Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Распределение Ферми — Дирака.
Явление Зеебека
Методические указания
к лабораторной работе С-3
по курсу общей физики
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013
УДК 538.3
ББК 22.33
Р24
Авторы: НА. Задорожный, А.В. Семиколенов, С.Л. Тимченко,
А.В. Кравцов, В.Г Голубев
Рецензент Е.А. Власова
Распределение Ферми — Дирака. Явление Зеебека: ме-
Р24 тод. указания / С.Л. Тимченко и др. — М.: Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2013. — 27, [5] с.: ил.
ISBN 978-5-7038-3721-4
Дан краткий обзор теории изучаемою явления, приведены мего-
дика выполнения экспериментов, порядок обработки полученных ре-
зультатов, контрольные вопросы и список литературы.
Дтя студентов второго курса всех факультетов и студентов третьего
курса факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Рекомендовано Научно-методической комиссией Научно-учебного
комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 538.3
ББК 22.33
ISBN 978-5-7038-3721-4
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013
Цель работы — изучение квантово-статистического распреде-
ления Ферми — Дирака для электронного газа в металле, явления
возникновения термоэлектродвижущей силы (ТЭДС) при контакте
металлов, экспериментальное исследование явления Зеебека.
I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.	Распределение Ферми — Дирака
Для описания систем, состоящих из большого числа частиц,
требуется применять статистический подход [1, 2]. По свойствам
частицы разделяют на классические, которые принято называть
различимыми, и квантовые, неразличимые. Для квантовых частиц
справедлив принцип тождественности одинаковых частиц: одина-
ковые частицы данной квантовой системы принципиально нераз-
личимы, т. е. в системе одинаковых частиц реализуются только
такие состояния, которые не изменяются при перестановке частиц
местами. Данный квантовый подход к системе тождественных ча-
стиц позволяет получить волновые функции, описывающие состо-
яние системы, и установить связь свойств симметрии волновых
функций со спином частиц. Эти свойства оказываются различны-
ми для частиц с нулевым или целым значением спина (бозонов) и
частиц с полуцелым значением спина (фермионов). Бозоны подчи-
няются статистике Бозе — Эйнштейна, а фермионы — статистике
Ферми — Дирака.
Фермионы являются частицами-индивидуалистами и подчиня-
ются принципу, или запрету, Паули, который был сформулирован
Вольфгангом Паули в 1925 г. Согласно принципу Паули в системе
3
тождественных фермионов не может существовать двух частиц,
находящихся в одном и том же квантовом состоянии.
Рассмотрим идеальный ферми-газ [3] как систему, состоящую
из невзаимодействующих фермионов. С учетом равновероятно-
сти микросостояний составляющих системы среднее число ферми-
частиц (п), приходящихся на одно квантовое состояние с энергией
Е при температуре Т, соответствует выражению
(п)ф_д = ----г=--,	(1)
/ -Ь — ц. \
ехрЬН +
где ц — химический потенциал ферми-газа; к — постоянная Больц-
мана.
Соотношение (1) называется распределением Ферми — Дирака.
Значение (п)ф_д не может быть больше единицы. Это означа-
ет, что в одном квантовом состоянии не может находиться более
одной ферми-частнцы, что согласуется с принципом Паулн. По-
скольку (п)ф_д < 1, то, согласно статическому подходу, говорят,
что распределение (1) определяет вероятность заполнения энерге-
тического уровня с энергией Е при температуре Т. На рис. 1 по-
казано распределение Ферми — Дирака при температуре Т = О К.
1,0
0,5
£j(0) Е
Рис. 1. Распределение Ферми — Дирака при Т — О К
В случае малых чисел заполнения, когда имеет место разре-
женный ферми-газ, справедливо условие (п)ф_д 1, которое вы-
Е — ц
полняется при	1, из (1) получается классическое распре-
деление Максвелла — Больцмана:
=Аехрн?)'
4
2.	Электронный газ в металлах
Согласно модели свободных электронов в металлах предпола-
гается, что при образовании кристаллической решетки от атомов
отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними валент-
ные электроны. Отщепленные электроны становятся общими для
всех атомов и могут свободно перемещаться в кристалле. Именно
эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутрен-
ние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропровод-
ность металлов. Поэтому их называют электронами проводимости.
Вместе с тем электроны проводимости в металлах не являются
абсолютно свободными и испытывают взаимодействие с ионами,
находящимися в узлах кристаллической решетки. Именно это вза-
имодействие определяет электрическое сопротивление металлов.
Однако в первом приближении этим взаимодействием можно пре-
небречь. Справедливость такого подхода подтверждается, в част-
ности, высокой проводимостью металлов, что может иметь место
только в случае достаточно свободного движения электронов в
пространстве ионного остова. В кристаллической решетке метал-
ла электроны проводимости образуют электронный газ.
