Ю. С. ЛЕЗИН
ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ
И НАКОПИТЕЛИ
ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО»
МОСКВА—1963

Выражаю благодарность Г. М. Булро(ву, совместно
с которым выполнена работа, положенная в основу
§ ?.4, 5.2 и 6.3, и который рассчитал кривые, помещен-
ные иа рис. 4.4—4.7, а также Д. А. Кабанову и Г. С. Ле-
зиной, оказавшим большую помощь при оформлении
рукописи.
Автор глубоко благодарен А. Е. Башаринаву
т В. И. Тихонову за весьма тщательное рецензирование
книги и полезные советы, направленные на ее улуч-
шение.
Книга представляет собой изложение свойств оптимальных
(согласованных) фильтров обнаружения сигналов на фоне
гауссовых шумов, методов их построения, механизма и эф-
фективности работы этих фильтров и устройств для накопле-
ния импульсных сигналов.
Книга предназначается для широкого круга радиоин-
женеров, занимающихся разработкой, проектированием, про-
изводством и эксплуатацией радиолокационных и т. п. им-
пульсных систем, преподавателей и студентов радиотехниче-
ских специальное!ей вузов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная мнига посвящена вопросам повышения поме-
хоустойчивости радиолокационных систем с помощью
оптимальных (согласованных) фильтров обнаружения
и накопителей импульсных сигналов. Основное внимание
уделено в ней прикладным вопросам рационального
построения и расчета ука1занных устройств.
В книге систематически изложены результаты работ
автора, выполненных в 1957—62 гг. Кроме того, исполь-
зованы и работы других авторов, опубликованные в оте-
чественной и зарубежной печати. Последнее относится,
в основном, к гл. 1 и 9 и к § 2.6.
Автор выражает глубокую благодарность члену-кор-
респонденту Академии наук СССР Ю. Б. Кобзареву,
который во время многократных бесед обратил внима-
ние автора на ряд нерешенных задач указанной обла-
сти радиоэлектроники и юделал ценные замечания по
результатам их решения.
Материалы, изложенные в книге, неоднократно
докладывались на заседаниях секции теории информа-
ции научно-технического общества радиотехники и элек-
тросвязи им. А. С. Попова и на научных семинарах
в различных организациях.
Автор признателен всем лицам, принявшим участие
в обсуждении этих материалов, и особенно Д. В. Аге-
еву, А. Е. Башаринову, Н. И. Чистякову, К- П. Полову,
С. Е. Фальковичу, Л. А. Моругину, Г. В. Глебовичу,
Ю. Н. Соколову и М. М. Лещинскому.

ВВЕДЕНИЕ
П(>вышевие помехоустойчивости радиоприема всегда
было одной из важнейших проблем радиоэлектроники
[1]. Помехи, неизбежно поступающие ib радиоприемное
устройство ©месте с сигналами или возникающие в нем,
искажают передаваемые сообщения и тем самым огра-
ничивают его чувствительность. Ослабляя вредное дей-
ствие помех, можно увеличить надежность передачи
сообщений и дальность действия радиотехнических
систем.
Весьма актуальной является, в частности, задача зна-
чительного увеличения дальности действия радиолока-
ционных систем, которая может быть решена только
путем значительного повышения средней мощности пере-
дающих устройств, увеличения габаритов антенных
устройств и повышения чувствительности приемных
устройств этих систем. Однако дальнейшее увеличение
мощности радиопередающих устройств и габаритов ан-
тенн встречает столь большие технические трудности
[2, 3], что значительных результатов в этом направлении
ожидать не приходится. Поэтому повышение помехо-
устойчивости (чувствительности) радиоприемных
устройств представляется одним из самых перспектив-
ных, экономически целесообразных и практически воз-
можных методов значительного увеличения дальности
действия радиолокационных систем.
Повышения чувствительности р а диоприемных
устройств можно достигнуть различными способами:
охлаждением их входных цепей до температур, близких
к абсолютному нулю, использованием квантово-
механических и параметрических усилителей и приме-
нением устройств, осуществляющих оптимальное выде-
ление (фильтрацию) импульсных сигналов из шумовых
помех.
Среди этих способов важное место занимает примене-
ние оптимальных фильтров обнаружения, осуществляю-
щих оптимальное 'выделение импульсных сигналов из
шумовых помех [4—6], и устройств, являющихся практи-
ческими 'приближениями этих фильтров.
Об актуальности ©опросов оптимальной фильтрации
свидетельствует, ъ частности, обилие статей в отечест-
венной и зарубежной периодической печати по этим
вопросам.
5

Хотя свойства оптимальных фильтров, как и -возмож-
ности, обеспечиваемые их (применением, известны давно,
их пр актичеокое иол ол ьзов а ние сильно з адерж а лось.
Этот 'странный факт объясняется, «а наш взгляд, тем,
что первые работы wo оптимальной фильтрации сигналов
носили абстрактно-теоретический характер. В них не
рассматривались возможности практического осуществ-
ления таких фильтров. При этом неоднократно выража-
лись сомнения в возможности их реализации сравни-
тельно простыми средствами [7—9 и др.].
В результате этого у значительного числа радио-
инженеров, связанных с разработкой и проектированием
радиолокационных систем обнаружения, сложилось
ложное представление о том, что оптимальный фильтр—
это идеальное приемное устройство, реализация которо-
го столь сложна даже для частных случаев, что стре-
миться к ней не имеет смысла, а следует идти по пути
применения других способов повышения помехоустой-
чивости радиоприемных устройств: накопления импульс-
ных сигналов, их гребенчатой фильтрации, корреляци-
онных методов и т. п.
На то обстоятельство, что накопление является одной
из важнейших операций, осуществляемых оптимальным
фильтром обнаружения, что вычисление взаимной кор-
реляции и оптимальная фильтрация, как и накопление
импульсных сигналов и их гребенчатая фильтрация,
являются двумя сторонами одного и того же процесса,
обращалось недостаточное внимание в научной и учеб-
ной литературе. Это привело и к неупорядоченности
терминологии ino этому вопросу.
За последние годы издано большое число моногра-
фий по статистическим методам выделения сигналов из
шумов. Наиболее значительными из них являются книги
'Л. А. Вайнштейна и В. Д. Зубакова «Выделение сигна-
лов на фоне случайных помех» [10], С. Е. Фальковича
«Прием радиолокационных сигналов на фоне флюктуа-
ционных помех» [И] и Л. С. Гуткина «Теория оптималь-
ных методов радиоприема при флкжтуационных по-
мехах» [12]. Переведены на русский язык и изданы весь-
ма интересные книги иностранных авторов [13—15].
Однако нам Hie известно ни одной книги, в которой
упомянутые выше методы подробно рассматривались
бы с инженерным, прикладным уклоном. В этом отно-

шении очень характерным является следующее высказы-
вание авторе© книги [10]: «Во избежание 'Недоразумений
отметим, что оптимальные фильтры и оптимальные при-
емники исследованы в книге лишь с точки зрения тех
математических операций, -которые фильтры и приемни-
ки должны производить «над (принимаемой смесью сиг-
налов и помех; вопросы, связанные с практическим осу-
ществлением соответствующих схем, остаются за преде-
лами данной книги».
В периоди ческой л и тер атур е он у б ли ков а но мн о го
статей по указанным вопросам, в которых используется
различная терминология и полученные результаты трак-
туются с разных точек зрения, что дезориентирует чита-
телей.
И, видимо, отсутствуют работы по обобщению и си-
стематизации опубликованных интересных и актуальных
материалов.
Таким образом, в настоящее время назрела настоя-
тельная неообходимость создания монографии, предназ-
наченной хотя бы частично восполнить тот пробел, о ко-
тором указывалось выше.
В этой монографии следовало бы систематически из-
ложить свойства оптимальных фильтров обнаружения
и построение этих фильтров для одиночных импульсных
сигналов и их последовательностей, выяснить механизм
работы таких фильтров и обсудить возможности их
практической реализации, рассмотреть свойства нако-
пительных систем с задержанной обратной связью,
являющихся практическим приближением оптимальных
фильтров для последовательностей импульсных сигна-
лов, и изложить теорию пороговых сигналов при накоп-
лении последовательностей импульсных сигналов с по-
мощью этих систем.
Этим целям и служит данная книга.
Она состоит из девяти глав. Первая глава посвящена
оптимальному обнаружению сигналов известной формы
на фоне гауссовых (нормальных) шумов. В ней постав-
лены задачи обнаружения и выделения сигналов на
фоне шумов, рассмотрены ошибки радиолокационного
приема и их вероятности. Показано, что при заданном
уровне вероятности ложной тревоги единственная воз-
можность увеличения вероятности правильного обнару-
7

жения сигнала известной формы ва фоне гауссова шума
заключается во 'всемерном увеличении отношения
сигнал/шум. Эта цель достигается применением опти-
мального фильтра обнаружения. Рассмотрены характе-
ристики фильтра, оптимального сигналу заданной фор-
мы. Установлена тождественность оптимального филь-
тра обнаружения и взаимно корреляционного устрой-
ства.
,Во второй главе изложены вопросы синтеза опти-
мальных фильтров для одиночных видео- и радиоим-
пульсных «сигналов различной формы и их 'последова-
тельностей с огибающими разнообразной формы. Уста-
новлено взаимное соответствие оптимальных фильтров
для видео- и радиоимпульсов, а также для одиночных
импульсов и их последовательностей той же формы.
Некоторое внимание уделено описанию «схемы и теории
работы элементов счетшрешающей техники (интегри-
рующих, суммирующих, вычитающих и задерживающих
устройств), которые входят в состав оптимальных
фильтров.
В третьей главе рассмотрен механизм работы филь-
тр а, оптим ал ь но го л р ям оу гол ь ной п осл е дов а т ел ьности
импульсных сигналов. В начале этой главы проанализи-
ровано (прохождение прямоугольного^ импульсного сиг-
нала и нормального шума через оптимальный фильтр
и отдельные его элементы. Вычислен выигрыш в отно-
шении сигнал/шум, обеспечиваемый этим фильтром по
сравнению с реостатным, резонансным и полосовым
усилителями.
Далее показано, что оптимальная фильтрация после-
довательности импульсных сигналов заключается во
внутрипериодной обр аботке (фил ьтр ации отдельных
импульсов) и накоплении (суммировании) импульсов,
расположенных в различных периодах повторения этой
последовательности. Рассмотрены трудности, «возникаю-
щие при практическом осуществлении оптимальных
фильтров, и вопросы построения устройств, которые по
своим свойствам близки к оптимальным фильтрам.
В частности, установлено, что практическим приближе-
нием к фильтру, оптимальному прямоугольной последо-
вательности импульсных сигналов, является совокуп-
ность ч а стопного фильтра и накопительного устройства
с задержанной обратной связью,

В четвертой и пятой главах изложены вопросы на-
коплеиия импульсных сигналов и шумов в системе, со-
стоящей из частотного фильтра и одного или двух нако-
пительных устройств с задержанной обратной связью.
В следующей главе рассчитаны выигрыши в отноше-
нии сигнал/шум, обеспечиваемые (накопительными систе-
мами с задержанной обратной связью по сравнению
с оптимальным фильтром для одиночного импульсного
сигнала. Результаты расчетов этого выигрыша, выпол-
ненных при различных соотношениях между полосами
пропускания преднакопителыного фильтра и цепи обрат-
ной связи накопительного устройства, представлены
в «виде большого числа графиков, которые позволяют
выбрать параметры накопительной системы так, чтобы
она работала наиболее эффективно, а также рассчитать
эту систему.
Седьмая глава посвящена пороговым сигналам при
когерентном накоплении. В ней рассчитаны характери-
стики обнаружения и пороговые отношения сигнал/шум
при когерентном (накоплении различных видов последо-
вательностей импульсных сигналов: полностью извест-
ной, с неизвестной начальной фазой и дружно флюктуи-
рующих импульсных сигналов. Они позволяют рассчи-
тать чувствительность радиоприемных устройств с коге-
рентным накоплением.
Изложению теории пороговых сигналов при некоге-
рентнюм /накоплении с экспоненциальной весовой функ-
цией посвящена восьмая глава. В ней указаны трудно-
сти расчета пороговых сигналов при таком накоплении,
обусловленные тем, что .некогерентное экспоненциально-
весовое накопление представляет собой весовое сумми-
рование напряжений, распределенных вследствие нели-
нейности амплитудного детектора по закону, отличаю-
щемуся от закона Гаусса. Задача же о распределении
вероятностей весовой суммы негауссовых компонент
является очень сложной.
В связи с этим предложен приближенный (метод опре-
деления закона распределения накопленного напряже-
ния, основанный на использовании разложений в ряды
Эджворта и по ортогональным функциям Лагерра.
Коэффициенты этих разложений выражаются через ку-
мулянты распределения случайных напряжений на выхо-
де. Последние весьма просто вычислить по известным
9

Кумулянтам распределения (напряжений на выходе на-
копителыного устройства.
С помощью указанного' математического аппарата
рассчитаны пороговые отношения сигнал/шум ори квад-
ратичном экспоненциально-весовом накоплении последо-
вательности нефлюктуирующих, дружно и независимо
флюктуирующих импульсных сигналов. Эти материалы
позволяют легко выполнить расчет чувствительности
приемника с некогерентным экспонеициалыно-весовым
накоплением.
Весьма актуальные вопросы об оптимальных филь-
трах для -частотно-модулированных и фазоманипулиро-
ванных радиоимпульаных сигналов рассмотрены в де-
вятой главе. В ней изложены свойства таких сигналов,
характеристики оптимальных им фильтров и методы их
построения и показана целесообразность применения
этих сигналов в радиотехнических системах сверхдаль-
него действия и повышенной точности.
В связи с тем, что книга рассчитана на широкий круг
читателей, главное внимание обращается на физическую
сторону излагаемых процессов. Используемый матема-
тический аппарат выбран возможно простым. Именно
поэтому при изложении первой, седьмой и восьмой глав
сделана попытка обойтись без широко применяемого при
решении аналогичных задач аппарата коэффициента
(функций) правдоподобия [10, 11, 16]. Это позволило
также избежать дублирования материала, вошедшего
в другие упомянутые выше книги.
Сложность применяемого математического аппарата
нарастает постепенно от главы к главе, что должно, по
нашему мнению, облегчить чтение книги. С этой целью
первая глава написана наиболее просто.
Несмотря на значительное упрощение используемого
в книге математического аппарата, от ее читателя тре-
буется знакомство с основными понятиями теории ве-
роятностей и теории случайных процессов (например,
в объеме второй, третьей, пятой и шестой глав извест-
ной книги Б. Р. Левина «Теория случайных процессов
и ее применение в радиотехнике» [17]).
Для облегчения понимания книга иллюстрирована
большим числом рисунков, на которых изображены блок-
схемы рассматриваемых устройств и временные диаграм-
мы напряжений в их различных точках.
10

ГЛАВА ПЕРВАЯ
СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
§ 1.1. ОСОБЕННОСТИ И ЗАДАЧИ РАДИОЛОКАЦИОННОГО
ПРИЕМА. ХАРАКТЕР РАССМАТРИВАЕМЫХ ПОМЕХ
В радиолокации форма принимаемого сигнала, от-
раженного от точечного объекта, совпадает с формой
посланного сигнала и поэтому заранее известна. Вся
информация об объекте, вызвавшем отражение послан-
ного сигнала, заключена во времени запаздывания при-
нимаемого сигнала по отношению к посланному, а так-
же в смещении частоты принимаемого сигнала относи-
тельно частоты посланного.
Однако заранее неизвестен сам факт наличия отра-
женного сигнала >в принимаемом колебании. Последнее
может представлять собой как случайный шум, так
и омесь этого шума с отраженным сигналом. Первая
задача радиолокационного приема и заключается в вы-
яснении наличия отраженного сигнала в принимаемом
колебании. Эта задача носит название задачи о б н а-
р ужении я.
Другой задачей радиолокационного приема является
оценка параметров отраженного сигнала, искаженного
случайными помехами. Такими параметрами чаще тсего
являются время запаздывания и допплерово смещение
частоты. Если измеряемые параметры сигнала не оста-
ются постоянными в течение интервала наблюдения,
то задача оценки параметров переходит в задачу филь-
трации (воагороиоведения) отраженного сигнала.
И

Очень важной для радиолокации является и задача
разрешения сигналов, т. ё. задача раздельного обнару-
жения нескольких одновременно действующих отражен-
ных сигналов с мало различающимися параметрами
и оценка параметров этих сигналов.
Ниже основное внимание уделяется рассмотрению
устройств для решения первой задачи, т. е. устройств
обнаружения сигнала на фоне случайных помех.
При этом изучаются только помехи типа нормально-
го флюктуационного шума. Это объясняется по крайней
мере двумя причинами.
Во-первых, в диапазоне ультракоротких волн,
используемом для радиолокации, флкжтуационные шу-
мы являются основным видом помех. Действительно, как
известно, уровень атмосферных импульсных помех
в указанном диапазоне ничтожно мал, а от импульсных
помех индустриального происхождения можно в значи-
тельной мере избавиться, устанавливая радиолокацион-
ную систему в достаточном удалении от источников этих
помех, что в случае систем обнаружения (особенно,
дальнего) всегда возможно.
Во-вторых, — и это очень важно — флюктуационные
шумы, представляющие собой 'помехи чисто случайного
характера, являются наиболее вредным типом помех
[18]. Вследствие их случайности принципиально невоз-
можно добиться их полного устранения, ибо всегда
имеется конечная вероятность того, что шум вызовет
такое искажение принимаемого сигнала, что образовав-
шееся в результате этого колебание будет совпадать
с совершенно другим сигналом. В этом случае ошибка
при приеме будет неизбежной.
Таким образом, путем совершенствования приемных
устройств можно снизить вероятность ошибки (искаже-
ния) только до некоторого определенного уровня, кото-
рый не может быть превзойден никакими средствами.
Последнее и было строго доказано В. А. Котелынико-
вым, разработавшим теорию потенциальной помехо-
устойчивости [19, 20].
К счастью, при рассмотрении воздействия нормально
флкжтуационвых шумов имеется возможность приме-
нить сравнительно хорошо разработанный аппарат тео-
рии вероятностей и теории случайных процессов, что
позволит упростить это рассмотрение.
12

§ 1.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР КАК ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА
Радиоприемное устройство системы обнаружения
предназначено для анализа принимаемого колебания
с целью выяснить, состоит ли это колебание только из
шума (а юишал 'при этом отсутствует) или оно представ-
ляет собой смесь ситала и шума. Следовательно, ра-
диоприемное устройство обнаружения является решаю-
щим прибором.
Решение о
наличии или
Принимаемое отсутствии
колебание
Линейный
фильтр
Решающая \ сигнала _
едет $
Рис. il.ll. Блок-схема простейшего приемного устройства
обнаружения сигналов.
В простейшем случае оно может состоять из двух ча-
стей: линейного фильтра и собственно решающей (логи-
ческой) схемы, являющейся принципиально нелинейным
устройством (рис. 1.1). Назначение линейного фильтра
заключается в такой обработке принимаемого колеба-
ния, которая увеличила бы вероятность правильного ре-
шения. Решающая схема наиболее просто выполняется
© виде порогового устройства, которое вырабатывает на
выходе напряжение решения только в том случае, если
напряжение еа его входе превзойдет некоторый уровень
?/0, именуемый напряжением порога. Наличие напряже-
ния на выходе порогового устройства свидетельствует
о приеме сигнала, а его отсутствие — о приеме одного
шума. Таким образом, если напряжение |на входе поро-
гового устройства и2* превосходит порог UQ
A.1)
то принимается решение о шличии 'сигнала, а в про-
тивном случае
u2<\U0 A.2)
— о его отсутствии.
* Здесь и далее применяемые индексы совпадают на соответ-
ствующем рисунке с номером точки, к которой относится рассматри-
ваемая физическая -величина (в данном случае «2—напряжение в точ-
ке 2 блок-схемы, изображенной на рис. IIЛ).
13

Следовательно, (Пороговое устройство можно
идеализированной нелинейной характеристикой, 'пред-
ставленной на рис. 1.2.
Напряжение с выхода порогового устройства посту-
пает к получателю информации, которым может быть
как цифровая вычислительная машина или счетноре-
шающее устройство, та:к и оператор. В последнем случае
напряжение с порогового устройства, несущее информа-
цию О1 наличии сигнала, поступает сначала на преобра-
зователь этого напряже-
ния в форму, удобную
для восприятия операто-
ра. С этой целью обычно
используется радиолока-
ционный электронно-лу-
чевой индикатор, преоб-
разующий напряжение
сигнала в визуальное изо-
бражение, легко наблю-
даемое оператором.
В работе радиоприем-
ного устройства, предна-
значенного для решения
задачи обнаружения, мо-
гут быть ошибки двух
родов.
Ошибка п е р в о г о рода заключается в том, что
при приеме одного шума напряжение на входе порогово-
го устройства (т. е. на выходе линейного фильтра) пре-
вышает напряжение порота, вследствие чело* принимает-
ся неверное решение о приеме сигнала. Эта ошибка на-
зывается ложной тревогой или ложным обнаружением.
Ошибка второго рода состоит в пропуске сиг-
нала вследствие того, что в результате взаимодействия
сигнала с шумом на выходе линейного фильтра обра-
зуется напряжение, величина которого меньше напряже-
ния порога, что служит основанием для ошибочного за-
ключения о приеме одного шума (т. е. об отсутствии
сигнала). Она называется пропуском сигнала.
Изложенное выше иллюстрируется рис. 1.3, на кото-
ром изображены временные диаграммы сигнала, шума
и смеси сигнала с шумом на входе порогового устройст-
ва. На нижнем рисунке указано и напряжение срабаты-
14
Рйс. 1.2. Зависимость напряжения
на выходе порогового устройства
от напряжения на входе.

ван:йя .порогового устройства. Из рассмотрений этих вре-
менных диаграмм шд'но, что в момент t\ наблюдается
правильное обнаружение сигнала (т. е. радиоприемное
устройство вырабатывает правильное решение oi приеме
Рис. 1.3. Временные диаграммы сигнала
(а), шума (б) и смеси сигнала с шу-
мом (в) на входе -порогового устрой-
ства.
сигнала), в момент t2 происходит явление ложной тре-
воги, а в момент /з — пропуск сигнала.
Поскольку обе ошибки обусловлены действием флюк-
туациошого шума, который представляет собой случай-
ный процесс, подчиняющийся только статистическим
(вероятностным) законам, то задача обнаружения ра-
диолокационного сигнала является статистической и мо-
15

решаться только методами теории вероятностей и
теории случайных процессов.
Определим 'вероятности ошибок радиолокационного
приема.
Вероятность ложной тревоги F равна вероятности то-
го, что шумовое колебание на выходе линейного филь-
тра .превысит (напряжение порога
00
F=Bep(u2m>U0)=$ Wt (ut) du2, A.3)
где W\(u2) —плотность распределения вероятностей
флюктуационного шумового колебания.
Поскольку рассматривается воздействие на радио-
приемное устройство гауссовых шумов, а при прохожде-
нии этих шумов через линейную систему характер их
распределения вероятностей не меняется [17], то
где о\—дисперсия (мощность) этих шумов.
Тогда
_Ц2ш
оо 2ог2
= 1—L е Aиаш = 4гП-ФA)\, О-5)
I
где Ф (/) = —р= \ е~'2 dt — интеграл вероятности, функция
V nj
о
ошибок, функция Крампа [17];
1=к
— относительный порог срабатывания.
Рассматривая зависимость вероятности ложной тре-
воги от относительного порога (рис. 1.4), приходим
к очевидному заключению о том, что для уменьшения
вероятности ложной тревоги необходимо увеличивать
16

F
W
-2,0
2,0 I
Рис. 1.4. Зависимость вероятности ложной
тревоги от относительного порога.
напряжение порога по сравнению с эффективным (сред-
неквадратичным) значением шума на выходе линейного
фильтра.
Вероятность пропуска сигнала равна вероятности
того^что при приеме сигнала выполняется неравенство
A.2)
Я = Вер (я2С <{/„)=) W2(u2)du2,
—00
где №2(^2) —плотность распределения вероятностей на-
пряжения смеси сигнала с шумом на выходе линейного
фильтра. Поскольку присутствие сигнала смещает за-
кон распределения вероятностей по оси напряжений на
величину напряжения этого сигнала, то
A.7)
где иС2 — напряжение сигнала на выходе линейного
фильтра, максимальное значение которого равно ампли-
туде Uc2. Поэтому минимальная вероятность пропуска
сигнала
-4МЛ-01- <>-8»
17

Где
— отношение амплитуды сигнала к эффективному значе-
нию шума на выходе линейного фильтра.
Зависимость вероятности пропуска сигнала от раз-
ности отношения сигнал/шум и относительного порога
полностью совпадает с зависимостью вероятности лож-
ной тревоги от относительного порога (рис. 1.4).
На практике обычно имеют дело не с вероятностью
пропуска сигнала, а с вероятностью правильного обна-
ружения D.
Очевидно,
Из рассмотрения зависимости вероятности правиль-
ного обнаружения сигнала от отношения сигнал/шум
при разных значениях относительного порога (рис. 1.5),
которая носит название характеристики обнару-
Рис. 1.5. Зависимость вероятности обнаружения от
отношения сигнал/шум.
ж е н и я, следует, что для повышения вероятности пра-
вильного обнаружения необходимо всемерно увеличи-
вать отношение сигнал/шум по сравнению с относитель-
ным порогом.
Из A.6) и A.8) легко видеть, что относительный по-
рог влияет как на вероятность ложной тревоги, так и
на вероятность пропуска сигнала. Однако если для
18

уменьшения вероятности ошибки первого рода сле-
дует увеличивать относительный порог, то для снижения
вероятности пропуска сигнала необходимо, наоборот,
уменьшать его величину. Поэтому, казалось бы, величи-
на этого порога должна выбираться из компромиссных
соображений с целью получения минимума вероятности
суммарной ошибки. Однако такой подход, называемый
критерием идеального наблюдателя |[10, 17, 21, 22], наи-
более характерен для систем радиосвязи [23], в которых
как ложное обнаружение, так и пропуск сигнала неже-
лательны в одной и той же степени *.
IB случае радиолокационных систем обнаружения бо-
лее правильным является иной подход, именуемый кри-
терием Неймана—Пирсона [10, 17, 21, 22]. Дело в том,
что ложное обнаружение радиолокационного сигнала
является исключительно опасным явлением, ибо может
вызвать весьма нежелательные последствия, а поэтому
вероятность этого события должна быть очень малой
(порядка 10~6—10~10). Ее увеличение не может быть до-
пущено даже за счет снижения вероятности пропуска
сигнала.
При применении критерия Неймана—Пирсона веро-
ятность ложной тревоги F заранее фиксируется. По-
скольку она функционально связана с относительным
порогом [см. A.6) и рис. 1.5], то «последний также ока-
зывается заранее заданным. Задача проектировщика
приемного устройства радиолокационной системы обна-
ружения сводится к разработке устройств, позволяющих
уменьшить вероятность (Пропуска сигнала и, следова-
тельно, повысить вероятность правильного обнаружения
сигнала.
Из A.10) следует, что поскольку относительный по-
рог задан уровнем вероятности ложной тревоги, то
единственная возможность для увеличения вероятности
правильного обнаружения сигнала заключается во все-
мерном повышении отношения сигнал/шум 'на выходе
линейного фильтра [24]. Эта задача при постоянной
средней мощности (передающего устройства может ре-
шаться только путем рационального выбора характери-
стик линейного фильтра. Этот выбор основывается на
* Критерий идеального наблюдателя попользуется и при проек-
тировании радиовзрывателей и тшу подобных устройств.
2* 19

максимальном использовании различий между сигналом
и шумом.
Назовем фильтром, оптимальным сигналу s(t), та-
кой линейный фильтр, на выходе которого отношение
пикового значения сигнала к эффективному значению
шума является максимально возможным. Вследствие
Оптимальный
фильтр (Взаимно
корреляционное
устройство)
Рис. 1.6, Блок-схема оптимального прием-
ника.
вышеизложенного оптимальный приемник состоит и&
оптимального фильтра и порогового устройства
(рис. 1.6). Прежде чем рассмотреть характеристики'
оптимального фильтра, убедимся в том, что указанный
приемник является наилучшим и в смысле извлечения по-
лезной информации из принимаемого колебания [12, 13]'.
Пусть-принимаемое колебание представляет собой
сумму (аддитивную смесь) сигнала s(t) и шума n(t)y
т. е.
Сигнал s(t) полагается известным точно, т. е.
единственным неизвестным параметром этого сигнала
является принимаемое сообщение х. Последнее рассмат-
ривается в месте приема как случайная величина или
случайная функция времени о известным априорным
распределением Р(х). Распределение шума Щп(|/)]так-
же считается известным.
В результате анализа принятого колебания U\(t)
в течение заранее выбранного конечного интервала вре-
мени Т приемник должен воспроизвести сообщение х.
Вследствие искажающего действия шума и конечно-
го времени анализа никакой приемник не может вос-
произвести сообщение х абсолютно точно, с полной до-
стоверностью— всегда будет существовать конечная ве-
роятность ошибочного решения.
Поэтому самое большее, что можно потребовать от
приемника, — это определить вероятность того или ино-
го значения сообщения к при данной реализации прини-
20

маемого колебания U\(t). Иначе говоря, оптимальный
приемник на основе анализа принятого колебания дол-
жен вычислить апостериорное распределение вероятно-
стей Ри(х) для всех возможных значений сообщения х
при данном принятом колебании u\(i).
Поскольку совместная вероятность двух случайных
величин х и а.
р (х, и) = Р (х) Рх (и) = Р (и) Ри (*),
где Рх(и) — условная вероятность и при данном х\
Р{и) — безусловная вероятность и,
то апостериорная вероятность
Р{х)Р{Х)РЛ^
Ри{х)=Р{Х)РЛ^
Так как при данном х функция si(\t) известна точно, то
из ( 1j1A) следует, что в этом случае вероятность реали-
зации щ (!/) совпадает с вероятностью такой реализации
помехи n(i), которая равна разности U\(t)—s(t), т. е.
Р() W[ (<)(*)]
) ()()
, Считая шум белым (нормальным и имеющим спект-
ральную интенсивность (энергетический спектр)
Fx(m) = 2a*, A.12)
получим
Pu(x) = klP(x)e ° , A.13)
где к\ — постоянный коэффициент, который не зависит
от х и может быть определен из условия нормирования
апостериорной вероятности.
Последнее выражение, очевидно, эквивалентно сле-
дующему:
г
* Величина а представляет собой спектральную интенсивность
(т. е. мощность, приходящуюся на спектральный интервал в 1 Щ)
шума, если принять ©о внимание как положительные, так и отри-
цательные частоты. Так как в дальнейшем по физическим соображе-
ниям рассматриваются только положительные частоты, то спектраль-
ная интенсивность шума «считается равной 2 а [10,17}.
21

где k2 = k,e °
y2(t)dt — энергия сигнала,
о
Вместо вычисления апостериорной вероятности прием-
ник может вычислять любую монотонную функцую этой
вероятности, например 1пРи(х). Тогда
где RB @) — частное значение (при % = 0) функции взаимной
корреляции колебаний ux(t) и s(t) [7]
Отсюда следует, что основной операцией, осуще-
ствляемой оптимальным приемником над принимаемым
колебанием, является вычисление взаимной корреляции
между этим колебанием и ожидаемым сигналом s(i).
Это вычисление взаимной корреляции должно произ-
водиться так 'называемым взаимно корреляционным
устройством, которое, как показывается ниже, легче все-
го осуществить в виде оптимального фильтра.
Напряжение и2 с выхода этого оптималыного фильт-
ра (или взаимно корреляционного устройства) поступает
на 'пороговое устройство, вырабатывающее решение
о наличии или отсутствии сигнала в соответствии с ука-
занным выше правилом.
Таким образом, приемник, состоящий из оптималь-
ного фильтра и порогового устройства (рис. 1.6), позво-
ляет извлечь всю полезшую информацию о сигнале, со-
держащуюся в принимаемом колебании.
Рассмотрим характеристики оптимального фильтра.
§ 1.3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
В СЛУЧАЕ БЕЛОГО ШУМА НА ВХОДЕ
Обозначим передаточную функцию линейного филь-
тра
22

Где /((да) — амплитудйо-частотная характеристика фильтра,
ф(со) — его фазовая характеристика.
Пусть на вход такого фильтра действует сигнал S\(t),
имеющий спектральную плотность (спектральную функ-
цию)
причем
где S1((a) — модуль спектральной плотности сигнала или
его амплитудный спектр,
<р(<») — аргумент (фаза) спектральной плотности сиг-
нала или его фазовый спектр.
Сигнал на выходе фильтра, очевидно, описывается вы-
ражением
+ 00
e i f
+ 00
f Л()+ф()+/1 A.14)
При действии на вход фильтра белого гауссова шума
со спектральной интенсивностью A.12) шум на выходе
имеет мощность (дисперсию)
+00
B(со)б?ш. A.15)
Разделив квадрат A.14) при t = tQ на A.15), получим от-
ношение квадрата мгновенного значения сигнала к мощ-
ности шума
+00
С
+
2
. A.16)
а Г
2^ j
23

Для вычисления условия максимума этого отношения
воспользуемся неравенством Шварца—Буняковского [25]
+00 +00 +00 __
J F(¦)С(ш)dm |2< \\F (ю) |2 do) J | С И |2<Ь-
—00 —00 —00
Оно превращается в равенство при условии
где G — некоторая постоянная.
Применяя это неравенство к A.16) и полагая
F(o>) = s;((o) и С(со) = аде/Ф'%
получим
j 5'W^4 A.18)
где Ег — полная энергия сигнала sx (t) на входе, которая
вследствие теоремы Релея [26] связана со спектральной
плотностью соотношением
+00
S?(©)dffl.
Вследствие A.17) равенство
^- A.19)
имеет место только в том случае, если
Отсюда следует, что передаточная функция оптималь-
ного фильтра должна удовлетворять условию *
#H = GS* (со) е-;Чо'\ A.20)
где S*(o>) — функция, комплексно сопряженная спек-
тральной плотности сигнала, т. е.
= S(co)e~Ma>). A.21)
* Тот же результат можно получить и -вариационным методом.
24

Таким образом, передаточная функция оптимального
фильтра отличается от функции 5*(ш), комплексно со-
пряженной спектру сигнала 5(ш), только множителем
вида Ge~/<04 где G и t0 — постоянные, причем t0 — мо-
мент времени, в который наблюдается максимум мгно-
венного значения (т. е. пиковое значение) сигнала [27].
Следует отличать оптимальные фильтры обнаруже-
ния от фильтров, оптимальных <в смысле критерия сред-
неквадратичной ошибки. Эти фильтры в отличие от рас-
сматриваемых служат для воспроизведения сигнала
в присутствии случайных шумов и широко используют-
ся в системах автоматического регулирования и управ-
ления [8,28—30].
Комплексное равенство A.20) эквивалентно двум
действительным равенствам, которые с учетом A.11) и
A.21) принимают вид
/CH^GS» A.22)
ФН = -[?(ш) + <]. A.23)
Из рассмотрения первого из этих равенств следует,
что амплитудно-частотная характеристика оптимального
фильтра отличается только множителем G от амплитуд-
ного спектра сигнала, которому оптимален этот фильтр.
Вследствие этого происходит относительное ослабление
спектральных составляющих сигнала и шума, соответ-
ствующих менее интенсивным участкам спектра сигна-
ла. Это ослабление тем больше, чем меньше интенсив-
ность составляющих сигнала 1на этих частотах. Послед-
ние играют меньшую роль в образовании пикового зна-
чения выходного сигнала, чем наиболее интенсивные
составляющие. Ослабление же спектра шума, равномер-
ного на входе, наблюдается на всех частотах, за исклю-
чением только тех, которые соответствуют максимумам
спектра сигнала.
Изложенные соображения иллюстрируются рис. 1.7.
Из его рассмотрения легко заметить, что амплитудный
спектр выходного сигнала 52(оз) совпадает по форме
с энергетическим спектром выходного шума F2(со). Это
подтверждается следующими соотношениями
(«>) = S, (со) К (©) = GS2{ (<о)
25

F, (ш) = Ft («>) К2 Н = 2aG' S{ («),
откуда следует
Ч A-24)
т. е. амплитудный спектр сигнала на выходе оптималь-
ного фильтра отличается только множителем от энер-
гетического спектра выходного шума.
Рис. '1.7. Преобразование спектров сигнала (а) и
белого шума (б) оптимальным фильтром.
Обратимся к интерпретации равенства A.23). Оно
означает, что фазовая характеристика^ оптимального
фильтра г|)(со) отличается только знаком от суммы фа-
зового спектра сигнала ср(со) и линейной функции часто-
ты Ыо (рис. 1.8).

В связи с тем, что фазовая характеристика опти-
мального фильтра удовлетворяет равенству A.23), все
спектральные составляющие сигнала на выходе этого
фильтра в момент t = tQ имеют одну и ту же нулевую
фазу. Действительно, гармоническая составляющая сиг-
нала частоты со на вы-
ходе оптимального
фильтра в момент
t имеет фазу
0)
Рис- L8- Построение фазовой харак-
тер.Истики оптимального фильтра.
которая обращается
в нуль при t = to неза-
висимо от величины
частоты. Складываясь
в фазе, спектральные
составляющие сигнала
и образуют 'в этот мо-
мент пиковый выброс
сигнала.
Поворот фаз спек-
тральных составляю-
щих шума оптималь-
ным фильтром не изменит их случайного характе-
ра, вследствие чего* результат суммирования этих со-
ставляющих на выходе будет также случайным. При
этом вероятность того, что и составляющие шума в ка-
кой-то момент времени сложатся в фазе и образуют
очень большой шумовой выброс, очень мала, как и на
входе фильтра.
Из A.20) следует, что фильтр, оптимальный сигна-
лу s(t), оптимален для всех других сигналов той же
формы, т. е. отличающихся от сигнала s(t) только ампли-
тудой, временным положением и начальной фазой. Дей-
ствительно, если один сигнал отличается от другого
только тем, что его амплитуда в \х раз больше, во вре-
мени он {расположен позднее на tu а его начальная фа-
за сдвинута на г|эь то, как известно [44], спектральная
плотность этого сигнала отличается от спектральной
плотности второго сигнала только множителем р-е '.
27

Поэтому соответствующим выбором постоянных G и t0
в A.20) можно добиться полной идентичности передаточ-
ных функций фильтров, оптимальных этим сигналам.
Это и доказывает оптимальность фильтра одновременно
для всех сигналов данной формы.
Следовательно, оптимальный фильтр обладает свой-
ством инвариантности относительно амплитуды,
временного положения и начальной фазы сигнала. Это
свойство оптимального фильтра является весьма важ-
ным, особенно для практики. Действительно, обычно ам-
плитуда, запаздывание и начальная фаза принимаемого
сигнала не являются известными. Однако вместо по-
строения громадного числа фильтров, каждый из кото-
рых был бы оптимален для сигнала с конкретными зна-
чениями амплитуды, запаздывания и начальной фазы,
для осуществления оптимального приема достаточно син-
тезировать только один фильтр, который будет опти-
мальным для всех сигналов данной формы.
В радиолокации обычно такие параметры сигнала,
как амплитуда и начальная фаза, принимают случайные
значения и не !несут полезной информации, т. е. являют-
ся паразитными. Из вышеизложенного следует, что на-
личие этих случайных параметров не меняет структуры
оптимального фильтра.
В связи с тем, что характеристики оптимального
фильтра обнаружения наилучшим образом согласованы
с характеристиками сигнала (в частности, с его спект-
ральными характеристиками), в литературе оптималь-
ный фильтр обнаружения часто называют согласован-
ным фильтром [6,31].
§ 1.4. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ
ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА В СЛУЧАЕ БЕЛОГО ШУМА
НА ВХОДЕ
После рассмотрения спектральных характеристик
оптимального фильтра обратимся к анализу его (Времен-
ных характеристик. Важнейшей из таких характеристик
является импульсная переходная функция фильтра, т. е.
его отклик на единичный импульс б(/).
Импульсная переходная функция любого линейного
фильтра связана преобразованием Фурье с его переда-
28

—00
+ 00
f
точной функцией [33]
+ 00
h (t) = — I К(®) e/<0 (ia>.
—00
Используя A.20), получаем для импульсной переход-
ной функции оптимального фильтра
27Z J l
+ 00
G С
— 2n J
—00
+00
= -^ l Г St (<o) COS [a)(^0 — 0 + ? (<»)] dm —
—CO
+ 00
— / f St H sin [со (t0 — t) + 9((o)] dm \ . A.25)
—00
Для установления связи импульсной переходной
функции с формой сигнала воспроизведем зависимость
между мгновенным значением сигнала и его спектром:
if « ()M1 dm =
—00
+
—00
+00
{ j
—00
+ 00
+ / J
Поскольку функция 5(^), описывающая сигнал, являет-
ся вещественной функцией времени, то второй интеграл
последнего выражения тождественно равен нулю:
+ 00
J S^)sinИ +?(«>)]Ж» = 0. A.26)
29

Тогда
-boo
l @ = i f si Иcos
I *»•
Используя A.26), перепишем выражение для им-
пульсной переходной функции оптимального фильтра
A.25) в таком виде:
+00
А (*) = A f si (ш) cos [<d(/0 — t) + <p(co)l dm.
— GO
Сопоставляя последнее равенство с A.27), легко уста-
новить следующую зависимость ,между импульсной пе-
реходной функцией оптимального фильтра и формой
сигнала, которому этот фильтр оптимален:
h (t) = Gs^t.-t). A.28)
Таким образом, импульсная переходная функция
фильтра, оптимального сигналу Si(t), отличается от
функции, описывающей
этот сигнал, только по-
стоянным множителем О,
смещением во времени на
величину ^о и знаком
аргумента времени /.
Чтобы 'подчеркнуть по-
следнее, говорят, что
импульсная переходная
функция оптимального
фильтра является зер-
I \у \ «кальным отображением
1 trtlTi функции, описывающей
I— ?• —I мгновенные значения сиг-
нала.
Рис. 1.9. Временные диаграммы
сигнала (а), его зеркального ото-
бражения .(б) и импульсной пере-
ходной функции оптимального
фильтра (в).
На рис. 1.9 изображе-
ны один из сигналов (а),
его зеркальное отображе-
ние (б) и одна из возмож-
ных импульсных переходных функций реализуемого опти-
мального фильтра (в). При этом выбрано G = 2 и to = tK,
где tK — момент времени окончания сигнала на входе.
30

Из этого рисунка хорошо видна необходимость вре-
менного запаздывания U, величина которого должна
быть не меньше момента времени окончания входного
сигнала
to>tK. A.29)
Если бы 'последнее условие не соблюдалось, то опти-
мальный фильтр вырабатывал бы на своем выходе на-
пряжение h(t) еще до то-
го, как на его 'вход в мо-
мент ? = 0 поступил еди-
ничный .импульс 6@-
Ясно, что такой фильтр
нельзя было бы осуще-
ствить.
Во избежание излиш-
ней задержки сигнала на
'выходе и для упрощения
U
Рис. 1.10. Временная диаграмма
'Сигнала, симметричного относи-
тельно среднего положения.
структуры оптимального
фильтра целесообразно
выбирать ^о = ?к.
Для сигналов, форма которых симметрична относи-
тельно среднего положения (рис. 1.10), справедливо со-
отношение
*i('.) = *i('i). A.30)
где моменты времени tx и t2 связаны зависимостью
j. *п "Ь »к *н Ч~ *к j. ,
'а 2 2 1Э
tH—момент времени начала действия сигнала;
2 к — момент, соответствующий его среднему поло-
жению.
Из последнего равенства следует
вследствие чего выражение A.30) принимает вид
Поскольку оно справедливо для любого момента време-
ни tu индекс 1 можно опустить:
МО=*(<*+'«-').
A.31)
31

Вследствие последнего соотношения и A.28) фильтр,
оптимальный симметричному сигналу, имеет импульс-
ную переходную функцию
h(t) = Gs{t + ta + t*-t0). A.32)
Отсюда заключаем, что импульсная переходная функ-
ция фильтра, оптимального сигналу симметричной фор-
мы, отличается от функции, описывающей сигнал, толь-
ко (постоянным коэффициентом G и сдвигом во времени
на величину tc = tH+tK—tQ.
Если задержку сигнала «а выходе этого фильтра вы-
брать минимально возможной /о=^к, то величина ука-
занного сдвига будет равна моменту начала сигнала /ш
а импульсная переходная функция примет вид
h(t) = Gs(t + tJ. A.33)
В частности, при tH = 0
h(t) = Gs(t), A.34)
т. е. импульсная переходная функция фильтра, опти-
мального сигналу, который симметричен относительно
среднего положения и начинается в момент /времени
2=0, воспроизводит в масштабе G форму этого сигнала.
§ 1.5. ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР КАК ВЗАИМНО
КОРРЕЛЯЦИОННОЕ УСТРОЙСТВО
Если на вход оптимального фильтра действует на-
пряжение Ui(t)y то напряжение на его выходе можно
определить с помощью интеграла свертывания или ин-
теграла Дюамеля [33, 34]
t
u2{t)=ux (t) H @) + \иг (t — x) h(x) dx, A.35)
о
где H(t) — переходная функция этого фильтра. У физи-
чески осуществимых фильтров
h(t)=O при «0.
Кроме того, если передаточная функция фильтра не-
ограниченно уменьшается <с ростом частоты, что обычно
имеет место в реальных импульсных схемах, то в силу
известного соотношения [32, 34]
32

Если, наконец, положить
Ui(t)=Q при
то вместо A.35) получим
+ 00
u2 (t) = j ux (t — x)h (х) dx.
—00
Поскольку импульсная переходная функция опти-
мального фильтра удовлетворяет условию A.28), то
+00
и2(t) = ] ux{t — x)Gs1 (t0 — x)dx —
dy. A.36)
Известно [7,35], что функция
('-')Л 0-37)
устанавливает взаимную связь между функциями fi(t)
и /г@ и носит название конечной взаимной корреляци-
онеой функции. Сопоставляя (последнее равенство с пре-
дыдущим, заключаем, что напряжение на выходе опти-
мального фильтра отличается только постоянным мно-
жителем G от функции (взаимной корреляции между на-
пряжением сигнала S\(t) и входным напряжением u\(i)
u2(t) = GRB(t-t0). A.38)
Поскольку оптимальный фильтр вырабатывает на
своем выходе взаимную корреляционную функцию, он
представляет собой (взаимно корреляционное устройство.
Вследствие этого оптимальный фильтр полностью
эквивалентен счетнорешающему прибору для вычисле-
ния функции взаимной корреляции (рис. 1.11), состоя-
щему из задерживающего устройства на время т, мно-
жительного и интегрирующего устройств.
Из следующей главы будет видно, что для сигналов
сравнительно простой формы оптимальный фильтр, вы-
полняющий функции взаимно корреляционного устрой-
ства, значительно легче осуществить, чем упомянутый
счетнорешающий прибор.
33

Кроме того, оптимальный фильтр вырабатывает на
выходе взаимную корреляционную функцию при непре-
рывно изменяющемся временном .сдвиге, тогда как счет-
норешающее взаимно корреляционное устройство
(рис. 1.11) вычисляет каждый раз только одно значение
взаимной корреляционной функции, соответствующее
определенному времени задержки т. Чтобы исследовать
весь ход функции взаимной корреляции сигнала и вход-
Vi(t)
Рис. 1 Jltl. Блок-схема взаимно корре-
ляционного устройства.
ного колебания, необходимо произвести вычисление мно-
гих значений этой функции, соответствующих различ-
ным задержкам т. А это требует, во-первых, многократ-
ного повторения входного 'напряжения и, во-вторых,
значительно большего времени анализа.
Другое решение этой задачи состоит в использовании
параллельно включенных счетнорешающих устройств
с различными временами задержки т. При этом есте-
ственно становится очень громоздкой и сложной кон-
струкция всего устройства для анализа функции взаим-
ной корреляции.
Отсюда ясно видны преимущества оптимального
фильтра перед другими схемами взаимно корреляцион-
ных устройств.
Если на вход фильтра поступает напряжение опти-
мального ему сигнала, т. е. U\(t) =Si(t), то вследствие
A.36) на его выходе будет (напряжение
+ 00
где
+00 +00
#а W = J S, (t) Sl (t-%)dt= J St (t) Sl (t + z) dt A.40)
—00 —00
— автокорреляционная функция сигнала sx{t).
34

Следовательно, по отношению к сигналу, оптимальйо-
му данному фильтру, этот фильтр является автокорреля-
ционным устройством.
§ 1.6. НАКОПЛЕНИЕ СИГНАЛА В ОПТИМАЛЬНОМ ФИЛЬТРЕ
Выше показано, что при действии на вход фильтра
оптимального ему сигнала выходное 'напряжение пред-
ставляет собой увеличенную в G раз автокорреляцион-
ную функцию этого сигнала, запаздывающую на время
t0 ([см. A.39)]. Хорошо известно, что автокорреляцион-
ная функция /?a(t) максимальна при т=0. Поэтому на-
пряжение на выходе оптимального фильтра достигает
максимального значения в момент t = to, что находится
в полном согласии с выводами § 1.4. Это максимальное
(пиковое) значение выходного сигнала имеет величину
+2?
M*o) = G*a(O)=a J s*(t)dt = GEl. A.41)
—00
Итак, пиковое значение напряжения .сигнала на выходе
оптимального фильтра пропорционально полной энергии
сигнала на входе.
К моменту времени /о, который вследствие A.29)
не может быть раньше момента окончания сигнала на
входе, напряжение сигнала обрабатывается оптималь-
ным фильтром так, чтобы накопить все составляющие
этого сигнала и путем их сложения образовать пиковый
выброс сигнала на выходе.
Таким образом, механизм работы оптимального
фильтра заключается в накоплении (в широком смыс-
ле) * сигнала. Поэтому оптимальный фильтр можно на-
зывать идеальным накопительным устройством. Его
нужно строить таким образом, чтобы накопление сигна-
ла было наилучшим.
G этой целью импульсная переходная функция опти-
мального фильтра должна иметь форму сигнала, вслед-
ствие чего этот фильтр приобретает возможность а<на-
* В отличие от суммирования выборок входного напряжения
(например, разделенных интервалом времени, кратным периоду по-
вторения) , которое также называют накоплением.
35

лиза степени близости входного колебания и ожидаемо-
го сигнала. Это осуществляется путем перемножения
мгновенного значения входного колебания на форму
сигнала и последующего интегрирования ![см. A.36)].
IB случае 'приема ожидаемого сигнала (результат такого
анализа будет весьма большим, так как сигнал наилуч-
шим образом накопится. Это и обеспечит максимально
возможную вероятность его обнаружения.
В частности, если сигнал представляет собой видео-
импульс прямоугольной формы
s{t)t=U при
s(t) = O при *<0 и
то из A.36) при to=x следует, что выходное напряжение
t
tit{t) = UG J их$)(& A.42)
t
представляет собой увеличенный в UG раз интеграл от
входного напряжения в интервале длительностью т,
предшествующем данному моменту времени L Следова-
тельно, оптимальный фильтр интегрирует входное на-
пряжение в течение длительности сигнала и результат
этого интегрирования непрерывно выдает на своем
выходе.
Бели же сигнал имеет более сложную форму, то
оптимальный ему фильтр будет производить уже весо-
вое интегрирование входного колебания в течение дли-
тельности сигнала, причем (весовой функцией является
функция, описывающая сигнал, т. е. обусловленная его
формой.
Заметим, что при приеме сигнала известной формы
на фо'не случайных флюктуационных помех лучшей про-
цедуры обработки смеси сигнала с помехами, чем на-
копление сигнала, не существует.
Действительно, (Применить второй способ разделения
сигнала от помехи — компенсацию помехи — в данном
случае невозможно, ибо шомеха представляет собой
случайное колебание с заранее неизвестной формой. По-
этому построить устройство для компенсации помехи
принципиально нельзя.
36

§ 1.7. ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ НА ВЫХОДЕ
ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
Пиковое значение сигнала на выходе оптимального
фильтра выше определено. Вычислим мощность выход-
ного шума
00 00 00
а\ = ^-j>2 (ш) dm = -f j jp (M) dm = й-^ J S2 (*)dm.
0 0 0
Используя формулу Парсеваля, выражающую теоре-
му Релея о распределении энергии в спектре [36, 32],
получаем
+ 00
a*=aG2 J s*(f)dt = aG*E1. A.43)
—00
Следовательно, мощность шума на выходе оптималь-
ного фильтра также пропорциональна энергии сигнала
на его (входе.
Согласно A.41) и A.43) отношение квадрата пико-
вого значения выходного сигнала к мощности выходно-
го шума составляет
Этот результат полностью совпадает е A.19) и озна-
чает, что отношение квадрата пикового значения сигна-
ла к мощности шума на выходе оптимального фильтра
равняется энергии сигнала на его входе, поделенной на
половину спектральной интенсивности шума на входе.
Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе
оптимального фильтра зависит только от энергии сигна-
ла на его входе и совершенно не зависит от его формы.
Но выше (§ 1.3) показано, что (вероятность правиль-
ного обнаружения сигнала на фоне гауссова шума при
заданном уровне вероятности .правильного обнаружения
зависит только от отношения сигнал/шум(. Поэтому
с точки зрения задачи обнаружения форма сигнала
является совершенно несущественной. Она должна вы-
бираться из других (например, технических) соображе-
ний.
Если важно не только обнаружить сигнал, но и из-
мерить его параметры и прежде всего время запаздыва-
37

йия и смещение частоты, то получение высокой точности
этих измерений и разрешающей способности измеритель-
ной системы (по времени и частоте будет сильно за-
висеть от применяемой формы оигнала [11 —13, 31, 36].
Кратко эти вопросы рассматриваются в девятой главе.
§ 1.8. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
В СЛУЧАЕ, ЕСЛИ СПЕКТРАЛЬНАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ
ВХОДНОГО ШУМА ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ЧАСТОТЫ
Выше рассмотрены характеристики оптимального
фильтра для случая белых гауссовых шумов на входе.
Обобщим полученные результаты на случай небелых
шумов.
Итак, пусть шум на входе имеет энергетический
спектр /^((о), являющийся функцией частоты, т. е.
F!(о)) =#=const. Чтобы определить характеристики опти-
мального фильтра, воспользуемся методикой, разра-
ботанной В. А. Котельниковым [20, 12] и заключающей-
ся в разбиении одтимального фильтра («идеального
приемника» по терминологии В. А. Котельникова) на
два линейных элемента с шередаточными функциями
Zi(co) и Z2(co) (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Представление оптимального
фильтра в виде последовательного сое-
динения двух линейных фильтров.
__ Выберем передаточную функцию первого элемента
К{(со) таким образом, чтобы <на его выходе шумы бы-
ли белыми, т. е. их интенсивность была одинаковой на
всех (как положительных, так и отрицательных) ча-
стотах:
F2 (со) = а = const.
Так как F2(w) = F1((o)K* («>), то для этого необходимо
Если сигнал на входе имеет спектральную плотность
«Si1 (со), то на выходе первого фильтра она будет
38

следующей:
s,(«d)=sx(»)^1D
Для оптимальной фильтрации смеси такого сигнала
с белым шумом необходимо выбрать передаточную функ-
цию второго линейного элемента /С2(со) в соответствии
с A.20), т. е. _
где G и t0 — некоторые постоянные.
Весь оптимальный фильтр, состоящий из двух
указанных линейных элементов, имеет, очевидно, пере-
даточную функцию
Использовав три предыдущих соотношения, перепишем
последнее равенство в такой форме:
К(ш) = ^ Ы GS* (со) Щ (со) е-/<0/°=
= GK\ (шM*(<о)е-/ш'« = <
или окончательно
где G1^=^aG.
Следовательно, передаточная функция фильтра, опти-
мального сигналу, который находится в смеси с шума-
ми, интенсивность которых зависит от частоты, прямо
пропорциональна функции, комплексно сопряженной
спектральной плотности сигнала, и обратно пропор-
циональна энергетическому спектру входных шумов [37].
В частности, при /71(со) = а формула A.44) вырож-
дается в A.20), если положить G = -^- .
В случае небелых шумов оптимальный фильтр име-
ет импульсную передаточную функцию, удовлетворяю-
щую соотношению
+ 00 +00 "^*
А @ = -^ § f
+ 00 + ^* / \
-2^ Г ЯН е/ш/ <*» = -§¦ f -^- <**-**d*. A.45)
— 90 —°о
39

Умножая обе части этого равенства на /?ai(t—t)dt, где
/?ai @—автокорреляционная функция входных шумов,
и интегрируя на бесконечно большом интервале, полу-
чаем
+ 0О +00 +00—*
G С Г ^ \®J iw(t—t )
(х—t)dtz=z~^- \ ЯъЛ%—t)dt \ _J е °'d(Q.
—00 —00
Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле и
учитывая, что энергетический спектр и автокорреляцион-
ная функция шума связаны преобразованием Фурье
+ 00
J Яа
получаем
+ 00 Н-00
+ 00
(a))cos 1Ш ('• -
—00
+00
-/J
На основании A.26) и A.27) заключаем, что им-
пульсная переходная функция оптимального фильтра
удовлетворяет следующему интегральному уравнению
[14, 17]:
\ h (*) Да1 (t -z)dx = GA (^0 -1). A.46)
—00
В частности, если шумы белые, т. е. /?ai'(t) =аб(т),
то, используя фильтрующее свойство дельта-функции
[38] и положив G\=aG, из A.46) вновь получим A.28).
40

ГЛАВА ВТОРАЯ
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
для одиночных импульсных сигналов
И ИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
§ 2.1. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
В предыдущей главе рассмотрены свойства опти-
мальных фильтров обнаружения. Для практики очень
важно не только знать эти свойства, но и уметь синтези-
ровать оптимальные фильтры из элементарных радио-
технических устройств.
Возможны два метода синтеза оптимальных фильт-
ров: временной и спектральный (частотный) [39]. Вре-
менной метод основан на использовании связи между
импульсной (переходной функцией оптимального фильтра
и функцией, описывающей этот сигнал. Эта связь уста-
навливается в общем случае соотношением A.28),
а в частном случае симметричного относительно своего
среднего положения сигнала — соотношением A.32).
При этом синтез оптимального фильтра заключается
в построении такой линейной системы, импульсная пе-
реходная характеристика которой воспроизводит в неко-
тором масштабе и с некоторым запаздыванием функ-
цию, являющуюся зеркальным отображением сигнала,
которое в случае сигнала симметричной формы совпа-
дает с этим сигналом.
В основе второго, спектрального или частотного ме-
тода синтеза оптимальных фильтров лежит использова-
ние связи между передаточной функцией оптимального
фильтра и спектром сигнала. Эта связь описывается ра-
венством A.20).
Спектральный метод синтеза оптимальных фильтров
состоит в построении такой линейной системы, переда-
4!

