Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.

Автор: Маркеев А.П.
Теги: космодинамика небесная механика гамильтонова механика
Год: 1978
Похожие
Динамика Солнечной системы
Различные аспекты задачи N тел
Баллистико-навигационное обеспечение полётов автоматических космических аппаратов к телам Солнечной системы
Современная небесная механика. Аспекты динамики Солнечной системы
Текст
                    А.П.Маркеев
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И КОСМОДИНАМИКЕ
М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит. 1978, 312 стр.
В книге излагаются аналитические и численные методы теории
гамильтоновых систем и их приложения к исследованию движений, близких к
точкам либрации ограниченной задачи трех тел. Основное внимание уделяется
устойчивости положений равновесия и периодических движений нелинейных
гамильтоновых систем в резонансных случаях, когда чисто мнимые
характеристические показатели линеаризованной системы уравнений
возмущенного движения связаны целочисленными соотношениями.
Подробно исследована задача об устойчивости треугольных точек либрации
ограниченной задачи трех тел. Разработан способ построения и исследования
устойчивости периодических движений, близких положениям равновесия
автономных гамильтоновых систем. Этот способ применен в анализе
периодических движений, близких треугольным точкам либрации. Построена
приближенная аналитическая теория движения вблизи прямолинейной
окололунной точки либрации.
Содержание
Предисловие 7
Введение 9
Глава 1. Точки либрации ограниченной задачи трех тел 17
§ 1. Уравнения движения ограниченной задачи трех тел 17
§ 2. Точки либрации — частные решения ограниченной задачи трех 20
тел
§ 3. Об устойчивости точек либрации 24
Глава 2. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных 30
уравнений
§ 1. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными 30
коэффициентами
§ 2. Нормальная форма автономной системы линейных 32
гамильтоновых уравнений в случае простых чисто мнимых
корней характеристического уравнения
§ 3. Общие сведения о линейных системах с периодическими 35
коэффициентами
§ 4. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с 37
периодическими коэффициентами
§ 5. Нормализация гамильтоновой системы линейных уравнений с 39
периодическими коэффициентами
§ 6. Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы 42
системы, содержащие малый параметр
§ 7. Нахождение областей параметрического резонанса в первом 46
приближении по малому параметру
Глава 3. Устойчивость положений равновесия гамильтоновых 52
систем с одной степенью свободы

§ 1. Преобразование Биркгофа 52
§ 2. Теорема Мозера об инвариантных кривых 57
§ 3. Теорема Арнольда—Мозера об устойчивости гамильтоновой 58
системы с одной степенью свободы в общем эллиптическом
случае
§ 4. Линейная нормализация 59
§ 5. Неустойчивость в случае целого числа 3\lambda 62
§ 6. Исследование устойчивости в случае целого числа 4\lambda 64
§ 7. Устойчивость при резонансах произвольного порядка 67
Глава 4. Устойчивость автономной гамильтоновой системы с 69
двумя степенями свободы
§ 1. Постановка задачи 69
§ 2. Исследование устойчивости при резонансе ooi=2 <m 70
§ 3. Устойчивость при резонансе <ш=3 <т 73
§ 4. Об устойчивости в случае равных частот 77
§ 5. Исследование устойчивости при с2Оа>22 + спща>2 + сО2&2 =0 85
Глава 5. Об устойчивости многомерных гамильтововых систем 87
§ 1. Устойчивость многомерных гамильтоновых систем для 87
большинства начальных условий. Результаты Арнольда
§ 2. Формальная устойчивость. Теорема Брюно 90
§ 3 Оценка скорости диффузии Арнольда. Результаты Нехорошева 94
§ 4. Неавтономная система с двумя степенями свободы. Случай 97
резонанса третьего порядка
§ 5. Об устойчивости неавтономной системы с двумя степенями 102
свободы при резонансе четвертого порядка
Глава 6. Метод точечных отображений в задачах нормализации 106
и устойчивости нелинейных гамильтоновых систем
§ 1. Необходимые понятия и определения 106
§ 2. Перенесение теоремы Четаева на точечные отображения 108
§ 3. Разложение отображения вряд 109
§ 4. Нормализация точечного отображения в окрестности 112
неподвижной точки
§ 5. Получение функции Гамильтона по отображению 115
§ 6. Об устойчивости неподвижных точек отображения в случае 117
резонанса
Глава 7. Устойчивость точек либрации в плоской круговой 122
задаче трех тел
§ 1. Функция Гамильтона задачи трех тел 122
§ 2. Краткая предыстория решения задачи об устойчивости 123
лагранжевых решений
§ 3. Гамильтониан возмущенного движения 125
§ 4. Решение задачи об устойчивости точек либрации для значений 126
параметра \mu из области устойчивости в первом приближении

§ 5. Об устойчивости точек либрации при критическом отношении 130
масс
Глава 8. Устойчивость точек либрации в пространственной 132
круговой задаче трех тел
§ 1. Нормальная форма функции Гамильтона 132
§ 2. Устойчивость для большинства начальных условий 134
§ 3. Формальная устойчивость 135
§ 4. Формальная устойчивость точек либрации при критическом 143
отношении масс
§ 5. Выводы 145
Глава 9. Устойчивость точек либрации в плоской эллиптической 147
задаче трех тел
§ 1. Краткая история рассматриваемой задачи 147
§ 2. Линейная нормализация с точностью до первой степени 149
эксцентриситета
§ 3. Резонансные кривые 155
§ 4. Резонансы третьего порядка 157
§ 5. Об устойчивости при резонансах четвертого порядка 159
§ 6. Исследование устойчивости при нерезонансных значениях 160
параметров
§ 7. Численное исследование при произвольных еиц 163
§ 8. Обсуждение полученных результатов 169
Глава 10. Об устойчивости точек либрации в пространственной 173
эллиптической задаче трех тел
§ 1. Тождественный резонанс 173
§ 2. Алгоритм линейной нормализации с точностью до второй 174
степени эксцентриситета
§ 3. Нормальная форма функции Гамильтона 176
§ 4. Исследование устойчивости системы с функцией Гамильтона 178
C.4)
§ 5. Устойчивость точек либрации при малых е 180
§ 6. Неустойчивость точек либрации при малых ц и е 181
§ 7. Результаты численного исследования при произвольных еиц. 182
Устойчивость лагранжевых решений в системе Солнце—
Юпитер
Глава 11. Основы метода Депри—Хори в теории возмущений 186
гамильтоновых систем
§ 1. Введение 186
§ 2. Ряды Ли как каноническое преобразование 188
§ 3. О теории возмущений Депри 191
§ 4. Упрощение алгоритма Депри 196
§ 5. Формальная техника применения преобразования Ли 199
§ 6. О теории возмущений, основанной на рядах Ли 202

Глава 12. Периодические движения, близкие к треугольным 205
точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тол
§1. Введение 205
§ 2. Три типа периодических движений 206
§ 3. Схема исследования устойчивости 209
§ 4. Орбиты первого приближения 210
§ 5. Построение периодических движений 212
§ 6. Гамильтониан возмущенного движения 215
§ 7. Резонансы 217
§ 8. Линейная нормализация. Параметрический резонанс 221
§ 9. Резонансные кривые третьего и четвертого порядков 227
§ 10. Нелинейная нормализация. Условия устойчивости 228
§11. Результаты расчетов 231
Глава 13. О движении космического аппарата вблизи 237
треугольных точек либрации системы Земля — Луна с
учетом солнечных возмущений
§ 1. Влияние солнечных возмущений на движение космического 237
аппарата, помещенного в точку либрации
§ 2. О периодических орбитах вблизи La. Гамильтониан движения 251
КА в окрестности La
§ 3. О методе исследования. Предварительное преобразование 256
функции Гамильтона
§ 4. Долгопериодическая часть гамильтониана и исключение 259
независимой переменной
§ 5. Периодические орбиты и их устойчивость 261
Глава 14. Пассивное движение космического аппарата в 265
окрестности прямолинейной точки либрации Li системы
Земля—Луна
§ 1. Введение 265
§ 2. О траекториях линейной задачи 266
§ 3. Уравнения движения КА вблизи Li с учетом солнечных 269
возмущений
3.1. Постановка задачи 269
3.2. Вращающаяся система координат 270
3.3. Безразмерные координаты 271
3.4. Относительная система координат 272
3.5. Разложение функции Гамильтона 272
3.6. Уравнения движения Луны 274
3.7. "Подвижная точка либрации" 276
§ 4. Некоторые оценки 277
4.1. Оценки ускорений, действующих на КА 277
4.2. Вынужденные колебания КА вблизи "подвижной точки 278
либрации", обусловленные гравитационными солнечными
возмущениями

4.3. Вынужденные колебания КА, обусловленные силами 280
светового давления
§ 5. Эллиптическая задача 281
5.1. Предварительное преобразование гамильтониана 281
5.2. Нормализация квадратичной части гамильтониана 284
5.3. Исключение членов третьей степени относительно 287
координат и импульсов
5.4. Нормализация совокупности членов четвертого порядка 290
5.5. Общее решение нормализованной системы. Условно- 292
периодические движения
§ 6. Оценка точности построенной теории движения 293
6.1. Общие замечания 293
6.2. Результаты численных экспериментов в эллиптической 294
задаче
6.3. Ошибки теории в случае учета солнечных возмущений 296
Дополнение. Точки либрации в окрестности вращающегося 298
гравитирующего эллипсоида
§ 1. Уравнения движения 298
§ 2. Точки либрации 300
§ 3. Линейный анализ устойчивости точек либрации 301
§ 4. Результаты нелинейного исследования устойчивости 302
Литература 304

ПРЕДИСЛОВИЕ
В связи с успехами в исследовании и использовании космиче-
ского пространства давно известные точные решения классической
задачи трех тел — точки либрации привлекают к себе все большее
и большее внимание.
Настоящая книга посвящена подробному исследованию устой-
чивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех
тел и элементам теории движения вблизи точек либрации. Вспомо-
гательную, хотя и значительную, часть книги составляет изложе-
ние теории устойчивости гамильтоновых систем.
В основу книги положен ряд опубликованных работ [53—67]
автора. Использованы также некоторые результаты других авторов.
Многие^ научные вопросы, затронутые в книге, неоднократно
обсуждались с В. А. Сарычевым, В. В. Белецким, А. Д. Брюно.
Живое и доброжелательное участие В. В. Белецкого во многом
способствовало самому появлению этой книги. Названным ученым
автор глубоко благодарен.
А. Маркеев

ВВЕДЕНИЕ
В последнее время в связи с интенсивным изучением и освое-
нием космического пространства значительно возрос интерес к зна-
менитой классической задаче трех тел (точек), движущихся под
действием их взаимного гравитационного притяжения. Так как эта
задача в общем виде неинтегрируема, то большой интерес престав-
ляет изучение ее частных решений. В 1767 году Л. Эйлер [124] об-
ратил внимание на то, что задача трех тел имеет три частных реше-
ния, для которых гравитирующие точки во все время движения
расположены на одной прямой. Через пять лет, в 1772 г., Ж. Ла-
гранж показал [148], что существуют еще два частных решения,
соответствующие таким движениям, для которых три тела образу-
ют равносторонний треугольник. Для пяти этих частных решений
притягивающие тела движутся по подобным орбитам относитель-
но своего барицентра, образуя во все время движения неизмен-
ную конфигурацию.
Задача трех тел в случае притяжения, определяемого ньютонов-
ским законом, наиболее важна для космодинамики. Важнейшей
разновидностью этой задачи является так называемая ограниченная
задача трех тел, когда предполагается, что одно из тел имеет беско-
нечно малую массу т3 и, следовательно, не оказывает влияния на
движение двух других тел (с массами тх и т2). В ограниченной
задаче трех тел конечные массы тх и т% движутся по кеплеров-
ским орбитам, определяемым задачей двух тел. Со многих точек
зрения удобно изучать движение т3 в системе координат, связан-
ной cffljH тщ. В этой вращающейся системе координат упомянутым
выше пяти точным решениям задачи трех тел соответствуют точки—
положения равновесия. Точки, лежащие на прямой, проходящей
через /% и тъ обозначают Lu L2 и L3, а точки, образующие равно-
сторонние треугольники с телами тг и тщ, обозначают через Li и L5.
Гравитационное и центробежное ускорения, воздействующие на
тело, помещенное в Lh уравновешиваются. Поэтому, если тело
бесконечно малой массы тя поместить в Lt с нулевой (во вращаю-
щейся системе координат) скоростью, то оно останется неподвиж-
ным. Точки Lt часто называют точками либрации или либрацион-
ными центрами. Треугольные точки либрации, кроме того, иногда

10 ВВЕДЕНИЕ
называют лагранжевыми точками либрации или лагранжееыми
периодическими решениями задачи трех тел.
Сначала, сразу после обнаружения точек либрации, казалось,
что они представляют только теоретический интерес. Но откры-
тие в 1906 году группы астероидов, движущихся в окрестности
лагранжевых точек либрации системы Солнце — Юпитер, пока-
зало большую практическую ценность точек либрация для изу-
чения движений космических тел в Солнечной системе. С тех пор
точки либрации стали предметом пристального внимания в связи
с необходимостью построения теории движения астероидов вбли-
зи точек либрации L4 и Lb.
В совсем недавнее время интерес к точкам либрации чрезвы-
чайно возрос в связи с практическими потребностями космических
исследований. Существуют проекты запуска искусственных спут-
ников в окрестности точек либрации Солнечной системы и, в пер-
вую очередь, системы Земля — Луна. Все чаще подчеркивается
важность необычных динамических свойств точек либрации с астро-
динамической, геофизической и эксплуатационной точек зрения.Точ-
ки либрации все больше привлекают внимание инженеров в связи с
возможными интересными практическими их применениями: для
связи с Луной, встречи в окрестности Луны и планет, межпла-
нетных перевозок, исследований магнитосферы Земли и для мно-
гих других целей.
В проблеме происхождения и эволюции Земли, Солнца и пла-
нет точки либрации тоже имеют большое значение. Так называе-
мые «малые тела», интересующие ученых в связи с решением космо-
логических вопросов, могут накапливаться в точках либрации.
Так, например, в 1961 году появилось сообщение [100], принад-
лежащее Кордылевскому, об открытии «тусклых облакоподоб-
ных спутников» в окрестности треугольной точки либрации L5
системы Земля — Луна. Затем было опубликовано сообщение
[101] об открытии такого же облака вблизи L4.
Задача о точках либрации имеет и самостоятельный общемеха-
нический и математический интерес. Многочисленные исследования
показали, что сами точки либрации и характер движений в их
окрестности очень тесно связаны с общим характером движения
в задаче трех тел, что крайне важно, так как в общем виде задача
трех тел не проинтегрирована. С общетеоретической точки зре-
ния важность задачи о точках либрации ограниченной задачи трех
тел подчеркивается еще тем, что при решении ряда труднейших
принципиальных вопросов о точках либрации были созданы новые
качественные, аналитические и численные методы исследования
сложных нелинейных гамильтоновых систем, которые применимы
и применяются во многих других задачах механики и математики.
По-видимому, самыми важными вопросами небесной механики
в задаче о точках либрации являются вопросы об устойчивости

ВВЕДЕНИЕ 11
самих точек либрации и о существовании, устойчивости и методах
построения периодических (и условно-периодических) орбит в их
окрестности. Некоторые из этих вопросов и смежные с ними зада-
чи рассмотрены в настоящей криге. Книга содержит 14 глав и До-
полнение.
Глава 1 является вводной. Здесь выводятся уравнения движе-
ния ограниченной задачи трех тел, во вращающейся системе коор-
динат находятся точки либрации Li (i = 1, 2, . . ., 5) и проводится
анализ их устойчивости в линейном приближении. Изложение
этих вопросов мало отличается от традиционного. В этой же гла-
ве даны таблицы, определяющие положение точек либрации в Сол-
нечной системе, и приведены графики некоторых величин, харак-
теризующих положение точек либрации при произвольных значе-
ниях параметра ц @ < ц = тг1{т1 + пг2) ^ 1/2).
Во второй — пятой главах рассмотрены задачи теории гамильто-
новых систем и ее приложений. Вторая глава посвящена линейным
гамильтоновым системам. Приводятся результаты Ляпунова об
устойчивости линейных гамильтоновых систем с постоянными или
периодическими коэффициентами. Для устойчивых систем в слу-
чае простых корней характеристического уравнения строятся кон-
структивные алгоритмы приведения системы к нормальным коор-
динатам. Тут же приводится теорема Ляпунова — Пуанкаре о
характеристическом уравнении гамильтоновых систем и рассмат-
ривается задача о параметрическом резонансе в гамильтоновых
системах, содержащих малые периодические возмущения. В после-
днем параграфе второй главы получены области параметриче-
ского резонанса в первом приближении по малому параметру
и приведены необходимые расчетные формулы.
В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с
одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией
Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена
задача об устойчивости периодических движений круговой огра-
ниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предпо-
лагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мульти-
пликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались
в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах
Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассмат-
риваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда
характеристические показатели + iX таковы, что число кк будет
целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано
на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и после-
дующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и тео-
ремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия
устойчивости и неустойчивости.
В главе 4 исследована устойчивость автономной гамильтоновой
системы с двумя степенями свободы. Здесь основное внимание

12 ВВЕДЕНИЕ
уделяется тем критическим случаям, когда неприменима известная
теорема Арнольда — Мозера [72]. В случае разонансов третьего
и четвертого порядков (когда частоты линеаризованной систе-
мы связаны соотношениями (ох = 2со2 и щ = Зсо2 соответственно)
получены условия устойчивости и неустойчивости. При отсутствии
резонансов до порядка 2к включительно получено утверждение
об устойчивости, обобщающее теорему Арнольда — Мозера на
случай, когда при учете в разложении функции Гамильтона членов
до порядка 2к — 1 в системе имеется вырождение, снимаемое уче-
том членов 2/с-го порядка. Здесь же в четвертой главе рассмотрена
задача об устойчивости в случае кратных частот (щ = со2). Полу-
чены условия неустойчивости и формальной устойчивости. В кон-
це главы приведены расчетные формулы, необходимые для приме-
нения полученных результатов в конкретных механических
задачах.
Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых
систем. Здесь для 2я-периодической по времени гамильтоновой
системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о
неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при на-
личии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены
различные аспекты задачи об устойчивости движения в много-
мерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда
по устойчивости для большинства начальных данных, формули-
руется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости
гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты
исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арноль-
да [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к
интегрируемым.
Для практического применения полученных результатов нуж-
но иметь эффективные способы нахождения нормальной формы
функции Гамильтона. Нахождение нормальной формы в неавтоном-
ном случае особенно затруднено. Если, например, воспользоваться
классическим преобразованием Биркгофа, то для нахождения соот-
ветствующей производящей функции придется строить периоди-
ческие решения некоторой системы дифференциальных уравнений.
Необходимые при этом вычисления весьма громоздки.
В главе 6 предлагается способ нормализации, отличный от
классического и основанный на применении к 2я-периодической
по t гамильтоновой системе метода точечных отображений. При на-
хождении точечного отображения используется тот факт, что пре-
образование фазового пространства, осуществляемое движениями
гамильтоновой системы, является каноническим и находится не
само отображение, а его производящая функция S, удовлетворяю-
щая уравнению Гамильтона — Якоби. При нахождении коэффици-
ентов производящей функции, конечно, нужно проинтегрировать от
t =, О до t = 2я некоторую систему обыкновенных дифференциаль-

ВВЕДЕНИЕ 13
ных уравнений, но с фиксированными (нулевыми) начальными усло-
виями. После получения функции S вводятся такие координаты, в
которых она записывается в простейшей^нормальной) форме. А затем
по нормальной форме функции S находится нормальная форма
соответствующей функции Гамильтона.
В главе 6 также рассмотрены резонансные случаи и для резо-
нансов третьего и четвертого порядков доказаны утверждения
о неустойчивости неподвижных точек точечных отображений, зада-
ваемых периодическими по времени гамильтоновыми системами
обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательства осно-
ваны на перенесенной здесь на точечные отображения теореме Че-
таева о неустойчивости.
В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости
треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В гла-
ве 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее суще-
ственное исследование устойчивости в этом случае раньше было
проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для реше-
ния задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мо-
зера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприме-
нима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об
устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. По-
казано, что в области устойчивости в первом приближении точки
либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключени-
ем двух значений параметра ц, при которых имеет место неустойчи-
вость. Эти значения цг и ц2 соответствуют резонансам и>г = 2«в2
и ©! — Зсо2 между частотами линейной системы.
В конце главы 7 рассмотрена устойчивость точек либрации при
критическом отношении масс Рауса. Для этого отношения масс
характеристическое уравнение линейной системы имеет чисто
мнимые кратные корни, а точки либрации в линейном приближении
неустойчивы. Строгий нелинейный анализ показал, что имеет место
формальная устойчивость.
Глава 8 посвящена исследованию треугольных точек либрации
в пространственней круговой задаче. Доказано, что при всех значе-
ниях \i из области устойчивости в линейном приближении имеет
место устойчивость для большинства начальных условий, за исклю-
чением двух значений ц, для которых в главе 7 доказана неустой-
чивость. Кроме того, доказано, что для почти всех значений ji из
области устойчивости в линейном приближении точки либрации
в пространственной круговой задаче формально устойчивы. В за-
ключение главы показана формальная устойчивость треугольных
точек либрации при критическом отношении масс Рауса.
В главе 9 рассмотрена плоская эллиптическая задача. Здесь за-
дача чрезвычайно усложняется, так как независимая переменная
явно входит в уравнения движения. Первые исследования устой-
чивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче

14 ВВЕДЕНИЕ
трех тел принадлежат Ляпунову [48]. Он рассматривал задачу н
линейном приближении. Многочисленные позднейшие исследова-
ния многих авторов также связаны только с линейной задачей.
В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной
постановке. Исследование проводится как аналитическими (при
малых значениях эксцентриситета е), так и численными (при произ-
вольных параметрах е и \\) методами. В области устойчивости в
линейном приближении, полученной впервые Дэнби [110], выде-
лены кривые, на которых выполнены резонансные соотношения
третьего и четвертого порядков. Для значений параметров е и \i,
принадлежащих этим кривым, показаны либо неустойчивость,
либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком) нелиней-
ном приближении. При значениях параметров, не принадлежа-
щих этим кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены
резонансные соотношения пятого и шестого порядков), доказаны
устойчивость для большинства начальных условий и формальная
устойчивость.
Самым сложным в задаче об устойчивости треугольных точек
либрации является случай пространственной эллиптической задачи.
Он исследуется в главе 10. Помимо увеличения числа степеней сво-
боды изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна
характерная только для этой задачи особенность: имеет место
тождественный (при всех е и ц) резонанс из-за равенства периода
кеплеровского движения основных притягивающих тел и периода
линейных колебаний тела бесконечно малой массы по направле-
нию, перпендикулярному плоскости их орбиты.
Полученные в главах 3—5 условия устойчивости и неустой-
чивости здесь неприменимы. Требуется особое исследование, кото-
рое в главе 10 проводится при помощи второго метода Ляпунова.
Результаты этого исследования применяются при аналитическом
и численном анализе устойчивости.
Для достаточно малых значений е и ц получена область неустой-
чивости. Она является очень узкой областью. В плоскости е, ц
одной из ее границ является осъОе, а другой — кривая, мало отли-
чающая от параболы е = 3953]/Г[г. При произвольных е и \i про-
водится численное исследование. Новые области неустойчивости не
обнаружены.
Глава 11 содержит изложение основ метода Депри — Хори в
теории возмущений гамильтоновых систем. В настоящее время
на русском языке нет еще достаточно подробного описания этого
метода. Разработанный сравнительно недавно [113, 142], он имеет
значительные преимущества перед широко известными класси-
ческими методами, такими как, например, преобразование Бирк-
гофа [7] или метод Цейпеля [9]. Практическое построение канониче-
ских преобразований в методе Депри — Хори основано на исполь-
зовании рядов Ли и преобразовании Ли. Для ясности изложения

ВВЕДЕНИЕ 15
в главе 11 сначала рассматриваются ряды Ли и их некоторые свой-
ства, а затем излагается сам метод и его упрощение, осуществлен-
ное Кэмилом [143, 144]. В конце главы кратко описана формальная
техника применения метода Депри — Хори.
В главе 12 подробно исследуются периодические движения,
близкие к треугольным точкам либрации круговой ограниченной
задачи трех тел. Существование рассматриваемых периодических
движений следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интег-
рале [22, 49]. Во введении к главе 12 дана краткая история иссле-
дований, связанных с построением и анализом устойчивости
периодических движений, близких к треугольным точкам либра-
ции. Затем предлагается новый способ их построения и ал-
горитм исследования их орбитальной устойчивости. Подробно
рассмотрены различные резонансные ситуации, возникающие в за-
даче об устойчивости. В последнем параграфе главы 12 приведе-
ны результаты численного исследования устойчивости периоди-
ческих движений.
Глава 13 посвященачисленному и аналитическому исследованию
движения вблизи треугольных точек либрации системы Земля—Луна
с учетом гравитационных солнечных возмущений. Сначала изла-
гаются результаты численного анализа, проведенного в работах
Тэпли, Льюэллена и Шульца [176, 177] и связанного с рассмотре-
нием влияния солнечных возмущений на движение тела беско-
нечно малой массы, помещенного в точку Li ели вблизи нее с
нулевой или малой относительной скоростью. Оказывается, что
солнечные возмущения приводят к значительным (доходящим до
190 000 км) отклонениям тела бесконечно малой массы от точки либ-
рации. В главе 13 приведено большое количество графиков, на-
глядно иллюстрирующих влияние солнечных возмущений и их за-
висимость от начальных условий.
Остальная часть главы 13 посвящена рассмотрению задачи .о су-
ществовании и устойчивости периодических движений вблизи Z4
с учетом солнечных возмущений. Изложение опирается в основном
на аналитические исследования, проведенные Брэквилом и Принг-
лем [106], Шехтером [170] и Кэмилом [144]. Показано, что во
вращающейся системе координат существуют устойчивые перио-
дические орбиты; их форма близка к эллипсу с полуосями
145 000 км и 71 000 км, а период движения приблизительно равен
синодическому месяцу B9,53 суш).
В главе 44 изложены основы теории пассивного движения кос-
мического аппарата в окрестности прямолинейной точки либрации
L2 системы Земля—Луна. Сначала дается подробный вывод урав-
нений движения в виде, удобном для применения асимптотических
методов исследования, приводятся оценки сил, действующих на
космический аппарат, и находятся амплитуды вынужденных коле-
баний космического аппарата вблизи L2, обусловленных гравита-

16 ВВЕДЕНИЕ
ционными солнечными возмущениями и силами светового давления.
Затем в качестве модели для описания движения космического аппа-
рата принимается пространственная эллиптическая ограниченная
задача трех тел Земля — Луна — космический аппарат иприпомо-
щи преобразования Биркгофа с использованием метода малого
параметра построена приближенная теория движения космического
аппарата вблизи L2. Формулы этой теории применены затем в за-
даче, учитывающей влияние Солнца. В последнем параграфе гла-
вы 14 даны оценки точности построенной теории.
В Дополнении на основе работ Ю. В. Батракова [6], В. К. Аба-
лакина [1] и С. Г. Журавлева [25, 184, 185] рассмотрены точки
либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллип-
соида.

ГЛАВА 1
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Уравнения движения ограниченной задачи трех тел
Пусть тпч, тп2 и тп3 — массы трех материальных точек S, J и Р,
движущихся под действием взаимного гравитационного притяжения,
определяемого законом Ньютона. Будем считать, что тх и т% —
конечные массы (т1 ^> т2), а массу т3 предположим малой по
сравнению с массами т± и т2. Из-за малости массы тела Р его вли-
янием на движение тел S и / можно пренебречь и, таким образом,
мы придем к ограниченной задаче трех тел, которая заключается
в исследовании движения тела Р бесконечно малой массы под дей-
ствием притяжения тел S и /, массы которых конечны.
Движение тела / относительно тела S определяется из задачи
двух тел. Пусть г — расстояние между телами S и /, р и е — па-
раметр и эксцентриситет их кеплеровской орбиты, v — истин-
ная аномалия, с — константа интеграла площадей и / — грави-
тационная постоянная. Тогда
^- = 4-- A-1)
1 + е cos v ' /vi
В зависимости от величины эксцентриситета можно различать сле-
дующие варианты задачи трех тел: гиперболическую огра-
ниченную задачу, когда орбита тела / — гипербола (е ^> 1);
эллиптическую ограниченную задачу, когда орбита тела / —
эллипс @<б<1); круговую ограниченную задачу, в которой ор-
бита тела / — окружность (е = 0). Можцо также рассматривать
параболическую (е = 1) и прямолинейную (когда тело / движет-
ся по прямой, проходящей через S) ограниченные задачи.
Если тело Р бесконечно малой массы во все время движения
находится в плоскости движения тел S и /, то говорят, что соот-
ветствующая ограниченная задача плоская; если же тело Р в своем
движении выходит из плоскости орбиты тел S и /, то говорят о
пространственной ограниченной задаче.
Получим дифференциальные уравнения, определяющие дви-
жение тела Р в ограниченной задаче трех тел. Введем (рис. 1)
систему координат Oxyz с началом в центре масс тел S и /.
Плоскость Оху совместим с плоскостью орбиты тела / относи-
тельно S. Ось Ох направим по прямой SJ в сторону тела /.

18
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ.
Кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу совпадает с направлени-
ем вращения тела / относительно тела S. Ось Oz дополняет
оси Ох и Оу до правой системы ко-
ординат.
Кинетическая энергия Т тела Р
и силовая функция U вычисляются
по формулам
Т = -|-™з [{х
+ (У +
A.2)
A.3)
KJ выводу уравне-
ний движения.
Точкой в A.2) и далее обозначается
дифференцирование по времени t.
Величины гх и г2 в A.3) — расстояния тела Р от тел S и /
соответственно:
Г1 =
т1
При помощи функции Лагранжа L = Г + J/ выписываем диф-
ференциальные уравнения движения тела Р
3W
— v2x =
dW
-^-
dW
—3—
A.5)
Здесь через W обозначена силовая функция A.3), разделенная на
т3. Сделаем в уравнениях A.5) замену переменных, введенную
Нехвилом [22]:
х = г?, у = щ, z = г?, A.6)
где г определяется формулами кеплеровского движения A.1). Кро-
ме того, перейдем к новой независимой переменной истинной ано-
малии v. Производные по v обозначим штрихами. Получаем такие
соотношения:
х — -^- [A -f e cos v) I" + е cos v?] A + e cos vK,
у = — [A -)- e cos v) T)' + e sin vt)],
A.7)
v = -^- A
e cos vJ,

§ 11 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 19
v = C-4- sin v A + e cos vK,
P A-7)
3PF A -)- e cos vJ 9PF
"9i = p5 ЗГ"'
где в функции W, входящей в правую часть последнего равенства,
величины ri и г2 вычисляются по формулам
Подставив выражения A.7) в первое уравнение системы A.5),
получим
Г 2т1> 1 ?_ Р 1 ^
J ' 1 -j- e cos v с2 1 -j- e cos v 3^
Аналогично преобразуются остальные уравнения системы A.5).
В результате получим следующую систему дифференциальных урав-
нений:
= 1 1 _|_ е cos v & 1 + е cos v 3E, '
„ „t, 1 1 ат7 .. g.
I ~г = 1 —(— е cos v ' 1 -f- e cos v ft] ' V • /
с.» . e cos v j. 1 9И7
1 + e cos v * 1 + e cos v d? '
где теперь
\f
Если ввести функцию Q по формуле
то уравнения движения A.8) запишутся в более компактной
форме:
+ecosv d? '
1 дО,
1 + е cos v 9^

20 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. 1
§ 2. Точки либрации — частные решения
ограниченной задачи трех тел
Покажем, что уравнения A.10) удовлетворяются некоторыми
постоянными значениями координат Нехвила |, г\, ?. Из A.9) —
A.10) сразу следует, что постоянное решение
| = |*, т| = т]*, ? = С* B.1)
возможно только тогда, когда ?,* — 0, а |*и ц* удовлетворяют
системе уравнений с двумя неизвестными
+И-. dW
Система уравнений B.2) эквивалентна совокупности двух систем
уравнений:
Ц = °' Г2 3^
r2 or%
rt dW
Каждому решению систем B.3) — B.4) соответствует в системе
координат 0|т] ? равновесное решение уравнений движения A.10).
В системе координат 0%ц1, точки S ш J неподвижны и равновесные
решения соответствуют таким частным движениям тела Р, когда
они вместе с телами S и / образу-
ем ют некоторую неизменную конфи-
/ \ гурацию.
N
\ Равновесные решения уравне-
\
ний Нехвила A.10) часто назы-
^ ^ вают точками либрации. Сущест-
0 L, /J Lz ? вуют только пять точек либрации.
/ Три из них, L1} L2 и L3, лежат на
v / прямой, проходящей через S и /,
V, а две остальные, L4 и L5, образу-
s ют с телами S и / равносторонние
Рис. 2. Прямолинейные и тре- треугольники. Схематически рас-
уголыше точки либрации. положение точек либрации огра-
ниченной задачи трех тел пока-
зано на рис. 2. Точки либрации Lu L2, L3, и L4, Lb называют
прямолинейными и треугольными точками либрации соответст-
венно.

§ 2] ЧАСТНЫЕ; РЕШЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ 2.1
В абсолютной системе координат точки либрации соответст-
вуют таким частным движениям в задаче трех тел, для которых
три тела S, J и Р описывают подобные кеплеровские орбиты отно-
сительно их общего центра масс.
Найдем теперь точки либрации, т. е. решения систем уравнений
B.3) и B.4). Рассмотрим сначала систему B.4). Подставив выра-
жение для дW/дгх из первого уравнения системы B.4) во второе
уравнение, получим
aw /о сч
-^ = - F2, B.5).
и тогда из первого уравнения следует, что
9W
дг
B.6)
Воспользовавшись теперь выражением A.9) для W, получим,,
что система уравнений B.4) имеет единственное вещественное ре-
шение гг = г2 = 1. Это решение соответствует треугольным точ-
кам либрации L4 и L5 (см. рис. 2). Точка L4 задается координатами
A — 2ц)/2, т/3/2, 0, а точка Lb имеет координаты A — 2ц)/2,
— >/3/2, 0. Она расположена симметрично точке L± относительно-
оси О\.
Прямолинейные точки либрации найдутся из второго уравне-
ния системы B.3). которое при r\ = t, = 0 запишется в таком виде::
Функция /A) непрерывна и конечна на всей вещественной оси,,
кроме значений 1, равных +°°> —И- и 1 — Мч гДе она обращает-
ся в бесконечность. Вычислим производную функции/(|). Имеем
$. B.8).
В каждом из трех интервалов
(-ОО, -Ц), (-Ц, 1 - Ц), A - Ц, +ОО), B.9)
на которые числовая ось разбивается точками разрыва функции
/ (I), последняя монотонно возрастает, как это видно из вырат
жения для производной B.8). Учитывая еще тот факт, что при
положительном е, стремящемся к нулю, имеют место следующие
предельные соотношения:
lim /(— —) = — lim / (— \i — е) = lim / (— ц + е) =
= — lim/ A — \i — е) = lim / A — р + е) = — lim/ (—\ = — оо,.
получаем, что в каждом из интервалов B.9) существует, и притом

22 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. 1
только одно, решение ? = ?* уравнения B.7). Эти решения и
дают три прямолинейные точки либрации. По сложившейся тра-
диции точка либрации, лежащая в интервале (—оо, —р,), обоз-
начается через L3, точка либрации, лежащая в интервале
{—(г, 1 — ц), обозначается через Lr и, наконец, точка либра-
ции L2 лежит в интервале A — ц, +oo).
Покажем, дав абсцисса каждой из прямолинейных точек либ-
рации удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению
пятой степени, которое для каждой из точек либрации записывает-
ся по-своему.
Получим сначала уравнение для точки L3. Обозначим через р
расстояние от точки L3 до тела S. Тогда 1 = —ц — р и из урав-
нения B.7) получаем алгебраическое уравнение пятой степени
относительно р:
р5 + B + fi)p4 + Bр. + 1)р3 + (ц - 1)р2 + 2 (ц - 1)р +
+ р. — 1=0. B.10)
Чтобы получить уравнение для точки Lt, положим 1 = 1 —
— jj, — р. Здесь теперь р есть расстояние от точки либрации до
тела /. Из B.7) получаем
р5 - C - |i)p« + C—2р.)р» - (хр2 + 2р.р — р. = 0. B.11)
И, наконец, для получения уравнения, определяющего поло-
жение точки либрации L2, положим 1 = 1 — ц + р, где р — рас-
стояние от точки L2 до тела /. Уравнение, определяющее р, имеет
вид
р5 + C - ц)р* + C-2ц)р3 - tip2 - 2|ip - u = 0.. B.12)
Как следует из вышеизложенного, каждое из уравнений
B.10)—B.12) имеет единственный положительный корень. При ма-
лых значениях ц значения корней можно найти в виде рядов.
Значения координаты lfc, определяющей положение прямолиней-
ной точки либрации Lk, может быть легко вычислено (см., напри-
мер, [22]). Получаются следующие разложения:
ь-Ч+Г+4-ft-r-f (¦*¦)*+•• •¦
ь-»+(*Г+т(+Г-"№¦)*+•••• <«3>
t _ JL
5з — — -
JL
12
Из B.13) видно, как изменяется положение прямолинейных точек
либрации, когда меньшая из двух конечных масс уменьшается.
Точка Ll перемещается слева направо, приближаясь к своему
предельному положению, совпадающему с телом / меньшей мас-
сы тг. Положение точки L2 также стремится совпасть с положением

§ 2]
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ
23
тела /, но это стремление происходит справа налево. Точка либ-
рации L3 при уменьшении jj, перемещается слева направо, стре-
мясь к своему предельному положению, находящемуся на единич-
ном расстоянии слева от тела большей массы т^
Уравнения B.10)—B.12) позволяют также оценить расстояния
от точек либрации до тел S и / при произвольных значениях р,.
Обозначим через Fk (p) левые части уравнений B.10)—B.12),
определяющих положения точек либрации Lfc относительно,
тел S и /. Имеют место соотношения
F1 @) = —и < 0,
F2@) = -|i<0,
F3@) = ii-'.
(I
fi) = A—2
A) = 7 A - р) > 0,
A) = 7р. > 0.
B.14)
Соотношения B.14) показывают, что расстояния точек либрации L2
и L3 соответственно от тел / и S при всех у, @ < у, <^ х/2) лежат
в интервале @, 1). Точка либрации L1 расположена между цен-
тром масс тел S и / и телом / меньшей массы. Отметим еще оче-
видный факт, что точка либрации Ьх совпадает с центром масс тел
S и / в том случае, когда их массы равны (jj, = V2).
На рис. 3 представлены графики абсцисс \k (к = 1, 2, 3),
соответствующих точкам либрации Lh, в зависимости от jj,. Эти
графики получены с помощью численного решения уравнения B.7)
при произвольных jj, из интервала @, 72).
1
0,5
О %Z5 (iff Ц25 [i О 0?5 fc
Рис. 3. Корни уравнения B.7) как функции ц.
Если в Солнечной системе учитывать только притяжение
Солнца и одной из планет, то каждой планете будут соответство-
вать три прямолинейных точки либрации. Таким образом, тела
бесконечно малой массы, попав в любую из этих точек либрации
с нулевой относительной скоростью, все время двигалось бы по
эллипсу, подобному эллипсу соответствующей планеты, и оста-
валось бы на прямой, проходящей через эту планету и Солнце.
В реальной ситуации надо, конечно, учитывать и малые возму-
щения от других планет.

24
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
Таблица 1
Притягивающие тела
S
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Селнце
Солнце
Солнце
Земля
Меркурий
Венера
Земля
Земля + Луна
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Луна
Ц-10+5
0,0163399
0,2447738
0,3003433
0,3040429
0,0323834
95,3843512
28,5632676
4,3725405
5,2938063
0,2499994
1215,06683
Расстояние точки L^ от тела S
L,
0,996214
0,990684
0,99003
0,989989
0,995246
0,93332
0,955039
0,975773
0,974193
0,990619
0,849065
и
1,003795
1,009373
1,010037
1,010078
1,004769
1,069784
1,04635
1,024624
1,026258
1,00944
1,167833
и
1—0,0000001
1—0,00000142
1_0,0О00О175
1—0,00000178
1—0,00000019
1—0,000556
1—0,000167
1—0,000026
1—0,000031
1—0,0000014
1—0,007088
Точки либрации для различных тел Солнечной системы пред-
ставлены в табл. 1.
За единицу расстояния в табл. 1 принята длина соответствую-
щего радиуса-вектора тела меньшей массы относительно тела S
большей массы. Интересно отметить, что точки либрации Lx и L2
для всех планет расположены значительно дальше, чем орбиты
спутников этих планет. Например, для системы Солнце — Земля
точки либрации Lx и Ьг лежат от Земли на расстоянии, превосхо-
дящем расстояние Между Землей и Луной примерно в четыре раза.
§ 3. Об устойчивости точек либрации
В этом параграфе рассмотрим устойчивость точек либрации
в круговой ограниченной задаче трех тел. Полное исследование
устойчивости будет проведено в главах 7 и 8, а здесь мы остано-
вимся только на доказательстве давно известного утвержде-
ния [22]: в круговой ограниченной задаче трех тел прямолинейные
точки либрации неустойчивы, а треугольные — устойчивы в пер-
вом приближении, если отношение масс тел S и / достаточно мало;
более точно, если выполнено следующее неравенство:
0 <27цA -и) <1. C.1)
При е = 0 уравнения возмущенного движения, линеаризован-
ные в окрестности прямолинейных точек либрации Lk (к = 1, 2, 3),
имеют следующий вид:
V ~ 2ц' - A + 2акI = 0,
г)" + 21' - A - ак)ц = 0, C.2)
Г + ак$ = 0,

§ 3J ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 25
где
*~ г» + г\ ' C.3)
г1 = |^ + ц|, гя = |Ек + (г-1| (А = 1,2,3).
А линейные уравнения, соответствующие треугольным точкам
либрации Lk, запишутся так:
Г- 2Л' -'-!-?-(- 1)* -^A - 2ц) л = О, (А = 4, 5).
т)" + 21' - А г) - (- 1)*-^р A - 2ц) I = 0, C.4)
Г + I =0
Будем, пользоваться следующими теоремами Ляпунова об устой-
чивости по первому приближению [49], которые приводим здесь
без доказательства.
Теорема 1. Если среди корней характеристического уравнения
системы первого приближения имеется хотя бы один с положитель-
ной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво
при любом выборе членов порядка выше первого в дифференциальных
уравнениях возмущенного движения.
Теорема 2. Если характеристическое уравнение системы первого
приближения не имеет корней с положительными вещественными
частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю,
то члены высших порядков в уравнениях возмущенного движения
можно выбрать так, чтобы получить по желанию как устойчи-
вость, так и неустойчивость.
Характеристическое уравнение системы первого приближения
C.2) распадается на два уравнения: одно квадратное, соответ-
ствующее пространственной переменной ?, а другое биквадрат-
ное, соответствующее переменным \, ц.
Квадратное уравнение записывается в виде
К2 + ак = 0 C.5)
и имеет пару чисто мнимых корней ± i У ак, так как величина
ак положительна (см. C.3)).
Биквадратное уравнение записывается в виде равенства нулю-
определителя второго порядка
-A+2ак) -2Ь
2Х Я2 —A —aK) '
Раскрывая этот определитель, получаем
А,* + B - ак)к* + A - а») A + 2ак) = 0 (А = 1, 2, 3). C.6)

26 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. 1
Легко показать, что уравнение C.6) для каждой точки либрации
Ьъ L2 и L3 имеет два вещественных и два чисто мнимых корня.
В самом деле, чтобы показать это, достаточно убедиться в том,
что величина 1 — ак для каждого к = 1, 2 и 3 отрицательна.
Для точки Lx это сразу следует из C.3), так как 0 <^ <1 и
О <г2 <1.
Для точки Ь2 выразим, следуя [89], ц через г2 из уравнения
B.12):
Подставив это выражение в разность 1 — ак и учтя, что в рассма-
триваемом случае гг = 1 + г2, получим
C.7)
Эта величина отрицательна, так как здесь г2 < 1 (см. предыду-
щий параграф).
Для точки L3 можно воспользоваться уравнением B.10) и,
учтя, что в этом случае г2 = 1 + гь для разности 1 — а3 получим
выражение, аналогичное C.7), в котором надо только г2 заменить
на гх. А так как здесь гг < 1, то величина 1 — а3 для точки L3
будет отрицательна.
Таким образом, уравнение C.6), рассматриваемое как квадрат-
ное относительно А.2, имеет один положительный корень и один
отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки
либрации Lfc (k = 1, 2, 3) характеристическое уравнение C.6)
имеет четыре корня вида ±а, ±ф, где аир — вещественные ве-
личины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова
об устойчивости по первому приближению, следует неустойчи-
вость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной
задачи трех тел.
Характеристическое уравнение системы первого приближения
C.4) для треугольных точек либрации L4 и Ьъ тоже распадается
на квадратное, соответствующее переменной ?, и имеющее два
чисто мнимых корня ±?, и биквадратное
A.* + A,»+-^.|i(l-|i) = O, C-8)
соответствующее переменным |, г;.
Если
27,г A - @ > 1, C.9)
то уравнение C.8) имеет две пары комплексных корней и, следова-
тельно, два из этих четырех корней заведомо будут иметь положи-

§ 31 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 27
тельные вещественные части. Поэтому, согласно теореме Ляпунова,
при выполнении условия C.9) треугольные точки либрации неу-
стойчивы.
Если же выполнено неравенство 0 <27ц A — fx) <1, то
уравнение C.8) имеет четыре различных чисто мнимых корпя и
точки либрации устойчивы в первом приближении. Полностью
вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рас-
смотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об
устойчивости по первому приближению строгое решение возможно
лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного
движения.
Если, наконец, 27ja A — ц) = 1, то уравнение C.8) имеет
две пары кратных чисто мнимых корней ± i "^2/2. И в этом случае
уже нет устойчивости в линейном приближении, так как (см.,
например, [89]) общее решение системы C.4) первого приближения
содержит неограниченно растущие со временем слагаемые вида
V2 1^2
vsin-^j—v и vcos-4>— v.B нелинейной задаче, однако, точки либ-
рации могут стать устойчивыми.
Случаи, когда задача об устойчивости гамильтоновых систем
не решается линейным приближением, будут исследованы в по-
следующих главах. При исследовании мы часто будем использо-
вать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости
движения. Приведем здесь некоторые определения и сформулируем
необходимые в дальнейшем теоремы. Доказательство этих теорем
можно найти, например, в [51, 95].
Пусть дифференциальные уравнения движения имеют вид
dx.
-1j- = Xi (t, хъ . . ., х„) (i = 1, 2, .. ., п), C.10).
где функции Xt, например, аналитичны относительно хъ . . ., хп
и непрерывны по t в области
t>t0, \xt\^h. C.11),
Предположим, что Xt (t, 0, 0, . . ., 0) = 0. Тогда система C.10)'
допускает частное решение х% = 0 (г = 1, 2, . . ., п), которое
будем называть невозмущенным. Пусть в момент времени t, равный
t0, xt = xi0, и будем рассматривать движение при t ^> t0. Тогда
xt (t) называется возмущенным движением, а уравнения C.10) —
уравнениями возмущенного движения.
Рассмотрим функцию V (t, хъ . .., хп), определенную в обла-
сти C.11). Пусть функция V дифференцируема. Тогда ее пол-
ная производная по времени в силу уравнений возмущенного.

28 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. 1
движения запишется так:
dV dV . yi dV Y
Определение. Если функция V и ее производная C.12)
непрерывны и однозначны в области C.11) и если они тождест-
венно равны нулю при xt = . . . = хп = 0, то функцию V назы-
вают функцией Ляпунова.
Определение. Не зависящая от t функция Ляпунова V
называется знакоопределенной (определенно-положительной или
определенно-отрицательной), если она при
| xt | < h (i = 1, 2, . . ., n),
где h — достаточно малое положительное число, может прини-
мать значения только одного знака и обращается в нуль только
при хх = х2 = . . . = хп — 0.
Определение. Функция Ляпунова V, явно зависящая
от t, называется определенно-положительной, если она в обла-
сти C.11) при t0 достаточно большом и h достаточно малом удо-
влетворяет неравенству
V (t, хъ . . ., хп) > W (xv . . ., хп),
где W — определенно-положительная функция.
Определение. Функция V называется знакопостоянной,
если в области C.11) при t0 достаточно большом и h достаточно
малом она принимает значения только одного определенного
знака, но может обращаться в нуль и при х\ -\-. . . -\- х\ =/= 0.
Определение. Функция V, не являющаяся ни знако-
определенной, ни знакопостоянной, называется знакопеременной.
Определение. Говорят, что функция V (t, хъ ..., хп)
допускает бесконечно малый высший предел, если для любого поло-
жительного числа е можно найти другое положительное число
б такое, что при всех значениях (t, хъ . . ., хп), удовлетворяющих
неравенствам
t>t0, |хг|<б (i = 1,2, . . ., п),
будет выполняться неравенство
\V(t,zlt . . .,хп)|<е.
Теорема (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует
знакоопределенная функция V, для которой производная в силу
уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная,
знака, противоположного с V, или тождественно обращается
в нуль, то невозмущенное движение устойчиво.

§ 3J ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 29
Теорема (теорема Ляпунова о неустойчивости). Если суще-
ствует допускающая бесконечно малый высший предел функция
V (t, хъ . . ., хп), производная которой в силу уравнений возму-
щенного движения есть функция знакоопределенная, а сама функ-
ция V в области C.11) при t0 достаточно больших и h достаточно
малых может принимать значения того же знака, что и произ-
водная, то невозмущенное движение неустойчиво.
Определение. Областью V ^> О называется одна из
областей окрестности начала координат
которая ограничена поверхностью V = 0 и в которой функция V
принимает только положительные значения.
Теорема (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует
функция V (t, хх, . . ., хп) такая, что
а) при сколь угодно больших t в сколь угодно малой окрестности
начала координат существует область V ^> 0;
б) в области V ^> 0 функция V ограничена;
в) в области V ^> 0 производная dV/dt в силу уравнений возму-
щенного движения положительна, причем для всех значений
t, хъ . . ., хп, связанных соотношением V (t, хъ . . ., хп) ;> а,
где а — какое-нибудь положительное число, выполняется неравен-
ство dV/dt ^> р, где В — тоже некоторое положительное число, то
невозмущенное движение неустойчиво.
Определение. Функцию V, удовлетворяющую послед-
ней теореме, называют функцией Четаева.

ГЛАВА 2
ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Устойчивость линейных тамил ьтоновых систем
с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения возмущенного движения, к рас-
смотрению которых приводит задача об устойчивости движения,
как правило, нелинейны. Их исследование начинается обычно
с анализа соответствующей системы уравнений первого прибли-
жения. Будем рассматривать только те случаи, когда дифферен-
циальные уравнения дервого приближения линейные.
Итак, пусть задана гамильтонова система линейных дифферен-
циальных уравнений
-^ = Шх> Хт = (хг, . . ., Xr, 2V.+1, . . ., Х2п). A.1)
Переменные xk и xn+ti — канонически сопряженные (хк — коор-
динаты, Хп+ь — импульсы) в соответствующей механической за-
даче. Матрица I порядка 2п имеет вид
= Г = -1, 12=-Е2п, detl-l), A.2)
где Ек — единичная матрица порядка к. Знаком «т» обозначена
операция транспонирования матрицы. Через Н в системе уравне-
ний A.1) обозначена вещественная симметрическая матрица по-
рядка 2п. Она либо постоянна, либо является непрерывной,
2я-периодической по t.
Пусть матрица Н в системе уравнений A.1) постоянна. Для ре-
шения вопроса об устойчивости рассмотрим характеристическое
уравнение
р (X) = det (Ш — Ш2П) = 0. A.3)
Покажем, что характеристический многочлен р (к) — четная
функция К. Для этого рассмотрим следующую цепочку равенств:
р (X) = det (Ш - ХЕ2п) = det (IH - ^E2n)T = det (НТГ - КЕ2п) =
= det (- HI - КЕ2п) = det (PHI + ME2nI) = det I (IH + KE2n) I =
= det I det (IH -f 1Е2„) det I = 1 • det (IH + KE2n) ¦ 1 = p (- K).

§ 1] УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 3 1
Таким образом, уравнение A.3) содержит только четные степени К.
Поэтому, если у него есть корень X = а, имеющий отрицательную
вещественную часть, то обязательно будет и корень % = —а
с положительной вещественной частью, а значит, система A.1)
(а вместе с ней и невозмущенное движение) неустойчива.
Мы получили, следовательно, такое условие устойчивости
системы A.1): для устойчивости системы A.1) необходимо, чтобь
корни характеристического уравнения были чисто мнимыми.
Это условие будет и достаточным, если дополнительно потребовать,
чтобы матрица Ш приводилась к диагональной форме [51].
Но будет ли при выполнении этих условий устойчиво невоз-
мущенное движение — зависит от членов более высокого порядка
в нелинейных уравнениях возмущенного движения.
Выполнимость необходимых и достаточных условий устойчи
вости системы A.1) гарантирована в том частном случае, когда
соответствующая функция Гамильтона Н знакоопределенна.
Тогда, приняв ее за функцию Ляпунова V и учтя, что Н = const,
на основании теоремы Ляпунова получим вывод об устойчивости
системы A.1). В этом случае характеристическое уравнение
всегда имеет только чисто мнимые корни и независимо от их
кратности матрица Ш обязательно приводится к диагональной
форме.
В случае знакоопределенности Н невозмущенное движение
автономной гамильтоновой системы будет устойчивым и в строгой
нелинейной постановке задачи. Поэтому для полного решения
вопроса об устойчивости невозмущенного движения в этом случае
достаточно рассмотрения линейной системы A.1) или квадратич-
ной части функции Гамильтона. Но уравнение A.3) может иметь
чисто мнимые корни и тогда, когда функция Гамильтона не будет
знакоопределенной. Такой будет, например, следующая система
дифференциальных уравнений первого приближения:
^ % (к = 1, 2). A.4)
Характеристическое уравнение системы A.4) имеет две пары чисто
мнимых корней iic^ и ±гог2. Соответствующая матрица IH при-
водима к диагональной форме, а функция Гамильтона
H^-^-a^xl + x^-^a^xl + xl) (afc>0)
не является знакоопределенной. В этом случае для решения за-
дачи об устойчивости невозмущенного движения недостаточно
рассмотрения линейной системы A.4) и необходимо проводить
анализ полной нелинейной системы уравнений возмущенного
движения.

32 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
§ 2. Нормальная форма автономной системы линейных
гамильтоновых уравнений в случае простых
чисто мнимых корней характеристического уравнения
Продолжим исследование линейной системы дифференциальных
уравнений A.1). Предположим, что соответствующее ей характери-
стическое уравнение A.3) имеет только простые чисто мнимые
корни. Обозначим их через Хк = iak, Xn+lt = —iak (к = 1, 2, . . .
. . ., п). Знаки вещественных величин ак пока не фиксируем.
Они будут определены ниже. Найдем вещественное линейное ка-
ноническое преобразование xj -*¦ yj (/ = 1, 2, . . ., 2/г), приводя-
щее систему A.1) к нормальной форме. Нормальной формой
системы уравнений A.1) мы называем такую систему дифферен-
циальных уравнений, которой соответствует функция Гамиль-
тона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных,
не связанных между собой осцилляторов:
п
#= 4-
Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы
A.1) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных
уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных
колебаний, при построении приближенных решений нелинейных
гамильтоновых систем, где в качестве первого приближения
берется обычно решение линейной задачи. Поэтому крайне жела-
тельно выбирать такие координаты, в которых решение линейной
задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещест-
венной формой уравнений A.1) и будет нормальная форма.
Общая.задача об алгебраических свойствах линейных систем
гамильтоновых дифференциальных уравнений исследована достаточ-
но подробно [15, 28, 49, 90, 98, 109, 145,149,154, 157, 179-183].
Для систем с постоянными коэффициентами в работах [15, 28, 98]
получены конструктивные методы нормализации. Мы рассмотрим
задачу получения нормальной формы иначе, чем в упомянутых
работах [15, 28, 98], и получим алгоритм нормализации, который
будет весьма простым, так как его применение сводится только
к нахождению собственных векторов матрицы Ш.
Введем обозначение ут = (уи . . ., уп, уп+1, . . ., у2п). Тогда,
учитывая B.1), получим, что нормальная форма линейной систе-
мы A.1) запишется в виде следующей гамильтоновой системы
уравнений:
^=1Н*у, B.2)
где Н* — вещественная диагональная матрица, диагональные

§ 2] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ 33
элементы которой определены равенствами Иш = hn+k,n+k = о\.
(к = 1, 2, . . ., п). Переход от переменных х к переменным у
зададим с помощью матрицы А в виде равенства
х = Ау. B.3)
Из A.1) и B.2)—B.3) получаем, что матрица А должна удо-
влетворять следующему матричному уравнению:
AIH* = ША. B.4)
Кроме того, для каноничности преобразования B.3) матрицу А
ищем симплектической [16], т. е. она должна удовлетворять
еще одному матричному уравнению
АТ1А = I. B.5)
Решение матричного уравнения B.4) не единственно. Чтобы
найти нормализующее преобразование, надо из бесчисленного
множества решений матричного уравнения B.4) выбрать хотя бы
одно вещественное, удовлетворяющее уравнению B.5).
Решение А уравнения B.4) будем искать в виде А = ВС, где
матрица С определена равенством
*ЕП Еп II
.„ _ . (Z.b)
Подставив в уравнение B.4) вместо А его выражение через В и С,
получим следующее уравнение для нахождения матрицы В:
BD = IHB, B.7)
где D — диагональная форма матрицы IH. Для ее диагональ-
ных элементов имеют место равенства dk)! = — йп+^, п+& = гак
(к = 1, 2, . . ., п). Таким образом, теперь надо найти матрицу В,
приводящую матрицу Ш исходной системы уравнений A.1)
к диагональной форме. Она строится следующим образом [171.
Ее столбцами должны быть собственные векторы матрицы Ш.
Именно, пусть т-й столбец матрицы В будет собственным векто-
ром ет, соответствующим собственному числу iam, а (п + т)-й
столбец будет вектором ё^т, соответствующим собственному чис-
лу ^m+n ~ iom (m = 1, 2, . . ., п).
Собственные векторы определяются с точностью до постоян-
ного множителя. Примем этот множитель вещественным и одина-
ковым для векторов ет и еп+т. Кроме того, соответствующие ком-
поненты этих векторов выберем комплексно сопряженными.
Такой выбор собственных векторов обеспечивает вещественность
матрицы А. Произвольные множители собственных векторов опре-
деляются из условия их нормировки, которое ниже будет полу-
чено из условия B.5) каноничности преобразования B.3).
2 А. П. Маркеев

34 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ 1ГЛ. 2
Подставив выражение А = ВС в уравнение B.5), получим
СВ'ШС = I. B.8)
Рассмотрим подробно матрицу ВТ1В, которую для краткости
обозначим через F. Элемент fkl этой матрицы, как нетрудно про-
верить, равняется скалярному произведению векторов е& и lei'.
hi = (efc, 1ег). B.9)
Но так как для любых двух векторов а и Ь справедливо равенство
(а,1Ь) = -Aа,Ь), B.10)
то отсюда следует, что матрица F — кососимметрическая. Рас-
смотрим дальше структуру матрицы F. Докажем, что fkl = 0,
если | I — к 1 ф п.
Для доказательства рассмотрим очевидное равенство
(е&4РНег) = (еА,;НРег). [B.11)
Перепишем это равенство, преобразуя его левую и правую части.
Имеем
(efc, U,e,) = — (А,кеь 1ег).
Последнее равенство можно переписать в виде
(А* + *i)/w = 0. B.12)
Так как согласно упорядочению собственных чисел, введенному
при построении матрицы В, величина Х^ + Xt — 0 только в
случае \ I — к | = п, то из B.12) следует, что fkl = 0, если
\1 — к | ф п. Таким образом, матрица F имеет такую структуру:
4U Gol. <"з>
где G — диагональная матрица порядка п с элементами
вы ~ (ек- 1еп+&)- Ни один из элементов g^ не равняется нулю,
так как в противном случае определитель матрицы F равнялся бы
нулю. Но
det F = det BT det I det В = (det ВJ ф 0,
так как матрица В составлена из собственных векторов, соответ-
ствующих различным собственным числам матрицы IH.
Пусть rfc и s& — действительная и мнимая части собственного
вектора е^г соответствующего собственному числу A,fc. Тогда, учи-
тывая комплексную сопряженность соответствующих компонент

§ 31 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 35
векторов е^ и en+k, получим для элементов матрицы G такие
выражения:
gn = - 21 (rk, Is*) (к = 1, 2,.. ., n). B.14)
Теперь из равенства B.8) получим такое условие, обеспечивающее
симплектичность матрицы А:
4(rbls,) = l. B.15)
Равенство B.15) является, с одной стороны, условием нормировки
собственного вектора efc, а с другой-*— условием для выбора
знака o"fc в функции Гамильтона B.1). Действительно, приравняв
в уравнении Ше& = ?<xfcefc действительную и мнимую части, полу-
чим такую систему уравнений для rk и sk:
Шгк = — o-fcSfc, IHsfc = akrk. B-16)
При одновременном изменении знаков о^ и компонент вектора rfc
система уравнений B.16) не изменяется. Знак же скалярного про-
изведения (rfc, Isfc) изменяется на противоположный. Поэтому
равенству B.15) можно всегда удовлетворить выбором знака 0fc
в гамильтониане B.1) и соответствующей нормировкой собствен-
ного вектора efc.
Произведя некоторые вычисления, получим, что симплектиче-
ская матрица А нормализующего преобразования невырожден-
ная, вещественная и к-ш ее столбцом будет вектор —2sfc,
а (га + к)-м — вектор 2гк.
§ 3. Общие сведения о линейных системах
с периодическими коэффициентами
Рассмотрим линейную систему
^ , хт = (хъ . . ., хп), C.1)
где A (t)—непрерывная, 2л-периодическая по t матрица. Докажем,
следуя [21], теорему о-структуре общего решения системы C.1).
Теорема (Флоке). Для системы C.1) фундаментальная матрица
решений X (t), нормированная условием X @) = Еп, представила
в виде
X(t) = Y(t)*t, C.2)
где матрица В — постоянная, a Y — непрерывно дифференци-
руемая, 2п-периодическая по t.
Для доказательства заметим прежде всего, что так как X (t) —
фундаментальная матрица решений уравнения C.1), то в силу
2*

36 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ ГГЛ. 2
2я-периодичности матрицы A (t) фундаментальной будет также
матрица X (t + 2я). А это значит, что справедливо равенство
X (t + 2я) = X (t) С, C.3)
где С — постоянная матрица. Положив в C.3) t = О, получим,
что С = X Bя). Таким образом,
Х(* + 2я) = Х(*)ХBя).
Очевидно, что det X Bя) Ф 0. Значит, X Bя), как всякая невы-
рожденная матрица, представима [17] в виде
X Bя) = e««B. C.4)
Теперь положим
Y(t) = X{t)e-Bt C.5)
и проверим, что Y (t) — 2я-периодическая матрица. Имеем
Y (t + 2я) = X (t + 2я) е-г«в-в' = X (t) X Bя) ^«Bg-Bt =
= X (t) X Bя) X Bя) е-в* = Y (f).
Таким образом, Y (t) 2я-периодична, а из C.5), кроме того, видно,
что она непрерывно дифференцируема. Из C.5) следует еще, что
фундаментальная матрица X (t) представима в виде C.2). Это и
доказывает теорему Флоке.
Следует отметить, что матрицы Y (t) и В, вообще говоря,
комплексные [321.
Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные
числа kj матрицы В, т. е. корни уравнения
det (В — %Еп) = 0, C.6)
называются характеристическими показателями системы C.1).
Собственные числа pj матрицы X Bл), т. чорни уравнения
det (X Bя) - рЕ„) = 0, C.7)
называются мультипликаторами системы C.1).
Очевидно, что
P,W4 C.8)
или
k} = -gj- In ft; = 4г [1П I & I + ' аГ& Pi + 12Ы] C<9 >
(k = 0, ±1, ±2, . . .).
Из последнего равенства видно, что значения характеристических
показателей определяются по значениям мультипликаторов неод-
нозначно.

§ 4] УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ 37
Приведем еще без доказательства следующие два утвержде-
ния [51] о характеристическом уравнении C.7): 1) характе-
ристическое уравнение не зависит от выбора фундаментальной
матрицы решений, 2) характеристическое уравнение не изменится,
если систему C.1) подвергнуть невырожденному линейному пре-
образованию с 2я-периодическими коэффициентами.
Теперь рассмотрим задачу о приводимости системы C.1).
Система C.1) называется приводимой, если существует замена
переменных
x = L(*)y C.10)
такая, что система C.1) преобразуется в систему с постоянными
коэффициентами, а 2я-периодическая матрица L (t) — непрерывно
дифференцируемая, ограниченная при всех t, и такими же свой-
ствами обладает обратная матрица L (t). Имеет место следующая
теорема Ляпунова [49]: линейная система C.1) с непрерывной
периодической матрицей A (t) приводима.
Для доказательства теоремы Ляпунова примем за матрицу
L (t) преобразования C.10) матрицу Y (?), определенную равен-
ством C.5). Она непрерывно дифференцируема и ограничена при
всех t вместе со своей обратной. Остается только показать, что
преобразованная система будет системой с постоянными коэффи-
циентами. В этом легко убедиться, подставив
х = Х(*)е-шу C.11)
в C.1). Произведя выкладки, получим
Таким образом, характеристические показатели Xj суть корни
характеристического уравнения преобразованной системы C.12).
Ясно, что задачи об устойчивости систем C.1) и C.12) эквива-
лентны. Поэтому из проведенных рассмотрений следует, что систе-
ма C.1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипли-
каторы принадлежат замкнутому единичному кругу | р | <^ 1,
причем в случае существования кратных мультипликаторов, ле-
жащих на/ окружности | р | = 1, матрица X Bя) приводится к
диагональной форме.
§ 4. Устойчивость линейных гамильтоновых систем
с периодическими коэффициентами
Рассмотрим задачу об устойчивости гамильтоновой систе-
мы A.1). Считаем, что Н — непрерывная, 2я-периодическая
по t, вещественная симметрическая матрица. Задача об устойчи-
вости линейных гамильт.оновых систем обладает рядом специфи-

38 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЪТОНОВЫ, СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
ческих особенностей по сравнению с задачей об устойчивости об-
щих линейных систем, которые были рассмотрены в предыдущем
параграфе. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова —
Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых си-
стем с периодическими коэффициентами. Несколько ниже мы
сформулируем и докажем эту теорему, а предварительно рассмо-
трим так называемые возвратные уравнения.
Уравнение
/ (z) нее aozn + ajf-1 + . . . + ап =, 0 (а0 ф О, z = х + iy)
D.1)
называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие
от крайних членов, равны между собой, т. е. в записи D.1)
«К = «n-fc-
Для возвратного уравнения справедливо тождество
и, наоборот, если выполнено D.2), то уравнение D.1) возвратное.
Из D.2) следует, что возвратное уравнение нечетной степени обя-
зательно имеет своим корнем число z = —1. Если п — четное
число, то при помощи подстановки
возвратное уравнение сводится к уравнению степени -*¦ относи-
с*
тельно w.
Имеют место следующие легко проверяемые [21] свойства кор-
ней возвратного уравнения: если у уравнения есть корень z = 1,
то кратность его четная; если есть корень z = —1, то его крат-
ность четная при четном п и нечетная при нечетном п; если урав-
нение имеет корень zk Ф ±1, то оно имеет также и взаимно обрат-
ный корень z; = l/zs той же кратности.
Теорема Ляпунова—Пуанкаре. Если матрица Н (t) линейной
гамилътоновой системы A.1) — 2п-периодическйя по t, то харак-
теристическое уравнение
/(p) = det(XB*)-pE2n) = 0 D.3)
— возвратное.
Доказательство. Во-первых, докажем, что матрица
фундаментальных решений X (t) — симплектическая, т. е. спра-
ведливо тождество
Х*1Х = I. D.4)
В самом деле, при t — 0 равенство D.4), очевидно, справедливо,

S 5] НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ 39
а вычислив производную правой его части, получим
d (XJIX) =
IX + X'l4? = X'HTIX + ХТРНХ ==
' dt
J = IX + Xl4?
at at ' dt
= ХТН (- I2) X + XTI2HX = XTHX - XTHX = 0.
Поэтому равенство D.4) справедливо при всех t.
Во-вторых, отметим, что из теоремы Лиувилля о сохранении
фазового объема [16] следует, что det X Bя) = 1.
Теперь можно проверить, что уравнение D.3) — возвратное.
Имеем
/ (р) = det (X - рЕ) = det X (Е - рХ) = det (E — рГЧКЧ) =
= det I-i detJ(E - рХ") deU = det (E - РХ)Т =
= det (E — рХ) = р2™ det (X — — е\ = p2n/ (—
Значит, характеристическое уравнение D.3) — возвратное, и
теорема Ляпунова — Пуанкаре доказана.
Укажем важнейшие следствия этой теоремы:
1) линейная гамильтонова система A.1) устойчива тогда и
только тогда, когда все ее мультипликаторы р7- расположены на
единичной окружности | р | = 1 и матрица ' X Bя) приводится
к диагональной форме;
2) мультипликаторы р) и1/ру- имеют одинаковую кратность;
3) если характеристическое уравнение D.3) имеет корень
р = 1 или р = —1, то эти корни имеют четную кратность.
§ 5. Нормализация гамильтоновой системы линейных
уравнениЁ с периодическими коэффициентами
Рассмотрим снова систему A.1) с непрерывной периодической
матрицей Н (t). Согласно теореме Ляпунова система A.1) приво-
дима. Соответствующая замена переменных может быть записана
в виде C.11). Но замена переменных, приводящая систему A.1)
к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами,
определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В этом параграфе
построен алгоритм отыскания линейного вещественного,
2я-периодического по t, канонического преобразования, приводя-
щего систему дифференциальных уравнений A.1) к нормальной
форме. Будем предполагать, что характеристические показатели hj
системы A.1) — чисто мнимые, кк = iorfe, а все мультипликаторы
pfc = exp (i2no*fc), pn+k = pfc (к = 1, 2, . . ., п) различны. Черта
обозначает комплексно сопряженную величину.
Как и в случае, когда в системе A.1) матрица Н (t) постоянна,
мы называем нормальной формой системы A.1) такую систему
уравнений с постоянными коэффициентами, которой соответствует

40 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
функция Гамильтона вида B.1). Задача нормализации линейных
канонических систем с периодическими коэффициентами исчер-
пывающе изучена в работах [109, 157, 179—182]. Показано, что
нормализующее преобразование можно выбрать вещественным и
2я-периодическим по t. Для п = 1 в [53] показано, как практиче-
ски получить такое преобразование. Теперь рассмотрим, сле-
дуя [54], задачу нормализации для произвольного п. Результаты
представим так, чтобы их было удобно применять при решении
конкретных механических задач.
Пусть X (t) — фундаментальная матрица — решение систе-
мы A.1). Нормализующее преобразование
x = Ny E.1)
представим как последовательность двух замен переменных
x = X(t)Ae-mz, E.2)
z = Су; E.3)
здесь В — диагональная матрица, у которой элементы определены
равенствами bklt = — bn+lt n+fr — krK (к = 1, 2,..., n). Матрица С имеет
вид B.6).
Преобразование E.2) приводит систему A.1) к диагональной
форме
? = В* E-4)
После применения преобразования E.3) система уравнений E.4)
приобретает нормальную форму с функцией Гамильтона B.1). По-
стоянную матрицу А в формуле E.2) подберем так, чтобы преоб-
разование E.1) было вещественным, унивалентным, каноническим
2л-периодическим по t.
Преобразование E.3), как нетрудно проверить, является кано-
ническим с валентностью 2?. Кроме того, матрицы X (?) и.
е~ш — симплектические. Для X (t) это показано в § 4, а симплек-
тичность e~Bt очевидна. Таким образом, чтобы преобразование E-1)
было кононическим и унивалентным, необходимо и достаточно [16],
чтобы матрица А была обобщенно-симплектической с валентностью
1/2г, т. е. должно выполняться равенство
Ат1А=-4-1. E-5)
Далее, из условия 2я-периодичности нормализующего преоб-
разования E.1):
X Bя) Ае-г»вС = X @) АЕ2пС

I 51
НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
41
получаем матричное уравнение для определения А
Pi .
-1Х Bя) А =
Pi
Рп
E.6)
Матрица einB является диагональной формой матрицы X Bя). У ма-
трицы А, приводящей X Bя) к диагональной форме, /-й столбец
есть собственный вектор е;, соответствующий мультипликатору
Pj; (/ = 1, 2, . . ., 2га). Ее можно представить в виде А = LD,
где L — какое-либо решение уравнения E.6), a D — диагональ-
ная матрица порядка 2га, элементы которой подберем так, чтобы
удовлетворить условию E.5).
Кроме того, будем считать, что элементы матрицы D — вещест-
венные числа и dn+ls>n+1c = dfcfc, а собственные векторы е„+1с и
efc — комплексно сопряженные (к = 1, 2, . . ., га). Это обеспечи-
вает вещественность нормализующего преобразования.
Покажем, как найти матрицу D. Подставляя А = LD в равен-
ство E.5) и учитывая, что DT = D, долучаем
DLTILD = -i-|
E.7)
Теперь обозначим матрицу I/1L через F. Ее элементы /кг вычис-
ляются по формуле B.9). Аналогично § 2 получаем, что матрица
F — кососимметрическая.
Для дальнейшего анализа ее структуры докажем следующее
утверждение: если произведение собственных чисел pfc и рг сим-
плектичеекой матрицы X не равно единице, то соответствующие
собственные векторы е^ ив| удовлетворяют равенству (efc, 1ег) = 0.
Для доказательства сначала заметим, что по определению
симметрической матрицы для любых векторов а и b имеет место
равенство
AХа, ХЬ) = (Хт1Ха, Ь).
Далее, используя симплектичность матрицы X, получаем
AХа, ХЬ) = Aа, Ь). Подставив в последнее равенство а = е&
и b = ег, получим
г). E.8)
Но Хе; = pj-ej (j = 1, 2, . . ., 2га), поэтому равенство E.8) можно
переписать так:]
— 1) (е», 1е,) = 0,
и если PkPj -ф 1, то необходимо, чтобы скалярное произведение
(ej,, lei) равнялось нулю.!