Рассмотрим поведение электронного газа при температуре
Т = 0 К. В этом случае электроны располагаются на самых ниж-
них доступных для них энергетических уровнях. Согласно запрету
Паули в каждом состоянии может находиться не более одного
электрона. Однако за счет различия в проекции спина электрона
±1/2 на каждом энергетическом уровне может находиться по два
электрона с различной ориентацией спинов (рис. 2). При темпе-
ратуре Т = О К. химический потенциал электронного газа равен
энергии Ферми: ц = £|;. (0), а вероятность заполнения данного
энергетического состояния ферми-частицей согласно формуле (1)
составляет (п)ф_л = 1/2.
Если число электронов в металле равно JV, то при темпера-
туре Т = О К будут заполнены первые N/2 уровней с энергией
Е < Етах. Все остальные уровни с энергией Е > Етпах будут сво-
бодны. При температуре Т = О К максимальная энергия электро-
нов EmSiX совпадает с энергией Ферми _E^(0).
Найдем функцию распределения электронов проводимости по
энергии. Плотность квантовых состояний для электронов в ме-
5
Е
о —спин вверх I
• —спин вниз |
-^max
Рис. 2. Заполнение энергетических уровней электронами при температу-
ре Т = О К
талле, т. е. число состояний, приходящихся на единичный энерге-
тический интервал рассматриваемого объема, определяется выра-
жением
=	(2)
Здесь то — масса ферми-частицы (электрона); h = 1,05 х
х10-34 Дж-с — постоянная Планка.
Число состояний, приходящихся на интервал энергий от Е до
Е 4- dE, составляет g(E)dE. С учетом вероятности заполнения
данного энергетического состояния (п)ф_д находим число элек-
тронов dN, энергия которых лежит в интервале от Е до Е + dE:
dN = д(Е){п}Ф^Е.
Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число
свободных электронов в металле:
N = l g(E){n}^adE.
о
6
Определим концентрацию электронов в интервале энергий от Е
до Е + dE:
(3)
Концентрацию электронов в металле вычисляем как
(4)
Функция распределения свободных электронов по энергиям

dn у/2т^2 *	1
dE = л2Гг3 V	f Е — EF\ '
exp	+1
\ kl J
(5)
При температуре Т = О К функция F(E) имеет вид
F(E) =
E<EF(oy,
О, Е > EF(0),
(6)
и распределение электронов по энергиям описывается выражением
, J ^°3Z VEdE; E<EF(O);
[	0, E > £?£-(0).
Зависимость функции распределения (6) от энергии при температу-
ре Г = 0 К приведена на рис. 3. Из физического смысла функции
распределения следует, что площадь под кривой F(E) численно
равна концентрации свободных электронов в металле п.
Функции распределения в статистической физике используют
для определения физических характеристик системы. Например,
если известна функция распределения частиц по энергиям F(E),
7
Рис.3. Функция распределения электронов но энергиям /''(/<) при тем-
пературе Т — О К
то можно найти среднее значение (/) любой физической величины
/, зависящей от Е, используя соотношение
I f(E)F(E)dE
(Л =	---------= Ц f(E)Fl.E)dE. (7)
У F^dE 0
О
Получим выражение для энергии Ферми Е^(0) при темпера-
туре Т = О К. Для этого воспользуемся соотношением (4) для
концентрации электронов п. Поскольку при Т — О К для энер-
гетического интервала Е < £?f(0) {п)ф_д = 1. а для интервала
Е > Ep(Q) (п)ф_д — 0, верхний предел интеграла в выражении
(4) следует заменить на Ef(Q). Интегрируя (4), находим:
Е7(О)^/2 /р 2Л2т?/2	з/2
П- J	W
О
Из формулы (8) выразим энергию Ферми при температуре
Т-0 К:
^(°) = ^-(3я2п)2/3.	(9)
Соотношение (9) позволяет, зная концентрацию электронов п,
найти энергию Ферми Ep(Q) или, наоборот, по известной энер-
гии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.
8
l2EF(Q)
При этом можно определить скорость vF =	-------- и импульс
ферми-электронов pF = у/2 ttiq Ef(0).
Оценим энергию Ферми для свободных электронов в металле
при температуре Т = О К. Пусть п = 5 • 1028 м-3, тогда
ЕДО) = ^'°5 1 0 34^ (3 • 3,142  5 - 1028)2/3 = 8  1(Г19Дж = 5 эВ.
Такими образом, энергия Ферми EF($) для электронов в металле
составляет несколько электрон-вольт.
Наряду с энергией Ферми вводят понятие температуры Фер-
ми TF:
kTF = Ef(0). или Тр =	(10)
К
Для металлов при EF(0) — 5 эВ температура Ферми имеет значе-
ние TF = 6 • 104 К, что более чем в 200 раз превышает комнатную
температуру.
Существует понятие температуры вырождения электронно-
го газа. Температурой вырождения называют температуру, ниже
которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные
тождественностью его частиц. Значение температуры вырожде-
ния находят по формуле (10). При температуре Т < TF, т. е. при
кТ < EF(0), электронный газ в металлах является вырожденным.
