ВЫПУСК

ВЫПУСК	V_/
Библиотечка КВАНТ
Библиотечка КВАНТ
t
«
t я
X
i а

Л.Г.Асламазов
Ш.Слободецкий



ЗАДАЧИ
ПО ФИЗИКЕ
Дорогой читатель!
Если Вы интересуетесь математикой и физикой, любите решать задачи, хотите углубить Ваши знания или расширить их, то Вашим другом и помощником может стать журнал «КВАНТ».
Научно-популярный физико-математический журнал «КВАНТ», единственный в России образовательный журнал для школьников и студентов, выпускается под научно-методическим руководством Российской академии наук. Члены Редакционной коллегии и Редакционного совета журнала — академики и члены-корреспонденты Академии наук, профессора и преподаватели ведущих университетов и вузов страны. Авторы большинства статей «КВАНТА» — действующие на переднем крае науки талантливые ученые и опытные педагоги (некоторым из них именно «КВАНТ» помог сориентироваться в выборе профессии и сферы своей научной деятельности), а также школьники, студенты и аспиранты.
В этом году «КВАНТУ» исполнилось 35 лет. Нам известно, что среди его читателей есть такие, кто упорно подписывается на журнал все годы его жизни. Есть и такие, кто в школьные годы сами читали наш журнал, а теперь выписывают его для своих детей. Есть и те, кто открыл журнал сравнительно недавно. Мы надеемся сохранить всех старых друзей (наших подписчиков) и найти новых.
Наш журнал распространяется только по подписке — один раз в два месяца выходит очередной номер журнала. Подписаться на «КВАНТ» можно с любого номера в любом почтовом отделении связи. Подписной индекс журнала в каталоге «Роспечать» 70465.
БИБЛИОТЕЧКА
КВАНТ
ВЫПУСК
Л.Г.Асламазов
И.Ш.Слободецкий
Техносфера
Москва 2005
УДК 53(078)
ББК 22.3я7
А90
Серия
«Библиотечка «Квант» основана в 1980 г.
РЕДАКЦИОННАЯ коллегия:
Б.М.Болотовский, А.А.Варламов, В.Л.Гинзбург, Г.С.Голицын, Ю.В.Гуляев, М.И .Каганов, С.С.Кротов, С.П.Новиков. Ю.А.Осипьян (председатель), В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, А.Р.Хохлов, А.И.Черноуцан (ученый секретарь)
Научный редактор выпуска А.И.Черноуцан
Асламазов Л.Г., Слободецкий И.Ш.
А90 ЗАДАЧИ и не только ПО ФИЗИКЕ. - М.: Бюро Кванту м, Техносфера, 2005. — 288 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 89)
ISBN 5-85843-054-6
Книга представляет собой сборник статей и задач по физике. Одни статьи дают красивые объяснения различных физических явлений, другие помогают глубже разобраться в школьной физике Предлагаемые задачи не простые, они требуют ясного понимания основных физических законов, умения применять эти законы, а иногда - и просто сообразительности Все задачи снабжены решениями, многие из которых представляют собой небольшие исследования.
Для учащихся и преподавателей средних школ, лицеев и гимназий, для членов и руководителей физических кружков и факультативов, а также для всех тех, кому просто интересна физика.
ББК 22.3я7
ISBN 5-85843-054-6
© Бюро Квантум, 2005
ПРЕДИСЛОВИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Редакционная коллегия серии научно-популярных книг «Библиотечка «Квант» представляет читателям новый выпуск «ЗАДАЧИ и не только ПО ФИЗИКЕ», авторами всех материалов которого являются Лев Григорьевич Асламазов и Иосиф Шаевич Слободецкий.
Имена этих замечательных физиков, педагогов и популяризаторов науки хорошо известны в научной и педагогической среде. Они стояли у истоков создания журнала «Квант», писали статьи, придумывали задачи. В разные годы руководили физическим разделом журнала, формировали его структуру, вводили новые рубрики, заказывали и отбирали статьи, создавая тем самым стиль журнала и его политику.
Л.Г.Асламазов и И.Ш.Слободецкий принимали самое активное участие в налаживании выпуска серии «Библиотечка «Квант», а одной из первых книг этой серии (выпуск 5), увидевшей свет в 1980 году, был замечательный задачник этих двух авторов, названный ими просто «Задачи по физике». Однако эта книга выпадает из ряда обычных задачников. Здесь все задачи, как простые, так и довольно трудные, содержат некоторую красивую идею, олимпиадную «изюминку», а решения многих задач разворачиваются в рассказы о любимой физике, в небольшие самостоятельные физические исследования. В 2001 году эта книга была переиздана (выпуск 86) и оказалась весьма востребованной.
В представляемую книгу в качестве третьей части вошли все материалы книги «Задачи по физике», а содержание первых двух частей составили научно-популярные и учебные статьи, написанные Л .Г. Асламазовым и И.Ш.Слободецким для журнала «Квант». Как и задачи с решениями, статьи эти написаны в истинно «квантовском» духе. Они показывают, как физика объясняет явления окружающего мира, зачастую плавно переходя от простой «школьной» физики к рассказу о самых современных достижениях науки, демонстрируя единство физики, мощь и красоту физической мысли.
3
Статьи «Следы на песке и ... строение вещества», «Меандры рек», «Почему гудят провода», «Почему звучит скрипка», «Поверхностное натяжение», «Сверхпроводящие магниты», «Как волны передают информацию», «Лунные дорожки», «Соотношение неопределенностей», «Неинерциальные системы отсчета», «Уравнение волны», «Скин-эффект», «Диа-и парамагнетики» и «Эффект Доплера» написал Л.Г.Асламазов. Статьи «Сухое трение», «О форме дождевой капли», «Кинематика», «Импульс. Закон сохранения импульса», «Уравнение газового состояния. Работа и теплоемкость газа» и «Электрические машины постоянного тока» написал И.Ш.Слободецкий.
Читая статьи, решая задачи, вновь возвращаясь к статьям, вы убедитесь, что все содержание книги «ЗАДАЧИ и не только ПО ФИЗИКЕ» составляет единое целое, пронизанное талантом ее авторов, их любовью к физике и к обучению этой любимой науке всех, кто хочет учиться.
Академик Ю.А. Осипьян
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФИЗИКА УЧИТ НАС
Отличие физики от всех других наук заключается в том, что она изучает самые основные, фундаментальные законы окружающего нас мира. Причем изучает не только качественно, но и количественно, описывая их математическим языком. Законы физики универсальны. Они с успехом объясняют свойства звезд и атомов, кристаллов и живых клеток, изгибы рек и звучание скрипки.
СЛЕДЫ НА ПЕСКЕ И... СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА
Изо всех двухсот миллиардов чужчин, женщин и детей, которые когда-либо прошли по влажному песку с сотворения мира до собрания Британской Ассоциации в Абердине в 1885 г., сколько найдется таких, которые на вопрос, сжался ли песок под вашей ногой, ответили бы иначе, чем «да»!
Лорд Кельвин, Балтиморские лекции, 1904 г.
А задумывались ли вы над ответом на этот вопрос? На первый взгляд кажется, что, утрамбовывая песок, мы всегда делаем его более плотным, заставляем песчинки теснее прижаться друг к другу. Но в действительности дело может обстоять иначе. И доказательство этому - следы, которые остаются на некоторое время сухими, когда ступаешь по мокрому песку у берега моря или реки. Вот что говорил по этому поводу О.Рейнольдс - ученый, известный своими работами по гидродинамике, - в докладе на собрании Британской Ассоциации в 1885 году: «Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становится сухим... Надавливание ноги разрыхляет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды уходит... Оно делает песок сухим до тех пор, пока снизу не прибудет достаточное количество воды».
Так почему же в результате надавливания увеличивается пространство между песчинками и имеющейся воды уже недостаточно, чтобы заполнить его? Этот вопрос не случайно волновал ученых XIX века. Ответ на него имеет самое прямое отношение к атомному строению вещества. Давайте и мы попробуем разобраться в этом вопросе.
Плотная упаковка шаров. Можно ли заполнить твердыми шарами все пространство? Разумеется, нет - между ними всегда остаются свободные промежутки. Доля пространства, занимае
6
мого шарами, называется плотностью их упаковки. Чем теснее расположены шары, чем меньше свободного места между ними, тем больше плотность упаковки. Когда же достигается максимальная плотность упаковки одинаковых твердых шаров? Ответ на этот вопрос дает ключ к разгадке «тайны» следов на песке.
Исследуем вначале более простой случай - упаковку одинаковых кругов на плоскости. Плотной упаковки кругов можно
достичь, вписывая их в мозаики, составленные из правильных многоугольников, заполняющих всю плоскость. Существуют только три способа построения таких мозаик - из правильных
треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Упаковки кругов с использованием квадратной и шестиугольной мозаик показаны на рисунке 1. Даже «на глаз» видно, что второй способ более экономичен. Точ
ный расчет (вы вполне сможете провести его сами) показывает, что в этом случае кругами заполнено примерно 90,7% плоскости, в то время как в первом случае - только около 78%. Шестиугольный способ упаковки на плоскости - самый плотный. По-видимому, из-за этого его и используют пчелы при построении сот.
Плотную упаковку шаров в пространстве можно осуществить следующим образом. Расположим на плоскости первый слой шаров уже известным нам наиболее плотным способом. Затем можно положить на них второй точно такой же слой. Если располагать каждый шар верхнего слоя в точности над нижним, так что все шары окажутся вписанными в кубические соты, то слишком много пространства окажется неиспользованным. При таком способе укладки шаров заполняется только 52% простран
ства.
Ясно, как можно упаковать шары плотнее. Для этого верхний
шар надо располагать в лунке, образованной тремя соседними нижними шарами. Но при этом верхние шары не смогут заполнить все лунки - одно из двух соседних углублений всегда остается свободным (рис.2). Поэтому, когда мы укладываем
7
третий слой шаров, сделать это можно будет двумя способами: либо расположить шары третьего слоя над теми углублениями в первом слое, которые шары второго слоя оставили свободными,
либо - как раз над шарами первого слоя. Для последующих слоев порядок расположения шаров сохраняется. В результате получаем два способа плотной упаковки шаров, показан-
ные в пространстве на рисунке 3. В обоих случаях шарами заполнено около 74% простран-
ства.
Легко подсчитать, что при таком способе упаковки каждый
шар соприкасается с 12 соседними шарами. Точки соприкоснове-
ния образуют вершины четырнадца-тигранника. Его грани - чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники. Так, при втором способе плотной упаковки получается кубоктаэдр Кеплера, показанный на рисунке 4.
До сих пор мы рассматривали лишь такие способы упаковки шаров, при
которых они вписываются в периодические «соты». А можно ли достичь плотной упаковки, отказавшись от этого условия? Да, один из способов показан на рисунке 5. Шары в каждой
плоскости расположены по сторонам правильных пятиугольни-
Рис. 5
ков (пентагонов). В каждом Пентагоне соседние шары касаются друг друга, но шары, относящиеся к разным пентагонам одной плоскости, разделены в пространстве. Стороны пентагонов чередующихся слоев попеременно содержат четное и нечетное число шаров. Коэффициент заполнения пространства в такой структуре равен 72 %
и лишь немного уступает случаю плотной упаковки, показанному на рисунке 2.
8
Можно упаковать шары, не образуя из центров решетку, еще плотнее, достигнув коэффициента заполнения 74 %, однако существуют ли еще более плотные упаковки - этот вопрос остается открытым до сих пор.
Вернемся к следам на песке. Мы теперь знаем, что существуют особые упаковки шаров, при которых остается очень мало пустого пространства между ними. Если нарушить такое расположение, выведя, например, шары одного слоя из лунок другого слоя, то промежутки между шарами увеличатся. Ясно, однако, что песчинки никто не упаковывает специальным образом. Как же достичь плотной упаковки песчинок? Вспомним житейский опыт. Вам надо заполнить сосуд крупой так, чтобы в него вместилось максимальное ее количество. Что вы при этом делаете? Потряхиваете сосуд или постукиваете по нему, добиваясь желаемого эффекта. Даже после плотной утрамбовки крупы в сосуде можно с помощью такого приема уместить еще какое-то дополнительное ее количество.
Научное исследование этого вопроса предпринял в 50-х годах (прошлого века) английский ученый Г.Скотт. Он заполнял шариками от подшипников сферические бутылки разных размеров. Если заполнять бутылки без потряхивания, так чтобы шарики располагались случайным образом, экспериментально наблюдается следующая зависимость плотности упаковки от числа шариков: р! = (0,6 - 0,37)/л/Т7 , где N - полное число шариков. Если число шариков очень велико (а в опытах N достигало нескольких тысяч), то видно, что плотность упаковки стремится стать постоянной и соответствующей заполнению 60% пространства. А вот если потряхивать бутылку по мере ее заполнения, плотность упаковки возрастает: р2=(0,64-- 0,33)/y[N . Правда, и в этом случае она получается гораздо меньшей 74%, соответствующих регулярному расположению шариков.
Стоит задуматься над приведенными здесь зависимостями. Почему поправка обратно пропорциональна ? Шарики, расположенные у стенок сосуда, находятся в особом положении по сравнению с шариками в объеме и влияют на плотность упаковки. Величина их вклада пропорциональна отношению площади поверхности, пропорциональной R2, к объему сосуда, пропорциональному R3, и убывает обратно пропорционально размеру системы R (под объемом системы мы понимаем полный объем пространства, занимаемого шариками вместе со свободными промежутками). Размер R пропорционален , так как объем системы пропорционален полному числу шариков. Такие зависи-
9
мости часто возникают в физике, когда надо учитывать поверхностные эффекты.
Таким образом, точные эксперименты подтверждают житейский опыт и показывают, что, потряхивая зернистую среду, можно достичь большей плотности упаковки. Но почему же все-таки это происходит? Дело в том, что устойчивому положению равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии. Шарик может устойчиво лежать в ложбинке, но с вершины горки он обязательно скатится. Нечто подобное происходит и здесь. Шарики при потряхивании скатываются в свободные промежутки, плотность упаковки увеличивается, а общий объем системы уменьшается. В результате понижается уровень заполнения сосуда шариками, а следовательно, опускается центр тяжести и уменьшается потенциальная энергия системы.
Теперь, наконец, можно с достаточной ясностью представить себе, что происходит с песком. Волнение воды встряхивает песок, в результате достигается плотная упаковка песчинок. Сдавливая песок ногой, мы нарушаем эту упаковку и увеличиваем размер пор. Вода из верхних слоев песка уходит вглубь, заполняя эти увеличившиеся промежутки. В результате песок «высыхает». Когда ногу убирают, деформация исчезает, плотная упаковка восстанавливается, а вытесненная из вновь уменьшившихся промежутков вода заполняет след, оставленный ногой. Может случиться и так, что после сильного нажатия плотная упаковка не восстановится. Тогда след станет снова мокрым, лишь когда вода поднимется из нижних слоев и заполнит увеличившиеся поры.
Любопытно, что это свойство сыпучих сред знали еще индийские факиры. Один из их трюков состоял в том, что в сосуд с узким горлышком, доверху наполненный рисом, многократно втыкали узкий длинный нож. В какой-то момент нож застревал в рисе, а сосуд можно было поднять вместе с ножом. Ясно, что фокус состоял в том, что сосуд при заполнении рисом встряхивали, достигая плотной упаковки. Втыкание ножа нарушало эту упаковку и увеличивало объем пространства между рисинками. Так как объем сосуда не менялся, то возрастали силы, сдавливающие рисинки, а следовательно, и трение между ними и ножом. В какой-то момент оно оказывалось достаточным, чтобы помешать вытянуть нож из риса.
Дальний и ближний порядок. Атомы, из которых состоят все тела, конечно, нельзя считать твердыми шарами. И тем не менее, простые геометрические соображения помогают разобраться в строении вещества. 10
Впервые геометрический подход использовал еще в 1611 году немецкий ученый И. Кеплер, высказавший предположение о связи шестиугольной формы снежинок с плотнейшими способами упаковки шаров. М.Ломоносов дал в 1760 году первое изображение плотнейшей кубической шаровой упаковки и объяснил таким образом форму кристаллических многогранников. А французский аббат Р.Гаюи в 1783 году заметил, что любой кристалл можно составить из множества повторенных частей. Правильную геометрическую форму кристаллов он объяснил тем, что кристаллы построены из одинаковых маленьких «кирпичиков». Наконец, в 1824 году немецкий ученый А.Зибер предложил модель кристалла из регулярно расположенных маленьких сфер, взаимодействующих подобно атомам. Плотная упаковка таких сфер соответствует минимуму потенциальной энергии их взаимодействия.
Описанием структуры кристаллов занимается специальная наука - кристаллография. В наше время периодическое расположение атомов в кристаллах - твердо установленный факт. Электронные микроскопы позволяют нам просто увидеть это своими глазами. Тенденция к плотной упаковке несомненно имеется в атомном мире. Около 35 химических элементов кристаллизуются таким образом, что их атомы располагаются в пространстве подобно шарам, показанным на рисунке 3. Центры атомов (а точнее, атомные ядра) образуют в пространстве так называемую кристаллическую решетку, которая состоит из повторяющихся частей. Простейшие решетки, которые можно составить периодическим сдвигом в пространстве только одного атома, называются решетками Браве (по имени французского морского офицера О.Браве, впервые построившего в XIX веке теорию пространственных решеток).
Решеток Браве существует не так много - всего 14 разных типов. Это связано с тем, что далеко не все элементы симметрии могут встречаться в периодических решетках. Отдельный правильный пятиугольник можно, например, поворачивать вокруг оси, проходящей через центр, и он при этом 5 раз совместится сам с собой. В таком случае говорят, что имеется ось симметрии 5-го порядка. Но в решетке Браве такой оси быть не может. Это означало бы, что имеется плоскость, усеянная узлами, образующими правильные пятиугольники. А заполнить целиком плоскость правильными пятиугольниками невозможно (рис.6).
Однако типы решеток Браве не исчерпывают разнообразия свойств симметрии реальных кристаллов. Ведь решетки Браве
11
можно вставлять одну в другую! В результате элементы симметрии объединяются в различных комбинациях, образуя так называемые пространственные группы. Всего имеется 230 различных групп. Все они были найдены в 1890 году русским ученым Е.Федоровым.
Итак, любой кристалл можно составить из повторяющихся частей. Это свойство кристаллов называют транс-
ляционной симметрией (трансляция - перенос в пространстве).
Иначе еще говорят, что в кристаллах имеется дальний порядок. Это, пожалуй, самое характерное свойство кристаллов, которое
отличает их от всех других тел.
Есть, однако, не менее важный класс веществ - аморфные тела, в которых дальнего порядка нет. В аморфном состоянии находятся жидкие тела. Но и твердое тело может быть аморфным. Самый простой пример - обычное стекло. На рисунке 7
показано строение стекла (справа) и кварца (слева), который имеет тот же химический состав, что и стекло. Кварц - кристалл, а стекло - аморфное тело. Хотя дальнего порядка в стекле явно нет, это, однако, не означает, что в расположении атомов царит полный хаос. Определенная структура в расположении ближайших соседей сохраняется и в стекле. Говорят, что в аморфных телах имеется ближний порядок.
Аморфные материалы нашли в последнее время важные применения в технике. Уникальными свойствами обладают аморфные металлические сплавы (металлические стекла). Их получают, очень быстро охлаждая жидкий металл - со скоростью порядка нескольких тысяч градусов в секунду. Достичь этого
12
можно, например, разбрызгивая мелкие капли металла на поверхность быстро вращающегося холодного диска. Капля «размазывается» по диску очень тонким слоем (толщиной в несколько микрометров), и хороший теплоотвод позволяет металлу остыть столь быстро, что его атомы просто не успевают расположиться правильным образом. Оказалось, что аморфные сплавы обладают повышенной твердостью, высокой коррозийной стойкостью, оптимальным сочетанием электрических и магнитных свойств. Область применений таких материалов быстро расширяется.
Интересные опыты по выяснению структуры аморфных тел проделал в 1959 году английский ученый Дж. Бернал. Одинаковые шарики из пластилина были беспорядочно сложены и спрессованы в сплошной ком. Когда их потом разобрали, оказалось, что многогранники, в которые превратились шарики, обладают преимущественно пятиугольными гранями. Такие же опыты проделывали и с круглыми свинцовыми пулями. Если
пули до сжатия укладывались наиболее плотным образом, то после деформации образовывались почти точные ромбододекаэдры, а если их насыпали случайно, получались неправильные четырнадцатигранные тела. При этом встречались четырехугольные, пятиугольные и шестиугольные грани, но преобладали пятиугольные.
Симметрия 5-го порядка очень распространена в биологических объектах. Так, электронно-микроскопическая фотография колонии
Рис. 8
вирусных частиц (рис.8) имеет полное сходство с пентагональ-
ной упаковкой шаров, показанной на рисунке 5. Палеонтологи даже используют наличие осей 5-го порядка в ископаемых объектах для доказательства их биологического (а не геологичес-
кого) происхождения.
Видите, как далеко увели нас следы на песке.
МЕАНДРЫ РЕК
Видел ли кто-нибудь реку, текущую прямо, без изгибов? Какой-то участок реки, конечно, может быть прямым, но рек, текущих совсем без изгибов, не существует. Даже если река течет по равнине, она обычно «петляет», и часто изгибы рек повторяются с определенным периодом. А на изгибах один берег реки, как правило, крутой, а другой - пологий. Как объяснить эти особенности поведения рек?
Гидродинамика - раздел физики, изучающий движение жидкости, - в наше время очень развитая стройная наука. Но в применении к таким сложным естественным объектам, как реки, даже она не в состоянии объяснить все особенности их течения. И тем не менее, на многие вопросы можно дать ответы.
Вопросом о причине образования извилин в руслах рек занимался А.Эйнштейн. В своем докладе «Причина образования извилин в руслах рек и так называемый закон Бэра», сделанном в 1926 году на заседании Прусской академии наук, Эйнштейн сравнил движение вращающейся воды в стакане и в руслах рек. Эта аналогия позволила объяснить тенденцию русел рек приобретать извилистую форму.
Попробуем разобраться в этом явлении хотя бы качественно. И начнем со стакана чая.
Как движутся чаинки в стакане. Возьмите стакан с чаем, хорошо размешайте чай ложкой, а затем выньте ее. Вода постепенно остановится, а чаинки соберутся в центре дна стакана. Что заставляет их «сбегаться» к центру? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним сначала, какую форму принимает поверхность воды, вращающейся в стакане.
Из опыта видно, что поверхность жидкости искривляется. Легко понять, почему это происходит. Для того чтобы частички воды совершали вращательное движение, равнодействующая всех сил, действующих на каждую частичку, должна приводить к центростремительному ускорению. Выделим мысленно внутри жидкости на расстоянии г от оси вращения кубик массой Ат (на рисунке такой кубик выделен). При угловой скорости вращения со центростремительное ускорение кубика равно со2г .
14
Это ускорение создается разностью сил давления, действующих на боковые грани (левую и правую на рисунке \,а) кубика. Следовательно,
Ат • со2 г = F] - F2 =	• As ,
где As - площадь боковой грани кубика. Давления рх и р2 определяются расстояниями 7^ и h2 до свободной поверхности жидкости:
А = РЖ > Pi = Pgh2 >
где р - плотность жидкости, д - ускорение свободного падения. Так как сила Fx должна быть больше силы F2 , то, следовательно, и h\ должно быть больше h2 , т.е. свободная поверхность жидкости при вращении должна искривиться так, как показано
на рисунке 1 ,а. Чем больше скорость вращения, тем сильнее искривляется поверхность. Можно найти форму искривленной поверхности жидкости. Она оказывается параболоидом, т.е. поверхностью, разрез которой - парабола.
Пока мы мешаем чай ложкой, мы поддерживаем
вращение жидкости. Но если вынуть ложку из стакана, то вследствие трения между отдельными слоями жидкости (вязкости) и трения о стенки и дно стакана кинетическая энергия будет
переходить в тепло, и жидкость постепенно остановится.
По мере уменьшения частоты вращения поверхность жидкости выпрямляется. При этом внутри жидкости возникают вихревые потоки, направление которых показано на рисунке 1,6. Происхождение вихревых потоков связано с неодинаковым торможением жидкости у дна стакана и у поверхности. На глубине вследствие большого трения о дно стакана жидкость тормозится сильнее, чем у поверхности. Поэтому у частичек жидкости, находящихся на одинаковом расстоянии от оси вращения, оказываются разные скорости - чем ближе к дну стакана, тем меньше скорость. А равнодействующая сил «бокового» давления, действующих на такие частички, одна и та же. Эта сила уже не может по всей глубине вызвать необходимое центростремительное ускорение (как в случае вращения всей массы жидкости с одной и той же угловой скоростью). У поверхности угловая
15
скорость слишком большая, и частицы воды отбрасываются к стенкам стакана; у дна угловая скорость мала, и результирующая сил давления заставляет воду двигаться к центру. Теперь понятно, почему чаинки собираются в центре на дне стакана - они увлекаются возникающими при торможении вихревыми потоками. Конечно, такое рассмотрение - довольно упрощенное, но оно правильно отражает суть явления.
Как меняются русла рек. Давайте разберем характер движения воды в реке при повороте русла. Здесь возникает картина, похожая на движение воды в стакане. Поверхность воды наклоняется в сторону поворота так, чтобы разность сил давления сообщала необходимое центростремительное ускорение (на рисунке 2 показано вертикаль-\	ное сечение реки на поворо
те). Так же, как в стакане с чаем, скорость воды у дна вследствие трения меньше, чем у поверхности реки (распределение скоростей по глубине приведено на рисунке 2;
Рис. 2
специально выделена вертикальная плоскость, перпендикулярная сечению реки). Поэтому у поверхности результирующая сил давления не в состоянии обеспечить движение частиц воды по окружности с большой скоростью, и вода «отбрасывается» к дальнему (от центра поворота) берегу. У дна, наоборот, скорость движения мала, и вода устремляется к ближнему берегу (к центру поворота). Таким образом, дополнительно к основному течению возникает циркуляция воды; на рисунке 2 показано направление циркуляции в плоскости сечения реки. Такая циркуляция воды приводит к эрозии (разрушению) почвы. В результате далекий от центра поворота берег разрушается (подмывается), а у близкого берега постепенно осаждается все
Ближний берег
Дальний берег
1963
<xjj4962
Расстояние (л)
16
больший слой почвы (вспомните чаинки в стакане). Форма русла меняется и приобретает такой вид, как на рисунке 3.1
Интересно проследить за тем, как меняется скорость воды по ширине реки (от берега к берегу). На прямолинейных участках русла с максимальной скоростью течет вода посередине реки. При изгибе русла линия тока, соответствующая максимальной скорости, смещается к дальнему от центра поворота берегу. Это происходит вследствие того, что повернуть быстрые частицы воды труднее, так как для этого необходимо создать большее центростремительное ускорение. Но там, где больше скорость течения, возникает и более сильная циркуляция воды и, соответственно, большая эрозия почвы. Вот почему самое быстрое место в русле реки обычно оказывается и самым глубоким. Это правило хорошо знают речники, осуществляющие навигацию.
Эрозия почвы у дальнего берега и ее осаждение у ближнего приводят к постепенному смещению всего русла реки в сторону от центра поворота и, тем самым, к увеличению изгиба реки. На рисунке 3 показаны профили дна в одном и том же месте русла реальной реки в разные годы. Ясно видно, как происходило постепенное перемещение русла и увеличение изгиба. Таким образом, даже небольшой начальный изгиб, возникший по случайной причине (например, вследствие обвала, падения дерева и т. п.), будет со временем увеличиваться. Прямолинейное течение реки по однородной равнине является неустойчивым.
Как образуются меандры рек. Форма русла реки во многом определяется рельефом местности. Река, текущая по неровной местности, извивается таким образом, чтобы избежать высоких мест и заполнить низины, выбирает путь с максимальным уклоном. А как текут реки по равнинам? Как влияет на форму русла описанная выше неустойчивость прямолинейного течения реки по отношению к изгибам? Такая неустойчивость приводит к увеличению длины реки, и река начинает извиваться. Естественно думать, что в идеальном случае (совершенно ровная однородная местность) должна возникнуть периодическая кривая. Какова ее форма?
Геологи высказали предположение, что русла рек, текущих по равнинам, на изгибах должны принимать форму ... изогнутой линейки. Возьмите стальную линейку и попытайтесь сжать
1 Такая же циркуляция воды может возникнуть и при прямолинейном течении реки вследствие вращения Земли. В результате реки в северном полушарии размывают, главным образом, правый берег, а в южном - левый (это и есть закон Бэра). Но этот вопрос - тема для специального разговора.
17
Рис. 4
линейку вдоль ее длины (уменьшить расстояние между ее концами). Линейка изогнется (как на рисунке 4). Такой упругий изгиб называют эйлеровым изгибом (по имени замечательного ученого, петербургского академика Леонарда Эйлера, теоретически рассмотревшего это явление). Форма изогнутой линейки описывается особой кривой. Эта кривая обладает замечательным свойством: из всех кривых заданной длины, соединяющих данные точки, она в среднем наиме
нее изогнута. Если измерить угловые отклонения 0 через равные расстояния вдоль длины кривой и просуммировать квадраты угловых отклонений, то для эйлеровой кривой эта сумма будет минимальной. Такой «экономный» изгиб эйлеровой кривой и послужил основанием для гипотезы о форме русел рек.
Геологи моделировали процесс изменения русла реки в искусственном канале, продолженном в однородной среде, которая приготовлялась из мелких частиц, слабо скрепленных между собой и потому довольно легко подвергающихся эрозии. Очень скоро прямолинейный канал начинал извиваться, причем форма изгибов описывалась именно эйлеровой кривой. Конечно, в реальных условиях такого совершенства в форме русел рек не наблюдается (например, из-за неоднородности почвы), но на равнинах реки обычно изгибаются и образуют периодическую структуру. На рисунке 5 показано русло реальной реки и пунктиром проведены эйлеровы кривые, наиболее близкие к форме русла.
Периодические изгибы русла называют меандрами. Происхождение этого термина связано с древнегреческим названием «Меандр» известной своими изгибами реки в Турции (современное название реки - Боль
шой Мендерес). Меандрами сейчас называют и периодические изгибы океанских течений, а также ручьев, образующихся на ровной поверхности ледников. Во всех этих явлениях в однородных средах случайные процессы приводят к образованию периодической структуры, и хотя причины, вызывающие изгибы, могут быть разными, форма образующихся периодических кривых оказывается одинаковой.
Рис. 5
СУХОЕ ТРЕНИЕ
Почему при резком торможении автомобиль заносит? Почему скрипит плохо смазанная дверь? Почему движущийся равномерно смычок заставляет звучать скрипичную струну? Все это объясняется свойствами сил трения, о которых и пойдет речь в этой статье.
С трением мы сталкиваемся на каждом шагу. Вернее было бы сказать, что без трения мы и шагу ступить не можем. Но несмотря на ту большую роль, которую играет трение в нашей жизни, до сих пор не создана достаточно полная картина возникновения трения. Это связано даже не с тем, что трение имеет сложную природу, а скорее с тем, что опыты с трением очень чувствительны к обработке поверхности и поэтому трудно воспроизводимы.
Вот пример. Английский физик Гарди исследовал зависимость силы трения между стеклянными пластинками от температуры. Он тщательно обрабатывал пластинки хлорной известью и обмывал их водой, удаляя жиры и загрязнения. Трение увеличивалось с температурой. Опыт был повторен много раз, и каждый раз получались примерно одни и те же результаты. Но однажды, моя пластинки, Гарди протер их пальцами. Трение перестало зависеть от температуры. Протерев пластинки, Гарди, как он сам считал, удалил с них очень тонкий слой стекла, изменивший свои свойства из-за взаимодействия с хлоркой и водой.
Когда говорят о трении, различают три несколько отличных физических явления: сопротивление при движении тела в жидкости или газе - его называют жидким трением; сопротивление, возникающее, когда тело скользит по какой-нибудь поверхности, - трение скольжения, или сухое трение; сопротивление, возникающее при качении тела, - трение качения. Эта статья посвящена сухому трению.
Первые исследования трения, о которых мы знаем, были проведены Леонардо да Винчи примерно 500 лет назад. Он измерял силу трения, действующую на деревянные параллелепипеды, скользящие по доске, причем, ставя бруски на разные грани, определял зависимость силы трения от площади опоры.
19
Но работы Леонардо да Винчи стали известны уже после того, как классические законы трения были вновь открыты французскими учеными Амонтоном и Кулоном в XVII-XVIII веках. Вот эти законы:
1)	Величина силы трения F прямо пропорциональна величине силы нормального давления N тела на поверхность, по которой движется тело, т.е. F = цА , где ц - безразмерный коэффициент, называемый коэффициентом трения.
2)	Сила трения не зависит от площади контакта между поверхностями.
3)	Коэффициент трения зависит от свойств трущихся поверхностей.
4)	Сила трения не зависит от скорости движения тела.
Триста лет исследований трения подтвердили правильность трех первых законов, предложенных Амонтоном и Кулоном. Неверным оказался лишь последний - четвертый. Но это стало ясно много позже, когда появились железные дороги и машинисты заметили, что при торможении состав ведет себя не так, как предсказывали инженеры.
Амонтон и Кулон объясняли происхождение трения довольно просто. Обе поверхности неровные - они покрыты небольшими горбами и впадинами. При движении выступы цепляются друг за друга, и поэтому тело все время поднимается и опускается. Для того чтобы втащить тело на «холм», к нему нужно приложить определенную силу. Если выступ больше, то и сила нужна побольше. Но это объяснение противоречит одному очень существенному явлению: на преодоление трения тратится энергия. Так, кубик, скользящий по горизонтальной поверхности, рано или поздно останавливается. А поднимаясь и опускаясь, тело не тратит своей энергии. Или вспомните аттракцион «Американские горки». Когда санки скатываются с горки, их потенциальная энергия переходит в кинетическую и скорость санок возрастает, а когда санки въезжают на новую возвышенность, кинетическая энергия, наоборот, переходит в потенциальную. Энергия санок уменьшается за счет трения, но не из-за подъемов и спусков. Аналогично обстоит дело и при движении одного тела по поверхности другого. Здесь потери энергии на трение также не могут быть связаны с тем, что выступы одного тела «взбираются» на бугры другого.
Есть еще возражения. Например, простые опыты по измерению силы трения между полированными стеклянными пластинками показали, что при улучшении полировки поверхностей сила трения сначала не меняется, а затем возрастает, а не убывает, как
20
следовало бы ожидать на основании модели явления, предложенной Амонтоном и Кулоном.
Механизм трения значительно более сложен. Обсудим такую модель. Из-за неровностей поверхностей они касаются друг друга только в отдельных точках на вершинах выступов. Здесь молекулы соприкасающихся тел подходят на расстояния, соизмеримые с расстоянием между молекулами в самих телах, и сцепляются. Образуется прочная связь, которая рвется при нажиме на тело. При движении тела связи постоянно возникают и рвутся. При этом возникают колебания молекул. На эти колебания и тратится энергия.
Площадь действительного контакта обычно порядка тысяч квадратных микронов. Она практически не зависит от размеров тела и определяется природой поверхностей, их обработкой, температурой и силой нормального давления. Если на тело надавить, то выступы сминаются, и площадь действительного контакта увеличивается. Увеличивается и сила трения.
При значительной шероховатости поверхностей большую роль в увеличении силы трения начинает играть механическое зацепление между «холмами». Они при движении сминаются, и при этом тоже возникают колебания молекул.
Теперь понятен опыт с полированными стеклянными пластинками. Пока поверхности были «грубые», число контактов было невелико, а после хорошей полировки оно возросло. Можно привести еще пример увеличения трения с улучшением поверхности. Если взять два металлических бруска с чистыми полированными поверхностями, то они слипаются. Трение здесь становится очень большим, так как площадь действительного контакта велика. Силы молекулярного сцепления, которые ответственны за трение, превращают два бруска в монолит.
Рассмотренная нами модель трения довольно груба. Мы не останавливались здесь на диффузии, т.е. на проникновении молекул одного тела в другое, на роли электрических зарядов, возникающих на соприкасающихся поверхностях, на механизме действия смазки. Эти вопросы во многом неясны, а объяснения спорны. Можно только удивляться тому, что при такой сложности трение описывается столь простым законом: F = [iN . И хотя коэффициент трения Ц не очень постоянен и несколько меняется от одной точки поверхности к другой, для многих поверхностей, с которыми мы часто сталкиваемся в технике, можно делать достаточно хорошие оценки ожидаемой силы трения.
Сухое трение имеет одну существенную особенность: наличие трения покоя. В жидкости или газе трение возникает только при
21
движении тела, и тело можно сдвинуть, приложив к нему даже
очень маленькую силу. Однако при сухом трении тело начинает
двигаться только тогда, когда проекция приложенной к нему силы F на плоскость, касательную к поверхности, на которой
лежит тело, станет больше некоторой величины (рис. 1). Пока тело не начало скользить, действующая на него сила трения равна касательной составляющей приложенной силы и направлена в противоположную сторону. При увеличении приложенной силы сила трения тоже возрастает, пока не достигает
максимальной величины, равной цЛг , при которой начинается скольжение. Дальше сила трения уже не меняется.
Часто об этом забывают при решении задач. На вопрос, какая сила трения действует на стол массой 30 кг, стоящий на полу, если коэффициент трения равен 0,4, большинство уверенно отвечает: 120 Н, что неверно. Сила трения равна нулю - иначе стол поехал бы в сторону действия силы трения, так как других
горизонтальных сил нет.
Итак, если тело покоится, то для того чтобы сдвинуть его с места, к телу нужно приложить силу, большую максимально возможной силы трения покоя, которая обусловлена прочностью молекулярных связей. А как обстоит дело, если т°ло уже движется? Какую силу нужно приложить для того, чтобы тело начало двигаться еще и в другом направлении? Оказывается, сколь угодно малую. Связано это как раз с тем, что сила трения не может быть больше максимальной силы трения покоя.
Попробуйте проделать простой опыт. Возьмите книжку и положите ее одним краем на другую книжку потолще. Получится наклонная плоскость. Теперь положите на эту плоскость спичечный коробок, к которому привязана нитка. Если коробок скользит, то уменьшите наклон плоскости, взяв книжку-подставку потоньше. Потяните за нитку коробок вбок. При этом он поедет еще и вниз! Уменьшите наклон плоскости и опять потяните за нитку. Та же картина. Коробок соскальзывает даже при очень малых углах наклона плоскости. Сила трения, раньше удерживавшая коробок на плоскости, стала почему-то очень маленькой.
Постараемся понять, в чем здесь дело. Если бы коробок двигался только горизонтально, то параллельно ребру наклонной плоскости на него действовала бы сила трения, равная рУ . Для того чтобы коробок при этом не соскальзывал вниз, вверх на него должна действовать сила трения, равная по величине
22
проекции силы тяжести коробка на наклонную плоскость. Равнодействующая этих двух сил трения больше pN , а этого быть не может. Значит, коробок должен соскальзывать с наклонной
плоскости.
Теперь представим себе такую ситуацию. Возьмем брусок,
привяжем к нему нить и, положив брусок на горизонтальную
плоскость, будем тянуть за нить с постоянной скоростью vx (рис.2). Приложив к бруску силу, перпендикулярную vx , его можно заставить двигаться еще и в этом направлении с постоянной скоростью v2 . Сила трения при этом будет равна рЯ и
направлена противоположно скорости v движения бруска относительно плоскости ( v = vx + v2 ).
Разложим силу трения на две составляющие - по направлению скоростей vx и v2 :
F\ = -FrpCosP , F2 = FTpsin|3 ,
где P - угол между векторами vt и v , a tg(3 = v2/vt .Состав ля-—>
ющая Fx силы трения уравновешивает силу натяжения нити, а составляющая F2 - «боковую» силу, приложенную к бруску. Так как
R -	45 Н ™ Z7 _ Z7 и2/ И _ 17	2
Р I т. , ТО г2 Гур I	— Гур г— — .
71+tg ₽	71 +	) Fl + v2
Если «ц, то угол Р мал и sinP ~ tgP . В этом случае
F-i = FTptgP = pN ,
и составляющая силы трения, препятствующая движению бруска
«вбок», оказывается пропорциональной скорости этого движе-
ния. Картина получается такой, как при малых скоростях в случае жидкого трения. А это означает, что брусок, движущийся в некотором направлении, можно заставить двигаться еще и в перпендикулярном направлении сколь угодно малой силой.
Любопытный вывод можно теперь сделать относительно коробка, рав-
Рис. 3
23
номерно движущегося по наклонной плоскости (рис.З). Здесь F2=mgsina, a А = mucosa (т - масса коробка, а- угол наклона плоскости к горизонту). Поэтому
^2	tga
mg sin а = \шд cos а ,	. , откуда v2 = vx - ,.	= .
F\+V2
Это справедливо, конечно, лишь при tga < ц , так как при больших углах наклона плоскости к горизонту коробок уже не удерживается на плоскости силой трения. При малых углах наклона плоскости к горизонту (таких, что tga ц )
т.е. скорость соскальзывания коробка пропорциональна скорости его движения параллельно ребру наклонной плоскости и тангенсу угла наклона плоскости к горизонту.
Явление, о котором шла речь, встречается довольно часто. Например, известно, что при резком торможении электродвигателя ремень передачи часто соскальзывает со шкивов. Происходит это потому, что при торможении двигателя ремень начинает проскальзывать относительно шкивов, и достаточно небольшой силы, чтобы сдвинуть ремень вбок. Так как обычно имеется небольшой перекос в установке шкивов и ремня, то такой силой является составляющая силы натяжения ремня.
Вот еще примеры. Когда хотят вытащить гвоздь из стенки без помощи клещей, его сгибают и тащат, поворачивая одновременно вокруг оси. По той же причине при резком торможении автомобиль теряет управление, и машину «заносит»: колеса скользят по дороге, а за счет неровностей дороги возникает боковая сила.
Остановимся теперь на последнем законе Амонтона - Кулона: сила трения не зависит от скорости тела. Это не совсем так.
Вопрос о зависимости силы трения от скорости имеет очень важное практическое значение. И хотя эксперименты здесь связаны со многими специфическими трудностями, они окупаются использованием полученных сведений - например, в теории резания металлов, в расчетах движения пуль и снарядов в стволе и т.д.
Обычно считают, что для того чтобы сдвинуть тело с места, к нему нужно приложить большую силу, чем для того, чтобы тащить тело. В большинстве случаев это связано с загрязнениями поверхностей трущихся тел. Так, для чистых металлов такого скачка силы трения не наблюдается. Опыты с движением пули в стволе показали, что с увеличением скорости пули величина 24
силы трения сначала быстро убывает, потом она уменьшается все медлен-	у
нее, а затем (при скоростях больше 100 м/с) начинает возрастать. Гра-
фик зависимости силы трения от ско-	0	г
роста показан на рисунке 4. Грубо это	f
можно объяснить тем, что в месте
т-г Рис. 4 контакта выделяется много тепла. При
скоростях порядка 100 м/с температура в месте контакта может достигать нескольких тысяч градусов, и между поверхностями образуется слой расплавленного металла - трение становится жидким. А при больших скоростях сила жидкого трения пропорциональна квадрату скорости.
Интересно, что примерно такую же зависимость от скорости имеет сила трения смычка о струну. Именно поэтому мы можем слушать игру на смычковых инструментах - скрипке, виолончели, альте.
При равномерном движении смычка струна увлекается им и натягивается. Вместе с натяжением струны увеличивается сила трения между смычком и струной. Когда величина силы трения становится максимально возможной, струна начинает проскальзывать относительно смычка. Если бы сила трения не зависела от относительной скорости смычка и струны, то, очевидно, отклонение струны от положения равновесия не изменялось бы. Но при проскальзывании трение уменьшается, поэтому струна начинает двигаться к положению равновесия. При этом относительная скорость струны увеличивается, а это еще уменьшает силу трения. Когда же струна, совершив колебание, движется в обратном направлении, ее скорость относительно смычка уменьшается, смычок опять захватывает струну, и все повторяется сначала. Так возбуждаются колебания струны. Эти колебания незатухающие, поскольку энергия, потерянная струной при ее движении, каждый раз восполняется работой силы трения, подтягивающей струну до положения, при котором струна срывается.
Этим можно и закончить статью о сухом трении - явлении, природу которого мы еще не понимаем достаточно хорошо, но умеем описывать с помощью законов, выполняющихся с удовлетворительной точностью. Это дает нам возможность объяснять многие физические явления и делать необходимые расчеты.
ПОЧЕМУ ГУДЯТ ПРОВОДА
Еще древние греки заметили, что струна, натянутая на ветру, иногда начинает мелодично звучать - петь. Возможно, уже тогда была известна эолова арфа, названная так по имени бога ветра Эола. Эолова арфа состоит из рамки, на которой натянуто несколько струн; ее помещают в таком месте, где струны приводятся в движение ветром. Если даже ограничиться одной струной, можно получить целый ряд различных тонов.
Нечто подобное, но с гораздо меньшим разнообразием тонов происходит, когда ветер приводит в движение телеграфные провода. Довольно долго это явление и многие другие явления, связанные с обтеканием тел воздухом и водой, не были объяснены. Только Ньютон, основоположник современной механики, дал первый научный подход к решению таких задач.
По закону сопротивления движению тел в жидкости или газе, открытому Ньютоном, сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости: F = kpv2S . Здесь р - плотность жидкости, v - скорость тела, 5 - площадь его сечения, перпендикулярного направлению скорости, k - постоянный для данного тела коэффициент пропорциональности. В дальнейшем выяснилось, что формула Ньютона верна не всегда. В том случае, когда скорость движения тела мала по сравнению со скоростями теплового движения молекул, закон сопротивления Ньютона уже не справедлив. При медленном движении сила сопротивления пропорциональна скорости тела, а не ее квадрату, как при быстром движении. Такая ситуация возникает, например, при движении мелких капель дождя в облаке или при оседании осадка в стакане. Однако в современной технике с ее стремительными скоростями обычно справедлив закон сопротивления Ньютона.
Казалось бы, раз известны законы сопротивления, можно объяснить гудение проводов или пение эоловой арфы. Но это не так. Ведь если бы сила сопротивления была постоянной, то ветер просто натягивал бы струну, а не возбуждал ее звучания. В чем же дело? Чтобы объяснить звучание струны, оказывается недостаточно тех простых представлений о силе сопротивления, которые мы только что разобрали. Давайте обсудим более
26
детально некоторые типы течения жидкости вокруг неподвижного тела (это удобнее, чем рассматривать движение тела в неподвижной жидкости, а ответ, разумеется, будет тот же).
Посмотрите на рисунок 1 - это случай малой скорости жидкости. Линии тока огибают цилиндр (на рисунке показано его сечение) и плавно продолжаются за ним. Такой поток называется ламинарным. Сила сопротивления в этом случае обязана своим происхождением внутреннему трению в жидкости, т.е. вязкости, и пропорциональна v. Скорость жидкости в любом месте, так же, как и сила сопротивления, не зависит от времени (поток стационарный). Этот случай для нас не представляет интереса.
Но взгляните на рисунок 2. Скорость потока увеличилась, и в области за цилиндром появились водовороты жидкости - вихри. Трение в этом случае уже не определяет полностью характера процесса. Все большую роль начинают играть из
Рис. 1
менения количества движения, происходящие не в микроскопическом масштабе, а в масштабе, сравнимом с размерами тела. Сила сопротивления становится пропорциональной v2.
И, наконец, на рисунке 3 скорость потока еще больше возросла, и вихри выстроились в правильные цепочки. Вот он, ключ к объяснению загадки! Эти цепочки вихрей, периодически срывающихся с поверхности струны, и возбуждают ее звучание.
Явление правильного расположения вихрей позади обтекаемого тела впервые было изучено экспериментально немецким физиком Бенаром в начале двадцатого века. Но только благодаря последовавшим вскоре работам Кармана такое течение, казавшееся сначала весьма своеобразным, получило объяснение. По имени этого ученого система периодических вихрей сейчас называется дорожкой Кармана.
27
Однако по мере возрастания скорости у вихрей остается все меньше и меньше времени, чтобы расплываться на большую область жидкости. Вихревая зона становится узкой, вихри перемешиваются, и поток становится хаотичным и нерегулярным (турбулентным). Правда, при очень больших скоростях в экспериментах последнего времени обнаружено появление какой-то новой периодичности, но детали ее до сих пор еще не ясны.
Может показаться, что вихревая дорожка Кармана - просто красивое явление природы, не имеющее практического значения. Но это не так. Провода линий электропередачи также колеблются под действием ветра постоянной силы из-за отрыва вихрей. В местах крепления проводов к опорам возникают значительные усилия, которые могут приводить к разрушениям. Под действием ветра раскачиваются и высокие дымовые трубы.
Однако наиболее широкую известность, безусловно, приобрели колебания Такомского моста в Америке. Этот мост просто
ял всего несколько месяцев и разрушился осенью 1940 года. На рисунке 4 показан вид моста во время колебаний. Вихри отрывались от несущей конструкции проезжей части моста. После длительных исследований мост был воздвигнут снова, только поверхности, обдуваемые ветром, имели другую форму. Таким образом была устранена причина, вызывающая колебания моста.
Рис. 4
ПОЧЕМУ ЗВУЧИТ СКРИПКА
При движении тела в какой-либо среде возникают силы сопротивления движению, стремящиеся замедлить его. Механическому движению одного твердого тела по поверхности другого препятствуют силы сухого трения, в жидкости или газе появляются вязкое трение и аэродинамическое сопротивление, и т.п.
Взаимодействие тела со средой - довольно сложный процесс, приводящий обычно к тому, что энергия тела со временем переходит в тепло, или, как говорят физики, происходит диссипация энергии. Однако сопротивление среды может играть и обратную роль - увеличивать энергию тела. При этом, как правило, возникают колебания. Например, сила сухого трения между полозьями саней и снегом тормозит движение саней, и эта же сила, действующая между смычком и струной, вызывает колебания струны. Как вы увидите дальше, причиной возникновения колебаний является падающая зависимость силы трения от скорости движения. Колебания возникают тогда, когда сила трения уменьшается при увеличении скорости.
Аналогичные явления происходят не только в механических, но и в электрических системах, в которых колебания возбуждаются при падающей зависимости напряжения от силы тока.
Рассмотрим сначала процесс возникновения механических колебаний.
Колебания струны. Звучание скрипки вызывается движением смычка. Невозможно, конечно, объяснить здесь все сложные явления, связанные с особенностями звучания скрипки. Однако попробуем разобраться, почему возникают колебания скрипичной струны, когда по ней ведут смычком.
Силы трения между смычком и струной - это силы сухого трения. Можно говорить о силах трения покоя и о силах трения скольжения. Первая сила возникает между соприкасающимися, но неподвижными друг относительно друга телами, вторая - при скольжении одного тела по поверхности другого. Сила трения покоя, как известно, может принимать любые значения (в зависимости от внешней силы) от нуля до максимальной силы
29
трения покоя Егр0 , при этом она всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней силе. Сила трения скольжения зависит от материала тел и от состояния трущихся поверхностей, а также от относительной скорости этих тел. О последнем мы и будем говорить более подробно. Характер зависимости от скорости для разных тел различен; нередко при увеличении скорости скольжения вначале происходит уменьше-
ние силы трения скольжения, а затем она начинает возрастать. График зависимости абсолютной величины силы сухого трения от скорости в этом случае показан на рисунке 1. В скрипке силы трения между смычком и струной как раз и имеют такой характер. Вертикальный участок при v = 0 соот-
Рис. 1
ветствует силам трения покоя. Если относительная скорость струны и смычка и соответствует падающему участку 0 < v <	,
то увеличению относительной скорости на некоторую малую величину Ду соответствует уменьшение силы трения, и наоборот,
при уменьшении скорости соответствующее изменение силы трения положительно (см. рис.1). Именно благодаря этой особенности, может увеличиваться энергия струны за счет работы сил сухого трения.
При движении смычка струна отклоняется вместе с ним. При этом
сила трения покоя уравновешивается силами натяжения струны (рис.2). Равнодействующая F сил натяжения пропорциональна
отклонению струны х от положения равновесия:
17 от1 •	4Т0
F = 2Т0 sin а = х ,
где / - длина струны, а То - сила натяжения струны, которую при малых отклонениях можно считать постоянной. Поэтому при движении струны вместе со смычком сила F будет расти, и в тот момент, когда она станет равной максимальной силе трения покоя Етр0 , начнется проскальзывание.
Будем пока для простоты считать, что в момент начала скольжения изменение силы трения происходит скачком: она
30
уменьшается от максимальной величины силы трения покоя до небольшой силы трения скольжения. Иными словами, после начала скольжения движение струны можно считать почти свободным. В момент срыва скорость струны равнялась скорости смычка, и вначале струна будет продолжать двигаться в сторону движения смычка. Но теперь равнодействующая сил натяжения ничем не скомпенсирована, поэтому она будет тормозить движение струны, замедляя его. В какой-то момент скорость струны упадет до нуля, затем струна начнет двигаться в противоположную сторону, и после максимального отклонения от положения равновесия она опять будет двигаться в сторону движения смычка. А смычок продолжает двигаться равномерно со скоростью и. В некоторый момент скорости струны и смычка сравняются. При этом между струной и смычком проскальзывания уже нет, и появляется сила трения покоя, равная равнодействующей сил натяжения. При дальнейшем движении струны до положения равновесия силы натяжения уменьшаются, и, соответственно, уменьшается сила трения покоя. После прохождения струной положения равновесия процесс повторяется.
Соответствующий график зависимости отклонения струны от времени показан на рисунке 3,а. Движение струны периодическое, причем в каждом периоде имеется два разных участка. Например, на участке 0 < t < струна движется вместе со
смычком с постоянной скоростью и, так что отклонение х линейно зависит от времени (tga = и ), В момент t\ происходит срыв, и при t\ < t < t2 изменение х со временем происходит по синусоидальному закону. В момент t2, когда касательная к синусоиде имеет тот же наклон, что и начальный прямолинейный участок (условие равенства скоростей), струна вновь захватывается смычком.
Рисунок 3,а соответствует идеальному случаю, когда сила трения скольжения отсутствует и поэтому нет потерь энергии при свободном ходе струны. Полная работа силы трения покоя на линейных участках за период при этом также равна нулю, так как при отрицательных х совершается отрицательная работа (сила
31
трения направлена против движения), а при х > 0 совершается такая же по величине, но положительная работа.
Что же происходит в случае, когда сила трения скольжения отлична от нуля? Трение скольжения приводит к потерям энергии. Движение струны при проскальзывании теперь описывается графиком, показанным на рисунке 3,6. При отрицательных отклонениях эта кривая более пологая, чем при положительных. Поэтому зацепление струны смычком происходит при меньшем по величине отрицательном отклонении х2 , чем положительное отклонение х}, соответствующее срыву. В результате сила трения покоя во время сцепления струны со смычком совершает за период положительную работу
k(x^ - х2)
А =
2
»	4Т0	1 1
где k = -у- - коэффициент пропорциональности между величиной силы трения покоя и отклонением струны. Эта работа как раз и компенсирует потери энергии за счет сил трения скольжения. Колебания струны являются незатухающими.
Энергетический баланс. Вообще говоря, для пополнения энергии струны за счет сил трения не обязательно, чтобы происходило сцепление струны со смычком. Достаточно, чтобы относительная скорость смычка и струны при колебаниях струны находилась в пределах падающего участка зависимости силы трения скольжения от скорости. Рассмотрим более подробно явление возбуждения колебаний струны в этом случае.
Пусть смычок опять движется с некоторой постоянной скоростью w, а струна отклонена от положения равновесия на х0 так, чтобы равнодействующая F (х0) сил упругости уравновешивала силу трения скольжения FTp (и). Если струна случайно отклонится в сторону движения смычка, то относительная скорость уменьшится. В результате сила трения возрастет (относительная скорость соответствует падающему участку!), и струна отклонится еще больше. При дальнейшем отклонении упругая сила в какой-то момент обязательно превысит силу трения (упругая сила пропорциональна величине отклонения, а сила трения скольжения не может превзойти максимального значения силы трения покоя), и струна начнет двигаться в обратную сторону. Она пройдет положение равновесия, снова отклонится, остановится и т.д. Таким образом возбудятся колебания струны.
Важно, что эти колебания будут незатухающими. В самом деле, при движении струны со скоростью Av в сторону смычка 32
г
сила трения совершает положительную работу, а при обратном движении - отрицательную. Но относительная скорость vx = и - &и в первом случае меньше, чем скорость и2 = и + &и во втором случае, а следовательно, сила трения FTp (и - Ду), наоборот, больше, чем FTp (и + Ду) . Таким образом, положительная работа сил трения при движении струны в сторону смычка больше, чем отрицательная работа при ее возвратном движении, и в целом силы трения совершают положительную работу. Амплитуда колебаний будет увеличиваться. Однако лишь до определенного предела. При у > у0 (см. рис.1) скорость выходит за пределы падающего участка, и тогда отрицательная работа силы трения уже может стать больше, чем положительная. Энергия, а значит, и амплитуда колебаний будут уменьшаться. В результате установится такая амплитуда колебаний, при которой полная работа сил трения равна нулю (говоря точнее, эта работа компенсирует потери энергии вследствие сопротивления воздуха, неупругого характера деформаций и т.п.). С этой постоянной амплитудой и будут происходить незатухающие колебания струны.
Возбуждение звуковых колебаний при движении одного твердого тела по поверхности другого происходит очень часто. Сухое трение в дверной петле может вызвать скрип двери. Скрипят половицы, обувь. Скрип можно произвести просто пальцем, проведя им по какой-нибудь гладкой поверхности. Явления, происходящие при этом, во многом аналогичны возбуждению колебаний скрипичной струны. Вначале проскальзывания нет, и возникает упругая деформация. Затем происходит срыв, и возбуждаются колебания тела. Колебания не затухают, так как благодаря падающей характеристике сил сухого трения поставляется необходимая энергия за счет работы этих сил.
При изменении характера зависимости сил трения от скорости скрип исчезает. Известно, например, что для этого достаточно смазать трущиеся поверхности. Сила жидкого трения (при малых скоростях) пропорциональна скорости, и условий, необходимых для возбуждения колебаний, нет. Наоборот, когда хотят возбудить колебания, поверхности обрабатывают специальным образом, чтобы сделать уменьшение сил трения при увеличении скорости более резким. Смычок скрипки, например, для этого натирают канифолью.
Знание законов сил трения помогает решать важные практические задачи. Так, при обработке металла на токарном станке иногда возникает вибрация резца. Эти колебания вызываются
33
силами сухого трения между резцом и металлической стружкой, скользящей по его поверхности при обточке металла. Зависимость силы трения от скорости стружки (скорости обработки) для ряда высококачественных сталей оказывается падающей. Этим, как мы уже знаем, можно объяснить колебания резца. Для борьбы с вибрацией используется, например, специальная заточка резца, при которой нет скольжения стружки. Тем самым устраняется причина возникновения колебаний.
Отрицательное сопротивление. Теперь речь пойдет об аналогичных явлениях (возникновения колебаний) в электрических системах. Для описания электрической системы удобно пользоваться вольт-амперной характеристикой, т.е. зависимостью напряжения в системе от силы тока. Например, для обычного сопротивления справедлив закон Ома: напряжение пропорционально току, и вольт-амперная характеристика - прямая линия, проходящая через начало координат. Однако для многих систем (электронной лампы, газоразрядной трубки, транзистора и т.п.) зависимость напряжения от тока более сложная.
Оказывается, что в случае если вольт-амперная характеристика является падающей, т.е. если при увеличении тока через систему напряжение на ней уменьшается, в системе могут возбуждаться электрические колебания. Такими свойствами обладают некоторые полупроводниковые устройства, неоновая лампа, электрическая дуга и т.д. У всех этих приборов вольт-амперная характеристика имеет падающей участок, и это в определенных условиях приводит к возбуждению колебаний.
Попробуем разобраться в причинах возникновения электрических колебаний при падающей вольт-амперной характеристике. Прежде всего проведем аналогию с механическими системами. При прохождении тока по проводнику электрические силы совершают работу, пропорциональную приложенному напряжению. Эта работа равна работе сил сопротивления движению зарядов. Поэтому можно сказать, что силы сопротивления пропорциональны напряжению. С другой стороны, скорость направленного движения зарядов связана прямой пропорциональной зависимостью с силой тока. Таким образом, падающая зависимость напряжения от силы тока соответствует падающей зависимости силы сопротивления от скорости, а это, как мы уже знаем, приводит к возбуждению колебаний.
Проведем теперь более подробный анализ условий возникновения электрических колебаний, используя такие же, как в механике, энергетические соображения. Пусть вольт-амперная характеристика системы такая, как показано на рисунке 4. Зная
34
ток, по этой характеристике можно найти напряжение, и наоборот. Пусть, например, в системе течет постоянный ток ; тогда напряжение равно (70. Если по каким-либо причинам возникла также небольшая переменная составляющая тока, так что
i = + Aig sin cot,
то напряжение тоже станет переменным:
U = UQ + AUq sin cot
(Aio и A(70 - амплитуды переменной составляющей тока и напряжения соответственно). Очевидно, что при падающей вольт-амперной характеристике переменный ток и переменное напряжение колеблются в противофазе — ток и напряжение одновременно проходят положение равновесия, но знаки тока и напряжения в одинаковые моменты всегда разные и, следовательно, имеет место сдвиг фаз ср = л: .
Мощность переменного тока, как известно, определяется формулой
р _ АЦ)Д*о CQS	cos ф ,
где АС7Д и Агд - действующие значения напряжения и тока, ср - сдвиг фаз между напряжением и током. В нашем случае cos ср = -1 и, следовательно, Р < 0. Этот результат имеет простой физический смысл. Он означает, что переменный ток не расходует, а увеличивает свою энергию (так же, как увеличивалась при колебаниях энергия струны за счет падающей зависимости сил сопротивления от скорости). Эта энергия, очевидно, черпается из энергии постоянного тока, мощность которого Ро = UQiQ всегда положительна. Таким образом, при падающей вольт-амперной характеристике энергия переменного тока со временем будет увеличиваться, и амплитуда колебаний будет нарастать.
Для количественного рассмотрения этого вопроса вводят понятие отрицательного электрического сопротивления, которым обладают системы с падающими вольт-амперными характеристиками. Впрочем, понятие сопротивления при нелинейной зависимости напряжения от тока требует некоторого уточнения. Поговорим об этом более подробно.