42
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
Таким образом, матрица I/IL записывается в виде B.13),
и элементы gss матрицы G, входящей в B.13), вычисляются по
формулам B.14). Из равенства E.7) получаем теперь уравнение
для нахождения элементов матрицы D
(r»f Is*) = 1. J
E.9)
Последнее уравнение имеет действительное решение, если вели-
чина (rfc, Isk) положительна, чего всегда можно добиться соответ-
ствующим выбором знака o*s в функции Гамильтона B.1). В самом
деле, из уравнения Xek = pkes имеем систему уравнений отно-
сительно действительной rs и мнимой ss частей вектора es:
(X — cos 2naHE2n) тк + sin 2nafcsk = 0,
— sin 2яаКт1с -f (X — cos 2itasE2n) ss = 0. \ • )
Система уравнений E.10) не изменяется при одновременном изме-
нении знака Он и знака компонент вектора тк. Знак же скалярного
произведения (гк, Iss) изменяется на противоположный.
Таким образом, мы нашли матрицу D. Матрица нормализую-
щего преобразования E.1) имеет вид
После некоторых преобразований ее можно представить в виде
произведения трех вещественных матриц
N = X(*)PQ@- E.11)
В последней формуле через Р обозначена постоянная матрица,
у которой А-й столбец есть вектор —2dsssk, а (п -f- &)-й столбец —
вектор 2dssrs (к = 1, 2, . . ., п). Матрица Q (t) имеет вид
| cos Kt — sin Ш I!
sin Kt
sin <J]
sin ant
, cos Ш =
cos att
§ 6. Задача о параметрическом резонансе. Линейные
гамильтоновы системы, содержащие малый параметр
В конкретных механических задачах матрица II (t) системы
A.1) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача
о параметрическом резонансе для системы A.1) состоит в определе-
нии тех значений параметров, при которых характеристичес-
кое уравнение системы A.1) имеет корни с модулями, большими
единицы.

§ 6J ЗАДАЧА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ 43
Эта задача подробно изучена в работах А. М. Ляпунова,
М. Г. Крейпэ, В. А. Якубовича, В. М. Старжинского, И. М. Гель-
фанда и В. Б. Лидского, Ю. Мозера и др. Полученные результаты
изложены в монографии [97], где приведена и обширная библиогра-
фия по устойчивости линейных систем с периодическими коэффици-
ентами. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи о параметри-
ческом резонансе для тех частных случаев, которые типичны для
рассматриваемых далее конкретных задач небесной механики.
Будем предполагать, что функция Гамильтона Н, соответствую-
щая системе A.1), имеет вид
Н = Но + гНх + 82Я2 + . . . , F.1)
где Но, Н1 ... — квадратичные формы переменных хг, хг, . . .
...,х2п, причем коэффициенты формы Но постоянны, а коэффициенты
форм Нг, Hz, ... — непрерывные, вещественные функции t с об-
щим периодом 2я.
Прежде чем переходить к задаче о параметрическом резонансе,
рассмотрим зависимость мультипликаторов (и характеристических
показателей) от параметра е. Так как функция Гамильтона F.1)
предполагается аналитической относительно 8, то правые части
системы A.1) также аналитичны. Тогда, как известно, любое ре-
шение х (t; e) системы A.1), для которого начальное значение не
зависит от е, будет аналитическим относительно е. В частности,
аналитическими будут элементы xtj (t; е) фундаментальной матрицы
решений X (t; г). Отсюда получаем следующую теорему А. М. Ляпу-
нова: если правые части системы A.1) аналитичны относительно
8, то коэффициенты характеристического уравнения D.3) будут
аналитическими функциями е, причем область их аналитичности
совпадает с областью аналитичности правых частей системы A.1).
Но при этом мультипликаторы (и характеристические показате-
ли) не обязательно аналитичны. В самом деле, рассмотрим характе
ристическое уравнение D.3):
fliP) = P2n + «IP2" + • • • + «iP + 1 = 0, F.2)
где коэффициенты а^ — аналитические функции 8. И пусть
р* — какой-либо корень уравнения F.2) при 8 = 0. Если он не
является кратным и, следовательно, df (p*)!dp* Ф 0, то на основа-
нии теоремы о неявной функции при достаточно малом е, отличном
от нуля, существует единственный корень р (е), для которого
р @) = р*. При этом р (е) — аналитическая функция е и аналити-
чен соответствующий характеристический показатель, В том же
случае,] когда р*— кратный корень и, следовательно, df (р*)/ф* =
= 0, задача о зависимости корней уравнения от е при е Ф 0
становится более сложной. Если корень р* имеет кратность, равную
т, то уравнение F.2) при е Ф 0 имеет [20] т корней, обращаю-
щихся при е = 0 в р*. И эти корни аналитичны относительно

44 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
е1^, где 1 <; к <^ т. Аналогичная зависимость от е будет иметь
место и для характеристических показателей. Отметим, что неза-
висимо от кратности корня р* при е = 0 корни уравнения F.2)
при е Ф 0, во всяком случае, непрерывны по е.
Теперь рассмотрим систему A.1) при 8=0. Это будет система
с постоянными коэффициентами. Пусть X — корень ее характерис-
тического уравнения. Получим условия аналитичности муль-
типликаторов системы A.1) при 8=^=0.
Мультипликатор р характеристического уравнения D.3)
системы A.1) с 2я-периодическими коэффициентами при 8=0
имеет вид р = ехр Bпк). Согласно теореме Ляпунова — Пуанка-
ре (см. § 4), вместе с мультипликатором р=ехр BяХ) существует
мультипликатор р = ехр (—2пК). Отсюда получаем, что харак
теристическое уравнение D.3) при е = 0 имеет кратные корни
в том и только в том случае когда выполняется соотношение
K±^i = W (*, I = 1, 2, . . . , п; N = 0, ± 1, ± 2, . . . ).
F.3)
Таким образом, если корни ^(/ = 1,2,. . . , 2п) характеристи-
ческого уравнения системы A.1) при е --- 0 не связаны соотно-
шениями F.3), то ее мультипликаторы при е Ф 0 аналитичны
относительно е.
Отметим, что при некоторых дополнительных условиях
С. Н. Шимановым показана [52] аналитичность мультипликаторов
и при выполнении равенств F.3).
Допустим, что характеристическое уравнение системы A.1)
при е = 0 имеет корень kj с отличной от нуля вещественной частью.
Тогда, согласно § 1, оно имеет корень — %} и, следовательно,
у характеристического уравнения обязательно есть хотя бы один
корень с положительной вещественной частью. А значит, при
малых значениях 8, отличных от нуля, характеристическое урав-
нение D.3) имеет корни с модулями, большими единицы. В этом
случае задача о параметрическом резонансе, как видим, проста и
неинтересна.
Пусть теперь при е = 0 характеристическое уравнение системы
A.1) имеет только чисто мнимые корни + ?ors (к = 1, 2,. . . , п).
Тогда уравнение D.3) при е = 0 имеет только такие корни, модули
которых равны единице. Изучим поведение мультипликаторов
при малых е, отличных от нуля.
Сначала рассмотрим простейший случай, когда при 8 = 0
нет кратных мультипликаторов, т. е. когда, согласно F.3), вы-
полняются неравенства
о1с±о1фЫ (М = 1,2, . . . , n;N=0, ±1,±2,...). F.4)
Ясно, что в этом случае, в силу непрерывности мультипликаторов,
они останутся некратными и при достаточно малых е.

8 61
ЗАДАЧА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ
45
Кроме того, при достаточно малых е мультипликаторы не могут
иметь модули, большие единицы. Этот вывод является простым
следствием из теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристичес-
ком уравнении D.3). Согласно этой теореме, мультипликаторы
расположены симметрично относительно единичной окружности.
При малых значениях е они не могут сойти с окружности, не нару-
шив указанной симметрии.
Действительно, рассмот-
рим для наглядности слу-
чай п = 2. Характеристи-
ческое уравнение D.3) бу-
дет уравнением четвертого
Рис. 4. Простые и кратные мультипликато-
ры на единичной окружности.
порядка. Пусть р^ (/ = 1,
2, 3, 4) — его корни при
8 = 0. Будем изображать
их на комплексной плос-
кости р (рис. 4). Пусть при
малых е один из корней,
например рх, сошел с окружности и стал по модулю больше еди-
ницы. Из-за вещественности матрицы X Bя; е) комплексно
сопряженный корень р^1 необходимо сместился бы в точку,
симметричную относительно вещественной оси. А так как
число всех корней равно четырем, то у корня рг не оказалось
бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпу-
нова — Пуанкаре.
Таким образом, если при е == 0 отсутствуют кратные мульти-
пликаторы или, что то же, выполняются условия F.4), то гамиль-
тонова система A.1) при е Ф 0 устойчива, если величина | е | доста-
точно мала.
Если же при е=0 существуют кратные мультипликаторы,
расположенные в некоторой точке А единичной окружности
(рис. 4), то при е Ф 0 они могут, вообще говоря, сойти с окруж-
ности. При этом они могут расположиться, как изображено на
рис. 4, и симметрия мультипликаторов относительно единичной
окружности не будет нарушена. Но смещение мультипликаторов
с единичной окружности происходит не всегда [33], и, следователь-
но, в случае кратных мультипликаторов система A.1) не обязатель-
но неустойчива при 8 Ф 0. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Предположим, что характеристические показатели ias при
е = 0 таковы, что среди величин ак нет кратных. Тогда функцию
//„ в F.1) при помощи линейной канонической замены переменных
можно привести (см. § 2) к сумме гамильтонианов не связанных
друг с другом осцилляторов, и функция Гамильтона F.1) запишется
в виде . "
Н = Т

46 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
где Нг, Н2, ... — квадратичные формы новых переменных ух,
Уг,- • • i Угп с непрерывными, 2я-периодическими по t коэффици-
ентами. Очевидно, что задачи о параметрическом резонансе в
старых и новых переменных эквивалентны. Но теперь для нас
существенно, что величины огк в F.4) имеют вполне определенный
знак, полученный в процессе нормализации Но.
Имеет место теорема Крейна — Гельфанда — Лидского 197],
которая в наших обозначениях формулируется так.
Теорема. Для достаточно малых г линейная система с гамильто-
нианом F.5) устойчива тогда и только тогда, когда величины Ok
не связаны соотношениями
aH + al=N (k,l = I, 2,. . . , п; N = ±1, ±2, . . .). F.6)
Иными словами, знак минус в соотношении F.4) можно опу-
стить, а при выполнении хотя бы одного из равенств F.6) всегда
можно так подобрать Ни Н2,. . . в F.5), что соответствующая
линейная система будет неустойчива. Число N в F.6) отлично от
нуля, так как среди величин <тк нет кратных.
§ 7. Нахождение областей параметрического резонанса
в первом приближении по малому параметру
Пусть величины afc в гамильтониане F.5) зависят он некоторого
параметра а. И пусть при значении а, равном сс0, в изучаемой
механической системе возникает параметрический резонанс, т. е.
выполняется хотя бы одно из соотношений
orft (a,) + oi (a0) = N (k,l = 1,2,. . . , п; N = ± 1 ± 2,. . .). G.1)
Когда соотношение G.1) выполняется для к —¦ I, т. е. когда
2вк = N, G.2)
говорят о простом резонансе; параметрический резонанс, для кото-
рого в G.1) к Ф I, называют комбинационным. В этом параграфе
мы покажем, что, как при простом, так и при комбинационном
ревонансах, при любом сколь угодно малом значении е может
существовать область неустойчивости, и в плоскости а, г найдем
ее границы с точностью до первой степени параметра е.
Будем предполагать, что выполняется только одно из резонан-
сных соотношений G.1). И так как в этом соотношении участвуют
не более двух частот, то, без ограничения общности, задачу о
параметрическом резонансе будем рассматривать для механических
систем с двумя степенями свободы. Если бы число степеней свободы
было больше двух, то переменные yj (]' Ф к, I, п -{• к, п -\- I) могли
быть исключены из Нх при помощи канонической замены перемен-
ных. Это будет видно из проводимого ниже анализа (число G.13)
для одночленов, содержащих у} (/ Ф к, I, п + к, п -\- I), не будет

§ 71 НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 47
целым, так как существует только одно резонансное соотношение
G.1) и оно связывает только частоты o*s и сгг).
Пусть в F.5) квадратичная форма Нх записана в виде
(v = V! + v2 + |*i + И.)- G-3)
V=2
В G.3) Vjj, (is — целые неотрицательные числа. Будем считать, что
функции hvA/w, (*) в их представлении в виде рядов Фурье не
содержат нулевых гармоник. В противном случае часть Hi, не
зависящую от t, мы включили бы в Но. Найдем область изменения
параметра а вблизи его резонансного значения а0, для которой
линейная система
dyk _ дН dyi+}c _ дН _
-!Г--д^> dt - ду, ^=1'^
соответствующая функции Гамильтона F.5), неустойчива. Будем
считать, что при а = а0 выполнены неравенства
Введем комплексно сопряженные канонические переменные
9л, Рк соотношениями
\Ях = Уз + *Уи ?г = У4 + iy2. G-4)
Pi = Уз — 1Уп Рг = J/4 — г*/2-
Валентность канонического преобразования G.4) равна 2i. Новый
гамильтониан равен 2Ш, где Н есть функция Гамильтона F.5),
выраженная через дк, рц по формулам G.4). Разлагая еще о* (а)
в ряд в окрестности а0, получим
= iat (а0) gipx + гв2 (а0) д2р2 + «(а — а0) (-^ ?iPi + -^
+¦¦¦
Точками в G.5) обозначены члены не ниже второго порядка относи-
тельно величин 8 и а — а0. Коэффициенты aV{V!ilillll связаны соотно-
шениями
Явные выражения1 коэффициентов Ov<vwt через коэффициенты
гамильтониана F.4) таковы:
Я2000 = ~2~ [Аю10~Н i (^0020
аиоо = ~2~ [(Aiooi + ^оно) + i

48 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
«looi = -g- [(A10oi — Аоно) + i (Лцоо + A0oii)J, G-6)
яи»о — i (A2000 + ^0020)» аодО1 == i (^0200
Сделаем каноническую замену переменных q4,
по формулам
G'7)
где производящая функция 5 имеет вид
е 2 »v<vrfi,n,@ЯлЧгР'^Рг*-
v=a
Функции iyViV4i#ii подберем 2я-периодическими и такими, чтобы
в новом гамильтониане члены порядка е приняли по возможности
наиболее простой вид. Из G.7) получаем явный вид преобразования
<7к> Рк —*¦ Чк, р'к с точностью до членов порядка е:
9» = 9fc — e——, Ps = Ps + e—-т-, G.8)
где в функции W переменные qv q2 заменены на q[, q\. В переменных
git, p'jt новая функция Гамильтона Н' вычисляется по формуле
[161
#' = tf+*L, G.9)
где Н есть функция G.5), выраженная через q'x, pi по формулам
G.8). Из G.5) и G.8) — G.9) получаем такое выражение для
совокупности членов Н', пропорциональных первой степени е:
v=2 v=a
G.10)
где через D обозначен оператор
(%*- <7л1)
Приравняв в тождестве G.10) коэффициенты при qTii'pVplt*i
получим дифференциальное уравнение для
dw
—V^tltt' + i [Oi (vi — jii) + a2 (va — Ца)] "Ч^
G.12)
Рассмотрим это уравнение подробно. Для простоты записи у функ-
ций M\.lV!mi,, a'vjv^in. и Oviv^iii не будем писать индексы и введем

§ 7) НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 49
обозначение
Ь = Oj. (vx — jij + а2 (v, - ца). G.13)
Из общего решения уравнений G.12):
1
w (t) = w @) e-ibt + e~1M j eib* (a' — a)
следует, что если число Ь не будет целым, то при любой функции
а' решение w (t) будет 2я-периодическим, если
В этом случае, следовательно, можно положить а' = 0. Если же
число Ъ — целое, то при а' == 0 периодическое решение урав-
нения G.12), вообще говоря, не существует. Чтобы оно существова-
ло, следует положить
а' = се~т,
где
2Jt
^\ G.14)
и периодическое решение уравнения G.13) будет иметь вид
w (t) = w @) е-*м + e-iM j (с — aeibas) dx
при произвольном значении ш @). В любом олучае коэффициенты
производящей функции S связаны соотношением
а потому новые переменные gs, jo^, как это легко проверить при
помощи G.8), будут комплексно сопряженными.
Проведя такое исследование уравнения G.12), рассмотрим слу-
чай комбинационного резонанса аг (а0) -)- о*г (а0) = N. Функция
Гамильтона G.9) в этом случае может быть приведена описанным
выше способом к виду
Я' = iax («О qlP[ + Юг («о) ад + I (a - a.) (g ^ + g ^) +
+ в(сиоо^^'ад + еооив^РЙ) 4- • • -, G.15)

50 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
где
ал чл
J e»w'euoo @ Л, 'oou = "ST $ e-«Wfeoou (*) * G-16)
— — Coon).
Теперь введем вещественные переменные гк, щ соотношениями
Яь = УЪ\е'\ р'^УгГ/**. G.17)
Преобразование G.17) является каноническим с валентностью -хг.
В переменных rfc, <рк функция Гамильтона будет иметь вид
# = <Ti (а0) Г! + <х2 (а0) г2 + (а — а0) (-^ гх + ^
У [а1100 cos (<pi -f <p2 — Nt) + Рц00 sin (фх -f фг —
G.18)
Величины а1100 и Р110о выражаются через коэффициенты Фурье,
соответствующие Лг-й гармонике некоторой линейной комбинации
функций Aviv,v,v« (t), входящих в исходный гамильтониан F.4).
Используя G.6), получаем для них такие выражения:
2Л
Опоо = 2^Г \ К^оои — Ацоо) cos Nt -f (Aiooi + А0ц0) sin Nt] dt,
а°я G.19)
Piioo = 2^" \ K*woi + Ao"°)cosNt ~~ (Лоо11 ~~ A"°°)sin Nt\ dt-
о
Сделаем еще одну каноническую замену переменных rk, <pjc->i?s, г|зк:
фг = ах (ao)t + -фг, ф2 = а2 (ao)f'+ ф2 + Э, ;
где
sinB = — all00/8, cos6 = Риоо/6, б = /<4) + Риоо-
Тогда изменение переменных Rk, tyk будет описываться дифферен-
циальными уравнениями, задаваемыми функцией Гамильтона
Н = (а - а0) {^R1 + ^ Rt) + еАУЩЩАп (*j+ ф.) + ... G.21)
Выпишем соответствующие дифференциальные уравнения, пренеб-
регая членами выше первого порядка относительно е и (a—6t0):

§7J
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
51
Очевидно, что в первом приближении по е задача об устойчивости
относительно уц в исходной системе с функцией Гамильтона F.4)
эквивалентна задаче об устойчивости относительно i?x и i?2 в сис-
теме G.22). Покажем, что в первом приближении по е область
параметрического резонанса задается неравенствами
66 + a<a<a + J^ G.23)
+<J2)
da0
da0
и что если
устойчива.
Действительно,
функция
эти неравенства не выполняются, то система G.22)
второе утверждение следует из того, что
V = (R1 — RzJ + Н*
является интегралом системы G.22), который как легко прове-
рить, будет знакоопределенным, если неравенства G.23) не вы-
полняются. Следовательно, согласно теореме Ляпунова, система
G.22) устойчива. Утверждение о неустойчивости следует из суще-
ствования при выполнении неравенств G.23) экспоненциально рас-
тущего со временем решения системы G.22):
Tpj. + фа = я -f- arcsin b, Дх (t) = Я2 (t) = i?x @) ее5 v^^ G.24)
еб da0
Случай простого параметрического резонанса рассматривается
аналогично. Пусть, например, выполняется соотношение 2ах (а0) =
= Л'. Тогда область параметрического резонанса в первом
приближении по е задается неравенствами
-||_ + а„<а<ао+р|||-, G.25)
da0 I dc^ I
где теперь б = У а^ + Ргооо> а величин а2ооо и р2ооо выражают-
ся через коэффициенты исходного гамильтониана по формулам
in
1 I'
ааооо = JT \ К^ооао — А20оо) cos Nt + hWva sin Nt] dt,
G-26)
1 (*
P2000 = 2я" \
— (A0020 — A2000) sin Nt] dt.

ГЛАВА 3
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЙ
РАВНОВЕСИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 1. Преобразование Биркгофа
В этой главе изучается устойчивость положений равновесия
гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Предполагается,
что функция Гамильтона Н аналитична относительно координат
и импульсов в достаточно малой окрестности положения равнове-
сия (совпадающего с началом координат) и 2я-периодична по
независимой переменной — времени t. Рассматривается только
тот случай, когда линеаризованная система устойчива (так называе-
мый эллиптический случай).
При исследовании функции Гамильтона с помощью каноничес-
кой замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа
[7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому
простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотно-
шений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны
выводы об устойчив ости или неустойчивости положения равновесия.
Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что
изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы. Итак,
пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений
Jli — J?L lEi = _ Ш. a = i 2 п) (l i)
dt dp* dt до •
где/У— аналитическая функция относительно qt, pi (i = 1,2,. . ., п).
Предполагается, что она либо непрерывна и 2я-периодична по
t, либо от t не зависит. Начало координат qt =Pt = 0 (г = 1, 2,..., п)
является положением равновесия, так что разложение Н начинает-
ся с квадратичных членов
где Н* — однородный многочлен степени к относительно координат
qt и импульсов pt.
Если предположить, что линеаризованная система A.1) устой-
чива, а ее мультипликаторы различны, то без ограничения общно-
сти (см. §§ 2 и 5 главы 2) можно считать, что Н2 имеет нормальную
форму
3=1

§ 1| ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА 53
Тот факт, что мультипликаторы линейной системы различны,
означает, что характеристические показатели + ia} (/ = 1,2 п)
таковы, что в системе отсутствуют резонансы до второго порядка
включительно, т. е. число
тга1 + 7П2ог2 -г . . . + тпап ф 0 (mod 1) A.4)
при целых числах ть удовлетворяющих неравенствам
|ин1 + 1™а| + ... + |тп|=* (Л = 1, 2). A.5)'
В случае автономной системы знак ф 0 (mod 1) в A.4) надо заме-
нить на знак Ф 0.
В системе A.1) сделаем каноническую замену переменных
<7ь Pi —*¦ QiPi при помощи формул
?i=? + ^ P-P' + (i = l2n) A6>
где вещественную однородную третьей степени по qt, p{ функцию-
^з (9ь Pi, ?) попытаемся подобрать так, чтобы она была 2я-периоди-
ческой по t, а в новых переменных qi, pi функция Гамильтона не
содержала бы членов третьего порядка относительно ql, p\-
Функция Н3 может быть записана в виде
где коэффициенты Av, у-п либо постоянны, либо 2я-перио-
дичныпо^. Величины vlt . . ., цп — целые неотрицательные числа.
Функцию ^з ищем в виде, аналогичном A.7):
s, = Vi+ .^п=3Ч KiV ¦ ¦ ¦ ?>#• • ¦ • р>' О -8>
где подлежащие выбору коэффициенты sVl ^ либо постоян-
ны (если постоянны коэффициенты fev,,..., ^п), либо 2я-периодич-
ныпо t (если 2я-периодичны по t коэффициенты Av, (%)•
Соотношения A.6), рассматриваемые как уравнения относитель-
но ?i> Pi (t == 1, 2, . .. , re), показывают, что величины qlt pt
(на основании теоремы о неявной функции) при достаточно малых
Яи Pi (*= 1. 2, . . ., re) будут аналитическими функциями в окрест-
ности начала координат q[ = р\ — 0. Отсюда следует, что
, dS,(q'it p[, t) dSt(q'lt p\, t)
q = q+ P P+ + A9)
где невьшисанные члены имеют порядок выше второго относитель-
но q'i, p\.

54 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
Новый гамильтониан Н' (q\, pi, t) вычисляется по формуле [16]
где правая часть формулы A.10) выражается через q[, р\ по форму-
лам канонической замены переменных A.9). Подставив A.2), A.3)
и A.9) в правую часть A.10), получим
В A.11) S3 — ^з (<7i> П' 0> а невыписанные члены имеют порядок,
не меньший четвертого относительно q\, р\.
Чтобы в функции Гамильтона Н' не содержалось членов треть-
его порядка q't, p[, нужно потребовать выполнения следующего
тождества:
Чтобы из A.12) найти коэффициенты sv, ^ функции Sa, удобно
перейти к комплексным переменным. Положим
ий = д1 + 1Ру v. = q'. — ip. (/=l,2,...,n). A.13)
Здесь через i обозначена мнимая единица (i2 = —1).
Нетрудно проверить, что тождество A.12) в комплексно сопря-
женных переменных Uj, Vj перепишется в виде
где
Введем обозначения
,..C*.-.^ A.14

§ II ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА 55
Здесь gVl, . . . , у-п и /v,, цп — комплексные коэффициенты,
которые связаны с коэффициентами Л,,, , . . , цп и sVl, . , . , ь^при
помощи линейной системы алгебраических уравнений с невырож-
денной матрицей. Приравнивая в тождестве A.14) нулю коэффи-
циент при Mi'. . . i/Jk* Vi*. . . i^n, получим линейное дифферен-
циальное уравнение для нахождения /v,,..., цп
—1^2- + i [а,(рг- Vl) + ... + ап(цп- vn)] /Vj |ln= - gVli...,Mn.
A.17)
Пусть исходная функция Гамильтона A.2) не зависит от време-
ни. Тогда вместо дифференциального уравнения A.17), для нахо-
ждения /v,,..., tM получим алгебраическое уравнение
kiO*i — vi)+ . . . + оп ([in — vn)]/Vl, . . . , ^ = igVl, i%- C1-18)
Справедливы следующие соотношения:
| Hi ~ Vi | + . . . + | Ц„ — Vn К (ii + Vx Ч-. . . + |1„ + Vn = 3-
A.19)
Таким образом, если величины <xlt. . . , а„ не связаны резонан-
сными соотношениями до третьего порядка включительно, т. е.
если
т1а1 -|- . . . + тпап gfc0nptf0<|m1| + ... + |mB|<31 A.20)
то, выбрав величины /Vt, ...,(% согласно формулам
Ч ^п Oidin — v1)+...+ an((in-vn) '
получим новую функцию Гамильтона Н' такой, что в ней будут
отсутствовать члены третьего порядка по q/, p{.
Если в A.16) будет сделана замена переменных, обратная
A.13), то придем к вещественной замене переменных A.9).
Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи
канонической замены переменных уничтожить члены четвертой
степени в гамильтониане. Это, однако, не удастся сделать, и в но-
вом гамильтониане останутся некоторые члены, имеющие вполне
определенную структуру.
Если величины аъ. . . , ап не удовлетворяют ни одному и»
резонансных соотношений до четвертого порядка включительно,
т. е.
т1а1 + . . . + тпап фО при 0< ] т^ | -f . . . + |mn|< 4, A.21)
то в гамильтониане Н^ можно уничтожить все одночлены чет-
вертого порядка, кроме тех, которые содержат uj и V] в одина-

56 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
ковых степенях. Действительно, уравнение A.18) неразрешимо,
если \ik = vs (к — 1, 2, . . . , ге). Тогда в
Tr'(ui + Vi ui~vA
ЛЧ 2 ' ТА )
останется совокупность одночленов вида
Ъ *v....v v ..v (W---0W». A.22)
Vj+...+vn=2 1' ' «' l та
В переменных q/,p/ эта совокупность одночленов в Н^ имеет вид
5^ =2<ч »п (?;2+р;2)а>.. • (?*+*>» <i.23>
где аах, . . . , ап — вещественные величины.
И, вообще, для автономной гамильтоновой системы справедливо
следующее утверждение. Если частоты колебаний Oj линейной
системы не связаны резонансными соотношениями до порядка N
включительно, т. е.
тп1о1 + .. . + тппап Ф Опри 0 < | щ| + . . . + |mn|< N, A.24)
то существует вещественное каноническое преобразование qt =
— Яг + . . . , Pi = Pi + . • . /задаваемое сходящимися в окрестно-
сти начала координат рядами, такое, что функция Гамильтона
A.2), выраженная через q'i, p't, имеет нормальную форму
Я (в, pi) =В{гг , г„) + Я (д'и pi), A.25)
где И — многочлен степени [N/2] относительно rlt. . . , rn и й —
сходящийся ряд по степеням qt, pi, начинающийся с членов
порядка N + 1:
q\ — У 2riSm<pj, р{ — У 2rt cos фг (i -— 1, 2,. . ., re). A.26)
Это утверждение нетрудно доказать методом математической индук-
ции. Отметим, что постоянные коэффициенты многочлена И (гъ...
..., г„) не зависят от порядка N нормализованных членов и от способа
приведения функции A.2) к нормальной форме A.25): они являют-
ся инвариантами гамильтониана A.2) относительно канонических
преобразований [11, 12, 29].
Для случая 2я-периодической по t функции Гамильтона A.2)
результаты аналогичны. Существование 2я-периодического реше-
ния уравнения вида A.17) было нами уже подробно исследовано
(см. уравнение G.12) второй главы). Выводы, которые получаются
в этом случае, аналогичны только что сформулированным для слу-
чая автономной системы. Только в A.24) знак Ф 0 надо заменить

§ 21 ТЕОРЕМА МОЗЕРА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ КРИВЫХ 57
на знак ф 0 (mod 1), а нормализующее преобразование и функция
В будут 2я-периодическими по t.
Если величины о,- таковы, что условия A.24) выполняются
при любых сколь угодно больших N, то преобразование Биркгофа
можно применить для нормализации функции Гамильтона во
всех порядках. И тогда нормализованный гамильтониан будет
зависеть только от переменных г,- (/ = 1,2,. . . , п), которые будут
интегралами преобразованной системы. Но каноническое преоб-
разование Биркгофа, нормализующее гамильтониан во всех
порядках, будет, как правило, расходящимся [11, 12, 29, 30].
Поэтому и интегралы г} будут формальными, т. е. они представляют-
ся в виде расходящихся рядов по qt, pt.
В дальнейшем мы обычно будем проводить нормализацию
функции Гамильтона лишь до конечного (и даже сравнительно
невысокого) порядка. Так что, как правило, применяемое нами
преобразование Биркгофа будет аналитическим.
§ 2. Теорема Мозера об инвариантных кривых
В этом параграфе рассмотрим одну геометрическую теорему
Мозера [72, 73], существенную для дальнейшего. Эта теорема
относится к отображениям плоского кольца, сохраняющим
площадь. Приведем формулировку теоремы Мозера. Пусть задано
преобразование действительных переменных 9, р -> в.и рх:
вх =в +у[а(р) +F(p, в)], Pl =p +yG(p, в). B.1)
Это преобразование определено в кольце 0<а<^р^Ь (Ь — а > 1),
но не обязательно отображает его в себя. В отображении B.1)
Y — постоянный положительный параметр, не превосходящий
единицы. Пусть отображение B.1) обладает свойствами:
1) любая замкнутая кривая р = / @) = / (9 + 2я), близкая
к окружности (т. е. /' @) мала), пересекается со своим образом;
2) для некоторой постоянной с0 ]> 1
с-1
3) функции F tlG, имеющие непрерывные производные до поряд-
ка I (I = 333) включительно, удовлетворяют для некоторого поло-
жительного б = б (е, с0) (б —> 0 при е -> 0) неравенствам
I Р \б + | G-10 <С 5, | а| i -)- | -f |г + I ? |i <C со>
где норма | F |s определяется равенством
| F |к = sup
(переменные р, 0 изменяются в области определения F (р, 0)).

58 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 1ГЛ. 3
В теореме Мозера утверждается, что при выполнении условий
1) — 3) для каждого со такого, что
«№- e<Y<a(fc)-e,
| па — 2пт \ > уггг'1г (ш, п — целые числа, п Ф 0), существует
инвариантная при отображении B.1) кривая с (со), которая в
параметрической форме имеет вид
е = е«+р(е'), Р =Ро +д(е'),
гДе I P li + I i |i < 8- Преобразование, индуцированное на инвари-
антной кривой, задается равенством 6/ =0' + Ya(po)> гДе
Ya(po) = ю. Функции F, G, р, q имеют период 2я по угловым
переменным.
Таким образом, теорема Мозера об отображении B.1) устанавли-
вает существование бесконечного числа инвариантных кривых,
лежащих в кольце 0 < а ^ р <^ Ъ. Этими инвариантными кривыми
кольцо 0 < а <^ р <^ Ь разбивается на бесконечное число колец,
отображающихся при помощи B.1) на себя, и, следовательно,
образы всех точек, лежащих внутри этих колец, ограничиваются
при всех итерациях отображения B.1). Для дальнейшего полезно
отметить, что условие теоремы Мозера о пересечении кривой и ее
образа, очевидно, выполнено, если отображение B.1) сохраняет
площадь.
§ 3. Теорема Арнольда—Мозера об устойчивости
гами ль тоновой системы с одной степенью свободы
в общем эллиптическом случае
Рассмотрим гамильтонову систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
dx дН dy дН f\ \\
Пусть начало координат х = у = 0 является положением равно-
весия этой системы, а функция Гамильтона Н — аналитическая
в окрестности х = у — 0 и 2я-периодична по t:
Н=%Нк (х, у, t), Щ = 2 «v,, v. @ *Vtyv',
aVltV.(* + 2rt) = aVl,Vl@. C.2)
В C.2) vx и v2 — целые неотрицательные числа, &\,„ v, (t)— непрерыв-
ные функции t.
Рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия
х = у — 0. Предположим, что линеаризованная система устойчива,

§ 4] ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 59
а ее характеристические показатели + ik таковы, что величина
кк не будет целым числом при к = 1, 2, . . . , 2п(п — произвольное
целое число). Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно
выбрать такие координаты и импульсы х, у, что функция Гамиль-
тона C.2) запишется в виде
Н = кг+с2т* +... +спгп + Н' (х, у, t) Br = х* + jf). C.3)
Здесь Н' — аналитическая относительно х, у функция, имеющая
поя, у порядок, не меньший, чем 2п-\- 1. Кроме того, Н' 2л-пе-
риодична по t.
Общим эллиптическим случаем называют случай, когда среди
постоянных с2,. . . , сп есть отличная от нуля. Согласно Арьольду
и Мозеру [2, 3, 72], в общем эллиптическом случае положение
равновесия х — у = 0 системы C.1) устойчиво по Ляпунову.
Если число кк будет целым, то, вообще говоря, функцию Гамиль-
тона C.2) в виде C.3) записать нельзя, а положение равновесия
может быть неустойчивым. Ниже будет исследована задача об
устойчивости в резонансных случаях, когда число кк — целое
при к !> 3. Многие частные случаи неустойчивости в этой задаче
рассмотрены в работах Леви-Чивита [151], Зигеля [28], Мермана
[71], Каменкова [31], Мустахишева [74]. Основной результат прове-
денного в этой главе исследования состоит в утверждении об устой-
чивости (при выполнении некоторого неравенства) в случае резо-
нансов четного порядка (число к — четное). Кроме того, при помо-
щи второго метода Ляпунова получены критерии неустойчи-
вости при резонансах произвольного порядка. При изложении
мы в основном следуем работе [53].
§ 4. Линейная нормализация
Будем исследовать устойчивость положения равновесия систе-
мы C.1) внутри области устойчивости системы ее первого (линейно-
го) приближения. Это означает, что число 2к,— нецелое. Для
дальнейшего потребуется вещественное, каноническое, 2я-перио-
дическое по t, линейное по х, у преобразование х, у —> q, p гамиль-
тониана C.2) к такой форме, когда его квадратичная часть имеет
вид
Задача нормализации линейной гамильтоновой системы с п сте-
пенями свободы рассмотрены в главе 2. Нормализация системы с
одной степенью свободы особенно проста и будет здесь проведена
способом, отличным от изложенного во второй главе.
Линеаризованная система C.1) имеет два линейно независимых
решения
*1 = Ч>] (t)e*f, р, = Ь (*)в«? (у = 1, 2), D.1)

60 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
где ^ = — А,а = — А,, а периодические функции ф/, tyj удовле-
творяют следующей системе дифференциальных уравнений:
dtp-
__L = _ uj4>.
Очевидно, что если начальные значения фх, ifo будут комплексно
сопряженными соответственно с начальными значениями ф2, i|>2,
то в силу однородности системы D.2) эти функции будут комплек-
сно сопряженными и при всех t. Тогда можно положить
<Pi = Ч + Щ, ^i = + i
ф2 = ф1, ^г =
где zs — вещественные периодические функции t. Согласно D.2),
они удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравне-
ний:
—¦ = — Xz2
Далее, нетрудно проверить, что линеаризованная система C.1)
имеет два независимых интеграла
(и + iv)e~iU, (и — iv)eu D.5)
(и = ъгх — zty, v = ZfX — z2y).
Введем новые переменные q, p формулами
q = v, p = и. D.6)
Это преобразование будет каноническим (но не обязательно унива-
лентным), так как функции zs удовлетворяют соотношению
— zfa = const, D.7)
в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.
Выберем начальные значения функций zk так, чтобы началь-
ные значения функций <рь г^ и ф2, ifJ были комплексно сопряжен-
ными, а постоянная в правой части D.7) равнялась единице (для
унивалентности канонического преобразования D.6)).

S 41 ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 61
Обозначим через х} (t), yj (t) (j = 1, 2) решения линеаризован-
ной системы C.1), удовлетворяющие условиям
*1 @) = Уг @) = 1, хг @) = Vl @) = 0.
Тогда начальные значения функций фу, фу найдутся из следующих
систем уравнений:
[хг Bя) — eiv04] фу @) + х2 Bя) фу @) = О,
ух Bя) фу @) + [уг Bл) — eiWKi] фу @) = О
(/ = 1, 2). D.8)
Определители этих систем равны нулю, так как et2rt i — мульти-
пликаторы линеаризованной системы C.1). Решения систем D.8)
можно записать в виде
фу @) = — Х2 Bя)Су,
фу (U) = lajj (Ал,) — е '\Cj,
где су — произвольные постоянные. Возьмем их вещественными и
равными с. Тогда фх (D) = Ф2 @), фх @) = ф2 @). Из D.3) и
D.9) получаем начальные значения функций z}
ч (о) = -х2 Bл)с, z2 @)= О,
z3 @) = [ж! Bя) — cos 2лк]с, z4 @) = sin 2nk-c. K '
Полагая постоянную в D.7) равной единице, получаем уравнение
для определения с
sin 2яЯ-ж2 Bп)с? = 1. D.11)
Легко проверить, рассмотрев характеристическое уравнение, что
величина sin 2пК-х2 Bя) Ф 0, так как устойчивость исследуется
внутри области устойчивости линеаризованной системы C.1).
Выбором знака К (который до сих пор был не определенным) эту
величину можно получить положительной. Поэтому уравнение
D.11) всегда имеет вещественное решение относительно с.
Таким образом, искомое каноническое преобразование найдено,
и в переменных q, p функция Гамильтона такова :
00
Jt=8
где
v»+v«=S

62 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
§ 5. Неустойчивость в случае целого числа ЗА,
К функции Гамильтона D.12) теперь легко применить преобра-
зование Биркгофа. Введем канонические переменные q*, p* при
помощи 2я-периодической по t, производящей функции
@*v'- E.1)
vi+v>=3
Связь новых и старых переменных получается из формул
as * .
P +
E'2)
Новая функция Гамильтона Н* (q*, p*, t), старая функция Га-
мильтона Н (q, p, t) и производящая функция S (q, p*, t) связа-
*
ны тождеством относительно q, p*;
E.3)
Если число ЗА, не будет целым, то в новой функции Гамильтона
можно полностью уничтожить члены третьей степени. Проведя
несложные выкладки, получим, что для этого 2я-периодические
функции sv,vj (t) следует взять такими:
*зо = 2 (в'я + в^), s03 = 2 (v'3O - v'a),
Hw, = /v.v,@ sin Я (v^ - vi)« + ^v,v2 W cos Я (v^ - v0
<v, = W)cos Л (va — vx) * — erviVl(O sin Л (v, — vx)
/v,vs (<) = у ctg nk (v2 - vO A Bn) +-jJ* Bjt) - ^ @.
Zv.v2 @ = - у ct8 яЛ (V2 ~ vi) А Bя) + T Jl Bя) - 7l W«
t
@ = S [B^v, (*)cos Л- (va — vi) ж — у;л (ж) sin Л (v2 - vt) ж] da:,
о
t
1 „1
Mso = T (Лз0 ~ ^12)' yso = T (Л°3 ~~
/, (*) = I [u'Wt (x) sin A (v, -v1)x + v"ViV2 (x) cos I (v2 - Vl) x] dx;
0
1 „1
E-6)
Из тождества E.3) при таком выборе 5C> получаем члены четвертой

§ 5| НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СЛУЧАЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА 3*. 63
степени в виде
#4(<7,pV) = #4(<?,?*,*)+  * [{-JTJ -(Тр*) I +1ф-дГ-
E.7)
Если ЗА, = т (т — целое число), то полностью Я3 уничтожить
нельзя. Как показывают простые вычисления, гамильтониан Я*
в этом случае при помощи преобразования Биркгофа можно при-
вести к виду
И* = ¦§• к (<?*2 + р*2) + 2u*Q (q*3 - З?*/,*2) + 2vl (р*з _ 3p*q^ +
+ H'(q*,p*,t), E.8)
где
«зо — ^зо cos mt — y30 sin mt, иж = xgo sin wif + y30 cos mi,
о
2rt
2/30 ~ 2F \ ^зо C0S mi "~ М
0
функция Н' в E.8) 2я-периодична по t и Я' = 0 (( | g | + | р | L).
Теорема. ?сли Жзо + Уж ф 0, wio положение равновесия х = у =
— 0 системы C.1) неустойчиво по Ляпунову.
Для доказательства отметим сначала тот очевидный факт, что
задачи об устойчивости относительно х, у в системе C.1) и относи-
тельно д*, р* в системе с гамильтонианом E.8) эквивалентны.
Далее, сделаем такую замену переменных:
g* = l/2r sin (М + <р — 6), р* = "|/2rcos (to + ф — 9),
, „ E.9)
Sin 39 = so , cos 36 = — Уз° .
Изменение переменных г, ф будет описываться дифференциальны-
ми уравнениями с функцией Гамильтона (г — импульс, ф — коор-
дината)
Я = 4 У 2 (xl + у\0) г KFcos Зф + О (г2). E.10)
Возьмем функцию Ляпунова
y = rVTsin3q>. E.11)
Ее производная в силу уравнений движения с функцией Гамиль-
тона E.10) будет такой:
18 К2 (**+ »*) г» + О (rV.). E.12)

64 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
Так как функция V — знакопеременная, а ее производная E.12) —
определенно-положительная в окрестности начала координат, то,
согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, положение равно-
весия неустойчиво.
§ 6. Исследование устойчивости в случае целого числа 4Х
Если число ЗЯ, не будет целым, то в переменных q*, p* гамиль-
тониан запишется в виде
Н = Н2 -{-Hi + . . .,
где #4 вычисляется по формулам E.4) — E.7). Пусть 4А. = т.
Делая замену переменных q*, p* -*-q, p с производящей функцией
S = q*p + ДО),
можно упростить члены четвертой степени в новой функции Га-
мильтона й, которая, как показывают выкладки, будет при этом
иметь вид
В = -~- ^ (<72 + Р2) + т С2 (<72 + Р2J + й4о (?4 — 652р2 -+-¦ р4) —
— 4^4о7р(?2 — Р2) ~Ь Н" (q, p, t), F.1)
где Н" — О ((| q j + | р |N) и имеет период 2я по t. В F.1) вве-
дены следующие обозначения:
— J_T Cfe* -4- h* 4- 3h*) dt
in J 22 c '
0
м40 = xi0 cos mt — yi0 sin mt, vi0 = yi0 cos mt + xi0 sin mt, F.2)
2Я
— — [ (u
о
2Л
2/40 = «r- \ (у 1 cos wi« — и
Ко
40
0
7 *
Если ж20 + y\0 Ф 0, то можно перейти к переменным г, ф по
формулам, аналогичным формулам E.9). Получим
й = г2 (с, + Ъг cos 4ф) + К (г, ф, *), F.3)
где b2 = Arxlo + г/40. а функция К = О (r5^) и периодична по
и t с периодами 2 я и 8я соответственно.

§ 6] УСТОЙЧИВОСТЬ В СЛУЧАЕ ЦЕЛОГО ЧИСЛА iX 65
Теорема. Если | с21 < Ь2, то положение равновесия неустой-
чиво; если же | с21 ^> Ь2, то имеет место устойчивость по Ляпу-
нову.
Для доказательства первого утверждения этой теоремы возь-
мем функцию Ляпунова
V = г2 sin 4ф; F.4)
функция V будет знакопеременной в окрестности начала коорди-
нат. Для ее производной получаем такое выражение:
jjl = 8r3 (b2 + c2 cos 4g>) + 0 (r'*). F.5)
При выполнении неравенства | c2 | < &2 функция F.5) будет оп-
ределенно-положительной в достаточно малой окрестности начала
координат. Следовательно, положение равновесия неустойчиво.
Докажем теперь устойчивость при выполнении неравенства
I C2 I <C b2. Нетрудно проверить, что в этом случае в системе с
«укороченным» гамильтонианом
h = г2 (с2 + b2 cos 4ф) F.6)
переменная г будет периодической, а ф — монотонной функциями t.
Сделаем каноническое преобразование, приводящее h к перемен-
ным действие / — угол W [8, 36]. Переменные действие — угол
связаны с г и ф соотношениями
s(Jv) \г*р F-7)
о
Здесь S — производящая функция канонического преобразова-
ния г, ф -*¦ I, W. Интеграл в F.7) вычисляется при условии
г2 (с, + Ъ2 cos 4Ф) = h, F.8)
где h = h {I) — функция обратная к
при этом г в F.9) означает функцию г (ф, h), получаемую вз F.8)
Заметим, что знаки коэффициентов с2 и Ь2 в гамильтониане
F.3) можно считать одинаковыми. Если это не так, то, вводя вмес-
то переменной ф угол ф — я/4, получим гамильтониан, у которо-
го эти коэффициенты будут иметь одинаковые знаки. Введем обо-
значение /с2= 2Ь2/{Ь2 + с2). В силу условий доказываемой теоремы
выполняются неравенства 0^А;2-<1. После несложных вычис-
лений, использующих различные формулы для эллиптических
функций и интегралов из [18, 26, 91], получим из F.7) — F.9)
3 А. п. Маркеев

66 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
явное выражение для производящей функции
где К и F — полный и неполный эллиптические интегралы перво-
го рода, к — их модуль. Из F.7) и F.10) находим выражение ста-
рых переменных через переменные действие — угол:
я/
В переменных /, W функция Гамильтона F.3) имеет вид
где функция Ф при достаточно малых / аналитична относительно
VT, Ф = О (Р'2).
Сделаем еще одну каноническую замену переменных /, W ->-
-> R, Т:
JXT i + c,)Y, F.13)
где а — малый положительный параметр @<а<^!1). В пере-
менных R и Т уравнения движения запишутся в виде
^j- = oR + О (о**), ?2. = 0 (а»!»). F.14)
Величины порядка а3'2 в F.14) 2я-периодичны по Т, 8я-периодич-
ны по f и при достаточно малых а аналитичны по R в кольце
1 ^ R -^2. Пусть б и р — начальные значения ТиЛ, лежащие
в этом кольце. Проинтегрировав систему F.14) от t = 6 до t = 8я,
получим отображение кольца, которое сохраняет площадь, так
как система F.14) гамильтонова (теорема Лиувилля о сохранении
фазового объема [16]). При малых а это отображение имеет вид
? = 9 + о- [8яр + Vaf (p, 6, о)],
F.15)
R = р + сг/о *(р, в, о),
где / и g 2я-периодичны по 9 и аналитичны по р в кольце 1 <^
<Р<2.
Отображение F.15) удовлетворяет всем условиям теоремы Мо-
зера об инвариантных кривых. Поэтому в кольце 1 < р < 2 су-
ществуют кривые, инвариантные при отображении F.15). Следо-
вательно, траектория системы F.14), начинающаяся между ин-
вариантными кривыми, при всех t остается в кольце 1 < R < 2.

§ 7] РЕЗОНАНСЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 67
Учитывая связь переменной R и исходных переменных, получаем
отсюда устойчивость положения равновесия х = у = 0 системы
C.1), Теорема доказана.
Сделаем в заключение параграфа два замечания. Во-первых,
отметим, что при выполнении неравенства | с2 | ^> Ьг существует
степенной ряд (возможно, расходящийся), который формально
является знакоопределенным интегралом системы C.1) [158].
Согласно только что доказанной теореме, из существования фор-
мального интеграла в нашей задаче следует устойчивость по Ля-
пунову.
Второе замечание касается «критического» случая | с2 | = Ь2-
В этом случае члены четвертого порядка по х, у в гамильтониане
C.2) не решают вопроса об устойчивости. Система с «укорочен-
ным» гамильтонианом F.6) неустойчива. Но члены более высоко-
го порядка могут либо сделать ее устойчивой, либо оставить неус-
тойчивой. Первый случай реализуется, например, в системе с
гамильтонианом
Н = г2 A + cos 4ф) 4т г3,
а второй — в системе, имеющей функцию Гамильтона
Я = г2 A + cos 4ф) — г4 sin 8ф.
В первом случае устойчивость очевидна из-за существования зна-
коопределенного интеграла Н — const; неустойчивость во вто-
ром случае следует, например, из существования частного ре-
шения
я ... г @)
Vi — 24r» (о) t
которое неограниченно возрастает при t -*¦ , как бы ни
были малы начальные значения г @^.
§ 7. Устойчивость при резонансах
произвольного порядка
Пусть функция Гамильтона C.2) такова, что величина Кк
не будет целым числом при к = 1, 2, . . ., 2п, а коэффициенты
с2, с3, . . ., сп в C.3) равны нулю. Тогда вопрос об устойчивости
не решается членами до порядка 2п в разложении гамильтониана.
Допустим теперь, что число X Bп + 1) будет целым. Тогда
функция Гамильтона C.2) может быть приведена к виду
Н = аг11 Y~r cos Bл + 1)<р + О (rn+1) (a = const). G.1)
При помощи функции Ляпунова
V = rn /Fsin Bл + 1)ф G.2)
3*

68 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 3
легко показать, что при а Ф О положение равновесия х = у = О
неустойчиво.
Пусть, далее, либо а = 0, либо число %к не будет целым при
к = 1, 2, . . ., 2га, 2га + 1, а число А, Bга + 2) — целое. Тогда
гамильтониан приводится к виду
Н = rn+1 [с + Ъ cos 2 (га + 1)ф] + О (гп+3/г), G.3)
где & и с — постоянные коэффициенты. При выполнении неравен-
ства | Ъ | ^> | с | положение равновесия неустойчиво. Это доказы-
вается при помощи функции Ляпунова
V = rn+1 sin 2 (га + 1)ф- G.4)
Если же | Ъ | < | с |, то положение равновесия устойчиво по
Ляпунову. Для доказательства этого утверждения сделаем кано-
ническое преобразование г, ф -*¦ I, W при помощи производящей
функции
(П+1) ф
о /1— ft* sin2 a
Знаки Ъ и с можно считать одинаковыми, поэтому 0 ^ /с2 < 1.
В G.5) введено обозначение
Я/2
Г [ da
о
о jAi — fc2 sia2 a
В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде
где функция Г == О (Г14»/2) и периодична по W и t. Дальнейшее
доказательство сводится к применению теоремы Мозера об инва-
риантных кривых, как это сделано в предыдущем параграфе.

ГЛАВА 4
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНОЙ
ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 1. Постановка задачи
Рассмотрим автономную каноническую систему дифференци-
альных уравнений
dt
A.1)
Пусть начало координат является положением равновесия сис-
темы и гамильтониан Н есть аналитическая функция обобщенных
координат и импульсов q-t, pt, разлагающаяся в ряд
Н = Нг + Н3 + Hi+ .. ., A.2)
где Нт — однородная функция степени т. относительно qt, pt.
Если Н2 — знакоопределенная функция, то, согласно теореме
Ляпунова, положение равновесия устойчиво (для применения те-
оремы Ляпунова об устойчивости в качестве функции Ляпунова
V можно взять в этом случае функцию Гамильтона Н). Пусть,
однако, Нг не является знакоопределенной квадратичной формой,
но система A.1) устойчива в первом (линейном) приближении.
Тогда при некоторых ограничениях на частоты а>х, со2 линейной
системы и на коэффициенты форм Нs и Ht вопрос об устойчивости
можно решить при помощи следующей теоремы Арнольда — Мо-
зера [2, 3, 72].
Теорема. Если функция Гамильтона A.2) такова, что
1) характеристическое уравнение линеаризованной системы
имеет чисто мнимые корни dziooi, -Ысог;
2) щщ + щщ Ф 0; A.3)
где л1; л2 — целые числа, удовлетворяющие условию 0 < | «i [ +
+ | Щ | < 4;
3) c2Ocof + спа1щ.+ сого>1 ф 0, A.4)
то положение равновесия устойчиво по Ляпунову.
В формулировке теоремы предполагается, что функция Га-
мильтона A.2) записана в виде
Я = (о1Г1 — ш2г2 + с2Ог\ + спГ1г2 + cOirl + О ((Г1 + гг)№), A.5)

70 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
где 2г; = q\ -f- pb Выбор координат и импульсов qt, pt, в которых
гамильтониан A.2) представляется в виде A.5), осуществляется
при помощи преобразования Биркгофа, которое в нашем случае
возможно при выполнении условия A.3). Коэффициенты сц яв-
ляются инвариантами функции Гамильтона A.2) относительно
канонических преобразований.
Во многих приложениях при решении задачи об устойчивости
теоремы Арнольда —Мозера недостаточно. Необходимо более пол-
ное исследование, когда условия A.3), A.4) не выполнены.
Случай нулевых частот линеаризованной системы в рассматри-
ваемых ниже задачах небесной механики не встретится. (Отметим,
однако, что задача об устойчивости автономной гамильтоновой
системы в случае двух нулевых частот тщательно исследована в
работе Сокольского [85].) Предположим поэтому, что щ > <а2^> 0-
Тогда условие A.3) не выполняется при щ = &со2 (к = 1, 2, 3).
Исследование устойчивости в этих трех резонансных случаях
проведено в § 2—4. Устойчивость при невыполнении условия
A.4) рассмотрена в § 5.
§ 2. Исследование устойчивости при резонансе <й1=2о>2
Пусть частоты линеаризованной системы A.1) связаны резо-
нансным соотношением третьего порядка ^ = 2со2. Проведем,
следуя [55], подробное исследование устойчивости. Будем считать,
что гамильтониан A.2) имеет вид, соответствующий нормальным
колебаниям линейной системы (соответствующую вещественную
линейную нормализацию можно провести согласно, например,
главе 2):
Н = \ (Р? + °ЗД) гФ + ^Ф + Yi *w.ii.9№P№
Vi+v2+h,+h2=3
B.1)
Для приведения гамильтониана B.1) к виду, удобному для при-
менения преобразования Биркгофа, сделаем каноническую заме-
ну переменных
Я* = Т ? + ? Pi' Pl = T i' +
t *i .
«2 = - T <72 + ~
В новых переменных функция Гамильтона запишется в виде
Н = к»!? р + и»2ор, + h ^v,v,m..m.,?i 9а Рг Pi ¦ B-3)
Vl+V.+|il+|i2=S

§ 2] РЕЗОНАНС ?Oi = 2to2 71
Коэффициенты формы третьего порядка в B.3) выражаются че-
рез коэффициенты функции Гамильтона B.1) по следующим фор-
мулам. Обозначим через xWlilils и у^^^^г следующие десять пар
вещественных величин:
, 1 , 1 , 1 ,
#оозо= Лоозо г "¦гокъ Уоозо = тт «аого о "¦зооо;
С* Ш1 СО*
СО*
1 , 3 , Зсох, 1 ,
#1020 = 2 ^l»20 ^Т 3000' УЮ20 = ~2~ ^ООЗО -\- 2^" Д2010>
•^0120= —2"feLoo2i+2^"^iiio+r—5^200112/oi2O^—2^0120—2^-^ioii+r—
1 , СО! , . 1
^" «2001: УЮ11 = ^:Д0120 -f- —~/
111
?0021= —^20— ~^Ю11
W2 ^l
СОх , 1 , . 1 , СО!
^1002= —2соГЛо111—^"¦ioo2-rr~5fti2OO 2/ =
2
,.1, 1, 1, ij,
^0012= — "ЧШгН 5""«210— Г"Г"'2'110!' 2/0012= "«0111— — ftl002
со° ^г^г w2 со,. w W
й -
#0111= ~^ЮО2+ ^^"^12001 2/oiii= — G^ooia— —^02101
йJ, 3 , _ Зи2 , 1
#0201— 4~Л'О1О2—' 4^Г "¦ОЭ001 2/0201— ^ Л0003+ ~4" "'0201>
11 1
— ^оюгЧ j^.0300! 2/оооз^ — ЛооозЧ 5-^.0201- B-4)
По этим десяти парам xVlVzV.lilz, yvwin вычисляются соответст-
вующие коэффициенты h'VlVlilil! из B.3):
Остальные десять коэффициентов hy.^^^, формы третьей степени
в B.3) вычисляются по формулам
/ СО \tll /СО \^г2
"¦HiUzViVa = B/viV2HlH2 Ч" ^#ViV2HiH2) ^ g"] ^j B-6)
Применив преобразование Биркгофа qj, pj —*¦ qj, pj, уничто-
жим в функции Гамильтона все члены третьей степени, кроме ре-
зонансных. В новых переменных гамильтониан станет таким:
Я = i^q"lP[ + i^qlpl + h'1<mqxp? + h'^qf Р'г +¦•¦ <2-7)

72 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1ГЛ. 4
Будем считать, что а^ада + S/1002 Ф О- Выполним еще несколько
канонических преобразований. Во-первых, вернемся к вещест-
венным переменным, сделав каноническое преобразование
QiPi -*¦ ЪРз-
'V4 ^ B.8)
зг «?х + Pi), Р; = ^(?а - *а).
Во-вторых, введем полярные координаты ги ц>г при помощи кано-
нической замены переменных
4i = K^vsin (9i - 6у), ру = yWjeos (ф,- - Gj) у = 1, 2), B.9)
где 02 = 0, а Эх определяется из соотношений
„;_ л 2/1002 „„_ а 21002
S1I1 Щ = — , COS t)i =
' г1002 I ^10
г1002 I ^1002 •
В полярных координатах функция Гамильтона имеет вид
Н = 2GV! — a^i — У сог {х\ш + t^J ra уТ^ sin (фх + 2ф2) +
+ й(п, Фу), B.10)
где Я имеет период 2я по ф^ и R — О ((гх + г%)г).
Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения такое,
что zJooa + у%ш ф 0, то положение равновесия неустойчиво. Если
же Жхоог + у1ш = 0, а сао + 2си + 4с02 ф 0, то имеет место
устойчивость по Ляпунову.
Для доказательства неустойчивости сначала при помощи
интеграла Н = const понизим порядок системы на две единицы
[90]. Для доказательства неустойчивости положения равновесия
достаточно показать его неустойчивость хотя бы на одном уровне
энергии Н = const. Рассмотрим уровень Н = 0. Из уравнения
Н = 0 при достаточно малых гх и г2 получаем
гг = - К = 1 г2 + ^/2(йа(х|ш+^002) r2 K^sin (Фх + 2Фа) +
+ 0A*). B.11)
Мы получили, таким образом, каноническую систему с одной сте-
пенью свободы и с функцией Гамильтона К. Новой независимой
переменной является угловая переменная фх.
Введем вместо переменных га, фа новые переменные г, ф по
формулам
г = гг, Ф = фа + y Ф1-

§ 31 РЕЗОНАНС CDi-ЗШа 73
Тогда получаем систему с такой функцией Гамильтона:
К = — -Д- Vco» (х* + У2 ) г l/Tsin 2ф + О (г2). B.12)
4ci>2 ^ 1002 *71002/ г т i v / \ /
Из уравнений движения системы с гамильтонианом B.10) следует,
что при малых rt и г2 угловая переменная фх будет монотонно воз-
растающей функцией времени t. Поэтому в задаче об устойчиво-
сти переменная фх может играть ту же роль, что и время.
Чтобы показать неустойчивость, воспользуемся теоремой Ля-
пунова о неустойчивости. Функцию Ляпунова V возьмем в виде
—* * у f UU& шШ* I ?i ¦ J. tj I
Ясно, что V является знакопеременной функцией. Для ее произ-
водной получаем такое выражение:
( -f- уг )г2+О(г5'2). B.14)
Функция B.14) определенно-положительная в окрестности начала
координат. Следовательно, согласно теореме Ляпунова, имеет
место неустойчивость.
Пусть теперь x\Wi, + y\Wi = 0. Тогда в гамильтониане B.7)
отсутствуют резонансные члены /^оогйРг и /2одю<?2 Ри а функцию
Гамильтона, несмотря на наличие соизмеримости щ = 2со2, при
помощи преобразования Биркгофа можно привести к виду A.5).
И тогда выполнение условия A.4) теоремы Арнольда — Мозера
гарантирует устойчивость. Таким образом, при условии х\ш +
+ 2/ioo2 = 0 и Сю -f 2cu -f 4c02 Ф 0 положение равновесия устой-
чиво. Теорема доказана.
§ 3. Устойчивость при резонансе <й1=3©2
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равно-
весия системы A.1) при наличии резонанса четвертого порядка
И! == Зсо2. Эта задача изучена в работах [53, 55].
Выпишем сначала нужные для решения задачи об устойчивос-
ти коэффициенты hw^,^ при членах четвертого порядка в га-
мильтониане B.3):
3 h i h
—5- «4000 о" "¦20201
2со? *
~г „ "¦ггоо ~\—г "¦0220 ~\—~ "гоог» ("•*)
h --1
"¦0202 —¦ о

74 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
: к1003 ~Н
и _ w» • ¦ (ЗЛ)
"¦озю
где
I, | ^ ь ¦'г,
мюоз = "у ^«.(«цз + ~т~5 "¦1300 — jjuT "'11'>2
C-2)
— — 2Й" ft°112 2* "¦" 2~~2 1201 ~т" "Т~з
При помощи преобразования Биркгофа в гамильтониане B.3)
можно уничтожить все члены третьей степени, а из членов четвер-
той степени останутся резонансные и содержащие только произ-
ведения qjPj. Нормализованная до членов четвертого порядка
функция Гамильтона будет иметь следующий вид:
Н = i^qlpl + ia2qlpl — с20 (q[p[f
— С02 (q'rflJ + hmsi'ipt + ksioqtp'i + • • • C.3)
Величины с20, сп, с02 вещественны, a Z1003 и 10310 можно записать
в виде
'озю = j^
Формулы для расчета коэффициентов нормальной формы C.3)
через коэффициенты исходного гамильтониана B.1) таковы:
^20 = ^2020 g~ W2 (^0030 Ч" УоОЗо) — ^ (^-1020 + 2/lO2o)
си = ^iiii — у (^мог + 2/iooa) + "Jo" Ю2 (^0012 + г/0012) —
" (я + 2/)
5" ^1а0 + 2/20^ + 2
4
— —(^02012/1011+^10112/0201). C.5)
Сог = — ^0202 + "g" ^г (#0003 ~Н 2/оооз) Н з~ (^oi + I/0201) —
— -g (#1002 + 2/1002) — -J (#0111 + 2/ош) ~'Waii (^0012 + 2/0012),
9 1
#1003 = м1003 g" (#0120#0012 + 2/01202/001г) — — (#10022/l011 + #101l2/l002) +
+ —5" (#ioo2#o2oi + 2/10022/0201) + у (#оооз#ош + 2/оооз2/ош)> C-6)
5

§ 3] РЕЗОНАНС Ш1-Зш2 75
9 1
УЮОЗ == у1003 Г (#О12о2/0О12 — #ОО122/О12о) ГГ" B/lOllJ/lOO2 — #1011#1002) ~\г
о w%
~\ 5" (a:o2oi2/ioo2— #10022/0201) *т" " (^ошУоооз — #оооз2/ош)- C-6)
Выражения для #у,\#1ц2 и Уудчиц* приведены в предыдущем
параграфе. Отметим, что формулы C.5) выписаны специально
для случая резонанса щ = Зсо2. Выражения для ct] при произ-
вольных «>! и со2 можно найти, например, в [37] или [55].
Пусть .ZiOO3 + г/?ооз ?= 0. Произведя тогда канонические пре-
образования B.8) и B.9), где теперь
sin 6].=: У1003 cosGi^ Xl003
I/ r2 4- «2 У' г2 -I- «2
* 1003 ^ %003 ' 1003 I »1003
получим нормализованный гамильтониан в полярных координа-
тах
тт о,. -. ^»._1_,.,.21|_/.,.,.-1-Л»-2_1_
S1 — О С0о#1 "" UJo'2 I ^20 X —— 11 * 1 2 " I" ^02 2 —Г
~у~ "^" СО2 г О ^^ХООЗ ~Т" ^1003/^*2 г ^*l'*2 ^^S ^ф]^ "Т" ^Фз) i~ \\^*1 "Т" ^*2/ /•
C.7)
Введем обозначения
а = сго + Зси + 9с02, Ь = ЗоJ У Xi003 + 2/1003- C.8)
Теорема, ^сли гамильтониан возмущенного движения таков,
что | а | < 6, то положение равновесия неустойчиво; если же
| а | ^> Ь, то имеет место устойчивость по Ляпунову.
Для доказательства неустойчивости, как и в предыдущем па-
раграфе, рассмотрим движение на уровне Н = 0. При достаточно
малых гг и г2 из уравнения Н = 0 получаем
4 + Д (г2, ф2, ф^,
где функция R имеет период 2я по фх и ф2, R = О (г2 ).
Уравнения движения на уровне Н = 0 имеют вид
где
г + Г [д + &cos (ф + Зфа)] — R (г2, ф2, cpi).
В переменных Ф = ф2 + 1/3ф1, г2 = г гамильтониан К имеет вид
г*(а + Ь 3ф) + кг (г- ф. фО' C-9)

76 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
где Кг имеет период 2я по ф и фх, К1 = О (г5/2). Чтобы показать
неустойчивость при выполнении неравенства | о | < 6, восполь-
зуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. В рассматриваемом
случае вопрос разрешается функцией
V = г2 sin Зф. C.10)
Вычисляя производную этой функции в силу уравнений движения
с гамильтонианом C.9), получаем
•3*7 = т?" <а cos
При выполнении неравенства | а | < Ъ функция C.11), очевидно»
будет знакоопределенной. А так как функция Ляпунова V — зна-
копеременная, то отсюда и следует неустойчивость.
Пусть теперь | а | ^> Ъ. Докажем устойчивость положения рав-
новесия при выполнении этого неравенства. В тривиальном слу-
чае 6 = 0 устойчивость следует из теоремы Арнольда — Мозера,
так как нормализованная до членов четвертого порядка функ-
ция Гамильтона C.7) при Ъ = 0 не содержит тригонометрических
членов, а условие | а | ^> 0 означает выполнение неравенства
A.4). Случай Ъ Ф 0 более сложен. Для доказательства устойчи-
вости снова используем интеграл Н = h = const и сведем систе-
му с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы,
но с 2я-периодической зависимостью новой функции Гамильтона
от новой независимой переменной. В отличие от задачи о неустой-
чивости, здесь недостаточно рассмотрения только одного уровня
энергии Н = h (например, h = 0, как было в рассмотренных выше
случаях). В задаче об устойчивости необходимо рассматривать
хотя и малый, но конечный интервал изменения постоянной h
в окрестности нуля. Поэтому функция Гамильтона системы с
одной степенью свободы, к которой редуцируется исходная систе-
ма с двумя степенями свободы, будет зависеть от величины h
как от параметра. Предполагая, что движение изучается в доста-
точно малой окрестности начала координат (rj — е, 0 <^ е <^ 1),
будем считать h малой величиной, порядок которой не меньше,
чем, например, е2}/^. Тогда, разрешая уравнение H=h относитель-
но г2, получим
г2 = — Ко (п, Фъ фг) — Кх (ги фх, фг, h),
где
Ко= — Згх — -i- [а + Ъ cos (ф! -f Зф2)] г\.
Функция Кг = О (е8/2) и имеет период 2я по фх и новой независим
мой переменной фа. Если ввести вместо фх угол ф = ц>х + Зф2,
то гамильтониан К полученной системы с одной степенью свободы

§ 4] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ 77
запишется в виде
К = — — (а + Ъ cos ф) r\ + R (rlt <Pi, Ф«, ft). C.12)
щ
Очевидно, что знаки коэффициентов а и Ъ можно считать одина-
ковыми. Сделаем замену переменных гг, ф -»- /, со при помощи
производящей функции
nl
где К ъ F — эллиптические интегралы, к — их модуль. Гамиль-
тониан К примет вид
где функция Ф = О (е5/2) и имеет период 2я по Wu ф2. Кроме того,
функция Ф аналитична по всем переменным в области
О < 81 < / < 6„ | h | < б8, | Im W, ф2 | < 64,
где 8t — некоторые малые положительные числа.
К системе с гамильтонианом C.14) применим теорему Мозера
об инвариантных кривых, аналогично тому, как это было в систе-
ме с гамильтоьианом F.12) в третьей главе. В нашем случае,
правда, «возмущающая» часть Ф функции Гамильтона C.14) за-
висит еще от малого параметра h. Но теорема Мозера все равно
применима при рассмотрении окрестности начала координат, для
которой 0 < е < е0, где е0 не зависит от h, если h достаточно ма-
лая величина [12, 72]. Так как в малой окрестности начала
координат инвариантные кривые существуют при всех достаточно
малых значениях постоянной интеграла Н = h = const, то отсюда
следует, что положение равновесия qt = pt = 0 изучаемой сис-
темы A.1) устойчиво по Ляпунову.
§ 4. Об устойчивости в случае равных частот
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равно-
весия qt = pi = 0 системы A.1) в случае равных частот колеба-
ний линеаризованной системы. Эта задача изучена в работах
Сокольского [86, 87]. Проводимые ниже рассмотрения основаны
на результатах этих работ.
Задача об устойчивости в случае равных частот о^ = со2 = со
распадается на две принципиально отличающиеся друг от друга
задачи. Рассмотрим сначала первую из них, когда матрица лине-
аризованной системы A.1) приводима к диагональной форме.
В этом случае функцию Гамильтона A.2) можно представить в
виде B.1), а затем применить преобразование Биркгофа. Проводи-

78 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
мая при этом нормализация принципиально ничем не отличается
от аналогичных преобразований, проделанных в §§ 2 и 3. В конце
концов, уничтожив форму Н3, упростив Hi и перейдя к полярным
координатам по формулам
sin q>i, Pi = Y^ri cos Фг-
получим функцию Гамильтона A.2) в таком виде:
Н = со (гх — r2) + c20rl l
cos 2 (фх + ф2) — ^2002 sin 2 (фх + ФгЛ +
sin (фх + ф2) — Z1120 cos (щ + ф2)] +
sin (фх + ф2) + кюг cos (фг + ФгЛ +
+ О ((г, + г2M/*). D.1)
Вюражения коэффициентов нормальной (}ормы D.1) через коэф-
фициенты гамильтониана B.1) получаются из следующих формул:
3 1 1 Зсо2 iw2
С20 = ^2020 ~2 Ul, 1 ~Г ~2 U2, 2 ~2 Ui, 4 g~ Щ, 7 Л 24~ U%' 8'
Сц = Жцг1 + 2г<1, б + 2м3, з g- Щ, 8 — 2и2,5 — 2и4,4 + -g- м9,9,
3 1 .1 . ЗйJ 0J
Сог = — ^0202 -г "^ М5,5 2 Мб'в ~г "г" Мз'3 ~" 8~ Hl0'10 24~ Н9'9'
, 1 . ю2 . . 1 со2
#2002 = #2002 2 Ml'3 — М2'4 ' 8~ М?'9 ' Мз'6 ~*~ Т М4'5 8~ М8'10'
7 ! I I w2 I ! to2
^2002 = 2/2002 —' ~ ^1,3 + У2,4 Н g~ ^7,S У3,в + "J У4,5 — ~g~ ^8,10>
1 , . 1 1 йJ . СО2
J M2'x "T~ L ~т Мз'2— Т М2'в— ~2 Мб'4 4~ Ме'7 """ 12 М9)8'
1 1 1 0J СО2
2"У2>1 "¦" У1'4 Уз'2 2V2'6 2" Ув?'1 4~ У8'7~г 12У9>8'
1 9 1 со2 со2
" мб,2 + м2,з — ^м5,з — м4,в + " мвM | X Ms'10 12 Mg'9'
7 . 1 | О 1 , Ш2 йJ
П102 = 2/1102 + у 1*6,2+^2,3 —^6,3 — ^4,6 J Уб'5 "I ~ У9?10 J2 У8'9'
За , , . 1 ,
— ~2~'ioo%o + '2Ш" 2010'
1 1
— ~^2001> 2/2 = Л.0120 + ~^р «2100»
_1, 1, 1 , (В, , 1 , . 1 ,
з 2 "¦от— "j "¦Ю02+ 2Ш2 1200' »3== 2~ 0012"г 2со 02и~г 2со 1101>
2со 02и~г 2со
#4= 2"^0021"^~ 2co ^luo"^2to^2001> ^4== 2~^0120 2"^1011~^ 2m3 2100'

§ 4] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ 79
Зсо , 1 , 1 , 3 ,
#5— ~2~ «оооз + ^" "¦02X11, Уь — 2 Ло102 2со^'. °300'
1 1
Хв= Лю02 + -J-jjf ^1200, 2/б = — <И^0012 — — ^0210,
1 11
#7 = ^0030 — ^2 ^2010, У 7 = ~ ^1020 JJ5" "'3000,
1 1 , 1 ,
X* = — ^0120 — "-ЮН ^з" 100,
1 1
2/8 = ^0021 + -^2" ^1110 —? ^2001>
1 , 1 ,
0— — -^"102 + —3" 300,
1 , 1 , 1 ,
— ~^~ "ош — ^юог + -jjr 200,
2/ю = — ^0003 Ч" ^2" ^0201,
1 / 3
#2020 = 2~ (^(fl2'l0040 + ^2020 + ^2" ^4O
' 1
Xllll = ttJfe0022-|- Л.0220 + ^2002 + ¦^'^2200,
#0202 = O~ ( "¦0001 ~Ь J02 ~Ь "g" 400j ,
At 1 \
#2002 = ~^~ (W 022 4" 220 -)~ 111 ~\~ 002 ~T "^2" 200 ) ,
У2ОО2 = -J- (^ tt>feoi21 tt>/llO12 -\ — ^1210 H ^J" ^2101 j >
#1120 = —g- ^3coAo130 -f- ШЙ.1021 -{—^-й.2110 Н—~ «¦3001J ,
(ЗйJ/ + /& ^ +
#1102 = -4- CcofeloO3 -f- ^0112 H—— ^1201 ~\—^" ^
У1102 = —j- у— 3co2feooi3 -f- /г.0211 — ^ii02 + "^2"^i3ooj • D-2)
Пусть величины А = 2 У Km, + 4эг, 5 = 2 "//спа, + &2o и С =
= 2г Щкп + ^по2 отличны от нуля. Определим углы 0l7 82 и 03
при помощи соотношений

80 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1ГЛ. 4
Тогда функцию Гамильтона D.1) можно записать в следующем
более компактном виде:
Я = со (rt — гъ) + с2Ог\ + crfyz + cOirt +Агхгг sin 2 (фх + ф2 + 9X) +
+ Brt Yjv\ sin (фх + Ф2 + 92) +
+ Cr2 Vw sin (ф1+ ф2+ 63) + О ((/-!+ r2)"°). D.3)
Как и в предыдущем параграфе, при помощи интеграла Я = h —
= const понизим порядок изучаемой системы на две единицы.
Так как движение рассматривается в достаточно малой окрест-
ности начала координат, то можно считать, что гг, г2 — е, где
0<е<§^1. Кроме того, считаем, что h ~ &a (a i> 5/2), что воз-
можно, так как функция Н не является знакоопределенной. Раз-
решив уравнение Я = h относительно г2, введя вместо фх новый
угол ф = фх -(- ф2 -(- 9Х и обозначив еще гх через г, найдем, что
полученной системе с одной степенью свободы будет соответство-
вать функция Гамильтона
К = г2 (а + Ь sin 2ф + с sin ф -f- d cos ф) -f- К* (г, ф, ф2, К), D.4)
где Ж* — 2я-периодическая по ф и новой независимой перемен-
ной ф2 функция, К* = О (г'/2) и
а= — (с20 + сп + с02), с = — [Я cos Fa—G^+C cos (93—0!)],
D.5)
Ь = _ JL 4, d = - 4" № sin F,-0!) + С sin (й-ад] •
Переменная ф2 — монотонная функция времени в достаточно ма-
лой окрестности начала координат, поэтому она в задаче об устой-
чивости может играть роль времени. Как видим, анализ совер-
шенно аналогичен исследованию устойчивости при резонансах
<»! = 2<м2 и <»! = Зсо2, проведенному в предыдущих параграфах.
Теорема. Если функция
Ф (ф) = а + Ъ sin 2ф + с sin ф + d cos ф
не обращается в нуль при вегцественных ф, то положение равно-
весия устойчиво по Ляпунову. Если же существует ф* такое, что
ф (ф*) — 0, а производная Ф' (<р*) Ф 0, то положение равновесия
qt = pi = 0 неустойчиво.
Доказательство устойчивости проводится, как в предыдущем
параграфе. Переменные /, W здесь вводятся при помощи произ-
водящей функции S вида
^ — ~дГ\—===-» Л/= \
о о
2Я

g 4] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ 81
Интеграл М существует при условиях теоремы. Положительности
Ф (ф) можно добиться изменением знака ф2 в гамильтониане D.4).
Функция К — К* в переменных /, W равна -щ /а. Дальнейшие
рассмотрения, как и в предыдущем параграфе, основаны на
применении теоремы Мозера об инвариантных кривых.
Теперь докажем неустойчивость. Заметим, что из периодичнос-
ти функции Ф (ф) и из того, что Ф' (ф*) Ф О, следует, что если
уравнение Ф (ф) = 0 имеет вещественные корни, то их по крайней
мере два, причем знаки производной Ф' (ф) в точках ф, соответству-
ющих корням, различны. Пусть корень ф* такой, что Ф' (ф*)
•< 0. Для доказательства неустойчивости возьмем функцию Ч
таева V в виде
F = r2sint, ,j, = JL(<p_q>* + fi), D.6)
где достаточно малое число б подберем так, чтобы в окрестности
ф* — б < Ф < ф* + б не было других корней функции Ф (ф),
а производная Ф' (ф) сохраняла в этой окрестности знак. За об-
ласть V >¦ 0 возьмем область ф* — б < ф < ф* -f о. Для про-
изводной функции V в силу уравнений движения с гамильтониа-
ном D.4) получаем такое выражение:
= 2г» {ф (Ф)-^cos -ф - Ф' (Ф) sin t} + О (г'/«), D.7)
а эта функция в области V ^> 0 будет положительной, так как
в области V ^> 0 Ф'(ф) < 0 и sin\jj^> 0, а при ф* — б < Ф < ф*
функция Ф (ф) ^> 0 и cosi|) ^> 0, при ф* < ф < ф* -\- 8 функ-
ция Ф (ф) < 0, но и cos ij) <; 0, причем выражение, стоящее в
фигурных скобках, не обращается в нуль ни в области V ^> 0,
ни на ее границе. Таким образом, согласно теореме Четаева, име-
ет место неустойчивость.
Задача об устойчивости в случае, когда матрица линеаризо-
ванной системы A.1) не приводится к диагональной форме, зна-
чительно сложнее. Трудность исследования состоит в том, что
даже в линейном приближении переменные, соответствующие
разным степеням свободы, не разделяются. Поэтому не удается
свести исследуемую систему с двумя степенями свободы к систе-
ме с одной степенью свободы, как это было в том случае, когда
матрица линейной части системы A.1) приводилась к диагональ-
ной форме. Кроме того, весьма существенно, что, в отличие от
предыдущего случая и от всех исследованных в этой главе слу-
чаев устойчивости, линеаризованная система A.1) неустойчива
из-за наличия в общем решении слагаемых вида t sincoi. Учет же
нелинейных членов в уравнениях движения может привести как
к устойчивости, так и к неустойчивости полной системы [50].