При температуре Т > TF, т. е. при кТ > EF(Q), электронный газ
не вырожден. Поскольку температура Ферми TF для металлов
имеет значение порядка 104 К, то электронный газ в металлах
оказывается вырожденным при всех температурах, при которых
металл остается в твердом состоянии.
Рассмотрим теперь случай ненулевой температуры. Вид рас-
пределения Ферми — Дирака при Т приведен на рис. 4. Так на-
зываемая характерная ступенька в распределении (см. рис. 1) при
Т > 0 размывается и переход от заполненных электронами состо-
яний к незаполненным происходит более плавно.
Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на ве-
личину кТ, заняты электронами. Все состояния, энергия кото-
рых превосходит энергию Ферми на величину ~ кТ, оказываются
9
Рис. 4. Распределение Ферми — Дирака при температуре Т > О К
свободными. То есть в области энергий шириной ~ к Т вблизи
энергии Ферми имеются состояния, частично заполненные элек-
тронами. Ширина этой области невелика по сравнению с энерги-
ей Ферми. При этом только электроны, заполняющие состояния в
этой области, могут принимать участие в различных физических
процессах, происходящих в металлах, и только их энергия может
изменяться в ходе этих процессов.
Зависимость функции распределения F(E) от энергии электро-
нов при температуре Т > 0 представлена на рис. 5. Поскольку, как
и при нулевой температуре, площадь под кривой F(E) численно
равна концентрации свободных электронов в металле, то площа-
ди участков Si и S% оказываются равными друг другу. Площадь
каждого из этих участков определяет число электронов в единице
объема металла, перешедших при нагревании образца с заполнен-
ных энергетических уровней на незаполненные.
Получим выражение для энергии Ферми Ер при отличной от
нуля температуре металла. Для этого воспользуемся выражени-
Рис. 5. Функция распределения электронов по энергиям F(E) при тем-
пературе Т > О К
10
ем (4). Это выражение позволяет в принципе найти энергию Фер-
ми Ер как функцию температуры Т и концентрации электронов п.
При к Т Ер(0) получаем приближенное значение интеграла (4)
и выражаем энергию Ферми:
Ер ъ Ef(0)
п
12
кТ
яио)
(И)
Из приведенных выше оценок энергии Ep(Q) следует, что условие
кТ Ер(0) выполняется для всего диапазона температур, при
котором металлы существуют в твердом виде. Это означает, что
выражение (11) справедливо для всех реализуемых на практике
случаев. Более того, во многих ситуациях поправка к Ep(fi), опре-
деляемая выражением (И), оказывается ничтожно малой, так что
ею можно пренебречь и считать, что Ер « Ер(0). Действительно,
если принять Ер(0) = 5 эВ, то при комнатной температуре, т. е.
при кТ = 0,025 эВ, относительная поправка к Ер(0) в выражении
(11) составит:
= 2 • 10 5 = 0,002 %.
Ef(0)
Однако для понимания ряда физических явлений, таких, на-
пример, как поведение теплоемкости металлов при низкой темпе-
ратуре или объяснение явления возникновения ТЭДС, зависимость
Ер(Т) имеет принципиальное значение.
При анализе поведения электронов в металлах наряду с распре-
делением свободных электронов по энергиям используют также
распределения электронов по импульсам р и по скоростям v. Эти
распределения получают из выражения (3) с учетом выражений
для импульса р = \/'2т0Е и скорости электронов v = у/ЧЕ/тп^'.
p2dp
7Т2Л3	(р2/2т$-Ер	\
ехр(—fcf—+1J
11
С учетом формулы (7) запишем выражение для определения
средней скорости ферми-частицы:
F(E)dE
О
При температуре Т = О К, заменяя верхний предел итерирова-
ния на Е'г(О), получаем
£f(0)
f v^E^EdE
м = ДГ J______________= 5 l2EF(fi) = зи .
V m0 в„(0)	4 у то 4??/ ’
У y/lSdE
О
где скорость Ферми vf — максимальная скорость электронов в ме-
талле при Т = О К. Подставляя для _EF(0) значение 5 эВ, получаем
(v) = 1,05 106 м/с.
Среднее значение энергии свободных электронов в металле
определяется в соответствии с выражением (7) как
EF(E)dE
R = ~------------
F(E)dE
о
При температуре Т = 0 К функция распределения свободных элек-
тронов по энергиям F(E) определяется выражением (6), поэтому
верхний предел интегрирования следует заменить на Ер(0). Инте-
12
грируя, получаем
(Е) =
BF(0)
I E^dE
b_________
Ef{Q)
У E2/2dE
О
|ef(o).
Средняя энергия электронов в случае классического электронного
газа
(-Е)кл — 2^’
температура ферми-электронов
2 Ер(0)
5 k
(12)
Подставляя в выражение (12) значение EF(Q), получаем темпера-
туру классического электронного газа для серебра: Т = 2,4 • 104 К.
