Проф. Б. Н. ЖЕМОЧКИН
РАСЧЕТ
УПРУГОЙ
ЗАДЕЛКИ
СТЕРЖНЯ
ИЗГИБ СТЕРЖНЯ
В УПРУГОМ
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
■
■
СТР0ЙИ8ДАТ
1948

Редактор — инж. М. С. Рудоминер
В книге излагается способ расчета стержня, заделанного
в упругом полупространстве. Этот способ может приме-
пяться при расчете заделки балок в каменные стены, колонн
в массивные фундаменты, при расчете свай на горизон-
тальную силу (в упругом состоянии грунта) и т. п. Книга
снабжена таблицами и графиками, облегчающими расчеты.
Предназначается для проектировщиков.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение * . . 3
I. Напряжения от сосредоточенной силы 6
Л, Деформации от сосредоточенной силы » . 12
III. Деформации от единичной силы, распределенной по прямоуголь-
нику . ♦ , • 19
IV. Общий порядок расчета . • 27
V. Примеры расчетов 33
VI. Таблицы г . • 48
VII. Графики • 53

ВВЕДЕНИЕ
При проектировании сооружений очень часто приходится
встречаться с вопросом о расчете упругого или жесткого
стержня, погруженного на некоторую глубину в упругую
среду, ограниченную плоскостью (в упругое полупростран-
ство), и несущего нагрузку, действующую
параллельно этой плоскости (рис. I).
Можно привести много примеров по-
добных конструкций: сваи, работающие на
горизонтальную силу (при небольших ее
значениях, когда грунт находится еще в
упругой стадии); колонны, имеющие мас-
сивные фундаменты, консоли, заделанные
в стены; балки, защемленные на опорах, рИс. 1
и т. п. (рис. 2, а, б, в, г).
Расчет самого стержня (сваи, колонны, балки).не представ-
ляет ничего особенного и может быть сделан легко. Иначе
обстоит дело с опре-
делением напряже-
ний по поверхности
контакта стержня и
той среды, в кото-
рую он заделан, т. е.
с определением ре-
акции для стержня
в его заделке.
£j Здесь еще много
неясного и неопре-
деленного.
Поэтому решение
данной задачи имеет
большое практиче-
рис< 2 ское значение. Оно
позволит хорошо
осветить работу таких конструкций и даст возможность
рассчитывать их. До настоящего же времени расчеты про-
изводятся только приближенно, причем размеры ошибок
з
Рис. 1

4

s

моугольнику (рис. 8). Установив зависимость между на-
грузками и деформациями, выработаем общий порядок рас-
чета, после чего разберем примеры и покажем применение
таблиц и графиков. Пользование последними чрезвычайно
упрощает расчет.
Рис. 7
Рис. 8
I. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ
Для решения задачи о действии силы на полупростран-
ство предположим сначала, что имеем неограниченное це-
лое пространство, в котором действует некоторая сила Р
(рис. 9). Найдем напряжения (нормальные и касательные),
возникающие по плоскости
АВ. Далее отбросим поло-
вину пространства (на рис.
9 — верхнюю), оставив ту
часть, которая заключает
силу Р. Для того чтобы
деформации и напряжения
в упругой среде при этом
не изменились, необходимо
найденные нами напряже-
ния по ограничивающей
плоскости АВ сохранить.
Приложим теперь к пло-
скости АВ внешнюю на-
грузку, направленную об-
ратно этим напряжениям.
В результате ограничивающая плоскость АВ окажется
свободной от каких-либо внешних сил, и мы будем иметь
полупространство с действующей в нем силой Р.
Однако приведенный порядок решения вызовет значи-
тельные затруднения ввиду необходимости учета касатель-
Рис. 9
о

ных усилий по плоскости АВ и притом действующих в раз-
ных направлениях.
Поэтому поступим иначе.
Приложим к неограниченному пространству не одну, а
две силы Р, помещенные симметрично по отношению к
будущей ограничивающей плоскости АВ (рис. 10).
Выяснив, какие напряжения возникают в упругом про-
странстве по плоскости АВ
от действия двух сил, отбро-
сим верхнюю половину про-
странства.
Для того чтобы при этом
не изменились напряжения и
деформации в упругой среде,
необходимо оставить по пло-
скости АВ напряжения, рав-
ные тем, которые возникли
до отбрасывания полупро-
странства.
Легко видеть, что эти на-
пряжения по условиям симме-
трии могут быть только нор-
мальными к плоскости АВ, касательных напряжений не
будет.
Если теперь приложим к плоскости АВ внешнюю на-
грузку, действующую в обратном направлении, то получим
плоскость АВ свободной от нагрузок, но могущей дефор-
мироваться. В упругом же полупространстве будет дей-
ствовать сила Р. Это именно нам и нужно.
Из сказанного вытекает, что в основу необходимо по-
ложить формулы для напряжений, относящиеся к случаю
действия одной сосредоточенной силы на упругое целое
пространство.
Формулы возьмем в готовом виде1. Напряжения в ци-
линдрических координатах:
Рис. 10
1 См. Курс .Теории упругости', проф. С. П. Тимошенко, изд4
1934 г. стр. 351 [формулы (189) и (190)1.

e« —
8гс (1—{х)
[(1-2и.)^(г24-^) '"2+3*,('Ч-*1) 2]> (3>
Через ji обозначен коэфициент Пуассона.
Направления напряжений показаны на рис. 11, а и б.
Для удобства в
дальнейшем нам нуж-
но перейти к прямо*
угольным координатам
"^ (рис. 12, а и б).
Рис. И С этой целью
элементарный объем, изображенный на рис. 11, разрежем
сначала горизонтальной, затем вертикальной плоскостью и
применим обычные формулы перехода к напряжениям по
наклонным площадкам (рис. 13 и 14).
Учитывая, что
sin9 = —;
г
(5)
(6)
(7)
(8)
О)
Напряжение, параллельное оси Z, останется без измене-
ния в той и другой системе координат.
8
cos0 = —,
получим из рис. 13:
ох = or cos2 0 + ав sin2 0 = зг ~-f °в ^;
Тху— — (ав — ог) sin 0 cos 0 = (а, — о0) ~|;
из рис. 14:
ау = ов cos2 0 -)- ar Sin2 0 = ав
*з
v2
Try = (аг — ав) sin 0 cos 0= {аг —о&)-Ц-.

Касательные напряжения txz и уг найдем как составля-
ющие напряжений тгг (рис. 15):
*хг —in COS в = т„ -~ ; (10)
•сщ* —in sin 9=т« у-.
(П)
Рис. 13
Рис. 14
Для нашей задачи касательные напряжения собственно
не нужны, но они могут понадобиться при исследовании
напряжений в упругой среде.
Подставим в формулы (6) — (11) значения напряжений
из (1) — (4), причем выразим координату г через коорди-
наты хну:

1 Формулы для напряжений в прямоугольных координатах имеются
у Е. Тре ф фц, Математическая теория упругости, ГТТИ, 1932. Однако
они даны в несколько ином виде и для получения формул (13) — (18)
необходимо их преобразование.
J0
После подстановки

Внешняя нагрузка, которую необходимо приложить к
плоскости, ограничивающей полупространство, равна на-
пряжениям, которые возникают по этой плоскости тогда,
когда имеем еще полное пространство.
Если напряжения растягивающие, т. е.
положительные, то нагрузка направлена
сверху вниз, т. е. также положительная,
я обратно (рис. 16).
От горизонтальной сосредоточенной
силы Р, приложенной на глубине а, на-
пряжения Bn вертикальном направлении
равны ах, а на поверхности — оЛ. Но так
как одновременно следует учесть и силу
Р, расположенную симметрично, то пол-
ные напряжения равны 2ва.
Следовательно, фиктивная нагрузка на плоскость, огра-
ничивающую полупространство:
Рис. 15
Р = 2а
а'
(19)
Для нахождения ад применим формулу (13), заменив в
ней х через а.
Рис. 16
Тогда:
р=
Рг
wi1'2»-
За*
.)
Здесь переменными координатами являются у и z.
(20)
11