точная функция которой отличается от функции, Ком-
плексно сопряженной спектру сигнала, только множи-
телем вида GeTJwt°.
Последний метод требует знания спектра сигнала и
в случае, когда сигнал задается временной функцией,
а не спектром, является поэтому несколько более слож-
ным.
Ниже синтез оптимальных фильтров осуществляется
обоими методами.
§ 2.2. СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ, ОПТИМАЛЬНЫХ ОДИНОЧНОМУ
ВИДЕОИМПУЛЬСНОМУ СИГНАЛУ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ФОРМЫ
1. Построение фильтра, оптимального прямоугольному
видеоимпульсу
Прямоугольный видеоимпульс амплитуды U и дли-
тельности т (рис. 2.1) описывается функцией
s(t) = U при --!-<*< -f,
= 0 При
Пользуясь временным методом синтеза и учитывая,
что сигнал является симметричным относительно своего
среднего положения, подберем
такую линейную систему, им-
пульсная переходная функция
которой представляла бы собой
прямоугольный видеоимпульс
длительности т. Иными словами,
необходимо построить такую ли-
~f **$ нейную систему, которая при
Т действии на ее вход единичного
Рис. 2Д. Прямоугольный импульса вырабатывала бы на
видеоимпульсный сигнал. . выходе видеоимпульс указанной
формы и длительности.
Прежде всето заметим, что при действии единичного
импульса на вход интегрирующего устройства на его
выходе образуется единичный скачок напряжения li(/)>
причем
1@ = 1 при
^>0. j

Рис. 2.2. Блок-схема фильтра, опти-
мального лржмоугольному видеоим-
пульсу.
Прямоугольный же импульс единичной амплитуды и
длительности х представляет собой разность единичных
скачков 1(^) и \)(t—т), смещенных один относительно
другого на время т.
Поэтому линейной систе-
мой, импульсная переходная
функция 'которой представляет
собой прямоугольный импульс
длительности т, является сово-
купность следующих трех
устройств: интегрирующего,
задерживающего на время х и
вычитающего (рис. 2.2). Эта
система и является оптималь-
ным фильтром для рассматри-
О
t
ъ Рис. 2.3. Временные диа-
ваемого импульса. Временные ,гра,ммы напряжений в оп-
диаграммы напряжений на вы- тимальном фильтре,
ходе его отдельных элементов
при действии на вход единичного импульса изображены
на рис. 2.3 *.
Построим оптимальный фильтр спектральным мето-
дом. Рассматриваемый сигнал имеет спектр
е
Sim)=U—.
Функция, комплексно сопряженная этому спектру, имеет
вид
• *
W — е ^ •
* При расомотрении этого рисунка (а также многих последую-
щих) следует иметь в виду, что индекс, которым помечено то или
иное напряжение на рис. 2.3, совпадает с обозначением той точки
на блок-схеме (рис. 2.2), а которой это напряжение действует. На-
пример, 02 (представляет собой мгновенное значение напряжения
в точке 2 блок-схемы (рис. 2.2).
43

Вследствие A.20) оптимальный фильтр имеет переда-
точную функцию
х
или, положив для упрощения G = — и /0 = -1-,
Поскольку линейным элементом с передаточной функ-
цией -— является интегрирующее устройство, а е ~уа)т опи-
сывает передаточную функцию устройства задержки на
время х, то оптимальный фильтр состоит из интегрирую-
щего устройства, задерживающего устройства на время %
и вычитающего устройства [40].
Следовательно, спектральным методом получили тот
же результат, что и временным методом.
2. Построение фильтров, оптимальных трапециевидному
и треугольному видеоимпульсам
Трапециевидный видеоимпульс (рис. 2.4,а), имеющий
амплитуду (/, длительность % и длительность плоской
части *с1Э можно представить в виде алгебраической суммы
четырех напряжений, которые, начиная с моментов вре-
мени, соответственно равных — ^ , —Ц-, ^±- и -1 линей-
но изменяются с наклоном , а до этих моментов
времени тождественно равны нулю (рис. 2.4,6). Поэтому
s (t) = их (t) + a, (t) + uz (t) + иА (t) =
Поскольку сигнал является симметричным относитель-
но своего среднего положения, а ?н=—у» то согласно
A.33) импульсная переходная функция фильтра, опти-
44

мального сигналу, должна в случае минимальной задержки
памяти) иметь вид
(Положив для дальнейшего упрощения G = ^^-, получим
-'I^-^ B-3)
Легко заметить, что импульсная переходная функция
состоит из четырех слагаемых одинакового характера,
различающихся ('кроме зна-
ка) только запаздыванием
во времени. Поэтому путем
соответствующей задержки
(а если нужно, то ,и инвер-
тирования) из первого сла-
гаемого этой функции, мож-
но образовать любое другое
слагаемое этой функции.
Первое же слагаемое
этой функции t I (t) обра-
зуется в результате воздей-
ствия единичного .импульса
на два последовательно
включенных интегрирующих
устройства. Поэтому опти-
мальный фильтр для тра-
пециевидного видеоимпуль-
са состоит из двух последо-
вательно включенных инте-
грирующих устройств, трех
задерживающих устройств
на время, соответственно
равное *
и х, и
Рис. 2.4. Трапециевидный ви-
деоимпульс (а) и его слагае-
мые (б).
2 ' 2
суммирующего устройства
(рис. 2.5,а).
Вместо трех указанных задерживающих устройств це-
лесообразно иметь только одно из них с максимальной
временной задержкой и двумя отводами или три задер-
45

живающих устройства
венно равным %~9^1 , т^
с временем задержки, соответст-
т —
• (рис. 2.5,6). Блок-схему
оптимального фильтра можно преобразовать к еще более
простой (рис. 2.5,0). Ее простота заключается в наличии
1
1
•
j.
—i i-if '
"^i^
Рис. 2.'5. Блок-схема фильтра, оптимального
трапециевидному видеоимпульсу.
только двух задерживающих устройств и в использовании
более простых по схеме и конструкции вычитающих
устройств.
Построим оптимальный фильтр спектральным методом.
Поскольку трапециевидный видеоимпульс имеет спектр [26]
я/ -e-/-r i
sin ¦
/
1
то, используя A.20) и полагая с целью упрощения G =
= ^ТТ.^1 и ^0 = tK = -^-, получим, что оптимальный фильтр
46

должен иметь передаточную фуйкЦиЮ
—/со -
B.4)
Путем рассмотрения этого выражения вновь прихо-
дим к заключению, что оптимальный фильтр состоит из
двух интегрирующих, двух задерживающих и двух вы-
читающих устройств (рис. 2.5,б).
Поскольку треугольный видеоимпульс (рис. 2.6,а)
является частым случаем трапециевидного, когда дли-
Рис. '2.6. Треугольный 'видеоимпульс (а) и блок-схема
оптимального ему фильтра ((б).
тельность его плоской части выбирается равной нулю
(ti=0), to фильтр, оптимальный треугольному видео-
импульсу, легко получить из фильтра, оптимального
трапециевидному видеоимпульсу, положив в последнем
ti = 0. В результате этого установим, что оптимальный
фильтр для треугольного (видеоимпульса состоит из двух
последовательно включенных интегрирующих устройств,
двух задерживающих устройств на время, равное поло-
вине длительности импульса, и двух вычитающих уст-
ройств (рис. 2.6,6).
Заметим, что этот фильтр почти ничем не проще
фильтра, оптимального трапециевидному видеоимпульсу
(рис. 2.5,в).
47

3. Построение фильтра, оптимального параболическому
видеоимпульсу
Пусть видеоимпульс (рис. 2.7) описывается на отрезке
времени——, ~ параболой s{t) — U \l — (—\ 1 и равен
Рис. 2.7. Параболический видеоимпульс.
нулю для моментов времени, не принадлежащих указан-
ному отрезку, т. е.
s(t) = O при|*|>-1.
Поскольку форма импульса симметрична и tH = — j,
то вследствие A.33) получим при G = ^-, что оптималь-
ный фильтр должен иметь импульсную переходную функцию
= ^—L(t-^X при
при
или иначе
Это выражение легко преобразовать к виду
B.5)
48

Легко видеть, что 'первый член этого выражения вы-
рабатывается при действии единичного импульса на
три последовательно включенных интегрирующих уст-
ройства, а третий член — путем задержки первого члена
на время т. Второй член описывает результат действия
единичного импульса доа последовательное соединение
двух интегрирующих устройств и усилительного устрой-
ства с коэффициентом усиления у. Чтобы получить
четвертый член, достаточно задержать второй член на
время т.
f
t f
t
-
+
L
+
J
|
i
1
+
Рис. 2.8. Блок-схема фильтра, опти-
мального параболическому видеоим-
пульсу.
Таким образом, блок-схема фильтра, оптимального
видеоимпульсу параболической формы, состоит из трех
интегрирующих устройств, задерживающего устройства
на время т, усилительного устройства с усилением в у
раз, вычитающего и двух суммирующих устройств
(рис. 2.8).
4. Построение оптимального фильтра для видеоимпульса,
огибающая которого составлена из отрезков парабол
Пусть видеоимпульс описывается функцией, состав-
ленной из трех отрезков 'ларабол таким образом, чтобы
первая производная этого силнала была непрерывной:
AU л% при ^ -^ '*-*'
;(*-<
s(t) =
при
при
: + *!
"' >
49

Поскольку импульс имеет симметричную форму и начи-
нается в момент t = 0 (рис. 2.9), то, полагая G == 3 % U,
г+т
f ][
г г
Рис. 2.9. Видеоимульс, составленный из
отрезков парабол.
I
J
+
J
i i
Рис. 2.10. Блок-схема фильтра, оптимального сигналу (рис. 2.9).
получим для импульсной переходной функции оптималь-
ного фильтра
l
или после преобразований
Анализируя это выражение, нетрудно установить,
что блок-схема оптимального фильтра для рассматри-
50

ваемого сигнала состоит из трех интегрирующих уст-
ройств, трех устройств задержки, двух суммирующе->вы-
читающих устройств и усилительного устройства с коэф-
фициентом усиления —(рис. 2.10).
5. Построение оптимального фильтра для видеоимпульса,
огибающая которого составлена из п отрезков кривых
любого порядка
Применяя изложенную выше методику, можио по-
строить оптимальный фильтр для любого импульса, ко-
торый можно составить :из некоторого числа отрезков
прямых, парабол и кривых сколь угодно большого по-
рядка. Этот оптимальный фильтр будет содержать толь-
ко интегрирующие, задерживающие, суммирующе-вычи-
тающие и усилительные устройства.
Число интегрирующих устройств в этом фильтре на
единицу больше наивысшего порядка составляющей кри-
вой (при этом горизонтальную прямую приходится счи-
тать кривой нулевого порядка). Число задерживающих
устройств (без отводов) равно числу отрезков, из кото-
рых составлена огибающая импульса (е'сли не считать
отрезки, соответствующие тождественному 'нулю сигна-
ла). Общая длительность задержки, обеспечиваемая эти-
ми устройствами, равна длительности импульсного сиг-
нала. Суммирующе-вычитающих устройств может быть
несколько. Количество усилительных устройств не боль-
ше числа отрезков. В принципе всё усилительные уст-
ройства могут быть опущены. При этом в соответствую-
щих цепях достаточно поставить делители напряжения.
Покажем справедливость изложенного для импульса,
очерченного ломаной линией, состоящей из п отрезков
прямых (см. рис. 2.11,а, где я = 6). Сдвигая начало ко-
ординат в точку ('/ь, 0) и находя зеркальное отображе-
ние сдвинутого импульса, получим импульсную переход-
ную функцию оптимального фильтра (рис. 2.11,6). По-
следнюю можно (представить суммой линейно нарастаю-
щих функций.
л+1
где ^ = 0, tn+l = tk — tH, а ц* — некоторые постоянные.
51

Каждая из этих функций начинается в момент ? = ^ и
имеет наклон ^ равный разности наклонов огибающей
на данном (j-м) и предыдущем (/—1-м) участках.
Любой член суммы B.7) может быть образован из
единичного импульса двукратным интегрированием, за-
держкой на время U и усилением в [ц раз. Различные
о)
U
и и
и и
Рис. 2ЛЧ. Видеоимпульс, очерченный
ломаной линией (а), и импульсная
переходная функция оптимального
ему фильтра (б).
члены отличаются друг от друга только величинами «вре-
менной задержки и усиления.
Поэтому оптимальный фильтр для импульса с оги-
бающей, составленной из п отрезков прямых, представ-
ляет собой, совокупность двух интегрирующих, п задер-
живающих, не более п+\ усилительных и одного или
нескольких суммирующих устройств. Число усилитель-
ных устройств можно уменьшить на единицу, вводя мас-
штабный множитель G= —, где / — любое число от 1
д0 л-|-1. Если же этот масштабный множитель взять
равным величине, обратной максимальному из {ц (обозна-
чим его 1*мако), т. е. G^^~, то все усилительные
устройства можно заменить делителями напряжения, что
упростит общую схему оптимального фильтра.
Аналогичные соображения можно повторить и для
импульса с огибающей, составленной из п отрезков кри-
52

вых любого порядка. Главное отличие при этом будет
заключаться в увеличении числа интегрирующих уст-
ройств до значения, которое на единицу больше наивыс-
шего порядка кривой.
Поскольку импульс любой формы может быть сколь
угодно точно аппроксимирован линейно ломаной линией
или линией из отрезков парабол, для чего достаточно
взять соответствующее число этих отрезков прямой или
параболы, то на практике едва ли возникнет задача
синтеза оптимального фильтра для импульса, огибаю-
щая которого составлена из отрезков кривых, порядок
которых выше второго.
Как показывается (ниже (см. п. 5 § 3.2), структура
оптимального фильтра слабо зависит от небольших^ из-
менений формы сигнала. Вследствие этого при синтезе
оптимальных фильтров можно не принимать во взима-
ние мелкие детали формы сишала. Учет этого обстоя-
тельства позволяет значительно упростить построение
фильтров, достаточно близких к оптимальным.
6, Построение оптимальных фильтров для «небелых»
шумов
Рассмотрим построение оптимального фильтра обна-
ружения прямоугольного видеоимпульса (рис. 2.1) на
фоне шума, спектральная интенсивность которого яв-
ляется функцией частоты Л'(со) (такой шум шзьквают
«небелым» или коррелированным). Это построение про-
ще всего осуществляется спектральным методом.
W
ft*
\
\
\
/
/
/
/
ч
^—
-и
*-
Рис, 2.12. Энергетические спектры шу-
мов.

Пусть спектральная интенсивность входного шума
является убывающей функцией частоты (кривая 1 Hai
рис. 2.12)
где 2а — спектральная интенсивность шума на нулевой!
частоте;
g—постоянная, характеризующая ширину энергети-
ческого спектра входного шума и численно рав-
ная частоте, на которой спектральная интенсив-
ность вдвое меньше, чем на нулевой частоте*.
Согласно A.44) оптимальный фильтр должен в данном
случае иметь передаточную функцию
Полагая для упрощения G1 = 2ag2, получим
-e~/iK). B-8)
Так как /со представляет собой передаточную функ-
цию дифференцирующего устройства Д то оптимальный
фильтр в рассматриваемом случае состоит из совокуп-
ности интегрирующего устройства, устройства с коэф-
фициентом передачи g2, дифференцирующего и вычи-
тающего устройств, а также совокупности устройства
задержки на время, равное длительности импульса т, и
вычитающего устройства (рис. 2.13,а).
При неограниченном увеличении g, т. е, при расши-
рении энергетического спектра входных шумов получен-
ная блок-схема оптимального фильтра вырождается
в блок-схему оптимального фильтра для белого входно-
го шума (рис. 2.2).
* Легко видеть, что рассматриваемый шум имеет автокорреля-
ционную функцию
и, следовательно, может быть получен оутем пропускания белого
шума с интенсивностью A.12) через #С-фильтр нижних частот с по-
стоянной времени g~l=RC [15]. Такой нормальный шум представляет
собой процесс Маркова [148],
54

* f
* J *
>t
в
I
1
I
-ft»
1
Рис. 2.13. Блок-схемы фильтров, оптимальных прямоугольному
импульсу в случае «небелых» шумов.
Рассмотрим второй случай, когда спектральная ин-
тенсивность входного шума возрастает с увеличением
частоты по закону
стремясь к постоянной 2а (рис, 2.12, кривая 2) *. Здесь
постоянная g имеет смысл частоты, на которой энерге-
тический спектр шума вдвое меньше своего предельного
значения при со = оо. Тогда
- e-/l"). B.9)
Следовательно, в данном случае оптимальный фильтр
состоит из интегрирующего устройства, совокупности
двух интегрирующих устройств, устройства с коэффи-
циентом передачи g2 и вычитающего устройства и сово-
купности устройства задержки на время х и вычитаю-
щего устройства (рис. 2.13,6).
* Автокорреляционная функция такого шума
Он может рассматриваться как результат прохождения белого шума
с интенсивностью A.12) через С#-фильтр верхних частот с постоян-
ной времени
55

Вырождение этого оптимального фильтра в опти-
мальный фильтр (рис. 2.2), построенный для случая бе-
лого шума, происходит уже при неограниченном умень-
шении g.
Из сравнения блок-схем оптимальных фильтров
(рис. 2.2 и 2.13) следует, что неравномерность энергети-
ческого спектра входного шума может привести к замет-
ному изменению структуры оптимального фильтра *.
§ 2.3. СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ, ОПТИМАЛЬНЫХ ОДИНОЧНОМУ
РАДИОИМПУЛЬСНОМУ СИГНАЛУ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ФОРМЫ
1. Предварительные замечания
Выше рассмотрено построение фильтров, оптималь-
ных видеоимпульсным сигналам в случае действия бело-
го гауссова шума. Последний наблюдается в видеокана-
ле радиоприемного устройства только при использова-
нии когерентного (синхронного) детектора ([41—43], что
может значительно усложнить схему и конструкцию это-
го устройства (подробнее об этом см. § 7.5). Однако,
как показано в седьмой главе, необходимость этого
усложнения радиоприемного устройства пропадает, если
оптимальные фильтры поставить в радиоканале прием-
ного устройства, т. е. на высокой или промежуточной
частоте. Весьма важным свойством фильтров, оптималь-
ных радиосигналам, является их инвариантность по от-
ношению к начальной фазе (§ 1.3).
2. Передаточная функция фильтра,
оптимального радиоимпульсному сигналу
Хорошо известно [26,44], что спектральная плотность
радиоимпульса 5р(ш) приближенно равна половине произ-
ведения спектральной плотности его огибающей 5(о>),
в которой аргумент о> заменен на ш — <о0, и фазового мно-
жителя еуф
а/Ф
* Структура оптимального фильтра еще более усложняется,
если ограничить длительность его импульсной переходной функции
[135].
56

где со0 — несущая частота радиоимпульса;
ф — начальная фаза колебаний этой частоты.
Вследствие A.20) фильтр, оптимальный радиоимпульс-
ному сигналу, имеет передаточную функцию
КР (ш) = G.Sl (») е-7"'=4- ^ («. - со0) е-^''+*>,
где Gt и tt — постоянные. Поскольку передаточная функ-
ция фильтра, оптимального огибающей этого сигнала,
такова:
то, полагая G — -у- Gx е""/ф и to = tly получим соотношение
#р(ш) = Я(а>-ш0), B.10)
устанавливающее связь между передаточными функция-
ми фильтров, оптимальных соответственно радиоим-
пульсному сипналу и его огибающей.
Таким образом, для получения передаточной функции
фильтра, оптимального радиоимпульсу заданной формы,
достаточно в передаточной функции фильтра, оптималь-
ного его огибающей, заменить аргумент со 'на со—соо.
3. Взаимное соответствие фильтров, оптимальных
соответственно радиоимпульсному сигналу
и его огибающей
Вследствие B.10) фильтры, один из которых опти-
мален радиоимпульсному сигналу, а другой—его оги-
бающей, обладают свойством взаимного соответствия.
Элементам этих фильтров также свойственно взаим-
ное соответствие. Каждому элементу фильтра, опти-
мального огибающей радиоимпульса, соответствует один
или несколько элементов оптимального фильтра для
этого радиоимпульса.
В предыдущем параграфе помазано, что элементами
фильтров, оптимальных видеоимпульсным сигналам, мо-
гут являться интегрирующие, задерживающие на вре-
мя /3, усилительные (в \х раз) и суммирующе-вычитаю-
щие устройства. Передаточные функции двух последних
видов устройств не зависят от частоты в рабочей поло-
57

се частот. Поэтому их обозначения на функциональных
схемах оптимальных фильтро© совпадают.
Другие два типа устройств имеют передаточные
функции, зависящие от частоты
Соответствующие элементы в оптимальном фильтре для
радиоимпульса имеют согласно B.10) передаточные
функции
и B.11)
К (ш) = е-/ (<1>~<1>о) '3 = (ГМз ¦ е/ш°'3 = е~;ш'3е/х (Ч
где х (*.) = ».'8 - 2^ (^fj = 2tR (fot3);
Е(х) — целая часть числа х\
R(x)—дробная часть этого числа;
р i
Поэтому задерживающему устройству на время t3,
используемому в оптимальном фильтре для видеоим-
пульсной огибающей радиоимпульса, соответствует
в оптимальном фильтре для этого радиоимпульса сово-
купность (последовательно включенных такого же задер-
живающего устройства и фазсхвращательного устрой-
ства на угол х(^з)-
Ниже (в п. 5 данного параграфа) показывается, что
передаточная функция B.11) приближенно реализуется
высокоизбирательным резонансным усилителем. Поэто-
му интегрирующему устройству в фильтре, оптимальном
видеоимпульсной огибающей радиоимпульса, соответ-
ствует высокоизбирательный резонансный усилитель.
4. Построение оптимальных фильтров для радиоимпульсов
Используя указанное выше взаимное соответствие
элементов оптимальных фильтров для радиоимпульса и
его огибающей, легко построить оптимальный фильтр
для радиоимпульса по известной структуре оптималь'цо-
го фильтра для его огибающей,
§8

Для этого в блок-схеме фильтра, оптимального оги-
бающей рассматриваемого радиоимпульса, каждое ин-
тегрирующее устройство следует заменить высокоизби-
рательным резонансным усилителем, устройство задерж-
ки на время t3 дополнить фазовращательным устрой-
ством на угол %(t3), а усилительные и суммирующе-вы-
читающие устройства оставить без изменений.
ВИРУ
ВИРУ
ВИРУ *• ВИРУ
ВИРУ
*
ВИРУ
*
ВИРУ
/ 2
Рис. 2.14. Блок-схемы фильтров, оптимальных радиоимпульсам.
Пользуясь этими правилами и результатами преды-
дущего параграфа, в котором осуществлен синтез опти-
мальных фильтров для видеоимпульсов различной фор-
мы, построим оптимальные фильтры для радиоимпуль-
сов прямоугольной, трапециевидной, треугольной и ку-
сочно-параболической формы. В итоге получим следую-
щие результаты.
Оптимальный фильтр для прямоугольного радиоим-
пульса (рис. 2.14,а) состоит из высокоизбирательного
резонансного усилителя, задерживающего на время т,
равное его длительности, фазовращателыного на угол
59

%(т) и вычитающего устройств. Несколько иное решение
этого вопроса принадлежит Рочфорту [45] и Я. Д. Шир-
ману.
В случае трапециевидного радиоимпульса оптимальный
фильтр представляет собой совокупность двух высокоиз-
бирательных резонансных усилителей, двух задерживаю-
щих на время %—^~ и ^yl y фазовращательных на углы
* V ^"Ту и z (""Т1) и вычитаю1Дих устройств (рис. 2.14,6).
Если радиоимпульс имеет треугольную форму, то опти-
мальный ему фильтр имеет почти ту же структуру
(рис. 2.14,0).
Оптимальный фильтр для радиоимпульса, огибающая
которого состоит из трех отрезков парабол (рис. 2.11,а),
содержит в своем составе три высокоизбирательных резо-
нансных усилителя, три задерживающих на время ^р-,
тх и ^р-, три фазовращательных на углы
X(xi) и X ('~~YL\ усилительное в ~ раз и суммирующе-
вычитающие устройства (рис. 2.14,г).
, Если выбрать временные параметры огибающих ра-
диоимпульсов (длительность т, длительность плоской ча-
сти Ti и т. д.) кратными периоду их несущего колеба-
ния Г0 = -т-, то тогда произведение этого временного
/о
параметра огибающей U на несущую частоту f0 радио-
импульса будет целым числом, вследствие чего соответ-
ствующий угол поворота фазы %(ti)—2ztR(foU) обра-
щается в нуль. В этом случае необходимость в приме-
нении фазовращательных устройств при построении
оптимальных фильтров пропадает и их блок-схемы не-
сколько упрощаются.
5. Характеристики высокоизбирательного резонансного
усилителя
Исходя из эквивалентной схемы высокоизбиратель-
ного резонансного усилителя (рис. 2.15) и полагая, что
в нем используется пентод с большим внутренним со-
противлением Ri, легко написать выражение для пере-
60

даточной функции этого усилителя
SRoll- J7T
= S-
R + j(«L—-~-
1+/Q-
CO —OH
где Za — эквивалентное комплексное "сопротивление
контура;
Rd = тгк— эквивалентное резонансное сопротивление
контура;
0=4-1/ — — его добротность;
R V С
% = ~у= его резонансная частота.
Рис. 2.15. Эквивалентная
схема высокоизбиратель-
•ного резонансного уси-
лителя (ВИРУ).
На частотах, удовлетворяющих условию
^ < | CO — (DQ | < Шо
(для чего необходимо, чтобы контур усилителя
большую добротность, а резонансный усилитель -
сокую избирательность), справедливо следующее
ближенное выражение:
Таким образом, в полосе частот, значительно
широкой, чем полоса пропускания усилителя ДО
B.12)
имел
— вы-
при-
BЛЗ)
более
61

но узкой по сравнейию со средней (резонансной) частотой
со0, передаточная функция высокоизбирательного резонанс-
ного усилителя приближенно, но достаточно достоверно
описывается функцией B.13), отличающейся от функции
B.11) только постоянным коэффициентом.
На основании этого можно утверждать, что высоко-
избирательный резонансный усилитель соответствует
интегрирующему устройству в оптимальном фильтре для
огибающей. Поэтому естественно «называть его высоко-
частотным интегрирующим устройством.
Как известно, резонансный усилитель имеет импульс-
ную переходную функцию
-§- е-", cos «у 1@~ -^ е~а cos
где а)р = у/ГаJ — С2 —частота свободных колебаний конту-
ра, приближенно равная его резо-
нансной частоте ш0;
Z = 2i коэффициент затухания колебаний.
Для интервалов времени, длительность которых
удовлетворяет условию §?<1, затуханием можно пре-
небречь. Поэтому импульсная переходная функция вы-
сокоизбирательного резонансного усилителя имеет вид:
h(t)=:-^cos<D0t.l(t). B.14)
Пользуясь этим выражением, легко показать, что
импульсная переходная функция фильтра, блок-схема
которого изображена (на рис. 2.14,а, представляет собой
при ?t <1 прямоугольный радиоимпульс длительности т
и частоты со0, что и подтверждает оптимальность этого
фильтра.
§ 2.4. СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ, ОПТИМАЛЬНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ ВИДЕОИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
1. Предварительные замечания
В радиолокации принимаемый сигнал обычно пред-
ставляет собой последовательность импульсов (рис.
2Л6,а). Период (или квазипериод) их повторения Т
определяется периодо1М повторения импульсов, выраба-
тываемых передающим устройством системы. Огибаю-
62

щая последовательности этих импульсов в случае круго-
вого обзо-pa, осуществляемого .радиолокационной систе-
мой, определяется формой диаграммы направленности
антенного устройства. При отсутствии кругового обзора
огибающая последовательности имеет прямоугольную
форму, а длительность этой последовательности равня-
ется времени, в течение которого передающее устройство
излучает зондирующие импульсы, а приемное устрой-
ство осуществляет прием отраженных сигналов.
В данном параграфе рассматривается построение
оптимальных фильтров для (последовательностей видео-
импулысных сигналов, образованных путем когерентного
детектирования соответствующих последовательностей
радиоимпульсных (сигналов.
Важность этого рассмотрения следует из того, что,
как будет видно из следующей главы, применение опти-
мальных фильтров для одиночных импульсных сигна-
лов, не имеющих угловой (т. е. частотной или фазовой)
модуляции, позволяет получить сравнительно небольшой
выигрыш в помехоустойчивости по сравнению с исполь-
зованием реостатных, резонансных и полосовых усили-
телей. Устройства же, близкие по своим свойствам
к оптимальным фильтрам для последовательностей им-
пульсных сигналов, позволяют значительно повысить по-
мехоустойчивость системы.
Ниже для краткости вместо термина «последова-
тельность импульсных сигналов е прямоугольной (тре-
угольной или трапециевидной) огибающей» применяет-
ся термин «прямоугольная (треугольная или трапецие-
видная) последовательность импульсных сигналов».
2. Построение фильтра, оптимального прямоугольной
последовательности импульсных сигналов
Пусть сигнал представляет собой прямоугольную по-
следовательность N прямоугольных импульсных сигна-
лов (рис. 2.16,а). Задача состоит в подборе такого ли-
нейного устройства, импульсная переходная функция ко-
торого воспроизводит в [некотором масштабе форму это-
го сигнала.
Выше (§ 2.2, п. 1) показано, что одиночный прямо-
угольный видеоимпульс образуется в результате дей-
ствия единичного импульса на фильтр, оптимальный это-

му видеоимпульсу и состоящий из интегрирующего, за-
держивающего на длительность импульса х и вычитаю-
щего устройств (рис. 2.2).
п п п
К-3 N-2 ЛИ
t/T
tf
tJ
П
Ри'с. 2.16. Прямоугольная гшследователь'но'сть прямоугольных видео-
импульсов (а) и блок-схема оптимального ей фильтра (б).
Для преобразования этого видеоимпульса в после-
довательность N импульсов можно использовать сово-
купность N—1-го задерживающего устройства (каждое
на период повторения импульсных сигналов Т) и сум-
мирующего устройства — или эквивалентную ей систему
из одного задерживающего устройства на время (N—1O
с N—2 равномерно расположенными отводами и сумми-
рующего устройства (рис. 2.16,6). Так как обычно число
импульсов N в последовательности велико и достигает
нескольких десятков и даже сотен, то такой оптималь-
ный фильтр является очень сложным, и применение его
для такого сигнала нецелесообразно.
Поэтому попытаемся получить иную блок-схему
оптим.алыного фильтра. Заметим, что одиночный видео-
импульс преобразуется в бесконечную серию таких им-
пульсов с периодом повторения Т с помощью суммирую-
щего устройства, выход которого соединен со входом
через устройство задержки на время Т (рис. 2.17,а).
Чтобы из бесконечной (но -существующей только при
t>0) последовательности видеоимпульсов получить по-
следовательность N видеоимпульсов, достаточно беско-
нечную последовательность подать ца совокупность
64

устройства задержки на время NT и вычитающего уст-
ройства (рис. 2.17,а).
Поэтому оптимальный фильтр для прямоугольной
последовательности N видеоимпульсов состоит из опти-
мального фильтра для одиночного видеоимпульса, сум-
мирующего устройства, охваченного обратной связью
через устройство задержки на время Г, задерживающе-
го устройства на время NT и вычитающего устройства
(рис. 2.17,а). (Временные диаграммы напряжений в раз-
личных точках этого оптимального фильтра при дей-
ствии на вход единичного импульса изображены на
рис. 2.17,6.
гг - -1
Г '
NT
иг
и?
п п п п
27 37
п п п
п п п
Рис. 2.17. Другая блок-схема сштимального
фильтра (а) ,и временные диаграммы напря-
жений в ней (б).
Ту же структуру оптимального фильтра можно полу-
чить и спектральным методом синтеза [46].
Известно [9, 47, 48], что прямоугольная последова-
тельность N прямоугольных видеоимпульсов амплитуды
U и длительности т имеет спектр
сот
sin-
sin-
sin~2~
65

— Ue /со • е'"г-1 '
Используя A.20) и полагая G = -y- и to = -
поручим для передаточной функции фильтра, оптималь-
ного прямоугольной последовательности видеоимпульсов,
Первые два множителя представляют собой передаточ-
ную функцию фильтра, оптимального одиночному видео-
импульсу [см. B.1)]. Нетрудно видеть, что ^^=. яв-
1 — е J
ляется передаточной функцией суммирующего устройства
с обратной связью через устройство задержки на время 7\
а 1 — e-f»NT — передаточной функцией совокупности
устройства задержки на время NT и вычитающего
устройства. Следовательно, вновь получаем ту же блок-
схему оптимального фильтра (рис. 2.17,а).
3. Построение фильтров, оптимальных трапециевидной
и треугольной последовательностям видеоимпульсов
Пусть сигнал представляет собой трапециевидную
последовательность прямоугольных видеоимпульсов
(рис. 2.18,а). Построим временным методом оптималь-
ный этому сигналу фильтр.
Легко видеть, что импульсной переходной функцией
в виде трепециевидной последовательности прямоуголь-
ных импульсов обладает система (рис. 2.18,6), которая
состоит из оптимального фильтра для прямоугольного
импульса, устройства задержки на время (N—1O'
с N—2 равномерно расположенными отводами, N—2
усилительных и суммирующего устройств. Коэффициент
усиления 1-го усилительного устройства \Х{ равняется
относительной амплитуде i+l-го импульса трапециевид-
ной последовательности:
при l<i<M,
при M<i<N — M—h
при N — M— KKN — 2,

Так как обычно число импульсов N в пocлeдoвafeль-
ности велико и имеет порядок нескольких десятков и
даже сотен, то полученный выше оптимальный фильтр
является очень сложным, громоздким и 'ненадежным
устройством.
и
n
UL_ -_'
0 1 Ч-l И М П+1 .V-M-2 N-M-1Ш-М ~ N-l N-\
Ч)
Рис. 2Л8. Трапециевидная последовательность прямоугольных
импульсов (а) и блок-схемы оптимальных ей фильтров
(б и в).
Можно несколько упростить его схему, для чего уст-
ройство задержки на время (тУ—\)Т следует разделить
на два устройства задержки на время, соответственно
равное (N—М—\)Т и МТ. Они должны иметь соответ-
ственно Af—М—2 и М—1 равномерно расположенных
отводов. Эти устройства вместе с двумя суммирующими
устройствами и оптимальным фильтром для одиночного
импульса образуют оптимальный фильтр для трапецие-
видной последовательности импульсов (рис. 2.18,в).
Легко убедиться в том, что импульсная переходная
функция этого фильтра воспроизводит форму рассмат-
риваемого сигнала.
5* 67

а)
Несмотря на некоторое упрощение, ата схема опти-
мального фильтра при большом N оказывается доволь-
но сложной. Вследствие этого попытаемся получить
иную блок-схему оптимального фильтра.
Одиночный видеоимпульс преобразовывается в пря-
моугольную последовательность бесконечной длины
(рис. 2.19,а) суммирующим устройством с задержанной
на время Т обратной связью. Чтобы получить из этой
Щ
и п п Л
п И
п П П П МИД ПИЛ
! . п п п п
Л - п П П П ПОП п
М-1 М М+1 М+2
N-M-l /If-M-t N-M
tl-2 N-1
til
Ри'с. 2.19. Получение трапециевидной последовательности импульсов
из бесконечной прямоугольной последовательности.
последовательности линейно (нарастающую последова-
тельность импульсов (рис. 2.19,6), необходимо исполь-
зовать второе суммирующее устройство с задержанной
обратной связью.
Сигнал (рис. 1.18,а), а следовательно, и импульсная
переходная функция оптимального фильтра, изменяют-
ся по закону линейно нарастающей бесконечной последо-
вательности только для лервых М+\ импульсов,
а амплитуда последующих Л^—2М—1 импульсов должна
оставаться постоянной. Чтобы преобразовать линейно
нарастающую бесконечную последовательность импуль-
сов в последовательность, амплитуда которой увеличи-
вается только для пе,рвых ЛТ+1 импульсов, а затем
остается неизменной (рис. 2.19,г), необходимо первую
68

йбследовательность задержать на время (М+\)Т и вы-
честь эту задержанную последовательность (рис. 2.19,в)
из первоначальной.
Чтобы получить из образованной таким образом по-
следовательности (рис. 2.19,г) трапециевидную последо-
вательность N импульсов (рис. 2.19,е), следует из пер-
вой вычесть последовательность той же формы, но за-
держанную ,по отношению к ней на время (N—М)Т
(рис. 2.19,д).
Следовательно, олтимальный фильтр для трапецие-
видной последовательности видеоимпульсов, кроме опти-
7 7
Рис. 2J20. Иная блок-схема фильтра, оптимального трапециевидной
последовательности импульсов.
маль'ного фильтра для одиночного импульса и двух сум-
мирующих устройств с задержанной 'на время Т обрат-
ной связью, содержит два устройства задержки на вре-
мя, соответственно равное (М+\)Т и (N—М)Г, и два
вычитающих устройства (рис. 2.20).
Временные диаграммы, изображенные на рис. 2.19,
и воспроизводят форму напряжений в различных точках
этого оптимального фильтра при действии на /его вход
единичного импульса.
Тот же результат получается и спектральным мето-
дом [46].
Так как треугольная последовательность импульсов
(рис. 2.21,а) является частным случаем трапециевидной
последовательности при
А1 = ^=^, B.16)
то для получения блок-схемы фильтра, оптимальной
этой последовательности, достаточно в блок-схеме опти-
мального фильтра для трапециевидной последователь-
сти выбрать М в соответствии с B.16). Тогда оба задер-
живающих устройства будут иметь одинаковое время
задержки t^ = —~-T (рис. 2.21,6).
69

Аналогичным путем Можно .Построить оптимальные
фильтры для последовательностей с более сложной фор-
мой огибающей (например, составленной из отрезков
Рис. 2.21. Треугольная последовательность импульсов (а) и блок-
схема оптимального ей фильтра (б).
парабол). Это построение легче осуществить, используя
взаимное соответствие оптимальных фильтров для по-
следовательности импульсов и импульса той же формы.
4. Взаимное соответствие оптимальных фильтров
для последовательности импульсов и импульса
той же формы
Рассмотрение оптимальных фильтров для импульс-
ных последовательностей любой формы показывает, что
они состоят из двух частей. Первая часть представляет
собой оптимальный фильтр для одиночного импульса, из
которого образована последовательность, и обусловлена
только формой этого импульса и его параметрами.
Вторая часть не зависит от параметров импульсов и
определяется формой огибающей последовательности
импульсов. Поэтому ее, по нашему мнению, целесооб-
разно называть оптимальным фильтром для огибающей
последовательности.
Сравнивая оптимальные фильтры для прямоугольной
(трапециевидной или треугольной) огибающей последо-
вательности (рис. 2.17,0, 2.20 и 2.21,6) с оптимальными
70

фильтрами для видеоимпульса той же формы (рис. 2.2,
2.5,в и 2.6,6), легко обнаружить взаимное соответствие
элементов этих фильтров. Так, интегрирующему устрой-
ству в оптимальном фильтре для видеоимпульса соот-
ветствует в фильтре, оптимальном огибающей последо-
вательности той же формы, суммирующее устройство
с задержанной обратной связью. Это и не удивительно,
ибо это суммирующее устройство по существу является
интегратором огибающей.
Устройству задержки на время длительности видео-
импульса т (рис. 2.2) соответствует устройство задерж-
ки <на время длительности огибающей последовательно-
сти NT (рис. 2.17,а), устройству задержки на время дли-
тельности переднего фронта трапециевидного импульса
(рис. 2.5,в) соответствует устройство задержки таа вре-
мя длительности 'переднего фронта трапециевидной оги-
бающей последовательности (М+1)Т (рис, 2.20) и т. п.
Это взаимное соответствие имеет большое практиче-
ское значение, так как позволяет по блок-схеме фильтра
оптимального видеоимпульсу, построить (блок-схему
оптимального фильтра для огибающей последовательно-
сти импульсов той же формы.
Причина указанного взаимного соответствия состоит
в том, что видеоимпульс и огибающая последовательно-
сти имеют одинаковую форму. Поэтому между их спек-
трами существует взаимная связь (она рассматривается
в следующем пункте).
Чтобы устано!вить более точное соответствие между
оптимальными фильтрами для одиночного импульса и
огибающей 'последовательности, воспользуемся свойства-
ми ^-преобразования, изложенными в <книге Я. 3. Цып-
ки на [50].
Цели огибающая последовательности импульсов пред-
ставляет собой при t^O полином k-й степени, а соответ-
ствующая решетчатая функция имеет вид
f[n]r=nh при
то изображение (в смысле дискретного преобразования
Лапласа) этой функции таково:
71

где последний множитель представляет собой опреде-
литель
[
1
2!
1
3!
1
k\
1—e«
1
i
(k-\)\
0
1 — A
1 ..
1
(ft-2)!' •
.0
.0
.0
.1
B.18)
Полагая q=j(oT и используя A.20), получим из
B.17), что дискретная часть соответствующего опти-
мального фильтра, которая формирует последователь-
ность имтульсов (т. е. оптимальный фильтр для огибаю-
щей этой (последовательности), имеет передаточную
функцию
Следовательно, оптимальный фильтр состоит из й-}-1-го
суммирующего устройства с задержанной обратной связью
и схемы с передаточной функцией Rk(e~f(oT). Поскольку
последняя представляет собой полином (k—1)-й степени
относительно e~~J<oT с целыми положительными коэффици-
ентами, то эта схема состоит из (k—1)-го устройства за-
держки на время Г, суммирующих устройств и устройств
усиления в целое число раз.
В частности, при & = 0 и &=1, т. е. при линейно изме-
няющейся огибающей последовательности, указанная
схема вырождается в короткое замыкание, а при & = 2
(при параболической огибающей) состоит из устройства
задержки на время Т и суммирующего устройства. Да-
лее
#4(е-1*7) = 1 + 11е-/вГ + 11е-/ввг + е"/фЗГ и т. п.
Поскольку для получения видеоимшульса, описывае-
мого полиномом k-й степени, необходимо в соответствую-
щем оптимальном фильтре использовать 'последователь-
ное соединение (k + l)-ro интегрирующего устройства,
7?

to из предыдущего следует, что (&+1)-му интегрирую-
щему в оптимальном фильтре для видеоимпульса соот-
ветствует k -j-1 суммирующее устройство с задержанной
обратной связью и схема с передаточной функцией
/Me"**).
В частности, одному и двум интегрирующим устрой-
ствам соответствует то же число суммирующих
устройств с задержанной обратной связью, трем интегри-
рующим устройствам — совокупность трех суммирующих
+
|r
1
+
1 Г
+
т
+ \ "И \
м
-f
Рис. 2.22. Узлы оптимальных фильтров для последователь-
ностей импульсных сигналов.
устройств, устройства задержки на время Т и суммирую-
щего устройства (рис. 2.22,а), четырем интегрирующим
устройствам — совокупность того же числа суммирую-
щих устройств, двух устройств задержки на время Г,
усилителя в 4 раза и суммирующего устройства
(рис. 2.22,6) и т. п.
Пользуясь теоремами смещения независимого пере-
менного в области оригиналов для непрерывной и дис-
кретной (решетчатой) функций и теоремой о линейности
изображений этих функций, легко показать, что совокуп-
ности устройства задержки на время х и вычитающего
устройства в оптимальном фильтре для видеоимпульса
соответствует совокупность устройства задержки на вре-
мя NT и вычитающего устройства, где N—число импуль-
сов, повторяющихся с квазипериодом Т и наблюдаю-
щихся за время т.
, Для иллюстрации изложенного взаимного соответ-
ствия оптимального фильтра для видеоимпульса и оги-
73

бающей последовательности той же формы на рис. 2.23
изображена блок-схема оптимального фильтра для пара-
болической огибающей последовательности импульсов.
Она построена по блок-схеме оптимального фильтра для
параболического видеоимпульса (рис. 2.10) по прави-
лам взаимного соответствия, изложенным выше.
+
(г
JL
+
•
1 —
+
н
L
+
CD
>2(N+
| Т
4-
|
Рис. 2.23. Блок-схема оптимального фильтра для огибаю-
щей параболической последовательности импульсов.
5. Связь между спектрами видеоимпульса
и последовательности импульсов с огибающей
той же формы
Пусть сигнал s(t) представляет собой последователь-
ность видеоимпульсов одинаковой формы s\(t), отстоя-
щих друг относительно друга на время, кратное Г, и
Silt)
-51 -47 -37 -21 Т О Т 11 Л 1*1 51 61
Рис. 2.124. Последавателыюсть видеоимпульсов.
имеющих амплитуду, которая изменяется по закону опи-
бающей 'последовательности s2(t) (рис. 2.24)',
s(t)= f St(nT)st(t-nT).
П=— 00
Эта последовательность имеет спектр
+ 00 +00 Г +00
5(со)= J s(t)e49tdt=$ ^ sM(nT)st(t—nT)\<
B.20)
rfmt
dt.
—00 L/2=~00
74

Меняя порядок интегрирования и суммирования, получим
+оо
5((о)= ? s2(nT) f s.it — n^e-^dt^
+оо
= J *i @ eWel Л ? s2 (пТ) е"/шяг= 5, («) 53 (со), B.21)
где St (со) — спектр одиночного импульса последователь-
ности, имеющего амплитуду, равную единице,
S3(co)= ? s2(nT)e~IwnT. B.22)
Последняя функция описывает спектр, который имеет
период п = ~ и максимумы на частотах, кратных этому
периоду, так как для любого целого k
2
+ оо
B.23)
Поскольку огибающая последовательности sz(t) связана
преобразованием Фурье с ее спектром
+00
то из B.22) следует
Так как [51]
75

то
__ +оо оо ___
S,(m)= J] ^St
&=—оо —oo
и, используя фильтрующее свойство дельта-функции,
5»= V 52(«) + Ш). B.24)
?=-00
Это соотношение устанавливает связь между спектром
огибающей S2(a>) и спектром S8(«>) решетчатой функции
su(nT) [50].
Следовательно, спектр решетчатой функции f [n] =
= s2(nT) равен сумме спектров ее непрерывной огибаю-
щей s2(t), смещенных по оси частот на величины Ш,
кратные частоте повторения импульсов в последователь-
ности, причем k изменяется от —со до +°°. (аналогич-
ный результат получен Я. 3. Цыпкиным [52]).
Ширина каждого из спектров суммы B.24), очевидно,
имеет порядок величины, обратной длительности огибаю-
щей х2, т. е. Д03?1я^-^-. Поскольку обычно длительность
огибающей последовательности много больше квазиперио-
да повторения импульсов в этой последовательности
*2 ^> Т, то ширина каждого из спектров суммы много
меньше частоты повторения Q, которая равна периоду
этого спектра.
Таким образом, спектр 5^(со.) является периодиче-
ским, со сравнительно узкими максимумами |на частотах,
кранных частоте .повторения, причем максимумы «разде-
льны м'ежду 'Co6iojh областями 1весьма малых значений.
Итак, спектр 5з(о>) имеет ,иид гребенки (-рис. 2J26,a)
и -поэтому 'называется ripе б енчатым [9]._
Оггектр последователышстм импульсов 5(со), 'пред-
ставляющий собой вследствие Bj22) произведение рав-
номерного гребенчатого спектра Ss((o) и спектра одиноч-
ного им'пулыса St(<b) (рис. 2.25,6), является также гре-
бенчатым (рис. 2.125,0), 1но уже iHie равномерным, а irpo-
модулярованным спектром iSi(oo).
Как 'показаню выше, это свойство гребенчатости ха-
рактерно для спектров последовательностей импульсов
с огибающими любой формы. Поэтому оптимальные
фильтры для любых последовательностей импульсов
76

¦a]
f г
Рис. 2.25, Гребенчатые спектры (а и в) и спектр оди-
ночного тшпуль'са (б).
должны содаржать устройство с гребенчатой частотной
характеристикой, которое называется гр е б е н ч а т ы м
ф [9, &3,154, 136].
6. Тождественность фильтра,
оптимального последовательности импульсов,
и идеального гребенчатого фильтра
Гребенчатым фильтром является, например, сумми-
рующее устройство с задержанной на время Т обратной
связью, дополненное устройством задержки на время РТ
и вычитающим устройством (здесь Р — некоторое целое
число, (равное, ^например, числу импульсов в последова-
тельнююни N). Этому устройству 'полностью эквивалент-
на система (из устройства задержки на Бремя (Р—\)Т
с Р—2 равномерно расположенными отводами и сумми-
рующего устройства (рис. 2.16,6).
Такие гребенчатые фильтры имеют 'передаточную
функцию
КП= \Ze-i*r =e 2 f(°>T>P), B-25)
77

где
sin
f(»,T9P) = -
sinTf
B.26)
—<идеальная шребенчатая функция (рис. 2.26). Ее
период по частоте равен Q при нечетном Р и 2Q причет-
ном Р. Период же передаточной функции гребенчатого
Рис, 2.26. Идеальная гребенчатая функция для четного
и нечетного значений Р.
фильтра (Й.25) равен частоте повторения Q независимо
от того, является число Р четным или нечетным. С ро-
стом Р возрастает величина максимумов этой функции,
а области частот, соответствующие большим значениям
функции, сужаются,
78

Рассмотрим простой дриодер прямоуголыной последо-
вательности импульсов любой формы. В этом случае
= U при |л
= 0 при \п\>М)
sin
где N = 2M+\.
Кроме того,
Последнее выражение в случае прямоугольных им-
пульсов совпадает с приведенным в п. 2. Спектры -прямо-
угольных последовательностей шрямоулольных 'импуль-
сов построены на рис. 2.27 для нечетного (а) и четного
(б) числа импульсов в .последовательности.
Аналогично спектры трапециевидной и треугольной
последовательностей им'пульоов, соответственно равные
представляют собой «праиаведения спектра одиночного
импульса на произведение двух идеальных гребенчатых
функций.
Поскольку лфедаточная функция оптимального
фильтра отличается только множителем от спектра
сигнала (симметричной формы), то оптимальный фильтр
для последовательности импульсов является идеальным
гребенчатым фильтром, полностью согласованным со спек-
тром этой последовательности. Этим он и отличается
от гребенчатых фильтров, представляющих собой набор
обычных резонансных фильтров, иастроенных ма часто-
ты, кратные частоте повторения [53—54].
79

N=5
&о М М М
+~си
Рис. 2.27. Гребенчатые спектры двух последовательностей им-
пульсов.
80

Число этих резонансных фильтров (равно отношению
полосы пропускания к частоте'повторения
AQ А/7 А Пгр
Полоса же пропускания гребенчатого фильтра выбирается
из условия допустимого искажения импульса при прохож-
дении через гребенчатый фильтр AF=—, где Ь — коэф-
фициент порядка единицы или ее доли. Поэтому
y=K = bQ7 B.27)
где Q—скважность импульсов в последовательности,
которая 'в радиолокации имеет порядок тысячи. Пола-
гая b разным сравнительно малой величине 0,5 и Q =
= 1000, (получим v=!500.
«Гребенчатый фильтр в виде набора такого числа ре-
зонансных фильтров, настроенных достаточно точно на
частоты, кратные частоте повторения, является очень
Громоздким ,и сложным в настройке и эксплуатации
устройством.
Применение такого гребенчатого фильтра целесооб-
разно только в случае 'малой скважности импульсов
в 'последовательности и низших требований к качеству
импульса на выходе этого фильтра, когда коэффициент Ь
можно выбрать достаточно малым. При этом импульс
будет 'сильно растягиваться во времени, и определить его
временное положение можно только с большой погреш-
ностью.
Указанное выше подтверждается, в частности, ре-
зультатами экспериментального исследования гребенча-
того фильтра, который составлен всего только из 15резо-
наиюных фильтров именно потому, что предназначен для
импульсов, следующих со скважностью, равной десяти
[53, 54].
7. О реализуемости оптимальных фильтров
для последовательностей импульсов
Выше показано, что оптимальные фильтры для по-
следовательностей импульсов состоят из оптимальных
фильтров для одиночного импульса, одного или несколь-
ких суммирующих устройств с задержанной обратной
81

т
связью, одного или нескольких задерживающих и вычи-
тающих устройств.
Все эни элементы, за исключением суммирующего
устройства с задержанной обратной связью, могут быть
осуществлены. Если же выполнить
1 ^. ? - суммирующее устройство с задержан-
+ I ш im ной обратной связью, то оно окажется
~*—' неустойчивым и будет самовозбуждать-
ся, так как его коэффициент обратной
связи равен единице. Для устранения
Рис. 2.28. Лракти- самовозбуждения этого устройства не-
ческое приближе- обходимо уменьшить величину его ко-
ние суммирующего эффициента обратной связи. С этой
устройства с за- ^^ v *
держанной обрат- целью в цепь его обратной связи вклю-
ной связью. чается устройство с коэффициентом пе-
редачи яг, величина которого меньше
единицы. Его можно назвать ослабителем.
Если выбрать .кшффицишт обратной связи т устрой-
ства (рте. ?.128) достаточно близким к единице (но мень-
ше этой величины), то такое устройство ino своим свой-
ствам будет столь близким к идеальному, что потери
в отношении еипнал/шум будут незначительными. Этот
вопрос детально 'исследуемся в следующей главе.
§ 2.5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ
ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ РАДИОИМПУЛЬСНЫХ
СИГНАЛОВ
1. Предварительные замечания
Вследствие вышеизложенного оптимальные фильтры
для последовательностей -радиоимпульоных сигналов
обладают .как достоинствами оптимальных фильтров
для радиоимпульсов, так и преимуществами оптималь-
ных фильтров для последовательностей импульсов перед
оптимальными фильтрами для одиночных импульсов.
Поэтому они представляют большой интерес.
Будем различать последовательно'спи радиоимпуль-
сов двух родов *:
1. Последовательность радиоимпульсов первого 'рода
(рис. 2.29,в), которая образуется путем амплитудной
* Приводимая классификация последовательностей радиоимпуль-
сов не является общепринятой и введена лишь для удобства изло-
жения.
82

