атематика Библиотечка
физико-математической шк л
М.И.Башманов
го
авн ни
и
неравен тва
в

Математика	Библиотечка
физико-математической школы
Выпуск 5
М. И. Башмаков УраВНвНИЯ
и неравенства
Издание второе,
переработанное
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва 1976

512
Б 33
УДК 512
Математика	Библиотечка
физико-математической
школы
©Главная редакция
.	физико-математической литературы
^ 20202—134 „q у^	издательства «Наука», 1976,
053@2)-76	с изменениями.

«Какой в этом смысл?» — спро-
спросил Кролик. — «Ну, — сказал Пух, —.
мы все время ищем Дом и не на-
находим его. Вот я и думаю, что если
мы будем искать эту Яму, то мы ее
обязательно не найдем, и тогда мы,
может быть, найдем то, чего мы как
будто не ищем, а оно-то есть то, что
мы на самом деле ищем».
А. М и л н( Винни-Пух и все остальные,
гл. XV.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Решить уравнение, решить неравенство... С этим сор-
сортом задач мы сталкиваемся очень часто. Пишем подряд
какие-то формулы, радуемся, когда они становятся проще
и проще, наконец, видим желанное равенство, например
х = 100, и объявляем, что уравнение решено. Это напо-
напоминает прополку грядки человеком, которому не сказа-
сказали, что на ней должно расти.
Цель этой книжки — помочь научиться пропалывать
грядку так, чтобы все нужное оставить, а все лишнее —
выдернуть. Сначала мы познакомимся со всеми расте-
растениями, которые будут расти на нашей грядке, научимся
их быстро узнавать, классифицировать, удобно обозна-
обозначать. Этому посвящена довольно длинная вводная глава.
Затем мы попробуем точно сформулировать, чего же мы
добиваемся, что мы понимаем под словами «решить
уравнение», «решить неравенство» и т. п., обдумаем
смысл тех операций, тех преобразований, которые мы
используем для достижения цели.
Все это вместе довольно легко, потому что сложноГг
теории здесь нет, большая часть книжки состоит просто
из примеров. С другой стороны, хотя заниматься мы
будем самыми привычными вещами, иногда привычки
придется ломать и создавать новые..
1*	з

Круг рассмотренных вопросов намеренно ограничег:
разбираются почти исключительно алгебраические урав-
уравнения и неравенства, совсем мало места отведено инте-
интересным и важным задачам, касающимся доказательства
неравенств, которые, как мы надеемся, будут включены
в одну из книжек этой серии.
Книжка носит ярко выраженный «технический» ха-
характер. В ней много задач, требующих только хорошего
владения школьным материалом, близких к конкурсным
задачам при поступлении в институт. Примеры, пока-
показываемые в тексте, требуют внимательного разбора с
карандашом в руке.
Книга рассчитана на школьников 9—10 классов, учи-
учителей и лиц, самостоятельно занимающихся матема-
математикой.
Я глубоко благодарен Н. Б. Васильеву, Д. А. Влади-
Владимирову, В. Л. Гутенмахеру, Ю. И. Ионину, Д. К. Фад-
дееву, прочитавшим рукопись и много сделавшим для es
улучшения.

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
§ I. Числа
В этой книге мы всюду имеем дело с вещественными
числами. Мы не будем здесь давать определение того,
что такое вещественное число. Вместо этого просто пе-
перечислим те свойства чисел, которыми мы пользуемся.
Что же мы обычно делаем с числами?
Прежде всего, мы совершаем арифметические дей-
действия — сложение и умножение, с помощью которых ми
можем из двух чисел получить третье — их сумму или
произведение.
Эти действия обладают рядом свойств. Основными
свойствами сложения являются следующие:
1.	а + b = Ъ + а — переместительный, или коммута*
тивный, закон сложения.
2.	(а + Ь) + с = а -\- (Ь + с) — сочетательный, или ас-
ассоциативный, закон сложения.
3.	Существует особое число 0 (нуль) такое, что для
любого числа а справедливо равенство а + 0 = а.
4.	Для любого числа а существует противоположное
число (—а) такое, что их сумма равна числу 0, т. е.
а + (— а) = 0.
Последнее свойство позволяет определить обратное
действие — вычитание. Вычитанце из числа а числа Ъ
определяется как сложение числа а с числом (—Ь), про-
противоположным числу Ь.
Умножение обладает свойствами, очень похожими на
свойства сложения. Именно:
5.	аЪ = Ъа — переместительный, или коммутативный,
закон умножения.

6.	(ab)c = a(bc)—сочетательный, или ассоциатив-
ассоциативный, закон умножения.
7.	Существует особое число 1 (единица) такое, что
для любого числа а справедливо равенство а-\ = а.
8.	Для всякого числа а, отличного от числа 0, суще-
существует обратное число а~1 = l/а такое, что а-а-1 = 1.
С умножением тесно связано обратное действие — де-
деление. Деление числа а на число Ь, отличное от нуля,
определяется как умножение числа а на число 1/&, об-
обратное к числу Ь.
Сложение с умножением связано так называемым
распределительным, или дистрибутивным, законом:
9.	{a + b)c = ac + bc.
'Число 0 по отношению к действиям умножения и де-
деления является исключительным. Произведение любого
числа на нуль равно нулю. Деление же на нуль не имеет
смысла (не определено).
Важным свойством умножения является следующее:
если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы
один из сомножителей равен нулю.
Множество всех вещественных чисел удобно пред-
представлять себе как множество всех точек некоторой пря-
прямой, называемой в таком случае координатной прямой
или числовой осью. Соответствие между числами и точ-
точками числовой оси при обучении математике не менее
существенно, чем, например, соответствие между бук-
буквами и звуками при обучении чтению. Оно лежит в ос-
основе языка, на котором излагаются целые главы мате-
математики. Этот язык настолько привычен, что мы часто
вместо слова «число» говорим «точка» и наоборот. По-
Поэтому, например, мы не будем старательно различать
координатную прямую (числовую ось) и числовую пря-
прямую, т. е. само множество вещественных чисел Й.
Напомним, что для того, чтобы каждая точка оси
была изображением некоторого числа, одних рациональ-
рациональных чисел оказывается недостаточно. Для того чтобы
сплошь заполнить числами всю прямую, к множеству
рациональных чисел присоединяют новые, иррациональ-
иррациональные числа. Вместе все эти числа, рациональные и ирра-
иррациональные, носят название вещественных или действи-
действительных чисел.
В этом «полном» множестве вещественных чисел уже
можно определять такие операции, как извлечение кор-
корня, возведение в произвольную степень, взятие лога-
6

рифма (правда, все эти операции безоговорочно выпол-
выполнимы только для положительных чисел), и другие. Оста-
Остановимся коротко на операции извлечения корня, необхо-
необходимой при решении алгебраических уравнений.
Примем без доказательства, что для любого положи-
положительного числа а существует единственное положитель-
положительное число Ь такое, что Ьп = а (здесь п — произвольное
натуральное число). Очевидно, Ьп = О тогда и только
тогда, когда Ъ = 0. Отсюда следует, что из любого не-
неотрицательного числа можно извлечь корень с любым
натуральным показателем, причем единственным обра-
образом, если ограничиться неотрицательным значением.
Этот (единственный) неотрицательный корень обозна-.
чается так: Vй •
Кроме операций над числами нам приходится рас-
рассматривать отношения между ними — отношение ра-
равенства (совпадают они между собой или нет) и отно-
отношение порядка, или, как мы будем часто говорить, от-
отношение «больше — меньше».
То, что а больше Ь, будем записывать так: а~> Ь.
Для любых двух чисел верно одно и только одно из трех:
1) а>Ь, 2) а — Ь, 3) Ь >¦ а. Можно писать и так:
а<.Ь (а меньше Ь), причем, разумеется, а меньше b
в тех и только тех случаях, когда Ь больше а, так что
ничего нового, кроме некоторого удобства, отношение
а < Ь не дает.
Употребляется также знак ^. Неравенство а ^ b
верно тогда и только тогда, когда верно неравенство
а <С b или верно равенство а = Ъ. Так, в частности, вер-
верны неравенства 3 ^ 3, 3 ^ 5, —1^0.
Читается неравенство a ^Z b так: «а меньше или раз-
разно Ь», или «а не больше Ь», или «а не превосходит 6»,
Когда хотят подчеркнуть, что имеются в виду неравен-
неравенства вида а > Ь, то говорят, что это строгое неравенство,
а неравенство а^ b называют нестрогим неравенством.
С помощью знака ^ особенно удобно переходить
к противоположному неравенству: если а > b неверно, то
верно, что либо а = Ь, либо а < Ь, т. е. а ^ Ъ. Точно так
же, если а~^Ь неверно, то верно a <Z b.
Отношение порядка между числами очень наглядно
представляется геометрически. Если положительное на-
направление оси выбрано слева направо, то точка, соответ-
соответствующая большему числу, расположена правее. Свойства
7

отношения «больше — меньше» будут изучены подробно
в главе II.
А пока займемся тем, что введем обозначения для не-
некоторых множеств на прямой. Эти обозначения будут
несколько отличаться от принятых в настоящее время
в школьных учебниках. Однако именно они применяются
в большей части современной математической литера-
литературы, и учащимся полезно с ними познакомиться.
1Ъ х
Рис. 1.
П.
Jfi х
Рис. 2.
У//////////////////////////Л
А
и
Рис. 3.
Пусть а < Ь. Все числа х, для которых а < х < Ъ ')',
заполняют отрезок оси с концами в точках а и Ь (при-
(причем сами точки а и & не включаются) (рис. 1).
Это множество чисел (точек на оси) мы будем обо-
обозначать так: (а;Ь); читается эта запись: «промежуток
(«;&)» или «интервал (а;Ъ)т>.
Допустим, что мы хотим записать отрезок между чис-
числами аи b вместе с его концами (рис. 2), т.е. множество
всех чисел х, для которых а ^х ^.Ь. Для этого отрезка
будем применять такое обозначение: [а; Ь\.
С помощью тех же скобок можно записывать и отре-
отрезок, в который включен только один из его концов. Нам
хотелось бы иметь похожую запись и для лучей, т. е. для
множеств чисел х такого вида: х > Ь, х ^ а (рис. 3)«
') Читается: «х больше а и меньше Ь»,

Для этого введем два значка: —оо и ~-foo (читать кх
будем так: «минусбесконечность»,«плюс бесконечность»),
Сведем все обозначения в такую таблицу:
Множество всех
чисел х, удовлет-
удовлетворяющих условию
а< х<Ь
а < х < Ь
а < х < 6
а < х < Ь
х < а
х^а
х>Ь
х>Ь
Обозначается
(а; Ь)
[а; Ь]
(а; Ь]
[а; Ь)
(— оо; а)
(—оо; а]
(Ь; +оо)
[Ь; +оо)
Всю числовую ось, т. е. множество всех веществен-
вещественных чисел, обозначают символом (—оо;-}-°°), или про-
просто буквой R.
Наконец, если нам потребуется записать множество
чисел, заполняющих не один, а два или несколько от-
отрезков, то эти отрезки будем писать не просто рядом,
а будем ставить между ними «чашечку» U — знак объ-
объединения множеств. Так, [—1;3]U[5;7] обозначает мно-
множество чисел, заполняющих два отрезка на числовой оси
-/L о
JJ 5
Рис. 4.
х
Рис. 5.
(рис. 4). Заметим, что если два отрезка, объединяемые
с помощью U, налегают друг на друга, то их объедине-
объединение можно записать в виде одного отрезка, например;
[-3;2]U[0;5)=[-3;5) (рис.5).
9

Напомним еще одно обозначение: хеХ — это озна-
означает, что х есть элемент множества X; например, нера-
неравенства a<.x<cb можно записать в виде х^(а;Ь),
а то, что х^З, можно записать так: ^е[3; +°°).
Итак, мы с вами научились коротко записывать про-
промежутки на числовой оси. Покажем, почему это удобно.
Бывает, что, решая неравенства, ученики пишут ответ
в таком, например, виде:
х>3, х<5, л;<0.
Из такой записи (так же как из рис. 6) совершенно не-
неясно, какое множество чисел считать ответом.
W,
О	3	5	х
Рис. 6.
Если имеется в виду, что нужны числа х, удовлетво-
удовлетворяющие хотя бы одному из написанных неравенств, то
хеC; +oo)U(-oo; 5]U(-°o; 0).
Очевидно, это будут все действительные числа, так как
каждое число попадает хотя бы в один из указанных
отрезков. Тогда ответ можно записать так: X = R.
У////Л
&	{//////Л >
}0	3\ J5
Рис. 7.
Если же нужны числа, удовлетворяющие одновре-
одновременно всем трем неравенствам, то это записывается
обычно с помощью «перевернутой чашечки»:
хеЕC; +оо)П(-оо; 5]П(-°о;0).
Очевидно, таких чисел не будет вовсе (как говорят,
«множество решений пусто»).
Но, может быть, ответ такой: х удовлетворяет или
одновременно первым двум неравенствам, т. е. х е
еC;+°°)П(—оо; 5], или третьему неравенству, т. е,
ie(—оо;0)? В таком случае (рис. 7) мы пишем
Х = (C; +оо)П(-оо;
10

УПРАЖНЕНИЯ
1.1.	Операции сложения и умножения выполнимы во множе-
множестве всех целых чисел, а также во множестве рациональных чисел.
Проверьте, что свойства 1—7, 9 верны для множеств целых чисет
и рациональных чисел, а свойство 8 — только для множества ра-
рациональных чисел.
1.2.	Докажите, что во множестве рациональных чисел не най-
найдется такого числа Ь, что Ь2 = 2.
1.3.	На числовой оси покажите промежутки, соответствующие-
следующим условиям, и запишите их с помощью введенных обозна-
обозначений:
а) 1 < х < 5; б) х > 7; в) 0 < х < 3; г) х < — 1.
1.4.	На числовой оси изобразите следующие множества:
а) (-3; 5] U F; 7]; б) (-со; 1] U @; 2];
в) (- со; 0) U @; + со); г) [- 2; — 1] U [- I; 3) U [3; 4).
Там, где это возможно, запишите полученные множества короче.
1.5.	Обозначьте на числовой оси множества чисел, удовлетво-
удовлетворяющие одновременно следующим условиям:
а) х > 0, х < 5, 3 < х < 7; б) — 3 < х < 2, — 1 < х < 5;
в) 3 < х, х < 5, 0 < х < 3; г) х <= C; — 1], «е(-2; + оо).
Запишите результат с помощью введенных обозначений. (На-
(Например, он может выглядеть так: X = (—сю; 3] Г) E; 6).)
§ 2. Высказывания
До сих пор мы рассматривали некоторые понятия и
удобные обозначения, касающиеся числовых множестн.
А теперь поговорим о понятиях и обозначениях, связан-
связанных с логическими рассуждениями, которые мы прово-
проводим при решении уравнений, неравенств и вообще при
решении разных математических задач и доказатель-
доказательстве теорем.
Эти рассуждения формулируются в виде каких-то
утверждений, высказываний. Вот примеры самых про-
простых математических высказываний:
1)	2-2 = 4;
2)	2-2>9;
3)	1649 делится на 17;
4)	треугольник со сторонами 3, 5, 7 имеет ось сим-
симметрии.
Высказывания могут быть верными и неверными. Так,
утверждения в первом и третьем примерах верны,
истинны, а остальные ложны.
11

Из одних высказываний можно строить новые с по-
помощью логических союзов. Так, утверждение
16 < -^5000 < 17
Можно считать составленным из двух утверждении
16 < -v000 и -^5000 < 17
с помощью союза и, который показывает, что оба утвер-
утверждения должны выполняться одновременно; на самом
деле 4^5000 больше, 17, поэтому утверждение 16 <
< -\/ 5000 < 17 неверно. Высказывание
число 313Г>41 + 2 делится на 727 или на 757
может быть составлено из высказываний
число 313641 + 2 делится на 727,
число 313641 + 2 делится на 757
с помощью союза или. Оно будет верно, если верно хотя
бы одно из двух составляющих его утверждений; заме-
заметим, что верными могут оказаться и оба. Высказывание
52 ^ 25 можно считать составленным из двух: 52 > 25,
52 = 25 с помощью союза или. Итак, подчеркнем еще
раз: и, соединяющее два высказывания, означает, что
они должны выполняться оба одновременно — и то, и
другое; или — что должно выполняться хотя бы одно из
них — или то, или другое (или оба вместе). В обычной
речи союзы «и» и «или» не всегда употребляются именчо
в этом смысле. Когда мы захотим подчеркнуть, чго
вкладываем в них этот точный смысл, мы будем исполь-
использовать жирный шрифт.
Многие теоремы имеют такую форму: если .... то ...
Например, если число 240+ 1 делится на 51, то оно де-
делится на 17. Для записи таких утверждений будем упот-
употреблять значок =>. Так, если обозначить через Л первое
утверждение- B40+1 делится на 51) а через В— вто-
второе B60-т-1 делится на 17), то все исходное утвержде-
утверждение можно записать так: Л Ц> В — и прочесть: «из Л сле--
дует В, из Л вытекает В, если Л, то В» и т. п.
Высказывание А => В считается неверным только
в том случае, если Л верно, а В неверно; например,
12

высказывания
2 = 0=#>0 = 0?
12<6=фЮ<4,
25
верны, а
3
неверно. Мы скоро увидим, почему такое соглашение
удобно.
Часто бывает нужно написать: из А следует В и из В
следует А, т. е. соединить высказывания А=^В и В=>Л
союзом и. Для этого будет употребляться значок фф
(его часто читают так: «эквивалентно», «равносильно»;
А^В означает, что А выполняется в тех и только тех
случаях, когда выполняется В).
Вы, наверно, заметили, что во всех наших примерах
утверждения относились к конкретным числам и истин-
истинность их можно было проверять, хотя бы в принципе,
прямым вычислением. Сила математики состоит в том,
что она умеет обращаться с переменными высказыва-
высказываниями.
Можно составить такую заготовку: число ... делится
на 727 или число ... делится на 757, а затем вместо
многоточия подставлять различные целые числа и для
них проверять верность получившегося утверждения.
Вместо многоточия пишут обычно какую-нибудь букву,
скажем х, и считают ее переменной. При этом нужно
знать, какие значения может принимать такая пере-
переменная.
Приведем примеры высказываний с переменными1).
1) Пусть х и у — натуральные числа; если ху делится
на 6, то х делится на 6 или у делится на 6.
Нам сказано, какие числа можно подставлять в эго
переменное высказывание. При одних значениях пере-
переменных может получиться верное высказывание (ска-
(скажем, при х= 12, у = 3), а при других — неверное (на-
(например, при х = 2, у = 3).
') Термин высказывание часто используют только для «по-
«постоянных высказываний», каждое из которых либо истинно, либо
ложно. «Переменные высказывания» называют предложениями с пе-
переменными, или высказывательными формами; из такой «формы»
могут получаться разные конкретные высказывания — и истинные,
и ложные — в зависимости от того, что в нее подставить.
13