82 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
В работах [86, 87] показано, что в рассматриваемом случае
существует вещественная линейная каноническая замена перемен-
ных, приводящая функцию Гамильтона системы A.1) к такому
виду (обозначения для переменных оставляем прежними):
Vi+v2+M,1+|j,2=3
D.8)
При помощи преобразования Биркгофа в функции Гамильтона
D.8) опять можно полностью уничтожить члены третьей степени,
а совокупность членов четвертой степени можно упростить. В ре-
зультате функция D.8) приведется к виду (обозначения для пере-
менных снова не меняем)
н = 4- (?? + ч\) + © to - ?«pi) + (ri + pI) [A (pi + pi) +
+ В (qlPt - q2Pl) + C(ql + q\)] + ... D.9)
В D.9) не выписаны члены выше четвертого порядка и введены сле-
дующие обозначения:
11 1
А = —g- А:2оо2» В = |-(^20п + ^1102)> С = |-Bс2о + Сц + 2с0г)»
^2002 = ^2002 + 3 (м9) 10 — м10) 9) -f- 2 (м2, а — Щ, г) + м3) в — Щ, з>
^2011 = 2/2011 6l71Oj 8 — 4^3, 1 + 2l>6, 2 + 2l>9, 9 + У2, 2 ^5, 3l
^1102 = 2/2011 — 6у8, 10 — 4fi, 3 + 2у2, б + 2у», э + Уг, г — Уз, б>
с20 = ^2020 — 9м10, 7 + 4м6) 1 + М1( 6 -|- Мв, 8 — Щ, 2 — М4, 3)
Сц= %111 + 4 (йв, 8— Ив, в+ М4, з— Из, 4) + 2 (В6| 5 —М5,6+ И2, х- Mlf 2),
С02 = ^2020 Н~ 9И7) 10 4Mj, 6 Mg, 1 Mg) 9 -j- M2, 5 -f- И3) 4,
Ж2002 = ~~2~ (""¦0040 H~ «0022 H~ ""О004)>
2/2011 = ~^~ ( ^1021 ЗЛюОЗ + ЗЛ.0130 + ^.0112)>
^2020 = -4- (^2020 ^2002 + ^1111 ^0220 + ^0202)i
= ¦— («2020 H~ ^2002 4" ^0220 H~ «0202M
Щ, j = eiXj + /i?/y, vi, j = e^y, — ftXj (i, j = 1, 2, ..., 10), Q = or1,
e2 = О2/2 + 2Q2ar3, /2 = — ^#2 + 2Q22/3,
e3 = Q?/3 /з = — ^з.
e4 = Q2/4 - ^2(% - хь) + /4 = - Ож4 - Q2B/i - 2/5) -
+ 2Q3 B/2 - 2/e) + 60%, - 2Q3 {хг - жв) + 604г/3,

§ 4] СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ 83
еъ = пуь - Q2 (х2 - 2хе) + 4Q32/3, h = - «are — ^%2 - 2г/6)-
-403а;
е6 = аг/6 - Q«a%, /в = _ ftc, _
- A- Q3?/9 - A- Q«s10, + ^ U3x9 - -|- Q42/io,
/8 = g-Qarg + — Q22/9
,10),
10 =
*
*
*
*
*
хъ =
х* =
X* -
х* -
1
= xt/2 У
= - Лаою
= - 2Л10
= — 3/i00
= 0Л3000 "
= 2/12010 -
= «1020 —
=usooo -
= «^2010 —
= «1020
!
2,
1 — «1101 ~\~ 210,
20 2/lio02,
30 —' 012,
j" «1200,
f- 2/lo21O,
' 002 Т "¦0111,
«1200,
' «1101 «0210,
«1002 «0111,
Уг =
*
*
2/2 =
*
»: =
2/? =
2/* =
'2/* =
yt =
ы* =
^9
1
/ю = — -3- Пж10,
Ух 1ь у & [1=1,6,
001 110 201,
2/l(I20 —" 2ftoiO2,
021 "«•0003,
100 ~Ь «'"ОЗОО,
2h2mi + 2й„201,
011 120 ~Г 102
^2100 - ^0300,
001 ~Г 110 201
^1011 ~Г 120 102
Л'1г. — "¦ООЗО — "¦0012? У\(\ — ^0021 "¦ОООЗ*
D.10)
Прежде чем сформулировать теорему об устойчивости системы
A.1) в случае, когда матрица линейной ее части не приводится к
диагональному виду, введем согласно [157] понятие формальной
устойчивости.
Решение хг = yt = 0 (i = 1, 2, . . ., п) системы
dxi _ дН_ dyj_ __ _ дН_ / • _ 1 о )
где Я—2я-периодическая по t, аналитическая по хх, . . ., хп, уъ...
• • ¦, Уп функция, называется формально устойчивым, если сущест-
вует степенной ряд G, возможно расходящийся, который формаль-
но является определенно-положительным интегралом с периодом

84 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
2я по t. Иными словами, все коэффициенты, степенного ряда
9G дН 8G дН 3G
тождественно равны нулю, а конечное число форм наименьшей
степени в ряде G представляет собой определенно-положительную
функцию хх, . . ., хп, уъ . . ., уп.
Теорема. Если в нормальной форме D.9) А ^> 0, то положение
равновесия q^ = pi = 0 (i = 1, 2) системы A.1) формально ус-
тойчиво; если же А < 0, то имеет место неустойчивость по Ля-
пунову.
Можно показать, что при помощи бесконечного числа шагов
преобразования Биркгофа (возможно, расходящегося) функцию
Гамильтона D.9) можно привести к виду
Н = ~2~ (ql + ql) +
+ (Pi + Pl) [A (pi + pl)+B (qlP2 - q2Pl) + C(ql+ ql)] +
. D.11)
Каноническая система с гамильтонианом D.11) имеет два формаль-
ных интеграла Н = const и q^p^ — (fePi — const. Следователь-
но, выражение G=H — со (qip2 — ?aPi) также будет формальным
интегралом системы с гамильтонианом D.11). А так как при
4)>0 в разложении
G = G2 + G4 + G6 + . . . +G2m + ...
функция
+ {Pl + Pl) [A (p\ + pt)+ В (qlP2 - q2Pl) + С (ql + q\)]
будет определенно-положительной функцией своих переменных
Яъ ?2> Pi, Рг, то отсюда следует формальная устойчивость положе-
ния равновесия.
Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой
Ляпунова о неустойчивости. За функцию Ляпунова примем знако-
переменную функцию
У = <liPi + ЧгР%-
Ее производная, составленная в силу уравнений движения с га-
мильтонианом D.9), будет такой:
^Г = - (?i + ЯЬ + 44 (pl + р%У + 2В (pl + pl) (qlP2 - q2Pi) +..-,
D.12)

§5] СЛУЧАЙ C2o@^+Ci,u)iuJ + C02ffl2= 0 85
где не выписаны члены, порядок которых не меньше пятого отно-
сительно qi, pi (i = 1,2). Функция D.12) при А < О будет опреде-
ленно-отрицательной. Таким образом, функция V удовлетворя-
ет всем условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости, и, следо-
вательно, положение равновесия д4 = р% = 0 (i = 1, 2) системы
A.1) неустойчиво.
§ 5. Исследование устойчивости
При С2о(й1 + СцЮх^г + С02(й\ — О
Исследуем теперь устойчивость положения равновесия систе-
мы A.1), когда не выполняется условие A.4) теоремы Арнольда —
Мозера. Сначала рассмотрим пример (см. [57]), показывающий, что
при невыполнении этого условия устойчивость положения рав
новесия может быть разрушена членами сколь угодно высокого
порядка в разложении функции Гамильтона A.2).
Пусть функция Гамильтона имеет вид
Н = щгг — юаг2 + (щгх — со2г2) (агг + &г2) +
+ (г>П№ sin к (шрг + шр2), E.1)
где П(ог — лгсо2 = 0 (т + п !> 5), к, т, п — натуральные, а и
Ъ — произвольные действительные числа.
Легко проверить, что для функции Гамильтона E.1) условие
A.4) не выполнено, а система дифференциальных уравнений, соот-
ветствующая E.1), имеет такое частное решение:
к (щг +тшр2) = A +2N)n (N = 0, ±1, ±2, ...),
= nr2, rx (t) = ^-^ — ,
где а= т ~Х П к, &=кт 2 п 2 . Это частное решение показывает,
что положение равновесия г1 = г2 = 0 неустойчиво, так как для
сколь угодно малых значений г1 @) и г2 @) величины rx (t) и r2 (i)
неограниченно возрастают при
"^(a-lX^O)"
Приведенный пример показывает, что исследование устойчивости
при СгоСОа + сп(о1(о2 + Согсо? = 0 надо проводить особо.
Если щ^х + и2(о2 ф 0 при целых пх и п2, удовлетворяющих
условию 0 < | щ | + | п2 | ^ 2т, то при помощи аналитическо-
го преобразования Биркгофа гамильтониан A.2) можно привести
к виду
Н = &V! — (о2га + S ci;rlr2i + -fir(r1,r2, фх, ф2). E.2>
i+j=2

86 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
Здесь qt = j^nsin фг, pt = Y%ri °os cp?, Я имеет период 2я
по угловым переменным, 3 = 0 {(гг + Гг)т+1/2)-
Рассмотрим многочлен
m
А(е)= 23 Cijwlale^K E.3)
Если Л (е) ф: О, то говорят, что имеет место общий эллиптический
случай. В условиях теоремы Арнольда — Мозера неравенство
h (е) ф О обнаруживается по коэффициенту при е2 в многочлене
E.3). Если же этот коэффициент равен нулю, т. е. условие A.4)
не выполняется, то в многочлене E.3) надо получать коэффициенты
при более высоких степенях е. При этом на ci)x и со2 надо наклады-
вать более жесткие требования отсутствия резонанса, нежели тре-
бование A.3).
Пусть первый, отличный от нуля, коэффициент многочлена
E.3) обнаруживается при ет. Тогда справедлива следующая тео-
рема [56].
Теорема. Если функция Гамильтона A.2) такова, что
1) характеристическое уравнение системы с гамильтонианом
Hi имеет чисто мнимые корни ± ши ±?сог;
2) га^ + п2(о2 ф 0 при 0 < | % | + | п2 [ < 2т; E.4)
3) S c^iffliaTVO, E.5)
то положение равновесия устойчиво.
Сформулированная теорема является простым обобщением тео-
ремы Арнольда — Мозера на случай, когда исследование в га-
мильтониане A.2) форм не выше четвертого порядка не может при-
вести к строгим выводам об устойчивости положения равновесия
qt = pi = 0 системы A.1).
Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так
же, как это сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной
теоремы при т = 2. Укажем основные моменты доказательства.
Подробности изложены в [57]. Сначала надо привести функцию
Гамильтона A.2) к виду E.2) и, используя интеграл Н =
= const, свести систему A.1) к системе с одной степенью свободы.
Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к
отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой
дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать,
что при выполнении условия E.5) на каждом уровне Н = const
в любой достаточно малой окрестности начала координат сущест-
вуют инвариантные торы системы A.1). Отсюда следует устойчи-
вость положения равновесия.

ГЛАВА 5
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОМЕРНЫХ
ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Устойчивость многомерных гамильтоновых систем
для большинства начальных условий.
Результаты Арнольда
В этой главе будут рассмотрены некоторые задачи устойчи-
вости движения в многомерных гамильтоновых системах. Под
многомерной системой понимается динамическая система, число
степеней которой больше двух или оно равно двум, но функция
Гамильтона явно содержит время. Задача об устойчивости
движения в таких системах полностью не решена до сих пор.
Но прогресс в этой области весьма значителен, благодаря ис-
следованиям Арнольда, Мозера, Брюно, Нехорошева и других ав-
торов. Кратко рассмотрим полученные к настоящему времени
результаты.
Остановимся сначала на результатах Арнольда по устойчивос-
ти гамильтоновых систем для большинства начальных условий
[4, 102]. Пусть автономная гамильтонова система с п степенями
свободы устойчива в линейном приближении и между ее часто-
тами %t отсутствуют резонансные соотношения до четвертого по-
рядка включительно. Тогда при помощи преобразования Бирк-
гофа можно выбрать такую систему координат, что гамильтониан
запишется в виде
# = #<») (г)+ Я«-(г,(р), A.1)
где г и (р — и-мерные векторы:
Гт = (Г!,. . .,ГП), фт = (ф1?. . .,ф„),
п
Я<0) (г) = ХЛ + • • • + Кгп + a <ЩПГ} К = ан), A.2)
1,3=1
функция J7W имеет порядок, не меньший пятого относительно
qt = V^ri sin Фг> Pi = V%ri cos ф;, и 2я-периодична по ф;.
Если при гх = г2 = . . .= гп = 0 выполнено одно из условий
A.3) или A.4):

88 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Dn+г = det
dri
dr.
A.4)
о
то положение равновесия qt = pi — 0 устойчиво для большинства
(в смысле меры Лебега) начальных условий.
В случае двух степеней свободы при выполнении неравенства
A.4) положение равновесия устойчиво по Ляпунову (в разверну-
том виде неравенство A.4) в случае п = 2 совпадает с условием
A.4) теоремы Арнольда — Мозера, рассмотренной в предыдущей
главе).
Ни одно из условий A.3) и A.4) не сводится к другому. На-
пример, для системы с функцией Гамильтона
#(о) = ш1Г1 _ М2Г2 + (гх + г2)а («1 > 0, щ > 0; п = 2)
A.5)
имеем Dz = 0, a D3 = — 2(со! + со2J ф 0. В примере же, рассмот-
ренном в § 5 главы 4,
(о2г2) [1 + (arx + br2)]; A.6)
для этой функции Гамильтона D 3 = 0, aD2 = —(асо2 + Ьщ)* Ф 0,
если асо2 + fr*»i Ф 0.
Из устойчивости для большинства начальных условий вовсе
не следует устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5]
построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для боль-
шинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. По-
добное- явление неустойчивости по Ляпунову впоследствии [27]
получило название диффузии Арнольда. В построенном в статье
[5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арноль-
да очень слабая: время, в течение которого г (t) находится вблизи
г @), экспоненциально растет при линейном убывании возму-
щений.
Но диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциаль-
на. Она может быть очень сильной. Примеров, подтверждающих
этот факт, накопилось к настоящему времени довольно много.
Простейший пример — функция Гамильтона E.1) гл. 4. Приве-
дем еще два примера. Первый [58] специально для случая автоном-
ной системы с тремя степенями свободы
Н = СОЛ — «2^2 + «3Г3 + ГгГ3 — ГхГ2 + Г2Гг + Н™ (Г, ф),
A.7)
sin Bфх + 2ф2 + ф3).
Предполагается, что со* ^> 0 и имеет место резонансное соотноше-
ние 2со! — 2со2 + со3 = 0. Условие A.4) для системы с функцией

g 1] МЕТРИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 89
Гамильтона A.7) выполнено, так как Dt — (щ + со2J ф 0. Тем
не менее, положение равновесия гх= г2 = г3 = 0 неустойчиво, что
видно из существования такого частного решения:
2фх + 2ф2 + ф3 = п,
r3 (t) = ±- гх (t) = -I" r2 @ = г3 @) [1 - 6rf @) t]~*13. A.8)
Из A.8) видно, что за время порядка г^3/г @) траектория покидаег
окрестность точки, сколь угодно близко расположенной к началу
координат в начальный момент времени.
Второй пример для системы с двумя степенями свободы, но с
явной зависимостью функции Гамильтона от времени [59]:
Я = Vi + V2 - 24r? + 2/v2 + Л + Я« (г,! Ф, t),
A.9)
= yTl r\ sin (ф1 + 4ф2 — Nt).
Величины %i в A.9) связаны резонансным соотношением пятого-
порядка %х + 4Я2 = N.
Ниже будет показана неустойчивость положения равновесия
/¦х = г2 = 0 системы A.9). Но сначала сформулируем условия-
устойчивости для большинства начальных данных в общем слу-
чае гамильтоновой системы с п степенями свободы и периодиче-
ской зависимостью функции Гамильтона от времени. Пусть
функция ЯA> в гамильтониане A.1) зависит от t. Введем новый
«импульс» г„+1 и «угол» фп+1 ^ t. Тогда получим автономную сис-
тему с п + 1 степенями свободы. Гамильтониан имеет вид
S «ОТ, + ЯA)(г,ф,0. A.10).
г, 3=1
Дифференциальные уравнения, соответствующие гамильтониа-
ну A.10), содержат в себе дифференциальные уравнения исходной/
задачи с гамильтонианом A.1). Для функции Гамильтона A.10)
неравенство A.3) всегда не выполнено, так как .Dn+1 sOe, зна-
чит, условие устойчивости для большинства начальных данных
получается только из A.4) и означает, как легко проверить, выпол-
нимость неравенства
где Я(о) — функция, определенная равенством A.2). Отсюда сле-
дует, что для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы
и с периодической зависимостью гамильтониана от t достаточ-
ным условием устойчивости для большинства начальных условий)

90 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
будет выполнимость следующего неравенства:
^12 — «11^22 Ф 0. A.12)
Для функции Гамильтона A.9) а^, — а1га22 =¦ 25 Ф 0, так
что устойчивость для большинства начальных условий есть, но
имеет место неустойчивость по Ляпунову, что видно из частного
решения, для которого
<Pi + 4ср2 — Nt = л,
гг (t) =^г2 @ = г, @) [1 - 24rf @) *f/3- AЛЗ)
Отметим, что в обоих рассмотренных примерах часть
гамильтониана представляет собой резонансное возмущение сис-
темы с гамильтонианом Нт, а функция Hw подобрана так, что-
бы возмущенная система допускала частные решения A.8) и
A.13). Следует отметить также, что частоты невозмущенной сис-
темы Лг = dH^/dri, вычисленные для частных решений A.8)
и A.13), связаны резонансными соотношениями (теми же, что и
частоты линейной системы), то есть во все время движения тра-
ектории, приводящие к неустойчивости, находятся в резонансной
зоне фазового пространства.
Примеры гамильтоновых систем с быстрой диффузией Ар-
нольда построены также в работах [78, 93]. Но, как показал Не-
хорошев [78, 79], в общем случае диффузия Арнольда (если она
существует) является экспоненциальной. Так что рассмотренные
примеры представляют собой исключения из правила. Результаты
Нехорошева будут рассмотрены в § 3.
§ 2. Формальная устойчивость. Теорема Брюно
В этом параграфе рассмотрим некоторые результаты, получен-
ные при исследовании формальной устойчивости гамильтоновых
систем. Определение формальной устойчивости было приведено в
§ 4 четвертой главы. Понятие формальной устойчивости является
очень важным при исследовании устойчивости на конечном (но
очень большом) интервале времени. Наличие формальной устой-
чивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она
существует) не обнаруживается при учете в разложении функции
Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного)
порядка относительно координат и импульсов возмущенного дви-
жения.
При наличии формальной устойчивости, если и существуют
траектории, далеко уходящие от невозмущенного движения, то
движение по ним происходит крайне медленно. Соответствующие
оценки получены в работах Зигеля [28], Мозера [158, 159], Глим-
ма [138]. Для решения вопроса об устойчивости в большинстве

§ 2| ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 9f
физических задач, описываемых гамильтоновыми дифференциаль-
ными уравнениями, формальной устойчивости вполне достаточно.
Следует заметить также, что из устойчивости по Ляпунову, оче-
видно, следует формальная устойчивость. Обратное утверждение
не доказано, но, во,всяком случае, пока не известно ни одного
примера гамильтоновой системы, которая бы была формальна
устойчива и в то же время была неустойчива по Ляпунову.
Приведем некоторые условия формальной устойчивости. Пусть
рассматривается гамильтонова система
где Н — аналитическая функция относительно xj, yj и 2я-перио-
дическая по t. Разложение Н в степенной ряд начинается с квад-
ратичных членов. Если мультипликаторы линеаризованной сис-
темы B.1) различны и имеют модули, равные единице, то система
B.1) устойчива в первом приближении, а функция Гамильтона
Н в подходящим образом выбранных координатах (см. § 5 главы 2)
может быть записана в виде
М^ + ^) + Яз + Я4+---' B.2>
где %j — вещественные числа, Нт — однородные многочлены сте-
пени т относительно xj, j/j, зависящие 2я-периодическим образом
от времени. В статье [157] Мозер показал, что если
п п
2 m,j%j ф О (mod 1) для целых то,- > О, 21 Щ > 0, B.3).
то нелинейная система B.1) формально устойчива.
Условие B.3) является довольно слабым, так как в нем не ис-
пользуется информация о нелинейных членах в уравнениях B.1),
а ограничения на величины Xj весьма сильные. Но пусть те-
перь величины Xj таковы, что
^ф (mod 1) для целых mh 0<2Ц"Ъ|<4. B.4)
Тогда существует каноническая замена переменных х}, у} -> q};
Pj, задаваемая преобразованием Биркгофа, такая, что новый га-
мильтониан есть
п
Я = (К г) + 21 ok, mrkrm + НЪ+ ... B.5)
It, m=i
г* = (rlt . . ., /¦„), (X, г) = Vi + • • •+ Xnrn.

92 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. о
В работе [158] Мозер для случая п = 1 доказал формальную
устойчивость, если в B.5) ап ф 0. Для произвольного п Глимм
[138] доказал формальную устойчивость при условии, что квадра-
п
тичная форма 2 я», гЛГт является знакоопределенной. В статье
fc,m =1
Брюно [13] доказана следующая теорема, которая содержит все
указанные выше результаты.
Теорема. Если у системы, B.1) выполнено условие B.4) и в записи
B-5): 1
И а^т1к1тф0 B.6)
U, m=l
при векторе 1Т = (/х, . . ., 1п) Ф 0 и принадлежащем пересечению
квадранта т3 > 0 и линейной оболочки множества, образованного
всеми целочисленными векторами с компонентами, являющимися
решениями уравнения
п
2 7^ = 0 (modi), B.7)
то положение равновесия xk = yk = 0 (А = 1, . . ., п) системы
B.1) формально устойчиво.
Если в системе B.1) Н не зависит от ?, то формулировка ре
зультатов отличается от приведенной выше тем, что в условиях
B.3), B.4) и B.7) вместо ^0и=0 (mod 1) надо написать Ф 0
и = 0 соответственно.
Приведем доказательство теоремы Брюно. Для удобства дока-
зательства перейдем, как и в [13], к комплексно сопряженным пере-
менным
Zfc = х* + iyk, Ч = xk — iyH (k = 1, 2, . ., n).
Система B.1) перейдет при этом в систему
d\ дН dzH Ш
которая является канонической с гамильтонианом
п
2Ш = i 2 МЛ + • • • B.9)
Jc=l
Разложение гамильтониана B.9) запишем в такой форме:
где кт = (кх,. . .,кп), 1Т = (/j,. . , h)— векторы с целочислен-
ными неотрицательными компонентами, a z = Zj1,. . ., znn; кроме
того, gk<l (t + 2я) = gM (t) = — ?г,)с (*)•

§ 2| ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 93
Имеет место следующее утверждение 1157].
Лемма. Существует формальная каноническая замена перемен-
ных Xjyj -»- \fi\j такая, что B.8) переходит в
где ?; = !;+ ir\j, Zj = Sj — Щ]\ Si, Ц) — вещественные величи-
ны, а формальный степенной ряд
п
содержит только такие члены, для которых
(\ 1 Ь\ _ ДГ /О 4 0\
V — г^елое число и, следовательно, вектор 1 — к является ре-
шением уравнения B.7). Коэффициенты yktt не зависят от t.
Эта лемма является обобщением на резонансный случай ре-
зультата, получаемого при помощи преобразования Биркгофа,
приведенного в главе 3 в случае отсутствия резонансных соотно-
шений между величинами Х}-. На доказательстве леммы мы не ос-
танавливаемся, так как оно почти дословно повторяет соответст-
вующие рассмотрения главы 3.
Пусть 2г; = Z,]Z,j (r} !> 0). Система уравнений B.9) имеет два
типа формальных интегралов:
1) (р, г), где векторы рт = (plt. . ,,рп) ортогональны к дейст-
вительной линейной оболочке векторов тт = (тг, т2,. . -,
являющихся решениями уравнения B.7);
2)
iF = 2iV — i (К, г).
Действительно,
B.13)
Так как вектор 1 — к является решением уравнения B.7), то
все коэффициенты в правой части B.13) равны нулю.
Далее очевидно, что
dt

94 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Из формул B.13) и B.14) получаем
ft, г
Из B.12) следует, что все коэффициенты в последнем разложении
равны нулю.
Таким образом, существование формальных интегралов 1),
2) доказано. Пусть pW,. . ., р@ — базис линейного множества
векторов р. Если существует т линейно независимых резонанс-
ных соотношений B.3), то s = п — т. Сумма
S
G = S (p(i), гL + F* = Ga + ¦ ¦ ¦
3=1
является формальным интегралом, как полином от формальных
интегралов. Покажем, что из условия B.6) следует положитель-
ная определенность формы
S Т1
G8 = S (Р0). О4 + ( S
3=1 й,т=1
Здесь в правой части все слагаемые неотрицательны и первая сум-
ма обращается в нуль только для тех векторов г, которые при-
надлежат пересечению квадранта т,>0и действительной линей-
ной оболочки множества, образованного целочисленными векто-
рами т, являющимися решениями уравнения B.7). Но для атих
г по условию B.6)
™ \2
а %лгт >о.
к, т=1
Итак, G — формальный определенно-положительный интеграл,
и, следовательно, теорема Брюно доказана.
§ 3. Оценка скорости диффузии Арнольда.
Результаты Нехорошева
В § 1 построены простые примеры многомерных гамильтоно-
вых систем, которые устойчивы для большинства начальных ус-
ловий, но по Ляпунову неустойчивы. Скорость диффузии Арноль-
да в примерах § 1 оказалась весьма значительной. Однако, как
правило, диффузия Арнольда (если она существует) должна быть
экспоненциальной, что показано Нехорошевым в его работах
[78-80].
Нехорошев изучал системы с аналитической функцией Га-
Мильтона вида
Н = Щ (I) + гНг (I, Ф), C.1)

§ 31 ОЦЕНКА СКОРОСТИ ДИФФУЗИИ 95
где 0 < е< 1, 1Т = (/1?. . ., /„), ?т = (фъ. . ., фп). Функция #х
2я-периодична по угловым переменным фг. Нехорошевым доказана
экспоненциальная оценка сверху скорости диффузии Арнольда
при условии, что Но — крутая функция. Определение крутых
функций дано в [81]. Непосредственная проверка условий кру-
тизны сложна, поэтому мы не приводим здесь этого определения.
Некоторые важные достаточные условия крутизны, полученные
Нехорошевым, приведены ниже.
Примерами крутых функций являются функции следующего
вида.
Определение [80]. Функцию Но, определенную в об-
ласти G евклидова пространства Еп, назовем квазивыпуклой, если
для каждой точки Г из G выполнены условия:
а) grad Но |г ф 0;
б) сужение квадратичной компоненты
разложения функции Но в этой точке на гиперплоскость
ЗЯ0(Г) _ _
касательную к поверхности уровня функции, знакоопределенно;
здесь xi = /г — Ij.
Для функций Но от двух переменных достаточным условием
крутизны является отличие от нуля определителя в формуле A.4)
на стр. 88.
Пусть || 11| = 1/ 2j ^t- Нехорошев показал, что если в C.1)
функция Hq будет крутой, то существуют константы а ^> О, Ь ^> О
такие, что для каждого решения I(f), ф (t)
|| I (*) — I @) || < еь при всех t e [0, 71, C.2)
где
Г = ехр [A/е)а]. C.3)
Для констант а и Ъ получены такие значения:
2 , 2
? + + а A2?+ 3/г + 14) '
где С и а зависят только от Но и удовлетворяют неравенствам
?(Я„)> "t"-1) C.5)

96 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
(причем для квазивыпуклых функций, и только для них, равен-
ство достигается) и
а (Но) > 1 C.6)
(причем для квазивыпуклых функций равенство достигается).
Требование крутизны функции #0 существенно. В примерах,
рассмотренных в § 1, функции Но = Н — ЯA> (см. A.7) и A.9))
не являются крутыми.
Приведем два достаточных условия крутизны для функций от
трех переменных [80]. Функция Но (I) будет крутой в некоторой
области, если
1) для всех точек этой области определитель A.4) отрицателен;
2) для каждой точки I* этой области этот определитель боль-
ше нуля и система
= 0, C.7)
= 0, C.8)
не имеет решений, кроме тривиального хх = х2 = х3 = 0. Здесь
xt = Ii — I*.
Функция Но «общего положения» удовлетьоряет одному из
приведенных достаточных условий крутизны. Отметим, что выпол-
нение условия 1) означает несовместность (при х\ + х\ + х\ Ф
Ф 0) системы C.7) и C.8) и, значит, при условии 1) функция Но
квазивыпукла.
Пусть изучается движение в системе с 2я-периодической по t,
аналитической функцией Гамильтона
Н = Но (/х, /2) + effi (А, /а, Ф1, Фа, *)• C-10)
Введением «импульса» /3 и «угловой переменной» ф3 ^ f задача
сводится к автономной системе с тремя степенями свободы, и
несовместность (при х\ + х\ Ф 0) системы двух уравнений
= 0 C.12)
,Г?=1

S 4] РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 97
будет достаточным условием крутизны функции #о(А> I7) + ^3
и, значит, условием, достаточным для применимости оценок
C.2) - C.6).
§ 4. Неавтономная система с двумя степенями свободы.
Случай резонанса третьего порядка
Рассмотрим задачу об устойчивости положений равновесия
неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свобо-
ды. Будем считать, что соответствующая функция Гамильтона
2я-периодична по времени и аналитична относительно координат
и импульсов. Кроме того, предположим, что линеаризованная
система устойчива и все ее мультипликаторы различны. В этом
случае функция Гамильтона в подходящим образом выбранных
переменных qi, pt (см главу 2) имеет вид
D.1)
Здесь ± ikj (/ = 1,2) — характеристические показатели линеа-
ризованной системы, Vy, \ij — целые неотрицательные числа,
Avivrfiil*» (* + 2я) = Агонии* (t).
Если величина А;1Х1 + к2Х2 не будет целым числом для любых
целых неотрицательных чисел кг и к2, то, согласно Мозеру (см.
wiany 2), система, имеющая функцию Гамильтона D.1), формально
устойчива. С другой стороны, если величина кх%г + Л2Я,2 не будет
целым числом для целых чисел кг и к2, удовлетворяющих равен-
ствам | кх | + | к2 [ = 3 и | кг | -f- | к2 I = 4 (т. е. в системе от-
сутствуют резонансы третьего и четвертого порядков), то при
помощи преобразования Биркгофа q}, pj -> q'jp'j функцию Гамиль-
тона D.1) можно привести к виду
Н = Vi + V2 + c20rt + СцГхГг + c02rl + О ((гг + г2)°'*)
D.2)
Bгу == q* + pf, ci} = const).
Согласно теореме Брюно (см. § 2), при выполнении неравенства
Сго&1 + cii^i^2 + согк\ Ф 0 для целых неотрицательных чисел,
удовлетворяющих уравнению кг%г -f- А2Я,2 = т (т — целое число),
имеет место формальная устойчивость. Как следствие, отсюда
получаем, что система с функцией Гамильтона D.1) формально
устойчива, если квадратичная форма c2<fl + Сц/уг +
4 А. П. Маркеев

98 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
знакоопределенна при гх > 0, rz > 0. Последнее утверждение
есть частный случай для п = 2 условия формальной устойчивос-
ти, полученного Глиммом [138]. И, наконец, отметим еще, что
если Си — 4с2оСог Ф 0, то имеет место устойчивость для большин-
ства начальных условий (см. § 1).
Рассмотрим, следуя [61], задачу об устойчивости, когда в сис-
теме есть резонансы третьего или четвертого порядков. Будем
предполагать, что число кг%г + kz%2 является целым для одной
пары целых неотрицательных чисел кх и к2, сумма которых равна
трем или четырем. Таким образом, будут рассмотрены девять
резонансных случаев:
A) ЗХ1=т, B) ЗЯ,2 = т, C) %г + 2К2 = т,
D) 2Xi + %2 = т, E) 4?i! = т, F) 4Ха = т, D.3)
G) 2 (кг + %2) = т, (8) Хх + ЗЯ,2 = т, (§) 3^ + Х2 = т.
Так как мультипликаторы предполагаются различными, то
целые, полуцелые и удовлетворяющие равенствам ^ + А2 = т
значения Xt не рассматриваются. Это означает, что в системе нет
резонансов до второго порядка включительно и задача об устой-
чивости нелинейной системы решается для значений параметров,
лежащих внутри области устойчивости линеаризованной системы.
Исследуем сначала устойчивость в случаях A) — D). Введем
новые канонические переменные qf, pf при помощи преобразова-
ния Биркгофа, задаваемого производящей функцией
$ = QiP* + QzPt + S3,
где
Здесь Sv.v^n* (t + 2я) =
Обозначим новую функцию Гамильтона через Н (g, , pj , t).
Пусть Нъ и Нн — совокупности членов порядка к относительно
координат и импульсов соответственно в старой и новой функ-
циях Гамильтона. Из тождества, связывающего Н, Н и S,
(^ИГ^7) ^ D'4)
получаем
Я* = Я2, H%=H3 + DS3, D.5)
дН3 dSs dHt dS3

§ 41 РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 99
В D.4) функции имеют своими аргументами величины qj, pf и t,
через D обозначен оператор
Введем обозначение aV(i = %х (цх — vx) + %2 (Из — v2). Если ве-
личина «vn не будет целым числом при | цх— vx | -{- | |х2 —V21 =3
(т. е. отсутствуют резонансы третьего порядка), то, выбрав
соответствующим образом S3, можно добиться выполнения тож-
дества Н3 = 0. Для 2я-периодических коэффициентов
получаем после несложных выкладок такие выражения:
== W0003 ~Ь m0102j s0102 == м0102 — «M0003i s020l = ^0102 Н~ "^00031
S0003 == у0Ю2 — ^0003» S3000 == M0030 ~\~ %020i S1020 = u1020 — ЗИоозО]
^2010 = ^1020 Ч~ "^00301 S0030 == ^1020 — Vqq3o, SJ002 == МоШ —
— ^0012 — Мо21О>
s1200 = ^0012 ~Г wo2i0 ~Г ^01111 s0210 == Ц1 "Т ^0012 Н~ ^02101
s0111 = 2 (U<J1O — М0012),
^0012 = ^0111 — t'0012 — ^0210! s1101 = 2 (^0012 — ^0210I
S0120 = u10ll — M0021 — M2001t s2100 == w0021 ~T M2001 ~T M1011i
S2001 = ^1011 + ^0021 + ^20015 S0021 = y1011 — ^0021 —
sion = 2 (m2ooi — Moo2i)> smo = 2 (У0021 — ^2001I
n, = f (t) sin Ол,ц* + / (t) cos a^nf, D.6)
», = g (t) cos avuf — / (t) sin Ол,ц*;
g (t) = ctg na^/i Bя) + h Bл) - 2/2 @,
/ @ = h Bя) - ctg яа^/2 Bя) - 2/x («),
/x (t) = \ (uVlVllillll cos aVVix — vv<v,hihj sin avAx) dx,
о
(
llli cos aV[lx) dx;
w0003 = ^"(«0300 — ^0102), У
'1 1
M0102 = "^"(^0102 "T" ""«300M
= ~S~ (^3000 "lO2o)! 1^0080 = -q~(^2010 ^0030O

100 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
= ~g~ (^1020 + ЗАзооо)) y ==
(^ ^ ^) У =
g == ~g~ (^0210 ^0012 -f-
М0210 = ~g~ (^1200 — Л.Ю02 + й0ш), VoglO = ~g~ (^«210 — ^0012 —
Н0Ш = -?"(^1200 "f" ^1002)» У =
М0012 =
Mioii = ~4~ (^2100 ~^~ ^ox2o)i Уши = ~4"
M0021 — ~g~ (^2100 — U0120 — ^101l)i У0021 ~ ~|~ (^2001 — ^0021
'1 '1
м2001 = ~g~ (^2100 ~~ ^0120 ~Ь "¦101l)> ^2001 == "§"(001 — 021 —" «lllo)-
D.7)
Если же величина aVVi равняется целому числу т при vx +
+ V2 + I1! + V-z — 3, то полностью функцию Hs уничтожить
нельзя, но ее можно привести к нормальной форме, отражающей
резонансный характер задачи. И в новых переменных qf, p*
функция Гамильтона запишется в виде
Н* = \ К (qf + Р?2) + 4" А* (?*2 + Pf) + Ht + O ((n + rt)*).
Выражения для Н3 в случаях A) — D), определенных в D.3),
будут соответственно такими:
A) Я* = 2иадзо(?*8 — Sqipf) — 2у*озо(pf — Spfqf),
B) Ht = 2utoos (qf ~ 3qtpf) - 2i&o, (pf3 - Sptqf),
C) Ht = - 2C [q? (pf - qf) + 2ptqtp$] - D.8)
— 2vooi2 [л (p* — g*) —
D) Ht = — 2m*02i [g* (pf — qf) + 2p*q*p*] —
n * * . л.2 А2Ч
— 2i><>o2i [Рг (p* ~q*) —
В формулах D.8) введены обозначения
iii = ^Mnin, cos mt
W ^it siQ mt
2Л
cos ^ -
2 D.9)
^ « SiQ ""* + y cos
о

§ 4J РЕЗОНАНС ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 101
Для каждого из резонансов A) — D) имеет место следующее ут-
верждение.
Теорема. Если xllV!illllt + y*№d>* ^ ®> т0 положение равно-
весия неустойчиво.
Проведем доказательство для случая A). После канонического
преобразования
ф * = Y1F) Sin (ф, + М - 9)' ГТ = V^j COS (ф; + V - 8),
D.10)
где
Sin зе = Уооз° -, cos зе =
г г , cos зе =
V хоозо + ^оозо У х
оозо оозо хоозо + ^оозо
функция Гамильтона примет вид
+ J/оозо) гУ7г sin Зф1 + О ((гг + r2f). D.11)
Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой
Четаева [95]. Функцию V возьмем в виде V = VjVz, где
Fi = /¦?-/¦;, V2 = r1VT1 cos Q^ (a>2). D.12)
< Ф <
За область F ^> 0 примем область fF1^>0, —т, < Ф1 < 75 ) •
На границе этой области либо Fx, либо F2 равны нулю, а внутри
области выполняется равенство
г2 = Рг?12 (О < р < 1). D.13)
Параметр а подберем так, чтобы производная функции F в силу
уравнений движения с гамильтонианом D.11) была определенно-
положительной в области F ^> 0.
Легко проверить, что при 2 < а < 3 производная может быть
представлена в виде
% = 6 ^2Козо+2/оозо) Т «2а cos 3(Pi + /1] cos
+ 3 A — P2) [cos Зфх + sin Зфх sin 6фх + /2]}, D.14)
где функции f1 и /2 сколь угодно малы при гь стремящемся к ну-
лю. В области V ^> 0, как нетрудно проверить, выполняются не-
равенства
cos Зф! > -^- , cos Зф! + sin Зфх sin 6фх > 1.
Поэтому из D.13) и D.14) следует, что в области F > 0 в достаточ-
ной близости к началу координат функция dV/dt будет определенно-

102 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ.5
положительной и, согласно теореме Четаева, положение равнове-
сия неустойчиво.
В случае C) после преобразования D.10), где теперь
У Ж0012 + ^00
У ООН У Ж0012 + ^0012
получим
н* = -
Неустойчивость положения равновесия доказывается при помощи
функции Четаева V = VXV^, где
Ух = rt - (г2 - 2т-!J, F2 = r2 VK cos 2 (ф1 + 2ф2)
B < а < 3). D.16)
Доказательства неустойчивости в случаях B) и D) аналогичны
доказательствам в случаях A) и C) соответственно.
§ 5. Об устойчивости неавтономной системы
с двумя степенями свободы
при резонансе четвертого порядка
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости в случаях E) —
(9). Здесь упрощенная при помощи преобразований, аналогичных
преобразованиям предыдущего параграфа, функция Гамильтона
в полярных координатах имеет следующий вид:
Я = cwr\ + Сцтуа + с02г1 — Н (rh <pt) + Н' (ги фь t). E.1)
В E.1) Я' = О {{rx +r,)W), а функция Я для случаев E) - (9)
будет соответственно такой:
E) В -V*Lo + ^o4osin 4<Рь F)Я = У^п+Упsin4Ф2,
3
E-2)
(9) й = К^оо+^оо sin CФ1 + ф2).
При приведении гамильтониана к виду E.1) считаем, что
^w.n, + yw-,nin, ?= 0, а в формулах преобразования D.10)
sin 49=-
Vx* Ч- v
cos 49 = т=

020
§ 5] РЕЗОНАНС ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Выражения для коэффициентов ci} таковы:
2П
С20 = -Ц^ \ (^202
0
2Я
о
2Л
1 (* *
= ^" \ (^02
ЮЗ
С02
Величины ^vivsnini и yv,v2niH2) входящие в E.2), вычисляются
но формулам D.9), в которых надо положить
М0040 = ¦2"
HO0O4 — ~2 ("'0004 ~t~ "'0400 202)»
1 ,,* , , * ,*
= "о" (,300 I 013 102
1 ,,*
^0004 = у («0301 —
300 — ~п V112 ~Г
^lo
М3100 = ~2
^2200 = ~
0 ^0220
210 10l) •
E.4)
В формулах E.3) — E.4) величины АЗ^
при соответствующих степенях ?iV'?2VaP
вычисляемой по формулам D.5).
Для каждого из резонансных случаев E) — (9) введем величи-
ны Aj, Bj формулами
суть коэффициенты
U2 в функции Н*,
А' = ^200+2400'
400'
E.5)
Теорема. При выполнении неравенства А} ~^> | Bj \ положени-
равновесия неустойчиво, при А} <; | В} \ имеет место устойчив-
= 3

104 МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
востъ при учете в функции Гамильтона E.1) членов не выше вто-
рого порядка по гг. Если в E.1) функция Н — Н' будет знакоопре-
деленной функцией, то положение равновесия формально устойчиво.
Докажем теорему в случае E). Для доказательства первого
утверждения возьмем функцию Четаева в виде V = УгУ9, где
Vi = rl — r\, F2 == r\ cos 4афх E.6)
(а = 1 + e, 0 < e <; 1, 2 < а < 3).
За область V ]> 0 примем область (Vx ]> 0, —п/8а < ф < п/8а).
В этой области г2 = pV™/2 @ < E < 1). Для производной получаем
такое выражение:
|Е = 4г«+з {(аЛ5 cos 4ф! + gx) cos 4аф1 + 2 A - р») х
X [^4б cos 4ефх — 55 sin Aa<pt + e sin 4аф! (Л5 sin 4фх — 55) + gz]}, E.7)
где функции gx и f 2 сколь угодно малы при ги стремящемся к нулю.
Из E.7) видно, что при А5 ^> | В5 | величину е можно выбрать
настолько малой, что функция dV/dt будет определенно-положи-
тельной в области V ^> 0 в достаточной близости к началу коор-
динат. Тем самым утверждение теоремы о неустойчивости дока-
зано.
Второе утверждение теоремы доказывается очень просто. «Уко-
роченная» система с функцией Гамильтона Н — Н' имеет два
интеграла r2 = const и Н — Н' = const Для доказательства
устойчивости «укороченной» системы воспользуемся теоремой
Ляпунова об устойчивости. Функцию Ляпунова W возьмем в виде
W = т\ + (Н - Я'J. E.8)
При Аь < | Въ | эта функция, как легко видеть, будет опреде-
ленно-положительной, откуда, согласно теореме Ляпунова, сле-
дует утверждение доказываемой теоремы.
Покажем теперь справедливость третьего утверждения тео-
ремы. Применяя преобразование Биркгофа, а затем преобразова-
ние D.10), гамильтониан D.1) можно формально привести к функ-
ции, не зависящей от t во всех порядках. Тогда выражение
G = И будет формальным интегралом исходной системы дифферен-
циальных уравнений с функцией Гамильтона D.1). Получаем
Поэтому, если Н — Н' будет знакоопределенной функцией, то
положение равновесия формально устойчиво. Теорема полностью
доказана.

§ 5] РЕЗОНАНС ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 105
В резонансном случае G) неустойчивость доказывается при
помощи функции Четаева V = VxVi, где
Ух = г? - (гг — ггJ, F2 = r^ cos la (ф1 + ф2)
(а = 1+8, 0<е<1, 2<а<3). E.9)
Устойчивость «укороченной» системы в случае G) доказывается
при помощи функции Ляпунова
W = (гх - г2J +(Н~ НУ.
В случае (8) функцию V можно взять в виде V = VxVi, где
Vx = г" — (г2 — ЗГ]J, F2 = г2 Уr^ cos а (фх + Зф2)
(а = 1 _[. е, 0 < е <^ 1, 2 < а < 3), а функция W в этом резонанс-
ном случае может быть взята в виде
W = (г, - ЗгхL + (Я - Я'J.
Рассмотрение резонансов F) и (9) аналогично рассмотрению ре-
зонансов E) и (8) соответственно.

ГЛАВА 6
МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В ЗАДАЧАХ НОРМАЛИЗАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Необходимые понятия и определения
Практическое применение изложенных в предыдущих главах
результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных
способов получения нормальной формы функции Гамильтона.
Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алго-
ритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной норма-
лизации более сложна и весьма громоздка. Для автономных сис-
тем она сводится к проведению некоторых алгебраических опе-
раций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами.
Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму
гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд
ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведен-
ными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизме-
римо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой
динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно со-
держит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя
обойтись, так как при нахождении производящей функции нор-
мализующего преобразования неизбежно приходится решать за-
дачу нахождения периодического решения некоторой системы
дифференциальных уравнений.
В настоящей главе описан разработанный в [61] алгоритм нор-
мализации 2п-периодических по t гамильтоновых систем, основан-
ный на применении метода точечных отображений [75]. Кроме
того, здесь же рассмотрена задача об устойчивости неподвижных
точек отображений в случае резонанса.
Приведем кратко необходимые понятия и определения метода
точечных отображений. Пусть движение динамической системы
описывается системой дифференциальных уравнений вида
-^ = Xi(xx,x^...,xn;t) (i = l,2,.. .,п), A.1)
где правые части Xt либо 2л-периодичны по t, либо от t не зависят
совсем. Будем изображать движение в (n -f- 1)-мерном простран-
стве переменных хи х2,. . ., хп; t. Обозначим через Ро (рис. 5)
плоскость t = 0, а через Р2п — плоскость t = 2л. Траектория
системы A.1), начинающаяся в произвольной точке М плоскости

НЕОБХОДИМЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
107
Ро, через время t = 2л пересечет плоскость Р2П в некоторой точке
Мгп- Если теперь отождествить плоскости t = 0 и t = 2п (т. е.
спроектировать плоскость Р2Я на плоскость Ро), то получим то-
чечное отображение Т плоскости Ро
в себя. Это отображение будем записы-
вать в виде равенства
И = ТМ
или при помощи формул
%i = /i (*i, *2,- ¦ •> *п) (i = 1. 2,- • .,«)•
A.2).
К точке М в свою очередь может быть
применено отображение Т, которое пе-
реведет ее в точку М. Таким образом,
Ж = Т (М) = Т {ТМ) = Р>М.
Рис. 5. К понятию точеч-
ного отображения.
Преобразование, состоящее в ттг-крат-
ном последовательном применении преобразования Т, обозна-
чают Г".
Точка М* называется неподвижной точкой преобразования Т,
если преобразование Т переводит ее в себя, т. е.
М* == ТМ*.
Уравнение для определения неподвижных точек преобразования в
координатной форме получается из A.2):
*? = ft (*?, *?, •••,:?) (i = 1, 2, . . ., п). A.3)
Назовем &-окрестпностпъю точки М* совокупность точек М,
для которых р (М, М*) < е. Здесь через р (М, М*) обозначено
расстояние между точками М и М*:
р (М, М*) = У (хх - xtf +... +(хп- х*)\
Введем, согласно [76, 77], понятие устойчивой и неустойчивой
неподвижных точек. Неподвижная точка М* называется устой-
чивой в малом, если для любой точки М, принадлежащей достаточ-
но малой е-окрестности М*, имеет место неравенство
р (ТтМ, М*) < еп,
где max ет -> 0 при в -> 0. Неподвижная точка М* называется
неустойчивой, если для некоторого 8>0в любой сколь угодно
малой окрестности точки М* есть точки М, которые при после-
довательном применении к ним преобразования Т выходят за
пределы е-окрестности неподвижной точки М*.

108 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. 6
Между точечными отображениями Т и движениями системы
существует очень тесная связь. Например, справедлив следующий
общий принцип: для того чтобы решение хт (t) = (з^ (?),. . .,хп (t))
неавтономной системы, было 2п-периодическим, необходимо и
достаточно, чтобы точка х @) была неподвижной точкой отобра-
жения Т:
Тх @) = х @).
Имеет место соответствие не только между периодическими
движениями и неподвижными точками преобразования Т, но и
соответствие между их устойчивостями. Именно, чтобы периоди-
ческое движение было устойчивым по Ляпунову, необходимо и доста-
точно, чтобы была устойчивой соответствующая неподвижная
точка преобразования Т.
§ 2. Перенесение теоремы Четаева
на точечные отображения
" В работе [76] Неймарком доказана теорема, представляющая
собой перенесение теорем Ляпунова об устойчивости и неустой-
чивости на точечные отображения. Нам в дальнейшем, однако,
потребуется теорема о неустойчивости неподвижных точек то-
чечного отображения, аналогичная теорема Четаева о неустойчи-
вости движения. Докажем следующую теорему, представляющую
собой перенесение теоремы Четаева на точечные отображения.
Теорема. Пусть М* = (х*, х%,. . ., я*) — неподвижная точка
отображения Т, и пусть возможно найти такую непрерывную
функцию V (х*, х%,. . ., Хп), что
1) V (zf, xf,. . ., xt) = 0;
2) в сколь угодно малой окрестности точки М* существует
область V ^> 0, на границе которой V = 0;
3) во всех точках М области V ^> 0 разность V (ТМ) — V (М)
положительна.
Тогда неподвижная точка М* неустойчива.
Доказательство теоремы аналогично соответствующим доказа-
тельствам Четаева и Неймарка. Зафиксируем некоторое достаточ-
но малое число е0 @ < е0 <^J 1). Через Vu обозначим пересечение
области F>0 и замкнутой во-окрестности точки М*. Возьмем
точку Мо, сколь угодно близкую к неподвижной точке М* и
принадлежащую F8o. По условиям теоремы такой выбор точки Мо
всегда возможен, так как область V > 0 примыкает к точке М*.
Покажем, что при выполнении условий теоремы при некотором т
точка Г™М0 лежит вне е0-окрестности точки М*.
Предположим противное, т. е. пусть точки ТтМ0 при всех т
лежат в е0-окрестности. Тогда последовательность {ТкМ0} будет
ограниченной. Кроме того, ни одна точка этой последовательности

§ 31 РАЗЛОЖЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В РЯД 109
ре может выйти из области V ^> 0, так как по третьему условию
теоремы V (ТМ) > V (М).
Рассмотрим теперь числовую последовательность {V (Т^Мд)}.
Эта последовательность будет ограниченной в силу непрерывнос-
ти функции V. Кроме того, она будет монотонно возрастающей,
так как, согласно третьему условию теоремы,
V (Мо) < V{TMo) < V(T*M) < . . . < V (ТкМ0) <...
Следовательно, существует предел этой последовательности
lim V (ТкМ0) =а (а > V (Мо)).
Из ограниченной последоватеьности {ТКМ0} выделим сходя-
щуюся подпоследовательность
ТпМ Т*>М
J. 1VJ. о, J- iKI о,. . •
Пусть точка Р будет пределом этой последовательности
lim Г%„ = Р (Ре Кв.).
К-»оо
Рассмотрим выражение
и перейдем в нем к пределу при к -*¦ оо. Получим
lim [V (Ti]c+1M0) — V (Ti]cM0)] = V (ТР) -V(P) = 0,
что противоречит третьему условию теоремы.
§ 3. Разложение отображения в ряд
Обратимся снова к системе дифференциальных уравнений A.1).
Предположим, что правые части Х^ аналитичны по простран-
ственным переменным в окрестности периодического решения
х* (t) системы A.1). Тогда решения системы A.1) тоже будут ана-
литическими относительно начальных данных, достаточно близ-
ких к х*т @) = (х* @), х* @),. . ., х* @)). Из непрерывной зави-
симости решений от начальных данных следует, что решения сис-
темы A.1) с начальными условиями, близкими к х* @), определены
при 0 ^ t <Г. 2л. Поэтому оператор Г точечного отображения оп-
ределен при начальных условиях, достаточно близких к х* @).
Будем считать для простоты, что неподвижная точка М* = х* @)
оператора Т совпадает с началом координат, и найдем разложение
оператора Т в ряд по степеням начальных данных.
Разложение оператора Т в ряд можно получать разными спо-
собами: можно искать общее решение в виде ряда по начальным

НО ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. 6
данным, можно применять численное дифференцирование по на-f
чальным данным. Как правило, эти способы весьма сложны. Hd
часто можно использовать те или иные специфические свойства
системы A.1), вытекающие из характера изучаемой динамической
системы.
Мы интересуемся точечными отображениями, задаваемыми га-
мильтоновой системой дифференциальных уравнений. Пусть эта
система имеет периодическое решение, совпадающее с началом
координат, а функция Гамильтона аналитична по координатам
и импульсам и 2л-периодична по t. Использование гамильтонова
характера системы A.1) существенно упрощает нахождение раз-
ложения оператора Т в ряд.
Обратим внимание на то, что преобразование фазового про-
странства при помощи движения гамильтоновой системы является
каноническим [16]. Переменные qt (t), рг (t) получаются из qt @),
Pi @) при помощи формул
Р{0) (* Mn)
где W — W (д{ (t), qt @), t) — главная функция Гамильтона, т. е.
t
действие W = \ L (qit qit t) dt, (L — функция Лагранжа), вы-
о
раженное через начальные координаты, конечные координаты и
конечный момент времени t.
Мы, однако, будем искать преобразование qt @), pt @) ->
-*¦ ?( (*)» Pt @ иначе. Будем находить не прямое преобразование,
а обратное, т. е. будем считать, что движение гамильтоновой систе-
мы переводит систему с функцией Гамильтона Н (qt, рг, t) в систе-
му с функцией Гамильтона, тождественно равной нулю. Тогда
новые координаты и импульсы будут qt @), pt @). Далее, будем
искать не само преобразование Т, а производящую функцию
этого преобразования.
Обозначим через S (qt (t), pi, t) производящую функцию пре-
образования qt (t), Pi (t) -*¦ qi, p\. (Здесь и в дальнейшем qi =
— ?? @), p\ = Pi @)). Формулы преобразования имеют вид
п -dS dS /о л\
Производящая функция удовлетворяет уравнению Гамильтона —
Якоби
0. C.2)
Полагая в C.1) t = 0, найдем начальные условия S (qt @),

§ 31 РАЗЛОЖЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В РЯД Щ
Pi @)> 0)> а положив t = 2я и разрешив C.1) относительно q^
pi, получим разложение оператора Т в ряд по qi, р\.
Пусть функция Гамильтона изучаемой системы записана в по-
лярных координатах и имеет вид
н(ф„/1. О = я. + #, + я4 +..., C-3)
где Нт при т > 3 — однородные формы степени т относительно
УТ~(, содержащие угловые аргументы синусов и косинусов как
комбинации вида А;^ -f &гф2 -)-¦••+ &„ф„ (kt — целые числа),
/7j предполагается заданной в нормальной форме
#2 = К1Г1 + Х2г2 + . . - + Кгп- C.4)
Будем искать производящую функцию отображения rt<pt ->
->- г?ф? в виде ряда
5 = 52 +53 +^4 +• • ., C.5
в котором Sm имеет структуру, аналогичную структуре Нт. Под-
ставив C.3) и C.5) в уравнение C.2) и приравняв формы одинако-
вых степеней в обеих его частях, получим
DSt = О,
( J| ) C.6)
= 8Sj_
Здесь через D обозначен оператор
Так как Нг имеет вид C.4), то первому уравнению из C.6) можно
удовлетворить функцией
S, = г? (ф1 - ЛхО + . . . + гЯ (Фп - М- C-7)
Из C.1) следует, что при таком выборе <S2 начальные условия для
Sm (фь г?» t) (m > 3) должны быть нулевыми. Покажем, как по-
лучить формы Sm в явном виде.
Возьмем в правой части какого-либо из уравнений C.6) два
одночлена вида
r°a [a sin (k, ф)+ Ъ cos (к, <р)].
Здесь введены обозначения (к, ф) = к^ -}-...+ кпц>п, г" =
= rfY"\ . . rfn (at > 0, а! +. . . + а„ = те/2, 2с^ — целые

112 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. 4
числа). Соответствующие одночлены в функции Sm ищем в виде
г°а [с sin (k, <p) -\- e cos (к, <р)]. I
Для функций сие получаем систему неоднородных дифференци-
альных уравнений
¦? (к,Х) е = a (t), ~ -f (кД) с — Ъ (t) C.8)
((к, X) = kjX,, + . . . + кпК), с @) = е @) = 0.
Решение этой системы имеет вид
с = f{t) cos (к, X)t+g (t) sin (к, %) t,
C-9)
e = —f(t) sin (k, >,) t + g (t) cos (k, k) f,
где
t
f(t) = l [a (x) cos (k, X) x — b (x) sin (к, Ц x] dx,
C.10)
g(t) — у [a (x) sin (k, X) x -\- b (x) cos (k, X) x] dx.
Полагая теперь в C.5) t = 2я, получаем производящую функ^
цию точечного отображения Т в окрестности неподвижной точки
гх = г2 = . . . = гп = 0.
§ 4. Нормализация точечного отображения
в окрестности неподвижной точки
После получения точечного отображения встает более сложная
и самая важная задача об исследовании свойств точечного отобра-
жения в окрестности неподвижной точки. Свойства точечного
отображения удобнее всего исследовать, если выбрать такую сис-
тему координат, в которой это отображение имело бы наиболее
простой вид. Эту простейшую форму точечного отображения бу-
дем называть его нормальной формой. Нормальная форма для
случая отображения Т плоскости в себя подробно изучена
Дж. Д. Биркгофом [28, 105]. Общие результаты о нормальной
форме дифференциальных уравнений и точечных отображений,
задаваемых периодическими по t системами, изложены в работе
А. Д. Брюно [11, 12].
Здесь получим нормальную форму точечного отображения, за-
даваемого канонической системой дифференциальных уравнений.
Будем считать, что нормализация линейной части отображения не
требуется. Это возможно, когда квадратичная часть функции

§ 4J НОРМАЛИЗАЦИЯ ТОЧЕЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ . ЦЗ
Гамильтона, соответствующей системе дифференциальных урав-
рений, имеет нормальную форму.
Итак, пусть <*. помощью процедуры, описанной в предыдущем
параграфе, мы уже получили производящую функцию S (фь г?)
отображения Г:
S = rj (q>1-2nX1) + . . . + г° (Фп - 2яХ„) + S3 (ф4)г?)+ • • •
D.1)
Явный вид отображения Т получается после разрешения относи-
тельно rt, (ft уравнений
Проведя несложные выкладки, получим отсюда
= ° I dSs I dS*
D.3)
95 9ад а^
дт т(Ф +и)
Введем теперь новые переменные рг, Qt так, чтобы максимально
упростить отображение D.3). Новые переменные введем при помо-
щи производящей функции
W = рхф! + . . . +Рпфп + W3 (pi, фг).
Эта производящая функция задает преобразование rit ф4 ->- рг, Qt.
Переход от переменных г\, ф? к переменным р?, 6° производится
при помощи той же производящей функции W, в которой надо
только рг, ф{ заменить нар?, ф?.
Из формул замены переменных
_ dW ft _ dW
получаем
Ф1 = Щ —
9Pi
D.4)
Связь между г?, ф? ир?, 0° получается по тем же формулам D.4),
в которых надо всем переменньш приписать верхний индекс нуль.

114 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. S
Попытаемся теперь так подобрать функцию W3) чтобы в про-
изводящей функции F (р°, 64) отображения р», 0i —>-pf, 0? отсут-
ствовали члены третьей степени относительно У р*. Подстави*
выражения старых переменных rit ф4 и г°, <р° через новые р (,
6» и р?, 0? соответственно в формулы D.2). Тогда
+ dQ +¦¦¦.
15? Щ—+ dQi
?, е?) , ау,(е,,Р?) ,
Здесь в явном виде выписаны только первые нелинейности по
~р[ и У р". Из формул D.5) получим
Pi = Pi Iq
D.6)
e? = ei — 2n^i + -A- [W, (p?, в4 - 2nXf) - W3 (p?, 6,) + 53 Fi, p?)] +...
"P{
Таким образом, члены третьей степени в новой производящей
функции
в,) = Р? (вх - 2пМ + . . . +р» @П -
имеют вид
J7, = W3 (р°, 6, - 2пХ{) - W3 (Pi, в,) + ?9 (вь р?). D.8)
Покажем, как надо выбрать TF3, чтобы функция F3 обратилась
в нуль. Возьмем в S3 два таких одночлена:
р°а [а sin (k, в) + р cos (к, в)]. D.9)
Здесь р°а =pi р* *• • -0пп, 2а4 — целое неотрицательное число,
2 (a,i + аа + • • • + On) = 3, ст и р — некоторые числа, одновре-
менно не равные нулю, через (к, в) обозначена величина kxQi -j-
+ Л202 + . . . + ^вП1 где | кг | +1 А*, | + . . . +1 ^з | = 3 или 1.
Соответствующие одночлены в W3 возьмем в виде
р°а [у sin (к, в) + б cos (к, в)] D.10)
и подберем коэффициенты у и б так, чтобы подобные им одночлены
в F3 отсутствовали. Подставляя D.9), D.10) в D.8), получаем,
что для этого у и б должны удовлетворять такой системе линейных

Ц 5J ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА 115
алгебраических уравнений:
V [1 — cos 2п (к, К)] — б sin2n (к, X) = а, ,4 щ
у sin 2я«(к, Я,) + 6 [1 — cos 2п (к, К)) = р.
Определитель этой системы равен 4 sin2n (к, %). Поэтому, если
(к, X) не будет целым числом при | Ага | +1 к2 \ -{-... -\-\ кп\ <^,
<^ 3, то F3 можно полностью уничтожить. При этом коэффициен-
ты у и б получаются такими:
Проведя некоторые достаточно громоздкие выкладки, получим,
что при таком выборе W3 члены четвертой степени в производя-
щей функции F отображения pit 0г- ->р?, 9? вычисляются по фор-
муле
^^hJ Jt ^P
k=l *
Если же число (к, X) будет целым, то система уравнений D.11)
в общем случае решения не имеет и, следовательно, соответству-
ющие одночлены в функции F3 уничтожить нельзя.
Проведя аналогичные построения, можно упростить члены
четвертой, пятой и т. д. степеней в производящей функции отобра-
жения. В нормальной форме отображения Т производящая функ-
ция будет содержать угловые переменные в виде таких комбина-
ций (к, 0), для которых (к, %) — целое число. Если нормализация
проведена до членов конечного порядка, то нормализующее пре-
образование гг, фг-»-рь Эг будет аналитическим относитель-
но]/^.
§ 5. Получение функции Гамильтона по отображению
В предыдущем параграфе показано, как по функции Га-
мильтона построить точечное отображение. В этом параграфе крат-
ко рассмотрим обратную задачу, как по отображению Т построить
соответствующую функцию Гамильтона динамической системы.
Очевидно, что обратная задача не имеет однозначного решения.
Производящая функция отображения связана с функцией
Гамильтона посредством системы дифференциальных уравнений
C.6). Пусть отображение Т и функция Гамильтона Я в их линейной
части по rt имеют нормальную форму. Покажем, как найти Н3 (фг,
ru t), если известна функция S3 (фг, г?, 2п).
Возьмем в функции S3 два одночлена вида
r°a[cm sin (k, <p) -f em cos (k, <p)],J

Ц6 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. 6
где ст в ет — константы. Соответствующие одночлены в функции
Hs будем искать в виде
- г*[ат (t) sin (k, q>) + bm (t) cos (k, q>)]. E.1)
Функции ат (t) и bm (t) ищем 2п-периодическими но t. Согласно
C.9) иC.10), они должны удовлетворять следующим соотношениям:
ст = f Bя) cos 2я (к, Ц + g Bя) sin 2л (к, X),
E.2)
em = — / Bл) sin 2л (к, X) + g Bя) cos 2я (к, X),
где
2П
/ Bя) = ^ [ап @ cos (к, Я,)* - Ът (t) sin (к, X) t] dt,
2Д E.3)
g Bл) = ^ [am (f) sin (к, X) i + bm (t) cos (k, X) t] dt.
a
Функции am (t) и 6m (t) определяются из E.2) и E.3) неоднознач-
но. Если (к, X) не будет целым числом, то их можно считать не
зависящими от t. Из E.2) и E.3) в этом случае для них получаем
выражения
ат = —g-^- [cm ctg я (к, X) — ет],
Ьп = -^- [ст + ет ctg я (к, X)].
Соответствующие одночлены E.1) в Н3 будут в этом случае такими:
+ emcos [я (к, <р) -f я (к, X)]}.
Если же число (к, X) будет целым, то функции ат (t) и bm (t)
постоянными получить нельзя. Пусть (к, X) = N. Тогда прибав-
ление к функциям ат (t) и bm (t) гармоник вида sin pt и cos pt
(р ф + N) не нарушает равенств E.3). Будем поэтому искать
функции ат (t) и bm (t) в таком виде, когда они не содержат гармо-
ник sin pt, cos pt для р Ф + TV. Положим
a-m (t) = 0,1 sin Nt -\- bx cos Nt, bm (t) = a2 sin Nt -j- ^2 cos Nt.
Для чисел at, bt из E.2) и E.3) получаем соотношения
л (&! — а2) = ст, л (at -{- 62) = ет.
Здесь опять проявляется неоднозначность определения ат (t)
и bm (t). Используем эту неоднозначность для того, чтобы полу-
чить искомые одночлены в Н3 в нормальной форме, т. е. чтобы
она содержала синусы и косинусы только с аргументами вида

p 6] устойчивость неподвижных точек 117
к, q>) — Nt. В этом случае следует, очевидно, положить
ах = Ь% = -^-, а% = — 0х — 2S" •
Входящие в Нг одночлены будут иметь вид
4" <Cm sin [(к' »> ~ ^<] + em cos [(k' ф) ~ ^]} Г" E'4)
После того как функция Н3 найдена, можно из уравнений C.6)
найти S3 (ф,-, r°, t). Потом можно найти #4, S4, Hs и т. д.
Проведенные рассмотрения приводят к следующему, основан-
ному на применении точечных отображений способу нормализации
2л-периодических по t гамильтоновых систем. Решив уравнения
C.6), находим производящую функцию S точечного отображения Т.
Затем вводим новые координаты, в которых функция S имеет
нормальную форму. Последний шаг — получение по нормали-
зованной производящей функции нормальной формы функции
Гамильтона.
Основные преимущества предлагаемого способа нормализа-
ции функции Гамильтона перед классическим способом Бирк-
гофа, по-видимому, следующие:
1) Отпадает необходимость находить периодические решения
систем дифференциальных уравнений, определяющих произво-
дящую функцию преобразования Биркгофа. Это приводит, в ча-
стности, к значительному уменьшению необходимых вычислений.
2) Исследование неавтономной нелинейной системы дифферен-
циальных уравнений сводится к исследованию алгебраических
свойств производящей функции отображения.
§ 6. Об устойчивости неподвижных точек отображения
в случае резонанса
В этом параграфе рассмотрим задачу об устойчивости неподвиж-
ных точек точечного отображения, задаваемого гамильтоновымк
дифференциальными уравнениями. Будут рассмотрены случаи,
когда величины Xt связаны резонансными соотношениями третьего
и четвертого порядков. Будут доказаны два утверждения о неустой-
чивости. Их доказательство основано на приведении точечного
отображения в окрестности неподвижной точки (которую считаем
совпадающей с началом координат) к нормальной форме с после-
дующим применением теоремы § 2 о неустойчивости неподвиж-
ной точки отображения. По аналогичной схеме исследована устой-
чивость положений равновесия гамильтоновой системы с одной
и двумя степенями свободы в работах автора [53, 55, 60] и авто-
номной гамильтоновой системы с произвольным числом степеней
свободы в работе Хазина [92]. Теоремы о неустойчивости, полу-

118 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ. 6
ченные ниже, применимы как к случаю автономной, так и к случаю
неавтономной гамильтоновой системы и содержат в себе, как
частные выводы, утверждения упомянутых работ [53, 55, 60, 92]
о неустойчивости.
Рассмотрим сначала резонанс третьего порядка. Пусть в произ-
водящей функции D.1) величины Яг таковы, что для целых неотри-
цательных чисел kit сумма которых равна трем, число к^ +
+ k2X% + . . . -J- к-п^п будет целым, равным N. При этом считаем,
что других резонансных соотношений третьего порядка нет.
Предположим также, что уже проведена нормализация произ-
водящей функции до членов третьего порядка. Тогда, согласно
§ 4, производящую функцию отображения Т можно записать
в виде
S = г?(ф1 - 2nKj) +. . .+г°п (фп- 2пкп) +
+ a sin [(k, ф) + Ь] г°а + О (г2). F.1)
В D9) г»а = rf'rf1 . . . rfn; 2аг = ки аг + а2 + . . . + ап =
= 3/2; О (г2) — величина порядка r\ -f- r\ + . . . -f* r«» а и b —
некоторые числа, причем ясно, что можно считать а ^> 0; (к, <р) =
— ^1ф1 + ^2ф2 + • • • + kn(f)n.
Теорема. Если афЬ, то неподвижная точка гх = г2 = . . . =
= гп = 0 неустойчива.
Для доказательства выпишем сначала точечное отображение
в явном виде. Из F.1) получаем
П = г? + акгг°а cos [(k, ф<>) + ц + О (г<>2),
? - аа{ -^- sin [(к, ф«) + Ь]
r
Прежде чем приводить строгое доказательство, проведем ана-
лиз приближенного отображения, оставив в F.2) только главные
члены по г°. Такое укороченное отображение имеет, как легко
проверить, инвариантные множества
Jj = kxTj — к]ГХ = const (/ = 2, 3, . . ., п). F.3)
Если точка М лежит на поверхности F.3), то и ТтМ тоже будет
лежать на этой поверхности для всех т. Возьмем начальную точку
М такой, чтобы она принадлежала пересечению поверхностей
кхг} — kjn = 0. F.4)
Тогда для укороченного отображения получим
г, = г? + ak^kf'rf* cos [(k, фо) + b], F5)
(к, ф)> (к, фо) + 2nN - a-^k*k;ll2r?/8sin [(k, ф«) + 6].