импульсной модулЯ1Ц'И1И 'непрерывного гармонического ко-
лебания '(рис. l2J29,a) последовательностью видеоимпуль-
сов (рис. '2.29,6). При этом тачальные фазы разных ра-
диоимпульсов пюследователынюсш в общем случае раз-
личны ((если произведение не'сущей частоты /о на |квази-
период (повторения Т отличается от 'целого числа).
2. Последовательность радиоимпульсов второго рода
(рис. 2.!29,г), которая состоит из радиоимпульсов с оди-
2Т ЗТ 47 JT
Рис. 2.29. Непрерывное гармоническое колебание (а), моду-
лирующая последовательность видеоимпульсов (б) и 'после-
довательности радиоимпульсов двух родов (в и г).
наковы'ми начальными фазами. Эти радиоимпульсы раз-
личаются временным положением: они запаздывают по
отношению к первому импульсу на время, кранное -ква-
зипериюду повторения Т.
Когда произведение несущей частоты f0 ша квазипе-
риод повторения Т представляет собой целое число, т. е.
квазипериод повторения кратен 'периоду несущего коле-
бания, эти последовательности оказываются совершенно
одинаковыми.
Если последовательность состоит из радиоимпульсов
с различными начальными фазами, но закон их измене-
ния известен (например, в случае радиолокационной си-
стемы, когда различие начальных фаз принимаемых
радиоимпульсов обусловлено различием начальных фаз
излучаемых радиоимпульсов), то эта последовательность
может быть с помощью когерентно-импульсной техники
[48] преобразована в последовательность радиоимпуль-
сов как (второго, так и 'первого рода.
83

2. Оптимальные фильтры для последовательностей
радиоимпульсов первого рода
Используя взаимное соответствие оптимальных филь-
тров для видео- и радиоимпульсов, установленное в п. 3
§ 2.3, легко построить оптимальные фильтры, для после-
довательностей редиоимпульсных сигналов (первого р»ода
по известным олтимал^ным фильтрам для 'последова-
тельностей видеоимпульсных сигналов (см. § 2.4).
!В п. 2 § 12.4 показано, что оптимальный фильтр для
прямоугольной последовательности видеоимпульсных
сигналов состоит из оптимального фильтра для одиноч-
ного импульса этой последовательности, суммирующего
устройства с задержанной на Т обратной связью, устрой-
ства задержки на время NT и .вычитающего устройства
(риге. 2:17,0).
Однако, как следует из п. 3 § .2,3, устройству задерж-
ки на время Т в видеочастотном оптимальном фильтре
соответствует в радиочастотном оптимальном фильтре
совокупность устройства задержки на то же время и фазо-
вращателя на угол %(T)=2nR(foT). Аналогично устрой-
ству задержки ада время NT ib видеочастотиом оптималь-
ном фильтре соответствует совокупность та'кого же
устройства задержки и фазовращателя «а угол %(NT).
Кроме того, оптимальному фильтру для одиночного ви-
деоимпульса соответствует оптимальный фильтр для ра-
диоимпульса (см. § 2.3).
Вследствие изложенного оптимальный фильтр для
прямоугольной последовательности прямоугольных ра-
диоимпульсов (состоит из высокоизбирателыного резо-
нансного усилителя, совокупности устройства задержки
на время т и фазовращателя на угол %(х), суммирующе-
го устройства, охваченного обратной 'связью через
устройство задержки на время Т и фазовращатель на
угол %(Т), совокупности устройства задержки на время
NT и фазовращателя на угол %(NT) и двух вычитающих
устройств i (рис. i2.30,a).
Аналогичным путем, используя оптимальные фильтры
для трапециевидной и треугольной последовательностей
видеоимпульсиых сигналов, построенные в п. 3 § B.4,
а также отмеченное выше взаимное соответствие элемен-
тов видео- и радиочастотных оптимальных фильтров,
легко построить оптимальные (фильтры для указанных
84

последовательностей (радиоимпульсов первого рода (ом.
рис. 2.80,6 и в).
Тем же способом можно построить оптимальные
фильтры для последовательностей трапециевидных, тре-
ВИРУ
•
—
-
7
+
NT
-
а)
ВИРУ
'ад
тм
+
7
lN+t
Л ?,
—
V
N+1-r
т1
—
ГГ
Рис. 2.30. Блок-схемы фильтров, оптимальных последовательностям
[радиоимпульсов первого рода.
угольных, параболических и тому подобных радиоим-
пульсов, а также для 'последовательностей радиоимпуль-
сов с огибающими (иной фо,р(мы.
3. Оптимальные фильтры для последовательностей
радиоимпульсов второго рода
Нетрудно видеть, что применение фазовращателей
на углы XI(Т) и %(NT) в оптимальном фильтре для пря-
моугольной последовательности радиоимпульсов nepiBoro
рода (рис. 2.30,а) .вызывается тем, что для (нормальной
работы этого фильтра радиоимпульсы, поступающие
б суммирующее или вычитающее устройство, должны
иметь одинаковые начальные фазы.
В случае же 'последовательностей радиоимпульсов
85

второго (рода начальные фазы отдельных радиоимпуль-
сов одинаковы, а поэтому нет .необходимости в исполь-
зовании в оптимальных фильтрах указанных фазовра-
щателей. (Однако фазовращатель, осуществляющий
поворот фазы /на угол %(т), в общем случае должен быть
сохранен.)
Следовательно, 'блок-схема оптимального фильтра
для огибающей последовательностш радиоимпульсов вто-
рого рода полностью совпадает с блок-схемой оптималь-
ного фильтра для огибающей соответствующей последо-
вательности видеоимпульсных сигналов.
Блок-схема оптимального фильтра для последов а-
тель'ности радиоимпульсов второго рода отличается от
блок-схемы оптимального ф'ильтра для соответствующей
последовательности видеоимпульсов наличием оптималь-
ного фильтра для радиоимпульса вместо оптимального
фильтра для видеоимпульса.
Различие схем и конструкций этих фильтров более
существенно, так как суммирующие и вычитающие
устройства, рассчитанные на пропускание видеоимпуль-
сов, будут значительно отличаться от подобных
устройств, предназначенных для работы с радиоимпуль-
сами.
К задерживающим устройствам, применяемым в оп-
тимальных фильтрах для последовательностей радиоим-
пульсов (и для радиоимпульсов), предъявляются не-
сравненно более жесткие требования в отношении точ-
ности и стабильности времени задержки Т (и т), чем
в случае оптимальных фильтров для последовательно-
стей видеоимпульсов (и для видеоимпульсов) [12].
Если в последнем случае нестабильность времени за-
держки А/3 должна быть много меньше длительности
импульса т:
то в случае радиоимпульсов требуется выполнение
условия
При несоблюдении этого условия импульсы, поступаю-
щие на суммирующее (вычитающее) устройство, не бу-
дут поступать в фазе, что нарушит нормальную работу
оптимального фильтра.
86

Вследствие этого фильтры, оптимальные последова-
тельностям радооимпульшв, значительно труднее осу-
ществить, чем оптимальные фильтры для последователь-
ностей .видеоимпульсов.
§ 2.6. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ
СЧЕТНОРЕШАЮЩЕЙ ТЕХНИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
1. Предварительные замечания
'Выше установлено, что в состав оптимальных филь-
тров входят элементы счетнарешающей техники: инте-
грирующие, дифференцирующие, суммирующие, вычи-
тающие и задерживающие устройства. В данном пара-
графе и да'ется .понятие о принципе работы, схеме и кон-
струкции таких устройств. Ограниченный объем книги
не позволил провести это рассмотрение более подробно.
Однако в этом ;и нет особой необходимости, ибо указан-
ные вопросы детально рассмотрены в книгах [65—63].
Основное внимание уделяется анализу электронных
устройств, что объясняется их значительными преиму-
ществами по сравнению с другими типами счетнорешаю-
щих элементов.
2. Суммирующие и вычитающие устройства
Сложение и вычитание двух или большего числа на-
пряжений (или токов) можно осуществить в любой ли-
нейной электрической системе, обладающей свойством
суперпозиции. Простейшим примером суммирующего
устройства является схема последовательного соедине-
ния э. д. с. на общую нагрузку /?н (рис. 2.31), в .которой
п
Если внутренние сопротивления Ru источников э. д.
ек малы по сравнению с сопротивлением нагрузки:
87

то
= У |e*|sgn>fc,
о
еп\
ивт
J
Рис. 2.31. Схема после-
довательного соединения
э. д. с. на общую на-
грузку.
где sgnx — знак действительного числа х.
Если полярности э. д. с. не будут одинаковыми, то вы-
ходное напряжение 'будет алгебраической -суммой. По-
этому между суммирующим и
вычитающим устройствами нет
принципиального различия.
Основной недостаток рассмот-
ренного и других подобных сум-
мирующих устройств, выполнен-
ных на пассивных элементах, за-
ключается во взаимном влиянии
входных э. д. с. друг на друга и
на входную цепь. Применение
iP электронных ламп позволяет
'Практически полностью устра-
нить указанное влияние.
Кроме того, электронные лам-
пы могут применяться непосред-
ственно в качестве суммирующих
устройств. При этом суммируемые напряжения подают-
ся на различные электроды лампы, например на сетку и
катод (рис. 2.32,а). Тогда
«вы* = *(#*—«*)•
где k—коэффициент усиления каскада;
uh и ug—напряжения, подаваемые соответственно на ка-
тод и сетку лампы.
Недостаток этой схемы заключается в том, что, если
используется триод, то входное сопротивление 'Катодной
цепи мало (порядка 1/S, где S — крутизна лампы), и
поэтому она должна питаться от -низкоомного (источника.
Другим типам суммирующего устройства является
схема (параллельного соединения усилителей на общую
анодную или катодную нагрузку (рис. 2.32,6 !и в). Пре-
имущества этих схем заключаются в очень большой ве-
личине входных сопротивлений и очень малой связи
между входными цепями (практически только через меж-
электродные и паразитные «емкости). Дополнительное
88

достоинство устройства с общей катодной 'нагрузкой со-
стоит в малом выходном сопротивлении ^порядка 1/nS)
и возможности работы с большими уровнями входных
Рис. 2.33. Блок-схема суммирую-
щего усилителя с отрицательной
обратной связью.
напряжений. Последнее
важно, например, при ис-
пользовании суммирующего
устройства для .накопления
большого числа импульс-
ных сигналов.
В качестве суммирующе-
го устройства часто, особен-
но в математических маши-
нах непрерывного действия,
используют электронный
усилитель с глубокой отри-
цательной обратной связью
(рис. 2.33). Если выбрать
его коэффициент усиления k
достаточно большим, а чис-
ло каскадов нечетным, то
[57, 61] на его выходе будет
напряжение
Рис. 2.32. Ламповые схемы и2 = —
суммирующих устройств.
где uxi — напряжение на ?-м входе. В частности, если
выбрать R1i = R2, то
?=1
т. е. выходное .напряжение отличается только знаком
от суммы входных напряжений.
89

Схемы с глубокой отрицательной обратной связью
практически нечувствительны к изменению нагрузки,
а также к влиянию |ряда других факторов [61].
Суммирующие устройства, выполненные на электрон-
ных лампах, представляют собой по существу усилитель-
ные устройства. Оо1этому методы получения необходи-
мых частотных и переходных характеристик импульсных
усилителей [33, 64] вполне (применимы и при проектиро-
вании устройств суммирования импульсных (напряжений.
В заключение отметим, что суммирование (вычита-
ние) напряжений происходит и в большом числе других
радиотехнических устройств: усилителях с обратной
связью, смесителях импульсов засвета »и -калибранион-
ных меток в радиолокационных индикаторах и т. п. Одна-
ко в отличие от счетнорешающих устройств требования
к точности суммирования в этих схемах являются зна-
чительно меньшими.
3. Интегрирующие устройства
Простейшим интегрирующим устройством является
интегрирующая /?С-цепь (рис. 2.34,а).
* Т I t / 1
*7
Р,ис. 12.34. Схемы интегрирующей RC-це-
пи (а) и интегрирующего усилителя (б).
Для нее справедливо соотношение
Решение этого линейного дифференциального уравне-
ния с правой частью при нулевых начальных условиях
таково:
t_
и ц\ __!_ р кс
90

Если
t < RC, B.28)
то это решение упрощается:
^l(t)dt. B.29)
Таким образо'м, выходное напряжение приблизитель-
но пропорционально интегралу от входного напряжения.
Как видно из B.28), эта зависимость тем точнее, чем
больше постоянная времени цепи RC. Однако при увели-
чении последней уменьшается уровень выходного напря-
жения. Поэтому повышение точности интегрирования не-
избежно сопряжено с уменьшением выходного напря-
жения.
Лучшие результаты, чем применение интегрирующей
цепи, позволяет получить схема интегрирующего усили-
теля (рис. 2.34,6). Полагаем, что он работает без сеточ-
ных токов. Сеточную цепь -можно рассматривать как
интегрирующую щепь, состоящую из сопротивления R
и входной емкости усилителя [33]
где k—коэффициент усиления каскада;
Cgk и Cag — межэлектродные емкости лампы.
Емкость С выбирается много больше межэлектрод-
ных емкостей, а коэффициент усиления — порядка сот-
ни. Поэтому CBX^kC.
По аналогии с B.28) и B.29) имеем
t < RCBX ^ kRC B.30)
и
Следовательно, включение емкости между анодом и сет-
кой лампы эквивалентно увеличению постоянной време-
ни интегрирующего устройства в k раз. Точность инте-
грирования возрастает приблизительно в той же степени.
При этом выходное напряжение
Ul=, — kug^= — ~^ Гах (t) dt B.32)
отличается только знаком от напряжения на выходе ин-
тегрирующей 7?С-цепи [см. B.29)].
91

В частности, если входное напряжение представляет
собой единичный скачок напряжения ui(t) = l(t), то на-
пряжение на сетке интегрирующего усилителя при />0
изменяется по закону
1
а на выходе
Если ж;е воспользоваться приближенным соотноше-
нием .A2J32), то
Отклонение выходною (напряжения от уменьшенного
в RC раз интеграла входного напряжения составляет
и при условии B.30)
Относительная погрешность интегрирования
Аи2 _, t
и2 2kRC
B.33)
увеличивается с течением времени и уменьшается с ро-
стом как произведения RCy так и коэффициента усиле-
ния, что подтверждает указанное выше.
Особенности работы таких устройств и их ирарктиче-
ские схемы рассматриваются в E7, 61—63].
Если на схеме ((рис. 2,34) поменять местами сопро-
тивление и емкость и выбрать постоянную времени RС
достаточно малой, то получим дифференцирующее
устройство.
4. Задерживающие устройства
Напряжение (на выходе задерживающего устройства
воспроизводит с некоторой временной задержкой t3
входное напряжение:
92

Задерживающие устройства нашли широкоечпримене-
нле ,в радиолокационных системах селекции движущих-
ся целей [48] 1и в цифровых вычислительных .машинах
как динамические запоминающие устройства |[59, 65].
Наибольшее распространение как задерживающие
устройства находят линии задержки. Различают элек-
трические (с сосредоточенными параметрами), электро-
магнитные (типа 'кабеля), ультразвуковые и -магнито-
стрищионные лиши задержки.
Как электрические, так и электромагнитные лиши
задержки позволяют получить при разумных габаритах
весьма небольшое (время задержки порядка микросекун-
ды [34, 48, 63, 66]. Поэтому oihih могут использоваться
только ,в оптимальных фильтрах для одиночных импульс-
ных сигналов.
Ультразвуковые линии обеспечивают задержку по-
рядка единиц миллисекунд [48, 63, 66]. Их (основное до-
стоинство 'состоит в 'большом .времени задержки «на еди-
вди'цу длины, что объясняется сравнительно малой ско-
ростью распространения ультразвука в проводящей сре-
де (порядка 1500—6000 м/сек). В качестве последней
применяются как жидкие, так и твердые вещества, при-
чем наиболее часто ртуть, смесь воды с этиловым спир-
том, плавленый .кварц и магниевые сплавы. Параметры,
характеризующие основные физические свойства этих
материалов, приводятся в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Материал звукопровода
Смесь воды с этиловым
спиртом A00:15,8)
Ртуть
Плавленый кварц
Магниевые сплавы
Скорость,
м/сек
1500
1 500
5 450
5 600—5 800
Затухание,
дб/см
0,047
0,083
0,0068
0,1—0,2
Температур-
ный коэффици
ент скорости
при 20° Ц
0 при 70° Ц
—2-10-*
1,1-Ю-4
—
Жидкий звуко'провод обычно заполняет стальную
трубу, на концах которой в специалшой арматуре в/мон-
тироеаиы пьезокварцевые преобразователи электриче-
ских колебаний в ультразвуковые и ультразвуковых
колебаний в электрические (рис. 2.35,а). Кварц соприка-
сается с жидкостью с обеих сторон. Для устранения мно-
93

гократных отражений от концов трубы их стенки ско-
шены под углом '45°. Для уменьшения габаритов линии
задержки ее выполняют в виде нескольких секций, со-
единенных уголковыми отражателями (рис. 2.35,6).
Твердые линии задержки конструктивно представля-
ют собой бруски с пропилами (рис. 2.35,eJ. Кварцевые
Л TTTI
да/р/ш
I)
Рис 2.35. Ультразвуковые линии за-
держки.
преобразователи приклеиваются к поверхности бруска.
Частотные характеристики линий задержки опреде-
ляются в основном характеристиками кварцевых преоб-
разователей. Последние обладают резко выраженными
резонансными свойствами на частотах, определяемых
толщиной кварцевой пластины и имеющих порядок де-
сятков мегагерц. Поэтому ультразвуковые линии обыч-
но осуществляют задержку радиоимпульсов, резонанс-
ная частота которых совпадает с резонансной частотой
кварцевых преобразователей. Если необходимо задер-
94

жать видеоимпульсы с помощью ультразвуковой линии,
то эти видеоимпульсы подается на балансный модулятор
для модуляции колебания, поступающего от генератора
несущей частоты (.порядка 16—-20 Мгц), и образованные
таким образом радиоимпульсы поступают на ультразву-
ковую линию, где задерживаются на «необходимое время,
а затем усиливаются (для компенсации затухания три
прохождении линии задержки) и детектируются син-
хронным детектором (рис. 2.36).
генератор
несшей
частоты
6М ~ линия
Штразбукобая
>
1
Синхронный
детеитор
Рис. 2.36. Блок-схема задерживающего устройства на ультра-
звуковой линии.
Для устранения зависимости времени задержки от
температуры окружающей 'среды линию задержки поме-
щают в термостат. Чтобы время задержки импульсного
сигнала в линии достаточно точно равнялось периоду
повторения .импульсной системы Т, применяют запуск
этой системы от синхронизатора с такой же линией за-
держки [48, 67]. Обе линии задержки помещают рядом
в одном термостате. При этом удается полутать равен-
ство .времени задержки и периода повторения -с точно-
стью порядка тысячной процента [48].
В заключение заметим, что, несмотря на ряд до-
стоинств ртутных линий задержки: сравнительно малое
затухание, небольшой уровень ложных сигналов и отно-
сительно большая полоса пропускания, их 'использова-
ние в (последнее время быстро сокращается. Это обуслов-
лено большими габаритами и весом, сложностью и не-
удобством их эксплуатации. Дело в том, что ртуть
ядовита, в процессе работы она постепенно загрязняется
и требует периодической очистки. Кроме того, эти линии
чувствительны :к вибрациям, которые вызывают появле-
ние пузырьков и вследствие этого увеличение затуха-
ния [59].
95

Поэтаму наиболее часто применяются линии задерж-
ки € твердым звушпроводом в виде магниевых сплавов.
Они сравнительно дешевы, просты в изготовлении, мало-
габаритны, легки in не требуют 'серьезного ухода;.
Машитострикционные линии задержки основаны на
использовании |магнитостр1икционного эффекта. Он за-
ключается в изменении длины бруска 'металла под дей-
ствием магнитного поля и в обратном явлении возник-
новения .машинного поля при упругой деформа/ции
бруска.
Магнитострикционными свойствами обладают спла-
вы некоторых металлов (например, никеля), а также
6 г
Рис. 2.37. Схема магнитострикционшй линии
задержки.
ферриты, плавленый кварц и др. Скорость распростра-
нения продольных .колебаний вдоль никелевого бруска
(или ленты) при температуре 60° Ц равна 4820 м/сек.
Магнитострикционная линия задержки конструктивно
выполнена в виде металлической ленты (или проволоки)
определенной длины / (рис. 2.37). Преобразователями
являются электромагнитные катушки 2 и 3, навитые
у концов ленты. Приемная катушка 3 помещена в поле
постоянного магнита 4. Для устранения отражений на
концах звукопровода линии помещаются наконечники 5
и 6, выполненные из поглощающего вещества ((битума,
шеллака, 'бакелитового лака или клея) [59].
При поступлении сигнала в передающую катушку 2
в ней наводится магнитное поле, которое изменяет дли-
ну, а следователЫню, и плотность ленты. При этом вслед-
ствие обратного магнитострикционного эффекта в прием-
ной катушке наводится э. д. с. с частотой сигнала.
В литературе [59, 68] описано imihoto других конструк-
ций машитострикционных линий задержки.
Основные недостатки магнитострищианных линий
задержки заключаются в том, что от концов линий на-
блюдаются большие вторичные отражения, несущая ча-
96

стота ультразвуковых колебаний сравнительно низка
(не более 600—600 кгц), а полоса пропускания мала
^порядка сотен килогерц). Однако, если применить спе-
циальную .конструкцию электромеханических (преобразо-
вателей <и усилители с коррекцией 'по высокой частоте,
то через линию можно -пропустить и-мпульсы длитель-
ностью менее 1 мксек ;и получить «полосу пропускания
порядка нескольких мегагерц [69]. Эти линии на практи-
ке 'позволяют получать задержки до 100 мксек.
Задержку импульсов можно осуществить и .путем их
¦машинной записи и последующего считывания в 'необ-
ходимый -момент времени [50, 70], а также путем записи
ш электронно-лучевые трубки с накоплением зарядов
(потенциалоскопы) и считывания записанного потенци-
ального рельефа. Эти вопросы подробно изложены
в книгах [59, 60, 71 и др.].
(Время задержки (запоминания) сигналов в этих
устройствах равно интервалу времени между моментами
записи -и считывания «и может быть сделано сколь-угод-
но большим. iB этом ,и заключается основное достоинство
таких задерживающих устройств.
Однако машинная запись (на ленту, барабан ил;и диск
сопряжена с механическим (перемещением магнитного
носителя относительно записывающих и считывающих
головок. Скорость этого перемещения должна поддержи-
ваться с весьма высокой точностью, что оказывается за-
труднительным (на 'практике. Вызывает большие трудно-
сти и создание напряжений развертки электронного лу-
ча, обеспечивающих достаточно точную запись сигналов
в соответствующее место экрана электронно-лучевой
трубки 'и (последующее считывание «следов» этих сиг-
налов.
Кроме того, при записи на магнитный материал и на
экран электронно-лучевой трубки с накоплением заря-
дов возникают специфические искажения: растяжение
записываемого импульса по длительности [72], засоре-
ние (засев) соседних участков экрана вторичными элек-
тронами E9, 71, 73] и т. in. !При этом ухудшается разре-
шающая способность импульсных систем и возрастает
уровень помех.
Эти особенности и должны приниматься во внимание
при решении вопроса о целесообразности использования
магнитных и электронно-лучевых задерживающих
97

устройств в оптимальных фильтрах и «накопителях им-
пульсных сигналов.
Несмотря на отмеченные недостатки, электронно-лу-
чевые трубки с накоплением зарядов (потенциалоскопы)
нашли широкое применение в устройствах 'накопления
импульсных сигналов, а также в системах селекции дви-
жущихся целей.
Тем не -менее лучшие качественные показатели таких
систем обеспечивают задерживающие устройства в виде
ультразвуковых линий задержки.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МЕХАНИЗМ РАБОТЫ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
§ 3.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В предыдущей главе рассмотрено построение филь-
тров, оптимальных как одиночным импульсным сигна-
лам, так и их последовательностям разнообразной фор-
мы. Очень важно 'понять, почему тот или иной оптималь-
ный фильтр состоит именно из таких, а не иных элемен-
тов, т. е. выяснить механизм его работы.
Для этого необходимо проанализировать щрохожде-
ние импульсного сигнала и шума через различные
элементы оптимального фильтра и их комбинации. Пред-
ставляется целесообразным провести этот анализ снача-
ла для фильтра, оптимального одиночному прямоуголь-
ному импульсу, а затем для фильтра, оптимального пря-
моугольной последовательности таких импульсов.
Анализ прохождения шума выполняется временным
методом (с помощью функций корреляции). Те же ре-
зультаты получаются при рассмотрении этого вопроса
спектральным 'Методом.
Кроме указанных выше вопросов рассматривается и
прохождение «сигналов и шума через устройства, отли-
чающиеся от оптимальных фильтров, но обеспечиваю-
щих получение близких к ним результатов. Это позволит
выяснить блок-схемы устройств, близких по своим свой-
ствам к оптимальным фильтрам, (но более простых при
реализации.
99

§ 3.2. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСНОГО
СИГНАЛА И ШУМА ЧЕРЕЗ ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР
1. О составе оптимального фильтра
В п. 1 § 2.2 показано, что фильтр, оптимальный пря-
моугольному видеоимпульсу, состоит из интегрирующего
устройства, устройства задержки на время, (равное дли-
тельности этого импульса, и вычитающего устройства
(рис. 2.2).
В п. 3 § 2.6 рассмотрены два типа интегрирующих
устройств: интегрирующая /?С-цепь и интегрирующий
усилитель. 'В дальнейшем полагаем, что в оптимальном
фильтре в качестве указанного устройства используется
интегрирующий усилитель, частным случа!ем которого
при k=l можно рассматривать и интегрирующую
R С'-цепь.
Этот усилитель имеет переходную функцию
{t) = 0 при t < О
,C.1)
где $ = kCR— его постоянная времени. Это выражение
справедливо только <в том случае, если (не учитывать
знака напряжения на выходе этого усилителя. Послед-
нее вполне допустимо.
2. Прохождение сигнала
Если импульсный сишал действует на входе опти-
мального фильтра (рис. 2.2) только от *=0 до t=tt 'и
имеет амплитуду U\ (рис. 8.1,а), то на выходе интегри-
рующего устройства, постоянная времени которого зна-
чительно больше длительности импульса
Р>*, C.2)
напряжение сигнала изменяется по закону (рис. 3.1,6):
C.3)
при
-с. t— 1
При
100

0
0
V
0
и
t
i
г)
о t it -1
Рис. З.1. Временные диаграммы на-
иряжений в оптимальном фильтре
для 'Видеоимпульса.
После прохождения линии задержки это колебание
запоздает на в,ремя т (рис. 3.1,в). На, .выходе вычитаю-
щего устройства получим импульс приблизительно тре-
угольной формы (рис. 3.1,г):
при
-е
при
при
101

Он имеет амплитуду
4^тЧ 2ру~т~ ( }
и длительность, "Приближенно равную 2т.
Коэффициент передачи тикового значения сигнала
оптимальным фильтрам составляет
^т- C-6)
3. Прохождение шума
Полагаем шум и а -входе белым и .имеющим спек-
тральную плотность A.12).
Как известно {17], шум 'после прохождения линейной
системы с импульсной переходной функцией h(t) имеет
автокорреляционную функцию
+ оо
R2(t) = a [h (и) h(u-\-t) du. C.7)
Поскольку .импульсная .переходная функция являет-
ся производной по времени от переходной функции, то
в .рассматриваемом случае вследствие C.1)
и поэтому согласно C.7)
+оо и_ и +1 t 1 1П
J~»e~ ' rf« = -f-e"'. C.8)
Отсюда следует, что шум .на выходе интегрирующего
устройства имеет мощность
4 = ^@)=^- C.9)
и нормированную корреляционную функцию
г,(О = ^=е 0 . (ЗЛО)
°2
102

Таким образом, .интегрирующее устройство преобра-
зовывает некоррелированный шум в колебание с дли-
тельностью корреляции, раиной -весьма большой посто-
янной времени этого устройства |3. Иными словами, -инте-
грирующее устройство вызывает сильную корреляцию
шумя, прошедшего через него. Физически это объясняет-
ся тем, что интегрирующее устройство устраняет быст-
рые изменения входного шумового колебания, отфиль-
тровывая его высокочастотные составляющие. Как бу-
дет видно из последующего, это и используется для
ослабления шума оптимальным фильтром.
Колебание с выхода интегрирующего устройства
(рис. 2.2) поступает на вычитающее устройство 'непос-
редственно и с задержкой на т, т. е.
uAt) = u2(t)-us(t) = u2(t)-u2(t-z). C.11)
Поэтому мощность выходного шума равна
где черта означает статистическое усреднение. Поскольку
рассматривается стационарный шум, то
C.12)
Из C.5) и C.12) следует, что отношение сигнал/шум
на выходе оптимального фильтра составляет
л0 — ^Г^^Г* (олб)
4
что находится в .полном согласии с формулой A.19).
4. Механизм работы оптимального фильтра
для одиночного импульса
Импульсный сигнал накапливается интегрирующим
устройством до уровня C.5). Задержка этого сигнала на
время х и последующее его вычитание из колебания, по-
103

ступающего непосредственно с интегрирующего устрой-
ства, те изменяют пикового значения (амплитуды) сиг-
нала.
Белый шум, пройдя через интегрирующее устройство,
оказывается сильно коррелированным. Он (поступает
в вычитающее устройство непосредственно и с задерж-
кой на время т, много меньшее времени его корреляции.
В результате вычитания двух сильно коррелированных
шумовых .колебаний уровень выходного шума значитель-
но уменьшается. Действительно, из C.112) следует, что
мощность шума передается совокупностью задерживаю-
щего и вычитающего устройств с коэффициентом
О — Ii—2A
величина которого вследствие (8.2) весьма мала.
Подавление шума в совокупности задерживающего
и вычитающего устройств можно объяснить и спектраль-
ным методом [74].
Если интегрирующее устройство служит для непре-
рывного интегрирования входного колебания как сигна-
ла, так и шума, то совокупность задерживающего и
вычитающего устройств ограничивает время этого
интегрирования длительностью сигнала на входе. При
отсутствии этих устройств сигнал накапливался (инте-
грировался) бы только в течение своей длительности,
а шум — в течение значительно большего времени.
Отношение сигнал/шум на выходе было бы весьма
малым.
Таким образом, совокупность задерживающего и вы-
читающего устройств выполняет функции автоматиче-
ского ограничителя времени 'Интегрирования входного
колебания до длительности импульсного сигнала.
Приведенные выше соображения являются но суще-
ству развитием и конкретизацией замечаний, сделанных
в конце § 1.7.
5. О некритичности структуры оптимального фильтра
к вариациям формы сигнала
Рассмотрим воздействие трапециевидного импульса,
имеющего длительность х на уровне отсчета 0,5 и дли-
тельность плоской части |(верши!ны) п, на фильтр
104

(рис 2.2), оптимальный прямоугольному 'импульсу. Вы-
берем амплитуду U\ трапециевидного импульса такой,
чтобы его анергия совпадала с энергией (прямоугольного
/импульса, оптимального данному фильтру .и имеющего
амплитуду U\. Тогда
Легко показать, что при выполнении условия C.2)
напряжение сигнала на выходе фильтра, обусловленное
действием трапециевидного импульса, имеет пиковое
звачевде
<с' k —11 З Щк
(Г *
Сравнивая это .выражение с C.5), заключаем, что
проигрыш в отношении сигнал/шум по мощности вслед-
ствие взаимной неопти'малыности фильтра и сигнала со-
ставляет
где х=-^—относительная длительность вершины им-
пульса.
В частности, 'при х=\\ трапециевидный импульс ;вы-
рождается ,в прямоугольный, вследствие чего про'шрыш
отсутствует (G = l), а при х=0, кодда трапециевидный
импульс превращается © треугольный, проищрыш по мощ-
ности равен 1,185.
1П)ро'игры1ш по «мощности является 'монотонно (при-
близительно линейно) убывающей функцией относитель-
ной длительности вершины импульса (рис. 3.2).
Таким образом, если форма импульса изменяется
от прямоугольной до треугольной, но три этом его дли-
тельность на уроше 0,5 и энергия coxipaiH/яются, то отно-
Ш1ение сигнал/шум по мощности на выходе фильтра,
оптимального прямоугольному импульсу, ухудшается
всего только на 18,5%.
Это свидетельствует о «еиритичности структуры опти-
мального фильтра к оариациям формы сигнала. Поэтому
ори построении оптимальных фильтров нет необходимо-
сти учитывать «мелкие детали формы сигнала. Этот вы-
1СБ

вод является весьма (важным для практики, так как
позволяет для сигналов сложной формы упростить по-
строение фильтров, близких к оптимальным.
С
1.16
ш
1,00
\
\
\
\
>
0,2 64
0,6
0,8
Рис. 3J2. Проигрыш в отношении сиг-
нал/шум то мощности как функция
относительной длительности вершины
импульса.
6. Сравнение оптимального фильтра с реостатным
и другими усилителями
Рассмотрим прохождение ирямоуголшого видеоим-
пульсного сигнала и шума через реостатный усилитель
без коррекции.
Если учитывать только влияние паразитной емко-
сти Со, то (переходная функция этого усилителя также
описывается выражением C.1). Только в данном случае
постоянная времени $ = CoRa, где Ra — сопротивление
нагрузки анодной цепи.
Поэтому выходной сигнал имеет пиковое значение
, = *?/, (l-e 0.
где Ux — амплитуда импульса на входе;
х — его длительность.
Вследствие C.9), которое справедливо и для реостат-
ного усилителя, шум на выходе обладает мощностью
2 ak*
106

.Поэтому отношение квадрата пикобого значения сиг-
нала к мощности шума на выходе реостатного усилителя
составляет
Используя C.13), определяем лроигрыш в отношении
сигнал/шум Д'р-и .использовании реостатного усилителя
ло сравнению с оптимальным фильтром
в — л ( Л2*
Так как постоянная времени усилителя связана с его по-
лосой пропускания на уровне —= зависимостью р =
т0 п0СлеДнее равенство можно переписать в
таком виде:
где b—AFx — 'произведение полосы пропуск алия 'на дли-
тельность (им-пульса, которое естественно (назвать без-
раамерной .полосой пропускания.
Исследуя C.14) иа -максимум относительно 6, полу-
чаем уравнение
корень которого
61 = AF1x = 0,200 C.15)
•и является оптимальным значением безразмерной .поло-
сы пропускания *.
Зависимость отношения сигнал/шум на .выходе рео-
статного усилителя (в долях от аналогичного отношения
на выходе оптимального фильтра) от полосы пропуска-
ния усилителя изображена кривой / на рис. 8.3. Кри-
* Оптимальные значения полос пропускания идеального фильтра
при приеме (прямоугольного импульса и фильтра с колоколоо'бразной
частотной характеристикой при приеме колоколообразного импульса
впервые рассчитаны соответственно В. И. Сифоровым {142] и
А. П. Белоусовым [H3J.
107

вая 2 воспроизводит аналогичную зависимость для си-
стемы из двух (последовательно включенных реостатных
усилителей. Их рассмотрение показывает небольшую
критичность оптимальных значений полосы пропускания
реостатщого усилителя.
При оптимальной полосе пропускания отношение
силнал/шум на выходе одного реостатного усилителя
максимально, и его величина (составляет
o = B{b = b1)Ao^0Sl5Ao. C.16)
Следовательно, отношение сигнал/шум по мощности
на выходе одного реостатного усилителя ори его опти-
мальной полосе всего только на 18,5%' (т. е. на 0,9 дб)
ф
меньше, чем на выходе
6
Ofi
%1
0,2 ОА 0,6 0,Ь
Рис. 3.3. Отношение <сишал/шу1м
«а выходе одного и двух рео-
статных усилителей (в долях от
аналогичного отношения на выхо-
де оптимального фильтра) как
функция полосы пропускания.
оптимального фильтра.
Из .рассмотрения кри-
вой 2 на рис. 3.3 следует,
что указанное отношение
на выходе двух реостат-
ных усилителей с опти-
мальной полосой про-
пускания всего только на
14,3%! меньше, чем на
выходе оптимального
фильтра.
Расчеты показывают,
что в случае треугольной
формы видеоимпульсного
сигнала реостатный уси-
литель, полоса пропуска-
ния которого выбирает-
ся оптимальной 62 = 0,3,
обеспечивает по сравне-
нию с оптимальным этому сигналу фильтром 'проигрыш
в отношении сигнал/шум по мощности порядка 22%
(т. е. 1,1 дб).
На основании изложенного выше, а также взаимного
соответствия фильтров, оптимальных (радио- и видеоигм-
лульвным сигналам одинаковой формы (см. § 2,3, п. 2)
и эквивалентности резонансного (и реостатного усилите-
лей [76], можйо утверждать, что «при использовании ре-
зонансного усилителя с оптимальной полосой пропуска-
ния &1=0,4 проигрыш в отношении сигнал/шум по срав-
нению с оптимальным фильтром для прямоугольного
108

радио'иМ'Пульсного сигнала составляет около одного де-
цибела. Последнее справедливо как для многокаскадно-
го (резонансного усилителя, так ;и сигналов иной формы.
Расчеты, выполненные с использованием результатов,
полученных С И. Евтяновым [76] и А. А. Колосовым [77],
для случая прямоугольного радиоимпульса «и полосового
усилителя с (Критической связью между его контурами и
полосой пропускания 6=1, доказывают, что при этом
проигрыш в отношении сигнал/шум составляет 0,6 дб.
/
/
\
г/г
Рис. 3.4. Временные диаграммы относи-
тельных напряжений на выходе рео-
статного усилителя )(а) и оптимального
фильтра (б).
Из исследований Н. А. Семенова [78] следует, что три
действии .импульсов колоколообразной, трапециевидной,
треугольной и прямоугольной форм на УПЧ с .колоколо-
образной («вероятностной») частотной характеристикой
отношение сигнал/шум на выходе отличается от макси-
мально возможного не более чем на 0,5 дб, т. е. незна-
чительно.
Следовательно, применение оптимальных фильтров
для одиночных импульсных сигналов простой формы,
связанное с некоторым усложнением схемы и конструк-
ции, позволяет (получить сравнительно небольшой выиг-
рыш в помехоустойчивости и обычно Я1вляется нецелесо-
образным.
Однако следует иметь ,в виду,"что импульс на выходе
реостатного усилителя с оптимальной полосой пропуска-
ния (кривая а на рис. 3.4) имеет длительность больше
на 67 %' при уровне ее отсчета 0,1 и на 78%' при уровне
0,05, чем на выходе оптимального фильтра (пунктирные
линии б на том же рисунке). Поэтому .3 случае примше-
109

иия (реостатных и иных усилителей с оптимальной (с точ-
ки зрения отношения сигнал/шум) полосой пропускания
ухудшается (разрешающая способность по времени
(по дальности) радиотехнической импульсной системы.
§ 3.3. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
И ШУМА ЧЕРЕЗ ФИЛЬТР, ОПТИМАЛЬНЫЙ ЭТОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Прохождение сигнала
Для упрощения последующих выражений «положим,
что в оптимальном фильтре для одиночного «импульса
используется дополнительный усилитель с ко'эффициан-
том усиления, равным постоянной времени RC. При
этом в формулах -предыдущего параграфа следует поло-
жить & = |3.
Если иа вход фильтра, оптимального прямоугольной
последовательности импульсов (рис. 2.17,а), действует
указанная последовательность, то напряжения в различ-
ных точках этого фильтра изменяются в соответствии
с временными диаграммами, изображенными на рис. 3.5,
где для упрощения построений -выбраню Г = 3т и N = 5.
'Оптимальный фильтр для одиночного .импульса, осу-
ществляя оптимальную внутрипериодную обработку сиг-
нала, преобразует каждый (прямоугольный импульс
исходной последовательности в импульс треугольной
формы и удвоенной длительности (рис. 3.5,6). Первый
импульс этой последовательности (Проходит на выход
суммирующего устройства, откуда после задержки на
квазипериод повторения Т он поступает на второй вход
суммирующего устройства. При этом он совпадает
во времени со вторым импульсом последовательности.
В результате их суммирования на выходе образуется
импульс удвоенной амплитуды. (После задержки на Т и
сложения с третьим импульсом на выходе вырабаты-
вается импульс утроенной амплитуды.
Этот процесс последовательного увеличения (накоп-
ления) амплитуды (и вообще напряжения) импульсов
в суммирующем устройстве продолжается до тех пор,
пока на его вход поступают импульсы. После прихода
последнего (N-ro) импульса амплитуда импульса навы-
110

ходе «суммирующего устройства будет в N раз больше
амплитуды «имшульса на входе. В дальнейшем этот им-
пульс будет 'повторяться с квазип-ерлодом Т (рис. 8.5,в).
Образованная таким образом последовательность по-
ступает на вычитающее устройство (непосредственно и
а)
6)
п п п
ЭТ 4Т
/\
in т
\/\
щ
Т П 31 47 51 61 71 81 91 Т
/\
лДЛЛ
2Т 31 ЯГ 51 61 71 81 91
1 21 31 47 51 61 71 81 91 t
Рис. 3.5. Временные диаграммы напряжений в оптимальном филь-
тре для последО1вательносщ импульсов.
с задержкой !на .время NT (рис. 3.5,г). В результате это-
го на выходе вычитающего устройства будет сформиро-
вана треугольная 'последовательность 2N—\ треуголь-
ных'импульсов (рис. 3.5,(9). Средний импульс этой после-
довательности имеет наибольшую амплитуду
C.17)
которая не отличается от амплитуды импульсов (последо-
вательности «а .выходе суммирующего устройства после
окончания сигнала !на входе.
Таким образом, совокупность задерживающего на
время NT и вычитающего устройств не изменяет ам-
плитуды сигнала.
Ill

2. Прохождение шума
Положив k=$ в C.12), определим мощность шума на
выходе оптимального фильтра для одиночного импульса
(рис. 2.17,а)
*\=а%. C.18)
Используя (S.7), легко .показать, что этот шум имеет
автокорреляционную функцию (рис. 3.6)
«.Ю=а(«-т)при \Ц<*Л (ЗЛ9)
7?4(/)==0 при \t\^>%.)
Следовательно, два мгновенных значения шума, раз-
деленных интервалом времени, величина которого боль-
ше длительности им'пуль-
са, являются 'полностью
некоррелированными.
Шум на выходе сум-
мирующего устройства
является, очевидно, сум-
мой шумовых колебаний,
поступивших на его вход
в данный момент и мо-
менты времени, предше-
ствующие ему на время,
чкратное длительности за-
держки в цепи обратной связи,
-т О X t
Рис 3.6. Корреляционная функ-
ция шума на выходе фильтра, оп-
тимального 'прямоугольному им-
щульсу.
k=0
Число этих шумовых коммнант бесконечно велико,
так как шум поступает на оптимальный фильтр (непре-
рывно. Вследствие C.19) и того, что квазипериод 'повто-
рения значительно больше длительности 'импульса
7> *, C.20)
эти компоненты являются некоррелированными между
собой. Поэтому ,их мощности суммируются. Так как чис-
ло слагаемых бесконечно велико, то мощность шума еа
выходе суммирующего устройства в бесконечное число
раз больше мощности на его входе C.18), т. е.
C.21)
о5=оо.
112

Вследствие этою отношение сигнал/шум на выходе
суммирующего устройства при любом конечном числе
импульсных сигналов N (равно .нулю.
Однако лосле дальнейшего прохождения совокупно-
сти задерживающего «а время NT « вычитающего
устройств.шум ;им'еет уже конечную мощность. Это объ-
ясняется тем, что шум на выходе суммирующего устрой-
ства повторяется 'с квазипериодом Т и поэтому его зна-
чения дня двух моментов времени, разделенных интерва-
1*7
-47 -П -11 -Т 0 1 21 П 47 t
Рис. 3.7. Корреляционная функция шума на выходе фильтра, опти-
мального последовательности импульсов.
лом, кратным Т, являются (полностью коррелированны-
ми. Вследствие этого 'в (вычитающем устройстве проис-
ходит вычитание двух .колебаний бесконечной мощности,
но полностью коррелированных. При этом мощность
шума уменьшается в (бесконечное число раз и, как по-
казывается еиже, становится конечной.
Чтобы определить величину этой мощности, вычис-
лим автокорреляционную функцию выходного шума,
пользуясь (C.7) и иол ученной «ранее «импульсной переход-
ной функцией оптимального фильтра (иу на рис. 2.17,6).
Раюсчиташая таким образом автокорреляционная функ-
ция шума на выходе оптимального фильтра (рис. 3.7)
отличается от '.напряжения сигнала на -выходе оптималь-
ного фильтра (рис. 3.5,E) только масштабом и сдвигом
в сторону уменьшения времени «а величину /0=
(N4)T
Максимум, достигаемый этой функцией «при t=0, и
характеризует -мощность выходного шума
* C.22)
из

Последняя .в N раз больше мощности шума C.18) на
входе суммирующего устройства. Это эквивалентно
суммированию мощности шумовых колебаний в тече-
ние N периодов повторения, т. е. -в течение длительности
сигаала на входе.
Таким образом, совокупность задерживающего на
время NT и вычитающего устройств, не изменяя уровня
сигнала, значительно снижает мощность шума, ограни-
чивая время его накопления длительностью сигнала.
Вследствие этого указанная совокупность может быть
н а зв а ш от р а!ни ч ите л е м в рем ени накоплени я в х о дн ых
колебаний до длительности ожидаемого сигнала.
Отношение сигнал/шум на выходе оптимального
фильтра
U2 U2%
A, = ^=N^- C.23)
в N раз больше этого отношения на входе суммирующе-
го устройства (ЗЛЗ)' и .полностью согласуется с общей
формулой A.19).
Те же конечные результаты получаются и при рас-
смотрении прохождения прямоугольной .последователь-
ности импульсных сигналов и шума через оптимальный
фильтр, выполненный по иной блок-схеме (р'ис. 2.16,6).
В суммирующем устройстве этого фильтра происходит
сложение N детерминированных импульсных сигналов
и того же числа некоррелированных шумовых колеба-
ний. IB результате на выходе сигнал увеличивается в N
раз по напряжению, т. е. в N2 раз по мощности, а шу.м
в N раз по мощности. Следовательно, отношение сиг-
нал/шум по мощности возрастает в N раз.
§ 3.4. ПРОХОЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ И ШУМА
ЧЕРЕЗ СИСТЕМЫ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ПРАКТИЧЕСКИМИ
ПРИБЛИЖЕНИЯМИ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
1. Прохождение сигнала
В п. 7 § 2.5 указано, что суммирующее устройство
с задержанной обратной связью, входящее в -состав
оптимального фильтра для последовательности импуль-
сов, не может быть реализовано вследствие своей не-
114

устойчивости. Для устранения этого явления в его цепь
обратной связи необходимо включить ослабитель с ко-
эффициентом переда™ т, -меньшим единицы (рис. 2.28).
Система с таким суммирующим устройствам и является
практическим «приближением оптимального фильтра.
ллллл
ОГКТ Я JT 4T 51 67 11 81 91 101 С
Рйс. 3.8. Временные диаграммы напряжений на входе и
выходе идеализированного накопительного устройства
при /п=0,8 и N=5.
Процесс прохождения сигнала через такое устройство
отличается только тем, что сигнал на выходе суммирую-
щего устройства .накапливается не по линейному, а по
экспоненциальному закону. После окончания сипнала
на входе его амплитуда на выходе уж'е не поддержава.ет-
ся постоянной, а уменьшается также по экспоненциаль-
ному закону (рис. 3.8):
при
при
В момент (времени tQ=i(N—1)Г+т сигнал достигает
максимальной амплитуды
= 13^7 (!— ™\ C.24)
В 'частности, .при ш=\ получим C.17).
Как ,и в предыдущем идеальном случае, дальнейшее
прохождение сигнала через задерживающее на тремя NT
и вычитающее устройство не 'вызовет изменения макси-
мального уровня сигнала,
115

2. Прохождение шума
В отличие от "идеального случая шум на выходе'сум-
мирующего «устройства дакалливает-ся с экспоненциаль-
ной весовой функцией tnh:
Поэтому этот шум достигает в результате накопления
мощности
00 00
2 V| €лл2Ъ 2 2 W] **,2fe ^^ /О О?\
5 — /J 4fc== а4 7j | ^2 • ^O.ZO;
При выполнении этих преобразований использована ста-
ционарность шума. (Величина мощности CJ25) конечна,
за .исключением идеального случая т=\.
Если учесть, что система из оптимального фильтра
для прямоугольного импульса и суммирующего устройст-
ва с задержанной на Т .и ослабленной в пг раз обратной
связью имеет -импульсную переходную функцию
(рис. 3.9,а)
где fi4(t)='l(t) — \\{t—т) — импульсная переходная функ-
ция фильтра, оптимального «прямоугольному импульсу,
то вследствие C.7) автокорреляционная функция шума
на ее «выходе имеет вид, изображенный на рис. 3.9,6.
Максимумы этой функции наблюдаются в моменты вре-
мени, -кратные квазип'фиоду повтсхрения Т, и изменяются
по закону
T^mK C.26)
В частности, при k = 0 получим мощность этого шума
C.25).
Поскольку напряжение на выходе всей системы рав-
но (разности напряжения, снимаемого с выхода сумми-
рующего устройства, и напряжения на выходе устрой-
ства задержки на время NT
и, (t) = иь (t) - ив (t) = иь @ -u.it- NT).
116

то шум иа выходе озсей системы имеет мощность
f7 =l$<jj= 2а25 - 2R (NT) = 2 ^ A - mN). C.27)
Следовательно, мощность шум<а передается совокуп-
ностью задерживающего *на время NT (и вычитающего
устройств, с коэффициентам
Q = ^=2(l~mN). C.28)
Этот коэффициент меньше единицы, т. е. шум ослаб-
ляется по 'мощности, а отношение оигнал/шум соответ-
и
П П П п п
п
JT tT ST ST П 8Т 91 t
а)
ААЛАл
Л А
-Т 4 О 4
6T 77 8T
IT ST iT ST
6)
Рис. 3.9. Импульсная переходная функция совокупности фильтра,
оптимального имлульсу, и идеализированного накопительного уст-
ройства при т=0,'8 (а) и корреляционная функция шума >на ее вы-
ходе (б).
ственно увеличивается, если т^>0,5, т. е. когда число
импульсов (В последовательности удовлетворяет тара-
венству
^="о. C.29)
Рассмотрение зависимости No от коэффициента обрат-
ной связи m (рис. 3.10) -показывает, что применение со-
117

вокупности вычитающего и задерживающего на в,ремя
NT устройств имеет смысл только при сравнительно не-
большом числе импульсов в последовательности или при
коэффициенте ^бранной связи суммирующего устройст-
ва, достаточно близком к единице. Так, 'например, цри
N=20 коэффициент обратной связи должен быть боль-
ше 0,97, что трудно получить на практике.
Ш
50
U
10
5
0,85 OJ
Рис. 3.10. Зависимость критического чис-
ла импульсов No от коэффициента об-
ратной связи.
Таким образом, использование совокупности задер-
живающего (на вршя NT) и вычитающего устройств
в оптимальных фильтрах для последователь'нюстей боль-
шого числа и'мпульоных сигаалов обычно нецелесооб-
раото.
Этот вывод очень важен, особенно для практики.
Дело .в том, что устройство задержки н,а В1ремя NT, .ве-
личина (которого может достигать долей секунды, осу-
ществить с достаточно широкой полосой .пропускания
и умеренным затуханием в виде ультразвуковой линии
практически невозможно (по крайней мере, ina дешом
этапе (развития техники),
118

3. Отношение сигнал/шум на выходе суммирующего
устройства с задержанной обратной связью
Используя C.04) и C.26), -получим отношение квад-
рата 'пиковой величины сигнала »и мощности шума на
выходе суммирующего усилителя с задержанной обрат-
ной связью
Следовательно, лрименеше суммирующего устройст-
ва с задержанной обратной связью позволяет получить
выигрыш -в отношении сигнал/шум по «мощности
- Рассмотрение зависимости выигрыша от числа им-
пульсов при различных коэффициентах обратной связи
(рис. 3.11) показывает, что при постоянном т выигрыш
возрастает с увеличением числя импульсов сначала бы-
стро, потам медленнее и затем практически остается
неизменным. Последнее объясняется тем, что при mN<^\
сигнал перестает (накапливаться.
При «постоянном числе импульсов выигрыш с возра-
станием коэффициента обратной связи аначала увеличи-
вается, <а затем, пройдя через некоторый максимум при
некотором т=т0, резко падает (рис. ЗЛЕ). Исследуя
C.31) н(а максимум относительно т, получаем уравне-
ние для оптимального коэффициента абрапной связи:
т~" — JV /J- _ /я0) = 1. C.32)
Это уравнение не решается в конечном виде. Его 'корень
можно определить методам последовательных прибли-
жений. Но для практически важного 'случая большого N
справедливо следующее простое приближенное соотно-
шение:
Погрешность вычисления оптимального «коэффициента
обратной связи по этой формуле уменьшается цри воз-
растании N и уже при N=10 составляет только 2,1%.
Поэтому три N='50 то~О,98, а (цри N=100 /по~О,99.
119

Рис. 3.11. Зависимости выигрыша в отно-
шении сигнал/шум от числа импульсов.
В [79] приводится иное выражение для оптимального
коэффициента обратной связи
Wo^expf—Ц;
которое при большом N дает результат, мало отличаю-
щийся от C.33).
Из C.31) и C.33) следует, что максимально воз-
можный выигрыш
#макс~0,&ЛГ. C.34)
120

Поскольку, как показано в предыдущем параграфе,
оптималыный фильтр для сгибающей прямоугольной по-
следовательности обеспечивает .выигрыш N, то сумми-
рующее устройство с задержашюй обратной связью и
Рис. 3.12. Зависимости выигрыша в отношении сигнал/шум от коэф-
фициента обратной связи.
оптимальным ее коэффициентом позволяет получить
отношение сигнал/шум всего только на децибел
меньше.
Однако для получения максимально возможного 1вы-
игрыша в случае последовательностей, состоящих
из большого числа импульсов, необходимо увеличить
коэффициент обратной связи до аначелшй, весьма близ-
ких к единице.
Практически это вызывает трудности, так как при
121

малейшем увеличении коэффициента обратной связи
вследствие нестабильности параметров возникает само-
возбуждение суммирующего устройства.
Чтобы избежать указанных трудностей при приеме
последовательностей 'большого числа импульсных .сигна-
лов и при этом добиться дальнейшего увеличения отно-
шения сигнал/шум по>сле накоп'ительнаго (суммирующе-
го) устройства с задержанной обратной связью, .можно
применить второе накопительное устройство. Если вы-
брать его таким же, как и первое накопителыное устрой-
ство, то, как показывается в п. 3 § 6.3, величина полу-
чаемого при этом дополнительного выигрыша в отноше-
нии сигнал/шум по мощности порядка двух.
Лучших результатов -можно достигнуть, вькбирая дли-
тельность времени задержки в цепи обратной связи вто-
рого накопительного устройства в N\ раз больше квази-
пер'июда Т повторения импульсных сигналов, где Nx —
целое число *. При этом второе накопительное устрой-
ство в отличие от первого будетнакапливатьуже не .при-
нимаемые импульсные сигналы, а их подпоследователь-
ности, кагждая из которых содержит N\ импульсов. Та-
ки'м образо'м, в этом случае будет осуществляться накоп-
ление принимаемых импульсных сигналов в два этапа.
Если обозначить
N — число импульсов в принимаемой последова-
тельности;
N2—-rr — число подпоследовательностей в этой после-
1 довательности;
Ux — амплитуду импульсных сигналов на входе пер-
вого накопительного устройства;
тп1 и ш2 — коэффициенты обратной связи накопительных
. устройств,
то тогда k-й импульсный сигнал на выходе первого на-
копительного устройства (т. е. на входе второго накопи-
тельного устройства) имеет амплитуду
m\'~iU1 = Ux 1_^1 при Kk<N.
Т=1
* Такая 'накопительная система рассмотрена Л. Е. Лейхтером,
122

