Текст
Повторим математику
rfyiniUDWdlUPW
wndouigojj
ШУВАЛОВА Э. 3., АГАФОНОВ Б. Г.»
БОГАТЫРЕВ Г. И.
ПОВТОРИМ МАТЕМАТИКУ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Рекомендовано Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для поступающих в вузы
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1974
Scan AAW
512/514
Ш 95
УДК 512/514(075.4)
Шувалова Э, 3. и др.
Ш 95 Повторим математику. Изд. 2-е, доп. Учеб, посо-
бие для поступающих в вузы. М., «Высш, школа»,
1974.
519 с. с илл.
Перед загл. авт.: Шувалова Э. 3., Агафонов Б. Г., Бога-
тырев Г. И.
Учебное пособие рассчитано на лиц, уже имеющих среднее образо-
вание и готовящихся к поступлению в технические вузы либо самостоя-
тельно, либо в системе подготовительных курсов.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством при-
меров и задач средней и повышенной трудности. По возможности эти за-
дачи и методы их решений систематизированы.
Предназначается для поступающих во втузы.
60601—435 299_74 512/514
001(01) —74
Рецензент
канд. физ.-матем. наук доц. Р. С. Гутер
© — Издательство ^Высшая школа», 1974 г<
ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во второе издание включены новые главы XVI, XVII, XVIII
и XIX, написанные Э. 3. Шуваловой. В этих главах в несколько
нетрадиционной форме дается полное изложение курса стереомет-
рии в объеме программы средней школы. Глава XIX посвящена
обзору наиболее часто встречающихся задач по стереометрии и
методам их решений.
Для удобства пользования книгой в конце ее дается предмет-
ный указатель.
Кроме того, в издание внесены поправки редакционного харак-
тера и исправлены опечатки. Часть из этих исправлений вызвана
замечаниями читателей. Всем им мы выражаем глубокую благодар-
ность.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Это пособие предназначено для тех, кто уже прошел курс эле-
ментарной математики в объеме программы средней школы и хочет
повторить алгебру и тригонометрию.
Очевидно, что изложение такого повторительного курса должно
быть несколько иным, чем в учебниках и учебных пособиях, напи-
санных для средней школы. Это и имели в виду авторы, когда до-
пускали ссылки в начальных главах на последующее. Так, напри-
мер, в главе I использовалась формула суммы членов бесконечно
1* 3
убывающей геометрической прогрессии, данной лишь в глав» V, в
главе IX использовались формулы главы X и т. д.
Помимо материала, входящего в обязательную программу при-
емных экзаменов, даны и некоторые дополнительные сведения.
В пособии они приведены мелким шрифтом.
Главы I и II написаны Г. И. Богатыревым, главы III, IV, X,
XI, XIV —Б. Г. Агафоновым, главы V—IX, XII, XIII, XV —
Э. 3. Шуваловой.
Авторы выражают глубокую благодарность Р. С. Гутеру, очень
внимательно прочитавшему рукопись и давшему много ценных за-
мечаний, которые были учтены в процессе работы над пособием.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим некоторые важные математические понятия.
1. Доказательство от противного. Пусть А — условие теоремы,
т. е. то, что предполагается данным, а В—ее заключение, т. е. то,
что требуется доказать. Тогда теорема схематически записывается
в виде А—*В и читается так: «из А следует В».
Метод доказательства от противного теоремы А — В состоит в
следующем. Предполагается противное (противоречивое) искомо-
му В положение В. Если на основании сделанного предположения
В и условия А удается получить некоторое неверное утверждение,
то положение В не имеет места, т. е. справедливо В и тем самым
теорема А —*В доказана.
2. Необходимость и достаточность. Пусть В—какое-либо по-
ложение, А—некоторое условие.
А называется необходимым условием для В, если из В выте-
кает А : В—> А.
А называется достаточным условием для В, если из А сле-
дует В : Л—>В.
Всякую теорему можно сформулировать с помощью терминов
«необходимо», «достаточно».
А называется необходимым и достаточным условием для В,
если В—Ми одновременно Л—>В.
Термин «необходимо и достаточно» можно заменить выраже-
ниями «если и только если», «тогда и только тогда».
Поясним понятия «необходимости» и «достаточности» на при-
мерах.
Пример 1. Четность числа есть необходимый признак делимо-
сти на 4.
Здесь А — четность числа, В—его делимость на 4. Очевидно,
что В—► Л. Однако из А не следует В (так, четное число 6 не де-
лится на 4). Поэтому четность числа—необходимое, но не достаточ-
ное условие делимости на 4.
Пример 2. Достаточным условием делимости на 4 (положение В)
является следующий признак: число оканчивается двумя нулями
(условие Л).
В самом деле, из А следует В (см. гл. I, § 1). Однако из В не
вытекает А (так, число 24 делится на 4, но не оканчивается двумя
нулями). Поэтому условие А только достаточное; необходимым для В
оно не является.
5
Пример 3. Для делимости на 3 (В) необходимо и достаточно,
чтобы сумма цифр числа делилась на 3 (Д).
В самом деле, здесь справедливы два утверждения: если число
делится на 3 (В), то и сумма его цифр делится на 3 (Д), т. е.
В—>Д (необходимость), и обратно—если сумма цифр числа делит-
ся на 3 (А), то и само число делится на 3 (В), т. е. А—+В (до-
статочность).
Доказательство приведёно в гл. I, § 1.
3. Метод математической индукции. Пусть некоторое утвержде-
ние зависит определенным образом от натурального числа п, кото-
рое принимает все значения, начиная от данного р (р—натураль-
ное число или р = 0).
Принимается следующий принцип. Если: а) утверждение верно
для п = р и б) из справедливости этого утверждения для какого-
нибудь натурального числа n — k вытекает справедливость его и для
следующего числа п = k 4- 1, то утверждение справедливо для любого
натурального п^р.
На этом принципе основан метод математической индукции.
Чтобы доказать методом математической индукции, что некото-
рое утверждение верно для любого натурального п^р, надо:
а) проверить справедливость утверждения для п = р и б) допустив
справедливость этого утверждения для n = k, доказать справедли-
вость его и для n = k-\-\. Только при одновременном выполнении
а) и б) заключаем, что утверждение верно для любого п р.
Часто наименьшим числом р, для которого верно утверждение,
является число р = 1.
ГЛАВА I
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Числа 1, 2, 3, появившиеся в результате счета, называются
натуральными числами. Совокупность чисел 0, ±1, ±2, ±3, ...
образует множество всех целых чисел.
Над целыми числами устанавливаются действия сложения
и умножения, которые обладают следующими основными
свойствами.
1. Переместительное свойство сложения: а-\-Ь = Ь-\-а*.
2. Сочетательное свойство сложения: (a-\-b)-\-c = a-\-(b-\-c).
3. Переместительное свойство умножения: a-b=b-a.
4. Сочетательное свойство умножения: (a-b)-c = a-(b-c).
5. Распределительное свойство, связывающее сложение и умно-
жение:
(а + Ь) • с = а • с 4- b • с.
Основные свойства (законы арифметики) остаются справедли-
выми для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.
Полагают а-\-0 = а, а-0 = 0 при всех а.
Вычитание и деление определяются как действия, об-
ратные сложению и умножению.
Число с называется разностью чисел а и Ь,
с = а—Ь,
если Ь-\-с = а. Вычитание всегда выполнимой единственно, т. е. для
любых а и b существует и притом единственная разность с.
Число q называется частным от деления а на Ь,
< а
q = a:b или ? =
если b-q = a. Деление не всегда выполнимо в множестве целых
чисел.
Невозможно деление на нуль. Если а =£0, аЬ = О, то, очевидно,
нет такого q, для которого b-q = a. Если а = & = 0, то q—любое.
Поэтому деление на нуль не определено.
* Буквы a, bt ct ... обозначают целые числа.
7
Если для чисел а и b существует частное д, т. е. bq = a, то гово-
рят, что а делится на Ъ (или b делит а). При этом а называется
кратным числа b (или делимым), а b—делителем числа а. Число
называется четным, если оно делится на 2, и нечетным в противном
случае. Нуль — че'Гное число.
Для любых чисел а и b (Ь > 0) справедливо следующее утверж-
дение: число а всегда можно представить и притом единственным
образом в виде
a = bq-\-r, где 0 г < &.
(1)
Очевидно, что всякое целое число а представимо в виде (1). По-
кажем единственность такого представления.
Допустим, что a = bq-\-r и также a = bqx-\-г\, гдеО^г<Ьи
0 < Ь. Тогда
0 = Ь(<7х—<7) + (Г1—г),
и, следовательно, число i\—г делится на Ь. Так как О^г<Ь и
то это возможно только при гг—г = 0, т. е. при г1 = г.
Отсюда вытекает, что и qx = q> Утверждение доказано.
Представление числа а в виде (1) называется делением чис-
ла а на число b (Ь > 0) с остатком. При этом q называется непол-
ным частным, а г—остатком от деления а на Ь.
Для натуральных чисел вводятся понятия простого и составного
числа.
Определение. Натуральное число, не равное единице, называет-
ся простым, если оно делится только на себя и на единицу. Нату-
ральное число, отличное от единицы и не являющееся простым,
называется составным.
Единица—единственное число, которое не является ни про-
стым, ни составным.
Доказано, что всякое натуральное число, большее единицы,
можно представить в виде произведения простых сомножителей и
притом единственным способом (произведения, отличающиеся
только порядком сомножителей, различными не считаются).
Объединяя равные сомножители, получим
а = р^р^ ... (2)
где р2, ..., рп—различные простые делители числа а, а ар
а2, . . ап—число их повторений в разложении числа а.
Представление (2) называется каноническим разложением на-
турального числа на простые сомножители.
Например, 72 = 23-32, 17 =174
Если а = р^р%*.. .р^п, то любой натуральный делитель а имеет вид
d = p^pfy.. (3)
где 0 0 гС Р2 «2, ..., 0 Р„ а„ (равенство pft = 0 озна-
чает, что соответствующее основание ph не содержится в разложении
числа d\.
8
В самом деле, пусть d делит а. Тогда a = dq. У чисел d и q мо-
гут оказаться равными их простые делители. Поэтому все простые
делители числа d входят в каноническое разложение числа а с по-
казателями, не меньшими тех, с которыми они входят в каноническое
разложение d. Следовательно, d имеет вид (3), что и утверждалось.
Обратно, всякое число вида (3), очевидно, делит а.
Пример 1. Показать, что число различных положительных делите-
лей числа а = р^р^.. .р%» (включая 1 и а) равно произведению
(at+l).(a2 + l). ••(«„ +1).
Решение. Каждый делитель числа а имеет вид (3), где
принимает o^-j-l значений: 0, 1, 2, ...» а5; 02 независимо от
принимает а2+1 значений: 0, 1, 2, ...» а2 и т. д. Каждой такой
комбинации рг, р2, ..., рп соответствует один делитель числа а,
причем различным комбинациям соответствуют различные делители
(в противном случае у одного и того же числа существовали бы
различные канонические разложения, что невозможно).
Число всех таких комбинаций, а значит и делителей числа а,
равно произведению (ax4- 1)(а2 + 1 )...(an-|- 1).
Например, числе различных делителей 72 = 23-32 равно
(3+1) (2+1) = 12. Каждый делитель 72 имеет вид 2&i-3p-’, где
Р1 = 0, 1, 2, 3; р2 = 0, 1, 2. Придавая 0Х и р2 эти значения, получим
все различные положительные делители числа 72:
1, 2, 4, 8; 3, 6, 12, 24; 9, 18, 36, 72.
Определение. Всякое число, делящее одновременно числа
ау Ь, ... ,/, называется их общим делителем. Наибольший из общих
делителей называется наибольшим общим делителем и сокра-
щенно обозначается НОД или символом (а, Ь, ..., /). Если
(а, &, ..., /) = 1, то числа а, Ь, ..., I называются взаимно простыми.
Например, числа 6, 8, 15 взаимно простые, так как (6, 8, 15)= 1.
Всякое число, которое делится на каждое из чисел а, &, ...,/,
называется их общим кратным. Наименьшее положительное общее
кратное называется наименьшим общим кратным и сокращенно
обозначается НОК.
Например, для чисел 24 и 36 НОД= 12, НОК = 72. Справед-
ливы следующие свойства взаимно простых чисел.
1. Если число а делится на каждое из взаимно простых чисел,
то оно делится и на произведение этих чисел. Например, если чис-
ло делится на 3 и на 5 ((3, 5)=1), то оно делится и на 15. Однако
нельзя утверждать, что число, делящееся на 4 и на 6 ((4, 6)^1),
обязательно делится и на 24. Например, это неверно для 36.
2. Если произведение ab делится на с, где b п с — взаимно про-
стые числа, то а делится на с.
Найдем НОД и НОК чисел а и b. С этой целью запишем их
канонические разложения:
a = p^pf...p^, b = p^pfy. ..pt*,
где некоторые из ak и 0* могут обращаться в нуль.
9
Из самого способа
щие их свойства:
1. НОД чисел а и
2. НОК-т^д.
Согласно формуле (3) любой общий делитель чисел а и Ъ имеет
вид
Pl Р2 . . -рп » W
где каждое не превосходит чисел ak и р*.
Полагая в разложении (4) каждое yk равным наименьшему из
чисел ak и рЛ, получим наибольший общий делитель чисел о и ft.
Очевидно, число вида (4) будет делиться одновременно на а
и Ъ, если в качестве каждого принять наибольшее из чисел аЛ
и р*. Оно является наименьшим натуральным числом, делящимся
на а и &, т. е. является НОК чисел а и Ь. Аналогично находятся
НОД и НОК чисел а, &, ...,/.
Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 72 и 60.
Решение. Запишем для данных чисел их канонические раз-
ложения:
72 = 23-32, 60 = 22-3 - 5,
тогда НОД = 2а«3=12, НОК = 23-32.5 = 360.
нахождения НОД и НОК вытекают следую-
Ъ делится на любой их общий делитель.
разложении числа на множители и нахожде-
нии НОД и НОК пользуются признаками делимости. Признаком
делимости числа а на некоторое число Ъ называется необходимое
и достаточное условие делимости а на Ь.
Пусть N—делимое. В десятичной системе счисления натураль-
ное число N записывается в виде
М = ал.10” + ^_1.1(Г-1+... +^-10 + ^, (5)
где а0— число единиц, аг—число десятков, а2 — число сотен и т. д.
Рассмотрим признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9.
Признак делимости на 2 и на 5. На 2 (или на 5) делятся те и
только те числа, цифра единиц которых выражает число, делящее-
ся на 2 (или соответственно на 5).
Всамом деле, N = (ап- Ю" 10n“l+ ... + аг- 1О) + ао. В скоб-
ках стоит число, кратное 10, и оно делится на 2 и на 5. Поэтому
для делимости N на 2 (или на 5) необходимо и достаточно, чтобы
на 2 (или соответственно на 5) делилось а0.
Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа,
у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.
Утверждение вытекает из записи делимого в виде
Л^ = (^.10'1 + ^_1.10"-1+... +^.1О2)+(^.1О + ао).
Признак делимости на 3 и на 9. На 3 (или на 9) делятся те и
только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или соответ-
ственно на 9).
ю
Для доказательства запишем делимое в виде
N= [а„(10п— 1) + а„_1(10”-х-1)+ •.. +МЮ-1)] +
+ (ап + ап-1 + • • • + а1 + ао)«
Очевидно, что число
10*—1 = 99... 9
k цифр
делится на 3 и на 9. Поэтому для делимости N на 3 или на 9 необ-
ходимо и достаточно, чтобы число, стоящее в круглых скобках и
равное сумме цифр числа N, делилось на 3 или на 9.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те и только те числа,
которые одновременно делятся на 2 и на 3. Это следует из свой-
ства делимости числа на произведение взаимно простых чисел.
Отметим следующее свойство последовательных чисел. Из п
последовательных целых чисел
[а, «+1, ...» а-\-п — 1 (6)
одно и только одно делится на п.
Действительно, если a = nq, то утверждение справедливо.
Пусть a = nq + k, где k одно из чисел
1, 2, ..., п — 1.
Тогда число а + (п—k) = nq + & + (п—k') = n(q-}-\) находится среди
чисел (6) и делится на п.
Среди чисел (6) нет других чисел, делящихся на п, так как
в противном случае разность таких чисел, меньшая /г, делилась бы
на п, что невозможно.
Например, число /г3—П = (п—1)п (п+ 1) делится на 2, на 3, и,
следовательно, на 6.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Определение, Рациональным числом называется выражение вида
где а и b—целые, причем 6=/=0.
В частном случае, когда Ь=1, полагают
Таким образом, множество всех рациональных чисел содержит в
себе как часть множество всех целых чисел.
Два рациональных числа (или дроби) у и у считаются равными,
а с
Т d ’
если ad = bc.
н
По определению у>у, если (ad—bc)bd>0 иу<р если
(ad — bc)bd<.0> Из определения равенства двух дробей вытекает
основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если ее
числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же
число, не равное нулю, т. е.
а ak а:п
b bk b:n'
На этом свойстве оснрвано сокращение дробей, т. е. деление чис-
лителя и знаменателя на их общий делитель, и приведение дробей
к общему знаменателю.
Сложение и умножение дробей определяются по пра-
вилам:
а . с ad-\-bc а с ас
b'd bd * b d bd'
В связи с тем, что целое число есть частный вид рационального числа, воз-
никает вопрос: не противоречат ли введенные действия сложения и умножения
по этим формулам ранее известным операциям сложения и умножения целых
чисел?
Если а и b—целые, то
, , а . b a-\-b , a b ab
а+&=т+т=—• а.6=т.т=т,
т. е. противоречия нет.
Вычитание и деление дробей определяются как действия,
обратные сложению и умножению. Из этого определения выводятся
правила этих действий:
а с ad—be а е с ad
b d bd ’ b * d be*
Для рациональных чисел сохраняются основные свойства арифме-
тических действий над натуральными числами (см. § 1).
, а b а
В частности, если а и b целые, то а\b = -р, т. е. всякое рациональное
число есть результат деления целых чисел.
В множестве рациональных чисел деление всегда возможно, кроме
деления на нуль.
Дробь вида
_/у_
10"’
(8)
гдеМ — целое, п— натуральное число, называется десятичной дробью.
Ее знаменатель—степень числа 10.
В отличие от дроби десятичной дробь (7) с каким угодно зна-
менателем называется обыкновенной или простой.
12
Всякая положительная десятичная дробь (при N > 0) предста-
вима в виде суммы
ат.10’> + аи_1.10'»-‘+...+а1-10 + ао+^-+.. -+^, (9)
где а0, alt ..., ат, bv b2, bn — цифры.
Если br = b2 = ... = bn = 0, to (9) есть целое число. При ат =
= ат_х = ... = а0 = 0 дробь (9) называется правильной десятичной
дробью. В общем случае, когда не все а„ ..., ати не все Ь2, ...,Ьп
равны нулю, дробь (9) называется сметанной.
Условились десятичную дробь (9) записывать также в виде
атат_х.• -а0< Ь1Ьг...Ьп или А, bjb2.. .Ь„, (10)
где А =ат- 10т + ам_1- Ю"1"1 + ... +aQ—целое число, а Ьх, Ь2, ...»
Ьп—десятичные знаки.
Так как (10) — иная запись суммы (9), то после Ьп можно при-
писать любое число нулей, и величина дроби от этого не изменится.
Изображение десятичных дробей в виде (10) удобно для сравне-
ния таких дробей и для выполнения действий над ними.
Наряду с десятичными дробями, которые в дальнейшем будем
называть также конечными десятичными дробями, рассматриваются
и так называемые бесконечные десятичные дроби.
Определение. Бесконечной десятичной дробью
А, b&...bn... (11)
называется символ
A I I I I I bn+i ।
10 102 “^ * * * * 10" 10"+1 ’
составленный из целого числа А и бесконечной последовательности
цифр &х, 62, ... (понятие последовательности см. в гл. V,
§ О-
Частным случаем бесконечных десятичных дробей являются пе-
риодические дроби.
Определение. Бесконечные десятичные дроби вида
Д, brb2...bn ЬгЬ2...Ьп... (1Г)
или вида
Д, ЬГЬ2 . . . bkb^^.xbk+2 . . . + и ^А + 1^/г + 2 • • + «•••» 0 1 )
где одна или несколько цифр повторяются в неизменном порядке,
называются периодическими. Совокупность повторяющихся цифр на-
зывается периодом такой дроби. При этом вместо записей (1 Г) и (1 И)
употребляют сокращенные записи
Д, (Ьф2...Ьп)
и
Д, Ьф2. . • (&£ + ]&£+2 • •
13
Например,
0,131313... = 0, (13), 2,1444... = 2,1 (4).,
Дробь вида (1Г) называется чистой периодической, дробь вида
(11")—смешанной периодической.
Для простоты изложения будем рассматривать обыкновенные
дроби с положительным числителем и знаменателем и положитель-
ные десятичные дроби, конечные и бесконечные.
Обрывая дробь (11) на каком-нибудь n-м десятичном знаке, по-
лучим тогда конечную десятичную дробь Д, bxb2...bn. С возрастанием п
такая дробь не уменьшается, т. е. либо не изменяется, либо уве-
личивается.
Например, для дроби 0,15004 ... соответственно получаем
0,1 < 0,15 = 0,150 = 0,1500 < 0,15004 < ....
Опреде* ение. Бесконечная десятичная дробь (11) считается равной
обыкновенной дроби:
A, Ь&...Ьп...=±, (12)
если при всех п выполняется неравенство
Таким образом, равенство (12) означает, что любая конечная деся-
тичная дробь Д, дает приближение (с недостатком) к дроби
~ с точностью до •
В частности, отсюда следует, что все [периодические дроби
с периодом 9 равны соответствующим конечным десятичным дробям.
Например,
0,(9) = 1; 4,12 (9) = 4,13.
Обратить обыкновенную дробь в десятичную—значит найти такую
десятичную дробь, конечную или бесконечную, которая равна данной
обыкновенной дроби.
Покажем, что несократимую дробь у можно обратить в конеч-
ную десятичную дробь в том и только в том случае, если знамена-
тель b не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5.
В самом деле, равенство
a N а-10п «т
Т = То”’ или — = N
* Нетрудно понять, что это определение справедливо и в случае равенства
Л, ЬгЬ2 . . . &„=у для конечной десятичной дроби.
14
где JV—целое, (а, 6) = 1, возможно тогда и только тогда, когда 10"
делится на Ь (см. § 1), и значит 6 = 2*-5*.
Если &^=2*-5г, то дробь у можно приближенно обратить в ко-
нечную десятичную дробь с точностью до с недостатком или из-
бытком. Для этого надо найти две конечные десятичные дроби, удов-
летворяющие условию
т а m+1
10« Т "W *
Из последнего следует, что
а-10" , ,
т —Г— m + 1,
о 1
а-10"
т. е. т—это целая часть дроби ь или иначе, неполное частное от
деления а-10" на Ь, а оно существует и единственно (см. § 1).
Практически для обращения дроби делят числитель на знамена-
тель {по правилу деления конечной десятичной дроби на целое число).
11
Например, обратим дробь у в конечную десятичную с точностью
до 0,001 1,833 (с недостатком), у «1,834 (с избытком).
Если у несократимой дроби у знаменатель b = 2k -5Z, то процесс
деления после конечного числа его повторения закончится и в ре-
зультате будет получена конечная десятичная дробь. Если &=/=2*-5*,
то процесс деления можно продолжать неограниченно и в результате
будет получена бесконечная десятичная дробь.
Вывод. Всякую обыкновенную дробь можно обратить в деся«
тичную дробь, конечную или бесконечную.
Например,
у = 1,833... = 1,8 (3), ^ = 0,1212... =0,(12).
Справедлива следующая важная теорема.
Теорема. Всякое рациональное число можно представить в виде
конечной десятичной или периодической дроби и обратно — всякая
конечная десятичная дробь или дробь периодическая изображает
рациональное число*.
Доказательство. Достаточно рассмотреть положительные рациональные
числа и положительные дроби, конечные десятичные или периодические.
1. Как уже было доказано, дробь при Z? = 2*-5z обращается в конечную
десятичную дробь.
• Правило обращения периодических дробей см. в § 3.
15
Пусть Ь^2й«5г. Обращая данную дробь в десятичную путем деления а па Ь,
будем получать остатки вида 1,2, . . . , b—1. Так как процесс деления не может
окончиться, то на некотором шаге в остатке должно вновь оказаться одно из этих
чисел. Но если повторится какой-нибудь остаток, то должна повториться и соот-
ветствующая цифра частного, т. е. после этого остатка цифры частного будут
повторяться в прежнем порядке. Полученная при обращении бесконечная десятич-
ная дробь является периодической дробью.
Первое утверждение теоремы доказано.
2. Докажем справедливость обратного утверждения. Случай конечной деся-
тичной дроби очевиден.
Рассмотрим для определенности (без ограничения общности доказательства)
смешанную периодическую дробь вида
од(ад=4б-+^+ж+--• • (12)
Покажем сначала, что чистая периодическая дробь 0,(Z?2Z?3) равна некоторой
обыкновенной дроби.
Обозначим через х и у конечные десятичные дроби, которые получаются из
периодической дроби 0,(Ь2&3), если оставить соответственно 2n-j-l и 2п знаков,
а остальные отбросить, т. е.
у_Мз । Мз . । Мз । ^3 , х
103 "г Ю2"-1”*" 102« + 1 ’ { )
Ь3
У~~х 102/2 4-1 *
Вычитая равенство
1 v____^2^3 | ^2^3 I I ^2^3 I ^2^3
102 ’ 105 '* 107 102/г + 1'* 102л+з
из равенства (*), получим
99 Мз Ь2Ь3
102 103 Ю2«+3 >
откуда
_______________________________ ^2^3 ^2^3 1
990 99 ‘ 102л + 1’
(**)
Тогда
^2^3 ^2^3
990 -’ЭЭ’
102л + 1 J
^з
Ю2« + 1
^2^3
99б' — 102ч + 1
/ 1062Н~бз । А
99 "Г “з J »
или
__^2^3 ^3^2 1
^“990 “99"’ 102"’
(***)
Так как Ь2 и Ь3—цифры, то 99
^2^;
99
99
Обрывая дробь 0,0(Z>263) на каком-нибудь десятичном знаке, получим конечную
десятичную дробь вида х или вида у. В силу равенств (**) и (***) дроби х и у
дают приближения периодической дроби 0,0(Ь2&3) к обыкновенной дроби
1 1
соответственно с точностью до jQ2nTi и jo2” *
16
Так как это верно при всех гг, то отсюда по определению из равенства (12)
следует, что
o,<W>3)=^.
Тогда смешанная периодическая дробь
Теорема доказана полностью.
Понятие о других системах счисления. В десятичной системе
счисления любое положительное число представимо в виде
Af = 10от4-^-!-...+а0 +• • •+ р^+• • • • (*)
Равенство (*) сокращенно записывают в виде
^ = атат^1. . .aQi dxd2.. .Ьп..., (**)
где а0, alf ..., ат, blt b2, ..Ьп ... —цифры 0, 1,2, .. ., 9.
Вместо 10 (основания системы) можно взять любое натуральное число р > 1.
Например, если р = 3 и ТУ = 25, то, очевидно, что
25 = 2- 32 + 2- 3+1.
Это представление аналогично представлению (*). Естественно его записать ана-
логично соотношению (**) в виде
25(ю) = 221(3),
где 221 — запись числа 25 в системе счисления с основанием 3.
Число 25 можно записать и в другой, например двоичной, системе:
25= 1 -24+ 1 -23 + 0.22 + 0.2+ 1,
т. е.
25(э о) = 11001(а).
Вместо десятичных составляются р-ичные дроби. Например, двоичное число
11,1101 означает
1.24-1+—-]—L+-2_j—L—6J.
2 22 ‘ 25 ‘ 24 16
в десятичной системе счисления.
В работе электронных цифровых машин применяется двоичная система счи-
сления, в которой для изображения любого числа достаточно двух цифр: 0 и 1.
Для рациональных чисел вводятся действия возведения
в степень и извлечения корня.
Пусть а—рациональное число, п— натуральное.
Определение. Степень числа а с натуральным показателем
и(п^2) есть произведение п сомножителей, каждый из которых
равен а:
ап = аа... а.
п раз
При п—1 полагают а1 —а.
17
Извлечение корня определяется как действие, обратное возведем
нию в степень.
Определение. Корнем, или радикалом п-н степени (п 2) из числа а
называется такое число, n-я степень которого равна а.
Корень n-й степени из числа а обозначается через рЛа. Запись
у^а = Ь означает, что Ьп = а.
В множестве рациональных чисел действие извлечение корня не.
всегда выполнимо. Например, не существует рационального числа,
равного квадратному корню из двух. Докажем это.
Предположим противное, что
К 2’=-^-,
где дробь у будем считать несократимой.
Согласно определению корня
Г—Y = 2 или р2 = 2<72,
т. е. р—четное число:
Р = 2р1(
где —целое. Тогда (2р1)2 = 2<72 или q2 = 2pl, т. е. q—чегное число.
Значит, q = 2qv где qx—целое. Следовательно, дробь — = сокра-
Я *Я1
тима, что противоречит условию.
Из полученного противоречия вытекает, что К 2 не является ра-
циональным числом.
Определение. Рациональное число b > 0 называется приближенным,
значением корня а(а>0) с недостатком с точностью до а (а—по-
ложительное рациональное число), если Ьп <а <(&4-а)п.
_При этом число &4-а называется приближенным значением корня
а с избытком с точностью до а.
Доказано, что приближенные значения корней из положительных
чисел всегда существуют для любого рационального числа а > О,
Пример. Извлечь /2 с точностью до у.
Решение. Замечаем, что 2 = yj- = jg. Поэтому достаточно из-
влечь корень К98 с точностью до 1 и разделить полученное число
на 7.
Так как у 98«9(с точностью до 1), то у 2 «у (с точностью
1 А D
до у 1, В самом деле,
18
За меру точности а чаще всего принимают (т—некоторое нату-
ральное число), а за приближенное значение корня принимают де-
сятичную дробь с т знаками после запятой.
Советуем читателю применить известное правило извлечения ква-
дратного корня и показать, что 1^72,6115 «8,52 (с недостатком,
с точностью до 0,01), ^113,5 « 10,655 (с избытком, с точностью до
0,001),
§ 3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Будем извлекать корень квадратный из двух с точностью до
» 1^2, • • •, 15Я и т* Д- Продолжая этот нроцесс неограниченно,
получим в результате бесконечную десятичную дробь, которая не
может быть периодической, так как У~2 не является рациональным
числом.
Таким образом, при извлечении корней появляются бесконечные
непериодические десятичные дроби. Дроби такого типа определяют
новые, нерациональные числа.
Определение^ Всякая бесконечная непериодическая десятичная
дробь вида
а = А, bjb2 ... bn ... (13)
(Д 0, bv Ь2, ... —цифры) называется положительным иррацио-
нальным числом.
Каждому положительному иррациональному числу (13) сопостав-
ляется противоположное ему отрицательное число
— а =— А, btb2 ... Ьп ... .
Определения, 1, Два иррациональных числа
а = А, bjb2 ... b„ ... и а' = Д', Ь\Ь2 ... Ь„ ...
считаются равными в том и только в том случае, если
д=д', &!=&;, Ь2=Ьт2, ..., bn=bn, ... и т. д.
2 .; Число а больше числа а': а > а’, если А > Д', или если Д = Af,
во br > b’lt или если Д = Д' и Ь1 = Ь[, но Ь2 > Ь2 и т. д.
3 . Если а > а'> 0, то считают —а<—а' и обратно,
Пусть а = А, bjb2 ... bn ... .
Дроби Д, Ь2, А, Ь±Ь2; ...; Д, ЬгЬ2 ... Ьп и т. д. называются де-
сятичными приближениями для иррационального числа а по недо-
статку. Дроби Д, + 1; Д, ьг(62+ 1); ...; Д, &Д ... btt_i(b,,+ 1)*
и т. д. называются десятичными приближениями для иррациональ-
ного числа а по избытку.
* 8, Ъ2 8, «, •, bn 8.
19
Для сравнения иррационального числа с числом рациональным
последнее можно представить в виде периодической дроби и затем
можно сравнить десятичные приближения для этих чисел по тому
же правилу, как и при сравнении двух иррациональных чисел. При
этом конечная десятичная дробь рассматривается как периодическая
с периодом нуль. Например, К 2 > 1,41, так как К 2= 1,414 ...»
а 1,41 = 1,4100 ....
Иррациональные числа разделяются на алгебраические и транс-
цендентные (неалгебраические). Алгебраическим иррациональным
числом называется всякое иррациональное число, которое является
корнем многочлена (см. гл. II, § 3) с рациональными коэффициен-
тами вида
cQxn + С'Х”-1 + ... + с„
где со=/=О, п—натуральное число.
Например, К 2—алгебраическое иррациональное число, так
как является корнем многочлена ха — 2.
Доказано, что число л = 3,14... — трансцендентное иррациональ-
ное число.
Извлечение корня приводит к алгебраическим иррациональным
числам. Значения логарифмов положительных чисел и тригономет-
рических функций, как правило,— трансцендентные иррациональные
числа.
Замечание. Конкретные иррациональные числа обычно обозна-
чают символом той операции, в результате которой они возникают:
К 3, >/2, 1g 3, sin у и т. д.
Над иррациональными числами устанавливаются арифметические
действия, причем вычитание и деление определяются как действия,
обратные сложению и умножению. Строгое обоснование этих действий
и их свойств приводится в курсе высшей математики.
Поясним на примере понятие суммы. _
Рассмотрим числа а = К2=1,414...и 6 = К 3= 1,732.... Возь-
мем последовательности десятичных приближений для а и b по недо-
статку:
1,4; 1,41; 1,414; ...,
1,7; 1,73; 1,732; ...
и по избытку
1,5; 1,42; 1,415; ...,
1,8; 1,74; 1,733; ....
Образуем две новые последовательности:
1,4 + 1,7; 1,41+1,73; 1,414+ 1,732; ...,
1,5+1,8; 1,42+1,74; 1,415+1,733; ....
Оказывается, существует и притом единственное число, для которого
20
эти последовательности являются последовательностями десятичных
приближений соответственно по недостатку и по избытку. Это число
и называется суммой чисел а и Ь.
После установления арифметических действий вводится важное
понятие предела числовой последовательности (см. гл. V, § 1). На
основе его определяется сумма членов бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии и выводится формула для вычисления суммы
(см. гл. V, § 4). Эта формула позволяет получить правило для
обращения периодических дробей.
Правило обращения периодических дробей. В § 2 доказана воз-
можность обращения любой периодической дроби в дробь обыкно-
венную. Теперь дадим правило обращения.
Любая периодическая дробь вида О, Ьф2.. ,Ьп... равна обыкно-
венной дроби, составленной по следующему правилу:
1) ее числитель есть разность между числом, стоящим до вто-
рого периода, и числом, стоящим до первого периода;
2) ее знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и нулями
на конце. Цифра 9 повторяется столько раз, сколько цифр в периоде,
а нуль—столько раз, сколько цифр содержится между запятой
и периодом.
Доказательство. Рассмотрим для определенности (без огра-
ничения общности доказательства) смешанную периодическую дробь
вида
0. M»A)-fe+lw+Tw+-'--
Надо доказать, что эта дробь равна дроби
— ^1
990
В самом деле, данная периодическая дробь равна
й+5’
гдеЗ—сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии (см. гл. V, § 4)
. * Ьфз ^2^3 ^2^3
ю» ’ То»’ ю? ’ • ‘ ”
у которой первый член а1 = , а знаменатель q =
Так как то имеем
Ьфз
Ж _ь2ь3
} 1 — 990 •
1 10*
Таким образом,
о.
Я1
или
О,
что и утверждалось.
Например,
0.3(14) = ^-3 = gJ,
2,(13) = 2 + Ц=^=21|,
0,(7) =
§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Определение. Совокупность всех рациональных.и иррациональных
чисел образует множество действительных (или вещественных) чисел.
Таким образом, термином «действительное (или вещественное)
число» обозначается число рациональное либо иррациональное.
Над действительными числами установлены арифметические
действия—сложение, вычитание, умножение, деление. Основные
свойства арифметических действий, сформулированные в § 1 для
целых чисел, остаются справедливыми и для действительных чисел.
Сумма или разность рационального и иррационального чисел
всегда есть число иррациональное. Это верно и для произведения
или частного, если только рациональное число не равно нулю.
Однако арифметические действия над двумя иррациональными
числами могут привести к рациональным числам. Например,
(2-ф-jZ2)—р/2 = 2, f/3-p/9=3 и т. п.
Возведение в степень с натуральным показателем и извлечение
корня для действительных чисел определяются так же, как и для
рациональных чисел.
Пусть а—действительное, п — натуральное число. По опреде-
лению
если п 2;
если п = 1
и а = Ь, если Ьп = а (п^2).
Из определения сразу вытекают свойства степеней с натуральными
показателями:
если
если
если
т < п.
(а =£ 0)
22
( ап, если п — четное;
4. (-a)n=U
( —ап, если п—нечетное.
5. (ab)n = an-bn.
6-(т)"=? <^0)'
Доказательство всех этих свойств предоставим читателю.
Доказано, что в множестве действительных чисел извлечение
корня всегда выполнимо, кроме случая, когда п— четно и а < 0.
Однако действие извлечение корня не всегда однозначно.
Например, ]/Чб = 4 и К16 = —4, так как42 = (—4)2 = 16. В этом
случае мы обязаны писать:
/16 = ±4.
Чтобы внести определенность в употребление символа у^а,
введено понятие арифметического корня.
Определение. Арифметическим корнем п-й степени из неотрица-
тельного числа а называется неотрицательное число Ь, для кото-
рого Ьп = а.
В дальнейшем под символом jZа (а 0) будем понимать ариф-
метическое значение корня. Например, К16 —4 есть арифметичес-
кое значение квадратного корня из 16.
Арифметическое значение корня существует для каждого а^О.
Докажем его единственность.
В самом деле, пусть %/а = Ь1и у^а = &2, где а 0, Ъг 0, Ь2 0.
Тогда b^ = b2 — a.
Если например, Ьг < &2, то &?<&2 (см. гл. II, § 7), что
неверно. Из полученного противоречия следует единственность ариф-
метического корня, т. е. b1 = b2.
Докажем следующие основные правила действий над радикалами.
1. Основное свойство корня. Величина арифметического корня
не изменяется, если показатель корня умножить на любое нату-
ральное число k и одновременно подкоренное выражение возвести в
степень с тем же показателем k, т. е.
Уа = пУа* (а>0).
В самом деле, пусть у/а = Ь (Ь^0). Это означает, что Ьп=а.
Тогда по свойству степени
(bn)k = bnk = а\
откуда следует, что b = n$/ak.
Таким образом, ^/a = b = n^/ak, что и утверждалось.
2. Правило умножения корней. При умножении арифметических
корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения умно-
жаются, а показатель корня остается прежним, т. е.
' а • ^Ь = Уab (а 0, b > б).
23
В самом деле, по свойству степени имеем
( • УЪУ = ( У~аУ -WbY = ab,
так как ({/а)" = а, ({/b)n = Ь. Отсюда, согласно определению арифме-
тического корня, следует, что
у/ab = а • y/b или Уа • ab.
Утверждение доказано.
В частности, у/апЬ = ап • = a $/b, где а О, b 0 (правило
вынесения множителя за знак радикала).
3. Правили деления корней. При делении арифметических корней
с одинаковыми показателями подкоренные выражения делятся, а по-
казатель корня остается прежним, т. е.
(а>0, 6>0).
V Ь
Это свойство доказывается так же, как и второе. В частности,
П/“_ п/ аЬп~1_Уabn~l
V ь V ьп ь
(правило освобождения подкоренного выражения от знаменателя).
4. Правило возведения корня в степень. При возведении ариф-
метического корня в степень с натуральным показателем возводится
в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня остается
прежним, т. е.
(а)т = ат (а 0, т — натуральное число).
Это свойство есть следствие второго свойства.
5. Правило извлечения корня из корня. При извлечении корня
из корня перемножаются показатели корней, а подкоренное выраже-
ние остается прежним, т. е.
у/а = т^/а (а^О; т, п — натуральные числа, т^2, п^2).
В самом деле, согласно правилу возведения корня в степень,
имеем
( тп = У (/аГ = У [(/а)л]т,
откуда
(У =
Следовательно, по определению корня,
Г тп
у у а = у а,
что и требовалось доказать.
Определение. Радикалы называются подобными, если у них оди-
наковы подкоренные выражения и одинаковы показатели корней.
24
В общем случае сумму или разность двух различных корней
упростить нельзя. Упрощения возможны только в случае подобных
радикалов.
Правило сравнения арифметических корней основано на
следующем свойстве:
и обратно,
Уb (а^О, fe^O), если а^Ь,
если а b 0, то а ^Ь.
Оно вытекает из свойств неравенств (см. гл. II, § 7).
Например,
|/3 > К2,
так как
з/з=б/з5, и 32>23;
/ОД < 3/0Л,
так как
Ко,1 = £/(0,1)3, р/0,1 = f/(0,l)a и (0,1)3 < (0,1)’.
При выполнении действий над радикалами иногда полезна сле-
дующая формула преобразования «сложного» квадратного радикала:
(14)
где а>0, 6>0, а2 > b и знаки выбираются соответственно.
Для доказательства формулы (14) положим
X,
Очевидно, что х > 0. Так как а + К& > а—то согласно пра-
вилу сравнения корней и у > 0.
Возведя в квадрат, получим:
х2 = 2а-\-2Уг а2 — &,
у2 = 2а—2 Ка2— Ь,
откуда
а2—b.
Следовательно,
а2 — Ь= 2
а2 —b
а2 — b — 2
а2 —b
2
Отсюда, после почленного сложения и вычитания, и получаем фор-
мулу (14),
Преобразуем, например, по формуле (14) корень у 4^2 +2 Кб.
25
Здесь а = 4/2, 6 = 24. Поэтому
4K24-2j/6= J/ 4 К2+Г32-24 ] у 4 /2 -Г32-24
-= уЛзП’+ уП = /18 + / 27
Замечание. Для корня нечетной степени справедлива формула
2k+]/^a = —2k+]/a (а>0). (15)
В самом деле, пусть 2fe+J/a = Ь. Тогда b2fe+1 = а или (—&)2*+1 =—а,
откуда следует, что (—b) = 2k+$/—а, т. е. 2k+^/—а = —
Из формулы (15) вытекает, что корень нечетной степени из от-
рицательного числа имеет единственное действительное и притом
отрицательное значение,
С помощью формулы (15) нетрудно проверить, что правила 2—5
справедливы также и для корней нечетной степени с отрицатель-
ными подкоренными выражениями.
В общем случае для радикалов, не являющихся арифметическими,
эти правила неверны. Например, для произведения ]^2-%/—3 при-
менение правил 1—2 приводит к неверному результату:
/2 • /^3 = /23 • = /72.
Правильное решение: так как /—3 = — /3, то
/2 • /=3 = — (/2 • /5) = — (/2М5) = — /72.
Обобщение понятия о показателе степени. Ранее было опреде-
лено понятие степени с натуральным показателем для любого дей-
ствительного числа. Наряду с натуральным показателем рассматри-
ваются также степени с любым действительным показателем.
Это обобщение понятия о показателе степени вводится таким
образом, чтобы все свойства степеней с натуральными показателями*
оставались справедливыми для любых действительных показателей.
По определению полагают:
1. aQ= 1, где а #=0.
Символ 0° не имеет смысла.
2. а~п = -^, где а#=0, п — натуральное число.
р ______
3. а^ =у/а^, где а>0, р и q — натуральные числа, q^2.
_JL 1
4. а ? =—— , где а > 0, р и q — натуральные числа, q^2.
aJ
* Свойства степеней с натуральными показателями предполагаются извест-
ными читателю.
26
Замечание.
также при а < О,
Степень с дробным показателем у рассматривается
если дробь у несократима и знаменатель q нечет-
ное число.
5. Степень с иррациональным показателем. Пусть
а—любое положительное число, а—иррациональное число.
Как всякое иррациональное число, а есть бесконечная неперио-
дическая десятичная дробь: а==Л, ЬД..
Рассмотрим последовательность чисел
^A,bx .Ьп *
Эта последовательность является монотонной и ограниченной и,
следовательно, имеет предел (см. гл. V, § 1), который и прини-
мают за яа. Таким образом,
aa = lim aA>bib*---b».
П-+СВ
Например, степень 2^2 равна пределу последовательности
2i)4 21’41 21’414 21’4112
так как ]/~2= 1,4142 ....
Теорема. Для любых действительных а, и $ и допустимых а и Ь
справедливы равенства'.
I. a*-a? = a“+₽.
II. (a“)P = aaP.
III. ^ = a«~₽.
aP
IV. =
V- v ь) ~ь«'
Строгое определение степени с иррациональным показателем и до-
казательство всех этих свойств для иррациональных а и 0 приво-
дятся в курсе высшей математики.
Покажем справедливость свойств I—V для рациональных а и 0.
I. Случай 1. a = /n, 0 = — п, где т и п—натуральные числа.
Проверим, что ат-а~п = ат~п (а =/=()).
Имеем
{ат~п, если т > п;
1, если т = п;
, если т < п.
Так как ат~т = ай—\, ^г=г^ = а~{п~ту = ат~п, то ап-а~п = ат~п
при любых соотношениях между man, что и утверждалось.
Случай 2. а = у, 0 = -^-, гДе Р> Pi> ?i—натуральные чис-
27
p Pl р [ Pl
ла. Проверим, что aq -а = ад (а > 0). Имеем:
_p.Pi __ ___ ________ _______
а ч . a«i = уаР • ’{/ а?' = "Vа™ чч{/ а™ =
_______________ PQ1 + P1Q Р' Pi
= qqi/aPqi+Pig = а ‘ qq* = aq ,
что и утверждалось.
Аналогично рассматриваются все остальные возможные случаи
II. Случай 1. а =— т, р =— и, где т и п — натуральные числа
Проверим, что (а~т)~п = атп (а > 0). Имеем
(а~т}~п = —-— = = - 1 = атп
v 7 (а-т)п f 1 V 1 ’
\ ат J атп
что и утверждалось.
Случай 2. а = p = ~i-, где р, q, pv qr—натуральные числа.
/ _p_A_pi_ р Pi
Проверим, что \aq J Q1 = aq (а > 0). Имеем:
( -£Л_£1_ г------------=— п /---------- -------- р Р1
{a<i) <и = у (J/aP)Pi= у %/аРР> = qi%/ аРР' = ад ,
что и утверждалось.
Аналогично проверяется справедливость свойства II во всех
остальных случаях.
III. Имеем
= ав.а-&==а«+<-₽>^ аа’₽,
а?
что и требовалось доказать.
IV. Это свойство доказывается разбором всех возможных слу-
чаев. Например, для а = у (р и q—натуральные числа) полу-
чаем:
/ \ р ________ ______ _____ р р
\a*bj д (аЬу= у/ар • у/Ьр -= аq - Ьд,
что и утверждалось.
V. Это свойство вытекает из свойства IV:
(у)а = (а • Ь-= а* • = а* • Ь- «=.
Доказательство теоремы закончено.
Абсолютная величина действительного числа. Абсолютной вели-
чиной, или модулем действительного числа а называется неотри-
цательное число |<z|, равное числу а, если и числу —а,
если а < 0.
28
Таким образом,
{а, если а^О;
— а, если а < 0.
Например, |4| = 4, |0| = 0, | — 6| =— (—6)-6 и т. д.
Отметим следующие свойства абсолютной величины:
1- Н=1-<4
Это равенство непосредственно вытекает из определения абсолютной
величины.
2. |а|>а, |а|>—а.
В самом деле, если а:>0, то а\ = а и подавно |а|—а. Если
а < 0, то |а| = — а и подавно \а^а, так как |а|^0.
3. |а&| = |а|-|&|, |у| = ^ (Ь^О).
Эти равенства вытекают из правила знаков.
4. |а + &|<|а| + |&|.
В самом деле, есть две возможности:
1) а + b^O, тогда
|а + &| = а + &,
но а|а|, (см. свойство 2) и поэтому
а + |а| +|&|. (*)
2) а + b < 0, тогда
|a+&| = _(fl + &) = (- a) + (-b),
но —а^|а|, —(см. свойство 2) и поэтому
(-а) + (-Ь)<|а| + |&|. (**)
Из неравенств (*) и (**) следует, что |а + &|^|а|-|-|£ф
5. |а-&|>|а|-|&|.
Так как а = (а—Ь)-\-Ь, то по свойству 4
\a\ = \(a-b) + b\^\a-b\ + \b\,
откуда следует, что
|а[—16| ^|а—Ь\, или |а—Ь|>|а| —1&|.
Геометрическое изображение действительных чисел. Координа-
ты точки. Для наглядности действительные числа принято изобра-
жать точками числовой оси — прямой, на
которой выбрано положительное направле- #
ние, масштаб и начало отсчета (рис. 1). *—0 j - л-----
Из геометрии известно, что всякий отре-
зок ОМ имеет длину, выраженную рациональ- Рис. 1
ным или иррациональным числом.
Поэтому каждой точке М на числовой оси соответствует вполне
определенное действительное число х, положительное, если М лежит
справа от О, и отрицательное, если М лежит слева от О. Абсолют-
ная величина числа х равна длине отрезка ОМ.
29
Обратно, всякому действительному числу х соответствует на
оси Ох определенная точка 7И, которая удалена от точки О на рас-
стояние, равное |х|, и лежит справа от О, если х>0, и слева —
если х < 0. При х = 0 точка М совпадает с точкой О. Таким образом,
между всеми действительными числами и точками числовой оси
установлено взаимно однозначное соответствие.
Определение. Действительное число х, соответствующее точке М
на числовой или координатной оси, называется ее координатой.
При этом записывают: 7И(х), где х—координата точки М. Ко-
ордината точки определяет ее положение на прямой.
Пусть и ТИ2(х2)—две точки, расположенные на число-
вой оси.
Справедлива следующая формула для расстояния между двумя
точками на оси:
М1М2 = \х2-х1\. (16)
Для доказательства рассмотрим все’ возможные «лучаи распо-
ложения точек 7И1 и М2.
1) 0^хх<х2 (рис. 2, а). В этом случае
МгМ2 — 0М2—0М1 = х2—хх = | х2—хх
2) 0^х2<х1 (рис. 2,6). В этом случае
MtM2 — 0М1—0М2 = хх—х2 = | х2—хг [;
3) Х!<0<х2 (рис. 2, в). Тогда ОМ1 = — х19 ОМ2=х29 в этом
случае МХМ2 *= ОМг + ОМ2 ±= — хх + х2 = | х2—хх |.
Рис. 3
Рис. 2
Аналогично рассматриваются случаи, когда точки М± и М2 лежат
слева от точки О. И здесь мы получаем, что МгМ2 — |х2—xj.
Таким образом, при любом расположении на оси точек М1(х1)
и М2(х2) расстояние МгМ2 равно |х2—хх|.
Перейдем от прямой к плоскости.
Две взаимно перпендикулярные оси с общим началом О обра-
зуют систему координат на плоскости. Горизонтальная ось назы-
вается осью абсцисс или осью Ох, вертикальная—осью ординат
или осью Оу (рис. 3).
Пусть М. — произвольная точка плоскости. Спроектируем ее на
ось абсцисс и ось ординат (рис. 3).
30
Определение. Координата проекции точки М на ось Ох назы-
вается абсциссой точки М, координата проекции точки М на ось
Оу называется ординатой точки М.
Абсцисса и ордината точки М, вместе взятые, называются ко-
ординатами точки М. При этом записывают М (х, у) (на первом
месте всегда стоит абсцисса).
Таким образом, каждой точке плоскости соответствует опреде-
ленная упорядоченная пара чисел—ее координат х и у.
Обратно, каждой паре чисел х и у соответствует единственная
точка плоскости М (х, у). Таким образом, координаты х и у опре-
деляют положение точки на плоскости.
Пусть даны две точки: Л11(х1, уд и Л42(х2, р2). Справедлива
следующая формула для расстояния между двумя точками на плос-
кости:
М1М2 = /(х2-х1)2 + (р2-р1)2. (17)
Для доказательства рассмотрим треугольник (рис. 3), в
котором согласно формуле (16) катет MXN равен |х2—xj и катет
М2Ы равен \у2—уг[. По теореме Пифагора
м 2 = УМ^ + М^ = К|х2-х1р + |г/2-1/1р =
= V (*2—Xj2 + (У 2—Уд2-
Формула (17) остается верной и в том случае, когда = или
У1 — У^ Тогда эта формула дает либо
= V (.У 2 —Уд2 = | Уг—У11.
либо
МХМ2 = /(х2—xj2 = I х2 —хг |.
Например, найдем расстояние между точками Мх (1,3) и Л12 (—3,0).
Согласно формуле (17)
М'М2 = К(—3 —1)2 + (0—З)2 = 5.
§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Рассмотрим некоторые задачи, при решении которых используются
свойство последовательных чисел (см. гл. I, § 1), деление с остат-
ком, следствия из теоремы Безу (см. гл. II, § 3), формула бинома
Ньютона (см. гл. VI, § 2) и метод индукции.
Пример 1. Доказать, что при любом простом р>3 число ръ—1
делится на 24.
Решение. По свойству последовательных чисел произведение
(р— 1) р (р +1) делится на 3.
Так как р>3— простое, то на 3 делится число (р — 1)(р + 1) =
= р2—1. Оно является произведением двух последовательных чет-
ных чисел (всякое простое число, не равное 2, —нечетное), т. е.
(р — 1) (р + Г) = 2k {2k + 2) = 4k (k + 1), и, следовательно, оно делит-
ся на 8.
31
Итак, число р2—1 делится на взаимно простые числа 3 и 8, а
значит, делится и на их произведение.
Отсюда вытекает, что число р2— q2, где р и q— простые, боль-
шие 3, также делится на 24. В самом деле, р2— q2 = (p2—1) — (q2—1),
и каждое слагаемое делится на 24.
Пример 2. Доказать, что квадрат любого простого числа
при делении на 12 дает в остатке 1.
Решение. Натуральное число при делении на 6 может дать
в остатке лишь числа 0, 1, 2, 3, 4, 5. Поэтому всякое натуральное
число имеет один из следующих видов:
6ft, 6ft + 1, 6ft + 2, 6ft + 3, 6ft + 4, 6ft + 5.
Очевидно, что числа 6ft, 6ft+ 2, 6ft+ 3, 6ft+ 4 составные. Поэтому
простое число р^5 имеет вид 6ft+1 или 6ft+ 5. Если р = 6ft + 1, то
р3 = (6ft+l)2 = 36ft2 + 12ft +1. Если p=6ft+5, то p2=(6ft+5)2=36ft2 +
+ 60ft+ 25 = 12 (3ft25ft + 2)+ 1. Таким образом, в обоих случаях
остаток при делении р2 на 12 равен 1.
Пример 3. Доказать, что при любом натуральном п число
Д = 42”— 32л— 7 делится на 84.
Решение. Так как 84 равно произведению взаимно простых
чисел 3, 4 и 7, то для решения надо доказать, что число А делится
на 3, 4 и 7.
Представив А в виде А = (42п— З2”)—7, замечаем, что число
42п—32* есть разность степеней с одинаковыми четными показате-
лями. По следствию из теоремы Безу число 42П—З2" делится на
сумму оснований 4 + 3 = 7. Таким образом, А делится на 7.
Представив А в виде А=(42п—1)—З2" — 6, замечаем, что 42"—1
делится на разность оснований 4—1=3. Поэтому А делится на 3.
Наконец, запцрав А в виде А = 42п—(32П—1)—8, замечаем, что
32л—1 делится на 3+1=4, и следовательно, А делится на 4.
Пример 4. Доказать, что при любом натуральном п число
л 10«—1 п
81 9
является целым.
Решение. По формуле бинома Ньютона
л (9+1)"— 1 — 9/г Э^ + п-Э"-^ ... +/1-9 + 1 — 1— 9п
А~ 81 ~ 81
После приведения подобных членов каждое слагаемое в числителе
содержит множитель 92 = 81, т. е. А—целое.
Пример 5. Доказать, что число Ап = 4п + 15п—1 делится на 3
и на 9.
Решение. Достаточно доказать, что число Ап делится на 9.
С этой целью применим метод индукции.
При п=1 Л! = 4+15—1 = 18 делится на 9.
Предположим, что Ak делится на 9. Тогда
/1Л+1 = 4Л+1+15(ft+1)—1 =4-4*+15ft+14 =
= 4 (4*+ 15Л— 1)—45ft+18 = Ak — 45ft + 18
32
также делится на 9. Таким образом, число А„ делится на 9 для
любого п 1.
Пример в. Доказать, что при любом n> 1 числоп*4составное.
Решение. Имеем
п* + 4 = (п2 + 2)2—4п2 - (п2 + 2п + 2) (и2—2п+ 2).
Если п > 1, то
и2 + 2п+2>5, п2—2п + 2 = (п—1)2 + 1 > 1,
т. е. число п* + 4 разлагается на произведение двух чисел, каждое
из которых не равно единице.
Пример 7. Определить показатель степени 2а в каноническом
разложении 100!
Решение. Очевидно, искомое а—показатель повторения 2
в разложении 100! равно числу всех чисел от 1 до 100, делящихся
на 2, 4, ..., 64.
Таким образом,
Г100] . Г100] , Г100] . Г100] . Г100] . Г100]
а= Ы + m + nd + m + и*! J+ L 1 *
Г1001 100
где —целая часть дроби т. е. наибольшее целое число,
юо
не превосходящее
[1“]=50, [2»5] = 25, [^=12,
Г1001__П I 1001 __ Q Г1001— 1
[16 J °’ L 32 J L64 J -1’
Отсюда а = 50 +25+12 + 6 + 3+1 =97.
Пример 8. Найти все рациональные х, для которых число
+ %—1 также рационально.________
Решение. Положим ]/4х2 + х—1=2% +а. Число 2х-\-а при
рациональном х будет рационально лишь при рациональном а. Имеем
4х2 + х— 1 = 4х2 + 4ах + я2,
откуда х= , где а=£ —любое рациональное число, удовлет-
воряющее условию 2х + а^0.
Пример 9. Доказать, что log23 — иррациональное число.
Решение. Предположим противное: пусть log23— рациональ-
ное число ~ , где р и q—целые. Тогда log23 = —, откуда 2^ = 3^.
Но это равенство невозможно, так как 2Р—четное число, а 3^—не-
четное. Значит наше предположение неверно, и log23 является ирра-
циональным числом.
2 № 407
33
§6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Введение комплексных чисел, вызвано уже тем, что в множестве
действительных чисел невыполнимо извлечение квадратного корня
или вообще корня четной степени из отрицательного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида
a-{-bi, где а и b—действительные числа, a i — некоторый символ.
При этом а называется действительной (или вещественной) частью
данного комплексного числа, b—его мнимой частью, i—мнимой
единицей. Символ а-\-Ы рассматривается сначала как цельный.
Если, в частности, fe = 0, то комплексное число a-{-Qi считается
совпадающим с действительным числом а, т. е.
a-\-Qi = a. (18)
Таким образом, действительные числа представляют собой частный
случай комплексных чисел.
Если, в частности, а = 0, то комплексное число Q-\-bi обозна-
чается просто Ы и называется чисто мнимым:
Q-\-bi = bi\ (19)
при этом полагают
O+h* = Z, О— М = — i. (20)
Определение, Комплексные числа а-\-Ы и c-\-di считаются рав-
ными:
a-]-bi = c + di, (21)
тогда и только тогда, когда а = с, b = d.
В ^частности, а-\-Ы равно нулю тогда и только тогда, когда
а = 0 и Ь = 0.
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не. опре-
деляются, т. е. комплексные числа по величине не сравниваются.
Два комплексных числа а-{-Ы и c-\-di, отличающиеся только
знаками при мнимой части, называются комплексно сопряженными
или просто сопряженными.
Запись c-{-di = a-{-bi или a-\-bi = c-\-di означает, что числа
а-{-Ы и с-ydi являются сопряженными, т. е. с = а, d =— b.
Таким образом, знак «сопряжения»—черта над комплексным
числом—означает изменение знака при мнимой части.
Как известно, действительные числа изображаются точками
числовой оси. Комплексное число г = а-\-Ы принято изображать
точкой на плоскости М с координатами а и b (рис. 4).
Очевидно, что при этом каждой точке плоскости соответствует
определенное комплексное число, и обратно, каждому комплексному
числу г соответствует единственная точка плоскости, которая слу-
жит для изображения г. В частности, действительные числа изо-
бражаются точками оси абсцисс, чисто мнимые—точками оси орди-
нат. Точка с координатами (0, 1) служит изображением числа i.
Сопряженным числам г и г отвечают соответственно точки с коор-
34
динатами (а, b) и (а, —Ь). Очевидно, что эти точки симметричны
относительно оси Ох.
Плоскость хОу, которая служит для изображения комплексных
чисел, называется комплексной плоскостью.
Полезно и другое геометрическое истолкование комплексного
числа: число г = а-\-Ы рассматривается как вектор ОМ с началом
в точке О и с концом в точке М (а, Ь) (рис. 4).
Установим над комплексными числами
арифметические действия, а также действия
возведения в степень и извлечения корня.
Сложение. Суммой z1-}~z2 комплексных
чисел zx = a-\-bi и z2 = c4-df называется комп-
лексное число
z = z14-z2 = (a + c) + (fe + d)i. (22)
В связи с тем, что действительное число есть частный случай комп-
лексного числа возникает вопрос: не противоречит ли действие сло-
жения по формуле (22) ранее введенному действию сложения дей-
ствительных чисел?
Если положить в формуле (22) b = Q и d = 0, то согласно соот-
ношению (18) получаем справедливое равенство4 между действитель-
ными числами:
{а + Qi) + (с + Qi) = (а 4- с) 4- (0 + 0) i = а 4- с.
Таким образом, противоречия нет.
Символ а-\-Ы до сих пор рассматривался как цельный. Теперь
из определения суммы следует, что комплексное число а 4-W можно
рассматривать как сумму действительного числа а с чисто мнимым
числом Ы.
В самом деле, согласно формулам (18), (19) и (22) имеем:
(а) -|” (pi) — (cl 4“ Qi) "Ь (0 4” ^0 = (я 4~ 0) (P 0) i= a-\-bi^
что и утверждалось.
Вычитание вводится как действие, обратное сложению. Раз-
ностью zx—z2 комплексных чисел z1==a4-fe/H z2^c4-df называется
такое число z:
Zi—z2 = z,
что z24-z = zr
Покажем, что для любых z, и z2 разность z = x+yi существует
и единственна.
В самом деле, согласно формуле (22)
а 4- Ы = (с 4- di) 4- (х 4- yi) = (c-\-x) + (d + y) i,
откуда по определению (21) следует, что а = с-\-х, b = d^-y9 т. е.
х = а—с и у = Ь—d.
Таким образом,
(а 4- bi)—(с 4- di) = (а—с) 4- (b—d) i. (23)
2*
35
Очевидно, что
z 4- z = (а + &/)-)- (а—Ы) — 2а,
z—г = (а + Ы)—(а—Ы) = 2Ы,
т. е. сумма двух комплексно сопряженных чисел есть действитель-
ное число, а разность—чисто мнимое.
Умножение. Произведением г±г2 комплексных чисел z1«a +
+ Ы и z2=*a + di называется комплексное число
г = zxz2 = (ас—bd) + (ad + bc)i. (24)
Предоставляем читателю убедиться с помощью формул (18) и (24),
что определяемое формулой (24) действие умножения не противо-
речит действию умножения действительных чисел.
Из формул (24) и (20) вытекает, что:
1) b4~(b + 0i)-(0+li)~0 + bi==bi,
т. е. чисто мнимое число Ы можно рассматривать как произведение
действительного числа b на мнимую единицу Z;
2) /.1 = /а = (0+1/)-(0+10 = —1+0/ = —1,
т. е. мнимая единица есть такое число, квадрат которого равен
отрицательной единице.
Таким образом, символ а-\-Ы, введенный ранее как цельный,
теперь можно рассматривать как сумму действительного числа а
с чисто мнимым Ы, а последнее—как произведение числа b на
мнимую единицу, и формула (24) получается по обычному правилу
умножения буквенных двучленов с учетом равенства /а = —1;
3) z-z=^(a-\~bi)-(a—bi) = a* + b\ т. е. произведение двух комп-
лексно сопряженных чисел есть действительное неотрицательное
число.
Деление вводится как действие, обратное умножению. Част-
ным — комплексных чисел zx = a-\-bi и z2=*c-\-di называется та-
кое число г, что z2-z = zv
Покажем, что для любого г2=И*0 частное z«=x+y/ существует и
единственно.
В самом деле, согласно формуле (24)
а + Ы = (с + di) • (х + yi) = (сх—dy) + (dx + су) I,
откуда по определению (21) следует, что
| а = сх—dy
\ b = dx + су.
Решив эту систему, найдем
ac+bd ______be—ad
%_______________c2-]-d2 ’ 9_c2-j-d2
+ так как c.-j-di^O). Таким образом,
a-j-bi ae-j-bd.be — ad .
c + dl~'c2-l-d2'^ c2 + d2
86
Замечание. Вывод формулы (25) необходим для доказатель-
ства существования и единственности частного. Практически деле-
ние выполняют по следующему правилу:
а-\-Ы__— di)__________(ac-\-bd)-\-(be—ad) i
c-[-di (c-\-di)-(c—di) c2-\-d2
Например,
1——0.(2—/)_ 1—3i_ 1 3 .
2+i~ (2 + 0-(2—i)~ 5 ~5 5 l'
Из формул (22), (23), (24), (25) вытекает, что для комплексных
чисел сохраняются основные свойства арифметических действий:
Z1 + г2 — Z2 + 21> (21 + 2г) + 23 — + (Z2 4" 2з)’
= ^2*^1’ (^1 * ^2) * Z3 = Z1 ’ (^2 * ^з)»
(^1 + ^2) * ^3 = Z1 ' Z3 4“ Z2 * ^3 •
Общий вывод. Все арифметические действия над комплекс-
ными числами производят по тем же правилам, по каким они про-
изводятся для чисел действительных, если учитывать при этом ра-
венство /а =— 1.
Если в сумме, разности, произведении и частном комплексных
чисел каждое число заменить сопряженным с ним, то и результа-
ты заменятся сопряженными с ними числами:
1) = (а—W) + (с—di) ^(a + c) — (b + d)i = z± + г2?
2) zx—z2 = (a—bi) — (c—di) = (a—c) — (b—d) i = zt — г2,
3) zvz2 = (a—bi)-(c—di) = (ac—bd) — (ad-\-bc)i = zvz2,
.к z3 a—bi ac-[-bd be—ad . / zx \
' c-di~~c2-[-d2 с2 + ^2^=\г2/
В этом нетрудно убедиться с помощью непосредственной про-
верки по формулам (22), (23), (24), (25). Отсюда вытекает следую-
щее полезное правило.
Если в выражении, составленном из комплексных чисел, над
которыми производятся арифметические действия, каждое комп-
лексное число заменить сопряженным с ним, то и значение всего
выражения заменяется на сопряженное.
Возведение в степень. Полагают
z-z.. .z,
п раз
если и ^2;
zn = <
z, если /2 = 1,
(26)
где п — натуральное число.
Для z 0 полагают
г°=1, г"п = -4.
zn
Нетрудно проверить, что при возведении комплексного числа в сте-
37
пень с целым показателем справедливы следующие свойства:
zP-zq = zP+q, (zP)q = zPq, z-L=:Zp-9t
где р и q—целые.
Найдем степени числа i. По определению/°= 1, il = i\ далее, из-
вестно, что i2 =—1. Поэтому
i3 = i2-i =—i, i* = i3-i = l, ib = =
Вообще
iin=l, i*n+i = i, i*n+2 = —1, ^л+з = —i — натуральное).
Для возведения в степень числа а + Ы используют формулу би-
нома Ньютона и уже известные степени числа i:
(а + Ы)п =ап + С*'- ап -Чм — С^а”- 2Ь2 —
-C3n-an-3b3i+ ... +С<^-^+ ... + bnin.
Извлечение корня. Корнем п-й степени из комплексного
числа г называется такое комплексное число w*.
(27)
что wn — z (п'^2— натуральное).
Таким образом, извлечение корня определяется как действие,
обратное возведению в степень.
Извлечем, например, квадратный корень из действительного
отрицательного числа (—а2) и покажем, что
У—а2=± ai\
в частности, К —1 = ±i-
Полагая К—а2 = х + у/, согласно равенству (27) имеем
(x + yt)2 = — а2,
или
(х2—у2) + = —а*-
Отсюда получаем систему двух уравнений
( х2—у2=—а2,
( 2ху = 0,
решая которую, найдем, что
х = 0, у=±а
(случай у = 0 невозможен, так как при этом х2 = — а?, что неверно
для действительных чисел)._Поэтому К—а2 = ± ai.
Доказано, что корень z всегда существует и ймеет ровно п раз-
личных значений, если 2=/=0. Очевидно, У 0 = 0.
Тригонометрическая форма. Комплексное число г = а-\-Ы геомет-
рически изображается точкой М (а, Ъ) или вектором ОМ с началом
88
в точке О и с концом в точке М (рис. 4). Для задания комплекс-
ного числа достаточно указать изображающую его точку М или
вектор ОМ. Положение точки М ранее определялось ее координа-
тами а и Ь.
Однако положение точки М можно характеризовать и другим
способом. Обозначим через г расстояние точки М от начала коор-
динат (т. е. длину вектора ОМ), а через ср—угол, который образует
вектор ОМ с осью Ох, отсчитываемый от положительного направ-
ления оси (рис. 4). Очевидно, что задание величин г и ф однозначно
определяет положение точки М на плоскости.
Из тригонометрии известно, что
а . b
COS ф = у- , S1H ф = у ,
откуда
а = г cos ср, &=rsin<p. (28)
Поэтому
z = а + Ы = г (cos <р + i sin ср).
(29)
Правая часть равенства (29) называется тригонометрической формой
комплексного числа z, тогда как запись z в виде а-\-Ы называется
его алгебраической формой.
Из формул (28) или непосредственно из рис. 4 получим, что
г = tg<P = v(a=^°)- (3°)
Число г является неотрицательным действительным числом, причем
оно равно нулю только для z = 0. Число г называется модулем комп-
лексного числа z и обозначается символом |г|.
Угол ф называется аргументом числа г и обозначается символом
argz. Угол ф определяется с точностью до 2&л (£ = 0, ±1, ±2, ...),
так как углам ф и ф + 2£л при одинаковом г соответствует одна и
та же точка М. Аргумент не определен только для z = 0.
У равных комплексных чисел модули равны, а аргументы могут
отличаться только на 2&л.
Для перехода от алгебраической формы к тригонометрической
форме удобно сначала изобразить комплексное число точкой или
вектором и затем по формулам (30) найти | г | и arg г (при определе-
нии аргумента ф по найденному значению tgф нужно учитывать
координатную четверть, в которой лежит изображающая точка).
Переход от тригонометрической формы к алгебраической форме
очевиден.
Отметим, что если некоторое комплексное число г записано в виде
г = р (cos а + i sin а),
где р > 0 и а—действительное число, то р является модулем чис-
ла г, а а—его аргументом.
39
В самом деле, для этого числа z, очевидно, a = pcosa и b = psina.
Тогда
[ z | = /а2 + Ь2 = J/р2 (cos2a + sin2a) = p,
a p cos a . b p sin a
cos cp = i; = -------= cos a, sin ф = -j—7 = ------= sin a,
т И P Y И P
откуда cp = a (с точностью до 2&л).
Пример. Представить в тригонометрической форме следующие
комплексные числа:
1) z = —3, 2) z = 2Z, 3)z=l—г, 4) z = —3—4i.
Решение. 1) Отрицательные действительные числа лежат на
отрицательной полуоси Ох (рис. 5). Следовательно, их аргумент ра-
вен л, а модули совпадают с абсолютными величинами этих чисел.
Поэтому г = |—3 ] = 3, ср = arg (—3) = л и
—3 = 3 (cos л + i sin л).
2) Числа вида Ы, где b > 0, лежат на
положительной полуоси Оу. Следовательно,
л
их аргумент равен -у, а модуль совпада-
ет с b (г = Vа2 + Ь2 = b, Ъ > 0). Поэтому
г = | 2i | = 2, ф = arg (20 = у
2i = 2 (cosy-H’siny
Заметим, что вторая из формул (30) здесь не применима.
3) По формулам (30) найдем для числа z=l—что
r = j/'l + 1 =/2, tg<P = -p = — 1-
Изображающая число z точка лежит в IV четверти или в первой
отрицательной четверти (рис. 5). Поэтому для аргумента ср можно
7 л
взять значения у л или —у . Следовательно,
1— i = У 2 £cos (—у) + * sin 7)] •
Заметим, что равенство
1 — / = К2 ^cosy—
не является тригонометрической формой числа 1—i.
4) По формулам (30) найдем для числа z =—3—4/, что
к + 4
г = 5, tgcp = —.
40
Учитывая положение изображающей точки (она лежит в III четверти),
для ф остается наити такое значение, что 1аф = — и л<ф<-^-л
о J
(рис. 5).
Как видно из рис. 5, <р = л;-|-а, где а—острый угол и tga = 4-.
О
4 4
Поэтому a = arctgy (см. гл. XII, §3), т. е. ф = л 4-arctgy. Тогда
—3 —= 5 j^cos (л + arctg у) + * sin (л 4- arctgy) j .
Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных
чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i. Этим числам соответствуют на
плоскости точки М1(а1, &х) и М2(а2, Ь2).
Так как гх — z2 = (at—a2) + (^i—Ь2)1, то
I Z1 — z21 = а2)2 + (&!—&2)2.
Правая часть полученного равенства есть расстояние между точ-
ками Мх и М2 (см. формулу (17)). Следовательно,
—г2| = 7И17И2,
т. е. модуль |гх — z2| равен расстоянию между точками на плоско-
сти, изображающими числа гх и z2.
Пусть г0 и г — заданные числа, причем г0—комплексное, а
г—действительное и положительное. Рассмотрим окружность с
центром в точке Л40, изображающей z0, и радиусом, равным г.
Обозначим через М (х, у) точку на этой окружности. Тогда комп-
лексное число z = x + yi удовлетворяет равенству |г— z01 = г.
Верно и обратное, т. е. из равенства \ z—zQ\ = r вытекает, что
точка, изображающая число z, лежит на указанной окружности.
Таким образом, равенство
|г — г0| = г (*)
можно рассматривать как уравнение окружности с центром в точ-
ке Мо и радиусом, равным г.
Запишем равенство (*) в другом виде. Пусть г0 = а-{-Ы. Тогда
|г — г0| = ]/(х—а)2-\-(у—Ь)2 и равенство (*) означает, что
/ (х—а)2 + (у—ЬУ = г,
ИЛИ
(х—а)2 + (г/—Ь)2 — г2. (31)
Заметим, что уравнение (31) можно сразу получить из форму-
лы (17).
41
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Умно*
ж е н и е. Пусть
zr = rx (cos ф! + i sin фх),
г2 = r2 (cos ф2 + i sin ф2).
Тогда
z1z2 = r1r2 [(cos фх cos ф2 — sin фх sin ф2) + / (sin фх cos ф2 + cos фх sin ф2)].
Применяя известные из тригонометрии формулы сложения (гл. X), окончательно
получим
ZiZ2=rir2 [cos (<Р1 + <р2) +1 sin (фх+фа)]. (32)
Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются.
Деление. Имеем
?х rx (cos Ф1 + * sin фх) rx (cos Ф1 + * sin фх) (cos ф2 — i sin ф2)
z2 г2 (cos Ф2 + 1 sin ф2) r2 (cos ф2 + * sin ф2) (cos ф2—i sin ф2)
rx (cos фх • cos ф2 + sin фх • sin ф2) + i (sin фх • cos ф2—cos фх • sin ф2)
~~ r2 cos 2 ф2-J-sin2 ф2
=-^--[cos (фх—ф2) + > sin (фх—ф2)]. (33)
Г2
Итак, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычи-
таются.
Из формул (32) и (33) следует, что
|Zx-z2| = |2x|.|z2|, |-£1.|=1£11(z2 5^ 0),
I Z2 I I Z2 I
arg (Zx • z2) = arg Zj + arg z2, arg =arg zt — arg z2.
Z2
Возведение в степень. Применяя формулу (32) последовательно п
раз, получим
zn — rn (cos Лф + * sin пф). (34)
Формулу (34) называют формулой Муавра.
Например, вычислим
; , (i-iVT)3
(1+02 ’
Имеем
arg z = arg [(1 —i]<3)3| — arg [(1 + i)2] =3 arg (1 —1^3 ) — 2 arg (1 +»).
Так как
arg(l—/угЗ)=-|-л, arg(14-i) = i,
TO
o 5 n л 9
argz= 3-y л — 2--j-=y Jtc
Поэтому
. f 9 , . . 9 \ A.
z= 4 I cos у л +1 sin л \ = 4te
42
Извлечение корня. Теорема. Корень yf г всегда существует и имеет
ровно п различных значений, если г 0.
Доказательство. Пусть г = г (cos ф + i sin ф). Полагаем
со = г = р (cos а + i sin а).
Тогда (оп = г и по формуле Муавра
со« = р« (cos па + i sin па),
т. е.
рп (cos па + i sin па) = г (cos ф + i sin ф).
Так как модули равных комплексных чисел одинаковы, а аргументы могут
отличаться только на 26л, то pn = r, na = cp-\-2kn, Отсюда р=у^г (корень
ф + 26л
берется арифметический), а =—-—• Тогда
Ф -|- 26л
п
]-i sin
ф + 26л
п
(35;
В формуле (35) достаточно положить 6 = 0, 1, 2, ..., п—1.
В самом деле, для этих значений k все полученные по формуле (35) значения
корней будут различны, так как их аргументы не отличаются друг от друга на
число, кратное 2л.
При k = n получаем ---------=п—ги соответствУЮ11*ии корень совпадает
с корнем, который отвечает значению k = Q.
Любое другое целое k представимо в виде k = nq-\-lt где q—целое, < п.
Поэтому
ф + 26л ф + 2/л
-|-2<7л.
п п
Отсюда следует, что соответствующий корень совпадает с корнем, отвечающим
значению k=l. Теорема доказана.
Например, вычислим —1. Имеем
, у ------------------------ з zt ( л4-26л , . . л + 26л\
J/ = 1 = у 1 • (cos л +1 sin л) = у 1 • ( cos —4^-[-1 sin —-— 1.
Придавая k значения 0, 1, 2, получим три значения J/—1;
при 6 = 0
при k = 1
при 6 = 2
С02 = —1,
1 . /т
“3=Т-‘-2-
§ 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Рассмотрим некоторые задачи на комплексные числа.
Пример 1. Найтц действительные числа х и у, если
(5х—Зу) + (х—2у) i = 6 + (8—х + у) i.
Решение. Используя условие равенства комплексных чисел,
получаем
( 5х—Зу = 6,
I х—2у = 8—х + у.
Из этой системы определяем неизвестные х и у:
2 28
х=-у, У=-^.
Пример 2. Возвести в степень
(14-О20, (1—От-
решение. Можно воспользоваться формулой бинома Ньютона,
но проще поступить по-другому. Заметим,, что
(1 4-/)2 = 2/, (1— i)2 = — 2i.
Тогда
(1 + f )20 = [(1 f)2] Ю = (2/)10 = — 210;
(1 _ i )2i = [(1 —1)2] ю. (1 — 0 = (—2i)i° • (1 — 0 = — 210 (1 — i).
Пример 3. Извлечь корень Кб 4- 12Л
Решение. Пусть V5 + 12/ = х4- yi. По определению корня имеем
(х + yi)2 = 5 + 12/,
или
(х2—у2) + 2xyi = 5 + 12/,
откуда получаем систему
( х2—у2 = 5,
\ 2x0=12. (*)
Возведя оба уравнения в квадрат и сложив их, получим
(х2 4- у2)2 = 25 4- 144 и х2-\-у2 = 13.
Тогда из системы
| х2 4 У2 = 13,
( х2—у2 = 5,
определим неизвестные х и у:
х = ztz 3, — Ч- 2.
Из второго уравнения системы (*) следует, что знаки х и у
совпадают. Поэтому хх = 3, уг = 2\ х2 = —3, у2 =—2.
Итак, Кб 4- 12/ имеет два значения
3 4- 2i и —3 — 21.
44
Пример 4. На множестве комплексных чисел решить уравнение
г2 4-1 z | = 0.
Решение. Пусть z = x-\-yi. Тогда
z2 = (x-^yi)2 = (x2 —y2)-\-2xyi, |z| = +
и данное уравнение можно записать в виде
(х2 — у2 + V х2 + У2) + 2хгд = 0.
Последнее возможно тогда и только тогда, когда
( х2—у2 + Ух2 + у2 = 0, .
I xy = 0. v ;
Из второго уравнения системы (*) следует, что либо х = 0, либо
у = 0.
Если х = 0, то первое уравнение (*) принимает вид
—г/2 + /^ = 0. т. е. —г/а + |г/| = О.
Так как у2 = |#|2 (по свойству абсолютной величины действитель-
ного числа), то имеем
\у\-(\у\-Ч = о,
откуда либо |z/| = 0, либо |z/|—1=0.
Таким образом, при х = 0 имеем: уг = 0, г/2=1, У3 = —I-
Если у = 0, то из первого уравнения системы (*) получим, что
х24-К*2 = 0, т. е. x2-f-|x| = 0. Но это возможно только при х = 0
(ведь х—действительное число!).
Итак, данное уравнение имеет три корня:
2х = 0, z2 = i, z3 = —i.
Пример 5. Комплексные числа удовлетворяют условию — т| =
= |г4-2|. Где расположены точки, изображающие эти числа?
Решение. Используем геометрический смысл модуля разности.
Модули |г — i\ и |гЦ-21 = | z — (—2)| равны соответственно расстоя-
ниям от точки, изображающей число г, до точек А (0, 1) и В(—2, 0).
По условию эти расстояния равны. Следовательно, решением
задачи будет геометрическое место точек, равноудаленных от то-
чек А и S, т. е. перпендикуляр, проведенный через середину от-
резка АВ.
Пример 6. Комплексные числа удовлетворяют условиям 1 <|г|<2
-g-< arg г <. Где расположены точки, изображающие эти числа?
Решение. Так как 1 < | г| < 2, то точки, удовлетворяющие этому
условию, лежат внутри кольца, ограниченного окружностями с цент-
ром в точке О и радиусами I и 2. Поскольку же < arg z < ~ ,
решению задачи удовлетворяют только точки, лежащие внутри обла-
сти, изображенной на рис. 6.
45
Пример 7. Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию
|z—25i |=С 15, найти число, имеющее наименьший аргумент.
Решение. Условию [z —25г|15 удовлетворяют только числа,
изображаемые точками, которые лежат внутри и на границе круга
с центром в точке С(0,25) и радиусом 15 (рис. 7).
Как видно из рис. 7, числу с наименьшим аргументом отвечает
точка М, в которой прямая ОМ касается окружности. Из прямо-
угольного треугольника ОМС найдем, что
ОМ = ]^ОС2—МС2 = /252 —152 = 20,
МС 15 3
cosa= QC =25— 5
sina =
ОМ __20_ 4
ОС “ 25 ~ 5 *
Поэтому x = OM-cosa= 12, y = OAl-sina= 16, значит искомое число
2=124-16/.
Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное
число z = I + itga, где а—данный угол, причем: а) 0<а<—- ,
б) у < а < л.
Решение. Преобразуем данное число z:
ч - , sin a 1 , . . . ч
а) г = 1 4-1--=------(cos a -4-1 sin a).
7 1 cos a cos a 4 1 б) 7
1 JT
Так как число------>0 при 0<a<-s- и в скобке стоит коси-
cos a Г 2
нус и синус одного и того же аргумента, то полученное выражение
есть тригонометрическая форма числа z;
б) при -тг < a < л число----< 0 и, значит, выполненное выше
7 г 2 cos a
преобразование не дает тригонометрической формы числа г.
Преобразуем z по-другому:
г - — zsk: cos a) +1 (— sin а)] = — [cos (n-|-a)4-i sin(«+a)],
что и дает тригонометрическую форму числа z при условии
ВТ . .
у<а<л.
46
Пример 9. Найти аргумент числа w = z*—z, если известно, что
z=cosq)-H’sin(p, 0^(р<2л.
Решение. Имеем:
w = (cos ср + i sin ф)2—(cos ф + i sin ф) =
s= (cos2 ф—sin2 ф + 2f sin ф cos ф) — (cos ф + i sin ф) =я
= (cos 2ф — cos ф) + i (sin 2ф—sin ф).
Преобразуя выражения в скобках, получаем, что
w = — 2 sin у. sin у + i • 2 sin • cos ^2.
= 2 sin у . (— sin ^2 _|_ i cos у ) =
= 2sin|. [cos(f+ ^) + isin(^ + ^].
При 0 < ф < 2л число sin у > 0 и полученное выражение есть три-
гонометрическая форма числа ш. Поэтому arg^ — y + y.
При ф = 0 число sin у = 0, откуда о> = 0. В этом случае аргумент
числа w не определен.
ГЛАВА II
РАВЕНСТВА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ. НЕРАВЕНСТВА
§ 1. РАВЕНСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Алгебраическим выражением называется выражение, составленное
из чисел (обозначенных буквами или цифрами) при помощи алгеб-
раических действий (сложения, вычитания, умножения, деления,
возведения в степень и извлечения корня)*.
Алгебраическое выражение, содержащее величины х, у, ..., г,
сокращенно записывается в виде А (х, у, ...» г). Заранее должно
быть указано, на каком множестве оно рассматривается, т. е. какие
значения могут принимать величины х, у, ..., г—действительные
или комплексные, или целые и т. д.
Значения величин, при которых выполнимы все действия, ука-
занные в выражении А, называются допустимыми значениями. Они
образуют область определения или множество допустимых значений
выражения А. Иногда в связи с конкретным смыслом А на допу-
стимые значения налагаются дополнительные условия.
В дальнейшем алгебраические выражения будем рассматривать
на множестве действительных чисел, если не сделано специ-
альных оговорок.
При совместном рассмотрении нескольких алгебраических выра-
жений нужно брать общую часть их областей определения. Напри-
мер, рассматривая совместно выражения
считают, что х#= — 1, х#=0, у=£ — 2.
Два алгебраических выражения А и В, соединенные знаком ра-
венства ( = ), образуют равенство'.
' А = В. (1)
При любом конкретном выборе значений величин (из общей части
областей определения выражений А и В) равенство (1) обращается
в числовое равенство. Полученное числовое равенство может быть
справедливым (верным) или несправедливым (ложным). Например,
очевидно, что равенство х24-1= — х4 является несправедливым для
любого действительного числа х.
Определение 1. Равенство, верное для всех допустимых значений,
входящих в него величин, называется тождеством. Тождествами
называются также и все верные числовые равенства.
Предполагается, что указанные действия применяются конечное число раз.
48
Для обозначения тождественности двух выражений применяется
также символ =:
А (х, у....г) = В(х, у, .... z). (2)
Простейшими тождествами являются равенства, выражающие основ-
ные свойства арифметических действий:
a-yb = by~ a, (а + b) А~с = а + (&4-с), ab = ba,
(а-ЬУс = а-(Ь‘С)> (ау-Ьус = а-сУ~Ь-с.
Определение 2. Равенство, верное не для всех допустимых зна-
чений входящих в него величин, называется уравнением.
Таким образом, равенства (1) бывают двух видов: тождества и
уравнения.
Замечание. Понятия равенства, тождества и уравнения уста-
новлены не только для алгебраических, но и для любых математи-
ческих выражений.
Тождества (2) обладают следующими основными свойствами:
1) если А = В и В^С, то А^=С;
2) если А = В, то А + С = В + С;
3) если А = В, то АС = ВС,
где выражения А, В и С рассматриваются на одном и том же мно-
жестве допустимых значений.
Переход от алгебраического выражения А к тождественному с
ним алгебраическому выражению В называется тождественным пре-
образованием.
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Алгебраические выражения подразделяются на рациональные и
иррациональные.
Алгебраическое выражение называется рациональным относи-
тельно какой-нибудь величины, входящей в это выражение, если над
этой величиной производятся только действия сложения, вычитания,
умножения, деления и возведения в целую степень.
Алгебраическое выражение называется иррациональным относи-
тельно какой-нибудь величины, если оно содержит эту величину
под знаком корня (радикала).
Если говорят «рациональное алгебраическое выражение», не до-
бавляя относительно каких величин, то предполагается, что оно
рационально относительно всех величин, которые входят в это вы-
ражение. Например, выражения
2-^-х— х3,
1-1
— рациональные выражения,
иррациональны относительно
носительно у.
Рациональные выражения
а выражения ]/ х2 + 1, у2 f/x + у \/~х2
х и последнее из них рационально от-
подразделяются на целые и дробные.
49
Целым рациональным выражением или многочленом (полиномом)
относительно какой-нибудь величины называется выражение, в ко-
тором над этой величиной производятся только действия сложения,
вычитания и умножения. Например, + —многочлен от-
носительно у.
Многочлен n-й степени относительно х имеет вид
Р (х) = aQxn + а^х”"1 + ... + + ап, (3)
(где ао=£О, — целое число), если его расположить по убываю-
щим степеням х. Тот же многочлен Р (х) можно расположить и в
ином порядке, например, по возрастающим степеням х.
Многочленом нулевой степени является любое не равное нулю
число. Число нуль также считается многочленом; это единственный
многочлен, степень которого не определена.
Многочлен или целое рациональное выражение Р (х, у, ...» г)
является суммой членов вида
axkyl. . .zq, (4)
где а—числовой коэффициент, A, Z, q—неотрицательные целые
числа.
Выражение (4) называется одночленом, а сумма k Ц- /+•.• + q
— степенью одночлена. Очевидно, что одночлен — частный случай
многочлена.
Многочлен Р(х, у, ...» г) равен сумме одночленов. Наибольшая
из степеней одночленов, составляющих многочлен, называется сте-
пенью многочлена (относительно совокупности ве-
/ личин X, у, ..., z).
[ \ Дробным рациональным выражением, или ал-
zr V гебраической дробью называется отношение двух
\ J многочленов
К У Р(х, У, г)
<1(х,У...ZY W
Рис. 8 Алгебраическое выражение А (х, у, ..., г)
называется однородным с показателем однородности
а, если при любом t и х, у, ..., z
A (tx, ty, ..tz) = ta-A(x, у, ..., г) (6)
(лишь бы левая и правая части этого соотношения имели смысл).
Например, для А=]^2х—у имеем
_______ _ ____ _i_
A (tx, ty) = \Y%tx — ty = yt-V2x—y = t 2 -А(х, у).
Следовательно, выражение А однородно с показателем a = -j.
Выражение В(хгу) — х—у+ 2 не является однородным, так как
условие (6) здесь не выполняется ни при каком а.
Замена в алгебраическом выражении А (х, у, ..., г) первой буквы
второй, второй буквы третьей и т. д., наконец, последней буквы
50
первой называется круговой перестановкой величин х, у, ...» z. На
рис. 8 изображена круговая перестановка трех величин. Она пере-:
водит х в у, у в z, z в х. Повторная круговая перестановка пере-
водит у в z, z в х, х в у.
Алгебраическое выражение A (х, у, ..., z) называется симметри-
ческим, если оно не изменяется при любой круговой перестановке.
Например, выражение
Х—у , у — 2 . Z — X
(Z — x)(z — у) (x — y)(x—z)^ (y — Z)(lJ — X)
является симметрическим, а выражение х-\-у—z не является сим-
метрическим.
§ 3. ДЕЙСТВИЯ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ. ТЕОРЕМА БЕЗУ
Пусть Р(х) и Q(x)—многочлены относительно х с любыми комп-
лексными коэффициентами.
Определение. Два многочлена Р(х) и Q(x) считаются равными
(или тождественно равными)'.
P(x) = Q(x)t
в том лишь случае, если равны их коэффициенты при одинаковых
степенях х.
Очевидно, что равные многочлены принимают при всех значе-
ниях х одинаковые значения. В курсе высшей математики доказы-
вается и обратное: если значения двух многочленов равны при всех
значениях х, то многочлены равны, т. е. их коэффициенты при оди-
наковых степенях х совпадают.
Многочлены можно складывать, вычитать, умножать друг на
друга. Суммой (разностью) двух многочленов Р (х) и Q(x) называется
многочлен, у которого коэффициент при каждой степени х равен
сумме (разности) коэффициентов при той же степени х в многочле-
нах Р(х) и Q(x). Чтобы умножить два многочлена Р(х) и Q(x),
нужно каждый член многочлена Р(х) умножить на каждый член
многочлена Q(x) и результаты сложить.
Действия сложения, вычитания и умножения многочленов обла-
дают основными свойствами арифметических действий.
Пусть Р(х) и D(x)—два многочлена, причем степень многочлена
Р(х) не меньше степени многочлена D(x).
Если существует многочлен Q(x) такой, что справедливо равенство
P(x)=D(x)-Q(x), (7)
то говорят, что многочлен Р (х) делится (или нацело делится) на
многочлен D(x). При этом Р (х) называется делимым, D(x)—дели-
телем, a Q(x)—частным.
Если такой многочлен Q (х) не существует, то говорят, что мно-
гочлен Р (х) не делится на многочлен D (х), и тогда рассматривают
деление с остатком.
51
Пусть многочлен D(x)—степени не ниже первой.
Определение. Разделить многочлен Р (х) на многочлен D (х) с ос-
татком означает представить многочлен Р (х) в виде
Р (х) = D (х) • Q (х) + R (х), (8)
где Q(x) и /?(х) — многочлены, причем степень 7?(х) меньше степени
О(х).
В равенстве (8) Р (х) называется делимым, D(x)—делителем,
Q(x)—частным и 7?(х)—остатком. В частности, если 7?(х) = 0, то
получим формулу (7), т. е. Р (х) делится на Z)(x).
Справедлива следующая теорема, которая приводится без дока-
зательства.
Теорема. Для любых двух многочленов Р (х) и D (х) всегда можно
найти и притом однозначно многочлены Q(x) и R(x), для которых
справедливо равенство (8).
Для деления многочленов обычно применяется правило «деления
углом». С этой целью располагают многочлены по убывающим сте-
пеням х и находят старший член частного Q (х) из условия, что при
умножении его на старший член делителя D (х) получается старший
член делимого Р (х). Найденный член частного умножают затем на
делитель и вычитают из делимого. Следующий член частного опре-
деляют из условия, что он при умножении на старший член делителя
дает старший член многочлена-разности, и т. д. Процесс продол-
жается до тех пор, пока степень новой разности не окажется меньше
степени делителя. Эта последняя разность и будет остатком от де-
ления 7?(х).
Пример 1. Выполнить деление, если
Р (х) = х4 + 2х + х2 + х3 + 1, D (х) = 1 + х2.
Решение. Для выполнения деления применяем правило «деле-
ния углом». Прежде всего располагаем Р (х) и D (х) по убывающим
степеням х.
Выкладки производятся так:
_ х4 Ц-х3 Ц-х2 4-2х +1 | х2 + 1
X4 + X2 X2 + X
__х34~ 2x4-1
х^Н-х
х -р 1
Отсюда Q (х) == х2 4- х, R (х) = х 4- 1. Следовательно,
х4 4- х3 4- х2 4- 2х 4- 1 = (х2 4-1) (х2 + х) 4- х + 1.
Пример 2. Выполнить деление, если
р (%) ?= х3 — 1, D (х) = х2 4- х 4- 1.
Решение. Здесь Q(x) = x—1, /?(х) = 0, так как х3 — 1 =
= (х—1) (х24-х4-1). Деление производится нацело, т. е. без остатка.
52
Замечание. Не следует смешивать делимость многочленов
с делимостью их значений. Например, Р(х) = х2— 1 делится на
D(x) = x— 1. Однако не имеет смысла говорить о делимости их зна-
чений при х= 1, так как D(l) = 1—1=0. Многочлен Q (х)=х2+2х+2
не делится на R (х) = х + 3. Однако Q (2) делится на R (2).
Деление с остатком многочлена
P(x) = 6zoxn + ^1xn-1+ ... +ап_1х + ап (ао=#О)
на двучлен х—с производится следующим образом (здесь aQ9 а19
..., ant с—любые комплексные числа). Пусть
P(x) = (x—c)-Q(x) + R, (9)
где Q (x) = bQxn~1-]-b1xn~2^-... +bn_2x-]-bn_i9 a R—некоторое чис-
ло, так как степень R в равенстве (9) должна быть меньше степени
двучлена х—с, т. е. меньше единицы.
В силу равенства (9) имеем:
a^ + a^-' + c^x”'2-^ ... +ап_1х + ап =
= (х—с) • (М""1 + М""2 + • • • + bn^) + R.
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых степе-
нях х, получаем
а0 = Ь0, а1 = Ь1—cbQ> a2 = b2—cb19 ...,
откуда
bQ = aQ9 b^cbk^ + аь (Л=1, 2, ..., и), (10)
где
bn = R-
Из равенств (10) следует, что коэффициент bk частного Q(x)
получается умножением предыдущего коэффициента Ьк_г на с и при-
бавлением соответствующего коэффициента ак многочлена Р(х); так
как R = bn = cbn_1-^an9 то и остаток находится по этому же правилу.
Таким образом, формулы (10) позволяют, не производя «деления
углом», определять коэффициенты частного Q (х) и остаток R при
делении многочлена Р(х) на двучлен х—с.
Практически вычисления производятся по следующей схеме, на-
зываемой схемой Горнера'.
bo —R
Пример 3. Разделить Р(х) = 2х3—х-|-3 на х-}-1=х—(—1).
Решение. Составим схему Горнера:
2 0—13 |—1
+ —2 2—1
2 —2 1 2 = 7?
53
Искомое частное Q(x) = 2x2—2x4-1, остаток 7? = 2. Следовательно,
2х’—х + 3 = (х + 1) • (2х2—2х 4-1) 4-2.
Следующая важная теорема позволяет найти остаток от деления
Р(х) на х—с, не выполняя самого процесса деления.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р (х) на двучлен
х—с равен значению многочлена Р (х) при х = с.
Доказательство. Выполнив деление многочлена Р(х) на
двучлен х—с, получаем равенство
Р (х) = (х—с) • Q (х) 4- Р,
где остаток Р—некоторое число.
Придавая х в этом равенстве значение с, находим
Р(с) = (с—c)-Q(c) + P = P,
что и требовалось доказать.
Замечания. 1. Остаток 'от деления многочлена Р(х) на дву-
член ах-\-Ь (а =5^=0) равен значению многочлена Р(х) при х = — -у.
В самом деле, согласно формуле (8)
Р (х) = (ах 4- Ь) • Q (х) 4- Р,
где Р—снова число.
Подставляя в это равенство х = — у, видим, что Р = Р (—-у).
Например, остаток от деления многочлена Р (х) = 8х3 4- 4х2 4-1
на двучлен 2х-Н’ согласно замечанию 1 равен числу
2. Теорема верна и в том случае, если Р(х, у, г)—много-
член относительно х, у, ..., z, а деление происходит на разность
х—С (у, ...» z), где С (у, ..., z)— многочлен.
В самом деле, роль числа с здесь играет многочлен С (у, ..., z),
а вместо многочлена Р(х) имеем многочлен Р(х, у, ..., z).
Определение. Число с называется корнем многочлена Р(х), если
при значении х — с многочлен принимает значение, равное нулю,
т. е. Р(с) = 0.
Следствие из теоремы Безу. Для делимости многочлена
Р(х) на двучлен х—с необходимо и достаточно, чтобы число с было
корнем многочлена Р (х).
Доказательство. Необходимость. Пусть Р(х) делится
на х—с. Это значит, что остаток R = 0. С другой стороны, по тео-
реме Безу остаток R=P(c). Отсюда следует, что Р(с) = 0, т. е.
с—корень многочлена Р(х).
Достаточность. Пусть с — корень Р(х). Это значит, что
Р(с) = 0. С другой стороны, по теореме Безу остаток R = P(c). От-
сюда следует, что 7? = 0, т. е. Р(х) делится нацело на х—с.
64
Из теоремы Безу вытекают и другие следствия, которые исполь-
зуются для разложения многочлена на множители.
Определение. Преобразование многочлена к виду произведения
двух или нескольких многочленов ненулевой степени называется
разложением многочлена на множители. Если многочлен может быть
разложен на множители, то он называется приводимым, в противном
случае—неприводимым или неразложимым на множители.
Очевидно, что многочлен х + 3 неприводим, на каком бы множе-
стве—действительных или комплексных чисел его ни рассматривать.
Многочлен х2 +1 неприводим на множестве действительных чисел и
приводим на множестве комплексных чисел:
Х2+ 1 = (х-Н)«(х—i).
Задача о разложении многочлена на множители аналогична за-
даче о разложении целых чисел на множители. Здесь неприводимые
многочлены играют роль простых чисел, а приводимые многочлены —
составных чисел.
Многочлен Р(х) = а0хи4-а1х""14-... -\-an_rx-\-an (aQ^ty с про-
извольными комплексными коэффициентами приводим на множестве
комплексных чисел (см. гл. III, § 4). При этом
Р (х) = а„ (х — хх) (х—х2)... (х—х„),
где xv х2 ..., хп—корни многочлена Р(х).
В частности, справедливо разложение на множители квадратного
трехчлена (см. гл. III, § 5)
ах2 + Ьх + с = а(х—xj (х—х2), (а=£0)
где хх и х2—корни трехчлена ах2-\-Ьх-[-с.
Рассмотрим вопрос о разложении на множители многочлена вида
Р (х) = хт =F ст.
Из теоремы Безу вытекает:
1. Многочлен хт—ст делится на двучлен х—с при любом нату-
ральном т, То ес разность одинаковых степеней делится на разность
их оснований.
2. Многочлен хт—ст делится на х4-с при любом четном т, т. е.
разность одинаковых четных степеней делится на сумму их оснований.
3. Многочлен хт+ст делится на х-]-с при любом нечетном т,
т. е. сумма одинаковых нечетных степеней делится на сумму их
оснований.
Докажем, например, последнее утверждение. В самом деле, пусть
Р (х) = хт + ст. Замечая, что
Р (— с) = (— с)т -j-cm и (— с)т = — ст
при нечетных т, получаем:
Р(— с) = — ст + ст = 0.
Следовательно, Р (х) делится на х — (— с) = х + с. Аналогично дока-
зываются первые два утверждения.
55
Выполняя деление (по правилу «деления углом» или по схеме
Горнера), нетрудно получить, что
Хт—ст = ^х — (Хт'~1-\-СХт~2 . +Ст~2Х + Ст~1).
Чтобы получить частные от деления хт—ст на х-\-с при т чет-
ном и от деления хт-\-ст на х-\-с при т нечетном, заменим в по-
лученном выше равенстве число с на (—с):
Хт— = (хО') —СХт~2 -\-С2Хт~3— . . . -\-Ст~2-Х — Ст~1)
(т—четное число),
хт-\-ст = (х 4-с) (хт~1—схт~2 с2х^“3—... —ст~2
(th—нечетное число).
Советуем читателю доказать, что:
1) сумма одинаковых степеней хт-\-ст не делится на разность
их оснований х—с,
2) разность одинаковых нечетных степеней не делится на сумму
их оснований;
3) сумма одинаковых четных степеней не делится на сумму их
оснований.
Существуют различные способы разложения многочлена на мно-
жители (см. гл. II, § 4). Одним из таких способов является так
называемый метод неопределенных коэффициентов. Идея его состоит
в следующем.
Пусть нам известно, что в результате некоторых преобразований
получается выражение определенного вида и неизвестны лишь ко-
эффициенты в этом выражении. Тогда эти коэффициенты обозначают
буквами и рассматривают как неизвестные. Затем для определения
этих неизвестных составляется система уравнений.
Например, в случае многочленов эти уравнения составляют из
условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях х у двух
равных многочленов.
Поясним сказанное на следующем примере.
Пример 4. Методом неопределенных коэффициентов показать,
что выражение (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) +1 есть квадрат трехчлена.
Решение. Если данное выражение есть квадрат трехчлена, то
справедливо равенство
(х+1)(х + 2) (х + 3) (% + 4)+1 =(х2 + ах + Ь)2,
где а и b—искомые коэффициенты.
Раскрывая в этом равенстве скобки и сравнивая коэффициенты
при х3 и х2 в левой и правой части, получаем систему
f 2а = 10,
\ а2 + 2Ь =35,
откуда находим а = 5, fe = 5. Убеждаемся, что при этих значениях
а и b также совпадают коэффициенты при х^и х°.
Итак, данное выражение равно (х2 + 5% + 5)2.
56
§ 4. МНОГОЧЛЕНЫ (РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ)
I. Делимость многочленов. При решении задач на делимость
многочленов нужно отчетливо представлять себе действие деления
с остатком и применять теорему Безу и ее следствие о необходимом
и достаточном условии делимости многочлена на двучлен.
Пример 1. Не производя деления, найти остатки от деления мно-
гочлена Р(х) = 2х4—Зх2 4-2x4-1 на квадратные трехчлены: а) х2—
— х—2, б) х2+ 1.
Решение, а) Находим корни трехчлена х2—х—2: хх = 2,
х2 =—1 и разложим трехчлен на множители:
х2—х—2=<х—2)(х-|-1).
Остаток 7? есть многочлен первой степени ах-\-Ь. Следовательно,
Р(х) = (х—2) (х -|- 1) • Q (х) + ах 4- Ь, где Q (х)—частное.
Придавая х значения, равные корням трехчлена, имеем
P(2) = 2a-\-b, P(—V) = — a + b,
где
Р(2) = 25, Р(—1) = —2.
Решая систему
( 2а 4- 5 = 25,
| —а 4- Ь— —2,
находим а = 9, 5 = 7. .Итак, Р = 9х4-7.
б) В равенстве Р(х) = (х24-1)-Q (х)-|-ах4-5 положим x = i
(t—корень многочлена х24-1).
Тогда 2i4—3Z24-2i4-1 = ai-]-b или f>-]-2i = b + ai, откуда 5 = 6,
а = 2. Итак, Р = 2х4-6.
Пример 2. Найти значения а, 5 и с, при которых многочлен
Р(х) = 2х4—ах2 4-5x4-с делится на х4-2 без остатка, а при делении
на х2 — 1 дает в остатке х.
Решение. Из первого условия следует, что Р(—2) = 0, т. е.
32—4а—254-с = 0. Из условия деления на х2 — 1 с остатком, рав-
ным х, имеем
Р (х) = (х2 — 1) • Q (х) 4- х.
Полагая в этом равенстве х=1 и х =—1, получаем:
2—а4-54-с=1,
2—а—Ь-\-с = —1.
Решая систему
{4а 4-25—с = 32,
а—5—с= 1,
а 4-5—с — 3,
находим а = ^, 5=1, с = ^.
о □
57
Пример 3. При каких значениях а и b многочлен х*—Зх34-Зх24*
$-ах-\-Ь делится без остатка на трехчлен х2—3x4-4?
Решение. Легко проверить, что корни трехчлена комплекс-
ные. Поэтому применять в данном случае метод, основанный на
теореме Безу, нецелесообразно.
I способ. Применяем метод неопределенных коэффициентов:
х1—Зх3 + Зх2 4- ах -|- b = (х2—Зх 4- 4) (х2 4- рх 4- q).
Приравнивая коэффициенты при х3, х2, х и свободные члены,
получаем систему
{— 3 = р —3,
3 = q—Зр 4- 4,
а= —3<74-4р,
b — 4q,
откуда находим р = 0, q = —1, а — 3, Ь = —4.
II способ. Очевидно, что
х4—Зх3 4- Зх2 4- ах 4- b = (х4—Зх3 4- 4х2) 4- (— х2 4- ах 4- Ь) =*
= х2 (х2—Зх4-4)4-(— х24-ах4-/?).
Отсюда следует, что для делимости на х2—3x4-4 необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось равенство —х2ах + b =>
=—(х2—3x4-4). Из этого равенства находим: а = 3, Ь = —4.
Пример 4. При каких а и а многочлен х3 4- ах 4- 1 делится на дву-
член х—а без остатка и частное от деления больше нуля при всех х?
Решение. Для нахождения частного применяем схему Горнера:
,10а 1 [а
+ а а2 а3 4- аа
1 а а2 4- а а34-аа4~ 1 =
откуда частное Q (х) — х2 4- ах 4- (а2 4- а) и остаток 7? = а3 4- аа 4* 1.
По условию а3 4-«а 4-1=0, следовательно, а — — а2—и Q(x) =
= х24-ах—(а=т=0).
Так как по условию квадратный трехчлен Q(x) принимает только
положительные значения при всех х, то его дискриминант должен
быть меньше нуля (см. гл. III, § 14):
а это возможно только для отрицательных а и таких, что
<0, т. е. а34-4 > 0.
4а '
Итак, —р/4 < а < 0, а = —а2—.
68
II. Разложение на множители. Рассмотрим различные приемы
разложения многочленов на множители. В общем случае эти част-
ные приемы не могут установить разложимости или неразложимости
данного многочлена.
На практике отдельные приемы используются в различных ком-
бинациях и имеют важное значение.
1. Вынесение общего множителя и способ груп-
пировки. При использовании этого способа иногда целесообразно
применение «искусственных» преобразований — разбиение отдельных
членов на подобные слагаемые или введение взаимно уничтожаю-
щихся членов.
Пример 5. Разложить нЛ линейные множители многочлен
Р (х) = х3—Зх—2.
Решение. Имеем
Р (х) = (х3—х) — (2% + 2) =
= x(xj-l)(x— 1) — 2 (%+1) = (х-Н) (*2—X—2).
Так как х2—х—2 = (х2—1)—(х4-1) = (х + 1)(х — 2), то Р (х) =
= (Х+1)2(Х-2).
Пример 6. Представить в виде произведения двух множителей
многочлен Р (х) = х5 4- х 4-1 •
Решение. Замечая, что Р(х) = (х5—х2) 4-(х2 4-х 4-1), получаем
х5 4-х 4-1 == х2 (х3—1)4-(х24-х4-1) =
= х2 (х—1) (х24-х4- 1)4-(х24-х4-1) =
= (х2 4- х 4-1) (х3—х2 4-1).
2. Применение формул сокращенного умножения.
С помощью формул сокращенного умножения суммы или разности
представляются в виде произведения. Иногда полезно выделение
квадратов.
Пример 7. Разложить на множители многочлен
Р (х, у, 2) = x‘4-t/44-z‘—2х2у2—2x2z2—2z/2z2.
Решение. Выделяя полный квадрат, имеем
Р = (х2—у2 — г2)2 —4г/2г2 =
= (х2—у2—z2—2yz) (х2—у2—z2 4- 2уг) —
= [*2—(У + г)2] • [х2—(У—z)2] =
= (x+y + z) (x—y—z) (x-\-y—z) (х—z/ + z).
Пример 8, Разложить на множители многочлен
Р(х, у, z) = (x—г/)34-(у —z)34-(z—х)3.
Решение. Представим г—х в виде
z—x = (z—у) — (х— у)
и применим формулу
(а—Ь)3 = a3—3a2b + 3afe2—b3^= (а3—Ь3) — ЗаЬ (а — Ь).
59
"Тогда получим
р = (х—у)3 4- (у—z)3 + [(z—у)3 —(х—z/)3] —
— 3(z—у)(х—у) [(г—у)—(х—«/)],
откуда Р = 3(х—у)(у—z)(z—х).
3. Разложение квадратного трехчлена на мнажи-
то л и. При использовании формулы
ах2-}-Ьх-]-с = а(х—xj(x—х2) (а =4 0),
где х± и х2 — корни трехчлена ах2-\-Ьх-[-с, иногда целесообразно
введение вспомогательных неизвестных.
Пример 9. Разложить многочлен
р (X) = (х2 + %+ 1) (Х2 + х + 2)—12
на множители с действительными коэффициентами.
Решение. Имеем
Р(х) = (х2 + х+\) [(х24-%4-1)4-1] —12
= (х2 4-х + 1)24- (х2 ц-х + 1)—12.
Полагая x24-x4~l = z/, имеем:
^ + y-12^(z/ + 4)(z/-3),
так как корни трехчлена у2 + у—12 равны —4 и 3. Переходя
от у к х, получаем:
р (%) = (%2 4х 4- 5) (х2 + х—2) = (х— 1) (х 4 2) (х2 4x45).
Пример 10. Разложить на линейные множители многочлен
Р(х) = 2(х24бх41)245(х24бх41)(х241)42(х241)2.
Решение. Полагая х246х41=у, имеем многочлен
Р(х, z/) = 2z/245(x2.4 1)-//42(х24 I)2.
Рассматривая этот многочлен как квадратный трехчлен относи-,
тельно у (считаем при этом члены с х коэффициентами), находим'
его корни:
—5(х241)4 /25 (х241)2—16(х241)2 5(х241) 4 3(х241)
1/1,2 — 4 4 ’
х2 I 1
откуда ^ = — 2 (х2 4-1) и у2 = — .
Тогда
Р(х, у) —2 (у—yt)(y—у2)
и после перехода к х имеем
Р(х) = (Зх2 + 6х + 3) (Зх2 + 12x4-3) = 9(х4-1)2 (х2 -|-4х4-1).
Найдем корни трехчлена х24-4x4-1 (они равны —2±КЗ)и
окончательно получим:
Р (х) = 9 (х 4-1 )2 (х 2 4- V 3) (х 4- 2—У'З ).
60
4. Применение теоремы Безу и метода неопреде-
ленных коэффициентов.
Пример 11. Разложить на множители многочлен
Р(х, у, z) = x(y1 2 —z2)+ у (za—xa) + z (ха—r/a).
Решение. Заметим, что при х = у многочлен равен нулю.
Тогда по теореме Безу многочлен Р (х, {/, z) делится на х—у.
Так как многочлен Р (х, у, z) не меняется при любой круговой
перестановке х, у и z, то он равен нулю и при #««z, и при z = x и,
следовательно, делится на у—z и z—х. Поэтому
Р(х, у, z) = k(x—y)(y—z)(z—x),
где k—некоторое число. Для нахождения k придадим х, у и z неко-
торые значения, например, х=1, # = 2, z = 3. Тогда 2==2^, откуда
1 и
Р(х, у, z)^(x—y)(y—z)(z—x).
| 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. ПРОПОРЦИИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
ВЫРАЖЕНИЯ
I. Выражение вида
где Р(х) и Q(x)—многочлены, называется алгебраической (или
рациональной) дробью. Дробь называется правильной, если степень
числителя меньше степени знаменателя, и неправильной—в против-
ном случае.
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы
многочлена и правильной дроби. Чтобы получить такое представ-
ление дроби (11), нужно разделить с остатком многочлен Р (х) на
многочлен Q(x):
•Ш-КМ+тоЬ (12)
где частное АГ(х)—целая часть дроби (11), а
R(x)
правильная рациональная дробь, так как степень остатка R(x)
меньше степени делителя Q(x).
Представление неправильной дроби в виде (12) называется выде-
лением целой части дроби. Например,
1
x2+i —
Определение, Алгебраические дроби
Р(х) Р, (*)
ОН*)
53
считаются равными (или тождественно равными) лишь в том случае,
если выполняется равенство
P(x)-Q1(x) = P1(x)-Q(x)
для всех значений х, удовлетворяющих условию: Q(x)#=0, Qj(x)^=0.
Например,
73Г-т = -Ц (*¥=1, х=Н= — 1),
№— 1 х— 1 v z , z
так как (х-Ь1)-(х—1)=1-(х2—1).
Из определения равенства дробей вытекает, что дробь не изме-
нится, если числитель и знаменатель умножить на один и тот же
многочлен /С(х):
Р(х) __Р(х)-К(х)
Q(x) Q(x)-K(x)
(Q (*)=/= О, tf(x)=/=0).
На этом свойстве основано сокращение дробей, т. е. деление числи-
теля и знаменателя на их общий делитель (многочлен, входящий
в разложение числителя и знаменателя одновременно), и приведение
дробей к общему знаменателю.
Сложенней умножение дробей определяются по следую-
щим правилам:
Р(х) Pj(x) = PQQ.QxW + Pi (x)-Q(x)
Qto'T'QiW Q(x)-Qi(x) ’
P(x) P1(x)_PJ(x)-P1(x)
Q(x)*Qi(x) Q(x).Q1(x)’
где Q(x)=/=0, Q1(x)y=0.
Вычитание и деление дробей определяются как действия,
обратные сложению и умножению. Из этого определения выводятся
правила вычитания и деления:
Р(х) Pt(x) = P(x)-Qt W-Pj (x)-Q(x)
QW QiW QW-QiW 9 ’
P(x). Px(x)_ P(x)-Qt (x)
QWQHx) Pi(x).Q(x)’
где Q(x)#=0, Qi (x) =7^=0 и, кроме того, в случае деления, Рг(х)у=0.
Для алгебраических дробей сохраняются основные свойства
арифметических действий. Практически для выполнения сложения
или вычитания приводят к общему знаменателю: разлагая знаме-
натели дробей на множители, принимают за общий знаменатель
многочлен наименьшей степени, делящийся нацело на все данные
знаменатели. Очевидна аналогия с арифметическими дробями.
Точно так же определяются равенство и действия для алгебраи-
ческих дробей вида
Р(х, д, ..., z)
Q (х, г) ’
62
II. Определение, Две равные алгебраические дроби образуют
пропорцию
где Р, Q, Pv —многочлены относительно х или относительно
х, у, ..., г, причем Q=^0, Q1=/=0*.
Очевидно, что во всякой пропорции произведение крайних чле-
нов пропорции равно произведению ее средних членов, т. е.
PQ^PfQ (Q=#0, Q^O). (14)
Р Pi
Верно и обратное: при выполнении условия (14) дроби и
образуют пропорцию (13).
Если задана пропорция
(Q*o. ft*»).
то справедливо равенство
= '«*'>’ <г>*0. MP + NQ^O, MPt + NQ^0).
(15)
называемое производной пропорцией. В самом деле, нетрудно про-
верить, что
(КР + LQ) (МРг + NQJ = (КР, + LQJ • (MP + NQ),
если учесть равенство PQ1 = P1Q.
Давая К, L, М и N различные значения, получаем частные
случаи производной пропорции. Например:
P+Q = Pi+Qx (Q:#Oi q^o),
Pz^ = PizlQi (Q=#0) Q^O),
(Q^0> P-Q^O, Pi-Q^O).
Справедливо также свойство равных отношений (равных дробей):
если даны несколько равных отношений, то сумма всех предыдущих
членов отношений относится к сумме всех последующих как
из предыдущих к своему последующему, т. е. из равенств
А = ^2_= = Л_
Qi 0.2 Qn
следуют равенства
Р1 + -^2 + • • • + П __ Р1 __ ^2 Рп
Qi+Q2+-+Q« Qi Q2 ,== ’
* Все относящееся к разделу II остается справедливым и в том
когда Р и Q—любые выражения (в частности, числа).
любой
(16)
(17)
случае,
63
где
Qi 0> 0.2=^®) •••» Qm =7^= 0> Qi 4~ • • • 4" Qn О»
Действительно,
Л + Р2+..-+^ ?1
Qi + Qa+--- + Qn Qi ’
так как из условия (16) нетрудно получить равенство
1 + Р 2 + • • • + Р») • Qi = (Qi + Qt + • • • + QJ * Р1»
что и доказывает справедливость соотношений (17).
Кроме того, из равенств (16) следуют равенства
+ ^2^2 + • • • + РпКп _ ^2 ?п /1 Q
QiKi + Q2K2+... + Q^ Qi Q2 u
где Кг, К2> • • •» К» не все равны нулю, причем
Qi#=0, Q2^0, ...» Qn¥=0, Q^i + Q2^2 + • • • + 0.