II. ДЕФОРМАЦИИ ОТ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ
Для дальнейшего нам будут нужны только перемещения
в направлении, параллельном оси Z, и притом для точек,
расположенных в плоскости XV (рис. 12 и 16).
Нужно найти отдельно перемещения от действующей
силы P~ult от силы Р, расположенной симметрично, — щ
и от вертикальной нагрузки р, вызванной силами Р, ло гра-
ничной плоскости — и3.
Остановимся сначала на определении первого из пере-
мещений их от силы Р.
Относительная деформация в направлении, параллельном
оси Z:
где £<, — модуль упругости среды.
Подставим значения напряжений по формулам (13) — (15):
е^:
-41-2^ ^ l-l-2ll^ V2 , t
Рг (
^~"87r£0(l-^)(V^-H^ + 22)3|l —4^+
+ ^-н^ + Д *' ~ * Х* ~ W* )}• (22)
Перемещение % для точки, лежащей в плоскости XY*
с координатами х ну (z»0) равно:
СХ)
Их ■* — у 8г flfe в
о©
8к £0(1 — К) J (|/ x2 -f- j>2 4- г3):
IOO ОС
о о
-3p{x*+y*)J
zdz
5^
(дг2 4-^з + г2)2
(23)
12

Опуская процесс интегрирования, приведем здесь только
значения интегралов:
После подстановки получаем:
Окончательно:
От силы Р, расположенной симметрично, перемещение:
Найдем теперь перемещение иь от фиктивной нагрузки
р, приложенной к граничной плоскости. Достаточно найти
перемещение только для точек, лежащих на оси X.
Перемещение по направлению радиуса г (в цилиндри-
ческих координатах) от вертикальной силы Р=\ опреде-
ляется по формуле (198) курса „Теории упругости" С. П. Ти-
мошенко.
Заменим в этой формуле z через (а — х) применительно
к нашей системе координат (рис. 17).
Имеем: t
13

Нас интересует перемещение, параллельное оси Z,
т. е. uz.
Оно равно:
иг= — йгсозв== — ur-^r . (31)
Знак минус взят потому, что при расположении нагрузки
в точке с положительной координатой z проекция на ось Z
положительного радиального перемещения направлена в
отрицательную сторону оси Z.
Заменяя:
получим:
Рис. 17
(32)
(33)
В нашем случае нагрузка не единичная, а равна p>dy-dz
14

на элемент площади dy-dz, причем р определяется фор-
мулой (20).
Перемещение параллельное Z от фиктивной нагрузки,
распределенной по всей ограждающей полупространство
плоскости, равно:
После некоторых преобразований1;
Вычислим входящие в эту формулу двойные интегралы.
1 Для сокращения письма пределы интегрирования от — о© до + °°
не поставлены.
15

При интегрировании удобно перейти к полярным коорди-
натам, сделав замену:
Якобиан системы функций (36) равен:
Поэтому вместо элемента площади dy*dz следует взять
Пределы интегрирования придется изменить и принять
для г — от 0 до оо и для <р — от 0 до 2я.
Опуская промежуточные действия при интегрировании,
получим следующие значения интегралов:
16

17
2 R. H. Жсмочкин

Подставим в формулу (35) найденные значения инте-
гралов:
(43)
Рис. 18
После преобразований;
Полное перемещение равно:
и=и1-^-иг-{-и (45)
18

HI. ДЕФОРМАЦИИ ОТ ЕДИНИЧНОЙ СИЛЫ,
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПРЯМОУГОЛЬНИКУ
В дальнейшем мы будем мысленно разбивать поверх-
ность стержня, соприкасающуюся с упругой средой, на
прямоугольники размерами by^c, где b — ширина стержня,
а с —совершенно произвольная длина (расстояние между
фиктивными связями). Нагрузку или реакцию упругой среды
в пределах каждого прямоугольника будем Считать равномер-
ной. Нам придется находить перемещение одного из участ-
ков от нагрузки, приложенной к другому
участку. Ограничимся нахождением пере-
мещений только в средних точках (в цен-
трах тяжести) прямоугольников (лучше
было бы находить для каждого прямо-
угольника средние перемещения в преде-
лах его площади, но это слишком услож-
нило бы наши выкладки).
Поэтому перед нами сейчас стоит такая
задача. Предположим, что единичная на-
грузка Р=\ распределена равномерно по
площади некоторого прямо-
угольника / (рис. 18) размерами
by^c и нам нужно найти переме- *
щение, параллельное оси Z, в
точке К, являющейся централь-
ной для другого прямоугольни-
ка. Оба прямоугольника лежат в
плоскости ХУ, их центральные
точки расположены на оси X. Расстояние между точками
I и К обозначим через х.
Полное перемещение uki в точке К от нагрузки, прило-
женной в /, будет равно сумме перемещений: их — от нагруз-
ки, действующей в бесконечном пространстве и приложен-
ной в/; щ — от нагрузки, действующей в бесконечном про-
странстве и приложенной симметрично; м8 — от фиктивной
нагрузки, приложенной по граничной плоскости [см. фор-
мулу (45)].
Таким образом:
ви-«1+в| + И|' (46)
Для нахождения щ используем формулу (28). Введем
вместо х координату £ —проекцию на ось X расстояния
между элементом d(a и точкой К (рис. 19). Координата t
может меняться в пределах от (х |-J до(л:4--|-).
£•
29
Рис. 19

Нагрузка на элемент площадью d® равна:
Интегрируя по всей площади прямоугольника /, полу-
чим [см. формулу (28)]:
Первое интегрирование дает:
Второе интегрирование:
20

Введем для удобства следующие обозначения:
Тогда перемещение щ будет равно:
Величиной $ мы пока не воспользовались; она нужна
будет дальше.
Необходимо также рассмотреть случай, когда нагрузка
распределяется по прямоугольнику К и требуется найти
перемещение в середине этого прямоугольника (рис. 20),
Формула (48) сохранит свою силу, но пределы интегриро-
вания будут другими: ,
Воспользуемся предыдущими формулами
(49) и (50), подставив в них новые пределы.
Последовательно получаем:
21

Если ввести обозначение ц, то:
Для перемещения и2 особой формулы выводить не при-
дется. Очевидно, что можно воспользоваться формулой (52),
если заменить С через (2^ — С), а для того случая, когда
определяется перемещение в середине загруженного прямо-
угольника, в той же формуле (52) вместо С взять 25.
Переходя к перемещению и3, откажемся от того, чтобы
принимать нагрузку распределенной по площади прямо-
угольника, и примем ее сосредоточенной в его середине,
так как иначе усложнятся все выкладки и формулы полу-
чатся чрезвычайно громоздкими. Между тем в этом особой
нужды нет. Перемещение и3 может быть названо вторич-
ным явлением: действительно, нагрузка, приложенная к од-
ному из участков рассчитываемого нами упругого стержня,
требует приложения внешних усилий по поверхности
упругой среды, которые в свою очередь вызывают пере-
мещения точек стержня. Отсюда следует, что в силу прин-
ципа Сен-Венана нельзя ожидать большой разницы в зна-
чениях иг в том случае, когда нагрузка распределена по
площади прямоугольника /, и в том случае, когда она рас-
22

сматривается как сосредоточенная. Кроме того, как это
будет видно из примеров, перемещение иг вообще очень
мало по сравнению с перемещениями щ и особенно и1У ко-
торое является решающим.
По всем этим соображениям оставим для на фор-
мулу (44), но только сделаем в ней замену согласно фор-
мулам (51) и вместо Р подставим 1.
Тогда:
Итак, окончательно для перемещения в точке К от еди-
ничной нагрузки, приложенной к прямоугольнику /, полу-
чается выражение:
23