Аналогично /Л^-ый импульсный сигнал на выходе второ-
го накопительного устройства обладает амплитудой
_ J] «? (l m
_ mf •) =
где2=-<.-
Пиковое значение накопленного сигнала, как показы-
вают расчеты, наблюдается в момент окончания сигна-
ла на входе рассматриваемой системы. Его величина
Так как обычно z > 2, a N2 порядка десяти, то zN* > 1 и
1— тх V 1 — т2 z — 1
Следовательно, сигнал накапливается анализируемой
системой с коэффициентом
Л
2 z-
Пусть на вход системы действует ограниченный по
полосе белый шум с интенсивностью
Fx (се) = 2а при 0 < со <
Ft (со) = 0 при о
Для упрощения дальнейшего рассмотрения считаем про-
изведение ширины полосы шума AF на длительность
квазипериода повторения Т принимаемых импульсных
сигналов целым числом, т. е. ширина полосы шума крат-
на частоте повторения сигналов.
Так как квадрат модуля передаточной функции си-
стемы
— 2ml cos <аТ + т\) A — 2т2 cos со
123

то согласно '(i.lS) шум на выходе характеризуется
мощностью
а С
« J
п
2*/Г
_aAFT С
"¦ ]
2aAFC
(\—2т
(\-2rn,
i cos <оГ
coscor
+ т
а со
ф A — 2m2 cos соЛ^,Г + т|)
j) A — 2т2 cos 0)^!!+ ^
75 J (l — 2mi cos д: + m?) A — 2m2 cos ^x + ml)
о *
Пользуясь формулами A.447.3), C.451.2) и @.112) [88],
можно показать, что
dx
J A —
J 2/7 cos x + р2) A — 2q cos kx + q2)
где ^ — целое число. Поэтому
2
3
A — fli?) A — m| A — /я^/Яа) '
Полагая в этом выражении m1=im2 = 0 или вычисляя не-
посредственно по формуле A.15), определим мощность
входного шума
Следовательно, коэффициент накопления шума си-
стемой составляет
а выигрыш в отношении сигнал/шум по мощности
Положив Л^1 = 1 и, следовательно, N2=N, получим выиг-
рыш, обеспечиваемый двумя накопительными устройст-
124

вами с задержкой в цепях обратной связи на одно и то
же время Т,
п \+ml\+m 1— mlm2f, mN* — mz\2~
^-"X-m.X—m \+тхт% \l ™2 z-\ J ~
, 1 + m1 1 + m2 1 —m1m2
~ 1 — w, 1 — m2 1 + /^/«2"
Таким образом, дополнительный выигрыш, обеспе-
чиваемый рассматриваемой системой >по сравнению
со случаем двух накопительных устройств с одинаковой
задержкой, составляет
2 ^
В частности, при N=400, Ni=N2=20 и mi = m2=0,95
[коэффициенты обратной связи выбраны оптимальными
для заданных чисел N{ и N2 согласно формуле C.33)]
величина дополнительного выигрыша 'составляет 3,88.
При N= 100; N\ =N2= 10 и rri\ = т2'=0,9 указанная вели-
чина рав'иа 1,96. iB .случае же N=126, N1=N2=6 и mi =
= m2 = 0,8 дополнительный выигрыш составляет всего
только около 4%', т. е. практически отсутствует.
Следовательно, (рассматриваемая система позволяет
получить там больший дополнительный выигрыш в ог-
ношении сигнал/шум, чем ближе (Коэффициенты обрат-
ной связи накопительных устройств к единице и чем боль-
ше число -импульсов в принимаемой последовательности.
Физически этот выигрыш объясняется тем, что во втором
на'шшгтелыном устройстве суммируются шумовые ком-
поленты, разнесенные (на время, кратное N{T, ,a следо-
вательно (см. C.26) и § 5.3), обладающие при боль-
шом N\ значительно меньшей взаимной корреляцией, чем
в случае N\ — \. Вследствие этого мощность накоплен-
ных шумов меньше, а отношение сигнал/шум больше, чем
при использовании второго накопительного устройства
с задержкой на время Т.
Указанный выигрыш достигается за- счет значитель-
ного увеличения времени задержки в 'цепи обратной свя-
зи одного из накопительных устройств по сравнению
с квазипериодом (накапливаемых импульсных сигналов.
Последнее сопряжено с весьма серьезными трудностями
чр;и конструировании задерживающего устройства, иотю-
125

рое должно обладать к тому же широкой полосой лро-
лускания. Эти трудности -во многих случаях могут ока-
заться в настоящее 'время непреодолимыми. Именно по-
этому 'ниже такие макопителыные (устройства детально
не рассматриваются.
Внесено много и других предложений, направленных
на повышение эффективности (накопительных систем
Рис. 3.13. Частотная характеристика идеализированного
накопительного устройства.
[80—83]. Однако реализация этих предложений сопря-
жена с большими трудностями, о'бусловлеиным'и значи-
тельным усложнением .накопительных систем.
Полученный выше вывод о возможности замены
оптимального фильтра для огибающей прямоугольной
последовательности суммирующим устройством с задер-
жанной обратной связью через ослабитель легко пояс-
нить спектральным -методом. Указанное устройство имеет
передаточную функцию
*(«) = _ 1 ЧпГ C.37)
и амплитудно-частотную характеристику
К И = ! =-, C.38)
YI — 2т cos ъ>Т + т2
которая является гребенчатой (см. рис. 3.13, который
выполнен для га = 0,9).
126

На частотах, кратных частоте повторения, эта харак-
теристика достигает .максимумов
=К(па) = г-1^ при л = 0,1,2,... C.39)
Минимумы амплитудно-частотной характеристики /СМин =
~т~г— имеют место на частотах о>= (я + -тг 1 &•
1 + m \ » l J
Таким образом, рассматриваемое устройство пред-
ставляет собой гребенчатый фильтр.
При «подаче на его вход последовательности импульс-
ных сигналов и белого шума .на его выход передаются
с большим (Коэффициентом только те спектральные со-
ставляющие, которые .имеют частоты, близкие к частоте
повторения сигнала. К «ним относятся наиболее интен-
сивные составляющие спектра сигнала. Остальные со-
ставляющие сигнала, а также большинство спектраль-
ных компонент шума передаются на выход с ослабле-
нием.
Вследствие этого отношение сига ал/шум на выходе
гребенчатого фильтра значительно больше, чем на вхо-
де. В этом и заключается сущность выделения периоди-
ческих или квазинзриодических сигналов из шумового
фона с помощью /гребенчатых фильтров.
Интересно отметить, что если приравнять максимум
передаточной функции C.37) (максимуму передаточной
функции идеального гребенчатого фильтра B.26), рав-
ному N, то из получившегося уравнения можно опреде-
лить величину коэффициента обратной связи, которая
совпадает с оптимальным значением этого коэффициен-
та C.33).
4. О рациональной структуре системы, являющейся
практическим приближением оптимального фильтра
для последовательности импульсных сигналов
(Как следует из предыдущего, оптимальный фильтр
для последовательности импульсных сигналов можно
реализовать в виде различных систем, обеспечивающих
помехоустойчивость, мало отличающуюся от максималь-
ной (потенциальной). Примером такой системы является
совокупность оптимального фильтра для прямоугольно-
го импульса, суммирующего устройства с задержанной
127

обратной связью через ослабитель (рис. 2,28), задержи-
вающего (на время NT и вычитающего устройств.
Выше показана нецелесообразность использования
двух последних устройств ib оптимальных ф'ильИрах для
последовательностей -большого числа импульсов. Кроме
того, из п. 5 § 3.2 следует, что оптимальный фильтр для
прямоугольного импульса имеет
смысл заменить более простым
реостатным усилителем или экви-
валентным ему по характеристи-
кам (за исключением,' конечно,
усиления) частотным фильтром
нижних частот (рис. 2.34,а) с пе-
редаточной функцией
f Г^Л-«4
т
г
+
2
Фг
т
J
пропускания
Рис. 3.14. Блок-схема на- ' *2
яопительной системы,
являющейся практиче- где Д^ _ полоса
ским приближением оп- « •
тимального фильтра для этого фильтра,
последовательности им- Поэтому наиболее простой и
пульсов. достаточно * эффективной реали-
зацией оптимального фильтра для
последовательности импульсных сигналов является си-
стема из частотного фильтра Ф\ и суммирующего устрой-
ства, цепь обратной связи которого составлена из устрой-
ства задержки на время Т, ослабителя с коэффициентом
передачи m и фильтра Фг (рис. 3.14). Последний учиты-
вает неравномерность частотных характеристик других
элементов цепи обратной связи (и прежде всего, задер-
живающего устройства) и в простейшем случае отли-
чается от фильтра Ф\ только величиной полосы пропу-
скания AF2.
В следующих главах и анализируется ш'кшление
импульсных сигналов и шумов в указанной выше «нако-
пительной системе с задержанной обратной связью.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
НАКОПЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
В СИСТЕМАХ С ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ
связью
§ 4.1. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ ИЗ ЧАСТОТНОГО
ФИЛЬТРА И НАКОПИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА
С ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Передаточная функция системы, состоящей из частот-
ного фильтра и накопительного устройства с задержан-
ной связью (рис. 3.14), является произведением переда-
точных функций частотного фильтра КЛ*») и накопитель-
ного устройства /Сн(<»)
где /d («>) описывается в простейшем случае выражени-
ем C.40),
т — коэффициент обратной связи (на достаточно низ-
ких частотах) накопительного устройства,
К2(ш) = передаточная функция фильтра Ф2
(см. п. 4 § 3. 4).
Поэтому
т
1+/;ш
D.1)
129

Модуль этой передаточной функции
*(«) =
УI - 2тК2 Н cos ф (о) + т*К\ (со)
1
/ со2
У 1+ BTZAFJ*
х . - » <4-2>
о -»СО5ф
где ф = шГ-f-arctg2лд„ , отображает амплитудно-ча-
стотную характеристику системы.
Под корнем знаменателя второго множителя послед-
него выражения содержится быстро осциллирующий в
пределах от —1 до + 1 множитель cos <|> = cos fшГ -f-
4~arc tg2 °^F ]. Он и придает гребенчатый характер ам-
плитудно-частотной характеристике системы.
На частотах, удовлетворяющих условию
^ = 2^, D.3)
где q — целое число, этот множитель обращается в +1»
а амплитудно-частотная характеристика принимает одно
из максимальных значений
WJ- , ' и ' . . D.4)
к
Аналогично на частотах, удовлетворяющих условию
а>2Г + arc tg ^Щ=Bр + 1)«, D.5)
где /? — целое число, амплитудно-частотная характери-
130

стика системы принимает одно из минимальных значений
*- / ч 1 1
/¦
D.6)
1 +
Зависимость D.4), изображающая верхнюю огибаю-
щую амплитудно-частотной характеристики системы, по-
V
\
\
\
\,5
=====
1
г
Рис. 4.1. Огибающие гребенчатых амплитуд-
но-частотных характеристик накопительной
системы.
строена на рис. 4.1 для т = 0,9 и пяти значений отно-
шения полос пропускания преднакопительного фильтра и
цепи обратной связи накопительного устройства п =
На сравнительно малых частотах, когда со <^ 2iuA/72,
равенства D.3) и D.5) могут быть упрощены
<*i ^ q я
Р+Т
2ти
1
2nAF2T
1
-4- <4-7)
D.8)
131

так как обычно произведение ширины полосы .пропуска-
ния цеп'и обратной .связи (накопительного устройства на
длительность задержки велико:
Следовательно, |макс:имумы амплитудно-частотной
характеристики системы наблюдаются приблизительно
на частотах, кратных частоте, обратной длительности
задержки <в цепи обратной связи Т, шшгимумы этой ха-
рактеристики сдвинуты по частоте относительно <макси-
к
10
1 г з ь 5 б 7 в 9 /г
Рис. 4.2. Амплитудно-частотная характеристика накопи-
' тельной системы.
мумов яга
1
т. е. находятся в середине интервала
частот, концы которого соответствуют соседним 'макси-
мумам.
Весьма часто полоса пропускания преднакогаительно-
го фильтра выбирается значительно уже .полосы пропу-
скания цепи обратной связи накопительного устройства:
ДЛ^Д/^. 'В этом случае вместо D.2) можно пользовать-
ся приближенным соотношением
У I— 2m cos соГ + т2
Последнее означает, что для колебания, спектр которо-
го ограничен узкой полосой пропускания лреднакопи-
тельного фильтра, накопительное устройство можетсчи-
132

f аться идеальным, т. е. имеющим (неограниченную поло-
су пропускания цепи обратной связи.
Амплитудно-частотная характеристика -системы по-
строена для m=0,9, AFiT=\6 и AF2^>AFi на рис. 4.2.
Она «имеет тот же гребенчатый характер, ^то >и >шект)р
конечной последовательности импульсных сигналов
(рис. 2.i2l5,#). Это свидетельствует о высокой эффектив—
ности рассматриваемой системы при обработке (филь-
трации) смеси последовательности импульсных сигналов
и шума.
§ 4.2. НАКОПЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ
СИГНАЛОВ В УСТРОЙСТВЕ С ЗАДЕРЖАННОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Пусть на вход (накопительного устройства с задер-
жанной обратной связью (рис. 4.8,а) поступает последо-
вательность N прямоугольных ви-
деоимпульсных сигналов, имеющих
амплитуду f/i, длительность т и по-
вторяющихся с квазипериодом Т.
Каждый из этих сигналов проходит
на выход, откуда поступает в цепь
обратной связи, где ослабляется
в т раз, искажается фильтром Ф2
и задерживается на время Т, после
чего поступает на второй вход сум-
мирующего устройства, а оттуда
опять на выход и т. д.
Итак, спустя п квазипериодов
повторения после поступления на
первый вход, этот импульс в п-й раз
появится на втором входе. За это
время он п раз пройдет как через
фильтр Ф2 и ослабитель, так и через
задерживающее устройство. В ре-
зультате этого он исказится, и его
мгновенное значение будет описы-
ваться при 0<?<т выражением
тп
J
3
"Г
ф,
ф?.
m
J
Рис. 4.3. Блок-схемы
где Нп (t) - переходная функция си- "КтаТТаН наУкТ
стемы из п последовательно соеди- Отельной системы
ненных фильтров Фг. (б).
133

Как было показано еще в 1935 г. Д. В. Агеевым й
Ю. Б. Кобзаревым [84],
Нп @=1- е-2*д^ J 2=^ при t > 0.
Поэтому при 0 < / -< г
при п>0
В (результате сложения N импульсов 'сигнала в сум-
мирующем устройстве и образуется выходной импульс,
мгновенное значение напряжения которого при 0^
2
я=0
ИЛИ
Изменив порядок суммирования, получим
(N~2 N—2k «j
x~mN — те~2лА/у V ?p— \ mn [ •
D.11)
Если N столь велико, что
m"<l, D.12)
то можно считать N = oo. Тогда, используя соотноше-
ния
С» 00
mn — z и
1 — т
134

преобразуем D.11) к такому виду:
приО<*<>. D.13)
(Несколько ино'е, но аналогичное соотношение полу-
чено Л. А. (Моругиньим [85, 86] для случая, когда
фильтр Ф2 стоит не в цепи обратной связи, а в канале
прямой подачи.
Б момент окончания импульса на входе f=т напря-
жение на выходе достигает 'максимального значения
Следовательно, рассматриваемое устройство имеет коэф-
фициент накопления сигнала
е-2М1-т)Д^ DЛ4)
. _ ^2_ __j г 1 _
L^ I — тL
Подробное обсуждение аналогичного результата имеется
в указанных работах Л. А. Моругина.
Выражения D.13) и D.14) справедливы только при
достаточно большом числе импульсов N, когда выпол-
няется неравенство D.12). Полагая т а = 0,05, опреде-
лим так называемое активное число импульсов [86]:
JVa= lg2? • D.15)
(Л. А. Моругин определяет активное число импульсов
N
из условия т а=0,1.) Значения активного числа им-
пульсов при различных коэффициентах обратной связи
помещены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
т
0,8
14
0,85
19
0,9
29
0,95
59
0,97
98
0,99
298
Для грубых расчетов вместо D.15) можно использо-
вать приближенное соотношение
In 20
1 — т
1—т
D.16)
135

справедливость которого при значениях т, близких к еди-
нице, следует из формулы
lnm^ —A —т).
Итак, получанные простые соотношения. D.13) и
D.14) справедливы только «при числе импульсов накап-
ливаемой последовательности, превышающем активное
число. Весьма часто на практике это условие выполняет-
ся. К сожалению, для более общего случая получить
простые аналитические .выражения пока не удалось. При
небольшом числе импульсов расчеты можно вести
по формуле D.10). Однако даже в это'м случае они свя-
заны с выполнением громоздких вычислений.
Соотношения D.13) и D.14) являются все же весь-
ма полезными, ибо позволяют оценить потенциальные
возможности накопительных устройств.
§ 4.3. НАКОПЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ
СИГНАЛОВ В СИСТЕМЕ ИЗ ЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА
И УСТРОЙСТВА С ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Поскольку рассматриваемая система (рис. 3.14) яв-
ляется линейной, поменяем местами частотный фильтр Oi
и накопительное устройство. (В результате этого .получим
блок-схему, изображенную на рис. 4.3,6.
Накопленный сигнал в точке 3 этой блок-схемы опи-
сывается при условии D.12) (выражением D.13). При
действии этого напряжения на частотный фильтр Фь
имеющий импульсную переходную функцию
на выходе появляется напряжение, легко определяемое
по формуле свертывания
t
и2 (?) = f h(t — х) и3 (х) dx—
о
t
Го а п _—21СД/51! (/—*) Ux п —2тсA—т) Д/="а*1 Л~
j .
136

После вычисления этого интеграла получим при
„ ЕЛ Г1 i rnLFt -2*Д F2 {\~m)t _
2 ~~ 1—т [ ' A—^) Д/V-AFt e
(AF2 — AFJO-m) ~2*д/у1 /л i 7\
При ^^х будем, очевидно, иметь
2"" X
D.18)
В случае, если полюсы пропускания преднакопитель;
ного фильтра -и цепи обратной связи накопительного
устройства связаны соотношением
AFi(l-m) = AF1, D.19)
то формулы D.17) и D.18) обращаются в неопред ел ен-
0
ность вида -д- .
Раскрыв ее по правилу Лопиталя, получим
«= П
I
при 0<t<v
\. D.20)
х] е~2таДр1 (/~г) при
Расчеты показывают, что силнал может достигать пи-
кового значения как в момент окончания импульса на
входе, так и 'несколько позднее, т. е. tm^*z, где tm\ — мо-
мент достижения пикового значения сигналом.
Исследовав D.18) «а максимум относителыно време-
ни, определим величину
1 Г т 1 —. р—2и <! ~т) ЬЛ
[ in т 1 — е
&2A— т— n)iU I l—n 1_е-2те^ J'
D.21)
137

где bx = bJ?x% и Ь2 = Д/^т — произведения полос пропу-
скания соответственно преднакопительного фильтра и
цепи обратной связи на длительность входного импульса
(их можно назвать безразмерными полосами пропускания
указанных цепей), а п = хт^=1г-,как и в § 4.1,—отно-
ДГ2 03
шение этих полос пропускания.
Так как cti всегда больше или равно единице, то D.21)
имеет смысл только при выполнении одного из двух
усло-вий
A _ П) A _ е-2*6') > т [1 - е~2% {1~т) ь*] при т + п > 1
D.22)
или
)A — е2теб1) при /п + л<1.
D.23)
Эти условия показывают, в каком случае наблюдает-
ся смещение (максимума выходного напряжения <по от-
ношению к моменту окончания импульса иа входе нако-
пительной -системы. При (невыполнении этих условий сме-
щение максимума выходного напряжения отсутствует и,
следовательно, ai = 1.
Если полосы пропускания удовлетворяют условию
D.19), то выражение D.21) имеет вид неопределенно-
сти. Раскрыв ее, получим
«1 = Цг* tir^ • D-24)
Такой же результат получается и при исследовашш на
максимум относительно времени уравнения D.20) для
случая t>x. Соотношение D.24) имеет смысл только
при выполнении условия
— т) (e2%bt — 1). D.25)
В ином случае смещение максимума выходного сигнала
отсутствует, т. е. ai=<l.
Зависимости относительного времени достижения мак-
симума выходным напряжением от безразмерной поло-
сы пропускания |цепи обратной связи накопительного
устройства для четырех значений безразмерной полосы
пропускания преднакопительного фильтра и трех значе-
ний коэффициента обратной связи достроены на рис. 4.4.
138

Их ipaicc'MOTip'ee'He позволяет сделать вывод о том, что
временное смещение максимума выходного напряжения
=Saai
тшттттшт
i
U
V
V*
f 7
г
\fc*J
\
0,5
1ft
\
) H
^>
) Hi
1 50 b2
m*0,9
10 20
60
об,
тем больше, чем бли-
же коэффициент обрат-
ной связи к единице и
чем более узкополос-
ными являются пред-
накопительный фильтр
и цепь обратной связи
накопительного устрой-
ства.
Эти результаты на-
/0
ходятся в полном со- tf/
гласии с простыми фи-
зическими соображе-
ниями. Действительно,
чем узкополоснее цепь
обратной связи нако-
пительного устройства,
тем больше постоян-
ная времени этой цепи
Последняя, как изве-
стно, и определяет за-
паздывание узко-полое- I)
ного импульсного сиг-
нала, образованного в
результате 'прохожде-
ния входного импульса
через преднакопитель-
ный фильтр. При цир-
куляции импульса по
.цепи обратной связи
в 'процессе накопления
этот импульс каждый
раз дополнительно за-
паздывает на величину
указанной постоянной времени.* Число же импульсов,
* Это запаздывание можно, очевидно, скомпенсировать умень-
шением на величину постоянной времени фильтра Фг времени за-
держки, осуществляемой задерживающим устройством в цепи об-
ратной связи. Указанное легко осуществить на практике. Однако
расчет получаемого лри этом выигрыша является очень громоздким.
Видимо, его удастся выполнить только с <ш>мощью электронной вы-
числительной машины.
139
\ь
\
w
\
г
Ю 20
50 Ь2
Рис. 4.4. Зависимости времени сме-
щения максимума сигнала от полосы
пропускания цепи обратной связи.

принимающих практическое участие в накоплении, зави-
сит от величины коэффициента обратной связи. Чем
ближе последний ,к единице, тем больше это число (см.
D.1M)].
Вследствие этого максимум (накопленного сигнала
смещается тем сильнее, чем4 более узкополосной являет-
ся цепь обратной связи накопительного устройства и чем
меньше отличие величины коэффициента обратной связи
от единицы. В случае очень широкой полосы пропуска-
ния цепи обратной связи смещение максимума накоп-
ленного сигнала может даже совершенно отсутствовать.
Однако, если взять эту полосу очень узкой, а следо-
вательно, постоянную времени цепи, определяющую вре-
мя запаздывания узкополосного импульса, очень боль-
шой, то смещение максимума 'выходного импульса будет
также отсутствовать. Последнее объясняется тем, что
максимумы его составляющих будут вследствие запаз-
дывания столь сильно разнесены во времени, что 'напря-
жение выходного импульса, являющееся их суммой, бу-
дет меньше в любой момент после окончания импульса
«а входе, чем в момент'его окончания.
% То обстоятельство, что максимум накопленного сиг-
нала смещается тем меньше, чем шире полоса пропу-
скания преднакопителшого фильтра, объясняется тем,
что три этом импульс после прохождения указанного
фильтра (на входе накопительного устройства) имеет
более широкий спектр. Вследствие этого его спектраль-
ные составляющие задерживаются фильтром <&2 на раз-
лично!е время. В частности, составляющие более высоких
частот задерживаются на меньшее время, чем низкоча-
стотные составляющие. При этом максимум накопленно-
го импульса становится более тупым и достигается рань-
ше, чем в случае узкополооного преднакопительного
фильтра. При сравнительно широкой полосе преднакопи-
тельного фильтра (Ь\ порядка единицы) и сравнительно
небольшом коэффициенте обратной связи этот максимум
достигается даже в момент окончания импульса на вхо-
де, т. е. cti = 1.
Из рассмотрения кривых, представленных на рис. 4.4,
следует также, что при сравнительно уз,ких полосах про-
пускания преднакопительного фильтра (&i порядка 0,1)
и цепи обратной связи (Ь2 порядка 1) величина относи-
тельною времени достижения максимума щакопледньш
но

сигналом в зависимости от величины коэффициента
обратной связ'и лежит :в -пределах от 1,5 до 2,5. Иными
словами, максимум выходного (напряжения наблюдается
позднее момента окончания импульса на входе иа вел.и-
чину порядка половины-полутора длительности этого
имлульса.
Подставляя значение tm\ в ,D.18), а при D.19) во вто-
рую формулу ;из D.20), можно определить пиковое зна-
чение сигнала на выходе ?/г> & затем и .коэффициент пе-
редачи танкового значения сигнала рассматриваемой си-
стемой
тп те2*Ь2 (\~пг) ji e-2tca^2 (l-m)
J D.26)
где си определяется сиз уравнения D.21), если выпол-
няется одно из условий D.22) и D.23), и полагается рав-
ным единице в ином случае.
В случае, .когда полосы -пропускания связаны соот-
ношением D.19), то 'пиковое значение сигнала передает-
ся с коэффициентом
Если учесть равенство D.24) и последующие замечания,
то это выражение несколько упростится, принимая вид
m
D.27)
прИ ^ < 2^-1. D.28)
На ,р-ис. 4.5—4.7 изображены графики семейств зави-
симостей коэффициента передачи пикового значения сиг-
нала накопительной системой от полосы пропускания его
цепи обратной связи для четырех значений полосы тро-
их

пускаиия лредаакопителыного фильтра и трех значений
коэффициента обратной связи.
Из ,их рассмотрения -следует, что коэффициент пере-
дачи пикового значения сигнала очень сильно зависит
01
1 I 5 10 20 50 ЮО b2
Рис. 4.5. Зависимости коэффициента пе-
редачи сигнала системой с накопитель-
ным устройством от полосы пропускания
его цепи обратной связи при т=0,8.
как от указанных полос пропускания, так и от величины
коэффициента обратной связи. С расширением этих по-
лос пропускания и по м^ре приближения коэффициента
А
/
>
6,-1
0,2
0,1
^ '
^^
- м —
— —
—
W 20
50 100 Ь?
Рис. 4.6. Зависимости коэффициента пе-
редачи сигнала системой с накопитель-
ным устройством от полосы пропускания
его (цепи обратной связи при /п=0Д
142

обратной -связи .к «единице коэффициент «передачи пико-
вого значения сигнала возрастает.
9-
4
/
//.
К"
/
/
°А
01
— ¦ -
-~ —
i
Ь I 5 Ю 20 50 100 b2
Рис. 4.7. Зависимости коэффициента пе-
редачи сигнала системой с накопитель-
ным устройством от полосы пропускания
его цепи обратной связи при /п=0,95.
Если полоса пропускания цепи обратной связи нако-
пительного устройства удовлетворяет условию
то вместо D.26) «можно пользоваться приближенной фор-
мулой
которая обеспечивает погрешность расчетов не более 5%.
Эта формула по существу означает, что после прохож-.
ден'ия прямоугольным импульсом преднакоп'ительного
фильтра, в результате чего он приобретает экспоненци-
альную форму:
при
при
1
J '
этот импульс циркулирует по летле обратной связи, не
меняя своей формы. Его амплитуда после каждого про-
хождения цепи обратной связи умножается «на т. Эти
143

соображения позволяют обобщить уравнение D.30) на
случай конечного числа импульсов N
ft«T=r?(l-e-**). D.31)
Иными словами, дри полосе пропускания цепи обрат-
ной связи, удовлетворяющей условию D.29), накопи-
тельное устройство 'можно приближенно считать идеаль-
ным, т. е. имеющим неограниченно широкую полосу
пропускания цепи обратной бвязи. Накопление оипнала
в таком устройстве рассмотрено в и. 1 § 3.4.
§ 4.4. НАКОПЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ
СИГНАЛОВ В СИСТЕМЕ ИЗ ЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА
И ДВУХ УСТРОЙСТВ С ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
В связи с тем, что весьма прудно осуществить нако-
пительное устройство с (коэффициентам обратной связи,
достаточно 'близким к единице, эффективность системы
с таким накопительным устройством (ом. § 6.2) оказы-
вается (ниже потенциально возможной. С целью дальней-
Рис. 4.8. Блок-схема системы из частотного
фильтра и двух накопительных устройств.
шего увеличения отношения сигнал/шум можно исполь-
зовать последовательное включение нескольких .накопи-
тельных устройств.
Рассмотрим накопление сигнала в системе, состоящей
из частотного фильтра Oi и двух одинаковых, последо-
вательно включенных устройств с задержанной обрат-
ной связью (рис. 4.8). Предполагаем, как и ранее, что
на вход этой системы поступает последовательность до-
статочно большого числа прямоугольных импульсов.
144

Напряжение на входе второго накопительного устрой-
ства описывается формулами D.17) — D.20). Определим
сигнал ,на выходе рассматриваемой системы с помощью
формулы свертывания
t
иъ (t) = f h (t — л:) шг (x) dx,
где h(t) —импульсная переходная функция (накопитель-
ного устройства с задержанной обратной связью.
Поскольку D.13) при Ui = l по существу представ-
ляют собой переходную функцию такого устройства, то
полагая в там U\ = l и дифференцируя его ш времени,
получим импульсную переходную функцию при 0 < t < х
h (t) = 6 (t) + 2^mAF2e~2TC {X~m) *F*f 1 (t). D.32)
Подставляя это выражение и D.17) в приведенный вы-
ше интеграл свертывания, будем иметь
и3 @ = | [8 (t - х) + 2*mAF2e-2* (I-m) 'F¦ "-*>] X
3 |
о
Л f -2icAF, (l-m) л:
— /г)A — т) е-2ид^^| ^
J
1 — т — п
Выполнив вычисление этого интеграла и некоторые эле-
ментарные преобразования, получим при 0<
D.33)
Пользуясь этим выражением, определяем для t^x
D.34)
145

Исследуя последнее выражение ща максимум относи-
тельно времени, получаем следующее трансцендентное
уравнение для определения момента максимума выход-
ного напряжения tm2'.
2nb2(l~m-n)a2 Ш2 A — Ш — П) \ Г_2 , 1 .
2it h \\m I 1 т п ¦
D.35)
)
1)]
где а2=-^-2.
Расчеты отказывают, что в отличие от системы с од-
иим (накопительным устройством смещение максимума
напряжения еа выходе |рассматр|иваемой системы отсут-
ствует (а2=1) только при широкой полосе пропускания
преднакопителынюго фильтра (Ьг порядка единицы), при
весь'ма широкой полосе пропускания цепи обратной свя-
зи .накопительного устройства и при небольшом значении
коэффициента обратной связи.
Если полосы ^пропускания удовлетворяют условию
D.19), то уравнения D.33) — D.35) становятся неопреде-
ленными. Раскрывая эту неопределенность уравнения
D.33), получим при 0<^<х
и — Ul /l — e~2KAFlt
+ B - т)
откуда следует, что при
+ B -
{[
2nA2imt)i ] A - e-2') - 2ъЪ,т [2 - m +
+ ЪЬхт D- -0,5)]} е-2""'' ™ . D.37)
В результате .исследования этого уравнения >на ма-
ксимум относительно времени, получим квадратное урав-
нение для относительного момента времени достижения
выходным напряжением максимального значения:
- 2 \~^ь; - 2 A - /и)]
+ 2(l-m)* + T^Fl2^1m-4(l-m)] = 0. D.38)
146

¦h -ft»
т-0,8
20
50 Ь2
\
<rtf
117=0,3
/0
К гак-ому же (результату приводит .и раскрытие .неопре-
деленности уравнения D.36).
Семейства зависимостей относительного момента вре-
мени достижения выходным напряжением максимально-
го значения от безраз- ,
мерной полосы пропу- |
екания цепи обратной
связи накопительного
устройства для трех
значений коэффициен-
та обратной связи и
четырех значений без-
размерной полосы про-
пускания преднако'пи-
тельного фильтра изо-
бражены на рис. 4.9.
Их рассмотрение
показывает, что, как и
в случае системы с
одним накопительным
устройством, смещение
момента максимума
выходного напряжения
по отношению к мо-
менту окончания им-
пульса на входе яв-
ляется тем большим,
чем уже полосы про-
пускания как предна-
копительного фильтра,
так и особенно цепи
обратной связи нако-
пительного устройства
и чем ближе величина
коэффициента обрат-
ной связи к единице.
Физическое объясне-
ние этих результатов
то же, что и в слу-
чае системы с одним накопительным устройством.
Сравнивая относительное время смещения максиму-
ма напряжения на выходе системы с двумя накопитель-
ными устройствами и аналогичную величину для систе-
10* 147
1
UrOJ
/^
m=0,9S
Ю 20
50
Рис. 4.9. Зависимости времени сме-
щения максимума сигнала на выходе
системы с двумя накопительными
устройствами от полосы пропускания
«X цепи обратной связи.

мы с одним накопительным устройством (рис. 4.4), заме-
чаем, что 'гари использовании двух накопительных
устройств область переменных, при которых максимум
накопленного сигнала смещается относительно .момента
окончания импульса !на входе, значительно шире, а ве-
личина .времени смещения (максимума, по крайней мере,
вдвое больше, чем в случае одного накопительного
устройства.
(Величину максимально™ (пикового) значения Us,
накопленного снимала 'на .выходе системы с двумя нако-
пительными устройствами можно определить с 'помощью
уравнения D.34) или D.37), положив 't — tm2 = a2x.
Коэффициент передачи пикового значения сигнала
р ассм ахрив аемой системой р ассчитыв ается по фор-
мул ам:
-т-п
_ тп_Гг2 тп
1—т—пМ 1 1—т—п
-2lt(>s(I-'n) Ч
D.39)
и при условии D.19)
— ЪЬхт [2 — m + 2^6xm (a2 — 0,5)]1 e~Ml{a^l) . D.40)
Зависимости коэффициентов передачи пикового зна-
чения сигнала как функции безразмерной полосы про-
пускания цепи обратной связи накопительного устрой-
ства для трех значений коэффициента обратной связ'и и
четырех значений полосы (пропускания преднакопитель-
ного фильтра построены на рис. 4.10—4.12.
Их рассмотрение доказывает, что коэффициент пере-
дачи пикового значения сигнала системой с двумя нако-
пительными устройствами очень резко зависит как от по-
лос пропускания, так и особенно от коэффициента обрат-
ной связи этих устройств. Как и в случае системы с од-
ним накопительным устройством, с расширением полос
пропускания и 'при увеличении коэффициента обратной
И8

22
16
10
6
А
/
/У
//
у^
~~—
0,5
о,г_
шаятттш
11 5 10 20 50 Ьг
Рис. 4.10. Зависимости коэффици-
ента передачи сигнала системой
с двумя накопительными устрой-
ствами от полосы пропускания их
цепи обратной связи при т=0,8.
100
60
60
го
1
/
///
/
bt-lfi
1 "?
ш
о,\
мая*
12 5 10 20 50 Ьг
Рис. 4.11. Зависимости коэффициента
передачи сигнала системой с двумя
накопительными устройствами от по-
лосы пропускания их цепи обратной
связи при т=0,9.
149

свяаи этот коэффициент передачи возрастает, достигая
при этом значительно большей величины (порядка де-
сятков и даже сотен).
МО
160
80
/,
/A
t
0,2
о,'
tO 20
50
Рис. 4.12. Зависимости коэффициента
передачи сигнала системой с двумя
накопительными устройствами от по-
лосы пропускания их цепи обратной
связи при т=0,95.
Если полоса пропускания цепи обратной связи (нако-
пительных устройств столь широка, что выполняется
условие
то, как следует из анализа рис. 4.10—4.12, соотношение
D.39) можда заменить приближенной формулой
g ~ [ A _ e~2ltbi), D.42)
которая при этом дает погрешность менее пяти про-
центов.
Интересно отметить, что минимальная 'полоса пропу-
скания цепи обратной связи,_удовлетворяющая условию
D.41), (Приблизительно в У% раз больше, чем в случае
системы с одним (накопительным устройством (см. D.29)].
К результату D.42) приводит и рассмотрение накоп-
ления последовательности очень большого числа им-
150

пульсных сигналов системой из частотного фильтра и
двух накопительных устройств с иеопр а ничейно широкой
полосой пропускания цепи обратной связи. Поэтому при
условии ( 4.41) полосу .пропускания цепи обратной свя-
зи накопительных устройств можно приближенно счи-
тать бесконечно большой, а накопительные устройства —
идеальными.
В этом случае удается обобщить формулу D.42) на
случай накопления последовательности конечного чис-
ла N импульсных сигналов:
- N}} mNl~N (I - е~2*\ D.43)
АГ С ( N 1 1 \
где N* = Е 77—-j -j ]—номер выходного им-
1 \\—mN l~m \%mJ F
пульса, имеющего максимальную амплитуду. При коэф-
фициенте обратной связи, лежащем в пределах от 0,5
до 1, что обычно имеет место, и при достаточно боль-
шом N справедливо приближенное соотношение

ГЛАВА ПЯТАЯ
НАКОПЛЕНИЕ ШУМОВ В УСТРОЙСТВАХ
С ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
§ 5.1. НАКОПЛЕНИЕ ШУМОВ В СИСТЕМЕ ИЗ ЧАСТОТНОГО
ФИЛЬТРА И УСТРОЙСТВА С ЗАДЕРЖАННОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1. Определение мощности выходного шума
методом медленно меняющихся коэффициентов
Рассмотрим накопление белых шумов в системе
из частотного фильира Oi м устройства с задержанной
обратной связью ,(РИС- 3.14). Эта система имеет ампли-
тудно-частотную характеристику D.2). Поэтому шумы
на выходе системы имеют энергетический спектр
F3(m) = F1(oi) К2 (<о) = 2а —
и мощность
п J 1-2т/С2((о).со8ф(<о) + т2/С|(со) ' ^ * '
где
*!»=—Д v ¦ E-2)
152

Поскольку полосы пропускания предн а копи тельного
фильтра и цепи обратной связи .накопительного устрой-
ства значительно больше частоты повторения импульс-
ных сигналов
Af1>F = -jr, Д^2>Л E.3)
то с увеличением частоты все члены последних выраже-
ний, за исключением второго члена знаменателя, изме-
няются сравнительно медленно. Второй же член знаме-
нателя содержит быстро осциллирующий множитель
cos ф = cos /со Г + arc tg 2гсд^ ) 1 вызывающий быстрое из-
менение энергетического спектра в пределах от
l+2mtf8(©1) + ,
ДО
1 — 2m/C2(a>1 + Aco) + ,
где Дсо порядка -у- .
Это свидетельствует о том, что энергетический спектр
выходного шума имеет гребенчатый характер, обуслов-
ленный гребенчатой частотной характеристикой накопи-
тельного устройства с задержанной обратной связью.
Вычисление интеграла E.1) вызывает в общем слу-
чае большие трудности. Однако его можно вычислить
приближенно методом медленно меняющихся коэффи-
циентов [26, 87]. Основаниями для применения этого ме-
тода являются неравенства E.3).
Разобьем интервал интегрирования в E.1) на отдель-
ные участки, каждый из которых соответствует периоду
изменения осциллирующего множителя,
~ч «>; о. 1 о
Я? (ю) d<*
1 — 2тК2 И cos ф (со) + тЩ (со)
153

где (о^ и а)г+1—частоты, соответствующие началу и кон-
цу /-го периода:
ф(о><) = 21« и <К«ч+1)
Вследствие E.3) величина этого периода приближенно
равна частоте повторения:
Заменив переменную интегрирования по закону х =
— o»i, получим
тс Ы \ 1 _ 9т к. (о>г + х) cos ф (о>^+д:)+т2/с| («i + х)
i=0
На основании E.3) при 0<^x<Qi имеем
К, К + а:) =5=/С, К)
и
cos ф ((о< + л:) =5= cos л;7\
ввиду чего
2 в Г| Р
3 ТС ^J J [
,((o0co.sxr4
— 2тК2 (°>г) cos г/ + w2/(o (сог)
i=0 О
Воспользовавшись формулой C.451.2) [88], получим
—— Дшг-.
4J ^(i) ZJ ^(г)
Применение метода стационарной фазы [89] дает такой
же результат.
Так как величина ?-го периода функции cos xj? (со)
в силу E.3) очень мала по сравнению с полосой 'пропу-
скания системы, а следовательно, и шириной спектра
выходного шума, то 'последнюю сумму -можно прибли-
женно заменить интегралом:
о?«2-Ч2а К>\ d». E.4)
154

Подынтегральное выражение 2а 5 можно
^ F 1-/и»/с|(а>)
трактовать как энергетический спектр накопленного шу-
ма, усредненный по периоду осциллирующего множителя
cos ф (со).
Подставив E.2) в E.4) и выполнив необходимые вы-
числения, получи-м [90]
а2
где использованы те же обозначения, что и в предыду-
щей главе.
Следовательно, мощность шума накапливается
устройством с задержанной обратной связью с коэффи-
циентом
где для мощности шума а2 на выходе преднакопитель-
ного фильтра использовано выражение C.9) при k=l.
В частности, цри -разорванной цепи обратной связи
(т = 0) имеем Qi = l, т. е. накопление отсутствует. Тот
же результат наблюдается -и цри я~оо (т. е. при
Д/^ЛЛ)
При полосе пропускания цепи обратной связи нако-
пительного устройства, значительно более широкой, чем
полоса пропускания преднакопительного фильтра
Д^а^Д/7!, т. е. при я^О,
коэффициент накопления шума
j
находится в полном согласии с формулой C.25), полу-
ченной для бесконечно широкой полосы пропускания це-
пи обратной связи (когда фильтр Ф2 можно заменить
коротким замыканием).
Анализ показывает, что полосу пропускания цепи
обратной связи накопительного устройства можно счи-
155

тать 'при расчете шумов практически бесконечно боль-
шой, если указанная полоса удовлетворяет условию
что эквивалентно неравенству az<0,5 A—m). При этом
ошибки дри расчете мощности шумов на выходе не пре-
восходят 10%-
В случае одинаковых полос пропускания (л=1)
\fl-m2
что совпадает с результатам, полученным в [87].
В случае, когда отношение полос пропускания
п=\П — т\ E.7)
соотношения E.5) и E.6) имеют вид неопределенности
типа -Q-. Раскрыв ее, получим
2 апЬг 2 — т2
% 2A — т2)
Таким образом, закон накопления шумов в системе
оказывается существенно различным в зависимости от со-
отношения полос пропускания преднакопительного филь-
тра и цепи обратной связи наколительного устройства.
Если цепь обратной связи имеет полосу, значительно
более широкую, чем дреднакопительный фильтр, vo
спектр шумов искажается только при прохождении пред-
н а ко пи тая ын ого фильтра, а при дальнейшей циркуляции
по цепи обратной связи шум каждый раз ослабляется
в т раз (а его мощность в т2 раз), вследствие чего вы-
ходной шум накапливается по закону, (рассмотренному
в п. 2 § 3.4.
Если же указанные полосы пропускания имеют один
порядок, то при прохождении шумов по цепи обратной
связи в ¦процессе накопления (циркуляции) их спектр
каждый раз сужается. В результате этого шумы накап-
ливаются до заметно меньшего уровня, чем в ранее
рассмотренном случае.
156

Зависимость коэффици- '
ента накопления шума
устройством с задержанной s
обратной связью от отноше-
ния полос пропускания для
трех значений коэффициен-
та обратной связи построе-
на на рис. 5.1. Ее рассмо- 5
трение показывает, что ко- и
эффадиент накопления шу-
ма резко уменьшается с
увеличением отношения по-
лос пропускания преднако-
пительного фильтра и цепи
обратной связи накопитель-
ного устройства, особенно
если коэффициент обратной
связи последнего близок к
единице. Поэтому при по-
стоянной полосе пролуска-
ния предна^шпительного фильтра мощность шума на вы-
ходе тем меньше, чем уже полоса пропускания цепи
обратной связи и чем меньше коэффициент этой связи.
¦'" к
——
N
\
195
\
\
\
\
\
is,
1 0,05A1 0,1 0,5 1 2 5 п
Рис. 6Л. Зависимости коэффи-
циента накопления шума нако-
пительным устройством от от-
ношения полос пропускания.
2. Определение мощности выходного шума
как суммы мощностей накапливаемых шумовых
составляющих
Наколлен1ный шум на выходе устройства с задержан-
ной обратной связью представляет собой сумму шумо-
вых колебаний, поступивших на его основной вход как
в данный момент времени, так и в предшествующие мо-
менты времени, отстоящие от данного на целое число
квазипериодов повторения:
и, (о = 2 «.
где tizk(t) представляет собой шум, поступивший <навход
.накопительного устройства в момент t—kT и подвергнув-
шийся k раз циркуляции по его цепи обратной связи.
157

Мощность накопленного шума на выходе в общем
случае равна следующей сумме [17J:
00 00
iiObiTiu E.8)
где а^. — мощность составляющего шумового колебания
usi(t)y а Гц — нормированный коэффициент взаимной кор-
реляции между шумовыми колебаниями u3i(t) и uzi(t):
{(l)T\
Считаем, как -и ранее, что шумы :на входе системы
имеют равномерный энергетический спектр A.14).
Обычно в накопительных системах выполняются не-
равенства (б.З). Б этом случае, представляющем лай-
больший интерес, время корреляции указанных выше
шумовых составляющих значительно меньше длитель-
ности квазипериода повторения, который считается рав-
ным длительности задержки в цепи обратной связи. Сле-
довательно, шумовые составляющие являются практиче-
ски взаимно независимыми, т. е. Тц=0 при 1ф1 Вслед-
ствие этого формула E.8) упрощается:
4
1=0
4 «У, 4 • E.9)
Она описывает «мощность шума после бесконечно боль-
шого числа [циклов накопления. Если считать последнее
конечным и равным L, то тогда
/=о
Здесь а3/ представляет собой мощность шумового ко-
лебания на выходе 'накопительного устройства, прошед-
шего / раз цепь обратной связи. Поскольку это колеба-
ние обладает энергетическим спектром
то оно имеет мощность
ОО 00
1 С trfil (*
Zl у®) ^^ с) \ *i \®)
158

Вследствие этого
L~\ oo
2 /гч 1
а„ (L) ж -—
/=о о"
Поменяем порядок суммирования и интегрирования
oo L—\
2 f м — J_
о S)
Суммируя этот ряд как геометрическую прогрессию, по"
лучаем
г- I
27T J 1 -
В частности, при бесконечно большом числе циклов на-
копления (L = oo) имеем [91 —92]
L-юо
О
1 (* Гч (СО) а7 [Си)
I = lima^ (L) ^ 4- Г ll ; ] ; rfco. E.12)
Подставляя A.12) в это выражение, вновь получаем E.4).
В случае, когда фильтры Фг и Ф2 одинаковы, т. е.
Afj = hF2 = AF и выполнены по простейшей схеме
(рис. 2.3.4а), мощность выходного шума можно определить
еще более просто. В этом случае вследствие A.12),
E.2), E.10) и формулы C.191.3) [88]
00
2
B0!!
О
Если подставить это выражение в E.9), то тогда
/=о
Используя формулу A.112.4) [88] при х = — т2, полу-
чаем
что совпадает с E.5) при п = 1,
159

§ 5.2. НАКОПЛЕНИЕ ШУМОВ В СИСТЕМЕ ИЗ ЧАСТОТНОГО
ФИЛЬТРА И ДВУХ УСТРОЙСТВ С ЗАДЕРЖАННОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Шум на выходе системы, состоящей (из частотного
фильтра Ф\ и двух одинаковых, последовательно *вклю-
ченгных накопительных устройств с задержанной обрат-
ной связью (рис. 4.8), имеет энергетический спектр
и мощность
оо оо г^2 / \ j
2_J_ f F , w __о_ Г *1(<t)) dfi>
°4 ~ 2и J ^4 \^)йт — л J [1 __ 2/и/С, (со) cos ф (со) + т2К\ (со)]2 '
о о
E.13)
Как in в случае одного 'накопительного устройства,
спектр шума на выходе имеет гребенчатый характер.
Поэтому интеграл ('5.13) мож|но приближенно вычислить
при условиях E.3) тем же методом, который применял-
ся для определения величины интеграла E.1). Поступая
аналогичным путем, приведем E.13) к приближенному
виду
°2 К2: Ы П -4- т2К% (со)]
d». E.14)
Для случая, когда преднакоп-ительный фильтр и цепь
обратной связи накопительных устройств имеют ампли-
тудно-частотные характеристики E.2), лосле весьма
громоздких преобразований и вычислений, получим
X A — т2 — иа) [5 A — п2) — Зте2] -f
+ 4A—m2J[4(l-n2J-3/ra2(l —n2) + w4]]}. E.15)
Используя C.9) при &=1, определяем коэффициент
накопления шума двумя накопительными устройствами
160

с задержанной обратной связью
()
X A — пг2 — п2) [5 A — п2) - Зт2
+ 4A-/гс2J [4A— п2J— Зт2(\—п2) + т*}}\. E.16)
В частности, при разорванной цепи обратной связи
(т = 0) коэффициент накопления равен единице, что
естественно, ибо накопление отсутствует. Наоборот, при
т=\ шум (накапливается до бесконечно большой мощ-
ности.
Величина коэффициента накопления шума сильно
зависит от коэффициента обратной связи и от соотноше-
ния полос пропускания предн а ко гантельного фильтра и
цепи обратной связи .накопительных устройств.
Если полоса пропускания цепи обратной связи зна-
чительно шире полосы пропускания преднакопительного
фильтра (я~0), то коэффициент накопления шума
В случае одинаковых полос пропускания (п=\)
При (неограниченном сужении полосы пропускания
цепи обратной связи коэффициент накопления шума
стремится к единице, что объясняется тем, что обратная
связь в таком устройстве практически отсутствует.
Когда отношение полос пропускания и коэффициент
обратной связи удовлетворяют условию E.7), уравнения
E.15) и E.16) принимают вид неопределенности. Рас-
крывая неопределенность E.16), получим
Зависимости коэффициентов накопления шума двумя
устройствами с задержанной обратной связью от огно-
шен'ия полос -пропускания для трех значений коэффици-
ента обратной связи построены на рис. 5.2. Их рассмот-
рение показывает, что коэффициент накопления шума
161

тем выше, чем меньше полоса пропускания шредн а капи-
тельного фильтра по сравнению .с полосой пропускания
цепи обратной связи «накопительных устройств ,и чем
больше коэффициент их обратной связи. При я = 0,005,
то
woo
500
200
50
—¦ —
т=0№
.
01
0?
—¦>-.
\
\
Ч
\
\
\
\
\
ч
\
\
0,005 0,01 0JJ2 0,05 0,1 0.2 0.5 1 I 5 n
Рис. 5.2. Зависимости коэффициента накопления
шума двумя накопительными устройствами от
отношения полос пропускания.
т. е. йри Д/^^ООД/7!, величина коэффициента накопле-
ния шумо'в оказывается очень большой и три т = 0,8;
0,9 и 0,95 достигает соответственно значений 34,5; 259 и
2042.
Разделив E.16) и а E.15), определим коэффициент
накопления шума вторым устройством с задержанной
обратной связью
Q. =
A-п2J
т*п
* \ *¦
1-m2) X
A — /яг2 — п2J X
X (\-т2-п2) [5(l-n2)-3m2] +4(l-m2J [4 A-п2J-ЗтЦ\~п
E.20)
162

\
т
по
80
\
0,95
\
\
В частности, при условии
E.7) имеем
8 A — т2) + т* G — 2т2)
Я-~ 4B — т2)(\ — т2J '
Рассмотрение зависимо-
стей этого коэффициента от
отношения 'полос пропуска-
ния для трех значений коэф-
фициента обратной связи
(рис. 5.3) показывает, что
во втором накопительном
устройстве шумы накаплива-
ются в значительно большее
число раз, чем в первом
накопительном устройстве.
Так, «например, если !пр'ит =
= 0,9 и п = 0,1 мощность шу-
ма увеличивается первым
накопительным устройством
в 4,46 раз, т*о во втором на-
копительном устройстве она
возрастает уже в 42 раза.
Это объясняется тем, что .мгновенные значения про-
шедшего первое накопительное устройство шума, разде-
ленные интервалом .времени, кратным длительности за-
держки в цепи обратной связи, оказываются .сильно кор-
релированными. Вследствие этого шум накапливается
во втором накопительном устройстве по иному закону,
чем (в -первом накопительном устройстве. При этом он
достигает (весьма большой мощности.
0,01 0,02 0JJ50,1 0,1 0,5 1 2 5 п
Рис. 5.3. Зависимости коэффи-
циента накопления шума вто-
рым накопительным устрой-
ством от отношения лолос про-
пускания.