I 6J УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 119
Йдесь А° = k^lff . . . h%n. Отметим, что мы считаем Лх Ф 0, т. е.
что величина %1 входит в резонансное соотношение. Это, разумеется,
не ограничивает общности рассмотрения.
Из F.5) видно, что если (к, <р°) + Ъ = 0, то после лг-кратного
применения отображения Т получим
(k, q>) = (к, <р°) + 2nmN,
а величина rt неограниченно возрастает.
После этого предварительного анализа уже .несложно провести
строгое доказательство теоремы. Для доказательства неустойчи-
вости построим функцию V, удовлетворяющую условиям теоремы
§ 2 о неустойчивости. И будем ее строить так, чтобы область
V ^> 0 была узкой областью, содержащей внутри себя пересече-
ние поверхностей F.4). Именно такая идея построения функции
Четаева V была использована в работах автора [53, 55, 60], а затем
Хазиным в работе [92].
Функцию V возьмем в виде
п
Vr = r1II(^-^)cos[(k,V) + b]. F.6)
3=2
За область V ^> 0 берем область
^ < (к, Ф) + р < -f-, ri = ±
Получим теперь разность V (rh ф,) — V (г\, ф?). Для этого надо
V (ri> 4>i) выразить через г?, ф? согласно формулам отображения
F.2), причем для упрощения выкладок это следует делать сразу
для области У ^> 0.
В области V ^> 0 отображение F.2) дает соотношения F.5).
Только в первом из этих равенств надо добавить величину поряд-
ка г0', а во втором — порядка г°. Поэтому в области V'^> 0 получа-
ем такие оценки:
П (rl - J)) = П A - ril) {гГ~3 [1 + а (Зп - 3) к?^г?/2]+О(гГ2)},
;'=2 3=2
cos [(k, ф) + Ь] == cos Ф + -A- ak*kl1/2rf'2 sin2 Ф + О (г?).
Здесь введено обозначение Ф = (к, <р°) -|- Ь.
Теперь для разности V (^,фг) — V (г?, ф?) в области V > 0
получаем такое выражение:
У (г. ф.) _ V (ri, ф?) = П" /4 „»\ I _;.-1/2;.„_03"-8/2
X
х
[l + (Зга - 3) cos Ф + -L sin2 ф] + О (гГ)}- F.7)

120 ТОЧЕЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НОРМАЛИЗАЦИИ [ГЛ.! 6
Величина, стоящая в фигурных скобках выражения F.7), в облас-
ти V ^> 0 будет больше единицы. Поэтому при достаточно мальрс
г4 в области V ]> 0 разность V (ги ф{) — V (г?, ф?) положительна.
Следовательно, неподвижная точка rj = rj = . . . = г„ = 0 не-
устойчива.
Рассмотрим теперь резонанс четвертого порядка. Пусть Kt
удовлетворяют резонансному соотношению кх\х -J- . . . -fcknXn =
= N для целых kt 1> 0, сумма которых равна четырем.
И пусть нет других резонансов третьего и четвертого порядков.
Производящая функция нормализованного до членов четвер-
того порядка по V г" отображения имеет вид
S = г<г0)(ф1- 2пкг) + ... + г(п0)(Фп - 2пК) + ПЛ) +G(r°u ф|) + O(rf\
Здесь
€(i?t ф,) = arWsin [(k,<p)+ 6], аг > 0, «! +а2 +. . .+ а„ =2,
величины а,-у, а, Ъ — некоторые числа.
Явный вид отображения Т такой:
г, = г] + акр* cos Ф + О {rf\
Ф, = ф? + 2яХ;- — 2 S «яГ? - aa,—rsin Ф + <9(rf2). F.8)
Теорема. Если выполняется неравенство
| afc« | > | F (kt) |, F.9)
то неподвижная точка r[0^ = г|0) =. . . = rl0) = 0 точечного отобра-
жения F.8) неустойчива.
Для доказательства функцию F и область F ^> 0 берем такими
же, как и при резонансе третьего порядка. В области V ^> 0
получаем такие оценки:
Г1 = г? + akrtfrl' cos Ф + О (rf2),
П D - J)) = П A — 4j) rf1 311 + a Cb — 3) k^k^rl cos Ф + О (rf\
п
Ф, = Ф? + 2яЛ, - ^-V a^kfl -a^- tfkb-l sin Ф + О (rf\

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 121
(к, q>) = (к, <р°) + 2nN - 4- [F (h) + «^sin Ф] г? + О {rf\
cos [(к, ф) + Ь] = cos Ф + -^- [F (кг) + а№ sin Ф] sin Ф + О {rf").
Используя эти оценки, получаем в области V ^> 0 такое выражение
для разности V (ги фг) — V (г?, ф°):
V (ги ф1) - V (г?, Ф?) = П A - nl)
X
nl/2.
X [аА:а sin2 Ф + 2F (кг) sin Ф + ака + За (ге — 1) А« cos2 Ф + О {П )].
F.10)
Четвертое слагаемое в квадратных скобках неотрицательно в об-
ласти V ^> 0. СуАма же первых трех слагаемых строго положи-
тельна, если выполняется условие F.9). В самом деле, эту сумму
можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно sin Ф.
Дискриминант трехчлена
D = 4 IF2 (kt) — a2^]
и отрицателен, если справедливо неравенство F.9).
Следовательно, в области F^>0 разность V {ги фг)— V(r\,^\)
положительна и, согласно §2, неподвижная точка гх = г, =. . .
. . . = гп = 0 неустойчива.

ГЛАВА 7
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Функция Гамильтона задачи трех тел
Рассмотрим три материальных тела (точки), взаимно притяги-
вающиеся по закону Ньютона. Как и в главе 1, будем интересо-
ваться частным случаем задачи трех тел — случаем ограниченной
задачи.
В главе 1 получены пять точек либрации Li (i = 1, 2,. . ., 5)
ограниченной задачи трех тел и в случае круговой задачи исследо-
вана их устойчивость в первом линейном приближении. Показано,
что прямолинейные точки либрации Llt L2 и L3 неустойчивы в линей-
ном приближении, так как соответствующие им характеристические
уравнения имеют корни с положительными вещественными частя-
ми. Отсюда следует неустойчивость точек либрации Ьъ ?2 и L3
и в строгой нелинейной постановке. Треугольные точки либрации
14 и i5 в линейном приближении устойчивы только при достаточ-
но малом отношении масс основных притягивающих тел S ж J;
более точно, при выполнении неравенств C.1) главы 1.
В этой и последующих главах излагается решение задачи об
устойчивости треугольных точек либрации в следующих случаях
ограниченной задачи трех тел: 1) плоском круговом, 2) пространст-
венном круговом, 3) плоском эллиптическом, 4) пространственном
эллиптическом.
Получим выражение для функции Гамильтона задачи трех тел.
Движение будем рассматривать в координатах Нехвила |, г|, ?
с истинной аномалией v кеплеровского движения тел S и / в ка-
честве независимой переменной. Единицы измерения выберем
такими, чтобы сумма масс тел S и /, расстояние между ними и
постоянная тяготения равнялись единице. Уравнения движения
запишутся в виде соотношений A.10) главы 1. Эти уравнения мо-
гут быть записаны как уравнения Лагранжа второго рода с функ-
цией Лагранжа L вида
L = -f (Г2 + л'2 + ?") + (л'? - л?') + t + e\os v Q- (i-i)
Штрих в A.1) означает дифференцирование по v. Введя обоб-
щенные импульсы
dL w d?j , . с. t/i' w /л о\
p^ = W==l Л' ¦Pti = W=T1+S' ^ = 9f- = S A.2)

С 2] ПРЕДЫСТОРИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 123
и проведя затем несложные выкладки, получим такое выражение
для функции Гамильтона:
(Л + р\ + Pi
Pi)
ec03V (Р I тJ I ?*)
W A3)
' 2 A + e cos v) vs ' ' ' ь ' 1 + e cos v
§ 2. Краткая предыстория решения задачи
об устойчивости лаграпжевых решений
Легко проверить, что уравнения движения с гамильтонианом
A.3) допускают такое частное решение:
- 1 —2р.
SO — о '
J4 =
Это частное решение соответствует периодическому движению
Лагранжа (точке либрации) задачи трех тел. Для решения B.1),
в случае эллиптической задачи, три тела во все время движения
образуют в абсолютном пространстве равносторонний треуголь-
ник, длины сторон которого периодически изменяются. В случае
круговой задачи длины сторон треугольника постоянны. Решение
B.1) обозначается через ?4. Симметричная относительно оси 0%
треугольная точка либрации обозначается через Ь&.
Задача об устойчивости треугольных точек либрации L4 и
L5, в противоположность задаче об устойчивости прямолинейных
точек L±, L2 и La, оказалась чрезвычайно сложной. К настоящему
времени полный завершающий ответ на вопрос об устойчивости по
Ляпунову треугольных точек либрации получен не во всех случа-
ях. Полное решение вопроса достигнуто только в плоской круго-
вой задаче. Но в плоской эллиптической задаче, в пространствен-
ной круговой и пространственной эллиптической задачах достиг-
нуто значительное продвижение, так что практически и здесь
задача об устойчивости очень близка к полному завершению.
Изложению и обсуждению всех этих результатов посвящены насто-
ящая и последующие три главы книги. Но сначала изложим очень
краткую предысторию решения задачи об устойчивости треуголь-
ных точек либрации.
Необходимое условие устойчивости треугольных точек либра-
ции круговой задачи трех тел
О<27цA - ц)< 1 (о<ц<ц* = 9~^69 = 0,0385208)B.2)
упоминается, по-видимому, впервые в 1843 году в работе Гашо [134].

124 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ (ГЛ. 7
В 1875 году Раусе [169] решил (в линейном приближении) задачу об
устойчивости треугольных точек либрации для неограниченной
задачи трех тел (когда масса тела Р не бесконечна мала, а равна
некоторой конечной величине, так что тело Р уже само влияет
на движение двух других тел S и /) и для произвольного закона
притяжения. Рассмотрев плоскую задачу и предположив, что при-
тяжение тел пропорционально произведению их масс и обратно
пропорционально n-й степени расстояния между телами, Раусе
показал, что при п > 3 точки либрации неустойчивы. Если же
п < 3, то имеет место устойчивость при выполнении неравенства
(ю0 + "ч -}- тагJ ^ 3 / 1 + я \а ^2 3}
Здесь тоо> Щ и то2 — массы тел Р, S и / соответственно. Для
случая ограниченной задачи (т0 = 0) при ньютоновском притяже-
нии (и =а 2) неравенство B.3) переходит в условие устойчивости
B.2). В 1889 году А. М. Ляпунов рассмотрел задачу об устойчи-
вости в линейном приближении треугольных точек либрации
для случая неограниченной пространственной вадачи трех тел
при притяжении тел, обратно пропорциональном га-й степени
расстояния между ними. Стороны треугольника, образованного
тремя телами в невозмущенном движении, А. М. Ляпунов не
считает постоянными, а они могут периодически изменяться.
Результаты исследования А. М. Ляпунова опубликованы в его
замечательной работе [48]. Результаты, полученные Рауссом,
следуют из результатов Ляпунова как частный случай. В недавних
работах А. Л. Куницына [34, 147] дана интересная геометриче-
ская интерпретация условия устойчивости B.3) в линейном
приближении и сделана попытка получения некоторых строгих
выводов об устойчивости в нелинейной задаче.
Исследования А. М. Ляпунова по устойчивости в линейном
приближении точек либрации плоской эллиптической ограничен-
ной задачи трех тел были продолжены в работах [19, 42, 99, 103,
104, 110, 136, 144, 152, 153, 160, 161]. На результатах этих работ
мы подробнее остановимся в главе 9.
Важный шаг в задаче об устойчивости точек либрации (в плос-
кой ограниченной круговой задаче) был сделан в 1959 году Литл-
вудом [152, 153]. Он показал, что при начальном возмущении
порядка е отклонение тела Р от вершины треугольника будет
иметь тот же порядок в течение интервала времени, равного
ехр (Аг~11г | log e|~3/4), где величина А зависит только от ц.
Начало полному строгому решению задачи об устойчивости
треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел было
положено в 1962 году в работе А. М. Леонтовича [37], в которой
для случая плоской круговой задачи показано, что устойчивость
точек либрации имеет место при всех ц, удовлетворяющих необхо-

31
ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
125
димому условию устойчивости в линейном приближении B.2),
кроме, быть может, множества значений |а, имеющего нулевую
меру. В 1967 году Депри показали [111], что это исключительное
множество состоит всего из трех значений fx.
В недавнее время задача об устойчивости треугольных точек
либрации подробно была рассмотрена в цикле работ автора
[56, 58, 59, 62—67]. К ним примыкает также совсем недавняя
работа А. Г. Сокольского [88]. Все полученные результаты будут
подробно изложены ниже. В этой главе проведем исследование тре-
угольных точек либрации в плоской круговой задаче трех тел.
§ 3. Гамильтониан возмущенного движения
Сначала получим выражение для функции Гамильтона, описы-
вающей движение в окрестности- лагранжевой точки либрации L«.
Сделаем замену переменных
I = U + ?i. Л = -По + Яг, ? = ?о + q3,
Pi ~ Р|0 + Ри Pr\ = Pr\o + />2> Pi = Pto + Рз-
Решение B.1) в новых переменных будет положением равновесия
Чг — Pi — 0 (* = 1. 2, 3). Разлагая функцию Гамильтона A.3)
в ряд по степеням qt, р^ получаем
Н = Яа + #з + Я4 +. . . C.1)
Здесь отброшены члены, не зависящие от qt, pt, а через Нт обоз-
начена форма степени т относительно qit pt. Первые шесть форм
Нт получаются такими:

126 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. Т
тт 1 / 331 « , 49* 8 , 6105
Й 9 + М +
/ 331 « , 49* 8 , 6105 4 2
\~ 1024 9l + 128 Мг + 10243l?a
+ ecosv
35fc з з 7965 2 4 119fc s , 383 . 285 4 а
-4 ^ -1024М2 ~ 128 ^ + 1024^-256^3 -
35А: з 2 . 1395 2 2 2, 175/с з 2 , 555 4 а
те" qiq*q* + 28" Ь9«« + ~16~ ад^3 + 256 q2q* —
45 2 4 35fc 4 255 а 4 ¦ 5 «\
- -ex аде - т ?i?«?S - бг дав+16" eS) •
В выражениях C.2) — C.6) для краткости введено обозначение
к -
§ 4. Решение задачи об устойчивости точек либрации
для значений параметра ц из области
устойчивости в первом приближении
Рассмотрим случай плоской круговой задачи трех тел. Гамиль-
тониан возмущенного движения записывается в виде разложения
C.1), в котором надо положить е = 0, q3 = р3 = 0. Таким образом,
получаем динамическую систему с двумя степенями свободы,
гамильтониан которой не содержит явно времени. Пусть значе-
ние параметра ц удовлетворяет условию B.2) устойчивости тре-
угольных точек либрации в первом приближении. При строгом ис-
следовании устойчивости будем применять результаты теории
автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы
(см. главу 4) и докажем следующее утверждение [563.
Теорема. В области устойчивости в линейном приближении
B.2) треугольные точки либрации плоской круговой ограниченной
задачи трех тел устойчивы по Ляпунову при всех значениях ц,
кроме двух значений
., 15-/213
\L = g =
= 0,0135160..., D.1)
при которых имеет место неустойчивость.
Для доказательства необходимо получить нормальную форму
гамильтониана C.1) и по свойствам нормальной формы сделать
выводы об устойчивости и неустойчивости. Прежде всего надо про-
вести нормализацию гамильтониана Н2, соответствующего линей-
ной системе. Согласно главе 2, задача линейной нормализации
сводится к некоторым несложным алгебраическим операциям над
коэффициентами гамильтониана Я2. После их проведения получаем

§ 4J РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 127
линейное каноническое нормализующее преобразование в таком
виде:
<72 — a-iC^q'i + а2с<дг + ai&iPi — а-ФгР'г, D-2)
/ I it t \ ' (A L \ '
JP2 == ^1 \-* — ^1^1/ Ql ~T~ ^2 V^" ~~" ^2/ ^2 '
В D.2) введены следующие обозначения:
4(о? + 9 q гл.
а--1.
1
Частоты а»; (©! ^> со2 !> 0) удовлетворяют уравнению
^|л) = 0. D.3)
Если теперь еще ввести канонические переменные гь <р,- по фор-
мулам
~~2гГ
sin ф{, pi = у 2ггщ cos ф4, D.4)
то гамильтониан Н2 запишется в виде
#а = со^ — со2г2. D.5)
Следует отметить, что линейное нормализующее преобразование
определяется функцией Я2 неоднозначно. В работе [106], например,
преобразование, аналогичное D.2), найдено в другой форме.
Дальнейшую (нелинейную) нормализацию можно проводить
различными способами, например, при помощи классического пре-
образования Биркгофа или способом, разработанным в работе
[112], или каким-либо другим путем.
Нормальная форма будет различной в зависимости от того,
есть резонансные соотношения между со: и со2 или нет. В области
B.2) устойчивости линейной задачи условие отсутствия резо-
нансов до четвертого порядка включительно
п^! + ЩЩ Ф 0 @< | пг | + | щ | <; 4)
нарушается в двух случаях: при (х = ц.х и \л = (х2. При (х = цг
имеет место резонанс третьего порядка
а при ц = ц2 — резонанс четвертого порядка

128 устойчивость в плоской круговой задаче [гл. 7
Рассмотрим сначала нерезонансный случай, т. е. предположим,
что (а Ф Hi (i = 1, 2). Тогда нормализованная до членов четвер-
того порядка функция Гамильтона будет иметь такой вид:
Н = со^ — ®2r2 + ciOrl + Сц/уа + coirl + О (fo + r2)*/.).
Коэффициенты ctj получены Депри в статье [111]. Они имеют вид
в>| A24<о*— 696to| + 81)
144A — 2o)JJ A — 5@*)
«1 + 43)
6A-2сфA-2ш5)A-5ш;)A-5а>«) '
144A
Согласно Арнольду и Мозеру (см. главу 4) при выполнении нера-
венства D3 = с20со| + Сцсо^ + c02cOi Ф 0 имеет место устойчи-
вость по Ляпунову. При помощи D.6) в статье [111] получено
такое выражение для D3:
D3= 4^°}',
16A — 4ш
Рассматривая числитель выражения для D3 как биквадратный
многочлен относительно произведения частот сохСОг и используя
уравнение D.3), легко получить [111], что D3 обращается в нуль
только при одном значении \л из интервала B.2):
^ = 1X3 = 0,0109136. . . D.8)
На рис. 6 представлены график функций с20, сп, с02 и Ds в зави-
симости от ц.
Таким образом, применив в рассматриваемой задаче результаты
Арнольда и Мозера по теории гамильтоновых систем, Депри пока-
зали [111], что треугольные точки либрации устойчивы при всех
ц из области B.2), кроме, быть может, трех значений цг (i =
= 1,2, 3), при которых неприменима теорема Арнольда—Мозера.
Рассмотрим устойчивость при этих трех исключительных зна-
чениях параметра ц. При ц = [x2 (cox = 2со2) нормализованная
до членов третьего порядка функция Гамильтона имеет вид
[56, 63]
Н = о»!?-! — С0гГ2 + ахг2j/ rx sin (срх + 2ср2) +
+ pir2y7i"cos (фх + 2ф2) + О ((гх + г2J), D.9)
где ах = 1,322.. ., р\ = 0,298. . . Так как а\ + р? Ф 0, то,
согласно § 2 главы 4, имеет место неустойчивость.

§4)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
12)
При Цх = (х2 (а»! == Зю2) нормализованная функция Гамильтона
такова:
Н = ©л —
с2(,г|_+
ггг2 cos
sin (фх +
г2)*Л), D.10)
где ©! = 0,948 ..., со2 = 0,316..., с20 = 0,137..., сп = —2,176 ....
с02 = 0,246. . ., а2 = —1,461. . ., р2 = —4,235... Имеем
Зф2) +0
= 0,13
= —4
I с20 + Зс„ + 9с021 = 4,170 . . ., 3/ 3
^ 23,282...
Так как ЗК 3 (al+ р2) > | с20 + Зсп + 9с02 | , то, согласно § 3
главы 4, имеет место неустойчивость.
Иг И-* И-
40
20
0
-го
чо
Иг ft И*
\J
Ц
чо -
го-
о
-го
-40
Г Р
Рис. 6. Коэффициенты нормализованного гамильтониана плоской задачи
и условие устойчивости D3 ф 0.
Теперь рассмотрим устойчивость при ц = (х3. Это нерезонанс-
ный случай. Для решения задачи об устойчивости здесь необхо-
димо произвести нормализацию гамильтониана до членов выше
четвертого порядка, так как члены до четвертого порядка включи-
тельно вопроса об устойчивости не решают. Здесь надо применить
теорему об устойчивости, приведенную в | 5 гл. 4.
Оказалось [56], что для решения вопроса об устойчивости
при ц = ц.3 Достаточно учесть в гамильтониане члены не выше
шестого порядка. При этом в нормализованной до членов шестого
порядка включительно функции Гэютльтона коэффициенты имеют
такие числовые значения (нормализация проводилась на ЭВМ):
©! = 0,959. . . , coj = 0,281. . . , с80 = 0,097...,
сп = —1,389. . . , с02 = 0,398. . . , с30 = —0,219. . . ,
с21 = 7,794. . . , сп - —209,931. . . , с03 = -14,528. . .
5 А. П. Маркеев

130 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 7
Для этих значений коэффициентов выполняются неравенства
wx ф <й2, ®1 Ф 2и>2, ©1 Ф Зсо2, а»! Ф 4ю2, а1 ф 5со2, 2©! ф Зсо2,
+ CaiCOatOj + с12ю2ю? + с08ю? = —66,631. . . ф 0.
Поэтому при ц, = ц.3 имеет место устойчивость.
Проведенные рассмотрения показывают справедливость сфор-
мулированной в начале параграфа теоремы об устойчивости тре-
угольных точек либрации плоской круговой ограниченной зада-
чи трех тел.
§ 5. Об устойчивости точек либрации
при критическом отношении масс
В предыдущем параграфе доказана теорема, полностью реша-
ющая задачу об устойчивости треугольных точек либрации для
всех значений ц, лежащих внутри области B.2) устойчивости в
первом приближении. Известный интерес представляет также зада-
ча об устойчивости при граничных значениях (х области B.2).
При р, = 0 вопрос решается просто, так как задача трех тел
при этом переходит в задачу двух тел, а задача об устойчивости
точек либрации сводится к исследованию устойчивости движения
материальной точки вокруг неподвижного притягивающего цент-
ра, а такое движение, как известно, неустойчиво, так как сколь
угодно малое возмущение начальных условий приводит к измене-
нию периода кеплеровского движения; здесь имеет место лишь
орбитальная устойчивость (по этому вопросу см. также работу
А. Г. Сокольского [85]).
Исследование устойчивости движения при
ц = (х* = (9 - /69)/18 = 0,0385208. . .
(критическое отношение масс или, как иногда говорят, крити-
ческое отношение масс Рауса) представляет значительные труд-
ности. При |х = (д.* частоты линейных колебаний равны, а лине-
аризованная система, как уже отмечалось в главе 1, неустойчива.
Исследование устойчивости точек либрации при ц=ц* в нелиней-
ной постановке задачи проведено А. Г. Сокольским в работе [88]
как для плоской задачи, так и для пространственной. Кратко опи-
шем полученные результаты в случае плоской задачи.
При \л = ц* матрица линеаризованной системы уравнений
возмущенного движения к диагональной форме не приводится.
Ее собственные числа равны + 1^2/2. Линейное вещественное
каноническое преобразование qt, pt -*¦ q\, p\, задающееся при

S 5]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ КРИТИЧЕСКОМ ОТНОШЕНИИ МАСС
131
помощи м
N =
атрицы
43/То
100
/230
100
/230
10
17/10
/115
50
/5
50
3/Г
20
и/Ш
/230
10
/То
10
/То
4
/230
3/5
10
/Ш
10
0
2/5"
50
100
20
\ /2
у (?i
32
E.1)
приводит квадратичную часть Н2 функции Гамильтона C.1)
(при е = 0) к следующей нормальной форме:
E.2)
Проведя затем нелинейную нормализацию q'j, p'j -*- qj, p; и
проделав все вычисления согласно формулам работы [87], приве-
денным, в § 4 главы 4, получим гамильтониан возмущенного
движения в виде
Н = Я2
+ Ql + ^l) [A CpI +pl)
- ?«Pi) +
... E.3)
В E.3) не выписаны члены выше четвертого порядка относитель-
но q~j, "pj. Коэффициент А в гамильтониане E.3) равен 0,603...
Так как он положителен, то, согласно § 4 главы 4, точки либрации
формально устойчивы.

ГЛАВА 8
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ
mTiT>-v TV TI
§ 1. Нормальная форма функции Гамильтона
В этой главе проводится исследование устойчивости треуголь-
ных точек либрации в случае пространственной круговой задачи
трех тел [63]. То есть, как и в исследовании предыдущей главы,
орбита основных притягивающих тел S и / предполагается кру-
говой, но на тело Р бесконечно малой массы в начальный момент
времени действуют не только плоские возмущения, но и возмуще-
ния, выводящие его из плоскости вращения тел S и /. Теперь
в гамильтониане возмущенного движения C.1) предудущей гла-
вы следует положить только е = 0, а координата q3 и импульс
ра нулю не равны. И, таким образом, необходимо исследовать
устойчивость положения равновесия qt = pt = О в атономной
гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Изучение этой
системы основано на результатах теории устойчивости многомер-
ных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5.
Для исследования устойчивости надо получить нормальную
форму функции Гамильтона возмущенного движения. Сначала
необходимо провести нормализацию квадратичной части Н2 функ-
ции Гамильтона. Соответствующая линейная каноническая за-
мена переменных для величин qt, pt (i = 1, 2 ) имеет вид D.2)
главы 7. Пространственные переменные q3 и р3 при линейной
нормализации не изменяются: q3 = q$, p3 = р3. Сделав еще
замену переменных по формулам D.4) главы 7, в которых со3 = 1,
получим квадратичную часть функции Гамильтона в виде
L = (аггг ~ щгг + (й3г3 (со3 = 1). A.1)
Если частоты со? не связаны резонансными соотношениями до
четвертого порядка включительно, т. е. для целых чисел nt выпол-
нено условие
п3(д3 ф 0 при 0 <|ni| + [n2| + |ге3|< 4, A.2)
то при помощи преобразования Биркгофа q[, pi -*¦ ql, pi,
задаваемого сходящимися степенными рядами, функция Гамиль-
тона приводится к виду
Н = L(ru г2, г3) + N (г„ г2, г3) + О ((г, + г2 + г,)*/.). A.3)

НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА
133
Здесь L определено равенством A.1), а функция N (rlf r2, г3)
такова:
\ 1 + соигагз + сооагз A.4)
Brt =qi + Pi ).
Вычисления показывают, что условие A.2) нарушается в нашей
задаче в области устойчивости линейной системы 0 < 27ц A —
— ц) ¦< 1 при пяти значениях параметра ц, соответствующих
следующим пяти резонансным соотношениям:
1) он — 2со2 = 0, 2) о»! — Зсо2 = 0, 3) 2ю2 — 1 = О,
4) Зсо2 — 1 = 0, 5) 2@! — со2 — 1 = 0.
Учитывая тот факт, что Н3 и Я4 — четные функции q3, легко
показать, что наличие резонансных соотношений C) — E) не
Рис. 7. Коэффициенты нормализованного гамильтониана, соответствующие
пространственным переменным.
приводит к появлению нулевых знаменателей при получении
производящей функции, задающей преобразование Биркгофа, и
потому не мешает получению нормальной формы A.3). При ре-
зонансах A) и B) нулевые знаменатели появляются. Соответ-
ствующими значениями [I будут значения цх и ц2, рассмотренные
в предыдущей главе в случае плоской круговой задачи. Было
показано, что при значениях (х, равных (xt и ц2, в плоской задаче
точки либрации неустойчивы. Эта неустойчивость, конечно, оста-
ется и в рассматриваемом сейчас случае пространственной за-
дачи.
Пусть ц Ф Hi (i = 1, 2). Тогда при всех остальных значениях
}i из области 0 < 27(х A — р) <; 1 устойчивости в первом при-

134 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
ближении нормализованная до членов четвертого порядка вклю-
чительно функция Гамильтона будет иметь вид A.3). При этом,
конечно, при всех ц с2(Ю = с20, сп0 = сц, с020 = сй2, а выражения
для этих коэффициентов получены в [111] и приведены в преды-
дущей главе. Для остальных коэффициентов нормальной формы
A.3) получаем после проведения довольно длительных выкладок
следующие выражения [63]:
3A-2а>«)D-<ф '
3A —2ш|)D —i
С002 = -~Т. о. ,.
Графики коэффициентов A.5) в зависимости от ц представлены
на рис. 7.
§ 2. Устойяявость для большинства начальных условий
В этом параграфе мы докажем следующее утверждение.
Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче
трех тел треугольные точки либрации устойчивы для большин-
ства (в смысле меры Лебега) начальных условий при всех \i из об-
ласти устойчивости в первом приближении (значения \хг и \i%
исключаются).
Доказательство. При ц = ц* (? = 1, 2) точки либ-
рации неустойчивы, как уже об этом говорилось выше. Пусть
(х ф Цх и ц Ф ц2- Тогда гамильтониан возмущенного движения
может быть представлен в виде A.3). Согласно исследованиям
Арнольда, изложенным в главе 5, для доказательства устой-
чивости для большинства начальных условий достаточно про-
верить отличие от нуля определителя четвертого порядка
дЬ
B.1)
дг.дг, дг
Dt = det г
ri
Раскрывая определитель B.1) и используя выражения A.1) и
A.4), получаем
h (cioi — 4с2ооСоо2) ~Ь
_.. ~г 2wifi>2(cioiCou — 2соо2спо) —
— 2co2oCioi) -\- 2(о2ю3 (ciioCioi — 2с2ооСоц)' B.2)

§ 31 ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 135
Преобразуем выражение B.2) к более простому виду, используя
явные зависимости коэффициентов нормальной формы от о»! и
<о2 согласно формулам D.6) главы 7 и формулам A.5) настоящей
главы. Выражение для /?4 можно записать в виде функции ар-
гумента и = (оГ2<йг2- Получаем
/(«)
/О 4}
_
и* ~ 5184D — uf B5 — 4uJ(l + 12uJ '
где через f(u) обозначен многочлен пятой степени от и:
/(и)=73908288и5-356526576и4+2645643564и3-
—5787985485 иа - 75940868Q.M - 317395600.
Из уравнения D.3) главы 7 получаем
<*1<4 =— И-A Ц)-
А так как в области устойчивости в первом приближении выпол-
няется неравенство 0< 27(г A — \i) <C 1, то очевидно, что при
всех \i в этой области выполнено неравенство и ^> 4.
Многочлен f(u) и его производные при и = 4 имеют такие
числовые значения:
/ = 57769673472, fl = 83259403696, /п = 78068980614,
/ш = 52599266568, /IV = 26919340416, /v = 8868994560.
Так как все эти значения положительны, то (см., например,
[35]) при и ]> 4 уравнение f(u) = 0 не имеет корней. Тем самым
доказана выполнимость неравенства /L ф 0 при всех (г из об-
ласти устойчивости в первом приближении (кроме ц = цх и ц =
= ц2)- А значит, доказана и сформулированная в начале параг-
рафа теорема об устойчивости точек либрации для большинства
начальных условий.
§ 3. Формальная устойчивость
Из результатов предыдущего параграфа следует, что тело
Р бесконечно малой массы будет образовывать с телами конеч-
ных масс S и / треугольник, близкий к равностороннему,
для большинства достаточно малых отклонений от вершины
равностороннего треугольника, соответствующего невозмущенно-
му движению, и для достаточно малых относительных скорос-
тей. И, согласно [4], для этих начальных условий, соответствую-
щих несоизмеримым частотам, движение тела Р будет условно-
периодическим. Таким образом, с вероятностью, близкой к еди-
нице, треугольные точки либрации в пространственной круговой
ограниченной задаче трех тел устойчивы. Но каково движение
тела Р для начальных условий, соответствующих соизмеримым
(или почти соизмеримым) частотам?

136 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
Исследуемая механическая система обладает тремя степенями
свободы. А в многомерных гамильтоновых системах, как уже
подробно говорилось в пятой главе, может быть неустойчивость
по Ляпунову, несмотря на то, что выполнены условия устойчи-
вости для большинства начальных условий.
В этом параграфе мы рассмотрим задачу об устойчивости
точек либрации с точки зрения формальной устойчивости и
в результате докажем такое утверждение.
Теорема. Область 0 < 27ц A — ft) <; 1 устойчивости в пер-
вом приближении разбивается на пять интервалов:
О < ц < 0,010913. . .; 0,016376. . . < \i < Mi = 0,024293...;
Mi < М < Ц* = 0,038520. . .; C.1)
0,010913. . . <ц< ц2 = 0,013516. . .; |x2<ji<0,016376. . .,C.2)
причем в интервалах C.1) треугольные точки либрации про-
странственной круговой ограниченной задачи трех тел формально
устойчивы, а в интервалах C.2) формальная устойчивость имеет
место для почти всех значений ц; исключения, быть может, со-
ставляют значения ц, при которых частоты ю, (i = 1, 2, 3;
со3 = 1) линейной задачи удовлетворяют соотношениям двукрат-
ного резонанса
, „ 3 8 C.3)
ki,ki—целые числа, 23|Ач|>7, 2j|&i|>7.
i=t i=l
Справедливость теоремы мы покажем в несколько этапов.
Сначала, следуя [58], покажем формальную устойчивость для
значений (х, лежащих в интервалах C.1). Для этого заметим,
что при помощи преобразования Биркгофа в функции Гамиль-
тона A.3) можно нормализовать совокупность членов пятого,
шестого и т. д. порядков. И если ц. принадлежит область устой-
чивости в линейном приближении и ц Ф Мъ № Ф Цг> то норма-
лизованная во всех порядках функция Гамильтона запишется
в виде
Я = L + N + Щги «р.), C.4)
где L я N определены равенствами A.1) и A.4), а формальный
ряд R начинается с членов не ниже пятого порядка относительно
^г\. Угловые переменные ср* будут содержаться в R только в виде
комбинаций
где ki — целые числа, для которых выполнено равенство
к3 = 0 (| кг | + | кг | + I k9 \ > 5). C.6)

ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
137
Система с гамильтонианом C.4) имеет очевидный формальный
интеграл Н = const, так как Н не зависит от времени. Кроме
того, учитывая C.5) и C.6), нетрудно проверить, что выражение
L тоже будет интегралом (формальным).
Составим формальный интеграл G в виде
G = L4 + (Н - Ц\ C.7)
В разложении G = Gs + G9 + ¦ ¦ • функция G8 имеет вид
Ga = L* + N\ C.8)
Оба слагаемых в правой части равенства C.8) неотрицательны.
Поэтому функция G8 будет знакоопределенной в окрестности
аго
Ofll
а/fi
20 -
/О
Из
qpt
!О
-5
apt
\\
Рис. 8. Зависимость коэффициентов
0, г2
, ап и а02 от р.
0, г3 > 0 система урав-
начала координат, если при
нений
L = О, N = 0 C.9)
имеет только нулевое решение г\ = г2 = г3 = 0. Исследуем си-
стему уравнений C.9). Из первого уравнения L = 0 найдем
выражение г3 через rt и г2 и подставим его во второе уравнение.
Тогда система уравнений C.9) перепишется так:
l г = 0. C.1Q)
В системе уравнений C.10) введены следующие обозначения:
— 2Coo2tt>1(O2,
С101@2 —
С020
Графики коэффициентов аго, аХ1 и а02 представлены на рис. 8.
Коэффициент а20 при ц = fx** = 0,00278 обращается в нуль.

138 устойчивость в пространственной круговой задаче [гл. 8
При этом значении ц коэффициенты системы уравнений C.10)
таковы:
©! = 0,99042, <о2 = 0,13811, Ъ = -0,39924, с = 0,56461
и система C.10) имеет две серии решений:
1) гх произвольно, г2 = 0, г3 = —и^;
2) гх = 1,4142 г2, г2 произвольно, г3 = —1,2625 г2.
Эти решения не удовлетворяют неравенствам г1 > 0, г2 > 0,
г3 > 0. Поэтому при ц = (х** система уравнений C.10) при
ri > 0, г2 > 0, г3 > 0 имеет только нулевое решение.
При ц ^= ц.** (и, конечно, ц Ф цг ш ц Ф \i2) решения системы
уравнений C.10) могут быть описаны следующим образом:
ri = a;r2i гз = Рзг2! г2 произвольно (/ = 1, 2),
— «и + V «ц — 4а2о«о2 — °и — V«п — 4а2о«оа ,„ ...
Ру = со2 —
Система уравнений C.10) тогда и только тогда имеет ненулевое
решение при гх > 0, г2 !> 0, г8 > 0, когда величины a^ — 4a2OaO2,
ay, P/ одновременно неотрицательны.
Расчеты показывают, что величина a\Y — 4агоао2 положитель-
на всегда, ах и рх всегда противоположны по знаку, а величины
а2 и р2 одновременно положительны только при выполнении
неравенств
0,010913. . . < ц < 0,016376. . ., \i ф (х2 = 0,013516. . . C.12)
Таким образом, формальный интеграл C.7) будет знакоопреде-
ленным при всех ц. из области устойчивости в первом прибли-
жении, кроме значений цг и ji2 (исключенных из рассмотрения
с самого начала, так как вопрос об устойчивости при |л = (хх
и ц = [i2 уже решен), а также значений ц, принадлежащих ин-
тервалам C.2). Таким образом, формальная устойчивость точек
либрации для значений ц, лежащих в интервалах C.1), доказана.
Рассмотрим теперь интервалы C.2). Для доказательства ут-
верждения теоремы о формальной устойчивости в интервалах
C.2) надо исследовать коэффициенты при членах шестого по-
рядка относительно ^г\ в нормальной форме функции Гамиль-
тона возмущенного движения.
Нормализованная до членов шестого порядка включительно
функция Гамильтона нашей задачи имеет такой вид:
Н = L + N + M + O ((гх + г2 + г,I''), C-13)
где L и N определены равенствами A.1) и A.4), а функция

8 31
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
139
M(ri,r2,ra) имеет такой вид:
М = c300rl + c210r*r2
+ СозоИ: +
+
^з- C.14)
Нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вед C.13),
с-зт<
-во -
-SO
-20
О
-40
ft*
ft* fC
-/20-
-2W-
Рис. 9. Коэффициенты нормальной формы совокупности членов шестого
порядка в разложении функции Гамильтона.
если частоты со, (i = 1, 2, 3) не связаны резонансными соотно-
шениями до шестого порядка включительно. В интересующих
сейчас нас интервалах C.2) изменения параметра fi эти условия
отсутствия резонанса, как показали расчеты, выполнены.

140
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ (ГЛ. 8
Коэффициенты формы М третьего порядка (по г,) в нормальной
форме были получены при любых (нерезонансных) значениях Ц.
Эта работа проводилась на ЭВМ. Графики коэффициентов функции
М представлены на рис. 9 и 10.
ft p*
Рис. 10. Коэффициенты нормальной формы совокупности членов шестого по-
рядка, соответствующие пространственным переменным.
Прежде чем строить и исследовать формальный интеграл,
нужный для доказательства утверждения теоремы о формаль-
ной устойчивости точек либрации в интервалах C.2), покажем,

I 3|
ФОРМАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
141
од-
следуя |67], что система уравнений
L = О, N = 0, М = 0 C.15)
при гх > 0, г2 > О, г3 > О для значений р- из интервалов C.2)
имеет только тривиальное решение гх = г% = г3 = 0.
Как только что было показано выше, первые два уравнения
системы C.15) для значений ц из интервалов C:2) допускают
нетривиальное решение гх = а2г2, г3 = р2г2, где otj и
новременно положительны. Под-
ставив это решение в функцию М,
получим, что третье из уравне-
ний системы C.15) переходит в
уравнение
М (ал, г2,[р2г2) = F{y)rl = 0,
C.16)
где F(n) = М (а2, 1, р2). Если
функция F(\i) в интервалах C.2)
не обращается в нуль, то систе-
ма C.15) несовместна. График
функции F(\i) для значений \i из ~4D0O
интервалов C.2) представлен на
рис. 11. Функция F(\i) в нуль не
обращается. Таким образом, си-
стема уравнений C.15) для значе-
ний ц, лежащих в интервалах C.2),
имеет только тривиальное реше-
ние Г! = г2 = г3 = 0.
F,
8000
4000 -
О
Рис. 11. Зависимости функции F
от \i.
Теперь возьмем какое-либо значение \i из интервалов C.2)
и заметим, что возможны только три случая: 1) когда нет резонанса
между частотами ©{, 2) когда есть однократный резонанс k^i +
з
+ &2о>2 + к3ы3 = 0, 23 I h | > 7 и 3) когда частоты связаны дву-
мя резонансными соотношениями C.3) (двукратный резонанс).
В первом случае имеет место формальная устойчивость со-
гласно результатам Мозера [157] (см. также § 2 пятой главы
книги).
Рассмотрим второй случай. Если среди целых чисел к\ (г —
= 1>*2, 3) есть числа разных знаков, то опять, согласно работе
Мозера [157],.имеет место формальная устойчивость. Пусть все
числа ki имеют одинаковый знак, например, пусть все они поло-
жительны. Нетрудно проверить (см. также [13]), что система
с нормализованным во всех порядках гамильтонианом C.13)
имеет три формальных интеграла:
(р\ г) = const, (р", г) = const, Н — L = const, C.17)

142 устойчивость в пространственной круговой задаче [гл. 8
где (р\ к) = 0, (р", к) = 0, р'т = (pi, р'г, р'3), р"* = (р{, р\, р),
кт= (кг, к2, к3), гт= (гц г2, г3). Из интегралов C.17) составим
формальный интеграл G вида
G = (р\ г)* + (р', г)* + (N + М +. . .)•. C.18)
Слагаемые правой части интеграла C.18) неотрицательны. Пока-
жем, что в нашем случае они могут обратиться в нуль только
в начале координат. Это и будет означать знакоопределенность
формального интеграла G.
Легко видеть, что первые два слагаемых в C.18) обращаются
одновременно в нуль только на луче г = рк (р > 0). На этом
луче третье слагаемое имеет вид
и при достаточно малых р =/= 0 не равно нулю в силу несовмест-
ности системы C.15) в квадранте гг > 0, г2 > 0, г3 > 0 (заметим,
что на луче г = рк функция L тождественно равна нулю). Итак,
во втором случае также имеет место формальная устойчивость
точек либрации.
В третьем случае, случае двукратного резонанса C.3), мы
располагаем только двумя формальными интегралами:
(р, г) = const, Н — L = const, C.19)
где (р, к') = 0, (р, к") = 0. Формальный интеграл, аналогичный
интегралу C.18), имеет вид
G = (р, гL + (N + М + . . .J. C.20)
Первое слагаемое в C.20) обращается в нуль уже не на луче,
а на плоскости г = рхк' -J- Ргк". Второе слагаемое теперь уже
может обратиться в нуль, несмотря на несовместность системы
уравнений C.15) при гх > 0, г2 !> 0, г^ 0. А поэтому мы и не
можем показать (нашим способом) формальную устойчивость в
случае двукратного резонанса.
Проведенные рассуждения доказывают теорему.
Замечание. Наличие формальной устойчивости позво-
ляет утверждать, что неустойчивость по Ляпунову не обнару-
живается при учете в разложении функции Гамильтона членов
до сколь угодно большого (но конечного) порядка. А если и су-
ществуют траектории, по которым тело Р далеко уходит от вер-
шины равностороннего треугольника, то движение по ним проис-
ходит крайне медленно.
Для потучения оценок времени «удержания» тела Р вблизи
вершины равностороннего треугольника можно было бы исполь-
зовать изложенные в пятой главе результаты Н. Н. Нехорошева
по исследованию скорости диффузии Арнольда. Заметим для это-
го, что несовместность системы C.9) в интервалах C.1) и системы

§ 4J КРИТИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ МАСС 143
C.15) в интервалах C.2) означает, что в этих интервалах выпол-
нены условия крутизны функций L + М и L -\- N -\- М со-
ответственно, Но мы встречаемся со следующим затруднением.
Н. Н. Нехорошее показал справедливость экспоненциальной
оценки скорости диффузии Арнольда для аналитических гамиль-
тонианов, а в нашем случае движения вблизи положения рав-
новесия, совпадающего с началом координат, функция Гамиль-
тона не является аналитической относительно г< (есть аналитич-
ность только относительно V^ri)- В автореферате работы [78]
утверждается, что и в этом последнем случае можно показать воз^
можность применения экспоненциальной оценки скорости диф-
фузии Арнольда, если исключить резонансы до некоторого,
достаточно высокого, конечного порядка. И тогда будет иметь
место следующая оценка:
4=1
-14 @)]»V/.< в C.21)
при всех значениях v (напомним, что v — истинная аномалия
кеплеровского движения основных притягивающих масс S и /),
для которых
0<v<exp(-i-\. C.22)
Величина е характеризует малость величины отклонения коорди-
нат и скоростей тела Р от их значений, соответствующих точке
либрации. Положительные константы а и Ъ допускают оценку
^-. C.23)
§ 4. Формальная устойчивость точек либрации
при критическом отношении масс
Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчи-
вости точек либрации при критическом отношении масс ц.*,
являющемся границей области устойчивости в линейном прибли-
жении. При [i = [i* частоты плоских колебаний равны между
собой (щ = т2 = со = V^2/2), а частота пространственных коле-
баний со3, как и при любых значениях ц, равна единице. Линей-
ным вещественным каноническим преобразованием д3, р, -> q-r p]
приведем квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной
форме. Для этого переменные плоского движения q,, р,- (/ = 1, 2)
преобразуем с помощью матрицы N = || ni} || (i, / = 1,. . ., 4),
задающейся равенством E.1) седьмой главы, a q3, ps оста-
вим без изменения. Тогда функция Гамильтона возмущенного

144 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 8
движения примет вид
н = 4~(?i + &') + ^Г~(vi-Ръ ~ ?aPi) + — (?з + Рз)
'V'2 lV» '^ 'Vi ,,,,
а 9з Pi Pa ¦ D.1)
При помощи преобразования Биркгофа qj, pj~-> gf,, j5; можно
в гамильтониане D.1) уничтожить все члены третьего порядка,
а члены четвертого порядка упростить. Функция Гамильтона,
нормализованная до членов четвертого порядка включительно,
в новых переменных будет иметь вид
н = 4- E? + gl) + 2J-(?ip2 - №) + 4" (й + Й) +
+ (Й + Й) [^ (Pi + Pt) + B (9ip2 - ftft) + С (q* +~q\)] +
+ (?з + Й) № (Pi + Pi) + E (9lp2 - g»?i) + F (q! + pi)] + ... D.2)
В D.2) не выписаны члены пятого и более высоких порядков,
коэффициенты А, В, С — те же, что и в формуле E.3) седьмой
главы. Как будет видно ниже, для доказательства формальной
устойчивости существен только коэффициент А = 0,603. . .
Докажем формальную устойчивость точек либрации. Можно
показать, что при помощи бесконечного числа шагов преобра-
зования Биркгофа (возможно, расходящегося) функция Гамиль-
тона D.2) может быть приведена к следующей нормальной форме:
4 Й t ^ I + 4~ (9s + Рз) +
D.3)
где ocj — целые неотрицательные числа.
Каноническая система с гамильтонианом D.3) имеет три фор-
мальных интеграла:
Н = const, g!p2 — q.pi = const, ql + pi — const,. D.4)
Следовательно, их комбинация
также будет формальным интегралом. В разложении
G = G2 + Gi + G6 + . . .

§5]
функция
2
(Й + ЙМ
+ (ql 4
Pi) U
вы
P^~q
D(p?-i
воды
-А) 4
hpl)H
1
¦ M<Zi 4- ?2
145
при 4 ^> 0 будет определенно-положительной функцией своих
переменных. Отсюда следует формальная устойчивость треуголь-
ных точек либрации при критическом отношении масс ц".
Отметим в заключение, что приведенное выше доказательство
формальной устойчивости отличается от доказательства, изло-
женного в работе А. Г. Сокольского [88]. Приведенный здесь
новый вариант доказательства также сообщен автору А. Г. Со-
кольским.
§ 5. Выводы
Кратко сформулируем и обсудим результаты исследования
устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограни-
ченной задаче трех тел.
Как в плоской, так и в пространственной задаче условия
устойчивости в линейном приближении записываются в виде
неравенств
О < ц < ц* = 0,0385208. .. E.1)
Строгий нелинейный анализ показал, что в случае плоской
задачи точки либрации устойчивы по Ляпунову для всех зна-
чений параметра fi из области E.1), кроме двух значений
Hi = 0,0242938. . . и ц2 = 0,0135160. . ., E.2)
при которых имеет место неустойчивость. Так что задача об
устойчивости треугольных точек либрации для значений пара-
метра ц- из области E.1) в случае плоской задачи решена пол-
ностью.
В пространственной задаче неустойчивость при ц = ц* (i —
= 1, 2) конечно, остается, а при значениях ц, не равных ц,; и
принадлежащих области E.1), доказана устойчивость для боль-
шинства начальных условий. Кроме того, для почти всех (д. из
интервала E.1) (исключения, быть может, составляют значения
li, соответствующие двукратному резонансу между частотами
«>!, а>2 и ft>3) показана формальная устойчивость. Таким образом,
если в пространственной задаче точки либрации и могут быть
неустойчивыми, то эта неустойчивость в большинстве случаев
крайне слабая.
Для значений параметра ц, больших критического значения
ц,*, точки либрации неустойчивы, что обнаруживается уже в

146 устойчивость в пространственной круговой задаче [гл. 8
линейной задаче, так как соответствующее характеристическое
уравнение имеет корни с положительными вещественными ча-
стями. При ц = \и* все корни характеристического уравнения'
чисто мнимые, но среди них есть кратные, а линейная система
неустойчива. Анализ показал, что эта неустойчивость исчезает,
если в уравнениях возмущенного движения учитывать нелинейные
члены. Показано, что при ц = ц* треугольные точки либрации
формально устойчивы как в плоской, так и в пространственной
задаче. По-видимому, в плоской задаче при ц = ц* можно до-
казать устойчивость по Ляпунову.

ГЛАВА 9
УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПЛОСКОЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Краткая история рассматриваемой задачи
В этой главе мы проведем исследование устойчивости тре-
угольных точек либрации для случая плоской эллиптической
ограниченной задачи трех тел. По сравнению со случаем круговой
задачи, рассмотренной в двух предыдущих главах, здесь задача
очень усложняется, так как независимая переменная явно со-
держится в гамильтониане возмущенного движения.
Исследование устойчивости треугольных точек либрации в эл-
липтической задаче трех тел началось очень давно. А. М. Ля-
пунов в 1889 году исследовал устойчивость (в первом прибли-
жении) треугольных точек либрации для случая пространственной
неограниченной задачи трех тел [48]. Признаком устойчи-
вости А. М. Ляпунов считал бесконечно малое отличие формы
и размеров треугольника, образованного тремя телами, в воз-
мущенном и невозмущенном движениях. Результаты А. М. Ля-
пунова нельзя непосредственно перенести на ограниченную за-
дачу трех тел, где признаком устойчивости считается бесконечно
малое отличие длин сторон треугольника, образованного телами,
от тех длин, которые им соответствовали в невозмущенном дви-
жении в тот же момент времени. Однако при внимательном рас-
смотрений уравнений движения, исследованных А. М. Ляпуновым
в его постановке задачи, можно весьма просто получить следую-
щие выводы об устойчивости (в первом приближении) точек ли-
брации и для случая ограниченной задачи трех тел: 1) при до-
статочно малых значениях \i треугольные точки либрации устой-
чивы, 2) при достаточно малых значениях эксцентриситета е
треугольные точки либрации устойчивы, если
или A.1)
и неустойчивы в противном случае. В формулах A.1) через /j(e)
обозначены некоторые положительные функции е, обращающиеся
в нуль при е = 0.

148 устойчивость в плоской эллиптической задаче [гл. 9
Приведем краткий обзор работ по исследованию устойчивости
лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех
тел. В 1964 году было проведено численное исследование в ра-
боте Дэнби [110]. В этой работе при помощи численного интегри-
рования исследовано характеристическое уравнение линеаризо-
ванной системы и в плоскости ц, е получены области устойчивости
и неустойчивости. Результаты, полученные Дэнби, представлены
о щи цаг щаз apt /г
Рис. 12. Области устойчивости в линейном приближении.
на рис. 12. Области устойчивости на этом рисунке заштрихо-
ваны. Несколько позже в работах Гребеникова [19], Беннетта
[103, 104] и Ланцано [150] были рассмотрены различные вопросы,
связанные с устойчивостью в линейном приближении при малых е,
а также численно исследованы характеристические показатели
при произвольных значениях параметров е и \i. Совсем недавно
появились новые работы по исследованию устойчивости тре-
угольных решений [42, 99, 136, 160, 161]. В этих работах раз-
личными аналитическими способами в плоскости \i, e найдены
границы областей устойчивости и неустойчивости. Наиболее
точные построения осуществлены в работе Нейфеха и Кэмила
[1601. В этой работе границы областей устойчивости и неустой-
чивости получены с точностью до четвертой степени эксцентри-
ситета включительно и очень хорошо согласуются с результатами,
полученными Дэнби при помощи численных расчетов.
Таким образом, устойчивость лагранжевых решений в первом
приближении исследована достаточно полно. Обилие работ, по-
священных этой задаче, объясняется ее важностью для небесной
механики и трудно преодолимыми сложностями исследования
линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений.

5 21 ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 149
Но из достаточных условий устойчивости в первом прибли-
жении никаких заключений об устойчивости в строгом (нелиней-
ном) смысле все же сделать нельзя. Строгое решение требует
рассмотрения нелинейной задачи. И здесь исследование стано-
вится очень сложным и трудным, так как приходится рассматри-
вать нелинейную неавтономную систему дифференциальных урав-
нений в критическом случае.
Некоторые замечания, касающиеся строгого решения задачи
06 устойчивости лагранжевых решений, сделаны в работе автора
[62]. В этой работе при помощи численных расчетов проверены
результаты работы Дэнби и в плоскости \i, е внутри областей
устойчивости в первом приближении найдены кривые, на кото-
рых лагранжевы решения при строгом нелинейном анализе зада-
чи могут оказаться неустойчивыми. Ниже в этой главе излага-
ется полное исследование устойчивости лагранжевых решений в
плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел. Результаты
этог© исследования опубликованы в работах [59, 62, 65, 67].
§ 2. Линейная нормализация с точностью
до первой степени эксцентриситета
Функция Гамильтона, соответствующая возмущенному дви-
жению в рассматриваемой задаче, записывается в виде C.1)
(см. главу 7), где пространственные q3 и р3 надо положить тож-
дественно равными нулю, а эксцентриситет е может изменяться
в интервале @, 1). Мы проведем аналитическое (при малых эк-
сцентриситетах) и численное (при произвольных е и \i) иссле-
дования.
В эллиптической задаче возможно явление параметрического
резонанса. При малых значениях е границы областей неустой-
чивости можно найти аналитически, использовав результаты
§§ 6 и 7 второй главы. Параметрический резонанс обнаруживается
в окрестности тех значений параметра ц, для которых величины
кх и Я2 в нормальной форме квадратичной части функции Гамиль-
тона
#2 = 4
)
связаны при е = 0 резонансными соотношениями второго по-
рядка
2Xj = N, 2Яа = N, К + Х2 - N (N — целое число).
Очевидно (см. главу 7), что при е = 0 справедливы равенства
Xj = (Oj, X2 = —щ, где fflj и ш2 — корни уравнения
^ц) = О, B.2>

150 устойчивость в плоской эллиптической задаче [гл. о
а ц изменяется в области
= 0,038521
B.3)
На рис. 13 приведена зависимость частот их и щ от ц. В области
B.3) выполнено только одно резонансное соотношение второго
порядка (о2 = 1/2. При этом
И = Ио = 3~62^ = 0,0285954 .. .
0,01 /I
Рис. 13. Частоты щ и ш, линейных ко-
лебаний в окрестности точек либрации.
Расчеты по формулам § 7 главы 2 показывают, что при достаточно
малых е границы области
устойчивости в окрестно-
сти резонансного значения
Но с точностью до первой
степени е имеют вид
\i = ц„ ± е-0,05641 ...
B.4)
Эти границы в работе [160]
получены с точностью до
е4. В [160] с точностью до
членов порядка ег полу-
чена также граница об-
ласти устойчивости, исхо-
дящая из граничной точ-
ки ц = ц*.
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости в нелинейной по-
становке. Эксцентриситет считаем малым, удовлетворяющим вместе
с ц условиям устойчивости в первом приближении. Для решения
задачи нужно функцию Гамильтона привести к нормальной фор-
ме, а затем, применив результаты главы 5, сделать выводы об
устойчивости или неустойчивости точек либрации.
Сначала надо провести нормализацию квадратичной части
функции Гамильтона. В этом параграфе построено линей-
ное, вещественное, каноническое, 2п-периодическое по v пре-
образование <7i, pi ~> qf , p* (i = 1, 2), приводящее квадратичную
часть Нг функции Гамильтона к нормальной форме B.1). Нор-
мализующее преобразование найдено с точностью до пер-
вой степени эксцентриситета.
Пусть (Ох ^> (о2. Сделаем сначала каноническую замену пе-
ременных qit pi -> ql, pi no формулам D.2) главы 7, а затем — по
следующим формулам:
' 1 - ' l/TTfi /' 1 91) /о сг\

§ 2] ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 151
В переменных qu p{ функция Я2 примет вид
Вг = 4-<MSi + Й) - 4-^(Й + Й) +
. ecosv
+
ecosv
Коэффициенты 5v<viji4i, получаются такими:
йаооо = — ах©! (8и* — 2а>1 — 9), аО2оо = а2й2 (8®1 — 2(о2 — 9),
аоого = 36а!©!, аООо2 = — 36<х2а>а,
а1100 = 16рсо>2, аюю = 16ахА;и?, B.7>
«looi = — 8рк(о\щ, аопо = врАи^,
«oioi = 16а2А;«J» «ооп = — 36Р«>1«J-
В формулах B.7) введены обозначения
ft-:
2 Bю| - 1) Dсо| + 9) VatfOt A6со^+ 117) A -
Теперь будем искать преобразование функции B.7) к форме B.1)»
Для удобства дальнейших вычислений перейдем сначала к ком-
плексно сопряженным переменным q], p] по формулам
я] ==?; + %, ft = p*-% B.8)
В комплексно сопряженных переменных функция Гамильтона
вычисляется по формуле
Щ = 2г#2,
где й2 — функция B.6), выраженная через q"j, p] согласно пре-
образованию B.8). Получаем
г (qj, Pi, v) =
. o. ecosv
1+ecosv
B.9)
В функции Я2 коэффициенты таковы, что a^lVHllA1 = a^sVlVi!-
Черта означает комплексно сопряженную величину. Выражения
для коэффициентов получаются следующими:
«2000 = ~4~( «2000 + «0020 —
«0200 7- ( Й0200 + «0002 J«010l)>

152 устойчивость в плоской эллиптической задаче [гл. э
= ~4~\— aiioo
1
(#
1 _ _ 1
(^ + ^) Я = -jr (йоаоо + «ооог)-
B.10)
Теперь найдем преобразование q^, pj ~> q**, p** функции Гамиль-
тона B.9) к нормальной форме в комплексно сопряженных пе-
ременных
НТ (<7**, рТ) = iKqt*pt * + iKqVpT- B.11)
Пусть это преобразование задается при помощи производящей
функции
где
причем коэффициенты sVlViViil2 надо выбрать 2л -периодическими
по v. Связь переменных q$, pj и q-} , р^ получается из соотношений
ifcic " . С/О Щ^М . СО /п м е\\
Qj — Яз Н *т' Л = А т ;г~ ' (&Лй)
имеет место тождество
a J - #2 (?i. ft + -^'v) = ТТ ¦ BЛЗ)
Приравнивая одинаковые одночлены в обеих частях этого
тождества, получим систему десяти дифференциальных уравнений
для нахождения ^дн**^ Правые части этой системы квадратич-
ным образом зависят от sv^^4«! и содержат неопределенные еще
величины къ Хг. Последние находятся из условий периодичности
•ФУНКЦИЙ SvrtW.-
Правые части системы дифференциальных уравнений при
достаточно малых е будут аналитическими функциями е, если
рассматривать значения р, из интервала B.3), исключая гранич-
ную точку области параметрического резонанса ц0 = 0,028595.
Действительно, легко проверить, что при этих значениях ц
I «>n ± «>m \Ф N,
где N = 0, 1, 2, 3, . . .; п = 1, 2; т = 1, 2. Поэтому (см. § б
второй главы) характеристические показатели будут аналитиче-
скими функциями е. Учитывая еще очевидную аналитичность Нг

§ 2J ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 153
по е, получаем, что и функции ву,\гц,цг будут аналитическими
по е.
Функции sVlV,n4,J и величины Хх, Я,2 будем искать в виде рядов
S = eS "\~ е *ViVtHlM2 "Т • • • » {"'")
_ = - со2 + е^ + Л{?+ • • • B-15)
Подставив ряды B.14) и B.15) в тождество B.13) и произведя
разложение по степеням е, получим систему дифференциальных
уравнений для *^,ц«мг Ограничимся нахождением нормализую-
щего преобразования с точностью до первой степени эксцентри-
ситета. Получаем систему уравнений
d A) ds
-Я± = - li cos v ашо + ?\<г), -22L = _ 21 сое v a'0W1 + itf\ B.Щ
а ДЛЯ ОСТаЛЬНЫХ ВОСЬМИ фунКЦИЙ 3<^гЦ|Цг
SviW'2 + i f(vi — (ii) cox — (va — ц^ Щ] e^dioi» = — 2i cos v aCtV
B.17)
Из условии периодичности функции slow и sKOiO1 получаем А\ —
= A2X> = 0. Периодические решения системы B.16) — B.17) по-
лучаются следующими:
о<1> — .
— (v« — Щ)<»2] cos v). B.18>
Следует отметить, что функции $&#.#, содержат только первые
гармоники v. Можно показать, рассматривая следующие при-
ближения по е, что JV-я гармоника появляется в функциях sv,v,n*i»
с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени,
не меньшей N.
Теперь по комплекснозначной функции S найдем веществен-
ное преобразование q^, р; —* q$, pj функции B.6) к нормальной
форме B.1). Пусть она задается производящей функцией
?P + QiPt + К {qh Р*, V).
Так как функция К имеет порядок е, то из формул преобразо^
вания
* _ . ВК ~ * . ЭК

154 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
с точностью до первой степени эксцентриситета получаем
* дК* ~ * , дК* ._ ._.
9i = 9} - jpr. Pi = Pi + ~^f - B.19)
где К* = KW> (qf, pf, v), a KW — коэффициент при первой сте-
пени е в разложении функции К по степеням эксцентриситета.
Выразим К* через S^\ Из формул B.12) с точностью до пер-
вой степени эксцентриситета находим
Здесь S** = S^ (qj , pj , v). Далее, учитывая связь комплекс
пых канонических переменных с вещественными
Я} = Pi + i?j» Pi = Pi — *?з.
: * , . * *? * . *
== Pi + 4i, Pi = Pj — *?j
в обозначая через W (qj, р-:, v) функцию 61'1) (pj + i?j» P; — iqj >
*v), находим из формул B.20)
^ dpj ^ дд$
Сопоставляя формулы B.19) и B.21), получаем К* ~2j;W.
Функция
К* — У h „*vi *v, *ц, *ц,
¦будет вещественной. При помощи формул B.7), B.10), B.18) для
ее коэффициентов получаем такие выражения:
= Yi«>i [A6o>i — 12coJ — 88ш? + 9) sin v — 16йчо? cos vj,
= -Y2«2 [A6@* - 12co? — 88@^ + 9) sin v — Ш«>\ cos v],
¦^0020 = ЗухШх [(8(oJ — 2oJ — 45of + 18) sin v + 8ft(o? cos v],
^0002 = —2y8(u2 [(8(o* — 2©J — 45а>2 + 18) sin v + 8A;cu2 cos v],
Auoo = —2p (9 sin v + 2k cos v),
*ioio = bitol I8ft sin v — (8(oJ - 2@? + 27) cos v], B.22)
^1001 = —2p(o2[2jfc sin v + D@* — 9) cos v],
k0110 = 2P(ux[2A; sin v + Dco| — 9) cos v],
fcoioi = 2у3(й2 [8А; sin v — (8ы1 — 2(а\ + 27) cos v],
kooll = epcuiOa (sin v — k cos v).
Здесь введено обозначение yj = [2B©| — 1)Dш] — 1)Dш| + 9)]~Ч

§ 31
РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ
155
Таким образом, преобразование функции Гамильтона Яа к
нормальной форме с точностью до первой степени эксцентриситета
найдено. Оно получается из трех пребразований: по формулам
D.2) главы 7, по формулам B.5) и, наконец, по формулам B.19).
Коэффициенты функции К задаются формулами B.22).
§ 3. Резонансные кривые
Для дальнейшего исследования надо привести к нормальной
форме члены третьего и четвертого порядков в разложении функ-
ции Гамильтона. Нормальная форма будет различной в зависи-
мости от того, будут параметры ц, е резонансными или нет. Оказы-
вается, что в плоскости и,, е внутри области устойчивости линеа-
ризованной задачи есть кривые, на которых выполняются резо-
нансные соотношения третьего и четвертого порядков. Эти кривые-
при е = О исходят из точек ц^ оси Оц, выписанных во второй
строке табл. 2 и 3. На рис. 14 внутри области устойчивости
Резонанс
3
0
—0
fc.2=-i
,014853
,085955
\а-
0
—0
- 2J.2= 0
,024294
,286514
2
0
0
\.,+ U= l
,035385
,103135
К
0
0
Таблица 2
,-2^2
,035385
,300928
3,2=-2
0,038026
0,110288
Таблица 3
Резонанс
Резонанс
p.™
4X2= — 1
0,008757
—0,039023
3J.,+ X2= 2
.0,031232
0,219357
J.,-1- 3k,= 0
0,013516
—0,065356
Зл1"^ Л2== 3
0,035385
—0,094658
X,— 3fc,2= 2
0,016597
—0,122576
М- 3^= — l
0,035385
0,169066
2 (Kt+ M = 1
0,021286
—0,135998
4M=3
0,037894
0,057200
линейной задачи построены резонансные кривые, которые были по-
лучены при помощи численных расчетов на ЭВМ при произволь-
ных е. Найдем уравнения резонансных кривых при малых зна-
чениях эксцентриситета. Для этого кг и Я2 надо получить с

156
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧК
[ГЛ. 9
точностью до е2, так как величины Х^, Х2Х> оказались равными ну-
лю. Величины А,]2*, Х,2) найдутся из условий периодичности функ-.
дий sio\o и 4ioi- Действительно, из B.13)—B.15) получаем такие
щи цог доз
Рис. 14. Резонансные кривые,
дифференциальные уравнения для этих функций:
= —2i cos v
s
aioiosioio + aiooi%uo + aooiisnoo)
1)
= — 2i cos v DaiK)O2412)oo + «
+
+
2i cos2 va0101 +•
Подставив в правые части этих уравнений функции Svivwz и
подобрав X]2*, К^ так, чтобы постоянные слагаемые в правых
частях были равными нулю (условия периодичности s^0 и Sqioi)>
получим после некоторых преобразований, использующих форму-
лы B.7), B.10) и уравнение B.2), такие выражения для Х,^ и Х22):
C.2)
= N при малых е будет иметь
Резонансная кривая к^ +
уравнение
где (i(°) — точка, из которой на оси О\х начинается резонансная

S 41 РЕЗОНАНСЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 157
кривая. Учитывая B.15), для величин (х<г> получаем выражение
цр + ур
Ла rfp. ~~ kl dp
В этом выражении правая часть вычисляется при ц = (iW. Чис-
ловые значения величины ц^ для резонансных кривых третьего
и четвертого порядков приведены в третьей строке табл. 2 и 3.
§ 4. Резонансы третьего порядка
Рассмотрим устойчивость лагранжевых решений при значе-
ниях параметров ц, е, принадлежащих резонансным кривым
третьего порядка. При малых значениях эксцентриситета резонанс
%! — 2%2 = 2 не может привести к неустойчивости, если в нор-
мализованной функции Гамильтона учесть все члены только до
третьего порядка относительно координат импульсов. Этот резо-
нанс не приводит к неустойчивости и при учете в гамильтониане
членов четвертого порядка, так как при 0 < е <^ 1 резонансная
кривая Хг — 2А2 = 2 не пересекается с другими резонансными
кривыми третьего и четвертого порядков.
Исследуем оставшиеся четыре резонанса третьего порядка.
Исследование просто, хотя весьма громоздко. Основные трудности
здесь связаны с проведением нормализации Биркгофа. Мы не бу-
дем приводить подробно все вычисления, так как они стандартны
и очень громоздки. Укажем только на основные моменты, связан-
ные с применением преобразования Биркгофа, и приведем конеч-
ный результат нормализации.
Во-первых, ясно, что коэффициенты нормальной формы функ-
ции Гамильтона будут аналитическими функциями е. Во-вторых,
замечая, что JV-я гармоника v входит в производящую функцию
линейного нормализующего преобразования, а также в Я, и й,
с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени,
не меньшей N, получаем, что при резонансе к^ + /с2Х2 = N от-
личие коэффициентов а^.^, йк,,к, в нормальной форме от нуля
может обнаружиться только в VV-м приближении по е.
Таким образом, неустойчивость при резонансе Зк0 = —2 не
может быть обнаружена, так как мы учитываем только первую
степень эксцентриситета. Резонанс Х1 + 2Х2 — 0 проявляется уже
в круговой задаче (е = 0). При малых е нормализованная функ-
ция Гамильтона будет иметь такой вид:
Н = ^,pi + Я2р2 + y^ipJ/i.» sin (fit + 2Э2) + gua cos @! + 29.)] +
+ О ((Pl + p2J). D.1)
Здесь и в дальнейшем через рг, 9; обозначаются новые канони-
ческие переменные, введенные преобразованием Биркгофа. В

158 устойчивость в плоской эллиптической задаче [гл.
функции D.1) приняты обозначения
_ /ЗАоАф; е 245(й4 _ 515ш,
192со2 V 2а>1
+ 288ю1а>2-54)
= i^M| (88e + 44Ж
— 594co2 + 243cox) + О (e2).
Далее, так как на резонансной кривой %1 + 2Я2 = 0 (как и на
всех резонансных кривых) при малых е отличие ц от значения,
соответствующего порождающей точке (j,(°), проявляется только
при е2, то, чтобы получить значения /li2, g1J вдоль резонансной
кривой с точностью до величин порядка е2, нужно в формулах
D.2) положить ц = fi<e> = 0,024294. Получим
/1Д = 1,322 + О (е2), g1>2 = —0,298 + О (е2).
Сделаем каноническое преобразование
рг = Ru 9г = Xxv + ifx + б, 92 = X2v + ij32, D.3)
где угол
б = — arcsin — gl'2 .
Vf* + я2
Теперь функция Гамильтона запишется в виде
Н = «i,2 YRjRi sin (ita + 2%) + О ((#! + i?2)z), D.4)
где коэффициент ахл = 1,355 + О (е2) и при достаточно малых
е отличен от нуля. Поэтому (см. § 4 главы 5) для значений ц, е,
лежащих на резонансной кривой Я,х + 2К2 = 0j ПРИ достаточно
малых е лагранжевы решения неустойчивы.
В случае резонансов ЗХ2 = —1 и 2ХХ + ^2 = 1 нормализован-
ная функция Гамильтона имеет соответственно такой вид:
sin C02 + v) + ?0,зсоз (ЗЭ2 + v)] +
+ О ((Pl+ p2J),
Н = XjPi + К9ъ + ераКЙЛл sin B0i + 02 - v) +
+ ftil cos Bвх + в2 - v)] + О ((Pl + p2J).
Значения коэффициентов на соответствующих резонансных кри-
вых таковы:
/0>3 = 2,521 + О (е), g0>3 = 0,780 + О (е),
/2,1 = -6,939 + О (е), gttl = 2,372 + О (е).

