Текст
Отредактировал и опубликовал на сайте : И Е S $ 1 ( Н И $ О N )
А.В. ШЕПЕЛЕВ
А.В. ШЕПЕЛЕВ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Издание четвертое
Допущено Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для
студентов высших учебных заведений,
обучающихся по техническим
направлениям и специальностям
Москва 2006
Шепелев Андрей Вадимович. Электричество - Москва, 2006, 93с., с илл.
Небольшой по объему курс охватывает практически всю программу
раздела «Электричество» курса общей физики для студентов технических
вузов, что достигнуто за счет сжатого, но точного изложения материала.
Каждая тема разбита на большое число параграфов и заканчивается
кратким резюме, в которое входят основные результаты темы. Такая
структура облегчает как регулярную работу, так и быструю подготовку к
коллоквиумам, зачетам и экзаменам.
Илл. 53
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор О.Ф. Беляев;
кафедра физики МИРЭА.
© - А.В.Шепелев, 2006
Подписано в печать 14.122005 г
Формат 60x84/16. Пен. л. 6.
Тираж 150экз. Заказ 1020-Г
Издательство «Тровант»
ЛР 071961 от 01.09.1999 г.
Отпечатано с готового оригинал-макета
в типографии издательства «Тровант».
142191, г. Троицк Московском обл., м-н «В», д. 52.
© - оригинал-макет ; А.В.Шепелев, 2006
Отредактировал и опубликовал на сайте :PRESSI(HERSON )
( одержание
Ведение. Заряд и поле................................. 5
I, Электростатика в вакууме............................... 7
1.1 Закон Кулона.......................................... 7
1.2 Напряженность электрического поля..................... 8
1.3 Потенциал............................................. 9
1.4 Силовые линии и эквипотенциальные поверхности..... 12
1.5 Теорема Гаусса....................................... 14
1.6 Поле заряженной сферы, нити и плоскости.............. 17
1.7 Резюме.............................................. 20
2. Электростатика в веществе............................. 22
2.1 Проводники........................................... 22
2.2 Диэлектрики.......................................... 23
2.3 Поверхностная плотность поляризационного заряда
диэлектрика................................................ 24
2.4 Напряженность поля внутри диэлектрика................ 26
2.5 Вектор электрической индукции и теорема Гаусса для него.. 27
2.6 Граничные условия на границе раздела диэлектриков. 28
2.7 Плоский конденсатор. Емкость......................... 29
2.8 Соединение конденсаторов............................. 31
2.9 Энергия конденсатора................................. 32
2.10 Энергия электрического поля.......................... 33
2.11 Емкость и энергия заряженного проводника............. 33
2.12 Резюме............................................... 34
3. Постоянный электрический ток...................... 36
3.1 Сила тока и плотность тока........................... 36
3.2 . Вектор плотности тока............................. 36
3.3 . Закон Ома в дифференциальной форме................ 37
3.4 Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление........ 39
3.5 Напряжение. Электродвижущая сила..................... 40
3.6 Правила Кирхгофа..................................... 42
3.7 Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца........... 44
3,8 Параллельное и последовательное соединение сопротивлений. 45
3.9 Измерение тока и напряжения.......................... 46
3.10 Резюме............................................... 48
4. Магнитное поле....................................... 50
з
4.1 Магнитная индукция. Сила Лоренца..................... 50
4.2 Закон Био-Савара-Лапласа............................. 50
4.3 Магнитная индукция прямого провода с током........... 51
4.4 Циркуляция магнитной индукции........................ 53
4.5 Магнитное поле тороидальной катушки и соленоида..... 55
4.6 Действие магнитного поля на ток. Закон Ампера........ 56
4.7 Контур с током в однородном магнитном поле........... 57
4.8 Магнитное поле в веществе............................ 59
4.9 Диа-, пара- и ферромагнетики......................... 62
4.10 Резюме............................................... 64
5. Электромагнитная индукция............................ 67
5.1 Магнитный поток...................................... 67
5.2 Работа при перемещении контура в магнитном поле..... 67
5.3 Электромагнитная индукция............................ 68
5.4 Взаимная индукция.................................... 70
5.5 Самоиндукция. Индуктивность.......................... 70
5.6 Индуктивность соленоида.............................. 71
5.7 Переменный ток. Сопротивление в цепи переменного тока... 71
5.8 Емкость в цепи переменного тока...................... 72
5.9 Индуктивность в цепи переменного тока................ 73
5.10 Резонанс напряжений.................................. 74
5.11 Колебательный контур................................. 76
5.12 Энергия соленоида.................................... 77
5.13 Энергия магнитного поля.............................. 78
5.14 Резюме............................................... 79
6. Уравнения Максвелла................................... 81
6.1 Обобщение теоремы о циркуляции напряженности
магнитного поля............................................ 81
6.2 Уравнения Максвелла.................................. 83
6.3 Материальные уравнения............................... 84
6.4 Уравнения Максвелла и теория электромагнетизма....... 84
6.5 Понятие об электромагнитных волнах................... 86
7. Движение заряженных частиц............................ 90
7.1 Свободная частица в однородном магнитном поле........ 90
7.2 Свободная частица в однородном электрическом поле... 92
4
Введение. Заряд и поле
Электрические и магнитные силы давно известны людям. Однако
оплидегь этими силами человечество смогло лишь после достигнутых в
XIX веке решающих успехов в их изучении. Широкое практическое
использование электромагнитных явлений во многом определяет характер
современной технической цивилизации.
Электромагнитные силы относятся к так называемым
фундаментальным силам*. Именно электромагнитные силы дают
ио1можность существования макроскопических тел; лишь для образования
очень больших тел важны и гравитационные силы.
Электрические свойства тел описываются физической величиной,
называемой электрическим зарядом. Заряд может быть положительным и
(нрицательным. Очень важным законом является закон сохранения
шрнда: полный заряд замкнутой системы остается постоянным.
Частицы, обладающие зарядом одного знака, отталкиваются друг от друга,
обладающие разными знаками - притягиваются. Единица измерения заряда
- Кулон.
Заряд не может существовать сам по себе; как было отмечено выше,
наряд - это некоторый параметр тела или его части. Однако иногда
щряженное тело называют просто зарядом.
В состав вещества входят положительно заряженные протоны и
шрицательно зараженные электроны. Обычно в макроскопических телах
число протонов с очень высокой точностью равно числу электронов,
по ному полный заряд тела близок к нулю и электрические силы не
ощущаются со стороны. Если же баланс между протонами и электронами в
киком-то теле нарушен, то оно будет воздействовать на другое заряженное
icjio. О том, насколько велики электрические силы, и насколько точно
сбалансированы заряды в веществе, дает представление следующий
пример: два человека, стоящие друг от друга на расстоянии 1 метр, будут
отталкивать друг друга с силой Ю20 Ньютонов, если каждый из них
лишится всего одного электрона из миллиона. Эта сила достаточна для
I ого, чтобы поднять Черное море.
Нужно отметить очень важное обстоятельство - для правильного
описания электромагнитного взаимодействия необходимо использовать
понятие поля (разумеется, это относится не только к электромагнитному,
но и к любому взаимодействию). Почему возникает такая необходимость?
' Фундаментальные силы - это силы электромагнитного, гравитационного, ядерного и
слабого взаимодействий. Других фундаментальных сил в природе не обнаружено, т.е.
псе силы сводятся к этим. Удалось доказать, что слабые и электромагнитные силы
имеют единую природу.
5
Причина в том, что сила, действующая на заряженное тело, не может
зависеть только от положения других тел. Если бы эта сила определялась
только положение других тел, то всякое изменение положения некоторого
тела мгновенно сказывалось бы на силах, действующих на другое тело, что
противоречит теории относительности, т.е. в конечном счете опытным
данным.
Поэтому не совсем корректно говорить, что одно заряженное тело
действует на другое. Более правильно считать, что каждое заряженная
частица создает вокруг себя поле, и на всякую другую заряженную частица
действует сила, обусловленная этим полем. При изменении положения
частицы изменяется и поле, создаваемое ей. Это изменение
распространяется в пространстве с очень большой, но конечной скоростью
- скоростью света с = 3 • 108 м/с.
Поле, создаваемое электрическими зарядами, удобно разделить на
два вида - электрическое и магнитное поле. Магнитное поле может
порождаться движущимися зарядами и действует на движущиеся заряды.
И для электрического, и для магнитного поля выполняется очень
важный принцип суперпозиции: поле, создаваемое в некоторой точке
несколькими зарядами, есть сумма полей, создаваемых в этой точке
каждым зарядом.
Везде в этой книге векторы обозначаются жирными буквами
(например, Е, Г), модули этих векторов и скалярные величины
записываются с помощью светлых букв (например, £, г, Q, х).
Скалярное произведение векторов обозначается как два расположенных
рядом вектора (например, Er, Fdr), векторное - квадратными скобками
(например, [vB])«
Все формулы даны в системе СИ
б
•тредактировал и опубликовал на сайте : И Е $ $ 1 ( Н Е М О N )
1. Электростатика в вакууме
Электростатика изучает взаимодействие неподвижных зарядов.
Ihkoiii»! электростатики наиболее просты, если заряды находятся в вакууме.
1.1. Закон Кулона
В конце XVIII века Ш. Кулоном был экспериментально установлен
niKoii, определяющий силу взаимодействия двух заряженных частиц: сила,
с ко юрой один неподвижный точечный заряд Q действует на другой
неподвижный точечный заряд q, пропорциональна произведению зарядов
н обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. В
современной точной формулировке закон Кулона обычно
шписывается в виде
F = —!—
4о0 Г2 у Г )
1десь F - сила, с которой заряд Q действует на заряд q, Г - радиус-вектор,
н|мшеденный от заряда Q к заряду q, £0 = 8,85'10’12. Вектор I — I
представляет собой единичный вектор, совпадающий по направлению с
лек юром Г и введенный для того, чтобы задать направление вектора силы.
Ih шкой формулировки закона Кулона видно, что если оба заряда имеют
одинаковые знаки, то они отталкиваются (знак силы такой же, как у
рндиус-вектора, т.е. она направлена по радиус-вектору), а если разные
Шаки - притягиваются (сила направлена противоположно направлению
F
F
Q *
Рис. 1
рндиус-вектора). Из закона Кулона, очевидно, следует, что силы,
действующие на заряды Q и q 9 равны по величине, противоположны по
п «правлению и лежат на одной прямой (Рис. 1).
Строго говоря, закон Кулона абсолютно верен лишь для зарядов,
которые все время неподвижны. Однако этот закон справедлив с очень
7
высокой степенью точности, если заряды движутся не слишком быстро и
находятся не очень далеко друг от друга*.
1.2. Напряженность электрического поля
Как было отмечено во Введении, только с помощью понятия поля
можно корректно описать электрическое взаимодействие. Согласно такому
представлению, на неподвижный заряд действует сила потому, что в той
точке, где он находится, имеется электрическое поле. Важнейшей
характеристикой электростатического поля является векторная величина,
называющаяся его напряженностью. Сила, действующая на
неподвижный заряд q, находящийся в точке, напряженность
электрического поля в которой равна Е, есть
F = gE
(это соотношение можно рассматривать как определение напряженности).
Единица измерения напряженности - Вольт/метр.
Что является источником электрического поля? Электрическое поле,
действующее на частицу, может создаваться другими заряженными
частицами. Так, частица с зарядом Q создает в каждой точке пространства
вокруг себя электрическое поле, напряженность которого равна
Е = ->-£-( ,
4/г£0 г2 V г J
где г - радиус-вектор, начало которого совпадает с положением заряда Q.
Подставляя это в предыдущую формулу, получаем, что сила, действующая
на заряд q, равна
f = ,Е = _l_e«LfL'|,
4fl-tr0 Г2 \ Г J
что, как и следовало ожидать, полностью совпадает с законом Кулона.
Если имеется несколько зарядов, например Q и 0?» то, согласно
принципу суперпозиции, напряженность результирующего электрического
поля есть векторная сумма напряженностей, создаваемых каждым зарядом,
т.е. Е ~ Ej + Е2 (Рис. 2).
Если имеются только два взаимодействующих заряда, то законом Кулона можно
пользоваться, если скорости зарядов V много меньше скорости света С. Если же поле,
действующее на заряд q, создается системой зарядов, имеющей характерный размер
/, закон Кулона применим, если расстояние от заряда ддо этой системы много
1 С
меньше, чем /—.
V
8
Таким образом, для того, чтобы подсчитать силу, действующую на
какой-либо заряд q,
находящийся в определенной
ни!кс А, нужно определить
ннпряженности полей,
in 1Д11П11СМЫХ в этой точке
теми другими источниками,
IlJlillll векторную сумму этих
напряженностей и умножить
полученную результирующую
напряженность на q.
Этот способ может
ноюншься слишком сложным
силу, действующую на заряд, можно найти, сложив силы, с которыми
действуют на него другие заряды. Действительно, в рамках электростатики
ни способы эквивалентны, так как все заряды можно считать
покоящимися. Однако, как показывает практика, даже в электростатике
in пользование понятия напряженности более удобно. Если же
рассматривать движущиеся заряды, то без введения понятия поля обойтись
невозможно. Поле - это не просто способ описания взаимодействия, а
фи шчсская реальность. В частности, поле обладает энергией и импульсом,
шнорыс можно измерить.
В заключение необходимо отметить, что электрическое поле может
< о пинаться не только зарядами. Такие поля в дальнейшем будем называть
I ЮрОННИМИ.
1.3. Потенциал
Электрическое поле можно описать не только с помощью силовой
и< • юрной характеристики (напряженности), но и с помощью
шсргетической скалярной характеристики (потенциала). На находящийся в
1лек|ростатическом поле заряд действует сила. Поэтому при
перемещении заряда из точки (1) в точку (2) силы
।лек!росгатического поля совершают работу Af 2 , зависящую от поля
и ог величины перемещаемого заряда q. Разность потенциалов между
Н1чками 1 и 2 равна отношению этой работы к заряду
^(1) “ ^(2) “
и не зависит от величины перемещаемого заряда, а определяется
ifuiLKo полем. Единица измерения потенциала - Вольт.
9
Так как работа равна интегралу от силы по перемещению
(2)
д2 = f рл- ,
(О
а электростатическая сила равна произведению заряда на напряженность
Г = ?Е,
то, подставив два эти выражения в определение разности потенциалов,
получаем связь между разностью потенциалов и напряженностью
поля:
(2)
J tfEJr (2)
^(i) ~ ^(2) = ~ = f EJr .
q (I)
Как доказывается в курсе математики, эта формула эквивалентна тому, что
напряженность есть градиент от потенциала, взятый со знаком минус:
Г V7 д<р д(р д<р
Е = -V (р =----— е.----—ег-----— е3.
дх ду cz
В одномерном случае, т.е. если напряженность во всех точках
координатной оси направлена по этой оси, связь между
напряженностью и потенциалом принимает простой вид:
d(p
(2)
^(1) “ <Р(2) — f Edx ;
(i >
Потенциалу можно определить как отношение потенциальной
энергии, которой обладает заряд в данной точке электростатического поля,
к величине этого заряда. Если заряд переместить из точки с потенциалом
dx
(р j в точку с потенциалом у 2 , то его потенциальная энергия изменится
на (?(у2 — У|). В соответствии с законом сохранения энергии это
означает, что при этом либо произойдет изменение какой-то другой
энергии, либо будет совершена определенная работа.
Связь между напряженностью и потенциалом такая же, как между
силой и потенциальной энергией. При изучении механики подробно
объяснялось, что потенциальная энергия определена с точностью до
произвольной постоянной, так как имеет смысл говорить только о разности
потенциальных энергий между двумя точками пространства. Аналогично
обстоит дело и с потенциалом - потенциал определен с точностью до
постоянной величины, одинаковой для всех точек пространства, и
физический смысл имеет только разность потенциалов. Однако часто
говорят просто о потенциале в данной точке. При этом всегда
подразумевают, что потенциал в какой-то определенной точке имеет
ю
Отредактировал и опубликовал на сайте : И Е $ $ 1 ( Н И $ О N )
пнрсделсииое значение. Часто (но не всегда) потенциал в бесконечно
у ли пенной точке принимают равным нулю.
