/
Автор: Рид К.
Теги: фундаментальные и общие проблемы математики математика биографии история математики биографии ученых
Год: 1977
Текст
Констанс Рид
ГИЛЬБЕРТ
С приложением обзора Германа Вейля
математических трудов Гильберта
Перевод с английского
И, В. ДОЛГАЧЕВА
Под редакцией
Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Мое ива 1977
51(09)
Р49
УДК 510(09)
Constance Reid
HILBERT
With an appreciation
of Hilbert's mathematical work
by Hermann Weyl
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
1970
Настоящая книга представляет Собой перевод биографии
выдающегося немецкого математика Давида Гильберта (1862—
1943). Гильберт по праву относится к классикам науки, его
работы затрагивали почти все разделы математики и оказали
огромное влияние на современную математику. Сформулированные им
на рубеже нашего века знаменитые «проблемы Гильберта»
послужили ядром, вокруг которого развивались многие области
математики. Яркая личность Гильберта проявилась в трудах
созданной им известной гёттингенской школы математиков, с которой
связаны имена многих крупнейших математиков и физиков
нашего времени. Книга написана на основе воспоминаний
многочисленных учеников и друзей Гильберта, а также переписки его
со своим ближайшим другом — известным немецким математиком
Германом Минковским. Она живо воспроизводит всю обстановку
и действующих лиц математической жизни Европы в конце
XIX — первой трети XX века. Книгу удачно дополняет
перевод статьи одного из наиболее выдающихся учеников
Гильберта — Г. Вейля, в которой дается подробный анализ
математических работ Гильберта.
Рассчитанная на самый широкий круг читателей, книга
будет интересна не только любителям математики, но и всем,
кто интересуется историей науки.
20201-112
053(02)-77
76-77
Перевод на русский язык,
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1^77
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
Давид Гильберт был одним из истинно великих
математиков своего времени. Его труды и его
вдохновляющая личность ученого оказали глубокое влияние
на развитие математических наук вплоть до
настоящего времени. Его проникновенная интуиция, его
творческая мощь и неповторимая оригинальность
математического мышления, широта и разносторонность
интересов сделали его первооткрывателем во многих областях
математики. Это была единственная в своем роде
личность, глубоко погруженная в свою работу и полностью
преданная науке, учитель и руководитель самого
высокого класса, вдохновляющий и крайде
великодушный, не знающий усталости и настойчивый во всех
своих устремлениях.
Мне, одному из немногих оставшихся в живых среди
тах^ кто составлял круг самых близких к Гильберту
людей, всегда казалось очень желательным, чтобы
была опубликована его биография. Однако, принимая
во внимание огромную научную широту работ
Гильберта, я считал практически невозможным, чтобы
одному биографу удалось воздать должное всем сторонам
жизни Гильберта как ученого и неотразимому
воздействию его яркой личности. Поэтому, когда я узнал о
планах миссис Рид относительно настоящей книги,
я вначале был настроен скептически, сомневаясь в
возможности кого-либо, не очень хорошо знакомого с
математикой, написать приемлемую книгу. Тем не
менее при чтении рукописи мой скептицизм исчез и меня
стало охватывать все большее и большее восхищение
успехом автора. Я верю, что эта книга очарует не
только математиков, но и всех тех, кого интересует тайна
происхождения великих учэных в нашем обществе.
Нью-Рошель, 23 ноября 1969 Рихард Курант
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
В большей своей части эта книга написана по вое-»
поминаниям.
Мне оказали большую дружескую помощь
мужчины и женщины, йолучившйе докторскую степень у
Гильберта: Вера Лебедева-Миллер (1906)1), Роберт Кё-
киг (1907), Акдреас Шпайзер (1909), Рихард Курант
(1910), Гуго Штейнгауз (1911), Пауль Функ (1911),
Людвиг Фёппль (1912;, Хельмут Кнезер (1921), Ха-
скел Карри (1930), Арнольд Шмидт (1932), Курт Шют-
те (1934).
Записанные воспоминания других бывших
учеников Гильберта, которых уже нет в живых, также
оказали большую помощь. Я хотела бы отметить здесь
свою особую признательность Отто Блюменталю (1898),
автору биографических очерков для собрания трудов
Гильберта и специального номера журнала Naturwis-
ssnschaften, посвященного шестидесятилетию
Гильберта, а также Герману Вейлю (1908) за некролог для
Королевского общества и статью «Давид Гильберт и
его математические труды», воспроизведенную в этой
книге.
Быть может, самую большую помощь мне оказали
Рихард Курант и Пауль Бернайс, которые находились
в самой продолжительной и наиболее тесной связи с
Гильбертом: первый из них был его коллегой с 1919
по 1933 год, в основном как глава Математического
института, а второй сотрудничал с ним в области
логики и оснований математики и был его помощником
с 1917 по 1934 год.
х) В скобках указан год получения докторской степени.—»
Прим. ред.
4
Из бывших помощников Гильберта по физике
Альфред Ланде, Пауль Эвальд, Адольф Кратцер и Лотар
Нордхайм наиболее щедро делились со мной своими
знаниями и своим временем. Я хотела бы особенно
поблагодарить профессора Эвальда за предложение о
литературном описании жизни Гильберта.
Кроме того, мне удалось получить большую
информацию о Гильберте в личных беседах е людьми, хотя
ц не являвшимися его учениками, но в разное время
близкими к гёттингенскому кружку. К ним относятся
Ганс Леви, Александр Островский, Дьёрдь Пойа,
Бригитта Реллих, Карл Людвиг Зигель, Габор Сегё, Ольга
Таусски-Тодд, Ян ван дер Корпут, Б. Л. ван дер Вар-
ден, Эллен Вейль-Бэр. Письма Курта и Элизабет Рей-
демейстер и Хельмута Хассе дали возможность описать
последние годы жизни Гильберта. Альфред Тарский,
Курт Гёдель, а также профессор Бернайс ответили на
мои вопросы о работе Гильберта по логике и основаниям
математики.
Я благодарна Лили Рюденберг и Рут Бушке за то,
что они любезно позволили мне цитировать письма их
отца, Германа Минковского, переписывавшегося с
Гильбертом в течение многих лет их близкой дружбы.
К сожалению, половийй писем Гильберта,
возвращенных госпожой Минковской госпоже Гильберт в 1933
году, насколько мне удалось установить, больше не
существует. Те немногие цитаты из писем Гильберта к
Минковскому, которые все-таки приведены в этой
книге, взяты из очерка Блюменталя, имевшего возхмож-
ность прочесть письма Гильберта перед тем, как
написать биографический очерк для собрания его трудов.
Хорст Гильберт, сын двоюродного брата
Гильберта, сообщил мне много подробностей о семье
Гильбертов. Ф. Шредер из Geheimes Staatsarchiv der Stiftung
Preu|3ischer Kulturbesitz снабдил меня важными
статистическими данными. Кин-я Хонда перевел для меня
на английский язык свой биографический очерк о
Гильберте. Г. Фогт, директор Niedersachsische Sta-
ats-und Universitatsbibliothek, помог мне получить
доступ к письмам Гильберта из архивов Клейна и
Гурвица. Мартин Кнезер, нынешний директор
Математического института, обеспечил мне место для работы
и доступ к архиву Гильберта. Большую помощь
5
Оказала Урсула Древе, секретарь института. Госпожа
Нейман, чья мать была любимой экономкой
Гильбертов в течение многих лет, поделилась со мной
семейными фотографиями.
Я особенно благодарна моей сестре Юлии Робинсон,
которая никогда не отказывала мне в помощи, советах
и поддержке; Фолькеру Штрассену, который
познакомил меня с Гёттингеном и его математическими
традициями; Урсуле Лоренц, Христе Штрассен и Эдит Фрид,
которые помогли мне ближе узнать Германию и ее
обычаи.
Мне доставляет большую радость, что эта книга
публикуется издательством Шпрингера, которое
имело близкую связь с Гильбертом и Гёттингеном и, взяв
на себя риск публикаций, внесло существенный вклад
в возрождение немецкой науки после первой миравой
войны.
На разных стадиях рукопись читалась Паулем
Бернайсом, Рихардом Курантом, Паулем Эвальдом,
Лотаром Нордхаймом, Юлией Робинсон, Р. М.
Робинсоном, Фолькером Штрассеном, Табором Сегё,
Джоном Аддисоном (мл.) и Максом Борном.
После всей этой великодушной помощи за любую
оставшуюся ошибку, безусловно, отвечаю я.
Сан-Франциско, Калифорния, Констанс Рид
3 августа 1969
I
юность
Счастливая комбинация генов, породившая
необычайно одаренного ребенка, была произведена Отто
Гильбертом и его женой Марией где-то весной 1861
года, и 23 января 1862 года ровно в час дня в Велау
вблизи Кенигсберга —столицы Восточной Пруссии 1) —
у них родился первенец. Своего сына они назвали
Давидом.
Автобиография и семейная хроника, оставленные
основателем кёнигсбергской ветви семьи Гильбертов,
знакомят нас с родословной Давида по отцовской
линии. У>ке в семнадцатом веке Гильберты были
известны в Саксонии. В основном это были ремесленники или
торговцы, однако довольно часто, чтобы это стоило
отметить, они выбирали себе жен из учительских
дочерей. Все они были протестантами, а их библейские
имена, по-видимому, показывали их принадлежность
к пиетистам — фундаменталистской секте того
времени, исповедующей «покаяние и веру как веление
сердца, а воскрешение и святость как
экспериментальные факты».
В начале восемнадцатого столетия некто Иоганн
Христиан Гильберт, начав с медника, стал
преуспевающим оптовым торговцем кружевами. Имея в своем
подчинении более сотни служащих, он считался
«самым именитым гражданином» в маленьком городке
Бранд недалеко от Фрейберга. К несчастью, он умер,
оставив своих детей совсем маленькими, а его
наследство было промотано не очень щепетильными
опекунами. Нужда заставила его сына Христиана Давида
Гильберта пойти в ученики к цирюльнику. Служба
*) Ныне г. Калининград. (Здесь и далее, кроме особо
отмененных случаев, примечания переводчика.)
т
военным цирюльником в армии Фридриха Великого
забросила его в Кенигсберг. По-видимому, это был
человек исключительной энергии и трудолюбия. Он
купил цирюльню, затем записался в местный
университет, изучал медицину, после чего получил право
стать городским хирургом и акушером. С этих пор
Гильберты были людьми с профессией и выбирали жен,
как правило, среди купеческих дочерей. Один из
многочисленных детей Христиана Давида— Давид Фюрхт-
готт Леберехт (Бойся Бога Живи Правильно) — был
дедом Давида. Он был судьей и носил довольно
почетный титул Geheimrat1). Его сын Отто занимал к
моменту рождения Давида должность окружного судьи.
Один из его братьев был адвокатом, другой —
директором гимназии, что по положению соответствовало
директору средней школы, но пользовалось
значительно большим престижем.
Немного известно о родословной Давида по
материнской линии. Карл Эрдтман был купцом из
Кенигсберга, его дочь Мария Тереза стала матерью
Давида. Это была необычайная женщина — «оригинал» в
немецком понимании этого слова. Она интересовалась
философией, астрономией и была очарована простыми
числами.
Рождение Давида почти в точности совпало с
рождением германского национализма. Несколькими
месяцами ранее брат умершего короля Пруссии
совершил традиционное паломничество в Кенигсберг. Здесь,
в старинной замковой церкви, он возложил на свою
голову корону Прусской империи. Спустя некоторое
время он назначил главным министром своего двора графа
Отто фон Висмарка-Шёнхаузена. В последующий
период войн за объединение Германии под началом
Пруссии отец Давида стал городским судьей и переехал
вместе со своей семьей в Кенигсберг.
Столица Восточной Пруссии возникла в середине
тринадцатого столетия, когда рыцари Тевтонского
ордена построили свой замок на пойме, расположенной
между двумя рукавами реки Прегель 2), впадающей
в Балтийское море. И во времена Давида этот прочный
2) Тайный советник (нем.).'
2) Ныне р. Преголя.
8
замок все еще стоял, окруженный городом, незадолго
до этого модернизованным с помощью газового света
и конки. Дом Гильбертов на Кирхенштрассе, 13 был
в нескольких кварталах от реки — «наших ворот к
свободе», как любили ее называть жители Кенигсберга.
Хотя город находился в четырех с половиной милях
от устья Прегели, резкий соленый вкус Балтики был
повсюду. По зеленым лужайкам разгуливали чайки.
Морские ветры наполняли яркие паруса рыбацких
лодок. Запах солекой воды, рыбы, дегтя, древесины и
копоти висел над городом. Лодки и баржи,
поднимавшиеся по Прегели, везли экзотические товары,
нагружаемые и разгружаемые перед высокими пакгаузами,
стоявшими на берегу реки. Возвращаясь к морю, они
везли Bernstein (янтарь) и прекрасное белое, как
облако, вещество, используемое при изготовлении
курительных трубок и называемое Meerschaumx). Семь
больших мостов, каждый со своей собственной и
заботливо охраняемой индивидуальностью, связывали
берега Прегели с маленьким островом. Не имея
собственных источникдв воды, он назывался Кнейпхоф, что
означает пивной двор. Благодаря именно этим мостам
Кенигсберг впервые вошел в иоторию математики.
За столетие до этого Эйлер решил одну задачу,
связанную с этими мостами, положившую начало тому, что
теперь называется топологией. Кёнигсбергский собор
был расположен на Кнейпхофе, рядом с Ним
находились старый университет и могила Иммануила
Канта — величайшего сына Кенигсберга.
Детство Гильберта, как и большинства подростков
Кенигсберга, прошло в атмосфере преклонения перед
Кантом. Каждый год двадцать второго апреля, в
годовщину рождения великого философа, его склеп,
рядом с собором, был открыт для публики. В такие дни
Давид, несомненно, сопровождал свою философски
настроенную мать, чтобы почтить память Канта, видел
бюст со знакомыми чертами, украшенный в этот
особый день свежим лавровым венком, и читал на стене
склепа:
«Величайшие чудеса суть звездное небо надо мной
и моральный закон во мне».
*) Морская пенка {нем.)*
9
Мать должна была также обратить внимание сына
на созвездия и ввести его в мир тех интересных
«первых» чисел, которые, в отличие от других, делятся
только на себя и на 1.
Благодаря отцу раннее обучение Давида носило
отпечаток прусских черт пунктуальности,
бережливости, преданности долгу, усердия, дисциплины и
уважения к закону. Должность судьи в Пруссии
доставалась продвижением по гражданской службе. Эта была
удобная и надежная карьера для консервативного
человека. По рассказам, судья Гильберт был довольно
ограниченным человеком, со строгими взглядами на
добропорядочное поведение, настолько постоянным в
своем образе жизни, что изо дня в день
придерживался строго определенного распорядка и так «осел»
в Кенигсберге, что покидал его только в свои
ежегодные каникулы, отправляясь в это время на
Балтийское море.
Давид был единственным сыном Гильбертов. С
шести лет у него появилась сестра, названная Элизой.
В год, когда Давиду исполнилось семь лет, сам
король, ставший вскоре кайзером Германии, впервые
после своей коронации вернулся в Кенигсберг.
Мальчику представился случай лично увидеть человека,
которому, говоря словами городской хроники,
«предназначалось возвысить свой дом до величайшего
великолепия, а свою родину до величайшего могущества».
Когда большая толпа людей собралась на деревянном
мосту над замковым озером, чтобы увидеть короля,
мост, не выдержав тяжести, рухнул, вследствие чего
утонуло 67 человек.
На следующий год Пруссия начала войну против
Франции. Через несколько месяцев триумфальная
новость облетела столицу Восточной Пруссии —
французский император взят в плен. В то время как
Бисмарк и генералы готовились к осаде Парижа,
восьмилетний Давид начал ходить в школу. Обычным
возрастом для поступления в школу было шесть лет,
и опоздание на два года указывает, что,
по-видимому, свои первые уроки Давид получил дома, скорее
всего от своей матери. Она была уже почти
инвалидом и, как говорят, большую часть времени проводила
в постели.
10
В приготовительной школе королевского Фридрихс-
коллега Давид получил первые уроки, необходимые
для гуманитарной гимназии. В нее он должен был
поступить, если бы пожелал получить специальность,
духовный сан или стать университетским профессором.
Эти уроки включали чтение и письмо на латинском и
готическом алфавитах, правописание, части речи,
анализ простых предложений, важные библейские истории
и простую арифметику, включавшую сложение,
вычитание, умножение и деление небольших чисел.
Осенью 1872 года, когда он уже совсем
подготовился к гимназии, в Кенигсберг с триумфом возвратилась
прусская армия. Но на самом деле более важным для
Давида было то, что в это же время еврейская семья
Минковских переехала в пх город из местечка Алек-
сотен под Ковно 1). Свое родное место они вынуждены
были покинуть из-за преследований, которым
подвергались евреи в царской России. Отцу семейства —
удачливому торговцу — пришлось второпях все
распродать, понеся убытки. В Кенигсберге он завел
новое дело — экспорт тряпья, идущего на изготовление
бумаги. Дети были обеспокоены этой переменой в
жизни семьи, однако мать успокоила их, сказав, что
новое занятие отца — одно из благороднейших, так
как бумагу лучших книг, которые им так нравилось
читать, можно сделать только из этого тряпья. В конце
концов дела отца снова пошли в гору, хотя поначалу
времена были тяжелые. Семья переехала в
большой старый дом рядом с железнодорожной станцией,
на берегу Прегели. На другой стороне реки жили
Гильберты.