35
2*
Если через систему при постоянном напряжении Uo течет постоянный ток , то сопротивление определяется по формуле R = и называется статическим сопротивлением, или со-противлением постоянному току. Как видно из рисунка 4, эта величина равна тангенсу угла наклона прямой, проведенной, из начала координат в точку вольт-амперной характеристики, соответствующую току /о и напряжению Uo : R = tg а . Эта величина, вообще говоря, зависит от силы тока . Если у системы характеристика линейная, то R совпадает с обычным сопротивлением проводника и не зависит от тока.
В случае переменного тока вводится понятие дифференциального сопротивления, или сопротивления переменному току г. Оно определяется тангенсом угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике (см. рис.4): г = tg (3 и по абсолютной величине равно отношению амплитуд переменного напряжения и тока: |r| = AUq/Aiq . Для обычного проводника г = R, однако в общем случае нелинейной вольт-амперной характеристики сопротивления постоянному и переменному току разные.
Если вольт-амперная характеристика имеет падающий участок, то на этом участке касательная к кривой составляет тупой угол с осью токов (угол р на рисунке 4), тангенс этого угла отрицателен и, следовательно, отрицательна величина г. Таким образом, системы с падающей вольт-амперной характеристикой обладают отрицательным дифференциальным сопротивлением. Мощность переменного тока Р = г = (А17д)2 jr на отрицательном сопротивлении г - отрицательная. Это опять отражает тот факт, что энергия переменного тока при падающей вольт-амперной характеристике увеличивается со временем.
Используя понятие отрицательного сопротивления, исследуем, например, устойчивость электрической дуги (рис.5), включенной последовательно с обычным сопротивлением R и источником по-
& стоянной ЭДС £ (будем считать, что внутреннее сопротивление ис->1 точника тока включено в сопротив-ление R). Эта задача имеет практи-R
ческое значение, так как при ис-I пользовании дуги для сварки или в качестве источника света она долж- на гореть устойчиво, без колебаний Рис. 5	тока. Прежде всего найдем, какой
36
постоянный ток может течь в такой цепи. По закону Ома для всей цепи сумма падений напряжения равна электродвижущей силе: U(i) + iR = & .
Перенеся слагаемое iR в правую часть, получим, что напряжение на дуге U (г) равно £ - iR . С другой стороны, U (г) определяется вольт-амперной характеристикой. Поэтому возможные токи можно найти графически как точки пересечения вольт-амперной характеристики и зависимости £ - iR , причем последняя, очевидно, изображается прямой с отрицательным наклоном (рис.6). Как видно, в принципе, имеются два пересечения и, соответственно, \ в цепи возможны два значения тока $ ц и . Оба ли тока устойчивы?
При возникновении переменно-	;
го тока его амплитуды на дуге и на	!
сопротивлении R одинаковы (они	!_
включены последовательно). По-	ix i2 £/R	i
этому,сравнивая генерируемую на рис отрицательном сопротивлении дуги
энергию (Дгд) г и потери энергии на обычном сопротивлении (ч)2 R , мы видим, что условием нарастания колебаний будет |r| > R . Обратимся теперь опять к рисунку 6. Легко видеть, что при токе ц дуга, имеет большее по абсолютной величине отрицательное сопротивление, чем R (наклон касательной больше, чем у прямой),и условие возникновения колебаний выполнено. При токе , наоборот, R > |г| , и колебания не могут возникнуть. Таким образом, можно сказать, что дуга будет гореть устойчиво
при положительном полном сопротивлении цепи.
Если дугу включить в колебательный контур, то в нем могут возникнуть незатухающие колебания. Для этого необходимо, чтобы полное сопротивление контура (сумма обычного сопротивления контура и отрицательного сопротивления дуги) было отрицательным. Однако для получения незатухающих электромагнитных колебаний сейчас используют не вольтову дугу, а более надежные электрические системы с отрицательным сопротивлением. Сюда относится, например, ламповый генератор (в котором отрицательное сопротивление создается за счет обратной связи между сеткой и анодом лампы), а также различные полупроводниковые устройства с падающими вольт-амперными характеристиками. Таким образом работают многие современные генераторы электромагнитных колебаний.
О ФОРМЕ ДОЖДЕВОЙ КАПЛИ
О форме дождевой капли часто говорят как об эталоне обтекаемости, однако, как показывают, например, мгновенные фотографии падающей капли (рис. 1), она вовсе не имеет красивой сигарообразной обтекаемой формы. Маленькая дождевая капля с диаметром менее одного миллиметра практически сферична, а большая напоминает крошечную сдобную булочку. Попытаемся выяснить, с чем связана «булочная» форма капли. Для этого нужно разобраться в роли сил, действующих на каплю.
На каплю действуют сила поверхностного натяжения, сила сопротивления воздуха и, конечно, сила тяжести. Какова роль силы поверхностного натяжения? Она стремится сделать площадь поверхности капли как можно меньше. Наименьшую поверхность при одном и том же объеме имеет шар, поэтому, если бы падающая капля не испытывала сопротивления воздуха и двигалась только под действием силы тяжести, сообщающей всем участкам капли одинаковое ускорение свободного падения (в этом случае капля находилась бы в состоянии «невесомости»), поверхность капли была бы сферической. Стремление поверхности капли уменьшаться приводит к сжатию капли. А это значит, что давление, под которым находится рис у	жидкость внутри капли, становится боль-
ше внешнего атмосферного давления. Нетрудно вычислить величину добавочного давления, которое испытывает жидкость в капле со стороны своей сферической поверхности. Разделим каплю воображаемой плоскостью на две равные части (рис. 2). Оба полушария притягиваются друг к другу силами поверхностного натяжения. Эти силы показаны на
38
рисунке стрелками. На каждую единицу длины границы, разделяющей оба полушария (этой границей служит окружность экватора), действует сила, равная коэффициенту поверхностного натяжения жидкости о . Так как длина границы равна 2лг , то вся сила F взаимного притяжения между половинками капли равна 2тсго. Эта сила и создает в капле дополнительное давление. Вспомним, что давление
Рис. 2
численно равно отношению силы к площади. Поэтому давление Ар, вызванное силой F, равно
F _ 2яго _ 2о
2~ —	2~ ~~	•
Ttr Ttr r
Добавочное давление А/?, созданное поверхностным натяжением, обратно пропорционально радиусу капли. Велико ли это добавочное давление в капле? Вычислим для примера добавочное давление в капле диаметром два микрона. Из таких капель часто состоят облака. Коэффициент поверхностного натяжения воды о = 0,078Н/м. Поэтому
А 2о 2 0,078Н/м	. с 4п5т1/ 2	< .	1
Др =	=----^6-----~ 1,6 • 10 Н/м = 1,6 атмосферы !
Формула Ар = — верна только для сферической поверхности. Если проделать аналогичный расчет для случая, когда жидкость находится под цилиндрической поверхностью, то ока
жется, что Ар = — . Следовательно, меняется лишь коэффициент перед отношением —. И вообще, давление, которое оказывает любая поверхность на находящуюся под ней жидкость, пропор-
ет ционально отношению —— , где гср -гср
некоторый средний радиус кривизны этой поверхности.
Но вернемся к падающей дождевой капле. Для нее все осложняется тем, что на каплю действует еще сила сопротивления воздуха. Эта сила направлена против силы тяжести и
39
возрастает с увеличением скорости падения капли. Раз сила тяжести постоянна, а направленная в противоположную сторону сила сопротивления воздуха растет, непременно наступит такой момент, когда эти силы сравняются. Как только это произойдет, результирующая сила станет равной нулю, и скорость капли уже не будет меняться. Капля будет падать равномерно (по инерции). Такая капля ведет себя так же, как и в состоянии покоя. Это обстоятельство существенно сказывается на форме капли, делая ее куда менее совершенной.
Чтобы понять, как равномерное движение капли приводит к искажению ее сферической формы, обратимся к рисунку 3. Для того чтобы столбик воды высотой h в центральном сечении капли двигался равномерно, сила fx действующая на него снизу, должна превышать силу /2 , действующую на столбик сверху, ровно на величину силы тяжести столбика, т.е. fx~ f2 = mg. Масса столбика т = pV , где р - плотность воды, а V - объем столбика, равный hS (S - площадь сечения столбика). Значит, /J - /2 = pghS. А разность давлений, соответствующая этой разности сил, равна
5 ~ = Pffh •
Итак, давление в точке А должно быть больше давления в точке Б (см. рис. 2) на величину pgh . Эта разность давлений позволяет нижним слоям столбика удерживать верхние. Как же это сказывается на форме капли?
Для того чтобы давление в точке А было больше давления в точке Б, радиус кривизны поверхности г в этой точке должен быть меньше (в соответствии с формулой Ар = 2 у ), чем радиус кривизны в точке Б. Мы приходим к любопытному выводу: если атмосферное давление всюду одинаково, то дно капли должно быть более выпуклым, т.е. иметь большую кривизну, чем верхушка. Такое отклонение от сферической формы незаметно для мелких капелек, парящих в восходящих потоках воздуха. Радиус подобной капли равен приблизительно одному микрону, и гидростатическая разность давлений pgh составляет величину порядка 2 • 10-5 Н/м2 ~2 • 1О~10 атм. Эта разность давлений настолько мала по сравнению с 1,6 атм избыточного давления Ар в такой капле, что заметить вызванное ею отклонение от сферичности фактически невозможно. Такая капля может по праву считаться эталоном сферической формы.
Иное дело - крупная капля. Для капли диаметром 5-6 мм, падающей на землю во время летней грозы, гидростатическая 40
разность давлений равна примерно
103 кг/м3 • 10м/с2 • 6 • 10’3 м = 60Н/м2 » 6 • 10’4 атм .
Эта величина вполне сравнима с давлением, вызванным силами поверхностного натяжения. Действительно, в этом случае
2о 2 0,078Н/м	2 Q ,n_4
— =-------= 30 Н/м =310 атм .
Г 6 10’3м
Поэтому влияние гидростатической разности давлений на форму капли должно быть заметным, и нижняя поверхность капли должна быть заметно более выпуклой, чем верхняя. Но это находится в противоречии с фотографиями падающей капли. В чем же тут дело?
Все дело в том, что давление воздуха в разных точках вокруг
капли совсем не одно и тоже, как это мы вначале предполагали. Оказывается, при больших скоростях, с которыми падают круп-
ные дождевые капли, позади нее возникает запутанное вихреобразное движение воздуха (рис. 4). В области, как говорят, «турбулентного хвоста» давление воздуха ниже, чем давление вдали от капли. В то же время давление перед каплей, наоборот, оказывается выше, чем давление воздуха вдали от капли. Разность давле
ние. 4
ний на дно и на верхушку капли создает силу сопротивления при падении капли в воздухе. Эту силу называют лобовым сопротив-
лением.
Можно оценить величину лобового сопротивления. Пусть 5 -площадь поперечного сечения капли, a v - ее скорость. За время At падающая капля проходит расстояние vAt, увлекая за собой объем воздуха Sv At с массой т = р05^Д£ (р0 - плотность воздуха). Этой пришедшей в движение массе воздуха передается импульс mv = pQSv2At. В соответствии со вторым законом Ньютона на воздух со стороны капли действует сила
F = = ро5г)2
По третьему закону Ньютона точно такая же по величине сила, но только противоположно направленная, действует на каплю со стороны воздуха. В реальных условиях воздух приобретает скорость, меньшую скорости капли, но соотношение F = ApQSv2 остается справедливым. Здесь А - безразмерный коэффициент,
41
зависящий от формы тела. Для шара, например, А = 0,2, для диска А = 0,6. Этот коэффициент находят экспериментально.
Из формулы для лобового сопротивления можно найти давление, оказываемое потоком на переднюю поверхность тела.
F 2
Оно равно = Ароа . Вокруг тела давление меняется от точки к точке. Для шара, например, разность давления у поверхности и статического давления далеко от поверхности меняется так, как показано на рисунке 5 (длины стрелок пропорциональны разности давлений на поверхность шарика и атмосферного давления вдали от шарика). Изготовив модель капли, можно продуть ее в аэродинамической трубе и измерить давление вокруг нее (рис. 6). Опыты показывают, что для шестимиллиметровой капли давление на дно такое же, как и у диска (А = 0,6). При этом давление на дно на 4,6 10-4 атм больше атмосферного, а давление на верхушку на 2,1 • 10-4 атм меньше атмосферного, т.е. разность давлений на дно и на верхушку равна 6,7 • 10-4 атм.
Сила сопротивления воздуха берет на себя заботу не только о равновесии столбика АБ (см. рис. 3). Так как разность давлений на дно и на верхушку больше, чем перепад давлений, необходимый для равномерного движения столбика АБ, то для восстановления равновесия капли часть жидкости должна переместиться из области верхушки ко дну, и верхушка капли должна иметь большую кривизну, чем дно. Дно же из-за большого аэродинамического давления на него должно быть почти плоским. Такую форму и имеют капли на фотографиях.
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
Удивительно разнообразны проявления поверхностного натяжения жидкостей в природе и технике. Оно собирает воду в капли, благодаря ему мы можем выдуть мыльный пузырь и писать перьевой ручкой. Поверхностное натяжение играет важную роль в физиологии нашего организма. Его используют в космической технике.
Почему же поверхность жидкости ведет себя подобно растянутой упругой пленке? Попробуем в этом разобраться.
Поверхностная энергия. Молекулы, расположенные в тонком слое жидкости вблизи поверхности, находятся в особых условиях. Они имеют одинаковых с ними соседей только с одной стороны поверхности, в отличие от молекул внутри жидкости,
окруженных со всех сторон такими же молекулами. Поэтому результирующая сила, действующая на молекулу в поверхностном слое, отлична от нуля. Например, на свободной поверхности жидкости (рис. 1) эта сила
Рис. 1
направлена внутрь жидкости, так как
молекула на поверхности испытывает значительно большее при
тяжение со стороны молекул жидкости, чем со стороны молекул воздуха.
При перемещении молекулы с поверхности в объем жидкости совершается положительная работа. Это означает, что молекулы в поверхностном слое обладают избыточной потенциальной энергией по сравнению с молекулами внутри жидкости. Разумеется, молекулы жидкости находятся в непрерывном тепловом движении - одни молекулы уходят с поверхности, другие, наоборот, попадают на нее. Но можно говорить о средней добавочной энергии поверхностного слоя жидкости - о поверхностной энергии, пропорциональной площади поверхности жидкости.
Известно, что из всех возможных состояний системы устойчивым является то, в котором энергия системы минимальна. В частности, и поверхность жидкости стремится принять такую
форму, при которой ее поверхностная энергия будет минимальна. Как говорят, жидкость обладает поверхностным натяжением, стремящимся сократить, уменьшить ее поверхность. Коэффициентом поверхностного натяжения называют поверхностную энергию, приходящуюся на единицу площади, или силу, приходящуюся на единицу длины границы поверхности. Легко доказать (сделайте это сами), что оба определения коэффициента поверхностного натяжения эквивалентны.
Стремлению поверхностного натяжения уменьшить поверхность жидкости обычно противодействуют другие силы. Например, капля жидкости почти никогда не является шаром, хотя шар имеет наименьшую из всех фигур поверхность при заданном объеме. Когда капля покоится на неподвижной горизонтальной поверхности, она оказывается сплющенной. Сложную форму имеет и падающая в воздухе капля. И только капля, находящаяся в невесомости, принимает совершенную сферическую форму.
Устранить действие силы тяжести при изучении поверхностного натяжения жидкостей впервые догадался в середине девятнадцатого века бельгийский ученый Ж.Плато. Разумеется, в то время и не мечтали о настоящей невесомости, и Плато просто предложил уравновесить силу тяжести архимедовой выталкивающей силой. Он поместил исследуемую жидкость (масло) в раствор, обладающий такой же плотностью, и, как пишет его биограф, «с удивлением увидел, что масло приняло сферическую форму; он тотчас же применил свое правило «вовремя удивляться», и это явление послужило затем для него предметом долгих размышлений».
Свой метод Плато применил для исследования различных явлений. Например, он изучил процесс образования и отрыва капли жидкости на конце трубки. Обычно, как бы медленно мы ни растили каплю, она отрывается от трубки так быстро, что глаз не может уследить за деталями этого процесса. Плато помещал конец трубки в жидкость, плотность которой только немного меньше плотности капли. Действие силы тяжести при этом ослаблено, поэтому можно вырастить очень большую каплю и увидеть, как она отрывается от трубки.
На рисунке 2 приведены фотографии, на которых показаны различные стадии красивого процесса образования и отрыва капли (фотографии получены с помощью скоростной киносъемки). Попробуем объяснить это явление. Пока капля растет медленно, можно считать, что в каждый момент времени она находится в равновесии. Тогда при заданном объеме капли ее форма определяется из условия, что сумма поверхностной энер-
44
Рис. 2
гии и потенциальной энергии капли, обусловленной силой тяжести, минимальна. Поверхностное натяжение вызывает сокращение поверхности капли, оно стремится придать капле сферическую форму. Сила тяжести, наоборот, стремится расположить центр тяжести капли как можно ниже. В результате капля оказывается вытянутой. Чем больше капля, тем большую роль играет потенциальная энергия силы тяжести. По мере роста капли основная ее масса собирается внизу, и у капли образуется шейка (вторая фотография на рисунке 2). Сила поверхностного натяжения направлена вертикально по касательной к шейке. Она уравновешивает силу тяжести, действующую на каплю. Теперь достаточно капле совсем немного увеличиться, и сила поверхностного натяжения уже не сможет уравновесить силу тяжести. Шейка капли быстро сужается (третья фотография на рисунке 2), и в результате капля отрывается (четвертая фотография). При этом от шейки капли отделяется маленькая капля, которая падает вслед за большой. Вторичная капелька образуется всегда (ее называют шариком Плато), но так как процесс отрыва капли очень быстрый, обычно мы этой вторичной капельки не замечаем.
Отрыв капли используют для измерения величины поверхностного натяжения жидкостей. Когда капля еще висит на шейке, сила тяжести уравновешена силами поверхностного натяжения, действующими по периметру поперечного сечения шейки: тд = 2лга , где г - радиус самого узкого места шейки, в котором силы поверхностного натяжения направлены вертикально, с -коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Масса висящей на шейке капли т, как уже отмечалось, практически равна массе отрывающейся капли. Поэтому, измеряя радиус шейки г и определяя массу оторвавшейся капли т взвешиванием, можно
45
наити величину поверхностного натяжения жидкости:
2лг
Для большей точности обычно набирают в сосуд много капель и, разделив их общую массу на число капель, находят среднюю массу капли т. Для более точного определения радиуса шейки
г, при котором капля еще не отрывается, ее освещают расходящимся пучком света и по размерам тени на экране и коэффициенту увеличения определяют размер шейки.
Мыльные пленки. Прекрасным объектом для изучения поверхностного натяжения являются мыльные пленки. Сила тяжести здесь почти не участвует, так как пленки чрезвычайно тонки и их масса совершенно ничтожна. Основную роль здесь играет поверхностная энергия, и поэтому у мыльных пленок форма
поверхности всегда такова, что ее площадь минимальна.
Наверное, всем доводилось видеть мыльные пузыри. Они могут свободно парить в воздухе и совершенно сферичны. Давление внутри пузыря больше атмосферного давления, причем чем меньше радиус пузыря R, тем больше избыточное давление внутри пузыря. Это избыточное давление Лрсф (для сферического пузыря) определяется по известной формуле Лапласа:
а 2<У
^сФ “	>
где <У = 2о - удвоенный коэффициент поверхностного натяжения жидкости (у пленки - две поверхности). Величина, обратная 1
радиусу сферы, называется ее кривизной: р = — . Написанная R
выше формула означает, что избыточное давление пропорционально кривизне сферы.
Шар - не единственная форма, которую можно придать
мыльному пузырю. Если поместить пузырь между двумя кольцами, то его можно растягивать, пока он не примет форму цилиндра
со сферическими «шапками»
Рис. 3
(рис.З). Чему равно избыточное давление внутри такого пузыря?
У цилиндрической поверхности кривизна по разным направлениям различна. Вдоль образующей цилиндра кривизна равна нулю (образующая - прямая линия), а в сечении, перпендикулярном оси цилиндра, его кривизна равна i/R, где R - радиус цилиндра (кривизна окружности
46
определяется так же, как и кривизна сферы: рокр = 1/7? , где R -
радиус окружности; если же кривая не является окружностью, то тем не менее ее отдельные маленькие участки можно приближенно считать дугами окружностей определенных радиусов).
Какое же значение р мы должны подставить в предыдущую формулу? Оказывается, разность давлений по разные стороны любой поверхности
определяется ее средней кривизной.
Проведем через нормаль к поверхности в точке А плоскости (рис. 4). Сечения цилиндрической поверхности этими плоскостями (они называются нормальными сечениями) могут быть окружностью, эллипсом или прямой. Легко видеть, что кривизны этих сечений в точке А
различны: максимальной кривизной обладает
поперечное сечение - окружность, а минималь- ....... '-Л
ной, равной нулю, - прямая (продольное сече- ? ние). Средняя кривизна рср определяется как ис‘ полусумма максимальной и минимальной кривизн нормальных
сечений:
_	_ Ртах + Pmin
ср
2
Это определение годится не только для цилиндра, так можно определить среднюю кривизну в данной точке любой поверхности.
У цилиндрической поверхности в любой точке максимальная
кривизна ртах = — , где R - радиус поперечного сечения цилин-R 1
дра, a pmin = 0 . Поэтому средняя кривизна рцил = — , а избы-27?	.
. о
точное давление внутри цилиндрического пузыря Д/?цил = — . Как видно, у цилиндрического пузыря избыточное давление -
такое же, как у сферического пузыря вдвое большего радиуса. Поэтому радиус сферических «шапок» у цилиндрического пузыря вдвое больше, чем радиус цилиндра, и они являются сферическими сегментами, а не полусферами.
А что если вообще уничтожить избыточное давление в таком пузыре, заставив, например, лопнуть «шапки»? Казалось бы, так как внутри пузыря нет никакого избыточного давления, поверхность его не должна иметь кривизны. А тем не менее стенки пузыря изгибаются внутрь, и пузырь принимает форму катеноида (от латинского слова «катена» - цепь; эту поверхность можно получить вращением вокруг оси кривой, имеющей форму подве-
47
Рис. 5
шенной горизонтально за концы цепи - цепной линии). В чем же тут дело?
Присмотритесь к этой поверхности (рис.5). Обратите внимание на ее узкое место - перехват. Легко видеть, что этот перехват является одновременно и выпуклым, и вогнутым. Его поперечное сечение - окружность, а продольное - цепная линия. Кривизна направления внутрь должна увеличивать дав
ление внутри пузыря, кривизна же направления наружу должна уменьшать его. (Давление под вогнутой поверхностью больше, чем над ней.) В случае катеноида эти кривизны одинаковы по величине, и так как направлены они в противоположные стороны, средняя кривизна равна нулю. Следовательно, внутри такого пузыря нет избыточного давления.
Существует множество других поверхностей, которые кажутся кривыми во всех направлениях, но тем не менее их средняя кривизна равна нулю, и эти поверхности не производят никакого давления. Чтобы получить их, нужно лишь взять любую гнутую проволочную рамку и погрузить ее в мыльную воду. Вынимая рамку, можно увидеть разнообразные поверхности с нулевой средней кривизной, форма которых зависит от формы рамки. Однако катеноид - единственная, кроме плоскости, поверхность вращения с нулевой средней кривизной. Одной из задач специальной математической науки дифференциальной геометрии является отыскание таких поверхностей с нулевой средней кривизной, натянутых на замкнутые пространственные кривые. Существкет точная математическая теорема, утверждающая, что площадь таких поверхностей всегда минимальна, и она нам покажется теперь очевидной.
Мыльные пузыри могут соединяться друг с другом, образуя пену. Несмотря на кажущуюся хаотичность в расположении мыльных пленок в пене, всегда выполняется такой закон: пленки пересекают друг друга лишь под равными углами (рис. 6).
Рассмотрим, например, два пузыря, находящихся в контакте друг с другом и имеющих общую перегородку. Избыточные (по сравнению с атмосферным) давления внутри пузырей различны и определяются формулой Лапласа:
.	2а'	2а'
Поэтому перегородка должна быть такой, чтобы создавать до-
48
Рис. 6 полнительное давление, равное разности давлений внутри пузырей. Следовательно, она должна обладать определенной кривизной. Радиус 7?з кривизны перегородки определяется из соотношения
2о'	2с' 2а'	RJb
R3~ R2 R.’ T e' 3 " R2-R, ‘
На рисунке 7 изображен разрез пузырей в плоскости, проходящей через их центры. Точки Ап В представляют собой точки пересечения с плоскостью чертежа окружности, по которой соприкасаются два пузыря. В любой точке этой окружности встречаются три пленки. Так как их поверхностное натяжение одинаково, то они могут «уравновесить» друг друга лишь в том случае, когда углы, под которыми они пересекаются, равны между собой и, следовательно, каждый равен 120°.
Капиллярность. Поверхно- Рис. 7
стной энергией обладает не толь-
ко свободная поверхность жидкости, но и граница двух жидкостей, поверхность раздела жидкости и твердого тела, свободная поверхность твердого тела. Во всех этих случаях можно говорить о поверхностной энергии как о разности между энергией всех молекул вблизи поверхности раздела и той энергией, которую эти молекулы имели бы, если бы они находились внутри соответствующих граничащих сред.
49
Величина поверхностной энергии определяется свойствами обеих сред. Например, если на границе воды с воздухом коэффициент поверхностного натяжения равен 73 10-3Н/м (при 20 °C и нормальном атмосферном давлении), то у границы воды с эфиром он всего 12 • 10-3 Н м , а на границе воды с ртутью он уже 427 103 Н м . Поверхностное натяжение обычно уменьшается с увеличением температуры. В частности, на границе жидкости с ее насыщенным паром в критической точке оно вообще обращается в ноль, так как при этом исчезает различие между жидкостью и паром.
Рассмотрим жидкость, находящуюся в сосуде. На краю поверхности жидкости мы имеем дело с соприкосновением трех сред - твердой стенки, жидкости и газа. Поверхностные явления в этом случае называют явлениями капиллярности. Полная поверхностная энергия, как обычно, стремится быть минимальной. Поэтому, если поверхностная энергия на границе стенки и жидкости меньше, чем на границе стенки с газом (на единицу площади), то жидкость стремится увеличить площадь контакта со стенкой, и ее край поднимается. (Такой случай имеет место, например, на границе воды и чистого стекла.)
Однако поднятие жидкости сопровождается увеличением ее потенциальной энергии. Если сосуд широкий, то форма поверхности жидкости в основном определяется силой тяжести. Жидкость приподнимается только у краев, а большая часть ее поверхности будет плоской и горизонтальной. Если же сосуд узкий, то искривляется вся поверхность жидкости - образуется мениск, и жидкость может подняться на некоторую высоту (рис.8,й). Мениск имеет сферическую форму, так как при этом минимальна поверхностная энергия на границе жидкость - газ (название «мениск» происходит от латинского слова menisk -маленькая луна).
На границе стекла и ртути поверхностная энергия больше, чем на свободной поверхности стек-ла. Поэтому ртуть в стеклян-:	ном сосуде стремится умень-
:	— — - - шить площадь контакта со стек-
лом и у краев опускается (рис.8,б). Говорят, что ртуть - Z - ~z-' не смачивает стекло, а вода, -	п	наоборот, его смачивает.
Вода - _i" Prni/ть	н ’
Величина поверхностного рис 8	натяжения на границе жидко-
50
сти и твердого тела определяется силой взаимодействия молекул жидкости с молекулами твердого тела. Если бы молекулы жидкости и твердого тела не взаимодействовали между собой, то поверхностная энергия границы твердого тела с жидкостью была бы равна сумме энергий на границах твердого тела и жидкости с газом (на единицу площади поверхности): отж = отг + ожг (работа по перемещению молекулы из объема на поверхность -одна и та же, граничит ли среда с газом или с другой практически не взаимодействующей с ней средой). В этом случае отж > отг , и жидкость не смачивала бы твердое тело.
Реально молекулы жидкости и твердого тела всегда притягиваются друг к другу. Поэтому поверхностная энергия границы твердого тела с жидкостью меньше суммы энергий границ с газом: отж = отг + ожг - До (вследствие притяжения к другой среде работа по переносу молекулы из объема на поверхность, очевидно, уменьшается). Если притяжение между молекулами граничащих сред достаточно велико, то До > оЖ1 . В этом случае огж < отг , и жидкость уже смачивает твердую поверхность.
При дальнейшем усилении взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела До станет равным 2ожг и, соответственно, отж = отг - ожг . В этом случае тонкая пленка жидкости может образоваться на всей поверхности твердого тела, так как проигрыш в поверхностной энергии вследствие увеличения границы жидкости с газом компенсируется увеличением площади ее контакта с твердым телом: ожг = отг - отж (увеличение потенциальной энергии при этом ничтожно мало, если пленка достаточно тонкая). Край жидкости непрерывным образом переходит в образующуюся на стенке пленку, и угол между поверхностью жидкости и стенкой равен нулю. Как говорят, жидкость полностью смачивает твердое тело.
Особенно ярко капиллярные явления проявляются в невесомости. Первым в мире исследовал жидкость в состоянии космической невесомости космонавт П.Попович на корабле «Во-сток-3». В его кабине находилась стеклянная сферическая колба с водой. На Земле вода наполовину заполняла колбу. В состоянии невесомости - при движении корабля по орбите вокруг Земли - вода «расползлась» по всей внутренней поверхности стенок колбы и замкнула внутри себя воздух в виде шара. Поверхности раздела вода - воздух и вода - стекло при этом увеличились. Однако исчезла граница между воздухом и стеклом, и в данном случае это оказалось энергетически выгоднее.
Наших знаний оказывается достаточно для того, чтобы объяснить это явление. Если жидкость смачивает поверхность колбы,
51
то в земных условиях, как мы уже разобрались, она слегка поднимается у краев, образуя некоторый краевой
,,	угол 0 между поверхностью
1	жидкости и стенками колбы
^0^===^"	(рис.9,а). В невесомости по-
рис	$	верхность жидкости уже не
должна быть плоской. Поэтому вода, смачивая стенки колбы, будет подниматься, увеличивая поверхность соприкосновения со стеклом. Однако замечательно, что в равновесии краевой угол 0 между поверхностью жидкости и стенками колбы должен остаться тем же, каким он был на Земле.
В самом деле, на единицу длины окружности, по которой происходит соприкосновение воды со стенками колбы, действуют только три силы поверхностного натяжения: о23 ” поверхностное натяжение на границе воздуха и воды, о12 - натяжение на границе воды и стекла и а31 - натяжение на границе стекла с воздухом. В равновесии поверхность жидкости образует такой краевой угол со стенкой, чтобы равнодействующая этих трех сил не имела составляющей вдоль стенки: о13 = о12 + а23 cos0 (перпендикулярная составляющая уравновешивается силой реакции стенки). Поэтому
- 013 ” °12 cos о —-------
°23
Мы видим, что краевой угол зависит только от природы трех соприкасающихся сред, а именно от поверхностного натяжения на их границах. Он не зависит ни от величины силы тяжести, ни от формы сосуда.
Поверхность жидкости, граничащая с воздухом, в невесомости должна быть минимальной, а потому сферичной. Тогда становится ясной конечная картина расположения жидкости в колбе в невесомости. Сферическая поверхность жидкости охватывает воздух у стенок колбы так, чтобы сохранился краевой угол 0 (рис.9,б). Разумеется, понятия верха и низа в невесомости отсутствуют, и эту картину можно повернуть как угодно.
Почему же вода в стеклянной колбе окружала пузырь со всех сторон, отрывая его от стенок колбы? Это легко понять - ведь чистая вода полностью смачивает чистое стекло. Краевой угол равен нулю, и жидкость заключает воздух в сферический пузырь, который должен касаться своей поверхностью стенок
52
колбы. Но тогда он может от них оторваться и расположиться внутри жидкости (рис. 10).
Конечно, такое исследование поведения жидкости в невесомости имеет только качественный характер, и настоящие расчеты - сложная физическая и математическая задача. Однако такое качественное исследование помогло нам правильно представить себе поведение «невесомой» жидкости.
Как моет мыло? При растворении
Рис. 10
даже незначительного
количества мыла или стирального порошка в воде ее моющее действие значительно усиливается. Это свойство объясняется тем, что мыло, скапливаясь (адсорбируясь) на границе воды с отмываемой поверхностью или тканью, значительно уменьшает поверхностное натяжение. В результате ослабляется прилипание
частичек жира и грязи к поверхности.
Пусть, например, на поверхности имеется капелька жира, который смачивает ее (рис. 11). Краевой угол 0 определяется, как нам уже известно, коэффициентами поверхностного натяжения на границах раздела. Если в воду добавить мыло, то молекулы мыла, адсорбируясь на границах вода - жир и вода - поверхность, значительно уменьшают коэффициенты овж и овп .
Натяжение овп оказывается
меньшим, чем сжп и соответственно, cos0 < 0 ,т.е. 0 > 90° • Жидкость перестает смачивать поверхность. Уменьшение коэффициента свж при этом,как легко видеть, также увеличивает краевой угол. При краевом угле 0 = 180° жир абсолютно не смачивает поверхность, и капелька жира сама отрывается от нее. Если же уменьшение поверхностного натяжения не столь велико, то во всяком случае после увеличения краевого угла 0 капли легко отрываются от поверхности при механи-
Рис. 11
53
Рис. 12
ческих воздействиях во время мойки или стирки.
На рисунке 12 показана серия увеличенных фотографий шерстяной нити. На первой фотографии -нить, испачканная жидким парафином. Три следующие фотографии показывают очищающее действие раствора стирального порошка. Ясно видно, как увеличивается краевой угол поверхности парафина с нитью. Парафиновый жир сворачивается в глобулы и уносится водой. Последняя фотография показывает уже совсем чистую нить.
Адсорбированные молекулы мыла окружают капельки жира и отмываемую поверхность плотно заполненным одинарным (мономоле-кулярным) слоем, который обладает высокой механической прочностью. Молекулы мыла сильно связа
ны друг с другом, и разорвать пленку очень трудно. Поэтому при стирке пленки из адсорбированных молекул не разрушаются и препятствуют обратному прилипанию уже оторвавшихся капе-
лек жира к поверхности и слиянию капелек друг с другом.
Оторвавшиеся при стирке твердые частички грязи также
оказываются окруженными молекулами мыла, которые препятствуют их обратному прилипанию к поверхности. Проигрыш в поверхностной энергии при отрыве частицы с поверхности в мыльный раствор Е = S (очв + опв - оЧ11) (здесь S - площадь контакта с поверхностью), очевидно, меньше, чем если бы частичка оказалась в чистой воде; таким образом, адсорбция ослабляет прилипание твердых частичек к поверхности. Взвешенные в воде частички грязи и капельки жира удаляются вместе с ней.
Интересно, что образование устойчивой пены - это только побочный эффект уменьшения поверхностного натяжения при растворении моющих веществ. Пена образуется из пузырьков воздуха, которые попадают внутрь воды (при перемешивании, со струей воды). Затем они всплывают к ее поверхности и оказываются окруженными пленкой жидкости. Если поверхностное натяжение невелико, то мало и избыточное давление внутри
54
пузырька, и он долго не лопается. Немалую роль тут, конечно, играет и высокая прочность мыльных пленок.
Механизм моющего действия, который был здесь разобран, представляет интерес и в связи с другими важными техническими задачами - покрытием поверхностей лаками и красками, склеиванием, окраской тканей суспензиями, изготовлением непромокаемых тканей.
Например, для того чтобы сделать ткань водоотталкивающей, ее обрабатывают специальным веществом, которое образует вокруг каждого волокна тонкую пленку. Эта пленка значительно увеличивает поверхностное натяжение на границе вода - ткань, но мало меняет натяжение на границе ткань - воздух. Если обратиться к формуле для краевого угла, то легко увидеть, что угол 0 при этом возрастает. В результате вода не смачивает ткань, а собирается на ней в капли, которые скатываются с материала.
Адсорбционные пленки используют для уменьшения испарения воды с поверхности водоемов, что является важной проблемой в засушливых районах. Защитную пленку легко создать по всей поверхности водоема, так как адсорбция всегда уменьшает поверхностное натяжение (в противном случае адсорбция вообще не произошла бы, так как при этом увеличилась бы поверхностная энергия). На границу пленки действует сила поверхностного натяжения чистой воды, стремящаяся растянуть пленку, и сила натяжения самой пленки, направленная в противоположную сторону. Поверхностное натяжение чистой воды больше, и в результате пленка покрывает всю чистую поверхность.
Для создания защитных пленок используют специальное вещество - гексадеканол. В обычных условиях это твердое вещество, оно плавает на поверхности воды. Если при этом вся поверхность воды покрыта адсорбированным мономолекуляр-ным слоем, то вещество не расходуется. Однако стоит пленке где-либо испортиться, как поверхностное натяжение в этом месте увеличивается, стягивает пленку с соседних участков и т.д. В результате нарушается пленка и возле плавающего кусочка вещества, которое и восстанавливает пленку. Было найдено, что для создания защитной пленки на площади в 1 га необходимо около 20 г гексадеканола, а потери в среднем равны 2-3 мономолекулярным слоям в день. Поэтому расход вещества для поддержания пленки составляет всего около 60 г в день на 1 га, и такой способ оказывается экономически выгодным. Например, в Австралии с его помощью ежегодно сохраняется около 10 миллионов литров воды с каждого гектара водной поверхности.
СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ МАГНИТЫ
Сильные магнитные поля можно получать, пропуская через катушку сильный ток. Чем больший ток течет через катушку, тем большее магнитное поле он создает. Но если катушка обладает электрическим сопротивлением, то в ней выделяется тепло. Приходится тратить огромную энергию на поддержание тока, возникают серьезные проблемы, связанные с отводом тепла (иначе катушка может расплавиться). Так, в 1937 году впервые было получено магнитное поле с индукцией 10 Тл. Но удерживать это поле удавалось только ночью, когда другие потребители электростанции, подающей ток в обмотку, были отключены. Выделявшееся тепло отводилось проточной водой, и при этом каждую секунду 5 литров воды доводились до кипения.
Идея использования сверхпроводимости для создания сильных магнитных полей возникла сразу после ее открытия. Казалось бы, все, что требуется, - это намотать из сверхпроводящей проволоки катушку, замкнуть ее концы и пустить по такому контуру достаточно сильный ток. Так как электрическое сопро-
тивление катушки равно нулю, то
выделения тепла не происходит. И хотя охлаждение
Батарея*
Первый
КЛЮЧ
Рис. 1
соленоида до температур жидкого гелия, при которых наступает сверхпроводимость, создает определенные трудности, преимущества окупили бы недостатки, если бы... магнитное поле само не разрушало сверхпроводимость.
Открытие сверхпроводимости. На рисунке 1 показана схема опыта Камер-линга-Оннеса, который был сделан в 1911 году в Лейдене. Голландские ученые изготовили катушку из
56
свинца, подсоединили ее к источнику ЭДС и, поместив катушку в жидкий гелий, охладили ее до температуры кипения гелия (4,2 К). При этом электрическое сопротивление свинца исчезло - он перешел в сверхпроводящее состояние. Затем изменили положение ключей и замкнули катушку накоротко - по ней начал циркулировать незатухающий сверхпроводящий ток.
Этот ток создает магнитное поле, индукция которого пропорциональна силе тока. Казалось бы, чем сильнее ток в катушке, тем большее магнитное поле можно получить таким образом. Результат, однако, оказался разочаровывающим: при индукции поля в несколько сотых долей тесла соленоид переходил в нормальное состояние (у него появлялось сопротивление). Пытались делать катушки из других сверхпроводников, но и в них разрушение сверхпроводимости происходило при сравнительно малых магнитных полях. В чем же дело?
Эффект Мейснера. Разгадку такого «неудобного» поведения сверхпроводников нашли в 1933 году в Берлине в лаборатории В.Мейснера. Оказалось, что сверхпроводник обладает свойством полностью вытеснять из себя магнитное поле; в его толще
индукция магнитного поля равна нулю.
Представим себе, что металлический цилиндр (кусок проволоки) охладили до низкой температуры и перевели в сверхпроводящее состояние. Затем включили магнитное поле с индукцией Ввнеш . По закону электромагнитной индукции на поверхности цилиндра появятся круговые токи (рис.2), которые создадут в цилиндре магнитное поле с индукцией ВТОк, равной по величине и противоположной по направлению индукции внеш-
Рис. 2
него поля. Эти токи - сверхпроводящие и затухать не будут.
Поэтому в толще сверхпроводника суммарная индукция равна нулю: в = Ввнеш + Вток = 0 • Линии индукции магнитного поля в
сверхпроводник не проникают.
Ну, а если изменить последовательность операций - сначала поместить металл во внешнее магнитное поле, а затем охладить его до сверхпроводящего состояния? Казалось бы, индукция магнитного поля при этом не меняется, и нет причин для возникновения экранирующих поверхностных токов. Именно так и думал Мейснер, когда проверял расчеты Лауэ, относящиеся к первому способу проведения эксперимента. Думать-то
57
думал, но все-таки решил проверить. Результат измененного эксперимента получился удивительный. Оказалось, что и в этом случае магнитное поле полностью вытесняется из сверхпроводника, не проникает в него. Это явление назвали эффектом Мейснера.
Теперь ясно, почему магнитное поле разрушает сверхпроводимость. Ведь на возбуждение поверхностных токов тратится определенная энергия. В этом смысле сверхпроводящее состоя
ние менее выгодно, чем нормальное состояние, когда магнитное
поле проникает в металл и экранирующих поверхностных токов нет. Чем больше индукция внешнего поля, тем более сильный ток должен течь по поверхности, чтобы обеспечить экранировку. При некотором значении индукции магнитного поля сверхпроводимость обязательно разрушается, и металл переходит в нормальное состояние. Поле, при котором происходит разрушение сверхпроводимости, называется критическим полем сверхпро
водника.
Важно понимать, что для разрушения сверхпроводимости не обязательно внешнее магнитное поле. Ток, текущий по сверхпроводнику, сам создает магнитное поле. Когда при определенном
значении тока индукция этого поля достигает значения, соответствующего критическому полю, сверхпроводимость разрушается.
Величина критического поля растет с уменьшением температуры, но даже вблизи абсолютного нуля критическое поле у чистых сверхпроводящих металлов невелико (рис.З). В лучших случаях оно составляет всего десятые доли тесла. Так что, казалось бы, нечего и думать о создании сильных магнитных полей с помощью сверхпроводников. Но дальнейшее исследо
вание сверхпроводимости показало, что выход все-таки есть. Было обнаружено, что имеется целая группа сверхпроводников, которые и в очень сильных магнитных полях сохраняют сверхпроводимость, правда в несколько ослабленном виде.
Абрикосовские вихри. В 1957 году известный физик-теоретик А.А.Абрикосов теоретически показал, что в сплавах разрушить сверхпроводимость магнитным полем не так-то просто. Так же, как у чистых сверхпроводников, при некотором значении
58
индукции магнитное поле начинает проникать внутрь сверхпроводника. Но в сплавах магнитное поле обычно не сразу заполняет весь объем сверхпроводника. В толще его вначале образуются лишь отдельные сгустки линий индукции магнитного поля (рис.4). В каждом таком сгустке содержится строго определенная порция магнитного потока Фо = 2 • 10"15 Вб . Величина Фо называется квантом магнитного потока.
Чем больше внешнее магнитное поле, тем больше таких сгустков, а следовательно, и квантов магнитного потока проникает в сверхпроводник. Поэтому магнитный поток в сверх
проводнике меняется не непрерывно, рис 4 а скачками, дискретно. Обычно дискретность физических величин проявляется в микромире (например, квантуется энергия электронов в атоме). Здесь мы сталкиваемся с удивительным явлением - законы квантовой механики «работают» в макроскопических масштабах.
Каждый сгусток линий индукции магнитного поля в сверхпроводнике окружен кольцевыми незатухающими токами (см. рис.4), которые напоминают вихри в жидкости или газе. Вот почему такие сгустки линий, окруженные сверхпроводящими токами, называют абрикосовскими вихрями. Внутри каждого вихря сверхпроводимость, разумеется, разрушена. Но в пространстве между вихрями она сохраняется! Только при очень сильных полях, когда вихрей становится так много, что они начинают перекрываться, наступает полное разрушение сверхпроводимости.
Такая необычная картина разрушения сверхпроводимости магнитным полем в сплавах впервые была открыта «на кончике пера». Однако современная экспериментальная техника позволяет наблюдать абрикосовские вихри непосредственно. Для этого на поверхность сверхпроводника (например, поперечное сечение цилиндра) наносят тончайший магнитный порошок. Частицы порошка скапливаются в тех областях, куда проникло магнитное поле. Размеры каждой области невелики и обычно составляют доли микрона. Если посмотреть на поверхность в электронный микроскоп, то видны темные пятна.
На рисунке 5 показана фотография структуры абрикосовских вихрей, полученная таким способом. Видно, что вихри располо-
59
Рис. 5
жены периодически и образуют решетку, аналогичную кристаллической решетке. Вихревая решетка треугольная (ее можно составить из повторяющихся правильных треугольников).
Итак, в отличие от чистых металлов сплавы имеют не одно, а два критических поля: нижнее критическое поле, при котором первый вихрь проникает в сверхпроводник, и верхнее критическое поле, при котором происходит полное разрушение сверхпроводимости. В промежутке между этими значениями полей сверхпроводник пронизан вихревыми линиями и находится в особом смешанном состоянии. Сверхпроводники с такими свойствами теперь называют сверхпроводниками второго рода, в отличие от сверхпроводников первого рода, в которых разрушение сверхпроводимости в магнитном поле происходит сразу, скачком.
В 50-х годах началась настоящая охота за сверхпроводящими материалами, обладающими высокими критическими полями и температурами. Какими только способами их ни получали! И дуговой сваркой, и быстрым охлаждением, и напылением на горячую подложку. Казалось бы, проблема создания сверхпроводящих магнитов тем самым решена.
Но тут природа поставила на пути исследователей еще одну преграду. Ведь для сверхпроводящего соленоида необходима проволока, которая выдерживала бы не только сильное магнитное поле, но и сильный электрический ток. А это, оказывается, не одно и то же.
Что такое пиннинг? Известно, что на проводник с током в магнитном поле действует сила. А куда приложена сила противодействия, возникающая по третьему закону Ньютона? Если, например, магнитное поле создается другим проводником с током, то на него действует равная по величине и противополож
60
ная по направлению сила (силы взаимодействия между проводниками с током определяются законом Ампера). В нашем случае ситуация более сложная.
Когда сверхпроводник находится в смешанном состоянии и по нему течет ток, то в тех областях, где имеется магнитное поле (сердцевины вихрей), возникают силы взаимодействия между током и полем. В результате распределение тока изменяется, но и области, в которых сосредоточено магнитное поле, не остаются неподвижными, а начинают перемещаться. Абрикосовские вихри под действием тока движутся!
Сила, действующая на ток в магнитном поле, перпендикулярна индукции магнитного поля и направлению тока в проводнике. Сила, действующая со стороны тока на абрикосовский вихрь, тоже перпендикулярна индукции магнитного поля и направлению тока. Если, например, в сверхпроводнике в смешанном состоянии, показанном на рисунке 5, создать ток, протекающий слева направо, то абрикосовские вихри под действием тока начнут двигаться снизу вверх или сверху вниз (в зависимости от направления индукции магнитного поля). Но движение абрико-совского вихря сквозь сверхпроводник - это перемещение нормальной, не сверхпроводящей, сердцевины. При таком движении возникает своеобразное трение, которое приводит к выделению тепла. Значит, при протекании тока через сверхпроводник, находящийся в смешанном состоянии, все-таки появляется сопротивление, и использовать такие сверхпроводники для создания соленоидов нельзя.
В чем же выход? Надо помешать вихрям двигаться, закрепить их на месте. Сделать это, оказывается, можно. Надо только «испортить» сверхпроводник, создать в нем какие-то дефекты. Дефекты обычно возникают сами по себе в результате механической или термической обработки материала. На рисунке 6, например, показана электронно-микроскопическая фотография пленки нитрида ниобия (критическая температура которой 15 К), полученной напылением металла на стеклянную пластинку. Ясно видна зернистая (столбчатая) структура материала. Перескочить через границу зерна вихрю довольно сложно. Вот почему до определенного значения тока (его называют критическим током) вихри остаются неподвижными. Электрическое сопротивление в таком случае равно нулю.
Это явление называют пиннингом - от английского слова pinning, что в переводе на русский язык означает прикалывание. Благодаря пиннингу можно получать сверхпроводящие материалы с высоким значением как критического поля, так и критичес-
61
Рис. 6
кого тока. При этом, если значение критического поля определяется свойствами самого материала, то значение критического тока (точнее, его плотности, т.е. силы тока, приходящейся на единицу площади сечения) во многом зависит от способа приготовления, методов обработки материала. Сейчас разработана технология, позволяющая получать сверхпроводящие материалы, имеющие высокие значения всех критических параметров. Например, на основе сплава ниобия с оловом можно получить материал с плотностью критического тока в сотни тысяч ампер на квадратный сантиметр, верхним критическим полем 25 Тл и критической температурой 18 К.
Но это еще не все. Ведь важны и механические свойства материала - из него предстоит сделать катушку. Сам по себе сплав ниобия с оловом хрупкий, и такую проволоку изгибать нельзя. Поэтому сверхпроводящие соленоиды изготавливали следующим образом: порошок из ниобия и олова набивали в ниобиевую трубку. Затем трубку вытягивали в проволоку, наматывали катушку и нагревали. В результате получался готовый соленоид из сплава Nb3Sn .
В промышленности используются более технологичные материалы, например сплав ниобия с титаном NbTi, который обладает достаточной пластичностью. На основе этого сплава создают так называемые композиционные сверхпроводники. В бруске меди просверливается множество дыр и туда вводят стержни сверхпроводника. Затем брусок вытягивают в длин-62
ную проволоку. Проволоку разрезают на куски и снова вводят в медный брусок. Опять вытягивают проволоку, разрезают на куски и т.д. В результате получается кабель, содержащий до миллиона сверхпроводящих жил, из которого и наматывают катушки.
Важное преимущество кабелей состоит в том, что сверхпроводящий ток распределяется в них по всем жилам. Для сверхпроводника даже медь является хорошим изолятором - при параллельном соединении медного и сверхпроводящего проводников весь ток течет по сверхпроводнику, обладающему нулевым сопротивлением. Есть и еще одно преимущество. Представим себе, что в какой-то жиле сверхпроводимость случайно разрушилась. Тогда выделяется тепло, и важно отвести его, для того чтобы предотвратить переход всего кабеля в нормальное состояние. Медь, которая является хорошим теплопроводником, успешно справляется и с этой задачей, осуществляя термическую стабилизацию. Кроме того, медь обеспечивает хорошие механические свойства кабелей.
Где применяются сверхпроводящие соленоиды? «Профессии» сверхпроводящих магнитов весьма разнообразны. Они играют важную роль в физике высоких энергий, помогают исследовать твердые тела, применяются в электротехнике и даже на транспорте. О проектах поездов на магнитной подушке в наше время, наверное, слышали все читатели. Сверхпроводящие соленоиды, установленные в вагоне, создают мощное магнитное поле, которое при движении поезда наводит индукционные токи в специальных рельсах. Согласно правилу Ленца магнитное поле этих токов направлено так, чтобы препятствовать приближению соленоида к рельсу, и поезд... повисает над полотном. В Японии уже создана семикилометровая экспериментальная линия, на которой поезд весом в 10 тонн мчится со скоростью более 500 километров в час!
В электротехнике использование сверхпроводящих магнитов становится целесообразным при создании электрических двигателей и генераторов гигантской мощности в сотни и более мегаватт. Сверхпроводящие обмотки в статоре создают сильное постоянное магнитное поле, в котором вращается ротор из нормального металла. При этом достигается значительное уменьшение размеров и веса установки. Такие двигатели мощностью в несколько мегаватт уже созданы, и разрабатываются проекты более мощных машин. Еще большие преимущества дает применение сверхпроводящей обмотки ротора, но при реализации этой идеи возникает много технических проблем.
63
Мы знаем, что магнитное поле действует на движущиеся заряженные частицы (токи) силой Лоренца. Она направлена перпендикулярно скорости частицы и искривляет ее траекторию. Чем больше индукция магнитного поля, тем меньше радиус окружности, по которой движется частица в магнитном поле. Именно такой принцип магнитного «удержания» частиц применяется в ускорителях, пузырьковых камерах, установках управляемого термоядерного синтеза. Преимущества использования для этих целей сверхпроводящих магнитов, создающих сильные магнитные поля без затрат огромных энергий, очевидны. В нашей стране уже действует первая в мире сверхпроводящая система для установки термоядерного синтеза «Токамак-7» и разработана установка «Токамак-15», в которой будет накапливаться магнитная энергия в 600 миллионов джоулей. Создание устройств следующих поколений, рассчитанных на более высокие энергии, без использования сверхпроводимости просто невозможно.
При исследовании твердых тел, молекул, атомов и ядер необходимо создавать сильные магнитные поля в малых объемах, а также очень однородные магнитные поля. Сверхпроводящие магниты в таких случаях незаменимы и сейчас широко используются в физических лабораториях. Маленькие сверхсильные соленоиды в комплекте с системой охлаждения стали уже промышленной продукцией, выпуск которой все более расширяется.
Энергетика будущего - это не только новые источники энергии. Необходимо разработать новые эффективные способы хранения и передачи электроэнергии. Сверхпроводники и здесь предлагают свои услуги. Разработан проект системы хранения электроэнергии, в котором гигантская сверхпроводящая катушка диаметром более 100 метров будет установлена в специальном тоннеле, пробитом в горах. В нем с помощью холодильных установок с жидким гелием будет поддерживаться температура, близкая к абсолютному нулю. Незатухающий сверхпроводящий ток в такой катушке запасет гигантскую энергию в 100 мегаватт-часов.
А передача энергии без потерь по сверхпроводящим кабелям? Пока что можно только мечтать о линиях электропередач, которые, «купаясь» в жидком гелии, переносили бы электричество без потерь на огромные расстояния. Но сверхпроводимость ведь еще не сказала последнего слова.
КАК ВОЛНЫ ПЕРЕДАЮТ ИНФОРМАЦИЮ
Мы настолько привыкли видеть на экране телевизора события, происходящие на другом конце света, что даже не удивляемся этому. В современном мире радио, телевидение, телефон позволяют довольно просто получать и передавать необходимую информацию. А ведь еще сравнительно недавно все было совсем иначе...
Для того чтобы передать в Петербург известие о коронации императрицы Елизаветы, происходившей в 1741 году в Москве, на всем пути между этими городами была выстроена цепочка солдат с флажками. В момент коронации первый солдат взмахнул флажком, затем следующий и т.д. Так известие о коронации дошло до Петербурга, где выстрелила пушка. Вот каким сложным способом пользовались для быстрой передачи информации в не столь далекие времена.
Что же распространялось по цепочке солдат? Каждый солдат оставался стоять на месте, но в некоторый момент времени он изменял свое состояние (поднимал флажок). Это изменение состояния и распространялось по цепочке. В таких случаях говорят, что распространяется волна.
Волны бывают разные. В акустических (звуковых) волнах колеблется плотность вещества, в электромагнитных (свет, радио, телевидение и т. п.) колеблются напряженности электрического и магнитного полей. Бывают температурные волны, волны концентрации при химических реакциях, волны эпидемий и т.п. Образно говоря, волны охватывают все многообразие явлений в природе.
Простейший тип волны - монохроматическая волна, когда в каждом месте изменение состояния происходит со временем по гармоническому закону с определенной частотой (по закону синуса или косинуса). Многие из встречающихся в природе волн можно считать монохроматическими. Звуковые волны такого типа называют музыкальными тонами. Их возбуждают, например, с помощью камертонов. Монохроматические световые волны получают с помощью лазеров. Волны, близкие к монохроматическим, можно возбудить на поверхности воды, периодически
65
З-Задачи по физике
погружая в нее какой-то предмет. В нашей цепочке солдат также
можно получить похожие волны.
Представьте себе, что каждый солдат не просто взмахивает флажком, а совершает им колебания, периодически поднимая и опуская флажок. Каждый следующий солдат повторяет эти колебания, но с некоторым опозданием (сдвигом по фазе). По цепочке солдат побежит волна. Нечто подобное можно увидеть во время спортивных праздников, когда цепочки людей совершают периодические движения со сдвигом по фазе.
Это красивое зрелище радует глаз, но могут ли передавать информацию такие волны? Очевидно, что нет. Периодически повторяющиеся во времени колебания не несут нам ничего нового, не передают информации. А вот с помощью единичного взмаха, когда изменение состояния каждый раз происходило в ограниченной области пространства, можно было передать информацию о начале коронации. Такие ограниченные в пространстве волны называют сигналами. Можно сделать так, что совершать взмахи в цепочке будут одновременно не один, а два, три или даже несколько стоящих рядом солдат. Тогда протяженность сигнала увеличится. Пользуясь сигналами разной длины, можно передать не только информацию о начале коронации, но и вообще любую информацию.
Ясно, что природа сигнала может быть различной - бывают сигналы звуковые, световые и т.п. Самое интересное, что любой
сигнал можно представить как сумму монохроматических волн с разными частотами (составить из таких волн). Эту возможность
дает нам принцип интерференции: при распространении волн
колебания в каждом месте пространства складываются. Скажем,
в зависимости от сдвига фаз колебания одинаковых частот могут усилить друг друга (при нулевой разности фаз получаются колебания с суммарной амплитудой -рис. 1,й), а могут и ослабить (рис. 1,6). Оказывается, что амплитуды и частоты складываемых монохроматических волн можно по
добрать таким образом, что волны гасят друг друга почти во всем пространстве, кроме определенной области, где, напротив, происходит их усиление.
На рисунке 2 показан результат сложения большого числа N
66
волн одинаковой амплитуды Д) с частотами, лежащими в небольшом интервале от со0 - Дсо до со0 + Дсо . Это как бы мгновенная фотография волны, показывающая значение колеблющейся величины А в разных точках пространства в фиксированный момент времени. Имеется центральный максимум с амплитудой NA$ и множество побочных с быс
тро убывающими амплитудами. Так что действительно в основном волны гасят друг друга, а их усиление происходит лишь в области центрального максимума.
Важно отметить, что эта область не стоит на месте, а движется со скоростью волны, иными словами - распространяется сигнал. Если скорость с распространения монохроматических волн всех частот одинакова (как, например, при распространении электромагнитных волн в вакууме), то и максимум движется со скоростью с, а его ширина постоянна и равна Д£ = 2 лс/Д со. Так что длительность сигнала составляет At = 2л/Дсо.
Получается удивительно простое фундаментальное соотношение:
в
радиоприемнике во
Дсо • At = 2 л .
Длительность сигнала и ширина диапазона частот волн, из которых сигнал состоит, связаны обратно пропорциональной зависимостью. Качественно это соотношение понятно: если имеется длинный участок синусоиды, соответствующий сигналу большой длительности ( At велико), то это почти монохроматическая волна (Дсо мало). А чтобы составить короткий сигнал, нужно сложить много волн с разными частотами. Все, наверное, замечали, что молния вызывает помехи всех диапазонах частот.
Итак, каждый сигнал можно составить из монохроматических волн или же, говоря по-другому, разложить на такие волны. Зависимость амплитуды монохроматических волн, образующих сигнал, от их частоты называется спектром сигнала (иногда спектром называют только набор частот монохроматических волн, образующих сигнал). В рассмотренном нами случае спектр -
Рис. 3
67
з*
прямоугольник высотой Д) и шириной 2Дсо, показанный на рисунке 3. Это, конечно, простейший спектр. Спектры сигналов, так же, как и сигналы, могут иметь самые различные формы.
Когда мы, например, произносим звуки, то заставляем специальным образом колебаться воздух, и эти колебания распространяются в виде звуковых сигналов определенной формы. Спектры
ЛА
этих сигналов существенно различаются в зависимости от того, произносим мы гласную или согласную. Сигнал, соответствующий гласной, имеет спектр с двумя характерными максимумами при определенных частотах (их называют формантами). Спектр согласной более «размазан» по
1000	5000	10000 v, Гц
Рис. 4
всей области частот (на рисунке 4 показан спектр согласной «С»). Существует специальный метод - гармонический анализ, позволяющий находить спектры сигналов и восстанавливать
сигналы по известным спектрам.
Интересно, что «кричать» умеют и твердые тела. Тепловое движение приводит в колебание атомы в кристаллической решетке, и такие колебания передаются по телу в виде упругих волн. Это тоже звуковые волны. Однако их спектр имеет максимум при очень высоких частотах, а в области слышимых частот амплитуда звука пренебрежимо мала (например, даже при очень низкой температуре порядка 5 К максимум соответствует частоте 1012 - 1013 Гц). Так что «услышать», о чем «говорят» твердые тела, можно только с помощью специальных приборов. «Подслушав» эти разговоры (изучив их спектры), ученые узнали много важных «секретов» твердых тел.
Какими же сигналами обычно пользуются для передачи информации? Для связи на коротких расстояниях годятся звуковые сигналы - люди пользуются ими испокон веков. Однако звуковые волны быстро затухают. В наше время для передачи информации обычно пользуются электромагнитными волнами, способными распространяться на большие расстояния. Из них формируют те или иные сигналы. Можно, например, «заста-
Рис. 5
вить» электромагнитную волну переносить звуковые сигналы. Для этого частоту волны фиксируют (ее называют несущей частотой), а вот амплитуду меняют в такт со звуковыми колеба
68
ниями (рис.5). Таким образом формируют последовательность сигналов, передающих нужную информацию. В приемном пункте сигналы расшифровывают (детектируют) - выделяют огибающую, соответствующую звуковым колебаниям. Этот метод называют амплитудной модуляцией. Он широко применяется при передаче радио- и телепрограмм.
Конечно, в процессе модуляции результирующая электромагнитная волна перестает быть монохроматической. Так, в случае простейшей амплитудной модуляции, несущей волны с частотой cDq и амплитудой
A (t) = А$ (1 + asin со£) получаем x(t) = X(£)sin =
= A$ sincty/ + ^^-(cos(cot) - co)£ - cos(cty + co)£)
Как видим, спектр даже такого простейшего модулированного сигнала содержит в себе уже частоты Cty - со, Cty, Cty + со.