Отметим одно важное обстоятельство. При нагревании вы-
рожденного электронного газа лишь очень незначительная часть
электронов изменяет свою энергию. Это те электроны, энергия
которых лежит в интервале (Ef'(O) — kT, Ер-(О)). Действительно,
поскольку вплоть до температуры плавления металла выполняется
условие kT EF(0), то доля электронов, изменяющих свою энер-
гию при нагреве металла, оказывается ничтожно малой. Поэтому
средняя энергия электронов при изменении темперагуры изменя-
ется столь незначительно, что этим изменением можно пренебречь
3
и считать, что (Е} = -Ер(0) н не зависит от температуры. Таким
5
образом, из квантовой теории следует, что электронный газ в ме-
3
талле, в отличие от классического газа, для которого (E}KJI — -кТ,
не обладает теплоемкостью. Этот результат согласуется с экспери-
ментальными данными по теплоемкости твердых тел.
Значения энергии Ферми Е^(0), рассчитанные с помощью со-
отношения (9) для различных металлов, приведены в табл. 1. Здесь
же даны значения температуры Ферми Тр (10) и скорости ферми-
электронов Vp.
13
Таблица 1
Металл	£'f,(0), эВ	TF, к	x 10® м/с
Li	4,72	55 000	1,31
Na	3,12	37000	1,07
К	2,14	24000	0.85
Rb	1,82	21000	0,75
Cs	1,53	18 000	0,75
Си	7,04	82 000	1,58
Ag	5.51	64000	1,40
Au	5,51	64 000	1,40
3.	Термоэлектродвижущая сила. Явление Зеебека
При соприкосновении двух различных металлов между ними
возникает разность потенциалов, называемая контактной разно-
стью потенциалов [4]. Это явление было открыто итальянским
ученым А. Вольтой в 1797 г. Исследуя различные металлы, Воль-
та расположил их в следующий ряд: Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg.
Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd. Он доказал, что если металлы в указанной
последовательности привести в контакт Друг с другом, то каждый
предыдущий металл получит более высокий потенциал, чем по-
следующий. Также Вольта установил, что если несколько металлов
1,2,..., п привести в контакт друг с другом (рис. 6), то разность
потенциалов <рп - <pi между крайними металлами не будет зави-
сеть от того, какими промежуточными металлами они разделены.
Это положение называется законом последовательных контактов
Вольты и справедливо в случае, если температура всех контакти-
рующих металлов будет одинаковой.
Согласно закону Вольты, в замкнутой цепи, состоящей из не-
скольких металлов или полупроводников (рис. 7), ие происходит
возбуждения электрического тока, если все тела цепи находятся
Рис. 6. Ряд Волыы
14
Рис. 7. Замкнутая цепь из трех металлов при одинаковой температуре
при одинаковой температуре. Однако, если температуры в местах
контактов разные, то в цепи появляется электрический ток. Этот
ток называется термоэлектрическим. Явление возникновения тер-
моэлектрического тока было открыто в 1821 г. немецким физиком
Т.П. Зеебеком (1770-1831). Он установил, что если в замкнутой це-
пи создать контакт двух различных по физическим свойствам про-
водников и поддерживать разные температуры в месте их контакта,
то в цепи возникает ТЭДС Опытным путем Зеебек установил
линейную зависимость ТЭДС от разности температур проводников
в месте их контакта:
Гг = а(Т2-Т1) = аДТ,	(13)
где ос — коэффициент ТЭДС (удельная ТЭДС данной пары метал-
лов). Коэффициент ос принято считать постоянной величиной для
пары металлов, зависящей только от природы металла.
Например, если привести в контакт пластинки из меди (Си)
и сурьмы (Sb), спаяв их, то при нагреве одного из спаев в це-
пи появляется электрический ток. При этом через нагретый спай
ток идет от меди к сурьме. Если охладить тот же спай, то напра-
вление термоэлектрического тока изменится на противоположное.
Металл или полупроводник, к которому идет ток через нагретый
сиай термоэлектрической пары, называют положительным, а дру-
гой — отрицательным. Первый выполняет функции анода, а вто-
рой — катода. Поэтому в термоэлектрической паре Си — Sb сурьма
будет положительной, а медь отрицательной. По этому признаку
Зеебек, а затем и другие исследователи расположили металлы в так
называемый термоэлектрический ряд, аналогичный ряду Вольты.
15
Возникновение ТЭДС обусловлено тремя причинами:
1)	зависимостью уровня Ферми от температуры;
2)	диффузией электронов и дырок;
3)	увлечением электронов фононами.