2)	Четырехугольник S является параллелограммом.
Здесь S — переменная; область значений S указана,
это — множество всех четырехугольников.
3)	Число а делится на 6.
Здесь переменная обозначена буквой а. Следовало,
конечно, указать область ее значений. К сожалению, это
делают не всегда. Разумно считать в этом примере
областью значений а множество всех целых чисел.
4)	л; — вещественное число; х > 0 => х > —2.
5)	а и b — вещественные числа;
|а| = &=*>[&>0 и (а = Ь или а= — Ь)\.
В последних двух примерах мы получаем верные вы-
высказывания при всех значениях переменных (эти при-
примеры оправдывают несколько странное на первый взгляд
соглашение о том, что высказывания «ложь => истина»
и «ложь =#> ложь» считаются верными: подставые
в 4) х = — 1 и х = — 3).
Читая любую математическую книгу, вы заметите,
что в тех случаях, когда следует сказать: «при всех х
верно высказывание А(х)», часто говорят: «А (х) при
всех х», или «Л (х) верно», или даже просто «А (х)»;
слова «при всех значениях переменной» и «верно» под-
подразумеваются. Например, говорят просто: «квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме
квадратов катетов», а не «верно, что для любого прямо-
прямоугольного треугольника...» Мы тоже иногда будем поль-
пользоваться этим привычным сокращением — и уже пользо-
пользовались им выше, при перечислении свойств веществен-
вещественных чисел. Обычно из контекста ясно, подразумевается
ли, что высказывание верно при всех значениях пере-
.менных, или нет.
Дальше в этой книге нас будут интересовать в основ-
основном высказывания, составленные с помощью знаков ра-
равенства и неравенства: =,<,>, ^, 1>, которые
верны лишь при некоторых — далеко не при всех — зна-
значениях переменных. Переменные в них будут принимать
числовые значения.	'
УПРАЖНЕНИЯ
2.1. Рассмотрим следующие утверждения
A: S — параллелограмм;
В: S — равнобочная трапеция;
С: S -~ ромб;
14

D; S — выпуклый четырехугольник;
E: четырехугольник S имеет ось симметрии;
F: четырехугольник S имеет центр симметрии;
G: около S можно описать окружность;
Н: в S можно вписать окружность.
Из них можно составлять другие утверждения с помощью союзов
и, или. Например, утверждение D и Е означает, что S — выпуклый
четырехугольник, имеющий ось симметрии. Л или В означает, что
S или параллелограмм, или равнобочная трапеция.
а) Укажите, какие утверждения верны '), а какие нет:
1) A^>F; 2) А=$Н; 3)
4) В=#Я; 5) С^А; 6)
7) Н^С; 8) f=#>?>; 9) ?=#>f; 10)
б)	Придумайте три верных и три неверных утверждения такого
же типа.
в)	Докажите нлн опровергните следующие теоремы:
1) F^>A;	2) (В или C)^(G или Я);
3) (Е и G)=#B;	4) (А и Н)^>С;
5) (С н G)O(f и Е); 6) (D и ?)=#(G или Я).
2.2. Рассмотрим следующие утверждения:
А (а): число а делится на 3;
В (а): число а делится на 2;
С (с): число а делится на 4;
D (а): число а делится на 6;
Е (с): число а делится на 12
(всюду идет речь только о целых числах). Укажите, какие из сле-
следующих утверждений верны '), а какие нет:
1) (Л (а) и С (а)) ф Е (а);	2) (В (а) и ?> (а)) =#> ? (с);
3) (С (а) и Z) (а)) =#> Е (а);	4) ? (а) ф (С (а) и D (а)):
5) Е (с) =#> (В (а) и ?> (с));	6) Л (сЬ) #> (А (с) или Л (fc));
7) С (аЬ) =#> (С (а) или С F));	8) D (аЬ) =?> (?> (с) или ?>(?));
9) В (и— 1)ф?(га3 — и);	10) В (и)=#Е (л3 + 2и).
§ 3. Функции
Наиболее важная связь между числовыми перемен-
переменными описывается с помощью понятия функции.
') Здесь «верны» означает «верны при всех значениях пере-
переменных».
15

Задание функции предусматривает задание некото-
некоторого множества D (области определения) и правила, ко-
которое каждому элементу из D сопоставляет некоторое
число. Это сопоставление часто обозначают стрелкой,
например:
1)	l-+t2; t е[0;"+°°); это — функция аргумента t, ее
область определения — луч 0 ^ / < +°°.
2)	{х, у) -> V*2 + У2> х>0, */< 0; здесь область
определения — некоторое множество пар (х, у) веще-
вещественных чисел1); в этом случае говорят, что задана
функция двух аргументов: хну.
Общее математическое понятие функция включает и
функции, заданные на любых множествах. Вот еще при-
примеры функций:
3)	Л -*-5д, где Л — любой треугольник на коорди-
координатной плоскости, 5Д — его площадь.
( 0, если А ложно,
4)	Л->4 ,	„	А — любое высказывание,
1.1, если А истинно,
которое можно записать не более чем десятью русскими
словами2).
Но в дальнейшем нам будут встречаться только
функции числовых аргументов.
Функцию часто обозначают одной буквой, скажем
буквой f; при этом для любого х из области ее опреде-
определения запись f(x) означает число, которое сопостав-
сопоставляется элементу х, — значение функции в точке х.
Например, если f\ и $2— функции из примеров 1) и
2), приведенных выше, то
5, Ы3,4) = 5, fa@, 1) =
и вообще
Функции, заданные на одном- и том же множестве,
можно складывать и перемножать.
') Можно также сказать, что область определения — множество
точек (х, у) таких, что х > 0, у < 0; когда говорят о функциях
двух (или трех) переменных, слово «точка> заменяет слова «пара
(тройка) чисел» — подразумевается, что речь идет о точках число-
числовой плоскости (пространства).
!) Для точности условимся, что бессмысленные предложения
(скажем, такие: «логарифм минус единицы равен сапогу») мы счи-
считаем ложными высказываниями.
16

Если fug — функции, которые определены на мно-
множестве D, то их сумма f + g и произведение fg за-
даются так:
при каждом jkeD.
fg и f -\-g — это функции с той же областью опреде-
определения D. Заметьте, что для этих операций сложения и
умножения функций выполнены почти все свойства опе-
операций над вещественными числами, о которых мы гово-
говорили в начале § 1 (а именно свойства 1—7 и 9); роль
нуля и единицы играют функции fo(x) = 0 при всех
х е D и /i (х) = 1 при всех х ее D.
Подчеркнем еще раз: для того чтобы полностью опре-
определить функцию, нужно знать не только правило вычис-
вычисления ее значений (скажем, х—*-х2), но и множество, на
котором она определена. Например, х->х2, ле[0;+оо)
и х^-х2, xeR — разные функции; про первую из них,
определенную на более узком множестве, говорят, чю
она получается сужением второй функции на мно-
множество [0; +оо).
Наиболее употребительные правила вычисления
имеют Свои знаки: + (сложение), -у (извлечение неот-
неотрицательного квадратного корня), sin (взятие синуса),
[ ] (нахождение целой части), lg (логарифмирование по
основанию 10) и т. п. Комбинируя их, можно получить
много новых правил. Например, запись
у—
. 	 I
означает, что число у вычисляют, исходя из числа х, по-
последовательно выполняя известные уже операции вычи-
вычитания, деления, извлечения положительного корня.
Часто бывает, что при задании функции указывают
только правило вычисления ее значений, не оговаривая
специально, на каком множестве функция определена1).
') Правила вычисления значений функции называют .короче
числовыми выражениями, или числовыми формами; например,
X
	:	числовая форма. Из такой формы получаются разные
X — 1
числа (или бессмысленные выражения) в зависимости от того, что
в нее подставить.
2 М. И. Башмаков	¦•	17
v:

В этом ^ >)¦ ^е считается, что область определения функ-
функции состоит из всех чисел, к которым можно применить
указанное правило (ее называют естественной областью
определения). Так, записывая функцию просто в виде
х —>л/ ——¦ , мы считаем ее областью определения
множество
D = (-oo;0]U(l; +00).
Конечно, нечеткость слов «можно применить правило» вызы-
вызывает иногда путаницу. В школьном курсе математики обычно при-
принимаются некоторые твердые соглашения об употреблении матема-
математических символов. В то же время еще до сих пор встречаются
бессодержательные споры, например, о том, считать лн число
х = —1 корнем уравнения хх2 = —1 или нет. Просто нет четкой
договоренности, при каких значениях х запись хх' «имеет смысл».
(Подставьте х = —'/г, х = — V2 и т. д.)
Укажем еще на одну нечеткую договоренность: в со-
п
временных школьных учебниках запись -у/а при нечет-
нечетном п применяется только для а ^ 0. Мы также придер-
придерживаемся этой договоренности, хотя во многих книгах
(и в первом издании этой книги) запись Vа при нечет-
нечетном п считается осмысленной и при й<0 и обозначает
единственное вещественное число b такое, что Ъп = а.
Правило задания одной и той же функции может
быть записано по-разному. Так, функции х —*-х2-\-2х + 1
и x->(x+ П2 совпадают, так как они имеют одну и ту
же естественную область определения (—<х>; -f-oo), a
правило вычисления дает при, каждом х один и тот же
результат: (х + 1J = х2 + 2х + 1. Надо быть очень осто-
осторожным при преобразованиях записи правила вычисле-
вычисления значений функции. Производя сокращения и приве-
приведение подобных членов, можно получить запись, кото-
которая применима к более широкому множеству, чисел. На-
прнмер, для функции
естественная область определения — множество чисел,
отличных от нуля. Производя преобразования
= х + 2+,
мы получим запись х—*х2-\-2, которая имеет смысл уже
при всех х. В этих случаях при преобразованиях нужно
18

указывать исходное множество, являющееся областью
определения. Это замечание относится к применению
всех «опасных» формул, левые и правые части которых
имеют смысл при различных множествах значений пере-
переменных. Например,
а/а = 1, *J~ab = -у/а • -yjb,
= 2tgx
l+tg2x •
УПРАЖНЕНИЯ
3.1.	Может ли равняться нулю произведение двух функций
с областью определения @; 1], ни одна из которых не равна тожде-
тождественно нулю?
3.2.	Для следующих функций найдите естественную область оп-
определения (т. е. множество точек х, в которых выражение, стоящее
справа, имеет смысл):
а) у = Vl - х2; б)# = д/—	-; в) у = А /	?—
\ B )	\ х — -у
—	-; в) у = А /	?—=¦.
хB — х)	\ х — -у/ х
Как бы вы описали естественную область определения следую-
следующей функции: S-*-ds, где ds — расстояние от точки пересечения
диагоналей многоугольника S до центра вписанной в S окруж-
окружности?
3.3. Совпадают ли функции:
а) у = —===—-	и # = Vl +x+ 1;
Vi+i
в)	»/ =
г)	г/ =
х — 3 х + 3
1
н У
¦ух2 + 1 — х
Если нет, то как нужно ограничить их естественную область
определения (какие сужения функций взять), чтобы они совпа-
совпадали?

ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ
§ 4. Числовые равенства
Возьмем два числа. Подставим между ними знак —.
Получим высказывание, называемое числовым ра-
равенством.
Приведем примеры:
1) 2-2 = 4; 2) 2-2 = 5;
3)	D + V7)-D
4)	2200=1033;
5) л = 3,14; 6) ^У5 + 2 —-vVlf- 2=1;
7)
8)	Vl + 2V3 + 2V2= 1 + V2;
9)	'/7 = 0,1428561428; 10) 1917/852 = 2'/4.
Равенства, как и всякие высказывания, бывают вер-
верные и неверные. Равенство 2-2 = 4 — верное равенство;
равенство 2-2 = 5 — неверное. Если в двух частях ра-
равенства стоят равные числа (они могут быть по-разному
записаны), такое равенство будет верным. В двух ча-
частях неверного равенства стоят различные числа.
Перечислим некоторые очевидные свойства равенств.
1. Если к двум частям верного равенства прибавить
одно и то же число, то получится снова верное ра-
равенство.
Это свойство позволяет, в частности, переносить чис-
числа из одной части верного равенства в другую с проти-
противоположным знаком.
20

2.	Если две части верного равенства умножить ка
одно и то же число, то получится снова верное ра-
равенство.
3.	Если две части верного равенства возвести в одну
и ту же степень п (п — натуральное число), то полу-
получится снова верное равенство.
4.	Если к двум частям верного равенства применить
одну и ту же функцию /, то получится снова верное ра-
равенство.
Применить функцию / к равенству а = Ь — значит
составить новое равенство f(a) = f(b):
Например, применяя к двум частям равенстваа =
функции
х-*\х\, х->-\/х, х—>-х + 6,
получим соответственно равенства
\а\ = \Ь\, <$Ъ =
Конечно, мы предполагаем, что функция f опреде-
определена при х — а и х = Ь. Например, переход от равенства
а—Ь к равенству -у/а = л/Ь имеет смысл (для-веще-
(для-вещественных чисел) только при неотрицательных а и Ь.
V. Если к двум частям неверного равенства приба-
прибавить одно и то же число, то получится снова неверное
равенство.
Докажем это, используя свойство 1. Предположим
противное. Пусть в результате прибавления числа а
получено верное равенство. Тогда, прибавив к обеим его
частям число (—а), получим исходное равенство. По
свойству 1 это равенство должно получиться верным,
что противоречит условию.
Свойства, аналогичные свойствам 2, 3, 4, для невер-
неверных равенств могут и не иметь места. Например, умно-
умножая обе части неверного равенства 2-2 = 5 на одно и
то же число 0, получим верное равенство 0 = 0. Или,
возводя в квадрат неверное равенство 2 = —2, получим
верное равенство 4 = 4.
Про какие же операции можно утверждать, что они
переводят неверное равенство в неверное? Из доказа-
доказательства свойства Г видно, что это выполняется, на-
например, тогда, когда можно однозначно совершить
21

обратную операцию1). В приведенных примерах рассмо-
рассмотренные операции — умножение на 0, возведение в ква-
квадрат— не имеют однозначно определенных обратных.
Полезно иметь в виду такие свойства неверных ра-
равенств:
2'. Если две части неверного равенства умножить на
одно и то же число, отличное от 0, то равенство остается
неверным.
3'. Если в двух частях неверного равенства стоят по-
положительные числа, то после возведения его в степеньп
равенство останется неверным.
Чтобы сформулировать еще одно более общее
свойство, нам понадобится понятие монотонной функции.
Напомним, что если для любых х и у из области опре-
определения функции /
то функция / называется возрастающей; если
— убывающей. Все такие функции — возрастающие и
убывающие — вместе называются строго монотонными.
(Слово строго подчеркивает, что равенство f(x) =f(y)
не допускается.)
4'. Если к двум частям неверного равенства приме-
применить строго монотонную функцию, то оно останется не-
неверным.
УПРАЖНЕНИЯ
4.1.	Какие из равенств 6)—10), приведенных в начале пара-
параграфа, верны?
4.2.	Докажите свойства 2', 3', 4', используя свойства 2, 3 и 4.
4.3 Найдите ошибку в следующем «доказательстве» того, что
2 = 3.
Рассмотрим равенство а = b + 1. Умножим обе части на
(а- Ь):
а2 — ab = ab + а — Ь2 — Ь.
Преобразуем: а2 + Ь2 = 2аЬ + а — Ь. Подставим а = Ь = 2. Полу-
Получим 4 + 4 = 8 + 2 — 2. Это — верное равенство, значит, и исход-
исходное при а = b = 2 должно быть верным:
2 = 2+ 1.
4.4. Рассмотрим такое утверждение: а Ф Ъ (а не равно Ь).
Оно верно тогда, когда неверно утверждение а = Ь, и наоборот.
¦) См. упр. 4.5.
22

Выясните, верны ли утверждения:
а)	а2фЬ2^>афЬ;
б)	а%фЬ3^>афЬ;
в)	а3фЬ3^а2ФЬ2.
Вы, наверное, заметили, что от высказываний вида афЬ
удобно переходить к обычному равенству. Проверяя, например, пра-
правильность нашего утверждения (а), можно было рассуждать так:
пусть афЬ неверно; значит, а = Ь, а тогда а2 = Ь2, и мы полу-
получили противоречие с данным утверждением а2 Ф Ь2. Таким образом,
высказывание а2 ф Ь2^=а Ф b — это точно то же самое, что выска-
высказывание a = b=^>a2 = b2. Проверьте с такой точки зрения ваше ре-
решение примеров а), б), в) ').
Проверьте истинность утверждений:
г)	(а3 + Ь3 + с3 = 0 и аЬсфО)=$а + Ь + сфО;
д)	(a + b + cK = as + b3 + c3+ 1=$(а + ЬФ0 и а + сфО);
е)	(аф — ЬиЬф — сисф — а)=ф.1/а+ 1/6+ l/сф 1/(а + Ъ + с).
4.5. Пусть / — любая функция и М — множество всех ее зна-
значений. Назовем функцию / обратимой, если для любых Х\ и Хг из
ее области определения
ххФх2^>\ (хдФ! (х2),
т. е. если она переводит неверное равенство в неверное.
Пусть функция f обратима. Рассмотрим функцию g, заданную
на множестве М, значения которой вычисляются по следующему
правилу:
каждому числу у из М ставится в соответствие число х такое,
что f(x) = у.
Эта функция g называется обратной к функции /. Имеют место
тождества f(g(y)) = у и g(f(x)) = х.
а)	Докажите, что функция /: х-*-х2, заданная на множестве
отрицательных чисел, обратима. Найдите обратную к f.
б)	Докажите, что функция f: х-*- \x-\- 11 + 2х обратима. За-
Запишите с помощью формул правило, по которому вычисляются зна-
значения обратной функции g. Постройте на одном чертеже графики
функций у = f(x)'n у = g(x).
в)	Проверьте, что функция /: х-*- \х + 11 + 2|лг| не является
обратимой. Разбейте числовую ось на такие интервалы, чтобы на
каждом из них сужение функции f стало обратимым. Постройте
соответствующие обратные функции.
') В математике вместе с утверждением А часто рассматри-
рассматривается противоположное утверждение л, читающееся: «Л неверно».
А верно тогда, когда .4 неверно, и наоборот.
Употребляя противоположное высказывание, можно наше ут-
утверждение записать так: высказывание А =^ В равносильно выска-
высказыванию Я=фл.
Этот логический закон полезно запомнить.
23