Сокращенно это выражение можно написать так:
Функции F имеют значения:
До сих пор мы искали перемещения для точек, располо-
женных выше места приложения нагрузки к упругой среде;
координата х (а, следовательно, и С) была положительной.
Если же точка К лежит ниже /, то в первой фигурной
скобке формулы (59) ничто не изменится* во второй же
фигурной скобке той же формулы, а равно и в формулах (60)
и (61) следует взять С со знаком минус.
24

Для перемещения в точке К от нагрузки, распределен-
ной по прямоугольнику К, имеем:
причем:
Поскольку в функции F входят только отношения 5, С
и ij, можно составить для них таблицы, которыми и поль-
зоваться при расчетах.
Таблицы будем составлять в таком порядке.
Сначала составим таблицы (для различных Ц-—) функ-
ции, заключающейся в первой фигурной скобке форму-
лы (59)1, которая определяет Flkl [применяя для случая
;«0 формулу (63)]. Для второй фигурной скобки восполь-
зуемся теми же таблицами, но только вместо С у нас будут
величины (25—С).
Составим также таблицы Fki и Рщ.
На основании полученных материалов перейдем к иным,
более удобным таблицам, заключающим не расстояния х
Гили отношения С = —J, а расстояния ak и at ( вернее —
1 В сущности нет надобности составлять таблицы для первой части Fki,
так как они имеются в книге автора „Расчет балок на упругом полу-
пространстве и полуплоскости", ВИА 1937 г.
25

отношения — и —) от ограничивающей упругую среду
С» о /
плоскости (рис. 21).
В целях удобства будем делать отсчеты не от самого
верха, а от середины верхнего участка, т. е. начиная с глу-
бины-—«0,5 (рис. 22). Точки, в которых будем находить
С*
перемещения, наметим через единицу (единице в отвлечен-
ных мерах соответствует расстояние с).
Если, например, нагрузка распределяется по площади
. некоторого прямоугольни-
JL^. ка /, середина которого
отстоит на расстоянии 6,5 с
от поверхности, и нужно
найти перемещение в точ-
ке К на глубине 3,5 с, то
в наших формулах мы при-
мем:
—^-=6:
с '
Рис. 21
С = —— 6-3=;3:
<7,-4--о-
= 6 + 0,5 = 6,5;
29—С «2-6,5-3=10.
Таблицы, составленные по такому принципу, помещены
на стр. 49 — 52 (та&л. I, II и III).
Пользование ими чрезвычайно просто. Предположим, что
для случая — = 2, мы хотим найти перемещение в точке 3
Се
от нагрузки, приложенной в точке 6. Тогда из табл. I г на
пересечении столбца с цифрой 6 и строки с цифрой 3
возьмем Fr6s-0,430, из табл. II— Fi\~0,046 и из табл. III —
/^зб =>—0,200. Перемещение и3в находим по формуле (58), под-
26

ставив в нее значения н->£<> и с и умножив результат на ве-
личину нагрузки.
В таблицах заполнена только половина их ввиду взаим-
ности перемещений uki = uik, вследствие чего Flis=^jk;
Fk\ ■■ F}\. Результаты должны быть одинаковыми, возьмем
ли мы столбец с цифрой 6 и строку с цифрой 3 или
обратно: столбец с цифрой 3 и строку с цифрой 6.
IV. ОБЩИЙ ПОРЯДОК РАСЧЕТА
Как было указано выше, эпюру напряжений, возникаю-
щих в месте контакта между стержнем, помещенным
в упругую среду, и этой последней, будем принимать сту-
пенчатой, а не криволинейной. Напряжения будем считать
равномерно распределенными в пределах элементарных
прямоугольников, на которые мы разобьем поверхность
стержня, примыкающую к упругой среде.
Приступая к решению задачи, прежде всего установим,
на сколько участков разбить эту поверхность. Практически
достаточно от б до 10 участков. В средних точках этих
участков поместим условные связи (рис. 23). Расстояние
между ними будет равно длине участков с. Расстояние
крайней связи от поверхности упругой среды—^-.Нуме-
ровать связи удобно по порядку от поверхности упругой
среды, начиная с №0.
Итак, усилия взаимодействия между рассчитываемым
стержнем и упругой средой будут передаваться только
через эти условные связи. Для расчета самого стержня
почти безразлично, будут ли к нему приложены сосредо-
точенные силы или распределенные. Но для упругой среды,
как уже отмечено, мы должны считать усилия распределен-
ными по площадям прямоугольников размерами by^c, где
£ —ширина стержня в направлении, перпендикулярном
чертежу.
Само собой понятно, что для удобства расчетов можно
ь
длину стержня, размер с и отношение — несколько округ-
лять.
Приведенная на рис. 23 схема является расчетной схе*
мой сооружения. Очевидно, что здесь мы имеем дело со
статически неопределимой системой. Степень статической
неопределимости зависит от нас самих. Чем точнее мы
27

хотим получить результат, тем больше связей поставим,
но и тем сложнее будет решение.
На рис. 23 изображена система трижды статически не-
определимая. Казалось бы, всего удобнее применить для ее
расчета метод сил. Но в действительности дело обстоит не
так. Применяя метод сил, мы неизбежно должны встретиться
с большими затруднениями при вычислении коэфициентов
уравнений. Кроме того затруднительно составить таблицы,
пригодные для метода сил: они были бы очень громоздкими.
Р
Рис. 23
Рис. 24
Ввиду этого целесообразнее остановиться на смешанном
методе решения. За неизвестные примем усилия в связях
и деформации — перемещение и угол поворота — какой-
либо точки, удобнее всего точки 0. При смешанном методе
уравнений должно быть на 4 больше, чем при методе сил,
но зато уравнения будут составляться гораздо проще.
Переходя от расчетной схемы к основной системе, раз-
режем наши условные связи и заменим их действие дей-
ствием неизвестных сил Х0, Xlt X2... (рис. 24). В точке О
добавим закрепление — заделку. Кроме сил X неизвестными
будут также: угол поворота в заделке ср0 и перемеще-
ние и0.
Составим уравнения, исходя из условий, что суммарные
перемещения по направлению каждой силы X равны нулю.
Перемещение по направлению какой-либо силы Xk слагается
из перемещений от действия всех сил X, из перемещения
от угла поворота <р0, равного ср0 • ak (рис. 25), и из переме-
щения и0 (рис. 26).
28

Таким образом для силы Xk уравнение будет:
ХйЪп+Х1Ьъ+ХгЪ1а+... + ХкЬкк + ... + Ъ'*> + Щ—Ъ. (66)
Поскольку расстояние ak кратно размеру с, удобнее
па неизвестное <р0 принять угол поворота, увеличенный в с
раз; следовательно коэфициентом при <р0 будет отвлеченное
число, равное порядковому номеру точки К.
Таких уравнений мы можем составить столько, сколько
имеется неизвестных сил X. Но, кроме того, составим еще
два уравнения равновесия. Одно будет выражать условие,
Рис. 25 Рис. 26
что сумма моментов всех сил относительно точки 0 равна
нулю, а другое —что сумма проекций всех сил на ось,
параллельную этим силам, равна нулю. При вычислении
моментов от сил будем принимать плечи уменьшенными
в с раз; тогда и момент внешних сил относительно точки О
возьмем уменьшенным в с раз.
Для схемы рис. 24 составим всего 7 уравнений:
29

Найдем перемещения 5. Каждое перемещение bki сла-
гается из двух: из перемещения упругой среды в точке К
от действия единичной силы, приложенной в точке I,^-uki
и из прогиба стержня (заделанного в 0) в точке К от еди-
ничной силы, приложенной в /, — wki (рис. 27).
Таким образом:
дает нам искомое перемещение аи в середине прямоуголь-
ника, обозначенного буквой К. Значения функций F^ F%
и Flki приведены в табл. I, II и III.
Формула (58):
Рис. 27 Рис. 28
Прогиб wkl найдем перемножением двух эпюр от единич*
ных сил, приложенных в точках /Си/ (рис. 28). Перемно-
жение эпюр дает:
о .
Перепишем эту формулу так:
где wbi—единичный прогиб, равный:
30