При контакте двух металлов, имеющих разную концентрацию
электронов, в месте контакта возникает внутренняя контактная
разность потенциалов
Epi - EF2
t>12 = ----"----
Наличие внутренней контактной разности потенциалов Cri2
обусловливает возникновение электрического тока. Температурная
зависимость уровня Ферми (11) будет вносить вклад в значения
€/12- Поэтому, если значения температуры спаев неодинаковы, бу-
дут неодинаковы и внутренние контактные разности потенциалов.
Это ведет к нарушению электрического равновесия и возникнове-
нию термоэлектрического тока.
Для оценки внутренней контактной разности потенциалов
при абсолютной температуре используем формулу (9). предпола-
гая, что концентрация электронов проводимости в контактирую-
щих металлах будет различной:
7 г	(о 2\2/3 ( 2/-S	2/3\
t/12 = ^--- (Зя) п/ -П^	•
2m0e V	/
Значение внутренней контактной разности потенциалов при аб-
солютном нуле по модели свободных электронов определяет ся кон-
центрацией электронов проводимости и для металлов находится в
диапазоне 0,01.. .1,00 В. Эта оценка является приближенной, так
как в ее основе лежит модель свободных электронов.
Если спаи двух различных по физическим свойствам металлов
находятся при разных температурах (рис. 8), то в такой системе
будет возникать контактная ЭДС
£. = U12(T1) + U2i(T2)-
£* = ~ W1(T1) Ер2(Т1)] + [Е«(Т2) - Я«(Г2)]} =
[EF1(T2) - £к1('Г1)]}.
16
Таким образом, ЭДС Ек, вызванную температурной зависимо-
стью уровня Ферми и, следовательно, наличием ненулевой вну-
тренней контактной разности потенциалов для спая, можно опре-
делить следующим выражением:
т2	т2
J е al J е al
Т1	Т1
Рис. 8. Контакт двух
металлов при разных температурах
Еще одной причиной возникновения ТЭДС является диффу-
зия электронов или дырок вследствие градиента температуры. Так,
если вдоль проводника или полупроводника имеется градиент тем-
пературы 1\	Т2, то в этом случае концентрация электронов (ды-
рок) с Е > Др(0) у нагретого конца (T2) будет больше, чем у
холодного (Т1). Концентрация электронов (дырок), для которых
Е < £7р(0), у нагретого конца металла (полупроводника) будет
меньше, чем у холодного. Наличие градиента концентрации элек-
тронов с данным значением энергии является причиной диффузии
более быстрых электронов (Е1 > jEp(O)) от нагретого к холодному
концу, а более медленных (Е < £₽(())) — от холодного (2Т) к на-
гретому (7*2, ^2 > ?i)- Диффузионный поток быстрых электронов
больше, чем поток медленных, поэтому вблизи холодного конца
17
образуется избыток электронов, а вблизи горячего — их недоста-
ток. Это приводит к возникновению диффузионного слагаемого в
выражении для ТЭДС.
Причиной возникновения ТЭДС также является процесс увле-
чения электронов фононами. Наличие градиента температуры
вдоль проводника вызывает не только диффузию электронов (ды-
рок), но и дрейф фононов. Сталкиваясь с фононами, электроны
получают дополнительный импульс в направлении своего движе-
ния от более нагретого конца проводника (Г2) к мсиес нагретому
(71). Таким образом, в результате увлечения дрейфующими фоно-
нами электронов, энергия которых Е больше, чем энергия Ферми,
Е > Ер, электроны скапливаются на холодном конце и происходит
обеднение электронами области у горячего конца, что приводит к
возникновению фононного слагаемого ТЭДС.
Оба рассмотренных процесса — диффузии электронов и увле-
чения электронов фононами — приведут к образованию избытка
электронов вблизи холодного конца и недостатка их вблизи го-
рячего металлического проводника (полупроводника). В результа-
те внутри проводника возникает электрическое поле, напряжен-
ность которого имеет направление, противоположное градиен-
ту температуры. Напряженность этого поля можно представить
в виде
dtp _ dpdT dT
= (,5)
где
dT ‘
Формула (15) связывает напряженность электрического поля с
градиентом температуры dT/dl. Напряженность Е возникающего
электрического поля и градиент температуры имеют противопо-
ложные направления, если коэффициент |3 положительный, что
справедливо для металлов с электронным типом проводимости и
полупроводников n-типа. Если знак коэффициента |3 отрицатель-
ный, что справедливо для металлов с дырочным характером про-
водимости (бериллий, цинк и др.) и полупроводников p-типа, то
направления напряженности электрического поля (15) и градиента
температуры будут одинаковыми.
18
Например, внутри неравномерно нагретого полупроводника
7>1ива (дырочный тип проводимости) Э < 0, дырки, диффунди-
руя в большем количестве к холодному концу полупроводника,
создают вблизи него избыточный положительный заряд. К такому
же распределению дырок приводит и увлечение дырок фононами.
По-лому у полупроводников p-типа потенциал холодного конца
будет выше, чем потенциал нагретого, что следует из формулы
(15) для < 0. Важно, что коэффициент £ является температурно-
швисимым.