Возникает вопрос: а как много информации за единицу времени можно передавать с помощью волн? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующий способ передачи информации. Известно, что любое число можно записать в двоичной системе в виде последовательности нулей и единиц. Точно так же и любую информацию можно закодировать - записать в виде последовательности сигналов и их пропусков определенной длительности. Сигналы можно передавать, используя амплитудную модуляцию. Чем с большей скоростью мы хотим передавать информацию, тем короче должны быть эти сигналы (рис.6).
Рис. 6
Но при надежной передаче информации длительность сигнала не должна быть меньше периода несущей синусоиды. Это и дает ограничение на скорость передачи информации. Хотите ее увеличить - увеличивайте несущую частоту. Фактически тут «работает» уже обсуждавшееся соотношение для длительности сигнала: At ~ 2л/Дсо, где Дсо становится порядка .
Например, для передачи музыкальных программ достаточно пользоваться электромагнитными волнами с частотой порядка сотен килогерц: человеческое ухо воспринимает сигналы с часто
69
той до 20 кГц, и в этом случае интервал частот, составляющих сигнал, будет по крайней мере на порядок меньше несущей частоты. Однако для передачи телевизионных программ такие частоты уже не годятся. Изображение на экране воспроизводится 25 раз в секунду и в свою очередь состоит из десятков тысяч отдельных точек. Поэтому требуется частота модуляции порядка 107 Гц, и, соответственно, несущая частота должна лежать в области десятков-сотен мегагерц. Вот почему в телевидении пришлось пользоваться высокочастотными, а следовательно и ультракороткими, волнами с длиной волны порядка метра, хотя распространяются они лишь в пределах прямой видимости.
Интересно упомянуть, что первые телевизионные приемники (с механической разверткой), появившиеся еще в 20-х годах XX века, работали в диапазоне средних волн. Получаемое на них изображение в силу указанных выше причин было столь низкого качества, что передаваемый образ распознавался с трудом. Это и потребовало дальнейших исследований и перехода в диапазон метровых волн с использованием электронной развертки.
Однако любопытно, что такое «средневолновое телевидение» имело и свое преимущество - благодаря дальнему (по сравнению с УКВ) распространению средних волн передачи, идущие, например, из Берлина, без всяких ретрансляторов и спутников связи можно было принимать в Москве.
Если же для передачи информации воспользоваться светом, у которого частота колебаний 1015 Гц, то можно повысить скорость передачи информации на много порядков. И хотя сама по себе идея эта стара (впервые передачу звука с помощью световых сигналов осуществил изобретатель телефона Г.Белл еще в 1880 году), она стала технической реальностью только в наше время. Для этого должны были появиться источники монохроматического света - лазеры, специальные световоды из оптических волокон, передающие свет с очень малыми потерями, электронное оборудование для эффективной кодировки и раско-дировки сигналов.
Сейчас можно с определенностью сказать, что эпоха медных проводов отошла в прошлое, а развитие сверхскоростных и сверхмасштабных сетей передачи информации связано с волоконной оптикой.
ЛУННЫЕ ДОРОЖКИ
Отражения самых разных источников света от поверхности воды часто имеют вид длинных дорожек света, направленных от источника к нашему глазу. Вспомните хотя бы отражение солнца в море во время заката или отражения уличных фонарей на набережной в реке. Широкую полосу света отбрасывает луна, отражаясь в море или озере.
Все эти явления происходят вследствие того, что каждая маленькая волна на поверхности воды дает свое отдельное изображение. Попробуем разобраться, почему все освещенные волны вместе образуют продолговатую фигуру, вытянутую от источника света к наблюдателю, - дорожку.
Известно, что рябь образуется на воде при ветре от 2 до 13 м/с. При меньшем ветре поверхность воды отражает как плоское зеркало (состояние штиля). При большем она покрывается белыми барашками, и световая дорожка теряет резкие очертания. Рябь можно представить как множество мелких волн, разбросанных по поверхности воды абсолютно неправильно и возникающих одинаково часто во всех направлениях. Крутизна склона волн при этом не превышает некоторого предельного значения а, которое зависит от силы ветра и может достигать 20-30°.
Попробуем теперь найти границу полосы света, несколько упростив задачу. Именно, будем считать, что в каждом месте поверхности имеется большое число маленьких зеркальных волн, крутизна склонов которых меняется в пределах от нуля до
71
a , и волны имеют различные направления. Кроме того, для простоты будем считать, что наблюдатель и источник света находятся на одном уровне над поверхностью воды (рис.1).
Маленькое горизонтальное зеркальце будет отбрасывать свет в глаз наблюдателя О только в том случае, когда расстояния от него до наблюдателя и до источника одинаковы (в точке М). Если же зеркало наклонено под углом а в сторону наблюдателя, то, для того чтобы отраженный свет попадал в глаз, оно должно быть несколько сдвинуто от наблюдателя (точка N). Зеркальце, наклоненное под углом а в противоположную сторону, должно находиться в точке N'.
Наклонные положения зеркала аналогичны крайним положениям волн, при которых отраженный от них свет еще попадает в наш глаз. Расстояние между N и N' поэтому определяет длину световой дорожки. Во всех точках между N и ЛГ найдутся участки волн, имеющие достаточный наклон для того, чтобы
отражать лучи в наш глаз.
Рассмотрим теперь углы между лучами света. Из рисунка 1
видно, что 0+а=у+8
, р - а = с = 8 , откуда у = а + 0 -- (Р - а) = 2а . Таким образом, мы приходим к выводу, что угол, под которым мы видим большую ось светового пятна, просто равен углу между двумя наиболее крутыми склонами. Нетрудно посчитать и линейный размер большой оси пятна NN'.
Короткая ось пятна отраженного света легко находится аналогичным способом. Если сместить зеркальце из точки М в направлении, перпендикулярном NN', то, для того чтобы отраженный свет попал в глаз наблюдате-
ля, зеркальце надо повернуть на некоторый угол вокруг оси, параллельной NN' (рис.2). Считая, что предельный угол поворота зеркальца по-прежнему равен a , находим, что ширина полосы света РР' = 2/ztga , и, следова-2h tg a тельно, короткая ось стягивает угол р = ,	.
V/2 + h2
Отношение двух видимых полуосей пятна будет равно 0/(2а), или, считая, что пятно невелико и угол а мал, равно sin со , где со - угол, под которым мы смотрим на воду. Чем меньше этот угол, тем более вытянуто пятно. Если взгляд скользит по
72
поверхности, то пятно света будет до бесконечности вытягиваться и суживаться.
При наблюдении световых дорожек на поверхности моря угол со обычно мал - световые дорожки достигают горизонта (см. фотографии на рисунке 3), так что можно говорить только о
Рис.З
ширине дорожки. И хотя полученные нами формулы буквально не применимы в этом случае, пользуясь ими, можно не только качественно объяснить происхождение дорожек, но и понять зависимость их ширины от силы ветра и высоты солнца над горизонтом. Фотографии на рисунке 3 соответствуют последовательно скорости ветра 12 м/с, 10 м/с, 5 м/с, 2 м/с и высоте солнца над горизонтом 30°, 20°, 13°, 7°. Видно, что с увеличением скорости ветра и высоты солнца ширина дорожки возрастает.
Рис.1. Измерение координаты частицы с точностью Аг, определяемой шириной щели, через которую частица пролетает, приводит к неопределенности соответствующей проекции импульса частицы \рх
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Немецкий физик Вернер Гейзенберг, открывший в 1927 году соотношение неопределенностей, сформулировал его следующим образом: если, исследуя какое-то тело, нам удается определить проекцию импульса тела с неопределенностью \рх , то мы не сможем одновременно определить соответствующую координату тела с точностью, большей чем Аг ~ И/\рх , где h = - 1,054 • IO"34 Дж • с - постоянная Планка.
Поначалу это соотношение может вызвать чувство недоумения. Ведь законы Ньютона, которые изучают в школе, позволяют найти закон движения тела, т.е. рассчитать зависимость координат от времени. Зная закон движения, можно найти проекции скорости тела v (производные от координат по времени) и проекции его импульса р = mv . Получается, что можно одновременно определять координату и импульс, и никакого соотношения неопределенностей нет. Действительно, в классической физике все происходит именно так. А вот в микромире дело обстоит иначе (рис.1).
Импульс и координата. Представьте себе, что нам надо следить за движением электрона. Как это сделать? Глаз - инструмент для этих целей неподходящий. Его разрешающей силы недостаточно, чтобы разглядеть электрон. Ну что ж, посмотрим на электрон в микро
скоп. Разрешающая способность микроскопа определяется длиной волны света, в котором ведется наблюдение. Для обычного видимого света эта величина порядка 1000 ангстрем ( 10“J см), и частицы меньших размеров в микроскоп пе разглядишь. Атомы имеют размеры порядка ангстрема, так что надеяться различить 74
их, а тем более отдельные электроны, не приходится. Но давайте пофантазируем.
Предположим, что нам удалось сконструировать микроскоп, использующий не видимый свет, а электромагнитные волны с меньшей длиной волны, например рентгеновское или даже у-излучение. Чем более жесткое у-излучение мы будем применять, т.е. чем короче соответствующая длина волны, тем меньшие объекты можно наблюдать. Казалось бы, такой воображаемый у-микроскоп был бы идеальным инструментом для наблюдения за электроном. С его помощью можно было бы измерить координату электрона сколь угодно точно. При чем же тут соотношение неопределенностей?
Вдумаемся глубже в этот мысленный эксперимент. Для того чтобы мы получили информацию о положении электрона, от него должен отразиться хотя бы один у-квант - носитель минимальной порции энергии йсо (или hv). Чем меньше длина волны, тем больше частота излучения СО и тем больше порция энергии, которой обладает квант. А импульс кванта пропорционален его энергии. Сталкиваясь с электроном, у-квант обязательно передает ему часть своего импульса. Таким образом, измеряя координату, мы всегда вносим неопределенность в импульс электрона, и чем точнее мы хотим провести измерение, тем большей будет неопределенность. Подробный анализ этого процесса показывает, что произведение неопределенностей Ах • Дрг нельзя сделать меньшим, чем постоянная Планка.
Может создаться впечатление, что мы рассмотрели только частный случай, придумали «плохой» прибор для измерения координаты и можно провести измерение гораздо тоньше, не «толкая» электрон, не изменяя его состояния. Но увы, это не так. Лучшие умы (среди них и А.Эйнштейн) пытались придумать такой прибор, который смог бы измерить координату тела и его импульс одновременно с большей точностью, чем позволяет соотношение неопределенностей. Но никому не удалось это сделать. Сделать это просто нельзя. Таков закон природы.
Все это может показаться несколько туманным, и трудно сразу построить какую-то четкую мысленную модель. Настоящее понимание приходит только в результате серьезного изучения квантовой механики. А пока, согласитесь, похоже, что природа в микромире ведет себя таким необычным способом. Для первого знакомства, будем считать, этого достаточно.
Чтобы понять, где лежит граница между макро- и микромиром, сделаем небольшую оценку. Например, в опытах по броуновскому движению используются очень маленькие частички -
75
размером около 1 мкм и массой всего 1О-10 г . Но все-таки это кусочки вещества, содержащие огромное количество атомов. Из соотношения неопределенностей в этом случае имеем &vx • Ах ~ ~ h/m ~ 10-17 см2/с . Если, скажем, определять положение частички с точностью до одной сотой ее размера ( Ах ~ 10"6 см), то Avx ~ 10"11 смс. Получилась очень маленькая величина, и причина этого - малое значение постоянной Планка.
Скорость броуновского движения такой частички порядка 10"4 см/с . Как видно, погрешность в скорости, связанная с соотношением неопределенностей, пренебрежимо мала (одна десятимиллионная доля!) даже у такого небольшого тела. Тем более она не играет роли для больших тел (ведь в правой части соотношения стоит h/m ). А вот если мы будем уменьшать массу частицы (возьмем, например, электрон) и увеличивать точность определения координаты ( Ах ~ 10-8 см - атомные размеры), то неопределенность в скорости становится сравнимой с самой скоростью микрочастицы. При описании электронов в атоме соотношение неопределенностей уже работает в полной мере, с ним не считаться нельзя. И это приводит к удивительным следствиям.
Волны вероятности. В простейшей модели атома - модели Резерфорда - электроны кружатся по орбитам вокруг ядра подобно тому, как планеты движутся вокруг Солнца. Но электроны - заряженные частицы, и при их вращении обязательно создаются переменные электрические и магнитные поля и возникает излучение, приводящее к потери энергии. Вот почему в планетарной модели электроны ждет незавидная судьба -они обязательно упадут на ядро, и атом разрушится. Но ведь стабильность атомов - это твердо установленный экспериментальный факт.
Нужно было «подправить» модель Резерфорда, и сделал это Нильс Бор в 1913 году. Электронам в модели Бора разрешается вращаться только по определенным орбитам, где они обладают строго заданными энергиями. Изменять эту энергию электроны могут только скачком, излучая и поглощая кванты при переходе с одной орбиты на другую. Такое «квантовое» поведение электронов в атоме позволяет объяснить многое - в частности, устойчивость атома и атомные спектры, но оно противоречит соотношению неопределенностей. Ведь при движении даже по квантовой орбите импульс и координата могут быть определены одновременно, а в микромире, как мы теперь знаем, такого быть не может.
76
Пришлось отказаться и от этой модели атома. Картина, описывающая поведение электрона в атоме, оказалась еще более сложной.
Представьте себе, что нам удалось определить положение электрона в атоме в какой-то момент времени. Сможем ли мы точно сказать, где он будет в следующий момент (для определенности, например, через одну секунду)? Нет, измерение координаты, как мы знаем, всегда вносит неопределенность в импульс электрона, и, пользуясь даже самыми лучшими экспериментальными устройствами, нельзя точно предсказать, куда попадет электрон. Что же нам остается в таком случае делать?
Давайте отметим точкой то место в пространстве, где мы обнаружили электрон. Результат еще одного измерения координат электрона в точно таком же атоме снова изобразим точкой в пространстве. Еще измерение - опять точка и т.д. Оказывается, что, хотя и нельзя сказать заранее, где точно будет находиться следующая точка, в характере расположения точек в пространстве имеется определенная закономерность. В некоторых областях точки располагаются гуще, в других - реже, указывая на то, где с большей, а где с меньшей вероятностью может встретиться электрон.
Нам пришлось отказаться от точного описания движения электрона, но мы в состоянии предсказывать шансы обнаружить его в разных точках пространства. Поведение электрона в микромире описывается вероятностно. Такая картина поведения частиц в микромире читателю может не понравиться - уж больно она непривычна, уж больно противоречит нашей интуиции, нашему опыту. Но ничего не поделаешь - так устроена природа. В микромире действуют совсем другие законы, нежели те, к которым мы привыкли в обычной жизни. По образному выражению Эйнштейна, приходится «играть в кости» для того, чтобы предсказывать поведение электронов (следует отметить, что сам Эйнштейн в необходимость такой «игры» не верил; до конца своей жизни он так и не принял квантовую теорию). Без этого, увы, обойтись нельзя.
Итак, в микромире состояние электрона определяется заданием вероятности его обнаружения в разных точках пространства. В нашей наглядной модели мерой вероятности будет плотность меток, и, можно представить себе, что эти метки образуют некое подобие облака, определяющего образ жизни электрона.
Как устроены облака вероятности? Аналогично тому, как в классической механике законы Ньютона определяют движение тел, в квантовой механике имеется свое уравнение, из которого
77
Рис. 2. Такая картина возникает в опыте по дифракции электронов (1 - электронная пушка, 2 - препятствие, 3 ~ область тени, 4 ~ флуоресцентный экран)
можно наити «размазку» электрона в пространстве. Такое уравнение придумал в 1925 году австрийский физик Эрвин Шрёдингер (заметьте, это случилось раньше, чем было открыто соотношение неопределенностей, т.е. раньше, чем прояснилась причина размазки микрочастиц, - такое в физике бывает). Уравнение Шрёдингера количественно, точно и подробно описывает атомные явления. Но рассказать об этом без сложной математики нельзя. Мы приведем здесь просто ответы - покажем точные портреты размазки электрона в неко
торых случаях.
На рисунке 2 показана фотография системы полос, возникающей на экране в опыте по дифракции электронов. Картина совершенно аналогична той, которая возникает при дифракции света. Если считать, что электроны движутся по прямолинейным
траекториям, как им положено в данном случае по законам классической физики, объяснить этот опыт нельзя. А вот если они размазаны в пространстве, то результат опыта можно понять. Более того, из опыта следует, что облако вероятности обладает волновыми свойствами. В том месте, где амплитуда волны максимальна, - наибольшая вероятность чему-то произойти. В нашем случае в этих местах с наибольшей вероятностью можно обнаружить электрон, и такие области на фотографии получаются более светлыми.
На рисунке 3 представлена «размазка» электрона в различных состояниях атома водорода, найденная на основе точных математических расчетов. Чем светлее область, тем вероятнее встретить в ней электрон. Рисунки напоминают картины стоячих волн, возникающих, когда волновой процесс происходит в ограниченной области пространства. Какие удивительные формы могут принимать облака вероятности! И эти красивые абстрактные картинки действительно определяют поведение электронов в атоме и объясняют, например, уровни энергии и все, что касается химической связи.
Не вдаваясь в детали устройства облаков вероятности, можно
78
Рис. 3. Это, конечно, не фотографии реальных электронов, а результаты расчетов, показывающих, как «размазаны» электроны в атоме
с помощью соотношения неопределенностей оценить их характерный размер. Если облако вероятности имеет размер порядка Дх , то бессмысленно говорить о большей чем Дх неопределенности в координате частицы. Следовательно, неопределенность импульса частицы Лрх не может быть меньшей чем й/Дх . По порядку величины это же выражение определяет и минимальное значение импульса частицы. Чем меньше размер облака вероятности, тем большим становится импульс и, следовательно, тем быстрее движется частица внутри области локализации. Оказывается, что уже этих общих рассуждений достаточно, чтобы правильно оценить размер атома.
Электрон в атоме обладает кинетической и потенциальной энергиями. Кинетическая энергия электрона - это энергия его движения. Она связана с импульсом по известной формуле:
79
Ек
2	2
mv р
----=	. Потенциальная энергия - это энергия кулонов-
ского взаимодействия с ядром. Для нее также имеется формула: ke1
Еп =------, где знак «минус» соответствует притяжению, е -
заряд электрона, г - расстояние от электрона до ядра, k -
коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения.
В каждом состоянии у электрона имеется определенное значение полной энергии Е. Состояние с минимальной энергией называется основным (невозбужденным) состоянием. Оценим размер атома в основном состоянии. Пусть электрон размазан в некоторой области размером г0 • Притяжение электрона к ядру стремится уменьшить г0 , «схлопнуть» облако вероятности. Этому соответствует уменьшение потенциальной энергии электрона, которая по порядку величины равна -&е2/г0 (при уменьшении г0 растет модуль отрицательной величины). Если бы электрон не обладал кинетической энергией, он упал бы на ядро. Но, как вы уже знаете, кинетическая энергия у локализованной частицы всегда имеется вследствие соотношения неопределенностей. Оно и «мешает» электрону упасть на ядро! При уменьшении г0
о	Й
увеличивается минимальный импульс частицы /?0----, а следо-
2 Г°
й2 вательно, растет кинетическая энергия-------у . Из условия
F	2mr02 J
равенства нулю производной от полной энергии частицы получа-й2
ем, что ее минимуму соответствует значение г0----т > котоРое
kme
определяет характерный размер области локализации электрона й2
в основном состоянии, т.е. размер атома. Величина --у Равна
kme
0,5 ангстрем, а мы знаем, что таковы по порядку величины размеры атомов в действительности. Ясно, что соотношение неопределенностей, позволяющее правильно оценить размер атомов, - один из самых глубоких законов микромира.
Для сложных атомов существует определенная закономерность, также непосредственно вытекающая из соотношения неопределенностей. Экспериментально довольно точно определяется работа, которую надо совершить, чтобы вырвать электрон из атома (она равна энергии ионизации Еи). Так вот, для самых разных атомов произведение на размер атома d с точностью до 10 - 20% одинаково. Читатель, наверное, догадался, в чем тут
80
дело: импульс электрона р ~ ^2тЕи , а постоянство произведения pd следует из соотношения неопределенностей.
Нулевые колебания. Весьма впечатляющие результаты получаются при исследовании с помощью соотношения неопределенностей колебаний атомов в твердых телах. Атомы (или ионы) совершают колебания в узлах кристаллической решетки. Обычно такие колебания связаны с тепловым движением атомов - чем выше температура, тем сильнее колебания. А что будет, если температуру понизить? С классической точки зрения, амплитуда колебаний будет уменьшаться, и при абсолютном нуле атомы вовсе остановятся. Но возможно ли это с точки зрения квантовых законов?
Уменьшение амплитуды колебаний на квантовом языке означает уменьшение размера облака вероятности (области локализации частицы). А за это, как мы уже знаем, приходится, в силу соотношения неопределенностей, расплачиваться увеличением импульса частицы - попытка остановить микрочастицу не приводит к успеху. Оказывается, что даже при абсолютном нуле температур атомы в твердом теле совершают колебания. Их называют нулевыми колебаниями, и проявляются они в целом ряде красивых физических эффектов.
Попробуем прежде всего оценить энергию нулевых колебаний. В колебательной системе при отклонении тела на малую величину х от положения равновесия на него действует возвращающая сила F = - kx (в случае пружины k - ее жесткость; у атома в твердом теле величина k определяется силами межатомного взаимодействия). Соответственно, у тела появляется потенциальная энергия	9	9 9
kx тюх
Е =-----=-------.
где со = y]k/m - частота колебаний. Отсюда следует, что амплитуда колебаний хтах связана с запасом энергии тела Е формулой
2 2 Ш(П Хтах
2
Но амплитуда колебаний на квантовом языке как раз определяет характерный размер области локализации частицы, который в силу соотношения неопределенностей связан с минимальным импульсом частицы. Получается, с одной стороны, чем меньше энергия колебаний, тем меньшей должна быть амплитуда; с другой стороны, уменьшение амплитуды приводит к увеличению импульса, а следовательно, и энергии частицы. Минимальная
81
энергия, которой может обладать частица, определяется из оценки
Е	pl	Й2	Й2 тсо2
0 2m	tyixq	т Eq
Сравнивая здесь первое и последнее выражения, находим, что Ео ~ Йсо. Точный расчет дает вдвое меньшее значение. Энергия нулевых колебаний равна Йсо 2 . Она максимальна у легких атомов, которые колеблются с большей частотой.
Пожалуй, самое яркое проявление нулевых колебаний - это существование жидкости, которая вообще не замерзает, даже при абсолютном нуле температур. Ясно, что жидкость не замерзает, если кинетической энергии колебаний атомов достаточно для того, чтобы разрушить кристаллическую решетку. При этом совершенно неважно происхождение кинетической энергии -связана ли она с тепловым движением атомов или с нулевыми квантовыми колебаниями. Наиболее вероятные кандидаты в незамерзающие жидкости - водород и гелий. В этих легчайших веществах энергия нулевых колебаний максимальна. Но гелий к тому же - инертный газ. Его атомы взаимодействуют друг с другом очень слабо, и расплавить кристаллическую решетку гелия сравнительно легко. Оказывается, что энергии нулевых колебаний в гелии для этого достаточно, и он не замерзает даже при абсолютном нуле. А вот водород, хотя его атомы и обладают большей, чем у гелия, энергией нулевых колебаний, все-таки замерзает, так как взаимодействие атомов водорода гораздо более сильное. Все остальные вещества также замерзают при абсолютном нуле температур. Так что гелий - единственное вещество, которое при нормальном давлении всегда остается жидким. Можно даже сказать, что именно соотношение неопределенностей не позволяет ему замерзнуть. Физики называют жидкий гелий квантовой жидкостью. Она обладает таким удивительным свойством, как сверхтекучесть. Академик Л.Д.Ландау говорил, что жидкий гелий - это окно в квантовый мир.
При давлении около 25 атмосфер жидкий гелий все-таки затвердевает. Твердый гелий, правда, тоже не совсем обычный кристалл. В нем нулевые колебания определяют, например, кинетическую энергию атомов на границе, и вследствие этого поверхность кристалла может совершать гигантские колебания, словно граница между двумя неперемешивающимися жидкостями. Твердый гелий физики назвали квантовым кристаллом, и его свойства сейчас интенсивно исследуются.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МЫ УЧИМ ФИЗИКУ
Чтобы изучить физику, важно на просто выучить физические законы, а научиться пользоваться ими, постараться понять, как физики думают. «Правила игры» в физике сложные, и по-настоящему овладеть ими можно только в результате долгого и вдумчивого труда.
КИНЕМАТИКА
Как вы решаете задачи на кинематику? Сколько формул вы помните: 5; 10; 15? К сожалению, очень часто решение задач начинают с выписывания большого количества формул. Затем эти формулы пытаются подставлять друг в друга, делить, множить... Иногда таким способом удается найти ответ. Но порой задачи на кинематику - непреодолимая преграда для абитуриентов. Хотя этот раздел должен быть одним из самых простых. Давайте разберемся в нем.
Будем сначала говорить о прямолинейном движении тела. Если прямую, вдоль которой оно движется, принять за ось координат ОХ (точка О - начало координат), то положение тела определяется его координатой х. При движении с постоянным ускорением координата тела меняется со временем по закону at2
X = Xq+VqI+ — ,	(1)
где xQ - начальная координата тела (при t = 0), v0 - его начальная скорость и а - ускорение. Уравнение (1) и есть кинематическое уравнение движения тела. Конечно, это уравнение - проекция на ось ОХ векторного уравнения для радиуса-вектора г , определяющего положение центра масс тела. Поэтому проекция на ось ОХ тех векторных величин, которые направлены так же, как и ось ОХ, положительны, а тех, которые направлены в противоположную сторону, - отрицательны.
Подчеркнем еще раз: уравнение (1) - уравнение для координаты тела, а не для пути, пройденного им. Путь - положительная скалярная величина, которая не может уменьшаться. В то время а £ как координата тела может вести себя = xQ+vQt--%- как угодно. Например, если v0 полота \	жительнои а = -aQ отрицательно (век-
х f \	тор скорости направлен в ту же
\	сторону что и ось ОХ, а вектор ускоре-
q	\	ния а - в противоположную), то коор-
дината тела вначале будет увеличите. 1	ваться, а затем уменьшаться. Это сразу
84
видно из графика зависимости х от t (рис.1). Через некоторое время после начала движения координата станет отрицательной. Только в том случае, когда тело движется в одну сторону, путь, пройденный телом, равен абсолютному значению изменения его координаты. Поэтому, если нам нужно найти путь, пройденный телом за какое-то время, приходится разбивать движение на участки, на которых тело двигалось в одну сторону, находить изменения координаты тела на этих участках и складывать их абсолютные величины. Но в этом нет необходимости, если нас интересуют другие величины - координата, время, скорость и ускорение. Нужно просто воспользоваться кинематическим уравнением движения (1).
Решим с его помощью такую задачу.
Задача 1. Камень брошен вертикально вверх. Через какое время он упадет на землю?
Выберем ось координат, направленную вертикально вверх, с началом координат, связанным с землей. В этом случае х0 = 0 , а0>0 и а = -д . Поэтому
X = Vat - -— . °	2
В момент падения на землю х = 0. Подставляя это значение х в кинематическое уравнение движения камня, получим уравнение
9	2Va
gt - 2v0t = 0 , откуда tx = 0 и t2 =	.
Значение tx = 0 соответствует моменту бросания камня; t2 ~ времени движения камня.
Конечно, уравнение движения определяет координату тела в любой момент времени. Воспользовавшись этим, найдем, например, тот момент времени, когда камень находился на высоте h. Подставляя в уравнение движения х = Л, получим h = vot -	, откуда tx = ——^9^ и
2	9	Г7------
_ Ц) -2^
Г2 “	•
9
На высоте h тело было дважды - в момент tx при подъеме и в момент t2 при спуске (конечно, 2gh < Vq , так как максимальная
высота подъема тела Лтах = — ).
29
Часто нам нужно знать скорость тела в разные моменты времени. Так как v = vQ + at, то для проекции скорости на ось
85
ОХ имеем
vx = vQ + at.	(2)
Это второе кинематическое уравнение движения - уравнение скорости. Оно, конечно, тоже справедливо во все время движения тела, если только ускорение а было постоянным.
Найдем, например, скорость камня в момент падения на
землю. В этом случае а = - д, t - t2 = —- . Поэтому
9
/, \	2^о
т.е. в момент падения на землю скорость камня равна начальной, но направлена в противоположную сторону.
Уравнение (2) позволяет легко найти время tn подъема камня. Так как в точке максимального подъема скорость камня равна нулю, то
о = Ц) -	- откуда = у
- время подъема камня равно половине времени всего полета.
Мы видим, что два уравнения для координаты и для скорости позволяют получить ответ на любой вопрос относительно движения тела. Именно их и нужно всегда помнить.
Решим еще одну задачу.
Задача 2. Свободно падающее тело за последнюю секунду прошло 1/3 своего пути. Сколько секунд (п) и с какой высоты (h) падало тело?
Примем за начало координат точку бросания, а ось координат направим вертикально вниз. Тогда координата тела зависит от
времени по закону х = (здесь х0 = 0 ,	- 0 , а = д). Если
тело падало п секунд, время падения равно пт, где т = 1 с), и 2 2 л _ 9” '
Через время (тг-1)т после начала движения координата тела 2
была равна — h . Поэтому
2h :
3	2
Решая два последних уравнения совместно, найдем
86
Можно было выбрать и другую систему координат, например связанную с землей и с осью координат, направленной вверх. Тогда уравнение движения тела было бы таким:
2
х = Л -	(х0 = h, v0 = 0, а = -д).
Здесь при t - пт х = 0, а при t = (п - 1)т х =	.
Можно выбрать и еще одну систему координат - с началом в точке бросания и осью, направленной вверх. В этой системе qt2	2
х = -	, при I = пт х = -h , при t = (/г — 1) т х = - — h .
В данной задаче выбор системы координат не очень существен, но часто, удачно выбрав систему координат, можно значительно упростить решение.
Рассмотрим, например, такую задачу.
Задача 3. С каким промежутком времени т оторвались от крыши две дождевые капли, если через время tQ после начала падения второй капли расстояние между каплями было I?
Эту задачу можно, конечно, решать в системе координат, связанной с крышей (сделайте это сами). Но удобнее перейти к системе координат, связанной со второй каплей. Так как капли падают с одинаковыми ускорениями относительно земли, то их относительное ускорение равно нулю: капли движутся друг относительно друга равномерно. Их относительная скорость равна скорости первой капли относительно земли в момент отрыва второй капли: = дт. Уравнение движения первой капли в системе координат, связанной со второй, выглядит так:
#т2
х - vQt + xQ , где х0 = -у- .
При t - tQ х = I, т.е.
1 = 9^+^-
Решив это уравнение, получим ответ:
т = Jlo + - - • V 9
Еще одна задача.
Задача 4. Снаряд взрывается в некоторой точке траектории. На какой поверхности будут находиться осколки снаряда через некоторое время t после взрыва?
В системе координат, связанной с точкой взрыва снаряда и движущейся с той же скоростью и с тем же ускорением относи-
87
тельно земли, что и снаряд, осколки снаряда движутся равномерно. Поэтому через время t каждый из них будет находиться на расстоянии vQt от точки взрыва (	“ скорость осколков в нашей
системе координат), т.е. все они будут находиться на сфере радиусом vQt с центром в точке взрыва снаряда.
Попробуйте самостоятельно решить эту задачу в системе координат, связанной с землей.
В заключение разберем случай, когда тело движется по криволинейной плоской траектории с постоянным ускорением а . В этом случае, спроектировав скорость vQ и ускорение а тела на два взаимно перпендикулярных направления - на оси ОХ и ОУ, получим два однотипных уравнения движения:
axt2 Т
. ау^
У = Уо + vQyt +
и два уравнения для скорости v тела:
vx = Ч)х + axi > vy = vQy + ayt.
(Если траектория движения тела не лежит в одной плоскости, то мы должны записать три уравнения.)
С помощью этих уравнений решим следующие задачи.
Задача 5. Самолет летит горизонтально на высоте h со скоростью Vq . Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом а к горизонту он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы?
Выберем неподвижную относительно земли систему отсчета с началом координат в точке, в которой находился самолет в момент сбрасывания бомбы (рис.2). Начальная ско-горизонтальна, а ускорение а = g и
и
рость бомбы равна б0 направлено вдоль оси у. Поэтому
gt2
X = vQt, у = — .
В момент tQ падения бомбы на землю в выбранной нами системе координат х = 5, а у = h, поэтому
2
S = Voto , h = ^-.
88
Исключая tQ, получим [lh . h	\ [gh
s = % — ’ tga = - = —\ V 
У 9	s v0 У 2
Задача 6. Камень бросают горизонтально со скоростью v0 с горы, уклон которой равен а. На каком расстоянии L от места бросания упадет камень?
В системе координат, показанной на рисунке 3, положение камня в момент времени t определяется координатами
X = vot, у = ^- .
В момент tQ падения камня х = Leos а , а у = Lsina , т.е. Т	4. Т •	9^1
L cos а =	, L sin а =	.
Отсюда
_ 2^o sin а “	2	’
<7 cos а
Можно было бы выбрать и другую систему координат, например показанную на рисунке 4. Иногда это бывает удобно.
В этой системе координат
Ц)х = Ц) cos а’ ^0г/ = Ц) sin а> ах = 9 sin а и ау ~ ~9 cos а •
Поэтому
х q sin а • t2	.	±	я cos а •
х = Vq cos a • t + -— --, у = Vq sin a • t -  ----.
Подставляя в эти уравнения значения х и у при t = tQ (х = L, у = 0) и решая их совместно, найдем ответ.
НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Когда Коперник заменил геоцентрическую систему мира Птолемея на гелиоцентрическую систему и объяснил в ней движение всех планет, он произвел революцию в человеческом мышлении. В течение многих веков люди рассматривали движение всех тел только относительно Земли. Говоря современным языком, они пользовались единственной, выделенной системой отсчета, связанной с Землей, хотя движение планет и Солнца в ней описывались очень сложным образом.
Позже из трудов Галилея и Ньютона стало понятно, что для описания движения пригодна не только система отсчета, связанная с Солнцем и неподвижными звездами, но и любые другие системы, движущиеся по отношению к ней равномерно и прямолинейно. Так были открыты инерциальные системы отсчета, в которых движением тел управляют простые законы Ньютона.
Ну а что случилось дальше с земной системой отсчета? Ведь для нас Земля это, все-таки, выделенная система; исследуя движение тел на Земле, чаще всего можно вообще забыть о Солнце и звездах. Строго говоря, эта система отсчета не является инерциальной, так как Земля вращается вокруг своей оси и Солнца. Однако ускорения, связанные с этим движениями, малы, и обычно мы делаем лишь небольшую ошибку, пользуясь для описания движения законами Ньютона. Обычно, но не всегда.
Многие, наверное, бывали в Ленинграде и видели знаменитый маятник в Исаакиевском соборе или хотя бы слышали о нем. Этот маятник не только колеблется, но плоскость его колебаний еще и медленно поворачивается. Такое наблюдение впервые провел французский ученый Фуко в 1851 году. Опыт проводился в огромном зале Парижского Пантеона, шар маятника имел массу 28 кг, а длина нити была 67 м. С тех пор такой маятник называют маятником Фуко. Как же объяснить его движение?
Если бы на Земле строго выполнялись законы Ньютона, то, как известно из школьного курса физики, маятник колебался бы в одной плоскости. Значит, в системе отсчета, связанной с Землей, законы Ньютона надо «исправить». Это делают, вводя
90
специальные силы - силы инерции. Их приходится вводить в любой системе отсчета, движущейся относительно инерциальной с ускорением. Такие системы называют неинерциальными системами отсчета.
Чтобы найти силы инерции, надо рассмотреть движение одного и того же тела в двух системах отсчета - неинерциальной и инерциальной. Результат зависит, прежде всего, от того, как движется неинерциальная система. Она может двигаться поступательно или вращательно, возможны и комбинации этих движений. Оставим на время маятник Фуко - это довольно сложный случай - и рассмотрим вначале более простой пример.
Система отсчета движется поступательно. Представьте себе, что вы находитесь в кузове грузовика и грузовик резко трогается с места. Если не успеть схватиться за борт, можно вылететь из кузова. Относительно земли все понятно: человек остается неподвижным, а пол кузова уходит из-под ног. Но как объяснить это же явление в неинерциальной системе отсчета, связанной с ускоренно движущимся грузовиком? Никаких новых сил на человека, стоящего в кузове, не действует (для простоты будем считать, что силы трения малы), а человек начинает двигаться относительно грузовика с ускорением. Ясно, что просто применять законы Ньютона в этой системе нельзя: есть ускорение, но нет сил. Вот почему приходится вводить как бы фиктивные силы - силы инерции.
Другой пример неинерциальной системы отсчета, который мы разберем более подробно, - это ускоренно движущийся лифт. При движении лифта вверх чувствуется «утяжеление» при разгоне и «облегчение» при резком торможении. Если пользоваться в системе лифта законами Ньютона, то этого понять нельзя. Действительно, на тело действуют сила тяжести тд и сила реакции опоры N . Так как человек покоится, сила реакции должна была бы равняться по модулю силе тяжести. Но из опыта ясно, что это не так. Поэтому к силе тяжести надо добавить какую-то фиктивную силу при разгоне лифта и вычесть ее при замедлении. Это и есть сила инерции.
Чему же равна сила инерции? Для того чтобы выяснить это, сначала найдем силу реакции, действующую на человека при ускорении и замедлении лифта в неподвижной системе отсчета. Относительно такой системы справедлив второй закон Ньютона
+та = N - тд , где знак «+» соответствует разгону лифта (ускорение направлено вверх), а знак «-» относится к случаю его замедления (ускорение
91
направлено вниз). Отсюда сила реакции
N = тд ± та .
В системе, связанной с лифтом, сила реакции должна получиться такой же, поэтому к силе тяжести необходимо добавить силу инерции при разгоне лифта и вычесть ее при замедлении. Из последнего равенства получаем, что сила инерции, действующая на человека в лифте, равна
FH = -та .
Теперь все в порядке: при разгоне лифта сила инерции как бы
утяжеляет тело, а при замедлении, наоборот, облегчает его
(рис.1). Обратите внимание, что сила инерции внешне похожа на силу тяжести: обе они пропорциональны массе тела.
Иногда приходится слышать, например, что силы инерции откидывают пассажиров назад при разгоне поезда и толкают их вперед при его замедлении, т.е.говорят о силах инерции как об обычных силах. При этом обязательно надо добавлять, что движение рассмат
ривается относительно ускоренно движущейся системы отсчета (в данном случае относительно поезда). Но и в этой системе не следует забывать о происхожде-
нии сил инерции. Эти силы принципиально отличаются от обычных сил: они не связаны с взаимодействием тел. Вот почему их часто называют фиктивными силами или псевдосилами. Силы инерции вводятся искусственно, для того чтобы описать изменение ускорения тела в неинерциальной системе отсчета по сравнению с инерциальной при тех же самых действующих на тело
реальных силах.
Исследовать движение в неинерциальной системе отсчета, вводя силы инерции, часто оказывается более простым и удобным, чем в инерциальной системе, где таких сил нет, но характер движения может быть гораздо сложнее.
Система отсчета вращается. Предположим, что уже знакомый нам грузовик с человеком в кузове поворачивает. Тогда человек может стукнуться о борт и даже набить себе шишку. Почему это происходит? Относительно земли все понятно: человек продолжает двигаться прямолинейно, а борт грузовика,
92
поворачивая, приближается к нему. В системе отсчета, связанной с грузовиком, наоборот, человек приближается к борту, хотя никаких новых реальных сил на человека в этой системе не действует. Для того чтобы объяснить это движение в неинерциальной системе грузовика, приходится ввести фиктивную силу -центробежную силу инерции, направленную по радиусу от центра поворота. Вот так - силы фиктивные, а шишки реальные!
Еще один пример - человек на карусели. Почему он движется по окружности? В инерциальной системе отсчета ответ дает второй закон Ньютона: сила реакции со стороны боковой стенки кресла, направленная к центру, вызывает центростремительное ускорение. Можно ли понять это движение, пользуясь законами Ньютона во вращающейся системе? Опять нет: в этой системе человек покоится, и в то же время на него действует боковая сила реакции со стороны кресла. Но все встает на свои места, если ввести центробежную силу инерции, направленную от центра вращения. Тогда можно объяснить, почему в этой системе
движения нет.
Чтобы найти величину центробежной силы инерции, рассмотрим сначала движение человека в неподвижной (инерциальной) системе отсчета. Центростремительное ускорение яц = со2г (со - частота вращения карусели, г - ее радиус) вызывается действующей на человека силой реакции Т со стороны кресла карусели (рис.2):
2	'Т'
may г -Г.
Во вращающейся (неинерциальной) системе отсчета центробежная сила инерции FIl6 должна быть по модулю равна силе Т , а по направлению - противоположна ей. Поэтому
Fu6 = -ma>2r,
где знак «-» указывает, что эта сила направлена от центра вращения. Как видно, и во вращающейся системе отсчета сохраняется характерная особенность сил инерции - эти силы пропорциональны массе тела.
С центробежными силами инерции сталкиваются во многих практических задачах. При этом часто, делая расчеты, забывают
93
об их происхождении и обращаются с ними как с обычными силами. Например, считают, что центробежная сила инерции сушит белье в центрифугах, разделяет изотопы, помогает тренировкам космонавтов; она же может разрушить ротор турбины и вызвать биение колеса при плохой центровке.
Еще раз отметим, что такие утверждения имеют смысл лишь во вращающейся системе отсчета. Но и там надо помнить, что силы инерции - фиктивные силы, которые вводятся для того, чтобы описать изменение ускорения тела, вызванное вращением системы отсчета. Все описанные явления можно объяснить, рассматривая их и в инерциальной системе, где справедливы обычные законы Ньютона. Правда там объяснение будет сложнее.
Кориолисова сила. Теперь обсудим случай, когда человек не просто катается на карусели, а еще и вздумал перебраться из одного кресла в другое (см. рис.2), т.е. начинает двигаться по окружности с некоторой скоростью vQ в системе карусели, например в сторону вращения. (Эксперимент чисто мысленный, так как это строжайше запрещено правилами.) Оказывается, тогда необходимо ввести еще одну силу инерции, направленную тоже от центра вращения.
Рассмотрим вначале движение человека относительно земли. Полная скорость движения v складывается из линейной скорости карусели cor и скорости относительного движения vQ :
V = СОГ + Vq .
Центростремительное ускорение определяется известной формулой
2	2
V V0 2 п
а = — = — + сог + 2б’0со . г г
По второму закону Ньютона,
таи = Q ,
где Q ~ сила реакции, действующая на человека со стороны карусели.
Теперь рассмотрим это же движение в системе карусели. Там скорость равна vQ , и центростремительное ускорение	.
Используя предыдущие два равенства, можно записать
,	гл	2 п
та = —- - Q - ты г - 2mvQ(d.
г
Если мы хотим пользоваться законом Ньютона и во вращающей-94
ся системе, надо ввести силу инерции
FHH = - (mco2r + 2m^0coj, где знак «-» указывает, что эта сила направлена от центра вращения. Первый член - это уже знакомая нам центробежная сила инерции Рцб . Она тем больше, чем быстрее вращение и чем дальше отстоит тело от центра. Вторая сила называется кориолисовой силой FK (по имени французского ученого Кориолиса, впервые рассчитавшего эту силу). Ее приходится вводить только тогда, когда тело движется во вращающейся системе. Она не зависит от положения тела, но зависит от скорости движения тела и от скорости вращения системы отсчета.
Что если тело во вращающейся системе движется не по окружности, а, например, по радиусу (см. рис.2)? Оказывается, и в этом случае также необходимо ввести силу Кориолиса, но направлена она будет не вдоль радиуса, а перпендикулярно ему. И вообще, при любом движении во вращающейся системе кориолисова сила направлена перпендикулярно оси вращения и скорости тела. Удивительно, но факт: при движении во вращающейся системе сила инерции как бы толкает тело вбок. Слова «как бы» стоят не случайно. Происхождение силы Кориолиса такое же, как и всех сил инерции, - это псевдосила. Вот наглядный тому пример.
Представьте себе, что на полюсе установлена пушка, которая стреляет вдоль меридиана (полюс взят для простоты рассмотрения). Цель находится на том же меридиане. Может ли снаряд попасть в цель? Если смотреть на стрельбу со стороны (пользоваться инерциальной системой отсчета, связанной с Солнцем), то ситуация ясная: траектория снаряда лежит в начальной мериди-анальной плоскости, а цель вместе с Землей поворачивается. Поэтому снаряд никогда не попадет в цель. А как объяснить то же явление в системе, связанной с Землей? Как объяснить эффекты, обусловленные «уходом» цели из плоскости полета снаряда? Для этого и приходится вводить кориолисову силу, направленную перпендикулярно скорости тела и оси вращения. Тогда и на Земле становится понятным, почему снаряд отклоняется и не попадает в цель.
Точно так же объясняется поворот плоскости колебаний маятника Фуко, о котором мы говорили в начале статьи. В инерциальной системе Солнца плоскость колебаний маятника остается неизменной, а Земля вращается. Поэтому относительно Земли плоскость колебаний поворачивается. (Проще всего опять представить себе, что маятник колеблется на полюсе; тогда
95
Рис. 3
плоскость колебаний совершит полный оборот как раз за сутки.) А вот в системе отсчета, связанной с Землей, это явление можно объяснить только с помощью силы Кориолиса.
Интересные следствия. Сила Кориолиса, возникающая вследствие вращения Земли, приводит к целому ряду весьма важных эффектов. Но прежде чем гово
рить о них, обсудим подробнее вопрос о направлении силы
Кориолиса. Уже было сказано, что сила Кориолиса всегда
перпендикулярна оси вращения и скорости тела. Но при таком определении остаются возможными два направления силы Кориолиса, показанные на рисунке 3. Напомним, что аналогичная ситуация возникает при определении направления силы Лоренца, действующей на движущийся заряд со стороны магнитного поля. Как известно из школьного курса физики, эта сила
перпендикулярна скорости заряда и индукции магнитного поля. Для того чтобы однозначно определить ее направление, надо воспользоваться правилом левой руки. (Конечно, в действительности электрону, который переносит электрический заряд, нет никакого дела до вашей левой руки. Просто таким способом удобно формулировать правило нахождения направления силы Лоренца.)
Направление кориолисовой силы можно найти с помощью аналогичного правила. Его иллюстрирует рисунок 4,а. Прежде
Рис. 4
всего выберем определенное направление на оси вращения: если смотреть на вращающееся тело в этом направлении, вращение должно происходить по часовой стрелке. Теперь расположим левую руку так, чтобы направление вытянутых четырех пальцев совпадало с направлением скорости тела, а направление оси вращения пронизывало бы ладонь. Тогда отогнутый 96
з*
под углом 90° большой палец покажет направление силы Кориолиса.
Итак, мы подробно обсудили вопрос о силе Кориолиса для случая, когда скорость тела во вращающейся системе отсчета перпендикулярна оси вращения. При этом модуль силы равен FK =	, а направление определяется правилом левой руки.
А как быть в общем случае?
Оказывается, если скорость тела vQ составляет с осью вращения произвольный угол (см. рис.4,б), то при нахождении силы Кориолиса надо учитывать только проекцию скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения. Тогда модуль кориолисовой силы вычисляется по формуле
FK = 2тою0j_ = 2тою0 cos ф .
Направление этой силы определяется тем же правилом левой руки, но четыре вытянутых пальца нужно располагать не вдоль скорости тела, а по перпендикуляру к оси.
Теперь нам все известно про силу Кориолиса: и как найти ее модуль, и как определить направление. Вооружившись этими знаниями, приступим к объяснению ряда интересных эффектов.
Известно, например, что пассаты - ветры, дующие от тропиков к экватору, - всегда отклоняются к западу. Рисунок 5 объясняет этот эффект. Сначала убедитесь в том, что это
Рис. 5
действительно так, для северного полушария, где пассаты дуют с севера на юг. Расположите левую руку так чтобы ось вращения Земли входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца направьте вдоль перпендикуляра к оси вращения (см. рис.5,б). Вы увидите, что кориолисова сила направлена на вас перпендикулярно чертежу и, следовательно, на запад (см. рис.5,я).
В южном полушарии пассаты дуют, наоборот, с юга на север. Но ни направление оси вращения, ни направление перпендику-
4-Задачи по физике
97
ляра в ней не изменяются; следовательно, не изменяется и направление силы Кориолиса. Таким образом, эта сила в обоих
случаях направлена к западу.
Рисунок 6 иллюстрирует закон Бэра: у рек, текущих в
северном полушарии, правый берег более крутой и подмытый,
Рис. 6
чем левый (в южном полушарии -наоборот). В этом случае действие кориолисовой силы приводит к тому,
Рис. 7
что вода прижимается к правому берегу. Из-за трения у поверхности скорость течения всегда больше, чем у дна; соответственно, будет большей и сила Кориолиса. В результате возникает циркуляция воды, показанная стрелками на рисунке 7, почва у правого берега подмывается, а у левого - осаждается.
Подумайте, будет ли наблюдаться этот эффект, если река течет вдоль параллели?
Что произойдет, если река пересечет экватор?
Кориолисова сила приводит к отклонению падающих тел к востоку. (Объяснить этот эффект попробуйте сами.) В 1833 году немецкий физик Фердинанд Райх провел очень точные эксперименты в Фрейбургской шахте и получил, что при свободном падении тел с высоты 158 м их отклонение в среднем (по 106 опытам) составляет 28,3 мм. Это послужило одним из первых экспериментальных доказательств теории Кориолиса.
ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Импульсом (или количеством движения) материальной точки называется произведение ее массы на скорость. Так
как скорость - вектор, а масса - величина скалярная, то импульс - тоже векторная величина. Направление вектора импульса
совпадает с направлением вектора скорости.
Если у нас имеется несколько материальных точек или частиц, то можно говорить об импульсе системы материальных точек. Он равен векторной сумме импульсов отдельных точек. Так, например, для двух материальных точек, одна из которых имеет массу тх и скорость vx а вторая - массу т2 и скорость v2, импульс р системы этих материальных точек равен сумме
mxvx +m2v2 (рис.1). Важно не забывать, что импульсы частиц складываются векторно, т.е. геометрически (по правилу треугольника или по правилу параллелограмма). В том случае когда скорости частиц направлены вдоль одной прямой, импульсы можно складывать алгебраически. При этом им
Рис. 1
пульсы частиц, движущихся в противоположные стороны, следует брать с противоположными знаками.
Для того чтобы найти импульс тела, различные точки которого имеют разные скорости, его разбивают мысленно на маленькие части (в пределе - бесконечно маленькие) и затем складывают импульсы этих частей. Найдем таким способом импульс однород-
ного диска, вращающегося вокруг своей оси. Ясно, что всегда можно найти два таких элемента диска с массами Am , линейные скорости которых равны по абсолютной величине и противоположно направлены (рис.2). Сумма импульсов этих элементов, очевидно, равна нулю. А так как диск можно всегда разбить на пары таких элемен-
99
4
5	тов, то отсюда следует, что импульс
всего диска равен нулю.
/	\z	Иное дело, если диск катится по
/	\ горизонтальной поверхности. Пусть ско-
(	~__~-4"> рость центра диска равна £50 (рис.З).
I	/ °о Скорость любого малого элемента диска
\	/ можно представить как сумму линейной
скорости вращения вокруг центра
Рис	диска (в системе координат, связанной с
центром диска) и скорости vQ поступа-
тельного движения: v = vt + v0 . Импульс диска равен сумме импульсов отдельных его элементов:
р = lAmv = ?Amv} +	.
Но первый член в этой сумме, очевидно, равен импульсу диска в системе координат, связанной с его центром. В этой системе координат центр диска неподвижен, и импульс диска равен нулю. Поэтому импульс диска, катящегося по горизонтальной плоскости, равен р = IAthvq . Вынося постоянный множитель uQ за знак суммы, найдем
р = VoL^m = Mvq ,
где М - масса диска.
Импульс тела зависит от системы координат. Пусть в системе координат В тело массой т движется со скоростью vB (рис.4).
Его импульс рх = mvB . Система координат В движется со скоростью Vq относительно системы координат А. Чтобы найти импульс тела в системе координат А, надо к Д прибавить mvQ - произведение массы тела на скорость системы координат В относительно системы координат А. Это правило - следствие того, что скорость любой точки в системе координат В складывается из скорости этой точки в системе координат А и скорости системы
координат В относительно системы координат А : vA = vB + v0 . Отсюда
mvA = mvB + mv0 = px + mvQ .
100
Пользуясь понятием «импульс», второй закон Ньютона мож
но записать так:
—	_ Аг? &(mv)
F = та = т — = —-----
М \t
Если на тело действует сила F в течение времени At , то импульс тела изменяется на величину A (mv) = FAt. Произведение силы F на время ее действия At называют импульсом силы и говорят,
что изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.
Воспользовавшись такой формой записи второго закона Ньютона, найдем, например, среднюю силу, действующую на плиту, с которой абсолютно упруго сталкивается шарик массой т, летящий со скоростью v под углом а к плоскости плиты (рис.5). Время соударения шарика с плитой равно т .
Так как столкновение абсолют
но упругое, шарик отскакивает от плиты под таким же углом а , под каким подлетает к ней, и с той же по величине скоростью v. Нетрудно найти изменение импульса шарика при ударе. Оно равно 2mv cos (90° - а) = 2mv sin а и направлено перпендикулярно плите. Это означает, что при столкновении шарика с плитой на шарик действует средняя сила
2?wz7sina
F ----------.
т
Согласно третьему закону Ньютона точно такая же сила, но направленная противоположно, действует на плиту.
Если одна и та же сила действует на два тела одно и то же время, то импульсы этих тел меняются одинаково, независимо от их начальных масс или скоростей. Пусть, например, две частицы с массами т и 2т движутся так, как показано на рисунке 6, а\ первая, частица движется со скоростью v в направлении, перпендикулярном направлению движения второй, скорость которой равна 2v. На частицы в некоторый момент времени начинают действовать одинаковые силы, причем эти силы действуют на частицы одинаковое время. После прекращения действия сил частица массой т движется со скоростью 2v в направлении, противоположном направлению ее первоначального движения.
101
С какой скоростью и в каком направлении движется вторая частица после прекращения действия силы?
Найдем импульс силы, действующей на каждую частицу.
Нужно не забывать, что
импульс и изменение импульса -величины векторные. Импульс первой частицы изменился по направ-
лению и по величине и стал равным 2mv. Изменение импульса первой частицы равно 3mv (рис.6,б).
Так как и на вторую частицу действует такая же сила в течение
того же самого времени, то и импульс второй частицы меняется на 3mv. Сложив первоначальный импульс второй частицы с изменением импульса, найдем, что импульс частицы массой 2т стал равен 5mv х 3 и направлен под углом а = arctg —
к направлению первоначального движения этой частицы (см.
рис.6,б). Разделив импульс на массу, найдем, что скорость второй частицы после прекращения действия силы равна 2,5г>.
Теперь решим более сложную задачу.
Космический корабль, имеющий лобовое сечение 5 и скорость V, попадает в облако микрометеоров, плотность которого п. Масса каждого микрометеора т. На сколько должна возрасти сила тяги двигателя, чтобы скорость корабля не изменилась? Удар микрометеоров об обшивку корабля считать абсолютно
неупругим.
За время At корабль сталкивается с микрометеорами, которые в начальный момент находились от него на расстоянии, меньшем v&t. Масса М всех этих микрометеоров равна mnSvAt . До столкновения с кораблем скорости и импульсы микрометеоров были равны нулю, а после неупругого столкновения с кораблем скорости микрометеоров стали равны v. Это означает, что при столкновении с обшивкой корабля микрометеор приобретает импульс mv. Микрометеоры, попавшие на обшивку корабля за время At , приобретают суммарный импульс Mv = = mnSvMv = mnSv2&t . Следовательно, что на микрометеоры действует сила
F = — = mnSv2 . At
102
Согласно третьему закону Ньютона такая же по величине сила, но направленная в противоположную сторону, действует на обшивку корабля. Поэтому, для того чтобы при попадании корабля в облако метеоров его скорость не изменилась, сила тяги двигателя корабля должна увеличиться на mnSv2 .
Если на тело не действуют силы или действующие силы взаимно уравновешиваются, то импульс тела не меняется. Точно так же, если на систему тел не действуют внешние силы (такая система тел называется замкнутой или изолированной), то суммарный импульс системы тел не меняется.
Обсудим такую задачу. Нейтрон с энергией Е поглощается первоначально неподвижным ядром кадмия (Л = 112). Какова скорость вновь образовавшегося ядра (Л = ИЗ)?
Система нейтрон - ядро изолированная, и ее импульс не меняется. Если массу нейтрона обозначить т, а его скорость v, то Е = mv2/2 . Отсюда мы найдем, что скорость нейтрона до столкновения с ядром кадмия была v = у]2Е/т . До столкновения импульс нейтрона был mv, а импульс ядра был равен нулю. Поэтому до столкновения импульс системы был равен т^ЧЕ/т . Если скорость ядра, образовавшегося в результате поглощения нейтрона ядром кадмия, и, а его масса М, то импульс этого ядра равен Ми. Запишем теперь закон сохранения импульса: Ми = т^ЧЕ/т . Отсюда найдем
_ т^ЧЕ/т _ ^ЧЕт и ~ М ~ М ‘
Напомним еще раз, что импульс - величина векторная.
Поэтому, когда мы говорим о сохранении импульса изолированной системы, важно помнить, что сохраняется не только величи-
на импульса, но и его направление. Сохраняются и составляющие импульса по любым направлениям, например по двум осям
координат. Решим, используя это,
массой т, летящее со скоростью v , распадается на две части одинаковой массы, причем один из осколков деления летит со скоростью щ под углом а к направлению полета ядра до его распада. Каковы скорость и направление полета второго осколка ядра?
Введем систему координат, изображенную на рисунке 7. Если
следующую задачу. Ядро
103
скорость второго осколка ядра й2, а угол, который образует вектор й2 с направлением скорости ядра до распада, р , то на основании закона сохранения импульса по осям координат мы можем записать
171	171	171	171
— щ cos а + — u2 cos Р = mv , — щ sin а - — и2 sin Р = 0 .
Из этих уравнений находим
Г~2 Г~2	. п	Щ sin а
и2 ~	+	~ cos а , sin Р = .	 	---.
+ 4г2 - 4^ cos а
Если система не изолирована и на нее действует некоторая сила F , то полный импульс системы не сохраняется. Однако сохраняется составляющая импульса в направлении, перпендикулярном силе F . На этом основано решение большого числа задач.
Рассмотрим, например, такую задачу. На железнодорожной платформе, движущейся со скоростью v, укреплено орудие. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы и приподнят над горизонтом. Орудие произвело выстрел, после чего скорость платформы уменьшилась в п раз. Какова скорость и снаряда (относительно земли), если он вылетает из ствола под углом а к горизонту? Масса снаряда тп, масса платформы с орудием (без снаряда) М.
Система орудие - платформа - снаряд не является изолированной: на нее действуют сила тяжести и сила реакции земли. Однако в горизонтальном направлении на платформу с пушкой и на снаряд внешние силы не действуют. Это означает, что горизонтальная составляющая импульса системы не должна при выстреле измениться. Поэтому
п -1 mv + М------
mu cos а + М — = (М + m)v , откуда и = v---------— .
п	т cos а
Если система частиц или тел изолирована и ее импульс не меняется, то не меняется и скорость центра масс системы (центра тяжести). В частности, если в некоторый момент система двигалась так, что скорость центра масс была равна нулю, то эта скорость остается равной нулю все время. Поэтому не меняется и положение центра масс.
Рассмотрим пример. Человек массой т находится на корме лодки массой М, стоящей в пруду. Длина лодки L. На сколько
104
сдвинется лодка относительно берега, если человек перейдет с кормы лодки на нос?
Так как в горизонтальном направлении на систему лодка - человек силы не действуют, положение ее центра масс должно сохраниться. Но положение центра масс системы определяется положением центров масс лодки и человека (рис.8). Пусть первоначально расстояние между центром масс системы ( Ос ) и центром масс лодки ( Ол ) равно х. Тогда
Мх = т откуда т х = —--------------L .
2(М + т)
Рис. 8
Когда человек перейдет с кормы лодки на ее середину, то, очевидно, положение его центра масс должно совпадать с положением центра масс системы. Следовательно, и положение центра масс лодки должно также совпадать с положением центра масс системы, т.е. лодка должна переместиться на расстояние х. На такое же расстояние переместится лодка при переходе человека на нос. Значит, полное перемещение лодки будет равно
/о т т
I = 2х =----L
М + т
, точки
Рис. 1
УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ
Волна, как известно, это процесс распространения колебаний в пространстве. Чтобы волна в среде могла распрос-среды должны быть связаны между собой силами, способными вызвать колебания, т.е. силами упругости. На рисунке 1 показан ряд таких связанных между собой точек. Если одна из точек, например точка О, начинает колебаться, то ее колебания передаются в направлении г.
Пусть точка О колеблется вдоль оси X по закону
х = хт sin со£ .
Здесь время t отсчитывается от момента, когда точка О находилась в положении рав
новесия. Ее колебания передаются другим точкам не мгновенно, а с некоторой скоростью v. Это значит, что за единицу времени колебание доходит до точки в ряду, расположенной от точки О на расстоянии, численно равном v. Расстояние же, на которое колебание распространяется за время, равное одному периоду Т колебаний, называется длиной волны X • Отсюда следует, что
X = vT , или, так как Т = — , v = Xv .
v
Любая точка в нашем ряду (см. рис.1), как только до нее дойдет волна, начнет колебаться с той же частотой v , что и точка О, т.е. будет повторять эти колебания. Но повторять с некоторым запозданием - ведь до точки, находящейся от О на расстоянии г, колебание дойдет через промежуток времени, равный r/v. Поэтому для координаты х точки на расстоянии г мы должны написать (. г X = xm sin со \t —
Это уравнение называется уравнением волны. Оно позволяет найти смещение х от положения равновесия любой точки (нахо-106
дящейся на любом расстоянии г) в любой момент времени. Для данного момента времени оно дает как бы фотографию положений всех точек ряда относительно оси X. Уравнение волны показывает, что все точки действительно совершают одинаковые колебания - все колеблются вдоль оси X, и у всех одинаковые амплитуда и частота колебаний. Неодинаковы только фазы колебаний - разность фаз колебаний двух точек, расстояние между которыми равно Дг , составляет соДг/а .