§ 5J РЕЗОНАНСЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 159
Делая замену переменных, аналогичную D.3), получим функции
Гамильтона D.5) в виде, аналогичном D.4). При этом коэффи-
циент 0*,.fc,= ]/Л/|1 kt _[_ glt kt при малых е не будет равен нулю.
Следовательно, на резонансных кривых ЗХ2 = —1 и 2кх + К2 = 1
при достаточно малых е лагранжевы решения неустойчивы.
§ 5. Об устойчивости при резонансах
четвертого порядка
В этом параграфе исследуется устойчивость лагранжевых реше-
ний при резонансах четвертого порядка. Резонансы А,х — ЗХ2 = 2
и ЗХХ — Х2 = 3 при малых значениях е не могут привести к неус-
тойчивости при учете в нормальной форме функции Гамильтона
членов не выше четвертого порядка относительно координат и
импульсов [157].
Рассмотрим резонанс Хх -f- ЗХ2 = 0, обнаруживающийся уже
в круговой задаче. На резонансной кривой Я,х + ЗЯ2 == 0 норма-
лизованная функция Гамильтона получается такой:
A-iPi + А.2р2 + c2opi + Сцр^а + c02pl —
— Рг КР1Р2 f/i.3 sin ^ + 392) + gli3 cos @X + 302)] +
+ О ((P +
где коэффициенты с точностью до величин порядка е2 имеют следую-
щие числовые значения:
с20 = 0,138, сп =-2,177, с02 = 0,247,
/lf, = 1,461, fti, = 4,235.
Делая замену переменных
Pi = Rt, 9X = XlV + % + у, 02 = ^2v + г|>2,
где у = —arcsin gll3/(^i,3 + /i,s)''*) получаем функцию Гамиль-
тона в виде
Я = с20Д? + СцДА + c02Ri + 6l3i
+
Для этой функции
3)/У| 61>8 | = 23,283 + О (е2),
1'вю + Зси + 9с02 | = 4,171 + О (е2).
Поэтому при достаточно малых е условие неустойчивости (см.
§ 5 главы 5) выполняется и справедливо следующее утверждение:
при значениях ц,, е, принадлежащих резонансной кривой Х1 +
+ ЗХ.2 = 0, для достаточно малых е лагранжево решение неустой-
чиво.

160
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
Теперь проверим выполнимость условий неустойчивости для
остальных резонансных кривых четвертого порядка. Значения ве-
личины c20/cf + сикукъ + c02kl с точностью до величин порядка
е2 представлены в табл. 4.
Резонанс
*»?+ «*** + **
465
,621
2(М-
—71
,366
зх.4
82
,782
2
202
Табл
,= -1
,874
4Х.
7
и да
,517
4
Замечая, что при е — 0 коэффициент при тригонометрическом
члене нормальной формы для этих резонансов обращается в
нуль, получаем, что при достаточно малых значениях е имеет ме-
сто устойчивость в рассматриваемом нелинейном приближении
(при учете членов четвертого порядка в разложении функции
Гамильтона).
§ 6. Исследование устойчивости
при нерезонансных значениях параметров
Теперь рассмотрим устойчивость для значений параметров е
и (х, лежащих в области устойчивости в первом приближении,
но не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого
порядков. При таких значениях параметров функция Гамильтона
возмущенного движения при помощи преобразования Биркгофа
может быть приведена к форме
Я =
Я2г2
с2Ог\
О
F.1)
где с точностью до членов порядка е2 коэффициенты Сц вычисля-
ются по формулам D.6) седьмой главы, a Xj = щ, Я2 = —со2.
Исследование устойчивости точек либрации при нерезонанс-
ных значениях параметров е и ц мы начнем с доказательства сле-
дующего утверждения.
Теорема. В области устойчивости в первом приближении при
ц, принадлежащем области B.3) устойчивости в круговой задаче,
и при значениях ц и е, не принадлежащих резонансным кривым
третьего и четвертого порядков, треугольные точки либрации в
плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел устойчивы
для большинства начальных условий, если эксцентриситет доста-
точно мол.
Для доказательства достаточно проверить выполнимость нера-
венства си — 4с20с02 Ф 0 (см. § 1 главы 5) прие = 0. Пусть, как и в
главе 8, и = <л?щ*. Тогда в области B.3) и > 4. Использовав'

§ 6] НЕРЕЗОНАНСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ 161
явные выражения коэффициентов Сц через щ, соа, получим
5184D—и)*B5 —
где через g (и) обозначен многочлен третьей степени
g (и) = 107172и3 + 3298947ц2 - 8799272м - 384400.
Значения многочлена g (и) и его производных при и = 4 таковы:
g = 24060672, g1 = 22736560, gu = 9170022, g™ = 643032.
Так как все эти значения положительны, то многочлен g (и) при
и ^> 4 положителен и, следовательно, с\х — 4с2осоа Ф 0 при всех
нерезонансных \i из области B.3). Тем самым теорема об устойчи-
вости для большинства начальных условий доказана.
Теперь, используя результаты теории многомерных гамильто-
новых систем, изложенные в пятой главе, проведем еще анализ с
точки зрения формальной устойчивости. Если в системе нет ре-
зонансов до четвертого порядка включительно, то функция Га-
мильтона, нормализованная до членов четвертой степени относи-
тельно qt, pi включительно, будет иметь вид F.1) и знакоопределен-
ность квадратичной формы c2Or\ -f- сг1гхг^ + c02rl в квадранте гг > 0,
г2 > 0 является достаточным условием формальной устойчивости
[138]. Сначала рассмотрим случай отсутствия резонансов до чет-
вертого порядка включительно.
Итак, пусть \i Ф ц,<°>, где uW — резонансные значения пара-
метра (х, приведенные в табл. 2 и 3, а эксцентриситет е — малая
величина. Знакоопределенность квадратичной формы с2Ог\ -\-
+ Сцдуа + с02г\ при е = 0 будет достаточным условием формаль-
ной устойчивости при 0 <е <§^ 1.
Так как при е — 0 для нерезонансных значений и. (и. Ф \аъ
ji ф jx2) из области B.3) величина с\х — 4с20с02 положительна, то
условие знакоопределенности рассматриваемой квадратичной фор-
мы означает, очевидно, одинаковость знаков коэффициентов сц
нормальной формы F,1) при е = 0. Все коэффициенты с^ имеют
одинаковый знак (именно, положительны) в следующем интервале
изменения ц (см. формулы D.6) седьмой главы, а т^кже рис. 6):.
0,02429438 . . . = ца < ц < ц* = 0,0385208 . . . F.3)
Таким образом, мы показали, что в области устойчивости в первом
приближении при ц., лежащем в интервале F.3), и пт>и зна-
чениях (i, e, не принадлежащих резонансным ктштшм третьего и
четвертого порядков, треугольные точки: лиоюапйи1 формально
устойчивы, если эксцентриситет достаточно мал;
.Если мы рассмотрим члены выше, четвертого порядка в разло-
жении функции Гамильтона в ряд относительно координат и
6 А. П. Маркеев

162
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
импульсов возмущенного движения,то можно показать формальную
устойчивость для почти всех значений параметра [д, из оставшегося
интервала 0 < ц < ц^. Пусть ц лежит в этом интервале и при
е = 0 не выполнены резонансные соотношения до шестого поряд-
ка включительно (соответствующие резонансные значения пара-
метра ц(°) приведены в табл. 5 и 6).
Таблица 5
Резо-
нанс
5>>.2= —
,2= О
t— 4Х,2= 2
1
-ЗХ2=3
,+
+2*.2=2
5Х,2= — 2
м-
+5Х,2=0
,@)
0,0057
0,0083
0,0093
0,01240,01900,0190
0,0203
0,0040
0,0055
Таблица 6
Резо-
нанс
„@)
-5Х,2=2
0,0059
0,0078
22(!?"~з
0,0100
0,0115
0,0173
0,0190
БЛ,-
0,0190
0,0218
3(V-
М
0,0229
F.5)
Тогда нормализованная до членов шестого порядка включи-
тельно функция Гамильтона имеет вид
Н = % г -\- X г 4- с г2 4- с г г 4- с г2 4- с г3 4- с rV 4-
4^2^+X^Vo Vx+4L F-4)
Если при г1 > 0, г2 > 9 и « = 0 система уравнений
з | 2 _4-л г г2 4- /• г3 О
не имеет решений, кроме тривиального rt — г* — 0, то для доста-
точно малых е, совершенно аналогично тому, как это сделано в
§ 3 предыдущей главы, можно доказать формальную устойчивость
точек либрации для всех рассматриваемых сейчас параметров, за
исключением, быть может, точек (е, ц), соответствующих дву-
кратному ревонансу к'^ + к^к2 = N\ к^ + к"^ = N"t (| k^ \ +
1 I ^2 I ^^ ' ' I 1 | ~* I 2 | ^^ ')•
В рассматриваемом сейчас интервале F.3) изменения парамет-
ра [д, ненулевые решения первого уравнения системы F.5) можно
записать в таком виде:
F.6)

§ 7J ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 163
Расчеты показывают, что а^ц.) ^> 0 во всем интервале F.3), а
а2 — только в части этого интервала при 0 < ц <Ц** = 0,01574...
Таким образом, в интервале 0 < ц < ц** первое уравнение систе-
мы F.5) имеет две серии нетривиальных решений г1 = ак (ц)га
(к =1, 2), а в интервале ц** <fi <fij — одну серию решений
D
i i(|4 V
Чтобы выяснить вопрос о совместности системы F.5), подста-
вим решения первого уравнения гх = акг2 во второе уравнение.
Тогда получим второе уравнение в виде Gk (\i)»rl = 0. Если Gjc(|i)=^=O
(к = 1, 2), то система уравнений F.5) имеет только тривиальное
решение. Расчеты показали, что функция Gj = 0 при [д, = ц' =
= 0,00861... и (х = ji" = 0,01656..., а G2 обращается в нуль
только при одном значении ц = fi"' = 0,00509...
Таким образом, результаты аналитического исследования фор-
мальной устойчивости при нерезонансных значениях параметров
е и ц можно сформулировать в виде такого утверждения.
Теорема. Если эксцентриситет достаточно мал, то в области
устойчивости в первом приближении при значениях ц, не равных
резонансным значениям fi<°>, приведенным в таблицах 2, 3, 5, 6,
и при ц, не равных \l' , ц", \\.т, а также, быть может, значениям
[д, из интервала @, \ij), соответствующим двукратному резонансу
выше шестого порядка, точки либрации формально устойчивы.
§ 7. Численное исследование при произвольных е и jli
Если значения эксцентриситета не малы, то исследование ус-
тойчивости необходимо проводить при помощи вычислений с ис-
пользованием ЭВМ. При этом для фиксированных е и [д, надо
сначала при помощи ЭВМ найти линейное нормализующее пре-
образование, а затем произвести нормализацию нелинейной га-
мильтоновой системы. Соответствующие алгоритмы нормализации
изложены во второй и четвертой главах. Там же получены нужные
нам здесь критерии устойчивости и неустойчивости.
Характеристическое уравнение линейной системы является
возвратным. Запишем его в виде
р4 _ %рз + аар2 _ fllP + 1 = 0. G.1)
Коэффициент ах равен следу фундаментальной матрицы линейной
системы, вычисленной при v = 2я, а2 — сумма всех ее главных
миноров второго порядка.
В плоскости коэффициентов аъ аг область устойчивости ли-
нейной системы задается системой неравенств [48]
-2<а2<6, G.2)
б*

164
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
и представляет собой внутренность криволинейного треугольни-
ка, изображенного на рис. 15.
Для значений аа, а2, лежащих в области устойчивости, харак-
теристическое уравнение G.1) имеет простые корни с модулями,
-4 -S -z -f\X?
4 а,
-f'F
Рис. 15. Области устойчивости и резонансные кривые в плоскости коэффи-
циентов характеристического уравнения:
равными единице. Вне треугольника, где уравнение G.1) имеет
_1_ _1__
А —В %1 = N±-^; X2 = 7V±4-; E-F 2
^i±3X2 = 7V, 3%1±X2 = N (N = 0, ±1, ±2, ...).
хотя бы один корень с модулем, большим единицы, исследуемое
движение неустойчиво. Ца границе криволинейного треугольника
уравнение G.1), не имея корней с модулями, большими единицы,
имеет кратные корни с модулями, равными единице.
Пусть коэффициенты ах и а2 лежат внутри криволинейного
треугольника. Запишем корни уравнения G.1) (мультипликаторы
линейной системы) в виде
рк = ехр (г2п%к), рк+г = exp (—i2n%k). G.3)
Величины Кк — вещественные числа (± й.^ — характеристиче-

g VJ ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 165
ские показатели линейной системы). Коэффициенты характери-
стического уравнения G.1) связаны с величинами Х^ посредством
следующих соотношений:
ах = 2(cos 2л'к1 + cos 2лк2), а^ — 2 + 4 cos 2nXxcos 2я?12. G.4)
Граница криволинейного треугольника соответствует пара-
метрическому резонансу к^ + Аг2Х2 = N {ки к2, N — целые чис-
ла; | кг | + | к2 | = 1 или 2). Эти резонансы обнаруживаются
уже при анализе линейной задачи. Получим еще внутри криво-
линейного треугольника кривые, соответствующие резонансам
третьего и четвертого порядков, обнаруживающимся при нели-
нейном анализе.
Из соотношений G.4) получаем, что резонансные соотноше-
ния ЗКк = N, 4кк = N и 2(ХХ ± А,2) = N осуществляются соот-
ветственно на прямых а2 = 1 — а1? а2 = 2 и at = 0. Резонансные
соотношения Xt ± 2Я,- = N и Хг- ± 3?i7- = iV (г, / = 1, 2; г ^= /)
осуществляются при значениях аг и а2, удовлетворяющих соот-
ветственно равенствам cos 2nht — cos inKj = 0 и cos 2лКг —
—cos 6я^= 0. Все эти кривые изображены на рис. 15 внутри
криволинейного треугольника.
Получим явные выражения величин кк через коэффициенты
характеристического уравнения а1 и а2. Из равенств G.4) следует,
что z = cos 2п%1 и z = cos 2я?12 удовлетворяют следующему урав-
нению:
4z2 — 2axz + (o2 — 2) = 0. G.5)
Из этого уравнения и соотношений G.4) величины ^ и к2 опреде-
ляются неоднозначно. Для их однозначного определения восполь-
зуемся непрерывностью Хг и ?i2 по параметру е. Рассмотрим пре-
дельный случай круговой задачи. При е — 0 корни уравнения
G.5) будут такими:
cos 2Я0)! + cos 2ясо2 + | cos 2Л0)! — cos 2яа>21
Zi, 2 = 2 •
Нетрудно проверить, что cos 2ясох ~^> cos 2ясо2. Поэтому
1 1
^i = -=— Arccos z1; ?i2 = -^— Arccos z2.
Далее, учитывая, что 1 > ©х > ]//2 > со2 > 0, получаем
^i = l sjj- arccos zx при любых а>х и ©2,
1 4
—oz- arccos z2 при 0 < а»3 <; -х- ,
1 +-2JTarccosz2 при -i-<coa

166 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. 9
Таким образом, неоднозначность в определении величин %i и Яа
устранена и при любых е внутри областей устойчивости линейной
задачи, изображенных на рис. 12 они вычисляются по следующим
формулам:
1 «!+ 1^1}-4а,+ 8
А* = 1 5— arccos т при любых значениях [Л,
! ^^2 + 3-2^2
25ГarGC0S 4 приц<цо= g-J—
1 ац— К a,- -j i -
— 1 + -к— arccos =т при ц > [х0.
G.6)
Приведем сначала результаты численного исследования устой-
чивости для значений параметров е, ц,, при которых выполнены
резонансные соотношения третьего и четвертого порядков.
~ Прежде всего отметим, что резонансные кривые к^ -f- &2А,2 = N,
для которых целые числа кг и к2 имеют разные знаки, в подробном
исследовании не нуждаются, так как для подобных резонансов
имеет место формальная устойчивость [157], если отсутствуют
другие резонансные соотношения любого порядка. В противном
случае можно сделать утверждение об устойчивости при учете в
разложении функции Гамильтона членов лишь до четвертого
порядка включительно относительно координат и импульсов воз-
мущенного движения.
В области устойчивости линеаризованной задачи в плоскости
параметров е и ц. существуют пять резонансных кривых третьего
порядка и на четырех из них величины к1 и к2 имеют одинаковые
знаки. Резонансные кривые изображены на рис. 14. В результате
численного анализа выяснено, что для всех четырех резонансных
кривых 3?i2 = —1, А.х + 2%% = 0, 2%г + %2 = 1, 3?i2 = —2 имеет
место неустойчивость по Ляпунову.
При резонансах четвертого порядка картина устойчивости
более сложная. В области устойчивости линейной задачи сущест-
вуют восемь кривых, на которых выполнены резонансные соотно-
шения четвертого порядка. Эти кривые изображены на рис. 14. На
шести из них в резонансных соотношениях к^ + к2%2 = N ве-
личины кг и к2 имеют одинаковые знаки. Проведенные расчеты
показали, что на кривых резонансов четвертого порядка сущест-
вуют как участки устойчивости в четвертом приближении (при
учете в разложении гамильтониана членов до четвертого порядка),
так и участки неустойчивости по Ляпунову. Результаты числен-
ных расчетов представлены в табл. 7.
На рис. 16 и 17 изображены все резонансные кривые третьего
и четвертого порядков. На всех кривых, кроме кх + 2к2 == 0 и

§ 7]
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
167
Таблица 7
Резонанс
4Л.2 = — 1
хх + зх2 = о
3Xi + hi = 2
4^ = 3
Интервалы неустойчивости
0,022 < е< 0,611
0<е< 0,141
0,026 <е< 0,45
0,186<е<0,207
Интервалы устойчивости в 4-м
приближении
0<е< 0,022; 0,611 <е< 0,8
0,141 <е< 0,8
0<е< 0,026
0<«< 0,065
0<е<0,196:0,207 <е<0,24
0<е<0,1Й
Хг + ЗХ2 = 0, при е = 0 имеет место устойчивость по Ляпунову
(см. главу 7). На резонансных кривых Кг — ЗХ2 = 2, ЗА-i — К2 = 3,
Хг — 2Х2 = 2, изображенных на рисунках штрих-пунктирными
fffi
0,2
' \V
\)
-
-
Л, + ЗЛг=0
/
yL *—/
\
\
\
\
\
i
\\x /
/^
\
=2
2fA,+A2
Л,+2Лг=5
// 0,01 в,ог fi
Рис. 16, Интервалы устойчивости и неустойчивости на резонансных кривых.
линиями, имеет место формальная устойчивость (при отсутствии
других резонансных соотношений любого порядка). На резо-
нансных кривых ЗЯ2 = — 1, Хг + 2\% = 0, 2%г + ?12 = 1, ЗЯ2 = —2
третьего порядка при е Ф 0 имеет место неустойчивость по
Ляпунову. На рис. 16 и 17 эти кривые изображены пунктир-
ными линиями. На резонансных кривых 4Я2 = —1, Ях + ЗЯ2 = 0,
2(>ч + Ю = 1. 3^ + Х2 = 2, ^ + ЗЯ2 = -1 и 4^ == 3 четвер-
того порядка участки неустойчивости изображены пунктирными
линиями, а участки устойчивости в четвертом приближении —
сплошными линиями.

168
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
Было проведено также численное исследование устойчивости
при значениях параметров, не лежащих на кривых, где выполнены
Ц20
ц/о
о
-2
0,033 Ot037 0,04/ fi
Рис. 17. Интервалы устоичивооти и неустойчивости на резонансных кривых.
резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. При
этом из-за вычислительных трудностей, проявляющихся при
0,0/ L-3S 0,G3
Рис. 18. Области формальной устойчивости.
больших значениях е или при малых значениях [х, а также вблизи
границ областей устойчивости в линейном приближавши, мы ог-
раничились значениями параметров е <^ 0,6 и 0,001 < ц < 0,042.

8]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
169
Были проверены условия D == Сц — 4с2ОСо2 ф 0 устойчивости
для большинства начальных условий, а также условие формальной
устойчивости (знакоопределенность формы сгог? + Сц/у^ + с02г|
в квадранте гг > О, га > 0). Результаты расчетов представлены
на рис. 18 и 19. Устойчивость для большинства начальных усло-
вий имеет место почти всюду в области устойчивости линеаризо-
ванной задачи. Исключения составляют резонансные кривые,
аго
0,035 О,037 пОЗЗ ОО/ff jU
Рис. 19. Области формальной устойчивости.
которые мы уже рассмотрели, и, быть может кривые D = 0, изоб-
раженные на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Сплошными
линиями на этих рисунках изображены кривые, на которых или
выполнены резонансные соотношения третьего порядка (эти кри-
вые надписаны), или те кривые, при переходе через которые все
величины Сц становятся одного знака (именно, положительными).
Области формальной устойчивости на рис. 18 и 19 заштрихованы.
При этом в областях, отмеченных горизонтальной штриховкой,
выполнено условие D <0, а в областях, отмеченных наклонной
штриховкой D ^> 0, но все величины cij положительны.
Результаты, полученные при помощи численных расчетов,
совпадают с результатами, полученными выше аналитическими
методами при О ^ е <^ 1.
§ 8. Обсуждение полученных результатов
Здесь кратко сформулируем и обсудим результаты аналитиче-
ского и численного исследований устойчивости треугольных то-
чек либрации, проведенных в настоящей главе.
Область устойчивости в первом приближении изображена на
рис. 12. Мы провели подробное исследование устойчивости для
значений параметров е и ц, лежащих внутри области устойчивости
в первом приближении.

170 УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ [ГЛ. Э
На рис. 14 построены кривые, соответствующие резонансам
Й1Я,1 + к2К2 = N третьего и четвертого порядков (| кх | + | к2 | =
= 3 или 4). На тех резонансных кривых, для которых целые
числа кг и кг имеют разные знаки, точки либрации устойчивы при
учете в разложении функции Гамильтона членов до четвертого
порядка включительно относительно координат и импульсов воз-
мущенного движения; если же на таких кривых не выполняются
другие резонансные соотношения более высокого порядка (выше
четвертого), то имеет место формальная устойчивость. На кривых
резонансов третьего порядка с одинаковыми знаками чисел кг и к2
точки либрации оказались неустойчивыми по Ляпунову. На ана-
логичных кривых, соответствующих резонансам четвертого по-
рядка, точки либрации либо неустойчивы по Ляпунову, либо
устойчивы при учете в разложении гамильтониана членов до
четвертого порядка включительно. Интервалы устойчивости и не-
устойчивости при резонансах четвертого порядка приведены в
табл. 7. Устойчивость в случае кратных резонансов (соответствую-
щих пересечению кривых резонансов третьего и четвертого поряд-
ков) не исследовалась.
Для значений параметров е и ц, при которых не выполнены
резонансные соотношения третьего и четвертого порядков, пока-
зана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) на-
чальных условий. При этом, кроме резонансных кривых третьего
и четвертого порядков, пришлось исключить из рассмотрения
кривые, на которых между коэффициентами нормальной формы
выполнено соотношение с\г — 4с2(,с02 = 0. Эти кривые изображе-
ны на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Для значений парамет-
ров е и ц, при которых нет резонансов третьего и четвертого
порядков, было проведено исследование формальной устойчиво-
сти. На рис. 18 и 19 области формальной устойчивости отмечены
штриховкой.
А каков ответ (кроме устойчивости по мере) на вопрос об ус-
тойчивости для значений параметров е и |х, которые лежат в не-
заштрихованной части плоскости е, ц на рис. 18 и 19 и при кото-
рых нет резонансов третьего и четвертого порядков? При доста-
точно малых е и значениях (х, не принадлежащих резонансным
кривым пятого и шестого порядков (в табл. 5 и 6 приведены соот-
ветствующие порождающие точки |л,(°> при е = 0), а также при
li ф ц' = 0,00861, ц ф ц" = 0,01656..., [х ф уГ = 0,00509... и,
быть может, значениям \и из интервала @, 0,0242938...), соответ-
ствующим двукратным резонансам выше шестого порядка, в на-
стоящей главе мы показали формальную устойчивость точек либ-
рации. А какова ситуация ири значениях е, не являющихся малы-
ми и лежащих в незаштрихованных областях рис. 18 и 19?
Можно было бы в принципе провести нормализацию функции
Гамильтона до членов шестого порядка включительно и показать,

§8] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 171
что в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 (вне кривых, соот-
ветствующих резонансам до шестого порядка включительно, и
вне некоторого числа кривых, на которых система уравнений F.5)
имеет нетривиальное решение при гх > О, г2 > О, и вне, быть
может, тех точек (е, у.), в которых выполнены условия сущест-
вования двукратных резонансов выше шестого порядка) имеет
место формальная устойчивость. Но нормализация гамильтониана
до членов шестого порядка в нашей задаче связана с чрезвычайно
громоздкими вычислениями. Поэтому, исходя из того, что в «об-
щем случае» результат исследования будет именно таким, как
только что было сказано выше, мы и не проводили численного
исследования при учете членов до шестого порядка в разложе-
нии функции Гамильтона.
В заключение выскажем еще некоторые соображения об ус-
тойчивости точек либрации для значений параметров е и ц, лежа-
щих в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 и принадлежащих
кривым резонансов пятого и шестого порядков. Предположим,
что резонансы однократные, т. е. выполняется только одно резо-
нансное соотношение к^ -j- Аг2Л,2 = N при | кг | + | кг | = 5 или
6 и нет резонансных соотношений более высокого порядка. В «об-
щем случае» такое предположение справедливо. Множество точек
кратных резонансов имеет нулевую меру.
При резонансе пятого порядка функция Гамильтона в нор-
мальной форме имеет вид
Я = Vi + V2 + c20ri + ciirir2
+ yr? r22 sin (А1ф1 + к2щ -Nv) +0 ((rx + r2K).
А при резонансе шестого порядка нормальная форма будет такой:
Я = Vi + V2 + ciOr\ + Сцгуз + c02rl + сзог\ + с21г?т-2 +
+ созг| + бг/ r22 sin (/Зд! + &2ф2 — Nv) +
+ О ((г, + г,)'/.).
Если в резонансном соотношении к^кх + &2^2 = N целые числа
кх и к2 имеют разные знаки, то, согласно Мозеру [157], имеет место
формальная устойчивость. Если же кх и /с2 имеют одинаковые зна-
ки, то возможна неустойчивость, но для этого необходимо, чтобы
величина с2Ок\ + cnkxk2 + coj4 равнялась нулю. В противном
случае по теореме Брюно (см. главу 5) имеет место формальная
устойчивость.
Число всех резонансных кривых пятого и шестого порядков
равняется тридцати четырем: шестнадцать резонансных кривых
пятого и восемнадцать — шестого порядков. Двадцати четырем

172
УСТОЙЧИВОСТЬ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
[ГЛ. 9
из них соответствуют резонансные соотношения с одинаковыми зна-
ками кг и к2: двенадцать резонансных соотношений пятого и две-
надцать — шестого порядков.
Значения величины ciOk\ + Сцк^ + с02к\ на всех резонан-
сных кривых пятого и шестого порядков (с одинаковыми знаками
у чисел кг и к2) были вычислены на ЭВМ. При расчтах мы огра-
ничились значениями е ^ 0,5. Значения параметров е и ja, при
которых велиина с2Ок\ + c^jtjt^ + cQJt\ обращается в нуль,
представлены табл. 8. В ней же выписаны соответствующие резо-
нансные соотношения.
Таблица 8
ft В
+2X2=1
+
__ А
+
27.1+4X2=
5Х.+-
х ;
0,192
0,0161
0,141
0,191
0,061
0,0197 0,0392 0,0407 0
0,498
,0015
0,179
0,0154
0,078
0,0183
0,135
0,0391
0,181
0,0406
0,144
0,0397
Для первых четырех пар резонансных значений е и [д, табл. 8
в «общем случае» будет иметь место неустойчивость по Ляпунову,
так как при резонансе пятого порядка условие неустойчивости
у ф. 0 в «общем случае» выполнено.
Для остальных шести пар резонансных значений е и \и, в зави-
симости от соотношений между коэффициентами нормальной фор-
мы функции Гамильтона, возможна как неустойчивость по Ляпу-
нову, так и устойчивость в конечном порядке.

ГЛАВА 10
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ
ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Тождественный резонанс
В этой главе, следуя [64, 661, рассмотрим устойчивость тре-
угольных точек либрации пространственной эллиптической зада-
чи трех тел. Задача об устойчивости в этом случае по сравнению
с уже рассмотренными в главах 7—9 случаями является самой
сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа степеней сво-
боды изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна,
характерная только для этой задачи, особенность: имеет место
тождественный (т. е. существующий при всех е и ц) резонанс,
возникающий из-за равенства периода кеплеровского движения
основных притягивающих тел S и / и периода линейных колеба-
ний тела Р бесконечно малой массы по направлению, перпенди-
кулярному плоскости их орбиты.
Упомянутый резонанс является резонансом первого порядка и
в случае общей динамической системы он должен был бы привести
к неустойчивости, которая была бы обнаружена уже при анализе
линейной системы дифференциальных уравнений возмущенного
движения. Но в нашей конкретной задаче в линейном приближе-
нии этот резонанс не приводит к неустойчивости. Это происходит
потому, что в линейной задаче плоские и пространственные коле-
бания разделяются, а пространственное движение описывается
при помощи функции Гамильтона
не содержащей возмущающих членов (имеющих частоту кепле-
ровского движения), которые могли бы привести к неустойчи-
вости. В нелинейной задаче тождественный резонанс может
привести к ' неустойчивости, но эффект неустойчивости проявля-
ется только при учете в функции Гамильтона членов не ниже чет-
вертого порядка по qu pt и при учете в разложениях коэффициен-
тов функции Гамильтона степеней эксцентриситета не ниже второй.
Поэтому анализ устойчивости очень громоздок и труден. Ниже он
проводится для случая малых значений е.

174 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
§ 2. Алгоритм линейной нормализации с точностью
до второй степени эксцентриситета
Найдем линейное каноническое 2я-периодическое преобразо-
вание, нормализующее квадратичную часть гамильтониана воз-
мущенного движения (см. разложение C.1) в главе 7). С точностью
до первой степени эксцентриситета такое преобразование найдено
в § 2 предыдущей главы. Там же (в § 3) были найдены (с точностью
до членов порядка е2) выражения для величин Х1 и Х2 в нормаль-
ной форме квадратичной части гамильтониана
(Отметим, что в рассматриваемой пространственной задаче вели-
чина Х3 = 1). Теперь покажем, как найти нормализующее пре-
образование с точностью до членов порядка е2.
Сначала сделаем преобразование qt, pt —>- qt, pi no формулам
D.2) седьмой главы, а затем — преобразование qu рг -у qt, pt
по формулам B.5) девятой главы. После этих двух преобразова-
ний квадратичная часть функции Гамильтона запишется в виде
где Н2 вычисляется по формуле B.6) предыдущей главы. Так как
часть гамильтониана Н2, соответствующая пространственным
движениям, уже имеет нормальную форму, то в дальнейшем про-
ведем нормализацию только функции Л2.
Чтобы не вводить дополнительных обозначений, переменные,
которые будут введены нормализующим преобразованием, обоз-
начим, как и исходные переменные, через qt, pt. Пусть S — произ-
водящая функция преобразования qt, p4 -v qu рг:
. B.2)
Функцию S ищем 2я-периодической по v. Коэффициенты в^^^Лу)
и величины Х( представим в виде рядов
Sft.i-rfw, = <?&кл,и,ц, (v) + еЧЫгПЛ11 (v) + • • •, B.3)
К = щ + еХ[1) + еЧ™ + . . . ,
^2 = - Щ + е^ + е2?42) + . . . B.4)
Величины kiijumi (v) найдены в предыдущей главе. Они вычисля-
ются по формулам B.22). Величины Х^ находятся из условий пе-
риодичности функций S]Sl}C!iilliz(v). В предыдущей главе найдено, что

21
АЛГОРИТМ ЛИНЕЙНОЙ НОРМАЛИЗАЦИИ
175
я?° = Я4Х) = 0, а А,|2) вычисляются по формулам C.2). Кратко
опишем теперь, как найти функции h^wi (v). Подставив в
тождество
3S
r
разложения B.3), B.4) и приравняв в его обеих частях члены при
второй степени е, получим для функций hjam, систему десяти
линейных неоднородных дифференциальных уравнений, распадаю-
щуюся на три системы: две третьего и одну четвертого порядков.
Если величины Ях2) и ^2) вычисляются по формулам C.2) девя-
той главы, то эти системы имеют я-периодическое решение.
После того как найдены функции hot^n, (v), получим выраже-
ние переменных 'qi, /5,- через gc-, pt. С точностью до членов
порядка е2 связь новых и старых переменных задается при помощи
следующих формул:
= (Е +
2NB))
где элементы п{^ матриц N<*> получаются такими:
„A) _ ь. „A) _ ъ. „A) _
1 — "-1010» Л412 — "-ОНО» 3 —
„A) _
1 —
B.5)
ИA) — к
4 — "-ООН)
к пA) — к
"-10 01» 2 — К
„A) __ Г.
!ООО» 2 — Л1100>
па — к
'32
42 — ^/t
*1010 "Г"
1100»
0200»
„A) Ь
3 — ^ООН»
„A) _ -
"зз —
= -2Л,
0002»
3
„B)
— — /
оно
г ^он
101*1001»
u =
/С101Л
.2 == '0101 1
„B) 7
1 ПОЮ
„B) _ 7 XI
1 — —'lOOl i '
W23 == 'оО11,~Т" «*0020*1001 "Г ^OlOl^OOll
п31 == 2l2000 ^*2000"-1010 — "-HOO^lOOl»
„B) 7 Ак к к к цB) 7
"ЗЗ — '1010 ^t"'2OO0n'0020 л'11ОО"'ОО11» '*84 — *1001 —'
~Г ";0110"'
0110"'0101j
2л;0110Л;0002,
I *0101'
И24 == —2Z0002
Ща ~

176 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
Пп = tnoo — ^"¦0200"'1001 "-1100"-1010) Щ% ==
„B) 7 Oh h . Oh h и*2' 7
3 — f0110 «с0200'МH11 — ^'"'0020'''1100> 4 — t0101
Таким образом, линейное нормализующее преобразование с точ-
ностью до членов порядка е2 найдено.
§ 3. Нормальная форма функции Гамильтона
После проведения линейной нормализации функция Гамиль-
тона примет вид
з
Н = 4-Г/;(<?? + Pb + Yj hm,n(v)qmpn+. ¦ ¦ C.1)
i = l m, n
В этой формуле для краткости введено обозначение
"та, пЧ Р — nm,mim,nin.n,4.1 ЧЧ. Чъ Р\ Рч Рз »
суммирование происходит по целым неотрицательным числам /те,-,
щ, сумма которых равна трем или четырем, а многоточием обозна-
чены члены пятого и более высоких порядков относительно <?|, pt.
При этом для всех одночленов hin<nqmpn число п3 — 0, а пц
равно 0, 2 или 4, функции hmin (v) — 2я-периодические по v, а их
разложения в ряды Фурье содержат первые и вторые гармоники v
с коэффициентами, пропорциональными соответственно первой и
второй степеням эксцентриситета.
Нормализация членов третьей и четвертой степеней в Н про-
изводится стандартным путем при помощи преобразования Бирк-
гофа. Если число г = kl'k1 + к2к2 + А;3Х3 не будет целым при це-
лых ki, сумма модулей которых не больше трех, то члены третьей
степени в Н можно исключить полностью.
Отметим, что так как в функцию C.1) пространственные пере-
менные входят только в четной степени, то число ks, входящее
в выражение для г, таково, что | к3 | равен нулю или двум. Если
к3 = 0, то внутри области устойчивости в первом приближении
г может быть целым числом на резонансных кривых третьего по-
рядка, которые соответствуют плоской задаче трех тел. Эти кривые
представлены на рис. 14.
Если же | к3 | = 2, то в силу того, что к3 = 1, число г будет
целым лишь тогда, когда либо Ки либо ?i2 будут целыми числами.
Но это невозможно, так как при всех е и [i внутри области устой-
чивости в первом приближении 0 •< | Kt | < 1 (см. формулы для к{
в § 7 гл. 9). Таким образом, члены третьей степени в функции
Гамильтона C.1) можно уничтожить, если параметры е, [д. не при-

§ 31 НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА 177
надлежат резонансным кривым третьего порядка, представленным
на рис. 14, и, следовательно, наличие резонанса к3 = 1 в членах
третьего порядка не проявится.
Обозначая через ql, pi новые канонические переменные, вводи-
мые преобразованием Биркгофа при уничтожении членов третьей
степени, получаем, что функция Гамильтона в новых переменных
будет иметь вид
з
Н'(gj,ft) = 4"Ц,U(9? + Pi) + Yi hm-nWq'mp'n + •¦: C'2>
i = i m, n
Здесь суммирование по т, п происходит для неотрицательных це-
лых чисел /re,-, nit сумма которых равна четырем, h'm< n (v) — 2я-
периодические функции v, в которые первые и вторые гармоники
входят снова с коэффициентами, пропорциональными е и е2 соот-
ветственно. Кроме того, <7з и Рз входят в члены четвертой степени
функции C.2) только в следующих четырех случаях:
т3 = щ = I; т3 = 2, п3 = 0; т3 = 0, п3 =2; т3 + п3 = 4-
Теперь при помощи преобразования Биркгофа упростим члены
4-й степени в функции Гамильтона. Для удобства введем комплек-
сно сопряженные канонические переменные д,, р3- по формулам
Чз = Щ + fft» Pi = Яз — ift;
функция C.2) в новых переменных примет вид
Я" = — i^igiVi — i^aPa — &зЧзРз + 21 Лт,„ (v) q"mp"n + • • . C.3)
Величины q3, p3 входят в члены четвертой степени в четырех слу-
чаях: т3 = п3 = 1; т3 — 2, п3 = 0; т3= 0, п3 = 2; тге3 + щ =
= 4. К функции Н" удобно применить преобразование Биркгофа.
Если число
г = (т.! — щ)^ + (т2 — щ) Х2 + (т3 — п3I3
не будет целым, то соответствующие члены четвертой степени мо-
гут быть исключены. Число г будет целым на кривых резонансов
четвертого порядка, обнаруживающихся уже в плоской эллипти-
ческой задаче трех тел. Они представлены на рис. 14. Если парамет-
ры е, ц не принадлежат этим кривым, то все члены четвертой сте-
пени в Н", не содержащие q3, р3 (для них т3 = п3 = 0), можно
уничтожить, кроме трех, которые зависят от произведений q^l и
qlp2. Но коэффициенты при них можно сделать постоянными.
Рассмотрим теперь одночлены четвертой степени в Н", содер-
жащие q3, p3. В этом случае из-за того, что имеет место резонанс

178
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 10
Таблица 9
Ka = 1, кроме трех одночленов, зависящих от произведений
q". щ (/ = 1, 2, 3), нельзя уничтожить еще восемь одночленов, со-
держащих либо только q3 и р3, либо q3, p3 и произведения
q'ipl или qlpl- Таким образом, если параметры еиц не принад-
лежат кривым резонансов третьего или четвертого порядка, то
в нормальной форме функции Гамиль-
тона будет содержаться четырнадцать
членов четвертого порядка. В табл. 9
приведены значения соответствующих
им показателей степеней mit щ. Пусть
(jj, p^ — канонические переменные, вве-
денные преобразованием Биркгофа при
упрощении членов четвертой степени.
Если теперь перейти к вещественным
«полярным» координатам по формулам
2 0 0 200
0 2 0 0 20
110 110
0 12 0 10
0 110 11
0 10 0 12
10 2 100
10 110 1
10 0 10 2
0 0 4 0 0 0
0 0 2 0 0 2
0 0 0 0 0 4
0 0 3 0 0 1
0 0 10 0 3
р} = -t/2p7exp (iQ}) (i = 1,2,3),
то получим такое выражение для нормализованной до членов
четвертого порядка функции Гамильтона:
Н = ?4pi +^2р2 +Рз+ ^pt + 5Plp2 + Сра+
+ Р 3 (^Р 1 +^2р. + ^ЗР з) + В, C.4)
где й 2я-периодична по угловым переменным 8;- и v и имеет пятый
порядок относительно ]/^р3. В функции Гамильтона C.4) введены
б
обозначения
Ft = Dt + Ei sin B03 - 2v)
Gt cos B03 - 2v) +•
+ Kt sin D03 — 4v) + Lt cos D03-4v).
Величины A, B, C, Dit Eu Gu Ku Lt не зависят от 81} Ga, 03 и v
и аналитичны по е при достаточно малом его значении. Коэф-
фициенты А, В, С, Di при е = 0 вычислены в зависимости от ц
в [63, 111] и приведены в седьмой и восьмой главах. При малых е
в них возникает поправка порядка е2. Коэффициенты Eu Gt при
0 < е<^ 1 имеют порядок е2, a Ks и L3— порядок е4; Къ К2, Lx
и L2 равны нулю.
§ 4. Исследование устойчивости системы
с функцией Гамильтона C.4)
После проведения нормализации задача об устойчивости тре-
угольных точек либрацки свелась к исследованию устойчивости по-
ложения равновесия р1=р2=рз = 0 системы с функцией Га-
мильтона C.4). Для исследования устойчивости сделаем сначала

§ 4] СИСТЕМА С ФУНКЦИЕЙ ГАМИЛЬТОНА C.4) 179
замену переменных 93 = v + я|з. Тогда уравнения движения со-
храняют гамильтонов вид, но нормализованная часть функции
Гамильтона не будет содержать истинную аномалию и член, ли-
нейный по р з, и будет иметь вид
И = klPl + к2р2 + А9\ + Вр1Р2 + Ср* +
+ pa^ipi +F2P2+ F3p3) + Я, D.1)
где теперь
p. = Dt + Et sin 2i|3 + Gt cos 2я|> + Kt sin Ц + Lt cos 4ф.
Докажем следующую теорему.
Теорема. Если F3 (г|?) Ф О при любых значениях 1|з, то поло-
жение равновесия устойчиво при учете в нормальной форме D.1)
членов до четвертого порядка включительно по J^p*; если же су-
ществуют значения ty, при которых F3 (i|j)= 0, но при этих зна-
чениях dF3/d^ Ф- 0, то положение равновесия неустойчиво по Ля-
пунову.
Первое утверждение сформулированной теоремы можно доказать
при помощи теоремы Ляпунова об устойчивости. Для этого заметим,
что если в нормальной форме отбросить члены выше четвертого
порядка поу^рг, то укороченная функция Гамильтона Н— R бу-
дет интегралом движения. Кроме того, pi и р2 тоже будут интегра-
лами. Для доказательства устойчивости функцию Ляпунова
берем в виде
V=Pl+Pt + (H-SY. D.2)
Ясно, что dVldt = 0, а функция V определенно-положительна,
если уравнение F3 (ij)) = 0 не имеет корней. Отсюда следует, что
положение равновесия рх =р2=р3 = 0 устойчиво (для системы
с укороченной функцией Гамильтона Н — Й).
Второе утверждение теоремы доказывается несколько сложнее.
Для доказательства используем теорему Четаева о неустойчи-
вости. Пусть существуют значения ijj, при которых F3 (ф) = О,
и при этих значениях производная dF3ldty Ф 0. Из этого условия
и периодичности функции F3 (if>) = 0 следует, что среди корней
уравнения F3(ty) = 0 Существует по крайней мере одно значение,
¦ф = 113", для которого -dF3/dty < 0.
Для доказательства неустойчивости функцию Четаева возьмем
в виде
V =р3 [cos Bг|з — 2ij)*) — cos 2e] — (Pl +p2L'». D.3)
Здесь e — положительное сколь угодно малое число, которое под-
берем так, чтобы функция V удовлетворяла теореме Четаева о не-
устойчивости.

180 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
За область V ^> 0 примем область, определяемую такими ус-
ловиями:
Р1 + Р 2 < pi'4 [cos Bф - 2i|>*) - cos 2e]5\ D.4)
Ч> = Ч>* -Н "Пе (— К Л < !)•
В этой области справедливы следующие оценки:
cos Bя|з — 2ф*) — cos 2e = 2A — тJ)е2 + О (е4),
sin Bф — 2г|5*) = 2т)е + О (е3),
^з (Ч>) = ^ ft*) ле + О (е2), D.5)
^з W) = ^з №*) + О (г),
Теперь, учитывая уравнения движения с функцией Гамильтона
D.1) и принимая во внимание оценки D.5), после проведения
несложных вычислений, получаем в области V ^> 0 выражение для
производной
2L = pII-2F; (Ч>*) A + 3rf) & + 0{f) + О (p^J. D.6)
Из "этого выражения видно, что если е — достаточно малая (но
фиксированная) величина, то в достаточно малой окрестности по-
ложения равновесия р1 =р2=рз~0 производная dVldt положи-
тельна в области V ~^> 0. Согласно теореме Четаева, отсюда следу-
ет неустойчивость положения равновесия.
§ 5. Устойчивость точек либрации при малых е
Рассмотрим устойчивость точек либрации для малых значе-
ний эксцентриситета. Покажем, что если параметры е и [д, находятся
в области устойчивости в первом приближении и не принадлежат
резонансным кривым третьего и четвертого порядков, то при до-
статочно малых значениях е (зависящих от ц) треугольные точки
либрации устойчивы, если в нормальной форме функции Гамиль-
тона пренебречь членами выше четвертого порядка по V^Pt-
Пусть ц не равно ни одному из значений |х<°>, задаваемых табл. 2
и 3 главы 9, и принадлежит интервалу 0 < ц < fi* устойчивости
в первом приближении для круговой задачи. Тогда при малых зна-
чениях эксцентриситета отсутствуют резонансы третьего и чет-
вертого порядка и нормальная форма функции Гамильтона будет
иметь вид D.1). Рассмотрим свойства нормальной формы при ма-
лых е. Согласно § 4, для доказательства устойчивости нужно про-
верить, что функция Fз (\j?) отлична от нуля при любых значениях ty.

§ 61 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ МАЛЫХ р. И в 181
В выражении для F3 слагаемые, содержащие угол i|5, при ма-
лых значениях е могут быть сделаны сколь угодно малыми, а ко-
эффициент D3 при уменьшении е стремится к функции c0Oi (ц),
имеющей вид (см. формулу для с002 (ц) в восьмой главе)
Следовательно, для любого фиксированного (л существует доста-
точно малое положительное число е* (ц) такое, что при 0 <^ е <^
< е* (ц) функция /^(ф) будет отрицательной и, значит, уравнение
F3 (ф) = 0 не будет иметь корней. Отсюда и следует устойчивость
лагранжевых решений.
§ 6. Неустойчивость точек либрации при малых ц и е
Из E.1) видно, что величина с002 (ц) обращается в нуль при ц= 0.
Поэтому при малых е и ц возможно появление областей неустой-
чивости. Но тут уже качественных оценок, использующих малость
эксцентриситета, недостаточно для исследования. Для того, чтобы
неустойчивость могла быть обнаружена, следует получать число-
вые значения коэффициентов функции Fa (^) или хотя бы исследо-
вать их поведение при малых е и ц. Результаты такого исследова-
ния приводятся ниже. Оказывается, что при достаточно малых е
и [1 действительно существует область неустойчивости. Ниже бу-
дет получено приближенное уравнение границы этой области в
плоскости е, \х.
Если учитывать степени эксцентриситета не выше второй, то
коэффициенты К3 и L3 равны нулю и функция F3 (ф) может быть
записана в виде
^з М>) = сОо2 + е2» + е2 (б sin 2ф + у cos 2ф), F.1)
где а, 8, у — некоторые функции ц, а с002 имеет вид E.1).
Функция F.1) при выполнении неравенства
I с002 + е?а |< е2 Y~WTf F.2)
может обратиться в нуль, если, например,
При этом F3 (г|з*) < 0. Таким образом, если е — достаточно малая
величина, то неравенство F.2) есть условие неустойчивости лаг-
ранжевых решений.
Было исследовано поведение функций, стоящих в обеих частях
неравенства F.2) при ц, стремящемся к нулю. При этом, если для

182 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
с002 это цгожно сделать, используя формулу E.1), то для функций
а и |^бг + va исследование очень громоздко и оно проводилось на
вычислительной машине. Оказалось, что имеют место равенства
сООг = -0,1875ц + 8Х (ц), а = -0,0781ц + е2 (ц),
+ Y2 = 0,12-10-' + 83 (ц),
где 8{ (ц) — бесконечно малые величины при ц, стремящемся
к нулю, причем порядок малости гг и е2 выше первого.
Из неравенства F.2) получаем теперь такое условие неустой-
чивости при достаточно малых е и ц:
е2 > 15625000ц. F.3)
Полученная в плоскости е, ц область неустойчивости лагранжевых
решений является очень узкой. При малых е и ц одной из ее гра-
ниц является ось Ое, а другой — кривая, мало отличающаяся от
параболы е = 3953 Yv-
Отметим в заключение, что обнаруженная неустойчивость ла-
гранжевых решений является следствием резонанса, связанного
с тем, что частота вращения тел S и / равна частоте колебаний тела
Р по направлению, перпендикулярному плоскости их вращения.
Этот резонансный эффект проявляется только в эллиптической
пространственной задаче. В случае круговой пространственной
задачи этот резонанс к неустойчивости не приводит.
§ 7. Результаты численного исследования
при произвольных е и ц. Устойчивость лагранжевых
решений в системе Солнце—Юпитер
В этом параграфе кратко опишем численное исследование
треугольных точек либрации в системе Солнце—Юпитер, а также
результаты численного исследования при произвольных е и ц.
Исследование было приведено на ЭВМ с применением метода точеч-
ных отображений (см. главу 6).
Итак, пусть параметры е и ц соответствуют системе Солнце —
Юпитер: е = 0,04825382, ц = 0,00095388. Сначала нужно найти
линейное нормализующее пребразование. Алгоритм его получе-
ния изложен в § 5 главы 2. Линейная нормализация части гамиль-
тониана, соответствующей пространственным переменным q3, p3,
не требуется, так как пространственная часть гамильтониана Нг
уже с самого начала имеет нормальную форму. Займемся поэтому
нормализацией части гамильтониана плоского движения.
Расчеты показывают, что фундаментальная матрица решений
X (v) соответствующей системы дифференциальных уравнений при

ё 7J
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
183
v = 2я будет такой:
10,246067
ХBя) =
15,765014 —16,830551 9,400540
G.1)
—5,435207 —8,372406 9,934193 —5,646301
5,056440 8,591016 —8,181647 5,105433
8,833277 15,135589 —16,094789 10,055308
Величины к1 и к2 вычисляем по формулам G.6) предыдущей главы.
Получаем
кг = 0,996758, кг = — 0,080802.
Теперь надо найти какое-либо решение системы уравнений E.10)
второй главы. Положим для определенности четвертые компонен-
ты векторов е^ вещественными и равными единице. Тогда действи-
тельные и мнимые части собственных векторов получаются та-
кими:
11,25697611
—1,371205 _
—0,036985 ' Sl ~~
Для скалярных произведений (тн, Isk) получаем такие числовые
значения:
(r1? ISl) = 1,061233, (r2, Is,) - 0,032162.
Далее, из уравнений E.9) главы 2 находим элементы матрицы D
dn = 0,485361, d22 = 2,788669.
1
0
1
,38942911
,2731881
,020730 Г Г2 ~~
0 У
1,052220
—0,607786
0,576385
1
II—0,042113
—0,040441
' S2~" г °'030937
1 о
Теперь уже можно выписать
= X(v) • P-Q(v), где
нормализующую матрицу N =
-1,348748
|—0,265189
-0,990844
0
0,234825
0,225503
0,172509
0
1,220173
—1,331058
—0,035902
0,970721
5,867325
-3,3891001
3,214000
5,576138
G.2)
Q(v) =
II cos Ki
0
II sin Ki
0
о
cos A,2v
0
sin A,iv
— sm ki\
0
cos KiV
0
; 0
— sin ?^2V
0
cos A,2v
Для получения матрицы N при каком-либо значении v нужно на
ЭВМ интегрировать систему линейных дифференциальных урав-
нений шестнадцатого порядка.
Применив далее алгоритм, изложенный в главе 6, получим про-
изводящую функцию точечного отображения в окрестности точки
либрации
S (А, ф,) = 52 + S3 + S4 + . . ., G.3)

184 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 10
где
>
+ г<0) (ф2 - 2я^2) + г<0) (ф3 - 2я), G.4)
53 = г? Vr\ @,036399 sin щ + 0,01804 cos фх - 0,00846 sin Зфх +
_ + 0,102115 cos Зфл) +
-\-r\Yr\ [8,405704;sinфа+2,566987 cos ф2+1,668032 sin B^+ц,2) +
+ 7Д48056 cos Bфх + ф2) —
—_4,391994 sin Bфх — ф2) — 5,111227 cos Bф1 — ф2)] +
+rlVr°1 [1,598739,8тф1+1,071356созф1+22,212749зт(ф1+ 2фа)+
+ 36,913857 cos (фх + 2ф2) — 45,757428 sin (фх — 2ф2) -
- 3,059325 cos (ф1 - 2ф2)] + r° У7° (98,462795 sin ф2 +
+ 27,099158 cosjJ + 70,044213 sin Зф2 + 62,756218 cos Зф2) +
+ r% Vr\ [0,036203 sin фх + 0,022801 cos щ —
— 0,006181 sin (фх + 2ф3) — 0,00381 cos (фх + 2ф3) +
+ 0,019144 sin (ф! — 2ф3) + 0,011722 • cos (фх — 2ф3)] +
+ r°3 Vrl [4,566664 sin ф3 + 1,085301 ¦ cos ф2 +
+ 0,137253 sin (ф2 + 2ф3) + 0,032885 cos (фа + 2ф3) —
— 0,022454 sin (ф2 — 2ф3) - 0,004787 cos (ф2 — 2ф3)]. G.5)
В выражении для 54 выпишем только те одночлены, которые необ-
ходимы для получения нормальной формы функции Гамильтона
54 = 85,43976rf + 5293,02 r\rl + 25475,856r2°2 +
+ гУ3 C9,69968 + 0,09557 sin 2ф3 + 0,967033 cos 2ф3 +
+ 0,000163 sin 4ф3 + 0,0000005 cos 4ф3) +
+ rlr°3 (929,176- 3,333 sin 2Фз + 25,54123 cos 2Фз +
+ 0,00324 sin 4ф3 + 0,00008 cos 4ф3) +
+ rf A0,65544 + 0,00087 sin 2ф3 + 0,5505 cos 2фз;+
+ 0,00009 sin 4ф3 - 0,00712 cos 4ф3). G.6)
Теперь.согласно алгоритму главы б.проведем нормализацию по-
лученного отображения и по его нормальной форме найдем нор-
мальную форму соответствующей функции Гамильтона. Она имеет
вид C.4). Коэффициенты А, В я С с точностью до четырех знаков
таковы:
А = 0,0057, В = - 0,1483, С = 0,6159.
Для этих значений коэффициентов
#2 _ 4ЛС = 0,0079 Ф 0.
Таким образом (см. главу 5), в плоской задаче имеет место устой-
чивость треугольных точек либрации для большинства начальных
условий.

S 7J ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 185
Коэффициенты функций Ft с точностью до пяти знаков будут
такими:
D, = 0,00580, Ех = 0,00001, Gx = 0,00001, Кх = 0, Ьг = 0,
D2 = 0,05509, Е2 = -0,00038, G2 = -0,00029, К2 = 0, La = 0,
#з =-0,00017, ?3 = 0, G3 = 0, К3 = 0, L3 = 0.
Функция F3 (if) при всех гр, очевидно, отрицательна. Поэтому
(см. § 4) в пространственной задаче треугольные точки либрации
устойчивы при учете в нормальной форме функции Гамильтона
членов до четвертого порядка включительно по координатам и
импульсам возмущенного движения.
Были проведены также численные расчеты с очень частой сет-
кой в плоскости е и \jl для произвольных значений параметров.
Неустойчивость точек либрации пространственной эллиптической
задачи обнаружена не была. Но при расчетах, из-за резкого воз-
растания времени интегрирования, нельзя подойти произвольно
близко к оси ц = 0 и к резонансным кривым второго (граница об-
ласти устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-ви-
димому, области неустойчивости, если и существуют, то их
границы проходят очень близко к этим резонансным кривым. От-
метим еще раз, что существование очень узкой области неустойчи-
вости при малых ц и е в этой главе мы показали аналитическими
методами.

ГЛАВА 11
ОСНОВЫ МЕТОДА. ДЕПРИ—ХОРИ
В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
§ 1. Введение
Многие задачи небесной механики описываются каноническими
дифференциальными уравнениями, задаваемыми функцией Га-
мильтона Н, содержащей малый параметр 8:
Н = Н (х, X, t; е), A.1)
где хт — (хи . . ., хп), Хт = (Хи . . ., Хп) — векторы координат
и импульсов соответствующей механической задачи.
Пусть параметр 8 входит в гамильтониан Н аналитически. Если
при е = 0 рассматриваемая каноническая система интегрируема,
то для качественного и количественного изучения движения при
| е | <^ 1 часто ищут каноническую замену переменных х, X —>•
-v у, Y, близкую к тождественной и приводящую функцию Га-
¦ мильтона A.1) к такой форме, которая позволила бы достаточно
просто провести исследование тех или иных свойств движения в
изучаемой механической задаче. В качестве примера можно приве-
сти неоднократно встречавшиеся в предыдущих главах преобра-
зования, исключающие из функции Гамильтона нерезонансные
члены.
Если исходная функция Гамильтона не содержит время t,
то при традиционном подходе преобразование х, X -*¦ у, Y может
быть найдено при помощи метода Цейпеля [9]. Преобразование
х, X -*¦ у, Y задается при этом при помощи производящей функ-
ции S, зависящей от смешанных (новых и старых) переменных:
S = S (у, X; е), S (у, X; 0) = (у, X).s A.2)
Через (у, X) в A.2) обозначено скалярное произведение векторов
у и X. Преобразование х, X ->¦ у, Y задается неявно при помощи
соотношений
Отметим, что рассмотренное в главе 3 преобразование Биркгофа во
многих отношениях аналогично преобразованию метода Цейпеля.

§ 1) ВВЕДЕНИЕ 187
Можно отметить следующие существенные недостатки теории
возмущений, основанной на применении метода Цейпеля. Во-пер-
вых, нахождение преобразования х, X -»- у, Y требует очень
громоздких вычислений. В самом деле, для выражения перемен-
ных х, X через у, Y надо сначала обратить нелинейное уравнение
A.4), чтобы выразить вектор импульсов X через новые переменные
у, Y, а потом результат обращения подставить в правую часть
уравнения A.3), чтобы явно выразить вектор координат х через
у, Y. С практической точки зрения упомянутые операции обраще-
ния и подстановки являются весьма трудоемкими. Во-вторых, для
получения обратного преобразования у, Y —>¦ х, X нужно выпол-
нить такой же объем вычислений, как и при нахождении прямого
преобразования. Здесь требуется сначала обратить уравнение
A.3), чтобы выразить у через х, X, а затем результат подставить
в A.4) для получения выражения Y через х, X. В-третьих, неяв-
ные соотношения A.3) и A.4) метода Цейпеля не дают общего ал-
горитма преобразования достаточно произвольной функции
/ (х, X; е) первоначальных фазовых переменных х, X в функцию
новых переменных у, Y. На практике такой алгоритм очень часто
необходим.
В последнее десятилетие в работах [108, 113, 142, 143, 155, 156]
разработан новый способ построения канонического преобразова-
ния х, X —>-у, Y, в котором устранены упомянутые недостатки
метода Цейпеля. Основные достоинства этого способа состоят
в следующем:
1) формулы замены переменных х, X —>- у, Y получаются в яв-
ной форме;
2) обратное преобразование не требует никаких дополнитель-
ных вычислений;
3) формулы преобразования пригодны не только для коорди-
нат и импульсов, но и для любой функции от них, в частности для
гамильтониана;
4) формулы метода задаются рекуррентно и необходимые вы-
числения могут быть достаточно просто реализованы на ЭВМ.
Метод, разработанный в [108, 113, 142, 143, 155, 156], основы-
вается на простой идее, использующей тот факт, что преобразова-
ние фазового пространства, осуществляемое при помощи движений
гамильтоновой системы, является* каноническим [16]. Практиче-
ское осуществление канонических преобразований в работах
[108, 113, 142, 143, 155, 156] опирается на использование рядов
Ли и преобразования Ли.
Основы упомянутого метода разработаны независимо Хори
1142] и Депри [ИЗ]. Дальнейшие работы [94, 108, 137, 143, 144,
155, 156, 171] содержат его более детальную разработку и отладку.
Краткое изложение основных идей метода канонических преобразо-

188 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ—ХОРИ [ГЛ. 11
ваний Депри — Хори содержится в лекциях К. В. Холшевнико-
ва [94] и монографии Джакалья [137].
Настоящая глава посвящена изложению основ метода Депри —
Хори в теории возмущений канонических систем. Для ясности из-
ложения предварительно рассматриваются ряды Ли и их некото-
рые свойства. Затем следует подробное изложение метода Депри
в модификации Кэмила. И в заключение главы кратко рассматри-
вается преобразование Хори. При изложении материала этой
главы используются оригинальные публикации авторов метода,
лекции К. В. Холшевникова [94], монография Джакалья [137],
а также мало известная работа Кэмила [144].
§ 2. Ряды Ли как каноническое преобразование
Наряду с исходной канонической системой дифференциальных
уравнений, задаваемой функцией Гамильтона A.1), рассмотрим
вспомогательную каноническую систему
dt — ЭХ ' dt ~~ дх ' ^Л>
где W (х, X) — произвольная достаточно гладкая функция.
Пусть при t = О x = y,X = Y. Обозначим решение системы
B.1) при t = 8 через
х = х(у, Y, е, W), X = X(y, Y, e, W). B.2)
Произвольная функция от х, X в силу соотношений B.2) становит-
ся некоторой функцией от у, Y, а также от е и W:
/(х, X) =/(х(у, Y, 8, W),X(y, Y, e, W)) = / (у, Y, е, W). B.3)
Здесь и далее в настоящем параграфе чертой обозначается резуль-
тат замены переменных, осуществляемой согласно формулам B.2).
Так как функции х, X в B.2) являются решениями гамильтоновой
системы B.1), то преобразование B.2) будет каноническим [16].
Мы ограничимся рассмотрением случая малых значений |е|.
Понятие ряда Ли вытекает из решения задачи Коши
4r = &(z). 4=o = Z, B.4)
где zT = (z1( . . ., zm) и gT = (gu . . ., gm) — аналитическая функ-
ция своих аргументов в окрестности точки Z. Решение задачи B.4)
при t — г дается рядом Ли [139]
П=0

§ 2j ряды ли 189
сходящимся при достаточно малом 8. Здесь D — оператор Ли
i()
* B-6)
Do = ^
Если система уравнений B.4) имеет вид B.1), то результат приме-
нения оператора D к функции f запишется так:
Lwf = {f-W), B.7)
где (f-W) — скобка Пауссона
a w\ ( df dw\ I df dW\
Выражение B.7) называется производной Ли функции f, порож-
денной функцией W, а оператор Lw — оператором Ли.
Имеют место следующие, легко проверяемые свойства опера-
тора Лиг
1) Lw (а/ + Р#) = aLwf + $Lwg (а, р — const),
2) Lw (fg) = gLwf + fLwg, B.9)
3) Lw (f-g) = (Lwf.g) + (f-Lwg),
4) LwLyf = LyLwf + L(w-V)f-
Используя B.9), нетрудно доказать свойства степеней операто-
ра Ли:
1) Lw (a/ + fig) = aLwf + fiL^g (а, р - const),
2) Lw(fg) = K^/Cf, B.10)
3) Lnw{f.g)= i; Cll(Lwf-L^mg).
Здесь
Пусть функции PF и / — аналитические. Тогда очевидно, что при
достаточно малом е ряд
/, —rLwf = exp(eZw)/ B.12)
будет сходящимся. Легко проверить, что имеют место следующие

190 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ—ХОРИ [ГЛ. 11
свойства оператора exp
1) exp (eLw) (a/ + Pg) = а exp (eLw) / + 0 exp (eLw) g
(a, p — coiist),
2) exp (sLw) (fg) = exp (sLw) f exp (&Lwg), BЛЗ)
3) exp (sLw) (f-g) = (exp (eLw) /-exp (sLw)g).
Каноническое преобразование B.2) при помощи ряда Ли запи-
шется в виде
х = exp (eLw) У, X = exp (sLw) Y. B.14)
Преобразование, обратное B.14), получается, очевидно, заме-
ной знака е на обратный или, что то же самое, изменением на
обратный знака функции W. Таким образом, имеем
у = exp (sL-w) х, Y = exp (sL-w) X. B.15)
Важным достоинством ряда Ли является то, что он позволяет
не только получить преобразование B.14), но и произвольную
функцию / от решения. Для любой аналитической функции
/ (х, X) справедливо следующее соотношение:
1 (У, Y, е) = / (exp (zLw) у, exp (eLw)Y)=exp.(eLw)/ (у, Y). B.16)
В самом деле, очевидно, что
^, Lwz*), B.17)
где z* — 2п-мерный вектор, z*T = (хх, . . ., хп, Хг, . . ., Хп),
а Ь\уъ* — 2п -мерный вектор, к-я компонента которого равна
Продифференцировав B.14) по е, получим
^T=Lwz*. B.18)
Из соотношений B.17) и B.18) следует, что
Аналогично подсчитывается, что
ИЛИ
- Lwf(y, Y, 0) = Lwf(y, Y). B.20)
двп
е=о

§ 3J О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРИ 191
Следовательно, разложение функции / (у, Y, е) в ряд Тейлора
относительно е дает соотношения
J (у, Y, в) = V 4г 5 = У, "?г L*f <* V = ехР (^) / (У- *)•
П=0
Формула B.16) доказана.
Пусть теперь функция / зависит от е и при малых е предста-
вима в виде ряда
/(х, X,8) = ?j4j-/n(x,X). B.21)
п=0
Тогда при каноническом преобразовании B.14)
/(у, Y, е) = ?Д Y, ОД?/„_т(у, Y). B.22)
п=0 т=э
Соотношение B.22) легко получить, заметив, что, согласно B.16)
~ т
U (у, Y, е) = 2, ^- IZU (У, Y). B.23)
т=о
Подставив затем B.23) в B.21) и приведя подобные члены, по-
лучим представление B.22).
§ 3. О теории возмущений Депри
В этом параграфе получим общие соотношения, лежащие в осно-
ве теории возмущений, разработанной Депри в статье [113].
В методе Депри используется преобразование Ли, которое может
быт.ь определено посредством системы дифференциальных урав-
нений
2L=*-wt(x,x,ft1\)
с такими начальными условиями при т) = 0:
х = у (t; е), X = Y (t; e), t = t, R = 0.
Здесь х, X — исходные координаты и импульсы,* Ут Y — коор-
динаты и ижпульсы, полученные после преобразования (х, X, у,

192 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ—ХОРИ [ГЛ. 11
Y — гс-мерные векторы) R = К (у, Y, t; е) — Н (х, X, t; t)) —
остаточная функция, К, Н — преобразованный и первоначальный
гамильтонианы, W— производящая функция преобразования Ли
(она отличается от производящих функций классических способов
канонических преобразований, таких, например, как способ Бирк-
гофа или Цейпеля), t — независимая переменная, е — постоянный
малый параметр, т) — переменный малый параметр @ «^ т) «^ е).
Убедимся непосредственно, что преобразование является кано-
ническим. Действительно, имеют место соотношения
~dx = dWx = (^ь, dx) + (Wxx, dX) + Wxtdt,
~ dx = 6WX = (Wxx, dx) + (Wxx, ЙХ),
-jjp dX = - dWx = - (PFXX, dx) - (WxX, dX) - Wxtdt,
-^ „.- _ — „„ x = — (Wxx, бх) — (WxX, 6X),
-4- 6Л = - bWt = - (Wxt, бх) - (W», 6X).
Из этих соотношений следует, что приращения dx, dX, бх, 6Х и
бй, вызванные приращениями dy, dY, бу и 6Y удовлетво-
ряют равенству
—- [(dx, 6X) - (dX, бх) + dt 6R] = 0. C.2)
Из этого соотношения следует, что величина (dx, 6X) —(dX, бх) +
+ dt 8R не зависит от т] и равна своему значению, вычисленному
при т) = 0. Отсюда получаем
C.3)
Следовательно, если х и X удовлетворяют системе канонических
уравнений
dx _ дН dX _ дН_ ,о ,ч
ЧГ " ~Ж ' ~dT~ ~~5х ' [йЛ)
то система уравнений для у и Y также будет иметь каноническую
форму
dy _ дК_ _d\_ _ _ Ш_ /35)
1Г ~~ ~дТ ' dt ~~ dy '
Когда функция W не зависит от т), система уравнений C.1)
порождает ряды Ли (см. § 2); если же W зависит от т), то ио терми-
нологии, введенной Депри [ИЗ], система уравнений C.1) порож-

§3] О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРИ 193
дает преобразование Ли. Таким образом, можно сказать, что ряды
Ли представляют собой частный случай преобразования Ли.
Пусть теперь / (х, X, t; ц) — произвольная бесконечно диффе-
ренцируемая функция, пред ставимая в виде ряда
где
¦п=о
Подставив в C.6) выражения переменных х, X через у, Y и е,
получаемые при помощи преобразования Ли, представим функцию
/ в виде ряда
/(х, X, р, 8) = ^-il/eofr, Y, t), C.7)
n=0
где
df , v t ч 9/ , / df dx\ , / df dX\ /o O4
^(x, X,f,4)=-Sf+(-?r,-sr) + ("ax , -gr) • C-8)
Отметим, что /0 (x, X, *) = / (x, X, t; 0) и /<»> (у, Y, t) =
= / (У, Y, t; 0).
Покажем, как по набору функций /„ (x, X, t) разложения C.6)
построить набор функций /(п> (у, Y, t), входящих в разложение
C.7). Используя уравнения C.1), перепишем соотношение C.8)
в виде
¦%г = -щ- + Lwh C-9)
где Lw — оператор Ли, определяемый скобкой Пуассона
Lwf = (/• W) = (/х, Wx) - (fx, Wx). C.10)
Положив в C.7) / равным х, X и R и используя C.1), получим
-y(ri>(y,Y,0, C.11)
-^¦flw(y,Y,O, C.13)
n=i
7 Л. П. Маркеев

194 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ [ГЛ.11
где для п > 1
Пусть теперь функция W представима в виде ряда
W (х, X, t; л) = ^ ^J- ^+1 (х, X, 0, C.15)
а функция / снова имеет вид C.6). Тогда, как легко проверить,
соотношение C.9) перепишется в следующей форме:
4L (х, X, *; Л) = ^?. 0 (х, X, 0, C.16)
где для га > О
тпо
Вообще, для А > 1, и га > 0 можно получить, что
где
п
/(?c) / V j\ ^(ft—1) I ^^
n ^X, Л, l) — /n+i ~T" jCI
[m=o
Положив в последнем соотношении л = О, получим следующее
рекуррентное соотношение, называемое в [143, 1441 уравнением
Депри:
п
/(ft) / V л\ j(fc~l) I ^^ /-iVfl r j(fc~l) /О A Q\
п (У, I|t) = /n+i + 2л bnWn-лч (o.lo)
m=o
где для ? > 1
Ltf = (/у, И^у) - (/у, Wiy).
В уравнении Депри
Ло) (У, Y, t) = /„ (у, Y, t), /ok> (у, Y, t) = /W (у, Y, «).