Действительно,
Pi PrKi Р2 = Ръ-Кг Рп Рп^п
Qi Qi’A^i ’ Q2 Q2-/<2 ’ ’ Qn Qn’^n
Тогда ire свойству равных отношений получаем
PiKi + P2K2+...+PnKn Л Р2 ^Рп_
Ql/<i + Q2K2+... + Q^ Qi Q2 Qn ’
что и утверждалось.
III. Преобразования иррациональных алгебраических выражений
производятся на основании общих законов арифметических дейст-
вий (таких же, как в случае алгебраических дробей) и правил
действий над радикалами (см. гл. I, § 4). Специфическим является
только уничтожение иррациональности в числителе или знаменателе
дробного иррационального выражения вида
л=-^, (19)
где хотя бы одно из выражений Р или Q содержит радикалы.
Пусть S—данное выражение, содержащее радикалы.
Определение. Сопряженным множителем относительно S назы-
вается всякое выражение /С, не равное тождественно нулю, такое,
что выражение S-К не содержит радикалов.
Знание сопряженного множителя позволяет представить выра-
жение (19) в виде выражения, не содержащего радикалов либо в
числителе, либо в знаменателе:
А р'^
п ~ Q-K! ~ Q‘K2 ’
где Ki—сопряженный множитель числителя, К2—сопряженный мно-
64
житель знаменателя. Это преобразование и называется уничтожением
иррациональности (соответственно в числителе или в знаменателе).
Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного
множителя.
1. Для выражения вида
... zz,
где р, qt ..., I — натуральные числа, меньшие п, сопряженный мно-
житель К есть
к = ^/хп-руп-ч ... Zn~l,
так как S-K = X-Y ... Z.
2. Для выражения вида
S = Kx±/F (Х>0, У^О)
сопряженный множитель есть
так как
s. X=(О)2—(J/T)2 == х - к
Пример 1. Уничтожить иррациональность в знаменателе выражения
Л = —7=---------т=- (х > 0, у > 0, z > 0).
У х + К«/ + / г
Решение. Имеем
Л_________!___________=______V7+ У~у~У~г___________
(Кх + К Д+/г _[(/х+/(/)+/г]-[(у х+/у)~У г]"*
.(/х + У у)2 — (У z)2 х+у—гЦ-2 Уху
Тогда
Л = г)-(х+у —г—2/х^)
(x+y—z + 2 Уху)-(х+у—z — 2 Уху)
= У~У г)~(х+у —г—2 Уху)
(х + у — г)2 — 4ху ’
где
х > 0, у > 0, г > 0, x~t-y—z—2 У xy=^=0, Vх +Уу —V г ^=0.
3. Для выражения вида
S = Ух ± УУ
сопряженный множитель есть
х = yw=F yiTY + уу,
так как
S-X=(3yxy ±(Уу)э = x±y.
3 № 4 07
65
4. Вообще для выражения вида
5 = {/Л — y/Y (Х>0, У>0)
сопряженный множитель есть
X = ^Х^ + yxn~2-Y 4-... + /Х-У"-2+ vfY^.
В самом деле, на основании тождества (см. гл. II, § 3)
ап — Ьп = (а —Ь)-(ап“1 + ап~2Ь + ... + abn-2 + bn~1)
имеем
S • К = ({/х)л—( /у )" = X—Y.
5. Аналогично для выражения вида
S = ,yx + '^Y
сопряженный множитель находится на основании тождеств (см.
гл. II, § 3):
а2"—62п = (а + &)(а2и-1—а2л-2-& + ... -[a-b2^2 —Ь2п~1),
a2n+^ + b2n+1 = (a + b) (а2п—а2п~1-Ь+ ... — a-b2n~1-\-b2n).
Пример 2. Уничтожить иррациональность в числителе выражения
л = /*+гЛ. (х>О,г/>О).
Решение. Имеем
А “ 2
_________________(^)°-(^)6__________________-
2[(^)5-(^)4-/^+(Z?)3-(^)2-(^)4^)3+
или после упрощений
д _ _ _ _
2 [х2 У X—х2У у-\-хуху^—ху + у I/х3у2 — у j/P"] ’
где х‘>0, у > 0, х3—у2у=0.
При преобразовании выражений, содержащих радикалы, часто
допускают ошибки вследствие неправильного применения правил
действий над радикалами (см. гл. I, § 4). Эти ошибки вызваны
неумением конкретно применить понятие арифметического корня
и абсолютной величины. Поясним на примерах.
Пример 3. Упростить выражение У\а—Ь)2.
Решение. Имеем ]^(а—b)2 = | а—b |, так как корень К(а — 6)2
— арифметический, а [а—Ь{2 = (а—Ь)2, причем |а—й|^0.
В данном случае следует писать:
г---- ( а — Ь, если а^Ь\
У(а-Ь2)=\а-Ь\ = { .
( Ъ—а, если а < Ь.
66
Пример 4. Вынести х из-под знака радикала в выражении
/1 + -4“, если х < 0.
' X2 ’
Решение. Имеем
г j_ _ /^+т _
V ‘ X2 V X2 у х‘2 X 9
так как для х < 0
= | х | = — X.
Пример 5. Ввести знаменатель под знак радикала в выражении
, если х 0, у < 0.
Решение. Так как у < 0, то
y = — Vy*-
Поэтому
§ 6. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ (РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ)
Прежде всего надо найти область определения заданного выра-
жения А, которое требуется преобразовать. Выполняя затем тождест-
венное преобразование, следует учитывать, что области определения
заданного выражения А и полученного из него выражения В могут
оказаться различными.
I. Упрощение выражений. В некоторых случаях при упрощении
выражений целесообразно не приводить сразу к общему знамена-
телю, а, наоборот, сложную дробь разбивать на более простые.
Пример 1. Упростить выражение
. Ь—с j с—а । а—b
(а — Ь)(а—с) * (Ь—с)(Ь—а) ’ (с — а) (с—Ь) ’
Решение. Допустимыми являются те значения а, Ь и с, для
которых (а — b)(b—с) (с—а)У=0. Заметим, что выражение А яв-
ляется симметрическим. Преобразуем сначала первое слагаемое,
разбивая его на две дроби:
g — ^~с _ (а—с)-|-(&—а) 1 1
1 (а — Ь) (а—с) (а — Ь) (а—с) а — b а—с
Аналогично
д с—а _________ 1 1
2 (Ь—с)(Ь—а) b—с b—а 9
D a — b 1 1
3 (с—а)(с—Ь) с—а с—b
67
3*
Тогда
Д — Bi 4- + В3
2 I 2 I 2
а—b' Ь—с "Г" с — а
При выполнении действий над радикалами надо обращать вни-
мание на знак подкоренного выражения.
Пример 2. Упростить выражение
А = (V9 + 4 /5" + V2 +ТТ) • V2 —/5".
Решение. Имеем у/2 —5 = — у/V5 — 2. Тогда
А = - У(9 + 4/5‘)-(J/5'—2)2 + V(2+/5’)(2-)/Т) =
= — V(9+ 4/Г)-(9—4/5") + V~\ = — 1 — 1 = -2.
Заметим, что сразу в выражении А выполнять умножение корней
Кэ + 4 и 2—V5 без преобразования последнего нельзя,
так как число 2—V5 <0 и корень 1^2—Кб не является ариф-
метическим.
Пример 3. Упростить выражение
А =----, а2 + ‘ _ .
“ V (т) +1
Решение. Выражение А имеет смысл при а=/=0, так как
Ла2—1 V , , ( а2 + 1 V п
(—) • ПоэтомУ
или в развернутой форме
( 2,
Д .
если
если
а > 0;
а < 0.
Если заданное выражение громоздко, то следует разбить его на
более простые части, каждую из которых упрощать затем в отдель-
ности.
Пример 4. Упростить выражение
д = Vcflb 'Уai + V аЧР : f/ °
(62 — ab—2а2)- УаЬ
__2
— а 3
Зя2 е а + b
ЗЬ^Ъа-^ЪаЬ^Ь2' За—ab
ab \
а-\-Ь ) '
68
Решение. Множество допустимых значений А состоит из всех
значений а и Ъ, удовлетворяющих условиям:
ab > 0, а > О, b > О, Ь2—ab—2а2у=0,
ЗЬ—За-^2аЬ—Ь2^=0, За—ab^=O, а4-Ь =#0.
Так как
Ь2—аЬ—2а2 — (Ь2—а2) — а (Ь+а) = (6 а) (Ь — 2а),
ЗЬ—6а + 2аЬ—Ь2 = 3 (Ь— 2а) + Ь (2а—Ь) =
= (Ь—2а)(3—Ь), 3a—ab = a(3—b),
то, следовательно, значения а и Ь удовлетворяют условиям:
а > О, Ь > 0, Ь=£2а, Ь=^3.
Преобразуя выражение А по частям, получаем:
1)В1 =
а3/; • р/а4|/'а4д3 •' а
(b2-ab—2a2)-Vab
l/a17b3+f/'a^b<> ^/ачб3(^/а«+^/&ё)
(&4-а)(6—2a)-praZ> (b-\-a)(b—2а)-^/а363
2) В2 — а
£/а«
Ь — 2а
За2
ЗЬ — 6а + 2аЬ — Ь2
а-\-Ь
За—ab
1 Г 3а2-а(3 —Ь)__________________ab 1
3/а^ 1_(*—2а) (3 — Ь) (а-j-b) a-j-Z?J
_ з Z— За2 —& (6—2а) _ j/а • (За24-2а&—&2) .
и й —2а)(а + &) (Ь—2а) (а+6) ’
а?/а ?/ а (За2-\-2аЬ— Ь2)
3) А — В. —В? = -т—--------- ,,—П-Г7—ГП— —
7 12 —2а (Ь— 2а) (а-}-Ь)
__3/— а (а 4-^) — За2 — 2аЬ-[-Ь'2 з/— Ь'2— ab — 2d2 з/—
— Va (b — 2a) (a+b) ~ V а л (b_2a)(a + b) ~ И
Итак, А= р/а при а > О, b > О, b 2а, Ь=^= 3.
II. Доказательство тождеств. Различают тождества безусловные
и условные. Условным тождеством называется равенство А = В,
справедливое при всех допустимых значениях величин из общей
части областей определения выражений А и В, причем допустимые
значения должны удовлетворять одному или нескольким заранее
данным дополнительным условиям.
Например, равенство (а + b + с)3 = 27abc при условии, что
есть условное тождество. Докажем это тож-
дество.
69
По условию имеем у/a + f/b =—f/с. Возведем обе части этого
равенства в куб:
а + Ь + 31/ ab • (р/ a + = — с,
откуда
а + Ь-\-с = — Зу^аЬ (f/a + f/b)*,
или
а + &4-с = Зр/а&с, т. е. (a+&4-c)3 = 27ate.
При доказательстве тождеств последние путем равносильных
преобразований сводят к таким, справедливость которых уже из-
вестна, или преобразуют одну часть тождества так, чтобы получить
Другую.
Пример 5. Доказать, что
Решение. Обозначая левую часть через А и используя формулу
а3 4- Ь3 = (а 4- Ь)3 — ЗаЬ (а + Ь),
где _________
а= У20+14/2, Ь= |Л20—14/2?
имеем
20+14/2 + 20 —14/2 = Д3—3/400—392-Д,
ИЛИ
40 = Л3 — 6А.
Последнее равенство можно представить в виде
А3— 16А4-10А— 40-0,
или
А (А —4) (А 4- 4) 4- 10 (А —4) = 0,
или
(А—4)(А24-4А4-Ю) = 0.
Так как А, очевидно, действительное число, а А24-4А4-10 =
= (А4-2)24-6 > 0, при любом действительном А, то из последнего
равенства следует, что А = 4.
Итак,
У20+14 /2 + у/" 20—14/2 = 4.
Пример 6. Доказать, что
_____!____+_______!___+________1____= JL
x(x—y)(x—z) у(у—г){у—х)' z(z—x)(z—y) хуг'
70
Решение. Данные дроби имеют смысл при всех значениях х, у
и z, удовлетворяющих условию
xyz (х—у) (х—z) (у—z) #= 0.
Приведя дроби в левой части доказываемого тождества к общему
знаменателю, получим дробь, числитель которой есть многочлен
yz (y—z)—xz (х —z) + ху (х—у).
Разложим его на множители:
yz • [(х—z) — (х—у)] —xz • (х—z)ху • (х—у) =
= (х—z) (yz—xz) + (x—у) (xy—yz) == (x—y) (x—z) (y —z).
Следовательно, левая часть есть
(х—у) (х—z) (j/—z) I
xyz-(x—у) (x—z) (y—z) xyz ’
что и требовалось доказать.
При доказательстве условных тождеств можно, преобразуя до-
полнительные условия, получить требуемое тождество.
Пример 7. Дано = у(^хг) ’ где х °’ У 01 1 — Уг °>
1—xzy=0, ху=у. Доказать, что
. . 1.1.1
х 4- у -4- z = —-— •
1 У 1 X 1 у 1 Z
Решение. Преобразуя дополнительное условие, т. е. равенство
X2 — UZ и2 — XZ о V
х (i — (1 _j > используем свойство равных отношении.
Имеем
х2—уг у2—хг (х2—уг)—(у2—хг)
х (1—уг)~ у (1—хг)~ х(1—уг)—у(1 — хг) ’
х2—у г у2 — хг у (х2—уг)—х (у2—хг)
х(1 — уг)~ у (1—хг) ~ ух(1—уг) — ху(1—хг) ’
Отсюда получаем (х2—уг)—(у2—хг) = у (х2—уг)—х (у2 —хг) х (1 — yz) — у (1 —.xz) ух (l-yz)-xy (1—хг) ’
или (х2—у2) + (х—у)г ху (х—у) + г(х2—у2) х—у хуг(х—у) ’
или , , ху-\-г(х-\-у) x-\-y-]-z=-^—-— 1 1 xyz
т. е. x + !/+z = ^ + j+|..
71
В других случаях целесообразно преобразовать доказываемое
тождество, используя при этом заданные условия.
о 1—г a b b с Пример 8. Пусть х = f/ = ^> с—а Z с-[-а ’ где
(a + 6)(b + c)(c + <z)#=0; abc^=Q. Показать, что
(I +%)(! + г/)(1 + г) = (1—х)(1—г/)(1—Z).
Решение. Нужно доказать, что
1в 1 Л~у . 1 + z _ 1
1—X 1—у 1—Z
Подставляя вместо х его выражение, найдем
1 +% а
Круговой перестановкой букв получаем
\ + у =Ь 1 + г1: с
1 — у с ’ 1 — z а
Следовательно,
1 —р х 1 -|- у 1 -J- z а b с _।
1—х 1—у 1—z b с а ’
что и требовалось доказать.
III. Вычисление выражений.
Пример 9. Вычислить
/ 24- /з" 2— у
\/~2 + К2+ТТ /2—/2— /3 J
Решение. Применим формулу сложного квадратного радикала:
- /z+^з: ± .
Тогда /++Т- /2-/3-и
/Кз+1\* 2
2+ /з = V /2 / = (V 3+1)2-/ 2 = V 3+1
Г~2 + /2+/.Г - . /3+1 ~ 2(3+Кз) “ /б
/2
//3—1\2
2 — VI _ ' \ V~2 / _ (]/~3—I)2- /~2 _ /3-1
~ /3-1 ~ 2(3-/3) “ /3
F /2
72
Отсюда
24-К з , 2—/3 у
У2 + 1/2+К’3 К 2 — К2— /
= /V3+1 , /~3—1 у = /2 / 3 \2 = 2
\ Кб + У'б ) \ К“ё ) =
Пример 10. Дано я + Ь + с = 0, а2Ь2с2 = 1.
Вычислить Д = а4 + Ь4 + с4.
Решение. Выделяя полный квадрат в выражении А, имеем
А = (а2 + Ь2 + с2)2 — 2 (а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2) =
= (а2 + ^2 + с2)2 — 2 [(ab-\-ac-\-bc)2—2abc (a-f-Ьс)].
Согласно данным условиям
А = 1 —2 (ab + ас + Ьс)2
и остается найти значение выражения ab + ас + Ьс. Так как
2 (ab + ас + be) = (а + b + с)2—(а2 + Ь2 4- с2) = — 1,
то
§ 7. НЕРАВЕНСТВА И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Определение. Два действительных числа или два алгебраиче-
ских выражения, соединенные знаком > (больше) или < (меньше)
(а также знаком или образуют неравенство
А>В, А<В, А^В, А^В. (20)
Неравенство состоит из двух частей: левой части А и правой
части В.
Если в неравенстве фигурирует знак > или <, то говорят, что
неравенство является строгим. Неравенство, содержащее знак
или называется нестрогим.
В неравенствах вида (20) выражения А и В рассматриваются
на том множестве, где А и В одновременно имеют смысл. Это мно-
жество называется множеством допустимых значений неравенства.
При совместном рассмотрении двух или нескольких неравенств до-
пустимыми считаются значения величин из общей части множества
допустимых значений рассматриваемых неравенств.
При конкретных (частных) значениях величин из множества до-
пустимых значений неравенства (20) обращаются в числовые нера-
венства, которые могут быть справедливыми (верными) или неспра-
ведливыми (противоречивыми).
Справедливость или несправедливость числового неравенства
устанавливается на основе понятий равенства и сравнения для любых
двух действительных чисел а и b (см. гл. I).
73
Неравенство, справедливое для всех допустимых значений вхо-
дящих в него величин, а также справедливое числовое неравенство
называется тождественным неравенством. Например, неравенство
х2 + 1 > х2 является тождественным.
Неравенства (20) подразделяются на рациональные и ирраци-
ональные и т. д.—точно так же, как и равенства.
Замечание. Понятие неравенства установлено не только для
алгебраических, но и д^тя любых математических выражений.
Два или несколько неравенств называются неравенствами одина-
кового смысла, если они содержат один и тот же знак > или <.
Два неравенства называются неравенствами противоположного смысла,
если в одном из них стоит знак >, а в другом знак <. Например,
неравенства А > В и С > D имеют одинаковый смысл, а неравенства
А < В и С > D—противоположный смысл.
Пусть а и b—действительные числа. Между ними имеет место
одно и только одно из следующих соотношений: a = b, a>b, а<Ь.
Число а больше числа b (а > &) в том и только в том случае, если
разность а — b есть число положительное: а—Ь>0. Число а меньше
числа b (а < Ь) в том и только в том случае, если разность а—b
есть число отрицательное: а —
Отсюда вытекают следующие свойства неравенств.
Свойство 1. Если а > Ь, то b < а, и наоборот, если b < а, то а > Ь.
В самом деле, если а>Ь, то разность а—Ь>0. А тогда раз-
ность b—т. е. b < а. Наоборот, если b < а, то b—а <0, и
значит, а—b > 0, т. е. а > Ь.
Свойство 2. Если а > b, b > с, то а > с.
В самом деле, рассмотрим разность а—с=^(а— &) + (&—с). По
условию а—b > 0 и b—с > 0. Следовательно, а—с > 0, т. е. а > с.
Свойство 3. Если а> Ь, то при любом с
а-]-с > Ь + с,
т. е. неравенство остается справедливым, если к каждой его части
прибавить одно и то же число.
Действительно, разность
—(Ь + с) = (а—Ь) + (с—с) = а — b > 0,
т. е. а-\-с > Ь-\-с.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части
неравенства в другую, изменив при этом знак его на противопо-
ложный.
В самом деле, пусть а-]-Ь>с. Прибавив к каждой части нера-
венства число (—Ь), получим
а > с—Ь,
т. е. слагаемое b перенесено из левой части в правую с противо-
положным знаком.
Свойство 4. Если а> b и с > 0, то ас > Ьс\
если а> b и с < 0, то ас <Ьс,
74
т. е. неравенство не нарушается, если обе части его умножить на
одно и то же положительное число; неравенство превращается в
неравенство противоположного смысла, если обе части его умножить
на одно и то же отрицательное число.
В самом деле, если а > Ь и с > 0, то разность
ас — Ьс = (а—Ь)с
есть положительное число, равное произведению двух сомножителей
одинакового знака, и тогда ас > Ьс.
Если же а > Ь и с < 0, то разность
ас—Ъс — (а—Ь)с
есть отрицательное число, равное произведению двух сомножителей
противоположного знака, и тогда ас < Ьс.
Свойство 5. Если а>Ь и с > d, то а-\-с >
если а > Ь и с < d, то а—с > b—d,
т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно склады-
вать; два неравенства противоположного смысла можно почленно
вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось
другое неравенство.
В самом деле, разность (а + с) — (b-]-d) = (a— Ь) + (с—Ф >0» если
а—Ь> 0 и с—d > 0, и тогда а-\-с > b + d. Если же с < d, то d > с
и d—с>0. Тогда разность (а—с) — (Ь—d) = (a—b)-\-(d—с) > 0,
т. е. а—с>Ь—d. Свойство доказано.
Свойство 6. Если а, b, с, d положительны и a>b, c>d, то
ас > bd, т. е. при почленном умножении двух неравенств, имеющих
положительные члены и одинаковый смысл, получается неравенство
того же смысла.
Имеем
ас—bd — (ас—be) + (Ьс—bd) = (а—Ь) с + (с—d)b,
где а — Ь > 0, с > 0, с—d >0, b > 0. Отсюда ас—bd > 0 или ас > bd,
что и утверждалось.
Свойство 7. Если а > Ь > 0, то при любом натуральном п
ап > Ьп.
Доказательство. При п=\ утверждение справедливо по
условию. Допустим, что утверждение справедливо при п = где
k—какое-нибудь натуральное число: ak > bk.
Умножим неравенство ак > bk почленно на неравенство а > Ь и
получим ak+1 > bk+l, т. е. утверждение справедливо и при n = k+l.
Тогда согласно методу математической индукции утверждение
справедливо и для любого натурального п. Свойство доказано.
Замечание. Можно доказать свойство 7, не применяя метод
математической индукции. Используем тождество (см. гл. II, § 3):
ап —bn = (a — b) (ап~1 + ап~2-Ь+ ... -^a-b""^^-1).
75
Так как а>Ь>0, то оба сомножителя справа положительны.
Поэтому ап — Ьп > 0, т. е. ап > Ьп.
Свойство 8. Если а > b > 0, то при любом натуральном п 2
П/~ п/'T
у а > у b .
Доказательство. Предположим от противного, что
У а < {/b . Тогда в силу свойства 7 имеем
(< (у^Ь)*, т. е. а<Ь,
что противоречит условию. Очевидно, что нельзя предполагать и то,
что у^ а = д/b . Следовательно, {/а > у^ b .
Свойства 1—8 справедливы и для нестрогих неравенств. Это
следует из справедливости свойств 1—8 для строгих неравенств и
известных свойств равенств.
Например, если а^Ь, то Ь^а, и наоборот, если Ь^а, то а^Ь.
В самом деле, утверждение справедливо для строгих неравенств.
Кроме того, известно, что аналогичное утверждение справедливо
и для равенств, т. е. если а = Ь, то Ь=--а, и наоборот, если Ь = а, то
а = Ь.
Свойства 1—8, установленные для числовых неравенств, сохра-
няются и для любых неравенств вида (20).
Определение. Два неравенства называются равносильными, если
из справедливости первого вытекает справедливость второго и обратно.
Свойства 3 и 4 выражают равносильность неравенств
А >В и А+С>В + С,
А >В и Д-С>В С (С>0),
где выражения Д, В и С рассматриваются в общей части множеств
их допустимых значений.
§ 8. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
При решении задач на доказательство неравенств полезно знать
некоторые «очевидные» неравенства.
Основные простейшие неравенства. I. Для любых действитель-
ных чисел:
1) a2 A~b2^2ab или а ф-- ab, (21)
причем равенство достигается лишь при а = Ь.
Действительно, доказываемое неравенство равносильно очевид-
ному (а—Ь)2^0.
2) |а + И<|а|4-|*|. t (22)
причем равенство достигается лишь в случае, когда а и b имеют
одинаковые знаки. Это неравенство обобщается на любое конеч-
ное число слагаемых, т. е.
| аг 4- а2 4“ •. • + ап I I ai I ~г I а21 + • • • 4" I ап I* (22 )
3) \а —£|>|а|-р|, (23)
76
причем равенство достигается лишь в случае, когда а — b и b имеют
одинаковые знаки (доказательство п. 2 и 3 см. в гл. I, § 4).
4) + + (24)
если а>0 и и = Ь- —
Равенство достигается лишь в случае, когда 0 = 0 и х = — ~
(доказательство см. в гл. III, § 14).
II. Для любых положительных чисел:
1)
(25)
причем равенство достигается лишь при а = Ь.
Число называется средним арифметическим двух положи-
тельных чисел а и Ь, а число ab — их средним геометрическим.
Для доказательства неравенства (25) запишем очевидное нера-
венство
(/а-К&)2>0.
Возведя в квадрат, получим
а — 2 К +
откуда
что и требовалось доказать. При этом равенство достигается лишь
тогда, когда оно достигается в исходном неравенстве, т. е. при
(/а—КЬ)2 = 0, что возможно лишь при а = Ь.
Таким образом, среднее геометрическое двух чисел не превосходит
их среднего арифметического.
Геометрическое доказательство этого неравенства очевидно
(рис. 9).
Понятия среднего арифметического и среднего геометрического
< вводятся и для п положительных чисел аг, а2, ..., ап: это числа
и 0x^2 ... ап\ в этом общем случае справедливо
неравенство
4~ а? -к • ‘' ~}~ап
п
п/------------
... ап,
(25')
причем равенство достигается лишь при ах = а2 = ... =ап',
2)| + |>2, (26)
причем равенство достигается лишь при а = Ь.
77
Неравенство (26) равносильно неравенству (21) при условии,
что а и b положительны;
3) а3 + Ь3>а&(а+&), (27)
причем равенство достигается,лишь при а = Ь.
Неравенство (27) равносильно очевидному неравенству а2—ab +
+ Ь2 > ab',
4) если с > 0 и 0 < а < Ь, то
а а-\-с
b Ь-\-с
(28)
В самом деле, неравенство (28) равносильно неравенству
аЬ-\-ас < ab-\-bc, а последнее равносильно данному а < Ь.
Перейдем к доказательству более сложных неравенств. Основные
приемы их доказательств состоят в следующем.
1. Доказываемое неравенство путем преобразований, сохраняю-
щих равносильность, сводят к неравенству, справедливость кото-
рого известна.
2. Путем равносильных преобразований очевидное или известное
неравенство сводят к неравенству доказываемому.
3. Комбинируют первый и второй методы, т. е. преобразуют как
известное, так и доказываемое неравенства.
Применение этих методов покажем на следующих примерах.
Пример 1. Доказать, что для любых действительных а, b и с
a2 -j- b2 -J- с2 ab + Ьс 4- са.
Решение. I способ. Доказываемое неравенство равносильно
неравенству 2а2 4- 2Ь2 4- 2с2 — 2аЬ—2Ьс—2ас^0 или (а—Ь)2 4-
4- (Ь—с)2 4- (с—а)2^0. Последнее очевидно. Равенство достигается
лишь при а = Ь = с.
II способ. Складывая три известные неравенства (см. фор-
мулу (21))
I £2 ^2 с2 а2 с2
—g——^—^Ьс и > ас,
получаем требуемое.
Пример 2. Доказать, что для любого действительного х
1 х2—х4-1 о
3 х24-*4-1
Решение. Доказываемое неравенство равносильно системе двух
неравенств:
х2—*4-1 1 /*\ *2—*4-1 о /*л\
(**)
Так как х2 + х+1>0 для всех х (D = —3, а=1; см. фор-
мулу (24)), то неравенства (*) и (**) равносильны системе
3(х2—х+ 1)х2-|-х4-1 и х2—х-)-1 ^3(х24-х4-1).
78
Последняя, в свою очередь, равносильна системе очевидных нера-
венств
2(х—1)2>0 и 2,(х+ I)2>0. .
Пример 38 Доказать, что для любых действительных х и у
х2-|-5у2—4xz/4-2x—бу 4-3 > 0.
Решение. Рассматривая левую часть неравенства как квад-
ратный трехчлен относительно х, имеем
х24-2х(1 —2у) 4-5у2 —бу 4-3 > 0.
Так как
0 = 4(1—2у)2—4(5у2 —6у4-3) =
= -4 (у2 —2у + 2) = -4 [(у-1)2 4-1 ] < О
для любых у, то согласно неравенству (24) квадратный трехчлен
положителен для всех х и у, что и требовалось доказать.
Пример 4. Доказать, что для положительных чисел а, & и с
(а 4- Ь) (Ь 4- с) 8abc.
Решение. Согласно неравенству (25) имеем
a-\-b^2\^ab, b-\-c^2]f be, с-{-a'^2]/rca.
Перемножая эти неравенства, получаем требуемое.
Пример 5. Доказать, что если то
4+-+->з.
b 1 с 1 а
Решение. Из неравенства у+ у^2 вытекает справедливость
неравенства
b 1 \ с ' a j a J 1 \ с 1 а )
Преобразуем правую часть полученного неравенства:
2—- + - + - = 3+(-—4+
а 1 с 1 а \с J ' \ a a J
= 3 + (bz£ + £zzAy
1 \ с 1 a J
Так как дробь
Ь—с .с—b(Ь—с) (а—с)
с ' а ас
согласно условию неотрицательна, то
а । b с Q
79
Пример 6. Доказать, что для любых действительных чисел аи
о2, Ь1 и fe2, удовлетворяющих условиям
f al + al=--l,
I ^ + ^=1,
справедливо неравенство
I + a2b21^1.
Решение. Согласно неравенствам (22) и (21) имеем
| а1Ь1 + а2Ь21 < | а1Ь11 + | а2Ь21 <
+ bi 02 + ^2 Я1Ч-Я2 । bi~^- bl i
2 1 2 ~ 2 ' 2 ~ 1 ’
т. е. \а1Ь1 + аД|< 1.
При доказательстве некоторых неравенств целесообразно исполь-
зовать метод замены данных величин другими. Приведем, например,
решение примера 6 способом замены.
II способ решения примера 6. Согласно заданным условиям
(*) существуют углы а и 0, для которых
cos a = sina = a2, созр = ^, sin Р = b2.
Тогда доказываемое неравенство принимает вид
| cos а • cos Р + sin а • sin Р | 1,
или |cos(a — Р)| 1, что очевидно.
Пример 7. Доказать, что для положительных а и b
Решение. Полагая = =у, получаем неравенство
равносильное простейшему х3 + у3 ху (х + у) (см. формулу (27)).
Пример 8. Доказать, что для любых действительных чисел а и Ь,
удовлетворяющих условию а-\-Ь = 2, справедливо неравенство
а4 + &4>2.
Решение. Пусть а = 1+с. Тогда Ь = 2—а=1—с. Поэтому
а4 -I- ь* = (1 + с)4 + (1 —с)4 = 2 + 12с2 + 2с1 > 2,
что и требовалось доказать.
При доказательстве неравенств, связанных с натуральными чис-
лами, часто используется метод математической индукции.
Пример 9. Доказать, что для любого натурального п 2
1+1+ +1<2_1
Г2 -Г 22 -Г • • • -Г П2 п •
80
Решение. При /г = 2, очевидно, р- + ^<2 — у. Предпола-
гая, что неравенство справедливо при n=k, т. е.
докажем его справедливость при n = k-\-\, т. е.
l + lx il ।___________!_< 2_— (**)
12 ~Г 22 I • • • -Г k2 -Г (^+ !)2 1 •
Пусть
Л_1 , 1 , .1 о1!1! I1! ___1
Тогда
5 = + (yfe+1)2 < 2 — т + (ГП)2 ’
так как А < 2—Отсюда следует, что неравенство
B<2-FR
будет заведомо справедливым, если мы докажем, что
k ‘ (&+1)2 yfe+1 ’
или
1 1 1 1 1
(yfe+1)2 < k yfe+1 ’ Т- е- ^+1 k •
Последнее очевидно.
Итак, из справедливости неравенства (*) вытекает справедливость
неравенства {**), следовательно, и доказываемого.
Метод индукции не является единственным или лучшим методом
доказательств неравенств, связанных с натуральными числами. При-
ведем, например, другое решение примера 9.
II способ решения примера 9. Так как
то имеем
1 _1_______
22 < 1 2 ’
1 2____L
З2 2 3 ’
1 1_______2
п2 п— 1 п
81
Складывая эти неравенства с равенством = получим
“ГТ “Ь* "о2* “Ь* • • • Н-2* < 2-,
I2 1 22 1 1 л2 л
что и требовалось доказать.
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений в
общем случае рассматриваются в курсе высшей математики. Однако
некоторые из таких задач могут быть решены методами элементар-
ной математики и в основном с использованием неравенств.
Пример 10. Найти наименьшее значение выражения
Л = (tga + ctga)2.
Решение. Запишем А в виде
А= + +2-
Согласно неравенству (26) имеем
tg2 а + т-4— 2,
ь 1 tg2a ’
причем равенство достигается лишь при tg2 a = 1. Следовательно,
при tg2a = l выражение А имеет наименьшее значение А = 4.
Пример 11. Найти наибольшее значение функции
у = —о-г-7 (а > О, &>0).
Решение. Очевидно, что следует рассматривать лишь поло-
жительные значения х. Согласно неравенству
имеем
а*2+ b Yах2Ь, или ах + >х Yab (х > 0).
Следовательно, для всех х > О
ах24-6^ 2x-Yab ’ ИЛИ ах2 + Ь^ 2 ’
причем равенство достигается лишь при ах2 = Ь, т. е. при х = .
Таким образом, функция
</=-гга (а>0, &>0)
при х= у имеет наибольшее значение, равное .
82
Используется также следующее свойство квадратного трехчлена
ах2 4- Ьх + с (а=/=0):
если а > 0, то трехчлен принимает наименьшее значение при
х = — ~ ; если же а < 0, то трехчлен принимает наибольшее значе-
ние при том же значении х.
В самом деле, трехчлен можно представить в виде
ах2 + Ьх + с = а(х + ^ . (29)
Если а > 0, то первое слагаемое в правой части равенства (29) поло-
ь
жительно при всех значениях х, кроме х = — при котором это
слагаемое равно нулю. Следовательно, трехчлен принимает наимень-
Ь ~ 4ас—Ь2
шее значение при х = — Это значение равно —.
Аналогично исследуется вопрос о наибольшем значении трех-
члена в случае а < 0.
Пример 12. Данное положительное число А представить в виде
суммы двух слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Обозначим через х одно из искомых слагаемых.
Тогда другое слагаемое будет равно А—х. Их произведение х(А—х)
является квадратным трехчленом. Преобразуем трехчлен к виду (29):
х(А —х) = — х2 + Ах = — т) +
4
Отсюда видно, что при х — трехчлен принимает наибольшее зна-
Л2
чение, равное -у.
Итак, каждое из искомых слагаемых равно -у.
ГЛАВА III
УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ,
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С УРАВНЕНИЯМИ
Равенство двух математических выражений А и В:
А = В,
не являющееся тождеством на множестве допустимых значений
буквенных величин, входящих в это равенство, называют уравне-
нием на этом множестве.
Под множеством допустимых значений уравнения, если нет спе-
циальной оговорки, понимают множество числовых значений бук-
венных величин, входящих в выражения А и В, при которых они
одновременно имеют смысл.
Следует иметь в виду, что одно и то же равенство может быть
как уравнением, так и тождеством в зависимости от того, на каком
оно множестве рассматривается.
Например, равенство Кх2—х = 0, рассматриваемое на множестве
действительных чисел,— уравнение (например, К(—З)2—(—3)=£0).
Но если это равенство рассматривать на множестве действительных
неотрицательных чисел, то это уже не уравнение, а тождество, так
как х2 = х(х^ 0).
Буквенные величины, входящие в уравнение, по условию задачи
могут быть неравноправными. Одни могут принимать все свои допу-
стимые значения. Тогда их называют известными, или параметрами
уравнения*. Другие буквенные величины называют неизвестными.
В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, по-
следнее называют уравнением с одним, с двумя и т. д. неизвестными.
При постановке задач, связанных с уравнениями, должно быть
указано, какие из буквенных величин, входящих в уравнение, счи-
тать неизвестными, а какие — параметрами. Иначе задача может
стать неопределенной.
Поэтому обычно неизвестные величины в уравнениях обознача-
ются последними буквами латинского алфавита: х, у, г, ..., а пара-
метры—начальными: а, Ь, с, т, п и т. %, ив таких случаях уже не
делают специальных указаний.
Значения неизвестных, принадлежащие множеству допустимых
значений уравнения и удовлетворяющие уравнению (т. е. обращаю-
щие его в справедливое равенство), называют корнями уравнения,
* Вообще в каждом математическом выражении различают основные и не-
основные буквенные величины. Неосновные буквенные величины называют пара-
метрами рассматриваемого математического выражения.
84
или решениями. Решить уравнение — это значит найти все его корни
(решения).
Например, уравнение %2 4-1=0, рассматриваемое на множестве
комплексных чисел, имеет два корня xx = i, х2 =— i. Уравнение
x2-f-r/2==0, рассматриваемое на множестве действительных чисел,
имеет одно решение х = 0, у = 0 (а не два, как иногда неправильно
считают).
Множество корней уравнения может быть конечным (см. пре-
дыдущий пример), бесконечным или пустым (уравнение не имеет
ни одного решения).
Например, уравнение sinx=l имеет бесконечное множество
корней
x = ^-\-<2kn, k = 0, ±1, ±2, ...,
а уравнение %2 4-1=0, рассматриваемое на множестве действитель-
ных чисел, не имеет корней.
Если уравнение не имеет корней, то говорят, что оно противо-
речивое.
Классификацию уравнений (их название) проводят по характеру
математических операций, выполняемых над неизвестными. Так, раз-
личают уравнения алгебраические и трансцендентные. В алгебраи-
ческих уравнениях над неизвестными могут совершаться, притом
в конечном числе, лишь операции сложения, вычитания, умножения,
деления, возведения в целую степень и извлечения корня.
Если над неизвестными совершаются и другие операции, как
например, возведение в иррациональную степень, взятие логарифма,
синуса и т. п., то уравнение называют трансцендентным. Вообще
к трансцендентным уравнениям относят все неалгебраические урав-
нения.
2
х 3 —I- х w 2 I —
Например, уравнение —jEpf— = 3— алгебраическое \/3 =
2
3 / *“ х 3 4“ 2
= /х2у, а уравнение —— = 3—трансцендентное.
Частными случаями алгебраических уравнений являются уравне-
ния рациональные (отсутствует операция извлечения корня над вы-
ражением, содержащим неизвестные) и иррациональные (есть операция
X I 1
извлечения корня). Например, уравнение = — рациональное,
а уравнение ]/х2 + 2 = х—1—иррациональное.
Рациональные уравнения в свою очередь подразделяются на целые
рациональные (нет операции деления на выражения, содержащие
неизвестные) и дробные рациональные (есть операции деления на вы-
ражения, содержащие неизвестные). Например, уравнение х34-2х2—
— у2 -р 3 = 0 — целое рациональное, уравнение —у|-у = 1 —
дробное рациональное.
85
Частными случаями трансцендентных уравнений являются по-
казательные, логарифмические, тригонометрические уравнения
и уравнения, содержащие обратные тригонометрические функ-
ции.
Методы решения уравнения основаны на понятии равносильно-
сти (эквивалентности) уравнений.
Определение. Если все корни уравнения А = В являются в то
же время корнями уравнения то последнее уравнение на-
зывают следствием первого.
Определение. Два уравнения называют равносильными (эквива-
лентными), если каждое из них является следствием другого.
Из этих определений следует, что уравнение-следствие может
иметь и другие корни, кроме корней исходного, а равносильные
уравнения имеют одни и те же корни. Одни и те же два уравнения
могут быть равносильными или неравносильными в зависимости от
того, на каком множестве чисел они рассматриваются. Например,
уравнения (х 4-2) • (х2-|- 1) = 3(х2-|- 1) и х 4-2 = 3, рассматриваемые
на множестве действительных чисел, равносильные (оба имеют
один лишь действительный корень х=1), но если их рассматривать
на множестве комплексных чисел, то они уже не равносильные
(первое уравнение, кроме 1, имеет еще корни т. е. оно является
следствием второго уравнения). Два противоречивых уравнения,
очевидно, равносильны, так как они оба не имеют корней).
При решении уравнения путем различных преобразований ста-
раются заменить его более простым, равносильным ему уравнением.
Однако такая замена не всегда удается. Тогда возможны следую-
щие два случая.
I. При переходе к новому уравнению может произойти потеря
корней. Ясно, что такой переход недопустим, так как решить урав-
нение— это значит найти все его корни. Поэтому при переходе
к новому уравнению надо тщательно следить за тем, чтобы такая
потеря не могла произойти.
II. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся
корнями исходного (так называемые посторонние корни). Посторон-
ние корни можно выделить проверкой (подстановкой всех корней
нового уравнения в исходное), но сделать это иногда технически
трудно. Чтобы избежать непосредственной проверки, на неизвестные
и параметры в новом уравнении накладывают некоторые дополни-
тельные ограничения, при которых это уравнение будет равносильным
исходному. Тогда достаточно проверить—удовлетворяют ли найден-
ные корни нового уравнения этим ограничениям или нет,
и а . Ь (а4~&)2
Например, уравнение -з^-4-T-j--^-—тг2- равносильно уравнению
ab [а(&4-х)4-&(а4-х)] = (а4-&)2(а4-х)(&4-х) при условии, что пара-
метры второго уравнения удовлетворяют условию я&=/=0, а неизвестное
условию х=/=—а и ху=—Ь. Если мы решим второе уравнение и из
его корней исключим значения х =— а и х =— b (если такие будут),
то все остальные корни, и только они, будут решениями первого
86
уравнения (конечно при условии, что в формулах этих корней
aby=0). Подробно о решении этого уравнения см. гл. IV, § 1,
пример 2.
Если все же при решении уравнения не удалось избежать действий,
которые могут привести к появлению посторонних корней, и нельзя
указать дополнительные условия, то нужно обязательно делать
проверку корней путем подстановки их в исходное уравнение.
Иначе решение считают неполноценным (даже если на самом деле
посторонние корни и не появились). В остальных случаях проверка
не нужна (при условии, конечно, что сами вычисления проводятся
без ошибок).
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ
Имеют место следующие свойства уравнений, справедливость
которых вытекает из соответствующих свойств равенств и понятия
равносильных уравнений.
I. Уравнение А —В равносильно уравнению Л + С = В-|-С, где
С—число или некоторое математическое выражение, имеющее смысл
на множестве допустимых значений уравнения А = В.
II. Уравнение Л = В равносильно уравнению АС = ВС, где С —
число или некоторое математическое выражение, имеющее смысл на
множестве допустимых значений уравнения А = Ви не обращаю-
щееся на нем в нуль.
III. Уравнение -ф- = -ф- равносильно уравнению Л1В2 = Л2В1,
i D2
рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного
уравнения или на своем множестве при дополнительном условии,
что A2B2^Q, т. е. Л2=/=0 и В2=/=0.
В формулировках дальнейших свойств используется следующее
понятие.
Определение. Уравнение А = В равносильно совокупности двух
уравнений А' = В' и Л" = В", если все решения уравнения Л = В
содержатся среди решений обоих уравнений А'= В' и А" = В" и
обратно: все решения обоих уравнений А' = В' и А" = В" в то же
время являются решениями уравнения А = В.
IV. Уравнение АС = ВС равносильно совокупности двух уравне-
ний С = 0 и А = В, рассматриваемых на множестве допустимых зна-
чений исходного уравнения.
Другими словами, найдя все корни уравнений С=0 н А=В и
взяв из них те, которые принадлежат множеству допустимых зна-
чений уравнений АС = ВС, мы найдем все корни последнего.
V. Уравнение А2 = В2 равносильно совокупности двух уравнений
А = В и А=—В.
Из свойств I—V вытекают такие следствия.
1. Любое слагаемое уравнения можно переносить с противопо-
ложным знаком из одной части уравнения в другую.
87
В самом деле, согласно свойству I уравнение А=В-\-С равно-
сильно уравнению Л + (—С) = В 4-С + (—С), т. е. уравнению
А—С = В.
2. Обе части уравнения можно сократить на общий множитель,
не обращающийся в нуль на множестве допустимых значений дан-
ного уравнения.
Действительно, согласно свойству II, уравнение АС = ВС равно-
сильно уравнению AC = ВС (4Л, т. е. уравнению А = В.
у С* J /
Замечание. При приведении в уравнении подобных членов
может произойти расширение множества допустимых значений исход-
ного уравнения, т. е. могут появиться посторонние корни.
Пример 1. Решить уравнение—— = %в — у.
Решение. Переписав уравнение в виде х—- = %2—у ,
после приведения подобных членов получим уравнение х = х2. Его
корни = 0 и х2 = 1. Но корень = 0 не является корнем исходного
уравнения при х = 0 не имеет смысла) . Это произошло за счет
того, что множество допустимых значений исходного уравнения не
содержит х = 0, а полученного—содержит.
При решений уравнений отдельных классов (например, ирра-
циональных, показательных, логарифмических и др.) используют и
некоторые другие свойства уравнений. Они будут рассмотрены в
соответствующих местах.
Основной прием решения всякого уравнения заключается в сле-
дующем: используя свойства уравнений, различные замены неиз-
вестных и параметров другими неизвестными и параметрами, пыта-
ются свести исходное уравнение к одному или нескольким простей-
шим уравнениям, правила нахождения корней которых известны.
При этом, если уравнение содержит параметры, то необходимо не
просто выразить неизвестные через параметры, но также исследовать
зависимость полученных для корней формул от допустимых зна-
чений параметров. Если этого не сделать, то эти формулы для
отдельных значений параметров могут оказаться просто неверными.
При решении уравнений надо помнить, что рациональные урав-
нения, если нет специальной оговорки, рассматриваются на мно-
жестве комплексных чисел. Все остальные уравнения в элементар-
ной математике рассматриваются на множестве действительных чисел.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Совокупность двух и более уравнений А1 = В1, А2=В2, ...,
Ап = Вп, рассматриваемых совместно, называют системой урав-
88
нений и записывают
Ai — Bv
Л2 = В2,
(S)
Под множеством допустимых значений системы, если нет спе-
циальной оговорки, понимают множество числовых значений бук-
венных величин, входящих в выражения А19 В19 Л2, В2, ..Ап, Вп,
при которых все они одновременно имеют смысл.
Классификацию систем (их названия) проводят по числу и ха-
рактеру уравнений, входящих в систему. Например:
х2 — х—2 = 0,
2х = 3 + -
' X
— система двух рациональных уравнений с одним неизвестным;
%4"2// = 3,
б) i Зх—у — 1
— система двух уравнений первой степени (линейных) с двумя не-
известными;
( х + Ку =а,
( X2— Ху = Ь-}-2
— смешанная система двух уравнений с тремя неизвестными (одно
уравнение — иррациональное, а другое — рациональное), или про-
сто—алгебраическая система двух уравнений с тремя неизвестными.
Бывают системы логарифмические, тригонометрические и т. д.
Решением системы называют совокупность значений неизвестных
системы, принадлежащих ее множеству допустимых значений и
удовлетворяющих всем уравнениям системы одновременно.
Если, например, х = 3, у = — 1, г = 2и х =—1, у = 2, z = 5—два
решения некоторой системы с тремя неизвестными, то их обозна-
чают
— 3, — 1, 2, х2— 1, у— 2, z2— 5
или в виде (3; —1; 2), (—1; 2; 5), каждый раз сохраняя порядок
значений неизвестных.
Решить систему—это значит найти множество всех ее решений.
Если система не имеет решений, то говорят, что она противоречи-
вая, или несовместная.
Если все решения одной системы являются рёшениями другой
системы, то вторую систему называют следствием первой системы.
Две системы называются равносильными (эквивалентными), если
каждая из них является следствием другой.
89
Из этого определения следует, что равносильные системы имеют
только одни и те же решения.
Очевидно, что две несовместные системы можно считать равно-
сильными (они обе не имеют решений).
Важны также следующие понятия.
Система (S) равносильна совокупности двух систем (S') и (S"),
если каждое решение системы (S) является в то же время решением
либо системы (S'), либо системы (S") и обратно: все решения систем
(S') и (S") являются в то же время решениями системы (S).
Уравнение А = В есть уравнение-следствие системы (S), если все
решения этой системы являются в то же время решениями уравне-
ния Л = В.
Например, очевидно, что уравнения
+ ^2 + • • • + Ап — -®i + -®2 + • • • + Вп и AjA2 .. .Ап = В±В2.. .Вп
являются уравнениями-следствиями системы
I А2 — B2t
[ An = Bn.
Если обратно, все решения уравнения А = В являются решения-
ми системы (S), то это уравнение и систему называют равносиль-
ными.
Имеют место следующие свойства систем.
I. Любое уравнение системы можно заменить уравнением ему
равносильным; при этом получится равносильная система.
Справедливость этого свойства вытекает из понятий равносиль-
ности уравнений и систем.
II. Если одно из уравнений системы (S) равносильно совокуп-
ности двух уравнений, то эта система равносильна совокупности
двух систем (S') и (S"), в каждой из которых это уравнение заме-
нено на одно из уравнений равносильной совокупности, а осталь-
ные оставлены без изменения.
Справедливость этого свойства вытекает из понятий равносиль-
ности уравнения и совокупности двух уравнений и равносильности
системы и совокупности двух систем.
Например, в системе
( х3 + У3 = 3(х±у),
х2 4- у2 = 7
первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений.
х 4- у = 0 и х2—ху-\-у2 = 3 и, следовательно, система равносильна
совокупности двух систем
( х + г/ = 0, ( х2—ху + у2 = 3,
\х2 + у2 = 7 и \х2 + у2 = 7.
90
III. Если к уравнениям системы (S) присоединить уравнение-
следствие этой системы, то новая система будет равносильна си-
стеме (S). Справедливость этого свойства очевидна из понятий урав-
нения-следствия системы и равносильности систем.
IV. Система двух уравнений
Л1 — В19
^2 — ^2
(S)
равносильна системе
f т1А1 + т2А2=т1В1 + т2В29
| п1А1 + п2А2 = п1В1 + п2В29
где mlt т29 п19 п2—либо числа, либо некоторые математические
выражения, имеющие смысл на множестве допустимых значений
системы S и такие, что выражение А ^т^—пгт2 не обращается
на нем в нуль.
Действительно, умножая обе части первого уравнения системы S
на а второго на т2 и складывая, получим первое уравнение
системы Умножая эти уравнения на и п2 и складывая, полу-
чим второе уравнение системы Из этого следует, что система
является следствием системы S. Обратно, умножая первое уравнение
системы Si на п2, а второе на—т2 и складывая, получим уравнение
АД1 = АВ1. Умножая первое уравнение системы на—п19 а вто-
рое на т1 и складывая, получим уравнение АД2 = АВ2. Следова-
тельно, система
АД^АВр
ал2 = ав2
(52)
является следствием системы S19 но, очевидно, система S является
в свою очередь, следствием системы *$2 (если сократить обе части
уравнений системы S2 на А=^0).
Таким образом, каждая из систем S и Sj является следствием
другой, т. е. они равносильны.
Выражение А обычно записывают в виде
т1 т2
и называют определителем, составленным из элементов т19 т2, п19 п2.
Следовательно, по определению
тг т2
пг п2
= т1п2—п1т2.
91
Следствия.
1. Система
Л2=В2
(5)
равносильна системе
тА1 + пА1 = тВ14- пВ2>
тА1 — пА2 = тВ1 — пВ2
(SJ
\т п
при условии Л= т _____п
на множестве допустимых значений системы S).
В частности, она равносильна системе
= —2mn^0 (т. е. т и п не равны нулю
+ ^2 — ^1 + ^2»
А± — А2 = Вг — В2.
= п = —1).
2. Система
А1 = В1,
а2=в2
равносильна системе
А^В.,
тА2 + пА2 = тВ1 4- пВ2
1
О
п
при условии
= п^0.
В частности, она равносильна системам
( А^В,,
Л14-Л2 = В14-В, ("i=l, н-1)
и
( А1 = В1,
j А1-А2 = В1-В2 (m=i’ « = -!)•
Бывает, что в системе
I А2 = в2,
1........................... (S)
1л=в„,
например, выражение входит составной частью в выражение Л2.
Если в выражении Л2 его составную часть Аг заменить через Bt,
92
то получим новое выражение Л2 и тем самым новую систему
Г = Вх,
л2 = в2,
V . . .
I — В„,
которая отличается от системы S лишь левой частью второго урав-
нения.
Например, если в системе
Л-2 4" У == 3,
< 2(хг+у) + Х= 1,
_Х-\~у— 2 = 0
во втором уравнении заменим х2 + у через 3, то получим систему
' х2+у = 3,
< Зг 4- х = 1,
_Х-\-у — 2 = 0.
V. Система
Un=B„’
равносильна системе
( = Bv
I Л=Л’ (Si)i
\Ап = Вп,
где Л2—новое выражение, получившееся из выражения Л2 в резуль-
тате замены в нем его составной части Лх через Вг.
Действительно, из справедливости равенства А1 = В1 системы S
или системы Si для какого-нибудь решения системы S или Sx сле-
дует справедливость равенства Л2 = Л2, а значит и равносильность
систем S и Sv
Из последнего свойства следует обоснование метода решения
систем так называемым способом подстановки, который заключается
в следующем.
1. Выражаем из какого-нибудь уравнения системы одно неизвест-
ное через остальные (при этом надо следить, чтобы новое уравнение
было равносильно исходному).
2. Исключаем это неизвестное из остальных уравнений системы,
подставив найденное выражение в прочие уравнения. В результате
93
получим систему, в которой число уравнений и неизвестных на
единицу меньше, чем в исходной системе.
3. С этой системой поступаем аналогично и т. д.
В конечном итоге мы придем к одному уравнению.
4. Находим все решения последнего уравнения и подставляем их
последовательно в уравнения, выражающие одно неизвестное через
остальные. В итоге получим все решения первоначальной системы.
Пример. Решить систему
f х—2# + 3z = 9,
< 2х+ у— z = — 1,
k —3% + 2у 4- 3z = 1.
Решение. Из первого уравнения находим
х = 2у — 3z-f-9.
Подставляя это значение х во второе и третье уравнения системы,
после приведения подобных получим систему
5у—7z =—19,
— у-}~ 3z = 7.
Из второго уравнения этой системы имеем
y = 3z—7. (**)
Подставляя у в первое уравнение, получаем 8? =16, откуда ? = 2.
Теперь из уравнения (**) находим у — —1 и окончательно из урав-
нения (*) имеем х = 1.
Таким образом, первоначальная система имеет единственное ре-
шение: х=1, у = —1, г = 2.
Однако далеко не всегда можно решить систему методом подста-
новки (не всегда возможно из уравнения выразить одно неизвестное
через остальные). Тогда применяют различные частные приемы,
которые невозможно предусмотреть общей теорией. Но каким бы
приемом система ни решалась, надо тщательно следить за равно-
сильностью преобразований. Если не удалось избежать действий,
которые могут привести к появлению посторонних решений системы,
то все найденные решения надо подвергнуть проверке, подставляя
их в первоначальную систему.
Как и при решении уравнений, надо помнить, что если все урав-
нения системы рациональны относительно неизвестных и нет специ-
альной оговорки, то решения такой системы ищутся на множестве
комплексных чисел. Во всех остальных случаях системы в элемен-
тарной математике рассматриваются на множестве действительных
чисел.
94
§ 4. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Всякое целое рациональное уравнение после перенесения всех
членов в одну часть и приведения подобных может быть представ-
лено в следующем каноническом виде:
6zoxn + 6z1x?I"14- ... + = 0 (ао=И=О, п—натуральное). (1)
Левая часть такого уравнения является многочленом степени п от-
носительно х и сокращенно обозначается Рп(х), т. е.
Рп(х) = аохп + а1хп~1+..,+а^х + а^ (2)
Корнем многочлена Рп(х) называют всякое число х0, удовлетво-
ряющее уравнению (1), т. е. число, для которого многочлен (2)
принимает значение равное нулю: Рп(хо) = О.
Отметим следующие свойства многочленов.
1. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса)*. Всякий много-
член (2), рассматриваемый на множестве комплексных чисел, имеет,
по крайней мере, один корень.
Эта теорема доказывается в курсе высшей алгебры.
2. Теорема о числе корней многочлена и разложении его на ли-
нейные множители. Всякий многочлен, рассматриваемый на множе-
стве комплексных чисел, имеет ровно столько корней, какова его
степень и всегда разлагается на линейные множители по формуле
аохп + а1хп-1+ ... +ап = а0(х—х1)(х—х2).. .(х—хп), (3)
где х19 х2, ..., хп—все корни многочлена, среди которых могут быть
равные.
Доказательство. Согласно основной теореме существует
число хг такое, что Pn(x1) = Q. Но тогда по теореме Безу (см. гл. II,
§ 3) многочлен Р„(х) делится без остатка на двучлен х—xt, т. е.
имеет место тождество Рп(х)==(х—х1)Рп_1(х). (Здесь через P„_i(x)
обозначен многочлен степени п—1—частное от деления Рп(х) на
X хг.)
Рассуждая аналогично, для многочлена Рп_1 (х) получим Рп_г (х)=
= (х—х2)Рп_2(х). Продолжая этот процесс далее, в конце концов
получим Р1(х) = (х—Хп)Р0(х), где Р0(х)—многочлен нулевой сте-
пени относительно х, т. е. некоторое число А.
Таким образом, существуют числа xt, х2, ..., хп (не обязательно
все разные), для которых имеют место тождества
РП(Х) = <Х — Х^Рп_1(Х), Рп^(Х> = ^ — ^Рп-Л^ •••>
Pl (х) = (х—х„) А.
Подставляя последовательно каждое следующее тождество в преды-
дущее, получаем
Pn (X) = (х—xj • (х—х2)... (х—х„) • А. (4)
Так как равенства (2) и (4)—различные представления одного и
* К. Ф. Гаусс (1777^—1855) — немецкий математик.
95
того же многочлена, то коэффициенты при хп должны быть одина-
ковыми, т. е. А=а0.
Таким образом,
Рп (х) = йо (х—xj-tx—х2).. .(х—х„).
Из формулы (3) следует, что Рп (xj = 0, Рп (х2) = 0,..., Рп (хп) = О,
т. е. числа х±, х2, хп являются корнями многочлена (2). Оче-
видно, что эта совокупность содержит все корни многочлена, так
как Рл(х)=^0 для любого числа х не равного числам хр х2, ...» хп
(ни один из множителей в равенстве (3) не будет равен нулю).
Таким образом, теорема доказана:
Из формулы (3) вытекает следующее: если все числа хп х2,..., хп
различны, то многочлен Р„(х) имеет ровно п различных корней;
если же некоторые из этих чисел совпадают между собой, то число
различных корней Рп(х) будет меньше п. В этом случае среди мно-
жителей формулы (3) имеются равные.
Определение. Число х0 называется корнем кратности k много-
члена (2), если в формулу (3) множитель х — х0 входит ровно k раз, т. е.
P„(x) = (x-x^.P„_ft(x), (5)
причем Рл_Л(хо)^О. Если k=l, то х0 называют простым, или одно-
кратным корнем.
3. Формулы Виета* (связь между корнями многочлена и его
коэффициентами).
Если в формуле (3) произвести умножение двучленов, то получим
аохп + с^х" -1 + ... + ап = а0 (хп + + s2xn~2 + ... 4- s„), (6)
где
si = (—*1) + (—хг) + • • • + (—хп) — — (Х1 + х2 + • • • 4" хп)>
s2= ( хг) • ( х2) 4*... + ( хп-1) • ( х„) = Xj -х2 4- ... 4" хп-1хп>
Sn = (~*1) • (—х2) • • (—Хп) = (— 1)" • X, х2. .. х„.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в равенстве
(6), найдем
Х1 + Х2 + • • • + хп = >
“О
г
< х!х2 4- • • • I хп-1хп — ао • (7)
Х1х2...хп = (-1Га£.
Это так называемые формулы Виета. В левых частях соотношений
(7) стоят суммы всевозможных сочетаний из всех корней многочлена
* Ф. Виет (1540—1603) — французский математик.
96
по одному, по два, по три и т. д. Они являются симметрическими
выражениями относительно его корней хр х2, ..., хп. В правых
частях соотношений (7) стоят коэффициенты многочлена аг.
а2. ..., an_k,... при степенях х""1, хп~2. ..., xk. деленные на коэф-
фициент а0 при старшей степени х и взятые со знаком (—I)1,
(—I)2, ..., (—1 )"“*,... соответственно.
Формулы (7) позволяют по известным корням уравнения соста-
вить это уравнение в виде
x’l±-x'‘ ... 4-^ = 0. (8)
Эго так называемый приведенный вид уравнения п-й степени, когда
коэффициент при старшей степени неизвестного равен единице.
4. Свойства многочленов с действительными коэффициентами.
Теорема 1. Если комплексное число х=а-}-Ы является корнем
многочлена с действительными коэффициентами, то и сопряженное
число х = а — Ы также является корнем этого многочлена.
Доказательство. Так как х = а-}-Ы корень многочлена
Рп (.г) = айхп + atxn -1 +...+«„, то
Рп = а0(а + Ы)п + а1(а + Ыу,~1+ ... +а„ = 0. (*)
В этом выражении над комплексными числами производятся лишь
рациональные операции.
Заменим в левой части равенства (*) все числа на сопряженные.
При этом a0 = aQ. a1 = alt ..., ап = ап (ak—действительны!), а^-Ы =
= а — Ы. Тогда согласно свойству комплексных чисел (см. гл. I,
§ 6) и результат заменится на сопряженный, т. е. 0 на 0. Но 0 = 0,
поэтому имеем
а0 (а — Ы)п + а1 (а—Ы)п~1 + ... + а„ = 0,
т. е. а—bi является корнем многочлена Рп(х).
Теорема 2. Многочлен с действительными коэффициентами всегда
разлагается в произведение линейных и квадратичных множителей,
коэффициенты которых также действительны.
Доказательство. В самом деле, если многочлен имеет лишь
действительные корни, то утверждение следует из формулы (3).
Если же он имеет комплексный корень х2 =a -]-bi. то по теореме 1
он имеет и сопряженный комплексный корень х1=^а—Ы и, следова-
тельно, (по теореме Безу) делится на х—хЛ и х—хх, т. е. на их про-
изведение _(х—хД (х—хх) = х2 — (хг + xj х + хгХу = х2 + рх + q. где
р = — (л\ + х J = — {а + Ы + а — Ы) — — 2а nq = хгхг = (а 4- Ы)(а—Ы)=
= а2-}-Ь2—действительные числа. Таким образом, в этом случае
многочлен Р„(х) представим в виде Рп(х) = (х2 + px-}-q)Pn_2(x).
Рассуждая так же относительно многочлена Рл_2(х) и т. д., в
конечном итоге получим требуемое утверждение.
4 № 4 07 97
Из теоремы 2, в частности, вытекает, что всякий многочлен не-
четной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней
мере один действительный корень. (Если бы было не так, то такой
многочлен разлагался бы лишь на множители вида х2 + px-\-q, кото-
рые в произведении могут лишь дать многочлен четной степени.)
§ 5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Линейным уравнением называется уравнение первой степени
ах + & = 0 (а =7^=0). (9)
Это уравнение равносильно уравнению ах = — Ь, из которого сле-
дует, что
Таким образом, линейное уравнение всегда имеет единственный
корень.
Пример 1. Решить уравнение
а2х = а(х + 2)-— 2. (*)
Решение. Перенося неизвестные в одну часть равенства, а из-
вестные в другую, получаем равносильное уравнение а (а—1)х =
= 2 (а-—1). Если а (а—1)=^=0, т. е. а=^=0, а =/= 1, то имеем линейное
2
уравнение, которое имеет единственный корень х =
Если а = 0, то уравнение противоречиво (0-х = —2), если а=\,
то равенство (*) есть тождество, т. е. ему удовлетворяют любые
значения х.
II. Уравнение
ах2 4-Z?x+c = 0 (а=^=0) (10)
называется квадратным. Его левая часть есть многочлен второй
степени (квадратный трехчлен).
Для решения квадратного уравнения выделим в его левой части
полный квадрат.
Имеем
ах2+/’х + с = а(х2 + |х + т)=а[(х2 + 2хй + ^)“^ + т] =
Г/ । Ь\* 4ас—Ь21
— а, ЦХ + га] +. 4а2 J *
Так как то уравнение (10) равносильно уравнению
( , b\* 4ac—b2 п
( X 77- ) -4 z—5— — 0,
\ 1 2а/ 1 4а2 ’
98
или
b2— 4ас
4а2
Последнее равносильно совокупности двух линейных уравнений
, Ь ±Уь2-4ас
ХЛ~2а~ 2а
(И)
(знаки ± перед радикалом обозначают в общем случае два раз-
личных значения радикала, рассматриваемого на множестве комп-
лексных чисел).
Решая каждое из уравнений (11), находим формулу корней
квадратного уравнения
которая справедлива для любых коэффициентов а, b и с при условии,
что а у= 0.
Если Ь2— 4ас=£0, то из формулы (12) следует, что уравнение
(11) имеет два различных корня; если же Ь2—4ас = 0, то имеем
Ь
два равных корня х1э2 = — .
Пример 2. Решить уравнение x2 + ix + i—1=0.
Решение. Согласно формуле (12) имеем
_ — i ± Ki2 — 4(i — 1) _ — i ± Ki2 —4i + 4 _
ХЬ2 — 2 — 2 ~
__ ± К(i —2)2 _— i ± (Z —2)
2 ~ 2
откуда находим
— i-\-i — 2 1 —i —1’4-2 t
%!=----i-----=—1 И X2 =-----=1—I.
Если коэффициент при x в уравнении (10) четный, т. е.
ах2 4- 2Ь1х-{- с — 0, (10')
то формула (12) упрощается. В этом случае
_ -2^1 V4bl-4ac
%1’2 — 2а
У _____ тЬ]/' bl —
Л1,2
(12')
Замечание. Если квадратное уравнение (10) неполное, т. е.
либо Ь = 0, либо с = 0, то его можно решить, не прибегая к фор-
муле (12).
1. Уравнение ах2 -\-Ьх = 0, или х(ах-\-Ь) = 0 равносильно совокуп-
ности двух уравнений х = 0 и ах + Ь = 0, из которых следует, что
^1 = 0, х2 = — —.
99
2. Уравнение ах--\-с = О, или х- =— имеет корни х1|2 =
= ±
— У а
Из формулы (12) вытекает следующая зависимость между кор-
нями и коэффициентами квадратного уравнения (формулы Виета
для квадратного уравнения}'.
х 4-х0 = — — , Х1х. = — . (13)
112 а ’ 1 - а 47
Действительно, из формулы (12) имеем
__ —Ь-[-]/~Ь2 — 4ас __ —b—VЬ2— 4ас
= 2а И Х2 — -^-а .
Сложив и перемножив эти равенства, получим требуемое.
Формулы Виета легко позволяют получить разложение квадрат-
ного трехчлена на линейные множители:
ах2 + Ьх 4- с = а (х2 + ~ х + ) = а [%2 — (хг + *2)х + х А] =
= а [(х2—хгх) — (х2х — ххх2)] = а [х(х—хх)— х2 (х—хх)] =
= а(х— хх)-(х—х2).
Таким образом, справедливо тождество
ах2 + Ьх-{-с = а(х—хх)(х—х2) (14)
(ср. с формулой (3) § 4).
Если хх = х2, то из соотношения (14) следует, что ах2 + Ьх+.с =
=а(х—хх)2, т. е. квадратный трехчлен является полным квадратом.
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В теории квадратного уравнения ах2-{-Ьх + с = О и квадратного
трехчлена ах2-{-Ьх-{-с большую роль играет выражение
D = b2 — 4ac, (15)
называемое дискриминантом квадратного трехчлена или уравнения.
При этом формулу корней квадратного уравнения можно записать
в виде
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Квадратное уравнение с действительными коэффици-
ентами имеет:
1) мнимые, причем обязательно сопряженные корни, тогда и
только тогда, когда его дискриминант меньше нуля;
100
2) действительные равные корни тогда и только тогда, когда
его дискриминант равен нулю;
3) действительные различные корни тогда и только тогда, когда
его дискриминант больше нуля.
Доказательство. Действительно, эти утверждения в одну
сторону непосредственно следуют из формулы (16). Например, если
£><0, то в формуле (16) под знаком радикала стоит отрицательное
число и так как b и а—действительные числа, то, следовательно,
уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Аналогично
доказываются остальные случаи.
Обратные утверждения легко доказываются от противного.
Если, например, и х2—мнимые, то, предположив, что jD^O,
мы, согласно прямым утверждениям случаев 2 и 3, не можем иметь
мнимых корней. Получаем противоречие. Аналогично рассуждаем
в остальных случаях.
Заметим, что если корни квадратного уравнения действительные,
то формулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения
определить знаки корней. Например, если а > О, b > 0, с < 0, то
= <0 и, следовательно, корни имеют разные знаки (произ-
ведение действительных чисел отрицательно!).
Так как при этом х1 + %2 = -^<0, то из этого следует, что
больший по абсолютной величине корень отрицателен (сумма двух
чисел разных знаков — отрицательная!). Аналогично рассуждаем
в случае других комбинаций знаков коэффициентов квадратного
уравнения.
§ 7. ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Так называют уравнения вида
ахп±Ъ = д (а > 0, &>0). (17)
Заменой
х = (18)
п Г~Ь~ <
где у ——арифметический корень, двучленное уравнение приво-
дится к виду
У”±1=0. (19)
Поэтому достаточно уметь находить корни уравнения (19), так как
корни уравнения (17) затем найдем по формуле (18). В элементар-
ной алгебре обычно рассматривают случаи п = 2, 3, 4, 6.
Покажем, как находить корни в этих случаях.
I. п = 2. Двучленные уравнения у2 —1=0 и у2 -1- 1 = 0 являются
неполными квадратными уравнениями. Корни первого уравнения
равны ±1, корни второго равны ± i.
101
II. п = 3. Уравнение у3—1=0 равносильно совокупности двух
уравнений у—1=0 и у2-\-у +1 =0. Решая каждое из них, нахо-
дим
1 —1 ± /Уз
У1=1. 1/2,з=------’
Уравнение у3+1 =0 равносильно совокупности уравнений у+1 =0
и У2—У4-1=0. Решая их, находим
и =_1 и _1±±Е2
У1 А> £72,3 -- О •
III. п = 4. Уравнение г/4—1=0 равносильно совокупности двух
уравнений у2—1=0 и z/24-l=0. Решая их, находим
^/1,2 У3,4=±^.
Для того чтобы свести уравнение #4 4- 1 = 0 к равносильной сово-
купности квадратных уравнений, дополним его левую часть до
полного квадрата. Получаем
(г/44-2//24~ 1)—2г/2 = 0, или (г/24- 1>2—(К2г/)2 = 0.
Последнее распадается на два уравнения у2—У2г/4-1 =0 и г/2 4-
4- К 2г/4* 1 =0. Решая их, находим
Уз,4=-ХДИ ±г).
IV. п = 6. Уравнение г/6—1=0 равносильно двум уравнениям
у3 —1=0 и у3 + 1 = 0 (см. случай II). Их корни:
, . — 1 ± i У~з 1 ± i Уз
У 1,2 il, Уз,4 2 ’ Уз,4 2 *
Уравнение г/6 4-1 =0 сводится к предыдущему, если ввести новое
неизвестное г, связанное с у формулой y = iz. Тогда г удовлетворяет
уравнению i6z6 + 1 =0 или г6 —1=0. Его корни уже известны (см.
выше). Умножая их на г, получим корни данного уравнения
। • —i i 1*^3" . i i 3
У1,2~^1’ Уз,4 = 2 ’ ^5,в—’ 2 *
Пример. Решись уравнение 2х44-3 = 0.
4 У 3~
Решение. Положим х = у у у. Тогда данное уравнение приво-
дится к виду у* 4-1=0. Решая его (см. случай III), найдем
У1,2 = Хг-О ±0. 0м= —
4 /”Г
Умножая теперь каждый из этих корней на 1/ у, получим корни
102
данного уравнения
w
*1, 2 — 2 — 1')> *3, 4
У6
V(1±z).
В общем случае решение уравнения (19) сводится к нахождению
всех корней /г-й степени из ±1. Эти корни можно получить по фор-
мулам (см. гл. I, § 6)
у/ 1 = £. = cos---k i sin---, k = 0, 1, 2, ..., n— 1;
и « n I n
y^T = wk = cos я+2^ + i sin n+2kn, k = 0, 1, 2, ... , n — 1.
Г A n ' П ’ ’
Если воспользоваться геометрической интерпретацией комп-
лексных чисел, то точки, изображающие эти корни, очевидно, будут
вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичный круг
с центром в начале координат.
§ 8. БИКВАДРАТНЫЕ И ТРЕХЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение четвертой степени
ах4 + Ьх2 + с = 0 (а #= 0)
называется биквадратным. Заменой х2 = у решение этого уравнения
сводится к решению квадратного уравнения ау2 -\-Ьу-\-с = 0 и затем
двух двучленных уравнений х2 = уг и x2 = y2i где уг и у2— корни
соответствующего квадратного уравнения.
Если . коэффициенты биквадратного уравнения действительны,
то возможны следующие случаи: .
1) «/1^0 и у2^0; тогда биквадратное уравнение имеет четыре
действительных корня (с учетом кратности корней)
= ^3.4 ~
2) У2 < 0; тогда биквадратное уравнение имеет два дей-
ствительных корня х1% 2 = ±КУх и два чисто мнимых сопряженных
корня Х3,4 =±K^2 = ±t/—
3. < Q и у2 < 0; тогда биквадратное уравнение имеет четыре
чисто мнимых попарно сопряженных корня
*1,2 = ± Vlh. = ± i У—У1> *3. 4 = ± ± i V—У»
4. yx = u-[-vi и у2 = и—vi (v#=0); тогда биквадратное уравнение
имеет четыре попарно сопряженных комплексных корня.
Для их нахождения надо извлекать квадратные корни из комплекс-
ных чисел u-\-iv и и — iv. Чтобы избежать этой операции, преобра-
зуем данное уравнение. Перепишем уравнение в виде *4 + ~*2 +
+ -^-==0, или x4-\-px2 + q = 0t где р = ^ и 9 =
103
Так как соответствующее квадратное уравнение имеет комплекс-
ные корни, то его дискриминант D= р2— Aq < 0. Следовательно, #>0,
так как при q^O дискриминант Поэтому уравнение можно
переписать в виде (х2 + /^)2— 2х2 Vq + рх2 = 0 (У q— арифметиче-
ский!) или (х2 + /7)2—x2(2\rq— р) = 0, где 2V q—р>0.
В самом деле, при р+^0 это очевидно, а при р > 0 это вытекает
из неравенства р2 > 4^.
Обозначая положительное число 2/<?—р через s2, перепишем пос-
леднее уравнение в виде
(%2 +/7)2 — s2x2-0,
или
(%2 +/# —sx) (х2 +j/\? + sx) = 0.
Следовательно, биквадратное уравнение в этом случае равносильно
совокупности двух квадратных уравнений с действительными коэффи-
циентами
х2 — sx + /^ = 0 и x2 + sx + /^ = 0.
Решая их, найдем все четыре корня.
Пример. Решить уравнение х4 + %2+1=0.
Решение. Если его решать общим приемом, то получим у^ =
— i + i/T — 1—i/з
«= ~— и у2 = —-• 2 — и для нахождения значении л\,
х2, х3, х4 надо извлечь корни из этих комплексных чисел. Изберем
другой путь решения.
Указанным приемом преобразуем уравнение к виду
(х2+I)2 —2х2 + х2 = 0,
или
(Х2+ 1)2_Х2==О>
Последнее равносильно совокупности двух уравнений
х2— %+ 1 = 0
и
х2 + х + 1 0.
Решая их, находим все четыре корня данного уравнения
r _ 1 ± i УЗ
Л1,2 2 ’ Лз’4 2 *
Биквадратное уравнение является частным случаем так назы-
ваемых трехчленных уравнений
ах2П + Ьхп + с = 0 (а+=0, п>2). ’
Заменой хп = у решение таких уравнений сводится к решению квад-
ратного уравнения ay2 -}-Ьу + с = Ъ и двух двучленных уравнений
x" = z/i и хп = у21 где ух и у2 — корни квадратного уравнения.
104
§ 9. ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
Уравнение четвертой степени
ах* + bx3 + ex2 + dx + е = 0 (20)
называют возвратным, если существует число такое, что ко-
эффициенты уравнения, равноудаленные от концов, удовлетворяют
условию
d = kb, е = к2а (21)
или, что то же самое, если условию Например,
уравнение 2х44-3х3—13х2 — 6%4-8 = 0 возвратное, так как —v =
= у, т. е. к =—2. С помощью равенств (21) возвратное уравне-
ние (20) можно представить в виде
ах4 + Ьх3 4- сх2 Ц- (kb) х -|- (Х2а) = 0. (22)
Название «возвратное» происходит от следующего свойства та-
кого уравнения.
Если в возвратном уравнении сделать замену х = -^, то отно-
сительно нового неизвестного получим прежнее уравнение («воз-
вратимся» к исходному уравнению).
к
Действительно, подставляя в уравнение (22) х = —, получим
У
4‘+^+^+«+1.о_0.
у* 1 у3 у2 * у 1
После приведения к общему знаменателю и сокращения на V, по-
лучаем прежнее уравнение
(Л2) + (Я) у + су2 + by3 4- ay* = 0.
Рассмотрим схему решения возвратного уравнения.
Так как, очевидно, х = 0 не является корнем уравнения (22), то,
разделив это уравнение почленно на х2 и сгруппировав члены,
равноудаленные от концов, получим равносильное уравнение
а(х2+тО+й(х+т)+с=0- <23)
к
Положим х-\-~ = у. Тогда имеем
х2+=+т) ~2К =(24)
Следовательно, относительно нового неизвестного у уравнение ста-
новится квадратным:
«(г/2 — 2Х) 4- &£/ 4- с = 0.
105
Если ylt у2 — корни этого уравнения, то значения неизвестных
х19 х2, х3, х4 найдем из совокупности уравнений
Х + ~ = У„ * + - = У2-
Пример 1. Решить уравнение 2х4±3х3—13х2— 6х±8 = 0.
Решение. Это уравнение, как мы уже видели, является воз-
вратным.
Разделив на х2 и группируя члены, равноудаленные от концов,
/ 4 х / 2 \
получим равносильное уравнение 2 ( х2± — ] + 3 ( х---}—13 = 0.
т-i 2 4
Полагая х—~ = У> найдем х2 + ~^ = у2+ 4.
После подстановки получим относительно у уравнение 2у2 ± Зу —
5 2
—5 = 0, откуда ^=1, у2 = — . Теперь из уравнений х——= 1
2 5
и х—— = — 2 находим
х х =2 х ^57
Л1 1 > л2 Л3,4 4
Частными случаями возвратных уравнений являются уравнения
симметрические (X = 1)
ах4 + Ьх2 + ex2 -j- Ьх + а = 0 (25)
(коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и от конца, оди-
наковые) и кососимметрические (Х =—1)
ах4 + Ьх3 + сх2—Ьх 4- а = 0 (26)
(коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, при четных сте-
пенях равны, а при нечетных равны по абсолютной величине и
противоположны по знаку).
Подстановкой ХЛ~~ = У Для симметрического и х—-i- = y для
кососимметрического уравнения они сводятся к квадратным урав-
нениям.
Пример 2. Решить уравнение у5 ±1=0.
Решение. Имеем у5—1=(у—l)*G/4 + */3 + #2 + */+!)• Следова-
тельно, уравнение уь —1=0 равносильно совокупности двух урав-
нений: а) у—1=0, откуда ух=1, и б) у* + Уэ + У2 + У + 1 =0 —
симметрическое уравнение. Разделив на у2, получим равносильное
уравнение
О+й + ^+и + ^о.
Полагая у-\- — = г, и тем самым уг + -^— ( у ) —2 = г2—2,
получаем _z2—2-|-z-(-l=0 или za-J-z—1=0, откуда zli2 =
_ -1 ±
2
106
•Для определения у получаем совокупность двух квадратных урав^
нений: 2р2—(1^5—l)y-j-2 = 0 и 2p2 + (J/5+ 1)г/ + 2 = 0, из кото-
рых находим
_ Кб-1 , i V10 + 2 Кб „ _ Кб+1 , 1 КЮ-2 Кб
Уъ,з 4 — 4 » ^4,5 4 4 •
Аналогично уравнение р5+1 =0 равносильносовокупности двух урав-
нений: а) //+1=0, откуда ух = —1, и б) у*—У3 + У2 — // + 1=0—
симметрическое уравнение.
Преобразуем его к виду (//2 + ^г)— ^//+у) + 1=0 и пола-
гаем // + — = £. Тогда мы получим квадратное уравнение z2— z—
у
—1=0, из которого следует, что zlt2 = *
Теперь из уравнений 2у2— (К5+ 1) у + 2 = 0 и 2//2 + (Кб— 1) у +
+2 = 0 находим
„ УГ5’+1 , * К10-2 /5 /5-1 , .К10 + 2 У5
Уг.з-----4---± -----4-------» */4,5 —--4--± *------4-----•
§ 10. ПОДБОР РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА
С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Пусть несократимая дробь у является корнем уравнения
с целыми коэффициентами
аох" + а1х?1-1+...+а„_1х + а„ = О (п0у=0, ад#=0),
т. е. справедливо тождество
+ • • •+^n-i +<гл==0, (27)
или
«орп+п1рп’1? + ... + an_1pqn~1+ anq” = 0. (28)
Отсюда имеем
—апУп = Р <А>Рп -1 + “1Рп"2 q + <ЧРп ’3 q2 + ... + ап_, qn -1).
Так как целое число, стоящее в правой части, делится на р, то,
следовательно, число anqn также делится на р; но qn не может де-
литься на р (q и р — взаимно простые!). Следовательно, ап делит-
ся на р.
Из равенства (28) также имеем
— айрп = q (ajn -1+ • • • + ап_ х pqn "2 + anqn
Рассуждая аналогично, получим, что а р делится на р.
107
Таким образом, рациональные корни уравнения с целыми коэф*
фициентами следует искать лишь среди чисел вида , где р и
q—всевозможные делители (как положительные, так и отрица-
тельные! ) соответственно свободного члена уравнения и коэффи-
циента при старшей степени. В частности, целые корни следует
искать лишь среди делителей свободного члена (q=V).
Знание, каждого рационального корня уравнения позволяет по-
низить степень уравнения на единицу.
В самом деле, если х = -------корень уравнения Р(х') = 0, то
согласно теореме Безу многочлен Р (х) делится на qx—р, т. е.
Р(х) = (qx—p)Q(x), где Q(x)—многочлен степени на единицу
меньше, чем Р (х), и нахождение остальных корней уравнения
Р(х) = 0 сводится к решению уравнения Q(x) = 0.
Пример 1. Решить уравнение 4х44-8х3— Зх2— 7х 4-3 = 0.
Решение. Подлежат исследованию значения р = ±1, ±3 и q =
= 1, 2, 4 (отрицательные значения q мы отбрасываем, так как если
у < 0, то можно считать, что р < 0, a q > 0). Беря всевозможные
комбинации р и q, находим, что для получения рациональных кор-
113 3
ней надо опробовать значения ±1, ±3, ± у» — ~4 ’
Подставляя эти числа в уравнение, находим корни хг = у , х2 = — .
Следовательно, левая часть уравнения делится на (2х—1) (2x4-3) =
= 4х2 + 4х—3. Найдя частное, получаем уравнение х2 + *—1=0.
Отсюда = —
Пример 2. Решить уравнение х4 4-х3 4-х2 4-3x4-2 = 0.
Решение. Если уравнение имеет рациональные корни, то
они должны содержаться среди чисел ±1, ±2, так как коэффи-
циент при х4 равен единице. Непосредственной проверкой убежда-
емся, что годится лишь хг = —1. Разделив левую часть на хД-1, по-
лучим уравнение х3 4-х 4-2 = 0. Поступая с этим уравнением анало-
гично, находим х2 = — 1. Разделив левую часть на x-j-l, получим
уравнение х2—х-|-2=0, откуда x3ii = —± 1 .
§ 11. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, по-
сле перенесения неизвестных в каждом уравнении в одну .часть,
приводится к виду
( аре + Ьгу = dlt (29)
I &2Х Ч- ^2*
108
Считаем, что в каждом уравнении хотя бы один коэффициент при
неизвестном не равен нулю (в противном случае не имеет смысла
говорить о системе двух уравнений!).
Умножив первое уравнение на &2, а второе на —Ьг и сложив их,
получим (агЬ2—— bxd2.
Умножив первое уравнение на —а2, а второе на аг и сложив,
получим (а^— bta2) у = aYd2—a2dv
bt —l\
= axb2 — Ь^^О, то согласно свойству III
Если Д =
—а2 а.
(см. § 3) получаем систему
f (alb2 — b1a2)x = dlb2 — b1d2,
I (^1^2 У ^1^2 ^1^2’
(29')
равносильную системе (29).
Если положить для удобства
Д ^=агЬ2 — bva2 =
clv
а2
bl
b2
(определитель системы),
(30')
Д* — dLb2 bxd2 — у
(определитель неизвестного х),
<30")
ах dr
^2 ^2
Ду = nxd2 —dra2 =
(определитель неизвестного у), (30'")
то система (29') принимает вид
Д -х = Дх,
Д-г/ = Ду,
откуда находим единственное решение
Ах Ау
х = -г~, У = -Г
А ’ и А
(31)
Таким образом, если определитель системы (29) не равен нулю, то
система имеет решение и притом единственное. Это решение нахо-
дится по формулам (31), где Д, \х, —определители, вычисляемые
по формулам (30'), (30"), (30'").
Пример 1. Решить систему
ix — 2у = 3,
x+(i+i)y = — 1.
Решение. Имеем
t
1
Л =
= i(l+t)-l(-2)=l + t=#0.
109
Теперь находим
-3(1+ i) — (—1) (—2) = 1 ф 3i,
= t(—l)-3-l =— 3—i.
Следовательно,
Ду —
i
1
3
— 1
A„ 1+31
А'==’д‘= Т+Г=2 + 1'’
Av 3+i
z/— V = — TT-- = — 2 + i.
A l+i 1
аг br
^2 ^2
Пусть теперь Д =
= 0.
Если, например, (в случае + = 0, 6^0 рассуждаем ана-
логично), то из равенства аД—аД = 0 имеем b2 = ^-b1. Полагая
— = Х, т. е. а2 = аЛ., получаем, что и Ь2 = ЬЛ, (причем Х#=0, иначе
а1
а2 = й2 = 0). Следовательно, если определитель системы равен нулю,
то коэффициенты при неизвестных пропорциональны. Если в этом
случае и d2 = dxX, то второе уравнение системы можно записать в виде
а^кх + bxky = dxX, или avx-\-bry = d^ т. е. система равносильна одному
уравнению axx + &xy = dx и поэтому имеет бесчисленное множество
решений, определяемых по формуле х = -, у—любое.
Если же d2#=dxX, то имеем противоречивую систему
' a1x + &1z/ = d1,
a1x + bly = -^^=d1
(при любых х и у левые части уравнения одинаковые, а правые — нет).
Таким образом, если определитель системы равен нулю, то она
либо имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при
неизвестных ’ и свободные члены пропорциональны!), либо совсем
не имеет решений (коэффициенты при неизвестных пропорциональны,
а свободные члены не пропорциональны). Заметим, что из условий
а2 = ахХ, b2 = Ьгк, d2=d1k следует:
д = £ l«i Ьг 1 Хй! = —ka1b1 — 0,
дх = di &х d2 b2 мг --= kb^—kb1d1 = 0,
Ду “ а & to to = аг dx — kci-jd^1 kcijd j — 0.
110
Так как полученные возможные случаи решения системы (29)
взаимно исключают друг друга, то эти результаты можно сформу-
лировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
имеет:
1) единственное решение тогда и только тогда, когда ее опре-
делитель отличен от нуля (т. е. когда коэффициенты при неизвест-
ных не пропорциональны);
2) бесчисленное множество решений тогда и только тогда, когда
определители системы и неизвестных равны нулю (пг. е. когда коэф-
фициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны);
3) не имеет решений тогда и только тогда, когда определитель
системы равен нулю, а хотя бы один из определителей неизвестных
не равен нулю (т. е. когда коэффициенты при неизвестных про-
порциональны, а свободные члены—не пропорциональны).
Пример 2. Решить систему
( (а + 4)х-|-Зу = а+ 1,
( ах-[-(а — 1)у = а — 1.
Решение. Имеем
а + 4 3
а а—1
а 4~ 1 3
а — \ а — 1
= а2—4, Д
= (а-1).(а-2),
Д
а 4-4 «4-1
а а—1
= 2 (а—2).
Следовательно, если а ^=±2, то Д =/= 0 и система имеет единственное
решение
v а—1 ___2_
Х~ а+2’ а+2’
Если а —2, то ДЛ. = Ду = 0 и система имеет бесчисленное множество
решений. Для их нахождения подставим а = 2 в любое из уравнений
системы, например в первое. Тогда имеем 6х4~3у = 3. Отсюда
у = 1 —2х, х—любое.
Если а — —2, то Дх=#0 и, следовательно, система не имеет решений.
Геометрический смысл двух линейных уравнений с двумя неиз-
вестными. В случае действительных коэффициентов каждое из урав-
нений системы (29) изображает на плоскости хОу некоторую прямую
(см. гл. VII, § 9, п. 1). Поэтому отыскание решения такой системы
эквивалентно отысканию координат точек, общих этим прямым. При
этом возможны следующие случаи:
1. Прямые имеют единственную общую точку, т. е.
пересекаются. Алгебраически это означает, что система (29) имеет
единственное решение. Из предыдущей теоремы следует, что
это имеет место в том и только в том случае, когда коэффициенты
при х и у не пропорциональны.
Ill
2. Прямые п а р а л л е л ь н ы. Алгебраическая система не имеет
решений. В силу предыдущей теоремы это имеет место в том и
только в том случае, если коэффициенты при х и у пропорциональны,
а свободные члены нет.
3. Прямые совпадают. В этом случае алгебраическая система
имеет бесчисленное множество решений (решением будут
координаты любой точки совпадающих прямых). Согласно предыду-
щей теореме это имеет место в том и только в том случае, если
коэффициенты при х, у и свободные члены пропорциональны.
§ 12. СИСТЕМА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
И ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ
Такая система может быть представлена в виде
ax-\-by = d,
Ах2 + Вху 4- Су2 + Dx-\-Ey = F,
где хотя бы один из коэффициентов а и Ь, а также Л, В и С не
равны нулю.
Пусть, например, Ь^=0 (в случае 0 рассуждаем аналогично).
Тогда из первого уравнения находим
Подставляя у во второе уравнение системы и производя приведение
подобных, получим уравнение
а'х2 + Ь'х 4- с1 = 0, (35)
где
Ab^ + Ca^—Bab & Db2 +Bbd—2Cad—ЕаЬ
с, Cd2+Bbd—Fb2
Возможны следующие случаи.
I. afy=0. Тогда из уравнения (35) находим значения х (вообще
говоря, два) и, подставляя их в равенство (34), найдем соответству-
ющие значения у.
II. аг = 0, Ь' =7^0. В этом случае из уравнения (35) имеем х =— у
и из (34) находим соответствующее значение у.
III. а'=Ь'=0, с'=^=0. В этом случае уравнение (35) противоре-
чивое и, следовательно; система решений не имеет.
IV. а' = Ь' -=с' = 0, т. е. уравнение (35) удовлетворяется тожде-
ственно при любых х. Все решения системы содержатся в формуле
(34), где х—любое. •
П2
Пример 1. Решить систему
f х—ту = 1,
\ х-—ху—2у2— Зл/ = 0.
Решение. Из первого уравнения находим х = ту-\-1. После
подстановки во второе уравнение и приведения подобных членов
получим
(т2 —tn — 2)z/24-2(m — 2) у + 1 = 0. (*)
Если т2 — т — 2=^=0, т. е. m=^2, 1, то из уравнения (*) нахо-
2— т ± Гб— Зт . . л
дим у: у =----2—-—х-----, а из формулы х = туЗ-1 соответствую-
771 772 £
щпе значения х\
т — 2 ± т V6 — Зт
Х т2—т— 2
Если т = —1, то уравнение (*) принимает вид —6//+ 1=0, откуда
1 5
= — и х = -^. Если т = 2, то уравнение (*) противоречиво и, сле-
довательно, система не имеет решений.
Частный случай системы (33)
( х-\-у — ру
\Xy = q (Р^О, ^0) (36)
целесообразней решать не способом подстановки, а с помощью вспо-
могательного квадратного уравнения.
Действительно, согласно формулам Виета для корней квадрат-
ного уравнения, значения неизвестных х и у системы (36) должны
быть корнями квадратного уравнения
z2—pz-\-q = 0.
Найдя корни zt и z2 этого уравнения, получим два решения системы
(zf, z2) и (z2; zj, если z1^z2i и одно решение (zx; z2), если z2 = z1.
Пример 2. Решить систему
f х + У — —3,
\ху = 2.
Решение. Решая квадратное уравнение х2 3z 4- 2 = 0, находим
z± = —2, z2 = — 1. Следовательно, решения системы (—2; —1) и
(-1; -2).
Замечание. Аналогично можно решать систему
( *—У = Р,
I ХУ = <Ъ
ИЗ
если ее переписать в виде
* + (—
х(—У)=—Ч-
§ 13. СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ
Такая система может быть представлена в виде
( Л1№4-В1х^4-С1г/24-Р1х4-Е11/4-Е1 = 0, (Л)
1 Л2х2 4- В2ху-\- С^у2, D3x 4- Е2у -f- F2 — 0> (^)
где в каждом уравнении есть коэффициенты при старших степенях
неизвестных, отличные от нуля.
Приведем схему решения такой системы в предположении, что
оба уравнения содержат члены с квадратами обоих неизвестных
(другие частные случаи будут содержаться в этой схеме).
Рассмотрим одно из уравнений, например, уравнение (37-Л) как
квадратное относительно какого-нибудь неизвестного, например %,
принимая при этом другое неизвестное за параметр. Имеем
А*2 + (В1У + х + (C# + Е1У + = 0. (38)
Если это уравнение допускает рациональное выражение х через У
(в общем случае два решения) х1 = а1У^Ь1 и х2 = а2У + Ь2, то в этом
случае система (37) равносильна совокупности двух систем
Г х = а1У + Ь1,
I А2х2 + В2хУ С2У2 D2x Е2У = 0
и
( * = а2# + &2,
( А2х2 В2хУ + С2г/2 D2x Е2ц F2 = 0,
схемы решения которых рассмотрены в § 12. Если ни одно из урав-
нений (37-Л) и (37-В) не допускает рационального выражения х
через г/, то с помощью уравнений (37-Л) и (37-В) исключим квад-
рат какого-нибудь неизвестного, например х2. С этой целью умно-
жим обе части первого уравнения на Л2, а второго на —Лх и сло-
жим. В результате получим уравнение вида
B3xt/ 4- С3у2 4- D3x 4- Е3у 4- F3 = 0,
или
(B3y + D3)x + Csy* + E3y + F3 = 0, (39)
где В3, D3, С3, Е3, F3—некоторые новые коэффициенты. Это урав-
нение совместно с уравнением (37-Л) или (37-В) образует систему,
равносильную системе (37) (см. § 3).
Возможны следующие случаи.
114
1. B3 = D3 = 0, т. e. уравнение (39) имеет вид
Csy2 + E3y + F'3 = 0.
(39')
Найдя из этого уравнения значения у и подставляя их в уравнение
(37-Л) или (37-В), найдем соответствующие значения х. Если урав-
нение (39') противоречивое (С3 = £3 = 0, F3=£0), то система (37)
решений не имеет. Если же (39') — тождество (С3 = Е3 = F3 = 0), то
система (37) имеет бесчисленное множество решений. Для их нахож-
дения надо какое-нибудь из уравнений (37-Л) или (37-В) решить
относительно х (или у) и в полученных формулах для х (для у) счи-
тать у—любым (х—любым).
2. В3=^=0. Тогда проверяем, не удовлетворяет ли уравнению (39)
Do
значение у=—. Если это значение годится, то соответствующие
значения х найдем из уравнений (37-Л) или (37-В).
Чтобы найти остальные решения системы в этом случае, выра-
зим из уравнения (39) неизвестное х через у (считая у=£—^) :
ВзУ + ^з
(40)
_ Do
Так как в рассматриваемом случае у =—удовлетворяет уравне-
нию (39), а следовательно, обращает в нуль многочлен С3у2 + Е3у -|- F3,
то согласно теореме Безу числитель в равенстве (40) делится без остат-
ка на знаменатель. Разделив, получим выражение для х вида
x = + (40')
Подставив х в уравнение (37-Л) или (37-В), найдем значения у и
затем из равенства (40') соответствующие значения х.
Если же у=—не удовлетворяет уравнению (39), то из этого
. "3
уравнения находим выражение х через у в виде (40).
Подставив его в уравнение (37-Л) или (37-В), получим в общем
случае уравнение четвертой степени относительно у. Найдя все корни
этого уравнения, получим согласно равенству - (40) соответствующие
им значения х.
Пример 1. Решить систему
2х2 —ху—Зу2 + 5у—2 = 0,
%ху + у2 + у—1 =0.
Решение. Из первого уравнения имеем
х- у ± <5У~4)
4
115
Следовательно, система равносильна совокупности двух систем
I х=1 — у,
\ 2ху + у^ + у— 1 =0
2xy + z/24-i/—1 =0.
Решая их, находим решения данной системы
/ — 1 — /5 з+/^\ V-l + /’5. 3-/б\
\ 2 ’ 2 / ’ \ 2 ’ 2 / ’
/—13+/17 . 1 + V17 \ /—13—/17 . 1— КТ7\
\ 16 ’ 8 / ’ \ 16 ’ 8 / ’
Пример 2. Решить систему
х2—ху—у2 + у + 2 = 0,
2х2 + Зх// + у2 — Зу— 5 = 0.
Решение. Убеждаемся, что ни из одного уравнения системы х
не выражается рационально через у, а значит, и у через х. (Чита-
телю советуем это проверить.)
Сложив первое уравнение со вторым, получим уравнение, в кото-
ром член с у2 отсутствует: 3%2 + 2ху—2у—3 = 0, или 2(х—1)у +
+ 3(х2—1) = 0. Очевидно, этому уравнению удовлетворяет х=1.
Соответствующие значения #= + КЗ находим, например, из первого
уравнения системы. Считая теперь х=/=1, из последнего уравнения
3(%+1)
находим z/ =--—-, и подставляя его в первое уравнение системы,
получаем х2 — 18х— 7 = 0. Следовательно, х = 9±К88 и у=
—3(10±)/88)
=----1—-—'----. Таким образом, система имеет решения
(1; ±/3), (э±/88; ----°^ ^88)) ♦
Рассмотренный метод решения не всегда является самым раци-
ональным в отдельных частных случаях системы (37). Например,
систему
иногда удобнее решать следующим приемом: умножить второе урав-
нение почленно на 2 и затем один раз почленно прибавить к пер-
вому уравнению, а другой — вычесть. В результате получим систему,
равносильную данной:
(х + у)2 = а + 26, Г х + у = + Vа + 26,
(х—уУ = а — 2Ь, ИЛИ ^х— у = ±Уа—2Ь.
Последняя система равносильна совокупности четырех систем ли-
U6
нейных уравнений
<х + у = Уа-\-2Ь, f x4-z/ = — l/a + 26,
(x—у =У a—2b, [x—y = —[a— 2b,
( x 4- у = Уa + 2b, f x + у = — V a + 2b,
3) 4) i x-9 a—6.
Решив эти системы, найдем все решения исходной системы. Систему
(37') в случае действительного значения b можно также решить
сведением к квадратному уравнению, если заметить, что система
(37') равносильна системе
| х2 + у2 = а,
( х2у2 = Ь2
при условии, что произведение ее решений должно по знаку совпа-
дать с Ь.
Пример 3. Решить систему
| х2 + у2 = 4,
1 ху = — Уз.
Решение. Возводя обе части второго уравнения в квадрат,
получим систему
( х2-}-у2 = 4,
( х2у2 = 3
при условии ху < 0. Решая квадратное уравнение г2— 4г4-3 = 0,
находим гх = 3, г2= 1. Следовательно, решение системы (КЗ; —1),
(-/3; 1), (1; -/3), (-1; /3).
Отдельные другие приемы решения частных случаев системы (37)
рассмотрены в следующей главе.
§ 14. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ
НЕРАВЕНСТВ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Любое неравенство после перенесения всех членов в одну часть
можно записать в виде
Л V 0,
где V может обозначать любой из символов >, <, а А
— выражение, содержащее известные и неизвестные (т. е. подлежа-
щие определению) величины.
Решить неравенство—это значит указать все действительные
значения неизвестных, для которых это неравенство истинно. Поня-
117
тие равносильности уравнений сохраняется и для неравенств, а
именно: два неравенства называются равносильными, если все реше-
ния первого являются решениями второго и, наоборот, все решения
второго являются решениями первого.
При решении неравенств над ними совершают такие действия,
которые сохраняют его равносильность и сводят к одному или со-
вокупности нескольких более простых неравенств, правила решения
которых известны.
Рассмотрим правила решения некоторых неравенств.
1. Линейное неравенство
а%4-Ь\/0 (а=Н=0). (41)
Для определенности разберем решение неравенства ях-|-6>0.
Это неравенство согласно свойствам неравенств равносильно нера-
венству ах > — Ь. Отсюда получаем х > —у, если а > О, и х < — у,
если а < 0.
Для остальных значений символа V неравенство (41) решается
аналогично.
Пример 1. Решить неравенство * + 1 у + у •
Решение. Это неравенство равносильно неравенству
Очевидно, в случае ab = 0 неравенство не имеет смысла. Исключая
эти значения а и &, получаем:
в случае а—& > 0, т. е. а > &, неравенство равносильно нера-
х 1 а ~ _ а л
венству — -г . Отсюда х , если а > 0, и х -г-, если а < 0;
J a b о с?
в случае а—Ь<0, т. е. а < &, неравенство равносильно нера-
венству у у • Отсюда х у, если а > 0, и х у , если а < 0;
в случае а=Ь получаем 0-х ^0, что справедливо для любого х.
Таким образом, решением неравенства будут:
1) х > f, если а > &, а > 0 или а < Ь и а <0;
2) х < f, если Ь < а < 0 или Ь > а > 0;
3) х—любое, если а = Ь.
2. Исследование знака квадратного трехчлена. Неравенство вто-
рой степени
ах2 + &x + cV 0 (а =Н=0). (42)
Обозначим через D = b2—4ас дискриминант квадратного трех-
члена
ах2-\-Ьх-\-с. (43)
118
Тогда, вынося а за скобки и выделяя полный квадрат, представим
квадратный трехчлен в виде
ax2 + bx~c = a^x + ^J—j . (44)
Возможны следующие случаи:
I. D<0.
Так как + для любого х, а < О, то выражение
в квадратной скобке положительно и, следовательно:
1. Если а>0, то ах2-\-Ьх-\-с>'О всех х;
2. Если а < 0, то ах2 -j- bx -j- с < 0 для всех х.
Таким образом, если дискриминант квадратного трехчлена от-
рицателен, то его знак для всех х совпадает со знаком коэффи-
циента при х2.
Отсюда следует, что в случае D < 0 неравенства ах2 + Ьх 4- с > О
и ах2 + &х4-с^0 имеют решением все действительные значения х
при а > 0 и не имеют решений при а < 0.
Аналогично, неравенства ах2 + &х4-с<0 и ах2-\-Ьх-\-с^ 0 не
имеют решений в случае а > 0 и имеют решением все х, если
а < 0.
II. 0 = 0. В этом случае согласно равенству (44) квадратный
( ь
трехчлен представим в виде ах2-\-Ьх-\-с = а ( х + ) •
Следовательно, если дискриминант квадратного трехчлена ра-
вен нулю, то его знак [для всех х=#—совпадает со знаком
коэффициента при х2; при х =— он принимает значение, рав-
ное нулю. Поэтому в случае 0 = 0:
1. Неравенство ах2 + Ьх + с> 0 имеет решением все ху=—
если а > 0, и не имеет решений, если а < 0.
2. Неравенство ах2 + &х4-с<0 имеет решением все х^= — ,
если а < 0, и не имеет решений, если а > 0.
3. Неравенство ах24-&х-|-с^0 имеет решением все х, если
а > 0, и единственное решение х — — , если а < 0.
4. Неравенство ах2 + &х4-с^0 имеет решением все действи-
тельные значения х, если а < 0, и только х =— если а >0.
III. О>0. В этом случае квадратный трехчлен представим в
виде
ах2 + Ьх-\-с = а(х—xj(x—х2), (45)
где хр х2—действительные и различные корни квадратного трех-
члена (43).
119
Будем считать хх<х2. Очевидно, что (х—хг)(х—х2) > О для
х < и х > х2 (оба сомножителя одного знака) и (х—хг)-(х—х2) <0
для хх < х < х2 (первый сомножитель положителен, а второй отри-
цателен).
При х = хг или х = х2, очевидно, (х—х^х—х2) = 0. Поэтому
согласно формуле (45) в случае а > 0 квадратный трехчлен положи-
телен для всех х,-лежащих вне промежутка (хп х2), и отрицателен
для всех значений х, заключенных в промежутке (хп х2). В слу-
чае а < 0 — наоборот.
Из этого исследования следует способ решения неравенства
ах* 1 2 -\-bx-\-c\/ когда D > 0.
Геометрическая интерпретация. Графиком квадратного трех-
члена у = ах2-^Ьх-]с служит парабола (см. гл. VII, §9 — III). Рас-
положение этой параболы относительно
оси х для различных случаев представ-
лено на рис. 10.
Пример 2. Решить неравенство
---7 (а —2)х2 — х—1>0.
fa<o\ Решение. При а = 2 имеем —х—
U>0\ —1^0, т. е. х^—1. При а =#2 на-
ходим D =1 4 (а—2) = 4а — 7.
7
Если D = 4a — 7<0, т. е. а<-^-,то
коэффициент а — 2<0 и, следовательно, неравенство решений не
имеет (для всех х левая часть отрицательна).
7 х2
Если a = т. е. 0 = 0, то неравенство принимает вид ——
— х—1^0, пли —(х—2)2^0. Следовательно, его решением будет
лишь х = 2.
Рис.
г? 7 f п 1 + К 4а—7
Если d> — и а =^2, то находим, что xt = ' — и х2 =
т: Z (a Z)
1 —К 4а —7 „
— —от—-------корни трехчлена. Неравенство представляем в виде
(а — 2) (х—xj (х — х2) 0.
7
В случае у < а <2 коэффициент а — 2<0 и неравенство равно-
сильно неравенству (х—хг)(х—х2)^0 и так как, очевидно, в этом
случае хг < х2, то, следовательно, решением неравенства будет
Х1^Х^ х2.
Для а >2 неравенство равносильно неравенству (х—xjx
X (х—х2)^0, причем xt>x2, и поэтому решением будет х^х2 и xi>xv
Таким образом, решениями неравенства служат:
1) х = 2, если я = 4-;
' 4
1 + 1 — ^40=7 7 . о
2) 2 (а—2) 2 (а—2) > если 4 < а < 2>
3) —1, если а = 2;
120
. I —/ 4а —7
4)
В
1 + V4а —7 о
и х> 2(а-2} ’ если а >2.
7
случае а < неравенство решении не имеет.
3. Общий случай. Всякое рациональноё неравенство (т. е. нера-
венство, обе части которого рациональны относительно неизвест-
ного) после перенесения всех членов в одну часть приводится ir
виду
у/ о
(46)
где Р (х) и Q(x)— многочлены относительно х.
Всякий многочлен, рассматриваемый на множестве действи-
тельных чисел, разлагается в произведение множителей вида
(х—а), (х— b)k, (х2 + рх + q) и (х2 + ргх + qj^ где x2-\-px + q и
х2 + р1х4-{?1 не имеют действительных корней, т. е. их дискрими-
нанты отрицательны. Поэтому для всех х они принимают лишь
положительные значения (коэффициент при х2 равен 1). Следова-
тельно, эти квадратные трехчлены можно в неравенстве (46) от-
бросить, в результате чего получится неравенство, равносильное
исходному.
Двучлены вида (х — b)k при четном k = 2tn для всех х=^=Ь при-
нимают лишь положительные значения. Поэтому, если такой дву-
член отбросить, то получим неравенство, равносильное исходному
для всех х#=Ь. Что касается нечетного й, т. е. двучленов вида
(х—&)2W+1, то как следует из равенства (х—Ь)2т+1 = (х—Ь)2т(х—Ь),
они принимают для всех х значения, совпадающие по знаку с х—Ь.
Следовательно, такой двучлен можно в неравенстве заменить его
первой степенью.
Далее, если числитель и знаменатель неравенства (46) содер-
жат одинаковые линейные множители х—а, то сокращая на этот
множитель, мы получим неравенство, равносильное исходному при
всех х^=а, причем заметим, что значение х = а не может входить в
решение исходного неравенства (числитель и знаменатель обра-
щаются в нуль!).
Таким образом, неравенство (46) после разложения числителя
и знаменателя на простейшие множители с действительными коэф-
фициентами сводится к неравенству
А = (x-ai)(x-g2) ..(x-afe)_ 0 (47J
(х — aft + 1)(x — ak + 2) ... (X — ап) v '
равносильному данному для всех х, за исключением, быть может,
отдельных значений х = Ьп х = Ь2, ..., причем числитель и знамена-
тель этого неравенства не имеют одинаковых множителей. Для реше-
ния неравенства вида (47) удобно йрйменять числовую ось.
Пусть xt > х2 > х3 > . .. > хп — все значения х, при которых со-
множители неравенства (47), стоящие в числителе и знаменателе,
121
обращаются в нуль (т. е. это числа аг, а2, ...» перенумерованные
в порядке убывания).
Отметим на числовой оси х точки хх, х2, . .., хп, причем будем от-
мечать точки сплошной чертой, если они принадлежат решению
неравенства (47) и пунктирной — если не принадлежат (рис. 11).
(В случае большого разброса точек масштаб можно не соблюдать.)
Очевидно, если символ V обозначает или то такими точками,
заведомо принадлежащими решению, будут числа ах, а2,
обращающие сомножители числителя в нуль. Точки ak + 1,
обращающие знаменатель в нуль, не могут принадлежать решению
неравенства (47).
Эти точки хх, х2, ..., хп разбивают числовую ось на n+ 1 проме-
жутков.
Для всех х из крайнего правого промежутка (% > хх), очевидно,
все сомножители в неравенстве (47) положительны и, следовательно,
А > 0. Для х из следующего промежутка х2 < х < хх сомножитель
х—%х будет отрицательный, а все остальные, по-прежнему, остаются
положительными, т. е. на этом промежутке А < 0. При переходе
на следующий промежуток х3<х<х2 все сомножители, за исклю-
чением х—х2, будут принимать значения, совпадающие по знаку
с их значениями на предыдущем промежутке, а сомножитель х—х2
вместо положительных зна-
| [ || | ’ чений будет принимать от-
—1-----1-----> рицательные значения и, сле-
х дователйно, на этом проме-
рис п жутке А > 0. Вообще, дви-
гаясь справа налево вдоль
числовой оси, при переходе
с одного промежутка на следующий знак А в неравенстве (47) ме-
няется на-противоположный, так как один из сомножителей вместо
положительного значения принимает отрицательное. Это знакоче-
редование значений А удобно условно изображать волнистой линией,
как показано на рис. П.
Для крайнего правого промежутка х > хх эта линия всегда ле-
жит над осью.
Итак, если линия на промежутке находится над осью, то значе-
ния А положительны, если под осью—отрицательны.
Отметив знакочередование А на числовой оси, мы, в зависимо-
сти от значения символа V, получим все решения неравенства (47).
Присоединяя к этим решениям те значения х, для которых могла
нарушиться равносильность при переходе от неравенства (46) к
неравенству (47), и которые являются решениями неравенства (46),
мы получим все решения этого неравенства.
п о г» (I—2х)(х2+х)(х2—х—2) п
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Замечая, что
1—2х =— 2^х—-i-) , х2-j-х = х(х-j-1), 4—х = — (х—4),
122
х2— х—2 = (х—2)(х+ 1), 3 + 5% = 5 (х +4’) ’
х—х2—1= — (х2— хЦ-1),
— я(х—х (х+ I)2 (х—2)
перепишем неравенство в виде -у v д-у 7---------^0. Имеем:
5 ( х + — ) (х2—х+1) (х—4)
(х-|-1)2>0 для всех х=^—1, причем х = —1 удовлетворяет нера-
венству; 'х2—х+1 >0 для всех х, так как дискриминант D=\ —
— 4 < 0. Поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
xf х—j-") • (X —2)
-у----у-------^0 при х=^=—1 (при сокращении обеих частей на
^x+"5j U—4)
2
— — знак неравенства изменили на противоположный .
□ J
Отмечая на числовой оси точки х = 0, х = у, х = 2 '(сплош-
з
ной линией) и х = —=-, х = 4 (пунктирной) и рисуя справа налево,
начиная над осью, волнистую линию, получим знакочередование
левой части последнего неравенства (рис. 12). «Снимая» с этого
Рис. 12
Рис. 13
рисунка решение последнего неравенства и присоединяя к нему
х — —1, получаем решение исходного неравенства
х ——1, — -|<х<0, у<х<2, х > 4.
Пример 4. Решить неравенство
х х
х2—3x4-1 > х24-3x4-2*
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
или
или
х2—3x4-1 х24-Зх4-2
х (6x4-1)
(х2—Зх4-1)*(х24-Зх4-2)
________________________>о,
(х—хх) (х—х2) (х+1) (х+2)
123
„е х, = 1+р,
Используя числовую ось (рис. 13), получаем решение
(-оо, _2), (-1, -1), (о, (Ц^. +со).
4. Системы неравенств с 'одним неизвестным. Решить систему
неравенств с одним неизвестным
4 vo,
а2 V о,
Ап V0
это значит указать все значения неизвестных, для которых все не-
равенства, входящие в систему, одновременно справедливы. Если
таких значений нет, т. е. система не имеет решений, то говорят,
что она противоречивая, или несовместная.
Решая каждое неравенство на своей числовой оси (во избежание
путаницы) и отмечая на ней, например, штриховкой, удовлетворяю-
щие этому неравенству промежутки, мы получим совокупность чис-
ловых осей. Если их расположить параллельно одна под другой так,
чтобы начала отсчета каждой оси лежали на одной вертикальной
Рис. 14
линии, то легко получить промежутки,
являющиеся решением системы.
Пример 5. Решить систему нера-
венств
(1)
(2)
(3)
1__
Решение. Неравенство (1) равносильно неравенству< О, или
у__ |
—— > 0. Отмечаем на числовой оси штриховкой промежутки, удов-
летворяющие этому неравенству (рис. 14, а).
^2 I 12
Неравенство (2) равносильно неравенству - Q0, или
ОХ
<х+6Их~2)>0. Его решение отмечено штриховкой на рис. 14, б.
Неравенство (3) записываем в виде (х—хх)(х—х2)<0, где
3+ У"5 3—/У
хг = —, х2 =----------- и отмечаем также штриховкой его реше-
ние (рис. 14, в). Теперь из рис. 14 получаем решение системы 2<Z
124
34- V 5
< ------ (тот промежуток, где штриховка на всех осях совпа-
дает!).
Примечание. Решение иррациональных, показательных, ло-
гарифмических неравенств см. в соответствующих местах. О реше-
нии неравенств и систем неравенств с несколькими неизвестными
см. также гл. XIV, § 8.
ГЛАВА IV
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ
Некоторые общие приемы решения простейших рациональных
уравнений были рассмотрены в предыдущей главе.
В элементарной математике большое значение имеют частные
приемы решения, выбор которых вызывается не общими соображе-
ниями, а конкретным видом данного уравнения.
Рассмотрим некоторые такие приемы.
I. Непосредственное упрощение уравнения. Часто то или иное
уравнение путем упрощения выражений, составляющих его (при-
ведение к общему знаменателю, раскрытие скобок и т. д.), приво-
дится к уравнению, правила нахождения корней которого известны.
Еще раз напомним, что при упрощении надо внимательно следить
за тем, чтобы не нарушилась равносильность уравнений.
Пример 1. Решить уравнение
2 х—4 - _ 1
х2 — 4 ‘ x2-j~2x х2 — 2х ‘
Решение. Разложив знаменатели на простейшие множители,
получим
_____2_____х—4 1
(х — 2) (% + 2) ' х (х+ 2) х (х—2) ’
После приведения к общему знаменателю х(х2—4) и приведения
подобных членов получим уравнение х2—5хЦ-6 = 0, равносильное
исходному, при условии, что х (%2 — 4) =/= 0, т. е. х #= 0, х =/=± 2. Корни
последнего уравнения х1 = 3, х2 = 2. Так как х2 = 2 не удовлетворяет
ограничению х=/=2, то, следовательно, исходное уравнение имеет
единственный корень х=3.
Пример 2. Решить уравнение
_/1х
a-\-x'b-\-x ab ' '
Решение. Считаем аЬ=/=0 (иначе уравнение теряет смысл).
Уравнение (1) равносильно уравнению
ab [а(& + х) + Ь(а + х)] = (а + Ь)2 (а^х)(Ь + х) (2)
(х=/=—а, —Ь),
Подставляя х=—а в уравнение (2), получим, что х=—а может
быть его корнем лишь при условии а = Ь. Аналогично найдем, что
х =— b может быть его корнем тоже лишь при условии а = Ь.
126
После приведения подобных членов в уравнении (2) получим, что
уравнение (1) при условии а^Ь равносильно уравнению
(а + &)2 х2 ф (а 4- &) (а2 + Ь2 + ab) х + ab (а2 + Ь2) = 0. (3)
Если а = — &, то из уравнения (3) получаем ab(a2-\-b2) = 0 при
любом х, что невозможно, так как ab=^=Q. Следовательно, при
а = — b уравнение корней не имеет. Если а=/=—&, то уравнение (3)
является квадратным. Решив его, найдем
— ab а2 + Ь2
Х1 = —И Х2 =-------.
1 а-\-Ь 2 а-\-Ь
Теперь исследуем случай а = Ъ. Тогда уравнение (1) принимает
2а . а
вид = откуда находим, что х = —у.
Таким образом, имеем:
в случае а = —b уравнение не имеет решений,
в случае а = b уравнение имеет единственный корень х = —у,
в случае а2фЬ2 уравнение имеет корни
__—ab ______ а2-\-Ь2
xi —Нтрь’ х2 —- а+Ь‘
Иногда при упрощении уравнения во избежание громоздких
выкладок целесообразно выделять целые части алгебраических дробей.
Пример 3. Решить уравнение
х2+2% + 2 х2 + 8х+20 _ х2 + 4х + 6 . х2 + 6х+ 12
х —j-1 х + 4 x-j-2 х + 3
Решение. Прежде чем приводить к общему знаменателю,
выделим целые части каждой дроби. Переписав уравнение в виде
(х+1)2+1’ (х + 4)2 + 4 = (х + 2)2 + 2 (х + 3)2 + 3
х+1 х4-4 х + 2 х + 3 ’
получаем равносильное уравнение
х+14—Ц-+х4-4 4—^ = * + 2+ -4о+*Н-34—+
или
х+1 *х+4 х+2~х+3
Члены этого уравнения уже можно приводить к общему знамена*
телю, но удобнее поступить иначе.
Имеем
4________________________3__ 2______1
х + 4 х + 3 х + 2 х+1 *
ИЛИ
(х+4) (х+3) = (х+2) (х+1) ’
127
откуда
1 U + 4) (х + 3) (х + 2)(х+1)’
или
4x4-10 = 0 (х=4 —1, —2, —3, —4).
Отсюда х2=—у.
II. Разложение на множители. Если левую часть уравнения А ^0
удается разложить на множители или в обеих частях уравнения
А = В удается выделить общий множитель, то согласно свойствам
уравнений решение исходного уравнения сводится к решению сово-
купности более простых уравнений.
Пример 4. Решить уравнение
х3— Зх = а3А~-^ (^¥=0).