Иногда уравнение волны удобнее представить несколько иначе:
волн, вообще -
. ( J cor . ( J 2itr х = хт sin cof--= хт sin cof-----.
\ v J \ X )
Из этого выражения видно, что координата х любой точки на расстоянии г от источника волны зависит от величины г/Х , т.е. от числа длин волн, укладывающихся на расстоянии г. Если, например, г = X, то отставание по фазе будет равно 2л , а это значит, что фаза колебаний этой точки будет такая же, как и точки О. Точно так же, если г = 2Х, ЗХ и т.д., то сдвиг фазы будет равен 4л , 6л и т.д., т.е. и в этом случае фазы будут одинаковыми. Таким образом, точки волны, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, двум длинам целому числу длин волн, колеблются в одинаковых фазах.
Уравнение волны позволяет легко получить условия максимумов и минимумов при интерференции волн. Напомним, что вопрос об интерференции возникает тогда, когда в некоторую точку пространства приходят две когерентные волны, каждая из которых приносит в эту точку колебания. Поэтому точка, где «встретились» две волны, участвует в двух колебаниях. Результат же сложения двух колебаний зависит от разности фаз складывающихся колебаний.
Допустим, что в некоторую точку С пришли две когерентные волны, источники которых -
отстоят от С на расстояния i\ и г2 (рис.2). Тогда в точке С складываются два колебания, происходящие вдоль одной оси:
В
Рис. 2
точки А
и В -
•	(	4- 2КГ1
х} = хтХ sin cof--------L
\ х
•	( 4.	211Г2
х2 = хт2 sin I cof-----
107
Разность фаз этих колебаний равна
2п /	\
Ф1-Ф2 = Л
Условие усиления (максимумов) имеет вид
Ф1 - ф2 =	(?i - r2) = 2nk , где k = 0, 1, 2, ...,
Л
откуда
г, - r2 = kX = 2k —
1 2	2
вие минимумов запишется в виде
- колебания будут усилены, т.е. амплитуда сложного колебания будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний (рис. 3,а), если разность хода rt - г2 волн до места «встречи» равна четному числу полуволн.
Соответственно, уело-
<Р1 - <Р2 =	“ Ъ) = (2* + 0я >
Л
или
а Г\~Г2= № + 1)у
- колебания будут ослаблены, т.е. результирующая амплитуда будет равна разности амплитуд колебаний в двух волнах (рис. 3,6), если разность хода волн равна нечетному числу полуволн.
УРАВНЕНИЕ ГАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ. РАБОТА И ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗА
Задачи на изменение состояния идеального газа решаются с помощью уравнения газового состояния (уравнения Клапейрона-Менделеева), связывающего между собой параметры состояния - давление, объем и температуру:
pV = —RT
г М
m где m - масса газа, М - молярная масса этого газа, — - число молей, R - универсальная газовая постоянная.
Начнем с того, что решим несколько типичных задач. Затем рассмотрим, как находить работу, совершаемую газом или над газом, и теплоемкость газа в различных процессах.
Задача 1. Как меняется объем некоторой массы газа при его переходе из состояния 1 в состояние 2 (рис. 1)?
Из уравнения газового состояния следует, что при постоянном объеме газа его давление пропорционально температуре:
1 т р =-----RT .
н V М
График зависимости р от Т - это прямая, уравнение которой 1 т
р = аТ, где а =---R . Чем больше
V М
V, тем меньше коэффициент пропорциональности а и тем меньше угол а наклона графика к оси Т.
Нарисуем две изохоры, проходящие через точки 1 и 2 (рис.2). Так как а1 > а2, то V2 > Vj, т.е. объем газа увеличивается.
109
Задача 2. Как изменилась масса газа в баллоне емкостью V, если при нагревании газа от температуры Тх до температуры Т2 давление в баллоне изменилось от рх до р2 ? Молярная масса газа М.
Эту задачу можно решать, используя не уравнение газового состояния, а законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Однако такое решение является громоздким и требует известной изобретательности. С помощью уравнения газового состояния задача решается совсем просто.
Запишем уравнение состояния газа в баллоне в начале и в конце процесса:
PiV=
Здесь тх - масса газа в баллоне до нагревания, а т2 - после нагревания. Выразим тх и т2 из этих уравнений:
MV рх	MV р2
тх =----— т2 =-------—
1 R Тх ’ 2 R Т2 '
Тогда изменение массы равно
.	МV (рх р2}
Мп = mx-m2 =------ — - — I
1	2 R [тх Т2)
Задача 3. Из сосуда объемом V, давление в котором равно р, откачивают воздух. Сколько качаний должен сделать поршневой насос объемом v для того, чтобы давление в сосуде упало в k раз? Температура воздуха не меняется.
До того как поршень сделал первое качание, для газа в сосуде можно записать
pV = —RT.
н М
Когда поршень насоса стоит в крайнем положении, объем газа составляет V + v, давление равно рх , причем
pdV + v) = ^RT.
Это означает, что
V Pl=pV^'
Аналогично найдем, что после второго качания давление в сосуде будет равно
v	( v Y
V + v	\V + v
ПО
а после n качании -
( v У
По условию задачи 1	1 ( v У
Рп =-Р, откуда	,
т.е.
п = [gk = lgfe
Если в сосуде имеется смесь нескольких газов, то согласно закону Дальтона давление этой смеси на стенки сосуда равно сумме парциальных давлений. Давление, которое создал бы каждый газ в отдельности, если из сосуда удалить остальные газы, называют парциальным давлением. Это означает, что состояние каждого газа в смеси не зависит от состояния других газов. Одинаковыми являются только объем и температура (так как газы находятся в равновесии). Поэтому для каждого из газов независимо можно записать уравнение газового состояния.
Рассмотрим пример.
Задача 4. Определите плотность смеси, состоящей из кислорода массой тх и водорода массой т2 при температуре t и давлении р.
В соответствии с законом Дальтона,
Р = А + Р1 >
где рх - парциальное давление кислорода и р2 - парциальное давление водорода. Обозначим объем сосуда V, тогда
pV = ^-RT p2V = —RT
n Mt ’ M2 и
M2 )
где Mt и М2 - молярные массы кислорода и водорода соответственно.
Плотность смеси равна
_ тх + т2 _ тщ + т2 Р~ V ~~RT_
Р
т\ т2
м7+ MJ
111
Задача 5. Закрытый сосуд объемом V разделен на две равные части неподвижной полупроницаемой перегородкой. В одной половине сосуда первоначально находится водород массой mt, в другой - кислород массой т2. Через перегородку может диффундировать только водород. Какие давления установятся в сосуде после прекращения процесса диффузии, если сосуд находится все время при постоянной температуре Т.
Процесс диффузии прекратится, когда водород равномерно распределится по всему объему. Тогда в первой половине сосуда будет только водород, во второй - водород и кислород. Причем давление водорода в первой половине равно парциальному давлению водорода в смеси во второй половине сосуда.
Если давление водорода обозначить рх , то для первой половины сосуда можно записать
2 Mt
где Mt - молярная масса водорода. Отсюда т< RT й ~ м7”й“•
Во второй половине сосуда давление равно
Р = Р\ + Рг >
причем
V т2 ГГГ р7 — = RT ,
2 М2
где М2 - молярная масса кислорода. Таким образом,
2 Ш2_ +
м2 mJ v
Теперь поговорим о другом важном вопросе - о работе, совершаемой газом.
Если газ расширяется при постоянном давлении, то он совершает работу
А = pAV ,
где AV - изменение объема газа. Доказать эту формулу совсем нетрудно. Пусть газ находится в цилиндре с поршнем, площадь которого 5. Тогда сила F, действующая со стороны газа, равна pS и при смещении поршня на расстояние А/ газ совершает работу А = FA/ = pSAl. Так как SAI = А У , то А = pAV .
При уменьшении объема газа ДУ < 0, и газ совершает
112
"г
Рис. 3
отрицательную работу. Это означает, что внешние силы, действующие на поршень, совершают положительную работу.
Как быть в случае, если давление в сосуде не постоянно? Например, меняется с изменением объема так, как показано на рисунке 3? Изменение объема газа можно разбить на маленькие участки AV , такие, что на протяжении каждого из них давление можно считать постоянным. На каждом из участков работа, совершаемая газом, равна произведению давления газа на изменение его объема. Это произведение равно площади выделенного на рисунке прямоугольника. Работа, совершаемая газом во
время всего процесса, равна сумме таких произведений. При AV 0 эта сумма стремится к площади фигуры, под графиком Р<У).
Итак, чтобы найти работу, совершаемую газом при определенном процессе, нужно нарисовать график зависимости его давления от объема и найти площадь соответствующей фигуры под графиком.
Как это сделать?
Решим такую задачу.
Задача 6. Над одним молем идеального газа совершается цикл (замкнутый процесс), показанный графически на рисунке 4. Какую полную работу совершил газ во время этого процесса?
Нарисуем график зависимости р от V (рис.5). На участке /-2 давление меняется по закону р = афт , где а - некоторая
R	Т Р2
постоянная. Выразим температуру газа через давление: Т =
а
113
и подставим в уравнение Клапейрона-Менделеева pV = RT. Получим
9 v.rJL. p^v,
с R
т.е. давление прямо пропорционально объему. На этом участке газ совершает положительную работу.
Процесс 2-3 ~ изохорический, во время этого процесса работа равна нулю.
Во время изобарического процесса 3~1 работа совершалась над газом, т.е. газ совершал отрицательную работу.
Таким образом, полная работа, которую совершил газ, равна площади треугольника 12 3'.
А =	(у2 _ у() = El^Pk ( Ъ _ 21Х .
2	2 \Рг Р\)
Теплоемкость идеального газа (в отличие от жидкостей и твердых тел) зависит от того, какой процесс происходит с газом. Напомним, что теплоемкость - это количество теплоты, которое нужно сообщить газу для того, чтобы увеличить его температуру на один градус. Когда масса газа равна единице массы, теплоемкость называют удельной, а когда процесс идет с одним молем газа, - молярной.
Если газу сообщается количество теплоты Q, то
Q =стАТ,
где с - удельная теплоемкость и т - масса газа. Согласно первому закону термодинамики количество теплоты, сообщенное газу, равно сумме изменения внутренней энергии газа и работы, совершенной газом:
Q = MJ + A .
Следовательно, теплоемкость газа связана с тем, какую работу совершает газ. Например, если работа совершается газом только за счет уменьшения его внутренней энергии, теплоемкость газа равна нулю. Теплоемкость газа может быть и отрицательной, если газ за счет уменьшения своей внутренней энергии не только совершает работу, но еще и отдает во внешнюю среду некоторое количество теплоты, так что Q отрицательно. Если процесс идет при постоянном объеме, то газ не совершает работы. В этом случае количество теплоты, которое сообщается газу, равно изменению его внутренней энергии. (Подумайте, а может ли теплоемкость газа быть бесконечно большой.)
114
Теплоемкость газа во время изохорического процесса называют теплоемкостью при постоянном объеме и обозначают cv . Так как при любых процессах, при которых начальная и конечная температура газа одна и те же, изменения внутренней энергии газа одинаковы - внутренняя энергия определяется температурой газа, - то при любом процессе изменение внутренней энергии газа равно cvmAT. Поэтому первый закон термодинамики можно записать в виде
стЛТ = cvmAT + А .
Это означает, что, для того чтобы найти теплоемкость газа в каждом данном процессе, нужно найти выражение для работы, совершенной газом. А как это сделать, мы уже знаем.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 7. Какова удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, если его удельная теплоемкость при постоянном объеме равна cv ?
Обозначим удельную теплоемкость газа при постоянном давлении с . Мы показали, что
сртАТ = cvmAT + А .
Но работа газа при изобарическом процессе равна
a = p(v2-v}) = p^R(t2-t^ = ^t.
Это означает, что
сптАТ = cvmAT + —RAT р V М
Отсюда получаем
R
ср = Cv + U •
И М
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
В этой статье мы не будем подробно обсуждать устройство различных электрических машин. Мы рассмотрим работу электромотора и динамо-машины (динамо-машина -старое название индукционного генератора электрического тока), используя два основных закона - закон Ома и закон сохранения энергии.
Статья состоит в основном из вопросов и ответов. Работая над статьей, прежде чем прочитать ответ, попробуйте ответить на вопрос самостоятельно. Даже если вам это не удастся, размышление над вопросом принесет несомненную пользу, благодаря чему лучше запомнится правильный ответ.
Электромоторы. Во всех электромоторах (или, по-другому, электродвигателях) обязательно есть одни и те же основные части. Это, прежде всего, индуктор и якорь. Индуктор является источником магнитного поля. Когда по обмотке якоря пропускается электрический ток, якорь, находящийся в магнитном поле, приходит во вращение. Таким образом происходит преобразование электрической энергии в механическую. Если, например, вал мотора соединить со станком, станок можно привести в движение.
Вопрос 1. Рассмотрим мотор постоянного тока с независимым возбуждением (в нем индуктором является или постоянный магнит, или электромагнит, обмотка которого питается независимо от обмотки якоря). Как записывается закон Ома для цепи якоря такого мотора, подключенного к источнику постоянного тока?
В электрической цепи якоря имеются две электродвижущие силы - напряжение источника тока U и ЭДС индукции , возникающая в обмотке якоря при его вращении в магнитном поле индуктора. Причем ЭДС индукции, согласно правилу Ленца, противоположна по знаку напряжению источника тока. Поэтому закон Ома запишется так:
U-£„=IR	(1)
116
где I - ток в цепи, a R ~ общее сопротивление обмотки якоря и подводящих проводов.
Вопрос 2. Как записывается закон сохранения энергии для такой цепи?
Энергия 1УП =UIt, потребляемая от источника, тратится на джоулево тепло, которое выделяется на сопротивлении R, и на совершение полезной работы А. Поэтому, согласно закону сохранения энергии,
Ult = I2Rt + А , или для мощностей
UI = I2R + Р .	(2)
Из равенств (1) и (2) можно получить много важных следствий.
Вопрос 3. Чему равна полезная мощность Р?
Умножив обе части равенства (1) на ток I, получим
UI - ёя1 = i2r , или
UI = I2R + £„1.
Сравнивая полученное равенство с равенством (2), можно сразу же заметить, что
р = «м.
т.е. полезная мощность мотора равна произведению ЭДС индукции на ток.
При неизменных U и R величина тока зависит от ЭДС индукции:
Г
R
Из закона электромагнитной индукции следует, что ЭДС индукции, возникающая в обмотке якоря, пропорциональна скорости изменения магнитного потока ДФ/Д£ через эту обмотку:
„ ДФ
At '
В свою очередь, скорость изменения магнитного потока пропорциональна угловой скорости вращения якоря со. Таким образом,
~ СО ,	= &С0 ,
где k - коэффициент пропорциональности. График зависимости от со показан на рисунке 1.
117
Теперь посмотрим, как зависят от со ток в цепи якоря и полезная мощность двигателя. Из закона Ома,
U -	= U - /гео
R R ’
а из закона сохранения энергии,
Графики зависимости I и Р от со
приведены на рисунках 2 и 3.
Итак, каждому значению угловой скорости со соответствуют определенные значения ЭДС индукции и тока I. Причем при
Рис. 3
увеличении со величина увеличивается, а величина I уменьшается. При этом полезная мощность, развиваемая мотором, оказывается одинаковой при двух разных значениях скорости вращения якоря.
Вопрос 4. В свою очередь, угловая скорость вращения якоря зависит от нагрузки двигателя. Как?
Электрические силы, действующие на якорь в магнитном поле индуктора, пропорциональны току, идущему по обмотке. Пропорциональны току и моменты этих сил, т. е.
М3 = м,
где коэффициент пропорциональности зависит от конструкции двигателя. Так как
Т U - k(£>	..	, U - ktt)
I = —R— , то M3=k. R ,
т.е. суммарный момент электрических сил, действующих на 118
якорь, линейно зависит от угловой скорости вращения якоря. При малой угловой скорости вращения якоря момент сил большой, при увеличении угловой скорости он уменьшается и стано-
17 вится равным нулю при со =	.
С другой стороны, на вал двигателя действует момент механических сил, так называемый момент нагрузки М. Например, если двигатель равномерно поднимает на веревке груз, то момент нагрузки равен произведению силы натяжения веревки, которая равна весу груза, на радиус вала. В установившемся режиме якорь мотора, очевидно, вращается с такой скоростью со, при которой момент электрических сил, действующих на якорь, равен моменту нагрузки. Действительно, пусть, например, скорость вращения якоря меньше со. В этом случае момент электрических сил больше момента нагрузки, так что угловая скорость вращения якоря будет увеличиваться. Если угловая скорость вращения якоря больше со, то момент электрических сил меньше момента нагрузки. Это будет приводить к уменьшению скорости вращения якоря до со. Таким образом, устанавливается такая угловая скорость вращения якоря, при которой
, I/ - /гео , ,
М, = М , или & —-— = М , э	1 R
откуда
kJJ-MR С°" kfi
т.е. угловая скорость вращения якоря линейно зависит от момента нагрузки.
Итак, нагрузка определяет ток в обмотке якоря и угловую скорость его вращения.
Рассмотрим такую задачу.
Задача 1. Электродвигатель присоединен к источнику постоянного напряжения. При числе оборотов щ ток в цепи якоря равен Ц , а при числе оборотов п2 он равен 12. Найдите число оборотов двигателя на холостом ходу (без нагрузки).
Так как I = (U - kti^R , а со = 2пп , то
Т U - 2nkn< т U - 2nkn2 '•-—R-L"—— •
В режиме холостого хода /3 = 0 , поэтому
U - 2л/ш3 = 0 .
119
Решая эти уравнения совместно, найдем
_ 12щ -Цп2
3 _ г -I— •
У2 Л
Обратимость электрических машин. Все машины постоянного тока обратимы. Если на клеммы машины падать постоянное напряжение, то якорь будет вращаться, совершая механическую работу, т.е. получим электромотор. С другой стороны, если вращать якорь с помощью еще одной машины, то электрическая машина будет работать как динамо-машина, вырабатывающая ток.
Вопрос 5. Предположим, одна и та же машина вращается с одной и той же скоростью, работая один раз в качестве динамо-машины, а другой раз - в качестве мотора. Что можно сказать об ЭДС индукции, возникающей в якоре в обоих случаях?
Так как ЭДС индукции зависит только от конструкции якоря и угловой скорости вращения якоря, то ЭДС индукции в обоих случаях будет одна и та же.
Вопрос 6. А если угловые скорости вращения динамо-машины и мотора разные?
В этом случае отношение электродвижущих сил индукции будет равно отношению угловых скоростей вращения якоря.
Вопрос 7. Мы уже говорили о законе Ома и о законе сохранения энергии для мотора и записали соответствующие равенства (1) и (2). Как будут выглядеть аналогичные равенства для динамо-машины?
Пусть сопротивление цепи динамо-машины равно R. Тогда, согласно закону Ома,
£a = iaR,
где - ЭДС индукции динамо-машины и /д - ток. Далее, если пренебречь потерями энергии (например, на трение), то можно записать закон сохранения энергии так:
= ёа1а 
Здесь Рм - механическая мощность, затрачиваемая на вращение якоря, ^д/д - электрическая мощность, развиваемая динамо-машиной.
Решим теперь несколько задач.
Задача 2. Электромотор постоянного тока с независимым возбуждением, включенный в цепь батареи с напряжением U, при полном сопротивлении цепи R делает щ оборотов в 120
секунду при токе в цепи I. Какую ЭДС разовьет тот же мотор, работая в качестве динамо-машины, при числе оборотов п2 ?
ЭДС, развиваемая динамо-машиной, равна
Д Щ И
где - ЭДС индукции, возникающая в обмотке якоря мотора при скорости вращения пх . Ее можно найти из закона Ома:
= U-IR, поэтому
£a=%(U-IR).
Задача 3. Груз массой т подвешен на нити, намотанной на ось якоря динамо-машины с независимым возбуждением. Нить сматывается с оси так, что груз опускается с постоянной скоростью ох. Динамо-машина замкнута на сопротивление R. С какой скоростью v2 будет подниматься вверх тот же груз, если динамо-машину включить как электромотор в цепь постоянного тока с напряжением U и с тем же сопротивлением цепи R?
Мощность мотора, поднимающего груз массой т со скоростью v2 , равна mgv2 . Из закона Ома и закона сохранения энергии следует, что
U-£„=IR и UI = I2R + mgv2,
где I - ток и - ЭДС индукции в обмотке якоря. Эта ЭДС связана с ЭДС индукции динамо-машины соотношением
^И_ = ^2 ^д ’
Запишем теперь закон Ома и закон сохранения энергии для динамо-машины:
= hR и = тдщ .
Отсюда получим
= ~jmgv}R ,
ё» =	= ^m9vtR-
V1 V1
121
Подставив выражение для в первое уравнение и решая затем первое и второе уравнения совместно, найдем
_ ylmgv^R U - mgcxR _ I vt
V2	mgR	у mgR ’
Задача 4. Электромотор постоянного тока с независимым возбуждением (с постоянным магнитом) поднимает груз со скоростью сх при помощи нити, наматывающейся на ось мотора. В отсутствие груза невесомая нить поднимается со скоростью с0. С какой скоростью будет опускаться тот же груз, если в цепи якоря произойдет замыкание, в результате которого обмотка якоря окажется замкнутой накоротко? Трением в подшипниках пренебречь.
После того как обмотка окажется замкнутой накоротко, мотор превратится в динамо-машину, причем ток I в якоре динамо-машины будет таким же, каким он был, когда машина работала как электромотор. Действительно, в обоих случаях один и тот же груз движется (поднимается или опускается) равномерно. Поэтому момент сил, действующих на якорь со стороны магнитного поля индуктора и пропорциональный величине тока, равен моменту силы тяжести груза. При подъеме невесомой нити (в режиме холостого хода) момент нагрузки равен нулю, следовательно, ток 10 = 0 .
Запишем закон Ома для всех трех случаев -
при подъеме груза с помощью мотора:
U-^=IR,
где U - напряжение на клеммах мотора;
при опускании груза, когда мотор работает как динамо-машина:
^A=IR;
когда мотор работает на холостом ходу:
U-^ =0.
Для трех ЭДС и .^д можно записать следующие соотношения:
g	и ё' = и = ^-ё
С'2	(>2
Тогда окончательно находим
= с0 -	.
СКИН-ЭФФЕКТ
Известно, что вследствие явления электромагнитной индукции в любом проводнике под действием изменяющегося магнитного поля наводятся вихревые токи, или токи Фуко. Они вызываются индукционным электрическим полем, которое возникает при изменении магнитного поля. Силовые линии индукционного электрического поля всегда замкнутые, поэтому и токи Фуко тоже замкнутые (вихревые). Так как обычно проводники обладают электрическим сопротивлением, энергия токов Фуко переходит в тепло (проводник нагревается), а сами токи при этом затухают.
Оказывается, что быстропеременные токи Фуко не проникают в глубь проводника и текут практически только в его поверхностном слое. Это явление называют скин-эффектом (от английского слова skin - кожа). Его надо учитывать при использовании переменных токов (и полей) в технике.
Причину возникновения скин-эффекта качественно можно объяснить с помощью правила Ленца для электромагнитной индукции. Согласно этому правилу, направление индукционных токов всегда таково, что они своим магнитным полем «мешают» изменению магнитного потока, которое эти токи вызвало. Поэтому при помещении проводника во внешнее переменное магнитное поле возникают токи Фуко, которые ослабляют это поле в проводнике, экранируют его. Причем чем дальше от поверхности в глубь проводника, тем меньшим становится суммарное магнитное поле. Соответственно, и величина тока в проводнике с глубиной тоже убывает. Убывание происходит по столь быстрому закону, что, начиная с некоторой глубины, поле и ток можно считать практически равными нулю. Эту глубину называют толщиной скин-слоя.
От чего зависит толщина скин-слоя? С одной стороны, чем быстрее изменяется магнитное поле, тем больше возникающая электродвижущая сила индукции и тем большие токи Фуко текут в проводнике. С другой стороны, сила тока зависит и от удельного сопротивления проводника - в проводниках с меньшим удельным сопротивлением наводятся большие токи Фуко и
123
магнитное поле экранируется сильнее. Поэтому при увеличении частоты изменения поля и при уменьшении сопротивления проводника толщина скин-слоя уменьшается.
Точный расчет показывает, что для меди, например, при частоте промышленного переменного тока v = 50 Гц толщина скин-слоя составляет приблизительно 1 см. Это не слишком малая величина, поэтому в проводниках диаметром до нескольких сантиметров переменный ток распределяется по всему сечению провода, а скин-эффект проявляется в полной мере в гораздо более толстых проводах. В то же время в диапазоне средних радиоволн с частотой v ~ 107 Гц толщина скин-слоя в меди оказывается порядка 10-3 см. Это уже достаточно малая величина. Быстропеременные токи такой частоты текут практически только по поверхности проводов. Можно проводники сделать вообще полыми, и это почти не скажется на их сопротивлении. Иногда для уменьшения потерь проводники в радиосхемах покрывают тонким слоем серебра - токи текут только в этом слое, а серебро обладает меньшим удельным сопротивлением, чем медь.
Интересно, что в сверхпроводниках индукционные токи вообще не затухают (сопротивление равно нулю), и поэтому они способны экранировать даже постоянное магнитное поле. В толще сверхпроводника суммарная индукция внешнего магнитного поля и магнитного поля экранирующих токов равна нулю. Это явление называют эффектом Мейснера.
ДИА- И ПАРАМАГНЕТИКИ
Как известно, индукция магнитного поля в веществе может усиливаться или ослабляться по сравнению с вакуумом. В первом случае вещество называют парамагнетиком, во втором - диамагнетиком (наряду с пара- и диамагнитными веществами существуют еще ферромагнетики, но о них здесь речь не пойдет).
В чем же причина пара- и диамагнетизма?
Кратко природу парамагнетизма можно объяснить так. В атомах или молекулах электроны движутся по замкнутым траекториям (орбитам). Эти мельчайшие электрические токи, называемые молекулярными, создают магнитное поле. В отсутствие внешнего магнитного поля из-за теплового движения атомов плоскости орбит ориентированы беспорядочно, поэтому индукция собственного магнитного поля, создаваемого всеми атомами, в среднем равна нулю. Когда же вещество помещают во внешнее магнитное поле, плоскости орбит электронов (подобно рамкам с током) частично поворачиваются, так, чтобы векторы индукции создаваемых ими полей складывались с вектором индукции внешнего поля. В результате суммарная магнитная индукция оказывается больше индукции внешнего поля.
Природа диамагнетизма более сложная. Чтобы ее понять, вспомним явление электромагнитной индукции. При изменении магнитного потока через электрический контур в нем возникает индуцированный электрический ток. Согласно правилу Ленца, этот ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока. В контуре, не обладающем электрическим сопротивлением, например в сверхпроводящем контуре или в «контуре», образуемом электроном, движущимся в атоме по своей орбите, индуцированный ток не затухает. Он сохраняется до тех пор, пока существует внешнее магнитное поле. Магнитное поле индуцированного тока направлено противоположно внешнему полю, так что суммарная магнитная индукция в веществе уменьшается.
В каждом веществе проявляются оба эффекта. С одной стороны, внешнее магнитное поле ориентирует орбиты электро
125
нов и вследствие этого усиливается. С другой стороны, оно изменяет скорость движения электронов по орбитам и вследствие этого (в соответствии с законами электромагнитной индукции) ослабляется.
Уменьшение магнитного поля обычно очень мало, и поэтому диамагнетизм заметно проявляется лишь в тех веществах, атомы которых собственного магнитного поля не создают (в которых, следовательно, нет парамагнитного эффекта).
Простейший диамагнитный атом можно представить себе следующим образом: два электрона вращаются вокруг ядра по одной орбите, но в противоположных направлениях. В этом случае создаваемые электронами магнитные поля компенсируют друг друга, и поворот плоскости орбиты не приводит к усилению магнитного поля. А вот диамагнитный эффект проявляется в полной мере. Рассмотрим его подробнее.
Пусть каждый электрон в атоме в отсутствие внешнего магнитного поля движется
по круговой орбите радиусом R со скоростью Vq . При включении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, которое изменяет скорость движения электрона. Предположим, что теперь она равна v. Если считать, что вектор магнитной ин-
дукции В перпендикулярен плоскости орбиты, то на электрон со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, равная по модулю Ел = evB .
Запишем второй закон Ньютона для движения электрона по орбите до и после включения магнитного поля (см. рисунок):
a^_ = F
R
mv2	„
----= F ± evB , R
где F - сила электрического притяжения электрона к ядру.
Вычитая эти уравнения одно из другого, получаем
2	2
v - Vq = ± — evB , т
126
причем выбор знака «+» или «-» определяется направлением скорости электрона.
В слабом магнитном поле изменение Av модуля скорости электрона мало, и его можно найти приближенно, считая
v2 - Vq = (v + г0)(г - г0) =	.
В результате имеем
a .eBR
Av = ±---
2m
Как видно, один электрон в нашем двухэлектронном атоме в магнитном поле начинает вращаться чуть быстрее, другой - чуть медленнее, причем внешнего поля.
Величина
так, что при этом происходит ослабление
еВ Av
--- = --- = (Пт
2m R L
имеет размерность частоты. Ее называют ларморовской частотой - по имени английского физика Дж.Лармора. Хотя мы рассмотрели лишь частный случай, можно доказать общую теорему (теорему Лармора): в магнитном поле с индукцией В движение электрона будет таким же, как и без поля, но с добавочным вращением вокруг вектора В с частотой coL .
Важно, что эта теорема и выражение для coL остаются справедливыми и при описании движения электрона с помощью законов квантовой механики.
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
В известном анекдоте о знаменитом физике Роберте Вуде рассказывается, что, когда автомобиль Вуда проехал перекресток на красный свет и его остановили, Вуд объяснил полиции свою ошибку эффектом Доплера: для движущегося наблюдателя частота света источника меняется и сигнал светофора показался ему зеленым. Говорят, что полицейский оказался не профаном. Он знал, что заметное изменение частоты могло произойти только при очень большой скорости автомобиля, близкой к скорости света. Поэтому полицейский не стал спорить со знаменитым физиком и просто оштрафовал его за превышение скорости. И хотя эта поучительная история может навсегда отбить охоту объяснять что-либо в нашей жизни эффектом Доплера, тем не менее, с этим эффектом, по-видимому, встречался каждый. Когда нас обгоняет гудящий поезд или над нами пролетает самолет, то мы слышим внезапное изменение тона звука. Это тоже эффект Доплера.
Почему же происходит изменение частоты звука движущегося источника? Попробуем разобраться.
Представим себе картину волн, испускаемых движущимся источником. Скорость распространения звука в среде не зависит от скорости источника, и картина волн будет представлять собой множество окружностей, центры которых смещаются в направлении движения источника. Пусть теперь наблюдатель стоит, например, за источником и источник удаляется от него со скоростью V. Предположим, что вначале расстояние между источником и наблюдателем было равно и, где и - скорость распространения звука. Тогда через 1 секунду расстояние между ними будет и + v, и на этом расстоянии уместятся все со максимумов, созданных источником за единицу времени (со - частота звука). До наблюдателя за 1 секунду дойдут только те максимумы, которые вначале находились на расстоянии и от него. Поэтому и частота звука , воспринимаемого наблюдателем, будет меньшей, причем
to и	1
— =------, откуда со< = со---.
СО и 4- V	| + £
и
128
Если источник приближается к приемнику (наблюдателю), то аналогично получаем
1 от = со----.
1--
и
Если движется не источник, а приемник звука, качественно происходит такое же изменение частоты, но в количественном отношении результат будет несколько иной. Если приемник движется к источнику со скоростью с;, то за 1 секунду он пройдет мимо не со, а большего числа максимумов СО2 , причем
со? u + v	(. гЛ
— =------, откуда со? = со 1 + — .
со и	\	и)
Если приемник удаляется от источника, то он отметит меньшую частоту
Л со? = со II — .
\ и J
Изменение частоты сигнала при движении источника или приемника и называется эффектом Доплера. Считая в обоих случаях v положительным, когда расстояние увеличивается, мы можем написать
со	Л v
СОл =---- , со? = со 1 — I
4 Я	и \
1 + -	V )
и
Если скорость источника мала по сравнению со скоростью звука, то, пользуясь формулами приближенных вычислений, можно ----- заменить на 1 - — (проверьте это, например, для — = 0,01;
1 + - и и
и
0,05; 0,1; 0,2), и тогда получим, что cot = со? . Однако в современной технике нередко скорость источника или приемника совсем не мала по сравнению со скоростью звука (например, скорость самолетов), и тогда эффект Доплера в обоих случаях существенно разный.
Теперь, когда мы разобрались в эффекте Доплера для звуковых волн, казалось бы нет ничего проще, чем написать аналогичные формулы для света - достаточно вместо скорости звука и поставить всюду скорость света с, и ответ готов. Однако тут мы сталкиваемся с удивительным обстоятельством: такие формулы не могут быть правильными, так как они противоречат принципу относительности Галилея.
129
5-Задачи по физике
Согласно этому принципу, нельзя отличить равномерное прямолинейное движение от состояния покоя, иными словами, любые физические явления должны протекать одинаково и любые физические опыты должны дать одинаковые результаты во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга с постоянными скоростями (т.е. в инерциальных системах). Мы же можем рассмотреть, например, случай движущегося источника и неподвижного наблюдателя в системе отсчета, движущейся вместе с источником, и тогда по нашим формулам изменение частоты света в обеих системах было бы разным.
При распространении звука это обстоятельство не должно нас смущать. Ведь здесь, кроме источника и приемника, играет роль среда, в которой распространяется звук. Движения источника к приемнику и приемника к источнику дают разные результаты именно потому, что в первом случае источник движется в среде, а приемник покоится относительно среды, во втором случае источник покоится относительно среды, а приемник движется в ней. Это, конечно, разные опыты, и поэтому, естественно, они дают разные результаты. Равенство частот cOf и СО2 лишь приближенное (точнее сказать так: ~ СО2 с точного
стью до членов первого порядка, т.е. членов — в первой степени). Но свет-то распространяется в вакууме, и поэтому там такого быть не может. И, насколько бы он вам ни показался парадоксальным, выход из этого положения один: надо предположить, что собственная частота источника со различна в тех случаях, когда он движется и когда он покоится, из-за релятивистского (так его называют в теории относительности) сокращения времени.
Теория относительности Эйнштейна, учитывающая это сокращение времени, дает правильные формулы для эффекта Доплера. Эти формулы сейчас уже подтверждены многочисленными экспериментами, и эффект Доплера служит мощным орудием исследования окружающего нас мира. А утверждение Доплера, что свет, испускаемый звездой, удаляющейся от нас, должен смещаться к красному концу спектра, явилось важным доказательством одного из самых интересных результатов современной физики - вывода о том, что наша Вселенная непрерывно расширяется.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
МЫ РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
Решение почти любой задачи может не только дать многое для изучения физических законов и привития навыков пользования ими, но и помочь понять, что происходит в окружающем нас мире. Нужно лишь увидеть связь между упрощенной ситуацией, о которой идет речь в задаче, и реальными явлениями.
5
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКА
Рис. 1
1.	В киноаппарате и кинопроекторе проходит 16 кадров в секунду. На экране движется автомобиль с колесами, реальный диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 4 оборота в секунду Какова скорость автомобиля?
2.	Если смотреть на свет сквозь две наложенные друг на друга гребенки с разной частотой зубьев, то светлые участки будут чередоваться с темными. С какой скоростью будут перемещаться светлые места, если одну из гребенок двигать со скоростью 1 см/с? Неподвижная гребенка имеет 5 зубьев на сантиметр, а движущаяся - 6.
3.	На рисунке 1 показана часть траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту. В точке А скорость тела была равна 20 м/с. Используя рисунок, найдите, сколько времени тело двигалось из точки А в точку В.
4.	Тяжелый ящик перемещают с помо-тракторов, движущихся со скоростями vx и v2 ,
щью двух
составляющими друг с другом угол ос (рис.2). Как направлена и чему равна скорость ящика в тот момент ,_когда^канаты параллельны векторам и v2 ?
5. Может ли спортсмен на водных лыжах двигаться быстрее «везущего» его катера?
6. Тяжелый диск радиусом R скатывается на двух нерастяжимых нитях, намотанных на него. Свободные концы нитей закреплены (рис.З). Нити при
движении диска постоянно натянуты. В некоторый момент угловая скорость диска равна со, а угол между нитями а. Какова в этот момент скорость центра диска?
7.	Концы А и В стержня АВ скользят по сторонам прямого
Рис. 2
132
Рис. 4
угла (рис.4). Как зависит от угла а ускорение середины стержня (точка С), если конец В движется с постоянной скоростью v? Длина стержня I.
8.	Тринадцать одинаковых шестеренок, оси которых закреплены, сцеплены друг с другом, образуя кольцо. На какой наибольший угол можно повернуть одну из шестеренок, если каждую из них при неподвижной соседней можно повернуть за счет неточного сцепления на угол а?
9.	Спутник пролетает над Новосибирском в 12.00, а над Москвой в 15.00. Где он будет в 18.00; в 19.30? Время всюду московское.
10.	Каким было бы число дней в году, если бы Земля вращалась вокруг собственной оси или обращалась вокруг Солнца в противоположную сторону?
11.	Студент, институт которого находится рядом со станцией кольцевой линии метрополитена, живет у станции метро, также находящейся на кольцевой линии, но в противоположном конце города, так что ему безразлично, в какую сторону ехать. Поэтому он всегда садится в тот поезд, который подойдет первым. Количество поездов, идущих как в одну, так и в другую сторону, одинаково. Студент, однако, заметил, что он чаще ездит на поезде, идущем по часовой стрелке. Чем это можно объяснить?
12.	Из двух портов А и В, расстояние между которыми /, одновременно выходят два катера, _	_____
один из которых плывет со скорое- -	- “ -“	_
тью vv а другой - со скоростью v2.	~ ~	-
Направление движения первого ка-
тера составляет угол а, а второго -	"\а_~ ~ _z”pZ§>?~
угол р с линией АВ (рис.5). Каким /- -~1- ~~ ~ ~ i будет наименьшее расстояние между	В
катерами?	Рис- 5
133
13.	За лисой, бегущей прямолинейно и равномерно со скоростью vv гонится собака, скорость которой равна v2, постоянна по абсолютной величине и направлена все время на лису. В момент, когда скорости и v2 оказались взаимно перпендикулярными, расстояние между лисой и собакой было /. Каково было ускорение собаки в этот момент?
14.	Космонавты, находясь вблизи одной из звезд некоторого
звездного скопления, видят, что все другие звезды скопления
удаляются от них со скоростями, пропорциональными расстояниям до этих звезд. Какую картину движения звезд увидят космонавты, оказавшись вблизи какой-нибудь другой из звезд этого скопления?
15.	Имеется однородный шнур со взрывчатым веществом. Скорость распространения взрывной волны по воздуху vv а скорость горения шнура v2 (v2 > Найдите форму линии, по которой нужно расположить шнур, чтобы волны от всех точек
шнура пришли в заданную точку одновременно?
16. В стеклянную цилиндрическую пробирку, расположен-
ную вертикально, вдвинут снизу ершик для мытья пробирок. Что будет происходить с ершиком, если трубку слегка покачивать в вертикальной плоскости?
17. Человек, чтобы не поскользнуться на обледенелой горке,
Рис. 6
сбегает с нее. Почему это целесообразно?
18.	Железная дорога идет так, как показано на рисунке 6. Какой участок пути подвергается наибольшему разрушению при движении поездов?
19.	Шарик массой т прикреплен к стержню длиной I (рис.7). Другой конец стержня шарнирно прикреплен к вертикальной оси. Нарисуйте примерный график зависимости угла а, образуемого стержнем с вертикалью, от угловой скорости со вращения оси.
20.	Почему конькобежцы размахивают руками при беге?
21.	В какую сторону наклоняются при повороте: самолет; пароход; подводная лодка? Почему?
22.	Гантелька длиной I стоит в углу, образованном гладкими плоскостями (рис.8). Нижний шарик гантельки смещают гори-
134
Рис. 7
—
ф т
зонтально на очень маленькое расстояние, и гантелька начинает двигаться. Найдите скорость нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик оторвется от вертикальной плоскости.
23.	Для измерения ускорения используется изогнутая по дуге окружности трубка, заполненная водой, в которой имеется пузырек воздуха (рис.9). Как связано положение пузырька с ускорением трубки?
24. Знаменитый американский физик Роберт Вуд построил телескоп с параболическим зеркалом, поместив на дне колодца вращающийся сосуд со ртутью. В каких пределах можно было изменять фокусное расстояние получившегося ртутного зеркала телескопа при изменении угловой скорости со вращения сосуда в пределах от
1с- до 2 с-1.	Рис. 9
25.	График зависимости силы су-
хого трения от скорости изображен на рисунке 10. Используя этот график, объясните, почему звучит скрипичная струна, когда по ней равномерно ведут смычком.
26.	Почему автомобиль при резком торможении теряет управление (машину «заносит»)?
27.	Почему легче проткнуть шилом дырку, если шило вращается? Почему нужно вращать гвоздь, чтобы вытащить его из стены?
28.	Очень тонкую нить, собранную в клубок, начинают вытягивать вверх
за один конец с постоянной скоростью v. Масса единицы длины нити р. С какой силой приходится тянуть за нить в тот момент, когда длина вытянутого конца /?
29.	Две одинаковые тележки, на которых находятся два одинаковых дворника, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает падать снег равномерным потоком. Дворник, стоящий на одной из тележек, все время сбрасывает
135
снег вбок, а на второй тележке дворник спит. Какая из тележек быстрее пройдет одно и то же расстояние?
30.	Для межзвездных путешествий ракета должна достигать скорости, сравнимой со скоростью света. Оцените возможность использования для такой ракеты химического двигателя, дей
Рис. 11
ствующего на реакции окисления водорода, если теплотворная способность водорода 1,1 • 108 Дж/кг. Какой должна быть масса топлива для достижения ракетой массой 20 т скорости 0,01 скорости света?
31.	Плоская бесконечная струя толщиной dQ падает под углом а на плоскость (рис.И). Скорость струи v, ее плотность р. На какие струи распадается струя при падении?
32.	По водопроводной трубе течет вода со скоростью 10 м/с. Докажите, что если резко (мгновенно) закрыть кран, давление на кран станет равным 150 атм. (Из-за этого нельзя, например, даже при аварии слишком быстро перекрывать поток воды в водосливе.) г заполнена веществом плотностью р0.
33. Труба радиусом
Невесомый поршень, на который действует постоянная сила F ,
вдвигаясь в трубу, уплотняет это вещество (рис. 12). Уплотнение происходит скачком, т.е. в трубе как бы перемещается с некоторой скоростью с поверхность, справа от которой плотность вещества р0, а слева больше чем р0. В начальный момент
поверхность совпадает с плоскостью поршня. Найдите скачок Ар плотности вещества.
34.	Землетрясения вызывают иногда появление громадных отдельны волн - цунами, распространяю-
Рис.12	щихся на огромные расстояния.
Длина таких волн во много раз превышает глубину океана, а высота достигает нескольких десятков метров. При таких волнах в движение приходит вся вода под волной вплоть до океанского дна. (Аналогичной волной является приливная волна.) Найдите скорость цунами, полагая среднюю глубину океана равной 5 км.
35.	Отклоните стул, стоящий на достаточно гладком полу, на небольшой угол и отпустите. Объясните наблюдаемое движение стула.
136
36.	Почему пуля, вылетевшая из ружья, не может отворить дверь, но пробивает в ней отверстие, в то время как давлением пальца дверь отворить легко, а проделать отверстие невозможно?
Почему пуля пробивает в пустом тонкостенном стакане лишь два маленьких отверстия, в то время как стакан, наполненный водой, разбивается при попадании в него пули вдребезги?
37.	Насос подает объем V воды в час на высоту Н по трубе диаметром d. Какова мощность насоса? Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать объем V воды в час на высоту Н?
38.	Модель вертолета, изготовленная в 1/10 натуральной величины, удерживается в воздухе при помощи мотора мощностью 30 Вт. Оцените, какой должна быть мощность двигателя вертолета, сделанного из тех же материалов, что и модель.
39.	Найдите коэффициент полезного действия водометного двигателя реактивного катера, если площадь входного отверстия двигателя 0,9 м2, а выходного 0,02 м2.
40.	Автомобиль массой 600 кг трогается с места. Двигатель автомобиля работает с постоянной мощностью 50 кВт, коэффициент трения скольжения колес о дорогу 0,6. Оцените, за какое минимальное время автомобиль наберет скорость 100 км/ч. Сопротивлением воздуха и трением в механизмах пренебречь.
41.	Астронавты «Скайлэба» с помощью специального радиолокационного высотомера обнаружили, что поверхность океана в районе « Бермудского треугольника» ниже нормального уровня на 25 метров. Предполагая, что этот «прогиб» можно объяснить наличием под дном океана шаровой полости, заполненной водой, оцените радиус этой полости. Глубина океана 6 км.
42.	Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 760 км над поверхностью Земли. Его хотят перевести на эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли 40000 км и минимальным расстоянием от поверхности 760 км. На сколько для этого необходимо изменить скорость спутника? Каким будет период обращения спутника по новой, эллиптической, орбите?
43.	Два спутника А и В движутся по одной и той же круговой орбите на небольшом расстоянии друг от друга. Необходимо осуществить стыковку спутников. Удастся ли это сделать, если, включив двигатель, сообщить спутнику В импульс в направлении к спутнику А?
44.	Шар массой т налетает на покоящийся шар массой М. Найдите, как зависит от отношения масс шаров энергия, которую
137
теряет налетающий шар при упругом центральном столкнове
нии
45.	Кубик, скользящий без трения по гладкому горизонтальному полу, ударяется одной из своих боковых граней о вертикальную стенку. Коэффициент трения кубика о стенку Ц. Под каким углом к стенке отскочит кубик, если до столкновения с ней он двигался по направлению, составляющему со стенкой угол а?
46.	Почему футболистам было бы тяжело играть слабо накачанным или «перекачанным» мячом?
47.	Атом, движущийся со скоростью v (v « с), испускает фотон под малым углом а к направлению своего движения. Докажите, что если частота излучения покоящегося атома v0, а частота излучения движущегося атома V, то для видимого света V - vn V -------— ~ — cosа, где с - скорость света.
v0 С
48.	Почему обычно у-кванты, излученные ядрами радиоактивного вещества, не могут поглотиться подобными же ядрами? Известно, что внутренняя энергия ядра может иметь только
определенные значения.
49.	Машина, служащая для укатки дороги (каток), опирается на цилиндрические шины-катки. Спереди пять катков, а сзади семь. Как сделать так, чтобы давление всех шин-катков на грунт было одинаковым вне зависимости от профиля дороги и накачки шин?
50.	На цилиндрический столб намотан один виток каната. Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда за один из его концов тянут с силой F, за второй конец каната нужно тянуть с силой f. Как изменится сила f, если на столб будет намотано п витков каната (f не зависит от толщины каната)?
51.	На верхнюю точку закрепленного шара радиусом R поставлен Ванька-Встанька (рис. 13). Нижняя поверхность игрушки - полушар радиусом г; центр Л тяжести игрушки (точка С) расположен на половине радиуса полушара. Упадет ли Ванька-Встанька с шара? Проскальзывания нет.
52.	Концы пружины в нерастянутом состоянии закреплены. Как обработать пружину так, чтобы она стремилась сократиться?
53.	К двум точкам прикреплены цепочка длиной I и концы двух стержней, ?ис-1?	сумма длин которых тоже /, а свободные
138
концы связаны шарнирно. Чей центр тяжести находится ниже -цепочки или системы стержней?
54.	Какой стакан более устойчив - пустой или с сахаром?
55.	Почему трещина в лопающейся трубе, когда в ней зимой замерзает вода, всегда идет вдоль, а не поперек трубы?
56.	Почему значительно легче удерживать на пальце половую щетку, перевернутую «вверх ногами», чем палку той же длины?
57.	Почему можно управлять движением велосипеда при езде «без рук»?
58.	В полусферический колокол, плотно лежащий на столе, наливают через отверстие вверху воду (рис. 14). Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать снизу. Найдите массу колокола, если его радиус R, а плотность воды р.
59.	Сообщающиеся сосуды, один из которых сужается, а другой расширяется кверху, заполнены водой (рис. 15). Как будет меняться количество воды в сосудах при нагревании одного из них?
60.	Два одинаковых открытых сосуда соединены двумя
одинаковыми трубками и доверху закрыты кранами К\ и К2 (рис.16). Температура воды в сосудах поддерживается постоянной, причем Т] > Т2 > 4 С. Что будет происходить с водой в сосудах, если сначала открыть кран , а затем (при открытом кране ) открыть кран /<2?
61. Три открытые бочки напол-
заполнены водой. Трубки
йены до половины водой и установ-
лены на разной высоте (рис. 17). Из каждой бочки проведены вверх трубки, соединяющиеся вместе. Трубки тоже заполнены водой. Куда будет перетекать вода по трубкам, если одновременно открыть краны К\, К2 и К3 ?
139
62.	Вода переливается через край плотины (рис. 18). Во время паводка водосброс (объем воды, который проходит в одну секунду) увеличивается втрое. Во сколько раз возрастает при этом уровень воды над плотиной?
63.	Многие из вас замечали, что в тот момент, когда вы ступаете на мокрый песок, он светлеет. Это связано с тем, что песок становится суше. Но как только вы убираете ногу, след, оставленный ногой, немедленно заполняется водой. Объясните это явление.
64.	Под открытым водопроводным краном стоит наполняющаяся водой ванночка. В ванночку под струю воды помещают легкий шарик. Останется ли шарик под струей?
65.	Почему почти одним и тем же движением губ при выдохе можно согреть руки и остудить чай?
66.	Почему «кочуют» песчаные дюны?
67.	При испытании реактивного снаряда, установленного в хвосте самолета для защиты его от нападения сзади, был обнаружен удивительный факт. При пуске снаряда он разворачивался и догонял самолет. Как можно объяснить это явление?
68.	Почему реки, текущие даже по совершенно плоской однородной почве, изгибаются? Для простоты рассмотрите реку, текущую вдоль экватора.
69.	В воде покоится лодка. Человек, находящийся на ней, переходит с кормы на нос. Как будет двигаться лодка, если сила сопротивления при движении пропорциональна ее скорости?
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
70.	На монете начерчена мелом прямая линия. Останется ли она прямой, если монету нагреть?
71.	Свинцовый лист, покрывавший южную часть крыши Бристольского собора, за два года сполз вниз по крыше на 50 см. Сползание листа началось сразу же после того, как им была
140
покрыта крыша. Попытка остановить сползание листа вколачиванием гвоздей в стропила не удалась, потому что сползающий лист вырывал гвозди. Крыша была не крутая, и свинцовый лист в принципе мог бы оставаться на ней, не скользя под действием силы тяжести вниз. Почему же сполз лист? Попробуйте оценить, на сколько может сползти за 10 дней свинцовый лист, если максимальная и минимальная температуры равны, соответственно, 20 °C и 10 °C, длина листа при 10 °C равна 1 м, угол наклона крыши 30°, коэффициент трения листа о стропила 0,7, коэффициент линейного расширения свинца 3 • 10-5 К"1.
72.	Запах пахучих веществ распространяется обычно по комнате благодаря конвекции. Однако в совершенно спокойной атмосфере возможна и диффузия, связанная с беспорядочным движением молекул. За счет диффузии происходят многие процессы в жидкостях, кристаллах и газах. Как быстро происходит диффузия? Скажем, если запах пахучего вещества распространился на 1 м за 3,5 мин, то за какое время он распространится на 10 м? Как диффузия зависит от температуры?
73.	Полость колбы литрового термоса заполнена гелием, давление которого при комнатной температуре равно 10-5 атм (1 н/м2). При этом давлении длина свободного пробега молекул газа велика по сравнению с расстоянием между стенками колбы. Оцените время, за которое чай в таком термосе остынет от 90 °C до 80 °C.
74.	Спутник Земли радиусом 2 м наполнен смесью кислорода и азота, причем масса азота составляет 75% от массы всего газа. Микрометеорит пробивает в спутнике отверстие площадью 1 см2. За какое время давление в спутнике уменьшится на 5%, если температура в спутнике комнатная?
75.	Найдите скорость испарения воды с единицы площади поверхности в вакууме при температуре 20 °C. Давление насыщенных паров при этой температуре равно 2,3 кПа.
76.	Было обнаружено, что в запаянной U-образной трубке уровни воды в обоих коленах трубки остаются на одинаковой высоте и при наклоне трубки. Что находится в коленах трубки над поверхностью воды?
77.	В закрытом сосуде имеется несколько капель жидкости разной величины. Что произойдет с ними через достаточно продолжительное время?
78.	Под стеклянным колпаком, из которого выкачан воздух, находится кювета с водой. В ней вертикально установлена капиллярная трубка. Известно, что давление насыщенных паров над вогнутой поверхностью жидкости несколько меньше, чем над
141
плоской поверхностью. Поэтому можно предположить, что жидкость в трубке будет испаряться и конденсироваться на поверхности воды в кювете. Образовавшийся поток пара можно использовать для приведения в движение вертушки. Все ли верно в приведенном рассуждении?
79.	Хватит ли мощности гидроэлектростанции, чтобы испарить воду, проходящую через ее турбины?
80.	Почему пар обжигает сильнее воды той же температуры?
81.	Электрическим кипятильником мощностью 500 Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличилась от 85 °C до 90 °C. Затем кипятильник выключили, и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды 4,2 103 Дж/(кг К).
82.	Волейбольный мяч массой 200 г и объемом 8 л накачан до избыточного давления 0,2 атм. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после падения на твердый грунт подскочил почти на ту же высоту. Оцените максимальную температуру воздуха в мяче в момент удара о грунт. Температура наружного воздуха 300 К, теплоемкость воздуха при постоянном объеме 0,7 кДж/(кг • К).
83.	Влажный воздух, который переносится ветром, дующим с побережья Тихого океана через вершину Кордильер, адиабатно расширяется, поднимаясь вверх, и охлаждается. При этом пары, находящиеся в воздухе, выпадают в виде осадков. Оцените, на сколько отличаются температуры у подножья по обе стороны Кордильер, если у побережья влажность воздуха 60%, а температура 25 °C. При такой температуре давление насыщенных водяных паров составляет 3,4 кПа.
84.	Почему, когда в жаркий день вы входите в воду, вода кажется холоднее воздуха, а когда выходите, то наоборот?
85.	Почему тонкая медная проволока плавится в пламени газовой печи, в то время как медный гвоздь даже не раскаляется докрасна?
86.	Почему опытные хозяйки предпочитают жарить на чугунных, а не на алюминиевых сковородах?
87.	Почему металлические предметы, находящиеся в комнате, на ощупь кажутся холоднее, чем деревянные?
88.	Почему измерение температуры медицинским термометром продолжается долго, а «стряхнуть» его можно практически сразу же после измерения температуры?
89.	Каждый квадратный метр поверхности тела, нагретого до температуры Т, излучает в единицу времени энергию оГ4 , где о - постоянная, равная 5,67 ♦ 10~8 Вт/(м2 • К2). На каком рассто
142
янии от Солнца расплавится железный космический корабль, если плотность потока солнечного излучения (мощность, проходящая через единицу площади) на орбите Земли 1400 Вт/м2 ? Температуру плавления железа принять равной 1535 К, расстояние от Земли до Солнца 1,5 • 1011 м.
90.	На брусок льда надета проволочная петля, к нижней части которой подвешен груз. Проволока начинает сравнительно быстро разрезать лед, так как он плавится под проволокой и вновь смерзается над ней. Это происходит от того, что при повышении давления температура плавления льда понижается, и лед под проволокой оказывается при температуре более высокой, чем температура плавления льда при повышенном давлении. Однако если петлю сделать из капроновой нити того же диаметра, то лед практически не режется. Почему?
91.	Оцените максимальную толщину ледника.
92.	При неправильной регулировке двигателя внутреннего сгорания иногда вместо сравнительно медленного сгорания горючей смеси начинается так называемая детонация, при которой смесь сгорает быстро, со взрывом. Почему при этом падает КПД двигателя?
93.	Для отопления здания используется тепло, которое отдается воздуху при работе теплового двигателя. Этот двигатель приводит в действие холодильную машину, которая отнимает тепло от грунтовых вод и отдает его воздуху в комнате. Определите теоретический КПД такого цикла отопления, если температура в котле теплового двигателя 210 °C, температура воды в батарее 60 °C, а температура грунтовых вод 10 °C.
94.	Почему брезентовая палатка хорошо защищает от дождя, но если во время дождя к потолку палатки притронуться рукой, потолок начинает протекать?
95.	Два мыльных пузыря с радиусами г и г2 сливаются в один пузырь радиусом г Найдите атмосферное давление, если поверхностное натяжение мыльной пленки о.
96.	Сложенные вместе смоченные оконные стекла практически невозможно отделить друг от друга, если пытаться оторвать одно стекло от другого. Почему?
97.	На поверхности воды плавают две спички, которые предварительно до половины были опущены в парафин. Оказалось, что как чистые, так и покрытые парафином концы спичек притягиваются между собой, а «разноименные» концы отталкиваются. Почему?
98.	В сосуд с водой опускают Г-образный стеклянный капилляр радиусом 0,5 мм (рис. 19). Температурный ход коэффициен-
143
Рис. 20
та поверхностного натяжения показан на рисунке 20. В каком
диапазоне температур вода вытечет из сосуда?
Рис. 21
99. В условиях невесомости жидкость, помещенная в стеклянный цилиндрический сосуд с радиусом основания R\, приняла форму, показанную на рисунке 21,6/. Свободная поверхность жидкости имела форму сферы радиусом Rq . Та же жидкость, помещенная в стек-
лянный сферический сосуд радиусом j?2 на Земле, приняла форму, показанную на рисунке 21,6; при этом свободная поверхность жидкости была плоской. Определите высоту уровня
Рис. 22
жидкости в сферическом сосуде. Какую форму будет иметь жидкость в сферическом сосуде, если радиус сосуда больше или меньше R27
100. Говоря о хорошо обтекаемом теле, имеют в виду, что оно имеет каплевидную форму. Однако мгновенные фотографии падающих капель показывают, что маленькие капли сферичны, а большие похожи на сдобную булочку (рис.22). Почему капли принимают такую форму? Оцените максимальный размер капель.
144
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
101.	Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика q, его масса т.
102.	Подсчитайте среднюю плотность электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля вблизи поверхности Земли равна 100 В/м, а на высоте 1,5 км напряженность падает до 25 В м.
103.	При какой разности потенциалов между электродами зажигается неоновая лампочка, если энергия ионизации неона 21,5 эВ, а среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями электрона с атомами газа 0,4 мкм? Электроды имеют вид больших пластинок, расположенных на расстоянии 3 мм друг от друга.
104.	Найдите заряд заземленного металлического шара радиусом г, если на расстоянии / от его центра находится точечный заряд q.
105.	В однородном заряженном шаре имеется сферическая полость, центр которой находится на расстоянии а от центра шара. Найдите напряженность электрического поля в различных точках полости, если плотность заряда шара р.
106.	Какую наибольшую разность потенциалов можно получить, имея батарейку с ЭДС £ и два одинаковых конденсатора?
107.	Между каждой парой из п данных точек включен конденсатор емкостью С. Чему будет равна емкость между двумя произвольными точками?
108.	Шар, изготовленный из твердого диэлектрика, поместили в однородное электрическое поле напряженностью Ео. При этом диэлектрик оказался полностью поляризованным. Воспользовавшись принципом суперпозиции, найдите напряженность электрического поля в центре шара и в точках на расстоянии г от центра шара (г меньше радиуса шара). Молекулы диэлектрика можно представить как гантельки длиной I с зарядами +д и -q на концах. Число молекул в единице объема п.
109.	Имеется равномерно заряженный отрезок АВ. Докажите, что напряженность электрического поля, создаваемого этим отрезком в точке С, направлена по биссектрисе угла АСВ.
110.	Между пластинами замкнутого плоского конденсатора находится точечный заряд q. Площадь пластин бесконечно велика, расстояние между ними d. Первоначально заряд находится на расстоянии d/З от левой пластины. Какой заряд
145
пройдет по проводнику, замыкающему пластины конденсатора, при перемещении заряда q в новое положение на расстоянии d/З от правой пластины?
111.	Для определения небольших емкостей иногда пользуются мостиковой схемой, изображенной на рисунке 23. Язычок переключателя колеблется с частотой V. Какова емкость С, если сопротивление переменного резистора R, а постоянных и Стрелка гальванометра не отклоняется.
112.	Схему, изображенную на рисунке 24, применяют обычно для
измерения неизвестного сопротивления Rx. Как, используя
подобную схему, измерить со
противление г самого гальванометра, если второго гальванометра нет?
ИЗ. В схеме (рис.25) все вольтметры одинаковые. ЭДС батареи 5 В, ее внутреннее сопротивление мало. Верхний вольтметр показывает 2 В. Что показывают остальные вольтметры?
114.	В схеме, изображенной на рисунке 26, вольтметр измеряет напряжение на резисторе сопротивле-
146
нием R = 300 кОм. Каким должно быть сопротивление вольтметра для того, что-	,
бы его показания отличались не более чем	Дч
на 2% от действительного значения UR?	Г1 \У/
115.	Если вольтметр подключен па-	Цг-1
раллельно верхнему резистору сопротив- -L	____
лением гх (рис.27), то он показывает 6 В, если параллельно нижнему резистору сопротивлением г2 - то 4 В, а если его	г^
подключить к точкам Л и В, то он пока-	L-
жет 12 В. Каковы в действительности ___________
напряжения на резисторах?	рис 27
116.	Как измерить величину неизвес-
тного сопротивления, имея вольтметр и амперметр с неизвестными внутренними сопротивлениями?
117.	На рисунке 28 изображены схемы для измерения сопротивления резистора с помощью амперметра и вольтметра. По
какой схеме выгоднее включить приборы, чтобы измерить сопротивление более точно?
118.	На рисунке 29 приведена зависимость тока через автомобильную лампочку от напряжения на ней. Лампочку включают
в цепь, показанную на рисунке 30. Найдите мощность, выделяющуюся на лампочке.