§3]
О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРИ
195
Следовательно, уравнение Депри позволяет выразить функции
/<«> (у, Y, t) через функции /„ (у, Y, t) = [/„ (х, X, *Iх=у,. входя-
щие в разложение C.6). Процедуру вычислений очень удобно пред-
ставить на треугольнике (см. рис. 20). _ [в)
Например,
/A) = h + Lifo,
'о т
C.19
= U +
/C) = /<2
+ 2L2/i -f- L3f0,
/i1} + LJV,
W I11
Li.
Рис. 20. / — треугольник
(рекуррентное преобразо-
Аналогичные вычисления для функций
Н, R, у, Y иллюстрируются на рис. 21.
Обратное преобразование можно записать в таком виде:
,4гх(п)(*,Х,0, C.20)
X, t). C.21)
n=l
Чтобы найти связь между х'п), у*п' и X(n\ Y'"', исключим из
C.11)—C.12) и C.20)—C.21) величины х — уиХ — Уи опре-
делим функции и (х, X, t, е) и U (х, X, t, г) при помощи
следующих соотношений:
= - ^-J У(п) (У- Y' 0. C-22)
и (х, X,t, е) = ? iL.
П=1
U(x, X, г, е)= ^-^Х^х, X, 0 = - ?Д Y<n)(y, Y, f). C.23)
C.24)
n-l
Функции и и U можно представить так:
U = Y- X =
7*

196
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ
[ГЛ. И
Из равенств C.22)—C.25) получаем соотношения, позволяю-
щие установить очень простую связь коэффициентов прямого и
Hi—¦¦¦
I
-Wat
т
-Щ-
III III
'in '(г)
H * fl
H-треугольник
Я- треугольник
W,Y=y">
\
W2Y _^. y(z)
I J^.
j" f (
•'г;
WZyY
W3y-+Y;
\ \
Т I /
-треугольник
У- треугольник
гамильто-
C.26)
C.27)
Рис. 21. Треугольники для вычисления коэффициентов j/n
ниана Н и остаточной функции R.
обратного преобразований:
un = х<"> (х, X, t), u(») = - у<"> (у, Y, 0,
Un = X(n)(x, X,t), U(n) = -Y(n)(y, Y, t).
§ 4. Упрощение алгоритма Депри
В алгоритме Депри, изложенном в предыдущем параграфе,
функции /<п) (у, Y, t) определяются по функциям /n (x, X, t)
при помощи уравнения Депри C.18), содержащего некоторые
вспомогательные функции fn\ Необходимые рекуррентные вы-
числения удобно приводить, используя уравнение C.18) и тре-
угольник, изображенный на рис. 20. Кэмил в работах [143, 144]

§ 4] УПРОЩЕНИЕ АЛГОРИТМА ДЕПРИ 197
предложил упрощение алгоритма Депри. В его модификации ал-
горитма Депри функции /<"> выражаются только через функции
/n7 /(п-1\ • • •, /@) путем введения вспомогательных линейных
операторов. Подход, осуществленный Кэмилом, упрощает нахож-
дение обратного преобразования и существенно сокращает вычис-
ления, необходимые при использовании преобразования Ли в тео-
рии возмущений.
В этом параграфе изложим основные идеи, предложенные Кэми-
лом в его работе [143]. Перепишем уравнение Депри C.18) в та-
кой форме:
П—1
/п = /n-i — 2л <^п-Фт+1!п-т-1 (n^l,K^V). (.4.1)
m=0
Путем исключения функций, стоящих в правой части уравнения
D.1), можно получить выражение № через функции /(*+">, /<*+"-!),...
. . ., /()с). В результате получим
Дк> = fn+k) - S С1С/ЫП'» (п > 1, А > 0), D.2)
3=1
где Gj есть линейный оператор, являющийся функцией Lj, ?,_!, . . .
. . ., Ьг. Подставив D.2) в уравнение D.1), получим такие рекур-
рентные соотношения:
G, = Ц - 2 (%?LmGhm A < / < »). D.3)
m=i
Например,
G2 = L2 - L^i, D.4)
При А; = 0иА; = 1из уравнения D.2) получаем
п
/ — Jn + 2л ^nfjjj , (,4-э)
3=1
п
-f(l) j:(n+l) ^ /^3 /~t Лп-~3+1) // Д\
/п — / ^J ^n\Jj] • V*-®)
3=1
Если функцию G;/(i' обозначить через /;-,;, то уравнения D.5) —
D.6) можно переписать так:
п
/ = /п + 2j f-n/i, n-j, D./)
3=1

198 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ —ХОРИ [ГЛ. 11
где
5-1
fj,i== Ljf — 2j W-i ^mfj-m, i-
m=i
Подставляя в D.8) вместо / величины у и Y, можно при помощи
треугольного алгоритма (рис. 20) получить такие рекуррентные
соотношения для вычисления функций у<п> и Y(n>, входящих
в разложения C.11) и C.12):
п—1
уС) = ^у + Дс11У.н, D.9)
П—1
Y(n> = - W „у + Д cLi4 »-* D.10)
(n > 1),
где
У;, i = ^УA) - 21 С?^ЬтЪ_т v D.11)
Y,. i = ЦY(i) - a CfXY^, 4. D.12)
m=i
Если теперь положить в уравнении D.7) / = и и / = U (из соот-
ношений C.22) и C.23)), то получим
x(«)=-yW + "gayjn.j, D.13)
Х(») = _ ?<»> + "^ CiYit пЧ, D.14)
3 = 1
где yj,n-j и Yjn_j определены равенствами D.11) и D.12).
Функции х<п> (х, X, t) и Х<п) (х, X, t), входящие в обратное
преобразование C.20)—C.21), получаются по простым формулам
]y=x, X(x,X,O = [X(n)Jy=x. D.15)
Y=X Y=X
Пусть функция Гамильтона Н (х, X, t; e) задана в форме
во
п=0
Преобразованная функция Гамильтона может быть найдена в виде
оо
К (у, Y,f;e) = ^-^-Xn(y, Y,t). D-17)
П=0
Получим связь между функциями A^n и //„.

§ 5] ФОРМАЛЬНАЯ ТЕХНИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 199
После применения преобразования Ли функция Н запишется
(см. C.7)) в виде
Я (х, X, t- е) = ?¦?-#<"> (у, Y, t). D.18)
п=0
Из этого равенства и соотношения C.13) получаем для п 1> 1
Ко = Но, D.19)
Кп = #„ + Д<">. D.20)
Полагая в D.8) f — Н -\- В., получаем
21 i, j D.21)
3=1
Но при помощи Н- и Л-треугольников (см. рис. 21) получаем
Я<» = Яп+1 + 21 C™Lm+1Hn-m (n > 0), D.22)
7П=0
д« = -lWM]t (n > 0). D.23)
И, таким образом, из D.21) — D.23) получаем рекуррентные соот-
ношения для вычисления преобразованного гамильтониана
Ко = Но, D.24)
п— 1
Я „ = Нп + ^ (C&LjHru + cLxK}, n-i) - ^, D.25)
3 = 1
где
^ ^ D.26)
Kltг = L^i - 2 CT^LmKhm,i. D.27)
m=l
§ 5. Формальная техника применения
преобразования Ли
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона
dx д_Н_ ^__^Н_
с гамильтонианом
Н (х, X, t; е) = Яо (х, X, 0 + effi (x, X, i) + -J- Я2 (х, X, «) +
+ -^Я3(х, X,«) + ... E.2)

200 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ [ГЛ. 11
Построим в явном виде несколько членов рядов, задающих преоб-
разование, приводящее гамильтониан к виду
К (у, Y, t; е) = Ко (у, Y, t) + еКг (у, Y, t) + -j-Z2 (у, Y, t) +
+ -g-iTs(y, Y, t)+... E.3)
Каноническое преобразование х, X —>- у, Y представим в виде
рядов
х = у + еуA)(у, Y, *) + .|1у<*>(у, Y, t) + |-у<3>(у, Y, t)+..., E.4)
X = Y + eY«(y, Y, t) +^-Y«(y, Y, 0 +-?- Y<3>(y, Y, *) + ...,
E.5)
а обратное — при помощи рядов
у =x + ex<D(x, X,*) + -ffi-xB)(x, X, 0 + -|-х(з)(х, X, t) + ..., E.6)
Y = X + еХA)(х, X, 0 +^-ХB)(х, Хг 0 + ^ХC)(х, X, t) + . . .
E.7)
Далее, любую аналитическую функцию
/ (х, X, t; г) = /о (х, X, 0 + 8/х (х, X, *) + -J- /2 (х, X, t) +
+ |-/3(х, X, *)+-.. E.8)
После преобразования (х, X) —v (у, Y) запишем в виде ряда
/(х, X, *; е) = /@)(у, Y, t) + е/A) (у, Y, t) + -f /B>(y, Y, г) +
+ -J/C)(y, Y.0+..- E.9)
Рекуррентные вычисления начинаются с того, что выписыва-
ются очевидные соотношения
Ко (у, Y, t) = #о (У, Y, t), E.10)
/(») (у, Y, t) = /о (у, Y, t). E.11)
Далее (см. D.25)), нахождение членов первого порядка приводит
к рассмотрению следующего линейного уравнения в частных про-
изводных:
K1(y,Y,t) = H1(y,Y,t)-^. E.12)
Наложив на функцию Кх какие-либо требования (например, что-
бы она тождественно обращалась в нуль, не содержала коротко-

g 5j ФОРМАЛЬНАЯ ТЕХНИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 201
периодических членов или удовлетворяла каким-либо другим ог-
раничениям, вытекающим из содержания рассматриваемой физи-
ческой задачи), можно из E.12) вычислить функцию Wx (у, Y, t)
и подсчитать следующие функции:
yd) = Wly, Yd) = -Wly,
x(i) = _y(D, X« = -YW, E.13)
/1,o = L1/W, /W =/1 + /i,o,
необходимые для использования теории возмущений с точностью
до членов первого порядка относительно е.
Для вычисления членов второго порядка предварительно на-
ходим
Кхл = ЬХКХ. E.14)
Дифференциальное уравнение для нахождения W2 (у, Y, t) име-
ет вид
K^Hz + UH^ + K^-1^. E.15)
Выбрав W2, как это требуют условия исследуемой задачи, най-
дем из E.15) функцию W2. Члены второго порядка искомых раз-
ложений будут затем подсчитываться согласно формулам
Ум = ^1УЧ Yltl = L^\
у(« = ^,у + Ум. Yw=-Ww + Y1>1> E-16)
ХB) = _ у(.) + 2у1I, Х<2) = - Y<2> + 2Ylfl,
/м = LJW, /2,o = L^°) - Lj/lo, /<2> - /2 + 2/ltl + /2,0.
Чтобы найти члены третьего порядка, сначала следует вычислить
такие функции:
Кь2 = ЬгКг, E.17)
Кгл = Ьг^ - .МГ1Д. E.18)
Дифференциальное уравнение для W3 (у , Y , t) имеет вид
Ка = Ня + ЬгЕг + 2Ь2Нг + 2ЯМ + Z»,i - ^ • E.19)
Найдя из этого уравнения функцию W3, можно вычислить затем
члены третьего порядка искомых разложений
Ум = ?iyB), Y1J = LxYW,
У8|1 = L2yd) - Ь1Уиъ Y2>1 = L2YA) - LxYx,!,
у(з) = vr3Y + 2yM + y2>1, YC) =-W3y +2Y1J+Y2I, E.20)
Х(з) = _ yC) + 3yi,2 + 3y2ll> XC) = - YC) + 3YM + 3Y2ll,
/1,2 = bi/<2), /2,1 = L2fW - LJltU
/з.о = L3/@) ~ ^1/2,0 ~ 2^2/1,0, /<3^ = /3 + 3/1>2 + 3/2ll + /3,0.

202 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ [ГЛ.11
Процедуру построения разложений E.3) —E.7) и E.9) можно ана-
логично продолжить до любого порядка относительно е, исполь-
зуя соотношения C.6), C.7), C.11)-C.13), C.20), C.21), D.7),
D.17) и D.24)-D.27).
§ 6. О теории возмущений, основанной на рядах Ли
В этом параграфе получим общие формулы метода возмущений
Хори, основанного на рядах Ли. В методе Хори [142] функции /
и W (см. § 3) явным образом от ц не зависят. Поэтому имеют мес-
то соотношения (см. также § 2)
F.1)
F.2)
л, -
Так как правая часть равенства F.2) не зависит от т], то
*'j*x» = ^ [df(^X)] = LW [L*/ (x, X)] =\lbf (x, X)
и, вообще, для к !> 1
" / ^Х, Л.j у ft . i -у \ /а / \
Z == LiyyJ (X, л). (О-*)
dT)K
Чтобы построить необходимые разложения теории возмущений
Хори, положим
eW(x, X)= 2 Wn(x, X), F.5)
/(х,Х)=2 /»(х,Х). F.6)
П=0
Тогда из F.2) получим
df(x, X) . yi (i), „ „>
8 ^ — > , /п (X, А), (Ь. /)
п=о
где
Вообще,
для к >
. 1* (
гк -
х, X)
rir
Hi
n
= 2
m=o
x, X)
1
i-im+ifn-m
n=o
(x,
s, J
X).
F-8)
F.9)

§ ъ, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ЛИ 203
где
Д*} (X, X) = а W/?? (*. Х)' F-Ю)
т=о
Следовательно,
41=0 П=0
где
/пЧу, Y) = 2} Lm+1f(?»(y, Y). F.12)
7П=0
Так как преобразование х, X -> у, Y не зависит от t, то из
уравнения C.13) следует, что
Я(х, Х) = К(у, Y) F.13)
или
оо оо
Подставляя / = Я (х, X) в уравнение F.1) и используя F.11),
получим
K0(y,Y)=H0(y,Y), F.15)
п—1
Кп(у, Y) = Яп(у, Y) + \ _—гу-Я?Тт)(у, Y) (и>1), F.16)
т=0
где
j=o
F.17)
Эти соотношения и дадут формулы, необходимые для построения
преобразованного гамильтониана в методе Хори. Перепишем со-
отношение F.16) в виде
Кп{у, У) = Яп(у, Y) +
а—г
V\ i ^ гт(.п—т) , \г\\ I r t-f /it V\
»)+ /n_mM Д™ (У. Y) +Ln//0(y, i).
При подсчете Ят m по формуле F.17) следует положить
*_га-д<Д-+?). F.19)

204 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ (ГЛ. 11
Выпишем первые члены разложения преобразованного гамильто-
ниана
До = Яо,
Кх = Hi + L-Jia,
Кг = Я2 + L^! + -1 ?i (^i^o) + Ь2Я0, F.20)
Къ = Я3 + Li^, + L2# 1 +4-^1 (^i (^i^0))
Разумеется, соотношения F.20) справедливы не только для гамиль-
тониана, но и для любой функции от х, X.

ГЛАВА 12
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ
К ТРЕУГОЛЬНЫМ ТОЧКАМ ЛИБРАЦИИ
КРУГОВОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Введение
В главах 7—10 подробно исследована задача об устойчивости
треугольных точек либрации. По-видимому, для задач, связанных
с исследованием треугольных точек либрации, следующим важным
вопросом является вопрос о существовании, построении и устой-
чивости периодических движений, близких к точкам либрации
круговой ограниченной задачи трех тел. Рассмотрению этого воп-
роса посвящена настоящая глава.
В 1899 году Шарлье (см., например, [9f ]), а затем в 1901 году
Пламмер [163], использовав фундаментальные результаты Ляпу-
нова [49] и Пуанкаре [82], установили существование двух се-
мейств малых периодических движений, близких к треугольным
точкам либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел.
Затем последовало большое число работ в основном зарубежных
авторов, в которых результаты Шарлье и Пламмера развивались
и уточнялись. По-видимому, завершающей работой «немашинно-
го» этапа исследования периодических движений вблизи треуголь-
ных точек либрации можно считать работу Ю. А. Рябова 1952
года [83]. Методы, основанные на использовании ЭВМ, были соз-
даны в работах Депри, Рэйба, Хенрарда, Шмидта и др. [114—123,
140, 165—167, 172], и к настоящему времени задача построения
периодических движений, близких к треугольным точкам либра-
ции круговой ограниченной задачи трех тел, получила большое
развитие.
В работах Депри [114, 115] предложен метод аналитического
продолжения, который тесно связан с классическими процедура-
ми Ляпунова и Пуанкаре и по сути дела сводится к рекуррентно-
му вычислению коэффициентов разложения периодического дви-
жения в ряд по орбитальному параметру. В [114, 115] описан
приспособленный для ЭВМ алгоритм нахождения этих коэффи-
циентов, который позволяет учитывать в разложении периодиче-
ского движения большие степени орбитального параметра.
Наверное, более интересна и эффективна другая модификация
метода аналитического продолжения, основанная на использова-
нии теории возмущений Депри — Хори и описанная в работах
Депри и Хенрарда [116, 117].
Применение метода аналитического продолжения позволи-
ло сделать вывод о том, что из-за медленной сходимости рядов,

206 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ U 1ГЛ. 12
описывающих периодическое движение, для построения периодиче-
ских орбит с большими амплитудами этот метод мало пригоден, даже
если учитывать очень большие степени малого орбитального пара-
метра. В этом случае на помощь приходит метод численного про-
должения, впервые примененный в работах Рэйба [165—167] и
наиболее полно описанный в работе Депри и Хенрарда [119].
В работах [114 — 121, 165 — 167] методы аналитического и
численного продолжения использованы для построения периоди-
ческих орбит, рождающихся из треугольных точек либрации си-
стем Солнце — Юпитер и Земля — Луна. Кроме того, в этих ра-
ботах найдены характеристические показатели, соответствующие
построенным орбитам.
В статье Депри [122] исследованы периодические движения
при значениях отношения масс основных тел, больших крити-
ческого значения \if, а в работах [140, 172] рассмотрен вопроси
существовании периодических движений при таких значениях
отношения масс \л, для которых их существование не следует из
теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.
В обзорной статье Депри и Хенрарда [123] обсуждаются ре-
зультаты исследований периодических орбит плоской круговой
ограниченной задачи трех тел, которые были получены после
1966 года. Результаты более раннего периода описаны в моногра-
фии Себехея [175].
Все вышеупомянутые работы посвящены исследованию перио-
дических движений в рамках плоской круговой ограниченной за-
дачи и не был рассмотрен вопрос об устойчивости периодических
движений в строгой нелинейной постановке.
В настоящей главе рассматривается задача о построении и ус-
тойчивости малых периодических движений, близких к треуголь-
ным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел в
плоском и пространственном случаях. Задача об устойчивости ре-
шается в строгой нелинейной постановке. При изложении резуль-
татов мы следуем работам [68, 69].
§ 2. Три типа периодических движений
Существование периодических движений, близких треуголь-
ным точкам либрации ограниченной круговой задачи трех тел до-
казывается при помощи теоремы А. М. Ляпунова о голоморфном
интеграле [22, 49].
Теорема (А. М. Ляпунов). Пусть дана система обыкновенных
дифференциальных уравнений вида
? — *+*' # = **+Г.
-J = Yj ajkXk + X} G = 1,2,..., п),

§ 2J ТРИ ТИПА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 207
где Ъ — положительная постоянная, а^ — постоянные веществен-
ные коэффициенты, а X, Y и Xj — голоморфные функции величин
х, у, Xj, разложения которых не содержат членов ниже второго
порядка малости и обладают постоянными вещественными коэф-
фициентами. Пусть выполнены следующие два условия:
а) Уравнение
D(a) = \ ajk ~ a8jk | = 0, B.2)
где 8J1c — символ Кронекера, не имеет корней вида i%N, где i —
мнимая единица, а N — целое число.
б) Система B.1) имеет не зависящий от времени голоморфный
интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит
переменные х и у.
Тогда уравнения B.1) имеют периодическое решение, предста-
вимое рядами вида
х = S efc.rW, у = S еУ*>, xj = 2 ***?*, B-3)
fc=l )C=1 i?=2
где е — достаточно малая произвольная постоянная, а все
ут, х^ — периодические функции времени с общим периодом т,
являющимся голоморфной функцией е. Функции х^, z/W, xy
представляются конечными рядами косинусов и синусов целых
кратностей величины 9, определяемой формулами
i0) т 2я
причем все gk — вполне определенные постоянные, a t0 — вторая
произвольная постоянная.
Величина е называются орбитальным параметром или «ам-
плитудой» периодического движения B.3).
В дальнейшем рассматривается движение вблизи L4, однако
все выводы верны и для Ьь. Гамильтониан движения в окрестнос-
ти треугольной точки либрации L4 определяется формулой C.1)
главы 7, в которой надо положить е — 0. Мы будем исследовать
периодические движения для значений параметра \i, лежащих в
области 0 <С ц < ц* = 0,0385208 устойчивости точек либрации
в линейном приближении. Уравнения движения тела бесконечно
малой массы вблизи L4 при 0 < \i < \i* всегда можно записать в
виде B.1). Введем далее обозначения
Я,! = ю1г Х2 = -оJ, Я3 = 1, B.5)
где coi и со2 — корни уравнения D.3) из седьмой главы @ < <о2 <
< J/2/2 < о)! < 1).

208 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
Для решения вопроса о существовании периодический движе-
ний, близких к Ь^, применяем теорему Ляпунова о голоморфном
интеграле, за который в рассматриваемой задаче можно принять
функцию Гамильтона Н.
Рассмотрим сначала плоскую задачу. В этом случае характе-
ристическое уравнение линеаризованной системы имеет две пары
чисто мнимых корней ± ш±, ±ico2. Чтобы сделать заключения о
существовании периодических движений, надо проверить только
выполнимость условия а) теоремы Ляпунова о голоморфном ин-
теграле, т. е. требования отсутствия резонансных соотношений
вида
Я,, = NKU B.6)
где N — произвольное целое число, a kt, %l принимают значения
^х или %2 {i ф I)-
Будем называть периодические движения, соответствующие
частоте щ, периодическими движениями I типа. Их период хх ж
ж 2n/@i. Обычно их называют короткопериодическими движения-
ми. Периодические движения, соответствующие a»2i будем назы-
вать периодическими движениями II типа. Их период х2 ~ 2я/а>2
(долгопериодические движения).
Для периодических движений I типа (I = 1, i = 2) соотноше-
ние B.6) принимает вид со2 = N^x. Это равенство не выполнено
ни при каких целых N, так как 0 < со2 < 1^2/2 < щ <; 1. Та-
ким образом, из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле по-
лучаем, что периодические движения I типа существуют при всех
[X из рассматриваемого интервала 0 < [х < \i*.
Для периодических движений II типа (I = 2, i = 1) соотноше-
ние B.6) можно переписать так: щ = Nuz- С учетом уравнения
D.6) главы 7 это соотношение принимает вид [22, 83]
(# = 1,2,3,...). B.7)
Тогда получаем, что периодические движения II типа существуют
при всех (х из интервала 0 <; \i < \i*, кроме, быть может, значе-
ний (х, удовлетворяющих равенству B.7).
Теперь рассмотрим пространственную задачу. При всех ц
из интервала 0 < \i < [х* по-прежнему будут существовать перио-
дические движения I типа, а при ц, не удовлетворяющем равенст-
ву B.7), и периодические движения II типа. Из-за того, что прост-
ранственные переменные q3, p3 входят в гамильтониан Н четным
образом, периодические движения I и II типов и в пространствен-
ной постановке задачи остаются в плоскости вращения основных
притягивающих масс. Но в пространственной задаче существуют
еще периодические движения III типа, период которых тэ ж 2п/Х3=
= 2я.

§ 3) СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 209
При решении вопроса об устойчивости периодических движе-
ний I—Ш типов следует рассматривать пять различных задач:
1а) задача об устойчивости периодических движений I типа
в плоском случае;
16) задача об устойчивости периодических движений I типа
в пространственном случае;
2а) задача об устойчивости периодических движений II типа
в плоском случае;
26) задача об устойчивости периодических движений II типа
в пространственном случае;
3) задача об устойчивости периодических движений III типа,
существующих только в пространственном случае.
Задачи 1а) и 16) существенно различны. В надаче 1а) изучае-
мая механическая система имеет две, а в задаче 16) — три степе-
ни свободы. Аналогичная ситуация и с задачами 2а) и 26).
Каждое из рассматриваемых периодических движений зависит
от двух параметров: отношения масс основных тел \i и «ампли-
туды» е (в задаче об устойчивости зависимость периодического
движения от начального момента времени t0 несущественна).
§ 3. Схема исследования устойчивости
Ясно, что по отношению к возмущениям координат и импуль-
сов, соответствующих периодическим движениям, эти движения
будут неустойчивы по Ляпунову, так как их период зависит от
начальных условий (величина е в выражении для периода B.4)
зависит от начальных условий). Однако представляет интерес
задача об орбитальной устойчивости.
При решении задачи об устойчивости будем использовать
подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14].
В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об
устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых
систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может
изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется
понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как
это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход по-
зволяет исследовать полную окрестность периодического движе-
ния, используя канонические преобразования, а в окрестности
периодического движения можно ввести такие локальные коорди-
наты, что гамильтониан возмущенного движения будет иметь нор-
мальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности
положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной
устойчивости периодических движений сводится к задаче об
устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным коорди-
натам.

210 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ?,, [ГЛ. 12
В нашей задаче схематически конструктивное применение ло-
кального метода можно представить в виде последовательности
следующих операций:
1) получение исследуемого периодического движения в пере-
менных действие — угол;
2) введение в окрестности периодического движения локаль-
ных координат и получение функции Гамильтона возмущенного
движения;
3) переход к новой независимой переменной «угол», линейная
нормализация и получение выводов об устойчивости в линейном
приближении;
4) возвращение к старой независимой переменной и проведение
нелинейной нормализации функции Гамильтона;
5) на основании свойств коэффициентов нормальной формы
функции Гамильтона получение выводов об орбитальной устой-
чивости периодического движения.
§ 4. Орбиты первого приближения
Если в функции Гамильтона C.1) главы 7, описывающей дви-
жение вблизи L4, сделать (при е = 0) замену переменных по фор-
мулам D.2) главы 7, а затем по формулам
± Р] = УЩР1 (/ = 1,2), D.1)
то она примет такой вид:
Я* =#* + Я* + ... + #* +.. ., D.2)
где
TT* V U /,*Vl«*VS«*V"r.!'lAlr.*lltr.!f111
" m = Zl "VAjVaHiJliMsyi У2 УЗ Pi P« /^3
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с
функцией Гамильтона Н% имеет вид
qt = ak cos ( | h | v + IV), Pt = (-1)" a, sin (| Xfc | v + pk) D.4)
(* = 1,2,3),
где сек, Рк — произвольные постоянные, зависящие от начальных
условий.
Если начальные условия таковы, что все afc при к Ф I равны
нулю, то уравнения D.4) будут описывать первое приближение
периодического движения I, II или III типа (I — номер типа пе-

§41
ОРБИТЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
211
риодичейкого движения, равный соответственно 1, 2, 3). Перио-
дические движения III типа в первом приближении представляют
собой линейные колебания (с частотой, равной единице) в направ-
лении, перпендикулярном плоскости вращения основных тел.
Рассмотрим подробнее периодические движения I и II типов. В ко-
ординатах <7к, рк (см. главу 7) эти движения можно записать в виде
2а; |
= i7V
9) cos (cojV + P;),
A - 2ji) cos (co,v + p,) + 2o); sin (cojv + p,)}, D.5)
g3 = 0 A = 1, 2), 2, =
В системе координат Ь^гд2д3 уравнения D.5) представляют со-
бой записанные в параметрическом виде уравнения эллипсов с
Земля
Луна
Рис. 23. Ляпуновские ор-
биты первого приближе-
ния вблизи точки Lt в си-
стеме Земля — Луна.
Рис. 22. Зависимость эксцентри-
ситетов орбит первого приближе-
ния ех и е2 от отношения масс
основных тел ц.
центром в Ь^. Большие полуоси эллипсов наклонены к оси
под углом у, определяемым соотношением
tg 2у = j/3~ A — 2[х)
и при 0 < ц < ц* равным приблизительно 30°. Эксцентриситеты
эллипсов вычисляются по формулам
=/;
21/9 —
* (г = 1,2)
B(of + 3) + У 9 — 4со^со|
и одинаковы для всех начальных условий. Графические зависи-
мости эксцентриситетов эллипсов ег от параметра [i приведены
на рис. 22. Из рис. 22, в частности, видно, что при всех [i эксцент-

212 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
риситет короткопериодических орбит меньше эксцентриситета дол-
гопериодических орбит. На рис. 23 схематически представлены
эллиптические короткопериодические (тх = 2n/a)i) и долгопе-
риодические (т2 = 2я/@г) орбиты первого приближения для
соотношения масс системы Земля — Луна (ц = 0,0121507 . . .,
ех = 0,87 . . ., е2 = 0,98 . . .).
§ 5. Построение периодических движений
Для построения периодических движений нелинейной задачи
воспользуемся методом канонических преобразований, но в виде,
несколько отличном от преобразований работ [116, 117].
Представим формы Нт из D.2) в таком виде:
т
2 !# .*, m-« E.1)
s=0
где Hs, ms означает совокупность членов степени s по переменным
(координата и импульс qi, pi) с номером 1A — номер типа перио-
дического движения) и степени т — s по остальным переменным.
Сделаем теперь такое каноническое преобразование:
qt, />*-> q*, Ра (к = 1, 2, 3), E.2)
чтобы во всех формах новой функции Гамильтона Н нормализо-
вать члены Нт,о и уничтожить члены Нт-1Л. Такое преобразова-
ние будет сходящимся [28, 72].
Преобразование E.2), как и вообще все дальнейшие нелиней-
ные нормализующие канонические преобразования этой главы,
проводилось методом Депри — Хори. Этот метод использовался
в модификации Мерсмана [156].
Рассмотрим подробнее преобразование E.2). Производящую
функцию Г этого преобразования, зависящую только от новых
переменных, представим в виде
Т= Т3 + ... + Тт + ... E.3)
Тогда операторное уравнение для определения коэффициентов про-
изводящей функции и новой функции Гамильтона имеет вид
D0Tm = Нт-Нт (т = 3, . . .), E 4)
где оператор Do определяется следующим образом:
Н* дт дН* дт
к=1'
В E.4) функции Hm выражаются через функции
4%, . . ., л щ> л з, . . ., л m-i, l з» • • • 1 х пг-1-

§ 5 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 213
Операторное уравнение для определения коэффициентов про-
изводящей функции и новой функции Гамильтона будет иметь
вид E.4) независимо от алгоритма нормализации, будь то класси-
ческий алгоритм Биркгофа, алгоритм Депри —Хори или какой-
нибудь другой алгоритм нелинейных канонических преобразова-
ний. С формальной точки зрения отличие между этими алгоритма-
ми нормализации заключается только в способе вычисления функ-
ций йт через функции E.6). При использовании алгоритма Деп-
ри — Хори в модификации Мерсмана нужные нам в дальнейшем
формы Н%1 выражаются через функции E.6) с помощью соотно-
шений
3 = " 3 >
й\ = Я? + -i- Л 3(Я* + Я,), E.7)
Я? = Я* + 4~ #3[Hi + Я4 + 4-D3 (Я3* - Я»)] + 4 D,(Ht + Я3).
Здесь \
DJ = (/• Тп). E.8>
Если уравнения E.4) для всех m уже решены и найдены соот-
ветствующие члены разложения производящей функции в ряд
E.3), то полученное таким образом преобразование E.2) будет
иметь вид
со оо
m=l т=1
где D — оператор, определяемый формулой
a n,
П=з
а операторы\Dm определяются так:
D°f = /, Д1/ = Df= (/• Т), . . ., Dm+4 = D (Dmf), . . .
Здесь / — произвольная функция переменных q^, pk.
Уравнение E.4) для определения коэффициентов производящей
функции Т преобразования E.2) и коэффициентов новой функции
Гамильтона Я в каждом порядке m относительно координат и им-
пульсов распадается на группы, соответствующие членам Hi,j в
представлении E.1); это означает, что нормализацию этих членов
можно проводить независимо друг от друга. При нормализации
членов Ни в выражениях для коэффициентов производящей
функции преобразования E.2) появляются знаменатели вида

214 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ U [ГЛ. 12
где
Пусть резонансы вида B.6) отсутствуют, т. е. пусть выполнено
требование а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. В этом
¦случае во всех формах Нт новой функции Гамильтона члены вида
Нт-1,1 можно уничтожить полностью, потому что соответствующие
этим членам знаменатели dj,;- в нуль не обращаются. Кроме того,
так как числа Я,г (Z == 1, 2, 3) не обращаются в нуль при рассмат-
риваемых значениях параметра \i, то в случае нечетного т члены
#т,о также можно уничтожить полностью. В случае четного т
эти члены можно нормализовать и представить в виде
т т
Hm,, = cm,r2"*(qt+p})*, E.10)
где cm>i (т = 4, 6,. . .; I = 1, 2, 3) — величины, зависящие лишь от
параметра задачи \i и являющиеся инвариантами функции Гамиль-
тона невозмущенного периодического движения относительно ка-
нонических преобразований. Эти величины с точностью до множи-
теля т-21~т равны постоянным gk, фигурирующим в выражении
B.4) для периода т рассматриваемого периодического движения.
После проведения преобразования E.2) первые члены разложе-
ния новой функции Гамильтона
# = Я2 + . . . + Нт + . . . E.11)
имеют вид
з
Н, = 4" ci (9* + РЬ2 + Н^ + Ньз + Я„,4,
Нъ = #3,2 + #2,3 + #1,4 + #0,5'
где по-прежнему в формах #г>7- первый индекс означает их степень
по переменным с номером I, второй индекс — степень этих форм
по остальным переменным, а с^ = c4)j.
Так как совокупность переменных qit pt (i = 1, 2, 3; i ф I)
входит в функцию Гамильтона E.11) в степени не ниже второй,
дифференциальные уравнения движения допускают частные реше-
ния, соответствующие периодическим движениям, для ко-
торых qt = pi = 0, а изменение переменных дг, Pi описывается

§ 61 ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 215
следующими дифференциальными уравнениями:
Щ КР +
E.12)
2"%»., (g? + rfr-1-
В переменных «действие» / — «угол» w, связанных с qu pl фор-
мулами
qt = ]// sin w, pi = ]// cos w, E.13)
уравнения E.12) принимают вид
оо
dl A dw * \ rm-i /с j/v
-^Г = °' Г = ll + 2j mC2m> l • EЛ4^
Решение уравнений E.14) записывается так:
/ = /о = const, w = Q (Io)(t — ?о) + wo, E.15)
где частота и период периодического движения E.15) вычисляются
по формулам (за единицу времени принята величина периода об-
ращения тел конечных масс по их круговым орбитам)
оо
Q (/„) = X, + ^ т^т, iC~\ т = 2я/| Q |. E.16)
т=2
Из E.16), в частности, видно, что при /0 —*- 0 период движения
стремится к величинам 2п/а>1, 2я/а»2 или 2я соответственно для пе-
риодических движений I, II или III типа.
§ 6. Гамильтониан возмущенного движения
Будем исследовать устойчивость периодического движения
E.15) по отношению к возмущениям частоты периодического дви-
жения (или, что то же самое, по отношению к возмущениям пере-
менной «действие» /о невозмущенного периодического движения)
и по отношению к возмущениям qt, pt (i = 1, 2, 3; i ^= I).
Пусть е = V^2/o — малая, но конечная, величина (рассмат-
риваются малые периодические движения). Пусть / — перемен-
ная «действие» возмущенного периодического движения, связана
с /0 соотношением
1 = ~г* + П, F.1)
где гг — возмущение переменной «действие». Знак величины г{

216
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L»
[ГЛ. 12
произволен. При этом qu pt (i = 1, 2, 3; i ф I) _ величины пер-
вого, аг( — второго порядка малости, и по самому своему смыслу
все эти величины, в отличие от е, являются бесконечно малыми
величинами.
Декартовы координаты qb pt возмущенного периодического
движения через rt и е записываются в виде
qx = у 21 sin w —
Pi
cosw =
sin
cosw.
F.2)
Частота E.16) исследуемого периодического движения, запи-
санная через е, принимает вид
оо
Подставляя в гамильтониан E.11) вместо qh pt величины F.2)
и собирая члены одинакового порядка по qu pt (i Ф I) и ]/] r( |,
получаем функцию Гамильтона возмущенного движения в виде
тде
л, 2.1
F.4)
F.5)
К, = г? [с, +
А- V ft
m=i
1 +
m=l
F.6)
В F.5)—F.7) значок «Д» означает, что вместо qt и pt в соответст-
вующие формы надо подставить выражения 8 sin w и е cos w, a
1т,г- -F-8)
Функция Гамильтона F.4) имеет период 2я по переменной w.
В F.4) точками обозначены члены, порядок малости которых от-
носительно величин <7г, pt (i Ф I) и ]/] гг \ не ниже пятого.
Итак, первые два этапа схемы исследования орбитальной ус-
тойчивости локальным методом (см. § 3) пройдены.

S 7] РЕЗОНАНСЫ 217'
§ 7. Резонансы
При исследовании устойчивости особыми являются такие зна-
чения параметра |.i, при которых возможны резонансы первого
(ляпуновское условие существования периодического движения),
второго (порождающие точки для параметрического резонанса),
третьего и четвертого (порождающие точки для резонансов, про-
являющихся в нелинейной задаче) порядков. В общем виде такие
резонансы можно записать следующим образом:
щ%г + njkj = Nkt (i, j, I = 1, 2, 3; 1ф I, j ф Z), G.1)
где n = | ni | + | rij | — порядок резонанса, N — любое целое
число (N Ф О при п — 1,2), а I — номер периодического движе-
ния (соответственно I, II или III типа). Резонансное соотношение
G.1) перепишем в виде
^3 = О, G-2)
где kt, &2, к3 — целые числа, с точностью до знака равные числам
nt, Hj, N из G.1), а о»!, со2 находятся из уравнения D.3) главы 7:
/1
-
., - ,-м
со, =
Здесь введено обозначение М = |/Ч — 27(х A — \i). В интере-
сующей нас области 0 < [X < \i* выполняются неравенства 0 <
<М< 1, а
п
»* = -2 18 • G'4)
При решении вопроса о том, какие из резонансов G.2) надо
учитывать для полного исследования устойчивости движений в
многомерных гамильтоновых системах, полезно руководствовать-
ся следующими двумя соображениями:
1) в конкретной задаче частоты линейной системы зависят от
параметров известным образом и, следовательно, в рассматривае-
мой области параметров на них наложены какие-то ограничения;
поэтому из всех резонансов G.2) надо отобрать только принципи-
ально возможные;
2) структура функции Гамильтона в конкретной задаче часто
такова, что некоторые из принципиально возможных резонансов.
не проявляются в процессе нормализации функции Гамильтона и,,
следовательно, рассматривать их не имеет смысла.
В рассматриваемой здесь задаче для решения вопроса о прин-
ципиальной возможности резонанса G.2) разрешим уравнение
G.2) относительно М и получим
(*? + *|)»

218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
а в плоской задаче (к3 = 0)
[ГЛ. 12
G-6)
Тогда из всех резонансов G.2) принципиально возможными бу-
дут только такие, для которых хотя бы одна из величин G.5) (или
величина G.6) для плоской задачи), подсчитанная по данным кх,
кг, к3, будет заключена в интервале 0<М<1.
Далее, функция Гамильтона является четной относительно
пространственных переменных q3, p3. Это означает, что из всех
принципиально возможных резонансов имеет смысл рассматри-
вать только такие, для которых величина к3 четна.
Все резонансы, проявляющиеся в исследуемых задачах 1а),
16), 2а), 26) и 3), приведены в табл. 10—14. При рассмотрении пе-
риодических движений I (или II) типа в пространственной задаче
: —, плоская задача
ОН
Таблица 10
п
1
2
3
4
Резонанс
0J=0
0J=0)!
20J = 0)г
ЗоJ = Щ
ЗоJ = 2o)i
40J = 0)!
4оJ = Зон
м
1
0
3/5
4/5
5/13
15/17
7/25
Форма Я*
т
И*
и*
„*
нз
Я4
и*
нъ
н*
Н1
ПОРЯДОК 8
1
1
2
1
3
Примечание
|i=0
|Х=Ц,*
надо учитывать как резонансы из табл. 11 (или 13), так и резонансы
из табл. 10 (или 12). В первом столбце этих пяти таблиц выписан
порядок резонанса, во втором — явное выражение резонансного
соотношения через частоты <ох, со2) со3 ^ 1, в третьем — значение
параметра М, соответствующее этому резонансу и вычисленное
по формуле G.5) или G.6), в четвертом столбце указана та форма
Нт, в которой первый раз проявляется этот резонанс *), а в пя-
*) Резонанс G.1) проявляется первый раз при учете такой формы Нт из
D.2), для которой т = | N \ + | щ | + I Щ I ¦

§ 7]
РЕЗОНАНСЫ
21ft
Таблица 11
т х- —, пространственная задача
п
3
4
Резонанс
2 + <В-2 — 3@!
2A-со,) = со1
2 A + <в2) = Зсох
2 A + ш2) = Ащ
, 4 = 5o)j
м
6 У 6"— 4
25
7/25
119/169
7/25
7/25
Форма Я*
m
яв
гг*
нъ
тт*
Я8
И*
Порядок 6
3
1
3
4
5
Примечание
х ж —, плоская задача
со2
Таблица 12:
Резонанс
М
Форма Я*
Поря-
док Е
Примечание
1 —
= УУС02
Зо)! = 7Vco2
4@! = /Vco2
1 —.
1
1
1
Я
TV2 + 4
18
JV+l
,*
'jv+a
/*
JV+з
32
16
Я
JV+4
Л?
/V
N
N =1,2, 3, . . .
/V = 2fe + 3
А=0,1,2,. . .
N = 3/г + 4, /V = 3ft + 5
А: =0, 1,2, ...
Л' = 4& + 5, N = 4fe + 7
fc =0,1, 2, ...
том — порядок по е, в котором обнаруживается эффект данного-
резонанса *) (см. §§ 8—10).
Для исследования устойчивости в строгом нелинейном смысле
при нерезонансных значениях параметров (как это будет видно.
*) Резонансный эффект, соответствующий соотношению G.1), обнару-
живается при учете в разложении функции Гамильтона F.4) членов, порядок
которых не ниже 8' '.

220
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
Таблица 13
хх. —, пространственная задача
<в3
п
2
3
4
Резонанс
2 = 7Vco,
2 — (Oi =yVco2
2-4- щ—Ndh
4=yVco2
1- 8
, 2 EyV2— 3) + 87V У yv2 — 3
(№-1J
, 2 EУУ2— 3) — 8yV У № — 3
(ZV2J- If
1 32/V2
GV2 _L 4J
, 32
w
Форма Н*
* in
HN-H
rr*
л лг+з
^лг+з
" Л"+4
rr*
й Л'+4
Порядок е
yv
yv
yv
yv
N
Примечание
yv = 3, 4, 5, . . .
N — 2,3,4
yV -3,4,5, ...
yV-5, 6,7, .. .
Лт = 2/c + 1
к = 3, 4, 5, ...
Таблица 14
; 2л, задача только пространственная
п
1
2
3
4
Резонанс
со2 = 0
Ш1 — <°2 = 0
СО; 2(О2 = 0
со 1 ~\- 2(о2 =— 2
Зсо2 = 2
со! — Зш2 = 0
3@! — С0.2 =2
coj-j- Зш2= 2
4.2 = 2
м
1
0
3/5
7/25
1/9
4/5
FJ/1T— 4)/25
FV"+4)/25
1/2
Форма Н
2
rr*
Я2
я;
я*
я*
к
Яб
Я*
я;
Порядок ?
0
0
2
2
0
2
2
2
Примечание
. = ,*

§ 8| ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 221
в § 10) достаточно учитывать в разложении функции Гамильтона
D.2) члены до четвертого порядка включительно.
Из табл. 10, 11 и 14 видно, что для полного решения задачи
(т. е. и при резонансных значениях параметров) об устойчивости
периодических движений I и III типов достаточно учесть конечное
число членов разложения гамильтониана (члены #7 в задаче 1а),
члены Нъ в задаче 16) ичлены/Гв в задаче 3)). Как видно из табл. 12,
13, в задачах 2а), 26) число резонансов счетно (точкой накопле-
ния резонансов на оси О|л является точка ц = 0). Это означает, что
никакого конечного числа членов разложения функции Гамиль-
тона недостаточно для окончательного решения задачи об устой-
чивости периодических движений II типа. Однако даже на осно-
вании анализа конечного числа членов разложения гамильтониа-
на можно сделать достаточно полные выводы об устойчивости и
неустойчивости в резонансных случаях (см. § 11). Мы ограничим-
ся рассмотрением в функции Гамильтона D.2) членов до Нь вклю-
чительно.
§ 8. Линейная нормализация. Параметрический резонанс
В этом параграфе исследуется устойчивость линейной систе-
мы с функцией Гамильтона F.5).
Прежде всего заметим, что в линейной системе возможен пара-
метрический резонанс
тК + njlj = NXt (i, j, I = 1, 2, 3; i=^l,j=?l), (8.1)
где | rii | + | rij | = 2, a TV — произвольное ненулевое целое чис-
ло. Из табл. 10 —14 видно, что в нашей задаче параметрический ре-
зонанс комбинационного типа (т. е. когда пгп}ф0) не встреча-
ется. Поэтому соотношение (8.1) можно переписать так:
2lt = Nlt (i, I = 1, 2, 3; 1ф I). (8.2)
Теперь опишем процедуру нормализации квадратичной части
К2 функции Гамильтона F.4).
Функцию Гамильтона F.5) линеаризованной системы представим
в виде
гп=о
(8.3)
а частоту периодического движения F.3) для дальнейших вычисле-
ний удобнее переписать следующим образом:
(8.4)
= Л,,, Qi2rw) = О, П(;2П) = (п + 1) 2-"<
п=о

222 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L4 [ГЛ. 12
В (8.3) функция F0<2 не зависит от w и имеет вид
*>о,«=4-М<?* + Р«)+-гМз*+Р!) О,/ = 1,2,3; i=?l,
а функции Fm<z (т > 1) имеют нулевой порядок относительно е,
являются 2я-периодическими функциями w и записываются через
конечные ряды синусов и косинусов целых кратностеи величины w,
причем максимальная кратность не превышает т. Эти функции
выражаются через функции НтЛ с помощью соотношений
Fm,2 = Ят,2 8-т (т = 1, 2,. . .)• (8.5)
Для приведения функции (8.3) к нормальной форме необхо-
димо сначала провести ее нормализацию по переменным qt,
Pi, Qjj Pj- Ддя этого перейдем к новой независимой переменной w.
Эта операция сводится к делению функции (8.3) на Q;. Функция
Гамильтона, описывающая изменение переменных qu pt, qj, pj,
будет вычисляться по формуле
G2= S Gm,aem, (8.6)
m=o
где Go 2 = ¦*- Fo 2, а функции Gm ¦> (т > 1) обладают всеми пере-
численными выше свойствами функций Fm>2 и вычисляются по
ним при помощи рекуррентных соотношений
т
г ()
2 = -Q— Fm 2 7— У , Gm-n,
Функция Гамильтона (8.6) соответствует неавтономной канони-
ческой системе с двумя степенями свободы.
Нормализацию функции Гамильтона (8.6) можно провести
обычным способом, например, используя алгоритм, аналогичный
алгоритму Биркгофа, или используя алгоритм Депри — Хори.
При этом на каждом шаге нормализации формы Gm,2 приходится
решать системы линейных дифференциальных уравнений с пе-
риодическими коэффициентами. Однако в нашем случае функция
Гамильтона содержит «время» w только через комбинации е sin w
и е cos w. Это позволяет нормализацию неавтономной каноничес-
кой системы с функцией Гамильтона (8.6) свести к нормализации
автономной системы (но уже с тремя степенями свободы).
Для этого прежде всего заметим, что для нормализуемой не-
автономной функции Гамильтона (8.6) операторное уравнение
E.4) в обозначениях этого параграфа принимает вид

§ 8] ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 223
где
A0 = D0-±, ВДп,а = -(Со.«-Гт.,). (8.9)
В (8.8) Тт,2 и Gm,z — члены степени т относительно е в разло-
жениях производящей функции 7*2 искомого преобразования и но-
вой функции Гамильтона G* в ряды по малому параметру е.
Функции ОтЛ определяются по формулам, аналогичным E.7).
Однако процедуру решения уравнений (8.8) можно предста-
вить в несколько ином виде. Введем фиктивные переменные qw,
pw по формулам
qw = е sin w, pw = е cos w. (8.10)
После такой подстановки «время» w в функцию Гамильтона (8.6)
явно входить не будет. Это следует из того, что в функцию F.5)
величины е и w входят только в виде комбинаций (8.10), а в час-
тоте (8.4) параметр е2 можно заменить на выражение ql -f- pi.
Получившаяся функция Гамильтона будет иметь вид
L = L2 + ... + Lm + . . ., (8.11)
Lm = Gm_2,2em-2 2 К,..»д1я1гЧ!1Р1Угг$\ (8.12)
\i+...+Pa=m
где значок «V» означает, что в соответствующих функциях вели-
чины е, w исключены при помощи подстановки (8.10). В (8.12)
т > 3, а функция Ь2 определена ниже. Отметим, что действия
оператора «Д» из § 6 и оператора «V* взаимно противоположны и,
таким образом, по функциям Нт%г из E.11) можно сразу же полу-
чить функции Fmt 2em, по которым с помощью (8.7) определяются
функции Gm, 2. Для этого надо только в функциях Нт, 2 сделать
формальную замену <?г —»- qw, pt —*¦ pw.
Производящую функцию искомого, линейного относительно
Qti Pi-, 4ji Pj' нормализующего преобразования S и новую функ-
цию Гамильтона L* будем искать в виде (8.11). Используя пра-
вило дифференцирования сложных функций, оператор До пере-
пишем в виде
Из (8.13) видно, что действие оператора До на произвольную функ-
цию F переменных qt, pt, q}, pj, qw, pw можно представить при по-
мощи скобки Пуассона
A0F = _ (L2-F),
где
U = G0,2 + j (ql + pl) = у(Й + pi) +

224 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
Нужные в дальнейшем формы Lm из (8.11) имеют вид
, 1_ „
3 — ^ 1,2.
Г ^ И с; / 2 i 2 \ Г 1 г i 2 [ 2ч . 1 .; /¦ 2 I
X.. ' ^z 2 ^, 2 ^,
г 1 гг С1 (п2 , „2 v „
где формы Нт<2 определены в E.11) (теперь первый индекс в Ят,2
означает степень этих форм относительно qw, pw).
Операторное уравнение для определения форм 5т_2,2 и Lm
из разложений производящей функции S и нормальной формы
новой функции Гамильтона L* будет иметь вид
л с 7 т*
где
а функции Lm вычисляются по функциям
с помощью формул, аналогичных формулам E.7), в которых опе-
раторы Dm надо заменить на операторы Dm-2, 2, действие которых
на произвольную функцию F переменных qt, pt, q,, pj, qw, pw опи-
сывается соотношениями
Таким образом, вместо неавтономной системы с функцией
Гамильтона (8.6) можно нормализовать автономную систему (но
с числом степеней свободы, на единицу большим) с функцией Га-
мильтона (8.11). При этом предлагаемая здесь процедура норма-
лизации будет отличаться от обычной нормализации автономной
системы с тремя степенями свободы в окрестности положения
равновесия только тем, что при вычислении скобок Пуассона
в величинах E.7), а также при получении явного вида E.9) рас-
сматриваемого преобразования надо проводить дифференцирова-
ние не по всем переменным qi, pt, qj, Pj, qw, pw, а только по пере-
менным qt, qj, Pi, pj.
В функцию Гамильтона (8.11) члены qu pt, q}, pj входят толь-
ко квадратичным образом (в (8.12) v2 + v3 + Ц2 + Цз = 2).
Поэтому помешать нормализации могут только резонансы вида
(8.2).

ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 225
Пусть выполнено резонансное соотношение (8.2). Тогда нор-
мальная форма функции Гамильтона (8.11) будет такой:
Г * r I » r i J
гт
г,
+ a V№ • n sin Bф; - iVcpw) + О (г» 2 ), (8.14)
где
q* = ]/2rfc sin фк, pj = K2rk cos фл (А; = i, /, и;). (8.15)
В (8.14) величины c2m, г, c2m, j и а являются инвариантами функ-
ции Гамильтона относительно канонических преобразований, а
ff — [1/2 \ N \], где квадратные скобки обозначают операцию вычис-
ления целой части числа.
Замена qt, pt, Qj, pj-^-qi, p%, Qj, Pi осуществляется по
формулам, аналогичным формулам E.9), в которых операторы Dn
надо заменить на операторы Dn-2,2, получаемые по функциям
Sn-2, г- Из вида этих операторов также следует, что фиктивные
переменные qw, pw после проведенной нормализации не измени-
лись.
Сделаем теперь преобразование, обратное к (8.10), возвратим-
ся к старой независимой переменной и зададим еще преобразо-
вание rt, w -+¦ Г;, w* по формулам
где
m, 2 v'? — 1, ^,...y. yo.x i f
Тогда, вместе с описанным выше преобразованием переменных
qt, pi, qj, pj, получим каноническое преобразование, нормализую-
щее функцию (8.3) по всем переменным. В резонансном случае
нормальная форма будет такой:
К2= 2 n*rk + AelNkismB(fi-Nw) + O(e\™+i), (8.18)
Jc=i, j, I
а в нерезонансном —
Ka= 2 Qrt + O(el"'+1). (8.19)
Jc=i, i, I
В (8.18) и (8.19) введены обозначения
n=o
8 А. П. Маркеев
= 2 afV1 (A = i, j), (8.20)

226 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ U 1ГЛ. 12
Л = сй,2 2 .
Рассмотрим случай параметрического резонанса. Из точек
ц(°) на оси Оц, для которых выполнено соотношение (8.2), при
малых значениях параметра е будут исходить области парамет-
рического резонанса (области неустойчивости линейной системы
с гамильтонианом (8.18)). Согласно [97] (см. также главу 2),
границы областей параметрического резонанса в наших обозна-
чениях запишутся так:
= \А\е№. (8.21)
При этом, если левая часть последнего соотношения будет меньше
правой, то рассматриваемое периодическое движение будет не-
устойчиво, а если больше, то имеет место устойчивость в линейном
приближении.
В плоскости параметров ja, е уравнения кривых, выделяющих
области параметрического резонанса, будем искать в виде рядов
m=l
(8.22)
Величины Qk (к = i, I) представим в виде рядов по степеням отк-
лонений ц от порождающей точки цД°> оси О,х:
1
т\ ail @)
(8.23)
Подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23),
а затем получившиеся выражения подставляя в уравнение грани-
цы области параметрического резонанса (8.21) и приравнивая
члены одинакового порядка по е (до членов e^l включительно),
найдем коэффициенты разложения ц по параметру е:
= ± А, (8.24)
= 0, цB) = в ± А, (8.25)
= 0, цB) = S, u<3> = ± А, (8.26
\N\ = m, цЮ = 0, цB> = 6, ц<3> = 0,. . ., (8.27)

§ 9) РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ 227
где
' дц г д\.\,
В (8.24) — (8.26) знаки «±» означают, что даются уравнения сразу
двух границ области параметрического резонанса.
§ 9. Резонансные кривые
третьего и четвертого порядков
Пусть теперь параметры задачи таковы, что имеет место устой-
чивость рассматриваемого периодического движения E.15) в
линейном приближении. Тогда, проведя нормализацию линейной
системы указанным в § 8 способом, функцию Гамильтона F.4)
можно привести к виду
К = К2 + К3 + К,+ .. ., (9.1)
где Кг имеет вид (8.19), а
Ка = К0,3 + Киз + К2,3 + . . ., (9.2)
К* = cxr\ + ii- [Kltt + K2,2 + ...] + ^o,4 + • •., (9.3)
Kl,2 = Hll2, К2,2 = -,2 + ^1,2-И 1,27 ^0,4 = -^0,4 + "JF $1,2" 1,2-
Здесь точками обозначены члены более высокого порядка относи-
телыю е (или относительно величин qw, pw из § 8).
Для выяснения вопроса об устойчивости в строгом (нелиней-
ном) смысле процесс нормализации функции Гамильтона надо
продолжить.
При нелинейной нормализации гамильтониана (9.1) могут
проявиться эффекты резонансов третьего и четвертого порядков
и А + nfi, = NQh | щ | + | л; | = 3,4 (9.4)
(i, j, I = 1, 2, 3; i=f=l,i=f= I),
где N — произвольное целое число, a Qfc (k = I, i, j) определены
формулами (8.4) и (8.20). Если рассматривается плоская задача,
то будем считать rij = 0.
Прежде чем перейти к описанию процесса нелинейной нормали-
зации, заметим, что в плоскости параметров (х, е соотношение (9.4)
представляет собой уравнение резонансной кривой, исходящей из
6*

228 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
точки [J.W оси O[i. Величина \i <.0) является корнем уравнения
Эту же величину можно найти из табл. 10—14.
Уравнение резонансной кривой (9.4) будем искать в виде (8.22).
*Гогда, подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23),
а затем получившиеся выражения подставляя в уравнение (9.4)
и приравнивая члены одинакового порядка по е, найдем коэф-
фициенты разложения [ь в ряд по малому параметру е.
Величина |А<°> уже найдена; вычисления показывают, что вели-
чина |aW равна нулю, а взличина (j/2) определяется соотношением
(9.5)
Члены более высокого порядка по е в (8.22) лишь незначительно
деформируют квадратичную параболу |А = ц,<°> -f- jj/2> e 2 и в
дальнейшем не рассматриваются.
§ 10. Нелинейная нормализация. Условия устойчивости
Рассмотрим сначала такие значения параметров [i, е, которые
принадлежат резонансным кривым третьего или четвертого по-
рядка. Прежде всего отметим, что, согласно [157], в случае вы-
полнения резонансного соотношения A1.4) при Wj-n7-<0 будет
иметь место формальная устойчивость рассматриваемого периоди-
ческого движения.
Если параметры [i, e принадлежат резонансной кривой, то
форму третьего порядка в функции Гамильтона (9.1) можно при-
вести к виду
К3 = A VTfWsin {n^i + пм ~Nw) + 0 (e^l*1), A0.1)
где a — постоянная величина. Процесс нормализации формы (9.2)
полностью аналогичен нормализации квадратичной части функ-
ции Гамильтона, которая подробно описана в § 8. Если в A0.1)
а Ф 0, то (см. § 6 гл. 6) будет иметь место неустойчивость рассмат-
риваемого периодического движения. В случае a = 0 вопрос об
устойчивости решается членами более высокого порядка в раз-
ложении функции Гамильтона (9.1).
Пусть теперь параметры задачи таковы, что резонансы третье-
го порядка отсутствуют. В этом случае форму третьего порядка
в разложении функции Гамильтона можно уничтожить полностью.
При этом в форме четвертого порядка (9.3) меняются только чле-
ны i?o,4 (и члены более высокого порядка, обозначенные в (9.3)

§ 10J НЕЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 229
точками) и они теперь принимают вид (см. E.8))
4 (Ю.2)
В A0.2) и в других формулах действие операторов Dm, a (m =
= 0,1,. . .) аналогично действию операторов Dm2 (m = 1> 2,. . .)
в (9.2), (9.3).
Нормализация формы (9.3) (с учетом модифицированных членов
КоЛ из A0.2)) разбивается на три независимые друг от друга
части.
1) Нормализация членов, пропорциональных гг2. Эти члены
уже нормализованы.
2) Нормализация членов, пропорциональных гг. Можно по-
казать, что нормализация этих членов сводится к усреднению ве-
личины Киг + ^2,2 + • • • по быстрым фазам движения, опре-
деляемого гамильтонианом (8.19), а нормальная форма этих
членов будет такой *): |
+ сиг)).
| 3) Нормализация членов, не зависящих от гг. Последний этап
аналогичен процедуре линейной нормализации, и в результате
нелинейной нормализации функцию Гамильтона возмущенного
движения можно привести к виду
К = x+jT + Я + К, A0.3)
5? (Г„ Г4, Г;) = Q,r, + пгГг + Up,; A0.4)
JV (rt, гь г,) = сгг\ + c^fi + c^fj + cfi + Cif-rj + c}tJ, A0.5)
Я = В VrP^ sin (/адр4 + njtfj — Nw), A0.6)
где коэффициенты формы A0.5) являются инвариантами функции
Гамильтона относительно канонических преобразований и имеют
разложение по е, аналогичное разложению величин Q^ (k = Z,
i, /). В A0.3) функция К имеет порядок относительно гл (к =
= I, i, /), более высокий, чем функции A0.4) — A0.6), и является
2л-периодической функцией переменных <рь фу, w. Нормальная
форма A0.3) выписана для случая резонанса четвертого порядка
(9.4), а в нер'езонансном случае в A0.3) будут отсутствовать члены
A0.6).
*) Отметим, что нормализации членов К1Ъ + Кг 2 + ••• могли бы поме-
шать резонансы re;Q; + njQj = NQ/, где | щ | 4- | nj | = 2. Однако эти
резонансы осуществляются только на границах областей параметрического
резонанса и уже учтены при линейной нормализации.

230 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
Рассмотрим случай резонанса четвертого порядка, т. е. бу-
дем предполагать, что выполнено соотношение (9.4) при
| щ | + | п} | = 4 и В Ф 0. Если
В У\ щ |'"' 1 щ |'njl > | Ж (- N, щ, щ) |, A0.7)
то (см. § 6 гл. 6) рассматриваемое периодическое движение будет
неустойчиво. При обратном знаке в неравенстве A0.7) в случае
плоской задачи (т. е. при rij = 0) имеет место устойчивость по>
Ляпунову, а в случае пространственной задачи — устойчивость
в четвертом приближении.
Пусть теперь параметры |А, е таковы, что они принадлежат об-
ласти устойчивости линейной задачи, а резонансов третьего и чет-
вертого порядков нет, т. е. в разложении A0.3) члены A0.6) от-
сутствуют.
Рассмотрим плоскую задачу (в A0.3) — A0.5) надо положить
г, — 0). Пусть
| Ж (Q», - Q,, 0) Ф 0.{ A0.8)
Тогда, согласно теореме Арнольда — Мозера об устойчивости ав-
тономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы (см.
главу 4), исследуемое периодическое движение E.15) будет устой-
чиво. Если Ж (Qj, — Q;, 0) = 0, то вопрос об устойчивости чле-
нами этого порядка не решается.
Для пространственной задачи, описываемой многомерной га-
мильтоновой системой, такого завершенного результата получить
не удается. Пусть определители
дгтдгп дг-
A0.9)
(т, п = I, i, ]')
при rt = rt = rj = 0 одновременно в нуль не обращаются. Тогда,
согласно [4, 102] (см. также § 1 главы 5), имеет место устойчивость
исследуемого периодического движения для большинства на-
чальных условий.
В рассматриваемой задаче, помимо устойчивости для большин-
ства начальных условий, решался еще вопрос о формальной ус-
тойчивости периодических движений.
Достаточное условие формальной устойчивости, применявшее-
ся в работе [58] (см. также главу 8), в рассматриваемой задаче сво-
дится к вопросу о совместности системы уравнений
2 = 0, ж = 0 A0.10)
относительно гг, гг, г/ в области rt > 0, rt > 0. Нетрудно показать

HI
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
231
(исключив Г; из A0.10)), что в свою очередь вопрос о совместности
этой системы уравнений сводится к вопросу о знакоопределенности
ври гг > 0, г; > 0 формы
где
Пусть
F =
a, =
а/-/
- си
A0.11)
A0.12)
D = а„* - Aatat. A0.13)
Если D < 0 или если D ^> 0, но все коэффициенты A0.12) имеют
одинаковые знаки, то форма F будет знакоопределенной при
П > 0, г, > 0.
Для того чтобы в нерезонансном случае при достаточно малых
значениях параметра е сделать заключение об устойчивости в плос-
кой задаче или заключения об устойчивости для большинства на-
чальных условий и о формальной устойчивости в пространствен-
ной задаче, достаточно вычислить коэффициенты форм A0.4) и
{10.5) при значении параметра е, равном нулю.
§ 11. Результаты расчетов
В этом параграфе изложены результаты, полученные
при исследовании устойчивости малых периодических движений,
близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной
задачи трех тел. Исследование проводилось методом, который был
изложен в предыдущих параграфах. При этом использовался комп-
лекс программ нормализации гамильтоновых систем, разработан-
ный на языке ФОРТРАН в работе [70].
Сначала опишем результаты, которые можно получить при
анализе членов до Нв включительно в разложении функции Га-
мильтона D.2).
Коэффициенты ^т* разложений границ областей параметри-
ческого резонанса в ряды по е, подсчитанные по формулам (8.24) —
(8.28), приведены в табл. 15.
Таблица 15
1
1
2
Резонанс
2Х-2 = — Aj
2Я,!= — 3^2
2А-д = ОЛ*2
ц(о>
0,0242938...
0,0026368...
0,0380258...
±0,0640727...
0
0
—
—0,0035782...
—0,8055612...
цC)
—
±2,873414...
±0,067851...

232
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
Таблица 16
Резонанс
3Q2 = —
3Q2 = —
0,01351602.
0,00263680.
—0,07244043.
—0,00485767.
е-3,168362..
e2-1223,472.
— Qi + 2Q3 = — 2Q2
0,03538546.
—1,233667..
форм. уст.
+ 2Q2 = 0
= — 2Q3
0,03538546.
0,0242939..
0,03802575.
0,02502685.
0,01813931.
0.02S58462.
форм. уст.
1,35542...
e2-6,059222.
Таблица 17
l
1
3
Резонанс
4Q2= — Qx
2(Q2+Q3) = Qi
Qx + 3Q2 = 0
0,00827037...
0,03538546...
0,01351602...
—0,0262244)...
1,313894...
0,00961191...
В
0(8)
0(8)
4,48074...
•*»(-.N,n.>nJ.)
237,9977...
72,31265...
4,170536...
Используя формулы § 9, можно найти коэффициенты разложе-
ний резонансных кривых третьего и четвертого порядков в ряды
по малому параметру е. Результаты представлены в табл. 16
(резонансы 3-го порядка) и 17 (резонансы 4-го порядка).
В пятом столбце табл. 16 даны значения главного члена ре-
зонансного коэффициента А для рассматриваемых резонансов
третьего порядка. Ни один из них не равен нулю, и, следова-
тельно, при достаточно малых значениях параметра е соответ-
ствующие периодические движения будут неустойчивы.
В пятом и шестом столбцах табл. 17 даны значения главного
члена коэффициента В и значения величин Ж (— W, щ, rij)
для рассматриваемых резонансов четвертого порядка. Видно, что
неустойчивыми при резонансных значениях параметров будут
только периодические движения III типа (резонанс Qx + 3Q2 =
= 0).
Несложные выкладки показывают, что коэффициенты сь
Си, Сц нормальной формы A0.5) можно не находить в результате

§ 11J
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
233
описанного выше алгоритма нормализации, так как при е = О
они совпадают с соответствующими коэффициентами нормализо-
ванного около положения равновесия гамильтониана D.2). Нор-
мализованная форма четвертого порядка разложения гамильто-
ниана в окрестности треугольной точки либрации при нерезонанс-
ных значениях параметра |х имеет вид
Нц = С200Г12 + Сцо^Л + сшгхга + со2ог22 + с011г2г3 + Соо2г32- A1.1)
Явные [выражения коэффициентов нормальной формы A1.1)через
частоты ©15 oj2 приведены в главах 7 и 8. При I = 1 сг = с2оот
с и = cuo» ctJ = с101, а при I = 2 Ci = с020, сп = cll0, cis = с011.
Кроме того, оказалось, что для периодических движений III типа
(I = 3) коэффициенты нормальной формы A0.5) в точности равны
коэффициентам нормальной формы A1.1), т. е. сг = сао2, сп —
= cioi> Сц = cOli, ci — С2оо, ctj — cll0, Cj = с020. Таким образом,
в нерезонансном случае надо было вычислять только коэффициенты
Ci, ctj, Cj (а для плоской задачи только коэффициент ct) для 1 = 1
ш 1 = 2.
Результаты исследования нелинейной устойчивости периодичес-
ких движений I, II и III типов сведены в табл. 18.
Таблица 18
1
1
2
3
Значение ц=ц.^,
при котором
•*ЧЙ4, -Qj, 0) = 0
0,02335...
0,02374...
—
Значение ц,
при котором
0,03011...
0,01548...
0,02152...
Значение \i,
при котором
?>4 = 0
0,02809...
0,01894...
—
Интервалы формальной устойчи-
вости
0 <Р< 0,023354...
0,028108.. .< \i < 0,038521...
0< (А < 0,018938...
0,023375.. .< \i < 0,038521...
0,024294.. .< ц < 0,038521...
Из табл. 18, в частности, видно, что ни для одного типа перио-
дических движений пространственной задачи определители D3
и Dn ни при каких значениях \и одновременно в нуль не обращают-
ся и, следовательно, при всех нерезонансных значениях парамет-
ров [I, e из области устойчивости линейной системы все периоди-
ческие движения пространственной задачи будут устойчивы для
большинства начальных условий.
Результаты исследования устойчивости периодических движе-
ний I, II и III типов показаны на рис. 24, 25 и 26 соответственно

234 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
(в плоскости параметров ц, е). Кружками на оси О\а изображены
такие значения параметра ц, для которых из теоремы Ляпунова
©голоморфном интеграле не следует существование периодических
движений. На рис. 24 — это точки ц, = 0 и [i = \х.*, на рис. 25 —
это, кроме того, значения [i, удовлетворяющие соотношению B.7)г
а на рис. 26 — это точка jj, = 0. Области параметрического ре-
зонанса (области неустойчивости линейной системы) на рис. 24—
26 заштрихованы наклонной штриховкой. Штриховыми линиями
изображены резонансные кривые, на которых соответствующие
периодические движения неустойчивы. «Устойчивые» резонансные
кривые изображены сплошными линиями, а кривые, на которых
имеет место формальная устойчивость, — штрих-пунктирными ли-
ниями. Области формальной устойчивости из табл. 18 на
рис. 24, б, 25, б и 26 заштрихованы вертикальной штриховкой.
Выше были описаны результаты, полученные только на основе
анализа членов до Нъ* включительно в разложении D.2). Однак»
в рассматриваемой задаче можно получить более полные ре-
зультаты. Укажем на некоторые из них.
Остановимся сначала на резонансных случаях. Для этого срав-
ним вторые столбцы табл. 10 -14 и табл. 15 —17; рассмотрим под-
робнее те резонансы из табл. 10 — 14, которые не попали в
табл. 15 — 17.
Из резонансов, являющихся порождающими (на оси O\i) для
областей неустойчивости линейной системы, это только резонансы
2% = iV(o2, где N > 5 (в плоской и пространственной задачах),
и 2 = N(o2, где N > 4 (в пространственной задаче), для периоди-
ческих движений II типа. Из соответствующих этим резонансам
точек на оси О\а будут исходить очень узкие области неустойчиво-
сти (вообще говоря, области тем уже, чем больше N), которые
при приближении к оси Ое сгущаются и перемежаются с областя-
ми устойчивости в линейном приближении. Согласно формулам
(8.27), границы этих областей параметрического резонанса мало
отличаются от квадратичных парабол, а подсчитанные для них
величины б из (8.28) при достаточно малых ц будут принимать
только отрицательные значения; следовательно, все параболы
«загнуты» к оси О& при достаточно малых ц и е.
Далее, соотношения (9.5) и табл. 10 — 14 позволяют пост-
роить в плоскости параметров \i, e всевозможные резонансные кри-
вые третьего и четвертого порядков, как бы соответствующие им
числа N ни были велики. Для резонансов (9.4) с числами n,> ns
разного знака сразу же можно сделать заключение о формальной
устойчивости.
При решении вопроса об устойчивости для оставшихся резо-
нансов третьего порядка дополнительных вычислений можно не
производить, так как маловероятно, что соответствующие этим
резонансам величины А из A0.1) обратились в нуль; следовательно,

g 11]
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
235
зя^-гя,
-S; зяг=-я,
цог
Цп?
зяг=-щ
Рис. 24. Результаты исследования устойчивости периодических движений
I типа: а) плоская задача, б) пространственная задача.
0,01
0,02 рм
003
/1*0.04
2К3=-ЗКг
Рис. 25. Результаты исследования устойчивости периодических движений
II типа: а) плоская задача, б) пространственная задача.
Яг+2Я2=0
0,01
0,03
— л
Рис. 26. Результаты исследования устойчивости периодических движений
III типа.

236 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
при этих значениях параметров [i, г (при достаточно малых е),
как правило, будет иметь место неустойчивость.
При малых значениях е для исследования устойчивости на ре-
зонансных кривых четвертого порядка достаточно вычислить ве-
личину Ж (— N, щ, rij) и убедиться в том, что эта величина не
обращается в нуль (то, что она может обратиться в нуль,— мало-
вероятно). Тогда можно утверждать, что при соответствующих
значениях параметров в плоской задаче будет устойчивость, а в про-
странственной задаче — устойчивость в четвертом приближении.
В плоской задаче для тех нерезонансных значений jj,, при ко-
торых не выполнено условие A0.8) (см. второй столбец табл. 18),
можно продолжить исследование устойчивости и учесть в разло-
жении D.2) члены шестого порядка. Это даст возможность най-
ти коэффициенты формы третьего порядка относительно гг, rt:
М (гг< г4) = СщЛ + сшг\гг + cmrir\ + Ciiir?- (И-2)
Подсчитав значение формы A1.2) на векторе с компонентами
Qj, — Q/ и убедившись в отличии получившейся величины от ну-
ля, можно сделать вывод об устойчивости по Ляпунову для соот-
ветствующих значений параметров u., e (ср. § 4 главы 7).
В пространственной задаче учет членов шестого порядка из
D.2) может дать возможность получить утверждения о формаль-
ной устойчивости для значений \а, не попадающих в интервалы
формальной устойчивости из табл. 18 (ср. § 3 главы 8).
Однако указанные исследования, учитывающие члены шестого
(а возможно, и более высокого) порядка, можно не проводить,
поскольку описанные выше результаты, полученные на основе ис-
следования членов до Нъ включительно, дают достаточно полное
представление об устойчивости рассматриваемых периодических
движений.