Решение. Представляя правую часть в виде
з I 1 ( I 1 V Q f 1 \
л3 4—т — ( я Н— ) — 3 I а 4— )
1 я3 \ a J \ 1 a J
и полагая для удобства «4~ = о, после подстановки в уравнение
получаем
х3 — Зх=Ь3 — ЗЬ,
или
Хз—Ь3 = 3(х—Ь).
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений х— Ь = 0
и х24&х4&2 = 3, решая которые, получаем
. —ь ±У~12—ЗЬ2 . , 1
хх = Ь, х,,3 =-----, где 6 = я + —.
Иногда разложение на множители достигается за счет изобрета-
тельности.
Пример 5. Решить уравнение
*46 /х—4\2 . х—6 f х4Э\2 _ п х24 36
х—6 \x44y _*~х46 \х—9у ~ х2—36’
Решение. Замечая, что
2 х2 4 36 _ х46 । х—6
2х2 — 36~ х^б + х46 ’
после перенесения всех членов в левую часть и группировки полу-
чаем
х+б Г/х-4\2 Л х-6 Г/х49\2
х—6 LU+4J J х46 |Д*-9J
J28
откуда после упрощения выражения в квадратных скобках следует,
что
— 16х х-|-6 . 36х х—6 ~
(*+ 4)2’х—6"Т"(х—9)2 х + б
Следовательно, уравнение имеет корень х^О. Для нахождения
остальных корней имеем уравнение
9 х— 6 4
(х —9)2‘х+б (х + 4)2‘х—6~и’
или
= 0 (х^±6).
(х—9)2 (х + 4)2 ' 7
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
3(х—6) 2(х+6)г_0 и З(х-б) . 2(х+б)==0
х—9 х + 4 х—9 ~г" х + 4 ’
решая которые, находим
При решении уравнения, содержащего параметр, иногда выгодно
вначале решать уравнение относительно этого параметра.
Пример 6. Решить уравнение
х4—Зх2 + 2 (а— 1) х + 2а—а2 = 0.
Решение. Рассматривая это уравнение как квадратное относи-
тельно а и считая при этом х параметром, имеем
а2—2(x-J- 1)а—(х4—Зх2—2х) = 0.
Отсюда
а=х+ 1 ± (х2—1).
Следовательно, наше уравнение равносильно совокупности двух
уравнений а = хЦ-х2 и а = х—х2-|-2. Решая эти уравнения теперь
уже относительно х, получаем
_-1 ± VT+4a _ 1 ± /9^
*1,2 2 ’ *3.4 2
В других случаях полезно такой параметр вводить самим.
Пример 7. Решить уравнение
(х2—х + 1 )4—6х2 • (х2—х + 1 )2 + 5х4 = 0.
Решение, Полагая (х2—х+1)2 = у, получаем уравнение
у2—6х2у 4- 5х4 = 0, квадратное относительно у. Его корни у1 = х2,
у2 = 5х2. Поэтому искомое уравнение равносильно совокупности
двух уравнений (х2—х-|-1)2 = х2 и (х2—х+1)2 = 5х2. Первое из
этих уравнений в свою очередь равносильно совокупности двух
5 № 407
129
уравнений х2—х+1=х и х2—х-\-1 = — х. Решая их, находим
*1.3=1» X8tl=±t.
Второе уравнение равносильно совокупности двух уравнений
х2—х-[-1—х]^5 их2—х —|—1 =— хКб, решая которые, находим
_ 1 + V5 ± К2 Кб+2 _ 1-Кб± i/2 V5-2
*5,6— 2 ’ *^7,8— 2 •
Если подбором или из других соображений удается найти от-
дельные корни уравнения, то после выделения уравнения, содер-
жащего уже найденные корни, получаем уравнение более низкой
степени.
Пример 8. Решить уравнение
2хв —17 х* + 46х4—36х3—34х2 + 37х + 10 = О,
если хг = 2—i—его корень.
Решение. Данное уравнение с действительными коэффици-
ентами имеет комплексный корень хх = 2—i. Следовательно, оно
имеет сопряженный комплексный корень х2 = 2-Н‘, т. е. левая часть
уравнения содержит сомножитель (х—xj(x—х^ = х2—4х+5. Раз-
делив на него левую часть уравнения, получаем для нахождения
остальных корней уравнение
2х4—9х3 + 9х + 2 = 0.
Это кососимметрическое уравнение. Разделив все его члены
на х2, после группировки получаем равносильное уравнение
1 1 f 1 \2
Подстановкой х-----= у, откуда х2-]—г= (х-------) + 2 = у2-]-2,
это уравнение сводится к квадратному уравнению 2у2—9г/+ 4 = О,
л 1
корни которого ух = 4, у2 = ~2’
Теперь из уравнений %—~ = 4 и х—Т = Т нах°Дим
х3,4 = 2±/5, х6>в = -Ьф1.
III. Введение нового неизвестного. При решении уравнений
большую роль играет замена выражения, содержащего неизвестное,
новым неизвестным, относительно которого уравнение становится
более простым. С этим способом мы уже сталкивались при реше-
нии двучленных, трехчленных и возвратных уравнений. Выбор
замены обусловливается видом уравнения и требует порой большой
изобретательности.
Пример 9. Решить уравнение
(6х + 5)2 (Зх + 2) (х + 1) = 35.
130
Решение. I способ. Умножив Зх-|-2 на 2 и х4-1 на 6, а
правую часть уравнения на 12> получим равносильное уравнение
(6х + 5)2 (6х + 4) (6х + 6) = 420.
Положив 6х+ 5 = у, получим для нового неизвестного уравнение
/(у— 1)(у-|-1)=420 или у* —у2 —420 = 0,
корни которого
f/lt2 = ±/2l, г/3,1 = ±2г Кб”.
_ у — 5
Теперь из соотношения x = -^-g— имеем
_ ± /21—5 _ ± 21 /5-5
•^1,2 б ’ X3,i Q •
II способ. После возведения в квадрат и перемножения двух
остальных сомножителей, получим (36x24-60x4-25)(3x24-5x-|-2)=35.
Сделав замену Зх24-5х-|-2 = у, получим уравнение (121/4- 1)у = 35,
5 21
из которого находим уг = у, у2 =—jy. Теперь из уравнений Зх24-
4-5х-|-2 =-у, Зх24-5х4-2 = —имеем
_ —5’± /21 . -5 ±21/5
Л1,2— 6 ’ %3’4— 6
Иногда введение нового неизвестного становится возможным
после выделения полных квадратов.
Пример 10, Решить уравнение
[(х2—16) (х—3)24-9х2 = 0.
Решение. Очевидно, х = 3 не является корнем уравнения. По-
этому, разделив обе части уравнения на (х—З)2, получаем равно-
9Х2 9х2
сильное уравнение х2—164-7—5й = 0» или %24--7—очг = 16.
\Х о) (X—о)*
Выделяя в левой части квадрат суммы, имеем
/ . Зх \2 о Зх I X2 \2
(*+т=з,) -2*'7=з=16’ или (j=3j
6х2
х — 3
= 16.
X2
Полагая ^—^ = 1/, приходим к уравнению у2—6г/=16, корни ко-
торого ^ = 8, £/3 = —2.
Теперь из уравнений —а —8 и —5 =—2 находим
х13 = 4 ± 21 / 2, хз,4 — —I -4- /* 7.
При решении отдельных уравнений полезно иметь в виду, что
введением нового неизвестного у, можно два двучлена х-}-т и
5* 131
х + n одновременно представить в виде
х-\-т = y + d,
x-\-ti — y—d.
Действительно, складывая и вычитая эти равенства, имеем
2х-\-т-\-п = 2у и т — n = 2d,
т. е.
Пример И. Решить уравнение
х5 + (6—х)б = 426.
Решение. Положим х = у + d, х—6 = у—d, т. е. х = у-\-3. Тогда
получим уравнение (у+3)5—(у—3)5=426, или у4+Зу2Ц-2=0. Его кор-
ни ylt 2 = ± i, у3,4=± i V2. Следовательно, xlt 2 = 3=Ы', х3,4=3+^’К2.
Если обе части уравнения являются однородными одной и той
же степени однородности относительно двух выражений и и и, со-
держащих неизвестное (см. гл. II, § 2), то уравнение называют
однородным относительно и и v. Такие уравнения удобно решать,
если положить u = tv, где t—новое неизвестное.
Пример 12. Решить уравнение
( х-\-а \2 . / х—а \2 / а . b \ х2—а2 , , .
—гтг + -------г = т + “ -2—гг (ab=£0).
\ x+b J 1 \ х—b J \Ь 1 a J x2—b2 v 7
Решение. Это однородное уравнение относительно и = и
х—а п х-\-а . х—а
v =----г . Полагая —Нг = t------т-, после подстановки получаем
X ~ О X j-" и X — О
уравнение
х—а „ х-4-а Л
Если = 0> т0 также *_Ц- = 0, т. е. одновременно и х = а,
х = — а, что невозможно, так как а=#0. Поэтому последнее урав-
нение равносильно уравнению 1 = + корни которого
t =- t --
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности
двух уравнений
х-4-а. а х—а х+а b х—а
--!-—------у ----!-—------
xA-b b х—b х-\-Ь а х — b
или (а—Ь) [х2 + (а4-Ь)х—ab]=0 и {а—Ь)[х2—x—ab]=0
при условии, что х=#±Ь. Отсюда следует, что если а = Ь, то х —
132
любое, кроме уже исключенных ± Ь. Если а #= Ь, то имеем совокуп-
ность уравнений
х2 + (а + &)х—ab = 0, х2—(а-\-Ь)х—ab-О (х^±Ь).
Подстановкой в эти уравнения х = ±Ь найдем, что ограничение
х#=±Ь равносильно имеющемуся уже условию ab#=0. Решая эти
уравнения, получим
Xi, а = — 4 (а + b ± К«2 + 6а6-|-62),
Х3,4 = + & ±Ка2 + 6а& + &2) (а^Ь).
§ 2. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
В этом параграфе рассмотрим примеры рациональных . систем
и некоторые методы их решения.
I. Одним из наиболее простых и естественных приемов решения
систем является метод подстановки или исключения неизвестных,
основанный на использовании свойства V (гл. III, § 3).
Пример 1. Решить систему
г х + +
< y + yz + z==u9
z-\-zx-\-x = 7.
Решение. В данном случае любое из неизвестных в каждом
из уравнений рационально выражается через два остальных. Здесь
можно, например, выразить из первого уравнения х через у, а из
второго z через у. Имеем х= (очевидно, у=£—1), z = --у^ •
Подставляя эти значения х и z в третье уравнение, получаем одно
уравнение с одним неизвестным
П —г/ (п—у) (5—у) t 5—1/ __
*/ + 1 (I/+1)2
или, после упрощения, у2 + 2у—8 = 0. Найдя его корни у1 = 2 и
% = —4, согласно формулам z = и х = -|^| находим гх = 3
и г2 = — 5, хх=1 и х2 = — 3.
Итак, система имеет два решения (1; 2; 3) и (—3; —4; —5).
В некоторых случаях целесообразно выражать комбинации не-
известных через другие неизвестные.
Пример 2. Решить систему
( % У ~Г 2 =13,
< *2 + у2-г г2 = 91,
( y2 = xz.
133
Решение. Перепишем второе уравнение в виде
(х + z)2 +t/2 — 2xz = 91. (*)
Из первого уравнения находим, что % + z=13—у, а из третьего
хг = у2. Следовательно, уравнение (*) сводится к уравнению
(13—у)2-\-у2—2z/2 = 91, корень которого равен 3, т. е. у = 3.
Теперь из системы
{х-\-г= 13—у,
хг = у2,
где у = 3, находим хг=1, zx = 9 и ха = 9, г2=1.
Итак, данная система имеет два решения (1; 3; 9) и (9; 3; 1).
В следующем примере прежде чем производить подстановку,
выгодно присоединить к данному уравнению новое уравнение —
следствие данных уравнений.
Пример 3. Решить систему
( Зх = ^ + ^-,
г у
л Z . X
4У = т+т>
5z = —+ —.
У х
Решение. После приведения к общему знаменателю полу-
чаем систему
r y2-]-z2 = 3xyz,
. г24-х2 = 4хуг, (*)
х2 Ц- у2 — Sxyz,
равносильную данной, при условии, что ху?у=0. Сложив правые и
левые части всех уравнений системы (*), получим уравнение-след-
ствие
х2 + у2 + z2 = 6xyz<
Подставляя в него последовательно значения у24-г2, г2 4-х2 и х24-у2,
выраженные из системы (*), получаем систему
{х2 = Зхуг,
у2 = 2xyz, (**)
г2 = xyz,
откуда перемножением всех уравнений получаем уравнение-след-
ствие x2y2z2= 6x3y3z3, или xyz = у (xyz #= 0).
Теперь из системы (**), подставляя в правые части уравнений
1 /Т /~Т /"Т
xyz = y, находим, что х=± 1/ у, у=± у у, z = ±y у .
134
Комбинируя знаки ± в соответствии с условием = 0, полу-
чаем все решения данной системы:
1.1 1 \ / 1 1. 1 \
У2 ’ Уз ; /б / ’ \V2 ’ Уз ’ Уб )’
1 .___i_. 1 \ /__i_. 1______i\
1<2 ’ Уз ’ Уб )9 \ у2 ’ Уз ’ Уб)'
II. В практике решения систем уравнений широко применяется
следующий способ: из данной системы получают, как следствие,
новую систему, отдельные уравнения которой получаются из урав-
нений исходной системы путем их различных комбинаций—сложе-
ния, вычитания, умножения, деления и т. д.
Эти комбинации подбираются так, чтобы в результате новая
система уже решалась бы известным методом.
При этом нужно тщательно следить за сохранением равносиль-
ности.
Пример 4. Решить систему
{х3 = 5хЦ-у,
у3 = * + 5у.
Решение. Складывая и вычитая уравнения данной системы,
получаем равносильную систему
( х34-г/3 = 6(х + у),
I х3—у3 = 4(х —у).
Первое уравнение этой системы равносильно совокупности двух
уравнений х + у = 0 и х2—ху-\-у2 = 6, а второе уравнение равно-
сильно совокупности х—у = 0 и х2 + ху-}-у2 = 4. Комбинируя
уравнения первой пары со второй, находим, что данная система
равносильна совокупности четырех систем
f х + у = 0, ( х + у=0,
I х—у = 0, 1 х2 + ху + у2 = 4,
( х2— ху-\-у2 = &, ( х2 — xy-j-y2 = 6,
I х—у = 0, t х2 + ху + у2 = 4,
решая которые, находим все решения данной системы:
(0; 0), (2; —2) (—2; 2), (±/б; ± Кб),
/ Уз+У 7 . /з-/7\ / /3-/7 . , +
Х— 2 ’ — 2 / ’ у— 2 ’ — 2 / •
(знаки берутся соответственно).
135
III. Иногда введением новых неизвестных удается свести за-
данную систему либо к более простой, либо к такой, методы реше-
ния которой известны.
Рассмотрим три типа систем, допускающих стандартные замены.
1. Система называется симметричной, если каждое ее уравнение
симметрично относительно неизвестных. При решении систем,
симметричных относительно неизвестных х и у, часто оказывается
полезным введение новых неизвестных и и v по формулам
x + y = w, xy = v.
При этом следует иметь в виду, что
х2 Ц- у2 = (х + у)2 — 2ху = и2—2v,
х3 4- у3 = (% + у)3 — Зху (х + у) = и3—3uv,
х4 + у4 = (х2 + у2)2 —2х2у2 = (и2 — 2v)2 — 2и2
и т. д.
Пример 5. Решить систему
( (х’ +1Ж + 1) = 10,
I (х+У)(ху—1) = 3.
Решение. Данная система симметрична относительно х и у.
Переписав ее в виде
J x2 + f/24-x2y2 + l = 10,
I (х-\-у)ху—(% + !/) = 3
и полагая х-\-у = и и xy = v (тогда х2 + «/2 = м*—2о), имеем
( и24-п2—2v+l = 10,
( uv—и = 3,
или
1 u2 + (v—1)2= 10,
| M(v—1) = 3.
Эту систему удобно решать относительно и и v—1. Решив ее, най-
дем м1 = 3, v, = 2; и2 = —3; п2 = 0; и3 = 1, р3 = 4; u4 =—1, и4 =—2.
Теперь из систем
1 х + у = ик,
I xy = vk,
где 6=1, 2, 3, 4, получаем все решения данной системы:
(2: 1), (1; 2), (-3; 0), (0; -3), (1+i/15 ; 1~'21<'5),
(-^Д; 1±£ИГ),(_2; |), (1; _2).
136
Пример 6. Решить систему
( х4 + г/4 = 34,
I %4-г/ = 2.
Решение. Полагая х + у = и и xy = v, получаем систему
( (и3 —2а)2 — 2а2 =34, ( (4—2а)2 —2а2 = 34,
1 п ИЛИ \ _
( и = 2, ( и = 2,
откуда находим м1 = 2, а1 = 9 и и3 = 2, а2 =—1.
Решая системы
( x + y = uk,
I xy = vk,
где k = 1, 2, получаем все решения данной системы:
(14-2»/2; 1—2i/2), (1—2i/2; 1+2г/2),
(14-/2; 1-/2), (1-/2; 14-/2).
2. Если в уравнения системы неизвестные х и у входят лишь в
виде комбинаций ху, х—у, х3-\-у3, х3—у3, x’-f-z/4 и т. д., то удобной
для решения часто оказывается замена
х—у = и, xy = v.
Тогда
х2 + у3 = (х—у)3 + 2ху = и3 4- 2а,
х3 — у3 = (х—у)3 -{-Зху(х—у) = и3-\- 3uv,
х4 + у4 = (х2 4- у3)3—2х3у3 = (и3 4- 2а)2—2а2
и т. д.
Пример 7.
( 8(х3 + ху + у3) = (х—у)3,
( 2(х2— ху + у3) = 3(х—у).
Решение. Полагая х—у = и, xy = v, получим систему
( 8(и2 + 3а) = и3,
( 2(«24-п) = Зы.
Из второго уравнейия выражаем а через и:
За — 2и2
V = ^—.
Подставляя этот результат в первое уравнение, получаем уравнение
м34- 16и2—36и = О,
корни которого w1 = 0; н2 = 2; и3 = —18.
137
Далее находим t\ = 0, v2 = —1, v3 =—351. Решая теперь системы
x—y = uk,
xy = vk,
где й=1, 2, 3, находим все решения данной системы:
(0; 0), (1; —1), (—9+ 3»ИЗО; 9 + 3ij/30),
(—9—3i/30; 9—3i/30).
3. Система вида
Л(х, у) = а,
В(х, у) = Ь,
где а и b—числа, а А (%, у) и В(х, у)—однородные выражения
одинаковой степени однородности относительно х и у (см. гл. II,
§ 2), часто упрощается, если ввести новое неизвестное связанное
с х и у соотношением
y = tx.
Проиллюстрируем сказанное на примерах.
Пример 8. Решить систему
г3
-у + хг/ = 4.
Решение. Левые части системы—однородные выражения
второй степени относительно х и у. Полагая у = tx, имеем
tx ~г ’
— + /х2 = 4.
X 1
Эта система равносильна системе
( Х^2+Р 1
t
№/(/2+1) = 4.
Разделив второе уравнение на первое (делитель не равен нулю),
получаем /2 = 4 и /112 = ±2.
2 /~~2~
Если t = 2, то х2 = у, х112 = ± у у и уи 2 = ±2 у у.
Если t = —2, то х2 = — у , x3i 4 = ± i j/^у и y3ti = ^2i j/"у .
138
Итак, данная система имеет четыре решения:
(* р7?; -2i р4!) > (-«р4! 21р^т )•
\ г о го/ \ го го/
Аналогичным приемом иногда можно решать и системы трех урав-
нений с тремя неизвестными.
Пример 9. Решить систему
и и v—новые неизвест-
1—(«—02=4’’
m2-(v-1)2 = 4-«
f2-(i-«)2=4-
' x2 — (y—z)2= 1,
< у2 — (г—х)2 = 4,
, г2 — (х—у)2 = 9.
Решение. Полагая у = их, z = vx, где
ные, перепишем систему в виде
/
f х2—х2(и—у)2 = 1,
< и2х2—х2(и—1)2 = 4, (А) или -
v2x2—х2(1—z/)2 = 9,
(х=/=0, так как при х = 0 второе и третье уравнения данной системы
несовместны).
Из последней системы трех уравнений получаем систему двух
уравнений для определения и и и:
( 4 [1—(и—v)2]=u2—(и—I)2,
( 9[1—(и—и)2]=у2 — (1—и)2,
ИЛИ
(4(1 —u-j-v) (1 + и—v) = (и—1) (и-\- v — 1),
(9(1 —и-\- и) (1 + и — v) = (и — 1 4- и) (иЦ-1 —и),
которая в свою очередь равносильна совокупности четырех систем
1 4(1— u + v) = u + v — 1, ( 4(1— u + v) = u + v—1,
\ tr—1 4-u = 9(1 + u—v) (1)’ ( 1—и + а = 0 (
( 1 + «—с> = 0, ( 1+«—и = 0,
{ V — 1+м = 9(1 + «—и) (1— « + а = 0 (IV)’
Решая каждую из этих систем, находим
u = v = (I); м = 1, v = 0 (II); Ы = 0, V = 1 (III);
1О 1о
система (IV) несовместна.
139
Если и = - и = - то х2-^ л- -+13 ,j --i-16
ели И 13. V 13- ТО х-144, Л1.2 — ±12’ 1/1.2 —±3-’
, 15
,2 i 4 •
Если и = 1 и v = 0, то любое уравнение системы (Л) противо-
речиво.
То же самое — в случае и = 0,
Итак, данная система имеет два решения
/|3. 12- 12^ /13. —12 15\
V12 ’ 3 ’ 4 J И V 12 ’ — 3 ’ ~~4J •
Заметим, что эту систему целесообразней решать другим спо-
собом. Приведем его.
Раскладывая левые части уравнений на множители, перепишем
систему в виде
' (x—y+z)(x+y—z) = l,
. {у—z + x)(y + z—х) = 4, (В)
. (z —х + #)(г + х—у) = 9.
Присоединим к этим уравнениям уравнение-следствие, получаю-
щееся от перемножения всех уравнений системы (В):
(х + у—г) (х—y + z)(y + z—х) = ±6.
Теперь, используя уравнения системы (В), получаем, что исходная
система равносильна совокупности двух систем
{— x-\-y + z = 6, Г — x + y + z = — 6,
X—!/ + г = у, и J х —z/4-z = —
2 2
х + у — 2 = у х + у — Z = — -J,
решая которые, находим все решения исходной системы:
/13. К). 15\ (—1^-
\ 12 ’ 3 ’ 4 / И V 12’ 3’ 4 J •
В общем случае подбор новых неизвестных—задача трудная и
требует определенных навыков.
Приведем примеры некоторых других замен неизвестных.
Пример 10. Решить систему
f у2(х2 —3) + ху+ 1=0,
(у2(Зх2-6) + ху + 2 = 0.
Решение. Полагая ху = и, y2 = v, имеем
( и2—3v4-«+l=0.
( 3u2 — би+ « + 2 = 0.
140
Решая эту систему, находим u1 = Q1, vr = -^ и и2=1, и2=1. Для
нахождения х и у решаем две системы
и получаем все решения заданной системы:
(1; 1), (-1; -1).
Пример 11. Решить систему
' 5ху _ |2
х + у
Ьуг ___
у + г~
13X2 ___
х + ?
18,
36.
Решение. Данная система однородна. Однако целесообразно
решить" ее следующим способом:
' х + у _ Х£/ _ 5 12’ X у _ 5 “ 12’
y + z _ _ 5 1 , 1 5
Уг • 18’ ИЛИ У + Z “ 18 ’
X-j-Z _ 13 1 , , 1 __ 13
xz 36’ X Z “36 •
Полагая и = — , v = — ,
х ’ Z/ ’
1
= имеем систему
( । 5
а + ^12’
, 5
“ ^+^ = 18’
, 13
“+^ = 36’
решая которую, находим и = ~, t> = -|-, w = ^. Следовательно,
x = 4, у = 6, z = 9.
В некоторых случаях полезно ввести новое вспомогательное
неизвестное, через которое легко выражаются основные неизвест-
ные. При этом число уравнений и неизвестных может увеличиться.
Пример 12. Решить систему
= —-—т = х + у + г.
у + г x+z/4-l * + у— 1 1 и ‘
141
Решение. Введем вспомогательное неизвестное t, полагая
t*&x-\-y-\-2. Тогда данная система запишется в виде
' x+y+z = t,
ж+у+1
___-__— f
х+у— 1
Так как г/4-z = Z—х, x-]-y = t—z, то можно записать
' x + y + z = t,
7—— = Л
t — x ’
< у t (Л)
/—г + 1— ’
Используя второе и четвертое уравнения системы (Л), выразим х
и г через t. Имеем х = у-ру, z = -уур (при условии х =/= t и z 4= t—1,
что равносильно условию /=4=0 и /4=1). Теперь из третьего урав-
нения системы (Л) выразим у через t.
Имеем
. з/2+<
y^t^-tz+t^-^
(при условии Z =£= t 4- 1, что равносильно условию t Ф — у) .
Подставляя в первое уравнение значения х, у и z, выраженные
через получаем уравнение для определения t\
t* з/2+/ f2-/ .
/4-1 + /4-1 ""г>
откуда (значение t = 0 не годится). Подставляя найденное
значение t в выражения для %, у и z, находим единственное реше-
1 7 3
ние системы х = У = 20’ г = ~ 20 •
§ 3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение называется иррациональным, если над неизвестными
в этом уравнении наряду с другими операциями совершается опе-
рация извлечения корня.
142
Иррациональные уравнения в элементарной алгебре рассматри-
ваются лишь на множестве действительных чисел.
Радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются
в арифметическом смысле (см. гл. I, § 4), а у радикалов нечетной
степени рассматривается их единственное действительное значение
(см. там же). Поэтому, например, уравнение Ух3—х—1-J-
+ У 2х+ 1 =—2 не имеет решений, так как при любом допустимом
значении х левая часть уравнения неотрицательна, а его правая
часть отрицательная.
При решении уравнений, содержащих радикалы четных степеней,
полезно предварительно найти множество допустимых значений этого
уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
Ух2 + х—6 +К 2% + 3 = К1 —х.
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения
есть решение системы неравенств
х2 + х—6>0,
2х 3 О,
1—х>0.
Эта система, как легко убедиться, противоречива и, следовательно,
данное уравнение решений не имеет.
Иногда к множеству допустимых значений уравнения полезно
присоединить условие совпадения знаков обеих частей уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
/2^331= 3 4- №.
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения
есть решение системы
( х—5^0,
I 2х—1>0.
Замечая, что правая часть уравнения при любом допустимом зна-
чениих положительна, присоединяем к системе (Л) еще одно усло-
вие Ух—5—У 2х—1 > 0, или х—5 > 2х—1. Таким образом, реше-
ние данного уравнения должно удовлетворять системе
х—5^0,
< 2х—l^sO,
х—5 > 2х—1,
которая, как легко проверить, противоречива. Следовательно, дан-
ное уравнение решений не имеет.
143
Одним из стандартных приемов решения иррациональных урав-
нений является освобождение от радикалов путем последовательного
возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень.
При решении уравнений этим приемом надо предварительно указать
множество допустимых значений исходного уравнения и иметь в виду
следующие свойства уравнений, рассматриваемых на множестве
действительных чисел.
При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень
получается уравнение, равносильное исходному; при возведении
обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение,
равносильное исходному при условии, что его решения удовлетво-
ряют условию совпадения знаков обеих частей исходного уравнения.
Действительно, из равенства А = В следуют равенства
Д2П + 1 __ 2J2W + 1 и Д2П _ jg2n
Обратно, из равенства А2п+1 = В2п+1 на множестве действительных
чисел следует единственное равенство 2"+j/Л2п+1 = 2Л+р/В2«+1, или
А = В. Из равенства А2п = В2п следует равенство 2р/ А2п=2у/В'2п,
или |Д | = | В |. Если при этом АВ^О, то из последнего равенства
вытекает, что А = В (так как случаи А = —В не удовлетворяет
условию АВ > 0).
Пример 3. Решить уравнение
Кх + 5 — /2x^3 = К4х—1.
Решение. Решив систему
f 2х—3>0,
< х-|-5^0,
4х— 1 0,
найдем, что множество допустимых значений уравнения есть проме-
жуток X у .
Возводя обе части данного уравнения в квадрат, получаем урав-
нение
3—х = 2 К 2%2 + 7х—15,
И)
равносильное данному, при условии, что ]/x+5>j/"2x—3, т. е.
х < 8. Вновь возведя в квадрат обе части уравнения (Л), получаем
уравнение
7х2 + 34х—69 = 0,
(В)
равносильное уравнению (Л) при условии, что 3—х^О, т. е. х^З.
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению (В) при
з
условии, что одновременно х у, х < 8, х 3, т. е. на промежутке
з
у х 3. Решая квадратное уравнение (В), находим, что х112 =
144
— 17±/772 —17— У772
=------у-----, причем х =------у---- не лежит в промежутке
Г3 о! 3 / —17+/772 . о п —17+/772
у, 3 , а у <------------< 3. Следовательно, х =---------=
—17 + 2 У193
=------у—1------единственный корень данного уравнения.
Пример 4. Решить уравнение
X
V X2—1
35
12’
Решение. Корни уравнения должны удовлетворять условиям
х>0 и х2 > 1, т. е. х > 1. Возведя обе части данного уравнения
в квадрат, получим уравнение
___х2 , 2х2 1225
У^=Т 144 ’
или
х1 2 х2 = 1225
х2—1 + “ 144 ’
равносильное данному при условии, что х > 1. Это квадратное урав-
нение относительно —7 . > 0. Решив его, получим, что —. =
Ух2—1 Ух2—1
25 / х2 49 \ о
= ~12 (слУчая •'~-j~= — Т2 — не годится ) • Записав последнее урав-
нение в виде 12(х2—1)—25Ух2—1 + 12 = 0 и решив его как квад-
ратное относительно У х2— 1 > 0, найдем, что оно равносильно
совокупности двух уравнений
ух2—1=4- и ух2—1=4-.
о
5 5 / 5
Решив эти уравнения, найдем *i = y и х2 = -^ (значения х = —%
5 \
и х = — y не годятся J.
Прежде чем возводить обе части уравнения в степень, надо по
возможности упростить данное уравнение.
Пример 5. Решить уравнение
1 +уТ+~14-2
У^Т+УГП
= Ух2 —1.
Решение. Очевидно, Ух+1—Ух—1#=0. Поэтому, умножив
числитель и знаменатель левой части уравнения на это выражение,
получим равносильное уравнение
х+1—(х—1)+2(Ух+1—Ух—1) —г
——х+1_(х_1) У х *»
J 45
или
V'x-i-l —У X—1 = У' X2 — 1 —1.
Это уравнение равносильно уравнению
(J/7+T—VT-D2 = — 1 у
(%+1>о, х—1>о, /х^=Л>1),
или 2х = х2 (х К2), откуда имеем х = 2 (х = 0 < ]^2—не годится).
Пример 6. Решить уравнение
j/124-* 7у/ 124-х __64 7 г-
х 1 12 У х-
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения
х=/=0. Перепишем уравнение в виде
Ц^/Т2^ = ^/х,
или
(124-х) 1/Т2 + ~х = 2вхУх.
Возведя обе части уравнения в седьмую степень, получим равно-
сильное уравнение (12 + *)8 = 256 х8, которое на множестве действи-
тельных чисел равносильно совокупности двух уравнений
124~х = 27х и 124~х = —2?х.
п 12 12
Решив их, найдем, что *1=127 и х<2 =— 129’
В отдельных примерах при возведении в степень удобно пользо-
ваться формулами возведения в степень в преобразованном виде.
Пример 7. Решить уравнение
l/x+1—f/x—l = I/ X2 —1.
Решение. Возведя обе части уравнения в куб согласно тождеству
(а—Ь)3=а3—If—3ab(a—Ь), получим равносильное уравнение
(х +1)—(х—1)—3 l/x^-i (j/x+1 — /х^Т) = Vx^-i.
Учитывая, что р/х+ 1—х—1 = £/х2— 1, после очевидных
преобразований получим уравнение-следствие
2/хг=Т=1,
у 5
откуда найдем, что х = ±- .
Вопрос о пригодности найденных~значений х можно решить непо-
средственной проверкой, для чего достаточно заметить, что 1/5 4-2 »
= ( 2 — ) , а у 5—2 = (-—£—) • В ДРУГИХ случаях проверка
может оказаться очень затруднительной. Тогда надо решать вопрос
146
о сохранении равносильности в процессе решения. В нашем случае
уравнение А — В— С, где Л = р/%4-1, В = f/x— 1, С = у/х2 — 1, мы
заменили уравнением-следствием
А3—В3—3 АВС = С3.
Преобразуем его. Имеем
(Л—В)3 + ЗАВ (А—В) — ЗАВС—С3 = О,
или
[(Л—В)—С] [(А—В)2 + (А—В)С + С2 + ЗАВ] = 0,
или
[(Л _В)—С] • [+ с)2 + А (А + = 0.
Следовательно, уравнение-следствие, рассматриваемое на множе-
стве действительных чисел, равносильно совокупности уравнений
Л —В = Си (^ + с)2 + |(Л + В)2 = 0.
Последнее из них равносильно системе
ГЛ + В = 0, (Л = —В,
| —у— + С = 0, или | С = В.
В нашем примере это система
( ^Т+Т=-*/х=Т,
которая не имеет решений.
1/~5
Таким образом, среди найденных значений х=±-Ч>— нет по-
сторонних корней.
Пример 8, Решить уравнение
уЛх + у/ х—1 = у/х+1.
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения
—промежуток х 1. Перепишем уравнение в виде у/х+1 — ух—1 ==
= у/х, или
1/1+-—1/1—-=1. (•)
Очевидно, тождество (а—Ь)4 = а4—4а3Ь + 6а2&2—4а6? + &4 можно
переписать в виде
(а—Ь)4 = а* + 64—4аЬ (а2 + Ь2) + 6а2&2,
ИЛИ (а—Ь)4 = а4 + Ь4—4аЬ [(а—6)2 + 2аЬ] + 6а2Ь2,
147
или
(а—by = а* -\-Ь* — 4аЬ (а — Z?)2 — 2я2&2.
Возведя обе части уравнения (*) в четвертую степень согласно
приведенному тождеству, получим равносильное уравнение
1+-Н-1—- —4
1 X 1 X
х V х ]
— 21/1—4=1-
У х2
Заменяя выражение в скобках единицей, после упрощения имеем
уравнение-следствие
1 —
-2=1-
X2
Это квадратное уравнение относительно
найдем, что
1
X2
случай
-о . Решив его,
X2
j Г _ —2—
1 х2 ~ 2
не годится ).
Возведя обе части последнего уравнения в четвертую степень,
имеем равносильное уравнение
2 4
X2 = ---------------7=-----, ИЛИ
20 V 6 — 45
из которого находим, что исходное
2 -1/4 }<6 + 9 ,
корень хг = у у 3--- (х2
Решим вопрос о его пригодности.
В процессе решения равносильность могла быть нарушена лишь
при переходе от данного уравнения
Л— В = С,
4(4 V 6 + 9)
75
уравнение имеет единственный
0 не удовлетворяет условию х^ 1).
х2
, B=j/ 1—— , С=1, к уравнению-следствию
Л4 + В4—4 АВС2 —2А2В2 = С*,
которое равносильно уравнению
С4 + 4 АВС*—(Д4 + В4) + 2 А 2В2 = 0,
или
(С2 + 2 АВ)2—(А2 + В2)2 = 0,
или
(А2 + В2 + 2АВ + С2) (А2 + В2—2АВ —С2) = 0,
или
[(д -В) -С] [(А -В) + С] [(4 + В)2 + С2] = 0.
148
Таким образом, уравнение-следствие, рассматриваемое на мно-
жестве действительных чисел, равносильно следующей совокупности:
исходное уравнение А—В = С, (а)
уравнение А— В = — С (б)
и система уравнений ( А + В = 0, \с = о. ()
В нашем случае А > В и С=1 и, следовательно, найденное зна-
чение х является единственным корнем исходного уравнения.
Другим основным приемом решения иррациональных уравнений
является способ введения новых неизвестных, относительно которых
получается либо более простое иррациональное уравнение, либо
рациональное.
Пример 9. Решить уравнение
/х— 5 . -ж /~х — 4 7 /~%4-2
х + 2 + V х + 3 ~~х + 2 V J+3'
Решение. Так как левая часть уравнения неотрицательна, то
необходимо, чтобы % + 2 > 0, а следовательно, и х-\-3 > 0, х—5^0,
х—4^0, что равносильно одному условию х ^5. Учитывая это,
запишем данное уравнение в виде
Ух— 5 . Ух—4 _______7______
Ух + 2 /Т+3 ~~ /х + 2- /х + 3 ’
После приведения к общему знаменателю получим уравнение
К*2—2х —15 + К*2—2х—8 = 7.
Положив х2— 2х—8 = у, получим относительно у уравнение
Уу—1А-Уу = 7 или Ку—7 = 7—V~y,
или
у—7 = 49—14Ку + у (7<у<49).
Отсюда находим, что у =16.
Теперь из уравнения х2—2х—8 = 16 имеем х = 6(х = — 4<5
— не годится).
Пример 10. Решить уравнение
149
з <з —х
Решение. Положив у у =у ф 0, после подстановки получим
у ________________ j
уравнение (3—х)у-\---=2, или (3—к) у2—2у-\-х— 1 =0. Решив это
У
х__1
уравнение как квадратное относительно у, найдем, что у = 1 и у = .
Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух
уравнении у=1 и —, каждое из которых имеет
единственный корень х = 2.
Пример 11. Решить уравнение
Л /* „ /1+1 Z ~ ~~2 Л п + 1 Z ~2 ~ «
у хп + V апхп + у ап + V а хп = Ь,
где п—натуральное и а^О,
Решение. Положим п+{/хп = у0; "+{/а" = с и тем самым
xn = if+1, а а" = с"+1. После подстановки получим уравнение
y"+i + cy" + /с"+1 + с"у = Ь,
или (у + с) j/y + c = b, которое равносильно уравнению (у+ с)"+1=6".
Это уравнение в свою очередь равносильно уравнению у + с = 6"+1.
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению
п п
я+|/х" = 6л+1— an+i. Так как левая часть неотрицательна, то
должно быть Ь^а и тогда получаем единственный корень
(п п \ /г+1
Ьп+1— an+i) п .
В случае b <а уравнение противоречиво.
Иногда при решении иррациональных уравнений бывает полезна
тригонометрическая замена.
Пример 12. Решить уравнение
хЧ—т7 — = I/ 2
/2 + х2 У
Решение. Очевидно, что х>0. Положим х = ]/'2tg/, где
0 < t < у. Сделав эту подстановку, получим тригонометрическое
уравнение
K2tg / + 2 te * = К2, или К 2 (cos/— sin /) = sin 2/.
у 2 sec t
В указанных пределах изменения /, очевидно, sin 2/ > 0. Поэтому
должно быть cos/—sin/> 0, т. е. tg/ < 1. После возведения
в квадрат при указанных ограничениях на tg / получим равносильное
уравнение 2(1—sin 2/) = sin2 2/, решив которое, найдем, что sin 2/г =s
= V3 — 1 и sin 2/2 = — К 3 — 1. Очевидно, 0 < sin 2/г < 1, a sin 2/2 <
150
< — 1 и поэтому не имеет смысла. Так как sin 2/
2tg,
1+tg2/
то из
уравнения = К 3—1 находим, что
1 "Т" I
tg tl =
И tg/2 =
1—К 2 V 3 — 3
/3—1
. Легко убедиться, что tg
1+И2 /1-3
/1—1
> l,aO<tg/a<l.
Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень
X 1.^-1.
•Кз-1
В принципе любое иррациональное уравнение путем введения
нескольких новых вспомогательных неизвестных можно заменить
равносильной рациональной системой. Но к этому приему следует
прибегать лишь в случае, когда получающаяся рациональная си-
стема может быть решена известными приемами.
Пример 13. Решить уравнение
з/2—х=1— Ух— 1.
Решение. Положив р/2—х = у, Ух—1 = 2^0, получаем рав-
носильную рациональную систему
2—х = у3,
х— 1 = г2,
У= 1 —2.
Выразив из второго уравнения х (х= 1 +г2), взяв из третьего
уравнения у (у=1—2) и подставляя их в первое, получаем уравне-
ние 1—22 = (1—г)3, решив которое, найдем, что г^О, z2= 1, z3 = 3.
Все эти значения г удовлетворяют условию и, следовательно,
годятся.
Теперь из соотношения х=1-|-г2 находим корни данного урав-
нения Хх=1, х2 = 2, х3 = 10.
Пример 14. Решить уравнение
а—У а-\-х = х.
Решение. Положив У а-\-х = у^0, получим иррациональную
систему
f 0,
( Vа—у = х^0,
которая равносильна при этих ограничениях на х, у рациональной
системе
f а + х = у\
\ а—у = х2.
151
Вычитая из первого уравнения второе, получим равносильную
систему
/ х + У = У2—
( а—у = х2,
которая равносильна совокупности двух систем
f x4-z/ = O, ( у—х_=1,
< (1) и И 2)
( a — у = х2 ' 7 1 а—у^х2. v 7
Из первого уравнения системы (1) в силу условия у^О
следует, что х = у = 0, и значит, а = 0.
Решив систему (2), находим, что
— 1—/4^3 /4^3—1
•^1 г» f X? — п •
Учитывая ограничение х^О, окончательно получаем: если а = 0,
то уравнение имеет единственный корень х = 0; если а^1, то урав-
/4^3—1 п
пение также имеет единственный корень х =----------• Для осталь-
ных значений параметра а уравнение не имеет решений.
§ 4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равен-
ства на один из знаков неравенства: >, <, то получим
иррациональное неравенство. Обычно решение иррационального
неравенства сводят к решению равносильной ему совокупности ра-
циональных систем неравенств. Эти системы получаются при нало-
жении ограничений на неизвестное и возведение неравенства в сте-
пень. При, возведении в степень используют соответствующие свойства
неравенств (см. гл. II, § 7).
Поясним сказанное на примерах.
Пример 1. Решить неравенство
)/>_Зх—10 > х—2.
Решение. Множество допустимых значений неравенства состоит
из всех х, удовлетворяющих условию
х2 — Зх—10>0.
(*)
Если при этом х—2 < 0, то данное неравенство, очевидно, будет
справедливо для всех х, удовлетворяющих неравенству (*). Если
же х—2^0, то данное неравенство равносильно неравенству
х2—Зх—10>(х—2)2 при условии (*).
152
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности
двух рациональных систем неравенств
х2 -Зх—10 Гэ О,
х—2 < 0
(Л) и
( х2 — Зх—10 > 0,
х—2 >0.
(В)
х2 — Зх— 10>(х—2)2.
Решив эти системы (см. гл. III, § 14), найдем решения искомого
неравенства х=С— 2, х> 14.
Пример 2. Решить неравенство
2(*+1)
2 — х
Решение. Очевидно, решение неравенства должно удовлетворять
условиям 2x4-1 ^0 и —- >0 если - \ 0, то неравенство
противоречиво). При этих условиях данное неравенство равносильно
4 I)2
неравенству 2х 4- 1 < То ~~ \2~ > которое после упрощений приводит
(Z X)
к неравенству х(2х2—Их—4) < 0.
Таким образом, данное неравенство равносильно системе
г 2x4-1 >0,
х4-1
2—х
0,
ч х(2х2 — Их—4) < 0,
,’-К,531.(0.2).
1
2 ’ 4
решив которую, получим его решение:
При решении иррациональных неравенств, как и при решении ирра-
циональных уравнений, иногда полезно ввести новые вспомогательные
неизвестные.
Пример 3. Решить неравенство
х24-|/х2—3x4-5 > 3x4-7.
Решение. Положив Vх2— Зх4-5 = у^0 и тем самым х2—
— Зх = у2—5, получим неравенство у2 4- у—12 > 0, решение которого
У>3(у<—4 не годится, так как противоречит условию у^0).
Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству х2 —
— 3x4-5 >9, решение которого состоит из двух бесконечных про-
межутков х<—1 и х>4/
При решении иррациональных и других неравенств полезно иметь
в виду следующий прием, который мы разберем на примере.
Пример 4. Решить неравенство
1— V1— 8х2 -
2х 1
153
1__У i_8Х2
Решение. Рассмотрим функцию у=------------1 • Тогда постав-
ленную задачу можно сформулировать следующим образом: найти
те значения х, для которых функция у принимает отрицательные
значения.
Область существования этой функции, или множество допустимых
значений исходного неравенства состоит из всех х, для которых
1—8х2>0 и ху=0, т. е. О < х<•-,*-•= и —- Сх < 0.
2 V 2 2 V 2
Найдем теперь все значения х, при которых функция у обращается
।______________________________________у ।_8Х2
в нуль. Для этого надо решить уравнение -------= 1- Решив
его, найдем единственный корень х = ~. Этот корень разбивает об-
О
ласть существования функции у = —— 1 на три промежутка:
-2-Й<д;<0 т- 0<x<i <"> <ш>-
Взяв какое-нибудь х из промежутка (I), например х =— ,
находим, что
!/L_U=-/2-l<0.
2V 2
Так как наша функция на этом промежутке в нуль не обращается,
то она для всех других х из этого промежутка будет принимать
лишь отрицательные значения. (Строгое обоснование этого свойства
элементарных функций дается в курсе высшей математики.)
Взяв теперь = у из промежутка (II), мы видим, что у также
отрицательно.
Для х = * из промежутка (III) имеем у\ i =К2—
2'2 Iх 2 у~2
— 1 > 0, т. е. функция для всех х из этого промежутка принимает
лишь положительные значения.
Таким образом, решением исходного неравенства являются все зна-
чения х из промежутков ——х < 0, 0 < х < .
§ 5. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Иррациональной, или алгебраической системой называют всякую
систему, в которой, по крайней мере, одно уравнение иррациональ-
ное, а остальные либо иррациональные, либо рациональные.
Как и иррациональные уравнения, такие системы рассматрива-
ются на множестве действительных чисел, радикалы четной степени
154
понимаются в арифметическом смысле, а у радикалов нечетной сте-
пени берется их единственное действительное значение. При решении
иррациональных систем используют те же приемы, что и при реше-
нии иррациональных уравнений и рациональных систем.
Прежде чем рассматривать уравнения системы совместно, надо
по возможности каждое уравнение системы заменить одним или
несколькими более простыми уравнениями, равносильными ему.
Пример 1. Решить систему
(~\f 6* ф 1/"*+у — 5
У х+ у У 6х ~ 2 ’
х (х + у) + Ух* + ху + 4 = 52.
Решение. Положив j/"= ? > О, получим относительно г
уравнение 2 + у==у* Решив это уравнение, найдем zt = 2, z2 = y.
Следовательно, первое уравнение системы равносильно совокупности
двух уравнений = 4 и . Положив V х2 + ху + 4 = t О,
получим относительно t уравнение t2-\-t—56 = 0, откуда t = 7
(t =—8—не годится). Следовательно, второе уравнение системы рав-
носильно уравнению х(х-]-у) = 45. Таким образом, искомая система
равносильна совокупности двух рациональных систем
( ^±У — 9л ( *+У— 3
< X и < X “2’
( х(х + у) = 45 ( х(х-\-у) = 45.
Решив эти системы, найдем все
решения данной системы:
(i/ЗО; ^/зо), (-|/30; -^/зо),
(КЗО; (—/30; ~ ^—) .
В отдельных случаях при решении иррациональных систем удобно
использовать наличие одинаковых выражений, содержащих неизвест-
ные в уравнениях системы. Если таких выражений нет, то их иногда
удается получить за счет преобразований уравнений системы.
Пример 2. Решить систему
V хг + у2 + / 2ху = 8 {/"2,
/х + /^=4.
Решение. Считая х^О, у^О, после возведения обеих частей
второго уравнения системы в квадрат получим равносильное ему
уравнение x + j/-|-2Kху =16. Умножив обе части первого уравнения
155
системы на у 2, получим систему
( j/2x2 4- 2г/2 4- 2 j/хг/ = 16,
I х + у + 2Уху= 16,
равносильную данной.
Вычитая почленно из первого уравнения второе, получим уравнение
У2х2 + 2у2 = х + у, которое в силу условия х^О, у^О равносильно
уравнению 2х2 + 2у2 = (х + у)2, или х2—2хг/4-г/2 = 0, откуда следует,
что у = х. Таким образом, данная система равносильна системе
у = х, _
х + у+2 Уху = 16,
из которой находим решение х = 4, у = 4.
При решении иррациональных систем иногда оказывается эффек-
тивным присоединение к уравнениям системы уравнения-следствия.
Пример 3. Решить систему
( х = 2(% + г/4-г) ]/xyz,
< у = 3(х + у-\-2)Уxyz,
V z = 4(x4-#4-z)p/xt/z.
Решение. Сложив почленно уравнения системы, получим урав-
нение-следствие (х 4- у + г) = 9 (х -J- у 4- г) р/xyz, которое равносильно
совокупности двух уравнений x-\-y-\-z — 3 и у хуг = у. Следова-
тельно, данная система равносильна совокупности двух систем
' х = 2 (х 4- у 4- г) у/xyz,
y = 3(x + y+z)l/xyz,
z = 4(x + у + г) р/xyz,
< x4-y4-z = 0
($i) и
x = 2(x + y + z)y/ xyz,
y=3(x + y + z)y/xyz,
z = 4(x + y + z)y/xyz,
y/xyz = ±.
(S2)
Система S1F очевидно, имеет единственное решение (0; 0; 0). Система S2
равносильна системе
' 9x = 2(x4-t/4-z), l' 7х—2у—2г = 0,
9г/ = 3 (х 4~ у 4- » Зх—6г/ 4~ 3z = 0,
9z = 4 (x4-*/4~z), или ‘ 4x4-4г/—5z = 0,
р/хуг = у /хг/г = 1.
Первое уравнение последней системы является суммой второго
и третьего уравнений и, следовательно, его можно отбросить. Из вто-
_ м 3z г
рого и третьего уравнении находим У = -$ , х = у и тогда из третьего
156
з Лзг3 1 2
уравнения получим у -&-= у, откуда г = и, следовательно,
х = -А- , ц = .А-. Таким образом, искомая система имеет два
9 jj/з 6?/3
/1 1 2 \
решения: (0; 0; 0) и
В принципе любая иррациональная система, как и иррациональ-
ные уравнения, путем введения новых вспомогательных неизвестных
может быть заменена равносильной ей рациональной системой. Но этот
прием целесообразно применять лишь в том случае, когда для полу-
чающейся рациональной системы решение может быть доведено до
конца.
Пример 4. Решить систему
х= i/xyz+-^l/ xyz,
у= p/xyz + y У xyz,
Z=l/xyz--^l/xyz.
Решение. Введем вспомогательное неизвестное t, положив
xyz = t^Q. Получим равносильную рациональную систему
z = t ( / —gj .
xyz — te.
Подставляя х, у, z из первых трех уравнений в четвертое, получим
одно уравнение с одним неизвестным
Отсюда /] = 0 и 0—= РаскРывая скобки
в левой части, после упрощения получим /2 = 1, откуда t=l
(t =—1 < 0—не годится). Подставляя найденные значения t в первые
три уравнения последней системы, получим решения данной системы:
(0; 0; 0) 1).
Пример 5. Решить систему
, Vx3y+Vxy* = 2.
157
Решение. Очевидно, решение должно удовлетворять условию
ху > 0. Если х>0 и у>0, то положив У x = z > 0, ]/у = />0
и тем самым х = г2, y=t2, получим систему
. t z 1 zt ’ или / г2 + /2 — ?/ + 1,
z3t + zt3 = 2, \^t (z2 + /2) = 2,
из которой находим, что г — / = 1 (случайz=t = —1<0—не годится).
Следовательно, и у=1. В случае х < 0, у<0, положив
У—х = и> 0, У—у = v > 0 и тем самым х = —и2, у = —v2, получим
систему
f и V | 1
- V * и U-V ’
u3v + uv3 = 2.
Эта система имеет единственное решение и = v = 1, удовлетворяющее
условию и > 0, v > 0. Следовательно, данная система имеет еще одно
решение х = у*=— 1. Таким образом, исходная система имеет лишь
два решения (1; 1), (—1; —1).
§ 6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ,
СОДЕРЖАЩИХ АБСОЛЮТНУЮ ВЕЛИЧИНУ
Алгебраические уравнения, неравенства и системы, содержащие
неизвестные под знаком абсолютной величины, если нет специальной
оговорки, рассматриваются на множестве действительных чисел.
Пользуясь определением абсолютной величины действительного
числа и ее свойствами (см. гл. I, § 4), такую задачу сводят к по-
добной, уже не содержащей абсолютной величины.
Приведем некоторые свойства уравнений, которыми удобно поль-
зоваться при решении уравнений и систем, связанных с абсолютной
величиной.
I. Уравнение |А| = а, где равносильно совокупности двух
уравнений. Д = а и А₽=— а.
II. Уравнение | А | = а, гдеа < 0—противоречиво, так как | А | 0.
III. Уравнение |A|s=B равносильно совокупности двух урав-
нений:
1) А = В при условии, что корни этого уравнения удовлетво-
ряют неравенству А 0, > и
2) —А^В при условии, что корни этого уравнения удовле-
творяют неравенству #А < 0.
Справедливость всех этих свойств непосредственно вытекает из
определения и свойств абсолютной величины действительного числа.
Рассмотрим несколько примеров уравнений с одним неизвест-
ным, содержащих его под знаком абсолютной величины.
158
Пример 1< Решить уравнение
|2|х—1|—3| = 5.
Решение. Согласно свойству I это уравнение равносильно со-
вокупности двух уравнений
21 х—11—3 = 5 и 21 х—11— 3 = — 5,
или
|х—1 [ = 4 и |х—1| = —1.
Второе из этих уравнений противоречиво (см. свойство II). Первое
же уравнение равносильно в свою очередь совокупности двух урав-
нений х—1 = 4 и х—1 = —4, корни которых х1 = 5 и х2 = —3.
Пример 2.: Решить уравнение
| 1—2х | = Зх—2.
Решение. Очевидно, неизвестное х должно удовлетворять усло-
2
вию Зх—2^0, т. е. . При этом условии наше уравнение рав-
носильно совокупности двух уравнений 1—2х = 3х—2 и 1—2х =
3 2
= —(Зх—2). Корень первого из этих уравнений х = -=-<-х- не го-
□ о
2
дится. Корень второго уравнения х=1 удовлетворяет условию х^ -у
и, следовательно, является искомым.
Иногда при решении удобно пользоваться числовой осью.
Пример 3., Решить уравнение
13—2х|—| х| .
|2 + Зх|+%—2
Решение. Пользуясь свойствами абсолютной величины дей-
ствительного числа, перепишем уравнение в виде
у '1 J Ф+41+—2 ’
Рис. 15 1 d 1
Отметим на числовой оси х точки, где каждое выражение под
знаком абсолютной величины обращается в нуль (рис. 15). Эти точки
разбивают числовую ось на четыре промежутка:
x^-|(I); -4=Сх=С0 (II); 0^x<|(III); x>|(IV).
3 9
На первом промежутке, очевидно, х—у <0, х<0, * + у^0;
поэтому данное уравнение равносильно на этом промежутке уравнению
159
корень которого х = — входит в указанный промежуток и, сле-
довательно, является решением данного уравнения.
3 2
На втором промежутке х—-2<0, х^О, % + поэтому
данное уравнение равносильно на этом промежутке уравнению
/ 2 \
Корень этого уравнения х = у не принадлежит указанному проме-
жутку и, следовательно, не является решением данного уравнения.
На третьем промежутке х—у^О, х>0, х + у>0, поэтому
на этом промежутке данное уравнение равносильно уравнению
/ 24 7----= 5.
3?+4)+*-2
Его корень принадлежит указанному промежутку и, следова-
тельно, является решением данного уравнения.
И, наконец, на четвертом промежутке х—у^О, х>0, х +
+ у > 0 и поэтому данное уравнение равносильно уравнению
2
з 4-х—2
з
корень которого х =— не принадлежит рассматриваемому проме-
жутку и, следовательно, не является корнем данного уравнения.
Таким образом, данное уравнение имеет два корня х= — у
3
и х — 23.
В отдельных случаях к уравнениям, содержащим неизвестное
под знаком абсолютной величины, приводятся иррациональные урав-
нения с радикалами четных степеней, в случаях, когда подкоренные
выражения представляют собой полные квадраты относительно не-
известных.
Пример 4. Решить уравнение
Х2_ )/4х2 — 4%+ 1 +3.
160
Решение. Замечая, что 4х2— 4х+1 = (2х—I)2, перепишем
уравнение в виде
х2 = |2х—11 + 3, или | 2х—1 |=х2— 3
(радикал четной степени понимается в арифметическом смысле!).
Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений
2х— 1 = х2— 3 и 2х—1 = 3—х2
при условии, что х2^3, т. е. х=С—У 3 и х^К 3.
Решая первое из этих уравнений, имеем
х2 — 2х—2 = 0, хь 2 = 1 ± У 3.
Очевидно, х2 = I—У 3 не удовлетворяет ограничению и, следова-
тельно, не является корнем данного уравнения.
Из второго уравнения получаем
х2 + 2х—4 = 0, х314 = —1 ±К5.
Число х3 =—1+К5 не удовлетворяет ограничению.
Таким образом, уравнение имеет два корня
хг = 1 + У 3 и х2 = —1—У 5.
Пример 5. Решить уравнение
х+3—4KxZZT + + х+8—б/Г^Т=1.
Решение. Полагая Ух— \ = у^0 и тем самым х = у2 + 1, пе-
репишем данное уравнение в виде
/у2 + 4—4у + /у2 + 9—6у = 1,
откуда получаем уравнение
|у-2| + |у-3| = 1, (Л)
равносильное данному при условии, что у^О.
На промежутке ОСу С 2, где у—2 СО и у—3<0, уравнение
(Л) имеет решение у = 2.
На промежутке 2 С 1/^3 уравнение (Л) равносильно уравнению
у—2—у + 3= 1, которое обращается на нем в тождество 1 = 1.
На промежутке у^З уравнение (Л) равносильно уравнению
у—2-\-у—3=1, корень которого у = 3 является и корнем уравне-
ния (Л). Итак, все корни уравнения (Л) полностью заполняют про-
межуток 2Су^З, следовательно, корнями данного уравнения
являются все значения х из промежутка 5^х^10 (х = у2+1).
Напомним, что при решении любой задачи, содержащей пара-
метры, необходимо исследовать решение в зависимости от допусти-
мых значений параметров.
6 № 407 161
Пример 6, Решить уравнение
|х2—-|-х—11 = —х2—4х-|-а.
3 1
Решение. Если х2—-^х—1Z>O, т. е. х^—у и xj>2, то
з
уравнение можно записать в виде х2—-% х—1= — х2—4х-|-а, или
4х2Ц-5х—2а—2 = 0, откуда находим хг = — + ^32fl+57 и _
—5—/32а + 57 „ Л
=------. Эти корни будут действительными числами, если
57 57
32а+ 57^0, т. е. если а^—~, причем в случае а =—
u£i
5 1
xt=x2 =—g-<—2* и, следовательно, это решение годится. Требуя
1 —5+ }^32а4-57 1
теперь xt —у > получаем неравенство----—у——— —у, КОТО-
рое выполняется для —^^а^—у.
~ о —54-1<32а + 57 „
Требуя xt 2, получаем неравенство-----—у———^=2, решив
которое, находим, что а 12.
тт — 5— 1<32а4-57 1 ^57
Далее очевидно, что х2 =------------1—<—т для а^—55.
3 1
В случае х2—^х—1 < 0, т, е. —у<х<2, получаем уравне-
ние — (х2—|-х—1^ = — х2—4х-}-а, отсюда х = 2^~^ . Это реше-
ние будет годиться, если —~ < 2, т. е. если —у < а < 12.
Объединяя полученные результаты, имеем:
57
если а < —, то уравнение решении не имеет;
OZ
57
если а = — 55, то уравнение имеет единственное решение х —
___5_.
~ В ’
57 7 1П
если —32 или 12, то уравнение имеет два корня
_ —5 ± ]/’32а + 57 .
Х1,2“ 8 ’
у
если —у <а<12, то уравнение имеет единственный корень
2(а-1)
х— п .
При решении неравенств, связанных с абсолютной величиной,
полезно иметь в виду следующие свойства.
I. Неравенство | А | а, где а>0, равносильно двойному не-
равенству — о^Д ^а.
162
Действительно, если Л^О, то | А | == А и, следовательно, Л^а;
если Л^СО, то | А | = — Л, следовательно, —Л^а или Л^—а.
Объединяя оба эти результата, получаем требуемое.
В частности, неравенство | Л | < а (а > 0) равносильно неравен-
ству —а < Л < а.
II. Неравенство |Л|^а, где а < 0 — противоречиво, так как
|Л |>0.
III. Неравенство |Л|^а, где а > 0, равносильно совокупности
двух неравенств Л и Л^—а.
Доказательство аналогично доказательству свойства I.
IV. Неравенство |Л|^а, где а^О, справедливо для всех допу-
стимых значений выражения Л, так как | А | 0.
V. Неравенство | Л | V В равносильно совокупности двух систем
неравенств
J Л>0, f Л <0,
( Л V в и t — АуВ.
Это свойство следует непосредственно из определения абсолютной
величины действительного числа.
Пример 7. Решить неравенство
||2х—1|—3|>2.
Решение. Это неравенство равносильно совокупности двух не-
равенств 12х—1|—3>2 и 12х—1|—3<—2, или |2х—11 > 5 (Л)
и |2х—11< 1 (В).
Неравенство (Л) равносильно совокупности двух неравенств
2х—1>5 и 2х—1<—5 или х>3 и х<— 2. Неравенство (В)
равносильно двойному неравенству —1 < 2х— 1 < 1, или 0 < 2х < 2,
отсюда 0<х<1. Следовательно, решением искомого неравенства
являются все х из промежутков (—оо, —2), (0, 1) и (3, 4-оо).
Пример 8. Решить неравенство
К9ха + 6х + 1 < 2 —х.
Решение. Данное неравенство перепишем в виде |Зх-|- 11 <2—х,
которое равносильно (см. свойство V) совокупности двух систем
неравенств
(3x4-1^0, ( 3x4-1 < 0,
(3x4-1 <2— х и ( — (Зх-|-1) <2— х.
Решением первой системы служит промежуток Г—, у) , решени-
/ 3 1 \
ем второй системы—промежуток —. Следовательно, ре-
шением данного неравенства является промежуток .
Пример 9. Решить неравенство
х 4" 13—2х | | х -|- 11 —— 1,
6*
163
Решение. Перепишем неравенство в виде
Х + 2|х—-J|> |х+1| —1
з
и отметим на числовой оси х значения х =—1 и (рис. 16),
в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются
в нуль. Эти точки разбивают числовую ось
z । я | лг на три промежутка
о 1 X х<-1 (I); -1^х<| (II); х>|. (III)
Рис. 16 Рассматривая х последовательно на каждом
промежутке, получим, что искомое неравенство
равносильно следующим трем системам неравенств:
1, | — 1 < X С 4 ,
х—2 (х—> —(х+1) — 1, х—2 (х—> х + 1 — I .
Рис. 17
Решая каждую из этих систем, последовательно находим, что реше-
нием первой является промежуток x<i—1, решением второй —про-
3 3
межуток —1 х < у и решением третьей—промежуток х > у .
Итак, решением данного неравенства являются все действитель-
3
ные числа х, кроме х = у .
В заключение рассмотрим решение систем, содержащих неизвест-
ные под знаком абсолютной величины.
Пример 10. Решить систему
f Г+1 |-|у + 2| = -2,
( |х— 2 | + 2у = 3.
Решение. Для удобства решения введем
в рассмотрение плоскость хОу и построим пря-
мые (рис. 17) х = — 1, х = 2, у =—2, на кото-
рых выражения, стоящие под знаком абсо-
лютной величины, обращаются в нуль. Эти
прямые разбивают плоскость на 6 областей, за-
даваемых следующими системами неравенств:
Рассмотрим данную систему на каждой из этих областей.
164
Для х и у, принадлежащих области (I), имеем
( -(%+1) + (у + 2) = -2,
( — (я—2) + 2у = 3.
Решение этой системы х = 7, у = 4 не принадлежит рассматривае-
мой области и, следовательно, не является решением данной си-
стемы.
Для х и у, принадлежащих области (II), имеем
( (^+1) + (1/ + 2) = -2,
( (х 2)-}"2у = 3.
Решение этой системы х = — -У1, у = — 4" не принадлежит этой об-
О о
ласти и также не является решением данной системы.
Для х и у из области (III) имеем
Г (х+ 1) + (у + 2) = -2,
I (х—2) + 2у = 3.
Ее решение х = —15 и у= 10 также не годится.
Для х и у из области (IV) имеем
1 _(x+l)-(z/ + 2) = -2,
I —(х—2)4~2// = 3.
Ее решение х =—I, у = 0 принадлежит этой области и, следова-
тельно, является решением данной системы.
Для х и у из области (V) имеем
I (х+1)-(у + 2) = -2,
( — (х—2) + 2«/==3.
Ее решение х = —1, у = 0 принадлежит этой области и, следова-
тельно, является решением данной системы.
И, наконец, для х и у из области (VI) получаем систему
I (х+1)-(Ут2) = -23
( (х—2)-1-2у = 3,
решение которой х=1, у = 2 не годится.
Таким образом, заданная система имеет единственное решение
(-1; о).
В отдельных случаях решение системы упрощается, если ис-
пользовать некоторые свойства абсолютной величины действитель-
ного числа.
Пример 11, Решить систему
I * + = 1.
И + |у| = 1.
165
Решение, Из данной системы следует равенство |% + //| ==
==l* * * * * * * * * xl + lf/|, которое возможно лишь в случае ху^О (см. гл. I,
§ 4). Если х^О, у^О, то данная система имеет вид
( х + у=1,
I х + у=1,
что равносильно одному уравнению х-\-у= 1.
Если х^О, г/^0, то данная система принимает вид
f —(^ + f/) = l,
I — (* + !/)= b
что равносильно одному уравнению х-\-у = —1.
Таким образом, системе удовлетворяет любая пара неотрица-
тельных чисел, сумма которых равна 1, а также любая пара непо-
ложительных чисел, сумма которых равна —1.
§ 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С УРАВНЕНИЯМИ,
НЕРАВЕНСТВАМИ, СИСТЕМАМИ
Рассмотрим ряд задач, связанных с выявлением определенных
свойств уравнений и их решений.
Пример 1. Исследовать корни уравнения
(а—2)х2—2ах4-2а—3 = 0
в зависимости от допустимых действительных значений параметра.
Решение. Очевидно, параметр а может быть любым действи-
тельным числом. Дискриминант этого
П<0 | 27>/7 | П<0
~0 1 6 Ъ
Р>0 \Р<0 I Р>0
0 1 ' Я
S>0. I S<0 2 I s>o
О 2. a
уравнения
D = а2 — (а—2)(2а—3) = —(а— 1 )(а—6);
по формулам Виета находим
D 2а—3 \а 2 ) , ,
Р — ХхХ2 — а_с1 — а—2 (а =7^=2),
S = xt+xt = ^ (а^2).
Рис. 18
По правилу решения рациональных неравенств найдем на число-
вой оси интервалы знакопостоянства величин D, Р, S (рис, 18).
Анализируя полученный результат, имеем:
На интервале а < 0 дискриминант D < 0, а 5 > 0 и, следова-
тельно, корни комплексно-сопряженные: x = a±|3f, причем а > 0.
При а = 0 величина 5 = 0, a Z)<0, т. е. корни чисто мнимые:
х = ±
На интервале 0 < а < 1 имеем Z)<0, 5 < 0, т. е. корни ком-
плексно-сопряженные: х = а±|3/, причем а < 0.
При а==1 имеем D = 0, Р > 0, 5 < 0 и, следовательно, корни
равные (D=0) отрицательные (5<0),
166
з
На интервале 1 < а < -% дискриминант D > О, Р > О, S < О и,
следовательно, корни различные и оба отрицательные (Р > О, S < 0).
з
При а = ~2 Дискриминант Z)>0, Р — О, S<0 и, следовательно,
один корень равен нулю, а другой — отрицательный (Р = 0, S < 0),
з
На интервале у < а < 2 дискриминант D > 0, Р < 0, 5 < 0 и,
следовательно, корни разных знаков (Р < 0), причем больший по
абсолютной величине корень отрицательный (S < 0).
При а = 2 величины Р и S не имеют смысла (уравнение не яв-
ляется квадратным). Подставив это значение а в заданное урав-
нение, получим уравнение —4х + 1 =0, которое имеет единственный
1
положительный корень х = у .
На интервале 2 < а < 6 дискриминант D > 0, Р > 0, S > 0 и,
следовательно, корни различные, оба положительные.
При а = 6 дискриминант Z) = 0, Р > 0, S>0 и, следовательно,
корни равные положительные. На интервале а > 6 дискриминант
D<0, S>0 и, следовательно, корни комплексно сопряженные:
х = а±Р*, причем а > 0.
Пример 2. Доказать, что уравнение
^+A=i.
X 1 X — 1
где а и b—действительные числа, не равные нулю одновременно,
имеет лишь действительные корни.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
х2 — (П2 _|_ b2 + 1) х + а2 = 0 (♦)
при условии, что х=т^0, хф 1 и ab=£0. Дискриминант уравнения (*)
D = (а2 + Ь2 + 1 )2—4а2 = (а2 + b2 + 1 — 2а) (а2 + b2 + 1 + 2а) =
= [(а+ 1)2 + Ь2] [(а-1)2 + &2] > 0
при любых действительных а и Ь. Следовательно, уравнение (*)
имеет лишь действительные корни.
Если а = 0 (&=7^=0), то исходное уравнение принимает вид
~^у=1, корень которого х=1+&2—действителен при любом дей-
ствительном Ь<
Если Ь = 0 (а=/=0), то исходное уравнение принимает вид
у=1, корень которого х = а2 также действителен при любом дей-
ствительном а.
Таким образом, при любых а и &, одновременно не равных
нулю, искомое уравнение имеет лишь действительные корни.
Пример 3, Доказать, что если между коэффициентами уравнений
*2 + Pi* + ?i = 0 и х2 + р2х4-<72 = 0,
167
где рг, p2, q2—действительные числа, существует соотношение
р1-р2 = 2(^1 + ^2), то по крайней мере одно из уравнений имеет
действительные корни.
Решение. Для доказательства достаточно показать, что хотя
бы один из дискриминантов
^1 = Р?—4?! И D2 = pl—4^2
неотрицателен. А это следует из неравенства
= pl + pl—4 + q2) = pl + pl—Чр^ = (Pi ~ P2 )2 >0,
так как в случае D\ < 0 и D2 < 0 их сумма £>х 4- Z)2 была бы также
отрицательна.
Пример 4. Доказать, что уравнение
х2 + рх q = 0
не может иметь рациональных корней, если р и q—целые нечет-
ные числа.
Решение. Предположим противное, т. е. что это уравнение
имеет рациональные корни. Тогда дискриминант уравнения
D = p2—4q является квадратом нечетного числа (так как р и q —
нечетные, то, следовательно, и D = p2—4q—нечетное), т. е. спра-
ведливо равенство р2— 4q = (2&4-1)2, где p = 2/n4-l, q = 2n-]-l.
Таким образом, должно выполняться равенство (2&4-1)2 = (2/п 4-
4- I)2 — 4(2п4-1), где k, /и, и — некоторые целые числа.
Последнее равенство равносильно равенству
k(k+V) = m(m+V)—(2п4-1),
которое противоречиво, так как слева стоит четное число, а спра-
ва— нечетное. Следовательно, наше предположение ошибочно, т. е.
данное уравнение не имеет рациональных корней.
Пример 5. Доказать, что если все корни уравнения
х3 4- рх 4- Я = 0
с действительными коэффициентами р и q действительны, то р^О.
Решение. Согласно формулам Виета имеем
( X} 4“ -^2 х3= 0»
( -^1-^2 4“ -^1-^3 ^2-^3 “ Р'
Отсюда следует, что
р = хгх2 4- х3 (хх 4- х2) = хгх2—(*i + *2)2 =
= — (Х1 + *Л + *г) = — [(х1 + тУ + тх(1
так как выражение, стоящее в квадратных скобках, при любых
действительных и х2 неотрицательно.
При решении задач на отыскание параметров, при которых
корни уравнения удовлетворяют наперед заданным ограничениям,
неопытный учащийся зачастую находит лишь необходимые, но не
168
достаточные условия. Естественно, что это приводит к неверному
результату.
Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.
Пример 6. При каких действительных значениях а корни урав
нения
(«+ 1)х2 — За%4-4а = 0 (а=И=—1)
действительны и больше 1?
Решение. Часто эту задачу «решают» следующим образом.
Так как корни уравнения действительны, то должно быть выпол-
нено условие
D = 9a2— 16а (а-|-1)>0.
Далее, корни хг и х2 удовлетворяют условию хг > 1 и х2 > 1. По-
этому
За > л 4а <
—ГТ = + Х2 > 2 И —•г-7 = хгх2 > 1.
а_|_ j 1 1 2 a_j_ j 1 2
После этих правильных рассуждений делается вывод, что при зна-
чениях а, удовлетворяющих системе неравенств
' £>>0,
< х^ —[- х2 2,
хгх2 > 1,
оба корня будут больше 1. Это уже неверно, так как не исключает,
например, возможности, что при каком-нибудь а, удовлетворяющем
этой системе, уравнение будет иметь корни хх = 3 > 1 и х2 = у< I-
Теперь приведем правильное решение этой задачи.
Пусть D—дискриминант уравнения, хг и х2—его корни. Со-
гласно условию задачи должна быть справедлива следующая система
неравенств:
О>0,
< хг— 1 > О,
х2 — 1 > О,
которая равносильна системе
Г>>0,
’ (А'1 1)+(Х2 1)>0» (*)
; (%1—1)(х2 —1) >0
(если сумма и произведение двух действительных чисел положи-
тельны, то и сами числа положительны). Раскрывая скобки во вто-
ром и третьем неравенствах системы (*), имеем
г О>0,
< 'Ч + *2 — 2>0,
Л'^2—U14-X2)+ 1 > о.
169
Отсюда, учитывая, что
D = 9а2—16а (а 4-1), и х1х2 = ^1,
получаем систему
г 9а2 — 16а(а+1)>0,
< -$т-2>°>
< а-[-1
—-------4-1 > О
V а+1 а+1 ' 1 ^и*
Решая ее, находим, что ——1.
Пример 7. При каких действительных т множество решений
неравенства
х2 + тх + т2 + 6m < О
содержит интервал 1 < х < 2?
Решение. Прежде всего заметим, что дискриминант квадрат-
ного трехчлена D должен быть положительным, так как при D^O
будет справедливо неравенство
х2 + тх + т2 + 6т > О
для всех действительных значений х.
Обозначая корни трехчлена через х± и х2 и учитывая, что коэф-
фициент при х2 равен 1 > 0, получаем, что у = х2-\-тх-\-т2 + 6т < О
лишь для х, заключенных в интервале между хг и х2. Но этот
интервал должен содержать интервал (1, 2), что возможно в том и
только в том случае, когда у (1)^0 и у (2)^0 (вспомните график
квадратного трехчлена). Эти условия равносильны следующей си-
стеме неравенств:
r 1 4-m4-w2 + 6m 0,
4 + 2т + т2 + 6т 0,
т2 — 4 (m24-6m) > 0.
Решив эту систему, получаем
—4.
Пример 8. Найти значения а, при которых система
( х2 + у2 + 2х 1,
I *—у + а = 0
имеет единственное решение. Найти соответствующие решения.
Решение. Подставляя у = х + а в заданное неравенство, полу-
чаем неравенство
2х2 + 2(а+1)х + а2 —1 <0,
170
которое имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
D = (a+1)2—2(а2 —1) = 0.
Из полученного уравнения находим а± = —1, а2 = 3.
Если аг =—1, то 2х2^0 и, следовательно, х = 0, у = —1. Если
а = 3, то 2х2+ 8x4-8^0 и, следовательно, х = —2, у=1.
К числу распространенных задач относятся задачи, связанные
с симметрическими выражениями относительно корней многочлена.
Такие задачи обычно хорошо решаются путем применения формул
Виета.
Пример 9. Вычислить выражение
л 4ххХ2— ХХ4“ 2XjX2 —J- 4ххХ2—
л= (2хх-—1) (2х2 —1) *
где хг и х2—корни уравнения 2х2—2x4- 3 = 0.
Решение. Если найти корни уравнения и подставить их
в исходное выражение, то это приведет к громоздким выкладкам.
Проще поступить иначе.
Согласно формулам Виета,
хх 4“ %2 — 1 > ххх2 — 2 •
Поэтому
л __ 4ххх2 (*14-*2)4- 2ххх2—(хх 4-х2)3 4-3%1%2 4-х2) __
4Х]Х2 — 2 (Х14-Л'2)4“ 1
4-у+2.А-1 + 34 5
4-А-2+1 2 ’
Пример 10. Пусть xt и х2—корни уравнения
x2 + kx-\-2k — 1 = 0.
Найти все значения k, при которых справедливо неравенство
I ^2^|
*2 *1
Решение. Переписав неравенство в виде
(xi+x2)2—2*л .
х±х2 ххх2 '
и воспользовавшись тем, что хх4-х2 = —k, x1x2 = 2k— 1, имеем
2 (2k— 1) .
2k — 1 > A’
Решая это неравенство, найдем, что ему удовлетворяют все значе-
ния k, заключенные в интервалах:
(у, З-Иб) и (3 4-/6, +оо).
171
В заключение приведем примеры уравнений и систем, имеющих,
вообще говоря, бесчисленное множество решений, из которых тре-
буется выделить решения определенного класса (целые, рациональ-
ные и др.).
Пример 11. При каких действительных а система
2% z = а,
5х2 + 2у2-|- 2ху + 2%+ 11 = z2— 8а2
имеет единственное действительное решение? Найти соответствующие
решения.
Решение. Выражая z из первого уравнения и подставляя
найденное значение (z = a—2х) во второе, получаем
х2 + 2у2 + 2ху + 2(2а+ 1)% + 7а2 + 11 = 0.
Перепишем левую часть этого уравнения, располагая его члены по
убывающим степеням буквы х: х2 + 2х (у + 2а + 1) 4- 2у2 + 7а2+11 = 0.
Выделяя в левой части полный квадрат относительно х, полу-
чаем
(х + у + 2а+ 1)2 + у2—2(2а+ 1)у + 3а2 — 4а + 10 = 0.
Выделим теперь в оставшихся слагаемых полный квадрат относи-
тельно у\
(х-\-у-\-2а-\- 1)2 + (у—2а— V)2 = a2-\-8a—9.
Очевидно, единственное действительное решение этого уравнения
возможно лишь в том случае, когда
а2 + 8а —9 = 0,
т. е. при а= 1 и а = —9.
Решая систему
х + у + 2а + 1 = 0,
у—2а—1 =0
при значениях а=1 и а = —9, находим:
если а = 1, то х =—6, у = 3 и z = a—2х= 13;
если а = — 9, то х = 34, у = —17, z = —Tl.
Пример 12. Найти все рациональные решения уравнения
у2 = 4Х2—5Х_|_ j.
Решение. Полагая 4х2— 5х+1 = (2х-|-/)2, находим, что
у^±(2х + /)=±2Р+^2. (**)
Таким образом, все рациональные решения данного уравнения
I 72
содержатся в формулах (*) и (**), где t—любое рациональное число
Замечание. Для уравнения у2 = ах2 + Ьх4-с2 нужно положить
ах2 + Ьх + с2 = (tx + с)2.
Пример 13. Решить в целых числах уравнение
ху = 2х—у.
Решение. Решая это уравнение относительно у, находим, что
Выделяя из дроби целую часть, получаем
у = 2— -4-. (*)
х+ 1 v
Очевидно, что значение у будет целым лишь в случае, когда дробь
—— будет целое число, что возможно при целом х лишь в случае,
когда х + 1 = ± 1 или х+1=±2. Подставляя соответствующие х
в формулу (*), находим все целые решения:
Xj — 0, ух — 0, х2 2, 1» Уз 1» -^4 У±
ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРОГРЕССИИ
§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
I. Определение. Если каждому натуральному числу п отнесено
по некоторому закону число ап, то говорят, что задана числовая
последовательность
а1У а2, а3, ..., ап, .... (1)
Числа вх, а2, а3 и т. д. называются членами последовательности (1);
они не обязательно различны между собой. В некоторых случаях
последовательность задается формулой ее общего члена
an — f(n)> «=1,2,3.................. (2)
Зная ее, мы можем получить любой член последовательности. Для
этого достаточно в правую часть формулы (2) вместо п подставить
номер искомого члена. Например,
= 1, -1, 1, .... -1, ...;
ап —— 5с 5, 5, 5, . • •, 5, ... •
(Такая последовательность, общий член которой не зависит от п,
называется постоянной.)
Структура формулы общего члена может быть и более сложной.
Например, формула
f n, п = 2k,
“"“I 1. « = 24+1,
где А=1, 2, ..., задает последовательность
12—4— 1 2k 1
у которой члены с четными номерами и члены с нечетными номе-
рами образуются по разным законам.
Иногда последовательность задается так называемым рекуррент-
ным соотношением, т. е. формулой, позволяющей находить члены
последовательности по известным предыдущим. Например, ап+1 =
= 2а„4-«, аг=1. Давая п значения 1, 2, 3, ..., мы последова-
тельно получаем один за другим а1г а2, а3, ...:
при п = 1 получаем а2 - 2аг 4-1=3,
при « = 2 получаем а3 = 2а34-2 = 8,
при « = 3 получаем а4 = 2а34-3= 19 и т. д.
Формула общего члена an — f («) может быть заданной для «,
начиная с некоторого номера k. Тогда пишут an=f(ri), n=k, k-j-1, .
174
При этом первые члены последовательности аи а2, ..., ak_x ука-
зываются. Например,
1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, где ап = 2п —4 для п = 7, 8, ... .
Первые шесть членов последовательности аг, а2, а8, а& и aQ ука-
заны; они не получаются из формулы для общего члена ап = 2п—4,
которая задана лишь при п^7.
Заметим, что по известным первым членам последовательности,
если нет никаких других указаний, невозможно указать закон ее
образования. Так, четыре первые члена некоторой последователь-
ности
1, 3, 5, 7, ...
могут быть, например, началом последовательности нечетных чисел
или последовательности простых нечетных чисел.
Не всякую последовательность можно задать формулой общего
члена или рекуррентной формулой. Например, их нельзя указать
для последовательности простых чисел
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
или для последовательности десятичных приближений (с недостат-
ком) числа J/2
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142, ....
Но для каждой последовательности должен быть задан закон, по
которому мы можем получить любой ее член. В каком виде задан
этот закон — это не имеет значения.
II. Последовательность называется ограниченной, если сущест-
вует положительное число М такое, что для всех членов последо-
вательности выполняется неравенство | ап |
Если для любого числа М > 0 найдутся члены последователь-
ности, превосходящие М. по абсолютной величине, то такая после-
довательность называется неограниченной.
Например, последовательности
£ £ £
2 ’ 3 ’ •••’ п ’ •••’
(М=1)
1 1 (—l)n+1
2 , 3 , .. ., п , . . .,
£ £ 2/1—1
2 , з , . .п
(М=1)
(М = 2)
ограниченные, а последовательность
1, 4, 9, ..., п2, ...
неограниченная.
Последовательность называется возрастающей, если для всех п
ап < ^п + 1*
175
Последовательность называется убывающей, если для всех п
&п > ^л + 1*
Возрастающие и убывающие последовательности называются
монотонными.
Например, последовательности
ill 1
1, 2 , 3 , ...» п , ...»
1 _3_ А 2/г —1
А, 2 ’ з > • • •» п ’ ’ *
1, 4, 9, ..., П2
монотонные, а последовательности
1 —1 1 (~1)”+1
1, 2 » з ’ • • •> п ’ • • •>
1. О, 3, О....о, ...
немонотонные.
Замечание. К монотонным последовательностям относят
также неубывающие (an<ian+1) и невозрастающие последователь-
ности (а„>а„+1).
III. Предел последовательности. Определение. Число А назы-
вается пределом последовательности аг, а2, а3, ап, ..., если
для любого положительного числа е можно подобрать такое нату-
ральное число 2V, что для всех значений n > N выполняется нера-
венство
|а„—Д|<е. (3)
В этом случае пишут: А = lim ап.
п -> 00
а5 аМ
---Ь-4-Ч—I—I—41 I I I | I (НИ I llllllll) UDI-
0 аз ач A~e A A+e az x
Рис. 19
На множестве действительных чисел неравенство (3) эквива-
лентно неравенству
А — &<ап<А + £ при n>N,
которое означает, что в интервале (А — е, A-j-e) (рис. 19) находятся
все члены последовательности, номер которых превосходит N, а вне
этого интервала лишь конечное число (не больше, чем N).
Пример. Доказать, что lim —= 2.
Решение. Возьмем, например е=10”3. Найдем те члены дан-
ной последовательности, которые лежат в интервале (2—10“3,
176
2 4- 10 3), т. е. удовлетворяют неравенству
—2|< 10~3.
Решая его, находим -±- < 10-3, п > 103.
Итак, внутрь интервала (2 —10"3, 2 4- Ю"3) попадают все члены
последовательности, номер которых п> 1000.
Если взять £=10”- и интервал (2 —10“\ 2 4-Ю"5), то внутрь
этого интервала попадут все члены последовательности, номёр кото-
рых п > 100 000.
Вообще для любого е > 0 внутрь интервала (2 — 8, 24-е) попадут
все члены последовательности, которые удовлетворяют неравенству
<•)
Решая последнее неравенство, находим, что п > у. Следовательно,
1
все члены последовательности, номер которых п > — , удовлетворяют
неравенству (*). А это согласно определению предела последователь-
2м—1 ~
ности и означает, что lim------= 2.
«-►о» п
Не всякая последовательность имеет предел. Рассмотрим, напри-
мер, последовательность с общим членом а„ = -^- + (—1)”, и=1, 2,
3 2 5 4
3, .... Очевидно, ах = 0, а2 = у , а3 = — у, а4 = , а5 = — у и т. д.
Члены последовательности сгущаются к точкам —1 и 1. Эта последо-
вательность не имеет предела. Действительно, если взять интервалы
(—1 —е, —1 4- е) и (1 —е, 1 4- е), то в них ( при е < ^- находится
бесконечно много членов последовательности, но и вне каждого из
них—также бесконечно много (рис. 20).
' а3 af а2
—(—-------------j---------—О—I-------V
-/-£ -1 -1+С о 1-Е 1 /+£ *
Рис. 20.
Следующие теоремы дают достаточное условие существования
предела последовательности.
Теорема I. Всякая ограниченная монотонная последовательность
имеет предел.
Теорема II. Если члены последовательности Ьп, начиная с некото-
рого номера N, заключены между соответствующими членами ап и сп
двух других последовательностей, т. е.
ап Ьп сп для n^N
177
и lima„ = limc„ = А, то данная последовательность имеет предел,
n-f <» Д —► 00
причем
lim&„ = А.
п-+ со
Доказательство этих теорем приводится в курсе высшей мате-
матики.
Тоже без доказательства отметим следующие свойства предела
последовательности.
I. Если последовательность имеет предел, то этот предел един-
ственный.
II. Предел постоянной последовательности равен этой постоян-
ной, т. е.
lim сп = lim с = с.
ПCD ПCD
III. Предел алгебраической суммы последовательностей равен
алгебраической сумме пределов этих последовательностей, если послед-
ние существуют, точнее, если liman и lim&„ существуют, то
п-+ cd поо
lim {ап ± 6n) = lim ап ± lim Ьп.
П-+ cd П-> cd п CD
IV. Предел произведения последовательностей равен произведению
пределов сомножителей, если последние существуют, т, е.
lim (ап • &„) = lim ап • lim bn.
П-> CD П -+ 00 П -> 00
В частности, если а„ = а, п=\, 2, то
lim(a-fen) = a-lim&n.
п -> 00 п -> 00
Последнее означает, что при переходе к пределу постоянный мно-
житель выносится за знак предела.
V. Предел отношения двух последовательностей равен отношению
пределов числителя и знаменателя, если последние существуют и предел
знаменателя не равен нулю, т. е.
lim ап
lim^ = ^j^V (lim&„#=0).
П~* CD
§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Определение. Последовательность чисел с общим членом ап =
= а + (п—l)d, где а и d—любые заданные числа, называется
арифметической прогрессией.
Число а называется первым членом арифметической-прогрессии»
d—разностью арифметической прогрессии. Для обозначения ариф-
метической прогрессии употребляют знак т. е. пишут
г ' ^1» ^2» • • • » ^Д, • • • •
178
При d > 0 прогрессия будет возрастающей, так как an+1^=a1 + nd >
> аг-\-(п—l)d = an, т. е. ап+1> ап‘, при d < 0 прогрессия убывающая
(«Л + 1 < &п)* ы
Из данного определения вытекают следующие свойства членов
арифметической прогрессии.
1. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго,
равен предыдущему, сложенному с разностью d, mt е.
ak+i = ak + d, k=\, 2, ... (4)
аг = а.
В самом деле,
ak+1 = a-}-k-d= [а + (& — l)d] +d = ak + d.
2. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее ариф-
метическое двух равноудаленных от него членов этой прогрессии, т. е.
ak^ak+m+2ak~m, (5)
где k и т — любые натуральные числа и k> т.
Действительно,
ak+m = ax-\-d(Jz + rn— 1); ak_m = a^d(k—т— 1),
поэтому
ak+m + ak.m = 2al + d(2k—2) = 2 К + сЦй—1)],
откуда
ak+m + ak-m = ai + d (й_ i) = flA>
3. Для любой арифметической прогрессии
ak~\~ a>i = ar~y as, (6)
где k, I, г, s—номера членов, удовлетворяющие условию k-]-l = r -}-s.
В самом деле,
а^ -J” at = -J- d (k — 1) -j- а± -j- d (I — 1) = 26ZX -j- d (k -j- Z—— 2),
ar + ^ = a1 + d(r —ij + ^ + d^s—l) = 2^1 + d(r + s—2)
и так как, по условию r + s = k-]-l, то
ak~)ral = ar-}-as*
В частности, если арифметическая прогрессия состоит из п членов,
то ak и an_k+1 являются ее членами, равноотстоящими от концов аг и ап,
причем
1 -|- п—— k -|- (п—k -j- 1) •
Поэтому согласно свойству 3
= а1 + ап, (6')
т. е. для любой конечной арифметической прогрессии сумма двух
179
членов, равностоящих от ее концов, есть величина постоянная для
данной прогрессии, равная сумме крайних членов.
Замечание. Свойство 1 так же, как и свойство 2, является
условием достаточным для того, чтобы соответствующая последо-
вательность аг, а2, ап, ... была арифметической прогрессией.
Действительно, если для последовательности
а19 а2, а3, ..., ап, ...
выполняются соотношения
ak+1 = ak + d для А=1, 2,
а1 = а,
где а и d—заданные числа, то написав эту формулу для 6=1,
2, ..., п:
a2 = al + d,
a3 = a2+d,
ап an_Y-\- d
и сложив все эти равенства, получаем
= — 1).
Последнее означает, что at, а2, ..., ап,... — арифметическая про-
грессия.
Таким образом, арифметическую прогрессию можно определить
как последовательность чисел ах, а2, а3, . . ., ап. . заданную рекур-
рентным соотношением: ak+1 = ak-]-d, ar = a, k=\, 2, ... .
Предлагаем читателю доказать, что последовательность чисел
аг, а2 ..., ап, ..., заданная рекуррентным соотношением ak =
_ ak-i+ak+\ , ar = a, k = 2, 3, ..., есть арифметическая прогрессия.
Последовательность же чисел, удовлетворяющая свойству 3,
может и не быть арифметической прогрессией. Например, 1, 2, 4,
5—не есть арифметическая прогрессия, хотя 1+5 = 2 + 4.
Сумма п членов арифметической прогрессии. Обозначим через Sn
сумму первых членов арифметической прогрессии:
^п = Я1+а2 +#3+ • • • ~i~an-i~han- (?)
Запишем слагаемые в обратном порядке
$п = ап + ап-1 + • • • + + а2 + ai- (8)
Складывая почленно равенства (7) и (8) и группируя члены, по-
лучаем
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an_1) + ... +(яп_1 + я2) + (ап + я1).
В скобках, число которых равно п, стоят суммы членов, равноуда-
ленных от концов прогрессии.
180
По свойству 3 каждая из этих сумм равна аг-\-ап. Следова-
тельно,
$„ = (а1+2а")п, (9)
т. е. сумма п последовательных членов арифметической прогрессии
равна полусумме ее крайних членов, умноженной на число членов.
Если в формуле (9) выразить ап по формуле общего члена, то
получаем
S„ = 2^+y-l). (9')
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Определение. Последовательность чисел с общим членом
an = aqn~\ где а#=0 и <7#=0—любые заданные числа, называется
геометрической прогрессией.
Число а называется первым членом геометрической прогрессии,
q—знаменателем геометрической прогрессии. Для обозначения
геометрической прогрессии употребляют знак -гг, т. е. пишут
. г 6Z1, а2, а3, ..., ап, ....
Из условия ay=0, q^=0 следует, что среди членов геометрической
прогрессии не могут быть нули. При а > 0 и q > 1 геометрическая
прогрессия возрастающая, так как ak+1 ^=arqk > a1qk~1 = ak, т. e.
ak+1 > ak* ПРИ 0 <•? < 1 —убывающая (аЛ+1 < ak).
Если q < 0, то члены прогрессии—знакочередующиеся и она не
будет монотонной.
Из определения геометрической прогрессии вытекают следующие
свойства ее членов.
1. Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго,
равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии, т. е.
ak+1 = ak-q, k=\, 2, ... (10)
ar =а.
В самом деле,
ak+i = a1qk = alqk~1-q = ak-q.
2. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии равен про-
изведению двух равноудаленных от него членов этой прогрессии, т. е.
+ (И)
где k и т—любые натуральные числа и k>m.
Действительно,
Поэтому
= {k~» = a*k.
181
Если все члены геометрической прогрессии положительные числа,
то свойство 2 можно записать формулой
ak = Vak-m-ak+m, (12)
т. е. каждый член такой геометрической прогрессии есть среднее
геометрическое членов, равноудаленных от него.
3. Для любой геометрической прогрессии аг, а2, .ап, ...
ak-al = ar-as, (13)
где k, /, г, s—номера членов и k-\-l = r-}-s.
В самом деле, по определению геометрической прогрессии
ak'ai — ct1qk~1 • ^q1 “1 = a$qk+l "2,
ar • as = a1qr"1-a1qs"1 = a[qr+s~2,
и так как по условию k-\-l = г -|-s, то
ak-at = ar-as.
В частности, если геометрическая прогрессия состоит из п членов, то
^k^n-k + l = ^r^n
(6=1,2, ...,и), (13')
т. е. произведение двух членов конечной геометрической прогрессии,
равноотстоящих от ее концов, есть величина постоянная для дан-
ной прогрессии, равная произведению ее крайних членов.
Замечание. Так же, как и в случае арифметической прогрес-
сии, каждое из свойств 1 и 2 является условием необходимым
и достаточным для того, чтобы соответствующая последовательность
ах, а2, ..., ап, ... была геометрической прогрессией.
Предоставляем читателю доказать, что последовательность
а19 а2, ..., ап, ..., заданная рекуррентным соотношением ak+x = akq
(g^O), а1 = а^0, есть геометрическая прогрессия (см. замечание
к § 2).
Покажем, что последовательность аг, а2, ..., ап, ..., заданная
рекуррентным соотношением al = ak_1-ak+1, а^Ои а2=^0—задан-
ные числа, 6 = 2, 3, ..., есть геометрическая прогрессия. С этой
целью запишем каждое из равенств al = ak_i-ak+1, k = 2, 3, ..., п
в виде пропорции
Получаем:
^2 «3 «3 ^4 Qn + l
^1 #2 ^2 fl3
или
а2 а3 а4 __ ___ап + 1 __ _
а1 ~ аг ~ а3 — ап ~4,
где q—величина каждого из равных отношений.
182
Приравнивая q каждое из этих отношений, получаем:
^ = ^9, a3 = a2q, .... an+1 = an-qt
Перемножая правые и левые части этих равенств, после сокра-
щений получаем an+1 = aqn. Следовательно, данная последователь-
ность есть геометрическая прогрессия.
Последовательность alt а2, ..., ап, ..., удовлетворяющая свой-
ству 3, может не быть геометрической прогрессией. Например, числа
1, 2, 3, 6 не образуют геометрической прогрессии, хотя 1-6 = 2-3.
Сумма п членов геометрической прогрессии. Обозначим через
Sn сумму п членов геометрической прогрессии:
Sn — ^1 + ^2+ • • • + ап- (14)
Умножая все члены этого равенства на знаменатель прогрессии q
и учитывая, что ak-q = ak+1 (Z?=l, 2, ..., п — 1), имеем
SnQ = а2 + аз + • • • ~YanJrancl- (15)
Вычтем из равенства (14) равенство (15). Тогда
<5„(1— Ч) = аг—anq,
т. е.
(16)
если q =/= 1. Так как an = avqn~\ то из формулы (16) получим формулу
= (17)
определяющую сумму Sn членов прогрессии через ее знаменатель
и первый член.
Если 9=1, то аг = а2 = ... = ап и
Sn = n-a1.
§ 4. БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
I. Определение. Бесконечная геометрическая прогрессия
^а19 а2, ..., ап ..., знаменатель которой | q | < 1, называется бес-
конечно убывающей геометрической прогрессией.
При а > 0 и 0 < q < 1 члены прогрессии монотонно убывают:
an = alqn~1 <a1qn~2 = an_1,
При q < 0 прогрессия не монотонна (см. § 3).
Для дальнейшего изложения нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Если | q | < 1, то lim qn = 0.
п -> оо
Доказательство. Пусть 8 > 0—произвольно заданное поло-
жительное число. Рассмотрим неравенство \qn—01 < е. Решая его
183
относительно п, находим
га> Jg.6.
Таким образом, для любого е > 0 и всех п, больших числа ,
справедливо неравенство \qn—01 < е, что по определению предела
последовательности означает
lim qn = 0.
fl -► 00
Из леммы и свойств предела вытекает, что
lim = lim m?""1 = a-lim qn~1 = 0,
п -► 00 - П -+ 00 /2 —► оо
если \ q\ < 1., т. е. член бесконечно убывающей геометрической про-
грессии стремится к нулю, когда его номер неограниченно воз-
растает.
II. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической про-
грессии. Совершенно очевидно, что понимая сумму в обычном смысле,
ее нельзя определить для бесконечного числа слагаемых (складывая
последовательно слагаемые, мы никогда не закончим процесс сум-
мирования). Поэтому в случае бесконечно убывающей геометрической
прогрессии поступают следующим образом.
Вычисляют по формуле (17) сумму двух, трех и т. д. первых
ее членов
52=й1+й^Ц^.
S3 = а, + а2 + а3 = 01 ,
Sn — + а2 + ... + ап —
Эти суммы тоже образуют бесконечную последовательность, кото-
рая имеет предел. Действительно, по свойству предела
,Ига5=!!lt=F=Д ,|™< 1 (18)
При увеличении п в сумму будет входить все большее и боль-
шее количество членов геометрической прогрессии. Поэтому, есте-
ственно понимать под выражением
= #1 + + аз + • • • + ап + • • •
предел последовательности S2, ..., Sn, ..., который и назы-
вают суммой S бесконечно убывающей прогрессии.
Таким образом, учитывая это определение и результат (18),
имеем
S = а± + а2 + а3 + ... + ап 4- .... = .
184
§ 5. ЗАДАЧИ
Прогрессии определяются двумя элементами: первым членом
и разностью в случае арифметической и первым членом и знамена-
телем в случае геометрической прогрессии. Если прогрессии конечны,
то для их определения нужно знать и п—число членов.
Пример 1. Найти все прогрессии, являющиеся одновременно и
геометрическими и арифметическими.
Решение. Пусть числа а19 а2, ... , ап, ... составляют гео-
метрическую прогрессию. Тогда an = a1-qn'~1. Так как они составляют
и арифметическую прогрессию, то по свойству 2 (§ 2) ^+i + ^+3 =
= 2ak+2> т. е. a1qk + a1qk+2—2a1qk+1 = 0. Сокращая на
<7^=0!), получаем уравнение (q—1)2 = 0, откуда следует, что q=X
и данная прогрессия есть последовательность равных чисел а19
а19 ... , а19 ....
Вывод. Только последовательность равных чисел является одно-
временно и геометрической и арифметической прогрессией.
Отсюда вытекает, что арифметическая прогрессия а19 а29 ... ,
ап. ... и геометрическая прогрессия Ь19 Ь29 ..., Ьп9 ..., у которых
не все ai = bi не могут иметь равными любую тройку своих после-
довательных членов, так как из условия = ai+1 = bk^19 cii+2 =
= bk+2 вытекает, что bn = an для всех п.
Случай а; = Ьк и ai+1 = bk+1 возможен.
Пример 2. Даны две возрастающие прогрессии с положительными
членами: геометрическая Ь19 Ь29 ..., Ьп9 ... и арифметическая
а19 а2, .. .9 ап9 . .., у которых ах = Ьх и а2 = Ь2. Доказать, что ап < Ьп
при п > 3.
Решение. Из условия аг = Ьг и а2 = Ь2 следует, что a1-\-d = arq.
Поэтому d = a1(q — 1) и an = a1-{-d(n— \) = а1-[-а1(п—1)(<?—1).
Таким образом, наша задача сводится к доказательству неравенства
а1 + а1 (п —1)(<7— 1) <a1qn-19
или
(^#=0!).
Раскладывая правую часть последнего неравенства на множители,
получаем
(п-1) (g—1) <(q-l)(q"-* + q"-*+... + q+l)9
п — 1 <qn-2 + qn~*-\- . . . +q+l.
Последнее, очевидно, так как <?> 1.
Пример 3. Найти все прямоугольные треугольники, стороны ко-
торых составляют: 1) арифметическую прогрессию, 2) геометриче-
скую прогрессию.
Решение. 1. Пусть а9 a-\-d, a-\-2d—стороны прямоугольного
треугольника, где а > 0 и d > 0. Тогда (a + 2dp= а2 + (a -}-d)2. После
приведения подобных членов и группировки получаем
(a-\-d) (3d—а) = 0.
Так как a-\-d > 0, то a = 3d. Итак, стороны искомых треугольни-
185
ков равны соответственно 3d, 4d, 5d, где d—любое положительное
число.
2. Пусть a, aq, aq2—стороны прямоугольного треугольника, где
а>0, <?> 1. Тогда ofiq* = а2a2q2. Решая это уравнение, находим,
что q = '^/r—^корень уравнения —j/"52' 1 < 0 отбрасы-
ваем^ . Итак, стороны искомых треугольников равны соответственно
аК1 + у 5 о(1 +1/~5) а—любое положительное число.
’ 2 2
Пример 4. Три числа образуют геометрическую прогрессию.
Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифме-
тической. Но если после этого увеличить последнее число на 64,
то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа.
Решение. Можно решать задачу с тремя неизвестными а, Ь,
с и свести ее к следующей системе уравнений:
&2 = ас,
2 (Ь 8) = а+<?,
(й4-8)2 = а(с-|-б4).
Однако проще свести задачу к системе двух уравнений с двумя
неизвестными. Обозначая числа через a, aq и aq2, имеем
( 2 (aq-\-3) = a-\-aq2,
| (а<7-|-8)2 = a (cz</2-J-64).
Упрощая второе уравнение, получаем
aq-{-4—4а = 0.
Исключая из первого и полученного уравнения а, имеем
q2 + 2q—15 = 0,
4 4
откуда следует, что q1 = 3', q2 = —5, а(1) = -4_^ =4, «'2> = =*
4
= -g . Таким образом, мы получили две геометрические прогрессии
•• Л 10 ос •• 4 20 100
ТГ4, 12, 36 и - -д, —9 , -д-.
Пример 5. Найти четыре действительных числа, из которых
первые три составляют геометрическую, а последние три — арифме-
тическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 14, а сумма
средних 12.
Решение. Четыре неизвестных числа х, у, г и t выразим че-
рез двг а и q :
Первые три числа;, a, aq, aq2. Чтобы выразить через а и q чет-
вертое число t, заметим, что числа aq, aq2 и t составляют арифме-
тическую прогрессию и по свойству 2 (см. § 2) t = 2aq2—aq.
186
Для определения а и q имеем систему двух уравнений
a-\-2aq2—aq= 14,
aq + aq2 = 12.
Исключая из этой системы а, получаем квадратное уравнение
з
5g2 — 13g 4-6 = 0, откуда находим: д1 = 2; д2 = -=-.
□
25
Соответствующие значения а равны 2 и у.
Итак, мы получили два решения:
2, 4, 8, 12 и у,
Пример 6. Три числа, сумма которых равна 114, можно рас-
сматривать как три последовательных члена геометрической или
как первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической про-
грессии. Найти эти числа.
Решение. Прежде всего возникает вопрос, как обозначить
неизвестные три числа—как члены арифметической или как члены
геометрической прогрессии?
Если их обозначить как члены геометрической прогрессии: а,
aq и ад2, то из условия задачи имеем следующие три уравнения:
f а 4- aq + aq2 = 114,
aq = a-\-3d,
aq2 = a4-24d,
где d — промежуточная неизвестная величина. Если же их обозна-
чить как члены арифметической прогрессии а, а 4- 3d, a-|-24d, то
имеем два уравнения:
а 4” a -j- 3d 4~ 4~ 24d =114,
(а 4- 3d)2 = а (а 4- 24d).
Этот способ, очевидно, предпочтительней. Упрощая последнюю
систему, находим
f a -j- 9d = 38, z
I d2 = 2ad.
Решая эту систему, находим два решения: 38, 38, 38 и 2, 14, 98.
Первый член геометрической прогрессии порой выгодно обозначать
через — , где k—некоторое натуральное число; такое обозначение
qk
может упростить решение задачи. Аналогично для арифметической
прогрессии—первый член равен а—d(k — 1).
Пример 7. Определить три числа, образующие геометрическую
прогрессию, если сумма их равна 21, а сумма обратных величин
7
равна
187
Решение. Искомые числа обозначим через -у, a, aq. Из
условий задачи имеем
— + « + «</ = 21,
1+1+1=2
а ’ а ’ aq 12 ’
или
а
= 21,
, _т_
Н 12 ’
Деля первое уравнение на второе ^ + 1+у#=о), находим
а2 = 36, «=±6, <?2 + <? + 1 = ±у<7>
Для а = 6 получаем:
w=2'
Для а = —6 получаем:
„<*> , -9+ /б5 . -9-/65
41 — 4 > 42 — 4
Таким образом, мы получаем четыре решения:
12, 6, 3; 3, 6, 12; ——6, —9~;
S z ---------- 9-/65 2
3(9— /65) _6 24
2 ’ ’ 9—/65 '
Замечание. Прогрессии аи аг, а3 и а3, а3, а2 считаются раз-
личными.
Пример 8. Определить стороны треугольника, если они выра-
жаются целыми числами, образующими арифметическую прогрессию,
причем периметр треугольника равен 15.
Решение. Выгодно обозначить стороны треугольника через
а—d, a, a + d (d^ 0, а > d). Тогда из условий имеем а—d-j-a-j-
+ « + </=15, т. е. « = 5.
Так как в треугольнике « + </<(«—</) + «, то d < и целое.
Следовательно, </ = 0, d=l и d = 2. Получаем три решения: 5, 5,
5; 4, 5, 6 и 3, 5, 7.
Очевидно, что если числа alf а.2, ..., ап образуют прогрессию,
арифметическую или геометрическую, то числа «„, ап_1, ..... «п за-
188
писанные в обратном порядке, образуют также прогрессию, ариф-
метическую или геометрическую соответственно. При этом, если
d — разность первой прогрессии, то —d — разность второй (для
геометрической: q—знаменатель первой прогрессии, у— знамена-
тель второй).
Используем это замечание при решении следующей задачи.
Пример 9. Найти числа, составляющие арифметическую прогрес-
сию, зная, что сумма первых четырех членов равна 68, сумма
последних четырех членов равна —36, а сумма всех членов равна 68.
Решение. Сумма последних четырех членов прогрессии а19
а2, ..., ап с разностью d есть сумма первых четырех членов про-
грессии ап, ап_1У ..., а2, аг с разностью —d. Следовательно, со-
гласно формуле (9') из условия задачи имеем
' 2а.+34 ,4 = 68i
. . 4 = —36,
^±^..п = 68.
Складывая два первые уравнения системы, находим, что ах -\-ап = 8.
Тогда из третьего уравнения следует, что п=17. Дальнейшее ре-
шение очевидно. Решив систему
^а^ “I- 3t/ — 34,
2^ + 296/ = —18,
получаем —20, d = —2.
Как в геометрической, так и в арифметической прогрессии любой
член ak можно выразить через любой другой член at соответственно по
формулам
ak = at qk~l и = a,+ d (£—/).
Пример 10. В геометрической прогрессии, все члены которой
положительны, даны ат+п = А и ат_п = В. Найти ат и ап.
Решение. Так как ат+п = am_n-qm+n~{m~n}, то A=B-q2n, от-
2п /~~А~
куда q= у — (берем арифметическое значение корня, так каю
q > 0 по условию).
Теперь находим ат и а„.
am = am+n-qm~^ = am+n-q~n = А-^ (^'П = ^АВ,
п ___п ^n-lm + nf — п . (J-т _ Л 1/(Л. т— Д (JL\2n
&п — &т + п Ч ат + п Ч л Г \ В / Л у Д J
Замечание. Член ат можно найти сразу, воспользовавшись
свойством 2 (§ 3). Так как члены ат+п и аи_„ равноудалены от
189
а„, то _________ ______
^~^т + п ’ ^т-п VАВ,
При решении некоторых задач полезно использовать следующее
свойство геометрической прогрессии.
Если аи а2, .. .,ап, ... и bu b2, ..., bn, ... — две геометрические
прогрессии, то при любых действительных а, р и Л=Д0 числа
сп = Л• (а„)а• (п=1, 2, ...) тоже образуют геометрическую
прогрессию.
В самом деле, если q±—знаменатель первой прогрессии, a q2—
знаменатель второй прогрессии, то
= bn = bvqn2^
и
сп = “ . 6?. ₽ = АаЧ • Ь? (<?? • q^ = ct q"~\
где c1 = Aa^bi, q = q^-q^. Это означает, что последовательность^,
с2, ..., сп, ... есть геометрическая прогрессия, первый член ко-
торой равен Ла?&£, а знаменатель qi-ql-
Из этого свойства вытекают следующие частные случаи.
1. Если а19 а2, ...., ап, ...—геометрическая прогрессия, то
числа а?, , ..., ... также образуют геометрическую про-
грессию (достаточно взять Л = 1 и &„=1).
2. Если аи а2, ..., ап, ...—геометрическая прогрессия, то
числа Лао Аа2, ..., Аап, ... также образуют геометрическую про-
грессию.
Приведем несколько задач, при решении которых используются
эти свойства.
Пример И. Последовательность чисел образует бесконечно убы-
вающую геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна 8.
512
Найти эту прогрессию, если сумма их кубов равна —.
Решение. Согласно доказанному кубы членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии также образуют геометри-
ческую прогрессию, причем бесконечно убывающую, так как | q31 < 1,
если | q|< h
Обозначая через а первый член, а через q знаменатель данной
прогрессии, согласно формуле (18) имеем
Первый член новой прогрессии равен а3, ее знаменатель q3, поэтому
а3 _512
1 — q3 ~ 7 *
Решая систему
^- = 8,
а3 _512
< 1— q3~ 7 ’
190
находим ?! = -£-, <?2 = 2 (не годится), а = 4. Следовательно,
-тг 4,2, 1, у, ... —искомая прогрессия.
Пример 12. Доказать, что если члены ар, aq, аг и as арифметиче-
ской прогрессии составляют геометрическую прогрессию, то р—q,
q—г и г—s будут последовательными членами геометрической про-
грессии.
Решение. Четыре последовательных члена геометрической
прогрессии дают следующий ряд равных отношений:
aq ar as
— = — = — = q.
ар aq ar
Составляя производную пропорцию (см. гл. II), получаем
ctq—ар _ ar— aq __ as — ar
ар aq ~ ar '
Но aq—ap = d(q—р), ar—ag = d(r — q), as—ar = d(s—г)—по свойст-
ву членов арифметической прогрессии (см. указания к примеру 10).
Тогда из пропорции (19) следует, что
? —Р = r—q = S—г = д
ар dq аг
где А—величина равных отношений, или q—p = A-apt г—q = A-agt
s—r = A-ar. Числа q—p, r—q, s—г пропорциональны последова-
тельным членам геометрической прогрессии и, следовательно, так-
же образуют геометрическую прогрессию.
Пример 13. Даны две геометрические прогрессии, состоящие из
одинакового числа членов. Первый член первой прогрессии равен
з
20, знаменатель ее . Первый член второй прогрессии равен 4,
2
а знаменатель у. Если перемножить члены этих прогрессий с оди-
наковыми номерами, то сумма всех таких произведений равна
158-|-. Найти число членов этих прогрессий.
Решение. Пусть а2, а3, ... , ап—первая прогрессия и
&1( &2> ^з> •••> Ьп—вторая прогрессия. Тогда последовательность
aj)lt а3Ь3, а3Ь3, ...,апЬп также является геометрической прогрес-
сией, первый член которой 0^ = 80 и <7 = ^-^=-Ь. По формуле
суммы п членов геометрической прогрессии имеем
dn— l—q ’
или
191
n 1 1
Решая последнее уравнение относительно /г, находим =
2п 12о
т. е. п = 7.
В замечаниях, сделанных в конце § 2 и 3, мы показали, что
как для арифметической, так и для геометрической прогрессии су-
ществуют три эквивалентных между собой определения. В каких
случаях выгодно брать то или иное определение, зависит от усло-
вий задач.
Пример 14. Доказать, что если положительные числа а, Ь, с обра-
, 1 1
зуют арифметическую прогрессию, то числа —, -—7=-7=-
У b + У с У а + У с
и — ----также образуют арифметическую прогрессию.
У а +У b
п т-г 2 11
Решение. Покажем, что ------т=г = ——-— ---—
Уа + Ус Кb + ]<с /а + Кb
при условии, что а, b и с образуют арифметическую прогрессию, т. е.
2Ь = а-]-с.
Имеем:
У~Ь + У~с + У а + У"Ь ~ Ъ—с + а—b ~
У b — У~с У~а— У b У~с — У а с — а
“ d (/7 + У а)
__ 2d _ 2
~ “ Уа+У7 ‘
„ 111
Следовательно, числа --г= , —---7= и —7=--т=-, из ко-
УЬ^У с Уа + У7 Уа + Уь
торых второе есть среднее арифметическое крайних, образуют ариф-
метическую прогрессию.
§ 6. СУММИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Пусть даны числа alt а2, .ап. Как найти сумму
Sn = ai + а2 + • • • + arv
Эта задача решена нами для случая арифметической и геометрической прогрессии^
В общем же случае далеко не всегда удается найти формулу Sn для любого п и
даже в тех случаях, когда это можно сделать, для ее нахождения требуются
большие навыки в изобретении различных приемов.
Остановимся на некоторых задачах и методах их решений.
1. Сведение к известным суммам. Под «известными» суммами мы будем пони-
мать суммы прогрессий и суммы равных степеней натуральных чисел Sn’) = l/7 +
4- 2Р-\-ЗР-\-... -\~пР Для 1) р = 2 и 2) р = 3. Вычислим их.
Пример 1. Найти значения S,? и Sn}.
Решение. 1. Положим’в тождестве (& + 1 )3 = + 3£2 + 3£ + 1 последовательно
k = 0, 1, 2, .... п. Имеем:*
(0+1)3=13,
(1 + 1)з=1з + з.12 + з.1 + 1>
(2 + 1)3 = 23 + 3-22 + 3.2+ 1,
(п+1)3 = п34-3.п2_|_3.л+ь
192
Складывая левые и правые части всех этих равенств, получаем
(n+l)’ = 3S® + 3S<i)+n + i>
72 I 1
где 1+2 +• •.—п—сумма членов арифметической прогрессии.
Поэтому
д-.и+1>Р..+ п
2. Положим в тождестве (Z? + 1 )4 = £4 + 4£3 + 6£2 + 4£ + 1 последовательно
& = 0, 1, 2, п. Имеем:
(0+1)4= И,
(1+ 1)4=14 + 4.13+ 6.12 + 4.1 + 1>
(2+ 1)4 = 24 + 4.23 + 6-22 + 4-2+1,
(п + 1)4==п4 + 4.пз + 6.п2 + 4./г+ l
Складывая левые и правые части всех этих равенств, получаем
(Л +1 )* = 4S}?’ + 63^ + 43£’+«+1,
откуда
Л”=4 [(Д+1)^б^><г”+')-4.㱑.я_д-1]=а,.<"+ '>.
Так последовательно можно найти значения S(n* для любого натурального р.
Пример 2. Дана последовательность чисел а0 alt ..., ап такая, что
ak—ak-l = k (&=1,2, ...,п); со = О. Найти сумму tZo + ^i + .. •+an.
Решение. Прежде всего найдем формулу для общего члена этой последо-
вательности. Обозначая 5Л = а0+а1 + а2+ • • • + сь запишем эту сумму одну под
другой со сдвигом на один член:
$k = ао ++i + а2 + • • • +ал-1 + ял,
Sk— со + с1+• • •+сЛ-2+ +
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим
О = ао + (а1—а0) + (а2—ах)+ ... + (ak— аь-J— ak =
__ 1 | О I IX, ~ k (k + 1)
— 1+2+ ... + «—£& =---------ak.
Итак,
ОА=+*.Й=±(^+Й).
Теперь легко получаем Sn:
s„ =у [(l2+l) + (22+2)+ ... +(n2 + n)]=4 [3^ + 3<1;] =
_ 1 Гп (n+1) (2z? +1) । n+1 1_n(n + l)(z? + 2)
“ 2 [ 6 + 2 ’"J — 6
Примерз. Пусть alt a2, ..., an—арифметическая, a blf b2, ....^—гео-
метрическая прогрессия и q 1. Найти сумму произведений яА + яА +
+ • • •
Решение. Обозначая S/2 = a1&1 + a2Z?2+... -\-anbni находим Sn-q, где
q—знаменатель геометрической прогрессии:
Snqa^q + a2b2q + ... + anbnq = a±b2 + a2b3 +..-+an_1bn + anbnq.
7 № 407 193
Записывая Sn и Snq одно под другим со сдвигом на один член:
= а1Ь1 + а2Ь2 + ... + апЬп,
Snq = a±b2 + a2b3 + • • • + апРпЯ
и вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем
8п (1 — q) = + Ь2 (а2 — ах) + 63 («з — «2) + • • • + Ьп (ап — ап _ х) — anbnq =
= 67i&i + d (b2 + b3 + ... +&и)—anbnQ — aiPi + _ j_—arfinclt
№ d—разность арифметической прогрессии alt a2, ..., an.
Пример 4. Дана последовательность ax=l, я2=11, ...» an— 11 ... 1. Найти
n
сумму
S„ = 1Ч-114-111 +... 4-111. ..1.
п
Решение. Найдем формулу общего члена данной последовательности
в ином виде. Очевидно, что
Ю— 1 102— 1 103— 1 10"—1
9 . а2— g . аз— 9 > •••> ап— 9
Тогда
Sn = l[(10-l)+(102-l)4-...+(10»-l)]=l[10+102+... + 10'’-n] =
_1 гюп + 1—10 1 Юп+1—10 п
L 9 "J “ 81 9 •
II. Применение метода математической индукции. Метод математической ин-
дукции применим в том случае, когда нам удалось угадать формулу, выражаю-
щую Sn в зависимости от п и нужно доказать справедливость этой формулы.