119.	На рисунке 31 приведена вольт-амперная характеристика
Рис. 30
147
стабилотрона С. Каким будет напряжение на нагрузке R в цепи, показанной на рисунке 32? Как будет меняться напряжение UQ источника при изменении напряжения нагрузки на 10%?
120.	На рисунке 33 показана вольт-амперная характери-
стика дуги. Каким будет ток в цепи, если дугу подключить к источнику напряжениям 80 В последовательно с резистором, сопротивлением которого 500 Ом?
тайные на напряжение 127 В, включить последовательно в сеть напряжением 220 В, если допустимо перенапряжение не более 10%? Вольт-амперная характеристика лампы мощностью 75 Вт приведена на рисунке 34.
122.	Источник электроэнергии имеет вольт-амперную характеристику, показанную на рисунке 35 (U - напряжение на источнике, I - ток, текущий через него). Опишите, как будет меняться напряжение на резис
148
торе, на который замкнут источник, при изменении величины сопротивления этого резистора.
123.	Для питания прибора напряжение на его входе нужно
устанавливать как можно точнее. Для этого используются два реос-
тата, соединенных так, как показано на рисунке 36. Длины реостатов одинаковы, а сопротивление одного из них в 10 раз больше сопротивления другого. Как поступить, чтобы установить напряжение как можно точнее? Во сколько раз точность установки напряжения будет меньше, если использовать лишь один реостат? Как включить реостаты, если для питания приборов нужно устанавливать поточнее не напряжение, а ток?
124.	Если терморегулятор электрического утюга поставлен в положение «капрон», то утюг периодически включается на 10 с и выключается на 40 с. Поверхность утюга при этом нагревается до температуры 100 °C. Если терморегулятор поставить в положение «хлопок», то утюг периодически включается на 20 с и выключается на 30 с. Определите установившуюся температуру поверхности утюга в этом положении терморегулятора. Найдите, до какой температуры нагреется включенный утюг, если терморегулятор выйдет из строя. Считайте, что теплоотдача пропорциональна разности температур утюга и окружающего воздуха. Температура в комнате 20 °C.
125.	Длина нити накаливания электрической лампочки /, а диаметр нити d. Какими должны быть длина 1\ и диаметр d\ нити лампочки, рассчитанной на то же напряжение сети, но с вдвое большим световым потоком, если КПД обеих лампочек одинаковы и нити сделаны из одного и того же материала?
126.	К середине проволоки, натянутой между двумя опорами, подвешивается груз. Почему при подключении концов проволоки к источнику напряжения груз начинает колебаться и эти
149
колебания не затухают до тех пор, пока проволока замкнута на источник?
127.	Удельная теплота сгорания водорода 119700 кДж/кг. При каком минимальном напряжении на электродах может происходить электролиз воды?
128.	При измерении ЭДС старой батарейки для карманного фонарика вольтметр показал 4,3 В, однако лампочка от этой батарейки не горит (хотя должна бы гореть). Почему?
129.	Для получения мощных световых импульсов через газоразрядную лампу разряжают батарею конденсаторов большой емкости, заряженную до разности потенциалов U. Почему для этой же цели обычно не используется батарея гальванических элементов с ЭДС, равной U?
130.	Почему лампочка накаливания сгорает обычно при включении?
131.	В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин 5 и расстоянием между ними d помещен в поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением р. Жидкость движется с постоянной скоростью v параллельно пластинам. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией В , направленной перпендикулярно скорости жидкости и параллельно плоскости пластин. Какая мощность выделяется во внешней цепи, имеющей сопротивление R?
132.	Электронно-лучевая трубка с ускоряющим напряжением U помещена в однородное магнитное поле с индукцией В , направленной вдоль оси трубки. На экране при этом наблюдается небольшое расплывчатое пятно. Если менять величину индукции, то можно заметить, что при некоторых значениях Bq, 2Bq, 3Bq , ... электронное пятно фокусируется - собирается в точку. Объясните это явление. Как с помощью такого эксперимента определить отношение заряда электрона к его массе?
133.	В камере ускорителя по окружности радиусом R движется очень тонкий пучок протонов. Величина тока в начальный момент Iq , полное число частиц в камере п. Магнитный поток через неизменяющуюся орбиту пучка изменяется с постоянной скоростью ф. Какой станет величина тока после того, как частицы сделают один оборот? Скорость частиц остается много меньше скорости света.
134.	Две сверхпроводящие катушки с индуктивностями и L2 соединены параллельно. Какими будут максимальные токи в катушках, если параллельно им подключить конденсатор емкостью С, предварительно заряженный до напряжения С7?
150
135.	Две длинные однослойные сверхпроводящие катушки с числами витков щ и т?2, Длинами и /2 и сечениями и 52 соединены параллельно при помощи сверхпроводящих проводов. Определите, как распределится между ними ток /, подведенный от общего источника. Катушки удалены друг от друга так, что поле одной не действует на поле другой. Индукция магнитного поля в катушке пропорциональна току и числу витков на единицу длины катушки.
136.	Почему трансформатор выходит из строя в том случае, если хотя бы один виток обмотки замкнется накоротко?
137.	Имеются два одинаковых идеальных трансформатора с коэффициентом трансформации 1:3. Первичная обмотка одного из них последовательно соединена со вторичной обмоткой второго, а свободные концы этих обмоток включены в сеть переменного тока с напряжением 100 В. Вторичная обмотка первого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой второго. Определите амплитуду переменного напряжения между свободными концами этих обмоток.
138.	Если на первичную обмотку ненагруженного трансформатора подать напряжение 220 В, то напряжение на вторичной обмотке будет 127 В. Какое напряжение будет на нагрузке сопротивлением 10 Ом, подключенной ко вторичной обмотке этого трансформатора? Активное сопротивление первичной обмотки трансформатора 2 Ом, а вторичной 1 Ом. Внутреннее сопротивление генератора тока принять равным нулю.
139.	До какой разности потенциалов зарядится конденсатор емкостью С (рис.37), если замкнуть ключ К? ЭДС батареи £, внутреннее сопротивление батареи и сопротивление проводов пренебрежимо малы. Диод можно считать идеальным, т.е. в прямом направлении его сопротивление ничтожно мало, в обратном - бесконечно велико. Индуктивность катушки L достаточно
велика, так что процесс зарядки идет медленно.
140.	На рисунке 38 показана простейшая схема выпрямителя.
151
Диод считается идеальным. Во сколько раз изменится мощность, выделяемая на резисторе R, при подсоединении параллельно ему конденсатора С такой емкости, что за период колебаний напряжения сети (220 В, 50 Гц) заряд конденсатора практически не меняется?
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
141. К стенке, наклоненной под углом а к верти-
кали (рис.39), подвешен маятник длиной I. Маятник отклонили в плоскости, перпендикулярной стенке, на небольшой угол р от
вертикального положения и отпустили. Найдите период колеба-
ний маятника, если а < р и удар шарика о стенку абсолютно упругий.
142.	Определите период колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле, напряженность которого 300 В/см. Полярную молекулу можно представить в виде жесткой гантельки длиной 10-8 см, на концах которой находятся две материальные точки массой 10"24 г каждая, несущие на себе заряды ±1,6 • 10~19Кл.
143.	Модель молекулы СО2 представляет собой три шарика, соединен
ных пружинками и расположенных в положении равновесия вдоль одной прямой (рис.40). Такая молекула может совершать колебания разных типов а) и б). Найдите отношение частот этих колебаний.
144.	Колонна одинаковых грузовых автомобилей подъезжает к складу, забирает груз и движется дальше с той же скоростью. В результате продольный профиль грунтовой дороги принял вид, показанный на рисунке 41. В каком направлении двигались автомобили?
Рис. 40
Рис. 41
152
145.	На горизонтальную мембрану насыпан мелкий песок. Мембрана совершает колебания с частотой 500 Гц в вертикальной плоскости. Какова амплитуда колебаний мембраны, если песчинки подскакивают на высоту 3 мм по отношению к положению равновесия мембраны?
146.	Доска массой М расположена горизонтально и опирается на два вращающихся цилиндра. Расстояние между осями цилиндров I. Коэффициент трения между доской и цилиндрами Ц. Докажите, что, если доску, находящуюся в положении равновесия, слегка толкнуть в горизонтальном направлении, она будет совершать гармонические колебания, и найдите период этих колебаний. Каким будет движение доски, если изменить направление вращения цилиндров на противоположное?
147.	Точка подвеса математического маятника длиной I совершает горизонтальные колебания такие, что ее координата х меняется со временем t по закону х = a cos (tit. Считая колебания маятника малыми, найдите амплитуду и фазу вынужденных колебаний маятника.
148.	Если длину математического маятника уменьшать, когда маятник проходит положение равновесия, и увеличивать, когда его отклонение максимально, то амплитуда колебаний маятника начнет нарастать. Почему?
149.	В цилиндрический конденсатор в точке А впускается слегка расходящийся пучок положительных ионов с малым углом раствора а (рис.42). Все ионы в пучке имеют одинаковую энергию. Те ионы, у которых вектор скорости в точке А направлен перпендикулярно отрезку О А, движут-	+
ся по окружности радиусом r0 = ОА, концентрической с обкладками конден-
сатора. Докажите, что пучок ионов	/ //	/
будет фокусироваться в точке В такой, / //	/
что угол АО В составляет тг/>/2. Опре- / / /	/
делите максимальную ширину пучка.
150.	Читая лекции в Страсбурге в В	®
1908 году, академик Л.И.Мандельш- рис 42 там поражал аудиторию следующим
красивым опытом. Он брал два камертона, укрепленных на резонансных ящиках и настроенных на близкие частоты, ставил их рядом друг с другом и возбуждал один из камертонов. Второй камертон не отзывался на его колебания. Но стоило начать периодически закрывать ящик возбужденного резонатора рукой, как второй камертон начинал громко звучать. Объясните этот опыт.
153
151.	При передаче телевизионного изображения на Земле за 1 с передается 25 кадров. Это означает, что 1 кадр передается за 1/25 с. В то же время, как известно, передача одного кадра изображения Луны советской автоматической станцией «Луна» длилась 25 мин. Почему так велика разница во временах передачи кадра в обоих случаях?
152.	Упрощенно атом гелия можно представлять как систему, в которой два электрона совершают колебания около общего центра - неподвижного ядра. Используя эту модель, попробуйте оценить приближенно диэлектрическую проницаемость жидкого гелия в постоянном электрическом поле, принимая во внимание, что гелий сильно поглощает ультрафиолетовое излучение на длине волны 0,06 мкм. Плотность жидкого гелия 0,14 г/см3.
153.	На фотографии летящей пули (рис.43) видны звуковые волны, которые возбуждаются при движении пули. (Такую фотографию удалось получить благодаря тому, что области, в которых плотности воздуха различны, по-разному преломляют
Рис. 43
световые лучи.) Воспользовавшись линейкой, определите примерную скорость пули. Скорость звука в воздухе 340 м/с.
154.	Подводная лодка плывет на глубине 500 м. На каком расстоянии от лодки (вдоль поверхности океана) гидроакустик на лодке может обнаружить приближающийся корабль, если скорость звука в воде уменьшается с глубиной на 4 м/с каждые 100 м, а у поверхности океана она равна 1500 м/с. (Изменение скорости звука с глубиной связано с изменением температуры воды и ее плотности.)
ОПТИКА
155.	Перед зеркалом стоит человек, закрыв один глаз. Изображение этого глаза в зеркале он закрывает, приклеивая бумажку. Что увидит человек, если он закроет открытый глаз и откроет закрытый?
154
156.	В боковой стенке сосуда, наполненного жидкостью с показателем преломления п, проделано отверстие небольшого радиуса г. По оси отверстия из сосуда направляют горизонтально тонкий луч света. До какого уровня над отверстием должна вытечь жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытав полного внутреннего отражения? Изменением поперечного сечения струи пренебречь, показатель преломления жидкости считать достаточно большим.
157.	Почему возникает «лунная дорожка» на поверхности водоема в ясную лунную ночь?
158.	Матированное стекло (одна из поверхностей стекла гладкая, другая шероховатая) прикладывают к чертежу: один раз гладкой поверхностью кверху, другой раз книзу. В одном случае чертеж виден хорошо, в другом - разобрать его невозможно. Почему?
159.	В дымовой завесе из непрозрачных частиц радиусом 5 мкм при содержании массы вещества 0,04 г в кубометре воздуха дальность видимости составляет 50 м. Сколько вещества в кубометре воздуха распыляется другим источником завесы, который создает частицы радиусом 10 мкм, если видимость сокращается до 20 м?
160.	На рисунке 44 отрезок А'В' ~ действительное изображение источника АВ. Фотоаппарат помещают в точках 1, 2 или 3. Какие части источника получаются при этом на фотографиях? Диаметр объектива фотоаппарата мал по сравнению с диаметром линзы. Фотоаппарат «наводится» на плоскость А'В'.
161.	Какие очки следует прописать человеку, если в воде он видит нормально?
В
.3 ,
Р'ч	а)	6) в. *В’
]	-	«• м’
а.	В’.
А	*А
Рис. 44	Рис. 45
162.	На рисунке 45 показано положение двух точек А и В и их изображений А' и В', которые получены с помощью линз. Найдите построением положения линз и их фокусные расстояния.
155
163.	Почему лицо фехтовальщика в проволочной маске не видно публике, а спортсмен видит все так же хорошо, как и без маски?
164.	Почему при ярком освещении те, кто пользуются не очень сильными очками, могут читать и без очков? Почему, для того чтобы сфотографировать одновременно два объекта, один из которых находится дальше другого, и получить на фотопленке резкое изображение обоих объектов, обычно уменьшают диаметр отверстия объектива (объектив диафрагмируют)?
165.	Почему днем окна домов кажутся темными?
166.	Почему рыбу, плавающую в реке, лучше видно с моста, чем с низкого берега?
167.	Определите, во сколько раз изменится освещенность изображения Солнца, полученного плосковыпуклой линзой, если линзу разрезать по диаметру и сложить плоскими сторонами?
168.	Для выжигания по дереву сфокусированными солнечными лучами необходимо иметь линзу с отношением диаметра D к фокусному расстоянию F, большим 0,07. Оцените, сколько горожан нужно было Архимеду выстроить на крепостной стене для того, чтобы они могли поджечь римский корабль, направив в одну точку корабля солнечные лучи с помощью плоских зеркал диаметром 1 м, если корабль подошел к берегу на расстояние 200 м.
169.	Почему лампочки обычно окружают матовым колпаком?
170.	Во сколько раз освещенность в полнолуние меньше, чем в солнечный день? Высоты Луны и Солнца над горизонтом одинаковы. Считать, что Луна рассеивает 0,1 падающего на нее света равномерно по всей полусфере. Принять расстояние от Луны до Земли равным 400000 км, радиус Луны - 2000 км.
171.	Почему цепочка фонарей кажется одинаково яркой вдоль всей ее длины?
172.	В полой сфере проделано отверстие, через которое проникает луч света. Внутренняя поверхность сферы отражает свет во все стороны одинаково (диффузно) и не поглощает его. Как будет отличаться освещенность точки, диаметрально противоположной отверстию, от освещенности остальных точек сферы?
173.	Жука фотографируют в двух масштабах: с расстояния 3F, где F - фокусное расстояние объектива, и с расстояния 5F. Во сколько раз надо изменить диаметр диафрагмы объектива, чтобы освещенность изображения на пленке в обоих случаях была одной и той же? Считать, что диаметр объектива в обоих случаях много меньше F.
156
174.	При наблюдении в телескоп яркие звезды видны даже днем. Объясните, почему.
При наблюдении в телескоп освещенность изображения звезды в 10 раз меньше освещенности поверхности дневного неба, рассматриваемого в тот же телескоп. Во сколько раз нужно увеличить диаметр объектива, чтобы освещенность изображения звезды стала в 10 раз больше освещенности неба?
175.	Инфракрасное излучение определенной длины волны поглощается метаном (СН4). При нормальных условиях слой чистого метана толщиной 1 см поглощает 98% энергии излучения. Во сколько раз ослабится такое излучение при прохождении по вертикали атмосферы Земли? При расчете долю метана в атмосфере принять равной 1,4 • 10-6.
РЕШЕНИЯ
1. Изображения колес поворачиваются на 1 оборот за время прохождения 4 кадров в проекторе. Поэтому на каждом кадре колесо должно быть повернуто по сравнению с предыдущим на 1/4 оборота. Колеса на экране вращаются «вперед», если скорость движения автомобиля такова, что за время между кадрами т = 1/16 с колеса автомобиля делают п полных и еще 1/4 оборота вокруг своей оси. Если же за время т колеса делают п полных и еще 3/4 оборота вокруг оси, то изображения колес на экране будут вращаться «назад». Таким образом, угловая скорость вращения колес равна - 32л(гг + 1/4) или со2 = 32л(/г + 3/4). Это означает, что оси колес, а вместе с ними и автомобиль, движутся со скоростью = 32(п + 1/4)tlR (тогда изображения колес вращаются «вперед») или со скоростью г?2 = 32(?з + 3/4)tlR (в этом случае изображения колес вращаются «назад»). Подставляя в эти формулы п = 0, 1, 2, 3, ..., мы будем получать ответы
vt = 12,6 м/с = 45 км/ч, vt = 223 км/ч...
или
г?2 = 136 км/ч, г?2 = 316 км/ч...
При этом, поскольку скорость автомобиля вряд ли больше
140 км/ч, она равна 45 км/ч, если изображения колес враща-
ются «вперед», или 136 км/ч, если колеса на экране вращаются «назад».
2. Совместим какие-нибудь зубья гребенок (рис.46). Тогда следующие зубья будут находиться на расстоянии 1/5 см - 1/6 см = 1/30 см друг от друга. Сместим подвижную гребенку на это расстояние. Картина светлых и темных полос сместится на период не-
Рис. 46
подвижной гребенки, т.е. на 1/5 см. Тогда светлые и темные места будут перемещаться со скоростью v = (1/5:1/30) • 1 см/с = 6 см/с при скорости движения гребенки 1 см/с.
Опыт с гребенками позволяет увидеть, что происходит при сложении волн с различными длинами волны и Х2 и разными скоростями распространения (фазовыми скоростями) их и и2- В
158
Рис. 47
результате сложения синусоидальных волн получается не синусоидальная волна (рис.47). Скорость ее распространения v - это скорость перемещения повторяющейся группы горбов и впадин. Ее называют групповой скоростью. Найдем v. В системе отсчета, движущейся со скоростью , вторая волна движется со скоростью и2 “ и2 ~ и\ • Если в некоторый момент совпадают горбы А и А', то через некоторое время т совпадут горбы В и В'. В результате группа волн переместится влево на Xt. Следовательно, она переме-Хп — Х.|	Х-|
щается со скоростью Х^т. Но х =-------------. Поэтому — =
X	и2. ” и\	т
=------—(w2 ~и\У В неподвижной системе отсчета
А<2 Х^
Х<	Аи
v = щ - -Е = щ - Х< — =
1 т 1	1 ДХ Х2 - Xt
В отсутствие дисперсии (зависимости скорости распространения волн от к) v = Ui = и2 - групповая скорость совпадает с фазовой. При дисперсии формула для v справедлива для набора волн близких
длин. Тогда v - и----X . Эта формула позволяет, например, найти
</Х
скорость распространения модуляции амплитудно-модулированной волны, групповую скорость распространения волн в воде (волн в океане) и т.д.
3. Время полета t = Avylg, где Avy - изменение проекции скорости тела на вертикальную ось У. Нетрудно найти Avy графически, построив в произвольном масштабе вектор vA (направлен-—>
ный по касательной к траектории в точке А) и затем вектор vB ,
159
воспользовавшись тем, что vx = const (рис.48). После этого можно с помощью линейки найти Да и вычислить t. В нашем случае \vy ~ 27 м/с и t ~ 2,9 с. У
4. Скорость v ящика, конечно, не равна vt + v2 , но она такова, что ее проекции на направления канатов равны vx и v2 соответственно. Поэтому конец вектора v лежит на пересечении перпендикуляров к векторам щ и v2 (рис.49).
Из рисунка видно, что vx - acos(a - Р) и v2 = acosp, так что
cos Р	v2	1	v2
cos a cos р + sin a sin р vx cos a + sin a tg p
Отсюда 4	(	A
Л 1 v<	v<
tg P =----- — - cos a =------1----ctg a,
sin a ^2 J v2 s^n a и
Рис. 50
V =	= y2V1 + tg2P •
cosp
5. Катер и спортсмен на лыжах связаны нерастяжимой веревкой. Поэтому проекции скоростей катера и спортсмена на направление веревки должны быть равны (в противном случае смещения концов веревки вдоль ее направления были бы не одинаковы, и веревка разорвалась бы). Из рисунка 50 видно, что это приводит к ограничению
vx cos a = v2 cos P.
160
5
При а > р скорость лыжника будет по модулю больше скорости -н>	1
катера т'2 • (Например, когда направление веревки совпадет с
направлением скорости катера, а лыжник движется под углом.)
6. Решим эту задачу, используя понятие «мгновенная ось враще
ния». Напомним, что так называют ось, относительно которой
движение тела в данный момент времени сводится к чистому вращению. (Например, для катящегося колеса эта ось в каждый момент проходит через точку касания колеса с землей.) Такая ось существует всегда, если движение не является чисто поступательным. Для нахождения мгновенной оси используем то свойство, что скорость любой точки вращающегося тела перпендикулярна линии, соединяющей эту точку с
осью. Поскольку скорости точек А и В перпендикулярны нитям (нити нерастяжимы), то мгновенная ось находится на пересечении нитей - в точке О! (рис.51). Центр диска О находится от мгновенной оси на расстоянии г = R/cos(a/2), его скорость перпендикулярна OtO и равна
(oR
cos(a/2)‘
7. Точка О представляет собой вершину прямого угла, опираю-
щегося на диаметр окружности радиусом 1/2 с центром в точке С
(рис.52). Следовательно, ОС - радиус этой окружности. Это означает, что при движении стержня длина отрезка ОС не меняется и точка С движется по окружности с центром в точке О и радиусом ОС = 1/2.
Скорость vc точки С направлена по касательной к траектории и перпендикулярна ОС. Так как стержень нерастяжим, то проекции скоростей точек С и В на направление стержня
должны быть одинаковы:
v cos а = vc cos р.
Из рисунка видно, что р = 2а - л/2 . Поэтому cos a	v
С cos(2a - л/2)	2 sin а’
161
6-Задачи по физике
Проекция ускорения точки С на радиус ОС должна быть равна Vq /ОС = v21(21 sin2 а). Но как направлен вектор ас ?
Заметим, что проекция скорости точки С на горизонтальную ось постоянна и равна v/2 - точка С всегда находится в 2 раза ближе к ОА, чем точка В. Это означает, что ускорение точки С вертикально и делит угол ОСВ пополам. Таким образом,
7	X	2
I 71	] V
ar cos----а =----------—.
U	) 2/Sin2 а
Отсюда
2
V
аС = , . 3
21 sin а
8.	Отметим, во-первых, что поставленный в задаче вопрос имеет
смысл только при нечетном числе шестеренок - в противном случае
вращение шестеренок было бы согласованным и их можно было бы поворачивать на любой угол.
Для простоты рассуждений рассмотрим кольцо из 5 шестеренок (рис.53). Попытаемся повернуть на максимальный угол по часовой стрелке шестеренку /. Пусть этот угол равен Р . Тогда две соседние шестеренки 2 и 5 придется повернуть против часовой стрелки на
Рис. 53
угол не меньше р - а , а шестеренки 3 и 4 - на угол не меньше р - 2а. Но так как эти две последние шестеренки не могут повернуться относительно друг друга на угол больше а , то должно выполняться равенство Р - 2а = а/2. Отсюда получаем р = 2,5а .
Аналогично рассуждая, найдем, что для кольца из 13 шестеренок максимальный угол поворота одной из шестеренок будет равен 6,5а .
9.	Москва и Новосибирск находятся на одной широте (55° северной широты), а их долготы отличаются на 45°: Москва находится на 38°, а Новосибирск - на 83° восточной долготы. За 3 часа (с 12.00 до 15 00) Земля делает 1/8 оборота вокруг оси, и Москва в 15.00 окажется в том же положении по отношению к Солнцу и неподвижным звездам, в каком находился Новосибирск в 12.00 (в нашей задаче, очевидно, несущественно движение Земли по орбите вокруг Солнца). Следовательно, спутник делает за 3 часа целое число оборотов вокруг Земли. Так как период обращения спутника
не может быть меньше чем Tmin = 2tiJr д ~ 1,4 ч, то он равен либо 3 часам, либо 1,5 часам. В обоих случаях в 18 00 спутник будет находиться над пунктом с координатами 55° северной широты и 7°
162
западной долготы. В 19.30 спутник окажется над пунктом с координатами 55° северной широты и 30° западной долготы, если период его обращения 1,5 часа, и над пунктом с координатами 55° южной широты и 154° восточной долготы, если его период равен 3 часам
10.	Земля обращается вокруг Солнца и вращается вокруг собственной оси, причем ось Земли почти перпендикулярна к плоскости орбиты, а направления вращения Земли вокруг своей оси и обращения вокруг Солнца совпадают. Если бы Земля не вращалась вокруг своей оси (т.е. не вращалась по отношению к далеким звездам), то любая точка на Земле была бы ориентирована одинаково по отношению к Солнцу через время, равное периоду обращения Земли вокруг Солнца. Следовательно, обращение вокруг Солнца за год прибавляет как бы один оборот к числу оборотов вокруг своей оси. Поэтому при изменении направления вращения Земли число дней в году изменилось бы на два.
11.	Предположим, что расписание движения поездов четко выдерживается изо дня в день и устроено следующим образом. Пусть интервал между приходом поездов одного (любого) направ-
ления равен С а интервал между отходом от станции поезда одного направления (например, по часовой стрелке) и отходом поезда другого направления (против часовой стрелки) равен т . Тогда
вероятность студенту сесть в поезд, идущий, в нашем предположении, против часовой стрелки, равна т/С а в обратном направлении - (£ - т) t. Если эти вероятности не равны друг другу, то студент будет ездить чаще в одном направлении, чем в другом.
12. В системе координат, движущейся относительно земли со
скоростью , корабль Л покоится, а корабль В движется со скоростью v	(рис.54). Мини-
мальное расстояние между кораблями равно длине перпендикуляра ЛК, опущенного на траекторию корабля В. Обозначим Ф угол, обра
зуемый вектором v с линией ВА. Тогда АК = I sin ф Спроектировав
все векторы на линию АВ и на линию, перпендикулярную АВ,
получим
v cos ф = v2 cos р + vx cos а и v sin ф = v2 sin P - vx sin а.
Отсюда
v-y sin p - v1 sin а tg <p = -?--!---!-----.
v2 cos p + vx cos a
Выражая 8Шф через Ь£ф, найдем ЛК.
163
13. Так как абсолютная величина скорости собаки постоянна, а меняется только направление скорости, то ускорение собаки направлено перпендикулярно к вектору скорости. Траекторию движения собаки за малый промежуток времени At можно считать дугой окружности. Обозначим R радиус этой окружности. Тогда ускорение собаки -
2 о центростремительное, равное а = v2 R. За время At вектор скорости собаки
поворачивается на угол a = v2At/R
(рис.55). А лиса за это время перемещается на расстояние vxAt. Так как вектор скорости собаки направлен все время на лису, то это
расстояние равно а/. Следовательно,
vxAt = al =
v2lAt R
Отсюда
R = -*-l v\
n -
И a - ——
14.	Выделим некоторую звезду и найдем ее скорости в системах координат, связанных с первой и второй звездами, вблизи которых находились космонавты. По условию задачи скорость в системе координат, связанной с первой звездой, равна
Puc. 56
vx = а гх , где гх - вектор, проведенный от первой звезды к выделенной звезде (рис.56). В системе, связанной со второй звездой, на которую перелетели космонавты, скорость выделенной звезды равна v2 = vx-v^, где = ос г0 - скорость второй звезды относительно первой. Проведя вектор г2 от второй звезды к выделен
ной, легко увидеть, что r2 = rx- rQ Соответственно,
v2. ~ а| Г1 “ г0 “ а г2 •
164
Следовательно, космонавты опять увидят, что все звезды разлетают
ся со скоростями, пропорциональными расстоянию до них
15.	Шнур нужно расположить по логарифмической спирали. Это нетрудно доказать, показав, что угол, образуемый касательной к шнуру с прямой, проведенной в заданную точку, постоянен (он
равен arccos — ).
16.	У ершика, вдвинутого снизу в вертикальную трубку, щетин
ки изогнуты, как показано на рисунке 57. При наклоне трубки
давление щетинок на стенку трубки с одной стороны ослабевает, и при некотором наклоне щетинка начинает скользить вверх по трубке до тех пор, пока из-за изменения кривизны щетинки сила давления на стенку, а следовательно, и сила трения скольжения не возрастают настолько, что щетинка остановится. При выпрямлении трубки обратного скольжения не произойдет, так как сила трения покоя больше силы трения скольжения. Таким образом, ершик будет шагами продвигаться вверх по трубке, «расклиниваясь» в трубке за счет сил тре
ния покоя и проскальзывая за счет уменьшения рис, 57
трения при скольжении.
17. На человека на горке действуют две силы: сила тяжести тд
N (рис.58,я). Так как момент силы тяжести относительно центра масс человека равен нулю, то человек будет сохранять равновесие и не «переворачиваться» только в том случае, если сила R проходит через его центр масс.
Если трение подошв обуви о горку велико и человек стоит на горке, то сумма сил, действующих на человека, равна нулю, т.е. сила —
R направлена вертикально и равна силе тяжести.
165
Запишем
Иное^ело, если трение мало. Разберем вначале предельный случай: FTp = 0. Тогда человек не будет падать, если он перпендикулярен к горке (рис.58,б). Только в этом случае сила реакции горки N проходит через центр масс человека. Но равнодействующая Q сил тд и N при этом не будет равна нулю. Она направлена параллельно наклонной плоскости и равна mg sin а . Поэтому человек должен спускаться с ускорением а = д sin а . Если трение мало, но не равно нулю, то ускорение человека может быть меньше. Записав второй закон Ньютона, найдем, что оно должно быть не меньше а - q sin ос - F,„ /т .
27	ТР /
18.	Наибольшему разрушению подвергнется сопряжение дуг, образуемых дорогой. В этом месте центростремительное ускорение, сообщаемое вагону равнодействующей приложенных к нему сил, испытывает скачок, равный v (1/Rx + 1/F2). Из-за зазора между щеками колес и рельсами происходит удар. Несколько менее сильный удар происходит и в местах сопряжения прямых участков дороги с дугами.
Сопряжение различных участков, а также повороты дороги из-за этого никогда не делаются с помощью дуг окружностей. Они устраиваются так, чтобы радиус кривизны менялся как можно более плавно.
19.	Если шарик вращается по окружности и стержень составляет с вертикалью угол а, то центростремительное ускорение шарику сообщает равнодействующая силы тяжести и силы натяжения стержня. Эта равнодействующая направлена горизонтально и равна mgtgoc (рис.59).
уравнение движения шарика:
2	2
mgtgoc^mco г, или ^tga = co / sinа.
Отсюда
9 cos а = ——.
со /
Это выражение справедливо, однако,
(cosа должен быть меньше 1). При со < у/д I получим gtga > со г, т.е. равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити сообщает шарику боль
166
шее ускорение, чем при вращении по окружности. Поэтому стержень с шариком будут вращаться, оставаясь вертикальными. График зависимости а от со показан на рисунке 60.
20.	В то время, когда конькобежец набирает скорость, его ноги движутся в двух разных параллельных плоскостях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Резкие движения ног вызывают появление момента сил, стремящегося повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси. Пусть конькобежец в такт движению ног размахивает руками так, чтобы движения соответствующих рук и ног были противофазными. При таком движении рук возникает момент сил, противодействующий моменту сил, обусловленному движением ног, и компенсирующий его.
21.	На летящий самолет в плоскости, перпендикулярной направлению его полета, действуют две силы - сила тяжести и аэродинамическая подъемная сила. Их равнодей-ствующая при повороте самолета должна v11 быть направлена к центру окружности, !
по которой движется самолет. Это воз- ;	7/
можно, если корпус самолета наклонен в •	Xj
сторону поворота (рис.61). Такой наклон !	//
самолета получается благодаря тому, что ; _______
при повороте киля (руля) из-за давления \ воздуха на киль самолет начинает пово-	лКл
рачиваться вокруг вертикальной оси, /к проходящей через его центр тяжести. // \ Одно из крыльев самолета тогда движет-
ся быстрее другого. На это крыло дей- рис ствует большая аэродинамическая подъем-
ная сила, и самолет поворачивается вокруг горизонтальной оси. При этом подъемная сила, действующая на это крыло, уменьшается, а на
другое крыло - возрастает.
При повороте теплохода на его внешний борт действует сила избыточного давления, сообщающая теплоходу центростремительное ускорение. Эта сила появляется благодаря тому, что при повороте руля теплоход поворачивается вокруг вертикальной оси. При этом он продолжает двигаться по инерции бортом вперед. Точка приложения равнодействующей сил добавочного гидродинамического давления лежит на середине погруженной части теплохода. Поэтому если центр тяжести теплохода лежит ниже середины его части, находящейся в воде, то теплоход наклоняется в сторону поворота. Если центр тяжести теплохода лежит выше середины части, погруженной в воду, то теплоход при повороте наклоняется в сторону, противоположную повороту. Угол наклона теплохода определяется условием равенства нулю суммарного момента сил гидростатического давления, равнодействующая которых приложе
167
на к центру тяжести вытесненного объема жидкости, и сил добавочного гидродинамического давления на внешний борт теплохода. Теплоход может плавать устойчиво даже в том случае, когда его центр тяжести лежит выше центра тяжести вытесненного объема воды, т.е. выше точки приложения «выталкивающей» силы Для этого необходимо, чтобы благодаря форме корпуса теплохода при его наклоне центр тяжести вытесненного объема смещался в сторону
наклона.
Поворот подводной лодки происходит так же, как и поворот
теплохода, благодаря добавочному гидродинамическому давлению
на внешний борт. Но центр тяжести подводной лодки находится ниже ее середины, так как он должен лежать ниже точки приложения равнодействующей сил гидростатического давления, находящейся примерно в середине сечения подводной лодки (иначе подводная лодка перевернулась бы). Поэтому при повороте подводная лодка наклоняется в сторону поворота.
22.	Пусть в момент отрыва верхнего шарика от вертикальной плоскости
гантелька составляет угол ос с верти-
калью (рис.62), скорость верхнего шарика v , скорость нижнего и .
Согласно закону сохранения энергии, 2	2
mv ти
-----I----= mgkh - mgl[l - cos а),
где т - масса каждого шарика. Отсюда v2 + и2 = 2^/(1 - cos а).
Поскольку стержень жесткий, проекции v и и на стержень равны:
v cos а = и sin а .
Из уравнений для скоростей находим
2	(2	3 А (2 ЗА
и = 2gl\ cos а - cos а = 2д1\ х - х , где х = cos а.
До момента отрыва центр масс гантельки двигался с горизонтальным ускорением (это ускорение сообщалось силой реакции вертикальной стенки). Поэтому к моменту отрыва верхнего шарика от вертикальной стенки скорость и максимальна. Найдем значение cos а, при котором выражение у = х -х максимально. Так как у -2х - Зх2 = 0 при х = 2 3, то и максимально при cos а = 2/3.
168
Отсюда
2 [2 “max “ зуз9/’
23.	Пузырек не будет перемещаться по трубке, движущейся с ускорением а , если архимедова выталкивающая сила РА будет
направлена перпендикулярно стенкам трубки, т.е. по ее радиусу (рис.63,а). Эта сила будет уравновешиваться силой реакции N со стороны стенки (членами твд и тва во втором законе Ньютона можно пренебречь, так как масса тв воздуха в пузырьке очень мала).
Если рассмотреть ускоренно движущуюся трубку без воздушного пузырька (рис.63,б), то на элемент жидкости, расположенный в том же месте трубки, где был пузырек, будет действовать сила Архимеда ЕЛ , направленная точно так же по радиусу, и сила —>
тяжести тд (т - масса элемента жидкости). Равнодействующая —
этих сил направлена горизонтально и равна т а Поэтому та а
tg °с =	=— и а - q tg а.
тд д
24.	Свободная поверхность жидкости во вращающемся сосуде принимает форму параболоида вращения. Рассмотрим на поверхности жидкости некоторый малый элемент массой т, находящийся на расстоянии х от оси вращения (рис.64). На этот эле-мент действует сила тяжести тд и —>
сила давления N со стороны осталь-
—>
ной жидкости. Сила N направлена перпендикулярно свободной поверхности жидкости. Поскольку выбран-
169
ный элемент жидкости движется с постоянной угловой скоростью по окружности радиусом х, то равнодействующая сил N и тд направ-z	-	2
лена к оси вращения и равна по абсолютной величине тсо х. Следовательно, 2	2
тсо х со х
tga =------=-----,
тд д
где ос - угол наклона касательной к поверхности жидкости. Из этого соотношения следует, что поверхность жидкости в плоскости рисунка имеет форму параболы, а в пространстве - форму параболоида. Действительно, так как
то
j	2
ау со х
dx	д
Отсюда
1-------со2 2 у =-----х
2	д
(мы выбрали начало координат в вершине параболоида).
Теперь найдем фокусное расстояние параболического зеркала. Рассмотрим произвольный луч, падающий на параболоид параллельно его оси, и докажем, что после отражения он пересечет ось в точке, расположенной на расстоянии F = дI(2со2) от вершины (рис.65). Если точка отражения луча имеет координаты х и у = ах2 (в нашем случае а = со2/(2^), то
F = у - х ctg 2р, где р - угол между падающим лучом и касательной к параболе. Учитывая, что Л	dy	Л ctg2 р -1
ctg Р = tg ос = — = 2ах и ctg 2р =--------,
с/х	Н 2ctgp
получим
1 д
F = — = 4« 2со2 ’
Те, кто знаком со сферическими зеркалами, могут найти радиус кривизны R параболоида вблизи его вершины и определить фокус
170
ное расстояние соответствующего сферического зеркала из соотношения F = R/2. Однако приведенный вывод демонстрирует уникальное свойство параболоида собирать в одну точку все падающие параллельно оси лучи, а не только идущие близко к оси, как в случае сферического зеркала.
Итак, для зеркального телескопа Вуда получим
1,22 m<F<4,9 м.
25.	При движении смычка струна благодаря трению увлекается смычком и натягивается. Когда величина силы трения становится равной некоторой максимальной, струна начинает проскальзывать относительно смычка. Так как при этом величина силы трения резко уменьшается, то струна совершает почти свободное колебание. Затем, когда скорости струны и движения смычка сравняются, струна «захватывается» смычком, и т.д. Колебания струны незату
хающие, так как при движении струны в ту же сторону, что и смычка, сила трения, действующая на струну, совершает положительную работу, компенсируя потери энергии струной.
26.	При движении автомобиля участок колеса, соприкасающий-
ся с дорогой, неподвижен относительно нее. При резком торможе-
нии колеса скользят по дороге (юз).
—>
Обозначим скорость движения автомобиля до торможения и рассмотрим, какая сила должна действовать на автомобиль, чтобы он начал двигаться вбок (чтобы машину «занесло»). Обозначим v2 скорость бокового заноса (рис.66) и будем считать, что v2 « vx Так как
результирующая скорость v автомобиля
равна сумме + v2 , а сила трения FTp направлена противоположно вектору v , то ее проекция на вектор щ равна Fx = FTp cos [3, а проекция на вектор v2 равна F2 = F sin р, где [3 = arctg — = —. Следовательно,
с с v2	v2
F1 = Fto — = Vm9 ~
V\	vt
(здесь m - масса автомобиля, Ц - коэффициент трения).
Ясно, что для возникновения движения вбок необходима сила, равная по модулю F2 . А так как эта сила пропорциональна скорости v2, то такой занос может быть вызван сколь угодно малой силой. Она может появиться, например, как составляющая силы тяжести при неровной дороге.
171
27.	Обсудим второй вопрос. Предположим, что мы хотим вытащить гвоздь, например, с помощью плоскогубцев. Для того чтобы гвоздь двигался поступательно, на него должна действовать сила F, большая максимальной силы трения покоя Frp. А чтобы гвоздь вращался, к плоскогубцам необходимо приложить силу такую, чтобы ее момент относительно оси гвоздя был больше момента силы трения:
F17?>FTpr,
где R ~ радиус рукоятки плоскогубцев, г - радиус гвоздя. (Сила трения, действующая на гвоздь, по абсолютной величине такая же, как в первом случае, но направлена не вдоль оси гвоздя, а перпендикулярно ей.) Таким образом,
Так как R > г, сила Ft может быть во много раз меньше силы F
Нетрудно показать, что если гвоздь вращается, то вытащить его из стены можно, приложив сколь угодно малую силу F2 , параллельную оси гвоздя (см. задачу 26). Следовательно, вытащить гвоздь из
стены можно, приложив к плоскогубцам силу Ft >—F и сколь R
угодно малую силу F2, что в сумме заведомо меньше F
28.	Изменение импульса нити АР за время At равно произведению массы нити Ат = [wAt, которая пришла за это время в
движение, на ее скорость v:
АР =	.
Это изменение равно импульсу внешних сил:
АР = (F - mg)At = (F - [ilg)At.
Отсюда для силы F, с которой тянут нить, получаем следующее выражение
„	( 2 Л
F = ц а + gl .
29.	При попадании на тележку массой М порции снега массой Ат ее скорость v меняется на величину Av, которая находится из закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление
Mv = (М + Am)(v - Al>) .
Здесь не учтен начальный импульс порции снега, так как он не имеет горизонтальной составляющей Аналогично, сбрасывание снега в сторону тоже не надо учитывать, так как оно не меняет импульса
172
тележки. В результате находим
Дт Да =--v .
М
Отсюда следует, что замедление движения тележки тем меньше, чем больше ее масса. Поэтому тележка, с которой снег не сбрасывают, будет двигаться быстрее
30.	Для оценки будем считать, что топливо в ракете сгорает очень быстро и образующиеся газы выбрасываются одной порцией. Обозначим v скорость ракеты, и - скорость газов, т - массу ракеты, Мо - массу сгоревшего топлива. Тогда MqU = mv, и
V	с
М — т — — 0,01 — т. и	и
Теперь найдем и. Из уравнения химической реакции горения водорода
2Н2 +О2 =2Н2О
следует, что для сгорания двух киломолей водорода необходим киломоль кислорода. В результате получается два киломоля паров Иными словами, при сгорании 4 кг водорода в 32 кг кислорода образуется 36 кг паров. Следовательно, масса ДМ паров образуется 4	1
при сгорании массы — ДМ = — ДМ водорода При этом выделяется энергия
1 Q = — AMq,
где q - теплотворная способность водорода Конечно, только часть этой энергии превращается в кинетическую энергию газов. Но для оценки будем считать, что
1	)	1	1 э
Q = - ДМг/ , т.е. - AMq = - АМи*.
2	ир 9	2 Р
Отсюда
% = = 5 1()3 м/с-
Это - «предельная» скорость истечения газов. Поэтому
М() >0,01-----т - 600т.
и пр
Отношение М^/т огромно, но сильно занижено Пока масса еще не сгоревшего топлива велика но сравнению с т, реактивная сила сообщает импульс не юлько ракете, но и оставшемуся топливу Поэтому наш расчет некорректен, и нужно пользоваться формулой
173
Циолковского
М0 + W = v/u
т
которая в нашем случае дает
Л/Г	600	4 а260	л а260	.
MQ = те = m • 10	=20-10 т!
27
Эта цифра во много раз превышает массу Солнца Мс =2 10 т. Химическое топливо, как показывают расчеты, не может дать
скорость истечения больше 10 км/с. Оно, очевидно, для межзвездных полетов неприменимо
Для достижения скоростей, сравнимых со скоростью света, необходимо использовать топливо, которое дает скорость истечения порядка скорости света. Идеальный случай и = с (фотонная ракета).
31. Обозначим и d2 толщины образовавшихся струй (рис.67), a щ и v2 ~ их скорости. Так как через
поперечное сечение первоначальной падающей струи за одну секун-
ду проходит такая же масса жидкости, что и через поперечные сечения обеих образовавшихся струй, и поскольку жидкость несжи
маема, то
pd0^ = pd^ + р<72^2 •
Найдем, как меняется скорость частиц жидкости. Проследим за небольшой массой Am жидкости, которая перемещается из основной струи в левый рукав. Такое перемещение равносильно просто переносу этой жидкости из области I в область II. Но в области I мы «извлекаем» объем жидкости V}, и силы давления совершают положительную работу	. В области II работа сил давления
отрицательна и равна Л2 =~Р^2‘ Следовательно, полная работа внешних сил равна А =	- p2V2. Но жидкость несжимаема, и,
следовательно, = V2. Кроме того, давление во всех струях тоже одинаково и равно атмосферному, так как границы у струй плоские. Поэтому Л = 0. По теореме о кинетической энергии изменение кинетической энергии массы Ат жидкости равно Л. Следовательно, кинетическая энергия частиц жидкости и их скорость остаются постоянными:	= е2 = v, и из первого равенства получаем
= d^ + d2 •
Поскольку на жидкость не действуют никакие внешние горизонталь
174
ные силы, горизонтальная проекция импульса текущей жидкости должна оставаться постоянной:
mv cos ос = mxvx - m2v2 , где т, и т2 - массы жидкости, прошедшие через сечения струй за одно и то же время. Так как m~dG,	и т2 ~d2, то
d^ cos ос — d^ 6^2 •
Тогда получаем
,	2«	. 2 «
cos , d2 — sin .
Мы говорили, что давление во всех случаях равно атмосферному. Это, однако, верно далеко от места попадания струи на плоскость, где струя плоская. В том же месте, где струя ударяет о плоскость, она искривляется, и давление здесь другое. Его нетрудно найти. Так как сила F , действующая на струю со стороны плоскости, равна скорости изменения проекции импульса Р струи на ось У, перпендикулярную к плоскости, а АРу = Psina, то
ЛР Р sin а
F =	.
At At
За время At на плоскость попадает объем жидкости V = Sv At с
массой М = pSvAt и импульсом Р = 2
= Mv = pSv At, где 5 - площадь сечения струи. Поэтому
2 sina-A£ ?
F =------------= pSv sin а.
At
Благодаря этой силе удерживаются, например, на поверхности воды лыжник (рис.68) и глиссер на подводных крыльях.
Площадь 5 зоны повышенного дав
ления примерно равна площади сечения струи. Поэтому
г 2 .
р-------- pv sin а.
Давление это невелико. Например, при нормальном падении на плоскость (а = 90°) струи воды, скорость которой равна 10 м/с (такую скорость имеет, например, капля, падающая с высоты 5 м), давление составляет
р~105 н/м2.
175
Эта величина равна всего лишь атмосферному давлению. В то же
время не зря поговорка говорит, что капля камень точит. И
действительно, при регулярном падении капель с высоты всего
Рис. 70
1 — 2 м камень постепенно разрушается. В чем же здесь дело? Мы вернемся к этому вопросу в задаче 32. Здесь же рассмотрим другое интересное явление - кумулятивную струю. Она возникает, например, когда поток жидкости налетает под углом на плоскость так, как показано на рисунке 69. В этом случае вдоль плоскости «бьет» струя, скорость которой во много раз превышает скорость набегающего потока. Такая струя обладает огромной кинетической энергией. —
Найдем скорость и кумулятивной струи при падении на плоскость потока жидкости, имеющего скорость v . Обозначим ос угол между фронтом потока и плоскостью (рис.70). Точка пересечения фронта потока и плоскости перемещается вдоль плоскости Обозначим с ее скорость. Если мы перейдем в систе-
му отсчета, движущуюся со скоростью
с , то в ней задача сводится к предыдущей - струя движется так, что
ее скорость направлена под углом ос к плоскости, со скоростью vx = v- с и разбивается на две струи, движущиеся со скоростями, равными по модулю щ «вперед» и «назад» вдоль плоскости.
Найдем и с. Так как вектор перпендикулярен вектору v , то
V с =----- и щ = v etg а .
sin а
В неподвижной системе отсчета, в которой плоскость покоится, скорость и кумулятивной струи равна c + v^ т.е.
v	а
и =-----т v etg а = v etg — .
sin а	2
При малых ос эта скорость можем достигать огромной величины, во много раз превосходящей v. Например, при ос = 10 и ~ 1	, при
а = 2° и ~ S7v и т д Во много раз в кумулятивной струе может быть
176
больше и энергия единицы объема жидкости (плотность энергии) 2	2
ргг2/2 При а = 10°	~ 120, при а = 2° —— ~ 32001
pv	pv
Возникновением кумулятивной струи объясняются необычайно высокие приливы в некоторых сужающихся заливах. Обычно на берегу океана высота прилива составляет примерно 1 м. В то же время, например, в сужающемся заливе Фанди (Канада) она достигает 15 м. Это объясняется тем, что, когда приливная волна входит в залив, она распространяется под углом к берегам. Возни
кает кумулятивная струя, идущая вдоль берегов и попадающая в узкие части залива. Так как ее скорость в несколько раз превышает скорость приливной волны, то высота прилива оказывается значительно выше.
Кумулятивная струя возникает и при столкновении двух струй, фронты которых движутся под острым углом друг к другу (рис.71). Такое столкно-
вение происходит, например, в кумулятивном снаряде. Снаряд
представляет собой цилиндр, заполненный взрывчатым веществом, в котором сделана выемка Выемка покрывается тонкой (1—2 мм)
металлической облицовкой. При взрыве облицовка начинает сжиматься, двигаясь со скоростью примерно 103м/с, и развивается огромное давление порядка 4 • 1013 Н/м2. При таком давлении
металл ведет себя подобно жидкости, и образуется кумулятивная
струя толщиной 1,5 — 3 мм, скорость которой может быть больше 104 м/с. Такая струя легко пробивает слой стали (брони), толщина которой, как оказывается, равна длине кумулятивной струи.
Этот результат нетрудно получить простыми вычислениями. Так как при больших давлениях металл ведет себя как жидкость, то определим глубину проникновения струи ДЛИНОЙ / И ПЛОТНОСТЬЮ р0 В ЖИДКОСТЬ ПЛОТНОСТЬЮ Р В ЖИДКОСТИ образуется каверна, по стенкам которой начинает растекаться струя (рис.72). Обо-
значим скорость головки струи, кото-
рая приняла форму гриба со шляпкой, a v - скорость струи. В системе отсчета, движущейся со скоростью , скорость струи равна v -	, а скорость жидкости равна В вершине головки струи
сталкиваются две струи, идущие справа и слева Их давления
177
должны совпадать. А так как давление, как мы показали, пропорционально рг;2, то
Ро(<у-«1)2 =рг^2.
Отсюда
v vt =----/^=-
1	+ VP/Po
Если струя падает в жидкость той же плотности, то р = р0 и = v/2 - скорость проникновения струи равна половине скорости струи. Струя будет проникать в жидкость, пока вся она не пройдет точку О, т.е. в течение времени х = l/(y - щ). За это время она пробьет слой жидкости толщиной
V	V
L = — т = / —----.
2	2^-^)
При р = р0 L = I, т.е. струя пробьет слой жидкости толщиной в длину струи. В случае кумулятивного снаряда длина струи равна примерно образующей конической вставки. После пробития слоя, толщина которого меньше длины струи, скорость струи равна первоначальной.
Интересное применение кумулятивной струи для сварки металлов предложил академик М.А.Лаврентьев. Если два листа металла бросить плашмя навстречу друг другу с большой скоростью, то возникает кумулятивная струя, бьющая от точки контакта металлов. Эта струя уносит с собой окислы и загрязнения, благодаря чему соединившиеся листы свариваются. Так можно обеспечить высококачественную сварку таких металлов, которые вообще не свариваются друг с другом.
Еще один, теперь уже последний, пример кумулятивной струи. При бросании тела в жидкость, например камня в воду, в жидкости образуется воронка. Затем жидкость со всех сторон устремляется в воронку и образует кумулятивную струю, поднимающуюся в виде всплеска на довольно большую высоту, иногда выше того уровня, с которого было брошено тело.
Вот к каким интересным выводам приводит почти обычная «школьная» задача.
32.	Для простоты будем считать, что кран представляет собой круглую заслонку с площадью 5, равной площади сечения трубы. При закрывании такого крана частицы воды, попавшие на заслонку, останавливаются, передавая свой импульс заслонке. В результате этого у заслонки образуется область с повышенной плотностью, в которой вода покоится. Границы этой области перемещаются по трубе со скоростью звука с (с этой скоростью распространяется
178
любое упругое возмущение в жидкости). Значит, за время At остановятся те частицы, которые находятся в объеме V - Sc At. Масса этого объема воды равна т = pSc At ( р - плотность воды), изменение скорости Av равно v, а изменение импульса АР равно pScv At Следовательно, на воду (согласно второму закону Ньютона) действует сила
Такая же по абсолютной величине сила действует со стороны воды на заслонку, поэтому давление на заслонку равно
F
р = Т = pcv'
Подставляя численные значения р = 103 кг м3 , с = 1500 м/с и V = 10 м/с, получим
р = 1,5 107 Н м2 = 150 атм.
Это в 150 раз больше давления установившегося потока на преграду. Понятно, почему капля долбит камень!
Явление, которое мы разбирали, называется гидравлическим ударом Встречается оно довольно часто. Например, когда морская волна ударяет о мол или прибрежную скалу. Из-за него же опасно падать в воду плашмя.
33.	Будем считать, что труба достаточно длинная, так что граница областей с различными плотностями находится далеко от конца цилиндра. Тогда ясно, что единственной горизонтальной силой, действующей на вещество в цилиндре, —
является сила F . Поэтому изменение импульса вещества в цилиндре равно импульсу этой силы.
Обозначим скорость движения поршня v, а плотность сжатого вещества р (рис.73). Чтобы вычислить изменение импульса вещества, перей
дем в инерциальную систему отсчета, связанную с поршнем. Тогда вещество слева от движущейся границы неподвижно, а справа от границы имеет скорость, равную v и направленную влево, в сторону поршня. За время At из одного состояния в другое перейдет вещество массой р0 • cAt • Ttr (это хорошо видно в неподвижной системе отсчета), изменив скорость от ~v до нуля. Получаем
2 FAt = pQcAtnr -v.
Ясно, что скорости с и г не независимы. Из условия сохранения
179
vAt	cAt
Рис. 13
массы следует, что масса вещества, которое находится в объеме nr2v&t, при смещении поршня на расстояние v\t должна распределиться по объему Ttr2c\t, причем здесь она будет иметь плотность Др. Поэтому
2	2
Ttr ирМ = Ttr cApAf , откуда
Р
С = V — .
Др
Подставляя это выражение в формулу для F\t, получим
г- 2 2 РРо .	Ро
F = nr v ----—, и Др = р----у---,
2	Р“Ро	Рос -Р
где р= F/pr) - давление на поршень.
Мы рассмотрели, как распространяется импульс сжатия в упругой среде, например в газе. Если скорость v поршня мала, то мало и Ар, а с - это скорость звука в газе. В этом случае, впрочем, не происходит скачка плотности - резкого изменения р. Фронт импульса размывается, и р меняется плавно. Если скорость поршня велика - больше скорости звука, то картина резко меняется. Прежде всего, в равенство для FM уже входит не скорость с звука в среде с плотностью р0, а скорость с1 в среде с плотностью р = р0 + Ар. При больших Ар они не равны, и, как оказывается, с1 > с В этом случае и с уже не равно скорости звука, а совпадает со скоростью поршня На фронте импульса развиваются очень большие давления, он резкий - со скачком плотности и давления. Такой импульс называется ударной волной При движении ограниченного тела (самолета, снаряда) в среде со скоростью больше скорости звука впереди тела бежит ударная волна. Эта ударная волна распространяется затем в стороны со скоростью, равной скорости звука. (В результате возникает картина распространения волн, которую мы увидим при решении задачи 153 )
34. При распространении цунами (или прилива) вода приводится в движение и приобретает импульс у переднего фронта волны и затем теряет этот импульс, когда се обгоняет задний фронт Обозначим v скорость волны и рассмотрим движение воды в системе координат, движущейся со скоростью v Невозмущен-.	ная вода перед и за пунами движется
-7"2—ПТ" со скоростью -v Обозначим и ско-_Z —	~h рость воды в некотором сечении / вол-
—-1. ны и h - расстояние в этом сечении до
- ~	~	- —~1 _ дна океана (рис 74) За время \t че-
I	Н рез сечения J и JJ проходят одинако-
Рис. 74	вые объемы воды (вода несжимаема)
180
Следовательно, h^ukt = huAt, и
иЛ h
Так как h > /?0, то и < v, и, следовательно, импульс воды, проходящей через слой I — II за время &t, уменьшается на \m(v - и) = plhtfAt(v - и], где р плотность воды и / - длина некоторого выделенного фронта волны. Это изменение импульса равно импульсу внешних сил и F2 , действующих на границах
1
слоя I — II. Среднее давление в сечении I равно — pgh , а площадь 1 2 2
сечения lh. Следовательно, Ft = — pgh I. В сечении II, соответствен-1	2	2
но, F2 = — pgh^l Равнодействующая этих сил равна их разности, а 2	-j
ее импульс равен (Ft - F2 = — pgl\h -h^kt. Так как h ~ hQ (высота волны мала по сравнению с глубиной океана), то можно считать, что h + hQ ~ 2hQ, так что импульс внешних сил равен pglh^h - /г0)Д£ и, следовательно,
р//г0 (v - u)v\t = pgl(h - hQ )/г0	,
или
v(v - u)~ g(h - /г0).
Подставляя сюда и = vh$/h, получим
h
Отсюда, если учесть, чго h ~ hQ, найдем v = y[gh = FF •
При распространении коротких гравитационных волн, длина волны X которых мала по сравнению с глубиной океана, роль глубины океана играет длина волны, так как на глубине такого порядка затухает возмущение поверхности океана Поэтому скорость распространения таких волн оказывается пропорциональной yl~g\, Скорость же цунами, как мы видели, не зависит от длины волны Такова же скорость приливной волны и вообще любых волн, длина которых много больше глубины океана. Подставляя в формулу для скорости /г0 = 5 • 103 м, получим v = 220 м/с
Найдем еще время, за которое цунами или приливная волна может обежать земной шар
2nF4
t =----- = 1,8 10' с « 50 ч.
v
181
Если убрать Луну и образовавшимся ранее приливным волнам предоставить возможность распространяться вокруг земного шара, то каждый из максимумов прилива проходил бы данную точку через 50 ч. Так как максимумов приливов два, то время между приливами было бы 25 ч - на час больше суток. Из-за влияния Луны распространение приливной волны оказывается не свободным, а вынужденным. Его можно сопоставить с вынужденными колебаниями маятника (см. задачу 147).
35.	При движении стула до момента соприкосновения передних ножек с полом его центр тяжести опишет дугу окружности с центром, лежащим на прямой, проходящей через задние ножки стула. В момент удара о пол скорость центра тяжести будет иметь проекции как на вертикальную, так и на горизонтальную оси. Удар о пол является неупругим, и вертикальная проекция скорости центра тяжести стула «гасится». Для того чтобы обратилась в ноль горизонтальная проекция скорости центра тяжести, нужно, чтобы сила трения действовала некоторое время (FTp£ = т^гор), а за это время стул сдвинется на некоторое расстояние вперед.
При большом начальном отклонении стула в момент удара передних ножек о пол задние могут оторваться от пола.
Одно время в литературе много писалось об инерциоидах -устройствах, которые, как утверждали авторы, движутся благодаря внутренним силам. Так как это противоречит законам механики, то эти законы объявлялись неверными. В действительности, конечно, поведение всех этих устройств прекрасно описывалось законами механики, а авторы плохо учитывали внешние силы и их характер, в частности силу трения.
Таким инерциоидом может быть стул с сидящим на нем человеком. Если, сидя на стуле (не касаясь ногами пола), резко отклониться назад, то стул отклонится от вертикали (делайте это не слишком энергично, а то перевернетесь!). Возвращаясь в нормальное положение, вы вместе со стулом отклонитесь вперед. Нетрудно сообразить, что когда вы откидываетесь назад, сила, действующая на ножки стула, увеличивается. Поэтому увеличивается и сила трения, не дающая им возможность проехать назад. При дальнейшем же движении стула, когда центр тяжести человека со стулом движется по дуге, сила давления на пол уменьшается, и сила трения оказывается недостаточной, чтобы удержать стул на месте
36.	Время столкновения пули с дверью (в отличие от времени воздействия пальца на дверь) мало. За это время деформация, вызываемая давлением пули, не успевает распространиться на большие расстояния. Поэтому импульс, теряемый пулей, передается сравнительно небольшому участку двери, и пуля пробивает в ней небольшое отверстие
За время входа пули в стакан уровень воды в стакане не успевает
182
измениться. Поэтому в месте входа пули вода сжимается, и возникает область высокого давления, которая, расширяясь со скоростью звука, достигает через некоторое время стенок стакана. Стакан разлетается вдребезги.
37.	За время At насос подает на высоту Н массу воды pVA£, совершая работу А, равную изменению механической энергии воды. Так как насос «гонит» воду с некоторой скоростью v, то
(рКД£)г?2	.
27 +(рУД^Н.
Следовательно, мощность насоса pVv2 N = ^—^— + pVgH.
Найдем скорость v. За время At через поперечное сечение трубы площадью 5 = ти72/4 проходит объем воды VAt = vAtnd2 /4. Отсюда
4V
nd2 '
Таким образом, мощность насоса
8рУ3
N = -^ + pVgH.
it d
Из последнего выражения видно, что чем больше диаметр d трубы, тем меньше необходимая мощность насоса. Но можно уменьшить величину N, не меняя диаметра трубы. Если трубу обрезать на высоте h Н, то вода будет вылетать из трубы с некоторой скоростью и. Для этого необходима мощность насоса
, pVw2 ,
W = —-— (так как /г «Н , то потенциальной энергией на высоте h для простоты мы пренебрегаем). Для того чтобы вода поднялась на высоту Н, необходимо, чтобы ее скорость была не меньше чем
Таким образом, получим, что в этом случае можно использовать насос мощностью
М' = pVgH.