Гели результирующее поле образовано наложением нескольких
полей, то, согласно принципу суперпозиции, результирующая
напряженность равна векторной сумме напряженностей каждого поля:
Е = Efl + Efr + • • •
Пунь в точке (2) потенциал выбран равным нулю. Тогда из очевидных
puneilClB
(2) (2)
0(П = 0(1) - 0(2) = / EJr = J (Ео + Ел + .--yr =
(i) О)
(2) (2)
= f Eoi7r + f Ел<7г + ••• = (pXa +
(О
L ЛСДуСГ, ЧТО
шнснциал в
IIIН>И (ВОЛЬНОЙ
очке равен
< умме
шмгпциалов
пег к полей,
nflpu (уюших
ре jyji ьтирующее
пиле
Докажем, |
•пн
hick1 ростатическ
or поле
нокгпциально,
। 0. разность
шненциалов
между точками
(I) и (2) не
111 ЛИСИТ от
। риск гории, по которой происходит перемещение из одной точки в другую.
I ели поле создается только одним точечным зарядом Q, то эта разность
но1спциалов равна
0(1) ~ 0(2) ~
(2) (2) О г
/EJr= f -
О) О) 4лгг-0г2 г
Q (|) rdr
4тге0 (о г3
11
Скалярное произведение rdr = |r|-|jr|‘COS« равно г-dr - произведению
расстояния г до заряда на приращение этого расстояния dr (Рис. 3).
Заменяя Г Jr на г • dr, получаем
Q &)rdr
«’(I) - <Р(2> = =~л---- J ~Г =
4л-£0 (1) г3
4^0(i) г2 4^0 V б г2)
Это означает, что разность потенциалов зависит только от расстояний б и
г2, на которых точки (1) и (2) находятся от заряда Q, и не зависит от
траектории, по которой происходит перемещение из точки (1) в точку (2).
Из полученного соотношения следует, что если потенциал в бесконечно
удаленной точке, т.е. при г = со, считать равным нулю, то потенциал
поля точечного заряда равен
4
Потенциальность электростатического поля доказана для одного точечного
заряда, но из принципа суперпозиции с очевидностью следует
потенциальность электростатического поля для любой произвольной
системы неподвижных зарядов.
В курсе механики доказывалось, что утверждение о независимости
работы от траектории эквивалентно утверждению о том, что работа по
замкнутому контуру равна нулю. Совершенно аналогично из
независимости разности потенциалов от траектории следует, что интеграл
по замкнутому контуру от напряженности электростатического поля равен
нулю:
<fEJr = 0.
Необходимо подчеркнуть, что равенство нулю интеграла от
напряженности по замкнутому контуру доказано с использованием закона
Кулона, т. е. для полей, создаваемых неподвижными зарядами. Для
неэлектростатических полей это утверждение становится неверным.
1.4. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
Для наглядного изображения электрических полей часто рисуют
силовые линии. Силовая линия — это линия, касательная к которой в
каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности в
этой точке. Очевидно, что силовые линии не могут пересекаться: в таком
случае в точке пересечения напряженность была бы направлена сразу в две
стороны, что абсурдно. Можно доказать, что силовые линии могут и
12
ын шьем Друг друга. В вакууме электрические силовые линии начинаются
и ииашчинаются либо на заряженных телах, либо в бесконечности (Рис. 4).
Экви потенциальной поверхностью называется такая поверх-
ипс нн все точки которой обладают одним и тем же значением
Силовые линии
точечного заряда
Силовые линии
разноименных зарядов
Рис. 4
пн । еи циала. Так же как и силовых линий, эквипотенциальных
нопгрхностей может быть построено бесконечно много. Так как все точки
13
эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал,
перемещение заряда по этой поверхности требует нулевой работы (работа
пропорциональна разности потенциалов). Но работа пропорциональна
косинусу угла между перемещением и силой, поэтому сила, а значит и
напряженность, всегда направлена под углом 90° к эквипотенциальной
поверхности. Таким образом, эквипотенциальные поверхности всегда
перпендикулярны силовым линиям (Рис. 5).
1.5. Теорема Гау сса
Для напряженности электрического поля выполняется теорема
Гаусса. Хотя мы докажем ее на основе закона Кулона, эта теорема
справедлива в самом общем случае, т. е. для электрических полей любой
природы, а не только электростатических.
Вначале определим новую величину. Потоком вектора напря-
женности электрического поля Е через поверхность S называется
величина N, равная
N - $EndS = f Е cosadS ,
где Е„ - проекция вектора Е
на направление нормали к
JT поверхности. Эту формулу
можно пояснить следующим
образом (Рис. 6). Чтобы
вычислить поток вектора
напряженности через
поверхность S’, необходимо
разбить эту поверхность на
малые участки площадью dS ;
в пределах каждого такого
участка можно считать, что
вектор Е имеет одно и то же значение. Определяется Еп=Е COS а -
проекция вектора Е на нормаль п, и площадь каждого участка
умножается на Еп. Получившаяся величина EndS есть dN - поток
вектора напряженности через малый участок dS. Поток через всю
поверхность 5 есть сумма потоков через все ее малые участки:
Эту формулу можно записать как
N=fEJS,
5
14
Отредактировал и опубликовал на сайте: И Е $ $ 1 ( Н И S О N )
mmi i4 in mop dS = n-dS, величина которого равна площади dS у а
iinupiiiiJieiiHC совпадает с направлением единичного вектора нормали П.
()ки пинается, поток вектора напряженности через любую замкнутую
пннерхпосгь определяется только суммарным зарядом, находящимся
ину।рн ее, независимо от того, какие процессы происходят внутри этой
нош pxuociH (теорема Гаусса). Докажем ее.
Проведем вокруг точечного заряда Q сферу радиуса центр
ынорой совпадает с точечным зарядом (Рис. 7а). В каждой точке этой
Рис. 7
। ферм вектор напряженности равен
1 4я,б,0/?12
и направлен перпендикулярно поверхности сферы. Следовательно, поток
in к гора напряженности через сферу есть
w = 4 g-7S| = —------------------4 dsx,
s, 4 4пе „Я/ s,
। де интегрирование проводится по всей поверхности сферы. Очевидно, что
| tZS’j - это площадь поверхности сферы, равная 4 71 /?2 ; подставляя это в
последнюю формулу, получаем, что поток через выбранную сферу равен
W ------------4л- Я2 = — .
4X£QR? £q
Пусть теперь заряд окружен произвольной поверхностью S’ и
MICMCHT ее dS выделяется тем же пучком линий, что и элемент
первоначальной сферической поверхности dSx (Рис. 76). Площадь dS
г ня шна с площадью dS} соотношением
15
dS = dS„
Kf COS (7
вектор напряженности в этом месте по модулю равен -—- и
42
составляет угол Ct с нормалью. Следовательно, поток вектора
напряженности через элемент dSx равен
г Q R2 ,с QdS}
Е cosa • dS =-----—------cos а------------dS} = —-----1—,
4я-£07?2 /Z^cosof 47Г£0/?2
т.е. точно равен потоку через элемент JS,. Поэтому полный поток через
всю произвольную замкнутую поверхность S точно такой же, как и через
Рис. 8
первоначальную
сферическую
поверхность, т.е. равен
Q
---. Поток вектора
напряженности от
точечного заряда через
замкнутую поверхность
равен нулю, если заряд
лежит вне этой
поверхности.
Действительно, пучок
касательных,
проведенных от заряда, делит поверхность на две части - S1 и S’" (Рис. 8).
Потоки через эти поверхности равны по величине, но имеют разные знаки
(т.к. нормали направлены в разные стороны), поэтому полный поток через
всю поверхность равен нулю.
Мы получили, что поток вектора напряженности электрического
поля от одного точечного заряда, проходящий через любую замкнутую
поверхность, пропорционален величине этого заряда, если заряд находится
внутри поверхности, и равен нулю, если заряд вне поверхности. Но любая
система зарядов может быть представлена как совокупность точечных
зарядов; поле, создаваемое системой зарядов, есть сумма полей каждого
заряда. Итак, доказана теорема Гаусса: поток вектора напряженности
электрического поля через произвольную замкнутую поверхность
равен сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности,
разделенной на б'о :
1б
E^/S =
S £()
I тс раз подчеркнем, что теорема Гаусса, хотя и получена нами из
пикши Кулона, имеет самый общий характер и справедлива всегда, а не
и» нм» для электростатических полей.
1.6. Поле заряженной сферы, нити и плоскости
Равномерно заряженная сфера. Проведем вокруг заряженной
фгры радиуса R сферическую поверхность радиуса г с центром, со-
И11ИД111О1ЦСМ с центром сферы (Рис. 9). Из соображений симметрии
» п ипдпо, что вектор напряженности поля Е в произвольной точке сферы
’|и*Н1 на прямой, соединяющий эту точку и центр, т. е. совпадает с
ши Мышлением нормали. Из симметрии также очевидно, что величина
напряженности одна и та же во всех точках сферической поверхности.
Пи миму ноток вектора через сферическую поверхность равен
пром снедению Е на площадь сферической поверхности:
N = Е -4яг2.
II с илу 1еоремы Гаусса этот поток пропорционален суммарному заряду,
ни чинящемуся внутри сферической поверхности.
I ели сферическая поверхность имеет радиус больший, чем радиус
щряженной сферы, то находящийся внутри заряд есть, очевидно, заряд
(пряженной сферы Q. Поэтому в этом случае по теореме Гаусса поток
рНШ'Н
17
Е • 4яг2 = —
откуда напряженность поля равна
Е = — ------—, если r>R
г2
Если же сферическая поверхность лежит внутри заряженной сферы,
то заряд внутри этой сферической поверхности равен нулю, следовательно
напряженность равна нулю:
£" = 0, если r<R.
Итак, напряженность поля заряженной сферы совпадает с на-
пряженностью поля точечного заряда вне заряженной сферы, и равна нулю
внутри заряженной сферы (Рис. 9).
Зная напряженность поля, создаваемого в каждой точке пространства
заряженной сферой, легко определить в каждой точке и потенциал по
формуле
<р(г) = \Edr
(потенциал на бесконечности принимаем равным нулю). Везде внутри
заряженной сферы потенциал имеет одно и то же значение, а вне сферы
совпадает с потенциалом точечного заряда
(р --------------, если г > /?,
4л-£Г0 Г
Равномерно заряженная нить. Проведем вокруг заряженной нити
цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с нитью (Рис. 10). Во
всех точках этой поверхности вектор Е направлен перпендикулярно
заряженной нити (это очевидно из соображений симметрии).
Следовательно, поток вектора Е через оба «донышка» цилиндрической
поверхности равен нулю, так как здесь векторы Е и П перпендикулярны
друг другу. На всей же боковой поверхности векторы Е и П Е направлены
параллельно, поэтому полный поток равен потоку только через боковую
поверхность:
N = Е S = Е -2лг1
где 5 площадь боковой поверхности, I высота цилиндра, г - радиус
цилиндра. По теореме Гаусса поток этот равен
Отредактировал и опубликовал на сайте : П Е $ $ 1 [ Н И $ О N )
I м Г - линейная плотность заряда
ни hi (г. е. величина заряда,
при годящаяся на единицу длины
ин । и) 11риравнивая, получаем
т I
^0
и । и уди следует, что напряженность
• нм рнчсского поля заряженной
пн । и прямо пропорциональна
iiiiiHiiioii плотности заряда г и
। Мри । но пропорциональна
pH' । юянию до нити г:
Е = —-------.
Равномерно
и icivKocib. Проведем
чп кую поверхность,
заряженная
цилиндри-
ось
мойрой
перпендикулярна
шрижспной
и и к кости
(hie. П). Из
I ИММСфИИ
1 ’•ГДуСТ, что
нгмор Е
нппранлен пср-
III иднкулярно
|||| 1ЯЖСННОЙ
плоскости.
Пи ному поток
игмора
напряженности
•irpci боковую
ппперхность
цилиндра равен
19
нулю; весь поток через цилиндрическую поверхность складывается только
из потоков через «донышки» цилиндра.
Поток через одно «донышко» равен ES, где 5 - площадь «до-
нышка». Полный поток через всю цилиндрическую поверхность равен
потоку через оба «донышка»:
N = 2ES. I
По теореме Гаусса этот поток пропорционален заряду, находящемуся
внутри цилиндрической поверхности:
где а - поверхностная получаем дг = б_= 0 0 плотность заряда на плоскости. Приравнивая, Е = 2е0
Таким образом, напряженность поля, создаваемого равномерно
заряженной плоскостью, пропорциональна поверхностной плотности
заряда (У и не зависит от расстояния до плоскости.
1.7. Резюме
На неподвижный заряд q, находящийся в электрическом поле
напряженностью Е, действует сила, равная произведению заряда на
напряженность:
F = <?Е
Электрическое поле может создаваться другими неподвижными зарядами,
такое поле называется электростатическим. Напряженность поля,
создаваемого точечным неподвижным зарядом Q в произвольной точке,
пропорциональна этому заряду и обратно пропорциональна квадрату
расстояния:
где г - радиус-вектор, проведенный от заряда Q в эту точку. Отсюда
следует, что сила, с которой заряд Q действует на заряд q, находящийся в
этой точке, равна
f = ,Е = _!_eqM
4ЯГ£\) Г2 V г )
(закон Кулона). Если имеется несколько зарядов, то результирующая
напряженность равна сумме напряженностей, создаваемых каждым
зарядом.
20
Ри i кость потенциалов между точками (1) и (2) есть
^12
^(1) - ^(2) - "у
। ,1 1,2 - работа сил электростатического поля по перемещению заряда q
hi ючки (I) в точку (2), откуда получается связь между напряженностью и
инн нтниюм:
(2)
J (!)
<*>() - ^(2) = —--------= jEt/r.
q (i)
ни формула эквивалентна тому, что напряженность есть градиент от
нон нцнала, взятый со знаком минус:
F- --^-е --^-е
— —V (D — Ci Vi “ч •
дх ду dz
II одномерном случае, т.е. если напряженность во всех точках
йннрли каткой оси направлена по этой оси, связь между напряженностью и
in и гн диплом принимает простой вид:
(2)
<P(v> -^(2) = I Edx-y
(1)
1Ьиснимал поля точечного заряда равен
d(p
dx
P(r) = ---------•
47l£^r
I ihh снимал на бесконечности принят равным нулю).
hi шинный системой зарядов, равен сумме потенциалов,
йиадым зарядом.
Для вектора напряженности электрического поля
Потенциал,
создаваемых
выполняется
fi upeMU Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через
пр* пинольную замкнутую поверхность равен сумме зарядов, находящихся
hiiv।|>н этой поверхности, разделенной на £0 :
<fEJS = —
21
2. Электростатика в веществе
По своей способности проводить электрический ток все обычные
вещества могут быть разделены на три большие группы: проводники,
диэлектрики и занимающие промежуточное положение между ними
полупроводники. Отношение проводимостей типичного металла и
типичного диэлектрика чрезвычайно велико — оно составляет порядка
1021, т. е. примерно такое же громадное, как отношение расстояния от
Солнца до Земли к размеру атома, поэтому будем считать, что ток через
диэлектрики вообще течь не может. В курсе «Строение вещества»
объясняется, почему одни вещества являются проводниками, а другие —
диэлектриками.
2.1. Проводники
Проводниками называются вещества, хорошо проводящие
электрический ток. Проводники обладают этим свойством, так как
содержат свободные электрические заряды - заряженные частицы,
которые могут легко перемещаться внутри проводника под действием
электрического поля. Наиболее важные и распространенные проводники
- металлы.
Металлы в твердом состоянии представляют собой громадное
количество ионов, достаточно жестко связанных между собой и поэтому
практически неподвижных (ионы могут лишь колебаться относительно
положения равновесия). На каждый ион приходится приблизительно один
свободный электрон, т. е. электрон, который способен перемещаться
внутри металла, но практически не может выйти в окружающее
пространство.
Рассмотрим однородный проводник (для неоднородного дело
обстоит несколько сложнее). Если поместить проводник в постоянное
во времени внешнее электростатическое поле, то везде внутри
проводника напряженность поля установится равной нулю. Понять это
легко: если бы в какой-то точке внутри проводника напряженность поля
отличалась от нуля, то имеющиеся в этой точке проводника свободные
заряды все время бы ускорялись под действием поля, увеличивая свою
энергию, что невозможно.
Так как напряженность поля внутри проводника равна нулю, то
разность потенциалов между любыми точками проводника равна
нулю, или, что то же самое, все точки проводника обладают
одинаковым потенциалом. В частности, поверхность проводника имеет
один и тот же потенциал, значит у поверхности проводника вектор
напряженности направлен перпендикулярно ей.
22
Отредактировал и опубликовал на сайте : Р R Е S S I ( Н Е R S О N j
В условиях электростатики объемная плотность заряда внутри
и|М1пп/111икн везде равна нулю. Если бы в какой-то точке проводника она
..I iiPiNJincb от нуля, то по теореме Гаусса отличалась бы от нуля и
жснпость поля, что, как только что объяснялось, невозможно.