§ 5. Уравнения
Возьмем две функции / и g, заданные на одном ид-ом
:ке числовом множестве D. Если мы для некоторого
числа а из множества D вычислим значения функций
f(a) и g(a) и приравняем их, то получим числовое ра-
равенство. Если же мы соединим знаком = записи f(x) и
g{x), где х—переменная (буква), то получим уравнение!
f(x)=g(x).
Таким образом, можно считать, что уравнение — высказыва-
тельиая форма (см. сноску на стр. 13), точнее, «форма для число-
числовых равенств». При подстановке вместо х числового значения полу-
получается числовое равенство — верное или неверное.
Примеры:
2)	3.v = 2х — 3, ш [0; + оо);
3)	(х+1J = л:2 + 2х+1, xeR;
4)	x*+l=x* + 2, jceR.
В этих примерах рядом с уравнением указана об-
область определения функций, составляющих это уравне-
уравнение (в этой книге будем рассматривать только функции
вещественного аргумента и, следовательно, искать только
вещественные корни уравнений).
Если рядом с уравнением не указывается специально
область определения входящих в него функций, то есте-
естественно считать, что область определения уравнения (ее
иногда называют областью допустимых значений) —
множество всех значений аргумента, при которых опре-
определены функции, составляющие уравнение.
Например, у уравнения
5)	V* + 3 = 1 + V—~х
областью определения является множество D = [—3; 0].
Мы всегда считаем, что функции, стоящие в левой и
правой частях уравнения, имеют одну и ту же область
определения D.
Часто нужно составлять уравнения с помощью двух
функций, имеющих разные естественные области опре-
определения, скажем, А и В. Тогда сначала сужают области
определения этих функций и получают новые функции,
заданные на новом множестве б = АГ\В, но с преж~
ними правилами вычисления значений.
24

Например, уравнение 5) составлено из функций
хе[— 3; 0], *-*V* + 3
н
*€=[— 3; 0], х-*\ + л/ —х.
Приведем еще примеры уравнений:
7)	(х — IJ -f (у — 2J
8)	х2 -\- у2 = z2, где
/ "	I Zf	l	У "	\
10) ^lF^y~=\-x.
В этих примерах функции, образующие уравнения,
являются функциями нескольких аргументов. Областью
определения такого уравнения является множество на-
наборов значений аргументов, при которых определены все
функции, составляющие уравнение. Например, есте-
естественная область определения уравнения 10)—мно-
10)—множество пар (х, у) таких, что х2 ^ у.
Аргументы функций, составляющих уравнение, часто
называют неизвестными. Если в обеих частях уравнения
стоят функции одного и того же аргумента, то говорят,
что задано уравнение с одним неизвестным. Уравне-
Уравнение 5) —это уравнение с одним неизвестным, а уравне-
уравнение 8) — это уравнение с тремя неизвестными.
Числовое равенство можно считать уравнением, обра-
образованным функциями, принимающими постоянное зна-
значение.
Решением уравнения с одним неизвестным называет-
называется значение неизвестного, при котором уравнение пре-
превращается в верное числовое равенство.
Соответственно решением уравнения с несколькими
неизвестными называется набор значений неизвестных,
при подстановке которых в уравнение оно превращается
в верное числовое равенство. Часто решения уравнения
с одним неизвестным называют корнями уравнения.
Например, х = 5 является корнем уравнения 1),
х = —100 является корнем уравнения 3), пара чисел
E;0), т. е. а = 5, 6 = 0, является решением уравне-
уравнения 6).
Следует обратить внимание на то, что, по определе»
нию, решениями могут быть лишь такие значения
25

неизвестных, которые можно подставить в уравнение,
т. е. которые принадлежат области определения функ-
функций, входящих в уравнение.
Например, тройка чисел C; 4; 5) не является реше-
решением уравнения 8), так как в нем стоит ограничение
2^0. Аналогично, х = —3 не является корнем урав-
уравнения 2).
Решить уравнение — это значит найти все его реше-
решения, или, как мы будем говорить, найти множество его
решений.
Тождеством называют уравнение, множество решений
которого совпадает с областью определения входящих
в него функций; иначе говоря, тождество — это уравне-
уравнение, превращающееся в верное числовое равенство при
всех допустимых значениях аргументов.
Например, уравнения 3) и 9) —тождества. Всякое
верное числовое равенство является тождеством. Все
«опасные формулы», о которых мы говорили во введе-
введении (стр. 19), тоже тождества.
В некоторых книгах для таких уравнений вводят специальный
термин квазитождества (латинская приставка «quasi» означает
«почти», «якобы.»), а название «тождество» сохраняют лишь для
тех «абсолютных тождеств» f (x) = g(x), у которых естественные
области определения левой и правой частей — функций f и g — пол-
полностью совпадают.
Как записывается множество решений уравнения?
У уравнения с одним неизвестным, как правило, мно-
множество решений конечно, и мы можем записывать его
в виде
Х = \Х\, Х<2, ..., Хп}
(в фигурных скобках перечислены все решения уравне-
уравнения). Если решений нет, то будем писать Х = 0 — мно-
множество решений пусто. Одно уравнение с несколькими
неизвестными имеет, как правило, бесконечное мно-
множество решений. С такими уравнениями мы встретимся
еще в § 12, когда будем говорить об уравнениях с пара-
параметрами.
Приведем для примера ответы (множества решений)
уравнений 1)—9):
2)	Х=0;
3)	X = [-<*; +оо);
26

4)	Х=0;
5)	X = {-C
6)	а = 0, Ь— любое или й = 0, а —любое;
7)	х=\, у = 2 (одно решение);
8)	*, #—любые, 2 = — V-X^ + i/2;
9)	л;, г/ — любые.
В заключение этого параграфа сформулируем извест-
известные факты о решениях линейных и квадратных уравне-
уравнений, которые мы будем постоянно использовать. Пусть
а, Ь, с — некоторые вещественные числа.
Множество решений линейного уравнения ах-\-Ь=():
3) а = Ь = 0 =#>Х=(— оо; +оо).
Множество решений квадратного уравнения ах2 +
'+ Ьх + с = 0 (будем считать, что а ф 0; положил!
D = b2 — 4ac):
3)
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Проверьте, являются ли следующие уравнения тождест-
тождествами:
а)	х2 = (- л;J;
б)	V*T = V — х\
I
в)
л:2 + I + х
г)	(хг - yty + (г/z + xtJ = (*2 + г/2) (г2 + t2);
д)	lgA:2 = 21g(-x).
5.2. Какие из уравнений -у/х2 = х, -{/х3 = х, -у/х2 = | л: |,
[ х 1 являются тождествами?
27

5.3. Найдите естественную область определения уравнений:
~Т~	1
a) ^T^I2
х+\
/
5х — 6 — х2
б) V2a: - х1 + д/	g-q-^	+ х2 = 4;
в) V3 — х — V— хг + 7х~ 12 =
х-3 ш
5.4. Докажите тождества:
а) а3 + Ь3 + с3 — Забс = (а + Ъ + с) (а2 + Ь2 + с2 — аб — ас — be);
. а — Ъ Ъ — с с — а 	 (а — Ь) (Ь — с) (с — а)
' --><- + *.-¦--+ с + а~ (a + b)(b + c)(c + a) ' ~~
§ 6. Связь между уравнениями
Проследим внимательно за ходом рассуждений, ко-
которые мы проводим обычно при решении уравнений.
Рассмотрим, например, уравнение
Х==
Мы должны найти все решения этого уравнения.
Пусть х0 — какое-нибудь решение. Тогда после под-
подстановки х = х0 мы получим верное равенство х0 =
/\/
V
—~^~Гт Возведя обе части в квадрат, получим новое
верное равенство л| = —тгт» умножив обе части на
число (х0— 1), получим верное равенство л~(х0 — 1) = х0.
Перенесем х0 в левую часть и вынесем его за скобки.
Получим
Произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы
одн"о из этих чисел равно 0, т. е. х0 = 0 илих^ —x0 — 1 =
0; отсюда или х0 равно 0, или х0 =	^-—, или х0 —
_ 1 — У 5"
~ 2
Решили ли мы наше уравнение? Конечно, нет. Мы
предположили, что х0 — решение, и нашли «подозри-
«подозрительные» значения х0.
28

Тем самым мы доказали, что все корни уравнения
содержатся в множестве
/п. l + Vs . 1-УП
Г'	2 '	2 У
Теперь можно каждое из найденных чисел подставить
в исходное уравнение и проверить, является ли оно на
самом деле решением или нет. Проверка показывает,
что числа 0 и (l + V5)/2 удовлетворяют исходному
уравнению, число (l — V5)/2 — нет.
Ответ: Х = {о, (l + <у/Ъ)/2}.
Вы видите, что при нашем способе решения уравне-
уравнения проверка является частью решения.
Обычно не записывают все эти рассуждения так
подробно. Вместо фраз «пусть х = х0 — решение», «под-
«подставим хо в уравнение» и т. д. пишут просто
х № ~ х ~ J) =
= р или х = ^^- или x^
Проверкой убеждаемся, что нашему уравнению удов-
удовлетворяют число 0 и (l + V5)/2.
Как же связаны между собой уравнения, которые мы
писали вслед за исходным? Вспомним наше первое рас-
рассуждение: если число х = Хо есть корень первого урав-
уравнения, то оно является корнем и каждого следующего.
Из двух уравнений второе называется следствием
первого, если каждое решение первого уравнения яв-
является решением второго.
Если А — множество решений первого уравнения, г В — мно-
множество решений второго, то каждое число х, содержащееся в А,
принадлежит и В, т. е.
х е А=фх е В.
Для такой связи между множествами А и В употребляется
специальный знак с (включение). Ас В читается так: «/1 содер-
содержится в В», или «В содержит А», или «А есть часть В», или «Л
есть подмножество В».
Таким образом, способ, которым мы решали уравне-
уравнение, состоит в следующем: мы строили цепочку уравне-
уравнений, в которой первое написанное уравнение — это то,
которое нам дано, а дальше каждое уравнение является
29

следствием предыдущего (это мы обозначали стрелкой),
т. е. множество его решений содержит в себе все реше-
решения предыдущего; решения последнего уравнения нам
известны; затем с помощью проверки мы выясняем, ка-
какие из решений последнего уравнения являются реше-
решениями первого.
Подчеркнем еще раз: мы должны проделывать с урав-
уравнением только такие операции, при которых не может
потеряться ни одно решение.
Какие же это операции? Естественно, годятся все та-
такие операции, которые переводят любое верное ра-
равенство в верное.
Перечислим конкретно некоторые такие операции.
Пусть дано уравнение fi(x) = f2(x).
Теорема 1. Пусть g— функция, определенная при
всех тех значениях аргумента, при которых определены
функции fi и f2. Тогда уравнения
являются следствиями уравнения fi(x) =f2(x).
Отсюда следует, что если g(x) ни при каком х (из
области определения уравнения) не обращается в 0, то
уравнение f\(x)/g(x) = f2(x)/g(x) является следствием
уравнения fi (x) = f2 (x): действительно, делить на
g(x) —это все равно что умножать на \/g(x).
Теорема 2. Пусть g — произвольная функция, ко-
которая определена при всех возможных значениях функ-
функций ^ и f2. Тогда уравнение
является следствием уравнения fi(x) = f2(x).
Здесь g(f\(x)) и ^(Ы*))—результат применения
функции g к обеим частям уравнения fi(x) = f2(x).
Докажем, например, последнюю теорему. Пусть лг0 —
произвольное решение уравнения fi(x) — f2(x). Тогда
Ы*о) = Ы*о)—верное числовое равенство и функция?
определена в точке fi(xo)=f2(xo). Поэтому, по свойству 4
из § 1, g(f\(x0)) — g(f2(x0)) —верное равенство, т. е. х0
является решением уравнения
30

Покажем, к чему может привести неаккуратное обра-
обращение с этими теоремами. Все следующие переходы;
2)	Х2=1фХ2 + _1 =1+_ 1 .
'	^	' X + 1	X + 1
3)	х2 - 1 = 2 (л: + 1) =фх — 1 = 2;
неверны — во всех случаях пропал корень ж = —1.
Что же произошло с этими уравнениями? В первом
примере к обеим частям применили функцию t-^-^t,
определенную только при t^O. Однако и-левая и пра-
правая части исходного уравнения принимают и отрицатель-
отрицательные значения; более того, они отрицательны при подста-
подстановке одного из корней. Разумеется, этот корень ока-
оказался потерянным. Во втором примере мы прибавили
функцию х -*¦—хт« которая не определена при х=—1.
В третьем примере разделили обе части уравнения на
функцию jc —>-л: + 1, которая при х = —1 обращаетсявО
(т. е. умножили на—хТ1 что ПРИ х ==—* не имеег
смысла). Похожая ошибка и в последнем примере. Под-
Подчеркнем еще раз, что делить обе части уравнения на
функцию, которая обращается в 0, нельзя. Вместо этого
нужно перенести все члены уравнения в одну часть, вы-
вынести общие множители за скобку и воспользоваться
следующей теоремой.
Теорема 3. Пусть дано уравнение
f(x) = O,	A)
D — область определения f, и пусть функция f представ-
представлена в виде произведения функций gu g2, .. ¦, gk, кото-
которые имеют ту же область определения D. Тогда мно-
множество решений уравнения A) есть объединение мно-
множеств решений уравнений
¦Ы*) = о, #(*)=»о,..., ы*) = о. B)
31

Иными словами, чтобы решить уравнение A), нужно
решить каждое из уравнений B) и объединить все их
корни.
Доказательство. Возьмем корень уравнения A),
подставим его, заменив / на gig2 ... gh. Получим про-
произведение k чисел, равное 0. Хотя бы один из сомножи-
сомножителей обязан равняться нулю, например, gi = 0. Это
означает, что взятый корень уравнения A) есть корень
одного из уравнений B).
Докажем обратное. Возьмем корень какого-либо из
уравнений B). Этот корень обращает это уравнение в
верное равенство. Подставим его в уравнение A). Один
из сомножителей обратится в 0. Это означает, что это
число есть корень уравнения A).
Конечно, нужно следить за тем, чтобы области опре-
определения f(x) и всех функций gi(x), g2(x), .... gh(x)
совпадали. Если одна из функций gi при х = х0 обра-
обращается в 0, а другая в точке х = х0 теряет смысл, то
могут получиться такие казусы:
21)	0
Уравнение х2—1 =0 имеет корнями х = —1,х= I;
уравнение —хт~0 не имеет корней. Но исходное урав-
уравнение х — 1 = 0 имеет только один корень, и мы полу-
получили посторонний корень.
2) х2 - 1 =
(х— м2
Уравнение -Н—г~ —0 корней не имеет; уравнение
X — I	*
'(дс+ IJ = 0 имеет корень х = —1. Исходное уравнение
имеет два корня, и мы потеряли корень.
Заметим, что мы могли бы сформулировать наши тео-
теоремы короче, используя те понятия суммы и произведе-
произведения функций, которые были даны во введении. Напри-
Например, теорема 1 звучала бы просто так:
Уравнения (/, + g) (x) = (f2 + g) (x) и (fig) (x) =ч
= (/г&) (х) являются следствиями уравнения ft (x) =f2 (x).
Формально говоря, никаких оговорок больше не ну-
нужно, потому что уже само по себе точное определение,
что такое сумма или произведение функций, подразуме-
подразумевает, что /i, f2 и g заданы на одном и том же множестве*
32

Мы привели более детальные формулировки, чтобы лиш-
лишний раз напомнить: проделывая над уравнением какие-
либо операции, нужно следить, чтобы эти операции го-
годились для всех х из области определения.
Практически трудности, связанные с областью опре-
определения, возникают, как правило, лишь при решении
довольно искусственных уравнений с корнями или лога-
логарифмами (они предлагаются иногда на экзаменах).
Мы не можем дать твердый совет, надо ли находить
область определения уравнения перед его решением. Бы-
Бывают такие уравнения, область определения которых со-
состоит из одной точки или даже пуста. В этих случаях,
конечно, знание области определения сразу приведет
к ответу. Но иногда аккуратное нахождение области
определения уравнения труднее, чем полное его реше-
решение. Наиболее целесообразно перед началом решения
выписать все «запреты», не сопоставляя их друг с дру-
другом, и в ходе решения сверяться с выписанными усло-
условиями.
Например, решая уравнение и) на стр. 47, стоит
только выписать условия:
не решая системы неравенств.
Получая из этого уравнения очевидные следствия, мы
быстро найдем, что х = 0 или х = 7. Второе число удов-
удовлетворяет выписанным условиям, а первое — нет.
Иногда бывает полезно разбить область определения
уравнения на несколько частей и отдельно преобразо-
преобразовывать уравнение на каждой из них. Ясно, что при этом
все корни всех полученных «сужением» уравнений дадут
нам нужное множество. Нам удобно (для ссылок) сфор-
сформулировать это в виде теоремы.
Теорема 4. Если область определения D уравне-
уравнения f(x)=g(x) представить в виде объединения не-
нескольких множеств:
D = DlVD2V ... VDk,
решить уравнение отдельно на каждом из этих множеств
и затем собрать все решения, то мы получим множество
всех решений уравнения f(x) = g (x).
3 М. И. Башмаков	33

Пример.
{
З*2-
Х\
X
2х
X
г
5х
и
5
>о
2+2Х2-
— 6 = 0
— V97
6
3)
л: | л: 1 + 1 2л-2 —
и
;0
- 5л: = 6
54
л2
Г л<0
л-2-,
- V97
6
1^2;
5л: —
г
1, X
5*1 =
Г
2)
1
6 = 0
6 = 6.
6
л-:
2л:2
X2
X2
х3
6
>о
-5л
— 2г
¦ ох
О
0
<0
2+ 5^
+ 6 =
л:4
= 6
= 0
3;
Проверка показывает, что из полученных значений
E — -\/97)/б, E + д/97)/б, 3, 6 не удовлетворяют огра-
ограничениям, наложенным в каждом из трех соответствую-
соответствующих случаев 1), 2), 3); остаются два решения, которые
удовлетворяют уравнению.
Ответ: Х= {—1;2}.
Если бы мы решили системы неравенств в каждом из
„трех случаев 1), 2), 3), то выяснили бы, что вся число-
числовая ось разбилась на три множества: 1) х^5/2;
2) 0 г?1 х < 5/г; 3) х < 0. И дальше решали бы урав-
уравнение отдельно на каждом из этих множеств.
Важное замечание. Когда мы пишем какие-то
ограничения, задающие область определения уравнения
f(x) = g(x), скажем fi(x)^O, f2 (x) < 0, /3 (л:) ф 0, то по-
получаем несколько высказываний, связанных союзом и:
нас интересует множество точек, в которых
f(x) = g(x) и fAx)>0 и М*)<0 и h(x)?=0,
т. е. множество точек, удовлетворяющих одновременно
всем условиям; оно является пересечением (общей
частью) полученных множеств точек.
34