38.	Вертолет (или модель) удерживается в воздухе благодаря реактивной силе, возникающей, когда винт отбрасывает воздушную струю. При этом на вертолет со стороны отбрасываемой струи согласно третьему закону Ньютона действует сила, равная по абсолютной величине силе, действующей на струю. Обозначим р
183
плотность воздуха, 5 - площадь струи и v - ее скорость. Тогда за время At винтом «отбрасывается» вниз объем воздуха Sv At с массой т = pSvAt, а импульс воздуха изменяется на величину
др = mv = р5Т2 At.
Согласно второму закону Ньютона на воздух действует сила
ДР о F =----= pSv .
At
Эта сила равна силе тяжести вертолета:
р5/2 = Мд,
мощность же двигателя равна энергии, сообщаемой воздуху за 1 2 mv 1 Q N =----------------------------= —pSv.
2At 2
Подставляя сюда v = y]Mg/(pS), получим
N =
Так как масса пых размеров
вертолета пропорциональна объему, т е. кубу линей-L , а 5 ~ L , то
N~£7/2.
Это означает, что отношение мощностей двигателей вертолета и модели должно быть равно отношению их линейных размеров в степени 7/2:
N L мод V мод 7
Отсюда
N = N 107/2 = 96 кВт.
МОД
39.	Работа А двигателя равна изменению кинетической энергии воды За время At двигатель засасывает объем воды V = vSAt, имеющий относительно катера скорость v и кинетическую энергию
1	2	1	3
Ек = — (vSAt)pv =—pSvAt
(здесь р- плотность воды). Эта вода выбрасывается со скоростью и и кинетической энергией
,	1 z	X 2
£К = 2 (PSv^)u 
184
Так как вода несжимаема, то vSAt = гл$'Л/:,так что 5	,	1 S3 з
u = v — , и Ек =— P^z-V At.
’ к	9 ’ 2
Z S
Тогда
1 4*2-?) з
А = Е'К -Ек = -р----v*At.
2 s
Полезная же работа равна
А юл A>eaKT^^ ’
где F т - реактивная сила, действующая на корабль. Она равна по абсолютной величине изменению импульса воды в единицу времени, так что
S - 5 з Лол=р5------VM.
S
Таким образом, КПД равен
A S + s
40.	Вначале максимальное ускорение, с которым может двигаться автомобиль, определяется максимальным значением силы трения колес о дорогу:
Ар рМд
а = —- =---= рд.
ММ
При этом автомобиль движется с мощностью, меньшей максимальной (чтобы не было проскальзывания), а его скорость пропорциональна времени:
v = at = [igt.
В момент времени t = tx скорость станет равной vx = \ygtx, а мощность двигателя достигнет величины
N = ftp^i = ^м9	= v?g2Mtx.
Отсюда
N
tx = ----— ~ 2,8 c, a = \igtx ~ 16,8 м/с .
H 9 M
Начиная с этого момента сила трения становится меньше максимальной, и изменение кинетической энергии автомобиля равно N(t -	.
Следовательно, общее время разгона автомобиля равно
m(v2-v2\
t = t.+ —--------- 6,5 с.
1 2N
185
41.	Так как частицы воды на поверхности находятся в равновесии, то потенциальная энергия частиц одинакова как в «углублении», так и далеко от полости. Далеко от полости она равна
Мт	Мт Vpm
-G----, в низшей точке «углубления» она -G---+ G-----, где
R	J J	R-h L + r
m - масса частицы воды, h - понижение поверхности океана, L -
4 з
глубина океана, V = —пг - объем полости, М - масса Земли, R -
радиус Земли. Таким образом, М М	4	г3
G — = G-----------kGo-----.
R	R-h	3	L+r
Отсюда, учитывая, что h<z.R, и для оценки принимая плотность полости равной средней плотности Земли: р = м/(4л/?3/з) получим
hR(L + г) = г3.
Полагая г L , найдем
г ~ ^2hR ~ 15,7 км.
Более точно это уравнение можно решать графически, начертив на миллиметровке графики функций ух- г и у2 = (L + r)hR, где
L ~ 10 км, и найдя точку их пересечения.
42. Для простоты будем считать, что скорость спутника изменяется за очень короткий промежуток времени (малый по сравнению
с периодом обращения спутника по круговой орбите). Минимальное расстояние от поверхности Земли до эллиптической орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, т.е. обе орбиты спутника имеют общую точку (точка / на рис.75), в которой и произошло изменение скорости спутника. Найдем скорости Vq и спутника в этой точке на круговой и эллиптической орбитах, а затем и изменение скорости М) - vx -	.
Вначале определим скорость т’о спутника при движении по круговой орбите.
Так как центростремительное ускорение a = v^l(R + ti), где R -
тМ радиус Земли, спутнику сообщает сила тяготения F = G----------- ,
(R + h)
где М - масса Земли, т - масса спутника, то, согласно второму
186
закону Ньютона,
2
mvQ тМ
R + h (R + h)2
И
Для того чтобы определить скорость v{ спутника, когда он движется по эллиптической орбите на высоте h над Землей, воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера. В тот момент, когда спутник находится на расстоянии h от Земли, он тМ
обладает потенциальной энергией Л1 = -G---. Кроме того, спут-
R + h
2 mv.
ник имеет кинетическую энергию	= —-—. На высоте Н от Земли
тМ
спутник обладает потенциальной энергией П2 = -G----- и кине-
2	R + Н
mv2
тической энергией К2 = —, где v2 - скорость спутника на высоте
Н. Согласно закону сохранения энергии,
2	2
mv. тМ mv-} тМ
____1 _ g  _ _____________Z _ g _________
2 R + h~ 2 R + H'
По второму закону Кеплера площади, заметаемые радиусом-вектором спутника за равные промежутки времени, равны. На рисунке 75 это площади выделенных фигур. Если промежуток времени мал, скорости движения спутника вблизи точек 1 и 2 можно считать постоянными. Тогда вместо секторов можно рассматривать соответствующие равнобедренные треугольники. Запишем равенство их площадей:
1 1
— vx (R + ti)At - — v2 (R + H)At.
Из последних двух равенств найдем
| 2GM R + H
V' \2R + Н + h R + k
Тогда изменение скорости спутника равно
Av = V\ - Vq = 2365 м/с .
Теперь определим период Т обращения спутника по эллиптической орбите. Согласно третьему закону Кеплера, отношение квадратов периодов обращения спутника равно отношению кубов больших
187
полуосей. Поэтому
' Т ? _ (2R + H + Л)3 JoJ 8(7? + Л)3
где То - период обращения спутника по круговой орбите радиусом R + h, который равен 2л (/? + /г)/^0 • Следовательно,
z	ч \2R + Н + h
Т = л(2R + Н +	~ 12,1 ч.
v	'V 2GM
43. Энергия спутника равна (см. задачу 42)
1 о тМ
Е = — mv - G-
2	R
где R ~ радиус орбиты, v - скорость спутника. В случае круговой
I М
орбиты v = JG— , так что
тМ тМ 1 Мт
1	.....	.....	.	.....
Е =—G--------G------=—G---------.
2	R R	2 R
Если включить двигатель, разгоняя спутник, то Е увеличится. Это, как видно, приведет к увеличению среднего радиуса орбиты, а так как квадраты периодов обращения спутников относятся как кубы больших полуосей их орбит, то период обращения спутника тоже увеличится. Старая и новая орбиты спутника будут проходить через одну и ту же точку (в которой включался двигатель). Однако теперь второй спутник будет приходить в эту точку через больший промежуток времени, чем первый, и, следовательно, расстояние между спутниками начнет увеличиваться. Так состыковаться не удастся.
Как же состыковать спутники? Для этого можно, например, сообщить импульс «назад». Тогда орбитой станет эллипс с меньшей, чем радиус окружности, большой полуосью, а период обращения спутника уменьшится. Благодаря этому спутники в области пересечения их орбит будут сближаться. После сближения можно увеличить скорость спутника, чтобы сделать ее такой же, как у первого, и осуществить «мягкую» стыковку.
44. Обозначим скорость налетающего шара до столкновения г>0, после столкновения v и скорость покоящегося шара после столкновения и. Запишем законы сохранения энергии и импульса:
1	2 1	2 1	2
— mv(]=- Ми + — mv ,
2	0 2	2
thvq = Ми + mv .
188
Решая эти уравнения совместно, найдем
2 и = Vo -----,
0 & + г
М
где k = — ~ отношение масс шаров. т
Теперь можно найти энергию, переданную первоначально покоящемуся шару:
2	2
Ми	mVf.	1
Е =-------= 4k------------
2
2 (k + I)2 ’
2 mvo Так как ---— = Eq - это начальная энергия налетающего шара, то
2 £
7-
Е = 4Е0
минимуму выражения
Исследуем полученное выражение. Очевидно, что при k = 0 и k
k —> оо энергия Е —> 0. Так как функция	непрерывна, то
при некотором значении k она будет максимальна. Ясно, что максимум функции соответствует (k + 1)2	1	1
-----— = k + — + 2 , или k + — . Но так
k	k	k
его минимальное значение равно 2, т.е
что при этом k = 1. Следовательно, налетающий шар теряет максимальную часть своей кинетической энергии при столкновении с шаром той же массы. График зависимости E(k) показан на рисунке 76.
Теперь понятно, что для того чтобы замедлить нейтроны - отобрать у них максимально возможную часть энергии, необходимо, чтобы нейтроны сталкивались с атомами как можно более близкой
массы - лучше всего с ядрами атомов водорода. Поэтому для защиты от нейтронов и используются водородосодержащие вещества.
Формула для Е позволяет понять также одну из основных трудностей, с которой сталкивается осуществление управляемого термоядерного синтеза. Для того чтобы такой синтез стал возможен, дейтериевая или дейтерий-тритиевая плазма должна быть нагрета до температуры в несколько сотен миллионов градусов (108 — 109 К). Соответствующую энергию должны иметь ионы дейтерия и трития. Самый простой способ увеличения энергии заряженных частиц -воздействие на них электрического поля. Но при этом практически
189
вся энергия воспринимается электронами, имеющими большую длину свободного пробега Конечно, в дальнейшем энергии электронов и ионов должны постепенно выравниваться Однако из-за большого отношения масс при каждом столкновении электрон
передает иону очень маленькую энергию, и потому время установления теплового равновесия очень велико - больше времени удержа-
ния плазмы.
45. На кубик при ударе о стенку действуют две силы: сила нормальной реакции стенки и сила трения (рис.77). Разложим
скорости кубика до и после
столкновения со стенкой на составляющие, параллельные этим силам. Скорости v} = v sin а и их перпендикулярны стенке, а скорости ^2=^cosa и и2 параллельны ей.
В направлении, перпендикулярном стенке, между кубиком и стенкой, как обычно, происходит абсолютно упругий удар, в результате которого перпендикулярная составляющая скорости кубика меняется на противоположную:
их = -v sin а .
Это означает, что составляющая импульса кубика, перпендикулярная стенке, меняется на 2mv sin а, где т - масса кубика. Если время соударения кубика со стенкой т , а средняя абсолютная величина силы реакции стенки Ncp, то, согласно второму закону Ньютона, изменение составляющей импульса кубика, перпендикулярной стенке, равно импульсу силы реакции, т.е.
2mv sin а = NrnT. ср
Если бы на кубик не действовала сила трения, то составляющая импульса кубика, параллельная стенке, не изменилась бы и кубик отскочил бы от стенки под тем же углом а, под которым двигался к ней до удара. Однако благодаря действию силы трения в нашем случае меняется и составляющая v2 скорости кубика Предположим вначале, что средняя сила трения Етрср = Ncpp , действующая на кубик, такова, что за время взаимодействия кубика со стенкой параллельная составляющая скорости кубика не успевает уменьшиться до нуля. В этом случае
ти2 -mv2 - -Т^рсрТ , или ти2 = mv cos а - Л/срцт.
Но NcpT = 2r/wsina, поэтому
ти2 = mv cos а - 2pr/w sin а , или и2 = ^(cos а - 2ц sin а).
190
Следовательно, кубик отскочит под углом р таким, что
tgP =
“2
tga
1 - 2ц tg а ’
Однако если tg а > —, то кубик будет проскальзывать относитель-2ц
но стенки не все время удара, а только до тех пор, пока составляющая его скорости, параллельная стенке, не обратится в ноль. Вместе с ней обратится в ноль и сила трения, действующая на кубик, и кубик отскочит под углом 90° к стенке.
46. Перейдем в систему отсчета, связанную с ногой футболиста. В этой системе отсчета покоящийся относительно земли мяч налетает на ногу с некоторой скоростью.
Если при ударе не происходит потери энергии, то мяч отлетает с той же скоростью, и, следовательно, его скорость относительно земли равна удвоенной скорости ноги. Потери энергии приводят к тому, что скорость мяча будет меньше. В случае абсолютно неупругого удара скорость мяча равна скорости ноги, и тогда дальность полета мяча примерно в четыре раза меньше дальности его полета при абсолютно упругом ударе
Рассмотрим, чем определяются потери энергии. При ударе деформации ботинка и мяча являются упругими (если только мяч накачан не слишком слабо), так как после удара и ботинок и мяч восстанавливают свою форму. Однако восстанавливать свою форму мяч и ботинок могут не одновременно, и тогда мяч отскочит, не получив всей запасенной при ударе потенциальной энергии деформации. При ударе и деформации соприкасающихся частей ботинка и мяча в них возникают бегущие волны сжатия. Если эти волны возвращаются назад одновременно, то их энергия почти полностью переходит в кинетическую энергию мяча. Если мяч недостаточно накачан или «перекачан», одна из волн приходит раньше, и мяч отскакивает, не получив всей энергии упругой деформации.
hv
47. Атом, излучив фотон с энергией hv и импульсом = —,
->	ф с
приобретает импульс mv . Из закона
сохранения импульса следует, что век-	ХЛ
тор т v начального импульса атома и ai
->	rnv
векторы mvx и Рф образуют треуголь-ник (рис.78). Поэтому
/	\2 I \2	(hv}2 hv
[mvt = (mv) + —	- 2mv — cos а.
191
Кроме того, согласно закону сохранения энергии,
2	2
mv mv< -----=----— + hv - АЕ
2	2
где АЕ - изменение внутренней энергии атома.
Для излучения первоначально покоящимся атомом мы можем записать
_	/2V0	mu2
О = mu-------и АЕ =--------+ hVn.,
с	2	0
где и - скорость атома после излучения. Из этих уравнений найдем
( А
АЕ = hvQ\ 1 +----у .
k 2тс )
v
— cos а.
Теперь нетрудно получить v - vn ( h ----------------- 1 +----7 v 2тс
Для малых (оптических) частот можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках. В результате получим
v-vo v
------ ~ — cos а. v с
Это - формула Доплера.
Итак, движущийся атом излучает свет, частота которого отличается от частоты излучения покоящегося атома. Если атом движется к наблюдателю, то частота излучения v больше v0, а длина волны X меньше Хо. При движении от наблюдателя cos а = -1, Av < 0, т.е. v < v0 , а X > Хо. Уменьшение частоты излучения, которое приходит к нам от далеких звезд (красное смещение), позволяет измерять их лучевые скорости. Более того, эффект Доплера позволяет определить, вращается ли звезда, расширяется ли ее газовая оболочка и так далее.
Эффект Доплера позволяет также измерять на расстоянии температуру различных объектов. Так как атомы вещества находятся в хаотическом тепловом движении, то частота излучения имеет непрерывный набор значений от v - Av до v + Av, где Av определя-ГЙТ z
ется скоростью теплового движения v	(здесь R - универ-
сальная газовая постоянная, М - молярная масса вещества, Т -температура тела), т.е. говорят, что спектральная линия уширяется. По уширению линии нетрудно найти v, а затем и температуру Т тела.
Это, конечно, только некоторые из применений эффекта Доплера в современной физике и технике.
192
6*
48.	При излучении у-кванта его энергия меньше разности внутренних энергий ядра на величину энергии движения самого ядра из-за отдачи. Для того чтобы у -квант мог поглотиться ядром, его энергия должна быть больше, чем разность внутренних энергий ядра, на величину кинетической энергии, которую атом приобретает после поглощения.
Рис. 79
Если атом является узлом решетки, то отдача может восприниматься всем кристаллом в целом, а так как его масса много больше массы одного атома, энергия отдачи мала. В этом случае у -квант, излученный ядром атома, может поглотиться ядром атома такого же кристалла (эффект Мёссбауэра).
49.	На рисунке 79 изображена соответствующая конструкция подвески передних колес. Цифры показывают относительную длину соответствующей части рычага.
50.	Сила / может зависеть только от диаметра d столба, коэффициента трения Ц между столбом и канатом и от силы F. Из соображений размерности следует, что f ~ F. Действительно, никакая другая комбинация величин F, Ц и d не будет иметь размерность силы (р - безразмерная величина). Таким образом,
f = kF,
где k - константа, которая определяется величиной Ц. Причем при любом изменении диаметра столба сила f останется прежней.
Найдем теперь, как изменится сила f при намотке на столб п витков каната. Для второго витка роль силы F играет сила f. Следовательно,
f2 =kf = k2F,
где /2 ” сила, которую нужно приложить к свободному концу каната
при двух витках. Для третьего витка Аз = kf2 = k3F.
Для ц-го витка получим
51.	При отклонении игрушки, например, вправо центр тяжести С смещается (рис.80). Если при этом он окажется левее вертикали АВ, то момент силы
тяжести относительно точки опоры А Рис. 80
193
7-Задачи по физике
будет возвращать игрушку в положение равновесия. Если же он окажется правее, то игрушка упадет.
Обозначим ос угол поворота игрушки, а Р - угол поворота радиуса О^А. Так как проскальзывания нет, то ar = $R, так что г
Р = ос —. Из треугольника ОАВ имеем
ОВ _ АО _ г _ г
sin Р sin(7i - а - Р) sin(oc + Р) sin(oc(l + r/R)j *
При малом отклонении sin(oc(l + r/R)} ~ ос(1 + r/R) и sin Р ~ р. Поэтому
ОВ г	г2
-----= —--------	 , или ОВ =-. ar/R ос(1 + г/ R)----------------R + г
Положение равновесия устойчиво, если ОС > ОВ, т.е. если
2
Г г
— >------, или R > г.
2 R + r
52.	При малых относительных деформациях пружина является упругой, т.е. целиком восстанавливает свою форму и размеры после освобождения ее концов. Если же относительные деформации велики, пружина становится пластичной, возникает остаточная деформация. Длина пружины становится больше начальной длины /0, если пружину растягивали, и меньше /0, если ее сжимали. Воспользуемся этим <X?OOOQOOQQOOp свойством пружины для решения задачи. uuyuUvUuuOUU Возьмем закрепленную на концах пру-жину за виток, который находится ближе 01	02	к одному концу пружины, чем к другому
Риа 81	(рис.81), и сдвинем этот виток к дальнему
концу пружины. Одна часть пружины окажется растянутой, а другая - сжатой. При этом их абсолютные деформации А/ будут одинаковыми, а относительные деформации - разными. Относительная деформация AZ/Z01 короткой части пружины будет больше, чем относительная деформация А///о2 длинной части пружины:
А/ > А/ ^01	^02
Это означает, что можно подобрать такие AZ, /01 и /02, что деформация длинной части пружины будет еще упругой, а короткой части - уже пластичной. После такой «обработки» длина длинной части (которая была сжата) останется прежней, а длина короткой части (которая была растянута) увеличится. Увеличится и длина всей пружины в недеформированном состоянии. Следовательно, закрепленная на концах пружина будет стремиться удлиниться.
Аналогично, если рассматриваемый виток пружины сдвинуть к
194
ближнему концу пружины и приложить внешние усилия такие, чтобы деформация длинной (растянутой) части пружины была упругой, а деформация короткой (сжатой) части пластичной, то
Рис. 82
пружина после обработки будет
стремиться сократиться.
53.	Потянув за одно из звеньев цепочки (рис.82), ей можно придать форму стержней. При этом будет произведена работа, которая, очевидно, идет на увеличение потенциальной энергии цепочки, т.е. на подъем ее центра тяжести. Так как в новом
положении центр тяжести цепочки совпадает с положением центра тяжести стержней, ясно, что центр тяжести свободно висящей цепочки расположен ниже центра тяжести стержней.
54.	Наинизшее положение центр тяжести стакана с сахаром занимает тогда, когда он находится на уровне сахара в стакане. Действительно, если уровень сахара лежит ниже центра тяжести системы, то центр тяжести понижается при досыпании в стакан сахара (при этом увеличивается масса ниже центра тяжести). Если же уровень сахара лежит выше центра тяжести системы, то центр тяжести опустится, если высыпать часть сахара выше него, Заполненный таким образом стакан наиболее устойчив.
55.	Если давление в трубе равно р, то на единицу длины поперек трубы приходится сила Ft = р торца =	, где R - радиус трубы.
2itR 2
pl 2R
Вдоль трубы на единицу длины приходится сила F2 = ~~	,
т.е. вдвое больше чем Ft. Поэтому труба всегда лопается вдоль, а не
поперек.
По этой же причине лопаются вдоль сардельки при варке.
56.	Для того чтобы щетка удерживалась в равновесии, нужно в случае ее отклонения от положения равновесия, т.е. поворота на некоторый угол, успеть подвинуть палец так, чтобы щетка вновь оказалась в положении равновесия. Щетка будет отклоняться медленнее, чем палка той же длины, так как центр тяжести щетки лежит выше центра тяжести палки. (Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрите, как зависит время падения легкого стержня с укрепленным на его конце тяжелым шаром от длины стержня.) Поэтому щетку удерживать легче, чем палку.
57.	Для того чтобы сохранять равновесие при езде на велосипеде, нужно, теряя равновесие, т.е. наклоняясь в какую-нибудь сторону, всегда поворачивать руль в ту же сторону, в которую падаешь. При езде «без рук» это происходит автоматически благодаря тому, что ось переднего колеса, а вследствие этого и центр масс вилки и колеса
195
7*
велосипеда, не проходит через ось руля, а лежит несколько впереди нее. Наоборот, чтобы повернуть, надо согнуться так, чтобы наклонить велосипед в сторону поворота.
58.	Давление р на стол в тот момент, когда вода начинает подтекать, равно pgR, а сила давления (сила, действующая на стол) равна
F - pS = npgR? .
Эта же сила равна общему весу колокола и воды, т.е.
2	3
F = тд + — TtR рд .
Следовательно,
2 з з
тд + — TtR pg = TtpgR .
Отсюда
1 з т - — npR .
।	;	59. Независимо от того, какой со-
I \	суд нагревается, вода потечет направо.
I____\	Пусть нагревается жидкость в пра-
-7 вом сосуде. Тогда она расширится и займет больший объем. Если бы сосуд с!У-7~У! был цилиндрическим (рис.83), давле-:	ние жидкости на дно не изменилось
 _.L_______бы: уменьшение плотности воды в точ-ности скомпенсировалось бы увеличением высоты столба жидкости. Это следует из того, что сила давления на дно цилиндрического сосуда, с одной стороны, равна силе тяжести, действующей на находящуюся в сосуде воду, а с другой стороны, равна давлению жидкости на дно, умноженному на площадь дна, т.е. pS. Так как ни сила тяжести, ни площадь дна при нагревании жидкости не меняются, то и давление на дно цилиндрического сосуда не меняется.
В коническом расширяющемся сосуде при таком же уменьшении плотности жидкости увеличение высоты столба меньше, чем в цилиндрическом сосуде. Это происходит по двум причинам: во-первых, расширяется меньшее количество жидкости, а значит, меньше изменение ее объема; во-вторых, при расширении вода должна заполнить «боковой» объем (выделенный на рисунке). Поэтому давление на дно сосуда при нагревании жидкости уменьшается. Так как при равновесии жидкости в трубке, соединяющей сосуды, давление у ее конца в левом сосуде должно быть равно давлению у ее конца в правом сосуде, то жидкость будет перетекать из левого сосуда в правый
196
60.	После открывания крана К\ и установления равновесия давление на дно в обоих сосудах одинаково, поэтому, так как температуры, а следовательно, и плотности жидкостей различны, уровень жидкости в сосуде с большей температурой и (соответственно) с меньшей плотностью жидкости выше, чем во втором сосуде. Нарисуем график зависимости давления в каждом из сосудов от высоты (рис.84), - атмосферное давление. На той высоте, на которой находится верхняя трубка,
давления в сосудах равны и р2. И так как р^ > р2, то при открывании крана К2 жидкость будет переливаться по верхней трубке из сосуда с большей температурой в сосуд с меньшей
температурой. Но уровень воды в каждом из сосудов должен
оставаться неизменным, так как только в этом случае давления на дно обоих сосудов будут одинаковы. А значит, по нижней трубке, соединяющей сосуды, жидкость будет перетекать из сосуда с меньшей температурой в сосуд с большей температурой.
61.	Система из трубок будет работать как сифон. Из верхней бочки вода будет перетекать в среднюю и нижнюю. Кроме того, из средней бочки вода будет перетекать в нижнюю. Так как скорость перетекания воды по сифону пропорциональна разности уровней воды в сосудах, то, когда уровень воды в средней бочке будет ближе к уровню воды в нижней бочке, чем в верхней, в среднюю бочку из верхней будет перетекать больше воды, чем из средней бочки в нижнюю. В этом случае будут наполняться как нижняя, так и средняя бочки. Если же уровень воды в средней бочке ближе к уровню воды в верхней, чем в нижней, то будет наполняться лишь нижняя бочка за счет вытекания воды из верхней и средней бочек.
62.	Водосброс (масса воды, протекающая в одну секунду) определяется высотой уровня воды над плотиной, зависит от плотности воды и ускорения свободного падения:
ц = f(p,g,h).
Из соображений размерности нетрудно получить
и = kpg3^2
(k - безразмерная постоянная). При возрастании водосброса втрое Лл/2 вырастает втрое и, следовательно, h возрастает в '^9 раз, т.е. примерно в 1,5 раза.
63.	Чтобы объяснить, что происходит с песком на берегу реки, начнем с ... обычных шариков. Одинаковые шарики можно уложить
197
на плоскости так, чтобы каждый из них касался других шаров. Затем в лунки между шарами первого слоя можно положить шары второго слоя. Они будут касаться трех шаров нижнего слоя и шести соседей своего слоя и т.д. Полученное таким образом расположение шаров называется плотной упаковкой шаров. Если нарушить плотную упаковку, выведя шары одного из слоев из лунок между шарами нижнего слоя, промежутки между шарами увеличатся. Возрастет и объем всей системы. Это означает, что если на систему из плотно упакованных шаров действуют силы, приводящие к нарушению плотной упаковки, объем системы увеличивается за счет увеличения промежутков между шарами.
Аналогично ведет себя и любая другая зернистая среда. Возьмите, например, пшено (или кофе), наполните им стакан, слегка встряхивая его, чтобы зерна располагались, образуя наиболее плотную из возможных упаковку. Затем надавите на пшено. Давление приведет к увеличению объема, занимаемого зернами, т.е. к нарушению плотной упаковки. Если теперь слегка постучать по стакану с тем, чтобы зерна вновь «упаковались» наиболее плотно, стакан окажется не заполненным доверху.
Теперь вернемся к песку на берегу. Он тоже плотно упакован. При давлении на песок плотная упаковка разрушается, и объем песка увеличивается за счет увеличения пространства между песчинками. Вода из верхних слоев песка уходит вглубь, заполняя эти увеличивающиеся промежутки. Песок как бы «высыхает». Когда ногу убирают, плотная упаковка восстанавливается, а вытесненная из уменьшившихся вновь промежутков вода заполняет след, оставленный ногой.
64.	Пусть центр шарика слегка сместится относительно оси струи. На шарик под струей воды действуют со стороны струи две силы: сила давления, направленная к центру шарика и стремящаяся вытолкнуть шарик из-под струи, и сила трения, направленная по касательной и стремящаяся вращать шарик. Так как шарик частично погружен в воду, между шариком и водой действуют силы вязкости, вращение шарика вызовет его качение в сторону струи. При достаточно больших отклонениях центра шарика от оси струи горизонтальная составляющая силы давления уменьшается, а действие трения увеличивается, поэтому шарик будет возвращаться под струю. Таким образом, шарик будет колебаться под струей. При более слабой струе возвращающие силы будут слабее, колебания шарика будут происходить медленнее и с большей амплитудой. Если амплитуда колебаний превысит радиус шарика, то он выскочит из-под струи.
65.	Когда воздух выдувают тонкой струей, его скорость велика. Поэтому давление в струе меньше атмосферного, отчего струей захватывается окружающий холодный воздух, не насыщенный
198
водяными парами, и «поставляется» в область над свободной поверхностью чая.
В другом случае выдыхается теплый, насыщенный парами воздух, скорость которого мала. Он-то и попадает на руку.
66.	Из-за вихрей, образующихся при обтекании дюн ветром, с наветренной стороны дюн образуется спокойная зона с пониженным давлением. В этой зоне выпадает песок, захваченный ветром с подветренной стороны.
Так же объясняется перемещение песчаных отмелей.
67.	В начале движения реактивного снаряда его скорость относительно самолета в течение некоторого промежутка времени меньше скорости самолета. Поэтому относительно воздуха снаряд движется в том же направлении, что и самолет, т.е. стабилизаторами вперед. Стабилизаторы разворачивают снаряд в направлении движения самолета так, чтобы его сопротивление набегающему потоку воздуха было минимальным; затем за счет реактивной тяги скорость снаряда увеличивается, и он догоняет самолет.
68.	Извилистое течение рек связанно с тем, что их прямолинейное течение неустойчиво. Это означает, что при случайном образовании небольшой извилины или неоднородности течения реки (например, из-за упавшего в воду дерева) изгиб реки будет увеличиваться. Для того чтобы разобраться, почему это происходит, рассмотрим ... стакан с чаем, в котором плавают чаинки. Если ложкой «раскрутить» чай в стакане, заставив жидкость вращаться, и затем вынуть ложку из стакана, то через некоторое время все чаинки соберутся вдоль оси стакана. Связано это вот с чем.
При вращении жидкости в стакане на каждую из частиц жидкости действует со стороны других окружающих ее частиц сила такая, что равнодействующая этой силы и силы тяжести направлена горизонтально и сообщает частице центростремительное ускорение a-^R, где со - угловая скорость вращения жидкости и R -расстояние, на котором находится частица от оси вращения. Чем больше расстояние R, тем больше ускорение частицы, значит, тем больше должна быть горизонтальная составляющая силы, действующей на эту частицу со стороны других частиц. Вот почему поверхность вращающейся жидкости принимает форму параболоида. (Напомним, что сила, действующая на частицу жидкости, которая находится у поверхности, со стороны других частиц, перпендикулярна к поверхности. Иначе составляющая этой силы, параллельная поверхности, вызвала бы движение частиц жидкости.) Благодаря такой форме поверхности жидкости давление в ней на одном и том же расстоянии от дна увеличивается по мере приближения к стенкам стакана.
После того как вынули ложку из стакана, скорость частиц жидкости у стенок стакана и у дна начинает уменьшаться из-за
199
Рис. 85
трения. При этом ускорение, сообщаемое этим частицам действующими на них силами, оказывается больше центростремительного, и в стакане возникает течение жидкости такое, как показано на рисунке 85. Из-за трения скорость этого течения у поверхности меньше его скорости на некоторой
Рис. 86
A[mv)
глубине. Это течение и переносит чаинки к оси вращения жидкости.
Подобное же круговое поперечное течение возникает и в реке там, где река делает поворот. Этим течением частицы песка со дна и наружного берега реки переносятся к ее внутреннему берегу. Таким образом, круговое течение увеличивает изгиб реки, размывая ее наружный берег. Более того, эрозия - разрушение берега и дна - сказывается сильнее у наружного берега реки. Поэтому дно реки принимает профиль, показанный на рисунке 86.
69.	При движении человека на него со стороны лодки действует сила, равная
F =
где т - масса человека и v - его скорость. Такая же по абсолютной величине сила действует на лодку. Но направлена она в другую сторону. Кроме того, на лодку действует сила сопротивления Fc — ku , где k - константа и и - скорость лодки. Итак, для лодки массой М
А(Ми\	А(Ми\
-F + ku = —----или ---------- + ku =——--
At	At	At
Отсюда
kuAt = A(Mu) + A(mv),
или, так как uAt = Ax - это смещение лодки, k Ах = A(Mw) + A(mv).
В конце концов лодка и человек в ней остановятся. Тогда А(Ми) и A(mv) будут равны нулю. Следовательно, в этот момент нулю будет равно и смещение Ах лодки.
70.	Линия останется прямой, так как смещение каждой точки радиуса монеты пропорционально расстоянию между этой точкой и центром монеты.
200
71. Обозначим х расстояние от нижнего края листа до точки О, которая остается неподвижной относительно крыши при нагревании листа (рис.87). Силы трения, действующие на участки листа выше и ниже точки О, как показано на ] по абсолютной т
= ц — ^хсозф и г1р2
" т
- х) coscp (здесь т - масса листа, а —— масса единицы длины листа, / - длина листа при температуре =20 °C). Так как лист нагревается медленно, можно считать, что в любой момент он находится в равновесии и сумма проекций на ось X сил, действующих на лист, равна нулю:
т	т
тд sin<p - ц —^хсозф + ц— g(l - x)cos<p = 0.
Отсюда найдем
направлены так, рисунке, и равны величине Е.гр1 = т
1
sincp + pcos<p
Х 2ц cos ф
Если весь лист при нагревании удлиняется на А/, то удлинение х
нижней части листа равно — Ы, так что при нагревании листа его нижний край опускается на
х sin ф + ц cos ф Ах = — А/ =-------------А/.
/	2ц cos ф
Аналогично найдем расстояние Аг/, на которое поднимается нижний край листа при охлаждении. В этом случае неподвижна уже другая точка Q' листа, а направления сил трения меняются на противоположные. Учитывая это, найдем
ц cos ф - sin ф Аг/ =-------------AZ.
2ц cos ф
За цикл изменения температуры нижний край листа опускается на Ах - Аг/, а за п суток лист сползет на
AL = пА1----= nalQ - t2)------.
ц	ц
Подставляя сюда численные данные, получим
AL ~ 2,5 см.
72. Молекулы диффундирующего вещества движутся хаотичес-
201
Л	|ч	ки, как и молекулы любого газа. Это
s' /	I	означает, что после столкновения с моле-
/	£____)	\ кулой воздуха направление движения
/	молекУлы диффундирующего вещества
/	а^7/ может быть совершенно произвольным.
/	/ Если проследить за такой молекулой, то
/ ее траектория представляет собой лома-/	ную, п-е звено которой может быть на-
правлено совершенно произвольно по от-”	ношению к (п - 1)-му (рис.88).
рис gg	Обозначим / среднюю длину одного
звена. Это - расстояние, которое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями. Его называют поэтому длиной свободного пробега. Обозначим еще Rn перемещение частицы за п шагов, Rn_\ ~ перемещение за (п - 1) —>
шаг, а а - угол между вектором Rn_x и следующим шагом. Тогда, согласно теореме косинусов,
= Rn-\ + /2 ~ cos а.
Усредним это равенство:
Rn = Rn~\ + /2 - 27?^/ cos а.
Но а может принимать любые значения и равновероятны все значения cos а , как положительные, так и отрицательные. Поэтому cos а = 0, и	__ _____
я2 = я2-1+'2.
Воспользовавшись этим соотношением, мы можем записать следующую цепочку равенств:
^=/2,
т?2 = R] +12,
7?з = Я2 +12,
^2=^-1+/2-
Теперь сложим их. Тогда все промежуточные величины сократятся, и мы получим
R2n=nl2.
Число шагов п пропорционально времени t наблюдения над
202
молекулой:
t п = —, т
где т - время свободного пробега. Оно равно l/v, где v - средняя скорость теплового движения молекул. Поэтому
Rn - — I = tvl.
т
Среднее значение Rn не равно ^R? , но близко к нему. Поэтому можно считать, что
R = Rn ~ y[vlt.
Мы видим, что R~Jt. Поэтому если на расстояние 1 м пахучее вещество распространилось за 3,5 минуты, то на расстояние 10 м оно распространится за 3,5 100 минут, т.е. примерно за 6 часов!
Последняя формула справедлива не только для молекулы диффундирующего вещества, но и для молекул самого газа. Справедлива она и для совершающей беспорядочные перемещения броуновской частицы, что было установлено А.Эйнштейном в 1905 году.
Интересно сравнить среднее перемещение молекул газа, скажем, за 1 секунду с расстоянием L, которое пролетает за это время молекула. Например, при атмосферном давлении и комнатной температуре для молекулы азота в воздухе (v ~ 500 м/с, а I ~ 6 • 10-8 м) имеем
£~500 м/с • 1 с = 500 м, а /?~5,5 • 10-3 м = 5,5 мм .
Из-за хаотичности движения молекул R меньше L в 105 раз!
Формула для R позволяет установить зависимость R от температуры газа Т. Для этого прежде всего выясним, чем определяется величина длины свободного пробега /. Будем считать, что молекула - это шарик радиусом г. За время \t молекула при своем движении столкнется с теми молекулами, центры которых лежат в цилиндре радиусом 2г и длиной v\t (рис.89). Если концентрация газа п, то таких молекул
N = шг(2г)2 v\t.
Разделив путь v\t, пройденный молекулой, на число столкновений N, найдем /:
Рис. 89
/	2 •
47ГГ П
Но, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической те
203
ории, р = nkT, где/9 - давление, k - постоянная Больцмана. Поэтому Р , kT
П = -—, И / = ---5— .
kT	4лг2 р
Кроме того, средняя скорость теплового движения молекул v = yl3kT/m , где m - масса молекулы. Следовательно,
о ff kT , р	-1/2—3/4,1/2
R == ---- -------— I ’ ИЛИ ~ Р Т ' t' .
||\ w ) 4пгр
Вот каким сложным образом R зависит от времени t, давления р газа и его температуры Т.
73. При решении многих задач нам понадобится формула для числа z молекул газа, попадающих на поверхность площадью 5 за время t:
где п - концентрация молекул газа и |^| - среднее значение модуля проекции скорости молекул на ось X, перпендикулярную к поверхности. Так как
где v - средняя масса газа, Т -постоянная, то
2,2^2	2 3RT
х у 2 м
тепловая скорость молекул газа, М - молярная его температура, a R - универсальная газовая
2	2	2 RT
v=v = V =--,
х у z М
и можно считать, что
Более аккуратный расчет показывает, что ।—; v 1з RT
1	2 V4 М
Для наших расчетов это, впрочем, несущественно. Используя найденное выражение для |г?х|, получим
1	1	I3RT
z = — nSvt = —nSt.l----•
4	4	V М
Этой формулой мы и будем пользоваться.
Каждый атом гелия, перелетая от внутренней горячей к наруж-
3 L
ной холодной стенке колбы, переносит энергию = — kTBH. Улетая
204
3
от наружной стенки, он несет энергию Е2 = где Tq ~ температура в комнате. Поэтому за время t от внутренней к наружной стенке колбы переносится количество теплоты
3
<7 = (£i - E2)z = -knSv(TBH - T0)t.
О
Так как изменение температуры чая ДТ мало по сравнению с начальной разностью температур чая Т = 363 К и воздуха в комнате То == 293 К ( ДТ = 10 К, а Г - То = 70 К), то Твн - То « Т - То. Кроме того, для оценки можно считать, что температура гелия в колбе
3£Тср
равна среднему арифметическому Т и То, так что v = J ——— , где Тср = (Т + Т0)/2. Кроме того, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, р = nkT, так что для гелия в колбе п = рД&Тср). Поэтому
3 I 3R , х q-—pS -------(T-T^At.
I
Для того чтобы температура чая понизилась на ДТ = 10 К, должно быть перенесено количество теплоты Q = тс\Т, где с - 4,2 • 103 Дж/(кг • К) - теплоемкость воды и m = 1 кг - масса чая. Приравнивая q и Q, найдем время t:
8 cm\T |мТср
” 3 pS(T-T^\ 3R '
В эту формулу входит площадь 5 стенок колбы. Ее можно оценить, полагая, что колба сферична. Тогда 5 = 4лг , а объем колбы
4 з	(з yV/3	_2 2
V = — Tir , так что 5 = 4л -г — .В нашем случае 5-5-10 м .
3	И nJ
Подставляя все необходимые величины в формулу для t, найдем t = 7103 с = 2 ч.
Такой же результат мы получим и для случая, когда колба заполнена воздухом. Только в этом случае энергия Е молекулы 5
равна — kT, так как воздух состоит в основном из двухатомных молекул.
Заметим, что при большом давлении наш способ вычисления несправедлив, так как длина свободного пробега I невелика по сравнению с расстоянием L между стенками коблы. При IcL
205
механизм теплопроводности схож с механизмом диффузии, разобранным в предыдущей задаче.
74. Давление р в спутнике равно сумме парциальных давлений кислорода рх и азота р2, и так как Р\ = щкТ, а р2 = n2kT, то
р = (пх + n2)kT ,
Ар = (Azzj + Аи2 )kT,
Ар Ат?! + А«2
Р п\+п2
Но изменения концентраций молекул (см. предыдущую задачу)
равны, соответственно,
1 n^Sv^t
4 V
Zr)
И Az?9 = —
2 V
1 n2Sv2t
4 V
Поэтому
Ар	1 St + n2v2
p	4 V	nx+n2
Согласно уравнению газового состояния,
1 т<
Р\=-----L ЯГ, р2 =
1 V М. 2
1 тэ ---— RT.
V м2
Тогда
где а = mx/m2
пх	рх	тх М2	М2
п2	р2	т2 Mf	Mf
и
Ар	1 S	аМ2^!	+
р	4 V	аМ2	+	Mt
Подставив сюда
Ар	1
— = 0,05, а = —, а
Р	3
4 з
V=-nr , 3
также остальные величины, найдем
t ~ 4,7 • 103 с = 1,3 ч.
а
= —
1 V
5 = 4лг2,
Интересно, а каков состав молекулярного пучка, вылетающего из спутника? Из соотношения Ал?! пх \п2 П2 V2 П2
видим, что отношения концентраций А^/А^ в молекулярном пучке, вылетающем в вакуум, в М/м, раз больше концентраций 206
газов в сосуде. Процесс истечения газа из сосуда через маленькое отверстие называется эффузией. Мы показали, что с помощью эффузии можно обогащать газы. Ее, в частности, можно использовать для обогащения природного урана, который содержит изотопы урана 235 U и 238 U. Изотоп 235 U используется в атомных электростанциях, однако его концентрация в природном уране очень мала. Один из способов обогащения (впрочем, не самый лучший) - это использование многоступенчатой газовой эффузии. Для этого берут газообразное соединение природного урана с фто^юм UF6, которое содержит молекулы с изотопами урана: 235 UF6 и UF6, и пропускают через трубу с отверстиями, через которые газ попадает в откачиваемый сосуд. Из-за близости молярных масс этих соединений концентрации меняются мало, полученный пучок пропускают вновь через такое же устройство, и т.д.
Необходимо отметить, что истекающий через отверстие пучок молекул обладает описанными свойствами только в том случае, когда длина свободного пробега велика по сравнению с размерами отверстия. Попробуйте самостоятельно, опираясь на решение задачи 72, оценить, при какой концентрации газа в спутнике длина свободного пробега будет порядка 1 см.
75. Если бы пар над жидкостью был насыщенным, то пар и жидкость находились бы в равновесии, и за любое время t из пара в жидкость попадало бы столько же молекул z, сколько их вылетает из жидкости. Следовательно, через поверхность жидкости площа-
1
дью 5 за время t вылетает число молекул г - — nSvt (см. задачу 73), 4
где п - концентрация молекул в насыщенном паре и v - их тепловая n	I3RT z
скорость. Так как п = —2- и v = J--- (здесь - давление
kr V м	н
насыщенных паров воды), то
1	р„ [3R
2	= -^-. ---St.
4 k V ТМ
Разделив г на постоянную Авогадро, найдем, сколько молей воды испарится за время t:
z	1 »„ ГзТГ	1 I 3
Na	4NAk\MT	4 HNRTM
(так как NAk = R). Теперь найдем массу т воды, испаряющейся с единицы площади поверхности в единицу времени (скорость испарения):
_ vM _ 1	13М
~^St~ 4PhV RT
207
3	—3
Подставляя в эту формулу рп = 2,3 ♦ 10 Па, М = 18 10 кг/моль и Т = 293 К, получим, что m = 2,6 кг/(м2 • с), т.е. с 1 м2 поверхности воды за 1 с испаряется 2,6 кг воды.
Велика ли эта скорость? Найдем, за какое время испарится в вакууме (например, в космосе) стакан воды. Он содержит М = 200 г воды, а диаметр стакана равен примерно 7 см, так что 5 = 3,810 м . Поэтому t = MS/m = 20 с! Правда, если вынести стакан с водой в вакуум, то вода испарится не так быстро. Дело в том, что при испарении жидкость охлаждается, а при быстром испарении замерзает. Попробуем рассчитать, сколько воды останется в стакане. При испарении массы воды AM поглощается количество теплоты q = г AM , где г = 2,5 • 10€ Дж/кг - удельная теплота парообразования. Это тепло отбирается у массы воды М - AM при ее остывании от температуры 0 = 20 °C до нуля и превращении в лед. Поэтому
г AM = с(М- АМ)е + Х(М- AM) ,
где с = 4,2 -103 Дж/(кг • К) - удельная теплоемкость воды и X = = 3,2 • 105 Дж/кг - удельная теплота плавления льда. Отсюда
, л х сМО + ХМ м
AM =-------—т- = 0,028 кг - 28 г .
г + с0 + X
Такая масса воды испарится, а в стакане останется 172 г льда. Лед же испаряется значительно медленнее Благодаря этому считается, например, возможным наличие воды на Луне (в виде льда и пара). Согласно этой гипотезе, водяные пары, которые содержат лунные породы, поднимаются на поверхность и замерзают там, закупоривая, таким образом, поры.
А в обычных условиях, скажем в комнате, как быстро должен испариться стакан воды? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно учесть конденсацию пара. Если давление пара в комнате равно р (влажность (р = р/ри ), то из z нужно вычесть число молекул
1 р ГзтГ
г1, попадающих в воду из пара: г1 =-J---. Это означает, что в
1	1	4 k У ТМ
формуле для m нужно рн заменить на рп- р, так что получим
m
При влажности, скажем, 60% (ф = 0,6) и температуре Т = 293 К (20 °C) давление пара равно р = 0,6/?н ~ 1,4 103 Па. Тогда
тп = 1 кг (м2 с).
208
Это всего в 2,6 раза меньше скорости испарения с единицы поверхности жидкости в вакууме. Значит, стакан воды в комнате должен испаряться примерно в 2,6 раза быстрее, чем в вакууме, т.е. за 52 с - меньше минуты! В действительности же вода в стакане может находиться несколько суток. В чем же дело?
Можно назвать две причины. Во-первых, отнюдь не все моле
кулы, попадающие из пара на поверхность жидкости, ею удерживаются. Большинство молекул отражаются и возвращаются в пар Поскольку в состоянии динамического равновесия число испарив
шихся молекул жидкости равно числу именно удержанных молекул пара, то в формулах для скоростей испарения должен появиться множитель, равный доле удержанных молекул. Если его учесть, то оказывается, что тогда время испарения возрастет примерно в 20 - 25 раз.
Во-вторых, даже если в комнате влажность меньше 100%, то в тонком слое у поверхности жидкости пар практически насыщен. Это связано с тем, что при испарении воды давление пара у поверхности возрастает, и начинается диффузия пара от поверхности. Но процесс диффузии очень медленный (см. задачу 72), и поэтому давление пара у поверхности практически равно рн. Испарение можно несколько ускорить, если обдувать стакан потоком воздуха. Так поступают, например, когда хотят охладить чай. Дуя на него, мы увеличиваем конвекцию, ускоряем «отвод» молекул пара из приповерхностного слоя и повышаем скорость испарения. А испарение чая
приводит к его охлаждению.
76. В обоих коленах трубки над поверхностью воды находятся
только насыщенные водяные пары, давление которых, как известно, не зависит от объема.
77. Давление насыщенного пара у поверхности капли зависит от
ее радиуса. Действительно, представим себе замкнутый сосуд, в котором имеется капиллярная трубка, не смачиваемая жидкостью. Давление пара в точке В (рис.90) больше давления в точке А на величину рп б?7г:
Рв ~Рл +Pnffh’
где h ~ разность уровней жидкости в капилляре и в сосуде, а рп - плотность пара. Жидкость в капилляре находится в равновесии под действием двух сил: силы поверхностного натяжения, равной
по модулю 2лга (<5 - коэффициент поверхностного натяжения, г - радиус капилляра), и силы давления жидкости на глубине h, равной р#/? • Ttr ( р - плотность жидкости), поэтому 2лга = Ttr pgh.
209
Отсюда
, 2а	2а р
h =---, и рв=рА +-------
р#г	г р
Таким образом, давление над поверхностью жидкости тем больше, чем меньше ее радиус кривизны. Это означает, что давление насыщенного пара над каплей тем больше, чем меньше радиус этой капли. Следовательно, если над поверхностью маленькой капли пар насыщен, то над поверхностью большой капли он будет ненасыщенным. Это приведет к тому, что пар будет конденсироваться на большой капле, понижая тем самым давление пара у поверхности малой капли. Это, в свою очередь, приведет к испарению маленькой капли. В результате в сосуде через некоторое время останется только одна большая капля.
Тот же результат можно получить и из самых общих рассуждений. Предположим, что в сосуде налита жидкость (поверхность жидкости плоская) и имеется капля. При испарении жидкости с плоской поверхностью эта площадь не меняется. В то же время при испарении капли площадь поверхности жидкости уменьшается. Но, как мы знаем, всякая система, предоставленная самой себе, стремится перейти в состояние с минимальной энергией. Поэтому если в сосуде имеется капля жидкости и жидкость с плоской поверхностью, то равновесие наступит тогда, когда капля полностью испарится и сконденсируется на плоской поверхности. (Это означает, что давление насыщенных паров над каплей больше, чем над плоской поверхностью жидкости). Если в сосуде имеются капли разного размера, то мелкие капли будут испаряться и конденсироваться на более крупных, пока не останется только одна большая капля.
78.	Так как вогнутая поверхность воды в капилляре находится на большей высоте, чем плоская, то давления пара у этих поверхностей разные:
Др = pgh, где р - плотность пара, h - высота поднятия жидкости в капилляре. Поэтому пар и над кюветой и в капилляре может быть насыщенным, и никакого потока пара не будет.
79.	Нет. Гидроэлектростанция вырабатывает электроэнергию за счет потенциальной энергии потока воды, проходящего через ее турбины. Масса воды \т обладает потенциальной энергией \rngh , где h - высота плотины. Для того чтобы эта масса воды испарилась, необходимо количество теплоты = \тс(1\ -То) для ее нагревания от температуры То = 20 °C до температуры кипения Ц =100 °C и еще количество теплоты Q2 = УЛт для испарения воды (здесь с = 4,2 103 Дж/(кг-К) ~ удельная теплоемкость воды, А, = 2,3 10° Дж/кг - удельная теплота парообразования).
210
Мощности гидроэлектростанции в случае отсутствия потерь хватит для испарения воды, если
Nmgh = Атс(?1 - То) 4- АтХ, или если
с(Тл — 7\) + X, h =	---= 230 км!
9
80.	При конденсации пара выделяется большое количество теплоты.
81.	При нагревании воды расходуется энергия
= cm(T2 - ) + Qt,
где W - мощность, - время нагревания, Т2 = 90 °C, 1\ = 85 °C и Of - потери энергии, которые пропорциональны разности температур воды и окружающей среды и времени т . При остывании воды выделяется количество теплоты
cm NT = Q2 ,
где АТ = 1 °C. Так как разность температур воды и воздуха меняется незначительно, а т2 - 0,5тр то Q2 = 0,5Qt, так что
WTt = cm(T2 - Tf) 4- 2cm AT.
Отсюда
Wx. т = —--------1-----= 1,8 кг.
с(Т2 -Т,) 4-2с АТ
82.	Так как мяч после удара о землю поднялся почти на ту же высоту, с которой он падал, потерями энергии при ударе можно пренебречь и считать, что сжатие воздуха в мяче во время удара происходит адиабатически.
Согласно закону сохранения энергии (первому закону термодинамики), изменение внутренней энергии газа АС7 равно
NU = Q + А,
где Q - количество теплоты, сообщенное газу, а А - работа, совершенная над газом при его сжатии. Так как в данном случае Q = Одо
AU = А.
Как известно, изменение внутренней энергии газа не зависит от процесса и равно
AU = cvmbT = cvm(Tmax -Т), где cv - удельная теплоемксть при постоянном объеме, Т -начальная температура газа, m - его масса.
211
Работа по сжатию воздуха совершается за счет механической энергии мяча. Если пренебречь потенциальной энергией деформации камеры и грунта в момент наибольшего сжатия (когда температура воздуха максимальна, а мяч покоится), то
А = Mgh,
где М - масса мяча, h - высота, на которую он был подброшен.
Подставив выражения для AU и А, получим
CVW(rmax ~T) = Mgh.
Массу воздуха в мяче можно определить из уравнения газового состояния
т pV = —RT
М
где р =	+ рх (р0 = 1 атм - атмосферное давление, рх - избыточ-
ное давление), V - объем мяча. Отсюда
(Ро +Р1)УМ т =-----------.
RT
Тогда окончательно находим
MghR
Т = Т 1 + —-----—------ « 1,02Т = 306 К.
( M(Po+Pl)VCJ
83.	Рассмотрим установившийся воздушный поток через хребет и проследим за небольшой массой m воздуха, занимающей на подветренной стороне горы (у побережья) объем Vv Обозначим Тх температуру и рх давление воздуха на подветренной стороне. При этом р^ можно считать полным давлением, так как р< ~105 Па, а парциальное давление паров рп = фрн == 1,8 • 10 Па, так что рп<^рх. Оказавшись на наветренной стороне горы, давление на которой равно р2 , эта же масса воздуха будет иметь объем V2 и температуру Т2. Изменение AU внутренней энергии газа происходит за счет работы А внешних сил, действующих на выделенный объем газа, и количества теплоты Q, выделяющегося при конденсации пара:
AU = A + Q.
Изменение внутренней энергии воздуха пропорционально изменению температуры. Для одноатомного газа энергия одного моля 3
газа U = — RT . Воздух состоит в основном из двухатомных газов -2	5	5
азота и кислорода. Для него U = —RT и AU = — RAT, где
2 m 2
АТ = Г2 - Т|. Масса m воздуха содержит v = — молей, где
М
212
_3
М = 29 • 10 кг/моль - молярная масса воздуха. Поэтому изменение внутренней энергии массы т воздуха равно
5 т
AU =-----RAT
2 М
Работу А внешних сил можно рассчитать так. На подветренной стороне горы внешние силы - силы атмосферного давления -совершают работу, выталкивая массу т газа из объема Эта работа равна А^ = РУ\ • На наветренной стороне масса т воздуха вытесняет воздух, который находился ранее в объеме V2. Работа сил атмосферного давления здесь отрицательна и равна А2 = -p2V2 • Таким образом,
А = Ах + Л2 =	- p2V2.
Но, согласно уравнению газового состояния, т	т
РУ\ = ~ RT\ > а РУч = ~	•
Поэтому
т , х	т
А = — R(T - Т2} =---RAT.
м v 1 27	м
А сколько выделилось тепла при конденсации пара? Если масса сконденсировавшегося пара Ат , то Q = Атг, где г = 2,5 • 106 Дж/кг - удельная теплота парообразования, а Ат можно определить из
Ат уравнения газового состояния для пара pnV} =------RT^ (где
М„
-3	п т RT
Мп =18-10 кг/моль). Подставив в эту формулу V=-------------,
М рх получим
Ат = т — — = фт — —, и Q = qrm — — М рх	М рх	М pi
Теперь перепишем закон сохранения энергии в виде
---RAT  -----RAT + фгт —- —,
2 М	М	М р^
откуда найдем
2 фгМ w, АТ-— ——^«23 К.
7 Rp{
Это означает, что температура сухого воздуха на наветренной стороне горы Т2 ~ 48 °C!
Описанные нами воздушные потоки действительно характерны для Кордильер, служащих разделом областей с разной погодой. В
213
предгорьях Кордильер со стороны Тихого океана часты обильные дожди. По другую сторону гор часто дуют сухие горячие ветры, превратившие этот район в пустыню.
84.	Когда человек выходит из воды, вода испаряется, отбирая
тепло от тела.
85.	Количество теплоты, передаваемое стержню, находящемуся в пламени, пропорционально площади его боковой поверхности. Теплоотвод же вдоль стержня пропорционален площади поперечного сечения стержня. Поэтому повышение температуры находится в прямой зависимости от отношения площади боковой поверхности к площади поперечного сечения. Это отношение обратно пропорционально радиусу стержня. Поэтому тепловое равновесие толстого стержня (гвоздя) наступает при значительно меньшей температуре, чем тонкого (проволоки).
86.	Теплопроводность чугуна меньше, чем теплопроводность алюминия. Поэтому температура внутренней поверхности чугунной сковороды более однородна. Кроме того, благодаря большей теплоемкости чугунной сковороды ее температура практически не меняется, когда на нее опускают холодные продукты, и продукты при
жарке не подгорают.
87.	Когда мы прикасаемся к деревянным предметам, имеющим плохую теплопроводность, нагревается только небольшой участок предмета под пальцем. Металл же, обладающий хорошей теплопроводностью, нагревается весь. Это приводит к большему теплоотводу
от пальца и его охлаждению.
88.	При измерении температуры термометр должен нагреться от комнатной температуры до температуры тела, т.е. на 15 — 17 °C. «Стряхнуть» же термометр можно уже тогда, когда его температура понизится на 2-3 °C, так как шкала термометра начинается с 34 °C. Необходимо учесть еще то, что при нагревании и остывании
тел скорость изменения их температуры пропорциональна разно-
сти температур тела и среды, и поэтому зависимость температуры
термометра от времени имеет вид, изображенный на рисунке 91.
Рис. 91
Это приводит к тому, что время остывания термометра до температуры, при которой его можно «стряхнуть», намного меньше времени измерения температуры.
89.	Корабль нагревается до такой температуры Г, при которой энергия, излучаемая им, становится равной энергии, получаемой от Солнца. Излучаемая в единицу времени энергия пропорциональна площади поверхности корабля. Будем для оценки считать,
214
что корабль - шарик, радиус которого равен г. Тогда энергия, излучаемая кораблем, нагретым до температуры Т, за единицу времени, равна
W = 4яг2оТ4 . изл
Энергия, получаемая от Солнца за единицу / / времени, пропорциональна площади наи-	//
большего сечения шарика, т.е. яг , и равна //
W =пг2Е.,	/
НОГЛ	1
Рис. 92
где Е\ - плотность потока солнечного излу-
чения на расстоянии R от Солнца. Так как в единице телесного угла от Солнца распространяется постоянная энергия, то для корабля и Земли, обозначив Rq расстояние от Земли до Солнца и Ео -плотность потока солнечного излучения на орбите Земли, можно записать (рис.92)
Следовательно,
Приравняем W и W
1	1	ИЗЛ	I
Г1 г г ИЗЛ погл
, 2 ^4	Г^о
4 яг оТ - нт —-
Ч R
Из этого уравнения, приняв температуру Т равной температуре плавления железа, найдем
R = ^0	= 5 -106 км
2 W*
Итак, при приближении к Солнцу корабль может расплавиться. А при удалении от Солнца? Сколько нужно энергии для того, чтобы согреть космический корабль, направляющийся от Солнца, когда его излучение станет незначительным? Следует, конечно, учесть, что на корабле должен быть мощный реактор (скажем, ядерный), который снабжал бы энергией двигатель, приборы и т.д. Пусть мощность реактора 1О10 Вт (всего вдвое больше мощности ракеты-носителя спутника «Протон»), а его КПД Т| = 40%. КПД любой тепловой машины не может быть больше чем	,
где Tj - температура в горячей зоне, а Т2 - в холодной. Для того чтобы повысить КПД, 7\ желательно сделать как можно выше. Но
215
7\ ограничена тугоплавкостью материалов. Пусть = 3500 К (на 150 К ниже температуры плавления вольфрама). Тогда Т2 = (1 - т])?! =2100 К. При таком КПД реактора 60% его мощности, т.е. 6 109 Вт, выделяется в виде тепла. Это огромная мощность, и вопрос уже нужно ставить не о том, чтобы согреть корабль, а о том, как отвести такую мощность. Единственная возможность - излучение. Но мощность излучения равна W = gT2S . Поэтому, для того чтобы избавиться от такой мощности, корабль должен иметь площадь
5 = 5 103 м2.
Это пол гектара площади с температурой 2100 К!
Нужно отметить, что с проблемой теплоотвода уже встречаются конструкторы нынешних космических кораблей и даже скафандров.
90.	При повышении давления температура плавления льда действительно понижается. Однако при плавлении льда поглощается тепло, и температура льда под проволокой начинает падать. Это происходит до тех пор, пока температура льда в области повышенного давления не упадет до температуры плавления при этом давлении. Дальнейшее плавление льда будет определяться теплом, которое вследствие теплопроводности будет приходить к области пониженной температуры. При использовании проволоки это тепло будет проводиться, за счет хорошей теплопроводности металла, от замерзающей сверху воды, и процесс разрезания льда будет быстрым. При использовании капроновой нити, обладающей малой теплопроводностью, тепло будет подводиться главным образом за счет охлаждения всего бруска льда в целом, и процесс разрезания пойдет очень медленно.
91.	Обозначим Н максимальную высоту ледника. Она ограничена из-за плавления льда у основания ледника. При плавлении льда массой Am = pSAr ( р - плотность льда, S - площадь сечения ледника) поглощается энергия ХАт. Эта энергия равна изменению потенциальной энергии ледника, высота которого уменьшается на Ах:
pgHS&x ~ pSXAr,
откуда
Для льда X = 332 кДж кг. Поэтому
Н ~ 35 км .
Примерно такую же величину мы получим для высоты гор, так как удельная теплота плавления горных пород того же порядка, что 216
и у льда. Как известно, самая высокая гора на Земле имеет высоту ~ 9 км, так что наша оценка совсем не плоха.
92.	При взрыве давление газа в цилиндре возрастает скачком. Из-за инерции поршня и шатуна они не могут быстро набрать скорость и поэтому сильно деформируются На это уходит часть энергии. При правильной регулировке двигателя смесь сгорает сравнительно медленно, и давление в цилиндре все время примерно одно и то же.
Кроме того, при взрыве газа его температура больше температуры смеси при медленном сгорании. Поэтому возрастают потери энергии из-за теплоотдачи.