1еперь можно понять, что происходит с металлом, помещенным в
• им рос । этическое поле. Очень быстро свободные носители
'Н |п распределяются так, чтобы поле внутри стало равным нулю. На
in ни рх пости концентрируются заряды, которые «автоматически»
р и нредсляются так, чтобы поле внутри проводника отсутствовало.
11счто подобное происходит, если проводнику сообщить избыточный
ь'|1нд Уют заряд растекается по поверхности проводника так, чтобы поле
ипугрп стало равным нулю. Разумеется, внутри проводник остается
ш Игральным.
2.2. Диэлектрики
Диэлектриками называются вещества, не проводящие элек-
|||цчгский ток. Они не содержат свободных зарядов, и внутри ди-
пгмрпка, помещенного в электростатическое поле, напряженность не
II IHIIH нулю.
Для того, чтобы
нпрсдслить поле внутри
in ин'кгрика, необходимо
ушнпгь, как он устроен. Для
пик) потребуется новое
цини гие - диполь.
• н'мричсским диполем
ini н.1иастся система двух
||||н|д<ж, равных по величине, но
piiiiiMX знаков. Можно доказать,
•пн напряженность поля диполя на больших расстояниях г от него равна
Е = 1 Г3<РГ> -Е-I,
4тг^0 L г5 г3 J
|дс р дипольный момент (произведение заряда q на радиус-вектор /,
приведенный от отрицательного заряда к положительному); г- радиус-
III'мор, проведенный от диполя в точку наблюдения (Рис. 12).
Если диполь поместить в однородное электрическое поле, то
|уммарная сила, действующая на него, будет равна нулю, т.к. силы,
нсПовующие на положительный и отрицательный заряды, равны по
in иимине и противоположны по направлению. Но суммарный момент сил,
23
действующих на диполь, не равен нулю, поэтому силы поля стремятся
диполь развернуть.
Все диэлектрики можно разделить на полярные и неполярные. В
полярных диэлектриках каждая молекула, являясь в целом электрически
нейтральной, представляет собой маленький электрический диполь и
обладает каким-то дипольным моментом. Во многих диэлектриках в
отсутствии внешнего поля все молекулы ориентированы хаотически, и
суммарный дипольный момент всех молекул, находящихся в единице
объема, равен нулю. Если же внести полярный диэлектрик в электрическое
поле, то ориентация диполей будет уже не столь хаотичной, так как ка-
ждый диполь немного поворачивается. Таким образом, дипольный момент
единицы объема полярного диэлектрика, помещенного в поле, не равен
нулю.
В неполярных диэлектриках дипольный момент каждой молекулы
равен нулю, значит и дипольный момент единицы объема в отсутствии
поля равен нулю. Если же неполярный диэлектрик поместить во внешнее
поле, то под действием этого поля электроны каждой молекулы немного
сместятся в одну сторону, а протоны в другую. В результате каждая
молекула приобретает дипольный момент, и дипольный момент единицы
объема становится отличным от нуля. (Существуют диэлектрики, у
которых дипольный момент единицы объема не равен нулю и при
отсутствии внешнего поля. Они называются сегнетоэлектриками и в
дальнейшем рассматриваться не будут).
Итак, диэлектрик, помещенный в электростатическое поле,
приобретает дипольный момент, а это значит, что на концах диэлектрика
появляются заряды. Эти заряды называются поляризационными, и их
невозможно отделить от диэлектрика.
2.3. Поверхностная плотность
поляризационного заряда диэлектрика
Введем новую величину, называемою поляризацией диэлектрика.
Она равна отношению суммарного дипольного момента в некотором
объеме к величине этого объема:
Ер
р=-е—.
V
Эксперименты и расчеты показывают, что для многих случаев (а другие
мы рассматривать не будем) поляризация Р диэлектрика
пропорциональна напряженности поля Евн внутри диэлектрика:
Р = X
24
i n f - ко 1<|)фииис111 пропорциональности, зависящий от диэлектрики
и ни ii.iiinvMi.ih диэлек! рической восприимчивостью. Здесь и и
ы п.ш Ник м нод напряженностью поля внутри диэлектрика EW1 и
oiiiJiiiiiriHMMH величинами мы будем понимать напряженность,
। pi iiirnuyio нс) малому, но содержащему много атомов объему вещества,
ни । срссуясь микроскопическими вариациями напряженности,
им П1ПНЫМИ с молекулярным строением вещества.
(>прсдслим связь между
III И» рдНОСПЮЙ плотностью
нн>ц|р1!111Ц||О11111»1Х зарядов О’ и
ни iHpii нишей Р. Пусть диэлектрик в
фирме призмы с ребром L и
н П111Н1ДМО основания 5* находится в
и 111ирод||ом внешнем поле
|1л|||111)ксн!!()стью Е. Вектор
iiiHHipii шции Р направлен так же,
инк н пек юр Е и в общем случае
HiiniHcr угол <2 с нормалью к
Н1»||« рмпосги призмы.
Дипольный момент R всей
при «мы равен по модулю
нрпншедепию величины
in мири'анионного заряда на длину
при iMi.1 / (Рис. 13):
/
<-----------►
Рис. 13
R = oSL
Пн дипольный момент всей призмы есть произведение объема призмы на
шпнпьный момент единицы объема, т. е. на поляризацию:
R = VP = (SLcQ$a)P.
Прпрппнивая, получаем
oSL- PSLcvsa,
о । куда
СГ = PCOS6Z = Рп,
। д*‘ Рп - проекция вектора Р на нормаль П.
IIihk, поверхностная плотность поляризационного заряда диэлектрика,
находящегося в электрическом поле, равна нормальной составляющей его
пек юра поляризации. Учитывая связь между поляризацией Р и полем
ни у щи диэлектрика Еин
Р Z<^0
25
получаем связь между поверхностной плотностью поляризационного
заряда и полем внутри диэлектрика:
& = £bhCOS6Z.
2.4. Напряженность поля внутри диэлектрика
Пусть диэлектрик в виде бесконечного плоского слоя расположен в
однородном
электрическом поле так,
что его поверхность
перпендикулярна
вектору Е; другими
словами, диэлектрик в
точности заполняет
область между двумя
эквипотенциальными
поверхностями
однородного поля.
На верхней и
нижней поверхности
диэлектрика
образуются
поверхностные
поляризационные
заряды с плотностью (У
Выделим
рис 1д цилиндрическую
поверхность, ось
которой параллельна вектору Е (Рис. 14), и применим к ней теорему
Гаусса. Поток вектора Е через эту поверхность складывается из потоков
через верхнее и нижнее «донышко» (эти потоки, разумеется, имеют разные
знаки):
N = SE-SE^
По теореме Гаусса этот поток равен деленному на £0 суммарному заряду,
находящемуся внутри цилиндрической поверхности, т.е.
Приравнивая, получаем
26
Этредактировал и опубликовал на сайте: М Е S S I ( И Е И S О I )
— — E~ EBli,
I MHibiniiN установленную ранее связь между плотностью поля-
||||||||цк1!111ого заряда и напряженностью поля внутри диэлектрика
(inn /ц дпяя формула предыдущего параграфа), которая в данном случае
UMl »’| НМД
& = Х^о £вн
и мучаем
X ЕВн -Е - Евн,
и и уди выражаем напряженность поля внутри диэлектрика через
миприжснность внешнего поля:
Е =
1 + Z £
I к । ь буквой Е обозначена величина 1 + X* Эта величина называется
wi । н’мрической проницаемостью и ее численное значение зависит от
in ijivKi рика.
Мы вычислили напряженность поля внутри диэлектрика в частном
|учнс, Можно доказать следующий общий результат. Напряженность
ни in внутри диэлектрика в любой его точке в Е раз меньше, чем в
нкттсгвии диэлектрика, если диэлектрик заполняет всю область
Mi «му двумя эквипотенциальными поверхностями (если это условие
и» < нрапсдливо, то напряженность рассчитывается гораздо более сложным
аципом). В частности, если все пространство заполнено диэлектриком, то
нинрижснность поля в Е раз меньше, чем была бы в вакууме.
2.5. Вектор электрической индукции и теорема Гаусса
। hi него
При применении теоремы Гаусса к напряженности Е необходимо
учи 1ывать все заряды, свободные и поляризационные, находящиеся внутри
|пмк нугой поверхности S:
(jEt/S = ( 0Своб+Ргюл).
S Е
Пычислсние по этой теореме напряженности Е для диэлектрика произ-
пшн.ной формы неудобно. Дело в том, что входящий в правую часть
1Н11шризационный заряд зависит от того самого поля, напряженность
шиирого нужно найти, от формы диэлектрика и от выбора поверхности S’.
27
Можно доказать, что для вектора D, который по определению равен
D = Eq Евн+Р,
где Евн и Р - напряженность поля внутри диэлектрика и
поляризованность диэлектрика, теорема Гаусса имеет вид
^DdS = £ Ссвоб
S
т. е. поток вектора D через произвольную замкнутую поверхность
равен только суммарному свободному заряду, находящемуся внутри
этой поверхности. Вектор D называется вектором электрической
индукции (иногда используют эквивалентный термин «вектор
электрического смещения»). Именно независимость потока вектора
электрической индукции от поляризационного заряда во многом
обуславливает удобство использования вектора D.
Теорема Гаусса для вектора электрической индукции справедлива
всегда, т. е. для электрических полей любой природы, а не только
электростатических.
2.6. Граничные условия на границе раздела
диэлектриков
Выясним, как связаны между собой компоненты векторов D и Е по
разные стороны от границы раздела диэлектриков I и II. Для этого
рассмотрим сначала цилиндрическую поверхность пренебрежимо малой
высоты, оба «донышка» которой параллельны границе раздела и лежат по
разные стороны от нее (Рис. 15а).
По теореме Гаусса поток вектора D через всю цилиндрическую
поверхность S равен нулю, так как внутри нее есть только
поляризационные заряды. Поток через боковую поверхность пре-
небрежимо мал, так как пренебрежимо мала ее площадь, поэтому поток
вектора через нижнее «донышко» равен потоку через верхнее «донышко»:
D" S = D' S
Отсюда следует, что нормальные компоненты векторов электрической
индукции в граничащих диэлектриках равны друг другу:
D11 = D1
Рассмотрим теперь изображенный на рисунке маленький прямоугольный
замкнутый контур, стороны / которого параллельны границе раздела, а
ширина а много меньше / (Рис. 156). Ранее было указано (см. параграф
1.3), что интеграл по замкнутому контуру от напряженности равен нулю
(jErfr = O.
28
Д । я и юпрпжснного на рисунке контура этот интеграл равен разности
E"l = ElTd
I» ми ширина а пренебрежимо мала. Поэтому равны друг другу
мин iiiiinuibHue компоненты векторов напряженности электри-
м• kin <1 ноля в граничащих диэлектриках:
Рис. 15
2.7. Плоский конденсатор. Емкость
Плоский конденсатор — это две пластины, называемые обкладками,
|ин положенные на малом расстоянии друг от друга. Зазор между
"Пкиидками часто заполняют диэлектриком.
Пусть имеется конденсатор, площадь обкладки которого равна S,
рк стояние между обкладками свободный заряд на одной обкладке +Q,
й ни другой — Q (Рис. 16). Из теоремы Гаусса следует (вычисления
। niicpijjcHHO аналогичны расчету поля заряженной плоскости), что каждая
hi обкладок создает поле с электрической индукцией, численно равной
||||<|ининс поверхностной плотности заряда:
2 2S
29
Между обкладками векторы электрической индукции, создаваемые каждой
из обкладок, направлены в одну сторону, вне конденсатора векторы
индукции направлены в
противоположные стороны.
Поэтому результирующая
индукция отлична от нуля
D+ только внутри конденсатора.
» Очевидно, эта результирующая
индукция равна
а так как в данном случае
D = е0Е + soxE = е£0Е ,
то получаем, что
напряженность поля в
конденсаторе, заполненном
диэлектриком, равна
Е = _2_. S-.
£ £ 0 £ £ 0 S
Так как потенциал связан с напряженностью соотношением
то разность потенциалов между обкладками равна интегралу от на-
пряженности по координате, поэтому разность потенциалов между
обкладками конденсатора, называемая напряжением конденсатора, равна
A (D = и = Е (] =
££gS
Видно, что напряжение U пропорционально заряду Q и некоторому
коэффициенту, зависящему от геометрии конденсатора и диэлектрической
проницаемости диэлектрика. Отношение заряда конденсатора к его
напряжению
U
называется емкостью конденсатора. Емкость плоского конденсатора
равна
££0S
d
Единица измерения емкости — Фарада.
Отредактировал и опубликовал на сайте :PRESSI(HERSON )
2.8. Соединение конденсаторов
Параллельное соединение.
Рис. 17
• ihyjlii получаем, что емкость
Два конденсатора, параллельно
соединенные проводниками,
могут быть представлены как
один эквивалентный конденсатор
(Рис. 17). Определим его емкость.
Очевидно, что потенциалы обоих
конденсаторов равны, а
суммарный заряд равен сумме
зарядов каждого конденсатора
t/,=c/2=a0> о=&=а.
Но по определению емкости она
есть отношение заряда к напря-
жению
г _ Qo
t/o
эквивалентного конденсатора при
нириилельном соединении равна
г — + 4-
О. Л —— __ “ ~ "I .
и0 и0 и, и2
I лк кик С|= —, С2=—, то при параллельном соединении
к он к-и сатиров емкость эквивалентного конденсатора равна сумме
IMBUHчей:
Последовательное соединение. Разность потенциалов между
1НЧКНМИ А нВ (Рис. 18) равна
и Ц и U2 - соответствующие разности потенциалов для каждого
* • и» денсатора. Выразив разность потенциалов на каждом конденсаторе
ч» г*-1 его емкость, получим
||||1Я/|Ы на обоих конденсаторах равны друг другу и заряду эквивалентного
йопцснсатора:
31
Co — 01 — 02,
откуда следует, что при последовательном
соединении конденсаторов емкость
эквивалентного конденсатора определяется
из соотношения
1 1 1
— —-----1--
Со С| С2
2.9. Энергия конденсатора
Заряженный конденсатор обладает
определенной энергией. Для ее вычисления
Рис. 18 рассмотрим конденсатор, первоначально не
заряженный. При его зарядке заряд с одной
обкладки переходит на другую; разность потенциалов при этом конечно
увеличивается.
Обозначим через U(t) значение разности потенциалов в момент
времени t. Если при заряде малый заряд dQ(t) проходит между
обкладками, работа по перемещению этого заряда равна произведению
заряда на имеющуюся в этот момент разность потенциалов между
обкладками:
dA=U(t)dQ{t). I
Но Q(t) = CU(t) в любой момент времени, поэтому
6/0(0 = 6/[CC(0] = CJC/(r),
значит работа по перемещению малого заряда dQ равна
dA = UCdU
Полная работа, совершаемая при заряде конденсатора до потенциала U J
равна сумме элементарных работ, т.е. интегралу
и и CU1
А = jdA = jUCdU =
оо 2
Очевидно, что эта работа равна энергии заряженного конденсатора W.
Учитывая связь между емкостью, потенциалом и зарядом, вы-
ражение для энергии конденсатора можно записать в нескольких
эквивалентных формах:
ж=да=е^=е1
2 2 2С
32
2.10. Энергия электрического поля
11одсгавив выражение для емкости плоского конденсатора
с = g<c°5
d
я формулу для его энергии
и пучим, что энергия равна
2d 2 у а )\а ) 2
. V V и
I) = ££0------- - электрическая индукция, £=— - напряженность
d d
циня. I =Sd - объем между обкладками. Эта формула означает, что
>н< |» ня конденсатора пропорциональна его объему, умноженному на
w =—DE.
2
||»ч рсеультат не случаен: w есть плотность энергии электрического поля,
кик псргия конденсатора заключена в поле, которое имеется внутри
HMI >iy интерпретацию о локализации энергии конденсатора нельзя
№ lyuiiib в рамках электростатики. Однако электродинамика дает точный
ftiyui.iiii: плотность энергии электрического поля равна половине от
• * и Hipiidio произведения электрической индукции на напряженность:
w = —DE.
2
2Л1. Емкость и энергия заряженного проводника
I мкость проводника определяется как отношение заряда проводника
। in 11О1епциалу:
с=£
и
нннгпциал на бесконечности считается равным нулю). Энергия
KpHAciiiioio проводника подсчитывается точно так же, как и энергия
• »п н центра:
dA=UdQ = CUdU,
зз
и и
W = \dA-C\UdU =
о о
CU2
2
2Л2. Резюме
По своей способности проводить электрический ток все обычные
вещества можно разделить на проводники, диэлектрики и полупроводники.
Проводники могут проводить электрический ток, т.к. содержат свободные
заряды, способные двигаться внутри проводника под действием поля.