ГЛАВА 13
О ДВИЖЕНИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
ВБЛИЗИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ-ЛУНА С УЧЕТОМ
СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1. Влияние солнечных возмущений на движение
космического аппарата, помещенного
в точку либрации
В предыдущей главе была рассмотрена задача о периодичес-
ких движениях, близких треугольным точкам либрации ограничен-
ной задачи трех тел. Однако для многих реально существующих
систем задача трех тел является лишь некоторым приближением.
В конкретных астрономических задачах часто необходимо учиты-
вать еще возмущающие воздействия, обусловленные теми или ины-
ми факторами, не учитываемыми в ограниченной задаче трех тел.
Так, например, при описании движения космического аппара-
та (КА) вблизи треугольных точек либрации системы Земля —
Луна следует в качестве возмущений учитывать гравитационное
воздействие Солнца. При исследовании движения вблизи треуголь-
ных точек либрации с учетом солнечных возмущений важно по-
лучить ответ на следующие три вопроса: 1) будет ли КА, помещен-
ный в точку Ьц или L5, оставаться вблизи этих точек длительное
время, 2) какова природа движения КА за время порядка несколь-
ких лет, 3) существуют ли в окрестности точек либрации устой-
чивые орбиты? Ответы на эти вопросы важны как в задачах не-
бесной механики и астрономии, так и в задачах использования то-
чек либрации в космических исследованиях.
Исследование влияния гравитационного возмущения Солнца
на движение КА вблизи треугольных точек либрации системы Зем-
ля — Луна проводилось численно и аналитически. Основные ре-
зультаты в этой задаче получены в работах американских уче-
ных. Подробную библиографию этих работ можно найти в моногра-
фии Себехея [175], статье Стега и де Ври [173] и работе де Ври
[178].
В этом параграфе излагаются результаты исследований Тэшга,
Льюэллена и Шульца [176, 177], касающиеся анализа влияния
солнечных возмущений на движение КА, помещенного в точку
либрации L4 или вблизи нее. Исследования [176, 177] основаны на
численном интегрировании точных уравнений движения. Приме-
нение численного анализа необходимо из-за того, что попытки изу-
чить движение КА посредством формальных методов теории

238
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ U [ГЛ. 13
возмущений, примененных к сложной системе дифференциальных
уравнений движения вблизи L4, оказались безуспешными. Дело
в том, что один из периодов линейных колебаний невозмущенного
Солнцем КА вблизи L4 (и L5) почти равен синодическому месяцу
(равному 29,53 суш), а солнечные возмущения также содержат од-
ну из гармоник с периодом, близким синодическому месяцу [178].
Отмеченная соизмеримость приводит к появлению малых знаме-
нателей во многих членах
предполагаемого решения,
представленного в виде ряда.
Это не позволяет ограничить-
ся в искомых рядах разумным
конечным числом членов.
Системы координат, ис-
пользованные в работах [176,
177] при численном иссле-
довании движения вблизи
L4, изображены на рис. 27.
Предполагается, что Земля и
Луна движутся по круговым
орбитам относительно их
центра масс О, который от-
носительно Солнца движется
также по круговой орбите.
Плоскость орбит Земли и
Луны наклонена к плоско-
сти эклиптики под постоянным углом 5°9'. Каждое из тел счи-
тается материальной точкой.
Система координат OXYZ связана с центром масс Земли и Лу-
ны. Ось ОХ направлена в точку весеннего равноденствия, ось
OY лежит в плоскости движения Земли и Луны, а ось OZ направ-
лена по вектору их угловой скорости. Вращающаяся система ко-
ординат О^ц ? также связана с центром масс Земли и Луны, ее ось
О| направлена вдоль линии, соединяющей Землю и Луну, ось Оц
лежит в плоскости орбиты Земли и Луны, а ось OZ, совпадает с
осью OZ. Плоскость 0%ц вращается вокруг оси О ? с той же угло-
вой скоростью со, как и линия Земля — Луна.
Система координат L^xyz имеет своим началом точку либрации
L4 и получается из системы координат 0%ц ? параллельным перено-
сом. Имеют место формулы
Плоскость орбиты
Земли и Луны '
Рис. 27.^Системы^координат для описа-
ния движения космического аппарата
вблизи L,.
= х + \и, х\ = у + til,, Z, = z,
A.1)
где |Ll, til4 —константы, являющиеся координатами точки либра-
ции L4. В статье Тэяли и Льюэллена [176] получены следующие

8 И ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 239
уравнения движения КА в системе координат LAxyz:
з ,
х = 2щ + (х + ?l>2 + (х, + lu)Q2 + У —r(*i ~ *)•
3 ,
(У ) М
у = _ 2(o* + (у + xiu)a* - (y3
где p| = (xt - xf + (yt - yf + (zt - zf; i = 1, 2, 3; Q -
угловая скорость движения центра масс Земли и Луны вокруг
Солнца, / — универсальная гравитационная постоянная, индексы
1, 2 и 3 относятся к Земле, Луне и Солнцу соответственно. Точ-
кой в уравнениях A.2) обозначено дифференцирование по времени.
Во вращающейся системе координат Ltxyz положения Земли
и Луны фиксированы и координаты Солнца вычисляются по фор-
мулам
х3 = R (cos if) cos 6 + cosi sin if) sin 8) — ?ц»
y3 = — R (cos ip sin 6 — cos i sin i|) cos 6) — r\Lt, A-3)
z3 = i?sin if) sin i.
Здесь i? — расстояние между Солнцем и центром масс Земли и
Луны, а г — наклонение плоскости орбит Земли и Луны к плос-
кости эклиптики.
Угловые положения Солнца и линии Земля — Луна по отно-
шению к точке весеннего равноденствия задаются соответственно
величинами if) и 6. Угол 6 отсчитывается в плоскости орбит Зем-
ли и Луны, а угол i|) — в плоскости эклиптики. Соотношения,
определяющие if) и 6, имеют вид
i|> = at + ip0, в = ©* + е0, A.4)
где ifH и 0О — начальные значения углов 1|з и 0.
При проведении численных расчетов были использованы сле-
дующие значения для постоянных задачи:
т1 = 5,97465-Ю24 кг, т2 = 7,32814-1022 кг,
т3 = 1,98649-1030 кг, f = 6,68029-lQ-20 кмЧкг-сек2,
Q = 1,99082-КГ7 рад/сек,
R = 1,49530-106 км, i = 5°9' и расстояние между Землей и Луной
принималось равным 3,85147-106 км. При этих значениях по-
стоянных расчетная угловая скорость со системы координат
L равна 2,665075637-10 рад/сек.

240 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
Результаты численного интегрирования уравнений движения
A.2) представлены на рис. 28 — 39. Точки на этих рисунках раз-
деляют интервалы в один синодический месяц. На рис. 28 и 29
показана проекция на плоскость L^xy траектории КА за период
времени в 2500 сут. В начальный момент времени К А помещен
в точку либрации с нулевой относительной скоростью, а Солнце
лежит на линии Земля — Луна, т. е. на рис. 27 if>0 = 0 и 0О = 0.
Рис. 28, а — г показывают, что с течением времени КА все даль-
ше и дальше уходит от точки либрации. Но эта тенденция ме-
няется на обратную примерно через 850 сут от момента начала
движения. Из рис. 29, а — г видно, что постепенное приближе-
ние КА к точке либрации происходит вплоть до момента времени,
равного приблизительно 1460 сут. С этого момента в движении
КА наблюдается тенденция к удалению от точки либрации. Инте-
ресно отметить, что минимальное расстояние КА от L4 равно при
этом приблизительно 24 000 км, а достигнутое ранее (в момент
времени, приблизительно равный 850 сут) наибольшее удаление
КА от Ьц равно примерно 190 000 км. Рис. 29, д — з показывают,
что удаление КА от L4 происходит до момента времени, приблизи-
тельно равного 2260 сут. С этого момента вновь начинается по-
степенное приближэние КА к L4. Из приведенных численных ре-
зультатов следует, что на интервале времени в 2500 сут тенден-
ция КА к сближению с L4 и удалению от L4 меняется с периодом,
равным приблизительно 1400 сут или 4 годам. Максимальное
удаление КА от L4 равно 190 000 км, причем из рис. 28, г и 29, а
видно, что при достижении этого расстояния КА движется по поч-
ти замкнутой орбите с периодом, близким одному синодическому
месяцу.
На рис. 30 и 31 представлены зависимости величин смещения
г и скорости v КА от времени. В обеих зависимостях, в отличие
от рис. 28 и 29, учитываются z-компоненты вектора смещения и
вектора скорости, так что г (t) = ]Аж2 + у2 + z2 и v (t) =
= ]fx2 + г/2 + za. Видно, что ординаты огибающих кривых
г (t) и v (t) сначала возрастают, а затем (примерно после 850 сут)
убывают. Таким образом, включение z-компоненты в величины
г (?) и v (t) не изменяет отмеченного выше характера движения:
КА приближается к точке либрации и удаляется от нее с перио-
дом, приблизительно равным 4 годам.
Интересной задачей является задача выбора такого начального
положения КА и его скорости, а также начального положения
Солнца, чтобы траектория движения была в некотором смысле
«наилучшей», т. е. важно так определить начальные условия,
чтобы на заданном интервале времени отклонение КА от точки
либрации было наименьшим. Никакой общей] теории по этому
вопросу нет. В работах [176, 177] приведены результаты отдельных

§ 1]
ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
241

242
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Lt [ГЛ. 13-
3

ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
243
н
Рч

244
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Lt [ГЛ.
численных экспериментов. Сначала, следуя [177], рассмотрим
влияние начального положения Солнца.
На рис. 32 и 33 изображена проекция на плоскость LAxy траек-
тории КА, помещенного в точку либрации LA с нулевой относи-
тельной скоростью, но в начальный момент угол ij)o между векто-
ром Солнца Л и линией Земля — Луна равен 45°. Интересно
1000
t, cym
Рис. 30. Расстояние КА от Z,4 в зависимости от времени движения (90 = 0°,
*о = 0°).
цм/сек
SOU
200
500
t,cym
Рис. 31. Зависимость относительной скорости КА от времени движения
(во = 0°, ¦фо = 0°).
отметить, что КА довольно долго находится ближе к точке либра-
ции, чем в случае i|H = 0. На рис. 32, а — в представлено движе-
ние на интервале времени в 750 суш. Наибольшее удаление КА от

У,™
¦team
6) s
\
1
-гчооа
500
cym
—¦ .
¦BOOO
-wooo
-64ООП
У, к*
х,нм
¦-что
Рис. 32. Траектория КА, помещенного в точку i4 с нулевой относительной скоростью, в случае 90"= 0°, г)H = 45°:
(?) О < t < 250, б) 250 < < < 500, в) 500 < * < 750, г) 750 ^ * < 1000 (* > )
и
й
н
а
и
8
и
А
И
О
со
g
S

tZSOcym
Ml,
х,км
Шп
V
ггшоТг
/I
Si 5!
Ш
\ ^^
S3 ^
у,нм
7 cym
4,
-/28003
\
-128000
mo
/¦cym
I
X,HM
wooo
-160000
-96000
Рис. 33. Траектория КА, помещенного в точку L, с нулевой относительной скоростью, в случае 0П = 0°, 1|з0 = 45°
а) 1000 < ( < 1250, б) 1250 < t <, 1500, в) 1490 < t < 1750, г) 1750 < t ^ 2000.
5
I
н
И
S
[Я
я
о
п
g
о
3
и
и
со
S
1-1

9 1]
ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
247
точки либрации за это время равняется приблизительно 40 000 км,
в то время как при i|H = 0 за это же время оно было равно при-
мерно 190 000 км. Отсюда ясно, что начальное положение Солнца
имеет заметное влияние, во всяком случае, на начальную фазу
в)
у, км
-№00
ШОР
х,кн
L-32000
Рис. 33. Траектория КА, помещенного в точку Lt с нулевой относительной
скоростью, в случае 60 = 0°, -ф0 = 45°: д) 2000 < t < 2250,*е) 2250 < t <
< 2500 (t в сут).
движения КА. После 750 сут КА продолжает постепенно удалять-
ся от точки либрации и его максимальное удаление составляет
примерно 175 000 км. Это происходит в момент времени, равный
приблизительно 1540 сут. Затем КА постепенно приближается
к точке либрации. В момент времени, равный 2330 сут, расстоя-
ние от КА до Ьц минимально и равно примерно 20 000 км. Затем
КА снова удаляется от точки либрации. Интересно заметить, что
и максимальное, и минимальное расстояния КА от L4 при ijH =
= 45° меньше аналогичных величин при i|H = 0°. Интересно так-
же, что при ijH = 45° период времени между максимальным и

248
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ U [ГЛ. 13

§ II
ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
24»
У,™
рмоп
ЧВПОПп
Рис. 38. Траектория'КА,гсмещенного-
в начальный момент относительно LA.
минимальным удалениями КА от ?4 равен около 790 сут и близок
к периоду, который был в случае i|H = 0.
На рис. 34 — 37 проекция на плоскость Ь^ху траектории дви-
жения КА, помещенного в начальный момент времени в точку либ-
рации Li с нулевой относительной скоростью, показана для случа-
ев г|з0 = 90°, i|j0 = 135°, i|j0 = 225° и г|?0 == 315°. В каждом случае
0О = 0. Траектории показаны для интервала времени в 250 сут.
Аналогичные траектории для ip0 = 0° и ijH = 45° представлены на
рис. 28, а и 32, а соответственно. Из сравнения траекторий длд
различных ijH можно сделать за-
ключение, что на интервале в
250 сут величина отклонения
КА от точки либрации при
¦ф0 = 45° и ijH = 225° меньше,
чем при других значениях i|H.
Эти значения i|H отличаются на
180°, и траектории движения
КА похожи друг на друга.
Также очень похожи траекто-
рии движения при я|H = 135°
и гр0 = 315°.
Теперь приведем результаты
работы [176], касающиеся чи-
сленного исследования влияния на движение К А; его начального*
положения и начальной относительной скорости. На рис. 38 для
интервала времени в 250 сут показана проекция траектории дви-
жения КА на плоскость Ltxy, начинающаяся из точки, не совпа-
дающей с ЬА. Для показанной на рис. 38 траектории в начальный
момент х = — 77 614 км, у = 34 126 км, z = 0, а относительная
скорость равна нулю. Принято также i|H = 0О = 0. Сравнение-
рис. 28, а и рис. 38 показывает, что начальное смещение КА
приводит к «более неустойчивому» движению.
Рис. 39 демонстрирует существенную зависимость отклонения:
КА от точки либрации в зависимости от направления его начальной
относительной скорости. Принято, что ij)o = 90 = 0; в начальный
момент КА помещен в точку либрации и имеет начальную скорости
3,048 км/сек. Но вектор скорости v для траекторий, изображенных
на рис. 39, имеет в начальный момент различное направление. На
рис. 39, а, б, в, г он составляет с осью LA x углы 60, 150°, 240°
и 330° соответственно. Сравнение траекторий, представленных на
рис. 39, показывает, что к «наиболее устойчивому» движению при-
водят такие начальные условия, когда вектор относительной ско-
рости КА составляет с осью L4 x угол 330°.
Из приведенных результатов численных экспериментов нельзя
сделать каких-либо строгих общих выводов о характере движе-
ния КА вблизи треугольных точек либрации с учетом солнечных

250
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
1

§ 2J О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТАХ 251
возмущений. Однако очевидно, что влияние Солнца заставляет КА
значительно отклоняться от точки либрации. В течение 2500 сут-
КА, помещенный в начальный момент в точку либрации с нулевойг
относительной скоростью, может двигаться таким образом, что-
огибающая расстояния г (t) от КА до L4 имеет максимум 190 000 км
и минимум 24 000 км (для i|H = 0О = 0). Характер полученных ре-
зультатов наводит на предположение, что огибающая ведет себя
аналогичным образом и для значительно большего интервала вре-
мени, чем 2500 суш. Из полученных результатов ясно также, что
начальное положение Солнца, начальное положение КА и направ-
ление его относительной начальной скорости оказывают решающее-
влияние на его последующее движение.
В заключение параграфа отметим, что некоторым исследовани-
ям влияния Солнца на движение КА вблизи Lt посвящен цикл ра-
бот Л. Г. Лукьянова [43 — 47].
§ 2. О периодических орбитах вблизи 2/4.
Гамильтониан движения КА в окрестности Lt
Результаты предыдущего параграфа приводят к выводу о том,
что при учете солнечных возмущений космический аппарат с те-
чением времени удаляется от треугольных точек либрации на зна-
чительные расстояния. Однако это вовсе не означает, что в окрест-
ности точек либрации не могут существовать устойчивые орбиты.
Открытие Кордылевским [100, 101] облакоподобных образований
вблизи точек L4 и L5 в системе Земля — Луна вызвало большой
интерес и привлекло внимание многих исследователей к задаче об
устойчивых орбитах, близких к треугольным точкам либрации.
Аналитическое исследование периодических орбит вблизи тре-
угольных точек либрации в системе Земля — Луна с учетом сол-
нечных возмущений было начато Брэквилом и Принглем [106]
при помощи методов теории возмущений гамильтоновых систем.
Это аналитическое исследование было продолжено Шехтером [170],
который впервые с достаточной строгостью показал возможность
существования устойчивых периодических орбит вблизи точки либ-
рации L4 системы Земля — Луна при наличии солнечных возму-
щений.
Устойчивая периодическая орбита, обнаруженная Шехтером,
представляет собой эллипс с центром в L4 с отношением полу-
осей 1 : 2 и большой полуосью, равной приблизительно 96 500 км.
Движение КА по эллипсу имеет период, равный одному синодиче-
скому месяцу, и происходит в направлении, противоположном
вращению Луны вокруг Земли. Движение КА по эллипсу синхро-
низировано с движением Солнца: их угловые положения почти
совпадают, когда КА пересекает одну из осей эллипса. Таким
образом, относительно наблюдателя, расположенного в L4 и смот-

252
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
рящего в направлении Солнца, КА движется поперек его линии
визирования подобно гармоническому осциллятору. Время пере-
¦сечения линии визирования космическим аппаратом почти совпа-
дает со временем, в которое линия визирования совмещается с
большой или малой осью эллипса.
Из анализа, проведенного Шехтером, также следует, что на
движение КА вне плоскости орбит Земли и Луны Солнце оказы-
вает незначительное воздействие, а влияние пространственное™
движения КА на проекцию его траектории на плоскость орбит
Земли и Луны пренебрежимо мало.
Вслед за работой Шехтера появилось исследование Коленке-
вича и Карпентера [146], в котором задача о периодических дви-
жениях, близких Lt, анализировалась при помощи численных рас-
четов. Работа [146] подтверждает вывод Шехтера о существовании
устойчивой периодической орбиты вблизи L4. Но размеры этой ор-
биты получены в работе Коленкевича и Карпентера несколько
большими, нежели у Шехтера: ее большая полуось равна пример-
но 145 000 км, а малая — 71 000 км. Это различие может быть объ-
яснено приближенностью аналитического исследования Шехтера.
Кроме того, Коленкевичем и Карпентером найдена вторая устой-
чивая периодическая орбита, размеры которой очень близки к раз-
мерам первой орбиты, но движение по
ней смещено по фазе на 180° относитель-
но движения по первой орбите.
В упомянутых работах Шехтера,
Коленкевича и Карпентера указывает-
ся также на существование вблизи L4
малой по размерам неустойчивой пери-
одической орбиты.
Очень тщательное аналитическое ис-
следование задачи о периодических ор-
битах вблизи L4 в системе Земля —
Луна с учетом солнечных возмущений
выполнено Кэмилом в работе [144].
Качественные результаты Кэмила ана-
логичны результатам работ [146, 170].
Размеры полученных им орбит очень
близки к размерам орбит, вычисленных
Коленкевичем и Карпентером. Ниже
излагаются основные результаты об-
ширного исследования Кэмила.
Выпишем полученное в [144] выра-
жение для функции Гамильтона, с помощью которой описывает-
ся движение КА вблизи треугольной точки либрации L4 системы
-Земля — Луна с учетом солнечных возмущений. На рис. 40
приведена схема изучаемой задачи четырех тел Земля —
Рис. 40. Плоская .модель
для описания движения КА
вблизи Lt с учетом солнеч-
ных возмущений.

§ 2J О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТАХ 253
Луна — Солнце — КА. Рассматривается только плоская задача,
т. е. предполагается, что Земля, Луна, Солнце и КА во все вре-
мя движения находятся в одной плоскости. Это предположение
оправдано тем, что из анализа, проведенного Шехтером, следует,
что пространственность движения несущественна в рассматрива-
емой задаче о периодических движениях КА. Точка L4 опреде-
ляется как треугольная точка либрации, соответствующая «сред-
ней Земле» и «средней Луне». Предполагается, что барицентр В
движется относительно Солнца по круговой орбите, орбита
Луны относительно барицентра — также круговая. Средняя
угловая скорость п движения Луны относительно барицентра
равна 0,23 рад/сут. За единицу длины принимается расстояние
D между Землей и Луной, равное 386 000 км.
Цифрами A), B) и C) на рис. 40 обозначены соответственно ре-
альные положения Земли, Луны и Солнца. Величина (г = 1/82,3
представляет собой отношение массы Луны к сумме масс Луны и
Земли, величина ns — средняя угловая скорость барицентра В
относительно Солнца. Принимается, что
-^ = тга = 0,074801.
Величины v(t), хт шут, смысл которых ясен из рис. 40, вычислены
в работе Кэмила [144] при помощи теории Луны Понтекулана [84,
164]. В дальнейшем в этой главе за независимую переменную при-
нимается величина т = nt.
Пусть х и у обозначают координаты КА относительно системы
координат Ltxy (см. рис. 40), а рх и ру — соответствующие им
импульсы.
Примем т за основную величину, необходимую для сравнения
порядков малости различных величин, входящих в функцию
Гамильтона. Будем считать, что х, у, рх и ру имеют первый поря-
док малости относительно т. Среднее значение эксцентриситета
орбиты Луны также имеет первый порядок малости: е = 0,0549 =
= 0,734-т. В [144] получено, что функция Гамильтона R движе-
ния КА вблизи Li с точностью до величин шестого порядка мало-
сти имеет вид
4
Я = 53 R-п (х, у, рх, ру, т), B.1)
71=0
где
До = 4" (Pi + Pi) + (УР* - xpv) + 4" (*2 - 5?/2 - 6 КЗ Uxy) -
- ^ т* (з* + З?/2 + 2 КЗ Uxy), B.2)

254 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ.
(х*у + Vs) + -^ (
(x - уз у) cos e. - fo -f 1/з «) sin ел +
— XmlPy — (XmiPx + #mlPv) +
2/ - B^mi + -4^- 2/ml) «] , B.3)
T ^<5^ - 9^3) + Ш
- жy2" 4-m2 [^2 - 2/2)cos 26s -2^sin 2e^+
+ V {(УтъРх — XmiPy) — (Жтг/'х + УтъРу) +
C1^3 \ / 31^3 \
2/т2 — Хтъ) У — \2,Хт2 -\ ^— ут2 ) X +
- W) «mi + 22a^yml] + -Цр- ji [a^ml + 2/гст1]|, B.4)
^ [КЗ (960а; Y - 285**» — ЗЗг/5)
^ cos 0S - A/3 х + 5у) sin в.]
/ з/з \ /9 , з/з \
I Утз ~ 9 Я-тя) У \?Хтз ~\ о 2/тз f«
-g- [(Hi/2 — 1х2)хт2 + 22а;г/?/] j
) «mi - 2
+ г/3) +
[
^ Ц/3 B94г5г/ - 420г3г/3 -
— 331а;6 + 6105x4?/2 — 7965ж2г/4 + 383?/в] —
- [(« - 5 КЗ у) cos 0.5 - 3 A/3 г + у) sin в.] +
зв
/ 3 /3 \
— (XmlPx + УпчРу)+ [Ут1 J— XmiJ у
х + -|- [(И?/2 - 7*2) .«™з + 22^2/тз] -f
+ 41* I7*2 - Иг/2)^т2 - 22xyymi]\
ш -4 - ж

3 2] О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОРБИТАХ 255
В разложении B.1) \и считается величиной первого порядка
лалостй (так как ^ = 1/82,3 = 0,16244 т), U = 1—2 ц ->- вели-
чиной нулевого порядка. Через г3в обозначено среднее расстояние
от барицентра В до Солнца
1/г3в = 0,002559= 0,457357- тК
Точкой в формулах B.3) — B.6) обозначено дифференцирование
по т, хтл, ymj? — величины порядка тк. При этом
*т = Хт1 + Хт2 + Хтз + Хт1, B.7)
где
Xmi = — eCOS0e,
= — -j- е2 + -у- е2 cos 20e — ^-em cos B04 — 0в) — /n2 cos 20S,
19 3
е3 cos 05- е3 cos 30е + —г
19
= -д- е3 cos 0е 5- е3 cos 30е
+ -^ em2 cos B0S + 0e) — -|" <™>й cos B0S — 0е) —
- 4- m3 cos 20S + 4г Т2- cos e
25 d /о 64 . о„ . 159 4 ,
JCmn = -256"m cos 40s g"m cos 20« "Г" -256 m +
, 81 m2 o 25 m2 OQ
+ -Tjr- -— COS 0S — -gr- —- COS303,
и
2/m = 2/ml + 2/m2 + Утз + Ут, B.9)
где
yml = 2e sin 0e,
2/m2 = 4" e" Sin 20e + "Г* ^ SiQ B6s - 0e) + T"
Утз = -J5*3 «n 30e - 4" e3 sin 0e + -^ em? sin B0a + %) +
+ ^- em2 sin B9S - 0.) + -g- m3 sin 20, - -? ^L. sin 9s, B.10)
25 4 • /q , 893 4 . „Q . 15 m2 . oa 93 m2 . „
У mi = o5c TO sm 40S + -щ- m* sin 205 + -55- sin 30S 5 sm 0S.
ZOO /Z O*i Г„м О Г„м
В разложениях для xmli и ymlt в формулах B.8) и B.10) не выпи-
саны члены четвертого порядка относительно е. Величины 0S и
ве, входящие в разложение функции Гамильтона B.1), вычисля-
ются по формулам
0S = cost, 0е = юет — 0е,
где

256 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
а через 0е обозначена начальная долгота перигея орбиты Луны
относительно инерциальной линии (см. рис. 40). Отметим, что в
«невозмущенный» гамильтониан Ro разложения B.1) для удобст-
ва включены все члены, квадратичные относительно х, у, рх,
ру и имеющие постоянные коэффициенты.
§ 3. О методе исследования. Предварительное
преобразование функции Гамильтона
Основные этапы построения периодических движений и анали-
за ихустойчивости состоят в следующем [144]. Сначала найдем пол-
ный интеграл S (х, у, аъ ос2, т) уравнения Гамильтона — Якоби,
соответствующего «невозмущенному» гамильтону Ro. Полный ин-
теграл S и соотношения dSldat = рг (аг, рг — const) дают реше-
ние х = х0 {аи рь т), у = у0 (аь рг-, т), рх = рХа (ос,-, рг, т), ру =
= pyt> (а,-, рг, т). Для исследования «возмущенного» движения
(т. е. движения, описываемого полной функцией Гамильтона B.1))
делаем замену переменных х, у, рх ру -*- аь а2, Pi, P2 при помощи
формул х = х0, у = у0, рх = рХа, Ру = рУа. Новый гамильто-
ниан R имеет вид
R = R+ —¦ = Ri + i?2 + B3 + i?4,
где функции Rt (i = 1, 2, 3, 4) выражены через at, рг.
Затем к системе с функцией Гамильтона Л применяем теорию
возмущений Депри-Хори, описанную в главе 11. В результате
получим функцию Гамильтона, содержащую только долгоперио-
дические члены. Сделав затем несложное каноническое преобра-
зование, можно из гамильтониана исключить независимую пере-
менную т.
В новых переменных искомые периодические движения соот-
ветствуют положениям равновесия. Так как независимая перемен-
ная теперь явно не входит в функцию Гамильтона, то нахождение
положений равновесия и исследование их устойчивости не пред-
ставляют больших трудностей.
И, наконец, для представления периодических движений в ис-
ходной системе координат Ltxy надо сделать несколько канониче-
ских преобразований, обратных описанным выше.
Для осуществления намеченной схемы исследования удобно
предварительно сделать каноническое преобразование, приводя-
щее гамильтониан Ro к нормальной форме. Характеристическое
уравнение, соответствующее этому гамильтониану, имеет вид
X* + A _ 4 »¦)*¦ +^AA-^Ч-тгГ-О. C.1)
Это уравнение имеет две пары чисто мнимых корней ±ш1г

s 3]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА
257
где
©! = 0,949313, <в2 = 0,300684.
Следовательно, «невозмущенное» движение устойчиво. Теперь
при помощи линейного канонического преобразования введем пере-
менные qt, pi так, чтобы в этих переменных невозмущенный гамиль-
тониан принял нормальную форму, а сами переменные q^, pt
имели нулевой порядок относительно т, что позволяет ввести в
новый гамильтониан малый параметр т в явном виде. Искомая
замена переменных такова:
C.2)
X
У
Рх
Ру
= А
9i
5а
Pi
А
где матрица А имеет вид [144]
А =
к^
С02
ZL и Ч\ 12.
. C.3)
В C.3) введены следующие обозначения:
(i = 1, 2).
Новый гамильтониан Я = R/m?. Его квадратичная часть
выглядит следующим образом:
# о = -f
C.4)
Для решения уравнений, соответствующих невозмущенному га-
мильтониану Но, удобно ввести канонические переменные дейст-
вие а; и угол р; по формулам
= (_ 1 )*+i 1 / — sin рь рг =
C.5)
9 А. П. Маркеев

258 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
В переменных «;, Рг гамильтониан Н0 примет вид
#„ = oii«i — co2a2. C.6)
Следовательно,
Щ^ = дн1=@ «tai ^ ggp _ 0
л aui *' ^ эй,
_ - _ C.7)
Решение этих уравнений записывается так:
& = «хт + plt ах = аь C.8)
% + р2, [а2 = а2,
где at, Р; — константы интегрирования. Это как раз те постоян-
ные, которые содержатся в решении невозмущенных уравнений,
получаемом из уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующе-
го Но.
Теперь, согласно плану исследования, намеченному в начале
этого параграфа, примем at, P* за новые канонические перемен-
ные. Гамильтониан Н, описывающий изменение переменных а,-,
рг в возмущенной задаче, будет таким:
п
^-Яп, C.9)
где
»" гг _ 1 D
a Rn — функции из разложения B.1), в которых переменные х, у,
рх, ру заменены через ah рг при помощи формул C.2), C.3), C.5)
и C.8), Нп = О A). Явные выражения для Нп выписаны в работе
Кэмила [144].
Уравнения движения, соответствующие гамильтониану C.9),
имеют вид
dx 2_l i
n=1 C.10)
dx -
A = 1,2).

§ 4J ДОЛГОПБРИОДИЧБСКАЯ ЧАСТЬ ГАМИЛЬТОНИАНА 259
§ 4. Долгопериоднческая часть гамильтониана
и исключение независимой переменной
Теперь нужно выполнить следующий весьма громоздкий шаг
исследования. При помощи метода Депри — Хори нужно сделать
каноническую замену переменных аг,рг -*¦ at, рг. При этом исполь-
зуются уравнения D.25) и D.27) главы 11. Из этих уравнений функ-
ции Wn находятся такими, чтобы исключить из нового гамильтониа-
на i? все короткопериодические члены. В переменных at, рг новый
гамильтониан К будет содержать долгопериодические члены с
частотами <»! — <os, сох — 3<в2> °i — °е и их комбинациями.
Наличие двух «внешних» частот <bs и юе приводит к довольно
сложным дифференциальным уравнениям упрощенной системы с
гамильтонианом К. В работе [144] сделана попытка исключить
все члены с частотой сое. Оказалось, что это можно сделать, так
как процедура их исключения не приводит к появлению больших
по величине коэффициентов в производящей функции W преобра-
зования аг, Pj -*¦ at, P;. Следует еще добавить, что при получении
нового гамильтониана К из-за громоздкости проводимых вычис-
лений и ограниченности вычислительных возможностей в [144]
члены (е/т) учитывались только до третьей степени и только в К3.
С учетом сделанных замечаний в [144] найдена долгопериоди-
ческая часть нового гамильтониана К в виде
п=1
где Кг = 0, а функции К2, К3 и К± содержат тригонометрические-
синусы и косинусы с аргументами
-в.), Si-3Ba, B1 + Wz-2BS, D.2)
где Вг
Таким образом, долгопериодическая часть преобразованного'
гамильтониана D.1) содержит независимую переменную т явно..
Частоты соответствующих тригонометрических функций равны
a>i — (os) 2 (<о1 — cos), <о1 — 3<в2 и ©1 + 3<в2 — 2<as и представля-
ют собой малые величины. Чтобы из гамильтониана D.1)
исключить независимую переменную, введем новые переменные
Pi, определяемые формулами
=S1-Qt = (щ -
= в, -
Из этих формул получаем
РГ S1Qt (щ <в.) т + pi,_
Зр2* = в, - ЗВ2 = («в, - 3©2) т + 3pV ( '
- ЗВ2 = рГ + Зр,*, Бг + 352 - 2QS = р? - Зр*. D.4)
9*

260 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
Сопряженные с р, канонические переменные af получаются при
помощи производящей функции
S = «Г (ахт + Pj) + а,* (а2т +"р,), D.5)
где о"х = <»! — cos, а2 = (<bs — 3<в2)/3. Из D.5) получаем
<= JL = оГ. D.6)
Преобразованный, не зависящий от т, гамильтониан К* дается
формулой
K* = K+-^ = K + aiaf + o^. D.7)
Переменные a;, Pi удовлетворяют следующим дифференциальным
уравнениям:
*ч ж* 4LmmaK*m D8)
Периодические движения КА соответствуют положениям равно-
весия системы D.8). Но для нахождения положений равновесия
удобнее будет перейти к прямоугольным декартовым координатам
Qi, Pit определяемым равенствами
Qt =K2<Bfof'sin рг*, Pt = V2<oiaf cos рг* (i = 1,;2). D.9)
Отметим, что Qilaii и Pj являются канонически сопряженными
переменными. После подстановки af и р*, выраженных через Qt,
Pt, в функцию D.7) получаем такое выражение для К* [144]:
п=2
где
Kt = 4,418708(?? + 2,42737^^! + 0Д21254Р? + 2,292988^ +
+ 2,292988^ + 0,028726^ + 0,057451^? + 0,028726^ +
+ 0,2765502*?* - 7,168701<?&1 - 0,
+ 0,5531008^^ - 2,879588<?1Р2^ +
+ 2,879558^,^1»! + 0.2765502Р* + 0,959853^! -
- 7,168701^! - 1,816528Р^ - 1.816528ВД,

§ 51 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ 261
* Я* = 0,6721020! + 0,543614(?1Р1 -0,672102Р? +
о!
+ (-^J [0,081621 (О? + Pi) + 1,487332 (Q* + Р«)] -
— 0,146701 Oi — 0,398984Р1т
~У К*А = - 26,989280? + l,65662Oii>i - 32,26905Р? +
+ 20,07690 (Ql + Pi) - 1,5799120! + 0,572077Ра +104,99220* -
-_3148,1670^0! + 2659,185$/*!+ 314,97650^1+ 7977,5540*P20i +
+ 9444,5030^2^1 - 4509,5780*0? - 45О9,5780|/>! + 110,34190} +
+ 6296,3350^0! - 5318,3670^! + 6217,148(?|0? +
+ 958,7131010^1 + 6217,1480^^ - 78,471810^0! +
+ 958.71310IP? + 187,29360^^! + 314,97650^+5318,3670^0!+
+ 6296,335^0^! - 9019,156,0^^ - 9О19,1560^Р? +
+ 2876,1390^0!^ - 550,53240^,0! - 18651,44$/у>? -
- 456,775601Р2Р1 + 1,276611Q&* + 2,5532220^0?Р? +
+ 140,05670^0? - 521,32860^01^1+1,276110 \Р\ - 62,352820^? +
- 2876,1390^0?/*! - 18651,440^0^ + 235,433302Р?0! -
- 2876,1390aP^?-561,88O802P^i + 104,9922Р« - 2659,185^0!-
- 3148,167P|Pi - 4509,578Р^Р? + 1Ю,3419Р* -
! + 1,276611PM +
+ 140,0567Р22$ - 521,3286Pl0iPi
- 0,1369660? — 0,410900$Р? + 17,01850^ - 77,649350?Pj -
- 0,4109000^ + 2,О95О390?Р? - 77,649350^? - 0Д36967Р? -
- 14,92347Р?.
§ 5. Периодические орбиты и их устойчивость
В работе Кэмила [144] показано, что система уравнений D.8)
имеет три положения равновесия. Обозначим их через Ej (j =
= 1, 2, 3). Соответствующие периодические движения также бу-
дем обозначать через Ej. Координаты @Ь Pt) равновесных точек
находятся из системы алгебраических уравнений
Ж* дК* ЭК* ЭК* п ,- .

262 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Lt [ГЛ. 13
Так как в гамильтониане D.10) содержатся члены, линейные отно-
сительно Qx и Р1 (они обусловлены наличием солнечных возмуще-
ний и входят в К3 и К л), начало координат (совпадающее с точкой
либрации L4) уже не будет положением равновесия. Но существует
одно положение равновесия Еъ близкое к началу координат. Что-
бы найти равновесную точку Ех, удержим в гамильтониане К*
только линейные и квадратичные члены относительно Qt, Pt.
Тогда
К* = CyQl + c2QlPl + c3Pi +' с4$ + c5Pl + c6Qx + ечРи E.2)
где
сх = 4,418703 т* + @,672102 |т3 + 0,081621 те2) - 26,98928 т4,
с2 = 2,42737 т2 + 0,543614 т3 + 1,65662 т4,
с3 = 0,121254 т2 + (— 0,672102 т3 + 0,081621 те2)—
-32,26905 т4, E.3)
с4 = 2,292938 та + 1,487332 те2 -f 20,0769 m4,J
?5 = с4
Св = _ 0,146701 т3 — 1,579912 т1,
с7 = _ 0,398984 т3 + 0,572077 т\
Из E.1) — E.3) получаем, что близкое к началу координат поло-
жение равновесия Ех таково:
(<2i, Pi) = @,008761, - 0,022543), (Qt, Pt) = @, 0). E.4)
Найденное положение равновесия соответствует периодической
орбите КА с периодом, равным одному синодическому месяцу.
Ниже будет показано, что эта периодическая орбита неустойчива.
Как показано в работе [144], система уравнений E.1) допуска-
ет еще два решения Е% и Е3, которые соответствуют устойчивым
периодическим орбитам. Координаты равновесных точек Е2 и
Ег найдены в [114] в виде рядов по степеням т:
(Pi, <?iJ = A,7946, - 0,4718) + т C,5027, - 0,8589) + О (т2),
(Pt, <?2K = @, 0), E.5)
(Pi, Qi)s = (—1,7946, 0,4718) + т (-^2,6381, 0,6825) + О (т2),
(Pt, <?2)з = @, 0). " E.6)
Равновесные точки Е2 и Е3 соответствуют периодическим орбитам
КА с периодом, равный одному синодическому месяцу. Размеры
этих двух орбит очень близки, но фазы периодических движений от-
личаются на 180°.
Для исследования устойчивости найденных периодических дви-
жений Ej (i = 1, 2, 3) выпишем квадратичную часть разложения
гамильтониана К* в ряд по отклонениям 8Qit &Pt (линейные от-
носительно 8Qt, 8Pt члены в 8К* уничтожаются, так как коорди-

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ 263
Таблица 19
Яг
Еъ
Е3
ai
0,07098
0,813874
0,07731718
2,468033
2,215314
2,227761
аз
4,468982
4,760572
4,745097
а4
4,405318
—5,884246
—5,440188
а»
4,405318
—5,884246
—5,440188
наты точек Е, удовлетворяют системе уравнений E.1)). Имеем
8К*
т?
as8Ql
ab&Q\). E.7)
Числовые значения величин а^ приведены в табл. 19. Как и в ра-
боте Кэмила [144], ограничимся анализом устойчивости в линей-
ном приближении. При одновременном выполнении двух нера-
венств
ata5 > 0
E.8)
4? $ ¦
имеет место устойчивость в линейном приближении. Если же хотя
бы одно из неравенств E.8) выпол-
нено с обратным знаком, то периоди-
ческое движение неустойчиво. Про-
верка выполнимости неравенств E.8)
показывает, что периодическое дви-
жение EL неустойчиво, а периоди-
ческие движения Е.2 и Е3 устойчивы
в линейном приближении.
Устойчивые орбиты Е2 и Е3 схе-
матически изображены в плоскости
Ь4жг/нарис. 41. Орбита Ег имеет фор-
му, очень близкую к форме эллипса.
Большая полуось этого эллипса при-
близительно перпендикулярна пря-
мой, проходящей через L4 и центр
масс Земли. Большая и малая полу-
оси эллипса незначительно (не более
чем на 3%) отличаются от полуосей
орбиты, полученной Коленкевичем и
Карпентером. при помощи точных
численных расчетов и равных соот-
ветственно 145 000 км, и 71 000 км.
Движение КА. по орбите Е2 синхро-
низировано с движением Солнца таким образом, что их угло-
вые положения почти совпадают, когда КА. пересекает одну из
осей эллипса.
Рис. 41. Устойчивые перио-
дические орбиты вблизи точки
либрации в системе Земля —
Луна с учетом солнечных воз-
мущений.

264 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13
Орбита Е3 очень похожа на орбиту Е2, ее размеры несколько
меньше размеров орбиты Е2. Космический аппарат, движущийся
по орбите Е3, начинает свое движение с противоположной стороны
эллипса по сравнению с космическим аппаратом, движущимся по
орбите Е2. Таким образом, хотя орбита Е3 и сдвинута по фазе на
180° относительно орбиты Е2, движение по ней также синхронизи-
ровано с движением Солнца.
Полученные периодические орбиты Е2 и Е3 — это единствен-
ные известные устойчивые периодические орбиты в рассматрива-
емой задаче о движении КА вблизи треугольных точек либрации
системы Земля — Луна при наличии возмущающего гравита-
ционного воздействия Солнца. Отметим, что учет исключенных из
гамильтониана К короткопериодических членов и членов, содер-
жащих долгопериодические функции с частотой а>1 — сое (см.
§ 4), приведет к тому, что орбиты Е% и Е3 станут условно-периоди-
ческими, но размеры этих орбит изменятся незначительно по срав-
нению с размерами периодических орбит Е2 и Е3 [144]. Отметим
еще, что в работе [144] сделана попытка найти периодические ор-
биты, отличающиеся от Еъ Ег и Е3. Но приближенность анализа,
проведенного в [144], не позволила сделать достаточно строгих
выводов об их существовании и устойчивости.

ГЛАВА 14
ПАССИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО
АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Ъг СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ-ЛУНА
§ 1. Введение
В последние годы появилось много работ (см., например,
[38 — 41, 107, 125 — 133, 135, 141, 168, 174]), в которых исследу-
ются различные вопросы, посвященные проектам использования
точек либрации ограниченной задачи трех тел в космических ис-
следованиях. Особенно много внимания уделяется проектам ис-
пользования прямолинейной точки либрации Ьг системы Земля —
Луна.
Точка L2, которая является неустойчивой точкой равновесия
(во вращающейся системе координат; см. гл. 1) ограниченной эл-
липтической задачи трех тел,
расположена на луче Земля —
Луна за Луной на расстоянии
примерно 65 000 км. Космичес-
кий аппарат, движущийся вбли-
зи Ьг, предполагается, напри-
мер, использовать как ретран-
слятор для связи наземного
пункта с КА, находящимся на
обратной стороне Луны или на
орбите искусственного спутника
Луны, когда последний нахо-
дится за Луной и непосредст-
венная прямая радиосвязь с
ним невозможна.
На рис. 42 изображена схема использования КА, движущегося
вблизи L2, для связи между Землей и обратной стороной Луны.
На этом рисунке система координат L^xyz выбрана так, что ось
Ьгх направлена вдоль луча Земля — Луна, L2i/ лежит в плоско-
сти орбиты Луны, a L2z перпендикулярна плоскости орбиты Луны.
Если КА расположен вблизи плоскости L2yz, а расстояние от КА
до L2 превосходит примерно 3100 км (см. об этом ниже), то он мо-
жет быть использован для создания непрерывной радиосвязи меж-
ду обратной стороной Луны и любой точкой поверхности Земли.
Возможны и многие другие способы использования движущегося
вблизи Ьг К А для окололунных космических операций.
Рис. 42. Искусственный спутник
связи в системе Земля — Луна.

266 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
Но траектории КА, не покидающие окрестности L2 (например,
условно-периодические траектории), неустойчивы. При малых от-
клонениях начальных данных от многообразия условно-периоди-
ческих траекторий КА, вообще говоря, начинает экспоненциаль-
но быстро удаляться от точки Ьг. Условно-периодическая траек-
тория может служить лишь опорной траекторией, в окрестности
которой движение должно поддерживаться с помощью активной
системы управления. Величина энергетических затрат на поддер-
жание движения вблизи L2 существенно зависит от точности опре-
деления многообразия условно-периодических траекторий.
Решение последней задачи методами численного интегрирова-
ния строгих уравнений движения неэффективно. Однако, исполь-
зуя теорию возмущений, можно получить приближенное аналити-
ческое описание многообразия условно-периодических траекто-
рий. По-видимому, к настоящему времени с наибольшей полнотой
поставленная задача рассмотрена в работе [133]. Этой же задаче
посвящена и настоящая глава книги. Примененный метод построе-
ния условно-периодических (и всех возможных других) траекто-
рий вблизи L2 основан на проведении ряда последовательных ка-
нонических преобразований переменных, приводящих функцию
Гамильтона задачи к нормальной форме, для которой начальные
условия, обеспечивающие различные (например, условно-перио-
дические) тразктории, находятся весьма просто. Проведенные в на-
стоящей главе построения могут быть полошены в основу теории
пассивного движения К А вблизи L2.
§ 2. О траекториях линейной задачи
Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел Земля —
Луна — КА. Линеаризованные в окрестности Lt уравнения дви-
жения КА запишутся в системе координат L^xyz в таком виде
(см. главу 1) :
х-2у -A + 242) х = О,
у + 2х - A - А2)у = 0, B.1)
z + A2z = 0.
В уравнениях B.1) точкой обозначено дифференцирование по пере-
менной т = nt (п — среднее движение Луны, п = 0,22997 рад/сут),
за единицу длины принято расстояние между центрами масс
Земли и Луны, равное 384 405 км, а величина А2 вычисляется по
формуле
А — 1>i V
2~Ч
В последнем выражении ц = 0,0121505683, что соответствует от-
ношению масс Земли и Луны, равному 81,3 (это отношение масс

§ 21 ТРАЕКТОРИИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ 267
принято всюду в настоящей главе). Через | в формуле B.2) обозна-
чено безразмерное расстояние от центра масс Земли и Луны до L2;
величина ? (? ^> 1 — \i) является корнем уравнения
Характеристическое уравнение системы B.1) имеет вид
(Я2 + AJ [Я4 - (At - 2) Я2 - BА2 + 1)(А2 - 1)] = 0. B.4)
Так как А2 >¦ 1 (см. главу 1), то уравнение B.4) имеет два дейст-
вительных и две пары чисто мнимых корней ± Я,2, ± ?Я2, ± гЯ3.
Из-за существования корней ± Ях точка либрации Ьг неустойчива.
Величины Ях и Я2 определяют движение КА в плоскости орбиты
Луны (плоскость Ьгху), а К3 — движение по нормали к ней.
В дальнейшем все величины Кк считаем положительными:
/О А | I/ Q Л 2 Q Л
г-5 '
-7- B-5)
Для принятого отношения масс Земли и Луны, равного 81,3,
числовые значения величин %% таковы:
К± = 2,15867362, Я, = 1,86264545, Я3 = 1,78617573.
Общее решение системы B.1) имеет вид
х = a± sin Я20 + a2 cos Я20+ос3 ехр ЯХ0 + а4 ехр (—Я20),
у = — у2 (a2sin Я20 — ax cos_X20)+ 7i (аз exP ^ — a4 exP (— ^i0))>
z = Pi sin Я36 + Р2 cos K3Q. B.6)
Здесь использованы следующие обозначения:
0 = п (t - t0)
(t0 — произвольный начальный момент времени),
Yi= 2^(^1-2^-1), T2
a i, рг — произвольные постоянные, значения которых определяют-
ся начальными данными х0, у0, z0, х0, у0, z0 в момент времени 20:
_
2~
„ _ J_
2
a J_ / тг^о + г/о , Т2*о - kjjj/o \
2 V XjVi + КЧ2, "*" >^Yi — X.1Y2 /

268
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ U
[ГЛ. 14
Если начальные данные таковы, что а3 = а4 = 0, то движение
КА в линейной задаче будет условно-периодическим. В проекции
на плоскость Ltxy траектория КА представляет собой эллипс с
центром в точке L2 (см. рис. 43). При этом в зависимости от зна-
чения Ау = у2 У а\ + <x\ получаются различные по размерам эл-
липсы, у которых отношение большой полуоси, ориентированной
по оси L2y, к малой полуоси, ориентированной по оси L»x, равно
у2 = 2,9123.
Рис. 43. Траектория КА в плоскости
Если для проведения космических операций требуется обеспе-
чить видимость К А из наземных пунктов, то К А не должен нахо-
диться в самой точке либрации Ьг или в непосредственной близости
от нее. В окрестности точки L2 существуют зона полного зате-
нения и зона частичного затенения КА Луной (для земного наблю-
дателя). На рис. 43 показаны траектория движения КА в плоско-
сти Ь„ху и проекции зон затенения на эту плоскость Траектория
движения в плоскости L,xy является периодической с частотой
К2, равной в размерных единицах 0,42835 Тад1сут (соответствую-
щий период равен приблизительно 14 сут). Зоны затенения на
рис. 43 обозначены цифрами 1 и 2. В проекции на плоскость L.yz
зоны затенения представляют собой круги с радиусами примерно
N1 = 960 км и R2 = 3100 км. При этом, если КА находится в зоне
полного затенения (зона 1), то он не будет виден ни из одной точки
земной поверхности, а вне зон затенения КА будет наблюдаем из
любого наземного пункта одновременно с Луной. Если в плоскости
LiXy КА движется по эллипсу с большой полуосью Ау > 3100 км
то будут существовать участки траектории, находящиеся в зоне
прямой видимости из любой точки земной поверхности, из которой
видна Луна. На этих участках траектории могут проводиться
траекторные измерения, управление движением КА, осуществление
сеансов радиосвязи между Землей и обратной стороной Луны и т. д.
Движение КА в направлении L2z, перпендикулярном к плос-
кости орбиты Луны, представляет собой гармоническое колебание

i 3]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ Ь2
269
Зона затенения
\
Траектория НА
Рис. 44. Вид траектории КА с Земли.
с частотой Я3, равной в размерных единицах 0,41077 рад/сут.
Колебание по оси L2z не связано с движением КА в плоскости Ьгху.
Если в плоскости Ьгху КА также совершает периодическое дви-
жение с частотой Х2 ф Я3, то проекция траектории движения КА на
плоскость L2yz, ортогональную к линии Земля — Луна, представ-
ляет собой сложную кривую, заполняющую некоторую замкну-
тую область (рис. 44). При этом будут существовать интервалы
времени, в течение которых КА
не будет виден из наземных
пунктов, так как будет нахо-
диться за Луной в зоне затене-
ния. Для многих практических
приложений это может оказать-
ся нежелательным. Таким обра- У
зом, возникает одна из задач
управления движением КА в
окрестности точки L2: при по-
мощи активной системы управ-
ления получить такую траекто-
рию движения КА, чтобы он
постоянно был виден из любого наземного пункта вместе с Луной
(задача синхронизации). В работах [38, 126, 128, 141] для реше-
ния задачи синхронизации используются управления периодом
колебания вдоль оси L2z. Синхронизация периода движения КА
по оси L2z и в плоскости L2xy достигается увеличением частоты ко-
лебания по оси L2z на величину Х2 — К3. Для этого требуется пе-
риодически корректировать орбиту КА, сообщая импульсы в на-
правлении, коллинеарном оси L2z. При этом, если амплитуды ко-
лебаний по осям L2y и L%z равны, а разность фаз этих колебаний
равна 90°, то в плоскости L2yz КА будет двигаться по почти кру-
говой орбите (галоорбите). Если еще при этом амплитуды колеба-
ний превосходят величину 3100 км, то КА будет все время виден
вместе с Луной из любого наземного пункта и будет двигаться по
кривой, близкой к окружности, концентрической с окружностью
диска Луны.
Различные вопросы, связанные с удержанием КА вблизи Z2,
и задачи управления движением КА в окрестности галоорбиты
рассмотрены в работах [38 — 41, 107, 125 — 133, 135, 141, 168,
§ 3. Уравнения движения КА вблизи ?2
с учетом солнечных возмущений
3.1. Постановка задачи. В этом и последующих параграфах
настоящей главы изложены основы теории пассивного движения
КА в окрестности L2 с учетом солнечных возмущений. При изло-
жении мы следуем работам [39 — 41].

270 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Ьг [ГЛ. 14
В настоящем параграфе методом канонических преобразований
получены основные уравнения задачи при достаточно общих пред-
положениях. Цель нижеследующих преобразований состоит в том,
чтобы явным образом выделить некоторые малые параметры зада-
чи и получить уравнения в форме, удобной для дальнейших преоб-
разований с помощью теории возмущений.
Рассматривается задача о движении КА пренебрежимо малой
массы под действием гравитационного притяжения Земли, Луны,
Солнца и других потенциальных сил. В качестве исходной системы
координат примем невращающуюся геоцентрическую систему.
Введем обозначения: г, v — радиус-вектор и вектор скорости точки
относительно исходной системы координат; гх, \1 — радиус-век-
тор и вектор скорости центра масс Луны; r2, v2 — радиус-вектор
и вектор скорости центра масс Солнца; к — fM, кх = }МЪ к2 =
= fM2; М, Му, М2 — массы Земли, Луны и Солнца соответствен-
но; / — гравитационная постоянная.
Гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид
ff = i|v|« + U + U1 + U2+K, C.1)
где
и — Г7Т' иг— — кг\ , , Г771Г > \°-*)
К = К (г, t) — потенциал возмущающих сил, который может
описывать возмущения от планет, от нецентральности поля Земли
и Луны, от светового давления и др. Символом (х, у) обозначается
скалярное произведение векторов х и у; |х| — модуль вектора
х, |х| = ^(х, х). Компоненты векторов г и v — канонически со-
пряженные переменные задачи.
3.2. Вращающаяся система координат. Перейдем к вращающей-
ся геоцентрической системе координат. Первый орт этой системы
постоянно ориентирован по радиусу-вектору Луны rlt третий —
по нормали к плоскости векторов г1 и vl5 а второй орт дополняет
систему до правой. Переход к вращающейся системе координат
задается ортогональной матрицей
A (t) = (аь а2, аз),
где
а1=|7П' аа = [а,,а1], а3 = -^ . C.3)
Через сх в C.3) обозначен вектор-столбец [r1( vj, квадратной скоб-
кой обозначается векторное произведение.
Переход к вращающейся системе координат можно представить
как каноническое преобразование г, v->r, v, задаваемое произ-
водящей функцией _
Sx = (у, Атг). C.4)

§ 31 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ ?2 271
Верхний индекс «т» в C.4) — знак транспонирования. Канониче-
ское преобразование г, v —>• г, v имеет вид
v = Av, г = Аг. C.5>
Можно показать, что справедливо представление
^-А= -со 0 р , C.6>
dt \ о — р о у
где
Г1 - -s
Используя C.5) и C.6), вычислим
где
fiT = (р (f)) о, со (*)). C.9>
После преобразования C.5) гамильтониан задачи будет иметь,
вид
C.11>
K1 = Z1 (r, t) = К (Аг, 0, Гг = Атг{ (i = l,2). C.12>
3.3. Безразмерные координаты. Теперь проведем каноническое-
преобразование f, v -»- R, V, задаваемое производящей функцией-
Это преобразование имеет вид
Используя C.13) и C.14), определим
2 _ dS2 , d In | гд | ,„ у. 1
(>
После преобразования C.14) гамильтониан задачи запишется в:
следующем виде:
н% IvI2 + К]Ф1 + и* + и% + к* + к* + к*> (ЗЛ6>
2|г7

272 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 14
где
Ri = T^]ri (г = 1,2),
K\ = -(Q, [R, V]), C.18)
Ka = K*{R,t) = K1(\t1\R,t). C.19)
Нетрудно проверить, что
Rl = (l,0, 0). C.20)
3.4. Относительная система координат. Следующим канониче-
ским преобразованием введем подвижную систему координат.
Пусть функция
?s = ((p + S(O). (R-n@)) C-21)
задает каноническое преобразование R, V -> q, p. В C.21) % (t),
т\ (t) — пока неопределенные функции времени. Запишем преоб-
разование R, V -*- q, p в явном виде:
R = 4@ + q, v = i(t) + p. C.22)
Нетрудно вычислить
кз __ ds3 _ / d| \ (jn_ \ п „ох
После преобразования C.22) гамильтониан задачи будет иметь
вид
H3 \v\2 + av) + ^(us + ul + ul) + K3 + Kl +
+ К1 + К3. C.24)
Здесь
C.25)
X? = - (Q, И, р]) - (Q, [q, 1]) - (Q, [q, p]), C.26)
K' = XI ^l^d 412 + 2 (n, q)), C.27)
Здесь и ниже мы опускаем в гамильтониане слагаемые, не завися-
щие от q, p, и условно сохраняем знак равенства.
3.5. Разложение функции Гамильтона. Теперь предположим,
что q = 0, р = 0 является решением уравнений с гамильтониа-

§ 3] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ U 273
ном И3. Это означает, что | и к] должны быть выбраны таким обра-
зом, чтобы разложение Н3 в ряд по q и р начиналось с квадратич-
ных членов относительно компонент векторов q и р. В дальней-
шем мы будем интересоваться движениями при достаточно малых
I Ч |> IР |- Для получения явного представления Н3 проведем раз-
ложение составляющих Ня в ряд по q и р. При этом будем исполь-
зовать следующие формулы [18], справедливые для |Ь| <|а|:
1 1 ^и /1Ы\«„ , . C28)
|а-Ь|
оо
1 1 V /i»i\"n- /_ч C.29)
п=о
где Рп {х) — полиномы Лежандра,
^ , X - |а||Ь|
Используя C.28) и C.29), получим
и* =^3(ч, п) -^ 2(-1)"({^)>п(Ю, (з.зо)
П=2
п3 _ i /(q. (Rj —Л)) _ (д, Rt)
Ui - Ail |Rt-t||» IRil3
где
ТчТТлТ Zi - | q j I R, - r, [
Приравнивая в C.24) нулю коэффициенты при линейных членах
относительно компонент векторов q и р, получим систему диффе-
ренциальных уравнений, которой должны удовлетворять вектор-
функции %{t) и т] (t):
(З.ЭЗ)
А. П, Маркеев

274 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
Если | (t) и if) (t) удовлетворяют уравнениям C.33) и C.34), то
гамильтониан задачи можно записать в следующем виде:
А А о п ~о ~о
гтз 1«|2 г (Т7^ -А— Т7 -Х- Г7 \ -Л- К -J- К -1- f(s /ч ^\(\\
где
величины z, z^ определены равенствами C.32), а
К\ = - (О, [q, p]), C.39)
= кз _ (ttj q) C.41)
ачу о
C.42)
3.6. Уравнения движения Луны. Рассмотрим теперь задачу о
движении Луны. Она описывается гамильтонианом
з, —г2| |г2
где компоненты векторов rl5 vx — канонически сопряженные пере-
менные, if* — потенциал сил, которые действуют на Луну,
помимо учтенных сил гравитационного взаимодействия Луны и
Земли и возмущающих сил от Солнца.
Гамильтониан C.42) мы можем формально получить из гамиль-
тониана C.1), если в C.1) положим к1 = 0 и заменим г на г1? v на
у\, к на к + /%, а К на Я*.
Если мы проведем последовательно все указанные выше кано-
нические преобразования и положим т] = Н1( | = V1? то | и rj
должны удовлетворять уравнениям C.33) и C.34), если в них
положить кг = 0, к = к + кг, К3 = К*3. Таким образом, Rt
и Vx удовлетворяют следующей системе уравнений:
[fl,Ril—i^ji-V^O, C.43)
= °- C-44)
При получении уравнения C.43) учтено, что, согласно C.20),
dRJdt = 0. Через а* в уравнении C.44) обозначена вектор-
функция (dK*s/dq)'r, вычисленная при q = 0.

g 3J УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ KA ВБЛИЗИ U 275
3.7. «Подвижная точка либрации». Имея в виду дальнейшее
изучение движения вблизи точки либрации L2, преобразуем
уравнения C.33) и C.34) при помощи замены переменных
4 = (l+p)Ri + «, l = (l+p)V1 + a, C.45)
где р — постоянная величина.
Замечание. Поясним представление C.45). Если поло-
жить а = а = 0 и принять в качестве р величину (х — 1 -)- ?*,
где ?* — корень уравнения
то т] = A + р) Ri, | = A + р) Vx должно быть решением урав-
нений C.33), C.34) в случае эллиптической задачи трех тел, т. е.
в случае, когда в этих уравнениях отброшены солнечные члены и
члены, связанные с дополнительными возмущениями. Эти решения
соответствуют коллинеарным точкам либрации. Из изложенного
ниже формального анализа видно, что решение и = а = 0 будет
иметь место и при частичном учете солнечных возмущений. (Это
приближенное решение мы будем в дальнейшем называть «подвиж-
ной точкой либрации».) Тем самым в общем случае оказывается
возможным определить решения уравнений C.33), C.34) при
достаточно малых | и | и \ а \.
Прежде чем осуществлять подстановку C.45), преобразуем
некоторые члены уравнения C.34). Используя C.29) и C.45),
можно получить следующее представление:
W^WTR7FR* + °' <3-48>
Щг + Ф„ C-49)
где
n=i
П=1
Далее преобразуем в уравнениях C.34) и C.44) члены, описы-
вающие солнечные возмущения. Имеем
ю*

276 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
где
ЖТ) Pn+l(z4)~ Щ2Т 2иП*Г) Pn+
n=2 n=l
C.55)
/О tr/\
C-54)
z4) I'
Аналогично,
Y = - *a ( IrI-R^I» ~ TR2V) = Y°
Y — fe2 /и Q (RU R2) R
°""|R2Tl 1- —TrIF
¦у" 
C.59)
*b = iP n.> i • C-60)
Из соотношений C.53) — C.60) следует, что X можно представить
в следующем виде:
X = (l+p)Y+<J>2) C.61)
где
Ы^)х-A + р)*- C-62)
Подставим теперь ц и | в виде C.45) в уравнение C.33). В ре-
зультате получим
(М-р) {[О, Яг] _ ^ V,} + *1 + [О, *] - -j^- a = 0. C.63)
Из C.43) следует, что фигурная скобка в C.63) тождественно равна
нулю. Поэтому из C.63) получаем такое уравнение:
?+[0,*]—i^a-0. C.64)
Преобразуем теперь уравнение C.34), используя представления
C.48), C.49) и C.61). Получаем
р) Yl) +^
Фа) + а ~ A + р)а* = °'

§ 4] НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ 277
Если р удовлетворяет соотношению
+
то, согласно C.44), фигурная скобка в C.65) обращается в нуль
и тогда получаем уравнение
+ 1ТП <Ф + Фх + Ф*) + « - A + Р) «* = °- C.67)
Вместе с уравнением C.64) это уравнение образует систему для
определения вектор-функций х и а.
Отметим, что уравнение C.66) после замены C.47) переходит
в традиционное уравнение C.46), определяющее положение точки
либрации L2 в эллиптической ограниченной задаче трех тел.
В результате проведенных выше преобразований задача опре-
деления движения в окрестности точки либрации в точной поста-
новке сводится к необходимости последовательного интегрирова-
ния сначала системы уравнений C.64), C.67) (задача I), а после
определения х (t), a (t) — к интегрированию системы уравнений
с гамильтонианом Н3 C.36) (задача II).
Фактически тем самым шестимерная задача сведена к задаче
определения двенадцати функций: р, q, х, а. Однако задачи I и II
неравноправны. При решении задачи I достаточно определить на
рассматриваемом интервале времени произвольное решение с
достаточно малыми | х | и | а |. А для задачи II необходимо иметь
представление о поведении всех решений при достаточно малых
|Р I и | q |.
Из анализа уравнений C.64), C.67) и входящих в него соотно-
шений следует, что если пренебречь в этих уравнениях членами
порядка к2/ | R.2 | * и дополнительными возмущениями, то в каче-
стве решений этих уравнений можно принять а = х = 0. В част-
ности, такое решение точно существует в эллиптической задаче
трех тел. Оценки близости главного приближения (а = х = 0)
к решению уравнений C.64), C.67) проведены в следующем пара-
графе.
§ 4. Некоторые оценки
4.1. Оценки ускорений, действующих на КА. Для выбора и
обоснования физической модели движения КА нам потребуется
провести оценки реально действующих ускорений в окрестности
точки /у2 системы Земля — Луна. Воспользовавшись формулами
C.36) — C.39), можно оценить ускорения, вызываемые различ-

278 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ Ь, [ГЛ. 14
ными факторами в относительном движении КА, описываемом
функцией Гамильтона C.36). Эти ускорения зависят от величины
| q|. Приведенные в табл. 20 числовые значения получены
для | q | ~ 10~2, что соответствует орбитам КА, удаленным от
точки L2 примерно на 4000 км.
Оценка для ускорения от сил светового давления получена для
отношения площади поперечного сечения КА к его массе, равного
0,05 м2/кг; оценки влияния сжатия Земли, Луны и притяжения
планет дают величину, меньшую, чем 10~10 м/сек2.
Таблица 20
Действующий фактор
Притяжение Луны (~Uf\
Притяжение Земли (—U3)
Неинерциальность системы коор-
динат {~К\)
Притяжение Солнца (~fi,!)
Часть «косвенного» влияния Солнца
(~Р из К')
Световое давление (~А)
Порядок относительного
ускорения КА (ж|сек*)
Ю-3
ю-*
КГ1
ю-8
10
ю-7
Для описания движения КА, кроме зависимостей q (t), p (t),
необходимо найти решение уравнений C.64) и C.67), определяю-
щих движение относительной системы координат. Эти уравнения
имеют приближенное решение х — а = 0, которое мы называем
«подвижной точкой либрации». Степень его приближенности
определяется малыми ускорениями, обусловленными влиянием
Солнца ( ~ Ф2) и другими возмущениями (~ а и а*). Оценки
показывают, что эти ускорения имеют порядок 10~в м/сек2 для сил
светового давления, 10~8 м/сек2 для сил гравитационного притяже-
ния Солнца и они много меньше 10~10 м/сек2 для остальных возму-
щающих факторов.
4.2. Вынужденные колебания КА вблизи «подвижной точки
либрации», обусловленные гравитационными солнечными возму-
щениями. Найдем частное решение уравнений C.64) и C.67),
определяющее вынужденные колебания КА, близкие к «подвижной
точке либрации». Аналогичная задача о вынужденных колебаниях
в случае плоской задачи при учете гравитационных солнечных
возмущений рассмотрена в работе [162]. Для проведения исследо-
вания вынужденных колебаний удобно исключить из уравнений
C.64), C.67) величину а и рассмотреть получающееся при этом

§ 4| НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ 279
дифференциальное уравнение для вектор-функции х
+ | n |2[?J, [fix, ]] + -±^ (Ф + Фх + Ф2) + « - A + P) «* = 0. D.1)
Для приближенного вычисления вынужденных колебаний КА
пренебрежем нецентральностью гравитационных полей Луны и
Земли, а также всеми негравитационными возмущениями, положив
в D.1) величины а и а* тождественно равными нулю. Орбиты
Луны и Земли будем предполагать круговыми. Продолжитель-
ности сидерического и синодического месяцев примем соответст-
венно равными 27,3216614 и 29,5305887 суш [23]. Это соответ-
ствует таким средним угловым скоростям Луны и Земли: п =
= 0,229970836 рад/сут и п' -- 0,0172021243 рад/сут. Отсюда
т = п'/п = 0,0748013296.
Большие полуоси (в нашем случае радиусы) орбит Луны и Земли
примем соответственно такими: а = 384 400 км, а' =
= 149 600 000 км. Следовательно, отношение больших полу-
осей орбит Луны и Земли имеет такую величину: —у =
= 0,00256951872 = 0, 459 т\
Перейдем к независимой переменной т = п (t — t0) и разложим
левую часть уравнения D.1) в ряд по степеням компонент и<*>
вектор-функции х. Тогда, сохраняя для дальнейшего только
свободные члены и члены, линейные относительно %W, и учитывая
сделанные выше предположения, получим из D.1) линейное урав-
нение
-g- + 2 [О, -g-] +[ Q, [О, х]] + А, (х - Ш, (х, Щ) -
р)т^ [fjjjj Eсоз2ф1 + 3)-4RlCos9l] . D.2)
В коэффициентах левой части уравнения D.2) отброшены величины
порядка т2 и выше, а в правой части сохранены только главные
члены, определяющие вынужденные колебания, и отброшены
величины порядка т2 (а/а')* и выше. Вектор Q в D.2) таков, что
QT = @, 0, 1). Через (ft в D.2) обозначен угол щ — Я — Я', где
Я и Я' — средние долготы Луны и Солнца в орбите [23]:
• Я (() = т + Я {t0), Я' = тх + Я' (*0). D.3)
Нетрудно проверить, что
RT
|R2 , = (cos фх, — sin фь — sin i sin ф2), D.4)

280 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
где i — наклонение плоскости орбиты Луны к эклиптике (i =
= 0,0898020382), а через ф2 обозначен угол %' — Q, где й — долго-
та восходящего узла орбиты Луны, причем [23]
| . D.5)
В координатной форме уравнение D.2) запишется в виде
— "q" P A + P)т* \~~г) Ccos Ф1 + 5 cos Зфх).
osindqij).
+ 5 8тBф]. + ф2) — 5 втBф1—ф2)].
D.6)
Для отношения масс Земли и Луны, равного 81,3, имеем
р = 0,167833148, А2 = 3,19042360.
Вынужденные колебания в линейной системе D.6) находятся
очень просто. Получаем такие значения для х^> (в км):
x(i) = _0,06 cos ф! — 0,43 cos Зфх,
хB) = _0,39 sin фх + 0,80 sin Зфх, D.7)
х(з) = _0,07 sin ф2 + 0,34 sin Bфх + фа) + 3,5 sin Bфх — ф2).
4.3. Вынужденные колебания К А, обусловленные силами све-
тового давления. Аналогично можно вычислить вынужденные
колебания КА вблизи «подвижной точки либрации», вызванные
силами светового давления Солнца.
Потенциал К (см. п. 3.1 предыдущего параграфа) возмущаю-
щих сил светового давления имеет вид
К = в | г2 - г | , D.8)
где е = (F/m) yq0, F и т — характерная площадь поперечного
сечения и масса КА соответственно, величина у характеризует
отражающие свойства поверхности КА, #о — величина светового
давления на орбите Земли, q0 = 0,441315-10 кг/(м-сек2). Для
дальнейших расчетов примем отношение F/m равным 0,05 м2/кг,
а величину у считаем равной 2 (т. е. поверхность КА считается
зеркально-отражающей).