Наоборот, когда мы рассматриваем несколько от-
отдельных случаев (например, пользуемся теоремами 4
или 3), то получаем несколько высказываний, связан-
связанных союзом или. Например, в последнем примере ре-
решениями исходного уравнения были числа, удовлетво-
удовлетворяющие условиям 1), или 2), или 3). Точно так же в си-
ситуации, описываемой теоремой 3, высказывание /(*) = ()
эквивалентно такому:
gi М = 0 или g2 (*)= 0 или ... или gk (х) — 0.
Нас интересует множество точек, удовлетворяющих хотя
бы одному из этих уравнений, т. е. объединение мно-
множеств точек, удовлетворяющих отдельным условиям:
?i(*) = 0, &(•*)= 0, .... gk(x) = 0.
Когда мы переходим от одного уравнения к совокуп-
совокупности нескольких уравнений, соединенных союзом или,
то схема решения уравнения выглядит примерно так,
как показано на рис. 8.
Пример.
+ *2+ 1
- Зх - 2х V*2 + 1 + (х2 + 1) = 0
— Л (Зх — х2 — 1) =
= 1 или Зх — х2— 1=0
_
3-V5	3 + V5"
= —^—; xt=
35

Из полученных решений первоначальному
удовлетворяют только хи х3 и х4.
З-л/5 . _з_+У
2 '	2
уравнению
Ответ: X
4VI-.
В этом примере, как и во многих других случаях, под-
подставлять все найденные значения в первоначальное
уравнение и делать проверку слишком канительно. Го-
Гораздо проще разобраться, при каких переходах появи-
появились лишние корни.
или
II II
• • • или
I) II II
	I
Рис. 8.
Два уравнения называются равносильными, если
множества их решений совпадают.
Это можно сформулировать более подробно: два
уравнения равносильны, если каждое решение первого
является решением второго и, обратно, каждое реше-
решение второго уравнения является решением первого; дру-
другими словами, если уравнения являются следствиями
друг друга.
Равносильность двух уравнений означает, что А = В, где А,
В — множества решений первого и второго уравнения соответствен-
соответственно. Заметим, что наша более подробная формулировка на языке
теории множеств выглядит так: АаВнВаА.
Например, уравнение х—1=0 равносильно урав-
уравнению *\]х2 — х+ \=2х — 1;уравнение х2-\- 2ху + у2—0
равносильно уравнению х + у = 0.
Вместо данного уравнения можно решать уравнение,
ему равносильное. Замена одного уравнения другим, ему
равносильным, множество решений которого по каким-го
причинам найти легче, является основным приемом при
решении уравнений.
36

Пусть имеется уравнение
Ш = Ш	0)
и g— функция, которую можно применить к обеим ча-
частям уравнения. Тогда мы знаем (теорема 2), что ураь-
нение
g(fi(x)) = g(f2(x))	B)
является следствием уравнения A):
/,(*) = /2 (х) =# g (/. (х)) = g (h (x)).	C)
Для того чтобы уравнения A) и B) были равно-
равносильны, нужно, чтобы каждый корень уравнения B)
был корнем уравнения A), иначе говоря, чтобы был
возможен переход
g tf I (x)) = g (h (*)) =# /, (x) = h (x).	D)
Легко сообразить, что подобный переход возможен,
если функция g переводит всякое неверное равенство
в неверное (обязательно подумайте, почему это так!).
Свойства числовых равенств 1, 2, 3 и Г, 2', 3' § 4 по-
показывают нам примеры функций, для которых возможны
оба перехода =ф, и <?=. Сформулируем это в качестве
теорем.
Теорема 5. Если к двум частям уравнения приба-
прибавить одно и то же число или обе части уравнения умно-
умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то полу-
получим уравнение, равносильное исходному.
Эта теорема позволяет, в частности, получать равно-
равносильное уравнение при переносе числа из одной части
в другую (с противоположным знаком).
В теореме 5 можно слово число заменить словом
функция, т. е., прибавляя к двум частям одну и ту же
функцию или умножая их на функцию, не обращающую-
обращающуюся в 0, мы будем получать уравнения, равносильные ис-
исходному. Но при этом, как мы уже говорили в § 2, очень
важно следить за тем, чтобы область определения урав-
уравнения не изменилась или, по крайней мере, чтобы это
изменение не затрагивало корни.
Теорема 6. Если в двух частях уравнения стоят
функции, принимающие только неотрицательные значе-
значения, то при возведении обеих частей в одну и ту же сте-
степень получаем уравнение, равносильное данному.
Решение уравнения с использованием понятия раз-
носильности происходит следующим образом,
37

Исходя из данного уравнения, строим цепочку другич
уравнений с помощью преобразований, переводящих
каждое уравнение в его следствие, стараясь прийти
к уравнению, решения которого мы уже знаем. Затем
проверяем, обратимы ли совершенные переходы, можно
ли поставить стрелки в обратную сторону. Если да, то
мы решили исходное уравнение, так как все уравнения
в построенной цепочке равносильны друг другу, а реше-
решения последнего мы нашли. Если же нет, то через нераь-
носильный переход придется «перегнать» каждый из най-
найденных корней последнего уравнения и оставить лишь те
из них, для которых этот, вообще говоря, необратимый
переход оказался обратимым.
Приведем примеры.
1 *2 - '
х2+ 1 ~~ 2
Решения последнего уравнения мы знаем — это чис-
числа 1 и —1. Проверим обратимость всех переходов. Сом-
Сомнение может вызвать только переход от первого уравне-
уравнения КО ВТОрОМу, КОТОРЫЙ СОСТОЯЛ В уМИОЖеНИИ !!3
функцию у = х2-\-\. Эта функция в 0 не обращается,
так что и этот переход обратим. Уравнение решено.
Ответ: Х = {-1; 1}.
2. V*2 - 4х + 13 + 1 = 2*
V*2 —
3^=12
АГ2=4
г
х1 = 2 или х2 = — 2.
38

Все переходы, кроме второго, обратимы. Подставим
числа 2 и —2 во второе уравнение. Получим У9 = 3—
верное равенство, У25 = — 5 — неверное равенство.
Следовательно, решением исходного уравнения яв-
является только число 2. (При втором переходе произошло
расширение множества решений.)
Ответ: X = {2}.
Прием, с помощью которого иногда удается избежать
появления лишних корней, сохранить равносильность пе-
переходов,— это разбиение области определения уравне-
уравнения на несколько частей, на каждой из которых наше
уравнение легко исследовать или заменить равносить-
ным, но более простым (см. теорему 4).
Например, переход
У*2 — 4л: + 13 = 2х - 1
как мы только что видели, не сохраняет равносильности
(появляется посторонний корень х = —2). За;метим те-
теперь, что первое уравнение заведомо не может иметь ре-
решений на множестве, где правая часть 2х—1 меньше О,
поскольку V , стоящий в левой части, — всегда неотри-
неотрицательное число, т. е. на множестве (—оо; '/г) решений
нет. С другой стороны, ясно, что на множестве ['/г; +00)
тот же переход
*2 — 4х + 13 = 2л: — 1
л:2 — 4л: + 13 = Bjc-1J
обратим: в обеих частях первого уравнения стоят те-
теперь функции, принимающие неотрицательные значения,
и остается применить теорему 2.
При этом способе решения вместе с последним урав-
уравнением л;2 = 4 мы получили бы ограничение х ^ '/г- От-
Отсюда ясно, что х = 2 — единственный корень, и необхо-
необходимость в проверке отпала.
Заметим, что теоремы 3 и 4 дают равносильный пере-
переход от одного уравнения к совокупности нескольких
уравнений.
Еще одно замечание относительно уравнений, имеющих
бесконечно много решений (например, У*;4 — бд:2 -J- 9 +
39

+ х2 = 3). При решении таких уравнений сделать про-
проверку в обычном смысле слова, т. е. подставить все ре-
решения одно за другим в исходное уравнение, невозможно,
и приходится следить за равносильностью переходов.
То же самое относится и к доказательству тождеств:
при доказательстве тождества мало вывести из него оче-
очевидное тождество в качестве следствия — нужно еще про-
проверить обратимость всех переходов; только тогда мы
докажем, что исходное уравнение действительно спра-
справедливо для всех значений входящих в него аргументов,
т. е. является тождеством.
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Всегда ли уравнение fi (х) = f2 (*) является следствием
уравнения j\ (к) = ]\ (х), т. е. верно ли, что ft (х) = \\ (х) =#>/, (х) =
Ы
Проверить верность следующих переходов:
а)	h (*) = h (x) =$xh(x) = xh (x)\
б)	h W = f2W4f, (*) + VT=^? = fsi (x)
г) М*)
(в каждом случае нужно дать доказательство или привести опро-
опровергающий пример).
6.2. а) Укажите все ошибки в следующем решении уравнения
(а затем решите его правильно):
9 — xi = 2х (V Ю — х2 — 1)
9 — 2х У Ю — х2 = х2 — 2х

- х2 + х2 = х2 - 2х + 1
		^
(¦у/\0-х2-хJ = (х-\J
40

б) Почему пропал корень прн решении следующего уравнения?
— 6 = 0
нет решений.
(Пропал корень х = — 2.)
6.3. Проверьте, что уравнение /г (¦*) = gi (x) является следствием
уравнения ft (x) = gt (x) тогда и только тогда, когда высказывание
верно при всех числовых значениях х (см. стр. 12). Свяжите это
с тем, что для множеств решений этих уравнений Xi и Хг должно
выполняться условие Xt с: Х2.
6.4. Некоторые из следующих уравнений являются следствиями
других; например, ж)=фв). Укажите все такие пары.
а) У* + 2
»)* + ¦!¦
= Уг"—
х;
6.5. Докажите, что
а)
б)
3) УГ
в) _^_ + _^_ + . *
у — г г — х х — у
-гJ
{у -г)
(х-уK
0;
41

г) д:+ —=
X
а+Я-с
6.6.	Придумайте уравнение, которое было бы следствием любого
уравнения. А затем такое, следствием которого являлось бы любое
уравнение! (Речь идет об уравнениях с одним неизвестным *.)
6.7.	Равносильны ли уравнения:
а) лгг + 2лг+ 1 =0 и л:+1=0;
б) V*2 + 2*+ 1=-(лг+ I) и
1	/- х + I
= -5 и ^Х
X	X
г) 	г-= 2* и 	г = 2?
х— 1	х— I
6.8.	Может ли нарушиться равносильность при возведении обеик
частей уравнения в куб?
6.9.	Докажите, что для любых двух функций fi и /г с одной и
той же областью определения
V/7W = h W^D, (x) = f2 (x) и f2 {x) > 0].
СЮ. Решить уравнения:
a) V*2 + 5 = 2x+l; б) <\[х3 + 21
4
в)
6.11. Решитз несколько уравнений с модулями:
а) \х* - х - 2 | = 2х2 + 3^ + 1;
б)	V*2 — \х + 2\ = 2х — \х+\\;
в)	|||U|-4|-3|-2|=1.
6.12. Укажите, какие из пар уравнений в упр. 6.4 равносильны.
§ 7. Примеры
Длинные разговоры в предыдущих параграфах могли
навести на мысль, что главное в решении уравнений —
это не попасться в какую-нибудь ловушку, связанную
с областью определения. На самом деле самое труд-
трудное— придумать, как свести уравнение к более про-
простым. Прежде чем приводить общие соображения о спо-
42

собах решения уравнении, рассмотрим конкретные при-
примеры.
1°. Замена неизвестного.
Очень часто полезно сделать замену неизвестного, ко-
которая упрощает вид уравнения. Например, если уравне-
уравнение удается привести к виду
то, заменив неизвестное по формуле у = f(x), мы сведем
дело к решению двух уравнений:
f(x) = tj\, f(x)=y2,
где у\ иг/г — корни уравнения ay2 + by -f- с = 0.
Простейшим примером такого типа уравнений яв-
является биквадратное уравнение ах* -\- bx2 -f- с = 0. Оно
решается заменой у = х2.
Пример 1.
г
	!Л	= 9 (г2 4- х) 4- 1
Сделав замену х2 + х = у, получаем уравнение —ц—г ==
= 2^+1, которое сводится к квадратному. Решая его,
находим i/i = 2, у2 — —-jt- Решая квадратные уравнения
х2-\-х = 2 и х2-\-х = — -j. находим ответ: Х — {—2; 1}.
Пример 2. Jt(jt+l)(.v
Ф
л;4 + 6л3 + 1 1л:2 + %х - 24 = 0.
Выделим в левой части уравнения полный квадрат:
х4 + 6л:3 + 1 1л:2 + 6х - 24 = (л:2 + ЗхJ — 9х2 + 11л:2 + 6.V -
_ 24 = (х2 + 3,vJ + 2 (х2 + Зх) - 24. Замена х2+3х = у
приводит к решению квадратных уравнений.
Пример 3. 3*+1— 2 = 9х. Сделав замену 3* == у,
приходим к квадратному уравнению Зу — 2 = у2.
.д Пример 4. д/Йт + Л/Т+^ = 4- C«ejiaB за"
х,ь —у, приходим к уравнению у-\— = "
43

Пример 5. cos ж—Cosx —2 ~в- Заменив cos л: на у,
a sin2л; на 1—у2, получаем уравнение у	ц^Г==®>
приводящееся к квадратному.
2°. Использование симметрии уравнения.
Пример 6. Снова рассмотрим уравнение
Числа х, jc+l, лг + 2, х-\-3 симметрично располо-
расположены относительно числа х + 3/2. Сделаем замену пере-
переменной х + 3/2 = у. Уравнение примет вид
(у - 3/2) (у - 72) (у + 72) (у + 3/2) = 24,
или
{4у2 — 9) {4у2 — 1) = 384.
Дальнейшее очевидно.
Интересная замена неизвестного применяется при ре-
решении так называемых симметрических, или возвратных
уравнений, т. е. уравнений вида
ах* + Ьх3 + сх2 + Ьх + а = 0.
Делим на х2; получим равносильное (при а ф 0)
уравнение
Заметив, что ах2 -+- ^f = я Г* + — J — 2о, приведем урав-
уравнение к виду оГх + —) + ^ Г* +—) + с — 2а = 0.
Дальнейшее очевидно.
Пример 7. sin х + sin 2х + sin Зх + sin Ax = 0. Объ-
Объединяем равноотстоящие от концов слагаемые:
(sin х -f sin 4л;) + (sin 2x + sin Зл:) =
= 2 sin -g- cos -g- + 2sin-2-cos -g- =
= 2 sin -g^- fcos1^ + cos-j) = 4sin-Y
-r-
Дальнейшее очевидно.
3°. Подбор корней и разложение на множители.
Если удалось угадать корень, обычно удается разло-
разложить левую часть на множители.
44

Пример 8. 2х3 — х — 1 = 0. Корень х = 1 угады-
угадывается сразу. Выделим множитель х— 1:
2л:3 - х - 1 = 2л:3 - 2л:2 + 2х2 - 2х + х - 1 =
= 2х2(х — \) + 2х(х— 1) + лг— 1 =(*— 1)Bл:2 + 2л:+ 1).
Пример 9. х* + х3 — 8л:2 + Зх + 5 = 0. Попытаемся
представить левую часть в виде произведения двух квад-
квадратных множителей с целыми коэффициентами:
х* + л:3 - 8.V2 + За- + 5 = (х2 + ах + *) (х2 + сх + d).
Теперь надо найти «неопределенные» пока целые коэф-
коэффициенты а, Ь, с и d. Приравняем слева и справа коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях:
3 = ad + be,
Так как множители в последнем уравнении системы
равноправны, то можно считать, что Ь = 1 или Ь = —1
(напомним, что мы ищем целочисленные решения си-
системы).
При Ь = \ имеем d = 5, ас = —14, с + с=1—це-
с=1—целых решений нет.
При Ь = —1 имеем d = —5, ас = —2, а-\-с=\.
Получаем, что либо а = 2, с = —1, либо а = —1, с = 2.
Третьему уравнению удовлетворяет лишь вторая пара.
В итоге
х4 + х3 - 8л:2 + Зх + 5 = (л:2 - х - 1) (л:2 + 2х - 5).
Пример 10. cos3 х + cos x = cos3 a + cos а. Ясно,
что все х, для которых cos x = cos а, являются решения-
решениями. Выделим множитель cos х — cos а:
cos3 л: + cos х — cos3 а — cos а =
= (cos x — cos а) (cos2 x + cos x cos а + cos2 а + 1).
Уравнение cos2 x + cos x cos a + cos2a +1=0 является
квадратным относительно у = cos x и не имеет корней.
4°. Сведение уравнения к системе.
Пример 11. л;4+ A—л;L=17. Положив 1—х=у,
получим систему
45

Это стандартная симметричная система. О ее решении
говорится в § 10.
Пример 12. sin6 х-\- cos6х = -утг. Положив sin2jc = у,
cos2* = 2, получим систему
У + г=1.
Пример 13. -у/х — 13 — -у/х — 32 = 1. Положив
к— \3 = у, ¦у/х—32 = 2У получим систему
y — z=\,
5°. Использование сопряженных радикалов.
Пример 14. . 	= л/5—х. Умножив числи-
тель и знаменатель дроби на <\Л+*—1» получим
=уй^^ФФ vr+1 - 1 = л/^=Гх.
Последнее уравнение легко решается.
П р и м е р 15. B + V3)* + B — -yJTf = 4. Произве-
Произведение B + V3)B — л/3) равно 1, и поэтому замена
B-\--у/зУ = у сразу приводит к квадратному уравне-
уравнению
„	,с л/х2 + х +4 + V*2 + х + 1
Пример 1 я v т -г .у -г г
TT+1 - У*2 + я; + 1
Домножив числитель и знаменатель дроби на сумму ра-
радикалов, получим уравнение
Замена х2+х=у приводит к уравнению 2 -у/у + 4 -\Л/ + 1 =
= # + 4. Сначала решаем уравнение # + 4 = 0, т. е.
х2 + х + 4 = 0; оно не имеет корней. Сокращая на -у/у + 4,
приходим к уравнению 2 <\Л/ + 1 — л/у + 4i откуда
у = 0.
Ответ: Х = {-1; 0}.
46