Поскольку в формулу (72) входят только отношения,
-~ и —, можно составить таблицу для величин wki.
Эта таблица помещена на стр. 53. Половина таблицы не
заполнена, потому что по взаимности перемещений:
wkl = ~wik. (73)
Таким образом перемещение 3W:
+ -*$Е&-&]+-&-** (74).
Для сокращения вычислительной работы разделим все
уравнения, за исключением уравнений равновесия, на
(1 +1*) (3 - 4^)
Поэтому перемещения Ьы мы примем теперь равными:
,(75)
где
а= 4*Д>0 —.!*)*_
3(1 + ц)(3-4ЮЬ/
(76)
Коэфициент а приходится вычислить только один раз,
если даже мы исследуем работу стержня при различных
нагрузках.
Применяя формулу (75), оставим внешний вид уравне-
ний (67) прежний, но будем иметь в виду, что входящие-
в них коэфициенты являются перемещениями, измененными
в некоторое число раз. Равным образом и деформации ср0,
и и0 определятся из уравнений измененными в то же число
раз.
Итак, для решения задачи о расчете стержня в упругом
полупространстве мы ставим условные связи, далее разре-
заем их и заменяем их неизвестными силами X, добавив
одновременно заделку у верхней связи. Составляем урав-
нения по типу (67), находим коэфициент а по формуле (76)^
и вычисляем все перемещения по формуле (75)^ пользуясь,
таблицами.
31.

Если, например, коэфициент Пуассона ^=0,3, то:
Л F1 I 1 fu _L_ 0.3(1-2-0,3) niii , - _
**= ^« + 3-4.0,3 Fki + 3-4.0,3 F* + <**«e
— Z7*! + 0,556FJg + 0,0667/1? + w„.
Предположим, что, решая задачу, мы приняли такое
расположение условных связей, при котором —- « 3, и хо-
тим найти перемещение в точке 5 от единичной силы, при-
ложенной в точке 3, т. е. 563. Тогда пользуясь табл. I, II,
ill и IV, получим:
г53=0,580 + 0,556 • 0,053 — 0,0667.0,222+а. 108.
Подставив в уравнения коэфициенты, решаем их и нахо-
дим неизвестные X0t Xv Х2... <р0 и щ.
Имея силы X, можем найти напряжения (равномерно
распределенные в пределах каждбго прямоугольника):
Начертив ступенчатую эпюру напряжений, можем заме-
нить ее эпюрой, очерченной по плавной кривой.
Считаем нужным подчеркнуть, что в результате реше-
ния мы получим только напряжения, средние по ширине
стержня. В действительности же напряжения распределя-
ются по ширине неравномерно.
Как уже отмечено, <р0 и и0 не дают истинных значений
угла поворота и перемещения сечения в начальной точке,
т* (l-f i^)(3 —4(х) „
Их следует умножить на ^■ п— и ' Угол повоРота
«еще разделить на с. Если положительное направление пе-
ремещения считать совпадающим с направлением нагрузки,
то у и0 следует изменить знак. Таким образом действи-
тельные деформации будут:
„а— С+{0(3-4)0 . ,7Я.
?о~ 8*Д,(1-,0* '?0' (78)
иь (l+rt(8-4rt ( д)
Ко = - 8*$>(1-|*)с М°* */У'
Если нам нужно найти перемещения других точек, то
следует учесть все силы X. Так, перемещение в точке К:
И* - 8*fio(l-|i)c2i A' |/*+ 8 = 4?tKi H 3-4ц ^*< J ' (80>
32

Ряс. 29 Рис. 30
Конечно, перемещение в начальной точке О, определен-
ное по этой формуле и по формуле (79), должно получиться
одинаковым. В целях проверки можно также найти про-
гибы стержня. Его упругая кривая должна совпадать с
эпюрой перемещений и.
Порядок расчета нисколько не изменится, если внешняя
нагрузка приложена в пределах самой упругой среды
(рис. 29). Но в этом слу-
чае во всех уравнениях, j -*,„у,,,у,^Л
а не только в последних, ,^м ,, f .. ,/у ,. V7Z7777ZZ&Y»
появятся свободные чле- ^ '
ны, представляющие пе-
ремещения от нагрузки
по направлению сил X.
Для их нахождения мож-
но также использовать
табл. IV.
Если рассчитываемый
стержень находится це-
ликом в упругой среде,
достаточно далеко от поверхности (рис. 30), то можно рас-
сматривать его как находящийся в бесконечном упругом
пространстве. Тогда перемещения
„л _(!-*-к-)(3-4t*) F т)
иЫ— 8тс£0(1-ц)с кЬ К ]
где Fkl—функция, значения которой даны в табл. III ра-
боты автора „Расчет балок на упругом полупространстве
и полуплоскости" (ВИА, Москва, 1937 г.). Весь расчет нужно
делать как для балки на упругом полупространстве, но коэ-
фициёнт а следует принимать по формуле (76).
В заключение отметим, что далее в § VII приведены
графики, при пользовании которыми весь расчет упрощается,
и отпадает необходимость составления и решения уравне-
ний. Однако, такая работа остается для случаев, не имею-
щихся в графиках.
V. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
Пример 1
Найти распределение напряжений в заделке консоли
длиной 2 м, нагруженной на конце сосредоточенной силой
Р=1 т (рис. 31). Консоль представляет двутавровую бал-
ку № 36с, заделанную в массивную кирпичную кладку.
3 Б. Н. Жемочкин
33

Модуль упругости кладки: /^«в 20 000 кг\см% =* 200000 т/м^
коэфициент Пуассона ^=0,2.
Момент инерции балки:
/«17 310 см\
Жесткость балки:
£/=21000000-0,0001731=3635 тм*.
Так как нас интересует закон изменения напряжений,
то, чтобы не усложнять решения, предположим, что ника-
ких подкладок в заделке под балкой нет. Конечно, при
решении той же задачи на практике мы легко можем, по-
Рис. 31 Рис. 32
лучив напряжения, определить и требующиеся размеры
подкладок.
Будем считать, что балка плотно заделана в кладке и
прилегает к ней по всей длине заделки. Таким образом
стержень, находящийся в упругой среде, как бы имеет
прямоугольное сечение 14X36 см.
Наметим прежде всего расчетную схему. В данном слу-
чае удобно разбить балку в пределах заделки на 6 участ-
ков длиной с*=-^р-=0,14л*. В серединах участков поме-
стим условные связи (рис. 32). Отношение ~= 0'^ «= 1.
Разрежем условные связи, приложим неизвестные силы X
и добавим заделку у связи № О (рис. 33). Составим урав-
нения, аналогичные приведенным в формулах (67) (стр. 29):
34

Для нахождения перемещений вычислим сначала коэфи-
циент а по формуле (76) (стр. 31):
Рис. 33
Перемещения будем находить по формуле (75):
Воспользуемся табл. 1в, II, III и IV.
35

После подстановки коэфициентов в уравнения эти по*
следние получат вид:
Ряд коэфициентов для простоты здесь опущен, так как
они равны симметрично расположенным. В последних урав-
нениях равновесия коэфициенты для наглядности остав-
лены.
Решение уравнений дает:
Для перехода к напряжениям разделим каждую силу X
на &.*?« 14-14 — 196 см\

