cos t sin t. Ответ. f(t) = —tcost sin?. Условия задач. Восстановить оригинал по изображению F(p), используя теорему умножения изображений (теорему о свертке). 3- F(p) = ?^w. 4. F{P) = (Р2- р Р4- р(р2 е Ь4J 2_1K 1 -Р (Р2 + (Р2 + 2 ¦р- (Р2 + 1-е 9J' 2 4)(р2 + 9) IJ' . F(p) = 9. F(p)= 10. F(p) = p{p2 + IJ p(p2 + 1) Ответы. 1. f(i) = (sin2t-2tcos2t)/4:. 2. f(i) = (sin3t-3tcos3t)/6. 3. f(t) = (tcht-3tsht + 2t)/2. 4. 5. f(t) = (cht-co8t)/2. 6. f(t) = (si 7. f(t) = A - cos t)ri(t - 1). 8. f(t) = (t-l- sin(t - l))rj(t - 1). 9. f(t) = A - cos(^ — 1) — (t — 1) sin(t - l)/2)r/(t - 1). 10. f(t) = A - cos^7y(l - t) + (cos(^ - 1) - cosi)rj(t - 1).
2.11. Восстановление оригинала по изображению R(p)e pT 89 2.11. Восстановление оригинала по изображению R(p)e~pr Постановка задачи. Восстановить оригинал f(t) no его изоб- изображению F(p) = R{p)e~PT где R(p) — правильная рациональная дробь и т > 0. План решения. 1. Восстанавливаем оригинал r(t) по его изображению R(p). 2. По теореме запаздывания искомый оригинал определяется фор- формулой №=r(t-T)T}(t-T). Пример. Восстановить оригинал f(t) по его изображению Решение. 1. Восстанавливаем оригинал r(t) по его изображению 1 R(p) = Имеем sint <ь По теореме умножения изображений 1 1 sin t * sin t i—> — • — . Вычисляем свертку } 11 sin t * sin t = / sin(? — r) sin r dr = —t cos t sin t. J 2 2 0 Таким образом, 1 1 r(t) = -tcost sint. 2. По теореме запаздывания искомый оригинал определяется фор- формулой /(*) = r(t - 2)r,(t - 2) = \[{t - 2) cos(t - 2) - sin(i - 2)]r,(t - 2). Ответ. f(t) = -[{t - 2) cos(t - 2) - sin(t - 2)]r)(t - 2).
90 .Гл. 2. Операционное исчисление Условия ЗАДАЧ. Восстановить оригинал f(t) no его изображе- изображению F(p). L F{p) = ^тг 2-F{v) = Ртг е —7р л —Кпп 7. F(p) = ^—. 8. 9. F(p) = , о ^.w о——. 10. Ответы. 1. f(t) = sin(t - 1)ф - 1). 2. f(t) = cos(t - 4)rj(t - 4). 3. f(t) = е^-^ф - 7). 4. f(t)sh2(t - 5)rj(t - 5). 5. f(t) = A - - cosC^ - 9))t7(* - 3)/9. 6. f(t) = (sh(t - 1/2) - sin(? - l/2))r/(t - l/2)/2. 7. /(t) = сЬ(г/3(^ - 1))?7(* - !)• 8. f(t) = {sh{t - 3) - t - 3)rj(t - 3). 9. f(t) = (cos(t-6)-cosBt-12))rj(t-6). 10. f(t) = (t - тг) sinD? - 4тг) х 2.12. Решение линейных дифференциальных уравнений Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для обык- обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами апх{п) + an_ix(n} + ... + ахх' + аох = f(t) с начальными условиями х@) = хо, х'@)=х'о, ..., ^"-1)@) = 4П)- План решения. Если f(t) — оригинал, то искомое решение диф- дифференциального уравнения x(t) также является оригиналом. Обозна- Обозначим его изображение Х(р). 1. Находим изображение левой части уравнения.
2.12. Решение линейных дифференциальных уравнений 91 По теореме о дифференцировании оригинала x'(t)^pX(p)-x@), x"(t)^p2X(p)-px@)-x'@), ..., xW(t) <__>. Рпх(р)-рп-1х{о) -... - ^("-^(о). По свойству линейности апх{п) + а-а-хх^11'^ + ... + сцх' + аох <—>• <—> (anp"+an_1pn-1+.. .+а1р+ао)Х(р)-рп-1хо-рп-2х'о-.. .-х^К 2. Находим изображение правой части уравнения /(*) <—»¦ F{p). 3. Составляем операторное уравнение (апрп + ап-гр71'1 + ... + агр + 4. Решаем операторное уравнение относительно Х(р). 5. По найденному изображению Х(р) восстанавливаем ориги- оригинал x(t). 6. Проверяем, удовлетворяет ли x(t) исходному дифференциаль- дифференциальному уравнению и начальным условиям. Записываем ответ. Пример. Решить задачу Коши x// + 4x = cos2^, х@) = 1, х'@) = -1. Решение. Так как f(t) = cos 2trj(i) — оригинал, то искомое реше- решение дифференциального уравнения x(t) также является оригиналом. Обозначим его изображение Х(р). 1. Находим изображение левой части уравнения. По теореме о дифференцировании оригинала x'(t) ^ рХ(р) - х@) = рХ(р) - 1, x"(t) <—> р2Х(р) - рх@) - х'@) = р2Х(р) - р + 1. По свойству линейности х" + 4х <-^ (р2 + 4)Х(р) -р + 1
92 Гл. 2. Операционное исчисление 2. Находим изображение правой части уравнения cos 2t i—> -^-—. pl + 4 3. Составляем операторное уравнение р + 1= Р 4. Решаем операторное уравнение относительно X(jp): р р 1 V-i / / 9 I /I \ 9 9i/l 9 i Л " 5. По найденному изображению Х(р) восстанавливаем оригинал x(t): x(t) = -t sin 2t + cos 2t sin 2t. 4 2 6. При подстановке x(t) в исходное дифференциальное уравнение оно обращается в тождество. Вычислив х@) и ж'@), убеждаемся, что ж(^) удовлетворяет начальным условиям. Ответ. x(t) = —t sin 2t + cos It sin 2t. Условия ЗАДАЧ. Решить задачи Коши для дифференциальных уравнений. 1. х1 + 2х = 2 - Ш, х@) = 0. 2. х' -x = t- 1, ж@) = 0. 3. ж; + Зж = 3t - 2, я@) = 0. 4. ж//-Зж/ + 2ж = 2е3*, ж@) = 1, ж'@) = 3. 5. ж/; + ж' = tcos2*, ж@) = 0, ж;@) = 0. 6. x/; + 9x = l, ж@) = 0, ж;@) = 0. 7. ж/; + 4ж = sin 3*, ж@) = 0, ж;@) = 0. 8. х1" - х" = 0, х@) = 2, х'@) = 0, ж/;@) = 1. 9. х'" + 6х" + 11ж; + 6ж = 0, я@) = 1, ж;@) = -3, ж/;@) = 9. 10. хт-Зх"+ 3xf-x = ef, ж@) = 1, ^@) = -!, ж/;@) = 1. Ответы. 1. x(t) = 1,75 - 1,5* - l,75e-2t. 2. ж(*) = -t. 3. ж(*) = e~3t+t-l. 4. ж(*) = e3t. 5. x(t) = -- sin*+- sin2*-- cos2*. 1 3 1 9 9 3 6. x(i) = -(l-cos3t). 7. ж(*) = — sin2*- - sin3?. 8. x(t) = 1 - У J-U О 9. ar(t) = e~3t. 10. z(t) = e*(^- + 1 - 2t + 2t2).
2.13. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 93 2.13. Решение систем линейных дифференциальных уравнений Постановка задачи. Решить задачу Коши для системы обык- обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами: х = Ах(?) + f (t) с начальными условиями х@) = хо, где х = {^1, • • •, хп} — вектор неизвестных, х0 = {^оъ • • • ? хпо} — вектор начальных значений, А = ^11 ^-12 • • • 0>1п 0-21 0-22 • • • a2n у <2ni ttn2 • • • &пп — матрица коэффициентов и f(t) = {/i(?),..., fn(t)} — заданная вектор-функция. План решения. Если /i(?),..., fn(t) являются оригиналами, то функции xi(t),..., xn(t) также являются оригиналами. Обозначим их изображения X\(jp),..., Хп(р). 1. По теореме о дифференцировании оригинала и по свойству ли- линейности находим изображения левых и правых частей всех уравне- уравнений системы. 2. Составляем систему операторных уравнений 3. Решаем систему операторных уравнений где Е — единичная матрица n-го порядка. 4. По найденным изображениям Х(р) = {Xi(p), ^(р),... ,Хп(р)} восстанавливаем оригиналы x\(t), X2(i),..., xn(t). 5. Проверяем, удовлетворяют ли x\(t), X2(t),..., xn(t) исходной си- системе дифференциальных уравнений и начальным условиям. Записываем ответ.
94 Гл. 2. Операционное исчисление Пример. Решить задачу Коши 1 = х + Чу - 9?, х@) = 1, ' = Чх + у + 4е*, 2/@) = 2. Решение. Предполагая, что функции x(i) и y(t) являются ориги- оригиналами, обозначим их изображения Х(р) и Y(p). 1. По теореме о дифференцировании оригинала x'(t)^pX(p)-x@)=pX(p)-l, y'(t) ^pY(p)-y@) =PY(p)-2. По свойству линейности находим изображения правых частей урав- уравнений системы: х + 2у - 9t ^ Х(р) + 2У(р) - 4» 2х + у + 4е* ^^ 2Х(р) + Y(p) ^ р- 1 2. Составляем систему операторных уравнений: РХ(р) - 1 = Х(р) + 2У(р) - ^, - 2 = 4 3. PeniaeM систему операторных уравнений: 4 5 А 8 8 + 4. Восстанавливаем оригиналы по изображениям ж(^) = 2e3t - 4е"* - 2е* + 5 - 3t, 5. При подстановке x(t) тя. y(i) в исходную систему оба уравнения обращаются в тождества. Вычислив ж@) и г/@), убеждаемся, что x(t) и 2/(^) удовлетворяют начальным условиям. Ответ. x(t) = 2e3t - 4е~г - 2ег + 5 - 3t, j/(t) = -4 + 6? + 4е~* + 2e3t.
2.13. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 95 Условия ЗАДАЧ. Решить задачи Коши для систем дифференци- дифференциальных уравнений. х' =-у + 2, ж@) =-1, у' = х + 1, j/@) = 0. (х' = у-1, а;@) = 1, Г • \ у' = -х- 2у, у@) = -1. ¦ \ Г Зж' + 2ж + / = 1, ж@) = 0, Г х1 - 2у = 0, ж@) = 2, ^ \ х' + 4у/ + Зу = 0, |/@) = 0. \ j/'-2a; = 0, 2/@) = 2. (х' = 3х + 4у, ж@) = 1, Г х' = 2х + Зу + 1, ж@) =-1, - \ у' = 4х - Зу, у@) = 1. Ь- \у' = 4х- 22/, 2/@) = 0. Г а;'=-а; + 3j/+ 1, ж@) = 1, Г ж' + 2/ = 0, ж@) = 1, \у' = х + у, 1/@) = 2. °- \ 2У' + ж = 0, 2/@) = -1. о [х' = -у, ж@) = 1, / ж' + 2/'-г/ = е*, ж@) = 0, У' \ 2/' = 2ж + 22/, 2/@) = 1. 1 2ж' + 2/' + 22/ = со8*, 2/@) = 0. Ответы. 1. x(t) = 3e-t + te~t -2, y(t) = 1 - 2e~l - te'1. 2. x(t) = 2smt- 1, y(t) = 2-2cost. 3. ,(,) = I _ |e-* _ ^e-«/ii, »(*) = |(e"* - e-«/"). 4- x(t) = \e* - \e->\ y{t) = \e* - \e~*. 5. x(t) = \e* - \e-*\ y{t) = \e™ + \e~™. 6 r(t) - -- - —e4t - —e~4t v(t) - eAt + e~4t b- x\t)- 8 lge ige 2/W e + e 7- »(*) = ye- - -e-« + -, 2/W = ^ + -e~» - -. 8. x(t) = e\ y(t) = -e*. 9. ar(t) = e*(cos? + 4sin?), j/(t) = e*(cost + 3sint). 10. ж(^) = е*- ^e4t- ^cos^+^sin^- -, 2 22 4 1 ~ ge* + ^e4t + — cos t - — sin t.
Глава 3 РЯДЫ ФУРЬЕ При изучении темы РЯДЫ ФУРЬЕ вы научитесь разлагать функ- функции в тригонометрические ряды Фурье и в ряды Фурье по произволь- произвольным ортогональным системам на различных конечных и бесконечных интервалах. Основную трудность при изучении темы РЯДЫ ФУРЬЕ состав- составляет вычисление интегралов. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ поможет вам вычислять интегралы и тем самым существенно облегчит изучение темы. Впоследствии, например при решении уравнений математи- математической физики, вы сможете получать разложения в ряды Фурье инте- интересующих вас функций нажатием нескольких кнопок на клавиатуре компьютера, используя возможности модуля STEM Plus, входящего в пакет РЕШЕБНИК.ВМ. 3.1. Тригонометрический ряд Фурье функции f{x) на интервале (—7г,тг) Постановка задачи. Разложить функцию у = f(x) в тригоно- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—тг,тг). План решения. Тригонометрическим рядом Фурье на интервале (—7г,тг) называется ряд (ап cos nx + Ъп sin nx). п=1 Функции 1, cos ж, cos 2ж,..., cos nx,..., sin ж, sin 2ж,..., sin nx,... обра- образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в ин- интервале (—7г,тг), со скалярным произведением
3.1. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на (—тг,тг) 97 Функция / принадлежит этому пространству тогда и только то- тогда, когда 7Г (/,/) = I f(xJdx<oo. A) — 7Г При этом искомое разложение функции у = f(x) в тригонометри- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—тг,тг) имеет вид оо 2( f(x) = ао + 2_,(ап cosnx + bn sinnx), B) n=l где коэффициенты ао, ai,..., &i, &2?--- определяются по формулам Эйлера-Фурье: = ±-[ f{x)dx — среднее значение функции / на интервале (—тг,тг), J /(ж) cos nxdx к (f, cosnx) -к f ап = т г = —-z = — / /(х) cos пх ах, п G N, (COSnX COSnx) 7Г / ' ПХ( — тт f cos2 — 7Г J f(x) sin nxdx 1 f = — / /(х) cos пх ах, 7Г / Ъп = т ' г = ——~ = — f(x)sinnxdx, n G N. (smnx.smnx) r . 2 7 / J sin nxdx j sin iix ax — TV 1. Проверяем, что 7Г / f(x) 2dx < оо. 2. Вычисляем коэффициенты ao, ai,..., fei, 62, • • • по формулам Эйлера-Фурье. 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ao, ai,..., fei, 62 5 • • • в B) и записываем ответ. 7 В.И. Афанасьев и др.
Гл. 3. Ряды Фурье Замечания. 1. Если f(x) ограничена на (—тг,тг), то условие A) выполняется. Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций. 2. Если f(x) = f(—x) при х Е (—тг, тг), то Ъ\ = 0, &2 = О, • • • 3. Если /(ж) = f(—x) при ж Е (—тг, тг), то uq = 0, ai = 0,... 4. При вычислении интегралов в формулах Эйлера—Фурье иногда полезны методы, изложенные в разделе 1.17 (с. 60). 5. Если f{x) — тригонометрический многочлен относительно cos kx и sin кх, т.е. f(x) = 2_,{ak cos kx + Pk sin kx), k=o то коэффициенты ряда Фурье f(x) определяются формулами: а& = а&, Ьк = Рк ПРИ к = 0,1,..., п и пк = 0, 6& = 0 при всех к > п. К это- этому случаю с помощью формул понижения степени сводится задача о разложении в тригонометрический ряд Фурье функций вида f(x) = = P(sinx,cosx), где P(u,v) — многочлен. ПРИМЕР. Разложить функцию у = х + 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале (—тг,тг). Решение. 1. Проверяем, что 7Г / f(xJ dx < 00. Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (—тг,тг). 2. Вычисляем коэффициенты ао, аь ..., Ьь &2? • • • по формулам Эйлера-Фурье. Имеем тг _ 1 2тг тг 1 Г ап = — / (ж + 1) cos пж б/ж = О, тг У — тг тг 1 Г Ьп = — / (ж + 1) sin пж б/ж = —2 тг У cosmr
3.1. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на (—тг,тг) 99 3. Подставляем найденные значения коэффициентов L, &2, • • • в B). Получаем х + 1 = 1 + 2 V^ sin nx. ^ га 71=1 ОО / -,\п_1 Ответ, х + 1 = 1 + 2 V^ sin nx, x G (—тг, тг). 77/ п=1 Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию у = /(ж) в тригономет- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—тг,тг). 1. = 2х - 3. 2. /О) = ж - 1. 3. /(ж) = х2. 4. = еж. 5. f(x) = |ж| + х. 6. /(ж) = 0 при х < 0 и /(ж) = 1 при ж > 0. 7. /(ж) = 2 при х < 0 и /(ж) = ж при ж > 0. 8. f(x) = —ж при ж < 0 и f(x) = х + 1 при ж > 0. 9. f(x) = л/3/B + cos ж). Ю. /(ж) = -lnB|sinz|). Ответы *) . 2. ж-1 = -1- ' га (-1)" . втгаж. 71=1 ¦ cosnx. 4. е = 2тг 1 71=1 1 п2 + 1 cos пх п2 + 1 sin nx. тг 5. \x\-\- х = —Ь2 2 71=1 cos nx sin nx. 6. 7/(ж) = - Н— ^^ 71=1 7. 2rj(-x) +xrj(x) = -(-1)п smra. 1 1— тг (тг-2)(-1)п + 2 . cos пх - — sin пх. 71=1 nz n 8. —хп(—х) + (х тг + + - тг cosnxH 71=1 smnx. *) Единичная функция Хэвисайда 77C3) = 1 при жHи v(x) = 0 пРи ж < 0. 7*
100 Гл. 3. Ряды Фурье 9. ^ =1 + 2V ( % cosnx. 2 + cos x ^[B/3) 10. -lnB|sinz|) = 2^ - cos2nx. n=l 3.2. Тригонометрический ряд Фурье функции /(х) на интервале (—/, Постановка задачи. Разложить функцию у = f(x) в тригоно- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—1,1). План решения. Тригонометрическим рядом Фурье на интервале (—/,/) называется ряд оо [ап cosn—x + bn smn—x) . n=l Функции 1, cos(ttx//), cosBttx//), ..., cos(n7rx/l),..., sinGrx//), sinB7rx//),..., sin(n7rx//),... образуют ортогональный базис в про- пространстве функций, заданных в интервале (—/,/), со скалярным про- произведением 1, v) = / u(x)v(x) dx. Функция / принадлежит этому пространству тогда и только то- тогда, когда г Ух) ах ^ °°- У1) При этом искомое разложение функции у = f(x) в тригонометри- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—1,1) имеет вид f(x) = ag + yj ( ап cos n—x + 6n sin n—х \ , B) П=1 где коэффициенты ао, ai,..., bi, &2,--- определяются по формулам
3.2. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на (—1,1) 101 Эйлера-Фурье: / f(x) dx l — среднее значение / на интервале (—/,/), 7Г I J , LUD lb — Jbl ап = /,cosn —х 1 / f(x) cosn^-xdx 7Г \ cosn—ж, cosn—x J 7Г I ж, cosn—x J r 7r I / 2 —xdx -I / cos2 n— -I I = - / f(x) cos n—x dx, n = 1, 2,... , C) -/ f(x)smn—xdx [ l п ( П7ГХ 7Г \ Ism —-—, sinn- x j /Sin 77/ I -I I = ]ff(x)si -I 1. Проверяем, что xdx 7Г )smn—x dx, n=l,2,... C;) (xJ dx < oo. 2. Вычисляем коэффициенты ao, ai, • • •, bi, &2? • • • п0 формулам Эйлера-Фурье. 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ao, «i,..., &i, &25 • • • в B) и записываем ответ. Замечания. 1. Если /(ж) ограничена на (—/,/), то условие A) выполняется. Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций.
102 Гл. 3. Ряды Фурье 2. Если f(x) = f(-x) при х е (-/, Z), то Ьо = 0, 6i = 0, ... 3. Если f{x) = f(—x) при ж Е (—/, Z), то ао = 0, ai = 0, ... 4. При вычислении интегралов (З)-(З') иногда полезны методы, изложенные в разделе 1.17 (с. 60). 7Г 7Г 5. Если f(x) — многочлен относительно cosk—x и sin к —х, т.е. п f(x) = ^ f akcosk—x + /3ksink—x) , fe=0 то коэффициенты ряда Фурье /(ж) определяются формулами: ак = &к, Ьк = /Зк при /с = 0,1,..., п и ак = 0, Ък = 0 при всех /с > п. К это- этому случаю с помощью формул понижения степени сводится задача о разложении в тригонометрический ряд Фурье функций вида f(x) = = P(sinx,cosx), где P(u,v) — многочлен. Пример. Разложить функцию у = х + 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале (—2,2). Решение. 1. Проверяем, что /•"-"¦ f{x) dx < оо. -2 Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (-2,2). 2. Вычисляем коэффициенты ao, ai,..., bi, &2? • • • п0 формулам Эйлера-Фурье. Имеем 1 Г п°~ 2-2 J Х ~ ' -2 2 1 Л , 7Г ап = - / (х + 1) cos n—ж аж = О, 2 У 2 -2 2 Ьп = — \ (х + 1) sin п—ж dx = —4 2 У 2 -2 -1 П7Г П7Г П7Г -2 3. Подставляем найденные значения коэффициентов &2? • • • в B). Получаем sinn-ж. П7Г 2 п=1
3.2. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на (—1,1) ЮЗ 4 ~ f-i)n-i 7Г Ответ. ж+1=1+-> sinn-ж, х е (-2, 2). тг *-^ п 2 п=1 Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию у = /(ж) в тригономет- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—1,1). 1. /(ж) = 2ж - 3 на (-1,1). 2. f(x) = х - 1 на (-1/2,1/2). 3. /(ж) = х2 на (-1,1). 4. /(ж) = ех на (-1,1). 5. f(x) = \х\ + х на (-2,2). 6. f(x) = 0 при -2 < х < 0 и /(ж) = 1 при 0 < х < 2. 7. f(x) = 2 при -3 < х < 0 и f(x) = ж при 0 < х < 3. 8. f(x) = - при -1 < х < 0 и f(x) =х + 1 при 0 < ж < 1. 9. f(x) = / на (-7г/2,тг/2). 10. f(x) = -lnB| sin3z|) на (-тг/3,тг/3). Ответы. 4 ~ 1 23 3 тг *-^ п п=1 smnirx, 2. х-1 = -1--} ± ^-sin2mrx, х е (-1/2,1/2). тг *-^ п п=1 1 4 ХЛ f—l) 3. х2 = - Н У^ — cosuttx, х е (-1,1). 3 7Г2 ^^ П2 1 4 Х°°Л f—l)n 2 = - Н У^ — c 3 7Г2 ^^ П2 п=1 ^ сояптгж - 4. е s l + 2s 12^( 1) 1 + ^2 ' xG( 1'1)- п=1 4 ^^ (~1) "" 1 ^ (~1) п 5. ж| + ж = 1 Н— ^^ cosn—x sinn—ж, n=l (-2,2). 2 тг ^-^ п 2 п=1 (-2,2). 7. 2?7(—х) + xri(x) = —|— > cosn—x— 4 тг 21^' п^тг 3 п=1 sinn—ж, же (—3,3). п 3 / ч / ч / ч 1\^ 2((-1)П-1) 8. — Ж77(— ж) + (ж + l)rj(x) = 14— > cosnTrx+ /v } v y /v у тг ^-^ п2тг п=1 с, ЖЕ (-1,1).
104 Гл. 3. Ряды Фурье л/3 °° ( — 1)п 9. = 1 + 2V—^ ^cos2nx, х е (-7г/2,тг/2). 2 + cos2x ^B + у/3)п 10. -InB|sin3z|) = 2^- cos6nx, x G (-тг/3,тг/3). n=in 3.3. Тригонометрический ряд Фурье функции f{x) на интервале (а, Ъ) Постановка задачи. Разложить функцию у = f(x) в тригоно- тригонометрический ряд Фурье на интервале (а, Ь). План решения. Тригонометрическим рядом Фурье на интервале (а, Ъ) называется ряд 2тг 7 . 2тг . ап cos n- х + 6n sinn- ж . ^ 6 — а о — а п=1 ч 2тг 2тг 2тг 2тг Функции 1, cos ж, cos 2- ж, ..., cosп- ж, ..., sin ж, cos 2ж, ...,cosnж,..., sin ж, о — а о — а о — а о — а 2тг . 2тг sin 2- х,..., sinn- ж,... образуют ортогональный базис в про- о — а о — а странстве функций, заданных в интервале (а, 6), со скалярным про- произведением (щ v) = / г/(ж) г;(ж) dx. Функция / принадлежит этому пространству тогда и только то- тогда, когда ъ (/,/) = I f(xJdx<^. A) а При этом искомое разложение функции у = f(x) в тригонометри- тригонометрический ряд Фурье на интервале (а, Ъ) имеет вид ^ / 2тг 7 . 2тг \ /(х) = а0 + > ап cosn- ж + bn sinn- ж , B) *-^ V 6 — а о — а I п=1 ч 7 где коэффициенты ао, ai,..., bi, &2,--- определяются по формулам
3.3. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) 105 Эйлера-Фурье: J I2 dx а среднее значение / на интервале (а, 6), ь ап = /2тг fix) cos n х dx b- a V и-а у _ а ( 2тг 2тг \ ь cosn- x,cosn- ж Г \ 6 —а о — а/ \ 2 2тг cos n- о — а 2тг (x)cosn- xdx, n = l,2,..., b — a ь 2тг \ /fWsmn- /,sinn- ж) J b-a \ о — а On = /¦ / 2тг 2тг I smn- ж, smn- ж) / . o 2тг sinn x,sinn ж /* 2 \ b — a b — a J / sin n Ь-а 2 /* 2тг / /(ж) sinn- xdx, n = l,2,... b — a J b — a b- -i 1. Проверяем, что fe / f(xJ dx < oo. 2. Вычисляем коэффициенты ао, ai,..., &i, &2? • • • п0 формулам Эйлера-Фурье. 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ад, ах,..., &х, ^2,... в (^) и записываем ответ. Замечания. 1. Если /(ж) ограничена на (а, 6), то условие A) выполняется. Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций.
106 Гл. 3. Ряды Фурье 2. Если fix) — многочлен относительно cos к- и sin к- , т.е. Ъ - а Ъ — а f(x) = у. I ak cos к х + pk sin я ж то коэффициенты ряда Фурье f(x) определяются формулами: а^ = ад, frfc = /3fc при к = 0,1,..., п и ак = 0, 6fe = 0 при всех к > п. К этому случаю с помощью формул понижения степени сводится за- задача о разложении в тригонометрический ряд Фурье функций вида f(x) = P(sinx, cos ж), где P(u,v) — многочлен. ПРИМЕР. Разложить функцию у = х + 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале (тг,2тг). Решение. 1. Проверяем, что 2тг / f(xJ dx < оо. 7Г Неравенство справедливо, поскольку функция у = х -\- 1 ограничена на (тг, 2тг). 2. Вычисляем коэффициенты ао, ai,..., bi, &2? • • • п0 формулам Эйлера-Фурье. Имеем 2тг 1 Л ^1W Зтг + 2 а0 = - / (ж + 1) rfar = —-—, тг У 2 2 Г ап = — / (ж + 1) cos 2пж б/ж = О, тг У 7Г 2тг 2 Г 1 Ьп = — / (ж + 1) sin 2пж с?ж = . тг У п 3. Подставляем найденные значения коэффициентов i, &25 • • • в B)- Получаем f , 1 + 1 = Зтг + 2 f 1 , > — smznx. 2 ^-^ п п=1 Зтг + 2 ^ 1 . Ответ, ж + 1 = у, ~ sin 2пж, ж G (тг, 2тг). п=1
3.3. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) 107 Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию у = f(x) в тригономет- тригонометрический ряд Фурье на интервале (а, Ь). 1. f(x) = 2х - 3 на B, 4). 2. f(x) = х - 1 на (-3, -1). 3. f{x) = х2 на (-1,3). 4. /(ж) = еж на A,3). 5. f(x) = |ж| + ж на (-1,3). 6. /(ж) = 0 при 2 < ж < 3 и f(x) = 1 при 3 < х < 4. 7. /(ж) = 2 при —3 < х < — 1 и f(x) = ж при — 1 < х < 1. 8. /(ж) = —ж при тг < х < 2тг и /(ж) = ж + 1 при 2тг < х < Зтг. 9. f(x) = л/3/B + cos 2ж) на (тг, 2тг). Ю. f(x) = -InB|sin2x|) на (тг,2тг). Ответы. 4 ^ 1 19т» Q — Q \ cin птгт» т г (О Л \ тг ^^ га п=1 9 °° Г —I"O2 2-| о \ "^ V / • ^- / о -| \ тг ^—' га п=1 | — I cosra-ж- ^f /cos^ 2sm^\ тг \ га га2тг ) 2 Л х е3~е /з ^ (-!)п гатг(-1)п . ^ „=1 же A,3). 9 2 5. |ж| + ж = > — -z — — I cosra—х— 4 тг *-^ п1гк га 2 7,= 1 J sinra—ж, ж G (—1, 3). 2A — cos ^-) Звт2^11! тг га/тг raj 2 . 11 ^^ cosraTT — 1 . г А\ 6. rj(x — 3) = —|— > smraTrx, xGB,4). 2 тг *-^ га п=1 00 Оо^ ПТГ Z s~^ * Sin ^тг ТГ 7. 26>(—1 - ж) + ж6>(ж + 1) = 1 > ^- cos га-ж- тг ^ га 2 [cos^f 2sin^] . тг won I -^ -^ I ni -ул гул /у> /у» С^_ I -I I I |_ га га2тг J 2 8. -хвBтг - х) + (ж + 1H(ж - 2тг) = _тгEтг-1) ^> Г(-1)п тг + 1 (-1)п raz га/тг Г2тг + 3 (Зтг + 2)(-1) , . , о , + smrax, xG(tt,3tt). 1 га га '
108 Гл. 3. Ряды Фурье л/3 °°л (—1)п 9. = 1 + 2 У^ —- ^— cos пх, х е (тг, 2тг). 2 + cos2x ^B + у/3)п 10. — lnB| sin2x|) = V^ — cosnx, жЕ(тг,2тг). 77/ n=l 3.4. Ряд Фурье функции f{x) на интервале @, тг) по тригонометрической системе Постановка задачи. Разложить функцию у = f(x) в ряд Фурье на интервале @, тг) по одной из систем: 1, cos ж, cos 2ж,..., cos пж,...; sin ж, sin 2ж,..., sin пж,...; cos(x/2), cosCx/2),..., cos(n sin(x/2), sinCar/2),..., sin(n План решения. Каждая из систем: 1, cos ж, cos 2ж,..., cos пж,...; sin ж, sin2x,..., sinnx,...; сов(ж/2), cosCx/2),..., cos(n + 1/2)ж,... и sin(x/2), sinCx/2),..., sin(n + l/2)x,... образует ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале @,тг), со скалярным произведением (щ v) = I u(x) v(x) dx. о Функция / принадлежит этому пространству тогда и только то- тогда, когда 7Г (f,f) = Jf(xJdx<oo. A) о При этом искомое разложение функции у = f(x) в ряд Фурье на интервале @, тг) по системе 1, cos ж, cos2x,..., cosnx,... имеет вид f(x) = ад + У, ап cosnx, B) п=1 где коэффициенты ао,«1,... определяются формулами Эйлера-
3.4. Ряд Фурье f(x) на (О,тг) по тригонометрической системе 109 Фурье: тг /, ,ч I fix)dx , у ао = и»1; = о_ = W ^ dx ^ о — среднее значение / на интервале @, тг), тг / f(x)cosnxdx * (/, COSnx) о % Г Р, \ 7 / /ч ап = т г = —^ = — / /(ж) cosnx dx, C ) (совггж, совпж) г о 7 тг У J cos2 ггж аж 0 о где п = 1,2,... Искомое разложение функции у = /(ж) в ряд Фурье на интервале @, тг) по системе sin ж, sin 2ж,..., sinnx,... имеет вид /(ж) = ^ 6n sin пж, D) 71=1 где коэффициенты bi, 62, • • • определяются формулами Эйлера-Фурье: ж) sin пж с/ж (sinnx.sinnx) Г . о 7 /l J J sin nx dx 0 . 2 0 2 Г = — f(x)sinnxdx, E) тг У где п = 1,2,... Искомое разложение функции у = /(ж) в ряд Фурье на интервале @, тг) по системе cos(#/2), cosC#/2),..., cos(n +1/2)ж,... имеет вид 2^пп cos п=0 где коэффициенты 6i, &2? • • • определяются формулами Эйлера—Фурье: 2n + l^ j f(x)cos^^- а-п, = 2п+1 2п г COS Ж, COS Ж / 2 2 2 ) I cosz / ) I = — / /(ж) cos ж б/ж, п = 0,1,... G) тг J 2
110 Гл.З. Ряды Фурье Искомое разложение функции у = /(ж) в ряд Фурье на интервале @, тг) по системе sin(x/2), sinCx/2),..., sin(n + 1/2)ж,... имеет вид °° 9 -U 1 /(ж) = ^2bn sin —-—ж, (8) n=0 где коэффициенты ао, «i,... определяются формулами Эйлера-Фурье / . 2n + l \ / /"(ж) sin (/>Bm-^-*) //U 2 2п + 1 . 2п sin —^—Ж' sin ~^—Ж ' I --2 ^"^ ' ^ х dx = — / /(ж) sin ж с/ж, 7i = 0,1,... (9) тг У 2 о 1. Проверяем, что 7Г / /(жJ б/ж < оо. о 2. Вычисляем коэффициенты искомого ряда по формулам Эйлера- Фурье (З)-(З'), E), G) или (9). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов соответст- соответственно в B), D), F) или (8) и записываем ответ. Пример 1. Разложить функцию у = ж + 1 в ряд Фурье на интер- интервале @, тг) по системе 1, cos ж, cos 2ж,..., cos пж,... Решение. Искомое разложение функции у = ж + 1 в ряд Фурье на интервале (О,тг) по системе 1, cos ж, сов2ж,..., совпж,... имеет вид B). 1. Проверяем, что 7Г Г (жJ dx < оо. Неравенство справедливо, поскольку функция у = ж + 1 ограничена на @,тг).
3.4. Ряд Фурье f(x) на (О,тг) по тригонометрической системе 111 2. Вычисляем коэффициенты ao,ai,... по формулам Эйлера- Фурье (З)-(З'). Имеем 1 Г ч , тг + 2 Пп — — 1 ( Т -I- 1 I ПТ — тг У 2 о 2 Л _ 2 cosmr-l 2 (-1)п-1 ап = — / (ж + 1 j cos nx ax = = . тг J тг п2 тг п2 о 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ao,ai,... в B). Получаем ТГ + Z Z ^-^ ( — 1) — 1 X + 1 = 1 > COS ПХ. 2 тг z-^ n2 n=l тг + 2 2 ^л (-l)n - 1 , Ответ, х + 1 = 1— > cosnx, x G @,тг). 2 тг ^^ n2 n=l Пример 2. Разложить функцию у = ж + 1 в ряд Фурье на интер- ,п х 1 3 2п+1 вале @, тг) по системе 1, cos -ж, cos -ж,..., cos —-—ж,... Z Z Z Решение. Искомое разложение функции у = х-\-1 в ряд Фурье на интервале @, тг) по системе 1, cos -ж, cos -ж,..., cos ж,... имеет вид F). 1. Проверяем, что тг //(*)»*:< оо. О Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на @,тг). 2. Вычисляем коэффициенты ao,ai,... по формулам Эйлера- Фурье G). Имеем 2п + 1 л 4(тг + 1) sin(Tr/2 + птг) 2п+1 4(тг + 1) (-I)" 7>—ГТ' га = 0,1,... тг 2п + 1 2 /¦ 2п + 1 4(тгН an = — / {х + 1) cos —-—ж аж = тг J 2 тг
112 Гл.З. Ряды Фурье 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ao,ai,... в F). Получаем ж + 1 = >^ cos х. тг ^ 2п + 1 2 п=0 _ 4(тг +1) ^л (-1)п 2п + 1 , , Ответ, х + 1 = — > — cos х, х G @,тг). тг ^ 2п + 1 2 ' v ' ; п=0 Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию у = /(ж) в ряд Фурье на интервале @, тг) по указанной системе. 1. /(ж) = ж + 1 по sin ж, sin 2ж,..., sin пж,... 2. /(ж) = х + 1 по sin -ж, sin -ж,..., sin —-—ж,... А А А 3. f[x) = ж(тг — ж) по 1, cos ж, cos 2ж,..., cos пж,... 4. /(ж) = ж(тг — ж) по sin ж, sin 2ж,..., sin пж,... 5. /(ж) = х2 по cos -ж, cos -ж,..., cos —-—ж,... а *( \ 2 .1.3 . 2п + 1 6. / \х) = ж по sin -ж, sin -ж,..., sin ж,... А А А 7. /(ж) = ех по 1, cos ж, cos 2ж,..., cos пж,... 8. /(ж) = ех по sin ж, sin 2ж,..., sin пж,... 9. }(х) = е по cos -ж, cos -ж,..., cos ж,... А А А ,, ч 1 3 2п+ 1 10. j[x) = е по sin -ж, sin -ж,..., sin ж,... А А А Ответы. 2 J^ 1 - (тг+ 1 \(-Л\п 1. ж +1 = - тг ^^ п 71=1 4 ^л 2(-1)п + 2п + 1 2п + 1 2. ж + 1 = — у. —~г т^ sm х- п=0 ^ * 2 п=1 4 Ч°°Л 1 — (—1)п 4. ж(тг — ж) = — У^ sinnx. v J тг ^ п3 71=1 5. ж2 = — /( — 1)п 7 гб cos- ТГ *-^ \АП + II3 п=0
3.5. Ряд Фурье f(x) на @,1) по тригонометрической системе 113 о 16 >^л тгBп+1)(-1)п -2 2п+1 6. ж = — > — —з sin —-—х. ТГ [ЛТЬ ~т~ -L J .Z ^ ж е77 - 1 2 ^л (-1)пе7Г - 1 7. е = 1— > ^ cosnx. тг тг ^—' п2 + 1 п=1 2 ^, , ч ч п 8. е = — > A — (—1) е )—^ sinnx. тг ^—' п2 + 1 п=1 4 v^ (-l)ne7rBn + l) - 2 2п + 1 9. е = — > —г—^ cos ж. тг 2l^' 4n2 + 4п + 5 2 п=0 4 х°°л 2(—1)пе7Г + 2п + 1 2п + 1 10. еж = — у sin х. тг ^-^ Anz + 4n + 5 2 п=0 3.5. Ряд Фурье функции f{x) на интервале @, /) по тригонометрической системе Постановка задачи. Разложить функцию у = f(x) в ряд Фурье на интервале @,/) по одной из систем: тг тг тг 1, cos уж, cos 2-х,..., cos n—x,...; тг тг тг sin у ж, sm2yx,..., sinn-ж,...; тг тг 2п + 1 тг cos —х, cos 3—х,..., cos —-— -х,...; тг тг 2п + 1 тг sin —х, sin 3—ж,..., sin —-— - ж,... План решения. Каждая из систем: тг тг тг 1, cos —ж, cos 2—ж,..., cos n—ж,...; Li i тг тг тг sin у ж, sm2yx,..., sinn-ж,...; тг тг 2п + 1 тг cos —х, cos 3—х,..., cos —-— у ж,...; . тг . тг . 2п + 1 тг sin —х, sin 3—ж,..., sin —-— у ж,... — образует ортогональный базис в пространстве функций, заданных 8 В.И. Афанасьев и др.
114 Гл.З. Ряды Фурье в интервале @,/), со скалярным произведением (щ v) = / и(х) v(x) dx. о Функция / принадлежит этому пространству тогда и только то- тогда, когда 7Г (/,/) = I f(xJdx<oo. A) О При этом искомое разложение функции у = f(x) в ряд Фурье на интервале @, тг) по системе 1, cos —ж, cos 2—ж,..., cos п—ж,... имеет it L вид оо f(x) = а0 + ^ ап cos п-гх, B) n=i l где коэффициенты ао,«1,... определяются формулами Эйлера- Фурье: ff{x)dx i 0 _1 I *(T\dT (o\ Vх)ax yd) (M) .... о среднее значение / на интервале (О,/), f /,cosn— //(х) cosn— *n - ( ТГ 7Г \ " i I cosn—ж, cosn—ж I cos2 n—xdx 2 Г тг = — I f(x) cos n—ж с/ж, n = 1, 2,... C') ^ J I Искомое разложение функции у = f(x) в ряд Фурье на интервале (О, I) по системе sin —ж, sin 2—ж,..., sin п—ж,... имеет вид ii i Яж) = Х^Ьп sin пуж' *^4) п=1
3.5. Ряд Фурье f(x) на @,1) по тригонометрической системе 115 где коэффициенты Ь1? 62, • • • определяются формулами Эйлера-Фурье: (/,sinn-a;) ff(x)smnjxdx У ' У /sm n-xdx i = — I f(x)smn—xdx, n = l,2,... E) о Искомое разложение функции у = /(ж) в ряд Фурье на интервале (О, I) по системе cos —ж, cos 3—ж,..., cos -ж,... имеет вид Xr an cos п=0 где коэффициенты ао, «i, • • • определяются формулами Эйлера-Фурье: 2п + 1 тг 2п + 1 тг \ / f(x) cos l;'cos / f(x) J 2n+ 1 тг -.„ , ^ .. t Л о , 1 о 2П + 1 7Г 7 cos —xdx Zi i = j f(x)cos—-—-xdx, n = 0,l,... G) о Искомое разложение функции у = /(ж) в ряд Фурье на интервале . ч 7Г 7Г 2п + 1 7Г (О, тг) по системе sin —ж, sm 3—ж,..., sin -ж,... имеет вид (x) = V &n sin —-— -ж, (8) n=o l L
116 Гл.З. Ряды Фурье где коэффициенты 6q, fri, • • • определяются формулами Эйлера-Фурье: / 2n + ln\ [ 2 / -xdx / 2n + 1 7Г . 2П + 1 7Г sin - -ж, sin - -x 2 1 2 1 Г . 2 2n + 1 7Г 7 / sm —xdx J 2 ? о = j f{x)sm—-—-xdx, n = 0,1,... (9) о 1. Проверяем, что О 2. Вычисляем коэффициенты искомого ряда по формулам Эйлера- Фурье (З)-(З'), E), G) или (9). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов соответст- соответственно в B), D), F) или (8) и записываем ответ. Пример 1. Разложить функцию у = х + 1 в ряд Фурье на интер- интервале @,1) по системе 1, cos тгж, cos 2тгж,..., cos шгж,... Решение. Искомое разложение функции у = х + 1 в ряд Фурье на интервале @,1) по системе 1, cos тгж, cos 2тгж,..., cos шгж,... имеет вид B). 1. Проверяем, что г / f(xJ dx < оо. о Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на @,1). 2. Вычисляем коэффициенты ao,c&i,... по формулам Эйлера- Фурье C)-C;). Имеем 1 1 Г 3 ао = у (x + l)dx= -, о 2 cosnTr- 1 _ 2 (-1)п - 1 2 Г 2 ап = - I (x -\-l) cos птгж dx = — 1 J 7TZ 7Г2 П2
3.5. Ряд Фурье f(x) на @,1) по тригонометрической системе 117 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ao,ai,... в B). Получаем л 3 2 ^л (-1Г-1 ж + 1 = - + — > cos птгх. 2 тг2 *-^ п1 1 Ответ, х + 1 = —| V^ cos птгх, х G @, /). 2 тг2 ^-^ п2 п=1 Пример 2. Разложить функцию у = х + 1 в ряд Фурье на интер- интервале @,1) по системе cos(ttx/2), cosCttx/2), ..., cos(n + 1/2)тгж,... Решение. Искомое разложение функции у = х + 1 в ряд Фурье , ч 7Г 7Г 2П + 1 на интервале @,1) по системе cos —ж, cos 3—ж,..., cos тгж,... имеет вид F). 1. Проверяем, что 1 f(xJ dx < оо. о Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на @,1). 2. Вычисляем коэффициенты ao,ai,... по формулам Эйлера- Фурье G). Имеем 2 Л Л 2п + 1 ап = — (х + 1) cos —-—тгж аж = 1 j 2 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ao,cii,... в F). Получаем 8 ^ (-1)п(п + 1)тг-1 2п + 1 X + 1 = — У '—± —^ COS 7ГЖ. тг2 ^-^ (п+ IJ 2 n=0 v y 8 ^ (-1)п(п + 1)тг-1 2п+1 , . Ответ. ж + 1 = ^^> ^ —^ cos—-—тгж, же 0,1. 7Г2 ^^ (П + IJ 2 п=0 ч у
118 Гл.З. Ряды Фурье Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию у = f(x) в ряд Фурье на интервале @,/) по указанной системе. 1. f(x) = х + 1 на @,1) по sin тгж, sin 2тгж,..., sin шгж,... 2. f{x) = ж + 1 на (О,1) по sin —ж, sin 3—ж,..., sin ж,... 3. f(x) = хA — х) на @,1) по cos тгж, cos 2тгж,..., cos птгх,... 4. /(ж) = х{1 — х) на @,1) по sinтгж, sin 2тгж,..., sin шгж,... 5. f(x) = жA - х) на @,1) по cos —ж, cos 3—ж,..., cos —-— —ж,... Z Z Z Z „/ч ч/ч 7Г 7Г 2п + 1 7Г 6. f[x) = жA — ж) на @,1) по sin —ж, sm3—ж,..., sin ж,... Z Z Z Z 7. f(x) = ех на @, тг/2) по 1, cos 2ж, cos 4ж,..., cos 2пж,... 8. f[x) = еж на @, тг/2) по sin 2ж, sin 4ж,..., sin 2пж,... 9. f[x) = ех на @, тг/2) по 1, cos ж, cos Зж,..., cos Bп + 1)ж,... 10. f(x) = ех на @, тг/2) по sin ж, sin Зж,..., sin Bn + 1)ж,... Ответы. 2 °° 1 — 2(—1)п 1. ж + 1 = -> —sinnnx, xe @,1). 7Г ^^ П п=1 8 Д 1 2 1 + (—l)n 3. жA — x) = 2_\ 2— соэптгж, x G @,1). n=l 4. жA - x) = — У^ sinmnr, ж G @,1). n=l Х) = ^ ^о UBn+1)» (^TI (од). 4 (-1)" 1 . 2п \ @,1). °° ("/21) + УV2 7. еж = -(е"/2-) 7Г 7Г п=1
3.6. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме 119 + DBiii ге( / 1 4 п=0 о °° 7г/2/_1\п I o^ii «* = ? ^ si n=0 3.6. Тригонометрический ряд Фурье функции f{x) на интервале (—/,/) в комплексной форме Постановка задачи. Разложить функцию у = /(ж) в триго- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—1,1) в комплексной форме. План решения. Тригонометрическим рядом Фурье на интер- интервале (—1,1) в комплексной форме называется ряд + ОО Функции егп7ТХ/1 (п = О, =Ы, ±2,...) образуют ортогональный ба- базис в пространстве комплексных функций, заданных в интервале (—1,1) со скалярным произведением Функция / принадлежит этому пространству тогда и только то- тогда, когда г (/,/) = J\f(x)\2dx<oo. A) При этом искомое разложение функции у = f(x) в тригонометри- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—/,/) имеет вид + ОО f(x)= У] се"/', B)
120 Гл. 3. Ряды Фурье где коэффициенты cq, ci, c_i, C2, с_2, • • • определяются по формулам Эйлера-Фурье: сп = j f{x)e~in* x/l dx ( inirx/l inirx/l = ^ J f(x)e-™™/1 dx. C) Очевидно, что eg — среднее значение / на интервале (—/,/). Если f(x) принимает вещественные значения, то с_п = с^. 1. Проверяем, что ( \f(x)\2 dx < ос. 2. Вычисляем коэффициенты сп по формулам Эйлера-Фурье C). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов сп в B) и за- записываем ответ. Замечания. 1. Если f(x) ограничена на (—/,/), то условие A) выполняется. Это условие выполняется и для некоторых неограниченных функций. 2. Если f(x) = f(—x) при х G (—/,/), то сп — вещественные числа. 3. Если f{x) = f(—x) при х G (—/,/), то сп — чисто мнимые числа. 4. При вычислении интегралов C) иногда полезны методы, изло- изложенные в разделе 1.17 (с. 60). 5. Если f(x) — многочлен относительно егк7ГХ/1, т.е. к = — п то коэффициенты ряда Фурье f(x) определяются формулами: с& = 7& при к = 0, =Ы,..., ±п и Cfc = 0, 6& = 0 при всех |/с| > п. ПРИМЕР. Разложить функцию у = х + 1 в тригонометрический ряд Фурье на интервале (—2, 2) в комплексной форме.
3.6. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме 121 Решение. 1. Проверяем, что 2 f\f(x)\2 \f()\2dx<oo. -2 Неравенство справедливо, поскольку функция у = х + 1 ограничена на (-2,2). 2. Вычисляем коэффициенты сп по формулам Эйлера—Фурье C). Имеем Со = - [(х + 1) & = 1, сп = ^ 4 У 4 4 У 4 у птг -2 -2 3. Подставляем найденные значения коэффициентов со, ci, c_i,... в B). Получаем rp I 1 1 I X J 1 llllldj/Zi п= — оо (гг^О) 22 7"^ (—1)п Ответ. ж + 1 = Ц > ^ет7ГЖ/2 дгЕ(-2,2). Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию у = /(ж) в тригономет- тригонометрический ряд Фурье на интервале (—1,1) в комплексной форме. 1. /(ж) = 2х - 3 на (-1,1). 2. /(ж) = ж - 1 на (-1/2,1/2). 3. f(x) = х2 на (-1,1). 4. /(ж) = еж на (-1,1). 5. f(x) = \х\ + х на (-2,2). 6. f(x) = 0 при -2 < ж < 0 и f(x) = 1 при 0 < х < 2. 7. /(ж) = 2 при -3 < ж < 0 и /(ж) = х при 0 < ж < 3. 8. /(ж) = -х при -1 < х < 0 и/(ж) =ж + 1 при 0 < х < 1. 9. /(ж) / на (-7г/2,тг/2). 10. f(x) = -lnB| sin3z|) на (-тг/3,тг/3). Ответы. (-1)п • 2. Ж-1 = -1 + — 2тг :е(-1,1). (—1)п
122 Гл. 3. Ряды Фурье v^ (-I)"*™ 2J тг= — оо (гг^О) 4 ex — ^—' 1 — гшг n= —оо + OO Г/_-|\п_-| 1 5. |ж| Ч-я; = 14— У - Ц +г(-1)п ein7r*/2, же (-2,2). 7Г f^ [ ^^ J n 7 +°^ 7 9r}( — T^ -U 'Г'пГ'Г^ I- \ кУе<гигх/2' are (-2,2). + 27Г2П2 +г 27ГП гг= — оо L (гг^О) е(-з,з). + OO , xn(-x) + (ж + 1O7(ж) = 1 + 2^ ( ^2^2" + ^^7 ) [(-1)n ~ l]em7riC, €(-1,1). 9. V3 = V ( 1j_| ,ei2wg, я;е(-7г/2,7г/2). 2 + cosx ^B + ^L К I > I ) 1 1 10. -InB|sin3z|) = - ^ —ei6nx, x G (-тг/3,тг/3). тг= — оо ' ' (гг^О) 3.7. Ряд Фурье функции f{x) на интервале (а, 6) по заданной ортогональной системе Постановка задачи. Разложить функцию у = f(x) в ряд Фурье на интервале (а, Ъ) по ортогональной системе функций () () ()
3.7. Ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) по ортогональной системе 123 План решения. Система функций (ро(х), (fi(x), (^(ж),... обра- образует ортогональный базис в пространстве функций, заданных в ин- интервале (а, 6), со скалярным произведением о (щу) = / u(x)v(x) dx. Функция / принадлежит этому пространству тогда и только то- тогда, когда о При этом искомое разложение функции у = f(x) в ряд Фурье на интервале (а, Ъ) по системе (fo(x), (fi(x), ^2(ж),... имеет вид оо f{x) = ^2an(pn, A) п=0 где коэффициенты ao,ai,a2>--- определяются по формулам Эйлера- Фурье: , , \ f(x)(pn(x)dx п _ п — / л Г ( Ja 1. Проверяем, что < оо. 2. Вычисляем коэффициенты искомого ряда по формулам Эйлера- Фурье B). 3. Подставляем найденные значения коэффициентов в A) и запи- записываем ответ. Пример 1. Разложить функцию у = arccos x + 1 в ряд Фурье на интервале (—1,1) по системе многочленов Чебышева. Решение. Многочлены Чебышева определяются формулой Тп{х) = cos(n arccos ж), п = 0,1,2,... C)
124 Гл. 3. Ряды Фурье Они образуют ортогональный базис в пространстве функций, задан- заданных в интервале (—1,1), со скалярным произведением 1 i,v) = J u(x)v{x)—= = dx. X1 Искомое разложение функции у = arccosx + 1 в ряд Фурье на интервале (—1,1) по системе То (ж), Тх(ж), Т^ж),... имеет вид duccosx+ 1 = ^2апТп(х), жЕ (-1,1), D) п=0 где коэффициенты ao,ai,a2?--- определяются по формулам Эйлера- Фурье Г1 1 / (arccosx + 1) Тп(х) , 7_VУ V JVT ¦dx пп = (ВД.ВД) = /-1 T {xJ ~^~ J-l \/l — X2 1. Проверяем, что i / (arccosx + IJ dx < oo. -l Неравенство справедливо, поскольку функция у = arccos x + 1 огра- ограничена на (—1,1). 2. Вычисляем коэффициенты ао, &i, &25 • • • по формулам Эйлера- Фурье E). Интегралы 1 / (arccosж + 1)Тп(х) J VI- -1 вычисляем, делая замену переменной х = cos #, затем используем фор-
3.7. Ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) по ортогональной системе 125 мулу C) и интегрируем по частям. Получаем 1 тг Г 1 Г ТГ2 / (arccosx + 1)Гр(ж) — dx = / (# + 1) d<d = —- + тг, У V1 — х2 J 2 -1 О /' arccosx тг 1 7 Л . ах = I ( 77/ -1 Вычисляем интегралы 1 При n = 0 При n = 1, 2,... 7Г ^=dx= [ \ — x1 J cos2 : dx = тг. — яг -1 — ж- = da; = —. 2 2 -1 Подставляя вычисленные интегралы в E), получаем 2 (-!)"-! ап = , тг п2 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, &i, &25 • • • в D). Получаем arccos х + 1 = Ответ. ^ \- - \^ — Тп(х), х е (-1,1). 2 тг *-^ пА п=1
126 Гл. 3. Ряды Фурье Пример 2. Разложить функцию у = х3 в ряд Фурье на интервале (—1,1) по системе многочленов Лежандра. Решение. Многочлены Лежандра определяются формулой 1 dn Они образуют ортогональный базис в пространстве функций, задан- заданных в интервале (—1,1), со скалярным произведением 1 1, v) = / u(x)v(x) dx. Искомое разложение функции у = х3 в ряд Фурье на интервале (—1,1) по системе Ро{х), Р\{х), Р2{х), • • • имеет вид 7 Р (т) т G (^ Л\ G) где коэффициенты ao,ai,a2?--- определяются по формулам Эйлера- Фурье: f1 / x3Pn( _(х) dx _ [х°,Рп(х)) _ У-1 yrnyjL),rnyX)) I I гпУх) ах J-l 1. Проверяем, что г I x6 dx < oo. -l Неравенство справедливо, поскольку функция у = х3 ограничена на (-1,1). 2. Вычисляем коэффициенты ao,ai,a2?--- п0 формулам Эйлера- Фурье (8). Вычисляем интегралы 1 x3Pn(x)dx, (9)
3.7. Ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) по ортогональной системе 127 пользуясь формулой F) и интегрируя по частям. Получаем 1 1 / х3Р0(х) dx = x3dx = О, -1 -1 1 1 [x3P1(x)dx=- fx3^(x2-l)dx = -- [x2(x2-l)dx=-, J 2 J dx 2 J 5 -l -l -l li l -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 Интегралы (9) при п > 3 равны нулю. Интегралы i I Pn{xJdx -l тоже можно вычислить, пользуясь формулой F) и интегрируя по час- частям. Так было установлено, что A0) -1 Подставляя вычисленные интегралы в (8), получаем 3 2 ао = О, ах = -, а2 = 0, а3 = -, а4 = 0, а5 = 0,... 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ао, &i, &25 • • • в G). Получаем 1 1 Делаем проверку, пользуясь тем, что по формуле F) Pi(x) = x и Р3(х) = Бх3/2-Зх/2. 3 2 Ответ, х3 = -Pi(x) + -P3(», же (-1,1). о о
128 Гл. 3. Ряды Фурье Пример 3. Разложить функцию у = a + /3cos$ + 7cos2 ^ в РЯД Фу~ рье на интервале (О,тг) по системе Po(cos$), P\(cos$), P2(cos$),..., где Рп — многочлены Лежандра. РЕШЕНИЕ. Функции Pq(cos$), Pi (cos $), Р2 (cos $),... образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале (О,тг), со скалярным произведением тг (u,v) = / 1 Искомое разложение функции у = а + /3 cos $ + 7 cos2 ^ в РЯД Фурье на интервале @, тт) по системе Po(cos^), P\ (cos ^), P2(cos^),... имеет вид = ^anPn(cos^), 0 < д < тг, A1) п=0 где коэффициенты ao,ai,a2?--- определяются по формулам Эйлера- Фурье: (а + /3 cos ?9 + 7 cos2 7?, Pn (cos #)) / (a + /3 cos 7? + 7 cos2 7?) Pn (cos 7?) sin 7? dti = ~ j* • A2) / Pn(costfJsintfdtf Jo 1. Проверяем, что 7Г / (a + /3 cos 7? + 7 cos2 $J sin # cZi? < со. 0 Неравенство справедливо, поскольку функция у = a + /3cos$ + 7cos2 ^ ограничена на @, тг). 2. Вычисляем коэффициенты ao, &i, &25 • • • по формулам Эйлера- Фурье A2). Интегралы / a + /3cos^ + 7Cos2^Pn(cos^)sin^^ A3)
3.7. Ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) по ортогональной системе 129 вычисляем, делая замену переменной cos д = ж, затем используем фор- формулу F) и интегрируем по частям (см. пример 2). Получаем /(a+/3cos#+7COS2#)P0(cos#)sin#d# = I (a+Cx+^x2) dx = 2а+~7, о -1 -C, = —7. f 2 • f J * J 0 -1 7V 1 Г 2 - f J 2 J Интегралы A3) при п > 2 равны нулю. Интегралы Pn(cos^Jsin^dx= Pn(x n()dx -1 -1 определяются формулой A0). Подставляя вычисленные интегралы в A2), получаем 1 2 а0 = а + -7, ai = Р, ^2 = ~7> аз = 0, а4 = 0, о о 3. Подставляем найденные значения коэффициентов а в A1). Получаем 1 2 a+ -7)^o(cos^) +/?Pi(cos^) + - о о Делаем проверку, пользуясь тем, что по формуле F) Р0(х) = 1, Р1{х)=х и Р2(х) = Зж2/2- 1/2. Ответ, а + C cos # + 7 cos2 ^ = 1 \ 2 P(^)/3P(^) P(^) / \ = U+-7 P0(cos^)+/3Pi(cos^) + \ 6 J 6 9 В.И. Афанасьев и др.