Пример 5. Доказать, что
X X (х — 1) (—1)ПХ(Х—1)...(х —п+1) _
IN 2! +•••+ п! ~~
= (- 1)п 0 *(*-»), (23)
Решение. Для п=1 и п = 2 формула (23) справедлива, так как
1 _.£=(_i)i£=1 и i-A+^I^zl^c-tp
Допуская теперь, что равенство (23) справедливо для п—1, докажем его
для п.
Согласно нашему допущению
х х(х—1) х(х—1)(х—2)...(х—«4-2)
1Н 2! (п — 1)!
Е- ( 1 ) И " 1 ‘ I)
' (п— 1)!
Тогда
х х(х—1), х(х—1)(х—2)...(х—п+1)
1“П+—2!““ + — +(-1) ---------------в
f Пп_1(ж—!)(«—2)...(х—п+1) х(х—1)(х—2)...(х—п + 1)_
1=1 4 (П —1)1 *'к ’ п! ~
194
(X—1)(х—2).. ,(х—n+1)
п\
(—«+»)=
(_ Jjn (x— 0 (x—2)... (Х—П+1) (x—n)
III. Представление членов последовательности в виде алгебраической суммы
отдельных слагаемых. Такое представление при суммировании приводит иногда
к уничтожению почти всех членов последовательности. Проиллюстрируем этот
метод на следующих примерах.
Пример 6. Найти сумму Sn= 1 • 1! +2-2! + ... 4-л-л!
Решение. Преобразуем каждый член данной суммы по формуле
£.£! = [(£4-1)_ 1]£! = (£4-1)! —£!.
Тогда
Sn=(2!-l!) + (3!-2!)+...+[(n+I)!-n!] = (n+l)!-l.
Пример 7. Найти сумму S„=T^+^+... + д (nW
Решение. Каждое слагаемое , представим в виде алгебраи-
£ (£4-1) (6 4-2)
ческой суммы трех дробей:
Л(*+1)(й + 2) — k +^+1+й + 2’ (24)
где коэффициенты А, В и С нужно подобрать так, чтобы равенство (24) было
справедливым для всех натуральных £. С этой целью приведем правую часть
равенства (24) к общему знаменателю. Получаем
1 _А (624-36 4-2)4-Я (&24-2£)4-С (£24-£)_
6(64-1) (64-2)“ 6(64-1) (64-2)
_62(Л4-#4-С)4-6 '(ЗЛ4-2В4-С)4-2Л
- й(*+1)(Н-2) ’
Из равенства этих дробей вытекает равенство их числителей, т. е.
1 = £2 (Л 4- В 4- С) 4- 6 (3А 4- 2В 4- С) 4- 2Л. (25)
Для того чтобы соотношение (25) имело место для всех 6, достаточно, чтобы
( Л4- В4-С = 0,
< ЗЛ4-2В4-С=0,
I 2Л = 1?
Решая эту систему, находим: Л——; В = — 1; С=—,
Подставляя полученные значения Л, В и С в равенство (24), получаем
тождество
1 И_______2 ,1 А
6 (£4-1) (£4-2)“ 2 6 £4-1"^£4-2/’ V }
справедливое для любого натурального 6. Полагая в тождестве (26) 6= 1,2, .... л,
находим
Теперь нетрудно заметить, что все слагаемые записанной суммы, кроме трех,
взаимно уничтожаются, т. е.
=lfl______1 , J V ”(” + 3)
п 2 \2 л4-1“Гл4-2; 4 (л 4-1) (л 4-2) *
7*
195
ГЛАВА VI
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
§ 1. СОЕДИНЕНИЯ. ВИДЫ СОЕДИНЕНИЙ
Пусть А—совокупность различных предметов alf а2, ..., ап, объ-
единенных каким-нибудь общим признаком. Например, А—есть
совокупность нечетных чисел от 1 до 99, или учащихся данной
школы, или заданных точек на плоскости и т. д. Вместо слова
«совокупность» будем говорить «множество».
Итак, А — множество, состоящее из конечного числа элементов
^2» • • • > &П*
Из различных элементов множества А можно образовывать
группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элемен-
тов взятых из множества Д, то говорят, что они обра-
зуют соединения из п элементов по т в каждом. В зависимости от
того, входят ли в соединение все элементы множества А или только
часть их, играет ли роль порядок элементов или не играет, разли-
чают три вида соединений: 1) размещения, 2) перестановки и
3) сочетания.
Определение 1. Соединения, каждое из которых содержит т
различных элементов (т^.п), взятых из п элементов множества А,
отличающиеся друг от друга или составом элементов, или их по-
рядком, называются размещениями из п элементов по т в каждом.
Число таких размещений обозначается символом А™. Так, на-
пример, различные трехзначные числа, составленные из девяти
цифр 1, 2, 3, ..., 9 и не содержащие одинаковых цифр, образуют
размещения. Их число есть
Определение 2. Соединения, в каждое из которых входят все
п элементов множества А и которые, следовательно, отличаются
друг от друга только порядком элементов, называются переста-
новками из п элементов. Число таких перестановок обозначается
символом Рп. Перестановки являются частным случаем размеще-
ний, когда т = п. Поэтому Рп = А„.
Определение 3. Соединения, каждое из которых содержит т
различных элементов (m^n), взятых из п элементов множества А,
отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом,
называются сочетаниями из п элементов по т.
Число таких сочетаний обозначается символом С% или ("). Изме-
нение порядка элементов внутри одного сочетания не приводит
к новому сочетанию. Например, всевозможные комбинации трех
различных сомножителей, образованные из пяти цифр 1, 2, 3, 5, 7,
есть сочетания из пяти элементов по 3, так как изменение порядка
сомножителей здесь не дает ничего нового.
Выведем формулы числа размещений, перестановок и сочетаний.
Теорема 1. Число всевозможных размещений из п элементов пот
в каждом равно произведению т последовательно убывающих на еди-
1*96
ницу чисел, из которых большее есть п, т. е.
А™ = п(п—1)(п—2) ... (п—т+1)*, (1)
Доказательство проведем методом индукции. Если т=\,
то, очевидно, что = п, так как из п различных элементов можно
составить п различных размещений по одному элементу в каждом.
Допустим теперь, что составлены все Л™-1 размещений, причем
число таких размещений равно
А^~1 = п{п—1)(и—2)... [п — (т—1)+ 1] =
= п(п—1)(и—2).. .(п—т + 2). (2)
Составим теперь размещения из п элементов по т в каждом. С этой
целью возьмем произвольное размещение, содержащее т—1 эле-
ментов и будем присоединять к «его правому краю» по одному
элементу из п—т+1 не вошедших в него элементов. При этом
получится п—т+1 различных размещений по т элементов. По-
ступая так с каждым размещением, содержащим т—1 элементов
(число этих размещений равно Л™-1), получаем (п—т+1) Л™-1
размещений по т элементов. Все эти размещения различны. В са-
мом деле, два произвольных размещения по т элементов либо образо-
ваны из одного размещения, содержащего т — 1 элементов, и тогда они
отличаются присоединенными крайними элементами справа. Если
они образованы из двух различных размещений, содержащих т—1
элементов, то они отличаются порядком или элементами среди
первых т—1 членов.
Покажем, что в это число вошли все размещения по т элемен-
том из п. Действительно, любое размещение из т элементов после
отбрасывания крайнего справа элемента вошло в число размещений,
содержащих по т—1 элементов, и, следовательно, образовано
из него приписыванием справа отброшенного элемента, который не
содержится среди его первых т—1 элементов.
Таким образом, число всех различных размещений из п элемен-
тов по т, т. е. Ап, вычисляется по формуле
А™ = (п —т+1).Л^-\
или в силу нашего предположения (2)
Л"г = п(п—1)(/г—2).. .(п—m)(n— m + 2)(n—m + 1). (3)
’Следствие. Полагая в равенстве (3) т = п, имеем
Рп = Апп = п(п— 1)(п—2).. .1 = и!, (4)
т. е. число всевозможных перестановок из п элементов равно п\.
* Такое произведение называется обобщенной степенью и обозначается сим-
волом = п (п— 1) (п—2).. .(п—/и+ 1). Если п = т, то произведение =
= п(п—1) (п—2)...1 обозначается символом п! (п факториал), причем услови-
лись считать, что 0! = 1. В дальнейшем будет понятно удобство такого соглаше-
ния. В литературе встречается также символ п\! = п(п—2) (п — 4)... 1. Напри-
мер, 1-3-5-7... (2п+ 1) = (2n+ 1)!!. Ясно, что (2п)\\=2п-п1
197
Теорема 2. Число всех различных сочетаний из п элементов по
т в каждом выражается формулой
Сп Рт т\ *
Доказательство. Пусть составлены все сочетания из п
элементов по т в каждом. Если в каждом из этих сочетаний про-
извести всевозможные перестановки элементов, то получатся все
размещения из п элементов по т в каждом. В самом деле, взяв
произвольное размещение по т элементов, можно указать сочета-
ние, содержащее те же элементы, которое может отличаться от
взятого размещения только лишь порядком элементов. Но тогда
это размещение совпадает с одной из перестановок, которая полу-
чается из соответствующего сочетания. Остается показать, что среди
всех полученных размещений нет одинаковых. Для этого возьмем
два различных размещения. Они получены либо из одного соче-
тания и тогда отличаются порядком, либо из различных сочета-
ний и тогда отличаются хотя бы одним элементом. И в том,
и в другом случае эти размещения различны.
Из одного сочетания получается Рт = т\ перестановок, из С™
сочетаний — С„-Рт перестановок.
А,п
Следовательно, А™ = С™-Рт =
* т
Формулу (5) можно записать в другом виде.
Предполагая, что <п, умножим числитель и знаменатель
дроби (5) на произведение 1-2-...«(п—m) = (n—т)\. Имеем
Сг — п — (п — т) (п — т—1)., Л _ п\
11 т\ (п—т)\ т\ (п— т)\* ' '
Заметим, что формула (6), выведенная в предположении 1 m < /г,
остается верной для т = п. В самом деле, при т = п равенство
1 (0! = 1, см. сноску на стр. 197) очевидно, так как
из п элементов можно образовать только одно сочетание, содержа-
щее п элементов.
Из определения размещений, перестановок и сочетаний следует,
что выражения А™, Рп и С™ имеют смысл лишь для При
т > п полагают по соглашению А™ = С™ = 0. Если т = 0, то счи-
тают А?г=1 и С°=1. Последнее согласуется с формулой (6). Пола-
гая в ней т = 0, имеем
Таким образом, можно считать, что формула (6) справедлива для
Свойства сочетаний. 1. Для всех т = 0, 1,2, ..., п справедливо
равенство
(7)
198
' Согласно формуле (6)
рп—т __ ___________________ пУ- ______Qm
(п— т)1 (п — п-}-т)1 (и — m)l ml п'
Можно доказать свойство (7) для т =/= 0 и т^п другим способом.
Образуем всевозможные сочетания из /г элементов по т в каждом
и рассмотрим соединения из элементов, не вошедших в каждое из
таких сочетаний. Этих соединений будет столько, сколько сочета-
ний по т элементов, т. е. С„. С другой стороны, эти соединения
образуют всевозможные различные сочетания из п элементов по
п—пг в каждом. (Доказательство этих утверждений проводится по
той же схеме, как и в теореме 2. Предоставляем его читателю.)
Таким образом, С?гт = С%.
2. Для всех m = 0, 1, 2, ..., п справедливо равенство
= (8)
В самом деле, согласно формуле (6)
(т + 1) ад = + = (« + 0 и п! „ = (» + 1) С"’-.
' ‘ 1 Л+1 — т)! v 1 7 ml (п— т)\ \ ‘ / п
3. Для всех т=1, 2, ..., п справедливо равенство
+ (9)
В самом деле, согласно формуле (6) для т=1, 2, п — 1
I pm-i __ (п 0-______।____(n U- __
л-1~г’ n~1 ml (п— т—1)!~*""(т—1)! (п— т)1
("-!)! / 1 , 1 V (п-1)!и п\ __Ст
(т—1)! (п—т—1)! т п — mJ ml (п — т)\ ml (п— т)\ п*
Приведенные выкладки теряют смысл при п = т, так как в этом
случае (п—т—1)! = (—1)!. Однако формула (9) остается верной
для п = т. Это проверяется непосредственной подстановкой т = п
в левую и правую часть формулы. Действительно, так как С£=1,
С^ = 0, Спп~\= 1, то
рп-1 I рп __рп
Формулу (9) для и т^п можно доказать и другим спо-
собом. Разобьем все сочетания из п элементов по т в каждом на два
класса: к первому отнесем все сочетания из п по т, не содержащие
какой-нибудь фиксированный элемент, например а, ко второму
отнесем все остальные сочетания, содержащие элемент а. Число
сочетаний в первом классе равно, очевидно, С^_'х (из множества А
исключаем элемент а), число элементов во втором классе равно
Сп-i (из множества А исключаем элемент а и образуем из остав-
шихся п — 1 элементов сочетания по т — 1 элементу в каждом, а
затем к каждому получившемуся сочетанию приписываем элемент а).
Так как число всех сочетаний из п элементов по т равно С™, то
Ст___рт । рт-1
п — ил-1Т ^п—1 •
199
§ 2. БИНОМ НЬЮТОНА
Теорема. Для, любого натурального п справедлива формула
(x + a)" = C»x” + Qxn-1a + Qxn-2a2+ ... +Сппап. (10)
Доказательство. Формула (10) верна для п = 2 и п = 3:
(х-(-а)2 = С£х2Qx • аС^а2 = №-(- 2ха-\- а2,
(х + а)3 = Срс3 4- CJx2 • а + С%х а2 + С|а® = х3 + Зх2а + Зха2 + а3.
Допуская, что она справедлива для п — 1, т. е.
(х + а)п-1 = С°п_1хп-1 + С1п_1хп~2-а + С2_1х'1-3а2+ ... +Спп~11ап~1,
покажем ее справедливость для п. Имеем
(х4-а)п = (х4-а) (х + а)п~1 = (х + а)(С%_1хп~1 + СЬ_1хп~2а-}- ...+
+ CL1x"-ft-1aft+ ... +C”z1la"-2) = C’_1x" + x"-i [С^а + С^а] +
+ х"-2 [С^ + С^а2] + ... +*"-* [CLx^ + Ctl^] +
+ ... +х[С^1ап-2+С^2а"^]+С"-11ап. (11)
Согласно тождеству (9)
Г1 I Го ____Г1 Г2 I Г1 _____Г2 rk \Ck-l_____
ип-1Тип-1— un-i"l u/z-l — ••• > °/2-1 "I Un-1 —
__ rk Гп-l I /°n-2 _ fn-l
— Ьд, ...» Ьд_1-|-ид_1 — Un .
Кроме того, C£z} = C"=l и Cf’_1 = CJ=l. Следовательно, ра-
венство (И) принимает вид
(х + а)п = С°пхп + С1пхп-1-а + С2пхп-2а2+ ... +Cknxn~kaA+ ... + Сппап,
или
(%_p6z)« = xn + C^-1a + C^“26z2+ . • • + Cknxn~kak + ...+ап. (12)
Теорема доказана.
Формула (10) или (12) называется формулой бинома Ньютона,
а ее правая часть называется разложением бинома. Коэффициенты
1, С*, С2, ... ... , 1 называются биномиальными.
Записывая разность х—а в виде % + (—а), имеем
(%—а)п = хп — С^х4"1 • а + С2хп~2а2 + ...+
+ (— l)kCknxn~kak+ ... +(—1)пап. (13)
Отметим следующие свойства разложения бинома.
1. Число всех членов разложения на единицу больше показа-
теля бинома.
2. Сумма показателей степеней х и а каждого члена разложе-
ния равна показателю степени бинома.
3. Общий член разложения 7\+1 имеет вид
Tk+1 = Cknxn^-aK (14)
Полагая в этой формуле k = 0, 1, 2, ... , п, мы получаем первый,
второй, третий, . .., п-й члены разложения.
200
4. Биномиальные коэффициенты членов, равноотстоящих от
концов разложения, равны между собой, так как
pfe _ рп—k
ип— ип
5. Биномиальный коэффициент (fe+l)-ro члена разложения свя-
зан с предшествующим биномиальным коэффициентом соотношением
Ckn^n+ik~k Скп-\ (15)
из которого вытекает следующее правило:
каждый биномиальный коэффициент разложения, начиная со
второго, равен предшествующему биномиальному коэффициенту,
умноженному на показатель степени у буквы х в предшествующем
члене (степень х убывает) и деленному на число предшествующих
ему членов.
6. Из равенства (15) следует, что если —Ц-—> 1»
т. е. k < и С„ < если —Ц-— < 1, т. е. k > .
Если показатель бинома—число нечетное (п = 2р 4-1), то биноми-
альные коэффициенты C^+i, С|р+1, ... , С%р+1 возрастают (р < р4~ 1),
а С^, убывают. Коэффициенты Ср2Р+1 = —
наибольшие.
Если показатель бинома—число четное (п = 2р), то биномиальные
коэффициенты С$р, С\р, ... , Срр—возрастают (р < 2р^~1 ) , a Cgp,
Cgp1, ... , —убывают. Разложение имеет один наибольший коэф-
фициент Cgp.
7. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2П. В самом
деле, полагая в формуле (10) х = а=1, имеем
(1 + 1)" = С» + СА + ^+...+^ + ...+С".
8. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения,
стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффици-
ентов членов, стоящих на нечетных местах, и равна 2"-1, т. е.
1 +С«+С<+С’ +... =CJ + C’ + Q+ ... =2"->.
Доказательство получается из формулы (13), если положить в ней
х = а= I.
Используя формулу (10), найдем разложение трехчлена x-\-y-\~z. С этой
целью запишем его в виде бинома [*4-(#4-2)]”, в котором второй член равен
у + z. Согласно формулам (14) и (12), для 6=1, 2, , п имеем
Тк+, = Cknxn - k (У+г)» = Cknx" - к [с1ук+С\ук -12+С^ук - 2?2 + . . , +
+ Сркук-РгР+ ... +С&] =с^хп-кук + с1с^-кук-1г+ ... +
+ СкСпХп -кук -РгР + .., + - кгк. (16)
(Это равенство будет справедливым и при 6 = 0, если принять условие, что
С?=1. Кроме того, С? = 0, если р > k.) Все разложение запишется в виде суммы
Г14-7’24-71з4-• • •+7\+1> гДе каждое Т^+1 вычисляется по формуле (16).
Отметим некоторые свойства разложения трехчлена.
201
1. Разложение трехчлена содержит ---- членов. В самом деле, 7\
получается при k — Q и содержит один член хп, содержит два члена и т. д.
Следовательно, число членов в сумме 7\4-Т24-• • .7^ + 1, среди которых нет по-
добных (они отличаются, например, степенью х), равно сумме
1 + 2+... + («+ 1) = (п + + ,
2. Сумма показателей' при х, у и г в каждом члене разложения равна пока-
зателю трехчлена:
п — k-\-k— р-\-р = п.
3. Формула общего члена разложения трехчлена:
U„, k,p = CknCPkX^-kyk-PzP,
где ОС&С/г, 0^ р k.
Коэффициент Сп-С£ называется биномиальным. Вычисляя его по формуле (6),
имеем
rkCp = п! . k! ____________________1!_______
п k k\ (n — k)\ ’ р\ (k — py. '~ (n — k)\ (k — p)\p\ ’
тогда
<17>
§ 3. ЗАДАЧИ
1. Задачи, связанные с определением числа различных способов
образования каких-либо групп из заданного множества элементов,
относятся к классу так называемых комбинаторных задач. Их ре-
шение требует применения логических рассуждений и аппарата
теории соединений.
Проиллюстрируем сказанное следующими задачами.
Задача 1. На десяти карточках записаны цифры 0, 1, 2, 3, ... 9.
Берут четыре карточки и составляют из цифр, записанных на них,’
четырехзначное число. Сколько различных четырехзначных чисел
можно составить таким образом?
Решение. Всего различных комбинаций из четырех карточек
можно составить столько, сколько существует размещений из.
10 элементов Тю 4. Но условиям задачи не удовлетворяют комби-
нации цифр, начинающихся нулем. Таких комбинаций будет
9!
Вычтя их из общего числа размещений Л£о, получаем
искомое:
10! 9! 9! (10—1)_ 9! 9
10 6! 6| 6| — 6! •
Задача 2. Сколько различных правильных дробей можно соста-
вить из чисел 3, 5, 7, И, 13, 17, 19, 23 так, чтобы в каждую дробь
входило два числа?
Решение. Очевидно, всего различных дробей из данных чи-
сел можно составить столько, сколько существует размещений из
202
8 элементов по 2 (Дд), но нас интересуют лишь правильные дроби,
которых будет в два раза меньше, т. е.
±.Л? = 1.8.7 = 28.
Эту задачу можно решить иначе-
Любая пара данных чисел образует только одну правильную
дробь. Всего же различных пар, в которых первый элемент меньше
второго, будет столько, сколько существует сочетаний из 8 эле-
ментов по 2, т. е.
а=^=28.
Задача 3. Сколькими способами можно поставить на книжную
полку п книг так, чтобы т определенных книг оказались рядом?
Решение. Пусть т определенных книг оказались в крайнем
правом положении. Остальные п—т книг можно расставить (п—т)\
способами (число перестановок из п—т элементов). Но т интере-
сующих нас книг можно поставить т\ различными способами так,
чтобы они занимали крайнее правое положение. Комбинируя каж-
дую из расстановок т интересующих нас книг с расстановками
остальных книг, мы имеем т\(п—т)\ способов расстановки книг,
при которых интересующие нас книги занимают крайнее правое
•положение. Но группу из т рядом стоящих книг, как единое целое,
можно поставить (п—т+ 1)-ю способами (первая из этих книг зани-
мает первое, второе, . . .,(п—т+1)-е место). Таким образом, число
всех способов расстановки книг равно (п—т-\-\)т\(п—т)1.
Задача 4. Сколько различных вариантов хоккейной команды
можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей,
если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника
и 1 вратарь?
Решение. Из 9 нападающих можно выбрать трех С| различ-
ными способами. Из 5 защитников можно выбрать двух Cf различ-
ными способами. Из трех вратарей можно выбрать одного вратаря
тремя способами. Комбинируя каждую тройку нападающих с парами
защитников, получаем С39-С1 различных команд без вратаря. Ком-
бинируя эти команды с каждым из вратарей, имеем
С> 3 = опгйг = 2880
различных команд.
Задача 5. Некто забыл нужный ему номер телефона, который
состоит из одной из десяти букв и пяти цифр, но он помнит, что в
образовании этого номера участвуют цифры 2, 3, 6, 7. Какое наи-
большее число проб надо сделать, чтобы дозвониться нужному
абоненту?
Решение. В искомый телефонный номер должны войти четыре
5!
цифры, которые можно разместить на пяти местах Л£ = -р=5| раз-
203
личными способами; но пятая цифра может быть любой из десяти.
Поэтому число комбинаций из таких пяти цифр равно 10-Л£.
Среди них есть и одинаковые. Эти одинаковые комбинации появ-
ляются в том случае, когда забытая пятая цифра—2, 3, 6, 7.
Таких комбинаций будет 4-А%. Исключая из всего количества
комбинаций повторяющиеся, получим число различных телефонных
номеров без буквы
2.4* = 8.Л*.
Комбинируя эти номера с каждой из десяти букв, находим число
различных проб:
10-8-Л| = 9600.
Задача 6. Сколькими способами можно из 40 человек, посту-
пающих в вуз, создать 4 группы разных специальностей по 10 че-
ловек в каждой?
Решение. Первую группу можно создать способами.
Вторую группу можно создать из оставшихся 30 человек спо-
собами. Третью группу можно создать из оставшихся 20 человек
QJ способами. Оставшиеся 10 человек составят четвертую группу.
Итак, число всех различных способов составления четырех групп из 40
человек равно
Г10 Гю Гю - 40! 30! 20! 40!
и40-^30’^20— 10!30! 10! 20! 10! 10! (10!)4 ’
Задача 7. Группа из 14 юношей и 15 девушек решила посетить
театр, но в кассе оказалось лишь 20 билетов (12-й ряд с 1 по 20-е
место). Сколькими способами можно распределить 20 билетов между
юношами и девушками так, чтобы никакие две девушки и два
юноши не сидели бы рядом?
Решение. Допустим, 10 юношей займут нечетные места, а
девушки четные. В этом случае никакие две девушки не окажутся
рядом. Количество способов, которыми можно 10 юношей из 14
рассадить по 10 нечетным местам, есть число размещений из 14 по
10 (Л^). 15 девушек при этом по 10 четным местам можно расса-
дить Л}? способами. Таким образом, будет Л}°-Л}£ способов. Такое
же число способов будет, если юноши займут четные места, а де-
вушки нечетные. Общее число способов равно 2Л}£-Л}°.
2. Уравнение или система, содержащие выражения Л™, С™ и Рп,
где один или оба индекса пит содержат неизвестное, с помощью
формул (1)—(8) сводятся к уравнению или системе, равносильным
данным при одном ограничении, что т и п — натуральные.
В некоторых случаях формулу для Л™ удобно записать в фак-
ториальной форме:
дт = (n— 1) (п —2) ... (/г —/и4-1) = /г! 1g
п 1 (п — т)\ * ' '
Заметим, что из равенства Pn = Pk следует, что n = k, из равенства
А„=А1п следует, что т = 1, а из равенства С„=С1п следует, что
либо т = 1, либо п—т — 1.
204
Задача 8. Найти х из уравнения —„*+2—=132, где 10 —
Ак’ Рх-п
натуральное.
Решение. Согласно формулам (1) и (18) имеем
<*+»>’132, или «±21—132,
(х—/г)! X! ’ х! ’
где x-f-2>0, х—и х^О. Сокращая дробь на х! [(х-|-2)! =
=х! (х+ 1) (х + 2)],, получаем квадратное уравнение х2 + 3х—130=0,
равносильное данному, если х—натуральное. Решая это урав-
нение, находим, что х=10 (корень х = —13 < 0 отбрасывается).
Задача 9. Найти х из уравнения x2C*zf = —xCjzJ.
Решение. Учитывая, что А%=12, перепишем данное уравне-
ние в виде
х(х+1)С-*=12С2+1 или
где л^4.
Согласно формулам (6) и (7)
Х рХ-4*___ JLpS _ ГЧ тт 3 рз __
у ^х-1 — 4 ux-i — ^х и х_|_ | — ьх,
поэтому уравнение примет вид
С4 _ Р2
X
откуда следует, что х—4 = 2, т. е. х = 6.
Задача 10. Решить уравнение
1 1 _ 1
СХ f>x г>Х •
4 U5 U8
Решение. Согласно формуле (5) имеем
х! (4—х)! х! (5—х) ! _ х! (6—х)!
4! 5! “ 6! ‘
Так как 0<%<4(х = 0 и х = 4 не удовлетворяют уравнению) и
у| /у 4)1
(6—х)!=(6—х)(5—х)(4—х)!, то после сокращения на ———
. 5—х (5—х) (6—х)
получаем уравнение 1----~равносильное данно-
му при условии, что х < 4 и натуральное. Решая его, находим
х2—17х + 30 = 0, откуда х = 2(х=15 отбрасываем).
Задача 11. Найти х и у из условия
С^-Сух+1:С^ = 5:5:3.
Решение. Данное условие равносильно системе уравнений
Г су+\ = су+1,
, t ЗС^+1 = 5ад,
где х^у—натуральные числа.
205
Из первого уравнения следует, что 1+# = *+Ь т. е. Х = -У-
Тогда из второго уравнения получаем
ЗС, _5Сд-г или 3(2^)! _ 5(2^+!)!
Ob2{/+1 OU2Z/+1, или !/I(z/ + i)| (у— 1)!(г/ + 2)! ’
Сокращая на общий множитель (положительный), имеем
3 (у + 2) = 5г/, откуда у = 3 и % = 6.
3. Формула Tk+1==C„xn~kak общего члена бинома (х + а)п по-
зволяет, не производя всего разложения целиком, записать любой
член разложения, если указан его номер, или найти член, имеющий
заданный коэффициент или заданный показатель, если таковые
существуют, и т. д.
Задача 12. Найти все рациональные члены разложения бинома
(/З-+/Г)5-.
Решение. Пусть искомый член есть Tk + 1. Тогда
__ 5 -fe fe
Л+1 = Ct (3/зТ'*- (/2> = Ct- 3~ -2~,
где £ = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Из этих чисел нужно выбрать такое k, при котором показатели
5 —— k k
—3— и -g- суть целые числа. Очевидно, что k = 2 и искомый член
T5+1 = Q-3-2 = 60.
Задача 13. Найти х, если известно, что третий член разложения
бинома (x-J-x1®*)5 равен 1000 000.
Решение. Имеем
Т2+х = Ct хъ- ~2 (х'8 х)2 = 1 Ох3+2|е*.
По условию
10Xs + 2igx = 1 000000.
Логарифмируя данное равенство по основанию 10 (х > 0) (см.
гл. VIII), получаем уравнение
21g2 х 4-3 lg х—5 = 0,
откуда находим, что х1=10, х2=10_,/*
Задача 14. Найти коэффициент при х4 в разложении
(1 + 2х+Зх2)10.
Решение. Записав данное выражение в виде [(1 2х) Зх2]10,
имеем
[(14- 2х) 4- Зх2]10 = (14- 2х)»° 4-10 • Зх2 (1 4- 2х)9 4- С?09х4 (14- 2х)8 4-....
Следующие члены не выписываем, так как они содержат х в степе-
ни выше четвертой. Выписывая коэффициенты при х4 у каждого
слагаемого правой части, находим
Q0-244- 10-3-С2-224-С20-9 = 8085.
206
Задача 15. Определить показатель п (п — натуральное) раз-
/ 1 2
ложения по убывающим степеням величины х, если
У О О J
10-й от начала член разложения имеет наибольший коэффициент.
Решение. Имеем
Так как коэффициент этого члена наибольший, а коэффициенты
И и 9-го членов равны соответственно С™ и -28,
то
или
( C^>2Q°,
Раскрывая символы С„ и производя все сокращения; получаем
14,
25
2 ’
где п — натуральное.
Таким образом, если решение задачи существует, то оно един-
ственное и равно 13. Остается показать, что решение существует,
т. е. Q3• 2’>Cf3• 2* для всех £ = 0, 1, 2, ..., 13. Беря отноше-
ние коэффициентов предыдущего и последующего членов, имеем
С?з-2* _ (13—k — 1)|(й + 1)! _ fe+r
(13 — k)\k\2 “2(13 — k)'"
так как **2 fe) < 1 при k < 9 и > 1 при k > 9, то
отсюда следует, что при k < 9 коэффициенты членов возрастают,
с ростом k при k > 9 они убывают. Поэтому коэффициент 10-го
члена от начала—наибольший.
Задача 16. Найти показатель бинома (а+ 5)" и номер члена,
коэффициент которого при степени а равен 853 125, если его бино-
миальный коэффициент равен 1365.
Решение. Допустим, что искомый номер равен р+1. Тогда
Тр+1 = Српап~Р-5Р, причем Сй=1365, а С£-5'= 853 125. Отсюда сле-
дует, что 5/’ = 625 = 54 и р = 4.
Для определения п имеем уравнение
С* =1365, или п(п —1)(п—2)(п—3) = 4!-1365.
207
Разложим 1365 на простые множители:
1365= 13-7-5-3.
Тогда
п(п— 1)(п—2) (п—3) = 13-15-7-3-23=15-14-13-12.
Так как п целое, то п=15. Это решение единственное, так как
при п > 15 величина п(п—1)(п—2)(п—3) > 15-14-13-12, а при
п< 15 величина п(п — 1)(п—2)(п—3)< 15-14*13-12.
4. Используя формулы (6), (7) и (8), (10) и свойства биноми-
альных коэффициентов, удается получить ряд соотношений между
числами С„-
Задача 17. Вычислить сумму
S„ = C» + 2C*+23-С3 + ... + 2"-С".
Решение. Согласно формуле (10)
(х + 2)п = С°хп + С1хп~1-2 + ... +C*x'1-ft-2ft+ ... +С"-2Л.
Полагая х = 1, имеем
Зп = С°п + 2С* + ... +2*С* + ... +2"-С2.
Задача 18. Доказать, что при п > р
ср=ср-i+&-> + ...+ срр-\+Срр-'+C£z}-
Решение. Согласно формуле (9)
С*—Cn-i = Cn-i для любого О^Л^га.
Поэтому
ср___Ср-1 — Ср
°/г—1— ^п—1>
СР ___СР-1 — СР
^П — 1 ^П—2 - ° И—2,
СРр+1-СРр-' = СРр,
СРр-СР^О.
Складывая левые и правые части всех этих равенств, после приве-
дения подобных получаем
Срп-СРп^-СР^-.. ,-ср-од=о,
что и требовалось доказать.
Задача 19. Вычислить сумму
Г1 г2
5п = С»+^ + ^+..
s>n—l
I
п ’ n-j- 1 *
Решение. Согласно формуле (8)
___ 1 k 4-1
Л-1-1 п+1 л+1‘
208
Полагая k = 0, 1,2, .п, имеем
Сп __ 1 Сп __ 1 /~>2
1 ~ п+1 п+1’ 2 — п+1 '1+1’ ••• ’
рп—-1 1 гп 1
1 рп __ 1 рП+1
п____________________и-j-1 п+1’ /г-}-1 /г+1 'н’1’
откуда
С1 С2 Сп 1
Г°4- —4-— 4- I ” — - ГГ1 -4- Г2 I Д_Г«+11
2 Т з 4^ • • • Ч п_|_| — n_|_| Lcn+1 4^ ип+1 4~ • • • п ип+1]-
В квадратных скобках стоит сумма всех биномиальных коэффици-
ентов бийома (%4-а)"+1, кроме первого С°+1=1. По свойству бино-
миальных коэффициентов она равна 2"+1—1 и
_2" + i-l
d"“~n + l •
Задача 20. Вычислить сумму
S„ = C»-Ci+2Q-3C’ + ... +(-1)"/гС" (п=--2, 3, ...).
Решение. Вновь используя формулу (8), для /п=1,2, ...,п
имеем
С^пС*-» 2С1 = пС1п_1, ЗС9п = пС^, .... пС"^пС"~}.
Поэтому
Sn= \-п [с^-си + с^ч-... + (-= 1,
так как по свойству биномиальных коэффициентов выражение,
стоящее в квадратных скобках, равно нулю.
В некоторых случаях выгодно подобрать такой многочлен, чтобы
искомая сумма была коэффициентом при некоторой степени х.
Задача 21. Вычислить сумму
S„ = (C»)2 + (C^+...+(C")\
Решение. Искомая сумма является коэффициентом при хп
в многочлене
Q (х) = (С® + С'пх + С*х* + ... + ед (С»х” + С'х” -*+...+ С«).
Учитывая, что С* = С"_\ имеем
Q (х) = (С» + С1пх + + ... + С"х")2 = (1 + хГ,
причем х" содержит (п+1)-й член:
т , — Сп гп
Следовательно, искомая сумма
209
ГЛАВА VII
ФУНКЦИЯ
§ 1. ПОСТОЯННЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В своей практической деятельности человек сталкивается с ве-
личинами различной природы: длина, площадь, объем, масса, тем-
пература, вес и т. д.
В зависимости от конкретных условий некоторые из этих вели-
чин принимают одно и то же постоянное значение, т. е. не меня-
ются: другие, наоборот, принимают различные значения.
Отвлечемся от физической природы величин и будем рассматри-
вать только их численные значения.
Те из величин, которые в рассматриваемом процессе принимают
различные значения, называются переменными (величинами); вели-
чины, которые в рассматриваемом процессе сохраняют неизменное
значение, называются постоянными (величинами).
Переменная величина считается заданной, если указано множе-
ство значений, которые она может принимать. Это множество на-
зывается областью изменения переменной. Например, остаток от
деления натуральных чисел на число 6 есть переменная, которая
может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Последние образуют,
область изменения остатка. Остаток при делении четного числа на
два принимает единственное значение—0. В данном случае этот
остаток есть постоянная величина.
Вообще, постоянную величину можно рассматривать как част-
ный случай переменной, область изменения которой состоит из
одного числа.
Область изменения переменной (величины) может быть самой
разнообразной природы. Для некоторых из них, наиболее важных
и часто встречающихся, введены специальные названия и обозна-
чения.
Числовой отрезок [а, &] — множество всех действительных чи-
сел х, удовлетворяющих неравенству а^х^б.
Числовой интервал (а, Ь)—множество всех действительных чи-
сел х, удовлетворяющих неравенству а<х<£.
Числовые полуинтервалы [а, Ь) или (а, Ь]—множество действи-
тельных чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам
а^х<& или а<х^Ь.
Бесконечные промежутки (а, оо), (—оо, 6), (—оо, оо)— множе-
ство всех действительных чисел, удовлетворяющих соответственно
неравенствам а < х < оо, —оо<х<6, —оо<х<оо; [а, оо) и
(—оо, ft] — множество всех действительных чисел, удовлетворяющих
соответственно неравенствам а^Сх<оо или —оо < х^Ь.
210
§ 2. ФУНКЦИЯ
Математика изучает не изменение каждой переменной в отдель-
ности, а зависимость между ними в процессе их изменения. Так,
например, при изменении радиуса шара, меняется и его объем, но
мы не изучаем изменение каждой из этих величин ° в отдельности,
а рассматриваем вопрос об изменении объема шара в зависимости
от изменения его радиуса.
Совместно могут изменяться несколько переменных величин (на-
пример, объем, радиус основания и высота конуса). Мы рассмотрим
самый простой случай двух совместно изменяющихся переменных
величин. Выражение «две совместно изменяющиеся переменные ве-
личины» мы употребляем в том смысле, что каждое значение одной
из них вполне определяется значением другой.
Определение. Если в силу некоторого закона каждому значению
переменной х, изменяющейся на множестве Е, отвечают определен-
ные значения у, то у называется функцией от х.
Переменную х называют независимой переменной, или аргументом
функции, множество Е—областью задания, или областью определе-
ния функции.
Множество всех значений, которые принимает функция, назы-
вается областью изменения функции.
Если каждому х из области задания функции соответствует
единственное значение у, последняя называется однозначной. В про-
тивном случае функция называется многозначной. В математике
обычно рассматриваются только однозначные функции (если не сде-
лано дополнительных оговорок),
Для указания того, что у есть функция от х, употребляют за-
пись вида y = f(x), или y = g(x), или f/ = y(x) и т. д. Буквы /, g,
у и т. д. символизируют закон, по которому получается значение у,
соответствующее данному значению х. Если нужно указать значе-
ние у0, отвечающее выбранному значению х0, то пишут yQ = f(xQ),
или yQ = g(x0), или yQ = y(xQ) и т. д.
Рассмотрим частный случай функции, когда область ее задания
состоит из всех натуральных чисел, т. е. х=1, 2, 3, ..., и, ... .
В этом случае вместо y = f(n) пишут уп. Когда п пробегает все
свои значения, функция y = f(n) принимает значения i/2, ...,
уп, . Функция натурального аргумента называется последова-
тельностью (см. гл. V, § 1).
§ 3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Задать функцию у = f (х) на множестве Е это значит указать
закон, по которому для каждого х из Е получается соответствую-
щее ему значение у. Из различных возможных способов задания
функции остановимся на трех способах.
1. Аналитический способ. Этот способ состоит в том,
что задается формула, т. е. последовательность математических
2И
операций, которые нужно произвести над аргументом х, чтобы по-
лучить значение функции. При этом функция может задаваться
одной формулой во всей области ее задания, или несколькими,
различными для разных частей области ее задания, например,
у = х2 + 2х—1,
f х24-1, если х < 0;
У= <
( % +1, если *2^0.
В общем случае, если нет специальной оговорки, за область опре-
деления функции, заданной аналитически, принимают область су-
ществования соответствующего аналитического выражения, т. е.
множество значений х, для которых это выражение имеет смысл *.
Так функция у = лх2 определена на всей числовой оси, как и за-
дающее ее аналитическое выражение. Но если эта функция выра-
жает зависимость площади круга от величины радиуса (т. е. x=R,
y = S), то функция S = rcR2 задана в области R > 0.
Область задания функции = есть множество всех нату-
ральных чисел, в то время как аналитическое выражение
имеет смысл для всех действительных значений х, а не только для
натуральных.
2. Табличный способ. Этот способ состоит в том, что за-
писываются в виде таблицы значения аргументов х19 х2, ..., хп и
соответствующие им значения функции у19 у2, ..., уп. Такое задание
функции наиболее употребительно во время опытов, когда хотят
найти зависимость между некоторыми величинами. Недостаток таб-
личного задания функции состоит в том, что таблица полностью
не задает функцию, так как не известны ее значения в точках,
не помещенных в таблицу. Удобство таблицы в том, что по ней
сразу, без вычислений, находятся значения функции, соответствую-
щие тем значениям аргументов, которые помещены в таблицу.
Поэтому таблица употребляется и как способ представления из-
вестных функций.
Так, нам хорошо знакомы таблицы логарифмов, тригонометри-
ческих функций, степеней чисел и др.
3. Графический способ. Пусть y = f(x) есть функция
от х, заданная на множестве Е. Это означает, в силу определения
функции, что каждому значению х из Е соответствует определен-
ное значение у. Каждую такую пару х и у будем рассматривать
как абсциссу и ординату точки М в некоторой выбранной прямо-
угольной системе координат (см. гл. I, § 4). Геометрическое место
всех таких точек называется графиком рассматриваемой функции
(рис. 21).
* В предыдущих главах это множество мы называли «множеством допусти-
мых значений».
212
Графический способ задания функции очень употребителен в'экс
периментальных работах, особенно там, где используются самопи
шущие приборы. Получив соответст-
вующую кривую, по ней изучают ту
зависимость, которую «задает» этот
график. График является удобным
представлением функции, когда она
задана аналитическим или таблич-
ным способом. Наглядность графика
является хорошим средством для
иллюстрации и исследования
свойств функции. Простейшим спо-
собом построения графика функ-
ции является так называемый спо-
соб построения по точкам.
Составляют таблицу
Рис. 21
X Х1 х2 Хз • • • хп-2 хп-1 Хп
У У1 У2 Уз • • • Уп-2 Уп-1 Уп
и затем наносят на чертеж точки Mlt М2, Af3, ..., Мп_2, Мп_ц Мп
с координатами (xv yj, (х2, у2), (х3, у3), ...» (х„, уп) соответственно.
Эти точки соединяют плавной кривой, которая с некоторым при-
ближением, иногда весьма грубым, изображает график функции
(рис. 21). Чем больше число взятых точек, тем точнее полученная
кривая воспроизводит график функции.
§ 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Функция у = f (х) называется четной, если для любых двух раз-
личных значений аргумента из области ее определения, отличаю-
щихся только знаком, ее значения совпадают, т. е. /(—х) = f(x).
Этим свойством обладают, например, функции у = х2, у= |х|, у = 5
и т. д.
В самом деле, (—х)2 = х2, |—х| = |х|, у = 5 для всех х.
Сумма, разность, произведение и частное четных функций есть
также четная функция.
Действительно, если y = f(x) и y = g(x)*— четные функции, то,
например, для их суммы ср (х) = f (х) + g (х) и произведения
ф(х) = /(х)-^(х) имеем:
1) ф(—X) = f(—x) + g(—х) = /(х)4^(х) = ф (х), т. е. ф(—х)=ф(х);
2) lfe(—x) = f(—x)-g(—x) = f(x)-g(x) = i|>(x), т. e. ф(—х) = ф(х).
* Речь идет в одном тексте о различных функциях. Поэтому их надо обозна
чать различными буквами /, g, <р, ф и т. д.
213
Функция y = f(x) называется нечетной, если значения функции,
вычисленные для двух любых значений аргумента из области зада-
ния функции, отличающихся только знаком, также отличаются
только знаком, т. е. —х) =— f(x).
К нечетным функциям относятся, например, у = х3, у = ~г
Х“ -f- 1
и т. д. В самом деле (—х)3 =—х9, 4?)*+1'= ~~ '
Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а
произведение и частное нечетных функций—функция четная. Так,
например, если /(%) и g(x)— нечетные функции, то для их суммы
ф (х) = f (х) 4-g (х) и произведения ф (х) = f (%) • g (х) имеем:
<Р (— X) = f (— х) X) = — f (x) — g (X) = — V (х) + g W],
т. е. <р(—х) = — Ф(х);
Ф (—х) =f(-x)-g (—х) = — f (х) • [— g (х)] = / (х) • g (х),
т. е. ф(—х) = ф(х).
Предлагаем читателю доказать, что произведение четной функции
на нечетную есть функция нечетная.
Однако не надо думать, что, каждая функция является четной
или нечетной. Большинство функций не относятся ни к одному из
этих классов. Например, такова функция у = х3-\-\. В самом деле
(—х)34-1 =—х3 4-1, т. е. (—х)34- 1 =/=—(х?4-1) и также (—х)34-1=#
=# х3 4-1.
Вообще, сумма двух функций различной четности не является
четной, а также нечетной функцией (доказать!).
Заметим, что если функция y = f(x) четная или нечетная, то об-
ласть ее задания обязательно симметрична относительно центра О:
если х принадлежит области задания, то —х также принадлежит
этой области. По этой причине радикалы с четными показателями
2п(у=2^/х) не могут быть четными или нечетными функциями,
так как их область задании не симметрична относительно
центра О (см. § 9).
Из определения четных и нечетных функций вытекает, что гра-
фик четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечет-
ной—относительно центра О.
В самом деле, пусть точка М(х0, у0) лежит на графике четной
функции y = f(x), т. е«
yt=f(xt). (1)
Рассмотрим точку ЛГ(—х0, z/0) (рис. 22), симметричную точке М
относительно оси Оу.
В силу четности данной функции и равенства (1)
и—*о)=ж)=ув.:
а это означает, что точка W (—х0, у0) также принадлежит графику
функции t/ = f(x).
214
Аналогично доказывается, что график нечетной функции сим-
метричен относительно начала системы координат (рис. 23).
Таким образом, график четной (нечетной) функции достаточно
построить для х^О, а затем эту кривую симметрично отобразить
относительно оси Оу (начала системы координат).
Рис. 22
Свойство четности или нечетности связано с областью задания функции.
Так, например, функция у = х2, заданная на отрезке [—1, 2], не является четной
на нем (хотя бы потому, что этот отрезок не симметричен относительно начала О).
Однако эта функция четная на части этого отрезка, например на отрезке [—1, 1].
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если
существует число Т у=0 такое, что для каждого значения аргу-
ментах из области ее задания имеют место равенства f (x-\-T) = f (х)
и f(x—T) = f(x),
Число Т, прибавление или вычитание которого из аргумента х
не меняет значения функции y = f(x), называется периодом этой
функции.
Из этого определения, вытекает, что если Т есть период функ-
ции, то числа kT (£ = 0, ±1, ±2, ...) также являются ее периодом.
Действительно,
/(x) = f(x+T) = /(x+2T)=...-f(x+^)
и
/ W = / (х—Т) = f (х-27) = ... = / (x—kT).
Наименьший положительный период, если он существует, назы-
вается основным периодом. Например, основной период функций
sinx и cosx равен 2л, основной период функций tgx и ctgx ра-
вен л (см. гл. IX, § 3).
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если Т—основной период функции y = f(x), mo число
т
— является основным периодом функции у = }(ых).
(Запись f (сох) означает, что в выражении f (х) все х заменены на сох.
Например, если /(*) —*2 + K* + 2sinx+1, то f (сох) = (сох)2 +
4- K^x-j-2 sin сох+ I.)
215
Доказательство. Положим
/(wx) = <p(x). (1)'
Тогда для любого числа х + /, принадлежащего области определе-
ния функции ф(х), имеем
<p(x + /) = /[®(x + /)]=H«x + <oZ). (2)
Так как Т основной период функции /(х), то наименьшее положи-
тельное число, при котором f (сох-J-со/) = / (сох) есть ы1 = Т. Тогда
согласно формулам (1) и (2) получаем
Ф (х + /) = f (сох + со/) = / (сох) = ф (х).
т
Последнее означает, что / = — есть основной период функции
ф(х) = /(®х).
Аналогично
т
ф(х — /) = f (сох — со/) = f (сох) = ф (х) при /=— .
2л
Например, основной период функции sin2x равен -у = л, а функ-
ции sin у равен 2л:-|- = 4л.
Если функции f(x) и g(x)— периодические с периодами 7\ и Тг
соответственно, то число Т, кратное 7\ и Тг, является периодом
их суммы, произведения, разности и частного.
В самом деле, пусть Т = kT\ и Т = пгТ2, где k и ш—натуральные
числа. Число Т, по доказанному ранее, есть период каждой из
функций f(x) и g(x). Тогда для функции ф(х) = /(x) + g(x) имеем
Ф (x-J-T) = f (х Г) +g(x4- Т) = f(x-\-kT j) g (хkT 2) =
= f(x) + g(x) = <p(x).
Для частного ф(х) = у^у имеем
, T}_f(x+T)_ ftx+kTJ _ f(x)
1*’(Х+У ’~g(x+T)-g(x+mT2) - g(x) ~ W И T‘ Д-
Используя это свойство, найдем период функции
Зх . . х
f/=COS y + silly .
т~т ( Зх \ 4л
Период первого слагаемого cos равен , период второго сла-
гаемого (sin-|J равен 6л. Число Т = 12л кратно Т1 = ^- и Т2 =
= 6л(12л = 97\ и 12л = 27\). Следовательно, число 12л есть период
функции
f/ = cosy + siny.
216
Рис. 24
Замечание. Не следует считать, что если 7\ и Т2 основные
периоды функций f(x) и g(x), то число Т, являющееся наимень-
шим общим кратным 7\ и T2t всег-
да является основным периодом
функций f(x) + g(x) и f(x)-g(x).
Например, основной период функ-
ций sinx и' cosх есть 2л, а ос-
новной период их произведения
sinx-cosx = ysin2x равен л.
График периодической функции
с основным периодом Т доста-
точно построить на любом отрезке длины Т, например на [О, Т],
а затем сдвигать эту кривую вправо и влево на отрезки Т, 2Г, ...
(рис. 24).
§ 6. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
Определение 1. Функция y = f(x) называется ограниченной в об-
ласти своего задания Е, если существует такое положительное
число М, что для всех х из области Е значения f(x) по абсолют-
ной величине не превосходят этого числа 7И, т. е. | f (х) | М.
В противном случае функция называется неограниченной. Если
функция неограничена, то какое бы число М > 0 мы ни взяли,
Рис. 25
всегда найдется в области Е такое х0, что |/(х0)|>Л4. Например,
1 I 1 I 1
функция у~ 1.2—ограниченная, так как 2 1 для всех
действительных значений х. К ограниченным функциям относятся
также тригонометрические функции sinx и cosx, у = ]^а2—х2 (а —
постоянная) и др. На рис. 25 приведены графики ограниченной
и неограниченной функций. График ограниченной функции цели-
ком лежит внутри полосы у=М, у = — М, так как неравенство
| f (х) | М равносильно неравенству —М f (х) М (см. гл. I, § 4).
Определение 2. Функция y = f(x) называется возрастающей на
некотором промежутке, конечном или бесконечном (см. § 1), если
для любых двух значений х из этого промежутка большему значе-
217
нию аргумента соответствует большее значение функции, т. е. из
условия X!<x2 следует, что f (xj < f (х2) для любых’ хг и х2 из
данного промежутка.
Функция называется убывающей на некотором промежутке,
если из условия хг < х2 следует, что f (лу) > / (х2) для любых хг и х2
из этого промежутка.
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными
функциями.
Замечание. При построении графика функции полезно использовать такие
характеристики поведения кривой, как выпуклость и вогнутость и наличие
асимптот.
Определение 3. Если для любых точек Хх и х2 из некоторого промежутка
справедливо неравенство
. /Ui)+/(x2)
2 J 2
(1)
то кривая, определяемая уравнением y = f(x), называется выпуклой на этом про-
межутке.
Неравенство (1) означает, что середина любой хорды кривой у = Цх) лежит
ниже точки кривой с той же абсциссой
Х14“ г-
—2— (рис. 26). Если же для лю-
бых Xj и х2 из некоторого промежутка
. /Х14-Х2\ /(Х1)+/ (х2)
' V 2 J 2
то кривая, определяемая уравнением
y = f(x), называется вогнутой на этом
промежутке.
В этом случае середина любой
хорды кривой лежит выше соответст-
вующей точки ее дуги (рис. 27).
Определение 4. Прямая линия на-
зывается асимптотой кривой, если
расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограничен
ном удалении этой точки от начала координат.
Асимптоты разделяются на горизонтальные, вертикальные и наклонные
(рис. 28).
218
§ 7. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть на некотором промежутке Е задана функция у = [(х) и
D — область ее изменения.
Возьмем какое-нибудь число у0 из области D. В области Е обя-
зательно найдется хотя бы одно число х0, при котором наша функ-
ция принимает именно значение у0, так что yo = f(Xo)- Чтобы полу-
чить это значение х0, достаточно через у0 на оси ординат (рис. 29)
провести прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пере-
сечет график функции у=/(х) в одной или нескольких точках.
Рис. 30
Абсциссы этих точек и дают искомые значения х (одно из них л'о),
при которых функция равна у0. Таким образом, каждому значе-
нию у0 из области D соответствует одно или несколько значений %,
принадлежащих промежутку Е. Этим определяется в области D
однозначная (если каждому у из D соответствует единственное
значение х из Е) или многозначная функция % = g(y), которая
называется обратной для функции y=f(x).
Графики функции y = f(x) и обратной для нее функции x = g(y)
совпадают, только аргумент обратной функции рассматривается
на оси Оу. Но если, следуя нашим привычкам, аргумент обозна-
чать буквой х и откладывать его на оси абсцисс, т. е. вместо урав-
нения x = g(y) писать уравнение y = g(x), то график функции
y = g(x) будет отличным от графика функции y = f(%). Покажем,
что графики функции y = f(x) и обратной ей функции y = g(x)
симметричны относительно биссектрисы I u III координатных углов.
В самом деле, пусть точка М (а, Ь) принадлежит графику функции
# = g(x) (рис. 30). Это значит, что справедливо равенство
b = g(a). (1)
Рассмотрим точку N (Ь, а). Ее координаты удовлетворяют урав-
нению x = g(y), так как согласно равенству (1)
b = g(a).
219
Следовательно, точка N (b9 а) лежит на графике функции x = g(y)
или y = f(x), так как эти графики совпадают.
Покажем, что точки М (а, Ь) и N (Ь, а) симметричны относи-
тельно биссектрисы I и III координатных углов. С этой целью
соединим центр О с точками М и N и рассмотрим прямоугольные
треугольники МОМ± и NON^ Так как Mfl = Nfl = | Ь\, а МгМ=
=NrN = |а|, то эти треугольники равны. Из их равенства вытекает,
что MO = NO, ^/МОМг = /_NONv Следовательно, Л MON —
равнобедренный и прямая ОС—биссектриса I и III координатных
углов — является его биссектрисой, так как ^/.MOC^^/NOC
(дополнения равных углов до 45°). Но тогда ОС является
также медианой и высотой, т. е. MN_\__OC и MC = CN. Последнее
и означает, что точки М и N симметричны относительно биссек-
трисы ОС.
Итак, каждая точка М графика обратной функции y = g(x) сим-
метрична некоторой точке графика y = f(x) и, как легко показать,
обратно, каждая точка графика y = f(x) симметрична некоторой
точке графика y = g(x). Поэтому весь график y = g(x) симметричен
графику y = f(x) относительно биссектрисы I и III координатных
углов.
Если функция у = f (х) монотонна в промежутке Е, то указанная
прямая y = yQ, где у0 gD, пересекает ее график лишь в одной точке.
Это значит, что каждому значению у из области D соответствует
единственное значение х, т. е. обратная функция x = g(y) — одно-
значная.
В случае, когда y = f(x) немонотонная, обратная функция
x = g(y)—многозначная, так как некоторым значениям у будет
соответствовать несколько значений х.
Все эти рассуждения помогут понять смысл следующей важной
теоремы.
Теорема. Если y = f(x) возрастает (или убывает) на промежут-
ке Е и D—множество всех ее значений (область изменения функ-
ции), то обратная ей функция y = g(x) определена в области D,
однозначна и также возрастает (или убывает).
Доказательство этой теоремы дается в курсе высшей матема-
тики.
Замечание. Если уравнение y = f(x) можно разрешить отно-
сительно х, т. е. получить уравнение x = g(y), то, очевидно, функция
y = g(x) является обратной по отношению к функции y = f(x\
Например, пусть У = -^~\—заданная функция. Выразив х
через у, найдем, что
Следовательно, функция у — ^^с будет обратной относительно
заданной y =
220
§ 8. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
Пусть нам известен график функции y = f(x) и а>0.
I. Сдвинем все точки этого графика параллельно оси Ох на отре-
зок, равный* а единицам, вправо. Тогда мы получим некоторую новую
кривую (рис. 31). Если М(ха, у0)—произвольная точка графика
х = /(х), т. е.
y9=fM,
(1)
то после сдвига она перейдет в точку N с координатами х = х04-а,
V = f/o- Отсюда следует, что х0 = х—a, yQ = y и согласно равенству (1)
y = f(x—а).
Последнее означает, что сдвинутая кривая есть график функции
У — [(х—а).
Итак, мы получили следующее правило.
Правило I. График функции y = f(x—а)(у = f (х4-а)) получает-
ся из графика функции y = f(x) сдвигом последнего вдоль оси Ох
на а единиц вправо (влево), а > 0.
Сдвинем все точки графика y = f(x) параллельно оси Оу на
b > 0 единиц вверх (рис. 32). После этого сдвига мы получим но-
вую кривую. Рассуждая так же, как и в случае сдвига вдоль оси Ох,
убедимся, что эта кривая будет графиком функции у = /(%) + Ь.
Таким образом, справедливо следующее правило.
Правило II. График функции y = f(x) + b (у = f (х)—Ь) полу-
чается из графика функции y = f(x) сдвигом последнего вдоль
оси Оу на b единиц вверх (вниз), 6>0.
Заметим, что оба правила можно объединить в одно.
Правило III. График функции y = f(x—a)-\-b получается из
графика функции y = f(x) путем двух параллельных сдвигов по-
следнего: вдоль оси Ох на | а | единиц (вправо, если а > 0, и влево,
если а < 0) и затем вдоль оси Оу на | b | единиц (вверх, если b > 0, и
вниз, если Ь < 0).
II. Умножим абсциссу каждой точки графика y = f(x) на число
—, не меняя при этом ее ординаты. Тогда каждая точка Л1(х0, у9)
221
графика y = f(x) перейдет в новую точку N (рис. 33), координаты
которой
х0
* = 7; У = Уч-
Такое преобразование называется сжатием вдоль оси Ох с коэф-
фициентом а > 0.
Так как f/o = f(*o)» а xQ = ax и у{=у, то y = f(axY
Последнее означает, что кривая, полученная в результате пре-
образования сжатия графика y = f(x), будет графиком функции
y = f(ax) (на рис. 33 а = 2).
Правило IV. График функции у=^(ах\ где а>0, получается
из графика # = /(%) сжатием последнего вдоль оси Ох с коэффи-
циентом, равным а.
Умножим теперь ординату каждой точки графика y = f(x) на
число b > 0, не меняя при этом ее абсциссы. Это преобразование
называется растяжением вдоль оси Оу с коэффициентом, равным &.
Полученная кривая, как легко показать, будет графиком функции
x = bf(x) (рис. 34).
Правило Vi График функции y = bf(x)9 где b > 0, получается
из графика y = f(x'} растяжением последнего вдоль оси* Оу с
коэффициентом Ь.
Замечание. При а < 1, очевидно, — > х, т. е. абсцисса х уве-
личивается (по существу график растягивается, а не сжимается).
Аналогично Ьу<у при 6< 1, т. е. ордината уменьшается (кривая
сжимается к оси Ох, а не растягивается). Однако в любом случае
умножение координаты на число называется растяжением, а де-
ление ее на число—сжатием.
III. От каждой точки 7И(х0, у0) графика y — f(x) перейдем к
точке N, симметричной М относительно оси Оу (рис. 35). Очевидно,
что координаты точек М и N связаны соотношением
. х = — х0, у = у0.
Но тогда y — f(—х). Это означает, что геометрическое место то-
чек N образует график функции
y=U— х).
222
Правило VI. График функции y = f(—х) получается из графика
y = f(x) симметричным отображением последнего относительно
оси Оу (рис. 35).
Правило VII. График функции у = — f(x) получается из графи-
ка y = f(x) симметричным отображением последнего относительно
оси Ох (рис. 36).
§ 9. ОБЗОР СВОЙСТВ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ
Функция у = f (х) называется элементарной, если при вычисле-
нии ее значений применяются и притом в конечном числе лишь
следующие операции: сложение, вычитание, умножение и деление;
возведение в произвольную степень и извлечение корня произволь-
ной степени; взятие логарифма числа по произвольному положи-
тельному основанию; нахождение синуса, косинуса, тангенса,
котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
числа.
В общем случае исследование функции проводится по следую-
щему плану.
1. Находят область определения и область изменения функции.
2. Проверяют, не является ли функция четной, нечетной, перио-
дической.
3. Находят промежутки монотонности и промежутки знако-
постоянства функции.
4. Определяют наибольшее и наименьшее значения функции
и т. д.
После этого анализа нужно построить график функции. При
этом следует дополнительно к уже рассматриваемым свойствам:
1) определить точки пересечения графика с осями координат
(для того чтобы найти точки пересечения с осью Ох, решаем урав-
нение f(x) = O; для нахождения точек пересечения с осью Оу пола-
гаем х = 0 и вычисляем значение
2) найти промежутки выпуклости и вогнутости графика;
3) выяснить, имеет ли кривая, определяемая уравнением y = f(x), асимптоты.
223
В некоторых случаях проще построить график функции, а за-
тем, исследуя его, выяснить свойства функции.
I. Линейная функция у = kx -\-Ь.
1) Рассмотрим частный случай, когда k = Q. Тогда
у=ь.
Эта функция определена на всей оси Ох и для каждого х прини-
мает одно и то же постоянное значение Ь. Следовательно, ее гра-
фик есть прямая, параллельная оси Ох (рис. 37) и отстоящая от
нее на \Ь\ единиц (вверх, если & >0 и вниз, если &<0). При Ь = 0
графиком функции у = 0 является ось абсцисс.
2) При b = 0 y — kx. Такое соотношение между х и у при £#=0
называется прямой пропорциональной зависимостью. Эта функция
определена всюду. Она монотонно возрастает при k > 0 и убывает
при k < 0.
Для построения ее графика заметим, что точка (0, 0) удовлет-
воряет данному уравнению. Для всякой другой его точки М (х, у)
будет справедливо равенство у = Но y = tga, где а — угол,
образуемый прямой ОМ с положительной полуосью абсцисс (он
отсчитывается от положительной полуоси против часовой стрелки,
рис. 38).
Обратно, всякая точка, лежащая на прямой, проходящей через
начало координат под углом а к положительной полуоси Ох, удов-
летворяет уравнению y = tga = &, или y = kx. Следовательно, гра-,
фик прямой пропорциональной зависимости есть прямая, прохо-
дящая через начало координат.
Угол а наклона этой прямой определяется коэффициентом
&(& = tga), который называется угловым коэффициентом прямой.
3) Общий случай'. y = kx-\-b. График этой функции можно полу-
чить из графика функции у ~ kx параллельным сдвигом последнего
вдоль оси Оу на отрезок | Ь\ (вверх, если Ь > 0, и вниз, если b < 0,
см. правило II, § 8). При этом преобразовании мы вновь получаем
прямую с угловым коэффициентом k, отсекающую на'оси Оу отре-
зок величины | b | (вверх от точки О, если b > 0, и вниз, если b < 0).
224
Для построения этой прямой достаточно найти любые две ее
точки, например, точки пересечения с координатными осями
(рис. 38).
Пример. Построить график функции # = 5х+1.
Решение. График этой функции есть прямая. Найдем точки
ее пересечения с осями Ох и Оу. Если у = 0, то х = — у', если х=0,
то у=\. Следовательно, эта прямая проходит
через точки (—0) и (0, 1) (рис. 39). /
Следствие. Уравнение Ах-у By + С = 0 (A (. .
и В — одновременно не равны нулю) определяет ? i
прямую.
Действительно, если £?=#0, то уравнение ~ 1 х"
можно записать в виде у = —х—= kx -ф b, gj
где k = —р- , о ----г • Если же В =
а /1
=0(А =И=0), то „уравнение принимает вид Рис- 39
(j
Ах-{-С = 0 или х = —~л=Ъ- И в том, и в другом случае мы полу-
чаем прямую.
II. Дробно-линейная функция у = + & , где a, b, с, d—пос-
тоянные, причем с#=0 (иначе мы имели бы линейную функцию) и
ad^=bc (иначе произошло бы сокращение и мы получили бы функцию
вида у = const).
Сначала рассмотрим более простой случай.
k
1. Обратная пропорциональная зависимость y = —(k^G).
Разберем случай k > 0:
1) функция определена всюду, кроме х = 0, т. е. область ее оп-
ределения— интервалы (—оо, 0) и (0, оо);
k k
2) функция нечетная, так как /(—х) = — = — — =— /(х), т. е.
начало координат служит центром симметрии и поэтому дальней-
шее исследование проводим для х > 0;
3) знак у совпадает со знаком х\
4) функция убывающая, так как для < х2 имеем — > — , т. е.
Х1 х2
f(x1)>f(x2)-,
когда х стремится к нулю, оставаясь больше нуля, значения у
неограниченно возрастают.
Какое бы число М > 0 мы ни взяли, можно указать такое значение х, что
для 0 < х < х значения — превзойдут М, т. е. — > М (рис. 40). Тогда говорят,
k Х Х
что у — у стремится к положительной бесконечности при х->0 и х>0, и пишут
Jim —= 4- оо.
х -> о х
X > о
8 № 407
225
График неограниченно приближается к оси Оу, нигде ее не пересекая: ось Оу
является асимптотой. При возрастании х значения у неограниченно уменьшаются,
оставаясь при этом положительными (рис. 40).
Какое бы малое число е мы ни взяли, можно найти такое значение х, что
- k k
для х > х значения — < е. Тогда говорят, что «/ = — стремится к нулю при х,
Рис. 40
стремящемся к бесконечности, и записывают
lim А
Х-* сю X
График неограниченно приближается к оси
Ох; нигде ее не пересекая: ось Ох является
асимптотой. График вогнутый. Действительно,
неравенство
/Xi + хЛ + f (х2)
' V 2 J 2
в рассматриваемом случае имеет вид
2k k f i 1 X
*i+*2 < 2 V«1 X.J •
или
4 х1-\-х2
Хг + х2 xtx2 *
откуда 4х1х2 < (хх + х2)2, или (х1—х2)2 >0, что очевидно.
Используя все эти свойства, строим график функции г/ = А при
fe>0 (рис. 40). Полученная кривая называется гиперболой, она
состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных
углах (квадрантах).
График функции у=А при /г < 0 получается из графика
I k I
у = -—!- симметричным отображением последнего относительно
оси Ох. Эта кривая также называется гиперболой: ее ветви распо-
ложены во II и IV координатных углах (рис. 40).
2. Общий случай: у = . Функция определена всюду, кроме
х= — —. Для построения ее графика преобразуем правую часть
равенства. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть:
ах-4-b
У ~ ex 4-d
be—ad
с2
Полагая k =, т = ^, п = убеждаемся, что дробно-линей-
ную функцию всегда можно привести к виду
, k
k
Согласно правилу III, §8, график функции у = п-\- , можно
X ""г” т
k
получить сдвигом гиперболы У = — на | т | единиц вдоль оси Ох и на
225
I n | единиц вдоль оси Оу в том или ином направлении в зависимости
от знаков тип (рис. 41).
k
При этом сдвиге асимптоты гиперболы У = — (координатные оси)
перейдут в прямые х = — т [х =— и у = п (у = у) • Эти пря-
мые будут асимптотами дробно-линейной функции.
Для более точного построения ее графика целесообразно найти
точки его пересечения с координатными осями. Итак, график
дробно-линейной функции есть гипербола (смещенная).
Пример. Построить график функции # = 2л—*
Решение. Выделяя целую часть, имеем
7
У = 2+-^-,
-4
Отсюда следует, что прямые х = -? и у = 2 являются асимптотами
этой гиперболы.
8*
Теперь находим точки ее пересечения с осями Ох и Оу. Если
х = 0, то у — — 4-; если у = 0, то х = — Следовательно, гипер-
бола пересекает ось Ох в точке (— Т ’ о) и ось в точке
(о, —у). Взяв еще несколько «контрольных» точек, строим тре-
буемый график (рис. 42).
III. Квадратный трехчлен у = ах2 + Ьх + с (а^О, иначе функ-
ция—линейная).
Рассмотрим сначала более простой случай.
1. Квадратичная функция у = ах2.
Разберем случай а > 0:
?27
1) Функция определена для всех х, причем у —ах2 ^0. Следо-
вательно, ее наименьшее значение равно нулю и достигается при
х = 0;
2) функция четная, так как f(—х) = а(—x)2 = ax2 = f(x). По-
этому ось Оу служит осью симметрии и дальнейшее исследование
проводим для
3) функция возрастающая. Действительно, из неравенства
х± < х2 следует, что ах[ < ах%, т. е. f(xx) < f(x2). Очевидно, что
при возрастании х значения функции у также неограниченно рас-
тут (при х—>Ц-оо у—>4-оо);
4) график этой функции — вогнутый.
ГТ v + M f (Xl) + f (Х2>
Действительно, неравенство f I —- 1 < — о в рассматриваемом
\ “ J "
случае имеет вид: a (ах1~Ьах2)» или xf-^-xl— 2xjx2 >0, что оче-
видно.
Используя эти замечания, получим, что график квадратичной
функции имеет вид кривой, изображенной на рис. 43. Эта кривая
носит название параболы. Точка О, называемая вершиной параболы,
делит ее на две ветви—правую и левую, направление которых
совпадает с положительным направлением оси Оу.
При а < 0 из равенства у = ах2 =— | а | х2 следует, согласно пра-
вилу VII, § 8, что графиком у = ах2 будет парабола, ветви которой
направлены в отрицательную сторону оси Оу (рис. 43).
2. Общий случай'. у = ах2 + Ьх^-с.
Для построения графика квадратного трехчлена выделим пол-
ный квадрат:
[ ь ь2 ь2 \
y = ax2 + bx + c = a^x2 + 2x-^ + -^—^j + c =
т-т b 4ас—Ь2
Полагая = — = л, видим, что квадратный трехчлен
всегда можно привести к виду у — а(х-\-пг)2-\-п. График последней
228
функции получается из графика функции у = ах2 согласно пра-
вилу III, § 8 путем двух параллельных переносов.
После этих параллельных переносов направления ветвей не
меняются, а вершина переходит в точку А (—т, п). Вертикаль
х = п, проходящая через вершину, является осью симметрии полу-
ченной кривой.
Таким образом, график квадратного трехчлена у = ах2-\-Ьх-^с
о lb Ьас—Ь2\
есть парабола с вершиной в точке ( — , ——— 1. Ее ветви на-
правлены вверх, если а>0, и вниз, если а < О
(рис. 44).
Для более точного построения графика ре-
комендуется найти точки ее пересечения с коор-
динатными осями.
Пример. Построить график функции у = х2—
—4х.
Решение. Это парабола. Записав данное
уравнение в виде у = (х—2)2—4, мы видим, что
ее вершина находится в точке (2, —4) и ветви на-
правлены вверх.
Если у = Ь, то хх = 0 и х2 = 4. Следовательно, парабола пере-
секает ось Ох в точках (0, 0) и (4, 0). Взяв еще несколько «конт-
рольных» точек, строим ее график (рис. 45).
IV. Степенная функция у = хп.
1. Рассмотрим сначала случай, когда n = 2k. Функция y = x2k:
1) определена на всей числовой оси;
2) четная, так как (—x)2k = x2k. Поэтому ее достаточно иссле-
довать лишь на полуинтервале [0, оо);
3) на интервале (0, оо) она возрастает, так как из неравенства
x1<ix2 следует, очевидно, неравенство
4) когда х неограниченно возрастает, у также неограниченно
возрастает. Наименьшее значение функции равно нулю: х2^^0;
причем у = 0 при х = (У,
5) покажем, что при х > 0 график функции у = хп при любом натуральном
п вогнутый, т. е. что справедливо неравенство
+ *1+*2 ,*4
\ 2 J < 2 1 '
где 0 < хг < х2.
Доказательство проведем методом индукции. При п = 2 очевидно, что
^1 + ^2 у
*1Ч~Х2
2
Допустим, что неравенство (*) справедливо для п, и покажем, что тогда
fxi+x2y+i x?+14-x?+1
V 2 J < 2
(")
229
Умножая обе части неравенства^) на Х1~^~*2 > о, получим
+ + (4 + 4)(х1 + *2) .
или
Xl~f~X2 ” + 1 < Х?+1-рХ2+1-]~^1‘^2 -j-Xz'Xf . ( * * ♦)
Сравнивая неравенства (**) и (**♦), видим, что неравенство (*♦) по свойству тран-
зитивности будет заведомо справедливо, если справедливо неравенство
4+1+4+1
4 ^ 2
или равносильное ему неравенство
УП + 1_1_ГП + 1 YnY —YnY П
Х]_ “Г"Л2 г"“Л]_Л2 U#
Последнее преобразуется к виду
(хх — х2) (Х1 — Ха) > 0.
Отсюда следует его очевидность, так как хх—х2 и х?—х” имеют одинаковые
знаки.
2. Функция y — x2k+l:
1) определена всюду;
2) нечетная, так как /(—х) = (—x)2ft+l =—x2k+l ——f(x), и по-
этому ее достаточно исследовать на промежутке х^О;
3) она возрастает на всей числовой оси. В самом деле, если
0 < Xi < х2, то xfk+1 < xlk+1.
Если х2 < х2 < 0, то вновь xfk+1 < x|ft+l < 0;
4) график функции у = ^2^ + 1 вогнутый на интервале (0, оо) (см. п. 1).
Так как эта функция нечетная, то ее график симметричен относительно начала
координат и, следовательно, на интервале (—оо, 0) он выпуклый.
Графики функции у = хп для n = 2k и п = 2&+1 приведены на
рис. 46 и 47. Эти кривые называются параболами. При п = 2—это
просто парабола, при п = 3 — кубическая парабола и т, д.
230
Vs Радикал _y=y/x.
Радикал определяется, как функция, обратная степенной функ-
ции у = хп.
Рассмотрим случай n = 2k.
Так как функция у = х2к монотонно возрастает на промежутке
[О, оо) и принимает все значения от 0 до оо, то согласно теореме
об обратной функции (§ 7) функция у = 2jZх:
1) определена на промежутке [0, оо), являющемся областью
изменения функции y — x2k\
2) монотонно возрастает от 0 до оо.
График этой функции изображен на рис. 48. Он может быть
получен путем зеркального отображения относительно биссект-
рисы I координатного угла графика y = x2k, соответствующего уча-
стку х^О.
Рис. 49
Рис. 48
Если n = 2k+l, то функция y = x2k+1 монотонно возрастает на
всей числовой оси и принимает любые положительные и отрица-
тельные значения. Следовательно, согласно теореме об обратной
функции, функция y=2k+^/x :
1) определена на всей числовой оси (область изменения функ-
ции y = x2k+iy,
2) монотонно возрастает; область ее изменения—вся числовая
ось. Ее график получается путем зеркального отображения пара-
болы y = x2k+1 относительно биссектрисы I и III координатных
углов (рис. 49).
В следующей главе мы рассмотрим показательную и логариф-
мическую функцию. Главы IX — XIII посвящены тригонометри-
ческим и обратным тригонометрическим функциям.
ГЛАВА VHI
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Определение. Функция, определяемая равенством
У = ах,
(1)
где а—постоянное положительное основание, не равное единице,
называется показательной.
Показательная функция рассматривается только при положи-
тельном основании а, так как при а < 0 выражение ах в области
действительных чисел не имеет смысла, например для любого ирра-
р р
ционального х и всех рациональных чисел у, где ~ — несократи-
мая дробь и q = 2k.* При а=1 число Iх =1 для любых х и это
тоже не представляет интереса.
Все свойства показательной функции непосредственно вытекают
из свойств степени с любым показателем (см. гл. I, § 4).
Перечислим их.
I. Показательная функция у = ах определена для всех действи-
тельных значений аргумента %, т. е. ее область определения есть
вся числовая ось (—оо, оо).
II. а°=1 при любом основании а=£0.
III. При а > 1 выражение ах > 1 для х > 0 и ах < 1 для х < 0;
при 0 < а < 1 —наоборот.
Полное доказательство этого пункта дается в курсе высшей
математики; оно связано со свойствами предела. Остановимся лишь
на случае рационального х. Если х = —, где т > 0, п>0 —
целые, то
ах = а,г = у/ат.
Так жак ат>1 при а>1, то {/^>1, т. е. а п >1. Если
т
X =----, ТО
п ’
Если а<1, то, полагая b = — > 1, имеем
* Заметим, что выражение ах для отдельных значений х может иметь смысл
и при отрицательных значениях а, например, (—1)^ ——1, (—32) 5 =—2 и т. д.
232
и
IV. Показательная функция у = ах положительна во всей обла-
сти своего определения и принимает все положительные значения.
Последнее означает, что для любого у > 0 существует такое зна-
чение %, при котором ах = у.
Первая часть утверждения следует из свойства степени с поло-
жительным основанием. Вторая часть доказывается в курсе выс-
шей математики.
V. Показательная функция у = ах монотонна. Она возрастает
при а>1 и убывает при а< 1.
Покажем это. Пусть а>1 и хг<х2. Так как ах*—aXi =
= aXi(aX2~Xl — 1) и аХ1>0, то знак разности ах*—ах* совпадает со
знаком разности ax*~Xt—1. По свойству III ах*~х' > 1 при х2—%1>0.
Следовательно, —1>0 и Последнее означает, что
у = ах возрастает при а> 1.
Если а< 1, то b = 1. Тогда при хх < х2 разность ах*—ах' =
= < 0> так как bXl — bv»<0, а > 0. Итак, в случае
а < 1 разность ах*—ах* < 0 при хг < х2, т. е. у = ах убывает.
VI. Из равенства ах*=ах* следует, что х1 = %2. Это свойство
вытекает из монотонности функции у = ах.
VII. Если а < Ь, то ах < Ьх при х > 0 и ах > Ьх при х < 0. При
х = 0 значения ах и & совпадают.
ах ( а \х
В самом деле, по свойству показателя степени = , где
^- < 1. Поэтому < 1 при х > 0 и ~ > 1 при х < 0.
VIII. График функции у = ах — вогнутый.
Депствительно, неравенство f I —- I < —-——%—-— в нашем случае оз-
начает, что
*1+*2 л
а < -у (axi-\-axi)t
или
xt t х2
axi-±-ax* —2а 2 2 > 0,
что очевидно, так как
/ xt Хг \ 2
Va 2 ^-а 2 ) >0.
Учитывая перечисленные свойства функции у = ах, построим ее
график.
Рассмотрим сначала случай а> 1. Так как а*>0 при всех х,
то график функции лежит над осью абсцисс и пересекает ось
233
ординат в точке (0, 1) при любых а>0. При увеличении х кри-
вая быстро растет вверх (при х=1 у = а, при х = 2 у = а2 и т. д.).
При движении в отрицательном направлении оси Ох (х—+—оо)
ординаты неограниченно уменьшаются, принимая, однако, лишь
положительные значения. Ось абсцисс яв-
ляется ее горизонтальной асимптотой.
Для построения графика функции у = ах
при а<1 замечаем, чтоа*=(— 1 , где
-^•>1. Это означает, что график функции
у = ах с основанием, меньшим единицы, сим-
метричен относительно оси Оу графику
с основанием, большим единицы
графики имеют вид кривых, изображенных на
Рис. 50
(см. гл. VII). Эти
рис, 50. Они называются экспонентами.
§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Так как показательная функция у = ах (а=/= 1, а> 0) монотонна
во всей области своего определения, то согласно теореме об обрат-
ной функции (гл. VII, § 7) она имеет обратную однозначную
функцию, определенную во всей области изменения этой показа-
тельной функции.
Определение. Функция, обратная показательной функции у = ах,
называется логарифмической функцией и обозначается символом
х = logfl У, где
у является
Рис. 51
независимой переменной, х—функцией.
Если перейти к привычным обозна-
чениям, то получаем
«/ = logex (2)
(читается: «у равен логарифму числа
х по основанию а»). По определению
логарифмической функции равенство
(2) равносильно равенству
х = аУ. (3)
Это означает, что логарифмом числа
х по основанию а называется показатель
степени, в которую нужно возвести
основание а, чтобы получить число х.
(3) можно переписать в ином виде, если заменить в
значением (2), т. е.
х = а1о8“*. (4)
Все свойства логарифмической функции наглядно изображены
«а ее графике (рис. 51). Этот график получается из графика по-
казательной функции у = ах зеркальным отображением последнего
Равенство
нем у его
234
относительно биссектрисы I и III координатных углов (см. гл. VII,
§ 7). Перечислим эти свойства.
I. Логарифмическая функция y = logax при положительном ос-
новании а =# 1 определена для всех положительных значений аргу-
мента х, т. е. область определения этой функции есть бесконечный
интервал (0, оо) (поэтому говорят, что отрицательные числа и нуль
не имеют логарифмов).
II. loge 1 = 0 и logaa=l при любом а > 0, а#=1.
III. Логарифмическая функция y = logflx принимает все дейст-
вительные значения, т. е. область ее изменения есть бесконечный
интервал (—оо, оо).
IV. Логарифмическая функция # = logax монотонна во всей об-
ласти своего определения. Она возрастает при а > 1 и убывает
при а < 1.
V. Из равенства Ioga = Ioga х2 следует, что хг = х2. Это равен-
ство вытекает из монотонности логарифма.
Основные тождества:
1, a\ogax=Xt Эта формула вытекает из определения логарифма.
2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен
сумме логарифмов сомножителей при том же основании, mt е,
10ga (%х • Х2) = 1 Oga Хг -j- loga Хг.
Доказательство. Согласно равенству (4)
x1 = alog«x‘ и x2 = alog«x2.
Поэтому
xt»x2 = aloSaX'-alogaX2 = alog«Xi + logaX2.
Полученное равенство в силу соотношений (2) и (3) равносильно
равенству
logo хх + loga х2 = loga (хх-х2).
Свойство (2) распространяется на любое конечное число положи-
тельных сомножителей.
Замечание. Если х1-х2>0, то loga(x1-x2) существует даже
в том случае, когда л\<0 и х2 < 0. Тогда
loge (хх • х2) = loga I Xl I + loga I x21,
так как в этом случае • х2 = | | -1 х21.
3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности
логарифмов делимого и делителя при том же основании, т, ел
logo^- = loga xt—logax2.
Л2
Доказательство. Согласно равенству (4)
х1 = а1о2а*1 и x2 = alog«x*.
Поэтому
Xt__ a SaXl. glogaxx- 10ga*j
x2
235
Следовательно,
logexx—log„x2 = loge^-.
3 а м e ч а н и e. Если — > 0, а хх < 0 и х2 < 0, то loge — =
Х2 х2
= logjxj —loge|x2|, так как в этом случае =
4. Логарифм степени равен произведению логарифма основания
этой степени на показатель, т. е.
logaxa = czlogax,
где а — любое действительное число, а х>0.
Доказательство. Так как x = aXQ^x, то xa= (alo^*)a =
— ^aiogax. Следовательно, a logax = logaxa.
Замечание. Если х<0, то loga x2k = 2k loga | x |, так как
Л2* = |х|2*.
Следствие. Если а = -^, то х* = хп = $/ х и loge х =
= — log* х, т. е. логарифм корня равен логарифму при том же ос-
новании от подкоренного выражения, деленному на показатель корня.
5. Модуль перехода. Пусть нам известен логарифм некоторого
положительного числа х по основанию а. Найдем логарифм того
же числа х по другому основанию &(&>0, 6^1).
Представив число х в виде
х =
найдем logax. Имеем
log0 X = logo (610^Л) = logb X 10go b.
Отсюда получаем, что
1п« у-1оедХ
log6x-logad.
(5)
г> 1
Выражение ,
не зависящее от числа х, называется моду-
лем перехода от основания а к новому основанию Ь. Обозначая
его буквой М (М зависит только от а и Ь), перепишем соотноше-
ние (5) в виде
logb х = М • logo х.
Из равенства (5) вытекают такие следствия.
Следствие 1. logeЬ• logbа = 1 или logba = j^-^.
В самом деле, полагая в формуле (5) х = а, имеем
(6)
1П« я_1о§*а_ 1
loga b loga b •
236
Следствие 2. Для любых ^>0 и х2 > 0 имеет место фор-
мула
loga • log& х2 = 1 oge х2 log6 хг.
(7)
В самом деле, согласно формуле (5)
10g X 10SbX -l°SaX2
IOga%1 iogAa ’ lo^^-loge&-
Перемножая эти равенства и учитывая соотношение (6), получаем
формулу (7).
Следствие 3. Логарифм не изменит своего значения, если
число и основание возвести в одну и ту же степень, т. е<
logaax<* = loga%, (8)
где а—любое действительное число.
В самом деле, полагая в равенстве (5) Ь = аа, для числа хл
имеем
10gaaX“ = ^-aT
6 logfl а*
или
logaaха = -?loggX = log х.
ьа a loga а
В частности, из формулы (8) получаем, что
10gaa X = 10g0 X а = Т lOga X (9)
для любого %>0.
Логарифмирование и потенцирование. Каждому положитель-
ному числу при заданном основании соответствует определенное
значение его логарифма. Нахождение логарифмов заданных чисел
или выражений называется операцией логарифмирования. Заметим,
что логарифмируя некоторое алгебраическое выражение, мы сво-
дим операции возведения в степень, извлечения корня, умножения
и деления к более простым операциям сложения и вычитания
логарифмов и их умножения и деления на число.
Для нахождения логарифмов чисел существуют таблицы лога-
рифмов для различных оснований (а не только «десятичные» для
а = 10). Общий принцип построения таблиц логарифмов состоит
в следующем. Пусть а>1—основание логарифма и х—положи-
тельное число. Всегда можно подобрать такое целое число т,
чтобы х было заключено между числами ат и ат+1, т. е. am^Zx<
<ат+1.
Представим число х в виде
x = = (10)
где 1^^=—<а (например, для а = 2 и х=17 имеем 17 =
ат
237
«=24-т7; для а=10 и х = 0,1093 имеем 0,1093=10 *• 1,093 и т. д.).
10
Тогда из равенства (10) получаем, что
loge х - log„ (am-x1) = m + logoxu
причем 0^1ogax1< 1.
Итак, логарифм любого положительного числа х можно пред-
ставить в виде суммы двух частей—целой, называемой его харак-
теристикой, и дробной, называемой его мантиссой. Характери-
стика может быть и отрицательной, мантисса всегда неотрица-
тельна. Если характеристика отрицательна, то знак минус пишут
над ней в виде черточки. Например, если т=—3, a logeXj =
е= 0,0325, то пишут
logax = 3,0325.
Рассмотрим десятичные логарифмы (а =10). Записав х в деся-
тичной системе счисления х = а0-10”4-яр IO4-1-)-... 4~аА- 10”~А, где
а0 у= 0, имеем
10"<х< 10”+1.
Следовательно, характеристика Igx* равна п. Например, lg2,031 =
=0, .. ..так как 2,031=2-10°4-0-10-14-3-10~24-1 • 10~3,1g0,02031 =
=—2, .... так как 0,02031 =2- 10“24-0-10"34-3-10~44- 1 -10“-5.
Вообще, если х^>1, то характеристика Igx на единицу меньше
числа десятичных разрядов в изображении целой части числа х.
Если 0<х< 1, то характеристика Igx содержит столько отри-
цательных единиц, сколько имеется нулей до первой значащей
цифры в изображении числа х.
Операция, обратная логарифмированию, называется потенциро-
ванием. Она состоит в отыскании х по заданному значению logax.
(Так как x=ialogaX, то операция потенцирования есть возведение
в степень.)
Так как логарифмическая функция монотонна, то операции лога-
рифмирования и потенцирования однозначны.
§ 3. УПРАЖНЕНИЯ
Пример 1s Что больше 2023°а или 303202?
Решение. I способ. Из свойств показательной функции сле-
дует, что ас < If при 1 < а < 6 и с>0; аь <ас при а > 1 и b < с.
В данном примере и основания, и показатели сравниваемых
величин различны. Обозначая Л = 20230а и В = 303202, приведем их
к одному показателю. Имеем
А = (2-101)3101 = (8-1013)101, В = (3-101)2101 = (9-1012)101.
Так как 8-1013 > 9-1012, то (8-1013)101 > (9-1012)101, т. е. А > В.,
* Логарифмы по основанию 10 обозначаются символом «1g».
238
II способ. Прологарифмируем А и В по основанию 10. Имеем
1g 4 = 303 • 1g 202 = 303 • 2,... > 606
। (характеристика lg202 равна 2);
1g В = 202- 1g303 = 202- 2,... < 606.
Таким образом, 1g 4 > 1g В и, следовательно, 4>В.
Пример 2, Найти ошибку в следующих «рассуждениях». Оче-
( 1 А2 - ( 1 А8 п
видно, что (у) >(-у) • Следовательно,
1о§в(у)2>1(т)8’ (11)
ИЛИ
' 21ogel>31ogel. (12)
^Сокращая последнее неравенство на общий множитель, получаем
1 явно неверный результат
2 > 3.
Решение. Ошибка состоит в следующем: при а> 1 равенства
i(ll) и (12) верны, однако при сокращении на logaу < 0 знак получен-
ного неравенства изменится на противоположный, т. е.
2 < 3.
>гт - 1 ( 1 А2 ( 1 А’ 1 [ 1А2
'При а<1 из условия l-yl >(-g-l вытекает, что logaly) <
. 1 Л V
< log» (jJ . т- е«
21oge4<31ogel,
откуда следует, что 2 < 3, так как logay >0 (a< 1).
При решении задач на упрощение выражений, содержащих ло-
гарифмические или показательные функции, а также при доказа-
тельстве тождеств используются формулы, выведенные в § 2.
Пример 3. Вычислить без таблиц следующие выражения:
3—Ig 5
1) 21°£<9+1, 2) 5 lg25 .
Решение. 1)Так как аь+с = аь-ас, то
2*°s< 9+i _ 21°е« 9-2.
Но loga*bft = loge b. Поэтому log4 9 = loga 3 и 2log«9 = 2Iog»3 = 3. Итак,
2iog49+i =3.2 = 6.
2) Так как loge& = ^, то ^ = 1^ 10.
239
3
Поэтому 5~>825- = 5(3 - '8 5> • - ,08ь 10 = 1 ° 2 ~~= j q у jq . J/-5 = j Qy <j
Пример 4. Упростить выражения:
1) а >8° , 2) log23-log34-log45 ... log, 10.
Р ешен ие. 1) Так как аЬс = (аь)с и ^ = logo 10,
ТО
lg Ig а
a а = aloSa 1 о • lg lg а _ ^loga * °)lg (lg a) _ J Qlg (lg a) _ ]g
2) Обозначая данное выражение через А и переходя в каждом
логарифме к основанию 10 [по формуле (5)], имеем
1112-— -Ing 10
Л lg2 lg3 lg4 * - ’ lg9-lg2~10&!
Пример 5. Найти log64 168, если log,12 = a и logJ224 = &.
Решение. Разложим числа 168, 54, 12, 24 и 7 на простые
множители:
168 = 23-3-7, 54 = 2-33, 12 = 22-3, 24 = 23-3 , 7 = 7.
Отсюда видно, что число различных простых множителей, входящих
в разложение, равно трем (2, 3, 7). Обозначая log23=x и log2 7=у,
мы можем выразить через х и у все логарифмы, содержащиеся в
данной задаче. Действительно,
102 12^10^12 1°бг(22-3) 2+х
ё’ log2 7 у у ’
1п<т 94 log2 24_ log2(2?-3) _ 3-f-x
ё12 “ log212 log2(22-3) 24-х’
Urr 1RR — lo& 168 - 1о^ (23 • 3 • 7) _ 3 4- х+у
iog64ioo log254 iog2(2.33) 14-Зх •
(13)
Используя данные задачи, составляем для определения х и у систему
двух уравнений
(24-х
—2— = а,
У
3+х
24-х ’
3—26 1 „
решая которую, находим, что х = У = ^("б—Tj • П°Дставляя
найденные значения х и у в третье из равенств (13), получаем
log64168
1 -\-ab
а(8—5Ь) ‘
Замечание. Исследование способа решения показывает, что
подобная задача имеет решение, если число различных простых
множителей чисел и оснований на единицу больше числа условий.
Тогда, принимая один из множителей за основание, мы получаем
систему уравнений, число которых равно числу неизвестных.
240
Задачи, где все логарифмы рассматриваются при одном основании,
решаются проще, без составления системы.
Пример 6. Вычислить logs0 8, если log30 3 = а и log30 5 = 6.
Решение. Замечая, что 30 = 2-3-5, имеем
log30 2 + log303 + log30 5 = log3030 = 1, или aJ-Z> +tog30 2= 1.
Отсюда находим log30 2 = 1 — (а + b) и
log308 = 3(l— a—b).
Пример 7. Найти 1g 2 и 1g 5, если 1g 2- lg 5 = а.
Решение. Так как 1g2 +1g5 = 1g 10= 1, а по условию
Ig2-lg5=a, то 1g2 и 1g5 являются корнями квадратного уравнения
z2—z-j-a = O.
Решая его, находим zli2 = y(l ± К1 — 4а), откуда
lg5 = y[1+КТ—4aJ, lg2 = y[1—У 1—4aJ, [Ig5>lg2, 4а<1].
Пример 8. Сколько цифр содержит число 275?
Решение. Вычисляя 1g27§, имеем
1g 2?б = 75 • 1g 2 = 75 • 0,3010 = 22,5750.
Отсюда следует, что характеристика этого десятцчного логарифма
равна 22. Но характеристика на единицу меньше количества цифр.
Следовательно, число 2?б содержит 23 цифры.
Пример 9. Доказать, что если a2 + b2 = 7ab, причем ab=£Q, то
lgl^+N=l(lg|a| + lg|Z,|).
Решение. Дополняя левую часть данного равенства до пол-
ного квадрата, имеем
а2 + 2ab + b2 = Sab.
Из равенства положительных чисел вытекает равенство их
логарифмов, взятых по одному и тому же основанию, т. е.
lg (a+&)2 = lg9a&.
Так как 1gх2 = 21g|х| и lg(x1-x2) = lg|x1| + lg|x2|, то из послед-
него равенства следует, что
21g | а + b | = 21g 3 + 1g | а | + lg | b |,
или
lg|a + 6|-lg3=4(lg|a| + lg|6|),
что окончательно дает
lgH±H=j(ig|fl| + ig|&l).
241
Пример 10, Доказать, что
logeN log6N+lo.g6N logcN +logcN • logeN = logaAZ-log^-log^
lu&abc2¥
где W > 0, a > 0, & > 0, c > 0, a=^=l, &=# 1, c=# 1, abc=£ 1, N Ф 1.
Решение. Используя тождество logab = j^^, перейдем в каж-
дом сомножителе левой части к основанию IV. Обозначая ее через А,
имеем
1
л = _2______________________—+ —_____________
log;V a logNb 1 logArb logyyc logATC log^a
r logArc+logjv g-piog^Z) ______logjyafe
= logNa-logNb-logNc logNa-logNb-logNo ’
Преобразуя каждый логарифм к числу N, получаем
. _ loga AMogt AMoge w
logat. Л
что и требовалось доказать.
§ 4. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Показательные и логарифмические уравнения, т. е. такие, где
неизвестные входят в показатель степени или находятся под зна-
ком логарифмической функции, принадлежат к классу трансцен-
дентных уравнений. Остановимся на некоторых типах таких урав-
нений и укажем приемы, сводящие эти уравнения к ранее изучен-
ным.
I. Рассмотрим показательное уравнение
a° = av, (14)
где а =#= 1—положительный параметр, а один из показателей и и»
или оба содержат неизвестное х. Согласно свойству VI (§1) из
равенства степеней с одинаковыми основаниями вытекает равен-
ство их показателей и обратно, т. е. u—v,
Пример 1, Решить уравнение
№ А
V 4 J ' \ з ) = 16 ’
Решение. Преобразуя данное уравнение к виду (14), имеем
Это уравнение равносильно уравнению
х— 1— — = 2,
X
242
решая которое, находим
„ _з± Юз
*1.2 — 2 •
II. Рассмотрим уравнение вида
loga« = logav, (15)
где а Ф 1, а > 0, а одна из величин и и v или обе содержат неиз-
вестное.
Согласно свойству V (§ 2) из равенства логарифмов с одина-
ковыми основаниями вытекает равенство чисел, т. е. уравнение (15)
равносильно уравнению и =v, при условии, что ы>0 и v>0.
Пример 2. Решить уравнение — 2.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
lg 2х = lg(4x—15)2
при условии, что 4х—15 > 0 и 4х—15^=1.
Переходя к равенству чисел, получаем квадратное уравнение
9 25
2х = (4х—15)2, корни которого = и х2=.у . Так как 4%j—15=
25
=3 > 0, а 4х2 —15 < 0, то x2=-g- не является корнем данного
9
уравнения. Итак, единственный корень х = -^-.
Пример 3, Решить уравнение 2~5п~-*- = 3.
lg \ZX
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
lg2 (4 —5х—6х2) = lg(2x—I)3 (2х —1=#1),
а последнее равносильно алгебраическому уравнению
2(4—5х—6х2) = (2х—I)3
при условии, что 4 — 5х—6х2 > О и 2х—1>0 и 2х—1у=1.
Решая систему неравенств
( 4—5х—6х2 > О,
( 2х— 1 > О,
убеждаемся, что она несовместна, так как первое неравенство выпол-
/ 4 1 \ / 1 у
няется в интервале —т > а второе в интервале (-у, со .
у о z у у Z J
Из несовместности системы следует, что данное уравнение не имеет
корней.
Замечание. Этот вывод можно получить сразу, убедившись,
что множество допустимых значений левой части данного уравне-
ния пустое, т. е. не содержит ни одного числа.
III. Уравнение вида
Лап = В&”, (16)
243
где и и v содержат неизвестное, в общем случае решается логариф-
мированием обеих частей по одному основанию.
Пример 4. Решить уравнение 2*+3 — 3*2“2 = 3*2+1— 2*"11.
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду (16). Имеем
8-2х—у-3х2 = 3-3х! —у-2х, или у-2* = y-ЗЛ или Зх! = ^-2*.
Прологарифмируем обе части последнего уравнения по основанию 3:
x2 = log3 ^ + %log32.
Решая это уравнение, находим
2 = 4 (log, 2 ± Уlog|2 + 41og3 g) .
IV. Рассмотрим уравнение вида
Аах + ВЬх = С (17)
(или Аах + ВЬХ = С-сх, сводящееся к первому делением на с*#=0).
В некоторых случаях это уравнение удается свести к алгебраическому
уравнению относительно нового неизвестного. Например, если ab= 1,
то заменой ах = у (тогда Ьх — -Г) уравнение (17) сводится к квад-
ратному уравнению Ау2—Су-\- В = 0. Если Ь — ат (т—целое), то
той же заменой уравнение (17) сводится к алгебраическому
Ау-\-Вут = С.
Пример 5. Решить уравнение (j/^ 2—K3)* + '|/r2 + V з)* = 4.
Решение. Замечая, что 2—КЗ-^2 4~КЗ = 1, положим
2 + V з)* = у (у > 0). После этой замены получаем квадратное
уравнение у'2'—4г/+1=0, равносильное данному при условии, что
z/>0. Его корни у! = 2 + КЗ, у2 = (2 + Кз)-1 = 2—]/3.
X
Возвращаясь к неизвестному х, имеем (2 + Кз)2 = 2 + Кз, от-
куда %j = 2 и (2 + КЗ)2 = (2 + Кз)"1, откуда х2 =—2.
__i_ ___i_ _j_
Пример 6. Решить уравнение 4 х—6 х =9 х.
__i_
Решение. Разделив все члены уравнения на 4 х и замечая,
6 3 (9 \Т
ЧТО — = —= (, имеем
1 2
Принимая, что (у)* —У> получаем квадратное уравнение у* +
+у—1=0, равносильное данному при условии, что г/> 0. Его
244
/5—1 —1—/5 . л
корни у1 = 1—2— и Уг =----—» причем у2 < 0 не подходит.
D / 2 /3—1 т-т
Возвращаясь к неизвестному х, имеем (у! =—о—• Пролога-
рифмируем это равенство по основанию 10 и найдем, что
lg3-lg_2
lg2-lg(/5-1) ’
V. Рассмотрим уравнение вида
uv = uz, (18)
где и, v и z (все или некоторые) содержат неизвестное. Функция
uv (или uz) определена только для положительного основания и
при этом условии уравнение (18) равносильно уравнению uv~z=\
или (и—z)\ogau = Q, которое в свою очередь равносильно совокуп-
ности двух уравнений
v—z = 0 и и = 1.
Как мы уже отмечали в сноске на стр. 232, при отдельных зна-
чениях v и z выражения uv и uz имеют смысл и для неположи-
тельных значений и. Однако те значения х, которые хотя формально
и удовлетворяют равенству (18), но при которых не при-
нято считать корнями уравнения (18).
___ х+1
Пример 7. Решить уравнение (х—1)^+1 ==(х—1) 2 .
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
(^±l-/7+T)lg(x-l)=0,
или совокупности двух уравнений
х—1 = 1 и —j/ х _|_ 1 = о
при условии, что х>1. Из первого уравнения получаем xt = 2.
Решая иррациональное уравнение, находим его корни х2 = 3 и
х3 =—1. При х3 = —1 основание х—1 <0, поэтому х3 = —1 не яв-
ляется корнем данного уравнения (хотя формально (—1 — 1)1/_1 + 1 =
-1 + 1Л
=(—1 — 1) 2 ) . Итак, данное уравнение имеет два корня х1 = 2-,
х2 = 3.
2л- 1
Пример 8. Решить уравнение 5*-2х+1 =50.
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду (18):
2л-1 л-2 / 1 \л —2
5х-2X+1 = 2-52, или 5*“2-2x+1 = 1, или ^5-2х+1у =1.
1
Так как основание w = 5-2x+1 >0 при всех х, то последнее
245
уравнение равносильно уравнению
(х—2)loga (5-2^) =0
или совокупности двух уравнений
х—2 = 0 и log2 5 + ^p-j- = 0.
Решая эти уравнения, находим
х1 = 2; х2 = — 1—1^-5 = — 1— log5 2.
VI. В некоторых случаях с помощью подстановки
у= loga и или i/ = log„a
(а содержит неизвестное) логарифмическое уравнение сводится к
алгебраическому.
Пример 9., Решить уравнение
log* К 5 + log* (5х)—2,25 = (log*K5)2-
Решение. Учитывая, что log*Кб = у log* 5, log* (5х) = log* 54-
•ф-1, (log* К б)2 = у log|5, перепишем данное уравнение:
у log* 5 + log* 5 + 1 —2,25 = у logj 5
или
log* 5 —6 log* 54-5 = 0.
Обозначив log* 5 = у, имеем
у2—бу 4- 5 = 0.
Корни этого уравнения yt = 1, z/2 = 5. Возвращаясь к неизвестному х,
находим
log* 5=1, xt = 5,
log* 5 = 5, х6- = 5, х2 = |/5.
В некоторых случаях перед заменой целесообразно привести лога-
рифмы, входящие в уравнение, к одному основанию.
Пример 10., Решить уравнение log*K3x-log3x =—1.
Решение. Заметим, что log*K3x = ylog* 3 4- у = у1(^8~+у»
Тогда, обозначая log3x = y(y <0), получаем иррациональное урав-
нение
/ КК1)-’’—1-
246
Решая его, находим, что у = —2(у = 1 отбрасываем). Следовательно,
l°g3* = — 2 и х = 3~2 = ±-.
Пример 11. Решить уравнение
log2х (4) 1оё1х + 1о§2х = 1 •
. _2
г> -г 1 „ ( 2 \ °®2 х 1 — log2 х
Решен и е. Так как log2x — =ч—, 2 , то полагая
°2Х \ х J log2 2х 1 + log2 х ’
log2x = y, получаем алгебраическое уравнение у2 + у* = 1, или
у^-\-у*—У3 + У3—У—1 = 0 (у^—1). Выделяя корень yt = 1, имеем сим-
метрическое уравнение у*4-2у34-у24-2у + 1 = 0 (см. гл. III). Решая
—1 — к 2 ± K2^"2—1 , ч о
его, находим y2i3 = ------~---------(у4|5—мнимые). Возвраща-
ясь к неизвестному х, имеем
log2x = 1, т. е. хх = 2;
log2 х =---------2---------, т. е. х2,3 = 2 2
Не останавливаясь подробно на логарифмических уравнениях, со-
держащих параметры (исследование решений в зависимости от
параметров детально проведено в гл. IV), приведем лишь один при-
мер такого уравнения.
Пример 12., Решить уравнение
14-logb(2Iga—x)-logxb = i^-x, а > 0, b>0, 6у=1.
Решение. Переписав уравнение в виде
log6x4-log6(21gn—x)\ogxbAogbx = logbb2 (х>0, х#=1),
замечаем, что оно равносильно уравнению
х(2 1g а—х) = Ь2
при условии, что 21g а—х > О', х > 0 и %у=1. Решая уравнение
х2—2х 1g а 4- Ь2 = 0, находим, что
^i,2 = lg а ± V\g2a—b2. (*)
Из формулы (*) следует, что х112 действительны и положительны
в том и только в том случае, когда 1gа > 0 и 1g2а—&2^0, т. е.
1g а Ь. При этом хг и х2 удовлетворяют ограничительному условию,
так как 21g а—xli2 = lga±Klg2^—й2>0. Если а <1, то lga<0n
решение не существует. Остается исключить те значения параметров,
при которых х=1, т. е. lga±Klg20—^2 = !• Последнее имеет
1 *2+1
место при условии lga = —н—.
247
Итак, данное уравнение имеет два решения 2 = lga± J/^lg2 а—b2
Ь2+1 ’ Ь2 + 1
при а~^ 10ь и 10 2 и одно решение х = Ь2 при а =10 2 .При
а< 10& уравнение решений не имеет.
В заключение этого параграфа рассмотрим несколько систем
логарифмических и показательных уравнений.
Пример 13. Решить систему
1 х2 /7+1 о
log2 г *— = 2,
4
log8x-log2(y+l)2 = y.
Решение. Так как х>0, то из первого уравнения имеем
2log2Х4--Т-log2(г/4-1)—1 = 2 или 41og2% + log2 (y + 1) = 6.
Во втором уравнении log8 x преобразуем к логарифму с основанием 2.
Получаем
log2x‘3'-21og2(r/+l)=4,
О
или
4log2 X• log2 (у + 1) = у’, или log2x-log2(i/+l) = 2.
Таким образом, данная система равносильна системе
( 41og2% + log2(y+l) = 6,
I log2 %. log2 (у+ 1) = 2,
которая заменой log2x = w и log2 (у + 1) = и сводится к алгебраи-
ческой
[ 4u-j-v = 6t
( u-y = 2.
Решая ее, находим и1=1, иг = 2 и и2 = -^-, v2 = 4.
Теперь для определения х и у мы получаем следующую сово- -
купность систем:
[ 1 og2 х = 1, log2 х = v ,
< и z
\log2({/ + l) = 2 | log2(z/4-1) = 4.
Решая каждую из них, находим
%i = 2, z/i = 3 и х2 = У~2, у2 = 15.
Пример 14. Решить систему уравнений
f log* 0,5 = 1
< log* 0,5 +logy 0,5 logy 0,125’
248
Решение. Выразив из второго уравнения одно из неизвест-
ных через другое, можно свести систему к одному уравнению.
Однако проще первое уравнение заменить равносильным алгебраи-
ческим уравнением. Преобразуя каждый логарифм к основанию 0,5,
имеем
1
l°go,5^ 1 « 1°£о,5 У logo,5 У
1 | 1 - з “"55—^-^5—-
logo,s X log0;6 у
Так как log05i/^=0 (i/#=l), то последнее уравнение равносильно
уравнению log0,5xy = 3, илиху = 0,125 при условии х>0 и у>0.
Итак, данная система равносильна системе
(= 0,125,
\х + у= 1.
Решая ее, находим х1 = 0,5(1+К0,5), ^ = 0,5(1—Ко,5) и
х2 = _0,5(1—/О), у2 = 0,5(1 +/0Д>).
Пример 15. Решить систему уравнений
Г
I ^ = х4.
Решение. Из второго уравнения следует, что х = //4
Тогда из первого уравнения получаем
( J- у
\у* j =yt или //4 = у, причем у > 0.
Поэтому последнее уравнение равносильно совокупности двух урав-
нений у= \ и ^у=\. Итак, //х=1, //2 = 4. Решая уравнение
х = //4 , находим
%! = yj1 У1 = 1 И х2 = у^Ууг =4 4 2 = 4 2 =2.
Итак, система имеет два решения:
= z/i = 1, х2 — 2, у2 = 4.
Пример 16. Решить систему
х3 =у/1/\
, г = Ух+Уу.
249
Решение. Из данной системы следует, что х > 0, у > 0 и
z > 0. Из первого и второго уравнений выражаем х через у и г:
/ 8 \ § 8
Х=\^15у2 =«/6г,
( ЛАД!* 52
х = \У8 J 2 = У2 •
Сравнивая правые части полученных равенств, имеем
8 52
у6г=у2.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений у=1 и
= . Из последнего уравнения находим, что г = 4-. Взяв ^=1,
из первого уравнения системы получаем %! = !. Тогда из третьего
4 -
уравнения следует, что гх = 2. Взяв г = -^, имеем х = уьг=у2.
Тогда из третьего уравнения системы следует, чтоу = у + Уу ,
Итак, данная система имеет два решения:
= «/!=!, г1 = 2их2 = ^( у— 1) , !/2 = 4( V0 ’ г2 = 4’
§ 5. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ
И ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИИ
I. Пусть дано неравенство
л < ап < Р, (20)
где и — некоторое выражение, содержащее неизвестное х; а а, р и
а—заданные положительные числа или параметры.
Прологарифмируем данное неравенство по основанию а. Если
а> 1, то неравенство (20) равносильно неравенству
logaа < И < loga Р-
Если 0 <а < 1, то неравенство (20) равносильно неравенству
10gaa>«>10gaP.
II. Если основание степени также зависит от х, т. е.
u«<v“<u₽ (21)
(v зависит от х, т. е. содержит х, причем v > 0), то неравенство
(21) равносильно совокупности двух систем
|a<u<p, JP<«<a,
(о>1 И (0<о<1.
250
III. Неравенство
a < loge и < p (22)
можно представить в виде
loga a“ < loga и < loge a?. (23)
В силу монотонности логарифмической функции неравенство (23)
равносильно одному из неравенств
а1 < и < а? при а > 1
или
а’ > и > а? при 0 < а < 1.
В частности, неравенство
loga « < ₽ (24)
равносильно одному из неравенств
О < и < а? при a > 1
или
и > а? при 0 < a < 1.
(Из последнего следует, что и > 0, так как а? > 0).
Неравенство
loga « > Р (25)
равносильно одному из неравенств
и > а?, если a > 1,
или
0 < и < а?, если 0 < a < 1.
Пример 1£ Решить неравенство
log (X2-3X4-1)
Решение. Это неравенство типа (20), где и = log i (х2—Зх-j-1),
Р = 1. Так как й=£-<1, то оно равносильно неравенству
log^ (х2—3x4- 1) > 0.
9
Последнее согласно результату (25) равносильно неравенству
0 < х2—3x4-1 < 1.
Решая его (см. гл. III, § 14), находим
251
Пример 2. Решить неравенство
Ж < М, 1*<1.
Решение. Данное неравенство перепишем в виде
0,1 < |log0ilx| < 1.
Последнее равносильно совокупности двух систем
( 0,1 < log0ilx < 1, 1 —1 < log0ilx < —0,1,
I l°go,i*>0 \ log0ilx<0
или согласно результатам (23), (25) и (24) совокупности систем
( 0,1 <х< ’j/oTT, ( 1j/10<x<10,
\ 0 < х < 1 И( х> 1.
Таким образом, решения данного неравенства — интерваль
(0,1, ^6Д) и fj/To, ю).
Пример 3. Решить неравенство
4х2 + 3-3гг + х-Зу* <2х2-3Г7 + 2х+6.
Решение. Сгруппируем члены, содержащие 3Ух. Имеем
(2х2—х—3)(3Ух — 2) > 0.
Последнее равносильно совокупности двух систем
( 2х2—х—3>0, (2х2—х—3<0,
(3Zjc—2>0 \ Згг—2 < 0.
3
Решая первую систему, находим х> решая вторую, находим
0^х < log^2.
И при решении неравенств иногда целесообразна замена неиз-
вестного.
Пример 4. Решить неравенство
log21оёзйл < log_L ’
Решение. Учитывая, что logi ^=4 = log„и полагая
. 3
= получаем log2 у < logj_ у, или log2 у < — log2 у, т. е.
2
log2z/<0. Последнее равносильно неравенству 0 < у < 1. Возвра-
щаясь к неизвестному х, имеем
0< log3 —< 1,
&3Х—1
252
что в соответствии с результатом (21) равносильно неравенству
X 1
X—1
1
<3.
Решая последнее, находим 2<х<оо.
Пример 5. Решить неравенство
log± <4*2+4* +
. 2 К
£х2 + 4х-1___ j 1.
Решение. Данное неравенство согласно результату (24) равно-
сильно неравенству
Q < ^Х2 + ix | QX2 + ix — 1 L -В
Полагая i/ = 2a'2+4* (тогда 4*2+4a = z/2), имеем 0<#24-уу—
1 9
— -2<2-, или 0 < 2у2 4-у—1 < 9, причем у > 0. Таким образом,
данное неравенство равносильно следующей системе:
' 2^ + «/-1 >0,
< W + y—10<0,
У>0-
Решая ее, находим, что у < у < 2. Следовательно, у<2А’+4А <2,
или 2-1 < 2*2+4* < 21. Это неравенство согласно результату (21)
равносильно неравенству —1 < х2 Д- 4х < 1, из которого находим, что
—2—/5<х<— 2—КЗ и — 2 + /3<х< — 2+К5?
ГЛАВА IX
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. УГОЛ В ТРИГОНОМЕТРИИ
Пусть луч, выходящий из точки О, занимает исходное положе-
ние О А, Сделав некоторый поворот от этого исходного положения
против или по часовой стрелке, он займет положение ОВ (рис. 52).
Это новое положение вместе с исходным образует угол АОВ, у
которого О А называется начальной, а ОВ—конечной сторонами.
Угол называется положительным, если он образован поворотом
луча против часовой стрелки, и отрицательным—в противополож-
ном случае. Наименьший положительный поворот, при котором
__________ конечная сторона совместится с начальной,
называется полным углом.
\ ль При вращении луча от начальной стороны
I I О Л до конечн°й ОВ, он может совершить не-
сколько полных положительных или отрица-
£ тельных поворотов, т. е. одной то же взаим-
ное расположение лучей О А и О В может быть
^ч***-*и*^ достигнуто бесконечным множеством различных
Рис. 52 поворотов. Следовательно, чтобы задать угол
АОВ, недостаточно внать его начальную и
конечную стороны, а нужно указать еще тот поворот, который 1
переводит луч из начального положения ОА в конечное ОВ, Этим
и определяется угол в тригонометрии.
Как и в геометрии, углы в тригонометрии измеряются в граду-
сах и радианах *. Но если мера или величина геометрического
угла есть число положительное, принимающее значения от 0 до
360Q (градусов) или от 0 до 2л (радианов), то величина тригономет-
рического угла есть число, которое может принимать любые поло-
жительные и отрицательные значения.
Два угла называются равными, если равны их величины. При
этом, очевидно, их начальные и конечные стороны могут быть со-
вмещены. Обратное утверждение не имеет места, т. е. из совпаде-
ния сторон двух углов а и 0 не вытекает, вообще говоря, равен-
ство этих углов. Однако они могут отличаться друг от друга только
на полное число оборотов положительных или отрицательных, т. е.
а—0 = 36OQ-£, или а—0 = 2л&,
где k = 0, ±1, ±2, ... . Здесь, как и в дальнейшем, под словом
угол понимают величину угла (т. е. слово «величина» опускается,
так же как говоря «сторона треугольника а = 3», опускают слово
«длина»).
Суммой двух углов а и 0 называется третий угол построен-
ный по следующему правилу: принимая конечную сторону
* Существуют и другие единицы для измерения углов. Мы на них останав-
ливаться не будем.
254
первого угла за начальную сторону второго, откладывают от нее
второй угол против или по часовой стрелке, в зависимости от*
знака второго слагаемого (рис. 53).
Вычитание углов определяется как действие, обратное сложению,
т. е. а—Р = если Р + ? = а.
Таким образом, если углы а и Р откладывать от общей сторо-
ны ОА и за начальную сторону разности у принять конечную
сторону ОВ вычитаемого Р, то конечная сторона совпадет с ко-
нечной стороной ОС уменьшаемого а (рис. 54). Заметим, что вся-
кое вычитание может быть рассмотрено как сложение, т. е.
а—р = а + (—Р).
Очевидно, сложению углов соответствует сложение их величин,
т. е. величина суммы углов равна сумме величин слагаемых.
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КРУГ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
координат (рис. 55).
Для удобства в тригонометрии используется так называемый
«тригонометрический круг»—окружность произвольного радиуса
с центром в начале прямоугольной св
Координатные оси делят этот круг на
четыре квадранта, или четверти, соот-
ветствующие координатным четвертям
и занумерованные в том же порядке.
Горизонтальный радиус О А принима-
ют за неподвижный и считают его на-
чальной стороной всех углов в круге
(если не сделано дополнительной
оговорки). Конечную сторону этих уг-
лов образует другой радиус ОВ, ко-
торый называют подвижным. Каждо-
му действительному числу а соответст-
' вует единственное положение подвиж-
ного радиуса ОВ (или точки В на
окружности), образующее угол в а радианов. Обратная связь неод-
нозначна— каждому положению подвижного радиуса ОВ (или
точки В на окружности) соответствует бесчисленное множество
255
действительных чисел а — величины всех углов, определенных этим
положением подвижного радиуса ОВ. Все эти числа содержатся
в формуле а + 2л&, где k = 0, ±1, ±2, ... и а — одно из этих
чисел.
Говорят, что угол а оканчивается в той четверти, в которой
лежит соответствующий ему подвижный радиус. В частности, если
а—острый угол, т. е. О < а < ~ , то говорят, что он принадле-
жит I четверти.
Углы, конечная сторона которых лежит на горизонтальном или
вертикальном диаметре (границы четвертей), обычно не относят ни к
одной из четвертей. Таким образом, углы, изменяющиеся в интервалах
~ + 2лй^, или (360°-&, 90Q + 360%), оканчиваются в I чет-
верти. Углы, изменяющиеся в интервалах ^у + 2л&, л + 2л&) ,
или (90°4-360%, 180° + 360°-&), оканчиваются во II четверти.
Углы, изменяющиеся в интервалах (л + 2л&, ~ л+2л^, или (180° +
+ 360°-&, 270Q4-360°«&), оканчиваются в III четверти. И, наконец,
углы, изменяющиеся в интервалах (~л + 2л&, 2л + 2л&) или
(270° + 360°-k, 360Q + 360°-&), оканчиваются в IV четверти.