УПРАЖНЕНИЯ
7.1. Решить уравнения:
а)	(л2 + 5лJ - 2 (л2 + 5дг) - 24 = 0;
б)	(л2 + х + 1) (л2 + л + 2) = 12;
в)	x4-i A -л)* =97;
|Л j^4	. 7j^3 __l l4jt^	7jc ~\~ 1 ^—^~ 0*
д)	*3 + 2л2 (a + 1) + л (a2 + 2a + 2) = 0;
е)	x4 — a4 — За3лг + Зал3 = 0;
2-л2
_z	i 	5 .
1	1
2х
1
з)л + 6"гл: + 7 л + 9
7.2. Решить уравнения:
I
	21
л + 10 ~~ 20 '
x + I - УЗл: - 18 = У27Т7;
б) Vх + 3 — 4 Ул — 1 + Ух + 8 — 6 Ул —
У1-л:+1 " У1+л-
г)	У(лг+ 1) (лг —2) = 2л2 - 2л: - 10;'
4 	 4 		8
д)	Уа + л + Уа — л: = 2
е)	Ул:-

— л:2
л:2;
6.3. Решить уравнения:
ч 10* + ИГ* .
в) Т77—гггт- = 5;
ед' г) (V7 + 4 УЗ")* + (У7-4Уз~)Х = 14;
47

е) 4*-5-2*-'+ 1=0;
, 8*+ 2* .
к) 27 ¦ 2"Ъх + 9 ¦ 2х — 23* — 27 • 2~* = 8.
§ 8. Корни многочленов
Алгебра долго развивалась как наука о решения
уравнений, причем прежде всего уравнений вида
апхп + on_,.vn~' + ... + Щх + ао = 0.	A)
В § 5 мы привели известные еще в древности формулы
для решений линейных и квадратных уравнений. В XVI—
XVII вв. были получены аналогичные, но более громозд-
громоздкие формулы для уравнений третьей и четвертой степени.
Вот как выглядит, например, знаменитая формула
Кардано для решения уравнения х3 -\- рх -j- q = 0:
х=дУГТ
Х V 2
Корни многочленов степени выше четвертой, как пра-
правило, не могут быть выражены формулами, в которые
входят такие операции над коэффициентами многочлена,
как сложение, вычитание, умножение, деление, возведе-
возведение в степень и извлечение корня. Это было доказано
в 1823 г. норвежским математиком Абелем A802—1820)
и положило конец многочисленным попыткам «решить
в общем виде» уравнение пятой степени.
Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах был
полностью решен французским математиком Галуа
A811—1832). Созданная им теория послужила началом
нового этапа в развитии алгебры. После работ Абеля и
Галуа исследование корней многочлена переместилось
в основном в теорию функций — имеющиеся здесь зако-
закономерности относятся к более широкому классу функций,
чем те, которые задаются многочленами.
Какие же вопросы о корнях многочлена разумно по-
поставить?
48

1. Как найти рациональные корни многочлена с це-
целыми коэффициентами?
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема. Если несократимая дробь p/q есть корень
многочлена
С целыми коэффициентами, то а0 делится на р, а ап де-
делится на q.
Доказательство. Подставив в данный много-
многочлен х = p/q, мы получим 0 и после приведения к об-
общему знаменателю придем к равенству
апРп + «n-iP? + •••
Запишем это равенство сначала так:
Так как q, а вместе с ним и qn взаимно просто с р,
,то с0 делится на р. Аналогично, из равенства
и взаимной простоты р и q следует, что а0 делится на i/.
Теорема доказана.
Пример. Рациональные корни уравнения
могут быть только среди чисел ±1, ±2, ±5, ±10
(о0 = 10, а3 = 1). Ясно, что положительных корней быть
не может. Осталось испытать четыре числа. Убеждаемся,
что х = —2 является корнем. Многочлен х3-\-Зх2-\-7х-\-Ю
должен делиться на х -\- 2. «Заставим» его выделить
множитель х + 2:
Зх2 + 7х + 10 = х3 + 2х? -{- х2 + 2х + 5х + 10 =
Квадратное уравнение х2 -f- х + 5 = 0 корней не
имеет.
2. Дан многочлен с целыми коэффициентами. Можно
ли его разложить на множители с целыми коэффициен-
коэффициентами?
49

Есть несложный алгоритм, позволяющий ответить на
этот вопрос. Он основан на методе «неопределенных ко-
коэффициентов», который мы применили при решении при-
примера 9 предыдущего параграфа.
3.	Как узнать количество корней многочлена?
Этот вопрос относится уже к теории функций и бу-
будет затронут нами в следующем параграфе.
4.	Как быть с уравнениями, не имеющими корней*
Нельзя ли так расширить область вещественных чисел,
чтобы каждый многочлен имел корень в этой расширен-
расширенной области}
Ответ на последний вопрос утвердительный. Если к
вещественным числам формально «присоединить» корень
уравнения х2 + 1 = 0, то получим так называемые
комплексные числа. Каждое комплексное число запи-
запишется в виде а -\- Ы, где а и Ь — вещественные числа,
а символ i обладает тем свойством, что i2 + 1 = 0.
Замечательно то, что в области комплексных чисел
уже всякий многочлен имеет корень. Доказательство
этого факта требует применения теории функций от
комплексного аргумента.
5.	Как приближенно вычислить корень многочлена с
данной точностью?
На этот вопрос также отвечает теория функций. Про-
Проведение вычислений с помощью вычислительных машин
позволяет очень быстро получить нужное приближение.
УПРАЖНЕНИЯ
8.1.	Докажите, что ие существует многочлена Р(х) с целыми
коэффициентами, у которого РG) — 11, а Р(Н) = 13.
8.2.	Решить уравнения:
а)	2л:3 — х2— \0х — 7 = 0;
б)	х3 — 6л:2 + 15л: —14 = 0;
в)	Gx* — 19*3 — 7л:2 + 26л: +12 = 0;
г)	л:4 - 5л2 - 2л: + 3 = 0.
8.3.	Докажите, что если p/q — несократимая рациональная
дробь — есть корень многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то
при любом целом а число f(a) делится на р— aq. Эту теорему
часто используют для нахождения рациональных корней много-
многочлена, особенно при а = ±\.
8.4.	а) Докажите, что многочлен (л: — щ) (х — a-i)...(x — ап)~-1,
где щ, ..., ап — различные целые числа, не раскладывается на
множители с целыми коэффициентами, б) Определить а и Ь так,
чтобы многочлен ахп + Ьхп~1 + 1 делился иа (*— IJ.

§ 9. Графическое исследование уравнений
Рассмотрим уравнение с одним неизвестным
h(x) = hix).	A)
Нарисуем на одном чертеже графики функций у\ = fi(x)
и y2 = f2(x) (рис. 9). Точкам пересечения графиков этих
У
Рис. 9.
функций соответствуют те значения аргумента х, при ко-
которых совпадают значения функций, т. е. корни уран-
нения A).
Итак, абсциссы точек пересечения графиков функций
yl=fl(x) и #2 = /2(я) являются корнями уравнения
fi(x)=fS(x).
Например, для уравнения х2—
= х -\- 2 такими точками будут
Р,= (-1, 1) и Р2= B, 4)
(рис. 10).
Если наше уравнение имеет
вид f(*) = 0, то в качестве функ-
функции, стоящей в правой части, вы-
выступает функция у = 0. Графи-
Графиком ее будет ось Ох, так что ре-
решениями уравнения f(x) = 0 бу- ~7^i
дут абсциссы точек пересечения
графика функции у = f(x) с осью	Рис. 10.
Ох (рис. 11).
Указанная графическая иллюстрация уравнения и его
корней подсказывает, на первый взгляд, и способ реше-
решения уравнения — начертим две кривые и найдем их точки
пересечения. Действительно, если выбрать не слишком
мелкий масштаб и начертить графики достаточно акку-
аккуратно, мы сможем приближенно найти точки пересече-
пересечения. Но для того, чтобы найти координаты точек перо-
сечения точно, как раз и нужно решить соответствующее
51
г х

уравнение! В то же время графическая иллюстрация ча-
часто помогает дать некоторые качественные ответы: найти
число корней, грубо указать отрезки на числовой оси,
гле они могут находиться, и т. п.
Рис. 11.
Рассмотрим в качестве примера уравнение
-[х i; .	\г.)
Начертим графики функций, стоящих в левой и правой
частях (рис. 12). Из этого рисунка мы можем заклю-
заключить, что уравнение имеет два вещественных корня, один
D 1 Z S
Рис. 12.
У i
[\
0
{',1,
\ f 1
\ 1
Рис. 13.
из которых находится в интервале @; 1), а другой—¦
в интервале B; 3). Можно указать эти интервалы и бо-
более точно: @; 0,5) и B; 2,5); еще более точно: @,2; 0,3)
и B,2; 2,3). (Действительно, нетрудно проверить, что
при х = 0,2 имеем Vх < (х—IJ, а при # = 0,3 — уже
-у/х > (х — IJ; точно так же при х = 2,2 левая
часть уравнения больше правой, а при х=2,3 — меньше.)
Вообще, вычисляя и сравнивая значения левой и пра-
правой частей нашего уравнения, мы можем найти корни
с любой степенью точности,
Б2

Корни уравнения пятой степени
х5 — Зх + 1 = 0	C)
вообще нельзя записать с помощью радикалов, но, по-
построив достаточно точный график функции у =
— х5 — Зх + 1 (рис. 13), мы видим, что уравнение имеет
три корня в интервалах (—1,5;—1,3), @; 0,5) и (Г, 1,3).
Заметим, что хотя, глядя на график, мы «сразу вм-
дим», что на интервале A;1,3) уравнение имеет корень,
но, чтобы строго это доказать, нам понадобилось бы сле-
следующее свойство непрерывных функций:
9'
c\\d
Рис. 14.
Рис. 15.
Если в концах отрезка [а; Ь] функция принимает зна-
значения разных знаков, то где-то на этом отрезке она обра-
обращается в нуль (рис. 14).
Другими словами, если числа f(a) и f(b) имеют раз-
разные знаки, то на интервале (а; Ь) лежит по крайней мере
одно решение уравнения f(x) = 0.
Заметим, что этим свойством обладает не всякая
функция. Например, функция, график которой изобра-
изображен на рис. 15, при х > с не обращается в 0, однако она
принимает значения разных знаков: от с до й функция
принимает отрицательные значения, а для х > d — по-
положительные. На картинке наглядно видна причина
этого: график функции «рвется» при х = id. Мы не бу-
будем определять точно смысл этих слов: график функции
не рвется, непрерывен или, наоборот, рвется, — это до-
довольно сложный вопрос, связанный, в частности, с уточ-
уточнением понятий вещественного числа и предела1). Для
') Для справедливости нашего свойства непрерывности очень
существенно, что вещественные числа заполняют всю ось, т. е. что на
оси нет «дырок». Если бы мы рассматривали только рациональные
числа на оси, то, например, функция у = у? — 2 переходила бы от
отрицательных значений (при к =¦ 0) к положительным (при
х = 2), не обращаясь в 0.
53

большинства функций, с которыми обычно приходится
иметь дело, легко увидеть те точки (их обычно бывает
немного), в которых график функции рвется.
Раньше — при решении уравнения -у/х = (х— IJ—мы
также пользовались соображениями непрерывности. По-
Поэтому наши утверждения о существовании корней этого
уравнения будут строго доказанными, только если мы
установим, что функции у = л]х и у = (х—IJ непре-
непрерывны.
Заметим, что нам нужно было несколько более общее
утверждение:
Если fl(a)<zf2(a), a fi(b)>f2(b) и функции fi(x) и
/г (х) на отрезке [а; Ь] непрерывны, то уравнение fi (х) =
— fz(x) имеет (по край-
крайней мере одно) решение
(рис. 16).
Это утверждение очевид-
очевидным образом следует из пер-
первоначальной формулировки:
достаточно переписать урав-
уравнение в виде /i (х)—f2(x)=0.
Для графического реше-
решения часто бывает полезно
переписать уравнение в ви-
виде fi(x) = fs(x) с таким расчетом, чтобы графики
у — f\(x) и у = f2(x) было удобно построить.
Решим, например, такую задачу: сколько решений
имеет уравнение
jc4 + 100 [лг] = 100*?	D)
([х] означает целую часть числа х, т. е. наибольшее це-
целое число, не превосходящее х1).)
Перепишем уравнение в таком виде:
Тоо=* -М-
Строим графики левой и правой частей (рис. 17):
у, =#7100 и У2 = х — [х]. Видно, что уравнение имеет
семь решений: х= 0 и по одному на отрезках (—4;—3),
(-3;-2), (—2;—1), (-1;0), A;2), B;3).
Рис. 16.
') Графики функций, в записи которых встречается [х], рассма-
рассматриваются в книге: И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева,
Э. Э. Ш и о л ь, Функции и графики, изд. 4, 1971.
54

Часто с помощью построения графиков и исследова-
исследования функций ft, /2 удается показать, что уравненгзе
/i(x) = fz{x) на каком-то отрезке не имеет решений или
имеет не более одного решения и т. п.
-U -3 -? -i D
Рис. 17.
Пример. Доказать, что уравнение
E)
имеет единственное решение.
При х < 0 уравнение E) не имеет решений (левая
часть больше 0, правая —
мегьше).
При х > 0 функция
4
возрастает, функция
О
3 х
Рис. 18.
убывает (рис. 18).
Легко подсчитать, что
при х = 1 значение пер-
первой функции меньше, чем значение второй, а при
х = 2 — больше. Значит, на интервале (Г, 2) уравнение
имеет корень.
Пусть х0 — этот корень. Если 0 < х < х0, то
так что при х < х0 уравнение не имеет решений.
Если х > х0, то
т. е. при д:
тоже нет решений.
55

Подобные рассуждения короче записывают так: если
х меняется от 0 до +оо, то Vl H~ *4 монотонно возра-
возрастает от 1 до +оо, а 4/х монотонно убывает от +оо
4
до 0, поэтому уравнение -\Л + ¦*4 = 4/х имеет на @; +°о)
ровно одно решение.
УПРАЖНЕНИЯ
9.1.	Дайте графическую иллюстрацию к решению уравнений
2)-4) § 5 (стр. 24).
9.2.	Решить уравнения:
а) |*+1| + |2х-3| = 5; б) | 4- 2 | х | | = I;
дать графическую иллюстрацию (перед решением эгой задачи реко-
рекомендуем заглянуть в книгу «Функции и графики»).
9.3.	Решить уравнения:
1-5 + 6*1 15*~7- б) *2 - '
Ч 8 J- 5 ' °' х-[х] ~~ 25 •
9.4.	Найти число корней уравнения и указать отрезки, в каж-
каждом из которых находилось бы ровно по одному его корню:
х2 — Ч.
я\ _ ±	!±	„2.
а) х2 + х* — '
в) *а_9
[XJ	* tl
Трудные графики встречающихся здесь функций вы можете
найти в книге «Функции и графики».
9.5.	Заметьте, что в этом параграфе в наших рассуждениях при
исследовании уравнений B) и D) был изъян: мы не доказывали,
что в каждом из интервалов находится ровно по одному корню
(а не больше). Постарайтесь исправить эту неточность.
9.6.	Решить уравнения:
а) V*8 + 8 = 3/х; б) х* = 18 — | х |;
в)	2-|х| = —~ (|*+1| + |х-1|);
2 V2
г)	sin Зх — sin 2х = 2; д) 22х — 3х = 1;
е) sin4 х + cos10 лс = I.
§ 10. Системы уравнений
Приведем примеры систем уравнений:
1) Г 2* = 4,	3) Г х + у2 = 5,
{ Х2, 1==5.	( +Л2 = 3.
I x2 + y2 + z2=\;	(Л = Зу+1.
56

Решением системы называется набор чисел (набор
значений аргументов), при подстановке которых каж-
каждое из уравнений системы обращается в верное ра-
равенство. Например,
х = 2 — решение первой системы;
х=1, у —0, 2 = 0 — решение второй системы;
ж = 0, у=\, 2 = 0 —другое решение второй системы;
х=\, у = 2 — решение третьей системы.
Как правило, рассматриваются системы, в которых
число уравнений равно числу неизвестных (среди при-
приведенных выше примеров это системы 3) и 4)). Такие
системы обычно имеют конечное число решений.
Определения равносильности двух систем, а также
того, что одна система является следствием другой, со-
совершенно аналогичны соответствующим определениям,
которые мы дали для уравнений.
На решения систем распространяются те же способы
рассуждений, о которых мы говорили ранее.
Здесь мы приведем только одну теорему о равносиль-
равносильности систем ').
Теорема. Если одно из уравнений системы с п не-
неизвестными х\, ..., хп равносильно уравнению Х\ =:
= ф(*2. • ••> хп), то, подставив в остальные уравнения
ц>(х2, ..., хп) вместо х\, мы получим систему, равно-
равносильную исходной.
Доказательство этой теоремы несложно, и мы предо-
предоставляем его читателю. На этой теореме основан наибо-
наиболее употребительный способ решения систем — способ
подстановки.
Пусть имеется система из двух уравнений с двумя
неизвестными:
f2(x,y) = 0.	w
Если первое уравнение можно привести к равносиль-
равносильному ему уравнению y = q>(x), то решение уравнения
/2(х,ф(х)) = 0 приведет к решению системы A).
Теперь сделаем несколько практических замечаний.
Начнем с линейных уравнений. Вы подробно разби-
разбираете в школе систему двух линейных уравнений с двумя
') В конце параграфа, в упр. 10.7, мы приводим еще одну
полезную теорему о равносильности систем.
57

неизвестными. Системы линейных уравнений с большим
числом неизвестных тоже, как правило, решаются без
особого труда, — например, безотказно действует метод
подстановки, — только для решения уравнений с боль-
большим числом неизвестных требуется много вычислений.
Приведем один пример, где использование симмет-
симметричности системы позволяет получить решение очень
быстро:
хп = а2,
Сложим все уравнения системы; чтобы сохранить равно-
равносильность, сохраним и все исходные уравнения:
(п— 1)(*, + *2+ ... +*„) = а,+ ••• +ап,
х2 + х3+ ... +хп =аи
хх + х3 + ... + хп =аъ
Перепишем первое уравнение в виде
II | __ fli + fl2
xf -f- х2 -f ¦ ¦ ¦ т^ хп	п
и вычтем из него каждое уравнение системы. Получим
„ 	 Qi + а-2 + ... +ап „
х	o
Хп
Последний переход был довольно сложным — мы ме-
меняли сразу все уравнения системы. Вместо доказатель-
доказательства равносильности легче сделать проверку. Подставим
найденный набор чисел в первое уравнение системы:
a2+ ••• -1
а\ + а-2 + • • • + о.п
=	^rj
58