ГЛАВА ШЕСТАЯ
ВЫИГРЫШ В ОТНОШЕНИИ СИГНАЛ/ШУМ,
ОБЕСПЕЧИВАЕМЫЙ НАКОПИТЕЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ
§ 6.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данной главе, как и в двух предыдущих, рассмат-
риваются накопительные системы, состоящие из частот-
ного фильтра и одного или двух накопительных
устройств с задержанной обратной связью (,рис. 3.14
и 4.8).
Система из частотного ф,ильтра и накопительного
устройства с задержанной обратной связью представ-
ляет собой, 1как указывалось выше, практическое при-
ближение оптимального фильтра для .последовательно-
сти импульсных сигналов. Она позволят при заданных
анергии сигнала, спектральной интенсивности шума и
уровне вероятности ложной тревоги значительно увели-
чить вероятность травильного обнаружения путам повы-
шения отношения сигнал/шум. Это достигается как со-
ответствующей внутрипериодной обработкой принимае-
мого сипнала, 'которая по существу является частотной
фильтрацией каждого из импульсов сигнала, так и его
междупериодной обработкой. Последняя представляет
собой накопление импульсных сигналов последователь-
ности, основанное на использовании априорной инфор-
мации о периоде повторения импульсных сигналов при-
hhiM а емой поеледов ательн ости.
Анализируемая система осуществляет, таким обра-
зом, как частотную фильтрацию, так и накопление им-
пульсных сигналов. Вследствие этого отношение квад-
рата пикового значения сигнала к мощности шума на
164

ее выходе характеризует эффективность обоих из ука-
занных процессов.
Для того чтобы выявить в чистом виде накопитель-
ные свойства рассматриваемой системы, определим вы-
игрыш IB отношении сигнал/шум, обеспечиваемый этой
системой но сравнению с наилучшим частотным филь-
тром—оптимальным фильтром для одиночного импульс-
ного -сигнала принимаемой (последовательности. Его ве-
личина равна 'частному от деления отношения сигнал/
шум на выходе накопительной системы на аналогичное
отношение на выходе оптимального фильтра для оди-
ночного импульсного сигнала.
Поскольку обычно не удается осуществить накопи-
тельное устройство с оптимальным коэффициентом обрат-
ной связи, величина которого при большем числе импуль-
сов IB накапливаемой последовательности очень близка
к единице, представляет интерес определить выигрыш,
дбеспечйваемый системой из частотного фильтра и двух
накопительных устройств с задержанной обратной
связью по сравнению с Оптимальным фильтром для оди-
ночного импульсного сигнала и выяснить 'целесообраз-
ность использования второго накопительного устройства.
§ 6.2. ВЫИГРЫШ, ОБЕСПЕЧИВАЕМЫЙ СИСТЕМОЙ
ИЗ ЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА И НАКОПИТЕЛЬНОГО
УСТРОЙСТВА С ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1. Величина выигрыша в отношении сигнал/шум
Используя выражение D.18) при / = ait для пикового
значения накопленного сигнала и выражение E.5) для
мощности накопленного шума, определим отношение
квадрата пикового значения сигнала к мощности шума
на выходе рассматриваемой системы (рис. 3.14)
Щ |A_ п) A — т) (е2тс^ —
1==
% 1 — т2 —
— тп 1е2тс&2 {1~~т) — 11 е~-2тса1&
1
F.1)
Здесь ai при выполнении условия D.22) или D.23) опре-
165

деляется из уравнения D.21), а <в .противном случае тож-
дественно paiBiHo единице.
Вследствие C.13), о'писывающего отношение сиг-
нал/шум на выходе оптимального фильтра для одиноч-
ного прямоугольного импульсного сигнала, выигрыш
в отношении юигнал/шум, который обеспечивает анали-
зируемая система .по сравнению с оптимальным фильт-
ром для одиночного .импульсного сигнала, характери-
зуется величиной
гь A — т2 — п2) {A — п) A —т) (е2тс^ — 1) е~2тсаЛ
1 nbt A — тJ A — т — пJ X
— тп
F.2)
В частности, если полосы (пропускания преднакопи-
тельного ф,ильтра .и цепи обратной связи .накопительно-
го устройства удовлетворяют условию D.19), то, исполь*
зуя D.20), ^получаем
J)exP -^^—;+-
1
m (i — е
т
при
"-> ['-t
при
1 — т
л
1.
F.3)
Когда отношение указанных полос пропускания выбрано
из условия E.7), имеем
2A +т) <A — /1— п
/е—1 __
— т
\-\-m
-О
XI —
166
t=^4 o
\+тJ
F.4)

Дри отсутствии задержанной обратной связи (т = 0
,или 62 = 0) овновь получ'им равенство C.14), выведенное
в результате анализа прохождения одиночного прямо-
угольного импульса и шума через реостатный усилитель
.или эквивалентный ему фильтр .нижних частот.
Когда полоса пропускания цепи обратной связи на-
коттителшото устройства столь велика по сравнению
с полосой пропускания преднакопительното фильтра, что
выполняется неравенство
п < 1 — т, F.5)
выигрыш составляет
Это выражение отличается от C.14) только множите-
лем р^1 Поэтому 'согласно C.15) полоса пропускания
преднакопительного фильтра имеет оптимальное зна-
чение
= 0,2. F.7)
Эта оптимальная полоса
пропускания совпадает со
значением, полученным из
соображений наибольшей
эффективности внутрипери-
одной обработки импульс-
ных сигналов. При этом си-
стема обеспечивает макси-
мальный выигрыш
В
,мако
= 0,815 [±^. F.8)
Зависимость этого макси-
мального выигрыша от ве-
личины коэффициента об-
ратной связи изображена
кривой /на рис. 6.1. По мере
приближения коэффициента
бй
60
50
in
30
w
0
/
у
/
/,
/
/
0,9
QJ® т
обратной связи к единице рис. 6.1. Зависимости макси-
величина максимального вы- мального выигрыша от коэф-
игрыша резко возрастает, до- Фициента обратной связи для
стЕгая 31,8 ужепРрит = 0,95. ТоГТЫель\Г„^Ро=мГ
167

Таким образом, накопительная система дает ,наи-
больш)ий -выи!грыш, 'когда функции ©нутрнадериодной
обработки (частотной фильтрации) и междупери одной
обработки (накопления) выполняются различными эле-
ментами этой системы (соответотвешю п'реднадашитель-
ным фильтром и ^накопительным устройством).
Ори (выполнении условия F.6) полосу пропускания
цепи обратной -связи накопительного устройства можно
практически считать бесконечной широкой. При этом
формулы F.6) и F.8) обобщаются на случай конечного
числа .импульсов N, меньшего их активного числа:
В1~\=Ъ$ -тУ^A -е-™У, F.9)
L±JLmy. F.10)
Сравнительный анализ ооошошший F.8) (и F.2) 'при
усл'Св-и'и F.7) .показывает, что для обеспечения выигры-
ша не (Менее 90% от максимально возможного F.8) по-
лоса пропускания цепи обратной связи должна удовлет-
ворять условию
дF lA + UM
2
(I —• т)
2. Влияние параметров системы на величину выигрыша
Рассмотрим, как 'влияют параметры накопительной
системы — коэффициент обратной связи, полосы пропу-
скания преднакопительного фильтра и цепи обратной
связи накопительного устройства — на величину обеспе-
чиваемого данной системой выигрыша в отношении сиг-
нал/шум. Это позволит дать рекомендации по рацио-
нальному выбору этих параметров.
Семейства зависимостей 'выигрыша в отношении сиг-
нал/шум от безразмерной лолосы лропускания цепи
обратной связи накопительного устройства для трех
значений коэффициента обратной связи построены на
рис. 6.2—6.4. Каждое семейство построено для четырех
значений безразмерной полосы пропускания преднако-
пительного фильтра.
На основании этих зависимостей можно сделать сле-
дующие выводы. При сравнительно небольших 'полосах
168

пропускания преднакопиггелыното фильтра (bi = 0,1-^-0,2)
с расширением лолосы пропускания цепи обратной свя-
зи [выигрыш возрастает сначала быстро, а затем мед-
леннее.
При более широких лолосах пропускания цреднако-
пительного фильтра F1>0,|5) выигрыш с увеличением
ft
ll
7
/
V
у1
— —
—" ' ~
V
A9
II
«—•—•-¦
10 20 50 iOO Ь2
Рис. 6.2. Зависимости выигрыша, обеспе-
чиваемого системой с накопительным
устройством, от полосы пропускания его
цепи обратной связи при т=0,8.
полосы лропускаЕия цепи обратной связ'и сначала ра-
стет, а за'тем, после достижения максимума, медленно
уменьшается. Оптимальная (полоса пропускания этой
цепи, при которой выигрыш максимален, приближенно
рассчиты'ваат'ся по фор'муле
AF*~ о-»), ¦ FЛ2)
При достаточно широкой полосе пропускания цепи
обратной связи величина выигрыша резко зависит от
ширины иолосы пропускания лреднакопительного филь-
тра. Наибольший выигрыш .наблюдается (тогда, когда
полоса пропускания этого фильтра выбрана оптималь-
ной F.7). Малые отклонения ширины (полосы пропуска-
169

i
у
1/
/
/
/
^—
у
—-.
^
^
¦ ,
0,9
*¦
10 20 50 WO Ъг
Рис. 6.3. Зависимости выигрыша, обес-
печиваемого системой с накопительным
устройством, от полосы пропускания его
цепи обратной связи при т = 0,9.
22
1
/
W
f
//
/
/
//
г—JLL
Ю
^—
— —
г"— '
- 1»
\
г
to
uo too ь2
Рис. 6.4. Зависимости выигрыша, обеспечи-
ваемого системой с накопительным устрой-
ством, от полосы пропускания его цепи
обратной связи при т=0,9б.

ния от этого оптимального значения (Приводят к сравни-
тельно небольшому уменьшению выигрыша.
На величину 'выигрыша сильно влияет и величина ко-
эффициента обратной связи. Чем ближе этот коэффи-
циент к единице, нем больше выигрыш. Однако полная
реализация возможною выигрыша требует расширения
полосы пропускания цепи обратной связи -накопительно-
го устройства. Это объясняется тем, что по мере (прибли-
жения коэффициента обратной связи ik единице возра-
стает число импульсов, 'принимающих участие в накопле-
нии, а следовательно, и число их циркуляции по цепи
обратной связи. Для сохранения той же степени их иска-
жения при увеличении числа циркуляции по цепи обрат-
ной связи необходимо расширить полосу пропускания
этой цепи.
3. Сравнение со случаем одинаковых полос пропускания
преднакопительного фильтра и цепи обратной связи
накопительного устройства
Если полосы пропускания преднакопительного филь-
тра и цепи обратной связи выбрать равными, т. е. Ь\ =
= Ь2=Ь и п=\\, то, 'поскольку в этом случае ai=l, полу-
чим ,из F.2) величину выигрыша
R 1 A + т)х'2 г j _ -2Kb A~т)]2
B'=^GZ^11 Ь FЛЗ)
Исследование этого выражения на максимум относи-
тельно полосы пропускания дает как оптимальное ее
значение ([93]
^опт^у^, F.14)
так и величину достигаемого лри этом максимального
выигрыша
= 0,815 /1±^. F.15)
Из F.8) и F.15) следует, что путем сужения полосы
пропускания преднакопительного фильтра от значения
F.14) до F.7) и значительного расширения полосы про-
пускания цепи обратной связи 'накопительного устрой -
171

. ¦
у
/
2/
\
/
/
Ьтва можно получ'ить допол-
нительный выигрыш
т
— т
F.16)
Его величина сильно зави-
сит от степени близости ко-
эффициента обратной связи
к единице (см. кривую 1 на
рис. 6.5) и при т = 0,8; 0,9
и 0,95 составляет соответст-
венно 3; 4,36 *и 6,25.
Для получения этого до-
поли и тел ь н о го выигрыша
необходимо значительно рас-
ширить полосу пропускания
цепи обратной связи нако-
пительного устройства. Это
требование может оказать-
ся трудно осуществимым на
практике.
Однако если даже поло-
су пропускания цепи обрат-
ной связи взять сравнитель-
но небольшой, например,
равной F.14), то за счет су-
жения полосы пропускания преднакопительного фильтра
до значения, определяемого F.7), можно получить вы-
игрыш
U
0,9
0.95 т
Рис. 6.5. Зависимости дополни-
тельного выигрыша, получаемо-
го в системе с накопительным
устройством, от его коэффици-
ента обратной связи.
Bt ^=0,2; b.
0,2 \
= 1 — т)
_ 0,367
—A
У\—т*
F.17)
Зависимость этого выигрыша от величины коэффициен-
та обратной ювязи изображена кривой 2 на рис. 6.5. Ее
рассмотрение -показывает, что .по -мере увеличения коэф-
фициента обратной связи выигрыш быстро (возрастает.
172

Его величина примерно в 2—2,5 раза меньше выигрыша
F.16) |И при т = 0,9 и 0,95 составляет соответственно
1,905 .и 2,64.
§ 6.3. ВЫИГРЫШ, ОБЕСПЕЧИВАЕМЫЙ СИСТЕМОЙ
ИЗ ЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА И ДВУХ НАКОПИТЕЛЬНЫХ
УСТРОЙСТВ С ЗАДЕРЖАННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1. Величина выигрыша в отношении сигнал/шум
Подсчитаем выздрыш в отношении сиг,нал/шум, (кото-
рый «ложно получить при использовании системы, со-
стоящей из частотного фильтра и двух накопительных
устройств с задержанной обратной связью (рис. 4.8).
Воспользо»ва1В|Щись выражением D.34) «при t = tm2 = a2x
для пикового 31начан-ия сишнала «а выходе этой системы
и соотношением F.16) для -мощности (выходного шума,
определим отношение (квадрата (пишвого значения сиг-
нала iK мощности шума
a 7Zf?1 A — rrif {A — п2J (\+т2 — п2) —
тп Г г тп
[[2 +
X[e2«ft,<I-m) _1]__2п/йA—OTN2e a<m
X A - /и2 - n2) [5 A - n2) - 3m») +
ч/ e—2tco2 A— m) oc2l /i 2 Л2\з
/
+ 4 A — w2J [4 A—n2J —3m2 A— n2) + m
Используя выражение C.13) для отношения сиг-
нал/шум иа выходе оптимального фильтра для одиноч-
ного импульсного сигнала, вычисляем выигрыш, кото-
рый обеспечивает рассматриваемая система
/Л , тп
173

I3* A**)l+2i t1»') (l-«2-) X
— /и) 62
1 e-2«6
X [5 A-й2) — 3m2] +4 A—m2J [4 (\—n*)*—3m* A — n2) + от*] 11
F.18)
Здесь а2 рассчитывается лю формуле D.36). Если П|р,и
расчете получается а2<A, то следует положить аг=1.
Бсл'И 'полосы пропускания предн а капительного фильт-
ра й цепи обратной Связи удовлетворяют условию D.19),
то выражение F.1в) становится неопределенным. Рас-
крывая airy иеапр'еделейность или используя D.37) .при
/ = a2t, -получаем «три п= 1—т
(Г
4 Л
1 + B - т) 2пЬ1т + У 2' I (I -е
I'2
V A h t П
— ZTbDifTL [-и —¦ fit -j— ^T^Oiftl @^2 — yJ i ON > 6
-, F.19)
X A6 + 10/я — 10m2 + 4m3 + 3m*)
где a2 — корень квадратного уравнения D.38).
Ввиду 'того, что полученные выражения являются
очень сложными, проверим их справедливость в асимп-
тотических случаях.
При разрыве цепи обратной связи .накопительного
устройства (т=0) формула F.18) превращается в C.14),
что и должно быть. Такой же результат получается и
при 62='О, 'что также правдоподобно.
Если полоса пропускания щепи обратной связи нако-
пительных устройств значительно шире полосы пропу-
скания преднакопительного фильтра, так что выполняет-
ся условие F.5), то выражение F.18) значительно упро-
щается
в _, A + т)*
174

Этот результат получается и при «рассмотрении .нанопле-
ни я >п ос л е д ов-ат е л ыюс ги д ос т аточн о боль ш ог о ч ис л а
импульсных сигналов и шума системой из преднакопи-
тель.но|го фильтра и двух накопительных устройств, цепь
запаздывающей обратной связи ^которых имеет неограни-
ченно широкую полосу пропускания.
|Цр,и этом справедлива формула D.4'2), .применив ко-
торую можно обобщить F.20) на случай конечного чис-
ла импульсных сигналов в накапливаемой последова-
тельности.
Так ка'к зависимость выигрыша F.20) от полосы 'про-
пускания преднакопительного фильтра отличается толь-
ко постоянным множителем от аналогичной зависимости
F.6) для системы с одним накопительным устройством,
то оптимальное значение этой полосы оказывается тем
же и описывается выражением F.7). В этом случаерас-
сматрйваемая система обеспечивает максимальный вы-
игрыш
J^V F.21)
Зависимость этого выигрыша от величины коэффици-
ента обратной св1язи изображена кривой 2 на рис. 6.1 и
имеет приблизительно тот же характер, что и в случае
одного накопительного устройства.
2. Влияние параметров системы на величину выигрыша
Семейства зависимостей выигрыша в отношении сиг-
нал/шум, 'получаемого при использовании рассматривае-
мой системы, от безразмерной полосы пропускания цепи
обратной связи 'накопительных устройств для трех зна-
чений коэффициента обратной связи и четырех значе-
ний 'безразмерной полосы пропускания преднакопитель-
ного фильтра построены на рис. 6.6—6.8.
Их рассмотрение показывает, что при небольших по-
лосах пропускания щреднашп и тельного фильтра {Ь\ по-
рядка 0,2) с расширением полосы пропускания цепи
обратной связи выигрыш монотонно возрастает сначала
быстро, а затем медленно. В случае более широкополос-
ного преднакопительноах) фильтра (&i^0,5) при расши-
рении полосы пропускания цепи обратной связи выиг-
рыш сначала увеличивается, а затем после достижения
максимума медленно уменьшается.
175

'Оптимальное значение полосы пропускания цепи
обратной связи, при шторой выигрыш м а моим алан, рас-
считывается по формуле
Оно «приблизительно 1на 25% больше аналогичного зна-
чения F.12) в случае одного накопительного устройства.
На величину выит'рыша ib отношении оигаал/шумока-
/
у
/
А
L
/
/
/
—^.
^—
ьгол
—
—
\
10 20
50
Рис. 6.6. Зависимости выигрыша,
обеспечиваемого системой с двумя
накопительными устройствами, от по-
лосы пропускания их цепи обратной
свяаи при т=0,8.
зываегг большое влияние и ширина полосы пропускания
преднакопителшого фильтра. Из рис. 6.6—6.8 видно,
что если депь обратной связи накопительного устройст-
ва не слишком узкополосна, (наибольший выигрыш обес-
печивает система с оптимальной полосой (пропускания
преднакопительного фильтра F.7), обеспечивающей
наибольшую эффективность внутрип^риодной обработки.
Еще более сильно влияет на величину выигрыша ко-
эффициент обратной связи накопительного устройства.
При его увеличении от 0,8 до 0,9 и затем до 0,95 выиг-
рыш каждый раз примерно удваивается.
176

27
23
19
15
и
7
z
W
V
/
/
—^.
— -
¦
12 5 W 20 50 Ъг
Рис. 6.7. Зависимости выигрыша, обес-
печиваемого системой с двумя нако-
пительными устройствами, от полось
пропускания их цепи обратной овя-ар
при т=0,9.
30
20
т
///
Г/
у
7
«я
¦—¦—
12 5 W 20 50 Ь2
Рис. 6.8. Зависимости выигрыша, обес-
печиваемого системой с двумя нако-
t пительными устройствами, от полосы
[ пропускания их цепи обратной связи
при т=0,95.

Вели срашить выигрыш, обеспечиваемый системой
с двумя 1накопи|тельными устройствами (рис. 6.6—6.7),
с выигрышем, .получаемым при .использовании одного на-
копительного устройства (.ряс. 6.8 и 6.4), то легко заме-
тить, что одно !нашп(ительное устройство с т = 0,9 при-
близительно эквивалентно двум .накопительным устрой-
ствам с т=0,8, а одно накопительное устройство с т =
= 0,95 — двум 'накопительным устройствам с т=0,9.
С лед о в а тел ьно, -пр имен ание вто р oiro н а коп и те л ьно го
устройства позволяет избежать необходимости получе-
ния коэффициентов обратной связи, достаточно близких
к единице, что сопряжено с ухудшением устойчивости
этих накопительных устройств.
Этот вывод имеет большое змшшие для практики.
3. Целесообразность применения второго накопительного
устройства
Поделив .выигрыш F.1$), обеспечиваемый системой
с двумя .накопительными устройствами, на выигрыш
F.2), получаемый .при 'использования системы с одним
(накопительным устройством, определим дополнительный
выигрыш, обусловленный применением второго накопи-
тельного устройства,
А = -
A _. mf {A _ „у A + п? - «•) - 4A_т2M/2
тп х
тп Г/ тп
Х| 3m4 A — т2 — п2J + 2т2 A — т2) A — т2 — п2) X
178
X [е2кЬ* {1~т) — 1] + 2тш A - т) b2 e2%b* ^тЦ X
X [5 A +- п2) — Зт2] + 4A— т2) [4 A — /г2J —
Х е-2«&, (l-m) «Л 2 A _ т _ „J
^ Х
- 3/722 A - п2) + nf] {A - л) A-т) (е2тс^-1)
т2/г \
__ Л2 _ ==== ]
У\-т2 )

Есл-и полюса пропускания цепи обратной связи на-
копительного устройства значительно шире полосы про-
пускания предна;копительного филытра, так что выпол-
няется услоше F.5), то <шгл ас1но F.6) <и F.S0) приме-
нение второго накопительного устройства 'позволяет по-
лучить (Дополнительный выигрыш
+т2
F.24)
Его ©еличима не зависит oit .полосы .пропускания предна-
коиительногю фильтра и .при коэффициенте обратной
связи, величина 'которого лежит в пределах опт 0,в до еди-
ницы, практически (не отличается от двух.
/
Г
brio
Л
*^-——
W 20
50 Ь2
Рис. 6.9. Выигрыш за счет применения
второго накопительного1 устройства
как функция полосы пропускания его
цепи обратной связи при т=0,8.
Т-а/ким образом, лри выборе достаточно широкой по-
лосы пропускания цепи обратной овяаи использование
второго !накопительно1го устройства позволяет увеличить
приблизительно !в 2 раза отношение квадрата пикового
зндаения сигнала к 'мощности шума.
Величину дополнительного выигрыша, обусловленно-
го применением второго накопительного устройства при
различных значениях полосы пропускался цепи обрат-
ной связи, четырех значениях полосы пропускания пред-
накопительного ф1ильтра 'и трех значениях коэффициента
обратной связи, можно определить по семействам кри-
вых, 'цредставлетшх на рис. 6.9—6.11.
12* , 179

Их рассмотрение показывает следующее. Величина
дополнительного выигрыша сильно зависит от ширины
полосы .пропускания цепи обратной связи накопительно-
го устройства. При сравнительно узкой полосе этой
цепи дополнительный выигрыш тем больше, чем меньше
и
и
1,6
1
$
/
1
1
и
i
J
¦—¦ '- ¦
" *ч
^-—
2 5 10 20 50 b?
Рис. 6.10. Выигрыш за счет примене-
ния второго накопительного устрой-
ства как функция полосы пропуска-
ния его цепи обратной связи при
т=0,9.
коэффициент обратной связи накопительного устрой-
ства.
При сравнительно узких полосах пропускания предна-
копительного фильтра дополнительный выигрыш с рас-
ширением полосы рропуакания цени обратной связи мо-
нотонно возрастает, приближаясь к двум. При более
широких .полосах .пропускания т.реднако-п'ительного
фильтра по мере расширения полосы пропускания цепи
обратной связи дополнительный выигрыш сначала воз-
растает, а затем после достижения максимального зна-
чения уменьшается, стремясь к двум.
При возрастании коэффициента обратной связи ве-
личина дополнительного ашищрыша все меньше зависит
от шир ин ы по л осы лроп ус кани я л редн а копител ьн о го
фильтра. Однако при этом становится более сильной за-
180

висимость от полосы .пропускания цепи обратной связи
н а коп ител ьн ого ус тро й ста а. До по л ните л ь н ы й в ыи гр ыш
наблюдается только в том случае, когда эта полоса яз-
ляежя достаточно игирокюй л удовлетворяет условию
, ^ 0,05-0,1
1— т
Основной вывод состоит в том, что целесообразность
применения второго накопительного устройства тем
19
а
и
1,3
w
г"' г 5 ю го &о ьг
Рис. 6.11. Выигрыш за счет примене-
ния второго накопительного устрой-
ства как функция полосы пропуска-
ния его цепи обратной связи при
т = 0,95.
больше, чем меньше коэффициент обратной связ'и пред-
шествующего (накопительного устройства и чем шире по-
лоса ,п:ро'пуока-Н|ИЯ щреднакопительного фильтра.
Поскольку ири'менение второго накопительного
устройства позволяет получить выигрыш порядка двух,
то оно эквивалентно увеличению мощности радиопере-
дающего устройства в два раза. Последнее обычно со-
пряжено со значительно большими трудностями, чем
применение второго накопительного устройства. Следо-
вательно, это усложнение накопительной системы может
быть в ряде случаев оправдано.
181
//
У
(//
7
/
(
¦ ¦ II.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПОРОГОВЫЕ СИГНАЛЫ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ
НАКОПЛЕНИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
§ 7.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Понятие о пороговом сигнале
Пороговым или минимально различимым сигналом
называют сипнал такой амплитуды (мощности), вероят-
ность правильного обнаружения которого при данном
уровне шума и установленном уровне вероятности лож-
ной тревоги равна заранее определенной величине (на-
пример, Z) = 0,9 или D=0,5) [94]. Иначе говоря, порого-
вый сигнал — это минимальный по величине сигнал, ко-
торый еще обнаруживается с заданной .вероятностью
на фоне шума данного уровня, вызывающего ложную
тревогу с фиксированной вероятностью.
Отношение порогового сигнала к уровню шума на-
зывается пороговым отношением сигаал/шум. Его вели-
чина определяется как свойствами принимаемого сигна-
ла, тж и способом его обработки, обусловленным струк-
турой радиоприемного устройства и параметрами его
элементов.
Пороговое отношение зависит, в частности, от того,
известны заранее параметры этого сигнала (амплитуда,
начальная фаза, час-нота, длительность, квазипериод по-
вторения) или нет, подвержен ли этот сигнал флюктуа-
ция'м и каков закон этих флюктуации и т. п. В зависи-
мости от свойств сигнала может (меняться и построение
радиоприемного устройства.
В данной и следующей главах рассматриваются сиг-
налы в виде последовательности импульсов с заранее
182

известным квазштериодом повторения и приемные'устрой-
ства их обнаружения. Цель этого рассмотрения состоит
в определении пороговых отношений сигнал/шум. ,
2. Понятие о когерентном и некогерентном накоплении
(Цринимаемый (радиолокационный сигнал представ-
ляет собой последовательность радиоимпульсов. Если
начальные фазы этих радиоимпульсов юдшакавы или
изменяются от .импульса .к импульсу по какому-либо
известному закону (см. §'2,5), то такая (последователь-
ность называется когерентной. В случае изменения на-
чальных фаз радиоимпульсов последовательности по слу-
чайному (или иному заранее неизвестному) ,за|кону эта
'последовательность является жкогерштной.
Если при приеме использовать детерминированность
фазовых соотношений радиоимпульсов когерентной по-
следовательности, то такой прием носит название коге-
рентного. Если же прием представляет собой обработку
только -амплитудных значений принимаемого 'колебания,
то аи является !неког§рентны1м (амплитудным). Так как
при этом (не будет попользована информация, содержа-
щаяся !в фазе принимаемого колебания, то пороговые
сигналы будут несколько большими, чем ври когерент-
ном йри-еме.
Прием некогерштной последовательности радиоим-
пульсных юиша,лов может быть тальйо некогерштньим.
Когерентное приемное устройство должно содержать
когерентный (синхронный) детектор [41—43], управляе-
мый опорным колебанием, частота которого совпадает
с частотой .принимаемого сигнала. Если же последнее
известно с точностью до фазы, то фаза (опорного колеба-
ния должна совпадать с фазой сигнала.
'Когерентный детектор является линейным элементом.
Поэтому когерентное приемное устройство представляет
собой линейную систему. Вследствие этого обработка
принимаемого колебания (внутрипериодная фильтрация
и накопление его отдельных периодов) может 'произво-
диться ка'к до когерентного детектора, так и после него.
Как следует из § 2.5, (практически 'целесообразно внутри-
пер-иодную фильтрацию принимаемого колебания осуще-
ствлять до когерентного детектора, а накопление его от-
дельных периодов — после этого детектора.
'Накопление отдельных периодов принимаемого коле-
183

бания после когерентного детектирования .и называется
когерентным. Оно наилучшим образом осуществляется
видео-частотным оптим а л ыным фильтром для опи-б аю-
щей .принимаемой последовательности импульсных сиг-
налов.
Накопление (по периодам) принимаемого колебания
после мекагарентлого (амплитудного) детектирования
нооит название некогерентного.
Пороговые сигналы п'ри когер-антнам накоплении рас-
сматриваются в данной главе, а .при .некогеренпном на-
коплении с экспоненциальной весовой функцией — в сле-
дующей главе.
§ 7.2. КОГЕРЕНТНОЕ НАКОПЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ
ИЗВЕСТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ИМПУЛЬСНЫХ
СИГНАЛОВ
1. Структура радиоприемного устройства
Полностью 'известную последовательность импульс-
ных сигналов 'можно рассматривать как полностью изве-
стный одиночный сигнал до-
статочно сложной формы,
определяемой формой дан-
ной последовательности.
Как следует из первой
главы, оптимальный прием-
ник обнаружения полностью
известного сигнала sty)=-
U(t) cos (шю^ + ф) на фоне
белого нормального шума
n(t) состоит из взаимно кор-
реляционного и порогового
устройств (рис. 7.1,а).
В качестве устройства,
вычисляющего функцию вза-
имной корреляции между
сигналом и принимаемым ко-
лебанием x(t) =s(t) +n(t),
целесообразно применить ра-
диочастотный фильтр, опти-
X
-т
щ
1.
Арофос
1^
рф
вНУ
si
(do
lx(t)s(H}dt
а)
ОФ
с
нгд
t
мгд
1
-
s(
•
ПУ
ОФОП
НУ
т
ПУ
НУ -
Рис. 7.1. Блок-схемы радиопри-
емных устройств для когерент-
ного накопления полностью из-
вестных сигналов.
184
малыши данному сигналу.
Последний, очевидно, пол-
ностью эквивалентен сово-

купности когерентного детектора с опорным колебанием
cos (соо^ + ф) и видеочастотного фильтра, оптимального
огибающей сигнала U(t) (рис. 71,6).
В рассматриваемом случае обнаружения полностью
•известной 'последовательности радиоимпульсных сигна-
лов видеочастотный фильтр должен быть оптимальным
для соответствующей (последовательности видеоимпульс -
,ных сигналов. О,н состоит из фильтра, оптимального
одиночному импульсному сигналу -последовательности,
и фильтра, оптимального огибающей этой последова-
тельности. Первый из этих фильтров 'целесообразно за-
менить полностью ему эквивалентным фильтром, опти-
мальным одиночному радиоммпульсному сигналу прини-
маемой последовательности и .поставленным 'перед коге-
рентным детектором (рис. 7.1,в).
В приемном устройстве, являющемся практическим
приближением оптимального, радиочастотный оптималь-
ный фильтр заменен более простым фильтром, а видео-
частотный оптимальный фильтр для огибающей -последо-
вательности— накопительным устройством (рис. 7.1,г).
2. Расчет характеристик обнаружения и пороговых
сигналов
Приемное устройство, осуществляющее когерентное
накопление полностью известной 'последовательности
импульсных сигналов (рис. 7.1), состоит из линейных
элементов (за исключением порогового устройства). По-
этому сигнал и шум (проходят через приемное устройство
на вход порогового устройства совершенно независимо
друг от друга. При это'м шум на выходе линейной части
приемника распределен по тому же закону Гаусса, что и
на входе.
Вследствие этого соотношения iD.10) и A.5) справед-
ливы для данного случая. Следовательно, правильное
обнаружение и ложная тревога характеризуются соот-
ветственно вероятностями
185

где q2 — отношение пикового значения сигаала к эффек-
тивному значению шума на входе порогового устрой-
ства.
Задаваясь уровнем вероятности ложной тревоги, опре-
делим -из последнего выражения относительный порог
где arg Ф(у)=х — функция, обратная у=ф{(х). Под-
ставив это значение в G.1), получим та<к называемую
характеристику обнаружения
G.2)
Характеристики обнаружения, рассчитанные по этой
формуле с помощью таблиц интеграла вероятности
шж
7Z7A
2,0 19 W iO 6,0 10 f2
Рис. 7.2. Характеристики обнаружения
полностью известных последовательно-
стей сигналов.
[95, 96] для .семи значений вероятности ложной тревоги,
приведены на рис. 7.2.
Зафиксировав уровйи вероятностей обнаружения и
ложной тревоги, определим из G.2) соответствующее
им пороговое отношение сигнал/шум
186
<7,п = 1/2 arg Ф BD - 1) + |/2 arg Ф A - 2F).

В частности, при D = 0,5 ввиду того, что arg<&@) =
2F).
а при D = 0,9
q2U =1,282 +1/2 arg<I>(l
Рассчитанные по этим формулам значения пороговых
отношений сигнал/шум для двух значений вероятности
правильного обнаружения !и сами значений вероятности
ложной тревоги сведены ib табл. 7.1.
Таблица 7.1
\. F
D \^
0.5
0,9
10-з
3.090
4.372
ю-*
3.719
5.000
10-3
4.265
5.546
Ю-6
4.753
6,035
5,199
6,481
ю-»
5,612
6.894
ю-9
5,998
7,280
Заметим, что квадрат порогового отношения сиг-
нал/шум равен удвоенному коэффициенту различимости
(видимости) приемника [97, 98].
Чтобы рассчитать чувствительность приемника, опре-
делим пороговую энергию входного сигнала. С этой
целью радиочастотный фильтр (рис. 7.1,г) заменим экви-
валентным ему видеочастотным фильтром. Пусть при-
менение накопительного устройства совместно с этим
фильтром позволяет получить по сравнению с оптималь-
ным фильтром для одиночного импульсного сигнала вы-
игрыш в отношении сигнал/шум В. (Бго величина рас-
считывается для конкретных случаев в предыдущей
главе.)
Согласно определению этого выигрыша и соотноше-
нию A1.19)
Р— ^п —
G.3)
где Я юл—полная пороговая энергия одиночного им-
пульсного сигнала 'последовательности. В частности, при
прямоугольной форме этого импульсного сигнала
F — J-T]2- — l
*-*1ПП г» ^Itt" А
*юп
где U\—амплитуда, a Pi—мощность сигнала.
G.4)
187

Следовательно, сигнал имеет пороговую энергию
Е —-^ G 1
10П в ' ^
пороговую мощность
„2
и пороговую амплитуду
Так как шум имеет интенсивность [22,97]
где к — постоянная Больцмана, равная 1,38 • 10~2
дж/град\
Т — абсолютная температура окружающей среды;
п—эффективный коэффициент шума приемника,
то
2В
Соопношен'ия G.8)—;G.10) количественно описывают
чувствительность приемника. Из этих соотношений сле-
дует, что 'чувствительность .приемника тем выше, чем
больший выигрыш в отношении сигнал/шум обеспечи-
вает накопительное устройство.
В случае оптимального .приема ^прямоугольной после-
довательности N радио™ пул ьсных сигналов B = N,
вследствие чего максимально возможная (потенциаль-
ная) чувствительность приемника характеризуется ве-
личинами
kTnq\n
G.12)
188

§ 7.3. КОГЕРЕНТНОЕ НАКОПЛЕНИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
С НЕИЗВЕСТНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
1. Структура радиоприемного устройства
Обычно начальная фаза импульсных сигналов после-'
доязателыности не является известной, так как ие извест-
но точное расстояние опт радиолокационной системы до
объекта. В этом случае прием оигнашо(в с помощью
устройств ('рис. 7.1) может стать весьма неэффективным.
Действительно, если когерентный детектор управляется
колебанием uK=UKcos(x)ot, а принимается колебание
u\ = Ucc\os (соо^-Ь 6), то на выходе этого детектора будет
напряжение u2 = kUc cos6, где k —¦ коэффициент пропор-
циональности. Следовательно, выходное напряжение
пропорционально не только амплитуде принимаемого
сигнала, но и косинусу его (начальной фазы, /которая
'заранее неизвестна и может принимать любые значе-
ния. 'В частности, эти значения могут быть такими, что
косинус начальной фазы будет очень малым и выходное
напряжение сигнала будет лежать даже ниже уровня
шума. Отсюда следует, что при приеме сигнала с неиз-
вестной начальной фазой напряжение на выходе прием-
ника не должно зависеть от начальной фазы. Для этого
приемник должен иметь, например, амплитудный де-
тектор.
Однако этот детектор представляет собой нелиней-
ный элемент, для которого характерно подавление сла-
бого сигнала шумом [99]. Для ослабления этого нежела-
тельного явления необходимо любыми способами увели-
чить отношение сигнал/шум на «входе этого детектора.
В первой главе показано, что указанная задача наилуч-
шим образом достигается путем 'применения оптималь-
ного фильтра. Возможность построения фильтра, опти-
мального одновременно для сигналов с любой начальной
фазой, следует из инвариантности этого фильтра по от-
ношению к его начальной фазе (см. § 1.3).
Е ели приним а етс я поел е до в ател иное ть и м п у л ь он ы х
сигналов, то оптимальная фильтрация должна сочетать
как внутрипериодную обработку, так и накопление. Та-
ким образом приходим к оптимальному приемнику, со-
стоящему из радиочастотного оптимального фильтра для
одиночного импульсного сигнала, радиочастотного оп'ти-
189

РОФОС
РФ
2
2
РОФОП
с
РНУ
^;
ад
/W
4
ад
—н
to»
—н
•*•
РФ
—
РФ
КГД
—
ад
tinuot
1
ягл
яу
\Cosuot
t
ft и
Пи
t
•
—
1
//У
г)
РОФОС
ад
ОФОП
\Sinuot
ад
«в
ОФОП
га
/7У
Рис. 7.3. Блок-схемы радиоприемных
устройств для когерентного накопления
сигналов, известных, за исключением на-
чальной фазы.
190

мальношо фильтра для огибающей (последовательности,
амплитудного детектора ю1 порогового устройства
(рис. 7.3,а). В 'приемнике, являющемся практическим
приближением оптимального, ©место оптимальных филь-
тров используются соответственно р адиоч астотный
фи л ьт р (и р а ди о ч астотное н а коки тел ыное у стро й ст во
(рис. 7.3,6).
Однако амплитудный детектор полностью эквивален-
тен системе из двух когерентных детекторов, управляе-
мых квадратурными (колебаниями несущей частоты
( т. е. различающимися юо фазе на -к ), двух квадрато-
ров (т. е. устройств возведения в квадрат) и устройства
суммирования ;их выходных колебаний (рис. 7.3,в). Так
как когерентные детекторы «и .накопительное устройство
{рис. 7.3,в) являются линейными, то их можно поменять
местами, в результате чего получим блок-схему
(рис. 7.3,г). В щей накопительные устройства уже явля-
ются видеочастотньши. Их осуществление значительно
проще, чем на радиочастотах (см. § 2.5). Такой .прием-
ник и осуществляет когерентное иакопление 'последова-
тельности импульсных сишалов с неизвестной началь-
ной фазой.
Он1о имеет два квадратурных канала накопления
импульсных сигналов. В одном .канале накапливаются
синфазные с cos соо^ составляющие этих сигналов, а в дру-
гом— составляющие, сдвинутые (по фазе на я/2. Вслед-
ствие этого когерентно накапливаются амплитудные
сигналы с любой начальной фазой -б. Результаты .на-
копления сигналов в квадратурных каналах возводятся
в квадрат и суммируются. При этом вследствие соотно-
шения cos26 +sin28 = 1 на выходе образуется напряже-
ние, не зависящее от начальной фазы импульсных сигна-
лов принимаемой последовательности. Оно и использует-
ся пороговым устройством для решения вопроса о нали-
чии или отсутстви сигнала.
iB отличие от рассмотренного, оптимальный приемник
вместо радиочастотного фильтра содержит радиочастот-
ный оптимальный фильтр, а вместо накопительного
устройства — оптимальный фильтр для отибающей при-
нимаемой последовательности (рис. 7.3,д).
19J

2. Расчет характеристик обнаружения
и пороговых сигналов
Для расчета и'спользуем первоначальные блок-схемы
приемника (рис. 7.3,а и б). Напряжение ,на выходе
амплитудного детектора, который для конкретности счи-
таем линейным и имеющим нормированную характери-
стику tt4='f/3, «где Г/з —-амплитуда 'напряжения !на его
входе, распределено по тому же закону, что и эта ампли-
туда. Следовательно, указанное напряжение распреде-
лено при приеме одного шума .по закону Релея:
Ц- ехр ( - A Y1 (я4), G.13)
с 2аз
Ц ехр (
а при приеме смеси сигнала с шумом in о обобщенному
закону Релея [17, 99—100]
^^)J^)(u^ G.14)
где f/C3 — амплитуда сигнала на входе детектора;
а^ — мощность (дисперсия) шума на указанном
входе;
/0 (х) — модифицированная (видоизмененная) функция
Бесселя первого рода нулевого порядка [101].
Вследствие этого вероятность ложной тревоги
0
где / = -уг~— , и вероятность обнаружения
У 2 а3
00
G.16)
где <73 = —^ отношение сигнал/шум.
192

Из G.15) следует
/^ G.17)
В. И. Бунимовичем [102] было показано, что справед-
лива асимптотическая формула
00 00 X2
У РУГ! I • \ Г (с V| /7 У* I A /7 V*
•V \^j\.^J I ~ JO \ / **"™ —— 1 ^ ь**^»
2
где
^==:2:~~5 И 1'==:s""BsM »  Bsp Г" ( "^Г ) •
Вследствие этого G.16) принимает вид
2
где
~[1-Ф (*/)], G.18)
L —9з. G.20)
Характеристики обнаружения, рассчитанные .по этим
формулам, «построены для семи значений вероятности
ложной тревоги на рис. 7.4.
Задаваясь значениями вероятностей обнаружения и
ложной тревога, можно рассчитать величину пороговых
отношений сигаал/шум. Подставляя в G.19) значение
у = —arg(DBD—1), а также используя G.20), получаем
уравнение четвертой степени относительно q$. Так как
решение последнего сложно, то получим сначала первое
приближение <7зь Для этого достаточно использовать
только два члена в правой части G.19), что приводит
к квадратному уравнению
q\x - V2(l - у) q31 + 0,5 = 0, G.21)
решение которого таково:
<7з1 yf •
193

Для получения следующего приближения qz2 следует
использовать то, что поправка А<73 = <732—<7з1 весьма
мала по сравнению с первым приближением.
Тогда, используя G.19) и G.21), легко показать, что
Ягг
Путем расчетов установлено, что при ?>=0,9 эта относи-
тельная поправка составляет десятые доли процента. Ее
величина убывает «по маре уменьшения уровня вероят-
D
Ц9-
0,Ь
0,1
0J5
0,5
Oh
0,д
«',
/
/
/
>
/
/
f
/
7
*
I
/
/у
уж
/я
7
у
7
у
7
V
/
у
< 1
7
/
/>
/
/ f
/
'6лп
/
/
/
г
у
/
У
2,5 Ю 3,5 4.0 Ь,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 15
Рис. 7.4. Характеристики обнаружения по-
следовательностей сигналов, известных, га
исключением начальной фазы.
ности ложной тревоги. Это объясняется ростом величи-
ны порогового отношения сишал/шум, исщрое приводит
к относительному уменьшению старших членов правой
части выражения G.19).
При D=0,'5 .поправка столь мала, что не влияет на
третий зн.ак. Объясняется это тем, что в данном случае
у=0, вследствие чего величина и мала и роль последних
двух членов в выражении G.19) незначительна.
Рассадтаиные таким образом пороговые отношения
сигнал/шум сведены в табл. 7.2.
Пользуясь этими пороговыми отношениями аиг-
нал/шум, результатами предыдущей главы и формула-
194

Таблица 7.2
\
D
0
0
\
,5
,9
F
\
1
3
4
О-з
,58
,88
ю-4
4
5
17
47
ю-5
4
5
69
99
ю-»
5
6,
16
45
Ю-7
5
6
59
88
к
5,
7,
-в
99
28
6,36
7,65
ми G.5) — G.12), лепкю рассчитать чувствительность
лриемни'ка, осуществляющего когерентное накопление
последовательности импульсных сигналов с неизвестной
начальной фавой. Единств'внное отличие от расчета, вы-
полненного !в § 7.2, состоит в иных значениях пороговых
отношений сигнал/шум.
05
——-
К
/
/
/
НГ 1Q'7
Рис. 7.5. Зависимость проигрыша, обуслов-
ленного тем, что начальная фаза сигналов
неизвестна, от вероятности ложной тревоги.
Вычислим шроигрыш (В чувствительности приемника
п р,и когерентно м н а кол л енни поел едо!в ател ьнюати и м -
пульсных сигаалав с неизвестнюй начальной фазой по
сравнению с когерентным накоплением полностью изве-
стной последовательности. Цри этом .используем данные
табл. 7Л ;и 7.2. Величина атроишрыша по мощности
уменьшается при снижении уровня вероятности ложной
тревоги и при Z)=0,9 несколько меньше, чем при D=0,5
(рис. 7.5). Это объясняется тем, что при увеличении
13* 195

уровня вероятности правильного обнаружения и умень-
шении вероятности ложной тревоги возрастают .порого-
вые отношения сигнал/шум. При этом обобщенный закон
Релея G.14) приближается к нормальному распределе-
нию вероятностей [17], которое наблюдается «а входе по-
рогового устройства приемника для когерентного накоп-
ления полиостью известной последовательности импульс-
ных сигналов. Вследствие этого различие между порого-
выми сигналами становится все меньше.
Последнее можно иначе 'Объяснить и тем, что при
увеличении отношения сигнал/шум ослабляется подав-
ление сигнала шумом в амплитудном детекторе, вследст-
вие чего пороговые сигналы на его выходе мало отли-
чаются от пороговых сигналов на выходе когерентного
детектора.
§ 7.4. КОГЕРЕНТНОЕ НАКОПЛЕНИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДРУЖНО ФЛЮКТУИРУЮЩИХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
1. Виды флюктуации сигналов
Принимаемые радиолокационные сигналы являются
результатом отражения излученных сигналов от объек-
тов того или иного характера. (В большинстве случаев
эти объекты имеют весьма сложную структуру. Если,
к тому же их габаритные размеры больше длины вол-
ны, то принимаемый сигнал можно считать суммЮй боль-
шого числа колебаний, отраженных отдельными элемен-
тами объекта. Последние, складываясь в случайных фа-
зах, и обусловливают случайный характер .принимаемого
сигнала, ,кото,рый проявляется в флюкгуациях его
уровня.
Если принимаемый сигнал представляет собой сум-
му большого числа приближенно одинаковых по интен-
сивности независимых элементарных отраженных сигна-
лов, то в силу центральной предельной теоремы теории
вероятностей [17, 103] принимаемый сигнал обладает ста-
тистическими свойствами нормального шума. Следова-
тельно, мгновенные значения отраженного сигнала рас-
пределены по нормальному закону A.4), фаза равнове-
роятна, а амплитуда распределена по закону Релея
G.13), где Gg=Y}2 — средняя мощность (дисперсия) сиг-
нала.
196

Для дальнейшего важно отметить, что .вследствие
этого распределение (Вероятностей квадрата отношения
флюктуирующего .сигнала к шуму является экспонен-
циальным
G.22)
где р = — —отношение эффективных значений сигнала
и шума.
Отраженные импульсные сигналы, ©ходящие >в состав
последовательности, могут флюктуировать по-разному.
а
Рис 7.6. Последовательности дружно (а и б) и не-
зависимо {в) флюктуирующих сигналов.
Они могут быть полностью (или жестко) коррелирован-
ными, частично коррелированными и независимыми
между собой [104, 105].
В первом случае импульсные сигналы, хотя и флюк-
туируют по случайному закону, но принимают одно и
то же значение амплитуды, одинаковое для .всех сигна-
лов прямоугольной последовательности. На рис. 7.6,а и
б приводятся примеры двух реализаций флюктуирующей
таким образом последовательности импульсных сигла-
197

лов. Такие флюктуации нюоят наз&авде дружных, а по-
следовательность (импульсных сигналов —дружно флюк-
туирующей.
Прямой противоположностью друж:ньим флюйтуадиям
являются независимые флюктуации. При этом отражен-
ные сигналы в отдельных периодах повторения являются
совершенно независимыми (.рис. 7.6,в) и флюктуируют
по случайному закону .подобно -нормальному шуму. По-
этому такие сигналы называются шумоподобными или
независимо флюктуирующими.
Случай частично (неполностью) коррелированных
флюктуирующих сигналов занимает промежуточное (по-
ложение между двумя крайними рассмотренными слу-
чаями.
Дружные флюктуации сигналов, естественно, наблю-
даются, когда за время облучения объекта взаимное
расположение его элементов сохраняется неизменным.
Следовательно, дружные флюктуации являются медлен-
ными. Независимые флюктуации происходят, когда
взаимное расположение элементов облучаемого объекта
сильно изменяется за период повторения сигнала. По-
этому такие флюктуации иногда называют быстрыми.
Они имеют место на очень коротких волнах, при малой
частоте повторения и при быстрых язиражах облучаемо-
го объекта.
2. Структура радиоприемного устройства
Когерентная последовательность дружно флюктуи-
рующих 'сигналов занимает промежуточное положение
между регулярной, полностью известной последователь-
ностью импульсных сигналов и .последовательностью сиг-
налов, флюктуирующих независимо от импульса к им-
пульсу.
Рассматриваемая последовательность представляет
собой по существу регулярную последовательность им-
пульсных сигналов с неизвестными начальной фазой и
относительной амплитудой. Так как форма этой после-
довательности обычно известна, то знание амплитуды и
начальной фазы одного из радиоимпульсов (например,
Первого) этой последовательности превращает ее в пол-
ностью известную последовательность импульсных сиг-
налов.
198

Поэтому эту последовательность импульсных сигна-
лов можно рассматривать как одиночный радиоимпульс-
>ный сигнал весьма сложной формы с неизвестными
амплитудой и 'начальной фазюй. Последнее значительно
облегчает 'построение приемников для когерентного на-
копления указанной .последовательности.
Известно [10, 12], что оптимальный приемник для сиг-
нала с неизвестными .начальной фазой и амплитудой
имеегг ту же структуру, как и (в том случае, когда неиз-
вестна только .начальная фаза сдавала. )В аилу этого
приемники, предназначенные для когерентного маколле-
ния лоследователыности дружно флюктуирующих сигна-
лов, полностью совпадают с приемниками для когерент-
ного накопления (Последовательности импульсных сигна-
лов с неизвестной начальной фазой (рис. 7.3).
3. Расчет характеристик обнаружения и пороговых
сигналов
Так как сигнал как на входе приемника (рис. 7.3,6),
так и на входе амплитудного детектора имеет случай-
ную амплитуду !и случайную начальную фазу, то при ре-
леевоком распределении амплитуд и равномерном рас-
пределении начальных фаз он по своим статистическим
свойствам подобен шуму.
Поскольку сигнал и шум являются статистически
взаимно независимыми и гауссовыми на входе детектора,
то их мощности суммируются. Поэтому (смесь сигнала
с шумом на выходе линейного амплитудного детектора
с нормированной характеристикой распределена по за-
кону Релея:
где т)з — мощность (дисперсия) сигнала на входе детек-
тора.
Вследствие этого вероятность ложной тревоги
G.23)
199

вероятность о5 наружения
G.24)
где р3 = —— отношение сигнал/шум на входе детек-
тора.
Из последних двух равенств следует
D = F . G.25)
Рассчитанные по этой формуле характеристики обнару-
жения иос-проаны .на раде. 7.7. Их особенность состоит
в том, что с ростом отношения сигнал/шум вероятность
jj обнаружения увеличи-
вается сначала быстро,
а .после достижения
значений D = 0,5 -f-0,6
это увеличение замед-
ляется, а затем стано-
вится очень медлен-
ным.
Такой вид характе-
ристик обнаружения
является типичным при
приеме флюктуирую-
щих сигналов !И объяс-
няется тем, что релеев-
J ское распределение ве-
W
О?
//
й
F'lO'
р-3
1
L
А
Ш
w
/
У
///
'А
w
у
У/
щ
/г
&
f/
У/,
т ¦**
ррд
** 5 6 7 8 9 № р3 роятностей смеси сиг-
Рис. 7.7. Характеристики обнаруже-
ния последовательностей дружно
флюктуирующих сигналов.
нала с шумом (на выхо-
де детектора имеет
сравнительно длинные
«хвосты».
Из G.25) определим пороговое отношение сиг-
чал/шум
G.26)
200

Рассмотрение та'бл. 7.3 со значениями пороговых от-
ношений сигаал/шум показывает, что пороговые отноше-
ния при D=0,9 в 2,6—2,7 раза превосходят .пороговые
отношения при D=0,5. Это следствие особош вида ха-
рактеристик обнаружения.
Таблица 7.3
\
D
0,
0,
\
5
9
F
\
\
10
2,99
8,03
3,51
9,28
10
3
10
95
39
10-е
4
11
.35
.39
ю-7
4
12
72
31
10-8
5.06
13,17
5
13
38
99
Пользуясь этими пороговыми отношениями, форму-
лами G.5)—iG.1i2) и результатами предыдущей главы,
легко вычислить чувствительность (приемника дл.я коге-
рентного накопления дружно флюктуирующих сигналов.
Проигрыш в помехоустойчивости по мощности при
когерентном накоплении дружно флюктуирующих сиг-
налов по сравнению с когерентным накоплением полно-
стью иавестной последовательности сигналов (§ 7.1) рав-
няется увеличенному вдвое квадрату отношения порого-
вых сигналов соответственно для рассматриваемого слу-
чая и при .накоплении полностью известных сигналов.
Увеличение в '2 раза обусловлено тем, что в одном слу-
чае (берется эффективное значение флюктуирующего сиг-
нала, а в другом — пиковое значение сигнала.
По мере снижения уровня вероятности ложной тре-
воги этот проигрыш по .мощности при /) = 0,5 несколько
увеличивается, а при /)=0,9, наоборот, уменьшается
(рис. 7.8). В последнем случае величина проигрыша зна-
чительно больше, что является следствием очень медлен-
ного увеличения вероятности обнаружения с ростом
отношения сигнал/шум при больших вероятностях обна-
ружения (рис. 7.7). Это объясняется и тем, что в случае
больших вероятностей обнаружения, естественно, подав-
ляющая часть сигналов должна подвергаться обнаруже-
нию. Но при рел eeiBGKOM распре делании амплитуд флюк-
туирующих сигналов только —я часть (т. е. 37%) сиг-
налов имеет амплитуду, превосходящую среднестатиэти-
ческую амплитуду. /Поэтому для получения того же вы-
201

\
Рис. 7.8, Проигрыш при когерентном на-
коплении дружно флюктуирующих сигна-
лов ло сравнению с когерентным накопле-
нием полностью известных сигналов как
функция вероятности ложной тревоги.
сошго уродом вероятности обнаружения, что и при от-
сутствии флюктуации, необходим а значительно увели-
чить qpe^HHE уровень флюктуирующих сигналов ию срав-
нению с уровнем нефлюктуирующих сигналов.
§ 7.5. О КОГЕРЕНТНОМ НАКОПЛЕНИИ ИМПУЛЬСНЫХ
СИГНАЛОВ, ОТРАЖЕННЫХ ОТ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ
Когерентное .накопление импульсных сигналов срав-
нительно иенрудно осуществить только тогда, когда их
•несущая частота заранее известна. В радиолокации это
соответствует лриаму сигналов, отраженных от непо-
движных объектов. Однако чаще 'всего объекты, пред-
ставляющие наибольший интерес для радиолокации
(ракеты, самолеты и т. п.), являются подвижными. Отра-
женные от таких объектов сигналы вследствие явления
Допллера имеют несущую частоту сооп, отличающуюся
на 'частоту Донплера Q от несущей частоты соо зонди-
рующих импульсов:
"on -
202

где vr — радиальная скорость объекта по отношению
к (радиолокационной системе, с—(скорость (распростра-
нени'я (радиоволн.
Есл'и бы радиальная .скорость была заранее 'извест-
на, то для кагоре нтааго накопления сигналов, отражен-
ных от такой цели, достаточно было бы сдвинуть частоту
опорных колебаний в (приемниках (рис. 7.1,2 и 7,3,г) на
частоту До'пшюра.
Однако обычно радиальную скорость объекта (необ-
ходимо определить ib дроцессе (или 'после) "его обна1ру-
жени.я. Поэтому частота Допплера заранее .неизвестна.
Чтобы 'осуществить когерентное 1на,каплен!ие сигналов
от подвижных объектов, имеются две 'возможности.
Первая состоит .в поиске объекта ло радиальной ско-
рости и 'реализуется приемником (рис. 7.9), отличающим-
ся от приемника (рис. 7.3,г) наличием 'генератора часто-
ты Допплера (ГЧД) и смесителя С излучаемой часто-
ты соо и частоты Допплера Q. Фазопово'рачивающая
цепь (ФВ) изменяет фазу одного из опорных колебаний
на 90°. Генератор ГЧД должен .перестраиваться во всем
диапазоне ожидаемых частот Долплера.
Опиранный приемник требует для обнаружения
сигналов довольно большого времени на перестройку
ГЧД и накопление этих сигналов *. Поэтому в системах
обнаружения быстро перемещающихся объектов он не
может быть использован по тактическим соображениям.
Другая возможность заключается в построении мно-
гоканального приемника. Каждый его канал соответст-
вует одному из сравнительно узких участков спектра
ожидаемых частот Допплера. Совокупность всех его ка-
налов перекрывает полностью спектр ожидаемых ча-
стот Допплера. k-й канал этого приемника выполнен по
* Для значительного уменьшения времени обнаружения сигнала
предложен метод последовательного (многоэтапного) лоиска A37—
138]. При этом .поиск сигнала производится в несколько этапов
(в простейшем случае в два этапа). На первом этапе лугам быстрой
перестройки сравнительно широкополосного фильтра по всему спект-
ру ожидаемых частот Допплера (Производится обнаружение сигнала
с большой вероятностью ложной тревоги. Ори этом грубо оценивает-
ся его частота. На следующем этапе тот участок спектра, ,в котором
по результатам «первого этапа подозревается наличие сигнала, под-
вергается более тщательному анализу с помощью перестройки до-
статочно узкополосного фильтра и с целью выяснения наличия этого
сигнала уже с (малой вероятностью ложной тревоги.
203

РФ
щ
НУ
Кб
\ш1ооо+п)г
<РВ
Si
кгд
n((Jo'
С
НУ
0
гчд
КЗ
+
ПУ
Рис. 7.9. Блок-схема радиоприемного устройства
для когерентного накопления сигналов, отражен-
ных от подвижных объектов.
блок-схеме (рис. 7.9). Частота Допплера для данного
канала выбирается фиксированной.
где Д?} =
2макс —
м
!макс и ОМин — соответственно
— ширина полосы пропускания
каждого канала;
максимальная
и минимальная ожидаемые ча-
стоты Допплера;
М — число каналов;
k — целое число, лежащее в пре-
делах от 0 до М — 1.
Последнее выражение справедливо при предположе-
нии, что опорные колебания соседних каналов различа-
ются по частоте на одну и ту же величину AQ. В этом
случае вместо выполнения ГЧД в каждом канале (и
М генераторов во всем приемнике) целесообразно ис-
пользовать один генератор дискретной сетки частот.
Чем больше число каналов и уже их полоса про-
пускания, тем точнее осуществляется когерентное на-
копление сигналов, попавших в данный канал прием-
ника.
Оценим необходимое число каналов приемника. Если
частота накапливаемого в k-ы канале сигнала отличает-
ся на величину Af от средней частоты этого канала, то
это приведет к тому, что амплитуда импульсов на выхо-
де когерентного детектора будет изменяться в процессе
накопления, Пусть в начале накопления начальная фаза
204

принимаемого сигнала равна нулю, а амплитуда им-
нульса на выходе когерентного детектора UH. В конце
накопления принимаемый на выходе когерентного де-
тектора сигнал будет иметь уже амплитуду UK =
==([/нсо$2яДДн> где tn — время накопления сигнала. Если
"считать допустимым уменьшение амплитуды импульсов
на выходе когерентного детектора в J/2 раз, то
cos 2«Д/tH <. —=-, откуда следует | Д/ | tH < -у. Макси-
мальная абсолютная величина расстройки Д/ равна по-
Ai7 AQ
ловине ширины полосы пропускания канала —=—.
Поэтому
Д«н = 0,25. G.27)
Время накопления сигнала не может быть больше
времени его существования (обычно это время ограни-
чивается временем, в течение которого объект движется
с постоянной радиальной скоростью).
В частности, при приеме последовательности N им-
пульсных сигналов с квазипериодом повторения Т име-
ем tH<:NT. При экспоненциально-весовом накоплении
накапливается только активное число импульсных
сигналов N& (см. § 4.2) и
t*<NJ. G.28)
В дальнейшем этот случай и имеем в виду. Если потре-
буется перейти к случаю идеального накопления, доста-
точно положить NR = N.
Согласно G.27) и G.28) необходимое число каналов
составляет
^макс — ^мин AKJT(F F } G 9Q\
Если объекты, подлежащие обнаружению, могут как
приближаться, так и удаляться с одинаковым диапазо-
ном скоростей, вследствие чего /7Мин=^—^макс, то
М = 8jVa77w = 16А^гмаксГ , G.30)
где X — длина волны.
Если взять в качестве примера vr макс = 300 м/сек, Т =
= 1 мсек, Х=1 м и :#а = 20, то тогда М = 96 каналам.
205

При укорочении длины волны, увеличении активно-
го числа накапливаемых импульсов и длительности пе-
риода повторения системы и расширении диапазона ско-
ростей обнаруживаемых объектов число каналов прием-
ника, необходимых для когерентного накопления сигна-
лов, еще возрастает.
Таким образом, число каналов приемника, осущест-
вляющего когерентное накопление сигналов от быстро,
перемещающихся объектов, достигает многих десятков
и даже сотен *. При этом целесообразность реализации
такого приемника может оказаться сомнительной. Тогда
приходится отказаться от когерентного накопления и
применить некогерентное накопление импульсных сиг-
налов. Оно и рассматривается в следующей главе.
* Некоторое уменьшение объема аппаратуры возможно при ис-
пользовании последовательного (двухэтапного) обнаружения сигна-
лов ,[139]. При этом на первом этапе с помощью набора небольшого
числа сравнительно широкополосных фильтров, охватывающих весь
спектр ожидаемых частот Допплера, производится предварительное
обнаружение сигналов с 'большой вероятностью ложной тревоги и
грубое определение их частоты. На втором этапе с помощью не-
большой гребенки узкололосных фильтров тщательно анализируются
те участки спектра, в которых 'по результатам первого этапа пред-
полагается наличие сигналов.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ПОРОГОВЫЕ СИГНАЛЫ
ПРИ НЕКОГЕРЕНТНОМ НАКОПЛЕНИИ
С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ
§ 8.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Преимущества и недостатки некогерентного накопления
Если накопление импульсных сигналов производит-
ся после некогерентного (амплитудного) детектора
(рис. 8.1,а), то оно называется некогерентным
(см. § 7.1). Оно является единст-
венно возможным, если прини-
маемая последовательность им-
пульсных сигналов не является
когерентной.
Однако и при приеме коге-
рентных (последовательностей им-
пульсных сигналов некогерентное
накопление может быть целесо-
образным, ибо, во-первых, юно
позволит значительно повысить
чувствительность приемника (по
сравнению со случаем, когда на-
копление не применяется) и, во-
вторых, в отличие от когерентно-
го не требует усложнения прием-
ника, обусловленного необходимостью выполнения его по
схеме с очень большим числом каналов (см. § 7.5). Ни-
же /показывается, что проигрыш в чувствительности при-
емника при замене когерентного накопления некогерент-
ным является сравнительно небольшим.
207
f
¦квд
2
?a)
Г"
- НУ
1 ,.
,?
f
^
Рис. 8.1. Блок-схемы не-
«шгерентных накопитель-
ных устройств.