Электрическое поле, определяемое формулой (15), является по-
лем сторонних сил. Найдем ТЭДС, создаваемую полем. Для этого
необходимо проинтегрировать напряженность поля по участку це-
пи М\ (см. рис. 8) от спая, находящегося при температуре Тг, до
спая с температурой I\z
1	Ту
£1МП = ~ У	= — ?>MidT.	(16)
2	т2
Аналогично найдем ТЭДС, действующую на участке цепи М2
(рис. 8):
2	Т2
^2М22 = - У	— - J" &M2dT. (17)
1	Ту
Результирующая термоэлектродвижущая сила состоит из ЭДС £к
(14), возникающей благодаря наличию внутренней контактной раз-
ности потенциалов и температурной зависимости уровня Ферми, и
ЭДС, обусловленной процессами диффузии носителей (электронов
и дырок) и увлечения фононами электронов (дырок):
£? = £к +	+ ^2М22-
С учетом выражений (14)—(17) получаем выражение для результи-
рующей ТЭДС:
--ed^dT-f	(18)
71	71
19
В выражении (18) величина
1 dEp
*~ё^г=а
называется коэффициентом ТЭДС. Так как коэффициенты |3 и
dEp/dT зависят от температуры, коэффициент а является функци-
ей температуры. Тогда выражение (18) для результирующей ТЭДС
можно представить в виде
т2	т2
£т = f a-MidT - у (XMidT =
т2	т2
— У («М1 - dT — у" a.Mi2dT. (19)
Т	Ti
Величину «л/12 =	— аМ2 называют дифференциальной
или удельной ТЭДС данной пары металлов или полупроводников.
Для большинства пар металлов удельная ТЭДС ад/12 имеет
порядок 10“5 ... Ю-4 В/К; для полупроводников она может быть
гораздо больше и принимать значения до 1,5 • 10-3 В/К. Таким
образом, во-первых, абсолютное значение коэффициента ТЭДС ос
для полупроводников больше, чем для металлов. Во-вторых, что
более существенно, у полупроводников с различным типом про-
водимости коэффициент ос имеет разные знаки, вследствие чего
| <ХЛ712 | = | аМ1 | - | «М2 |-
В случаях, когда удельная ТЭДС слабо зависит от температуры,
формулу (19) можно представить в виде
Ет = алт(Т2 — Ti).
Эго выражение совпадает с выражением, полученным экспери-
ментальным путем Зеебеком (13). Однако с увеличением разности
температур спаев линейный характер зависимости е-т(Т) наруша-
ется и становится нелинейным, вплоть до изменения знака. Так,
если спай пары железо — медь поддерживать при О °C, то при тем-
пературе второго спая, равной примерно 540 е С, ТЭДС принимает
нулевое значение, вместе с тем при более низкой температуре спая
Ер имеет один знак, а при более высокой — другой.
20
Составляющую коэффициента ТЭДС а, определяемую темпе-
ратурной зависимостью энергии Ферми, можно оценить, используя
формулу (11). Тогда из выражения (14) для ТЭДС £к получаем:
1 dEF (пк)2 Т
е dT 6еЕр(0)'
(20)
Для расчета энергии Ферми Ер-(0) при температуре Т = О К не-
обходимо задавать концентрацию электронов. Концентрация элек-
тронов может быть найдена как
М-
(21)
где Л’д — число Авогадро; р — плотность вещества; ц. — молярная
масса; z - валентность (количество валентных электронов атома).
Квантовая теория позволяет получить выражение для коэффи-
циента ТЭДС ос, учитывая влияние объемных эффектов на по-
явление стороннего поля, а следовательно, возникновение ТЭДС в
проводниках. Так как спаи металлов поддерживаются при разных
температурах, то существует градиент температуры, поэтому зна-
чение энергии Ферми Ер- изменяется вдоль длины проводника. Это
приводит к возникновению градиента концентрации электронов с
данными значениями энергии, и тогда, с учетом этого фактора,
выражение (20) имеет вид
_ 1 dEp _ (nk)2 Т
ЛТ~ е dT ~ еЕр(0)'
(22)
Численные значения коэффициента ос? для большинства ме-
таллов при Т = 300 К находятся в диапазоне порядка 10“5 ...
10-4 В/К. Фононной составляющей ТЭДС в выражениях (16), (17),
которая также связана с градиентом температуры в каждом ме-
талле, можно пренебречь, поскольку в большинстве металлов при
температуре Т > 300 К ее вклад незначителен. Подставив формулу
(22) для коэффициента ост в выражение (19), получим
& =	(23)
Таким образом, £к, а следовательно, и ТЭДС St зависят от раз-
ности квадратов температур. В случае, если Т± и Т% различаются
21
незначительно (а именно — меньше, чем на порядок), то
Т22 - Tf = (Т2 - Tt) (Т2 + Т1') = 2ТсрДТ,
где Тср — средняя температура контактов; АТ — разность темпе-
ратур контактов (спаев). Тогда
атДТ = аДТ,
где
(24)
(пк)2 Г 1
ос
е
Из выражения (24) ясно, что коэффициент а зависит от темпе-
ратуры.