Получим:
Л. V V*
Эпюра напряжений приведена на рис. 34. На том же
рисунке показана криволи-
нейная эпюра, заменяющая
ступенчатую. Конечно, ее
можно начертить только
приблизительно. Наиболь-
шее напряжение оказы-
вается равным примерно
24 kzjcm2.
Интересно сделать па-
раллельный расчет по тео- рис# 34
рии внецентренного сжа-
тия.
Эксцентриситет силы в данном случае:
Наибольшее напряжение:
Оказывается, что эта теория даст заниженное значение
наибольшего напряжения примерно в 1% раза (эпюра по-
казана пунктиром).
Наибольшее перемещение — осадку у поверхности кир-
пичной кладки (вернее в точке О) мы найдем по форму-
ле (79):
37

Если проверив величину осадки по формуле (80), то
получим:
т. е. ту же величину.
Угол поворота в точке О по формуле (78) (стр. 32):
Знание величины угла поворота позволит нам найти
осадку у самой поверхности кладки. Она равна:
При большой жесткости балки можно было заранее ожи-
дать чрезвычайно малых деформаций. Практически они не
представляют никакого интереса. Мы нашли
их здесь только для того, чтобы пояснить
технику вычислений. Но в других случаях
деформации могут играть весьма существен-
ную роль.
Изменим теперь несколько условия за-
дачи. Уменьшим вылет консоли в 10 раз, но
одновременно увеличим в 10 раз нагрузку
гис. 35 (черт. 3§).
Примем ту же расчетную схему, что и
•раньше. Все уравнения останутся теми же самыми, кроме
двух последних, так как меняется нагрузка. Они будут:
Решая уравнения, получим.
38

А"а=+ 2,051 т
Х3= + 0,123 ,
Х,=- 1,496 „
Х5=~ 4,466 „
с?0=+18,701
и0 = — 49,701
Напряжения теперь равны:
а, = + 46,9 kzjcm9
at = 4- 23.5
а2«= + 10,5
о3 = 4- 0,6
а4 = — 7,6
а, = - 22,8
»»
»»
Эпюра напряжений приведена на рис. 36. На этом же
рисунке жирной линией показана криволинейная эпюра и
пунктиром — эпюра, получающаяся при расчете по теории
внецентренного сжатия.
На и болыыие-напряжения превышают напряжения по тео-
рии внецентренного сжатия в 46 ^ =1,4 раза.
Разберем еще один вариант. Предположим, что та же
балка заделана концами в кирпичную кладку, причем
отверстие в свету равно 6 м.
Балка несет равномерную на-
грузку ? = 2 mJM (рис. 37).
Глубина заделки оставлена
прежняя —0,84 м.
Для определения момента
в заделке нам придется уста-
йтттнттттттт
Рис. 35
Рис. 37
навливать зависимость между этим моментом и углом по-
ворота. Поэтому основные уравнения следует решить в
общем виде и притом дважды: для случая Р**\ и
= 0 и для случая Р = 0; ^ ля —1.
и,14
39

Все уравнения за исключением двух последних оста-
нутся без изменения. Два же последних уравнения в пер-
вом случае:
и во втором:
Решение уравнений не представит затруднений, посколь-
ку данные вычислений, относящихся к инвариантной части,
уже имеются.
В результате решения уравнений получим:
Истинный угол поворота:
Сила Р является поперечной силой балки с заделанными
концами; в данном случае благодаря симметрии она не за-
висит от деформаций и равна
В написанную выше формулу входит момент М отно-
40

у поверхности кладки.
ГЩЩШШШ1Ш_>
Рис. 38
1ИТСльно точки 0. Обозначая момент у поверхности кладки
через Mki момент в точке 0 получим равным:
Поэтому:
if* - 0,0000284 • 6 + 0,000127 (Mk + 0,42) =*
= 0,000224 + 0,000127AV
Угол поворота мы определяем для точки 0; однако,
ТОТ же угол поворота примем и
Очевидно, что деформация изгиба
на протяжении 7 см столь незна-
чительна, что это вполне можно
сделать.
Обратимся теперь к расчету
самой балки. Как и в аналогичных
случаях, обратим систему в стати-
чески определимую, помещая в /j
ааделке шарниры и прилагая не- ' \^лГ
известные моменты Mk (рис. 38). ^^7'
В предыдущем изложении мы счи-
тали положительным момент, дей-
ствующий на заделанную в кладку
консоль по часовой стрелке.В со-
ответствии с этим мы должны у ле-
вого конца балки считать за поло-
жительный момент, действующий
против часовой стрелки, а у пра-
вого конца —по часовой стрелке.
Напишем теперь уравнение, выражающее условие, что
суммарное перемещение по направлению моментов Mk рав-
но— 2$>. Знак минус объясняется тем, что при положи-
тельном угле поворота перемещение происходит против
действия Mk. Коэфициент 2 мы должны взять ввиду того,
что ввели групповые неизвестные: два момента МкУ а по-
тому нужно учесть перемещения по направлению обоих
моментов.
Уравнение будет иметь вид:
MkbMM + bMp=*—2<s>t
Для нахождения перемещений построим эпюры (рис. 39).
Перемножая их, найдем:
Рис. 39
мм-
6-Ы
El '
4!

Поэтому:
или
Отсюда:
При полной заделке на опорах мы получили бы:
Момент в точке 0 равен:
Теперь можем найти все неизвестные силы взаимодей-
ствия между балкой и кладкой — X:
Напряжения получаем равными:
Эпюра напряжений приведена на рис. 40.
Наибольшее напряжение равно примерно 78 кг\смг~
42

Применим и здесь для сравнения упрощенный прием
<иф(? деления напряжений по теории внецентренного сжатия
(принимая момент в заделке равным 6 тм).
Момент относительно середины заделки:
М=6 + б-0,42 = 8,52 тм,
Эксцентриситет:
8,52
£ = ■
>1,42*>
Ппибольшее напряжение:
6 000 (1+6^2) = 56>9 ю/ыД
Опзах—
84*14 V ' 84
Тмким образом по теории внецентренного сжатия наи-
большие напряжения меньше действительных в
78 , л
Ю""1'4 раза*
Разобранный пример позволяет вообще сделать вы-
иод, что расчет заделки балки в кладке вполне можно
Рис. 40
Рис. 41
делать по теории внецентренного сжатия, но для наиболь-
ших напряжений вводить некоторый коэфициент, пример-
но 1,5. Однако это правильно только при условии, что за-
делка балки достаточно жесткая и вместе с тем длина за-
делки невелика, не больше удвоенной высоты балки.
При балке, заделанной в кладку более глубоко, резуль-
таты должны быть совершенно иными. Применение в таких
случаях теории внецентренного сжатия повело бы к зна-
чительным ошибкам.
Пример 2
Рассчитать деревянную сваю диаметром 24 сму подверга-
ющуюся действию горизонтальной силы* Р» 0,5 т (рис. 41).
43

Глубина забивки сваи — 2,5 м (принимаем для примера
небольшую глубину, так как при большей глубине нижняя
часть сваи работать не будет, между тем с увеличением
длины сваи усложняется ее расчет).
Физические характеристики грунта:
Модуль упругости дерева:
Жесткость сваи:
Рис. 42 Рис. 43
Разобьем сваю по длине (в пределах грунта) на 7 уча-
стков. Длина каждого участка:
Отношение:
Поставив в серединах участков условные связи, получим
расчетную схему (рис. 42).
Для перехода к основной системе разрежем связи, за-
меним их действие неизвестными силами X и добавим задел-
ку в точке 0 (рис 43).
44

Момент в заделке (в точке 0) равен:
Составим уравнения [формулы (67) стр. 29]:
Найдем по формуле (76) (стр. 31) коэфициент а:
и перемещения по формуле (75):
Для вычисления перемещений воспользуемся табл. 16,
II, III и IV.
45

После подстановки коэфициентов в уравнения они полу-
чат вид:
Решение уравнений дает:
46