130 Гл. 3. Ряды Фурье Пример 4. Разложить функцию у = е2х в ряд Фурье на интервале (—оо, оо) по системе многочленов Эрмита. РЕШЕНИЕ. Многочлены Эрмита определяются формулой Нп(х) = (-1)пех —е-* , п = 0,1,2,-¦¦ A4) Они образуют ортогональный базис в пространстве функций, задан- заданных в интервале (—оо, оо), со скалярным произведением + ОО (u,v) = I u{x)v(x)e~x dx. Искомое разложение функции у = е в ряд Фурье на интервале (—оо, оо) по системе Hq(x), Hi(x), H2(x),... имеет вид оо е2х = 2^ апНп(х), х Е (—оо, оо), A5) п=0 где коэффициенты ao,ai,a2?--- определяются по формулам Эйлера- Фурье: (е2х Н ( "-(я 2 р2х Я (т\р~х Нт J — оо 1. Проверяем, что + ОО Г е4хе~х2 dx < оо. Сходимость интеграла на бесконечности обеспечивает быстро убы- убывающий множитель е~х . 2. Вычисляем коэффициенты ao,ai,a2?--- п0 формулам Эйлера- Фурье A6).
3.7. Ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) по ортогональной системе 131 Вычисляем интегралы = Г е2хе~х2 dx = у^е, + + Г е2хНо{х)е~х2 dx= Г + ОО +ОО х2 dx= [ e2x{-l)n^—e~x2 dx = J dxn + ОО Интегралы + OO /TT (rr\p~x rlr — хе~х2 dx = вычисляются специальными методами. Подставляя вычисленные интегралы в A6), получаем е а0 = е, ап = —, п = 1,2,... га! 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ao,ai,a2>--- в A5). Получаем ^ 1 е — б / ^ | лп1^- V-L'J Замечание. Равенство A7) — частный случай общей формулы п=0 при z = 1. оо ^ Ответ. е2х = е ^J — Нп(х), х Е (—ос, ос). п=0 ПРИМЕР 5. Разложить функцию г/ = A — х2)х1/ [у > —1) в ряд Фурье на интервале @,1) по системе функций Ju(finx), n = 1,2,..., где Jjy — функция Бесселя и /in — нуль функции Jv. 9*
132 Гл. 3. Ряды Фурье Решение. Функции Бесселя Ju(x) определяются равенством га=0 Функции Jv{z\x), Jjy(z2x), ... образуют ортогональный базис в про- пространстве функций, заданных в интервале @,1), со скалярным про- произведением (щу) = / u(x)v(x) xdx. о Искомое разложение функции у = A — х2)х1/ в ряд Фурье на ин- интервале @,1) по системе функций Jv(z\x), Jv(z2x), ... имеет вид A - x2)xv = ^ anJu(/inx), x e @,1), A8) n=l где коэффициенты ai,a2,... определяются по формулам Эйлера- Фурье: [ ' lv{\inx) xdx о 1. Проверяем, что 1 - x2Jx2u xdx < оо. Неравенство справедливо, поскольку функция у = A — x2)xL/ ограни- ограничена на @,1). 2. Вычисляем коэффициенты ai,a2,... по формулам Эйлера- Фурье A9). Интегралы 2)хи / A — х2)хи Jv(/jLnx) xdx Jo вычисляются с использованием формулы 1/+1 Т ( \ _ й ( V Т Z Jjy{Z) - —{Z Jiy
3.7. Ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) по ортогональной системе 133 и интегрированием по частям. Имеем Jo )xL/ Ju(/inx) xdx ¦ 1 7 Г / z \ 21 = -pT/ l-(-) ^7 П L -I Интегралы / JAiinxJxdx Л вычисляются с использованием формулы /х2 Ju(axJ xdx = — [Ju(axJ — Jv-i{ax)Jujri{ax)] + С. Поэтому / Jv{iin Jo I /у» Г1 Hf* / -* I / / I j Jb UjJU — Uiy—W^fJiYiJ При v = 0 это равенство упрощается: JO xxJ xdx = - Ji(/inJ, поскольку J_fc(z) = (-l)fe Jfc(z) (fc = 0, ±1, ±2,.. .)• Подставляя вычисленные интегралы в A9), получаем , га = 1,2,...
134 Гл. 3. Ряды Фурье 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ai,a2,. в A8). Получаем - * v = -4 Ответ. A-.у = -4?—^^Ц-J,M, же @,1). Пример 6. Разложить функцию у = х в ряд Фурье на интервале @,1) по системе функций Хаара. Решение. Функции Хаара определяются равенствами ho(x) = 1, 1 при 0 < х < 1/2, -1 при 1/2 < х < 1, ип при ап < х < /Зп, -ип при рп < х < 7п, О в остальных случаях, р 7 — <yk/2 — /ofc _ I о — ^ _|_ I /ofe+1 ^, — ^ _|_ I /ofe Тд 1 ДС 1*77. 5 ^77. / 5 г'ТЬ ^П <^ I 5 /77. ^77. ^^ / /с таково, что 2fc $J п < 2fc+1, т.е. к = [log2n], где [д] означает целую часть числа q. Функции ho (ж), /ii(x), /12(^M ... образуют ортогональный базис в пространстве функций, заданных в интервале @,1), со скалярным произведением 1 (щу) = / u(x)v(x)dx. о Искомое разложение функции у = х в ряд Фурье на интервале @,1) по системе функций Hq(ж), hi(x), /^(ж), ... имеет вид п=0
3.7. Ряд Фурье функции f(x) на (а, Ь) по ортогональной системе 135 где коэффициенты ao,ai,a2>--- определяются по формулам Эйлера- Фурье: lxh'{x) ix 1. Проверяем, что г Jo < оо. /о Неравенство справедливо, поскольку функция у = х ограничена на @,1). 2. Вычисляем коэффициенты ao,ai,a2?--- п0 формулам Эйлера- Фурье B1). Вычисляем интегралы Г1 1 / х ho(x) dx = -, Jo 2 / x hn(x) dx = un I x dx — un / x dx = 3fe/2 . Нетрудно проверить, что r*l Г1 / Jo / o Подставляя вычисленные интегралы в B1), получаем 12 3. Подставляем найденные значения коэффициентов ag, ai, a2, • • • в B0). Получаем n=l 1 1 ^ 1 итвет- 9 Д / ^ o3[log2n]/2 'ln\'L)i X ^ VU5 J-y- n=l Условия ЗАДАЧ. Разложить функцию у = f(x) в ряд Фурье на интервале (а, Ь) по системе (рп{х) (п = 0,1,...) 1. f[x) = arccos2 х на (—1,1), (рп(х) = Тп(ж) — многочлены Чебы- шева.
136 Гл. 3. Ряды Фурье 2. f(x) = ж2 + 1 на (—1,1), (рп(х) = Тп(х) —многочлены Чебышева. 3. f(x) = |ж| на (—1,1), (рп{х) = Рп(х) — многочлены Лежандра. 4. f(x) = 2 + 3cosx + cos2 ж на @, тг), ipn{x) = Pn(cosx), Рп — многочлены Лежандра. 5. f(x) = 1 + cos ж - cos2x + 2cos3x на (О,тг), (рп(х) = Pn(cosx), Рп — многочлены Лежандра. 6. f[x) = dix на (—ос, ос), <рп(х) = Нп(х) — многочлены Эрмита. 7. f[x) = sin ж на (—ос, ос), <рп(х) = Нп(х) — многочлены Эрмита. 8. f(x) = 1 - х2 на @,1), (рп(х) = J0(finx) (п = 1, 2,...), Jo — функция Бесселя, Jo(//n) = 0. 9. /(ж) = яA - х2) на @,1), <рп(х) = Ji(finx) {n = 1,2,...), J\ — функция Бесселя, Ji(/in) = 0. 10. f(x) = 1 — 2х на @,1), <?>п(ж) = hn(x) — функции Хаара. Ответы. ^2 °° (-1)п 1. arccos2x = у+4 2^^-^Тп(ж), же (-1,1). п=1 2. М = 5 7 2 4. 2 + 3cosx + cos2 ж = -P0(cosx) + 3Pi(cosx) + - P2(cosx), x e (о,тг). 4 1 5. 1 + cos x — cos 2ж + 2 cos 3x = - Po (cos ж) Pi (cos x) — о 5 4 16 — - P2(cosx) + — P3(cosx), x e (О,тг). о О 6. chx = e1/4^-—-^H2k{x), x e (-00,00). 00 1 f—l)k 7. sinx = e~1/4^ -^^ffafe+i^), arE (-00,00). Sm 1_x2=4y^№^jQ^5 xG @,1). 9/-1 9\ л \ Л ^2>\Ц"п) т / \ • 'Ьу*- ~ •ь ) — ~^ / j о w \ T / Г и1\И"П'ь)•> n=l
Глава 4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ При изучении темы ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ вы научитесь находить синус-преобразование Фурье, косинус-преобразование Фурье и комплексное преобразование Фурье различных функций и восстанавливать функции по их преобразованиям Фурье. Эта тема тесно связана с операционным исчислением, поскольку оно основано на преобразовании Лапласа. В современной математической лите- литературе связь преобразований Фурье и Лапласа детально исследована и они рассматриваются как частные случаи преобразования Фурье- Лапласа. С помощью пакета РЕШЕБНИК ВМ вы сможете вычислять ин- интегралы, находить разложения рациональных функций на элементар- элементарные дроби, вычислять производные и выполнять все другие действия, необходимые при изучении темы. Когда вы в ней освоитесь, вы смо- сможете вычислять преобразования Фурье и восстанавливать функции по их преобразованиям Фурье простым нажатием кнопок на клавиа- клавиатуре компьютера, используя возможности модуля STEM Plus, входя- входящего в пакет РЕШЕБНИК.ВМ. 4.1. Синус-преобразование Фурье Постановка задачи. Найти синус-преобразование Фурье функ- функции /(ж), заданной в интервале @, оо). План решения. Если функция f(x) задана в интервале @, оо) и оо / \f(x)\dx < оо или / \f(x)\2dx < оо, A) о о то ее синус-преобразованием Фурье называется функция — оо /2 Г — \i I f(x)sm(px)dx, ре (—оо,оо). B) V тг J о
138 Гл. 4. Преобразование Фурье 1. Проверяем, что выполняется условие A). 2. Вычисляем интеграл в правой части B) и записываем ответ. Пример. Найти синус-преобразование Фурье функции /(ж), за- заданной в интервале @, оо): 0, 0<ж<1, 1, 1<ж<2, _ 0, 2 < х. Решение. 1. Условие A) выполняется, поскольку ОО Z / \f(x)\dx = / dx = 1 < оо. О 1 2. Вычисляем интеграл в правой части B): 2 cos р — cos 2р /f(x) sin(px) dx = / sin(px) dx = J V о l I1! cosp-cos2p Ответ. F(p) = \ . V 7Г p Условия ЗАДАЧ. Найти синус-преобразование Фурье функции ж), заданной в интервале @, оо). 1. f[x) = 1 при 0 < х < 1 и f(x) = 0 при х > 1. 2. /(ж) = ж при 0 < ж < 1 и /(ж) = 0 при х > 1. 3. /(ж) = е~ж. 4. f(x)=xe~x. 5. /(ж) = е~ж cos ж. 6. f(x) = xe~xcosx. 10. f{x) = 0 при х < 1 и f(x) = —^=^= при х > 1. V ж2 - 1 Ответы. ~rn*rl. 2. 4.
4.2. Косинус-преобразование Фурье 139 5. F(p) = 7. (p) 8. ^(Р) = ^У| [sign(p + 1) e-^+1' + sign(p - 1 9- F{p) = ^дРе-р2/4- Ю- F{p) = У|Jo(p). 4.2. Косинус-преобразование Фурье Постановка задачи. Найти косинус-преобразование Фурье функции /(ж), заданной в интервале @, оо). План решения. Если функция f(x) задана в интервале @, оо) и / \f(x)\dx < оо или / \f(x)\2 dx < оо, A) о о то ее косинус-преобразованием Фурье называется функция [2 7 f(p) = \ - f(x) cos(px) dx, р е (-оо, оо). B) V 7Г J О 1. Проверяем, что выполняется условие A). 2. Вычисляем интеграл в правой части B) и записываем ответ. Пример. Найти косинус-преобразование Фурье функции /(ж), за- заданной в интервале @, оо): О, 0<ж<1, J\X) — 1, 1 <^ X <^ Z, О, 2 < х.
140 Гл. 4. Преобразование Фурье Решение. 1. Условие A) выполняется, поскольку X = 1 < ОО. О 1 2. Вычисляем интеграл в правой части B): оо 2 / f(x) cos(px) dx = / cos(px) dx = — /2sin2p- sinp Ответ. F(p) = \ . V 7Г p Условия ЗАДАЧ. Найти косинус-преобразование Фурье функции ж), заданной в интервале @, ос). 1. f[x) = 1 при 0 < х < 1 и f(x) = 0 при х > 1. 2. /(ж) = ж при 0 < ж < 1 и /(ж) = 0 при х > 1. 3. /(ж) = е~ж. 4. f(x)=xe~x. 5. /(ж) = е~ж cos ж. 6. f(x) = xe~xcosx. 10. /(a;) = bV J . Ответы. Л^1 2. 5. 6. 7.
4.3. Комплексное преобразование Фурье 141 4.3. Комплексное преобразование Фурье Постановка задачи. Найти комплексное преобразование Фу- Фурье функции f(x). План решения. Если функция f(x) задана в интервале (—оо, оо) и / \f(x)\dx <оо или / \f(x)\2dx < оо, A) — оо —оо то ее комплексным преобразованием Фурье называется функция + ОО (x)e^xdx, ре (-оо,оо). B) 1. Проверяем, что выполняется условие A). 2. Вычисляем интеграл в правой части B) и записываем ответ. Пример. Найти комплексное преобразование Фурье функции О, -оо < х < 1, 1 1 ^ rp ^ О О, 2<х. /(*) = Решение. 1. Условие A) выполняется, поскольку + оо 2 / \f(x)\dx= / dx = К оо. 2. Вычисляем интеграл в правой части B): + оо [ f{x)eipxdx= f eipxdx = -оо 1 Ответ. F(p) = e**F - e _ pip 2тг
142 Гл. 4. Преобразование Фурье Условия ЗАДАЧ. Найти комплексное преобразование Фурье функции f(x). 1. f(x) = 1 при 0 < х < 1 и f{x) = 0 при х > 1 и х < 0. 2. /(ж) = ж при 0 < х < 1 и /(ж) = 0 при х > 1 и ж < 0. 3. /(ж) = e~xrj(x) *) . 4. /(ж) = xe~xrj(x). 5. /(ж) = e~xrj(x) cosx. 6. /(а;) = е-*ф) sin*. 7. /(*) = f±±. 8. /(*) = |^. 9. /(ж) = е~ж . 10. f(x) = arctg(x + 1) — arctgx. Ответы. р2 5. 4. F(p) = 1 1 O.FW- ' Г ' 7. 8. 9. F(») = ^=е-Р-'\ 10. Ш-Jt— e "e ' -IpI 4.4. Комплексное преобразование Фурье 77/ функции вида ? akxmkfk(bkx + ck) k=l Постановка задачи. Найти комплексное преобразование Фу- Фурье функции вида используя известные преобразования Фурье функций fk(x). *) Единичная функция Хэвисайда rj(x) = 1 при жHи v(x) = 0 пРи ж < 0.
4.4. Комплексное преобразование функции J^ аихтк fu{hux + си) 143 fc-i План решения. Комплексное преобразование Фурье имеет сле- следующие свойства: если f(x) \-> F(p), g(x) \-> G(p) и а,Ъ,с =const, то 1. f(x)±g(x)^F(p)±G(p); 2. af(x) .—> aF(p); 3. f{bx)^ 4. f{x + c) 5. eicxf(x)>- 7- + OO 8. f*g(x)= J f(y)g(x -y)dy^ F(p) ¦ G(p); 9. + OO 10. f f(x)g(x)*dx= j F(p)G{p)* dp; 11. f(x)* —> П-РГ- Используя свойства п \ Л а,хтк к=1 fk{bkx + 1-4 си) и 6, получаем п 1 dr к=1 в ъ к Пример 1. Найти комплексное преобразование Фурье функции используя формулу е~ W
144 Гл. 4. Преобразование Фурье Решение. Представив функцию f(x) в виде f(x) = е~(Ьх^ , ис- используем свойство 3. Получаем Ответ. Пример 2. Найти комплексное преобразование Фурье функции используя формулу х2 + 1 V 2 " Решение. Представив функцию f(x) в виде 1 используем свойство 6 при п = 1. Получаем ж 1 d [тг _ы 1 /тГ . ж2 + 1 i dp У 2 г V 2 Ответ. F(p) = i * — sign(p) e~'p'. V 2 Пример 3. Найти комплексное преобразование Фурье функции 'У' — Т2 I oT I о' используя формулу ж2 + 1 V 2 ¦ Решение. Представив функцию f(x) в виде используем свойство 4 при с = 1. Получаем 1 ж2 + 2х + 2 V 2 Ответ.
4.4. Комплексное преобразование функции J^ akXmk fk(bkX + Ck) 145 fc-i Пример 4. Найти комплексное преобразование Фурье функции ,, ч sin ж используя формулу х2 + 1 V 2 Решение. По формуле Эйлера Л(е 2г Представив функцию f(x) в виде Jyj 2i x2 + l 2г используем свойство 5. Получаем sin ж _ 1 ix I I _ix I ж2 + 1 ~ 2г в х2 + 1 2г в ж2 + 1 ' 2г V 2 2г V 2 Ответ. Ш = ^,/т fe-l^l-e-l"-1!' Условия ЗАДАЧ. Найти комплексное преобразование Фурье функции /(ж), используя формулу — х1 + 1 - 2ж - д^ ^ж\ _ 2х+\ ^ т2 - 4 Ю. f(x) = — — - 8ж + 5)' 10 В.И. Афанасьев и др.
146 Гл. 4. Преобразование Фурье Ответы. 3. F{p) = i y|sign(p) e-2H. 4. F(p) = ^ ^|sign(p) e к /тел - — aI W ~ 2i V 2 7. F(p) = i y|pe-W. 8. 10. F(p) = -xf^ 6 у 2 4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Фурье Постановка задачи. Найти функцию /(ж), преобразование Фу- Фурье (синус-, косинус-, комплексное) которой есть F(p). План решения. Если F(p) — синус-преобразование Фурье функции f(x) и выпол- выполняется условие оо j \F{p)\2 dp < оо, A) ТО .— оо /(*) = у \ f F(p)smpxdp (x > 0). B) о Если F(p) — косинус-преобразование Фурье функции f(x) и вы- выполняется условие A), то /— °° /2 Г f(x) = \ - F(p)cospxdp (х > 0). C) V 7Г J
4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Фурье 147 Если F(p) — комплексное преобразование Фурье функции f{x) и выполняется условие + О / D) ТО If f(x) = —= F(p)e грх dp (-оо < х < оо). E) V 2тг У о 1. Проверяем, что выполняется условие A) или D). 2. Вычисляем интеграл в правой части B), C) или E) и записы- записываем ответ. Замечания. 1. Используя свойства преобразования Фурье, можно упростить вычисление интегралов B), C) и E) или даже свести их к табличным. 2. Если интегралы B), C) и E) вычислить не удается, то можно использовать таблицу преобразований Фурье и их свойства. Пример 1. Найти функцию /(ж), синус-преобразование Фурье которой есть , 0 <р< 1, _ 0, 1<р< оо. Решение. 1. Проверяем, что выполняется условие A): 1 \F(p)\2dp= I dp = К ос. о о 2. Вычисляя интеграл в правой части B), получаем: 1 ОО I / / /2 f /2 f /2 f(x) = \ — I F(p)smpxdp = \ — I sinpxdp= \ — \ 7Г J \ 7Г J V7T 2 1 - COS X X /2 1 - cos х Ответ. f(x) = \ . V 7Г X Пример 2. Найти функцию /(ж), косинус-преобразование Фурье которой есть " 1, 0 <р < 1, О, 1 < р < оо. 10*
148 Гл. 4. Преобразование Фурье Решение. 1. Проверяем, что выполняется условие A): оо 1 2 \F(p)\2dp = / dp = I < оо. j о 2. Вычисляя интеграл в правой части C), получаем: = \ — / г (р) cospxap = \ — /cos рх ар =\ V 7Г J ?У 7Т J \j TT / (р) pp \ / р р \ 7Г J У 7Т J \j TT X О О [2 sin х Ответ. f(x) = \ V 7Г 7Г X Пример 3. Найти функцию /(ж), комплексное преобразование Фурье которой есть О, К р < оо. Решение. 1. Проверяем, что выполняется условие D): + ОО 1 \F(p)\2dp= / dp = I < оо. — оо О 2. Вычисляя интеграл в правой части E), получаем: + ОО 1 - _^L Г Т?( -ipx А - Jl_ [ -ipx А - Jl_ г ~ е~1Х Т \ X) — . / -t \Т)) С CLT) — . / 6 CLT) — . /Г) / /Охтт- / /Охтт- 7Т» V ^7Г J V ^^ «/ V ^7Г *"^ -оо О 1 1 - e~ix Ответ. f(x) = Пример 4. Найти функцию /(ж), комплексное преобразование Фурье которой есть
4.5. Восстановление функции по ее преобразованию Фурье 149 Решение. 1. Проверяем, что выполняется условие D): + ОО +ОО ОО [\F(p)fdp= r J J 4 О 1 Здесь первый интеграл сходится, так как подынтегральная функция ограничена (limp^oP2 ln[(p2 + 1)/р2] = 0). Второй интеграл сходится, так как р2 V Р2) Р2' 2. По формуле E) имеем + ОО +ОО j (х) = —. / к* (p)e dp —— —, / (—ър) 1п —в dp. л/2тг J л/2тг J P — оо —оо Чтобы упростить вычисления, заметим, что можно сначала опус- опустить множитель гр, найти + ОО fl(X) =-*= J Ы^е-^* dp F) — оо и затем получить f(x) по формуле Интеграл в F) вычисляется интегрированием по частям с после- последующим применением теоремы Коши о вычетах. Получаем - е-\х\ По формуле G) получаем f(x) = л/2тг '" ' "; sign(z). Ответ. f(x) = Vto- U ' Г -sign(ar).
150 Гл. 4. Преобразование Фурье Условия ЗАДАЧ. Найти функцию /(ж), преобразование Фурье которой есть F(p). В задачах 1-3 F(p) — синус-преобразование Фурье. В задачах 4-6 F(p) — косинус-преобразование Фурье. В задачах 7-10 F(p) — комплексное преобразование Фурье. 1. F(p) = р при \р\ < 1 и F(p) = 0 при \р\ > 1. 2. F(p) = ре~\р\. 3. 4. F(p) = р при |р| < 1 и 6. 7. 8. = р при 0 < р < 1 и 1 + 2p + 2 (р - 1)е-^- = 0 при |р| > 1. 5. F(p) = = 0 при р<0ир>1. 9. F(p) = -iparctgp2. Ответы. 1. Пх) = Л*аХ-?СОвХ. 2. 2х „, ч /2 2xcosx 2 ' и • j \ju j — 9. f(x) = 2 1 7Г Ж2 + 4. 6- 2 7Г (ж2 + IJ 2 ж sin ж — 1 + cos х 7Г X2 2 cos ж 7Г Я2 + Г 1 A + ix)e~ix - 1 ж cos(x/\/2 + тг/4) - sin(x/\/2) - 3)
Глава 5 УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ При изучении темы УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИ- ФИЗИКИ вы научитесь решать основные задачи для уравнений элек- электростатики, электродинамики, теплопроводности и механики сплош- сплошных сред. Эти уравнения называются уравнениями Лапласа, Пуас- Пуассона, волновым уравнением, или уравнением колебаний, и уравнением теплопроводности. Все эти уравнения являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Вы научитесь находить общие решения и других дифференциальных уравнений в частных произ- производных, пока не нашедших практических применений. Отбор задач для этой главы и выбор методов их решения осу- осуществлен таким образом, чтобы любая типовая задача для уравне- уравнений математической физике либо легко сводилась к вошедшим в дан- данную главу, либо могла быть решена одним из представленных мето- методов. Исключение составляют задачи Коши для волнового уравнения и уравнения теплопроводности на плоскости и в пространстве. Их це- целесообразно решать с помощью интегральных преобразований Фурье или Лапласа. При решении задач, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных, обычно приходится делать сложные замены переменных, вычислять интегралы, находить суммы рядов и стро- строить графики этих сумм. Эти действия отвлекают внимание от сути изучаемого метода и тем самым сильно затрудняют его понимание. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ поможет вам легко и быстро выполнить все необходимые действия и сосредоточить внимание на главном, таким образом существенно облегчив изучение методов решения задач. Ко- Когда вы изучите уравнения математической физики, пакет РЕШЕБ- РЕШЕБНИК.ВМ даст вам возможность решать их простым нажатием не- нескольких кнопок на клавиатуре компьютера, используя возможности модуля STEM Plus, входящего в пакет РЕШЕБНИК.ВМ.
152 Гл. 5. Уравнения математической физики 5.1. Тип и канонический вид уравнения Постановка задачи. Определить тип уравнения ац(х,у)ихх + 2а12(х,у)иху + а22(х,у)иуу + + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(ж, у)и = /(ж, г/) A) и привести его к каноническому виду. План решения. Тип уравнения A) определяется знаком выраже- ния а12 — аца22: если а\2 — аца22 > 0 в некоторой точке, то уравнение A) называ- называется уравнением гиперболического типа в этой точке; если а\2 — а>ца>22 < 0 в некоторой точке, то уравнение A) называ- называется уравнением эллиптического типа в этой точке; если а\2 — а>ца>22 = 0 в некоторой точке, то уравнение A) называ- называется уравнением параболического типа в этой точке. Замечание. Уравнение A) может менять свой тип при переходе из одной точки в другую. Например, уравнение уихх + иуу = 0 явля- является уравнением эллиптического типа в точках (ж, г/), у > 0, пара- параболического типа в точках (ж, 0) и гиперболического типа в точках (ж, у), у < 0. Действительно, а\2 — «и^22 = У и а\2 ~ аиа22 > 0 при у > 0, а\2 — аца22 = 0 при у = 0 и а\2 — аца22 < 0 при у < 0. Чтобы привести уравнение A) к каноническому виду, нужно сде- сделать в нем замену переменных: х,У*—> ? = h1(x,y), rj = h2(x,y), B) где • в случае уравнения гиперболического типа hi(x,y) и h2(x,y) — независимые общие интегралы уравнения характеристик a11(x,y)(dyJ - 2а12(х,у) dydx + a22(x,y)(dxJ = 0; C) • в случае уравнения параболического типа h\(x,y) — общий ин- интеграл уравнения характеристик C) и h2(x,y) — произвольная дважды дифференцируемая функция, не выражающаяся через hi(x,y); • в случае уравнения эллиптического типа h\{x,y) и h2(x,y) — вещественная и мнимая части любого из двух общих интегралов уравнения характеристик C).
5.1. Тип и канонический вид уравнения 153 1. Определяем коэффициенты уравнения ац, а\2 и &22- 2. Вычисляем выражение и определяем области его знакоопределенности. 3. Делаем вывод о типе уравнения A). 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик C). 5. В уравнении A) делаем замену переменных B). При этом по правилу дифференцирования сложной функции Ux I > щ?х + € + uxx i—> Utf?l В результате замены переменных уравнение A) примет один из трех канонических видов: • в случае уравнения гиперболического типа • в случае уравнения параболического типа ит = F2(?,,r],u,U?,ur]); • в случае уравнения эллиптического типа ], и, щ, uv). Записываем ответ. Пример 1. Определить тип уравнения ихх — 4иХу — 21-Uyy + 2их — Зиу + Ъи = х2 D) и привести его к каноническому виду. Решение. 1. Определяем коэффициенты уравнения ац, а\2 и а22- Имеем ац = 1, ai2 = -2, а22 = —21. 2. Вычисляем выражение а\2 - аца22 = 4 + 21 = 25 > 0.
154 Гл. 5. Уравнения математической физики 3. Поскольку а\2 — ^11^22 > 0 при всех ж, т/, уравнение D) является уравнением гиперболического типа во всей плоскости XOY. 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик: (dyJ + 4 dydx - 21(dxJ = 0. E) Решая это уравнение относительно dy, получаем dy = 3dx и dy = —7dx. Следовательно, уравнение характеристик E) имеет два интеграла: hi(x,y)=y — 3x и ^(ж, у) = у + 7х. 5. В уравнении D) делаем замену переменных: х, У '—> € = hi(x,y) =у - Зж, г] = Л2(я, у) = У + 7х. При этом по правилу дифференцирования сложной функции В результате замены переменных уравнение D) принимает вид т.е. уравнение D) приводится к каноническому виду 10 11 5 1 /С2 Ответ. Уравнение D) является уравнением гиперболического типа во всей плоскости XOY и имеет канонический вид 10 11 5 1 2 где ?, = у — Зх я. г] = у -\- 7х.
5.1. Тип и канонический вид уравнения 155 ПРИМЕР 2. Определить тип уравнения ихх - 2иху + иуу + их - иу + и = ху F) и привести его к каноническому виду. Решение. 1. Определяем коэффициенты уравнения ац, ai2 и а^2- Имеем аи = 1, а12 = -1, а22 = 1. 2. Вычисляем выражение ai2 ~~ ana22 = 1 — 1 = 0. 3. Поскольку а22 ~ a\\aTi = 0 при всех ж, г/, уравнение F) является уравнением параболического типа во всей плоскости XOY. 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик: (dyJ + 2 dydx + (dxJ = 0. G) Решая это уравнение относительно dy, получаем dy = —dx. Следова- Следовательно, уравнение характеристик G) имеет единственный интеграл fti(ar,2/) =y + х. 5. В уравнении F) делаем замену переменных: %,У '—>f = h±(x,y) =y + x, ri = у. (В качестве rj можно было бы взять и любую другую дважды диффе- дифференцируемую функцию, не выражающуюся через h\(x,y) = у + х.) При этом по правилу дифференцирования сложной функции: В результате замены переменных уравнение F) принимает вид Щ? — 2щ? — 2u?rj + г/^^ + 2^^ + ит -\- и^ - и^ — щ -\- и = (? - rj)rj, т.е. уравнение F) приводится к каноническому виду ит = uv - и + (^ - 77O7- Ответ. Уравнение F) является уравнением параболического типа во всей плоскости XOY и имеет канонический вид ит = uv - и + (? - 77O7, где f = 2/ + ж и 77 = 2/.
156 .Гл. 5. Уравнения математической физики ПРИМЕР 3. Определить тип уравнения ихх + 2иху + 2иуу + 6их + 6иу - Зи = х + у2 (8) и привести его к каноническому виду. Решение. 1. Определяем коэффициенты уравнения ац, а\2 и а22- Имеем аи = 1, а12 = 1, а22 = 2. 2. Вычисляем выражение а12 ~~ аИа12 = 1 — 2 = —1 < 0. 3. Поскольку а\2 — ^и^12 < 0 при всех ж, г/, уравнение (8) является уравнением эллиптического типа во всей плоскости XOY. 4. Находим общие интегралы уравнения характеристик: {dyf - 2 dydx + 2(dxJ = 0. (9) Решая это уравнение относительно dy, получаем dy = A + г) dx и с/г/ = A — г) б/ж. Следовательно, уравнение характеристик (9) имеет два комплексных интеграла: fi(x,y) =y-x-ix и f2{x,y) = y -x + ix. Положим hi (x,y) = Re /2 (ж, у) = у — х и /г2 (ж, г/) = Im /2 (ж, у) = х. (В качестве /ii и /г2 можно было бы взять Re fi(x,y) и Im/i(x,y).) 5. В уравнении (8) делаем замену переменных: %,У '—>€ = h-i{x,y) = y -х, rj = x. При этом по правилу дифференцирования сложной функции Uxx I > U?? - 2U?V + U^, Uxy I > U?? + tt^, Uyy I ^ tt^. В результате замены переменных уравнение (8) принимает вид т.е. уравнение (8) приводится к каноническому виду
5.1. Тип и канонический вид уравнения 157 Ответ. Уравнение (8) является уравнением эллиптического типа во всей плоскости XOY и имеет канонический вид Ч? + uvv = ~2uv + и + V + (? + *7J> где ?, = у — х и rj = х. Условия ЗАДАЧ. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ихх + 4ихх - 8ихх - ихх - 2ихх - ихх - ихх - Зихх - Зихх - 2иху — Зиуу - 8иху + иуу ~ ^UiXy ^уу 0'?/ 1 7/ — ?j \JL'Xii \ ^УУ \- 8иху + 8%. 6иху + 9иуу AUxy + 4:Uyy Ь 6иху + 8%. + 2г^ж + -2их + 7г^у 2иу — их — Зиу - - Зих + 2 + 4?хж - у +^ж + - 8г^жу + 7иуу + Зг^ж - \- 8иху + 6г^у у + 3?хж - \и - 2иу 9иу Ъиу - иу ^Uy - Зи = 0. -Зи = 0. -и = 0. -Би = 0. -5и = 0. — 7и = 0. - Зи = 0. - 2гг = 0. + 2?х = 0. - 2и = 0. Ответы. 1. Уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY, Щг, = (Зи -щ- 9uv)/16, С = у - Зж, г] = у + х. 2. Уравнение гиперболического типа во всей плоскости 3. Уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY, Щг] = [Su - B7 - у/ГТ)щ - B7 + Vrr)uv] /68, ^ = 2/+C/8-л/17/8)я;, ц = у + C/8 + VU/8)x. 4. Уравнение параболического типа во всей плоскости 5. Уравнение параболического типа во всей плоскости XOY, ит = Ett + 2^)/8, ? = y-2x, г] = у. 6. Уравнение параболического типа во всей плоскости XOY, ит = Gи - 9щ + Зг^)/9, ^ = у + Зж, г/ = г/. 7. Уравнение параболического типа во всей плоскости XOY, 11^ = Cu + U? + 9uv)/4:, ? = y + 2x, rj = y. 8. Уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY, 2, rj = л/7х/2.
158 .Гл. 5. Уравнения математической физики 9. Уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY, щ? + uvr] = (—6и - 9щ - 3\/5^)/5, ? = у + 4ж/3, 7/ = л/бж/3. 10. Уравнение эллиптического типа во всей плоскости ХОУ, г^ + iz^ = Fи + 9щ / / 5.2. Общее решение гиперболического уравнения Постановка задачи. Найти общее решение гиперболического уравнения ихх + 2Ъиху + (б2 - а2)^^ = 0. A) План решения 1. Приводим уравнение A) к каноническому виду. Получаем щ„ = 0, B) где ? = у — (Ь + а)ж, г] = у — (Ь — а)х (задача 5.1). 2. Интегрируя уравнение B) по rj, получаем щ = со(О- (з) Интегрируя уравнение C) по ?, получаем Следовательно, общее решение уравнения B) имеет вид и(?,т,) = С1(О + С2(т,), D) где Ci@ И C2{rj) — произвольные дважды дифференцируемые функ- функции. 3. Подставляя в D) ? = у — (Ъ + а)ж w rj = у — (Ь — а)ж, получаем общее решение уравнения A): и(х,у) = CiB/ ~ (& + ^)ж) + С2(г/ - F- а)ж). Делаем проверку и записываем ответ. Пример. Найти общее решение гиперболического уравнения ихх + Аиху - Ьиуу = 0. E)
5.3. Общее решение параболического уравнения 159 Решение. 1. Приводим уравнение E) к каноническому виду. Получаем Щг) = 0, F) где f = у - Ьх, г] = у + х. 2. Интегрируя уравнение F) по rj, получаем Щ = СО(О- G) Интегрируя уравнение G) по ?, получаем C2(v) =&(?) +С2(г,). (8) 3. Подставляя в (8) ?> = y — 5xwrj = y-\-x, получаем общее решение уравнения E) и(х,у) = С±(у -Бх) -\-С2{у-\-х). Делаем проверку, подставляя и(х,у) в уравнение E). Ответ. Общее решение уравнения E) имеет вид и(х,у) = С^у-Ъх) + С2{у + х). Условия ЗАДАЧ. Найти общее решение гиперболического урав- уравнения. 1. ихх + 2иху - Биуу = 0. 2. ихх - 2иху - Зиуу = 0. *^* ^хх ~г ^UXy ~\~ oUyy — U. 41. Uxx ^±UXy LZiUyy — U. 5- ихх + 6иху + бг^уу = 0. 6. г?жж — 6г^ж^ + 8иуу = 0. 7^/ -к Аи — 91?/ — П Я а — Аи — ЧУн — П 9. ?хжж - 2г^жу - 24^уу = 0. 10. г^жж + 2иху - 8иуу = 0. Ответы. 1. и = d(y - Ъх) + С2(у + Зж). 2. 7j = CiB/ - ж) + С2(у + Зж). 3. ^ = С1(г/-Зж) + С2(г/-ж). 4. ^ = 5. г^ = С1(у-5ж) + С2(у-ж). 6. iz = 7. ^ = Ci(y-7x) + C2(y + 3x). 8. ^ = 9. u = Ci(y-4x) + C2iy + 6x). 10. i? = 5.3. Общее решение параболического уравнения Постановка задачи. Найти общее решение параболического уравнения ихх + 26^3, + Ъ2иуу + аих - аЬиу = 0. A)
160 -Гл. 5. Уравнения математической физики План решения. 1. Приводим уравнение A) к каноническому виду. Получаем Ъ2ит + abur, = 0, B) где ? = у -Ъх, rj = y (задача 5.1). 2. Чтобы найти общее решение уравнения B), составляем соответ- соответствующее характеристическое уравнение b2k2 + abk = 0 и находим его корни к\ = 0 и к2 = —а/Ь. Следовательно, общее решение уравнения B) можно записать в виде u(Z,r,) = C1(Z) + C2(Z)e-ari/b, C) где С\ (?) и Сч (?) — произвольные дважды дифференцируемые функ- функции. 3. Подставляя в C) ?, = у — Ьх и rj = у, получаем общее решение уравнения A): и(х, у) = Сг{у- Ъх) + С2(у- Ьх)е-а^ь. Делаем проверку и записываем ответ. Пример. Найти общее решение параболического уравнения ихх - 2иху + иуу - их + иу = 0. D) Решение. 1. Приводим уравнение D) к каноническому виду. Получаем ит + Щ = 0, E) где ? = у -х, г] = у. 2. Чтобы найти общее решение уравнения E), составляем соот- соответствующее характеристическое уравнение к2 + к = 0 и находим его корни &i = 0 и &2 = — 1. Следовательно, общее решение уравнения E) можно записать в виде u&ri) = C1(O + C2(Oe-4, F) где С\ (?) и Сг (?) — произвольные дважды дифференцируемые функ- функции. 3. Подставляя в F) ? = у — х и rj = г/, получаем общее решение уравнения D): г*(ж,2/) = Сг(у-х) + С2{у - х)е~у. Делаем проверку, подставляя и(х,у) в уравнение D). Ответ. Общее решение уравнения D) имеет вид и(х,у) = С^у-х) + С2(у - х)е~у.
5.4. Общее решение эллиптического уравнения 161 Условия ЗАДАЧ. Найти общее решение параболического уравне- уравнения. 1. uxx+AuXy+Auyy+ux-2uy = 0. 2. ихх-АиХу+АиУу+их+2иу = 0. 3. uxx+buxy+9uyy+2ux-1$Uy = Q. 4. uxx-buxy+9uyy+2ux-buy = 0. 5- uxx-\-2uxy-\-Uyy—ux-\-2uy = 0. 6. 14жж+814жу + 1б14уу+314ж —12i4y = 0. 7- uxx—8uXy-\-16uyy—ux-\-Auy = 0. 8. 14жж+214жу+14уу+514ж—5i4y = 0. 9. uxx-2uxy+Uyy-3ux+3uy = 0. 10. uxx-4uXy-\-4uyy-\-2ux-4:Uy = 0. Ответы. 2. u = d(y ~ 2x) + C2(y - 2x)e-y2. 3.u = d\y ~ Зя) + C2(y - 3x 4. i4 = d(y + 3x) + C2(y + 3x 6. i4 = d(y-4x) + C2(y-4x 7. 14 = d(y + 4ж) + C2(y + 4ж)е~у/4. 9. i4 = d(y + ж) + C2(y + ж)е3?/. 10. i4 = d(y + 2ar) + C2{y + 2ж)е~^. 5.4. Общее решение эллиптического уравнения Постановка задачи. Найти общее решение эллиптического уравнения ихх + 2Ъиху + (Ь2 + а2)иуу = 0. A) План решения 1. Приводим уравнение A) к каноническому виду. Получаем и# + 14^ = 0, B) где ? = у — Ьх, г\ = ах (задача 5.1). 2. Уравнение B) означает, что iz(?, 77) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции /(? + 7/г). Поэтому Пример. Найти общее решение эллиптического уравнения г?жж + 4г^жу + Ьиуу = 0. C) 11 В.И. Афанасьев и др.
162 Гл. 5. Уравнения математической физики Решение. 1. Приводим уравнение C) к каноническому виду. Получаем где ? = у - 2х, rj = х. 2. Уравнение D) означает, что u(^rj) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции /(? + rji). Поэтому и(х, у) = Re/(у - 2х + хг). Ответ. Общее решение уравнения C) имеет вид и(х, у) = Re/(у - 2х + жг), где /(z) — произвольная аналитическая функция. Условия ЗАДАЧ. Найти общее решение эллиптического уравне- уравнения. 1. 3. 5. 7. 9. ихх ^хх ихх Uxx + 2иху + + ±иху + + бг^ + + 4г^жу + - 2^ + Ответы. 1. 3. 5. 7. 9. и = и = и = и = и = Re/(y - Re/(y - Re/(y - Re/(y - Re/(y + buyy = 0. бг/у^ = О. 13?x = 0. 20uyy = 0. 26wyi/ = 0. x + 2xi). O^v» 1 /y»/i | LiJu \^ Jb L 1. Зж + 2жг). 2ж + Ахг). x + бжг). 2. 4. 6. 8. 10. 2. 4. 6. 8. 10. гг и и, и и и и и и и хх - 2иху + хх - ^иХу + хх — 6иху + хх - 4иху + хх + 2иху + = Re/(y + = Re/(y + = Re/(y + = Re/(y + = Re/(y - 3uyy 8uyy 18um 40uy 10uy Х + Л 2x + Зж + 2ж + = 0. = 0. г/ = °- у = °- y = 0. /2хг). 2xi). 3xi). 6xi). ж + 3xi). 5.5. Уравнение Лапласа в круге Постановка задачи. Решить краевую задачу Дирихле для урав- уравнения Лапласа в круге: Аи = 0, 0 ^ г < г0, A) u\r=ro = a cos3 <р + 6 sin3 (p + р cos <?? + g sin ^ + с. B)
5.5. Уравнение Лапласа в круге 163 План решения. Уравнение Лапласа A) в полярных координатах (г, if) имеет вид 1. Находим вспомогательные решения v уравнения C) в виде v(r,(p) = В,(г)Ф(<р), причем |Д@)| < оо и Ф((р) периодична с периодом 2тг. Для этого подставляем функцию г;(г, ф) в уравнение C) и разде- разделяем переменные. Получаем d ( dR г— г dr \ dr) dip2 л Ъ = ж = ^ = const. R Ф Поэтому функции R(r) и Ф(^) являются решениями связанных задач: б) r2R" + rR! - XR = 0, |Д@)| < ос. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения Ф/; + ЛФ = 0 имеет вид Ф(<р) = Ае^* + Ве-^^*. Оно периодично при А ^ Ои имеет период 2тг при Х = п2 (п = 0,1,...). Получаем: Фо(<?>) = Ао при Л = Ло = 0, Фп^) = Ап cos гкр + В п sin тр при Л = Лп = п2 (п = 1,2,...). 3. Решаем задачу (б) при Л = Ло = О и при Л = Лп=п2 (п = 1, 2,...). При Л = Ло = 0 имеем r2R" + rR' = 0. Общее решение этого уравнения есть Поскольку |Ло(О)| < оо, полагаем Do = 0. При Л = Лп = п2 имеем r2R" + rR' - n2R = 0. Общее решение этого уравнения есть с> / \ _ п п | тл -п / _ 1 Поскольку |Лп@)| < оо, полагаем Dn = 0. 11*
164 Гл. 5. Уравнения математической физики 4. Итак, вспомогательные решения уравнения C) имеют вид vo(r,ip) = С0А0 = Ао, vn (г, if) = Cnrn (An cos тр + Бп sin гкр) = rn (An cos тр + Бп si где Ап = СпАп, Вп = СпВп — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле A)-B) ищем в виде оо оо и(г, (р) = V^ vn (г, (р) = Ао + \2 г™ (Ап cos тр + 5n sin тр). D) п=0 п=1 Эта функция является решением уравнения A) при любых Ап и Вп, при которых ряд D) сходится и его можно дважды дифференциро- дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых и(г,ф) удовле- удовлетворяет граничному условию B). Представим условие B) в виде u(ro,(p) = a cos3 (р + b sin3 ip +р cos <?? + q cos <p + с = За -\- p 3b -\- q . a a . = с H — cos (p -\ — sin (p + — cos S(p — — sm Sip. Имеем оо iz(ro, ip) = Aq + ^^ Tq (An cos n<^ + Bn sin n<^?) = n=l 3a-\-p a 3b + g a = с H — cos (^ + — cos 3(p -\ — sm ip — — sm 3(p. Следовательно, 1 /^3a \ A a Aq = c, Ai = — — + p , A2 = 0, A3 = —-^, An = 0 при п ^ 4, r0 V 4 У 4r3 Si = — ( — + q ) , B2 = 0, B3 = -—з, Bn = 0 при n > 4. r0 V 4 / 4rg Подставляя эти коэффициенты в формулу D), получаем и(г,(р) = За . А . (ЗЬ . А . 1 . г3 (а _ - —т — cos 3<z? si rx \ 4 4
5.5. Уравнение Лапласа в круге 165 Замечания. 1. Задача Дирихле Аи = О, 0 ^ г < г0, E) F) при любой непрерывной функции f(ip) с периодом 2тг решается анало- аналогично, но в п. 6 плана решения коэффициенты Ап и Вп определяются по формулам Эйлера—Фурье: 2тг 2тг ° = 2^ / ^^d(p' Ап = ^ / о ° о 2тг 1 / / ч Вп = —- / j((p)smn(pd(p. ^^*о J о 2. Подставив эти выражения для Aq, An и Вп в D), изменяем порядок суммирования и интегрирования. Вычисляя сумму ряда, по- получаем формулу Пуассона для для решения задачи E), F): 2тг О 3. Смысл формулы D) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном г функцию и(г, ф) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье: и(г, (р) = ао + 2^ ап cos n(P + bn sin n<^. п=1 Коэффициенты ао, ai,... и &i, &2? • • • зависят от г. Поэтому <u(r, ^) = а0(г) + ^ ап(г) cos ny? + Ъп(г) sin n<^. G) п=1 Подставляя эту функцию в уравнение C), убеждаемся, что уравне- уравнение C) обращается в тождество, только если ап(г) и Ьп(г) являются решениями задачи (б) при Л = п2 (п = 0,1,2,...). Следовательно, ао(г) = Ао, ап(г) = Апгп и bn(r) = Впгп. При таких коэффициентах формула G) совпадает с D).
166 -Гл. 5. Уравнения математической физики 4. Общее решение уравнения Лапласа Аи = 0 в круге 0 ^ г < го имеет вид и(х,у) = Re/(z), где z = х + гу и f(z) — произвольная функция, аналитичная в круге \z\ < г о (см. задачу 5.4). Функцию f(z) можно представить степенным рядом: п=0 сходящимся в круге \z\ < vq. Положим z = гег1р. Тогда оо оо и(х,у) =Re/(z) =Re ^cnrneicpn = ^ Re [cnrn(cos mp + i sin mp)]. n=0 n=0 Последний ряд совпадает с D), где Aq = Recg, An = Recn и Бп = -Imc0. Пример. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: Аи = 0, 0 ^ г < 1, (8) г^|г=1 = sin3 (p. (9) Решение Уравнение Лапласа A) в полярных координатах (г, (р) имеет вид C). 1. Находим вспомогательные решения v уравнения C) в виде причем |Д@)| < оо и Ф(^) периодична с периодом 2тг. Для этого подставляем функцию v(r, (p) в уравнение C) и разде- разделяем переменные. Получаем d ( dR\ г— I г— I dr \ dr) R = Поэтому функции R(r) и Ф(^) являются решениями связанных задач: б) r2R" + г В! -XR = 0, |Д@)| < ос. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения Ф/; + ЛФ = 0 имеет вид Ф(<р) = Оно периодично при А ^ Ои имеет период 2тг при Х = п2 (п = 0,1,...). Получаем: Фо(<р) = Ар при Л =^Л0 = 0, Ф п (р) = Ап cos тр-\-В п sin гкр при Л = Лп = п2 (п = 1,2,...).
5.5. Уравнение Лапласа в круге 167 3. Решаем задачу (б) при Л = Aq = 0 и при Л = Лп = п2. При Л = Ао = 0 имеем r2R" + rR1 = 0. Общее решение этого уравнения есть Ro(r) = С0 +A)lnr. Поскольку |До(О)| < со, полагаем Dn = 0. При А = Ап = п2 имеем r2R" + rR' - n2R = 0. Общее решение этого уравнения есть Rn(r) = Cnrn + Dnr~n (n = l,2,...). Поскольку |Лп@)| < оо, полагаем Dn = 0. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения E) имеют вид vo(r,(p) = С0А0 = Ао, vn (r, if) = Cnrn (An cos тр + Вп sin тир) = rn (An cos mp + Bn sin n<^), где Ап = СпАп, Вп = СпВп — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле (8)-(9) ищем в виде оо оо u(r,<p) = ^\n(r, ip) = Aq + ^rn(Ancosn^ + 5nsinn^). A0) Эта функция является решением уравнения (8) при любых Ап и i?n, при которых ряд A0) сходится и его можно дважды дифференциро- дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых и(г,(р) удовле- удовлетворяет граничному условию (9). Представим условие (9) в виде 3 1 г/A, (р) = sin3 (р = - sin (р — — sin 3(p. Имеем оо 3 1 г/A, (р) = Aq -\- 2_^ Ап cos n(^ + Вп sin n<^ = - sin (р sin 3(p. п=1
168 Гл. 5. Уравнения математической физики Следовательно, Подставляя эти коэффициенты в формулу A0), получаем Зг г3 ?х(г, у?) = —- sin (р —— sin 3(р. Зг г3 Ответ. ?х(г, ф) = —- sin (р—— sin3<?>. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ Лапласа в круге 1. Аи = 0, 0 ^ г < 2, 2. Аи = 0, 0 ^ г < 2, 3. Дгл = О, О ^ г < 1, 4. Дг/, = 0, 0 ^ г < 2, 5. Аи = 0, 0 ^ г < 3, 6. Дгх = 0, 0 ^ г < 1, 7. Д?х = О, 0 ^ г < 3, 8. Аи = 0, 0 ^ г < 4, 9. Д?х = О, 0 ^ г < 2, г < 3, О 10. Аи = 0, 0 : Ответы. :. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения и\г=2 = 2 cos3 (р — sin3 <р + sin (p. u\r=2 = 4 cos3 <?? + 4 sin3 (p + cos <p + 2. iz|r=i = cos3 (p — 2 sin3 (^ — cos (^ + sin (p. u\r=2 = -4 cos3 (p + sin (^ + 7. ?i|r=3 = 12 sin3 <?? + cos (^ — simp. r=i = 2 cos3 (p + 4 sin3 (^ — 2 cos <p + 4 sin <^. г=з = 3 cos3 (p — 2 sin3 (^ — 3 cos <p + 2 sin (p. r=4 = 4 cos3 (p + 4 sin3 (^ + 2 cos y? - 3 sin <p. |r=2 = cos3 (p + 3 sin3 <p — 3 cos (^ + 2 sin (p. „_o = Q rn^ m — A sm гл — 2 ros гл -к R «in гл u u\r -=2 = cos ip -\- о sin (^ — о cos (^ -f z sin (^. =3 = 9 cos3 (p-4 sin3 <p - 2 cos (^ + 5 sin <^. о ( 3. ?i(r, 4. iz(r, r = - = 2 1 - у / 7* \ 3 - D cos <?? — 3 sin (p) + ( - j (cos 3<? + sin I = r -< /1 1 \ o/l 1 \ I - cos (^ - - sin <p 1 + r I - cos 3<^ + - sin 3<p 1. ^ /7*\ 3 = 7 H— (—3 cos (p + sin <^?) + ( - j cos 3<p. rp / rp \ 3 5. u(r, (p) = - C cos <? + 8 sin <p) - f - j 3 sin 3(p. 6. ?i(r, <^?) = r I — cos (p + 7 sin <p J + r3 ( - cos 3(p — sin 3(^ I. V ^ / \2 / 7. r - 1 -sm3(p
5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре 169 у / у \ 3 8. и(г, (р) = - E cos (р) + ( - ] (cos 3<^ - sin 3<?>). г ( 1 1 \ /г\3 /1 3 \ 9. ?х(г, ^) = - I —2- cos ^ + 4- sin <^? I + f - j I - cos 3(р + - sin 3<p I. r /19 \ /^\3/9 10. u(r, ip) = - I — cos if + 2 sin (^ + ( - ) I - cos 3(p + sin 3 4 V/ 5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре Постановка задачи. Решить краевую задачу Дирихле для урав- уравнения Лапласа в цилиндре: Аи = 0, 0 ^ г < го, 0 < z < z0, A) <=о = го-Л 0^г<г0, B) U\z=zo = °' 0 ^ Г < Г0, C) <=ro=0, 0<z<z0, D) План решения. Уравнение Лапласа A) в цилиндрических коор- координатах (г, <р, z) имеет вид <92?х 1 ^ 1 д2и д2и ^-т + -^- + ^^-^ + ^-^-= 0. E) Так как граничные значения и\г=Го функции и не зависят от (р и коэффициенты уравнения E) не зависят от <?>, решение задачи Ди- Дирихле A)—D) также не зависит от (р и его можно искать в виде u(r,(p,z) = u(r,z), где функция u(r, z) удовлетворяет уравнению E) с д2и/д(р2 = 0: д2и idu д2и п or2 г or ozz 1. Находим вспомогательные решения v(r, z) уравнения F) в виде v(r,z)=R(r)Z(z), причем |Д@)| < оо, R(r0) = 0 и Z(z0) = 0.
170 .Гл. 5. Уравнения математической физики Для этого подставляем функцию v(r,z) = R(r)Z(z) в уравнение F) и разделяем переменные. Получаем dr x R Z Поэтому функции R(r) и Ф(^) являются решениями связанных задач: а) R" + -R' + XR = 0, 0^г<г0, |Д@)| < оо, R(r0) = 0. г б) Z" - XZ = 0, Z(z0) = 0. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения R" -\—Rf + ЛД = 0 имеет вид г + BY0(VXr), где Jo и Yq — функции Бесселя и Неймана. Поскольку |.R@)| < схэ, а Yo{r) ~^ °° ПРИ г ~^ 0^ полагаем 5 = 0. Используя граничное условие R(tq) = 0, получаем где /in — нули функции Бесселя Jo (ж), т.е. Jo(fin) = О, п = 1, 2,... 3. Решаем задачу (б). При Лп = (/in/^o) имеем / \2 Общее решение этого уравнения, удовлетворяющее условию Z(zq) = 0, есть 4. Итак, вспомогательные решения уравнения F) имеют вид vn(r,z) = AnBnJ0 1^г) sh^(zo ~z) = AnJ0 l^r) sn^(zo - z), где An = An Bn — постоянные, которые предстоит найти.
5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре 171 5. Решение u(r, z) задачи Дирихле A)-D) ищем в виде u(r,z) = $>n(r,*) = E A»Jo (y-r) sh^(zo-z). G) n=l n=l ^ ' Эта функция является решением уравнения A) и удовлетворяет гра- граничным условиям C), D) при любых Ап, при которых ряд G) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых u(r,z) удовлетворяет граничному условию B): «(г, 0) = g An sh (^,o) Jo (^r) = rl - г\ Следовательно, по формулам Эйлера-Фурье имеем pro Лп Sll Г I 2 г2\ ) (г2 г п = 1, 2,... (см. задачу 3.7). Поэтому , IL — ±,Z(,... Подставляя эти коэффициенты в формулу G), получаем / ч V^ 4r5J2(/in) т I Vn \ uVn, ч u(r,z) = ) —У—/- г- Jo —r sh—(z0 -z). ^1^J12(/,n)sh(^z0) Vro У ro Замечания. 1. Задача Дирихле Дм = 0, 0 ^ г < г0, 0 < z < z0, U\z=0 = /(Г)' 0 ^ Г < Г0, ^L=z0 = °' 0 ^ Г < Г0, ^|г=го =0, 0 < z < z0, при произвольной непрерывной функции /(г), для которой /(го) = 0, решается аналогично.
172 Гл. 5. Уравнения математической физики 2. Смысл формулы G) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном z функцию u(r, if) можно разложить в ряд Фурье по системе функций Jo(finr/ro) {n = 1>2,...) (см. за- задачу 3.7): u(r,z) = Y]anJo fin— . Коэффициенты ai, c&2,... зависят от z. Поэтому ( г \ u(r,z) = 2^an(z)J0 f fin— J . (8) Подставляя эту функцию в уравнение F), убеждаемся, что уравне- уравнение F) обращается в тождество, только если an(z) являются реше- решениями задачи (б) при Л = (/in/^oJ (n = 1,2,...). Следовательно, an(z) = An sh ^r{zo — z). При таких коэффициентах формула (8) сов- совпадает с G). Пример. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в цилиндре Аи = 0, 0 ^ г < 1, 0 < z < 1, (9) uL=o Uz=l U\r=l = l-r\ = 0, = o, 0 < r < 0 ^r < 0<z < :l, :l, с 1. A0) A1) A2) Решение. Уравнение Лапласа (9) в цилиндрических координатах (r,(p,z) имеет вид E). Так как граничные значения и\г=1 функции и не зависят от (р и ко- коэффициенты уравнения E) не зависят от <??, решение задачи Дирихле E), A0)—A2) также не зависит от (р и его можно искать в виде u(r,(p,z) = u(r,z), где функция u(r, z) удовлетворяет уравнению F). 1. Находим вспомогательные решения г;(г, z) уравнения F) в виде v(r,z)=R(r)Z(z), причем |Д@)| < оо, -R(l) = 0 и Z(l) = 0.