Напряженность поля и плотность заряда внутри однородного проводника,
помещенного во внешнее электростатическое поле, равна нулю; потенциал
всех точек проводника одинаков.
Диэлектрики не содержат свободных зарядов и не проводят
электрический ток. Напряженность электрического поля внутри
диэлектрика обычно в £ раз меньше, чем напряженность внешнего
электростатического поля, если диэлектрик заполняет всю область
пространства между двумя эквипотенциальными поверхностями (е -
диэлектрическая проницаемость данного диэлектрика). Это объясняется
тем, что под действием поля диэлектрик приобретает дипольный момент,
зависящий от величины поля. Отношение этого дипольного момента в
некотором объеме к величине этого объема называется поляризацией
диэлектрика Р, которая пропорциональна полю внутри диэлектрика
Р = (£ - l)fo ЕВн
Вектор электрической индукции равен
D — Eq Евн+Р,
в простых и наиболее часто встречающихся случаях
D — EEq ЕВн.
Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность
равен сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности
(теорема Гаусса для вектора электрической индукции):
<^DJS = £ рсво6
5
Емкость конденсатора равна отношению заряда конденсатора к
напряжению конденсатора:
V
и для плоского конденсатора равна
х-, _ ££
d ’
где 5 - площадь обкладки, d - расстояние между обкладками.
Отредактировал и опубликовал на сайте : И Е S $ 1 [ НЕ М О N )
11ри параллельном соединении конденсаторов емкость
шп1111ИЛС1пного конденсатора равна сумме емкостей:
Со — С} 4- С2,
при последовательном соединении конденсаторов емкость
ibiiiiiiiuiciiTHoro конденсатора определяется из соотношения
iiHju нм заряженного конденсатора
да =е£=с?
2 2 2С
)лсктрическое поле обладает энергией,
Плотность энергии
। и к |рического поля равна
w = -DE.
2
35
3. Постоянный электрический ток
3.1. Сила тока и плотность тока
Ток в проводнике возникает вследствие движения заряженн!
частиц. Сила тока равна производной по времени от суммарнс
заряда 0(Z), прошедшего через поперечное сечение проводника
моменту времени t:
dt
Единица измерения силы тока — Ампер.
Наряду с силой тока (часто силу тока называют просто током)
важное значение имеет плотность тока. Средняя по сечению плотность
тока равна отношению силы тока/к площади сечения проводника 5:
Однако в общем случае плотность тока может быть разной в разных точках
сечения. В этом случае ток равен интегралу от плотности тока по сечению.
3.2. Вектор плотности тока
dS
Очевидно, что плотность тока связана со
средней скоростью носителей заряда в данной точке
сечения. Скорость — векторная величина, и плотность
тока также характеризуется вектором; этот вектор
является обобщением понятия плотности тока и
называется вектором плотности тока. Если в
проводнике заряженные частицы имеют
концентрацию л, заряд е и среднюю скорость
то вектор плотности тока равен
Выделим в проводнике малую площадку dS (Рис. 19). Заряд,
прошедший через нее за время dt, равен
dq = jdSdt = j • coscr dS-dt,
тд& a - угол между вектором средней скорости зарядов и нормалью к
элементу поверхности dS. Заряд dQ, прошедший за время dt через вес
поперечное сечение проводника, равен сумме dq по всему сечению, т.е,
интегралу
36
dQ = [dq = f j • COS6Z • dSdt = (J j cos a dS)dt
s s s
I* и ши обе части этого выражения на dt, получим связь между током в
и|111||одникс, равным по определению dQ/dt, и плотностью тока в каждой
IK- сечения:
I - d£L = [jcosadS = Jj<s/S
dt s s
• помощью этого соотношения и учитывая приведенное выше выражение
ни пскюра плотности тока, можно вычислить ток, если известны заряд
и клей, их концентрация и средняя скорость:
1 = \envcp cos a dS
s
liiiiiiiiM формула имеет общий характер. Из нее следует, что сила тока
ЫП1НН1 и от направления. В частности, сила тока равна нулю в
•iiiipiiiiJieHHH, перпендикулярном направлению движения носителей заряда
ПК <os90° = 0). В дальнейшем мы всегда будем рассматривать ток в
|||||||1и|1лснии, совпадающем с направлением средней скорости носителей.
3.3. Закон Ома в дифференциальной форме
(’ила тока в проводнике определяется средней скоростью носителей
н||пиы. Если нет внешнего поля, то заряженные частицы движутся
• шннчсски и вектор средней скорости хаотического движения носителей
кри/ы V равен нулю, значит равна нулю и абсолютная величина этого
•» kiopd(|vf/7| = 0). Но скорость каждого заряда отлична от нуля, поэтому
> |мщ||я>1 абсолютная величина скорости электронов |уЦ не равна нулю.
При комнатной температуре она обычно составляет несколько километров
и । гкунду.
Важнейшими проводниками являются металлы. Их структуру можно
приближенно представить как жестко связанные между собой ионы,
иршующие кристаллическую решетку, и движущиеся между ионами
pi пачки электроны. В отсутствии внешнего поля электроны движугся
йdoHi'ino и их средняя скорость равна нулю.
Рассчитаем, чему равна средняя скорость электронов в поле с
инпряжснностью Е. Обозначим эту скорость Предположим, что
пт нс каждого столкновения с решеткой электрон отдает ей всю энергию,
полученную от электрического поля. Начало отсчета времени выберем в
MiiMCiii одного из столкновений электрона с решеткой. На электрон
к Hi । пуст сила
37
F-eE
(знак «минус» стоит потому, что заряд электрона е - отрицательный).
Из второго закона Ньютона
F = -еЕ = та
следует, что ускорение электрона равно
еЕ
а =----,
т
поэтому скорость электрона во все моменты времени между двум
столкновениями равна
еЕ
v£=v0+a/ = v0-----/,
т
где v0 - скорость, которую имел электрон до того, как его скорость начала
изменяться под действием поля.
Средняя скорость электронов равна (угловые скобки означаю)
усреднение)
где г - среднее время между столкновениями электронов с решеткой
z 1
(коэффициент — появляется в результате усреднения, так как скорость,
, 2
приобретаемая электроном под действием внешнего поля, линейно зависит
от времени). Но (v0) есть Ncp - средняя скорость электронов в начальный
момент - это средняя скорость электронов в отсутствии поля, равная нулю
Поэтому средняя скорость электронов, находящихся в поле Е, равна*
1 еЕ
^ср .Е “ ’
2 т
Зная среднюю скорость электронов, можно вычислить плотность тока:
2 т )
1 еиЕ
------Т
2 т
Мы получили, что плотность тока в каждой точке проводника пропорцио-
нальна напряженности поля в этой точке. При выводе этого соотношения
j = -envcp = -еп
считалось, что всю полученную от внешнего поля энергию носители
заряда передают решетке. Кроме того, использовались законы
классической механики, которые неприменимы для объяснения
микроскопических свойств твердых тел, в частности не позволяю)
Средняя скорость, которую приобретают электроны в металле при обычных полях, нс
более нескольких миллиметров в секунду. Эта скорость не имеет отношения к скорост
распространения электрического сигнала по проводнику (скорости света).
38
Отредактировал и опубликовал на сайте : Н Е $ $ I ( Н Е Н О N j
< иргдслить среднее время между столкновениями. Однако точные расчеты
И па псрименты подтверждают, что во многих случаях плотность тока
нриморцнональна напряженности поля:
j = <jE -
нп соотношение называется законом Ома в дифференциальной
фирме. Коэффициент пропорциональности сг называется проводимостью.
Прямо пропорциональная зависимость между плотностью тока и
и шрнженностью электрического поля с очень высокой точностью
•мнолнястся для металлов. Для других сред эта зависимость может быть
(buicc сложной.
Часто закон Ома в дифференциальной форме записывают в виде
j = -E
♦ » р - 1 / сг - удельное сопротивление проводника. Удельное сопроти-
• и ине мегаллов обычно линейно возрастает с увеличением температуры:
р = ро (1 + at),
• и гсмнсратура t берется в градусах Цельсия.
3.4. Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
kiKOH Ома в дифференциальной форме устанавливает связь между
•• инпостью тока и напряженностью поля в каждой точке проводника.
11п|н'дслим на основе этого закона ток через проводник. Будем считать, что
минпость тока во всех точках одного и того же сечения проводника
!• шилкова и равна силе тока, деленной на площадь сечения:
5
In мт Ома в дифференциальной форме запишем в виде
. - 7 р
pj = E, или р— = Е.
Пришнегрируем обе части последнего выражения по длине проводника /:
/ I /
\p-dl = [Edl, или
О 5 О
l\^dl = ‘\Edl,
о S о
кк кик ток I постоянный, следовательно, один и тот же по всей длине
нрпиодпика. Интеграл
39
определяется только геометрией проводника и его удельным со-
противлением, он называется сопротивлением проводника. Нетрудно
видеть, что если удельное сопротивление р и площадь сеченич
проводника 5 одинаковы по всей длине проводника, то сопротивление
проводника равно
Интеграл от напряженности по длине проводника
U = J Edl
о
называется напряжением. Поэтому закон Ома в интегральной форме
может быть сформулирован в следующем виде: произведение токя
через проводник на сопротивление проводника равно напряжению ня
концах проводника:
IR = U.
3.5. Напряжение. Электродвижущая сила
В чисто электростатических полях постоянный ток течь не может.
Однако, как мы знаем из опыта, постоянный ток возможен. Значит, могут
существовать поля, в которых напряженность поля имеет нс
электростатическую природу. Напряженность таких полей, называемых
сторонними, будем обозначать ЕСТОР. Очевидно, что напряженность
общего электрического поля есть сумма напряженностей
электростатического поля Естлт и Е^др^ поэтому напряжение между
точками (1) и (2) проводника, равное интегралу по длине от суммарной
напряженности
U — \Ecll = f(ECTAr + EcrOP^l 9
о о
можно представить как сумму интегралов
U = \ECTATdl + \ECTOPdl. I
о о
Как следует из электростатики, первый из этих интегралов есть разнос!ь
потенциалов между началом и концом участка проводника
40
I
jECTATdl = $>(0) — $?(/) = A (p -
о
11 in ci рал от напряженности стороннего (неэлектростатического) поля
и» *лу началом и концом проводника называется электродвижущей силой
i ). действующей на этом участке проводника
j^CTOP^ = & ’
о
Очевидно, ЭДС на участке численно равна работе, которую
ипсрптет стороннее (не электростатическое) поле по перемещению
шиичного заряда по этому участку проводнику.
Иногда сторонние электрические силы действуют не локально, а
вр» iy во всей цепи. С такой ЭДС на примере ЭДС индукции столкнемся
HHIAC.
Всякий реальный источник ЭДС, например, батарейка, может
•iVniaaib некоторым сопротивлением, его называют внутренним
impoi явлением. Во многих случаях можно считать, что реальная ЭДС
•кникалентна идеальной ЭДС (т. е. ЭДС без внутреннего сопротивления) и
I iiiipoi ивлению, включенному рядом с ЭДС последовательно (Рис. 20).
Итак, закон Ома в интегральной форме более детально фор-
шруется так: произведение силы тока в проводнике на его со-
lipin явление равно напряжению на его концах; напряжение есть
цмма разности потенциалов на концах проводника и действующей в
иропиднике электродвижущей силы:
(in л пен о строгому определению напряжения, величина его зависит от
пип. но какому контуру напряжение определяется. (На практике иногда
ипд напряжением понимают либо разность потенциалов на концах
нриподника, либо действующую в проводнике ЭДС).
41
3.6. Правила Кирхгофа
Правила Кирхгофа дают возможность рассчитать токи в pai
ветвленной цепи постоянного тока.
Первое правило Кирхгофа. Сумма токов, сходящихся в узле
цепи, равна нулю (Рис. 21):
Е4=0.
(знаки токов, текущих в узел и из него, считаются противоположными).
Доказательство. Заряд, принесенный за время / в узел всеми токами,
равен сумме зарядов, пришедших по каждому участку:
e(/) = Gi(') + C2(/)+e3(o-C4(/). |
Заряд, находящийся в узле, со временем не
меняется, поэтому
Рис. 21
dt
следовательно
dQ\ + dQi + <^С?з _ _ q
dt dt dt dt
т.е. сумма токов равна нулю:
Заметим, что первое правило Кирхгофа можно сформулировать и
в эквивалентной форме: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме
токов, вытекающих из него.
Второе правило Кирхгофа. Сумма ЭДС в произвольном
замкнутом контуре равна сумме произведений сил тока в каждом
участке на сопротивление этого участка:
Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый контур, например,
изображенный на Рис. 22 замкнутый контур 1-2-3-4-5-6-1. Напряжение п<»
этому контуру от точки 1 до точки 1 (через точки 2-3-4-5-6) равно сумме
напряжений на отдельных участках контура
Ц234561 =^12 + ^23 + ^34 +^45 + ^56 + ^41- I
Но по определению напряжения оно равно разности потенциалов пи
концах проводника и действующей в проводнике ЭДС:
^1234561 = ft “ W + £i + £2 • I
Приравнивая, получаем
6i
42
и опубликовал на сайте: Н Е S $ I ( И М О N )
Рис. 22
I hi иною закону Ома, напряжение на каждом участке равно произведению
Itiiui ни сопротивление (Ц2 = ^Лз = Л^2 и так далее); произведя в
«пн исднем выражении эти замены, получаем второе правило Кирхгофа:
ЕЕ = Е7Л
11рименение правил Кирхгофа позволяет рассчитать все силы тока в
н-мс постоянного тока любой сложности. При этом необходимо
e lh । ковать в определенном порядке:
Произвольно расставить стрелки, обозначающие направления всех
Н*М!И 11а каждом неразвствленном участке ставится только одна стрелка.
1ш 1исать первое правило Кирхгофа для всех узлов схемы, кроме одного.
• йшисать второе правило Кирхгофа для нужного количества замкнутых
|нп гуров (полное число уравнений должно быть равным числу всех
w< it шсстных токов). Если выбранное направление обхода контура
•инидаст с выбранным направлением тока, то соответствующее
циштсдение IR берется со знаком +, если нет, то со знаком —. Если по
мприилснию обхода контура приходится проходить сквозь ЭДС от минуса
» ниюсу, то ЭДС входит со знаком +.
4 Ike ЭДС и все сопротивления должны входить в систему уравнений.
tn при решении системы уравнений для каких-то токов получились
•||шца1сльные значения, это значит, что ток течет в направлении,
JipiiiiioM выбранному.
43
3.7. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
За малое время dt между точками (1) и (2) участка цепи протекаем
малый заряд dQ. Работа, которую совершают при этом силы поля на i
этим зарядом, равна интегралу от действующей на заряд силы пи|
перемещению, следовательно равна произведению напряжении,
имеющегося в этот момент, на величину протекающего заряда:
(2) (2)
dA= \(dQ-E)dl=dQ- \Edl = dQU.
(О (О
Эта работа может расходоваться по-разному, например на излучение
электромагнитных волн (антенны), на совершение проводником
механической работы (электродвигатели), на химические процессы
(электролиз, гальваника), на нагревание и т.д. Мощность, развиваемая при 1
этом на участке цепи, равна отношению этой работы к интервалу времени
dt:
dt dt
u dQ
Ho---- есть сила тока в цепи, следовательно мощность, развиваемая ни
dt
участке цепи, равна произведению силы тока в этом участке им
напряжение на этом участке:
P = IU.
Если же всю полученную от поля энергию электроны передаю!I
атомной решетке (а именно из-за этого проводники обладаю!
сопротивлением, см. параграф 3.3), то на выделение тепла идет ься
мощность. Поэтому учитывая, что в этом случае по закону Ома U = 1R,
получаем закон Джоуля-Ленца: развиваемая на участке цепи тепловая
мощность равна
Р = I2R или
а выделяющееся при этом за время
интегралу
$I2Rdt или
о
Отношение тепловой мощности ДР, выделяющейся в некотором
объеме, к величине этого объема А К, называется удельной тепловой
мощностью тока р; из закона Джоуля-Ленца следует, что она равна
t количество теплоты равш»
ДР /2 -А7?
АГ
» hi п.| пая, что сила тока равна произведению плотности тока на площадь,
I jS. объем равен произведению площади на длину, A/ = 5-AZ, а
_ Р * Д/
«»11|кмпиление А/? = —- , получаем
(yS)2'^
„ =---------£—= f-p -
р s-д/
hi.ан Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: удельная тепловая
Momiiocib тока равна произведению квадрата плотности тока на
к и и.нос сопротивление, нли произведению проводимости на квадрат
iHiipuweiiHOCTH
Р = j2P = &Е2
ним лсдисе вытекает из связи между плотностью тока и напряженностью,
м hi приливаемой законом Ома в дифференциальной форме, см. параграф
1 I)
3.8. Последовательное и параллельное соединение
сопротивлений
Известные формулы для расчета эквивалентных сопротивлений при
ьлроллельном и
йп исдовательном соединении
цмнсдсм с использованием
1||||11нл Кирхгофа.