Получили верное равенство: а,\ = а\. В остальные урав-
уравнения можно не подставлять, так как все они похожи на
первое, будут меняться только номера у входящих в
наши выкладки букв.
Кроме способа подстановки при решении часто помо-
помогает замена неизвестных. Мы не будем приводить общих
рецептов, как лучше выбирать вспомогательные неиз-
неизвестные. Заметим только, что многие симметричные си-
системы:
I лгг/ = 5О;	I x + y = 3
и т. п. — приводятся к системам относительно ху и х + У-
Этому помогают следующие полезные формулы:
х3 + У3 = (х + уK — З.п/ (* + у) и т. п.
Пример. Решить систему
Сделаем замену
1 х — y = v:
(v2 + 2u)v = 447, ( и3 + 2ыи = 447, Г и3 = 27,
х — у = \
Числа х и —у являются корнями квадратного урав-
уравнения ') Р — 3t — 70 = 0; f, = 10, t2= — 7; поэтому имеем
Г
I
ж, = 10,
—«/!== —7, Т- е- 1 у, = 7,
х2 — — 7,
') См. упр. 10.6.
59

Сделаем замечание относительно геометрической
снтерпретации решения систем. Рассмотрим снова си-
итему
Возьмем на плоскости с системой координат (рис. 19)
множество точек 1\, координаты которых удовлетворяют
первому уравнению (в гео-
геометрии его называют кри-
кривой, задаваемой уравнением
f\ (х, у)—0); 12 — кривая,
соответствующая второму
уравнению. Решения систе-
системы соответствуют точкам
пересечения кривых 1Х и 12.
В этих геометрических
терминах удобно проводить
Рис- 19.	исследование решений си-
систем, а иногда и находить их
приближенное решение. Вам известно геометрическое
исследование системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными (рис. 20):
ахх+Ьху = си
а2х + Ь2у = с2.
В случае а) ахЪ2— аф\Ф0, (хо, уо)—единственное
решение; в случае б) аф2 — a2b{ = 0 и либоа^Сг —
I	Л	Ж
jL
а)	Б)	6)
Рис. 20.
Ф 0, либо Ьхс2 — Ъ2с\ Ф 0, решений нет; в случае
в) axb2 — a2b{ = ахс2 ^ a2ci = Ь^с2 -^ Ь2сх == 0, решении
заполняют прямую.
СО

Исследуем на геометрическом языке систему
= а2, а> О,
Первое уравнение системы — это уравнение окружности
с центром в начале координат и радиусом а (рис. 21).
Второе уравнение задает прямую I, проходящую через
точки с координатами @; Ь) и (Ь;6). Сразу видно, что
если прямая I пересекает окружность в двух точках, то
<1
6)
Рис. 21.
слу-
слусистема имеет два решения — это соответствует
чаю а), когда_ расстояние от прямой I до центра | Ъ \
меньше -\Ja, т. е. | Ъ | < <\j2a. Если же прямая / не
пересекает окружности (случай в)), т. ej_fc | > л]2а, ю
система решений не имеет. При | Ъ \ = У2а решение одно
(рис. 21,6).
УПРАЖНЕНИЯ
10.1. Решить системы уравнений:
а)
у* + v2 = 4;
¦ v2 + z2 = e,
б)
ху
х + у
xz
в) f | * - 1 1
г-5|=1.
7 '
yz	40
У + z 13 5
г) ( х, + 2х2=1,
Д) f ху + х — у = 3, е)
f xy-
1 Х2у
¦ ху2 = 2;
I х2
/- X, +2X2= 1,
< xt + 3jc2 + 2х3 = I,
+ x2«/2 + «/' = 133,
2 J- x// + «/2 = 7;
6!

и)
х у 10	a) f x'— yz = а,
F+T=="'	| y2-xz=b,
I x2 + xy + y2 = 13;	|
c;
+«/ — 2 = 7
+ J/2 — z2 = 37,
+ уз _ zs = i
10.2. Решить системы уравнений:
a) ( (x2 + xy + у2) л/х2 + у2 = 185,
I (x2 -xy + у2) л!х2 + у2 = 65;
/IE 3
—«/2 = 32;
B)
2"
xy — x — у — 9;
r) { ,_f
^ x2y
— -\fxy2
10.3. Решить системы уравнений:
а)
б)
I 2 4 +2 2
10.4. Решить систему ста линейных уравнений со ста неиз-
неизвестными:
х, + 2х2 + Зх3 + 4х4 + ••• + 99*99 +
xi + х2 + 2х3 + 3х4+ ... +98*99+ 99х,00 =
Xi + х2 + jc3 + 2л:4 + • • • + 97л:99 +
X,
Х2
Х3 +
10.5. а) Исследуйте систему (для каждой пары чисел а и b
v укажите, сколько решений имеет система, и найдите эти решения)
{у — ах = 0,
у = х2 + 6.
Дайте геометрическую иллюстрацию этой системы.
62

б) Докажите, что для того, чтобы система уравнений
Г !*| + |</| = 1.
\ ах + by + с = О
не имела решений, необходимо и достаточно, чтобы числа
с + а, с — а, с + Ь, с — Ь
имели один и тот же знак (или, что то же самое, чтобы выполня-
выполнялись одновременно неравенства |а|<|с| и |&|<|с|).
10.6. Докажите, что решение системы уравнений
Р.
сводится к решению уравнения
t*-pt + q = O.	B)
А именно, если уравнение B) имеет два различных корня <, и t2,
ю система A) имеет два решения:
если уравнение B) имеет одно решение t\ = t?, то система A)
имеет также одно решение х = у = ti; если уравнение B) не имеет
решений, то и система A) ие имеет решений.
10.7.	Докажите, что системы уравнений
/2=0, и
/«=0
(о — некоторое число) равносильны.
10.8.	Докажите, что система, состоящая из одного уравнения
/i + /2 = 0, равносильна системе, состоящей из двух уравнений:
f Ь=0.
I /2=0.

l;
Ю;
7;
4)
5)
6)
ГЛАВА III
НЕРАВЕНСТВА
§ 11. Свойства неравенств
Возьмем два числа. Поставим между ними один из
знаков >, <, ^г, ?=;. Получим высказывание, называе-
называемое числовым неравенством.
Примеры.
1)	з:
2)	ю:
3) 5>7; 6) 3>5.
Неравенства бывают верные и неверные. 1), 4), 5) —
верные неравенства, остальные неравенства неверные.
Так как для любых двух чисел а и Ъ либо а~> Ь, либо
а = Ь, либо Ь> а, то для различных чисел а и Ъ ровно
одно из неравенств а > Ъ и Ь > а будет верным.
Если а больше b, a b больше с, то а больше с.
Это свойство запишем так:
Т: а> b,b> с^>а> с
(мы обозначили это свойство буквой Т; его называют
транзитивностью).
Сформулируем еще свойства неравенств, связываю-
связывающие их с арифметическими действиями:
А: а>Ь=фа-\-с>Ь-\-с при любом с.
Б: а > 0, Ъ >¦ 0 =Ф аЬ > 0.
Сейчас мы перечислим еще ряд свойств неравенств,
которые являются следствиями свойств Т, А, Б;
2. a>b,c>0=$ac>bc.
64

3 а>6=ф — а< — Ъ.
4.	а> Ь,с <О=фас < be.
5.	a>0,b>0^>a + b>0.
6.	a>b,c>d^>a + c>b + d.
7.	a>b,b>O,c->d1d>O=$ac> bd.
8.	a> b,b> О =Фa" > bn, n — натуральное число.
n	 n
9.	a>b>0^>-y/a> -y/b.
n _
Напомним, что л/а при a>0 обозначает единствен-
единственное положительное число с такое, что сп = а.
Все эти свойства легко доказываются последователь-
последовательно, одно за другим.
Выведем, например, свойство 7 из предыдущих. Рас-
Рассмотрим преобразования ас — bd = ас — ad-\- ad — bd=-,
( d d( b
с > d	— данное неравенство,
с > d=^c — d>0 — свойство 1,
а> b=^a — b > 0 — свойство 1,
а> b, 6>0фа>0- свойство Т,
<*>0, с — d > 0=$>а(с — d)> 0 — свойство Б,
d> 0, a — b > 0=$>d(a — b)> Q — свойство Б,
а (с — d) > 0, d {а — Ь) > О
а (с — d) + d (a — b) > 0 — свойство Б,
а (с — d) + d {a — b) = ас — bd > 0
ас> bd, что и требовалось доказать.
Можно доказать свойство 7 и по-другому. Так как
а>6>0ис>с?> 0, то ас> be (свойство 2), be > М
(свойство 2) и йс> 6rf (свойство Т).
10. Если f— (строго) монотонная функция, опреде-
определенная в точках а и Ь, то
а> b=$>f (a) > f (b), если f возрастает,
И
а> b^f{a)<f (b), если / убывает.
65

Это просто определение строго монотонной функции
(стр. 22).
Кроме неравенств вида а> b изучают и высказыва-
высказывания вида а~^Ь, которые читаются так: «а больше или
равно Ь».
Мы не будем выводить свойства отношения ^. За»
метим, что свойства Т, А, Б, будучи справедливыми для
строгих неравенств и для равенств, остаются справедли-
справедливыми и для нестрогих неравенств. К этим основным
свойствам добавляется еще одно, свойство Р: а ^ а (ко-
(которое, конечно, всегда верно, хотя и звучит непривычно).
Буквой Р оно обозначено потому, что такое свойство
отношений называют рефлексивностью. Это свойство не
выполняется для строгих неравенств. Все свойства 1—10
строгих неравенств остаются верными, если всюду за-
заменить строгие неравенства нестрогими.
УПРАЖНЕНИЯ
11.1. Верны ли неравенства:
_	7
аH>3;	b'V
11.2.	Выведите свойства 1—9 из основных (Т, А и Б).
11.3.	Верны ли утверждения:
а)	-|-
о
б)	—
в)	о2
г)	fc=sj 0=^6" 5^0, и — натуральное число;
В каких из иих можно поставить стрелки и в обратную сто-
сторону?
§ 12. Условные неравенства
Пусть нам даны две функции f\ и f%. Если поставить
между \\(х) и Ы*) один из знаков неравенства (>, <?\
^, г=0, получается условное неравенство*).
') Таким образом, условное неравенство — это высказыватель*
ная форма для числовых неравенств.
66

Примеры.
/	х>1, уе@;3);	A)
B)
C)
В примере A) справа указана область определения
функций, образующих неравенство. В примерах B) и C),
где этого не сделано, имеется в виду естественная об-
область определения. Так, в примере B) — это множество
всех вещественных чисел, в примере C) —луч [1;+°°)-
Решением условного неравенства называется такое
значение аргумента (или набор значений аргументов а
случае неравенств с несколькими неизвестными), при
подстановке которого в данное условное неравенство оно
обращается в верное (числовое) неравенство. Напри-
Например, х = 2 есть решение неравенства C); пара чисел
C; 1)—решение неравенства A), в то время как пара
чисел @; 2) решением этого неравенства не является,
так как не входит в его область определения.
Два условных неравенства называются равносиль-
равносильными, если множества их решений совпадают.
Теорема 1. Если к обеим частям условного нера-
неравенства прибавить одну и ту же функцию, то получится
неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. а) Если обе части условного нера-
неравенства умножить на одну и ту же функцию, все значе-
значения которой в области определения данного неравенства
строго положительны, то получится неравенство, равно-
равносильное данному.
б) Если все значения функции, на которую мы умно-
умножаем обе части неравенства, строго отрицательны, то,
изменив знак неравенства на противоположный, мы так-
также получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если в обеих частях неравенства стоят
функции, все значения которых в области определения
неравенства положительны, то, возводя обе части нера-
неравенства в степень п (п — натуральное число) или извле-
извлекая корень п-й степени из обеих частей, мы получим не-
неравенство, равносильное данному.
При применении всех этих теорем очень важно сле-
следить за тем, чтобы область определения неравенства со-
сохранялась, хотя мы и не оговаривали этого специально
в условии.
67

Доказательство этих трех теорем проводится анало*
гично доказательству соответствующих теорем об урав-
уравнениях (см. стр. 30, 37) с использованием свойств чис-
числовых неравенств из § 11.
Докажем для примера теорему 26. По условию
имеется неравенство
f(x)><f(x), xeD,	D)
и функция g, причем g(x)<.0 Для всех xeD. Тре-
Требуется доказать, что
f (х) > Ф (х) &g(x)f (х) < g (x) ф (х).	E)
Пусть число jcgD является решением неравенства D),
т. е. f (хо) > ф (хо). Это верное числовое неравенство. Но
g(xo)<.O, следовательно, g(xo)f (х0) < g(x0)<p(x0) — тоже
верное числовое неравенство (см. свойство 4, стр. 65),
т. е. х0 является решением неравенства E).
Обратно, пусть х0 — решение неравенства D), т. е.
верно неравенство g(xo)f (хо)<. g(x0)(p(xo); по тому же
свойству 4, умножив обе части этого неравенства на
число l/g(x0) <Z0, получим верное неравенство f(*o)>
>ф(лг0). Теоремы 1, 2а и 3 докажите самостоятельно.
Приведем еще одну теорему, обобщающую теорему 3.
Теорема 4. Если к обеим частям условного нера-
неравенства f(x) > g(x) применить функцию h, которая опре-
определена при всех значениях функций f и g и (строго) мо-
монотонна (см. стр. 22), то исходное неравенство равно-
равносильно неравенству
h (f (x)) > h (g (x)) (для возрастающей И),
h (f (x)) <h(g (x)) (для убывающей К).
Приведем примеры использования перечисленных тео-
теорем для решения неравенств.
1)
В обеих частях этого неравенства стоят функции,
определенные на множестве всех чисел. Функция х~>
-с-» -yjx4 -\-1 положительна при всех х, поэтому (теорема 2а)
х*+ 1
Обе части неравенства принимают только положитель-
положительные значения, поэтому (теорема 3)
68

Решением последнего неравенства является, очевидно,
любое число, так как (по теореме 1)
Следовательно, и множество решений исходного нера-
неравенства — все множество R.
2) V^TrT<JC2.
Здесь тоже можно возвести обе части неравенстза
в квадрат:
^Т	— 1<х\
но у полученного неравенства естественная область оп-
определения шире, чем у первоначального; поэтому обя-
обязательно нужно рядом с неравенством х4— 1 < х1 напи-
написать ограничения (указать область определения):
х4— 1^0 О*е(—оо;— 1 ] U [ 1; +оо). Это и будет от-
ответ, поскольку само неравенство л:4 — 1 <х4 выполняет-
выполняется при всех х.
3) Уг^Т > х.
Областью определения неравенства является то же
самое множество (—оо;—l]U[l;+°°). Если возвести
обе части данного неравенства в квадрат, то получится
неравенство, не имеющее решений. Однако это еще не
означает, что исходное неравенство не имеет решений
(подставьте, например, х — —2 и убедитесь в против-
противном). Так как при возведении в квадрат мы не получаем
в этом случае равносильного неравенства (подумайте,
почему здесь неприменима теорема 3), придется рассу-
рассуждать иначе.
Предположим, что хо есть решение .неравенства, т. е.
V*o — 1 > «о-
Мы хотим возвести это числовое неравенство в квадрат.
Нам известно (свойство 8 верных числовых неравенств),
что при возведении в квадрат верного неравенства, а
обеих частях которого стоят положительные числа, по-
получается снова верное неравенство. В левой части не-
неравенства стоит положительное число. Если в правой
части стоит положительное число, т. е. если х0 > 0, то
69

неравенство х2 — 1 > х% должно быть верным. Но из
него вытекает, что —1 > 0, это неверно. Значит, сде-
сделанное предположение о том, что положительное число
хо является решением неравенства, привело нас к про-
противоречию. Следовательно, положительных решенийу не-
неравенства нет. Легко убедиться, с другой стороны, что
каждое отрицательное число (из области определения)
является решением нашего неравенства.
Коротко можно записать эти рассуждения так: на
множестве (—оо; —1] неравенство -у/х1 — 1 > х выпол-
выполняется тождественно, а на множестве [1; +оо) оно экви-
эквивалентно неравенству х2 — 1 > х2, у которого нет реше-
решений. Итак, ответом будет множество X = (—оо;—1].
Подобный прием — разбиение области определения
неравенства на два или несколько множеств, на каждом
из которых удается заменить его равносильным, но бо-
более простым, — как мы увидим дальше, часто приме-
применяется при решении неравенств. Теорема 4 из § 6
(стр. 33) будет, очевидно, верна, если в ней заменить
слово уравнение на неравенство.
К решению неравенств, конечно, полностью относится
и важное замечание в конце § 6.
Вы заметили, видимо, что определения, касающиеся
уравнений и неравенств, строились параллельно:
равенство	— (числовое) неравенство,
верное, неверное равенство — верное, неверное нера-
неравенство,
уравнение	—условное неравенство,
решение (корень) уравнения—решение неравенства,
равносильность уравнений — равносильность	нера-
равносильность	неравенств,
тождество	— тождественное неравен-
неравенство.
К сожалению, в терминах такого параллелизма нет.
Для условных равенств придумано специальное слово —
«уравнение», а для условных неравенств специального
слова нет; так же и с тождествами. В дальнейшем, ко-
когда мы будем писать просто слово неравенство, мы бу-
будем иметь в виду условное неравенство. Это не страшно,
поскольку всякое числовое неравенство а > Ь, в двух
частях которого стоят две постоянные функции у = а,
у — Ьг можно считать условным,
70

УПРАЖНЕНИЯ
12.1. Равносильны ли следующие неравенства:
а) х3<1 и
X3 + Х+ I
12.2. Найдите все ошибки в следующем «решении» неравен-
неравенства (а затем решите его правильно)
X
Найдем область определения:
-2,
х>0
или
х<0	"Ь<0.
Область определения (—оо; 0] U [—2; +°о).
Теперь преобразуем данное неравенство (заменяем его равно-
равносильными):
> х2 — Ах + 4
х
Ф
х3 + 8 > х3 — 4х2 + 4х
Ф
4«2 — Ах + 8 > 0
Ф
х2 - х + 2 > 0.
Корни уравнения х2 — л: + 2 = 0: xi = —1; х2 = 2. Решения по-
последнего неравенства: —1 < х < 2, т. е. хе (—1; 2).
Выберем теперь значения х, принадлежащие области опре-
определения.
Ответ: X = [— 1; 0].
71