5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре 173 Для этого подставляем функцию v{r,z) = R(r)Z(z) в уравнение F) и разделяем переменные. Получаем d ( dR" — I г — dr \ dr , f17- ^ '- = —^— = A = const. R Z Поэтому функции R(r) и Ф((р) являются решениями связанных задач: а) R" + -R' + XR = 0, 0^г<1, |Д@)| < оо, ДA) = 0. г б) Z" - XZ = 0, Z(l) = 0. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения R" -\—R! + АД = 0 имеет вид г Д(г) = AJ0(VXr) + БУ0(л/Аг), где Jq и Yq — функции Бесселя и Неймана. Поскольку |.R@)| < схэ, а Уо(г) —>• °° ПРИ т —> 05 полагаем 5 = 0. Используя граничное условие R(ro) = 0, получаем ^п = /лп, ^п = ^n^o(Atn^), n = 1, 2,... , где \in — нули функции Бесселя Jo (ж), т.е. Jo(fin) = 0, п = 1, 2,... 3. Решаем задачу (б). При An = \j?n имеем Общее решение этого уравнения, удовлетворяющее условию Z(l) = 0, есть Zn = 5nsh/in(l -z). 4. Итак, вспомогательные решения уравнения F) имеют вид vn(r, z) = AnBnJn(iJLnr) sh/in(l - z) = AnJ0(/inr) sh/xn(l - z), где An = An Bn — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение г/(г, z) задачи Дирихле (9)—A2) ищем в виде oo uyr, z) — 2 J vn\ri z) — / J A-njQ{[inr) sn/in^i — z). yio) n=l n=l
174 Гл. 5. Уравнения математической физики Эта функция является решением уравнения E) и удовлетворяет гра- граничным условиям A1), A2) при любых Ап, при которых ряд A3) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых u(r, z) удовлетворяет граничному условию A0): оо и(г,0) = ^2 An Jo(/inr) sh цп = 1 -г2. Следовательно, по формулам Эйлера-Фурье имеем Г1 2 / (l-r2)J0(/inr)rdr (см. задачу 3.7). Поэтому Подставляя эти коэффициенты в формулу A3), получаем r,z) = V Ответ. u(r, z) = 2 П n=1 J0(/inr)sh/in(l-z). sh/in(l - z). Условия ЗАДАЧ. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в цилиндре. 1. Аи = 0, 0 ^ г < 2, 0 < z < 1, гг|г=о = 4 - г2, 0 ^ г < 2, г^|г=2 = 0, 0 < z < 1, гл|г=1=О, 0 ^ г < 2. 2. Дгг = 0, 0 ^ г < 5, 0 < z < 2, гг|г=0 = 25 - г2, 0 ^ г < 5, г^|г=5 = 0, 0 < z < 2, г^|^=2 = 0, 0 ^ г < 5. 3. Дгг = 0, 0 ^ г < 5, 0 < z < 5, гг|г=0 = 25 - г2, 0 ^ г < 5, г^|г=5 = 0, 0 < z < 5, гл|г=5 = 0, 0 ^ г < 5. 4. Дг* = 0, 0^г<4, 0 < z < 3, гг|г=0 = 16 - г2, 0 ^ г < 4, г^|г=4 = 0, 0 < z < 3, гл|г=3 = 0, 0 ^ г < 4. 5. Дг^ = 0, 0^r<3, 0<z<4, -гх|^=о = 9 - г2, 0 ^ г < 3, г^|г=3 = 0, 0 < z < 4, г^=4 = 0, 0 ^ г < 3.
5.6. Уравнение Лапласа в цилиндре 175 u\r=1 =0, 0 < z < 3, u\z=3 = 0, 0 ^ r < 1. 7. Дг^ = 0, 0 ^ r < 2, 0 < z < 6, ?x|z=0=4-r2, 0 ^ r < 2, u|r=5 = 0, 0 < z < 6, u\z=6 = 0, 0 ^ r < 2. 8. Дг^ = 0, 0 ^ r < 4, 0 < z < 9, ?x|z=0 = 16-r2, 0 ^ r < 4, г^|г=5 = 0, 0 < z < 9, u\z=9 = 0, 0 ^ r < 4. 9. Дг^ = 0, 0 ^ r < 3, 0 < z < 1, гг|г=0 = 9 - r2, 0 ^ r < 3, г^|г=3 = 0, 0 < z < 1, гл|г=1 = 0, 0 ^ r < 3. 10. Дг* = 0, 0 ^ r < 1, 0 < z < 8, гг|г=о = 1 - r2, 0 ^ r < 1, iz|r=1 = 0, 0 < z < 8, гл|г=8 = 0, 0 ^ r < 1. Ответы. -. „.Л- -Л _ ^ 16J2(/in) 2. iz(r,z) = 3. iz(r,2:) = 4. iz(r,^) = о. гл(г, zj — ^ /,2 J2(/,n)shB/in/5) 100J2(/in) j r) S 5 (' oo v—> --г 6. 7. о ( 8. iz( 9. u{ 16 J2(/in) Jo ^/i2J2(/in)sh(9/in/4) V^ 36J2(/in) sh^-F-z) 10. J0(/inr)sh/in(8-z).
176 .Гл. 5. Уравнения математической физики 5.7. Уравнение Лапласа в шаре Постановка задачи. Решить краевую задачу Дирихле для урав- уравнения Лапласа в шаре: Аи = О, 0 ^ г < г0, A) u\r=rQ = a-\-bcosfi-\-ccos д. B) План решения. Уравнение Лапласа A) в сферических координа- координатах (г, (р, #) имеет вид 1 д ( 2ди\ 1 д2и 1 д ( . ди Так как граничные значения u\r=rQ функции и не зависят от (р и ко- коэффициенты уравнения C) не зависят от <??, решение задачи Дирихле A)-B) также не зависит от (р и его можно искать в виде где функция и(г, &) удовлетворяет уравнению C) с д2и/д(р2 = 0: 1 д ( 9ди\ . 1 д ( . пди\ =() дг) Hsm^ д-д \ д-д) 1. Находим вспомогательные решения г;(г, $) уравнения D) в виде причем |Д@)| < оо, |в@)| < оо, |Э(тт)| < оо. Для этого подставляем функцию v(r, •&) в уравнение D) и разде- разделяем переменные. Получаем r2R" + 2rR' e" + R = в Поэтому функции R(r) и ©($) являются решениями связанных задач: а) e/; + ctg7? в/ + Лв = О, |6@)|<оо, |в(тг)|<ос; б) г2В!1 + 2гД; - АД = 0, |Д@)|<оо. 2. Решаем задачу (а). Уравнение В/; + ctg $ В; + АО = 0 заменой переменной cos д = z преобразуется в уравнение Лежандра A - г2)в" - 2гв' + i/(i/ + 1)8 = 0 v{y + 1) = А.
5.7. Уравнение Лапласа в шаре 177 Его общее решение имеет вид где Pj/(z) и Qu(z) — функции Лежандра первого и второго рода ну- нулевого порядка (Pv(z) = Р„ (z) и Qv{z) = Qt, (z)). Оно ограничено на [—1,1] только при v = п (п = 0,1,...), т.е. при Л = п(п + 1) и D = 0. 3. Решаем задачу (б). При Л = п(п + 1) имеем r2R" + 2rR' - п(п + l)R = 0. Общее решение этого уравнения есть Поскольку |Лп@)| < оо, полагаем Вп = 0. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения D) имеют вид vn(r,ti) = CnAn rnPn(cos$) = AnrnPn(cos$), n = 0,1,2,..., где Ап = СпАп — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле A)-B) ищем в виде оо оо u(r,0) = 5>„(г,0) = Y, АпГпРп (cos ^). E) п=0 п=0 Эта функция является решением уравнения A) при любых Ап, при которых ряд E) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых гл(г, #) удовлетворяет граничному условию B): оо 2 , Ап г^Рп{со^д) = а + 6cos$ + с cos п=0 Разложим функцию а + 6ж + сх2 в ряд по многочленам Лежандра: а + Ъх + сх2 = (а+ -^ ) Р0(ж) + bPi(ar) + -сР2(ж) (см. задачу 3.7). 12 В.И. Афанасьев и др.
178 .Гл. 5. Уравнения математической физики Следовательно, °° / 2 \ V AnrJPn(cos#) = а+ -с P0(costf) + 6Px(cosi n=o V ^ / Отсюда ) = a + -с, Ах = —, A2 = —-2, An = 0 при п ^ 3. о Го оГд Подставляя эти коэффициенты и выражения для Pn (cos в E), получаем 3 1 = -costf 2 т с ? = a+ -с+ 6— cos^H ^Ccos2^- 1). 3 r0 3 rg Замечания. 1. Задача Дирихле Дгл = 0, 0 ^ г < г0, F) <=Г0=/(^*) (8) при произвольной непрерывной функции /(<?>,$), периодичной по (^ с периодом 2тт, репсается аналогично, но вместо многочленов Лежандра используются сферические гармоники (шаровые функции Лапласа): ymn(p,t?)=P,(|m|)(cos!?)eim* (m = 0,±l,±2,..., n = 0,1,2,. ..)• Здесь Рп (cos^) — присоединенная функция Лежандра порядка т. Решение задачи G)—(8) ищем в виде ряда: оо оо и(г,<р,д)= 2^ 2^CmnrnYmn((p,$), (9) т= — оо п=0 где коэффициенты Gmn определяются по формулам Эйлера-Фурье: С = — •§ 2тг(п+|г7г|) о о Z7T 7Г ^ Г [f(<p,0)Ymn(<p,0ysm0d0d<p.
5.7. Уравнение Лапласа в шаре 179 2. Подставив эти выражения для Стп в (9), изменяем порядок суммирования и интегрирования. Вычисляя сумму ряда, получаем формулу Пуассона для решения задачи G)-(8): о о + ^ ) / где cos 7 = costfcostf' + sin & sin #' cos((р - (pf). 3. Смысл формулы F) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном г функцию и(г, #) можно разложить в ряд Фурье по системе функций Pn(cos^) (п = 0,1, 2,...) (см. за- задачу 3.7): оо u(r,$) = ^anPn (cos ^). п=0 Коэффициенты ао, ai, с&2> • • • зависят от г. Поэтому u(r,#) = ^ an(r)Pn(cos ^). A0) п=0 Подставляя эту функцию в уравнение D), убеждаемся, что уравне- уравнение D) обращается в тождество, только если ап(г) являются реше- решениями задачи (б) при Л = п(п + 1) (п = 0,1, 2,...). Следовательно, ап{г) = Апгп. При таких коэффициентах формула A0) совпадает с F). Пример. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в шаре: Аи = 0, 0^г<1, A1) r=1 A2) Решение. Уравнение Лапласа в сферических координатах (г, (р, $) имеет вид C). Так как граничные значения и\г=г функции и не зависят от (р и коэффициенты уравнения C) не зависят от <р, решение задачи Ди- Дирихле A1)—A2) также не зависит от (р и его можно искать в виде где функция и{г,д) удовлетворяет уравнению D). 12*
180 .Гл. 5. Уравнения математической физики 1. Находим вспомогательные решения г; (г, #) уравнения D) в виде причем |й@)| < оо, |в@)| < оо, |6(тт)| < ос. Для этой цели подставляем функцию г; (г, $) в уравнение D) и раз- разделяем переменные. Получаем r2R" + 2rR' 6" + R=в= Л Поэтому функции R(r) и ©($) являются решениями связанных задач: а) ©" + ctgtf©' + A© = 0, |6@)|<оо, |ВGг)|<ос; б) r2R" + 2rRr - XR = 0, |Д@)|<оо. 2. Решаем задачу (а). Получаем А = п(п + 1), ©n(tf) = CnPn(costf), п = 0,1,2,..., где Рп(х) — многочлены Лежандра. 3. Решаем задачу (б). При А = п(п + 1) имеем r2R" + 2rRf - п(п + 1)Л = 0. Общее репгение этого уравнения есть Поскольку |Дп@)| < оо, полагаем Вп = 0. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения D) имеют вид vn(r,0) = CnAnrnPn(cosd) = AnrnPn(cosd), где Ап = СпАп — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле A1)—A2) ищем в виде оо оо и(г,$) = 5>„(г,1?) = Y, AnrnPn{cos'd). A3) п=0 п=0 Эта функция является решением уравнения A1) при любых Ап, при которых ряд A3) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и(г,'&) удовлетворяет граничному условию A2): n=0
5.7. Уравнение Лапласа в шаре 181 Поскольку 3cos2/# = Po(cos$) + 2P2(cos/#) (см. задачу 3.7), имеем n=0 Следовательно, Aq = 1, A\ = О, Л2 = 2, An = 0 при п ^ 3. Подставляя эти коэффициенты и выражения для Рп (cos 3 1 P(^) 1 P(#) 2tf в A3), получаем и{г,д) = 1 + r2Ccos2$ - 1). Ответ. u(r,ti) = l + r2Ccos2tf- 1). Условия ЗАДАЧ. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в шаре. 1. Аи = 0, 0^r<2, u\r=2 = 3 + 2costf+ 6cos2tf. r<3, гл|г=3 = 6 - 3costf - 3cos2 tf. г<1, гл|г=1 = -3 + 5cos# - 3cos2 -8. r < 4, гл|г=4 = 12 cos # + 6 cos2 д. r < 5, гл|г=5 = -9 + 9 cos2 т?. 2. Аи 3. Дм 4. Аи 5. Аи 6. At/, 7. Дм 8. Дм 9. Дм 10. Аи = 0, 0 = 0,0 = 0, 0 = 0, 0 = 0,0 = 0,0 = 0, 0 = 0, 0 = 0 0 r<3, гл|г=3 = 3 + 12cos^ - 9cos2 ^. г < 2, гл|г=2 = -6cos^ + 9 cos2 д. 5, г=5 = 6 - 6cos2 ^. Ответы. 1. и(г, 8) = 7 + г cos д + F cos2 ?9 - 2)г2/4. 2. гг(г, ?9) = 4 - г cos # - C cos2 tf - 1)г2/9. 3. гг(г, •&) = -5 + 5r cos # - C cos2 ^ - 1)г2. 4. гг(г, ?9) = 4 + 3r cos ^ + F cos2 •& - 2)г2/16. 5. u(r,$) = -3 + (9cos2^-3)r2/25. 6. и(г, ?9) = 2r cos ?9 + C cos2 д - 1)г2/16. 7. гг(г, •&) = -3 + 4r cos # - (9 cos2 ^ - 3)г2/9. 8. и(г, ?9) = 6 - 3r cos ?9 + (9 cos2 tf - 3)r2/4. 9. и(г, ?9) = 2 - г cos т? - F cos2 ?9 - 2)r2/25. 10. и{г,д) = -1 - 2rcos# + Ccos2#- l)r2.
182 Гл. 5. Уравнения математической физики 5.8. Уравнение Гельмгольца в круге Постановка задачи. Решить краевую задачу Дирихле для урав- уравнения Гелъмголъца в круге: 0, п = 0,1,..., A) u\r=ro = a cos3 (р + b sin3 (p + p cos <?? + g sin (p + c. B) План решения. Задача решается аналогично задаче Дирихле для уравнения Лапласа в круге (задача 5.5). Уравнение Гельмгольца A) в полярных координатах (г, (р) имеет вид д ( ди\ 1 д2и 72 л . . ) г2 dip1 г дг \ дг ) г2 p 1. Находим вспомогательные решения г> уравнения C) в виде причем |-R@)| < оо и Ф{<р) периодична с периодом 2тг. Для этого подставляем функцию г;(г, ф) в уравнение C) и разде- разделяем переменные. Получаем Т +fer R dr dap2 л Ту = ж = ^ = const. R Ф Поэтому функции R(r) и Ф(^) являются решениями связанных задач: б) r2R" + tR! + (A:2r2 - А)Д = 0, |Д@)| < ос. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения Ф/; + ЛФ = 0 имеет вид Ф(<р) = Ае^^^ + Ве-^^^. Оно периодично при А ^ Ои имеет период 2тг при Х = п2 (п = 0,1,...) Получаем: Фо(^) = Ар при Л = Ло = 0, Фп^) = Ап cos тр + В п sin тр при Л = Лп = п2 (п = 1,2,...). 3. Решаем задачу (б) при Л = Лп = п2 (п = 0,1, 2,...). Имеем r2R" + rB! + (к2г2 - n2)R = 0.
5.8. Уравнение Гелъмголъца в круге 183 Общее решение этого уравнения есть Rn(r) = CnJn(kr) + DnYn(kr) (n = 0,1,2,...), где Jn и Уп — функции Бесселя и Неймана. Поскольку |Лп@)| < оо, a Yn(r) —>• оо при г —>• 0, полагаем Dn = 0. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения C) имеют вид vn(r, (p) = CnJn(kr)(An cosгкр + Bnsinn^) = = Jn(kr) (An cos гкр + Bn sin n<^), где An = CnAn, Bn = CnBn — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле A)—B) ищем в виде оо оо u(r,<p) = ^2vn(r,<p) = ^2 Jn(kr) (An cos тр + Вп sinтр). D) п=0 п=0 Эта функция является решением уравнения A) при любых Ап и Вп, при которых ряд D) сходится и его можно дважды дифференциро- дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых и{г,ф) удовле- удовлетворяет граничному условию B). Представим условие B) в виде u(ro,(p) = a cos3 (р + b sin3 <?? +p cos (p + q cos y? + с = За + p 3b-\-q a a = C-\ COS if -\ Sin (f-\ COS 6(f Sin 6(f. Имеем оо u(ro,<p) = AoJo(kro) + ^^ Jn{kr0 )(An cos rup + Bn sin гкр) = n=l За + p a Sb-\-q a = c-\ cos (p-\— cos 3(p -\ sin if sin 3(p. Следовательно, 1 /За Jo(fcro)' Ji(kr0) \ 4 / ' ' 4J3(/cr0)' ln = О при п ^ 4, '1- Ji(fcro) V4 ' V 4J3(fcr0)' ?n = 0 при п ^ 4.
184 Гл. 5. Уравнения математической физики Подставляя эти коэффициенты в формулу D), получаем а Ъ \ Ыкг0) \4 4 ) Замечания. 1. Задача Дирихле Au + k2u = 0, O^r<ro, Jn(^ro)/0, n = O,l,..., E) u\r=rQ = f(p) F) при любой непрерывной функции f(ip) с периодом 2тг решается анало- аналогично, но в п. 6 плана решения коэффициенты Ап и Вп определяются по формулам Эйлера—Фурье: 2тг 2тг тгJn(kr0) J 2. Смысл формулы D) можно пояснить следующим образом. При каждом фиксированном г функцию и(г, (р) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье: оо и(г, ф) = по + 2_^ an cos n(P + ^n sin п<^. п=1 Коэффициенты ао, ai,... и Ь1? Ь2? • • • зависят от г. Поэтому оо iz(r, <р) = а0 (г) + ^2 an (r) cos ^^ + К (г) sin ny?. G) п=1 Подставляя эту функцию в уравнение C), убеждаемся, что уравне- уравнение C) обращается в тождество, только если ап(г) и Ьп(г) являются решениями задачи (б) при Л = п2 (п = 0,1,2,...). Следовательно, an(r) = AnJn(kr) и bn(r) = BnJn(kr). При таких коэффициентах формула G) совпадает с D).
5.8. Уравнение Гелъмголъца в круге 185 Пример. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Гельм- гольца в круге: Аи + 4и = 0, 0^г<1, (8) u\r=i = sin3 (p. (9) Решение. Уравнение Гельмгольца A) в полярных координатах (г, if) имеет вид C) с к2 = 4. 1. Находим вспомогательные решения v уравнения C) в виде причем |-R@)| < оо и Ф(^) периодична с периодом 2тг. Для этого подставляем функцию г>(г, (р) в уравнение C) и разде- разделяем переменные. Получаем d ( dR\ о сРФ г— г— + 4r R dr \ dr dip2 Л = 1— = Л = const. R Ф Поэтому функции R(r) и Ф(^) являются решениями связанных задач: б) r2R" + rRr + Dr2 - X)R = 0, |Л@)| < оо. 2. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения Ф/; + ЛФ = 0 имеет вид Ф(<р) = ie^3^ + Ве-^^^. Оно периодично при А ^ Ои имеет период 2тг при Х = п (п = 0,1,...). Получаем: Фо(^) = Ар при Л = Ло = 0, Фп((р) = Ап cos тр + Вп sinn^ при Л = Лп = п2 (п = 1,2,...). 3. Решаем задачу (б) при Л = Лп = п2 (п = 0,1, 2,...). Имеем r2R" + rRf + Dr2 - n2)^ = 0. Общее решение этого уравнения есть Rn(r) = CnJn{2r) + ^пУпBг) (п = 0,1, 2,...), где Jn и Yn — функции Бесселя и Неймана. Поскольку |Лп@)| < оо, a Yn(r) —>- оо при г —>• 0, полагаем Dn = 0.
186 .Гл. 5. Уравнения математической физики 4. Итак, вспомогательные решения уравнения E) имеют вид vn(r, (p) = CnJnBr)(An cosгкр + Вп sinmp) = = Jn Br) (Ап cos гкр + Бп sin n<^), где An = CnAn, Bn = CnBn — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле (8)—(9) ищем в виде u(r,<p) = ^2vn(r,(p) = "^2 JnBr)(An cos тр + Вп sin гкр). A0) п=0 п=0 Эта функция является репгением уравнения (8) при любых Ап и Вп, при которых ряд A0) сходится и его можно дважды дифференциро- дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых и(г,(р) удовле- удовлетворяет граничному условию (9). Представим условие (9) в виде 3 1 г/A, if) = sin3 if = — sin <p sin 3<^. Имеем оо 3 1 u(l,<p) = AoJoB) + ^2 JnB)(Ancosmp + Bnsuin<p) = -simp--sin 3(p. n=l Следовательно, Подставляя эти коэффициенты в формулу A0), получаем . 3 ЛBг) . 1 J3Br) . м(г^) = 81П^8т .. . . 3 ЛBг) . 1 J3Br) . Ответ, „(г, V) = - -j-щ smV-- -^- sm Зу.
5.8. Уравнение Гелъмголъца в круге 187 Условия ЗАДАЧ. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Гелъмголъца в круге. 1. Аи + гл = О, 0 2. Дгл + 2гг = 0, 0 3. А г/ + Згл = 0, 0 4. Дгл + 4гг = 0, 0 5. Aiz + bu = 0, 0 6. Au+6u = 0, 0 ^ 7. A^+7?i = 0, 0 ^ 8. Au+8u = 0, 0 ^ 9. Д'гх + Э'м = 0, 0 ^ 10. A?i+10^ = 0, 0 ^ Ответы. ^|г=2 = 2 cos3 <p - sin3 <p + sin ^. iz|r=2 = 4 cos3 (р + 4 sin3 у? + cos у? + 2. u\r=i = cos3 ip — 2 sin3 (^ — cos <?? + sin (p. г^|г=2 = -4 cos3 <p + sin ip + 7. ^|r=3 = 12 sin3 y? + cos (p — simp. ^ г < 2, ^ г < 2, $J г < 1, ^ r < 2, ^ r < 3, r < 1, г r < 3, г r < 4, г г < 2, ?i|r=2 = cos3 <?> + 3sin3 (p — 3 cos (p + 2 sin (p. r < 3, iz|r=3 = 33 in3 (^- r=i = 2 cos3 г=з = 3 cos3 (p — 2 sin3 (p — 3 cos <^+2 sin <p. ,=4 = 4 cos3 (p+4 sin3 (^+2 cos (p — 3 sin <?>. Ji(\/3r) 5. tt(r, 6. w(r, Ji(x/6r) Ji(y/7r) MV6) MV7r) /3
188 .Гл. 5. Уравнения математической физики ( ч Ji(\/8r) Js{VSr) . 8. u(r, ip) = 5 cos ip + /- (cos 3ip - sin 3<p). JiDV8) ^D/8) 9'u(ri(P) = -T7^ ( -2-cos^ + 4-sin^) + J3{Vl0r) /9 5.9. Уравнение Гельмгольца в шаре Постановка задачи. Решить краевую задачу Дирихле для урав- уравнения Гельмгольца в шаре: Аи + к и = О, О ^ г < го, ^/2(^0) ^ О? п=1,3,..., A) wlr=r = а ~^~ ^cos^ + с cos2 т9. B) План решения. Задача решается аналогично задаче Дирихле для уравнения Лапласа в шаре (задача 5.7). Уравнение Гельмгольца A) в сферических координатах (г, <??,$) имеет вид 1 д r2sin :2^ = 0. C) Так как граничные значения и\г=Го функции и не зависят от <р и коэффициенты уравнения C) не зависят от <р, решение задачи Ди- Дирихле A)-B) также не зависит от (р и его можно искать в виде где функция ?х(г, ?9) удовлетворяет уравнению C) с д2и/д(р2 = 0: 1 9 / 29г^\ 1 9 / . 09?Л 72 л /у|, г2 дг \ дг) rsm^ dfi \ д$) 1. Находим вспомогательные решения г;(г, $) уравнения D) в виде причем |Л@)| < оо, |в@)| < оо, |в(тт)| < ос.
5.9. Уравнение Гелъмголъца в шаре 189 Для этого подставляем функцию г; (г, $) в уравнение D) и разде- разделяем переменные. Получаем r2R" + 2rB! + k2r2R 6" + ctg •& 6 = 6' R=в= Л Поэтому функции R(r) и ©($) являются решениями связанных задач: а) 6" + ctgtf 6' + А6 = 0, |6@)|<оо, |в(тг)|<ос; б) r2R" + 2гД; + {к2г2 - А)Д = О, |Д@)| < ос. 2. Решаем задачу (а). Уравнение в" + ctg $ в' + АО = 0 заменой переменной cos д = z преобразуется в уравнение Лежандра A - г2)в" - 2z@' + v{v + 1N = 0 i/(i/ + 1) = Л. Его общее решение имеет вид в(г) = CPv(z) + DQv(z), где Pv(z) и Qv(z) — функции Лежандра первого и второго рода ну- нулевого порядка (Pv(z) = Po (z) и Qv(z) = Ql (^))- Оно ограничено на [—1,1] только при v = п (п = 0,1,...), т.е. при А = п(п + 1) и D = 0. 3. Решаем задачу (б). При А = п(п + 1) имеем r2R" + 2rR' + [A:2r2 - п(п + 1)] Д = 0. Общее решение этого уравнения есть ~ Yn+1/2(kr) h vr где Jn+i/2 и Y^+i/2 — функции Бесселя и Неймана. Поскольку |Дп@)| < °°5 а ^г+1/2(г) —^ °° ПРИ Т ~^ 05 полагаем 5П = 0. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения D) имеют вид vn(r,d) = CnAn '— Pn(costf) = Ап (n = 0,1,2,...), где An = CnAn — постоянные, которые предстоит найти.
190 Гл. 5. Уравнения математической физики 5. Решение задачи Дирихле A)-B) ищем в виде А Jn+i/2Jkr) р Эта функция является решением уравнения A) при любых Ап, при которых ряд E) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и(г,$) удовлетворяет граничному условию B) u{vq , д) = 2_^ Ап —— Рп (cos т?) = а + Ъ cos д + с cos2 ^. n=o V^o Разложим функцию а + Ъх + еж в ряд по многочленам Лежандра: 2С\ 2 еж2 = ( а + — Р0(я) + bPi(ar) + - (см. задачу 3.7). Следовательно, 2 \ 2 -с) Pq(cos^) + 6Pi(cos^) + - о / о Отсюда I , 2 = а + -с 3 J Ji/2(fcr0)' «/3/2(^0)' 3 J5/2(kr0)' Ап = 0 при п ^ 3. Подставляя эти коэффициенты и выражения для Pn (cos #) 3 1 P0(cos7?) = l, Pi(cos^) = cos^, P2(cos^) = -cos2tf- - в E), получаем r J1/2{kr0) V r J3/2{kr0) , С fr^ Jb/2{kr) 2 + - W z-^-r.—rCcos2^- 1). 3 V r J5/(^)
5.9. Уравнение Гелъмголъца в шаре 191 Пример. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Гельм- гольца в шаре: Аи + 2и = 0, 0^г<1, F) u\r=1=3cos2$. G) Решение. Уравнение Гельмгольца в сферических координатах (г, <?>,#) имеет вид C). Так как граничные значения и\г=1 функции и не зависят от (р и ко- коэффициенты уравнения C) не зависят от <??, решение задачи Дирихле F)—G) также не зависит от (р и его можно искать в виде где функция и(г,'д) удовлетворяет уравнению D). 1. Находим вспомогательные решения г; (г, д) уравнения D) в виде причем |Д@)| < оо, |в@)| < оо, |в(тт)| < ос. Для этой цели подставляем функцию г; (г, д) в уравнение D) и раз- разделяем переменные. Получаем r2R" + 2rR! + 2r2R 6" + ctg д & л л = в = л = const' Поэтому функции R(r) и в(^) являются решениями связанных задач: а) e// + ctg^e/ + A6 = 0, |6@)|<оо, |в(тг)|<ос; б) r2R" + 2rRr + Br2 - Л)Д = О, |Д@)| < оо. 2. Решаем задачу (а). Получаем A = n(n + 1), Bn(tf) = CnPn(costf), n = 0,1,2,..., где Рп(х) — многочлены Лежандра. 3. Решаем задачу (б). При А = п(п + 1) имеем r2R" + 2rR' + [2r2 - n(n + l)]R = 0. Общее решение этого уравнения есть я м_7 Jn+i/2(V2r) ~ Yn+1/2(V2r)
192 Гл. 5. Уравнения математической физики где Jn+i/2 и Y^+i/2 — функции Бесселя и Неймана. Поскольку п@)| < оо, а 1^+1/2 {г) —>• оо при г —>> 0, полагаем i?n = 0. 4. Итак, вспомогательные решения уравнения D) имеют вид Vn (Г, 0) = Сп Лп ^= Рп (COS 7?) = Ап '— Рп (COS где An = CnAn — постоянные, которые предстоит найти. 5. Решение задачи Дирихле F)-G) ищем в виде «(г,*) = f^vn(r^) = f^AnJn+1/2^r) Pn(cos$). (8) n=0 n=0 ^Г Эта функция является решением уравнения F) при любых Ап, при которых ряд (8) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап, при которых и{г^д) удовлетворяет граничному условию G): n=0 Поскольку 3 cos2 •& = Ро (cos ?9) + 2Р2 (cos т (см. задачу 3.7), имеем n=0 Следовательно, Ао = 1/Л/2(л/2), ^i = 0, Л2 = 2/J5/2(\/2), ^n = 0 при n ^ 3. Подставляя эти коэффициенты и выражения для Рп (cos #) 3 1 P0(cos^) = l, P2(cos^) = -cos2tf- - в (8), получаем J1/2G2r) J5/2G2r) и(г, w) = —-= —-= Ccos v - 1). Ответ. „(r,tf)= Л/2(^Г) + J5/2ifr) Ccos^-l).
5.9. Уравнение Гелъмголъца в шаре 193 Условия ЗАДАЧ. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Гелъмголъца в шаре. 1. Аи + 2и = 0, 0 ^ г < 2, u\r=2 = 3 + 2cos# + 6cos2#. 2. Аи + 2и = 0, 0^r<3, iz|r=3 = 6 - 3cos# - 3cos2 #. 3. Au-\-3u = 0, 0 ^ г < 1, iz|r=1 = -3 + 5cos#-3cos2#. lr=4 ^|r=5 = -9 + 9 cos2 0. 4. Дм + 4гг = 0, 0 ^ г < 4, 5. Аи + 5?х = О, О $J r < 5, 6. Аи + 6?х = 0, 0 ^ г < 4, 7. Дг? + 7?х = 0, 0 ^ г < 3, г^|г=3 = 3 + 12 cos ^ - 9 cos2 fi. 8/\7/ —I— X?/ — (| Г) <Г Т* <^ ^ 7/ — f\ PO^I 7/ —I— Q Г*О^1 7/ 9. Д?х + 9u = 0, 0 $J r < 5, ^|r=5 = 6 + 5cos^ — 6 cos2 $. 10. A?i + 9^ = 0, 0 ^ r < 1, iz|r=1 = -3- 2cos# + 3cos2#. iz|r=4 = -2 + 8 cos ?9 + 3 cos2 д. Ответы. 1. u(r, &) = Ji r J 1/2 ¦2i - г J3/2B4/2) cos$+ о 2. /3 ^—3W^ г J1/2C72) V г J3/2C\/2) г J5/2CV2) Ccos2^- 1). 3. H(r,^)^-5W- r Ccos2#- 1). 4. Л/2Bг) 24 J3/2Br) J6/2(8) Fcos2tf-2). 5. «rJ =-3W 1 j Vr 5J5/2(\/5r) 2 (9cos 17 — 3). 6- tt(r>tf) = Л/2Dл/6) 13 В.И. Афанасьев и др.
194 Гл. 5. Уравнения математической физики 7 ( чл о /3 Ji/2(V7r) t io /3 J3/2(V7r) 7. u(r,tf) = -3\l --—,_ ,_, +12\l --—;—^-costf- г 71/2(Зл/7) г J3/2C\/7) 8. _6 /^J3/2(V8r) J1/2BV8) V r J3/2BV8) (9cos2#-3). - 3). о 9. r Ji/2A5) V r J3/2A5) 5.10. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа Постановка задачи. Найти все X и и такие, что Аи = Хи в области Г?, A) ди аи-\- в т— = 0 на границе области <9п B) План решения. 1. Выбираем систему координат, такую, что граница области Q разделяется на участки, на каждом из которых одна из координат не меняется. 2. Переходим к выбранной системе координат, делая замену пере- переменных в уравнении A) и граничном условии B). 3. Функции и ищем в виде произведения вспомогательных функ- функций, каждая из которых зависит только от одной координаты. 4. Используя метод разделения переменных, получаем из A)—B) краевые задачи (задачи Штурма—Лиувилля) для обыкновенных диф- дифференциальных уравнений, определяющие вспомогательные функции.
5.10. Собственные функции и собственные значения 195 5. Решаем краевые задачи для вспомогательных функций и запи- записываем ответ. Замечание. Функции и определены с точностью до числового мно- множителя и могут содержать произвольные постоянные. Пример. Найти все Лиг/, такие, что Аи = Хи в области Q = {г2 < х2 + у2 < г2.}, C) аи + C ^— = 0 на границе области Г?, D) on где а = 1, C = 0 при х2 + у2 = г2 и а = 0, C = 1 при ж2 + г/2 = г2. Решение. 1. Выбираем систему координат, такую, что граница области Q разделяется на участки, на каждом из которых одна из координат не меняется. В данном случае Г2 — кольцо с центром в начале координат. Гра- Граница Q состоит из двух участков х2 + у2 = г2 и х2 + у2 = г2,. На каждом из них не изменяется координата г полярной системы коор- координат. Поэтому используем полярные координаты. 2. Переходим к полярной системе координат, делая замену пере- переменных в уравнении C) и граничном условии D). Получаем 1 д ( ди\ 1 д2и Л ~~^~ r~^~ H—^"^г^" = ^? г\ < г < г2, (о) Г ОТ \ ОТ / Г С/<?? и\ = 0, F) I Т'=-Тл ди = 0, G) г=г2 3. Функции г/(г, ^) ищем в виде произведения вспомогательных функций, каждая из которых зависит только от одной координаты: дг (8) 4. Вспомогательные функции R(r) и Ф(^) определяются краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые получаются из E)—G) методом разделения переменных. Подставляя (8) в E)—G) и разделяя переменные, получаем ; W 1 ф" _ х —^г" + ^ "ф" " Л' Д(п) = 0, R'(r2) = 0. 13*
196 .Гл. 5. Уравнения математической физики Следовательно, имеем две связанные краевые задачи: (а) Ф"-г/Ф = 0, Ф@) = ФBтг); (б) r{rR')' + [у - Xr2)R = О, Д(п) = 0, Д'(г2) = 0. 5. Решаем краевые задачи (а) и (б). Общее решение дифференциального уравнения Ф" — z/Ф = 0 имеет вид Условие Ф@) = ФBтг) выполняется только если v = —п2, где п = 0, ±1,±2,... Поэтому задача (а) имеет бесконечное множество решений Фп((р) = dein(p + C2e~in<p = Ancosmp + Bn sinnip, i/n = -n2, где n = 0,1,2,..., a An и 5n — произвольные постоянные (при n = — 1, —2,... получаются решения, отличающиеся от Фп только зна- знаком Вп). Задача (б) при Л = 0 имеет только решение R(r) = 0. При Л ф 0 общее решение дифференциального уравнения зада- задачи (б) r{rR')' -\- (у — Xr2)R = 0 с v = — п2 имеет вид R(r) = CJn(V^Xr) + DYn(V^\r), где ЗпжУп — функции Бесселя и Неймана, aCnD — произвольные постоянные. Из граничных условий R[v\) = 0 и RHj^l) — 0 получаем систему уравнений для определения CiD: Эта система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е. Поэтому Л определяется уравнением = 0.
5.10. Собственные функции и собственные значения 197 Оно имеет бесконечное множество решений A = /jL (fc = l,2,...). Ответ. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа в кольце г\ < г < г2 с граничными условиями F)—G) имеют вид Ukn(r,<p) = {CknJniVknr) + DknYn(nknr)) (Ancosmp +Bn sinгкр), где n = 0,1, 2,..., /с = 0,1, 2,..., a C&n, ?^п — нетривиальное ре- решение системы (9), Ап и Вп — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. Условия ЗАДАЧ. Найти собственные функции и собственные значения оператора Лапласа. 1. Аи = Хи при 0<ж<1и0<у<2, ^1 n= U\ 1=^1 п= U\ о=0- \х=0 \х = 1 1у=0 1у=2 2. Дгл = Агг при 0<ж<1и0<у<2, и\ п= и\ = |ж=0 1ж = 1 _= 0. 2 \z=0 3. Аи = Хи при 0<ж<1, 0<2/<2и0<г<3, 4. Аи = Хи при 0 ^ ж2 + у2 < 1, Чж2+у2 = 1=О. 5. Дгл = Лг/ при О $J х2 + г/2 < 1, S =0- ^/'л х2-\-у2 = 1 6. Дгл = Агг при 1 < ж2 + у2 < 4, дп = 0, и 7. Дгл = Лг/ при 8. Дгл = Хи при х2+у2=4 т2 + у2 < и\_ ,= 0. = 0. 9. Аи = Хи при 0 ^ ж2+ г/2 Г/ 2i 2i 2 1 = О- \x2+y2+z2 = l 10. A^ = A?i при 0 ^ х2 + у2 < 1,
198 .Гл. 5. Уравнения математической физики Ответы. 1. ukn(x,y) = sin7r/cxsi 2. икп(х,у) = si Afen = -^2(^2 + n2/4), /e = 1,2,..., n = 0,l,2,... 3- ukmn(x,y, z) — sin/7rkxcos7rmy/2cosBn + 1)ttz/6, Afemn = -^2^2 + m2/4 + Bn + lJ/36], fe = 1, 2,..., m = 0,1,2,..., n = 0,1,2,... 4. ufcn (r, y?) = Jn (/ifcnr) (An cos n<p + Бп sin n<p), Afen =-/x|n, fc = l,2,..., n = 0,1,2,..., Jn(^fcn) = 0. 5. ukn(r,(p) = Jn(/ifcnr)(An 6. ukn(r,(p) = (CknJn(iiknr) + DknYn(iiknr))(An cos nip + Впъш nip), Afcn =-/4n, fc = l,2,..., n = 0,1,2,..., 4(/ib)^nBfe) - 4Bfe)^fcn) = 0. 7. Wbm (r, <p,z) = Jn (fiknr) (An cos ny? + Bn sin ny?) sin irmz, A/cnm = -fi2kn-m27r2, fc = l,2,..., n = 0,1,2,..., m = l,2,..., Jnil^kn) = 0. 8. uknrn(r,(p,z) = Jn(/ifen^)(^4n cos n(p + Bn sinra<p) cos Bm+ 1)ttz/4, Afenm = -/iL-B^ + 1J^2/16, /e = 1,2,..., n = 0,l,2,..., m = 0,1,2,..., Jnil^kn) = 0. 9. ufcnm(r,#,<p) = J/^^(^^ Abm = -ML' fc = l,2,..., 771 = 0,1,2,..., П = 0,1,2,..., 10. -j^L' fc = l,2,..., 771 = 0,1,2,..., П = 0,1,2,...,
5.11. Уравнение Пуассона в кольце 199 5.11. Уравнение Пуассона в кольце Постановка задачи. Решить краевую задачу Дирихле для урав- уравнения Пуассона в кольце: Аи = /(г, <?>), ri < г < г2, A) u\r=ri = gi((f), B) "?- =520- C) План решения. Решение краевой задачи A)-C) ищем в виде тригонометрического ряда Фурье: оо и(г, (р) = ао(г) + N an(r) cosгкр + bn(r) sinn^, D) где ао(г), ап(г), Ьп(г) — функции, которые предстоит найти. 1. Подставляем D) в уравнение A). Получаем 1 d ( d , Л ^ ГГ1 d ( d , Л п2 , Л1 г dr \ dr *-^ \\rdr\dr I г1 \ / 1 V i \ / i 1 d f d , . Л п2, . г ~dr V * n(r)J " 72 n( 2. Используя формулы Эйлера-Фурье, находим коэффициенты при 1, cosn<?>, si ( d г dr \ \ d ( d . \ п2 г dr 2тг у о ) = - / f(r,<p)cosmpd(p = an(r), F) тг J о 2тг г ^ V d^V ~ ^"bn^ = ^У /(r^)sin^^ = bnW. G) о 3. Решаем дифференциальные уравнения E)—G) и находим коэф- коэффициенты ao(r),an(r),bn(r) с точностью до произвольных постоян- постоянных.
200 .Гл. 5. Уравнения математической физики а) Уравнение E) допускает понижение порядка. Общее решение этого уравнения определяется формулой = / - / rao(r)dr dr. J r \J ) Вычисляя интегралы, получаем ao (г) = Ao (г) + Eo + ^o In r, (8) где Ао(г) — известная функция, a Eq и Fq — пока произвольные постоянные. б) Уравнение F) решается методом Лагранжа вариации произ- произвольных постоянных (см. задачу 11.11 в книге Решебник „Высшая математика"). Общее решение однородного уравнения 1 d ( d , Л п 2 имеет вид an(r) = Cnrn + Dnr~n. Поэтому общее решение неодно- неоднородного уравнения F) имеет вид Функции Сп(г) и Dn(r) определяются системой дифференциальных уравнений: Г PnC'n(r) + D'n(r) = 0, \ г2пС'п(г) + D'Jr) = тп+Чп{г)/п. Следовательно, 1 Г 1 Г Сп{г) = — / г nan(r)rdr и ^nW = -- / rnan(r)rdr. Поэтому гп Г г~п Г ап{г) = — / г nan(r)rdr - -^— / rnan(r)rdr. Вычисляя интегралы, получаем ап(г) = Ап{т) + Ептп + Fnr~n, (9)
5.11. Уравнение Пуассона в кольце 201 где Ап(г) — известная функция, а Еп и Fn — пока произвольные постоянные. в) Аналогично п. (б), Ъп{г) = ^ Вычисляя интегралы, получаем bn(r) = Bn(r) + Gnrn + Hnr-n, A0) где Вп(г) — известная функция, a Gn и Нп — пока произвольные постоянные. 4. Используем граничные условия B) и C), чтобы найти постоян- постоянные Eq,Fq, En, Fn, Gn, Hn. Граничное условие B) с учетом D), (8)—A0) можно представить в виде n=l -\-{Bn(r\) + Gnr™ + Hnr±n) sinn^] = По формулам Эйлера-Фурье получаем 2тг А0(п) + Ео + Д,(п)+ВД ВпЫ + Сг? Граничное условие C) виде 0 2тг п ^ /" 0 2тг + Нпг1 =~ 1 9ЛЧ>, 0 с учетом D), (8)-A0) 'V, A1) cos rap dip, A2) )sinn^d^. A3) можно представить в A'0(r2) п=1 г 2) + nGnT^1 — пНпГ2П~1) smmp] = д2((р)-
202 Гл. 5. Уравнения математической физики По формулам Эйлера-Фурье получаем 2тг 2тг A4) 1 г Ап(г2)-\-nEnr2 - Fnr2n =— д2(<р) cosn<p d<p, A5) я" У о 2тг / / л „ п-1 -п-Л 1 Г ^n(ri) + п^гпГ2 -пНпг2 =— / g2((p)smn(pd(p. A6) тг У о Постоянные Eq,Fq находим, решая систему линейных уравнений (П), A4): ^2тг 1 Г2 — J Fnr~ — — A' iti 1 -+- Z7T Постоянные En,Fn находим из системы уравнений A2), A5), а постоянные Gn,Hn — из системы уравнений A3), A6). 5. Подставляем значения постоянных E0,F0, En, Fn, Gn, Hn в фор- формулы (8)—A0), подставляем ao(r),an(r),bn(r) из формул (8)—A0) в D) и записываем ответ. Замечания. 1. Краевая задача для уравнения Лапласа в кольце решается ана- аналогично, но проще, так как /(г, ф) = 0. Поэтому в формулах (8)—A0) Ао{г) = 0, Ап[г) = 0, Вп(г) = 0. 2. Краевая задача для уравнения Пуассона в круге решается ана- аналогично, но проще, так как в формулах (8)—A0) Fq = 0, Fn = 0, Нп = 0 в силу условий |ао@I < оо, |ап@)| < оо, |Ьп@)| < оо. 3. Краевая задача для уравнения Пуассона вне круга решается аналогично, но проще, так как в формулах (8)—A0) Fq = 0, Fn = 0, Нп = 0 в силу условий |ао(оо)| < оо, |ап(оо)| < оо, |Ьп(оо)| < оо. Пример. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуас- Пуассона в кольце: Аи = г3 cos if, I < г < 2, A7) u\r=i = cos 2(p, A8) du ^— = sm3(p. A9) 9r r=2
5.11. Уравнение Пуассона в кольце 203 Решение. Решение краевой задачи A7)—A9) ищем в виде три- тригонометрического ряда Фурье оо и(г, (р) = ао(г) + У, an{r) cos тар + bn(r) sinmp, B0) n=l где а,о(г),ап(г),Ьп(г) — функции, которые предстоит найти. 1. Подставляем B0) в уравнение A7). Получаем 1 d ( d Л ул ГГ1 d ( d Л п2 1 г dr I dr I ^-^ \\r dr \ dr n ) г2 4 / n=l v L ч 7 J [г б/r \ c/r n у г2 п \ J 2. Используя формулы Эйлера—Фурье, находим коэффициенты при 1, cosn<?>, si 2тг 1 d ( d , Л 1 Г о ~ Т" г ^"ао(г) = ^~ / т cos ^ ^ = °> 21 г dr \ dr J 2тг J о 2тг ld/<i/4\n2/4iro 7 ~ , , , , -~г [г— ап(г) ] -ап(г) = - г cos(pcosmpdip = an(r), B2) г dr \ dr ) гА тг J о 2тг 1 d / d . / Л n2 1 f о . /ч ~ 3~ r -гК(г) тЬп(г) = - / rcos^smn^^ = 0. B3) r dr \ dr J rz тг J о 3. Решаем дифференциальные уравнения B1)-B3) и находим ко- коэффициенты ao(r),an(r),bn(r) с точностью до произвольных посто- постоянных. а) Общее решение уравнения B1) имеет вид ao{r) = Eo + Folnr, B4) где Eq и Fq — пока произвольные постоянные. б) Уравнение B2) решается методом Лагранжа вариации произ- произвольных постоянных. Общее решение однородного уравнения d Л п\ dr J rz
204 Гл. 5. Уравнения математической физики имеет вид an(r) = Cnrn + Dnr~n. Поэтому общее решение неодно- неоднородного уравнения B2) имеет вид Функции Сп(г) и Dn(r) определяются системой дифференциальных уравнений: \ r2nC'n(r) + D'n(r) = rn+4n(r)/n. Следовательно, Сп{г) = — / r-nan(r)rdr и Dn(r) = -— / rnan(r)rdr. Поэтому rn f r~n f an{r) = — / r nan(r)rdr - —— / rnan(r)rdr. Вычисляя интегралы, получаем где Еп и Fn — пока произвольные постоянные, в) Аналогично п. (б), B6) где Gn и Нп — пока произвольные постоянные. 4. Используем граничные условия A8) и A9), чтобы найти посто- постоянные Ео, Fo, En, Fn, Gn, Hn. Граничное условие A8) с учетом B0), B4)-B6) можно предста- представить в виде + Fn) cosmp + (Gn + F n=l По формулам Эйлера-Фурье получаем Ео = 0, B7) ^+E1+F1=0, E2 + F2 = 1, En + Fn = 0 при n > 2, B8) Gn + Я„ = 0. B9)
5.11. Уравнение Пуассона в кольце 205 Граничное условие A9) с учетом B0), B4)-B6) можно предста- представить в виде F 10 °° -^ + — cos ip + V [(n^n2n-1 - nFn2-^-1) cos n^+ По формулам Эйлера—Фурье получаем Y = o, (зо) 10 7^ y + #i-^=0, ??п • 2й - Fn • 2""-1 = 0, C1) Gn • 271-1 - Яп • 2~п-1 =0 при гг ф 3, 3G3 • 22 - ЗНп • 2~4 = 1. C2) Постоянные Eq,F0 находим, решая систему линейных уравнений B7), C0). Очевидно, что Ео = 0 и Fo = 0. C3) Постоянные En,Fn находим из системы уравнений B8), C1): ^ + ?1 + ^1 = 0, y + ^i-f = 0; ?2 + F2 = 1, ?2 • 2 - F2 • 2~3 = 0; En + Fn = 0, ?^п • 2й-1 - Fn • 22 =0 при п ^ 3. Получаем 107 79 1 16 ^1 = —40"» Fl = ^' ^2=17' F2=17' ¦Бп = 0' ^ = 0пРигг>3- Постоянные Gn,Hn находим из системы уравнений B9), C2): Gn+Hn=0, Gn-2n-1-Fn-2"n-1=0 прип^З, 3G3-22-3ff3-2-4 = l. Получаем Gn = 0, Яп = 0 прип>3, G3 = ^, яз = -^- 5. Подставляем значения постоянных Eq, Fq, En, Fn, Gn, Hn в фор- формулы B4)-B6), подставляем ao(r), an(r), bn(r) из формул B4)-B6) в B0) и записываем ответ.
206 .Гл. 5. Уравнения математической физики ( ч /г5 107 79 Л Ответ. u(r, ip) = I — - —г + —г I cos ^+ 1 16 Л / 16 16 _Л 1тг+1тг";cos 2(^+v 195r -195r";sin 3^- Условия ЗАДАЧ. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в кольце. 1. А = Srsimp, 1 < г < 2, u\r=i = simp, ur\r=2 = 12sin<p. 2. А = 8rcos(p, 1 < г < 2, u\r=i = cos<?, i?r|r=2 = 12cos<??. 3. A = 24r3sin<?>, 2 < r < 3, г/|г=2 = 32 sin (p, г?г|г=з = 135 sin <^. 4. A = F sin (^ cos2 (^ — 2 sin3 <^)/r, 1 < r < 2, fi|r=i = sin3 <p, l^r|r=2 = Sin3 if. 5. A = Fsin Lpcostp — 2cos3(^)/r, 2 < r < 3, г^|г=2 = 2cos3<?>, г^г|г=3 = cos3^. 6. A = (sin(^)/r2, 2 < r < 5, u\r=2 = 7. A = (cos^)/r2 + 8rsin<?, 1 < r < 2, u\r=1 = ur\r=2 = 12 sin (p. 8. A = 8(sin^)/r5, 2 < r < 3, ^|r=2 = (sin^)/8, ^r|r=3 9. A = 9r + 8, К r < 2, iz|r=i = 0, ?ir|r=2 = 20. 10. A = 9r + 8 - 3/r3, 1 < r < 3, u|r=i = 0, г^г|г=3 = 116/3. Ответы. 1. u(r,<p) = r3sin<?>. 2. u(r,(p) = r3cos(^. 3. u(r,(p) = = r5sin<?>. 4. u(r,(p) = rsin3(?. 5. u(r,(p) = rcos3<?>. 6. u(r,(p) = = r cos <p — sin <^?. 7. г/(г, (p) = r3 sin y? — cos (p. 8. гл(г, ф) = (sin (p)/r3. 9. гл(г, у?) = г3 + 2r2 - 3. 10. u{r, ф) = г3 + 2r2 - 3/r. 5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике Постановка задачи. Решить краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике Au = f(x,y), *Е@,а), у е @,C), A) и@,г/) = шЫ, и{а,у) = g2(y)i У е @,/3), B) %(ж,0) =дз(х), иу(х,{3) =дА(х), хе@,а). C) План решения. Искомая функция и(х,у) может быть представ- представлена в виде и(х, у) = v(x, у) + w(x, у), D)
5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 207 где v{x,y) — решение краевой задачи для уравнения Пуассона с од- однородными граничными условиями: Av = f{x,y), хе{0,а), у е {0,C), E) v{0,y)=v{a,y) = 0, У е {0,C), F) vy{x,0) = vy{x,P) = 0, хе{0,а), G) w{x,y) — решение краевой задачи для уравнения Лапласа: Aw = 0, хе{0,а), у е {0,C), (8) w{0,y)=gi{y), w{a,y)=g2{y), у G {0,C), (9) wy{x,0) = д3{х), wy{x,f3) = д4{х), х е {0,а). A0) 1. Решение задачи E)-G) ищем в виде ряда по собственным функциям оператора Лапласа с граничными условиями F)-G) (за- (задача 5.10): v{x, у) = ^2^2 Ашп sin ~mx cos ~апу' (-1-1) m=ln=0 a P Эта функция удовлетворяет граничным условиям F)—G) при лю- любых Атп, при которых ряд A1) сходится и его можно дифферен- дифференцировать почленно по у. Найдем коэффициенты Ашп, при которых функция A1) является решением уравнения E). Подставляя функцию A1) в уравнение E), имеем 7ГП\ - П П ?( \ sin — тх cos — пу = fix, у). а C Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что а /3 f{x, у) sin — тх dy dx, а о о Л — — {тггп/аJ + {тгп/РJ о о а C 1 1 Г Г ^~ ^ / / f (х, у) &ш—тх cos—nydydx. 2а 2C J J a C Подставляя эти коэффициенты в A1), находим v{x,y). 2. Решение задачи (8)—A0) ищем в виде w{x, у) = w{x, у) + w{x, у), A2)
208 .Гл. 5. Уравнения математической физики где w(x,y) является решением краевой задачи ДЙ? = 0, хе@,а), у е {0,13), A3) й@, у) = 0, w(a, у) = 0, у G @, /3), A4) гуу(ж,О) =^3(ж), wy(x,f3)=g±(x), же @, а). A5) и w(x,y) является решением краевой задачи ДЙ? = О, яге @, а), г/е@,/3), A6) 5@,y)=#i(y), й(а,у)=#2(г/), г/е@,/3), A7) 5^(ж,0) = 0, S3/(ar,/3) = O, же @, а). A8) 3. Решение задачи A3)—A5) ищем в виде оо w(x, у) = У^ Вт(у) sin —mx. A9) 771=1 Эта функция удовлетворяет граничным условиям A4) при любых коэффициентах Вт(у), при которых ряд A9) сходится. Найдем ко- коэффициенты Вт(у), при которых функция A9) является решением уравнения A3). Подставляя функцию A9) в уравнение A3), получаем оо ^ \ \а J "'х'" ""^' | а 771=1 Г-т) ттг=1 ¦- Поэтому Вт(у) = 0, ш = 1,2,... Общее решение этого уравнения имеет вид /Л 1 П 1 л П Вш[у) = ат ch — ту + 6m sh —my. Следовательно, оо / 7Г 7Г \ 7Г ( ат ch —?77,г/ + Ъш sh —7?гу ) sin —mx. B0) V а а / а га=1 Эта функция удовлетворяет граничным условиям A4) и является решением уравнения A3) при любых ат и Ьт, при которых ряд B0) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем
5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 209 коэффициенты ат и fem, при которых функция B0) удовлетворяет граничным условиям A5). Имеем оо > — т ош sin —тх = дз(х), *-^ а а га=1 оо Е/7Г . 7Г _ 7Г л ^ ^Л . ^ /ч ( —таш sn — mp H ^гот сп — тр sin —ттт,ж = дЛх). \а а а а / а га=1 Отсюда в силу формул Эйлера—Фурье следует, что а If 7Г Ьш = / <7з(яО sin — mxdx, 2га J а If 2тгга J о ат sh —?77,/3 + 6т ch —mf3 = / а а 2тгт J sin — a о Подставляя найденные по этим формулам ат и Ъш в B0), получаем 4. Решение задачи A6)—A8) ищем в виде оо w(x, у) = ^2 Ап(х) cos -ny. B1) n=0 P Эта функция удовлетворяет граничным условиям A8) при любых коэффициентах Ап(х), при которых ряд B1) сходится и его можно дифференцировать почленно по у. Найдем коэффициенты Ап(х), при которых функция B1) является решением уравнения A6). Подставляя функцию B1) в уравнение A6), получаем 2 Е п=0 Поэтому -(jn) An{x) cos —ny = 0. / \ 2 К(?) - (jj A 4W = 0, п = 0,1, 2,... Общее решение этого уравнения имеет вид А0(х) = а0 + Ьох, 7Г 7Г ^п(ж) = an ch — пх + 6n sh — пж, п = 1, 2,... 14 В.И. Афанасьев и др.
210 .Гл. 5. Уравнения математической физики Следовательно, w(x, у) = а0 + Ьох + ^ f an ch —пж + 6n sh — пх J cos ~^пу. B2) Эта функция удовлетворяет граничным условиям A8) и является рен1ением уравнения A6) при любых ап и 6П, при которых ряд B2) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем коэффициенты ап и Ъп, при которых функция B2) удовлетворяет гра- граничным условиям A7). Имеем ао + ^2 ап cos-пу = gi(y), п=1 ОО , h + & h ) Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что о п° = ~в / о / ttn = 20 о /з 1 Г ао + 6оа = - / g2{y)dy, - /з 6nsh-na = —- д2 (у) cos-ny dy, Р ^Р J P о Подставляя найденные по этим формулам ап ж Ъп ъ B2), получаем гу(ж,2/). 5. Записываем ответ согласно формулам D) и A2). Замечания. 1. Изложенный план пригоден для решения краевых задач для уравнения Пуассона в разнообразных ограниченных областях плос- плоскости или пространства. Необходимо только, чтобы для этих облас- областей были известны собственные функции оператора Лапласа и реше- решения краевых задач для уравнения Лапласа.