Параллельное соединение
|Гш 23). По первому правилу
► npxi офа
4 пюрому правилу Кирхгофа
♦ /j/?i , Е ~ ^Ri’
11 шпя н и три уравнения с тремя неизвестными, получаем
1
Ri
45
44
i _l 1
Rq Rl R2 I
Другими словами, ток I такой, как если бы вместо параллельно
включенных сопротивлений и R2 имелось бы одно сопротивление Д,,
определяемое последней формулой.
Последовательное соединение (Рис. 24). По второму правилу
----------1 — I I — J Кирхгофа
Я| Ri IR' + IR2 = £ I
откуда ток в цепи равен
R\ + ^2 J
ч--------------------- Значит, дня
Рис. 24
ния эквивалентны одному, равному их сумме:
7?о - Д + R2.
последовательно
включенных сопротивле
3.9. Измерение тока и напряжения
Напряжение. Как отмечалось в конце параграфа 3.5, часто под
напряжением при его измерении понимают разность потенциалов. Сначала
рассчитаем, чему в действительности равна разность потенциалов ил
концах сопротивления R (Рис. 25). По второму правилу Кирхгофа
7г + /Я = £,
откуда
8
Рис. 25
и опубликовал на сайте: Р R Е S S I ( Н Е R S О N )
|1>ч1.1Мсгр подключают параллельно участку, на котором измеряют
ыпнрижсние. Вольтметр обладает внутренним сопротивлением Rv,
I'HinMy после его подключения ток через сопротивление R немного
к iM( ияегся и становится равным
( > довательно, после подключения вольтметра разность потенциалов
। *ду точками (1) и (2) принимает другое значение:
lh сравнения истиной разности потенциалов (без вольтметра) с той,
• пирую показывает вольтметр, видно, что они будут равными, только
й чн внутреннее сопротивление вольтметра очень велико. Поэтому
1М1ППЫ1ЫЙ вольтметр должен обладать бесконечно большим внутренним
•ц|ро|ивлением.
Ток. Амперметр включают последовательно с сопротивлением, ток
b'pri которое необходимо измерить (Рис. 26). Без амперметра ток в цепи
pH Ill'll
R
При подключении амперметра ток равен,
• . Ra - внутреннее сопротивление
•мпсрмстра.
Hi сравнения двух этих величин
в» по, что идеальный амперметр
Финкен иметь бесконечно маленькое
внутреннее сопротивление.
Н< И-1Я включать амперметр
пл|шллельно нагрузке! При таком
ни точении через амперметр можег
hi печь очень большой ток (т. к. сопротивление амперметра очень
...спькое) и амперметр может выйти из строя.
47
3.10. Резюме
Сила электрического тока равна производной по времени от заряд;!,
прошедшего через поперечное сечение проводника:
dt
Сила тока в простейшем случае равна произведению плотности тока j 11.1
площадь сечения S:
а в общем случае определяется соотношением
1=
где j - вектор плотности тока; равный произведению заряда свободною
носителя е на концентрацию носителей п и на их среднюю скорость чср:
j = ^vtp. I
Закон Ома в дифференциальной форме устанавливает связь между I
векторам плотности тока и напряженностью электрического поля:
где р - удельное сопротивление. Сопротивление однородного проводника
с постоянным по длине сечением равно
R
где S - площадь сечения, / - длина проводника.
Закон Ома в интегральной форме устанавливает связь между током,
сопротивлением и напряжением:
IR = U.
Напряжение есть сумма разности потенциалов на участке цепи и
электродвижущей силы на этом участке:
(на практике под напряжением иногда понимают либо разноси,
потенциалов, либо величину ЭДС).
Правила Кирхгофа позволяют рассчитать токи в разветвленной цени
Первое правило Кирхгофа: сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
£4=0. 1
Второе правило Кирхгофа: сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме
произведений силы тока в каждом участке на сопротивление этого участки
48
Мощность, развиваемая на участке цепи, равна произведению силы
ниш в этом участке на напряжение на этом участке:
P = IU.
11 ли же всю полученную от поля энергию электроны передают атомной
Р *шс1ке, то развиваемая на участке цепи тепловая мощность равна
и2
P = I2R или Р---------,
R
я выделяющееся при этом за время t количество теплоты равно интегралу
г / (72
или J—dt
о о R
I «икон Джоуля-Ленца).
Удельная тепловая мощность тока равна произведению квадрата
и нипости тока на удельное сопротивление, или произведению
приводимости на квадрат напряженности
Р = j2P - &Е2
I шм>н Джоуля-Ленца в дифференциальной форме).
49
4. Магнитное поле
4.1. Магнитная индукция. Сила Лоренца
Есть еще одна сила, которая может действовать на обладающую
зарядом частицу. Эту силу удобно описать, введя понятие магнитного
поля. Магнитное поле характеризуется векторной величиной, называемой
магнитной индукцией* В. Для магнитной индукции, так же как и для
напряженности электрического поля, выполняется принцип суперпозиции
- суммарная магнитная индукция в некоторой точке пространства есть
векторная сумма магнитных индукций отдельных полей.
Магнитное поле действует только на движущуюся частицу. Сила,
действующая на движущуюся в магнитном поле частицу,
пропорциональна заряду частицы и векторному произведению
скорости частицы v на магнитную индукцию В:
F = ?[vB].
Если имеется еще и электрическое поле с напряженностью Е, ю
общая сила, действующая на частицу, равна
F = <7E + qivB]
Эта сила называется силой Лоренца, однако в большинстве случаен
р, силой Лоренца называют только силу,
g обусловленную магнитным полем, т.с.
уД определяемую формулой F = ^[vB]-
I к—Направление этой силы
у } перпендикулярно направлению
k V скорости, направлению магнитной
индукции и определяется правилом
Рис. 27 левой руки (Рис. 27).
4.2. Закон Био-Савара-Лапласа
Откуда берется магнитное поле? Оказывается, оно может со
здаваться электрическим током. Соотношение, позволяющее в любон
точке пространства вычислить магнитную индукцию, создаваемую
произвольным постоянным током, называется законом Био-Саварп
Лапласа.
Это название закрепилось за величиной В по историческим причинам. Более
логичным было бы назвать эту величину напряженностью магнитного поля.
и опубликовал на сайте: Р R Е S S I ( Н Е R S О И )
Рис. 28
Рассмотрим произвольный тонкий провод, по которому идет ток I.
Г|1юбьем этот провод на бесконечно маленькие отрезки <71. Закон Био-
< инпра-Лапласа заключается в следующем:
М'ниитная индукция <7В, создаваемая в
ирои шольной точке А элементом тока <71, по
к и и>рому течет ток /, равна
4тг г3
। ц г - радиус-вектор, проведенный от элемента
Hiku (71 к этой точке (Рис.28). Коэффициент
пропорциональности численно равен 10‘7 Гн/м
4zr
II <ири на метр).
Вектор магнитной индукции <7В
пропорционален векторному произведению векторов
»Л it г, т.е. перпендикулярен им. Для определения
ниправления вектора магнитной индукции а
IH4UI горой точке полезно использовать правило
пурцвчика: направление вектора магнитной индукции
1он11|1дает с направлением конца рукоятки буравчика,
шшпчиваемого в направлении тока, если конец рукоятки буравчика
помещен в эту точку.
Для того, чтобы подсчитать магнитную индукцию, создаваемую всем
проводом с током, нужно просуммировать магнитные индукции,
hi мыкаемые каждым элементом тока. Если есть несколько проводов с
•пм1М, то результирующая магнитная индукция в точке А равна сумме
мп нигных индукций, создаваемых каждым из них.
4.3. Магнитная индукция прямого провода с током
Используя закон Био-Савара-Лапласа, найдем магнитную индукцию,
. «ндпнаемую в любой точке пространства бесконечным прямым проводом,
и»» которому течет ток I. Магнитная индукция, создаваемая произвольным
• icmchtom тока <71 в точке А (Рис. 29), направлена перпендикулярно
н ми-кости рисунка и по абсолютной величине равна
. . vdlsmB
l^l=F7—2 •
4л- г2
I инна отрезка dl связана с длиной радиус-вектора г соотношением
sm/7
51
где da - угол, под которым отрезок dl виден и i
произвольной точки А; длина вектора г связана с
расстоянием R от точки А до провода соот-
ношением
R
г —-----,
sin/7
Подставив два последних соотношения в заксм
Био-Савара-Лапласа, получаем
|б/в| = ~^sin/7-с/а. 1
4л- R
Для того, чтобы определить магнитную
индукцию, создаваемую всем прямым проводом с
током, необходимо учесть вклад всех
элементарных участков провода, т. е.
проинтегрировать это выражение по углу (и
7Г 7Г
пределах от---до —):
лг л_
В = \dB - f sin )3da = Г cosorda =-^-—(1 + 1)
R 4л R п_ 4л R
2 2
где учтено, что sin р = cos<7. Заметим, что с помощью подобного этому
выражения можно определить и магнитную индукцию, создаваемую
прямым током конечной длины - нужно лишь подставил,
соответствующие пределы интегрирования.
Итак, магнитная индукция, создаваемая бесконечным прямым
проводом с током, прямо пропорциональна силе тока и обратно про-
порциональна расстоянию до провода:
Рис. 30
в = I
2/r R
Для наглядного изображения
магнитного поля часто использую!
магнитные силовые линии - линии,
касательные к которым в каждой точке
совпадают с направлением магнитном
индукции (Рис. 30). Силовые линии
магнитного поля, создаваемо! В
постоянными токами, замкнуты.
4.4. Циркуляция магнитной индукции
Циркуляцией магнитной индукции В по замкнутому контуру/
ни пинается интеграл
7
Очинивается, что этот интеграл прямо зависит от величины суммарного
1<1ка, пронизывающего поверхность, натянутую на контур у. Если
мш нитное поле создается только токами, то циркуляция равна
умноженной на сумме токов, пронизывающих любую поверхность,
мп । яиутую на этот контур:
<}ВсЛ =
7
Докажем это для бесконечных прямых
niKDii. Рассмотрим сначала прямой ток и контур
ц виде окружности радиуса ,
перпендикулярной проводу, центр которой
< шшадает с проводом (Рис. 31). Очевидно, что в
каждой точке выбранного нами контура
иг к юры магнитной индукции Во и элемента
мпп ура <7!0 параллельны, поэтому
В0б/10 = BqcIIq
окр окр
Но магнитная индукция прямого тока равна
в, = *S._L
2л- Ro
но ному циркуляция равна
4 di0=4 <
окр ^71 7?q 2/Г окр
Ibiici рал 4^4 есть просто длина окру
окр
циркуляция вектора магнитной индукции по окружности равна
4 B0dl,=-^--2nR0 =
окр 2.71 Tip
Теперь рассмотрим контур, произвольная часть которого отличается
in окружности, но ток остается внутри контура (Рис. 32). Очевидно, что
/пиша элемента dl связана с длиной соответствующего элемента dlQ
окружности соотношением
о •
2тг7^, поэтому
53
dl= .
Recast?
Магнитная индукция в точке А равна по модулю
В =
2л R
и составляет угол (р вектором d\. Поэтому
Ро 1 V /?<7/0 >
2л RJ^RoCOSipj
Ao I
2я- Rq
Мы получили, что для любого элемента «не окружности» величина ВбЛ
равна соответствующего произведения B^dlQ для окружности, откуда
В<71 = Bdlcvscp =
•COS(P =
б770 — Вцс11ц.
следует, что циркуляция магнитной индукции для «не окружности» такая
же, как и для окружности, т.е. равна д/:
<fB<7l= B0dl0 = /V.
у окр
Если контур у не лежит в плоскости, перпендикулярной току, то любой
элемент бЛ можно разложить на составляющую бЛн перпендикулярную
току, и составляющую бЛ2, параллельную току. Произведение ВбЛ2 равно
нулю, так как угол между векторами В и бЛ2 равен 90°, поэтому для
контура, не перпендикулярного току, получается тот же самый результат.
54
Отредактировал и опубликовал на сайте : И $ $ I ( И И $ О N )
Если контур у пронизывается не одним, а несколькими токами, то в
• илу принципа суперпозиции на равных правах должен учитываться
каждый из этих токов. Значит, циркуляция вектора магнитной
индукции по произвольному замкнутому контуру равна умноженной
ни //0 сумме токов, охватываемых контуром интегрирования:
г
1сорсма о циркуляции магнитной индукции доказана для бесконечных
прямых токов. Можно доказать, что она справедлива для токов любой
формы.
4.5. Магнитное поле тороидальной катушки и
юленоида
Применим теорему о циркуляции магнитной индукции к то-
роидальной катушке - проводу с током, намотанному на тор (Рис. 33а).
Рис. 33
Проведем окружность радиуса /?, лежащую внутри тороида. Если витки
«'пушки плотно прилегают друг к другу, магнитную индукцию во всех
шчках выбранной окружности можно считать одинаковой и направленной
по касательной к окружности. Поэтому циркуляция магнитной индукции
равна в этом случае произведению модуля вектора В на длину окружности:
Bdl = В - ItcR
I Io но теореме о циркуляции она равна произведению /л 0 на сумму токов,
пронизывающих поверхность, натянутую на выбранную окружность:
В • 2лR = jUqNI ,
1де N - полное число витков катушки; отсюда находим магнитную
индукцию внутри катушки:
55
ТУ N
В = -------pQI.
2л R
Если радиус R очень большой по сравнению с радиусом витка, то
любой не очень протяженный участок катушки является просто прямой
катушкой - соленоидом (Рис. 33 б). Замечая, что
N
----= п
2л R
есть число витков, приходящихся на единицу длины, получаем, что
магнитная индукция внутри соленоида, в котором течет ток I, равна
В = /Лцп!
N
где ’ количество витков, приходящихся на единицу длины
соленоида, N - число виткков, I - длина соленоида,/ - ток, текущий по
проводу. Конечно, вектор В направлен по оси соленоида.
4.6. Действие магнитного поля на ток. Закон Ампера
Ток, текущий в проводнике, обусловлен движением зарядов. Если
проводник находится во внешнем магнитном поле, то на каждый заряд
действует сила Лоренца. Поэтому на находящийся в магнитном поле В
проводник действует сила, равная сумме сил Лоренца, действующих на
каждый заряд.
Очевидно, на элемент провода d\ действует сила б/F, равная
произведению числа носителей в нем dN на силу, действующую ни
каждый носитель:
где е - заряд каждого носителя тока, Ncp - средняя скорость носителей.
Число носителей dN равно произведению концентрации носителей п на
объем элемента провода S'dl (S - площадь сечения):
dN^nSdl.
Подставляя это выражение в предыдущую формулу для силы, получаем
dF = = c/Z[5(ew(p)B].
В круглых скобках - вектор плотности тока j, значит
c/F = dl[SjB ] = Se//[jB ].
Векторы сП и j лежат на одной прямой, поэтому в последнем выражении
их можно поменять местами, откуда
</F = Sj[<flB],
и учитывая, что 1 — SJ - ток равен произведению площади сечения на
плотность тока - получаем закон Ампера: в магнитном поле В сила,
(ействующая па элемент dl провода, по которому течет ток I, равна
dF = /[<ЛВ]-
Важный частный случай закона Ампера: если поле создается другим,
параллельным данному проводом (Рис. 34), в котором течет ток /, , то
t о щаваемая им магнитная индукция равна
в = ^А
2л R
и сила, действующая на элемент
п|м>нода длиной dl, по которому
1счетток /, равна по величине
dF = Idl • А = Ulji
2я R In R
(>дссь R - расстояние между
проводами). Применяя правило левой
руки видим, что параллельно
। снущие токи притягиваются.
4,7. Контур с током в однородном магнитном поле
Рассмотрим механические воздействия, оказываемые однородным
мш питным полем на замкнутый контур, по которому течет ток.
а) Докажем что сила, действующая на контур, равна нулю. По
впишу Ампера сила, действующая на элемент контура dl равна
dF = /[ЛВ].
I нлп, действующая на весь контур, равна сумме сил, действующих на все
। ас менты контура, т.е. равна интегралу
F = 4t/F = <Щ<71В]-
I лк как I и В есть константы, их можно вынести за знак интеграла, и
выражение для действующей на контур силы приобретает вид
Р = /[«<Л)В].