Явление Зеебека используется для измерения температур.
Устройство, предназначенное для измерения температуры, на-
зывается термопарой (или термоэлементом) и представляет собой
цепь из двух разнородных проводников, концы которых соедине-
ны, например, сваркой. Один спай термопары поддерживают при
постоянной температуре, другой помешают в ту среду, температу-
ру которой хотят измерить. О значении температуры судят по силе
возникающего термотока, измеряемого гальванометром. Величина
ТЭДС, возникающая в термопаре, зависит от разности температур
и материалов термоэлемента, но не зависит ни от длины, ни от
диаметра термоэлектродов. Термопару можно использовать для
измерения температуры после предварительной градуировки, т. е.
экспериментального определения Е? при различных значениях
температуры рабочего конца и постоянной определенной темпе-
ратуре свободного конца. Плавная, приближающаяся к линейной
зависимости, ТЭДС обеспечивает большое удобство градуировки
термопары.
Также термоэлектричество используется для генерации элек-
трического тока. Для получения значительных напряжений тер-
моэлементы соединяют последовательно в батареи. При этом все
нечетные спаи поддерживают при одной температуре, а четные —
при другой. В результате электродвижущие силы отдельных термо-
элементов складываются. Однако металлические термопары в ка-
честве источников теплоты практически не используются по при-
чине весьма низкого КПД (не более 0,5 %). Термопары из полу-
22
проводниковых материалов обладают гораздо большим КПД (не
менее 10 %). Одна половина термопары изготовляется из полупро-
водника с электронной, а другая — с дырочной проводимостью.
Батареи из полупроводниковых термоэлементов уже нашли приме-
нение в качестве небольших генераторов для питания радиоаппа-
ратуры. Также существуют разработки полупроводниковых термо-
электрогенераторов для прямого преобразования тепловой энергии
Солнца в электрическую.
В данной лабораторной работе предоставляется возможность
измерения удельной ТЭДС, определения энергии Ферми и фун-
даментальных констант статистики Ферми — Дирака. По предло-
женной методике можно определить энергию Ферми (химический
потенциал) и для других металлов, использующихся в качестве
материала для термопар, т. е. для пар металлов, у которых ТЭДС
принимает значение, достаточное для проведения эксперимента.
II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1. Описание экспериментальной установки
Принципиальная схема экспериментальной установки приведе-
на на рис. 9. Экспериментальная установка состоит из источника
тепла в виде нагревательного элемента, термостата, набора термо-
пар (три термопары), а также измерительных приборов: двух муль-
тиметров. Один мультиметр предназначен для измерения разности
потенциалов на термопаре, а другой — для измерения температуры
спаев термопар (Т) и ТД. Термостат обеспечивает поддержание
разности температур в спаях.
Предлагается исследовать ТЭДС следующих термопар: хромель—
копель (X—К), хромель—алюмель (X—А), алюмель—копель (А—К).
Эти термопары расположены в одном нагревательном термостате
лабораторной установки вместе с датчиком цифрового термоме-
тра. Установка позволяет измерять ТЭДС всех термопар после-
довательно, с помощью переключателя. Переключатель термопар
находится на лицевой панели установки и имеет четыре положе-
ния (положения переключателя: 0 — термопары отключены, 1 —
алюмель—копель, 2 — хромель—алюмель, 3 — хромель—копель).
23
Термометр
Милливольтметр
2. Порядок выполнения эксперимента
Необходимо получить экспериментальную зависимость ТЭДС
от температуры для алюмель—копелевой, хромель—алюмелевой и
хромель—копелевой термопар. Для этого следует изменять напря-
жения нагревателя с помощью рукоятки на стенде («Нагреватель»),
Положение рукоятки регулировки нагрева определяет скорость на-
24
1рева термостата. Крайнее правое положение рукоятки нагревателя
соответствует максимальной скорости нагрева термостата.
1.	Установить рукоятку регулировки нагрева термостата в такое
положение, которое позволит осуществить измерение температуры
термостата и ТЭДС. Рекомендуется использовать среднее положе-
ние рукоятки регулировки нагрева термостата.
2.	Снять показания ТЭДС для трех термопар в режиме нагрева
при изменении температуры термостата с шагом порядка 10 °C.
3.	Показания для ТЭДС и температуры термостата записать в
табл.2.
Таблица 2
Нагрев				Охлаждение			
Т, К	Tti | £т2		&тз	Т, К	£-п	&Г2	&ГЗ
	мВ				мВ		
То Ттах							
4.	Выключить нагреватель термостата при достижении тем-
пературы 150.. .160 °C, повернув рукоятку нагревателя в крайнее
левое положение.