5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 211 2. Иной план решения задачи A)-C) состоит в следующем. Сначала находим любое решение v уравнения Пуассона A). Затем находим решение задачи Aw = О, ™@,2/) = 9i(y) - ^@,2/), w(a,y) = д2{у) -v(a,y), у G (О,/?), и)у(х,0)=дз{х)-уу(х,0), Wy(x,/3)=g4(x)-Vy(x,C), x e @,a), Решение задачи A)—C) определяется формулой D). 3. Чтобы найти решение v уравнения Пуассона A), можно перейти в A) к полярным координатам и применить метод, изложенный в задаче 5.11. Пример. Решить краевую задачу для уравнения Пуассона в пря- прямоугольнике Аи = хуA-х), arG @,1), j/e@,2), B3) и@, у) = у2 - у3/3 + 1, иA, у) = Зу2 - у3 + 2, г, ? @, 2), B4) г^(ж,0) = хA -ж), г^у(ж,2) = хA - хJ, ж G @,1). B5) План решения. Искомая функция и(х,у) может быть представ- представлена в виде и(х, у) = v(x, у) + w(x, у), B6) где v(x,y) — решение краевой задачи для уравнения Пуассона с од- однородными граничными условиями: Av = xy(l-x), are @,1), 2/е(О,2), B7) v{0,y) = v(l,y) = 0, 2/G(O,2), B8) Vy(x,0)=vy(x,2) = 0, же @,1), B9) w(x,y) — решение краевой задачи для уравнения Лапласа: д™ = о, яге @,1), г/е(о,2), (зо) ^@, У) = У2 - У3/3 + 1, w(l, у) = Зу2 - у3 + 2, г, е @, 2), C1) wy(x,0)=x(l-x), wy(x,2) = x(l-xJ, xe @,1). C2) 1. Решение задачи B7)-B9) ищем в виде ряда по собственным функциям оператора Лапласа с граничными условиями B8)—B9) (за- (задача 5.10): v{x,y) = 2_^ 2-1 ^шп sm 7ГГПХ cos — пг/. C3) т=1 п=0 14*
212 Гл. 5. Уравнения математической физики Эта функция удовлетворяет граничным условиям B8)-B9) при любых Ашп, при которых ряд C3) сходится и его можно дифферен- дифференцировать почленно по у. Найдем коэффициенты Ашп, при которых функция C3) является решением уравнения B7). Подставляя функцию C3) в уравнение B7), имеем ОО ОО г о-| V^ V^ а / ч2 /7ГП\2\ . 7Г , ч - 2^ 2^ Атп К7ГШ) + \~2~) вштгтж cos-пу = ху{1 - х). m=l n=0 L J Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что 1 2 пО = - 77 \7 / ЦтгтJ J J о о 1 2 [() (/)] О О Вычисляя интегралы, получаем mu (тгтM ' mn тг5т3п2 [(тгтJ + (тгп/2J] " Подставляя эти коэффициенты в C3), находим v(x,y): ~ (-1)^-1 . U \ *jU • U I / , ч ~ oil! Jill LJb m=l I7171/ 771^1 77.^ 1 2. Решение задачи C0)-C2) ищем в виде w(x, у) = w(x, у) + гу(ж, у), C5) где w(x,y) является решением краевой задачи Aw = 0, же @,1), уе@,2), C6) w@,j/) = 0, tu(l, у) = 0, уе@,2), C7) wy(x,0) = x(l-x), wy(x,2) =x(l-xJ, же @,1). C8)
5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 213 и w(x,y) является решением краевой задачи Дй? = 0, яге @,1), 2/е(О,2), C9) w@,y) = у2 - 2/3/3 + 1, w(l,y) = Зу2 - у3 + 2, г/е@,2), D0) Й;у(ж,0) = 0, г5у(ж,2) = 0, ж G @,1). D1) 3. Решение задачи C6)-C8) ищем в виде оо w(x,y) = 2_j Вш(у) sinтгтх. D2) га=1 Эта функция удовлетворяет граничным условиям C7) при любых коэффициентах Вш(у), при которых ряд D2) сходится. Найдем ко- коэффициенты Вт(у), при которых функция D2) является решением уравнения C6). Подставляя функцию D2) в уравнение C6), получаем оо 22 — {тгт) Вт(у) + В'^у) ъш-ктх = 0. га=1 Поэтому вт(у) ~ (кгпJВт(у) = 0, т = 1, 2,... Общее решение этого уравнения имеет вид Вт(у) = ат chirmy + Ъш shinny. Следовательно, оо Эта функция удовлетворяет граничным условиям C7) и является решением уравнения C6) при любых ат и Ьш, при которых ряд D3) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем коэффициенты ат и 6т, при которых функция D3) удовлетворяет граничным условиям C8). Имеем qq 771=1 оо Е ?тг=1 (тг7тг ат sh 2тг7тг + 7Г7тг Ъш ch 2тг?77,) sin тгттт^ж = хA — хJ.
214 Гл. 5. Уравнения математической физики Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что 1 1 Г Ьш = / хA — х) sin тгтх dx, 2тгга J am sh 2тгт + bm ch 2тгт = / x(l — x) sin тгтх dx, 2тгт J о Вычисляя интегралы, имеем ^ + —1) , ctrn sh 2тгш + Ъш ch 2тгш = Ъщ = 7^7, ctrn sh 2тгш + Ъш ch 2тгш = г (тг7тгL (тг7тгL Следовательно, _ (ТГТТТ,) Подставляя найденные аш и Ъш в D3), получаем w(x,y): ~( л V^ 2 + (l) n W(X, У)=У 7 44 и о СП 7ГШ^ Sin *^ Gr77lLSn27r777 сЬтг7тгB - у) smnmx. D4) GrmLsh27rm v У) у J 771=1 4. Решение задачи C9)-D1) ищем в виде w(x, у) = ^ Ап{х) cos -ny. D5) п=0 Эта функция удовлетворяет граничным условиям D1) при любых коэффициентах Ап(х), при которых ряд D5) сходится и его можно дифференцировать почленно по у. Найдем коэффициенты Ап(х), при которых функция D5) является решением уравнения C9). Подставляя функцию D5) в уравнение C9), получаем П \2 л / \1 П -п) Ап(х)\ cos -ny = 0. n=0 Поэтому /77" \ 2 A(rp\ — П n — П 1 9
5.12. Уравнение Пуассона в прямоугольнике 215 Общее решение этого уравнения имеет вид А0(х) = а0 + Ьох, Ап(х) = &п ch — пх + Ъп sh — пх, п = 1, 2,... Следовательно, й(ж, у) = ао + &о^ + У^ (&n ch — пх + 6n sh — пх J cos — ny. D6) п=1 Эта функция удовлетворяет граничным условиям D1) и является решением уравнения C9) при любых ап и 6П, при которых ряд D6) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. Найдем коэффициенты ап и Ьп, при которых функция D6) удовлетворяет гра- граничным условиям D0). Имеем Q0 v^ ^ 9 У ао-\-2^ап cos ^ПУ = У - у + 1, 71=1 ОО ао + 6о + ^2 \ап ch ~оп + ^n stl o"n) cos 2"n?/ = ^y2 ~ у3 + 2' 71=1 Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что 1 } ( 2 2/3 Л , 5 Z, J \ О / О о 1 / ( ? У3 \ тг 1 / 2 \4Г/ ч —- + 1 cos —nydy = - — [(—1) — 1], о 2 ао + b0 = i у (Зг/2 -y3 + 2)dy = 4, о 2 . anch^n+6nsh^n=- Cy2-y3 + 2)cos^-nydy=-(—) [ 2 z 4 J 2 2 \тгп J о Подставляя найденные ап и bn в D6), получаем w(x,y): ~, , 5 7 гу(ж,2/) = - + -ж + 2\ ( — 1)П — 5. Записываем ответ согласно формулам B6), C4), C5), D4) и D7).
216 Гл. 5. Уравнения математической физики Условия ЗАДАЧ. Решить краевую задачу для уравнения Пуас- Пуассона в прямоугольнике. 1. Аи = -10Tr2sinTrx cos3th/, же @,1), у в @,1), 2. Аи = -Dтг2 + I)sin2ynr cosy, x G @,1), у G (О,тг), гл(О, у) = 0, ггA, у) = 0, у G @, тт), гх2/(ж,О) = О, г^(ж,тт) = О, жЕ @,1). 3. Au = smx, жЕ@,тг), у G @,1), г^@, у) = 0, г^(тг,у) = shyr2 cosyry, у G @,1), г^у(ж,0) = 0, %(ж, 1) = sh I sinx, жЕ(О, тг). 4. Дг^ = 5 sin 2x cos у, ж G @, тг), у G @, тг), tt(O,y) = l, u(ir,y) = тг + 1, yG(O,yr), г^(ж,0) = 0, ггу(ж,7г) = 0, жЕ(О,тг). 5. Аи = -9sin3x, жЕ(О,тг), yG@,1), (,у) , Ц,г/) , у(,), г^у(ж, 0) = 2sin2x, г^у(ж, 1) = sh I sin ж + 2ch2sin2x, же@, тг). 6. Au 3 7. Дг^ = 10 sinх cos2 г/, х G (О,тт), г/ Е (О,тт), u@,y) = 0, u(ir,y) = shTTchy + TT, 2/Е@,тг), глу(ж,0) = sina?, иу(х,тг) = chyrsinx, жЕ@, тг). 8. Дг^ = — 5тг2 sin7rxcos27ry, жЕ @,2), у G @,1), и@,у) = 2, иB,у) = sh47rcos27ry, 2/E@,l), г^(ж,0) = 0, %(ж, 1) = TrshTrsinTrx, жЕ @,2). 9. Аи = х - 6х2 + Юж3 - 5ж4, х е @,1), у G @, тг), и@, у) = 1 + cos 2j/, iz(l,2/) = (ch2-sh2)cos2y, уе(О,тг), ^(ж,0) = 0, ^(ж,тг) = 0, же @,1). 10. Д^ = -(г/3/3-у2/2-% + 1)8тх, жЕ@,тг), у G @,1), ^@, у) = тг + cos 2тгг/, г^(тг, г/) = ch 2тт2 cos 2тгу, у G @,1), иу(х, 0) = бэтЗтгж, %(ж, 1) = 6ch3sin3Trx, жЕ@, тг). Ответы. 1. и(х,у) = sinyrx совЗтгу. 2. и(х,у) = sin2yrx cosy. 3. гл(ж, у) = — sin ж + ch г/ sin ж + sh ттж cos тгу. 4. гл(ж, у) = — sin 2ж cos г/ + 1 + х. 5. гл(ж, у) = sin Зх + chy sin ж + sh 2y sin 2ж. 6. и(х, у) = -27 sin ж + sin Зж + 1 - х.
5.13. Уравнение Пуассона в шаре 217 7. и(х, у) = —5 sin х — sin x cos 2у + sh у sin ж + ж + sh x cos г/. 8. и(х, у) = sin тгж cos 2тту + ch тгу sin тгж + 2 — х + sh 2тгж cos 2тгу. 9. гл(ж,2/) = х3A -жK/6 + 1 -ж + (ch 2ж - sh 2х) cos 2г/. 10. и(х,у) = (у3/3-у2/2) sinx + 2sh3y sin37rx+7r-x + ch27nr cos27n/. 5.13. Уравнение Пуассона в шаре Постановка задачи. Решить краевую задачу Дирихле для урав- уравнения Пуассона в шаре: Аи = Axy + Bxz + Cyz, 0 ^ г < г0, A) B) План решения. Решение краевой задачи A)-B) имеет вид и(х, у, z) = ичн(х, у, z) + v(x, у, z), где ?хчн — какое-нибудь частное решение уравнения A) и v — ре- решение однородного уравнения Аг^ = 0, удовлетворяющее граничному условию v\r=ro = а - ?1чн|г=Го. 1. Используя принцип суперпозиции, частное решение уравне- уравнения A) ищем в виде ^чн = ui + и2 + г^з, где и\ = Еху(х2 + у2 + z2) — решение уравнения Аи = Аху, U2 = Lxz(x2 -\- у2 + z2) — решение уравнения Д?х = Bxz, и3 = Myz[x2 + у2 -\- z2) — решение уравнения Аи = Cyz. Подставляя и± в уравнение Аи = Аху, получаем lAExy = Аху. Следовательно, Е = А/14. Аналогично на- находим L = 5/14 и М = G/14. Таким образом, /2 2 2ч М Б С А ичн = (х +у +z)l—xy+—xz+—yzj. 2. Функция (А В С \ v(x, у, z) = и(х, у, z) - (х2 + у2 + z2) I —ху + — xz + —г/z J C) удовлетворяет уравнению Лапласа Av = 0, 0 ^ г < г0, D)
218 Гл. 5. Уравнения математической физики и граничному условию 2(А В С \ ,г. v\r=ro =a-r0 I — ху+— xz+— yz\ . E) \ / г=г0 3. Легко проверить, что функция /л 2 ( А В С v(x, y,z) = a-rol —xy + —xz + —yz является решением задачи Дирихле D)-E). В силу теоремы о един- единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре других решений нет. 4. Подставляя v(x,y,z) в равенство C), получаем и(х, у, z) = (х2 + у2 + z2 - г2) I -^ху + —^z + Y^yz) + a' Замечание. В п. 1 при отыскании частных решений щ, u<i и г^з использовано следующее свойство уравнения Пуассона. Если Р(ж, у, z) — однородный многочлен степени п, то уравнение Аи = Р(ж,г/,г) имеет решение и = Q(x,y,z), где Q — однородный многочлен степени п + 2. Например, уравнение Дг? = ж2г/2 имеет решение и = . 12 180 Пример. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуас- Пуассона в шаре Аи = Uxy, 0 ^ г < 2, F) и\г=2 = 14. G) Решение. 1. Частное решение уравнения F) ищем в виде Подставляя его в уравнение F), получаем 6Еху + 6Еху + 2Еху = Следовательно, Е = 1 и
5.13. Уравнение Пуассона в шаре 219 2. Функция v(x, у, z) = и(х, у, z) - [х2 + у2 + z2)xy (8) удовлетворяет уравнению Лапласа Аи = О, 0 ^ г < 2, (9) и граничному условию ^|г=2 = 14-4ху|г=2. A0) 3. Легко проверить, что функция w(x,y,z) = 14 — 4ху является решением задачи Дирихле (9)—A0). В силу теоремы о единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре других ре- решений нет. 4. Подставляя v(x,y,z) в равенство (8), получаем и(х, у, z) = 14 - Аху + (х2 + у2 + z2)xy. Ответ. гл(ж, г/, z) = [х2 + у2 + z2 - 4)ху + 14. Условия ЗАДАЧ. Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в шаре. 1. ихх + г^у + г^ = 14жу + 7xz, 0 ^ г < 1, u\r=i = 5. 2- ^жж + ^уу + uzz = 7жг/ — 7xz + 14г/г, 0 ^ г < 2, г^|г=2 = 1. 3. ихх + г^уу + г^ = -7жу + Ыхг, 0 ^ г < 2, г^|г=2 = 4. 4. ?хжж + г^уу + uzz = 14жу - 14yz, 0 ^ г < 3, г^|г=3 = 8. 5- ^жж + иуу + ^^ = 28жу — 14xz + 14г/г, 0 ^ г < 2, г^|г=2 = 7. 6. г^жж + иуу + ^z = 28yz - 7xz, 0 ^ r < 3, г^|г=3 = 6. 7. ?хжж + г^уу + uzz = 28жу - 14xz + 14г/г, 0 ^ г < 4, г^|г=4 = 7. 8. ?хжж + иуу + ^z = 14жу - 7ху + 7yz, 0 ^ г < 1, w|r=i = 1. 9. ?хжж + иуу + ^z = 28жу - Uxz - 7yz, 0 ^ г < 2, г^|г=2 = 4. Ю. ?хжж + иуу + ?izz = —28xy + 28xz - 14г/г, 0 ^ г < 3, г^|г=3 = 5. Ответы. 1. и(х, y,z) = 5 - ху - xz/2 + (ж2 + у2 + z2)(xy + xz/2). 2. г*(ж, j/, z) = 1 - 2жу + 2xz + (ж2 + у2 + z2){xy/2 - xz/2 + г/z). 3. гл(ж, j/, z) = 4 + 2xz - Axz + (ж2 + г/2 + z2)(xy/2 + xz). 4. гл(ж, г/, z) = 8 - 9xy + 9yz + (x2 + г/2 + z2)(xy - yz). 5. гл(ж, 2/, z) = 7 - 8жу + 4xz - 4yz + (ж2 + у2 + z2)Bxy - xz + yz). 6. u(z, 2/, z) = 6 - 9жу/2 - 18yz + (x2 + y2 + z2)(-xy/2 + 2yz). 7. гл(ж, 2/, z) = 7 - 8жу + xz - 4yz + (ж2 + г/2 + z2)Bxy - xz + yz). 8. u(x,y,z) = l-xy + xz/2-yz/2 + (x2+y2 + z2)Bxy-xz/2 + yz/2). 9. гх(ж, у, z) = 4 - 8жу + 4xz + 2yz + (x2 + y2 + z2)Bxy - xz - yz/2). 10. u(x,y,z) =
220 .Гл. 5. Уравнения математической физики 5.14. Однородное волновое уравнение на отрезке Постановка задачи. Решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения на отрезке utt-a2uxx = 0, же (О,/), *Е@,оо), A) и(х, 0) = f(x), щ{х, 0) = д{х), х G @, /), B) u@,t) = u(l,i) = 0, te@,oo). C) План решения. 1. Находим вспомогательные решения v(x,i) уравнения A) в виде v(x,t) = X(x)T(t), причем v@,i) = v(l,t) = 0, т.е. Х@) = X(l) = 0. Для этого под- подставляем v(x,i) = X{x)T(t) в уравнение A) и разделяем переменные. Получаем X" Т" — = ^ = A = const. Поэтому функции Х(х) и T(t) являются репгениями связанных задач: а) Х"(х) - XX(х) = 0, Х@) = ХA) = 0; б) Т" - Ха2Т = 0. 3. Решаем задачу (а). Уравнение X" — XX = 0 имеет общее решение Из граничных условий Х@) = ХA) = 0 следует, что /7Г77Л2 7ГП = -у-г X C 2 7ГП , Xn = Cnsm—x, n = l,2,... 4. Решаем задачу (б). При Л = Лп = — (тгп/l) имеем Общее решение этого уравнения есть 7Г77 • ' 7Г77 Tn{t) = -An cos —j-cd + 5n sin ——at.
5.14. Однородное волновое уравнение на отрезке 221 5. Итак, вспомогательные решения уравнения A) имеют вид f ч _ / ~ ^П ~ 7Г^ \ vn(x,t) = Cn ( An cos —at + ?>n sin —at 1 si vn(x,t) = (Jn. I An cos —at + ?>n sm —at J sm i i ( тгп тгп \ тгп = 1Ап cos ——at + i5n sm ——at\ sm -у-ж, где Лп = CnAn, Вп = СпВп — постоянные, которые предстоит найти. 6. Решение задачи A)—C) ищем в виде оо оо и(х, t) = 2_\ vn{xi t) = 2_] (^n cos ~га^ + ^n sin -—at J sin —-ж. D) n=l n=l Эта функция является решением уравнения A) и удовлетворяет гра- граничным условиям C) при любых Ап и Вп, при которых ряд D) схо- сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 7. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых u(x,t) удовле- удовлетворяет начальным условиям B). Полагая в D) t = 0, получаем оо ТГП it I I I т I — Л Л cm т* — г i т* 1 71=1 Отсюда 2 Г Л/ . . тгп 7 ^п = у / /(^Jsm—-xdx. о Дифференцируя равенство D), имеем ^ оо a^i v-^ / тгпа . тгпа тгпа _, тгпа \ . тгп — = > I — Ansin—— tH — 5ncos—— tj sin—-ж. n=l Полагая здесь t = 0 и используя начальное условие B), получаем I ТГП -Bnsm—x = д{х). оо v^ тгпа тгп n=l Отсюда Bn = / q(x) sin ——x dx. тгпа I J I о Подставляя эти коэффициенты в формулу D), получаем искомое решение и записываем ответ.
222 Гл. 5. Уравнения математической физики Замечание. При каждом фиксированном t ряд D) является разло- разложением и(х, t) по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке @, /): {Vxx = Xv, X Е (О,/), v@) = v(l) = 0. Задача (а) состоит в отыскании этих собственных функций и соот- соответствующих им собственных значений Л. Коэффициенты при t в D) являются квадратными корнями из собственных значений Л. Пример. Решить первую смешанную задачу для однородного вол- волнового уравнения на отрезке ии-4ихх=0, же @,1), *е@,оо), E) и(х,0) = 0, щ(х,0) = хA-х), F) u@,t) =u(l,t) = 0. G) Решение. 1. Находим вспомогательные решения v(x,i) уравнения E) в виде v(x,t) = X(x)T(t), причем v@,i) = v(l,i) = 0, т.е. Х@) = -Х"A) = 0. Для этого под- подставляем функцию v(x,i) = X(x)T(i) в уравнение E) и разделяем переменные. Получаем Хп Т" ~Х~ = 4Г = Л' Поэтому функции Х(х) и T(t) являются решениями связанных задач: а) Х"(х) - XX(х) = 0, Х@) = ХA) = 0; б) Т" - 4ЛТ = 0. 3. Решаем задачу (а). Уравнение X" — XX = 0 имеет общее реше- решение Х(х) = Се^х + De-^X. Из граничных условий Х@) = ХA) = 0 следует, что Лп = — (тгпJ, Хп = Сп sinvrnx, n = l,2,... 4. Решаем задачу (б). При Л = Лп = — (тгпJ имеем Т^ + 4(тгпJТп = 0.
5.14. Однородное волновое уравнение на отрезке 223 Общее решение этого уравнения есть Тп = Ап cos 2тгп? + Вп sin 2тгп?. 5. Итак, вспомогательные решения уравнения E) имеют вид vn (ж, i) = Сп (Ап cos 2-Knt + Bn sin 2тгп? j sin тгпх = = (Ап cos 2тгп? + Bn sin 2тгп^) sin тгпж, где Ап = СпАп, Вп = СпВп — постоянные, которые предстоит найти. 6. Решение задачи E)-G) ищем в виде оо оо и(х, t) = 2_\ vn (x,t) = У^ (Ап cos 2тгп? + Вп sin 2тгп?) sin тгпх. (8) 71=1 71=1 Эта функция является решением уравнения E) и удовлетворяет гра- граничным условиям G) при любых Ап и Вп, при которых ряд (8) схо- сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 7. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых u(x,t) удовле- удовлетворяет начальным условиям F). Полагая в (8) t = 0, получаем | Лп sinvrnx = 0. 71=1 Отсюда Ап = 0. Дифференцируя равенство (8), имеем ди ^-^\ — = у, (—2тгп Ап sin 2тгпг + 2тгп 5n cos 2тгпг) sin тгпж. 71=1 Полагая здесь /; = 0 и используя начальное условие F), получаем оо У ^ 2тгпВп sinyrnx = хA — х). 71=1 Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что 4
224 Гл. 5. Уравнения математической физики Подставляя найденные коэффициенты в формулу (8), получаем ^ 4 и{х, t) = у, ~^~? \4 S^n 2тгBк + l)t smBk + 1)тгж. к=о П ^ ' оо . Ответ. u(x,i) = У 4 —-т sin27rB/c + l)tsm.Bk + 1)тгж. Условия ЗАДАЧ. Решить первую смешанную задачу для одно- однородного волнового уравнения на отрезке 1. ии = ихх, хе @,2), te (о, ос), гг(ж,О) = О, ^(ж,0) =жB-ж), iz(O,t) = uB,t) = 0. 2. utt = 2uxx, же @,1), tE@,oo), iz(ar,O) = O, ^(ж,0) =жA-я), iz(O,t) = ifc(l,t) = 0. 3. ^ = 3г^жж, жЕ @,3), tE@,oo), гг(ж,О) = О, ut(x,0)=xC-x), u(Q,t) = uC,t) = 0. 4. utt=4uxx, жЕ @,2), ?Е@,оо), гг(ж,О) = О, гл*(ж,0) = жB - ж), u(Q,t) = uB,t) = 0. 5. utt=uxx, жЕ @,1), tE@,oo), гг(ж,О) = О, г^(ж,0) = жA - ж), u(Q,t) = u(l,t) = 0. 6. ии = -^ихх, xG @,4), ?Е@,оо), гг(ж,О) = О, щ(х,0) = жD - ж), iz(O,t) = uD,t) = 0. 7. гг« = -^жж, ж G @, 3), t G @, ос), и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = жC - ж), гг(О, t) = глC, t) = 0. 8. гг« = 9ггяя;, жЕ@,2), *е@,оо), и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = жB - ж), гг(О, t) = глB, t) = 0. 9. ^ = 16г^жж, же @,2), ?Е @,оо), гг(ж, 0) = 0, щ(х, 0) = жB - ж), гг(О, i) = иB, t) = 0. 10. utt = uxx, ж€ @,3), tE@,oo), и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = жC - ж), гг(О, t) = глC, t) = 0.
5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 225 Ответы. 2. 16 . 2Л + 1 2Л fc 1L sm ~2~^ sm - OO о , ,x ^ 36 3' "(*. *) = 1, ^4Bfe + 1) 3 , ч ^ 16 , ч 2k 4. iz(ar,t) = 2 iBfc + l)ti ' 7 ^7г4B/с + 1L оо . 5. и{х, i) = у —г- — sinB/c + 1)тг? sinB/c + 1)тгж. , ч ^> 54 . 2ife + l . 2ife + l U. Ci^tL ^ L J 7 ~T~r " Г~Т Dill /( L Dili /i Jb . ^ , ч ^ 36 . 2fc + l . 2fc + l .. ^v^,.y / ^ тг4B/г I IL /c=l Q ^ Л V^ 16 • 8. uyx,t) = у ^ At !„ Y4 sm ' , ч v^ 16 , 2yfe +1 9 u(x ti^y sinDA^ 4~ 2Or^sin тгж io. ' - ; ' 36 5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке Постановка задачи. Решить первую смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения на отрезке: ии - а2ихх = a sin —x + 4/3 sin3 —x + I67 sin5 —ж, A) Li i же (о,/), *е(о,оо), гг(ж, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, ж G @, /), B) iz(O,t) = iz(/,t) = O, te@,oo). C) 15 В.И. Афанасьев и др.
226 Гл. 5. Уравнения математической физики План решения. 1. Разлагаем правую часть уравнения A) в ряд Фурье по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке (О,/): {Vxx = Xv, x e (о,/), v@) = v(l) = 0, т.е. по системе функций sinGrx/l), sinB7rx//), sinC7rx//),... Имеем a sin —х + р sm —х + 7 sm ~ж = ill = (а + 3/5 + Ю7) sin —х — (/3 + 67) sin —ж + 7 sin -^-ж. 2. Решение задачи A)—C) ищем в виде и(х, t) = ui(t) sin —x + г^з(^) sin ——x + г^б(^) sin -—ж. D) 3. Подставляя выражение D) в уравнение A), получаем систему дифференциальных уравнений: u((t) + — a2Ul(t) = a + 3/5 + 107, E) 4. Начальные условия B) эквивалентны следующим начальным условиям для системы D): = 0. 5. Решая последовательно задачу Коши для каждого уравнения системы D), получаем Зтга — cos F) G) (8)
5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 227 6. Подставляя F)-(8) в формулу D), получим искомое решение задачи A)-C): (а + 3/? + 107)/2 Л тга \ . тг Цж, ?) = =-z I 1 - cos —t sin -ж - 57)/2 / Зтга \ . Зтг 7/2 / 5тга \ . 5тг 1 — cos ——t sin -—ж H z-^r 1 — cos —— t sin -— ж. 9тг2а2 V I J I 25тг2а2 V 1I Замечание. Аналогично решается задача ии - а2ихх = /(ж), ж Е (О, /), t Е @, ос), и@, t) = u(l, ?) = О, te @, ос) при произвольной непрерывной функции /(ж). Пример. Решить первую смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения на отрезке ии ~ихх =4 sin3 ж, ж G @, тг), t G @, ос), (9) и(ж, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, ж€ @, тг), A0) iz(O,*) = iz(tt,*) = O, *E@,oo). A1) Решение. 1. Разлагаем правую часть уравнения A) в ряд Фурье по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке @, тг): {vxx = Xv, x e (О,тг), v@) = v(n) = 0, т.е. по системе функций sin ж, sin2a:, sin3a:,... Имеем 4 sin3 ж = 3 sin ж — sin Зж. 2. Решение задачи (9)—A1) ищем в виде u(x,t) = ui(t) sin ж + г^з(^) йшЗж. A2) 3. Подставляя выражение A2) в уравнение (9), получаем систему дифференциальных уравнений: 15*
228 .Гл. 5. Уравнения математической физики 4. Начальные условия A0) эквивалентны следующим начальным условиям для системы A3): иг@) = и'г@) = 0, и3@) = и'3@) = 0. 5. Решая последовательно задачу Коши для каждого уравнения системы A3), получаем Ul(t) = 3A -cost), A4) u3(t) = --(l-cos3t). A5) 6. Подставляя A4) и A5) в формулу A2), получаем искомое реше- решение задачи (9)—A1): и(х, t) = 3A — cos t) sin x A — cos 3t) sin 3x. у Ответ. u(x, t) = 3A - cos t) sin x - - A - cos 3t) sin 3x. У Условия ЗАДАЧ. Решить первую смешанную задачу для неодно- неоднородного волнового уравнения на отрезке. 1. utt — ^ихх = 4 sin3 ж + 16 sin5 ж, же@,тг), ?g@,oo), и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, и@, t) = и(п, t) = 0. 2. utt ~ §ихх = 8sin3 ^ - 16sin5 ^, же@,2), ?е@,оо), гл(ж, 0) = 0, щ{х, 0) = 0, гл(О, t) = uB, t) = 0. 3. wtt - г^жж = sin— 4sin* — + 16sin° —-, х G @,3), t G @,oo), u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0, u(O,t)=uC,t) = O. 7TX о 7ГЖ с. ТТХ 4. г/tt - ^uxx = — sin— + 4sm — 16 sin —-, x G @,4), t G @, oc), 5. uu — 1®ихх = — 2sin7rx — 8 sin3 7rx + 16sin5 ттж, ж G @,1), ? G @, oc), u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0, u@,t)=u(l,t) = 0. 6. ^t-^^=sin^+4sin3^ + 32sin5^, xe @,3), tG @,oo), гл(ж,0) = 0, ^(ж,0) = 0, w@,t) =ifcC,t) = 0. 7. utt - 9uxx = 8 sin ж + 16 sin5 ж, x G (О,тт), t G @, oc), u(z, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, u@, t) = гл(тг, t) = 0. IT 1* ITT 8. wtt - 16г^жж = 2sin^- +32 sin5 —, x G @,4), t G @, oc),
5.15. Неоднородное волновое уравнение на отрезке 229 9. ии — 4:UXX = sin тгж — 4 sin3 тгж + 32 sin5 тгж, х G @,1), t G (О, ос), и(х, 0) = 0, г^(ж, 0) = 0, и@, t) = иA, t) = 0. 10. utt — ихх = -3sin—- + 16 sin5 —-, х G @,2), t G @, oo), u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0, u@,t)=uB,t) = 0. Ответы. 13 1 1. u(x, t) = — A — cos 2t) sin x A — cos 6t) sin 3x+ -\ A — cos lOt) sin5x. 16 / ЗТГ \ 7Г 2. Цж,2/) = -^2 ( 1-cos ytj sin-z+ 9тг \ Зтг 4 / 15тг \ 5тг 1 — cos —t sin —ж ^ 1 — cos 1 sin —ж. 27тг2 V 2 7 2 225тг2 V 2 / 2 3. гл(ж, i) = — [1 — cos — ?) sin —x A — cos nt) si тг2 V 3/3 тг2 . 9 / 5тг.\ . 5тг / ч 32 / 7Г \ . 7Г 16 / ЗТГ \ . ЗТГ 4. и(х, t) = г- 1 - cos —^ 1 sin —ж + -—г- 1 — cos — ? sin —-ж— тг^ V 2 / 4 9тН \ 2 у 4 5тг \ . 5тг 1 — cos —-г sin —-ж. 25тг2 V 2 7 4 5. и(х, t) = -—- A - cos 4тг^) sin тгж - A - cos 12тг?) sin Зтгж+ 8тг 48тг A — cos 20тг^) sin 5тгж. 400тг2 216 / тг \ . тг 11 6. г/(ж, t) = —^- A — cos — t) sin —x A — cos irt) sin тгж+ 7TZ \ 3/3 7TZ 18 / 5тг \ . 5тг 1 — cos —t sin —ж. 25тг2 V 3 7 3 2 5 7. г/(ж, t) = - A — cos 3i) sin тгж A — cos 12i) si У О -L H A — cos lbt) sin 5ж. / ч 14 / ч 7Г 10 . ЗТГ 8. щх, t) = —^ A — cos тг^) sin — x A — cos Зтг^) sin —x-\- tt 4 9тг 4 2 5тг H A — cos 15тг?) sin —ж. г2 4
230 .Гл. 5. Уравнения математической физики 9 1 9. и(х, t) = —— A — cos 2тг?) sin тгж — —— A — cos 6тг?) sin Зтгж+ Н - A — cos 10тг?) sin 5тгж. , ч 28 / тг \ тг 20 / Зтг \ Зтг 10. гл(ж, t) = —2 ( 1 — cos — t) sin —x — ——^ I 1 — cos —-t I sin —x+ 7Г V A / Zj У7Г \ A I A 5тт \ . 5тт 5.16. Однородное волновое уравнение в прямоугольнике Постановка задачи. Решить первую смешанную задачу для однородного волнового уравнения в прямоугольнике: ии = а2Ащ же@,а), у G @,/3), tG@,oo), (I) и(ж, 2/, 0) = 0, ^(ж, j/, 0) = Ажу(а - х)(C - у), B) гг(О, у, t) = и(х, 0, t) = и(а, у, t) = и(х, C, t) = 0. C) План решения. 1. Находим вспомогательные решения уравнения A) в виде v(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t), причем v@,y,i) = v(x,0,t) = v(a,y,i) = v(x,/3,t) = 0, т.е. Х@) = = X(a) = 0, Y@) =Y(/3) = 0. Для этого подставляем функцию v(x,y,t) в уравнение A) и разделяем переменные. Получаем лг11 -у II грп Поэтому функции Х(х), Y(y) и T(t) являются решениями связанных задач: а) X" - XX = 0, Х@) = Х(а) = 0; б) Y" - fjY = 0, У@) = У(/5) = 0; в) T//-a2(A + /i)T = 0. 2. Решаем задачи (а) и (б). Получаем Ап = -тг —^-, An = An sin —ж, га = 1, 2,..., 2ш2 т^ 7-, 7ГТП , ^ Mm = -тг -р-, rm = Bm sin —-5—2/, m = 1, 2,...
5.16. Однородное волновое уравнение в прямоугольнике 231 /9 9 /л л л 2 / П т 3. Решаем задачу (в). При А + /х = Хп + /im = — тг ( -^ + -г^- имеем 2 Общее решение этого уравнения есть Тпт = Anmcos7raW-j + -=г t + Bnmsunrai —; + -г^- t. у 2 р2 у а1 (З1 4. Итак, вспомогательные решения уравнения A) имеют вид - ^пт | Лпш COS 7Га^ / — -h — Г-h 7ГП 7ТТП sm —х sm -g-2 sin—x sin —— где Anm = CnrnAnm, Bnm = CnrnBnrn — постоянные, которые пред- предстоит найти. 5. Решение задачи A)—C) ищем в виде Vnm = n=l m=l n=l m=l _, . , ,v \ . 7ГП 7ГГП -\-Bnmsin7ra\l — + —- t\ sin—ж sin—2/. E) Эта функция является решением уравнения A) и удовлетворяет гра- граничным условиям C) при любых Апш и Впш, при которых ряд E) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Апш и Впт, при которых u(x,t) удов- удовлетворяет начальным условиям B). Полагая в E) t = 0, получаем / л V^ V^ л пп - 7ГГП и(х, у, о) = 2^ 2^ Апш sin "^Ж'sin ~^"y = °- П=1 771=1 Отсюда Апт = 0 (п = 1, 2,..., т = 1, 2,...).
232 Гл. 5. Уравнения математической физики Дифференцируя равенство E), полагая ? = 0 и используя началь- начальное условие B), получаем оо оо / о о 2^ 2^ Впш па\ ^2 + ~жsm ~^x'sm ~д~з/ = Аху(а - х)(Р - у)- п=1 т=1 уМ И Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что C / п2 т2 2 С 2 С 1гп тгт Впт7га* — + — = - / - / Аху(а- х)ЦЗ -у) sin—х sin—-у dydx. V az f3z a J f3 J a C Y о о Следовательно, 43 (О, п = 2к или т = 2/, , п = 2к + 1 и т = 21 + 1. Подставляя найденные значения Апт и i?nm в E), получаем иско- искомое решение и записываем ответ. Замечания. 1. Аналогично решается задача ии = а2Ащ же @, а), у G @,/?), *е@,оо), и(ж, 2/, 0) = /(ж, 2/), ^(ж, у, 0) = #(ж, у), и@, у, t) = г/(ж, 0, t) = гл(а, г/, t) = гл(ж, /3, t) = 0 при произвольных достаточно гладких функциях /(ж, у) и д(х,у), для которых получающиеся в ответе ряды можно дважды дифференци- дифференцировать почленно. 2. При каждом фиксированном t ряд E) является разложением и(х, г/, ?) по системе собственных функций оператора Лапласа в пря- прямоугольнике: Г Av = \v, жЕ@,а), у е {0,13), | v@, у) = v(a, у) = v(x, 0) = ?;(ж, /3) = 0.
5.16. Однородное волновое уравнение в прямоугольнике 233 Отыскание этих собственных функций и соответствующих им соб- собственных значений Л сводится к решению задач (а) и (б). Коэффи- Коэффициенты при t в E) являются квадратными корнями из собственных значений Л. Пример. Решить первую смешанную задачу для однородного вол- волнового уравнения в прямоугольнике ии=4Ащ же @,2), у G @,1), *е@,оо), F) и(х, у, 0) = 0, щ(х, у, 0) = B - х){1 - у)ху, G) и@, у, t) = и(х, 0, i) = и{2, у, t) = и(х, 1, t) = 0. (8) Решение. 1. Находим вспомогательные решения уравнения F) в виде v(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t), причем v@,y,i) = v(x,0,i) = vB,y,i) = v(x,l,i) = 0, т.е. Х@) = = XB) = 0, У@)=УA) = 0. Для этого подставляем функцию v(x,y,t) в уравнение F) и разделяем переменные. Получаем Поэтому функции Х{х), Y(y) и T(t) являются решениями связанных задач: а) X" - XX = 0, Х@) = Х{2) = 0; б) Y" -fjY = O, У@) = УA) = 0; в) Т" - 4(Л + fi)T = 0. 2. Решаем задачи (а) и (б). Получаем г1 4 Лп = -тг -—, Хп = An sin —-ж, п = 1, 2,..., 2 3. Решаем задачу (в). При Л + /i = Лп + /хш = —тг2 ( Ь т2 имеем Общее решение этого уравнения есть Tnm = Anm costtv n2 + 4ш2 t + Bnm sinvrv n2 + 4m2 ?.
234 Гл. 5. Уравнения математической физики 4. Итак, вспомогательные решения уравнения A) имеют вид Vnm{x,y,t) = Спш (Anrncos7r\/n2 + 4m2 t+ + Впт shitty nz-\- 4m2 t j sin—xsinтгтт/ = = f ^4nm cos тгу n2 + 4m2 ? + Bnm sin тгу n2 + 4m2 t J sin ~z~x sin тг7тгу, где Апт = Спт2пт, Бпт = СпшВпш — постоянные, которые пред- предстоит найти. 5. Решение задачи F)-(8) ищем в виде inrn cos тг у п2 + 47тг2 п=1 ?тг=1 п=1 га=1 + Бпт sin тг у п2 + 4т2 t j • sin —- х sin тг7тгу. (9) Эта функция является решением уравнения F) и удовлетворяет гра- граничным условиям (8) при любых Ап и Вп, при которых ряд (9) схо- сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 6. Находим коэффициенты Ап и Вп, при которых u{x,i) удовле- удовлетворяет начальным условиям G). Полагая в (9) t = 0, получаем у ^ у ^ Апш sin —х sin тгту = 0. тгп <*-пт ^1П п=1 ?тг=1 Следовательно, Апш = 0, п = 1, 2,..., гп- = 1, 2,... Дифференцируя равенство (9), полагая t = 0 и используя началь- начальное условие G), получаем Б7Г Л / 71 —I— 4?Т7 41 "П Т* 41Т1 ПТ11 — ГР11\Г) ПГ \ ( 1 II \ n=l ?тг=1 Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что о о
5.16. Однородное волновое уравнение в прямоугольнике 235 Следовательно, 256 — п ^ — 19 h — 19 k,m U5 IL -1? ^5 • • • ? ^ J-5 -^? • • • 5 ?>п,2/ — U, 771 — 1, Z, . . . , I — 1, Z, . . . Подставляя найденные значения Апш и -Bnm в (9), получаем Ответ. оо оо О^Л и x,y,t)- >>>. - /тт., ¦1J+4BГ+ТJBА; +1KB/+ IK X J tsm Условия ЗАДАЧ. Решить первую смешанную задачу для одно- однородного волнового уравнения в прямоугольнике. 1. ии = Ащ же @,1), 2/Е@,1), *Е@,оо), м(ж, у, 0) = 0, щ(х, у, 0) = A - ж)A - у)ху, и@, у, ?) = и(х, 0, t) = иA, г/, t) = г/(ж, 1, t) = 0. 2. ии = 9Ащ xG@,3), у G @,1), *Е@,оо), гг(ж, у, 0) = 0, щ(х, у, 0) = C - ж)A - у)ху, г/@, у, t) = гл(ж, 0, t) = глC, г/, t) = г/(ж, 1, t) = 0. 3. ии = 16Д^, ж G @,4), у ^ @, 2), * G @, оо), и(х, у, 0) = 0, щ(х, у, 0) = D - ж)B - у)ху, w@, у, t) = и(ж, 0, t) = wD, j/, t) = w(ar, 2, t) = 0. 4. гг« = 25Аг^, х G @, 5), у G @, 5), t G @, оо), гг(ж, у, 0) = 0, г^(ж, у, 0) = E - ж)E - у)жг/, г/@, у, t) = гл(ж, 0, t) = глE, г/, t) = г/(ж, 5, t) = 0. 5. ии=4Ащ xG@,2), 2/E(O,2), tE@,oo), гг(ж, у, 0) = 0, гл4(ж, у, 0) = B - х)B - у)ху, гг(О, у, t) = гл(ж, 0, t) = иB, у, i) = и(х, 2, t) = 0. 6. ии = Ащ хе @, 3), у G @, 2), t G @, оо), гг(ж, у, 0) = 0, гл4(ж, у, 0) = C - ж)B - у)жг/, и@, у, t) = гл(ж, 0, t) = глC, г/, t) = г/(ж, 2, t) = 0. 7. гг« = 9Дгг, жЕ@,2), 2/Е(О,3), tE@,oo), гг(ж, у, 0) = 0, гл4(ж, у, 0) = B - х)C - у)ху, гг(О, у, t) = гл(ж, 0, t) = иB, у, t) = и(х, 3, t) = 0.
236 .Гл. 5. Уравнения математической физики 8. ии = 16Ащ же @,1), j/e@,4), *е@,оо), и(х, у, 0) = 0, щ(х, у, 0) = A - ж) D - у)ху, и@, у, t) = и(х, 0, ?) = иA, у, i) = г/(ж, 4, ?) = 0. 9. ии = ЗбАщ же @,3), г/е(о,б), te(o,oo), м(ж, у, 0) = 0, и* (ж, у, 0) = C - ж)F - у)жг/, г/@, у, t) = гл(ж, 0, t) = глC, г/, t) = г/(ж, 6, t) = 0. 10. ии=49Ащ хе @,7), 2/е@,1), te@,oo), гл(ж, 2/, 0) = 0, щ(х, у, 0) = G - х)A - у)ху, и@, у, t) = и(х, 0, t) = и{7, у, t) = и(х, 1, *) = 0. Ответы. оо оо „. 1. 1KBZ + IK 576 1KBZ + IK x sin37rv/B^ + IJ + B1 + IJ tsinBA: + 1)-ж sinB/ + 1)тгг/. 3. u(x,y,t) = 4096 1KBZ + IK x sin47rv/B^ + IJ + B/ + IJ ?sinB& + l)-x sinB/ + l)-y. 4. u(x,y,t) = 40000 1KBZ + IK x sin57ri/Bik + IJ + B/ + IJ ?sinB& + l)-x sinB/ + l)-y. 5 5 oo oo . 1UZ4 1KBZ + IK 7Г x sin27n/Bik + IJ + B1 + IJ ?sinB& + 1)-ж sinB/ + l)-y. 6. u(x,y,i) = 1KBZ + IK x sin7iyBfc + IJ + B/ + IJ ^sinB^ + l)-x sinB/ + l)-
5.17. Задача Коши для волнового уравнения на прямой 237 7 и(х t), х Bl + iyBk + 1KB/ + 1K Х tsinBfc + l)-x sinBZ + l)- Z о 1П9/1 7Г IJ ?sinB& + lOrxsinB/ + l) of Л V^ 20736 9. u(x,y,i) = ) ) x sin67iVBfc + IJ + B1 + IJ ^sinBA: + 1)-ж sinB/ + l)-y. 3 6 10. u(x, y, t) = x sin 7?ri/Bfc + IJ + B/ + IJ t sinB& + 1) ^ж sinB/ + 1)тту. 5.17. Задача Когпи для волнового уравнения на прямой Постановка задачи. Решить задачу Коши для волнового урав- уравнения на прямой: ии = а2ихх, ?е@,оо), же(-оо,оо), A) и{х, 0) = щ(х), х Е (—оо, оо), B) ^(ж, 0) = г/1 (ж), х е (-со, со). C) План решения. Общее решение уравнения A) имеет вид и(х, t) = f(x + at) + g(x - at), D) где / и g — произвольные дважды дифференцируемые функции (за- (задача 5.2). Требуется найти конкретные функции / и g такие, что выполняются начальные условия B) и C). 1. Из B) и C) получаем f(x)+g(x) =uo(x), 1 E) Г()'() ()
238 .Гл. 5. Уравнения математической физики 2. Решаем систему E) относительно f(x) и д(х). Для этого диф- дифференцируем первое уравнение. Получаем f'(x) + д'{х) = и'0(х), 1 а Отсюда f'(x) = -U'Q — д'(Х) = -и'0(х)~ 1^ Интегрируя эти равенства, получаем X 1 If f(x) = - щ(х) + Ya\ о 1 if g(x) = - uo(x) - — / где Сi и С2 — произвольные постоянные. 3. Используя D), получаем x+at 1 1 Г u(x,t) =-uo(x + at) + — / u1(y)dy + dy dy о x — at 1 1 f -uo(x-ai) - — / u1{y)dy 2 2a J x-\-at 1 1 f - uo(x - at) + — / 2 2a J x — at 4. Из условия B) следует, что Поэтому Ci + С2 = 0. Записываем ответ С2 = x+at 1 1 1 Г ,t) = -uo(x + at) +-uo(x-at) +— / u1(y)dy. F) ж —at
5.17. Задача Коши для волнового уравнения на прямой 239 Замечание. Равенство F) называется формулой Даламбера. Пример. Решить задачу Коши для волнового уравнения на пря- прямой: ии=4ихх, ?е@,оо), же (-со, со), G) и(х,0) = е~х2, же (-со, со), (8) щ(х, 0) = ——-, х е (-оо, ос). (9) 1 + ХА План решения. Общее решение уравнения G) имеет вид и(х, t) = f(x + 2t) + g(x - 2t), A0) где / и g — произвольные дважды дифференцируемые функции. Тре- Требуется найти конкретные функции f та. g такие, что выполняются на- начальные условия (8) и (9). 1. Из (8) и (9) получаем 2. Решаем систему A1) относительно f(x) и д(х). Для этого диф- дифференцируем первое уравнение. Получаем Отсюда д'{х) = _ Интегрируя эти равенства, получаем f(x) = - е~х2 + - arctgx + Сь 1 2 1 д(х) = -е~х -- где С\таСч — произвольные постоянные.
240 Гл. 5. Уравнения математической физики 3. Используя (Ю), получаем 1 г1 и(х, i) = - е~(ж+2^ + - arctg(x + 2i) + G\ + ^ 4r 1 2 1 + -e~(a;-2t) --arctg(x-2?) + C2. 4. Из условия (8) следует, что Поэтому d + С2 = 0. Ответ. 1 2 1 2 1 1 v j ; 2 2 4 &v ; 4 &v ; Условия ЗАДАЧ. Решить задачу Коши для волнового уравнения на прямой. 2 3. utt = 2?хжж, г/(ж, 0) = arctgx — arctg(x + 1), щ(х, 0) = 0. 4. u« = uxx, u{x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1/A + x2). 5. iz^t = 3uxx, u(x,0) = 0, ^(ж,0) = 1/сЬж. 6. ^ = 2г^жж, гг(ж, 0) = 0, ut(x, 0) = же-ж2/2. 7. uu = uxx, u(x,0) = e~*2, ut(x,0) = xe~x2/2. 8. utt = 2?хжж, гг(ж, 0) = 1/A + ж2), г^(ж, 0) = ж2/A + х6). 9. utt = 3?хжж, гг(ж,О) = 1/chz, гл4(ж,О) = 1/A +ж2). Ю. гА^* = 5г^жж, гл(ж, 0) = е~ж , г/^(ж, 0) = 1/сЬж. Ответы. , , 11 11 4 ' у 2 1 + (х + ^J ' 21- 2.u(x,t) = -e +-e 1 1 3. u(x,i) = - arctg(x + V%i) arctg(x - - arctg(x -y/2t) arctg( 4. u(x, t) = - arctg(x + i) -\— arctg(x — i). A A
5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке 241 5. u(x,t) = -^arctge л/3 л/3 6. u{Xit) = _^e- ^ 7. u(x,t) = \ е-(ж+*J + \ e"^-*J - \ ) + 2 /2 /2 + ^— arctg(x + \/2^K - ^r- arctg(x - -l г l l M(M) " 2 h^ + 2 /з /з + ^- arctg(x + л/31) - ^- arctg(x - л/31). 10. u(a;,t) = !e-(+^*J 5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке Постановка задачи. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке: щ = а2ихх, хе @,/), ?е@,оо), A) гл(О, t) = u(l,t) = 0, tG@,oo). C) План решения. 1. Находим вспомогательные решения уравнения A) в виде v(x,t) = X(x)T(t), причем v(O,t) = v(l,t) = 0, т.е. Х@) = ХA) = 0. Для этого под- подставляем функцию v(x,i) = X(x)T(t) в уравнение A) и разделяем переменные. Получаем X" Т1 A 16 В.И. Афанасьев и др.
242 Гл. 5. Уравнения математической физики Поэтому функции Х(х) и T(t) являются решениями связанных задач: а) Х"(х) - ХХ(х) = О, Х@) = ХA) = 0; б) Т - а2\Т = 0. 3. Решаем задачу (а). Уравнение X" — XX = 0 имеет общее решение Из граничных условий Х@) = Х{1) = 0 следует, что /7ГП\2 . 7ГП Хп = -у-у) , Xn = Gnsin—ж, п = 1,2,.. 4. Решаем задачу (б). При Л = Лп = — f — j имеем Общее ренгение этого уравнения есть 5. Итак, вспомогательные решения уравнения E) имеют вид vn(x, t) = СпАпе-^УаЧ sin —x = Апе~^ТаЧ sin —x, где Ап = СпАп — постоянные, которые предстоит найти. 6. Решение задачи A)—C) ищем в виде ) и(х, t) = ^2 у™(х>1) = ^2 ^пб~(^) °2* sin ^x. D) п=1 п=1 Эта функция является решением уравнения A) и удовлетворяет гра- граничным условиям C) при любых Ап, при которых ряд D) сходится. Его можно дважды дифференцировать почленно. 7. Находим коэффициенты Ап такие, что и(х, t) удовлетворяет начальному условию B). Полагая в D) t = 0, получаем оо и(х, 0) = ^^ Ап sin —-X = f(x). n=l l Следовательно, г 2 [ тгп Ап = — I j(x) sin -— хах. I J I
5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке 243 Подставляя эти коэффициенты в формулу D), получаем искомое решение u(x,t) и записываем ответ. Замечание. При каждом фиксированном t ряд D) является разло- разложением и(х, i) по системе собственных функций оператора Лапласа на отрезке @, /): {vxx = Xv, x e (о,/), v@) = v(l) = 0. Задача (а) состоит в отыскании этих собственных функций и соот- соответствующих им собственных значений Л. Коэффициенты при t в D) являются собственными значениями Л. Пример. Решить первую смешанную задачу для уравнения теп- теплопроводности на отрезке: щ = у>хх1 же @,1), ?е(о,оо), E) и(х, 0) = sin3 2тгж, же @,1), F) u@,t) = u(l,i) = 0, ?E@,oo). G) Решение. 1. Находим вспомогательные решения уравнения E) в виде v(x,t) = X(x)T(t), причем v@,i) = v(l,i) = 0, т.е. X@) = Х{1) = 0. Для этого под- подставляем функцию v(x,i) = X(x)T{t) в уравнение E) и разделяем переменные: X" _ Г _ Поэтому функции Х(х) и T(t) являются решениями связанных задач: а) Х"(х) - ХХ(х) = 0, Х@) = ХA) = 0; б) Г -ХТ = 0. 3. Решаем задачу (а). Уравнение X" — XX = 0 имеет общее решение Из граничных условий Х@) = Х{1) = 0 следует, что Л _ 2 2 хг _ /^ • — 10 /\fi — /Г ТЪ , -l*-ti — ^7т, Sin 7Г77/Ж, 7Т/ — J., ^, . 16*
244 Гл. 5. Уравнения математической физики 4. Решаем задачу (б). При Л = Лп = —тг2п2 имеем Г + тг2п2Т = 0. Общее решение этого уравнения есть Т — А р-^^1 п — 1 9 5. Итак, вспомогательные решения уравнения E) имеют вид vn(x, t) = СпАпе~ж п l sin —х = /7ТТ1 2 2 /7ТТ1 Ае~^ п l sin — где Ап = СПЛП. 6. Решение задачи E)-G) ищем в виде оо оо u(x,t) = ^vn(x,t) = Y^ Aner2n2*sin7rnar. (8) Эта функция является решением уравнения E) и удовлетворяет гра- граничным условиям G) при любых Ап, при которых ряд (8) сходится. Его можно дважды дифференцировать почленно. 7. Находим коэффициенты Ап такие, что и{х, i) удовлетворяет начальному условию F), которое запишем в виде 3 1 и{х, 0) = sin3 2тгж = - sin 2тгж sin бтгж. Полагая в (8) t — 0, получаем оо 3 1 и(х, 0) = 2_2 Ап sm кпх = - sin 2тгж — - sin бтгж. п=1 Отсюда 3 1 А2 = -, А6 = --, Ах = А3 = А4 = Аъ = 0, Ап = 0, п ^ 7. Подставляя эти коэффициенты в формулу (8), получаем 3 2 1г и(х, i) = - е~4п l sin 2тгж - - е~3б7Г l sin бтгж. 4 4 / ч 3 _д 2, 1 ~fi ?. Ответ. щхЛ) = - е sin27rx e v y 4 4
5.18. Уравнение теплопроводности на отрезке 245 Условия ЗАДАЧ. Решить первую смешанную задачу для уравне- уравнения теплопроводности на отрезке. 1. щ=Аихх, хе @,2), ?е@,оо), и(х, 0) = sin3 2тгж — sin 4тгж, и@, t) = г/B, ?) = 0. 2. ^ = 9ихх, хе @,3), *Е @,oo), и(х, 0) = 4 sin3 Зтгж + 2 sin бтгж, u@, ?) = глC, ?) = 0. 3. ^=4^жж, a?G @,1), *G@,oo), гг(ж, 0) = 16 sin3 тгж - 3 sin 2тгж, u@, ?) = u(l, t) = 0. 4. щ=ихх, же @,2), ?е@,оо), г*(ж, 0) = 8 sin3 4ттж - 2 sin бтгж, u@, t) = глB, t) = 0. 5. щ=ихх/1, х е @,1/2), tG@,oo), гг(ж, 0) = sin3 ттж + 4 sin 2тгж, гл(О, t) = глA/2, t) = 0. 6. щ=ихх/9, xG@,3), tG@,oo), гг(ж, 0) = 8 sin3 Зттж - 4 sin 12тгж, iz@, t) = izC, t) = 0. 7. щ=4ихх, же @,4), tG@,oo), u(x, 0) = 2 sin3 7гж + sin 4тгж, u@, t) = izD, t) = 0. 8. щ=4ихх, же @,1/2), *G@,oo), u(x, 0) = 8 sin3 7tx - sin 2тгж, гл(О, t) = u(l/2, t) = 0. 9. щ=ихх, ЖЕ @,1/3), tG@,oo), u(x, 0) = 2 sin3 2ттж - sin тгж, u@, t) = ^A/3, t) = 0. 10. ^ = 9г^жж, ЖЕ @,1), *G@,oo), гх(ж, 0) = 4 sin3 тгж — sin 2ттж, iz@, i) = iz(l, t) = 0. Ответы. Q 1 1. u(x,t) = -e7 ^ттгж е~97Г *sin27ra: - е47Г ^тЗтгж; 2. м(ж, ?) = Зе"97г2* sin тгж + 2е~4Л sin 2тгж - е81Л sin Зтгж; 3. iz(ar, i) = 12e~A7vH sin тгж - Зе~1бЛ sin 2тгж - 4е~3бЛ sin Зтгж; 4. iz(ar, i) = 6е~47тН sin 2тгж - 2е~Л sin Зтгж - 2е~3бЛ sin бтгж; 5. и(х, i) = те* sin 2тгж + Ае~^Н sin 4тгж - -е"9^* sin бтгж; 6. ?х(ж, t) = 6е~Gг2^/9 sin тгж - 2е~Л sin Зтгж - 4е"Aб7г2*)/9 8т4тгж; 7. ^(ж, *) = |е-(-2*)/16 sin ^ж - 1е-(9-2*)/16 sin ^ж + в"-2* sin тгж 8. iz(ar, t) = -6е~1бЛ sin 2тгж - е47Г^ sin 4тгж + 2е447Г^ sin бтгж; 9. u(x, t) = —е п l sin Зтгж — е п t sin бтгж е п l sin 18тгж; ^ о 10. iz(ar, t) = Зе~9Л sin тгж - еб7Г^ sin 2тгж - е~817тЧ sin Зтгж.
246 .Гл. 5. Уравнения математической физики 5.19. Уравнение теплопроводности в круге Постановка задачи. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности в круге: щ = а2Аи, 0 ^ г < г0, t > 0, A) u(r,0) = r2-r2, 0^r<r0, B) u(ro,t) = 0, t>0. C) План решения. 1. Записывал оператор Лапласа А в полярных координатах, полу- получаем уравнение ди _ 2 (д2и \ди 1 д2и а + + Так как граничное и начальное условия не зависят от (р и коэффици- коэффициенты уравнения также не зависят от <??, решение первой смешанной задачи A)—C) тоже не зависит от <??, т.е. u(r,(p,t) = u(r,t), где функция u(r, t) удовлетворяет уравнению D) с д2и/д(р2 = 0: ди 2 (д2и 1 ди =a { + 2. Находим вспомогательные решения уравнения E) в виде v(r,t) = R(r)T(t), причем |-R@)| < оо и R{^o) = 0. Для этого подставляем функцию г;(г, z) = R(r)T(t) в уравнение E) и разделяем переменные. Получаем dr V dr , пт \- — = -^- = -A = const. R T Поэтому функции R(r) и T(t) являются решениями связанных задач: 1 а) Д" +-Д; + Аа2Д = 0, 0 ^ г < г0, |Д@)| < оо, R(r0) = 0. г б) Г + Ха2Т = 0.