Замечание. Вместо углов в круге можно говорить о соот-
ветствующих им дугах окружности, как положительных, так и
отрицательных. При этом градусные измерения тех и других сов-
/ все, что в дальнейшем будет говориться об уг-
лах, в равной мере следует относить и к
дугам.
Пусть а—некоторый угол и О В — соот-
ветствующий ему подвижный радиус. Обоз-
начим через х и у координаты точки В и
докажем, что для любого угла а величины
отношении и -н- не зависят от длины ра-
диуса R. С этой целью рассмотрим два три-
гонометрических круга с радиусами R и R±
(рис. 56).
определенности R < Rt. Продолжая радиус ОВ,
6/W
падают. Поэтому
Я
х
Рис. 56
Пусть для
получим на второй окружности точку Вг с координатами хг и уг.
Очевидно, что тот же угол а во втором круге определяется радиу-
сом ОВ^ Если точки В и Вг попадают на концы вертикального
или горизонтального диаметра, то справедливость нашего утвер-
ждения очевидна (например, для левого конца горизонталь-
ного диаметра у = уг = 0, х = — R, хг = — Rr и, следовательно,
-н- = -^- = 0, -4- = -§- =— 1. Аналогично исследуются другие три
A Al А А1
случая). Во всех остальных случаях можно построить подобные
треугольники ОВС и OB-fi^ где С и Сх—проекции точек В и Вг
на горизонтальный диаметр.
266
Из подобия этих треугольников имеем
ВС в,с1 ОС о,с,
R /?! и R /?! •
Так как ВС = | у[, В1С1 = \у1\, ОС = | х | и ОС1 = |.т1|, то
I у I _ I i/i I тт 1*1 I *11
'IT--/??" ~R~
откуда в силу совпадения знаков х
мое, т. е.
Ri ’
и xit у и yx следует требуе-
*1
JL = JZl и А = _
R Ri R R, '
Из равенств (*), справедливых для любого а, следует независимость
от длины радиуса R отношения JC (JL= У1-\ если х=#0 и хх^=0,
X у X Х^ J
т. е. сс=#у + &я, и отношения= у-У если //=^0 и ^^=0,
т. е. a Все эти четыре отношения, зависящие только от угла а,
называются тригонометрическими функциями этого
угла, а именно:
1. Синусом угла а называется отношение ординаты конца по-
движного радиуса, соответствующего а, к длине радиуса:
у
Sin ОС =-уг .
К
2. Косинусом угла ос называется отношение абсциссы конца
подвижного радиуса, соответствующего ос, к длине радиуса:
3. Тангенсом угла а называется отношение ординаты конца
подвижного радиуса,, соответствующего ос, к его абсциссе:
4. Котангенсом угла ос называется отношение абсциссы конца
подвижного радиуса, соответствующего ос, к его ординате:
Иногда, кроме этих четырех функций, рассматриваются еще
две функции: секанс и косеканс.
Секансом угла ос называется величина, обратная косинусу а,
т. е. sec а — . Косекансом угла ос называется величина, об-
ратная синусу ос, т. е. cosec ос = . Эти две функции специаль-
ного интереса не представляют, ими пользуются лишь как удоб-
9 № 407 257
1 1 ГТ
ным представлением выражении и -cqs . Поэтому мы в
дальнейшем будем изучать свойства только первых четырех функ-
ций: sin a, cos а, tga и ctga. Из определения тригонометрически?:
функций вытекает, что:
1) функции sin а и cos а определены для любого а, причем
| sin а | 1 и | cos а | < 1;
2) функция tga определена для всех (& = 0, ± 1,
±2, ...). Подвижный радиус, соответствующий значению а=у-|-£л,
лежит на вертикальном диаметре (абсцисса его конца равна нулю);
3) функция ctga определена для всех Подвижный
радиус, соответствующий значению а = л£, лежит на горизонталь-
ном диаметре (ордината его конца равна нулю).
Знаки функций sin а и cos а совпадают со знаками ординаты и
абсциссы Конца соответствующего радиуса. Знаки функций tga
и ctga положительны в тех четвертях, где совпадают знаки коор-
динат х и у. Следовательно, sin a > 0, если а оканчивается в I и II
четвертях, cosa>0, если а оканчивается в I и IV четвертях,
tga>0 и ctga > 0, если а оканчивается в I и III четвертях.
Вместо тригонометрической функции угла или дуги можно го-
ворить о тригонометрической функции действительного числа а.
Тригонометрической функцией действительного аргумента а
называется одноименная тригонометрическая функция дуги или
угла в а радианов. Все свойства тригонометрических функций мы
будем формулировать для любого аргумента а, который может
быть углом, дугой или числом.
§ 3. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
I. Четность и нечетность. Для любых двух аргументов а и —а,
отличающихся только знаком, соответствующие им подвижные
радиусы ОВ и ОВХ симметричны относительно оси абсцисс. Поэтому
хв = хв^ Ув = — Ув, и
/ \ У&1 У в
sin(—a) = -^- = — =— sin a,
, ч xBi Xr
cos (— a) = = cosa,
я i \ УВ\. — уr • f . тс .
tg(-«) = —= -^- = -tg« (ay=j + ^,
ctg(—a) = -^- = -^- = —ctga (a=4jt^).
Согласно определениям четной и нечетной функций (см. гл. VI)
отсюда вытекает, что функция cosa—четная, а функции sin а,
tga и ctga — нечетные.
258
II. Периодичность. Значения тригонометрических функций оп-
ределяются положением подвижного радиуса, которое не меняется,
если его повернуть на полный угол по или против часовой стрел-
ки. Это означает, что при прибавлении к аргументу а числа ±2л
sin (а ± 2л) = sin а для любого а,
cos (а + 2л) = cos а для любого а.
Что касается тангенса и котангенса, то
tg (а ± л) = tg а
ctg (а ± л) = ctg а
для а^-^" Ц-л/г,
для а =/= ли.
В самом деле, точки В(х, г/) и r/J окружности (рис. 57),
соответствующие аргументам а и а + л (или а и а—л), симмет-
ричны относительно начала коорди-
нат, т. е. х = —х1, у = -—у1- Отсюда
Xi х У1 У
следует, что-^- = — и — = —, т. е.
У1 У Xi X
tg (а ± л) = tg а и ctg (а ± л) = ctg а.
Таким образом, функции since, cosa,
tga и ctga—периодические.
Покажем, что основной период
функций sin а и cosa равен 2л, а функ-
ций tga и ctga равен л.
Предварительно заметим, что: 1)
sina=l в том единственном случае,
когда соответствующий подвижный
радиус совпадает с верхней половиной вертикального диаметра, т. е.
а = -^- + 2л&; 2) cosa= 1 в том единственном случае,когда соответству-
ющий подвижный радиус совпадает с правой половиной горизонталь-
ного диаметра, т. е. а = 2л&; 3) tga = 0 в том единственном случае,
когда соответствующий подвижный радиус лежит на горизонталь-
ном диаметре, т. е. а = л&; 4) ctga = 0 в том единственном случае,
когда соответствующий подвижный радиус лежит на вертикаль-
ном диаметре, т. е. а = у + л&. Из этих замечаний следует, что:
1) наименьший положительный поворот, через который может
повториться единичное значение синуса и косинуса, равен 2л. Это
означает, что период синуса и косинуса не может быть меньше,
чем 2л. Следовательно, период 2л является основным для этих
функций;
2) наименьший положительный поворот, через который может
повториться нулевое значение тангенса и котангенса, равен л.
Следовательно, период л является для этих функций основным.
III. Основные соотношения между тригонометрическими функ-
циями одного и того же аргумента. Пусть аргументу а соответ-
ствует подвижный радиус ОВ и х, у—координаты точки В.
Имеем:
9*
259
1) sin2a +cos2a = + х =1, так как x2+y2=R2
(см. гл. I). Таким образом, для любого а
sin2 а 4-cos2 а= 1;
(1)
2)tga = f = 4-
~R
sin а
cos а
для
любого ос=^=у+ л&*;
А х R
Ctg а = — =-----
Б У У_
R
cos а
= —----- ДЛЯ
sin а
любого a^=nk.
Таким образом,
sin а
cos а ’
. „ cos а
ctg а = —-------;
sin а
tga
(2)
(3)
3) к этим трем тождествам
щие функции sec а и cosec а:
присовокупим еще два, определяю-
1
sec а =---------
cos а
(4)
1 (а=Дл£).
(5)
cosec а = -т-—
sin а
Тождества (1) — (5) называются основными. Из них получаются
еще три тождества.
Из
соотношений (2) и (3) следует, что
tg а • ctg а
(6)
Из
формул (2), (1) и (4) следует, что
- . А . sin2 а cos2 а + sin2 а
l+tg2a=l+^=-------------
cos2 а
1 2
—5— = sec2 а,
cos2 а
т. е.
1 + tg2 а = sec2 а
(7)
Из
формул (3), (1) и (5) следует, что
1 + ctg2 а = 1 4- = sin2a + cos2e = _J_ = cosec2 а,
' sin2 а sin2 a sin2 а
т. е.
1 ctg2 а = cosec2 а (а #= kл).
(8)
* Здесь и в дальнейшем & = 0, ±1, ±2, ...
260
§ 4. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Дальнейшие свойства тригонометрических функций мы получим
при анализе их графиков.
I. График функции _y = sinx. Возьмем окружность единичного
радиуса с центром в точке (—1,0) и разделим на т равных частей
верхнюю полуокружность (рис. 58). Точки деления обозначим через
Ло, Alf ..., Ат (нумерация производится против часовой стрелки).
На то же число т равных частей разделим 'отрезок [0, л] оси
абсцисс. Точки деления обозначим через хо = О, х2, ...» хот = л.
Очевидно, что sinx* равен ординате точки Ак окружности. Поэтому,
проведя из х0, х19 х2, ..., хт вертикали и спроектировав на них
Ло, Alf ..., Ат соответственно, мы найдем ряд точек Af0,
Мт, лежащих на искомом графике. Теперь соединим их плав-
ной кривой и мы получим график синуса на отрезке [0, л].
Используя свойство нечетности, а затем периодичности синуса,
строим его график сначала на отрезке [—л, 0], а затем на всей
числовой оси. Полученная кривая называется синусоидой, а каждая
ее часть, соответствующая отрезкам [0, 2л], [2л, 4л], ... или
[—л, л], [л, Зл] и т. д., называется волной синусоиды.
Замечания. 1) так как sinx<x (см. § 5), то синусоида ле-
жит ниже биссектрисы I координатного угла и выше биссектрисы
III координатного угла;
2) при соединении точек Af0, М19 ..., Мт полезно учесть, что график функ-
ции y = sinx выпуклый на интервале (0, л). В самом деле, условием выпуклости
в нашем случае является выполнение неравенства
*1+*2 . sin Xj + sin хг
sin -----------
2
или
sin xj + sin х2 < 2 sin -Цу
261
где 0 < xt < Jt2 < л. Последнее неравенство равносильно неравенству
_ . Xi+X2 xt—х.2 . x1-f-x2
2 sin 1 ' — • cos 1 — < 2 sin 1 ,
z &
или
(см. гл. X). Последнее очевидно, так как 0 < | -у—
Мы видим, что функция у = sin х:
1) монотонно возрастает от —1 до 1 на каждом из промежутков
£—у + 2л&, у 2л& J , принимая при этом все значения от —1 до 1,
и монотонно убывает от 1 до —1 на каждом из промежутков
[л 3 ”1
у + 2л£, у л + 2л£ , принимая при этом все значения от 1 до —1;
2) принимает наибольшее значение, равное 1, при х = у + 2л£
и наименьшее значение, равное —1, при = — у+2л£;
3) обращается в нуль при x = nk.
II. График функции у = cosх. Так как cosx = sin ^x + yj (см.
гл. X), то график функции y = cosx получается сдвигом графика
z/ = sinx на у единиц влево вдоль оси Ох (см. гл. VII, § 8). По-
лученная кривая (косинусоида) симметрична относительно оси Оу
(рис. 59).
Мы видим, что функция y = cosx:
1) монотонно возрастает от —1 до 1 на каждом из промежутков
[л + 2л&, 2лТ-2л£], принимая при этом все промежуточные зна-
чения от —1 до 1, и монотонно убывает от 1 до —1 на каждом
из промежутков [2л6, л-|-2л£], принимая при этом все значения
от 1 до —1;
2) принимает наибольшее значение, равное 1, при х = 2лй и
наименьшее значение, равное —1, при х = л-|-2л£;
3) обращается в нуль при х = у + л£.
262
III. График функции jy = tgx. Проведем единичную окружность
с центром в точке (—1, 0) (рис. 60). Разделив дугу I четверти
на т равных частей, получаем точки Ло, Аг ..., Ат = -^ (Ло = О).
Проведем радиусы ОА0, OAt, ..., ОАт_г и продолжим их до пе-
ресечения с осью Оу в точках Со, С2, ..., Ст__1, Одновременно
разделим отрезок ^0, оси Ох на т равных частей точками х0 = 0,
%х, ..., = Очевидно, значение тангенса в точке xh численно
равно длине отрезка OCk(k = 0, 1, 2, ..., т — 1). Поэтому, проведя
вертикали из точек х0, xlt ..., хт_1 и спроектировав на них точки
Со, С\, ..., Ст_г соответственно, находим точки Af0, Mlf .. .,
лежащие на графике y = tgx. Соединив их плавной кривой, полу-
чаем график функции y = tgx на промежутке (о, (рис. 60).
Замечания. 1) из неравенства tgx>x для 0<х<~ (см.
гл. IX, § 5) следует, что график y = tgx на интервале (^0, у)
лежит выше биссектрисы I координатного угла;
2) при соединении точек 7И0, Мт-± полезно учесть, что график
(JT \
0, — j . В самом деле, условием вог-
нутости в нашем случае является выполнение неравенства
+ tgXi + tgXs
ig 2 < 2
или
2tg*i±*2 < tgr1+tgx2,
где 0 < x, < x2 < ? и, следовательно, 0 < < 2L Используя формулы
(38) и (50) гл. X, получаем равносильное неравенство
sin (х+х2) sin (Д1 + х2)
l + cos (Xl + X2) 2 COSXJL-COSX2 *
которое равносильно, в свою очередь, неравенству
2 cos Xl• cos х2 < 1-j-cos (Xi + *2).
Переходя в левой части от произведения к сумме (см. формулу (25) гл. X),
получим неравенство
cos (xx+x2) + cos (хх—х2) < 1 + cos (Хх + Хг),
или cos (Xjl—х2) < 1, которое очевидно.
Используя нечетность и периодичность тангенса (Т = л), строим
его график вначале на интервале (—у, 0^, а затем на всей чис-
ловой оси (рис. 60).
263
График функции z/ = tgx называется тангенсоидой. Тангенсоида
состоит из ряда отдельных одинаковых частей (ветвей), на которые
она распадается при прохождении аргумента х через точки
х = Поэтому достаточно рассмотреть одну из таких ветвей,
например, на интервале Г — Т* этом интеРвале У =
возрастает, принимая при этом все значения, как положительные,
так и отрицательные. Если аргумент приближается к правому
концу интервала, то функция y = t%x неограниченно возрастает.
Это означает, что для любого М > 0 существует интервал , в кото-
ром tgx > М (см. гл. VII). В этом случае говорят, что tgx стремится к поло-
о . зт
жительнои бесконечности, когда х стремится к 9 оставаясь все время меньше
л
. и пишут
lim tgx = + оо.
Если аргумент х приближается к левому концу указанного ин
тервала, то функция # = tgx неограниченно убывает.
264
Это означает, что для любого М > 0 существует интервал
, в ко-
тором tgx<—м. В этом случае пишут
lim tgx =—оо.
2
Прямые x = y + являются вертикальными асимптотами тан-
генсоиды.
IV. График функции _y = ctgx. Так как ctgx = — tg(x—у),
то, согласно правилам I и VII (гл. VII, §8) график котангенса получает-
ся из графика тангенса путем двух преобразований: сначала сдвигаем
тангенсоиду y = tgx на у единиц вправо вдоль оси Ох, а затем
колебания (гармоника).
интервалов y = ctgx
убывает, причем
и limctgx = — оо.
X -> л
X < л
являются его верти-
полученный график z/ = tg(\ —
отображаем симметрично относитель-
но оси абсцисс (рис. 61).
График функции г/^ctgx назы-
вается котангенсоидой. Он состоит из
одинаковых ветвей, соответствующих
интервалам (nfe, л На каж-
дом из этих
монотонно
lim ctg х = + оо
х -> О
х> О
Прямые x = nk
кальными асимптотами.
V. График простого гармонического колебания (гармоника).
Простое гармоническое колебание описывается уравнением у =
= A sin (сох 4- ф), где Д>0 называется амплитудой, со — часто-
той, а ф—начальной фазой. Если представить эту функцию в виде
у = A sin со х + ~ ) ,то мы видим, что ее график получается из графика
у = sin х путем следующих его последовательных преобразований.
1. Согласно * правилу VI, гл. VII, § 8 сжатием вдоль оси Ох
с коэффициентом со из графика у = sin х получаем график у = sin сох
(рис. 62, а).
2. Сдвигая кривуюу = sin сохвдоль оси Ох на отрезок | ^вправо,
если -2-<0, и влево, если ^->0^, получаем график функции у =
= sin со (рис. 62,6).
3. Растягивая кривую у = sin со (у вдоль оси Оу с коэф-
265
фипиентом At получаем требуемый график у= A sin со 4- -2-или
Л-sin (сох 4-ср) (рис. 62, б).
Так как функция = A sin (сох4-<р)— периодическая с периодом
2л
— (см. гл. VII, § 5), то достаточно построить ее график сначала
Г л п "I
на отрезке ———ср, — — ср , азатем полученную основную волну
гармоники продолжить периодически. Основная волна гармоники
получается путем преобразований 1, 2, 3 основной волны синусоиды
z/ = sinx, |х|^л.
Итак, график гармоники у = A sin (сох-4 (р) есть синусоида с пе-
2зт
риодом Т = —. Ее основная волна расположена внутри прямоу-
гольника со сторонами у=±А их=±-— ср.
266
Пример.- Построить график функции
п • 1 / Я \
у =2siny^x—yj .
Решение. Мы видим, что искомый график есть гармоника
с амплитудой A = 2, периодом Т = 4л и начальной фазой ф =— у.
Ее основная волна расположена в прямоугольнике со сторонами
х = ч=2л + у. Наибольшее значение А = 2 достигается при
х = л4-у, наименьшее — при х =—л4-у (рис. 63).
§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА
Пусть а — острый угол ^0<а<у) и ОВ—соответствующий
ему подвижный радиус. Тогда этот угол можно рассматривать как
острый угол в прямоугольном треугольнике ВОС, в котором катеты
ОС и ВС равны соответственно координатам х и у точки В, а ги-
потенуза ОВ равна радиусу круга (рис. 64). Верно и обратное.
Всякий прямоугольный треугольник ВОС с острым углом а, гипо-
тенузой с и катетами а и b можно поместить в тригонометрический
круг радиуса R = c так, как это указано на рис. 64. При этом
координаты точки В совпадают с длинами катетов: В(Ь, а).
Согласно определению тригонометрических функций произволь-
ного угла имеем:
1) sina = y, т. е. синус острого угла прямоугольного треуголь-
ника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;
ь
2) cosa = y, т. е. косинус острого угла прямоугольного тре-
угольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;
3) tga = y , т. е. тангенс острого угла прямоугольного треуголь-
ника равен отношению противолежащего катета к прилежащему;
267
4) ctga = —, т. e. котангенс острого угла прямоугольного тре-
угольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
Очевидно, что все тригонометрические функции острого угла
в прямоугольном треугольнике положительны.
Пусть а — радианная мера острого угла. Продолжим соответ-
ствующий ему подвижный радиус ОВ до пересечения в точке D
с вертикальной касательной, проведенной к окружности в точке А
(рис. 65). Рассмотрим треугольники БОА и DOA и круговой
сектор БОА. Все они содержат общий угол а. Согласно свойству
площадей (см. гл. XV)
Sboa < $вйд < Sdoa • (*)
Вычисляя эти площади, имеем
Sboa OB-sma-OB~ у 7?2-sina.
= и SDoA = ^OA-AD = ±OA.OA.t%a = ^..lza.
Подставляя найденные значения площадей в неравенство (*) и
Я2
сокращая все его члены на множитель —, получаем
sin а < а < tga. (9)
Итак, мы доказали важное неравенство, справедливое для дей-
ствительных чисел а, заключенных в интервале ^0, Заметим,
что sin a < а для любого a > 0.
§ 6. ЗАДАЧИ
Пример 1. Для каких значений х определены следующие функ-
ции:
1) ctg(3x—45°);
Решение. 1. Функция ctga определена для всех углов
a=^180°-fe. Следовательно, функция ctg(3x—45°) определена для
всех х, при которых Зх — 45°#=180°-&, т. е. для х^ 15°-|-6О0-#.
2. Функция tg определена для всех действительных зна-
чений х, при которых + т. е. для х=#1± Vn (2k + 1).
Здесь k принимает лишь целые неотрицательные значения, так
как при k =— 1, — 2,... подкоренное выражение л(2^4-1)<0.
Пример 2. Определить знаки чисел: 1) cos2; 2) cos(sina);
3) sin 5—tg 4.
Решение. 1. Так как л = 3,1416..., то у < 2 < л. В этом
268
интервале косинус принимает отрицательные значения. Следова-
тельно, cos 2 < 0.
2. Так как |sina|<l для любого а, то —y<sina<y.Ho
в интервале (—у, у) косинус принимает положительные значе-
ния, поэтому cos (sin ос) >0.
3. Так как л = 3,1416.л = 4,71,..., 2л = 6,28,
-|-л<5<2л и л < 4 < . Поэтому sin 5 < 0, tg 4 > 0. Следова-
тельно, sin 5—tg4<0.
Пример 3. В каких четвертях может оканчиваться а, если:
l)tga = — у + 2; 2) cosa = — -у; 3) /tg2a = — tga?
то
Решение. 1. Число —у + 2>0. Следовательно, а оканчи-
вается в тех четвертях, где тангенс принимает положительное зна-
чение, т. е. в I и III четвертях. Это значит, что а может лежать
лишь в одном из интервалов у + где£ = 0, ±1, ±2, ....
2. Так как —у <—1, а косинус изменяется в пределах от —1
до 1, то не существует действительного а, при котором cos а = —у.
3. Данное равенство справедливо для тех а, для которых | tg а | =
= —tg а. А это означает, что tga<0. Следовательно, а может
оканчиваться во II и IV четвертях, т. е. в одном из интервалов
( —у + , где k = 0, ±1, ±2, ....
Пример 4. Какие из тригонометрических функций sin a, cos а,
tga и ctga могут принимать значения:
1) a + l(a#=0); 2) 1—1(6>0)?
Решение. 1. Если a=# 0, то | > 2 (см. гл. II, § 8).
Следовательно, эти значения могут принимать лишь функции tga
и ctga.
2. Функции tga и ctga могут принимать любые значения,
в частности, и значения 1—при любом 6^=0.
Функции sin а и cos а могут принимать значения 1—у лишь
для тех Ь, при которых |1—у | 1. Решая это неравенство и учи-
тывая, что b > 0, находим у^&< оо. Таким образом, функции
sin а и cos а принимают значения 1—у в случае, если у.
Функции tga и ctga могут принимать значения 1—у при лю-
бых 6^=0.
2 69
Пример 5. Какие из приведенных ниже функций являются
четными и нечетными:
1) у = sin2х; 2) z/ = sin% + 2; 3) у = Ksin%?
Решение. 1. z/ = sin2x = sinx-sinx есть произведение двух
нечетных функций и, следовательно, функция четная.
2. у = sin %+ 2 есть сумма нечетной и четной функции и, сле-
довательно, не обладает четностью, т. е. не является ни четной,
ни нечетной функцией.
3. Так как у = sin х—нечетная функция, то отсюда следует, что
Ksinx четностью не обладает (радикал с четным показателем от
нечетной функции (см. гл. VII, § 6).
Пример 6. Доказать, что функция у = sin Ух не имеет периода.
Решение. Предположим, что Т — период функции sin К**
Тогда, по определению периода sinj/% + 71 = sinj/^ для любого х.
Взяв в частности х = 0 и х = Т, получим два равенства
sin]/^7" = 0 и sinK2T = sinj/T,
из которых вытекает, что У Т = nk и У 2Т = где k и п—целые
1 п2
Отсюда следует, что. л2й2 = у л2/г2, т. е. 2 = -^, что невозможно
при целых п и k (см. гл. I).
Пример 7. Доказать, что ] cos ос | дД sin ос | 1.
Решение. Очевидно, что cos2a = |cosct|2^|cosa| и sin2a =
= |sina|2=C|sina|. Отсюда следует, что | cos а | + | sin а | 1, при-
чем это равенство достигается лишь в том случае, когда либо |sina| = l,
либо | cos а | = 1, т. е. при a = nk и а = уД- nk. Последние два ра-
венства можно объединить в одно а = и = 0, ±1,±2, ± ... .
Можно дать другое доказательство, использующее тригонометри-
ческий круг. Пусть а=£у п и 0В = 1 — подвижный радиус, соответ-
ствующий а. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВОС (С—про-
екция точки В на горизонтальный диаметр). Очевидно, | sinсс | =
== ВС, | cos а| = ^== ОС, ОВ = 7? = 1. По свойству сторон
треугольника ВС + ОС>ОВ, что и дает требуемое неравенство
|sina| + |cosa| > 1.
При а = ^-п либо | cos ос | = 0 и ]sinoc| = l, либо | sin ос | = 1 и
|cosa| = 0, т. е. | cos ос | Д-1 sin ос | = 1.
Пример 8. В каких четвертях справедливо неравенство sin а +
+ cos а < 1 ?
Решение. В I четверти sina = | sin а |, cosa = |cosa| и, сле-
довательно, sin а + cos а 1 (см. пример 7). Во II четверти cosa< О
и поэтому sin а Д-cos а < sin а < 1. В III четверти sin а < О,
cosa<0 и поэтому sin а Д- cos а < 1. В IV четверти sina<0 и
поэтому sin а + cos а < cos а < 1. Итак, неравенство sina4-cosa<l
270
справедливо для всех а, оканчивающихся во II, III и IV чет-
вертях.
Пример 9. Определить, что больше: 1) sin 1 или 1; 2) tg 1 или
Г, 3) tgy или tg 0,8.
Решение. 1. Из неравенства sina<a(a>0) сразу следует,
что sin 1 < 1.
2. Из неравенств а < tga ^0 < а < у) и 0 < 1 < — сразу сле-
дует, что tg 1 > 1.
3. Так как у <0,8 и tga возрастает в промежутке ^0, у^ ,
то tg у <tg0,8.
Пример 10. Зная, что cosa=—у и л<а<-у, наити значе-
ния всех тригонометрических функций этого аргумента.
Решение. I способ. Согласно формуле (1) sina = —
= — У" 1 —cos2a = — 2 (перед радикалом берется знак «—», так
как в указанных пределах sina<0). Затем, по формулам (2) и (3)
. sin a ni<0 . _ 1 1
находим tga = —= 2J/2 и ctga = —= ^.
II способ. Будем решать эту задачу, исходя из определения
тригонометрических функций. Так как значения тригонометрических
функций не зависят от радиуса тригонометрического круга, то по-
лагая 7? = 3, из равенства cosa =— 4“ находим, что абсцисса соот-
ветствующей точки круга равна —1(х =—1). Из равенства х2+
ф^2 = Д>2 находим ординату у этой точки у = —2^2 (в III четверти
у < 0). Зная х, у и /?, определяем значения остальных тригоно-
метрических функций.
Пример 11. Выразить через tga остальные тригонометрические
функции этого аргумента, если л <а < -у л.
Решение. В равенстве tga = y полагаем х = — 1 (в III чет-
верти х < 0). Тогда у ——tga и R = У х2,у* = У \ -f-tg2a. Согласно
определению тригонометрических функций имеем
У
sin a = — =
R
tga
Уl + tg2a ’
X
cos a = —
R
1 .
V1 + tg2 a ’
ctg a = — = •
& у tga
Пример 12. Упростить выражения: 1) sec2 a—1; 2) jZ1 -|-tg2a,
где л < a < у л; 3) jZ 1 — sin2 a, где -у < a < л.
271
Решение. Во всех случаях имеется в виду, как всегда, ариф-
метическое значение корня.
1) Из равенства 1 4-tg2 а = sec2 а следует, что sec2а—l=fg2a и
|/"sec2cc—1 = |tga|, так как знак tga неизвестен.
2) К1 I secct | = —sec а, так как seca<0, если л<
3
<а<тя-
3) V1—sin2 a = | cos а | = —cosa, так как cosa<0, если
Л .
T<a<«.
ГЛАВА X
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
§ 1. ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ АРГУМЕНТОВ (ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ)
Будем рассматривать аир как углы в тригонометрическом
круге радиуса R. Отложим их от общего начала — радиуса О А.
Пусть углу а соответствует радиус ОВг и хх, ух—координаты
точки Blt а углу Р — радиус ОВ2 и х2, у2 — координаты точки В2
(рис. 66).
Согласно формуле расстояния между двумя точками (см. гл. I)
(^1^г)2 — (Х1 ^г)2 + (У1 У2)2’
Разделив все члены этого равенства на R2 и учитывая, что
1/1 * А1
- ^- = sina, ~- = cosa,
А А
- ^ = sinp и 4y- = cosp,
А
получаем
'gj^2'~ = (cos а—cos р)2 + (sin а—s’n р)2»
или
— 2 — 2 (cos a cos |3 4-sin a sin Р). (1)
А-
Рис. 66
Мы видим, что расстояние B±B2 зависит только от величин а и Р и
не зависит от выбора их общей начальной стороны.
Пусть у = а—р. Согласно определению вычитания углов (см.
гл. IX, § 1), если принять радиус ОВ2 за начальную сторону угла
у, то ОВ± совпадает с его конечной стороной (рис. 66).
Примем ОВ2 за начальную сторону двух углов: нулевого (ему
соответствует сам радиус ОВ2) и угла, равного у (ему соответ-
ствует радиус ОВ^. Тогда по формуле (1), заменяя в ней а на у,
а р на 0, находим
~ — 2 (cos у - cos 0 + siny-sinO). (2)
Сравнивая соотношения (1) и (2) и учитывая, что cosO=l, а
sin 0 = 0, имеем
2 — 2 (cos а • cos Р + sin а • sin р) = 2 — 2 cos у.
Учитывая, что у = а—Р, окончательно получаем тождество
cos (а—Р) = cos а• cos р + sin а • sin Р, (3)
справедливое для любых а и р.
273
Так как cz Ц- [3 = — (—Р), то из формулы (3) вытекает, что
cos (a4-p) = cos [а — (—Р)] = cosa-cos(—P)4-sina-sin(—р),
откуда в силу четности косинуса и нечетности синуса вытекает
тождество
cos (а + Р) = cos a cosp — sin а-sin р, (4)
также справедливое для любых аир.
Полагая в формуле (3) а = у и учитывая, что cos у = 0, а
sin у = 1, получаем равенство
cos ^у— р) = sin р, (5)
справедливое для любого р. Отсюда, в свою очередь, следует
справедливость для любого Р равенства
cosР = cos [у — (-у—=sin (у—р). (6)
Используя равенства (5), (3) и (6), имеем
sin (аЦ-р) = соз
[у—(« + ₽)] = cos [(у——Р] =»
= cos
у —aj • cos P4-sin Гу—a j sin p,
t. e.
(7)
(8)
sin (a + P) = sin a • cos p 4- cos a • sin p.
Так как a — P=a4-(—P), то из формулы (7) получаем
sin (a — p) = sin a -cos P — cos a-sin p.
Формулы (7) и (8) справедливы для любых аир.
Пусть а + р =/= у 4- nk. Согласно формуле (2) гл. IX и форму-
лам (7) и (4) этого параграфа
х / । о\ sin (а4-Р) sin a-cos Р4-cos a-sin р
& к тР/ cos cos a.cos p— sin a-sin p
sin cc-cos P cos a-sin P
cos a* cosp ""cos a • cos P
cosa-cosP sina-sirip ’
cos a-cosp cosa-cosp
при условии, что cosa-cos P У=0, т. e. ау=у4-лп и Ру=у4-л/п.
Производя сокращение и снова используя формулу (2) гл. IX,
получаем
'г(» + ₽) = Йгё^ (9)
274
для любых аир, удовлетворяющих условию а + Р^-^ + лД а#=
=/= -у + ля, р=^=у + лт, где k, п и т—целые числа и нуль. Замечая,
что а — р = а + (—Р) и tg(—р) = —tg р, из формулы (9) полу-
чаем, что
tg (а — = (Ю)
&' 17 14-tg а-tg р х 7
для любых аир, удовлетворяющих условию а — р === у Ц-лй, а
=4 —+ ру=—4-лш.
В качестве упражнения предлагаем читателю получить формулы
ctg (a ± Р) = (11)
(а±РУ=&л, а =4 пл, р^тл).
§ 2. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Формулами приведения называются тождества, связывающие
тригонометрические функции аргументов
л 3
у ± а, л + сс уЛ±а
с функциями аргумента а. Все эти формулы можно разбить на
следующие группы:
I группа: для у ± a (90° ± а).
sin (у ±a) = cosa, tg (у ± а) = й= ctg а (аУ=лА),
cos (у ± а) = +sin a, ctg (у ± а) = Т tga (а^у + лб).
II группа: для л±а(180°±а).
sin (л ± а) = =F sin a, tg (л ± а) = ± tga ^а#=уф-лА^,
cos(n±a) = —cos a, ctg (л ± а) = ± ctg а (а=^л/г).
з
III группа: для ул + а (270° ± а).
sin(yn±aj =—cos a, tg ( у л ± а \ = -t- ctg а (а^лЛ),
cos(-|n + a) = ±sina, ctg (у л ± а) = =F tga =£ у-|-
(Знаки в обеих частях равенств берутся соответственно.)
275
Все записанные тождества являются следствиями формул преды-
дущего параграфа (если принять в них один из аргументов равным
л 3 \ . , sin а , cos а
тг , л и -тг л и формул tg а =--- и ctg а = .
2 ’ 2 J 'г г j & cos а ь sin а
Например, для первой группы формул получаем
sin f ~ ± а) = sin у cos а + cos у sin а = cos а.
cos + a) = cos у cos а =F sin у sin а = =F sina
(• Tt 4 ОТ Z4 \
Sin у = 1> COS у = 0 ].
Далее,
• (71 .
. . sin — ± а
, ( л , \ \ 2 j cos а _____
tg Нт + а =-----7-----т — = Ч- ctg а
&\2 — ) /л,\ т sin а &
4 7 cos — ± а \
Анализируя все формулы приведения, можно отметить следую-
щее:
1) если а откладывается от горизонтального диаметра (л±а),
то наименование приводимой функции, т. е. функции аргумента
л + сс, не меняется; если же а откладывается от вертикального
(л . 3 . \ и 1
~2 ± а, ~2 л ± а ), то наименование приводимой функ-
ции заменяется на сходное (синус на косинус, тангенс на котан-
генс и наоборот);
2) все формулы приведения справедливы для любого а,‘кроме
указанных, в частности, для 0 <а <-у . Так как все тригономет-
рические функции такого а положительны, то знак правой части
совпадает со знаком приводимой функции для 0<а<у (т. е.
для острого угла, если а — угол).
Например, составим формулу приведения для tg (лос J :
I) название тангенс меняем на котангенс ( угол у л + « к 2) если
з
считать угол а острым, то угол ул4-а будет оканчиваться в IV
четверти, а там тангенс1 отрицателен. Поэтому пишем
+ = -ctga.
276
Замечание. Формулы приведения позволяют выразить зна-
чение тригонометрической функции любого угла (для которого
она, конечно, имеет смысл) через значение тригонометрической
функции угла, заключенного в промежутке от 0 до (от 0 до 45°).
Действительно, любое р можно представить как р = 2kn 4- (Зх,
где угол рг удовлетворяет условию 0 рх < 2л. Воспользовавшись
свойством периодичности тригонометрических функций, перейдем
от функции угла р к функции угла рх (0 [Зх < 2л). Но угол рх с ка-
ким-нибудь из диаметров круга (горизонтальным или вертикаль-
ным) образует острый угол 0 а . Применяя соответствующую
формулу приведения, мы значение функции угла Рх выразим через
значение функции угла а. Например,
sin (—783°) = sin (—3 • 360° 4- 297°) = sin 297° =
= sin (270° + 27°) = — cos 27°.
Из всего сказанного следует, что при составлении таблиц три-
гонометрических функций (а также их логарифмов) достаточно
знать значения тригонометрических функций лишь для углов, взя-
тых от 0 до 45°.
§ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КРАТНЫХ АРГУМЕНТОВ
Полагая в формулах (7) и (4) р = сс, получаем
sin 2а = 2 sin a-cos а, (12)
cos 2а = cos2 а — sin2 а. (13)
Используя тождество cos2 а 4- sin2 а = 1 и формулу (13), находим
другое представление:
cos 2а = 1 — 2 sin2a = 2cos2a—1. (14)
Формулы (12)—(14) справедливы для любого а.
Полагая в формулах (9) и (И) р = а, находим, что
fg 2«= (аи2а#=| + ^|, (15)
ctg 2a = Ctf2ctg~1 (« и 2a#=n/?). (16)
Далее, имеем
sin 3a = sin (2a 4- a) = sin 2a • cos a 4- cos 2a • sin a,
откуда согласно равенствам (12) и (13) следует, что
sin За = 3 sin a - cos2 а — sin3 а = 3 sin а—4 sin3 а. (17)
Аналогично находим, что
cos За — cos3 а—3 sin2 a cos а = 4 cos3 а—3 cos а. (18)
277
Разделив тождество (17) на тождество (18), находим
, о sin За 3 sin а-cos2 а — sin3 а
tg За =--х- = —з----5—7-^-----.
ь cos За cos3 а — 3 sin2 а-cos а
Разделив теперь числитель и знаменатель дроби на cos3 а, полу-
чаем
tg3a = 3tga3~7X~ (За и (19)
1 -О lg 1Л \ Z J
Читателю в качестве упражнения предлагаем получить формулу
ctg3a = c-^=f=F (За и а^лй). (20)
Все эти тождества, причем в более общем виде, пригодном для любого па
(п—целое), можно получить другим способом, в основе которого лежит формула
Муавра (cos a-]-i sin a)" = cos na-\-i sin па (см. гл. I, §6). Раскрывая левую
часть по формуле бинома Ньютона (см. гл. VI, § 2), имеем
cos na + f sin na = (cos a4~f sin a)" = cos" a + iCn• cos"-* 1 a-sin a—
—C*cos"~2 a-sin2 a — iCn cos"-3 a-sin3 a-j-Cn cos"-4 a-sin4 a-f- ... -H" sin" a.
Приравнивая действительные и мнимые части двух равных комплексных выраже-
нии (см. гл. I, § 6), получаем
cos na = cos" a —cos"-2 a-sin2 a + Cn cos"-4 a-sin4 a +..(21)
siri na = Cn cos"-1 a-sin a — Cn cos"-3 a-sin3 a -J-C* cos"-5 a-siri5 a+ ... (22)
(таи как i2 = —1, i4=l, i3 = —i, то знаки в правых частях равенств (21) и
(22) чередуются, при этом в равенство (21) входят четные степени sin а, а в (22)—-
нечетные). Многоточия означают, что слагаемые пишутся до тех пор, пока в ко-
эффициентах Сп верхний индекс k не станет больше п (см. гл. VI, § 1). Разде-
лив тождество (22) на (21), получаем
. Сп cos"-1 a-sin a—С3 cos"-3 a-sin3 a-J-C^ cos"“5 a-sin5 a+ ...
cos" a — Cn cos"-2 a-sin2 a-|-Cncos"-4 a-sin4 a— ...
и после деления числителя и знаменателя на cos na имеем
яа = C^tgot—tg8 а-|-С% tg? «4-...
1 —С« tg2 a+Cn tg4 а+. •.
Разделив тождество (21) на (22), так же находим
, ctg" a—С ctg"-2 a + Cn ctg"-4 а—...
ctg па = ——1!1-------------------------
Сп ctg"-1 а — Сп ctg"~3 a + C^ctg"-5 а— ...
§ 4. Формулы преобразования произведения синусов и косинусов
в сумму. Формулы понижения степени
Складывая и вычитая почленно равенства (3) и (4), получаем
тождества
cos а • cos р = у [cos (a — Р) + cos (a + Р)], (25)
sin a-sin P = y [cos (a — P)—cos (a 4-P)], (26)
(23)
(24)
278
справедливые для любых а и р. Аналогично, складывая равенства
(7) и (8), получаем тождество
sin a-cos р = у [sin (а 4- Р) Ц- sin (а— Р)], (27)
также справедливое для любых а и р.
Полагая в формулах (25) и (26) р = аи учитывая, что cos 0 = 1,
находим
cos2 а = _1 + cos 2a 2 (28)
sin2 а = _ 1 — cos 2a 2 (29)
Далее, имеем о 9 (1 4- cos 2a) cos a cos3 a = cos2 a • cos a —v.
Раскрывая скобки и преобразуя произведение cos2а-cosа по фор-
муле (25), находим
- 3 cos а'4-cos За
cos3 а =------т------
4
Аналогично имеем
. о 3 sin а — sin За
Sin3 а --------------
Таким же способом можно получить формулы для cos4 а, sin4 а и т. д.
Замечание. Формулы (28) — (31) можно также получить из
равенств (14), (17) и (18).
Укажем общий метод получения формул для понижения степеней cos" а и
sin" а.
Полагая а = cos a-]-i sin а, 6 = cos а — i sin а, имеем
а+ b . а— b
cos а = —4- sin а = —— л
2 ’ 2i
Согласно формуле Муавра (см. гл. I, § 6) для любого натурального п
ап = (cos а + i sin а)п = cos па -J- i sin па
и
bn = (cos а — i sin а)п = cos па — i sin па.
Отсюда находим
апЬп=1, ап-\-Ьп = 2 cos па, )
. > (32)
ап — bn = 2isin па. J
Следовательно,
cos" а= ( -ф—5) =Ф («"Н-пп"-1 6 + СдП"-2 62 + ... +&"),
sa_b\n 1 ОЗ)
sinna=^-^-J паП~1ь + спаП~гь2+ •• +(~ 1)ПЬп).
Группируя в каждой из скобок члены, равноудаленные от концов, и используя
279
соотношения (33), получаем искомые формулы. Например,
1) cos4 а = (а4 4a3Z> + 6a2Z>2 + 4а63 + Z?4) =
=4 [ (а« + Ь*) + 4аЬ (а2 + 62) + 6а2Ь2] =
= 4 (2 cos 4а + 3 cos 2а + 6) = 4- (cos 4а4-4 cos 2а + 3).
1о о
2) sin4 а = -^ J (а4— 4a3Z?4~6a2Z?2— 4ab34-Z?4) = [(a4 4-Z>4)—
— 4ab (a24-Z?2)4-6a2Z?2l = 4- (cos 4a — 4 cos 2a4~3).
о
3) sin5 a = ^1 (a5 — Sa*b 4- 10a3Z?2— 10a2Z>34~5ab4—Z?5) =
= o^r [(a- — b5)— Sab (a3 — Z/3)4~ 10a2Z?2 (a — b)] =
i5Zl
s’n $a— 10* S*n 3a + 20* sin a) = j^ (sin Sa—5 sin За4- Ю sin a).
§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА.
ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС
ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
Заменяя в равенствах (28) и (29) а на у и извлекая корень,
получаем
a , п /~ 1 4~ cos a
cos 2 — ± у ------2----
a . ч /~ 1 — cos a
SinT = ± V —2 —
(34)
(35)
Разделив тождество (35) на (34), имеем
.а . т/~ 1— cos a ( а . л .
tg —= + I/ тп--- Нг =И= “т + ^ , (36)
& 2 — V 14- cos а ^22* J ’ v/
- а , ч /~ 14-cosa /а . /о_ч
ctgY=± у (37)
Знак перед радикалом берется в зависимости от знака соответст-
вующей функции аргумента -у (а не а).
Наряду с формулой (36), которая выражает fgy через cos a
иррационально, имеют место два тождества, выражающие его через
sin а и cos а рационально, а именно
a
т
tg
sin -у 2 sin-у. COS-у
cos 2 cos2 4
(t =H=y + Tt^)»
280
откуда, согласно формулам (12) и (2d) следует, что
х а ____ sin а
° 2 14~ cos а
Далее,
• а о • 9 а
sin— 2 sin2—
а _ а .а
cos 2 cos — -sm-^-
(sin 4 =/= 0;
cos-j=/= о) ,
откуда, согласно формулам (12) и (29) следует, что
. а___1 —cos а
° 2 sin а
V 2 2 К) •
Аналогично доказываются тождества
a sin а / а . , \
Ctg 1--------- -7Г ¥= ля
ь 2 1 — cos а \ 2 J
И
а 14-cos а
ct2 J=-K“
(38)
(39)
(40)
(41)
В некоторых случаях существенную пользу приносят формулы,
выражающие тригонометрические функции аргумента а через
х a
fST-
Разделив числители и знаменатели правой части тождеств
2 sin • cos cos2 -у— sin2 ~
sin a =--------- и cos a ------------—
cos2 ~4-sin2-^- cos2sin2--
Il л л
, a
на cos2
4- nk ), получаем равенства
2tg4
sina =-----
H-tg24
*-‘8 2
cos a —------
! + tg24
(42)
(43)
справедливые для любого +
281
Заменяя в равенстве (15) а на у, имеем
2tg-
tg°t=—и 4=^4+лй)> (44)
1-tg2yk 7
и, следовательно,
l-tg2y
ctga =------ (а=/=лЛ). (45)
2tgy
Отметим, что все тригонометрические функции аргумента а выра-
жаются через tgy рационально.
§ 6. ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫХ АРГУМЕНТОВ
1. a = -g-(a = 30°). Пусть ОВ — подвижный радиус, соответству-
ющий а = у. Рассматривая прямоугольный треугольник ОВС
(рис. 67),
(катет,
р
имеем у = ВС = -у (
R V 3 п
= —. Поэтому
лежащий против угла в 30е), х — ОС —
• л у 1
s,n-6 = #=y
л
COS —
о
х _ V 3
R~ 2
& 6 х
ct8-j=i='/3-
2S2
2. а = — (а = 45°). В этом случае прямоугольный треугольник
О ВС — равнобедренный (рис. 68), т. е. х = у, и так как х2 + у2 =
= У?2, то х = = . Поэтому
4 — 4 R Я ~ 2
j Л . л у X •«
tg -т = Ctg -г = — = — = 1.
& 4 & 4 х у
Замечание. Значения тригонометрических функций аргумента
Y можно получить по формулам половинных аргументов, заметив,
что y = пРичем siny=l и cosy = 0.
3. а = ^- (а = 60°). Так как -^- = ~—тг > то воспользовавшись
О о Л о
формулами приведения и известными уже значениями тригоно-
метрических функций аргумента у, получаем
л f п л А л 1^3
Sin — = Sin v —-F = cos -a = 1
□ \ 2 о J о 2
л ( л л А л 1
cos -=cos^T--J=sinT = T,
Ctg - = ctg = tg - =
3 Чф 6 J g 6 3
4. a = -^(a= 18°). Замечая, что если cc = -^,To2a4-3a = ~, имеем
sin2a = sin (y—3a) =cos3a,
откуда согласно формулам (12) и (18) следует, что
2 sina-cosa = 4cos3a— 3cosa, или 4 sin2 a 4-2 sin a—1 =0.
Обозначая sin a = %, получаем квадратное уравнение 4x2—2%—1 =0.
Решая его, находим
— 1—/5 , ч
хх =--у2— , х2 =------5--- (не годится).
Итак, sin У—. Теперь находим значения других триго-
нометрических функций этого аргумента:
cosTo=V 1-sinT6 = —’
283
tg"_SinT6__ к 5-1
10 cos jb /10 + 2^5 ’
rt£,n_ 1 _/10+2K5
gl° tg^ ^5-1 •
ё 10
Воспользовавшись формулами сложения и формулами двойных
и кратных аргументов, мы можем теперь найти значения тригоно-
метрических функций от целого ряда других аргументов.
Так, например, замечая, что = , находим
• „ л . / л л \ .л л л . л V 6— У 2
sin-^ = sin ——— =sin -г* cos— — cos — .sin = 2-г2—
12 \ 4 о 7 4 6 4 6 4
__л л л , . л . л 1^6 -T V~ 2
cos P5= C°s^-• cos — + sin — • Sin-g-= T -,
4 o'4 6 4
Л
x л Sin 12
^12 = —
C0S 12
= 2—/3.
Замечая, что y = -1.2L, имеем
Теперь по формулам приведения можно вычислить значения триго-
нометрических функций аргументов (75°), (67,5°), (7,5°)
и т. д. Так же определяются значения тригонометрических функций
аргументов -|-л(720), у (36°), (9°) и т. д.
Примечание. Значения тригонометрических функций аргу-
ментов £, -4> 4 следует помнить. Остальные нужно уметь на-
о 4 о
ходить при необходимости.
284
§ 7. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Представляя аргументы а и |3 в виде
„_« + ₽,«—Р « «+Р а—Р
а - —2 I 2~ ’ Р ~ ~2--------’
согласно тождествам (7) и (8) имеем
. /а + Р , а — р\ . а + Р а — Р . а + Р . а — Р
sin а = sin —+—== sin • COS—COS-P^ • sin —
Z Z ] л л z z
„• о . /а + Р а—р\ . а + Р а—Р а + Р • а—Р
Sin р = sin —Р----х-!- = Sin —• COS ———COS —P- • sin —jT-t-.
\ L £ j z z z z
Складывая и вычитая эти равенства, получаем
sin а + sin р = 2 sin . Cos фф t (46)
sin а — sin |3 = 2 cos • sin фф . (47)
Используя аналогично тождества (3) и (4), получаем
cos а cos р = 2 cos фф • cos фф, (48)
о п . а4-Р . а—Р ~ . а + Р . р — а /ллх
cosa—cosp =— 2sin—• sin—£-^ = 2 sin—• sin^-y- . (49)
Далее,
, , o sin a . sin p sin a-cos P + cos p-sin a
ь ioi cosa ' cos p cos a-cos p
Замечая, что в числителе стоит sin(a + p), окончательно имеем
tg a + tg р = sin f a и [j ф (50)
& i & । cos a-cos p \ 1 ^2 1 J v ;
Аналогично получаем
tga—tg p — -sin Ц Га и р+ф+лф (51)
& & 1 cos a-cos P \ 1 ^2 1 J ' '
И
ctga±ctgp = ssi1nn^Jn”) (a и |3^л£) (52)
(знаки в обеих частях равенства берутся соответственно).
В отдельных задачах тригонометрии удобно также пользоваться
следующими тождествами.
2 85
Из формул (9), (10) и (11) имеем
tgtt±tg₽ = (lTtga.tgp)tg(a± р) (53)
(а±р, а, р не равны 4 +
ctga± ctgр = (ctga-ctgр =F l)-ctg(a± Р) (54)
(а±Р, а, [3 не равны лА).
(Знаки в обеих частях равенств берутся соответственно.)
При решении задач мы будем ссылаться и на следующий ряд
тождеств:
, , . cos a . sin a 1 2 , , л /гг-ч
ctga4~tga = ------------= —-------= --тг (55)
° ’ & sin a 1 cosa sin a-cos a sin2a v 7 2 7 ' 7
, . . cosa sin a 2 cos 2a n , n , л
ctga — tga = ------------= 2ctg2a (a=^= • £), (56)
& & sin a cosa sin 2a & ~ 2 7 v 7
sin a -4- cos a = ]/"2 (sin a-i—cosa^ =
“ \ / 2 /2 J
= V2 ^sin a- cos у zb cosa - sin -2-) = K2- sin ^a± (57)
Вообще
a sin a ± b cos a = Va2 + b2 (a. sin a zb ........ cos a^ . (58)
\ у a2 + а2 У a2 4- b2 /
Рассмотрим точку с координатами (a, b). Она лежит на тригоно-
метрическом круге радиуса 7? = ]/а2 + &2 и ей соответствует неко-
„ . b а
торыи угол ср, ДЛЯ которого 5Шф = р===г- И COS ф = ^===? .
Тогда равенство (58) перепишется в виде
(a sin a ± b cos a) = Vа2 4- b2 (cos ф • sin a ± sin ф • cos a) =
= Va2 4- b2 sin (a ± ф), (59)
b a . b
где Ф—угол, ДЛЯ которого Sin ф = у== » COS ф = tg ф = — .
Замечание. Если a > 0 и & > 0, тоф оканчивается в I четвер-
ти и тогда можно писать (см. гл. XII), что
b а . Ь
Ф = аге sin г = аге cos - v = аге tg —.
v У a2-±b2 V a2-\-b2 & «
Если а > 0, а b < 0, то ф оканчивается в IV четверти и тогда
ь , ь
Ф = аге sin г . — = аге tg— .
т /а24-62 Ъа
286
Если а < 0, а b > О, то <р оканчивается во II четверти и тогда
ср = arc cos = arc etg-r .
§ 8. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ АРГУМЕНТАМИ а И ₽, ВЫТЕКАЮЩИЕ
ИЗ РАВЕНСТВА ИХ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Пусть а и р—два аргумента, синусы которых равны, т. е.
sina = sinp. Переписав это равенство в виде sina — sin(3 = 0 и ис-
пользуя формулу (47), имеем
о • а—Р п
2 cos —~ • sin — = 0.
Последнее справедливо лишь в том случае, когда либо cos^i^ = 0,
либо sin — 0.
№а + В л .
первого условия вытекает, что —y + где п — неко-
торое целое число ^подвижный радиус, соответствующий аргументу
а+Р А
, вертикален \.
Из второго условия вытекает, что = л£, где k — некоторое
целое число ^подвижный радиус, соответствующий аргументу ,
горизонтален).
Таким образом, из равенства синусов двух аргументов а и (3
следует, что либо сумма этих аргументов равна л4-2лм:
а 13 = л 4- 2лм,
либо их разность равна 2лй:
а — р = 2л&,
где п и k — некоторые целые числа.
II. Пусть cos а = cos р. Переписав это равенство в виде cos а —
— cosp = 0 и используя формулу (49), имеем
— 2 sin—р- • sin—р- = 0,
откуда следует, что либо sin^—= 0, либо sin^p^ = 0, т. е. либо
2^^=лп, либо —= (см. п. I). Таким образом, из равен-
ства косинусов двух аргументов а и 0 следует, что либо сумма,
либо разность этих аргументов есть число, кратное 2л, т. е. либо
а4-р = 2лм, либо а — р = 2л£.
287
III. Пусть tga = tgp. Переписав это равенство в виде
tga—tg р = 0 и используя формулу (51), имеем
sin (а —р) д
cos a-cos p *
причем cos a О и cosp^O. Последнее справедливо лишь в том
случае, когда a — р = лп.
Итак, из равенства тангенсов двух аргументов аир следует,
что их разность есть число пп.
IV. Аналогично получаем, что из равенства ctg a = ctg р сле-
дует, что разность аргументов есть число nk:
a—р = nk.
ГЛАВА XI
ЗАДАЧИ НА ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ТРИГОНОМЕТРИИ
Все требования, предъявляемые к тождественным преобразо-
ваниям и рассмотренные в главе II, в равной степени относятся и
к тригонометрии (область допустимых значений букв, входящих в
тождество, обоснование решения и т. д.—см. гл. II).
При решении задач на тождественные преобразования исполь-
зуются те же тождества, которые мы рассмотрели в IX и X главах.
Будем называть все эти тождества основными или первичными.
Первичных тождеств очень много. Неудачный выбор их при
решении той или иной задачи приводит к громоздкому, нерацио-
нальному решению, а порою и вовсе заводит в тупик.
Естественно, что нельзя дать общий «рецепт» решения всех за-
дач. Приведем лишь некоторые различные типы задач на тождест-
венные преобразования и методы их решения.
§ 1. УПРОЩЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Умение преобразовать к простейшему виду то или иное триго-
нометрическое выражение играет основную роль в задачах триго-
нометрии (особенно при решении тригонометрических уравнений).
Если тригонометрическое выражение содержит тригонометри-
ческие функции числовых аргументов, то в общем случае следует
перейти к тригонометрическим функциям острых углов, выражен-
ных в градусах или радианах.
Пример 1. Упростить выражение
А = (sec 125°-ctgy° + sin (— 35°)-cos 125°): sin2 125°.
\ sec i э ) j
Решение. Имеем
чрс 194° = 1__________!____________1
cos 125° — cos (90°-I-35°) ~ sin 35°’
ctg 305° = ctg (270° 4- 35°) = — tg 35°,
rpr i_915°')= * —_______!_____—______*
v cos215° cos (180°4-35ci cos35°’
cos 125° = cos (90° 4- 35°) = — sin 35°,
sin 125° = sin (90° 4-35°) = cos 35°,
Л = (— 1 + sin2 35°):cos2 35° = — 1.
Пример 2. Упростить выражение
В = tg2 (— 4,7л) • cos2 (— 7,8л) 4- sin2 (— 11,7л).
Ю № 407
289
Решение. Имеем tg(—4,7л)=—tg(5n—O,3n)=tgO,3n=ctgO,2n,
cos (— 7,8л) = cos (8л—0,2л) = cos 0,2л; sin (— 11,7л) =
= — sin (12л—0,3л) = sin 0,3л = cos 0,2л.
Подставляя полученные результаты в данное выражение, получаем
В = ctg2 0,2л • cos2 0,2л + cos2 0,2л = cos2 0,2л (ctg2 0,2л + 1) =
= ctg2 0,2л.
В отдельных случаях выражение удается упростить, выделяя в
нем так называемую тригонометрическую единицу (sin2x +
+ cos2 x)k = 1, где k целое.
Пример 3. Упростить выражение
А = 2 (sin4 х + sin2 х • cos2 х + cos4 х)2 — (sin8 х + cos8 %).
Решение. Замечая, что
1) sin4 х -|~ sin2 х cos2 х 4- cos4 х = (sin2 х + cos2 х)2—sin2 х • cos2 х =
= 1—sin2 х-cos2 х;
2) sin8 x + cos8 x = (sin4 x + cos4 x)2—2 sin4 x • cos4 x =
= [(sin2 x +cos2 x)2 — 2 sin2 x-cos2 x]2—2 sin4x-cos4x =
= 1—4sin2xcos2x + 2sin4x-cos4x,
получаем
A = 2 (1 — sin2 x cos2 x)2—(1 — 4 sin2 x cos2 x 2 sin4 x • cos4 x) = 1.
При тождественных преобразованиях нужно хорошо знать все
основные тождества и «видеть» их в самых разнообразных записях.
Пример 4. Упростить выражение
А = cos3 a cos За + sin3 а • sin За.
Решение; Имеем
А = cos а (1 — sin2 а) cos За + sin а (1 — cos2 а) sin За.
Раскрывая скобки и группируя, получаем
А = (cos a cos За-f-sin a • sin 3a)—sin a cos a (sin a cos ЗаЦ-cos a sin 3a) =
= cos (3a—a)—sin a-cos a-sin (a.+ 3a) =
= cos 2a — sin2 2a • cos 2a = cos 2a (1 — sin22a) = cos3 2a.
В большинстве задач в процессе решения приходится исполь-
зовать различные основные тождества несколько раз подряд.
Пример 5. Упростить выражение
А = cos2 (а—х) + cos2 (b—х) — 2 cos (a—b) cos (a—x) cos (b—x).
Решение. Нецелесообразно пользоваться здесь формулой ко-
синуса разности двух углов. Это приведет к очень громоздкому
выражению. Проще вначале избавиться от квадратов функций с
290
помощью формул понижения степени. Тогда
В = cos* (а-х) + cos* (b—x) = -1 +cos <2fl~2x) + 1+^Ц2*—2х) =
= 1 + у [cos (2а—2х) 4- cos (26 — 2х)].
Воспользовавшись теперь формулой сложения косинусов, получаем
В = 1 +cos (а + &—2х) cos (а—Ь).
Теперь видим, что произведение двух последних сомножителей
в выражении А нужно разложить в сумму:
C = 2cos (а—x)-cos (b—х) = cos (a + b—2x) + cos (а—Ь).
Окончательно получаем
А =В—C-cos(0—b) = 1 4-cos (а-\-Ь—2х)cos (a—b) —
—cos (а + b—2х) cos (а—Ь) — cos2 (а—b) = 1 — cos2 (а—Ь) —
= sin2 (а—Ь).
При действиях с радикалами нужно помнить, что для четного
показателя берется арифметическое значение корня, для нечет-
ного—его’ единственное действительное значение.
Пример 6. Упростить выражение
л 2 п л
А = ... -.......- , 0<a<v.
и 2+^2+ 2 cos 4а
Решение. Имеем 2 + 2 cos 4а = 2 (1 + cos 4а) = 4 cos2 2а. Поэто-
му J/2 + 2 cos 4а = 21 cos 2а |. Но |cos2a| = cos2a, если cos 2а О,
т. е. если О^а^-^» и |cos2a| =— cos2а, ьесди cos2a^0, т. е.
если -г- sC а -X-.
Таким образом,
__________ ( 2 cos 2a, если О а -у;
J/2 + 2 cos 4a = J я п
| — 2 cos 2a, если -г а •
\ ’ 4 2
Дальнейшие преобразования проводим отдельно для каждой
из указанных областей изменения а.
1. Если то А = —„ 2 — — —Л 1 =—7— ,
4 ]Л2 + 2 cos 2а cos2 a cos а
так как cosa > 0.
2. Если т0 ~ 2---гт- =- Л 1 — = 7^— >
4 2 |<2—2 cos 2a prsin2a sin a
так как sin a > 0.
10*
291
Итак,
1
cos а ’
1
sin а ’
если О^Са^-^-;
4
л л
если -5-.
4 ^2
В отдельных примерах при преобразовании суммы или разности
тангенсов (и котангенсов) полезно пользоваться формулами
tga±tg₽ = tg(a±0)(l zptga-tg0).
Пример 7. Упростить выражение
А — tg 2a-tg (30°—a) + tg2a-tg (60° — a) 4-tg (60°—a) - tg (30° — a).
Решение. Область допустимых значений: 2a, 30° — a, 60°—a
не равны 90°+180°-A. Имеем
В = tg 2a [tg (30э —a) +tg (60°—a)] =
= tg 2a • tg (30° — a + 60°—a) • [ 1 — tg (30° — a) • tg (60° — a)] =
= tg 2a-ctg2a- [1—tg (30° — a)-tg(60° — a)] =
= 1— tg (30° — a).tg(60°—a).
Тогда
A - В + tg (60°—a) • tg (30°—a) - 1.
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ БЕЗ ТАБЛИЦ
Конечно, не всякое тригонометрическое выражение от числовых
значений аргументов можно вычислить без таблиц. Однако в неко-
торых случаях удается преобразовать заданное тригонометриче-
ское выражение или к числу, или к тригонометрическим функциям
аргументов , -тг, > тг и т. д. Значения тригонометрических
О О О Z
функций этих аргументов учащийся должен уметь находить без
таблиц (см. гл. X, § 6).
Пример 1. Вычислить без таблиц
А = ctg 7°,5 + tg 67°,5 — tg 7°,5—ctg 67°,5.
Решение. Группируя тангенсы и котангенсы, получаем
(ctg 7°,5 —ctg 67’,5)+(lg 67°,5 —tg 7°,5) = sln 7.*“ “„'67.у +
, sin 60° V 3 cos 67°,5-cos 7°,5-|-sin 7°,5-sin 67°,5
’r cos 67°,5-cos 7°,5 = —2 sin 7°,5-sin 67°,5-cos 67°,5-cos 7°,5 —
9 ,/q- cos (67°,5—7°,5) 9i/q- cos 60° _
~ sin 15°.Sin 135° — Г й sin 15°-sin 45° ~
= = 6 + 2/3".
/6-/2
292
Пример 2. Вычислить без таблиц
. . д л» . «д Здт । • д 5л . • д 7л
А = sin4 -пт + sin4 -гх- + sin4 -nr + sm4 -г-.
10 10 10 I 10
Решение. Используя формулу sin4a = ^—и формулы
приведения, преобразуем каждое слагаемое данного выражения.
Получаем
4+2cos2i + 2sin2A
О ООО
4 = Т = Т ’
Чтобы вычислить значение произведения косинусов от аргумен-
тов, образующих геометрическую прогрессию со знаменателем
q = 2, полезно это произведение умножить и разделить на синус
наименьшего аргумента и затем, применяя последовательно не-
сколько раз формулу 2 sin a-cos а = sin 2а, свернуть его.
Пример 3. Вычислить без таблиц
А = cos 12° • cos 24° • cos 36° • cos 48° • cos 60° • cos 72° • cos 84°.
Решение. Замечая, что cos84° = — cos96°, разобьем данное
произведение на два: А = Ar- 42-cos60°, где выражения
A =— cos 12°cos24°-cos48°-cos96°, Д2 = cos36°-cos72°, и вычислим
каждое из них:
- __ cos 12°»cos 24°-cos 48°-cos 96°-sin 12°_
A1~~ ~ sin 12° “
__ sin 24°-cos 24°• cos 48°• cos 96° cos 48°-sin 48°-cos 96°
2 sin 12° 4 sin 12°
__ sin 96°*cos 96°__ sin 192° ___ sin 12° __ 1
"" 8 sin 12° ““ 16 sin 12° ~ 16 sin 12°" “ 16 ’
- _ sin 36°-cos 36° cos 72° _ sin 72°-cos 72° , sin 144° , 1
“ sin 36° ~ 2 sin 36Q ~ 4 sin 36° T ’
Окончательно, A = • у = .
Если аргументы, стоящие под знаком косинусов, не образуют
геометрическую прогрессию, то следует разложить ,произведение
тригонометрических функций в сумму, заменяя при этом известные
значения функций числами. Иногда это приводит к цели.
293
Пример 4. Вычислить без таблиц
А = cos 5° • cos 55° • cos 65°.
Решение. Последовательно применяем формулу перехода от
произведения к сумме:
А = (cos 5° • cos 55°) • cos 65° = ~ (cos 60° + cos 50°) cos 65° =
= ~cos65° + ycos 50°-cos 65° =-^-cos 65°4-~(cos 115°4-cos 15°) =
= 4-cos 65°—4-cos 65° 4-4"cos 15° = 4"COS ^° = -4l4Lzh.£gs.30, —
4 4 1 4 4 4 r 2
16
Чтобы вычислить значение суммы синусов или косинусов от
аргументов, образующих арифметическую прогрессию с разно-
стью d, полезно каждое слагаемое этой суммы умножить и разде-
лить на 2sin-^- и затем получившиеся произведения преобразо-
вать в сумму.
Пример 5. Вычислить без таблиц
„ л , Зя , 5л , 7л , 9л
А = cos + cos - ц- + cos -j-j- + cos -[у + cos -jj- •
Решение. Аргументы образуют арифметическую прогрессию
с разностью d = ^-. Согласно указанию, имеем
2 A sin д = 2 sin pj- • cos уу + 2 sin уу • cos -у-р + 2 sin -уу х
X cos -jj- + 2 sm • cos -j-p + 2 sin jy • cos -j-j-=sin -урЧ-
. / . 4л . 2л \ . f . 6л . 4л \ . f . 8л . 6л \ ,
-fr^sin sin ^ij + ^sin Tj-—sm-jij + ^sin -уу—-sin — J 4-
+(sin ir—sin тг )•
После приведения подобных членов получаем
2А-sin-^ = sin » или 2А sin-^= sin, т. е. А=±
Если в заданное выражение входят тригонометрические функции
углов ^(18°), -^-(36°), -^-(54°), -^-(72°), -то тогда удается путем
различных преобразований свести эту задачу к вычислению выра-
жения cos36°-cos72®, которое равно -|-(см. пример 3).
Пример ,6. Вычислить без таблиц выражение
tg236°-tg2 72°.
294
Решение. Имеем
ter2 36°. ter2 72° = s*n2 36° • sin2 72° _
S 1 cos236°.cos272°
__ (sin2 36°-sin2 72°—cos2 36°- cos2 72°) + cos236°- cos2 72°
cos2 36°-cos2 72° ~
__ (sin 36° • sin 72° — cos 36°• cos 72°) (sin 36° • sin 72° + cos 36° • cos 72°) ,
cos236°-cos272° +
1 _ —cos (72° + 36°)-cos (72°—36°) ,11, — cos 108°. cos 36°
1 cos2 36° • cos2 72° "Г 1 — 1 + cos2 36° • cos2 72°
— cos,7?_*52?. 4.1 —________!________Li— 44-1 —5
cos2 72°.cos236°^ cos 72°.cos 36° — ’
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ ПО ИЗВЕСТНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ ДРУГИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
* Эта задача состоит в том, чтобы вычислить значение заданного
выражения, если известны значения одного или нескольких других
выражений. С подобной задачей мы уже встречались в главе IX,
когда по известному значению некоторой тригонометрической функ-
ции аргумента а определяли значения всех остальных тригономет-
рических функций этого аргумента.
Один из приемов решения таких задач состоит в том, что все
величины, входящие в выражение, значение которого нужно опре-
делить, мы выражаем через ту величину, значение которой задано.
Пример 1. Вычислить
- sin5x+cos6x+sin х , п
Д = —-г-з—j 5 , если tg х = 2.
sin3 X 4 cos3 X &
Решение. Мы не можем вычислить непосредственно sin % и
cosx по известному значению тангенса этого угла, так как не
знаем, в какой четверти лежит угол %, и поэтому не сумеем выбрать
знаки у функций синус и косинус. Этой неопределенности можно
избежать, если сообразить, что числитель и знаменатель можно
сделать однородными выражениями одного и того же измерения
относительно sinx и cosx (см. гл. XIII). В самом деле*
sin6 х + cos6 х + sin х sin6 x+cos6x-|-sin x (sin2 x +cos2 x)2
sin3x+cos3x (sin3x+cos3x) (sin2x + cos2x)
Теперь, разделив числитель и знаменатель на cos5x и заметив, что
sinx . о
—- = tg X = 2, получаем
tg6x+l+tgx(tg2x+1)’_ 26+14-2(4+1)® _83
(tg3x+l)(tg2x+l) (23+1)(2а+1) 45*
Пример 2, Найти tg ( 45° —, если sin а = 4т и -5- < а < л.
\ л J CL - j— О &
295,
Решение. Выразим tg^45°—-у J через sin а. Имеем
t /ДЛ° а — t 90°““а __ sin(90°—а) _ cosa
' lg^ — 2 J “ rS т 2 “ l + cos (90°—а) “ 1+sina
____V1 — sin2 a
1 + sina ’
(Перед радикалом взят знак «—», так как а—угол II четверти.)
Замечая, что l+sina>0, находим
f 450 a \ 1 — sin2 a -j Л1—sin a
® \ 2 / г (1+sina)2 И 1+sina =
г ~^а-\-Ь
Исследуем, при каких значениях параметров а и b задача имеет
решение. Так как a—угол II четверти, то Это не-
равенство равносильно совокупности двух систем
{О < а—b<a-\-b9 ( 0>а—&>а+&,
а + &>0 и ( а + &<0.
Из первой системы следует, что а > b > 0, а из второй а < Ь < 0.
Итак, данная задача имеет решение для всех тех значений а и Ь,
которые удовлетворяют одному из условий:
а > b > 0 или а < b < 0.
Пример 3. Вычислить tg 2х +tg2f/, если
1%х + *%У = а9
tgx-t%y = b. *
Решение. Выразим tg2x+tg2r/ через tgx + tgу и tgx-tgr/,
значения которых заданы. Имеем
ta9r-l_fa9o — 2tgX Д- 2 У — $ (t^x + t& У> “2 x’tg У № *+ tg у) _
tg2x-T i-tg2y (1 - tg2x) (1-tg2 y)
= 2 (tgx+tg y) (1 — tg x-tg y). = 2а (1—6)
1 + tg2 x• tg2 у — (tg x+tg y)2 + 2 tg x* tg у (1 + d + a)(l+6— a) ’
Задача имеет решение для всех значений а и &,.не обращающих
в нуль знаменатель* полученной дроби, т. е. при условии, что
1 + b += а.
В других случаях удобнее преобразовать то выражение, значе-
ние которого известно.
Пример 4. Вычислить
А = sin2 a+sin? р + sin2 у,
•296
если
2 tg 2a-tg2 ptg2 у + tg2 |3-tg2T + tg2 T-tg2a + tg2a-tg2 ₽ = 1.
Решение. Введем обозначения: sin2a — a, sin2 (3 = &, sin2y = c.
Тогда tg2a = r^, tg2P = r^, tg2 у = , и задача сводится
к определению величины А = а-\~Ь-[-с, если
2abc j Ьс ! ас .
(1-а)(1-6)(1-с) + (l-^)(l-c) + (l-c)(l-a)"b
После приведения равенства (*) к общему знаменателю и очевид-
ных преобразований получаем
а 4“ b -j- с = 1.
Итак, sin2 a + sin2 р +sin2 1.
В некоторых случаях рассматриваемые примеры решаются
комбинированным методом: из данных задачи находят численное
значение некоторых вспомогательных выражений, через которые
в свою очередь выражают искомую величину.
Пример 5. Найти значение выражения
a sin2 (a + Р) + b sin (a + Р) • cos (a + Р) + с cos2 (a + Р),
если tga и tg р—корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Решение. Считаем, что а=А=0, так как в противном случае
уравнение ах2-[-Ьх + с = 0 не было бы квадратным.
По теореме Виета
tga + tg₽ = —tga-tg₽ = 4»
откуда следует, что для a + р nk
tg (a + Р)
tg«+tgP _ &
1—tga-tgp с—a'
(Из последнего равенства вытекает, что требование a + p^y-f-
равносильно требованию с—а=£0.)
Теперь преобразуем искомое выражение. Обозначая его через А,
имеем
А = cos2 (a + р) [a tg2 (a + р) + b tg (a + ₽) + c] =
ab2 r b2 (
_atg2 + P)+t> tg (a + P)+c (с—а)2+^5+с
' 'l + tg2(a + 0) ' — ’ &2
+(c-a)2
_c(62+(c-a)2] ; '
62+(c—a)2 “ c'
297
Если а = 0,
а+Р л
cos—jp- = O,
Мы получили, что А =с, при условии, что а=#с. Если а = с=£0,
т. е. а + ₽ = у4-лга, то cos(a + 0) = O, sin2 (a + 0) = 1 и в этом
случае также А = с. При а = 0 задача не имеет смысла.
Пример 6. Найти sin(a + 0), если
a cos a + b sin a = a cos 0 4- b sin 0.
Решение. Преобразуя заданное равенство, имеем
a (cosa—cos 0) = b (sin 0—sin a);
2a sin —y2- • sin H 2 = 2b- cos—^--sin1^— . ( )
Исследуем равенство (*).
1. Пусть sin-•"—== О, т. e. 0—а = 2лл. При этом условии ра-
венство (*) является тождеством и, следовательно, sin (a + 0) может
принимать любое значение в пределах от —1 до 1. Задача стано-
вится неопределенной.
2. Пусть sin^-=^=/=0, т. е. 0—а=т^2шг. Сокращая обе части
равенства (*) на sin2 , имеем равенство
asm —&cos—. ( )
Коэффициенты а и & не могут обращаться в нуль одновременно
(задача становится неопределенной). .Поэтому допустим, чтоа^=0.
тт a 4- В
Из этого вытекает, что cos 2 г также не нуль.
В самом деле, если допустить, что cos 4^ = 0, то из равенства
(**) следовало бы, что и sin”^ —0 (а=^0!), что невозможно
( sin2 + cos2 = 1) .
Тогда, разделив все члены равенства (**) на созст^~— , имеем
. а+0 ь
tg—Р- = — и
2tg^±£
. / f о\ 2 _ 2а& /***\
sin(a + 0)= ( )
1+tg2—
то.Ь^О. Тогда из равенства (**) следует, что
и поэтому
sin (a + 0) — 2 sin • cos= 0.
а
298
Заметим, что этот результат содержится в равенстве (***), если
: положить в нем Ь = 0.
Итак, sin (а 4- Р) = 72^2 ПРИ условии, что Р—а=#2лп.
Иногда к данным равенствам удобно присоединить некоторые
основные тождества, содержащие те же функции, что и заданные
равенства.
Пример 7. Вычислить sinx и cosx, если
asinx4~&cosx = c.
Решение. Задача имеет смысл, если + Присоеди-
няя к данному равенству тождество sin2x4-cos2x = L получаем
: систему двух уравнений относительно функций sin % и cos %:
J sin2x4-cos2x = 1,
( asinx + &cosx = c.
Решая ее, находим
либо <
( .
sinx =
COS X
ас-]-ЬУа2-\-Ь2— с2
a2-}-b2
Ьс—аУ а2Ь2—с2
а2+Ь2
( . ас—ьУа2+Ь2—с2
sinx =---------------
РПЧГ_ Ьс+а1Га*+^-<*
C°s X —
В некоторых случаях проще вычислить квадрат искомого зна-
чения. Тогда при переходе к самому значению, т. е. при извлечении
корня, могут появиться лишние решения. Поэтому при таком
методе решения необходимо провести исследование знака искомого
значения.
Пример 8. Вычислить значение А = --!——- , если sin 2a =
r K sin a— cos a ’ ’
— 1 < tn < 0, < 2a < 2л.
Решение. Вычислим сначала Л2. Имеем
д2 _ (sin a + cos a)2 __ 1 + sin 2a _ 1 + M
— (sin a — cos a)2 1 — sin 2a 1 — tn
Проведем исследование знака А. Так как < 2a < 2л, то -|-л<
<а<л. Если а лежит в этих пределах, то | sin а | < | cosa |, при-
чем sin а > 0, a cosa < 0. Поэтому sin а 4-cos а < 0, sin а—cosa > 0
и Д<0. Поэтому A = — j/r~^.
Исследование знака искомого числового значения иногда бы-
вает столь затруднительно, что проще вычислить значение А непо-
средственно. Даже в этом примере, где исследование проводится
довольно просто, удобнее вычислять значение А сразу.
299
В самом .деле,
д _ (sin а + cos а)2 _ 1 -f- sin 2а _ 1 + sin 2а 1 + т
sin2a—cos2a —cos 2а ____уi___sjn22а У 1 — т
(cos2a=+Kl — sin2 2а, так как 2<х оканчивается в IV четверти).
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Для того чтобы при вычислении числовых значений выражений
можно было бы пользоваться таблицей логарифмов, нужно это вы-
ражение представить в виде произведений. Это особенно важно при
решении вычислительных задач по геометрии.
Пример 1. Преобразовать в произведение следующие выражения:
1) А = l + tg67° + tg68°; 2) B = cos(ot~P)—
Решение. 1. Используя формулу -
tga + tg₽ = (l— tga-tg ₽) tg(a + P),
находим
tg 67° + tg 68° = (1 — tg 67° • tg 68°) • tg (67° + 68°) = — 1 + tg 67° • tg 68°.
Следовательно, A = tg 67°-tg 68°.
2. Приведем выражение к общему знаменателю и каждое из
слагаемых числителя представим в виде суммы:
о __ cos (a — 0)-cos Р — cos 20-cos a _
— cos 2p • cos P
_[cos a-]-cos (a—2P)[— [cos (a + 2P)+ cos (a—2P)]_cos a —cos (a-|-2p)
2 cos 2p«cos P____________________________2 cos 2p • cos p
Теперь числитель представим в виде произведения и окончательно
получим
R_sin(a+P)-sinp_ sin.(a + P)tgP о . я > п „ н ft =^= л-4-тг/1
В~ cos-Sp-cosF'-------coTSp--’ где Р^т + тП И Р#=т + ЯЛ-
В ряде случаев при преобразовании в произведение целесооб-
разно вводить вспомогательный аргумент. Для выражений вида
a sin a b cos a подобный метод подробно изложен в главе X.
При этом полезно помнить, что:
1 = sin у = cos 0 = tg = ctg у = 2 siny = 2cosy ,
К2 = 2 sin-J = 2 cos ,
/3 = tgf = Sctgy = ctg -J = 3tg| = 2 sinf = -2cos f.
300
Пример 2. Преобразовать в произведение следующие выражения:
1) Л = 2 sin2 а 4-К3 sin 2а—1;
2) В =---, 2С°;~~~/л-----r-4-tga + cosa + sina.
2 tg (-^-—aj-sin2 +
Решение. 1. Понижая степень первого слагаемого, имеем
А = 1—cos 2a 4-К 3 sin 2a—1 =
= К 3 sin 2a—cos 2a = 2 cos ~ sin 2a—2 sin • cos 2a =
о о
= 2sin ^2a —
2. Предварительно упрощаем данное выражение. Обозначая
первое слагаемое через В19 имеем
cos 2a-cos ( ~ —a ) n o
\ 4 J cos 2a cos 2a
n-/Jl \ 9 / JL \ . JI, n \ WO
2 sin a cos2 -— a sin —— 2a
\ 4 J \ 4 J \ 2 J
(cos 2a ^=0, так как в противном случае а следовательно, и В
не имеет смысла).
Тогда
В = B1-[-tga4-cosa4- sin a = 1 4-tg a 4-cos a 4-sin a =
= cos cot Г ” + <C0S “ + Sin “) = <cos a + Sin a) + 1) =
= -q* (cos a 4-sin a) (1 4-cos a).
Ho
cosa 4-sin a = V2cos^—a) , 1 4-cosa = 2cos2y,
поэтому
2 У 2 cos ( — a cos2
B=----------и----)_----2_
cos a
(cos a 5^0, так как в противном случае tga, а следовательно, и В
не имеет смысла).
Вспомогательный аргумент может быть любым острым углом.
Его всегда можно найти по таблицам тригонометрических функций.
Пример 3. Введением вспомогательного угла преобразовать в
произведение выражения:
1) A =j/2 4~3sina; 2) В = У2 4- 3sin2a.
301
/ 2 \
Решение. 1. Замечая, что 24-3 sin а = 3(-з 4-sin al, подбе-
рем острый угол <ртакой, что Э1пф = у. Тогда Л=КЗ(зшф4-5ша)=
= у 6sin --< -cos 2- для всех а, для которых sina^—у.
2. Если слепо следовать методу решения предыдущего примера,
то ничего не получится. Поэтому поступим иным образом. Представ-
ляя В в виде В = у/'2 (1 +у sin2 , подберем острый угол ср такой,
что tg ср = "j/yl sin а |. Тогда
B = /2(l+tg4)-g-
Пример 4. Преобразовать в произведение выражение
л=К«+ь-гК^—ь.
Решение. Множество допустимых значений данного выраже-
ния состоит из тех значений а и Ь, для которых
( a-j-b^O,
\ а—Ь^О.
Решая это неравенство, находим, что а>|6|. При а = 0 также
6 = 0 и, следовательно, Л = 0. Пусть а>0. Тогда
л=г«(/н4+ /П4).
где |||<1.
Полагаем у = cos ср. При такой замене
Л = /а(/1 4-cos ср + К1—соэф) = кй 2 J cos-|-14-
+ К2 | sin-2- J) = 2Va cos-2- 4~ [ sin-2- ).
Если b > 0, то угол ф берем в I четверти и тогда
| cos -2-1= cos -2-, | sin-2-1 = sin-2-.
Если b < 0, то угол ф берем во II четверти: -^ < ф л. При этом
Л - ф Л
T<f Су И снова
I cos -2-1 — cos -2- и I sin-2-1 = sin-2-.
802
Итак, при любом |&|^а=/=0
A=2K^(-^cos^ + -^sin^ = 2Kacos (у—у) ,
где (p = arccos~ (см. гл. XII).
Замечание. Очевидно, что вспомогательный аргумент можно
вводить разными способами. При этом полученные результаты мо-
гут иметь самые различные виды.
§ 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
Рассмотрим ряд задач на доказательство наперед заданных
тождеств и равенств и укажем некоторые приемы, полезные при
этих доказательствах. Заметим, что и здесь каждый раз необхо-
димо указать множество допустимых значений углов и параметров,
входящих в данные выражения. В противном случае решение не-
полноценно.
Часто при доказательстве тождества преобразуют одну более
сложную часть к другой более простой, которая в данном случае
является, так сказать, «неподвижной». При этом преобразовании
нужно выбирать такие формулы, которые приводили бы к функ-
циям и аргументам, стоящим в «неподвижной части».
Пример 1. Доказать тождества:
о = 2) 1 4'3.с<й40-.
Решение. 1. Преобразуем левую часть данного выражения.
Выражая cos22а и cos2а через tga, имеем
/1—tg2«\2 41
cos2 2а — 4 cos2 а+3 _\l+tg2a/ l-|-tg2a^~ _z 4
cos2 2a4 cos2 a—1 /1—tg2a\2 . 4__. 2
\l + tg2a/ ‘ l + tg2a””"
Анализируя решение, замечаем, что это тождество справедливо
для всех а=^=—- + лп.
2. Преобразуем левую часть данного выражения так, чтобы
получить угол 40°,. стоящий в «неподвижной части»:
1_l ^90o-cos20°+1 _ 2 sin 20° (cos 20°+1) __
1-t-dCLzu cos 20° ~ 2 sin 20°-cos 20° ""
__ sin 40° +2 sin 20° __ (sin 40° +sin 20°) +sin 20°
~ sin 40° sin 40°
_ 2 sin 30°, cos 10° +sin 20е __ cos 10°+cos 70° __ 2 cos 40е- cos 30°
sin 40° sin 40° sin 40°
= K3-ctg40°.
Если не удается преобразовать одну часть тождества или равен-
ства к другой части или это очень сложно, то надо попробовать
преобразовать обе части к одному и тому же выражению.
303
Пример 2. Доказать тождество
tg2 (a + P)4-tg2 (a—Р) =
2 (sin2 2а 4- sin2 2|3)
(cos 2a-}-cos 2p)2
Решение. Обозначая левую часть через Л, а правую через В,
имеем
- _ 1 —cos (2a -{- 2(3) . 1 — cos (2a —2р)_
~~ 1 -}-cos (2a-|-2p) * 1 -}-cos (2a — 20)
2 — 2 cos (2a + 28) cos (2a — 2(3) . Q Q л .
= -л-:----,o - од i n —Чо------» a + ₽ и a—p не равны -x-4-л/г;
[1-}-cos (2a 4-2(3)] [14-cos (2a —20)] » 1 1 1 r 2 1 ’
о 1 —cos 4a-j- 1 — cos 4|3 2 — 2 cos (2a4-2(3)-cos (2a — 2(3)
4cos2(a-}-(3)• cos2 (a — (3) [1 -[-cos (2a-}-2(3)] [1 -}-cos (2a —2(3)]
при тех же ограничениях на углы. Таким образом, А=В при усло-
вии, что a + р и a—р не равны
Пример 3. Доказать тождество
1 + tg (35° + a) tg (25°—a) = ^d ] + sin 2a (tg a + ctg 2a).
Решение. Множество допустимых значений произведений тан-
генсов состоит из всех углов а, для которых 35° +а и 25°—а не рав-
ны 90°4~ 180°-п. Преобразуя произведение тангенсов, котороемы
обозначим через Л, имеем
л = tg (35° + а) • tg (25°—a) = sin ^а):51'1 (Х~“\ =
I / / cos (35 4-a)-cos (25°—а)
__cos (10°4~2а) — cos 60°_2 cos (10°-)-2а)—1
"" cos (10°4-2а) 4-cos 60° “ 2 cos (10°4-2а)4-1 ‘
Таким образом, Л равно первому слагаемому правой части и нам
остается доказать, что второе слагаемое правой части (обозначим
его через В) равно 1. В самом деле,
гч . ~ /, , , о ч л / sin a , cos 2a A
В = sin 2a (tg a + ctg 2a) = sin 2a ( — + j
__sin 2a-sin a-}-cos 2a-cos a_cos (2a — a) _ ।
cos a_____________________cos a ’
причем a =/=90° k.
Иногда путем равносильных преобразований удается свести дока-
зываемое тождество к очевидному или уже известному.
Пример 4. Доказать тождество
tg a 4- 2 tg 2a 4- 4 tg 4a 4- 8 ctg 8a = ctg a.
Решение. Доказываемое тождество равносильно следующему:
ctg a — tg a — 2 tg 2a — 4 tg 4a = 8 ctg 8a.
304
Обозначая левую часть через А и используя тождество
ctga—tga = 2 ctg 2a (см. гл. X), имеем
А = (ctg a — tg a) — 2 tg 2a — 4 tg 4a = 2 (ctg 2a—tg 2a) —
— 4 tg 4a = 4 (ctg 4a—tg 4a) = 8 ctg 8a ^8a^y 4-bi j .
Иногда при доказательстве тождеств удобно исходить из уже из-
вестных тождеств (основных).
Пример 5. Доказать тождества
cos у = у (j/1 -|-sina—j/1—sin a)
и
sin у = у (У 1 + sin a -j-j/1—sin a),
если 90° $Ca$C 270°.
Решение. Возьмем два основных тождества
COS2 у + Sin2 у = 1,
2 cos у • sin у = sin a.
Складывая их и вычитая, получаем два новых тождества
( a , . а \2
( cos у + siny J =1-|-sin a,
/ a a \2 .
I cos у — sin у j =1 — sin a.
Так как 45° у <1135°, то cosy4-siny^0 и cos у — sin у ^70.
Поэтому
COS у + SIH у = у 1 + sin a,
cosy — siny = — у 1—sina.
Складывая и вычитая полученные тождества, получаем требуемое.
§ 6. УСЛОВНЫЕ РАВЕНСТВА
Равенства, справедливые при всех допустимых значениях аргу-
ментов, удовлетворяющих заданным дополнительным условиям
(условиям связи), называются условными. Например, равенство
sin(a-|-P) = sina-|-sinP (*)
справедливо не при всех допустимых значениях аргумента аир,
а лишь при некоторых дополнительных условиях, например, когда
а+Р = 2л£.
В отличие от условных, равенства, рассмотренные в § 5, назы-
ваются безусловными.
305
Рассмотрим условные равенства следующих видов.
1. Требуется доказать некоторое соотношение между тригоно-
метрическими функциями, если задано соотношение (одно или не-
сколько) между аргументами.
Пример 1. Доказать, что
cos2 х 4- cos2 у -j- cos2 z — 1 = (—1 )п 2 cos х cos у • cos z,
если xуz = лп.
Решение. Так как х-\-у = лп—z, то
л 9.9.9 1 1 +cos 2х , 14-cos 2// < , 9
А = cos2 х4- cos2 у cos2 z— 1 =—------—~~~ 1 + cos 2 =
= у (cos 2х 4- cos 2у) 4- cos2 z = cos (лп — z) cos (x—у) 4- cos2 z.
Замечая, что cos (лп—z) = cos z при n четном и cos (лп—z) = — cos z
при n нечетном, мы можем записать, что cos(nn — z) = (—l)"cosz.
Тогда
А = (-1)" cos Z • COS (x—у) 4- cos2 z — [(— 1)" cos (x—y) 4- cos z] cos z.
С другой стороны, правая часть доказываемого равенства при
заданном условии приводится к тому же виду:
(—l)"2cosx-cosf/-cosz = (—1)" [cos (х4-у) 4- cos (х—у)] cosz =
= (—1)" [cos (ЛП—z)4-COS (х—у)] cos z =
= (—1)" [cosz-(—l)”4-cos(x—у)] cos z =
= [(—l)”cos(x—у) 4- cos z] cosz.
2. Требуется доказать некоторое соотношение между тригоно-
метрическими функциями, если даны другие соотношения (одно
или несколько) также между тригонометрическими функциями
тех же аргументов. При решении этих задач можно непосредствен-
но доказывать требуемое, используя при этом заданное условие.
Пример 2. Доказать, что
1+te₽
tga _ 1— tga-tgP sin Р n
tn-]-n tn — п sin (2a 4-р) tn
Решение. Множество допустимых значений состоит из всех
аргументов а, не равных и Р, не равных -у 4-л£. Кроме того,
2а4-Р=И=л^, где k—целое число, и т(т—п) (/п4-п) у= 0.
Доказываемое равенство равносильно равенству
tga4-tgP = /п4-и
tg a (1 — tg a-tg P) tn — n *
ИЛИ
tg(a4-P)==nt4-n
tg a m— n ’
306
Применяя к последнему производную пропорцию, получаем
tg (а + Р)— tgq________________т-\-п — т-\-п
tg a + tg(a + p) “ /и — n + m4-n’
ИЛИ
sin р __ п
sin (2а+ Р) — т *
Итак, дополнительное условие есть равенство, равносильное
доказываемому, следовательно, последнее справедливо.
В других случаях выгоднее преобразовать заданное дополни-
тельное условие так, чтобы получить из него равенство, которое
требуется доказать.
Примерз. Доказать, что tg (а + Р) = COsft * если s^na =
= A sin (а + Р).
Решение. Множество допустимых значений состоит из всех ар-
гументов аир, сумма которых не равна у+^л. Кроме того, созР+=Л.
Преобразуем заданное соотношение. Так как доказываемое равен-
ство не содержит аргумента а, а содержит а + Р, то представим
его в виде а = (а + Р)— р. Тогда, заменяя а в заданном равенстве,
получаем
sin [(а + Р) — Р] = A sin (а+Р),
sin (а + Р) cos р—cos (а + Р) sin р = A sin (а + Р),
или
sin (а + Р) (cosp — Л) = cos (а + Р) sin р.
Деля полученное равенство на произведение cos(a + P) (cos Р—Л)
(а+Р^=лЛ+-5-, cosp—Л#=0!), получаем tg (a + Р) = —Р ,
что и требовалось доказать.
Пример 4. Доказать, что
tgy=±tg 2"*gy,
если
cos х—cos a_sin2 a -cos P
cos x—cosp sin2 p. cos a’
Решение. Множество допустимых значений аргументов состоит
из всех у, у, а, не равных -у + Ъх, р=/=лл и таких, что cos%+=
=+cos р. Полагая (для удобства выкладок) tgy = i/, tgy = # и
tgy = 0, преобразуем дополнительное условие.
307
1_^2т
Так как cosy =-------, а
H-tg2^
1— у2 1—а2
1+у2 1+а2
1—у2 1— Ь2'
1+у2 \+ь2
2‘Ку
sin у =--------, то имеем
l+tg2^-
4а2 1 — Ь2
(1+а2)2 ’Г+62
462 i_a2 >
(1+&2)2 ‘ 14-а2
что после упрощения приводится к виду
= или (a2-&2)i/2 = ^2(a2-^)-
Если а2 — &2 =^= О, то у2 = а2Ь2 и y=±ab, что в наших обозначениях
означает tg^-= ± tg-| • tg, если tg2-^-—tg2 -£#=0.
F 2 А2 а а2~ У2 a2(l—b2)
Если а2 — &2 = 0, то равенство ~ь^--2 = справедливо для
любых допустимых у, в частности, для y=±ab, т. е. и в этом
случае tgy=±tgytg-L
Заметим, что в некоторых случаях выгодно перейти от задан-
ного дополнительного соотношения между аргументами к соотно-
шению между тригонометрическими функциями этих аргументов.
Пример 5. Доказать, что tga + ctgP-f-ctg у = tga-ctgP«ctgy,
если сс = р+у.
Решение. Множество допустимых значений состоит из всех
а^-^-Ц-л&, р^л/г, у^лт. Требуемое получим из дополнитель-
ного условия (т. е. из равенства а = Р + у). Так как а = р + у, то
равны соответствующие тригонометрические функции этих аргу-
ментов. В данном случае выгодно рассматривать равенство тангенсов.
Итак, tg а = tg (Р + у), т. е.
tga
т tgP+tgy
1 —tgp-tgy '
Переходя в правой части к котангенсам, находим, что
tga = ^PT^T , т. е. tga = 4V+^.
_____L- & ctgp.ctgy —1
ctg Р ’ctg у
После приведения последнего тождества к общему знаменателю
получаем требуемое. _
3. Дополнительные условия задаются в виде нескольких ра-
венств, из которых некоторые связывают аргументы, а другие —
тригонометрические функции этих аргументов.
Пример 6. Доказать^ что
а2 ==62 + с2 — 2&ccos Л,
308
если
- 4 + в + с = л-
Решение. Считаем, что sin Л-sinB-sin С ^=0. Обозначая равные
отношения через /, имеем
а = /-sin Л, &=/-sinB, c = t-s'mC.
Тогда
&24-с2 — 2&c-cos А = t2 [sin2 В + sin2 С—2 sin В-sin С-cos Л] =
= /2<---2----1---2----[cos (В—С) — cos (В 4-С)] х
xcos [л—(В + Q]} = t211 — (cos2B + cos2C) • у+
4- cos (В + С) [cos(B—С) — cos(B4-Q] } =
= /2 {1 — cos (В 4- С) • cos (В—С) 4-cos (В 4- С) cos (В—С) —
— cos2 (В 4- Q} = t2 sin2 (В 4- С) = t2 • sin2 А = а2,
что и требовалось доказать.
4. Требуется доказать соотношение между аргументами, если
задаются соотношения между тригонометрическими функциями этих
аргументов.
Пример 7. Доказать, что a4-P4-y = (2fe+1) л, если
tg-J-tg-|-+tgT,tgi+tg4,tgl=1- (*)
Решение. Сгруппируем два первых члена равенства (*), а в
третьем слагаемом перейдем к функциям синус и косинус.
Имеем;
• Р • V
/ а \ sin о sin ТГ
<s4 (tgA+tgi ) + —?--------4-1-0,
v 7 COS у • COS -~
. а . ( P , V A P Y . P . y
sin у cos у • cos у — sin у • sin y
а ’ P у P Y 0’
cos у cos у • cos cos у • cos
.< а . ( P । Y \ ( P I Y \ ’а л
sin у . sin ( y + y J — cos ( у + y ) • cosy = 0.
После изменения знака в обеих частях последнего равенства
прлучаем
cos(t-+1+1)=0.
Из последнего следует, что4-у4-у = у4-nk, илиа4-04-<у==
= л + 2лЛ, что и требовалось доказать.
309
§ 7. ИСКЛЮЧЕНИЕ АРГУМЕНТОВ ИЗ СИСТЕМЫ РАВЕНСТВ
Пример 1. Исключить х из системы равенств
( cos х—sin х = т,
\ sin2x = n.
Решение. Задачу надо понимать следующим образом: считая
данные равенства справедливыми и используя свойства равенств,
получить как следствие такое равенство, которое бы не содержало х.,
Если рассматривать эти два равенства как уравнения относи-
тельно %, то, исключив х, мы найдем необходимое условие, кото-
рому должны удовлетворять параметры тип, чтобы эта система
была совместной (см. гл. III); однако эти условия могут быть не-
достаточными, поэтому вполне допустимыми являются такие пре-
образования, которые могут дать посторонние корни (например,
возведение обеих частей уравнения в квадрат и т. д.). Общий
метод исключения параметров из системы двух уравнений состоит
в том, что решают одно из уравнений относительно параметра и
найденное для него значение подставляют в другое. Однако неко-
торые искусственные приемы позволяют получать нужный резуль-
тат значительно быстрее.
В данном случае, возводя первое равенство в квадрат, находим
cos2 х 4-sin2 х—2sinx-cosx = /n2, или 1—sin2x = /n2.
Затем, используя второе равенство, получаем 1 — п = т2. Этот ре-
зультат надо понимать так: если т и п не удовлетворяют найден-
ному условию, то заведомо не существует такого х, чтобы оба ра-
венства были одновременно справедливы. Но надо помнить, что
найденное условие не является, вообще говоря, достаточным усло-
вием совместности системы, т. е. если тип удовлетворяют най-
денному условию, то это еще не значит, что существует такое х, кото-
рому удовлетворяют оба уравнения одновременно. Например, при
п = —2, /п = КЗ оба уравнения не имеют смысла.
Пример 2. Исключить углы из следующих систем равенств:
(cos (х—у) = с,
sin х 4-sin у = а,
cos х 4-cos у = Ъ\
2)
f р cos2 0’4- q cos2 ф = 1,
< р ctg2 Q + q ctg2 ф= 1,
ч р sin 0 = q sin ф;
1x sin a—f/cos a = у x
sin2 a t cos2a _ 1
a2 62 x24~ y2
Решение. 1. Возводя второе и третье равенства в квадрат
и складывая их, имеем (sin2 х 4-cos2 х) 4-2 (sin х-sin г/4-cos х-cos у)4-
4- (sin2 у 4- cos2 у) = а2 4- &2, т. е. 2 4-2 cos (х—у) = а2-\-Ь2. Используя
первое равенство, окончательно получаем 2 4-2с = а2 4-Ьа.
Хотя числа а = 2, Ь = 2, с = 3 удовлетворяют полученному соот-
ношению, но при с = 3 первое уравнение теряет смысл.
310
2. Область допустимых значений данных выражений состоит из
всех ф=/=лп и 0=+ nk (и и k—целые). Следовательно, sin ср 0 и
sin0#=О. Отсюда следует, что и ^0. В самом деле; если
р = 0, то из третьего уравнения следует, что и q = 0. Но в этом
случае первые два уравнения системы теряют смысл.
Переходим к решению задачи. Запишем первое равенство сис-
темы в виде
р(1—sin20) + ^(l — sin2cp) = 1, или psin20 + 7sin2(p = p4-<7—1.
Возведя третье равенство в квадрат, имеем р2 sin2 0 = /у2 sin2 ср.
Таким образом, получаем систему
J р sin2 0 4-7 sin2 ср = р + 7—1,
(р2 sin2 0—72 sin2 ср = 0
двух уравнений относительно величин sin20 и sin2<p. Исключая из
нее сначала sin20, затем sin2 ср, получаем
( 9(P + ?)sin2<p = p(p + ?—1),
I p(p+<7)sin2O = <7(p + <7—1).
Так как р#=0, 7=+0, з1пф+=0 и sin0=+O, то из этой системы
следует, что и р + 7#=0 (в противном случае р + 7=1, что несов-
местно с условием р + 7 = 0). Поэтому
sinaq) = P(AL+g-.l); sin20=+4+).
т q(p+q) p(p+q)
Переписав теперь второе равенство заданной системы в виде
sin2 0 ' sin2(p
и подставляя найденные значения зш2ф и sin20, после упрощения
получаем (р2 — 72)2 = —Р7-
3. Возведя первое равенство в квадрат, получаем последова-
тельно:
х2 sin2 а + у2 cos2 а—2ху sin а cos а = %2 + у2,
х2 (1 — sin2 а) + у2 (1 — cos2 а) + 2ху sin а cos а = 0,
х2 cos2 а + у2 sin2 а + 2ху sin а cos а = 0,
(% cos а + у sin а)2 = 0,
т. е.
х cos а + у sin а = 0.
Отсюда х2 cos2 а = у2 sin2 а. Таким образом, с одной стороны,
x2cos2a = y2(l — cos2а), т. е.
и2
cos2 а = -т, ,
с другой стороны, х2 (1 — sin2 а) = у2 sin2 а, т. е.
. „ X2
sin2 а = -т .
311
Подставляя sin2 а и cos2 а во второе равенство, получаем
1
а2-г Ь2—1-
При решении задач на исключение углов, в зависимости от
выбранного способа решения, могут получаться различные резуль-
таты.
Пример 3. Исключить |3, если
( cos (Р 4-а) = т,
\ cos (Р—а) =п.
Решение. I способ. Складывая и вычитая данные равен-
ства, получаем:
{2 cos р • cos а = т 4- /г,
—2 sin P-sina = m — гг,
или
J 4 cos2 р • cos2 а = (т 4- /г)2,
\ 4 sin2 р-sin2 а = (т—гг)2.
Отсюда, умножая первое равенство полученной системы на sin2 а,
а второе — на cos2 а и складывая, имеем
4 sin2 а • cos2 а (sin2 р + cos2 Р) = (т + /г)2 sin2 а 4- (т—п)2 cos2 а,
т. е.
sin2 2а = (т 4- и)2 sin2 а 4- (т — /г)2 cos2 а.
II способ. Замечая, что р4-а = (р — а)4-2а, имеем
- tn = cos [(р — а) 4- 2а] = cos (Р —а) • cos 2а — sin (Р —а) • sin 2а.
Используя второе равенство и учитывая, что sin (Р—а) =
= ±1/ 1 —cos2 (Р — а), получаем т = и cos 2а ± —n2sin2a, или
±К1—м2 sin 2а =/г cos 2а—т, т. е.
(1 —n2)sin22a.= (ncos2a— m)2.
§ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
При доказательстве тригонометрических неравенств использу-
ются те же приемы, что и при доказательстве неравенств, рассмот-
ренных в курсе алгебры (cto. гл*. II, § 8).
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих различные
методы доказательства.
В некоторых случаях тригонометрическое неравенство можно
свести к алгебраическому.
Пример 1. Доказать неравенство
4 sin За 4-5^4 cos 2а 4-5 sin а.
312
Решение. Обозначая sina = a и используя тождества sin3a=
=3sina—4 sin3 a, cos 2a =1—2 sin2 a, мы можем данное условие
переписать в виде 4(3а—4п3) + 5^4(1 — 2a2) + 5a, где
После, соответствующих преобразований получаем
16a3—8a2 — 7а—1^0, или (а—1) (4a-f- 1)2^0.
Последнее очевидно, так как а—1^0.
Заметим, что знак равенства имеет место в том и только в том
1 • 1
случае, когда sma=l и sina =— у.
Пример 2. Доказать, что tg2a4-tg2P4-tg2y^ 1, если а4“Р4~
, л
+ Т = у.
Решение. Область допустимых значений состоит из всех а, р
и у, не равных y + fai.
Из условия a + р + у = у следует, что tga-tgp4-tgp.tgy4-
4-tgy.tga=l (предлагаем читателю доказать это). Если положить
tga = a, tg Р = b, tg у = с, то доказательство данного неравенства сво-
дится к доказательству алгебраического неравенства а2 + Ь2-[-с2^
Z^ab + bc + ca при условии а > 0, b > 0, с > 0. Это неравенство мы
доказали (см. гл. II, § 8).
При доказательствах некоторых неравенств полезно использо-
вать уже известные неравенства sin a < а и tga>a, справедливые
для 0 < a < у .
Пример 3. Доказать, что a—tg a > р—tg р, если 0 < a < р < у.
Решение. Имеем tgр — tga = (l 4-tga-tgP) tg(P—а). Таккак
tga>0, tgP>0, tg (P — a) > p—a, to tg p — tga>p—a, откуда
следует, что a—tga>p—tgp.
Пример 4. Доказать, что cos a 4-a sin a > 1, если 0<a<y.
Решение. Так как sin a < a и cosa < 1, to sin2 a < a sin a и
cos2 a < cos a. Складывая эти неравенства, получаем
cos a 4-a sin a > 1.
В некоторых случаях полезно найти области изменения правой
и левой частей заданного неравенства.
Пример 5. Доказать, что | sin a 4- cos a | < | tg a 4- ctg a |, a =/= у. k.
Решение. Так как sina4-cosa = j/2sin^a4-~J,To|sina4-
4-cos a |<: K2. С другой стороны, | tg a 4- ctg a | = । > 2. От-
сюда следует, что
| sin a 4-cosa| < |tg«4-ctga|.
313
При доказательстве некоторых неравенств можно использовать
метод математической индукции.
Примере. Доказать, что tgna > ntga, если 0<a<j^-yj,
где п = 2, 3, ... .
Решение. При п = 2 имеем 0<а< , 0<tga<l,
tg 2а = р^2аа , поэтому tg 2а > 2 tg а.
в теперь, что tgna>ntga, если 0 < а < jj , дока-
жем, что tg (n+1) а > (п4-l)tga, если 0<а<^-. Имеем
(п-|- l)tga = ntga4-tga. Согласно нашему допущению отсюда сле-
дует, что
(п + 1) tga < tgna + tga.
Но tgna4-tga = (l—tgna-tga) tg(n4-l)a. Поэтому
(n+l)tga< (1—tgna-tga) tg(n+l)a. (*)
Оценим множитель 1—tgna-tga. Так как 0<na<-^-, то
О < tg na < 1. Поэтому 0 < tg па • tg a < 1 и 0 < 1 —tg па • tg а < 1.
Учитывая последнее неравенство, из неравенства (*) получаем, что
(n+ l)tga < tg (n+ l)a, что и требовалось доказать.
§ 9. СУММИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Задачи на суммирование тригонометрических выражений требуют большой
изобретательности.
Во многих случаях представляют члены последовательности в виде разностей
определенных функций так, чтобы получить подобные члены разных знаков,
или применяют метод индукции (обычно, когда предлагается доказать формулу
суммы) и т. д.
Проиллюстрируем сказанное на следующих примерах.
Пример 1. Найти сумму
Sn= sin x-sin 3x-|-sin 2x-sin 6x+... 4-sin 2n“1x-sin З^”-1*.
Решение. Каждое произведение правой части представим в виде разности:
\ак= sin 2k^1x sin 3-2л~1х = -^- (cos 2kx—cos 2А+1я).
Тогда
Sn = ~ {[cos 2х—cos 22x] + [cos 22x— cos 32x] + .. . +
+ [cos 2n~1x—cos 2nx] + [cos 2nx—cos 2n ^x]},
откуда после приведения подобных получим
q cos 2х— cos 2n + 1x
Sn~ 2
Иногда можно перейти от заданной последовательности к другой, методы
суммирования которой известны.
314
Пример 2. Найти сумму
S„ = sin x-sin 2x+sin 2x-sin Зх+ ... 4-sin nx-sin (n+ l)x.
Решение. Вновь представляем каждое произведение левой части в виде
разности:
a^ = sin &x-sin (&+ 1)х = у [cos х—cos (2& +1) х].
Тогда
Sn = ~2 {(cos х—cos 3x) + (cos x—cos 5x) + .. • +
+ [cos x—cos (2л +1) x]} = y n cosx—у
где
Sx = cos 3x4-cos 5x+ . s + cos (2n +1) x (*)
есть сумма косинусов, аргументы которых составляют арифметическую прогрессию
с разностью d = 2x (см. гл. XI, § 1). Для нахождения Si умножаем обе части
равенства (*) на 2sinx и используем формулу 2 sin a-cos 0 = sin (a + (J) +
+ sin (a — P). Получим
2Si sin x=(sin 4x —sin 2x) + (sin 6x — sin 4x)+ .. • +
+ [sin 2 (n+ 1) x—sin 2nx] = sin 2 (л +1) x—sin x.
_ . /Л o sin 2 (n+1) x—sin 2x
Отсюда при sinx?£0 находим Si =-------- -- .----- и, следовательно,
ncosx sin2(n + l)x—sin 2x_(n+l)sin2x—sin2(n+l)x
n~ 2 4 sin x 4 sin x
Если sin x = 0, t. e. x = nk, to S„ = 0.
При суммировании синусов или косинусов кратных аргументов (kx, k =
= 1, 2, ...) с коэффициентами, образующими геометрическую прогрессию, целе-
сообразно использовать формулу Муавра (cos х 4-sin x)" = cos nx-[-i sin nx (см.
гл. I).
Пример 3. Найти суммы
S„ = cos х + 2 cos 2x4-4 cos 3r4- ... 4-2п-1 cos nx
и
an = sin x4-2 sin 2x+4 sin 3x4- ... 4-2"-1 sin nxt
Решение. Вычислим сумму S„ + ian:
5n + ^„ = (cos x + i sin x) + 2 (cos 2x-j-i sin 2x)+ .. .4-
4~2W —1 (cos nx + Z sin nx)=(cos x-j-i sin x) + 2 (cos x-j-i sin x)2+ ..
+ 2W-1 (cos x + i sin x)n.
Справа стоит сумма- n членов геометрической прогрессии со знаменателем q =
= 2(cos x + i.sin х) и. первым членом a = cosx-|-i sin х. Поэтому
с । • Д (1—<7n)_(cosx-|-t sin х) [1—2” (cos x+i sin х)”]
n + 1 —q 1 — 2 (cos x + * sin x)
___(cos x-j-i sin x) (1 — 2n cos nx—i2n sin.nr)
(1 — 2cosx) — 2i sin x
Замечая, что
cos x-f-i sin x _(cos x-j-i sin x) (1 —• 2 cos x-j-2i sin x)__cos x—2-|-tsinx
1 — 2cosj£—2/sin x (1—2 cos x)2+ 4 sin2 x. . 5 — 4 cos x
315
2л
и x = —, получим
2л . . .
cos-----2 -kt sin
n
2"-cos2 л — t-2"-sin 2л)
2л . .
cos-----24-i sin
п
. 2л
5—4cos —
п
. 2л
5—4 cos —
п
f 2 л
(1 —2"И cos^p —2
к л
5 — 4cos —
п
2л
1 — 2") sin^
к а 2л
5 — 4cos —
п
Из равенства двух комплексных чисел следует равенство их действительных
и мнимых частей, поэтому
2—cos
Sn
_ л 2л
5—4cos —
п
Отг
(1— 2") sin—
7= -----------
" 2л
5 —4cos —
п
(*)
В следующем примере используем метод математической индукции.
Пример 4. Доказать, что
1 cos х . cos 2х . cos Зх . .cos их sin (л4-1)
COS X * COS2X * COS3 X * * “ 'cos" X cos" x-sin X ’
Решение. При л=1 равенство очевидно (2 = 2). Допуская это равенство
справедливым для некоторого п > 1, докажем справедливость его для л 4-1.
Очевидно, что
cos (л-|- 1) х_ sin (л4-1) х . cos (л4~1) * _
" + 1 ,2~*~ cos" + 1x cos"x-sinx ’ cos" + 1x
sin (n+ l)x-cosx-|-cos (л-)-l) x-sin x_ sin (n-|-2)x
cos" + 1 x-sin x cos"+1x-sinx*
т. e. равенство (*) справедливо и для л4~1«
К задачам на суммирование тесно примыкают задачи на вычисление произ-
ведений. Эти задачи также требуют большой изобретательности и иногда решаются
умножением и делением произведения на некоторую тригонометрическую функцию.
Пример 5. Вычислить
Рп = (1 4-sec 2х) (14-sec4х).. .(14-sec 2"х).
Решение. Очевидно,
р 1 + cos 2х 14- cos 4х 1 4~ cos 2"х __
п~ cos 2х cos 4х ’ ‘ ’ cos 2" х
2 cos2x 2 cos2 2х 2 cos 2"-1х
cos 2х cos 4х cos 2"х
2" COS X n пз on 1
=-----7—— -cos x-cos 2x-cos 22x.. .cos 2"-1x.
cos 2" x
Мы получили произведение косинусов, аргументы которых образуют геометри-
ческую прогрессию со знаменателем q = 2. Поэтому умножим и разделим это
произведение на sin х Ф 0 (см. § 2, пример 3). Применяя затем последовательно
формулу sin x-cos х = ~2" sin 2х, получаем
р 2п cos х sin 2"x_tg 2п х
” —cos2"x 2"sinx tgx
Если sirix = 0, т. e. x= nkt to P„ = 2".
316
Пример 6. Вычислить
d ( а . Р A( а . РА ( а . . Р \
Рп= ^cos у+cos у Д cos т+ cos т j...cos 2^+ sin .
Решение. Умножим и разделим произведение на
( а Р \ , л
^cosy-cos 7=0.
Замечая, что
/ ч/ . ч о 9 cos 2х—cos 2ц
(cos х—cos у) (cos x+cos у) = cos2 х— cos2 y~-------— ,
имеем:
d 1 ( a । P A ( <* . PA
P„ =---------g- ( COS у + cos у Д cos T+cos T 1 . . X
COS--cos v
x(cos 2^ + cos 2^)[(COS£+COSIO (cos^-cos^)] =*
=~(----a------И I C°S 2~+C°S 2~ KC0S T+C°S T • • X
2^cos2^-cos^;
17 a , ₽ \ / a PM
X Д cos 2«^t + cos 2^1) (ч cos 2«-~ “ C0S 2^ J J = • • • =
__ cos a — cos P
on ( a P V
гДсоз^-со8^
Если cos^=cosj^, т. e. fJ = 2"2йл ± a, to Pn = 2n cos у cos у .. .cos
Умножив и разделив правую часть на sin 0 и применяя затем последо-
вательно формулу sin xcos x = -i-sin 2х, получим
sin a
Т сГ
sln 2Н
Если, наконец, и sin 2« = 0, т. е. а = 2"/тш, то
Рп = (-1)т
ГЛАВА ХП
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Все тригонометрические функции, будучи периодическими, не
являются монотонными во всей области своего существования.
Отсюда следует (см. гл. VII, § 7), что функции, обратные триго-
нометрическим, рассматриваемым во всей, области их существова-
ния, многозначны. Чтобы получить однозначные ветви этих много-
значных функций, нужно взять промежутки монотонности, на
которых тригонометрическая функция либо возрастает, либо убы-
вает, принимая при этом все возможные для нее значения.
Рассмотрим обратные функции для каждой из тригонометриче-
ских функций в отдельности.
§ 1. АРКСИНУС
Как известно, функция у = sin х монотонна на каждом из проме-
жутков — у + л&, , где k = 0, ±1, ±2, ... . Возьмем
промежуток —у, -yj . На нем у = sinх возрастает, принимая
все свои значения от —1 до 1. Согласно общей теории (см. гл. VII, §7)
существует обратная однозначная функция, определенная на отрезке
— и монотонно возрастающая на нем от значения------у-
до у. Эта обратная функция обозначается символом
х= arcsin z/ (1)
(читается: «х равен арксинусу у».
Следуя нашей привычке обозначать аргумент через х, поменяем
местами х и у в равенстве (1) и будем писать
у = arcsin х.
Таким образом, функцией у = arcsin х называется переменная вели-
[л л 1
— Т’ Т ’ синУс которой равен х.
Это значение у может рассматриваться как радианная мера угла
(дуги).
Взаимная обратность функций sinx и arcsinx хорошо видна из
следующей записи:
sin (arcsin х) = х, если |х|</1, (2)
т. е. знаки операций взятия «arcsin», а затем «sin», уничтожаются,
если они следуют одйа за другой. Обратный порядок этих опера-
ций дает тот же результат в том случае, когда —у^х^у, т. е.
arcsin (sinx) =х, если —у<х^у.
318
График функции # = arcsin х можно получить из части графика
у = sinх, |х| ^у зеркальным отражением последнего относительно
биссектрисы I и III координатных у г
фике наглядно отражены все свойства
функции arcsin х. Перечислим их
еще раз.
Функция у = arcsin х:
1) определена и однозначна на от-
резке [—1, 1];
2) монотонновозрастает от — у до
л
у, принимая при этом все промежуточ-
ные значения — у У •
3) является нечетной функцией, т. е.
arcsin (—х) = —arcsin х.
Многозначная функция, обратная
тригонометрической функции у = sin х во веей области ее существо-
вания, обозначается символом У = Arcsin х.
Таким образом, Y = Arcsinх есть множество всех чисел, синус
которых равен х.
Найти все значения Y = Arcsin х—это значит найти все числа
(или углы, или дуги) Y, синус которых равен %, т. е.
sin Y = х, (3)
где х—некоторое фиксированное число, удовлетворяющее условию
И<1.
Пусть Уь — число, взятое из промежутка £—у, yj, такое что
yQ = arcsin х, или
. sinr/0 = x. (4)
Сравнивая равенства (3) и (4), имеем
sinF = siny0, (5)
и наша задача свелась к отысканию всех чисел Y (или углов, или
дуг), удовлетворяющих условию (5). Последнее справедливо для
всех Y и yQ, связанных равенствами Y—у9 = 2лп и У-|-г/0 = л + 2лп
(см. гл. X, § 8). Отсюда следует, что Y = у^-}-2т и Y = — yQ +
+ л (2лг1). Итак, все значения Y = Arcsinх, т. е. все числа, синус
которых равен х, заключены в формулах
arcsin х + 2лгг,
—arcsin х + л (2п + 1),
которые можно объединить в одну:
Arcsinx = (—!)*• arcsin x-\-nk. (7)
Arcsin x —
319
В самом деле, если k четно, т. е. & = 2п, то из равенства (7)
следует верхняя формула (6); если & = 2гг4-1, то из равенства (7)
получаем нижнюю часть формулы (6).