Макс, старший из мальчиков Минковских, в
России не имел возможности поступить в гимназию из-за
своего еврейского происхождения. Так никогда и не
получив официального образования, он стал
партнером в делах отца, а после смерти последнего
фактически «отцом семейства». Оскар, второй сын,
стал одним из немногих евреев, посещавших Альт-
штадтскую гимназию в Кенигсберге. Позже, став
врачом и исследователем в области медицины, он
обнаружил связь между диабетом и поджелудоч-
х) Ныне г. Каунас Литовской ССР.
41
ной железой и прославился как «дедушка инсулина».
Третий сын, Герман, в возрасте восьми с половиной лет
поступил в приготовительную школу той же гимназии.
Согласно жизнеописанию семьи, с любовью
написанному их сестрой Фанни и названному «Три
универсальных гения», братья Минковские произвели «сенсацию»
в Кенигсберге «не только своими большими талантами,
но и личным обаянием». Особенно впечатляющими
были математические способности маленького Германа.
В одном классе, когда учитель не смог понять
математической задачи, написанной на доске, ученики хором
повторяли: «Минковский, помоги!»
Упоминания о том, что в это время на кого-нибудь
произвели впечатление способности Гильберта, в
записях Фанни нет. Позже он вспоминал себя как
тупого и глупого в юности — «damraelig», как он обычно
выражался. Наверное, это было преувеличением, ибо,
как позже заметил один из его друзей, «за всем, что ни
говорил Гильберт, как бы парадоксально это ни
звучало, всегда чувствовалось его страстное и трогательное
стремление к истине».
Гимназия, которую выбрали для Давида его
родители, считалась лучшей в Кенигсберге — старинная
частная школа, основанная в начале семнадцатого
столетия и имевшая в числе своих выпускников самого
Канта. Тем не менее выбор этот был весьма неудачным.
В то время в Кенигсберге было редкостное
сосредоточение будущих научных талантов. Альтштадтскую
гимназию одновременно посещали Макс и Вилли
Вины, Арнольд Зоммерфельд и Герман Минковский.
Однако Давиду, посещавшему Фридрихсколлег, не
пришлось в свои школьные годы познакомиться ни с одним
из этих мальчиков.
К несчастью для Гильберта, Фридрихоколлег был
очень традиционным заведением со строго
установленной учебной программой. Слово «гимназия» объяснялось
тем, что такая школа была предназначена для
гимнастики ума ребенка, развивающей его умственные
способности так же, как физические упражнения
развивают его тело. С этой целью изучению латинского и
греческого языков придавалось особое значение.
Считалось, что изучение этих языков и античной
литературы сделает ученика искусным во всех умственных
12
занятиях. Грамматика поможет ему сформулировать
свои мысли; поэзия пробудит в нем эстетическое
чувство и разовьет его вкус; изучение исторических и
философских текстов расширит его кругозор и даст
ему основы к «правильному пониманию»
современности.
По традиции после древних языков математика
больше всего ценилась как средство укрепления силы
ума. Однако во Фридрихсколлеге ее преподавание шло
на значительно худшем уровне, чем преподавание
латинского и греческого. Естественные науки вообще не
преподавались.
Языковые классы составляли основную часть
учебной программы. Особое внимание уделялось изучению
грамматики, на этом основывались последующие
занятия литературой. Такое обучение оставляло мало
возможностей для развития самостоятельного
мышления. Однако оно не помешало Давиду время от
времени набрасывать на полях своих тетрадок небольшие
стишки.
В это же время младший из братьев Минковских
в костюме из простыни и наволочки играл в домашнем
спектакле роль Отелло. Устроившись в кресле у окна
комнаты, отведенной Фанни для упражнений на
фортепьяно, он поглощал Шекспира, Шиллера и Гёте,
запоминая последнего почти наизусть, так что, по
словам сестры, «з последующие годы он вполне обходился
только научными книгами».
У Давида были очень плохие способности к
заучиванию наизусть, а в Фридрихсколлеге запомнить и
изучить было одно и то же. По словам одного из друзей,
«языковые классы вызывали у него больше грусти,
чем радости». Не особенно быстро он усваивал и новый
материал. Казалось, он никогда не мог понять то,
чего предварительно не проработал в собственном мозгу.
Несмотря на все эти трудности, он никогда не отставал
от своих школьных товарищей. Он был трудолюбивым
и ясно представлял себе сущность прусской системы
образования. Не было никаких глупых выходок
с его отороны. В отличие от Эйнштейна, он доучился
в гимназии до конца, пока не сдал Abitur
(экзамен, после сдачи которого разрешается поступать
в университет).
13
Много лет спустя одна пожилая родственница
Гильбертов вспоминала:
«Все, что я знаю о дяде Давиде,— это то, что все в
семье считали его немного не в себе. Школьные
сочинения писала за него мать. В то же время он мог
объяснить учителям математические задачи. Никто его
толком в семье не понимал».
Наконец он нашел школьный предмет,
соответствовавший его наклонностям н доставлявший ему
нескончаемое удовольствие. Позже он вспоминал, что впервые
почувствовал тягу к математике, потому что она была
«bequem»— легкой, не требовавшей усилий. Она не
требовала запоминания. Он всегда мог восстановить
все в памяти сам, Однако до получения диплома
гимназии он не мог поступить в университет и полностью
посвятить себя математике. Поэтому ему пришлось на
время забросить свой любимый предмет и
сосредоточиться на латинском и греческом.
Дни в Фридрихсколлеге никогда не вызывали у
него приятных воспоминаний.
Однако с летними каникулами наступали светлые
времена. На лето вся семья выезжала в Раушен *),
небольшую рыбацкую деревушку на берегу моря. Хотя
позже место это стало популярным морским курортом,
в то время его посещали немногие. Среди них была
большая семья Карла Шмидта. Так же, как и Отто
Гильберт, юрист по образованию, он, будучи радикальным
социал-демократом, предпочел стать
мастером-каменщиком и домостроителем. Его пятый ребенок
Кете, рисуя рабочих и матросов Кенигсберга, уже в то
время проявила исключительное дарование. Много
лет спустя, став знаменитой художницей, Кете Коль-
виц, вспоминая ежегодные поездки в Раушен,
передавала то, что должен был испытывать и Давид: «Дорога
.в Раушен занимала пять часов, так как железной
дороги в то время еще не было. Мы ехали в journaliere,
представлявшей собой большую закрытую телегу с
четырьмя или пятью рядами сидений. Задние сиденья
снимались, чтобы освободить место для необходимых
для отдыха вещей: постели, одежды, корзин, ящиков
2) Ныне г. Светлогорск Калининградской области РСФСР.
14
С книгами и вином. В телегу впрягались три, а иногда
четыре лошади. Впереди на высоком сиденье
находился возчик. Ехать приходилось сначала по узким кёнигс-
бергским улочкам, выезжать через лязгающие Траг-
хеймские ворота и наконец через весь Земландский
полуостров. Недалеко от Сассау можно было впервые
увидеть море. Тогда, вставая на цыпочки, мы радостно
кричали: Море, море\ Никогда больше море... не было
тем, чем было для меня Балтийское море у Земланд-
ского полуострова. Невыразимое великолепие захода
солнца, наблюдаемого с высокого берега; восторг,
который охватывал нас, когда мы снова видели это,
бежали по пляжу, сбрасывая чулки и обувь, чувствуя
холодный песок под ногами и слыша металлические
шлепки волн...»
Лето в Раушене было полно идиллии. Это был
«детский рай» для приезжающих сюда. В сентябре уже
начинались школьные занятия, а в ноябре Прегель
замерзала до марта.
Вспоминая свое детство, Гильберт однажды
объяснял: «В школе математикой я занимался мало, так
как знал, что буду этим заниматься позже». Однако
наступило время сменить это философское настроение.
В сентябре 1879 года, в начале последнего учебного
года в гимназии, он перешел из Фридрихсколлега в
Вильгельм-гимназию. Это была государственная
школа, в которой уделялось значительно больше внимания
математике и даже затрагивались некоторые новые
достижения в геометрии.
В то же время юный вундеркинд Герман Минков-
ский успел обойти Давида, который был старше его
на два года. Весной этого года «благодаря
превосходной памяти и способности схватывать на лету» (как
позже вспоминал Гильберт) Минковский закончил за
пять с половиной лет восьмилетний курс Альтштадт-
ской гимназии и поступил в местный университет.
В Вильгельм-гимназии Давид чувствовал себя
много счастливее, чем в Фридрихсколлеге. Наконец-то
учителя оценили и начали поощрять его оригинальную
личность, и позже он часто вспоминал их с
признательностью. Оценки стали лучше — почти по всем
предметам «хорошо» (немецкий, латинский, греческий,
теология и физика), а по математике «vorzuglich»—
15
паивысшая в то время оценка. После исключительно
успешной сдачи письменного экзамена его освободили
от заключительного выпускного устного экзамена.
Характеристика на обратной стороне удостоверения об
окончании гимназии оценивала его поведение как
«показательное», отмечала его прилежание и «серьезный
интерес к науке». Заканчивалась она следующим:
«4то касается математики, то здесь ои всегда
проявлял живой интерес и глубокое понимание: он самым
лучшим образом овладел всем материалом,
проходившимся в школе, и научился применять его с
уверенностью и изобретательностью».
Так впервые упоминается о Гильберте-математике.
II
ДРУЗЬЯ И УЧИТЕЛЯ
Большой удачей для Гильберта было то, что
университет его родного города, хотя и отдаленный от
основного центра событий в Берлине, по своим
научным традициям являлся одним из самых выдающихся
в Германии.
Якоби преподавал в Кенигсберге тогда, когда во
времена Гаусса он считался вторым математиком в Европе.
Его преемнику Ришело принадлежит заслуга
открытия гения Карла Вейерштрасса в работах неизвестного
учителя гимназии. Он убедил университет присудить
Вейерштрассу почетную степень и совершил
путешествие в маленький городок, где преподавал Вейерштрасс,
чтобы лично сообщить ему от этом.— «Мы все нашли
нашего руководителя в лице господина Вейерштрасса».
Разносторонний Франц Нейман организовал в
Кенигсберге первый институт теоретической физики при
германском университете и ввел семинарскую форму
занятий.
Когда осенью 1880 года Гильберт поступил в
университет, Вейерштрасс был самым выдающимся
математиком в Германии; Якоби и великодушный Ришело
уже.умерли; однако Франца Неймана, которому было
суждено прожить почти до ста лет, еще можно было
увидеть на университетских собраниях, иногда он
даже читал лекции. Каждый студент быстро узнавал
историю о том, как одна большая академия пыталась уста-
новит$» правила для оценки научных заслуг и
Нейман — многие открытия которого никогда не были
опубликованы — сказал на это: «Открытие новой
истина само является величайшим счастьем; признанно
почти ничего не может добавить к этому».
17
Гильберт почувстбовал себя в университете
настолько же свободным,насколько стесненным он себя
чувствовал в гимназии. Преподаватели факультета сами
выбирали предметы, которым они хотели учить, а
студенты выбирали те предметы, которые они хотели
изучать. Не было никаких особых требований,
минимальных количеств баллов, перекличек, никаких
экзаменов до тех пор, пока не наступала пора получать
степень. Естественно, что на такую неожиданную
свободу многие реагировали тем, что проводили первые
университетские годы в традиционных занятиях
братских студенческих организаций — попойках и дуэлях.
Однако для 18-летнего Гильберта университет
представлял нечто более привлекательное —
долгожданную свободу сконцентрироваться на математике.
Никаких сомнений по поводу своих будущих
занятий у Гильберта не было. Вопреки желаниям отца он
записался не на юридический, а на математический
курс, относившийся в то время к философскому
факультету.
Свои занятия он начинал в то время, когда Вейер-
штрасс и другие придали строгую форму обильным
открытиям математики первой половины столетия.
Царила атмосфера общего самовосхваления.
Чувствовалось, что математика достигла наконец-то уровня
логической строгости, который не нужно и даже
невозможно будет превзойти. Однако в это же время некий
профессор из Галле по имени Георг Кантор
разрабатывал оригинальную теорию множеств, в которой
бесконечность рассматривалась с новой и трудно приемлемой
точки зрения. Согласно традиционному понятию
бесконечность представляла собой нечто «неограниченно
увеличивающееся». В теории же Кантора она
представляла совсем другое — не увеличивающееся, а
«математически зафиксированное числами в определенной
форме завершенной бесконечности». К этому понятию
«завершенной бесконечности» Кантор был вынужден
прийти (как он позже писал) «под давлением логики,
почти против своей собственной воли, ибо оно
противоречило традициям, которые я ценил». В
следующем десятилетии оно должно было стать
предметом наиболее острых и волнующих споров среди
математиков.
18
Во время своего первого семестра в университете
Гильберт слушал лекции по интегральному
исчислению, теории определителей и кривизне поверхностей.
Во втором семестре, следуя популярному обычаю
странствовать по университетам, он отправился в Гейдель-
берг, самый очаровательный и романтический из
германских университетов.
В Гейдельберге Гильберт посещал лекции Лазаруса
Фукса, имя которого стало синонимом теории
линейных дифференциальных уравнений. Его лекции были
очень впечатляющими, однако с довольно необычной
стороны. Редко готовившись к лекциям, он, как
правило, импровизировал на месте. Благодаря этому его
студенты, как писал позже один из них, «имели
возможность наблюдать в действии мышление математика
высочайшего уровня».
В следующем семестре Гильберт мог бы переехать
в Берлин, где находилось созвездие таких ученых, как
Бейерштрасс, Куммер, Кронекер и Гельмгольц.
Однако, будучи, подобно отцу, глубоко привязанным к
городу своего детства, он вернулся в Кёнигсбергский
университет.
В это время в Кенигсберге был только один полный
профессор математики. Это был Генрих Вебер,
исключительно одаренный и многогранный человек,
достойный преемник Якоби и Ришело. Ему принадлежат
значительные вклады в столь.различные области, как
теория чисел и математическая физика. Он также
написал ряд важных книг. Вместе с Рихардом Деде-
киндом он является автором знаменитой книги об
арифметике вещественных чисел, а его книга по алгебре
и книга Римана — Вебера о методах математической
физики являются классическими в этих областях.
У Вебера Гильберт слушал лекции по теории чисел
и теории функций и впервые познакомился с теорией
инвариантов, самой модной математической теорией
того времени. Он аккуратно сохранял записи этих
первых лекций, как, впрочем, и всех других,
прослушанных им в университетские дни. Они записаны
мальчишеской рукой, с юношескими описками, но без
каракулей. Только по одной пачке записей видно, что
ими интенсивно пользовались впоследствии. Это были
записи лекций Вебера по теории чисел.
19
В следующем семестре — весной 1882 года —
Гильберт снова решил остаться в родном университете.
Этой же весной Герман Минковский вернулся в
Кенигсберг из Берлина, где он провел предыдущие три
семестра.
Это был круглолицый мальчик в профессорском
пенсне, довольно нелепо сидящем на его еще не
оформившемся носу. В Берлине за свою математическую
рабрту он завоевал денежную премию, которую
уступил в пользу нуждающегося однокурсника. Этот его
поступок не был известен в Кенигсберге. (Даже его
семья узнала об этом только много позже от брата
этого однокурсника.) Хотя Минковокому было всего
17 лет, он был погружен в серьезную работу,
благодаря которой он надеялся завоевать Grand Prix des
Sciences Mathematiques г) Парижской Академии»
Эта Академия выдвинула задачу о представлении
числа в виде суммы пяти квадратов. Однако
исследования Минковского шли значительно дальше
предложенной проблемы. Когда 1 июня 1882 года
назначенный срок окончился, он вое еще не перевел свою работу
на французский язык, как это было положено по уояо-
виям. Тем не менее он решил представить свой труд.
В последний момент, по предложению своего старшего
брата Макса, он написал короткую вступительную
записку. В ней он объяснил, что причиной этого
упущения послужила привлекательность исследований, и
выразил надежду, что Академия не будет считать, что
«я mojt бы дать больше, если бы я дал меньше». В
качестве эпиграфа была взята строчка из Монтеня: «Rien
n'est beau que le vrai, le vrai seul est aimable»2).
В тот год, когда его работа рассматривалась
Академией, Минковский посещал лекции в Кенигсберге.
Неомотря на свою молодость, он оказывал
стимулирующее влияние на других студентов-математиков.
Благодаря его берлинскому опыту контакты с ним давали
молодежи, изолированной в столице Восточной
Пруссии, чувство причастности к современной математике.
Тем не менее он был чрезвычайно робок, слегка
*) Большая премия за достижения в математических
науках (фр.).
2) «Ничто так не прекрасно, как истина, только она
достойна обожания» (фр.).
20
заикался и сильно краснел, когда к нему обращались.
Представляется маловероятным, что в этом году он
вошел в близкое соприкосновение с другими студентами-
MateMaTHKaMH, большинство которых, как и Гильберт,
были на несколько лет старше его.
Наконец, весной 1883 года пришло известие, что
этодеу мальчику, только 18 лет от роду, совместно с
хорошо известным английским математиком Генри
Смитом присужден Grand Prix des Sciences Mathemati-
ques. Впечатление, которое произвела эта новость в
Кенигсберге, можно оценить тем фактом, что судья
Гильберт предостерегал Давида, что осмеливаться
знакомиться с «таким знаменитым человеком» было бы
«неуместно».