Рпзделив силы X на площади участков, найдем напря-
жения:
Эпюра напряжений приведена на рис. 44.
Наибольшее напряжение грунта на сжатие у поверхно*
«ти равно примерно 0,9 кг\см%.
Связный грунт такое напряжение
может выдержать, в атом случае явле-
ние будет целиком протекать в преде-
лах упругости1.
Параллельного расчета по теории
внецентренного сжатия в этом примере
не делаем, так как совершенно оче-
Рис. 44 видно, что результаты его будут со-
вершенно иными. Для того чтобы дать
какие-либо приближенные простые формулы, пригодные
на практике, необходимо предварительно рассчитать ряд
свай для самых разнообразных условий.
Наибольший момент в свае (если считать силы X со-
средоточенными) — в точке О и равен Мтах = 0,5 • 0,428 «*.
= 0,214 тм.
Перемещение точки О по формуле (79) (стр. 32):
дд3 (14-И.) (8-4^) _ (1+0,Э)(8-4.0,8) о<уи-
Ио 8я£0(1-р.)с И°~~ 8я.1 700(1-0,3).0,357 * «W^ —
=0,00067 Л£=*0,67 мм.
1 Сдвигов в грунте при таком напряжении не будет, если сопротивле-
ние сцепления примерно 0,18—0,26 кг/см2.
В глинистых грунтах сопротивление сцепления бывает 0,1—0,3 кг/см*.
47

Угол поворота сечения в точке 0 по формуле (78):
Перемещение точки приложения силы (в мм):
Деформации, как и следовало ожидать, очень малы; но
и нагрузку мы приложили небольшую. Предельная же не-
сущая способность сваи измеряется несколькими тоннами.
Предполагается, что грунт около сваи имеет ненару-
шенную структуру. В противном случае деформации должны
быть гораздо больше вследствие обмятия грунта.
Мы рассмотрели случай, когда деформации грунта ис-
ключительно упругие. При больших же нагрузках в грунте
неизбежны сдвиги. Вопрос о расчете свай с учетом сдви-
гов представляется более сложным и подлежит особому
рассмотрению.
VI. ТАБЛИЦЫ
Примечания к таблицам
1. Значения функций F, а также единичных прогибов "-ay
находятся на пересечении соответствующие столбца
и строки.
2. Часть таблиц не заполнена ввиду взаимности пере-
мещений:
Fkis=sFik\
3. Значения ~ и —■ доведены до 10, потомучто вряд
С С
ли придется на практике разбивать упругий стержень по
длине на число участков, большее 11. Таблицами можно
пользоваться при любом числе участков, меньшем 11, так
как во всех случаях необходимо брать числа из таблиц,
начиная с левого верхнего угла.
4. В случае, если отношение —, входящее в расчет,
h
в табл. I не имеется, можно брать цифры для —, ближай-
С/
шего к требующемуся.
48

Функция F[ki [формулы (59) и (63)]
Таблица I
ч Ь Х
с \.
о
1
2
4
6
7
8
10
0
5,893
1
1,590
5,148
2
0,845
1,332
5,012
3
0,587
0,70Ы
1,248
4,956
4
0,451
0,503
0,6521
1,206]
4,923
5
6
0,367 0,310
0,3940,325
0,4610,362
0,620;0,436
1,1810,600
4,9031,164
14,889
7
0,268
0,278
0,300
0,342
0,419
0.5F6
1,152
4,879
8
0,236
0,243
0,258
0,283
0,328
0,407
0,576'
1,144
4,871
9
0,211
0,216
0,226
0,244
0,271
0,318
0,399
0,568
1,137
4,865
Ю
0,191
0,194
0,202
0,214
0,234
0,263
0,310
0,392
0,562
1,131
4,860
б)-.
5,334
1,577
4,601
0,844
1,3201
4,465
0,587
0,708
1,236
4,4081
0,451'0,367
0,5030,394
0,651|0
1,194
4,376
461
0,619|
1,169
4,356
0,310
0,325
0,36 V
0,436|
0,599
1.1Й'
4,342
0,268
0,278!
0,300'
0,342
0,419
0,585
l,140j
4,332
0,236
0,243
0,258
0,283
0,328
0,407
0,575
,132!
4,324;
211
216
226
244
271
0,318
0,399
0,567
1,125
4,818
0,191
0,194
0,202
0,214
0,234
0,263
0,310
0,392
0,561
1,119
»>~-1
4,563
1,543
;3,8t>o
0,840
1,289
3,725
0,586
0,705
1,205
3,668
0,451
0,502
[0,648
1,1ез
3,636
0,367]
0,394
О,
0,616
1,138
3,616]
460К)
О
О
0,310]
0,325
362
435
596
1,121
3,602
0,268
0,278
0,3001
0,342]
0,4181
0,582]
1,109
3,592
0,236
0,243
0,258]
0,283
0,32^
0,406
0,572
1,101
3,684
0,211
0,216
0,226
0,244
0,271
0,318
0,398!
0,56ч
1,094
3,578
4,313
0,191
0Д94
0,202
0,214
0,234
0,263
0,310
0,391
0,558
1,088
3,573
4 Б. Н. Жемочкин
49
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Продолжение табл. I
\ Л.
\ с
с \
** .
0
1
2
3
4
6
7
8
10
1
0
3,335
1
1,419
2,736
2
0,820
1,178
2,605
г)
3
0,579
0,689
1,095
2,549
с
4
0,448
0,496
0,633
1,054
2,517
= 2
5
0,365
0,392
0,455
0,601
1.029
2,497
6
0,309
0,324
0,360
0,430
0.581J
1,012
2,483
7
0,268
0,277
0,299
0,340
0,413
0,567
1,000!
2,473
8
0,236
0,243
0,257,
0,282
0,326
0,401
Л, 557
0,992
2,465
9
0,211
0,216
0,226
0,243
0,270
0,316
0,393
0,549
0,985
2,459
10
0,191
0,194
0,202
0,214
0,233
0,262
0,308
0,386
0,543
0,979
2,454
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|2,696
1
1,298
2,190
0,792
1,075
2,064
0,569
0,666
0,994
2,009
с
0,443
0,488
0,611
0,953
1,978
0,362
0,388
0,447
0,580
0,929
1,958
0,307
0,321
0,357
0,423
0,560
0,912
1,944
0,266
0,276
0,297
0,337
0,406
0,546
0,900
1,934
0,235
0,242
0,256
6,280
0,323
0,394
0,536
0,892
1,926
0,211
,0,215
0,225
0,242
0,268
0,313
0,386
0,528
0,885
1,920
0,191
0,194
0,201
0,213
0,232
[0,260
0,305
0,379
0,522
[0,879
1,915
е)-г-4
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,288
1,192
1,857
0,761
",9881
,738
?
0,557
0,642
0,910
1,683
0,438;
0,479!
0,587
0,870|
1,653
9,360
0,383
0,439
0,557,
0,846
1,633
0,305
0,320
0,353
0,415|
0,537
0,829[
1,619
0,265
[0,2751
0,29б[
333
398
523
817
1,609
0,235
0,241
0,255
0,279,
!0,319[
,386
,513
,809
1,601
|0,211
0,215[
0,224
0,241
0,267
0,309
10,378
0,505
0,802
1,595]
0,191
0,194
0,201
0,212
,231
,259
И,301
0,371
0,499
0,796
1,590