5.19. Уравнение теплопроводности в круге 247 4. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения R" -\—R' + XR = 0 имеет вид г " \R' г R(r) = AJ0{VXr) где Jo и Уо — функции Бесселя и Неймана. Поскольку |-R@)| < ос, а Уо(г) —>• оо при г —>> 0, полагаем 5 = 0. Используя граничное условие R(tq) = 0, получаем = 1,2,..., где /in — нули функции Бесселя Jo (ж), т.е. Jo(fin) = 0, п = 1, 2,... 5. Решаем задачу (б). При Л = Лп = (/хп/го) имеем Общее решение этого уравнения есть 6. Итак, вспомогательные решения уравнения E) имеют вид vn(r, z) = AnBnJ0 —r)e\ro ) =^nJ0 —r)e V -o ) где An = An Bn — постоянные, которые предстоит найти. 7. Решение u(r, i) ищем в виде F) n=l n=l ^ '° ^ Эта функция является решением уравнения A) и удовлетворяет гра- граничному условию C) при любых Ап, при которых ряд F) сходится и его можно дважды дифференцировать почленно. 8. Находим Ап, при которых u(r,i) удовлетворяет начальному условию B). Полагая в F) t = 0, получаем n=l
248 .Гл. 5. Уравнения математической физики Отсюда в силу формул Эйлера-Фурье следует, что ~ г2 Т2(и ) ~ и2 Т2(и V П ~ (см. задачу 3.7). Подставляя эти коэффициенты в формулу F), получаем -г . Замечание. Аналогично решается задача щ = а2Аи, 0 ^ г < го, t > О, u(ro,t) = О, ? > О, при произвольной непрерывной функции /(г) такой, что /(го) = 0. Пример. Решить первую смешанную задачу для уравнения теп- теплопроводности в круге: щ = Аи, 0 ^ г < 1, t > 0, G) u(l,t) = 0, t>0. (9) Решение. 1. Записывая оператор Лапласа А в полярных координатах, полу- получаем уравнение ди_д^а 1ди 1 д2и at от2 г ar т1 d(pz Так как граничное и начальное условия не зависят от (р и коэффици- коэффициенты уравнения также не зависят от ф, решение первой смешанной задачи G)—(9) тоже не зависит от ф, т.е. u(r, (p,i) = u(r,i), где функция u(r,t) удовлетворяет уравнению A0) с д2и/д(р2 = 0: ди (д2и 1ди" 2. Находим вспомогательные решения уравнения A1) в виде v(r,t) = R(r)T(t),
5.19. Уравнение теплопроводности в круге 249 причем |.R@| < ос и R(l) = 0. Для этого подставляем функцию г;(г, z) = R{r)T(t) в уравнение A1) и разделяем переменные. Получаем ( (г dr I dr J fj+ Л Поэтому функции R(r) и Т(?) являются решениями связанных задач: а) Д/; +-Д; + ЛД = 0, 0^г<1, |Д@)|<оо, ДA) = 0. г б) Г + ЛТ = 0. 4. Решаем задачу (а). Общее решение уравнения R" -\—R' + ЛД = 0 имеет вид г где Jo и Yq — функции Бесселя и Неймана. Поскольку |Д@)| < схэ, а Yo(r) ~^ °° ПРИ Т ~^ 0^ полагаем 5 = 0. Используя граничное условие R(l) = 0, получаем An = Mn2, Rn = AnJ0(/inr), n=l,2,..., где /in — нули функции Бесселя Jo (ж), т.е. Jo(fin) = 05 п = 1, 2,... 5. Решаем задачу (б). При Л = Лп = /i^ имеем Т; + //2 Г = 0. Общее решение этого уравнения есть Tn(t) = В„е-"«*. 6. Итак, вспомогательные решения уравнения A1) имеют вид vn(r, z) = AnBnJ0 (цпг) е~^пН = AnJ0 (^nr) e~^\ где Ап = Ап Вп — постоянные, которые предстоит найти. 7. Решение u(r, t) ищем в виде u(r,t) = Y;Vn(r,t) = ^2АпМ^пг)е-^г. A2) п=1 п=1 Эта функция является решением уравнения A1) и удовлетворяет гра- граничному условию (9) при любых Ап, при которых ряд A2) сходится. Его можно дважды дифференцировать почленно.
250 .Гл. 5. Уравнения математической физики 8. Находим Ап, при которых u(r,t) удовлетворяет начальному условию (8). Полагая в A2) t = 0, получаем оо U(ri °) = 5^ AnJo i/^пГ) = 1 - Г2. п=1 Отсюда в силу формул Эйлера—Фурье следует, что 1 2/(l-r2)J0(/inr)rdr А __0 Подставляя эти коэффициенты в формулу A2), получаем / ,\ v^ 4J2(/in) _ 2, ^Г *) = Z e Mn J0 (МГ) n=l ОО Л 7 ( \ Ответ. U(r,t) = J2 wi^- n=l Условия ЗАДАЧ. Решить первую смешанную задачу для уравне- уравнения теплопроводности в круге. 1. щ = 2Ащ 0 ^ г < 3, t G @, ос), и(г,0) = 9 - г2, мC,?) = 0. 2. iz* = ЗДм, 0 ^ г < 4, ? G @, ос), гл(г, 0) = 16 - г2, ггD, ?) = 0. 3. щ=4Ащ 0 ^ г < 2, ? G @, ос), и(г,0) = 4 - r2, izB,t) = 0. 47/, ^/\?| П *ч f -ч 1 / (^ (О Г>Г\\ ll(r (W 1 Г 1\(Л т\ П 5. ^ = 16Д?х, 0 ^ г < 5, t G @, ос), и(г, 0) = 25 - г2, ггE, t) = 0. 6. ^ = 9Дгг, 0 ^ г < 6, * G @, ос), и(г, 0) = 36 - г2, ггF, t) = 0. 7. izt = Дгл, 0 ^ г < 7, * G @, ос), и(г, 0) = 49 - г2, ггG, t) = 0. 8. щ = ЗАщ 0 ^ г ^ 2, t G @,ос), гл(г, 0) = 4 - 2 9. щ = 6Ащ 0 ^ г ^ 3, t G @, ос), гл(г,О) = 9 - г2, ггC,*) = 0. 10. гл4 = 7Дг^, 0 ^ г < 8, t G @, ос), гг(г, 0) = 64 - г2, гл(8, t) = 0. Ответы. 1. u(r,t) =
5.20. Задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой 251 n=l "" ^ 100J2(Mn) -i^t 5е 25 _ 5- « / .ч Y^ 144J2(/in) _ 6- иМ=]^шяе 5.20. Задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения теп- теплопроводности на прямой: щ = а2Аихх, х е (—оо,+оо), ?е@,+оо), A) и(х, 0) = e~ax4f3x х е (-оо, +ос). B) План решения. Решение задачи Коши для уравнения теплопро- теплопроводности на прямой определяется формулой Пуассона: C) Таким образом, задача сводится к вычислению интеграла C). 1. Делаем замену переменной в интеграле C): Получаем + ОО V71" J
252 Гл. 5. Уравнения математической физики 2. Выделяя полный квадрат в выражении -у2 - aBVaHy + xf + CBVaHy + х) и используя равенство + ОО / е и du = у^ — оо находим искомое решение и записываем ответ. Пример. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности щ = ихх, х Е (—оо,+оо), ?е@,+оо), D) и(х,0) = е~х же(-оо,+оо). E) Решение. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой определяется формулой Пуассона C). При а = 1, а = 0 к C = — 1 имеем +оо e-{J^e-^d?. F) — oo Таким образом, задача сводится к вычислению интеграла F). 1. Делаем замену переменной в интеграле F): Получаем +оо 1 Г 2 п | (rft 4-\ / /э У /D ¦" V ty X fin. V71" J — oo 2. Выделяя полный квадрат в выражении —у2 — 2\Ду — х = — f у + V^j + ^ — ж, получаем + ОО +ОО 1 Г Г 1 (т f\ _ / -(y+Vif t-x i _ t-x I -B/+V*r ^ — Рг~х V71" У У — oo —oo Ответ. u(x,t) = е*~ж.
5.20. Задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой 253 Условия ЗАДАЧ. Решить задачу Коши для уравнения теплопро- теплопроводности ), *G@,+oc), ), *G@,+oc), = 3ихх, (,), (,), (,) З.щ 4ихх, xG(oo,+oo), *g@,+oo), и(х,0) = e. 4. щ = ихх, х е (-ос, +со), t е @, +ос), и(х, 0) = е~2х +5ж. 5.щ = 3ихх, же(-ос,+оо), ^G@,+oc), u(x, 0) = е-ж2+3ж 6. ifct = 5ггжх, 7.щ = 2ихх, = е~ж +Зж ), u(x,0) = е Зж2 х ~, ~у, . ч_ v^, , _), и(х,0) = еж2+ж 8. щ = ихх, ж G (—оо,+оо), *G@,+oo), и(х,0) = е~ 10. ^ = 3?хжж, ж G (—оо,+оо), * G @,+оо), ?х(ж,0) = е~ Ответы. 1. гл(ж,*) = -д 2. 4. и(хЛ) = . л/ГТ V ; VI + 12* 1 5tFa;-lJ о 2 V ; VI + 60* 1 2t(8X + lJ 1 2 ¦ - g l + 32t ^ 7. г^(ж,*) = —= л/1 9. гл(ж, *) = 10.
Глава 6 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ При изучении темы ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ вы познакоми- познакомитесь с различными примерами вероятностных моделей случайных явлений (экспериментов): классической вероятностной моделью, гео- геометрическими вероятностями, схемой испытаний Бернулли, простей- простейшим потоком событий. Вы научитесь вычислять вероятности слу- случайных событий (суждений о результатах случайного эксперимента) используя вероятности так называемых элементарных исходов или используя формулы, позволяющие по вероятностям отдельных со- событий находить вероятности их комбинаций. При этом вы позна- познакомитесь с важнейшим понятием теории вероятностей — понятием независимых случайных событий. Вы научитесь анализировать слу- случайные величины (обобщенные числовые характеристики случайного эксперимента), находя их распределение (вероятностное описание) или некоторые усредненные характеристики, такие, как математи- математическое ожидание и дисперсия. Вы познакомитесь с основными рас- распределениями случайных величин: Пуассона, Коши, Лапласа, рав- равномерным, нормальным, показательным, биномиальным, геометри- геометрическим и т.д. Вы научитесь находить характеристические функции случайных величин и по ним — математическое ожидание и диспер- дисперсию. Вы научитесь анализировать случайные векторы, находя их распределение или такие усредненные характеристики, как вектор рассеяния или ковариационную матрицу. Вы научитесь анализиро- анализировать числовые функции случайных величин или векторов. Наконец, вы научитесь вычислять вероятности, связанные с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин, используя центральную предельную теорему. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ поможет вам выполнить вычисления и предоставит необходимую справочную информацию. В частности, в пакете РЕШЕБНИК.ВМ можно легко вычислить значения стандарт- стандартных функций, часто используемых при решении вероятностных за- задач.
6.1. Классическая вероятностная модель 255 6.1. Классическая вероятностная модель Постановка задачи. Проводится некоторый случайный экс- эксперимент, в котором число элементарных исходов конечно и все они равновозможны (бросание нескольких монет или игральных ку- кубиков, приобретение некоторого числа лотерейных билетов, выбор нескольких карт из колоды и т.п.). Найти вероятность некоторого случайного события А, связанного с этим экспериментом. План решения. При конечном числе равновозможных элемен- элементарных исходов вероятность события равна отношению числа эле- элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Оно характеризуется тем, что всякая реализация случайного экс- эксперимента может быть описана одним и только одним элементарным исходом. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. При решении задач равновозможность элементарных исходов сле- следует из соображений симметрии или предполагается, что она гаран- гарантирована методикой проведения случайного эксперимента. На практике равновозможность элементарных исходов случайного эксперимента проверяется анализом его результатов с помощью ма- математической статистики. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению события А (благоприятные исходы). Критерием отбора служит описание события А. 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов N (число эле- элементов пространства элементарных исходов). Это делается непосредственно или с помощью комбинаторики. 5. Подсчитываем число элементарных исходов ТУд, благоприят- благоприятствующих событию А. Это делается непосредственно или с помощью комбинаторики. 6. Согласно классическому определению вероятности Пример. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что число выпавших очков на одном кубике в два раза больше, чем на другом. Решение. При конечном числе равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных
256 .Гл. 6. Теория вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу эле- элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Пронумеруем кубики. Тогда элементарный исход случайного экс- эксперимента есть упорядоченная пара чисел G11,712), где п\ — число выпавших очков на первом кубике и П2 — на втором. Все элементарные исходы удобно изобразить в виде таблицы A,1) A,2) A,3) A,4) A,5) A,6) B,1) B,2) B,3) B,4) B,5) B,6) C,1) C,2) C,3) C,4) C,5) C,6) D,1) D,2) D,3) D,4) D,5) D,6) E,1) E,2) E,3) E,4) E,5) E,6) F,1) F,2) F,3) F,4) F,5) F,6) 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. Поскольку кубики симметричны, сделаны из однородного мате- материала и бросаются надлежащим образом, все элементарные исходы равновозможны. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению события А (благоприятные исходы). Для интересующего нас события А благоприятны такие исходы G74,77,2), при которых ni = 2п2 или 2ni = 77-2. Очевидно, что это исходы A,2), B,4), C,6), B,1), D,2) и F,3). 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов N (число эле- элементов пространства элементарных исходов). Очевидно, что 7V = 36. 5. Подсчитываем число элементарных исходов, благоприятствую- благоприятствующих событию А. Очевидно, что Na = 6. 6. Согласно классическому определению вероятности Ответ. Р(А) = 6/36. Замечание. Если кубики неразличимы, то кажется вполне естес- естественным считать элементарным исходом неупорядоченную совокуп- совокупность двух выпавших чисел, записывая их, например, по возраста- возрастанию. Однако в этом случае элементарные исходы не будут равно- возможны (как показывает опыт, исход A,2), например, встречается примерно в два раза чаще, чем исход A,1)). Условия ЗАДАЧ. Бросаются два игральных кубика. Найти ве- вероятность указанного события. 1. Сумма числа очков равна 7.
6.2. Гипергеометрическая формула 257 2. Сумма числа очков больше 3. 3. Сумма числа очков больше 4, но меньше 7. 4. Модуль разности числа очков равен 2. 5. Модуль разности числа очков больше 1. 6. Произведение числа очков не больше 10. 7. Большее число очков больше 4. 8. Меньшее число очков больше 4. 9. Число очков хотя бы на одном кубике четно. 10. Число очков на обоих кубиках нечетно. Ответы. 1. 1/6. 2. 11/12. 3. 1/4. 4. 2/9. 5. 5/9. 6. 19/36. 7. 4/9. 8. 1/9. 9. 3/4. 10. 1/4. 6.2. Гипергеометрическая формула Постановка задачи. Имеется некоторое множество D, состо- состоящее из п элементов. Множество D по некоторому признаку разде- разделяется на два подмножества А и В, причем подмножество А имеет па элементов, а подмножество В — пв элементов (па + пв = п). Из D наудачу выбираются т (т ^ п) элементов. Найти вероят- вероятность того, что среди выбранных т элементов mi, или rri2, ..., или mk {mi ^ ^i) будут принадлежать подмножеству А. План решения. При конечном числе равновозможных элементарных исходов ве- вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов. Решим задачу при к = 1, а затем при к > 1. I. к = 1. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Элементарный исход — это произвольное подмножество из D, со- содержащее т элементов. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае равновозможность элементарных исходов опре- определяется методикой выбора т элементов. Предполагаем, что она га- гарантирует равновозможность элементарных исходов. Заметим, что при неудачной методике выбора исходы могут не быть равновозмож- ными. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению события (благоприятные исходы). 17 В.И. Афанасьев и др.
258 .Гл. 6. Теория вероятностей Для этого используем признак, по которому происходит разделе- разделение множества D на два подмножества Аи В. Благоприятные исходы формируются путем произвольного выбора mi элементов из множе- множества А и произвольного выбора т — mi элементов из множества В. 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов N (число эле- элементов пространства элементарных исходов). Поскольку элементарный исход — это произвольное подмножес- подмножество из .D, содержащее т элементов, число элементарных исходов равно числу таких подмножеств, т.е. N = Ст = п т\(п — т)\ 5. Подсчитываем число элементарных исходов JV(rai), благо- благоприятствующих заданному событию. Для этого определяем числа элементов в множествах А и В, т.е. числа па и пв {па + пв = п). Благоприятные исходы формируются путем произвольного вы- выбора mi элементов из множества А, состоящего из па элементов, и произвольного выбора m — mi элементов из множества В, состоящего из пв элементов. Поэтому число благоприятных исходов равно N(mi) = CZCZ-mi. 6. Обозначим Р(т\) вероятность того, что среди выбранных т элементов ровно mi будут принадлежать множеству А. Согласно классическому определению вероятности N(mi) = с™2 с™-™1 N С™ Эта формула называется гипергеометрической. П. к > 1. Число благоприятных исходов равно TV(rai) + N{m2) + ... + N{mk). Поэтому искомая вероятность равна N(m2) + ... + N(mk) N = P{mi) + P(m2) + • • • + P(mk) =
6.2. Гипергеометрическая формула 259 Замечание. Если к велико, то удобно перейти от интересующего нас события к противоположному, учитывая, что сумма вероятностей этих двух событий равна 1. Пример. Найти вероятность того, что среди шести карт, наугад взятых из колоды в 36 карт, окажутся ровно три фигуры черного цвета. Решение. При конечном числе равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу эле- элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Элементарный исход — это произвольный набор 6 карт из колоды в 36 карт. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае равновозможность элементарных исходов опреде- определяется методикой выбора карт. Предполагаем, что она гарантирует равновозможность элементарных исходов. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению события (благоприятные исходы). Признак, по которому карты относятся к множеству А, — черная фигура, т.е. туз, король, дама, валет треф либо пик. А содержит только эти карты, а, В — все остальные. Благоприятные исходы формируются путем произвольного вы- выбора 777,1 = 3 карт из множества А и произвольного выбора m — mi = = 6 — 3 = 3 карт из множества В. 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов N (число эле- элементов пространства элементарных исходов). Поскольку элементарный исход — это произвольный набор из 7тг = 6 карт и полное число карт равно 36, число элементарных ис- исходов равно числу подмножеств из 6 элементов в множестве из 36 элементов, т.е. 36! 31-32-33-34-35-36 N ~ °36 " 6!C6-6)! " 1-2. 3-4- 5-6 - 1947792- 5. Подсчитываем число элементарных исходов JV(rai), благо- благоприятствующих заданному событию. Для этого определяем числа элементов в множествах А и В, т.е. числа па и пв {па + пв = п)- Имеем па = 8 (туз, король, дама, валет треф и пик) и пв = 28 (па + ^в = 8 + 28 = 36 = п). 17*
260 .Гл. 6. Теория вероятностей Благоприятные исходы формируются путем произвольного вы- выбора 77ii = 3 карт из множества А, состоящего из па = 8 карт, и произвольного выбора т — mi = 6 — 3 = 3 карт из множества В, со- состоящего из пв = 28 карт. Поэтому число благоприятных исходов равно о| ой! т = ci а8 = —. — = 183456. 6. Согласно классическому определению вероятности Cl Cls 183456 546 ЛГ C& Ш7792 5797 ^ Ответ. PC) = Cf Cf8/Cf6 « 0.0942. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. 1. Среди TV лотерейных билетов М выигрышных. Найти вероят- вероятность того, что из п (п ^ N) купленных билетов ровно т (т ^ М) билетов будут выигрышными. 2. В игре „Спортлото" участник отмечает на карточке 6 из 49 ви- видов спорта. Найти вероятность того, что он угадает по крайней мере три из шести видов спорта, полученных в результате розыгрыша. 3. Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых из колоды в 36 карт, будет ровно два туза. 4. Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взя- взятых из колоды в 36 карт, будет пять карт одного цвета, а шестая — другого. 5. В ящике имеются 10 белых и 15 черных шаров. Наудачу извле- извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет ровно два белых шара. 6. Из полного набора домино B8 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками. 7. Из полного набора домино B8 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы два дубля. 8. Из полного набора домино B8 штук) наудачу выбирают семь костей. Найти вероятность того, что суммарное число очков на каж- каждой кости меньше 7. 9. Студент в состоянии удовлетворительно ответить на 20 биле- билетов из 25. Преподаватель разрешает один раз заменить не понра- понравившийся студенту билет на другой. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен.
6.3. Размещение шаров по ящикам 261 10. Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 сту- студенток, для анкетирования произвольным образом отбирают 5 че- человек. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна студентка. Ответы^ 1. C^CnN-_mM/CnN.^ 2. (CfС|3 + С%СЪ + С56С13 + 1)/С|9. 3. С4С32/С36. 4. 2С18С18/С3б. 5. С10С15/С25. 6. 1 — С21/С28. l l. 8.C716/C72S. 9.1-Ci/C^. 10. l-C 6.3. Размещение шаров по ящикам Постановка задачи. Имеется г шаров, которые наудачу раз- размещаются по п ящикам, причем каждый ящик может вместить сразу все шары. Требуется найти вероятность некоторого случай- случайного события А, определяемого распределением шаров по ящикам. План решения. При конечном числе равновозможных элемен- элементарных исходов вероятность события равна отношению числа эле- элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Пронумеруем все ящики и все шары. Тогда элементарным исхо- исходом рассматриваемого случайного эксперимента является набор чи- чисел (ii, 22, • • •, гг), где i\ — номер ящика, в котором оказался первый шар, г2 — номер ящика, в котором оказался второй шар, и т.д. Оче- Очевидно, что каждое из чисел ii, Z2, • • •, ir может принимать любое на- натуральное значение от 1 до п. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. Предполагается, что она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, т.е. размещения шаров по ящикам. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению события А (благоприятные исходы). Критерием отбора служит описание события А. 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов N (число эле- элементов пространства элементарных исходов). Число элементарных исходов равно пг, поскольку на каждой из г позиций в наборе (ii, i2,..., гг) может быть любое из п чисел 1,2,... ,п и эти позиции заполняются независимо друг от друга. 5. Подсчитываем число элементарных исходов Na, благоприятст- благоприятствующих событию А. Это делается непосредственно или с помощью комбинаторики.
262 Гл. 6. Теория вероятностей 6. Согласно классическому определению вероятности Пример. Имеется п ящиков и г шаров. Шары наудачу размеща- размещаются по ящикам. Найти вероятность того, что в г-ый ящик попадет к шаров, а в ящики с номерами 1, 2,..., г — 1 попадет в совокупности / шаров (к + / ^ г). Решение. При конечном числе равновозможных элементарных исходов вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу эле- элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Пронумеруем все ящики и все шары. Тогда элементарным исхо- исходом рассматриваемого случайного эксперимента является набор чи- чисел (ii, 22, • • •, гг), где i\ — номер ящика, в котором оказался первый шар, %2 — номер ящика, в котором оказался второй шар, и т.д. Оче- Очевидно, что каждое из чисел z'i, г2,..., ir может принимать любое на- натуральное значение от 1 до п. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. Предполагается, что она гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, т.е. размещения шаров по ящикам. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению события А (благоприятные исходы). Элементарный исход благоприятен, если в г-ом ящике будет к ша- шаров, а в первом, втором, ..., (г — 1)-ом ящиках в совокупности будет / шаров. 4. Подсчитываем общее число элементарных исходов N (число эле- элементов пространства элементарных исходов). Число элементарных исходов равно пг, поскольку на каждой из г позиций в наборе (z'i, г*2, • • •, ir) может быть любое из п чисел 1, 2,..., п и эти позиции заполняются независимо друг от друга. 5. Подсчитываем число элементарных исходов Na, благоприят- благоприятствующих событию А. Во-первых, существует С^ способов отобрать к шаров, которые будут в г-ом ящике. Во-вторых, существует С1г_к способов отобрать из оставшихся (г — к) шаров / шаров, которые будут размещены в первых (г — 1) ящиках. Число способов разместить эти / шаров по (г — 1) ящикам равно (г — II.
6.4. Геометрические вероятности (ограниченная область) 263 В-третьих, число способов разместить оставшиеся (n—k—l) шаров по оставшимся (п — г) ящикам равно (п — i)r~k~l. Следовательно, число благоприятных исходов равно NA = Ckr C'r_k(i - 1)' (n - if-k-1. 6. Согласно классическому определению вероятности N ~ Ответ. Р(А) = Ск С\_к{г - II [п - i)r-k-l/nr. Условия ЗАДАЧ. Имеется п ящиков и г шаров. Шары наудачу размещаются по ящикам. Найти вероятность указанного случай- случайного события. 1. Все шары окажутся в разных ящиках (г ^ п). 2. Хотя бы два шара окажутся в одном ящике (г $J n). 3. Все шары попадут в один фиксированный ящик. 4. В один фиксированный ящик попадет ровно к шаров, а в другой фиксированный ящик — / шаров (к + / ^ г). 5. В г-ый ящик попадет Г{ шаров, г = 1, 2,..., щ Г1+Г2 + .. -+гп = г. 6. Все шары попадут в один ящик. 7. В фиксированный ящик попадет ровно к шаров (к ^ г). 8. Все шары попадут в два ящика. 9. Все шары попадут в два фиксированных ящика. 10. Лишь один ящик будет пустым. Ответы. 1. п\/[(п - г)\пг]. 2. 1 - п\/[(п - г)\пг]. 3. 1/пг. 4. скс1г_к(п - 2у-к-Чп*. 5. c^c?_ric;*_ri-r2 • • • • • crri~_\+rjn\ 6. l/rf-1. 7. Ck{n-l)r-k/nr. 8. Cl2r/nr. 9. 2r/nr. 10. (n-l)r/rir-1. 6.4. Геометрические вероятности (ограниченная область) Постановка задачи. Точка наудачу выбирается в некоторой плоской ограниченной области D. Слово „наудачу" здесь означает, что ни один из участков области D не является (по каким-либо соображениям) более предпочтительным, чем любой другой равный ему по площади участок области D. Найти вероятность того, что выбранная точка окажется в некоторой области G С D.
264 Гл. 6. Теория вероятностей План решения. При бесконечном числе равновозможных (в ука- указанном выше смысле) элементарных исходов, представленных точ- точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. В данном случае оно совпадает с областью D. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения слу- случайного эксперимента, поскольку, как сказано в условии задачи, ни один из участков области D не является (по каким-либо соображе- соображениям) более предпочтительным, чем любой другой равный ему по площади участок области D. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению события А (благоприятные исходы). В данном случае множество благоприятных исходов совпадает с областью G. 4. Находим площадь S(D) области D. Для этого удобно изобразить область D графически. 5. Находим площадь S(G) области G. Для этого удобно изобразить область G графически. 6. Согласно геометрическому определению вероятности Замечание. Аналогично вычисляется соответствующая вероят- вероятность в случае, когда выбор точки наудачу происходит в ограни- ограниченной области на прямой или в пространстве. При этом площадь заменяется на длину или объем. Пример. Две точки независимо друг от друга наудачу выбира- выбираются на отрезке [0,1]. Найти вероятность того, что произведение координат точек будет больше 0.4. Решение. При бесконечном числе равновозможных элементар- элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероят- вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего мно- множества элементарных исходов. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Пусть ? и rj — координаты первой и второй точек, выбранных на [0,1]. Тогда каждый элементарный исход представляется упоря-
6.4. Геометрические вероятности (ограниченная область) 265 доченной парой (?, rj) вещественных чисел. Каждой такой паре со- соответствует точка квадрата D = {(х,у) : х G [0,1], |/ Е [ОД]} на плоскости XOY. Наоборот, каждой точке (ж, у) квадрата D соот- соответствуют две точки на отрезки [0,1], имеющие координаты ж и у, т.е. некоторый исход случайного эксперимента. Итак, пространство элементарных исходов совпадает с квадра- квадратом D. Выбрать две точки отрезка [0,1] — это то же самое, что выбирать одну точку квадрата D. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения слу- случайного эксперимента, поскольку, как сказано в условии задачи, обе точки выбираются на отрезке наудачу. Соответственно, ни один из участков квадрата D не является более предпочтительным, чем лю- любой другой равный ему по площади участок квадрата D. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению интересующего нас события (благоприятные исходы). Нас интересует вероятность события А = {? г\ > 0.4}. Ему соот- соответствует область G = {(ж, у) : ху > 0.4} П D (см. рис. 6.1). 1 х 4. Находим площадь S(D) области D. Очевидно, что S(D) = 1. 5. Находим площадь S(G) области G. Имеем 1 S(G) = I (l - ^\ dx = {x- 0.4 In ж) 0.4 = 0.6+ 0.4 In 0.4. 0.4
266 .Гл. 6. Теория вероятностей 6. Согласно геометрическому определению вероятности Р(А) = |^( = 0.6 + 0.4 In 0.4 « 0.2335. Ответ. Р(А) = 0.6 + 0.4 In 0.4 « 0.2335. Условия ЗАДАЧ. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке [0,1]. Найти вероятность указанного собы- события. 1. Координата первой точки меньше координаты второй точки. 2. Координата второй точки более чем в два раза превосходит координату первой точки. 3. Разность координат первой и второй точек больше 0.5. 4. Сумма координат точек меньше 1.5. 5. Частное от деления координаты первой точки на координату второй точки больше 0.5. 6. Сумма квадратов координат больше 1. 7. Разность квадратов координат первой и второй точек больше 0.25. 8. Сумма координат больше удвоенного произведения координат. 9. Утроенное произведение координат меньше суммы квадратов координат. 10. Модуль разности координат точек меньше 1/6. Ответы. 1. 1/2. 2. 1/4. 3. 1/8. 4. 7/8. 5. 3/4. 6. 1 - тг/4. 7. л/3/4 - 1пB + л/3)/8. 8. 1. 9. C - л/5)/2. 10. 25/36. 6.5. Геометрические вероятности (неограниченная область) Постановка задачи. Точка наудачу выбирается на всей плос- плоскости. Найти вероятность того, что она окажется в некоторой неограниченной области G. При этом предполагается, что плос- плоскость может быть разбита прямыми на равные прямоугольные ячейки так, что если закрасить область G одним цветом, а ее до- дополнение до всей плоскости — другим, то все ячейки будут иметь одинаковый вид. {Структура плоскости подобна двухцветному пар- паркету, в котором одним цветом окрашена область G, а другим — остальная область.)
6.5. Геометрические вероятности (неограниченная область) 267 План решения. Искомая вероятность равна отношению пло- площади области благоприятных исходов в одной ячейке к площади всей ячейки. 1. Определяем пространство элементарных исходов. В данном случае им является любая из равных прямоугольных ячеек, на которые разбивается плоскость и которые содержат равные части области G и равные части ее дополнения. Обозначим такую ячейку символом D. 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения слу- случайного эксперимента, поскольку, как сказано в условии задачи, точ- точка выбирается наудачу. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению интересующего нас события (благоприятные исходы). Ясно, что множество благоприятных исходов совпадает с G П D. 4. Находим площадь S(D) ячейки D. Для этого удобно изобразить ячейку D графически. 5. Находим площадь S(GnD) той части области G, которая лежит в D. Для этого удобно изобразить область G П D графически. 6. Искомая вероятность равна S(GnD) S(D) ' Замечание. Аналогично вычисляется соответствующая вероят- вероятность в случае, когда выбор точки наудачу происходит в неограни- неограниченной области на прямой или в пространстве. При этом площадь заменяется на длину или объем. Пример. Плоскость разбита прямыми на квадратные клетки со стороной а. Клетки пронумерованы при помощи пар целых чисел (га, п) (при этом у соседней справа клетки будет номер (га + 1, п), а у соседней сверху клетки будет номер (га,п + 1)). Найти вероятность того, что брошенная наудачу на плоскость монета радиуса г < а/2 целиком попадет в какую-нибудь клетку, для которой га + п кратно трем. Решение. Бросание монеты наудачу равносильно выбору на- наудачу точки, в которой будет расположен центр монеты. Искомая вероятность равна отношению площади области благоприятных ис- исходов в одной ячейке к площади всей ячейки. 1. Определяем пространство элементарных исходов.
268 Гл. 6. Теория вероятностей В данном случае им является любая из равных прямоугольных ячеек, на которые разбивается плоскость и которые содержат рав- равные части множества благоприятных исходов G и равные части его дополнения до всей плоскости. Обозначим такую ячейку символом D. Чтобы найти Z), заметим, что если некоторая клетка (т, п) удовле- удовлетворяет требуемому условию, то ему удовлетворяют и клетки (т + 3, п), (т — 3, n), (m, п + 3), (т, п — 3), т.е. имеет место перио- периодичность по горизонтали с периодом 3 и по вертикали с периодом 3. Поэтому в качестве ячейки D можно взять область, составленную из клеток @,0), @,1), @,2), A,0), A,1), A,2), B,0), B,1) и B,2). 2. Проверяем равновозможность элементарных исходов. В данном случае она гарантирована методикой проведения слу- случайного эксперимента, поскольку, как сказано в условии задачи, мо- монета бросается наудачу. 3. Отбираем те элементарные исходы, которые приводят к на- наступлению интересующего нас события (благоприятные исходы). Ясно, что среди клеток ячейки D сумма координат т + п делится на три только у клеток @,0), A,2) и B,1). Для того чтобы монета оказалась внутри некоторой клетки, не- необходимо и достаточно, чтобы центр монеты находился в одной из точек, расположенных внутри клетки на расстоянии большем г от границы этой клетки. На рис. 6.2 изображена ячейка D и заштрихо- заштрихована область благоприятных исходов G Г\ D. @,2) (ОД) @,0) Г Г /////// A,2) A,1) A,0) B^2)\ BД) ^^ B,0) GDD Рис. 6.2
6.6. Независимые события 269 4. Находим площадь S(D) ячейки D. Имеем S(D) = 9а2. 5. Находим площадь S(G П D) области G П D. Имеем S(G П D) = = 3(а-2гJ. 6. Искомая вероятность равна S{GHD) _ (а-2гJ S(D) За2 " Ответ. (а-2гJ/Cа2). Условия ЗАДАЧ. Плоскость разбита прямыми на квадратные клетки со стороной а. Клетки пронумерованы при помощи пар це- целых чисел (га, п) (при этом у соседней справа клетки будет номер (га + 1,п), а у соседней сверху клетки будет номер (га, п + 1)). На плоскость наудачу бросается монета радиуса г < а/2. Найти веро- вероятность того, что монета целиком попадет в клетку с номером, удовлетворяющим указанному условию. 1. т четно. 2. т + п четно. 3. га2 + п2 кратно трем. 4. Или т четно, или п кратно трем. 5. т кратно трем, а п не делится на три. 6. Ни т , ни п не делится на три. 7. т + п кратно четырем. 8. Или т кратно трем, или п кратно трем. 9. т + 2п кратно трем. 10. га2 — п2 кратно четырем. Ответы. 1. (а-2гJ/Bа2). 2. (а - 2гJ/Bа2). 3. (а - 2гJ/(9а2). 4. 2(а - 2гJ/Cа2). 5. 2(а - 2гJ/(9а2). 6. 4(а - 2гJ/(9а2). 7. (а - 2гJ/Dа2). 8. 5(а - 2гJ/(9а2). 9. (а - 2гJ/Cа2). 10. (а-2гJ/Bа2). 6.6. Независимые события Постановка задачи. Предположим, что некоторое случайное событие А может быть выражено через независимые случайные со- события А\, А<2, ..., Ап при помощи операций объединения, пересече- пересечения, вычитания. Вероятности событий А\, А2, ..., Ап известны. Требуется найти вероятность события А.
270 Гл. 6. Теория вероятностей План решения. 1. Выражаем событие А через Ai, А2, ..., Ап. 2. Вычисляем вероятность события А, используя следующие фор- формулы для независимых случайных событий Bi, В2, ..., Вш: а) Р(Вг п В2 п ... П Bm) = JJ Р(^); г=1 6) P(B1UB2U...UBm) = 1- г=1 Пример. Вероятность выхода из строя в течение времени Т г-ro проводящего элемента цепи, изображенной на рис. 6.3, равна р^. Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти вероятность того, что вся цепь не выйдет из строя в течение вре- времени Т, т.е. что по цепи может течь ток. Рис. 6.3 Решение. Введем случайные события А = вся цепь не выйдет из строя в течение времени Т }¦ , г—ыи элемент цепи не выйдет . л _ _ . Ai = < > , г = 1,2,3,4. [ из строя в течение времени Т J По условию события Ах,А2,Аз,А4 независимы и Р(А^) = 1 — р^, г = 1,2,3,4. Выразим событие А через Ai, A2, A3, A4. Из рис. 6.3 видно, что А = Аг П (А2 U А3) П А4. События Ai, A2 U А3, А4 являются независимыми, поэтому События А.2 и А4 являются независимыми, поэтому Р(А2 U А3) = 1 - A - Р(А2)) A -
6.6. Независимые события 271 Из двух последних формул находим, что Р(А) = Р(А{) [1 - A - Р(А2)) A - Р(А3))] Р(А4). Отсюда, учитывая, что P(Ai) = 1 — pi, получаем искомую вероят- вероятность: Ответ. A - - Р2Рз)A - Ра). Условия ЗАДАЧ. Вероятность выхода из строя в течение неко- некоторого времени Т i-го элемента указанной цепи равна р{. Все эле- элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти ве- вероятность того, что вся цепь не выйдет из строя в течение вре- времени Т. 1. 3. 5. 7. 2. 4. 9. 10. Ответы. 1. A - pip2)(l - Рз)- 2. 1 - Р1Р2РЗ- 3. 1 - [1- - 4. A-р1)A-р2)A-рз). 5. A-PiP2H--PsPa). 6. {1- 9. A -
272 Гл. 6. Теория вероятностей 6.7. Схема Бернулли: фиксированное число испытаний Постановка задачи. Проводятся независимые испытания, в каждом из которых возможны два исхода: успех (У) и неудача (Н), причем вероятность успеха р во всех испытаниях одна и та же, а вероятность неудачи равна q (p + q = 1). Найти вероятность неко- некоторого случайного события, связанного с числом успехов в каждом из п испытаний. Замечание. Последовательность испытаний, о которой говорится в условии, называется схемой Бернулли, а сами испытания иногда называют испытаниями Бернулли. Примерами схемы Бернулли яв- являются бросания мяча в баскетбольную корзину (успех — попадание, неудача — промах), покупка лотерейных билетов (успех — выигрыш- выигрышный билет, неудача — проигрышный) и т.п. План решения. Каждый результат проведения п испытаний может быть представлен „цепочкой" символов У и Н, например, УУННУ... Н. Ввиду независимости испытаний вероятность каждой конкретной цепочки равна pkqn~k, где к — число символов У, встре- встречающихся в цепочке. Для нахождения вероятности исходного события следует отобрать все цепочки, приводящие к данному событию, и сложить их вероят- вероятности. Часто используется формула Бернулли для числа успехов /хп в п испытаниях Бернулли: P(lln = k)=C^pkqn-k, к = 0,1,..., п. Пример 1. Проводятся 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Найти вероятность того, что будет всего две неудачи, а между ними три успеха. Решение. К данному событию приводят цепочки НУУУНУУУУУ УУУНУУУНУУ УНУУУНУУУУ УУУУНУУУНУ УУНУУУНУУУ УУУУУНУУУН Вероятность каждой такой цепочки равна p8q2, а число таких це- цепочек равно 6. Поэтому искомая вероятность равна 6p8q2. Ответ. 6р8д2-
6.7. Схема Бернулли: фиксированное число испытаний 273 Пример 2. Проводятся 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Найти вероятность того, что число успехов в первой поло- половине испытаний будет равно числу успехов во второй половине испы- испытаний. Решение. Пусть [1$ и Д5 ~ число успехов в первой половине и во второй половине испытаний соответственно. Очевидно, что события {/i5 = к}, {Дб = 1} являются независимыми. Интересующее нас собы- событие можно представить в виде объединения несовместных событий |J{/i5 = fc, Д5 = к}. к=о Следовательно, искомая вероятность равна 5 5 Е Р(^5 = к, jib = к) = J2 Р(М5 = fc)P(A5 = *) к=0 к=0 к=0 (заключительное равенство следует из формулы Бернулли). Ответ. ]T(C5W-feJ- к=0 Условия ЗАДАЧ. Проводятся 10 испытаний Бернулли с вероят- вероятностью успеха р. Найти вероятность следующего случайного собы- события. 1. Число успехов не меньше трех. 2. Число успехов больше 5, но меньше 8. 3. Число успехов в первой половине испытаний на два больше чи- числа успехов во второй половине испытаний. 4. Число успехов в первой половине испытаний меньше, чем во второй половине испытаний. 5. Всего три успеха, причем последнее испытание завершилось ус- успехом. 6. Успехи и неудачи чередуются. 7. Всего три успеха, причем все они в последних трех испытаниях. 8. Всего три успеха, причем все они во второй половине испыта- испытаний. 9. Число успехов больше числа неудач. 10. Число успехов не менее чем в два раза превосходит число неудач. 18 В.И. Афанасьев и др.
274 Гл. 6. Теория вероятностей Ответы. i. i — 2_^июР Я. • z- ию^ Q + °ю^ ^ • ^* fc = 4. Ml- fe=O fe=O 5 fe=o 10 10 6.8. Схема Бернулли: неограниченное число испытаний Постановка задачи. Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха р, причем число испытаний заранее не огово- оговорено. Следует найти вероятность случайного события, связанного с некоторыми случайными моментами времени. План решения. Как и в случае фиксированного числа испыта- испытаний Бернулли, выписываем все конечные „цепочки" символов У и Н, приводящие к данному событию (как правило, число таких цепочек бесконечно), а затем суммируем их вероятности. Пример. Проводится неограниченное число испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Найти вероятность того, что первый успех произойдет на n-ом испытании, а второй успех — после m-го испы- испытания (га > п). Решение. К данному событию приводят „цепочки" Н...НУН...НУ, где первая серия символов Н состоит из (п — 1)-го элемента, а вторая серия — из к элементов, где к ^ т — п. Вероятность такой цепочки равна qn~1 pqk p, поэтому искомая вероятность равна + °° 2 га — 1 J2 дп+к-1р2=р2(ят-1+Ят + ...) = Р-^-=РЯт~1. к=т — п Ответ, pq™-1. Условия ЗАДАЧ. Проводится неограниченное число испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. Найти вероятность указанного случайного события. 1. Первый успех произойдет на n-ом испытании. 2. Первый успех произойдет после n-го испытания.
6.9. Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона 275 3. Серия из двух последовательных успехов наступит раньше се- серии из двух последовательных неудач. 4. Серия из двух последовательных успехов наступит раньше се- серии из успеха и последующей неудачи. 5. До момента наступления n-го успеха будет ровно т неудач. 6. До момента наступления n-го успеха будет не менее т неудач. 7. Первый и второй успехи произойдут подряд. 8. Первый успех произойдет раньше n-го испытания, а второй — после него. 9. Второй успех произойдет на n-ом испытании. 10. Между первым и вторым успехами будет п испытаний. Ответы. l.pqn-\ 2. qn. 3. p2(l+q)/{l-pq). 3. p. b. C™+rn_1pnqTn. rn-l 6. 1- Y, Ckn+k+lpnqk. 7. p. 8. {n-l)pqn-\ 9. (n-l)pV. Ю- pqn- k=0 6.9. Большое число испытаний Бернулли: формулы Муавра—Лапласа и Пуассона Постановка задачи. Проводится большое число испытаний Бернулли. Найти вероятность некоторого события, связанного с общим числом успехов. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть п — число испытаний Бернулли ир — ве- вероятность успеха в одном испытании, q = 1 — р. Если п велико, то ис- использование формулы Бернулли C^pkqn~k для вероятности к успехов потребует громоздких вычислений, причем результат этих вычисле- вычислений, наверное, окажется ошибочным из-за ошибок округления. Поэ- Поэтому следует использовать приближенные формулы для С^ркqn~k. К ним относятся формулы Муавра—Лапласа ^h к п к 1 1 г2/2 к — пр е-и2/2с1щ B) 18*
276 .Гл. 6. Теория вероятностей где х\ = (к\ — np)/^/npq и ж2 = (&2 — пр)/'л/npq, и Пуассона к rik к п-к ^ " -а _ /о\ ? nVg-fc « Е ^е-. D) fc=fcl Относительная погрешность формул A) и B) примерно равна 2{к-пр) | 1+рд npq lOnpq Поэтому формулы A) и B) применимы, когда npq ^> 1, к ж пр. E) Относительная погрешность формул C) и D) равна max [ п-к q J Поэтому формулы C) и D) применимы, когда п^> к , пр <С 1, кр <С 1. F) Очевидно, что формулы C) и D) относятся к маловероятным собы- событиям (р и к малы). 1. Выбираем приближенную формулу для вычисления Ckpkqn~k. Для этого выясняем, выполняются условия E) или условия F). Если р и к малы, то проверку начинаем с условий F), в ином случае — с условий E). 2. Находим приближенное значение Ckpkqn~k. Для этого в случае, когда применимы формулы A) и B), используем таблицы значений функций *) \ 2 1 ГХ 2 ф) = —= е~х '2 и Ф(х) = —^= I e~u I2 du. Тогда L Г' e-^2/2 dw = Ф(ж2) - Ф(^1). G) *) Используя единые обозначения и названия функций <?>(ж) и Ф(ж), авторы разных книг определяют их разными формулами.
6.9. Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона 277 В случае, когда применимы формулы C) и D), используем таб- таблицы значений функций к=0 Тогда к=кг 3. Вычисляем погрешность использованной приближенной форму- формулы. 4. Округляем полученное значение вероятности с учетом найден- найденной погрешности. Пример. Молодежное радио для привлечения внимания слуша- слушателей разыгрывает среди них призы и суперпризы. Призы разыг- разыгрываются в течение шестнадцати часов (по одному призу в час), а суперпризы разыгрываются в четыре вечерних часа (также по од- одному суперпризу в час). Вероятность того, что слушатели выиграют приз, равна 0.3, а суперприз — 0.02. Найти вероятность того, что за 30 дней а) слушатели выиграют три суперприза; б) слушатели выиграют от 130 до 160 призов. Решение. Розыгрыши суперпризов представляют собой незави- независимые испытания с двумя исходами: если слушатели выиграли су- суперприз — это успех, если же суперприз никому не достался — это неудача. Вероятность успеха во всех испытаниях одна и та же. Ана- Аналогичная ситуация с розыгрышем призов. Итак, в обоих случаях (а) и (б) применима формула Бернулли: р(., Z-Л пк к п-к где /хп — число успехов в п испытаниях. В случае (а) п = 30 • 4 = 120, р = 0.02, и нас интересует вероят- вероятность P(/in = к) при к = 3: Р(^п = 3) = С?20 • 0.023 • 0.98117. В случае (б) п = 30 • 16 = 480, р = 0.3, и нас интересует вероят- вероятность 160 п/1 on ^ ^ л сс\\ \ ^ s~ik п ок п т480 — к r(ld0 $J Hn ^ ibOj = У С480 • О.о • 0.7
278 .Гл. 6. Теория вероятностей Случай (а). 1. Выбираем приближенную формулу для вычисления величины Cf20 ' 0.023 • 0.98117. Для этого выясняем, выполняются условия E) или условия F). Поскольку в случае (а)р = 0.02и/с = 3 малы, проверяем усло- условия F): п = 120 > 9 = к2, пр2 = 0.048 < 1, кр = 0.06 < 1. Следовательно, применимы формулы C) и D). 2. Находим приближенное значение Cf20 ' 0.023 • 0.98117 по форму- формуле C). Имеем а = пр = 2.4 и с помощью калькулятора получаем: 2 43 -уе'4 ^0.209. 3. Вычисляем относительную погрешность формулы C): 0.0481 Л_ max { п — к q ) { 117 0.98 4. Округляем число 0.209 с учетом найденной погрешности фор- формулы C). Получаем приближенное значение искомой вероятности: Р(/хп = 3) « 0.2. Случай (б). 1. Выбираем приближенную формулу для вычисления величины G|80 • 0.3^ • 0.7480~fe при 130 ^ к ^ 160. Для этого выясняем, выполня- выполняются условия E) или условия F). Поскольку в случае (б) значения к не малы, проверяем условия E): npq = 480 • 0.3 • 0.7 = 100.8 > 1, пр = 144 « к G [130,160]. Следовательно, применимы формулы A) и B). 2. Находим приближенное значение РA30 ^ \±п ^ 160), используя формулу B): /npq = /160-1444 _ф (^130-144- 29
6.9. Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона 279 3. Вычисляем относительную погрешность формулы B): 2(fe - пр) 1+м = 2^ 1.21 _ Q ,2 lO 1008 Q 2 lOnpg 100.8 1008 ~ 4. Округляем число 0.8644 с учетом найденной погрешности фор- формулы B). Получаем приближенное значение искомой вероятности: РA30 ^ /xn ^ 160) « 0.9. Ответ, а) 0.2; б) 0.9. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. 1. В лотерее разыгрываются крупные и мелкие выигрыши. Веро- Вероятность того, что на лотерейный билет выпадет крупный выигрыш равна 0.001, а мелкий — 0.01. Куплено 1000 билетов. Найти вероят- вероятность того, что а) крупных выигрышей будет 2; б) мелких выигрышей будет от 5 до 15. 2. Студенты выполняют за два года 15 типовых расчетов по ма- математике, содержащих по 20 задач. Вероятность неверно решить от- отдельную задачу с помощью компьютерного пакета РЕШЕБНИК.ВМ равна 0.01, без помощи пакета — 0.2. Найти вероятность того, что за 2 года а) студент, постоянно пользующийся пакетом РЕШЕБНИК.ВМ, решил неверно не более 5 задач; б) студент, не пользующийся пакетом РЕШЕБНИК.ВМ, решил не- неверно от 50 до 70 задач. 3. Известно, что левши составляют в среднем 1 %, а люди, одина- одинаково владеющие левой и правой рукой, — 10 % (остальные — правши). Найти вероятность того, что среди двухсот людей а) окажется по меньшей мере четверо левшей; б) окажется от 18 до 23 людей, одинаково владеющими обеими руками. 4. Предполагая рождение ребенка в любой день года равновоз- можным, найти вероятность того, что в группе из 200 человек а) ровно трое родились 1 января; б) от 48 до 53 человек родились весной. 5. В ралли принимают участие 500 экипажей. Каждый экипаж может сойти с дистанции из-за технических неполадок с вероятнос- вероятностью 0.05, а из-за болезни водителя — с вероятностью 0.01. Найти вероятность того, что
280 .Гл. 6. Теория вероятностей а) больше 5 экипажей сойдут с дистанции из-за болезни водителя; б) от 22 до 28 экипажей сойдут с дистанции из-за технических неполадок. 6. Магазин закупил 1000 телевизоров и 1000 магнитол. Вероят- Вероятность того, что отдельный телевизор окажется бракованным, равна 0.005, а вероятность того, что магнитола окажется бракованной, — 0.04. Найти вероятность того, что в этой закупке а) не менее четырех телевизоров окажутся бракованными; б) от 35 до 45 магнитол окажутся бракованными. 7. Радиомастерская за день ремонтирует 2 магнитолы. Вероят- Вероятность неисправности в механической части отдельной магнитолы равна 0.2, в электронной части — 0.005. Найти вероятность того, что среди магнитол, отремонтированных за год а) имели неисправности в механической части от 140 до 150 маг- магнитол; б) имели неисправности в электронной части не более пяти маг- магнитол; 8. Вероятность появления хотя бы одной опечатки на отдельной странице книги равна 0.01, а погрешности верстки — 0.3. Найти вероятность того, что в книге из 500 страниц а) хотя бы на четырех страницах будут опечатки; б) от 140 до 170 страниц будут иметь погрешности верстки. 9. Стрелок попадает в цель из пистолета с вероятностью 0.8, а из снайперской винтовки — с вероятностью 0.98. Найти вероятность того, что сделав по 100 выстрелов по цели из каждого оружия, стре- стрелок а) промахнется из снайперской винтовки не более двух раз; б) промахнется из пистолета от 18 до 23 раз. 10. Вероятность выиграть отдельному игроку 1000 рублей в игре „Кто хочет стать миллионером" равна 0.3, а 32 000 руб. — 0.01. За сезон в этой игре принимает участие 300 человек. Найти вероятность того, что за сезон а) 1000 рублей получат от 80 до 100 игроков; б) 32 000 рублей получат не более четырех игроков; Ответы.*) 1. а) 0.1839; б) 0.8880. 2. а) 0.9161; б) 0.8511. 3. а) 0.1429; б) 0.4416. 4. а) 0.0159; б) 0.3159. 5. а) 0.3840; б) 0.4618. 6. а) 0.7350; б) 0.5803. 7. а) 0.6130; б) 0.8372. 8. а) 0.7350; б) 0.8100. 9. а) 0.6767; б) 0.4648. 10. а) 0.7923; б) 0.8153. *) Ответы приведены без округления.
6.10. Простейший поток событий 281 6.10. Простейший поток событий Постановка задачи. Найти вероятность случайного события, связанного с числом событий простейшего потока на определенном временном промежутке. План решения. Поток событий называется простейшим, если он обладает тремя свойствами: 1) вероятностные характеристики потока событий на временном промежутке [^1,^2] зависят от длины промежутка, но не зависят от его начала; 2) вероятность наступления более одного события за время At есть o(At); 3) поведение потока событий на любом временном промежутке [^1,^2] не зависит (в вероятностном смысле) от его поведения до мо- момента времени t\. Примерами простейшего потока событий являются телефонные звонки в какое-нибудь учреждение, дорожно-транспортные проис- происшествия, прибытие автобусов определенного маршрута на остановку и т.п. Важной характеристикой простейшего потока является его интенсивность Л — среднее число событий за единицу времени. Пусть \±t — число событий в простейшем потоке за время ?, тогда где а = А?, Л — интенсивность потока. Пусть т — время наступления первого события в простейшем по- потоке, тогда Р(т > t) = P(/it = 0) = е~х\ t > 0. Замечание. Распределение Пуассона встречается при рассмотре- рассмотрении распределения определенных объектов в пространстве, если это распределение обладает свойствами, аналогичными 1)-3). Пример. В течение недели на кафедру присылают в среднем 6 писем, причем 2 из них — из-за рубежа. Найти вероятность того, что в течение 2 недель будет прислано 13 писем, причем 5 из них — из-за рубежа. Решение. Имеется два независимых простейших потока писем с интенсивностями Ai = 4 (внутренние) и Л2 = 2 (зарубежные). Пусть fit и lit — число событий, происшедших за время t в первом и втором
282 Гл. 6. Теория вероятностей потоках соответственно. Нас интересует вероятность случайного со- события {/12 = 8, Д2 = 5}. Используя формулу A), получаем Р(М2 = 8) = ^-е"8 » 0.1396, B) о! 45 Л Р(Д2 = 5) = —е-4 « 0.1563 C) (приближенные значения вероятностей можно получить из табли- таблицы 5.3 в книге Л.Н. Болыпева и Н.В. Смирнова „Таблицы матема- математической статистики", М.: Наука, 1983 или с помощью пакета РЕ- ШЕБНИК.ВМ). Поскольку случайные события {/х2 = 8} и {Д2 = 5} независимы, то из соотношений B) и C) находим искомую вероят- вероятность Р(М2 = 8, Д2 = 5) = Р(/х2 = 8)Р(Д2 = 5) « 0.1396 • 0.1563 « 0.0218. Ответ. P(/i2 = 8, Д2 = 5) « 0.0218. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. 1. В некотором городе среднее число дорожно-транспортных про- происшествий за сутки равно 5. Найти вероятность того, что за два дня будет 10 дорожно-транспортных происшествий. 2. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7.5 секунд испускало в среднем 3.87 а-частиц. Найти вероятность того, что за одну секунду это вещество испустит хотя бы одну а-частицу. 3. В справочное бюро звонят в среднем 30 раз за час. Найти ве- вероятность того, что первый звонок после начала смены раздастся не позже, чем через 1 минуту. 4. В справочное бюро звонят в среднем 30 раз за час. Найти ве- вероятность того, что второй звонок после начала смены раздастся не раньше, чем через 1 минуту, и не позже, чем через 2 минуты. 5. Автобусы некоторого маршрута приходят на определенную ос- остановку в среднем с интервалом 15 мин. Найти вероятность того, что время ожидания автобуса будет не менее 20 мин. 6. В некоторое количество теста высыпается 1000 изюминок, пос- после чего все тщательно перемешивается. Из этого теста изготавли- изготавливается 100 булочек. Найти вероятность того, что в определенной булочке будет ровно 10 изюминок.
6.11. Формулы полной вероятности и Байеса 283 7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубичес- кубическом метре воздуха равна 80. Берется на пробу 1 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб. 8. Книга в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероят- вероятность того, что на определенной странице будет не менее трех опе- опечаток. 9. Сообщения в офис фирмы поступают либо по телефону, либо по факсу. В среднем за час поступает 20 сообщений, причем по телефону в три раза чаще, чем по факсу. Какова вероятность того, что в течение часа число сообщений по телефону будет больше 15, а по факсу — меньше 5. 10. В течение восьмичасового рабочего дня на фирму в среднем поступает 10 заявок на производство определенного товара из Мос- Москвы и 5 заявок — из Санкт-Петербурга. Найти вероятность того, что в течение часа работы поступит хотя бы одна заявка из Санкт- Петербурга и не поступит ни одной заявки из Москвы. Ответы. 1. 0.1251. 2. 0.4031. 3. 0.3935. 4. 0.1740. 5. 0.2636. 6. 0.1251. 7. 0.0769. 8. 0.0803. 9. 0.1903. 10. 0.1331. 6.11. Формулы полной вероятности и Байеса Постановка задачи. Рассмотрим ситуацию, когда вслед за некоторым случайным экспериментом проводится другой случайный эксперимент, основанный на результатах первого. 1. Найти вероятность некоторого случайного события А, свя- связанного со вторым экспериментом. 2. Известно, что событие А произошло. Найти вероятность того, что первый эксперимент завершился определенным исходом. План решения. Задача 1. Введем группу непересекающихся случайных событий H\,H^, • • • ..., Нп, которые однозначно описывают всевозможные исходы пер- первого эксперимента (полная группа событий). Пусть P(A\Hi) — услов- условная вероятность события А при условии, что первый эксперимент за- завершился событием Hi, i = 1,... ,п (знание Hi позволяет однозначно описать второй эксперимент; Р(А\Щ) является вероятностью собы- события А в этом эксперименте). Вероятность события А находится по
284 Гл. 6. Теория вероятностей формуле полной вероятности 1 1 Задача 2. Найти условную вероятность события Hi (при некотором г) при условии, что событие А произошло, т.е. Р(Щ\А). Эта вероятность может быть найдена по формуле Байеса Р(Я,И)= .PCWI*) , , = 1 „. к=1 Пример. Бросается игральный кубик. Пусть т — число выпав- выпавших очков. Затем осуществляется т выстрелов по цели с вероятнос- вероятностью попадания при одном выстреле р. 1. Найти вероятность того, что цель будет поражена. 2. Известно, что цель поражена; найти вероятность того, что т = 6. Решение. Задача 1. Первый случайный эксперимент — бросание игрального кубика. Введем случайные события Нш = {выпало т очков}, т = 1,...,6. Эти события не пересекаются и однозначно описывают всевозможные исходы первого эксперимента. Второй случайный эксперимент — это т испытаний Бернулли с вероятностью успеха р (успех — попа- попадание в цель). Рассмотрим случайное событие А = {цель поражена}, связанное со вторым экспериментом. По формуле полной вероят- вероятности б Р(А) = Y, Р(Нт)Р(А\Нт). Очевидно, что Р(НШ) = 1/6 при всех т = 1,...,6. Вероятность Р(А\Нт) есть вероятность того, что в т испытаниях Бернулли с ве- вероятностью успеха р число успехов будет не менее одного, поэтому, переходя к противоположному событию, получаем, что Р(А|ЯГО) = 1 - Р(А\Нт) = l-qm, где q = 1 — р. Итак, га=1
6.11. Формулы полной вероятности и Байеса 285 Задача 2. Известно, что событие А произошло. Нас интересует P(Hq\A). По формуле Байеса Р(Нв\А) = 6b^ " "' ' = ^— га=1 га=1 Ответ. 1. ^ -A - (-р)т); 2. A - A -рN) га=1 га=1 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. 1. В альбоме 10 чистых и 12 гашеных марок. Из альбома наудачу извлекаются три марки и подвергаются гашению, а затем возвраща- возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются две марки. а) Найти вероятность того, что эти две марки чистые, б) Известно, что эти две марки чистые; найти вероятность того, что первона- первоначально извлеченные три марки чистые. 2. В альбоме 6 чистых и 10 гашеных марок. Из альбома изыма- изымаются три наудачу извлеченные марки. После этого из альбома вновь наудачу извлекаются две марки, а) Найти вероятность того, что эти две марки чистые, б) Известно, что эти две марки чистые; найти вероятность того, что первоначально изъятые марки гашеные. 3. В альбоме 8 чистых и 6 гашеных марок. Из альбома наудачу извлекаются три марки и заменяются на чистые. После этого из альбома вновь наудачу извлекаются две марки, а) Найти вероятность того, что эти две марки чистые, б) Известно, что эти марки чистые; найти вероятность того, что первоначально извлеченные три марки гашеные. 4. В первом ящике 3 белых и 5 черных шаров, а во втором 6 бе- белых и 8 черных. Из первого ящика во второй перекладываются два наудачу извлеченных шара. После этого из второго ящика наудачу извлекается один шар. а) Найти вероятность того, что он белый. б) Известно, что этот шар белый; найти вероятность того, что из- извлеченные из первого ящика шары белые. 5. В каждом из трех ящиков п белых и т черных шаров. Из пер- первого и второго ящиков наудачу извлекается по одному шару и кла- кладется в третий ящик. Затем из третьего ящика извлекается один шар. а) Найти вероятность того, что он белый, б) Известно, что этот шар белый; найти вероятность того, что шары, извлеченные из первого и второго ящиков, белые.