Некогерентному накоплению присущ еще один недо-
статок. Он заключается в том, что при некогерентном
накоплении используется только информация, записан-
ная в амплитуде принимаемых сигналов и безвозвратно
теряется информация, заключенная в фазе (частоте)
этих сигналов. Вследствие этого пропадает информация
о скорости объекта, вызвавшего отражение сигналов.
2. Особенности некогерентных накопительных устройств
с экспоненциальной весовой функцией
Существенной особенностью некогерентного накопи-
тельного устройства является наличие амплитудного де-
тектора, представляющего собой типично нелинейный
элемент.
Нелинейные элементы (например, квадраторы) исполь-
зуются и при когерентном накоплении сигналов с неиз-
вестной начальной фазой. Однако сигнал поступает на
них только уже после накопления, т. е. когда его уро-
вень будет уже большим. При некогерентном накопле-
нии нелинейное преобразование смеси сигнала с шумом
происходит еще до накопления, когда сигнал слаб по
сравнению с шумом. При этом наблюдается подавление
сигнала с шумом [99]. Этим и объясняется меньшая чув-
ствительность приемника с некогерентным накоплением.
Амплитудный детектор вследствие своей нелинейно-
сти вызывает изменение законов распределения слу-
чайных напряжений, которые на его входе обычно яв-
ляются гауссовыми.
Так, если на вход детектора, который в дальнейшем
полагаем квадратичным с нормированной характеристи-
кой
u2 = U\ (8.1)
действует распределенная по закону A.7) смесь импульс-
ного сигнала амплитуды Uc и гауссового шума мощно-
сти а2, то согласно [17, 99] выходное напряжение имеет
следующее распределение вероятностей:
)toj (8.2)
(здесь и2 — мгновенное значение выходного напряжения;
Ux — амплитуда напряжения на входе).
208

При использовании линейного детектора напряжение
смеси сигнала с шумом распределено по обобщенному
закону Релея G.14).
Таким образом, на вход накопительного устройства,
следующего за амплитудным детектором любого типа,
действуют случайные напряжения, которые распределе-
ны по закону, отличающемуся от нормального. При их
прохождении через накопительное устройство, являюще-
еся линейной системой, закон распределения этих напря-
жений меняется. Определить его весьма трудно, ибо в на-
стоящее время еще не существует инженерных методов
расчета законов распределения напряжений на выходе
линейной системы при действии на ее вход случайных
напряжений, распределенных не по нормальному закону.
Правда, имеется один частный случай, при котором
функцию распределения на выходе линейной системы
удается рассчитать сравнительно просто и достаточно
точно. Это воздействие случайного напряжения на ли-
нейную систему, полоса пропускания которой значитель-
но меньше ширины спектра входного напряжения. При
этом условии на выходе линейной системы происходит
нормализация случайного напряжения [17, 106].
Аналогичная тенденция к нормализации наблюдает-
ся и в накопительном устройстве, выходное напряжение
которого равняется сумме выборок входного напряже-
ния. Это объясняется тем, что если число слагаемых до-
статочно велико, а законы их распределения одинаковы,
то в силу центральной предельной теоремы теории ве-
роятностей сумма этих слагаемых распределена прибли-
зительно по нормальному закону [17].
Указанную нормализацию напряжения на выходе
накопительного устройства можно пояснить и иначе.
Частотная характеристика накопительного устройства
является гребенчатой с достаточно узкими полосами
прозрачности (см. § 4.1). Поэтому при воздействии на
такую систему случайных напряжений с широким спект-
ром распределение выходного напряжения близко к нор-
мальному.
В большинстве известных нам работ по некогерент-
ному накоплению [10—12, 107—108] и используется это
явление нормализации случайных напряжений на выхо-
де накопительного устройства. Однако во всех этих
209

(и других [105, 109]*) работах предполагается, что нако-
пительное устройство является идеальным в том смысле,
что напряжение на его выходе представляет собой сум-
му большого числа выборок входного напряжения
Но большинство реальных накопительных устройств
(суммирующее устройство с задержанной обратной
связью, JRC-коммутатор, гребенчатый фильтр, потенциа-
лоскоп и т. п.) производит суммирование входных на-
пряжений с экспоненциальной весовой функцией
иш (t) = ? тЧ2 (t -kT) = f[ m*ulh. (8.3)
k=0
Такое накопительное устройство имеет импульсную пе-
реходную функцию
h (t) = ? 8 (t — kT) • mk = Y 8 V — kT) e"^r, (8.4)
где % = -7jr-ln коэффициент экспоненциальной весо-
вой функции, а т — весовой множитель.
Нормированная огибающая этой импульсной пере-
ходной функции при ?>0 представляет собой экспонен-
ту е~"^. Вследствие этого указанное устройство есте-
ственно назвать накопительным устройством с экспонен-
циальной весовой функцией. Оно является приближе-
нием реального накопительного устройства с задержан-
ной обратной связью. В отличие от ранее рассмотренной
блок-схемы (рис. 3.15) в данной главе с целью значи-
тельного упрощения анализа изучается суммирующее
устройство, цепь обратной связи которого не содержит
частотного фильтра (рис. 8.1,6).
Получаемые при этом результаты справедливы, если
полоса пропускания цепи обратной связи накопитель-
ного устройства много шире полосы пропускания пред-
накопительного (и преддетекторного в данном случае)
фильтра, так что выполняется условие F.5).
* За исключением работы Е. Г. Трубицына.
210

Вследствие экспоненциального характера закона на-
копления (8.3) слагаемые выходного напряжения имеют
различные законы распределения, хотя и одного харак-
тера. Это проявляется, например, в том, что средние
значения и мощности этих слагаемых могут сильно от-
личаться. Если принимаемое колебание представляет
собой стационарный случайный процесс, т. е. законы его
распределения не меняются во времени, то средние зна-
чения слагаемых выходного напряжения с ростом их
порядкового номера k изменяются по закону mk, а мощ-
ности—ino закону т2к. В частности, при т = 0,9 уже де-
сятое слагаемое имеет среднее значение примерно
в 2,9 раза, а мощность в 8,2 раза меньше, чем нулевое
слагаемое. При /л = 0,8 указанные характеристики деся-
того слагаемого соответственно в 9,3 и 84 раза меньше,
чем у нулевого слагаемого.
Следовательно, в рассматриваемом случае при т==
==0,8-^-0,95 не выполняются условия центральной пре-
дельной теоремы теории вероятностей и нормализация
выходного напряжения оказывается сравнительно сла-
бой.
Это и обусловливает трудности определения законов
распределения случайных напряжений на выходе неко-
герентных накопительных устройств с экспоненциальной
весовой фукцией. А без знания этих законов невозмож-
но рассчитать пороговые сигналы.
Законы распределения напряжений на выходе рас-
сматриваемого устройства ниже определяются прибли-
женным путем.
§ 8.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
НА ВЫХОДЕ КВАДРАТИЧНОГО НАКОПИТЕЛЬНОГО
УСТРОЙСТВА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ВЕСОВОЙ
ФУНКЦИЕЙ
Под квадратичным накопительным устройством по-
нимается совокупность квадратичного детектора и нако-
пительного устройства (рис. 8.1,6) Выбор детектора
квадратичным объясняется тем, что для такого детекго-
ра проще аналитические выражения статистических ха-
рактеристик случайных напряжений. Это упрощает ана-
лиз. Получаемые при этом результаты являются прибли-
женно справедливыми и для устройств с детекторами
иного вида [107, 110].
2U

Заметим, что вследствие первого из условий E.3)
слагаемые суммы (8.3) являются практически взаимно
независимыми. Выборки входного напряжения и^к, вхо-
дящие в эту сумму, распределены по закону (8.2).
Если обозначить для краткости записи #=-^,
хк = и*\ и q — —, а число «слагаемых суммы (8.3)
взять конечным и равным N, то вместо (8.2) и (8.3) по-
лучим
W (хк) = ехр (- хк - -pj /0 (д КЗД 1 (xk) (8.5)
и
У=% гпк*к. (8.6)
k=o
Случайная величина имеет характеристическую функ-
цию [17]
4-оо оо а2 .
(% :vx /t Xb{\—JV)
Цо)= \W(xh)e M*fe=je 2 I0(qV2xh)dxh.
—оо О
Меняя переменную по закону х2к = г и используя фор-
мулу D.434.2) [88] с учетом того, что /0(#) =
получаем
^^y (8.7)
Как распределение (8.5), так и характеристическая функ-
ция (8.7) одинаковы для всех xk.
На основании известного свойства характеристиче-
ской функции k-e слагаемое суммы (8.6) имеет характе-
ристическую функцию
Oft (v) - 6 (/»*о) = A - №о)-* ехр ^
Вследствие взаимной независимости слагаемых этой
суммы ее характеристическая функция равна произведе-
нию характеристических функций слагаемых [17]
4

Плотность распределения вероятностей суммы (8.6)
определим с помощью обратного преобразования Фурье
+ 0О
-i J
-foo N—1
-оо k=0
(8.8)
Вычисление этого интеграла в общем случае вызывает
трудности, которые пока не удалось преодолеть. Поэтому
ограничимся случаем отсутствия сигнала (^ = 0). Тогда
плотность вероятности выходного шума
+ 00
N-1
где B(v)= П О— jm,hv) — полином N-й степени отно-
сительно v. Поскольку его корни простые
Oft = _/«-*, (8.9)
то, как известно [111],
где B'(vk) — производная B(v) по с; при значении v = vk.
Поэтому после преобразований с учетом (8.9) по-
лучим
(k-\)k
{1)кт \lZ[ym'h) 1 (у)
ft=o П A - т») П A-я")
л=1 п=1
Если возвратиться к первоначальной переменной м3 =
= 2а2г/, то
(*-'>*
W («,)= ^ J
213

В частности, при бесконечном числе слагаемых, а также
при mN < 1, что обычнс
пительных устройствах,
при mN < 1, что обычно имеет место в реальных нако-
2
е
41 (l-m»)*=o "V
«=i " (8.10)
00
Бесконечное произведение fj A—тп), входящее в со-
став последнего выражения, сходится при яг<1, что
всегда имеет место.
Ряд (8.10) также сходится, причем равномерно и тем
быстрее, чем меньше весовой множитель т и больше
относительный уровень выходного напряжения
Равномерная сходимость ряда (8.10) следует из сходи-
мости мажорантного ряда
00 k {k—\)k
—1
[П а-»-)]¦
т 2
&=() /1=1
Вследствие равномерной сходимости ряда (8.10) про-
интегрируем его почленно по uz для определения интег-
ральной функции распределения выходного шума, в ре-
зультате чего получим при U > О
р (U) = Вер (/г, > V) = J W (и,) rf«3 =
По-»-) s n
(8.11)
Тогда вероятность ложной тревоги (см. § 1.3) в рассмат-
риваемом устройстве составляет при ?/0>»0
(8.12)
1]
ПA-т") *=» ПО-»)"
214

где /—-^—относительный уровень порога.
Расчеты по этой формуле связаны с необходимостью
выполнения довольно-таки громоздких и точных вычи-
слений. Результаты расчета порогового уровня от веро-
ятности ложной тревоги для трех значений т, выполнен-
22 26
SO
46 50 Ь
иг7
w
\
\
\
\
\
к;
\
\
\
\
\
\
Рис. 8.2. Зависимости вероятности ложной тревоги от от-
носительного порога при квадратичном накоплении.
ного автором и уточненного О. В. Жуковым на элек-
тронной вычислительной машине БЭСМ-2, приведены на
рис. 8.2.
Если исходить из аппроксимации распределения вы-
ходного шума нормальным законом, то, как показывает-
ся ниже в § 8.3,
2а2
i тт _-
1
1—Ф
откуда
(8.13)
-24 (8-14)
Если же аппроксимировать закон распределения вы-
ходного шума эквивалентным распределением „хи-квад-
рат* (см. § 8.3), то тогда
(8.15)
215

где
Р(У.\ «) =
п—2
^ 2
п-т» z
dx
(8.16)
— интегральная функция распределения „хи-квадрат"
[112]. Корни /a==-gj5- уравнения (8.15) определяются по
таблицам [113].
Рассмотрение табл. 8.1 с результатами расчета от-
носительного порога по точной формуле (8.12) и по при-
ближенным формулам (8.14) и (8.15) показывает, что
аппроксимации распределения выходного шума как
нормальным законом, так и законом «хи-квадрат» при-
Таблица 8.1
т
0
0
0
,8
.9
,95
19,
26.
40.
5
9
8
10-
h
12,
20,
35,
9
9
2
к
17.
24,
39,
2
9
1
/
26
34
48
,4
,1
,7
ю-»
h
15,
23,
39.
0
7
2
/я
22,
30,
45,
1
4
5
водят к недопустимо большим ошибкам в определении
порога срабатывания. Величина этих ошибок уменьшает-
ся по мере приближения весового множителя к едини-
це, что объясняется увеличивающейся при этом норма-
лизацией выходного шума.
При аппроксимации «хи-квадрат» погрешности не-
сколько меньше, чем при нормальной аппроксимации.
Поэтому при выполнении грубых, ориентировочных рас-
четов можно распределение выходного шума аппро-
ксимировать законом «хи-квадрат». К сожалению, по
мере снижения уровня вероятности ложной тревоги по-
грешности расчета относительного порога при этом воз-
растают.
216

§ 8.3. НЕКОГЕРЕНТНОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-ВЕСОВОЕ
НАКОПЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
НЕФЛЮКТУИРУЮЩИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
1. Кумулянты распределения смеси нефлюктуирующих
сигналов с шумом на выходе накопительного устройства
Так как пока не удалось вычислить интеграл (8.7),
описывающий плотность вероятностей напряжения сме-
си нефлюктуирующего сигнала с шумом на выходе не-
когерентного накопительного устройства с экспонен-
циальной весовой функцией, ниже делается попытка
приближенно рассчитать указанное распределение веро-
ятностей. Для этого сначала определяются числовые ха-
рактеристики выходного напряжения.
Числовыми характеристиками случайных величин,
которые наиболее часто используются, являются момен-
ты распределения различных порядков [17]: среднее
значение, дисперсия и т. п. Однако при выполнении
расчетов более удобны иные числовые характеристи-
ки— кумулянты или семиинварианты распределения
[17, 103].
' По определению, кумулянтом k-то порядка называ-
ется производная того же порядка логарифма характе-
ристической функции в точке ^ = 0, поделенная на jh:
Отсюда следуют два важных свойства кумулянта [103]:
1) Кумуляит любого k-то порядка произведения слу-
чайной величины х на постоянную*а равен произведению
k-й степени постоянной на кумулянт случайной величи-
ны, т. е.
Kk(ax) = akKh(x). (8.18)
2) Кумулянт любого порядка суммы независимых
случайных величин равен сумме кумулянтов того же по-
рядка этих величин, т. е.
N N
Kfe(^n)- (8Л9)
217

Для моментов последнее свойство, именуемое пра-
вилом композиции '[103], справедливо только для пер-
вых трех порядков. В этом и заключается преимущество
кумулянтов.
Определим кумулянты распределения напряжения на
входе накопительного устройства, т. е. на выходе квад-
ратичного детектора (рис. 8.1,6). Для этого вычислим
сначала характеристическую функцию этого напряже-
ния. Используя (8.7), описывающую характеристиче-
скую функцию величины х = -^г, получаем
Ее натуральный логарифм или кумулянтная функция
ф (v) = In 6{v)=-~- ^g'^-ln A — j2o2v)
имеет производную n-го порядка
Разделив это выражение на \п и положив а = 0, опре-
деляем кумулянт п-то порядка напряжения на входе
накопительного устройства
кП2 = (п - 1)! Bа2)- (\ + п -^V (8.20)
Затем определим кумулянты распределения напря-
жения на выходе кПг Так как слагаемые суммы (8.3)
взаимно независимы, то вследствие правила композиции
(8.19)
00
Xn8 = 2j »
где х(Л) — кумулянт п-ro порядка ^-го слагаемого.
Согласно (8.18) последний'связан с кумулянтом того же
порядка, входного напряжения в момент t — kT сле-
дующей зависимостью:
218

Вследствие этого кумулянт п-го порядка выходного на-
пряжения
^. (8.21)
Следовательно, кумулянт любого порядка напряже-
ния на выходе накопительного устройства с экспонен-
циальной весовой функцией связан простой зависимо-
стью с кумулянтами того же порядка напряжения на
входе этого устройства.
Полученное выражение является весьма общим и
справедливо в любом случае.
В частном случае приема прямоугольной последова-
тельности N нефлюктуирующих импульсных сигналов на
фоне непрерывного шума первые N дискретных значе-
ний входного напряжения будут представлять собой
смесь сигнала с шумом, а остальные— шум.
Обозначим к'п2 и и^ кумулянты п-ro порядка входного
напряжения при действии соответственно смеси сигнала
с шумом и одного шума. Тогда
Если число импульсов велико или величина весового
множителя мала, так что
ПЪ ^С 1 И /С ЛЪ <«^С /С , ТО <^iTi4 ^-* *^ _————_—_
П2 ^ П2 3 П2 1 тП "
При приеме непрерывного шумового колебания
1 — т
(8.23)
В случае квадратичного накопления с экспонен-
циальной весовой функцией и гауссового шума на входе
согласно (8.20) формулы (8.22) и (8.23) принимают вид
(8-24)
(8.25)
219

Из (8.24) следует, что выходное напряжение имеет
коэффициент асимметрии
и хзз о
*—72 Z
4A-«
7 i 177
У l + i-
-/
*23
+ т2 [1 + ?2 A — m2N)fJ2
и коэффициент эксцесса
1 -f- 2?2 A — m4N)
1+/тг2
(8.26)
(8.27)
Эти формулы справедливы как при наличии сигнала,
так и при его отсутствии {q = 0).
Рассмотрение зависимостей коэффициентов асиммет-
рии и эксцесса от отношения сигнал/шум (>см. рис. 8.3, 8.4,
\т=Ц8
\
\
ч
—--.
Рис. 8.3. Коэффициенты асимметрии
распределения накопленного напря-
жения как функции отношения сиг-
нал/шум на входе.
где тш<^ 1) показывает, что распределение шума име-
ет столь большую асимметрию и эксцесс, что его нельзя
даже приближенно считать нормальным. Это совпадает
с ранее сделанным выводов (см. § 8.2).
При увеличении отношения сигнал/шум как асиммет-
рия, так и эксцесс уменьшаются (асимметрия несколько
медленнее, чем эксцесс). Уменьшение этих коэффициен-
тов свидетельствует о приближении распределения сме-
си сигнала с шумом к нормальному закону при увели-
чении весового множителя и при возрастании отношения
сигнал/шум. Последнее объясняется тем, что по мере
220

увеличения отношения сигнал/шум распределение (8.2)
смеси сигнала с шумом на входе накопительного устрой-
ства существенно изменяется от экспоненциального при
q = 0 до закона, близкого к нормальному при большому.
Однако даже при т = 0,95 и q = 2 распределение выход-
\
—--V
\n-t6
Л
0.95
Рис. 8.4. Коэффициенты эксцесса рас-
пределения накопленного напряжения
как функции отношения сигнал/шум
на входе.
ного напряжения можно только приближенно считать
нормальным.
Возникает вопрос о том, как воспользоваться опреде-
ленными выше кумулянтами напряжения на выходе
некогерентного накопительного устройства с экспонен-
циальной весовой функцией для приближенного, но до-
статочно точного расчета закона распределения этого
напряжения.
Ниже и рассматривается этот вопрос.
2. Разложение функции распределения вероятностей
выходного напряжения в ряды Эджворта и по функциям
ортогональной системы Лагерра
Асимптотическое разложение функции распределе-
ния случайной величины, основанное на нормальном
распределении, осуществляет ряд Эджворта [103].
Для плотности вероятности напряжения и он имеет
вид
W(u) =
221

280 / х, у (9) / и — кук | , i ,g28v
где <р(л:)=-^ехр^—^-j; 9(n)(x)=-^r ? (*)> а *п—ку-
мулянт /г-го порядка напряжения #. В этом выражении
в квадратные скобки заключены члены одного и того же
порядка.
Используя связь между кумулянтами и коэффициен-
тами асимметрии и эксцесса, перепишем ряд Эджворта
в такой форме:
Tibr ] (8-29)
где Л=7Г'
Этот ряд тем быстрее сходится, чем ближе исследуе-
мый процесс к нормальному, т. е. чем меньше коэф-
фициенты асимметрии и эксцесса и т. п. При & = у = 0
и х5 = ...== 0 распределение вероятностей является нор-
мальным:
[^] <8'30)
Из (8.25) и (8.30) и следует соотношение (8.13).
Интегрируя (8.29) по и от U до оо, получаем ряд
Эджворта для интегральной функции распределения
| --> (8-31)
222

где у= 1. Остаточный член ряда Эджворта по-
V *2
рядка первого отброшенного члена. При расчетах функ-
ций распределения с помощью ряда Эджворта следует
использовать таблицы [95, 96, 114].
Применение рядов Эджворта для расчетов функций
распределения целесообразно только тогда, когда рас-
пределение близко к нормальному. При этом обычно до-
статочно учесть не более четырех членов этого ряда.
Если же близости рассматриваемого и нормального
распределений нет, то ряд Эджворта сходится столь
медленно, что расчеты возможны только с помощью вы-
числительных машин.
Если распределение вероятностей сильно отличается
от нормального и обладает большой асимметрией, что
наблюдается, например, после квадратичного детектора
и недостаточно эффективного накопительного устройства
или иного фильтра, то лучшие результаты может дать
разложение функций распределения в ряд по функциям
ортогональной системы Лагерра [115, 116]:
W (и) = *«е-* ? chk\ Lah (х), (8.32)
где
к w=4- ***-*
обобщенный полином Лагерра &-го порядка [101], у=Ьи,
Ь — постоянный коэффициент, а — параметр разложения,
ck — коэффициенты разложения.
Умножив обе части равенства (8.32) на Lan (x) и про-
интегрировав в пределах от 0 до оо, вследствие ортого-
нальности полиномов Лагерра с весом хае-х на интер-
вале интегрирования, получим
где Г (л;) — гамма-функция. Подставляя в это выраже-
ние значения полиномов Лагерра первого и второго по-
рядка, вычисляя и переходя от начальных моментов
223

к кумулянтам, получаем
с
Чтобы эти коэффициенты обратились в нуль, необхо-
димо
а=^—1 и * = -*-.
Тогда разложение (8.32) примет вид
00
W (и) = -J х°е-* V] g^ (х), (8.34)
где
Следовательно, коэффициенты этого разложения, как
и коэффициенты ряда Эджворта, выражаются через
кумулянты распределения случайного напряжения и.
Интегрируя (8.34) по и в пределах от U до ос, полу-
чаем разложение Лагерра для интегральной функции
распределения
где интегральная функция распределения «хи-квадрат»
P(x2i п) характеризуется (8.16).
224

Если бы накопительное устройство было идеальным,
т. е. суммировало бы Л^ выборок принимаемого колеба-
ния с весом, равным единице, а ему предшествовал бы
квадратичный детектор, то напряжение накопленного
шума было бы распределено по закону «хи-квадрат c2N
степенями свободы» [10, 12, 104]. Действительно, в этом
случае согласно (8.20) и (8.21)
В случае, когда суммирование выборок (накопление)
происходит по закону (8.3), где т = 0,8-^-0,95, а число
выборок бесконечно велико, можно предположить, что
выходной шум распределен приближенно также по за-
кону «хи-квадрат». Тогда из (8.25) и (8.35) следует
что при U — Uo и P(U0) = F совпадает с (8.15).
На стр. 216 показано, что 'Сделанное -выше предполо-
жение о характере распределения выходного шума яв-
ляется довольно-таки грубым, хотя и 'приемлемым для
ориентировочных расчетов.
3. Пороговые сигналы при отсутствии флюктуации
Вероятность обнаружения при экспоненциально-ве-
совом накоплении нефлюктуирующих сигналов можно
рассчитать с помощью четырех первых членов ряда
Эджворта:
и х
где х- ° 13 , а хПз, ka и Y3 рассчитываются по фор-
мулам (8.24), (8.26) и (8.27).
15—2659 225

Задаваясь [/о, исходя из уровня вероятности ложной
тревоги и величины весового множителя накопительного
устройства, отношением сигнал/шум и числом импуль-
сов в последовательности, можно рассчитать кумулянты
первых четырех поряд-
ков, коэффициенты
асимметрии и эксцес-
са, а затем и вероят-
ность обнаружения.
В качестве приме-
ра на рис. 8.5 кривой 3
изображена характери-
стика обнаружения при
н екогер ен тн о м на коп -
лении нефлюктуирую-
щих сигналов, рассчи-
танная по формуле
(8.36). Для сравнения
на том же рисунке по-
строены характеристи-
ки обнаружения при
когерентном экспонен-
циально-весовом на-
коплении полностью
известной (кривая /)
и известной, за исклю-
F=W~S
т~0,9
N-20
J
1
f
1
/
/
/
/
Рис. 8.5. Характеристики обнаруже-
ния последовательности нефлюктуи-
рующих сигналов (/—когерентное на-
копление полностью известных сигна-
лов, 2—когерентное накопление сиг-
налов, известных, за исключением на-
чальной фазы, 3—мекогерентное на-
копление) .
чением начальной фа-
зы (кривая 2), после-
довательностей нефлюктуирующих сигналов. Обратим
внимание на то, что все эти характеристики имеют один
вид.
Пороговые сигналы целесообразно рассчитывать по
следующей методике. Зафиксируем уровень вероятности
обнаружения и определим первое приближение соответ-
ствующего ему отношения сигнал/шум д0 из соотноше-
ния
которое с помощью (8.24) преобразовывается к виду
l
-yi
— т
226

где Z = arg<I>BD—1). В частности, Z = 0 при D = 0,5
и Z = 0,9062 при D = 0,9.
Полученное уравнение является в общем случае
(Z=^=0) биквадратным относительно #0. Его решение
при D = 0,9 таково:
1 + ,768
+ 2,563 /Щ
(8.37)
При D = 0,5 в силу того, что Z = 0, первое прибли-
жение значительно проще
^{2[l(lzTT- (8-38)
Чтобы произвести уточнение полученного результата,
положим, что поправка Aq мала по сравнению с первым
приближением. Представляя (8.36) функцией D(q) =
= D(qo-\-Aq) и разлагая последнюю в ряд Тейлора, по-
лучим
D = D (q0 + Lq) ^ D (q0) + -^- Aq=D (qo)+D'(qo)Aq.
dq
q=q0
Так как D(q0) есть результат подстановки q0 в (8.36),
при которой первый член этого выражения обращается
в D, а сумма трех следующих членов приобретает неко-
торое значение AD, то D^D-j- AD-\-D{qQ) Aq, откуда
Л AD AD
где
227

Применяя дифференцирование последнего интеграла по
параметру, получаем
1 Уо — х13 <Jx23 |
2 42 dq
В частности, при D —0,5 Uq = k13 и Dq = Bttx23) 1/2xj3 ,
а при D = 0,9 Л;=0,1755%~1/2К3-°'6407^з1/2Цз]-
Вследствие (8.24) и предыдущих формул имеем при
D 05
Д<7 =s 0,3348
а при D = 0,9
1
, , , .
. (8-39)
/1
г
0,1755(?О A — mN) |l — 1,2814 A + mN) X
(8.40)
где
+ 0,07637 -i-
• (8.41)
Большая простота выражения для поправки при Z) = 0,5
объясняется тем, что при этом х = 0 и фC)@)=0. Поэто-
му при расчете вероятности обнаружения достаточно
учесть всего только два члена ряда Эджворта, так как
его остаточный член порядка третьего члена, который
228

lh
\
•—-
т=0,8
F-W'1
КГ'1
№б
10-9
3,0
16 32
а)
128 А/
\
F
^—*С
т=0,9
=10~6 Ю'7
/
/ ,
/
f /
/
U
ЗЛ
2.6
2,2
1,8
1А
\
i
\
%
to'1 to~"
f /
1
128 N
Рис. 8.6. Зависимости пороговых отношений
от числа накапливаемых нефлюктуирующих
сигналов при D = 0,5.
16 32
iZ6 N

в данном случае равен нулю. Выражение (8.39) явля-
ется и более точным, ибо соответствующий ему участок
функции D(q) можно считать линейным с большей точ-
ностью, чем участок, прилегающий к ?) = 0,9.
Расчеты показывают, что относительная величина
поправки при m^0,8 hJV>4 не превышает 1,35%. По
мере приближения весового множителя к единице и во-
зрастания числа импульсов величина этой поправки
уменьшается.
Зависимости пороговых отношений сигнал/шум от
числа импульсов для четырех значений вероятности
ложной тревоги, трех значений весового множителя и
двух уровней вероятности обнаружения построены соот-
ветственно на рис. 8.6 и 8.7. Их рассмотрение показы-
вает, что с ростом числа импульсов пороговое отноше-
ние уменьшается до тех пор, пока mN не станет прене-
брежимо малым. При достаточно большом числе
импульсов пороговые отношения тем ниже, чем больше
вероятность ложной тревоги и чем ближе весовой мно-
житель к единице. Уровень вероятности обнаружения
мало влияет на пороговые отношения: при ?) = 0,9 по-
следние всего только на 10—20% выше, чем при ?) = 0,5.
и
.
/77=0,5
' F=10~9
to 7
to-1
16
32
128 N
Рис. 8.7. Зависимости пороговых отношений
от числа накапливаемых нефлюктуирующих
сигналов при Z)=0,9.
230

f
V
3J
is
is
\
1
АЛ4»
10 a If1
-*—7
¦ /
T
к 8 W П
4 8
tS П
*)
Рис. 8.7.
Щ H
\
A
\
1
т=0,95
-ю'9 to6
/ /
tlf1 «Г*
128
231

Зависимости эффекта накопления от числа импуль-
сов изображены на рис. 8.8 и 8.9 *. Под эффектом на-
копления понимается выигрыш по мощности пороговых
сигналов вследствие применения после квадратичного
детектора накопительного устройства с экспоненциаль-
ной весовой функцией. Эффект накопления тем выше,
чем больше импульсов в накапливаемой последователь-
ности и чем ближе весовой множитель к единице. О г
м
ю
а
6
г
Y
//
/
Y
¦
—ф
to-'
tlfb
to-'
I—to-1
16
32
128
Рис. 8.8. Эффект накопления как функция
числа нефлюктуирующих сигналов при
D = 0,5.
уровней вероятности ложной тревоги и обнаружения
эффект накопления зависит мало.
При достаточно большом числе импульсов величина
эффекта накопления составляет приблизительно 4,5—5
при т = 0,8; 8—9 при т = 0,9 и 13—15 при т = 0,95.
Следовательно, применение накопительного устрой-
ства с экспоненциальной весовой функцией после неко-
герентного детектора позволяет получить значительный
выигрыш по мощности пороговых сигналов, что и свиде-
тельствует о целесообразности этого применения.
* На этих рисунках, а также на последующих (рис. 8.10, 8.11,
8.15—8.18, 8.21 и 8.22) принято следующее условное обозначение:
кривые, соответствующие т=0,8, изображены штриховыми линиями,
для т=0,9—сплошными, а для т=0,95—штрих-пунктириыми.
232

0
М
Ю
6
6
Л
к
//
—
>-«г'г
IF"
чг*
«г*
в-*
Рис. 8.9. Эффект накопления нефлюктуи-
рующих сигналов как функция их числа
при D=0,9.
3,0
15
15
0,5\
D=0,5
'А
У
т.
7
J
ft
/;
¦f=«rf
t?l
ю-1
4
16
32
\2Ь
Рис. 8 10. Проигрыш при замене когерентно-
го накопления нефлюктуирующих сигналов
некогерентным накоплением как функция
их числа при D = 0,5.
233

Зависимости проигрыша по мощности пороговых
сигналов при замене когерентного экспоненциально-ве-
сового накопления сигналов с неизвестной начальной
фазой некогерентным накоплением изображены на
С
И
2,0
tf
1,0
д-0,9
//
9
//
/
-¦==•¦=
w-<
— п*-
to->
~~11ГГ
16
Ш
Рис. 8.11. Проигрыш при переходе от коге-
рентного накопления нефлюктуирующих
сигналов к некогерентному накоплению
как функция их числа при D = 0,9.
рис. 8.10 и 8.11. Этот проигрыш возрастает с увеличе-
нием числа импульсов, весового множителя, уровня ве-
роятности ложной тревоги и с понижением уровня веро-
ятности обнаружения. Последнее объясняется тем, что
при этом уменьшается пороговое отношение сигнал/шум
и вследствие этого увеличивается подавление сигнала
шумом в амплитудном детекторе [99].
§ 8.4. НЕКОГЕРЕНТНОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-ВЕСОВОЕ
НАКОПЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ДРУЖНО ФЛЮКТУИРУЮЩИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
1. Кумулянты распределения накопленной смеси
дружно флюктуирующих сигналов с шумом
Расчеты характеристик обнаружения дружно флюк-
туирующих сигналов часто проводят следующим обра-
зом [11, 12, 104]. Берется выражение для вероятности
234

обнаружения нефлюктуирующего сигнала определенной
амплитуды Uc. Оно считается справедливым и при
флюктуирующем сигнале, принявшем данное значение
амплитуды, но характеризует уже условную вероятность
обнаружения. Усреднив ее статистически по всем воз-
можным значениям амплитуды, и получим искомую ве-
роятность обнаружения.
Эту процедуру в принципе можно применить и в дан-
ном случае путем усреднения (8.36) по всем возможным
отношениям сигнал/шум с учетом G.22)
Однако вычислить этот интеграл очень трудно, так как
условная вероятность D(q2) является весьма сложной
функцией. Кроме того, поскольку выражение (8.36) яв-
ляется приближенным, то заранее трудно дать оценку
погрешности такого расчета.
Более простым является определение числовых ха-
рактеристик распределения смеси флюктуирующего
сигнала с шумом на выходе накопительного устройства
и их использование для расчета функций распределе-
ния, а затем и характеристик обнаружения.
Выражение (8.24) справедливой при дружных флюк-
туациях сигнала. При этом оно характеризует условный
кумулянт распределения выходного напряжения хпз(<72).
Чтобы определить безусловный кумулянт хпз, необходи-
мо провести статистическое усреднение с учетом G.22).
Однако непосредственное усреднение условного куму-
лянта п-го порядка приводит к правильному результату
только при п=\, т. е. непосредственно можно усреднять
только кумулянт первого порядка, совпадающий со
средним значением т13.
Непосредственное статистическое усреднение возмож-
но только для начальных моментов любого порядка. Дей-
ствительно, по определению [17] начальный момент п-го
порядка напряжения и при условии, что наблюдается
квадрат отношения сигнал/шум q2y представляет собой
+ 00
тп (<7а) = J u»W {ujq*) da = -°° ^fti) ,
—00
235

4-оо
откуда следует: тп (q2) Wx (#2) = I unW2(u, q2) da. Поэтому
—00
полный (безусловный) момент любого порядка п
+ 00 +00 +00
wn= j f unW2 (u, q2) dudq2 =fmn (q2) Wx (q2) dq2
—00 —00 —00
(8.42)
есть результат непосредственного статистического усред-
нения условного начального момента того же порядка.
Аналогично условный центральный момент п-го по-
рядка (при я>2) представляет собой по определению
+ 00
Мп (<?2) = J [и - т, (q*)]nW (ufg*) du =
—оо
+ 00
откуда
+ 00 +00 +00
J Mn (?2) Wt (q2) dq2 = ^dq^[u- mx (q*)]nW2 (u, q*) du.
—00 —00 —00
Последнее выражение отличается от выражения для пол-
ного (безусловного) центрального момента
-J-CO +00
Мп= \ ^
-00 —00
где тх — полный момент первого порядка.
Это и доказывает сделанное выше утверждение
о возможности непосредственного статистического
усреднения только начальных моментов любого по-
рядка.
Непосредственно усредняя условный кумулянт (мо-
мент) первого порядка (8.24), будем иметь
l^(l-mN)l- (8-43)
Переходя от условных кумулянтов (8.24) к условным
начальным моментам с помощью известных соотношу-
236

ний [17, 103], усредняя их с учетом G.22) и вновь пере-
ходя от полных начальных моментов к полным кумулян-
там, получаем
X A - т™) +
[I + ЗР2 A -
(8.44)
m
i (i + m) A + m2) l
Эти формулы справедливы при любых т и N. В рас-
сматриваемом случае 0,8<т<1 они принимают следую-
щий приближенный вид:
-1)! (
2-ri2
при п = 2, 3 и 4. (8.45)
2. Распределение накопленной смеси
дружно флюктуирующих сигналов с шумом
Из (8.45) следует, что распределение смеси дружно
флюктуирующих сигналов с шумом на выходе некоге-
рентного накопительного устройства обладает асиммет-
рией k^2 и эксцессом у^б. (Расчет по точным форму-
лам (8.44) для самого неблагоприятного случая т = 0,8;
/V = 4 и р2 = 7,21 дает ?=1,9877 и у = 5,943. Последние от-
личаются от приближенных значений соответственно на
—0,615 и —0,95%).
Так как коэффициенты асимметрии и эксцесса столь
велики, использование ряда Эджворта для расчета ха-
рактеристик обнаружения и пороговых сигналов из-за
его медленной сходимости практически невозможно.
237

Из (8.2) и (8.20) следует, что шум на выходе квадра-
тичного детектора имеет экспоненциальное распределе-
ние с кумулянтами любого порядка п
кП2 = (п-\)\Bа^ (8.46)
и коэффициентами асимметрии и эксцесса, соответствен-
но равными 2 и 6. Это наводит на мысль, что распреде-
ления накопленной смеси дружно флюктуирующих сиг-
налов с шумом и ненакопленного шума являются ана-
логичными. Это объясняется следующим образом. Вслед-
ствие полной корреляции дружно флюктуирующих сиг-
налов они накапливаются по тем же законам, что и ре-
гулярные сигналы. Однако результат их накопления
остается случайным, и характер его распределения тот
же, что и у ненакопленного шума.
Сравнивая (8.43) и (8.45) с (8.46), заключаем, что
кумулянты второго, третьего и четвертого порядков как
у накопленной смеси, так и у ненакопленного шума вы-
ражаются аналогичными формулами, а формулы для
кумулянтов первого порядка несколько различаются.
Поэтому в отличие от ненакопленного шума, распреде-
ление которого экспоненциально [см. (8.2) при С/с = 0],
накопленная смесь дружно флюктуирующих сигналов
с шумом должна иметь смещенное по оси напряжений
экспоненциальное распределение
где о2 и V—постоянные, которые подлежат определе-
нию. Можно показать, что это распределение имеет ку-
мулянты
k13 = V + 2o2q и хпв = (л —1)!Bф* при /i>l.
Отсюда следует, что 2о2=^к1^ и V = k13 — k]J2.
Таким образом, накопленная смесь дружно флюктуи-
рующих сигналов с шумом распределена с плотностью
вероятности
Х23
238

и при ?/>х13 — Kl2f имеет интегральную функцию рас-
пределения
Р(г/) = Тг(й3)^з = ехр^-^Ц^-3- Л. (8.47)
б \ Х2з )
Чтобы убедиться в справедливости сделанных выше
допущений, рассчитаем двумя разными способами вели-
чину вероятности превышения накопленной смесью
уровня, равного кумулянту первого порядка. Из (8.47)
следует, что P(%i3) = е-1 = 0,36788, а рассчитывая с по-
мощью ряда Эджворта (8.31), получаем
^0,5 — -i-. 2-0,39894 = 0,36702.
Поэтому распределение (8.47) хотя и является при-
ближенным, но вполне пригодно для расчетов порого-
вых сигналов. При этом их точность при D = 0,5, по-ви-
димому, выше, чем при D = 0,9.
3. Пороговые сигналы при дружных флюктуациях
Согласно (8.47) вероятность обнаружения при неко-
герентном экспоненциально-весовом накоплении дружно
флюктуирующих сигналов составляет
) (8.48)
В качестве примера на рис. 8.12 кривой 2 представ-
лена рассчитанная по этой формуле характеристика об-
наружения дружно флюктуирующих сигналов при неко-
герентном накоплении. (Кривая 1 соответствует коге-
рентному накоплению таких сигналов, а кривая 3 —
некогерентному накоплению независимо флюктуирую-
щих сигналов.)
Из (8,43), (8.45) и (8.48) следует
_ т) _ 1 + ^1 _ In-^-^ A +
т
f^ Ь L '— (8.49)
N
A - mN) In -д-
239

/
к
V
//
w
—у
11'-
0,5 1,5
15 15
Рис. 8.12. Характеристики обнаруже-
ния последовательности флюктуирую-
щих сигналов при т = 0,9; N=20 и
F109
или для грубых расчетов
а _ ? A — т) — 1
(8.50)
Зависимости рассчитаных по формуле (8.49) порого-
вых отношений от числа импульсов изображены на
рис. 8.13 и 8.14, Они имеют в основном тот же характер,
что и при накоплении нефлюктуирующих сигналов.
Главное отличие заключается в том, что при D = 0,9
пороговые отношения в 2,6—2,7 раза больше, чем при
D = 0,5. Как и в случае когерентного накопления (см.
§ 7.4), это является следствием флюктуации сигналов.
Зависимости эффекта накопления дружно флюктуи-
рующих сигналов (рис. 8.15 и 8.16) от числа накапли-
ваемых импульсных сигналов мало отличаются от ана-
логичных зависимостей при отсутствии флюктуации
(рис. 8.7 и 8.8). Правда, в случае дружных флюктуа-
ции эффект накопления несколько меньше.
240

f
и
Рис. 8.13. Зависи-
мости пороговых
отношений при не-
когерентном на-
коплении дружно
флюктуирующих
сигналов от их
числа при D = 0,5.
is
2,0
/77=0,0
F40's
—w
«Г*
16 П
а)
U
125
р
2,0
16
4
S
\
k
<>
ч
К
ID
-«—
F
* 6i
т=0,9
*W * 108
" /
/ /
1 ¦/
t й
to
i
j-
3
~7 to'6
I
/ —
5,0
12
\
Hi
rr
itr' to-'
1 1
16 J2
128
241

V
F~W~S
to-7
!§ 32
>
F
m-0,9
•if IS*
у
/
4 8 16 32
0
125 N
f
n
b
7
6
5
3
\
1
N
4^r
F
^=?
40~sf0'8
1 J
id'7 VT*
4—
i в IS 32 /W 121
Рис. 8.14. Зависимости пороговых отноше-
ний при некогерентном накоплении друж-
но флюктуирующих сигналов от их числа
при D=0,9.

и
12
to
я
6
>,
i
А
С
/
/
¦У
в*
—IF
tir'
IS
32
12S N
Рис. 8Л5. Эффект накопления дружно
флюктуирующих сигналов как функция их
числа при D=0,5.*
16
32
64
128 N
Рис. 8.16. Эффект накопления дружно
флюктуирующих оипналов как функция их
числа при D — Q,9 *,
См. примечание ца стр. 232.
24а

G
2h
1,6
1,1
0,8
у
/a
///
7
/ /
-JSL
'¦ ,o-<
to-'
«r»
к д 16 32 6Ь 128 N
Рис. 8.17. Проигрыш при переходе от когерентного накопле-
ния дружно флюктуирующих сигналов к некогерентному как
функция их числа при D = 0,5.*
9
3,0
U
\ь
1.0
0,6
д=0,9
/
'/ //
//
V///
'//
//
/
'/
л
/ /
,———
F-I0''
ю-'
«г1
w(
ю-*
8
16
32
126
Рис 8.18. Проигрыш при переходе когерентного накопления
дружмо флюктуирующих сигналов к некогерентному как
функция их числа при 13 = 0,9*.
См. примечание на стр. 232,
244

Зависимости проигрыша по мощности при замене
когерентного накопления некогерентным от числа им-
пульсов (рис. 8.17 и 8.18) имеют тот же характер, что и
при накоплении нефлюктуирующих сигналов. При друж-
ных флюктуациях проигрыш, хотя и несколько больше,
но все же сравнительно невелик и при га<0,95 не пре-
восходит трех.
§ 8.5. НЕКОГЕРЕНТНОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-ВЕСОВОЕ
НАКОПЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НЕЗАВИСИМО
ФЛЮКТУИРУЮЩИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
1. Кумулянты распределения накопленной смеси
независимо флюктуирующих сигналов с шумом
Независимо (от импульса к импульсу) флюктуирую-
щие импульсные сигналы по своим свойствам подобны
шуму (см. § 7.4). Вследствие этого смесь флюктуирую-
щего сигнала с шумом на выходе квадратичного детек-
тора распределена, как и один шум, по экспоненциаль-
ному закону:
Единственное отличие состоит в том, что роль мощ-
ности а2 на входе детектора играет сумма мощностей
сигнала ц2 и шума. Поэтому согласно (8.46) напряже-
ние смеси независимо флюктуирующего сигнала с шу-
мом на выходе детектора имеет кумулянт п-го порядка
*n2 = (/i —I)!l2(oa + 7i2)]n. (8.51)
Это выражение можно получить и более строго пу-
тем статистического усреднения с учетом G.22) услов-
ных начальных моментов распределения, вычисленных
с помощью (8.46), и последующего перехода от по-
лученных полных начальных моментов к кумулянтам.
Вследствие (8.22) и (8.51) накопленная смесь имеет
кумулянты
i|^ O "N]. (8-52)
2. Пороговые сигналы при независимых флюктуациях
Коэффициенты асимметрии и эксцесса накопленной
смеси независимо флюктуирующих сигналов и шума,
рассчитанные с использованием (8.52), ма<АП оттщчают-
245

ся от аналогичных коэффициентов для накопленного
шума (рис. 8.3 и 8.4) и имеют сравнительно большую
величину. Однако разложение интегральной функции
распределения в ряд Эджворта (8.31) в средней части
этой функции (при P(f/)>0,3) сходится столь быстро,
что расчеты как характеристик обнаружения, так и по-
роговых сигналов оказываются возможными (хотя и
весьма трудоемкими) даже без применения вычисли-
тельных машин.
Итак, вероятность обнаружения рассчитывается по
формулам (8.36) и (8.52). Примером вычисленной таким
образом характеристики обнаружения является кривая
3 на рис. 8.12.
Расчет пороговых отношений при независимых
флюктуациях целесообразно выполнить по той же мето-
дике, что и при отсутствии флюктуации. При этом поро-
говое отношение р подсчитывается как сумма первого
приближения и поправки
Р = Ро + Ар> (8.53)
где при D = 0,5
а при D = 0,9
/A — т) — 1 + 1,642 г~^ A — ™N) ¦
Ро: / i _ т
1 - 1.642
+ {[I il-m) -1 + 1,642 |=5A-^)]« -A-1.642 {=5 TZ
( 1__m\iV2
X|[/(l-m)-l]2- 1,642-
24в

0,351 Ро
/
A-
1 — т
1 +т
К
1
2 2N 2N i1/2a г)
1 +Р5) I1 т ) + т ]
1,2814 (! + Р$0 + ^N)
(8.57)
AD 0 0^4A + ОТ)A~"г2)'/2- A + PoKA-ot3W) + ^3N .
AD-0,05634 1+m + m, [A + 2JA2N) + 2N]3/2 +
1,07637 1r=^J
О т*ГС 0+m)« (!-«') [('+PoK(l-^) + m]2
-0,03589 A + m + w2j2 [A + p2JA_m2N) + OT2N]3 •
Рассчитанные по этим формулам зависимости поро-
говых отношений от числа импульсов изображены на
рис. 8.19 и 8.20. Они имеют тот же характер, что и при
отсутствии флюктуации (рис. 8.6 и 8.7) и при дружных
флюктуациях (рис. 8.13 и 8.14). Правда, в отличие от
случая дружных флюктуации, пороговые отношения при
Z) = 0,5 и iD = 0,9 различаются всего только на 20—30%.
Это является следствием большей нормализации рас-
пределения накопленной смеси.
Зависимости эффекта накопления шумоподобных
сигналов от числа импульсов (рис. 8.21 и 8.22) имеют
примерно тот же характер, что и в других, ранее рас-
смотренных случаях (рис. 8.8, 8.9, 8.15 и 8.16).
Однако имеется и одно существенное отличие, за-
ключающееся в большей величине эффекта накопления
в рассматриваемом случае как при Z) = 0,5, так и особен-
но при /) = 0,9. Это объясняется тем, что в результате
накопления смеси независимо флюктуирующих сигналов
и шума ее распределение очень сильно изменяется от
асимметричного экспоненциального распределения до
распределения, близкого к нормальному. Вследствие
этого эффект накопления при ?) = 0,5 как квадрат отно-
шения медиан * распределений оказывается больше, чем
* Медианой распределения случайной величины называют зна-
чение этой величины, соответствующее вероятности 0,5 [117].
247

t»
Р
и
/
5 ?
F
/
1 6
т=О.Ь
ЧО'9 Ю~8
/
/ /
/
I U
If7 Vf1
' /'
J—
к
F-
¦ г
10' да"»
-Л
V
16 32
и
1.0
\1Ь N
\
F
j
т~0,95
"¦г
1 /
' /
4 в № 32
lib N
Рис. 8.19. Зависимости пороговых отноше-
ний при некогерентном накоплении незави-
симо флюктуирующих сигналов от их числа
при D=0,5.
248

а)
\
F
m=OJ
jflf'f8
1
f f
1 j
4=
16 П 61* 128 N
Рис. 8.20. Зависимости пороговых отноше-
ний при некогерентном накоплении незави-
симо флюктуирующих сигналов от их чис-
ла при /)=0Д
при отсутствии флюктуации и при дружных флюктуа-
циях, когда характер распределений в результате на-
копления не меняется.
249

Очень большой эффект накопления при D = 0,9 и не-
зависимых флюктуациях также объясняется существен-
ным изменением характера распределения смеси сигна-
V
16
1,1
1
1
1
1
N
F-
¦to-' ios
10' iOl
16 П 6Ь 128 Н
Рис. 8.20.
ла с шумом в результате накопления. При D = 0,9 эффект
накопления равен квадрату отношения 90%-ных кванти-
лей распределения напряжений накопленной и ненакоп-
ленной смеси (90%-ный квантиль — значение случайной
величины, которое соответствует 90% вероятности [117]).
До накопления смесь сигнала с шумом распределена по
экспоненциальному закону, квадрат 90% квантиля кото-
рого больше квадрата медианы в 6,6 раза. После накопле-
ния указанная смесь распределена уже приблизительно
по нормальному закону, у которого квадраты 90%-ного
квантиля и медианы различаются в 1,5 раза. Поэтому
эффект накопления при D = 0,9 примерно в -^=4,4 ра-
за больше, чем при D = 0,5. Последнее хорошо согласу-
250

ется с расчетными значениями эффекта накопления
(см. рис. 8.21 и 8.22).
Таким образом, некогерентное накопление особенно
эффективно при обнаружении независимо флюктуирую-
6
18
F=ifs
в-*
—г*-
П
Ш N
Рис. 8 21. Эффект «акопленйя независимо
флюктуирующих сигналов как функция их
числа при Z) = 0,5.*
щих импульсных сигналов с высокой степенью вероят-
ности. Оно позволяет при m = 0,8-f-0,95 получить выиг-
рыш в чувствительности приемника в 25—90 раз.
Это и не удивительно, ибо расомотренная система
является практическим приближением оптимального
6
70
50
30
10
/
//
&~
/
^^•-
да-»
10''
W
-If**
16
32
12Ь N
Рис. 8.22. Эффект накопления независимо
флюктуирующих сигналов как функция их
числа при D = 0,9.*
См. примечание на стр. 232.
251

приемника обнаружения независимо флюктуирующих
импульсных сигналов [10—13, 16].
Существенно отметить также, что при D = 0,9 (и во-
обще при обнаружении с высокой вероятностью) эффект
накопления независимо флюктуирующих сигналов с ве-
совым множителем 0,8 < т<1 может превышать в 1,5—
2 раза число накапливаемых импульсов (рис. 8.22).
Следовательно, вместо излучения одного импульса боль-
шой энергии в случае его флюктуации при приеме це-
лесообразно посылать последовательность независимо
флюктуирующих импульсов. Энергия этой последова-
тельности может быть в 1,5—2 раза меньше, чем у од-
ного импульса, а чувствительность приемника будет
той же. Чтобы импульсы последовательности флюктуи-
ровали взаимно независимо, они должны быть доста-
точно разнесены по времени или по частоте.
Аналогичное положение наблюдается и при идеаль-
ном (невесовом) накоплении независимо флюктуирую-
щих сигналов [11, 12].