Замечание. При х = ±1 формула (7) упрощается:
Г у4-2л&, если тг = 2Л;
Arcsin 1 = (—1)" arcsin 1 4- лп = \
— 4 + я+2л£, если п = 2k 4-1,
т. е. Arcsin 1 = у 4-2 л/г при любом k\
Arcsin (—1) = (—1)" arcsin (—1) 4- т =
—^4- 2л&, если п = 2k\
у—л4-2л£, если п = 2k—1,
т. е. Arcsin (—1) = — у4-2л£ при любом k.
§ 2. АРККОСИНУС
Зту функцию строят по той же схеме, что и арксинус.
На промежутке [0, л] функция y = cosx монотонно убывает
от 1 до —1 и принимает при этом все промежуточные значения.
Следовательно, существует обратная однозначная функция, опре-
деленная на отрезке —1 у 1 и монотонно убывающая на нем
от л до 0. Это обратная функция обозначается символом
х = arccos у
(читается: «х равен арккосинусу у»), или, если независимую пере-
менную обозначать через х,
у — arccos х.
Таким образом, функцией у = arccos х называется переменная
величина у, лежащая на отрезке [0, л], косинус которой равен х.
Из этого определения следует, что
cos (arccos х) = х, (8)
если |х|<1 [arccos (cosх) = х в том случае, когда О^х^л;
см. § 1].
График функции у= arccos х можно получить из графика функ-
ции y = cosx, О^х^л зеркальным отражением последнего отно-
сительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 70).
Итак, функция у = arccos х:
1) определена и однозначна на отрезке —l^x^l;
2) монотонно убывает от л до 0, принимая при этом все проме-
жуточные значения 0^г/^л.
320
Заметим, что функция у = arccos х не является ни четной, ни
нечетной. Так, например,
а
1 л f л 1 \
arccosy = y I сов — = —] ,
/ 1 \ 2 Г 2 1
arccos [ — у I = у л I cos у л =—у
Многозначная функция, обратная функции y = cos.v во всей области
ее существования, обозначается символом У = Arccos х.
Таким образом, У = Arccos х
есть множество всех чисел У,
косинус которых равен х.
Найти все значения Y =
=Arccos х—это значит найти все
числа (или углы, или дуги), коси-
нус которых равен х, т. е.
соэУ = х, (9)
где | х | 1 — некоторое фиксиро-
ванное число. Возьмем в проме-
жутке [0, л] число yQ = arccos х.
Для него также
cosy0 = x. (10)
Рис. 70
Сравнивая равенства (9) и (10), имеем
cos У = cos у0,
(11)
и наша задача свелась к отысканию всех чисел (или углов, или
дуг), удовлетворяющих условию (11). Последнее справедливо для
всех У и у0, связанных равенствами У±г/0 = 2лп, где п—любое
целое число (см. гл. X, § 8).
♦ Итак, все значения У = Arccos х, т. е. все числа, косинус кото-
рых равен х, заключены в формуле
Arccos х = ± arccos х + 2лп. (12)
Замечание. При х = 0 формула (12) упрощается:
| у + 2лл,
Arccos 0 = ± arccos 0 4~2лп= ч
[ -| + 2лп=-| + л(2п-1),
т. е. Arccos 0 =где £—любое целое число.
§ 3. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС
На интервале^ — у, у) функция z/ = tgx монотонно возрастает
от —оо до оо и принимает при этом все действительные значения.
11 Ко 407
321
Следовательно, существует обратная ей однозначная функция, опре-
деленная на всей числовой оси и монотонно возрастающая от —~
до у. Эта обратная функция обозначается символом х = arctg у
(«х равен арктангенсу у») или
у-arctg х, (13)
если аргумент обозначать через х.
Таким образом, функцией у = arctg х называется переменная ве-
личина у, лежащая в интервале (— у, у), тангенс которой ра-
вен х.
Из этого определения следует, что tg (arctg х) = х для любого
действительного х j^arctg (tg%) = х в том случае, когда |х|<у^ •
График этой функции может быть получен зеркальным отображе-
нием относительно биссектрисы I и III координатных углов ветви
тангенсоиды, соответствующей интервалу (—у, у) (рис. 71).
Итак, функция у = arctg х\
1) определена и однозначна на всей числовой прямой;
2) монотонно возрастает от — у до у, принимая при этом все
промежуточные значения:
3) является нечетной функцией, т. е. arctg (—х) = —arctg х.
Многозначная функция, обратная функция у = tg х, рассматри-
ваемой во всей области ее существования, обозначается символом
Y = Arctg х.
Таким образом, Y = Arctgх есть множество всех чисел У,
тангенс которых равен х, т. е.
tgK = x. (14)
Найдем все эти значения Y. С этой целью возьмем у0 = arctg х.
Сравнивая равенство tgy0 = x с равенством (14), имеем
tg&=tgF,
откуда следует, что Y = yQ-\-m.
Итак, все значения Y = Arctg х, т. е. все числа, тангенс кото-
рых равен х, заключены в формуле
Arctg х = arctg х-(- лл. (1S)
На интервале (0, л) функция y = ctgx монотонно убывает от
+ оо до —оо и принимает все действительные значения. Следова-
тельно, существует обратная ей однозначная функция, опреде-
ленная на всей числовой оси и монотонно убывающая от л до 0.
322
Эта функция обозначается символом х = arcctg г/, или
у — arcctg х,
если аргумент обозначать через х.
Таким образом, функцией у = arcctg х называется переменная
величина у, лежащая в интервале (0, л), котангенс которой равен х.
Из этого определения вытекает, что ctg (arcctg х) = х для лю-
бого действительного х [arcctg (ctg х) —х в том случае, когда
О < х < л].
График этой функции дан на рис. 72. Мы видим, что функция
у = arcctg х\
1) определена и однозначна на всей числовой прямой;
2) монотонно убывает от л до 0, принимая при этом все про-
межуточные значения;
3) так же, как и арккосинус, arcctg х не является ни четной,
ни нечетной функцией. Так, например, arcctg 1 = (ctg -2- = 1 j, а
3 / з х 4
arcctg(— 1) = ул (^etg—л= —1J.
Все значения Y, котангенс которых равен х, записываются
символом Y = Arcctg х и заключены в формуле
Arcctg х = arcctg х + лп (16)
(доказательство предоставляется читателю).
Вместо промежутков [—у, yj и (""У» У у для синУса и тангенса,
[О, л] и (0, л)—для косинуса и котангенса можно рассматривать другие проме-
жутки монотонности этих функций. Каждому такому промежутку будет соответ-
ствовать обратная однозначная функция. Таким образом, каждая многозначная
функция у=Arcsin х, у = Arccos х, z/ = Arctgx и у = Arcctg х имеет бесконечное
число однозначных ветвей, среди которых находятся функции у = arcsin х,
у = arccos х, z/ = arctgx и у = arcctg х. Последние называются главными однознач-
ными ветвями обратных тригонометрических функций, или, проще, их главными
значениями.
11
323
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
I. При всех допустимых значениях аргумента х справедливы
тождества
acrsin х + arccos х = у, (17)
arctg х + arcctgx = y . (18)
Докажем одно из них, например (18).
Переписав его в виде arctg х = у— arcctg х, вычислим тангенс
числа у—arcctg х.
По формулам приведения
tg ^у — arcctg х) = ctg(arcctg х) = х.
Так как 0 < arcctgх < л, то—у < у—arcctgx<y. Таким об-
разом, два числа arctg х и у—arcctg х, заключенные в одном
интервале (—у, у), имеют равные значения тангенса:
tg (arctg х) = tg (у—arcctg х) .
Отсюда следует равенство этих аргументов, т. е.
arctg х = у — arcctg х,
или
arctg х + arcctg х = у .
Аналогично доказывается тождество (17).
Отметим еще одну пару тождеств.
II. При всех допустимых значениях аргумента х справедливы
тождества
arccos (—х) = л—arccos х, (19)
arcctg (—х) = л—arcctg х. (20)
Докажем одно из них, например (19).
Имеем
cos [arccos (—x)J = — х
и
cos (л— arccos х) = — cos (arccos х) = — х,
т. е.
cos [arccos (— x)J = cos (л— arccos x).
324
Так как 0^ arccos а л для любого | а | 1, то 0 arccos (— х) л
и О^л—arccos л. Таким образом, числа arccos (—х) и
л — arccosх, заключенные в одном промежутке [0, л], имеют равные
значения косинуса. Следовательно, эти числа равны, т. е.
arccos (— х) = л — arccos х.
Второе тождество доказывается аналогично.
§ 5. ЗАДАЧИ
Пример 1. Найти область определения следующих функций:
Ру
1) у = arcsin---г;
7 J х— 1
2) У = у л—4 arccosy .
Решение 1. Арксинус определен для всех значений аргумен-
та, не превосходящих по абсолютной величине единицы. Следова-
тельно, область определения данной функции состоит из всех
значений х, удовлетворяющих неравенству
— 1
2х
х— 1
1.
Решая его, находим
— 1 <х
£
3 *
2х
Итак, область определения функции у = arcsin —-j есть отрезок
2. Область определения этой функции состоит из всех значе-
ний х, для которых —и л — 4arccosy^0, или |х|^2
х___л хг л У 2
и arccos-^- *^-4-. Учитывая, что у = arccos-Jy-, последнее нера-
венство можно переписать в виде
х V 2
arccos у arccos
(21)
Так как арккосинус монотонно убывает в области своего опреде-
ления, то из неравенства (21) следует, что
Т. е. У2^Х^2,
причем этот отрезок содержится в отрезке [—2, 2].
Итак, область определения функции у= j/"л — 4 arccos-^- есть
отрезок [К 2, 2].
Пример 2. Вычислить arcsin (sin 257°).
325
Решение. 1. Так как arcsin (sinx) = х лишь в том случае,
когда (см. § 1), то sin257® нужно с помощью формул при-
ведения свести к синусу угла, заключенного в указанных преде-
лах. Имеем
sin 257° = sin (180° +77°) = — sin 77° = sin ( — л) ,
1 77 I . п
причем —л|<_.
Поэтому
[/ 77 \ и 77
sin — I = — тён л
\ lou /J loU
(напомним, что arcsin х выражается только в радианах).
Пример 3* Вычислить arcctg [ctg ( — .
Решение. Заметим, что arcctg(ctgх) = х лишь в том случае,
когда0<х<л. Так как л—период котангенса, то
, f тс \ , f тс , \ , Юте
ctg nj=ctg n+n;=c-tg"Tr
И
, Г и. ( л 4.^71 Юте А Юл
arcctg [ctg [ — п = arcctg [ctg —J = —.
Пример 4. Вычислить arctg(tg6).
Решение. Имеем arctg(tgх) = х, если |х| <. В силу перио-
дичности тангенса
tg6 = tg(6—2 л),
причем —у < 6—2л <0. Поэтому
arctg (tg 6) = arctg [tg (6—2л)] = 6—2л.
Пример 5. Вычислить arccos [sin (—3)].
Решение. Прежде всего переходим от sin(—3) к косинусу
дополнительного аргумента:
sin (—3) = cos (у+з) .
Но arccos(cosх) = х в том случае, когда О^х^л, а-^--{-3>л.
Поэтому, используя формулу cosa = — cos (а—л), получаем
cos (-J + з) = - cos 3-л) = - cos (з-у),
326
причем 0<3—у< л. Тогда согласно тождествам (19) и (8)
arccos [sin (—3)] = arccos cos ^3—=
= л—arccos Jcos (з—= л—(з—у) = -у~3.
Пример 6. Определить знак выражения
sin ^2 arctg у + arccos-Xpj • tg f3arccosarcsin
/3 \
3 /
Решение. Укажем границы, в которых лежат значения вы-
ражений, стоящих в скобках, и определим знак каждого сомно-
жителя:
а)
дует,
arctg
п . 1 . 1
из неравенства 0 < у < и возрастания арктангенса сле-
что arctg 0 < arctg у < arctg -ру. Учитывая, что arctg 0 = 0,
1 л
—^=- = у, получаем
0 < arctg у < и 0 < 2 arctg у < у.
р 3 Л Л П х 1 . V 3 . л
Так как arccos = -г, то 0 < 2 arctg arccos <—, сле-
z и о z z
довательно,
sin (2arctg-|-+ arccos Xy-) > 0;
VV"3 -
б) из неравенства < -^y— < и убывания арккосинуса
следует, что
/~2 V"S 1/"з
arccos > arccos Ат— > arccos А;—.
z о z
ч, у 2 л V 3 л
Учитывая, что arccos -^у— = у, arccos = -g-, получаем
я , у 5 . л
-т- < arccos Ат— < -г-
о 3 4
и
я . о у 5 . Зя
у < 3 arccos Aj— < у.
(22)
Далее из неравенства X < ХД < и возрастания арксинуса
следует, что
• 1 . У з . у 2
arcsin у < arcsin Aj—< arcsin-у—
327
Учитывая, что arcsin 4- = тт . arcsin -ХД = ~ , получаем
2 о 2 4 J
Л . • т /~ 1 / л
-г < arcsin 1/ v .
О F о 4
(23)
Таким образом, из неравенств (22) и (23) вытекает, что
л । л . о V 5 .
т+т<3 arccos +
arcsin
л.
Следовательно, tg ( 3 arccos —у
\ о
arcsin
Итак, данное выражение как произведение двух чисел различ-
ных знаков отрицательно.
При решении многих задач, связанных с обратными тригоно-
метрическими функциями, удобно выражать одну из аркфункций *
через другие. При этом можно учитывать следующие их свойства:
1. Если аргумент данной аркфункции положителен, то ее зна-
чение лежит в промежутках ^0, или ^0, -у) и эта аркфункция
может быть выражена через любую из остальных. В этом случае
можно рассматривать данную аркфункцию как радианную меру
острого угла в прямоугольном треугольнике (см. гл. IX и пример 7
этого параграфа).
2. Если аргумент данной аркфункции отрицателен, то ее значение
лежит либо в промежутках о) или о) (арксинус и
арктангенс), либо в промежутках nj или л) (арккосинус
и арккотангенс). Чтобы перейти от отрицательных аргументов к
положительным, следует использовать тождества
arcsin (—х) =—arcsin х, arctg(—х) =—arctgx
и
arccos (—х)=л— arccos х, arcctg(—л:)=л — arcctgx.
7
Пример 7. Выразить arcsin _через все
остальные арк-
функции.
7
Решение. I способ. Обозначая a — arcsin - , имеем
К 50
7 тс
sina = p=-, причем 0<а<у. Найдем остальные тригонометри-
* Для сокращения будем называть все обратные тригонометрические функции
arcsin х, arccos х, arctgx и arcctgx аркфункциями.,
328
ческие функции угла а:
1/-;--t-z— 1 , sin а 1 1
cosa = И 1 — sin2a = —=, tga =-------= 7 ctga = ~------= -.
У 50 cosa » & tga 7
Отсюда следует, что
а = arccos = arctg 7 = arcctg у .
7 тс 7
II способ. Так как 0 < arcsin-7=-< — , то arcsin мож-
/50 2 /50
но рассматривать как радианную меру острого угла в прямоуголь-
ном треугольнике, в котором противолежащий ему катета = 7, гипо-
тенуза с = /50. По теореме Пифагора находим другой катет Ь:
b =]/гс2—а2 = /50—49= 1. Теперь в треугольнике нам известны
все три стороны. Поэтому тот же угол а можно рассматривать как
арккосинус или арктангенс, или арккотангенс соответствующих
чисел. Именно:
ь 1
а = arccos —- = arccos -7= ,
с /50
а = arctgу = arctg7 и а = arcctg — arcctg— .
_ у 1 х2
Пример 8. Выразить arccos ——=-=- через все остальные арк-
функции.
Решение. Данная аркфункция определена для всех дейст-
„ * Ki—X2
вительных значении к, удовлетворяющих неравенствам-1—j-=-^1,
X — 1,О
| х | 1. Отсюда находим, что | х | 1.
я /1__х2
Так как < arccos ——г-г- < л, то
z х— 1
средственно выражается только через
выразить через остальные аркфункции,
данный арккосинус непо-
арккотангенс. Чтобы его
воспользуемся тождеством
/1 —х2 /1 —X2
arccos ——= л — arccos -/=-------
х—1,5 1,5—х
(24)
где
°<arccos-ft=T<T-
Теперь arccos - можно рассматривать как радианную меру
угла а в прямоугольном треугольнике, в котором прилежащий
к этому углу катет & = /1—%2, |х|< 1, гипотенуза с =1,5—х,
противолежащий катет а = /с2—Ь2 = /2х2—3-х + /25. Поэтому,
329
зная sin a, tga и ctga, можем записать
К1—х2 пгг. . У"2х2 —Зх+ 1,25
a = arccos -Ц-=-= arcsin —-------—-— =
1,5—х
_ ,/2x2-3x+1,25 or.
1,5—х
2х2 — Зх+1,25 '
у |__^2 аил
Если |х| = 1, то arccos *_] 5" —у > и мы имеем arccos0 —
= arcsin 1 = arcctgO.)
Возвращаясь к равенству (24), окончательно получаем
К—*2 _ „ . 1^2х2 — Зх+1,25
arccos ——— л — arcsin —--------:— =
х—1,5 1,5—х
, 1 f 2х2—Зх+1,25 , , /~ Ь^х2
= a-arctg )/-------j—;— = n-arcctg ]/ 2~у_3х+1>25
причем
Л —arcctg д/~2х2_3х+1)25 = arcctS (— 2х2 —Зх+1,25 ) ’
При вычислении тригонометрических функций от аркфункций и их
комбинаций используют основные тождества, выведенные в гл. IX и
X, и тождества (2), (8), (13), (17) — (20) этой главы.
Пример 9. Вычислить cos(arctgx).
Решение. Обозначая а = arctg %, имеем tg а = х, причем—~ <
< а < у. Таким образом, наша задача сводится к уже известной:
найти cosa, если tga = xn|a|<y. Согласно тождеству 1 + tg2a =
— —, имеем
cos2 a
I 1
l+tg2a /4 + x2
(перед радикалом берется знак «+», так как в указанных пределах
cosa > 0).
[/ 2
2 arccos ( —у
Решение. Обозначая a = arccos(—|-
где у <а < л. Таким образом, наша задача сводится к отысканию
tg2a, если у<а<л и cosa = —у. Решая эту, уже знакомую
нам задачу, получаем
tg2a = +|+ = --^ =4Г5
& 1 —tg2a 1 5
Т
830
(tga = — у 1 = —перед радикалом берется знак
«—», так как в указанных пределах tga<o).
Пример 11. Вычислить cos(arcsin% + 2arccosx).
Решение. Обозначая а = arcsin х и 0 = arccos х, имеем sin а = х,
cos 0 = 1/, где О<0<л, —Таким образом, задача
сводится к отысканию cos (а + 20) по известным значениям sin а и
cos0. Раскрывая косинус суммы, находим
cos (а + 20) = cos а • cos 20—sin а • sin 20 =
= cos а (cos* 0 — sin2 0) — 2 sin а • sin 0 • cos 0,
где cosa = К1—sin2a = K 1—x2, a sin0 = Kl—cos20 = Kl—У2
(оба радикала берутся co знаком «+», так как cosa О и sin 0^0).
Поэтому получаем
cos (a + 20) = V+=+ (у2 — 1 + у2)—2хуУ1—у2 =
= /Г^72 (2г/2 — 1) —2ху УТ^у2.
Пример 12. Вычислить arctg 2 + arctg 3.
Решение. Обозначая искомую величину через A: arctg 2 +
+ arctg3 = Л, вычислим tg Л.
Имеем
. л I tg (arctg 2) + tg (arctg 3) _ 2 + 3 .
tg Л—tg (arctg 2+ arctg 3) x _ tg(arctg 2)-tg(arctg 3) 1 —2-3 — •
Теперь остается найти А по заданному значению тангенса этого аргу-
мента. Для того чтобы эта задача была однозначной, нужно указать
пределы изменения Л. Так как ~ < arctg 2 < ~ и -^ < arctg3 < ,
то у < arctg 2 + arctg 3 < л, т. е. аргумент Л оканчивается во II чет-
верти. Следовательно, Л=~.
Пример 13. Вычислить Л = arcsinа + arccos6, где 0<я<1 и
0<&< 1.
Решение. Так как 0 < arcsin а < у и 0<arccos&<y, то
0 < arccos & + arcsin а < л. На интервале (0, л) функция синус не
монотонна и Л по найденному значению sin Л определяется неодно-
значно. На этом же интервале косинус монотонно убывает, следо-
вательно, по найденному значению cos Л значение А определяется
однозначно. Поэтому будем вычислять cos Л:
cos (arcsin а + arccos b) = cos (arcsin a) • cos (arccos b) —
— sin (arcsin a) • sin (arccos Ь)=^Ь]/Л —a2—a К1 —b2.
Итак, cos Л = 1—a2—аУ 1—b2. Поэтому
Л=агссоэ(&|Л j—a2—ay j—£2).
331
При решении уравнений, связанных с аркфункциями, исполь-
зуется свойство однозначности тригонометрических функций, за-
ключающееся в том, что равным аргументам соответствуют равные
значения одноименных тригонометрических функций, если они
имеют смысл для этих аргументов.
Вычисляя эти функции от аргументов, заданных в виде арк-
функций, получаем более простое уравнение (например, алгебраи-
ческое). Проверка корней необходима, так как из условия равен-
ства одноименных тригонометрических функций не всегда следует
равенство их аргументов.
3 4
Пример 14. Решить уравнение arcsinarcsin-е-х = arcsinх.
и о
Решение. Область допустимых значений | х | 1. Приравнивая
синусы правой и левой части заданного уравнения и учитывая, что
sin (arcsinа) = а и cos (arcsinа) = К1—а2 при любом—
получаем
sin ( arcsin у х + arcsin у х 1 = sin (arcsin х),
sin arcsin-p-х -cos arcsin-=-х +
\ ъ J \
4-sin (arcsin у x)cos ( arcsin у x) = sin (arcsinx).
Таким образом, имеем
V —ggX24-y x j/"1 ~25x2==x-
Выделяя корень x = 0, после необходимых преобразований находим
25—9х2 = 16, х= ± 1.
Итак, мы получили три корня х^О, х2<3 = ± 1. Непосредственной
подстановкой их в исходное уравнение убеждаемся, что все они
годятся. Например, для х=1:
. з , .4 . 3 , 3 л
arcsin у + arcsin -у = arcsin -у -j- arccos у = -у.
Пример 15. Решить уравнение arctg х4- arctg -у 4- arctg у = 0.
Решение. Как легко заметить, х>0 не может быть корнем
уравнения (при х>0, очевидно, arctg х 4-arctg-у 4-arctg?-> 0 1.
Переписав данное уравнение в виде
arctg х 4- arctg -у = — arctg у,
перейдем к равенству тангенсов левой и правой его части:.
tg (arctgх4-arctg-уJ = — tg (arctgуj ,
332
откуда следует, что
tg (arctg х) + tg ( arctg у ) &
1—tg (arctg x) 4g ( arctg7
t. e.
, X
*+2 _ X3
x2 7 *
*-2
Выделяя корень x = 0, после необходимых преобразований получаем
(% —3) (х2+ 3% + 7)-О,
откуда находим х = 3 (второе уравнение не имеет действительных
корней). Однако это число положительно и не удовлетворяет за-
данному уравнению. Итак, х = 0— единственный корень уравнения
(arctg 0 + arctg 0 + arctg 0 = 0 = arctg 0).
Пример 16. Решить уравнение 2 arcsin х+arccos (1—х) = 0.
Решение. Область допустимых значений — множество всех х,
удовлетворяющих неравенствам |х|^1 и |1—х| 1; отсюда сле-
дует, что 0 х 1 •
Приглядимся к уравнению повнимательней.
Так как О^х^С 1, то0^2 arcsinх^ л и0^ arccos(1—х) у •
Поэтому сумма этих выражений равна нулю в том и только в том
случае, когда оба слагаемые обращаются в нуль одновременно,
т. е.
2 arcsin х = 0 и arccos (1—х) = 0.
Последнее выполняется только при х = 0. Итак, х = 0—единствен-
ный корень этого уравнения.
Пример 17. Решить уравнение (arcsinх)3 + (arccosх)3 = л3.
Решение. Используя тождество а3 + &3 = (а + &)3—3ab(a-{-b)
и учитывая^ что a + b = arcsin х+ arccos х = у, имеем
о ( л \з о л
л — (у) —Зу • arcsin х- arccos х,
или
7
arcsin х • arccos х = — л2. (25)
Полагая у = arcsin х Q у | ^у^ и тем самым arccos х = у—у
[см. формулу (17)] получаем квадратное уравнение
9 л 7л2 А
У 2 У ~
333
корни которого по абсолютной величине больше у. Следовательно,
данное уравнение не имеет решений. Заметим, что в этом можно
убедиться непосредственным анализом данного уравнения.
Пример 18. Решить систему
(д2
arcsin х-arcsin у = ух,
12 ’
л2
arccos х • arccos у = .
Решение. Выразим все аркфункции через одну, например
арккосинус через арксинус. Имеем
( . л2
arcsin х • arcsin у = -гх,
(л \ ( л \ л2
у—•arcsinxj (^у — arcsin у\ = ^.
После упрощения второго уравнения получаем
л2
arcsin х • arcsin у = ,
J 12 ’
. . 7л
arcsin х -j- arcsin у = —.
Таким образом, arcsin х и arccos у являются корнями квадратного
уравнения
, 7л .л2 А
2 — 12 г+12~
Решая его, находим z1 = y, —
Возвращаясь к неизвестным х и у, имеем:
1) arcsinx = -£, arcsinu = -y , откуда У1 = -^-;
2) arcsinx = ^-, arcsin# = y; тогда хг = ~~, у2 = -^->
Итак, данная система имеет два решения.
Доказательство тождеств. Пусть требуется доказать тождество
А = В, где А и В—обратные тригонометрические функции или их
комбинация.
Непосредственно (прикидкой) выделяем промежуток, в котором
лежат значения Л и В, а затем берем ту тригонометрическую
функцию, которая монотонна на этом промежутке. Тогда из равен-
ства значений этой функции от аргументов А и В будет следо-
вать искомое равенство А = В. Например, если Л и В лежат в про-
межутке (0, л), то берем функцию косинус (или котангенс). Тогда
из равенства cos А = cos В (или ctg А = ctg В) следует, что А = В.
334
Из нескольких функций, монотонных на указанном промежутке,
целесообразно выбрать ту, при которой доказываемое тождество
сводится к более простому.
Поясним сказанное следующими примерами.
Пример 19. Доказать тождество
. 4 . . 5 , . 16 л
arcsin -=- 4- arcsin 4- arcsin ее = т •
о 13 оо 2
Решение. Заменим данное выражение равносильным:
. 5 . . 16 п .4
arcsin 75 4- arcsin fe = тг—arcsin ,
1О 00 Z О
ИЛИ
. 5 . .16 4
arcsin тт 4- arcsin ~ = arccos .
13 оо о
• 5 . . 16 гр 5.1
Оценим величину аргумента arcsinarcsingg • Так как -|^<у
16 1
И 65 < 2 ’ Т0
О < arcsin + arcsin < arcsin -1- + arcsin 4- < -тг + 4 < тг •
10 ОО £ о U £
тт . 5 , . 16 4
Итак, числа arcsin arcsin gg и arccos у лежат в промежутке
^0, yj , на котором косинус изменяется монотонно.
Следовательно, достаточно доказать, что
( . 5 । .16^ ( 4\
cos arcsin + arcsin = cos arccos -=r ’ .
\ 13 DO J \ О у
Раскрывая косинус суммы, имеем
(26)
cos( arcsin
sin (arcsin
. 16\ 4
arcsin^
65/ 5 ’
или
25
169
162\ 5-16 _ 4
652/ 13-65“ 5 *
4 4
После упрощения левой части получаем тождество у = у. Отсюда
следует, что тождество (26) также справедливо.
Пример 20. Доказать, что
arcsin
Л
т •
Решение. Множество допустимых значений данного выражения
состоит из всех действительных значений х, для которых
л^.2х+1 .. l+2x. n 1 . ^1
0^ 2 sCl И !_2х>0, т. е. 2 2 .
335
Вместо данного будем доказывать равносильное ему равенство
/2х+1 л . Г 1-1-2х
= ~2~ arcctg у
или
/2х + 1 , , /14-2х
—j- = arctg J/ .
Оба числа arcsin у 2х^~1 и
(0, у], на котором тангенс
arctg у * jigx лежат в промежутке
изменяется монотонно. Поэтому нам
достаточно доказать, что
4 ( i ( i i/'l+2x\
tg ^arcsin у —3- J = tg (^arctg у J .
Последнее вытекает из равенства tg (arcsin |/ 2x^~1 ) = у .
Пример 21, Доказать, что arctg —arctg 1 Yos'y" = где
I I
I’pI < у-
Решение. Оценим выражение A = arctg ; — arctg •
Так как T=^>°> TO 0 < arctgT^sTn^ < T и 0<
< arctg 1 ~ g'< у • Поэтому | A | < у . На промежутке (— у, у)
tgcz монотонно возрастает, поэтому достаточно доказать, что
[arcts arctg =tg «р- <27>
Раскрывая тангенс разности двух аргументов, получаем
. f . cos ф \ , / , 1 — sinqA
tg arctg — tg arctg----------
6\ — sinq)/ b\ cos ф J
, , . 7 ~ cos qx \ . 7 ~ 1 — sin qj\
IJ-tg arctg-:-----t-2— tg arctg-----------
1 — sin ф J \ cos ф J
1 Г cos ф
2 |_1 — sin cp
1 —sin ф
cos <p
Упрощая правую часть последнего равенства, убедимся, что она
равна tg ср. Итак, равенство (27) справедливо.
ГЛАВА Xlll
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются
уравнения вида
1) sinx = a; 2) cosx = 6; 3) tg % = с; 4) ctgx = d.
Их решения легко находятся по формулам, полученным в главе XII.
В самом деле, решить уравнение sinx = a это значит найти все
числа х (или углы, или дуги), синус которых равен а. Все эти
числа заключены в формуле
х = Arcsinа = (—1)" arcsinа + лп.
Таким образом, при |а|^1 уравнение имеет бесчисленное множе-
ство решений и не имеет ни одного решения при |'а|> 1. Анало-
гично для уравнения cosx = b все решения заключены в формуле
х = Arccos b = ± arccos & + 2лл, где
Уравнения tgx = c и ctgx = d имеют решения при любых действи-
тельных с и d. Все эти решения заключены в формулах
x=Arctgc= arctgc + лп
и
х = Arcctg d = arcctg d + лп
соответственно. Рекомендуется помнить все эти формулы и их
частные случаи, когда а = ±1 и Ь = 0:
если sinx=l, то х = ^ + 2лк\
если sinx = —1, то х =— -^ + 2лй;
если cosx = 0, то х = у + л&.
К простейшим уравнениям примыкают уравнения вида
sina1 = sinpi; cosa2 = cos р2; tga3^tgP3; ctg cz4 = ctg р4,
где некоторые или все ai и pz содержат неизвестное. Из условия
равенства одноименных тригонометрических функций вытекают
определенные соотношения между их аргументами (см. гл. Х,§8).
Так, из первого уравнения sin cq = sin Pi получаем ах -j- рх = 2л1г + л,
— Р1 = 2л^. Из второго уравнения cosa2 = cosP2 вытекает, что
а2± Р2 = 2л£, и т. д.
Пример 1. Решить уравнение tg3x = tg7x.
Решение. Из условия равенства тангенсов находим
*7 О «ГС /2
7х — Зх = тсп, т. е. х = -г .
’ 4
337
Из этой совокупности нужно отбросить те значения х, которые не
принадлежат множеству допустимых значений данного уравнения,
т. е. те, для которых Зх = у4-йл и 7х = у + игл. Проверяя пер-
вое условие, мы видим, что нужно отбросить те значения п, для
которых равенство — = выполняется при целых я, или
(что то же самое), те значения п, для которых k = —------целое
число. Чтобы выделить эти значения, представим п в виде n = 4s+/,
где / принимает значения 0, 1, 2, 3. Очевидно, что всякое целое
число можно представить в таком виде (см. гл. I). Тогда
, 3(4s+Z) —2 о , 3/ —2 .
k = ——— = 3s + —— будет целым в том и только в том случае,
когда I = 2. Таким образом, при п — 4s + 2 значения х = ™ не входят
в множество допустимых значений и, следовательно, не являются
корнями данного уравнения.
Проверяя второе условие, мы видим, что нужно отбросить те
7лл л , 7п—2
значения и, для которых —^- = у4-игл при целом ап, или иг =—
есть целое число. Представляя п в виде n = 4s4-Z (1 = 0, 1, 2, 3)
находим, что иг будет целым в том единственном случае, когда
1 = 2, т. е. n = 4s + 2.
Итак, все решения данного уравнения содержатся в формуле
х = ™, где n^4s + 2 (s = 0, ±1, ±2, ...).
(5л \ 1
-X- cos ИХ I = — .
о /2
Решение. Сразу находим, что ^cosnx = (—+ лп,
откуда cosjtx = -g((—1)"-^ -j-n I . Последнее уравнение имеет
решения для тех значений п, при которых |(—1)п--|- + п|
т. е. при п = 0 и п = ±1. При этих значениях п мы имеем три
простейших уравнения:
1) cosnx = y~, лхг = ± arccos + 2л& и х± = ± arccos + 2k,
1 л 1
2) cos лх = лх2 = ±у+2л& и х2 = ±y-f-2Z?,
7 ( 7 \
3) СОЗЛХ=—уд, лх3 = ± arccos (— уд } + 2лй и х3=±
±-7arccos(-^) + 2A-
Отметим также тригонометрические уравнения вида sin2x = a2,
cos2x = &2, tg2x = c2, ctg2x = d2, каждое из которых равносильно
двум простейшим. Решая, например, уравнение sin2x = a2, получаем
338
sinx = a и sinx =—а. Отсюда находим, что Xj=(—1)л arcsin а +
+лп и х2 =—(—1)”arcsinа + л/г. Очевидно, обе эти формулы
можно объединить в одну:
х = ± arcsin а + л/г.
Итак, все решения уравнения sin2x = a2 содержатся в формуле
х = ± arcsin а + л/г.
Для уравнения cos2x = b2 получаем cosx = Z? и cosx=—b.
Отсюда находим хг = ± arccos Ь + 2т и х2 = ± arccos (—/?) + 2л/г.
Учитывая что arccos(—&) = л—arccos/?, получим x2=±arccos&+
4-л(2/г+1). Сравнивая формулы для хг и х2, мы видим, что их
можно объединить в одну:
х= ± arccos & +лй,
где k—любое целое число. При k = 2n получаем при k = 2п + 1
получаем х2.
Итак, все решения уравнения cos2x = &2 содержатся в формуле
х = ± arccos b + лй.
Аналогично получаем, что все решения уравнения tg2x = c2
содержатся в формуле х = ± arctgc-j- лй, а решения уравнения
ctg2x = d2—в формуле х = ± arcctgd + ^tk.
Если уравнение не является простейшим, то с помощью тожде-
ственных преобразований его нужно свести к одному или несколь-
ким простейшим. При этом (еще раз предостерегаем читателя!) по
возможности нужно избегать тех преобразований, которые нару-
шают равносильность. В случае неизбежности таких преобразова-
ний необходимо провести соответствующие исследования (см.
гл. Ill, § 1 и 2).
§ 2. СВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
К ПРОСТЕЙШИМ С ПОМОЩЬЮ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В этом параграфе приведен ряд тригонометрических уравнений,
решение которых основано на известных уже тождественных пре-
образованиях (см. гл. XI).
Пример 1. Решить уравнение
cos 10%—cos8x—cos 6% + 1 =0.
Решение. Сгруппируем первый член с третьим, второй с
четвертым и каждую группу свернем в произведение. Имеем
(cos 10х—cos 6х) + (1 — cos 8х) = 0,
—2 sin 8х • sin 2х + 2 sin2 4х = 0.
Чтобы получить общий множитель, развернем sin8x по формуле
двойного аргумента:
— 4 sin 4х • cos 4х • sin 2х + 2 sin2 4х = 0.
Один из множителей второго слагаемого (sin4x) также развернем по
339
формуле двойного аргумента:
— 4 sin 4х • cos 4х• sin 2х + 4 sin 2х • cos 2х • sin 4х = О,
sin 4х- sin 2х (cos 4х—cos 2х) = 0.
Последнее уравнение распадается на три уравнения:
sin4x = 0, sin 2х = 0, cos 4х = cos 2х.
Решая каждое из них, находим
. ЯП п ЯП
4хг = т и xt = -j- ; 2х2 — т и х2= ;
4х, + 2хч = 2т и х, = 4х.— 2хл = 2т и х, = т.
Если решение тригонометрического уравнения получено в виде не-
скольких формул, то необходимо проверить, не повторяют ли эти
, г- ЯП
формулы одни и те же значения х. Так в нашем случае х2= —
содержатся в формуле хг = —, а х4 = т содержатся в формуле
x3 = -j- или в хг Значит формулы х2 = -у- и х4 = лп не дают
ничего нового по сравнению с х3 и хл (они входят в них). Поэтому
лишние формулы нужно отбросить, и мы окончательно получаем
Xi = -4-, *2 = —. Заметим при этом, что некоторые решения
входят как в первую, так и во вторую формулу и можно было бы
продолжать «изъятие» повторяющихся решений. Однако это уже не
столь важно и можно эти «изъятия» не проделывать.
Пример 2. Решить уравнение
i/”3 1
cos 2х--(cos х 4- sin х) = — (cos х + sin х).
Решение. Переходя от аргумента 2х к аргументу х и вынося
за скобки общий множитель cos х 4-sin х, имеем
(1/~3 1 \
cosх—sinx—--------у ) =0.
Данное уравнение распадается на два уравнения
sinx + cosx = 0, т. е. К2 sin (у + х) =0
(см. гл. X, § 7), и
cosx—sinx= ’ т- е-K2cos (y-|-x) = K2cos-^
fтак как -^4 + 4- = cos -|- cos -5- = 2 cos ~ cos 2 cos .
Из уравнения sin(-j--l-x) = 0 находим у + х1=лп HXj = —у+ лп.
340
т i { ЗТ । \ л
Из уравнения cos (-^-Н-х ) = cos следует, что
-4+х2 + ^ = 2т и т+х3—12 = 2лп,
откуда х2 =—у + 2лл и х3 =—-^- + 2лп.
Итак, все решения данного уравнения содержатся в формулах
хг= —-^-4-л/г, х2 = —у + 2л/г, х3 = —у + 2л/г.
Пример 3. Решить уравнение
tg х + tg 2x = tg Зх.
Решение. Преобразуя сумму тангенсов в произведение и пере-
нося tg Зх в левую часть уравнения, имеем
sin Зх sin Зх _ д
cos x-cos 2х cos3x
После приведения к общему знаменателю и отбрасывания послед-
него получаем уравнение
sin Зх-cos Зх—sin 3x-cosx-cos 2х = 0, (*)
равносильное данному при условии, что
cos х =/=(), cos2x=/=0 и cos Зх =7^0.
Уравнение (*) равносильно, в свою очередь, совокупности двух
уравнений
sin3x = 0 и cos3x—cosx-cos2х = 0.
Решая первое из них, получаем Зх1 = лп и х1 = ^-. Во втором
уравнении произведение cosx-cos2x преобразуем в сумму. Получаем
у (cos Зх + cos х) — cos Зх = 0, или cos Зх = cos х.
Отсюда следует, что Зх ±х = 2лп, т.е. х2 = лп и х3 = Д^-. Анали-
зируя полученные формулы для xlf х2 и х3, замечаем, что хг и х2
входят во множество допустимых значений данного уравнения при
всех целых значениях /г, а из х3 нужно исключить углы
х'3 = I) — 2L дЛя которых cosx3 = 0 (n = 2k+V).
Л £
л • 2/г
Если же n = 2k, то углы —— = nk входят в формулу для х2. Та-
ким образом, все решения данного уравнения содержатся в формуле
лп
В следующих уравнениях при преобразовании к произведению
целесообразно ввести вспомогательный аргумент.
341
Пример 4. Решить уравнение
asin% + &cosx = c, а>0, Ь^О-
Решение. Представляя левую часть уравнения в виде
/а2 4-Ь2 sin (% + <p), где cos<p = y===-, sin<p = y==- (см. гл. X
§ 7), имеем
sin (х+ф) =-===•.
У л2 + р2
Это простейшее уравнение имеет решение, если |с|^Кй2 + &2, т. е.
с2^а2 + 62. При этом условии
с
Y & +
х + = (— 1)" arcsin
t- лп
и х= —ф + ( —1)" arcsin "2==+ ™г. Так как cos ср > 0, то аргу-
, / л л \ . b
мент <р можно брать в интервале —, -у ), т. е. <р = arcsin .
\ & * / Jr CL'1 Р“
Тогда решение уравнения a sin % + &cosx = c запишется формулой
Ь с
х— —arcsin 4- (— 1)” arcsin—7: ..."4-лп.
/а2 + 62^'- ’ у а2 + 62
Замечание. Ограничение а > 0 несущественно, так как заме-
ной знаков членов уравнения всегда можно сделать коэффициент
при sinx положительным.
Пример 5. Решить уравнение
4 sin (2х + 20°) —cos (2х 4- 200°) = 3.
Решение. Замечая, что cos (2х + 200°) =—cos (2x4-20°), имеем
4 sin (2х 4- 20°) 4- cos (2х 4- 20°) = 3,
К17зт(2х4-20°4-ф) = 3, где ф = arcsin .
Итак, мы получили простейшее уравнение
sin (2х4-20°4-ф) =р="»
откуда находим, что
2x4- 20°4-ф = (— 1)" arcsin 4-лп,
^=-S-Tarcsin7^-+T(-1)"arcsin7=+T«-
Пример 6. Решить уравнение
3sin 4 sin sin -j--—-) = 0.
342
Решение. Учитывая, что sin + = cos —х—~j =
/ л \
= cos ( х—у 1, перепишем уравнение, сгруппировав при этом первые
два члена:
[з sin (х—y) + 4cos ^х—4-5 sin ^5х4-у^ = 0.
Преобразуя содержимое квадратной скобки в произведение, получаем
5 sin ^х—у 4~ф) 4-5 sin ^5х4-у) = 0»
где q> = arcsin 4-. Отсюда следует, что
О
sin (5x4~4J = sin (у—х— ф) ,
т. е.
5x4- у 4- у—х—ф = л4-2лп
и
5x4-4—4 + x + (I, = 2nn.
О о
Решая эти уравнения относительно х, находим
л . ср . пп л , 1 . 4 . л/г
— У + У 4 2~ — у + У arcsln у + —
и
л ф , л/г л 1 . 4 . л/г
А’2 — зб г + т-36 у arcsin у+ -3- •
В следующих уравнениях перед преобразованием суммы в про-
изведение полезно понизить показатели степени функции синус
и косинус.
Пример 7, Решить уравнение
2 cos2 (80°—х) 4- cos 2х = 1 4- sin 20Q.
Решение. Понижая вторую степень косинуса, имеем
1 4-cos (160°—2x)4-cos2x= 1 4-sin 204.
Свертывая сумму косинусов в произведение, получаем
2cos 80°-cos (80°—2х) — sin 20°,
или
2 sin 10°-cos (80°—2х) = 2 sin 10°-cos 10°.
Отсюда следует, что cos (80°—2x)=cosl0°, т. е. 80°—2х±10°=
= 360°-и.
Итак, х1 = 45°4-180°-п, х2 = 35°4- 180°-и.
343
Пример 8. Решить уравнение
cos 4- х + sin2 4 х + 2 sin2 х = cos2 -4 х.
<j Z о
Решение. Понижая вторые степени и приводя подобные члены,
имеем
cos —cos 3%—cos -f- к + 1=0.
о о
Группируем первый член с третьим, второй с четвертым и каждую
группу преобразуем в произведение. Получаем
2 sin-g- • sin —2 sin2-2- = 0.
Это уравнение распадается на два:
3 х 3
sinyx = 0 и sin-g-= sin у х.
Решая первое, находим
з
— х = пп,
2лп
Из второго следует, что
X . Зх . п
-g + у = я + 2лл
и
х Зх п
__ _ = 2тш,
т. е.
Зя t бяп Зяя
х2—“5" + ~5“ > хз- —•
В следующих уравнениях выделяем тригонометрическую единицу
(sin2 a-[-cos2 a)k.
Пример 9. Решить уравнение
sin4x + cos4x
3 — cos 6х
4
Решение. Выделяя в левой части полный квадрат, имеем
/ • n I О \ О 0*9 9 3 —COS 6х
(sin2 х +cos2 х)2— 2 Sin2XCOS2X =-J— ,
или
1 1 • on 3 — cos 6х
1 —у sin2 2х =--------5----
Понижаем степень синуса и после очевидных преобразований полу-
чаем уравнение cos6x =— cos4x, или cos6x = cos(n— 4х), откуда
находим, что 6х±(л—4х) = 2шг. В первом случае имеем 2хх=
344
——л-|-2лп и %! = — у + лп. Во втором случае: 10х2 = л-|-2лп и
JT । JT/2
*2 =То + Т •
Пример 10. Решить уравнение
sin4 2%+cos42х—2sin4x-f-sin34х = 0.
Решение. Дополняя sin42х-|-cos42х до полного квадрата,
получаем
(sin2 2х + cos2 2х)2—2 sin2 2х • cos2 2х—2 sin 4х + sin2 4х = 0,
или
1 +-|-sin24x—2sin4x = 0.
Мы получили квадратное уравнение относительно sin 4х. Решая его,
находим sin4x = 4—2J^3 (корень 44-2^3 >1—не годится). Сле-
довательно, 4х = (—l)"arcsin(4—2Кз) + лп и
A._tJl”arC3in (4_2КзЭ + 4-.
Пример 11. Решить уравнение
Решение. Используя тождество а3Ь3 = (а + Ь)3—ЗаЬ(а-{-Ь),
2Х__________3 2х__3
где а = sin2—%—, b = cos2——, и учитывая, что a-\-b= 1, имеем
, о . .2х—3 , 2х—3 7 . .,о о.
1 — 3 sin2 —5— cos2 —5— = тй • или sin (2х—3) = ( J-=— 1 .
^10 \ £ J
Решая последнее уравнение (см. § 1), находим
2х—3 = ± arcsin -Ц5— + лп = + и .v' = ^-±t- + v
Если уравнение содержит произведение тригонометрических
функций, то иногда целесообразно это произведение преобра-
зовать в сумму.
Пример 12. Решить уравнение
cos 7лх • sin блх = cos 5лх • sin 8лх.
Решение. Раскладывая каждое произведение в алгебраическую
сумму, получаем
~ (sin 13лх—sin лх) (sin 13лх + зт Злх),
или
sin Злх = sin (— лх).
Л45
Из последнего уравнения следует, что Злх—лх = л-}-2лп и Злх+
+лх = 2лп. Таким образом х1 = -^--]-п и х2 = ^. Легко заметить,
что первая формула получается из второй, если в последней л—не-
четное. Поэтому окончательно можно записать х = у.
Пример 13. Решить уравнение
х Зх . . х . Зх 1
COS X- COS • COS ---Sin %-Sin-y • Sin -n-= -у .
Zt & £ Li £
Решение. Записав уравнение в виде
( х Зх\ . ( . х . Зх\ 1
COS X (cos у • COS у ] — sin X ( sm у • sin у ) = у ,
преобразуем содержимое каждой скобки в алгебраическую сумму.
Тогда
у cos х (cos 2x4-cosx)— у sinx(cosx—cos 2x) = y,
или
cos 2x • cos x + cos2 x—sinx - cos x+ sinx - cos 2x = 1.
Если каждое произведение вновь преобразовать в сумму, то полу-
ченный результат не будет содержать подобных членов и уравне-
ние усложнится. Лучше заменить cos2x через 1 — sin2x и сгруппи-
ровать полученные члены:
(cos 2х• cos х + sin х • cos 2х) — sin х (cos х + sin х) = О,
что дает
(cos 2х—sin х) (cos х + sin х) = 0.
Итак, данное уравнение равносильно совокупности двух урав-
нений
cos2x—sinx = 0 и cosx + sinx = 0.
Решая первое, находим cos2x = cos^у—х) и2х±^у—х) = 2лл,
откуда получаем, что хг = — у + 2лл и х2 = у-(--у- .
•Из второго уравнения находим, что х3 = — 4 + я/г-
Пример 14. Решить уравнение
tg(40° + x)-ctg(5°-x)=4.
Решение. Множество допустимых значений данного уравне-
ния состоит из всех действительных значений х, для которых
sin (5°— х)=7^0 и cos (40° +х) 0. Переходя в левой части уравне-
ния к функциям синус и косинус и преобразуя числитель и зна-
346
менатель в сумму, получаем уравнение
3 [sin 45° + sin (35°+2х)] =2 [sin 45° — sin (35° + 2х)],
равносильное данному на его множестве допустимых значений.
Последнее уравнение сводится к простейшему sin(35°-|-2х) =
= —-уф-, откуда находим, что
7л (—1)л . ( 2 \ , л
х = - п -—Г- arcsin ) + У •
Пример 15. Решить уравнение
4cosx-cos 2x-cos 5х 1 ~t ^37?-^ Х = cos 6х + ~tg 2х.
Ctg X -f* tg X X
Решение. Множество, допустимых значений данного уравне-
ния состоит из всех действительных значений х, для которых
sinxу--0, cosxy=0, cos2xy=0 и ctgx + tgx=H=O.
Прежде чем переходить к решению уравнения, упростим выра-
жение
л _ l+tg2x- tgx
ctgx + tgx •
Имеем
। । । 2vt х — cos cos x~b2 * * s*n x_ cos x __ 1
‘ ® ® cos2x-cosx cos2x-cosx cos 2x *
Поэтому
Заменяя А полученным значением, после приведения подобных
членов имеем
4 cos х • cos 2х • cos 5х = cos 6х.
Переходя в левой части от произведения к сумме, находим
2 cos 2х (cos 6х + cos 4х) = cos 6х,
2 cos 2х • cos 6х + 2 cos 2х • cos 4х = cos 6х.
Второе слагаемое преобразуем в сумму:
2 cos 2х cos 6х + cos 6х 4- cos 2х = cos 6х,
откуда
2 cos 6x-cos2x + cos2x = 0.
Это уравнение распадается на два простейших: cos2x = 0 и cos6x=
= — у. Однако решения первого уравнения не входят во множе-
ство допустимых значений данного уравнения и их надо отбросить.
Остается лишь второе уравнение Cos6x = — у, корни которого
347
содержатся в формуле
, л , ЯП
х=± т+— •
При решении уравнения нужно знать его множество допусти-
мых значений, чтобы не получить лишних корней, как это могло
случиться в предыдущем примере.
Рассмотрим еще одно уравнение, при решении которого неопыт-
ный учащийся может допустить подобную ошибку.
Пример 16. Решить уравнение
2 ctg 2х—3 ctg Зх = tg 2х.
Решение. Множество допустимых значений данного уравне-
ния состоит из всех действительных значений х, для которых
sin 2%=#; 0, sin 3x^0 и cos 2x^0. Переписав уравнение в виде
2 (ctg 2х—ctg Зх) = tg 2х + ctg Зх,
переходим к синусам и косинусам в его левой и правой частях.
Получаем уравнение
sin х __ cos х
sin 2x-sin Зх sin 3x- cos 2x ’
которое равносильно уравнению
sinx-cos2x = cosx-sin2x, или sinx = 0
при указанных ограничениях.
Однако корни уравнения sinx = 0 не входят в множество допу-
стимых значений данного уравнения и, следовательно, не являются
его решениями.
Итак, данное уравнение не имеет решений.
В заключение этого параграфа приведем следующие полезные
примеры.
Пример 17. Решить уравнение
sin у • cos 2х = 1.
Решение. Так как siny 1 и |cos 2х|1, то левая часть
уравнения равна единице тогда и только тогда, когда одновременно
либо (а)
sin4=h fsin-^- = —1,
2 либо (б) < 2
cos 2х = 1, [ cos 2х = — 1.
В случае (а) из первого уравнения находим, что у = у + 2лп,
т. е. х = л + 4лм. Из этих значений х нужно выбрать такие, которые
одновременно удовлетворяют и второму уравнению. Подставляя
эти значения х в левую часть второго уравнения, получаем
cos 2 (л + 4лп) = cos 2л = 1.
В48
Таким образом, значения х = л + 4шг являются решением нашего
уравнения.
В случае (б) из первого уравнения находим, что — = — -^-^2nnt
откуда х =—n-f-inn. Подставляя эти значения в левую часть вто-
рого уравнения, имеем
cos 2 (— л + 4л/г) = cos 2л = 1.
Последнее означает, что х =— л + 4лп не является решением систе-
мы (б), следовательно, и данного уравнения.
Пример 18. Решить уравнение
sin х + sin 2х + sin Зх + ... + sin пх = п.
Решение. Так как | sin£x| 1 при любом k, а число слагае-
мых равно п, то левая часть данного уравнения равна п в том
единственном случае, когда каждое слагаемое равно 1, т. е.
sin х = 1, sin 2х = 1, sin Зх = 1, ..., sin nx = 1. Решая первое уравне-
ние, находим, что х = ~ +2л/г. Однако эти значения не обращают в
единицу уже второе слагаемое sin2x, так как sin 2 ^~ + 2л^ =0
при любом k. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Пример 19. Решить уравнение
sin®x-|-cos®x = 1.
Решение. Левая часть уравнения может быть равна единице
в том единственном случае, когда
( sinx = 0, ( sin х = 1,
либо (а) < , либо (б) <
7 ( cosx=l, v 7 ( cosx = 0.
В самом деле, складывая очевидные неравенства sin® х^ sin2 х,
cosВ 9 х cos2 х, получаем sin® х + cos® х 1. В последнем неравенстве
равенство достигается для тех значений х, для которых оно дости-
гается одновременно в исходных неравенствах, т. е. когда sinx = 0
и cosх = 1 или sinx=l, a cosx = 0. Таким образом, наше уравне-
ние равносильно двум системам (а) и (б), каждая из которых
содержит одно неизвестное.
Решая систему (а), находим, что х = 2лп. Решая систему (б),
находим, что х = -^- + 2т. Итак, все решения данного уравнения
содержатся в формулах х1 = 2лп и х2 = ~- + 2лп.
Пример 20. Решить уравнение
(cos 4х—cos 2х)2 = sin Зх -|- 5.
Решение. Преобразуя левую часть уравнения в произведе-
ние, имеем
4 sin2 х • sin2 Зх = sin Зх + 5. (*)
349
Так как при любых х справедливы неравенства 4sin2x-sin23x^4
и sin Зх-f-5 ^4, то равенство (*) возможно лишь для тех значе-
ний х, для которых одновременно
4sin2x-sin23x = 4 и sin 3x4-5 = 4.
Итак, наше уравнение равносильно системе двух уравнений с од-
ним неизвестным
( sin2x= 1,
[ sin3x = — 1.
Из первого уравнения находим, чтох = у + лл. Подставляя эти зна-
чения в левую часть второго уравнения, получаем
/ л \ ( — 1, если n = 2k,
sin3x = sin З-п+Злп =< .
\ 2 J [ 1, если n = 2k-\-1.
Отсюда мы видим, что решения первого уравнения sin2x=l удов-
летворяют второму лишь при n = 2k. Итак, все решения данного
уравнения заключены в формуле х = у4-2лЛ.
§ 3. СВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К РАЦИОНАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пусть тригонометрическое уравнение приведено к одному аргу-
менту, т. е. все тригонометрические функции, входящие в уравне-
ние, содержат один и тот же аргумент а. Тогда все тригонометри-
ческие функции могут быть выражены через какую-либо одну, и
мы получаем уравнение с одним неизвестным. Такой метод реше-
ния целесообразен в том случае, когда в результате всех преобра-
зований получается рациональное уравнение невысокой степени,
равносильное данному (или мы можем указать условия, при кото-
рых полученное уравнение равносильно данному).
Пример L Решить уравнение
(2 sin* х 4-5 sinx 4- l)ctgx = 4secx(l 4-sinx).
Решение. Множество допустимых значений данного уравне-
ния состоит из всех действительных значений х, для которых
sinx=/=0 и cosx=/=0. Поэтому, переходя к функциям sinx и cosx,
после приведения к общему знаменателю получаем уравнение
(2sin2x + 5sinx+ 1) cos2 х = 4 sinx (1 4-sinx),
равносильное данному на его множестве допустимых значений.
Перейдем к одной функции. Для этого cos2x заменяем на
1—sin2x и получаем
(2 sin2 х 4-5 sin х 4-1) (1 —sin2 х) = 4 sinx (1 4-sinx),
850
или
(1 sin х) (2 sin3 х4-3sin2 к—1)=0. (*)
Так как cosxy=0, то l-J-sinx^O и уравнение (*) равносильно
уравнению 2sin3х4-3sin2х—1=0. Левая часть последнего уравне-
ния раскладывается на множители:
(1 4-sinx) (2 sin2 х 4- sin х— 1) = 0,
и мы получаем еще более простое уравнение 2sin2x-|-sinx—1=0,
равносильное данному при указанных ограничениях.
Итак, мы пришли к квадратному уравнению относительно функции
1 л
sinx. Решая его, находим sinx = y, х = (—1)" — + ^ и sinx =—1.
Корни последнего уравнения не входят во множество допустимых
значений данного уравнения.
Укажем несколько приемов, сводящих тригонометрическое
уравнение к рациональному.
I. Общий метод рационализации. Всякое тригонометрическое
уравнение, рациональное * относительно всех входящих в него
тригонометрических функций одного и того же допустимого аргу-
мента а, приводится к рациональному уравнению с одним неиз-
вестным.
В самом деле, все тригонометрические функции аргумента а ра-
ционально выражаются через tgy, если а=# л-|-2л£ (см. гл. X, § 5):
о, а , , 9 а
sin а =-------, cos а =--------,
i + tg2-| 1+ts2r
2 tg у i-tg’T
tga =------ ctga =---------—.
i-tg2| 2tgf
Производя в данном уравнении эту замену, мы получаем рацио-
нальное уравнение относительно неизвестного tg-y. Дальнейшее
решение полученного уравнения подробно рассмотрено в курсе ал-
гебры (см. гл. III, § 4). Однако, решая'уравнение таким методом,
мы можем потерять корни вида а = л-|-2л/г, для которых вышеука-
занная замена не имеет смысла. Поэтому, при решении уравнения
этим методом, необходимо проверить, являются ли числа л-|-2л£
корнями данного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
3 sinx—2cosx = 2.
* Это означает, что тригонометрические функции аргумента а, входящие
в уравнение, связаны операциями сложения, вычитания, умножения, деления и
возведения в целую степень.
.351
Решение. Это уравнение можно решить методом введения
вспомогательного угла (см. пример 4, § 2).
Укажем другой путь его решения.
Предполагая, что л4-2лп, выразим sin % и cosx через tgy .
Получим уравнение
2‘gy
3-----—
l+tg2|
1 —tg2-J
2-------=2,
l+t^l
которое после приведения к общему знаменателю и дальнейших
упрощений примет вид
2
Отсюда находим, что х = 2arctg — -|-2л/г. Остается проверить, будут
□
ли числа х = л-]-2лп удовлетворять исходному уравнению. Под-
ставляя их в левую часть этого уравнения:
3 sin (л + 2т) — 2 cos (л + 2т) = —2 cos л = 2,
убеждаемся, что они также ему удовлетворяют.
Итак, все корни данного уравнения заключены в формулах
2
х± = 2arctg у + 2лп и х2 = л + 2лп.
Пример 3. Решить уравнение
sin4%4-tg2x = 2.
Решение. Выражая sin4x через tg 2х, получаем уравнение
2!|^L_ + tg 2х = 2,
l + tg22* 1 & ’
равносильное данному, которое после очевидных упрощений при-
водится к кубическому уравнению относительно tg 2х:
tg3 2х—2 tg2 2%4-3 tg 2х—2 = 0.
Левая часть этого уравнения раскладывается на множители:
(tg 2х— 1) (tg2 2х—tg 2х + 2) - 0.
Решая уравнение tg2х— 1 = 0, находим 2х = у + т и х = .
Второе уравнение tg2 2х—tg 2x-j-2 = 0 не имеет
корней.
Заметим, что общий метод рационализации не
приемлемым. Часто он приводит к рациональным
соких степеней. Так, решая этим методом уравнение 2sin2x =
2 ’
действительных
всегда является
уравнениям вы-
852
= 3(sinx4-cosx), получаем уравнение Зг44- Юг3 — 2г—3 = 0 [z =
— tgy), которое не имеет рациональных корней (см. гл. III, § 10).
Решение этого уравнения другим методом будет приведено в
п. III этого параграфа.
II. Однородные тригонометрические уравнения и приводящиеся
к ним. Тригонометрическое уравнение вида
Ао cos" Л'+Л г cos"-1 х • sin х4- cos" ~2 x-sin2 х4-... 4-Л„5т"х=0 (2)
называется однородным уравнением относительно функций sinx и
cosx. Степень его однородности равна п.
Будем в дальнейшем это уравнение называть просто однород-
ным. Так, например, уравнение sinx 4-3 cosx = 0 является однород-
ным (1-й степени однородности), а уравнение sin 2x4-cosx = 0
неоднородно, что ясно после приведения к одному аргументу х:
2 sinx-cosx + cosx = 0.
Предположим, что коэффициенты Ао=^=О и Ап=^=0. В этом слу-
чае решениями уравнения (2) не могут быть те значения х, для
которых sinx = 0 или cosx = 0.
Допустим противное. Пусть sinх = 0. При этом cosx = ± 1. Тогда
из уравнения (2) получаем, что Л0соз"х = 0 и так как Ло^О, то
cosx = 0. Получилось противоречие. Аналогично доказывается, что
cosx =т^0. А если это так, то, разделив уравнение (2) на cos"x или
sin"x, мы получаем уравнения
AQ tg" * 4- Лг tg"-1 х + Л2 tg"-2 х + ... + Ап = 0 (3)
или
Ло +Лх ctgх +Л2 ctg2х + ... + Лп^"х = 0, (4)
равносильные данному. Уравнения (3) и (4) являются рацио-
нальными относительно tgx или ctgx соответственно.
В том случае, когда коэффициенты Ло или Ап обращаются в
нуль, левая часть уравнения (2) раскладывается на множители.
Приравнивая нулю каждый из них, получаем два уравнения, из
которых одно простейшее cosx = 0 (или sinx = 0), а другое одно-
родное, сводящееся к уравнениям (3) или (4).
Умножением на тригонометрическую единицу (sin2 х 4-cos2 х)*
можно привести к однородному некоторые уравнения, не яв-
ляющиеся однородными. Например, неоднородное уравнение
sinхcosx4-sin2х—3cos2x = 5 приводится к однородному
sin х• cosх4- sin2 x—3 cos2 x = 5 (sin2 x 4- cos2x),
или
sin x • cos x—4 sin2 x—8 cos2 x = 0.
Уравнение sinx4-cos2x-cosx = 0, не являющееся однородным, при-
водится к однородному уравнению
sin х (sin2 х 4- cos2 х) 4- (cos2 х — sin2 х) cos х = 0
и т. д.
12 № 407
353
Пример 4. Решить уравнение
a (sin х4-'cosх) = b (cosх—sinx).
Решение. Уравнение является однородным. Разделив все его
члены на cosx, получаем равносильное данному простейшее урав-
нение
(a + b) tgx = b—а.
Пусть а 4-&=^0. Тогда tgx = -|^- и х = arctg + nfe.
Если а4-Ь = 0, то данное уравнение является также простейшим:
cosx = 0 и х = ^--]-лп.
Пример 5. Решить уравнение
sin3 2х + cos 2х cos 4х = 3 sin 2х • cos2 2х—cos 2х.
Решение. Переходя к одному аргументу 2х, имеем уравнение
s in3 2х 4- cos 2х = 3 s in 2х • cos22x (1 4- cos 4х),
или
2 cos3 2х—3 sin 2х • cos2 2х 4- sin3 2х = 0,
2 ’
которое равносильно уравнению tg32x—3tgx4-2 = 0. Последнее
распадается на два: tg2x—1=0 и tg2x 4-2 = 0. Решая их, находим
л . пп arctg 2 . лп
в+т =----------2 —
Пример 6. Решить уравнение
sin (% 4- 5) 4- cos (х—2) = cos (х 4- 7).
Решение. Уравнение имеет «страшный» вид. Однако это
однородное уравнение относительно sinx и cosx. Раскрывая синус
суммы и косинус суммы и разности и группируя члены, имеем
sin х (cos 5 4- sin 2 4- sin 7) 4- cos x (sin 5 4- cos 2 — cos 7) = 0.
Так как cos5>0, sin2>0 и sin7>0, to cos54-sin24-sin7 > 0
и последнее уравнение равносильно уравнению
tgx
cos 7—sin 5—cos 2
= sin 24-cos 54- sin 7 ’
откуда получаем
. cos 7 —sin 5—cos 2
x — arctg sin 2+cos 5_|_ sjn 7
-p nn.
Пример 7. Решить уравнение
m2 (cosx—sinx) = К 1 4-2 sinx-cosx.
Решение. Так как
cosx—sinx = K2cos fx-4--^-
854
3'
14-2 sin х • cos х = (sin % 4-cos %)2 = 2 sin2 4-^’ j >
то данное уравнение можно записать в виде
/и2 cos lx + -j-l=sin(x + -^-i.
Последнее равносильно совокупности двух уравнений:
(a) /n2cos (х + 4) = sin (х + 4): при условии, что sin(х+4) > О
и
(б) m2cos (х + 4) — —s*n (х + 4) ПРИ условии, что sin (х + 4) <
причем оба уравнения однородные.
Решая уравнение (а), находим, что tg (х + 4) = /п2> х = — 4"^
+ arctg т2 + лп. При n = 2fc аргумент х + 4 оканчивается в I четверти,
где sin (х + 4) > 0. При n = 2k-\-t аргумент х + 4 оканчивается
в III четверти, где sin (х + 4) <0- Следовательно, п = 2&+Г не
подходит, т. е. х —— ^--j-arctgm2-f-2nk. Решая уравнение (б), на-
ходим, что tg(x+4) = — /и2, х = — 4—arctg т2 +ли. При и = 2/г
аргумент х + 4 оканчивается в IV четверти, где sin(x+4)<0-
При n = 2k-j-l аргумент х + 4 оканчивается во II четверти, где
sin (х+4) > 0- Следовательно, п — 2/г-$-1 не подходит, т. е.
х = — 4—arctg т2 + 2nk.
Итак, все решения данного уравнения заключены в формулах:
хх = — 4 + arctg fn2 + 2лп и х2 = — 4 — arctg т2 + 2лп.
Очевидно, обе эти формулы можно объединить в одну:
х = — 4 ± arctg т2 + 2л/г.
III. Уравнения, рациональные относительно выражений
sinx + cosx и sinx-cosx. Такие уравнения можно записать форму-
лой R (sinx + cosx, sin x-cos х) = 0, где буква R обозначает, что над
аргументами sinx-f-cosx и sin х-cosх (рассмотренными как единые),
12* 355
производятся лишь рациональные операции (см. гл. III, § 4).
Обозначая sin х-[-cosx = ц, из тождества (sinx + cosx)2 = 1 4-
+ 2 sinx-cosx находим, что sin х-cos х = —--. Заменяя в уравнении
R (sinx+cos х, sinx-cosx)=0 величины sinх + cosx и sinx-cos x их
выражениями через и, получаем R ц =0. Последнее уравне-
ние является, очевидно, рациональным относительно и. Найдя из
него и, решаем уравнение sinx4-cosx = u, или cos^x—
где и — известная величина.
Замечание. Если после нахождения и искать х из уравнения
sinx-cosx = M, то среди последних могут оказаться лишние корни,
так как этому уравнению будут удовлетворять и все корни урав-
нения sinx + cosx = — и.
Аналогично решаются уравнения R (sinx—cosx, sinx-cosx) = 0.
Обозначая sinx—cosx = u, находим, что sinx-cosx — tz, и т. д.
Пример 8. Решить уравнение
a (sinх +cosx) + &sinx-cosx = с.
Решение. Обозначая sinx+cosx=w, получаем sinxcosx = ~у~
откуда
а-и — у (1 —w2) =
или
bu2 + 2аи — (Ь + 2с) = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим
и = —Уа2 + Ь(Ь + 2с)
ь
а2 + Ь2 + 2Ьс^0. Очевидно, что данное
если выполнены указанные условия и,
при условии, что Ь =^= О и
уравнение имеет решение,
кроме того, \и | J/2.
Рассматривая, в частности, уравнение 2 sin 2х = 3 (sinx-[-cosx),
имеем: Зи — 2 (и2—1) = 0, нх =— у, и2 — 2 (не подходит). Следо-
вательно, sinx-[-cosx =— у, или cos^x—£•) = — 2 Отсюда
находим, что х—- = ± arccos Г ) + 2т и
х = ~± arccos
4
Пример 9. Решить уравнение
sec % 4- cosec х + sec х • cosec х = 5.
356
Решение. Множество допустимых значений данного уравнения
состоит из всех действительных значений х, для которых sinx^O и
cosx=^=0. При этих условиях данное уравнение равносильно уравне-
нию
sinx + cos х—5 sinx-cosx 4- 1=0.
Заменой sinx4~cosx = u сводим это уравнение к квадратному
5и2—2и — 7 = 0, корни которого равны —1 и —. Итак, наше урав-
о
7
нение свелось к двум уравнениям: sinx4-cosx = -g- и sinx 4-cos х=
= — 1. Решая первое, находим
( л \ 7 л , 7 . п
cos [х — -г =—7= и х, = -г- Ч- arccos—т=4-2лп.
V 4 J 5/2 1 4— 5/2
Решая второе, находим
( л \ 1 л , Зл . п
cos у —, — Т — 4
Однако значения х2 не являются решениями данного уравнения.
Пример 10. Решить уравнение
sin х+ cos х— 1_4 (sin x + cos х)
sin %+ cos x—2 — 9 — 3 sin 2x
Решение. Заменой sinx + cosx = u сводим данное уравнение
к рациональному
и—1 4zz
^TZ2 —94-3(1—u2) ’
2
Решая последнее, находим: и1 = у и и2 =— 3 (не подходит). Итак,
данное уравнение равносильно уравнению
, 2 I л \ 2
smx + cosx = -3-, или cos х—т1 ——т=»
з \ 4; з /2 ’
откуда находим, что
л , 2 . п
х = — 4= arccos—-==. 4- 2лл.
4 3/2
В некоторых случаях выгодно производить замену аргумента.
Покажем это на следующем примере.
Пример 11. Решить уравнение
j j о f Л X \
tgx = tg3^T —.
Решение. Обозначая —-£ = У, перепишем уравнение в виде:
tg(y—2t/) = tg3y, или ctg2y = tg3 у (2у=£лп).
Переходя к функции tgy, получаем биквадратное уравнение
2tg4z/ + tg2z/—1 =0,
357
решая которое, находим: tgz/1>2 = ±—g—, г/3)4—мнимые. Следова-
i/’V _
тельно, у = ± arctg-Ц,—|-лп. Возвращаясь к х, получаем
х = 2у = 4 =F 2arctg + 2лп.
А £ &
§ 4. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При решении систем тригонометрических уравнений, последние
сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, либо к ал-
гебраической системе уравнений относительно самих аргументов
или функций этих аргументов. Все эти приемы проиллюстрируем
на следующей системе двух уравнений:
( I я
* + 0 = у.
<
tgX‘tg«/ = y .
Множество допустимых значений этой системы—все действительные
числа, кроме -у +т.
I с п особ. Сведемданнуюсистему к одному уравнению.Согласно
(л \ 1
——х =v Это уравнение
о у о
равносильно уравнению
так как 1 -|-К3tgx=/=0*. Отсюда получаем х = -^--|-л/г и у =
II способ. Переходя во втором уравнении от произведения
к сумме и используя первое уравнение, получаем
, _ 1
cos (х—у)—cos (%+у) 1 COS'X у> 2 _ 1
cos(x-,) + cos(x+.) 3’ cos (.-,)+! 3‘
Из последнего уравнения находим, что cos (%—у) = 1, т. е. х—у = 2лп.
Комбинируя это уравнение с первым уравнением данной системы,
имеем хЦ-г/= — и х—у = 2лп. Отсюда следует, что х=-^-^пп,
л
У = Т---ПП.
и 6
* Если 1 + К"3 tgx = 0 то х =—-^ + л&. Тогда г/=-у—х = -у+я& не вхо’
дит в множество допустимых значений данной системы.
358
Ill способ. Из первого уравнения следует, что tg (% + у) = j/3
(при этом мы получаем лишние корни, так как из равенства одно-
именных функций не вытекает равенство аргументов). Раскрывая
танген^ суммы и используя второе уравнение, имеем tgx-|-tgy =
2 у з
== —з— . Комбинируя это уравнение со вторым, получаем алгебра-
ическую систему относительно tgx и tgy:
tgx+tgi/^Ц^-,
. tgx-tg£ = y
(заметим, что эта система не равносильна данной). Поскольку tg % и tg у
2 1/"з 1
являются корнями уравнения г2----—z + -y = 0, решая его, на-
о о
ходим tgx = tgy = y~. Следовательно, x1 = ^ + mt = у —
л
—х = ——т.
о
Замечание. Если искать у из уравнения tgу = -у-, то у =
= у + л£. Совокупность х = у + лп и у = у + л£, где п и k
меняются независимо, содержит лишние решения данной системы —
те значения, которые не удовлетворяют уравнению х + у = ~. По-
этому из всей совокупности х = у + лл и у = у + лй нужно вы-
брать те, которые удовлетворяют условию х4-у = у» т. е- -^ +
+ у + л(п + &) = у. Отсюда следует, что k = — п, и мы приходим
к уже полученным решениям х = ^-\-пп и У = ~^—яп-
Пример 1. Решить систему уравнений
( • 1
sinx-cosy = y,
. 3tgx = tgy.
Решение. Множество допустимых значений — все действитель-
ные числа, не равные у + лп. Переходя во втором уравнении к си-
нусу и косинусу и используя первое уравнение, имеем
з
Sin у - COSX=y .
359
Комбинируя это уравнение с первым, получим систему
( • 1
SinX-COSZ/^-T,
57 4 »
3
COSX-Sin IJ = ~г,
V 4 *
равносильную данной при условии, что х=/=у + лп.
Перейдем в каждом уравнении от произведения к сумме:
sin (% + у) + sin (х—у) = ,
<
з
sin (х-}-«/) —sin(x—у) = ~2
Отсюда получаем, что sin (х 4- у) = 1 и sin(x—у) =— у. Следова-
тельно,
х + y = ^ + 2nk,
X— у = — у(— 1)л + ЛП.
Итак,
х=т-й<-1)"+п^+т)’ У=т+й(-1)”^-т^’
причем k и п меняются независимо друг от друга (ср. с преды-
дущей системой).
Пример 3. Решить систему
{x у -}" z л,
tg^tg £/ = 3,
tg«Mgz = 6.
Решение. Выражая z через х и у из первого уравнения и
исключая его из третьего уравнения, получаем
tgy-tgpi —(х + у)]=6, или tgy-tg(x+z/) = —6.
Раскроем тангенс суммы двух углов. Тогда учитывая второе уравне-
ние, имеем
, tgx-4-tgf/ с 3 + tg2r/ с
1%у--г- Т =—6, или -Т --Т- — —6.
1—tgx-tgr/ ’ 1—3
Мы получили уравнение tg2 у = 9, откуда находим, что
у = ± arctg 3 +да-
Из третьего уравнения находим, что tg z = ± 2 и z =
= ± arctg 2 4-л&. Теперь из первого уравнения найдем х\
х = л— [ч- arctg 2 ± arctg3 + n (/г + ^)] =
= л =F (arctg 2 + arctg 3)*— л (п -}-k) = л 4= (т) — п (/г + ^)«
* arctg 24- arctg 3 = 3^- (см. гл. XII, пример 12).
360
Итак, система имеет два решения:
xi = -f—n(n-{-k), = arcctg 3 4- лп, z1 = arctg2 + n£,
7л
x2=-^—л (/г 4-6), у2 =— arctg 3-|-л/г, г2 = — arctg 2 4- лй,
где п и k принимают любые целые значения независимо друг от друга.
§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Простейшими тригонометрическими неравенствами называются
неравенства вида
aY < sin а < blt а2 < cos а < &2, а3 < tg а < &3, а4 < ctg а < &4,
где aY, а2, Ь2, а3, Ь3, Ь±-
неравенств удобно в качестве
ваться графиком соответст-
вующей тригонометрической
функции или тригонометри-
ческим кругом.
Пример 1. Решить нера-
венство
1 . .1
у <smx<y.
заданные числа. При решении этих
вспомогательного средства пользо-
Рис. 73
Решение. Рассмотрим график функции у = sinх на отрезке
(О, 2л) (рис. 73) и отметим на нем значения xY = arcsiny, х4=л—
1 1 л
— arcsin — , синус которых равен , а также значения х2 = и
о <3 0
= синус которых равен у. Эти* четыре точки разбивают весь
промежуток (0, 2л) на пять промежутков: (0, х4), (хп х2), (х2, х3),
(х3, х4), (х4, 2л). Исследуя изменение sinx на каждом из этих про-
межутков, убеждаемся, 4T0y<sinx<y на промежутках (х4, х2)
и (х3, х4), т. е. на промежутках ( arcsin у, у 1 и I-у, л — arcsin у I.
Переходя от промежутка (0, 2л) на всю числовую ось и учитывая
периодичность синуса, окончательно получаем: y<sinx<y на
всех промежутках
(1 зт X
arcsin —4“2л/1, -7г4-2л/г) и
<3 о j
— 4-2лп, л — arcsin
О
Пример 2. Решить неравенство
—1 < ctgx < 2.
361
Решение. Рассмотрим график функции у = ctgк на проме-
жутке (0, л) и отметим на нем числа хг = arcctg 2, котангенс кото-
Ззт
рого равен 2, и х2 = —, котангенс которого равен —1 (рис. 74).
Точки х± и х2 разбивают весь промежуток
(О, л) на три промежутка: (0, xj, (хп х2) и
(х2,л), причем во втором из них (хп х2) функ-
ция ctgx убывает от 2 до —1. Переходя ко
всей числовой оси, учитывая периодичность
котангенса и заменяя хг и х2 их значениями,
получаем—1 < ctg х < 2 на каждом из про-
межутков
- arcctg2 + л/г, |л4-лп].
Неравенство, не являющееся простейшим,
с помощью тождественных преобразований
нужно свести к равносильному простейше-
му неравенству или к системе неравенств.
Пример 3. Решить неравенство
Рис. 74 3
cos3 х sin Зх + sin3 х cos Зх < —.
о
Решение. Упрощая левую часть неравенства, получаем рав-
носильное неравенство sin 4х <у. Взяв вспомогательный тригономе-
искомым значениям 4х
трическии круг (рис. /о;, мы видим, что
соответствуют точки дуги MNP, т. е.
—+ 2л/г < 4х < -2--j- 2л/г,
6 1 б 1
откуда следует, что
7л . л/г л т
~Х 24 +
Пример 4. Решить неравенство
2 sin4x—3 sin2x+ 1 > 0.
Решение. Переходя к аргументу 2х,
получаем равносильное неравенство
cos2 2x4- cos 2х > 0, которое равносильно, i
свою очередь, совокуп-
ности двух систем:
[ cos2x-|-l>0, ( cos2x+l<0,
\ cos2x>0 И (6) | cos2x<0.
Первое неравенство системы (а) справедливо для всех х, кроме тех,
при которых cos2x = — 1, т. е. при Из второго нера-
венства (а) следует, что —~ -|-2л/г < 2х < у 4-2л/г, т. е.-у +
362
+ Л/2 < X < у + Л/2, причем ТОЧКИ Х = ^-\-ПП не входят в эти
промежутки ни при каком п. Итак, решением системы (а) являются
промежутки +
Система (б) несовместна, так как первое неравенство (б) не
имеет решений. Следовательно, решения системы (а) являются ре-
шениями данного неравенства.
Пример 5. Решить неравенство
4 sinх-cosx (cos2х—sin2x) < sin 6x.
Решение. Перенося все члены неравенства в левую часть и
затем преобразуя полученное выражение в произведение, имеем
sinx-cos5x > 0. Это неравенство равносильно совокупности двух
систем
( sinx > 0, J sinx<0,
( cos 5х > 0, (6) I cos 5% о
Из системы (а) следует, что 2л/г < х < 2лп-{- л и —+
<x<tq + —g— одновременно. Но это означает, что k может при-
нимать лишь такие целые значения, при которых интервалы
— тп + т"> тй + “Г” попадают в I и II четверть. Давая k после-
\ 1U о 10 о /
довательно значения 0, 1, 2, 3, 4, получаем интервалы:
(—(соответствует & = 0),
(’ТУ’ т) (соответствует 6=1),
77Й (соответствует k = 2).
При й = 3 и й = 4 соответствующие им интервалы не попадают
в I и II четверть. При k = 5, очевидно, получается интервал
— у^ + 2л, ^4~2л^ . Вообще, представляя k в виде k =
где / = 0, 1, 2, 3, 4, мы видим, что только при / = 0, 1, 2 соответст-
вующие им интервалы (или части интервалов): 1) ^2лт, ^4-2лт) ,
2) Г-^- + 2лт, ~ + и 3) ^^-4-2лт, -^-4-2лт>) попадают
\ 1U Z у у 1 (J 1U j
в I и II четверть. Итак, системе (а) удовлетворяют все значения х,
лежащие в указанных интервалах 1), 2) 3).
Из системы (б) следует, что (2/г 4-1) л < х < (2/г + 2) л и
(л , 2л& . ,3л. 2л&\ т, „ ,
( То< х < Тб" ‘ ”5~) Одновременно. Из всех значении /г
363
/ л , 2ля Зл . 2ля \
выбираем лишь те, при которых интервалы То+~57
попадают в III и IV четверть.
Проводя те же рассуждения, что и в случае (а), получаем, что
этим свойством обладают указанные интервалы или их части при
/ = 2, 3, 4.
Итак, данному неравенству удовлетворяют все значения %, ле-
жащие в промежутках
(2nk, + (-^ + 2лА, +
0£ + 2л£, ^- + 2лб), (л + 2лА, ^ + 2лй),
(-^ + 2л£, ^ + 2лА:) , (-1^ + 2л6, -^ + 2л*).
Пример 6. Найти все значения х, лежащие в промежутке
Т/ и Удовлетворяющие неравенству tg--^l.
Решение. Решением неравенства tgy^l будут все значения
х, удовлетворяющие условию ~ + т < у < у + яп. Так как по
условию 4<~< 6, то нужно выбрать такие значения и, при ко-
торых промежутки ^ + лп, попадают целиком или час-
тично внутрь промежутка (4, 6). Очевидно, таким единственным зна-
чением будет п = 1. Итак, — < ~ + л. Следовательно, < х < .
X Л оЛ тг
Пример 7. Решить неравенство
5+ 2cos2x^3|2sinx— 11.
Решение. Данное неравенство отличается от рассмотренных
выше тем, что здесь тригонометрическое выражение входит под
знаком абсолютной величины.
Замечая, что 5 + cos 2% > 0 для всех %, перейдем от данного не-
равенства к равносильной совокупности двух неравенств (см.
гл. IV, § 7):
6 sinx—37^ 5 +2cos2х ' (а)
и
6sinx — 3 — 5—2cos2x. (б)
Так как —6^6sinx^6, 6^8y2cos2x^ 10, то в неравен-
стве (а) может иметь место лишь случай равенства, когда
6sinx = 8 + 2cosx = 6, т. е. х = у + 2Лл.
Решим неравенство (б). Имеем
2 sin2x—3 sin х — 2^0.
364
Полагая sin х = у, перейдем к алгебраическому неравенству 2//2—
— Зу—2^0, равносильному данному при условии —1 у 1 •
Находим, что
у>2 и z/C—у,
откуда следует —1 у CZ —% , т. е. —1 sin х
1 и2А + 2л6С
“Ц~ + 2л&. Кроме того, x = ~ + 2nk.
§ 6. РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Тригонометрическое уравнение — пример трансцендентного урав-
нения. К этому же классу уравнений относятся логарифмические
и показательные уравнения, уравнения, связанные с аркфунк-
циями, и т. д.
В этом параграфе рассмотрим несколько уравнений «смешан-
ного» типа.
Пример 1. Решить уравнение
cos (л 1g х) + sin (л 1g х) = 1.
Решение. Преобразуя левую часть уравнения, получаем равно-
сильное данному простейшее уравнение sin
/ < , л \ 1
Л ШХ + т = -7=-
\ 6 ‘ 4 J 2
от-
куда следует, что л lgx-|-y = ^-(—1)"-)-л/г, или lgx= —+
+ ~(—Мы получили логарифмическое уравнение. Решая
_ _ 1)П + п
его, находим, что х = 10 4 4 . Если я = 2£, то х= 102/г; если
—+tk
n = 2&+ 1, то х = 10 2
Пример 2. Решить уравнение
V1 + lgtgx + >/l—lgtgx = 2.
Решение. Используя тождество а3 + Ь3 = (а-±-Ь)3— 3ab(a-[-b)t
где a = f/l 4-lgtgx, b = l/\—lg tg %, а34-&3 = 2, a -\-b = 2, полу-
чаем уравнение 2 + Зр/1— lg2tgx-2 = 8, или lg2tgх = 0, равно-
сильное данному. Из последнего уравнения следует, что tg х = 1 и
л .
X = у + Л/1.
Пример 3. Решить уравнение sin (л arctg х) = cos (л arctg х).
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
tg^ arctg %) = 1,
365
откуда следует, что л arctgx = y + пп, где п—целые числа, для
которых |улп | < у или |у+ «| < у. Решая это неравенство
относительно п, находим, что п = 0, п = — 1 и п=1. Следовательно,
мы имеем три уравнения
arctgx=y (n = 0), arctgx=y (л=1)', arctgx=—(n= —1),
из которых получаем
, 1 ,5 . з
*1 = fgт , ^2=tgT, x3 = -tgT.
Пример 4. Решить уравнение
log2 (arctg х) + log2 (arcctg%) = а.
Решение. Потенцируя данное уравнение, получаем уравне-
ние arctg х* arcctgх = 2а, равносильное данному, при условии, что
arctgx>0 и arcctgx>0 (т. е. х>0).
Преобразуя полученное уравнение к виду
arctg arctgх) = 2tt,
решаем это квадратное уравнение. Имеем
, л£ V л2—24 + а
arctg х =--г—-------.
Исследуя полученную формулу, видим, что она дает решение данного
л Ч~ 1/” л2 — 24 л
уравнения при условии, что л2—24+tt^0 и 0<-------------<у •
Первое и второе неравенства выполняются при a^21og2n—4. При
этих' условиях
. я± Кл2 —24+а
* = tg ----4-----*
Пример 5. Решить уравнение
arcsin 2х+г + arcsin (4J/3 • 2*) = у.
Решение. Полагая 2х+2 = у (у > 0), перепишем уравнение в виде
arcsin у -J- arcsin у |/3 = у , или у — arcsin у = arcsin у К 3, множе-
ство допустимых значений которого состоит из всех значений у,
заключенных в промежутке 0<уКЗ 1- Приравнивая синусы
обеих частей последнего уравнения (при этом мы можем получить
лишние корни!), имеем
sin (у — arcsin у^ = у 1^3, cos’(arcsin у) = у 1^3,
^Т=^=у^3, 1—y3 = 3z/2; f/ = ±y.
366
Отрицательное значение у отбрасываем. Возвращаясь к аргументу х,
получаем 2х+2=у, х + 2 = —1,х = —3. Проверка показывает, что
х = —3 удовлетворяет данному уравнению.
Рассмотрим несколько неравенств «смешанного» типа.
Пример 6. Решить неравенство
4 sin2 х _|_3.4COS2 х g.
Решение. Полагаем 4sin^x = y (1^р^4), тогда 4cos2x__
= 4i-sin2x_А и данное, неравенство равносильно системе алгебраи-
ческих неравенств
( у2 + ——8<о,
J у
решая которую, находим, что 2^ у ^4. Следовательно,
-L 1 1/^2"
4 2 4sl'n2*4, откуда у <1 sin2 х <11 и sinх|^1. Следова-
тельно,
у + £ = 0, ±1, ±2, ... .
Пример 7. Решить неравенство
(l°&gx З)2 logtgx(3 tg2 %).
Решение. Очевидно, nk < х < -у + лй и -у + < х < у +
(tgx>0 и tgx#=l). Логарифмируя правую часть неравенства и
полагая logtgJf3 = y, получим алгебраическое неравенство у2—у—
—2^0, решением которого является отрезок —1 у 2, откуда
1 logtgx 3 2. (*)
Для решения неравенства (*) рассмотрим два случая.
1) 0<tgx<l. Тогда logtg^3 <0 и тем более logtgx3^2. По-
этому система (*) сводится к одному неравенству
logtgx3>—1, т. е. г^->3,
» tgx
Отсюда находим, что 0<tgx^-i- и
о
ak < х^ arctg4--|-л&;
□
2) tgx> 1. Тогда logtgx3>0 и тем более logtgx3^—1. Следо-
вательно, двойное неравенство (*) сводится к неравенству logtgх3 2,
откуда tgx>K3 (tgx>0) и < х < 4г +
О Z
367
Окончательное решение состоит из промежутков
nk < х arctg у + nk и <^~ + nk.
Пример 8. Найти все значения %, лежащие в промежутке
1 <%< 10 и удовлетворяющие неравенству
sin л (2 + log4 х)—cos л
2logs Уз
- Iog4*4
+- log? X
+ 1<0.
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных
скобках:
А = з'°е/з 2 • log4 4х + loga х == 4 log4 4х + logj х =
= 4 + 41oga х + logs X = (2 + loga x)2.
После этого данное неравенство примет вид
sin п (2 4* loga х)—cos л (2 -j- loga х) —1
(так как при 1<х< 10 выражение 2-J-log4x>0). Полагая, далее,
t/ = ji(24-logax), свернем левую часть неравенства:
siny—cosy — 1,
откуда
j/2sin(i/ —1, т- е- sin(l/—
Отсюда следует, что у + 2кл ^.у —у + 2кл, т. е.у + 2£л у
з
^2л + 2&л. Заменим у его значением: у + 2k 2 + log4 х 2 + 26,
откуда
—у + 2k С loga х 2k,
т. е.
42 k
"2"
<x<42ft.
(*)
Остается выбрать те значения k, при которых отрезки (*) или
их части попадают внутрь интервала (1, 10). Очевидно, это имеет
место лишь при k=\, для которого 8^х^16. Следовательно,
искомые значения х лежат в промежутке 8^х< 10.
ГЛАВА XIV
ГРАФИКИ
§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В предыдущих главах были построены графики функций:
y = kx-\-b, У=^^, у = ах2 + bx-j-c, у = хп, у=^/х,
у--=ах, y = \Qgax, у = A sin (сох + ф), у = A cos (сох + ф),
у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х.
В § 8 гл. VII были рассмотрены некоторые простейшие пре-
образования графиков и правила, по которым из графика
функции y = f(x) можно получить графики следующих функций:
I. y = f(x-}-a) (переход от функции y = f(x) к функции у =
= f (х + а) условимся в дальнейшем обозначать символом х х а)).
П. y = f(x)-]-b или у—b = f(x) (коротко: у^у—&).
Ш. y = f[xA~a)A~b или у — b = f(x-ra) (коротко: х-±х-\-а,
У^У—Ь).
IV. y = f(ax), где а>0 (коротко: х-+ах).
V. y = bf(x)t или у = /(х) ^коротко:
VI. y = f(—х) (коротко: х^—х).
VII. у = — f (%) или —у = f (х) (коротко: у±— у).
К этим правилам добавим еще два.
VIII. Правило получения графика функции у = f (| х |) по графику
функции у = f (х) (коротко: х->|х|).
Запись f (| х |) означает, что в выражении f(x) буква х, в него
входящая, заменяется на |х|.
Например, если f(x) = sin(2x+1), то / (| х |) = sin (2 |х |1).
Так как f (| — х |) = / (| х |), то, следовательно, функция у =
— / (| х |)— четная и поэтому достаточно построить ее график для
х> О (см. гл. VII). Но для х^О имеем |х| = х и поэтому /(|х|) =
= /(х), т. е. график функции y = f(\x\) для х0 совпадает с гра-
фиком функции y = f(x). Таким образом, мы получили следующее
правило.
Правило VIII. График функции у = f (| х |) совпадает с графиком
функции у = f(x) в правой полуплоскости (х^0),ав левой полуплоско-
сти (х < 0) симметричен этой части графика относительно оси Оу
(рис. 76).
IX. Правило получения графика функции г/= | / (х) | по графику
функции у = f (х) (коротко: /(х) | /(х) |).
Согласно определению абсолютной величины действительного
числа имеем
f/ l/( )l I —/(х), если /(х)<0.
369
Так как график функции у = — f (х) согласно правилу VII симмет-
ричен графику функции y = f(x) относительно оси Ох, то, следова-
тельно, имеет место следующее правило.
Правило IX. График функции у = \f (х) | совпадает с графиком
функции y = f(x) для тех участков оси Ох, где /(х)^0, и является
симметричным отображением его относительно оси Ох для тех уча-
стков, где / (х) < О (рис. 77),
Способ построения графика функции y = f(x), использующий
рассмотренные элементарные преобразования, заключается в сле-
дующем. Составляют так называемую «цепочку» функций:
= y = fi(x), y = f2(x), y = f„(x) ,
таким образом, чтобы две соседние функции y = fk(x) и г/ = /Л+1(х)
отличались друг от друга каким-нибудь из разобранных призна-
ков, а график последней функции «цепочки» y = fn(x) был бы изве-
стен. Затем последовательно строят графики функций 1) y = fn(x),
2) у^/п-Дх), ..., /г+ 1) y = f (х), получая каждый следующий график
из предыдущего по известному правилу.
Такие построения в отдельных случаях во избежание нагро-
мождения графиков удобнее производить на отдельных рисунках.
«Цепочки» можно составлять по-разному, но лишь таким образом,
чтобы переход от одной функции к другой каждый раз подчинялся
какому-нибудь одному из рассмотренных правил.
Примеры. Построить графики следующих функций:
1. у = — Ух2— 4х + 4. __________
Прежде всего замечаем, что у =— Ух2 — 4х + 4 = —У(х—2)2 =
=— |х — 2|. Теперь составим «цепочку», например, таким образом:
у = — \х—2| (у-^—у), 3)
у = |х-2| (/(х)-?|/(х)|), 2)
у = х—2. I)
Здесь и в дальнейшем в скобках указывается в сокращенных обо-
значениях то правило, по которому график этой функции полу-
чается из графика последующей функции.
Теперь согласно этим правилам строим последовательно графи-
ки 1), 2), 3) (рис. 78).
370
Если составим «цепочку» следующим образом:
у =— |х—2| (х-гх—2),
У = — |х| (х-^|х|),
У = — х
3)
2)
1)
и теперь последовательно построим графики функций 1), 2), 3)
(рис. 79), то, как видим, результат получается тот же.
2. y = V —х—\.
Составляем «цепочку»:
У = V=x_- 1 3)
у =yr—х (х-?—х), 2)
у = /х. 1)
Теперь строим последовательно графики 1) —3) (рис. 80.)
3. х — ]/" 1 —у 1 •
В этом примере х является функцией у. Выразим из этого урав-
нения у как функцию х.
Имеем х—1=^1—у, откуда замечаем, что х—1^0, т. е.
х> 1 (так как арифметический корень не может принимать отрица-
тельных значений). Возведя в квадрат, получаем (х—1)2=1—у и
окончательно у = — (х—1)2+1- Графиком этой функции будет па-
рабола, изображенная на рис. 81, а графиком искомой функции
будет правая ветвь этой параболы, для которой х^1. Очевидно,
левая ветвь параболы будет графиком функции х = — У1 —у .у 1.
371
Заметим, что можно и не разрешать данное уравнение относи-
тельно у, а рассматривать у как независимую переменную.
4- у = (1—х)3.
Составим «цепочку», например, так:
у = (1—х)3 (х-л—х), 3)
у = (1+х)3 (х-лх+1), 2)
У = х3. 1)
График изображен на рис. 82.
5. г/ = 31-'.+ Ч — 1.
Составим «цепочку», например, так:
г/ = 3'*+11 — 1 (х-*х+1, у^у+1), 3)
у = 3^ (х->|х|), 2)
!/ = 3\ 1)
Строим последовательно графики функций 1) —3) (рис. 83).
6. у = logj_(х-I- 1)’.
з
Эту функцию можно задать как у — 2 log i | х 4- 11 (при вынесении
Т
372
показателя степени за знак логарифма основание степени взято по
абсолютной величине, так как log 1 (х-]-1)2 имеет смысл и при
Т
1 < 0 (см. гл. VIII, § 2).
Теперь составим «цепочку», например, так:
y = 21og_i_|x.+ 11 (х^х + 1), 4)
з
y = 21og_i_|x| (х-*|х|), 3)
3
у = 2 log^x (у 4- -* -f) 2)
y = logj_x. 1)
3
Строим последовательно графики функций 1)—4) (рис. 84).
7* ^ = 10&зТ=2-
Записав эту функцию в виде у = — log2(3x—2), составляем «це-
почку»:
и строим последовательно гра- |
фики 1)—3) (рис. 85). ’
8. у= 2 sin (1—2х). Рис. 85
Имеем
у = 2 sin (1 —2х) = —2 sin (2х— 1) (у 4* — у), 2)
z/ = 2sin(2x—1) = 2 sin2 Гх— — V 1)
373
Теперь строим последовательно графики функций 1), 2) (рис. 86).
Для контроля находим, что при х = 0 значение у = 2 sin 1 «
«2sin60° = /3« 1,7.
9. y = |2cosjtx— 11.
Составляем «цепочку», например, так:
у = 12 cos лх — 11 (/ (х) ? | f (х) |), 3)
y = 2cosjrx— 1 (у^у+ 1), 2)
z/ = 2cosjix. 1)
Строим последовательно графики функций 1) — 3) (рис. 87). Для
контроля и большей точности построения найдем точки пересечения
искомого графика с осью абсцисс. Полагая у = 0, получаем
| 2 cos лх — 11 = 0, или 2 cos лх — 1=0, или cos лх = у, откуда
лх = 2кл ±~, т. е х = 2& ±4-, где 6 = 0, ±1, ±2..
о о
1Л + 1*1— 1
10. y = tgJ-^—•
Составим «цепочку»:
У = Ч |Х2~' (**И), 4)
y = tg ^(х>х — 1), 3)
0 = 2)
y = tgx. 1)
Строим последовательно графики функций 1) — 4) (рис. 88). Для
более точного построения графика 3) найдем точку пересечения с
1 л
осью ординат; при х = 0 получим у = — — tg —^0,6.
374
375
11. y = —ctg|x+ 1 |.
Составим «цепочку», например, так:
У = — ctg|x+l |(х -**+1), 4)
У = — ctg|x|(x->|x|), 3)
y = —cigx(y^—y), 2)
r/ = ctgx. 1)
лерь строим последовательно графики функций 1)—4) (рис. 89).
12. у = arcsin (| х |—1).
Составляем «цепочку»:
у = arcsin (| х |—1)(х-*|х|), 3)
у = arcsin (х—1)(х-лх—1), 2)
у = arcsin х. 1)
Составляем «цепочку»:
у = 2 arccos у ф-1 J = 2 arccos у (х + 2) (х -* х -ф 2), 3)
У = 2 arccos у (х у, у -л . 2)
у = arccos х. 1)
376
Строим последовательно графики функций 1)—3) (рис. 91).
14. у = |arctg2%+ 11.
Составляем «цепочку»:
У = | arctg2х+1 \ (f (х) \ f (х) , 4)
у = arctg 2х+1 (t/у—1), 3)
у = arctg 2х (х -? 2х), 2)
у = arctg х. 1)
Строим последовательно графики функций 1) — 4) (рис. 92).
График функции у = arctg 2х4-1 пересекает ось абсцисс в точке,
где-arctg 2%4-1 = 0, т. е. 2x = tg (— 1) — tgy , т. е. хя — 0,8.
15. у = arcctg11 —х|.
Составим «цепочку»:
У ~~~ arcctg | 1 — х| = arcctg | х— 1 | (х -?х— 1), 3)
у = arcctg|х| (х|х|), 2)
у = arcctg х. 1)
Строим последовательно графики функций 1) —3) (рис. 93). Гра-
фик заданной функции пересекает ось ординат в точке, где
Замечание. Не следует думать, что график любой функции
может быть получен из графиков простейших функций путем эле-
ментарных преобразований. Например, график функции у=log2 (х2—1)
не может быть получен из графика функции y = log2x за счет рас-
смотренных геометрических преобразований (см. пример 4 § 7).
§ 2. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ РАЗНЫМИ ФОРМУЛАМИ
НА РАЗЛИЧНЫХ ПРОМЕЖУТКАХ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В этом случае искомый график состоит из совокупности гра-
фиков, построенных на каждом из этих промежутков. Иногда, да-
же если функция задана одной формулой во всей области ее опре-
377
деления, выгодно перейти (если это возможно) к ее заданию раз-
ными формулами для различных промежутков этой области.
Примеры. Построить графики следующих функций:
1 Iх I
Е У= х •
Функция определена для всех х, кроме х = 0.
Так как для х>0 |х|=х, а для х<0 |х|=—%, то нашу
функцию можно задать в виде
{1, если х>0;
— 1, если х<0.
Теперь ясно, что график будет состоять из двух лучей (рис. 94)
с «выколотыми» точками (0, 1) и (0, —1).
2. у = х2—| 2х— 11.
Очевидно, данную функцию можно задать в виде
' х2—2%+1, если
< 1
х2-}-2х—1, если
Строим графики функций у = х2 — 2х-{-1 = (х—I)2 и у = х2-}-
4- 2х—1 = (%+ I)2 — 2 (рис. 95—пунктирные линии).
При х = тг (линии раздела) обе функции принимают одно зна-
1
чение =
у 4
Взяв от первого графика его часть, лежащую правее прямой
х = у, а от второго—левее этой прямой, получаем график данной
функции (рис. 95).
3. г/= sin л% + | sin лх|.
Функцию, очевидно, можно задать в виде
J 2sinnx, если sinjtx^O;
( 0, если sinux^O.
Эта функция периодическая с основным периодом Т = 2.
878
Искомый график изображен на рис. 96 сплошной линией, а
вспомогательный график функции z/ = sinnx—пунктирной линией.
4. у = |4—2х|—К*2 4-2х 4-1 4-х.
Извлекая корень, получим «/ = |4—2х|— |х4-11 4- х, или у =
= 2|х—2| — |х—1|4-х. Точки х — — 1 и х = 2 разбивают ось Ох
на три промежутка: I, II, III (рис. 97).
Рассмотрим функцию на каждом из промежутков.
I: для любого х — 1 имеем х—2<0 и x-j-l’=x—(—1)^70 и
поэтому
у = —2(х—2) + (%+ 1)4-х = 5.
II: для любого—1^х^2 имеем х—2^0, х 4- 1 0 и поэтому
у= —2 (х—2) — (х4- 1)4~х = —2x4-3.
III: для любого х~^2 имеем х—2>0, х4-1 >0 и поэтому
у = 2(х—2) — (х4-1)4-х = 2х—5.
Следовательно, нашу функцию можно задать так:
(5, если х^ — 1;
3—2х, если —1=Сх^2;
2х—5, если х > 2.
Отсюда видно, что на каждом из указанных промежутков графи-
ком служит часть прямой (рис. 97).
§ 3. ГРАФИК СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ФУНКЦИЙ
Бывает, что функцию y = f (х) можно представить в виде суммы
двух функций У1 = /1(х) и y2 = f2(x), графики которых легко по-
строить. Тогда построение графика функции y = f(x) сводится к
геометрическому сложению соответствующих ординат: y = yi + y2-
Заметим, что разность двух функций всегда можно свести к соот-
ветствующей сумме двух функций:
У = fi (х) = ft (х) 4- [—f2 (х)].
379
Примеры. Построить графики следующих функций:
ЗХ —3-Х
1. у-----2---•
Очевидно, если
Рис. 98
з* з-* 1 ( 1 v
ПОЛОЖИТЬ f/i = у , У2-----2" = — 2е ( “з ) » то
У = У1 + У2- 4 7
Теперь по правилу построения графика по-
казательной функции строим графики функ-
3х 1 / 1 \х
ций уг и у2=— "2~ \ "з~) (пунктирные ли-
нии на рис. 98) и далее путем геометрическо-
го сложения соответствующих ординат этих
графиков находим ряд точек искомого графика,
соединив которые плавной кривой, получим
искомый график (сплошная линия на рис. 98).
Очевидно, У = % + у = У1 + У2» где =
у2=у. Строим графики функций ух = х и
1
у2 = у и затем геометрическим сложением соответствующих орди-
нат получаем искомый график (рис. 99).
Прямая у = х является асимптотой полученного графика.
3. y = sin-y + x.
Полагая z/^sin^, у2 = х, имеем у = У1 + у2. Строим графики
функций у± и у2 (рис. 100 — пунктирные линии).
Отметим те значения х, где первое слагаемое обращается в 0 и
±1. В этих точках значения ординат у будут равны соответст-
венно у2 и у2 ± 1.
880
Построив ряд таких точек и соединив их плавной кривой, полу-
чим искомый график (рис. 100). Так как данная функция нечетная
(сумма двух нечетных функций), то ее график симметричен отно-
сительно начала координат.
4. r/ = cos2x—sinx.
Полагая y1 = cos2x и у2 = —sinx, имеем у = у1 + у2> Так как
функции уА и у2 периодические с
Т2 = 2л, то и функция у — периоди-
ческая с периодом Т — 2л. Поэтому
требуемый график строим на
промежутке [—л, л]. Построив
на этом промежутке графики
функций уг и у2 (рис. 101 —пунк-
тирные линии) и сложив ордина-
ты ряда характерных точек (где
одно из слагаемых равно нулю,
где У1 — У2> Уг = — У^}, найдем
ряд точек искомого графика
(рис. 101).
Соединив эти точки плавной
основными периодами Т1 = л и
кривой, получим, что искомый
график имеет вид кривой, изображенной на рис. 101 сплошной ли-
нией. Вне промежутка [—л, л] график получается по свойству
периодичности функции.
Полученная кривая является графиком сложного гармонического
колебания.
Замечание. Не всегда целесообразно график суммы двух
функций строить сложением графиков слагаемых. Иногда такую
сумму можно заменить одной функцией, график которой строится
проще. Так, например, функция у = — ( arctg x-f- arctg — 1, которая
является нечетной (сумма двух нечетных функций) и определенной
всюду, кроме х = 0, при х> 0 преобразуется к виду у = — (arctgх +
2 л
4-arcctgx) =—• у = 1 (см. гл. XII, §3). Следовательно, эту функ-
цию можно представить в виде
I 1, если х > 0;
( —1, если х < 0.
Если сравнить с примером 1 § 2, то мы тем самым получили, что
2 / . , . 1 \ |х|
- (arctg x+arctg-U-LJ-
§ 4. ГРАФИК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ
Геометрическое перемножение ординат весьма затруднительно.
Но анализ произведения двух функций у = fi(x)-f2(x) все же часто
облегчается, если предварительно построить графики функций
Уг = fi(x) и У»=Г»(Х>-
331
При анализе особенное внимание следует обращать на точки,
где функции уг и у2 равны 0, 1 и —1.
Примеры. Построить графики следующих функций:
1. у = х(х2 — 1).
Полагая y1 = xi у2=х2—1, строим пунктиром эти графики
(рис. 102).
Функция уг—нечетная, а функция у2— четная и поэтому функ-
ция у будет нечетной. Поэтому дальнейший анализ будем прово-
дить для х^О. Имеем:
при х = 0 значение уг = 0 и поэтому у = у1у2 = 0\
при х=1 значение у2 — 0 и поэтому у = 0\
при 0 < х < 1 имеем уг > 0, а у2 < 0 и поэтому у = угу2 < 0;
в точке, где #2=1, значение у = угу2 — уг;
для х, при которых г/!> 1 и у2> 1, величина у будет быстро
расти с увеличением х (быстрее, чем у2).
Используя эти рассуждения, получаем, что искомым графиком
является кривая, изображенная на рис. 102 (сплошная линия).
Замечание. Этот график можно также получить как график
суммы у = х3 + (—х).
2. z/ = xsinx.
Замечаем, что функция у как произведение двух нечетных функ-
ций будет четной функцией и поэтому анализ будем проводить для
х^О. Строим графики функций у± = х и y2 = sinx (рис. 103 — пунк-
тирные линии).
В точках, где у2 = sinx = 0, получаем у = у±у2 = 0.
В точках, где y2 = sinx=l, имеем У = у1у2 = У^ а в точках, где
sinx —— 1, получим у = уху2 =—уг=—х (строим график функции
Уз=— х).
Отметив ряд таких точек и учитывая, что для промежуточных
точек |y| = |xsinx| < |х|, получаем искомый график (рис. 103—
сплошная линия).
882
На промежутке х < 0 график получается симметричным отобра-
жением относительно оси Оу.
§ 5. ГРАФИК ФУНКЦИИ j =
Пусть требуется построить график функции а график
функции y1 = f(x) нам известен (рис. 104—пунктирная линия).
Заметим, что для одних и тех же значений аргумента значения
функции yr = f (х) и данной функции у = ±- будут обратными по
У1
Рис. 104 Рис. 105
Отметив несколько таких точек, соединяют их плавной кривой
и учитывая поведение функции вблизи асимптот (вертикальные
прямые, проходящие через точки, где получают искомый
график (рис. 104—сплошная линия).
Примеры. Построить графики следующих функций:
1. y=cosecx = ^rx.
Так как функция y^sinx нечетная и периодическая, то и
функция У = также нечетная и имеет тот же период. Поэтому
достаточно построить график на промежутке (0, л). Сначала строим
график y1 = sinx для этого промежутка (рис. 105 — пунктирная ли-
ния). Так как sinx = 0 в точках х —0 и х = л, то поэтому прямые
х = 0 и х = л будут вертикальными асимптотами. Исследуем пове-
дение функции вблизи асимптот.
При х-+0 справа и х->л слева значение у->-|-оо. Точка
1) общая у обоих графиков. Далее, отмечая точки и М2,
где sinx = -g-, у, находим соответствующие точки Л\ и N2, где
383
^— = 2, 3. Соединив полученные точки плавной кривой, получим
график функции У = на промежутке (0, л) и, отражая его сим-
метрично относительно начала координат, получим график данной
функции для промежутка (— л, 0) (рис. 105), а затем в силу ее
периодичности и вне промежутка (— л, л)
Строим график функции уг = х2—1 (рис. 106 — пунктирная ли-
ния). График функции у^х2—1 симметричен относительно оси
ординат и поэтому график искомой функции также будет симмет-
ричен относительно оси ординат.
Прямая х=1 будет вертикальной асимптотой: при 1 справа
значение у->4-00, а при х-+1 слева значение у— оо. Ось абс-
цисс будет горизонтальной асимптотой, так как при х -> + оо полу-
Точки графика функции уг = х2—1, где уг=\ и уг=—1 будут
общими у обоих графиков. Используя результаты исследования, по-
лучаем, что искомым графиком является кривая, изображенная
на рис. 106.
Строим вспомогательный график функции уг — 2х—1 (рис. 107 —
пунктирная линия). Замечаем, что при х=1 значение уг=\ и,
следовательно, # = ---= 1,т.е. точка (1, 1) — общая у обоих графиков.
При изменении х от 1 до 4- оо значения уг быстро и неограниченно
возрастают и, следовательно, значения у будут быстро и неограни-
ченно уменьшаться при х—>+00 значение r/j4~оо, ау = -~->0^,
т. е. ось Ох является горизонтальной асимптотой искомого графика.
При изменении х от 1 до 0 значения у уменьшаются также от 1 до О,
384
а следовательно, значения у = — будут неограниченно возрастать
от 1 до +оо, т. е. ось Оу служит вертикальной асимптотой искомого
графика.
При построении графика для х < 0 возьмем за исходную точку
х = —1, для которой уг=—а у = — =—2. Тогда получаем:
У1
при изменении х от — 1 до 0 переменная уг изменяется от у
до 0, оставаясь отрицательной, а следовательно,
будут изменяться от —2 до —оо (график
асимптотически приближается к отрицательной
полуоси Оу);
при изменении х от —1 до —оо перемен-
ная у± изменяется от —Д° — 1 (вернее,
стремится асимптотически к —1, оставаясь
по абсолютной величине меньше 1), а следо-
вательно, у = — будет изменяться от —2 до
— 1 (вернее также стремится асимптотически
к — 1, но уже оставаясь по абсолютной величи-
не больше 1).
Таким образом, искомый график имеет вид
кривой, изображенной сплошной линией на
рис. 107.
4 ц =.
2 arcsin х
2
Строим график функции у± = у arcsinх (рис.
1
значения =—
и У1
Рис. 108
108—пунктирная
линия) и теперь легко строим график данной функции у = — (рис.
108—сплошная линия).
§ 6. ГРАФИК ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ
Все сказанное о произведении двух функций в равной степени
относится и к частному двух функций.
Построив на одном чертеже графики функций Уг — fiix) и
y2=f2(x), путем их анализа исследуем, как в зависимости от х из-
меняется частное у = -^=-у и тем самым получаем общий вид ИСКО-
1/2
мого графика, который всегда можно уточнить с помощью табли-
цы значений функции.
При анализе особое внимание следует обращать на точки, где
значения функций у± и у2 обращаются в 0, ± 1, где они равны
между собой или отличаются только знаком.
Примеры. Построить графики следующих функций:
1 X
1. у = —--г .
и y-s-- I
13 № 407
285
Функция нечетная \J (—х)=—=—f(x)j и поэтому анализ
будем проводить лишь для х^О.
Полагая уг = х и у2=х*—1, строим графики этих функций для
х^О (рис. 109—пунктирные линии).
Замечаем:
1) при х = 0 имеем ух = 0 и поэтому у = -^- = 0;
У%
2) при х = а, где значения у± и у2 отличаются только знаком,
будет у = — = — 1 ( а — положительный
Уъ \
корень уравнения —У1 = У^ или —х =
— х2—1, т. е. а = ~1 + 5 ;
3) при х= 1 имеем у2 = 0, а ух=1
и, следовательно, прямая х= 1—верти-
кальная асимптота; если х->1 слева, то
уг -> 1, а у2 0, оставаясь отрицатель-
ным, и поэтому у — ~ — оо; если х-> 1
справа, то, наоборот, у-* + оо;
4) при х = Ь, где z/1 = f/2, очевидно, у = — =1 [Ь—положитель-
У2 \ _
2 1 и 1+К 5\
ныи корень уравнения ух = у2, или х = х2—1, т. е. —) ;
1
5) при хоо замечаем, что У = ~^Г\=——^0, оставаясь
1 х2
положительным, т. е. ось абсцисс служит горизонтальной асимп-
тотой.
Объединяя все эти замечания, получаем общий вид графика,
изображенный на рис. 109 сплошной линией.
f (х)
График частного двух функций у = у иногда удобнее стро-
ить как график произведения двух функций.
Действительно, если положить y± = (х) и у2 — тД-г, то у = у± • у2.
/2 W
о 2 cos пх
2.: У =-----.
X
2
Представим функцию в виде У = ~* cosnx и построим графики
вспомогательных функций У1 = ~ и у2 = cos лх для х > 0 (пунктир-
ные линии на рис. ПО), так как наша функция нечетная (произ-
ведение нечетной и четной функций). В тех точках, где y2=cos лх=0,
будет также и д = 0. В тех точках, где у2 = созлх=1 (кроме
х = 0), очевидно, у=ух, а где y2=cosnx= — 1, значение у=— уг==
2 2
=-----. Строим для удобства график функции у3 — —
X х
386
Построив ряд таких точек искомого графика, соединив их плав-
ной кривой и учитывая поведение функции при х->0 (при X-+Q
справа yr->4-оо, а у2 -> 1 и, следовательно, у-+ + со, оставаясь
меньше ylt т. е. ось Оу является асимптотой графика), получим
искомый график для х > 0. Для х < 0 график получается симмет-
ричным отображением относительно начала координат (рис. ПО).
Иногда проще сначала построить график функции у =
£ / \ и W
а затем уж построить график-заданной функции у = г^\ как график
/2 W Г
функции у = ~-, Так, в примере 1 график функции уг = ——- =
1 х
—— легко строится как график суммы двух функций (рис.
111, а—сплошная линия), а затем уже просто получается график
заданной функции у = = — (Рис- 111,6—сплошная линия).
13*
387
§ 7. ГРАФИК «ФУНКЦИИ ОТ ФУНКЦИИ»
Если в функцию y = f(u) вместо аргумента и мы подставим
функцию и = у(х) нового аргумента х*, то в результате получим
так называемую «функцию от функции», или «суперпозицию» двух
функций у = f [ф (х)], или сложную функцию.
Исходную функцию y = f(u) называют внешней, а промежу-
точную функцию н = ф(х) — внутренней функцией.
Например, взяв функцию y = log2^H положив и — х2—1, получим
сложную функцию y = log2(x2—1). Термин «сложная» функция надо
понимать относительно. Он указывает способ получения такой
функции, а не степень сложности зависимости функции от аргу-
мента.
Например, взяв функцию у = и2 и положив и = —, получим
сложную функцию у = -^2 > которая на самом деле выражает довольно
простую зависимость у от х.
По существу мы уже встречались с простейшими случаями
сложных функций, например у = [(х + а), y = f(\x\) и т.д.
В этом параграфе мы рассмотрим способ построения графиков
сложных функций в общем случае.
При построении
очередь попытаться
графиков «функции от функции» надо в первую
заменить данную функциональную зависимость
более простой, ей эквивалентной.
Примеры. Построить графики следующих
функций:
1. у = 21о^\
Согласно основному логарифмическому тож-
деству данная функция равносильна функции
у = х при условии x>0(log2x для отрица-
тельных х не определен). Следовательно, иско-
мым графиком является биссектриса I коор-
динатного угла (рис. 112). Стрелкой на рисунке
указывается, что точка О — начало координат—исключается.
2. у = arctg tgx.
Эта функция периодическая с основным периодом Т = л, так
как arctg tg(x + л) = arctg tgx.
Уравнение у = arctgtgx равносильно уравнению tgy = tgx при
условии, что —~ < у < у . Поэтому для —у<х<у получа-
ем у = х. Следовательно, искомым графиком на промежутке
( л л \
I — у, у ) служит отрезок у = х с исключенными концевыми точ-
* Очевидно, что хотя бы одно значение функции к = ф(х) должно входить
в область задания функции y — иначе о такой подстановке говорить бес-
смысленно.
388
ками. Вне промежутка (—у, у) график получается периодичес-
ким продолжением (рис. 113).
- 2х
3. у = arcsin .
Эта функция нечетная —x)=arcsin^^=—arcsin —/(*)}
и поэтому достаточно построить график для х^О.
Из данного равенства имеем sin у = . Это равенство напо-
Рис. 113
2tgy
минает формулу sinz/ =----
. Поэтому находим
/4Х2
__ __ ~ 1 (1 4~Х2)2
2 sin у sin у 2х
14-х2
14-Х2— 11—х2|
= 2х
Таким образом, получаем
( х, если 0 < х 1;
g 2 , если х> 1,
или
2 arctg х, если 0 х 1;
— 2 arctg у = 2 arcctg х, если х 1.
Теперь легко строим искомый график для х^Ои затем симметри-
ческим отображением относительно начала координат получаем
график и для х<0 (рис. 114—сплошная линия).
Если упрощение «функции от функции» y = f [ф(х)] не достигает-
ся, то можно строить график такой функции следующим образом.
Построим на отдельных чертежах вспомогательные графики
внешней и внутренней функций y = f(u) и « = <р(х) (рис. 115, а, б).