286 .Гл. 6. Теория вероятностей 6. В каждом из трех ящиков п белых (п ^ 2) и т черных шаров. Из первого ящика в третий перекладывают два наудачу выбранных шара, а из второго ящика в третий перекладывают один наудачу взя- взятый шар. Затем из третьего ящика извлекается один шар. а) Найти вероятность того, что он белый, б) Известно, что этот шар белый; найти вероятность того, что из первого ящика во второй переложили два белых шара. 7. Из чисел 1, 2,..., 10 наудачу выбирается одно число. Пусть это будет т. А затем из чисел 1, 2,..., т наудачу выбирается одно число. а) Найти вероятность того, что это число будет равно 8. б) Известно, что это число 8; найти вероятность того, что т = 9. 8. Из чисел 1, 2,..., 10 наудачу выбираются два числа. Пусть это будут ?77,i и ™>ч {™>\ < ^г)- Затем из чисел mi, mi + 1,..., m2 наудачу выбирается одно число, а) Найти вероятность того, что оно равно 9. б) Известно, что это число 9; найти вероятность того, что rri2 = 10. 9. Из чисел 1,2,..., 10 наудачу выбирается одно число. Пусть это будет 777,. Затем на отрезке [0, т] наудачу выбирается точка ?. а) Найти вероятность того, что ? > 8. б) Известно, что ? > 8; найти вероятность того, что m = 9. 10. Бросается игральный кубик. Пусть т — число выпавших оч- очков. Затем осуществляется 2т выстрелов по цели с вероятностью по- попадания при одном выстреле, равной р. а) Найти вероятность того, что число попаданий равно двум, б) Известно, что число попаданий равно двум; найти вероятность того, что т = 3. Ответы. 3 3 1 *\ V^ Г1 П3-{Г2 КГ3 Г2 V К} Г3 Г2 /\^Г1 П3-{Г2 lm aJ 2_^ °Ю°12 °10-гЛО22°22^ °) °10О7/ /-^ 10 12 °Ю-г' г=0 г=0 3 3 9 -л \^п{г3-{г2 1(г3г2\- ел г3 г21'\щу г{г3~1 г2 г=0 г=0 3. a) Y^CiCl^Cl^JiCl.Cl,); б) СМ/^ОД3-^. г=0 г=0 2 2 4. а) ^^С52-Чб + г)/(Ж782); б) 8С23/ ^СзС1~Ч^ + 0- г=0 г=0 5. а) [пт2 + 2nm(n + 1) + (п + 2)гг2]/[(гг + тJ(п + т + 2)]; б) (п + 2)n2/[nm2 + 2nm(n + 1) + (п + 2)п2].
6.12. Распределение дискретной случайной величины 287 6. а) [С2ттп + С^С^т(п + 1) + С2т(п + 2) + С2тп{п + 1)+ +С1пСЫп + 2) + С2п(п + 3)] / [С2п+т(п + т)(п + т + 3)]; б) [С2т(п + 2) + С2п{п + 3)] / [C^mn + C^C^m(n + 1)+ •aJ in о^л^ 1Л ' V) /lo^rk^-ir»)- Г<2 IZ^in-fr^-'ii-A-/' °ю \fc=i U л fc=i ^У 6) ^ 11-fc/ l^ 10- fc=l 1-fe i ^_^ 9 + 10 у 10. a) ? У ™); б) С6У m=l 6.12. Распределение дискретной случайной величины Постановка задачи. Дискретная случайная величина rj задана как некоторая числовая функция от конечного числа элементарных исходов некоего случайного эксперимента. Построить ряд распре- распределения случайной величины rj и, используя этот ряд, найти веро- вероятность некоторого случайного события, связанного с г\. План решения. Случайная величина называется дискретной, если ее возможные значения образуют конечное или счетное множество (т.е. множест- множество, элементы которого можно пронумеровать, используя натураль- натуральные числа 1,2,...). Рядом распределения дискретной случайной ве- величины rj называется таблица Г] р Pi Р2 ап Рк В верхней строке указаны возможные значения а±, <22,..., ап,... случайной величины rj, а под каждым значением указана вероятность того, что г) примет это значение, т.е. рп = Р(?7 = ап), п = 1, 2,...
288 .Гл. 6. Теория вероятностей 1. Определяем пространство элементарных исходов. 2. Определяем множество возможных значений rj и убеждаемся, что оно конечно. 3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений rj. 4. Определяем вероятности всех значений rj и строим ее ряд рас- распределения. Для этого отбираем элементарные исходы, приводящие к конкрет- конкретному значению случайной величины ту, а затем суммируем вероят- вероятности этих исходов. Полученное значение является вероятностью данного значения случайной величины. Так находим вероятности всех значений rj и строим ее ряд распределения. 5. Пусть А — некоторое подмножество числовой прямой. Тогда Р{г)€А)= V р„, другими словами, вероятность того, что случайная величина rj при- примет значение из множества А, равна сумме вероятностей рп, таких, что ап Е А. Пример. Бросаются четыре монеты. Пусть ^ = 1, если г-ая моне- монета выпала орлом вверх, и ^ = 0 в противном случае, г = 1,2,3,4. Построить ряд распределения случайной величины rj = ?i +?2 — ?з — ?4 и найти, используя этот ряд, вероятность P(rj < 1). Решение. 1. Определяем пространство элементарных исходов. Элементарными исходами рассматриваемого случайного экспери- эксперимента являются упорядоченные наборы чисел G21,712,713,714), где щ либо нуль, либо единица, г = 1, 2, 3,4. 2. Определяем множество возможных значений rj. Возможные значения случайной величины rj суть —2,-1,0,1,2, поэтому г] — дискретная случайная величина. 3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений г\. Случайная величина rj на элементарном исходе (ni, П2, тгз, п^) при- принимает значение п\ + п^ — n<$ — п^. Поэтому полная таблица элемен- элементарных исходов и значений т\ имеет вид
6.12 Распределение дискретной случайной величины 289 п2 пз п4 V 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -1 1 1 0 0 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 -2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 1 1 -1 1 1 1 1 0 4. Определяем вероятности значений rj и строим ее ряд распреде- распределения. Всего элементарных исходов 24 = 16. Следовательно, вероятность элементарного исхода равна 1/16. Событию {rj = —2} благоприят- благоприятствует один элементарный исход, поэтому Р(?7 = —2) = 1/16. Ана- Аналогично находятся остальные вероятности Р(?7 = г), г = —1,0,1,2. В итоге получаем, что ряд распределения случайной величины г\ имеет вид р -2 1/16 -1 1/4 0 3/8 1 1/4 2 1/16 5. Из ряда распределения находим, что P(rj < 1) = P(rj = -2) + P(rj = -1) + P(rj = 0) = + \ + | = Ответ. Р(т] < 1) = 11/16. Условия ЗАДАЧ. Бросаются четыре монеты. Пусть ^ = 1, если г-ая монета выпала орлом вверх, и ^ = 0 в противном случае, г = 1,2,3,4. Построить ряд распределения случайной величины rj и найти, используя этот ряд, вероятность указанного события. г=1 г=1 4. г] = (^i + ^2)/A + ?з + ?4)? I7? > 1/3}- 5- г/ = 6/A + 6) - 6/A + 60, {^ ^ 1/2}. 4 4 г=1 г=1 8. т/ = (^ + IN - (^з + 1)^4, {^ < 1}. 9. г] = (?i + IN • (?3 + 1)^4, {V > 21- 19 В.И. Афанасьев и др.
290 .Гл. 6. Теория вероятностей Ответы. 1. 5/8. 2. 5/16. 3. 5/16. 4. 5/8. 5. 7/8. 6. 11/16. 7. 1/16. 8. 13/16. 9. 1/16. 10. 3/4. 6.13. Распределение непрерывной случайной величины Постановка задачи. Непрерывная случайная величина ? задана как некоторая числовая функция от элементарных исходов неко- некоего случайного эксперимента. Найти плотность вероятностейр(х) этой случайной величины. План решения. Случайная величина ? называется непрерывной, если она может принимать все значения х из некоторого числового промежутка и существует неотрицательная числовая функция р(х), такая, что ъ = / p(x)dx для любых а и Ъ (а ^ Ь). Функция р{х) называемая плотностью веро- вероятностей. 1. Определяем множество возможных значений х случайной вели- величины ? и убеждаемся, что оно представляет собой некоторый проме- промежуток /. 2. Для всех х Е / находим функцию распределения F(x) случайной величины ?. По определению *) F(x) = P(f ^ ж), х е R. 3. Находим плотность вероятностей р(х) по формуле р(х) = F'(x). При х 0 / плотность вероятностей р{х) равна нулю. Пример. Точка А наудачу выбирается в квадрате К = {(u,v) : 0 ^ и, v ^ 1}. Найти плотность вероятностей р{х) случайной вели- величины ?, равной расстоянию от точки А до начала координат. Решение. 1. Определяем множество возможных значений х случайной вели- величины ? и убеждаемся, что оно представляет собой некоторый проме- промежуток /. *) В литературе встречается иное определение, согласно которому F(x) = = Р(? < х).
6.13. Распределение непрерывной случайной величины 291 Элементарный исход — точка (u,v), где 0 ^ и, v $J 1. Случай- Случайная величина ? на элементарном исходе (щ v) принимает значение \/и2 + v2. Множеством возможных значений х случайной величины ? является промежуток [0, л/2]- 2. Для всех х G [0, л/2] находим функцию распределения F{x) слу- случайной величины ?. Пусть ж G [0,1], тогда случайному событию {? ^ ж} благоприятствуют исходы, составляющие четверть круга радиуса х (см. рис. 6.4) и поэтому F(x) = P(f ^ ж) = ^тгж2, ж G [0,1]. Если же х G [1,у2]5 т0 случайному событию {? ^ ж} благоприят- благоприятствуют исходы, представляющие собой заштрихованную область на рис. 6.5. 19*
292 Гл. 6. Теория вероятностей Площадь заштрихованной области равна 1 1 1 arcsm arccos — х х x2 - 1 - x2 arccos -, x G [1, л/2]. 3. Находим плотность вероятностей р(х). При х G @,1) р(ж) = F'{x) = тгж/2. При ж G [1,л/2) р(ж) = F'(x) = тгж/2 — 2xarccos(l/x). При ж ? @, л/2) р(я) = 0. Ответ. При х G @,1) р(х) = тгж/2; при х G [1, л/2) р(х) = тгж/2 - —2xarccos(l/x); при х ? @, \/2) р(ж) = 0. Условия ЗАДАЧ. Точка А наудачу выбирается в квадрате К = = {(u,v) : 0 ^ и, v $J 1}. Найти плотность вероятностей р{х) указанной случайной величины. 1. Расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата К. 2. Расстояние от точки А до стороны квадрата К, лежащей на оси ординат. 3. Расстояние от точки А до центра квадрата К. 4. Ордината точки А. 5. Сумма координат точки А. 6. Разность абсциссы и ординаты точки А. 7. Произведение координат точки А. 8. Частное от деления абсциссы на ординату точки А. 9. Модуль разности координат точки А. 10. Сумма квадратов координат точки А. Ответы. 1. р(х) = 4 - 8ж, х G @,1/2); р(ж) = 0, ж ? @,1/2). 2. р(ж) = 1, х G @,1); р{х) = 0, ж ? @,1). 3. р(ж) = 2тгж, ж G @,1/2]; р(х) = 2ттх - 8xarccos(l/Bx)), х G A/2,1/>/2); р(ж) = 0, х $ @,1/>/2).
6.14. Числовые характеристики дискретной случайной величины 293 4. р(х) = 1, arG @,1); 5. р(х) = 1 - \х - 1|, ж G @, 2); 6. р(х) = 1-\х\, хе (-1,1); 7. р(ж) = 1пA/я), же @,1); 8. р{х) = 1/2, х е @,1]; р(х) = 0, ж ^ @,+оо). 9. р(х) = 2A - ж), хе @,1); 10. р(х) = тг/4, же @,1]; р{х) = О, х(? @,2). = 0, х ? @, 2). = 0, х i (-1,1). = О, ж ?@,1). = 1/Bж2), ж G A, +ос); р(ж) = 0, х <? @,1). = тг/4 - arccos(l/y/^), A,2); 6.14. Числовые характеристики дискретной случайной величины Постановка задачи. Задана дискретная случайная величина rj. Найти ее математическое ожидание и дисперсию. План решения. Математическим ожиданием М?7 дискретной случайной величины rj называется число, определяемое формулой Щ = A) где суммирование ведется по всем возможным п. В случае, когда чи- число возможных значений rj бесконечно, требуется, чтобы ряд в правой части A) сходился абсолютно. Дисперсией Drj дискретной случайной величины г\ называется чи- число, определяемое формулой Df] = M(rj- Mr]J. B) Для нахождения дисперсии в случае, когда rj является дискретной случайной величиной, используется формула mJPn = C) где т = М?7 и суммирование ведется по всем возможным п. 1. Находим ряд распределения случайной величины rj (иногда он бывает задан изначально). Получаем р Pi Р2 ап Рп
294 Гл. 6. Теория вероятностей 2. Находим математическое ожидание М?7 дискретной случайной величины п по формуле A). 3. Находим дисперсию Drj дискретной случайной величины rj по формуле C). Пример. Бросается игральный кубик. Пусть ? — число выпав- выпавших очков. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины rj = min(?, 3). Решение. 1. Находим ряд распределения случайной величины rj. Элементарным исходом рассматриваемого случайного экспери- эксперимента является число выпавших очков г: г = 1,..., 6. Случайная ве- величина п на г-ом элементарном исходе принимает значение min(i,3). Составляем таблицу элементарных исходов и значений rj г V 1 1 2 2 3 3 4 3 5 3 6 3 Поскольку все элементарные исходы равновозможны, то ряд рас- распределения случайной величины rj имеет вид р 1 1/6 2 1/6 3 4/6 2. Находим математическое ожидание М?7 дискретной случайной величины rj по формуле A). Получаем 6 6 6 6 2 3. Находим дисперсию Drj дискретной случайной величины rj по формуле C). Получаем Ответ. Mrj = 5/2, Dry = 7/12. Условия ЗАДАЧ. Бросается игральный кубик. Найти матема- математическое ожидание и дисперсию случайной величины 7/@> г^е С — число выпавших очков. 3. г; = е2 - 12. 2. г/ = (<е - ЗJ. 4. 77=|?-3|.
6.15. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 295 5. 77 = max(f,4). 6. 77 = (? - 2)(? - 3)(? - 4). 7. rj = (f-l)(f-2)(f-5)(f-6). 8. 7/ = sinGr^/2). 9. 77 = cos (тг?/2). 10. ту = sin [тг(? - 3)/6]. Ответы. 1. Мту = 20/3, Dry = 949/18. 2. M77 = 19/6, Drj = 329/36. 3. Mrj= 8/3, Dr/= 56/9. 4. Mrj= 3/2, Dry = 11/12. 5. Mrj= 9/2, Dr/= 7/12. 6. Mrj= 4, Dry = 92. 7. Mrj= 4, Dr/= 32. 8. Mrj= 1/6, Dry = 17/36. 9. Mrj = -1/6, Dry = 17/36. 10. Mrj = 1/6, Drj = 17/36. 6.15. Числовые характеристики непрерывной случайной величины Постановка задачи. Найти математическое ожидание Mrj, дисперсию Drj и вероятность P(rj > с), где с — постоянная, непре- непрерывной случайной величины rj с заданной плотностью вероятнос- вероятностей р(х). План решения. Математическим ожиданием М?7 непрерывной случайной величины rj называется число, определяемое формулой М?7 = / xp(x)dx A) —00 (предполагается, что интеграл сходится абсолютно). Дисперсией Drj случайной величины rj называется число, опреде- определяемое формулой Для нахождения дисперсии в случае, когда rj является непрерывной случайной величиной, используется формула + ОО +ОО Drj = / (х — mJp{x)dx = / x2p(x)dx — m2, C) —00 —00 где т = М?7- Из определения плотности вероятностей следует, что > с) = / p(x)dx. D) с
296 Гл. 6. Теория вероятностей Замечание. Если плотность р(х) задана с точностью до некоторого параметра, то его значение можно найти из соотношения + ОО p{x)dx = 1. 1. Находим аналитическое выражение для плотности вероятнос- вероятностей р{х) случайной величины rj. 2. Находим математическое ожидание М?7 непрерывной случайной величины rj по формуле A). 3. Находим дисперсию Drj непрерывной случайной величины rj по формуле C). 4. Находим Р(? > с) по формуле D). Пример. Найти математическое ожидание М77, дисперсию Drj и вероятность P{rj > а/2) непрерывной случайной величины rj с плот- плотностью вероятностей р(х), заданной графически (рис. 6.6). У Решение. 1. Находим аналитическое выражение для плотности вероятнос- вероятностей р{х) случайной величины rj. Парабола у = р(х) имеет корни а и —а, поэтому р(х) = А(х — а)(х + а), х G [—а, а], где А — отрицательная постоянная. Находим А из соотношения + ОО p{x)dx = 1.
6.15. Числовые характеристики непрерывной случайной величины 297 Получаем = А Следовательно, Итак, р(х) = - ^ -а2 [-а, а]; при остальных х р(х) = 0. 2. Находим математическое ожидание Мт? непрерывной случайной величины rj по формуле A). Получаем = 0. 3. Находим дисперсию Drj непрерывной случайной величины г\ по формуле C). Получаем + оо а D?7 = / (х — N\rjJp(x)dx = — -—- / х2(х2 — a2)dx = х3а2 4а3 V 5 3 2а3 V 5 3 у 5а3 5 ' 4. Находим Р(? > с) по формуле D) при с = а/2. Получаем i-oo a P(rj > а/2) = / p(x)dx = -— / (х2 - a2)dx = а/2 а/2 4а3 V 3 — а2х а/2 4а3 V 3 а3 а3 24 + У/ 32 Ответ. М^ = 0, D^ = а2/5, Р(^ > а/2) = 5/32.
298 Гл. 6. Теория вероятностей Условия ЗАДАЧ. Найти математическое ожидание М?7, диспер- дисперсию Drj и вероятность P(rj > а/2) непрерывной случайной величины rj с плотностью вероятностей р(х), заданной графически {все графики составлены из участков прямых и парабол). 1. 9. —а о ах 3. 2/а —а о ах 5. У, —а о а х 7. У± —а о а х —а о а х 2. У, 4. 6. —а о 10. о а х Ук а х ах —а о а х о а х Ответы. 1. К 2. К 3. К 4. К 1? = 0, 1? = а/2, /If = 0, ^ = а/3, Df = а2/3, D^ = а2/12, D? = а2/6, D^ = а2/18, Р(? > а/2) = 1/4. Р(? > а/2) = 1/2. Р(^ > а/2) = 1/8. Р(? > а/2) = 1/4.
6.16. Дискретный случайный вектор 299 5. h 6. b 7. b 8. ^ 9. ^ 10. К 1? = 0, D, If = a/3, D, 1f = 3a/8, D, ^ = 0, D 1^ = 3a/4, D ^ = a/4, D ? = a2 A f ? = 2a2/9, F ? = 19a2/320, F ? = 3a2/5, F ? = 3a2/80, 1 С = 3a2/80, 1 >(? > a/2) = 3/8. Э(С > a/2) = 7/16. >(f > a/2) = 5/16. Э(С > a/2) = 7/16. 4? > a/2) = 7/8. P(C > a/2) = 1/8. 6.16. Распределение и числовые характеристики дискретного случайного вектора Постановка задачи. Дискретный случайный вектор (?,77) за- задан как некоторая векторная функция элементарных исходов неко- некоего случайного эксперимента. Найти ряд распределения случайного вектора (?,гу) и ковариацию ? и г\. План решения. Случайный вектор называется дискретным, если его возможные значения образуют конечное или счетное множество. Рядом распределения дискретного случайного вектора (?,гу) называ- называется таблица Г] р а[ а'{ Р2 Р2 < < Рп В верхних двух строках указывается возможное значение (а'п, а") слу- случайного вектора (?,т/), а под ним, в нижней строке, вероятность рп принять это значение, т.е. рп = Р((?, rf) = (а'п, а")), п = 1, 2,... Ковариацией случайных величин ? и rj называется число, опреде- определяемое формулой A) B) - M77). Для вычисления ковариации используется формула
300 Гл. 6. Теория вероятностей где C) (суммирование ведется по всем возможным п). 1. Определяем множество возможных значений (?,77), убеждаемся, что оно конечно или счетно, и заполняем верхние строки ряда рас- распределения. 2. Определяем вероятности значений (а'к,а'^) и вносим их в ниж- нижнюю строку. В случае, когда пространство элементарных исходов конечно, отбираем все элементарные исходы, приводящие к конкрет- конкретному значению случайного вектора, а затем суммируем вероятности этих исходов. 3. Находим М?, М?7 и М?т7 по формулам C). 4. Находим ковариацию cov(?, 77) случайных величин ? и rj по фор- формуле B). Пример. Бросаются два игральных кубика. Найти ряд распреде- распределения случайного вектора (?, 77) и ковариацию ? и ту, где ? — макси- максимальное из появившихся чисел, rj — число появлений единицы. Решение. 1. Определяем множество возможных значений (?,гу). Занумеруем кубики. Элементарным исходом рассматриваемого случайного эксперимента является упорядоченная пара чисел (ni, 77,2), где ni — число выпавших очков на первом кубике и n<i — на втором. На элементарном исходе G74,77,2) случайный вектор (?,77) принимает значение (max(m,n2), X{m=i} +X{n2=i}), где при i = 1,2 X{ni=i} = 1, если щ=1, 0, если п^=0. Составим таблицу элементарных исходов и значений (?,77): 774 ту 1 1 1 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 3 3 0 2 4 4 0 2 5 5 0 2 6 6 0
6.16. Дискретный случайный вектор 301 ? 3 1 3 1 3 2 3 0 3 3 3 0 3 4 4 0 3 5 5 0 3 6 6 0 4 1 4 1 4 2 4 0 4 3 4 0 4 4 4 0 4 5 5 0 4 6 6 0 п2 5 1 5 1 5 2 5 0 5 3 5 0 5 4 5 0 5 5 5 0 5 6 6 0 6 1 6 1 6 2 6 0 6 3 6 0 6 4 6 0 6 5 6 0 6 6 6 0 В таблице мы видим, что случайный вектор (?, 77) принимает одинна- дцать значений: A,2), B,0), B,1), C,0), C,1), D,0), D,1), E,0), E,1), F,0), F,1). 2. Определяем вероятности значений (a'k,a'l) и вносим их в ниж- нижнюю строку. Так как пространство элементарных исходов конечно, отбираем все элементарные исходы, приводящие к конкретному зна- значению случайного вектора, а затем суммируем вероятности этих ис- исходов. Для нахождения, например, вероятности случайного события {(?,77) = D, 0)} нужно отобрать благоприятствующие этому событию элементарные исходы. Очевидно, что это B,4), C,4), D,2), D,3), D,4). Поскольку все элементарные исходы равновозможны, имеем Аналогично следует найти все остальные элементы нижней строки ряда распределения. В итоге получаем ряд распределения случайного вектора (?, 77): р 1 2 1 36 2 0 1 36 2 1 2 36 3 0 3 36 3 1 2 36 4 0 5 36 4 1 2 36 5 0 7 36 5 1 2 36 6 0 9 36 6 1 2 36 3. Находим М?, М?7 и 1 36 1 36 2 36 по формулам C). Получаем 3 2\ /5 2 36 +4 зб 2 36
302 Гл. 6. Теория вероятностей 12 2 2 2 2 —+ 2-1- —+3-1. —+4-1- —+ 5-1- —+ 6-1- — 36 36 36 36 36 36 = 1B + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ^. до 18 4. Находим ковариацию cov(?, 77) случайных величин ? и rj по фор- формуле B): ,rj) = Щп М?М, Ответ. cov(f,77) = -95/108. Условия ЗАДАЧ. Бросаются два игральных кубика. Найти ряд распределения случайного вектора (?,77) и ковариацию ? и rj. 1. ? — число появлений двойки, г\ — число появлений тройки. 2. ? — число появлений двойки, rj — число появлений числа, крат- кратного трем. 3. ? — число появлений четного числа, т\ — число появлений числа, кратного трем. 4. ? — число появлений единицы, rj — число появлений числа, мень- меньшего трех. 5. ? — число появлений числа меньшего трех, rj — число появлений числа, большего четырех. 6. ? — минимальное из появившихся чисел, rj — число появлений шестерки. 7. ? — минимальное, rj — максимальное из появившихся чисел. 8. ? — минимальное из появившихся чисел, rj — число появлений четного числа. 9. ? — максимальное из появившихся чисел, rj — число появлений числа, кратного трем. 10. ? — минимальное из появившихся чисел, rj — число появлений числа, меньшего трех. Ответы. 1. -1/12. 2. -1/9. 3. 0. 4. 2/9. 5. -2/9. 6. 35/108. 7. 1225/1296. 8. 1/4. 9. 19/54. 10. -20/27.
6.17. Распределение непрерывного случайного вектора 303 6.17. Распределение непрерывного случайного вектора Постановка задачи. Непрерывный случайный вектор (?,rj) за- задан как некоторая векторная функция элементарных исходов не- некоего случайного эксперимента. Найти плотность вероятностей р(х,у) этого случайного вектора. План решения. Двумерный случайный вектор (?, 77) называется непрерывным, если он может принимать все значения (ж, у) из неко- некоторой области D и существует неотрицательная числовая функция р(ж,у), такая, что для любой области G на плоскости имеем Р((?,ту) eG)= J[p{x,y)dxdy. G 1. Находим область D возможных значений случайного вектора (?, rj) и убеждаемся, что область D имеет ненулевую площадь. 2. Для каждой точки (ж, у) области D вычисляем вероятность Р(? G [ж, х + Аж], г\ е [у, у + Ду]) для малых Аж, Ау. Если (ж, у) G D, то плотность вероятностей р(х,у) вычисляется по формуле Если (ж, г/) ^ D, то р(ж, у) = 0. Пример. Точка наудачу выбирается в круге радиуса 1 с центром в начале координат, X — абсцисса этой точки, Ф — полярный угол. Найти плотность вероятностей случайного вектора (X, Ф). Решение. 1. Находим область D возможных значений случайного вектора (Х,Ф). Очевидно, что Ф может принимать любое значение из промежутка [0,2тг], а X при каждом Ф может меняться в пределах от 0 до совФ, еслиФе [0,тг/2]и[37г/2,2тг],иотсо8Ф до 0, если Ф G [тг/2, Зтг/2]. Итак, область D возможных значений (ж, ф) случайного вектора (X, Ф) име- имеет вид D=Mx,<p): ре [0,|] U fe 2тг 1 1 Г/ 71" Зтг] -, у , хе (см. рис. 6.7, где область D заштрихована).
304 Гл. 6. Теория вероятностей 2тг D 0 1 Рис. 6.7 Очевидно, что площадь области D положительна. 2. Для любой точки (х,(р) Е D находим вероятность случай- случайного события А = {X G [ж, ж + Аж], Ф G [<р, <р + Д<??]} при малых Дж, Д<р. Элементарный исход рассматриваемого случайного экспери- эксперимента (выбор точки наудачу в круге) есть точка (и, г>), где u2-\-v2 ^ 1. На рис. 6.8 заштрихована область благоприятствующих событию А исходов при х ^ 0. х х+Ах Рис. 6.8 1 и Поскольку точка выбирается в круге наудачу, то р{А) =
6.17. Распределение непрерывного случайного вектора 305 где Sefgh — площадь четырехугольника EFGH. Вычисляя площадь четырехугольника EFGH как разность площадей трапеций, полу- получаем х tg(y> + Ар) + (х + Ах) tg(y> + Ay) Ax д 2 cosz( Итак, 7Г COS if Находим плотность вероятностей р(ж, ф) случайного вектора (X, Ф) по формуле A). При (ж, ф) G D и х ^ 0 получаем = lim Аналогично, при (ж, у) G D и ж ^ 0, получаем —х При (ж, <р) j Ответ. tD Pi*, р(х, <р) = \х 7Г COS2 Ц) если (х,(р) е <(х,(р) : (р Е 0, — j LJ ( —-, 2тг , х G [0, cos ф[ > |^J и р(ж, у) = 0 при остальных (ж, у). Замечание. В ответе из области D исключены точки (х^ф) при (р = тг/2 или if = Зтг/2, поскольку при таких у функция р(ж, у) не определена. 20 В.И. Афанасьев и др.
306 -Гл. 6. Теория вероятностей Условия ЗАДАЧ. Точка наудачу выбирается в круге радиуса 1 с центром в начале координат, (X, Y) — декартовы координаты этой точки, (R, Ф) — полярные координаты. Найти плотность вероят- вероятностей заданных случайных векторов. 1. (X,Y). 2. (Д,Ф). 3. (X,R). 4. (У,Д). 5. (У,Ф). 6. BХ,ЗУ). 7. (Х-1,У + 2). 8. BХ-1,ЗУ + 2). 9. BД,Ф). 10. (Д,2Ф). Ответы. 1. р(ж, г/) = 1/тт, ж2 + г/2 ^ 1; р(х, у) = 0 при остальных (ж, г/). 2. р(р,р) = р/тт, Ре [0,1], pG[0,2tt]; р(р, <??) = 0 при остальных (р, (р). 3. р(ж,р) = р/(тгЛ/р2 -ж2), ж G [-1,1], р G [|ж|,1]; р(х,р) = 0 при остальных (ж, р). 4. p(l/, р) = Р/Ыл/Р2 ~ У2), У е [-1,1], Р 6 [\у\, 1]; р(у,р) = 0 при остальных (у,р). Б. р(у,(р) = \у\/(тг sin2 (р), у?е(О,тг), yG[O,sin^] или (^ G (тг, 2тг), у G [sin<^, 0]; р(г/, ^) = 0 при остальных (г/, (р). 6. p(w, v) = 1/Fтт), г^2/4 + ^2/9 ^ 1; p(u,v) = 0 при остальных (г/, г>). 7. р(г^, у) = 1/тт, (w + IJ + (v - 2J ^ 1; p(u,v) = 0 при остальных (u,v). 8. p(w, v) = 1/Fтг), (w + 1J/4 + (г; - 2J/9 ^ 1; p(u,v) = 0 при остальных (г/, г>). 9. p(u,v) =гл/Dтт), wG[0,2], vG[0,2tt]; p(u,v) = 0 при остальных (г/, г>). 10. p(w,v) = гг/Bтт), uG[0,l], vG[0,4tt]; p(u,v) = 0 при остальных (г/, г>). 6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора Постановка задачи. Пусть (?,rj) — непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей р(х,у). Найти центр рассея- рассеяния и ковариационную матрицу случайного вектора (?,rj).
6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора 307 План решения. Центром рассеяния называется вектор, состав- составленный из математических ожиданий компонент, т.е. (М?, М77), где М? и М?7 вычисляются по формулам + ОО +ОО Щ = xp(x,y)dxdy, Mrj= yp(x,y)dxdy. A) —00 —00 Ковариационной матрицей случайного вектора (?, 77) называется матрица, составленная из ковариаций его компонент, т.е. ov^ry) D77 у причем D?, D77 и cov(?, 77) вычисляются по формулам D? = / / (х - т1Jр(х, y)dxdy = / / х2р(х, y)dxdy - т\, C) — оо — оо Vrj = / / (У - т2Jр{х, y)dxdy = / / у2р(х, y)dxdy - m\, D) — оо —оо + ОО cov(^,77) = / / (х - m1)(y - m2)p(x,y)dxdy = —00 +00 = xyp(x,y)dxdy -m1m2, E) Где 77li = М?, 777,2 = Мт7. 1. Находим М? и Мт7 по формулам A) и центр рассеяния (М?, Мтт.). 2. Находим D^, D77 и cov(?, 77) по формулам C)-E) и ковариаци- ковариационную матрицу B). Замечание. Если обозначить координаты случайного вектора ?i и ?2, а плотность вероятностей — p{xi,x2), то ковариационную мат- матрицу можно определить в виде, допускающем обобщение в случае про- произвольной размерности: - mi) M(^i - ггы)(?2 ~ m2) 20*
308 Гл. 6. Теория вероятностей где 777,1 = M?i и т2 = М?2- Элементы этой матрицы могут быть найдены по формулам c-ij = мF -т)(& ~тз) = (xi -mi)(xj -mj)p(xux2)dx1dx2 = — оо + ОО = // Xi x jp (x i,x2) dx\ dx2 — rriim j, i,j = l,2. —00 В частности, C22 = M(f2 - C12 = c2i = cov(fbf2). Очевидно, что ковариационная матрица симметрична, т.е. совпадает со своей транспонированной. Пример. Точка наудачу выбирается в области D (см. рис. 6.9). D О IX Рис. 6.9 Пусть (?,77) — декартовы координаты этой точки. Найти центр рассеяния и ковариационную матрицу вектора (?,77). Решение. При выборе точки наудачу в области D случайный вектор (?, ту) равномерно распределен в области D. Это означает, что он является непрерывным случайным вектором и его плотность вероятностей р(ж, у) имеет вид (х,у) е А 0, где S(D) — площадь области D. В рассматриваемом случае получаем, что 0,
6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора 309 1. Находим М? и М?7 по формулам A). Имеем М? = / / xp(x,y)dxdy = — / / xdxdy = —. J J к JJ Зтг — oo D Для вычисления интеграла удобны полярные координаты (р, if). На- Напомним, что х = pcosip, у = psimp и модуль якобиана этого отобра- отображения равен р. Аналогично вычисляем Щ = / / yp{x,y)dxdy = ~ ydxdy = —. — oo D Поэтому центр рассеяния случайного вектора (?, 77) имеет вид 4 4 чЗтг' Зтг 2. Находим D?, Drj и cov(^,?7) по формулам C)-E). Имеем + ОО = / / х2р(х, y)dxdy - — = тг/2 l 4 f f 3 ' = — / dip p cos' 0 0 Аналогично, , 16 ] tydp — 9lTZ 7 1 тг/2 16 ^ г 9тг2 0 16 Находим теперь ковариацию ^ и ту. Имеем + ОО г г 1ц, /М 1 1 tL у]J\JL J J — oo 4 /Y — — / / xydxdy - к J J 7Г/2 1 f — / COS(^S К J 0 %y)dxdy- — 7Г/2 16 4 d ' 97Г2 " 7Г J d 0 • л 16 * r 9тг2 = 1 р р3 cos (p sin (^c/p - 0 1 sin2 (p 7Г 2 1 16 0 1 ~ 4 16 9тг2 1 2тг 16 9тг2' 16 9тг2'
310 Гл. 6. Теория вероятностей Получаем ковариационную матрицу B) случайного вектора (?, rj) 1 16 1 16 \ Ответ. Центр рассеяния D/(Зтг),4/(Зтг)) и ковариационная мат- матрица 4 9тг2 2тг 1 4 16 16 Условия ЗАДАЧ. Точка наудачу выбирается в области D. Пусть (?>??) — декартовы координаты этой точки. Найти центр рассея- рассеяния и ковариационную матрицу случайного вектора (?,rj). 1. 2. 1 х 3. о -1 5. У, 4. -1 1 х 6. -1
6.18. Числовые характеристики непрерывного случайного вектора 311 7. 9. D 1х 10. -1 D 1х Ответы. i n/я i/я^и ( 1/18 /36 1. A/3,1/3) и ^ _1/36 1/18 / 1/18 1/36 Г) /Г) /О 1 /О\ / / / 2. B/3,1/3) и I 1/36 1/lg 3. A/3,0) и 4. @,1/3) и 1/18 0 0 1/6 1/6 0 0 1/18 ) ' 5. A/3,-1/3) и 6. @,4/C.)) и 1/36 V4 7. D/C,), 0) и A/4-1№2) 1/4 0 8. @,0) и ю. о i/4 ;•
312 Гл. 6. Теория вероятностей 6.19. Характеристическая функция Постановка задачи. Найти характеристическую функцию случайной величины ? (по ряду распределения — в дискретном слу- случае, по плотности вероятностей — в непрерывном случае). По ха- характеристической функции найти математическое ожидание М? и дисперсию D?. План решения. Характеристической функцией случайной вели- величины ? называется комплекснозначная функция (p(t) действительного переменного t, задаваемая равенством (p(t) = Мехр(г^), где г — мнимая единица. а) Пусть ? — дискретная случайная величина с рядом распределе- распределения р Pi CL2 Р2 ап Рп Тогда характеристическая функция вычисляется по формуле 9(t) = Yeita»pn, A) где суммирование ведется по всем возможным п. б) Пусть ? — непрерывная случайная величина с плотностью ве- вероятностей р(х). Тогда характеристическая функция вычисляется по формуле <p(t) = Г eitxp(x)dx. B) — оо По производным Lp(t) в точке t = 0 можно находить начальные моменты случайной величины ?, т.е. М?, М?2, М?3 и т.д., а именно: если /с-й (к = 1, 2,...) начальный момент M?fe конечен, то В частности, щ = -itp'{o), щ2 = -<р"(о). C)
6.19. Характеристическая функция 313 Отсюда следует, что D? = М?2 - (МО2 = -<р"@) + (^'@)J. D) 1. Находим характеристическую функцию ip(i) дискретной слу- случайной величины ? по формуле A) или непрерывной случайной вели- величины ? по формуле B). 2. Находим М? и D? по формулам C) и D). Пример. Найти характеристическую функцию дискретной слу- случайной величины ?, имеющей геометрическое распределение (это означает, что ? принимает значения п = 1, 2,... и где р > 0, g > 0, р + g = 1). По характеристической функции найти математическое ожидание М? и дисперсию D?. Решение. Положим ап = п, тогда рп = Р(? = ап) = pqn~1, 1. Находим характеристическую функцию ^(^) дискретной слу- случайной величины ? по формуле A). Получаем оо itn n — 1 п=1 п=1 _ 1 — qelt e lt — q (здесь мы воспользовались формулой для суммы членов геометричес- геометрической прогрессии). Итак, 2. Находим М? и D? по формулам C) и D). Вычисляя производные 2pe ~2it получаем (l-gJ
314 Гл. 6. Теория вероятностей Ответ. {p{t) = -—l М?=-, D?=4- Условия ЗАДАЧ. Найти характеристическую функцию слу- случайной величины ? (по ряду распределения — в дискретном случае, по плотности вероятностей — в непрерывном случае). По характе- характеристической функции найти математическое ожидание М? и дис- дисперсию D?. 1. Р(? = fc) = Ckpkqn~k, k = 0,1,...,п, р > 0, q > 0, р + g = 1 (биномиальное распределение). ап 2. Р(^ = п) = —-е~°, п = 0,1, 2,..., 0 < а < +оо (распределение Пуассона). 3. Р(? = п) = CZ+m_lPmqn, n = 0,1,2,..., p>O,g>O,p + g = l, 777, — натуральное число (отрицательное биномиальное распределе- распределение). 4. р*(х) = —г^e-(*-aJ/B(j2), ж G (-оо, +оо), 0 < а < +ос, у2тгсг a G (—ос,+оо) (нормальное распределение 7V(a, a2)). 5 шЫ 0, Ж^[ О < Л < +оо (показательное распределение). , Ь], 1 0, х? [а, —ос<а<6<+ос (равномерное распределение С/[а, Ь]). \х\ ^а, { 0, \х\>а, О < а < +оо (треугольное распределение). О < ^ < +ос (гамма-распределение). 9. р^(х) = -Ле~Л'ж', ж G (—оо,+ос), 0 < Л < +оо (распределение Лапласа). 10. Pz(x) = —-( 2V, ж G (—оо,+ос) (распределение Коши). 7Г ^ -L | ьб J
6.20. Распределение функции случайной величины 315 Ответы. 1. <p(t) = (pelt + q)n, М? = пр, D? = npq. 2. (p(t) = exp[a(e^ - 1)], Щ = a, D? = а. 3. у>(*) = [р/A - (/exp(zt))]m, М? = mq/p, D? 2 5. ^() /(), ^ /, ^ / 6. ^(t) = (e**b-eita)/[zt(b-a)], M^ = (a + 6)/2, D^ = F - aJ/12. 7. y?(t) = 2A - cos at)/(a2t2), M^ = 0, D^ = a2/6. 8. ^(t) = l/(l-zt)a, M^ = a, D^ = a. 9. <p(t) = A2/(A2 + t2), Щ = 0, D^ = 2/A2. 10. (p(t) = e~'*', M^ и D? не существуют. 6.20. Распределение функции случайной величины Постановка задачи. Задано распределение случайной величи- величины ? и f(x) — числовая (неслучайная) функция, rj = /(?). Найти вероятность случайного события {rj G В}, где В — интервал чи- числовой прямой (интервал может быть открытым или замкнутым, конечным или бесконечным). План решения. Рассмотрим множество G на числовой прямой: G = {х : f{x) e В}. Ясно, что Р(ч ев) = Р(/@ ев) = Р(? е G). Чтобы найти Р(? G G), используем распределение случайной вели- величины ?. Пример. Пусть ? — непрерывная случайная величина с плотнос- плотностью вероятностей Ае-Аж, ж^О, о, х<о\ где А — положительная постоянная (показательное распределение). Пусть rj = cos?. Найти Р(г] < 0).
316 Гл. 6. Теория вероятностей Решение. В данном случае f(x) = cos ж. Найдем множество G = {х : /(яг) < 0} . Известно, что решением неравенства cos ж < 0 является объединение интервалов вида (тг/2 + 2Ьг, Зтг/2 + 2Ьг), к е Z = {0, ±1, ±2,...}. Итак, Очевидно, что :0) = P(cos?<0) = P(?eG) = Поскольку случайные события ? A + 2кж, ^+2ктг попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий рав- равна сумме их вероятностей. Следовательно, Pfa < 0) = Найдем вероятности — члены ряда. При к = —1, —2,... они равны 0, т.к. случайная величина ? принимает только неотрицательные зна- значения. При к = 0,1, 2,... e-Aa!cte = -e~Xx Итак, :о) = -2Хпк _ е-ЗЛтг/2 V^
6.21. Числовые характеристики функции случайной величины 317 (использована формула для суммы членов геометрической прогрес- прогрессии). Ответ. Р(т/ < 0) = е-Атг/2 _ е-ЗАтг/2 Условия ЗАДАЧ. Задано распределение случайной величины ? (по поводу названий см. стр. 314). Для указанной случайной величины rj = /(?) найти вероятность случайного события А. 1. Равномерное распределение U[—l, 1]; 77 = ?2; А = {rj < 0.64}. 2. Равномерное распределение С/[—1,1]; 77 = ?3; Л = {77 ^ 0.125}. 3. Распределение Лапласа; 77 = ?2 — 5? + 7; Л = {77 < 1}. 4. Показательное распределение; 7/ = 2?2 + 3? - 7; А = {rj ^ -2}. 5. Показательное распределение; 77 = е^;Л = {2<77< 4}. 6. Распределение Пуассона; rj = 2^; А = {rj > 8}. 7. Равномерное распределение ?/[0,4тг]; 77 = sin?; A = {rj < 0.5}. 8. Распределение Коши; 77 = sin(?2); A = {rj > 0}. 9. Геометрическое распределение; 77 = sin (тг?/2); А = {rj > 0.2}. 10. Геометрическое распределение; 77 = cos (тг?); А = {77 < 0}. Ответы. 1.0.8. 2.3/4. 3. (е~2Х - е~зх)/2. 4. е~х. 5. 2~A-4-\ 6. 1 - е-°A + а + а2/2 + а3/6). 7. 2/3. 8. 1/2. 9. р/A - д4). 10. 1/A +(/). 6.21. Числовые характеристики функции случайной величины Постановка задачи. Задано распределение случайной величи- величины ?, /(ж) — числовая (неслучайная) функция. Найти математичес- математическое ожидание и дисперсию случайной величины г\ = /(?). План решения. Если ? — непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей р(ж), то математическое ожидание и дис- дисперсию можно вычислить по формулам + ОО М77 = / f(x)p(x)dx,
318 .Гл. 6. Теория вероятностей + ОО +ОО D?7 = / (f(x) — mJp(x)dx= / f2(x)p(x)dx — т2, — оо —оо где т = Mrj. Если ? — дискретная случайная величина, принимающая значения ai, a2, • • •, an,... с вероятностями pi,P2,- • • iPn • • • соответственно, то ) - ™Jpn = ^ f2(an)Pn ~ rn2, n где суммирование ведется по всем возможным значениям п и m = Mrj. Пример. Пусть случайная величина ? имеет нормальное распре- распределение ЛГ@,1), т.е. ? является непрерывной случайной величиной с плотностью вероятностей р(х) = е~х I2, х G (—оо,+ос). v2 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины rj = 10*. Решение. В данном случае /(ж) = 10ж. Сначала найдем Mrj: + ОО +ОО Щ= [ 10xp{x)dx = —L / 10же~ж2/2^. A) — оо —оо Заметим, что 10Же~Х<112 — ех1п10е~х2/2 — еж1п10-ж2/2 _ е-(ж-1п10J/2+1п2 10/2 Сделаем замену переменных: х — In 10 = t. Тогда + ОО +ОО = f е-*2/2+ш + ОО 2 n210/2 B)
6.21. Числовые характеристики функции случайной величины 319 (мы воспользовались тем, что + ОО Le поскольку слева стоит интеграл от плотности вероятностей). Из фор- формул A) и B) следует, что Аналогично находится М(?72): М(т?2) = М100« = е110°/2 = е2110. Дисперсия rj может быть найдена по формуле 0г] = M(r/2)-(Mr/J. Получаем D77 = e21n2l0-eln2l°. Ответ. M7/ = eln2l°/2, Dry = е21*210 - е1п210. Условия ЗАДАЧ. Задано распределение случайной величины ?. Найти математическое ожидание и дисперсию указанной случайной величины rj = /(?)• 1. Равномерное распределение С/[0,тг]; rj = sin?. 2. Равномерное распределение С/[0,1]; 77 = 1/(? + 1). 3. Показательное распределение с параметром Л = 5; rj = 2^. 4. Распределение Пуассона; ?7 = 3~^. 5. Нормальное распределение ЛГ@,1); гу=|^|. 6. Нормальное распределение АГ@,1); rj = е^ /5. 7. Треугольное распределение; ?7 = \/Щ- 8. Геометрическое распределение; 77 = cos(tt?). 9. Показательное распределение; rj = sin?. 10. Распределение Пуассона; rj = cos^. Ответы. 1. Mr/ = 2/тг, Dry = 1/2 - B/тгJ. 2. Mr/ = In 2, Dr?= 1/2-In2 2.
320 .Гл. 6. Теория вероятностей 3. Mrj = 5/E - In2), Drj = 5/E - In4) - 25/E - In2J. 4. Mrj = е-2°/3, Drj = е-8а/9 - е~4а^. 5. Mrj = у^г/тг, Drj = 1 - 2/тг. 6. Мту = л/5/2, Dry = у^ - 5/4. 7. Мту = 8у/а/15, Drj = Па/225. 8. Mrj = -р/A + g), Dry = 1 - р2/A + ^J- 9. Мту = А/A + Л2), Dry = 2/D + Л2) - Л2/A + Л2J. 10. Мту = e-°^-cos 1)cos(asin 1), Dry = [1 + e-aA-cos2) cos(asin2) - 2e-2o^-cosl) cos2(asinl)]/2. 6.22. Распределение функции случайного вектора Постановка задачи. Задано распределение случайного вектора (?,/7), f{xiV) — числовая (неслучайная) функция, ? = /(?,/у). Найти вероятность случайного события {? G 5}, где i? — интервал чи- числовой прямой. План решения. Рассмотрим следующее множество G на плос- плоскости: G = {(x,y): f(x,y)?B}. Ясно, что Чтобы найти Р((?, 77) G G5), используем распределение случайного век- вектора (?,rj). В частности, если (?,77) — непрерывный случайный век- вектор с плотностью вероятностей р(х,у), то eG) = G поэтому G) = ffp(x,y)dxdy, Р(Се-В)= f f P{x,y)dxdy. Замечание. Если ? и 7/ — независимые непрерывные случайные величины с плотностями вероятностей р±(х) и Р2(х) соответственно, то случайный вектор (?, ту) является непрерывным с плотностью ве- вероятностей р(х, у) = Р\{х)р2{у).
6.22. Распределение функции случайного вектора 321 Пример. Пусть ?,77 — независимые случайные величины, рас- распределенные по одному и тому же показательному закону. Найти P(log2D/(?-l))<0). Решение. Плотность вероятностей р(х) случайной величины ? равна ' \е~Хх, х ^ О, О, х < 0. Такова же плотность вероятностей случайной величины 77. Поскольку случайные величины ? и 77 независимы, плотность вероятностей р(х,у) случайного вектора (?, 77) при х ^ 0, у ^ 0 равна Р{Х^У) —Р{Х)Р\У) — ле ле — л е При остальных ж, у р(х, у) = 0. В рассматриваемом случае f{x,y) = Рассмотрим множество G={(x,y): Упростим неравенство, определяющее G. Для этого решим неравен- неравенство Очевидно, что оно выполняется, если 0<<1. X - 1 При ж > 1 получаем, что 0 < у < х - 1, а при ж < 1 0 > у > ж - 1. Итак, G = {(ж, у): х> 1, 0<y<x-l}U {(ж, у) : х < 1, 0 > у > х - 1}. 21 В.И. Афанасьев и др.
322 Гл. 6. Теория вероятностей Искомая вероятность определяется формулой Р flog2 -^ < о) = JJP(x,y) dxdy. A) G Поскольку плотность вероятностей р(х,у) отлична от нуля лишь при х ^ 0, у ^ 0, то на самом деле надо найти интеграл от р(х, у) по множеству G = {(ж, у) : х > 1, 0 < у < х - 1}. Вычисляем интеграл A): оо х — 1 Г [ p(x,y)dxdy = I dx Г \2е~х{х+у) dy = 1 О х-1 х-1 dx = о = Г Xe~Xxdx Г \e~Xydy = - Г Xe~Xxe 10 1 oo oo = - I \e~Xx (e-x(x-V - l) dx = - I (Xexe-2Xx - Xe~Xx) dx = 1 P p __ I P P p OO I Ae-2A _ IeAe2A = I Итак, Ответ. e~x 2 Условия ЗАДАЧ. Пусть ^rj — независимые случайные вели- величины, распределенные по одному и тому же показательному закону. Найти вероятность указанного события. 1. {?>*?}. 2. {ту < ? < 2rj}. 3.{?< 277 + 1}. 4. {|? - rj\ > 1}. 5. {|2? - г/| < 1}. 6. {2^/(е - Зту) > 1}. 7. {1/е < 1/(ту - 1)}. 8. {О < 1/(?-77) < 1}. 9. {^2 + 3^-4т/2 < 0}. 10. {?2 + 4?т7+4т72 > 9}. Ответы. 1. 1/2. 2. 1/6. 3. 1-е-Л/3. 4. e~A. 5. 1-2е-л/2/3-е-л/3. 6. 1/4. 7. е-л/2. 8. е-л/2. 9. 1/2. 10. ге-^ - е"ЗА.
6.23. Числовые характеристики функции случайного вектора 323 6.23. Числовые характеристики функции случайного вектора Постановка задачи. Задано распределение случайного вектора (?,77), /(ж, у) — числовая (неслучайная) функция. Найти математи- математическое ожидание случайной величины ? = /(?,77). План решения. Если (?,77) — непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей р(х,у), то + ОО Т(Т* II IT)I T* ll\f\rPf\'}\ J \JU у у I jJ\Jb ^ LJ jLLiUJLy . — ОО Вычисляем интеграл и записываем ответ. Пример. Пусть (?,77) — случайный вектор с независимыми ком- компонентами, распределенными по одному и тому же показательному закону. Найти М|? — 771. Решение. Плотность вероятностей р(ж, у) случайного вектора (?,77) равна (см. стр. 321) р{х'у) = { о, где D = {(х,у) : х ^ 0, у ^ 0}. В рассматриваемом случае /(ж, у) = = х — 2/|, поэтому М|? - 77| = /У I* " y\p(x,y)dxdy = X2 Г Г \х - -00 D Разобьем множество D на две непересекающиеся области: где = {{х,у) : ж < у, ж ^ 0, 2/ ^ 0}. 21*
324 Гл. 6. Теория вероятностей Сначала найдем интеграл по области D\: г г Л2 (х — у)е~~х(х+у>dxdy = J J оо ж оо оо /г г г dx / xe~x{x+y)dy -Л2 dy ye~x{x+y)dx = J J J 0 0 0 у оо оо = Л [ хе-ХхA - e~Xx)dx - X I ye~Xye~Xydy = о о оо оо оо = Л Г xe~Xxdx - X f xe~2Xxdx - X f ye~2Xydy = 0 0 0 _ 1 1 1 _ 1 ~Л~4Л~4Л~2Л оо (все три последних интеграла сводятся к интегралу J x e~x dx = 1). о Из соображений симметрии ясно, что интеграл по области D^ ра- равен тому же значению, т.е. А2 Следовательно, Ответ. Условия ЗАДАЧ. Пусть (€,rj) — случайный вектор с независи- независимыми компонентами, распределенными по одному и тому же пока- показательному закону. Найти математическое ожидание случайной величины ( = /(?,77). 1. С = 2?/. 2. С = B? - г,J. 3. С=B? + ч)(?-2»/). 4. С = VCV- 5. С = е-(«-И). б. С = sin(? + rf). 7. С = cos(? - rf). 8. С = 12^ - v\- 9. С = min(|, ту). 10. С = max(?, r,). Ответы. 1. 2/Л2. 2. 6/Л2. 3. -3/Л2. 4. тг/А. 5. А2/(А + IJ. 6. 2А3/A + А2J. 7. А2/A + А2). 8. 5/(ЗА). 9. 1/BА). 10. 3/BА).
6.24. Нормальное распределение 325 6.24. Нормальное распределение Постановка задачи. Случайная величина ? распределена по нормальному закону 7V(a, а2). Найти вероятность случайного со- события А, состоящего в том, что значения ? удовлетворяют неко- некоторым неравенствам. План решения. 1. Представляем событие А в виде A) где (ai, 6i), (a2, 62)? • • •? {ak, &fc) — попарно непересекающиеся интер- интервалы числовой оси. Для нахождения интервалов (оц, Ь{) нужно решить неравенства, определяющие А. 2. Вероятность случайного события A) находится по формуле где Ф(х) — функция Лапласа, т.е. X Ф{х) = —L / e-^ л/2тг J Для функции Лапласа созданы таблицы *^ (см., например, таблицу 1.1 в книге Л.Н. Болыпева и Н.В. Смирнова „Таблицы математической статистики", М.: Наука, 1983), в которых даются значения функций только для х ^ 0. Для отрицательных х имеем ф(х) = 1-Ф(|ж|). Значения функции Лапласа удобно получить с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ Пример. Случайная величина ? распределена по нормальному за- закону 7V@,4). Найти вероятность случайного события *) Используя единые обозначения и названия функций <р(х) и Ф(ж), авторы разных книг определяют их разными формулами.
326 .Гл. 6. Теория вероятностей Решение. 1. Представляем событие А в виде A). Для этого решаем нера- неравенство 1 1 X X + 1 Получаем х е (-oo,-l)U@,+oo). Поэтому случайное событие А = {1/? > 1/A + 0} можно записать в виде А = {f G (-оо, -1) U @, +ос)}. По формуле B) получаем, что Р Q > j^j = Р(? е (-оо, -i)u(o, +оо)) = = Ф Здесь учтено, что Ф(—схэ) = 0, Ф(+оо) = 1. В таблицах находим, что Ф (--) = 1 - Ф (-) ^ 1 - 0.6915 = 0.3085, Ф@) = 0.5. Следовательно, искомая вероятность приблизительно равна 0.3085 + 1 - 0.5 = 0.8085. Ответ. Р (^ > -^—J ^ 0.8085. Условия ЗАДАЧ. Случайная величина ? распределена по нормаль- нормальному закону JV@,4). Найти вероятность события А. 1. А = {С е @,2)}. 2. А = {С > 0,8}. 3. А = {2? - 3 < 0}. 4. А = {|? - 1| < 0,5}. 5. А = {|f - 1| > 6}. 6. А = {f2 > 2,25}. 7. ^ = {f2-3f + 2<0}. 8.А = {1/A + 0 > -2}. 9.^ = {log2f <0,25}. Ответы. 1. 0.3414. 2. 0.3446. 3. 0.7734. 4. 0.1747. 5. 0.0064. 6. 0.4533. 7. 0.1499. 8. 0.9181. 9. 0.2426. 10. 0.6171.
6.25. Центральная предельная теорема 327 6.25. Центральная предельная теорема Постановка задачи. Пусть ?ь ?г> • • • — независимые одинаково распределенные случайные величины, причем M?i = m, D?i = а2, О < а2 < +ос. Положим Sn = ?i + ... + ?П5 п — 1,2,... Найти веро- вероятность некоторого случайного события, связанного с суммой Sn при большом п или с несколькими суммами Sni, Sn2,... при больших План решения. Центральная предельная теорема утверждает, что независимо от распределения отдельного слагаемого при боль- больших п сумма Sn имеет закон распределения, приблизительно совпа- совпадающий с нормальным законом N(nm,na2). Аналогичное утвержде- ние справедливо для разности Sn2 — Sni = 2 &? если величина п2 — ni велика, причем случайные величины Sni и Sn2 — Sni незави- независимы. Расчет требуемой вероятности делается так, как это изложено в задаче 6.24. При этом используется следующий факт: если случай- случайные величины 77i и rj2 независимы и распределены по нормальному закону 7V(ai,a2) и 7V(a2,cr|) соответственно, то случайная величина c\r\\ + С2?72, Где ci,C2 — постоянные, распределена по нормальному закону N(c\a\ + С2й2, с\сг\ + с\а\). Пример. Случайные величины ?i,?2?-«- независимы и распре- распределены по закону Пуассона с параметром а = 1. Положим Sn = = ?i + ... + ?n, n = 1, 2,... Найти вероятность РB?3оо > #600 - 30). Решение. Случайная величина бзоо распределена приблизительно по нормальному закону TVC00,300), т.к. п = 300, т = M?i = 1, а2 = D^i = 1. Точно такое же распределение имеет случайная ве- величина Sqoo — S300, причем случайные величины бзоо и беоо — *^зоо независимы. Положим V = ?зо(ъ С = <$боо - ^зоо- Тогда Sqoo = V + С и неравенство 25зоо > *^боо — 30 можно записать в виде С ~ V < 30. Но случайная величина ? — rj распределена по нор- нормальному закону TV@,600). Следовательно, PBS300 > 5600-30) = P(C-r? < 30)«Ф -=¦ ) = Ф V vbO Ответ. РB#зоо > ^еоо - 30) « 0.8897.