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ
СЛОЖНО МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
§ 9.1. УВЕЛИЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
ПО ДАЛЬНОСТИ ПУТЕМ УКОРОЧЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ
СИГНАЛОВ В РАДИОПРИЕМНОМ УСТРОЙСТВЕ
Существовало мнение, что разрешающая способ-
ность по дальности радиолокационных систем не мо-
жет быть сделана меньше расстояния, соответствующе-
го длительности излучаемого им-
пульса B2, 67, 98] а)
«±
Из этого делался вывод, что уве-
личение разрешающей способности
по дальности требует укорочения
длительности излучаемых импуль-
сов, которое при существующих
ограничениях пиковой мощности пе-
редатчика сопровождается сниже-
нием энергии излучаемых сигна-
лов и вследствие этого уменьше-
нием дальности действия этих си-
стем.
Строго говоря, если отноше-
ние сигнал/шум достаточно вели-
ко, то разрешающая способность >по дальности опре-
деляется длительностью импульса на выходе ли-
нейной части приемника. Поэтому приведенное выше ут-
верждение справедливо только тогда, когда в приемнике
не предусмотрено укорочение длительности импульсного
сигнала путем его соответствующей обработки. При-
253
Рис. 9.1. Разрешение
перекрывающихся во
времени импульсных
сигналов а и в в си-
стеме с дифференци-
рованием.

мером последней может быть высокочастотное диффе-
ренцирование (рис. 9.1).
Оно позволяет значительно повысить разрешающую
способность, которая ограничивается, в основном, по-
лосой пропускания приемника. При этом каждому вход-
ному импульсу соответствует два импульса. Второй им-
пульс можно устранить путем его сложения с задер-
жанным на время ti первым им-
пульсом с помощью суммирующе-
го устройства с задержанной на ti
обратной связью (рис. 9.2,а и б).
Для устранения еТо самовозбужде-
ния в цепь обратной связи можно
включить ослабитель с коэффициен-
том передачи т, величина которого
несколько меньше единицы. Взяв
т==0,99, получаем ослабление вто-
рого импульса на выходе в сто раз.
Устройство, изображенное па
рис. 9.2,а, имеет передаточную
функцию
Рис. 9.2. Блок-схемы
оптимальных фильт-
ров Урковица (а и в)
и временные диаграм-
мы напряжений (б).
которая обратна спектру видеоим-
пульса длительностью %\ и еди-
ничной амплитуды и совладает с
передаточной функцией фильтра
Урковица [10, 118], который пред-
назначен для оптимального выде-
ления радиолокационных сигналов из помех, образован-
ных отражением от большого числа хаотически распо-
ложенных местных предметов. Спектральная интенсив-
ность таких помех пропорциональна квадрату модуля
спектра излучаемого импульса Fi(a)) =\i\S(a))\2. На ос-
новании A.44) оптимальный фильтр для выделения сиг-
налов из таких помех имеет передаточную функцию
G
S (со)
Положив /0 = 0 и G = \x, получим (9.1) для прямоуголь-
ного импульса длительности ti.
254

Это и доказывает, что устройство (рис. 9.2,а) пред-
ставляет собой оптимальный фильтр Урковица. Он не
нашел применения в радиолокационных приемниках из-
за того, что при этом резко сократилась бы дальность
действия вследствие увеличившегося влияния белых
входных шумов. Последнее объясняется тем, что модуль
передаточной функции (9.1) сравнительно мал на низ-
ких частотах, на которых и сосредоточен в основном
спектр принимаемого сигнала. На более же высоких ча-
стотах, соответствующих менее интенсивным участкам
спектра сигнала, модуль передаточной функции замет-
но выше. В результате уровень шумов на выходе будет
очень высоким, а при неограниченной полосе — беско-
нечно большим.
Если заметно ограничить полосу пропускания филь-
тра, то это приведет к значительному расширению вы-
ходных импульсов сигнала.
Итак, указанное выше противоречие между дально-
стью действия системы и ее разрешающей способностью
по дальности не находит и в этом случае удовлетвори-
тельного разрешения.
В первой главе показано, что для обеспечения наи-
большей дальности действия необходимо применять оп-
тимальную фильтрацию сигналов. Выходной сигнал при
этом воспроизводит автокорреляционную функцию вход-
ного сигнала. Чтобы получить высокую разрешающую
способность по дальности, необходимо иметь эту функ-
цию в виде кратковременного импульса, сосредоточен-
ного в окрестности ^=0 и имеющего малую длитель-
ность Т2. Поэтому спектр импульса по выходе оптималь-
ного фильтра должен быть порядка —, а на его входе — по-
рядка . Следовательно, для получения высокой разре-
шающей способности по дальности спектр излучаемых
импульсов должен быть достаточно широким.
Этого можно достигнуть как укорочением длительно-
сти излучаемых импульсов (что нецелесообразно), так
и их угловой (частотной или фазовой) модуляцией по
некоторому закону.
Для получения большой дальности действия излучае-
мые импульсы должны иметь 'большую длительность.
Поэтому для обеспечения как высокой разрешающей
255

способности по дальности, так и большой дальности
действия, излучаемые сигналы должны иметь достаточ-
но большое произведение ширины спектра на длитель-
ность. Такие сигналы называются широкополосными.
Требование широкополосности спектра сигналов для
получения высокой разрешающей способности по даль-
ности является необходимым, но недостаточным. И при
широком спектре сигнала его корреляционная функция
может в принципе иметь или один широкий централь-
ный выброс в окрестности точки t = 0 или, наряду с уз-
ким центральным выбросом, несколько дополнительных
выбросов. В последнем случае невозможно обеспечить
однозначность измерения дальности.
Указанное обстоятельство существенно усложняет
выбор формы применяемых сигналов.
§ 9.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ ИМПУЛЬСОВ
С ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
1. Спектр импульса с линейной ЧМ
Одним из простейших способов расширения спектра
излучаемого радиоимпульса является глубокая модуля-
ция его несущей частоты по линейному закону в пре-
делах длительности
ш = шо + ^/ приКК-^-, (9.2)
где Д(о = 2тсД/ — девиация частоты; «>0 — средняя частота.
Этот импульс имеет фазу
Положив <р —0 при ^ = 0, получим С = 0. Тогда мгно-
венное напряжение импульса
С целью упрощения записи в дальнейшем будем пользо-
ваться представлением импульса в комплексной форме.
256

Этот импульс имеет спектральную функцию
S, (») = [/,
2
Полагая х = т/^ ff+й>0 +" Q , получаем
+r2 j
где
D = A/V (9.4)
В начале импульса (t = —у-], когда (о = ш0 ~ix1=
==]/2D и х2 = 0, а в конце импульса ft = ^-\ когда
> = (о0-{-—, xL = 0 и x2 = \f2D. Так как
С JTX\ -ъ / \ С тс 2. , . f . те 2 у
\е ах = Z (#)= I cos -~-х ах-4-; \ sin-s-л «^ =
J J ^ J ^
где Z (^/) — комплексный интеграл Френеля,
С (у) и S (у) — соответственно косинус- и синус-интег-
ралы Френгля [101], запишем окончательно
+ jS(xl) + IS(xt)]. (9.5)
Следовательно, амплитудный спектр [119]
Sl (ш)=t/,]/"^-{{С to)+с to)]2+[s to)+ад]2}1/2
(9.6)
257

и фазовый спектр
2Дсо
. (9.7)
Анализ соотношения (9.6) и рассмотрение кривых на
рис. 9.3, а показывают, что по мере увеличения коэффи-
циента D амплитудный спектр ЧМ импульса становится
D-13
V-13
1=130
J
Рис. 9.3. Нормированный амплитудный спектр ЧМ им-
пульса (а) ,и составляющая аго фазового спектра \(б).
Асо
все более равномерным в пределах полосы от ш0 — до
а,о^ 4^.? а на границах этой полосы резко спадает. Таким
образом, при достаточно больших значениях коэффициента
D (которые и представляют наибольший интерес) спектр
сигнала сосредоточен в пределах указанной полосы. Рас-
четы показывают, что уже при D=10 почти 95% всей
энергии сигнала заключено в этой полосе, а при D=100
эта доля превосходит 98°/0 [120].
Второе слагаемое фазового спектра
в пределах той же полосы практически постоянно, осо-
бенно при больших D (рис. 9.3, б).
Вследствие этого и того, что С(со) = 5(оо) = 0,5,
соотношения (9.6) и (9.7) при больших D можно заменить
258

приближенными равенствами:
Асо
-^ при |<D-a>e|<-2-
где 0о — постоянный фазовый угол.
2. Характеристики оптимального фильтра.
Сигнал на его выходе
Из A.20) и (9.5) следует, что оптимальный фильтр
должен иметь передаточную функцию
К (со) = GUt Yw\ e ^~X'[Z* M 4- Z* (х2)] е-/т<« .(9.10)
Полагая вигу -^- = 1, получаем
К (со) = -+=¦ [Z* (*,) + Z* (х.)] ехр / [(т'-;)Ч' - Ч i •
Сигнал на выходе оптимального фильтра имеет спектр
-1
=7( Н S И = -1- t/t |/ ^f- [Z (а:х) + Z (x2)] [Z*
и мгновенное значение
+ 00 +00
=i J
)]2 + [5 {хх)
Используя аппроксимацию (9.8) для амплитудного спектра,
которая эквивалентна соотношению
[С (Xl) + С (x2)Y + [S (xt) + 5 (x2)Y « 2,
259

получаем
Лео
Лш
А (о
а/Ч (t-t0)
До
Действительная часть этого комплексного [равенства и
описывает реальный сигнал на выходе:
cos w° (^ -
Он не имеет уже частотной модуляции. Его комплексная
амплитуда (рис. 9.4)
^ (9.12)
имеет вид функции
(Г
-да
Рис. 9.4. Изменение комплексной амплитуды импульса
на выходе оптимального фильтра во времени.
Выходной импульс на уровне 0,637 от максимального
имеет длительность %г = —щ Поэтому отношение дли-
тельностей импульсов на входе и выходе оптимального
фильтра равно коэффициенту D:—L-=kf'z1 = D, который
260

поэтому называется коэффициентом сжатия длительности
импульса.
Выходной сигнал симметричен относительно t = t0 и
достигает в этот момент пикового значения 52Макс =
= UX^D, которое в VD раз больше амплитуды сигнала
на входе.
Из A.28) и (9.3) следует, что оптимальный фильтр
имеет импульсную переходную функцию
h (t) = GUX exp j/ К (t - to)-±^(t- to)> J X
(9ЛЗ)
Пользуясь интегралом свертывания и формулами (9.3) и
(9.13), определяем сигнал на выходе оптимального фильтра
_-U-^o|). (9.14)
Положив G = Tr-§/ _1) перепишем это выражение в ве-
щественном виде
e(i-g 1 (х, — |^—^о|). (9Л5)
Амплитуда этого колебания
несколько отличается от амплитуды (9.12), которая по-
лучена приближенным путем (мы предположили, что
амплитудный спектр входного, а следовательно, и вы-
ходного импульса прямоугольный). Однако, если коэф-
фициент сжатия достаточно велик, это отличие является
весьма малым, ибо в пределах длительности основного
выброса выходного импульса ^-Ъп ^ 1. Вслед-
ствие этого в указанном случае (9.16) практически сов-
падает с (9.12).
261

Таким образом, предположение о прямоугольном ха-
рактере амплитудного спектра ЧМ импульса является
при большом коэффициенте сжатия достаточно точным.
U)q
OJo+f OJ
(I tQ
1
(d0 <J0+ ^f-
Рис. 9.5. Фазочастотная характе-
ристика оптимального фильтра (а)
и зависимость его времени за-
держки от частоты (б).
Поэтому с большой степенью точности можно считать
амплитудно-частотную характеристику оптимального
фильтра прямоугольной
(9.17)
Фазочастотная характеристика этого фильтра соглас-
но A.23) и (9.9) такова:
=1 при |ш-ю0К
2Дсо
¦в..
(9.18)
Она нелинейна и описывается параболой второй степе-
ни (рис. 9.5,#).
262

Из .(9.18) следует, что оптимальный фильтр осущест-
вляет задержку спектральных компонент на время
3~ ~~1^~— °
9 ]9
являющееся линейно убывающей функцией частоты
(рис. 9.5,6). В частности, при го = аH — что согласно
(9.2) соответствует частоте входного импульса в момент
его начала [t= ^-j, время задержки максимально:
:=^о + 4р при (о = ш0, что соответствует частоте
входного импульса в момент ^ = 0 (т. е. в середине им-
пульса), ^з = ^о> а при cd = cdo-|—^-, равной частоте вход-
ного импульса в момент его окончания t — ~, имеем
i = t0 <?- отсюда следует t0 ^ -^-, что вполне со-
Z | Z
гласуется с A.29'1 .
Таким образом, спектральная составляющая сигна-
ла, наблюдающаяся на входе в некоторый момент ty по-
ступает на выход оптимального фильтра в момент t+h,
величина которого согласно (9.2) и (9.19) равна to и не
зависит от частоты этой составляющей. Следовательно,
все спектральные составляющие сигнала задерживают-
ся оптимальным фильтром на такое время t3, что посту-
пают на его выход одновременно в момент to. Имея од-
ну и ту же нулевую фазу, они образуют в результате
арифметического сложения пиковый выброс сигнала.
Этим и объясняется значительное увеличение амплиту-
ды сигнала после прохождения оптимального фильтра
и укорочение его длительности.
3. Практическое приближение оптимального фильтра
Фильтр, оптимальный ЧМ импульсу, должен иметь
передаточную функцию (9.10) и импульсную переход-
ную функцию (9.13). Его осуществление подробно рас-
смотрено в [И, 120—122].
Чтобы упростить это осуществление, вместо опти-
263

мального фильтра используют его практическое при-
ближение в виде совокупности частотного фильтра и
устройства с параболической фазочастотной характери-
стикой (рис. 9.5).
Если считать частотный фильтр идеальным, то
устройство, являющееся приближением оптимального
фильтра, обладает передаточной функцией
(9.20)
(Здесь для упрощения последующих соотношений по-
ложено 60 =0.)
При действии на вход такого устройства ЧМ импуль-
са выходное напряжение имеет согласно (9.5) спектр
(a») = Ut У^- е-/ш'° [Z (*,) + Z (*,)] 1 (^ -1 а, _ шо|)
и мгновенное значение
При t = t0 выходной сигнал достигает пикового значения
Дсо
" Да)
или после элементарных преобразований
V2D_
Бамако = UX j Z(x)dx.
Используя формулы D.251) [88], легко показать, что
264

Вследствие этого
= ?/, [К2D Z (/2D) - / ± A - е/лО )] . (9.21)
Полагая коэффициент сжатия целым четным числом, по-
лучаем при записи в вещественном виде
(9.22)
Так как мощность шума на выходе составляет
00
о
то отношение сигнал/шум на выходе
5!макс Jl2~
У 2 ~ 12
С2
а проигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению с оп-
тимальным фильтром
—2
Использовав асимптотические представления интег-
ралов Френеля при больших значениях аргумента A01],
G
Ш
№
40
ПО
160 W0 В
Рис. 9.6. Проигрыш при использовании прак-
тического приближения оптимального фильт-
ра как функция коэффициента сжатия.
265

получим для достаточно больших целых четных коэф-
фициентов сжатия
Погрешность этой формулы уже при D = 8 составляет
1,12% и уменьшается с увеличением коэффициента сжа-
тия.
Рассмотрение рассчитанной по формуле (9.23) и
таблицам 1[123] зависимости проигрыша от коэффициен-
та сжатия (рис. 9.6) показывает, что этот проигрыш не-
велик даже при умеренных коэффициентах сжатия и
быстро уменьшается с его увеличением. Это объясняет-
ся тем, что спектр ЧМ импульса становится все более
прямоугольным. Вследствие этого приближение опти-
мального фильтра становится все более точным.
4. Ослабление боковых выбросов выходного импульса
Огибающая сигнала на выходе оптимального филь-
тра (рис. 9.4) имеет наряду с большим основным (цен-
тральным) выбросом другие более слабые, но все же
достаточно интенсивные боковые выбросы. Это является
следствием прямоугольного характера амплитудного
спектра выходного сигнала.
Чтобы улучшить форму огибающей этого сигнала
путем ослабления его боковых выбросов, вместо идеаль-
ного фильтра следует использовать фильтр с плавной,
но резко спадающей амплитудно-частотной характери-
стикой. Примером такой характеристики может быть
колоколообразная
0,0351
а Д/7 — полоса пропускания фильтра на уровне ~tf=^.
В результате прохождения ЧМ сигналом (9.3)
устройства с квадратичной фазочастотной характеристи-
кой (9.18) и колоколообразного фильтра сигнал будет
иметь спектр
266

J, J \шо ш/ У^Г 0 У \
2
и мгновенное значение
+00
Меняя порядок интегрирования и производя вычисления,
получаем
s3 @ = 0>
[4" /"т" (! + /4'54^2Д/ С - 'о))]} X
где п = -?г — отношение полосы пропускания фильтра
к девиации частоты;
Ф(г) — интеграл вероятности от комплексного пе-
ременного 2 [101];
так как обычно D порядка сотни, а п порядка 0,5.
Следовательно, сигнал на выходе имеет комплексную
амплитуду
Ut (t) ~ 0,754(/хл /D { Ф [^ - /2,67/iA/ (/ -*.)] +
которая при t = t0 принимает максимальное значение
267

Выражение для комплексной амплитуды выходного
сигнала легко преобразовать к виду
?/,@ = 1 .бОМ/»/» / D {1 — Re
где z = 2,67«Д/ (f — f.) + / Ц
(z)}}
а ш(г) =
—Z2
L \ ef2dt ) — табулированная функция
от комплексного аргумента [140].
Рассмотрение формы огибающей выходного сигнала
(рис. 9.7) показывает, что по мере сужения полосы про-
пускания колоколообразного фильтра заметно умень-
шается уровень боковых выбросов. Так уже при /г = 0,6
Рис. 9.7. Изменение комплексной амплитуды
выходного импульса во времени.
относительная величина первого бокового выброса по
сравнению с импульсом на выходе оптимального филь-
тра (который практически совпадает с импульсом при
п = оо) уменьшается больше, чем в два раза. При я = 0,4
величина первого бокового выброса уменьшается
в 38 раз, а второго (который в этом случае больше пер-
вого) — в 5,8 раза.
863

Ослабление боковых выбросов сопровождается уве-
личением длительности основного выброса. Однако это
увеличение является сравнительно небольшим и состав-
ляет в указанных выше случаях соответственно 8 и 36%
( 1 \
при уровне отсчета длительности импульса, равном -т~=-\
Кроме того, сужение полосы пропускания фильтра
приводит и к изменению как пикового значения сигнала,
так и мощности шума на выходе, а следовательно, и
к изменению отношения сигнал/шум.
Так как выходной шум имеет мощность
о
то на выходе наблюдается отношение сигнал/шум
Следовательно, проигрыш по мощности в отношении
сигнал/шум по сравнению с оптимальным фильтром со-
ставляет
п 0,4697
Минимальное значение этого проигрыша наблюдает-
ся при /г = 0,62 и равно всего только 12%. При измене-
нии полосы пропускания фильтра от 0,38Af до 0,96 Af
величина этого проигрыша не превышает 30% (рис. 9.8).
Таким образом, замена идеального фильтра колоко-
лообразным с полосой пропускания порядка @,4—0,5) Af
позволяет значительно снизить уровень боковых выбро-
сов при сравнительно небольшом расширении основного
выброса и практически незаметном уменьшении отноше-
ния сигнал/шум.
Большее ослабление боковых выбросов выходного
сигнала можно получить с помощью специальной весо-
вой обработки. Она основана на применении результа-
тов, полученных при решении аналогичной задачи наи-
большего ослабления боковых лепестков диаграммы на-
правленности антенны при минимальном расширении
269

основного лепестка методом Дольфа—Чебышева ([120,
141]. В частности, весьма хорошие результаты дает про-
G
И
\
\
\
у
/
/
/
/
/
0,1 ОМ 0,6 0,8 @ 12 \,h п
Рис. 9.8. Проигрыш в отношении сигнал/шум
по мощности как функция отношения полосы
пропускания колоколообразного фильтра к де-
виации частоты.
пускание укороченного импульса (9.11) через фильтр
с передаточной функцией
N
N
. k (<o-«>o)
cos-|-(»-«,)=
k=-N
(9.24)
где N — целое число, определяющее точность аппрокси-
мации данным фильтром наилучшего фильтра Доль-
фа—Чебышева (с ростом N точность аппроксимации
возрастает),
при
27Q
-
N
[ п~~ 2 J J
fe=l-r-JV (произведение 17'не содержит члена с
1 « 1
. = — arch —;
те 7

Y — отношение величины первого бокового выброса,
который является наибольшим из боковых, к ве-
личине основного выброса.
Поскольку передаточная функция [ifte Л/= реализуется
совокупностью устройства с коэффициентом передачи y.k
к
и устройства задержки на время -гт, то в случае, когда
средняя частота сигнала /0 кратна девиации частоты Af,
ML
¦
>/и,
и
1
0 «(
>/»*-»
«„EEL
T
Рис. 9.9. Блок-схема устройства весовой обработки сигнала после
оптимальной фильтрации.
весовая обработка (9.24) осуществляется системой из
устройства задержки на время -^ с 2N — 1 равномерно
расположенным отводом и устройства суммирования с ве-
сами \ik напряжений, снимаемых с этих отводов, а также
со входа и выхода устройства задержки (рис. 9.9).
Импульс, получаемый в результате такой весовой об-
работки, имеет на уровне —= длительность
/ 1 у
(arch —J +rcs
Механизм весовой обработки укороченного сигнала
иллюстрируется временными диаграммами, изображен-
ными на рис. 9.10,а, где взят простейший случай Л^=1и
(xi = 0,4. Форма выходного импульса, полученного в ре-
зультате квазиоптимальной весовой обработки по зако-
ну (9.24) при y = 0,01 и #=5, показана на рис. 9.10,6.
271

ftff
U,0
nt
11,4
fl7
litl
о
Щ
n
и
AA1
\
\
\
\
1
A
/ V
t
V
f\
\J
Рис. 9.10. Временные
диаграммы нормирован-
ных комплексных ампли-
туд при весовой обра-
ботке.
272

Весовая обработка укороченного в оптимальном
фильтре импульса ухудшает отношение сигнал/шум. Од-
нако это ухудшение сравнительно невелико и при у>0,01
не превышает 30% по мощности [120].
В заключение заметим, что устройство весовой обра-
ботки должно выполняться из достаточно стабильных
элементов и требует весьма тщательной регулировки.
5. Временное смещение отраженного от подвижного
объекта ЧМ импульса на выходе оптимального фильтра
При отражении сигнала от подвижного объекта его
каждая спектральная составляющая частоты шг получает
смещение по частоте ш2 = М — )<»!. Вследствие этого
ЧМ импульс, отраженный от подвижного объекта, имеет
мгновенную частоту
Ю2 =
где г — расстояние до объекта, вызвавшего отражение.
Поскольку обычно Дш <^ ш0, то в том же интервале вре-
мени
, Дсо_/, _2г_\ 2?г
При прохождении оптимального фильтра этот сигнал
получит задержку [см. (9.19)]
Дсо
По сравнению со случаем отражения от неподвижного
объекта этот сигнал дополнительно запоздает на время
3
Ml^L==^ (9<25)
3 с Дсо Ло ' v '
где Ко — средняя длина волны.
Отношение этого дополнительного временного сме-
щения к длительности выходного импульса составляет
8^^=^. (9.26)
Следовательно, временное смещение выходного импуль-
са вследствие явления Допплера может внести ошибку
в измерение дальности, если отражающий объект за вре-
273

а)
S)
Ь)
Мя излучения импульса перемещаешься по отношению
к радиодальномерной системе на расстояние порядка
или больше средней длины волны. Например, при
t?r=300 м1 сек, Ti== 100 мксек и Я= 10 см имеем б/з = 6,
т. е. выходной импульс смещается на время, равное его
шестикратной длительности.
Временное смещение вы-
ходного импульса может при-
вести к его слиянию с другим
выходным импульсом, отра-
женным от другого объекта,
двигающегося с иной ради-
альной скоростью и находя-
щегося на ином расстоянии.
Пусть, например, на вход
оптимального фильтра посту-
пают два сигнала (рис. 9.11,а
«и г). Если оба сигнала отра-
жены неподвижными объек-
тами и на входе разнесены по
времени на t\ (где t\>x%)^ то
выходные импульсы (рис.
9.11,6 и д) легко раздельно
распознаются. Если же пер-
вый сигнал отразился от объ-
JJU.
I
L
-t
Рис. 9.11. Временные диа-
граммы амплитуд напряже-
ний <на входе (а и г) и 'вы-
ходе (б, вид) оптималь-
ного фильтра.
екта, удаляющегося со скоростью vr =
то он вызо-
вет на выходе импульс (рис. 9.11,в), дополнительно за-
паздывающий относительно импульса (рис. 9.11,6) на
время t\ и совпадающий во времени с импульсом от
второго сигнала. Следовательно, указанные объекты не
могут быть разрешены данной радиодальномерной си-
стемой.
Рассмотренное временное смещение ЧМ импульсов
при приеме является существенным их недостатком, огра-
ничивающим возможности их применения.
§ 9.3. ПОЛУЧЕНИЕ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ И РАЗРЕШАЮЩЕЙ
СПОСОБНОСТИ ПО ДАЛЬНОСТИ И СКОРОСТИ
Чтобы оценить точность и разрешающую способность
системы по дальности и скорости (т. е. временному по-
ложению t и частоте F), обычно анализируют совмест-
274

ную корреляционную функцию модуляции используемо-
го в ней сигнала [11 —13, 31, 36]
+ 00
W(t, F) =
—00
+ 00
где S (оо) — частотный спектр комплексной амплитуды
сигнала U(t).
Так как S * Bnf) представляет собой передаточную
функцию фильтра, оптимального сигналу U(t),
S[2tt(f—F)]— спектр модуляции сигнала, сдвинутого по
частоте на F, а их произведение—спектр отклика опти-
мального фильтра на сдвинутый по частоте сигнал, то
совместная корреляционная функция, будучи преобра-
зованием Фурье от этого произведения, и является ука-
занным откликом. Эта функция является обобщением
понятия корреляционной функции на случай двух пере-
менных t и F.
Часто используется нормированная совместная кор-
реляционная функция модуляции
+ 00
+ 00
где ?=-^-^@, 0) = -^ \ U(x)U*(x)dx — энергия сиг-
—00
нала. Эта функция показывает относительную величину
отклика оптимального фильтра на сигнал, сдвинутый по
времени на t и по частоте на F относительно сигнала,
оптимального этому фильтру. Иными словами, она ха-
рактеризует степень различия откликов фильтра на два
указанных выше сигнала.
В рассмотренном выше случае линейной ЧМ
275

вследствие чего после вычислений получим
(9.27)
Область значений переменных, в которой ^-<С
I, естественно назвать областью высокой
корреляции сигналов. Два
сигнала, взаимно сдвинутые
по времени на t и по частоте
на F, которые соответствуют
на плоскости переменных i, F
точкам, лежащим в пределах
этой области, невозможно раз-
дельно распознать.
Так как точное измерение
параметров принимаемого
сигнала t и F в пределах
области высокой корреляции
и при наличии шума принци*
пиально невозможно, она
иногда называется областью
неопределенности. Чем мень-
ше эта область, тем выше точ-
ность измерения указанных
параметров.
Для устранения неодно-
значности измерения пара-
метров необходимо, чтобы
область высокой корреляции
была единственной. Это тре-
бование принципиально не-
выполнимо в случае периоди-
ческого или квазипериодиче-
ского сигнала. Поэтому при-
ходится довольствоваться требованием, чтобы различ-
ные области высокой корреляции были достаточно уда-
лены друг от друга.
Область высокой корреляции сигналов с линейной ЧМ
(рис. 9Л2) сильно вытянута в направлений прямой /^ =
27Q
\
\
-0,5
к
\
-о,нЩ
-0,6
Ft,
-0,5V
AS
Щб/S
ш
\
-о,.ч
0,5 tit,
i
\
Рис. 9.12. Область высокой
корреляции ЧМ импульса.

t 1 2
=— D— и имеет ширину порядка -~, а длину по-
рядка D. Ее площадь порядка единицы и не зависит от
коэффициента сжатия. Рассмотрение этой области пока-
зывает, что разрешающая способность по времени (даль-
ности) определяется величиной
Дг = ^, (9.28)
обратно пропорциональной девиации частоты, а следо-
вательно, и спектру сигнала.
При отсутствии временного сдвига между сигналами
(< 0)
(9.29)
Последняя, как и (9.12), имеет вид функции ——- , Так
как (9.29) лежит в пределах 0,5-f-1 при \Fx1\<^0fi, то
разрешающая способность системы по частоте (скорости)
характеризуется величиной
Д^ = ^, (9.30)
обратно пропорциональной длительности импульсного
сигнала.
Эти результаты, полученные для частного случая,
являются достаточно общими и качественно справедли-
вы и для сигналов иной формы.
Поясним последний результат физически. Способ-
ность системы различить два сигнала по частоте опре-
деляется временем анализа этих сигналов, которое не
может быть больше их длительности. Чем больше дли-
тельность анализируемых сигналов, тем больше раз-
ность их выходных эффектов в виде различного набега
фаз. Поэтому разрешающая способность по частоте
определяется длительностью используемых сигналов.
Положив в (9.27) Д/=0, получим модуль нормиро-
ванной корреляционной функции немодулированного
импульса длительности т
sin nFx [I — ¦
(9.31)
277

При ? = 0 вновь получим (9.29), откуда следует, что раз-
решающая способность по частоте характеризуется ве-
личиной (9.30). При ^=0 получим корреляционную
функцию огибающей такого сигнала
которая представляет собой треугольную функцию. По-
этому разрешающая способность по времени составляет
Ы = х. (9.32)
Так как ширина спектра рассматриваемого сигнала име-
ет порядок —, то легко заключить, что (9.32) и (9.28)
являются частными случаями более общей формулы
Д^-ff, (9.33)
где П — ширина спектра используемого сигнала. Это
выражение вполне согласуется с физическими соображе-
ниями, изложенными
в конце § 9.1.
Сравнивая область вы-
сокой корреляции не-
модулированного им-
пульса (рис. 9.13)
с аналогичной об-
ластью для ЧМ им-
пульса (рис. 9.12), за-
мечаем, что последняя
сильно вытянута и по-
вернута против часо-
вой стрелки на угол,
котангенс которого ра-
вен коэффициенту сжа-
тия. Ее площадь так-
же имеет порядок еди-
ницы.
Для получения вы-
сокой разрешающей
способности по дальности и скорости необходимо при-
менять такие формы сигналов, нормированная совмест-
ная корреляционная функция модуляции которых удо-
OJ t/t
Рис. 9.13. Область высокой корреля-
ции немодулированного1 импульса.

влетворяет двум требованиям: 1) она близка к едини-
це только в небольшой окрестности точки t = F = O\
2) во всех других областях плоскости t, F модуль этой
функции значительно меньше единицы.
К сожалению, невозможно добиться одновременного
сосредоточения области высокой корреляции в неограни-
ченно малой окрестности начала координат и равенства
нулю совместной корреляционной функции во всех дру-
гих областях плоскости t, F. Дело в том, что эта функ-
ция удовлетворяет условию [13, 31, 36]
JV ||ЗД F)\*dt=l, (9.34)
—00 —00
которое описывает так называемый принцип неопреде-
ленности в радиолокации. Оно означает, что всякое су-
жение центральной области высокой корреляции с неиз-
бежностью ведет к увеличению значений совместной
корреляционной функции в других областях и может
вызвать даже появление новых областей высокой кор-
реляции. Последнее может явиться причиной неодно-
значности измерения параметров сигнала. -
Указанным выше требованиям удовлетворяет совме-
стная корреляционная функция шумового сигнала. Но
его применение связано с большими трудностями при
осуществлении оптимальной фильтрации.
Попытки подобрать удовлетворительную форму сиг-
нала увенчались некоторыми успехами. Ниже и рассмат-
риваются два вида сигналов, удовлетворяющих в значи-
тельной мере указанным выше требованиям.
§ 9.4. СИГНАЛЫ, МАНИПУЛИРОВАННЫЕ ПО ФАЗЕ
В СООТВЕТСТВИИ С КОДОМ БАРКЕРА
1. Понятие о коде Баркера. Свойства сигналов
Два сигнала, имеющие одинаковую мощность и от-
личающиеся только фазой на я, обладают максимально
возможной степенью различия. Функция их взаимной
корреляции при отсутствии временного сдвига равна —1.
Именно поэтому использование таких сигналов при пе-
редаче дискретных сообщений (например, при телегра-
фии, которая называется в этом случае фазовой) обес-
печивает наибольшую помехоустойчивость [20, 23].
279

Возьмем Л/ импульсных сигналов длительностью to й
амплитуды t/, которые различаются между собой сме-
щением во времени на величину, кратную длительности,
и могут отличаться начальной фазой на jt. Из этих эле-
ментарных импульсных сигналов образуем фазоманипу-
лированный сигнал:
и = U cos [(oQt -f- & (t)] при
(9.35)
при л '" ~ " "
где &(*) = 0,-= const при (i — 1K<^<O"V a /=1-*-#,
причем &^ равно или 0 или те в зависимости от приме-
няемого кода. Здесь и далее предполагается, что со0т:0
кратно 2«. Обозначив cos&2==^, перепишем (9.35) так:
« = C/diCOS<D0* При (t — 1)#Со<^<«Чо>
где / = 1 -ч- JV, a di равно или -|-1 или — 1.
Нормированная комплексная огибающая этого сигнала
может быть представлена в виде следующего ряда:
U9(t)=J^t\ [^-|^-(i-4-)*o|]. (9-36)
_fl при (i —
\0 при t<{i — l)*Q и
Нормированная корреляционная функция комплексной
огибающей при временном сдвиге * = &то-[-е, где k—це-
лое неотрицательное число, а СХе<т:0, равна
+ 00
—00
В частности, при временном сдвиге, кратном длитель-
ности элементарного импульса х01
280

При отсутствии временного сдвига tpo(O) = — Vd^=
при сдвиге на время (JV — 1) х0 — ф0 [(N — 1) х0] = 1 rfxrfN>
а при положительном т, начиная с нуля, и любом зна-
чении 8
Выберем последовательность {di}, где ; = 1 ч- ЛГ, так
чтобы при значениях аргумента, абсолютная величина ко-
торых больше длительности элементарного импульса х0,
нормированная автокорреляционная функция лежала в пре-
делах от —тг- до -f-дт- :
Поскольку di могут принимать значения только ±1,
то, как следует из (9.38), при четном N для этого должны
выполняться условия
N—2м
N—2m-l
=0
при m= 1, 2,..., -?-•
л 1 #
' (9.39)
Аналогично при нечетном N
N—2m
=l, 2,...,
N—\
N-2m~l
У,
= O при /гг =
...., 2 *
(9.40)
Одно из неизвестных di можно выбрать произвольно,
положив, например, dl = -{-l. Тогда каждая из систем
(9.39) и (9.40) состоит из (N — 1)-го уравнения с (N — 1)
неизвестным,
281

Из (9.39) и (9.40) следует, что выражение (9,37) может
быть упрощено. Так, при k = 0 и нечетном N
N-1 N
ввиду чего
N1
а при четном N вследствие того, что \\didi+1 = z±ili
При 1 < k < N — 1 в случае четного N —'к
N—k N—k—l
^гЧ/1 = 0 и
*=1 /=1
откуда следует
/N—k—l
в случае же нечетного N—k имеем
N—k N—k—l
i=l i=l
вследствие чего
При отрицательных временных сдвигах корреляцион-
ную функцию легко определить, используя ее свойство
четности.
При N=2 система (9.39) представляет собой урав-
нение did2= ±1. Кроме двух тривиальных решений
di = d2=l и di = d2=—1 имеется еще два решения:
di = + l; d2 = — l и di = — 1; d2= + l. При N=4 эт^ систе-
282

itoa имеет 8 решений
(табл. 9.1). Легко за-
метить, что решения
б, г, е и з являются
соответственно зер-
кальными отображе-
ниями решений я, в,
д и ж (т. е. изобра-
жающие их последо-
вательности различа-
ются друг от друга
обратным порядком
следования членов),
а решения в, г, ж и з получены соответственно из реше-
ний а, б, д и е умножением каждого члена последова-
тельности на —1. Поэтому независимыми решениями
являются только а и д. Рассмотрение их корреляцион-
ных функций (рис. 9.14,а и б) показывает, что код а
дает несколько лучшие результаты. При других чет-
ных N решений системы (9.39) не существует.
При нечетном N решения системы (9.40) имеются
только при N=3, 5, 7, 11 и 13 (см. табл. 9.2).
Индекс
решения
а
б
в
г
д
е
ж
3
dx
+1
+1
—1
—1
+ 1
—1
—1
+ 1
Та
d2
+ 1
—1
—1
+ 1
+ 1
+ 1
— 1
—1
блиц
d3
— 1
+ 1
+ 1
— 1
+ 1
+ 1
1
— 1
а §Л
d*
+ 1
+1
—1
—1
—1
+ 1
+ 1
—1
\л
N \
3
5
7
11
13
di
+ 1
+ 1
+1
+ 1
+ 1
d2
+1
+ 1
+ 1
+1
+1
d>
—1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
d.
0
—1
—1
—1
+1
d*
0
+1
—1
—1
+1
de
0
0
+ 1
— 1
— 1
d4
0
0
— 1
-j-1
i
0
0
0
— 1
+1
d9
0
0
0
—1
+1
Та
d10
0
0
0
+ 1
б Л I
0
0
0
—1
+1
i ца
0
0
0
0
—1
9.2
di9
0
0
0
0
+ 1
Корреляционные функции сигналов приМ=7, 11 и 13
построены соответствашю на рис. 9.14,в, гид. Интересно
отметить, что при N=5 и 13 они везде неотрицательны,
тогда как при N=3, 7 и 11 неположительны за исключе-
нием участка —То<^<то.
Последовательности {di} при 7V = 3, 7 и 11 были впер-
вые предложены Баркером [124]. Вследствие этого по-
следовательности, удовлетворяющие условиям (9.39) и
(9.40), носят название кодов Баркера.
283

Исследования [125, 126] и др. показали, что при Л/>13
кодов Баркера, к сожалению, не существует. Вследствие
этого при оптимальной фильтрации невозможно полу-
-\1 40 -д -6 -4 -I О I 4 6 д
Рис. 9.14. Корреляционные функции комплексных ампли-
туд 'сигналов, манишулирсшанных'по фазе кодом Баркера.
чить превышение главного максимума модуля корреля-
ционной функции над прочими максимумами более чем
в 13 раз. Иначе говоря, при использовании сигнала, ма-
нипулированного по фазе в соответствии с кодом Бар-
кера, главный максимум напряжения на выходе опти-
284

мального фильтра сопровождается побочными максиму-
мами, относительная величина которых не может быть
сделана меньше 1/13 *.
Рассмотренная корреляционная функция является
сечением совместной корреляционной функции модуля-
ции при F = 0. Другим сечением этой функции (уже пло-
скостью t=0) является
+ 00
ЧГДО, F) = j±-^ Uu(x)U*0(x)ei2«Fxctx,
которое приводит к равенству
sin 7iFNzQ
(9.41)
Это выражение совпадает с (9.29), так как X\=\Nxo. Во-
обще формула (9.29) справедлива для любого сигнала
с постоянной амплитудой в течение всей его длительно-
сти. Как видно из рис. 9.4, побочные максимумы функ-
ции (9.11) или (9.29) меньше главного максимума при-
близительно в 5 раз.
2. Получение сигналов. Оптимальный фильтр
Сигнал, манипулированный по фазе на я по закону
кода Баркера, можно получить сравнительно просты-
ми средствами. Для этого можно применить балансный
* Уменьшение относительной величины боковых максимумов
ниже величины jj- можно получить с помощью специальной весовой
обработки сигнала после оптимальной фильтрации. Это можно про-
иллюстрировать простейшим примерам весовой обработки сигнала
при Af=3 с помощью совокупности устройства задержки «а время
4т0 и устройства суммирования напряжений, снимаемых со входа,
средней точки и выхода устройства задержки и взятых с весами -д-;
1 и "о". Легко (убедиться, что при этом полностью подавляются пер-
вые боковые выбросы и появляются вторые боковые выбросы. Отно-
сительная величина последних составляет у, что заметно меньше
"^-. Однако при этом отношение сигнал/шум по мощности умень-
шается на 22%.
285

модулятор, питаемый от генератора высокой частоты и
модулируемый последовательностью кодированных им-
пульсов.
Последовательность же кодированных импульсов
можно образовать путем алгебраического суммирования
импульсов, снятых с отводов линии задержки общей
длительностью (N— 1)т0, на вход которой поступает пря-
моугольный импульс длительности т0. Линия задержки
имеет всего N—2 отвода, обеспечивая задержку на ве-
личину, кратную т0. Импульсы, снятые с начала линии,
со всех отводов и конца линии, складываются в сумми-
гон
1
I
«5
11-
I-
I
ГВЧ
Jf
Ш
*^t
Рис. 9.15. Блок-схема устройства для генерирова-
ния ФМ сигнала при N=7 (а) и временные диа-
граммы напряжений в нем (б).
рующем устройстве с весами, соответствующими значе-
ниями членов di кода Баркера. В результате этого сум-
мирования и образуется последовательность кодирован-
ных импульсов (рис. 9.15).
Импульс, поступающий на вход линии задержки, мож-
но получить или с помощью обычной импульсной схемы
или путем возбуждения очень коротким импульсом опти-
мального фильтра для видеоимпульса длительностью То-
286

РОФОС
4-
Если же на вход линии задержки подать радиоим-
пульс частоты соо и длительное! л to, образованный при
возбуждении оптимального фильтра для такого сигнала
дельта-импульсом, то при этом на выходе суммирующе-
го устройства будет образован ФМ кодированный сиг-
нал (рис. 9.16,а). Следовательно, импульсная переход-
ная функция этой системы (рис. 9.16,6) совпадает с этим
сигналом. А, как показано в § 1.5, импульсная переход-
ная функция отличается от функции, изображающей
сигнал, в основном знаком
аргумента времени. Поэто-
му если у устройства для
генерирования сигнала (рис.
9.16,6) .поменять своими ме-
стами вход и выход, т. е.
изменить направление про-
хождения сигнала, то полу-
чим оптимальный фильтр для
данного сигнала (рис. 9.16,5).
При подаче гна вход это-
го фильтра оптимального
ему сигнала (рис. 9.16,г) на
его выходе образуется на-
пряжение, воспроизводящее
с некоторым временным
сдвигом автокорреляцион-
ную функцию этого сигнала
(рис. 9.16,E). В результате
его амплитудного детекти-
рования образуется напря-
жение (рис. 9.16,е), которое
в некотором масштабе и с
некоторым временным сме-
щением отображает модуль
корреляционной функции
комплексной огибающей это-
го сигнала.
Если на вход оптимального фильтра поступают два
сигнала, перекрывающиеся во времени, но разнесенные
на время больше то, то они образуют выходное напря-
жение с двумя раздельными главными максимумами
(рис. 9.17), которые и позволяют определить временное
положение каждого из сигналов. Следовательно, эти
Рис. 9.16. Кодированный ФМ
сигнал при JV=C (а), блок-
схемы устройства для его ге-
нерирования (б) и оптималь-
ного ему фильтра (в) и вре-
менные диаграммы напряже-
ний на выходе фильтра при
подаче на вход дельта-импуль-
са (г) и сигнала {д и е).

сигналы система разрешает по времени (по дальности).
Если принимаемый сигнал представляет собой после-
довательность М кодированных радиоимпульсов, то
нормированная корреляционная функция комплексной
Рис. 9.17. Блок-схема оптимального фильтра
при iV=7 (а) и временные диаграммы на-
лряжений в нем (б).
огибающей этого сигнала примет вид, изображенный на
рис. 9.18. Оптимальный фильтр для такого сигнала, кро-
ме рассмотренного выше устройства для оптимальной
внутрипериодной обработки, содержит накопительное
устройство одного из рассмотренных выше видов
(рис. 2.16,6, 2.17,а, 3.14).
288

Так как кодов Баркера при Af>13 не существует, то
системы с сигналами, манипулированными этими кода-
ми, обладают ограниченными возможностями в отноше-
Рис. 9.18. Корреляционная функция комплексной амплиту-
ды последовательности пяти кодированных ФМ импульсов
при N=7.
нии улучшения разрешающей способности по дальности
при сохранении той же дальности действия и увеличе-
ния дальности действия при сохранении разрешающей
способности по дальности.
§ 9.5. СИГНАЛЫ, МАНИПУЛИРОВАННЫЕ ПО ФАЗЕ
БИНАРНОЙ ПСЕВДОСЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ
1. Понятие о бинарной псевдослучайной
последовательности и ее свойствах
В процессе поиска наилучшей формы сигнала было
обращено внимание на сигналы, манипулированные по
фазе на тс так называемыми «линейными последователь-
ностями сдвигового регистра максимальной длительно-
сти» [31, 127, 128], которые были предложены при раз-
работке вопросов кодирования в общей теории передачи
сообщений.
Эти последовательности представляют собой набор
N периодически повторяющихся символов du каждый из
которых может принимать одно из двух значений: +1
или —1. Это значение определяется взятым с противо-
положным знаком произведением значений двух или
289

большего числа (но всегда четного) предыдущих симво-
лов:
d- = — dt-ndi-m.. .di-tfi-k, (9.42)
четное число сомножителей
причем n>m>. ..>J>?>1, а / = (
В частном случае двух сомножителей
di^-di-ndt-k. (9.43)
Если взять, например, dx = d2 =... =dn_1 = — 1, a dn =
= -(-1, то ПРИ правильном выборе чисел m,...J и ?
должна образоваться неповторяющаяся элементарная по-
следовательность {di} из JV символов, где
N = 2n—1. (9.44)
Она должна содержать все комбинации п символов из
двух элементов —1 и -|-1, кроме комбинации, состав-
ленной из одних отрицательных единиц. Вследствие этого
каждая последовательность {dj, где i=l-*-Bn— 1), со-
держит 291-1 положительных единиц и 2п-г—1 отрицатель-
ных единиц. Поэтому
2<*, = 1. (9.45)
При i^>N символы повторяются в том же порядке, т. е.
при любом целом р
d di. (9.46)
Та же последовательность символов образуется и при
t<0. Из (9.46) видно, что число N характеризует пе-
риод бесконечной последовательности. Образованную
таким путем бесконечную последовательность называют
бинарной псевдослучайной.
В качестве примера возьмем сначала простейший
случай п — 2\
di = -di^di^1. (9.47)
Тогда, если d\ = — 1; сГ2 = +1, то d3= + l, d4=—1;
<*б= + 1; d6= + l; с?7=— 1 и т. д.
Следовательно, искомая последовательность имеет
вид .., —1, +1, +1, —1, +1, +1, —1, +1, +1,... Она
содержит все возможные комбинации из двух символов;
290

— 1, +1; +1, +1 и +1, —1, кроме «запрещенной» ком-
бинации — 1, —1. Элементарная последовательность
— 1, +1, +1 повторяется через N=22 —1 = 3 символа.
Она совпадает с кодом Баркера при N=3.
При п = 3 возможны два вида правила (9.43):
di = — di-5di-2 (9.48)
которые приводят соответственно к следующим элемен-
тарным последовательностям из N=23—1=7 символов:
— 1, —1, +1, —1, +1, +1 +1 и —1, —1, +:1, +|1, +1,
—1, +1. Бесконечные последовательности, образован-
ные из этих элементарных, отличаются друг от друга
только порядком следования одинаковых символов,.
т. е. являются зеркальным отображением одна другой.
Е'сли я = 4 и di = —di-^dis, то получим последователь-
ность из N=2A —1 = 15 символов: —1, —1, —1, +1, —1,
-41, +1, +1, —1, +1, —1, +1, +1, +1, +1. Согласно
же правилу di = —di-^di-x образуется «зеркальная» по-
следовательность — 1, —Л, —1, +1, +1, +1 +1, —1,
+ 1, -1, +1, +1, -Л, -1, +1.
Число элементов последовательности N с увеличени-
ем п резко возрастает, практически удваиваясь при уве-
личении п на единицу (см. табл. 9.3).
Таблица 9.3
п
N
2
3
3
7
4
15
5
31
6
63
7
127
8
255
9
511
10
1023
И
2047
12
4095
Почти каждому целому числу п соответствует не-
сколько чисел &, при которых образуется по правилу
(9.43) рассматриваемая последовательность. Некоторые
из этих комбинаций п и k помещены в табл. 9.4.
При я = 8, 12, 13 и 16 не существует таких чисел &,
при которых по правилу (9.43) формируется рассматри-
п
k
5
2
5
3
6
1
6
5
7
1
7
6
9
4
9
5
10
3
10
7
И
2
11
9
14
5
14
9
15
1
Ta6j
15
14
17
3
[ и ца
17
14
18
3
9.4
18
15
291

ваемая последовательность с максимальным периодом
N=2n —1. Каждой комбинации (я, &), приводящей
к последовательности максимального периода, соответ-
ствует другая комбинация (/г, п—&), которая образует
последовательность того же периода, являющуюся зер-
кальным отображением первой последовательности.
Последнее справедливо и для комбинаций другого
четного количества целых чисел, например, для комби-
наций четырех чисел (п, га, l,k) (табл. 9.5), которые со-
ответствуют правилу di = —di-ndi-mdi-idi-k образования
рассматриваемой последовательности максимального
периода. Каждой такой комбинации соответствует ком-
бинация (п, п—k, п—/, п—га), которая приводит к об-
разованию «зеркальной» последовательности. (Такие
комбинации расположены в табл. 9.5 рядом, занимая
соответственно нечетное и четное порядковые места).
п
т
1
к
5
3
2
1
5
4
3
2
5
4
2
1
5
4
3
1
6
5
2
1
6
5
4
1
6
4
3
1
6
5
3
2
8
4
3
2
8
6
5
4
1.2
6
4
1
12
11
8
6
13
4
3
1
Та
13
12
10
9
б л
16
5
3
1
иц
16
15
13
11
а
19
5
2
1
9.5
19
18
17
14
Общее количество различных комбинаций (а следо-
вательно, последовательностей) для любого п состав-
ляет
Af= -1-
-—1),
где ср(х)—фи-функция Эйлера, определяющая количе-
ство целых положительных чисел, которые меньше дан-
ного целого положительного числа х и являются взаим-
но простыми с х [129]. Числами, взаимно простыми
с данным числом х, называют такие, которые не имеют
с ним общих делителей, или множителей. При п=10
количество типов последовательностей составляет уже
60 (см. табл. 9.6).
Бинарная псевдослучайная последовательность об-
ладает рядом весьма интересных свойств.
292

п
М
2
1
3
2
4
2
5
6
6
6
7
18
8
16
9
48
10
60
11
176
12
144
13
630
14
756
15
1800
16
2048
Таб
17
7710
лица
18
7776
9.6
19
27594
Если бесконечную последовательность {dl} с перио-
дом в N элементов сдвинуть на k элементов (кФрМ)
вправо или влево, то образуется последовательность
{^г+fe}. Перемножив элементы первоначальной и сдви-
нутой последовательностей йг и di+k и сменив знак у их
произведения, вновь получим ту же последовательность,
смещенную на некоторое число элементов, т. е.
{—didi+k} = {di+m}, где т отлично от k и pN.
Перемножая в качестве примера элементы последо-
вательностей (п = 2)
..., —1, +1, +1, —1, +1, +1, ... и
..., +1, —1, +1, +1, —1, +1, ...,
получим
..., -1, -1, +1, -1, -1, +1,...,
или после изменения знаков
..., +1, +1,-1, +1, +1, -1, ...
Эта последовательность отличается от исходной сдвигом
на 2 элемента вправо.
Докажем указанное свойство для последовательно-
сти, построенной по правилу (9.48). На основании этого
правила, равенства (9.46) и очевидного соотношения
di2= 1 имеем
— d%di+Q = — didi—1 = d2-+2.
Эти равенства и доказывают вышеизложенное. Для
других п доказательство аналогично.
Так как последовательность {—didi+k} при кФрЫ
полностью эквивалентна последовательности {dj, для
которой справедливо соотношение (9.45), то
N
= -l при
(9.49)
293

Кроме тбго
1=1 /=1
2. Корреляционная функция сигнала,
фаза которого манипулирована по закону бинарной
псевдослучайной последовательности
Фазу колебания высокой частоты проманипулируем
на тс по закону изменения членов бинарной псевдослу-
чайной последовательности {dj. Тогда этот сигнал будет
иметь нормированную комплексную амплитуду
+ 00
Это выражение отличается от (9.36) только бесконеч-
ными пределами суммы. По аналогии с (9.37) нормиро-
ванная корреляционная функция комплексной амплиту-
ды этого сигнала при временном сдвиге t-==kxo + e имеет
вид
фв(йх0 +e)=JL
i
i=\
Вследствие (9.49) и (9.50) получим
а при 1<&<JV—2
или иначе
<M0= —jr
294
(9.52)

Кроме того, ф0 (t + pN*0) = ф0 (t). (9.53)
Корреляционная функция (рис. 9.19) имеет за пе-
риод T=iNx0 один максимум шириной порядка to-В боль-
шую часть периода длительностью A ~~ -тг)Т ее абсо-
лютная величина в N раз меньше максимума. Так как
AWL
\
ТШ
Рис. 9.19. Корреляционная функция комплексной амплитуды сиг-
нала, фаза которого манипулирована бинарной псевдослучайной
последовательностью при N= 15.
в принципе N можно выбрать сколь угодно большим, то
корреляционная функция таких сигналов, может быть
получена весьма близкой к идеальной.
Из-за большого сходства этой функции с корреля-
ционной функцией шума образовавшая такой сигнал по-
следовательность из двух дискретных символов и назы-
вается бинарной псевдослучайной.
Утверждают [31], что, по крайней мере, для длинных
бинарных псевдослучайных последовательностей до-
полнительные максимумы совместной корреляционной
функции 4*0(f, F) на плоскости t, F имеют высоту по-
рядка -^т="> т- е- могут быть сделаны достаточно ма-
VN
лыми.
3. Получение сигнала. Структура оптимального фильтра
Чтобы получить сигнал, фаза которого манипулиро-
вана на я по закону бинарной псевдослучайной после-
довательности, необходимо выработать модулирующее
2%