389
Очевидно, для всякой точки Л(«о, д0) графика функции g = f (и)
(рис. 115, а) (но, конечно, такой, для которой значение w0 при-
надлежит области изменения функции и = ц>{х)) можно построить
соответствующую точку В(х0, uQ) графика функции н = ф(х) (отло-
жив на оси Ои значение и0, находим точку х0; рис. 115, б) и затем
соответствующую точку
С(х0, у0) искомого гра-
фика (рис. 115, в).
Построив ряд таких то-
чек и соединив их
плавной кривой, полу-
чим изображение гра-
фика заданной функции,
который всегда можно
уточнить вычислением
отдельных контрольных
точек.
Обычно строят лишь
некоторые характерные
точки искомого графи-
ка, а затем путем ана-
лиза специфических
свойств внутренней и
внешней функции полу-
чают весь график. В
простых случаях можно
легко обойтись без построения графика внешней функции У = f (и).
у = log2 (х2 — 1).
Полагая и = хг— 1, получаем д = log2 и. Строим системы координат
хОи, хОд, располагая их, как показано на рис. 116, и график функ-
ции и = х2—1 (рис. 116, а).
Заметим, что:
1) из симметрии относительно оси ординат графика функции
а = х2— 1 следует симметрия относительно оси ординат графика
функции y = log2(№—1);
2) так как для — l^x^ 1 значения то на этом проме-
жутке заданная функция не определена:
3) так как, очевидно, для и = -^, у, 1, 2, 4 соответствующие зна-
чения д = log2 и будут равны —2, —1, 0, 1, 2, то беря эти значения
и на рис. 116, а и находя соответствующие значения х, переносим их
на рис. 116, б, отмечая для них соответствующие значения д. Тем
самым мы получим ряд точек искомого графика (рис. 116, б);
4) так как при и—+ 0(и>0) значения д = loga и —>—оо,
то при х—И, когда и—>0, оставаясь положительном,
д = log2 = (x2—1)—>-—оо;
5) при х —>4-оо, очевидно, и—>4-оо и, следовательно, д—+-\-6о.
Учитывая эти замечания, получаем, что искомый график имеет
вид кривой, изображенной на рис. 116,6.
390
5. у = sin 2 log2 x.
Полагая u = 21og2x, получаем «/ = sin«. Строим график функции
« = 21og2x (рис. 117, а). Характерными точками заданной функции
являются точки, где значения у равны 0, ± 1, т. е. когда и = 0, ,
На рис. 117, а отмечаем эти значения и, находим соответствую-
щие значения х и строим соответствующие значения у (рис. 117,6).
Соединяя найденные точки плавной кривой, получаем искомый
график. Очевидно, график будет описывать колебательный процесс,
причем с увеличением х частота колебаний уменьшается, а при
стремлении х к нулю — неограниченно возрастает. Часть графика
вблизи оси Оу при увеличенном горизонтальном масштабе пока-
зана на рис. 117, в.
В отдельных случаях для построения графика сложной функции
достаточно найти область ее определения (особенно при задании
функциональной зависимости громоздкими формулами).
6. у = /lg sin лх.
Функция определена лишь для х, при которых справедливо не-
равенство
lg sin лх 0 или sin лх 1,
что возможно, когда sin лх=1, т. е. х = 2& + у, где k — 0, ± 1,
±2...... Для этих значений х значение # = 0. Таким образом,
график состоит из отдельных точек оси Ох.
391
§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИКОВ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ,
СИСТЕМ И НЕРАВЕНСТВ
Графики широко применяются для определения числа действи-
тельных решений уравнения
f(x)=O (1)
или системы
/ Fi(x, у)=0,
I F2(x, У)=0
(2)
и их приближенных значений.
Действительно, если мы построим график функции y = f(x), то
абсциссы точек, в которых график пересекает ось Ох, и будут
действительными корнями уравнения (1) (рис. 118, а).
Когда построение графика функции у = f (х) вызывает затрудне-
ния, нужно постараться представить уравнение в виде ft (х) = Д (х)
таким образом, чтобы было легко построить графики функций
(рис. 118,6)
y = ft(x) и y = f2(x).
Очевидно, что абсциссы точек пересечения графиков этих функций
и будут действительными корнями уравнения.
Если эти графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет
действительны?: корней.
Чем точнее построены графики, тем меньшие можно указать ин-
тервалы, которые содержат корни.
Все сказанное относится и к решениям системы (2) (коор-
динаты точек пересечения графиков уравнений F^x, у)=0 и
F2(x, у) = 0 будут действительными решениями системы (2)).
Пример 1, Найти графически корни следующих уравнений:
1) х3-|-х—1=0; 2) 2—x3 = loga(—х).
Решение. 1. Запишем уравнение в виде х3 = 1 —х. Построив
графики функций у = х3 и «/=1—х (рис. 119), видим, что уравне-
ние имеет лишь один действительный корень х0.
2. Строим графики функций у = 2—х2 и у = loga (—х) (рис. 120).
Находим, что уравнение имеет один действительный корень х0.
392
Пример 2. Указать число действительных корней уравнения
100 sin лх = х.
Решение. Перепишем уравнение в виде sinnx = j^ и рас-
смотрим функции y = Sinnx И !/=100*
Построим схематично графики этих функций (рис. 121). Графи-
ки обеих функций симметричны относительно начала координат,
поэтому достаточно проанализировать решение уравнения для
х^О. Очевидно, как только значение функции 1/=-^ станет
больше 1 (х > 100), то уже графики наших функций пересечься не
смогут (sinnx^l).
Рис. 121 Рис. 122
Функция у = sin лх имеет период Т = 2, а на отрезке длиной в пе-
риод прямая пересекает синусоиду лишь в двух точках. Следова-
тельно, на отрезке [0, 100] таких точек пересечения будет 2-^ =
= 100. Аналогично на отрезке [— 100, 0] также будет 100 точек пе-
ресечения, но так как начало координат мы просчитываем два
раза, то, следовательно, искомое уравнение имеет 199 корней, один
из которых 0, а остальные можно указать лишь приближенно.
Пример 3. Определить число действительных решений системы
( х2 + г/ = 3,
I % + «/2 = 4.
393
Решение. Каждое из уравнений системы определяет пара-
болу (у = 3—х* и х = 4—уг). Построив эти параболы (рис. 122), ви-
дим, что система имеет четыре действительных решения.
Иногда отдельные действительные решения легко находятся
подбором. Тогда встает вопрос: не имеет ли уравнение или система
других действительных решений? Часто ответ на этот вопрос можно
получить прибегнув к графикам.
Пример 4. Решить уравнение
(]Л2+К2 )*+(]/2— /2)* = 2*.
Решение. Легко заметить, что уравнение имеет корень х = 2.
Представив уравнение в виде
( /2+^2 \х ( /2-К 2 .
2 7 2 J ~
построим графики функций (рис. 123)
. ( К2+К2 V , ( ^2—V"2 Y
У= 1 и У — (--j---I -Ц----2~--) •
с основаниями меньше 1 (на рис. 123—пунктирные линии). В силу
монотонности этой функции он пересекается с прямой у = 1 лишь
в одной точке. Следовательно, х = 2—единственный корень.
Пример 5. Решить систему
( ху = 2 —у,
I У = log2(x+ 1).
Решение. Можно заметить, что система имеет решение (1, 1).
Построив по известным правилам графики этих уравнений (для
чего надо первое уравнение записать в виде у — -^-^> убеждаемся,
что найденное решение единственное (рис. 124).
394
В заключение покажем, как применяются графики к решению
неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными.
Решить неравенство
F(x, у)\/0 . (3)
— это значит найти все точки плоскости хОу, координаты которых
удовлетворяют неравенству (3).
Пример 6. Решить графически неравенство
х + 2у—1 ^0.
Решение. Построим прямую —1=0 (рис. 125). Очевид-
но, сами точки прямой удовлетворяют поставленной задаче. Эта
прямая делит плоскость на две части. Взяв произвольную
точку М (х0, у0) этой прямой и передвинув ее параллельно
оси Оу вверх в положение Л\(х0, уг), получим в силу равенства
х0 + 2^0 — 1 =0 и неравенства уг > г/0, что будет справедливо неравен-
ство x0 + 2z/i—1 > 0.
Аналогично, если взять точку N2 (х0, у2), где у2 < у0, то получим,
что координаты этой точки будут удовлетворять неравенству
х0 + 2«/2—1 < 0. Следовательно, данному неравенству удовлетворяют
все точки прямой и расположенные над ней (рис. 125).
Пример 7. Решить графически неравенство
У> log2(l—х).
Решение. Строим график функции t/ = log2(l—х) (пунктир-
пая линия на рис. 126). График нарисован пунктирной линией для
того чтобы подчеркнуть тот факт, что сами точки этого графика не
удовлетворяют неравенству.
Очевидно, координаты точек решения неравенства должны удов-
летворять условию 1 —х > 0, т. е. х < 1, так как иначе log2 (1—х) не
определен.
Взяв произвольную точку М этого графика и рассуждая ана-
логично предыдущему, получим, что решением неравенства будут
все точки, расположенные выше логарифмической кривой и левее
прямой х=1 (на рис. 126 эта область заштрихована).
395
Под решением системы неравенств
' F-l (х, у) V О,
' Л (х, у) v О
понимают все точки плоскости, координаты которых одновременно
удовлетворяют всем неравенствам, входящим в систему.
Пример 8. Решить графически систему неравенств
1,
У—1.
Решение. Сначала решаем отдельно неравенство г/^1—х2
(рис. 127, а) и неравенство у^х—1 (рис. 127,6).
Теперь, объединяя эти результаты, получаем, что искомой си-
стеме удовлетворяют все точки заштрихованной области на
рис. 127, в. Координаты точек А и В находятся путем решения си-
стемы уравнений
х2 + у = 1,
у—х — — 1.
§ 9. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим некоторые задачи, связанные с функциями.
Пример 1. Найти область определения функций:
О У = > 2) у = log_i_cos log2 х;
2 . , х2—Зх—10
3) 0 = arcsin 13^+1g---—-—.
Решение 1. Данная функция будет определена лишь для х,
удовлетворяющих неравенству 0. Решив это неравенство,
получим — 1 х < 1.
396
2. Функция определена, лишь когда cos log2 х > 0. Очевидно,
это неравенство справедливо, если
2Лл—4<log8x<2fot+4 (k = 0, ±1, ±2, ...).
Отсюда получаем, что область существования искомой функции
состоит из бесконечного числа отдельных промежутков
2 2<х<2 2 (k = 0, ± 1, ±2, ...).
3. Функция будет определена лишь в том случае, когда оба
слагаемых одновременно определены. Следовательно, х должен
удовлетворять системе неравенств
(|Х-1|>2,
\ ИЛИ (х+2) (х—5) . п
I х2 — Зх—10. п х
------->0, х
—X ’
Решив эту систему, найдем, что область определения состоит из
двух промежутков: (—2, 1] и [3, 5).
Пример 2. Определить, является ли функция четной или нечет-
ной:
1) = 2) f(x) = lg(x + Ki+7);
3) f (х) = cos (х + 2) + cos (х—2).
Решение. 1. Имеем
И х}_2-х-1-2х ___2Х-1 f
А( *) — 2-«+1 _1 1+2*— 2*+1 ' W’
Следовательно, эта функция нечетная.
2. Имеем
/= (— х) = 1g (— х + /1+х2).
На первый взгляд кажется, что —х)у=/(х) и f(—х)#=—f(x), т. е.
что функция не является ни четной, ни нечетной. Но на самом де-
ле не так. Действительно, получившееся выражение можно тожде-
ственно преобразовать следующим образом:
(/~Г+72_х) (/Т+х^+х)^
Y l+x2+x
У1+х2+х =lgl-lg(/T+^+^) =
= —1g (х + К1+х2) = —f(x).
Следовательно, функция нечетная.
1g (К 1 +х2—x) = lg
397
3. Имеем
f (— х) — cos (— х + 2) + cos (— x—2) =
= cos [— (x—2)] -I-cos [— (* + 2)] =
= cos (x—2) 4-cos (x-|-2) = f (x).
Следовательно, функция четная.
Пример 3. Указать геометрическое место точек на плоскости,
координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям:
1) х2—х—2 = 0; 2) х2—ху—2у2 + 3у—1=0; 3) | у| = ycos лх;
4) sin2 лх + sin2 лу = 0; 5) у +1 у | = х-|-1 х |.
Решение. 1. Это уравнение равносильно совокупности двух
уравнений х = 2 и х = —1 и, следовательно, искомым геометриче-
ским местом служат две прямые, параллельные оси Оу (рис. 128).
2. Решая это уравнение как квадратное относительно х, найдем,
что оно равносильно совокупности двух уравнений х + у—1=0 и
х—2у+ 1 =0. Следовательно, искомое геометрическое место состоит
из двух прямых (рис. 129).
3. Имеем:
при у = 0 уравнению удовлетворяют любые х;
при у > 0 уравнению удовлетворяю2! все х, для которых cos лх =
= 1, т. е. x = 2k, где k = Q, ±1, ±2, ...;
при у<0 уравнение равносильно уравнению cosnx = —1, или
х = 2«+ 1, где п = 0, ±1, ± 2,... .
Следовательно, искомым геометрическим местом является ось
Ох(у = 0) и семейства прямых: x = 2k при условии, что у> 0, и
х = 2п-±-1 при условии, что г/ < 0 (рис. 130).
4. Сумма квадратов двух действительных чисел может равнять-
ся нулю лишь тогда, когда эти числа одновременно равны нулю.
Следовательнр, искомым геометрическим местом служат все точки,
для которых одновременно sinnx = 0 и sinni/ = 0, т. е. точки с ко-
ординатами x = k и у = п, где k и п—любые целые числа (рис. 131).
5. Для х и у из I квадранта (х^0, у^0) уравнение рав-
носильно уравнению у-\-у = х-\-х, или у = х. Это—биссектриса I
координатного угла.
Если х^0, i/>0 (II квадрант), то получаем у + у = х—х, т. е.
У = 0.
Если xs^O и угС0 (III квадрант), то имеем тождество.
398
Наконец, если х^О, у^О (IV квадрант), то уравнение при-
нимает вид у—у = х-\-х, или х = 0.
Следовательно, искомое геометрическое место состоит из бис-
сектрисы I координатного угла и всех точек плоскости III квадран-
та, включая его границы (рис. 132).
Пример 4. Найти а, Ь, с, если функция у = ах2-{-Ьх + с принимает
наибольшее значение у = 2 при х= 1, а при х = — 1 значение функ-
ции у = — 2.
Решение. Графиком искомой функции служит парабола, вер-
шина которой находится в точке В (1, 2) и, следовательно, функ-
цию можно представить в виде
у = а(х— 1)а4-2.
Подставив в это уравнение х= — 1 и у = — 2, найдем, что а = —1.
Таким образом, у = — (х—1)24-2, или у = — х24-2х+1 и, значит,
а = — 1, Ь = 2, с=1.
Пример 5. Какую линию описывает вершина параболы # = х24-
4-2/х + 2/2, когда параметр t принимает любые действительные
значения?
Решение. Выделяя полный квадрат, получаем
9=(х + ^ + Р.
Следовательно, координаты вершины параболы находятся в зави-
симости от t из условий х = — Z, у = Z2. Исключая из этих равенств
параметр /, получаем, что эти координаты удовлетворяют уравнению
у = х\ графиком которого также служит парабола. На рис. 133
эта парабола изображена сплошной линией, а пунктиром изобра-
жено несколько положений параболы у = х2 + 2tx-]-2t2 при различ-
ных значениях t.
ГЛАВА XV
ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ К РЕШЕНИЮ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР
Основными элементами треугольника называются его стороны
и углы.
Из признаков равенства треугольников, доказываемых в гео-
метрии, вытекает, что последние определяются тремя основными
элементами, из которых хотя бы один должен быть стороной.
В частности, прямоугольные и равнобедренные треугольники опре-
деляются двумя основными элементами, из которых хотя бы один
должен быть стороной, а равносторонний треугольник определяется
одним основным элементом—его стороной. Отсюда следует, что
задав необходимое число основных элементов, можно по ним вы-
числить все остальные основные его элементы.
Чтобы решить эту задачу, необходимо знать различные соотно-
шения между углами и сторонами треугольника.
Прежде всего перечислим все те соотношения между элементами
треугольника, которые выводятся в геометрии как в виде равенств,
так и в виде неравенств.
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Каждый
внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним не
смежных,
2. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол
и обратно. Стороны треугольника, лежащие против равных углов,
равны и обратно—против равных углов лежат равные стороны.
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других
сторон и больше их разности.
4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Каждый
катет является средним геометрическим между всей гипотенузой и
проекцией указанного катета на эту гипотенузу.
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла, является
средним геометрическим между отрезками, на которые он делит
гипотенузу.
5. Квадрат стороны, лежащей против острого угла в треуголь-
нике, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного про-
изведения известной стороны на проекцию на нее другой известной
стороны.
Соответствующая теорема дается для квадрата стороны, лежащей
против тупого угла.
Помимо приведенных соотношений между углами и сторонами
треугольника, доказывается ряд свойств его специальных линий:
высот, биссектрис, медиан, перпендикуляров из середин сторон,
средних линий и т. д. Перечислим и их.
6. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна
его половине.
400
7. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке,
равноудаленной от сторон треугольника. Эта точка- является цент-
ром вписанной в треугольник окружности. Кроме того, биссектриса
внутреннего угла делит противолежащую сторону на части, пропор-
циональные двум другим прилежащим сторонам.
8. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, кото-
рая отсекает от каждой медианы ее две трети, считая от вершины,
9. Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
10. Перпендикуляры из середин сторон также пересекаются
в одной точке, равноудаленной от всех вершин треугольника. Эта
точка является центром окружности, описанной около треугольника.
Анализируя все эти соотношения, легко увидеть, что с их по-
мощью решаются лишь специально подобранные задачи. Например,
можно по двум сторонам прямоугольного треугольника найти третью
сторону (теорема Пифагора) или по заданному углу в 30, 60
или 45° и стороне прямоугольного треугольника найти все осталь-
ные его элементы. Что касается косоугольного треугольника, то
приведенная здесь теорема «работает» лишь в том случае, когда
известна величина проекции одной данной стороны на другую (ее
можно вычислить либо когда дана соответствующая высота, либо
угол между известными сторонами равен 30 или 45, или 60°).
В следующих параграфах получим ряд соотношений между сто-
ронами и углами произвольного треугольника.
§ 1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА. ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Выражения тригонометрических функций острого угла через
стороны прямоугольного треугольника (см. гл. IX, § 5) позволяют
ввести следующие соотношения между его углами и сторонами.
1. Из формул sin А=у и cos А = у следует, что я = с-sin А и
b = c-cosA, т. е. катет равен произведению гипотенузы на синус
противолежащего или косинус прилежащего к определяемому катету
угла,
2. Из формул tgA = y и ctgA = ~ следует, что # = и
b = tf-ctgA, т. е. катет равен произведению другого катета на
тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к определяе-
мому катету угла.
Простейшая задача решения треугольника состоит в том, чтобы
по минимальному числу основных элементов, определяющих этот
треугольник, найти остальные. Прямоугольный треугольник опре-
деляется двумя элементами; строя различные комбинации из шести
основных элементов по два, среди которых имеется хотя бы одна
сторона, мы получаем следующие четыре так называемые основные
случаи решения прямоугольных треугольников.
401
I случай. Даны катеты а и Ь. Найти гипотенузу с и острые
углы А и В.
Решение. 1. Используя формулу tgA = y, находим угол Л,
затем угол В: В = 90°—А.
2. Гипотенузу с находим по формуле с = . Подставляя в эти
формулы численные значения данных а и Ь, вычисляем значениеtg Л.
Угол А находим по таблицам. (Например, по таблице Брадиса.)
Затем находим значения угла В и гипотенузы с.
Чтобы убедиться в правильности расчетов, полезно для контроля
взять одну из формул, не использованную в ходе решения и со-
держащую искомые величины. В первом случае можно взять, на-
пример, теорему Пифагора с2 = а2 + 62.
II случай. Даны катет а и гипотенуза с. Найти катет b и
острые углы А и В.
Решение. 1. Используя формулу sin А =у, находим угол А,
затем В: В = 90°—А.
2. Катет b находим по формуле b = c-sinB.
Формула для проверки: с2 = а2-{-Ь2.
Ill случай. Даны катет а и острый угол В. Найти катет Ь,
гипотенузу с и угол А.
Решение. 1. Используя формулы А = 90°—Вис=^, на-
ходим А и с.
2. Катет b находим по формуле b = a-tgB. Формула для про-
верки: а2-\-Ь2 = с\
IV случай. Даны гипотенуза с и острый угол В. Найти ка-
теты а и b и угол А.
Решение. 1. Используя формулы a = c-sin А и В = 90°— А,
находим а и В.
2. Катет b находим по формуле b = c-cos А. Формула для про-
верки: а2-\-Ь2 = с2.
Отметим, что предложенные способы решения этих случаев так
же как и формулы для проверки не являются единственными.
Важно лишь, что в качестве контроля нужно брать формулу, не
использованную при ее решении.
§ 2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ЛЮБОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема синусов. В любом треугольнике отношение стороны к
синусу противолежащего угла есть величина постоянная, равная
диаметру описанной окружности, т. е.
-A-: = -J-^ = ^ = 2R. (1)
sin A sin В sin С v 7
Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай, когда
угол А — острый. Опишем вокруг треугольника АВС окружность
402
(рис. 134) и из вершины В (или С) проведем диаметр BD. Соеди-
ним толки D и С и рассмотрим треугольник BCD. В этом треуголь-
нике /_ BCD = 90° как угол, опирающийся на диаметр, a ^/BDC = А,
так как эти вписанные в окружность углы опираются на одну и
ту же дугу.
Из прямоугольного треугольника BCD следует, что неизвест-
ный катет ВС равен гипотенузе BD, умноженной на синус проти-
волежащего угла BDC, т. е. ВС = BD-sin^_BDC, или
что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные две формулы для В < 90°
и С < 90°.
2. Пусть теперь угол А—тупой. Описав вокруг треугольника
АВС окружность (рис. 135), проведем из вершины В (или С) диа-
метр BD и рассмотрим прямоугольный треугольник BCD, где
/ BCD = 90°. Из этого треугольника имеем
ВС = BD-sin Z.BDC.
Но /ВАС-\-/_BDC = 180°, следовательно,
sin Z.BDC = sin (180°—£ВАС) = sin^ ВАС = sin А,
а поэтому ВС = BD- sin А, или =2-т = 27?.
J sin А
3. Если угол А—прямой, то в прямоугольном треугольнике
АВС сторона а является гипотенузой и, следовательно,
a = 2R sin 90°, т. е. теорема остается верной и в этом случае.
Замечание. Теорема синусов устанавливает связь между
радиусом описанной окружности и основными элементами тре-
угольника:
а = 27?-sinЛ, Ь = 27?-sinВ, с = 27?-sinС.
Теорема косинусов. Квадрат стороны любого треугольника ра-
вен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произ-
ведения на косинус угла, заключенного между ними, т. е.
а2 = Ь2 + с2—2Ьс • cos Л. (2)
403
Доказательство. 1. Пусть угол А—острый. В треуголь-
нике АВС проведем высоту BD (рис. 136) и рассмотрим получен-
ный при этом прямоугольный треугольник BDC. В этом треуголь-
нике
BC2 = DC24-B£)2,
или
a2 = (b—b^+h* (3)
(обозначения ясны из рис. 136).
Рис. 136 Рис. 137
Выразим теперь величины \ и й через основные элементы тре-
угольника АВС. Рассмотрим треугольник ABD. Имеем
h = c-smA, (*)
&1 = с-соэЛ. (**)
Заменив h и bt в выражении (3) их значениями (*) и (**), най-
дем, что
а2 — (Ь—с-cos А)2 4-с2 • sin2 А,
откуда после очевидных упрощений получим
а2 = Ь2—2bc- cos Л + с2 (cos2 А 4- sin2 А) = Ь2 -)- с2—2Ьс • cos А,
что и требовалось доказать.
2. Пусть угол А—тупой. Из вершины В опустим высоту BD
на продолжение стороны АС (рис. 137).
Из прямоугольного треугольника BDC имеем
BC2=BD2 + DC2,
или
a2 = h2 + (b + b1)2. (4)
Величины h и bt выразим через основные элементы треуголь-
ника АВС. Рассматривая треугольник ABD, имеем
ft = c-sin (180° — Л) = с-з1пЛ, (***}
b± = c-cos (180°—А) = —с-соэЛ. (****)
Заменив h и Ьх в выражении (4) их значениями (***) и (****),
после необходимых преобразований получим
а2 = с2 sin2 Л + (Ь —с cos Л)2 = с2 4- Ь2—2Ьс cos А,
что и требовалось доказать.
404
3. Пусть угол А — прямой. В этом случае cosA = 0 и, следо-
вательно,
624-с2—2bc-cos А = 624-с2. (5)
Но по теореме Пифагора
Ь2-\-С2 = а2. (6)
Сравнивая соотношения (5) и (6), получим
а2 = Ь2 + с2—2Ьс • cos А,
что и требовалось доказать.
Читателю, знакомому с элементами векторной алгебры, предлагаем другой
вывод теоремы косинусов. __
Рассмотрим векторы АС, АВ и СВ (рис. 138).
Очевидно, что
СВ = АВ-АСиСВ2 = СВ-СВ = (АВ — АС)2. (7)
Здесь СВ-СВ — скалярное произведение вектора СВ
на себя. Согласно свойствам скалярного произведения
СВ2 = АВ2—2 АВ • АС + АС2. (8)
Учитывая, что СВ2 = а2, AB = c2t АС2 = Ь2 и
АВ- АС = с-b-cos А, перепишем равенство (8):
а2 = с2—2Ьс • cos А + £2,
что и требовалось доказать.
Записав формулу (2) в виде
созЛ=^,
Рис. 138
(9)
замечаем, что:
1) если а2 = Ь2-\-с2, то cosA = 0 и А = 90°. Следовательно, если
квадрат сторон треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон, то этот треугольник—прямоугольный;
2) если а2 < 624-с2, тосоэД>0 и А < 90°, т. е. в этом случае
треугольник — остроугольный;
3) если а2 > &24-с2, то cos Л < 0 и А > 90°, т. е. в этом случае
треугольник—тупоугольный.
Весьма полезной при решении задач является следующая фор-
мула, выражающая тангенс угла через стороны треугольника.
Последняя в отличие от формулы косинусов приведена к виду,
удобному для логарифмирования.
Теорема тангенсов. В любом треугольнике
А = 1/" (р—Ь) (р—с)
2 V р(р — а)
(10)
где р = у (а + &-|-с)—его полу периметр.
405
Доказательство. Из теоремы косинусов вытекает, что
1 _l_ тс А — 2Ьс~«2+&2+с2 _ (&+с+а) (&+с—а)
1 + COS А-----=
_ 2р-2 '(р—а) _ 2р (р—а)
2bc Ьс ’
1 А _а2-(Ь-с^ _ 2{р—Ь)(р—с)
1 1 "" LUO ZjL Q у ' f (
Из равенств (*) и (**) вытекает, что
£_ т/" 1—cos4^ ,Г(р—Ь) (р—с)
2 У 1-J-cos Л У р (р—а)
что и требовалось доказать.
Следствие. Радиус вписанной в треугольник окружности
может быть вычислен по формуле
г= у/~(р—а) (р—Ь) (р—с) (И)
Доказательство. Соединим центр вписанной окружности
в с вершинами треугольника АВС (рис. 139), в
котором
SCJ/Vx OD = OE = OF = r.
Из треугольника AOD следует, что г = 0D =
I с д
А d =/lD-tg—. Для нахождения ДО заметим, что
Рис. 139 AD = AE, BE = BF и FC = CD как отрезки
касательных, приведенных к окружности из
одной точки. Поэтому
2p = a + b + c = 2AD + 2CF + 2BF = 2AD-\-2{BF + FC) = 2AD-\-2a.
Отсюда следует, что AD = p— а. Используя формулу (10), имеем
r = 4D.tg± = (P-a) /Sg3=
что и требовалось доказать.
Ниже будет дано выражение радиуса описанной окружности
через стороны треугольника.
§ 3. ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ КОСОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Так же как и для прямоугольных треугольников, существуют
четыре основных случая решения косоугольных треугольников.
Рассмотрим каждый из них.
I случай. Даны стороны а, b и с. Найти углы Л, В, С.
Решение. Задача имеет единственное решение при условии,
что а4-6>с, где Используя теорему тангенсов (10),
406
находим
iff £_ 1/ (Р—fe) (Р~). +«£_-./ (р—а)(р—с).
g 2 “ V р(р-а) ’ tg 2 ~ И р(р-Ь) ’
to- — — l / (Р~а) (Р —6)
ё 2 V р(р-с) '
Формула для проверки: А -|- В + С = 180°.
Заметим, что угол А можно найти и по теореме косинусов.
II случай. Даны две стороны а и b и угол С, заключенный
между ними. Найти сторону с и углы А и В.
Решение. 1. Используя теорему косинусов, находим сторо-
ну с:
с = ]/а2 62 — 2аЬ • cos С.
2. Используя теорему синусов, находим угол В. Пусть а^Ь.
Тогда угол В острый и
sinB = ^£, 4=180°—(В + С).
Формула для проверки: ^Гд = ^Гв-
Замечание. Угол А может быть острым или тупым, если
С < 90°. Поэтому, если искать сначала угол А (по формуле
Л a sin С \ <
= —-—), то без дополнительных исследовании мы не смо-
жем однозначно определить значение угла А по известному значе-
нию его синуса.
III случай. Даны две стороны а и b и угол Л, лежащий
против одной из известных сторон. Найти сторону с и углы В и С.
Решение. 1. Используя теорему синусов, находим угол В, а
затем С:
sinB = ^^; С=180°—(В + 4).
2. Вторично используя теорему синусов, находим сторону с:
а-sin С
С — —.—Т- .
sin А
Формула для проверки: а — УЬ2-{-с2—2bc-cosA.
Исследование решения: 1) если а>6, то a>b-sinA и sinB =
= --'-5дП - < 1 Задача имеет решение. Это решение единственно,
так как угол В острый (а > Ь);
2) если а < Ь, то задача имеет решение при условии, что
fc-sin При этом имеют место две возможности: а) если a—b -sin А,
то sinB = l и В = 90°—задача имеет единственное решение; б)
если b • sin А < а, то задача имеет два решения, так как для
угла В нужно брать два значения (по известному значению его
синуса).
407
Если же &-sinA>a, то sinS> 1 и задача не имеет решения;
3) если а = Ь, то А <90°, &-sinA<a и задача имеет единст-
венное решение.
IV случай. Даны сторона а и прилежащие к ней углы В и С.
Найти стороны &, с и угол А,
Решение. 1. Находим А = 180° — (В4-С).
2. Дважды применяя теорему синусов, находим b и с:
1 a«sinB a-sinC
Ь = —.-т~, С = —-—Т-.
sm А * sin Л
Формула для проверки: a = ]fb2 + c2—2bc-cosA.
Предложенные способы решения каждого из этих случаев не
являются единственными. Так, например, в I случае можно сначала
найти г, а затем искать углы по формулам:
, А г , В г , С г
g 2 ~ р — а9 2 р—b 9 2 “р — с 9
непосредственно вытекающим из формул (10) и (11). Можно так-
же искать cos А по теореме косинусов, а затем sin В по теореме
синусов и т. д.
§ 4. ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
Всякое измерение представляет собой сравнение измеряемой
величины с некоторой величиной той же размерности.
В частности, при измерении площадей измеряемую фигуру
сравнивают с единичным квадратом, площадь которого принимают
за единицу площади в соответствующей размерности (один квадрат-
ный сантиметр, один квадратный метр и т. д., или 1 см2, 1 м2 и т. д.).
При этом измерение должно удовлетворять трем условиям:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура F содержится в фигуре G, то
пл. В пл, G.
3. Если фигура F составлена из двух примыкающих друг
к другу фигур Р и G без общих внутренних точек, то
пл. В = пл. Р4-пл. G.
Поэтому, если фигура F состоит из конечного числа п при-
мыкающих друг к другу единичных квадратов, то пл.В = пед2.
Если каждую из двух смежных сторон единичного квадрата
разделить на п(п — целое) равных частей и через точки деления
провести прямые, перпендикулярные этим сторонам, то единичный
квадрат разделится на п2 малых квадратов со стороной . Согласно
свойствам 1 и 3 отсюда следует, что площадь квадрата со сторо-
ной — равна -^2 ед2. Подобным рассуждением получаем, что площадь
квадрата со стороной у (р и q—целые) равна (у)2 еД2-
408
Пусть F—плоская фигура. Наложим на нее квадратную сетку
(рис. 140), состоящую из смежных квадратов со стороной
(сетка ранга п). Фигуру, образованную из всех квадратов сетки
ранга п, содержащихся в F, обозначим через Fn, а сумму площадей
всех составляющих ее квадратов — через S„. В силу свой-
ства 3 $„—площадь фигуры F„. Фигура F„ называется входящей
фигурой ранга п.
Фигуру, образованную из всех квадратов сетки, имеющих с F
хотя бы одну точку, обозначим через F„, ее площадь—через S„.
Фигура F„ называется выходящей фигурой ранга п.
Очевидно, фигура FK содержится в F, a F содержится в Fn,
причем Fn и Fn совпадают в том и только в том случае, если
Рис. 140
любая из них совпадает с F. В этом случае полагаем, что
пл. F = Sn = Sn.
Если не существует целого п, при котором Fn совпадает с F,
то, полагая п — 1, 2, 3,..., получим бесконечную систему входя-
щих и выходящих фигур
Л, F2, F_3,..., F_n,... и Л. F„ F3,... , Fn,... ,
площади которых образуют две числовые последовательности
S2, S3,..., S„,... и Slf S2, S3,..., S„,....
Легко заметить, что каждая входящая фигура ранга k содержит
в себе все входящие фигуры меньшего ранга (рис. 140), поэтому
409
Sft_1^Sfc. Любая входящая фигура содержится в Flt т. е. все
S* ^•S1.
Таким образом, последовательность Su S2, S3, ..S„, ... моно-
тонно возрастает и ограничена, а потому имеет конечный предел
lim S„.
оо
Выходящая фигура ранга k содержится во всех выходящих
фигурах меньшего ранга (рис. 140). Поэтому Sk^l'^Sk и
Для любого k. Значит, последовательность S2, ...,
<$„, ... , как монотонно убывающая и ограниченная, имеет конечный
предел, lim S„.
п-> <х>
Если оба предела совпадают, т. е. lim S„= lim Sn = S, то
п -> оо a -* oo
число S, выраженное в соответствующих квадратных единицах,
и принимают за площадь фигуры F.
Определенная таким образом площадь удовлетворяет всем усло-
виям 1, 2, 3, сформулированным в начале параграфа.
Очевидно, что при измерении площади фигуры F ее можно
сравнивать не только с квадратом, или с фигурами, составленными
из квадратов, но также и с любыми фигурами, площади которых
нам известны. После того, как нам стала известна площадь мно-
гоугольников, последние можно брать в качестве входящих и вы-
ходящих фигур. Например, при вычислении площади круга мы
в качестве входящих фигур берем правильные вписанные много-
угольники, а в качестве выходящих — правильные описанные мно-
гоугольники. Площадь круга и определяется как общий предел их
площадей при неограниченном удвоении числа сторон этих много-
угольников.
§ 5. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произведению длин
двух его смежных сторон (двух измерений), т. е.
S = a-b. (12)
Доказательство. Случай 1. Пусть а и b рациональные:
а = ~, Ъ — --. Покроем прямоугольник сеткой из квадратов со
ч ч
стороной равной — и такой, что две взаимно перпендикулярные
прямые сетки совпадают с двумя смежными сторонами прямоуголь-
ника. Очевидно, что в прямоугольнике полностью уложится р-г
таких квадратов. Так как площадь каждого квадрата равна ед2,
то площадь всего прямоугольника равна произведению
р-г ~ = — = а-Ь (ед2).
r q2 q q v '
410
Случай 2. Одно или оба числа а и b иррациональны, Пусть
а„ и ал—десятичные приближения числа а по недостатку и избытку
с точностью соответственно, а Рл и Р„ — аналогичные прибли-
жения числа Ь. На сторонах АВ и AD данного прямоугольника
отложим отрезки ДВ2 = ал, ДВ2 = ал, ДР^Рд, ДО2 = рл и построим
прямоугольники ДВ1С1О1 и AB2C2D2. Так как измерения этих
прямоугольников рациональны, то по случаю 1
пл. ДВ/^ = авР„ и пл. ДВ2С2В2 = ал-рл.
Очевидно, далее, что АВ^С^ содержится в ABCD, т. е. является
входящей фигурой, a ABfiJ^ содержит ABCD и, следовательно,
является выходящей фигурой.
Таким образом, 5л = ал-Р„; 5„ = а„-Р„. Так как
lim Sn = limал-Р„ — ab
п-+<х>
и
lim = lim ап-рп = ай,
то согласно определению площади (§ 4) имеем
5 = пл. ABCD = ab,
Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения
его основания на высоту:
S = ^a-h. (13)
Доказательство. Допустим для простоты, что углы В и С —
острые. Дополним данный треугольник до прямоугольника BCDE
о основанием а и высотой й, как это указано на рис. 141. Прямо-
угольник BCDE составлен из четырех треугольников BEA, BAF,
FAC и CAD, причем /\J3EA = /\BAF, a^FAC = /\CAD. Согласно
свойствам 3 и 1
пл. BCDE = пл. В£А4-пл. ВД£-|-пл. £АС-|-пл. CAD —
= 2 пл. BAF + 2 пл. FAC = 2 (пл. BAF + пл. £АС) = 2 пл. АВС,
Следовательно,
пл.ДВДС=3=4' пл. BCDE = ±-a-h,
что и требовалось доказать.
Предоставляем читателю получить доказательство в случае, ко-
гда А или С —тупей угол.
Используя теорему 2 и соотношения между элементами тре-
угольника, получим еще несколько формул для вычисления его
площади.
411
I. Площадь треугольника равна произведению двух его сторон
на синус угла, заключенного между ними:
S = y а-5-sinC. (14)
Доказательство. Рассмотрим три возможных случая.
1. Угол С—острый. Опустив из вершины В высоту BD = h,
рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (рис. 142). Имеем
BD = h = a-s'mC.
Тогда
пл. Л АВС = у b-h = ^ a -b-sin С.
2. Угол С—тупой (рис. 143). Опустив из вершины В высоту
BD = h на продолжение стороны АС, рассмотрим прямоугольный
треугольник CBD. Имеем
BD =h = a- sin (180°—С) = a sin С.
Тогда
пл. ДАВС = ^b-h = ±-a-b-sinC.
3. Угол С — прямой. Тогда sinC=l и й = а,
пл. ДЛВС = уй-Л = у а-6-sinC.
II. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра
на радиус вписанной окружности:
S = p-r, (15)
где
р = -^(а + Ь + с).
Доказательство. Пусть О—центр вписанной в треуголь-
ник АВС окружности, г — ее радиус (рис. 144). Соединив центр О
с вершинами А, В и С, получим треугольники АОС, ВОС и AQB с
высотами, равными г. Согласно свойству 3 площадей
пл. Л АВС = пл. ДЛОС +пл. Л АОВ + пл. ДВОС =
= уй’г + 4с’г +^a-r = ^(a + b + c)=p-r.
412
III. Площадь треугольника равна произведению всех его сторон,
деленному на учетверенный радиус описанной окружности, т. е.
5 = $-. (16)
Доказательство. Согласно формуле (14)
пл. Л ЛВС = уa-b-sinC.
Исключим из последнего равенства sin С. Так как
smC = ^,
ТО
пл. ДЛВС = -^.
Теорема 3 (формула Герона). Площадь треугольника со сторо-
нами a, Ь, си полупериметром р равна выражению
S = Vp (р—а) (р—Ь) (р—с). (17)
Доказательство. Согласно формуле (15) имеем
5 = пл. АВС — р-г.
Выражая г через стороны треугольника а, b и с, получаем (см.
формулу (11))
г= (р—а) (Р—Ь) (р—с)
Тогда
S = p-r = /p (Р—а) (р — Ь) (р—с),
что и требовалось доказать.
Замечание. Формулы (15) и (16) могут быть использованы
для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей,
если известны стороны треугольника. (Тогда его площадь можно
вычислить по формуле Герона.)
413
§ 6. ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА И МНОГОУГОЛЬНИКА
Теорема 1. Площадь любого четырехугольника (рис. 145) равна
половине произведения его диагоналей на синус угла, заключенного
между ними, т. е.
S — пл. ABCD AC-BD-sma.. (18)
Доказательство. Четырехугольник ABCD диагоналями
АС и BD разбивается на четыре треугольника АОВ, ВОС, COD и
AOD, причем
пл. ЛОВ = уЛО-ОВ-sin а, пл. ВОС = 1 ВО • СО • sin (180°—a) =
= -^-ВО-СО-sinа, пл. COD = — СО-DO-sina
И
пл. AOD =1 AO-DO-sin (180°—a) =± AO -DO-sin a.
Следовательно,
пл. ABCD = 1 sin a [(ЛО + CO) BO + DO (AO + CO)] =
= 1 sin a (AO + CO) (BO + DO).
Замечая, что АО -]-CO = AC и ВО + DO = ВС, получаем
пл. ABCD = ~ АС• BD • sin a.
Следствие. Площадь ромба равна половине произведения его
диагоналей.
Доказательство вытекает из формулы (18), если учесть, что
угол a = 90°, т. е. sina=l.
Теорема 2. Площадь параллелограмма равна произведению его
основания на высоту.
Доказательство. Диагональ BD (рис. 146) делит данный
параллелограмм с основанием а и высотой h на два равных тре-
угольника ABD и DBC. Следовательно,
пл. ABCD = 2 пл. ABD = 2-±-AB-h = a-h.
414
Следствие. Площадь параллелограмма равна произведению
двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними.
Доказательство следствия вытекает из равенства
пл. ABCD = 2 пл. ABD,
где
пл. ABD = AD • АВ -sin А.
Тогда
пл. ABCD = AD-АВ-sin А.
Теорема 3. Площадь трапеции равна произведению ее средней
линии на высоту, т. е.
5 = пл. ABCD = —^CDh. (19)
Доказательство. Проведем из вершины С отрезок СЕ, па-
раллельный стороне AD (рис. 147). Он разобьет трапецию на парал-
лелограмм AECD и треугольник ЕСВ с высотами, равными h. Сле
Довательно,
пл. ABCD = пл. AECD + пл. ECB = AE-h + ^^.
Но АЕ = МК, BE = 2KN, где MN—средняя линия трапеции, а
KN—средняя линия треугольника. Поэтому
пл. ABCD = (MK + KN)h = MN-h^^^-h.
Для определения площади произвольного многоугольника, на-
пример ABCDEF (рис. 148), его разбивают на треугольники диаго-
налями, проведенными из одной вершины. Подсчитывая площади
каждого из получившихся треугольников и суммируя их, получаем
площадь многоугольника
пл. ABCDEF= пл. АВС + пл. ACD-\- пл. ДДЕ-^-пл. AEF.
Если многоугольник правильный, то его целесообразно делить
на треугольники другим способом, как это видно из доказатель-
ства следующей теоремы.
415
Теорема 4. Площадь правильного п-угольника равна его полупе-
риметру рп, умноженному на радиус вписанной окружности (рис. 149):
5 = пл. ABCDEF = рп-г. (20)
Доказательство. Соединив центр О многоугольника со
всеми его вершинами, получим п равных треугольников АОВ,
ВОС, ..., где п — число сторон данного многоугольника. Высоты
этих треугольников равны радиусу вписанной окружности, поэтому
пл. ABCDEF = п>^ АВ-г9
1 Л D
где рп = п--^-АВ— полупериметр.
Следствие. Площадь правильного многоугольника равна поло-
вине произведения числа сторон многоугольника на квадрат радиуса
. 360°
описанной окружности ина sin:
5 = пл. ABCDEF = ^F?sm — . (21)
Доказательство. Угол АОВ равен (рис. 149). Поэтому
пл. АОВ = ltf2sin —
2 х п
И
пл. ABCDEF =1 R2 sin —.
2 п
§ 7. ЗАДАЧИ
Помимо выведенных в этой главе соотношений между основ-
ными элементами треугольника полезно знать или уметь вывести
формулы, выражающие высоты, медианы и биссектрисы треуголь-
ника через его стороны и, наоборот, стороны через медианы и
высоты.
В следующих задачах предлагается вывод таких формул.
Задача 1. В треугольнике АВС даны три стороны а, b и с.
Найти его медианы та, ть и тс* (рис. 150).
Решение. Для вычисления медианы та = AD продолжим ее
на отрезок DE = AD и точку Е соединим с вершинами В и С. Полу-
ченный четырехугольник АВЕС есть параллелограмм, ибо диаго-
нали АЕ и ВС делятся в точке пересечения пополам. Так как сумма
квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
сторон, т. е. 2с2 4-262 = а2 + (2та)2, то отсюда следует, что
. та = К2с2 + 2&2—а2.
* Всюду в дальнейшем индекс а означает, что соответствующая линия про-
ведена из вершины А и т. д.
416
Аналогично получаем, что
ть = уК2а2 + 2с2 — Ь2 и тс = -^-\г2а2-\-2Ь2—с2.
Задача 2. В треугольнике АВС даны его медианы та, ть и тс.
Найти его стороны а, b и с.
Решение. Для вычисления стороны а продолжим отрезок ED
(рис. 151) на расстояние DF = ED = ^ и точку F соединим с верши-
нами В и С. Полученный четырехугольник BFCE есть параллело-
Рис. 150
2 2
грамм, в котором стороны BE — FC = -^-mb, BF = ЕС = -~тс, диа-
О о
2
гонали ВС = а и EF = -^та. Поэтому
4 4 4
2 • -g mf + 2 -g ml = а2 + /и2,
откуда следует, что
а = 4 K2/n| + 2ml—ml.
Аналогично находим, что
Ь = ^]/2ml + 2m2c—ml и с = у ]/r2ml + 2ml — т2с.
Задача 3. В треугольнике АВС даны три стороны а, b и с.
Найти его высоты ha, hb и hc.
Решение. Пусть S — площадь треугольника АВС. Тогда
S = ^c-hc и S = )/р(р —а)(р —6)(р—с). Из этих равенств сле-
дует, что
^c-hc = Vp{p—a} (p — b)(p—c) и /гс = -| /р (р—а) (р—Ь)(р—с).
Аналогично находим, что
ha=^Vp(p—a) (р — Ь)(р—с) и hb = ^-Vp(p—a) (p — b) (р-с)-.
Задача 4. В треугольнике АВС даны его высоты hb и hc.
Найти его стороны а, b и с.
14 № 407 ’ 417
Решение. Пусть S — площадь треугольника АВС, Тогда
S = у a-ha = -±- b’hb = ^-c-hc.
Следовательно,
2S 1 2S 2S
а = -г-, Ь=-г- и с = г—
ha hb hc
С другой стороны, по формуле Терона
S=Vp{p—а) (р—b) (р—с),
где
p-T(a+b+c)=s(_L+_L+_Lj>
p-a = l(-a + & + c) = s(-T + ^_ + ^t
p-b = -^a-b + C)^S^-L + l.),
p-c=±(0+i_C)=s(i+i_ij.
Следовательно,
Рис. 152
c=e2 -1/ /1+1+1\ (_ JL+1+1 \ (J____Lj-И fl , _i 1\
V \,la hb~'~ hc) \ ha hb' hc)\ha hb' hcJ \/i« hb hc) ’
t. e.
S = 1 = 1 .
-i/71+l+lW_l+l+iyi_l _i_ 1У1+1_Д q
r \ ha hb hc J \ ha hb hc J у h& hb hc j у hb J
Теперь, используя равенства (*), находим a, b
и с:
2 2 2
a = Z, Ь = т-, C=T--.
ha*q hb‘q hc-q
Задача 5. Доказать, что квадрат биссектрисы
равен произведению двух прилежащих сторон
треугольника без произведения отрезков, на кото-
рые она делит противолежащую сторону (рис. 152),
т. е.
12с = ab —
Решение. Рассмотрим треугольники ACD и DCB. Согласно
теореме косинусов имеем
bl = b2 +12 — 2ЫС • cos a,
(j
a? = a24-/c — 2a-lc-cosa, где a = —.
418
Отсюда следует, что
ь2 + 1с—bi а2-\-12—cii
2b ~ 2а
т. е.
I2 (Ь — a) =ab(b—а) — (ab{— а[Ь). (*)
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника
-т- = -г-, т. е. ао. =а.Ъ.
b bi 11
Тогда
abJ—а[Ь = а1Ь1 -Ь — а1Ь1-а = (Ь—а)
и равенство (*) перепишется в виде
I2 (Ь—d) = ab(b—а)—(Ь—а).
Таким образом,
I2 = ab—а1Ь1
с с2
при условии, что Ь^а. Если Ь = а, то b1 = a1 = -^-, 12 = а2 — у ,
что согласуется с доказываемым равенством, если положить в нем
а = Ь.
Задача 6. В треугольнике АВС даны стороны а, b и с. Найти
его биссектрисы 1а, 1Ь и 1С.
Решение. Используя результат задачи 5, имеем
l2 = ab—афц или l2 = ab—а1(с —
Выразим
находим,
через стороны треугольника. Из равенства у == ~~
ас m
что а. = —г-? . Тогда
1 а -\-Ь
l^ab_^fc_^=ab^a+b22-ci,
с a+b\ a+bj (« + Ч2
т. е.
j __ V~ab (а + Ь-\-с) (а^Ь—с)
с~ а + b *
Аналогично находим, что
. Vcb (a + b+с) (Ь + с — а) < ас (а + Ь-\-с) (а—Ь+с)
z« - Г+7 и 1» “ ^+~с ’
При решении многих задач полезно использовать некоторые
дополнительные соотношения. Они легко получаются из формул
(1) —(20).
Приведем примеры таких дополнительных соотношений. Реко-
мендуем читателю запомнить их вывод, так как мы будем на них
ссылаться при решении последующих задач.
Задача 7. Найти площадь треугольника, если известны его сто-
рона и два прилежащих к ней угла.
14*
419
Решение. Пусть известная сторона равна а, прилежащие
углы В и С. Согласно формуле (14) имеем
пл. АВС =^а'С-ьтВ.
С другой стороны, по теореме синусов
откуда с
а-sin С
—-----у- И
sin А
а ____ с
sin A sin С ’
ПЛ. АВС
a2 sin В-sin С
2 sin (В + С) ’
(22)
Задача 8. Доказать, что в любом треугольнике радиус вписан-
ной окружности равен произведению любой стороны на синусы приле-
жащих половинных углов, деленному
на косинус противолежащего половин-
ного угла, т. е.
уГ \ . В . С
/ /л \ asm — .Sin —
\ г=-----------------Ч-2-- (23)
х\ cos
--------------U—Af
В Решение. Пусть О — центр впи-
Рис |53 санной окружности, г—ее радиус, ДО,
ВО и СО—биссектрисы углов А, В и С
(рис. 153). Из прямоугольных треугольников BOD и DOC имеем
BD = r-ctgy, DC = rctgy.
/ В С ' r’sin
a = Н ctg у + ctg у
Складывая эти равенства и замечая, что BD + DC = а, получаем
А
rcosT
.В .С •
sln-2,S‘nT
.В .С
s,n2--sin-2
Таким образом,
. В . с
a-sin у • sin у
А
c°sy
Задача 9. Доказать, что в любом треугольнике
. А
ШПу
2У~Ьс
(24)
ть т я •А - /1 — cos А
Решение. Имеем sin-y= у ------—
стороны треугольника, получаем
Выражая cos Л через
cos А
_ Ь2-\-с2—а*
~ 2Ьс
420
откуда
. А
siny
-> /a2 — (b—c)2
V ±Ьс
а
2V"bc'
с
Рис. 154
Итак, sin -5-^—7=, причем равенство достигается при Ь = с, т. е.
2 У Ьс
в случае равнобедренного треугольника.
Задача 10. Доказать, что площадь вписанного четырехугольника
равна (p—a)(p—b)(p—c)(p—d), где a, b, с, d—стороны четы-
рехугольника, а 2р—его периметр.
Решение. Площадь четырехугольника ABCD
равна сумме площадей треугольников АВС и
ADC\ здесь угол В обозначен через а и тогда
угол £>=180°—а (рис. 154). Согласно формуле
(14) находим
5ЛВСО = у а-Ь-sin а-|-Т cd sin (180° — а) =
= -^-(ab-)-cd) sin а (*)
(обозначения ясны из рис. 154). Выразим sin а через стороны а, Ь,
с, d. По теореме косинусов из треугольников АВС и ADC имеем
АС2 = а2 + Ь2 — 2ab cos а,
А С2 = с2 + d2 + 2cd cos а.
Сравнивая правые части этих равенств, получаем
а2 4- Ь2 — 2аЬ • cos а = с2 + d2 + 2cd cos • а,
cosa =
02_|_£2—c2 — J2
2 (cd + ab)
1^4 (cd-^-ab)2 — (a2-{-b2 — c2 — d2)2
2 (cd-\-ab)
Подставляя найденное значение sin а в равенство (*), находим
пл. ABCD = ±y4(cd + ab)2 — (a2 + b2 —с2—d2)2. (**)
Преобразуем подкоренное выражение, которое является разностью
квадратов. Имеем
4 (cd + ab)2—(а2 + b2—с2—d2)2 = (2cd + 2ab + а2 + b2—с2—d2) х
х (2cd-\-2ab—а2—52 4-с2-J-d2) = [(a-|-ft)2 — (с—d2)] x
X [(c4-d)2 — (a—ft)2] =^(a-]-b + c—d) (a + b—c-]-d)x
x(cA-d-{-a—b)(cA-d—a -rb).
Замечая, что
a-]-b-\-c—d = a-]-b-\-cA-d—2d = 2 (p—d)
и аналогично
aJrb—c + d = 2(p—c)9 a—b-}-c-]-d = 2(p—b), c-\-d—a-\-b = 2 (p—a)
421
и возвращаясь к равенству (**), окончательно получаем
пл. ABCD = ]f (р — а) (р — b) (р — с) (р —d). (25)
В частности, заметим, что если в четырехугольник ABCD можно
также и вписать окружность, т. е.
а 4- с = b + d,
то формула (25) упрощается. В этом случае
р — а =—!—±!------------------а = а-\-с—а = с,
p — b = a + b^c+d—b = d + b—b = d,
а + Ь 4-с+d
р—с = —I—±—I с = с-\-а—с = а,
p-d = a+b+c+d-d = b-\-d-d = b
И
S = V abed.
Приведем несколько задач, при решении которых используют-
ся результаты задач 7—10.
Задача 1L Доказать, что в любом треугольнике отношение ра-
диуса вписанной к радиусу описанной окружности не п-ревосхо-
1
ДИТ у.
Решение. Согласно формулам (23) и (1) имеем
.в . с
где г — радиус вписанной, a R — радиус описанной окружности. Сле-
довательно,
о . в . с . л
г ^smysmysmA А в с
R ------------А-------= 4 Sin т . sin т . sin т.
a.c.sT
Принимая во внимание неравенство (24), окончательно получаем
г < 4 а b с ____________________________ 1
4 2 V'bc ’ 2 Vab ’ 2 ~ ’
тл г I
Итак, причем равенство достигается в случае, когда
а = Ь = с.
Задача 12$ Определить углы прямоугольного треугольника, в
котором отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окруж-
ности имеет наибольшее значение.
422
Решение. Вновь используя формулу (23), имеем
. А . В
c-sin —-sin у
г = С ’
C0ST
где С = 90° исоэу = —Поэтому учитывая, что/? = у, получаем
г 4 . А . В 2 Г А—В Д4-В1
^ = 7Т sin Т sin Т = УТ Lcos “2— cos | =
= К2 Feos —cos
А — В ]<21
COS-2
2
Отсюда ясно, что отношение -у принимает наибольшее значение,когда
Д______Q
cos—у =1, что возможно при Л = В = 45°. При этом отношение
а \ Z /
Задача 13, Доказать, что в любом треугольнике
* ^2 ’ cibc
~Г
где г — радиус вписанной окружности; d2 и d3 — расстояния от
центра этой окружности до вершин треуголь-
ника; а, b и с—стороны треугольника и р —
его полупериметр.
Р е ш е н и е. Из центраО вписанной окруж-
ности опустим перпендикуляры OD = OF =
= ОЕ = г на стороны треугольника (рис.
155) и рассмотрим образовавшиеся при этом
построении треугольники AOD„ ОЕВ и
COF. В каждом из них выразим отрезки
d2 и d3 через радиус г. Имеем
sin-Tj- sin— sin-vj-
Перемножая эти равенства, получаем
г3
= —4---------Г~в------с * О
sin у • sin у • sin у
С другой стороны, согласно формуле (23)
. В . С . . А . С . А . В
a sin у • sin у Ь • sin у • sin у с-sin у. sin у
г =----------л-----,г =-----------я----- И Г =------------С-----
cos cos — cos —
423
и
Д D
abcsm2 -y • sin2 • sin2 —
-------------------—------------
' ~ А В C
COS -g- - COS -g- • cos -g-
Тогда из равенств (*) и (**) следует, что
• d2 d3 = abc • tg • tg • tg y-.
* * *
Выражая tgy-, tg-y и tg-y по формуле (10), находим, что
bl f„ 6 fo- -\f (P~b)(p—c) (p—a) (p~)
tg 2 'lg 2 Xg 2 — V p(p—a) V p(p—b) X
1 /~(p—a) (p—b) _ / p(p—a)(p—b) (р—ё) = jS . _1_ = r_
У p(p—c) У p* ppp
[мы использовали формулу Герона и формулу (15)]. Возвращаясь
к равенству (***) и учитывая последний результат, получаем
, , , abc-г
а1*а2^ а3 —,
или
abc
Задача 14. В равнобочной трапеции верхнее основание в два
и диагональ делит угол при нижнем осно-
вании пополам. Найти стороны трапеции,
раза меньше нижнего
В»---зная, что ее площадь равна S.
/ Jx \ Решение. Равнобочную трапецию
/ / \ можно вписать в окружность, следователь-
/осХ \ но, для ее площади справедлива формула
\ (25).
Л а Обозначим основание ВС через %, а рав-
Рис. 156 ные углы CAD и САВ через а (рис. 156).
Так как Z_DAC = ^ ВСА=а, то треуголь-
ник АВС равнобедренный и АВ = ВС = х. Тогда
к 1
2р = AD-\-2AB + ВС = 5х, р = ^х9 р — AD = -^x9
p — AB = p — BC = p — CD = ^
2 Vs
_3х2 /з"
~ 4
Следовательно,
X = ^S, =
АВ = ВС = CD
Рассмотрим несколько задач на решение треугольников, когда
последние заданы не основными элементами, а величинами, зави-
сящими от них, или другими элементами.
424
Будем считать задачу этого типа решенной, если она сведена к
одному из основных случаев.
Задача 15. В треугольнике ЛВС даны угол Л, противолежащая
ему сторона а и отношение двух других сторон у = Найти
Ь, с и угол В.
Ь с
Решение. 1. Из теоремы синусов sin & = следует, что
sin в_,
siiTC-
Таким образом, для определения углов треугольника мы имеем
систему двух уравнений
J sin B = &-sinC,
1 В + С=180° —Д,
решая которую, находим
sin В = k sin (Л + В),
sin В = k sin А • cos B-\-k cos A • sin B,
откуда
или
, D k sin A
tgB = z—7—я ,
b 1—fccosA
. D k sin A
Sin В = —======
—2k cos A-j-k2
(1—2Acos A -f-А2 > 0 для любых Лу=0 и k).
2. Вновь используя теорему синусов, находим b и с\
* a sin В b
Ь = 1йГА и с=¥>
или
, ak sin A ak
b = -7^ ; ----- = r ---- ,
Y1 — 26 cos A + &2- sin A yi—2&cosX + &2
_________a_______
]/" 1 — 2k cos A 4-&2
Задача 16. В прямоугольном треугольнике даны высота h и бис-
сектриса Z, проведенные из вершины прямо-
го угла. Найти стороны и углы треуголь-
ника.
Решение. Пусть СЕ—высота, CD —
биссектриса и угол DCE = a (рис. 157). Из
прямоугольного треугольника ECD (Е =90°)
находим угол а:
СЕ h
cosa = CD = T‘
В '
Рис. 157
Теперь нам известны углы ВСЕ = ^—а и АСЕ = ^ + а, т. е. в
прямоугольных треугольниках СВЕ и АСЕ известны по два основ-
425
ных элемента. Решая эти треугольники, находим
ВС — СЕ —_______________—_______— ^hl
c0Sf2L__a^ V 2 (cos a + sin a) Л+l^Z2—A2*
\ 4 J
AC _ CE _________________2h_________ У2 hl
cos f Л I a^ У 2 (cos a — sin a) h— У I2 — h?
\ 4 ~r J
^заметим, что a<-~-, т. e. cosa > sin a; поэтому /i > ]/^2—h2^ ,
AB2 = AC2 + BC2 = 2h2l2 Г(--t= Y + (------------/--Y~l =
1 \\h—Vl2—h2 J V*+//2—h2J J
_ 4Л2/4 AR — 2hl2
~ (2h2—l2)2 ’ AiS ~ 2h2—l2 •
Задача 17. В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла В,
известны стороны АВ = с, АС = Ь. Определить сторону ВС и углы
треугольника.
Решение. Обозначая углы В и А через а и 2a, а сторону ВС
через а, согласно теореме синусов имеем
а ___ ь ____ с
sin 2a sin a sin 3a *
Отсюда следует, что
a sin 2a
-r = ~.--, или a = 2fe-cosa
b sin a ’
И
b sin a b 1 9 b + c
— = или — = -.---------9----г, t. e. cos2a = —rr-.
c sin 3a’ . c 4 cos2 a—1 4b
Подставляя найденное значение cosa в формулу, определяющую a,
получаем
a = 2b-cosa = 2b j/^ = уь (&4-с).
Угол В находим из равенства
cos В = cos a = 1/"(a < 90°),
t. e.
В = arccos ]/"и A = 2 arccos j/""#
Задача имеет решение, если с < 3b.
Задача 18. В треугольнике АВС даны площадь S, радиус впи-
санной окружности г и угол А. Найти стороны и углы треуголь-
ника.
-Решение. Пусть О — центр вписанной окружности, 0£>_[_ДС,
причем OD = r (рис. 158).
426
1. Из треугольника AOD имеем
. A 0D г ± А
= = или P-« = r-ctg^-
(AD BE ЕС = р, или AD -]-а = р). С другой стороны, из формулы
S = p-r следует, что
S
Р = -7
Поэтому
д
5-r2ctgA
х A S х А
a = p—r ctgT = -—r-ctg-y
2. Найдем углы треугольника. Из формулы (22)
о _ a2-sin В-sin С
д — 2 sin А
имеем
г»о • л i 9 Г в—с
2S • sin А = Ya cos ~2------cos
или
4S sin А = a2 cos—2 С—a2 sin -у.
_ в—с
Решая это уравнение относительно cos—2—, получаем
д
_ „ 4S-sin 44-а2 sin —
D — С Z
COS -2
а2
т. е.
4
4S-sin Л4-а2 sin —
В — С — 2 arccos
а2
Так как В-|-С=180о — А, то окончательно находим
А
л 4S-sin 4 4-а2 sin —
, D л А . 2
В = ------2" + arccos
а2
И
А
4S-sin А + «2 sin —
arccos
Р л А
° “ ”2--2---aL -----------а2 ’
Теперь в треугольнике АВС известны сторона и углы, т. е. задача
сведена к основному случаю решения треугольника. Задача имеет
единственное решение, если S > г2 ctg-^-.
При вычислении площадей из нескольких выведенных ранее фор-
мул нужно выбрать ту, которая в условиях данной задачи приве-
дет к более короткому решению.
427
Задача 19. Непараллельные стороны трапеции перпендикулярны
друг к другу. Одна из них, равная а, составляет с диагональю
угол а, а другая наклонена под тем же углом к основанию. Вычис-
лить площадь трапеции (рис. 159).
Решение. Продолжим боковые стороны до пересечения в
точке О. Так как = 90°, то
z OAD = 90°—а, / CAD = 90°—2а = / АСВ,
/ЛСО = 90° + а и
Из треугольника АВС, в котором
/_АВС = 90° + а.
известна сторона АВ=а и все
углы, находим ЛС:
АС _ АВ
sin (90° +а) ~ sin (90° — 2а) ’
T. е.
__a cos а
cos 2а
Мы имеем все данные для
д вычисления площадей треу-
гольников АВС и ACD [см.
формулу (22)]. Поэтому
пл. ABCD = пл. АВС + пл. = 1 ДВ2-sin ”'.У°'+а) +
1 2 sin (90 —2а) *
. 1 др2 sin (90°—2g)-sin (90с4-а) _ a2-sin g-cos а .
"*2 sin а 2 cos 2а
, a2 cos3 а a2 cos а ( . . cos2 а \ a2 ctg а
1 2 cos 2а-sin а 2 cos2а \ J sin а J 2 cos2а
Задача 20. Углы треугольника, расположенные в порядке воз-
растания, образуют арифметическую прогрессию с разностью ср.
Найти площадь треугольника, если его периметр равен 2р.
Решение. Обозначая углы треугольника Л, В и С через а,
а + ф иа + 2ф, находим, что 3 (а + <р) = 180°, т. е. В = а4-ф=60°. Пло-
щадь треугольника будем искать по формуле S = p-r, где радиус
вписанной окружности найдем из равенства
, В т
а сторону b—по теореме синусов:
а ___ b ________ с
sin а 51п(а + ф) 5т(а-|-2ф) *
По свойству равных отношений имеем
а —J— b с b
sin а + sin (а + ф) + sin (а + 2ф) sin (а ф) ’
или
______2р_________ Ъ
(2 cos <р+1) Хр
428
откуда
b =_______2-Р_____
2 cos ф+1
Тогда
& = р(2с08ф-1) г = ( b)t В р(2сО8ф-1)
2 cos Ф +1 s 2 /з (2с08ф + 1)
S = p-r = -^-l2cos<1)~1) .
/З (2 cos ф+ 1)
Задача имеет решение при 0 < ф < 60° (тогда 2созф — 1 > 0).
Задача 21. Найти площадь треугольника, в котором заданы
медиана, проведенная из вершины С, и два прилежащих угла
А = а, В = р.
Решение. Задача будет решена, если мы найдем хотя бы
одну сторону, например АВ=с. Тогда
л АВ2-sin A-sin В c2-sina-sin6 /sfc4
ПЛ- ----------Ж--------= 2sin(a + pT- < >
Чтобы найти сторону АВ, выразим через нее стороны АС и ВС и
воспользуемся соотношением между тремя сторонами треугольни-
ка и медианой. Имеем
др _ c-sin |3 т c-sina .
“sin (а + Р)’ “sin (а + Р)’
2(АО + СВ2) —ЛВ2 = 4т*, или 2с*~С"=
Решая последнее уравнение относительно с, находим
4rria sin2 (а + Р)
2 sin2a-|-2 sin2 р —sin2 (а + Р)
Используя формулу (*), получаем
д в р 2/ng-sin (а + Р) sin а»sin р
ПЛ’ 2 sin2 а + 2 sin2 р — sin2(a + P)
Предоставляем читателю убедиться, что
задача имеет решение для любых а и ₽ при
условии, что а + р< 180°.
с
Рис. 160
Задача 22. В равнобедренном треугольнике угол при вершине
равен 2а. Прямая, проходящая через середину высоты и образую-
щая с продолжением основания угол р, делит треугольник на две
части. Найти отношение площадей этих частей.
Решение. Выразим площади треугольника DCE и четырех-
угольника ADEB через высоту h и углы аир (рис. 160). Легко
подсчитать, что
£CDF = £ 1 =90°—(а + Р), 2/DFC = Z2 = 90° + P,
ZCF£ = Z3 = 90°—р и 2C£/7=Z4 = 90° —(а—р).
429
Для подсчета площади треугольника воспользуемся формулой (22).
1 г'* т\ гт с* туг'* Z7 । /^* г?!? i ( ^'\2/< sin a-sin / 2
1. пл. CDE = Sr = пл. DCF + пл. CFE = -^- Hr -----:—г-~=—р
1 J 2 \ 2 J \ sin £ 1 ‘
. sin a-sin / 3\ _ h2 f sin a-sin (90° +13) . sin a-sin (90°—p) \ _
* sin 4 J ~ 8 sin (90°—a —(3) * sin (90°—a + (3) ) ~~
__ h2 sin a-cos a-cos2 p
— 4 cos (a + P) cos (a —P) ‘
2. пл. ADEB =S2 = пл. ABC—пл. DCE = пл. ABC—S±=
= AK-CK—Sx = h*Ag a—Sx.
Следовательно,
S2 h2 tg a । 4 cos (a + p) cos (ct — P)tga ।
Sx Sx sin a-cos a-cos2 p —
4 cos2 a-cos2 p —4 sin2 a-sin2 p . o . . 9 . , Q
--------------------------- -1 = 3 —4tg2a-tg26.
cos2 a-cos2 p & & 1
При этом 3 — 4tg2atg2|3>0, так как tga = ^, tgfr=2LK
. . n ak 1 \
и tga.tgp = w<T J
При решении целого ряда геометрических задач, условия кото-
рых как будто бы не содержат ничего, связанного с тригономет-
рией, полезно применять аппарат тригонометрии. С этой целью вво-
дят вспомогательные углы, которые затем из решения исключаются.
Рассмотрим несколько таких задач.
Задача 23. Доказать, что в равнобедренном треугольнике сумма
расстояний от любой точки основания до боковых сторон есть
величина постоянная для данного треугольника.
Решение. Пусть М — произвольная точка основания, MD и
MF — ее расстояния до боковых сторон (рис. 161). Введем угол
Рис. 162
а = ^ ВАС = ^/ВСА. Тогда из прямоугольных треугольников ADM
(MD±AB) и CMF(MF±BC) находим
Z)7H = XAl-sina, MF = MC- sin a
и
DM + MF = AM • sin a + MC • sin a = (AM + MC) • sin a = AC • sin a,
а это есть величина, постоянная для данного треугольника.
Задача 24. Доказать,. что в прямоугольном треугольнике с пря-
мым углом С биссектрисы, проведенные из вершин А и В, связаны
с его сторонами соотношением
ala Кс + b = Ыь Ус + а.
430
Решение. Введем углы а = / САЕ — ^/ЕАВ и [3 = / CBD =
= / ABD. Выразим стороны la = АЕ и 1Ь = BD через катеты аиЬ и
углы аир (рис. 162). Из треугольников ЛЕС и BCD находим
/ I
а cos а ’ 6 cos Р *
Следовательно,
a/acosa = &/bcosp. (*)
Так как
cos Р , < 1+COS2P =1 / 1 + Т _ /7+Т
cosa V 1 +cos 2a 1/ b ~ V c+b ’
F i+y
то согласно равенству (*) имеем
ala = blb^^= , или alaVс-\-Ь = ЫьУс-[-а.
Задача 25. Доказать, что расстояния от любой точки окружно-
сти до вершин правильного вписанного в нее треугольника удов-
летворяют соотношению
МА = МВ + ТИС,
где М—точка окружности, а А — наиболее удаленная от точки М
вершина (рис. 163).
Решение. Обозначим через а равные углы МВС и МАС
(вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МпС).
А
Рис. 163 Рис. 164
Рассмотрим треугольники АВМ и МАС, в которых ^АВМ =
= 180°—^МСА. Согласно теореме синусов имеем
AM _ ВМ AM _ ВМ
sin^ABM ~sm£BAM ’ ИЛИ sin (60° + a) “ sin (60°—a)
И
AM МС AM МС
sin (180°— / ABM) ~ sin £MAC ’ ИЛИ sin(60°+a) “ sin a ’
Тогда
AM _ ВМ _ MC
sin (60°4-a) ~ sin (60°—a) — sin a
431
и по свойству равных отношений отсюда следует, что
AM __ ' ВМ + МС
sin (60°4-а) ~ sin (60°—a) + sina ‘ '
Так как sin (60*—a) 4-sin а = 2 sin 30°-cos (30° — а) = sin (60° 4-а)» то
из равенства (*) вытекает искомое, т. е.
АМ = ВМ + МС.
Задача 26. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции
равна удвоенному произведению ее оснований, сложенному с сум-
мой квадратов боковых сторон, т. е.
AC2 + BD2 = 2ABCD + ВС2 4- AD2.
Решение. Обозначим АВ = а, BC = b, CD = c, DA=d, AC = f
и DB = q (рис. 164). Рассмотрим треугольники ADB и АСВ. Со-
гласно теореме косинусов имеем
DB2 = АВ2 4- AD2 — 2АВ-AD-cos А
и
АС2 = А В2 4- ВС2 — 2 А В - ВС - cos В,
или в наших обозначениях
q2=a2-]-d2— 2ad-c,osA и f2 = a2-}-b2 — 2ab-cosB.
Складывая эти равенства, получаем
/2 4-q2 = 2а24-b2 4-d2—2а (dcos A 4-fecosB). (*)
Из вершины С проведем прямую CF||AD. В образовавшемся тре-
угольнике FCB стороны FB — a—с, CF = d, СВ = Ь. Высота СВ де-
лит основание на отрезки FE = dcos А и BE = bcos В.
Следовательно, FB = FE + BE = dcos А 4-b cos В, или а—с =
= dcos A + fecosB. Таким образом, выражение, стоящее в скобках
в в равенстве (*), есть а—с. Поэтому имеем
f2 4- ?2 = 2а2 4-Ь2 4-d2 — 2а (а—с),
или
LA f2 + q2 = b2 4- d2 4- 2ac,
/ Ww \ чт0 и требовалось доказать.
A Л c Заметим, что используя методы тригоно-
Рис. 165 метрии, можно упростить доказательство не-
которых теорем, рассматриваемых в курсе гео-
метрии. Приведем, например, доказательство теоремы о свойстве
биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит
противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим
сторонам (рис. 165), т. е.
AD __ АВ
DC~~ ВС9
432
Доказательство. Согласно теореме синусов имеем
AD АВ AD sin а (A ABD)
sin a sin р ’ ИЛИ АВ sin р
И DC _ ВС DC sin а или ВС - sin р (ADBC).
sin а sin (180°—Р)’
Отсюда AD DC следует, что = AD АВ DC~ ВС' ЧТ0 и требовалось
доказать.
Во многих случаях вместо «вспомогательных углов» целесооб-
разно вводить площадь, используя при этом различные ее выра-
жения через элементы треугольника. Так, например, решались
задачи 3 и 4. Приведем еще две задачи этого типа.
Задача 27. Даны стороны b и с треугольника. Найти третью
сторону, если она равна высоте, на нее опущенной. При каком соот-
ношении между b и с решение существует?
Решение. Пусть S—площадь треугольника ЛВС их—его
третья сторона. Вычисляя площадь по формуле Герона, имеем
__ -|/"b-f-c-f-x b + с—х Ь-{-х — с х—Ь-\-с_
V 2 2 2 2 —
— (Ь-|-с)2—х2 . х2—(Ь—с)2
С другой стороны,
5 = = у х2. (**)
Сравнивая правые части равенств (*) и (**), получаем уравнение
для определения х\
[(/?4-с)2—х2] [х2 — (Ь—с)]2 = 4х4,
или
5х4 — 2%2 (Ь2 + с2) + (Ь2 — с2)2 = 0.
Решая это биквадратное уравнение, находим
/Ь2+с2± /(Ь2+с2)2—5 (62—с2)2
5
Задача имеет решение, если (Ь2 4-с2)2 — 5(Ь2—с2)2^0. Предполо-
жим, что 6 > с (при b < с во второй скобке изменим знаки на
противоположные). Тогда Ъ2—с2 > 0 и данное неравенство равно-
сильно неравенству
62 + с2 >/5(62—с2),
или
(ly+isrsfD’-rs,
433
откуда получаем, что
Ь ^К5+1
с 2
Учитывая наше предположение, что b > с, окончательно имеем
1 < у <1 ^"^2^* 1 ' Если Ь = с, то х = -XX YЬ2 4- с2 = , если
b— ( то х— j/^62^2,• В этих случаях задача имеет
единственное решение. При 1 < • задача имеет два
решения.
Итак,
, ь Кб+1
с 5=5 2
Задача 28. Точка М лежит внутри треугольника на расстоянии
х, у и z от его сторон ВС, АС и АВ (рис. 166). Доказать, что
Х + ^- + -Л=1, где ha, hb и hc—высоты тре-
& rLa 'Lb rLc
/к угольника, проведенные из вершин Л, В и
С соответственно.
Доказательство. Соединив точку М
г с вершинами Л, В и С, получаем три треуголь-
с ника ВМС, АМС и АВМ, высоты которых
рис 166 равны х, у и z соответственно. Обозначая
через S площадь треугольника АВС, имеем
S = ±-(ax + by + cz).
С другой стороны,
S = ±aha, S = ±bhb, S = ±chc. (**)
Комбинируя равенства (*) и (**), находим
1 — ох I । сг
— aha ' bhb chc ’
т. e.
ha^hb^he
ГЛАВА XVI
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основными понятиями в геометрии пространства (стереометрии)
являются точка, прямая линия и плоскость. Как и прямая, плос-
кость определяется аксиоматически.
Определение. Множество точек Р в пространства называется
плоскостью, если оно удовлетворяет следующим трем условиям
(аксиомам плоскости).
1. Через любые три точки пространства, не лежащие на
одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.
2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все
точки прямой принадлежат этой плоскости.
3. Если две различные плоскости имеют общую точку А, то
они имеют и общую прямую, проходящую через А.
Таким образом, плоскость, как множество точек в простран-
стве, взаимно однозначно определяется тройкой точек, не лежа-
щих на одной прямой.
Из этих аксиом вытекают такие следствия.
Следствие 1. Через прямую р и точку С вне ее можно про-
вести плоскость и притом только одну.
Действительно, взяв на прямой р две точки А и В, мы полу-
чим три точки Д, Ви С, которые определяют единственную плос-
кость. Прямая р, имея с этой плоскостью две общие точки, цели-
ком принадлежит плоскости.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые р и q можно
провести плоскость и притом только одну.
Действительно, взяв точку пересечения С, точку А на прямой
р и точку В на прямой q, мы получим три точки А, В и С,
которые определяют единственную плоскость. Каждая из прямых,
имея с плоскостью по две общие точки, лежит в этой плоскости.
Следствие 3. Через две параллельные прямые можно провести
плоскость и притом только одну.
В самом деле, так как две прямые параллельны, то они лежат
в одной плоскости. Эта плоскость единственная, ибо две точки А
и В на одной из прямых и точка С на второй прямой однозначно
определяют как пару параллельных прямых, так и плоскость.
Две прямые в пространстве либо лежат в одной плоскости
(тогда они или параллельны, или пересекаются), либо не лежат
в одной плоскости.
Определение. Две прямые, не лежащие в одной плоскости, и,
следовательно, не имеющие общих точек, называются скрещиваю-
щимися.
Скрещивающиеся прямые не образуют угла в обычном смысле,
так как у них нет общей точки—вершины угла. Условились углом
между скрещивающимися прямыми называть угол, образованный
435
двумя параллельными им полупрямыми, выходящими из одной
точки.
Прямые называются перпендикулярными, если угол между ними
равен 90°.
Две различные плоскости в пространстве либо не имеют ни одной
общей точки (параллельные плоскости), либо имеют общую прямую
(аксиома 3).
Прямая относительно плоскости может занимать три различных
положения:
а) прямая лежит в плоскости (или плоскость проходит через
прямую);
б) прямая и плоскость не имеют общих точек. В этом случае
прямая называется параллельной плоскости;
в) прямая и плоскость имеют только одну общую точку. В этом
случае говорят, что прямая пересекает плоскость.
Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется пер-
пендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой пря-
мой, лежащей в этой плоскости.
Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная
к ней, называется наклонной к этой плоскости.
Прямая, соединяющая основания наклонной и перпендикуляра,
опущенного из любой точки наклонной на плоскость, называется
проекцией наклонной на плоскость (рис. 167).
Предоставляем читателю доказать следующие теоремы.
1. Наклонные, имеющие равные проекции, равны и обратно, равные
наклонные имеют равные проекции.
2. Из двух наклонных, имеющих неравные проекции, та больше,
проекция которой больше, и наоборот.
Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между
этой прямой и ее проекцией на данную плоскость (рис. 167).
Легко доказать, что угол между наклонной и ее проекцией на
плоскость меньше угла, составленного этой наклонной и любой
другой прямой, проведенной в данной плоскости.
Определение. Геометрическая фигура, состоящая из двух по-
луплоскостей, исходящих из одной прямой, называется двугранным
углом.
436
Полуплоскости Р и Q, образующие двугранный угол, называются
его гранями, а их общая прямая АВ—ребром двугранного угла
(рис. 168).
Двугранный угол измеряется своим линейным углом, т. е. углом,
образованным двумя перпендикулярами, восставленными к ребру
из произвольной его точки С и лежащими на его гранях (рис. 168).
~ —------ — .... —--------) угла не зависит от вы_
Легко показать, что величина линейного
бора точки С на ребре двугранного угла.
Двугранные углы называются рав-
ными, если их можно полностью сов-
местить. Равным двугранным углам
соответствуют равные линейные уг-
лы и обратно.
Двугранный угол называется пря-
мым, если его линейный угол ра-
вен 90°.
Определение. Две плоскости, об-
разующие прямой двугранный угол,
называются взаимно перпендикуляр-
ными.
Три плоскости, пересекающиеся
в одной точке, образуют трехгранный
угол (рис. 169). Точка пересечения
этих плоскостей называется вершиной, части
вающие угол,— гранями, а прямые их пересечения—ребрами трех-
гранного угла.
Аналогично вводится многогранный угол при любом п.
Многогранный угол называется выпуклым, если все его грани
лежат по одну сторону от плоскости любой его грани.
плоскостей, ограничив
§ 2. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
I. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема 1 (при-
знак перпендикулярности прямой и плоскости).
Если прямая р перпендикулярна к двум пересекающимся прямым
тип, лежащим в некоторой плоскости Р, то она перпендикулярна
этой плоскости (р Р).
Доказательство.
Пусть прямая р пересе-
кает плоскость Р в точ-
ке А (рис. 170). Возь-
мем на плоскости Р
произвольную прямую
q и проведем из точки
А прямые ^11^, тг\\т
и nx||n. На прямой р
по обе стороны от точ-
437
ки А отложим равные отрезки АВ и АС, на прямых т1 и —
отрезки AD=AE так, чтобы прямая DE пересекала прямую qr.
Точку пересечения прямой qr с DE обозначим через М. Проведем
отрезки BE, BD, ВМ, CD, СЕ, СМ и рассмотрим ряд образовав-
шихся при этом треугольников.
1) Равнобедренные треугольники DBE и DCE равны. Таким
образом, Z_BDE = Z.BED = Z_CDE = Z.CED.
2) Отсюда следует, что Д ВМЕ = Л С ME (ВЕ = СЕ, ME — общая,
Х.ВЕМ = СЕМ). Поэтому ВМ=МС.
3) Следовательно, треугольник ВМС—равнобедренный и его ме-
диана AM является одновременно и высотой, т. е. АМА_ВС, что
и требовалось доказать.
Читателю, знакомому с векторной алгеброй, предлагается второе доказатель-
ство этой теоремы.
На прямой qt возьмем произвольную точку М и из нее проведем MB || mi и
МС |[ nt (рис. 171). Четырехугольник АВМС—параллелограмм, следовательно,
AM = АВ-]- АС. На прямой р возьмем вектор АЕ. По условию ДЕ_|_ЛВ и
АЕ J_AC. Поэтому скалярные произведения АЕ • АВ = 0 и АЕ - АС = 0. В силу
свойств скалярного произведения
AM • ~АЁ= (~АВ + АС)• ~АЕ = АВ-АЕ + АС• АЕ = О,
т. е. AM | АЕ, или, что то же самое, р \_q.
Теорема 2 (тео р ем а о трех перпендикулярах). Пря-
мая а, проведенная на плоскости Р перпендикулярно наклонной АС,
перпендикулярна к проекции ВС этой наклонной и обратно, пря-
мая а, проведенная на плоскости перпендикулярно к проекции наклон-
ной, перпендикулярна самой наклонной.
До казательство. Проведем через наклонную АС и ее про-
екцию ВС (рис. 172) плоскость, которую мы обозначим через Q.
Прямая а, будучи перпендикулярной к двум пересекающимся пря-
мым АС и АВ плоскости Q, перпендикулярна к самой плоскости Q,
в частности, а_[_ВС.
Аналогично доказывается обратное утверждение теоремы: если
a_LBC, то aJ_Q, в частности, а I АС.
438
II. Параллельность прямых и плоскостей. Теорема 1 (признак
параллельности прямой и плоскости). Если прямая а
параллельна прямой q, лежащей в плоскости Р, то она параллельна
и самой этой плоскости (а || Р).
Доказательство. Две параллельные прямые а и q лежат
в одной плоскости. Обозначим ее через Q. Плоскости Р и Q пере-
секаются по прямой q. Если бы прямая а пересекала плоскость Р,
то точка их пересечения лежала бы на прямой q, что невозможно,
так как а || q. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость Р,
т. е. а || Р.
Теорема 2. Если плоскость Р проходит через прямую а, парал-
лельную другой плоскости Q, и пересекает, плоскость Q, то линия
пересечения q этих плоскостей параллельна прямой а (рис. 173).
Доказательство. Прямые а и q лежат в одной плоскости Р.
Допустив, что эти линии пересекаются, мы получим точку М
их пересечения, принадлежащую как плоскости Р, так и пло-
скости Q. Но это невозможно, так как P||Q.
Следствие. Если прямая а параллельна каждой из двух пере-
секающихся плоскостей Р и Q, то она параллельна их линии пере-
сечения q (рис. 174).
Доказательство. Проведем плоскость через прямую а и
произвольную точку Л, лежащую на прямой q. Эта плоскость
пересечет плоскости Р и Q по прямым qr и q2 соответственно;
каждая из них параллельна а и проходит через точку Л. Так как
через точку А проходит лишь одна прямая, параллельная а,
то qt и q2 сливаются в одну прямую; эта прямая принадлежит
и плоскости Р, и плоскости Q. Следовательно, она совпадает с линией
их пересечения q. Итак, a\\q.
Теорема 3 (признак параллельности двух плоско-
стей). Две плоскости Р и Q, перпендикулярные к одной и той же
прямой а, параллельны (рис. 175).
Доказательство. Допустим, что Р % Q, т. е. что они пе-
ресекаются в некоторой точке М. Проведем через эту точку и
прямую а плоскость Р, которая пересечет плоскость Р по пря-
мой МА и плоскость Q — по прямой МВ. Прямая а, будучи пер-
пендикулярной к Р и Q, будет перпендикулярна к прямым МА и МВ.
Следовательно, из точки М на прямую а опущены два перпенди-
439
куляра МА и МВ, что невозможно. Итак, наше предположение,
что Р Q, неверно.
Теорема 4 (признак параллельности двух плоско-
стей). Если две пересекающиеся прямые АВ и АС, лежащие в пло-
скости Р, соответственно параллельны двум пересекающимся пря-
мым АГВГ и А£г, лежащим в другой плоскости Q, то плоскости
Р и Q параллельны.
Доказательство. Так как АВ\\А1В1 и ЛС||А^, то АВ и АС
параллельны плоскости Q. Допустим, что Р Q, т. е. что они пе-
ресекаются по некоторой прямой MN. Тогда AB\\MN и ДСПМАГ,
т. е. через точку А на плоскости Р проходят две различные прямые,
параллельные прямой MN, что неверно. Следовательно, P||Q.
Теорема 5. Если две параллельные плоскости Р и Q пересечь
третьей плоскостью R, то получающиеся при этом линии пересече-
ния а и q параллельны.
Доказательство. Прямые а и q лежат в одной плоскости R.
Допустим, что а ТогДа они пересекаются в некоторой точке,
которая должна принадлежать как Р, так и Q. Но это невозможно,
так как Р || Q. Итак, a\\q.
Теорема 6. Отрезки параллельных прямых АВ и CD, заключенные
между параллельными плоскостями Р и Q, равны.
Доказательство. Через параллельные прямые АВ и CD
проведем плоскость R, которая пересечется с Р и Q по параллель-
ным прямым АС и BD. Следовательно, ABCD — параллелограмм,
и потому AB = CD.
Теорема 7. Два угла (^/ВАС и ^/В^С^ с соответственно
параллельными и одинаково направленными сторонами равны
(рис. 176).
Доказательство. Проведем через пересекающиеся поя-
мые АВ и АС плоскость Р, а через АДЗ^ и А1С1—плоскость Q.
Плоскости Р и Q параллельны. Отложим на сторонах угла произ-
вольные, но равные между собой отрезки AD = AE = A1D1 = A1E1
и проведем прямые АА19 DDlt ЕЕ± (рис. 176). Так как ADHAiZ?! и
AD = AlDlr то ADD±A±—параллелограмм, и поэтому отрезок AAX
440
равен и параллелен DDr. Аналогично получаем, что отрезок ААГ
равен и параллелен ЕЕГ. Поэтому DD^E—параллелограмм и
ED = E1D1. Значит, Д ADE = Д ААЕХ и /_ВАС = £В1А1С1.
III. Связь между параллельностью и перпендикулярностью пря-
мых и плоскостей. Теорема 1. Плоскость, перпендикулярная к одной
из двух параллельных прямых (а), перпендикулярна и к другой пря-
мой (q) (рис. 177).
Доказательство. Проведем в плоскости Р через основание а
две прямые АВ и АС, а через основание q— параллельные им
прямые ArB± и ДВП^Ех и ДСПД^. По условию а_[_АВ и
а_]_АС. Так как Z МАС= М^С^ a Z.MAB = 2/М1А1В1
как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами,
то Z.miAiCi = ^miAibi = 9°°> т. е. q_i_P.
Теорема 2 (обратная). Дее прямые, перпендикулярные к одной
и той же плоскости Р, параллельны.
Теорема легко доказывается методом от противного.
Теорема 3. Если прямая а перпендикулярна к одной из двух па-
раллельных плоскостей (Р), то она перпендикулярна и к другой
плоскости (РА.
Доказательство. Проведем через прямую а две произволь-
ные плоскости Q и R (рис. 178), которые пересекут плоскость Р
по прямым АВ и ВС, а плоскость Р±—по прямым А1В1 и В^.
При этом АВ||ApBi, BCWBfi^. Так как а\_АВ и a ДВС, то пря-
мая а также перпендикулярна к A-JS^ и Bfi^ т. е. aJ_Pr
IV. Перпендикулярность плоскостей. Теорема 1. Если плоскость
Р проходит через прямую р, перпендикулярную к плоскости Q, то
плоскости Р и Q взаимно перпендикулярны.
Доказательство. Пусть А—основание перпендикуляра р
на плоскости Q (рис. 179). Плоскости Р и Q, имея общую точку А,
пересекаются по некоторой прямой ВС. Проведем в плоскости Р
прямую АЕ | ВС. Очевидно, угол DAE является линейным углом
двугранного угла PBCQ и равен 90°. Следовательно, Р J_Q.
441
Теорема 2. Любая прямая AD, лежащая в одной из двух взаимно
перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их линии пересе-
чения, перпендикулярна и второй плоскости.
Доказательство. Проведем через основание перпендику-
ляра AD прямую AE^_AD (рис. 179). Угол DAE является линей-
ным углом прямого двугранного угла PBCQ и, следовательно,
равен 90°. Отсюда вытекает, что прямая р, будучи перпендику-
лярна к прямым ВС и АЕ плоскости Q, перпендикулярна Q.
§ 3. СВОЙСТВА МНОГОГРАННЫХ УГЛОВ
Теорема 1. В трехгранном угле любой плоский угол меньше суммы
двух других его плоских углов и больше их разности.
Доказательство. Пусть Л5С—наибольший из плоских
углов (рис. 180). На грани ASC построим угол CSD, равный углу
CSB, и от вершины S отложим на ребрах SC, SB и CD отрезки
SN = SM = SK. Через полученные точки N, М и К проведем пло-
скость, которая пересечет ребро в точке L. Из равенства тре-
угольников SKN и SNM следует, что KN = MN. Так как в тре-
угольнике LMN сторона LN < LMA-MN, т. е. ЛК+КК <
то LK < LM. Теперь, сравнивая треугольники SLK и LSM,
замечаем, что угол LSK, лежащий против меньшей стороны ЛК,
меньше угла LSM. Учитывая, что ^.LSN = /.LSKA-/.KSN и
£KSN = получаем, что
z LSN < 21 LSM + Z NSM.
Вторая часть теоремы вытекает из полученного неравенства.
Теорема 2. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 4d (рис. 181).
Доказательство. Проведем плоскость Р, пересекающую
все его грани. В сечении получим многоугольник ABCD... .
Каждая из его вершин является вершиной трехгранного угла. На
442
основании теоремы 1 имеем:
/BAD </SAD+/SAB,
/АВС </ ABS + / SBC,
/ BCD < / SCB + / SCD,
/ ADC < / ADS + / SDC,
Сложим правые и левые части этих неравенств. В правой части
мы получим сумму всех внутренних углов треугольников ABS,
BCS, ... без суммы углов с вершиной в точке S, т. е. 2dn—2»
где 2—сумма всех плоских углов многогранного угла. В левой
части неравенства мы имеем сумму всех внутренних углов много-
угольников, равную 2dn— 4d. Таким образом, 2dn — 4d<2dn—2>
откуда
2<4d.
§ 4. ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ
Теорема. Площадь проекции любой плоской фигуры F на неко-
торую плоскость равна площади проектируемой фигуры F, умно-
женной на косинус угла <р между плоскостью фигуры F и плоскостью
проекций:
пл. Fnp = пл. F-cos ф.
Доказательство. 1. Пусть проектируемая фигура F есть
треугольник АВС, сторона АС которого лежит на плоскости про-
Рис. 181 Рис. 182
екций Р (рис. 182). Проведем в треугольнике АВС высоту BD и
точку D соединим с B1(BB1JLP). Тогда DB^AC является
высотой треугольника ABfi ^BDBt = ^. Так как
5лвс = 4 AC-BD, SABiC = ± AC-DB^AC-DBcosy,
ТО
ЗЛВ1С = Злвс-СО5ф, ИЛИ ПЛ. 7?пр = ПЛ. ^-СОБф.
443
2. Предположим теперь, что АВС — произвольный треугольник,
лежащий в плоскости Q (рис. 183). Проведем через вершину А
прямую АЕ, параллельную линии пересечения плоскостей Р и Q.
Затем через прямую АЕ проведем плоскость Pi||P. Очевидно, про-
екции треугольника АВС на плоскости Р и Р± равны. Треуголь-
ник АВС разбился на два треугольника — АВЕ и АЕС, сторона
АЕ которых лежит в плоскости Р±. Согласно п. 1 5Л£С1 = 5Л£с-со8ф,
SABiE = SABE-cos ф, следовательно,
Рис. 184
^AECi^^AB^— S ABC'C0S Ф>
ИЛИ
пл. Fnp = пл. F-cos ф.
3. Пусть F — многоугольник.
Разбивая его диагоналями на
треугольники и используя п. 2,
получим:
пл. (АВСО£)пр = пл. (ЛВС)пр +
+пл.(ДСО)пр + пл. (ADE)np =
= пл. ABC -cos ф+пл.АС£)-созф4-
4-пл. А£)£-созф=
=пл. ABCDE-cosy.
4. Пусть теперь Р — произволь-
ная плоская фигура (рис. 184).
Покроем F квадратной сеткой
ранга п ^сторона квадрата равна
А-, гдеп= 1, 2, 3, ... ^исоставим
систему входящих фигур Fn и вы-
ходящих фигур Fn с площадями
Sn и Sn соответственно. По опре-
делению
пл. F= Hm Sn = limS„.
П 00“ П -> оо
444
Проектируя фигуры Fn и Fn на плоскость проекций, получим фи*
гуры (F„)np и (Fn)np, которые будут соответственно входящими и
выходящими фигурами для Fnp.
Так как Fn и Fn — многоугольники, то согласно п. 3 площади
их проекций (SJnp и (SJnp соответственно равны:
(5„)Пр = пл. (F„)np = пл. Fn • cos <р = Sn • cos ф,
(S„)np= ПЛ. (?„)пр = ПЛ. 7„-С03ф = 5„С03ф.
Так как cos ср не зависит от /г, то
lim (SJnp = cos ф- lim Sn =cos ср-пл. F
П-+ 00 П CO ~~
и
lim (SJnp = cos ф • lim Sn cos ф • пл. F.
П-+& n ->„00
Из последних равенств имеем
ПЛ. ^пр = ПЛ. F-СОЗф,
что и требовалось доказать.
ГЛАВА XVII
МНОГОГРАННИКИ. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ТЕЛА
И КОНУСЫ, ШАР
В школьном курсе математики изучаются призма, пирамида, ци-
линдр, конус, шар и части шара. Призма и пирамида относятся
к многогранникам, цилиндр является представителем класса цилинд-
рических тел, конус — представителем класса конических тел.
Однако очень удобно рассматривать призму как цилиндрическое,
а пирамиду — как коническое тело.
Шар можно рассматривать как тело вращения. Телами враще-
ния являются также прямые круговые цилиндр и конус и т. д.
§ 1. многогранники
Определение. Многогранником называется геометрическое тело’
ограниченное плоскими многоугольниками. Многоугольники, огра-
ничивающие многогранник, называются гранями, их стороны —
ребрами, а вершины—вершинами многогранника.
Грани многогранника, имеющие общие стороны (ребра), назы-
ваются смежными. Две смежные грани образуют двугранный угол.
Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяю-
щий две вершины многогранника, не лежащие на одной грани.
Многогранник обозначают его вершинами или диагональю, напри-
мер, многогранник ABCDA1B1C1D1 или многогранник (рис. 185).
Многогранник, имеющий четыре грани, называется четырех-
гранником, пять граней — пятигранником и т. д.
Рис. 185
Многогранник называется правильным, если все его грани — рав-
ные между собой правильные многоугольники и все многогранные
углы равны.
В каждой вершине многогранника сходятся не менее трех гра-
ней, плоские углы которых равны между собой и в сумме состав-
ляют меньше 360°. Если гранями правильного многогранника яв-
446
ляются правильные треугольники, то в каждой вершине много-
гранника может сходиться либо три треугольника (60°-3 < 360°),
либо четыре треугольника (60°-4 < 360°), либо пять треугольников
(60°-5 < 360°). Шесть правильных треугольников не могут образо-
вать многогранного угла, так как 60°-6 = 360°.
Таким образом, существуют лишь три типа правильных много-
гранников, гранями которых являются правильные треугольники.
1. Правильный четырехугольник (тетраэдр), поверхность кото-
рого составлена из четырех правильных треугольников (рис. 186),
сходящихся по три в каждой вершине. Тетраэдр имеет 4 вершины
и 6 ребер.
2. Правильный восьмигранник (октаэдр), поверхность которого
составлена из восьми правильных треугольников (рис. 187), схо-
дящихся по четыре в каждой вершине. Октаэдр имеет 6 вершин
и 12 ребер.
3. Правильный двадцатигранник (икосаэдр), поверхность кото-
рого состоит из 20 правильных треугольников, сходящихся по
пять в каждой вершине. Икосаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер
(рис. 188).
Рассмотрим теперь многогранник, составленный из правильных
четырехугольников, т. е. квадратов. Так как 90°-4 = 360°, то че-
тыре квадрата не составляют многогранный угол. Следовательно,
существует лишь один тип правильного многогранника, грани ко-
торого являются квадратами. Это куб (гексаэдр). Гексаэдр имеет
6 граней, 8 вершин и 12 ребер (рис. 189).
Из правильных пятиугольников можно составить лишь один
правильный многогранник, в каждой вершине которого сходятся
по три грани (108°-3 < 360°, 108°-4 > 360°). Этот многогранник
называется додекаэдром. Он имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ре-
бер (рис. 190).
Из правильных шестигранников нельзя составить даже трех-
гранного угла, так как 120° • 3 = 360°.
Итак, мы показали, что гранями правильных многогранников
могут служить лишь правильные треугольники, квадраты и пра-
вильные пятиугольники и что существует лишь пять видов пра-
вильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и доде-
каэдр.
447
§ 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. ЦИЛИНДРИЧЕСКОЕ ТЕЛО
Пусть MN — линия, лежащая в плоскости Р, и I — прямая, пере-
секающая эту плоскость (рис. 191).
Определение 1. Цилиндрической поверхностью называется поверх-
ность, образованная движением прямой АВ, которая непрерывно
перемещается параллельно прямой I вдоль линии MN.
Движущаяся прямая называется образующей, а линия MN —
направляющей цилиндрической поверхности.
Направляющая MN может быть замкнутой и незамкнутой
В зависимости от этого и соответствующая цилиндрическая по-
верхность называется замкнутой или незамкнутой.
Цилиндрические поверхности различаются по виду направляю-
щей и по расположению прямой I относительно плоскости Р,
в которой лежит направляющая.
Если направляющая MN— прямая, то соответствующая цилинд-
рическая поверхность есть, очевидно, плоскость.
Цилиндрическая поверхность называется круговой, если ее на-
правляющая есть окружность, а образующая перпендикулярна
к плоскости этой окружности.
Цилиндрическая поверхность называется призматической, если
ее направляющая есть ломаная, замкнутая или незамкнутая.
Определение 2. Цилиндрическим телом называется тело, огра-
ниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя пере-
секающими ее параллельными плоскостями (рис. 192).
Части секущих параллельных плоскостей, выделяемые цилиндри-
ческой поверхностью, называются основаниями цилиндрического
тела, а часть цилиндрической поверхности, заключенная между
основаниями, — его боковой поверхностью.
Очевидно, что все сечения цилиндрического тела плоскостями,
параллельными основаниям, равны между собой.
Высотой цилиндрического тела называется перпендикуляр Ofi,
проведенный из любой точки одного основания на плоскость дру-
гого основания (рис. 192).
Цилиндрическое тело называется прямым или наклонным смотря
по тому, перпендикулярны или наклонны к плоскостям оснований
его образующие.
448
Рассмотрим некоторые виды цилиндрических тел.
1. Цилиндрическое тело, в основаниях которого лежат круги,
называется круговым цилиндром (рис. 193).
Круговой цилиндр, образующие которого перпендикулярны
к плоскостям оснований, называется прямым круговым цилиндром
(рис. 194).
Рис. 193
Рис. 194
Рис. 195
Очевидно, что: 1) в сечении боковой поверхности прямого кру-
гового цилиндра плоскостями, параллельными основаниям, полу-
чаются равные между собой круги; 2) в сечении оснований
и боковой поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью,
параллельной его образующей, получается прямоугольник, сторо-
нами которого служат образующие цилиндра и хорды (в част-
ности, диаметры) окружностей оснований (рис. 195).
Рис. 196
Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело,
полученное при вращении прямоугольника ABCD вокруг одной из
его сторон — оси вращения (рис. 196). При этом сторона, парал-
лельная оси, описывает боковую поверхность цилиндра и является
его образующей. Смежные к оси стороны описывают круги — осно-
вания цилиндра.
Сторона прямоугольника, вокруг которой происходит враще-
ние, называется осью цилиндра.
15 № 4 07 449
Цилиндрическое тело, в основаниях которого лежат многоуголь-
ники, называется призмой (рис. 197). Боковая поверхность призмы
(призматическая поверхность) состоит из четырехугольников. Поэтому
призма является также и многогранником.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра (образующие)
перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 198).
Прямая призма называется правильной, если ее основания —
правильные многоугольники.
Легко доказать, что основаниями призмы являются равные
многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а ее
боковыми гранями — параллелограммы.
Действительно, боковые ребра призмы являются образующими
призматической поверхности и, стало быть, параллельны. При
пересечении этих образующих параллельными плоскостями полу-
чаются равные отрезки. Из равенства и параллельности боковых
ребер вытекает, что боковые грани — параллелограммы. Отсюда
следует равенство и параллельность сторон основания. Так же
просто доказывается равенство соответствующих углов при осно-
ваниях.
В прямой призме все боковые грани — прямоугольники.
Призма, основаниями которой служат параллелограммы, назы-
вается параллелепипедом (рис. 199).
Прямой параллелепипед, в основаниях которого лежат прямо-
угольники, называется прямоугольным. Следовательно, в прямо-
угольном параллелепипеде все грани — прямоугольники.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящихся
в одной вершине, называются его измерениями. Прямоугольный
параллелепипед, все три измерения которого равны между собой,
называется кубом.
Теорема 1. В параллелепипеде ABCDA^B^CJD^ противоположные
грани равны и параллельны (рис. 199).
Доказательство. Так как все шесть граней параллеле-
пипеда— параллелограммы, то отрезок ААХ равен и параллелен
450
DDlf отрезок DD1 равен и параллелен СС± и т. д. Следовательно,
грани АА^В^В и DDfifi параллельны в силу того, что две пере-
секающиеся прямые АгА и одной плоскости параллельны
двум пересекающимся прямым DtD и D1C1 другой. Эти грани также
и равны как два параллелограмма, у которых, кроме указанного
равенства сторон, / AA1B1 = J/ DD1C1 (углы с соответственно
параллельными и одинаково направленными сторонами).
Теорема 2. Диагонали AClf BD±, DBr и САг параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 пересекаются в одной точке и делятся в ней попо-
лам (рис. 200).
Доказательство. Соединим точки Аг с В и D± с С. Полу-
ченная фигура AJdyCB — параллелограмм, так как стороны A1D1
и ВС равны и параллельны. Диагонали АГС и BDX параллелепи-
педа служат диагоналями полученного параллелограмма, следова-
тельно, в точке пересечения О они делятся пополам. Точно так
же, взяв одну из этих двух диагоналей, например, диагональ BDX,
и третью диагональ, например AClf докажем, что они, являясь
диагоналями параллелограмма делятся в точке пересече-
ния пополам. Следовательно, диагональ АС± проходит через ту же
точку О — середину диагонали BD±. Наконец, так как DB± (четвер-
тая диагональ) и АС± служат диагоналями параллелограмма ADC^,
то они, делясь в точке пересечения пополам, проходят через ту
же точку О — середину диагонали АСг.
Итак, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются
в одной точке и делятся в этой точке пополам.
Теорема 3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда
равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 201).
Доказательство. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 боковое ребро DXD перпендикулярно к плоскости
основания, а потому треугольник DXDB — прямоугольный. Следо-
вательно, BDf = DJ)2 + DB2, а из прямоугольного треуголь-
ника DAB находим, что DB2 = AD2АВ2. Отсюда
BD2 = DD2 4- AD2 4- DC2.
что и требовалось доказать.
Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все четыре диа-
гонали равны между собой.
§ 3. КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. КОНУС
Определение 1. Конической поверхностью называется поверхность,
образованная движением прямой АВ, которая непрерывно переме-
щается, проходя постоянно через неподвижную точку S и пересе-
кая при этом плоскую линию MN (рис. 202).
Прямая АВ называется образующей, точка S—вершиной, а ли-
ния MN—направляющей конической поверхности. Направляющая MN
может быть замкнутой и незамкнутой.
Определение 2. Конусом называется тело, которое ограничено
частью замкнутой конической поверхности, расположенной по
15* 451
одну сторону от вершины S, и плоскостью Р, пересекающей эту
поверхность (рис. 203).
Часть секущей плоскости, выделенная конической поверхностью,
называется основанием конуса. Часть конической поверхности,
заключенная между его вершиной и основанием, называется боко-
вой поверхностью конуса. Высотой конуса называется отрезок пер-
пендикуляра, опущенного из вершины конуса на плоскость его
основания.
Рис. 202 Рис. 203
Рассмотрим следующие виды конусов.
1. Конус, в основании которого лежит многоугольник, назы-
вается пирамидой (рис. 204). Боковая поверхность пирамиды
состоит из треугольников с общей в.ершиной S.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит пра-
вильный многоугольник и высота проходит через центр основания.
2. Конус, в основании которого лежит круг и высота проходит
через центр круга, называется прямым круговым (рис. 205).
Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полу-
ченное от вращения прямоугольного треугольника 40S вокруг
452
его катета (рис. 206). При этом гипотенуза AS описывает кониче-
скую боковую поверхность, каждая точка гипотенузы — окруж-
ность, катет — круг (основание конуса). Поэтому в сечении пря-
мого кругового конуса плоскостями, параллельными основанию,
получаются круги. При пересечении прямого кругового конуса
плоскостью, проходящей через его вершину S и пересекающей его
основание, получается треугольник. Сторонами этого треугольника
являются образующие конуса и хорда (в частности, диаметр) его
основания. Сечение, проходящее через высоту (ось) кругового ко-
нуса, называется осевым (см. рис. 205).
Теорема 1. Если конус Т пересечь плоскостью, параллельной его
основанию, то его образующая SA и высота SO разделятся этой
плоскостью на пропорциональные части, т, е.
SB _ SOt'
BA ~О1О‘
Доказательство. Соединим точки О и А, О± и В (рис. 207),
при этом ОХВ||0 А, как прямые, полученные при пересечении па-
Рис. 206 Рис. 207 Рис. 208
раллельных плоскостей Р и Q третьей плоскостью ASO. В силу
теоремы о параллельных прямых, пересекающих стороны угла,
имеем
SB — SO!
ВА ~ СЦО 1
что и требовалось доказать.
Следствие. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной
ее основанию, то ее боковые ребра и высота разделятся этой пло-
скостью на пропорциональные части.
Теорема 2. Если пирамиду SABCDE пересечь плоскостью, парал-
лельной ее основанию, то:
1) в сечении получится многоугольник AJ^C-JD^E^, подобный
основанию пирамиды ABCDE',
2) площади сечения и основания относятся как квадраты их
расстояний от вершины пирамиды (рис. 208).
453
Доказательство. 1) Л1В1||ЛВ, BjCjHBC, как отрезки,
полученные при пересечении параллельных плоскостей Р и Q пло-
скостями боковых граней. Поэтому / Л1В1С1 = / АВС, / Bfifiг =
= /_BCD, ... .
Из подобия треугольников ABS и Лрб^, BCS и Bfifi, ...
имеем
_____B^S ф B^Ct_SB±_SC±
~АВ = ~BS 1 ~ВС~ ~ “SB SC" ’ ’ ’ ’ ’
откуда следует, что
j4^Bi BjCj________________CiD-±_D^Ei Е]А{
'^ = 'b^^Td'==~de'=='eT •
Итак, у многоугольников ABODE и Л1В1С1Р1Е1 соответствен-
ные углы равны и стороны пропорциональны. Следовательно,
Л1В1С1О1£1сл)ЛВСРЕ.
2. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты
сходственных сторон:
пл. А^В^С^О^Е-^ A^Bl
пл. ABCDE =~А№'
т т -^iBi Sj4j SOi
h°^b=-sa=-so и П0ЭТ0МУ
пл. AiB1C1D1E1 _ SOl
пл. ABCDE — SO2’
Справедлива более общая
теорема.
Теорема 3. Если произволь-
ный конус /< пересечь плоскостью
Р, параллельной его основанию
F, то площадь сечения Ф и
площадь основания относятся
как квадраты их расстояний от
вершины конуса, т. е.
пл. Ф SOl
пл. F SO2 ’
Доказательство. По-
кроем основание F квадратной
сеткой ранга п и выделим вхо.
дящую фигуру F_n и выходящую фигуру 7„(рис. 209), составленные
из квадратов этой сетки. При неограниченном возрастании п пло-
щади этих фигур, и Sn, стремятся к площади F:
limS„= lim 5л = пл. В.
Л -> со “ л -> со
454
На фигурах Fn и Fn, как на основаниях, построим пирамиды Тп
и Тп с общей вершиной S. Сечения этих пирамид плоскостью Р,
параллельной плоскости их оснований, обозначим соответственно
через Фп и Ф„. Ясно, что Ф„ лежит в Ф, а Ф — в Ф„. Поэтому се-
чения Ф„ и Фп будут входящей и выходящей фигурой для Ф и со-
гласно определению (§4 гл. XV)
1йп(пл.Фл) = lim (пл. Фл) = пл. Ф. (**)
п 00 п -> 00
По теореме 2 о площадях параллельных сечений пирамиды
пл.Ф„ sol пл.Ф„ sol
—— = — и —— = —.
пл./7^ SO2 пл. Fn SO2
Поэтому
sol о sol е
ПЛ. Фп ‘ И ПЛ. Ф„
п SOl
Пусть и неограниченно возрастает. Так как отношение не
зависит от /г, то по свойству предела
Jim (пл.Ф„) = • Jim S„ = • пл. F
И
lim (пл.Ф„) = ^. 1йпЗ„ = ^-пл. F.
Отсюда и из равенств (*) и (**) следует, что
С/)2
пл.Ф^^.пл. F,
или
пл.Ф _ SOl
пл77“ so2*
§ 4. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между
основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию
(рис. 210). Основаниями усеченного конуса называются: основание
полного конуса, из которого получен усеченный, и часть секущей
плоскости, выделяемая из нее конической поверхностью. Образую-
щей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса,
заключенная между основаниями усеченного конуса. Высотой усе-
ченного конуса называется часть отрезка перпендикуляра, заключен-
ного между его основаниями.
455
Усеченная пирамида является частным случаем усеченного ко-
нуса, т.е. это — часть пирамиды, заключенная между основанием
и секущей плоскостью, параллельной основанию (рис. 211). Основа-
ния усеченной пирамиды — подобные многоугольники (по теоре-
ме 2 § 3).
Правильной усеченной пирамидой называется такая усеченная
пирамида, у которой оба основания — правильные многоугольники,
а прямая, соединяющая центры оснований, пер-
Z" пендикулярна к плоскости оснований.
В усеченном прямом круговом конусе оба ос-
г" \ нования — круги, а прямая, соединяющая цент-
Ры этих КРУГОВ’ перпендикулярна к их плос-
L д костям (рис. 212). Прямой круговой усечен-
Н ный конус может быть образован вращением пря-
------------моугольной трапеции вокруг ее боковой стороны,
Рис. 213 перпендикулярной к основаниям (рис. 213). Вто-
рая боковая сторона трапеции является при этом
образующей и описывает боковую поверхность усеченного конуса.
Параллельные стороны трапеции описывают круги — основания пря-
мого кругового усеченного конуса.
§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ШАРА
Шаровой поверхностью, или сферой называется геометрическое
место точек пространства, равноудаленных от одной точки, называ-
емой центром сферы или шара. Часть пространства, ограниченная
сферой, называется шаром.
Шар может быть получен вращением полукруга вокруг ограни-
чивающего его диаметра. При этом полуокружность описывает
шаровую поверхность.
Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, назы-
вается радиусом шара.’
Отрезок, соединяющий две любые точки на сфере, называется
хордой шара. Хорда шара, проходящая через его центр, называется
диаметром шара.
456
Теорема. Сечение сферы любой пересекающей ее плоскостью есть
окружность.
Доказательство. Опустим из центра шара О перпендику-
лярОМ на секущую плоскость (рис. 214). Пусть CW = h, где0^/1</?.
Тогда для любой точки 7И, принадлежащей как секущей плоскости,
так и сфере, имеем
MN = /ОМ2 —О№ = У R*—h\
т. е. любая точка пересечения сферы с плоскостью удалена от
точки N на одно и то же расстояние, а это означает, что точка М
лежит на окружности.
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то h=0
и в сечении мы получим окружность, радиус которой равен радиусу
шара.
Плоскость, имеющая с шаром одну и только одну общую точку,
называется касательной плоскостью к шаровой поверхности.
Теорема 2. Плоскость Р, перпендикулярная к радиусу шара и
проведенная в его конце, есть касательная плоскость.
Доказательство. Плоскость Р и шаровая поверхность
имеют общую точку А — конец радиуса ОА. Для любой другой
точки 7И, взятой на плоскости Р, очевидно, ОМ > ОА, так как ОМ,
будучи наклонной к плоскости Р, длиннее перпендикуляра ОА.
Следовательно, точка М лежит вне шара, т. е. А — единственная
общая точка плоскости Р и шаровой поверхности.
Тело, отсекаемое от шара плоскостью (рис. 215), называется
шаровым сегментом. Отрезок радиуса С^Л, перпендикулярный к се-
кущей плоскости и заключенный между этой плоскостью и сферой,
называется высотой сегмента.
Тело, отсекаемое от шара двумя параллельными плоскостями,
называется шаровым слоем, а сферическая поверхность шарового
слоя — шаровым поясом (рис. 215). Отрезок Ofi2 диаметра, перпен-
дикулярного к секущим плоскостям, называется высотой шарового
слоя.
Шаровой сегмент можно рассматривать как частный случай ша-
рового слоя, когда одна из секущих плоскостей есть касательная
457
плоскость. Если обе секущие плоскости занимают положение
параллельных касательных плоскостей, то шаровой слой переходит
в шар. Высота такого шарового слоя равна диаметру шара.
Шаровой пояс и поверхность шарового сегмента можно полу-
чить вращением дуги полуокружности вокруг ее диаметра.
Тело, полученное вращением кругового сектора вокруг диамет-
ра, лежащего в его плоскости и не пересекающего внутренность
сектора, называется шаровым сектором.
Рис. 216
На рис. 216, а изображен простой, или сплсшной шаровой сек-
тор. Он получается в том случае, когда радиус, ограничивающий
соответствующий круговой сектор, лежит на оси вращения. В про-
тивном случае получается полый шаровой сектор (рис. 216, б).
Простой шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.
Высота этого шарового сегмента называется также высотой шарового
сектора.
Полый шаровой сектор ограничен двумя Коническими поверх-
ностями и шаровым поясом. Высота полого шарового сектора сов-
падает с высотой этого шарового пояса.
ГЛАВА XVIH
ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ,
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ, КОНУСОВ, ШАРА
И ЕГО ЧАСТЕЙ
§ 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ОБЪЕМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
При измерении объема измеряемое тело сравнивают с единичным
кубом, объем которого принимают за единицу (1 см3, 1 м3 и т. д.).
При этом измерение объемов должно удовлетворять следующим трем
условиям:
1. Равные тела имеют равные объемы.
2. Если тело Т содержится в теле G, то
об. Т об. G.
3. Если тело Т составлено из двух тел Р и G, то
об. Т = об. Р 4-об. G.
Поэтому если тело Т состоит из п примыкающих друг к другу
единичных кубов, то естественно считать, что об. Т =
Рассуждая так же, как и в § 5 гл. XV, получаем, что объем
куба со стороной у (р и q — целые) равен (у) ед3.
Пусть дано геометрическое тело Т. Наложим на него простран-
ственную кубическую решетку, состоящую из смежных кубов со
стороной (решетка ранга /г). Тело, образованное из всех кубов
решетки ранга /г, содержащихся в Т, назовем входящим телом
ранга п и обозначим Тп. Объем Тп в силу условия 3 равен сумме
объемов всех составляющих его кубов и есть Vn.
Тело, образованное из всех кубов решетки, имеющих с Т хотя
бы одну общую точку, называется выходящим телом Тп ранга п.
Обозначим его объем через Vn.
Будем давать п последовательно значения 1, 2, 3, ... . Если
при некотором значении п входящее тело Тп (а, следовательно, и
выходящее 7\) совпадет с телом Т, то принимаем, что
об.Т = об. Tn = Vn (или7„, так как Vn = Vn).
Если такого п не существует, то
продолжается неограниченно, и мы
довательности объемов входящих и
процесс измельчения решетки
получаем две числовые после-
выходящих тел
V2, V3, .... Vn, ... и v2, .... vn,....
459
Так как каждое входящее тело ранга k содержит в себе все
входящие тела меньшего ранга и все они содержатся в 7\, то
Vm<Vk (т<*)иВД; k = 1, 2, ... .
Таким образом, последовательность V2, ... монотонно
возрастает и ограничена, а потому имеет конечный предел limV„.