§ 5] ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 281
Проведя последовательно преобразования пп. 3.2—3.5, 3.7 и
4.2, получим уравнение D.1), в котором
Величина а* в уравнении D.1) полагается равной нулю, так как
величина Flm для Луны пренебрежимо мала. Это означает, что
влиянием светового давления на орбиту Луны мы пренебрегаем.
Проведя выкладки, аналогичные выкладкам предыдущего пункта,
получим, что обусловленные световым давлением вынужденные
колебания КА вблизи 'одвижной точки либрации» приближенно
описываются линейным дифференциальным уравнением D.2),
если правую часть последнего заменить на вектор-функцию
е/агс2-К2/[ R2 | • При этом отброшенные в правой части члены
будут примерно в (а/а') раз меньше оставленных.
Вычисления показывают, что при сделанных предположениях
вынужденные колебания записываются в виде (амплитуды пере-
считаны в км)
«W = 2,22 cos ф1; х<2> = —43,46 sin ф1; и<3> = —1,75 sin q>2.
D.10)
Проведенные оценки дают возможность выявить наиболее
существенные факторы и отбросить второстепенные. Для целей
предварительного анализа траекторий движения КА в § 2 была
использована простейшая модель линеаризованной в окрестности
L2 круговой ограниченной задачи трех тел. Для более точного
описания пассивного движения КА необходимо в первую очередь
учесть нелинейность задачи по отклонениям от равновесной точки
и эллиптичность орбиты Луны. В следующем параграфе будет
рассмотрена нелинейная задача о движении КА в окрестности Ьг в
рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел (Земля —•
Луна — КА) без учета возмущающего влияния Солнца и других
внешних факторов. Эта задача имеет и самостоятельный интерес.
Ее решение можно положить в основу алгоритма расчета пассив-
ного движения КА в окрестности Ьг.
§ 5. Эллиптическая задача
5.1. Предварительное преобразование гамильтониана. Для
дальнейшего исследования сделаем следующие упрощающие пред-
положения:
1) В задаче учитываются только гравитационные силы, причем
поля тяготения Земли и Луны центральные. При этом функции К
в C.1), К* в C.42) тождественно равны нулю и вместе с ним
тождественно равны нулю RW в C.36), а и а* в C.67).
2) Пренебрежем возмущающим влиянием Солнца, положив
в уравнениях движения Кг — 0. Тогда из C.7) следует, что
11 А. П. Маркеев

282 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
Р (t) = 0 и из соотношений C.9) и C.43) получаем
Й- = @, 0, со (t)), V* = @, со (t) | rx (t) | 2, 0). E.1)
Проектируя теперь левую часть уравнения C.44) на оси ординат
и абсцисс получаем соответственно такие скалярные уравнения:
Л («о (О l'i (')!') __п
i ~ и
К WI "^Й^11 + ?ж - »2 @1 ri @12 = 0. E-3)
Из уравнения E.2) следует интеграл площадей
ю (*) I ri (*) Г = I ci I (I ci I = const), E,4)
а решение уравнения E.3) определяет эллиптическое движение
Луны
1*1 @1= /l1"^ . E-5)
I 1 \ /1 i -\-e cos v \ "/
где а и е - большая полуось и эксцентриситет орбиты,
а A - е2) (к + kj) = | Ol |2, E.6)
переменная v •— истинная аномалия эллиптического движения
Луны:
-ЗГ-°>@- ,ri(f)p • E-7)
Нетрудно проверить, что при сделанных выше двух предположе-
ниях уравнения C.64) и C.67) удовлетворяются решениями х == 0,
о s= 0. Таким образом, мы приходим к задаче о движении тела
пренебрежимо малой массы вблизи коллинеарной точки либрации
L2 эллиптической ограниченной задачи трех тел. Эта задача опи-
сывается функцией Гамильтона C.36), в которой надо положить
t, = (l + p)R1, Я2 = 0, ^ = 0, О* = @,0,-?¦) . E.8)
Используя соотношение E.7), введем новую независимую пере-
менную — истинную аномалию v и вместо вектора р (компоненты
которого имеют размерность константы площадей) безразмерный
вектор р согласно следующим формулам канонического преобра-
зования q, p —*¦ q, p:
q=5, р = I ci | р. E.9)
Тогда гамильтониан задачи запишется в таком виде:
g ||'+ llP+Od + ii + E,, E.W)
П=2

S 5J ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 283
n=2
Величины ц. и р определены равенствами C.46), C.47):
Il
g J , E.l3)
I q 11 Ri I IqllRil
Кг = - (Q, [q, ?]), Й» = @,0,1), E.14)
'4l- E.15)
Ниже используются следующие обозначения для компонент векто-
ров q и р: ,ц
а также обозначение для вектора х, составленного из компонент
векторов q, ?:
хт =
= У |
Мы интересуемся движениями, для которых КА не покидает
достаточно малую окрестность точки L2. Будем поэтому считать
q(*\ p(i> малыми величинами, причем малыми первого порядка..
Гамильтониан E.10) содержит еще один малый параметр — экс-
центриситет е орбиты Луны. Его считаем величиной первого поряд-
ка малости. Дальнейшие преобразования основаны на предпола-
гаемой малости величин | х | и е. Поэтому целесообразно предста-
вить гамильтониан в виде суммы
В= S Ят, где #т~|х|™.
т=2
Функции Нт можно представить в виде рядов по степеням экс-
центриситета е
Ъ E.16)
!с=0
где Нт не зависят от е и v. Обозначим
л — 1~ti I ц E 17)
Лт— ^ _|_ p^m+l "Г рт+] * \ • I
Используя выражение для гамильтониана E.10) и формулы E.11)—
E.15), нетрудно показать, что функции B*m имеют следующий
вид:
11*

284 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
при т = 2
|
E.18)
при т~^> 2
?> (j?L) E.20)
Используемый нами метод состоит в нахождении нормальной
формы гамильтониана E.10) и соответствующего нормализующего
преобразования. Общее решение системы, описываемой функцией
Гамильтона, имеющей нормальную форму, может быть найдено в
замкнутом виде. Зная нормализующее преобразование и преобра-
зование, обратное ему, легко получить приближенные значения
начальных координат и компонент вектора скорости, реализующих
интересующие нас движения, близкие L2.
Нормальную форму гамильтониана E.10) можно в принципе
получить в сколь угодно высоком приближении относительно ма-
лых параметров. Мы ограничимся получением решения с точностью
до величин третьего порядка малости относительно начальных
значений координат qW и импульсов p(i> и величины эксцентри-
ситета е. Для этого нормальную форму гамильтониана следует
получить с точностью до величин четвертого порядка малости
включительно. Это означает, что при нормализации квадратичной
части ff2 гамильтониана E.10) надо учесть степени эксцентриситета
до второй включительно; при нормализации членов третьего по-
рядка ff3 — до первой степени е, а при нормализации совокуп-
ности членов четвертого порядка Й^ величиной эксцентриситета
можно пренебречь. Формы Нт для иг 1> 5 также можно не рас-
сматривать.
5.2. Нормализация квадратичной части гамильтониана. Для
получения нормальной формы функции Гамильтона E.10) и
соответствующего нормализующего преобразования надо сначала
произвести нормализацию квадратичной части Hz- Последователь-
ность действий будет такой: 1) нормализация й?\ 2) исключение
из гамильтониана й% членов, пропорциональных е, 3) исключение
членов, пропорциональных е2.
Проведем нормализацию Hf\ Для переменных <?C), рC)
нормализующая замена переменных имеет вид
= -^.q'(s\ р<з) =-|/%У«0. E.21)
Нахождение канонического нормализующего преобразования для
переменных д<*>, р(') (i = 1, 2), соответствующих плоской задаче,

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
285
более сложно. После проведения некоторых вычислений (см.
работу [39]) получим, что преобразование <7(i\ р<{) —> g'W, p'(i)
(i = 1, 2), приводящее к нормальной форме часть гамильтониана
fft \ соответствующую плоской задаче, имеет вид
= В„
E.22)
где элементы btl симплектической матрицы Во вычисляются по
следующим формулам:
Ьц = — y,i [%i -{- (А% — 1)], Ь12 = — 2и2А,2, Ь13 = — Ьц, Ьц = О,
1 == ^^1^1, О22 = 0, &23 == ^21> ^24 == — ^2 1^-2 I B-42 -)~ 1I>
I, v fi2 /су А [ Л \1 /С ООЧ
t^34 — — Л21Л2 ^^ \^ ¦*:'-2  Ч'Ч \О.?О)
Viz == — &41? 4 = 0.
В E.23) введены такие обозначения:
1
4) %1 + (ЗА, + 4) (А2 - 1)]
1
+ 4)^ + (ЗЛ«-4)BЛ2+1)]
После проведения преобразований E.21) и E.22) нужно при
помощи канонической, 2я-периодической по v, линейной замены
переменных q', р' —> q", р" исключить из гамильтониана Hz
члены, содержащие эксцентриситет е с точностью до второй степени
включительно. Нахождение этого преобразования совершенно
аналогично соответствующим рассмотрениям глав 9 и 10, где
подробно описана нормализация функции Гамильтона в окрест-
ности треугольной точки либрации. Поэтому мы не будем здесь
проводить подробных вычислений, а сразу приведем конечный
результат. Замену переменных q', p' -> q", p" можно представить
в виде
п'B)
= [Е4 + е (sin vBx + cos vB2) +
+ e2 (B3 + sin 2vB4 + cos 2vB5)]
7»(D
n»B)
E.24)

286
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 14
j,C>|
n'<3>
= [Е2 + е (sin vQ + cos vC2) +
"CI
+ e2 (C, + sin 2vC4 + cos 2vC5)] |р„{3) . E.25)
Здесь Е4 и Е2 — единичные матрицы соответственно четвертого и
второго порядков, Вк и Ск (к = 1, 2, . . ., 5) — постоянные
матрицы также четвертого и второго порядков. Нормализованная
до членов порядка е2 включительно квадратичная часть функции
Гамильтона Hz имеет вид
(q", р") =
»(i)T
-i- Л2
-i- Л3
' E.26)
где Л7- = Я^ + е2Ач. Величины Xf\ а также элементы матриц
Во и В^, Cft (к = 1, 2, . . . , 5), вычисленные для значения [i =
= 0,0121506683, соответствующего отношению масс Земли и
Луны, равному 81,3, таковы:
М2) = 0,549275266, № = 0,245751053, Я32) = 0,249484559.
—0,441793230
0,278436861
—1,23212425
0,159261077
—1,61042025
—0,093429932
Матрица Во
—0,290634525 0,441793230
0,278436861
0
0
1,28610071
-1,23212425
-0,159261077
0
—0,846503150
0,305154074
0
Матрица Вх
—0,089648965 0,064705657 —0,093429932
0 —0,093429932 —0,387921081
—0,064705657 —0,089648965 1,61042025 0,093429932
—0,089648965 0,558216979 0,089648965 0
Матрица В2
0 0,367549695 —0,279356790 0,034700492
—0,034700492 —0,317200880 0,034700492 0
—0,279356790 —0,367549695 0 0,034700492
-0,367549695 0 —0,367549695 0,317200880
Матрица Вз
1,29453757 —0,0668728327 0,120855187 0,0266781301
0,069620286 0,051513305 —0,069620286 0,003762514
0,120855186 0,0668728327 0,034737568 0,026678130
0,103126810 —0,003762514 0,103126810 —0,1138554311

5)
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
0,274636443
0,017572613
0,244147749
0,295323986
—0,638371620
-0,075045546
0,007754370
—0,045662155
Матрица В4
0,0239035671 —0,244147749 -
0 0,017572612
0,0239035671 —0,274636403
-0,0544046576 —0,295323986
Матрица В5
—0,004501406 0,007754370
0,114650294 0,075045546
0,004501406 —0,638371620
О —0,045662155
Матрица Сх
II О —0,6652921571
10,561028239 0 ||
Матрица С2
10,186233680 О
О —0,186233680
Матрица С3
—0,154478806 0 |
О —0,01480354601!
Матрица С4
II 0 0,09852968631|
Ц—0,150954873
Матрица С5
-0,108404225
0,191343298
0,108404225
О
—0,019939662
О
—0,019939662
0,02279992
О
0,0468202978 О II
О 0,157145038I
Подробное описание вычислительной процедуры получения нор-
мализующего преобразования E.24), как и всех следующих ниже
нормализующих заменах переменных, имеется в работе [39].
Таким образом, мы получили (с точностью до е2) каноническое
преобразование q, р —> q", p" гамильтониана ff2 к нормальной
форме E.26).- Это преобразование задается формулами E.21),
E.22), E.24) и E.25). Обратное преобразование легко получить,
вычислив соответствующие обратные матрицы.
5.3. Исключение членов третьей степени относительно коорди-
нат и импульсов. После нормализации квадратичной части й2
новая функция Гамильтона Н" с точностью до величин четвертого
порядка малости относительно | q" |, | р" | и е запишется, как

288 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
легко проверить, в виде
#" (q*, p", v)=#a + Hl{0)+e (sin vG3 + cos vF3) + Hl@). E.27)
Здесь Н2 есть функция E.26), Н3® и //4<0) — это функции Й3°
и ^0), в которых переменные g(i), p(i) выражены через д"<*>, р"(*>
при помощи матрицы, задающей преобразования E.21) — E.22).
Формы третьей степени G3 и F3 в E.27) не зависят от v, а перемен-
ные д"<3> и р"C) входят в них только квадратичным образом.
Каноническое преобразование q", р" —> q, р, исключающее из
гамильтониана E.27) члены третьей степени
Н"з0) + е (sin vG3 + cos vF3),
зададим при помощи производящей функции вида
S = («Г, Р) + Ws (q", p) + е [sin vKs (q", P) + cos vT3 (q", p)J. E.28)
Структура форм W3, K3 и Г3 аналогична структуре форм G3 и F3.
Подберем их так, чтобы в новой функции Гамильтона Н отсутство-
вали члены третьей степени относительно §<'), р<*>.
Из тождества, связывающего новую Н и старую Н" функции
Гамильтона с производящей функцией S канонического преобра-
зования, получим три уравнения относительно W3, K3 и Г3:
DW3 = Н3@\ DT3 = K3 + F3, DK3 = - Г3 + G3, E.29)
где через D обозначен следующий оператор:
В формах Н3°\ F3 и G3, входящих в E.29), величины р"(*> заме-
нены на р<4>.
Приравняв в обеих частях уравнений E.29) одночлены при
одинаковых степенях _^"<1\ pW, получим систему линейных
алгебраических уравнений для определения коэффициентов иско-
мых форм W3, K3 и Г3. Из-за того, что д"<3> и р<3> содержатся в
Н°\ G3 и Fз квадратично, многие из коэффициентов форм W3,
К3 и Г3 будут равняться нулю. Коэффициенты форм W3, K3 и Г3
были вычислены на ЭВМ.
Каждую из этих форм зададим в виде суммы
где суммирование ведется по целым неотрицательным числам ki,
сумма которых равна трем. Числовые значения коэффициентов

§ 51
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
298
Таблица 21
Индекс коэффици-
000300
001200
002100
003000
010200
011100
012000
020100
021000
030000
100200
101100
102000
110100
111000
120000
200100
201000
210000
300000
100020
010020
001020
000120
100011
010011
001011
000111
100002
010002
001002
000102
Числовое значение коэффициента
в форме W>
0,746583163
—2,200475216
0,784525932
0,085276911
0
1,489351118
—0,839003171
—0,208836809
—0,463353884
0
—2,200475216
3,470378379
—2,275945950
—1,489351118
0
—0,463353884
0,784525932
—2,275945950
0,839003171
0,085276911
—1,725855874
0
—1,725855874
0,650519542
1,205447559
1,486767095
—1,205447559
0
—0,997437105
0
—0,997437105
1,425728815
в форме Кг
0
—4,21598988
2,76719842
0,476844592
2,08944869
—0,041403661
—1,96308889
0
0,284907670
0,118217723
4,21598988
0
—3,17134578
—0,041403661
3,07303700
—0,284907669
—2,76719842
3,17134578
—1,96308889
—0,476844592
3,41495947
2,14279121
—3,41495947
0
—0,960237641
0
—0,960237641
0,556735971
0,573897516
0,087794522
—0,573897516
0
******
в форме Г>
0,565777617
—0,880868731
0,746392105
—0,092220428
0
0,617559866
—0,789252689
—0,229043264
0,303335836
0
—0,880868731
3,40582548
—1,38332186
—0,617559866
0
0,303335836
0,746392105
—1,38332186
0,789252689
—0,09220428
—0,361180392
0
—0,361180392
0,398125980
0,254325223
1,15838060
—0,254325223
0
—0,476295743
0
—0,476295743
1,15795834
приведены в табл. 21. Невыписанные в табл. 21 коэффициенты
форм W3, K3 и Г3 равны нулю.
Связь между новыми переменными q, p и старыми q", p" с точ-
ностью до величин третьего порядка малости относительно
! ч" I » I Р" I и ^ задается формулами
др<»
3W,
— esinv
e sin v
dpW
дК3
— е cosv
e cos v
-Z
j
(i = 1,2,3). E.31)

290 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2 [ГЛ. 14
Здесь в формах W3, K3, Г8 вместо аргументов q" стоят величины q.
Обратное преобразование с той же точностью запишется в виде
= q"v> -\ ±. 4-esmv ?т + ecosv
dW3
— e sin v —^tt- — e cos v -
з
, x ¦ d'W3 dW3 r - i 0 1\
^hJ do" dp' Ьц1
3 = 1
В этих формулах формы И^3, К3, Г3 имеют своими аргументами
переменные q", p".
5.4. Нормализация совокупности членов четвертого порядка.
В переменных q, p, введенных в предыдущем параграфе, гамильто-
ниан задачи с точностью до членов четвертого порядка относи-
тельно | q | , | р | и е будет таким:
Н = #2 (Ч> Р) + #40) (<Ь Р). E.33)
где В% вычисляется по формуле E.26), а .Щ имеет вид
л4 —л. 4 (q, Р) + -у ^2 11 „-^' | — |—Г75г)
3=1
В E,34) Н3^ и PF3 — функции переменных q, p.
Теперь сделаем каноническую замену переменных q, p —>
—» q*, р* при помощи производящей функции
q, p*). E.35)
Коэффициенты формы четвертой, степени Wt подберем так, чтобы
в новых переменных q*, p* члены четвертой степени в гамильто-
ниане имели нормальную форму
, 2
,5.36)

§ 51 ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 291
В E.36) величины с,д. — константы, являющиеся инвариантами
исходной функции Гамильтона относительно канонических преоб-
разований. Процедура нахождения формы W± и коэффициентов
сць нормальной формы E.36) весьма стандартна (см. преобразова-
ние Биркгофа в § 1 главы 3), и потому мы здесь на ней не останав-
ливаемся. Форму Wi будем представлять в виде такой суммы:
Л, 4fci „fa Jl,
A)P B)<7<VC),
где суммирование происходит по целым неотрицательным числам
Л-;, сумма которых равна четырем. Числовые значения коэффици-
ентов формы Wi были получены на ЭВМ. Эти значения сведены в
табл. 22. Невыписанные коэффициенты формы Wi равны нулю.
Коэффициенты с^, входящие в нормальную форму E.36) членов
четвертого порядка в новой функции Гамильтона, имеют следую-
щие числовые значения:
с200 = -1,92495045, с020 = -1,94195756, с002 = -1,28232557,
с110 = -14,2446161, с101 = -11,8222486, с011 = 3,13444410.
С точностью до величин третьего порядка малости старые пере-
менные q, p выражаются через новые q*, p* согласно формулам
E.37)
Замена переменных, обратная E.37), с той же точностью задается
формулами
E.38)
Таким образом, мы нашли вещественное каноническое преобра-
зование q, р-—> q*, p*, приводящее функцию Гамильтона E.10),
описывающую движение космического аппарата относительно
точки либрации L2, к нормальной форме, содержащей величины
до четвертого порядка малости включительно относительно
| q* | , | р* I и е. Это преобразование схематически выглядит так:
1) q, р —» q', p" (линейное преобразование, приводящее к нормаль-
ной форме квадратичную часть гамильтониана; см. формулы
E.21), "E.22) и E.24), E.25)); 2) q", p" -> q, p (исключение из
функции Гамильтона членов третьей степени относительно коорди-
нат и импульсов; см. формулы E.31), E.32)); 3) q, р —»• q*, p*
(нормализация совокупности членов четвертой степени; см. фор-
мулы E.37), E.38)). Согласно указанной схеме, исходные величины
qW, p(') легко вычисляются по известным значениям q*m, P*(i)
и наоборот.

292 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 14
Таблица 22
Индекс коэффици-
ента «I's.jr.Mt.Jc.ki
000400
001300
002200
003100
004000
010300
011200
012100
013000
020200
021100
022000
030100
031000.
040000
100300
104200
102100
103000
110200
411100
112000
120100
121000
130000
200200
201100
202000
210100
211000
220000
300100
301000
310000
400000
Числовое значение
коэффициента
2,46578791
-6,22916787
7,40002310
—1,75750231
—0,854524547
2,83818588
—3,83448225
—0,666860651
2,19926340
0
2,79546129
—2,03262786
—0,553699999
0,626876590
0,152090730
—4,85997365
0
—14,6378177
5,30365267
—10,3586362
16,7556303
—2,73595364
—2,63136014
—16,5677667
—0,150633933
2,49039403
—15,7681069
0
8,92716071
—10,8033415
2,96865583
—0,925745462
3,89169338
—1,61978834
0,272267629
Индекс коэффици-
ента wkll(Mikiltt
200020
110020
101020
100120
020020
011020
010120
002020
001120
000220
200011
110011
101011
100111
020011
011011
010111
002011
001111
000211
200002
110002
101002
100102
020002
011002
010102
002002
001102
000202
000040
000031
000022
000013
000004
Числовое значение
коэффициента
—4,14054944
—7,76555006
3,31568348
—2,22664160
0
—4,86:55316
23,8357405
7,62697715
—6,47068885
2,99802101
4,25989016
2,52974784
1,79582987
—7,29668759
—19,1640094
—4,55246672
1,79533475
7,31181418
—9,58863702
—22,8039819
0,377834646
—3,40772282
0
—1,14285015
—0,337515709
—1,73401731
—18,3902492
1,63710322
—3,88366484
1,39515361
0,991848859
—0,395325819
0
0,880384132
0
нормалнзованной системы.
Условно-
5.5. Общее решение
периодические движения. В переменных q*. p* функция Га-
мильтона с точностью до величин четвертого порядка малости
относительно
Н* = Л
| q* |, | р* | и е запишется в виде
Л2р*
р*
С200
E*0) = Vlpfsin <р;, р*0) = У 2р* cos (р} U = 2, 3)).
lpp
E.39)

S 6] ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ КА 293
Общее решение соответствующей системы дифференциальных
уравнений определяется формулами
* р.A) = р;<«етР(_ ф*), E.40)
р'«> = V^pJ cos ср? (/ = 2,3), E.41)
Ф* = oh (v — v0), ф* = со2 (v — v0) + Фм, ф* = со3 (v — v0) Н- ф*0.
E.42)
©1 = Лх + 2с2Оо (go(I)Poti)) + СцОр*о + CioiP^,
со2 = Л2 + 2сО2оР*о + CoiipS + Ciio (?;A)PoA)), E-43)
% = Л3 A)A)
Через л>о в E.42) обозначено значение истинной аномалии v в
начальный момент времени t = t0. Величины <7*A\ РоA\ pfi1'»
Ф^о 0 — 2, 3) играют роль произвольных постоянных интегри-
рования.
Общее решение E.40) — E.42) вместе с формулами нормализу-
ющих преобразований и координатных переходов позволяет для
любого момента времени получить приближенные значения коор-
динат и компонент вектора скорости космического аппарата в
абсолютной системе координат.
Движение космического аппарата в окрестности L2, в силу
существования в общем решении экспоненциально возрастающих
функций времени, неустойчиво. Но если начальные условия
выбрать так, чтобы
gf<« = рГ> = 0, E.44)
то, согласно E.40), E.41), движение космического аппарата вблизи
Ьг будет условно-периодическим (в рамках рассмотренного при-
ближения). Если же начальные условия таковы, что выполняется
только одно из равенств E.44):
q*oW = 0, E.45)
то движение космического аппарата также будет происходить
вблизи Lz, а с увеличением t оно будет асимптотически прибли-
жаться к условно-периодическому движению.
§ 6. Оценка точности построенной теории движения КА
6.1. Общие вамечания. Среди всего множества траекторий
движения КА в окрестности Lz наибольший практический интерес
представляют условно-периодические траектории. Наиболее суще-
ственным достоинством предложенного в настоящей главе аналити-
ческого метода расчета движения КА является возможность
приближенного описания многообразия таких траекторий.

294 ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ U [ГЛ. 14
Но поскольку реализованная процедура аналитического метода
расчета лишь приближенно описывает движение КА, то тем самым
и многообразие условно-периодических траекторий определено
также приближенно. В частности, в точном решении задачи о
движении КА, определяемом начальными данными, соответствую-
щими условно-периодическому движению приближенной задачи,
неизбежно будут присутствовать экспоненциально возрастающие
функции времени. Для оценки точности приближенного метода
было проведено сравнение с результатами численного интегриро-
вания строгих уравнений движения в декартовых координатах.
Эти результаты рассматривались как эталонные. Вообще говоря,
достаточно точное вычисление координат КА в окрестности не-
устойчивой особой точки с помощью численного интегрирования
также является некоторой проблемой, так как методические ошиб-
ки аппроксимации и ошибки округления экспоненциально воз-
растают. Оценки показали, что их суммарная погрешность на
интервале 10 сут не превышает примерно 10 м, что существенно
меньше ошибок приближенного метода. Поэтому для наших целей
результаты численного интегрирования можно принять за эталон.
Эталонные расчеты проводились в двух вариантах.
1*) Движение КА определяется решением точной системы уравне-
ний ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — КА). Движе-
ние Луны эллиптическое.
2) Движение КА определяется решением точной системы урав-
нений ограниченной задачи четырех тел (Земля — Луна — Солн-
це — КА). Геоцентрические координаты и компоненты вектора
скорости Луны rt (t), vx (t) определяются численным интегрирова-
нием уравнений задачи трех тел (Земля — Луна — Солнце).
Первый из этих вариантов служит для выявления возможных
грубых ошибок алгоритма и оценки методических ошибок, связан-
ных с учетом в приближенной теории предыдущего параграфа
членов лишь до конечного порядка малости. Второй вариант
оценивает степень пригодности построенной в предыдущем пара-
графе теории в случае эллиптической задачи трех тел для описа-
ния реального движения при наличии солнечных возмущений.
В обоих вариантах сравнение результатов проводилось на трае-
кториях, соответствующих приближенно условно-периодическим
траекториям q0 = Ро = 0, для различных начальных значе-
ний gf(i\ po*(i) (* = 2, 3)."
6.2. Результаты численных экспериментов в эллиптической
•задаче. Сравнение результатов, полученных приближенным мето-
дом, с результатами эталонных расчетов проводилось для трех
траекторий, определяемых такими начальными данными при
q*W = p*W = 0, ?*<¦«> = р*<2> = g*<3> = />*№ = б,

i 6]
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ТЕОРЦИ ДВИЖЕНИЯ КА
295
где б — 0,005^ 0,01 и 0,02. Эти значения б соответствуют орбитам,
удаленным от точки Ьг примерно на 2000, 4000 и 8000 км.
Обозначим через г' (t — t0) и т'э (t — t0) геоцентрические
радиусы-векторь! КА, вычисленные соответственно в приближен-
ном и эталонном расчетах. Ошибку приближенного метода расчета
будем оценивать величинами компонент Ах, &у, Az вектора
Дг = г'(г — t0) — r'a(t — t0).
В результате вычислений с различными значениями б были полу-
чены зависимости компонент вектора Аг от времени. Эти зависи-
мости представлены на рис. 45 сплошными линиями. Видно, что
их, йу, uz,km
б)
5=0,01
'Ах
\ \Az Ax
^ \
4r\\V
Ax,Ay,uz,KM
15
(t-to),cym
500'
-500
г>
W
(t-ta),cym
Рис. 45. Ошибки аналитической теории в случае эллиптической ограничен-
ной задачи трех тел.
ошибка достигает величины 50 — 70 км за время 15, 10 и 5 суш
соответственно для б = 0,005, 0,01 и 0,02. В последующие моменты
времени ошибки растут очень быстро и при t — 10 = 20, 15 и
10. супь соответственно превосходят 500 км.
Если в трех рассмотренных вариантах зафиксировать интервал
времени t —.t0 = 7 суш (это примерно половина периода либра-
ции КА в окрестности L2 системы Земля ^— Луна), то максималь-
ные ошибки составят 0,9, 11 и 210 «л соответственно. Из-за влия-
ния неучтенных членов нормализованного гамильтониана можно
ожидать ошибку, пропорциональную б4. С этим примерно согласу-

296
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ X,
[ГЛ. 14
ется зависимость изохронной ошибки от б, выявленная в резуль-
тате проведенных расчетов.
Дополнительный расчет с начальными данными, соответству-
ющими точке либрации F = 0), показал, что в этом случае макси-
мальная ошибка 50 км достигается только через 20 сут (см.
рис. 45, г), а в конце семисуточного интервала ошибка не превос-
ходит 60 м.
На рис. 45 пунктирными линиями показана зависимость оши-
бок от времени для случая, когда приближенные расчеты выполне-
ны в рамках линейной теории, т. е. в уравнениях движения отбро-
шены нелинейные члены относительно переменных g*<*>, p*(i>.
Из рисунков видно, что в этом случае с увеличением б вдвое
изохронная ошибка увеличивается в четыре раза. Сравнение
сплошных и пунктирных кривых показывает, как и следовало
ожидать, существенную роль нелинейных членов.
6.3. Ошибки теорий в случае учета солнечных возмущений.
Проверка точности построенной теории движения вблизи Lz при
учете солнечных возмущений была осуществлена следующим
Sffff-
Рис. 46. Ошибки аналитической теории при учете солнечных возмущений.
образом [40]: вее необходимые для расчета координатные переходы
§ 3 осуществлялись на основании реального движения Луны
(которое задавалось табличным способом, причем нужные таб-
лицы получались из численного интегрирования задачи четырех
тел Земля — Луна — Солнце — КА), а нормализующие преобра-

§ 6] ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ КА 297
зования § 5 осуществлялись на основе эллиптического движения
Луны, причем для элементов орбиты Луны принимались их оску-
лирующие значения на начальный момент времени t0. Таким
образом, влияние Солнца на относительное движение не учиты-
валось.
Расчеты проводились для тех же начальных данных, что и в
предыдущем параграфе. Зависимости Ах, Ay, Az от времени
представлены на рис. 46 для б = 0,005; 0,01; 0,02; 0. Сравнение
рис. 45, г и 46, г показывает, что недостаточно полный учет сол-
нечных возмущений приводит к более быстрому нарастанию
ошибки. Резкое нарастание ошибки в рассматриваемом варианте
6 = 0 происходит примерно на двенадцатые сутки (а не на двадца-
тые сутки, как в эллиптической задаче).
Из сравнения результатов приближенного решения эллипти-
ческой вадачи трех тел и задачи четырех тел при различных б
следует, что при б <| 0,01 основные ошибки обусловлены недоста-
точно полным учетом солнечных возмущений. При б ^> 0,01
определяющими становятся нелинейные члены, неучтенные в
приближенной методике. В конце семисуточного интервала време-
ни ошибка составляет 3,5, 30, 60 и 300 км для 6 = 0; 0,005; 0,01;
0,02 соответственно.
Для оценки зависимости методической ошибки от начального
положения Луны и Солнца была проведена дополнительная серия
расчетов с 6 = 0,01. Оказалось, что ошибка слабо зависит от этих
параметров и в конце семисуточного интервала для всех вариантов
изменяется в пределах 50—80 км.
Заметим, что для рассматриваемой методики очень существенно
использование в расчетных формулах параметров реального (а не
эллиптического) движения Луны. Попытка аппроксимировать
движение Луны на семисуточном интервале времени формулами
задачи двух тел приводит к ошибкам определения геоцентрических
координат порядка 1000—2000 км.

ДОПОЛНЕНИЕ
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
§ 1. Уравнения движения
Кроме точек либрации задачи трех тел, в небесной механике
известны еще точки либрации в окрестности вращающегося грави-
тирующего эллипсоида. Их существование было установлено
Ю. В, Батраковым в работе [6]. Эти точки либрации представляют
собой частные решения дифференциальных уравнений движения
материальной точки в окрестности вращающегося с постоянной
угловой скоростью трехосного гравитирующего эллипсоида. Во
вращающейся, связанной с эллипсоидом, системе координат эти
частные решения представляют собой положения равновесия.
Таких равновесных положений материальной точки всего четыре.
Они расположены на продолжениях большой и малой осей
экваториального сечения эллипсоида симметрично относительно
его центра масс.
В статье [1] В. К. Абалакин исследовал устойчивость упомя-
нутых точек либрации в линейном приближении и установил, что
две точки либрации, расположенные на продолжении большой
полуоси экваториального сечения эллипсоида, неустойчивы по
Ляпунову (выполнены достаточные условия неустойчивости), а две
другие точки, расположенные на продолжении малой полуоси,
устойчивы в первом приближении (выполнены необходимые усло-
вия устойчивости).
Дальнейшее исследование устойчивости точек либрации, рас-
положенных на продолжении малой полуоси экваториального
сечения эллипсоида, проведено в работах С. Г. Журавлева [25,
184, 185]. Использовав недавние результаты теории гамильтоновых
систем, изложенные в главах 4 и 5 настоящей книги, С. Г. Журав-
лев получил строгие выводы об устойчивости этих точек либрации.
Ниже кратко излагаются результаты упомянутых работ
Ю. В. Батракова, В. К. Абалакина и С. Г. Журавлева, посвящен-
ных точкам либрации в окрестности вращающегося эллипсоида.
Сначала получим уравнения движения. Пусть материальная точка
движется в поле тяготения вращающегося с постоянной угловой
скоростью со трехосного гравитирующего эллипсоида массы М.
Выберем прямоугольную систему координат Oxyz, связанную с
эллипсоидом. Начало этой системы координат поместим в центр

§ и
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
299
масс О эллипсоида; оси Ох, Оу и Oz совпадают с главными цент-
ральными осями инерции эллипсоида, и направление угловой
скорости вращения последнего совпадает с направлением оси Oz
(рис. 47).
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
во вращающейся системе координат Oxyz можно (см. [24]) записать
в виде
dy
It
2 _
dV
dV
d%y . „ dx „ и,
—^r + 2@ -тг — 0)aW = -T-
dfi dt v ay
A.1)
d4
dp
dV
dz
где V — потенциал притяжения
эллипсоида.
Пусть эллипсоид представляет
собой однородное гравитирующее
тело, поверхность которого мож-
но записать в виде уравнения
Х2 у* Z2
+ + 1
Рис. 47. Точки либрации в ок-
рестности вращающегося грави-
тирующего эллипсоида.
Потенциал такого эллипсоида на внешнюю точку задается форму-
лой Дирихле [24]
ds
где / гравитационная постоянная, а и
уравнения
I2 , 1/2 , z2
S) (б3 + S) (С2 + S) '
A.2)
положительный корень
¦ f- и
+ ¦
¦ + ¦
= 1.
A.3)
Пусть эллипсоид мало отличается от однородного шара радиуса
В и имеет объем, равный объему этого шара. Тогда
а2 = Л2 + а', Ьг = Л2 + р', с2 = Л2 + <г', A.4)
где а', Р' и ff' — малые по сравнению с А'2 величины, которые в
силу равенства объемов эллипсоида и шара удовлетворяют с
точностью до малых более высокого порядка соотношению а' ~\-
=Ь Р' + V' ™ 0- Разлагая потенциал A.2) в ряд по степеням а\
Р', у', получаем выражение для потенцпала притяжения эллипсои-
да в виде.
v = Ш- + _L jm a'x' '"Vy"' ~"'zl j- (i .5)
Здесь не выписаны члены более высокого порядка относительно

300 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА [Д
a', f?, of', а через р обозначено расстояние от материальной точки
до центра масс эллипсоида.
Для дальнейшего удобнее рассматривать уравнения движения
в безразмерных переменных. Положим
где а%ю2 = fM. Введем еще вместо трех малых величин а', Р',
of' один параметр е @ <^е <^ 1), связанный с упомянутыми вели-
чинами соотношениями
За' 3 6' о 3 з' .. „.
еа ^* ™ A6>
В новых переменных уравнения движения A.1) запишутся в виде
где
J ^+y + ^+---, г2 = 12 + Л2 + ^ A-8)
§ 2. Точки либрации
Найдем положения равновесия системы A.7), которые опреде-
ляют координаты точек либрации Pt (i = 1, 2, 3, 4) в окрестности
вращающегося гравитирующего эллипсоида. Из A.7) получаем,
что положения равновесия должны удовлетворять такой системе
уравнений:
+ 6 0 + т, = 0, -^- = 0. B.1)
Используя равенства A.8), перепишем эту систему в виде
!-i + i[.(?-5^L±J?±2?.) + ...]=o,
[(^ср+РГ|а;1) ]. B.2)
=0.
Из последнего уравнения системы B.2) видно, что при достаточно
малых вначениях е она может иметь только такие решения, для

§ 31 ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ 301
которых ? = 0. Положив в B.2) величину Z, равной нулю, получим
для нахождения координат точек либрации систему двух урав-
нений
1A* + Ч*L' № + ч*)Уг\ '") ' B.3)
| СГ
+ • • • f -
которая при малых е имеет четыре решения, определяющих коор-
динаты четырех точек либрации Pt. Имеем
Pt : go = 1 + еа + ... , Ло = 0, ?о = 0;
Рг : go = 0, т]0 = 1 + ер + ... , ?о = 0;
Р3 : go = — 1 - еа - ... , т]0 = 0, ?0 = 0;
Л : go = 0, по = - 1 - ер - .... Со = 0.
B.4)
Точки либрации лежат на продолжениях большой и малой полу-
осей экваториального сечения эллипсоида симметрично относи-
тельно его центра масс. Схематически они изображены на рис. 47.
§ 3. Линейный анализ устойчивости точек либрации
Исследуем устойчивость полученных точек либрации. Вви-
ду симметрии можно ограничиться рассмотрением одной из
точек, например Pv Рассмотрим сначала устойчивость в линей-
ном приближении. Положим
I = go + Яи т] = Ло + Яг, ? = ?о + Яз, C.1)
где ?oi т]о, ?о — координаты точки либрации Рг, определяемые-
формулами B.4). Линеаризованные уравнения движения вапишут-
ся в виде
^^...)91 = 0, C.2)
...]?2 = 0, C.3>
| ...]g, = O. C.4)
Характеристическое уравнение системы C.2) — C.4) распадается
на два уравнения: одно четвертого, а другое второго порядков::
Я4 + [1 - 2е Bа + Р) + •¦•] Я,2 + бе (р - а) + ... = 0, C.5)
I2 + 1 + 2е (а — а) + ... == 0. C.6)
Из C.5) и C.6) получаем, что если а <С Р, то для достаточно малых

302
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ЭЛЛИПСОИДА
[Д
^ характеристическое уравнение имеет три пары чисто мнимых
корней:
C.7)
где о»; —частоты малых колебаний материальной точки вблизи
г (а- 4р) + ..., ©2 = У бе (р - а) + ... ,
= 1 + е (а — а) +
C.8)
Если же а ^> р, то при достаточно малых е один из корней харак-
теристического уравнения будет вещественным положительным
числом Я =
ЕОС,
| (а — р) + ...
Таким образом, в случае выполнения неравенства а <^ р
{т. е. точка либрации Рх (а также и точка Р3) расположена на
продолжении малой полуоси эква-
ториального сечения эллипсоида)
линеаризованная система C.2) —
C.4) устойчива, а значит, для
полной нелинейной системы диф-
ференциальных уравнений возму-
щенного движения выполнены не-
обходимые условия устойчивости.
В случае же, когда а ^> р (т. е.
точка либрации Pt (а также и точка
Р3) расположена на продолжении
большой полуоси экваториального
сечения эллипсоида), линейная си-
стема C.2) — C.4) неустойчива, а
также неустойчива по Ляпунову
и полная нелинейная система урав-
нений возмущенного движения.
4,1
Рис. 48. Области устойчивости
и неустойчивости точек либрации
трехосного гравитирующего
липсоида.
эл-
На рис. 48 в плоскости параметров еа и ер показаны область /,
где выполнены необходимые условия устойчивости точек либра-
ции, и область //, в которой точки либрации неустойчивы по
Ляпунову (на рис. 48 принято | еа | <^ 0,1 и | ер | <^ 0,1).
§ 4. Результаты нелинейного исследования устойчивости
С. Г. Журавлевым в работах [25, 184, 185] проведено подробное
нелинейное исследование устойчивости точек либрации Рг для
значений параметров еа, ер, принадлежащих области / рис. 48,
где выполняются необходимые условия устойчивости. Нелинейное
исследование представляет значительные трудности, потому что в
области/, как показано в статье [184], гамильтониан возмущенного
движения не будет знакоопределенной функцией. Здесь ситуация
совершенно аналогична той, которая имеет место в задаче об
устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной

g 4j нелинейное исследование 305
задачи трех тел (см. главы 7 и 8 книги). Совсем не останавливаясь
на очень громоздких вычислениях, проведенных в работах [25,
184, 185], приведем только окончательные результаты.
Рассмотрим сначала случай плоской задачи, т. е. случай*
когда материальная точка во все время движения не выходит и*
плоскости экваториального сечения эллипсоида. В статье [1841
показано, что в области / существуют кривые, на которых частоты
wii g>2 удовлетворяют резонансным соотношениям третьего и
четвертого порядков w1 = 2w2 и wi — 3w2. Эти кривые представ-
лены на рис. 48. Расчеты, проведенные в [184, 185], показали, что
для значений параметров еа, ер, лежащих на кривой а>г = 2а>2
и на части кривой щ = Зо>2, гДе выполняется неравенство
—0,0634 <^ ер <^ —0,0629, точки либрации неустойчивы ш>
Ляпунову. В остальной части области / точки либрации устойчивы
по Ляпунову (кроме, быть может, двух точек кривой щ = Зш2г
в которых ер = —0,0634 или —0,1N29; эти две точки разделяют
на кривой о)х = Зо>2 интервалы устойчивости и неустойчивости,
в них вопрос об устойчивости остался открытым). Отметим, что
для исследования устойчивости в нерезонансном случае в работах
[184, 185], как и в главе 7 настоящей книги, пришлось учесть в
разложении гамильтониана члены до шестого порядка включитель-
но относительно координат и импульсов возмущенного движения.
В случае пространственной задачи, т. е. когда материальная
точка в возмущенном движении может выходить из плоскости
экваториального сечения эллипсоида, неустойчивость на кривой-
щ = 2ш2 и на части резонансной кривой щ — 3w2, конечно,
остается. Если же параметры еа, ер таковы, что резонансные
соотношения (аг = 2ш2 и ш1 = Зш2 не выполнены, то, как показа-
но в работе [25], точки либрации, лежащие на продолжении малой
полуоси экваториального сечения эллипсоида, будут устойчивы
для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.
В статье [184] рассмотрен вопрос об устойчивости точек либра-
ции для случая Земли. Фигура Земли аппроксимировалась при
помощи эллипсоида, мало отличающегося от шара. Параметры
еа и ер оказались очень малыми и не лежат на кривых Wj. = 2@%
и щ = Зш2. Поэтому для Земли точки либрации, расположенные
на продолжении малой полуоси экваториального сечения аппрок-
симирующего эллипсоида, устойчивы по Ляпунову (в плоской
задаче) или устойчивы для большинства. начальных, условий-
(в пространственной задаче).

ЛИТЕРАТУРА
1. АбалакинВ. К. К вопросу об устойчивости точек либрации в
окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида.— Бюлл. ИТА,
1957, т. 6, № 8.
2. А р н о л ь д В. И. Об устойчивости положений равновесия гамильто-
новой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем
эллиптическом случае.— ДоклТады Академии наук СССР, 1961, т. 137,
№ 2, с. 255—257.
3. А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движе-
ния в классической и небесной механике.— Успехи математических наук,
1963, т. 18, вып. 6, с. 91—192.
4. А р н о л ь д В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохра-
нении условно-периодических движений при малом изменении функции
Гамильтона.— Успехи математических наук, 1963, т. 18, вып. 5,
с. 13-40.
-5. А р н о л ь д В. И. О неустойчивости динамических систем со многими
степенями свободы.— Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 156, № 1,
с. 9—12.
•6. Батраков Ю. В. Периодические движения частицы в поле тяготения
вращающегося трехосного эллипсоида.— Бюлл. ИТА, 1957, т. 6, № 8.
7. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.; Л.: Гостехиздат, 1941.
8. Б о р н М. Лекции по атомной механике. Харьков, 1934.
9. БрауэрД., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир,
1964.
^0. Б р ю н о А. Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение
астероидов.— Матем. сб., 1970, т. 83, вып. 2, с. 273.
И. Б р ю н о А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений.—
Труды московского математического общества, 1971, т. 25, с. 119—262.
12. Б р ю н о А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений.—
Труды московского математического общества, 1972, т. 26, с. 199—
239.
13. Б р ю н о А. Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона.—
Математические заметки, 1967, т. 1, № 3, с. 325—330.
14. Б р ю н о А. Д. О локальных задачах механики. Препринт ИПМ АН
СССР, № 96, 1973.
15. Б у л г а к о в Б. В. О нормальных координатах.— Прикладная мате-
матика и механика, 1946, т. 10, вып. 2, с. 273.
16. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физмат-
гиз, 1960.
17. Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
18. Г р а д ш т е й и Н. С, Р ы ж и к Н. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. М.: Наука, 1971.
19. ГребениковЕ. А. Об устойчивости лагранжевых треугольных
решений ограниченной эллиптической задачи трех тел.— Астрон. ж.,
1964, т. 41, вып. 3, с. 567.

ЛИТЕРАТУРА 30S
20. Г у р с а Э. Курс математического анализа, т. II. М.: Гостехиздат, 1933.
21. Д е м и д о в и ч Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.
М.: Наука, 1967.
22. Д у б о ш и н Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные-
методы. М.: Наука, 1964.
23. Д у б о ш и н Г. Н. (ред.). Справочное руководство по небесной механи-
ке и астродинамике. М.: Наука, 1976. Авторы: Абалакин В. К.,.
Аксенов Е. П., ГребениковЕ. А., Демин В. Г., Ря-
бов Ю. А.
24. Д у б о ш и н Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.:
Наука, 1968.
25. Журавлев С. Г. Об устойчивости точек либрации вращающегося
трехосного эллипсоида в пространственном случае.— Астрономический:
журнал, 1974, т. 51, вып. 6.
26. Журавский А. М. Справочник по эллиптическим функциям. М.;
Л.: Изд-во АН СССР, 1941.
27. Заславский Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустой-
чивость нелинейных колебаний.— Успехи физических наук, 1971, т. 105,
вып. 1, с. 3—40.
28. 3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике. М.: Изд-во иностр. лит. г
1959.
29. ЗигельК. Л. О существовании нормальной формы аналитических,
дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения
равновесия. Сборник переводов «Математика», 1961, т. Ъ', № 2, с. 129—
155.
30. 3 и г е л ь К. Л. Об интегралах канонических систем. Сборник перево-
дов «Математика», 1961, т. 5, № 2, с. 103—117.
31. К а м е н к о в Г. В. Избранные труды, т. 2. М.: Наука, 1972.
32. КоддингтонЭ. А., ЛивенсонН. Теория обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
33. К р е й н М. Г. Обобщение некоторых исследований А. М. Ляпунова
о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффици-
ентами.— Доклады Академии наук СССР, 1950, т. 73, № 3.
34. К у н и ц ы н А. Л. Геометрическая интерпретация необходимых усло-
вий устойчивости треугольных точек либрации общей задачи трех тел.—
Celestial Mechanics, 1971, v. 3, № 2, pp. 222—226.
35. К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры, М.: Гостехиздат, 1953.
36. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика, т. I.
Механика. М.: Наука, 1965.
37. Л е о н т о в и ч А. М. Об устойчивости лагранжевых периодических
решений ограниченной задачи трех тел.— Доклады Академии наук СССР,
1962, т. 143, № 3, с. 525—529.
38. ЛидовМ. Л., Лукьянове. С, ТесленкоН. М. Автома-
тическая станция в окрестности лунной либрационной точки L% : 1.
Предварительный анализ схемы запуска и управления на галоорбите.
Препринт ИПМ АН СССР, № 116, 1974.
39. ЛидовМ. Л., ВашковьякМ. А., МаркеевА. П. Теория
пассивного движения космического аппарата вблизи коллинеарной точки
лабрации ?2 системы Земля — Луна. Препринт ИПМ АН СССР, № 56,
1975.
40. ЛидовМ. Л., ВашковьякМ. А., МаркеевА. П. О точ-
ности полуаналитического метода расчета движения КА в окрестно-
сти лунной либрационной точки. Препринт ИПМ АН СССР, № 85,
41. ЛидовМ. Л., ВашковьякМ. А., МаркеевА. П. Полу-
аналитический метод расчета движения КА в окрестности коллинеарной
точки либрации.— Космические исследования, 1976, т. 14, № 6.

306 ЛИТЕРАТУРА
42. Л у к ь я н о в Л. Г. Об устойчивости в первом приближении треуголь-
ных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел.— Бюлл. ИТА,
1969, т. 11, № 10 A33), с. 693.
43. Лукьянов Л. Г. Движение вблизи треугольных лагранжевых
решений ограниченной эллиптической задачи трех тел.— Вестник МГУ,
Физика и астрономия, 1968, № 2, с. 82—96.
44. Лукьянов Л. Г. Решения, близкие к треугольным лагранжевым.—
Вестник МГУ, Физика и астрономия, 1968, № 4, с. 99—103.
45. Лукьянов Л. Г. Влияние возмущающего тела на движение вблизи
треугольных лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи
трех тел.— Вестник МГУ, Физика и астрономия, 1969, № 1, с. 63—74.
¦46. Лукьянов Л. Г. О косвенном действии притяжения Солнца на
движение вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна.—
Вестник МГУ, Физика и астрономия, 1969, № 6, с. 9—15.
47. Л у к ь я н о в Л. Г. Об одном способе определения отношения масс
Земли и Луны.— Астрономический журнал, 1970, т. 47, № 4, с. 894—
уих.
48. Л я п у н о в А. М. Об устойчивости движения в одном частном случае
задачи о трех телах. Собр. соч., т. 1. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1954.
49. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собр.
соч., т. 2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
50. Ляпунов А. М. К вопросу об устойчивости движения. Собр. соч.,
т. 2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
51. М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука.
1966.
52. М а л к и н И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.:
Гостехиздат, 1956.
53. МаркеевА. П. К задаче об устойчивости положений равновесия
гамильтоновых систем.— Прикладная математика и механика, 1970,
т. 34, вып. 6, с. 997.
54. МаркеевА. П. О нормализации гамильтоновой системы линейных
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.—
Прикладная математика и механика, 1972, т. 36, вып. 5, с. 805.
55. М а р к е е в А. П. Об устойчивости канонической системы с двумя
степенями свободы при наличии резонанса.— Прикладная математика
и механика, 1968, т. 32, вып. 4, с. 738—744.
56. М а р к е е в А. П. Об устойчивости треугольных точек либрации в
круговой ограниченной задаче трех тел.— Прикладная математика и
механика, 1969, т. 33 вып. 1, с. 112—114.
57. МаркеевА. П. Исследование движения в некоторых задачах небес-
ной механики. Кандидатская диссертация, Московский физико-техниче-
ский институт, 1969.
58. МаркеевА. П. К задаче об устойчивости лагранжевых решений
ограниченной задачи трех тел.— Прикладная математика и механика,
1973, т. 37, вып. 4.
59. Маркеев А. П. Исследование устойчивости лагранжевых решений
плоской эллиптической задачи трех тел. Препринт ИПМ, № 1, 1973,
деп. № 5828-73.
€0. МаркеевА. П. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой систе-
мы с двумя степенями свободы.— Прикладная математика и механика,
1969' т. 33, вып. 3, с. 562.
61. М а р к е е в А. П. О методе точечных отображений и некоторых его
приложениях в задаче трех тел. Препринт ИПМ, № 49, 1973, деп.
№ 6727-73.
62. М а р к е е в А. П. Об устойчивости треугольных точек либрации в
эллиптической ограниченной задаче трех тел.— Прикладная математика
и механика, 1970, т. 34, вып. 2, с. 227.

ЛИТЕРАТУРА 307"
63. М а р к е е в А. П. Об устойчивости треугольных лагранжевых решений
пространственной круговой ограниченной задачи трех тел.— Астрономи-
ческий журнал, 1971, т. 48, вып. 4, с. 862.
64. М а р к е е в А. П. Об устойчивости лагранжевых решений пространст-
венной эллиптической задачи трех тел.— Celestial Mechanics, 1973, v. 8r
pp. 307—322.
65. МаркеевА. П., Сокольский А. Г. Численное исследование-
устойчивости лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи
трех тел.— Прикладная математика и механика, 1974, т. 38, вып. 1, с. 49.
66. М а р к е е в А. П., Об устойчивости треугольных точек либрации в.
системе Солнце—Юпитер.—Астрономический журнал, 1974, т. 51, № 3_
67. МаркеевА. П. О «диффузии Арнольда» в многомерной задаче об-
устойчивости треугольных точек либрации. Препринт ИПМ АН СССР,
№ 109, 1974.
68. МаркеевА. П., Сокольский А. Г. Исследование периодиче-
ских движений, близких лагранжевым решениям ограниченной задачи
трех тел. Препринт ИПМ АН СССР, № НО, 1975.
69. МаркеевА. П., Сокольский А. Г. Об устойчивости периоди-
ческих движений, близких лагранжевым решениям.— Астрономический
журнал, 1977, т. 54, № 2.
70. МаркеевА. П., Сокольский А. Г. Некоторые вычислитель-
ные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем. Препринт ИПМ
АН СССР, № 31, 1976.
71. М е р м а н Г. А. О неустойчивости периодического решения канониче-
ской системы с одной степенью свободы в случае главного резонанса.
В кн.: «Проблемы движения искусственных небесных тел». М.: Изд-во-
АН СССР, 1963, с. 18.
72. М о з е р Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.
73. М о з е р Ю. О кривых, инвариантных при отображениях кольца,
сохраняющих площадь. Сборник переводов «Математика», 1962, т. 6,
вып. 5, с. 51—67.
74. МустахишевК. М. К вопросу об устойчивости гамильтоновых:
систем.— Известия Академии наук Каз.ССР, Серия физ.-матем., 1967,
№ 1, с. 63.
75. Н е й м а р к Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных
колебаний. М.: Наука, 1972.
76. Н е й м а р к Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных
колебаний.— Известия вузов, Радиофизика, 1958, т. 1, №№ 1, 2, 5, 6.
77. НеймаркЮ. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных
колебаний. Труды Международного симпозиума по нелинейным колеба-
ниям, том 2, Киев, 1963.
78. Нехорошее Н. Н. О поведении гамильтоновых систем, близких
к интегрируемым. Кандидатская диссертация, Московский государствен-
ный университет, 1972.
79. НехорошевН. Н. Устойчивые оценки снизу для гладких отобра-
жений и для градиентов гладких функций.— Математический сборник,
1973, т. 90, вып. 3.
80. Нехорошее Н. Н. Метод последовательных канонических замен
переменных. Добавление к книге Ю. Мозера «Лекции о гамильтоновых
системах». М.: Мир, 1973, с. 150—164.
81. Нехорошее Н. Н. О поведении гамильтоновых систем, близких
к интегрируемым.— Функциональный анализ, 1971, т. 5, вып. 4, с. 82.
82. Пуанкаре А, Новые методы небесной механики. Избр. тр., т. 1,
2. М.: Наука, 1971, 1972.
83. Рябов Ю. А. О периодических решениях вблизи треугольных точек
либрации ограниченной плоской круговой задачи трех тел.— Астрономи-
ческий журнал, 1952, т. 29, № 5, с. 582—596.

308 ЛИТЕРАТУРА
84. С м а р т У. Небесная механика. М.: Мир, 1965.
85. Сокольский А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой
системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка.—
Прикладная математика и механика, 1977, т. 41, вып. 1, с. 24—33.
86. С о к о л ь с к и й А. Г. Исследование устойчивости лагранжевых ре-
шений плоской ограниченной задачи трех тел. Дипломная работа,
Московский физико-технический институт, 1973.
•87. Сокольский А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой
системы с двумя степенями свободы в случае равных частот.— Приклад-
ная математика и механика, 1974, т. 38, вып. 5, с. 791—799.
88. Сокольский А. Г. Об устойчивости лагранжевых решений ограни-
ченной задачи трех тел при критическом отношении масс.— Прикладная
математика и механика, 1975, т. 39, вып. 2, с. 366—369.
89. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука,
1968.
90. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: Гостехиздат,
1937.
91. Уиттекер Э., В а т с о н Д. Курс современного анализа, т. 2.
М.: Физматгиз, 1963.
¦92. X а з и н Л. Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при наличии
резонансов.— Прикладная математика и механика, 1971, т. 35, вып. 3.
•93. X а п а е в М. М. Обобщение второго метода Ляпунова и исследование
некоторых резонансных задач.— Доклады Академии наук СССР, 1970,
т. 193, № 1, с. 46—49.
94. Холшевников К. В. Преобразования Ли в небесной механике.
В кн.: «Астрономия и геодезия». Томск: Изд-во Томского университета,
1973.
¦95. Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.
96. Ш а р л ь е К. Небесная механика. М.: Наука, 1966.
97. Якубович В. А., СтаржинскийВ. М. Линейные дифферен-
циальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложе-
ния. М.: Наука, 1972.
98. AlanJ., Kenneth H. Canonical forms for symplectic and hamiltonian
matrices.— Celestial Mechanics, 1974, v. 9, № 2, pp. 213—238.
99. AlfriendK. Т., RandR. M. The stability of the triangular points
in the elliptic restricted problem of three bodies.— AIAA Journal, 1969,
v. 7, № 6.
100. Anonymous. New natural satellites of the Earth.— Sky and Tele-
scope, 1961, July, p. 10.
101. Anonymous. More about the earth's cloud satellites. — Sky and
Telescope, 1961, August, p. 63.
102. Arnold V. I., Avez A. Ergodic problems of classical mechanics.
New York, 1968.
103. Bennett A. Characteristic exponents of the five equlibrium solution
in the elliptically restricted problem.— Icarus, 1965, v. 4, № 2.
104. Bennett A. Analitical determination of characteristic exponents.—
AIAA Paper, 1965, № 65.
105. Birchoff G. D. Surface transformations and their dynamical appli-
cation.— Acta Mathematica, 1922, v. 43, p. 1.
106. Breakwell J., Pringl R. Progress in Astronautics and Aero-
nautics: Methods in Astrodynamics and Celestial Mechanics. New York;
Acad. Press, 1966, v. 17, pp. 55—73.
107. В r e a k w e 11 J. V., К a m e 1 A. A., R a t h e r M. J. Station-keeping
for a translunar communication station. AAS/AIAA Astrodynamics
Conference Vali, Colorado, July, 16—18, 1973.
108. Campbell J. A., JeffrisW. H. Equivalence of the perturbation
theories ofcHori and Deprit.— Celestial Mechanics, 1970, v. 2.

ЛИТЕРАТУРА 309
109. Cher гу Т. M.,On the transformation of Hamiltonian systems of linear
differential equations with constant or periodic coefficients.— Proc.
London Math. Soc, Ser. 2, 1927, v. 26, pt. 3, p. 211.
110. D a n b у J. M. A. Stability of the triangular points in the elliptic rest-
ricted problem of three bodies — Astr. J., 1964, v. 69, № 2, p. 165.
111. D e p r i t A., D e p r i t-B a r t h о 1 о m e. Stability of the triangular
Lagrangian points.— Astron. Journ., 1967, v. 72, № 2, p. 173.
112. DepritA., HenrardJ., Rom A. Trojan Orbits, pt. 2. Birkhoff's
normalization.— Icarus, 1967, v. 6, pp. 381—406.
113. DepritA. Canonical transformations depending on a small parameter:—
Celestial Mechanics, 1969, v. 1, № 1.
114. DepritA., DelieA. Trojan orbits. I. d'Alembert series at' L,.—
Icarus, 1965, v. 4, № 3, pp. 242—266.
115. DepritA., Henrard J. A manifold of periodic orbits. — Advan-
ces in Astronomy and Astrophysics, New York; London: Academic Press,
1968, v. 3, pp. 1—124.
116. Deprit A., Henrard J., Rom A. Trojan orbits. II. Birkhoff's
normalization.— Icarus, 1967, v. 6, № 3, pp. 381—406.
117. Deprit A., HenrardJ., Price J., RomA. Birkhoff's normali-
zation.— Celest. Mech., 1969, v. 1, № 2, pp. 222—251.
118. Deprit A.,Price J. F. The computation of characteristic exponents
in the planar restricted problem of three bodies;— Astron. J., 1965, v. 70,
№ 10, pp. 836—846.
119. DepritA., HenrardJ. Natural families of periodic orbits.— Ast-
ron. J., 1967, v. 72, № 2, pp. 158—172.
120. Deprit A., Palmore J. Analitical continuation and firstorder
stability of the short-period orbits at L, in Sun-Jupiter system.— Astron.
J., 1966, v. 71, № 2, pp. 94-98.
121. Deprit A., R a b e E., Periodic Trojan orbit for the resonance 1/12. —
Astron. J., 1969, v. 74, № 2, pp. 317—320.
122. DepritA. Limiting orbits around the equilateral centers of libration.
— Astron. J., 1966, v. 71, № 2, pp. 77—87.
123. Deprit A., Henrard J. The Trojan manifold-survey and conjec-
tures, in book: G. E. O. Giacaglia (ed.). Periodic orbits, stability
and resonances, 1970, Reidel Rublishing Company, pp. 1—18.
124. E u 1 e r L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentum.—
NoviComm. Acad. Sci. Imp. Petrop., 1767, t. 11, pp. 144—151.
125. E u 1 e r E. A., Y u E. Y. Optimal station-keeping at collinear points.—
AIAA Paper, 1969, № 906, pp. 1—7.
126. FarquharR. W. Station-keeping in the vicinity of collinear libration
points with an application to a lunar communications problem. AAS
Preprint 66-132, July, 1966.
127. Farquhar R. W. Lunar communications with libration-point satel-
lites.— Journal of Spacecraft and Rockets, 1967, v. 4, № 10, pp. 1383—
1384.
128. Farquhar R. W. The control and use of libration-point satellites.
Stanford University, Department of Aeronautics and Astronautics,
SUDAAR, № 350, July, 1968.
129. Farquh'ar R. W. Future missions for libration-point satellites.—
A Publication of the American Institute of Aeronautics and Astronautics,
1969, v. 7, № 5, pp. 52—56.
130. Farquhar R. W. Limit-cycle analysis of a controlled libration-point
satellite.— Journal of the Astronautical Sciences, 1970, v. 17, № 5,
pp. 267—291.
131. Farquhar R. W. A halo-orbit lunar station.—Astronautics and
Aeronautics, 1972, v. 10, № 6, pp. 59—63.

310 ЛИТЕРАТУРА
132. Farquhar R. W., К a m e 1 A. A. Quasi-periodic orbits about the
translunar libration point.— AIAA Paper, 1972, № 72—935, pp. 1—11.
133. Farquhar R. W., К a m e 1 A. A. Quasi-periodic orbits about the
translunar libration point.— Celestial Mechanics, 1973, v. 7, № 4.
134. Gascheau G. Examen d'une classe d'eguations differentielles et
application a un cas particulier du probleme des trois corps.— Comptes
Rendus, 1843, v. 16, p. 393.
135. Gerding R. B. Rendezvous equations in the vicinity of the second
libration point.-^ Journal of Spacecraft and Rockets, 1971, т. 8, № 3,
pp. 292-294.
136. Giacaglia G. E. O. Characteristic Exponents at ?4 and Lb in the
Elliptic Restricted Problem of Three Bodies.— Celestial Mechanics, 1971,
v. 4, № 3/4.
137. Giacaglia G. E. O. Perturbation methods in non-linear systems.—
Applied Mathematical Science,' v. 8, New York: Springer, 1972.
138. G 1 i m m J. Formal stability of Hamiltonian systems.— Comm. Pure
appl. math., 1964, y. 17, № 4, pp. 509—526.
139. GrobnerW. Die Lie-reihen und ihre anwendungen. Berlin: Deutscher
Verlag der Wissenshaften, 1967.
140. Henrard J. Periodic orbits emanating from a resonaut equilibrium.—
Celest. Mech., 1970, v. 1, № 3/4, pp. 437—466.
141. Heppenheimer T. A. Optimal controls for out-of-plane motion
about the translunar libration points.— Journal of spacecraft and Rockets,
1970, v. 7, № 9, pp. 1088-1092.
142. H о r i G. I. Theory of general perturbations with unspecified canonical
variables.— Astron. Soc, Japan, 1966, v. 18, № 4, pp. 287—296.
143. К a m e 1 A. A. Expansion formulae in canonical transformations depen-
ding on a small parameter. — Celestial Mechanics, 1969, v. 1, № 2,
pp. 190—199.
144. К a m e 1 A. A. Perturbation theory based on Lie transforms and its ap-
plication to the stability of motion near sun-perturbed Earth-Moon trian-
gular libration points. Nasa, CR 1622, 1970.
145. KampenE. R.,WintnerA. On canonical transformations of Ha-
miltonian systems.— Amer. J. Math., 1936, v. 58, № 4, p. 851.
146. KolenkiewiczR., Carpenter L. Stable periodic orbits about
the Sun perturbed Earth-Moon traineular points.— AIAA Journal, 1968,
v. 6, № 7.
147. К u n i t s у n A. L. On the stability of laplace's solutions of the unrest-
ricted three body problem.— Celestial Mechanics, 1974, v. 9, № 4, pp. 471—
481.
148. Lagrange J. L. Eassais sur le probleme des trois corps. Paris, 1772.
149. L a n с о s Cf. С Eine neue transformation theorie linearer kanonischer
gleichungen.— Ann. Physik, 1934, 5 Folge, Bd. 20, S. 653.
150. LanzanoP. Contributions to the elliptic restricted three body problem. —
Icarus, 1967, v. 6, № 1.
151. Levi-CivitaT. Sorpa alcuni criteri di instabilita.— Ann. mat. pura
et appl., 1901, ser. 3, v. 5, p. 221.
152. LittlewoodJ. E. On the equilateral configuration in the restricted,
problem of three bodies.— Proc. London Math. Soc, 1959, v. 3, № 9,
pp. 343-372.
153. LittlewoodJ. E. The Lagrange configuration in celestial mechanics.—
Proc. London Math. Soc, 1959, v. 3, № 9, p. 525—543.
154. Louterman G., Roels J. Normalisation, des systemes lineaires
canoniques et appication au probleme restrint des trois corps. — Celestial
Mechanics, 1970, v. 3, № 1, p. 129.
155. M e r s m a n W. A. A new algorithm for the Lie transformation. — Celes-
tial Mechanics, 1970, v. 3, № 1.

ЛИТЕРАТУРА 31j
-156. Mersman W. A. Explicit recursive algorithms for the construction
of equivalent canonical transformations. — Celestial Mechanics 1971
v. 3, № 3. '
157. M о z e r J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian system —
Comm. Pure Appl. Math., 1958, v. 11, № 1, pp. 81—114.
158. M о s e r J. Stabilitatsverhalten kanonischer Differential gleichungs sys-
teme.— Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys., 1955 KL Ha
№ 6, SS. 87—120.
159. Moser J. On the elimination of the irrationality condition and Birk-
hoff's concept of complete stability.— Boletin Soc. Mat., Mexicane, 1960,
pp. 167-175.
160. Nayfeh A. H., Kamel A. A. Stability of the triangular points
in the elliptic restricted problem of three bodies.— AIAA Journal, 1970,
v. 8, № 2.
161. Nayfeh A. H. Characteristic exponents for the triangular points in
the elliptic restricted problem of three bodies.— AIAA Journal, 1970,
v. 8, № 10. ¦ ' '
162. Nicholson F. T. Effect of solar perturbation on motion near
collinear Farth-Moon libration points.— AIAA Journal, 1967, v. 5, № 12.
163. Plummer H. C. On periodic orbits in the neighborhood of centres
of libration.— Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1901, v. 62, pp. 6—17.
164. Pontecoulant G. de. Theorie analytique du systeme du monde.
Paris: vol. 4, Bachelier, 1846.
165. R a b e E. Determination and survey of periodic Trojan orbits in the rest-
ricted problem of three bodies.— Astron. J., 1961, v. 66, № 9, pp. 500—
513.
166. R a b e E. Additional periodic Trojan orbits and further studies of their
stability features.— Astron. J., 1962, v. 67, № 5.
167. RabeE., SchanzleA. Periodic librations about the triangular
solutions of the restricted earth-moon problem and their orbital stabiliti-
es.— Astron. J., 1962, v. 67, № 10, pp. 732—739.
168. RaithelW. The role of the cis-lunar libration point in lunar operati-
ons. Proceedings of 3d Space Congress, Canaveral Council of Technical
Societies, March, 1966.
169. R о u t h E. J. Proceedings of the London Mathematical Society, 1875,
vol. 6.
170. S с h e с h t e r H. B. Three-dimensional nonlinear stability analysis
of the Sun-perturbed Earth-Moon equilateral points.— AIAA Journal,
1968, vol. 6, № 7.
171. S с h n i a d H. The equivalence of von Zeipel mappings and Lie trans-
forms.— Celestial Mechanics, 1970, v. 2, № 1, pp. 114—120.
172. Schmidt D. S. Periodic solutions near a resonant equilibrium of a
hamilotonian system.— Celest. Mech., 1974, v. 9, № 1, pp. 81—103.
173. StegL, Vries J. P. de. Earth-Moon libration points: theory exis-
tence and applications.— Space Science Reviews, 1966, v. 5, № 2, pp. 210—
233.
174. S t e g L., V r i e s J. P. de. Earth-Moon libration points. Theory exis-
tence and applications.— Space Science Reviews, 1966, v. 5, № 2,
pp. 210-233.
175. SzebehelyV. Theory of orbits. The restricted problem of three bo-
dies. New York; London: Academic Press, 1967.
176. TapleyB. D., LewallenJ. M. Solar influence on satellite motion
near the stable Earth-Moon libration points.— AIAA J., 1964, v. 2, № 4.
177. TapleyB. D.,Schultz В. Е. Some additional results on solar inf-
luenced libration point Motion.— AIAA Paper, 1965, № 65—88.
178. Vries J, P. de. Motion of a particle in the vicinity of a triangular lib-
ration point in the Earth-Moon systeme Space Math. Part 2. Providence,

312 ЛИТЕРАТУРА
R. I. Amer. Math. Soc., 1966, pp. 31—69. (Русский перевод: Экспресс-
информация «Астронавтика и ракетодинамика», 1968, № 24, с. 12—48.)
179. Williamson J. On algebraic problem concerning the normal form
of linear dinamical systems.— Amer. J. Math., 1936, v. 58, № 1, p. 141.
180. Williamson J. On the normal forms of linear canonical transforma-
tions in dynamics.— Amer. J. Math., 1937, y. 59, № 3, p. 599.
181. Williamson J. An algebraic problem involving the invojutory in-
tegrals of linear dynamical systems.— Amer. J. Math., 1940, v. 62, № 4,
p. 881.
182. Williamson J. The exponential representation of canonical mat-
rices.— Amer. J. Math., 1939, v. 61, № 4, p. 897.
183. WintnerA. On the Linear conservative dynamical systems.— Ann.
Mat. pura. Appl., Ser. 4, 1935, t. 13, p. 105.
184. ZhuravlevS. G. Stability of the libration points of a rotating tria-
xial ellipsoid.— Celestial Mechanics, 1972, v. 6, № 3.
185. ZhuravlevS. G. About stability of libration points of a rotating
triaxial ellipsoid in a degenerate case.— Celestial Mechanics, 1973, v. 8,
№ 1.

А. П. Маркеев
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
В НЕБЕСНОЙ
МЕХАНИКЕ
И КОСМОДИНАМИКЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение » , 9
Глава 1. Точки либрации ограниченной задачи трех тел .... 17
§ 1. Уравнения движения ограниченной задачи трех тел .... 17
§ 2. Точки либрации — частные решения ограниченной задачи
трех тел 20
§ 3. Об устойчивости точек либрации 24
Глава 2. Гамильтоновы системы линейных дифференциальных
уравнений 30
§ 1. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоян-
ными коэффициентами 30
§ 2. Нормальная ферма автономной системы линейных гамильто-
новых уравнений в случае простых чисто мнимых корней
характеристического уравнения 32
§ 3. Общие сведения о линейных системах с периодическими коэф-
фициентами . . 35
§ 4. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодиче-
скими коэффициентами 37
§ 5. Нормализация гамильтоновой системы линейных уравнений
с периодическими коэффициентами 39
§ 6. Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы
системы, содержащие малый параметр 42
§ 7. Нахождение областей параметрического резонанса в первом
приближении по малому параметру 46
Глава 3. Устойчивость положений равновесия гамильтоновых си-
стем с одной степенью свободы 52
§ 1. Преобразование Биркгофа 52
§ 2. Теорема Мозера об инвариантных кривых 57
§ 3. Теорема Арнольда—Мозера об устойчивости гамильтоновой
системы с одной степенью свободы в общем эллиптическом
случае 58
§ 4. Линейная нормализация 59
§ 5. Неустойчивость в случае целого числа ЗК 62
§ 6. Исследование устойчивости в случае целого числа 4А, . . . 64
§ 7. Устойчивость при резонансах произвольного порядка ... 67
Глава 4. Устойчивость автономной гамильтоновой системы с дву-
мя степенями свободы 69
§ 1. Постановка задачи 69
§ 2. Исследование устойчивости при резонансе щ = 2со2 .... 70
§ 3. Устойчивость при резонансе а>! = За>2 73

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Об устойчивости в случае равных частот 77
§ 5. Исследование устойчивости при cwo>l + сцй^соа + сО2<в^ =0 85
Глава 5. Об устойчивости многомерных гамильтоновых систем 87
§ 1. Устойчивость многомерных гамильтоновых систем для боль-
шинства начальных условий. Результаты Арнольда .... 87
§ 2. Формальная устойчивость. Теорема Брюно 90
§ 3 Оценка скорости диффузии Арнольда. Результаты Нехорошева 94
§ 4. Неавтономная система с двумя степенями свободы. Случай
резонанса третьего порядка 97
§ 5. Об устойчивости неавтономной системы с двумя степенями
свободы при резонансе четвертого порядка 102
Глава 6. Метод точечных отображений в- задачах нормализации
и устойчивости нелинейных гамильтоновых систем 106
§ 1. Необходимые понятия и определения 106
§ 2. Перенесение теоремы Четаева на точечные отображения . . . 108
§ 3. Разложение отображения в ряд 109
§ 4. Нормализация точечного отображения в окрестности непод-
вижной' точки 112
§ 5. Получение функции Гамильтона по отображению 115
§ 6. Об устойчивости неподвижных точек отображения в случае
резонанса 117
Глава 7. Устойчивость точек либрации в плоской круговой задаче
трех тел 122
§ 1. Функция Гамильтона задачи трех тел 122
§ 2. Краткая предыстория решения задачи об устойчивости лаг-
ранжевых решений 123
§ 3. Гамильтониан возмущенного движения 125
§ 4. Решение задачи об устойчивости точек либрации для значений
параметра \и. из области устойчивости в первом приближении 126
§ 5. Об устойчивости точек либрации при критическом отношении
масс 130
Глава 8. Устойчивость точек либрации в пространственной круго-
вой задаче трех тел 132
§ 1. Нормальная форма функции Гамильтона 132
§ 2. Устойчивость для большинства начальных условий 134
§ 3. Формальная устойчивость 135
§ 4. Формальная устойчивость точек либрации при критическом
отношении масс 143
§ 5. Выводы 145
Глава 9. Устойчивость точек либрации в плоской эллиптической
задаче трех тел 147
§ 1. Краткая история рассматриваемой задачи 147
§ 2. Линейная нормализация с точностью до первой степени экс-
центриситета 149
§ 3. Резонансные кривые • • • 155
§ 4. Резонансы третьего порядка 157
§ 5. Об устойчивости при резонансах четвертого порядка .... 159
§ 6. Исследование устойчивости при нерезонансных значениях
параметров 160
§ 7. Численное исследование при произвольных е и \1 163
§ 8. Обсуждение полученных результатов 169

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава 10. Об устойчивости точек либрации в пространственной
эллиптической задаче трех тел 173
§ 1. Тождественный резонанс 173
§ 2. Алгоритм линейной нормализации с точностью до второй
степени эксцентриситета 174
§ 3. Нормальная форма функции Гамильтона 176
§ 4. Исследование устойчивости системы с функцией Гамиль-
тона C.4) 178
§ 5. Устойчивость точек либрации при малых е 180
§ 6. Неустойчивость точек либрации при малых |х и е 181
§ 7. Результаты численного исследования при произвольных е и [X.
Устойчивость лагранжевых решений в системе Солнце—
Юпитер 182
Глава 11. Основы метода Депри—Хори в теории возмущений
гамильтоновых систем 186
§ 1. Введение 186
§ 2. Ряды Ли как каноническое преобразование 188
§ 3. О теории возмущений Депри 191
§ 4. Упрощение алгоритма Депри 196
§ 5. Формальная техника применения преобразования Ли ... 199
§ 6. О теории возмущений, основанной на рядах Ли 202
Глава 12. Периодические движения, близкие к треугольным точ-
кам либрации круговой ограниченной задачи трех тел 205
§ 1. Введение 205
§ 2. Три типа периодических движений 206
§ 3. Схема исследования устойчивости 209
§ 4. Орбиты первого приближения 210
§ 5. Построение периодических движений 212
§ 6. Гамильтониан возмущенного движения 215
§ 7. Резонансы 217
§ 8. Линейная нормализация. Параметрический резонанс . . . 221
§ 9. Резонансные кривые третьего и четвертого порядков . . . 227
§ 10. Нелинейная нормализация. Условия устойчивости 228
§ 11. Результаты расчетов 231
Глава 13. О движении космического аппарата вблизи треугольных
точек либрации системы Земля — Луна с учетом солнечных возму-
щений 237
§ 1. Влияние солнечных возмущений на движение космического
аппарата, помещенного в точку либрации 237
§ 2. О периодических орбитах вблизи L4- Гамильтониан движения
КА в окрестности ?4 251
§ 3. О методе исследования. Предварительное преобразование
функции Гамильтона 256
§ 4. Долгопериодическая часть гамильтониана и исключение не-
зависимой переменной 259
§ 5. Периодические орбиты и их устойчивость 261
Глава 14. Пассивное движение космического аппарата в окрестно-
сти прямолинейной точки либрации ?2 системы Земля—Луна . . 265
§ 1. Введение 265
§ 2. О траекториях линейной задачи 266

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Уравнения движения К А вблизи 1^ с учетом солнечных возму-
щений 269
3.1. Постановка задачи B69). 3.2. Вращающаяся система координат B70).
3.3. Безразмерные координаты B71). 3.4. Относительная система координат
B72). 3.5. Разложение функции Гамильтона B72). 3.6. Уравнения движения
Луны B74). 3.7. «Подвижная точка либрации» B75).
§ 4. Некоторые оценки 277
4.1. Оценки ускорений, действующих на КА B77). 4.2. Вынужденные коле-
бания КА вблизи «подвижной точки либрации», обусловленные гравита-
ционными солнечными возмущениями B78). 4.3. Вынужденные колебания
КА, обусловленные силами светового давления B80).
§ 5. Эллиптическая задача ..,,.. 281
5.1. Предварительное преобразование гамильтониана B81). 5.2. Нормали-
зация квадратичной части гамильтониана B84). 5.3. Исключение членов
третьей степени относительно координат и импульсов B87). 5.4. Норма-
лизация совокупности членов четвертого порядка (.290). 5.S. Общее реше-
ние нормализованной системы. Условно-периодические движения B92).
§ 6. Оценка точности построенной теории движения КА .... 293
6.1. Общие замечания B93). 6.2. Результаты численных экспериментов в
эллиптической задаче B94). 6.3. Ошибки теории в случае учета солнечных
возмущений B96).
Д ополнение. Точки либрации в окрестности вращающегося гра-
витирующего эллипсоида 298
§ 1. Уравнения движения 298
§ 2. Точки либрации 300
§ 3. Линейный анализ устойчивости точек либрации 301
§ 4. Результаты нелинейного исследования устойчивости 302
Литература > . . . 304