Однако некоторое время казалось, что Минковский
все же останется без премии. Французские газеты
подчеркивали, что правилами конкурса специально
предусматривалось, что все предлагаемые работы должны
быть написаны на французском языке. Кроме того,
английским математикам следовало бы знать, что на
их прославленного соотечественника, к тому времени
уже покойного, бросает тень тот ф^кт, что он должен был
делить премию с мальчиком. («Сейчас любопытно
вспомнить,— писал около сорока лет спустя один
английский математик,— ту бурю негодования,
бушевавшую в математических кругах Англии, когда Смит
после своей смерти был поставлен наравне с неизвестным
немецким математиком, удостоившись тем самым
почести более высокой, чем вое, оказанные ему при
жизни».) Несмотря на оказанное давление, члены комитета
по премии не дрогнули.
Камилл Жордан писал Минковскому из Парижа:
«Молю Вас, работайте, чтобы стать великим
математиком».
Гильберт ясно видел свое счастье, когда оно
встречалось. Несмотря на неодобрение отца, он вскоре
подружился с робким, одаренным Минковским.
Незадолго до этого он заметил о другом застенчивом
молодом математике: «Я уверен, что, если подойти к нему
правильно, он раскроется». Теперь он явно применял
свой искусный подход к Мшгковскоэду.
Хотя эти двое юношей происходили из разных
семей и во многих отношениях были совершенно различ-
21
ными людьми, по существу они имели много общих
черт. Много лет спустя, когда Гильберту пришлось
писать про Мипковского, он раскрыл больше своих
черт, чем в какое-нибудь другое время.
Кроме своей страстной любви к математике, они
разделяли глубокий, твердый оптимизм. Вообще же,
что касается науки в целом, период их университетской
жизни был периодом торжествующего пессимизма,
явившегося реакцией на почти религиозную веру во
всемогущество науки, которая наблюдалась в прошлом
столетии. Широко распространялись и цитировались
труды Эмиля Дюбуа-Реймонда — физиолога, ставшего
философом. Он в основном интересовался вопросом
об ограниченности познания природы. Именно так
называлась его самая знаменитая лекция. Он
утверждал, что некоторые проблемы, называемые им
трансцендентными или сверхчувственными, неразрешимы
даже в принципе. К ним относились природа материи
и силы, происхождение движения, ощущения и
сознания. Его грустное признание «Ignoramus et igno-
rabimus» — мы не знаем и не будем знать — было
девизом многих научно-философских дискуссий в
университете. Однако как для Гильберта, так и для
Минковского такое признание было абсолютно
неприемлемо. Уже вто время оба они разделяли уверенность в
том, что (как позже выразил Гильберт) «каждая
определенная математическая проблема непременно
должна быть доступна точному решению либо в форме
действительного ответа на поставленный вопрос, либо
в форме доказательства невозможности ее решения и
тем самым в неизбежном провале всех попыток ее
решить».
Эта уверенность в разрешимости любой
математической проблемы незадолго до этого получила
наглядное подтверждение. Немецкий математик
Фердинанд Линдемаи дрказал старую гипотезу о
трансцендентности числа я и тем самым доказал
невозможность древней мечты о «квадратуре круга». До этого
достижения его карьера была не очень удачной. Одна
претенциозная работа, которую он опубликовал, была
жестоко (и довольно несправедливо) раскритикована.
Но теперь, решив знаменитую проблему, он отыгрался
за все. Он был героем дня в математике. После того
22
как Вебер переехал из Кенигсберга в Шарлоттенбург,
Линдемана пригласили занять его место.
Несмотря на свою общепризнанную славу, Лин-
деман был математиком меньшего калибра, чем Вебер.
Ему не пришлось оказать большого влияния на
Гильберта (и совсем никакого на Минковского), однако
благодаря ему в Кенигсберге вскоре появился молодой
человек, которому суждено было стать, не в пример
Веберу или Линдеману, настоящим учителем
Гильберта. Это был Адольф Гурвиц.
Весной 1884 года, когда Гурвиц приехал из Гёт-
тингена, чтобы приступить к обязанностям экстраор-
динариуса *), или ассистент-профессора, ему было
всего 25 лет. Как и Минковский, он уже прославился
своим ранним математическим развитием. Его учитель
гимназии Ганнибал Шуберт был так поражен его
математическими способностями, что тратил свои
воскресные дни на то, чтобы вводить Гурвица в свою область
исследований, ставшую известной как «исчисление
Шуберта». Ему также удалось убедить отца Гурвица,
еврейского промышленника, подобно судье Гильберту,
сомневавшегося в преимуществах академической
карьеры, чтобы он разрешил своему одаренному сыну
продолжать занятия математикой. Поощряемый
Шубертом, отец одолжил необходимые деньги у своего друга.
Первая математическая работа Гурвица была
опубликована в соавторстве с Шубертом, когда он еще был
в гимназии. Его дальнейшие занятия позволили ему
получить исключительно широкое образование по
математике того времени. Свою докторскую степень он
защитил у Феликса Клейна — одного из самых
блестящих молодых математиков в Германии того времени.
Прослушав лекции великих берлинских математиков,
он переехал в Гёттинген, где занимался важной
работой по теории функций.
Это был молодой человек с приятным характером,
любивший музыку почти в той же степени, как и
математику, и сам прекрасно игравший на фортепьяно.
2) Экстраординарный профессор (нем.). Преподавательская
должность в немецких высших учебных заведениях,
приблизительно соответствующая должности ассистент-профессора
(assistant professor) в американских университетах или должности
старшего преподавателя в вузах СССР.
23
Перед переездом в Кенигсберг он уже перенес
брюшной тиф, от которого чуть не умер. Часто его мучили
тяжелые припадки мигрени, быть может частично
вызванные тем, что он стремился к совершенству во всем,
чем йи занимался.
Гильберт нашел нового учителя «скромным во
внешнем проявлении», он увидел, что «его мудрые и веселые
гл^ва свидетельствовали о его высоком духе». Вместе
с Минковским они вскоре установили тесные
отношения с Гурвицем. Каждый вечер «ровно в пять» все трое
встречались для прогулки «к яблоне». Именно тогда
Гильберт нашел способ занятий, намного более
предпочтительный, чем сидеть над пыльными книгами в какой-
нибудь темной аудитории или библиотеке.
<<В бесконечных прогулках мы погружались в
тогдашние проблемы математики, обхменивались своими
вновь приобретенными знаниями, мыслями и
научными планами; тогда мы заложили дружбу на всю жизнь».
Занимаясь «самым интересным и легким способом»,
трое молодых людей исследовали каждое королевство
математического мира. Гурвиц со своими обширными
знаниями, «хорошо упорядоченными и основанными
на прочном фундаменте», был все время лидером. Он
полностью затмевал остальных двух.
«Мы не верили,— вспоминал позже Гильберт,—
что когда-нибудь сможем продвинуться столь же
далеко».
Но у них не было причин чувствовать себя подобно
Александру Македонскому, который жаловался своим
школьным товарищам: «Отец все завоюет, и нам ничего
не останется завоевывать».
Мир математики неисчерпаем.
Ill
ДОКТОР ФИЛОСОФИИ
Окончив восьмисеместровый университетский курс,
необходимый для получения докторской степени,
Гильберт начал обдумывать возможные темы для
диссертации. В ней он должен был получить какие-нибудь
оригинальные результаты в математике. Сначала он
намеревался заняться исследованием одного обобщения
непрерывных дробей. С этим он пошел к Линдеману,
бывшему его «Doctor-Father»1). Линдеман сообщил
ему, что, к сожалению, такое обобщение уже было
сделано Якоби, и порекомендовал вместо этого взять
задачу из теории алгебраических инвариантов.
Хотя теория алгебраических инвариантов считалась
очень современной областью, ее корни уходили в
аналитическую геометрию, изобретенную Рене Декартом
в семнадцатом веке. В декартовой системе координат
плоскости горизонтальные координаты суть
вещественные числа, обозначаемые через х, вертикальные
координаты — тоже вещественные числа, которые
обозначаются через у. Пользуясь этими координатами,
каждую точку плоскости можно отождествить с парой
вещественных чисел х, у. Благодаря этому
геометрические фигуры можно выразить алгебраическими
уравнениями и, наоборот, алгебраические уравнения
можно изображать геометрическими фигурами. Тем
самым проясняются как геометрические, так и
алгебраические понятия, а также отношения между ними —
геометрические идеи становятся более абстрактными и
легко формулируемыми, а алгебраические идеи —
более живыми и доступными интуиции.
*) Руководителем {англ.),
25
Имеется также большой выигрыш в общности.
Так же, как размер и вид фигур не зависят от их
положения относительно системы координат, так и
некоторые свойства соответствующих алгебраических
выражений тоже не зависят от системы координат. Эти
«инварианты» служат для описания данной
геометрической фигуры. Так, вполне естественно, развитие
проективной геометрии, изучающей часто совершенно
поразительные преобразования, связанные с
проектированием, способствовало параллельному развитию
алгебры, концентрирующемуся на изучении инвариантов
алгебраических форм относительно различных групп
преобразований. Благодаря своей высоко утонченной
мощи алгебраический подход вскоре одержал верх
над геометрическим, а теория алгебраических
инвариантов стала предметом всепоглощающего интереса
большого числа математиков.
Пионерами в новой области были англичане —
Артур Кели и его близкий друг Джон Сильвестр,
оба, по случайности, бывшие адвокаты, ставшие
математиками.
Однако немцы быстро усвоили новую теорию.
В результате этого известный математический журнал
Mathematische Annalen превратился почти
исключительно в международный форум работ по
алгебраическим инвариантам.
Проблема, которую Линдеман предложил
Гильберту для диссертации, касалась вопроса о свойствах
инвариантности некоторых алгебраических форм. Она
была довольно трудной для докторской диссертации,
однако не настолько, чтобы нельзя было ожидать ее
решения. Проявив оригинальность, Гильберт решил
ее способом, отличным от того, который, по общему
мнению, мог привести к успеху. Это была очень
хорошая работа. Линдеман был удовлетвт)рен.
Экземпляр диссертации был послан Минковскому,
который после недавней смерти отца уехал вместе с
матерью в Висбаден.
«Я изучал Вашу работу с большим интересом,—
писал Минковский Гильберту,— и наслаждался,
следя за всеми превращениями, в результате которых
бедные инварианты, сыграв свою роль, должны были
полностью исчезнуть, Я никогда бы не мог подумать,
26
что такая хорошая математическая теорема могла бы
быть получена в Кенигсберге».
11 декабря 1884 года Гильберт сдал устный
экзамен. Следующее и последнее тяжелое испытание
состоялось 7 февраля 1885 года, когда в Aula, актовом
зале университета, состоялся публичный выпускной
экзамен. Здесь он должен был защищать два тезиса,
выбранные им по своему усмотрению. Официальными
«оппонентами» были назначены два
студента-математика. (Одним из них был Эмиль Вихерт, позже
ставший известным сейсмологом.) Как правило, эта защита
представляла собой шуточное сражение, ее основной
целью было, установить, что кандидат в состоянии
понимать и ставить важные вопросы.
Два предложения, выбранные Гильбертом для
защиты, затрагивали весь диапазон математики. Перпое
относилось к экспериментальному способу
определения абсолютного электромагнитного сопротивления.
Второе имело философский характер и воскрешало
великий дух Иммануила Канта.
Кант, читавший лекции в Кёиигсбергском
университете пе только по философии, но и по математике,
утверждал, что человек обладает некоторыми
понятиями, которые имеют априорный характер, в отличие от
апостериорных понятий (т. е. таких, которые даются
опытным путем). В качестве примеров априорного
знания он ссылался на понятия логики, арифметики и
геометрии и, в частности, на аксиомы Евклида.
Открытие в первой половине девятнадцатого
столетия неевклидовой геометрии вызвало серьезное
сомнение в этом утверждении Каита. Действительно, оно
показало, что, отбросив одну из аксиом Евклида,
можно тем не менее построить геометрию, столь же
непротиворечивую, как и евклидова геометрия. Тем самым
стало очевидным, что знания, заложенные в аксиомах
Евклида, являлись апостериорными, эмниричесшши,
а не априорными.
Могло ли так же обстоять дело и с понятиями
арифметики? Гаусс, бывший, по-видимому, первым из
математиков, кто сознавал существование неевклидовой
геометрии, писал в одно время:
«Я глубоко убежден, что теория пространства имеет
совершенно иное отношение к нашему априорному
21
знанию, чем арифметика; совершенная уверенность в
необходимости, а следовательно, в истинности,
характерная для пооледней, является тем, в чем мы
полностью нуждаемся для первой. Мы должны со всей
покорностью признать, что число ееть не что иное,
как продукт нашего мышления. Наоборот,
пространство обладает реальностью и помимо нашего мышления,
его законы нельзя задавать a priori».
По-видимому, Гильберт придерживался того же
мнения, так как в своем втором предложении он
утверждал:
Что возражения против теории Канта об
априорной природе арифметических высказываний
необоснованны.
Никаких свидетельств о защите этого предложения
не имеется. По-видимому, его аргументы были
достаточно убедительными, так как по окончании диопута
ему была присуждена степень доктора философии.
Декан привел его к присяге:
«Торжественно спрашиваю Вас, обещаете ли Вы,
давая эту присягу, и подтверждаете ли со всей
убежденностью, что будете мужественно защищать
истинную науку, будете ее развивать и украшать не ради
выгоды или мишурного блеска славы, а для того, чтобы
свет божьей правды ярко светил и распространялся?»
В тот же вечер новый доктор философии и
пришедшие поздравить его друзья дали телеграмму Минков-
скому.
Этим Гильберт вступил на первую ступень
академической карьеры. Если бы его карьера сложилаоь
удачно, он смог бы добиться конечной цели — стать
гилным профессором. Это положение было столь
высоким в Германии того времени, что на могильных плитах
умерших профессоров писались их титулы и
специальности. Будучи же просто доктором философии, он не
имел права даже читать лекции студентам. Для этого
ему прежде всего нужно было выполнить еще одно
оригинальное математическое исследование и
представить его в качестве «Habilitation»1). В случае его
*) Хабилитация (нем.) — право читать лекции в
германских университетах, а также работа, представляемая для
получения этого права.
28
одобрения факультетом ему было бы присуждено venia
legendiх), а вместе с тем звание приват-доцента и право
без оплаты читать лекции под поручительством
университета. Будучи таким доцентом, он должен был
существовать на средства, получаемые с платы за обучение от
студентов, изъявивших желание слушать его лекции.
Так как курсы, посещаемые всеми студентами, такие,
как, например, анализ, читались членами факультета,
ему в лучшем случае пришлось бы вести класс из
пяти или шести студентов. В этом случае ему пришлось
бы испытать большие трудности. Однако если бы ему
удалось привлечь к себе внимание своей работой и
своими способностями (а лучше, как говорили злые
языки, если бы он женился на профессорской дочке),
то он мог бы стать экстраординарным профессором,
или ассистент-профессором, и получать жалованье от
университета. Следующей ступенью было бы
представление к званию ординарного, или полного профессора.
Однако эта высшая ступень доставалась отнюдь не
автоматически, так как, в отличие от практически
неограниченного количества доцентов, число выходивших
из них профессоров было очень ограниченным. Даже
в Берлине было всего три профессора математики,
в большинстве прусских университетов их было только
два, а в Кенигсберге всего лишь один.
В качестве спасения от превратностей такой
карьеры молодой доктор мог сдавать государственный
экзамен, дающий право стать учителем гимназии.
Это не было наградой, которой следовало отыдитьоя.
Хотя многие не пользовались этой возможностью,
надеясь на высокопочитаемую должность профессора,
надо было только сравнить число доцентов с числом
профессорских кафедр, имеющих шанс стать
вакантными, чтобы увидеть выгоды этой альтернативы.
Учтя это, Гильберт начал готовиться к государственному
экзамену, который он сдал в мае 1885 года.
В то же лето Минковский вернулся в Кенигсберг,
получил степень доктора философии, после чего почти
сразу же был призван на год в армию. (Гильберг был
г) Милость читающего (лат.); здесь: право читать лс'.дип
по своему выбору.
2D
одним из его официальных оппонентов на выпускном
экзамене.)
Гильберт не был призван на военную службу. Он
обдумывал научное путешествие. Гурвиц настаивал на
Лейпциге — и Феликсе Клейне.
Хотя Клейну было всего 36 лет, он уже стал
легендарной фигурой в математических кругах. В возрасте
23 лет (теперешний возраст Гильберта) он уже был
полным профессором в Эрлангене. Его вступительная
лекция, известная в истории математики как Эрланген-
ская программа, составила эпоху. В ней с помощью
теоретико-групповых понятий ему удалось
классифицировать и объединить различные и, на первый взгляд,
не связанные друг с другом геометрии, созданные в этом
столетии. С самого начала своей карьеры он проявил
редкостное сочетание творческих и организаторских
способностей, а также ярко выраженное стремление
разрушить барьеры между чистой и прикладной
наукой. Его интересы затрагивали всю математику.
Геометрия, теория чисел, теория групп, алгебра и теория
инвариантов — все было привлечено к его главной
работе — развитию и завершению великих идей Римана
в геометрической теории функций. Венком этой
работы явилась его теория автоморфных функций.
Однако Клейн, которого Гильберт встретил в
Лейпциге в 1885 году, уже не был прежним ослепительным
талантом. За два года до этого, в середине его занятий
автоморфными функциями, один молодой математик
из провинциального французского университета начал
публиковать работы, "показывающие, что его усилия
сосредоточены в той же области. Клейн сразу же
оценил силу своего соперника и начал с ним
лихорадочную переписку. Почти с нечеловеческими усилиями
он заставил себя добиться цели раньше Анри
Пуанкаре. Окончательный результат в этом соревновании был,
по существу, ничейным. Но Клеив не выдержал. Ко
времени приезда к нему Гильберта он только недавно
оправился от целого года глубокой душевной депрессии
и физической усталости, вызванных его нервным
потрясением. Это время он провел за созданием
небольшой книжки об икосаэдре, ставшей со временем
классической. Однако будущее его карьеры было еще
неопреде леннььм.