328 .Гл. 6. Теория вероятностей Условия задач. Случайные величины ?i,?2>--- независимы и подчинены одному и тому же указанному закону распределения. По- Положим Sn = ?i + .. .+?n> n — 1, 2,... Найти указанную вероятность. 1. Показательное распределение с параметром Л = 1, P(Sioo<E(9O,lOO)). 2. Нормальное распределение ЛГA,1), РF'9Оо ^ 850). 3. Распределение Пуассона с параметром а = 1, Р(б4оо < 420). 4. Равномерное распределение ?/[0,2], P(|5i6oo - 1600| < 40). 5. Биномиальное распределение с параметрами п = 9, р = 0, 5, P(|Sioo-45O| >30). 6. Показательное распределение с параметром Л = 1, Р(#юоо - #600 >390). 7. Нормальное распределение АГA,1), Р(|*?5оо — #юо| < 420). 8. Равномерное распределение ?/[0,2], Р(E'4оо + #2оо)/2 > $з 9. Биномиальное распределение с параметрами п = 9, р = 0, 5, Р(#юо + #200 < 1400). 10. Распределение Пуассона с параметром а = 1, P(Sioo + Згоо + 5зоо >550). Ответы. 1. 0.3414. 2. 0.9522. 3. 0.8413. 4. 0.9167. 5. 0.0455. 6. 0.6915. 7. 0.8413. 8. 0.1103. 9. 0.0680. 10. 0.9093.
Глава 7 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА При изучении темы МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА вы научитесь извлекать полезную информацию из результатов измере- измерений, данных опросов и другого фактического материала, а также использовать этот материал для формулировки и проверки гипотез. Задачи 1-6 посвящены использованию статистических данных для нахождения законов распределения. Представив статистические дан- данные в виде наглядных графиков, мы формулируем гипотезу о законе распределения этих данных. Такой закон обычно содержит один или несколько параметров, численные значения которых подлежат уточ- уточнению. Задачи 7—12 посвящены использованию статистических данных для нахождения числовых характеристик законов распределения и, в частности, фигурирующих в этих законах неизвестных параметров. Вы научитесь находить точечные оценки математического ожи- ожидания и дисперсии, а также применять метод моментов и метод наи- наибольшего правдоподобия для определения параметров распределения. Задача 13 посвящена очень важному для приложений методу наи- наименьших квадратов. В задаче 14 вы научитесь уточнять данные с помощью известных соотношений между ними. Задача 15 посвящена случайным интервалам. Они необходимы для оценки точности информации, извлеченной из фактического ма- материала методами математической статистики. Так, в задачах 16 и 17 случайные интервалы используются для оценки точности мате- математического ожидания и дисперсии, определенных по выборке. Эта точность характеризуется так называемыми доверительными интер- интервалами. Обработав статистические данные, как показано в задачах 1-16, вы будете иметь точную гипотезу о законе их распределения или несколько конкурирующих гипотез. Задачи 17—20 посвящены использованию статистических данных для проверки гипотез о законах распределения. Без использования компьютеров невозможно изучить математи- математическую статистику, поскольку решение задач требует многих гро-
330 Гл. 7. Математическая статистика моздких вычислений, графических построений, статистического моделирования и частого использования справочных данных. Пакет РЕШЕБНИК.ВМ предоставит вам все необходимое при изучении ма- математической статистики и при последующей практической работе со статистическими данными. 7.1. Группированный статистический ряд абсолютных частот Постановка задачи. Дана числовая выборка ai, a2,..., ап. По- Построить ее группированный статистический ряд абсолютных час- частот из т членов. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Группированным статистическим рядом абсо- абсолютных частот называется последовательность пар чисел где х^ — центр k-ro интервала группировки и п*к — число элемен- элементов выборки, попавших в к-ъш интервал. Числа п^ (к = 1,..., га) называются абсолютными частотами. 1. Находим хш[п = min{ab a2,..., an} и жтах = тах{аь а2, • • •, ап}. Если хш[п или жтах далеко отстоит от остальных элементов выборки, то нужно либо пополнить выборку, либо исключить из выборки это значение, иначе группированный ряд абсолютных частот получится непредставительным. 2. Находим длину интервала группировки h = (жтах — хш[п)/т, где т — число интервалов группировки. 3. Находим правые границы интервалов группировки Хк = ^min + kh, (к = 1,..., т). 4. Находим центры х^ интервалов группировки xl = Хк + /г/2, к = 1,..., т. 5. Для каждого интервала группировки (хь-1,хь) находим число п? элементов выборки, попавших в этот интервал. 6. Проверяем, что сумма всех абсолютных частот п^ равна объему выборки п: п\-\- п^-\-... -\- п^ = п. Если это не так, то при подсчете каких-то абсолютных частот п^ были ошибки и нужно подсчитать все абсолютные частоты п^ заново. 7. Рекомендуем записывать ответ в виде Хк Х1 Х2 ' ' ' Хт T* Г)* г1 п2 71*
7.1. Группированный статистический ряд абсолютных частот 331 Пример. Дана выборка 0.3414 0.0544 0.5665 0.5729 0.5221 1.0481 0.2063 0.4233 0.0765 0.6972 0.5163 0.8818 0.1865 0.1791 0.9468 0.1072 1.5617 1.1870 0.1553 0.4480 0.5821 0.9818 1.0617 0.0652 3.7157 1.8344 0.7458 0.7540 0.0107 0.2080 0.5707 0.0353 0.0961 1.7704 0.2473 0.4891 0.1172 0.6037 1.0279 0.6948 0.2394 0.6025 0.2399 0.5744 0.0105 0.8014 1.8042 0.4547 0.1594 0.7304 0.2385 0.1313 0.4685 0.2088 0.3142 0.2477 0.0590 0.8701 0.4743 0.1035 0.0424 0.4640 0.1973 1.2452 0.6812 0.2391 0.6018 0.1384 0.3842 1.9074 0.8335 0.1128 0.4220 0.7335 0.1384 0.5190 1.0030 1.2520 0.1868 0.1219 0.1084 1.2342 0.0455 0.1426 2.0712 0.0435 0.2432 1.4830 1.3463 0.1551 0.1051 0.1947 0.4945 0.1489 0.0300 1.9687 0.2459 0.2411 0.0786 0.1704 0.0517 0.3001 0.1881 0.3989 0.3636 0.4906 0.5615 0.2307 0.0598 0.3059 0.4618 0.6618 0.6431 0.7181 0.1927 0.2341 0.8441 0.0666 0.5814 0.4669 0.0706 0.3872 0.3162 0.0293 0.3635 0.6708 0.9115 0.2149 0.1379 0.0240 0.2368 3.0668 0.5952 0.9600 0.7650 0.0266 0.1971 0.2453 0.2817 0.5482 1.0075 0.9034 0.1531 1.5407 0.3712 0.4305 0.6989 1.3417 1.0866 0.5681 0.3756 0.9597 0.7906 0.1007 0.5398 0.4489 0.1600 0.0009 0.0279 0.1746 0.1138 0.4197 0.7443 0.2543 1.0400 0.1737 0.6106 0.0511 0.2837 0.6404 0.8304 0.2186 0.4119 0.1463 0.3607 0.1491 0.0713 0.5814 2.8045 1.3063 0.1138 0.0343 0.1560 0.0778 0.0472 0.2749 0.3299 1.4998 1.6403 0.0024 0.0250 0.4424 1.5446 0.9442 0.6416 1.0949 0.3004 0.0413 0.7620 0.7577 0.3538 0.6052 0.3154 0.3242 0.1391 0.6120 0.0216 0.1370 1.6186 0.2310 0.8314 1.2808 0.8731 0.0616 0.3451 0.9448 0.7492 0.7761 0.0214 0.4120 0.0940 0.1623 0.6393 0.1266 1.7226 1.6758 0.3748 0.5488 0.0842 0.9146 1.0724 1.6746 0.3921 1.2122 0.3526 0.0264 0.4680 0.7817 0.3367 1.2449 0.0398 1.2827 0.4134 0.0429 0.6958 0.6410 0.9806 2.5054 0.4858 0.2281 2.1528 0.6725 3.7900 0.0005 0.3757 0.6727 0.4208 1.8663 0.2649 0.2802 1.1588 0.1339 0.0146 0.4941 0.8826 0.3320 0.2814 0.2769 0.6607 1.2985 0.9648 0.5388 0.3288 0.5051 0.6511 0.1595 0.0253 1.3622 0.1405 0.6973 Построить ее группированный статистический ряд абсолютных частот из 21 члена. Решение. 1. Находим хш-ш = 0.0005 и жтах = 3.7900. 2. Находим длину интервала группировки h = хт-ХпЛп = 3-7900-0.0005 = т 21 Здесь т = 21 — число интервалов группировки.
332 Гл. 7. Математическая статистика 3. Находим правые границы интервалов группировки: Xk = ^min + kh (к = 1,..., 21). Получаем 0.1805 0.3610 0.5414 0.7219 0.9024 1.0829 1.2633 1.4438 1.6243 1.8048 1.9852 2.1657 2.3462 2.5267 2.7071 2.8876 3.0681 3.2486 3.4290 3.6095 3.7900 4. Находим центры х^ интервалов группировки по формуле х*к = хк + -, к = 1,...,21. Получаем х*к 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 х*к 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 х*к 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 5. Для каждого интервала группировки (xk-i,xk) находим число п? элементов выборки, попавших в этот интервал. Получаем п* 76 51 39 36 21 18 9 п* 7 6 6 4 2 0 1 п* 0 1 1 0 0 0 2 6. Убеждаемся, что сумма всех абсолютных частот п? равна объ- объему выборки 280. Ответ.Группированный статистический ряд абсолютных частот имеет вид ж* 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 п* 76 51 39 36 21 18 9 х% 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 п* 7 6 6 4 2 0 1 х% 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 п% 0110002 Условия задач. Вычислить значения ак при к = 1,2, ...,200. Для выборки ai,..., a2oo построить группированный статистичес- статистический ряд абсолютных частот из 10 членов. В условиях задач ak = frac(\/2&), /?& = frac(\/3 к) и frac(x) обозна- обозначает дробную часть десятичного числа х. 1. ак = ак. 2. ак = Eк. 3. ак = -1пак. 4. ак = 8ттг(ак - 1/2). 5. ак = у/ок. 6. ак = \/ак. 7. ак = Ыак - 1пA - ак). 8. ак = 9. ак= V-21nafesinB7r/3fc). 10. afc= V^^K - V2)-
7.1. Группированный статистический ряд абсолютных частот 333 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Ответы.*) xl БЛ73Е-2 п*к 20 xl 5Л82Е-1 n*k 18 xl 5.333Я-2 n* 20 4 20 ж* 3.133Я-1 n* 92 ж* 3.396 n* 4 ж* -9.000Я-1 n* 41 xl 9.994Я-2 n* 13 ж* 9.333Я-2 n* 5 4 5.692Я-1 n* 22 ж* 1.7UE-1 n* 9 A* ж* 6.066?^-l n* 20 Xjl О.ОУО xl 1.304Я-1 nl 56 ж* 2.712?7-1 n* 17 ж* 1.977 n* 19 1.510^-1 20 6.474^-1 20 1.524E7-1 20 6.480^-1 20 9.297^-1 50 4.012 3 -7.000??-l 18 2.999Я-1 13 1.88БЕ-1 7 6.644Я-1 26 2.585^-1 4 6.937^-1 25 -4.450 -3. 4 * 2.503Я-1 3.496Я-1 4.489^-1 20 20 21 7Л67Е-1 8.460^-1 9.453?^-l 20 21 20 2.515E-1 3.506^-1 4.498?^-l 19 20 21 7.471Я-1 8.462^-1 9.453?^-l 20 19 21 1.546 2.163 2.779 26 14 8 4.628 5.245 5.861 111 -5.000Я-1 -3.000Я-1 -1.000??-l 15 14 13 4.999^-1 6.999^-1 8.999^-1 14 18 41 2.837Я-1 3.788^-1 4.740?^-l 10 14 18 7.595Я-1 8.547^-1 9.499?^-l 28 33 37 3.455Я-1 4.325^-1 5.196Я-1 6 10 13 7.807^-1 8.678^-1 9.548^-1 33 38 49 305 -2.160 -1.015 * 21 44 1.275 2.4205 3.566 4.711 39 18 7 2 6.124E-1 35 2.318 10 9.537Я-1 1.295 1.636 41 39 29 2.660 3.001 3.342 6 3 1 *) Здесь и далее в записи десятичных чисел Е — п = 10 п.
334 Гл. 7. Математическая статистика 9. xl -3.117 -2.479 -1.841 -1.203 -5.ШЕ-1 nl 1 2 9 31 39 xl 7.326Я-2 7.112Я-1 1.349 1.987 2.625 n? 49 38 20 10 1 10. xl -4.873 -3.941 -3.009 -2.077 -1.145 nl I 1 2 12 64 xl -2.137Я-1 7.18LE7-1 1.650 2.582 3.514 n? 22 63 29 4 2 7.2. Группированный статистический ряд относительных частот Постановка задачи. Построить группированный статисти- статистический ряд относительных частот по заданному группированному статистическому ряду абсолютных частот (х1,п1)^ (ж2,п2), ..., (жш,пш). План РЕШЕНИЯ. Группированным статистическим рядом отно- относительных частот называется последовательность пар чисел — п где Ti^/n — относительные частоты и п — объем выборки. По теореме Бернулли каждая относительная частота п^/п стре- стремится при п —>- оо к вероятности того, что выборочное значение по- попадет в соответствующий интервал группировки (ж^_1?ж^). 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 т 4 х\ 2 К п*к/п 2. Находим объем выборки , суммируя числа в третьем столбце: П = п\ + 77,2 + •" + пт
7.2. Группированный статистический ряд относительных частот 335 3. Вычисляем относительные частоты п^/п и помещаем их в чет- четвертый столбец таблицы. 4. Проверяем, что сумма вычисленных относительных частот в четвертом столбце равна 1: гс? п% п* п п п Если это не так, то при вычислении каких-то относительных частот п^/п были сделаны ошибки и нужно вычислить все относительные частоты Tifc/n заново. Если сумма относительных частот незначи- незначительно отличается от единицы, то этим можно либо пренебречь, либо применить выравнивание (задача 7.14). При вычислениях следует сохранять одно и то же количество цифр у всех относительных частот. Замечание. При объемах выборки 100, 125, 200, 250, 500 вычисле- вычисление относительных частот получается простым и точным, т.к. сво- сводится к умножению на 10, 8, 5, 4, 2 и делению на 1000. 5. Рекомендуем записывать ответ в виде Ч_ Щ rq n^ п п п п Пример. Построить группированный статистический ряд отно- относительных частот по группированному статистическому ряду абсо- абсолютных частот, найденному в примере раздела 7.1 (стр. 332). Решение. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 21 хк 0.09025 0.27075 3.69975 < 76 51 2 п11п 2. Находим объем выборки п, суммируя числа в третьем столбце: 76 + 51 + 39 + 36 + 21 + 18 + 9 + 7 + 6 + 6 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 280. 3. Вычисляем относительные частоты п*к/п = п^/280 и помещаем их в четвертый столбец таблицы.
336 Гл. 7. Математическая статистика Таблица принимает вид к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 хк 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 < 76 51 39 36 21 18 9 7 6 6 4 2 0 1 0 1 1 0 0 0 2 п11п 0.27143 0.18214 0.13929 0.12857 0.07500 0.06429 0.03214 0.02500 0.02143 0.02143 0.01429 0.00714 0 0.00357 0 0.00357 0.00357 0 0 0 0.00714 4. Убеждаемся, что сумма вычисленных относительных частот в четвертом столбце равна 1. Ответ. Группированный статистический ряд относительных час- частот имеет вид xl пк п Хь, 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 0.27143 0.18214 0.13929 0.12857 0.07500 0.06429 0.03214 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 0.02500 0.02143 0.02143 0.01429 0.00714 0 0.00357 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 0 0.00357 0.00357 0 0 0 0.00714
7.2. Группированный статистический ряд относительных частот 337 Условия ЗАДАЧ. Построить группированные статистические ряды относительных частот по группированным статистичес- статистическим рядам абсолютных частот, найденных в задачах раздела 7.1 (стр. 333). Ответы. 1. ж* 5.173Я-2 1.510Я-1 2.503Я-1 3.496Я-1 4.489Я-1 ^ 0.100 0.100 0.100 0.100 0.105 п х*к БЛ82Е-1 6.474Я-1 7Л67Е-1 8.ШЕ-1 9ЛБЗЕ-1 ^ 0.090 0.100 0.100 0.105 0.100 п 2. ж* 5.333Я-2 1.524Е-1 2.515Я-1 3.506Я-1 4.498Я-1 ^ 0.100 0.100 0.095 0.100 0.105 п х*к 5.489^-1 6.480^-1 7 А7\Е-\ 8.462Я-1 9.453?^-1 ^ 0.100 0.100 0.100 0.095 0.105 п 3. х% 3.133Я-1 9.297Я-1 1.546 2.163 2.779 ^ 0.460 0.250 0.130 0.070 0.040 п х*к 3.396 4.012 4.628 5.245 5.861 ^ 0.020 0.015 0.005 0.005 0.005 п 4. ж* -0.9000 -0.7000 -0.5000 -0.3000 -0.1000 п* -^ 0.205 0.090 0.075 0.070 0.065 п х*к 0.09994 0.2999 0.4999 0.6999 0.8999 ^ 0.065 0.065 0.070 0.090 0.205 п 5. ж* 9.333Я-2 1.885Я-1 2.837Я-1 3.788Я-1 4.740Я-1 ^ 0.025 0.035 0.050 0.070 0.090 п х*к 5.692Я-1 6.644Я-1 7.595^-1 8.547Я-1 9.499?^-1 ^ 0.110 0.130 0.140 0.165 0.185 п 22 В.И. Афанасьев и др.
338 Гл. 7. Математическая статистика 6. xl 1.7UE-1 2.5S5E-1 ЗЛБ5Е-1 4.325Я-1 5.196^—1 ^ 0.010 0.020 0.030 0.050 0.065 п xl 6.066Я-1 6.937Я-1 7.807Я-1 8.678Я-1 9.548Я-1 -^ 0.100 0.125 0.165 0.190 0.245 п 7. xl -5.595 -4.450 -3.305 -2.160 -1.015 ^ 0.005 0.020 0.040 0.105 0.220 п xl 1.304Я-1 1.275 2.4205 3.566 4.711 ^ 0.280 0.195 0.090 0.035 0.010 п 8. xl 0.2712 0.6124 0.9537 1.295 1.636 ^ 0.085 0.175 0.205 0.195 0.145 п xl 1.977 2.318 2.660 3.001 3.342 ^ 0.095 0.050 0.030 0.015 0.005 п 9. xl -3.117 -2.479 -1.841 -1.203 -0.5647 ^ 0.005 0.010 0.045 0.155 0.195 п xl 0.07326 0.7112 1.349 1.987 2.625 ^ 0.245 0.190 0.100 0.050 0.005 п 10. xl -4.873 -3.941 -3.009 -2.077 -1.145 ^ 0.005 0.005 0.010 0.060 0.320 п xl -0.2137 0.7181 1.650 2.582 3.514 ^ 0.110 0.315 0.145 0.020 0.010 п 7.3. Полигон абсолютных частот Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд абсолютных частот (х\, п\), (х^, nj), • • •, (ж^, п^). Построить поли- полигон абсолютных частот.
7.3. Полигон абсолютных частот 339 План решения. Полигон абсолютных частот группированного статистического ряда абсолютных частот — это ломаная с верши- вершинами в точках (ж?,п?). Пример полигона абсолютных частот приве- приведен на рис. 7.1. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Рис. 7.1. Полигон абсолютных частот Полигон является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы полигон был максимально наглядным. 1. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х\ и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (х^х^) и от- отчетливо различались точки х^. 2. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке, чуть меньшей min{n^,..., п^\ (обычно — в точке 0), и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (min{n^,..., n^}, max{n^,..., п^}) и отчетливо различались точки п^. 3. На оси абсцисс размещаем значения ж^, а на оси ординат — значения 7ij?. 4. Наносим точки (х\,п\), (х^п^), • •., (ж^,п^) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Пример. Построить полигон абсолютных частот по группирован- группированному статистическому ряду абсолютных частот, найденному в при- примере раздела 7.1 (стр. 332). 22*
340 Гл. 7. Математическая статистика Решение. 1. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки ж* = 0.09025, т.е. в точке 0.05, и такой масштаб, чтобы на оси по- поместился интервал (x^x^i) = @.09025,3.69975) и отчетливо различа- различались точки ж?, т.е. 4 : 10. 2. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (min{rcj,..., <J, max{rcj,..., <J) = @, 76) и отчетливо различались точки п?, т.е. 80 : 10. 3. На оси абсцисс размещаем значения ж?, а на оси ординат — значения п?. 4. Наносим точки (ж*,п*), (ж^п^), ..., (#21,^21) на к00РДинатнУю плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Получаем по- полигон, изображенный на рис. 7.1. Условия ЗАДАЧ. Построить полигоны абсолютных частот по группированным статистическим рядам абсолютных частот, най- найденным в задачах раздела 7.1 (стр. 333). 7.4. Полигон относительных частот Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд относительных частот: J1' n)' V 2' п/ " Гт' п Построить полигон относительных частот. План решения. Полигон относительных частот — это ломаная с вершинами в точках (ж?,п?/п). Пример полигона относительных частот приведен на рис. 7.2. Полигон является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы полигон был максимально наглядным. 1. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х\ и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (ж*,ж^) и от- отчетливо различались точки ж?.
7.4. Полигон относительных частот 341 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Рис. 7.2. Полигон относительных частот 2. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались точки п^/п. 3. На оси абсцисс размещаем значения ж?, а на оси ординат — значения п^/п. 4. Наносим точки (х\)П\/п), (ж^п^/п), ..., (x^ri^/ri) на коор- координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Замечание. Полигоны абсолютных и относительных частот раз- различаются только шкалой на оси ординат (ср. рис. 7.1 и 7.2). Пример. Построить полигон относительных частот по группиро- группированному статистическому ряду относительных частот, найденному в примере раздела 7.2 (стр. 336). Решение. 1. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х\ = 0.00925, т. е. 0.005 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (x^x^i) = @.09025,3.69975) и отчетливо различались точ- точки ж?, т.е. 4 : 10. 2. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались точки п^/п, т.е. 0.30 : 10.
342 Гл. 7. Математическая статистика 3. На оси абсцисс размещаем значения ж?, а на оси ординат — значения п^/п. 4. Наносим точки (х\^п\/п)^ (ж^п^/п), ..., (#21? n2iln) на коор- координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. По- Получаем полигон, изображенный на рис. 7.2. Условия ЗАДАЧ. Построить полигоны относительных частот по группированным статистическим рядам относительных час- частот, найденным в задачах раздела 7.2 [стр. 337). 7.5. Гистограмма относительных частот Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд относительных частот: n J \ п J \ п Построить его гистограмму относительных частот. План решения. Гистограмма относительных частот — это фи- фигура, состоящая из т прямоугольников, опирающихся на интервалы группировки. Площадь к-ro прямоугольника полагают равной п*к/п- Пример гистограммы относительных частот приведен на рис. 7.3. Нк 1.50 :п 1.35 1.20 1.05 0.90 0.75 0.60 - 0.45 0.30 0.15 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 хк Рис. 7.3. Гистограмма относительных частот
7.5. Гистограмма относительных частот 343 Из теоремы Бернулли следует, что если объем выборки п стре- стремится к бесконечности, а длины интервалов группировки — к нулю, то гистограмма относительных частот для значений непрерывной случайной величины стремится к графику плотности вероятностей этой случайной величины. Гистограмма является одним из графических представлений вы- выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы гистограмма была максимально наглядной. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 т ~* хк xi «.* 2 Пк/П n\jn Хк-1 Хк 2. Вычисляем полуширину А интервала группировки: Х2 Хтп Х тп-1 3. Находим хт[п = х$-А и жтах = х*ш + А. 4. Находим границы интервалов группировки по формуле Хк-1 =х*к - А, к = 1,...,т, и полагаем жт = жтах. 5. Вычисляем высоты прямоугольников: к = 1,..., т. "" ~ 2А ' Результаты, полученные в пп. 4 и 5, представляем в таблице. 6. Проверяем, что сумма всех высот Нк в 6-м столбце, умноженная на h = 2А, равна 1. Если это не так, то при вычислении каких-то высот были сделаны ошибки и нужно вычислить все высоты заново. Если сумма всех высот Нк, умноженная на h = 2А, незначительно отличается от единицы, то этим можно либо пренебречь, либо при- применить выравнивание (задача 7.14). 7. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х\ и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (ж*,ж^) и от- отчетливо различались точки ж?.
344 Гл. 7. Математическая статистика 8. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси отчетливо различались точки Нк. 9. Для построения гистограммы относительных частот на ось аб- абсцисс наносим интервалы (ж?_1,ж&) и, используя каждый из них как основание, строим прямоугольник с соответствующей высотой Нк. Пример. Построить гистограмму относительных частот по груп- группированному статистическому ряду относительных частот, найден- найденному в примере раздела 7.2 (стр. 336). Решение. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 21 хк 0.09025 0.27075 3.69975 пк1п 0.27143 0.18214 0.00714 Хк-1 Хк 2. Вычисляем полуширину А интервала группировки: -х\ х*ш- ж^_! 0.27075 - 0.09025 _ 3. Находим = 0.09025. ^min = х{-А = 0.09025 - 0.09025 = 0 ^тах = х*21 + А = 3.69975 + 0.09025 = 3.79. 4. Находим границы интервалов группировки по формуле хк_! = х% - А = х% - 0.09025, к = 1,..., 21, и полагаем хт = жтах. 5. Вычисляем высоты прямоугольников: Нк ^ДГ 0Л805 5'5 п ' *1'-"'21- Результаты пп. 4 и 5 последовательно помещаем в таблицу.
7.5. Гистограмма относительных частот 345 В итоге таблица принимает вид к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 хк 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 п11п 0.27143 0.18214 0.13929 0.12857 0.07500 0.06429 0.03214 0.02500 0.02143 0.02143 0.01429 0.00714 0 0.00357 0 0.00357 0.00357 0 0 0 0.00714 Хк-1 0.0000 0.1805 0.3610 0.5414 0.7219 0.9024 1.0829 1.2633 1.4438 1.6243 1.8048 1.9852 2.1657 2.3462 2.5267 2.7071 2.8876 3.0681 3.2486 3.4290 3.6095 Хк 0.1805 0.3610 0.5414 0.7219 0.9024 1.0829 1.2633 1.4438 1.6243 1.8048 1.9852 2.1657 2.3462 2.5267 2.7071 2.8876 3.0681 3.2486 3.4290 3.6095 3.7900 нк 1.50372 1.00906 0.77167 0.71228 0.41550 0.35617 0.17806 0.13850 0.11872 0.11872 0.07917 0.03956 0 0.01978 0 0.01978 0.01978 0 0 0 0.03956 6. Проверяем, что сумма всех высот Нк в 6-м столбце, умноженная на h = 2А, равна 1. В нашем расчете эта величина равна 5.54003 • 0.1805 « 0.99998, что с приемлемой для математической ста- статистики точностью равно 1. Должна получиться сумма относительных частот, равная в задан- заданном группированном ряде 1. Погрешность суммы высот происходит от ошибок округления. Ее можно устранить выравниванием. 7. На оси абсцисс выбираем начальную точку 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (x^x^i) = @.09025,3.69975) и от- отчетливо различались точки ж?, т.е. 4 : 10. 8. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались точки Н^, т.е. 1.6 : 10. 9. Для построения гистограммы относительных частот на ось аб- абсцисс наносим интервалы (xk—iixk) и? используя каждый из них как основание, строим прямоугольник с соответствующей высотой Н^. Получаем гистограмму, изображенную на рис. 7.3.
346 Гл. 7. Математическая статистика Условия ЗАДАЧ. Построить гистограммы относительных час- частот по группированным статистическим рядам относительных частот, найденным в задачах раздела 7.2 (стр. 337). 7.6. Эмпирическая функция распределения Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд относительных частот Составить таблицу значений и построить график эмпирической функции распределения данного ряда. План решения. Эмпирической функцией распределения называ- называется функция, определенная для всех х Е (—ос, ос) формулой *) 0)* f*(x) = { ai + al I n n 1, X \ X i , nl Lfc+1> A) Из теоремы Бернулли следует, что если объем выборки п стре- стремится к бесконечности, а длина интервала группировки — к нулю, то эмпирическая функция распределения F*(x) стремится к функ- функции распределения F(x) в каждой точке х G (—ос, ос). По теореме Гливенко это стремление равномерно на всей оси. При построении графика F*(x) следует тщательно выбрать мас- масштабы и начальные точки на осях, чтобы график распределения был максимально наглядным. Пример графика F*(x) приведен на рис. 7.4. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 т х\ ^* 2 п\/п п*т/п F*(x*k) *) В литературе встречается иное определение, согласно которому F*(x) = = Р(? < х).
7.6. Эмпирическая функция распределения 347 F*(x) 1.0 - 0.9 - 0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 -. 0.2 - 0.1 - 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 х Рис. 7.4. Эмпирическая функция распределения 2. В четвертую колонку записываем накопленные относительные частоты п гс? п Т.Д. п п п п 3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки х\ и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (ж*,ж^) и от- отчетливо различались точки ж?. 4. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал @,1) и отчетливо раз- различались точки п^/п. 5. Для построения графика эмпирической функции распределения наносим на ось абсцисс интервалы (ж?,ж?+1) и наД каждым из них на высоте F*(x^) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать, что F*(x) в точке ж?+1 делает прыжок в высоту на -F*(a^+1) — F*(x*^) = n^J^1/n. Пример графика F*(x) приведен на рис. 7.4. Пример. Составить таблицу значений и построить график эм- эмпирической функции распределения группированного статистичес- статистического ряда относительных частот, найденного в примере раздела 7.2 (стр. 336).
348 Гл. 7. Математическая статистика Решение. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 21 0 0 3 хк .09025 .27075 .69975 0 0 0 пк1п .27143 .18214 .00714 F*{x%) 2. В четвертую колонку записываем накопленные относительные частоты. F*(x$) = — =0.27143, n 77* 77* "=0.27143 n n F*(x*2) = ^ 0.18214 = 0.45357, F*(xt) = ^ + ^ + ^ = 0.27143 + 0.18214 + 0.13929 = n n n Таким образом получаем таблицу 0.13929 = 0.59286 и т.д. к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 хк 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 пк1п 0.27143 0.18214 0.13929 0.12857 0.07500 0.06429 0.03214 0.02500 0.02143 0.02143 0.01429 0.00714 0 0.00357 0 0.00357 0.00357 0 0 0 0.00714 F*{x%) 0.27143 0.45357 0.59286 0.72143 0.79643 0.86072 0.89286 0.91786 0.93929 0.96072 0.97501 0.98215 0.98215 0.98572 0.98572 0.98929 0.99286 0.99286 0.99286 0.99286 1
7.7. Выборочное среднее несгруппир о ванной выборки 349 3. На оси абсцисс выбираем начальную 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал (a^a^i) = @-09025,3.69975) и отчетливо различались точки ж?, т.е. 4 : 10. 4. На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал @,1) и отчетливо раз- различались точки п*^/п, т.е. 1 : 10. 5. Для построения графика эмпирической функции распределе- распределения наносим на ось абсцисс интервалы (ж?, ж?+1) и над каждым из них на высоте F*(a??) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать, что F*(x) в точке xk+i делает прыжок в высоту на F*(x?+1) — F*(x?) = n?+1/n. По- Получаем график эмпирической функции распределения, изображенный на рис. 7.4. Условия ЗАДАЧ. Составить таблицы значений и построить графики эмпирических функций распределения для группированных статистических рядов относительных частот, найденных в зада- задачах раздела 7.2 (стр. 337). 7.7. Выборочное среднее несгруппированной выборки Постановка задачи. Дана числовая выборка ai, a2,..., ап. Вы- Вычислить ее выборочное среднее. План решения. Выборочное среднее определяется формулой а = = — > ak- A) По теореме Бернулли выборочное среднее а стремится при п —>• оо к математическому ожиданию той случайной величины, значения ко- которой образуют выборку ai, a2,..., ап. При больших объемах выборки числитель и знаменатель дроби A) могут принимать большие значения, что, в свою очередь, может при- привести к потере точности. Поэтому при практических вычислениях лучше избегать суммирования большого числа слагаемых. Например, если объем выборки п = 100, то лучше суммировать по десять элементов: #2 = «11 + . . . + а20, •> $10 = «91 + • • • + «100-
350 Гл. 7. Математическая статистика Затем делим Si, S2,..., Sio на 10. В дробях _ Si _ S2 _ Sio числитель и знаменатель не столь велики, как в A). Затем вычисляем _ Si + . . . + Sio а = Io • Здесь опять числитель и знаменатель не столь велики, как в A). 1. Суммируем по десять элементов: 10 20 i=l г=11 и так далее. 2. Каждое из чисел Si, S2,..., Sn/io делим на 10 и получаем числа Si, S2, • • -, Sn/10- 3. Искомое выборочное среднее определяется формулой а= io• Пример. Дана выборка (см. стр. 331). Вычислить ее выборочное среднее. Решение. 1. Объем выборки п = 280. Суммируем по десять элементов, т.е. по строкам таблицы. Получаем для S& значения 4.5087 6.1697 9.9594 5.6525 5.6168 3.1159 5.9010 5.3229 6.8730 3.6779 2.9509 4.8706 3.1259 6.9227 8.1017 3.5787 4.3316 6.8805 4.1764 6.5541 4.3579 6.2955 6.3430 7.5616 7.3155 10.4964 5.5335 5.3734 2. Каждое из чисел Si, S2,..., S28 делим на 10. Получаем 28 чисел sk = Sfc/10: 0.45087 0.61697 0.99594 0.56525 0.56168 0.31159 0.59010 0.53229 0.68730 0.36779 0.29509 0.48706 0.31259 0.69227 0.81017 0.35787 0.43316 0.68805 0.41764 0.65541 0.43579 0.62955 0.63430 0.75616 0.73155 1.04964 0.55335 0.53734 3. Искомое выборочное среднее есть -а = «1 + Ч + - + ** = 1^ 28 28
7.8. Выборочное среднее группированного статистического ряда 351 Ответ, а = 0.5770275. Условия задач. Вычислить значения а& при к = 1,2, ...,200. Вычислить выборочное среднее выборки «1,...,а2оо (сж- стр. 332). Ответы. 1. 0.49846. 2. 0.50111. 3. 1.0074. 4. -0.0025671. 5. 0.66526. 6. 0.74874. 7. -0.025608. 8. 1.2587. 9. -0.025979. 10. -0.024496. 7.8. Выборочное среднее группированного статистического ряда абсолютных частот Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд абсолютных частот {х1,п1), [Х2,п2), • • • ,(xm,nm). Вычислить его выборочное среднее. План решения. Выборочное среднее группированного статистического ряда аб- абсолютных частот определяется формулой т ^ - V^ *nk х = У xk—-, ^ k п k=i где п = п\ + ... + п^ — объем выборки. Из теоремы Бернулли следует, что выборочное среднее х стре- стремится к математическому ожиданию той случайной величины, зна- значения которой образуют группированный ряд, если объем выбор- выборки п стремится к бесконечности, а длины интервалов группировки — к нулю. Чтобы упростить вычисления и уменьшить погрешность округле- округления, используем так называемый метод произведений. Заметим, что если с — центр того интервала группировки, ко- который находится примерно в середине статистического ряда и h — длина интервала группировки, то величины у* = Х*к ~ ° Ук h — целые числа. Поэтому величина п к=1
352 Гл. 7. Математическая статистика вычисляется очень просто. Искомое выборочное среднее х выража- выражается через у по формуле х = Ну + с. A) 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 т хк xi Х<2 т* К п\ п\ VI У>1 2. Вычисляем длину интервала группировки h = х^ — х\. 3. Выбираем с. Если т — четное число, то с = а^/2- Если т — нечетное число, то с = х1+1^,2. 4. Заполняем 4-й столбец величинами у^. В строке с х^ = с пи- пишем 0, вверх записываем последовательно —1, —2, и т.д., а вниз — последовательно 1, 2, и т.д. 5. Заполняем 5-й столбец величинами п^у^. 6. Суммируем частоты п? в 3-м столбце и получаем объем выборки п. 7. Суммируем числа у^п^ в 5-м столбце и делим на п. Получаем величину у. 8. По формуле A) вычисляем искомое выборочное среднее х. Пример. Вычислить выборочное среднее группированного ста- статистического ряда абсолютных частот, найденного в примере раз- раздела 7.1 (стр. 332). Решение. Чтобы упростить вычисления и уменьшить погрешность округле- округления, используем так называемый метод произведений. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 21 хк 0.09025 0.27075 3.69975 < 76 51 2 Ун Ук< 2. Вычисляем длину интервала группировки h = x*2-x{= 0.27075 - 0.09025 = 0.1805.
7.8. Выборочное среднее группированного статистического ряда 353 3. Выбираем с = х*г = 1. 4. Заполняем 4-й столбец величинами у^. В строке с х^ = с пи- пишем 0, вверх записываем последовательно — 1, —2, и т.д., а вниз — последовательно 1, 2, и т.д. 5. Заполняем 5-й столбец величинами п^у^. Таблица принимает вид к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 < 76 51 39 36 21 18 9 7 6 6 4 2 0 1 0 1 1 0 0 0 2 Ун -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -760 -459 -312 -252 -126 -90 -36 -21 -12 -6 0 2 0 3 0 5 6 0 0 0 20 6. Суммируем частоты п? в 3-м столбце и получаем объем выборки п = 280. 7. Суммируем числа у^п^, в 5-м столбце. Получаем —2038. Делим этот результат на п = 280 и получаем величину у = —7.27857. 8. По формуле A) вычисляем искомое выборочное среднее: х = Ну + с = 0.1805 • (-7.27857) + 1.89500 « 0.58122. Ответ, х « 0.58122. 23 В.И. Афанасьев и др.
354 Гл. 7. Математическая статистика Условия ЗАДАЧ. Вычислить выборочные средние группирован- группированных статистических рядов абсолютных частот, найденных в зада- задачах раздела 7.1 на стр. 333. Ответы. 1. 0.4995. 2. 0.5008. 3. 1.047. 4. -0.004047. 5. 0.6644. 6. 0.7476. 7. -0.02437. 8. 1.261. 9. -0.01935. 10. -0.03646. 7.9. Выборочная дисперсия несгруппированной выборки Постановка задачи. Дана числовая выборка ai, a<i,..., ап. Вы- Вычислить ее выборочную дисперсию. План решения. Выборочная дисперсия несгруппированной вы- выборки определяется формулой = (а1-аГ + (а2-аГ + ... + (ап-аГ = _J_ ? _ 2> п — 1 п — 1 *-^ k=l где а — выборочное среднее. Из теоремы Бернулли следует, что вы- выборочная дисперсия D* стремится при п —>> ос к дисперсии той слу- случайной величины, значения которой образуют выборку ai, а^, • • •, ап. 1. Вычисляем выборочное среднее а (см. задачу 7.7). 2. Вычисляем выборочную дисперсию по формуле A) или по эк- эквивалентной ей формуле К = ^-гУ>* - ^Ч^2 = ^Ч ft- п2) • B) a п-\^к п-\ п-\\ ) v/ fc=i ПРИМЕР. Дана выборка (см. стр.331). Вычислить ее выборочную дисперсию. Решение. 1. Вычисляем выборочное среднее а (см. задачу 7.7). Получаем а ^0.58122. 2. Вычисляем выборочную дисперсию по формуле A) с п = 280. Получаем _ @.3414 - Q.58122J + ... + @.6973 - Q.58122J ^а 279 ~ Ответ. Da ъ 0.343925.
7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда 355 Условия задач. Вычислить значения а& при к = 1, 2,..., 200 (см. стр. 332). Вычислить выборочную дисперсию выборки ai,...,a2oo- Ответы. 1. 0.083493. 2. 0.083071. 3. 1.0183. 4. 0.50165. 5. 0.056180. 6. 0.038107. 7. 3.1886. 8. 0.43269. 9. 1.0252. 10. 1.7277. 7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда абсолютных частот Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд абсолютных частот: Вычислить его выборочную дисперсию. План решения. Выборочная дисперсия группированного статис- статистического ряда абсолютных частот определяется формулой D. = И - xfn\ + (х*2 - хJп*2 + ... + «- хJп*т = n-1 ~ n-i 2-^Xk x* Пк' ^ ' где ~x — выборочное среднее данного группированного статистичес- статистического ряда абсолютных частот ип = Ц+.. -+^ — объем выборки. Из теоремы Бернулли следует, что выборочная дисперсия D* стремится к дисперсии той случайной величины, значения которой образуют группированный ряд, если объем выборки п стремится к бесконеч- бесконечности, а длины интервалов группировки — к нулю. Чтобы упростить вычисления и уменьшить погрешность округле- округления, используем так называемый метод произведений. Заметим, что выборочная дисперсия D* не изменяется, если из каждой величины х^ вычесть одно и то же число с. Пусть с — центр того интервала группировки, который находится примерно в сере- середине статистического ряда и h — длина интервала группировки. То- Тогда величины Ук = 23*
356 Гл. 7. Математическая статистика — целые числа. Поэтому величина 1 т 1 B) вычисляется просто. Искомая выборочная дисперсия D* выражается через D* по формуле 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 т хк ~* xi Х<2 г* К п\ vl У*кп1 ¦I*2 Ук у*кЧ 2. Вычисляем длину интервала группировки h = х\ — х\. 3. Выбираем с. Если m — четное число, то с = а^/2- Если m — нечетное число, то с = 2vm+1w2- 4. Заполняем 4-й столбец величинами у^. В строке с х^ = с пи- пишем 0, вверх записываем последовательно —1, —2, и т.д., а вниз — последовательно 1, 2, и т.д. 5. Заполняем 5-й столбец величинами у%п^. 6. Заполняем 6-й столбец величинами у^2. В строке с х^ = с пи- пишем 0, вверх записываем последовательно квадраты натуральных чи- чисел 1, 4, 9, 16, 25 и т.д., и вниз также последовательно 1, 4, 9, 16, 25 и т.д. 7. Заполняем 7-й столбец величинами (у^Jп?. 8. Суммируем частоты п? в 3-м столбце и получаем объем выбор- выборки п. 9. Суммируем числа у^п^ в 5-м столбце. 10. Суммируем числа у12п^ в 7-м столбце. 11. Вычисляем D* по формуле B). 12. Вычисляем D* по формуле C) и записываем ответ. Пример. Вычислить выборочную дисперсию группированного статистического ряда абсолютных частот, найденного в примере раз- раздела 7.1 (стр. 332). Решение. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений:
7.10. Выборочная дисперсия группированного статистического ряда 357 к 1 2 21 хк 0.09025 0.27075 3.69975 пк 76 51 2 Ук Укп1 Ук Ук2пк 2. Вычисляем длину интервала группировки: h = x*2-x\= 0.27075 - 0.09025 = 0.1805. 3. Выбираем с = х*г = 1.89500. 4. Заполняем 4-й столбец величинами у^. В строке с х^ = с пи- пишем 0, вверх записываем последовательно — 1, —2, и т.д., а вниз — последовательно 1, 2, и т.д. 5. Заполняем 5-й столбец величинами 6. Заполняем 6-й столбец величинами 7. Заполняем 7-й столбец величинами Таблица принимает вид к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 хк 0.09025 0.27075 0.45120 0.63165 0.81215 0.99265 1.17310 1.35355 1.53405 1.71455 1.89500 2.07545 2.25595 2.43645 2.61690 2.79735 2.97785 3.15835 3.33880 3.51925 3.69975 К 76 51 39 36 21 18 9 7 6 6 4 2 0 1 0 1 1 0 0 0 2 Ун -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Укп1 -760 -459 -312 -252 -126 -90 -36 -21 -12 -6 0 2 0 3 0 5 6 0 0 0 20 yf 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ?/*2Г7* Ук Пк 7600 4131 2496 1764 756 450 144 63 24 6 0 2 0 9 0 25 36 0 0 0 200
358 Гл. 7. Математическая статистика 8. Суммируем частоты п? в 3-м столбце и получаем объем выборки п = 280. 9. Суммируем числа у^п^ в 5-м столбце. Получаем —2038. Возво- Возводим это число в квадрат. Получаем 4 153 444. 10. Суммируем числа у^п^ в 7-м столбце. Получаем 17 706. 11. Вычисляем D* по формуле B): D* = \ • [280 • 17 706 - 4153 444] « 10.29488. 280 • 279 12. Вычисляем D% по формуле C): D*x = h2D* « 0.33541 Ответ. D* « 0.33541. Условия ЗАДАЧ. Вычислить выборочные дисперсии группирован- группированных статистических рядов абсолютных частот, найденных в зада- задачах раздела 7.1 (стр. 333). Ответы. 1.0.082325. 2.0.081546. 3.1.0060. 4.0.47228. 5.0.055896 6. 0.037280. 7. 3.2377. 8. 0.42936. 9. 1.0653. 10. 1.7920 7.11. Определение параметров закона распределения методом моментов Постановка задачи. Функция распределения случайной вели- величины ? есть F{x\ ai,..., dj), где ai,..., a j — некоторые неизвест- неизвестные параметры. При этом \М^к\ < оо при к = 1,..., j. По выборке xi,...,xn значений ? определены эмпирические моменты М? = хк (к = 1,..., j). Используя эти моменты, найти параметры ai,..., a j функции распределения F(x\ ai,..., a,j). План решения. 1. Используя функцию распределения F(x; ai,...,aj), вычисляем теоретические моменты М?к при к = 1,..., j, выражая их через не- неизвестные параметры ai,..., aj. Получаем М^к = mfc(ai,..., a^), где ттг^ — известные функции переменных ai,..., ay. 2. Приравнивая найденные теоретические моменты Af ?,..., Af ^ данным эмпирическим моментам М"* = ж,..., Af * = ж-?', получаем систему уравнений ..,^-) = M*, ..,а^) = М|, mj(a1,...,aj) = М*.
7.11. Метод моментов 359 3. Решаем систему уравнений A) и находим ах,..., ctj. Замечание. Вместо функции распределения F(x; ах,..., clj) может быть задана плотность вероятностей р(ж; ах,..., clj) для непрерывной случайной величины ? или вероятности р&(ах, • • • •> aj) значений для дискретной случайной величины ?. Пример 1. Случайная величина ? распределена по нормальному закону с параметрами а и а2. По выборке жх, • • •, хп значений ? опре- определены эмпирические моменты М* = ж = 2.3 и М| = х2 = 8.7. Ис- Используя эти моменты, найти параметры а и а2. Решение. 1. Вычисляем теоретические моменты М?к при к = 1,2, выражая их через неизвестные параметры а и ст. Поскольку ? распределена по нормальному закону с параметрами а и а2, имеем + OO (В данном случае ax = a, a2 = сг2, ттт,х(ах,а2) = ax, 77i2(ax,a2) = = a2 + a2.) 2. Приравнивая найденные теоретические моменты Af?, Af?2 дан- данным эмпирическим моментам М± = 2.3 и М| =8.7, получаем систему 2-х уравнений 3. Решаем систему уравнений B) и получаем а = 2.3, а2 = 3.41. Ответ, а = 2.3, а2 = 3.41. Пример 2. Случайная величина ? имеет отрицательное бино- биномиальное распределение Р(? = /с) = C%l_^_k_1prriqk. Здесь m > 1 и р G @,1) — параметры, q = 1 — р. По выборке жх, • • •, хп значений ? определены эмпирические моменты Мх = ж = 1.21 и М2 = ж2 = 3.54. Используя эти моменты, найти параметры т и р.
360 Гл. 7. Математическая статистика Решение. 1. Вычисляем теоретические моменты М?к при к = 1,2, выражал их через неизвестные параметры тир. Имеем оо оо щ = к=1 к=1 оо оо Me = J>2P(? = *) = ? к2 Ckm+k_lPmqk. D) fc=l fe=l Преобразуя ряд в C) к виду рт ^ (m + fe-l)! ,_ : + m - 1)(к + m - 2)... (jfe + 1)jfe qk, вычисляем сумму ряда почленным дифференцированием (см. зада- задачу 10.12 в книге РЕШЕБНИК "Высшая математика"). Получаем Аналогично получаем 4 Ц р2 р2 2. Приравнивая найденные теоретические моменты ЛТ?, Af^2 дан- данным эмпирическим моментам М± = х = 1.21 и М| = ж2 = 3.54, получаем систему 2-х уравнений ш^1^ = 1.93, т^—^- = 3.54. 2 3. Решаем систему уравнений E). Делим первое уравнение на второе и получаем р = 0.3418. Под- Подставив это значение в первое уравнение, решаем это уравнение отно- относительно т и получаем т = 1.0023. Ответ, т = 1.0023, р = 0.3418.
7.12. Метод наибольшего правдоподобия 361 Условия ЗАДАЧ. Используя метод моментов, найти параметры распределения по известным эмпирическим моментам. 1. Биномиальное распределение p(k;n,p) = Ckpkqn~k, n = 10, М* = 6.8. е~аак 2. Распределение Пуассона р(к; а) = ;—, М* = 3.24. к\ 3. Геометрическое распределение p(k;q) = A — q)qk, М* =2.1. гчк rim —к 4. Гипергеометрическое распределение р(к\ па, пв, тп) = ™ат пь—, ^Па+Пъ т = Ю, Ml = 5.4, М2* = 31.2. 5. Распределение кратности звезд р(к; q) = A—qJkqk~1, M± = 1.6. 6. Равномерное распределение р(х;а,Ь) = при а < х < 6, о — а р(х; а, Ъ) = 0 при х < а или х > Ъ, М* = 0.78, М2* = 1.46. 7. Показательное распределение р(х; Л) = Ле~Лж при ж > 0, р(ж; Л) = 0 при х < 0, Mi = 0.69. ж*-1е-ж 8. Гамма-распределение p(x;t) = ^— при х > 0, р(ж; ?) = 0 при ж < 0, Mi = 1.72. 9. Распределение Лапласа р(х; А) = - Ае~л'ж', Mj" = 0.178. 10. Распределение Парето р{х\ а, а) = — ( — ) при х > а, а \х/ р(х; а, а) = 0 при ж < а, М* = 1.54, М2* = 2.44. Ответы. 1. р = 0.68. 2. а = 3.24. 3. q = 0.68. 4. па = 18, пь = 26. 5. q = 0.23. 6. а = -0.82, Ъ = 2.38. 7. А = 1.45. 8. t = 1.72. 9. А = 3.35. 10. а = 1.32, а = 7. 7.12. Определение параметров закона распределения методом наибольшего правдоподобия Постановка задачи. Функция распределения случайной вели- величины ? есть F(x\ ai,..., ay), где ai,..., aj — некоторые неизвестные параметры. По выборке х\,...,хп значений ? определить значения ai,..., а^ методом наибольшего правдоподобия.
362 Гл. 7. Математическая статистика План решения. 1. Находим вероятности p(k\ ai,...,aj) значений ?, если ? — дискретная случайная величина, или плотность вероятностей р(х; ai,...,aj) значений ?, если ? — непрерывная случайная вели- величина. Часто р(к\ ai,..., ay) или р(ж; ai,..., a^) бывают заданы изна- изначально. 2. Определяем функцию правдоподобия Ь(аъ ...,clj)= р(хц аь..., dj) • ... • р(хп; <ц,..., а^), A) где Ж1,...,жп — выборка значений исследуемой случайной величи- величины ?. 3. Находим неизвестные параметры ai,..., ay из условия .., a,j) —> max, т.е. как координаты точки, в которой функция правдоподобия L(ai,..., dj) принимает наибольшее значение. Замечания. 1. Если ? — дискретная случайная величина, то функция прав- правдоподобия A) есть вероятность того, что выборка ? объема п есть жх,..., хп. Поэтому 0 ^ b(ai,..., a,j) ^ 1. 2. Иногда удобней вместо L(ai,..., cij) использовать функцию lnL(ai,..., dj). Она принимает наибольшее значение при тех же ai,..., aj, что и L(ai,..., ctj). 3. Если функция правдоподобия L(ai,..., a^) дифференцируема по ai,..., а^, то точку, в которой она принимает наибольшее значение, можно найти так, как это объяснено в задачах 5.2 и 6.7 книги РЕ- ШЕБНИК „Высшая математика", или численными методами, напри- например, методом градиентного спуска. 4. Если функция правдоподобия L(ai,..., clj) недифференцируема по некоторым а&, например, если эти параметры а& могут принимать только дискретные значения, то значения параметров ai,..., a^, при которых функция L(ai,... ,aj) принимает наибольшее значение, на- находятся перебором. Пример 1. Случайная величина ? распределена по нормальному закону с неизвестными параметрами а и а . Определить эти пара- параметры по выборке жх,..., жп значений ? методом наибольшего прав- правдоподобия.
7.12. Метод наибольшего правдоподобия 363 Решение. 1. Плотность распределения вероятностей случайной величины ? имеет вид У2тгсг2 2. Определяем функцию правдоподобия , a2) = где Ж1,...,жп — выборка значений исследуемой случайной величи- величины ?. 3. Находим неизвестные параметры а и а2 из условия L(a, а2) —>> max, т.е. как координаты точки, в которой функция правдоподобия при- принимает наибольшее значение. Для этого удобней использовать функцию lnL(a,cr2) = --lna2 - — [(хх -аJ + ... + (хп -аJ] - ^т2тг. Она принимает наибольшее значение при тех же а, а2, что и L(a,a2). Поскольку a Е (—ос, ос) и a2 G @, оо), область изменения парамет- параметров а и а2 не имеет границы. Следовательно, функция In L(a, а2) при- принимает наибольшее значение в одной из ее точек максимума. Ищем точки максимума. Необходимое условие экстремума имеет вид — In L(a, a2) = (xi + ... + хп - па) = О, оа (jA ll( а2) = -^ + [(ал аJ + + (ж аJ] Отсюда следует, что - аJ + ... + (жп - аJ] = 0. #1 + ... + хп 2 (xi - аJ + ... + (хп - а) а = и a = 2 Итак, функция правдоподобия L(a, а2) имеет единственную точку экстремума. В ней L(a,a2) принимает наибольшее значение. ...... ^2 i i /^ ^2 Ответ, а = , а = п хх + • • • + хп 2 (zi - аJ + ... + (хп - а) а
364 Гл. 7. Математическая статистика Замечание. Известно, что оценка а2 = (х — ж), которую мы по- получили для дисперсии методом наибольшего правдоподобия, явля- является смещенной. Этот пример показывает, что метод наибольшего правдоподобия дает, вообще говоря, смещенные оценки, которые еще нужно исправлять. Пример 2. Как узнать сколько рыб в пруду? Поймаем па = 20 рыб, пометим их и выпустим в пруд. Спустя некоторое время, достаточное для того, чтобы меченые рыбы рас- расплылись по всему пруду, выловим т = 50 рыб. Допустим, что среди них оказалось к\ = 7 меченых. Определить число рыб в пруду ТУ методом наибольшего правдоподобия. Решение. 1. Случайная величина ? — количество меченых рыб среди т вы- выловленных — определяется вероятностями гчк /-im — k ^ik /^i5Q — k Ptf = k)= P(k;N) = Cn-?-»- = ^§ 2. Определяем функцию правдоподобия r НЮ - В данном случае выборка состоит из одного числа к\ = 7. 3. Находим неизвестный параметр N (число рыб в пруду) из усло- условия L(N) —> max, т.е. как такое значение 7V, при котором функция правдоподобия L(N) имеет наибольшее значение. Функция L(N) недифференцируема, так как ее аргумент N при- принимает только дискретные значения 63, 64,... Поэтому значение 7V, при котором L(N) достигает наибольшей величины, ищем перебором. Имеем 7 (ТУ - 20)! 50! (ТУ - 50)! = (ТУ - 50) ¦ ... ¦ (ТУ - 62) 1 } 20 43! (ТУ-63)!ТУ! ТУ(ТУ - 1) •... • (ТУ - 19)' где А = —- C^Q — несущественный множитель. Простая программа дает таблицу значений L(N) при ТУ = 63 -=- 1000. В таблице находим, что L(N) достигает наибольшего значения при ТУ = 142. Ответ. ТУ = 142.
7.12. Метод наибольшего правдоподобия 365 Условия ЗАДАЧ. Используя метод наибольшего правдоподобия, найти параметры распределения по выборке. 1. Биномиальное распределение p(k;n,p) = Ckpkqn~k, n = 10, выборка: 6, 5, 9, 5, 8, 7, 9, 6, 6, 7. 2. Распределение Пуассона р(к;а) = е~аак/к\, выборка: 5, 3, 3, 3, 5, 5, 1, 2, 3, 0. 3. Геометрическое распределение p(k;q) = A — q)qk, выборка: 1, 2, 0, 4, 1, 4, 4, 1, 2, 2. гчк гпт —к 4. Гипергеометрическое распределение р{к\ па, пв, rn) = ™ат пь—, ^па+пъ т = 10, выборка: 6, 3, 7, 6, 4, 4, 5, 5, 6, 8. 5. Распределение кратности звезд р(к\ q) = (l — qJkqk~1, выборка: 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2. 6. Равномерное распределение р(ж; а, 6) = при а < х < 6, 6 — а р(ж; а, 6) = 0 при х < а или х > Ъ, выборка: 0.35, 1.83, 0.14, 0.64, 2.08, -0.46, 2.0, -0.31, -0.30, 1.87. 7. Показательное распределение р{х\ Л) = Хе~Хх при ж > 0, р(х; Л) = 0 при х < 0, выборка: 0.61, 0.71, 1.27, 0.10, 1.49, 1.14, 2.15, 0.06, 0.74, 0.28. 8. Гамма-распределение p(x;t) = ———— при х > 0, р(х; t) = 0 1 (?) при х < 0, выборка: 1.12, 4.34, 1.54, 3.11, 0.64, 0.62, 2.01, 2.13, 0.87, 0.79. 9. Распределение Лапласа р{х; X) = \ Ае~А1ж1, выборка: 0.17, -0.22, -0.017, -0.16, 1.20, 0.057, -0.19, 0.19, 0.25, -0.32. сх ( а \ a+i 10. Распределение Парето р(х; а, а) = — ( — 1 при х > а, а \х/ р(х; а, а) = 0 при х < а, выборка: 1.63, 1.35, 1.80, 1.51, 1.56, 2.10, 1.36, 1.48, 1.24, 1.39. Ответы. 1. р = 0.68. 2. а = 3.235. 3. q = 0.677. 4. па = 17, щ = 25. 5. q = 0.23. 6. а = -0.46, 6 = 2.08. 7. А = 1.17. 8. t = 1.8. 9. А = 3.60. 10. а = 1.24, а = 2.88.