§ 13. Неравенства с одним неизвестным
Начнем с линейного неравенства, т. е. неравенства
вида ах-\-Ь > 0 (а и b — числа, а ф 0).
Множество его решений можно, очевидно, записать
в следующем виде:
й>041 = (-6/с; +°о),
Этот результат можно представить себе так: линей-
линейная функция f(x)=ax-{-b сохраняет постоянный знак
на каждом из двух лучей, на которые точка х = —Ь 'а
(единственный корень уравнения f(x)=O) делит число-
числовую ось, и меняет знак при переходе через этот корень.
Это легко изобразить графически (рис. 22).
^*
'а
X
у.
'У///////////
€
">^ т(?L0
а ^^
Рис. 22.
Несложно решаются и неравенства вида f(x)~>0, где
функция f(x) раскладывается в произведение линейных
множителей. Рассмотрим такой пример:
Нанесем на числовую ось корни линейных множите-
множителей (рис. 23). На каждом из пяти получившихся интер-
интервалов каждый из множителей (а значит, и все произве-
произведение) сохраняет постоянный знак. Чтобы найти его,
достаточно вычислить значения левой части в какой-
либо точке интервала.
Ответ: * = (-оо; -3/2)U(- 1; 0)U(l; + «>).
72

Случайно ли у нас произошло чередование знаков?
Конечно, нет. В точках —3/г, —1, 0, 1 менял знак ровно
один множитель. Заметив это, можно не вычислять зна-
значения функции во внутренней точке отрезка, а, начав
с любой точки, где знак произведения очевиден, следить
за изменением знака при переходе через корни. При
Рис. 23.
этом надо быть осторожным, так как может в какой-то
точке обратиться в нуль четное число линейных множи-
множителей и изменения знака не произойдет.
Точно так же решаются и рациональные неравенства
вида
f(x)/g(x)>0,
где f(x) и g{x) раскладываются на линейные множи-
множители. Здесь только надо не забывать, что корни знаме-
знаменателя играют особую роль — в них исходная функция
не определена.
-г
-1
Рис. 24.
Пример. Решим неравенство
3 (*-!)(*+.2)*
Наносим на ось корни числителя и знаменателя
(рис. 24) и читаем ответ1):
* = (-оо; -2)U(-2;-l)U(-l; 1)UB; + оо).
Наши предыдущие рассуждения имеют наглядный
геометрический смысл. Пусть надо решить неравенство
') Подумайте, какую ошибку мы совершили бы, «вычеркнув» в
неравенстве неотрицательные множители (х.+ 2J и (x-fl;2, и по-
почему можно «вычеркнуть» множитель х2 + 1.
73

f(x)^O. Нарисуем график функции y — f(x) (рис. 25).
Эта функция непрерывна всюду; кроме точки d; ее об-
область определения: (—oo;d) U (d; +oo).
Нас интересуют точки х, где f (х) ^ 0, т. е. точки
графика функции, лежащие выше оси х или на оси х.
Рис. 25.
Легко перечислить участки изменения х, которые соот-
соответствуют таким точкам. Это три отрезка: [a;b], \c\d) и
[е; g]. Ответ можно записать в виде объединения этих
отрезков:
X = [a;b]U[c;d)\J[e;g].
Наша геометрическая картинка подсказывает сле-
следующий способ решения неравенства f (х) ^ 0: нужно
разбить числовую ось на отрезки, в которых функция
y = f(x) сохраняет знак; на такие отрезки ось Ох де-
делится, во-первых, точками, в которых значение функции
равно нулю: х = а, х = Ь, х — с, х = е, х = g, и, во-
вторых, точками, где функция не определена, график ее
разрывается: х = d.
Для более строгого обоснования такого способа ре-
решения неравенств нам хотелось бы иметь следующее
свойство функции: если на каком-нибудь отрезке функ-
функция не обращается в нуль, то она имеет на этом отрезке
^ постоянный знак. Разумеется, это одно из тех свойств не-1
прерывности, о которых мы говорили в параграфе о гра-
графическом решении уравнений (§ 9, стр. 53). В начале
этого параграфа мы применяли его для линейной функ-
функции. Напомним, что для непрерывных функций оно за-
заведомо верно, но если график функции в некоторых
точках «рвется», то нужно отметить все такие точки и
исследовать функцию отдельно на каждом из отрезков,
на которые эти точки делят ось.
74

Обратим еще внимание на неравенства, содержащие
абсолютную величину. Нового, конечно, в них нет ни-
ничего. Например, нетрудно решить неравенство х—1 <
< \х2— 5х + 4|, нарисовав графики функций у = х— 1
и у= \х2 — 5х-+-4| и затем
найдя нужные отрезки.
В то же время полезно
научиться быстро ориенти-
ориентироваться в неравенствах ти-
типа |х|<а, \х—а\~^ Ьит.а.
/я/<а
(//////////////Л
О
Рис. 26.
||, \\^
Эти неравенства разбирались в книжке «Метод коорди-
координат»') из нашей серии. Напомним, что число \х — у\
равно расстоянию между точками на числовой оси, со-
соответствующими числам х и у. Из этого сразу вытекает,
Ш///ШШ
JxJ>a
-а
О
Рис. 27.
что неравенству \х\ < а при а > 0 удовлетворяют точ-
точки, расстояния которых до начала координат меньше а,
т. е. точки отрезка (—а, а) (рис. 26). Легко убедиться,
что решение неравенства
\х\>а при а>0 (рис. 27)
выглядит так:
х ge (— оо; — a) U (а; + оо).
т
С помощью этих рассуж-
рассуждений можно быстро решить
такое, например, неравен-
неравенство: \х2 — 2|^ 1.
Нарисуем график функ-
функции у = х2 (рис. 28). Нера-
Неравенство можно прочесть так:
\у — 2|<;1, т. е. расстоя-
расстояние от у до 2 не должно превосходить числа 1. Это бу-
будет верно для точек графика, лежащих в полосе между
прямыми у = 1 и у = 3. Рисуем эту полосу и находим
нужные отрезки на оси х:
-l]U[l; V3].
Рис. 28.
') И. М. Г е л ь ф а н д, Е. Г. Глаголева, А. А. Кириллов,
А1етод координат, «Наука», изд. 3, 1968.
75

В заключение разберем решение двух неравенств.
' \2x-\\
1}
а) Решим неравенство на интервале (—оо; 1/2).
Для всех х е (— оо; г/2) имеем | 2х — 1 | = 1 — 2х.
Зх2 + 5х — 7 ^	3 (х — xi) (х — х2)
^ (x + 2)(je-I) ^U<F9 (х + 2)(х-1)
где
_ — 5 — VlO9	_ —5+УТ09
*1 ~	6	' Х2""	6
— корни числителя. Наносим на числовую ось кор;ш
числителя и знаменателя, попадающие в рассматривае-
рассматриваемый интервал х < 1/2 (рис. 29). (Заметим, что Xi<—2.)
Рис. 29.
Итак, решениями неравенства 1) на интервале (—со; '/2У
являются
б) Осталось рассмотреть промежуток [72;+°°).
Для всех хе[72;+°°) выражение \2х—1| равно
2х—¦ 1. Далее, имеем
2х— 1 -^о^, 3t2 + x —5 ^-c\i^ 3{x — Xi) (х — х2)
— 1 — Vel	— 1 +
Решения этого неравенства, входящие в промежуток
['/2; + °°), образуют промежуток И; ——^-^-— .
Ответ: ^ = [-S- VTo9 . _2)уA; ^1±
2) 4(х- 1) < V(« + 5) C* + 4).
Выясним область определения неравенства:
76

Так как неизвестен знак левой части неравенства,
возведение обеих частей неравенства в квадрат может
привести к неравносильному неравенству. Поэтому сле-
следует рассмотреть два случая.
а)	х< 1.
При этих значениях х слева стоит отрицательное
число, а справа —Т1еотрицательное; наше неравенство
верно при всяком допустимом х, т. е. в этом случае ре-
решение таково:
*! = (-«>; -5]1Л-4/з; 1).
б)	х>1.
4 (х — 1)< V(^ + 5)Cx-f4)O16x2 — 32* + 16 < 3.v2 +
ЧЧ5х + 4х + 20<=> 13 (х + Vis) (* - 4) < Оф^х е (-7,3; 4).
В этом случае решение — промежуток [1; 4).
Ответ:
Jf = (-oo;-5]Ul-4/3;l]U[l;4)=(-oo;-5]U[-4/3;4).
УПРАЖНЕНИЯ
13.1. Решить неравенства, построив графики соответствующих
функций:
а^ I *+' 1>1; б) |ж2-Зж + 2|-1 >х-2; в) У* + 2 > х.
а^ I	о
13.2. Решить неравенства:
к) л:2 - 2х + 3 < УТ^^2;
ж2-2л:-15 > ж2-ж-2';
н) (ж2 + 2ж~ 1)Bх2 + 4ж
77

13.3. Решить неравенства:
1	1
а)
3* + 5 3*+1-1
хг+2
б) @, 2)*2 >25;
в) У9*-3*+2 > з* _ 9;
«&'-(?)"">'
Д) log,_xx<- I; e) *''
13.4.	В каждом из уравнений § 7 замените знак равенства на
какой-либо из знаков ^ или <; и решите получившееся неравен-
неравенство.
13.5.	Равносильны ли неравенства:
а)	Ух3 + х — 2 > х и х3 + х — 2> х2;
б)	Ух3 + х — 2 < х и х3 + х — 2 < х2?
13.6. Докажите неравенства:
а) хО-хХ'Л; б) х^+и-хL^1/,,;
в)	х + —>2, хе@; + со);
г) |х + УТ^
Д)УГ+1:<1+у, хе[-1; +оо);
е)	A + х)" > 1 + их, х е @; со), п — натуральное;
ж)	A + х)" ^ 1 + их, х е [— 1; со), п — натуральное.
§ 14. Неравенства с двумя неизвестными
Неравенство с двумя неизвестными можно предста-
представить так: f(x,y)> 0, где f — функция двух аргументовх
и у. Если мы рассмотрим уравнение f(x, y) = 0, то мно-
множество точек М(х,у), координаты которых удовлетво-
удовлетворяют этому уравнению, образует, как правило, некото-
некоторую кривую, которая разобьет плоскость на две или не-
несколько областей. В каждой из этих областей функция f
сохраняет знак, — остается выбрать те из них, в кото-
которых f(x, у) >0.
Мы познакомимся только с самыми простыми нера-
неравенствами с двумя неизвестными,
78

Рассмотрим прежде всего неравенство ах-\-Ьу-\-Од.
Если какой-нибудь из коэффициентов а или Ъ отличен
от нуля, то уравнение ах + by + с = 0 задает прямую,
разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каж-
каждой из них будет сохраняться знак функции f{x,y) =
= ах + by -\- с. Для определения этого знака достаточно
взять любую точку этой полуплоскости и вычислить зна-
значение функции f в этой точке. Например, чтобы нарисо-
нарисовать на плоскости множество точек (х,у), удовлетво-
удовлетворяющих неравенству Бх — 2у + 6>0, нужно начертить
прямую 5х — 2у + 6 = 0 и взять все точки полупло-
полуплоскости под этой прямой (рис. 30); чтобы убедиться, что
z>0
Рис. 31.
именно под, а не над, мы нашли значение функции
f(x,y)=5x — 2y + 6 в точке @,0): /@,0) =6 > 0.
На рис. 31 показано решение еще одного простого не-
неравенства: х2-\-у2>\; чтобы решить его, достаточно
рассмотреть функцию f (?, у) = х2 + у2— 1.
Если нужно решать системы неравенств с двумя не-
неизвестными, то решают графически каждое из неравенств
системы, а затем находят общую часть (пересечение)
получившихся частей плоскости. Решим графически, на-
например, такую систему двух неравенств:
Зх — 2у + 6 > 0,
Пусть f1(x,y)=3x-2y + 6, f2(x,y) = x* + y2-4.
В заштрихованном куске (рис. 32) одновременно вы-
выполняются нужные нам неравенства fi > 0 и f2 ^ 0
(кусок окружности, ограничивающей заштрихованную
область, входит в решение, а отрезок прямой — нет).
79

У'
/
А
-Mr
п °
41
-2
г
X .
h х
/
Рис. 32.
Рис. 33.
ах + by + с > О
-а
а. х
Рис. 34.
Рис. 35.
80

На рис. 33—37 приведены примеры графического ре-
решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя
неизвестными.
УПРАЖНЕНИЯ
14.1. Дать графическое решение неравенств:
а)*/-2х>1;	б)х + |»|<1;
в) | * + »|>-Г;	г) \\х~у\-1\>2;
Д) х2>#2;	е) х +
ж) */2 + |*|>2;	з) Vj
к) х2 + г/
о) xi/ ^ — 2;
) + >
с) х2> ху
14.2. Решить графически	неравенства, приводя их к системе
неравенств:
а) ху > 0;	б) х2 — у2 < 0;
в) {х -2){х—2у)<0;	г) х2 - х <я - xi/;
Д) х3 + у3 +1 > 3*0;	е) - + - > 0.
X	0
14.3. Дать графическое решение систем неравенств:
Г
I
2х - у + 2 > 0,	Г х>2у,
* + 0 + К 0;	1 х«/ < I;
< 4
х2 -\- и2
§ 15. Уравнения и неравенства с параметрами
Как правило, наиболее интересная часть решения
реальной физической задачи — выяснить, как зависит
ответ от параметра.
Если встать на формальную точку зрения, то ника-
никаких специальных уравнений, или неравенств «с парамет-
параметрами» нет,
81

Скажем, уравнение х2 + x'-f а = О можно понимать
как уравнение с двумя неизвестными х и а. В левой ча-
части его стоит функция двух аргументов y = f(x,a) =
= х2 + х + я. Множество решений такого уравнения —
множество пар чисел, при подстановке которых полу-
получается верное равенство. Однако иногда мы говорим
о решении уравнения относительно х, т. е. считаем аргу-
аргументы х и а неравноправными и хотим выразить х че-
через а. Можно сказать по-другому: мы хотим иметь ответ
в таком виде, чтобы для каждого значения а было ука-
указано, какие числа х в паре с этим а дают решения.
В задачах с реальным физическим содержанием не-
неравноправие аргументов — разделение их на «неизвест-
«неизвестные» и «параметры» — для нас естественно. Чтобы под-
подчеркнуть различную роль аргументов, параметры обо-
обозначают, как правило, первыми буквами латинского ал-
алфавита (а, Ь, с, ...), а неизвестные — последними
(..., х, y,z).
В основу решения задач с параметрами может быть
положен следующий принцип: значение параметра (или
параметров, если их несколько) считается произвольно
фиксированным, и затем ищется решение задачи так,
как мы это делали, обращаясь с уравнениями и неравен-
неравенствами с одним неизвестным. Ответом должно быть пе-
перечисление решений для каждого допустимого значения
параметра.
Например, ответ при решении неравенства -у/х^а
лучше всего записать так: при пе(—оо;0) X = 0; при
ае[0;+оо) Х = [0;а2].
Надо заметить еще следующее: выяснение зависимо-
зависимости решений от значений параметра есть часть процесса
решения задачи. Иногда ее называют исследованием и
отделяют от непосредственного решения. Привыкайте
к тому, что если вы решили задачу без исследования, го
вы ее вовсе не решили.
Мы разберем решение квадратного уравнения с од-
одним параметром:
ах2 + 2(а+ \)х + 2а = 0.
Прежде всего рассмотрим случай а = О (при этом
значении обычная схема решения квадратного уравне-
уравнения не действует). Уравнение принимает вид
82

Пусть теперь а =?= 0. Существование и число корней квад-
квадратного уравнения зависят от его дискриминанта. Вы-
Вычислим дискриминант1) D=(a + IJ — 2а2=—а2+2а+\;
как многочлен от a, D имеет корни «i = 1 —-\/2 иа,=
=1 + л/2- Нанесем на числовую ось а полученные точ-
точки (рис. 38).
0 12 1+V2 л
Рис. 38.
Если D< 0, т. е. ае(-оо; 1 — V2)Lj(l+V2; +«>),
то уравнение не имеет решений.
При D = О, т. е. при а = 1 — -у/2 и при а = 1 + -\/2,
уравнение имеет один корень: х = —	. Подставим
значения а. При а_== 1 + V2 получим х = —-\]2; при
а = 1 — V2 * = У2-
При D > 0, т. е. при ae(l- V2; О) (J (О; 1 + л/2),
уравнение имеет два корня:
^	v _ - (a + 0 - УД"
Ответ:
а е (— оо; 1 — -у/2) =#• корней нет;
a=l—
_ — (а + 1) — У — a2 + 2a + I .
Ф* =0;
a
_ — (g+ 1) — У—a2 + 2a+ I
~~	a
V2; + °°) =Фкорней нет.
') Здесь и ниже, где это удобно, мы считаем дискриминант D
уравнения ах2 + Ьх + с = 0 равным
Ь2 — 4ос
83

Приучите себя записывать ответ, перечисляя все зна-
значения параметра в порядке возрастания.
Теперь мы решим одно неравенство с параметром.
Наберитесь, пожалуйста, терпения, потому что формаль-
формальное решение его довольно утомительно. Но если вы не
проделаете сейчас все выкладки, вы не сможете оценить
другое решение этого примера, которое будет приведено
в следующем параграфе. Итак, решим неравенство
¦\/2х -\-а^х.
Естественная область определения1) 2х-\-а^0^
&х^ -а/2.
Рассмотрим два случая:
1)	х < 0. Тогда все пары (х, а), входящие в область'
определения, являются решениями.
2)	х ^ 0. Тогда
2x —
Исследуем дискриминант получившегося трехчлена
D= l+a:
а)	а < —1 =ф> решений нет;
б)	а>-1=^.1 — V«+	У~Т
Однако надо еще согласовать полученное с условия-
условиями х^О и х ^ —а/2. Иными словами, надо решить
систему неравенств
х^—а/2,
а> —1.
Число х должно быть больше (или равно) каждого из
трех чисел 0, —а/2, 1 —л]а + 1. Нам надо знать, как
они расположены на числовой оси в зависимости от а
Сначала" выясним, когда первое из этих чисел больше
третьего:
0 > 1 — д/оПо VcT+l > 14Фа > 0.
Заметим, что при этих же а первое число больше и
второго. Итак, случай б) разбивается на два:
') Напомним, что область определения уравнения или неравен-*
ства с двумя неизвестными х и а — множество пар {х,а), прн ко*
торых определены составляющие его функции.
84