93.	КПД теплового двигателя равен
Т1~Т2 Т| = —---
Если при сгорании топлива выделилась энергия q, то двигатель совершил работу
А = Ф11 = <7^тД.
71
При этом отопительной системе было передано количество теплоты Qi = (1 - Т|)<7 = ^-<7 •
Холодильная машина работает по обратному циклу. Она отбирает у грунтовых вод количество теплоты и передает отопительной системе
количество теплоты
Q2 = А + <71, работа, совершенная над холодильной машиной. Так как идеальна, то она обратима. Это означает, что при работе по
где А -машина прямому циклу она совершает работу А, получая от нагревателя количество теплоты Q1 и отдавая грунтовым водам количество теплоты . Ее КПД
А
откуда
J2-T3
(тг-т2)т2
= Я—7---—V
Q, = Л---?—
Т’г-Т'з
Всего отопительная система получает количество теплоты
7\ Т. — 7\
Q = Qt+Q2=^-L—^ = 2(?.
Н У2 - 73
Таким образом, КПД системы
О 9
Л = —~2.
я
217
очень маленькими ячейками.
Рис. 93
КПД больше 1! Это, впрочем, не противоречит законам термодинамики. Ведь мы извлекаем тепло из постороннего источника -грунтовых вод.
94.	Брезентовую ткань можно представить себе как сито с Сквозь такое сито капли воды не протекают, так как их удерживает сила поверхностного натяжения (рис.93). Эти капли будут срываться, если толщина h слоя воды тако-
2о , 4о ва, что oqh >----, т.е. п >---.
(й/2)	рда
Если прикоснуться к мокрой ткани рукой, то несколько капель сливаются в одну - значительно большего радиуса. Эта капля уже не удерживается капиллярными силами (сила поверхностного натяжения, удерживающая каплю, при увеличении радиуса капли растет пропорционально радиусу, а масса капли - пропорциональна кубу радиуса капли, т.е. значительно быстрее). Потолок палатки начинает протекать.
95.	При решении этой задачи будем исходить из того, что после слияния двух мыльных пузырей в один суммарная масса воздуха в них не изменяется:
т3 = т\ + т'2 •
Согласно уравнению газового состояния, масса воздуха в пузыре равна
pVM т =---,
RT
4 з
где V = — TtR - объем пузыря, М - молярная масса воздуха, Т -температура (она равна температуре окружающего воздуха и одинакова для всех пузырей) и R - универсальная газовая постоянная.
Запишем условие равновесия пузыря:
2о
Р = Ро + Др = Ро + —,
2о
где Др = — - добавочное давление под сферической поверхностью г
мыльной пленки радиусом г, а - атмосферное давление.
Теперь можно записать:
( 2с
4 з т\ = Ро +—
г, 3
М
RT’
2с
т2= Ро+---
4 з М • — лг9 -,
3 2 RT
2о
4 з М
= рп + — • — лго ----------
3	0 Го 3	3 RT '
218
откуда, учитывая связь между массами, и найдем р0:
Чз2
р°' 
96.	Свободная поверхность жидкости у торца сложенных стекол представляет собой цилиндрическую поверхность Будем считать, что смачивание полное. Тогда радиус г этой поверхности равен d/2, где d - расстояние между стеклами. Давление под изогнутой поверхностью жидкости меньше атмосферного на величину Ар, которую можно найти, рассмотрев равновесие элемента жидкости и воздуха. Учитывая силы поверхностного натяжения на границе стекло - жидкость, запишем
&pdl = 2al,
откуда
2а
Ар = — d
а
г
Поскольку атмосферное давление больше, чем давление между пластинками, то оно прижимает пластинки друг к другу. Так как стекла обычно неровные, то они касаются друг друга в некоторых местах, что ограничивает сближение стекол. Для того чтобы оторвать одно стекло от другого, нужно приложить силы, большие чем ApS, где 5 - площадь стекол. Если расстояние между стеклами d ~10-6 м, то
za	ч / ?
Ар = — ~ 1,4 • 10^ Н/м .
d
-2	2
При площади пластины ~10 м сила должна быть порядка 1,4  103 Н!
97. Рассмотрим взаимодействие чистых концов спичек. В этом
случае поверхность воды принимает вид, изображеный на рисунке
94,а. На высоте h справа от левой спички давление воды равно р0 - рр/г, а слева давление воздуха равно атмосферному р0. Поэтому сила, действующая на левую спичку со стороны жидкости, будет меньше силы, действующей со стороны воздуха, и спички будут притягиваться. Когда концы обеих спичек покрыты парафином, то поверхность воды здесь принимает вид, изображенный на рисунке 94,6, и рассмотрение, аналогичное приведенному выше, дает тот же результат. По-
Рис. 94
219
верхность воды между спичками в случае «разноименных» концов изображена на рисунке 94,в. Рассмотрев силы, действующие на концы спичек слева и справа, мы придем к выводу, что спички отталкиваются.
98.	Будем обозначать через / высоту поднятия жидкости в 2о
капилляре: 1 =---. Чтобы вода могла подняться по трубке, /
рдг
должно быть больше h, а для того чтобы она начала вытекать через нижний конец, Н должно быть больше /. Тогда получаем, что pgrh	РдгН
жидкость будет вытекать, если ----< о <------. Подставляя дан-
2	2
ные, получим 0,070 Н/м < о < 0,075 Н/м . Отсюда находим диапазон температур* 7 °C < t < 40 °C.
99.	В точке, в которой сходятся поверхности трех сред (в нашем случае жидкости, твердого тела и газа) эти поверхности образуют угол, который называют краевым углом. Краевой угол определяется силами взаимодействия между молекулами в этих средах, и его можно определить из условия равновесия. Ограничимся случаем, когда одна из поверхностей - плоская 12	поверхность твердого тела (рис.95).
/	’• ** •’> ’• • ’ Рассмотрим отрезок границы длиной
/гу	•* * ’ • • •	^ *^ точке О сходятся три силы поверх-
1—* /*,* J V ностного натяжения, направленные по 9	касательным к границам раздела сред:
Рис, ’	П;''	f1=/°l2’ f2=te23 и f3=Zo3i’ где
а12 - поверхностное натяжение на границе сред 2 и /, п23 - поверхностное натяжение на границе сред 2 и 3, а о31 - на границе сред / и 3. Сумма проекций этих сил на плоскую поверхность должна быть равна нулю:
/о3|	^23	12 COSOt — 0.
Отсюда
С^31 ~ п23 cos а =	.
а12
Если о31 >а12+а23’ то равновесие невозможно. В этом случае жидкость растекается по поверхности, т.е., как говорят, полностью смачивает твердое тело При о23 > о31 + а12 равновесие тоже невозможно. Тогда жидкость полностью не смачивает твердое тело и собирается в каплю. В обычных школьных задачах считается, что cos а = 1 или cos а = -1.
Краевой угол не зависит от силы тяжести и должен быть одним и тем же в невесомости и на Земле. Как видно из рисунка 220
96,а и б,	а)
Rx	h
cos a = —L и cos a = —.
Rq	r2
Отсюда
R.
Если ту же жидкость налить
в сосуд с радиусом, большим Рис. 96 R2, то h уменьшится, а жидкость у края слегка опустится, образуя тот же угол ос со стенкой. При R < R2 жидкость у края приподнимется, чтобы краевой угол опять сохранился.
Краевой угол, как мы уже выяснили, определяется только взаимодействием молекул трех сред. Его можно изменить, добавив в одну из сред какое-нибудь вещество, влияющее на поверхностное натяжение. Именно с этим связано то, что при растворении
даже незначительного количества мыла или стирального порошка в воде ее моющее действие значительно усиливается. Это свойство объясняется тем, что мыло, скапливаясь (адсорбируясь) на границе воды с отмываемой поверхностью или тканью, значительно
уменьшает поверхностное натяжение. В результате ослабляется прилипание частичек жира и грязи к поверхности.
Пусть, например, на поверхности ткани имеется капелька жира, который смачивает ее (рис.97 ). Краевой угол ос определяется, как нам уже известно, поверхностными натяжениями на границах раздела. Если в воду добавить мыло, то молекулы мыла, адсорбируясь на
Рис. 97
границах вода - жир и вода - ткань, значительно уменьшают овж и овт . Натяжение онт оказывается меньшим, чем онж , и соответ-ственно, cosoc<0, т.е. a >90°. Жидкость перестанет смачивать поверхность. Уменьшение коэффициента овж при этом, как легко видеть, также увеличивает краевой угол. При краевом угле a = 180° жир абсолютно не смачивает поверхность, и капелька жира сама отрывается от нее. Если же уменьшение поверхностного натяжения не столь велико, то во всяком случае после увеличения краевого угла ос капли легко отрываются от поверхности при механических воздействиях во время мойки или стирки.
На рисунке 98 показана серия увеличенных фотографий шерстя-
221

Рис. 98
ной нити. На первой фотографии -нить, испачканная жидким парафином. Три следующие фотографии показывают очищающее действие раствора стирального порошка. Ясно видно, как увеличивается краевой угол поверхности парафина с нитью. Парафиновый жир сворачивается в глобулы и уносится водой. Последняя фотография показывает уже совсем чистую нить.
Адсорбированные молекулы мыла окружают капельки жира и отмываемую поверхность плотно заполненным (мономолекулярным) слоем, который обладает высокой механической прочностью. Молекулы мыла сильно связаны друг с другом, и разорвать пленку очень трудно. Поэтому при стирке пленки из адсорбированных молекул не разрушаются и препятствуют обратному прилипанию уже оторвавшихся капелек жира к
поверхности и слиянию капелек друг с другом. Оторвавшиеся при
стирке твердые частички грязи также оказываются окруженными молекулами мыла, которые препятствуют их обратному прилипанию к поверхности. Взвешенные в воде частицы грязи и капельки жира удаляются вместе с ней.
Интересно, что образование устойчивой пены - это только побочный эффект уменьшения поверхностного натяжения при растворении моющих веществ. Пена образуется из пузырьков воздуха, которые попадают в воду, увлекаемые струей воды. Эти пузырьки всплывают к поверхности и оказываются окруженными пленкой. Если поверхностное натяжение мало, то мало и избыточное давление 2а/г в пузырьке, и он долго не лопается.
Механизм моющего действия, который мы здесь разобрали,
представляет интерес и в связи с другими важными техническими задачами: покрытием поверхностей лаками и красками, склеиванием, пропиткой некоторых материалов другими (например, пропиткой порошков искусственных алмазов металлом, при которой образуется сверхпрочный материал алмет) и т.д.
100.	Прежде всего поговорим о форме капли в невесомости. Такая капля должна быть сферической благодаря силам поверхностного натяжения, из-за которых капля должна принять форму с минимальной поверхностью. Когда капля падает равномерно, на ее
222
форму влияет гидростатическое давление внутри капли. При равномерном падении капли сила тяжести, действующая на столбик АВ (рис.99,а), должна быть уравновешена силами гидростатического давления снизу и сверху столбика. Если высота столбика АВ
Рис. 99
равна h, а площадь столбика 5, то
p(sh)g = s(pA -рв), или рА-рв= pgh.
Мы видим, что гидростатическое давление в капле меняется с высотой. Предположим, что давление воздуха со всех сторон капли одинаково и равно р0. Разность давлений внутри и снаружи капли определяется формулой Лапласа Ар = 2с/ г, где г - радиус кривизны и о - поверхностное натяжение капли. Поэтому давление внутри 2с
капли равно + — . Для точек АиВ имеем г
2с	2с
Ра =Ро +— и РВ =р0 + —, га	гв
а так как рА~ рв = pgh , то
2с 2с -------= pgh. гл гв
Отсюда следует, что радиус кривизны в точке В должен быть больше, чем в точке Л, и капля должна выглядеть так, как показано на рисунке 99,6.
Существенно ли различие между гА и гв 2 Для маленьких капель радиусом порядка 1 микрона (10-6 м) pgh «2 10 2 Н/м2 , а 2d/г — 1,6-10 Н/ м ! В этом случае pgh настолько мало по сравнению с избыточным лапласовым давлением в капле, что гидростатическим давлением можно пренебречь. Такая капля может считаться эталоном сферичности. Иное дело для капли диаметром, скажем, 4 мм. Для нее pgh ~ 60 н/м2 , а 2с/г ~ 78 н/м2 . Эти величины одного порядка, и нарушения сферичности для такой капли более существенны. Полагая гАгв ~ гср и h = 2гср ~4 мм, найдем, что Аг = гв - гА ~ 0,06 мм. Разность радиусов составляет 3% от радиуса.
Однако наш расчет показывает только, для каких капель можно ожидать нарушение сферичности, но не объясняет форму капли. В
223
чем же дело? А в том, что мы не учли разности давлений воздуха под каплей и над ней Перед каплей давление больше нормального атмосферного на величину порядка рвозд£ , где v - скорость капли. За каплей же давление оказывается меньше атмосферного из-за того, что там образуются вихри и турбулентный воздушный поток. Если разность давлений воздуха у «дна» и «вершины» капли , 2а 2а	,	.
Рао “ Рво >	> то--------= P9h ~ [Рао ~ Рво) < 0 и’ слеД°ва"
zax Гл	гв
тельно, гА > гв. Об этом и свидетельствуют снимки.
Итак, теперь понятно, почему маленькие водяные капли сферич-ны, а капли диаметром порядка 1—5 мм похожи на сдобную булочку. А как должны выглядеть капли еще большего диаметра? Оказывается, что капли большего диаметра неустойчивы и разрываются на маленькие. Это, впрочем, и понятно. Сохранность капли, ее форму обеспечивает поверхностное натяжение. Однако когда гидростатическое давление в капле начинает превышать давление Лапласа, капля «растекается» и дробится на более мелкие. Этим объясняется, почему не бывает крупных капель на листьях деревьев и других поверхностях, не смачиваемых жидкостью. Возможный размер капли можно получить из неравенства 2a/r > pgh , полагая, что h ~ 2г'
)l Р9 ’
Для воды, например, г < 3,8 мм, для ртути г < 2,6 мм. В случае движущейся капли все выглядит сложнее из-за внутренних вихревых движений внутри капли, которые появляются благодаря силам трения, действующим со стороны воздуха. Это, однако, мало меняет
нашу оценку.
101. Заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не
, qQ.
меньше силы тяжести тд, т.е. k —— > тд.
Отсюда
gmgd2 kq
Однако нам нужно еще проверить, будет ли равновесие шарика устойчивым.
Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия (рис. 100). Равновесие шарика устойчиво, если про-
224
7*
екция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную (сила реакции N перпендикулярна поверхности сферы):
k —— sin а - т9 sin 2а.
Так как угол а отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin а ~ а, sin2а « 2а . Поэтому
zmga < k ——.
Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд
mad1
Q>2 ——. kq
102.	Как известно, напряженность электрического поля внутри заряженного тонкого сферического слоя равна нулю, а вне этого слоя напряженность такая, какой она была бы, если бы весь заряд слоя был сосредоточен в его центре. (Это можно показать, исходя из закона Кулона и принципа суперпозиции.)
Разобьем Землю и атмосферу Земли на тонкие сферические слои. Тогда ясно, что на поверхности Земли напряженность электрического поля равна
0	о ’
4ле07Г
где Q - суммарный заряд Земли, R - радиус Земли. На высоте h напряженность электрического поля складывается из напряженности поля, созданного зарядом Q Земли, и из напряженности поля, созданного зарядом q слоев атмосферы с радиусами, меньшими R + h, т.е.
£_ 1 Q+?
4Л£0 (R + hf '
Так как
<? = рУ =	+ Л)3 -/?3)р,
ТО
4ле0(7? + Л)2
8-Задачи по физике
225
Радиус Земли R много больше высоты h, поэтому в знаменателе сумму R + h можно заменить на R. Тогда
Q	h	h
Е =------+ Р = £о + 7— р-
4ле0(7? +/г)2 Зе0	Зе0
Отсюда
р=~-°{£ £°) ~-1,3 10~12 Кл/м3.
103.	Если разность потенциалов между электродами U, то напряженность электрического поля между ними Е = U/d. В этом поле на электрон действует сила F - е Е (в - заряд электрона), сообщающая ему ускорение
F	Ее	Ue
а - — - — =-----.
т	т	md
При столкновении с атомом газа электрон передает ему свою энергию и останавливается (мы считаем, что столкновение неупругое). Масса атома много больше массы электрона. Поэтому атому
2
mv	х
газа при столкновении передается энергия ——, приобретаемая
электроном между его последовательными столкновениями. Эта энергия должна быть равна энергии ионизации газа W:
2 mv ----= W 2
Найдем теперь скорость, приобретаемую электроном. Если время Uex разгона равно т, то мы можем записать, что v = ах =----- и
2 ТТ 2	md
ах U ех
I =---=------. Из этих уравнений
2 2md
2Uel v = \---•
V md
Подставляя это выражение для v в уравнение для энергии, получим Uel ----------------------------= W, d
откуда
Wd U=-----« 160 в.
el
104.	Потенциал шара должен быть равен нулю. Потенциал поля в центре шара, равный, конечно, потенциалу шара, складывается из
226
потенциала поля точечного заряда q и поля, создаваемого зарядом Q шара. Заряд Q распределен по шару не равномерно, но если шар разбить на маленькие участки с зарядами Aq, то потенциал поля, создаваемого зарядом шара в центре, можно выразить как суммарный потенциал полей точечных зарядов Aq . Таким образом, можно записать для центра шара
ХДб? k х"’’	&	, Q , <7
k — = — у Aq = — Q и k — + k — = 0.
Отсюда г Q=--q.
105.	Шар с полостью можно получить, если на шар, положительно заряженный по всему объему с плотностью р , наложить шар в форме полости, равномерно заряженный по всему объему с плотностью - р . Тогда искомое поле Е в произвольной точке А внутри —
полости равно суперпозиции поля , создаваемого положительно заряженным шаром, и поля Е2 > создаваемого отрицательно заря-—> —> —>
женным шаром: Е = Е^ + Е2 .
Поэтому вначале нам надо решить вспомогательную задачу: найти напряженность поля внутри равномерно заряженного шара на расстоянии г от его центра.
Разобьем равномерно заряженный шар на тонкие сферические слои, толщина которых много меньше радиуса шара. Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля на расстоянии г от центра шара равна сумме напряженностей полей зарядов таких сферических слоев. Но напряженность	„
поля, созданного зарядами тех слоев,	^^Х.
радиусы которых больше г, равна нулю, У	X
а слоев, радиусы которых меньше г, -	/	Xй X. \
такая, как если бы заряды этих слоев I	f q q \ \
находились в центре шара. Следователь- I	(	) 1
но, напряженность поля на расстоянии г \	\	\гу /
Q	\	/
от центра шара равна Е =-------. Под- \	р У
4леог	х.
4 з	0 рг	\--------
ставляя О - р • — пг , получим Ег --.	.
3	3£0 Рис. 101
Вернемся к нашей задаче. Обозначим расстояния от произвольной точки А до центров шаров = О^А и г2 = @2^ (рис.101).
Ei	->
Поскольку — = —, треугольник, составленный из векторов Е^ , _	Е2 г2
-Е2 к Е , подобен треугольнику AOfi2. Значит, вектор Е парал
227
8*
лелен отрезку О1О2’ а его модуль определяется соотношением
Е	Е<	р	ра
— = —- = ——, т.е. Е =----------•
а	Г[	Зе0	Зе0
Электрическое поле внутри полости однородно.
106. Зарядив оба конденсатора от источника до разности потенциалов g , составим цепь, изображенную на рисунке 102. При этом
Рис. 102
заряды на конденсаторах перераспределяются. Обозначая заряды на конденсаторах после перераспределения qx и (j2, а напряжения U х и U2, имеем
ё + их - и2 = о,
+ q2 = *2.Сё, т.е. CUX + CU2 = 2Cg, откуда
Зарядив затем конденсатор 1 до разности
потенциалов ё , соберем ту же схему. Теперь IE станет равным — ё • 4
Повторяя эту операцию много раз, можно зарядить конденсатор 2 до разности потенциалов, сколь угодно близкой к 2 g. Соединив теперь
последовательно источник, конденсатор 1, заряженный до напряжения ё , и конденсатор 2, можно получить на концах цепи напряжение, сколь угодно близкое к 4g.
107. Из симметрии очевидно, что при измерении емкости цепочки между точками / и 2 разность потенциалов между двумя любыми из других точек (3, 4, 5, 6...) равна нулю. Это означает, что включенные между этими точками конденсаторы не заряжены и поэтому они не дают вклада в емкость системы. Тогда данная
цепочка эквивалентна схеме, приведенной на рисунке 103. Емкость 1
цепи равна поэтому — пС .
108.	Во внешнем электрическом поле все гантельки ориентируются вдоль поля (рис. 104, слева), при этом на шаре возникают заряды, распределенные определенным образом по его поверхности. Внутри шара, где плотности положительных и отрицательных зарядов одинаковы, заряды компенсируют друг друга. Если внима-
228
Рис. 104
тельно посмотреть на рисунок, то можно представить себе, что шар из полностью поляризованного диэлектрика эквивалентен двум как бы вложенным друг в друга шарам. Один шар заряжен только положительно, другой - только отрица-	___
тельно. Центры этих шаров смещены друг относительно друга на расстояние / (длина // гантельки), а объемная плотность заряда [/
каждого шара равна p = qn. Рассуждая Г 1 I/
так же, как в задаче 105, придем к выводу, к *	л I
что поле, создаваемое этими шарами в \	/}
области их пересечения, однородно	уу
(рис. 105) и равно
Е = Р1 =	Рис. 105
Ш Зе0 Зе0 •
Значит, полное поле внутри поляризованного шара также однородно, а его напряженность равна
qnl Е = ЕО-ЕШ=ЕО-^.
Зе0
109.	Найдем напряженность поля отрезка Ах такого, что прямая, проведенная из него в точку С, образует угол ос с нормалью к
оАх
отрезку АВ и Ах<Сг (рис. 106,а): ЛЕ = k—— , где а - линейная г
плотность заряда. Если отрезок Ах виден из точки С под углом Act, Act Act	Act
то Лхх = гЛа (угол ос мал, так что tg-^- = -^-,	=
Тогда
Ах1	г Ла	аг Ла , аЛа , а Ла
Ах =-------!---=------, и ЛЕ = k —-----= k-------= k---.
sin(90° - a) cosa	r cos a rcosa h
Напряженность поля отрезка, который виден из точки С под углом Аос, не зависит от угла ос. Все отрезки, которые видны из точки С под одинаковыми малыми углами, создают в ней напряженности одинаковой величины. Если мы разобьем угол АС В на большое число N одинаковых углов, то получим N одинаковых векторов,
229
следующих друг за другом через равные углы. Из соображений симметрии ясно, что сумма этих векторов Е направлена по биссектрисе угла АСВ (рис. 106,6).
110.	Так как пластины конденсатора большие, индуцированные на них заряды не изменяются при перемещении заряда q параллельно плоскостям пластин (краевыми эффектами мы пренебрегаем). Это означает, что не изменятся заряды пластин и в том случае, если заряд q равномерно «размазать» по плоскости, параллельной пластинам конденсатора и находящейся первоначально на расстоянии 6/3 от левой пластины.
Обозначим qx заряд левой пластины конденсатора. Тогда заряд правой пластины (согласно закону сохранения заряда) равен -qx. Заряды qx и -qx пластин конденсатора создают между плас-
тинами электростатическое поле напряженностью Ех =---- (5 -
площадь каждой пластины), а находящаяся внутри конденсатора
пластина с зарядом q создает поле напряженностью Е =----. С
2Eq5 одной стороны от пластины направления напряженностей обоих полей совпадают, а с другой стороны - противоположны друг другу. Поэтому разность потенциалов Дер между пластинами конденсатора равна
1	2
Дф = (£1-Е) -d + (E} + E2)-d.
Так как пластины конденсатора замкнуты, напряжение между ними
230
равно нулю: Д<р = 0 . Следовательно, 1 ( q\ 2 ( ---------------------\ Я] — н— Зе05< 1 2) Зе05\
Из этого уравнения найдем заряд q^:
1
<71 = о
Аналогично можно найти заряд q'^ левой пластины конденсатора, когда средняя пластина (заряд q) находится от нее на расстоянии 2 — d: 3
= 0
, 1
<71 о
Таким образом, при перемещении внутри конденсатора точечного заряда q (или заряженной пластины) по проводнику, соединяющему пластины конденсатора, проходит заряд
, 1
— q । — q । — — q .
111.	Когда язычок подключен к источнику, конденсатор заряжается до некоторого напряжения U. При этом на его обкладках появляются заряды q = CU. При переключении язычка происходит разрядка конденсатора. Таким образом, через плечо мостика, в которое включен конденсатор, течет средний ток [ - CUv при напряжении на нем U. Следовательно, эффективное сопротивление этого плеча равно R3 = (Cv) . Записав условие баланса моста Rx R3 „ — = — , найдем
R R^
2 R 1 С =----------
^1^2 V
Полученный ответ можно считать точным только в том случае, если время зарядки конденсатора (CR\) мало по сравнению с периодом колебаний язычка переключателя
112.	Включим гальванометр в цепь вместо неизвестного сопротивления (рис. 107), а точки А и В соединим через ключ К Подбором переменного сопротивления R добьемся такого положения, что показания гальванометра не бу-
231
дут изменяться при замыкании и размыкании ключа К. В такой ситуации потенциалы точекАиВ равны: фл = фв. Нофл = <pD - I^R (/t ~ ток, текущий по участку DA), а фв = ф^ - /2В2 (12 ~ ток, текущий по участку DB). Поэтому
Фр “	~ Фа “ ^2^2 ’
откуда
I\R = /2В2 •
С другой стороны, фл = фс + Цг (г - сопротивление гальванометра), а фв = фс + I2R\ у так что
Фс + V = <Pc +I2RV
откуда

Окончательно получаем
r = —-R.
В2
ИЗ. Ясно, что нижний вольтметр показывает U2 = $ -	=3 В .
Сумма токов в общей точке вольтметров равна нулю, а показания каждого вольтметра пропорциональны току через него. (Сопротивления вольтметров одинаковы по условию.) Следовательно,
U3 = U2 ~U1 =1 В-
114.	В отсутствие вольтметра сопротивления R и R^ включены последовательно. Поэтому напряжение на сопротивлении R равно
R
UR =-------& (сопротивление источника считаем бесконечно ма-
я+ 7?!
лым). При подключении вольтметра он будет измерять напряжение на участке, состоящем из параллельно включенных сопротивления R и сопротивления вольтметра г. Вольтметр покажет
гт, Rr К Rr
U'=g------- \-----+ R, .
По условию, показание вольтметра должно отличаться не более чем на 2% от значения U R. Поэтому
^^0,02.
UR
Подставив в это уравнение выражения для UR и U', найдем, что сопротивление вольтметра должно превышать 3675 кОм.
115.	При подключении вольтметра к точкам А и В его показание равно ЭДС источника U. Поэтому, если вольтметр подключен к
232
сопротивлению , а внутреннее сопротивление вольтметра равно г,
то по цепи идет ток
и вольтметр показывает
U
Точно так же
и2 = и
Разделив последние два уравнения друг на друга, получим
Ц__п_
L/2 r2
Таким образом, q/r2 = 3/2 .
При отключенном вольтметре напряжение на сопротивлениях и г2 равно U = 12 В. Так как отношение сопротивлений известно, нетрудно найти и напряжения Uх' и U2 на сопротивлениях:
откуда
и. =и—!— = и--------= 7,2 В, U'=U-U{ = 4,8 В.
1 Г] + Г2 1 + ^1Г\	2
116.	Достаточно сделать два измерения (рис. 108). Первое позво-и\ ляет определить внутреннее сопротивление амперметра: га = —L, а
и. 71
второе - величину неизвестного сопротивления: —- = Rx 4- г , отку-
U7	h
Rx = ~~rd'
Г2
233
117.	Если мы измеряем сопротивление Rx по первой схеме, то мы знаем напряжение U на этом сопротивлении, а ток, идущий через него, точно не известен. Неточность в измерении тока А/ при известном напряжении приводит к неточности ARX в определении Rx, которая легко находится из закона Ома:
IRX=U, I\RX +RXM = Q.
Обозначая 7?в сопротивление вольтметра, имеем
MRB = IRX.
Поэтому
Для второй схемы аналогично получаем &RX = Rd, где Ra -сопротивление амперметра.
Таким образом, если Rx/RB < Ra/Rx , то выгоднее пользоваться первой схемой, и наоборот.
118.	Для того чтобы найти мощность Р, необходимо найти напряжение U на лампочке и ток I через нее. Найдем их.
Если напряжение на лампочке и резисторе сопротивлением R2 равно U, то напряжение на втором резисторе равно &-U, и ток
через него равен
$ — U
и
Через резистор сопротивлением R2 течет при этом ток 12 = —, а через лампочку - ток	^2
Этой зависимости должны удовлетворять ток и напряжение на
лампочке С другой стороны, их значения должны соответствовать вольт-амперной характеристике лампочки. Поэтому, для того чтобы найти U и I, нужно построить оба графика зависимости I(U) и найти соответствующие точки пересечения графиков. Подставив известные величины, зависимость I от U можно записать в виде
(/ выражается в амперах, a U - в вольтах). Этот график легко построить.
234
Из рисунка 109 видно, что I 0,4 А и U « 1,2 В. Поэтому
Р = Ш==0,48 В.
119.	Построим нагрузочную прямую U~~~	—
Рн	R\ +
+ (70 D , D (см. зада-
*4 + чу 118). Ее пересечение с исходным графиком (рис. ПО) определяет рабочее напряжение: U = 10 В.
Для того чтобы найти AL/q, необходимо построить нагрузочные прямые с U -10 В ± 0,5 В. По этим прямым нетрудно найти пределы изменения напряжения источника: 13 В < С70 <29 В.
120.	Напряжение U на дуге равно
U = Uq - IR ,
где UQ - напряжение источника, I - ток в цепи. С другой стороны, зависимость напряжения U от тока I должна определяться точками графика U(I). Поэтому построим на графике нагрузочную прямую U=Uq-IR и найдем точки пересечения этой прямой с вольт-амперной характеристикой дуги (рис.111). Эти точки и определяют возможные значения напряжений на дуге и токов в цепи. Точка а соответствует устойчивому, а точка b - неустойчивому горению дуги. Убедимся в этом, рассмот-
рев, например, точку Ь. Предположим, что произошло небольшое случайное уменьшение тока. Напряжение на резисторе окажется при этом больше нового равновесного значения (определяемого законом Ома), а напряжение на дуге - меньше значения, определяемого ее вольт-амперной характеристикой. Будем считать, что приход к новым равновесным значениям параметров (релаксация) происходит на резисторе гораздо быстрее, чем на
235
дуге. Тогда через малое время мы окажемся на нагрузочной прямой левее точки Ь, и напряжение на дуге начнет возрастать, приближаясь к своему равновесному значению. Это приведет к уменьшению напряжения на резисторе (полное напряжение равно напряжению сети), т.е. к дальнейшему уменьшению тока. Так будет происходить до тех пор, пока дуга не потухнет. Аналогично, при малом случай-
ном увеличении тока он будет возрастать до тех пор, пока система не окажется в точке а.
Напротив, если система находится в точке а, то при малом изменении тока она возвращается назад (убедитесь в этом самостоятельно).
Значит, устойчивое горение дуги происходит при токе I = 13 А (см. рис.111).
121.	Прежде всего необходимо построить вольт-амперную характеристику для лампы мощностью 45 Вт. Это можно сделать, предположив, что отношения токов при
одном и том же напряжении на двух лампах равно отношению их мощностей. На рисунке 112 вольт-амперная характеристика лампы мощностью 45 Вт показана пунктиром. Сложив обе кривые, получим вольт-амперную характеристику последовательно соединенных ламп. По этому графику (верхняя кривая на рисунке 112) найдем значения тока в лампах при U = = 220 В и значения напряжений и U2 на лампах. Так как Ux > 1,1 L7pa6, ясно, что такое включение ламп недопустимо.
122.	Если в цепи течет ток /, то напряжение на резисторе сопротивлением г будет равно 1г. Поэтому при заданном значении
сопротивления ток в цепи и напряжение на резисторе графически находятся как координаты точки пересечения прямой U = 1г с вольт-амперной характеристикой источника (рис. 113). При увеличении сопротивления угол наклона этой прямой с осью I будет расти. При этом будет увеличиваться напряжение на резисторе. Сопротивление, соответствующее положению 1 прямой, будем обозначать гх. Начиная с этого значения сопротивления, ток в цепи
236
может иметь три значения. Однако вплоть до сопротивления г2 ток будет непрерывно изменяться. Положение 2 соответствует неустойчивости в системе. Небольшое уменьшение тока приводит к его скачкообразному ослаблению до величины /2 • При этом напряжение на резисторе тоже уменьшается скачком от U2 до U2 (весь этот процесс на рисунке ИЗ изображен пунктирными линиями). При дальнейшем увеличении сопротивления напряжение на резисторе будет непрерывно возрастать. При уменьшении сопротивления резистора неустойчивость возникает при сопротивлении гх (процесс изображен точечными линиями).
123.	Реостат Rx слабо влияет на напряжение на приборе. Поэтому ясно, что сначала надо установить напряжение на приборе с помощью реостата R2 и затем подправить его реостатом R^. Действительно, если длина реостата равна Z, а неточность при установке реостата составляет Д/, то неточность в сопротивлении
Д/
реостата R2 равна — R2, а неточность в установке сопротивления
Д/	Д/
реостата R^ равна — R^ = 0,1 — R2, т.е. в 10 раз меньше неточности
#2=10^
установки сопротивления реостата R2. Поэтому при той тактике, о которой мы говорили, сопротивление реостатов удастся подобрать в 10 раз точнее, чем при использовании только одного реостата R2. Во столько же раз точнее будут установлены и напряжения на реостатах, а значит, и напряжения на приборе.
Так как заранее не очевидно, в какую сторону мы ошибемся, устанавливая сопротивление R2, т.е. что нам придется делать с помощью реостата R^ - увеличивать или уменьшать сопротивление, то перед установкой реостата R2 движок реостата R^ нужно установить посередине.
Если нам нужно устанавливать как можно точнее не напряжение на приборе, а ток, идущий через него, то в этом случае реостат должен быть включен параллельно прибору как шунт, причем основным в этом случае будет реостат с меньшим сопротивлением - именно через него будет идти наибольший ток. Второй реостат с большим сопротивлением нужно включить параллельно первому (рис. 114) и ток устанавливать так: вначале установить движок реостата R2 посередине, затем установить ток с помощью реостата R^ и подправить его с помощью реостата R2.
Так как ток, идущий через реостат,
—(а)—|77рг/<5ор|—
Рис. 114
237
и
равен I = — , то при неточности установки сопротивления реостата
AR неточность в установке тока будет равна
U U UAR U
Ы =-----------= —---------- - —ЛЯ.
R R + AR R(R + AR) R2
Используя реостат Rv мы получим неточность установки тока U А/	U А/
—2 —	=-----— , а с помощью реостата R2 неточность установки
R< I	R\ I
и М и А/
тока станет равной----= 0,1-----, т.е. будет в 10 раз меньше,
,R2
чем при использовании только реостата R^.
124.	Пусть Р - мощность, выделяющаяся в утюге. Тогда за время включения Tj в нем выделится энергия = Рт^, а за общее время включения и выключения + т2 утюг отдаст энергию W2= =	- T0)(Tt + т2), где Tt - температура утюга, То - температура
воздуха, а - коэффициент пропорциональности. При установившейся температуре утюга в режиме «капрон» = W2, т.е.
=а(Г1 -ГоХт, + т2).
Точно так же в режиме, когда регулятор установлен в положение «хлопок»,
Р<=а(Т2-Г0)(т;+г').
Из двух последних равенств найдем Т2:
Т2 = i	+ тг) + Т = 180 °C.
Т1 Т1 + т2
Аналогично найдем и ?3:
Т3 = 420 °C.
125.	Обозначим g и - мощности, излучаемые первой и второй лампочками соответственно, a W и - мощности, потребляемые ими от сети. Тогда ё - T|W,	и ёх = 2g, где Т| - КПД
лампочек. Отсюда следует, что
W. ё<
—L = -L = 2.
W £
и2 и2	41
Но W =---- и W. =----- , где U - напряжение сети, R = р—- и
R 1	nd2
238
4/1
= р —— - сопротивления нитей ( р - удельное сопротивление материале! при температуре работы лампы). Поэтому
wt _ R _ W2
W Rx lld2 ’
так что
W.2
^2=2-hd2
В состоянии равновесия мощность, получаемая лампочкой от сети, должна быть равна мощности, излучаемой лампочкой в виде света и тепла. Излучаемая мощность, очевидно, пропорциональна площади поверхности нити 5 и некоторой функции температуры f(T). Следовательно, W = Sf(T). Световой поток, излучаемый лампочкой, также пропорционален площади поверхности нити и некоторой (уже другой) функции температуры <р(Т): £ = 5ф(Т). Так как £ = т| W, то
Ф(Г) = Т)Г(Г).
Отсюда следует, что КПД лампочки определяется температурой нити. Следовательно, при одинаковых КПД двух лампочек температуры их нитей накала одинаковы. Это означает, что
g,	51Ф(Г) _ 5,	dxlx
ё	S<9(T) S	dl '
Но = 2£, следовательно,
dl
Окончательно находим
dx =	= l,6d, lx = $2 = 1,3/.
126.	При подключении концов проволоки к источнику напряжения через нее потечет ток. Проволока будет нагреваться. При этом она удлинится, и ее сопротивление увеличится. В итоге мощность станет меньше, проволока начнет остывать, но под действием сил натяжения еще некоторое время она будет удлиняться (по инерции) и «проскочет» равновесное состояние. И так далее.
Конечно, это происходит не всегда, а только при определенных условиях.
127.	Обозначим U напряжение на зажимах электролизной ванны и I - пропускаемый ток. Проводя электролиз воды в течение времени t, необходимо затратить энергию
W = UIt= UQ,
239
где Q - заряд, прошедший через ванну. При этом из ванны выделится масса водорода
MQ т =----
з	N*e’
где М = 10 6 кг/моль - молярная масса выделяющегося атомарного водорода, е - 1,6 • 10”19 Кл ~ заряд иона водорода и NA -постоянная Авогадро. При сгорании этого водорода образуется вновь вода и выделяется энергия
= mq, где q ~ удельная теплота сгорания. Из закона сохранения энергии следует, что W >	, т.е.
MQ
NAe
откуда получим, что напряжение U должно быть больше
Мб7
U . =—— - 1,23 В.
mm N^e
128.	У старой батарейки большое внутреннее сопротивление. Из закона Ома для полной цепи легко видеть, что увеличение внутреннего сопротивления батарейки приводит к уменьшению тока в цепи.
129.	Батарея гальванических элементов имеет конечное внутреннее сопротивление, поэтому напряжение на лампе меньше ЭДС батареи на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении. Если разряжать через лампу конденсатор, то все напряжение падает на лампу. По мере разрядки конденсатора напряжение на лампе уменьшается, но если взять конденсатор большой емкости, то заряд, накопленный в нем, будет большим, и в течение достаточного промежутка времени разность потенциалов между обкладками конденсатора (а следовательно, и напряжение на лампе) будет практически постоянным.
130.	Нить лампочки нагревается не сразу. Так как сопротивление ненагретой нити мало, то некоторое время после включения лампочки в сеть через нее течет большой ток. Сопротивление тонких небольших участков нити больше сопротивления других таких же по длине, но более толстых участков. Поэтому на тонких участках выделяется больше тепла. Теплоотвод же, пропорциональный площади поверхности участка, меньше, чем в случае толстого участка. Это приводит к тому, что тонкие участки нагреваются значительно быстрее всей нити, причем при нагревании сопротивление тонкого участка возрастает, что приводит к еще большему выделению тепла и нагреванию. Увеличение сопротивления тонкого участка мало влияет на сопротивление всей нити, и через нить все еще идет большой ток. Все это приводит к перегреву тонкого участка и его сгоранию.
240
Если диаметр тонкого участка мало отличается от диаметра нити или его длина сравнима с длиной нити, то вся нить успевает прогреться, а ток через нее уменьшится до безопасной величины.
131.	Находящийся в магнитном поле конденсатор, заполненный проводящей жидкостью, представляет собой источник тока. Найдем ЭДС и внутреннее сопротивление этого источника.
На свободные заряды проводящей жидкости, движущиеся со скоростью v, в магнитном поле действует сила Лоренца Ел = qvB, искривляющая траектории зарядов. В результате заряды оседают на пластинах конденсатора. Если конденсатор не замкнут на внешнее сопротивление, процесс зарядки продолжается до тех пор, пока сила, действующая на заряды со стороны возникающего электрического поля, не уравновесит силу Лоренца. Из этого условия найдем напряженность электрического поля в конденсаторе, не замкнутом на внешнее сопротивление: Еэл = Гл, или Eq = qvB, откуда Е = vB. Следовательно, разность потенциалов между пластинами такого конденсатора (ЭДС) равна § = vBd. Внутреннее сопротивление конденсатора равно сопротивлению проводящей жидкости между d обкладками: г = р —.
5
При подключении к конденсатору внешнего сопротивления R по £
цепи идет ток I =----. При этом на сопротивлении R выделяется
R + r
мощность
2	(vBd)2 R
Р = I2R = —1---L---_
(R + pd/S)
132. Электроны вылетают из электронной пушки трубки с небольшим угловым разбросом скоростей и попадают в магнитное поле. При этом в направлении оси электроны имеют одинаковые l2eU
составляющие скоростей, равные vt = J---, и различные состав-
V т
ляющие, перпендикулярные оси и намного меньшие Движение вдоль оси - равномерное и прямолинейное. Наличие же перпендикулярных оси составляющих приводит к искривлению траектории движения электронов. На электрон, влетающий в магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям, действует сила Лоренца, равная Е = evB, где v - перпендикулярная В составляющая скорости электрона. Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение а = v2/R, где R - радиус окружности, по которой будет двигаться электрон. Согласно второму закону Ньютона,
2 mv ----= evB, R
241
откуда
mv
R =—.
eB
Период Т и частота со вращения электрона по окружности равны
2tiR	2лт	2л	еВ
Т =----=------ и со = — = — .
v	еВ	Т	m
Мы получили очень важный результат: какими бы ни были составляющие скоростей электронов, перпендикулярные оси трубки, все электроны совершают один оборот за одно и то же время. Если бы составляющие скоростей электронов, параллельные оси трубки, были все равны нулю, то траекториями электронов были бы окруж-
ности разных радиусов, проходящие через одну точку - точку вылета электронов из пушки (рис. 115), причем в эту точку все электроны приходили бы одновременно.
Рис. 116
Так как электроны участвуют еще и в равномерном прямолиней
ном движении вдоль оси трубки, то результирующими траекториями их движений будут винтовые линии. Это линии будут пересекаться на каждом шаге винта (рис. 116), так как составляющие скоростей,
параллельные оси, одинаковы для всех электронов. В точках пересечения траекторий, очевидно, и фокусируется электронный пучок.
Итак, электронное пятно на экране будет собираться в точку, если расстояние L от электронной пушки до экрана будет кратно шагу винтовой линии h = v(T, т.е. если
L = nvxT = п
2mU
е
причем при В ~ Bq п = \ , при В = 2Bq п = 2 и т.д.
С помощью такого эксперимента можно определить отношение заряда электрона к его массе. Действительно, из последней формулы для п = 1 получаем
е _ 8л U
m l2bI ’
Измерив v, L и Bq, нетрудно найти отношение е/т.
242
Мы показали, что радиус окружности, по которой движется заряженная частица в однородном магнитном поле, обратно пропорционален индукции В поля и может быть сделан очень маленьким. На этом основана идея магнитной изоляции плазмы. Температура плазмы для осуществления управляемых термоядерных реакций должна достигать сотен миллионов градусов (108 — 109 К), и поэтому необходимо изолировать плазму, не допуская ее контактов со стенками установки. В цилиндрической установке это можно сделать с помощью магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра. В таком поле электроны и ионы будут вращаться в разных направлениях по окружностям радиусом mv R =-----------------
qB'
где т - масса частицы и q - ее заряд.
В сечении, перпендикулярном полю, движение одного сорта частиц в плазме выглядит так, как показано на рисунке 117. Кольцевые токи, которые связаны с таким движением, взаимно уничто
жаются внутри плазменного столба, а Рис.117 на границе столба образуют кольцевой
ток. Взаимодействие этого тока с магнитным полем и удерживает плазму. Правда, остаются концы цилиндра. Для удержания плазмы там используются неоднородные поля, в которых частицы плазмы отражаются от концов. Другой вариант установки - обойтись вообще без концов, поместив плазму в тороидальную камеру. Таково, например, устройство установок «Токамак».
133. Величина тока I зависит от скорости частиц так:
I = en^vS,
где е - заряд протона, nQ - число протонов в единице объема, 5 -площадь сечения пучка, v - скорость. Будем считать что протоны равномерно распределены по своей орбите, поэтому (учитывая, что пучок очень узкий)
п
° 2tiRS
Тогда
Таким образом, чтобы найти ток, нужно найти скорость протонов.
243
Начальную скорость мы знаем. Она равна
2я#7л ------• пе
Так как магнитный поток в камере ускорителя меняется, то в ней индуцируется ЭДС индукции, равная скорости изменения магнитного потока Ф, т.е.
£ = Ф-
Когда протон сделает один оборот, электрическое поле совершит над ним работу, равную £е, которая пойдет на изменение кинетической энергии протона:
2	2
mv	mva
ёе =----------5-
2	2
(т - масса протона). Отсюда найдем скорость протона после того, как он сделает один оборот в камере ускорителя:
Тогда ток в камере будет
J/n о \2	I 2~3
I	] е	п е ф
---/0	+ 2<р—=/0 1+	
I пе ) т у 2л2 * ч/? тЦ
134. Так как омические сопротивления катушек равны нулю, напряжения на катушках равны ЭДС индукции, поэтому можно записать
L\ — = L2 — , At 2 At
откуда получаем равенство магнитных потоков:
АЛ = АА>
где Ц и /2 ” токи через первую и вторую катушки. Из закона сохранения энергии следует, что эти токи максимальны при условии
। L2I2 _ CU2
2	2	2
Окончательно найдем
CL?	СЦ
-------7 , h = U --------1--7 •
V (А + ^2)	V L2 (^1 + ^2)
2
135. Поток через первую катушку пропорционален — а
ч
244
через вторую-----(гДе Л и А ~ величины токов в катуш-
А
ках). Приравнивая эти выражения (см. задачу 134), получим
——. Учитывая, что L + Д = / , найдем
Si/2
^2^1
5*1/2
/	\2
П2
X	1
А = 1 -, А = 1 -----, где х -
п2 /21
2
136. Через короткозамкнутый виток потечет большой ток, так как образующаяся в нем ЭДС замыкается на его собственное сопротивление (которое очень мало). В исправном работающем трансформаторе ЭДС, образующаяся в обмотке, замыкается на большое внешнее сопротивление.
137. ЭДС индукции в обмотке трансформатора пропорциональна числу витков и скорости изменения магнитного потока:
ДФ
£ = п---.
М
Но в присутствии железного сердечника сам магнитный поток через каждый виток пропорционален числу витков (в отличие от соленоида, описанного в задаче 135, в этом случае магнитный поток от каждого витка пронизывает все остальные витки). Следовательно, ЭДС в первичной обмотке первого трансформатора и вторичной обмотке второго пропорциональны квадратам чисел витков обмоток:
= kn^ , ^2 = ^п2 “ £(3^1 )2 - 9b2t2 = 96\
(k - постоянная). Сумма же + £2 равна напряжению UQ сети (UQ = 100 В):
+ 9^ - Со .
Отсюда
=О,Шо -10 В.
Напряжение на вторичной обмотке первого трансформатора равно
и, = —ёх = 3£. =30 В.
«1
Напряжение на первичной обмотке второго трансформатора равно
П<	1
и. = —ё2 = --9^ = 3^ -30 В. п2	3
Напряжение U на свободных концах этих обмоток может быть равно СГ1 + U2, если они включены так, что ЭДС имеют одинаковые напряжения, или же СГ1 - U2 , если они включены «навстречу» друг другу. В первом случае U = 60 В, а во втором U = 0.
245
138. Обозначим действующее значение ЭДС индукции, возникающей в первичной обмотке ненагруженного трансформатора, , а во вторичной обмотке #2 • Очевидно, что
п2
где пх - число витков в первичной обмотке, п2 ~ во вторичной обмотке и k = nxln2 ~ коэффициент трансформации. Поскольку в ненагруженном трансформаторе	и £2 =	, гДе Ц) - 220 В
и (71 = 127 В, то
Когда трансформатор нагружен, т.е. ко вторичной обмотке подключено сопротивление R, по первичной обмотке идет ток
1	Г1
а по вторичной обмотке -
2	R + г2 •
Здесь и $2 " ЭДС индукции в первичной и вторичной обмотках нагруженного трансформатора, гх и г2 - сопротивления обмоток.
Коэффициент полезного действия трансформатора практически равен единице. Это означает, что мощность, вырабатываемая в первичной обмотке трансформатора, равна мощности, передаваемой во вторичную цепь:
-^1^1 = 2 2 •
Тогда
Л $2
Окончательно найдем
ku0
rx + k2(R + г2)
kU.R u=i2r =---у-2---ио в.
+ k[R + r2)
В описанном случае трансформатор не идеален, но потери энергии связаны только с омическим сопротивлением обмоток.
139.	Обозначим U - напряжение, до которого зарядится конденсатор Его заряд q = CU, а энергия W= CU2/2. Эта энергия равна работе, совершенной источником тока:
CU2
A = £q = ^CU =----.
246
Отсюда
Напряжение оказывается вдвое большим, чем при непосредственном подключении конденсатора к источнику. Связано это вот с чем.
Вначале ток увеличивается, и ЭДС индукции в катушке «направлена» противоположно ЭДС источника. Часть работы, совершаемой источником, идет на увеличение энергии магнитного поля катушки, которая запасает эту энергию. При U - ё энергия магнитного поля
1	2
максимальна и равна £ •	---Сё , т.е. половине работы источни-
ка. Максимален в этот момент и ток в катушке, а ЭДС равна нулю. В дальнейшем ток начинает уменьшаться, и «направление» ЭДС индукции становится таким же, как у источника, увеличивая таким образом напряжение на конденсаторе, энергия которого продолжает увеличиваться как за счет работы источника, так и за счет энергии, запасенной катушкой.
140.	Если резистор сопротивлением R подключен непосредственно к сети переменного тока, то в нем выделяется мощность, равная ifl/R, где U - действующее значение напряжения. В случае если резистор подключен к сети через диод, в нем выделяется мощность в два раза меньшая (полпериода ток через резистор не течет):
Теперь найдем мощность Р2, выделяющуюся в резисторе при подсоединении параллельно ему конденсатора. В условии задачи сказано, что время разрядки конденсатора велико по сравнению с периодом колебаний. В таком случае за период колебаний напряжения в сети заряд конденсатора практически не меняется. Это означает, что время разрядки конденсатора велико по сравнению с периодом колебаний. В таком случае напряжение на конденсаторе можно считать постоянным и равным амплитудному значению UQ Тогда	2
_	_ (Ли) _
2 R R R
поскольку амплитудное значение напряжения больше действующего значения в V2 раз Отношение мощностей, выделяемых в резисторе с подключенным конденсатором и без конденсатора, равно
Р, 2U2  2R
-± =------,- = 4.
Рх RU2
247
Таким образом, при подсоединении конденсатора параллельно резистору в нем выделится мощность в четыре раза большая.
141. Если бы стенки не было, маятник совершал бы гармонические колебания с угловой амплитудой (максимальным углом отклонения от вертикали) р и периодом
При упругом столкновении со стенкой абсолютная величина скорости маятника не изменяется, а направление движения меняется на противоположное. Это означает, что период колебаний маятника Т в присутствии стенки не равен То, а меньше этой величины на время т , за которое маятник, совершая свободные колебания, отклонился бы от вертикали вправо от угла ос до угла Р и вернулся обратно.
Запишем уравнение гармони
ческих колебаний для углового перемещения Ф:
ф = Р cos со£,
где со = 2л/Т0 . График зависимости ср(со£) показан на рисунке 118. В момент времени t = 0 ф = Р, т.е. маятник находится в крайнем правом положении. Через некоторое время tx угол отклонения маятника от вертикали станет равным ос. Из уравнения а = Р cos со^ получаем
1 а
L = — arccos —
1	со Р •
Из симметрии очевидно, что
2	а	То	а
т = 2Л = — arccos — = — arccos —
СО	Р	71	Р ’
Тогда окончательно
142. В положении устойчивого равновесия молекула располагается вдоль поля (рис. 119). Если ее вывести из этого состояния, то возникает вращательный момент, поворачивающий молекулу вокруг ее центра тяжести. Этот момент создают силы F и - F , дей
248
ствующие на заряды в электрическом поле. Если рассматривать заряды каждый в отдельности, то можно казать, что электрические силы для них играют такую же роль, как сила тяжести для математического маятника. Поэтому заряды колеблются, подобно математическим маятникам длиной 1/2. Воспользуемся этой аналогией и запишем период колебаний молекулы так:
т = 2л Е-,
W ’
где д - ускорение, которое электрическое поле сообщает каждому заряду. Так как д' = F/т, a F = еЕ, то д' = еЕ т. Поэтому
I Im	11
Т = 2п.\--«2 10 11 с.
\2еЕ
143. Обозначим жесткость пружинок модели молекулы k, массы атомов кислорода -Ми массу атома углерода- т (т/М = 12/16).
Совершая колебания типа а), оба атома кислорода колеблются синхронно относительно неподвижного атома углерода. Это связано с тем, что в силу симметрии колебаний атомов кислорода на атом углерода в любой момент действуют с обеих сторон равные по абсолютной величине и противоположно направленные силы, которые «уравновешивают» друг друга. Поэтому в случае а) атомы кислорода совершают свободные колебания, частота которых равна
При колебаниях типа 6) на атом углерода действуют равные по абсолютной величине силы, направленные в одну и ту же сторону. Если атом углерода «разбить» на две равные части, то ясно, что они будут колебаться как одно целое: на них всегда действуют равные силы, и, следовательно, шарики-половинки в любой момент будут иметь одинаковые ускорения, скорости и координаты. Частота колебаний молекулы СО2 равна частоте колебаний системы, состоящей из атома кислорода и половины атома углерода. Таким образом, задача сводится к определению частоты колебаний соеди-
1
пенных пружинкой шариков массами М и — т. Такие шарики колеблются около неподвижного центра масс системы. Если длина пружинки в нерастянутом состоянии равна /, то центр масс системы т
находится на расстоянии ------/ от шарика массой М. Поэтому
т + 2М
можно считать, что шарик массой М (атом кислорода) колеблется
249
относительно центра масс на пружинке длиной
т
L =1-----
1 т + 2М
Жесткость части пружинки больше жесткости целой пружинки и
равна
/ т + 2М kx = k — = k------.
/1 т
Частота колебаний шарика массой М на пружинке жесткостью kx равна
_ lk(m + 2M) Шб VM У тМ
Тогда отношение частот равно
со а / т Гз
<о6 У т + 2М V И ‘
144. Автомобиль на рессорах представляет собой сложную колебательную систему. Он может совершать вертикальные колебания, крутильные колебания вокруг оси, параллельной дороге, и крутильные колебания вокруг оси, идущей поперек дороги. Кроме того, благодаря упругости шин он может совершать различные колебания в горизонтальной плоскости. Эти колебания определяют устойчивость автомобиля при его прямолинейном движении и, как говорят, легкость управления автомобилем. Для разрушения дороги наиболее существенны вертикальные колебания автомобиля и крутильные колебания в вертикальной плоскости. При обсуждении вертикальных колебаний системы автомобиль - колеса можно воспользоваться результатом, полученным в решении предыдущей задачи. Обозначим т массу колес, М - массу кузова, k - жесткость рессор. Будем считать, что шины очень жесткие. Тогда собственная частота колебаний системы равна
k(m 4- М)
со = ,----
V тМ
Аналогичную формулу можно получить и для крутильных колебаний. Точный вид этой формулы нам в данном случае несуществен. Важно только то, что частота колебаний убывает при увеличении массы кузова. При т М частота со стремится к yjk/m - собственной частоте колебаний груза массой т на пружине жесткостью k.
Если на дороге имеется ухаб, то при определенной скорости автомобиля колесо подпрыгнет. Через время, равное половине периода колебаний системы, оно ударится о землю, вызывая разру
250
шение дороги. При ударе колесо движется под некоторым углом к дороге. Такой удар вызывает небольшое перемещение материала дороги вперед и образование нового ухаба. Когда по дороге пройдет много машин, дорога станет гофрированной, подобно стиральной доске. Расстояние между ухабами определяется скоростью автомобиля и частотой колебаний:
1	7TD
I---VT = —.
2	со
При одной и той же скорости автомобиля это расстояние тем больше, тем меньше со и, следовательно, чем больше масса кузова. Поэтому в нашем случае автомобили шли слева направо.
Такие «стиральные доски» на дорогах часто возникают у перекрестков, на которых стоят светофоры. Связано это с тем, что при резком торможении автомобиля передняя часть кузова наклоняется. Это становится причиной возникновения колебаний даже на идеально гладкой дороге. Отметим, что амплитуды колебаний колес и кузова относятся, как их расстояния до центра масс системы:
67 кол _
йкуз т '
При М » т пассажир может вообще не ощутить колебаний колес. Интересно, что существует критическая скорость для каждой дороги, при которой начинаются подскоки колес.
145.	Обозначим А амплитуду колебаний мембраны и со = 2rcv -ее циклическую частоту. Тогда зависимость координаты х мембраны от времени t можно представить в виде (ось X направлена вертикально вверх) х = A sin со£. Скорость v мембраны и ее ускорение а в момент времени t равны
2
v = Лео cos art и а = -Лео sincoL
На песчинку массой т действует сила тяжести т д и сила реакции мембраны N. Запишем уравнение ее движения (в проекциях на ось X):
N - тд = та.
В момент отрыва песчинки от мембраны N = 0 и, следовательно, а = ~д. Это означает, что песчинка отрывается от мембраны в тот 2	9
момент tQ, в который -Лео sinco£0 = -д, или sinco£0 =----- Ско-
Лсо2
рость мембраны и песчинки в этот момент времени, а также их координата равны
Vq = Лео cos со£0 и х^ = Л sin со£0 =	.
со2
251
В дальнейшем песчинка движется в поле тяжести, поднимаясь на высоту Аг, и можно воспользоваться законом сохранения энергии:
2 mvn тд&х = ---- ,
откуда
2
Ar = — 2^
2<7
Так как h = rQ + Аг, то 2 2	2	2 2
д	со A cos со£0 д	А со
<о2	2$?	2<о2 2д
Отсюда найдем А:
Л2#/гсо2 - д2	_5
А =	—-—— - 7,7 10 м = 0,077 мм .
со2
146.	В горизонтальном направлении на доску действуют только силы сухого трения со стороны вращающихся цилиндров. Каждая сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости доски, и пропорциональна силе нормального давления (а значит, и реакции опоры). Если доска находится в равновесии, то силы трения равны по модулю. Следовательно, равны и силы нормальной реакции каждого из цилиндров. Это означает, что центр тяжести доски при равновесии находится между цилиндрами на одинаковых расстояниях от каждого из них.
Пусть теперь доска смещена от своего положения равновесия на рас; стояние х < 1/2, например, вправо —>	—>
(рис. 120). В этом положении силы нормального давления и N2 уже не будут равны друг другу, а потому не будут компенсировать друг друга и силы сухого трения Ft и F2 . Равнодействующая F сил Ft и F2 сообщит доске горизонтальное ускорение.
Найдем, вычислив предварительно F/ и N2 из условия отсутствия вертикального ускорения:
+ N2 - Mg = 0
и условия равенства нулю момента внешних сил относительно оси, 252
проходящей через точку В\
fl	>	fl	А
ЛМ —I - х - ЛМ —1 + х = 0.
42	J	\2	J
Отсюда
(\	хА	(\	г А
=мЧ2-7)’ N2 = M9[2+t}-
Следовательно, сумма проекций сил Ft и F2 на ось X, направленную вправо, равна
, х 2^Мд
F = F, - F2 = ц(Х, - N2) = —^-х.
Мы видим, что F пропорциональна по модулю смещению х доски от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению, т.е. к положению равновесия. Таким образом, эта сила является «возвращающей» силой, аналогичной той, которая возникает при колебаниях маятника. Следовательно, доска совершает гармонические колебания.
Период колебаний можно найти, записав уравнение движения доски для проекций на ось Х\
2\х.Мд	2\1д
Ма =----------х, или а =--------х.
I	I
Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением представляет собой квадрат циклической частоты колебаний:
2 _ ®0 - ~— •
Период колебаний
со0 V ^9
При изменении направления вращения цилиндров на противоположные результирующая горизонтальная сила также изменит свое направление. При смещении доски эта сила уже не будет возвращать ее к положению равновесия, а, наоборот, будет уводить тем дальше, чем больше было первоначальное смещение. В результате доска соскочит с цилиндров.
147.	Рассмотрим математический маятник, частота малых колебаний которого равна со. Длина L такого маятника такова, что со = ylg/L , так что L = д со2 . При малых колебаниях можно считать, что все точки маятника движутся по горизонтальным прямым. Амплитуду b колебаний маятника можно сделать такой, чтобы амплитуда колебаний точки А, находящейся на расстоянии I от груза маятника, была равна а.
253
б) I 1
Колебания маятника, очевидно, не изменятся, если мы сделаем точкой подвеса маятника точку А и будем поддерживать ее колебания такими, чтобы смещения остались прежними в каждый момент времени. Если I < L (или I < д/со2 ), то, как видно из рисунка 121 ,а,
b _ L а~ L-Г
откуда
,_____ 9/1	_ „ «о
Ь а ,,	2 а 2	2 ’
д/l - со со0 - со
где со о = у/д/1 • Фаза колебаний в этом случае совпадает с фазой колебаний точки подвеса.
Условие Z< <у/со2 означает, что со < jg/l. Но Jg I равен частоте со0 свободных колебаний маятника. Следовательно, наше условие означает, что со < со0. Если маятник совершает вынужденные колебания с частотой со, меньшей частоты со0 собственных колебаний, то фаза колебаний маятника совпадает с фазой вынуждающей внешней силы.