30
Гильберт посещал лекции Клейна и принимал
участие в его семинаре. Личность Клейна не могла не
произвести на него впечатления. Это был красивый
человек с темными волосами и черной бородой, с
светящимися глазами. Его лекции по математике почитались
всеми и распространялись даже в Америке. Что
касается реакции Клейна на молодого доктора из
Кенигсберга, то он заботливо хранил его Vortrag, доклад,
с которым Гильберт выступал на семинаре, и позже
писал: «Когда я услышал его Vortrag, я сразу же
понял, что у этого человека большое будущее в
математике».
После своей депрессии Клейн получил два
предложения занять кафедру, одно в университете Джонса
Гопкинса в Америке, от которого от отказался, другое
в Гёттингене, которое он только что принял.
По-видимому, Гильберт уже проникся чувством к Гёттинге-
ну, к университету Гаусса, Дирихле и Римана.
Вдохновленный назначением Клейна, он записал на
внутренней стороне обложки записной книжечки, купленной
в Лейпциге, одно из своих маленьких стихотворений.
Его почерк такой неразборчивый, что трудно
разобрать немецкие буквы. Однако смысл стихотворения
приблизительно следующий:
«Над этим грустным ноябрьским днем
.Мерцает яркий свет
Свет Гёттингена разливается над нами
Подобно памяти нашего детства».
В Лейпциге он вскоре познакомился с рядом других
молодых математиков. Одним из них был Георг Пик,
в котором Гильберта привлекло сочетание познаний об
оплодотворении растений и животных с преклонением
перед работами Гурвица. Другим был Эдуард Штуди,
основным интересом которого, как и у Гильберта,
была теория инвариантов. С последним они должны
были бы иметь много общего, однако этого не
произошло. Как писал Гильберт Гурвицу, «Штуди был странным
человеком и по своей природе совсем
противоположным мне, да, насколько я могу судить, и тебе тоже.
Локтор Штуди признает, а точнее знает, только одну
область математики, а именно теорию инвариантов,
притом исключительно символическую теорию инва-
3J
риантов. Все остальное есть бессистемное «дурака
валянье»... По этой причине он презирает вс.£х других
математиков. Даже в своей области он считает себя
единственным авторитетом, самым решительным
образом набрасываясь на всех остальных специалистов.
Он из тех, кто презирает все, чего не знает, в то время
как, например, на меня производит наибольшее
впечатление именно то, чего я еще не знаю». (Отвечая,
Гурвиц писал: «Я не могу тебе описать, насколько эта
личность противна мне, тем не менее в интересах этого
молодого человека я надеюсь, что ты видишь все в
несколько мрачном свете».)
В Лейпциге было значительно больше людей,
интересующихся теорией инвариантов; однако Клейн
направил все свои усилия, чтобы уговорить Штуди и
Гильберта ехать на юг в Эрланген навестить своего
друга Пауля Гордана, который в то время был
известен как «король инвариантов».
По какой-то причине эта поездка не состоялась.
Быть может, Гильберту не хотелось участвовать в ней
вместе с Штуди.
Вскоре Гильберт стал членом кружка математиков
в Лейпциге. В начале декабря 1885 года Клейн
представил научному обществу одну его работу по
инвариантам.
В новогоднюю ночь он был приглашен на
«маленькую, но очень избранную» вечеринку у Клейна —
«профессор Клейн, его досточтимая супруга, доктор
Пик и я». В эту ночь Минковский, скрюченный от
холода в форте Фридрихсбург, посреди реки Прегель,
писал новогодние пожелания своему другу, вопрошая:
«О, где те времена, когда этот бедный солдат так
жаждал посвятить себя любимой математике?» А у Клейна
шла оживленная беседа «о всех возможных и
невозможных вещах». Клейн пытался убедить Гильберта
поехать на семестр в Париж, а после этого уже
вернуться в Кенигсберг. Гильберт писал Гурвицу: «Он сказал,
что Париж в это время похож на пчелиный улей в
смысле научной активности, особенно это касается
молодых математиков; период занятий там мог бы оказать
самое плодотворное и стимулирующее влияние на
меня, особенно если удастся найти хороший подход
к Пуанкаре».
32
Сам Клейн в молодости совершил путешествие в
Париж вместе со своим другом Софусом Ли. Оба они
овладели там теорией групп, которая сыграла важную
роль в их научных карьерах. После этого, по словам
Гурвица, Клейн всегда старался посылать
многообещающих молодых немецких математиков в Париж.
Сам Гурвиц подтвердил рекомендацию Клейна: «Я
боюсь, что молодые французские таланты более яркие,
чем наши, поэтому нам надо овладеть всеми их
результатами, чхобы затем превзойти их».
В конце марта 1886 года Гильберт был уже в дороге.
IV
ПАРИЖ
По дороге в Париж Гильберту посчастливилось
ехать в поезде в одном купе со студентом
Политехнической школы, знавшим всех французских математиков
«по крайней мере в лицо». Однако в Париже, по
необходимости, ему пришлось объединиться с несговорчивым
Штуди, который уже обосновался там, также по совету
Клейна.
Гильберт и Штуди вместе нанесли
рекомендованные им Клейном математические визиты. Посылая свои
письма Клейну, они читали их вслух друг другу,
дабы избежать повторения информации.
Сразу же, как только Гильберт устроился, он
написал Клейну. Письмо показывает его почтение к
профессору. Его черновик был написан старательно,
с большим вниманием в отношении правильного,
изысканного стиля, а затем переписан крупным
аккуратным латинским шрифтом вместо готического,
которым он продолжал пользоваться в своих письмах
к Гурвицу.
«То, что я не смог написать Вам раньше и,
вверившись международной почте, прислать письмо вовремя,
объясняется различными причинами и
непредвиденными заботами, которые всегда неизбежны при первом
посещения чужой страны. К счастью, теперь я привык
к климату и освоился с новым окружением настолько,
чтобы начать проводить время так, как я хочу...»
Он прилагал все усилия к тому, чтобы, следуя
наставлениям Клейна, подружиться с Пуанкаре. Хотя
этот француз был всего на шесть лет старше его, он уже
опубликовал более ста работ. Вскоре его должны были
представить в члены Академии с простым
сопровождением, что его работы «выше обычной похвалы».
34
В своем первом письме Клейну Гильберт сообщил,
что Пуанкаре все еще не нанес ответного визита ему
и Штуди; однако он добавлял, что ему удалось
прослушать лекции Пуанкаре в Сорбонне по теории
потенциала и механике жидкости и после этого быть
представленным ему.
«Он читает свои лекции очень ясно и понятно для
моего образа мышления, хотя, как заметил здесь один
французский студент, пожалуй, слишком быстро. Он
производит впечатление очень молодого и несколько
нервного человека. Даже после нашего знакомства
он не кажется очень дружелюбным; я думаю, что это
объясняется его явной застенчивостью, которую мы
не смогли преодолеть из-за отсутствия у нас
лингвистических способностей».
К тому времени, когда Гильберт писал следующее
письмо Клейну, Пуанкаре нанес ответный визит
молодым немецким математикам. «Но относительно
Пуанкаре я могу сказать все то же: он кажется скрытным
из-за застенчивости, которую можно будет преодолеть,
если умело подойти к нему».
Отвечая на письма из Парижа, Клейн
(обосновавшийся теперь в Гёттингене) не отдавал предпочтения
ни одному из двух своих молодых математиков.
«Совершенно необходимо, чтобы Вы и Гильберт наладили
личный контакт с Горданом и Нётером»,— писал он
Штуди. «В следующий раз,— заканчивал он свое
письмо,— я буду писать доктору Гильберту».
По-видимому, Гильберт больше дорожил письмами Клейна,
во всяком случае, он сохранил письма, написанные
как Штуди, так и ему самому.
Французские математики — писал Гильберт
Клейну — встретили его и Штуди с большой теплотой.
Особенно добр был Жордан, он же «был одним из
тех, кто передавал Вам самые лучшие пожелания».
В честь Гильберта и Штуди он устроил обед, «на
который были приглашены только Альфан, Маннгейм и
Дарбу». Однако, так как из уважения к гостям все
говорили по-немецки, разговор о математике был «очень
поверхностным».
Лекции по математике, которые слушал Гильберт,
не произвели на него впечатления. «Французские
студенты имеют не много того, что бы нас заинтересовало».
35
Лекции Пикара оказались «менее элементарными».
Хотя Гильберту было трудно понимать произношение Пи-
кара, его лекции он посещал регулярно. «Он
производит впечатление очень энергичного и уверенного как
в разговоре, так и в преподавании».
Некоторые из знаменитых математиков их
разочаровали. «Что касается Бонне, то труд, который мы
затратили на его поиски — досадное невезенье заставило
нас обойти три разных дома,— был едва ли сравним с
той выгодой, которую мы получили от общения с таким
старым математиком. Он явно уже не имеет отношения
к математике».
Гильберт и Шгуди посетили собрание
Математического общества в надзжде познакомиться с какими-
нибудь молодыми или по крайней мере более молодыми
математиками: «Одной из причин этого является
желание отдохнуть от людей, подавляющих нас своим
величием». Среди тех, с кем они познакомились,
больше всего на Гильберта произвел впечатление некий
г-н д'Окакь «своими приятными манерами и простотой
в обращении».
На заседании Общества Гильберту пришел в
голову набросок более прямого доказательства одной
теоремы, приведенной в сообщении д'Оканя.
«Поддерживаемый Альфаном, я набрался смелости показать
этот новый способ доказательства». Д'Окань
попросил Гильберта написать это доказательство и
предложил помочь ему во французском, если он захочет
опубликовать его в Comptes Rendus г). «Но я не хочу
этим заниматься, так как считаю, что ни сама
теорема, ни ее доказательство не такие уж важные,
чтобы их опубликовывать в Comptes Rendus».
В связи с этим Клейн заметил: «Что касается
публикаций Пуанкаре, то они всегда производили на меня
впечатление, что их автор имеет намерение что-то
опубликовать, даже если в этом ничего или почти Ничего
нового не содержится. Согласны ли Вы с этим? Не
слышали ли Вы в Париже, что у некоторых такое же
мнение?»
х) Сокращенное название научного журнала Comptes Rendus
de VAcademie des Sciences de Paris, публикующего краткие
доклады, представленные в Академию наук Франции.
36
Среди французских математиков Гильберта больше
всего, по-видимому, привлекал Эрмит.
«Он не только продемонстрировал нам свою
знаменитую вежливость, без промедлений нанеся нам
ответный визит, но также был столь добр... что
предложил провести со мной свободное от лекций утро».
Молодые немецкие математики нанесли ему второй
визит. Эрмит казался им очень старым — ему было
64 года, «однако чрезвычайно добрым и
гостеприимным». Он рассказывал им о своем законе взаимности
бинарных форм и уговаривал их обобщить его на
тернарные формы. Однако в основном разговор шел об
инвариантах, что, как знал Эрмит, главным образом
интересовало его молодых гостей. Он привлек их
внимание к главной нерешенной здесь проблеме, известной
как «проблема Гордана», названной так в честь друга
Клейна из Эрлангена. Со всеми подробностями он
рассказал им о своей переписке с Сильвестром,
касающейся попыток последнего решить эту проблему.
«Разговоры Эрмита на другие, ненаучные темы
показывают, что, несмотря на свои преклонные годы, он
сохранил молодой задор»,— писал Гильберт с
восхищением Клейну.
В то время как Гильберт налаживал полезные
связи в Париже, Минковский все еще находился на
солдатской службе в Кенигсберге. «Я стоял на посту йа
морозе в 20°, и меня забыли с него снять даже в
новогоднюю ночь...» Однако он надеялся в скором времени
«возобновить старое знакомство с фрау Математикой».
До мельчайших подробностей просил он сообщать о
том, что происходит с его другом «на вражеской
территории».
«А если кто-нибудь из этих великих мужей, Жордан
или Эрмит, еще помнит обо мне, передайте им мои
наилучшие пожелания и разъясните, что я лентяй не
столько по природе, сколько по обстоятельствам».
В Париже Гильберт был полностью поглощен
математикой. В письмах к Клейну не упоминается ни
о каких экскурсиях, рьзве что о желании посетить
обсерваторию. Кроме встреч с математиками и
посещений лекций, он пытался отредактировать и
переписать «хорошим почерком» свою работу для хабилита-
ции. Работа быстро продвигалась.
37
В конце апреля 1886 года Штуди вернулся в
Германию и лично отчитался Клейну о своей деятельности
в Париже.
«О математике гораздо меньше, чем я ожидал»,—
писал неодобрительно Клейн Гильберту. В этом же
письме он забросал его полудюжиной вопросов и
замечаний, появившихся у него при чтении самого
последнего' номера Comptes Rendus. «Кто такой Спарр? Так
называемая теорема г-на Спарра содержится в одной
мюнхенской диссертации (я думаю, 1878ггода). Кто
такой Стилтьес? Этот человек представляет для меня
некоторый интерес. Мне также встретилась одна
ранняя работа Умберта — было бы очень интересно, если
бы Вы выяснили происхождение этой работы (может
быть, через Альфана?) и узнали что-нибудь о
личности автора. Странно, что снова входит в моду
геометрия в стиле Веронезе — Сегре...» Тон письма был более
интимным, чем в общих письмах для обоих молодых
людей. «Постоянно имейте в виду,— предупреждал он
Гильберта,— что предоставленные Вам сейчас
возможности больше никогда не повторятся».
Это письмо Клейна застало бедного Гильберта в
тяжелый для него месяц. Доктор нашел, что его болезнь
связана с акклиматизацией, «тогда как я думаю, что
это просто ужасное желудочное отравление от H2S04,
которую здесь принято пить в виде слабого и бледного
напитка под названием вина». Визиты прекратились,
а переписывание работы должно было быть отложено.
Ему удавалось только заставить себя ходить на лекции
и собрания. «Все приостанавливается, когда
неподходящее состояние человеческого организма дает о себе
знать...»
Быть может, он также немного скучал о своей
родине.
В конце июня, возвращаясь в Кенигсберг, он был
счастлив и полон энтузиазма. Остановившись в Гёт-
тингене, он отчитался Клейну в своей парижской
деятельности. «Это было его первым посещением
университета, и он был очарован маленьким городком и его
столь живописными холмистыми окрестностями. Все
это так отличалось от суетливого Кенигсберга и
окружающих его плоских равнин. По дороге он сделал
также остановку в Берлине, где «он посетил все, что имеет
88
хоть какое-нибудь отношение к математике». В
частности, даже грозного Леопольда Кронекера.
Это был маленький человек, не более пяти футов
роста, который, удачно устроив свои дела, связанные
с сельским хозяйством, обеспечил семью и в возрасте
30 лет удалился от дел с тем, чтобы посвятить остаток
жизни своему любимому занятию — математике.
Будучи членом Берлинской Академии, он регулярно
пользовался своим правом читать лекции в университете.
Теперь ему было 63 года, и только недавно, вместо
ушедшего в отставку Куммера, он стал официальным
профессором.
Кроиекеру принадлежат очень важные достижения
в математике и особенно в высшей алгебре. Однако,
как он однажды заметил, ему пришлось потратить
больше времени на обдумывание философских проблем,
чем математических. В последнее время он раздражал
своих коллег-математиков, особенно немецких, громко
выражаемыми сомнениями о законности оснований
большей части современной математики. Главной его
заботой было понятие арифметического континуума,
лежащего в основе анализа. Континуум есть
совокупность вещественных чисел — положительных и
отрицательных — целых, дробных, рациональных или
иррациональных, каждое из которых математики
изображают одной из точек на прямой. Хотя вещественные
числа в математике использовались уже давно, только
в прошлом столетии их природа была тщательно
исследована и объяснена точным и строгим образом. Это
было сделано в работах Коши и Больцано, а совсем
надавно в работах Кантора и Дедекинда.
Эти новые работы не устраивали Кронекера. По его
убеждению, в математике ничего не существует,
кроме того, что может быть построено с помощью
конечного количества положительных целых чисел. С этой
точки зрения дроби существуют, так как они
представляются в виде отношения двух положительных
чисел; в то же время иррациональные числа, например л,
не существуют, так как их можно представить только
бесконечным рядом дробей. Однажды, обсуждая с Лин-
деманом его доказательство трансцендентности числа л,
Кронекер заявил: «Что пользы в вашем замечательном
исследовании числа л;? Зачем заниматься такими проб-
39
лемами, когда иррациональные числа не существуют?»
Хотя он еще не сделал своего замечания: «Бог создал
натуральные числа, все остальное — дело рук
человеческих», но в частных беседах уже заявлял о новой
программе, предназначенной «арифметизировать»
математику и исключить из нее все «неконструктивные»
понятия. «Если же я этого сделать не сумею,—
говорил он,— то это сделают те, кто придет после меня».
Обладая многими привлекательными чертами, Кро-
некер в то же время делал ядовитые и очень личные
нападки на математиков, чьи математические работы он
не одобрял. («На самом деле,— вспоминал Минковский
в своем письме к Гильберту,— я не слышал много
хорошего о Кронекере даже в Берлине».) Выдающийся
старый Вейерштрасс был доведен почти до слез
замечаниями .Кронекера о «некорректности всех выводов,
с которыми сейчас имеет дело так называемый анализ».
Легко возбудимый, чувствительный Кантор из-за
нападок Кронекера на теорию множеств был полностью
сломлен духовно и должен был искать убежище
в психиатрической лечебнице.