I Intel рал есть, очевидно, просто вектор, соединяющий начало и конец
йин । ура. Конечно, для замкнутого контура этот вектор равен нулю; из
>|(но сразу же следует, что сила, действующая на находящийся в
<» шородном магнитном поле замкнутый контур, равна нулю:
F = Z[OB] = O.
57
(При доказательстве использовалось то, что поле одинаково во всех
точках. Если поле неоднородно, то В нельзя выносить за знак интеграла и
сила может быть не равна нулю).
б) Момент сил, действующих на контур. Рассмотрим прямо
угольный контур (Рис. 35). Силы, действующие на стороны а, лежат и
плоскости контура и стремятся либо растянуть, либо сжать контур,
поэтому момент этих сил равен нулю. На каждую из сторон b действуем
сила F, которая в соответствии с законом Ампера равна F = 1ЪВ. Эти силы
равны по величине и направлены в противоположные стороны. Они
стремятся повернуть контур так, чтобы его плоскость стала
Рис. 35
перпендикулярна вектору магнитной индукции В. Следовательно, на
контур действует пара сил, значит момент сил равен удвоенному
произведению силы на плечо:
М = 2- IbB \ sin a—a | = I -ab* В sin а,
I 2 )
Но ab есть площадь контура 5, поэтому величина момента сил можщ
быть записана в виде ’
Л/= 752? sin а.
Момент М есть векторная величина, направленная так, как указано на
рисунке. Так как В тоже векторная величина, предыдущую формулу
можно записать в виде
м = [рв]
58
Отредактировал и опубликовал на сайте: Р И Е S S I ( Н Е И S О I )
I ле вектор Р = ISn называется магнитным моментом контура с током
(вектор П - нормаль к контуру; направление вектора п и направление тока
и контуре связаны правилом буравчика).
Итак, момент сил, действующий на находящийся в магнитном
ноле замкнутый контур, равен векторному произведению магнитного
момента контура и магнитной индукции
м =[РВ] = [пВ]/5.
Можно легко доказать, что эта формула справедлива не только для
прямоугольного контура, но и для контура произвольной формы. Для этого
нужно разбить произвольный контур на прямоугольные контуры,
ппределить момент сил, действующий на каждый из них, и вычислить
суммарный момент сил.
4.8. Магнитное поле в веществе
Если поместить вещество в магнитное поле с определенным
шнчснием магнитной индукции, то магнитная индукция внутри вещества
будет отличаться от этого значения. Упрощенно это объясняется тем, что
вследствие вращения электронов вокруг ядра каждый атом является
миленьким витком с током, поэтому каждый атом может обладать
hi личным от нуля магнитным моментом. Под действием внешнего
мшнитного поля магнитные моменты атомов определенным образом
ориентируются, что приводит к появлению дополнительного магнитного
поля. Суммарный магнитный момент I единицы объема вещества
ни пинается вектором намагничивания или намагниченностью.
Пусть магнитное поле создается некоторым током Z. Если в это поле
поместить вещество, то теорема о циркуляции вектора магнитной
индукции по произвольному контуру (Рис. 36) записывается в виде
1дссь 1т - токи, обусловленные внутриатомным движением, ^,1т=1м
сумма этих токов, пронизывающих поверхность, натянутую на контур
игнорирования. Так как магнитные моменты атомов ориентируются под
59
действием магнитного поля, сумма %1т — 1м не равна нулю. Эта сумма
называется током намагничивания токи 1т, обусловленные
внутриатомным движением, называют микротоками.
Выразим ток намагничивания 1М через вектор намагничивания 1
Элемент контура dl нанизывает на себя только те микровитки с током,
центры которых попадают внутрь изображенного на рисунке 36 косою
цилиндра с объемом
dV = Sm cos а • dl
где Sm - площадь каждого микровитка, а - угол между нормалью к
плоскости микровитка п и вектором Л. В соответствии с теоремой о
циркуляции все остальные микровитки не влияют на величину циркуляции
вектора В.
Суммарный микроток, охватываемый элементом контура dl, равен
d(£Im) = ImkdV, 1
где 1т — ток в одном микровитке, к— количество микровитков в единице
объема. Подставляя вычисленную выше величину dV, получаем
d(Um)= ImkSmcosa-dl I
Но по определению намагниченность I - это магнитный момент единицы
объема
\ = klmSn
(П - вектор нормали к микровитку), поэтому величина суммарною
микротока совпадает со скалярным произведением намагниченности I n.i
элемент длины dl:
Проинтегрировав это выражение по всему контуру, получаем связь между
током намагничивания IM = и вектором намагничивания I:
/M=^ldl.
Подставив это выражение в теорему о циркуляции
4вл = + paiM
получаем
tjBJl = juol + I<7l
или, перенося последнее слагаемое в правую часть и вводя его под зплк
интеграла,
4(в - /20i >/i = poi. Л
Сравним эти три выражения. Первое - это применение теоремы о
циркуляции к полю в веществе; при этом учтены микротоки. Последнее
60
выражение показывает, что в правой части можно оставить только
«настоящие» токи (макротоки), но макротоками определяется циркуляция
иг вектора магнитной индукции В, а вектора
B-A.I
I ле I — магнитный момент единицы объема.
Если обозначить
А)
к» получим компактную запись теоремы о циркуляции, в которой
гпено влияние микротоков:
.. В ж
Пгкгор Н=------1 называется напряженностью магнитного поля.
А)
Последнее соотношение означает, что циркуляция напряженности маг-
ии 1ного поля определяется только макротоками, так как влияние
мнкротоков учитывается вектором Н.
Напряженность магнитного поля Н и вектор намагничивания I во
многих случаях можно считать пропорциональными друг другу:
1 = /гН
Коэффициент пропорциональности к («каппа») называется магнитной
восприимчивостью. Используя это выражение и определение вектора
пнпряженности магнитного поля, можно записать
— — кН = Н,
А)
pi куда получаем связь между напряженностью магнитного поля Н и
индукцией магнитного поля В:
п . в в
(1 + /О/А) /V'o ’
1дс величина ц — \Л-К называется магнитной проницаемостью. В этом
«лучае теорема о циркуляции в веществе, записанная для вектора
мкгнитной индукции, приобретает вид
4-5-^/!= 1,
II IH
61
Последнее выражение означает, что во многих случаях магнитная
индукция в веществе с магнитной проницаемостью /7 в /7 раз больше, чем
в вакууме. Это справедливо, если вещество заполняет всю обласп*
пространства, в которой имеется магнитное поле.
4.9. Диа-, пара- и ферромагнетики
Рис. 37
нескольких десятков тысяч
В зависимости от величины и знаки
магнитной восприимчивости вес
вещества можно разделить на три
группы. У диамагнетиков магнитная
восприимчивость к отрицательна и нс
белее 10'3, поэтому магнитная
проницаемость fl незначительно меньше
единицы. У парамагнетиков магнитная
восприимчивость к положительна и нс
превышает 102, т. е. магнитная
проницаемость fl несколько больше
единицы. Практически всегда
магнитную проницаемость дна- и
парамагнетиков можно полагать
равной единице.
Особый класс вещее in
составляют ферромагнетики, у кото-
рых магнитная восприимчивое! ь
может достигать очень больших
значений (до нескольких сотен и и
некоторых случаях даже в»
единиц). Наиболее известными ферро
магнетиками являются железо и его сплавы.
Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная
нелинейная зависимость между напряженностью магнитного поля Н и
магнитной индукцией В. Другими словами, магнитная проницаемое!i.
ферромагнетика зависит от величины напряженности магнитного поля (и
не только от этой величины, как будет выяснено в дальнейшем).
На рисунке 37 приведена типичная зависимость В(Н). Ферромш*
нетик предполагается изначально ненамагниченным. Так как fl осп.
В
отношение -----, то /л пропорционально отношению ординаты к
Ao#
62
и опубликовал на сайте ; Р R Е S S I ( Н Е R S О N )
in к-циссе на этом графике. При некотором значении Н магнитная
проницаемость приобретает максимально возможную для данного
мпюриала значение. При больших значениях напряженности магнитного
ппля магнитная проницаемость ферромагнетика стремится к постоянному
шцчснию, равному единице (Рис. 38).
Магнитная индукция в ферромагнетике зависит не только от
имеющейся в данный момент напряженности магнитного поля, но и от
предыстории ферромагнетика. Если первоначально ненамагниченный
ферромагнетик поместить в магнитное поле, то при увеличении Н
мшпитная индукция будет увеличиваться в соответствии с участком 0-1
(Рис. 39). Если затем уменьшать магнитное поле, то магнитная индукция в
• 1срромагнетике будет определяться в соответствии с участком 1-2 гра-
фика. При нулевом значении напряженности магнитного поля магнитная
индукция в ферромагнетике отлична от нуля (это значение называется
пега точной индукцией и зависит как от
с иойств ферромагнетика, так и от
имевшегося ранее значения
напряженности магнитного поля). Если
in । см уменьшать напряженность
мт нитного поля до отрицательных
ншчсний, магнитная индукция в
||нрромагнетике будет изменяться в
книветствии с участком 2-3 графика.
При последующем увеличении напря-
женности магнитного поля магнитная
индукция будет изменяться в
соогветствии с участком графика 3-4-5-1.
11н дно, что значение магнитной
индукции в ферромагнетике
определяется не только действующим
н данный момент магнитным полем,
но зависит еще от предыдущих
Рис. 39
(«нгояний намагничивания. Это явление называется магнитным
। нсгерезисом, а петля 1-2-3-4-5-1 на графике - петлей гистерезиса.
Упрощенное объяснение ферромагнетизма. В ферромагнетиках
мп шикают имеющие квантовую природу межатомные силы, которые
ориентируют магнитные моменты близких атомов параллельно друг другу.
(Класть, в которой магнитные моменты атомов параллельны, называется
доменом; типичный размер домена порядка 10-4 см. Можно считать, что в
тсутствии внешнего поля и остаточного намагничивания все домены
ориентированы хаотически. Под действием внешнего магнитного поля те
63
домены, магнитные моменты которых ориентированы по полю, растут,
поглощая другие домены и сильно увеличивая магнитную индукцию и
ферромагнетике. Если поле достаточно велико, то практически все
магнитные домены уже сориентированы по полю, и // —> 1. При
уменьшении либо снятии внешнего поля не все домены переходят и
исходное состояние, поэтому ферромагнитные материалы могут обладать
остаточной намагниченностью.
Именно явлением остаточной намагниченности и объясняется
способность многих марок стали намагничиваться в магнитном поле.
4.10. Резюме
Магнитное поле проявляется в том, что на находящуюся в нем
частицу с зарядом q и скоростью v действует сила, равная
F = #[vB],
где В - магнитная индукция. Если имеется еще и электрическое поле с
напряженностью Е, то сила, действующая на частицу, равна
F = gE + g[vB]
Эту силу называют силой Лоренца (часто силой Лоренца называют только
силу, обусловленную магнитным полем). Магнитное поле можег
создаваться электрическим током (более точно, другими движущимися
зарядами). Магнитная индукция, создаваемая в произвольной точке
пространства элементом провода dl, по которому течет постоянный ток / ,
равна
4тг г3
где Г - радиус-вектор, проведенный от элемента тока dl к этой точке
(закон Био-Савара-Лапласа). Чтобы определить магнитную индукцию
создаваемую в произвольной точке всеми токами, необходимо сложить мч
векторы dB, обусловленные каждым элементом тока, т. е. произвссп!
интегрирование.
Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что магнитная индукция,
создаваемая бесконечным прямым проводом с током I на расстоянии R о i
него, равна по величине
в =
2л R
На основе закона Био-Савара-Лапласа можно доказать, что создаваемая
токами циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному
тыкнутому контуру у равна произведению на сумму токов,
пронизывающих любую поверхность, натянутую на этот контур
Г
Магнитная индукция внутри соленоида, в котором течет ток I, равна
В - JLLonI
N
где и= — " количество витков, приходящихся на единицу длины
• оленоида, А - число виткков, I - длина соленоида.
Так как ток в проводнике обусловлен движением заряженных частиц,
м на каждую из них действует сила Лоренца, на элемент провода, по
киюрому течет ток /, действует сила, равная
( hikoh Ампера). На контур с током, находящиеся в однородном магнитном
поле, действует пара сил, момент этой пары сил равен
M = [PB] = [nB]/S
|дс Р = ZSil магнитный момент контура, 1 - ток в контуре, S — площадь
кон гура, п - нормаль к контуру.
В веществе теорему о циркуляции удобнее записывать для вектора
напряженности магнитного поля Н:
<fHdi=LZ
hie в правой части - сумма макротоков. Напряженность магнитного поля
рпнна
А
где I - магнитный момент единицы объема. В простейшем случае Н и В
пропорциональны друг другу:
/'Ао
(// - магнитная проницаемость вещества).
Магнитное поле в веществе отличается от магнитного поля в
вакууме. Если вещество заполняет всю область пространства, в которой
имеется магнитное поле, то магнитная индукция в веществе в раз
Польше, чем в вакууме.
По своим магнитным свойствам вещества делятся на диа-, пара- и
ферромагнетики. У диамагнетиков магнитная проницаемость немного
меньше единицы, у парамагнетиков немного больше. Магнитная
проницаемость ферромагнетиков зависит от приложенного магнитного
65
поля и может достигать больших значений. В ферромагнетиках
наблюдается гистерезис — зависимость величины магнитной индукции о i
предыдущего состояния намагниченности.
66
Отредактировал и опубликовал на сайте: П Е S S I ( И М О N )
5» Электромагнитная индукция
5.1 Магнитный поток
Потоком вектора магнитной индукции (или магнитным пото-
ком) через поверхность 5 называется интеграл
ф = jBdS = jBnJ5 = fflcosttJS
s s s
i де S - площадь поверхности, В - магнитная индукция, п - нормаль к
поверхности, а - угол между векторами В и П. Это определение
(онсршенно аналогично определению потока вектора напряженности
ысктрического поля (см. параграф 1.5). Единицей магнитного потока
нилястся Вебер.
Величина магнитного потока зависит только от положения и формы
контура у и имеет одинаковое значение для всех поверхностей,
опирающихся на данный контур.
В простейшем случае, если контур у плоский и поле однородно,
мт нитный поток равен произведению магнитной индукции на
площадь контура и на косинус угла между векторами В и п:
Ф = Z?Scostz.
I ели хотя бы одна из этих величин зависит от времени, то магнитный
погок также зависит от времени.
5.2. Работа при перемещении контура в магнитном
поле
Пусть имеется контур, одна сторона которого представляет собой
движущуюся перемычку (Рис. 40). Магнитное поле однородно и
направлено перпендикулярно плоскости рисунка. По закону Ампера на
подвижную перемычку действует сила
F = ИВ
|дс I - сила тока, / - длина перемычки, В - магнитная индукция. Если
перемычку переместить на расстояние dx, совершится работа
dA = Fdx
или
dA = IBldx = Id(Blx),
Величина I dx — это заштрихованная на рисунке площадь, значит Bl dx
сеть магнитный поток, проходящий через заштрихованную площадь.
Поэтому работа по перемещению перемычки на расстояние dx равна
произведению тока на изменение магнитного потока:
67
dA = Id<&
Проинтегрировав эп»
выражение, получаем
Л = /(Ф2-Ф,)-
т. е. работа,
совершаемая
магнитным полем
равна
произведению тока
(если ток
магнитного потока через контур. Это1
постоянный!) на изменение
результат справедлив для любой ориентации магнитной индукции, т. к.
работу совершает только та составляющая поля, которая перпендикулярна
плоскости чертежа. Результат справедлив и для контура любой формы, т. к
его можно разбить на бесконечно малые элементы, для каждого из которых
выполняется это соотношение.
5.3. Электромагнитная индукция
Электрический ток создает вокруг себя магнитное поле. Существуем
ли обратное явление, т. е. вызывает ли магнитное поле электрический ток?
Оказывается, ток создается только при каких-то изменениях либо
магнитного поля, либо геометрии находящихся в нем проводников.
Пусть прямолинейный проводник длиной I движется со скоростью v
в магнитном поле с индукцией В (Рис. 41)
На свободные носители проводника
действует сила Лоренца, равная
м
Ml
I
1
I
I
I
I
I
1
I
^СТОР
N
Рис. 41
F -evB^e—В. '
dt
Если эту силу F разделить на величину за-
ряда, получим напряженность стороннего
поля ЕСТОР (т. к. напряженность этого поля
имеет не электростатическую природу)
crop - ~ , В
е dt
По определению электродвижущей силы, она равна интегралу oi
напряженности стороннего электрического поля по длине участке MN:
4 =-IB—
dt
68
(шак «минус» стоит потому, что вектор У^стор направлен против обхода
контура MNNVM{ от точки Л/ к N и далее, определяемого правилом
буравчика, а именно это направление принято за положительное).