366 Гл. 7. Математическая статистика 7.13. Метод наименьших квадратов Постановка задачи. Для определения параметров ах,...,а^ в формуле у = /(ж; ai,...,aj) были измерены значения у при различ- различных значениях х. Получена выборка (жх, у\),..., (жп, уп). Используя эти данные, определить параметры ах, • • •, a j методом наименьших квадратов. Ошибками измерения жх,..., жп г/ погрешностями вычис- вычислений можно пренебречь. ПЛАН РЕШЕНИЯ. Величины ?k = yk — f(xk; ах, • • •, а^) отличны от нуля из-за ошибок измерения г/&, поскольку ошибками измерения ж& и вычисления /(ж&; ах,..., a,j) можно пренебречь. Принято предпола- предполагать, что ошибки измерения распределены по нормальному закону с математическим ожиданием 0 (нет систематических ошибок) и не- некоторой дисперсией а2, определяемой точностью прибора. Следова- Следовательно, функция правдоподобия имеет вид L(au...,aj) = 1 exp Эта функция достигает наибольшего значения при тех ах,..., а^, при которых fc = l достигает наименьшего значения. 1. Находим частные производные A) 2. Определяем параметры ах,..., olj как решение системы уравне- ?-* ?--*¦ ¦¦¦'?--'>¦ B) оа оа ua Замечания. 1. После того, как параметры ах,..., a,j определены, следует прове- проверить, что величины ?к = ук — f(xk; ах,..., clj) образуют выборку зна- значений нормальной случайной величины с нулевым математическим
7.13. Метод наименьших квадратов 367 ожиданием и некоторой дисперсией а2. Такая проверка выполняется с помощью одного из критериев согласия (см. задачи 7.18 и 7.19). 2. Система уравнений B) имеет простое решение, только если /(ж; ai,..., uj) — многочлен. В остальных случаях для решения сис- системы B) могут потребоваться численные методы. Тогда лучше ис- искать точку минимума функции A) непосредственно, используя один из методов спуска. В пакете РЕШЕБНИК.ВМ метод наименьших квадратов можно реализовать и через решение системы B) и непосредственно, отыскав точку минимума функции A) одним из методов спуска. 3. Иногда ошибки измерения величин г/1,...,уп имеют нормаль- нормальные распределения с разными дисперсиями а2к (к = 1,..., п). Тогда параметры ai,..., cij определяются из условия S(ai,..., ctj) —> min, гДе 4. Если ошибками измерения величин ж1?..., хп нельзя пренебречь, причем известно, что эти ошибки имеют дисперсии а2к (к = 1,..., п), то параметры ai,..., ctj определяются из условий к=1 V <?ук ) к=1 \ ахк ) ук - Аук = f(xk - Ахк; аь ..., а^), к = 1,..., п. Пример 1. Для определения параметров ai, a2 и аз в формуле у = а\х2 + а2ж + аз были измерены значения у при различных значе- значениях х. Получена выборка хк -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ук 6.01 5.07 4.30 3.56 3.07 2.87 2.18 2.00 2.14 Используя эти данные, определить параметры ai, a2 и аз методом наименьших квадратов. Ошибками измерения х±,... ,хд и погреш- погрешностями вычислений можно пренебречь. РЕШЕНИЕ. Функция A) имеет вид 9 1, а2, а3) = 2_^(Ук ~ а^х\ — а2хк - азJ- к=1
368 Гл. 7. Математическая статистика 1. Находим частные производные ВЧ э - а2хк - ВЧ ВЧ = -2 = -2 - а2хк - а3). 2. Определяем параметры ai, a2 и аз как решение системы урав- уравнений: as as as Имеем к=1 9 к=1 9 к=1 9 к=1 9 9 9 Yl X = Y1 УкХ к=1 к=1 9 9 к=1 к=1 9 9 C) fc=l fc=l По известным хк, ук вычисляем 9 9 9 xk = 0, ^2x1 = 3.750, 4 = 2.7656, fc=i fc=i k=i 9 9 9 X. О "I СЛ X. ^Т Л X. 2  А  Г" / i/fe — O±.Z, > Ук^к — —' *^? / Ук^к — -L^l.-LO. fe=l /c=l k=l Подставляя эти значения в систему C), приводим ее к виду 2.7656ai + 3.750a3 = 14.15, 3.750a2 = -7.4, 3.750ai + 9a3 = 31.2. Решая эту систему, получаем ai = 0.95586, a2 = -1.9733, a3 = 3.0684. Ответ, у = 0.96ж2 - 1.97ж + 3.07.
7.13. Метод наименьших квадратов 369 Пример 2. Для определения параметров а\ и а2 в формуле у = а\еа2Х были измерены значения у при различных значениях х. Получена выборка хк -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ук 7.14 4.46 2.81 1.68 0.99 0.50 0.36 0.33 0.40 Используя эти данные, определить параметры а\ и а2 методом наи- наименьших квадратов. Ошибками измерения Ж1,...,жд и погрешнос- погрешностями вычислений можно пренебречь. Решение. Поскольку функция у = aiea2X не является многочле- многочленом, точку, в которой функция A) принимает наименьшее значение, можно найти только численным методом. Но в данном случае In у = CL2X + In п\ = CL2X + Ъ. Считая ошибки ?к измерения Следовательно, ляем из условия малыми, имеем ffc. 2/fe ^ и параметры -ЪJук —у min. D) и а^ опреде- опредеfc=i 1. Находим частные производные dS ^— ~г 2. Определяем параметры а2 и Ъ как решение системы уравнений: ь 1 ° Имеем fc=l 9 fc=l 24 В.И. Афанасьев и др. к=1 9 к=1 E) In 2/fc. fc=l
370 Гл. 7. Математическая статистика По известным ж&, у к вычисляем 9 9 9 ^2ук%1 = 11.16, ^УкХк = -11.36, ^ХкУк^Ук = -21.63, к=1 к=1 к=1 9 9 Y^ Ук = 18.7, Y1 Ук 1п Ук = 23.0. к=1 к=1 Подставляя эти значения в систему E), приводим ее к виду Г 11.16а2 - 11.366 = -21.63, \ -11.36а2 + 18.7 6 = 23. Решая эту систему, получаем а2 = 1.798, Ь = 0.13766. Поскольку Ь = lnai, имеем а± = 1.1476. Ответ, у = 1.15е~18ж. Замечание. Примененный метод линеаризации требует контроля точности приближенных формул типа D). Например, погрешность формулы D) возрастает при & = 7, к = 8, /с = 9, так как при таких к у к < 1. В сколько-нибудь серьезных расчетах значения параметров, полученных с помощью линеаризации, используются только как на- начальное приближение для применения численных методов отыскания минимума или решения систем. Условия ЗАДАЧ. Для определения параметров ai,...,aj в фор- формуле у = f(x; ai,...,aj) были измерены значения у при различных значениях х. Получена выборка (жх, г/i),..., (жд, г/g). Используя эти данные, определить параметры ах,..., aj методом наименьших квад- квадратов. Ошибками измерения жх, • • •, х$ и погрешностями вычислений можно пренебречь. Хк Ук 2. Хк Ук 3. Хк Ук -1 2.08 У = -1 1.09 У = -1 3.90 -0.75 1.83 а\х + а2 -0.75 1.47 -0.75 3.71 -0.5 1.57 '-0.5 1.95 '-0.5 3.63 -0.25 1.13 -0.25 2.47 -0.25 3.22 0 2 3 0 .89 0 .98 0 .04 0.25 0.75 0.25 3.54 0.25 2.71 0.5 0.30 0.5 4.20 0.5 2.45 0.75 0.06 0.75 4.42 0.75 2.25 1 -0.01 1 4.89 1 2.03
7.14. Выравнивание результатов измерений 371 4. у = aix2 + а2ж + а3, xfe -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ук -0.14 1.08 1.61 2.34 3.16 3.41 3.58 3.96 4.02 5. у = а\х2 + a<ix + аз, xfe -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 Ук 2.98 2.47 2.13 2.00 1.95 2.05 2.31 2.46 3.08 6. у = ai^2 + a<ix -\- аз, xfe -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ук 2.04 0.92 -0.37 -0.86 -1.20 -1.17 -1.17 -0.69 -0.26 хк -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ук 6.94 4.65 3.16 2.30 1.37 0.74 0.73 0.25 0.16 хк -1 -0.75' -0.5 ук 0.10 -0.08 -0.14 9. y = tg(a1x- хк -1 -0.75 Ук 2.57 1.47 10. у = tg [a\x хк -1 -0.75 ук -0.62 -0.28 Ответы. 1. у = 0.95555 - 1.106я. 2. у = 1.9746я + 3.0011. 3. у = 2.9933 - 0.982ж. 4. у = -1.0138ж2 + 2.0193ж + 2.9802. 5. у = 1.0531ж2 + 0.052ж + 1.9422. 6. у = 2.1174ж2 - 1.0626ж - 1.1889. 7. у = 1.3438ехр(-1.6674ж). 8. у = -1.9936ехрD.0024ж). 9. у = = tg(-0.76185x +0.43977). 10. у = tg@.82116x + 0.31743). 7.14. Выравнивание результатов измерений Постановка задачи. Независимые измерения величин х\,...,хп дали результаты ж*,..., ж^. Известно, что j{x\,..., хп) = 0. Ис- Использовать это равенство, чтобы уточнить значения ж?,...,ж*, считая ошибки измерения величин х\,... ,хп распределенными по нормальным законам с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями а2,..., а2. 24* -0.5 ¦0.14 -0.5 1.12 -0.5 0.05 -0.25 -0.83 -0.25 0.85 -0.25 0.10 -1 0. 0 0 .95 0 57 0 .26 0.25 -5.53 0.25 0.17 0.25 0.51 0.5 -14.6 0.5 -0.03 0.5 0.94 0 1 0, .75 -40.3 0. -0. .75 .29 75 10 2 1 -109 -0 1 .22 1 1.34
372 Гл. 7. Математическая статистика План решения. Обозначим символами Ах\,..., Ах^ ошибки, со- содержащиеся в числах х\,..., х*п. 1. Находим Ах\,..., Аж* из условия + ...+ ( ) —У mm, Для этого используем метод множителей Лагранжа, т.е. ищем точку безусловного экстремума функции 11 ААХ1,...,ХП 1ЛХп). а) Необходимое условие экстремума функции .F имеет вид fe = l,...,n, A) _ f(~* Л-r* -г* ДгМ — П <9А ~~ ~~ ь '''' п ~~ п) ~ б) Решаем систему A) и находим Аж^,..., Аж*. 2. Выравниваем результаты измерений ж^,..., ж^, полагая Ж1 = х\ - Ах{ ,..., хп = х*п- Аж* . 3. Записываем ответ в виде Х\ Х\ , . . . 5 Ж^ ^п • Замечания. 1. Выравнивая эмпирические моменты можно повысить точность оценки параметров распределения методом моментов. Необходимые для выравнивая соотношения между моментами следуют из того, что все моменты выражаются через несколько параметров распределе- распределения. Например, если случайная величина ? распределена по показа- показательному закону с р(х) = Хе~Хх (х > 0), то МС = (п- 1)\\-п = (п- 1)! (М?)п. 2. Результаты вычислений можно выравнивать так же, как и ре- результаты измерений. В качестве а используются единицы старших разрядов, т.е. а = 0.01 для 3.14, а = 0.001 для 3.142 и т.д. В част- частности, следует выравнивать относительные частоты, если их сумма не равна единице.
7.14. Выравнивание результатов измерений 373 Пример. Независимые измерения углов треугольника xi, х2, x% дали результаты х\ = 31°, х2 = 62°, х\ = 89°. Известно, что х\ + Х2 + хз — 180° = 0. Использовать это равенство, чтобы уточ- уточнить значения ж^, х2, Жд, считая ошибки измерения углов ж1? х2, жз распределенными по нормальным законам с нулевыми математичес- математическими ожиданиями и дисперсиями о\ = а2 = сг| = @.1°J. Решение. Обозначим символами Дж*, Дя^, Ах^ ошибки, содер- содержащиеся в числах х\, х\, х\. 1. Находим Аж^, Аж^, Ажд из условия o.i°у + V01°У ' V°-lc (ж* - Axl) + (x2 - Ах2) + (жд - Д^з) - 180° = 0. Для этого используем метод множителей Лагранжа, т.е. ищем точку безусловного экстремума функции I \ I / /у» /\ /у» \ I / /у» /\ /у» 1 I I /у» /\ /у» 1 I S^ I I а) Необходимое условие экстремума функции F имеет вид dF - 2 л * - - dAxl @.1°J * ' B) ^=х{-Ах1+х%- Axl + xl ~ Ах1 ~ 180° = 0 б) Решаем систему B) и находим Ах\, Ах2, Ах^: Axl = № + х\ + аг^/3 = 2°/3 = 40', к = 1, 2, 3. 2. Выравниваем результаты измерений х\ = 31°, ж^ = 62°, = 89°, полагая х1=х*1- Ах\ = 31° - 40' = 30°40', х2=х2- Ах2 = 62° - 40' = 61°40', х3 = xl - Axl = 89° - 4Q/ = 88°20'. Ответ. Х1 = 30°40', х2 = 61°40', х3 = 88°20'.
374 Гл. 7. Математическая статистика Условия ЗАДАЧ. Независимые измерения величин х\,...,хп дали результаты ж*,..., ж* . Известно, что /(ж1,..., хп) = 0. Использо- Использовать это равенство, чтобы уточнить значения ж?,... ,ж*, считая ошибки измерения величин х\,...,хп распределенными по нормаль- нормальным законам с нулевыми математическими ожиданиями и диспер- дисперсиями а\,..., сг^. 1. х\ = 17, х\ = 84, х% = 83, хг+х2+х3-Ш = 0, g\ = а\ = а\ = 1. 2. х\ = 52, х\ = 47, х% = 82, хх + ж2 + ж3 - 180 = 0, с^ = 1, а\ = 2, сг| = 1.5. 3. х\ = 0.27, х\ = 0.15, ж^ = 0.57, хх + ж2 + ж3 - 1 = 0, сг^ = 0.02, сг| = 0.03, o-l = 0.01. 4. х\ = 0.89, ж^ = 0.46, х\ + ж| - 1 = 0, сг^ = а\ = 0.01. 5. a?i = 0.27, х\ = 0.53, х% = 0.80, ж? + х\ + ж§ - 1 = 0, o-l = o-l = o-l = 0.01. 6. х\ = 0.89, ж^ = 0.46, х\ + ж| - 1 = 0, сг^ = 0.01, а\ = 0.02. 7. ж^ = 1.21, х\ = 3.11, х\ = 11.1, ж3 - х\ - х\ = 0, а\ = (j\ = 0.01, o-l = 0.02. 8. ж! = 3.14, х\ = 1.21, х% = 8.40, хъ-х\ + х\ = О, сг^ = сг| = 0.01, а| = 0.02. 9. х\ = 2.17, ^2 = 1.34, Жз = 2.90, х3 - ххх2 = О, а\ = 0.01, сг| = 0.02, а\ = 0.03. 10. х\ = 3.12, ж5 = 2.87, х\ = 8.95, ж3 - хгх2 = О, а? = 0.02, o-l = 0.01, (j\ = 0.03. Ответы. 1. хх = 15.F), J2 = 82.F), х3 = 81.F). 2. хх = 51.G), S2 = 46.E), х3 = 81.F). 3. хх = 0.27C), J2 = 0.155, х3 = 0.571F). 4. хх = 0.88836, х2 = 0.45915. 5. хг = 0.27084, х2 = 0.53165, х3 = = 0.80249. 6. хх = 0.88864, х2 = 0.45860. 7. хх = 1.2079, х2 = 3.1047, х3 = 11.098. 8. хх = 3.1407, х2 = 1.2097, х3 = 8.4002. 9. хх = 2.1681, х2 = 1.3369, х3 = 2.8985. 10. хх = 3.1192, х2 = 2.8692, х3 = 8.9496. 7.15. Случайные интервалы Постановка задачи. Непрерывная случайная величина ? имеет функцию распределения F(x). 1. Найти вероятность того, что интервал (? — а, ?+6) содержит число с. 2. Найти а и Ъ, такие, что интервал (? — а,? + 6) содержит число с с вероятностью р, причем Р(с < ? — а) = Р(с > ? + 6).
7.15. Случайные интервалы 375 План решения. Событие с ? (? — а, ? + 6) эквивалентно тому, что ? — а < с и ^ + & > с, т.е. с-6<?<с + а. По определению функции распределения F непрерывной случай- случайной величины имеем Р(с - Ъ < i < с + а) = F(c + а) - F(c - 6). A) Задача 1. 1. Находим значения F(c + а) и F(c — &), используя таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. 2. По формуле A) находим ответ. Задача 2. 1. Находим число а, такое, что Р(с < ? - а) = Р(с + а < f) = 1 - F(c + а) = A - р)/2, т.е. .Р(с + а) = A + р)/2. Для этого используем таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. 2. Находим число 6, такое, что Р(с > ? + 6) = Р(? < с - Ъ) = F{c -Ъ) = {1- р)/2. Для этого используем таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. Записываем ответ. Замечание. Вообще говоря, случайный интервал — это случайный вектор G71,772) с таким законом распределения, что всегда 771 ^ щ. Пример. Случайная величина ? имеет функцию распределения 1. Найти вероятность того, что интервал (? — 1,? + 1) содержит число 2.3. 2. Найти а и 6, такие, что интервал (? — а, ? + &) содержит число 2.3 с вероятностью 0.98, причем РB.3 < ? - а) = РB.3 > ? + 6). Решение. Задача 1. Событие 2.3 G (? — 1,? + 1) эквивалентно тому, что ? — 1 < 2.3 и ? + 1 > 2.3, т.е. 1.3 < ? < 3.3.
376 Гл. 7. Математическая статистика По определению функции распределения F(x) = Ф(х) РA.3 < ? < 3.3) = Ф(З.З) - ФA.3). B) 1. Находим значения Ф(З.З) и ФA.3), используя таблицу для Ф(ж) или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. *) Получаем Ф(З.З) « 0.99952, ФA.3) « 0.90320. 2. По формуле B) находим ответ РA.3 < f < 3.3) « 0.09632. Ответ. РB.3е (?-1,С + 1)) «0.09632. Задача 2. 1. Находим число а, такое, что РB.3 <?-а) = РB.3 + а < О = 1 - ^B-3 + а) = A - т.е. FB.3 + а) = A + р)/2 = 0.99. Используем таблицу значений F(a) = Ф(ж) или пакет РЕШЕБНИК.ВМ и находим, что F(x) = 0.99 при х = 2.32635. Поэтому 2.3 + а = 2.32635, откуда следует, что a = 0.02635. 2. Находим число 6, такое, что РB.3 > ? + Ъ) = Р(? < 2.3 - 6) = FB.3 - 6) = A - р)/2, т.е. FB.3 — 6) = A — р)/2 = 0.01. Используем таблицу значений F(x) = Ф(х) или пакет РЕШЕБНИК.ВМ и находим, что F(x) = 0.01 при х = -2.32635. Поэтому 2.3 - Ь = -2.32635, откуда следует, что Ъ = 4.62635. Ответ. Случайный интервал (? — 0.02635, ? + 4.62635) с вероятнос- вероятностью 0.98 содержит число 2.3, с вероятностью 0.01 расположен слева от 2.3 и с вероятностью 0.01 расположен справа от 2.3. Замечание. Ответ задачи 2 можно проверить, решив задачу 1 с соответствующими числами а и Ъ. Условия ЗАДАЧ. Непрерывная случайная величина ? имеет функ- функцию распределения F{x). а) Найти вероятность того, что интервал (? — а, ?+6) содержит число с. б) Найти а и Ь, такие, что интервал (? — а, ? + 6) содержит число с с вероятностью р, причем Р(с < ? — а) = Р(с > ? + 6). *) Используя единые обозначения и названия функций <?>(ж) и Ф(ж), авторы разных книг определяют их разными формулами.
7.16. Доверительный интервал для неизвестного параметра 377 1. F(ar) = Ф(ж), с = 0.5; а) а = 0, 6 = 1; б) р = 0.98. 2. F(z) = ФBж + 3), с=-1; а) а = 1, 6 = 0.5; б) р = 0.98. 3. F(ar) = Ф(ж- 1), с = 3; а) а = 0, Ъ = 2; б) р = 0.96. 4. F(z) = Ф@.2ж-2), с = 2; а) а = 0, Ъ = 1; б) р = 0.97. 5. F(z) = Ф@.3ж + 0.7), с=1; а) а = 0.5, 6 = 0; б) р = 0.95. 6. F(z) = arctg(x)/7r + 1/2, с = 3; а) а = 0.5, 6=1; б) р = 0.96. 7. F(x) = 1-е~х при хHи F(x) = 0 при х < 0, с = 2.5; а) а = -0.5, 6=1; б) р = 0.96. 8. F(x) = 0 при х < 0, F(ar) = ж при 0 ^ ж < 1 и F(x) = 1 при х > 1, с =1.2; а= -0.4, 6=1 б)р = 0.94. 9. F(x) = еж/2 при х ^ 0 и F(x) = 1 - е~ж/2 при ж > 0, с = 1; а = 1, 6 = 3; б) р = 0.95. 10. F(ar) = 1 - (х + 1)е"ж при х > 0 и F(ar) = 0 при ж < 0, с = 1; а = 1, 6 = 2; б) р = 0.97. Ответы. 1. а) 0.38292; б) (? - 1.82635, ^ + 2.82634). 2. а) 0.34134; б) (^ - 0.66318, ^ + 1.66318). 3. а) 0.1573; б) (^ - 0.0538, ^ + 4.0538). 4. а) 0.00885; б) (^ - 18.851, ^ + 2.8505). 5. а) 0.03358; б) (^ - 3.2, ^ + 9.8F).). 6. а) 0.06; б) (С - 12.895, ^ + 18.895). 7. а) 0.088; б) (^ - 1.4120, ^ + 2.4798). 8. а) 0.6; б) (С+ 0.23,С+ 1.17). 9. а) 0.8647; б) (^ - 6.3778, ^ + 8.3778). 10. а) 0.594; б) (^ - 5.1695, ^ + 0.81592). 7.16. Доверительный интервал для единственного неизвестного параметра распределения Постановка задачи. Случайная величина ? распределена по за- закону с единственным неизвестным параметром а. Имеется выборка Ж1,...,жп значений ?. Найти доверительный интервал для а при уровне доверия р.
378 Гл. 7. Математическая статистика ПЛАН РЕШЕНИЯ. Доверительным интервалом для числа а при уровне доверия р называется любая реализация случайного интер- интервала (ai,a2)? который с вероятностью р содержит число а, причем Р(а < ах) = Р(а ^ а2) = Ц^. A) 1. Находим функцию / (#i,..., хп, а), имеющую известную функ- функцию распределения F(x). Например, если а — математическое ожидание, то часто приме- применяется функция /(жь ..., хп, а) = а. п Если а характеризует масштаб, то .. 2 i i 2 Лх Х1 ~г • • • "Г Хп Х± -\- -\- X х1,...,хп,а) = или и т.п. В частности, если а — дисперсия, то у/а характеризует мас- масштаб и п f(xu ..., хп, а) = - ^2(хк - аJ. 2. Находим такие числа q± и ^25 чт0 Числа gi и ^2 называются квантилями. По определению функции распределения F(x) P(f(xu...,xn,a) ^ gi) = (, ...,xn,a)^q2)=l- P(/(a:i,... ,ж„, а) < g2) = 1 - ^fe - 0). Поэтому квантили gi и qi определяются уравнениями Для решения этих уравнений относительно q\ и д2 используем таблицу значений функции F(x) или пакет РЕШЕБНИК.ВМ.
7.16. Доверительный интервал для неизвестного параметра 379 3. Решаем неравенства Qi < f(x1,...,xn,a) < q2 относительно а и получаем а\ < а < а2. Здесь olx = a1(x1,...,xn,q1,q2) и а2 = а2(хи... ,xn,q1,q2) ^случай- ^случайные величины, поскольку выборочные значения х\,..., хп — случай- случайные величины. 4. Случайный интервал (c^i,a2) содержит а с вероятностью р. Подставляем конкретные выборочные значения a?i,..., хп случайной величины ? и квантили qi,q2. Получаем конкретную реализацию (а^а^) случайного интервала (ai,a2), т.е. доверительный интервал для а с уровнем доверия р. Записываем ответ в виде a G (а*,^)?- Замечания. 1. Если /(#i, • • •, хп, а) — непрерывная случайная величина, то F(q2 - 0) = F(q2). 2. Если точечная оценка параметра а совпадает с серединой дове- доверительного интервала а$ = (а^ +а*)/2, то ответ часто записывают в виде а = ао±Ар, где Ар = («2 — а*)/2 — половина длины доверитель- доверительного интервала. Тогда Ар называется абсолютной погрешностью (с уровнем доверия р). 3. Уровни доверия обычно определяются государственными или отраслевыми стандартами. 4. Целесообразно изменить традиционное определение и вместо условий A) использовать условия P(ai < а < а2) = р, а2—а± —> min. Тогда доверительный интервал будет иметь минимальную длину. Пример 1. Случайная величина ? распределена по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией 1. Имеется выборка xi,..., жюо значений ?, ~х = 1.3. Найти доверитель- доверительный интервал для математического ожидания а при уровне доверия р = 0.98. Решение. 1. Находим функцию /(#i, • • •, ^юсь а)-> имеющую известную функ- функцию распределения F(x). В данном случае f(xu ..., жюо, а) = — а
380 Гл. 7. Математическая статистика распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1/100. Поэтому F{x) = 2. Находим квантили q\ и q2 из условий По определению функции распределения F(x) рг± ¦•——-о ^9x1 = И iooа^ *) 1р(iooа< Поэтому квантили gi и ^2 определяются уравнениями Ц = 0-01, F(g2) = ^ = 0.99. Для решения этих уравнений относительно q\ и q2 используем таблицу значений функции F(x) = ФA0ж) или пакет РЕШЕБНИК.ВМ. Получаем qi = -0.233 и q2 = 0.233. 3. Решаем неравенства Ж1 + . . . + Х100 qi<ioo относительно а и получаем ioo92<а<ioo 4. Случайный интервал ХХ + • • • + Х100 ioog2' Iooqi содержит а с вероятностью р = 0.98. Подставляем конкретные выбо- выборочные значения xi,..., жюо случайной величины ^ и квантили gi, g2
7.16. Доверительный интервал для неизвестного параметра 381 в B) и получаем конкретную реализацию A.3 — 0.233, 1.3 + 0.233) слу- случайного интервала B), т.е. доверительный интервал для а с уровнем доверия р = 0.98. Ответ, a G A.067, 1.533H.98- Замечание. Точечная оценка (х\ + ... + жюо)/ЮО математического ожидания а совпадает с серединой доверительного интервала. Поэ- Поэтому ответ можно записать в виде а = 1.3 =Ь О.233о.98- Пример 2. Случайная величина ? распределена по показатель- показательному закону с плотностью вероятностей р(ж, Л) = Хе~Хх при х ^ 0 и р(ж, Л) = 0 при х < 0, где Л — неизвестный параметр. Имеется выборка 0.61, 0.71, 1.27, 0.10, 1.49, 1.14, 2.15, 0.06, 0.74, 0.28 значений ?. Найти доверительный интервал для Л при уровне доверия р = 0.8. Решение. 1. Находим функцию /(#i,..., жю, А), имеющую известную функ- функцию распределения. Поскольку параметр А характеризует масштаб, используем f(xu ..., жю, А) = (ж1 + ... + х10)Х. Величина у^ = х^Х имеет плотность вероятностей Рук (х) = е~Х ПРИ ^ ^ 0 и рУк (х) = 0 при х < 0. Случайная величина и; = (ж1 + ... + xw)X = г/1 + ... + 2/ю C) есть сумма независимых случайных величин yi,..., г/ю, распределен- распределенных по показательному закону. Поэтому uj имеет так называемое гамма-распределение: ^ е~аж при х ^ 0 и ра?1/(ж) = 0 при ж < 0 Pa,v(x) = , аж е с параметрами а = 1 и v = 10. Известно, что при а = 1/2 гамма-распределение ра^(х/2) совпа- совпадает с распределением Пирсона %2 с числом степеней свободы п = 2г/.
382 Гл. 7. Математическая статистика Функция распределения F{x) случайной величины C) равна нулю при х < 0 и / Г2 9\ j?(r\ _ 1 _ р-х I I i i ±_ i _|_ _ 1 m при ж ^ 0. 2. Находим квантили q\ и д2 из условий По определению функции распределения F(x) и / \ Р (xi + ... + xlo)X ^q2) = 1 - Р V / Поэтому квантили q\ и q2 определяются уравнениями 2 Используя формулу D) и пакет РЕШЕБНИК.ВМ, составляем таблицу значений F(x), в которой находим, что F(x) = 0.1 при х = 6.2213 и F(x) = 0.9 при х = 14.206. Поэтому q1 = 6.2213 и g2 = 14.206. 3. Решаем неравенства Ц\ < (^1 + • • • + жю)А < q2 относительно Л и получаем gi < Л < ^2 4. Случайный интервал содержит Л с вероятностью р = 0.8. Подставляем конкретные выбо- выборочные значения х±,... ,жю случайной величины ? и квантили qi,q2 в E) и получаем конкретную реализацию @.73, 1.66) случайного ин- интервала E), т.е. доверительный интервал для Л с уровнем дове- доверия р = 0.8. Ответ. Л G @.73, 1.66H.8-
7.16. Доверительный интервал для неизвестного параметра 383 Замечание. В данном случае точечная оценка параметра Л равна + ... + хю) « 1.17. Она не совпадает с серединой 1.195 дове- доверительного интервала. Поэтому ответ не следует записывать в виде Л = 1.195 ±0.465о.8. Условия ЗАДАЧ. Непрерывная случайная величина ? распреде- распределена по заданному закону с единственным неизвестным парамет- параметром а. Имеется выборка xi,...,xn значений ?. Используя указан- указанную функцию /(жь • • •, хп, а) и закон ее распределения, найти дове- доверительный интервал для а при уровне доверия р. В задачах 1—4: ? — нормальная случайная величина, М? = а, D? = 1, случайная величина f(xi,...,xn,a) = а V п распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. В задачах 5—8: ? — нормальная случайная величина, М? = 0, = а2, случайная величина /(жь...,жп,сг2) = Хп распределена по закону Пирсона х2 с п степенями свободы. В задачах 9-10: ? — случайная величина, распределенная по по- показательному закону р(х) = Хе~Хх при х ^ 0, р(х) = 0 при х < 0, случайная величина f(xu ..., хп, Л) = (ж1 + ... + хп)Х распределена с плотностью вероятностей р(х) = —-— хп~1е~х при Г(п) х ^ 0, р(х) = 0 при х < 0. 1. Ж1 + ... + жю = 2.35, р = 0.95. 2. хх + • • • + х2о = 4.84, _р = 0.95. 3. Ж1 +... +Ж14 = 3.27, р = 0.98. 4. Xl + . ..+х13 = -1.71, р = 0.98. 5. хх + ... + Ж12 = 1.3, р = 0.98. 6. хх + ... + ж29 = 1-2, р = 0.96. 7. Ж1 + ... + ж32 = 3.17, р = 0.96. 8. хх + • • • + х50 = 5.34, р = 0.98 9. Я1 + ... +жю = 2.35, р = 0.96. 10. хх + ... + ж40 = 15.33, р = 0.98. Ответы. 1. a G (-0.38481, 0.85481H.95 или а = 0.235 ± 0.619810.95- 2. а G (-0.19627,0.68027)о.95 или а = 0.242 ± 0.438270.95- 3. а G (-0.38819,0.85533)о.98 или а = 0.23357 ± 0.621760.98- 4. а G (-0.77677,0.51369)о.98 или а = -0.13154 + 0.645230.98-
384 Гл. 7. Математическая статистика 5. а2 е @.049586,0.36404)о.98- 6. a2 G @.06098, 0.47393H.9б. 7. а2 е @.06279,0.17826H.9б. 8. a2 G @.07012,0.17976). 9. А е A.96532, 7.45106)о.9б- Ю. Л е A.74624, 3.66372H.98- 7.17. Доверительные интервалы для параметров нормального закона Постановка задачи. Случайная величина ? распределена по нормальному закону с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией а2. Имеется выборка х\,...,хп значений ?. Найти доверительные интервалы для а и а2 при уровнях доверия ра ира2. План решения. Введем обозначения для выборочного среднего и выборочной дисперсии: м* _ si + + а? (a?iM*J + + (sM*J П* П-1 1. Случайная величина _ . . ч М'* —а г- Т = /i(xi,...,xn,a) = —-=- л/п D распределена по закону Стьюдента с п — 1 степенями свободы, т.е. Т имеет плотность вероятностей т^ / п \ / 9 \ —тъ / 2 Ps(x) = . =—yt_1 ( 1 Н ) , —оо < х < ос. Случайная величина X2 = /2(^i,...,xn,cr2) = распределена по закону Пирсона %2 с п — 1 степенями свободы, т.е. %2 имеет плотность вероятностей Т) о | Т I пр\ ) I р <Ь/ ? тт"Г\тл" пр ~^> Г) р%2^х; — _г 2(п-1)/2 ^ ^ и р%2 (ж) = 0 при ж < 0. 2. Находим в таблице квантилей для распределения Стьюдента
7.17. Доверительные интервалы для параметров нормального закона 385 или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ квантили qa и gi , такие, что Поскольку плотность вероятностей закона Стьюдента — четная , A) B) -л г B) функция, имеем qa = — qa • В таблицах приводят только qa = qa • 3. Случайный интервал А7^ Г^ ^ содержит параметр а с вероятностью ра. Подставляем значения М*, Z)*, n, qa в A) и получаем конкретную реализацию случайного интер- интервала A), т.е. доверительный интервал для а при уровне доверия ра. 4. Находим в таблице распределения х или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ квантили q^ < q^, такие, что Р(х2 < $) = Р(х2 > й}) = Чг1- 5. Случайный интервал ((п-1)-^,(»-1)-^). B) содержит параметр а2 с вероятностью ра2. Подставляем значения n, D*, g^.2\ g^.2^ в B) и получаем конкретную реализацию случайного интервала B), т.е. доверительный интервал для а2 при уровне дове- доверия ра2. Замечания. 1. В таблицах для квантилей распределения Стьюдента обычно приводят числа ?i_a(m), такие, что при т степенях свободы Р(|Т| > ti-a(m)) = а. Нужные нам квантили qa и qa выражаются через ti-a(m) по формулам Qa2) =Qa= tl-a(m) При 171 = П - 1, а = 1 - ра, qa^ = -Qa = -h-a(m) при т = п - 1, а = 1 - ра. 2. При п > 30 распределение Стьюдента практически неотличимо от нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дис- дисперсией 1. Поэтому для нахождения квантиля qa при п > 30 можно использовать функцию Ф(х). 25 В.И. Афанасьев и др.
386 Гл. 7. Математическая статистика 3. В таблицах для квантилей распределения %2 обычно приводят числа x1-a(m)i такие5 чт0 Для распределения с т степенями свободы Р(х2 > Xi-a(m)) = а- Нужные нам квантили q^J и q^J выражаются через Xi_a(m) по формулам q{j~2 = Xi-aH ПРИ гп = п-1, а = ^ = Xi-aH ПРИ гп = п-1, а = 4. При 7тг > 30 используется формула где ?ia — квантиль для стандартного нормального распределения: Р(? > ^«) = с^/2. Эта формула дает завышенные значения Xi-« ПРИ малых а. Встречающаяся в литературе формула не годится при значениях а, близких к 0 или 1, т.е. именно при тех значениях, которые нужны для построения доверительных ин- интервалов. Чтобы быть уверенным в правильности значений xt-a(m) целесообразно находить их с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ. Пример. Случайная величина ? распределена по нормальному за- закону с неизвестными математическим ожиданием а и дисперсией а2. Имеется выборка Ж1,...,жю значений ?. Выборочное среднее рав- равно 1.17, выборочная дисперсия равна 0.25. Найти доверительные ин- интервалы для а и а2 при уровнях доверия ра = 0.98 и ра2 = 0.96. Решение. Введем обозначения для выборочного среднего и вы- выборочной дисперсии: худ - М*) *J (xw - М*х) *J м 1. Случайная величина Г = Д (ал, , a) = XZ-п л/10 распределена по закону Стьюдента с 9-ю степенями свободы.
7.17. Доверительные интервалы для параметров нормального закона 387 Случайная величина 2 2ч $Dx X = J2(X1,...,X1O,(T ) = 2~ распределена по закону Пирсона у2 с 9-ю степенями свободы. 2. Находим в таблице распределения Стьюдента или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ квантили qa и #i \ такие, что Имеем q(a] - h-a(m) - 2.821 (а - 1 - ра - 0.02, т - п - 1 - 9), ^) = _дB) = -2.821. 3. Случайный интервал содержит а с вероятностью ро = 0.98. Подставляем значения М*, D*, n, qa в C) и получаем конкретную реализацию случайного ин- интервала C), т.е. доверительный интервал для а при уровне дове- доверия ра = 0.98: A.17- 2.821 ^Щ, 1.17 +2.821 У^) = A-029, 1.31l)ag8. V / 0.98 4. Находим в таблице распределения %2 или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ квантили q^ < q^, такие, что Р(Х2 < $) = Р(Х2 > ^) = ^ = ^ = 0.02. Имеем ^ = xLH = 2-532 (а = A +?<,*)/2 = 0.98, m = п - 1 = 9), qM = xi-аЫ = 19.679 {а = A - p^J/2 = 0.02, ш = п - 1 = 9). 5. Случайный интервал ((п-1)Щ,(п-1)Щ) D) 25*
388 Гл. 7. Математическая статистика содержит а2 с вероятностью ра2 = 0.96. Подставляем значения п, D*, qa2 ч ча2 в D) и получаем конкретную реализацию случайного интервала D), т.е. доверительный интервал для а2 при уровне дове- доверия ра2 = 0.96: Ответ, a G A.029, 1.31l)og8, a2 G @.114, 0.889H>g6. Условия ЗАДАЧ. Случайная величина ? распределена по нормаль- нормальному закону с неизвестными математическим ожиданием а и дис- дисперсией а2. По выборке объема п вычислены выборочное среднее М* и выборочная дисперсия D*. Найти доверительные интервалы для а и а2 при вероятностях доверия ра ира2. 1. п = 19, М* = 1.2, D* = 1.3, ра = 0.99, ра2 = 0.98. 2. п = 13, М* = -0.5, ?>* = 2.7, ра = 0.98, ра2 = 0.96. 3. п = 20, М* = 2.3, D% = 3.2, ра = 0.99, ра2 = 0.98. 4. п = 28, М* = 3.1, D* = 1.2, ра = 0.98, р^ = 0.90. 5. п = 25, М* = 0.5, D* = 1.9, ра = 0.98, ра2 = 0.96. 6. п = 50, М* = -0.7, D* = 0.2, ра = 0.99, ра2 = 0.98. 7. п = 100, М* = 1.3, D* = 0.8, ра = 0.98, р^ = 0.99. 8. п = 200, М* = -1.2, D* = 0.7, ра = 0.99, ра2 = 0.98. 9. п = 170, М* = -3.2, D* = 1.4, ра = 0.99, ра2 = 0.98. 10. п = 90, М* = 12.3, D* = 1.1, ра = 0.98, ра2 = 0.99. Ответы. 1. а е @.4472,1.9528H.99 или а = 1.2 ± 0.750.99, а2 е (О.672,3.336)о.98- 2. а е (-1.723,О.7218)о.98 или а = -0.5 =Ы.22О.98, а2 G A.347,7.755)о.9б- 3. а е A.156,3.444H.99 или а = 2.3 ± 1.140.99, а2 G A.68О,7.965)о.98- 4. a G B.588, 3.612)о.98 или а = 3.1 ± 0.510.98, а2 G @.808, 2.006H.90- 5. а G (-0.1870,1.187H.98 или а = 0.5 ± 0.690.98, a2 G A.132, 3.803H.9б- 6. a G (-0.8629, -0.5371H.99 или а = -0.7 ± 0.160.99, a2 G (О.131,О.339)о.98-
7.18. Критерий Уилкоксона 389 7. a G A.07,1.530)о.98 или а = 1.3 ± 0.230.98, а2 е @.588,1.191H.99- 8. а G (-1.352,-1.О48)о.99 или а = -1.2 ± 0.150.99, а2 е (О.561,О.896)о.98- 9. а е (-3.434, -2.966H.99 или а = -3.2 ± 0.230.99, а2 е A.1О2,1.831)о.98- 10. а е A2.02,12.59H.98 или а = 12.31 ± 0.290.98, а2 е (О.77О,1.677)о.99- 7.18. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Уилкоксона Постановка задачи. Дана выборка х\,...,хп значений непре- непрерывной случайной величины ?. Используя критерий Уилкоксона, про- проверить гипотезу Но о том, что ? имеет функцию распределения F(x). Конкурирующая гипотеза — Н\ : Р(? $J х) ф F(x)\ уровень значимости равен а. План решения. Используя датчик случайных чисел, генерируем выборку г/1,..., уш (га > п) значений случайной величины, имеющей функцию распределения F(x). Проверяем, что выборки х\,..., хп и 2/ъ • • • > 2/т однородны, т.е., что они образованы из значений случайных величин, имеющих оди- одинаковые функции распределения. 1. Располагаем числа х\,..., жп, 2/i, • • •, уш в один ряд в порядке возрастания. Если выборки х\,..., хп и 2/1? • • • ? Ут однородны, то числа х\,..., хп разместятся в общем ряде почти равномерно. Степень рав- равномерности характеризуется суммой номеров тех мест, которые за- занимают в общем ряде числа х\,...,хп. Эта сумма лежит в некоторых пределах около (п + т)(п + 1)/2, если выборки х\,..., хп и 2/i, • • •, уш однородны, и вне таких пределов, если выборки неоднородны. 2. Находим сумму порядковых номеров чисел х\,..., хп. Обозна- Обозначим эту сумму символом W. 3. Находим нижнюю критическую точку wu. Для этого используем таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ.
390 Гл. 7. Математическая статистика Если п или т больше 25, то (п + т)п — 1 jnm{n + m + 1) Т2~ A) где zKp определяется условием Ф(гкр) = Ф(оо) — а/2 и квадратные скобки обозначают целую часть содержащегося в них числа. 4. Находим верхнюю критическую точку wB по формуле wn = (п + m + l)n — гун. B) 5. Если Wn < W < wB, то гипотеза ii/"o : Р(? ^ ж) = F(x) не отвергается. Если W < к;н или W > к;в, то Hq отвергается. 6. Если гипотеза Hq согласуется со статистическими данными, то следует найти максимальный уровень значимости а, при котором это согласие имеет место. Если гипотеза Hq противоречит статистическим данным, то сле- следует найти минимальный уровень значимости а, при котором это противоречие имеет место. Пример. Дана выборка 2.653 1.817 2.230 2.566 2.601 2.079 2.143 1.127 2.330 1.102 C) значений непрерывной случайной величины ?. Используя критерий Уилкоксона, проверить гипотезу Hq о том, что ? имеет равномерный закон распределения на [1,3]. Конкурирующая гипотеза — Hi: ? име- имеет иной закон распределения; уровень значимости а равен 0.02. Решение. Используя датчик случайных чисел о^ = frac (k\/3) (& = 1,2,...), равномерно распределенных на [0,1], генерируем 30 зна- значений 2ak + 1: 1.924 1.270 2.715 2.785 2.191 1.158 1.435 1.364 2.834 1.325 2.075 2.809 1.401 1.475 2.473 2.412 2.389 1.813 1.760 1.890 D) 2.162 2.512 2.088 1.868 2.715 1.418 1.487 2.069 2.005 2.560 Проверяем, что выборки C) и D) однородны, т.е., что они образо- образованы из значений случайных величин, имеющих одинаковые функции распределения.
7.18. Критерий Уилкоксона 391 1. Размещаем числа C) и D) в один ряд в порядке возрастания: 1.102 1.127 1.158 1.270 1.325 1.364 1.401 1.418 1.435 1.475 1.487 1.760 1.813 1.817 1.868 1.890 1.924 2.005 2.069 2.075 2.079 2.088 2.143 2.162 2.191 2.230 2.330 2.389 2.412 2.473 ^ 2.512 2.560 2.566 2.601 2.653 2.715 2.715 2.785 2.809 2.834 Здесь элементы выборки C) подчеркнуты. 2. Находим сумму порядковых номеров чисел C) в ряде E). По- Получаем W = 1 + 2 + 14 + 21 + 23 + 26 + 27 + 33 + 34 + 35 = 216. 3. Находим нижнюю критическую точку wu. Поскольку объем выборки D) равен 30 > 25, используем фор- формулу A). Получаем = 125, поскольку из условия Ф(^кр) = Ф(оо) — а/2 = Ф(оо) — 0.01 следует, что ^кр ~ Z.oZo. 4. Находим верхнюю критическую точку wB по формуле B). По- Получаем wn = 410 - 125 = 285. 5. Поскольку W = 216 Е A25,285), гипотеза Но о том, что ? распределена равномерно на [1,3] не отвергается. 6. Находим максимальный уровень значимости а, при котором наша гипотеза Hq согласуется со статистическими данными, т.е. wu < w < wB. а) Находим нижнюю критическую точку к;н, такую, что Wn < 216 < wB = (п + т + 1)п — wn = 410 — wn. Имеем гун < 216 игин< 410 — 216 = 194. Следовательно, гин < 194. б) Используя формулу A), получаем: [199.5 - zKp • 32.02] < 194. Следовательно, 199.5 - zKp • 32.02 < 194, т.е. zKp > 0.17177. в) Используя таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ, находим мак- максимальный уровень значимости из условия Ф(гкр) = Ф(схэ) — ск/2, т.е. Ф@.17177) = 0.5 - а/2. Получаем а = 0.86362.
392 Гл. 7. Математическая статистика Замечание. Уровень значимости а — это риск ошибочно отверг- отвергнуть гипотезу Hq, когда она верна. У нас получилось, что гипотеза Hq принимается при очень высоком риске отвергнуть ее, что озна- означает хорошее согласие гипотезы со статистическими данными. Ответ. При уровне значимости вплоть до 0.86362 нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что величина ? распределена равномерно на [1,3]. Условия ЗАДАЧ. Для определения параметров ai,...,aj в фор- формуле у = f(x; ai,...,aj) были измерены значения у при различных значениях х. Получен набор (#i, yi),..., (жд, уд) (см. условия задач на стр. 370). По этим данным методом наименьших квадратов были определены параметры ai,..., aj (см. ответы на стр. 371). С помо- помощью критерия Уилкоксона проверить, что величины У к — f(xk\ ai, • • • 1 aj) образуют выборку значений нормальной случай- случайной величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2 = 0.1. В качестве эталонной выборки т/i,..., ут использовать числа -0.3240 -0.4007 0.5516 0.2096 0.0068 -0.1243 0.1969 -0.0537 0.1905 0.3471 0.4554 0.1430 -0.2902 0.0928 -0.4476 0.2028 -0.0389 -0.1772 -0.2512 -0.2026 0.1642 -0.5266 -0.0160 -0.0414 -0.2204 0.5925 -0.3848 -0.1358 -0.0051 -0.0426 Ответы. I.W = 165, атах = 0.62886. 2. W = 129, атах = 0.092311. 3.W = 122, атах = 0.055280. 4. W = 154, атах = 0.395325. 5. W = 171, атах = 0.77692. 6. W = 169, атах = 0.72634. 7.W = 165, атах = 0.62886. 8. W = 185, атах = 0.88076. 9. W = 144, атах = 0.23668. 10. W = 146, атах = 0.26414. 7.19. Критерий согласия Пирсона Постановка задачи. Дан группированный статистический ряд абсолютных частот некоторой случайной величины^. Используя критерий Пирсона, про- проверить гипотезу Но : Р(? ^ х) = F(x) против Н± : Р(? ^ х) ф F(x) при уровне значимости а.
7.19. Критерий согласия Пирсона 393 План решения. В критерии Пирсона эмпирические абсолют- абсолютные частоты п*,..., п^ сравниваются с теоретическими частотами ni,...,nm, вычисленными с помощью функции распределения F(x) по формуле пк = п [F(xk) - F(xk-i)], к = 1,..., га, A) где п = п\ + ... + п^ — объем выборки я. хк — границы интервалов группировки. Мерой близости п\,..., п^ и ni,..., пш служит вели- величина ш ( * \2 ~ ,4 X \ К К / к B) Если |п^ — пк\ <С nfc и п > 100, то независимо от закона распреде- распределения случайной величины ? величина %^ — это значение случайной величины, распределенной по закону %2 с т — 1 — I степенями сво- свободы, где т — число интервалов группировки и / — число парамет- параметров функции F(x), которые были определены по данной выборке. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений: к 1 2 т 4 х\ «1/2 Г* 2. Вычисляем полуширину А интервала группировки: Д = Хл Хгп Хг 2 2 3. Находим границы интервалов группировки по формуле и помещаем их 4-й и 5-й столбцы таблицы. 4. Находим объем выборки п = тт^ + п^ + ... + п^ (сумма чисел в 3-м столбце). 5. Вычисляем теоретические абсолютные частоты пк по формуле A) и помещаем их в 6-й столбец таблицы. Сумма чисел в 6-м столбце должна равняться объему выборки п. Если это не так, то при вычислении каких-то абсолютных частот пк были ошибки и нужно вычислить все абсолютные частоты пк заново.
394 Гл. 7. Математическая статистика Сумма rik оказывается меньше чем п, если интервалы группировки не покрывают всю область значений случайной величины ?. 6. Заполняем 7-й столбец таблицы числами (nj? — nk) /п^, к = 7. Суммируем числа в 7-м столбце. Получаем величину B). 8. В таблице значений функции распределения %2 или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ находим квантиль %^р, такой, что Р(Х2 > xlP) = а. 9. Если Хв < ХкР> т0 гипотеза Hq : Р(? $J х) = -Р(ж) принимается. Если xi > Хкр^ т0 гипотеза Hq отвергается. 10. Если гипотеза Hq согласуется со статистическими данными, то следует найти максимальный уровень значимости а, при котором это согласие имеет место. Если гипотеза Hq противоречит статистическим данным, то сле- следует найти минимальный уровень значимости а, при котором это противоречие имеет место. Максимальная и минимальная величины а определяются форму- формулой а = Р(Х2 >xl)- Замечания. 1. При проверке гипотезы Hq : Р(? ^ х) = F(x) по выборке малого объема вместо критерия B) используется т * t^i ^ П Пк ' Очевидно, что ф\ является функцией т переменных п*,...,п^. Поэтому закон распределения ф2, определяется вероятностями P(n^ = &i,..., 77,^ = кш). В свою очередь, эти вероятности опре- определяются полиномиальным законом: Р(п* = ки ... ,< = кт) = \\ • где п — объем выборки, к\ + ... + кш = n, Pi = F(xi) — F(x{-i) — вероятность того, что ? примет значение из интервала (я^-ъ хг)- Зна- Значения квантилей ^кр? т^ких5 чт0 Р(^2 ^ ^кр) = ai Для различных а, п, 7тг, pi,... ,pm можно получить с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ. 2. При |п? — rifc| <C njt величины B) и C) примерно равны. Именно поэтому можно применять критерий х2-
7.19. Критерий согласия Пирсона 395 3. Если имеется не сгруппированная выборка ai,...,an, то при группировке целесообразно использовать интервалы (ж&-1,ж&), та- такие, что вероятности P(xk-i < ? < Хк) одинаковы для всех интерва- интервалов. 4. Теоретические частоты Пк в формулах B) и C) зависят от пара- параметров распределения. Это можно использовать, чтобы определить параметры распределения по выборке следующим образом. Выразив теоретические частоты Пк через параметры распределе- распределения ai,..., dj и используя формулу B) или C), получаем: Хв = Параметры ..., ctj ctj определяются из условия min или min . Пример. Дан группированный статистический ряд абсолютных частот некоторой случайной величины ?, найденный в примере раз- раздела 7.1 (стр. 332). Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу Яо: Р(? ^ х) = F(x) = 1 - е"Аж против гипотезы Нг: Р(? ^ х) ф F{x) при уровне значимости а = 0.02. Параметр А = 1.7205 определен по выборке. Решение. 1. Готовим таблицу для размещения результатов вычислений. Поскольку абсолютные частоты n?,..., /I21 меньше 10, объединим интервалы группировки 7 и 8, 9 и 10, а также интервалы 11-21.. к 1 2 9. 0.09025 0.27075 — < 76 51 11 Хк-1 Хк пк К - пкJ1пк 2. Вычисляем полуширину А интервала группировки: Д = 2 1 X, гп-1 0.27075 - 0.09025 = 0.09025. 2 2 2 3. Находим границы интервалов группировки по формуле Xk-i = х*к - А, к = 1,..., ш, жт = ж^ + А. и помещаем их в 4-й и 5-й столбцы таблицы.
396 Гл. 7. Математическая статистика 4. Находим объем выборки п = п* + п\ + ... + п*ш = 280 (сумма чисел в 3-м столбце). 5. Вычисляем теоретические абсолютные частоты п^ по формуле A) и помещаем их в 6-й столбец таблицы. В данном случае пк = п (F(xk) - = 280 Сумма частот в 6-м столбце равна 280, т. е. совпадает с объемом выборки п = 280. 6. Заполняем 7-й столбец таблицы числами (п? — пкJ/тт^, к = В итоге таблица принимает вид к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0902 0.2707 0.4512 0.6317 0.8122 0.9922 1.1732 1.3537 — 76 51 39 36 21 18 16 12 11 Хк-1 0 0.1805 0.3610 0.5414 0.7219 0.9024 1.0829 1.4438 1.8048 Хк 0.18050 0.3610 0.5414 0.7219 0.9024 1.0829 1.4438 1.8048 оо пк 74.748 54.793 40.147 29.448 21.587 15.824 20.099 10.804 12.549 (Пк ~ ПкJ1Пк 0.020971 0.26257 0.032770 1.4578 0.015962 0.29923 0.83595 0.13240 0.19120 7. Суммируем числа в 7-м столбце. Получаем величину B). В данном случа %В2 = 3.2489. 8. В таблице значений функции распределения %2 или с помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ находим квантиль %^р, такой, что Р(Х2 > Х^р) = <* = 0-02. Число степеней свободы равно т — 1 — /, где т = 9 — количество интервалов и / = 1 — число параметров, определенных по выборке. Следовательно, число степеней свободы равно 7. Тогда %^р = 16.622. < ХкР> гипотеза Но : Р(? ^ х) = 1-е -Хх не 9. Поскольку отвергается. 10. Находим максимальный уровень значимости а, при котором наша гипотеза Hq согласуется со статистическими данными, т.е. 2 / 2 Хв ^ Хкр" Используя таблицу или пакет РЕШЕБНИК.ВМ, находим что при 7-ми степенях свободы а = Р(х2 > Хв) = р(х2 > 3.2489) = 0.86106.
7.19. Критерий согласия Пирсона 397 Замечание. Уровень значимости а — это риск ошибочно отверг- отвергнуть гипотезу Hq, когда она верна. У нас получилось, что гипотеза Hq принимается при очень высоком риске отвергнуть ее, что озна- означает хорошее согласие гипотезы со статистическими данными. Ответ. При уровне значимости вплоть до 0.86106 нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что выборка распределена по показатель- показательному закону с функцией распределения F(x) = 1 — е~17205ж. Условия ЗАДАЧ. Для группированных статистических рядов аб- абсолютных частот, найденных в задачах раздела 7.1 (стр. 333), с по- помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о виде рас- распределения. 1. F(x) = х при 0 ^ х ^ 1. 2. F(x) = х при 0 ^ х ^ 1. 3. F(x) = = 1-е~х при х ^ 0. 4. F(x) = 0.5+arcsin(x)/7r при \х\ ^ 1. 5. F(x) = х2 при 0 ^ х ^ 1. 6. F(x) = х3 при 0 ^ х ^ 1. 7. F(x) = ех/(ех + 1). 8. F(x) = 1 - е-*2/2 при х ^ 0. 9. F(x) = Ф(х) - Ф(-оо). 10. F(x) = = arctg(x3)/7r + 0.5. Ответы. 1. Хв = 0-35, «max = 0.99999350. 2. xl = 0.147, amax = 0.99999985. 3. xl = 1.67, amax = 0.99567821. 4. xl = 0.09, amax = 0.99999998. 5. xl = 0.37, amax = 0.99999172. 6. xl = 0.263, amax = 0.99999813. 7. xl = 0.7, amax = 0.99987244. 8. xl = 1, «max = 0.99943750. 9. xl = 4.07, amax = 0.90674512. 10. xl = 0.62, amax = 0.99882110.
THE SOLVER V.I. AFANASIEV, O.V. ZIMINA, A. I. KIRILLOV, I.M. PETRUSHKO, T.A. SALNIKOVA HIGHER MATHEMATICS SPECIAL SECTIONS PHYSICS AND MATHEMATICS PUBLISHERS International Academic Publishing Company "Nauka" Russian Academy of Sciences Moscow, 2001, 400 pages THE SOLVER "Higher Mathematics. Special sections" is the continuation of the tutorial complex THE SOLVER "Higher Mathematics" by O.V. Zimina, A.I. Kirillov, and T. A. Salnikova. It is designed for computer-based education and consists of this book and the software package THE SOLVER.HM. This book contains 7 chapters: Analytic Functions Partial Differential Equations Operational Calculus Probability Theory Fourier Series Mathematical Statistics Fourier Transform The chapters are divided into sections. Each section deals with one basic problem and contains a general formulation of the problem, a solution plan with short theoretical comments, a solution example, ten problems of the same kind, and the answers to these problems. The software package THE SOLVER.HM enables students to quickly solve all these problems. The book contains several problems that are usually considered too compli- complicated for the students can solve them. The students can solve them easily using the package. The package SOLVER.HM consists of the module STEM Plus from the AcademiaXXI and a hypertext book. Obeying a user command, STEM Plus takes a selected formula from a Mi- Microsoft Word document and uses the built-in computer algebra system (CAS) for the required mathematical operations with the selected formula. If the built-in CAS cannot do these operations, then it calls an external CAS such
as DERIVE, Maple V, MuPAD, etc. according to the user choice. (DERIVE is a part of the package for that purpose.) STEM Plus inserts the CAS result in the Word document. All mathematical formulas can be treated in this way. It is important that only standard mathematical notation is used in the dialog between the user and computer. THE SOLVER.HM hypertext book is a collection of Microsoft Word doc- documents with a navigation tool. The documents are almost identical to those in the book. They are used as templates for correct and comprehensive solu- solutions of basic mathematical problems. The navigation tool enables the students to quickly find a template for the mathematical problem they have to solve. Context-sensitive help is available. THE SOLVER.HM helps a student to concentrate on the new and essential while the computer does all the operations that are already known to the stu- student. The package size is about 800 kilobytes. It is sold at a low price. Every student can and should have it. THE SOLVER "Higher Mathematics. Special sections" enables a student to learn mathematics without unnecessary difficulties and waste a time. It establishes an optimal student-computer cooperation, where the student's task is to formulate the problems properly and the computer's task is to perform the routine operations. Using the complex, the students can deeply understand how to solve the mathematical problems because they solve many problems and their attention is concentrated on the new and the essential. The complex frees about half of time devoted to higher mathematics in the curricula. This free time can be used for teaching the students the ideas and methods of mathematics of the 20th century. THE SOLVER "Higher Mathematics. Special sections" can be used at col- colleges, technical universities, and for extension education. It enables the students to study independently. This is important because this increases the educational possibilities for people living far from universities and for those who cannot leave their homes for some reason. THE SOLVER "Higher Mathematics. Special Sections" is the second tu- tutorial complex of new type realized by the project EduXXI. THE SOLVERs "Mechanics", "Physics", "Electricity", etc. for colleges and universities as well as appropriate packages for high schools will be created by the project EduXXI. Information on EduXXI, AcademiaXXI, and THE SOLVERs can be found on the Internet site www.AcademiaXXI.ru.
Учебное издание АФАНАСЬЕВ Валерий Иванович ЗИМИНА Ольга Всеволодовна КИРИЛЛОВ Андрей Игоревич ПЕТРУШКО Игорь Мелетиевич САЛЬНИКОВА Татьяна Анатольевна РЕШЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ Под редакцией профессора А.И. Кириллова Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель Оригинал-макет О. В. Зиминой ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 27.02.03. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 24. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997 Москва, Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист» 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3. Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72. E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv ISBN 5-9221-0423-3 9 785922 104234