Гильберт был предупрежден о возможном
неприветливом приеме у Кронекера, но, к удивлению, был
принят — писал он Клейну — «очень дружелюбно».
Вернувшись в Кенигсберг, он серьезно занялся
хабилитацией. Работа, которую он готовил, была также
посвящена теории инвариантов, однако ставила перед
собой значительно более серьезные цели, чем обычные
докторские диссертации. Одному математику,
которому позже пришлось изучать в свои студенческие годы
«каждую строчку» Гильберта, показалось, что эта
работа основывалась на удивительно ложном пути; «Она
начинается с утверждения, что представляет собой
важнейшую точку зрения, а затем просто переливает
из пустого в порожнее. Из нее ничего не вышло...
Я всегда удивлялся, что в течение нескольких лет
Гильберт находился в тупике, быть может из-за слишком
формального подхода, которому он, возможно, был
обязан своим контактом со Штуди».
Кроме своей работы, соискатель хабилитации
должен был также прочитать лекцию на одну из выбранных
им тем, которая была одобрена факультетом. Гильберт
предложил две темы: «Самые общие периодические
40
функции» и «Понятие группы». Факультет выбрал
первую из них, что больше устраивало и Гильберта.
Этой лекцией остались довольны все; так же успешно
прошел и устный экзамен. Гильберт смог написать
Клейну 8 июля 1886 года: «Тот титул, с которым Вы
незаслуженно обратились ко мне в прошлом письме,
теперь принадлежит мне по праву».
Незадолго до этого Гильберт и Клейн обсуждали
целесообразность защиты хабилитации в Кенигсберге.
Столица Восточной Пруссии была весьма отдаленной
математической провинцией. Немногие студенты
желали отправляться заниматься математикой в такую
даль; в действительности их было так мало, что Лин-
деману пришлось отказать в просьбе Минковского
защищать хабилитацию в Кенигсберге после
увольнения из армии.
«Однако, в конце концов, я доволен и рад своему
решению остаться в Кенигсберге,—писал Клейну
Гильберт.— Постоянное сотрудничество с профессором Лин-
деманом и больше всего с Гурвицем будет настолько
же интересно, насколько окажет полезное и
стимулирующее влияние на меня. Что плохо в Кенигсберге —
так это то, что он очень далек от интересующей меня
математики. Однако я надеюсь исправить это,
предприняв в следующем году ряд научных поездок. Быть
может, тогда мне удастся познакомиться с господином
Горданом...»
Почти половина самых плодотворных лет между
двадцатью и тридцатью годами уже прошла.
V
ПРОБЛЕМА ГОРДАНА
Гильберт решил, что, став доцентом, он будет
читать лекции на разные темы, не повторяясь, как это
делали многие другие, и тем самым будет образовывать
не только своих студентов, но и самого себя* В то же
время в ежедневных прогулках с ГурвицвхМ к яблоне
они наметили цель «систематического исследования
математики».
В первом семестре Гильберт подготовил лекции по
теории инвариантов, определителям и гидродинамике.
Последняя тема была предложена Минковским, который
готовилхабилитацию в Бонне и проявлял интерес к
математической физике. Не многие воспользовались
возможностью посещать эти первые лекции Давида
Гильберта. Только лекции по теории инвариантов собрали
число студентов, достаточное для того, чтобы получить
право держать класс в университете «Одиннадцать
доцентов, зависящих примерно от такого же числа
студентов»,— недовольно сообщал он Минковскому.
Отмечая свое новое положение, он заказал себе
официальный портрет. На нем можно увидеть уже
лысеющего молодого человека, в очках, с несколько
театральными усами, от которого веяло Целеустремленностью.
Свои заботы были и у Минковского в Бонне. Среди
доцентов он не смог найти близких ему по духу, а
профессор математики был болен. «Его болезнь особо
чувствительна для меня. Он был единственным, к кому
можно было здесь обратиться с вопросом по математике и
с кем вообще я мог говорить на математическую тему».
При любой возможности он возвращался в
Кенигсберг и присоединялся к Гильберту и Гурвицу в их
ежедневных прогулках.
42
За эти годы дружба Гильберта с Минковским
окрепла. Свои каникулы Минковский часто проводил в Pay-
шене. После одной из таких поездок, получив
фотографию Гильберта, он писал: «Если бы Вы не
выглядели на ней таким величавым и полным достоинства,
то мне пришлось бы сохранить то диковинное
впечатление, которое Вы производили своим одеянием и
прической во время нашей короткой встречи этим летом
в Раушене». Размышляя, он добавлял: «То, что мы,
находясь в таких близких отношениях, не смогли
открыться друг другу, было для меня более чем
удивительно».
В переписке они все еще обращались друг к другу
с формальным «Вы», однако, посылая Минковскому
оттиск своей первой опубликованной работы,
представленной в прошлом году Клейном Лейпцигской
Академии, Гильберт надписал на нем: «Своему другу и
коллеге в ближайшем смысле этого слова... от автора».
В этот первый год, когда Гильберт стал доцентом,
ему не удалось совершить ни одной из своих поездок,
которые он столь оптимистично запланировал в
качестве компенсации за свое изолированное положение в
Кенигсберге. Позже он вспоминал свои годы «под
защитой» своего родного города как время «медленного
созревания». В следующем семестре он читал лекции
об определителях и гидродинамике, которые вначале
он надеялся прочитать в первом семестре. Он начал
также готовить лекции по сферическим гармоникам и
численным уравнениям. Несмотря на разнообразие его
лекций, его собственные работы продолжали относиться
исключительно к теории алгебраических инвариантов,
хотя он и интересовался вопросами из других областей.
Наконец, в начале 1888 года он почувствовал, что
готов предпринять давно обещанное себе путешествие.
Составив маршрут, рассчитанный на посещение 21
видного математика, в марте он отправился в путь. В
своих письмах к Минковскому он шутя называл себя
«специалистом по теории инвариантов». Поэтому он дер-
вым делом поехал в Эрлапген, где держал свой двор
«король инвариантов».
Пауль Гордан ярко выделялся своей личностью
среди математиков того времени. Будучи на двадцать
пять лет старше Гильберта, он довольно поздно заиял-
43
ся наукой. Его отец, бывший торговцем, открыв
необычайные способности сына к вычислениям, долгое
время отказывался их признавать. Односторонний и
вспыльчивый Гордан оставил несколько отрицательный
след в истории математики Однако это был человек
острого ума, обладавший глубокой тягой к дружбе
и близости с молодежью. Прогулки были
необходимостью для него. В это время, бормоча вслух, он
проделывал в голове сложные вычисления. В компании
он говорил без умолку. Он часто любил «вмешиваться».
Сидя в каком-нибудь кафе в окружении молодежи,
с кружкой пенящегося знаменитого эрлагенского пива
и с непременной сигарой в руке, он громко
разглагольствовал, отчаянно жестикулируя и полностью забывая
о своем окружении. Почти все время он говорил о
теории алгебраических инвариантов.
Большой удачей для Гордана было то, что время
его первых занятий этой теорией совпало с началом
нового этапа в ней. Первые годы ее развития были
посвящены исследованию общих законов, которым
подчиняются инварианты; на следующем этапе
началось методическое построение и классификация
инвариантов, что и послужило пищей для Гордана. В
некоторых его работах на протяжении 20 страниц не было
ничего, кроме формул. «Они служили основой для его
мыслей, заключений и способа выражения»,— писал
о нем позже один из его друзей. Однако усилия
Гордана в изобретении и разработке формальных
алгебраических операций были значительными. В начале своей
карьеры он сделал первый прорыв в знаменитой
проблеме инвариантов. За это ему и присвоили титул короля
инвариантов. Общая проблема, все еще не решенная и
ставшая самой знаменитой проблемой в этой теории,
была названа в его честь «проблемой Гордана». Именно
ее обсуждал Эрмит с Гильбертом и Штуди в Париже.
«Проблема Гордана» была совсем не похожа на
задачи типа «найти я», с которых начиналась алгебра много
веков назад. Это была абстрактная, чисто
математическая проблема, вызванная не окружающим нас
физическим миром, а развитием самой математики. К этому
времени стала известна внутренняя структура всех
инвариантных форм. Существовал метод, который
позволял, по крайней мере в принципе, выиисать все
44
различные инвариантные формы заданной степени от
данного числа переменных. Новая проблема имела
совершенно другой характер, так как относилась к
множеству всех инвариантов. Существует ли базис, т. е.
конечная система инвариантов, через которые рационально
или полиномиально выражается любой другой из
бесконечного числа инвариантов?
Выдающимся достижением Гор дана явилось его
доказательство, ровно за 20 лет до его встречи с
Гильбертом, существования конечного базиса для
бинарных форм, простейших из всех алгебраических форм.
Характерно, что оно было основано на вычислениях и
использовало структуру некоторых элементарных
операций, с помощью которых получались инварианты.
В настоящее время, будучи «голым вычислением», оно
имеет только историческую ценность. Однако в те дни
оно явилось высшим достижением в теории инвариантов,
о чем свидетельствует тот факт, что, несмотря на
двадцатилетние усилия английских, немецких, французских
и итальянских математиков* кроме некоторых
специальных случаев, теорема Гордана не была обобщена
на случай небинарных форм. Король, взошедший на
престол в 1868 году, оставался несвергнутым.
Незадолго перед приездом Гильберта в Эрланген Гордан
опубликовал вторую часть своих «Лекций о теории
инвариантов». Согласно рецепзии того времени, в план этой
работы прежде всего входило «разъяснить и подробно
проиллюстрировать примерами» доказанную им ранее
теорему. Гильберт был уже некоторое время знаком
с проблемой Гордана; однако теперь, слушая самого
Гордана, ему казалось, что он прочувствовал ее гораздо
глубже, чем раньше. Проблема заняла его воображение
с почти сверхъестественной силой.
Здесь налицо была проблема, обладающая всею!
чертами великой глубокой математической проблемы,
к которым Гильберт позже причислял следующие:
Ясная и легко понимаемая («так как, в то время как
ясное и простое привлекает, сложное отталкивает»).
Трудная (чтобы нас привлекать») и в то же время
не полностью недоступная («чтобы не сделать
безнадежными наши усилия»).
Важная («путеводная звезда на извилистых тропах
к сокрытым истинам»}.
45
Мысли об этой проблеме его не оставляли, Покидая
Гордана, он увез его проблему в Гёттинген, где он
собирался посетить Клейна и Г. А. Шварца. Перед
отъездом из Гёттингена ему удалось дать более короткое и
простое непосредственное доказательство знаменитой
теоремы Гордана для бинарных форм. По словам одного
американского математика того времени, «приятным
сюрпризом было узнать, что первоначальное сложное
доказательство теоремы Гордана можно было
переделать так, чтобы оно занимало не более четырех
страниц в четверть листа каждая».
Из Гёттингена Гильберт направился в Берлин, где
посетил Лаза руса Фукса, который был теперь там,
профессором университета. Кроме того, он посетил Гельм-
гольца, а также Вейерштрасса, который недавно вышел
в отставку. Затем он снова нанес визит Кронекеру.
Будучи большим поклонником математических работ
Кронекера, он тем не менее находил чрезвычайно
отталкивающим не терпящее возражений отношение
старика к вопросу существования в математике. На этот
раз он обсуждал с К ронекером. некоторые свои планы
дальнейших исследований в теории инвариантов.
По-видимому, они не произвели большого впечатления на
Кронекера. Он сослался на свою, собственную работу,
сказав, как заметил себе Гильберт, «что мои
исследования по этому вопросу содержатся там». С другой
стороны, они имели пространную беседу об идеях
Кронекера относительно природы существования в математике
и о его возражениях против использования Вейерштрас-
сом иррациональных чисел. «Единственное равенство
есть 2 = 2... Только дискретное или особое имеет
смысл»,— записал Гильберт в маленькую занисную
книжку, куда он заносил свои замечания о беседах с
посещаемыми им математиками. ( На важность этой
беседы для развития Гильберта в то время указывает
тот факт, что в этой книжице ей было посвящено
четыре страницы, в то время как .на других математиков,
в том числе Гордана, никогда не затрачивалось
больше страницы.
От Кронекера он уехал, продолжая думать о
проблеме Гордана.
Дома, в Кенигсберге, эти мысли не покидали его
ни во время работы, ни на отдыхе, ии да;ке на танцах,
46
которые он так любил посещать. В августе, как обычно,
он поехал в Раушен; оттуда 6 сентября 1888 года он
послал короткую заметку в Nachrichten L) Гёттинген-
ского научного общества. В этой заметке он дал
набросок совершенно неожиданного и оригинального способа
доказательства теоремы Гордана, годного
одновременно для форм от любого числа переменных.
Известие о решении знаменитой старой проблемы
застало всех врасплох, и первой реакцией было полное
недоверие.
После простейшего случая, доказанного самим Гор-
даном, поиски решения в общем случае велись, по
существу, в том же направлении, т. е. при помощи
сложного алгоритмического аппарата, аналогичного
тому, который с таким успехом использовал Гордан.
В случае многих переменных и сложной группы
преобразований этот подход становился фантастически
трудным. Стало обычным делом видеть в Annalen 2)
формулы, занимающие более одной страницы. Как
жаловался позже один математик, они были «сравнимы
разве что с формулами, описывающими движение
Луны».
В этой атмосфере сплошного формализма Гцль-
берт пришел к мысли, что единственный способ добиться
желаемого, доказательства должен лежать на
совершенно другом пути от того формалистического
подхода, через который не могли пробиться все современные
ему исследователи. Отбросив весь этот сложный
аппарат, он свел проблему, по существу, к следующему
вопросу:
«Пусть задана бесконечная система форм от
конечного числа переменных. При каких условиях
существует конечная система форм, через которую все другие
выражаются в виде линейных комбинаций,
коэффициенты которых суть целые рациональные функции от тех
же переменных?».
Ответ, к которому он пришел, состоял в том, что
такая система форм всегда существует.
*) Сокращенное название немецкого научного журнала
Nachrichten der Gdttingen mathematischer Verdllgemeinerung.
.2) Сокращенное название немецкого научного журнала
Mathematische Annalen.
47
Это сенсационное доказательство существования
конечного базиса системы инвариантов основывалось
на одной лемме, или вспомогательной теореме, о
существовании конечного базиса модуля, математическую
идею которой он почерпнул при изучении работ Кро-
некера. Лемма была такой простой, что казалась почти
тривиальной. Тем не менее доказательство общей
теоремы Гордана являлось ее непосредственным следствием.
Эта работа была первым примером черты,
характерной для мышления Гильберта,— «естественная
наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или
предшествующем опыте», как выразил ее позже один из его
учеников.
Как только в декабре вышло из печати
доказательство теоремы Гордана, Гильберт сразу же отослал один
экземпляр Артуру Кели, который полвека назад
заложил основы этой теории. («Теория алгебраических
инвариантов,— писал позже один математик,—
появилась наподобие Минервы: взрослая дева, покрытая
блестящими доспехами алгебры, она выросла прямо из
божественной головы Кели. Ее Афинами, которыми она
правила и которым она служила как охраняющая и
благодетельная богиня, была проективная геометрия.
С момента ее рождения она была призвана защищать
предложение, что все проективные системы координат
эквивалентны...»)
«Дорогой сэр,— вежливо отвечал Кели из
Кембриджа 15 января 1889 года,— я должен поблагодарить
Вас за экземпляр Вашей заметки... Мне кажется, что
эта идея чрезвычайно важна и полезна и что она
должна привести к доказательству теоремы об инвариантах;
однако я все еще не могу поверить, что у Вас есть
такое доказательство».
Однако 30 января, получив за Это время два письма
от Гильберта с подробными объяснениями, Кели
поздравлял молодого немца: «Моя трудность имела
априорный характер, я думал, что подобный процесс
можно было бы применить также и к полуинвариантам,
а это оказывается не так; теперь мне совершенно ясно...
Я думаю, что Вы нашли решение великой проблемы».
Гильберт решил проблему Гордана способом, очень
напоминающим тот, которым Александр Македонский
развязал гордиев узел.
48
В Гордиуме (рассказывает нам Плутарх) он увидел
знаменитую колесницу, привязанную веревками, сделанными из коры
кизилового дерева. Согласно преданиям местных жителей,
развязавший этот узел овладеет мировой империей. Большинство
авторов рассказывают, что Александр, поняв, что он не сможет
развязать узел, концы которого были секретно перевязаны и
спрятаны внутрь, разрубил его на части своим мечом. Однако,
согласно Аристотелю, он легко с этим справился, вынув только
гвоздь из дышла, к которому было привязано ярмо, и после
этого снизу вытянув само это ярмо.
При доказательстве конечности базиса системы
инвариантов не использовалось его явное построение,
как это пытались сделать Гордан и другие. Не нужно
была даже указывать на метод его построения. Все, что
требовалось,— это доказать, что конечный базис, по
логической необходимости, обязан существовать, ибо в
противном случае получается противоречие. Именно
это и сделал Гильберт.
Реакция некоторых математиков напоминала
реакцию фригийцев на то, как Александр «развязал» узел.
Они совсем не были уверены, что ему удалось это
сделать. Гильберт не построил самого базиса и не дал
способа его построения. Его доказательство теоремы
Гордана нельзя было использовать для получения
конечного базиеа системы инвариантов даже
какой-нибудь одной алгебраической формы.
Линдеман нашел методы своего молодого коллеги
«unheimlich» — неудобными, чудовищными,
сверхъестественными. По-видимому, только Клейн оценил
всю силу его работы — «абсолютно простой и потому
логически безупречной»,—и именно в это время он
решил, что при первой же возможности должен
заполучить Гильберта в Гёттинген. Впервые после долгого
математического молчания громкий голос Гордана
раздался в математическом мире: «Das ist nicht Mathe-
raatik. Das ist Theologie» *).