б') а > 0. В этом случае из трех исходных чисел са-
самым большим является первое — число 0. Остаются усло-
условия х^0их^1 + Vа + 1. В этом случае
хе[0;1+ д/« + 0-
б") —1 sg; a sg; 0. Сейчас заведомо первое число
меньше и второго и третьего. Сравним второе и третье:
- \ > 1 - V^+ToV^+T> l + -f фф
что не выполняется ни при каких а. Итак, в этом случае
третье число — наибольшее, и мы получаем
*е=[1—
Соберем все вместе.
Ответ:
а < — 1 ==> решений нет;
¦=[—
УПРАЖНЕНИЯ
15.1. Решить уравнения:
а) (а+ 1)х2 — (а — I) х — 2а = 0; б)
х — а
1
ах
15.2. Сколько решений (при различных значениях а) имеют
следующие уравнения:
— -3
х
= я — 3;
а) х2-а2х + а = 0;	б)
в)	|а2* + а*+2-1|=1; г) 2 [х]
15.3. Решить уравнения:
а)	-ух + а = -ух + ¦у/Ь;
б)	д/а — х + ¦yb — x^ -у а + 6 — 2х;
в)	V* — 2а — V* — 26 = 2;
г)	V* — V* ~~ а = а; д) Vя — Vя + * = *.
85

15.4. Доказать, что система уравнений
— х2 = а,
b,
+ хг + х3 + xt = 1
/ xi —
< х3 —
имеет хотя бы одно решение в положительных числах х\, х2, Хз, xt
тогда и только тогда, когда | а | + | Ь | < I.
§ 16. Графический метод
Предыдущий параграф вас убедил, по-видимому,
в том, что дать полное решение уравнения или нера-
неравенства с параметром не так-то просто. Особенно трудно
уследить за изменением ха-
характера ответа при изменении
параметра. На помощь здесь
могут прийти те графические
методы в решении неравенств
с двумя переменными, кото-
которые мы развивали в § 14.
Представим себе, что в свя-
связи с некоторой функцией z =g
= х2 + л; + а — 2 двух пере-
переменных х и а стоит ряд задач.
1)	При каких значениях а
уравнение z = 0 имеет корни?
2)	При каких значениях а
корни уравнения 2 = 0 имеют
разные знаки?
3)	При каких значениях а
на отрезке |х|^2 лежит ровно
один корень уравнения z = 0?
4)	При каких значениях а неравенство z > 0 выпол-
выполняется при всех х > 2?
5)	При каких значениях а неравенство sin2 i/+sin y-\~
+ а — 2 > 0 не имеет решений?
6)	При каких значениях а неравенство z < 0 имеет
хотя бы одно решение х е [—2; —1]?
Можно каждый из этих вопросов исследовать от-
отдельно. Мы предложим способ, позволяющий сравни-
сравнительно легко ответить на них и на многие другие во-
вопросы такого же типа.
Нарисуем на плоскости (х, а) линию, задаваемую
уравнением z(x, a) = 0. Для этого из уравнения 2 = 0
выразим а как функцию от х: а = —х2 — х-\- 2 — и по-.
66
/
/
/
/
-2-1 1
2
В
У?
\
1
;
.-4
\
2 л;
\l
\
I
Рис. 39.

строим график этой функции (рис. 39). Это — парабола.
Ее вершина находится в точке (—'/г;9/^, ось х пересе-
пересекает ее в точках (—2; 0) и A; 0), а ось а — в точке @; 2).
Рассмотрим знак функции z(x, а) в зависимости от
значений х и а. В начале координат г@,0) = —2 < 0.
Итак, на параболе г = 0, между ее ветвями г<0, ав
остальной части плоскости z > 0.
Как увидеть корни уравнения z = 0 при фиксиро-
фиксированном а? Надо провести через точку @, а) прямую, па-
параллельную оси х, и найти точки пересечения ее с пара-
параболой.
Теперь легко ответить на первые три вопроса:
1)	Корни существуют при a sg; 9/4.
2)	Корни разных знаков при а < 2.
3)	На отрезке |х|^2 корень ровно один при
—4 ^а<0и при а = 9/4.
Столь же легко ответить и на вопросы, связанные с
решением неравенств:
4)	Интервал B;+оо) целиком попадает в область
решений неравенства z > 0 при а ^ —4.
5)	Этот вопрос сводится к такому: при каких значе-
значениях а неравенство z > 0 не имеет решений среди чи-
чисел х таких, что \х\ ^ 1? Из чертежа видно, что это
происходит при а ^ 0.
6)	Отметив пересечение полосы —1 <#<—2 и об-
области z < 0, видим, что решения существуют при а < 2.
Вернемся к решениям задач предыдущего параграфа.
Нетрудно дать им графическую иллюстрацию.
Рис. 40.
Для исследования уравнения ах2-{- 2(а + 1)* + 2а:=0
построим график функции а=—2х/(х2-{-2х-{-2) (рис.40).
(Это можно сделать по точкам или пользуясь методами
книжки «Функции и графики» из нашей серии.) Внеш-
Внешний вид графика указать нетрудно. Самое главное—¦
87

найти «горбы», т. е. координаты точек Mi и М2. Для
этого достаточно решить относительно х исходное квад-
квадратное уравнение: ясно, что искомые координаты (хи ai)
и (х2, а2) точек Mi и М2— это крайние значения а, при
которых уравнение имеет вещественные корни. Мы уже
нашли их раньше: а{= I — У 2, а2 = 1 + У 2; соответ-
соответственно дг, = У 2, х2 = — У 2.
Теперь, глядя на этот график, мы можем ответить на
многие вопросы, связанные с поведением корней нашего
уравнения. Попробуйте ответить, на-
например, на такие вопросы:
1)	При каких значениях а урав-
уравнение имеет два корня, по модулю
меньших трех?
2)	При каких значениях а боль-
больший из двух корней по модулю боль-
больше двух?'
Особенно полезно сочетать фор-
формальные приемы в решении уравне-
уравнений и неравенств с графическими.
Так, например, в решении неравен-
неравенства из предыдущего параграфа
Рис. 41.	трудности начались тогда, когда на-
надо было сравнивать все полученные
условия; графическая иллюстрация помогает преодо-
преодолеть все эти трудности и не запутаться во многочислен-
многочисленных и, или, если..., то..., связывающих неравенства.
Напомним, что мы, решая неравенство
У 2х + а
пришли к двум случаям; решение нашего неравенства —
множество точек (х, а), для которых
(х<0,
I х^ —
или •s х2 — 2х — а ¦
х > — а/2.
Теперь на плоскости (х, а) нарисуем графики функ-
функций а = —2х и а = х2 — 2х (рис. 41). Чтобы найти точ-
точки пересечения параболы и прямой, решаем уравнение
В левой полуплоскости (х < 0) надо взять точки, ле-
жащие выше прямой (и на ней), так как х ^ —а/2.
88

В правой полуплоскости (х ^ 0) надо взять точки, ле-
лежащие между ветвями параболы, поскольку
?
Ф
Ответ:
а < — 1
ешений нет;
= [—а/2;
В практических задачах часто нужно не просто найти
все решения уравнения или неравенства, а требуется
еще выбрать из этих решений самое выгодное.
Задача. На двух шахтах добывается руда: на пер-
первой— 100 т в день, на второй — 200 т в день. Эту руду
можно перерабатывать на двух заводах, причем стои-
стоимость перевозок (в условных единицах) одной тонны
руды видна из таблицы:
1-й завод 2-й завод
1-я шахта	5	4
2-я шахта	7	5
Известно, что каждый завод может перерабатывать
в день не более 250 т руды. Сколько руды нужно возить
с каждой шахты на каждый завод, чтобы стоимость пе-
перевозок была наименьшей?
Пусть х — количество руды, перевозимой в день с
1-й шахты на 1-й завод, у — количество руды, перевози-
перевозимой в день со 2-й шахты на 1-й завод; тогда A00 —я) —
количество руды, перевозимой в день с 1-й шахты на
2-й завод, B00 — у)—количество руды, перевозимой в
день со 2-й шахты на 2-й завод.
Тогда ограничения на х и у, налагаемые условиями
задачи, записываются в таком виде:
У>0,
89

н
(обязательно разберитесь, откуда взялось каждое нера-
неравенство!).
Затраты на перевозку составляют
Ъх + Ту + 4 A00 - х) + 5 B00 — у) = х + 2у + 1400.
Решения системы неравенств A) заполняют выпук-
выпуклый шестиугольник на плоскости (х, у) (рис. 42).
Нам нужно найти такие точки (х, у) шестиугольника,
для которых функция х -f- 2у + 1400 имеет наименьшее
значение; 1400—постоянное
слагаемое — можно отбро-
отбросить, так что надо найги
наименьшее значение х-{-2у.
Это тоже нетрудно сде-
сделать с помощью графиков.
Мы знаем, что множество
точек, где х + Чу = с,—пря-
с,—прямая линия. На рис. 43 на-
начерчено несколько таких
прямых, и на каждой напи-
х сано, чему равно z — х-\-2у
на этой прямой (эти прямые
называются линиями уров-
уровня функции z = х + 2у).
Из этого рисунка видно,что
наименьшее значение функции z = х + 2у достигается
в точке х = 50, у = 0.
Итак, самый выгодный план перевозок таков:
1-й завод 2-й завод
1-я шахта	50 г	50 г
2-я шахта	0 т	200 т
Задача, которую мы решили, — типичная задача ли-
линейного программирования. В общем виде она выглядит
так. Дана система линейных неравенств
+0,2*2 + ••- +аыхп <&,,
250\
Рис. 42.
«22*2
2,
Из всех решений системы нужно выбрать такое, для
которого данная линейная функция у = с^ + ,..
... + спхп принимает наименьшее значение.
90

К такой задаче сводится значительная часть расче-
расчетов в экономике, связанных с нахождением оптималь-
оптимальных (наилучших) планов и т. д. Конечно, в реальных
задачах число аргументов п и число уравнений т бы-
бывают огромными: порядка нескольких десятков и сотен.
Рис. 43.
В нашей задаче п — 2, поэтому мы смогли решить ее с
помощью геометрии. В случае большего количества ар-
аргументов для решения этой задачи требуется огромное
количество вычислений, так что невозможно обойтись
без современных электронно-вычислительных машин.
Такая задача была одной из первых, для решения кото-
которой составлялись специальные программы, откуда и воз-
возникло название «линейное программирование».
УПРАЖНЕНИЯ
16.1. Решить уравнения:
а) ]х-а\ + \х + а+1\ = 3;
б)	х + У* (а - *) = 1 (а>0);
в)	(У а — л:2 — '/гJ = х2 — л: + V4-
16.1. Решите неравенства и (если сможете) изобразите ответ
графически:
а) (о+1)*>За-1; б) ах_°а_1 <2;
в)ах±_У^а+у.
г) V"
а-\ '
+ V" -
91

ж) log* [x — a) > 2;	з) cos х	< а.
16.3.	Будем рассматривать квадратные уравнения вида х2 +
+ Рх + Я = 0; каждое такое уравнение задается двумя числами р
и q. Условимся изображать его точкой на- плоскости с координата-
координатами (р; д). Например, уравнение х2 — 2х + 3 = 0 изображается
точкой (—2; 3), уравнение х2—1 =0 —точкой @; —1).
а)	Какое уравнение соответствует началу координат?
б)	Какую часть плоскости «занимают» уравнения, не имеющие
вещественных корней? На какой линии расположены точки, соот-
соответствующие уравнениям, имеющим один кратный вещественный
корень?
в)	Нарисуйте множество точек, соответствующих тем уравне-
уравнениям, у которых корни вещественны и сумма корней равна" 2.
г)	Какое множество точек соответствует тем уравнениям, у ко-
которых корни вещественны и положительны? вещественны и отрица-
отрицательны?
д)	Какой точкой может изображаться уравнение, если извест-
известно, что один из его корней равен 1?
е)	Какой точкой может изображаться уравнение, у которого
оба корня вещественны и по модулю не превосходят 1?
16.4.	Изобразить на плоскости (а, Ь) те точки, для которых
уравнение V* + о. + Ъ -г- V* + Ь — 1
а)	имеет хотя бы один (вещественный) корень;
б)	не имеет вещественных корней;
в)	имеет положительный корень;
г)	имеет корень, меньший чем —2.
16.5.	Среди решений системы неравенств
выбрать такое, для которого х2 + у2 максимально.
16.6. При каких значениях а система
\ х — sin2 у = 3
имеет единственное решение?
16.7.	При каких значениях а всякое решение неравенства
\х2 — х — 2<0 больше какого-нибудь решения неравенства
ах2 — 4х— 1 3*0?
16.8.	Найти все такие значения а, что при любом Ь найдется
такое с, что система
{Ъх — у = ас2.
имеет хотя бы одно решение.

КРАТКИЕ ИТОГИ
Основные понятия
1.	Числовое равенство (числовое неравенство)—это
высказывание вида а = b (а> b,a^b), где а и Ъ —
числа.
2.	Уравнение (условное неравенство') — это перемен-
переменное высказывание вида f(x) = g(x), f (х) > g(х), f(x)^
^ g (х), где / и g — функции.
3.	Область определения уравнения (неравенства) —
множество значений аргумента, при которых опреде-
определены все функции, входящие в уравнение (неравенство).
4.	Решение, или корень, уравнения (неравенства) —
значение аргумента, при подстановке которого получает-
получается верное равенство (верное числовое неравенство).'
5.	Решить уравнение (неравенство) — найти мно-
множество его решений.
6.	Уравнения (неравенства) равносильны — это зна-
значит, что множества их решений совпадают.
Советы
1.	Процесс решения уравнения состоит обычно в
получении цепочки следствий — уравнений, множества
решений которых содержат множества решений преды-
предыдущих. Получив в качестве следствия уравнение, мно-
множество решений которого нам известно, можно либо
сделать проверку, либо проследить за равносильностью
переходов. Так же решают и системы уравнений.
2.	При решении неравенств и доказательстве тож-
тождеств нужно пользоваться равносильными переходами.
3.	Переход с помощью некоторой операции от одного
неравенства (уравнения) к другому заведомо является
93

равносильным, если для этой операции имеется «обрат-
«обратная». Например, можно обе части умножить на поло-
положительную функцию, прибавить к ним любую функцию,
применить некоторую монотонно возрастающую функ-
функцию.
4.	Решение следует начинать с того, что выписать все
ограничения на область определения.
5.	Преобразуя одну часть уравнения (неравенства)
или переходя от одного уравнения (неравенства) к дру-
другому, нужно обязательно следить за тем, чтобы выпол-
выполняемые операции имели смысл при всех значениях пе-
переменных из области определения.
6.	Иногда полезно рассмотреть несколько «случаев»:
разбить области определения на несколько множеств, нэ
каждом из которых удобно совершить переход к более
простому уравнению (неравенству).
7.	Если нужно найти множество точек, удовлетворяю-
удовлетворяющих одновременно нескольким условиям, записываемым
уравнениями, неравенствами и т. п. (решить систему),то
надо взять пересечение множеств точек, удовлетворяю-
удовлетворяющих отдельным условиям.
Если нужно найти множество точек, удовлетворяю-
удовлетворяющих хотя бы одному из нескольких условий (рассмот-
(рассмотреть несколько возможных случаев), то надо взять объ-
объединение множеств точек, удовлетворяющих отдельным
условиям.
8.	Очень часто, особенно при решении неравенств и
при необходимости перебирать много частных случаев,
помогают графические иллюстрации.
9.	При решении уравнений и неравенств с парамет-
параметром надо в ответе перечислить решения при всех зна-
значениях параметра.
10.	Несколько советов по поводу решения задач на
составление уравнений (с параметрами): не забудьте
выписать все условия и ограничения; получив ответ, про-
проверьте, все ли слагаемые в сумме имеют одинаковую
размерность (нельзя, например, складывать длину и ско-
скорость); проверьте ответ в каком-либо простом частном
случае; подставьте простое численное значение парамет-
параметра и посмотрите, правдоподобный ли получился ре-
результат.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	.	. . .... .3
Глава I. Введение .	о
§ 1. Числа ... . ¦ ¦ .	i
§ 2. Высказывания . . . . ...	11
§ 3. Функции	 		15
Глава II. Уравнения	 . .	2Э
§ 4. Числовые равенства ...	.20
§ 5. Уравнения		.24
§ 6. Связь между уравнениями • .	28
§ 7. Примеры		42
§ 8. Корни многочленов		48
§ 9. Графическое исследование уравнений ...	51
§ 10. Системы уравнений		56
Глава III. Неравенства ... . . ...	64
§ 11. Свойства неравенств		64
§ 12. Условные неравенства .... . .	66
§ 13. Неравенства с одним неизвестным . .	72
§ 14. Неравенства с двумя неизвестными ....	78
§ 15. Уравнения-и неравенства с параметрами . .	81
§ 16. Графический метод ... . . . .	86
Краткие итоги . 		93

Марк
Иванович
Башмаков
Уравнения и неравенства
М., 1976 г., 96 стр. с илл.
Редактор
Техи. редактор
Корректор
Г. В. Дорофеев
С. Я. Шкляр
Е. Я. Строева
Сдано в набор
Подп. к печати
Бумага тип. № 3
Физич. печ. л.
Усл. печ. л.
Уч.-изд. л.
Тираж
Т-15166
Цена книги
Заказ 202
4.06.76,
30.09.76,
84ХЮ8У32
3-
5,04.
4,58.
250 000 экз.
13 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция
фнзико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52.
Измайловский проспект, 29

Математика	Библиотечка
физико-математической школы
Серия основная
Выпуск 1	И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, А. А. Кирил-
Кириллов. Метод координат.
Выпуск 2	И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль.
Функции и графики (основные приемы).
Выпуск 3	С. И. Гельфанд, М. Л. Гервер, А. А. Кириллов,
Н. Н. Константинов, А. Г. Кушниренко. Задачи
по элементарной математике (последовательно-
(последовательности, комбинаторика, пределы).
Выпуск 4	Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер. Прямые и
кривые.
Выпуск 5	М. И. Башмаков. Уравнения и неравенства.
Серия дополнительная
Выпуск 1*	Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь,
А. К. Толпыго. Математические задачи.
Выпуск 2*	А. А. Кириллов. Пределы.
Выпуск 3*	Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь.
Математические соревнования (арифметика и ал-
алгебра).
Выпуск 4*	Н. Б. Васильев, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь,
А. П. Савин. Математические соревнования (гео-
(геометрия).