П -> <х>
Аналогично показывается, что вторая последовательность также
имеет конечный предел limV„, так как она монотонно убывает
П -> 00
и ограничена:
Vm^Vk, (m<k) и * = 1,2...
Если оба предела совпадают:
lim V„ = lim V„ = V,
п •+ <х>~ П -> 00
то число V, выраженное в соответствующих кубических единицах,
и принимают за объем тела Т:
об. T = V.
Определенный таким способом объем тела удовлетворяет всем
трем условиям, сформулированным в начале параграфа.
Замечание. Очевидно, что при измерении объема тело Т
можно сравнивать не только с кубом или с телом, составленным из
кубов, но также и с любыми телами, объемы которых нам известны.
Тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.
§ 2. ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDD1C1B1A1
равен произведению трех его измерений:
V^AB-AD-AA^ (1)
Доказательство. Случай 1. Все три измерения выра-
жаются рациональными числами (или, в частности, целыми):
АВ=а, AD = b, АА1 = с.
Пусть а — ^, Ь = ^, С==Т' т' п* Р' У' г' s —целые- Приведем
эти дроби к общему знаменателю:
__mqs _____pns _ rnq
nqs ’ nqs * nqs *
На сторонах АВ, AD и AAlt начиная
от точки А, отложим отрезки
длиной —. На ребре АВ, равном —
nqs г г > г ngS
отложится mqs таких отрез-
460
ков, на ребре AD, равном —pns таких отрезков и на ребре
ААг — rnq отрезков. Через концы отрезков проведем плоскости,
перпендикулярные соответственно сторонам АВ, AD и ЛЛХ. Эти
плоскости разобьют параллелепипед на кубы со стороной, равной^ .
Весь параллелепипед будет содержать mqs-pns-rnq таких кубов.
Так как объем каждого куба равен ед3, то согласно свой-
ству 3 объем параллелепипеда
V = • mcls' nPs * rncl= a^c еД3 •
Случай 2. Некоторые или все измерения параллелепипеда вы-
ражаются иррациональными числами. Каждое иррациональное число
может быть приближенно выражено рациональными числами с любой
степенью точности. Пусть ап и ап—десятичные приближения числа а
. 1 , г
с недостатком и избытком с точностью до^;6„и Ьп — аналогич-
ные приближения числа Ь*, сп
числа с. Числа ап, ап, Ьп, Ьп, сп и
сп — рациональные, причем
b_n^b^bn, ^с^сп
и, следовательно,
lim ап = lim ап = а,
п -> <ю~ п -+ 00
lim bn = lim bn = Ь,
п -+ 00 — П -> 00
lim сп = lim сп = с.
п -* 00 П 00
и с„—аналогичные приближения
Отложим на прямой АВ отрезки АВ' =а„ и АВ" = а„, на прямой
AD—отрезки AD' = Ьпн AD” = b„, на прямой ЛДХ—отрезки АА[ = сп
и АА”1=с„ и построим два прямоугольных параллелепипеда с реб-
рами АВ', AD', AAi и АВ", AD", АА[ (рис. 217). Очевидно, пер-
вый параллелепипед будет входящим, а второй —выходящим телом.
Их измерения выражаются рациональными числами и по доказан-
ному (случай 1), для их объемов V„ и V„ имеем:
= и Vn = ап • Ьп • сп.
Если неограниченно увеличивать п, то по свойству предела произ-
ведения
lim Vn = lim ап • lim bn • lim cn = abc,
lim Vn = lim an • lim bn • lim cn = abc.
n x n -* 00 Z7-.0O Л-.0О
451
Так как пределы объемов входящих и выходящих тел совпадают,
то по определению, данному в § 1, этот общий предел и принимаем
за объем данного параллелепипеда, т. е.
Vnap = ate.
Любую грань прямоугольного параллелепипеда можно принять
за основание: тогда AB-AD = Socn, а ААг есть высота.
Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равен про-
изведению площади его основания на высоту.
§ 3. ОБЪЕМ ПРЯМОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА
Теорема. Объем прямого цилиндрического тела Т равен произве-
дению площади его основания F на высоту Н:
^цил.тела ПЛ. F • Н.
(2)
Доказательство. Пусть F и Ф — основания цилиндрического
тела Т. Построим систему входящих 7\ и выходящих Тп тел
и покажем, что при неограниченно возрастающем п их объемы Vn
&
и Vn имеют равные пределы.
Для построения тел Тп и Тп по-
кроем фигуру F — основание цилинд-
рического тела — квадратной сеткой
ранга п и выделим входящую фигуру
Fn и выходящую фигуру ~Fn ранга
п (рис. 218). Согласно определению
§ 4 гл. XV для их площадей Sn и Sn
имеет место равенство
lim Sn = ПтЗ„ = пл. F.
п П-+ <х>
На многоугольниках Fn и Fn по-
строим прямые цилиндрические тела с
высотой, равной Н, которые обозначим
соответственно через Тп и 7\(рис. 218).
Ясно, что тело Тп будет входящим, а
Тп— выходящим. Их объемы легко под-
считать. В самом деле, плоскостями,
проходящими через прямые квадратной сетки и перпендикулярными
к плоскости F, тела Тп и Тп разбиваются на равные прямоугольные
параллелепипеды. Высота каждого такого параллелепипеда равна/7,
основанием является квадрат со стороной . Следовательно, его
объем равен у^-Н. Согласно свойству 3 объем входящего тела7\
462
равен сумме объемов всех параллелепипедов, составляющих это
тело, т. е.
У„ = об.Т„ = 5„.Я.
Аналогично
У„ = об. Tn = Sn-H.
При неограниченном возрастании п имеем
lim V„= limS„-/f = пл. F-H
П -+ оо п -+ оо-
и
lim V„ = lim S„ • H = пл. F • FL
П 00 п -> 00
Следовательно, объем тела Т равен пл./7-#, что и требовалось
доказать.
С помощью формулы (2) можно находить объемы таких прямых
цилиндрических тел, площади оснований которых мы умеем вычис-
лять. Такими цилиндрическими телами являются, например, прямые
призмы, в основании которых лежат многоугольники, прямой кру-
говой цилиндр (в основании — круг) и т. д.
Следствие 1. Объем прямой призмы равен произведению пло-
щади ее основания на высоту:
Vnp = Som-H. (3)
Следствие 2. Объем прямого кругового цилиндра равен произ-
ведению площади его основания на высоту.
Если R — радиус основания цилиндра, а Н—высота, то
Уцил = л^.Я. (4)
§ 4. ОБЪЕМ НАКЛОННОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА
Теорема. Объем наклонного цилиндрического тела равен произве-
дению площади его основания на высоту.
Доказательство. Пусть Т — наклонный цилиндр, F иФ —
его основания, ВЕ = Н — высота. Требуется доказать, что
об. Т = пл./7./7. (5)
Через концы образующей АВ проведем две перпендикулярные
к ней плоскости Р и Q (рис. 219, а и б). Тело, ограниченное этими
плоскостями и продолженной боковой поверхностью, является пря-
мым цилиндрическим, так как Р || Q, а все образующие им перпен-
дикулярны. Обозначим это прямое цилиндрическое тело через Т19
а его нижнее и верхнее основания через Fr и Фг
Тело 7\ и тело ADM, ограниченное сечениями F и Fu сопри-
касаются по F± и вместе составляют тело ADNB. Поэтому, согласно
свойству 2 объема, имеем
об. ADNВ = об. 7\4-об. ADM. (а)
463
Но это же тело ADNB составлено из данного наклонного цилинд-
рического тела Т и тела BCN, ограниченного сечениями Ф и Фг
Поэтому
об. ADN В = об. Т + об. BCN. (б)
Покажем, что тела ADM и BCN равны. С этой целью передви-
нем тело ADM вдоль образующих на длину АВ. При этом точка А
совместится с В, точка D — с точкой С, точка М — с точкой N.
Фигура F совместится с равной и параллельной ей фигурой Ф, а фи-
гура Fr—с фигурой Фг
Рис. 219
Таким образом, тела ADM и BCN полностью совместятся, сле-
довательно, они равны, а тем самым и равновелики, т. е.
об. ADM = об. BCN. (в)
Сравнивая теперь соотношения (а) и (б) и учитывая равенство
(в), получаем
об. Т = об. 7\.
Согласно теореме § 3 об. 7\ = пл. F^AB.
Обозначим через ср линейный угол двугранного угла между плос-
костями, в которых лежат основания F и /?1. Очевидно, этот угол
равен углу АВЕ между высотой BE и образующей АВ. Так как
F± является проекцией F на плоскость Р, то по лемме о площади
проекции пл. /?1 = пл. P-coscp и
Об. Т1 = ПЛ. Р-СОБф-ЛВ. (г)
Учитывая, что AB-cosq = Н, из равенства (г) получаем
об. Т = об. Т1 = пл. F-H,
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Объем наклонной призмы равен произведению
площади ее основания на высоту:
Vnp = S0CH./f. (6)
464
Следствие 2, Объем наклонного цилиндра, в основании кото-
рого лежит круг, равен произведению площади круга на высоту.
‘ Если R — радиус основания, а Н—высота, то
Уцил = лЯ’Я. (7)
Сопоставляя результаты § 3 и 4, мы получаем единую формулу
для вычисления объема любого цилиндрического тела.
Объем любого цилиндрического тела равен произведению площади
его основания на высоту.
§ 5. ОБЪЕМ КОНУСА
Теорема. Объем любого конуса К равен одной трети произведе-
ния площади его основания на высоту:
V = JL Q , J-T
V КОН 3 ° осн * 11 •
(8)
Доказательство. Разделим высоту Н на п равных отрез-
ков и через точки деления 0п 02, 0л_1 (считаем от вершины
S) проведем плоскости, параллельные основанию F (рис. 220).
Полученные сечения обозначим через Flt F2, ..., Fn_i, а их пло-
щади соответственно через Sn S2, ..., Sn_r Принимая каждое из
сечений за верхнее основание, построим цилиндрические тела с
равными высотами h = ^- (рис. 220). Мы получим ступенчатое
тело Кп, содержащееся внутри К.. Следовательно, это входящее
тело. Его объем V легко подсчитать.
Так как
SOv=h, SO2 = 2h, .... SO„_x = (n—l)h,
то согласно свойству параллельных сечений конуса (теорема 3 § 3
15* № 407 465
гл. XVII)
S1 = ^iui. Г=у2пл. F, Х2 = ^пл. F...5„_1^^^пл. F.
Объем Кп равен сумме объемов цилиндрических тел:
o6.Kn=Vn=S1.h+S2.h+...+Sn_l-h=^-. £[Р+2*+...+(п-1)8].
Используя формулу § 6 гл. V
Р + 22+ ... +& =±k (k+ 1) (2k+ 1)
и полагая в ней k = n— 1, находим
Чтобы получить выходящее тело Кп, построим на основании ко-
нуса и на каждом сечении, как на нижнем основании, цилиндри-
ческие тела с равными высотами h = — (рис. 221). Вычислим объем
полученного тела:
об. К„ = У„ = пл. F-h + Sjh-^-SJi-^ ... + 5„_1-/1 = пл. F--^--{-
+|пл. Ля(1-1)(2-±) = пл. F.^+V,,.
Пусть теперь п неограниченно возрастает. Так как
lim fmi. F • —1 = 0, то
Л-» 00 V п /
lim V„=lim У„ = 4-пл. F-H- lim IY1—-Ш—-^1 =4-пл- F'H- (*)
«-►00 «-►оо ° Л->00 L\ П П J J
Согласно определению объема тела (§ 1), из равенства (*) имеем
УКон = 4ПЛ- F'H'
что и требовалось доказать.
Замечание. Если высота SO лежит вне конуса, то вместо
прямых цилиндрических тел будем строить наклонные цилиндри-
ческие тела, как это показано на рис. 222. Все остальные рассуж-
дения доказательства остаются без изменения.
Следствие 1. Конусы, имеющие равновеликие основания и рав-
ные высоты, равновелики.
С помощью формулы (8) можно находить объемы таких конусов,
площади оснований которых мы умеем вычислять. К таким конусам
относятся, например пирамиды, в основании которых лежат мно-
гоугольники, круговые конусы и др.
466
Следствие 2. Объем пирамиды равен произведению площади
основания на треть высоты:
Упир = у$ос..-Я- (9)
Следствие 3. Объем кругового конуса равен произведению пло-
щади круга, лежащего в основании, на треть высоты;
^К0Н = |л^Я, (10)
где R—радиус основания, а Н—высота.
§ 6. ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
Теорема. Объем усеченного конуса, площади оснований которого
равны St и S2, а высота равна Н, находится по формуле
+ (П>
Доказательство. Усеченный конус дополним до полного
(рис. 223). Тогда объем усеченного конуса равен разности объемов
двух конусов с общей вершиной А и основаниями F и Ф.
Обозначая высоту ДОХ дополнительно построенного конуса че-
рез х, имеем
Vyc.™ = у (Я + X) —S2 х = I [StH + (S.-SJх]. (*)
В этом равенстве величина х нам неизвестна. Для ее нахождения
^воспользуемся формулой ^ = -—, откуда, извлекая из обеих
15** 467
О и Н X Т-Т
частей равенства квадратный корень, получим /= =--------.При-
V s2 х
меняя свойство производной пропорции, находим
Я
откуда
Заменим в формуле (*) х найденным значением:
vyc.KOH=I [5гЯ+(5k-s2) = 4 ($t+s2 4- Гад,
что и требовалось доказать.
Полученная формула позволяет находить объемы таких усечен-
ных конусов, площади оснований которых мы умеем вычислять.
К таким усеченным конусам относятся, например, усеченная пира-
мида, усеченный круговой конус и т. д.
Следствие 1. Объем усеченной пирамиды вычисляется по фор-
муле
Гсеч.пир =4(Л + 5 + КЛВ), (12)
где А и В — площади многоугольников, лежащих в ее основаниях,
а Н—высота.
Следствие 2. Объем усеченного кругового конуса вычисляется
по формуле
Vyce4.K0H = 4^2+r2+/?r)’ <13)
где R и г — радиусы оснований, а Н—высота.
§ 7. ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ
Теорема 1. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле
Ушар.сегм = лЯ2(/?—у), (14)
где R— радиус шара, а Н—высота сегмента.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Н R.
Разделим высоту сегмента АВ на п равных частей = и через
точки деления 0п 02, ... , 0п^1 (считая от точки Л) проведем пло-
скости, перпендикулярные высоте АВ. В сечении этих плоскостей
с шаром образуются круги с радиусами
Г1 = О1Л1, г2 = О2А2, = 0/2_1Л^_1.
468
На этих кругах построим цилиндры с высотой Л = —-, как это
показано на рис. 224. Эти цилиндры образуют ступенчатое тело,
содержащееся внутри данного шарового сегмента. Его объем
¥» = + • • • +г2п_1). (*)
Величина есть средняя пропорциональная между отрезками A0k =
= и 0kC = 2R— (рис. 225). Следовательно,
Будем неограниченно увеличивать п. Тогда
ИтУ„ = ПшлЯ*|> (1—1)—1— 1W2—ЛЛ =nH2(.R—^'\.
п IV «/ 6\ «Л «Л к з;
п н
Ступенчатое тело, состоящее из цилиндров с высотами — и радиу-
сами оснований гх, г2, ..., гп_и гп = ВАп (рис. 226), содержит
данный шаровой сегмент. Его объем
V„ = n^(r! + r?+ ... +^_1 + ВЛ’) = Уп + ^.ВА1„.
Так как lim — -BA„ = 0, то
п
lim V„ = lim V„ = лН2 (R —v) •
Л->оо /2->оо ~ \ *3 /
469
По определению объема тела отсюда следует, что
= яД.(Я_»),
шар. сегм
Следствие. Объем шара
Рис. 226
сегмента с высотой 2R—Н = h
вычисляется по формуле
Ушара = 4я^ (15)
Действительно, полагая в фор-
муле (14) H = R, получим объем по-
лу шара. Поэтому
Ушара = 2л/?2 ( R -у) = 4 nR3.
Замечание. Теперь можно по-
казать, что формула (14) справедлива
и в том случае, когда высота сег-
мента Н> R.
Объем V такого шарового сегмен-
та можно получить как разность
между объемом шара и объемом
где h < R. Тогда
V = 4 nR3—nh3 (R — 4")=4 nR3—п (2R—Я)2 ( R =
= nH3(R— 4") •
\ о у
Теорема 2. Объем шарового сектора вычисляется по формуле
о
^ар.секТ = -з (16)
где Н—высота этого сектора.
Доказательство. Объем простого шарового сектора равен
сумме объемов шарового сегмента и конуса (рис. 227, а):
'^шар. сект = "Я2 (R-у )+4
470
где
h = R—Н, ri = H(2R—H).
Поэтому
Ушар. сект = . (₽ -у) +у ЛЯ (2R—Н) (R-H) = ^aR*H.
Объем полого шарового сектора равен разности объемов двух про-
стых секторов (рис. 227, б):
Ушар. сект. = У Л/?2 ДС—У лЯ2 А В = | л 7?2 (ДС - АВ) = У л7?2Я.
§ 8. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ, ЦИЛИНДРОВ
И КОНУСОВ
Поверхность многогранника состоит из плоских граней—много-
угольников. Поэтому площадь поверхности многогранника равна
сумме площадей всех его граней.
'Для* цилиндрических и конических тел вводятся понятия пло-
щади боковой поверхности и площади полной поверхности.
Площадь боковой поверхности призмы и пирамиды равна сумме
площадей всех их боковых граней.
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра опре-
деляется как общий предел площадей боковых поверхностей пра-
вильных вписанных и соответственно описанных призм, когда число
сторон основания этих призм неограниченно удваивается.
Аналогично вводится понятие площади боковой поверхности
конуса и усеченного конуса. Площадью боковой поверхности прямого
кругового конуса называется общий предел, к которому стремятся
площади боковых поверхностей правильных пирамид, вписанных и
соответственно описанных около конуса, когда число сторон осно-
вания этих пирамид неограниченно удваивается.
Площадь полной поверхности этих тел складывается из площади
их боковых поверхностей и площади оснований.
Приведем основные формулы для вычисления площадей поверх-
ностей указанных тел.
Теорема 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
произведению периметра ее основания на высоту.
Доказательство. Боковые грани такой призмы—прямо-
угольники с общей высотой И, равной высоте призмы. Обозначая
стороны основания призмы через а, &, с, получим
4$бокпр = аН-\-ЬН-\-сН4-... + qH=(a-\-& + • ••+<?) Н=Р
Р—периметр основания призмы.
Теорема 2. Площадь боковой поверхности пирамиды, боковые
грани которой имеют равные между собой апофемы, равна произве-
дению полупериметра ее основания на высоту.
Доказательство. Боковая поверхность такой пирамиды
состоит из треугольников с равными высотами. Обозначая через I
471
апофему, а через а, Ь, с, ..., q—стороны основания, имеем
*^бок. пир = у + у + • • • + + • • • + ?)• I= Р• Ц (18)
где р— полупериметр основания.
Следствие. Площадь боковой поверхности пирамиды с равными
апофемами боковых граней равна площади ее основания, деленной на
косинус угла наклона ее боковых граней к плоскости основания'.
с _ ^осн /1 п\
° бок. пир cos ф ’
Доказательство. Из равенства апофем вытекает равенство
их проекций г на плоскости основания и равенство двугранных
углов при основании, причем апофема = По теореме 2
с _ Р'Г __ ^осн
бок. пир COS ф COS ф >
так как p-r = S0CH .
Замечание. Теорема 2 и следствие справедливы, в частности,
для любой правильной пирамиды. Требование равенства апофем
можно заменить равенством двугранных углов при основании пира-
миды и другими эквивалентными условиями.
Теорема 3. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды
с равными апофемами боковых граней равна произведению суммы
полупериметров ее оснований на апофему.
Доказательство предоставляется читателю.
Теорема 4. Площадь боковой поверхности прямого кругового
цилиндра равна произведению длины окружности его основания на
высоту.
Доказательство. Впишем в цилиндр правильную n-уголь-
ную призму. Площадь ее боковой поверхности sn = Pn H, где Рп —
периметр многоугольника ее основания, а Н—образующая цилиндра.
При неограниченном удвоении числа сторон основания
lim sn = lim Рп-Н =
Площадь Sn боковой поверхности правильной n-угольной призмы,
описанной около цилиндра, равна Qn H, — периметр n-уголь-
ника, описанного вокруг основания цилиндра:
lim S„ = lim Qn-H = 2nR-H.
Согласно определению площади боковой поверхности цилиндра
5бок.цил = 2^.Я. (20)
472
Теорема 5. Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса
равна половине произведения длины окружности его основания на
образующую'.
*$бок. кон = (21)
Доказательство. Площадь боковой поверхности правиль-
ной n-угольной вписанной пирамиды sn = ±-Pn-ln, площадь боковой
поверхности правильной n-угольной описанной пирамиды Sn = ~Qn-l.
Так как lim sn = 4--2nRl и lim Sn = -^--2jiR-1, то по определению
П-+СО /2-> со
^бок. кон “ ttRl-
Замечание. Так как limrn = /?, a ln = V Н- г2п, то lim 1п =
/2->со /2->оо
= + = I.
Площадь боковой поверхности прямого кругового усеченного
конуса можно получить как разность площадей боковых поверхно-
стей двух конусов.
Теорема. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
произведению полусуммы периметров его оснований на образующую'.
^бок. ус. кон = я (^ + г) (22)
Доказательство. Достроим усеченный конус до полного
и обозначим через х образующую достроенной части. Тогда
5бок. ус. кон = л/? (/ + х) — nrx = (R—r) X. (*)
Для определения величины х составим пропорцию
R 1-\-х
г х 1
откуда (R— r)x = rl. Возвращаясь к соотношению (*), находим
*^бок. ус. КОН = H>Rl 4“ = (R 4“ ^)
§ 9. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ
Определение. Площадью поверхности тела, образованного
вращением дуги окружности вокруг непересекающего ее диаметра,
называется предел, к которому стремится площадь поверхности
тела, образованного вращением вокруг той же оси правильной лома-
ной, вписанной в указанную дугу, когда число звеньев ломаной неогра-
ниченно удваивается.
Теорема. Площадь поверхности шарового слоя, а также шарового
сегмента равна произведению их высоты на длину большого круга
шара\
^шар. слоя “ 2nRH, *5шар. сегм = 2tcRH . (23)
Доказательство. Шаровой пояс образован вращением дуги
АВ вокруг диаметра MN (если точки М и А совпадают, то полу-
чается шаровой сегмент).
473
Впишем в дугу АВ правильную ломаную. При ее вращении
вокруг MN звенья ломаной могут описывать либо боковую поверх-
ность усеченного конуса (например, АЕ), либо боковую поверхность
кругового конуса (если конец звена совпадает с концом оси), либо
боковую поверхность кругового ци-
линдра (рис. 228).
Проведем апофемы 0D, ОК, ... .
Длину апофем обозначим через гп:
0D = ОК = ... — гп. Найдем площадь
поверхности, которую описывает про-
извольное звено, например АЕ. Так
как DJ)—средняя линия трапеции
EEtArA (DD11 MN), то
SAE = Л ’ АЕ =
= я 20,0 Л ,Е, sin ALr —
= 2M.sinZDfiD.J!^i- =
=2лгп- АХЕГ.
Рис. 228 Мы использовали равенство углов
АЕЕХ и DrOD. Вывод остается вер-
ным для любого звена взятой ломаной. Тогда площадь боковой
поверхности, образованной вращением всей ломаной,
5ЛОМ = 2 лгпМ А! + 2 лгп A tEt + 2 л rnEiFl + 2лгп • F1B1 = 2лгп • Н,
где
Н=М At + + E1F1 + F1B1 = AjB^
При неограниченном удвоении числа звеньев ломаной апофема
неограниченно приближается к радиусу окружности. Следовательно,
lim 5Л0М = lim 2nrnH = 2nRHi
П-+<п
и, согласно определению,
^шар. слоя 2^lRH.
Следствие. Площадь поверхности шара вычисляется по фор-
муле
5ШаРа = 4л^. (24)
Действительно, полагая в предпоследнем равенстве Н — 2R, по-
лучим формулу (24).
ГЛАВА XIX
ОБЗОР ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
В этой главе мы рассмотрим некоторые типовые задачи и методы
их решения.
Важнейшим и, можно сказать, необходимым условием правиль-
ного решения является грамотно выполненный чертеж, на котором
должны быть точно указаны все элементы, участвующие в решении,
например, углы, высоты, точки касания и т. д. Все построения
должны быть строго обоснованы ссылками на соответствующие
теоремы и определения. Построение чертежа во многих случаях
является самой трудной частью решения задачи. Рассмотрим нес-
колько таких задач, которые становятся совсем легкими после
правильно построенного чертежа. Решение этих задач основано
на следующих трех свойствах, которые необходимо запомнить.
/. Если пирамида имеет равные боковые ребра или же эти ребра
образуют равные углы с плоскостью основания, то ее высота прохо-
дит через центр окружности, описанной около основания пирамиды.
2. Если апофемы боковых граней равны или эти грани образуют
равные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит
через центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
3. Если боковое ребро образует с прилежащими ребрами основа-
ния равные углы, то проекция этого ребра является биссектрисой
плоского угла, образованного этими ребрами основания.
Доказательство этих фактов несложно и предоставляется чита-
телю.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треу-
гольник, гипотенуза которого равна высоте пирамиды. Найти углы
между боковыми ребрами и плоскостью основания, если известно,
что боковые ребра равны.
Решение. Задача становится чрезвычайно простой, если пра-
вильно выполнить чертеж.
Так как боковые ребра равны, то высота пирамиды SD прохо-
дит через центр окружности, описанной около треугольника АВС.
Следовательно, точка D лежит на середине гипотенузы АВ (рис. 229);
SD I пл. АВС, поэтому CD — проекция ребра SC. Далее, ^/SAD =
= /_SCD = X.SBD. В прямоугольном треугольнике SCD катет
SD = AB = 2CD. Это означает, что ^ = 2 = tg^ SCD. Итак,
/ SCD = SBD - SAD = arctg 2.
Задача 2. Противоположные ребра основания четырехугольной
пирамиды попарно параллельны, а ее боковые грани наклонены
к плоскости основания под равными углами <р. Найти объем пира-
миды, если диагонали ее основания равны а и Ь.
Решение. Так как боковые грани равнонаклонены к плос-
кости основания, то высота SO проходит через центр окружности,
475
вписанной в четырехугольник ABCD (рис. 230). Так как ДВ||С£>
и ДРЦСВ, то ABCD является параллелограммом, в который, кроме
того, можно вписать окружность. Следовательно, ABCD — ромб
и О—точка пересечения его диагоналей. Построим один из линей-
ных углов данных двугранных углов. Для этого в плоскости осно-
вания проведем ОЕ I АВ и Е соединим с S. По теореме о трех
перпендикулярах АВ I пл. SEO, т. е. ^/SEO есть линейный угол <р.
Перейдем к вычислительной части задачи. Имеем Упир=-^ S0CH-H =
= ~аЬН. Высоту пирамиды SO = Н мы найдем из треугольника SEO,
если предварительно вычислим катет
ЕО (X SEO = <?,Х SOE = 90°; рис. 230).
Для нахождения катета ЕО рассмот-
рим ромб ABCD\ ЕО является поло-
виной высоты ромба: АО = , ОВ =
АВ Так какАО-ОВ =
я т> хч т~< с AO-OB ab
— АВ-ОЕ, то ОЕ = —гб~ =—г .........
АВ 2/а2+^‘
Возвращаясь к треугольнику SOE, на-
ходим OS = И = ОЕ • tg <р = а — и
у a2b2tg Ф
пир 12Va2+/>3’
Задача 3. Из вершины А прямоугольника ABCD проведена вне
его плоскости прямая, образующая со сторонами АВ и AD равные
острые углы. На какие части проекция этой прямой на плоскость
ABCD делит диагональ BD, если АВ = а, ВС = Ь?
Решение. Проекция прямой на плоскость ABCD является
биссектрисой угла А (см. п. 3 на стр. 475). Следовательно, задача
476
состоит в том, чтобы найти части, на которые делится диагональ
BD биссектрисой угла А (рис. 231).
Рассмотрим треугольник ADB. По свойству биссектрисы внут-
DM AD у-r , о , - п
реннего угла имеем = По условию = АВ = а,
DB = а2 А~Ь2- Составляя производную пропорцию
DM -[-МВ a-\-b V а2-\-Ь2 а А-о
МВ а~ ’ ИЛИ МВ ~ ’
находим
МВ = ДТ~^+^2 и DM = DB—MB = Ь}Га^--.
а-[-Ь а-[-Ь
После этих предварительных замечаний рассмотрим следующие
типы задач.
§ 1. УГОЛ между прямой и плоскостью.
ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ
Выполнив чертеж, рассматриваем тот треугольник, который
содержит искомый угол. Если число данных в этом треугольнике
недостаточно для его решения, то эти недостающие данные находим
из других треугольников, примыкающих к рассматриваемому.
Задача 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника с острым
углом а лежит в плоскости Р. Найти углы, которые составляют
с этой плоскостью его ка-
теты, если угол между
плоскостью Р и плоскостью
треугольника равен <р.
Решение. Опустим
из вершины прямого угла
С перпендикуляр CD на
плоскость Р (рис. 232) и
в плоскости Р проведем
DE I АВ. Точки С и Е
Рис. 232
соединим. Так как ABA^CD
и АВ A-.DE, то АВ _1_пл. CDE, т. е. как линейный угол
данного двугранного угла.
Так как AD — проекция AC, BD — проекция ВС на плоскость Р,
то углы CAD и CBD — искомые. Эти углы принадлежат треуголь-
никам ADC и CDB соответственно. Найдем длины катетов в этих
треугольниках.
Катеты АС и СВ находим из треугольника АВС (^/ВАС = а).
Обозначая его гипотенузу АВ = с, имеем: АС = с cos а и ВС = с sin а,
СЕ-АВ= АС-СВ, откуда
с2 cos a sin а
СЕ =------------= с cos а -since.
с
Сторону DC находим из треугольника DCE\ DC = СЕ-sin DEC=
= с cos a -sin a- sin ср. Возвращаясь к треугольникам ACD и DCB,
477
окончательно получаем
, гу . r> CD с cos a-sin a-sin®
sin Z CAD = ----* = sina - sin<p,
CD c cos a -sin a- sin cp .
sin Z CBD = rc-=---------------* = cos a - sin <p,
т. е.
/ С AD = arcsin (sin a-sin <р) и /_CBD = arcsin (cos a-sin <p).
Задача 2. Через точку, лежащую на ребре двугранного угла,
равного 45°, проходят два луча, расположенные в различных его
полуплоскостях. Один из лучей перпендикулярен к ребру, а дру-
гой образует с ребром угол в 30р. Найти угол между данными
лучами.
Решение. Отложим на луче, перпендикулярном ребру MN,
отрезок АВ = а и из точки В опустим на плоскость второй грани
перпендикуляр ВО (рис. 233). Из точки О проведем в этой плос-
м
Рис. 233
кости ОС I AC. Соеди-
ним точки О и А, С и
В. Так как.МЛ/_[_ АВ и
MN I ВО, то MN I пл.
АВО; следовательно,
Х.ВАО—линейный угол
данного двугранного
угла, т. е. / В АО = 45°.
Кроме того, /_САО=
= 90°—Z САЛ/= 90°—.
—30° = 60° (AO_L MN).
Искомый угол ВАС мы
найдем из треугольника АВС. В этом треугольнике / ВС А = 90°
(ОС _]_ АС, следовательно, и ВС | АС) и АВ = а. Чтобы найти один
из его катетов (АС), рассмотрим треугольники АВО (АВ = а,
^ВАО = 45°, Z50A = 90°) и АОС (^САО = 60°, ^_ОСА = 90°).
Из первого находим АО = ВО = , тогда из второго получаем
АС = АО-cos60° = Возвращаясь к треугольнику АВС, окон-
чательно получаем
cos Z-ВАС = 45 =-4--= ZBAC= arccos—
АВ 2/2а 2/2 2/2
Задача 3. Две грани треугольной пирамиды — равнобедренные
прямоугольные треугольники АВС и ABD с общей гипотенузой
АВ—образуют двугранный угол a (a <90°). Найти двугранный
угол, ребром которого является катет BD.
Решение. Из вершины С опустим перпендикуляр СО на гипо-
тенузу АВ и точку О соединим с D (рис. 234). Так как треуголь-
ники АСВ и ADB равнобедренные, то О—середина АВ и DO \_АВ.
Следовательно, / DOC = а как линейный угол данного двугранного
478
угла. Построим линейный угол искомого двугранного угла при
ребре BD. Для этого из вершины С опустим на плоскость ABD
перпендикуляр СЕ, который лежит в плоскости треугольника
COD (пл. COD J_ пл. ABD). Из точки Е проведем EF±BD и
точки F и С соединим. Так как BD J_C£ и BD \_EF, то X.CFE —
искомый линейный угол. Его мы найдем из треугольника CEF
(/£ = 90°), если
Пусть АВ = а.
= у cos а. Чтобы
предварительно вычислим два его элемента.
Тогда СО = у, СЕ = СО • sin а = ~ sin а, ОЕ =
найти EF, рассмотрим треугольник EDF, в кото-
Рис. 234
ром ^/EDF = 45°, Z.EPD = 9Q° и ED = OD — OE = у(1—cosa) =
= a sin2 у. Поэтому ££ = ££>• sin 45° = sin2.
Возвращаясь к треугольнику CFE, находим
tgZC££ = ^ =
-/•— . a a
У 2 a sin у cos
/2ctg^-,
• 2 a
a sin2 у
t. e.
Z_CFE = arctg (/2 ctg-J).
Задача 4. Два плоских угла трехгранного угла равны а и 0.
Найти третий плоский угол, если противолежащий ему двугранный
угол — прямой (а < 90° и р < 90°).
Решение. Через точку А, взятую на ребре прямого двугран-
ного угла, проведем плоскость, перпендикулярную этому ребру
(рис. 235). Эта плоскость пересечет грани трехгранного угла по
прямым АС | SA, АВ | ЗЛ и ВС. Имеем / ВАС = 90°, / ASC = а,
ДЛЗВ^р. Требуется определить угол BSC. Этот угол мы найдем
из треугольника BSC, если предварительно вычислим все его
стороны.
1) Из ДВЛЗ (положим SA—cr, /_ВЛЗ = 90°, ^/ASB = fi) имеем
AB = atg р, SB = -^.
& 1 ’ cosp
479
2) Уз & SAC (/5ДС = 90°, ^ASC = a, SA = a) имеем AC =
3) Из А АВС находим ВС — АВг 4- XC2 = «Ktg2a + tg2 0.
Возвращаясь к треугольник)' SBC, получаем
, DCZ> SB2+SC* — B&
cosZ^C = ~5S~b-.sc— =
a2 , a2
---Гл "I---2----a2 0g2 P + tg2a)
cos2 p 1 cos2a \ ъ i । ь /
=------5---------2^2---------------= COS a • COS P.
cos a-cos p
Следовательно, / BSC = arccos (cos a • cos P).
Задача 5. Один из плоских углов трехгранного угла равен 60°.
Прилежащие к нему двугранные углы равны 30° и 45°. Найти два
других плоских угла, если известно, что они острые.
Решение. Из произвольной точки А ребра, противолежащего
грани известного плоского угла, опустим на эту грань перпенди-
куляр АО и проведем OB^_SB и ОС | SC (рис. 236). Точки В и
С соединим с А. Так как SB _[_ОВ и SB | АО, то SB | пл. АВО,
т. е. АВО = 45° как линейный угол данного двугранного угла.
Аналогично получаем, что ^АСО = 30°. Искомые углы ASB и
ASC найдем из одноименных треугольников. Обозначая AO = h,
рассмотрим последовательно ряд треугольников.
1) Из ДАВО (/АОВ-90°, /ОВА-45°, AO = h) находим
BO = AO = h, AB = hV2.
2) Из ДАСО (/АОС-90°, /ОСА —30°, АО-ft) находим
лс=етз = 2ft> oc=ftctg зо°=лКз.
3) В четырехугольнике OBSC (ОВ и ОС известны, ZS = 60°,
А В = /_С = 90°) проведем OS и рассмотрим треугольники SBO и
SCO. Имеем
ов —JL. пс;- ос -
sin £ OSB sinx ’ sin OSC sin (60°—х) ’
480
откуда для определения х получаем уравнение
1 _ Уз
sin х sin (60°—х) ’
решая которое, находим
(2 К3 4-1) sinx = J/A3cosx,
т. е.
. 2/3+1 , ,СПс > 24- /3
ctg х = —и ctg (60 — х) = —j— .
и CS. Из треугольника SBO находим
из треугольника SCO находим CS =
Теперь можно найти BS
BS = BO- ctg х = 2 h,
6 У з
=OC. ctg (60э-х)=-^Д/1.
Возвращаясь к треугольникам ASB и ASC, окончательно по-
лучаем
, /ЛОО Л8 б , / Л о/^ АС б
tg / ASB = — = —, tg / Л5С = — = —.
SB 2)<3+1 SC 2 v 34-3
§ 2. УГОЛ И РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Как известно, за один из углов между скрещивающимися пря-
мыми р и q принимают угол, образованный двумя лучами О А и ОВ,
выходящими из одной точки О и соответственно параллельными
данным прямым: О А || р и ОВЦ^. Точка О выбирается произвольно
и, в частности, может быть взята на одной из скрещивающихся
прямых. Вообще, выбор точки О зависит от конкретной задачи.
Если через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести
плоскость, перпендикулярную другой, то эти прямые образуют
угол в 90°. В этом случае легко построить их общий перпенди-
куляр. Для этого достаточно из точки А пересечения прямой
q с перпендикулярной ей плоскостью Р (рис. 237) опустить пер-
пендикуляр АВ на прямую р, лежащую в плоскости Р. Длина
этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми р и q
(см. задачу 1). В общем случае, чтобы найти расстояние между
скрещивающимися прямыми р и q, нужно через одну из них (на-
пример 7) провести плоскость Q, параллельную другой (р). Тогда
расстояние от любой точки прямой р до параллельной ее плос-
кости Q и есть искомое расстояние между скрещивающимися пря-
мыми р и q.
Задача 1. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти угол
и расстояние между его скрещивающимися ребрами.
Решение. Найдем угол и расстояние между ребрами ВС и Л5.
Из точки А опустим на ребро ВС перпендикуляр AD и соединим
D с S (рис. 238). Так как ВС | SO (SO — высота) и ВС | AD, то
ВС_1_пл. ASD и, следовательно, ВС | Л5.
31 № 407
481
Чтобы найти расстояние между XS и ВС, проведем в плос-
кости ASD прямую DE}_AS. Так как DE J_BC и DE\_AS,
то DE является общим перпендикуляром скрещивающихся прямых
ВС и Л5. Кроме того, ED—высота в треугольнике ASD, в кото-
ром AD = DS = - и AS = a. Поэтому
£>£= ]/ AD*—
Задача 2. В кубе, ребро которого равно а, найти угол и рас-
стояние:
1) между ребром и скрещивающейся с ним диагональю куба;
2) между диагональю грани и скрещивающейся с ней диаго-
налью куба;
3) между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней.
Рис. 239
Решение. 1) В кубе ABCDA1B1C1D1 рассмотрим ребро ААг
и диагональ DB± (рис. 239). Так как ЛЛ^ВВ^ то угол DBrB
равен искомому углу между скрещивающимися прямыми ЛЛ1 и DBr
и легко находится из треугольника DB^, в котором ВВх = а,
DB = a]^2, Z-B^BD^Q0. Поэтому tg/DBtB = = У 2.
Для определения расстояния между прямыми ААг и DBX за-
метим, что прямая AAt параллельна плоскости BDD1B1, в которой
лежит прямая DBt. Искомое расстояние равно длине перпендику-
ляра, опущенного из любой точки прямой ААг на эту плоскость.
Проведем диагональ АС. Так как AC I BD . и AC | BBlt то
АС | пл. BDD1B1 и А0= а и есть искомое расстояние.
2) Решим задачу относительно прямых и DBj (рис. 240).
Рассмотрим сечение A^DCB^, в котором лежит прямая DBr. Так
как ЛР1_]_Л1Р и AD^AiBi., т0 ADX | пл. A1DCB1, в частности,
yWiJ_DBi, т. е. угол между ADt и BXD равен 90°.
Из точки Е пересечения ADt с сечением Л^СВ, проведем
в плоскости сечения EF ]_DB1 (рис. 240). Отрезок EF является
482
общим перпендикуляром прямых ADr и DB± и легко находится из
ini rjтт тл jnv A-iD а Т*"" 2 »-ч»г DC л
треугольника DEK- В самом деле, DE = —5— = —, ЕК = -п- = -к- и
А £ Ь Ь
_ DBt _ аУ 3
~ 2 ~ 2
Но EF-DK = DE-EK, поэтому EF • —
а у 2 а а
= —'2> 0ТКУДЭ £F = TT*
3) Возьмем диагонали ADX и DCi. Так как (рис. 241),
то угол между прямыми ADt и DCt равен углу DC^B. Так как
треугольник DCji равносторонний, то 1</^С1В = 60°.
Рис. 240
Расстояние между AD± и DC± равно расстоянию от прямой AD±
j\q параллельной ей плоскости DC^B. Опустим из точки Dr пер-
пендикуляр Dfi на плоскость DCJ3. Соединив вершины £>, В и С\
с точкой D1? получим пирамиду DJJBC^ в которой D±O является
высотой (рис. 242). В основании пи-
рамиды лежит правильный треуголь-
ник DC,B (DB = ВС1 = ЕС\ = аУ2),
ребра D1C1 = D1D = а и Е1В = аУЗ.
Так как D1C1 = DJ), то основание
высоты лежит на биссектрисе угла В.
Рассмотрим треугольник BDXE,
в котором DLO является высотой.
В нем нам известны все стороны:
ВЕ=^-С^, D^-CCl, DrB =
= а Уз. Заметим, что £\В2 > BE2DJE2, т. е. треугольник
DJ3E—тупоугольный (рис. 242). Определив угол D.J3E:
9 2, 3«2 "2
cos / D BE- D^BE2-ED*- 2 2
cos^^i^ 20^.BE - __ O1<6
4
3 V 2
найдем ODp 2
OD^D^ sin^D.BE^aCS • | = -Ц-
483
Задача 3. В правильном тетраэдре SABC отрезок MN соединяет
середины ребер АВ и SC, а отрезок PQ соединяет середину
ребра ЛЕ с центром грани АВС. Найти угол между MN и PQ.
Решение. Через ребро CS и точку М проведем плоскость, кото-
рая в пересечении с тетраэдром образует треугольник SMC. В этом
треугольнике MC = MS = а и CS = a, где а—ребро тетраэдра
(рис. 243). Отсюда
MN = /МС2—С№ = =-Ц-^ •
Проведем в плоскости CMS прямую QE\\MN. Образовавшийся
при этом угол PQE и есть искомый. Его можно найти из тре-
угольника PQE, если предварительно вычислить стороны EQ, PQ
и РЕ.
л л MN СМ CQ Д,Л7 2 2
1) Д MNCon Д QEC\ -Q£-~~CQ- » QE — • MN — -^-?— —
а^~ 2 „ CN CM CQ 2 a a
= -3-. Далее, —= — ; C£ = -^.^ = y.y = T.
2) PQ является медианой прямоугольного треугольника ^QS,
проведенной из вершины прямого угла. Следовательно, PQ = 4^ = у •
3) РЕ является стороной треугольника PSE, в котором
^/ESE = 60°, PS = y, SE = SC — ЕС = ^а. По теореме косинусов
PE = VPS*+SE*—2PS • S£ cos 60° = ]/ + .
Теперь в треугольнике PEQ нам известны все три стороны.
Снова используя теорему косинусов, находим
а2 . 2а1 13д2
cos /РОЕ — = ~+~9 36~
СО5^^ 2PQ-QE а а/2
2 3
1
3 /2 ’
откуда
/ PQE = arccos—.
4 3/2
§ 3. ЗАДАЧИ НА СЕЧЕНИЯ
Пусть пространственное тело пересекается некоторой плоскостью.
В пересечении секущей плоскости с телом мы получим плоскую
фигуру, которая называется сечением. В частности, если простран-
ственное тело является многогранником, то сечение есть много-
угольник. Обычно основные трудности при решении задач, свя-
занных с сечением, состоят в определении формы этого сечения.
Чтобы определить сечение в случае многогранника, нужно найти
прямые пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.
484
Для этого достаточно (если это возможно) определить точки пере-
сечения секущей плоскости с его ребрами.
Если секущая плоскость параллельна какому-нибудь ребру мно-
гогранника, то она пересекается с плоскостью грани, содержащей
это ребро, по прямой, параллельной ребру.
Задача 1. В произвольной треугольной призме АВСА1В1С1 про-
ведено два сечения. Первое сечение проходит через АВ и сере-
дину а второе — через А1В1 и середину ССГ. Найти отношение
длины отрезка линии пересечения этих сечений, заключенного
внутри призмы, к длине отрезка АВ.
Решение. Построим каждое из указанных сечений. Первое
сечение пересекает грань АА^С по прямой АЕ, где Е—середина
отрезка Д1С1 (рис. 244). Так как то секущая плоскость
параллельна прямой А^В^ и, следовательно, пересекает основа-
ние А1В1С1 по прямой Соединив точки F и В, получим
прямую пересечения грани ВСС1В1 с секущей плоскостью. Таким
образом первое сечение есть трапеция ABFE. Второе сечение —
треугольник A^QB^ Так как плоскость ABFE параллельна пря-
мой А^В^ то оба сечения пересекаются по прямой, параллель-
ной AJ^'. 7VW|| AJB^
тт . мм ММ
Чтобы наити искомое отношение или j-y , рассмотрим по-
добные треугольники и MNQ. Имеем
ММ __ MQ ,
А& - W
Отрезки и MQ принадлежат грани ЛСС1Л1 (рис. 245). Про-
ведя QtQ || АС, получим подобные треугольники AtME и PMQ,
в которых
MQ _ PQ AiM + MQ-AiE+PQ
АХМ AjE ’ MQ PQ
485
т. е.
AQ. = .^e+pq
MQ PQ v'
По условию A±E = у Q1P = -^-AtE — -^ А1С1 (QXP—средняя
з
линия треугольника AAJi). Следовательно, PQ = ~ Л/^. Теперь
из пропорции (**) имеем
1 ч
Л^_5
MQ 3 3
и из равенства (*) находим искомое отношение
ММ __ 3
.4А — 5 •
Задача 2. В основании четырехугольной пирамиды SABCD ле-
жит квадрат со стороной а. Ребро 5Л перпендикулярно к плоскости
основания и равно h (рис. 246). Через вершину А параллельно диа-
гонали основания BD проведено сечение, которое делит SC в отноше-
нии 2:1, считая от S. Найти площадь сечения.
Решение. Пусть К лежит на ребре CS и SK'КС = 2:1. Се-
чение проходит через прямую АК и параллельно диагонали BD.
Следовательно, плоскость SBD пересекает это сечение по некоторой
прямой MN, параллельной BD. Высота SO треугольника SBD
пересекает отрезок MN в точке причем MO1 = O1N (/\SBD —
равнобедренный). Так как точка О± лежит и на прямой А К, то она
может быть получена как пересечение прямой АК с высотой SO
треугольника SBD. Получив точку Olt проводим через нее в плос-
кости SBD прямую, параллельную BD. Она пересечет ребра SB
и SD в точках N и М соответственно. Соединив последовательно
точки Л, N, К и 7И, получим четырехугольник ANKM, Так как
BD J_ пл. Л5С (BD J_ АС и BD J_ Л5), a MN || BD, то MN пл. Л5С,
486
в частности, MN | АК, т. е. диагонали полученного четырех-
угольника взаимно перпендикулярны. Поэтому SANKM — MN • АК-
Величину АК найдем из треугольника 5ЛС, где /_ А = 90°,
АС = а]/г2, AS — h и SK:КС = 2:1 (рис. 247). Проведем ЛС.
Очевидно, ЛЕ:£С = 2:1 и Л3:/<£, = 3:1. Следовательно, АЕ =
= 4ЛС = 4«К2, КЕ — ^ и Ж = /ЛЕ2+К£2 = 4К8а2 + й2.
О О О о
Диагональ MN найдем из треугольника BSD, где BS — SD, BD =
= аК2. Так как MN\\BD, и
11 IVLIN oUj
MN = ^^. (*)
dv
Из треугольника Л50 находим SO = КЛ52 + АО2 = у K4/i2 + 2а2.
Чтобы найти SO lt проведем OL || (рис. 247) до пересечения
с прямой Л/С; AOjS<si ДОО^, откуда
SOX AS+OL SOi + 0,0
OL ОО± ’ SOi ’
ИЛИ \ х.
sOi __ лз , . \ X.
SO — AS-\-OL ' ’ \ X.
TJ OL AO nr AO-KE h \
НоК£ = ДЁ- T- e- 0L-4T=T Te- Jyt \
, \ SO, \
перь из пропорции (**) находим -^тг = Vе------„---р------7?
=———т-= Тогда из равенства (*) сле-
t । И о
h-\- ~г
4 Рис. 247
.— 4 4 т/”2
дует, что MN = а у 2 • — а и
О о
sЛ АГЛМ --= 4 • 4 а 2 • т К8а2 + /г2 = К1 ба2 + 2/г2.
Укажем другой путь построения сечения.
Секущая плоскость по условию проходит через точки А и К
параллельно диагонали BD. Чтобы построить сечение, достаточно
указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами SB и SD.
Рассмотрим эту секущую плоскость за пределами пирамиды. Так
как плоскость проходит через точку А и параллельна BD, то ей
будет принадлежать прямая PQ, проходящая через точку А и па-
раллельная BD (рис. 248).
Продолжим ребра основания СВ и CD до пересечения с пря-
мой PQ в точках Е и F. Точки Е и К принадлежат как секущей
плоскости, так и плоскости грани SBD. Следовательно, прямая КЕ
является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью бо-
ковой грани CSB. Эта прямая пересекает ребро SB в точке М
487
(а грань CSB — по отрезку КМ). Аналогично получаем точку N на
ребре SD, как точку пересечения этого ребра с прямой KF. Итак,
сечением является четырехугольник AMKN.
Заметим, что его площадь можно получить как разность между
площадью треугольника EKF и площадями двух равных треуголь-
ников АМЕ и ANF (рис. 249).
Рассмотренный способ продолжения секущей плоскости за пре-
делы многогранника является весьма удобным, а иногда и единст-
венным методом для построения сечений. Так как он используется
учащимися крайне редко, то рассмотрим еще две задачи, связанные
с сечениями и решаемые указанным методом продолжения секущей
плоскости.
Задача 3. В правильной шестиугольной пирамиде боковые грани
образуют с плоскостью основания углы в 60°, ребро основания
равно а. Через ребро нижнего основания перпендикулярно к про-
тиволежащей ему боковой грани проведена плоскость. Найти пло-
щадь полученного сечения.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через ребро АВ.
Построим высоту пирамиды SO и из середины ребра АВ проведем
прямую КО до пересечения с ребром ED в точке L (рис. 249).
Точку L соединим с 5. Очевидно, АВ_[_ПЛ- AXS, так как AB^SO
и В треугольнике KLS проведем Прямая KR
лежит в секущей плоскости, которая пересекает грань DES по
прямой MN || ED (так как АВ || ED). Таким образом, мы нашли
точки пересечения секущей плоскости с ребрами SE и SD.
Для того чтобы найти точки пересечения секущей плоскости с реб-
рами SF и SC, продолжим ребра основания EF и DC до их пересе-
чения с продолжением ребра АВ в точках Р и Q; Р соединим с М, а
Q — с N. Прямая РМ пересечет ребро SF в точке Т, а прямая QN —
ребро SC в точке G. Соединив Т с А и G с В, получим искомое
сечение — шестиугольник ABGNMT. Его площадь равна разности
488
между площадью трапеции PMNQ и площадью двух равных тре-
угольников РТА и BGQ (рис. 249). Далее PQ = 3a, так как тре-
угольники AFP и BGQ — равносторонние QZ PAF = / AFP = 60е);
поэтому АР = AF = а и BQ = a. Высоту трапеции RK найдем из
треугольника RLK, в котором LR = a ]/ 3, / LRR = 90° и / RLK=
= 6(Г. Следовательно, = 2L/C • sin 60° = у a, RL = ^—?.
Теперь легко вычислить верхнее основание MN. В треуголь-
нике DES высота LS = LK = а КЗ, RL = = -^~ SL, поэтому
MN = у DE = у . Следовательно, площадь трапеции
SPM NQ = 4 (PQ + MN) RK = ^ a1.
Вычислим площадь треугольника РТА. Так как TG\\PQ, то
высота этого треугольника равна длине отрезка ОГК, где О1 — точка
пересечения высоты пирамиды SO с плоскостью сечения. Из тре-
угольника OfiK^ZOKO^SO0, 2/°Ж = 90°, ОК = ЦД нахо-
дим ОХК = —— = a, затем Sapt cP и окончательно подсчиты-
COS OU
ваем площадь сечения:
С 21 Q 9 13 2
5сеч = у«3 —а2--=-^а2.
Задача 4. Дан куб ABCDAiB1C1D1. Через вершину Д, середину
ребра ВС и центр грани CDD1C1 проведена секущая плоскость.
Найти отношение объемов тел, на
которые куб делится секущей плос-
костью.
Решение. Секущая плоскость
пересекает основание куба по отрез-
ку АЕ, где Е — середина ребра ВС.
Продолжим ребро DC до пересечения
в точке Р с продолжением отрезка
АЕ (рис. 250). Точки Р и М при-
надлежат и секущей плоскости, и Рис. 250
плоскости грани CDD^C^ поэтому
прямая PQ, проходящая через Р и М, является линией пересечения
этих плоскостей. Она встречает ребро ССХ в точке F, а ребро
DD1—в точке Q. Соединив последовательно точки Е, F, Q и А,
получим искомое сечение.
Уточним положение точек F и Q. В треугольнике ADP отрезок
СЕ || AD и СЕ = у AD. Следовательно, CD = СР = а (примем ребро
куба за а). Пусть MN || DD±. В треугольнике MNP имеем: MN = у,
16 № 407
489
а пп 1л MW АТ MN-СР а
NC = -?- , СР = а. Из пропорции-^г =находим = —^р—=у.
тт DQ DP 2
Далее, = откуда DQ = -^a.
Найдем объем многогранника AQDEFC. Его можно получить
как разность объемов двух пирамид—пирамиды PADQ и пира-
миды PEFC:
V, y.s
V. = ^SEcp.PC = ^,
2а3 а3_________7а3
v AQDEFC — -g 36 — 36 •
7аз. 29а3
Тогда объем части куба, лежащей над сечением, равен а3—=
ОО оО
Следовательно, секущая площадь делит объем куба в отношении 7:29.
§ 4. ЗАДАЧИ НА КОМБИНАЦИИ ВПИСАННЫХ ДРУГ
В ДРУГА ТЕЛ
Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания —
многоугольники, вписанные в основания цилиндра, а боковые реб-
ра—образующие цилиндра. Призма, вписанная в прямой круговой
цилиндр, является также прямой. Ее основания — многоугольники,
которые можно вписать в окружность.
Цилиндр называется вписанным в призму, если основания ци-
линдра вписаны в
П Of
°2
Рис. 251
многоугольники оснований призмы, а каждая
боковая грань призмы касается боковой
поверхности цилиндра. Прямой круговой
цилиндр можно вписать только в прямую
призму, основания которой — многоуголь-
ники, в которые можно вписать окруж-
ность.
Задача 1. В основании прямой приз-
мы лежит равнобочная трапеция с острым
углом а. При каком а боковая поверхность
призмы в k раз больше боковой поверх-
ности цилиндра, вписанного в эту призму?
Решение. Пусть г — радиус осно-
вания цилиндра, 2а и 2Ь (а>Ь)—
Так как S^0Kb цил = 2лг//, а 5^0Ке пр = Р0СН*//,
к отысканию угла а, при котором периметр
основания трапеции,
то задача сводится
трапеции в k раз больше длины вписанной окружности.
Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 251), DE—высота. Очевидно,
2г
DE = 2r, = В трапецию ABCD вписана окружность. Сле-
2г
довательно, DC-\~ АВ = AD + CB, или + 6 = Отсюда Росн=
490
8r 8r n i . 4 o
— и согласно условию-— = 2ляг, или sina= -г- . Задача имеет
sin a J sin а ’ kit
решение для любых положительных k, если k .
Цилиндр вписан в пирамиду, если его нижнее основание лежит
в плоскости основания пирамиды, а верхнее основание касается
всех боковых граней пирамиды. В сечении пирамиды плоскостью,
проходящей через верхнее основание цилиндра, образуется много-
угольник, подобный многоугольнику основания. Если в пирамиду
вписан прямой круговой цилиндр, то в этом сечении образуется
многоугольник, в который можно вписать окружность. Следовательно,
и в многоугольник основания пирамиды также можно вписать ок-
ружность. При этом надо помнить, что нижнее основание цилиндра
не вписано в основание пирамиды.
Цилиндр вписан в конус, если одно из оснований цилиндра впи-
сано в боковую поверхность конуса, а другое основание цилиндра
лежит на основании конуса. Прямой круговой цилиндр может быть
вписан лишь в прямой круговой конус. При этом ось цилиндра
должна лежать на высоте конуса.
Пирамида вписана в цилиндр, если ее основание вписано в одно
из оснований цилиндра, а вершина лежит на другом основании
цилиндра.
Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним
из оснований цилиндра, а вершина лежит на другом основании
цилиндра.
Аналогично определяются конус и пирамида, вписанные в призму.
Основание вписанного кругового конуса есть круг, вписанный
в многоугольник основания призмы. Основание вписанной в призму
пирамиды совпадает с одним из оснований призмы. Вершины ко-
нуса и пирамиды должны лежать в плоскости второго основания
призмы.
Призма вписана в конус (пирамиду'), если все вершины верхнего
основания призмы лежат на боковой поверхности конуса (пирамиды),
а нижнее основание призмы лежит на основании конуса (пирамиды).
Если призма вписана в пирамиду, то вершины ее верхнего осно-
вания могут лежать как на ребрах, так и на боковых гранях пирамиды.
В соответствующих задачах эти условия задаются дополнительно.
Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое
ребро образует с основанием угол а. В эту пирамиду вписан куб
так, что его вершины лежат на апофемах пирамиды. Ребро куба
равно а. Определить объем пирамиды.
Решение. Обозначим сторону основания пирамиды через х,
ее высоту через h и рассмотрим сечение, проходящее через диаго-
наль основания BD и вершину S пирамиды (рис. 252). Из тре-
х
угольника SOB имеем: SO = BO-tga, или h = —y-tga и тогда
Vn„p = |S0cH-/i = ^x4ga. (*)
16*
491
Чтобы найти х, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, про-
ходящей через верхнее основание куба (рис. 252). Это квадрат
AVB£J)U плоскость которого параллельна плоскости основания
пирамиды и удалена от нее на расстояние а, равное ребру куба.
Из этого сечения находим, что BlD1 = 2a. Теперь рассмотрим тре-
угольник BSD, в котором BD = хУ 2., BxDx = 2a, SO —/1 = tg а,
ОО1 = а. Из подобия треугольников BSD и BlSDl следует, что
B{Dl SOr 2а У 2
еТГ, ИЛИ ---^=.= - ,
а У 2 (tg а+ 1) / \
откуда х =--------!—- и согласно равенству (*)
v -^(l + tga)3
пир 3 tg2 а
Задача 3. В прямой круговой цилиндр, радиус основания кото-
рого равен R, вписана пирамида. Ее основание — правильный тре-
угольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к пло-
скости основания, а третья образует с ней угол а. Найти полную
поверхность пирамиды.
Решение. Две грани, перпендикулярные к плоскости осно-
вания, пересекаются по ребру S4, перпендикулярному к плоско-
сти основания и, следовательно, являющемуся образующей цилиндра
(рис. 253). Поэтому вершина пирамиды S лежит на окружности
верхнего основания. Опустим из точки А перпендикуляр AD на
ребро ВС и точку D соединим с S. Ребро ВС_[_ПЛ- ADS, следова-
тельно, / ADS ^a. Обозначая сторону основания пирамиды через а,
имеем
*^поля.пир ^осн ~Т
492
Так как S£SC = ^, S0CH = -^-p и 3Л5С = | 4S, то
S„0,H п„п= °2 f 3 f 1 Н---—+ а • 4S.
ПОЛИ.пир 4 у I cos а у I
Учитывая, что а = Л5 = AD- tg а = -|- R tg а, имеем
е 3R2 V 3 / j . 1 А)Г> т/“5 з п ,
^лоли.пир 4 ( 1 + cos а j + ^r^’-^-Z^tgCC
л \ LUO СЛ/ J
3R2 ]<3 ,, , , о . .
= —.------ (1 + cos а + 2 sin а).
4 гл<; гу. ' । 1 7
Конус вписан в пирамиду, если их вершины совпадают, а осно-
вание конуса вписано в основание пирамиды. В случае кругового
конуса его основание — круг, вписанный в многоугольник основа-
ния пирамиды. Если в пирамиду вписан прямой круговой конус,
то высоты пирамиды и конуса совпадают. Очевидно, грани пирамиды
касаются боковой поверхности конуса по его образующим.
Прямой круговой конус можно вписать в любую пирамиду,
боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания.
Пирамида вписана в конус, если их вершины совпадают, а осно-
вание пирамиды — многоугольник, вписанный в основание конуса.
Боковые ребра пирамиды являются
образующими конуса.
В прямой круговой конус может
быть вписана любая пирамида, боковые
ребра которой равны между собой.
Задача 4. Радиус основания прямо-
го кругового конуса равен г, а обра-
зующая наклонена к плоскости осно-
вания под углом а. Около конуса
описана пирамида, имеющая в основа-
нии прямоугольный треугольник с ост-
рым углом а. Найти объем пирамиды.
Решение. Высота пирамиды сов-
падает с высотой конуса и проходит
через центр окружности, вписанной
в прямоугольный треугольник АВС
(рис. 254). Апофемы пирамиды, равные
Рис. 254
плоскостью основания угол ср: / SEO = q>. Имеем
между собой, образуют с
ГПИр = ~ SABC. SO = 1 АС- ВС- SO. (*)
Найдем катеты треугольника АВС и высоту SO пирамиды. В тре-
угольнике АВС имеем:
AF = OF-ctg-| = r ctg
493
AC = AF + FC = r( 1 4- ctg y) ,
BC = AC -tga — r (1 4-ctg у у tga.
Высоту SO найдем из треугольника EOS, в котором / SEO = <p,
2^SO£ = 90°, ЕО — r. Имеем SO = EO-tg(p = rtgq).
Используя равенство (*), находим
1 4r’sin« Гу4-у) tgq>
VnHp =yr3(l 4-ctga)4ga.tg<p =-------3Vsin-2w 7--•
а из Л АОВ—что
Приведем задачу, в которой рассматривается круговой, но не
прямой конус.
Задача 5. В основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD.
Боковое ребро S Д перпендикулярно к плоскости основания и равно Н,
боковая грань SBC наклонена к плоскости
основания под углом а. Найти объем круго-
вого конуса, описанного около этой пира-
миды, если острый угол между диагоналями
основания равен <р.
Решение. Высота конуса совпадаете
ребром (конус не прямой); ВС | пл. ABS,
поэтому / SB А — а как линейный угол
двугранного угла, образованного плоскостя-
ми SBC и ABCD (рис. 255). Имеем
vK0H=4-s0CH.// =±Я.ВО>'Н.
Радиус ВО основания кругового конуса
найдем из треугольников ASB и АОВ. Из
Л ASB находим, что АВ = • ctg а = //ctg a,
АВ Я ctg a
2 sin -2. 2 sin -2-
ВО
Следовательно,
V
* кон
1 лЯ2 ctg2 a yy лЯ3 ctg2 a
3 4 sin2 -2- 12 sin2-2.
Рассмотрим теперь различные комбинации шара с другими те-
лами.
Шар называется вписанным в прямой круговой цилиндр или в прямую
призму, если он касается их оснований и их боковых поверхностей.
Ясно, что высота цилиндра или призмы равна диаметру вписанного
шара.
Шар, вписанный в цилиндр (прямой, круговой), касается его
боковой поверхности по окружности большого круга, параллельной
основанию цилиндра. Значит, диаметр основания цилиндра равен
494
диаметру вписанного шара, т.е. высоте цилиндра. Следовательно,
цилиндр должен быть равносторонним (его осевое сечение—квадрат)’
Шар, вписанный в призму, касается каждой ее грани. В сечении
плоскостью, проходящей через центр вписанного шара параллельно
плоскостям оснований призмы, получается многоугольник, равный
основанию призмы, в который вписан большой круг шара. Следо-
вательно, в прямую призму можно вписать шар в том и только в том
случае, если ее основание — многоугольник, в который можно впи-
сать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.
Прямой круговой цилиндр вписан в шар. если окружности его
оснований лежат на сфере. Очевидно, центр шара лежит на середине
оси цилиндра. В шар можно вписать бесчисленное множество прямых
круговых цилиндров и около любого прямого кругового цилиндра
можно описать шар.
Прямая призма вписана в шар, если все ее вершины лежат на
сфере. В сечениях плоскостями, проходящими через основания приз-
мы, получаются многоугольники, вписанные в равные и параллель-
ные малые круги шара. Следовательно, прямую призму можно впи-
сать в шар в том и только в том случае, если ее основания—много-
угольники, которые можно вписать в окружность.
Центр описанного вокруг призмы шара лежит на середине высоты
призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около ее
оснований.
Задача 6. В шар вписана прямая четырехугольная призма, ребра
оснований которой равны а. Найти радиус шара, если известно, что
отношение боковой поверхности призмы к поверхности шара равно k.
Решение. Пусть Я—высота призмы, R — радиус описанного
шара. Тогда 5шара = Збок.пр = 4аЯ. По условию
4л£2 — k' W
Выразим Н через а и k. Основание призмы — четырехугольник
с равными сторонами, т. е. ромб. Так как около него можно опи-
сать окружность, то этот ромб является квадратом. Радиус круга г,
„ a V 2 а 2
описанного около квадрата со стороной а, равен—: г = —— .
Теперь в треугольнике ВОЕ, в котором гипотенуза OB = R, BE =
tz/'2 nz? н Я2 а2 тл
= г = -^— и ОЕ=-^-, имеем — = 7?2—у. Используя соотно-
шение (*) и последний результат, получаем уравнение для опреде-
ления
2а ]/" R2--j- = nR2k,
откуда
R = — fi/ 1+^L + i/' 1
nk \^|/ 2 |/
V~2
Задача имеет решение, если —.
495
Усеченный прямой круговой конус вписан в шар. если окружности
его оснований лежат на поверхности шара. При этом осевое сечение
усеченного конуса есть равнобочная трапеция, вписанная в большой
круг шара.
Так как любую равнобочную трапецию можно вписать в круг, то
следовательно, любой усеченный прямой круговой конус можно впи-
сать в шар.
Усеченная пирамида называется вписанной в шар. если все ее
вершины лежат на поверхности шара. Основания такой пирамиды
являются многоугольниками, вписанными в круги шара, лежащие
в параллельных плоскостях. Следовательно, центр шара лежит на
прямой 00х, где О и 0х—центры указанных кругов. Легко доказать,
что любая правильная усеченная пирамида может быть вписана в
шар. Центр описанного шара может лежать как внутри, так и вне
усеченной пирамиды или конуса.
Шар вписан в прямой круговой усеченный конус {усеченную пира-
миду). если он касается как оснований, так и боковой поверхности
этого усеченного конуса (усеченной пирамиды). При этом в осевом
сечении усеченного конуса получается равнобочная трапеция, в ко-
торую вписан большой круг шара.
Задача 7. Доказать, что в усеченный прямой круговой конус мож-
но вписать шар в tqm и только в том случае, если высота усеченного
конуса есть среднее геометрическое между диаметрами его оснований.
Решение. 1. Пусть в усеченный конус можно вписать шар.
Обозначим через R радиус вписанного шара, через г и р — радиусы
оснований конуса. Тогда осевое сечение конуса есть трапеция
с основаниями AB = 2r. DC = 2p. в которую вписан круг радиуса R
(рис. 256). Следовательно, Н = 2R.
л °* С AD + CB = AB-yCD = 2(rили
AD — Г + р-
Л \ В прямоугольном треугольнике ADE
/ имеем AD2 = АЕ2 + DE2. или(/' + р)2 —
/| 1\ —(г — р)2 = 47?2, откуда и вытекает со-
/ \ /\ отношение (2/?)2 = 4гр, или Н2 = АВ-CD,
/ \ у \ что и требовалось доказать.
/ __s \ 2. Пусть в усеченном прямом кру
А Е 0% В говом конусе
Рис. 256 Н2 = AB CD. (*)
где Н — его высота, а АВ и CD—диаметры оснований (рис. 256).
Покажем, что в такой усеченный конус можно вписать шар. Оче-
видно, для этого достаточно показать, что в его осевое сечение —
равнобочную трапецию ABCD — можно вписать круг, т. е. ДВ +
В силу соотношения (*)
AD = VDE*+AE* = у V^AB-CDA-{AB—CDy,
откуда 2AD = AB-\-CD. или ADВС = АВ-}-CD. что и требовалось
доказать.
496
Задача 8. В усеченную четырехугольную пирамиду вписан шар-
Доказать, что объемы шара и усеченной пирамиды относятся как
их полные поверхности.
Решение. Пусть 7?—радиус вписанного шара, Р и р — пло-
щади оснований пирамиды. Так как ^шара = ул7?3, Smapa = 4л/?2,
V„HP = у (р + Р + УРр), а 5полн.пир = р + Р + 5б0К. пир, то требуется до-
казать, что
4 Р (₽+Р+ К?р) Р+р+ Збок. пир ’
или что
^бок. пир Р + р + 2]/ Рр.
(*)
Основания пирамиды — подобные многоугольники, следовательно,
AB=k-A1B1, BC = k-B1C1, CD = k C1D1 и DA^k-D^ P = k*p, где
k — коэффициент подобия. Поэтому соотно-
шение (*), которое нужно доказать, можно
переписать в виде
fe2p 4" Р + = S6oK. пир,
или
-$бок. пир=(1 +k)2P- (**)
Подсчитаем А
^бок. пир = SABBiAi + ^BCC.Bi, + ^CDD^ + ^DAA^-
Пусть E и. F — точки касания шара с
плоскостями оснований (рис. 257); отрезок
EF перпендикулярен этим плоскостям, а его
середина О — центр вписанного шара.
Проведем отрезок FQ | А^В^ Плоскость,
проходящая через FQ и EF, пересечет грань АВВ1А1 по прямой 7WQ.
Соединим точки М и Е и рассмотрим четырехугольник EFQM. Посколь-
ку А1В1 _£пл. EFQM (AJB^ | FQ и А1В1 | EF), QM является высотой
трапеции АВВ1А1. Так как грань перпендикулярна пло-
скости EFQM (X. = 90° — линейный угол двугранного угла,
образованного этими плоскостями), то точка N касания шара с гранью
ДДЯЛ^лежит на прямой 7WQ; FQ = NQ и ЕМ = MN как отрезки
касатьОНых к шару, проведенные из точек Q и М соответственно.
Йз рассмотрения подобных треугольников АВЕ и AJB-J7 следует,
что = ' где и Г® —их ВЬ1С0ТЫ- Поэтому EM = k-FQ,
или EM = kh, где h = FQ и k — коэффициент подобия; тогда QM =
= QN-\-NM = FQ-]-EM =h(l + &). Подсчитаем площадь боковой
497
грани АВВуА^.
SABBlAl = у (АВ + ЛА).QM = (1 + ky • = (1 4-ky.SAiBiF.
Аналогичные результаты справедливы «для остальных трех
граней:
SbCCiBi— ( 1 + &)2 ScDDiC^ ( + &)2 $ADDiA(1 + ^)2 ^DXAVF'
Суммируя эти четыре равенства и учитывая, что *$^1b1f+‘Sb1c1f +
+ SCiDif4-SDMif = P, получаем 5бок.пир = (1 +*)2р, что1 и требова-
лось доказать.
Прямой круговой конус вписан в шар, если его вершина лежит
на поверхности шара, а основание является малым или большим
кругом шара. Центр шара лежит на высоте конуса или на ее продол-
жении. В осевом сечении конуса, вписанного в шар, получается
равнобедренный треугольник, вписанный в большой круг шара.
Шар вписан в прямой круговой конус, если он касается осно-
вания и боковой поверхности конуса. Очевидно, что шар касается
боковой поверхности конуса по окружности малого круга шара.
Центр вписанного шара лежит всегда внутри конуса, на его
высоте. В осевом сечении получается равнобедренный треугольник,
в который вписан большой круг шара.
В любой конус можно вписать шар и около любого конуса
можно описать шар.
Задача 9. В прямой круговой конус вписан шар радиуса R.
Линия касания шара и конуса делит площадь его боковой поверх-
ности в отношении 5:4 (считая от основания). Найти объем и пол-
ную поверхность конуса.
Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 258). Пусть
O1B = r, O2D = p, и S2 — площади частей боковой поверхности
S 5 S I S 9
(считая от основания). Тогда или = т- е-
о2 Ч о2 4
^бок.кон _ 9 / * \
S2 “ 4 • ' '
Так как S6ok.koh = nr-SB, a S2 = ^p-SD и SB:SD = r-.p, то из ра-
венства (*) следует, что
9 _ лг • SB _ г2
4 лр- SD р2 ’
т. е.
г___з /** \
р “ 2 ’ '
Очевидно, ^0^0 = X.O2OD. Обозначая его через сс и учитывая,
что О В — биссектриса угла ОгВП, получим два соотношения
р , a R
sina = ^ и tgy = -.
498
Перемножим эти равенства. На основании равенства (**) получаем
а 2 2t^T 2
sin а • tg -^ = т, или----- = т,
2 3 i + tg’-J 3
откуда = и> следовательно, г = ^уг2.
Зная г и угол а, легко найдем 5бок.кон и VK0H. Так как l = SB =
= —-— = ЗУ?К2, а И = SOt = гtga = 4/?, то
cos a °
“^бок.кон 6л/?'
И
^кон = уЛГ2// = ТЛ:/?3,
Пирамида вписана в шар, если все ее вершины лежат на по-
верхности шара. Это означает, что центр шара—точка, равноуда-
ленная от всех вершин пирамиды. Теоретически центр шара опре-
деляется как точка пересечения всех плоскостей, проведенных
через середины ребер пирамиды перпендикулярно к ним. На прак-
тике положение центра описанного шара можно определить из
следующих рассуждений. Основание вписанной в шар пирамиды—
многоугольник, вписанный в большой или малый круг шара. Сле-
довательно, центр шара должен лежать на перпендикуляре, про-
веденном к плоскости этого круга через его центр 0х (рис. 259).
Любая точка этого перпендикуляра равноудалена от всех вершин
основания. Поэтому достаточно указать ту точку этого перпенди-
куляра, которая равноудалена от вершины пирамиды и любой
вершины его основания. Чтобы получить такую точку, через сере-
дину бокового ребра, например XS, проведем плоскость, перпен-
499
днкулярную ЛЗ. Эта плоскость встретит перпендикуляр ОХР в центре
шара О. Действительно, 0Л = 03, но О А = ОВ = ОС = ..., следова-
тельно,
OS = OA = OB = ОС =... .
Из этих рассуждений также следует, что в шар может быть
вписана такая и только такая пирамида, основание которой можно
вписать в круг. В частности, любая треугольная пирамида может
быть вписана в шар. Заметим, что центр описанного около пира-
миды шара может лежать как внутри, так и вне пирамиды. Весьма
поучительна следующая задача.
Задача 10. В основании треугольной пирамиды SABC лежит
равнобедренный треугольник (ЛВ = ЛС). Ребро ЛЗ перпендику-
лярно к плоскости основания. Найти полную поверхность пира-
миды, если известно, что двугранный угол при ребре ВС равен р,
двугранный угол при ребре ЛЗ равен а и радиус описанного около
пирамиды шара равен R.
Рис. 260
Решение. Так как ЛЗ | пл. ЛВС, то^/ ВАС = как линейный
угол двугранного угла при ребре ЛЗ (рис. 260).
Проведем AD ВС и соединим точки D и 3. По теореме о трех
перпендикулярах ВС | пл. ADS и, следовательно, j/.ADS = fi как
линейный угол двугранного угла при ребре ВС. Определим поло-
жение центра О описанного шара. Для этого из центра Ог круга,
описанного вокруг основания ЛВС, проведем перпендикуляр ОгР
до пересечения с плоскостью, проходящей через середину ребра ЛЗ
(точку Е) перпендикулярно ЛЗ.
Покажем, что точка О лежит вне пирамиды. Рассмотрим сече-
ние, проходящее через ребро ЛЗ и прямую AD. Очевидно, ЕО || AD.
Центр О лежит на средней линии треугольника ADS или на ее
продолжении. Средняя линия EF = -% AD, ЕО = АО1, где ЛОХ —
радиус круга, описанного около треугольника ЛВС. Так как
500
AOt то и ЕО > ^, т. e. ЕО > ЕЕ. Последнее означает, что О
лежит вне треугольника ADS, а следовательно, и вне пирамиды
Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей всех ее
граней. Замечая, что SASB = SAscn SBSC = -^j SABC, имеем
Зполн пип = 25л™ + 5лл(/1 + -Лй = ЛВ-ЯВ +ЯР-BD (1 + -Г-Л =
полн.пир уЧэо I уч/эс \ I cqs К у 1 \ 1 COS и /
= -^-. ЯР-tg 0 + ^DMg-£( 1 + —L-^x=
а ь 1 1 ь 2 \ 1 cos В j
tgp tg|(l + cosP)
а ‘ cos В
Таким образом, задача свелась к определению величины AD.
Пусть ЯР = х. Тогда AD • tg 0 = х tg 0 = ЯВ, АЕ = , АВ = .
тг
Рассмотрим треугольник A0YK, где ОгК^_АВ, АК = КВ =—-— ,
2c0ST
A. fC х
A0t --------------------- Теперь в треугольнике AOOlt где ЯР = R,
cos 2 cos2
'2 9 . о R COS
имеем /?2 = ———+ * | откуда х = —-^
4 cos4у l_|_tg20COS4-^-
Возвращаясь к результату (*), окончательно получаем
Q
°полн.пир
2 cos 4#2 cos2 у
COScos (3 1 +tg2 p-COS4
8Е2 cos • cos ( sin-- + cos ~ • sin ~
COS p f 1 + tg2 (3 • cos4 ~ }
Довольно просто находится радиус R шара, описанного около
правильной пирамиды. Пусть г — радиус круга, описанного около
ее основания и Н — высота пирамиды. Рассмотрим сечение шара
плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и вершину ее
основания (рис. 261). В треугольнике S/lSi угол А = 90°, SSX = 2/?,
50г = Н. Величина АО1 = г есть средняя пропорциональная между
SOj и 0^. Поэтому rz = H (2R — Н) и
0)
501
В частности, в правильном тетраэдре с ребром а имеем: г = —,
□
гт 1^” б Зб2
л=—; следовательно, радиус описанного шара 7? = —^-.
Формула (1) остается верной для любой пирамиды с равными
боковыми ребрами. В этом случае высота пирамиды проходит через
центр круга, описанного около основания, центр описанного шара
лежит на высоте пирамиды и все рассуждения, приводящие к фор-
муле (1), остаются неизменными.
Шар вписан в пирамиду, если он касается всех ее граней. Центр
вписанного шара—точка, равноудаленная от всех граней пирамиды.
Следовательно, она лежит внутри пирамиды на биссектральных
плоскостях каждого из ее двугранных углов и является их
точкой пересечения. г
Отсюда вытекает, что шар можно вписать в такую и только в
такую пирамиду, у которой все биссектральные плоскости двугран-
ных углов пересекаются в одной точке. К числу таких пирамид,
в частности, относятся правильные и любые треугольные пирамиды.
В правильной пирамиде центр вписанного шара можно опреде-
лить как точку пересечения ее высоты с биссектральной плоскостью
какого-нибудь двугранного угла при основании (на рис. 262
SOi—высота, SM — апофема, ОМ — биссектриса угла OJUS).
Читателю нетрудно доказать, что полученная таким образом
точка О равноудалена от всех граней правильной пирамиды. Точки
касания вписанного шара с боковыми гранями правильной пира-
миды лежат на ее апофемах. В общем случае это не всегда так,
однако в любом случае плоскость, проходящая через центр вписан-
ного шара и точки касания с боковой гранью и плоскостью основа-
ния перпендикулярна их общему ребру (рис. 263). Действительно,
прямая АВ, будучи перпендикулярной к OF и ОЕ, перпендику-
лярна плоскости EOFK. В частности, F/CJ__XB и ЕК^_АВ. Най-
502
дем радиус шара, вписанного в правильную пирамиду.Пусть ОгМ—г—
радиус круга, вписанного в ее основание, a SOl = H—высота пи-
рамиды (рис. 262). Тогда в треугольнике OLMS достаточно данных,
чтобы найти отрезок OO^R. Пусть ^SMO1 = (p. Так как ОМ —
биссектриса угла SMO19 то OO1 = O1M-tg-|- = г• ф • Учитывая,
что tg ф = — , откуда sin ф = ’ а cos Ф = » получаем
формулу для вычисления R\
<2>
Например, в правильном тетраэдре со стороной а радиус г
а V3 тт а V"6
круга, вписанного в основание, равен , высота Н = — - • .
Поэтому
а У" 3 а }^~6
Р________________________6______3________а )/”"б
~ а , Л 6а2 За2 “ 12
6 + V 9 ‘ 36
Формула (2) справедлива для любой пирамиды, боковые грани
которой равнонаклонены к плоскости основания. В этом случае
высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в осно-
вание, а центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и может
быть получен как точка пересечения этой высоты с биссектральной
плоскостью любого двугранного угла при основании.
Задача 11. Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании
которой лежит ромб с острым углом а. Боковые грани пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом ф. Найти полную
поверхность пирамиды.
Решение. Центр О вписанного шара лежит на пересечении
высоты пирамиды с биссектрисой FO линейного угла SFO1 (рис. 264),
—точка пересечения диагоналей ромба, О±Р ВС. В треуголь-
нике ООГР известны катет OO1 = R и ^0^0 = —. Следовательно,
O1F-OO1ctg| = /?ctg|, //OCH = 2O1F = 2/?ctg|. Тогда АВ=
м 27? ctg- 47?» ctg» £
“оси___ z u c __________ar н _____ z
sin a- sin a и °осн ~ ’"осн — sin a •
Так как грани наклонены к плоскости основания под равными
углами, то
_ 87?2Ctg2^-.cos2-2-
Q _ Cl ^ОСН Z Z
°лолн.пир °осн“Г cos ф — cos ф.sin a
Решение задачи существенно усложняется, если шар вписы-
вается в произвольную пирамиду.
503
Задача 12. В основании треугольной пирамиды SABC лежит
равнобедренный треугольник (АВ = АС). Ребро перпендикулярно
плоскости основания. Найти объем пирамиды, если известно, что
двугранные углы при ребрах ХЛ и ВС соответственно равны аир
и радиус шара, вписанного в пирамиду, равен R.
Решение. Биссектральная плоскость двугранного угла при
ребре ЛХ в сечении с пирамидой дает треугольник SAK, где
ЛК_[_ВС (рис. 265); ^SKA— линейный угол двугранного угла
при ребре ВС. Биссектриса КМ угла SKA есть линия пересечения
двух биссектральных плоскостей пирамиды. Следовательно, центр О
вписанного в пирамиду шара лежит на прямой КМ. Опустим из
точки О перпендикуляры 0С\ и ОЕ соответственно на основание
АВС и грань SAB, а из точки —перпендикуляр на ребро АВ.
Прямая 0С\ и плоскость ABS, будучи перпендикулярными
к основанию АВС, параллельны между собой: ООЛпл. ABS. Зна-
чит, расстояния от точек О и 0г до плоскости ABS равны, т. е.
O1F = OE = K- Имеем
= BK-AK-AS.
О
• tgf, AS = AK-^,
то
VnHp = y^tg|tg₽, (*)
и задача сводится, таким образом, к определению отрезка АК.
Последний есть сумма двух отрезков:- AK = AOt-J-ОУК. Но
АО1= —a O1K=7?ctg-|-, поэтому АК = R (Д- + ctg исо-
• £ \ olll UC £ /
S1M - 4 7
504
гласно равенству (*)
^пир 3^2^. a 2 •
\sin -2 У
§ 5. ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВОЛЬНЫЕ КОМБИНАЦИИ ТЕЛ
В предыдущем параграфе мы рассмотрели комбинации, в кото-
рых одно тело полностью вписывалось в другое. Однако нередко
встречаются задачи, когда одно тело частично вписывается в дру-
гое, или специальным (указанным) образом помещено в другое, или
в одно тело помещено несколько тел и т. д. Рассмотрим несколько
подобных задач.
Задача 1. В основании пирамиды лежит треугольник со сторо-
нами 13, 14, 15. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости
основания под равными углами в 75°. Определить радиус шара,
касающегося пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания.
Решение/Высота пирамиды S01 проходит через центр круга,
вписанного в ее основание. Пусть £, F, Q — точки касания шара
с боковыми гранями пирамиды. Они лежат на ребрах основания.
Плоскость основания в пересечении с шаром дает малый круг
шара, вписанный в основание АВС. Центр шара лежит на продол-
жении высоты пирамиды в точке О. Соединим одну из точек каса-
ния, например F, с центром шара О (рис. 266).
Так как SF лежит в плоскости грани, касательной к шару, то
радиус О^Хпл. ABS и, в частности, SFJ_OF; ji/SFO1 = 75c как
линейный угол двугранного угла при ребре АВ (АВ OTF и
AB±SF).
В треугольнике OO^F имеем/.FOO^2/SFO1 = 75°. Искомый
отрезок OF = R = sin^'6» где находится из треугольника
АВС по формуле
OF = г = ^вс
1 Р
Но
р = ^-(а + Ь+с) = 21; S = ]f р(р—а)(р—Ь) (р—с) = 84.
Поэтому г = 4 и, следовательно,
R = 4 (/6—/2) (sin75° = cos 15° = £±±l£2) .
Задача 2. Внутри правильной четырехугольной пирамиды рас-
положен правильный тетраэдр так, что ребро CD тетраэдра лежит
на диагонали, основания пирамиды. Вершины А и В тетраэдра
лежат на двух противоположных боковых ребрах пирамиды и
ребро АВ параллельно основанию пирамиды. Найти отношение
объема пирамиды к объему тетраэдра, если известно, что ребро
тетраэдра равно стороне основания пирамиды.
505
причем ДВЦВ/7 (рис.
$
Рис. 267
г> т 17 а3 V 2 ,, а2Н VTeTP v 2 а
Решение. Так как VTeTp=-^—, а Упнр=—, то ^ = — .,
и задача -сводится к отысканию отношения ребра тетраэдра а к
высоте пирамиды И.
По условию CD и АВ — скрещивающиеся ребра правильного
тетраэдра. Ребро АВ лежит в осевом сечении пирамиды EFS,
!67). Отрезок ОО± равен расстоянию между
скрещивающимися ребрами правильного
тетраэдра_ и вычислен в задаче 1 § 2:
OOj = а - . Из подобия треугольников
EFS и A BS имеем
EF _ SO EF— АВ _ SO—SOi
АВ ~ SOt ’ ИЛИ EF ~~ SO
где EF=a^2, SO—, АВ=а,
F _
ОГ1 гт n a(V2— 1) 2
SO=H. Поэтому = —гт— ,
7 a V 2 H '
откуда я" = 1//2 1 и
v пир *
Задача 3. В тетраэдре ABCD ребра АВ и CD взаимно перпен-
дикулярны и соответственно равны а и Ь. Общий перпендикуляр
к этим ребрам равен с. В тетраэдр вписан куб так, что четыре
ребра куба параллельны этому общему перпендикуляру и на каж-
дой грани тетраэдра лежат в точности две вершины куба. Найти
ребро куба.
Решение. Из вершины С проведем СЕ | АВ. Точку Е соединим
с Du в пол учившемся треугольнике CED проведем EF^_CD (рис. 268).
Так как АВ | СЕ и АВ _[_CD, то ЛВ_|_пл. CDE, в частности,
АВ | DE и АВ I EF. Последнее означает, что EF является общим
перпендикуляром скрещивающихся ребер АВ и CD: EF=c (рис. 268).
По условию четыре ребра куба параллельны EF. Пусть это
параллельные ребра MN, PQ в нижнем основании куба и
PjQi—в его верхнем основании. Основания куба, будучи парал-
лельными FE, также параллельны АВ (АВ и FE лежат в одной
плоскости). Боковые ребра куба MMlt РРг, QQ^ и параллельны
CD (и, следовательно, перпендикулярны АВ). На грани ABD лежат
только две вершины куба — точки Л4Х и Рг Нетрудно показать, что
МгРг || АВ. Противоположное ребро основания МР лежит на грани
АВС и МР || АВ. На гранях ACD и BCD будут лежать боковые ребра
и соответственно. Чтобы найти ребро куба, рассмотрим
сечение ECD (рис. 269), сечение, проходящее через верхнее осно-
вание куба (рис. 270), и грань ADB.
506
В первом сечении /\CDE<^>£\KLE. Следовательно,
CD _ FE _ DE
KL ~ FE — HG — GL~ LE '
Обозначая сторону квадрата через х, HG через у и учитывая, что
CD = b и FE = с, имеем
Во втором сечении Л RHT сл Л
RT _ HL
NiQi ~~ HG ’
или
ВТ х+у (2)
х у
Наконец, для грани ABD имеем: Д ABD <zr> Л RTD. Отсюда
АВ DE AB—RT DE—DL a—RT LE
RT~ DL ’ ИЛИ АВ ~ DE ’ ИЛИ а ~ DE ’
LE х
Согласно равенству (1) -р£=у» поэтому
a~RT =х (3)
507
Мы получили систему трех уравнений (1), (2), (3), из которой
находим %. Исключая RT, имеем
Ь(с—х—у) = сх, | с(Ь—х) = b (х-[-у), у
bx(x + y) = ay(b—х), J ИЛИ ay(b—x) = bx(x + y).l
Отсюда — = — и
У с
_ abc _ f J_ । J_ i 1 “1
аЬ-[-Ьс-[-ас \ a ‘ b ' c J
Задача 4. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из
них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех
шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой
поверхности конуса. Пятый касается боковой поверхности конуса
и остальные четырех шаров. Определить объем конуса, если радиус
каждого шара равен R.
Решение. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходя-
щей через его вершину и центры двух шаров, касающихся осно-
вания, но не касающихся друг друга (рис. 271). Это равнобедрен-
ный треугольник, в котором помещены три равных круга радиуса R:
верхний круг с центром в точке О5 касается боковых сторон тре-
угольника (в точках Е и F) и нижних кругов (в точках Р и Q).
Нижние круги касаются основания в точках К и L и боковых
сторон в точках N и М. Очевидно, что
А 0А05осД АВС, 0х05 — О3О5 = 2/?.
Чтобы найти 0у03, соединим все центры нижних четырех шаров.
Мы получим квадрат 01020304, стороны которого равны 2R, следо-
вательно, диагональ О1О3 = 2/?/2.
508
Возвращаясь к треугольнику Ofi3Ob, замечаем, что
= 90° {Pfil=Ofil+ О3°52) • Поэтому А СВ = 90°, /С АВ = /СВ А = 45°.
Теперь легко находится радиус АО основания конуса:
ЛО = ЛК+КО = ОЛс1ё-^ + ^К2 = /?(сг8^4-/2).
45 /—
Учитывая, что ctg-у-= и 2+ 1, окончательно получим
Укон = • АО3 = 4я7?з(2 /2 + 1 )3.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина 28
Абсцисса 31
Алгебраическая дробь 50, 61
— система 154
— форма комплексного числа 39
Алгебраическое выражение 48
— уравнение 85
— число 20
Амплитуда 265
Аналитический способ 211, 212
Аргумент 211
— комплексного числа 39
Арифметическая прогрессия 178
---, свойства 179, 180
Арифметический корень 23
---, свойства 23, 24
Арккосинус 320, 321
Арккотангенс 323
Арксинус 318—320
Арктангенс 322
Асимптота 218
Асимптоты гиперболы 227
Безу теорема 54
Безусловное равенство 305
— тождество 69
Бесконечная десятичная дробь 13
-------- непериодическая 19
-------- периодическая 13
--------смешанная 14
-------- чистая 14
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия 183
Бесконечный промежуток 210
Биквадратное уравнение 103, 104
Биномиальный коэффициент 200, 202
Боковая' поверхность конуса 452
---цилиндрического тела 448
Введение нового неизвестного 130, 141,
149, 151, 157
Вершина конической поверхности 451
— многогранника 446
— параболы 228
— трехгранного угла 437
Взаимно простые числа 9
Виета формулы 96, 100
Вогнутость 218
Возведение в степень 17, 22
--------комплексного числа 37, 42
---— обеих частей уравнения 144
Возвратное уравнение 105
Возрастающая последовательность 175
— функция 217
Вписанные тела, см. соотв. названия
Вспомогательный аргумент 301, 341
Входящая фигура 409
Входящее тело 459
510
Выделение полного квадрата 59, 131,
228
— целой части дроби 61, 127
Выпуклость 218
Выпуклый многогранный угол 437
Выходящая фигура 409
Выходящее тело' 459
Вычитание алгебраических дробей 62
— чисел 7, 12, 20, 22, 35
Высота конуса 452
— усеченного конуса 455
— цилиндрического тела 448
— шарового сегмента 457
----сектора 458
----слоя 457
Гармоника 265, 266
Гаусса теорема 95
Гексаэдр 447
Геометрическая прогрессия 181
----, свойства 181, 182
Герона формула 413
Гипербола 226
Горнера схема 53
Грань двугранного угла 437
— многогранника 446
— трехгранного угла 437
График 212
—, построение с помощью геометри-
ческих преобразований 369—377
— произведения двух функций
381—383
— суммы и разности двух функций
379—381
— функции, заданной разными фор-
мулами 377—379
— «функции от функции» 388—391
----1//(х)383—385
— частного двух функций 385—387
См. также по названиям функций
Графический способ 212, 213
Графическое решение уравнений
392—396
Группировка 59
Двугранный угол 436
Двучленное уравнение 101, 102
Действительная часть комплексного
числа 34
Действительное число 22
Деление алгебраических дробей 62
— многочленов 52
— с остатком 8
— «углом» 52
— чисел 7, 12, 20, 22, 36, 42
Делимое 51, 52
Делитель 8, 51, 52
Десятичная дробь 12
Десятичное приближение 19
Десятичный логарифм 238
Диагональ многогранника 446
Диаметр шара 456
Дискриминант 100
Додекаэдр 447
Допустимое значение 48
Достаточное условие 5
Дробно-линейная функция 225—227
Дробное рациональное выражение 50
Знак квадратного трехчлена 119, 120
Знаки корней квадратного уравнения
101
— тригонометрических функций 258
Знаменатель геометрической прогрес-
сии 181
Известная величина 84
Извлечение корня 18, 23
----из комплексного числа 38, 42
Измерение объемов 459
— площадей 408
Измерения параллелепипеда 450
Икосаэдр 447
Интервал 210
Иррациональная система уравнений 154
--------, методы решения 155—158
Иррациональное алгебраическое вы-
ражение 49
— неравенство 152—154
— уравнение 85
----, методы решения 142—152
— число 19
Исследование функции 223
Каноническое разложение натураль-
ного числа на простые сомножители 8
Касательная плоскость к шару 457
Квадрант 255
Квадратичная функция 227, 228
Квадратное уравнение 98, 99
----, свойства корней 100, 101
Квадратный трехчлен 227—229
Комплексная плоскость 35
Комплексные числа 34
----, геометрическое изображение
34, 35
----, действия в алгебраической фор-
ме 35—38
----,------тригонометрической фор-
ме 42, 43
Конечная сторона угла 254
Коническая поверхность 451
Конус 451, 452
— в комбинации с другими телами
491, 493, 496, 498
Координаты точки 30, 31
Корень из числа 18, 38
— многочлена 54
— уравнения 84
Косеканс 257
Косинус 257, 262
Косинусов теорема 403—405
Косинусоида 262
Кососимметрическое уравнение 106
Котангенс 257, 265
Котангенсоида 265
Кратное 8
Кратный корень 96
Круговая перестановка 51
— цилиндрическая поверхность 448
Круговой цилиндр 449
Куб 447, 450
Линейная функция 224
Линейное неравенство 118
— уравнение 98
Линейный угол 437
Логарифм 234
Логарифмирование 237
Логарифмическая функция 234
----, свойства 235—237
Логарифмические уравнения 243, 245—
247
Мантисса 238
Математическая индукция 6
Мнимая единица 34
— часть комплексного числа 34
Многогранник 446
Многогранный угол 437, 442, 443
Многозначная функция 211
Многочлен 50
Множество допустимых значений алгеб-
раического выражения 48
*-------неравенства 73
системы уравнений 89
уравнения 84
Модуль 28
— комплексного числа 39, 41
— перехода 236
Монотонная последовательность 176
— функция 218
Муавра формула 42
Наибольшее значение квадратного трех-
члена 83
Наибольший общий делитель 9
Наименьшее значение квадратного
трехчлена 83
— общее кратное 9
Наклонная 436
Наклонное цилиндрическое тело 448
Направляющая конической поверх-
ности 451
— цилиндрической поверхности 448
Натуральное число 7
Начальная сторона угла 254
— фаза 265
Независимая переменная 211
Неизвестная величина 84
Необходимое условие 5
и достаточное условие 5
511
Неограниченная последовательность
175
— функция 217
Неопределенных коэффициентов метод
56, 61
Неполное квадратное уравнение 99,
100
— частное 8
Неправильная рациональная дробь 61
Неприводимый многочлен 55
Неравенства 73
— второй степени 118—120
—, доказательство неравенств 78—83
—, простейшие 76, 77
—, свойства 74—76
—, содержащие абсолютную вели-
чину 162, 163
—, — логарифмическую функцию 251
—, — показательную функцию 250
—, решение рациональных неравенств
121, 122
Нестрогое неравенство 73
Нечетная функция 214
Ньютона бином 200
Область изменения функции 211
— определения алгебраического вы-
ражения 48
---- функции 211
Образующая конической поверхности
451 ’
— усеченного конуса 455
— цилиндрической поверхности 448
Обратная пропорциональная зависи-
мость 225, 226
— функция 219, 220
Обратные тригонометрические функ-
ции, см. соотв. названия
— — —, до к азател ьство тождеств
334—336
----—, соотношения между ними
324
Обращение периодической дроби в
обыкновенную 21
Общее кратное 9
Общий делитель 9
Объем 460
— конуса 465
— кругового конуса 467
---- цилиндра 463, 465
— пирамиды 467
— призмы 463, 464
— прямоугольного параллелепипеда
460
— усеченного конуса 467
----кругового конуса 468
— усеченной пирамиды 468
— цилиндрического тела’462, 463, 465
— шара 470
— шарового сегмента 468
— ’ — сектора 470
Обыкновенная дробь 12
Ограниченная последовательность 175
— функция 217
Однозначная функция 211
Однородная система 138
Однородное алгебраическое выраже-
ние 50
— уравнение 132
Одночлен 50
Октаэдр 447
Определитель 91
Ордината 31
Осевое сечение конуса 453
Основание конуса 452
— усеченного конуса 455
— цилиндрического тела 448
Основной период 215
Остаток 8, 52
Ось абсцисс 30
— ординат 30
— цилиндра 449
Отрезок 210
Отрицательный угол 254
Парабола 228
Параллелепипед 450
Параллельность двух плоскостей 439,
440
— прямой и плоскости 436, 439
Параллельные сечения конуса 453, 454
---пирамиды 453
Параллельный сдвиг 221
Параметр 84
Переменная величина 210
Перестановки 196, 197
Период дроби 13
— функции 215
Периодическая функция 215
Перпендикулярность двух плоскостей
437, 441, 442
---прямых 436, 438
— прямой и плоскости 436, 437, 441
Пирамида 452
— в комбинации с другими телами
491, 493, 496, 499, 502
Плоскость 435
Площадь 410
— боковой поверхности пирамиды с
равными апофемами боковых граней
471, 472
--------прямого кругового конуса
471, 473
-------------цилиндра 471, 472
-------- прямой призмы 471
--------усеченного конуса 473
— параллелограмма 414, 415
— поверхности шара 474
---шарового сегмента 473
--------слоя 473
— правильного многоугольника 416
512
Площадь проекции плоской фигуры
443
— прямоугольника 410
— ромба 414
— трапеции 415
— треугольника 411—413
— четырехугольника 414
Подбор рационального корня много-
члена с целыми коэффициентами 108
Подвижный радиус 255
Подобные радикалы 24
Подстановка 93, 94, 133
Показательная функция 232
---, свойства 232—234
Показательные уравнения 242—245
Положительный угол 254
Полуинтервал 210
Полый шаровой сектор 458
Последовательность 174
Посторонний корень 86
Постоянная величина 210
Потенцирование 238
Потеря корня 86
Правильная десятичная дробь 13
— пирамида 452
— призма 450
— рациональная дробь 61
— усеченная пирамида 456
Правильный многогранник 446
Преобразования графиков 221—223,
369, 370
Предел последовательности 176
---, свойства 178
Приближенное значение корня 18
Приводимый многочлен 55
Призма 450
— в комбинации с другими телами
490, 491, 494, 495
Призматическая цилиндрическая по-
верхность 448
Признаки делимости 10, 11
Продолжения секущей плоскости ме-
тод 487, 488
Проекция 436
Производная пропорция 63
Пропорция 63
Простое гармоническое колебание
265, 266
— число 8
Простой корень 96
— шаровой сектор 458
Противоречивая система уравнений 89
Противоречивое неравенство 73
— уравнение 85
Прямая 224, 225, 435
— призма 450
— пропорциональная зависимость 224
Прямое цилиндрическое тело 448
Прямой круговой конус 452
---цилиндр 449,
Прямоугольный параллелепипед 450
Равенство 48
— алгебраических дробей 62
— бесконечной десятичной и обыкно-
венной дроби 14
— двугранных углов 437
— иррациональных чисел 19
— комплексных чисел 34
— многочленов 51
— одноименных тригонометрических
функций 287, 288
— рациональных чисел 11
— углов 254
Равновеликие тела 460
Равносильность системы уравнений
совокупности двух систем 90
— уравнения и системы уравне-
ний 90
---совокупности двух уравнений 87
Равносильные неравенства 118
— системы уравнений 89
— уравнения 86
---, решение вопроса о сохранении
равносильности 147—149
Радиус шара 456
Разложение бинома 200, 201
— на множители квадратного трех-
члена 60, 100
--------многочлена 55, 59—61, 95, 97
-----------вида хт ст 56
--------при решении уравнений
128—130
— трехчлена 201, 202
Размещения 196, 197
Разность 7, 35
— арифхметической прогрессии 178
— углов 255
Радикал 18, 231
Расстояние между двумя точками 30, 31
---скрещивающими прямыми 481
Растяжение 222
Рациональная дробь 61
— система уравнений 133
--------, методы решения 133—142
Рациональное алгебраическое выраже-
ние 49
— неравенство 121, 122
— уравнение 85
---, методы решения 126—133
— число 11
Ребро двугранного угла 437
— многогранника 446
— трехгранного угла 437
Рекуррентное соотношение 174
Решение косоугольных треугольников
406—408
— неравенства 117
— прямоугольных треугольников 402
— системы неравенств 124
--- уравнений 89
— уравнения 84
См. также соотв. названия
513
Сдвиг 221
Секанс 257
Сечение 485
Сжатие 222
Симметрическое выражение 51
— уравнение 106
Симметричная система 136
Симметричное отображение 223, 369,
370
Синус 257, 261, 262
Синусов теорема 402
Синусоида 261
Система двух линейных уравнений с
двумя неизвестными 108—112
— уравнений второй степени с дву-
мя неизвестными 114, 115
—» неравенств 124
— логарифмических и показательных
уравнений 248—250
, состоящая из одного линейного
уравнения и одного уравнения второй
степени с двумя неизвестными 112,
113
тригонометрических уравнений
358—361
—. уравнений 88
—« —, основные свойства 90—93
—, содержащих абсолютную вели-
чину 164—166
Система-следствие 89
Скрещивающиеся прямые 435
Сложение алгебраических дробей 62
— чисел 7, 12 20, 22, 35
Смежные грани 446
Смешанная десятичная дробь 13
Соединения 196
Соотношения между элементами пря-
моугольного треугольника 401
—-------треугольника 400—406
Сопряженные комплексные числа 34
Сопряженный множитель 64
Составное число 8
Сочетания 196, 198, 199
Среднее арифметическое 77
— геометрическое 77
Степенная функция 229, 230
Степень многочлена 50
—- одночлена 50
«— с дробным показателем 26
* > иррациональным показателем 27
* — — натуральным показателем 17, 22
• отрицательным показателем 26
Строгое неравенство 73
Сумма п членов арифметической про-
грессии 181
— — геометрической прогрессии
183
ь= углов 254, 255
*— членов бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии 184
Суммирование выражений, содержа-
щих биномиальные коэффициенты
208, 209
— последовательностей 192—195
.---тригонометрических выражений
314—317
Сфера 456
Табличный способ 212
Тангенс 257, 263, 264
Тангенсов теорема 405, 406
Тангенсоида 264
Тетраэдр 447
Тождественное неравенство 74
— преобразование 49
----алгебраических выражений
67—73
•----------, вычисление выражений
72, 73
•----------, доказательство тождеств
69—72
•-------—, упрощение выражений
67—69
•---выражений, содержащих лога-
рифмическую и показательную функ-
ции 238—242
•-------, — обратные тригонометри-
ческие функции 325—331
•---тригонометрических выражений
289—317
•----------, вычисление без таблиц
292—295
«----------, — значений выражений
по известным значениям других
выражений 295—300
.----------, доказательство нера-
венств 312—314
----------? — тождеств 303—305
-----------, — условных равенств
305—309
-----------, исключение аргументов
из системы равенств 310—312
----------, преобразование в про-
изведение 300—302
•----------, суммирование последо-
вательностей 314—317
«---------, упрощение выражений
289—292
Тождество 48
Трансцендентное неравенство 367,
368
«— уравнение 85
----, методы решения 365—367
— число 20
Трехгранный угол 437
Трехчленное уравнение 104
Тригонометрическая единица 290, 344
— замена 150
— форма комплексного числа 39
Тригонометрические неравенства
312—314, 361—365
— тождества 260
514
Тригонометрические уравнения
337—360
*----, общий метод рационализации
351—353
-----однородные и приводящиеся к
ним 353—355
-----простейшие 337—339
-----, рациональные относительно
sin x-f-cos х и sin х* cos х 355—357
-----, сведение к простейшим
339—350
— функции, см. соотв. названия
-----действительного аргумента 258
-----острого угла 267, 268
-----угла 257
TU’T'"!’ Т 282~284
Тригонометрический круг 255
Убывающая последовательность 176
— функция 218
Угловой коэффициент прямой 224
Угол в тригонометрии 254
— между прямой и плоскостью 436
-----скрещивающимися прямыми 435,
481
Умножение алгебраических дробей 62
— чисел 7, 12, 20, 22, 36, 42
Уничтожение иррациональности 65, 66
Уравнение 49, 84
—, основные свойства 87, 88
—, содержащее абсолютную величину
158
—, — обратные тригонометрические
функции 332—334
См. также соотв. названия
Уравнение-следствие 86
Условное равенство 305
— тождество 69
Усеченная пирамида 456
Усеченный конус 455
— прямой круговой конус 456
Факториал 197
Формула для выражения радиуса шара,
вписанного в правильную пирамиду
501
-------------, описанного около пра-
вильной пирамиды 502
--------через стороны треугольника
его биссектрис 419
-------------------высот 417
------------------- медиан 417
-------------------радиуса вписан-
ной окружности 406
---------------------- описанной
окружности 413
----нахождения решения системы
двух линейных уравнений с двумя
неизвестными 109
— корней квадратного уравнения 99,
100
• — общего члена арифметической про-
грессии 179, 189
*--------геометрической прогрессии
181, 189
•--------разложения бинома Ньютона
200
— перехода от одного основания ло-
гарифмов к другому 236
— преобразования сложного квадрат-
ного радикала 25
Формулы понижения степени 279
— преобразования произведения в сум-
му 278, 279
*--суммы в произведение 285, 286
— приведения 275—277
— сложения 273—275
— тригонометрических функций крат-
ных аргументов 277, 278
--------половинного аргумента
280—282
Функция 211
— натурального аргумента 211
— от функции 388
См. также по названиям функций
Характеристика 238
Хорда 456
Целое рациональное выражение 50
— число 7
Центр шара 456
----, вписанного в пирамиду 502, 503
----, описанного около пирамиды 499
Цепочка функций 370
Цилиндр 449
— в комбинации с другими телами 490,
491, 494, 495
Цилиндрическая поверхность 448
Цилиндрическое тело 448
Частное 7, 36, 51, 52
Частота 265
Четверть 255
Четная функция 213, 214
Число корней многочлена 95
Числовая ось 29
Чисто мнимое число 34
Член последовательности 174
Шар 456
— в комбинации с другими телами
494—496, 498, 499, 502
Шаровая поверхность 456
Шаровой пояс 457
— сегмент 457
— сектор 458
— слой 457
Экспонента 234
Элементарная функция 223
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию.................................................................................................................. 3
Предисловие к первому изданию................................................................................................................... 3
Введение........................................................................................................................................ 5
Глава I. Действительные и комплексные числа..................................................................................................... 7
§ 1. Натуральные и целые числа............. 7
§ 2. Рациональные числа................ 11
§ 3. Иррациональные числа................ 19
§ 4. Действительные числа................ 22
§ 5. Решение задач............ 31
§ 6. Комплексные числа............ 34
§ 7. Решение задач................ 44
Глава II. Равенства. Преобразования алгебраических выражений. Нера-
венства .............................................................. 48
§ 1. Равенства алгебраических выражений................ 48
§ 2. Классификация алгебраических выражений. 49
§ 3. Действия над многочленами. Теорема Безу............................................................. 51
§ 4. Многочлены (решение задач)........................................................................................................... 57
§ 5. Алгебраические дроби. Пропорции. Иррациональные выражения 61
§ 6. Тождественные преобразования алгебраических выражений (ре-
шение задач)....................................................... 67
§ 7. Неравенства и их основные свойства.. 73
§ 8. Задачи на доказательство неравенств................ 76
Глава III. Уравнения, системы уравнений. Решение неравенств .... 84
§ 1. Основные понятия и определения, связанные с уравнениями . . 84
§ 2. Основные свойства уравнений................ 87
§ 3. Основные понятия и определения, связанные с системами урав-
нений. Основные свойства систем уравнений.......................... 88
§ 4. Целые рациональные уравнения с одним неизвестным..................................................................................... 95
§ 5. Решение линейных и квадратных уравнений.............................................................................................. 98
§ 6. Исследование решений квадратного уравнения с действительными
коэффициентами.................................................... 100
§ 7. Двучленные уравнения............... 101
§ 8. Биквадратные и трехчленные уравнения............... 103
§ 9. Возвратные уравнения четвертой степени........... 105
§ 10. Подбор рациональных корней многочлена с целыми коэффици-
ентами ........................................................... 107
§ 11. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 108
§ 12. Система, состоящая из одного линейного уравнения и одного
уравнения второй степени с двумя неизвестными..................... 112
§ 13. Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными 114
§ 14. Решение рациональных неравенств и систем неравенств с одним
неизвестным..................................................... 117
Глава IV. Решение задач на алгебраические уравнения, системы уравне-
нии и неравенства.........................................*.......... 126
§ 1. Решение рациональных уравнений с одним неизвестным .... 126
§ 2. Решение рациональных систем........................................................................................................ 133
516
§ 3. Иррациональные уравнения.................................................................... 142
§ 4. Решение иррациональных неравенств........................................................... 152
§ 5. Решение иррациональных систем............................................................... 154
§ 6. Решение уравнений, неравенств и систем, содержащих абсолют-
ную величину...................................................... 158
§ 7. Разные задачи, связанные с уравнениями, неравенствами, систе-
мами ............................................................. 166
Глава V. Последовательность. Прогрессии............................................................ 174
§ 1. Последовательность................................................... 174
§ 2. Арифметическая прогрессия........................................... 178
§ 3. Геометрическая прогрессия. 181
§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. 183
§ 5. Задачи................................................................................. 185
§ 6. Суммирование последовательностей. 192
Глава VI. Соединения и бином Ньютона............................................................... 196
§ 1. Соединения. Виды соединений....................................... 196
§ 2. Бином Ньютона....................................... 200
§ 3. Задачи....................................... 202
Глава VII. Функции................................................................................. 210
§ 1. Постоянные и переменные величины ........................................................... 210
§ 2. Функция..................................................................................... 211
§ 3. Способы задания функции..................................................................... 211
§ 4. Четные и нечетные функции................................................................... 213
§ 5. Периодические функции................................................... 215
6. Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции 217
§ 7. Обратная функция. 219
§ 8. Простейшие преобразования графиков. 221
§ 9. Обзор свойств некоторых простейших элементарных функций.
Построение их графиков............................................ 223
Глава VIII. Показательная и логарифмическая функции................................................... 232
§ 1. Показательная функция. Ее свойства и график................................................. 232
§ 2. Логарифмическая функция..................................................................... 234
§ 3. Упражнения.................................................................................. 238
§ 4. Решение показательных и логарифмических уравнений........................................... 242
§ 5. Решение неравенств, содержащих логарифмическую и показатель-
ную функцию....................................................... 250
Глава IX. Тригонометрические функции ................................................................. 254
§ 1. Угол в тригонометрии .......................................‘ 254
§ 2. Тригонометрический круг. Определение тригонометрических функ-
ций ..............................................................
§ 3. Свойства тригонометрических функций .........................
§ 4. Графики тригонометрических функций...........................
§ 5. Тригонометрические функции острого угла .....................
§ 6. Задачи ......................................................
Глава X. Теоремы сложения и их следствия.............................
§ 1. Формулы тригонометрических функций от алгебраической суммы
аргументов (формулы сложения).....................................
§ 2. Формулы приведения...........................................
§ 3. Тригонометрические функции кратных аргументов ...............
§ 4, Формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сум-
му. Формулы понижения степени.....................................
S 5 Тригонометрические функции половинного аргумента. Выражение
’ тригонометрических функций через тангенс половинного аргумен-
та ..............................................................
255
258
261
267
268
273
273
275
277
278
280
517
§ 6. Числовые значения тригонометрических функций некоторых аргу-
ментов ............................................................ 282
§ 7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение....................................................... 285
§ 8. Соотношения между аргументами а и (3, вытекающие из равен-
ства их одноименных тригонометрических функций................. 287
Глава XI. Задачи на тождественные преобразования в тригонометрии 289
§ 1. Упрощение тригонометрических выражений..................... 289
§ 2. Вычисление без таблиц........................................ 292
§ 3. Вычисление значений тригонометрических выражений по извест-
ным значениям других тригонометрических выражений.................. 295
§ 4. Преобразование тригонометрических выражений в произведение 300
§ 5. Доказательство тождеств................................. 303
§ 6. Условные равенства...................................... 305
§ 7. Исключение аргументов из системы равенств............... 310
§ 8. Доказательство тригонометрических неравенств .............. 312
§ 9. Суммирование последовательностей тригонометрических выражений 314
Глава XII. Обратные тригонометрические функции........................ 318
§ 1. Арксинус..................................................... 318
§ 2. Арккосинус .................................................. 320
§ 3. Арктангенс и арккотангенс.................................... 321
§ 4. Основные тождества........................................... 324
§ 5. Задачи....................................................... 325
Глава XIII. Тригонометрические уравнения.............................. 337
§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения ..................... 337
§ 2. Сведение тригонометрических уравнений к простейшим с помощью
тождественных преобразований....................................... 339
§ 3. Сведение тригонометрического уравнения к рациональному урав-
нению с одним неизвестным.......................................... 350
§ 4. Системы тригонометрических уравнений......................... 358
§ 5. Тригонометрические неравенства............................... 361
§ 6. Решение трансцендентных уравнений и неравенств............... 365
Глава XIV. Графики................................................ 369
§ 1. Построение графиков с помощью геометрических преобразований 369
§ 2. Графики функций, заданных разными формулами на различных
промежутках области определения.................................... 377
§ 3. График суммы и разности двух функций......................... 379
§ 4. График произведения двух функций............................. 381
§ 6. График частного двух функций............................... 385
§ 7. График «функции от функции»................................ 388
§ 8. Применение графиков к решению уравнений, систем и неравенств 392
§ 9. Разные задачи.............................................. 396
Глава XV. Приложения тригонометрии к решению треугольников. Вычис-
ление площадей прямолинейных фигур.................................... 400
§ 1. Соотношения между элементами прямоугольного треугольника.
Основные случаи решения прямоугольных треугольников .... 401
§ 2. Соотношения между элементами любого треугольника............. 402
§ 3. Основные случаи решения косоугольных треугольников .... 406
§ 4. Понятие об измерении площадей плоских фигур.................. 408
§ 5. Площадь прямоугольника и треугольника....................... 410
§ 6. Площадь четырехугольника и многоугольника.................... 414
§ 7. Задачи....................................................... 416
518
Глава XVI. Прямые и плоскости в пространстве.......................... 43S
§ 1. Основные определения......................................... 435
§ 2. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плос-
костей .......................................................... 437
§ 3. Свойства многогранных углов.................................. 442
§ 4. Площадь проекции............................................. 443
Глава XVII. Многогранники. Цилиндрические тела и конусы. Шар . . . 446
§ 1. Многогранники................................................ 446
§ 2. Цилиндрическая поверхность. Цилиндрическое тело.............. 448
§ 3. Коническая поверхность. Конус................................ 451
§ 4. Усеченный конус.............................................. 455
§ 5. Определение и свойства шара.................................. 456
Глава XVIII. Объемы и площади поверхностей многогранников, цилиндри-
ческих тел, конусов, шара и его частей............................... 459
§ 1. Понятие об измерении объемов геометрических тел.............. 459
§ 2. Объем прямоугольного параллелепипеда........................ 460
§ 3. Объем прямого цилиндрического тела.......................... 462
§ 4. Объем наклонного цилиндрического тела....................... 463
§ 5. Объем конуса................................................ 465
§ 6. Объем усеченного конуса..................................... 467
§ 7. Объем шара и его частей..................................... 468
§ 8. Площади поверхностей многогранников, цилиндров и конусов . . 471
§ 9. Площадь поверхности шара и его частей........................ 473
Глава XIX. Обзор задач по стереометрии................................ 475
§ 1. Угол между прямой и плоскостью. Двугранные углы. Трехгран-
ные углы......................................................... 477
§ 2. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми............. 481
§ 3. Задачи на сечения...................... 484
§ 4. Задачи на комбинации вписанных друг в друга тел............. 490
§ 5. Задачи на произвольные комбинации тел....................... 505
Предметный указатель................................................ 510
Шувалова Эмма Зиновьевна
Агафонов Борис Григорьевич
Богатырев Геннадий Иванович
ПОВТОРИМ МАТЕМАТИКУ
Редактор А. М. С у х о д с к и й
Художник С. А. Кравченко
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор Р. С. Родичева
Корректор И. А. Хлебникова
Сдано в набор 10/V 1973 г. Подп. к печати 22/Х 1973 г.
Формат 60х901/1в. Бум. тип. № 2. Объем 32,5 печ. л. Уч.-изд л.
2 8,26. Изд. № ФМ-5 1 8. Тираж 200 000 экз. Зак. 407. Цена 90 коп.
План выпуска литературы для вузов и техникумов
издательства «Высшая школа» на 1974 г.
Позиция № 299
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типо-
графия имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государ-
ственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли, Москва, М-54, Валовая, 28
90 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ВЫСШАЯ ШКОЛА