Теперь Гильберт открыто выступил в общей
полемике о природе математического существования,
которая была начата Кронекером. Кронекер настаивал, что
без построения не может быть существования. Для
последнего, как и для Гордана, доказательства Гильберта
конечности базиса системы инвариантов было просто не
*) Это не математика. Это теология (нем.).
49
Матемамкой. В противоположность этому Гильберт
всю жизнь утверждал, что предложение, любое
следствие которого непротиворечиво, должно считаться
истинным.
Несмотря на философские разногласия, Гильберт
находился в то время под сильным влиянием
математических идей Кронекера.
На самом деле, как стало ясно позднее, главное
значение его работы по инвариантам заключалось
в применении арифметических методов к
алгебраическим проблемам. Экземпляр каждой своей работы он.
посылал Кронекеру. Тем не менее Кронекер как-то
заметил с обидой Минковскому, что он прекратит
посылать свои работы Гильберту, если тот не
будет посылать ему своих. После этого Гильберт сразу
же написал формальное, вежливое, но решительное
письмо:
«Я точно помню, и это же ясно показывает мой
список посылаемых работ, что я позволил себе смелость
отправлять Вам копию каждой работы, без
исключения, сразу же после ее выхода из печати; кроме того,
Вы были так добры, что на некоторые последние
отправления прислали мне открытки с благодарностью.
С другой стороны, высокочтимый профессор, еще не
было случая, чтобы я получил в качестве подарка хотя
бы один оттиск Ваших работ. Однако в прошлом году,
когда я имел честь посетить Вас, Вы упомянули, что
пошлете мне что-нибудь по своему выбору. Мне
кажется, что это указывает на какие-то недоразумения между
нами, и я пишу эти строки, чтобы цоскорее, насколько
это возможно, рассеять их».
Затем после многих исправлений он попытался
выразить мысль, что во всем им написанном надо видеть
только один смысл: не упреки, а 1юлько объяснения.
Отчаявшись, наконец, он просто подписался: «С
глубочайшим уважением, Давид Гильберт».
В следующие два года, будучи еще доцентом,
Гильберт послал две заметки в Nachrichten, а затем в 1890
году на основе всех своих работ по алгебраическим
формам он написал подробную статью для Annalen. К
этому времени революционное воздействие его работ стало
повсеместно признаваться и приниматься Переменил
свое отношение к молодому человеку и Гордан. Пред-
50
лагая другое доказательство одной из теорем
Гильберта, он писал, что доказательство господина
Гильберта было «абсолютно верным», а его собственное
доказательство было бы даже невозможно, «если бы
господин Гильберт не применил в теории инвариантов
понятий, развитых Дедекиндом, Кронекером и Вебером
в другой части математики».
В то время как Гильберт был вовлечен в чистейшую
часть чистой математики, Минковский все больше от
нее отдалялся. 31-летний Генрих Герц, спустя два года
после своего открытия электромагнитных волн,
предсказанных Максвеллом, стал недавно профессором
физики в Бонне. Минковский, жалуясь на «полное
отсутствие хотя бы наполовину нормальных математиков»
среди своих коллег, стал все больше склоняться к
Герцу и физике. Перед рождеством он писал, что, вопреки
обычаю, он не будет проводить канинулы в
Кенигсберге:
«Хотя я и не знаю, надо ли тебя утешать, так как
сейчас ты нашел бы меня полностью зараженным
физикой. Наверное, мне пришлось бы даже пройти
10-дневный карантин,прежде чем вы с Гурвицем допустили бы
меня, как математика чистого и неприкладного, к своим
совместным прогулкам».
В другой раз он писал:
«Причиной, по которой я теперь почти полностью
плаваю в физических водах, является то, что в
настоящий момент, как чистый математик, я здесь
единственный среди призраков, кто имеет чувствительное
сердце. Поэтому,— объяснял он,— для того чтобы
контактировать с другими смертными, мне пришлось окружить
себя магией, или, другими словами, физикой. Свои
лабораторные дни я провожу в Институте физики, дома
я изучаю Томсона, Гельмгольца и их компанию. С
конца следующей педели мне даже придется несколько
дней в неделю работать в голубом дыму одного
института, где в качестве техника мне придется
изготовлять физические приборы, т. е., как ты можешь
себе представить, заниматься сугубо практической
работой».
Однако расхождение в научных интересах не
повлияло па дружбу; на самом деле именно в это
время молодые люди в своей переписке сделали знамена-
51
тельный переход с формального «Sie»1) на дружеское
«du»2).
Годам приват-доценства, казалось, не будет конца.
Большая часть писем посвящалась обсуждению
возможности повышения. В 1891 году Минковский писал,
что, по слухам, ему могут предложить место в Дармш-
тадте. «Однако этот луч надежды может светить до тех
пор, пока не станет освещать уже почти совсем седые
волосы». В этом же году, по-видимому по особому
разрешению университета, лекции Гильберта по
аналитическим функциям слушал только один студент —
американец из Балтиморы, несколько старше, чем
молодой лектор, однако, по словам последнего, «очень
сообразительный и чрезвычайно заинтересованный».
Это был Фабиан Франклин, важный человек в теории
инвариантов и преемник Сильвестра в университете
Джонса Гопкинса.
Так как в Кенигсберге было мало
студентов-математиков, Гильберт, кроме математических собраний,
посещал также и собрания естествоиспытателей.
Кенигсберг был удивительно богат близкими ему по духу
молодыми людьми. Среди них был Вихерт, в это время
тоже доцент, а также недавно присоединившийся к
нему студент Арнольд Зоммерфельд, вместе с которым
они изобретали гармонический анализатор. Оба они со
временем стали выдающимися специалистами в
электродинамике. Однако, когда «маленький Зоммерфельд»
услышал лекцию Гильберта по теории идеалов, он
сразу же решил, что его интересует только самая чистая
и абстрактная математика. Позже он заметил, что «уже
было ясно, что дух особой силы принялся за работу».
Светская жизнь здесь была довольно бурной.
Гильберт был веселым молодым человеком с репутацией
«энергичного танцора» и «обворожителя», как
выражался один из его родственников. Он неутомимо
флиртовал со многими девушками. Однако его любимым
партнером во всякого рода развлечениях была Кете Ерош,
дочь кёнигсбергского торговца, откровенная, молодая
девушка, независимость мышления которой была
почти сравнима с его собственной.
г) Вы (нем.).
2) Ты (нем.).
52
Даже после работы 1890 года проблема Гордана не
оставляла Гильберта. Как и большинство математиков,
он предпочитал явное построение доказательству
существования. Как сказал один математик, «имеется
большая разница между доказательством
существования объекта определенного типа при помощи
построения осязаемого примера такого объекта или при
помощи рассуждений, показывающих, что его отсутствие
приводит к противоречию. В первом случае имеется
осязаемый объект, а во втором — лишь противоречие».
Ему очень хотелось получить для старого Кронекера,
Гордана и других конструктивное доказательство
конечности базиса системы инвариантов. Но в настоящее
время он просто не видел никакого подходящего
способа. Однако в следующие два года направление его
работы стало меняться. Его начинают все больше
привлекать идеи, относящиеся к полям алгебраических чисел.
И снова они были связаны с именем Кронекера.
Именно здесь Гильберт нашел наконец-то те мощные
методы, которые он так давно искал. В основополагающей
работе 1892 года он рассмотрел вопрос о необходимых
условиях, позволяющих найти -полную систему
инвариантов, через которую можно выразить все
остальные инварианты. Основываясь на ранее доказанной
теореме, ему удалось предложить метод, позволяющий,
по существу, за конечное число шагов получить
искомую конструкцию.
Хотя Гильберт не был первым, кто использовал
косвенные, неконструктивные доказательства, он был
первым, кто осознал их глубокое значение и силу,
а также смог воспользоваться ими в драматических и
чрезвычайно красивых ситуациях. Кронекер недавно
умер; однако тем, кто, как и он, заявлял, что
утверждение о существовании объекта без era явного построения
не имеет смысла, Гильберт мог всегда возразить:
«Значение доказательств чистого существования
состоит в точности в том, что, избегая конкретного
построения, они подчиняют многие различные конструкции
одной основной цели, позволяющей выявить в
доказательстве самое существенное; краткость и экономия
мысли есть raison d'etre l) таких доказательств. Запре-
х) Причина существования ($/?.).
53
тять теоремы существования... равносильно отказу
от всей математической науки».
Теперь, используя теорему существования,
Гильберту удалось получить построение. Толчок, который
дало это достижение для распространения методов
существования, вряд ли можно переоценить.
Минковский был в крайнем восхищении:
«Уже давно для меня было ясно, что дело только во
времени, чтобы тобою был разрешен старый вопрос об
инвариантах,— отсутствовали только точки над «i»;
но то, что все обернулось столь удивительно просто,
наполнило меня большой радостью, и я тебя
поздравляю».
Он был склонен к литературным вдохновениям и был
любителем метафор. От первого доказательства
существования Гордан почувствовал перед глазами дым, но
теперь Гильберт изобрел бездымный порох. Замок
баронов-разбойников — Гордана и остальных — был
сровнен с землей, было опасение, что он никогда не
возродится. Гильберт смог бы помочь своим коллегам-
математикам, если бы снабдил их своими материалами,
с помощью которых они смогли бы восстановить
замок. Но, вероятно, он не захочет тратить свое время
на это. Еще оставалось так много дел, которые он
способен был совершить! Сам Гордан любезно признал:
«Я убедился, что у теологии есть свои
преимущества».
Когда Клейн отправился в Чикаго на
объявленный Международный конгресс математиков в честь
основания Чикагского университета, он взял с собой
работу Гильберта, в которой этот молодой человек
между делом подытожил историю теории инвариантов и
свою долю участия в ней:
«В истории математической * теории легко
различаются три фазы развития: паивная, формальная и
критическая. Что касается теории алгебраических
инвариантов, то ее первых основателей Кели и
Сильвестра можно рассматривать как представителей
наивного периода: разрабатывая простейшие понятия
инвариантности и изящно применяя их к решениям
уравнений первой степени, они испытали первые радости
открытия. Клсбш и Гордап* которые изобрели и
привели в совершенство символическое исчисление, были
54
Лидерами ьтбрбГО периода. Критический период йаш&Я
свое выражение в теоремах, которые я перечислил
выше...»
Теоремы, на которые он ссылался, были его
собственными. Это утверждение, довольно дерзкое для
молодого математика, который еще не был даже ассистент-
профессором, имело, однако, достаточно оснований.
Кели и Сильвестр были еще живы, один был в
Кембридже, а другой в Оксфорде. Клебш уже умер, ноТор-
дан был жив и являлся одним и самых видных
математиков того времени. Теперь, в 1892 году, после работ
Гильберта теории инвариантов, понимаемой, как во
времена Кели, внезапно пришел конец. Как писал
позже один математик, «вся теория испустила дух».
При решении проблемы Гордана Гильберт нашел
себя и свой метод атаки конкретной знаменитой
проблемы, решение которой по своему значению намного
превосходило саму проблему. Впервые случилось что-
то совершенно неожиданное. Вначале
заинтересовавшая его проблема была решена, а ее решение полностью
освободило его от нее.
В заключение своей последней работы по
инвариантам он писал: «Тем самым мне кажется, что важнейшие
цели теории функциональных полей инвариантов
достигнуты». В одном письме к Минковскому он
высказался еще более решительно: «Я определенно брошу
теорию инвариантов».
VI
ПЕРЕМЕНЫ
В последующие три года Гильберт повышался в
академических рангах и делал то, что делает в этот период
жизни большинство молодых людей, — женился, стал
отцом, получил важное назначение и принял решение,
изменившее его дальнейшую жизнь.
Эта неожиданная последовательность событий была
вызвана* смертью Кронекера и возникшей в связи с
этим игрой «математических кафедр» в германских
университетах. Внезапно блеснула надежда, что
ограниченному достатку годов доцентства может прийти
конец. Минковский, навестивший в Берлине Фридриха
Альтхофа, ответственного за все дела в университетах,
возвещал о новостях:
«А. говорил... предполагается, что следующие лица
получат оплачиваемый экстраординариат: ты, я, Эбер-
хард и Штуди. Я не преминул случаем представить ему
тебя как математика с большим будущим... Что
касается Штуди, то, по чистой совести, я мог только
похвалить его добрые намерения и его усердие. А. очень
предан тебе и Эберхарду».
Примерно в это же время Гурвиц, бывший в
течение восьми лет ассистент-профессором (экстраорди-
нариусом) в Кенигсберге, получив предложение занять
место полного профессора в Швейцарском федеральном
технологическом институте в Цюрихе. Хотя это и
означало конец ежедневным математическим
прогулкам, оно давало Гильберту возможность занять место
Гурвица.
«По этой причине,—дружески писал Минковский,—
твой страшный пессимизм кончится и можно будет
осмеливаться снова посылать тебе дружеское слово. В
ближайшие недели, я надеюсь, навсегда прекратится бо-
56
лезнь приват-доцентских дней. Вот видишь, наконец-то
наступает весна и лето».
В июне Гурвиц женился на Иде Самуэльс, дочери
профессора медицины. Гильберт незадолго до этого был
помолвлен с Кете Ерош и после свадьбы Гурвица с
возрастающим нетерпением ждал медленно
продвигающегося повышения. Наконец, в августе тайным
голосованием факультет принял решение предоставить ему
место Гурвица. Он назначил день своей свадьбы и в то
же время сообщил Минковскому новости о своем
назначении.
Минковский с радостью прислал свои поздравления:
«Наконец-то ты полностью убедишься в том, что власть
имущие благоволят к тебе. Тем самым твои
перспективы на будущее превосходны».
Семьи Гильбертов и Ерошей уже давно были
дружны. С самого начала все соглашались с тем, что
Гильберт нашел для себя совершенную пару. «Она была
человеком цельным и независимым во всех отношениях,
ясная и сильная,— писал о Кете один и первых
учеников Гильберта,— она всегда была ровней своему мужу,
добрая, искренняя, всегда своеобразная».
Фотография, снятая примерно в это время,
запечатлела молодую пару. Ему 30 лет, ей 28. Уже на ней
они довольно похожи друг на друга. Почти одинаково
го роста, с большими, твердо очерченными ртами,
крупными носами и спокойными, ясными взглядами.
Голова Гильберта кажется довольно маленькой. Он
отрастил бороду. Уже обозначенная лысина открывает
решительно выступающий, высокий лоб ученого. Не
будучи ни хорошенькой, ни некрасивой, Кете обладала
приятными чертами лица, но, казалось, мало
обращала внимания на свою собственную внешность. Свои
темные волосы она гладко зачесывала назад с
пробором посередине и закалывала сзади в виде пучка.
12 октября 1892 года Гильберт и Кете Ерош
поженились. («Приятное настроение, в котором ты
пребываешь, не может не оказать влияния на твою научную
работу,— писал Минковский.— Я жду от тебя нового
великого открытия».)
Почти одновременно с тем, как Гильберт сменил
Гурвица в Кенигсберге, Минковский получил
обещанную должность ассистент-профессора в Бонне. Хотя
57
он надеялся получить какое-нибудь другое место,
Альтхоф сказал ему, «что для него будет лучше
остаться в Бонне». К этому времени Генрих Герц был
поражен недугом, унесшим его в могилу в возрасте 37 лет;
интерес Минковского к физике иссяк, и он вернулся к
своей первой любви — теории чисел. Позже он сказал
как-то Гильберту, что если бы «папа» Герц был жив,
вместо математика он мог бы стать физиком.
Подход Минковского к теории чисел был
геометрическим, его целью было выразить с помощью геометрии
соотношения между алгебраическими числами.
При этом подходе многие доказательства становились
более прозрачными. Он был глубоко погружен в
работу над книгой об этой новой теории, и его письма к
Гильберту были полны забот об изложении материала в ней.
Окончательный вариант должен был быть «klipp und
klar»1). Хотя он и называл Пуанкаре «величайшим
математиком в мире», Гильберту он писал: «Я не могу
заставить себя издавать свои труды в том виде, в каком издает
их Пуанкаре».
Эта книга часто мешала Минковскому проводить
свои каникулы в Кенигсберге. Гильберт жаловался,
что после отъезда Гурвица не с кем беседовать на
математические темы. «Мое положение гораздо хуже
твоего,—напоминал ему Минковский.— Насколько
Кенигсберг отдален от остального мира, настолько Бонн
отдален от математики. Я здесь просто математический
эскимос!»
К началу нового года (1893) дела Минковского
улучшились. Книга была наполовину окончена и уже
заслужила похвалу Эрмита, которую Гильберт нашел
очень трогательной.
«Вы очень добры, что назвали мои старые
исследования отправной точкой для Ваших замечательных
результатов,— писал Минковскому старый французский
математик,— но Ваши результаты оставили мои
настолько позади, что заслуга последних состоит теперь
только в том, что они проложили путь, выбранный Вами
для исследований».
Гильберт начал год новым доказательством
трансцендентности чисел е (впервые доказанной Эрмитом)
2) Коротким и ясным (нем.).
58
и я; (доказанной Линдеманом). Его Доказательство
представляло значительный прогресс по сравнению с
прежними и было удивительно простым и прозрачным.
Это был великолепный результат, который Минковский
ожидал от него с прошлой осени. Сразу же после
получения этого результата он сел и написал письмо
Гильберту.
