Теги: физика
Год: 2008
Текст
Московская олимпиада по физике, 2008г., 2 тур, Юкл., №4 4. В вершинах правильного TV-угольника расположены последовательно электрические заряды, величины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2 и равны </, 2</, ... , 2N~1q. Расстояние от центра многоугольника до любой из его вершин равно R. Найдите величину Е напряжённости электрического поля в центре многоугольника. Решение. Пронумеруем вершины многоугольника как Л(Ь Ai, .. тогда в вершине А/; находится заряд 2l:q. Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её на угол 2тг .. — так, чтобы заряд из точки А/. перешел в точку увеличим величины зарядов в два раза и изменим их знаки получим систему зарядов 2 (см. рисунок): система 1 система 2 Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как Я, системой 2 - как Е2. Век--> 2тт тор Е2 получается из Е^ поворотом на угол —, растяжением в два раза и изменением направления на противоположное. Наложим теперь системы зарядов 1 и 2 друг на друга, получив систему зарядов «1+2». Все заряды, кроме расположенных в точке Л о, будут компенсированы, поэтому система «1+2» состоит из одного заряда величиной — q (2N — 1). Следовательно, система «1+2» создаёт в центре многоугольника электрическое поле с величиной напряжён-q (2W - 1) —---------------------+^-. С другой стороны, вектор напряжённости 47Г£о-К2 Ei+2 можно получить, складывая векторы Ei и Е2 по правилу параллелограмма, как показано на рисунке. Используя теорему косинусов, находим: ности |Е1+2|2 = |Ej|2 + |Е2|2 - 21^1. |Е2|. cos - = = Е2 + 4Е2 - 4Е2 cos = Е2 Гб - 4cos Следовательно, В д / 5 — 4 cos — = —7--г2-, V N 47геой2 ’ g(2"-i) / 2тг 4tt£o-R2 л/б—4 cos —