Преобразуя последнюю формулу, получаем
8ИНД = (5/х) = -^1
инд dt dt dt
I де Ф(/) - «заметаемый» проводником за время t магнитный поток.
Рассчитаем, чему равна разность потенциалов на концах рас-
смотренного выше движущегося в магнитном поле проводника. Так как
проводник незамкнутый, ток в нем равен нулю, а значит и произведение IR
равно нулю. Применим к проводнику закон Ома:
IR = 0 = 8ННД + <р, - (р2 = - —+ ~ <Рг
dt
о । куда
концах возникает разность потенциалов, равная
d<b(t)
at
Мы получили, что при движении проводника в магнитном поле на его
б/Ф(?)
—-—, где Ф(/) -
dt
произвольной формы,
Разобьем замкнутый
а шметаемый» за время t магнитный поток.
Рассмотрим теперь замкнутый проводник
находящийся в произвольном магнитном поле,
проводник на бесконечно малые прямолинейные участки. При малом
перемещении каждого этого участка магнитное поле можно считать
постоянным, поэтому справедливо полученное выше выражение для ЭДС
индукции. Если просуммировать эти ЭДС по всему замкнутому контуру,
получаем закон электромагнитной индукции: ЭДС индукции в
шмкнутом контуре равна производной по времени от магнитного
потока через этот контур со знаком «минус» (закон Фарадея)
р =_ЛФ
инд л •
>ДС индукции возникает при любом изменении со временем
магнитного потока через контур, например если контур неподвижен, а
магнитное поле изменяется либо по величине, либо по направлению,
либо одновременно по направлению и по величине.
69
5.4. Взаимная индукция
Явление электромагнитной индукции - это возникновение ЭДС и,
как следствие, тока в замкнутом контуре, если изменяется магнитный
поток через контур. Магнитный поток может создаваться током, текущим
в другом проводнике; этот магнитный поток изменяется при изменении
этого тока. Взаимной индукцией называется возникновение ЭДС
индукции в одном контуре при изменении тока в другом.
Очевидно, что магнитный поток, создаваемый в контуре 1 током,
текущем в контуре 2, пропорционален току в контуре 2:
Ф1 =Д2Л
Коэффициент пропорциональности Ц2 называется коэффициентом
взаимной индукции. Этот коэффициент зависит от геометрии обоих
контуров и их взаимного расположения. Можно доказать, что Ц2 =
поток, создаваемый током в контуре 2 под действием тока в контуре I.
связан с величиной тока 12 точно таким же по величине коэффициентом
пропорциональности.
5.5. Самоиндукция. Индуктивность
ЭДС индукции возникает всегда, когда изменяется преходящи и
через контур магнитный поток. В частности, этот магнитный поток можс!
создаваться тем самым током, который течет в контуре. Поэтому при
всяком изменении тока в контуре в нем возникает ЭДС индукции,
приводящая к дополнительному изменению тока.
Очевидно, что величина магнитного потока Ф через контур,
создаваемого самим текущим через контур током I, пропорционалыш
величине этого тока:
Ф = А/.
Коэффициент пропорциональности L называется коэффициентом
самоиндукции или индуктивностью. Единица измерения индуктивное!и
- Генри. Индуктивность контура определяется его геометрией и магнитно и
проницаемостью заполняющего контур вещества; индуктивность иг
зависит от силы тока, если от силы тока не зависит геометрия контура и
магнитная проницаемость.
70
и опубликовал на сайте : Р R Е S S I ( Н Е R S О N )
5.6. Индуктивность соленоида
Большой величиной индуктивности обладает соленоид. Для ее
расчета используем полученную в параграфе 4.5 формулу для величины
мпгнитной индукции внутри незаполненного веществом соленоида:
В =
। де N— число витков соленоида, I - его длина, I - сила тока в соленоиде.
Магнитный поток через один виток соленоида равен
Ф, = iBdS = j fields
ssi I
I де 5 - площадь витка соленоида, а полный поток через все витки в N раз
больше потока через один виток:
ДГ2
ф = ,
«и куда индуктивность соленоида (отношение магнитного потока к току)
равна
г _ Ф _ N2 с
£ — — /20 5 .
I ели же соленоид полностью заполнен веществом с магнитной
проницаемостью /у, то индуктивность соленоида в )Л раз больше:
7V 2
в = -у-В
5.7. Переменный ток. Сопротивление в цепи
переменного тока
В промышленности и в быту широко используется переменный
। прмонический ток:
/(/) = /0 cos(2^v/ + (Ро) = Л) C0s(tf9/ + (Ро)
е циклической частотой v = 50 Гц. Очевидно,
круговая частота CD у такого тока равна 314с'1.
Переменный гармонический ток создается ЭДС, СГ
изменяющейся со временем с той же частотой. Если
рпшеры электрической цепи переменного тока не М
слишком велики (менее 104 метра), можно считать,
«по с точностью до одного процента ток во всех
Рис. 42
71
о о
точках цепи пропорционален действующей в данный момент ЭДС.
Рассмотрим сопротивление (Рис. 42), подключенное к ЭДС.
изменяющейся со временем по закону
U (t) = и о cosea/
В каждый момент времени выполняется закон Ома
f70cos6tf = I(t)R,
откуда находим зависимость тока в цепи от времени:
/(/) = — coscot.
R
5.8. Емкость в цепи переменного тока
Разность потенциалов между обкладками конденсатора, под
ключенного к изменяющейся по гармоническому закону ЭДС (Рис. 43).
равна
<Pl ” ^2 = U (t) = U COSCOt .
По определению емкости, эта разность потенциалов пропорциональна
имеющемуся в данный момент заряду
конденсатора Q(t) и обратно пропор-
циональна его емкости С:
U (/) = UQ coscot = . I
Заряд Q(t) равен интегралу от тока
С(0 = ]l(t)dt
о
Подставляя этот интеграл вместо Q(f) в предыдущее соотношение,
получаем
1 t
— \I(f)dt = UQ coscot.
С о
Продифференцировав это соотношение, находим выражение для силы токи
через конденсатор, подключенный к изменяющейся по гармоническому
закону ЭДС:
/(/) = С —(f/0 cos 69/) - -С со sin cot = С со cosf cot + — I. I
dt \ 2 J
до
I JnCCbK rn f
Рис. 43
72
Таким образом, ток через конденсатор на — опережает по фазе
напряжение на нем (Рис. 44). Сила тока через конденсатор обратно
пропорциональна величине
которая может трактоваться как эффективное сопротивление емкости
п цепи переменного тока.
5.9. Индуктивность в цепи переменного тока
По закону Ома сумма ЭДС в замкнутом
перазветвленном контуре равна произведению тока
на активное сопротивление контура, которое равно
нулю для приведенной на рисунке 45 схемы.
11оэтому
t/o COS 69/+ =0.
Так как ЭДС индукции обусловлена явлением
самоиндукции, она равна
О
О Т IrxC.Cib го 1
Рис. 45
I !одставляя это в предыдущую формулу, находим производную тока через
индуктивность
dl U
---= ----COS69/
dt L
Проинтегрировав, получаем зависимость тока через индуктивность от
времени:
73
I(t) =
——sin cot =
coL
,, \ . л
Uo COS cot-------
X
coL
Tok
ней
через индуктивность на — отстает по фазе от напряжения на
2
(Рис. 46). Сила тока через индуктивность образно
пропорциональна величине
7jL — coL,
которую можно рассматривать как эффективное сопротивление
индуктивности в цепи переменного тока.
5.10. Резонанс напряжений
Рис. 47
Вычислим силу тока и
контуре, изображенном на рисунке
47. Разность потенциалов между
точками 1 и 3 равна сумме падении
напряжения на сопротивлении и см
кости:
^1 -(Pi =+
С другой стороны, разноси,
потенциалов между точками 1 и 3
равна сумме переменной ЭДС, создаваемой внешним источником и равной
U (t) = U0 COS cot, и ЭДС индукции, возникающей в индуктивности,
( !dI
последняя равна — L —
k dt
<Pi = Uо coscot +1
Приравнивая эти два выражения, получаем
тг г d/ тп Q
Uа cos cot - L — = IR + —, или
° dt c
dl R 1 „ Ua
— + —I +------Q = —-coscot.
dt L LC L
74
Отредактировал и опубликовал на сайте : И Е S S I ( N Е И S О I )
г dQ
Продифференцировав полученное выражение, и учитывая, что 1 =- -
dt
юк равен производной от заряда по времени, получаем дифференциальное
уравнение для тока в контуре:
d2I R dl
CD t .
-----и Q sin cot.
dt2 L dt
Решение этого уравнения при t —> со имеет вид
/(Г) = -~—cos(cot + О) = /0 cos(69/ + 0)
I дс величину
z =
R2 +
X 2
- coL
можно рассматривать как полное сопротивление, а
- a) L
в = arctg
R
есть сдвиг фаз между током и внешней ЭДС U(/).
Таким образом, при гармонической внешней ЭДС ток в контуре
1акже изменяется по гармоническому закону, однако сдвинут по фазе
m носительно внешней ЭДС. Амплитуда тока равна отношению амплитуды
напряжения к полному сопротивлению
1
70 — „ ’
и величина
СОп
СО
Рис. 48
данного
Полное
зависит
контура
частоты
переменной
Величина R называется
нктивным сопротивлением,
реактивным
сопротивлением
контура,
сопротивление Z
как от параметров
/?, С, Z, так и от
(О внешней
)ДС.
Если реактивное сопротивление равно нулю, т. е.
75
-------co^L = 0, или
то полное сопротивление принимает минимально возможное значение,
равное величине активного сопротивления контура R. При этом значении
частоты ток в контуре максимален. График зависимости амплитуды тока в
контуре от частоты (Рис. 48) представляет собой типичную резонансную
кривую. Такой резонанс в данном контуре называется резонансом
напряжений.
5.11. Колебательный контур
Подсоединим заряженный конденсатор к соленоиду (рис. *49).
Конденсатор начнет разряжаться через соленоид; в каждый momchi
времени напряжение на емкости равно ЭДС в индуктивности
Так как. напряжение на конденсаторе равно заряду Q, деленному на
емкость С,
Рис. 49
а ЭДС индукции
оИНЛ =— L—, то
ИНД
= 0.
dt С
Продифференцировав, получаем уравнение для тока в контуре:
Л2 LC
Решив это уравнение, получаем зависимость тока в контуре от времени:
7(0 = /0 СО8(бУ0/ + <р0)
т. е. ток в колебательном контуре изменяется по гармоническому
и периодом TG = —— = 2л: у]L С .
^0
Эта формула для частоты колебаний колебательного контура
(или для периода колебаний 7П) называется формулой Томсона.
Заряд конденсатора изменяется со временем по закону
закону с частотой <У0 =
76
/ / J
Q(t) = = J/o cos(<y0/ + 4%) = —sin(<yoz + $f>0) •
0 0 &>o
Так как энергия конденсатора равна
W=^-,
2С
энергия конденсатора в колебательном контуре зависит от времени по
закону
(О = — = —^sin2^/ + <р0 ).
2 О 2
5.12. Энергия соленоида
Энергия конденсатора в колебательном контуре зависит от времени,
изменяясь от нуля до максимального значения, равного, как это следует из
последней формулы предыдущего параграфа, ——------. Полная энергия
2 С
колебательного контура сохраняется, значит определенной энергией
обладает и индуктивность. В те моменты времени, когда энергия
конденсатора максимальна, ток через индуктивность равен нулю и вся
энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Поэтому
полная энергия колебательного контура равна максимальной энергии
конденсатора:
/2
W = —^—.
2Ссо%
По закону сохранения энергии, энергия индуктивности в каждый момент
времени есть разность между полной энергией и энергией конденсатора в
1тот момент времени:
/2 /2 12
(О = ” 7- - -°- 2 sin2(<УО/ + <р0) = ° cos2+ <р0)
2Ссо% 2Ссо% 2Са>1
или, учитывая формулу Томсона 69 0 =
и то, что ток в контуре
зависит от времени по закону I (/) = Zo COS(€a0/ 4- (р^) ,
л*
Это означает, что энергия соленоида пропорциональна квадрату текущего
через него тока. Очевидно, что это справедливо для любого соленоида, а не
только для входящего в колебательный контур.
77
Итак, энергия соленоида, через который течет ток I, равна
где L - индуктивность.
5.13. Энергия магнитного поля.
Выражение для энергии соленоида можно преобразовать, подставив
в него выражение для индуктивности соленоида:
N2 А
12 =
I 7
LI2 1
WL =----= -
2 2
N т
~ 2
n Nr U NT
Здесь B — - магнитная индукция в соленоиде, /т=— 1 -
напряженность магнитного поля в соленоиде, V = SI - объем соленоида,
т.е. объем, в котором имеется магнитное поле. Из последней формулы
можно заключить, что энергия соленоида сосредоточена в его магнитном
поле, так как энергия прямо пропорциональна объему, в котором имеется
поле. Обобщая этот результат, можно сделать вывод о том, что всякое
магнитное поле обладает определенной энергией. Плотность энергии
магнитного поля равна половине скалярного произведения вектороп
магнитной индукции и напряженности магнитного поля:
вн
а энергия магнитного поля в объеме V равна интегралу от плотности
энергии по этому объему:
R FT
Wu = lwudy =[—dV.
V V 2
Вспоминая, что плотность энергии электрического поля равна
ED
I
получаем выражение для плотности энергии электромагнитного поля
ED ВН
2 2
78
Отредактировал и опубликовал на сайте: М Е S S I { И U О N
5.14. Резюме
Магнитным потоком через поверхность S’ называется интеграл
Ф - jBdS = fBndS = jScoscrt/S
5 S' S'
где В — вектор магнитной индукции в каждой точке поверхности S, а •
угол между вектором магнитной индукции и нормалью к поверхности. В
простейшем случае однородного поля и плоской поверхности магнитный
поток равен
0 = Z?Scostf.
Если магнитный поток изменяется со временем, то в замкнутом контуре /
которым ограничена поверхность S, возникает ЭДС индукции. Она равна
производной по времени от магнитного потока через поверхность S, взятой
с обратным знаком:
инл dt
В частности, ЭДС индукции может возникать вследствие изменения тока,
протекающего по самому контуру у. Эта ЭДС называется ЭДС
самоиндукции. Она пропорциональна производной по времени от тока в
контуре:
Е --L—
инд Ld(
Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.
Индуктивность соленоида равна
N2
L = Ж —S ,
где JU - магнитная проницаемость вещества, заполняющего соленоид, N -
число витков соленоида, / - длина соленоида, S - площадь сечения
соленоида.
Эффективное сопротивление емкости в цепи переменного
гармонического тока с частотой со
)ффективное сопротивление индуктивности
ZL = coL
Собственная частота колебаний колебательного контура и период
колебаний соответственно равны (формула Томсона):
79
„ _ 1 т _ 2л-
*>о - г—— » То--------
yjLC а>0
Энергия соленоида равна
W = -L12
2
=
где L — индуктивность соленоида, I - ток в соленоиде Энергия магнитного
поля в объеме V равна
где Н - напряженность магнитного поля, В - магнитная индукция.
80
6. Уравнения Максвелла
Законы, характеризующие электромагнитное поле, могут быть
сведены в компактную систему уравнений. Эти уравнения лежат в основе
всех свойств поля — как уже изученных, так и неизученных нами.
Система законов электромагнитного поля называется уравнениями
Максвелла. В классической электродинамике они играют ту же роль, что и
законы Ньютона в классической механике. Уравнения Максвелла являются
обобщением эмпирически найденных закономерностей и не доказываются,
а носят характер аксиом.
6Л. Обобщение теоремы о циркуляции
напряженности магнитного поля
Эта теорема гласит, что циркуляция вектора напряженности
магнитного поля, создаваемого токами, равна сумме токов, пересекающих
любую поверхность, натянутую на контур интегрирования. Попытаемся
применить теорему для прямого проводника с включенным в него кон-
денсатором в случае, когда в этой цепи течет переменный ток /(/).
Рассмотрим две поверхности, натянутые на контур интегрирования у
(Рис. 50). Поверхность S’, пересекается током, следовательно циркуляция
напряженности магнитного поля по контуру/ в каждый момент времени
равна
4НЛ = /(Г).
г
Поверхность S2 выбрана так, что она проходит между обкладками
конденсатора; никакой ток ее не пронизывает и в соответствии с
81
имеющейся формулировкой теоремы о циркуляции величина этой
циркуляции должна быть равна нулю.