«Час назад я получил твою заметку о е и я... и мне
остается только выразить тебе мое искреннее и
сердечное удивление... Я живо представляю себе
оживление Эрмита, вызванное чтением твоей статьи.
Насколько я знаю старика, я не удивлюсь, если в ближайщем
будущем он сообщит тебе о своей радости, что он все
еще способен испытывать наслаждение от такой работы».
Наряду с переменами в личной жизни и
общественном положении, Гильберт начал проявлять и новый
математический интерес. «Отныне я целиком посвящу
себя теории чисел»,— писал он Минковскому после
окончания последней работы об инвариантах. Теперь
он занялся этой новой областью.
Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел
вершиной науки. Он отзывался о ней как о
«неистощимом источнике интересных истин». Гильберт относился
к теории чисел как к «зданию редкой красоты и
гармонии». Как и Гаусса, его привлекала «простота ее
фундаментальных законов, малое количество определений
и чистота ее истин»; оба они в равной степени были
восхищены резким различием между очевидностью
формулировок ее результатов и «чудовищной» трудностью
их доказательства. Однако, одинаково отзываясь о
ней, они говорили о двух различных ветвях теории
чисе#.
Похвалы Гаусса относились к классической теории
чисел, восходящей к грекам и имеющей дело с
соотношениями между обычными целыми или натуральными
числами. Важнейшие из них касались отношений
между простыми числами, этими «кирпичиками» числовой
системы, и остальными, которые, в отличие от них,
кроме 1 и самих себя имеют еще и другие делители.
Ко времени Гаусса понятие натурального числа было
значительно расширено. Но Гаусс был первым
математиком, выведшим теорию чисел за пределы изучения
«поля» рациональных чисел. Числовое поле есть мно-
59
жеетво чисел, ё котором сумма, разность,
произведение и (в отличие от целых чисел) частное двух чисел
есть некоторое число из этого множества. Гаусс
рассматривал числа вида а + bY—1, где а и Ь —
рациональные числа. Множество таких чисел, как и аналогичное
множество чисел вида а + bj/2, образует числовое
поле, поле алгебраических чисел; такие поля
являются предметом изучения так называемой алгебраической
теории чисел. Именно об этом направлении теории
чисел, созданном Гауссом, с похвалой отзывался
Гильберт.
Главным препятствием в распространении теории
чисел на поля алгебраических чисел являлось то
обстоятельство, что в большинстве таких полей не
выполняется основная теорема арифметики, которая утверждает,
что каждое натуральное число однозначно разлагается
в произведение простых чисел. Это препятствие было в
некоторой степени преодолено Куммером, который
ввел в рассмотрение «идеальные числа». После Кумме-
ра эту теорию разрабатывали два математика,
совершенно по-разному подходившие к математике. Еще до
отъезда Гурвица в Цюрих вместе с Гильбертом они
посвящали свои ежедневные прогулки обсуждению
последних теоретико-числовых работ этих двух
математиков. «Один из нас разобрал доказательство Кро-
некера теоремы о разложении на простые идеалы,
другой же разобрал доказательства Дедекинда, —вспоминал
позже Гильберт, — и мы нашли отвратительным как
одно, так и другое». Занявшись полями алгебраических
чисел, он поступил так, как и при решении проблемы Гор-
дана. Вернувшись к самому началу, он обдумал
основные идеи теории. Его первой работой в этой новой
области было новое доказательство теоремы об однозначном
разложении целых алгебраических чисел на простые
идеалы.
Едва Гильберт освоился со своим новым
положением женатого человека и ассистент-профессора с
постоянным жалованьем, как пришли приятные
известия. Линдеман получил приглашение из Мюнхена и
собирался покинуть Кенигсберг.
«Само собой разумеется, и, имея хоть каплю
справедливости, другого йе может думать и Линдеман, что
ты должен быть его преемником,— писал Гильберту
60
Минковский.— Если ему удастся это пробить, то он
по крайней мере с честью покинет свое место, которое
он занимал в течение 10 лет».
Разумеется, Гильберт был согласен с этим. Однако
окончательное решение в этом деле принадлежало не
Линдеману, а Альтхофу. На вакантную должность,
профессора факультет назвал Гильберта и трех
более солидных математиков, и список был послан в
Берлин.
Альтхоф не был бюрократом, это был
администратор с академической практикой. Его великой целью
было создание математики в Германии. Будучи
близким другом Клейна — оба вместе служили в армии во
время франко-прусской войны,— он очень
прислушивался к его мнению. Просмотрев впечатляющий
список имен, присланный факультетом, он остановил свой
выбор на 31-летнем Гильберте. После этого он даже
совершил почти неслыханное дело — начал вести с ним
переговоры о назначении преемника на его должность
ассистент-профессора.
Это открывало возможность возвращения Минков-
ского в Кенигсберг. Несмотря на сложную ситуацию, в
Бонне, связанную с болезнью профессора математики,
Гильберт с энтузиазмом взялся за незнакомую для него
академическую дипломатию. Минковскому он написал
об их скорой возможной встрече.
«Для меня было бы особой радостью занять твое
место в Кенигсберге,— отвечал Минковский.— Здешние
контакты с математическими коллегами действительно
плачевны. Один жалуется на мигрень, а жена другого
вмешивается каждые пять минут, чтобы перевести
разговор на другую, нематематическую тему. Если, бы
вместо этого я имел возможность общаться с тобою, то в
научном отношении это означало бы для меня смену
ночи на день».
Однако больной профессор в Бонне, успев уже
привыкнуть к Минковскому, хотел в делах опереться на
его помощь. Альтхоф не любил расстраивать своих
профессоров. Переговоры затягивались.
Тем временем семейные дела шли обычным чередом.
11 августа 1893 года на морском курорте Кранцх)
) Ныне г. Зеленоградск Калининградской области РСФСР*
61-
у Гильбертов родился первый ребенок. Они назвали
сына Францем.
Спустя несколько недель после рождения Франца
Гильберт отправился на юг, в Мюнхен, на ежегодное
собрание Германского математического общества.
Оно было недавно организовано группой математиков,
среди которых был и Гильберт, и ставило себе целью
обеспечить более тесные контакты между различными
областями математики. Здесь Гильберт представил два
новых доказательства разложения алгебраических
чисел на простые идеалы. Несмотря на его первые шаги
в области алгебраических чисел, его компетентность
в этих вопросах явно произвела впечатление на
остальных членов Общества. Одним из проектов Общества
была ежегодная публикация обширных обзоров в
различных областях математики (первый из них был
посвящен теории инвариантов); на этот раз было решено
поручить Гильберту и Минковскому, последний был уже
хорошо известен как специалист по теории чисел,
подготовить «за два года» обзор текущего состояния этой
области. Назначение срока этой работы было вызвано
ее актуальностью в связи с тем, что революционные
труды Куммера, Кронекера и Дедекинда были
чрезвычайно сложными и настолько опережали свое время,
что были все еще недоступными для большинства
математиков. Тот факт, что исправить эту ситуацию
поручалось Гильберту и Минковскому, был не только данью
их математическим способностям, но также признанием
их способности к ясному и простому изложению
материала. Этой осенью письма, курсирующие между
Кенигсбергом и Бонном, были посвящены в равной мере
примерно трем темам: организации обзора для
Математического общества, прогрессу переговоров о переезде
Минковского обратно в Кенигсберг и тому факту, что,
с отцовской точки зрения, маленький Франц уже
«перекрикивает» остальных детей.
Положение в Бонне не улучшалось; в день Нового
1894 года Минковский писал, что он потерял почти
всякую надежду получить назначение в Кенигсберг.
Однако спустя три дня, встретившись с Альтхофом,
он послал Гильберту радостное письмо.
«Все окончилось хорошо, очень хорошо...
Сердечная благодарность за все твои усилия, приведшие к
62
этому счастливому исходу; желаю нам с тобою
приятного и выгодного сотрудничества, которое заставит
простые числа и законы взаимности wiggeln und
waggeln».
В марте по пути в Кенигсберг Минковский
остановился в Гёттингене. Г. А. Шварц тем временем переехал
в Берлин, а его место занял Генрих Вебер. Это
развязало Клейну руки для претворения в жизнь своих
замыслов. По-видимому, на Минковского произвела
глубокое впечатление та стимулирующая обстановка,
которая уже была создана Клейном в университете. «Кто
знает, когда мне снова доведется вдыхать эту
атмосферу математической мастерской, которая сейчас имеет
наивысшую репутацию?»
С приездом Минковского весной 1894 года
возобновились ежедневные прогулки к яблоне и совместные
беседы о теории чисел. По мнению Гильберта, нельзя
было придумать лучшего сотрудника для создания
Zahtberichtl) — такое название получил обзор по
теории чисел. Несмотря на мягкий характер
Минковского, его отношение было в основном критическое, он
настаивал на ясности стиля и содержания и «даже к
чужим работам предъявлял строгие требования».
План Zahlbericht начал вырисовываться в голове
Гильберта. Подобное поручение Математического
общества могло бы расцениваться молодым математиком
как нежелательная черная работа, однако для
Гильберта дело обстояло иначе. Уже era собственная
работа показывала, что он проявлял особый интерес к
вопросу о распространении законов взаимности на
поля алгебраических чисел. Теперь он сознательно отло-
жил^ в сторону свои планы, считая, что заказанный
обзор дает возможйость заложить основы для более
глубоких исследований. Хотя до сих пор он не питал
склонности к изучению теории по книгам, теперь он
прочитал все изданное по теории чисел со времен
Гаусса. Доказательства всех известных теорем надо было
тщательно обдумать. Затем ему следовало отобрать
из них те, «идзи которых поддаются обобщению и
наиболее перспективны для дальнейших исследовани-й».
х) Доклад о числах (нем.). Оригинальное название работы
«Теория полей алгебраических чисел».
63
Однако до этого необходимо было провести эти
«дальнейшие исследования». Кроме того, нужно было
устранить те трудности стиля и мышления предшествующих
исследователей, которые ставили преграду для общего
понимания и признания их работы. Было решено
разбить обзор на две части. Минковскому поручалось
изложить материал, относящийся к обычным
рациональным числам, а Гильберту — алгебраическую теорию
чисел. В течение 1894 года он заложил основы своей
части Zahlbericht.
И снова двум друзьям не пришлось долго
общаться. В начале дзкабря из Гёттингена пришло письмо с
припиской: «Строго конфиденциально».
«Наверно, Вы еще не знаете, что Вебер уезжает в
Страсбург,— писал Клейн Гильберту.— Сегодня же
вечером на факультетском собрании будет выбраи
комитет, которому будет поручено составить список
претендентов; хотя и я не берусь предсказать результат,
мне хотелось сообщить Вам, что я приложу все
усилия, чтобы сюда пригласили только Вас».
«Вы именно тот человек, в котором я нуждаюсь в
качестве своего научного дополнения. Это объясняется
направлением Вашей работы? силой Вашего
математического мышления и тем фактом, что Ваш возраст
приходится на самые продуктивные годы. Я рассчитываю,
что Вы вольете свежие силы в здешнюю математическую
школу, которая непрерывно растет и, по-видимому,
вырастет еще больше. Кроме того, быть может,
Вы.даже окажете омолаживающее влияние на меня...»
«Я не знаю, удастся ли мне оказать давление на
факультет. Более того, я не знаю даже, последует ли
предполагаемое предложение из Берлина. Однако одно
Вы должны обещать мне уже сейчас: что Вы не
откажетесь от полученного вызова!»
Неизвестно, имел ли Гильберт сомнения на этот
счет. В действительности он написал Клейну:
«Безусловно, я не колеблясь и с большой радостью приму
приглашение в Гёттинген». Однако, быть может,
некоторые сомнения у него и были. Клейн был
признанным лидером математики в Германии. Это был
величественный человек, и все чаще и чаще теперь к нему
применяли слово «царственный». Иногда даже таких
выражений было недостаточно, и один его бывший сту-
64
дент назвал его «божественным Феликсом». Один чело*
век, хорошо его знавший и гордившийся тем фактом,
что как-то дал Клейну совет в личных делах, позже
признался, что между ними до конца сохранялась
дистанция, «как между богом и простым смертным».
Что касается чувств Клейна по отношению к
Гильберту, то ему уже было ясно, чтот тот, подвергая
сомнению любой авторитет как в личных, так и в
математических вопросах, шел в жизни своим путем. Клейн не
мог не понимать возможных возражений против своего
выбора. Когда на факультетском собрании коллеги
обвинили его в том, что он просто хочет получить
удобного для него молодого человека, он ответил: «Я просил
самого трудного человека из всех».
Гильберт очень старался над своим ответом на
письмо Клейна, много перечеркивая и переписывая для
того, чтобы добиться точного понимания. Добившись
удовлетворительного варианта, он дал Кете переписать
свой ответ ее хорошим почерком. Последнее стало со
временем его частым обычаем.
«Ваше письмо удивило меня самым счастливым
образом,— начал он.— Оно открыло путь для
реализации того, на что я надеялся в лучшем случае только
в далеком будущем и что рассматривал как
окончательную цель всех моих усилий...»
«Решающим для меня будет прежде всего тот
стимул, которым Вы явитесь для моей научной
деятельности, и то огромное*влияние, которое окажет на меня
слава Вашего университета. Кроме того, это будет
исполнением самых заветных для меня и моей жены
желаний жить в маленьком университетском городке и
особенно так красиво расположенном, как Гёттинген».
Получив это письмо от Гильберта, Клейн принялся
реализовывать план своей кампании. «Я уже сказал
Гурвицу, что на этот раз его кандидатура не будет
выставляться, чтобы облегчить дорогу для Вас. Мин-
ковский будет назван вторым. Я это обсудил с Альт-
хофом, и он думает, что это облегчит Минковскому
возможность занять Ваше место в Кенигсберге».
Через неделю он с триумфом писал Гильберту:
. «Все кончилось просто прекрасно и намного быстрее,
чем я даже мог надеяться. Пожалуйста, примите мое
сердечнейшее приглашение».
65
VII
ТОЛЬКО ЧИСЛОВЫЕ ПОЛЯ
Красночерепичные крыши Гёттингена окружены
ровными холмами, среди которых здесь, и там
виднеются неровные силуэты древних сторожевых башен.
Большая часть старой стены все еще окружает внутренний
город, и в воскресные дни горожане «обходят стену» —
эта прогулка занимает один час. За стеной находятся
желтокирпичные здания университета Георга Августа,
основанного курфюрстом Ганновера, известным также
как король Англии Георг II. Внутри по сторонам узких
кривых улочек стоят красивые дома, наполовину
отделанные деревом. Две оживленные улицы Принцен-
штрассеи Веендерштрассе пересекаются в том месте,
которое математики называют началом координат
Гёттингена. На самом же деле центром города является
Rathaus, или ратуша. На стене Ratskeller x) начертан
девиз, который безапелляционно утверждает: Вне
Гёттингена жизни нет.
Великая научная традиция Гёттингена идет от
Карла Фридриха Гаусса, отец которого был
попеременно садовникам, смотрителем каналов и каменщиком.
Гаусс поступил в университет осенью 1795 года как
протеже герцога Брауншвейгского. В последующие
три года у него появилось так много великих
математических идей, что он часто только успевал заносить их
в свой дневник. Еще до окончания университета,
в возрасте 21 года, он фактически завершил одно из
классических произведений теории чисел и
Математики — Disquisitiones Arithmeticae 2). Позже он вернулся
в Гёттинген, чтобы занять пост директора обсерватории
*) Винный погребок при ратуше (нем.).
2) Арифметические исследования (лат.).
66
с нерегулярными педагогическими обязанностями.
Всю свою дальнейшую жизнь он провел в этом городе,
оставив свой след во всех областях чистой и
прикладной математики. В конце жизни, заняв в истории своей
науки место наряду с Архимедом и Ньютоном, он
всегда вспоминал свои первые годы в Гёттингёне как
«счастливые годы».
Гильберт приехал в Гёттинген в марте 1895 года,
почти ровно через сто лет после Гаусса. Не сразу
студентам стало ясно, что еще один великий математик
продолжил традицию. Гильберт резко отличался от
своего предшественника — сутулого и полного
достоинства Генриха Вебера, а также высокого и властного
Клейна. «Я все еще ясно помню,— писал Отто Блю-
менталь, в то время студент второго семестра,— то
странное впечатление, которое на меня произвел этот
просто одетый, энергичный человек среднего роста с
красноватой бородкой, который совсем не выглядел
профессором».
Репутация Клейна привлекала в Гёттинген
студентов со всех концов света и в особенности из
Соединенных Штатов. Bulletin x) недавно основанного
Американского математического общества регулярно
публиковал список лекций, читаемых в Гёттингёне, а в одно
время американцы в университете были столь
многочисленны и состоятельны, что имели даже свой
собственный почтовый адрес: Американская колония Гёт-
тингена. «На лекциях нас примерно
дюжина...,—писала англичанка Грейс Чизхольм (впоследствии миссис
В. Г. Юнг) своей бывшей сокурснице в Кембридже.—
Мы составляем пеструю компанию: пять американцев,
один шведо-француз, один венгр и один итальянец.
Для немецкой крови остается не так уж много места».
Центр математической жизни был сосредоточен на
третьем этаже Auditorienhaus 2). Здесь Клейн
организовал читальню, Lesezimmer, существенно
отличавшуюся от других математических библиотек того
времени. Книги располагались на открытых полках, к
которым имелся свободный доступ студентов. На третьем
х) Сокращенное название американского научного журнала
Bulletin of American Mathematical Society.
2) Здание, где читаются лекции (нем.).
67
этаже, в коридоре, Клейн устроил прославившую его
позже обширную коллекцию математических моделей.