5.	Снять показания ТЭДС для трех термопар при изменении
температуры термостата с шагом порядка 10 °C в режиме охла-
ждения при выключенном нагревателе термостата. Показания для
ТЭДС и температуры термостата записать в табл. 2.
3. Обработка результатов эксперимента
1.	11о данным измерений (см. табл. 2) построить графики зави-
симости £т(Т - То) для трех термопар при нагреве и охлаждении.
Здесь ?о - температура окружающей среды, К; Т — температура
25
термостата, К. За погрешность измерения ТЭДС принять разброс
значений £т в процессе нагрева и охлаждения [5].
2.	Для каждой термопары провести прямую линию, проходя-
щую наилучшим образом через доверительные интервалы изме-
ренных ТЭДС, тогда тангенс угла наклона этой линии соответству-
ет коэффициенту ТЭДС а этой термопары. Полученные значения
записать в табл. 3 и сравнить с известными из литературы [6] зна-
чениями удельных ТЭДС. Коэффициент ТЭДС а термопары может
быть определен методами корреляционного и регрессионного ана-
лиза [5].
Таблица 3
Параметр	Термопара		
	алюмель— копель	хромель- алюмель	хромель— копель
а, мкВ/К	20,7	41,3	62
аэкс, мкВ/К			
Е1, %			
Элемент термопары, для ко- торого определяется Ер	Алюмель	Копель	Хромель
Энергия Ферми Ер, эВ			
3.	Рассчитать отличие значений коэффициентов ТЭДС соответ-
ствующих термопар, полученных экспериментально, от их таблич-
ных значений, результат расчета занести в табл. 3.
4.	По результатам измерений (см. табл. 2, 3) рассчитать зна-
чения энергии Ферми копеля (£^к) и алюмеля (Бка), используя
следующие соотношения:
	(лА:)2	1	1	
“АК =	е	.Ерк	Ер А.	Т<:р;
	(л&)2	1	1	
“ХА =	е	Ера	Ерх.	^ср-
	(л&)2	1	1	
“ХК =	е	Ерк	Ерх.	Гер,
26
где ТСр берется как средняя температура диапазона измерений а
(см. табл. 2).
Для хромеля (сплав 90 % никеля и 10 % хрома) можно вычи-
слить по формуле (21) концентрацию электронов п =
= 1,7 • 1023 см-3, тогда по формуле (9) энергия Ферми хроме-
ля Ерх — 1,04  10“18 Дж (6,5 эВ) [6].
5.	Результаты расчета энергий Ферми Ер занести в табл.З.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.	Сформулируйте принцип тождественности.
2.	Сформулируйте принцип Паули.
3.	Назовите особенности статистического распределения Фер-
ми — Дирака.
4.	Что называют химическим потенциалом?
5.	Дайте определение энергии Ферми.
6.	Как определить среднее значение энергии ферми-частиц?
Приведите пример расчета.
7.	Определите функцию распределения свободных электронов
по энергиям.
8.	Сколько свободных электронов приходится на один атом ка-
лия, если энергия Ферми калия Ер = 1.9 эВ? Плотность калия
р = 862 кг/м3.
9.	Оцените минимальную дебройлевскую длину волны свобод-
ных электронов в металле при температуре Т — 0 К, считая, что
металл содержит по одному свободному электрону на атом, а его
решетка является простой кубической с периодом d.
10.	Дайте определение ряда Вольты.
11.	Дайте определение внутренней разности потенциалов.
12.	В чем заключается явление Зеебека?
13.	Каковы причины возникновения ТЭДС?
14.	Покажите, что температурная зависимость уровня Ферми
обусловливает появление ТЭДС.
15.	Что называют коэффициентом ТЭДС и какими факторами
он определяется?
16.	Почему ТЭДС является линейно зависимой от температуры
в определенном температурном интервале?
27
17.	Каково практическое применение явления Зеебека?
18.	Что представляет собой термопара?
19.	Какое фундаментальное приложение имеют результаты дан-
ной лабораторной работы?
ЛИТЕРАТУРА
1.	Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб, пособие для втузов:
В 5 кн. Кн. 5: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого
тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. М.: Астрель;
ACT, 2007. 368 с.
2.	Сивухин Д В. Общий курс физики: Учеб, пособие для втузов:
В 5 т. Т. 3: Электричество. М.: Физматлит. 2004. 654 с.
3.	Мартинсон Л К., Смирнов Е.В. Квантовая физика: Учеб, пособие.
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 496 с.
4.	Винтайкин Б.Е. Физика твердого тела: Учеб, пособие. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2008. 360 с.
5.	Еркович СП. Методические указания но применению регресси-
онного и корреляционного анализа для обработки результатов изме-
рений в физическом практикуме. М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана. 1984.
10 с.
6.	Физические величины: Справ. / А.П. Бабичев, Н.Н. Бабушкина,
А.М. Братковский и др.; Под ред. И.С. Григорьева. Е.З. Мейлихова.
М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.