Если со > со0, то y/g/l > y/g/L и I > L (см. рис. 121,б). Тогда
2
b L	соп
- =------, И Ь = а , 0  .
a I- L	со - <0q
Фаза колебаний в этом случае противоположна фазе вынуждающей
силы.
При со —> C0q амплитуда колебаний становится большой (резонанс), и наши рассуждения несправедливы.
Решение этой задачи помогает понять, почему максимумы приливов наступают вовсе не в те моменты, когда Луна находится в зените или в надире (с противоположной стороны Земли). В
254
большинстве районов земного шара приливы отстают от видимого движения Луны на л/2 (на 1/4 суток по времени). Остановимся на этом подробнее. Забудем для начала о движении Луны вокруг Земли и будем для простоты считать, что Земля - это твердый шар, покрытый океаном. Поле тяготения Луны неоднородно и убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Луны. Поэтому ускорение, которое сообщается в таком поле всей Земле (центру масс Земли), несколько меньше ускорения, сообщаемого частицам океана, находящимся непосредственно под Луной (наиболее близким к Луне), и несколько больше ускорения, сообщаемого частицам океана на противоположной стороне Земли. По этой причине сферическая равновесная форма поверхности океана невозможна. На частицы океана должны действовать еще какие-то силы, которые, складываясь с силой тяготения Луны, сообщали бы частицам океана ускорения такие же, как ускорение центра масс Земли. Такие силы могут возникнуть только при отклонении формы поверхности океана от сферической, причем выпуклости должны находиться непосредственно под Луной и с обратной стороны Земли. Высоту приливов можно найти из условия, что поверхность океана эквипотенциальна, иными словами, потенциальная энергия всех частиц поверхности океана одинакова. Расчет, аналогичный приведенному в задаче 41, для высоты h прилива дает
ЗМд Лз
2 мз 1
(Мд - масса Луны, М3 - масса Земли, R3 - радиус Земли, / -расстояние между центрами Земли и Луны).
Такая теория приливов была разработана еще Ньютоном, который впервые правильно объяснил, почему бывает два прилива. Ее называют статической теорией, так как она не учитывает движение Луны и вызванное им движение приливных горбов - приливных волн. Круговое движение аналогично движению колебательному. Поэтому можно сказать, что приливы совершают вынужденные колебания, обегая Землю. Это движение должно происходить так же, как вынужденные колебания математического маятника, которые мы только что рассмотрели.
При решении задачи 34 мы нашли, что свободная приливная волна обежала бы Земной шар за 50 часов. Так как приливных горбов два, то собственный период приливов был бы равен 25 часам. Период же видимого обращения Луны вокруг Земли составляет 25 часов, и, следовательно, период вынуждающей силы для приливных колебаний равен 12,5 часа. Период приливообразующей силы меньше периода собственных колебаний приливов, а частота приливообразующей силы больше частоты приливных колебаний. Поэтому фазы движения Луны и приливов при вынужденном движении
255
приливных волн противоположны. Это соответствует картине приливов в большинстве районов земного шара.
148.	Когда мы поднимаем маятник, мы совершаем работу и увеличиваем его потенциальную энергию. Когда маятник опускается, сила тяжести совершает работу, и потенциальная энергия маятника уменьшается. Но все дело в том, что в систему поступает энергии больше, чем расходуется. Действительно, поднимая за нить маятник на высоту h и тем самым укорачивая на h длину нити, мы совершаем работу
2 mv
Ах = Fxh = тд +------- h
(поскольку равнодействующая сил К и тд сообщает маятнику 2 mv
центростремительное ускорение, то Fx - тд =---). Когда же в
R
точке максимального отклонения от положения равновесия мы даем
возможность маятнику опуститься, т.е. увеличиваем до первоначального значения длину нити, сила тяжести совершает работу
Л2 - mgh cos а,
так как перемещение маятника по вертикали равно /г cos а. Таким образом, в систему поступает энергия
Е = - Л2 •
Она больше нуля, поэтому амплитуда колебаний будет увеличиваться (конечно, если поступающая энергия превышает работу сил
сопротивления).
Нетрудно понять, почему качели раскачиваются, если приседать всякий раз, когда качели максимально отклонены, и вставать при прохождении положения равновесия. И в этом случае как бы меняется длина нити маятника (если длиной нити считать расстояние от точки подвеса до положения центра тяжести человека), а роль силы натяжения нити выполняет сила реакции со стороны ног N .
2 mv
В положении равновесия N = тд +----- и
2 Л mv тд +--- h ,
где h - высота подъема центра тяжести. Когда качели максимально отклонены и человек приседает, сила тяжести совершает работу
Л2 = mgh cos а.
256
в*
За период система получает энергию
Е = 2(А, -A2) = 2/i
2
mv
----+ тд(\ - cos а)
Эта величина положительна, поэтому энергия и, следовательно, амплитуда колебаний будут увеличиваться.
Оба примера показывают, как можно увеличить энергию колебаний периодическим изменением параметров системы с частотой, вдвое большей частоты колебаний. Такое возбуждение колебаний называется параметрическим, а резонанс изменений параметров с частотой колебаний называется параметрическим резонансом.
Красивое использование параметрического резонанса в космической технике предложили советские ученые В.Белецкий и М.Ги-
верц.
Представим себе космический корабль, который состоит из двух раздвижных половинок, так что при необходимости корабль при-
нимает форму гантельки. Если корабль движется по эллиптической
орбите вокруг планеты (звезды) массой М, то потенциальная энергия корабля со сдвинутыми половинками на расстоянии R от центра плане-Мт
ты равна -G------, где т - масса
R
корабля. Раздвинем половинки корабля на расстояние 21 так, чтобы гантелька была перпендикулярна к плоскости орбиты (рис. 122). При
расстоянии от центра О планеты до
центра масс корабля, равном R, расстояние до частей корабля равно R cos а, где oc = tgoc = //7? (этот угол, конечно, мал, так как 1<^R). Следовательно, силы, действующие на половинки ко-
,	1 Мт 2
рабля, равны F = —G—5-cos а, а их равнодействующая равна &
,	Мт з	з
F = 2F cos а = G—— cos а. Эта сила в cos а раз отличается от
R2
силы, действующей на корабль со сдвинутыми половинками. Если
гантельку перемещать из одной точки в другую, оставляя угол ос неизменным, то работа и, следовательно, изменение потенциальной з
энергии корабля будут отличаться в cos а раз от работы и изменения потенциальной энергии корабля со сдвинутыми частями. Это означает, что потенциальная энергия корабля-гантельки равна
Мт з
-G-----cos а. Потенциальная энергия изменилась так, как если
257
9-Задачи по физике
бы мы ничего не делали с кораблем, а изменили поле тяготения, заменив постоянную всемирного тяготения G на G cos'5 а.
А теперь будем каждый раз в перигее раздвигать половинки корабля, а в апогее сдвигать их. Будем еще с помощью специального устройства следить за тем, чтобы в полете от апогея к перигею угол а оставался постоянным - это упростит наши расчеты. Рассмотрим, что будет происходить с орбитой нашего корабля.
Пусть корабль-гантелька движется от перигея к апогею. Обозна
чим &х его скорость в перигее, их - скорость в апогее, rt - расстояние до центра планеты в перигее и Rx - расстояние в апогее. Согласно
закону сохранения энергии, 2	2
Мт	з mv<	Мт	3 ти<
-G-----cos а -I------- = -G----cos а -I------.
г<	2	Ra	2
Кроме того, как известно, секториальная скорость корабля остается постоянной. Обозначим ее 5. Тогда (см. задачу 42)
5 = vxrx = uxRx.
Отсюда = S/vx и R{ = S/ux . Подставим эти выражения для rt и Rx в предыдущее равенство и получим
2	2 2GM	з
г»1 - их - —-—	- u, J cos а,
ИЛИ	2GM	з
+ щ =------cos а
1	1	5
Долетев до апогея, сдвинем обе половинки (переключим гравитационное поле). Проведя расчет, аналогичный тому, который мы сделали только что для первой половины траектории, найдем 2GM u\
где г>2 - новая скорость в перигее. Теперь вычтем из последнего равенства предыдущее и получим
В результате наших операций скорость в перигее увеличилась: и2>^. А расстояние? Так как rx = S/vx , a r2 = S/v2 = ^1/^2 ’ то 2GM расстояние в перигее уменьшилось. Обозначив величину ——— буквой а, получим
3	\	Va	Va
V2=VX+ «(1 - cos a), r2 = rx - rx------—2---— .
v2 vx + all - cos6 al
258
Вновь раздвинем половинки корабля и полетим от перигея к апогею.
В апогее корабль будет иметь скорость и2 такую, что
3 v2 + и2 = a cos а =	,
откуда
и2 - их =	- v2 = fl(cos3 а - 1).
Итак, скорость в апогее через период уменьшилась. А расстояние? Оно, очевидно, увеличилось:
щ	щ
R2 = Rl -1 = 7?,-------L-------- > R}
u2 щ + я!cos a - II
Нетрудно заметить, что каждый оборот увеличивает скорость в перигее и уменьшает скорость в апогее на одну и ту же величину
- cos3 a). Следовательно, после п периодов обращения корабля вокруг планеты его скорости в перигее и апогее будут равны
vn =	+ па(\ - cos3 a), ип = их - па(\ - cos3 a),
а расстояния -

+ па(\ - cos3 a
их - па(\ - cos3 a
При п —> щ - cos3 ajj величина Rn стремится к ©о, т.е. корабль уйдет от планеты. Так, изменяя периодически параметры корабля, можно растягивать его орбиту и вообще улететь от планеты в космическое пространство. Правда времени для этого потребуется
немало, так как величина	- cos3 aj j велика. Зато проект
корабля совсем не плох, если нужно покинуть поле тяготения
сверхплотной очень тяжелой звезды. В этом случае а велико и п сравнительно мало.
149. Для того чтобы можно было изучить движение ионов, необходимо прежде всего выяснить, какая сила действует на ион в электростатическом поле цилиндрического конденсатора, т.е. выяснить, какова напряженность поля в таком конденсаторе.
Напряженность поля пропорциональна плотности силовых линий. Если через дугу с единичным углом проходит п силовых линий, то через дугу с углом Ф
259
9*
проходит N = п(р силовых линий. Плотность силовых линий, пересекающих дугу радиусом г, равна отношению N к длине пр дуги, т.е. равна п/r (рис. 123). Следовательно, напряженность поля конденсатора пропорциональна г-1:
b
Е = —, г
В таком поле на заряд q, находящийся на расстоянии г от оси конденсатора, действует сила
г
Эта сила сообщает заряду ускорение а, равное по модулю bq а - —, гт
где т - масса заряда.
Обозначим х отклонение иона от основной траектории радиусом г0. Тогда г = rQ + х, и bq m(r0 + х) ’
Рассмотрим движение этого иона в системе отсчета, вращающейся вокруг оси конденсатора. В этой системе ускорение уже не равно а, так как все точки системы тоже движутся с некоторым ускорением относительно неподвижной системы отсчета, связанной с осью конденсатора. Точка, находящаяся на расстоянии г0 + х от оси, движется с центростремительным ускорением а = со2 (г0 + х). Следовательно, во вращающейся системе отсчета ускорение иона равно
2/ х
йотн а ач ~	\	® \г0 +х)-
т\г^ + х)
Из закона сохранения момента импульса следует, что
/	\2	2
т\г^ + х) со = mr0co0 ,
где со0 - угловая скорость иона в точке А. Она же равна и угловой скорости иона, движущегося по основной траектории. Но центрос-2
тремительное ускорение cz0 = со0г0 иону, движущемуся по основной траектории радиусом г0, сообщает сила F , равная по модулю bq/r^ , поэтому
Таким образом,
bq bq	. bq[2rQx + х )
йотн ~ 1 7 \	2~Т	?4~ со+	~	Гз
m(r0 + х) mrQ (Г() + х)	m(r0 + х)
260
При x^rQ
- э bq aom	2 Х ’
тг0
Мы видим, что при смещении с траектории «наружу» (х > 0) относительное ускорение направлено к центру, и наоборот. Значит, " ь л 2bq координата тела х удовлетворяет уравнению mx = -kx, где k - ——.
го
Такое уравнение описывает гармонические колебания с периодом \т
Т =	• Следовательно, ионы пучка, скорость которых в точке
А составляет малый угол ос со скоростью ионов, движущихся по основной траектории, будут совершать относительно основной траектории радиальные гармонические колебания с периодом
T = 2ti
Этот период одинаков для всех ионов. Значит, после того как ионы Т попадают в конденсатор в точке А, через времена tn=n — (п = 1, 2, 3, ...) все ионы будут оказываться в одной и той же точке основной траектории - будут фокусироваться. Нетрудно найти угол Ф между двумя последовательными фокусами:
Т я
Таким образом, если ZAOB = л/л/2 , то ионы будут фокусироваться в точке В.
Найдем теперь максимальную ширину пучка. Для этого воспользуемся тем, что максимальное абсолютное значение скорости ^тах тела, совершающего гармонические колебания, и амплитуда *тах его колебаний связаны соотношением
7)	= X О
max max ’
где Q = 2 л Т - частота колебаний. В нашем случае t>max равно значению радиальной проекции скорости в точке А (рис. 124):
а
^тах ~	~^2
261
(так как а мало, sin — ~ у)- Поэтому
1	2л
2CO0r0a = Xmax —
Следовательно, максимальная ширина d пучка равна со0г0аТ r0ot
тах 2л Л'
150.	При закрывании рукой резонансного ящика звучащего камертона излучаемый им звук модулировался. В результате излучаемая звуковая волна A cos cot превращалась в волну, описываемую формулой
А = Aq cos wt • (1 + В cos £lt),
где co = 2rcv - частота не модулированной волны и Q - частота модуляции. Преобразуя, можно записать
А = Ао cos cot + — А0В cos((co -	+ — AQB cos(co +	.
Следовательно, модулированная волна представляет собой сумму трех волн с частотами со, со - Q и co + Q. Одна из частот со - Q или со + Q совпадала с частотой колебаний второго камертона. В результате он возбуждался.
151.	Для передачи изображения необходимо прежде всего преобразовать его в электрический сигнал. Это происходит в передающей телевизионной трубке. Кадр изображения проецируется на светочувствительный мозаичный экран. Каждая из ячеек экрана заряжается, причем тем больше, чем больше ее освещенность. Так получается электрическое изображение передаваемого объекта. Затем электронный луч последовательно обегает различные участки этого изображения, двигаясь слева направо (вдоль строки) и сверху вниз (по строкам); электрическое изображение преобразуется в электрический сигнал.
Предположим, мы хотим передать картинку, показанную на рисунке 125. Яркость картинки по горизонтали меняется по синусоидальному закону. Пусть число максимумов яркости равно т, число
262
строк, на которое разбивается картина, равно п, а частота смены кадров v . Электрический сигнал, содержащий информацию о картине, имеет форму, показанную на рисунке 126.
За время передачи одной строки сигнал имеет т максимумов, за время передачи одного кадра - пт максимумов, а за 1 секунду -nmvK максимумов. Значит, циклическая частота сигнала равна
Q = 2tiv = 27tmnvK .
Следовательно, частота сигнала Q пропорциональна частоте смены кадров:
Q~vK.
Величина сигнала меняется со временем по синусоидальному закону, который можно записать так:
U = Uq + U\ sin £lt = Uq (1 + k sin ,
где k	Для того чтобы
сигнал на большие расстояния, им модулируют сигнал высокой частоты со (со » Q), величина которого меняется по закону
U = Uq sin art.
передать этот низкочастотный
Рис. 127
В результате модуляции амплитуда высокочастотного сигнала уже не постоянна, а меняется со временем так же, как модулирующий низкочастотный сигнал (рис. 127). Таким образом,
UM = UQ (1 + k sin £lt) sin art
(U ~ величина амплитудно-модулированного сигнала). После несложных тригонометрических преобразований получим
1 1
Um = Uq sin art + — kUQ sin((co +	+ ~kUQ sin((co - Q)/:).
Это означает, что в нашем случае амплитудно-модулированный сигнал представляет собой сумму трех синусоидальных сигналов с частотами со, со + Q и со - Q. Если же кадр является более сложным, то он передается в интервале частот шириной 2Q. Чем больше частота смены кадров, тем шире указанный интервал частот. Телевизионный приемник, следовательно, должен принимать сигналы в некотором диапазоне частот.
Но наряду с сигналом, несущим данную информацию, в эфире всегда существуют всевозможные случайные сигналы, называемые шумами. Шумы имеют различные частоты, и можно считать, что в каждом интервале частот их энергия примерно одинакова. Чем шире
263
полоса частот, воспринимаемая приемником, тем сильнее шумы, или, как говорят, выше уровень шумов. Если основной сигнал слаб, он может забиваться шумами, и мы не сможем его распознать.
На Земле передающие станции обладают достаточной мощностью, и уровень сигнала намного выше уровня шумов. Поэтому частота vK, а значит и частота смены кадров, может быть достаточно большой (что действительно необходимо для осуществления нор-
+<7	-q
Рис. 128
мального зрительного восприятия телепередачи).
Иное дело в космосе. Мощности передатчиков на космических кораблях малы, уровень основного сигнала низок. Увеличивая же время передачи одного кадра, т.е. сужая полосу частот, можно существенно уменьшить уровень шумов, что поможет выделить сигнал, несущий информацию.
152.	Грубо можно представить, что в электрическом поле электронные орбиты смещаются на некоторое расстояние Ах от ядра и происходит поляризация атомов диэлектрика. Представим себе некоторый объем диэлектрика (рис. 128). Смещение электричес-
ких зарядов на величину Ах приводит к появлению на торцах этого объема зарядов q и -q, где
q = 2eNAxS, —19 (здесь 2е - заряд ядра, е = 1,6 ♦ 10 Кл , N - число атомов гелия в единице объема и 5 - площадь торца диэлектрика). Число N легко найти, зная молярную массу гелия М = 2 10 кг/моль и плотность гелия р :
хт Р XT Q л Г\28	—3
N = — Ад ~ 2 • 10 м
м А 23	—1
(Na-6,02 10 моль - постоянная Авогадро). Внутри же объема заряд остается скомпенсированным. Следовательно, ослабление поля в диэлектрике в £ раз связано как раз с полем, созданным зарядами +<? и -q, причем напряженность Е поля в диэлектрике равна
E = Eq - АЕ, где Eq - внешнее поле и АЕ - поле зарядов на торцах. Поле зарядов можно рассматривать как поле плоского конденсатора, так что q 2eNkx ЛЕ = — =-------------------------------
£0^ £0
264
Eq
Кроме того, как известно, Е = —-, так что Eq = еЕ . Поэтому £
2eN\x
Е = еЕ--------
ео
Нам осталось найти Дх.
На электрон в электрическом ноле напряженностью Е действует сила F = еЕ. Если принять модель, в которой электрон как бы связан с ядром пружинкой жесткостью k, то удлинение Дх этой пружинки равно
F еЕ
\х = — = —. k k
Найдем теперь k. Гелий сильно поглощает излучение с длиной волны X = 0,06 мкм, или частотой со = 2тгс/Х (с - скорость света) Это резонансная частота колебаний электрона. Следовательно, со = y]k/m , где т ~ масса электрона. Поэтому можно записать
Отсюда 2
7 С 7/2	э /7
/? = 4тг —= 9 • 102 кг /с
X2
Теперь из выражений для Дх и Е получим
153. Из каждой точки траектории пули распространяется сферическая звуковая волна Эти волны, складываясь, дают картину, которая существенно зависит от соот-
Рис. 129	Рис. 130
ростью звука. Если скорость звука больше скорости пули, то волны, которые излучаются в различных точках, никогда не смогут догнать друг друга (рис. 129). Если же скорость пули больше скорости звука, то фронты волн будут пересекаться, как показано на рисунке 130,
265
и, складываясь, эти волны будут образовывать «усы», расходящиеся от пули, аналогичные «усам», идущим от носа глиссера. Эти «усы» представляют собой огибающие фронтов сферических звуковых волн. Подобная картина представлена на фотографии. Следовательно, пуля двигалась со скоростью v, большей скорости звука с.
Угол между «усами» простым образом связан с отношением скоростей пули и звука. Так как за время t пуля пролетает расстояние О А = vt (см. рис. 130), а звук из точки О проходит расстояние ОВ = ct, то
ct с since = — = —.
vt v
В нашем случае а ~ 45°, и поэтому
v ~ 480 м/с.
Картина волн, идущих от носа корабля, похожа на рисунок 43.
Однако здесь она сложнее. Это связано с тем, что скорость распро-
странения коротких волн (длина которых мала по сравнению с
глубиной водоема) зависит от длины волны К . Для таких волн v ~ у[дК . Так как при движении корабля возбуждается целый набор волн с различными X , то образуется группа волн. Групповая скорость, как мы видели при решении задачи 2, не совпадает со скоростью отдель-dv
пых волн и равна vr = v - X —. В на-dK
1
шем случае получим vr ~ ~v • Поэтому к тому моменту, когда корабль переместится из точки А в точку В (рис. 131), фронт группы волн, возбужденных в
точке А, переместится не в точку С, а только на половину расстояния АС. Из-за этого за кораблем распространяется большое число волн, идущих ступеньками по линии ВК. Сами ступеньки параллельны линии ВС.
154.	Из-за изменения скорости звука с глубиной звуковые лучи изгибаются, как показано на рисунке 132, и перед кораблем образуется «мертвая зона», в которую звук вообще не попадает. Граница мертвой зоны - это траектория луча, идущего вначале параллельно поверхности океана. Нижний край волнового фронта шириной Ah , перпендикулярного к этому лучу, за время At проходит на Ac At меньшее расстояние, чем верхний край (рис. 133). Благодаря этому фронт волны за время At поворачивается на малый угол ос такой,
266
что
ОС ~ tg ОС = \h
Скорость co поворота волнового фронта равна
а Ac	_i
со = — = — = 0,04 с .
At A/z
С такой же скоростью поворачивается и вектор скорости звукового фронта, который перпендикулярен этому фронту. И так как изменение абсолютного значения скорости звука мало по сравнению с самой скоростью, то можно считать, что фронт волны движется по окружности радиусом R = с/со = 1500/0,4 м = 37,5 км . Поскольку R h, можно считать, что радиус R остается постоянным вдоль всей траектории луча. В этом случае, как видно из рисунка 132,
/ = д/т?2 -(R-h)2 = yl2Rh0 = 6,1 км.
На таком же расстоянии и гидроакустик на корабле сможет
услышать шум лодки, так как звуковые волны, идущие от лодки, тоже загибаются и при расстояниях больше / не попадают на поверхность.
Эту задачу можно решать и более строго, разбив воду на тонкие слои и рассматривая последовательно изменение угла, под которым идет звуковая волна в каждом слое (рис. 134).
sin а-	с-	since,-	since,-.,	sinan	1
Так как ---------г— =	, то -----1- =------= const =----------= —.
Sino4+1	ci+\ ci ci+\	CQ	co
A/z sin a
Смещение Ar луча в i-м слое равно A/ztgce- = —, 	— Под-
4	/	2
д/1 - sin a •
267
с. cn - со/?
ставляя сюда sin осг- = — = —----------, получим
с0 с0
так что
h	_______________
г сп — со/г	1 Г?, Г2	I——
/=| ।	, с/Л =	-(с0-<о/г0) “ 727?А0 
О VC0 — vO ~^h)
В океанах имеются участки, в которых скорость звука до некоторой глубины уменьшается с глубиной, а затем увеличивается. В таких участках звуковые лучи загибаются так, что звук распространяется в узкой области, в которой скорость звука минимальна. Образуется узкий звуковой канал, в которой звук низкой частоты, слабо затухающий в морской воде, может распространяться на тысячи километров.
Скорость звука в воздухе тоже зависит от высоты из-за изменения температуры и плотности воздуха, а также из-за зависимости скорости ветра от высоты. Поэтому в атмосфере возникают те же эффекты загибания звуковых волн, что и в воде. Теперь понятны и физические основы народной поговорки «не кричи против ветра». Если скорость ветра, как это обычно бывает в нижних слоях атмосферы, увеличивается с высотой, то звуковые волны, распространяясь против ветра, загибаются вверх и на некотором расстоянии от «крикуна» образуется мертвая зона, в которой звук вообще не слышен.
155.	Он увидит, что на изображение закрытого глаза наклеена бумажка.
156.	Под наибольшим углом к поверхности воды луч света падает в точке А струи (рис. 135). Угол падения ос, при котором луч в этой точке не испытывает полного внутреннего отражения, должен быть таким, что
1 sin а = —.
п
Касательная к струе в точке А составляет угол у = 90° - а с горизонталью. Таким образом, луч света выйдет из струи, ни разу не испытав внутреннего отражения, если угол,
268
который образует касательная к струе в точке А, составляет с горизонтом угол у такой, что cosy = 1/п. Но касательная к поверхности жидкости - это траектория движения частиц жидкости, вышедших из сосуда у верхнего края отверстия. Поэтому направление касательной к поверхности жидкости совпадает с направлением вектора скорости частиц жидкости в точке А. Эта скорость складывается из горизонтальной скорости vx, которую имели частицы воды у отверстия сосуда, и из скорости v2, приобретенной ими при свободном падении с высоты 2г. Из закона сохранения энергии
следует, что Атд • 2r =	( Ат~ масса частицы воды), поэтому
v2 = \1^9Г • Что же касается скорости vx вытекания жидкости из сосуда, то, как известно, она равна ^2^/г , где h - высота уровня воды над отверстием. Это следует также из закона сохранения энергии. Действительно, при вытекании массы воды Ат из сосуда с жидкостью потенциальная энергия воды уменьшается на величину Amgh (можно просто считать, что масса воды Ат переместилась с поверхности жидкости к отверстию).
Зная vx и v2, нетрудно найти угол наклона касательной к поверхности жидкости в точке А к горизонту:
^7 IГ
tgy = —= J2-. vx У h
Выражая теперь cosy через tgy и подставляя это выражение в формулу для п, получим
I 2г	2г
п = .11 + — , или h = —---.
V h	ri -1
157.	При небольшом ветре на поверхности водоема образуется рябь, которую можно представить как множество мелких волн, разбросанных по поверхности воды абсолютно неправильно и возникающих одинаково часто во всех направлениях. Крутизна склона
волн при этом не превышает некоторого предельного значения а , которое зависит от силы ветра и может достигать 20 — 30°.
Для простоты будем считать, что наблюдатель и источник света находятся на одном уровне над поверхностью воды (рис. 136). Маленькое горизонтальное зеркальце будет отбрасывать
269
свет в глаз наблюдателя О только в том случае, когда расстояния от него до наблюдателя и до источника одинаковы (точка М). Если же зеркало наклонено под углом а в сторону наблюдателя, то для того чтобы отраженный свет попадал в глаза, оно должно быть несколько сдвинуто от наблюдателя (точка N). Зеркальце, наклоненное под углом а в противоположную сторону, должно находиться в точке дС. Наклоненные положения зеркала аналогичны крайним положениям волн, при которых отраженный от них свет еще попадает в наш глаз. Расстояние между N и N' поэтому определяет длину световой дорожки. Во всех точках между N и N' найдутся участки волн, имеющие достаточный наклон для того, чтобы отражать лучи в наш глаз.
Рассмотрим теперь углы между лучами света. Из чертежа видно, что р + а = у + 8, Р - а = е = 5, откуда у = а + Р - (Р - а) = 2а. Таким образом, мы приходим к выводу, что угол, под которым мы q	видим большую ось светового пятна, про-
Асто равен углу между двумя наиболее крутыми склонами.
Короткая ось пятна отраженного света легко находится аналогичным способом. Если сместить зеркальце из точки М в направлении, перпендикулярном NN', то, для того чтобы отраженный свет попал в глаз наблюдателя, зеркальце надо повернуть на некоторый угол вокруг оси, парал-
г ivi г лельной ДГДГ' (рис. 137) Считая, что пре-дельный угол поворота зеркальца по-прежнему равен а , находим, что ширина полосы света РР' = 2h tg а и, следовательно, короткая ось стягивает угол 2/г tga
Отношение двух видимых полуосей пятна будет равно Р/(2а) или, считая, что пятно невелико и угол а мал, равно sin со, где со - угол, под которым мы смотрим на воду. Чем меньше этот угол, тем более вытянуто пятно. Если взгляд скользит по поверхности, то пятно света будет до бесконечности вытягиваться и суживаться.
158.	Шероховатая поверхность стекла рассеивает падающий на нее свет равномерно во все стороны. Если стекло лежит на чертеже гладкой поверхностью (рис. 138,а), то в каждую точку шероховатой поверхности стекла попадают лучи, идущие как от линий чертежа, так и от чистых мест. Световые потоки, идущие из таких разных участков чертежа, затем рассеиваются во все стороны одинаково, и от каждого участка в глаз попадают лучи, идущие как от линий
270
a)
б)
Рис. 138
о
о
о о о о
О о
о о о
о
о
° о о о
О
чертежа, так и от чистых мест. Разные участки стекла поэтому кажутся одинаково яркими, и разобрать чертеж нельзя.
Если же стекло обращено к чертежу матовой поверхностью (рис. 138,6), то матовая поверхность оказывается освещенной неравномерно. Лучи, идущие из разных точек этой поверхности, попадают в глаз не пересекаясь, и чертеж легко разобрать.
159.	Рассмотрим слой воздуха с дымом на пути светового пучка (рис. 139). Выберем AZ настолько малым, чтобы в пределах этого слоя практически не было затемнения одних частиц другими. Такой слой поглотит долю света, определяемую поперечным сечением AS всех ча
стиц, находящихся в этом слое. В расчете на единицу поперечного сечения пучка получим
о
о
о
о
’ AZ Рис. 139
AS = N А/тсг2
т	3mAl
--------—- AZrcr =------
(4/3)лг р	4гр ’
где N - число частиц в единице объема, р - плотность распыленного вещества.
Запишем полученное соотношение для двух рассматриваемых случаев и найдем отношение толщин слоев, в которых поглощается одинаковая доля света:
AZ] т2 Zj
AZ2 r2
Аналогичные соотношения можно записать для двух, трех,... слоев, в пределах которых вновь можно пренебречь взаимным затенением частиц. Если в первом случае дальность видимости связана с выбранным AZ соотношением Z1 = пМ}, то и во втором случае,
271
очевидно, /2 = пД/2. Тогда можно записать
т2 Г|
/2 лг А/2 т1 г2
Отсюда
г2 1а т2 - т\~~ ~ 0,2 г. ri ч
160.	Рассмотрим, например, точку 3. Лучи, выходящие из точки В, попасть в нее не могут (рис. 140). Из рисунка ясно, что видна будет только часть АС предмета АВ. Аналогично определяются области, которые видны из точек / и 2 (впрочем, из точки 2 виден весь предмет).
161.	Нарисуем ход луча от бесконечно удаленного источника через глаз. Этот луч испытывает два преломления на двух поверхностях хрусталика (рис. 141). Согласно закону преломления,
sin а	п2
sin Р	щ
где пх - абсолютный показатель преломления первой среды (воды или воздуха), п2 ~ абсолютный показатель преломления вещества хрусталика. Из этой формулы видно, что при уменьшении пх (замене воды на воздух) угол Р уменьшается. Это означает, что после преломления на входной поверхности хрусталика в том случае, когда перед глазом воздух, лучи идут ниже, чем в том случае, когда перед глазом вода. Поэтому если в воде изображение удаленного предмета при ненапряженном глазе образуется на сетчатке, то в воздухе изображение этого предмета при ненапряженном глазе будет получаться перед сетчаткой. Следовательно, человек близорук
162.	Центр линзы лежит в точке пересечения прямых АА' и ВВ', плоскость линзы проходит через точку пересечения продолжения прямых АВ и А'В' (рис. 142,« и б).
163.	Остановимся на двух наиболее существенных факторах.
Во-первых, лицо человека в маске освещено гораздо хуже, чем
272
Рис. 142
сама маска и окружающие предметы. Поэтому свет, отраженный лицом, очень слаб по сравнению со светом, идущим от маски и других предметов. Вот почему для наблюдателя из публики лицо фехтовальщика в маске практически неразличимо. Сам же спортсмен, наоборот, хорошо видит ярко освещенные предметы вокруг себя на фоне слабого света, отраженного внутренней стороной проволочной маски. К тому же изображение маски в глазу спортсмена получается сильно размытым (несфокусированным), так как маска расположена слишком близко к глазу.
Аналогично объясняется, почему днем невооруженным глазом нельзя увидеть звезд: солнечный свет, рассеянный атмосферой, гораздо сильнее света звезд.
Во-вторых, поскольку проволочная сетка находится близко от лица спортсмена, она закрывает для наблюдателя довольно большую часть лица. В то же время спортсмену эта маска не мешает.
В заключение рассмотрим еще одну подобную задачу: почему днем с улицы ничего не видно внутри комнаты, если смотреть через окно, занавешенное сетчатой тканью? Очевидно, в этом случае тот факт, что сильно освещенная снаружи занавеска отражает много
света по сравнению с предметами внутри комнаты, играет решающую роль. Если смотреть из комнаты на улицу, то яркие предметы будут хорошо видны, так как внутренняя сторона занавески освещена слабо. Однако видно будет значительно хуже, если в комнату
попадают прямые солнечные лучи и стены комнаты хорошо отражают свет, - тогда и изнутри занавеска освещена хорошо. Чтобы
хорошо видеть то, что происходит на улице, необходимо в этом
случае подойти вплотную к окну.
Вечером, наоборот, очень хорошо видна с улицы освещенная комната, но совсем не видна улица из комнаты.
164.	Резкое изображение предмета, которое дает хрусталик несовершенного глаза, получается не на сетчатке глаза, а перед ней, если человек близорук, или за ней, если человек дальнозорок В обоих
Рис. 143
273
случаях изображение каждой точки на сетчатке глаза получается в виде расплывчатого пятна, диаметр которого зависит от диаметра зрачка (рис. 143) и от степени близорукости (или дальнозоркости) человека. Чем меньше диаметр зрачка, тем уже пучок лучей, создающих изображение точки, тем меньше пятно получается на сетчатке. При ярком освещении диаметр зрачка уменьшается, и изображение букв для людей, носящих не очень сильные очки, оказывается размытым слабо. Поэтому они могут читать и без очков. Для тех же, кто пользуется сильными очками, изображение букв получается далеко от сетчатки глаза, и несмотря на небольшой диаметр зрачка, изображение букв оказывается сильно размытым, так что читать текст все равно невозможно.
Аналогично объясняется увеличение глубины резкости (т.е. области, которая получается резкой на фотопленке) при уменьшении диаметра отверстия объектива. Действительно, пусть мы хотим одновременно сфотографировать две точки А и В, находящиеся на
некотором расстоянии друг от друга (рис. 144). Если аппарат сфокусирован на какой-то предмет между этими точками (объектив дает на фотопленке резкое изображение этого предмета), то изображение точек на фотопленке получается расплывчатым, но
Рис. 144
Фотопленка
диаметр каждого из пятен - изображений точек - зависит от диаметра отверстия объектива, уменьшаясь при уменьшении этого диаметра. Допустимое размытие определяет глубину резкости - те расстояния, на которых изображения на пленке считаются резкими.
Простой расчет для диаметра d размытого изображения точки, смещенной на расстояние х из положения, при котором ее изображение получается резко, дает
где F - фокусное расстояние объектива, D - диаметр отверстия диафрагмы и а - расстояние от предмета до диафрагмированного объектива, при котором изображение резкое. Если, как обычно бывает, а » F , то
<1~dF\x\
Отсюда можно найти глубину резкости при допустимом размытии изображения:
274
Глубина резкости оказывается обратно пропорциональной диаметру диафрагмы.
При маленьких диаметрах диафрагмы глубина резкости велика. Однако при этом начинают играть роль дифракционные явления. Из-за дифракции на диафрагме пучок не сходится в точку, а его изображение образует систему светлых и темных колец. Основная доля энергии попадает в небольшой центральный максимум, соответствующий дифракционной угловой расходимости пучка порядка X/D, где X - длина волны света. Дифракционное размытие в AF фокальной плоскости объектива должно быть порядка А ~	. Для
видимого света с длиной волны X = 5,5 • 10~7 м и для объектива с фокусным расстоянием F = 5 см дифракционное размытие А порядка, скажем, 0,1 мм, получается при диаметре диафрагмы D~0,3 мм. Таких маленьких отверстий диафрагмы не бывает в обычных объективах, и дифракционное размытие пучка для них несущественно. Тем не менее, оно представляет важную характеристику объектива, так как определяет возможное предельное разрешение объектива - расстояние между двумя точками, изображения которых можно будет увидеть раздельно.
Очевидно, что две точки можно будет увидеть раздельно, или, как говорят, разрешить, если центры дифракционных изображений этих точек отстоят друг от друга на расстояние порядка радиуса их дифракционных изображений (критерий Рэлея). Следовательно, две точки разрешимы, если угловое расстояние между ними (угол, под которым они видны) порядка углового дифракционного уширения пучка:
X
Ф----.
D
Например, для глаза с диаметром зрачка D = 4 мм при наблюдении в свете с длиной волны Х~5,5 10-7 м
1,25-10 4 рад.
Для телескопа с диаметром линзы 2 м получим ф ~ 6 10-6 рад . Чем больше диаметр объектива телескопа, тем лучше его разрешение. Вот почему астрономы стремятся получить в свое распоряжение телескопы с возможно большим диаметром объектива.
Но вернемся к маленьким отверстиям диафрагмы Мы ранее пришли к выводу, что чем меньше отверстие диафрагмы, тем больше глубина резкости. При D —> 0 глубина резкости стремится к При очень маленьких отверстиях диафрагмы можно выбросить линзу и устроить «дырочную» камеру - камеру-обскуру. Если такой фотокамерой фотографировать отдаленный предмет, находящийся на расстоянии много больше размера камеры, то можно считать, что из 275
каждой точки предмета в объектив попадает параллельный пучок лучей. Такой пучок будет давать на пленке пятно, диаметр которого равен диаметру отверстия, а глубина резкости такого объектива бесконечна. При уменьшении диаметра отверстия качество изображения будет улучшаться. Это, однако, справедливо лишь до тех пор, пока диаметр D отверстия таков, что дифракционное уширение пучка мало по сравнению с диаметром отверстия. Так как дифракционное уширение пучка растет с уменьшением D, то при уменьшении диаметра отверстия качество изображения вначале улучшается, а затем начинает ухудшаться. Наилучшее изображение получается тогда, когда дифракционное уширение оказывается порядка диаметра отверстия:
Отсюда найдем, что для этого диаметр отверстия должен быть порядка y/XF . Например, для X ~6 • 10-7 м и F — 10 см получим, что диаметр отверстия должен быть порядка 0,34 мм.
165.	Прозрачные окна отражают меньше света, чем стены домов.
166.	Когда рыба рассматривается с моста, лучи от нее, идущие в глаз, падают на поверхность воды под малым углом, и поэтому их отражение от поверхности невелико по сравнению с тем случаем, когда рыба рассматривается с невысокого берега.
Кроме этих лучей в глаз попадают лучи от Солнца, которые создают общий слепящий фон. Если наблюдатель стоит на мосту, в его глаза попадают солнечные лучи, падающие под меньшим углом, чем в том случае, когда он стоит на берегу. Поэтому эти лучи меньше отражаются от поверхности воды, и фон в этом случае менее яркий.
167.	Освещенность изображения Е равна отношению светового потока Ф, проходящего через линзу, к площади изображения 5. Отношение освещенностей для рассматриваемых двух случаев можно записать так:
Е2 ^2 *$1
VKv
Освещенность поверхностей линз в обоих случаях одна и та же. Поэтому отношение световых потоков равно отношению площадей линз - целой и разрезанной пополам. Это значит, что Ф2/Ф] = 1/2.
Теперь найдем отношение площадей изображения.
***^,0. Ф _J Изображение Солнца лежит в фо-
--------калькой плоскости линзы. Обозначим
V	фокусное расстояние линзы F, а угол,
р **1 под которым видно Солнце с Земли, а. Рис. 145	Так как Солнце находится очень дале-
276
ко от Земли, можно считать, что из каждой точки Солнца на линзу попадает параллельный пучок лучей, собирающихся в фокальной плоскости линзы. Поэтому угол а - это угол между пучками лучей, идущих от крайних точек Солнца. Из рисунка 145 видно, что радиус изображения Солнца равен
а
Г= F tgy.
Но так как угол а мал (а = 30?), то
а	а	Fa
tg — ~ —, и г =---.
2	2	2
Для того чтобы найти размер изображения во втором случае, нужно знать фокусное расстояние составной линзы. Заметим, что оптическая сила двух сложенных вплотную тонких линз равна сумме их оптических сил. Действительно, луч, вышедший из фокуса первой линзы, становится, после того как он пройдет эту линзу, параллельным главной оптической оси системы и после прохождения второй линзы попадет в ее фокус. Обозначив фокусное расстояние сложной линзы F', мы можем, согласно формуле линзы, написать
1 _ 1 1
Но отсюда следует, что фокусное расстояние линзы, составленной из двух половинок плосковыпуклой линзы, вдвое меньше фокусного расстояния целой линзы. Благодаря этому радиус изображения Солнца во втором случае будет вдвое меньше, чем в первом, а площадь изображения - в четыре раза меньше, т.е. Sx/S2 = 4.
Таким образом, Е2/Ех = 2, т.е. освещенность изображения Солнца увеличится в два раза.
168.	Размер солнечного зайчика обычно намного больше размера зеркала. Это связано с тем, что параллельный пучок лучей, идущий от одной точки Солнца, отражается от зеркала и, попадая на экран или стену, дает пятно, размер которого примерно равен размеру зеркала. Зайчик образуют накладывающиеся пятна, которые получаются при отражении пучков, идущих от всех точек Солнца. Размер зайчика определяется пучками лучей, идущими от диаметрально противоположных точек Солнца (рис. 146). Так как угол между этими пучками равен угловому диаметру Солнца а « ЗО' (углу, в котором видно Солнце с Земли), то диаметр пятна равен примерно а
2r + 2L tgy ~ d + La, где L - расстояние до стенки. Распределение освещенности в этом пятне неравномерно, однако для оценки пренебрежем этим обстоятельством и будем считать, что Солнце 277
находится в зените. Тогда плоскость зеркальца должна составлять угол 45° с направлением на Солнце, и освещенность зеркальца равна Eq cos 45° - Eq IV2 , где Eq - освещенность прямыми солнечными лучами. Световой поток Фо, попадающий на зеркальце, равен Ео nd* 2 * 4 * * * * * Ео
Пренебрежем поглощением и рассеянием этого потока.
1	,	>2
Тогда, разделив Ф на площадь зайчика S = — л(</ + La) , найдем
4
его среднюю освещенность:
Фл	d
Е = -Е = Е() —---------7.
Е y[2(d + La)2
Освещенность Е можно подсчитать и более точно. Заменив ход лучей от Солнца ходом лучей от его изображения, нетрудно заметить, что в середине зайчика в каждую точку приходят лучи только от тех точек Солнца, которые видны из этой точки в угле р , в котором лежит диаметр зеркала, т.е. в телесном угле ~р2 (рис. 147). При освещении прямыми солнечными лучами в каждую точку приходят лучи, идущие в угле a, т е. телесном угле Q~a . Поэтому освещенность Е во столько раз меньше Eq , во сколько раз меньше Q:
Ео □ С ос J ’
тт о d cos 45°
Но р =---------, поэтому
278
Для оценки можно воспользоваться любой из формул для Е.
Теперь можно найти освещенность точек корабля, в которые посылают зайчики п горожан. Она равна пЕ и должна быть примерно такой же, как освещенность Ех, которую получают в фокальной плоскости линзы при выжигании. Диаметр изображения Солнца в фокальной плоскости линзы равен Fa (см. задачу 167), а световой поток, собираемый линзой, равен Ео • лР2/4. Поэтому
Е0яР2/4 D2
(Fa)2/4	° F2a2
Так как D/F > 0,07, то
—3 Ен Ех >4,9-10 3 -4.
а1
Поэтому корабль можно было поджечь, если
d2	-з Еп
пЕ = пЕ(} .	>4,9 10 -2-,
2L a	a2
т.е. если
-3 2/2 п > 4,9 10 ' • —
Подставляя сюда d = 1 м и L = 200 м, найдем, что п > 392. Столько горожан нужно было Архимеду для того, чтобы расправиться с римским флотом.
Наша оценка, по-видимому, несколько завышена. По сообщению польского журнала «Вокруг света» (№ 12 за 1974 г.) греческий физик Ионас Саккос в 1973 году провел следующий опыт. Семидесяти солдатам были даны отполированные листы меди размером 150-90 см. Солдаты направили отраженный солнечный свет в одно и то же место копии римского деревянного корабля, стоящего в 200 м от берега. Через две секунды после этого корабль задымился, а еще через три секунды загорелся.
279
169.	Матовый колпак равномерно рассеивает свет от лампы. Поэтому, хотя яркость нити накаливания лампочки очень велика, яркость матового колпака (т.е. световой поток, излучаемый с единицы поверхности колпака) мала. Сравнительно невелика и яркость изображения колпака на сетчатке глаза.
170.	Так как расстояния от Солнца до Земли и Луны велики по сравнению с диаметром Солнца, при расчетах мы можем считать, что Солнце - это точечный источник света, равномерно излучающий световую энергию во все пространство. Примем, что сила света этого источника, т.е. энергия, излучаемая Солнцем в единичный телесный угол за 1 секунду, равна I. Тогда освещенность поверхности Земли в яркий солнечный день будет равна
где L - расстояние от Солнца до Земли.
Луна освещает Землю отраженным солнечным светом. Так как расстояние от Солнца до Луны можно принять равным расстоянию от Солнца до Земли, то освещенность поверхности Луны в полнолуние тоже равна l/L2 . На всю поверхность Луны радиусом г попадает световая энергия
W = Ес лг2.
Так как энергия aW рассеивается затем равномерно по всем направлениям по «полусфере», то в единичный телесный угол излучается энергия
г-
Егпг
1л
2л
(полный телесный угол равен 4л). Теперь легко найти освещенность поверхности Земли в полнолуние. Считая Луну точечным источником с силой света /л, получим
Е г2
где / - расстояние от Луны до Земли.
Отношение освещенностей Земли в полнолуние и в солнечный день равно
Z7	(	\2	4
=«М	1
Ес 2 U J 80000'
Интересно, что около 300 лет назад аналогичный расчет позволил Ньютону правильно оценить расстояние до ближайших ярких 280
звезд. Ньютон исходил из того, что видимая звездная величина некоторых звезд, например а Центавра, примерно такая же, как у Сатурна. Иными словами, освещенности, создаваемые этими звездами и Сатурном на плоскости, перпендикулярной световым лучам, идущим от звезд и от Сатурна, примерно одинаковы. Приведем отрывок из работы Ньютона, который мы взяли из примечания редактора русского перевода к книге Ф.Крауфодна «Волны» (М.: Наука, 1974):
«На диск Сатурна падает около 1/2100000000 части солнечного света. Во столько же раз поверхность этого диска меньше сферической поверхности, радиус которой равен радиусу орбиты Сатурна. Предположим далее, что Сатурн отражает 1/4 часть этого света. Тогда отраженный полусферой Сатурна свет будет составлять 1 /4200000000 часть света, испущенного полусферой Солнца. Уменьшение яркости обратно пропорционально второй степени расстояния до светящегося тела. Поэтому если Солнце было бы на расстоянии от Земли в 10000 V42 раз большем, чем Сатурн, оно казалось бы таким же ярким, каким кажется Сатурн без своего кольца. Такое свечение немного превосходило бы свечение неподвижной звезды первой величины. Таким образом, расстояние, с которого Солнце светило бы как неподвижная звезда, примерно в 100000 раз больше расстояния до Сатурна».
Расстояние от Сатурна до Земли равно примерно 1,4 • 109 км. Таким образом, согласно расчету Ньютона, расстояние до ближайших ярких звезд должно быть равно 1,4 • 1014 км. Эта оценка по порядку величины правильна для расстояния до а Центавра, Сириуса, Проциона. Согласно нынешним данным, расстояние до Центавра в 28000 раз, до Сириуса в 58000, а до Проциона в 75000 раз больше расстояния от Солнца (Земли) до Сатурна.
171.	Площадь изображения фонаря, даваемого хрусталиком, обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника, но и световой поток, падающий на зрачок, тоже обратно пропорционален квадрату расстояния до источника, поэтому освещенность изображения не зависит от расстояния до фонаря. Убедимся в этом.
Обозначим I энергию, излучаемую фонарем в единицу телесного угла (яркость фонаря), L - расстояние до фонаря и dQ - диаметр зрачка. Освещенность поверхности хрусталика равна
а световой поток, попадающий на его поверхность, равен
4	4L2
281
Рис. 148
Так как расстояние до фонаря много больше фокусного расстояния F глаза, геометрическое изображение фонаря получается в фокаль-
ной плоскости и его диаметр равен d = FD/L, где D - диаметр фона-
kD2F2
ря (рис. 148). Площадь изображения поэтому равна S =----— , а
4L2
его освещенность -
Е =
ф , 4
s d2f2 
Мы видим, что освещенность не зависит от L. Отсюда следует любопытный результат. Заменив в наших рассуждениях фонарь на звезду, а хрусталик на линзу, мы найдем, что освещенность изображения звезды, которое получается с помощью линзы, не зависит от расстояния до звезды. В то же время, сфокусировав солнечные лучи, можно зажечь дерево, а сделать это со светом, идущим от звезды, конечно, не удается, хотя имеются звезды с диаметром, не большим диаметра Солнца, и излучающие не меньше энергии, чем Солнце. В чем же здесь дело?
Мы предположили, что диаметр изображения определяется геометрическим изображением звезды. В действительности же это изображение дифракционное, его угловой размер X/d, а диаметр d' = XF d , где X - длина волны. Этот диаметр много больше D
• геометрического диаметра d = —F \
d' XL
— =-----» 1.
d dD
Именно поэтому освещенность изображения очень мала. Так, при d = 2 см X/D = 2,25 10-5 рад. Угловой диаметр Солнца равен 4,7 -10 рад, а при «удалении» Солнца до ближайшей звезды на расстояние L ~ 4 1013 км он станет равным 1,75 10 8 рад. Тогда d'/d ~1,3 ♦ 103. Следовательно, освещенность изображения звезды таких же параметров, как и Солнце, в 1,7 106 раз меньше, чем освещенность изображения Солнца.
172.	Так как внутренняя поверхность сферы света не поглощает, то рано или поздно установится равновесие между попадающей в сферу световой энергией и выходящей из нее, т.е. сфера будет являться идеальным отражателем света.
Каждый элемент полости сферы должен излучать на всю сферу столько же световой энергии, сколько и получает. Но поток энергии, 282
излучаемой всей сферой на отверстие, равен падающему потоку. Отсюда следует, что освещенность всех точек полости сферы будет такой же, какой была бы освещенность плоского экрана, установленного у отверстия в сфере. Область же, диаметрально противопо-
ложная отверстию, облучается двумя путями: первичным пучком и всей сферой. Оба потока при равновесии равны, следовательно, эта
область будет в два раза больше освещена, чем все другие точки сферы.
173.	Обозначим В световой поток, испускаемый единицей площади поверхности жука внутри единичного телесного угла (поверхностная яркость). Тогда с площади 50 (рис. 149) на объектив фотоаппарата падает световой поток
5Д
Ф = BSqQ = bsq-^.
d
S
Здесь Q = —у - телесный угол (на самом d2
это равенство не точное, а приближенное), 5Д - площадь
диафрагмы объектива (Од - ее диаметр), d - расстояние от фотоаппарата до жука.
После объектива световой поток попадает на фотопленку, создавая на ней изображение. Освещенность этого изображения
равна
ф BSqS^
£ - — =---о--,
s d S
где 5 - площадь изображения выделенного участка поверхности жука. Найдем ее. Поскольку линейное увеличение линзы равно f/d (f- расстояние от линзы до изображения), отношение площадей изображения и предмета равно
— =
Согласно формуле линзы, 1 1 _ 1 d +~f~ F’
откуда
г Fd f . F
' d-F’ И d d-F
283
Следовательно, освещенность изображения равна
BS^ BSa(d - F)2 " d2 S~ d2F2 ’
По условию задачи, при фотографировании жука в двух масштабах освещенность изображения должна быть одной и той же:
BSa2(d2-F)
d2F2	d2F2
Отсюда
Sa2_(^-F)2d22 _25	Од2 _5
—	л —	, и	•
(d2~Ffd2 36	ОД1 6
174.	Глаз оценивает яркость объектов по освещенности их изображения на сетчатке. Чем более яркий источник, тем больше освещенность его изображения. Мерой контрастности изображения звезды на фоне неба может служить отношение освещенностей их изображений на сетчатке глаза, т.е. ^зв1/^фГ
Рассмотрим сначала картину, которая образуется на сетчатке невооруженного глаза. Пусть d - диаметр зрачка, F - фокусное расстояние глазной оптики. Освещенность находится как отношение светового потока к площади изображения. При этом нужно иметь в виду, что изображение звезды (точечного источника) имеет вид дифракционного пятна. Его диаметр в фокальной плоскости линзы порядка XF/d, где X - длина волны.
Выберем небольшой элемент неба (фона). Световой поток от этого удаленного источника света, попадающий в глаз, очевидно, пропорционален d2. Площадь изображения такого протяженного источника пропорциональна F2. Отсюда освещенность фона Еф1 ~<72/f2 . Световой поток от звезды также пропорционален d2 , а площадь дифракционного изображения на сетчатке пропорцио-
/ х2	d2 di
нальна (kF/d) . Поэтому, Езв1-----—- = 2 2 . Коэффициент
(Х/W) F X F
пропорциональности в каждом случае определяется яркостью источника и не меняется при изменении способа наблюдений. Для отношения освещенностей изображений звезды и фона на сетчатке невооруженного глаза можно записать
В реальных условиях дневного наблюдения это отношение, являющееся мерой контрастности изображений, таково, то невооружен-
284
ный глаз практически не видит звезды на фоне яркого неба.
Пусть теперь глаз вооружен телескопом. Телескоп состоит из двух линз: объектива и окуляра. Ход лучей от бесконечно удаленного объекта, находящегося на оптической оси телескопа, показан на рисунке 150. Первое изображение объекта получается в фокальной плоскости объектива Ot. Глаз рассматривает это изображение через
Рис. 150
окуляр как через лупу. Изображение, которое получается на сетчатке глаза, подобно изображению в фокальной плоскости объектива. Поэтому для решения нашей задачи достаточно рассмотреть отношение освещенностей изображений звезды и фона в этой плоскости. Повторяя рассуждения, приведенные выше, получим
„ _£зв2 d2 а2 ~ “г 77 ’ ^ф2 X
где D - диаметр объектива телескопа.
Поскольку коэффициенты пропорциональности в выражениях для at и а2 одни и те же (они зависят только от самих источников света - звезды и фона), то
a2 D2
<*! d2 '
Таким образом, телескоп увеличивает контрастность изображения звезды на фоне неба в (D/d}2 раз. В нашем примере (D/б/)2 = 100, так что D/d = 10.
Для больших астрономических телескопов это отношение достигает значений порядка 105 -106. С помощью таких телескопов можно увидеть днем даже очень слабые звезды.
175.	Найдем вначале количество метана в вертикальном столбе земной атмосферы с площадью основания S. Давление этого столба на поверхность Земли равно атмосферному давлению . С другой стороны, это давление равно силе тяжести воздушного столба, деленной на площадь S. Пренебрегая изменением ускорения силы тяжести с высотой (это можно сделать, так как граница атмосферы лежит на высоте около 200 км, а это много меньше радиуса Земли 6400 км), мы можем записать
тд
Pq=~s~'
Отсюда
Pos
т =
9
285
Умножив m на коэффициент а , выражающий долю метана в воздухе, получим массу метана в этом столбе:
aPoS
WCH = am =------ •
4 д
Теперь найдем, слой какой толщины х составляла бы эта масса метана при нормальных условиях (площадь основания цилиндра по-прежнему равна 5). Запишем уравнение газового состояния:
м
где Sx - объем массы метана tuq^ , М = 16 10 кг/моль -молярная масса метана, Т = 273 К и = 1 атм. Подставив в это уравнение выражение для массы метана, найдем
aRT х =-----.
Если энергия излучения равна вначале Eq, то после того как излучение пройдет слой толщиной а = 1 см, энергия излучения станет равной (1 - q)EQ, где q = 0,98 ~ коэффициент поглощения. Следующий сантиметр метана поглотит q-ю часть этой оставшейся энергии излучения. В результате, после того как излучение пройдет слой метана толщиной 2 см, энергия излучения будет составлять (1 - </)2 Eq , и т.д. После прохождения слоя метана толщиной х энергия излучения будет составлять
E = (\-q)x/aE0,
т.е. ((1 - д}х!а /ю часть первоначального излучения. Подставив в эту формулу численные значения всех входящих в нее величин, найдем, что при прохождении атмосферы излучение ослабнет при-з
близительно в 2,5 10 раз.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие издательства	3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФИЗИКА УЧИТ НАС	5
Следы на песке и... строение вещества	6
Меандры рек	14
Сухое трение	19
Почему гудят провода	26
Почему звучит скрипка	29
О форме дождевой капли	38
Поверхностное натяжение	43
Сверхпроводящие магниты	56
Как волны передают информацию	65
Лунные дорожки	71
Соотношение неопределенностей	74
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МЫ УЧИМ ФИЗИКУ	83
Кинематика	84
Неинерциальные системы отсчета	90
Импульс. Закон сохранения импульса	99
Уравнение волны	106
Уравнение газового состояния. Работа и теплоемкость газа	109
Электрические машины постоянного тока	116
Скин-эффект	123
Диа- и парамагнетики	125
Эффект Доплера	128
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
МЫ РЕШАЕМ ЗАДАЧИ	131
Задачи	132
Механика	132
Теплота и молекулярная физика	140
Электромагнетизм	145
Колебания и волны	152
Оптика	154
Решения	158
Лев Григорьевич Асламазов
Иосиф Шаевич Слободецкий
ЗАДАЧИ и не только
ПО ФИЗИКЕ
Библиотечка «Квант»
Выпуск 89
Научный редактор А.И.Черноуцан
Редактор В. А.Тихомиров а
Технический редактор Е. В. Морозова
Компьютерная группа
Е.А.Митченко, Л. В. Калиничева
Ответственный за выпуск
Л. Ф. Соловейчик
ИБ № 74
Формат 84x108V32. Бум. офсетная. Гарнитура кудряшевская.
Печать офсетная. Объем 9 печ. л. Тираж 3000 экз.
Заказ № 153.
119296 Москва, Ленинский пр , 64-А, «Квант», тел (095)930-56-48
e-mail admin@kvant info, math@kvant info, phys@kvant info
Диапозитивы изготовлены ООО «Европолиграф»
При участии ЗАО «РИЦ «Техносфера», тел • (095) 234-01-10
Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии
ФГУП «Издательство «Самарский Дом печати»
443080, г Самара, пр К Маркса, 201
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов
9*
Новые книги издательства «Техносфера»
Серия «Мир математики»
А Купиллари «Трудности доказательств Как преодолеть страх перед математикой» (115 руб)
Дж Шарма, К Сингх «Уравнения в частных производных для инженеров» (225 руб)
В Назайкинский, Б Стернин, В Шаталов «Методы некоммутативного анализа» (275 руб)
К Блаттер «Вейвлет-анализ Основы теории» (175 руб)
Серия «Мир физики и техники»
В Миронов «Основы сканирующей зондовой микроскопии» (225 руб)
Серия «Мир материалов и технологий»
Ч Пул, Ф Оуэнс «Нанотехнологии» (275 руб)
П Харрис «Углеродные нанотрубы и родственные структуры Новые материалы XXI века» (325 руб)
Д Брандон, У Каплан «Микроструктура материалов Методы исследования и контроля» (275 руб)
ф Мэтьюз, Р Роллингс «Композитные материалы Механика и технологии» (225 руб)
Серия «Мир электроники»
К Фрике «Вводный курс цифровой электроники» (225 руб)
Т Ратхор «Цифровые измерения Методы и схемотехника» (275 руб)
Э Розеншер, Б Винтер «Оптоэлектроника» (325 руб)
Серия «Мир программирования»
Р Хаггарти «Дискретная математика для программистов» (225 руб) Дж Макконелл «Основы современных алгоритмов» (225 руб)
М Вернер «Основы кодирования Учебник для вузов» (115 руб)
Д Сэломон «Сжатие данных, изображений и звука» (225 руб)
Серия «Мир связи»
К Одуан, Б Гино «Измерение времени Основы GPS» (325 руб)
Р Фриман «Волоконно-оптические системы связи» (325 руб)
И Шахнович «Современные технологии беспроводной связи»
(115 руб)
Р Морелос-Сарагоса «Искусство помехоустойчивого кодирования» (225 руб)
Серия «Библиотечка «Квант»
А Спивак «Математический праздник» (115 руб)
Указанные цены включают в себя стоимость почтовой доставки по России
Полная информация о всех вышедших и готовящихся к печати книгах находится на сайте www.technosphera.ru
Принимаются заявки на книги с доставкой по России наложенным платежом или с предоплатой по счету
•	по почте 125319 Москва, а/я 594, издательство «Техносфера»
•	по факсу (095) 9563346
•	по е-mail sales@technosphera.ru
Индексы
84498-по каталогу "Роспечать”
26042-по каталогу "Пресса России *
Библиотечка КВАНТ
Лев Григорьевич Асламазсв (1944 — 1986) окончил Московский физико-технический институт, работал в Институте теоретической физики им. Л.Д Ландау, затем — на кафедре теоретической физики Московского института стали и сплавов. Доктор физико-математических наук, крупный ученый в области сверхпроводимости.
Один из инициаторов создания журнала «Квант» и научно-популярной серии книг «Библиотечка «Квант», член редакционной коллегии журнала «Квант», а с 1980 года — заместитель главного редактора по физике.
Иосиф Шаевмч юбодац* кий (1941 —1980) оконЙй4 Московский фщ^о-техни-ческий теоретик, работал в Ин< туте физики высоких давл?1 ний Академии наук.
Один из создателей журнала «Квант» и самых активных членов его редакционной коллегии — в течение десяти лет фактически руководил работой физического отдела журнала. С момента возникновения научно-популярной серии книг «Библиотечка «Квант» был ученым секретарем ее редакционной коллегии^
ВЫПУСК