\ -fi
N. С
с \
0
0 2,000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
1
1,102
1,627
2
0,729
|0,915
1,515
3
0,542
Ь,617
0,841
1,462
4
10,430
[0,468
0,564
9,801
1,432
5
0,356
0,377
0,428
0,534
0,777
1,413
6
0,303
0,316
|0,347
0,404
|0,515
0,761
1,399
7
0,263
0,273
0,292
0,328
0,388
0,501
0,749
1,389
8
0,233
0,239
[0,254
0,276
0,314
0,376
0,491
0;741
1,381
9
0,209
0,214
0,223
0,240
0,264
0,304
0,368
0,483
0,734
1,375
10
0,190
0,193
0,200
0,211
0,230
0,256
0,296
0,361
0,477
0,728
1,370
^
\ с
С \.
0 I
1
2
3
4
5
6
7 |
8
9
10 |
0
0,500
1
2
0,188 0,093|
0,167
0,117
0,100
i
3
0,055
0,084
0,081
0,071
i
4
0,036
0,063
0,066
0,06Ь
0,056
>
5
0,025
0,048
0,054
0,053
0,050
0,045
6
0,019
0,038
0,045
0,046
0,044
0,041
0,038
7
1
0,015
0,031
0,038
0,039
0,039
0,038
0,036
0,033
ч
8
0,012
0,026
0,032
0,034
0,035
0,034
0,033
0,031
0,029
1
9
0,010
0,021
0,027
р.,030
[0,031
0,031
0,030
0,029:
0,028
0,026
10
,0,008
0,018
0,024
0,027
0,028
0,028
0,028
0,027
0,026
0,025
0,024
Таблица II
Функция F& [формулы (60) и (64)1
6}
Продолжение табл. i
Ъ
ж)— = 5

52

Единичные прогибы u>#t
>v Л.
>v ■С
fly >v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
2
5
16
,j
3
8
28
64
J
4
и
40
81 '
128
5
14
52
108 |
176
250
[формула (72)]
6
17
64
135
224
325
432
7
23
76
162
272
400
540
686
8
23 ;
88
189
320
475
648
833
1024
9
26
100
216
368
550
756
980
1216
1458
10
29
112
243
416
625
864
1127
14C8
3701
5000
Таблица IV
VII. ГРАФИКИ
а) Пользование графиками
Для облегчения и ускорения расчетов, особенно когда
не требуется большая точность, можно пользоваться при-
водимыми ниже графиками. Четыре из них (рис. 47 — 50)
дают эпюры напряжений на границе между упругим полупро-
странством и упругим стержнем. Два графика (рис. 51 и 52)
дают углы поворота оси стержня и два (рис. 53 и 54) —
смещения у поверхности упругой среды (рис. 45).
Графики составлены для случаев нагрузки: единичной
силой Я=1, приложенной у поверхности упругого полу-
пространства, и единичным моментом М = 1 (рис. 46).
Отношение длины стержня в пределах упругой среды h
к ширине стержня Ь принято:
т=8 и х-16
Из рассмотрения графиков можно установить, что раз-
ница в результатах в том и другом случае невелика, а по-
тому, прибегая к интерполяции (в которой даже нет осо-
63

64
Рис. 45 Рис. 46
Рис. 47

бенной надобности), можно пользоваться графиками для
h
любых соотношений примерно в пределах от -т-^З до
-^- = 20, что охватывает все случаи, которые могут встре-
титься на практике.
Расчет по графикам следует вести в таком порядке.
Сначала заменяем данную нам нагрузку поперечной си-
лой Р у поверхности упругой среды и моментом М.
Устанавливаем соотношение между упругими
характеристиками среды и изгибаемого стержня, для
чего вычисляем некоторый коэфициент р по формуле:
Р = *т£ • (82)
Здесь: EQ— модуль упругости среды;
h — глубина заделки стержня в среду;
56
Рис. 48

EI — жесткость стержня;
А— коэфициент, зависящий от коэфициента Пу-
ассона и равный:
Значения коэфициента А даны во вспомогательной табл. V
(стр. 67).
Рис. 49
В графиках (рис. 47 — 50) предусмотрены значения р
в пределах от 0 до 1000.
Как видно из графиков, при больших значениях {J ниж-
няя часть стержня почти не работает, напряжения здесь
близки к нулю. Если при очень гибком стержне коэфи-
циент р окажется больше 1000, можно в расчет ввести
только часть длины стержня, сократив А настолько, что-
бы р не превышало 1000.
F6

Определяем напряжения. Выбираем графики,
в которых отношение -j- ближе подходит к заданному
(можно для повышения точности интерполировать), и на
этих графиках находим кривые, соответствующие получен-
ному значению р.
Рис. 50
Эти кривые дадут эпюры напряжений от Р=1 и от
М=1 в некотором условном масштабе. Для промежуточ-
ных значений р, не имеющихся в графиках, нетрудно вы-
чертить кривые, интерполируя между соседними.
Если обозначить ординаты кривых в графиках (рис. 47—
50) через К, то напряжения в любой точке по высоте бу-
дут равны:
от силы Р (рис. 47 и 48) _______
5?

от момента М (рис. 49 и 50)
°=Ш™ I (85)
Зная напряжения, можно определить и деформации.
Но для угла поворота и смещения у поверхности
используем рис.51 — 54.
Угол поворота от силы Р (рис. 51):
угол поворота от момента М (рис. 52):
Смещение от силы Р (рис. 53):
58
Рис. 51

смещение от момента М (рис. 54):
В этих формулах ср0 и щ — единичные углы поворота
и смещения, взятые из графиков, а В — коэфициент, равный:
Рис. 52
Значения В также приведены в табл. V.
После получения всех вышеприведенных данных нетруд-
но найти усилия {Ми Q) в стержне и деформации в любой
точке по высоте.
Считаем нелишним отметить, что, если силы принима-
ются в тоннах, а размеры в метрах (следовательно Е в т\мъ),
то напряжения будут в т\м?, а перемещения в метрах. Если
же силы в килограммах, а размеры в сантиметрах (Е—
в кг/см2), напряжения получатся в kzjcm2, перемещения же
в сантиметрах.
59

б) Пояснения к формулам
Даем здесь объяснения вышеприведенных формул, по-
скольку ранее при изложении теории они не встречались.
Отношение упругих характеристик определяется
коэфициентом а, равным [см. формулу (76)]:
Рис. 53
Делая расчет для определенного случая, мы должны
разделить высоту h на некоторое число участков длиной с.
Обозначим число участков через v. Таким образом v»
h h
=?-— и соответственно с——.
Ввиду этого:
Для составления графиков необходимо освободиться от
величины v. Поэтому лучше иметь дело не с коэфициен-
том а, а с коэфициентом (J, равным:
В«г (1-е) £b* AEJ^
* (1 + ц)(3 - 4(a) EI ~~М^Г> (?6>
где
(1 +1*) (3 - 4м.)' (94)
60

Очевидно, что:
или обратно:
P=-^a = 0,2387v*a. (%)
Таким образом, например, кривые, вычерченные для
р«200, соответствуют значению a = ^ • 200 » _j-. Если
838
принять vcs8, то a = ^-=0,205.
Рис. 54
Напряжения определяются по формуле:
Обозначив силу X от действия единичной нагрузки
Р«1 через X, получим для случая, когда действует на-
грузка Р: _
—£Л_ (98)
Легко убедиться, что силы X зависят от соотношения
физических характеристик, т. е. от коэфициента 0, и от
61

числа участков, на которые разбивается стержень по вы-
соте, т. е. от v, но не зависят от размеров b и с. Поэтому,
сделав расчет для какого-либо значения % можно исполь-
зовать его в любых других случаях, когда р имеет то же
значение.
Построим график, в котором по вертикали отложим
в условном масштабе высоту h, а горизонтальные ордина-
ты в пределах каждого элементарного участка с отложим
равными X. Заменим затем полученную ступенчатую ли-
нию кривой. Такой график и представит в некотором мас-
штабе эпюру напряжений.
р.
Так как с — —, то на основании формулы (98):
— так- («»
Для удобства ординаты Y в графиках приняты равными:
«K=vX. (100)
Тогда напряжения, как указано в формуле (84):
•~&А <101>
Аналогичным образом находим напряжения от действия
момента М. В этом случае:
be ~ be
X X М /1лт
ввХГ--А7-Г- О02)
м
Здесь мы ввели *—, как это было сделано раньше при
составлении уравнений.
Так как с = —, то:
Ординаты Y приняты в графиках:
Y=v*X. (104)
Напряжения будут определяться по формуле (85):
Угол поворота оси стержня в верхней точке упру-
гой среды от Р равен [формула (78)]:
rna_ (H-n)(3-4|i)
Фл
8гс£0(1-ц)с2 Го
где ф0— условный угол поворота от Р=1.
62
Р, (106)