Получен парадокс: циркуляция вектора Н зависит от мысленно
выбранной поверхности. «Спасти» теорему о циркуляции можно
введением предположения о том, что магнитное поле может создаваться не
только токами.
Между обкладками конденсатора имеется переменное электрическое
поле. Можно предположить, что это переменное электрическое поле по
своему магнитному действию эквивалентно некоторому току; такой ток
называется током смещения. Определим ток смещения, выразив его через
поле внутри конденсатора.
Ток в цепи равен производной по времени от заряда конденсатора.
Естественно предположить, что ток смещения равен току в цепи. Ток в
цепи может быть выражен через емкость и потенциал конденсатора:
/см=/(0=^=—С1/
dt dt
Подставляя выражение для емкости плоского конденсатора
с = E£qS
d
и разности потенциалов U = Ed 3 получаем
ш “ Л (“Гыг s' л
где D = ££ 0Е - электрическая индукция внутри конденсатора. Это
выражение можно интерпретировать как произведение площади S’, через
dD
которую течет ток смещения, на плотность тока смещения-
dt
Таким образом, теорема о циркуляции будет справедливой для
изображенной на рисунке цепи, если ток смещения на равных правах с
обычными токами входит в формулировку этой теоремы. В общем случае,
когда вектор D имеет разное значение в разных точках пространства,
величина тока смещения равна
4м =
S' ut
(в действительности плотность тока смещения равна не полной, а частной
производной вектора электрической индукции по времени).
Мы пришли к выводу, что переменное электрическое поле создает
магнитное поле. Разумеется не важно, создается ли переменное
электрическое поле зарядом на пластинах конденсатора или каким-то
i
82
и опубликовал на сайте : И Е $ $ 1 ( И М О N )
иным способом. Итак, обобщенная теорема о циркуляции утверждает, что
магнитное поле создается и токами, и переменным электрическим полем:
Y S St
Конечно, приведенные в этом параграфе аргументы в пользу обобщения
теоремы о циркуляции не являются строгим выводом этого обобщения.
6,2. Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла, описывающие классическое электро-
магнитное поле, могут быть записаны в интегральной и дифференциальной
формах. Обе формы практически эквивалентны, хотя интегральная
несколько шире, так как класс интегрируемых функций шире класса
дифференцируемых функций.
Уравнения Максвелла в интегральной форме.
4НбЛ = fjt7S+ г s s dt (1)
<№d\ = ~— fBJS Y St S (2)
cjBJS = 0 s (3)
<JDJS = jpdV s r (4)
(j и р - соответственно вектор плотности тока плотность электрического
заряда). Уравнение (1) является обобщением теоремы о циркуляции, из
него, в частности, следует закон Био-Савара-Лапласа. Уравнение (2) - это
закон электромагнитной индукции. Уравнение (4) - теорема Гаусса для
вектора электрической индукции D. Уравнение (3) для вектора магнитной
индукции в своей правой части такое же, как и уравнение (4), но правая
часть равна нулю. Это означает, что уравнение (3) постулирует отсутствие
в природе магнитных зарядов.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Уравнения Максвелла, записанные в дифференциальной форме,
устанавливают связь между электромагнитным полем, плотностью
электрического тока и плотностью заряда в каждой точке пространства:
г n . SD
[VH] = J+— (1)
dt
83
Г 1 ЗВ
[VE] = --
VB = O
VD = p
Здесь V - дифференциальный оператор
(2)
(3)
(4)
е2+“е3'
Уравнения Максвелла являются не только компактной записью
законов классического электромагнитного поля. Непосредственное
применение уравнений Максвелла к конкретной задаче часто является
самым удобным способом ее решения.
6.3. Материальные уравнения
Число уравнений Максвелла меньше, чем число входящих в них
неизвестных функций. Поэтому при расчете полей в веществе необходимо
знать дополнительные соотношения, связывающие между собой поля и
токи. Эти соотношения, называемые материальными уравнениями, могут
быть определены только на основе рассмотрения конкретной модели
вещества. В простейшем и наиболее важном случае материальные
уравнения записываются в виде:
D = ££Г0Е (5)
В = ЛР0Н (6)
j = crE. (7)
Здесь /Л <7 - соответственно диэлектрическая проницаемость.
магнитная проницаемость и проводимость вещества.
6.4. Уравнения Максвелла и теория электромагнетизма
Как уже было отмечено, уравнения Максвелла составляют основу
теории электромагнетизма. Все изложенные выше разделы теории
электричества базируются исключительно на уравнениях Максвелла (1-4),
материальных уравнениях (5-6) и выражении для силы Лоренца - силы,
действующей со стороны поля на заряженную частицу:
F = eE + e[vB]. (8)
Рассмотрим с этой точки зрения все предыдущие главы.
Электростатика в вакууме. Для вакуума диэлектрическая
проницаемость £ равна единице, следовательно D = £0Еи четвертое
84
уравнение Максвелла приобретает форму теоремы Гаусса для
напряженности электрического поля Е:
4EJS = — XQ,
S Eq
гак как интеграл от плотности заряда по объему j pdV есть суммарный
¥
заряд находящийся внутри этого объема. Из теоремы Гаусса и
второго уравнения Максвелла следует закон Кулона, устанавливающий
напряженность поля точечного заряда. Напряженность поля любой
системы зарядов рассчитывается как сумма напряженностей, созданных
каждым зарядом. Связь между напряженностью и действующей на заряд
силой, задаваемой силой Лоренца (8), позволяет определить потенциал
поля.
Электростатика в веществе. В отличии от электростатики в
вакууме, четвертое уравнение Максвелла теперь представляет собой
теорему Гаусса не для напряженности Е, а для электрической индукции
D. Связь между этими величинами может быть установлена на основе
использования какой-то модели вещества. Для простейшей дипольной
модели фактически было постулировано, что векторы D и Е
пропорциональны друг другу, а коэффициент пропорциональности
(диэлектрическая проницаемость £ ) определяется свойствами вещества.
Современная теория вещества в основном подтверждает и уточняет этот
вывод, а также позволяет рассчитать диэлектрические проницаемости
различных веществ.
На основании четвертого уравнения Максвелла и материального
уравнения (5) в главе 2 были получены все основные результаты:
напряженность поля в среде, плотность поляризационных зарядов,
характеристики конденсаторов.
Постоянный ток. Эта глава основана на материальном уравнении
(7), представляющей закон Ома в дифференциальной форме, и на понягии
потенциала. Пропорциональность плотности тока j и напряженности Е
была выведена с помощью упрощенной модели движения электронов в
проводнике, но современная теория позволяет строго обосновать и
уточнить эту связь.
Основными итогами главы являются законы постоянного тока в виде
интегрального закона Ома и правил Кирхгофа, закон Джоуля-Ленца.
Магнитное поле. Фактически в этой главе рассматривались лишь
поля, создаваемые постоянными токами, т. е. в первом уравнении
Максвелла
85
[VH] = J + —
dt
последний член считался равным нулю. Следствием этого приближения и
третьего уравнения Максвелла является закон Био-Савара-Лапласа. С его
помощью, и зная действующую на движущийся заряд силу (8), рассчитаны
магнитные поля прямого тока и соленоида, определена сила, действующая
в магнитном поле на ток. Как и в предыдущих главах, материальное
уравнение (связывающее магнитную индукцию В и напряженность
магнитного поля Н) выведено на основе простейшей модели. Объяснение
ферромагнетизма проведено на предельно простом уровне — даже
феноменологический анализ ферромагнетизма является весьма сложным.
Электромагнитная индукция. В данной главе закон элек-
тромагнитной индукции (второе уравнение Максвелла) не постулируется, а
«выводится». Это было сделано с использованием выражения для силы
Лоренца (8). Результатами главы, помимо закона электромагнитной
индукции и его частного случая - самоиндукции - явились простейшие
законы цепей переменного тока.
Сформулированные во Введении законы сохранения заряда и
принцип суперпозиции также являются прямым следствием уравнений
Максвелла. Уравнения Максвелла приводят и к выражению для энергии
электромагнитного поля.
Еще раз необходимо подчеркнуть, что материалом предыдущих глав
отнюдь не исчерпываются следствия из уравнений Максвелла.
6.5. Понятие об электромагнитных волнах
Из уравнений Максвелла следует, что в пространстве могул
распространяться электромагнитные волны. Пояснить это можно
следующим образом. Пусть в точке 1 (Рис. 51) имеется переменное
электрическое поле E(Z). Из первого уравнения Максвелла, записанного в
интегральной форме, следует, что в точке 2 возникает магнитное поле,
направленное
перпендикуля
рно Е(/), т. е.
так, как
указано на
рисунке.
Магнитное
поле в точке 2
изменяется со
временем,
и опубликовал на сайте: Р R Е S S I ( Н Е R S О И )
поэтому согласно второму уравнению Максвелла в точке 3 создастся
переменное электрическое поле. Переменное электрическое поле в точке 3
создает переменное магнитное поле в точке 4 и так далее - происходит
распространение электромагнитной волны, состоящей из электрической и
магнитной компонент, ориентированных перпендикулярно направлению
распространения.
Покажем, что существование электромагнитных волн следует из
уравнений Максвелла. Если нет зарядов и токов, эти уравнения принимают
вид
г 1 3D г ЗВ
[VH] = —, [VE1 = -—,
Ot Ct
VB = 0, VD = 0.
Будем считать, что в области левее точки 1 изначально электрическое поле
менялось только по координате Y. Тогда из первой пары этих уравнений
следует, что везде правее точки 1 электрическое поле направлено по оси Y,
а магнитное поле по оси Z., а сами эти уравнения становятся
одномерными:
dHz dDy dE дВг
dx dt ’ dx dt
Учитывая материальные уравнения В — рр0Н ,D = ее0Е .получаем
1 dBz dEy
= —££0-, откуда следует, что
рр0 dx----------------dt
dBz dEy
—— = -pEp0£0—f-.
dx dt
Продифференцировав уравнение
dEy _ dB,
dx dt
dEy dBz
no x, и подставив в него -pEpQE0--вместо------, получаем
dt dx
д2Еу d2Bz d (dB'\ d ( dEv\
dx2
Ot2
и окончательно получаем уравнение, называемое волновым:
д2Е _ 1 д2Е
дх2 v2 dt2
87
где v = ------у---- —
параметр, смысл которого будет выяснен ниже, а
индексу здесь и далее опущен.
Любая функция, аргументом которой является разность
(р — vt — X Л-ср{}, называемая фазой волны, является решением волнового
уравнения. Для доказательства вычислим вторые производные, входящие в
волновое уравнение. Вначале вычислим первую производную Е((р) пох:
дЕ^р) = д^ dE^d(yt-x) дЕ_= }
дх дх д<р дх д(р
д(у1-х + <рй) дЕ
(здесь учтено, что---------= — 1, а производная —• обозначена как
дх д(р
F{(p)). Точно таким же образом вычисляется вторая производная пох:
д2Е
дх2
dF^
откуда получаем, что вторая производная Е(^) по X равна
d2E _ dF_
дх2 дер
Аналогично, с учетом того, что
g(v/-x + ^0)
dt
показывается, что вторая производная по I равна
d2E 7 dF
---------------------------------- v2---
dt2 dcp
Подставляя вычисленные значения вторых производных в волновое
уравнение, видим, что произвольная функция Е(ср)> аргументом которой
является фаза ср = vt — х + tpG, удовлетворяет этому уравнению, так как:
dF 1 ( 7dF
dcp v2 dcp
Выясним теперь смысл параметра V. Если рассматривать волну в
точках, координата х которых изменяется со временем по закону х = vt
(т.е. двигаться со скоростью V), то функция Е(ср) во всех точках с этими
координатами имеет одно и то же значение:
E(vZ-v/ + 9>0) = £'((3u).
88
Таким образом, параметр V является скоростью (точнее, фазовой
скоростью), с которой волна распространяется по оси X. Как показано
выше, скорость электромагнитной волна равна
(л/мъ )
V = —-----у -- ---.
лАа
Величину п — называют показателем преломления вещества. Если же
электромагнитная волна распространяется в вакууме, то п = 1 и скорость
волны равна Q . Подстановка численных значений дает, что
эта величина составляет 3 108 метров в секунду и точно равна с -
скорости света в пустоте. Таким образом, из уравнений Максвелла следует,
что свет представляет собой электромагнитные волны. Более подробно об
электромагнитных волнах говорится в курсе «Оптика».
89
7. Движение заряженных частиц
7.1. Свободная частица в однородном магнитном поле
Если частица движется в однородном магнитном поле с индукцией
В, а напряженность электрического поля равна нулю, то на частицу с
зарядом е действует сила
F = e[vB]
всегда направленная перпендикулярно скорости частицы V. Будем
рассматривать движение только со скоростями, малыми по сравнению со
скоростью света, т. е. пренебрежем эффектами теории относительности. По
второму закону Ньютона ускорение частицы направлено по вектору силы и
равно
F е
а = —= —[vB],
т т
Так как сила F перпендикулярна скорости, она не совершает работы,
значит кинетическая энергия частицы не изменяется, т. е. скорость
частицы остается постоянной по величине, изменяясь лишь по
направлению.
1) Рассмотрим сначала случай, когда скорость частицы пер-
пендикулярна вектору магнитной индукции В. При этом ускорение
частицы по абсолютной величине равно
и направлено перпендикулярно скорости. Из механики известно, что при
этом частица движется по окружности. Приравнивая ускорение частицы в
магнитном поле к величине центростремительного ускорения
е п v2
— vB =—
т R
*
получаем, что частица движется по окружности радиуса
/? = --
е В
Время, затрачиваемое на один оборот (период обращения) равно
отношению длины окружности, по которой движется частица, к скорости
2nR 2л (т vA _ т
1 =-----=----------= 27Г—Б 1,
v v \ е В) е
т. е. период обращения не зависит от скорости частицы. Так как частота
обращения (количество оборотов в единицу времени) есть величина,
90
Отредактировал и опубликовал на сайте :PRESSI(HERSON )
обратная периоду, она также не зависит от скорости, а определяется вели-
чиной магнитной индукции и отношением заряда частицы к ее массе.
2) Пусть теперь угол между скоростью частицы и магнитной
индукцией отличается от прямого. Разложим скорость частицы на две
составляющие - перпендикулярную вектору магнитной индукции v± и
параллельную этому вектору vz/. Сила Лоренца равна
F = e[vB] = е[( v± + v„ )В] = e[v±B] + е[ vz/B].
Последнее слагаемое равно нулю, так как равно нулю в векторное
произведение параллельных векторов. Это значит, что в направлении,
«параллельном вектору, на частицу никакие силы не действуют.
Следовательно, по этому направлению вектора В она движется с
постоянной скоростью vz/.
Как показано в предыдущем пункте, в плоскости, перпендикулярной
вектору В, частица движется по окружности, радиус которой равен
R=-^
е В
Итак, в общем случае движение заряженной частицы в магнитном
поле есть наложение движений по окружности определенного радиуса и
прямолинейного движения, т. е. частица движется по винтовой линии, или
по спирали (Рис. 52). Период обращения равен
Т = 2л—В-'
е
шаг (расстояние, между соседними витками спирали)
е В
Рис. 52
91
7.2. Свободная частица в однородном
электрическом поле
Сила, действующая на частицу, равна произведению, заряда на
напряженность электрического поля
F = eE.
По второму закону Ньютона ускорение частицы равно
F е
а = —= —Е.
т т
Разложим начальную скорость частицы Vo, влетающей в однородное
электрическое поле, на две составляющие:
v0 = v0± + v0//,
где V01 перпендикулярна вектору напряженности Е, a Vo// параллельна
е
ему. По направлению вектора Е ускорение а равно —Е, поэтому
т
скорость в этом направлении изменяется со временем по закону
е
v/r (0 = VO// + at = v0// + — Et
m
Если координатную ось в направлении вектора Е обозначить через Y, то
координата у частицы в каждый момент времени равна
y(t) = v0/lt + — = v0/lt + —-t2.
2т
По оси X, направленной по
вектору v0±, т. е. перпендикулярно
вектору напряженности Е, на
частицу не действуют никакие
силы. Поэтому ее ускорение по
этой координате равно
частица движется по
постоянной скоростью
координата частицы х изменяется
со временем по закону
x(j) = v0L-t.
t через х и
получившуюся
2
нулю,
ней с
v0± и
Выразив отсюда
подставив
92
зависимость t =---- в уравнение для координаты у, получаем уравнение
Ч)±
траектории
2/И4оХ Vo±
Это уравнение параболы (Рис. 53), т.е. в однородном электрическом поле
частица движется по плоской параболической траектории. Такое движение
аналогично движению материальной точки в однородном поле тяжести.
93
и опубликовал на сайте : П Е S S I I И М О N )