колебание. Последнее проще всего образовать с по-
мощью схемы неравнозначности [130], так как правила
(9.43) и другие представляют собой соотношения не-
равнозначности.
_ и
6M
гвч
(Jo
а)
"
J L
J L
Рис. ^ 9.20. Блок-схема
устройства для генериро-
вания сигнала, фаза ко-
торого манипулирована
по закону бинарной псев-
дослучайной последова-
тельности при п=2 (а)
и 'временные диаграммы
напряжений в ней (б).
J L
J L
Блок-схема устройства для генерирования ФМ сиг-
нала (рис. 9.20,а) состоит из схемы неравнозначности
(или сумматора по модулю два), выполненной на двух
элементах И, элементе ИЛИ и элементе НЕ, генератора
одиночного импульса длительностью to, дополнительной
схемы ИЛИ, линии задержки длительностью /гто = 2то
с отводом от средней точки, балансного модулятора и
генератора высокой частоты оH-
В случае применения более длинных последователь-
ностей, образованных по правилу (9.43) в блок-схеме
меняется только электрическая длина линии задержки
296

tito и положение отвода от этой линии, обеспечивающее
задержку на время kr0.
5tQ
Рис. 9.21. Блок-схема устройства для гене-
рирования бинарной псевдослучайной после-
довательности импульсов с использованием
задерживающего устройства при /г=5, ш = 3,
1=2 и k=l.
При образовании последовательности по правилу
(9.42) с использованием большего числа сомножителей
увеличивается число входов логической схемы, осуще-
Рис. 9.22. Блок-схемы устройств для ге-
нерирования бинарной псевдослучайной
последовательности импульсов с исполь-
зованием сдвигового регистра.
ствляющей это правило, а следовательно, число отво-
дов линии задержки, которое на единицу меньше числа
сомножителей (рис. 9.21). При этом логическая схема
состоит уже из нескольких схем неравнозначности.
Схему генератора бинарной последовательности
можно выполнить и с использованием сдвигового реги-
297

стра. Ё простейшем случае (я = 2) ойа содержит кроме
указанных выше элементов два триггерных каскада
сдвигового регистра и генератор тактовых имлульсов
(рис. 9.22,а). Период повторения последних равен дли-
тельности элементарной посылки.
6Z0 0?l
19 [
tUJUU
Рис. 9.23. Блок-схема фильтра, оптимального ФМ сигналу с я=3,
(а) и временные диаграммы комплексных амплитуд напряжений
<в ней при подаче на вход одного (б) и двух (в) отраженных сиг-
налов (НИС — накопитель импульсных сигналов).
В общем случае сдвиговый регистр должен иметь п
триггеров. При использовании правила (9.43) на схему
неравнозначности подаются сигнал с Aj-го и последнего
триггеров регистра, а если число сомножителей в (9.42)
равно четырем, то — с А-го, /-го, m-го и последнего триг-
геров (ом. рис. 9.22,6, где k=l; / = 2; m=3 и /г=б).
Оптимальный фильтр для сигнала с псевдослучай-
ным законом фазовой манипуляции (рис. 9.23,я) со-
стоит из оптимального фильтра для одиночного радио-
импульса длительности to, линии задержки на время
298

(N—1)т0 с (N—2)-мя равномерно расположенными от-
водами, суммирующего устройства и накопительного
устройства для сигналов с периодом Nxo=T. Последнее
осуществляет междупериодную обработку принимае-
мого сигнала.
4. Преимущества и недостатки системы
с псевдослучайной фазовой манипуляцией
Системы, в которых сигнал имеет псевдослучайную
фазовую манипуляцию, позволяют получить весьма вы-
сокую разрешающую способность как по дальности, так
и по скорости. Однако указанное достигается при боль-
ших значениях N порядка тысячи. Это требует выбора
п порядка десяти.
При той же пиковой мощности и сохранении той же
разрешающей способности по дальности применение
этой системы по сравнению с простейшей импульсной си-
стемой позволяет увеличить энергию сигнала в N раз,
а следовательно, дальность действия в }/iV раз, что при
N = 1023 дает }П~023 = 5,655 раза.
По-видимому, лучших кодов, чем бинарная псевдо-
случайная последовательность, вообще не существует
[36], так как использующие их системы практически реа-
лизуют потенциальные возможности, вытекающие из
соотношения неопределенностей в радиолокации (9.34).
По-видимому, не возникает особых затруднений при
осуществлении радиопередающего устройства (генерато-
ра импульсов последовательности, балансного модулято-
ра и генератора высокой частоты).
Однако осуществление широкополосной линии за-
держки с (N—2)-мя (т. е. порядка тысячи) отводами
в оптимальном фильтре связано с большими технически-
ми трудностями. Второй недостаток системы вытекает
из непрерывного характера излучения сигнала и за-
ключается в необходимости весьма тщательной развязки
радиопередающего и радиоприемного устройств.
Несмотря на серьезность этих трудностей они, види-
мо, преодолимы. В литературе [131] уже описан экспе-
риментальный образец радиолокационной системы с би-
царной псевдослучайной фазовой модуляцией.
29а

ЛИТЕРАТУРА
Принятые сокращения названий журналов и издательств:
А и Т — «Автоматика и телемеханика».
АН — Издательство Академии наук СССР.
ВРЛТ— «Вопросы радиолокационной техники».
ГТТИ — Государственное издательство технико-теоретической
литературы.
ГЭИ — Госэнергоиздат.
ЗРЭ — «Зарубежная радиоэлектроника».
ИВШ — «Известия высшей школы СССР».
ИИЛ — Издательство иностранной литературы.
МЭИ — Московский энергетический институт.
НДВШ — «Научные доклады высшей школы».
Р и 3 — «Радиотехника и электроника».
Р и ЭЗР — «Радиотехника и электроника за рубежом».
РТ — «Радиотехника».
СИ — Связьиздат.
СР—Издательство «Советское радио».
Тр. ГПИ — «Труды Горьковского политехнического института».
ФМ — Издательство физикочматематической литературы.
Tr. IRE—«Transactions of the IRE».
1. Си фор OB В. И. Развитие теории помехоустойчивости
в СССР. Р и 3, 1957, т. 2, № ,11, стр. 11413—11434.
2. Рерих К. Обнаружение ракет радиолокационными стан-
циями сверхдальнего действия. Р и ЭЗР, 1959, № 2 'E0), стр. 85—95.
3. X о л а х а н. Современное состояние радиолокации. Р и ЭЗР,
1959, №4 E2), стр. 134—140.
4. Ш в а р ц Л. Принципы уменьшения шумов в каналах связи.
ВРЛТ, 1958, № 1, стр. 3—15.
5. Холахан. Роль теории информации ib конструировании но-
вых радиолокационных систем. Р и ЭЗР, 1959, № 3 E1), стр. 3—9.
6. «IRE Transactions on Information Theory», 1960, vol. IT-6,
№ 3.
7. Гол дм ан С. Теория информации, пер. с англ. под ред.
В. В. Фурдуева. ИИЛ, 1957.
8. Цянь Сюэ сэнь. Техническая кибернетика, пер. с англ.
под ред. А. А. Фельдбаума. ИИЛ, 1956.
9. Джордж С., 3 а м а н а к о с А. Гребенчатые фильтры в им-
пульсных радиолокационных станциях. ВРЛТ, 1955, № 1 B5),
стр. 58—69.
10. Вайнштейн Л. А., 3 убаков В. Д. Выделение сигна-
лов на фойе случайных помех. СР, 1960.
11. Фалькович С. Е. Прием радиолокационных сигналов «а
фоне флюктуационных помех. СР, 1961.
12. Г утки н Л. С. Теория оптимальных методов радиоприему
при флюктуационных помехах. ГЭИ, J96L
300

13. В уд ворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информа-
ции с (применениями в радиолокации, пер. с англ. под ред. Г. С. Го-
релика. СР, 1955.
14. Да в ен л орт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию слу-
чайных сигналов и шумов, л ер. с англ. (под ред. Р. Л. Добру шин а.
ИИЛ, I960.
15. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи,
пер. с англ. под ред. Б. Р. Левина, т. A, СР, 1961.
16. Пи тер с он 'В. В., Бердсал Т. Дж., Фокс В. К. Тео-
рия обнаружения сигналов. В сб. «Теория информации и ее прило-
жения» под ред. А. А. Харкевича. ФМ, 1959, стр. 210—274 и в сб.
переводов [133], стр. 85-4151.
17. Л евин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение
в радиотехнике. СР, I960.
18. К о т е л ь н и к о в В. А. Проблема .помехоустойчивости
радиосвязи. «'Радиотехнический сборник». ГЭИ, 1947, стр. 5—12.
19. К от ел ь<н и к о в В. А. Теория потенциальной -помехоустой-
чивости. Докторская диссертация. МЭИ, 1946.
20. Котельников В. А. Теория .потенциальной помехоустой-
чивости. ГЭИ, 1956.
21. Миддлтон Д. Статистические критерии обнаружения им-
пульсных сигналов в присутствии шумов. В сб. [133], стр. 184—241.
22. Сайбель А. Г. Основы радиолокации. СР, 1961.
23. Лез и я Ю. С. О помехоустойчивости отри различных видах
радиотелеграфии. «Электросвязь», 1957, '№ 4, стр. 40—47.
24. Davis R. С. On the detection of sure signals in noise. Jour-
nal of applied physics, 1954, voL25, № 1, p. 76—82.
25. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и инте-
гральното исчисления, т. 2, ГТТИ, 1948.
26. Г о н ор о в с к и й И. С. Основы радиотехники. СИ, 1957.
27. В аи Флек Дж., Миддлтои Д. Теоретическое сравне-
ние визуального, слухового и инструментального методов лриема
сигналов в .присутствии шумов. В сб. [133], стр. 7—84.
28. Пу г а ч е в В. С. Теория случайных функций и ее примене-
ние к задачам автоматического управления. ГТТИ, 1957.
29. Солодовников В. В. Введение в статистическую дина-
мику систем автоматического управления. ГТТИ, 1952.
30. Л эн инг Дж. X., Бэттин Р. Г. Случайные процессы
в задачах автоматического управления, пер. с англ. иод ред.
В. С. Пугачева, ИИЛ, 1958.
4\3)Ь Турин Г. Л. Согласованные фильтры. ЗРЭ, 1961, № 3,
стр. 30—63.
32. И ц х о к и Я. С Импульсные устройства. СР, 1959.
33. Р и з к и н А. А. Основы теории усилительных cxeiM. СР,
1958.
34. Меерович Л. А., Зеличенко Л. Г. Импульсная тех-
ника. СР, 1953.
35. X а р к е в и ч А. А., Очерки общей теории связи. ГТТИ,
1955.
36. 3 и б е р т В. Общие закономерности обнаружения целей
при помощи радиолокации ВРЛТ, 1957, № 5 D1), стр. 3—35.
37. Дворк Б. М. Обнаружение импульсов, наложенных на
флюктуацио'нные шумы. ВРЛТ, 1952, № 2 (8), стр. 9—'15.
3§. Ван дер Поль Б., Б р е м м е р X. Операционное ис-
301

числение на основе двухстороннего преобразования Лапласа. ИИЛ,
1952.
39. Лезин Ю. С. О синтезе оптимальных фильтров и взаим-
накоррел(яционных устройств. В сб. «Некоторые вопросы повышения
помехоустойчивости радиотехнических устройств». Т;р. ГПИ 1960,
т. 16, № 2, стр. 74—78.
40. Лезин Ю. С. О синтезе фильтров, оптимальных импуль-
сам определенной формы. НДВШ — Р и Э, 1958, № 2, стр. 23—28.
41. Харкевич А. А. Нелинейные и 'параметрические явления
в радиотехнике. ГТТИ, 1956, стр. 1-57—«162.
42. S m i t h R. A. The relative advantages of coherent and in-
coherent detectors. Proceedings of the ШЕ, 1951, vol. 98, pt. 4, № 1,
p. 43—54.
43. Китай Р. Когерентные и некогерентные детекторы. Чув-
ствительность к сигналу и шуму. ВРЛТ, 1957, № 5 D1), стр. 56—62.
44. К о т е л ь н и к о в В. А., Николаев А. М. Основы ра-
диотехники, i4. I, ОИ, 11950.
45. Rochefort J. S. Matched filters for detecting pulsed sig-
nals in noise. «IRJE Convention Record», 1954, vol. 2, pt 4, p. 30—34.
46. Л е з и н Ю. С. Об оптимальных фильтрах для последова-
тельностей импульсных сигналов. НДВШ — Р и Э, 1958, № 3,
стр. 20—24.
47. Ра"млау П. Н. О частотных спектрах повторяющихся сиг-
налов. А и Т, 1941, № 1, стр. 33—42.
48. Бакулев А. Н. Радиолокационные методы селекции дви-
жущихся целей. Оборойгиз, 1958.
49. Харкевич А. А. Спектры и анализ, ГТТИ, 1957.
50. Цыпкин Я. 3. Теория импульсных систем. ФМ, 1958.
51. Заездный А. М. Гармонический синтез в радиотехнике
и электросвязи. Ленинградский электротехнический институт связи,
1957.
52. Цыпкин Я. 3. О связи между спектрами амплитудно-
модулиро'ванной последовательности импульсов и их огибающей.
«Труды Всесоюзного заочного энергетического института», 1957,
№ 7, стр. 107—113.
53. Ф и я к е л ь ш т е й я М. И. Переходные процессы в гребен-
чатых фильтрах. РТ, 1957, т. 12, № 7, стр. 63—69.
54. Ф и н к е л ь ш т е й н М. И. Оптимальные полосы пропуска-
ния частот гребенчатых фильтров. РТ, 1959, т. 14, № 1, стр. 62—67.
55. Доброту рский С. О., Казаков В. А., Титов В. К-
Счетнорешающие устройства. Оборонгиз, 1959.
56. Ж Д а н о в Г. М. Конспект лекций по курсу «Очетнорешаю-
щая автоматика», разд. II «Интегро-дифференцирующие устрой-
ства», МЭИ, 1954.
57. К о г а н Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их
применение для исследования систем автоматического регулирова-
ния. ФМ, 1959.
58. Г и тис Э. И. Электрорадиоавтоматика. ГЭИ, 1959.
59. Кр айзмер Л. П. Устройства хранения дискретной инфор-
мации. ГЭИ, 1961.
60. Петро!вич Н. Т., Козырев В. А. Генерирование и пре-
образование электрических импульсов. СР, 1954.
61. Фельдбаум А. А. Вычислительные устройства в авто-
матических системах: ФМ, 1959,
30?

62. «Основы автоматического регулирования», под ред. В. В. Со-
лодовников а, т. II, ч. 2, Машгиз, 1959.
63. «Генерирование электрических колебаний специальной фор-
мы», л ер. с англ: под ред. Я. Ю. Блюмберга и Т. Р. Брахмана,
ч. 2. СР, 1951.
64. Мамонкин И. Г. Импульсные усилители. ГЭИ, 1958.
65. Прокуд ин В. А. Запоминающие устройства электронных
цифровых вычислительных машин. СР, 1961.
66. «Детали и элементы радиолокационных станций», пер.
с англ. под ред. А. Я. Брейтбарта, ч. 2. СР, 1952.
67. Сивере А. П., Суслов Н. А., Метельский В. И.
Основы радиолокации. Судпромгиз, 1959.
68. L e r n e r ,R. M. A matched filter detection system for comp-
licated DoppJer shifted signal. [6], p. Э7Э--385.
69. Глебович Г. В. Магнитастрикционная линия задержки
с ферритшыми преобразователями. Тр. ГПИ, 1958, т. 14, № 5,
стр. 16—20.
70. И в а н о в В. А. Блок задержки с применением магнитной
записи. А и Т, 1956, т. 17, № 4, стр. 324—328.
71. К я о ль М., Кэйз ан Б. Электронно-лучевые трубки с на-
коплением зарядов, 'пер, с англ. под ред. М. М. Вейсбейна, ГЭИ,
1955.
72. Иоффе А. Ф. Применение магнитной записи. ГЭИ, 1959.
73. У инк л ер С, Нозик С. Ограничение применений элек-
тронно-лучевых трубок с накоплением, обусловленное помехами.
ВРЛТ, .1955, № 1, стр. 18—28.
74. Лезин Ю. С. О прохождении импульсного сигнала и шу-
ма через олтимальный фильтр. Тр. ППИ, 1958, т. 14, №5, стр. 45—51.
75. Е в т я н о в С. И. Об эквивалентности усилителей высокой
и низкой частоты. ,РТ, '1948, т. 3, № 4, стр. 26—33.
76. Е в т я н о в С. И. Переходные процессы в приемно-усили-
тельных схемах. СИ, 1948.
77. Колосов А. А. Резонансные системы и резонансные уси-
лители. СИ, 1949.
78. С е м е н о в Н. А. Критерий выбора оптимальной частотной
характеристики в приемниках импульсных сигналов. РТ, 1953, т. 8,
№ 2, стр. 88—60.
79. К а зари нов Ю. М., Тол ок они и к о в С. В., Медын-
цев Л. Н. Расчет оптимальных параметров синхронного фильтра.
ИВШ-РТ, I960, т. 3, № 1, стр. 49-59.
80. Wh i t e W. D., R u v i n A. E. Recent advances in the synthe-
sis of comb filters. \«LRE Convention Record», 1957, pt. 2, p. 186—199.
81. Linden D. A., S t ei nb er g B. D. Synthesis of delay line
networks. Tr. IRE, 1957, March, vol. ANE-4, p. 34—39.
82. U r k о w i t z H. Analysis and synthesis of delay line perio-
dic filters. Tr. IRE, 1957, vol. CT-4, № 2, p. 41—53.
83. Циммерман, Эрих, С у н с т е й н. Рециркулятор ,на ли-
нии задержки с длительной памятью. ЗРЭ, I960, № >1, стр. 13—23.
84. Агеев Д. В., Кобз а рев Ю. Б. О переходных процес-
сах в резонансном усилителе. «Журнал технической физики», 1935,
т. 5, № 8.
85. Мор у г и н Л. А. Накопление лмпульсных сигналов
в устройствах с задержанной обратной связью. Р и Э, ,1960, т, 5,
№ il2, стр. И885—1889.
303

86. Мор угин Л. А. Импульсные устройства с запаздывающей
обратной связью. СР, 1961.
87. Л е з и н Ю. С. Накопление шумов в устройствах с задер-
жанной обратной связью. Р и Э, 1961, т. 6, № ,2, стр. 187—492.
88. Рыжик И. М., Град штейн |И. С. Таблицы интегралов,
сумм, рядов ,и произведений. ГТТИ, 11951.
89. Голь дм ан С. Гармонический анализ, модуляция и шумы,
пер. с англ. под ред. Г. С. Горелика. ИИЛ, 1951.
90. Л е з и и Ю. С. Об эффективности системы из частотного
фильтра и накопительного устройства с задержанной обратной
связью. Ри Э, 1962, т. 7, № 1, стр. 39—45.
91. Кононов В. Г. Накопление шумов в накопителе с за-
держанной обратной связью. Ри 3, 1961, т. 6, № 11, стр. 1944.
92. Л е з и н Ю. С. Еще раз о накоплении шумов в устройствах
с задержанной обратной связью. Ри Э, 1962, т. 7, № 5, стр. 917—
918.
93. Л е з и и Ю. С. Влияние параметров накопительных уст-
ройств на эффективность их работы. Р и Э, '1961, т. 6, № 4,
стр. 529—535.
94. Пороговые сигналы, пер. с англ. лод ред. А. П. Сиверса.
СР, 1951.
95. С era л Б. И., Семендяев К. А. Пятизначные матема-
тические таблицы. ФМ, 1959.
96. «Таблицы вероятностных функций», пер. с англ. Л. С. Барк,
т. I. Вычислительный центр АН СССР, 1958.
97. Сивере А. П. Радиолокационные приемники. Расчет и
проектирование. СР, 1959.
98. Б ого м о л о в А. Ф. Основы радиолокации. СР, 1954.
99. Б у н и м о в и ч В. И. Флкжтуационные процессы в радио-
приемных устройствах. СР, 1951.
100. Райе С. Теория флюктуационных шумов. В ,сб. переводов
«Теория (передачи электрических сигналов при наличии помех», под
ред. Н. А. Железнова. ИИЛ, 1953, стр. 88—238.
101. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения.
ГТТИ, 1953.
102. Б у н и м ов ич В. <И. Приближенное выражение вероят-
ности правильного обнаружения при оптимальном приеме сигнала
с неизвестной фазой. РиЭ, 1958, т. 3, № 4, стр. 552—554.
103. Крамер Г. Математические методы статистики. ИИЛ,
1948.
A04. Шварц М. Влияние флюктуации сигнала на обнаруже-
ние импульсных сигналов в шуме. В сб. [134], стр. 232—245.
105. iSwerling P. Probability of detection lor fluctuating tar-
gets. Tr. IRE, 1960, vol. IT-6, № 2, p. 269-^308 (краткий перевод
в ЗРЭ, 1960, № 10, стр. 29—32).
106. Ку з н ец ов П. И., Стратонович Р. Л., Тихо-
нов В. И. Прохождение некоторых случайных функций через ли-
нейные системы. А и Т, 1953, т. 14, № 2, стр. 144—163.
107. Лол як Ю. В., Кельзон В. С. К теории обнаружения
периодических импульсных сигналов <в гауссовом шуме при неко-
герентном накоплении. РиЭ, 1958, т. 3, i№ 6, стр. 764—769.
108. К а план Е. Л. Исследование обнаружения сигналов и
некоторые применения. В сб. [134], стр. 191—,231.
304

109. Mar cum J. I. A statistical theory of target detection by
pulsed radar. Tr. IRE, 1960, vol. IT-6, № 2, p. 59—1144 (краткий пе-
ревод в ЗРЭ, И960, № 10, стр. 3—«10).
110. Лезин Ю. С. О яекогерентном накоплении с экспоненци-
альной весовой функцией. ИВШ-РТ, 1961, т. 4, № 2, стр.148—154.
111. Кон тор о IB и ч М. И. Операционное исчисление и неста-
ционарные явления в электрических детях. ГТТИ, 1949, <ст!р. 171.
М2. Слуцкий Е. Е. Таблицы для вычисления неполной
Г-функции и функции вероятностей %2. АН, 1950.
113. R a chares J. A table of bias level useful in radar detec-
tion problems. Tr. IRE, 1958, vol. IT-4, p. 38—45.
114. iM и т р о п о л ь с к и й А. К. Техника статистических вы-
числений. ФМ, 1961.
115. Лез ил Ю. С. О распределении случайных 'Напряжений
на выходе некогерентного накопительного устройства с экспонен-
циальной весовой функцией. ИВШ-РТ, 1960, т. 3, № 6, стр. 592—597.
116. Map к ум. Математическое .приложение к статистической
теории обнаружения цели импульсной радиолокационной станцией.
ЗРЭ, 1960, № 10, стр. 11—30.
117. Д у н и.н - Б а рков с к и й И. В., Смирнов Н. В. Тео-
рия вероятностей и математическая статистика в технике. ГТТИ, 11955.
118. Урк о виц Г. Фильтр для обнаружения слабых радиоло-
кационных сигналов на фоне мешающих отражений. ВРЛТ, 1954,
№ 2, стр. 52—65.
119. 'Бычков С. И. Спектры одиночных радиоимпульсов при
изменении несущей частоты. РТ, 1950, т. 5, № 1, стр. 42—^53.
120. Клаудер, Прайс, Дарлингтон, Злберзгайм.
Теория и расчет импульсных радиолокационных станций с частотной
модуляцией. ЗРЭ, 1961, № 1, стр. 15—49.
1,21. Kronert R. Impulsverdichiung. «Nachrichtentechnik», 1957,
№ 4, S. 148—152 und № 7, S. 305—308.
122. Кук. Повышение эффективности (радиолокационных
устройств за счет сжатия импульса. ЗРЭ, 1960, № 9, стр. 38—49.
123. «Таблицы интегралов Френеля». АН, 1953.
124. B.arker R. H. Group synchronizing of binary digital sys-
tem. Book «Communication theory», edited by W. Jackson, London,
Butterworth scientific publications, 1953, p. 273—287.
125. S t о r e r J. E., T u r i n R. Optimum finite code groups.
Proceedings of the IRE, 1968, vol. 46, № 9, p. 1649.
126. Иванова И. М., Кетков Ю. Л., Ямпольская Т. С.
О существовании кодов Баркера. ЙВШ—Радиофизика, I960, т. 3,
№ 5, стр. 911—913.
127. Хаффмен Д. А. Синтез линейных мнототактных коди-
рующих схем. В сб. «Теория передачи сообщений» под ред.
В. И. Си ф о р о в а. ИИЛ, 1957, стр. 52—81.
128. Abramson N. М. A class of systematic codes for nonin-
dependent errors. Tr. IRE, 1959, vol. IT-5, № 4, p. 150—157.
129. Виноградов И. М. Основы теории чисел. ГТТИ, 1953.
130. К и т о в А. И., К р и н и ц к и й Н. А. Электронные цифро-
вые машины и программирование. ФМ, 1959.
V/131. Fishb ei n W., Rittenbach О. Е. Correlation radar
using pseudorandom modulation. «IRE Convention Record», 1961, pt. 5,
p. 259—277 (перевод в ЗРЭ, 1962, № 5, стр. 28—46).
305

132. Лезин Ю. С. О законе распределения случайных -напря-
жений на выходе квадратичного накопителя с экспоненциальной ве-
совой функцией. В об. «Некоторые .вопросы повышения .помехоустой-
чивости радиотехнических устройств». Тр. ГПИ, I960, т. 16, № 2,
стр. 79—81.
133. «Прием импульсных сигналов в .присутствии шумов», лер.
с аигл. ягод ред. А. Е. Башаринова и М. С. Александрова. ГЭИ,
I960.
134. Прием сигналов «при наличии шума, пер. с англ. «под. ред.
Л. С. Гуткина. ИИЛ, 1960.
135. Z a d e h L. A., R a g a z z i n i I. R. Optimum filters for
the detection of signals in noise. Proc. of the IRE, 1952, vol. 40,
№ 10, p. 1223—«12Э1.
136. Макфарлан А. Анализ гребенчатых фильтров. ЗРЭ,
1960, № 10, стр. 87-J1H1.
137. (Кобзаре в Ю. Б., Б а ш а р и н о в А. Е. Об эффектив-
ности алгоритмов поиска, основанных на методе пробных шагов
управляемой длительности. 'Р и Э, 1961, т. 6, № 9, стр. 1411—1419.
138. Башаринов А. Е., Флейшман Б. С. Методы стати-
стического последовательного анализа и их радиотехнические при-
ложения. СР, 1962.
139. Galvin A. A sequential detection system for processing
of radar returns. Proc. of the IRE, 1961, v. 49, № 9, p. 1417—1423.
140. Фадеева В. Н., Терентьев Н. Н. Таблицы значений
интеграла вероятностей от комплексного аргумента. ГТТИ, 1954.
141. Хурги-н Я. И., Яковлев В. П. Методы теории целых
функций в радиофизике, теории связи и оптике. ФМ, 1962.
142. С и ф о р о в В. И., О влиянии помех .на прием импульсных
радиосигналов. РТ, 1946, т. il, № 1, стр. 5—19.
143. Белоусов А. П. О наивысшей реальной чувствительно-
сти приемника. РТ, 1946, т. 1, № б, стр. 18—27.
144. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи,
пер. с англ. под ред. Б. Р. Левина. Т. 2, СР, 1962.
145. Лезин Ю. С, Жуков О. В. Об интегральной функции
распределения шума на выходе квадратичного экспоненциально-
весового накопительного устройства. Тр. ГПИ, 1962, т. 18, № 2,
стр. 42—45.
146. Мор у г, и н Л. А. Накопление импульсных сигналов
в устройствах с задержанной обратной связью при исключении вре-
мени эффективного запаздывания. Р и Э, 1962, т. 7, № 3, стр. 391—
396.
147. Бугров Г. М, Лезин Ю. С. Прохождение импульсно-
го сигнала и шума через систему из частотного фильтра «и двух
накопительных устройств с задержанной обратной связью. Тр. ГПИ,
196J, т. 18, № 2, стр. 33—41.
148. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюк-
туации в радиотехнике. СР, 1961.
149. Лезин Ю. С. О пороговых сигналах при некогерентном
экспоненциальновесовом накоплении флюктуирующих импульсных
сигналов. Научная сессия, посвященная Дню радио, НТОР и Э
им. А. С. Попова, 1962, стр. 68.
150. Лезин Ю. С, Бугров Г. М., О целесообразности при-
менения второго накопительного устройства. Р ,и Э, /1963, т. 8, № 8
(в печати).

СПРАВОЧНИК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
Ниже приводится список (Применявшихся & предшествующем
тексте основных обозначений вместе с их значениями. Указаны гла-
ва, параграф и пункт, в которых введены эти обозначения и дается
краткое их объяснение. В некоторых случаях обозначения имеют 'не-
сколько интерпретаций, причем неопределенность устраняется в тек-
сте, где эти обозначения использованы. Многие из обозначений встре-
чаются на протяжении всей книги, тогда как другие (в основном не
перечисленные в этом справочнике) или общеприняты и поэтому
очевидны или имеют ограниченное использование в пределах одного
параграфа.
Л — отношение квадрата пикового значения сигнала к мощ-
ности шума (§§ 1.4; 3.2.5 и 6.2.1).
а — половина спектральной интенсивности белого шума (§ 1.3).
В — выигрыш в отношении сигнал/шум по мощности по срав-
нению с оптимальным фильтром для одиночного импульс-
ного сигнала (§ 6.2.1); эффект накопления (§ 8.3.3).
b — произведение полосы пропускания на длительность им-
пульса (§ 3.2.5).
D — вероятность правильного обнаружения (§ 1.3); коэффициент
сжатия импульса (§ 9.2.1).
di — элементы кода Баркера (§ 9.4.1) и бинарной псевдослу-
чайной последовательности (§ 9.5.1).
Е — энергия сигнала (§ 1.4).
Е (х) — целая часть числа х (§ 2 3.3).
F — вероятность ложной тревоги (§ 1.3); частота Допплера
(§§ 7.5 и 9.2.5).
F (со) — энергетический спектр или спектральная интенсивность
шума (§ 1.3).
G — проигрыш в отношении сигнал/шум (§ 3.2.5).
g— коэффициент передачи пикового значения сигнала (§ 4.2).
gk — коэффициент разложения Лагерра (§ 8.3.2).
Н (t) — переходная функция (§ 3.2.1).
h (t) — импульсная переходная функция (§ 1.5).
/С (о)) — передаточная функция фильтра (§ 1.4).
К (<*>) — амплитудно-частотная характеристика фильтра (§ 1.4).
k — коэффициент асимметрии (§ 8.3.1).
L%(x) — обобщенный полином Лагерра к-го порядка (§ 8.3.2).
/ — относительный порог срабатывания порогового устройства
(§§ 1.3 и 7.2.2).
307

т — коэффициент ослабления колебания при его циркуляции
по цепи обратной связи накопительного устройства
(§3.4.1).
тп — начальный момент распределения n-го порядка (§ 8.4.1).
N — число импульсных сигналов в последовательности (§ 2.4 2);
число элементов кода Баркера (§ 9.4.1) и бинарной псевдо-
случайной последовательности (§ 9.5.1).
Na — активное число накапливаемых импульсов (§ 4.2).
п — отношение полос пропускания фильтров Ф1 и Ф2 (§§ 4.1
и 4.2).
Р (U) — интегральная функция распределения вероятностей
(§ 8.3.3).
Q — коэффициент накопления мощности шумов (§ 5.1.1).
q — отношение пикового значения сигнала к эффективному
значению шума (§§ 1.4 и 7.2.2).
R — выигрыш в отношении сигнал/шум (§ 3.4.3).
R (х) — дробная часть числа х (§ 2.3.3).
R (t) — корреляционная функция шума (§§ 1.3 и 3.2.3).
J[ (t) — нормированная автокорреляционная функция (§ 3.2 3).
5 (со) — спектральная плотность сигнала (§ 1.4).
$ (w) — амплитудный спектр сигнала (§ 1.4).
s ^j — функция, описывающая изменение напряжения сигнала во
времени (§ 1.3).
Т — квази-период повторения импульсных сигналов (§ 2.4.2).
U — амплитудное (пиковое) значение импульсного напряжения
(§ 1-3).
Uo — напряжение порога срабатывания порогового устройства
(§ 1.2).
у (t) — комплексная амплитуда напряжения сигнала (§ 9.4.1).
ик — мгновенное значение импульсного напряжения в точке k
блок-схемы (§ 1.2).
Vr — радиальная составляющая скорости объекта (§§ 7.5
и 9.2.5).
W (а) — плотность распределения вероятностей напряжения и
(§ 8,2)
а — относительное время достижения пикового значения сиг-
налом (§ 4.2); параметр колоколообразного фильтра
(§ 9.2.4).
р — постоянная времени интегрирующего устройства (§ 3.2.2)
или усилителя (§ 3.2.6).
Г (х) — гамма-функция (§ 8.3.2).
Y — коэффициент эксцесса (§ 8.3.3); относительная величина
бокового выброса (§ 9.2.4).
д/? — полоса пропускания усилителя (§ 3.2.5) или фильтра
(§ 41); разрешающая способность системы по частоте
(§ 9-3).
Ц — девиация частоты (§ 9.2.1).
Ь (t) — единичный импульс (§ 1.4).
5 — показатель затухания свободных колебаний в контуре
(§ 2.3.5).
тJ — средняя мощность флюктуирующего сигнала (§ 7.4.1).
хп--кумулянт распределения /2-го порядка (§ 8.3.1).
308

X — отношение коэффициентов накопления шума но мощности
(§ 5.2).
Ао — средняя длина волны (§ 9.2.5).
Pk — весовые множители обработки ЧМ сигнала (§ 9.2.4).
5 — коэффициент экспоненциально-весовой функции накопи-
тельного устройства (§ 8.1.2).
р — средне-статистическое отношение сигнал/шум (§ 7.4.1).
с2 — дисперсия (мощность) шумов (§ 1.4).
1 — длительность импульса (§§ 1.7 и 2.2.1).
т0 — длительность элементарного импульса (§ 9.4.1).
Ф(х) — интеграл вероятности (§ 1.3).
<j>(oj) — аргумент (фаза) спектральной плотности сигнала (§ 1.4).
<р (х) — функция Гаусса (§ 8.3.2); фи-функция Эйлера в теории
чисел (§ 9.5.1).
X — угол поворота фазы фазовращательным устройством
(§ 2.3.3).
(t, F) — совместная корреляционная функция модуляции сигнала
(§ 9.3.3).
Фо (*) — нормированная автокорреляционная функция комплексной
огибающей сигнала (§ 9.4.1).
Ф (со) — фазовая характеристика фильтра (§ 1.4).
2 — круговая частота Допплера (§§ 7.5 и 9.2.5).
/П р;шн ятые сокр а щей^ я ,н а д .гш с е й
на (рисунках бло к- с х е м
АД — амплитудный детектор.
БМ — балансный модулятор.
В)КУ — взаимокорреляциюнное устройство.
ГВЧ — генератор высокой частоты.
ГОИ — генератор одиночного видеоимпульса.
ГТИ — генератор тактовых импульсов.
KB — квадратор.
КВД — квадратичный детектор.
КГД — когерентный детектор.
НУ — видеочастотное (накопительное устройство.
ОФ—видеочастотный оптимальный фильтр.
ОФОП — видеочастотный фильтр для огибающей последователь-
ности импульсных сигналов.
ПУ—'пороговое устройство.
РНУ — радиочастотное накопительное устройство.
РОФОП — радиочастотный оптимальный фильтр для огибающей по-
следовательности импульсных сигналов.
РОФОС — радиочастотный оптимальный фильтр для одиночного им-
лульсно1го сигнала.
РФ — радиочастотный фильтр.
Т — триггер.
Ф — видеочастот'ный фильтр.
D — дифференцирующее устройство.
т — ослабитель с коэффициентом передачи т (т<С\).
309

Условные обозначения элементов блок-схем,
принятые на рисунках
Т
/
+
—
Интегрирующее устройство.
Устройство суммирования напряжений,
взятых с указанными знаками (#4
+ (—и 2)+ «з = «1 — «2+и3)
Вычитающее устройство.
= их -f*
Схема неравнозначности (сумматор по модулю
два).
Устройство задержки на время /3.
Ослабитель с коэффициентом передачи
Усилитель с коэффициентом усиления А
Устройство поворота фазы ца угол
2R(ft)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокорреляционная функция
огибающей сигнала, мани-
пулированного по фазе ко-
дом Баркера — 282.
бинарной псевдослу-
чайной последователь-
ностью — 294.
— сигнала — 34.
— шума — 102.
Активное число импульсов —
135.
Апостериорная вероятность —
21.
Взаимное соответствие опти-
мальных фильтров для ви-
део- и радиоимпульсов —
57 и 58.
— для последовательности им-
пульсов и ее огибающей —
70 и 71.
Взаимно корреляционное
устройство — 22, 33.
Внутрипериодная обработка —
104, ПО.
Выигрыш в отношении сиг-
нал/шум —125, 165, 173,
178.
Вычитающее устройство — 88.
Баркера код —279, 283.
Белый шум — 21.
Бинарная псевдослучайная по-
следовательность — 290.
Боковые выбросы укороченно-
го импульса — 260.
— ослабление — 266, 285.
В
Вероятность ложной тревоги —
16.
— — в некогерентной системе
с экспоненциальной весо-
вой функцией — 215.
— правильного обнаружения —
18.
Весовая обработка импульсных
сигналов — 269, 285.
Взаимная корреляционная
функция —22, 33.
Генератор бинарной псевдослу-
чайной последовательности —
296, 297.
— сигнала, кодированного по
Баркеру —286.
Гребенчатый спектр — 76.
— фильтр —77, 127.
Д
устрой-
Дифференцирующее
ство — 92.
Допплера эффект —202, 273.
Дружные флюктуации импульс-
ных сигналов — 198,
Задача обнаружения — 11.
— оценки параметров—11.
— разрешения сигналов—12.
— фильтрации (воспроизведем
ния) — П.
311

Задерживающее устройство —
-92.
И
Импульсная переходная функ-
ция — 28.
— высокоизбирательного резо-
нансного усилителя — 62.
— накопительного устройства
с экспоненциальной весо-
вой функцией — 210.
— оптимального фильтра —
30, 40.
Инвариантность оптимального
фильтра — 28.
Интеграл вероятности—16.
— свертывания (Дюамеля) —
32.
Интегральная функция распре-
деления «хи-квадрат» —
216.
Интегрирующее устройство —
91.
— высокочастотное — 62.
К
Квантиль распределения веро-
ятностей — 250.
Когерентная последователь-
ность импульсных сигналов —
183.
Когерентное накопление им-
пульсных сигналов — 184 и
далее,—отраженных от по-
движных объектов — 202.
Коэффициент асимметрии —
—220
— накопления шумов—155,
161, 162.
— передачи пикового значения
сигнала — 141, 148.
— различимости (видимости) —
187.
— сжатия ЧМ импульса—260.
— эксцесса — 220.
Критерий идеального наблюда-
теля — 19.
— Неймана — Пирсона — 19.
Кумулянтная функция — 218.
Кумулянты распределения ве-
роятностей — 217,
312
— при некогерентном накопле-
нии дружно флюктуирую-
щих сигналов — 237.
независимо флюктуирую-
щих сигналов — 245.
нефлюктуирующих им-
пульсных сигналов — 219.
Л
Линейная частотная модуля-
ция — 256 и далее.
Ложная тревога (ложное обна-
ружение) — 14.
М
Медиана распределения веро-
ятностей — 247.
Метод медленно меняющихся
коэффициентов — 153.
Метод Дольфа — Чебышева —
270
Методы синтеза оптимальных
фильтров — 41.
Механизм работы оптимально-
го фильтра — 25, 27, 35.
— для прямоугольного видео-
импульса — 104.
— для импульса с линейной
ЧМ —263.
Многоканальный приемник —
203.
Многоэтапный поиск сигнала —
203.
Н
Накопительная система двух-
этапная — 122.
— с двумя накопителями—144.
— с одним накопителем — 128.
Накопление последовательности
импульсных сигналов —
133 и далее.
— сигнала в оптимальном
фильтре — 35.
— шумов—152 и далее.
Независимые флюктуации им-
пульсных сигналов—198.
Некогерентная последователь-
ность импульсных сигна-
лов— 183.
Некогерентное накопление —
184, 207 и далее.
Некритичность структуры оп-
тимального фильтра — 105.

Неопределенности принцип в
радиолокации — 279.
Неравенство Шварца — Буня-
ковского — 24.
Нормализация накопленного
напряжения — 209, 216,221.
Нормированная совместная
корреляционная функция
модуляции — 275.
О
Область высокой корреляции
сигналов — 276.
Обобщенный полином Лагер-
ра —223.
Ограничение времени накопле-
ния— 104, 114.
Оптимальный, коэффициент об-
ратной связи—119.
— фильтр в смысле критерия
среднеквадратичной ошиб-
ки — 25.
обнаружения — 20.
для последователь-
ности видеоимпульсов — 64
и далее.
для последователь-
ности радиоимпульсов — 84
и далее.
для параболического
видеоимпульса — 49.
для прямоугольного
видеоимпульса — 43.
— в случае «небе-
лых» шумов — 54 и 55.
для радиоимпульсов—
56 и далее.
, манипулирован-
ных по фазе, кодом Барке-
ра — 286.
бинарной псев-
дослучайной последователь-
ностью — 298.
для трапециевидного
видеоимпульса — 45.
для треугольного ви-
деоимпульса — 47.
Урковица — 254, 255.
Отношение сигнал/шум на вы-
ходе оптимального филь-
тра—37.
— системы с двумя накопите-
лями — 173.
с одним накопителем —
165.
Ошибки радиолокационного
приема — 14.
П
Передаточная функция накопи-
тельной системы—129.
— оптимального фильтра —
24, 39.
для импульса с линейной
ЧМ —259, 262.
Поиск объекта по радиальной
скорости — 203.
Пороговое отношение сиг-
нал/шум — 182.
— устройство—13.
Пороговые сигналы при коге-
рентном накоплении—187,
195, 201.
— при некогерентном на-
коплении — 229, 239, 247.
Последовательное обнаружение
сигналов — 206.
Практическое приближение оп-
тимального фильтра для
последовательности им-
пульсов — 128.
Приемник обнаружения — 20.
Пропуск сигнала — 14.
Р
Разрешающая способность по
дальности — 255, 277.
— по скорости — 277.
Распределение вероятностей на
выходе квадратичного де-
тектора — 212.
квадратичного накопите-
ля с экспоненциальной ве-
совой функцией — 213.
линейного детектора —
192.
— «хи-квадрат» — 215.
Релея обобщенный закон — 192.
Решающая схема — 13.
Ряд Эджворта — 221 и далее.
— по функциям Лагерра — 223
и далее.
Семиинвариант — 217.
Сжатие ЧМ импульса — 260,
263.
Смещение пикового значения
накопленного сигнала —
137—141, 146—148.
313

Совместная корреляционная
функция модуляции — 275.
Согласованный фильтр — 28.
Спектральная интенсивность
шума — 21.
Спектральные характеристики
оптимального фильтра — 25
и далее.
Спектр импульса с линейной
ЧМ —257 и далее.
— прямоугольной последова-
тельности импульсов — 65.
— трапециевидной последова-
тельности импульсов — 72.
— треугольной последователь-
ности импульсов — 79.
Суммирующее устройство — 87
и далее.
Требования к форме сигналов
при обнаружении — 37.
— при разрешении целей—278.
У
Урковица оптимальный
фильтр — 254.
Усреднение статистическое мо-
ментов распределения —
235, 236.
Усредненный энергетический
спектр накопленного шу-
ма — 155.
Фазовая манипуляция — 280.
Флюктуации импульсных сиг-
налов — 196.
Функция взаимной корреля-
ции — 22, 33.
Характеристика обнаружения—
18.
Характеристическая функция—
212.
Частота Допплера — 202, 273.
Число бинарных псевдослучай-
ных последовательностей —
292.
— каналов системы когерент-
ного накопления — 205.
Чувствительность приемника —
188.
Ш
сигналы —
Широкополосные
256.
Шум белый —21.
, ограниченный по поло-
се — 123.
— коррелированный — 54 и 55.
Эджворта ряд — 221 и далее.
Экспоненциальная весовая
функция — 210.
Экспоненциальное распределе-
ние— 197.
Энергетический спектр шума —
21.
Эффект накопления — 229, 232,
243, 251.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Введение 5
Глава первая. Свойства оптимальных фильтров 11
§ 1.1. Особенности и задачи радиолокационного приема. Ха-
рактер рассматриваемых помех 11
§ 1.2. Оптимальный фильтр как основная часть оптимально-
го приемника 13
§ 1.3. Передаточная функция оптимального фильтра в слу-
чае белого шума на входе 22
§ 1.4. Импульсная переходная функция оптимального фи'льт-
ра .в случае белого шума на входе 28
§ 1.5. Оптимальный фильтр как взаимно корреляционное
устройство 32
§ 1.6. Накопление сигнала в оптимальном фильтре .... 35
§ 1.7. Отношение сигнал/шум на выходе оптимального
фильтра 37
§ 1.8. Характеристики оптимального фильтра в случае, если
спектральная интенсивность входного шума является
функцией частоты 38
Глава вторая. Синтез оптимальных фильтров для оди-
ночных импульсных сигналов и их последователь-
ностей 41
§ 2.1. Методы синтеза оптимальных фильтров 41
§ 2.2. Синтез фильтров, оптимальных одиночному видеоим-
пульсному сигналу определенной формы 42
1. Построение фильтра, оптимального прямоугольному
видеоимпульсу 42
2. Построение фильтров, оптимальных трапециевидному
и треугольному видеоимпульсам 44
3. Построение фильтра, оптимального параболическому
видеоимпульсу 48
4. Построение оптимального фильтра для видеоимпульса,
огибающая которого составлена из отрезков парабол 49
5. Построение оптимального фильтра для видеоимпульса,
огибающая которого составлена из п отрезков кри-
вых любого порядка .... - . . 51
6. Построение оптимальных фильтров для „небелых" шу-
мов , * 53
315

§ 2.3. Синтез фильтров, оптимальных одиночному радиоим-
пульсному сигналу определенной формы 56
1. Предварительные замечания 56
2. Передаточная функция фильтра, оптимального радио-
импульсному сигналу 56
3. Взаимное соответствие фильтров, оптимальных соот-
ветственно радиоимпульсному сигналу и его огибаю-
щей 57
4. Построение оптимальных фильтров для радиоимпуль-
сов . . 58
5. Характеристики высокоизбирательного резонансного
усилителя 60
^ 2.4. Синтез фильтров, оптимальных последовательностям
видеоимпульсных сигналов 62
1. Предварительные замечания 62
2. Построение фильтра, оптимального прямоугольной по-
следовательности импульсных сигналов 64
3. Построение фильтров, оптимальных трапециевидной
и треугольной последовательностям видеоимпульсов 66
4. Взаимное соответствие оптимальных фильтров для по-
следовательности импульсов и Ихмпульса той же формы 70
5. Связь между спектрами видеоимпульса и последова-
тельности импульсов с огибающей той же формы . . 74
6. Тождественность фильтра, оптимального последова-
тельности импульсов, и идеального гребенчатого
фильтра 77
7. О реализуемости оптимальных фильтров для последо-
вательностей импульсов 81
§ 2.5. Оптимальные фильтры для последовательностей ра-
диоимпульсных сигналов 82
1. Предварительные замечания 82
2. Оптимальные фильтры для последовательностей радио-
импульсов первого рода 84
3. Оптимальные фильтры для последовательностей радио-
импульсов второго рода 85
§ 2.6. Краткие сведения об элементах счетнорешающей
техники, используемых при построении оптимальных
фильтров 87
1Я Предварительные замечания 87
2. Суммирующие и вычитающие устройства 87
3. Интегрирующие устройства 90
4. Задерживающие устройства 92
Глава третья. Механизм работы оптимального фильтра
для прямоугольной последовательности прямоуголь-
ных импульсных сигналов 99
§ 3.1. Предварительные замечания 99
§ 3.2. Прохождение прямоугольного импульсного сигнала
и шума через оптимальный фильтр 100
1. О составе оптимального фильтра 100
2. Прохождение сигнала 100
3. Прохождение шума 102
4. Механизм работы оптимального фильтра для одиноч-
ного импульса .,,,,,, ЮЗ
316

5. О некритичности структуры оптимального фильтра
к вариациям формы сигнала 104
6. Сравнение оптимального фильтра с реостатным и дру-
гими усилителями 106
§ 3.3. Прохождение прямоугольной последовательности пря-
моугольных импульсов и шума через фильтр, опти-
мальный этой последовательности ПО
1. Прохождение сигнала ПО
2. Прохождение шума 112
§ 3.4. Прохождение прямоугольной последовательности им-
пульсов и шума через системы, являющиеся практи-
ческими приближениями оптимального фильтра ... 114
1. Прохождение сигнала 114
2. Прохождение шума 116
3. Отношение сигнал/шум на выходе суммирующего уст-
ройства с задержанной обратной связью 119
4. О рациональной структуре системы, являющейся прак-
тическим приближением оптимального фильтра для
последовательности импульсных сигналов 127
Глава четвертая. Накопление импульсных сигналов
в системах с задержанной обратной связью .... 129
§ 4.1 Передаточная функция системы из частотного фильт-
ра и накопительного устройства с задержанной об-
ратной связью 129
§ 4„2. Накопление последовательности импульсных сигна-
лов в устройстве с задержанной обратной связью . . 133
§ 4.3. Накопление последовательности импульсных сигна-
лов в системе из частотного фильтра и устройства
с задержанной обратной связью 136
§ 4.4. Накопление последовательности импульсных сигна-
лов в системе из частотного фильтра и двух уст-
ройств с задержанной обратной связью 144
Глава пятая. Накопление шумов в устройствах с за-
держанной обратной связью 152
§ 5.1. Накопление шумов в системе из частотного фильтра
и устройства с задержанной обратной связью .... 152
1. Определение мощности выходного шума методом мед-
ленно меняющихся коэффициентов 152
2. Определение мощности выходного шума как суммы
мощностей накапливаемых шумовых составляющих . . 157
§ 5.2. Накопление шумов в системе из частотного фильтра
и двух устройств с задержанной обратной связью . . 160
Глава шестая. Выигрыш в отношении сигнал/шум, обе-
спечиваемый накопительной системой 164
§ 6.1. Предварительные замечания 164
§ 6.2. Выигрыш, обеспечиваемый системой из частотного
фильтра и накопительного устройства с задержанной
обратной связью J65
1. Величина выигрыша в отношении сигнал/шум 165
2. Влияние параметров системы на величину выигрыша . 168
317

3. Сравнение со случаем одинаковых полбС пропускания
преднакопительного фильтра и цепи обратной связи
накопительного устройства 171
§ 6.3. Выигрыш, обеспечиваемый системой из частотного
фильтра и двух накопительных устройств с задер-
жанной обратной связью 173
1. Величина выигрыша в отношении сигнал/шум 173
2. Влияние параметров системы на величину выигрыша . 175
3. Целесообразность применения второго накопительного
устройства 178
Глава седьмая. Пороговые сигналы при когерентном на-
коплении последовательностей импульсных сигна-
лов 182
§ 7.1. Предварительные замечания 182
1. Понятие о пороговом сигнале 182
2. Понятие о когерентном и некогерентном накоплении 183
§ 7.2. Когерентное накопление полностью известных после-
довательностей импульсных сигналов 184
1. Структура радиоприемного устройства 184
2. Расчет характеристик обнаружения и пороговых сиг-
налов 185
§ 7.3. Когерентное накопление последовательностей им-
пульсных сигналов с неизвестной начальной фазой 189
1. Структура радиоприемного устройства 189
2. Расчет характеристик обнаружения и пороговых сиг-
р. налов 192
* §) 7.4. Когерентное накопление последовательностей дружно
^ флюктуирующих импульсных сигналов 196
1. Виды флюктуации сигналов 196
2. Структура радиоприемного устройства 198
3. Расчет характеристик обнаружения и пороговых сиг-
налов 199
§ 7.5. О когерентном накоплении импульсных сигналов, от-
раженных от подвижных объектов 202
Глава восьмая. Пороговые сигналы при некогерентном
накоплении с экспоненциальной весовой функцией . 207
§ 8.1. Предварительные замечания 207
1. Преимущества и недостатки некогерентного накопле-
ния 207
2. Особенности некогерентных накопительных устройств
с экспоненциальной весовой функцией 208
§ 8.2. Распределение случайных напряжений на выходе
квадратичного накопительного устройства с экспонен-
циальной весовой функцией 211
§ 8.3. Некогерентное экспоненциально-весовое накопление
последовательностей нефлюктуирующих импульсных
сигналов 217
1. Кумулянты распределения смеси нефлюктуирующих
сигналов с шумом на выходе накопительного устрой-
ства 217
318

2. Разложение функции распределения вероятностей бы*
ходного напряжения в ряды Эджворта и по функциям
ортогональной системы Лагерра 221
3. Пороговые сигналы при отсутствии флюктуации . . . 225
§ 8.4. Некогерентное экспоненциально-весовое накопление
последовательностей дружно флюктуирующих им-
пульсных сигналов 234
1. Кумулянты распределения накопленной смеси дружно
флюктуирующих сигналов с шумом 234
2. Распределение накопленной смеси дружно флюктуи-
рующих сигналов с шумом 237
3. Пороговые сигналы при дружных флюктуациях . . . 239
§ 8.5. Некогерентное экспоненциально-весовое накопление
последовательностей независимо флюктуирующих им-
пульсных сигналов 245
1. Кумулянты распределения накопленной смеси неза-
висимо флюктуирующих сигналов с шумом 245
2. Пороговые сигналы при независимых флюктуациях . . 245
Глава девятая. Оптимальные фильтры для некоторых
сложно модулированных сигналов 253
§ 9.1. Увеличение разрешающей способности по дально-
сти путем укорочения импульсных сигналов в радио-
приемном устройстве 253
§ 9.2. Оптимальные фильтры для импульсов с линейной ча-
стотной модуляцией 256
1. Спектр импульса с линейной ЧМ 256
2. Характеристики оптимального фильтра. Сигнал на его
выходе 259
3. Практическое приближение оптимального фильтра . . 263
4. Ослабление боковых выбросов выходного импульса . . 266
5. Временное смещение отраженного от подвижного
объекта ЧМ импульса на выходе оптимального фильтра 273
§ 9.3. Получение высокой точности и разрешающей способ-
ности по дальности и скорости 274
§ 9.4. Сигналы, манипулированные по фазе в соответствии
с кодом Баркера 279
1. Понятие о коде Баркера. Свойства сигналов 279
2. Получение сигналов. Оптимальный фильтр 285
§ 9.5. Сигналы, манипулированные по фазе бинарной псев-
дослучайной последовательностью 289
1. Понятие о бинарной псевдослучайной последовательно-
сти и ее свойствах 289
2. Корреляционная функция сигнала, фаза которого мани-
пулирована по закону бинарной псевдослучайной по-
следовательности 294
3. Получение сигнала. Структура оптимального фильтра 295
4. Преимущества и недостатки системы с псевдослучай-
ной фазовой манипуляцией 299
Литература 300
Справочник основных обозначений 307
Принятые сокращения надписей на рисунках блок-схем .... 309
Условные обозначения элементов блок-схем, принятые на рисунках 310
Предметный указатель 311
319

ЛЕЗИН ЮРИЙ СЕРГЕЕВИЧ
Оптимальные фильтры и накопители
импульсных сигналов
Редактор Н. Д Иванушко Технический редактор В. В. Беляева
Обложка художника В. Т. Сидоренко
Сдано в набор 3/XI 1962 Подписано в печать 22/Ш 1963
Г-94534 Формат 84Х1087а2 Объем 16,4 Уч.-изд. л. 15,45
Заказ 2659 Тираж 12 тыс. Цена в пер. № 5—87 коп.
Типография № 1 Госэнергоиздата. Москва, Шлюзовая наб., 10.