Если с——, то;
v '
v2(i+|A)(3-4,)> - р ^(1+,)(3-4,х) -
То 8п£0(1 —|х)Л2 Уо 8* £0(1 —{х)Л2 То *~
Здесь
В==Л+ЕШ^±». (108)
На этом основании в графике (рис. 51) углы поворота
от Ре=1 приведены умноженными на -g^-, что и позволяет
применять формулу (86):
<=вщгр- <109>
Угол поворота от М:
ф^(1-Ы(3-41*)- М пш>
Поэтому:
(1+^)(3-У) уВ(1 + „)(3-4,) -
™ 8тг£0(1 — (л)сз *• 87С£0 (1 _ р.) лз То
уЗ „
Чтобы можно было пользоваться формулой (87)
<-в$*м- (112)
единичные углы поворота, определенные для М= 1, умно-
жены в графике (рис. 52) на g—.
Совершенно так же выведены формулы (88) и (89) для
смещений.
Смещение и% от Р равно [формула (79)]:
а (l + t*)(3-4n)t-jp ,
"о— 8^о(1-^)с e 1 '
[знак минус в формуле (113) изменен на плюс, так как сме-
щение и0 удобнее считать положительным, если оно нап-
равлено в ту же сторону, как и внешняя сила].
Получаем:
E0h ^
(114)
63

v2
В графике на рис. 53 единичные смещения приняты умно-
женными на -j^-. Тогда будет действительна формула (88):
Смещение от М:
Поэтому:
Для графика на рис. 54 смещения щ умножены на -^ . Сле-
довательно, в этом случае [см. формулу (89)]:
<=втЬ'м- (118)
В заключение отметим, что в формулу (75), которая
определяет перемещения Ьы, являющиеся коэфициентами
при неизвестных в уравнениях, входит коэфициент Пуас-
сона [Л.
Для того чтобы упростить задачу и избежать вычерчи-
вания большого числа графиков, при вычислениях &« была
принята средняя величина р = —-. Ввиду этого:
4-0-»4)
3-4-3- 3-4-T
= ^ + 0,6/^" + ^^ (119)
Мы имеем право так поступить потому, что на значе-
ниях oki величина коэфициента ц отражается очень мало.
Не следует все же забывать, что графики дают толь-
ко приблизительное решение. Применяя при их составле-
нии ограниченное число участков, на которые разбивается
длина стержня для расчета1, мы лишены возможности оп-
ределить, в каких случаях крайние ординаты эпюр напря-
жений получают бесконечно большие значения (повидимо-
му, при малых р нижние ординаты эпюр должны быть
бесконечно большими). С практической точки зрения воп-
рос этот совершенно второстепенный, так как бесконечно
1 При составлении графиков было принято v = 8, т. е. длина стерж-
ня делилась на 8 частей.
64

большие напряжения на бесконечно малых участках никак
не могут отразиться на результатах. Фактически напря-
жения в крайних точках не будут бесконечно большими,
так как материал перейдет в пластическое состояние.
в) Примеры пользования графиками
Покажем применение графиков для тех примеров, ко-
торые были разобраны выше в § V.
В примере 1 (1-й вариант) имеем у поверхности кладки
поперечную силу Р*=1 и момент ЖяЬ2в2/лл.
Коэфициент р по формуле (82):
Из табл. V (стр. 67) возьмем для ц«а0,2
А м 0,303.
Следовательно:
Отношение
о л QnQ 200 000-0,844 я „
р — 0,303 уши— в 8»3*
& 14 " *
Для расчета воспользуемся графиками, в которых
-|—*8 (рис. 47 и 49).
Найдем наибольшее напряжение у поверхности кладки.
Интерполируя между р=0 и р = 50, для найденного
нами р»8,3 приблизительно можем взять при Р= 1 К=4,б
и для Ж =1 Y = 9.
Получаем напряжения у поверхности кладки [формулы
(84) и (85)] от Р:
от М:
Полное напряжение:
0 = 39+182=221 /гс/л*=*22 кг\см\
В примере 1 наибольшее напряжение было нами опре-
делено гриблизительно в 24 кг\см%.
•> Б. Н. Я. мочкин ge

Для напряжения у внутреннего конца балки имеем по
графикам: от Pel К«—2,5 и от Af=l К=— 7,5.
Поэтому:
0,14-0,84 0,14- 0,84*
= - 21 — 152 = - 173 /ф*2=—17 kzjcm\
В примере у нас было 14 кг)см2.
Осадка у поверхности кладки по графикам рис. 53 и 54
равна (для —=8):от Р—\ 1г^ == 1,1 и от М=\ ~uQ — 1,7.
Коэфициент В из табл. V для ji —0,2 равен В = 3,30.
Осадка [формулы (88) и (89)]:
«0 =3,30^20000'0ф0^84-1+ 200000-0,842 ,2Je
= 3,30 (0,000007 + 0,000024) = 0,00010 м = 0,10 мм.
В примере 1 у нас было 0,094 мм.
Перейдем теперь к примеру 2.
Здесь мы имеем у поверхности грунта Р =0,5 т и ЛТ —
=0,5.0,25=0,12 тм.
Коэфициент А для {х=0,3 по табл. V равен Л—0,299.
Следовательно, коэфициент р [формула (82)]:
p-4ffi.0.299- ™£Ш -122.
Отношение:
* _2»50— in
& "~о,24—ш*
Воспользуемся рис. 47 и 49.
Ординаты Y у поверхности грунта: от Р=я1 К«8,8
и от Л1=1 К=33.
Наибольшее напряжение [формулы (84) и (85)]:
а==0,28482,5'°'5+ 0,24 2,62 °'12ет
= 7,3 + 2,6=9,9 mJM2 = 1,0 лгг/сл*.
В примере 2 наибольшее напряжение было найдено
равным 0,9 kzjcm12.
Для угла поворота у поверхности грунта воспользуемся
рис. 51 и 52. Коэфициент В из табл. V для |х=0,3 равен
В=3,34. _
_ Из графиков находим: для Р= 1 ср0=я5,0и для М~ 1
<Ро - 35.
66

Имеем [формулы (86) и (87)]:
■3,34 (-у
5,0
0,5 +
35
0,12}
700-2,5* v,v ' 1700-2,5»
= 3,34(0,00024 + 0,00015)=0,0013.
Единичные смещения у поверхности грунта (рис. 53
и 54): от Р= 1 _
йв = 1,65 и от М=1
щ «■ 5,0 (благодаря взаимности перемещений угол поворота
от Р=.1 равен смещению от М— 1).
Поэтому [формулы (88) и (89)]:
*о* = 3,34( iyk«5 .0,5 + -T7^I-.0,12)^
— 3,34 (0,00019 + 0,00006)=0,00084 м.
Смещение в точке приложения внешней силы, если
обозначить расстояние этой точки от поверхности грунта
через /, равно:
'°'\ 'i°fif8 + °>0013 • 0>25 + 0,00084) -1000 ^
О
3-163 ■ • - j
= 0,02 + 0,33 + 0,84=1,2 мм.
В примере было 1,3 мм.
Таким образом мы видим, что при применении графи-
ков результаты получаются во всех случаях почти те же,
что и при помощи решения уравнений, но работа сокра-
щается во много раз.
Таблица V
(вспомогательная)
Коэфициенты А и В [формулы (83) и (90)]
Коэфициент
Пуассона
0,10
0,15
0,20
0,25
0.30
1
3
0,35
0,40
0,45
А
/Л.
1 0,315
0,308
0,303
0,300
0,299
0,300
0,301
0,306
0,316
В
3,18
3,25
3,30
3,33
3,34
3,33
3,32
3,27
1 3,16
5*