Здесь перед лекциями всегда собирались студенты.
Хотя и не являясь комнатой в точном смысле этого
слова, это место называлось Комнатой математических
моделей.
Лекции Клейна заслуженно признавались
классическими. Как правило, примерно за час до лекции он
приходил, чтобы проверить энциклопедический список
цитируемой литературы, который по его требованию
приготовлялся его ассистентом. Это же время он
использовал для последней чистки всех шероховатостей
и неточностей, которые еще могли остаться в рукописи.
Прежде чем начать лекцию, он обдумывал план
расположения формул, диаграмм и цитат. Во время лекции
на доске никогда ничего не стиралось. К концу на ней
оставался полный конспект лекции, каждый
квадратный сантиметр доски был аккуратно заполнен, следуя
логическому порядку.
По мнению Клейна, студенты должны были
самостоятельно работать над доказательством. Он давал
только его общий план. Из-за этого студентам
приходилось затрачивать для усвоения материала четыре часа
на каждый час, проведенный на лекции. Сильной
стороной Клейна была присущая ему широта охвата
материала. «Он обладал способностью видеть основную
общую идею, пронизывающую отдельные проблемы,
и владел искусством представлять ее слушателям без
лишних необходимых подробностей»,— говорил один
из его студентов. В отборе материала"для лекций Клейн
следовал характерному для него величественному
плану: «в течение курса дать полное представление о всей
обширной территории современно*! математики».
В противоположность этому, согласно Блюмента-
лю, Гильберт читал свои лекции медленно, «без
ненужных украшений» и с частыми повторениями, «чтобы быть
уверенным, что все его поняли». Как правило, он
повторял материал прошлой лекции, что было привычкой
преподавателей гимназии, которой пренебрегали
другие профессора. И все же скоро его лекции, столь
непохожие на лекции Клейна, стали производить на
многих студентов большее впечатление, так как были дол-
ны «красивейшими проникновениями».
68
В хорошо приготовленной лекции Гильберта одно
предложение следовало за другим «просто, естественно
и логично». Однако обычно он готовил лекцию только
в общих чертах и часто спотыкался в деталях.
Случалось, что, не отмечая этого специально, он мог внезапно
начать развивать свои собственные идеи. Тогда его
лекции еще разительней отличались от совершенных
лекций Клейна и демонстрировали недоработки,
неправильно начатые доказательства, а иногда и
ошибочное направление самого замысла.
За восемь с половиной лет в Кенигсберге Гильберт
не повторил ни одного предмета, «за одним небольшим
исключением» — одночасового курса по определителям.
Теперь в Гёттингене ему легко было выбрать темы
своих лекций, согласованные с пожеланиями Клейна.
В первом семестре он читал курсы по теории
определителей и эллиптических функций, а также вместе с
Клейном каждое утро по средам вел семинар по
действительным функциям.
Хотя Гильберт с готовностью принял должность
профессора в Гёттингене, его беспокоили две стороны
нового положения. Кете здесь не была счастлива.
Общество Гёттингена, хотя для ее мужа и более
интересное в научном смысле, не высказывало того
дружелюбия, к которому она привыкла в Кенигсберге.
Строго соблюдаемая разница в рангах отделяла
профессоров от доцентов и студентов старших курсов. Несмотря
на свою доброту, Клейн держал Гильберта, как и
остальных, на некотором расстоянии. Его жена (дочь
философа Гегеля) была очень тихой женщиной, непохожей на
тех, кто окружает себя большой компанией. Дом
Клейна на улице Вильгельма Вебера, 3 — большой,
квадратный, внушительный, с бюстом Юпитера на лестнице,
ведущей в кабинет хозяина,— уже тогда походил на
здание института, которым он со временем стал.
Для Гильберта «товарищество» и человеческая
солидарность были необходимы для научного творчества.
Так же, как и Кете, он нашел атмосферу Гёттингена
весьма холодной.
Кроме того, поначалу Гильберта беспокоило, что он
может не оправдать надежд, питаемых ни его счет
Клейном. Он понимал, что причиной его приглашения была
вера в него. Перед отъездом из Кенигсберга он писал
69
Клейну: «Мои положительные достижения — которые
мне известны на самом деле лучше, чем кому бы то ни
было,— все еще очень скромны». В следующем письме
он снова вернулся к этому и добавил с надеждой:
«Что касается моей научной программы, то я надеюсь
в конечном счете сделать из теории идеалов полезное
и общее орудие (применимое также для аналитических
функций и дифференциальных уравнений), которое
дополнит великое и многообещающее понятие группы».
Потом он аккуратно зачеркнул это предложение и
написал на полях: Я не писал этого.
Теперь в Гёттингене Гильберт сосредоточил свои
усилия на своей части обзора по теории чисел для
Германского математического общества, который он
рассматривал как необходимую основу для своих надежд
на будущее.
В Кенигсберге Минковский почти сразу же получил
назначение на место своего друга. «Все произошло так
/быстро, что я еще полностью не привык к своему
поразительному счастью. Во всяком случае, я знаю, что
за все это я должен благодарить только тебя.
Увидишь, что я сброшу с себя свой кокон, и тогда никто не
сможет попрекнуть тебя за твои хлопоты обо мне».
Минковский был счастлив в своем новом положении —
профессора теперь старались изо всех сил, чтобы
описать достоинства своих дочерей,— однако, писал он,
после отъезда Гильберта он «ни разу не прогуливался
к яблоне».
Поддерживаемый Гильбертом, Минковский
использовал преимущества своего звания профессора, чтобы
прочитать курс лекций о теории бесконечности
Кантора. Это было в то время, когда, по словам Гильберта,
работа Кантора еще была фактическим «табу» в кругах
немецких математиков, частью из-за странности ее
идей, а частью из-за ранних атак Кронекера на нее.
Хотя Минковский был поклонником математических
работ Кронекера, он, как и Гильберт, сожалел о тех
способах, которыми старик пытался распространять
свои личные предубеждения на всю математику в
целом.
«Позднейшие историки назовут Кантора одним из
глубочайших математиков своего времени,— говорил
Минковский.— Достойно крайнего сожаления, что кри-
70
тика со стороны одного из наиболее высокочтимых
математиков, основанная не только на математическом
содержании, способна омрачить его радость от своей
научной работы».
В продолжение 1895 года письма между Гёттинге-
ном и Кенигсбергом становились все более редкими.
«Оба мы молча стараемся раскусить крепкий и в
действительности не очень вкусный орешек нашего
общего обзора,— писал Минковский, возобновляя
переписку,— у тебя, по-видимому, и зубы острее и энергии
побольше».
Идея совместного обзора на самом деле не очень
привлекала Минковского. «Я слишком поздно взялся
за свою долю,— писал он с сожалением.— Теперь я
вижу много мелких трудностей, от которых хорошо
было бы избавиться». Его более интересовала своя
книга по геометрии чисел. «Полное изложение моих
исследований по непрерывным дробям достигло почти
сотни печатных страниц, однако вполне
удовлетворяющее заключение все еще отсутствует: смутно
угадываемый характеристический критерий кубических
иррациональных чисел... Но я не смог заняться этой
проблемой, так как был занят работой над нашим обзором».
Гильберт же, с другой стороны, полностью
посвятил себя обзору. Он был потрясен недавно
обнаруженными глубокими связями между теорией чисел и
другими областями математики. Ему казалось, что теория
чисел должна занять ведущую роль в алгебре и теории
функций. То, что это не случилось ранее и в более
широких рамках, объяснялось, по его мнению, тем, что
подход к этой теории был всегда хронологическим,
а не понятийным. Теперь, используя язык полей
алгебраических чисел, можно будет добиться определенного
и неуклонного развития этой теории.
После утренних семинаров по средам вместе со
студентами он шел в популярный ресторан на Хайн-
берге, где за ленчем продолжались разговоры о
математике. Здесь, но словам Блюменталя, он
непринужденно разговаривал со студентами, как «с равными»,
однако темой бесед в то время были «только поля
алгебраических чисел».
К началу 1896 года, в отличие от Минковского,
Гильберт почти закончил свою часть Zahlbericht. В феврале
71
Гильберт предложил либо публиковать вместе обе
части в том виде, в котором они сейчас есть, либо на
следующий год издать только часть Минковского.
«Я принимаю твой второй план,— писал в
благодарностью Минковский.— Это решение тяготит меня
только тем, что весь год у меня будет чувство вины за
то, что я не оправдал ожиданий Общества и, в некоторой
степени, твоих. Правда, ты не сделал на этот счет
никаких замечаний, но... Быть может, упреки несколько
потеряют свою силу, если основная часть моей книги
теперь начнет выходить в свет, а остальная часть
последует за ней в скором времени. Наконец, я смею
надеяться, что моя деятельность приносит пользу нашему
проекту. Я прошу тебя не думать, что я покинул тебя
в беде».
Спустя месяц после получения этого письма
Гильберт закончил свой обзор по полям алгебраических
чисел. Исполнился ровно год после его приезда в Гёт-
тинген. Рукопись, составившая почти 400 страниц
печатного текста, была тщательно переписана ровным,
круглым почерком Кете Гильберт и послана в
типографию.
Корректура отправлялась Мипковскому в
Кенигсберг по мере появления. Его письма этого периода
свидетельствуют о доброжелательной, но в то же время
тщательной и безжалостной критике, с которой он
читал корректуру.
«Еще одно замечание, кажется, надо сделать на
странице 204». «Я прочитал до того места, откуда
начинаются длинные выкладки. Они по-прежнему
выглядят довольно запутанными». «Это уж не такая простая
мысль, чтобы ее можно было молчаливо опускать».
Минковскому недавно было предложено месго в
Цюрихе. Такое предложение, известное как «вызов»,
как правило, было объектом сложных переговоров и
церемоний, вызванных тем, что оно оставляло
единственную возможность полному профессору
продвинуться дальше. Минковский не обладал способностью
отражать удары в такое Полемике. Судя по письмам к
Гильберту, Альтхоф не стремился задерживать его в
Кенигсберге. С некоторым сожалением он наконец
принял приглашение в Цюрих на осенний семестр
1896 года.
73
Однако в Цюрихе он снова оказался в компании с
Гурвицем(«всетот же, кроме нескольких седых волос»);
оба друга вместе начали читать оставшуюся часть
корректур Гильберта. Исправления и предложения
продолжали поступать в Гёттинген. Гильберт начал терять
терпение.
Успокаивая его, Минковский писал: «Я понимаю,
что тебе хотелось бы поскорее разделаться о обзором...
однако пока встречается так много мест, нуждающихся
в замечаниях, что я не могу тебе обещать особенно
большой скорости...» «Целесообразнее быть более
внимательным...» «Успокаивай себя мыслью, что обзор будет
скоро закончен и заслужит высокую оценку».
Внимательное чтение корректур продолжалось.
К этому времени Гильберт начинал привыкать
к Гёттингену. В лице Вальтера Нернста он нашел
близкого себе по духу коллегу. Последний был профессором
физики и химии и, как Гильберт, сыном прусского
судьи. Кроме того, Гильберта тянуло к более молодым
л*одям, и он с радостью отбросил все условности в
выборе своих друзей. Среди них был Зоммерфельд,
приехавший в Гёттинген для продолжения своих занятий
и ставший первым ассистентом Клейна. Среди наиболее
ярких и интересных участников своего семинара
Зоммерфельд выбирал компаньонов для
продолжительных прогулок. Он называл их «своими» Wunder-
kinderL).
В то время как даже старшекурсники и доценты-
испытывали благоговейный трепет перед Клейном,
с Гильбертом они легко устанавливали товарищеские
отношения. Его кёнигсбергский акцент с его
отличительным ритмом и интонацией придавал неповторимый
оттенок всему, что бы он ни говорил. Они с
удовольствием подражали его манерам и мнениям и быстро
взяли на вооружение его «Aber nein!»— Да нет же\у—
которым он выражал свое полное несогласие с какой-
нибудь идеей, будь она в математике, экономике,
философии, общественных отношениях или просто в
университетских делах. («Было очень характерно, как он
это произносил, но по-английски это не передать даже
с помощью двадцати слов».)
*} Чудо-детн (нем.).
73
На своем семинаре он был всегда удивительно
внимательным к докладам студентов. Как правило, он
делал лишь небольшие исправления и всегда хвалил
их за старания. Однако, если что-нибудь казалось ему
слишком очевидным, он резко прерывал доклад
словами: «Aber das ist doch ganz einfach!»— Но ведь это же
совсем просто] Если же доклад студента был совершенно
никуда не годным, он мог строго отчитать докладчика
с характерными словами, ставшими позже
легендарными: «Ja, Fraulein S...1), у вас был очень интересный
доклад об очень интересной работе, но когда я задаю
себе вопрос, что же вы на самом деле сказали, то
представляю себе мел, мел, ничего, кроме мела!»
Иногда он мог быть даже жестоким. «Вы должны были
дважды подумать, прежде чем сказать ему неправду или
бессмыслицу,— вспоминал позже один студент.—
Нужно было остерегаться его прямоты».
Прожив год в Гёттингеке, Гильберты решили строить
дом на Вильгельм Веберштрассе, широком проспекте,
обсаженном липами, на котором предпочитали,
селиться профессора. «Этим, наверное,— писал Минковский,—
ты сделаешь вызов судьбе, которая в ответ с помощью
всевозможных заманчивых предложений попытается
вытащить тебя из Гёттиигена». Дом представлял собой
простое по архитектуре строение кз желтого кирпича,
без всяких «новомодных» витиеватостей, которые
предпочитали соседи. Он был достаточно просторен, чтобы
четырехлетний Франц не мешал отцу, как это было в
прежней квартире. Участок сзади дома был также
большим. Гильберты приобрели собаку, первого из
многократно сменявших друг друга терьеров, с неизменной
кличкой Петер. Гильберт, предпочитавший работать
«под открытым небом», повесил пятиметровую доску на
соседской стене и соорудил крытую дорожку,
позволявшую заниматься во дворе даже в плохую погоду.
Дом был уже почти закончен, когда Гильберт сел
писать введение к Zahlbericht. По мнению одного студента
более позднего времени, питавшего, не в пример
большинству-математиков, склодность к языку, это
введение было одним из лучших достояний немецкой прозы,
«его литературный стиль был точной копией его образа
2) Да, госпожа С... (нем.).
74
мышления». В этом введении Гильберт подчеркивал то
уважение, которое всегда питали к теории чисел ве-
дичайшие математики. Даже Кронекер упоминался с
похвалой, как «выразивший чувство своего сердца
высказыванием, что бог создал натуральные числа...».
«У меня все еще есть много претензий к твоему
обзору,— терпеливо писал Минковский.— Может быть,
ты не будешь упоминать в предисловии, что я читал
последние три раздела рукописи?»
Учтя эту просьбу, Гильберт выразил во введении
благодарность Минковскому за все, что тот для
него сделал. Однако Минковский все еще не был
удовлетворен.
«То, что ты не выразил благодарность госпоже
Гильберт, является, по нашему с Гурвицем мнению, просто
безобразием, и это надо немедленно исправить».
Это последнее добавление было сделано уже в
кабинете нового дома на Вильгельм Веберштрассе, 29.
Последней датой в конце введения к Zahlbericht было
10 апреля 1897 года.
«Я хочу поздравить тебя с наступлением того
времени, когда после столь многих лет работы наконец-то
твой обзор станет общим достоянием всех математиков,—
писал Минковский после получения своего специально
переплетенного экземпляра.— Я не сомневаюсь, что
в ближайшем будущем тебя самого будут считать
одним из великих классиков теории чисел... Кроме того,
я поздравляю твою жену с тем примером, который она
подала женам всех математиков и оставила свое имя
в памяти на все времена».
Обзор по полям алгебраических чисел во всех
отношениях превзошел ожидания членов Математического
общества. Заказав обзор о текущем состоянии теории,
они получили великолепный труд, где труднейшие
результаты недавних лет нашли свое логическое место
в ясно и просто изложенной теории. В рецензии того
времени о Zahlbericht отзывались как о вдохновенном
произведении искусства; позже его называли истинной
жемчужиной математической литературы.
Творческий подход Гильберта к обзору отражается
в содержащейся в нем теореме, до сих пор называемой
«теорема 90». Развитие идей, заключающихся в ней,
послужило одним из источников возникновения гомо-
75
логической алгебры, которая играет важную роль в
алгебраической геометрии и топологии. Как заметил
один математик, «Гильберт был не только очень
многогранным, но и очень плодотворным для других
математиков».
Для Гильберта весна 1897 года была памятной:
была закончена постройка нового дома, наконец-то
вышел в свет Zahlbericht. Затем пришли печальные
известия. Умерла при родах его единственная сестра
Элиза Френцель, бывшая замужем за судьей из
Восточной Пруссии. По словам одной из их двоюродных
сестер, отношения между братом и сестрой считались в
семье «прохладными». Тем не менее Минковский,
который в это время писал Гильберту, казалось, не мог
найти подходящие слова:
«Всякий, кто знал твою сестру, не мог не
полюбить ее за всегда приветливое и приятное
расположение и не увлечься ее радостным отношением к жизни.
Я живо помню... как весела она была в Мюнхене и Рау-
шене. Невозможно представить себе, что ей суждено
было покинуть тебя такой молодой. Как близка должна
была она быть твоему сердцу: ведь у тебя нет больше
ни братьев, ни сестер и вы так много времени провели
вместе в детские годы! Иногда кажется, что, занимаясь
наукой, мы более трезво подходим к превратностям
жизни и встречаем их с большим спокойствием,
однако на самом деле мы просто пользуемся возможностью
укрыться от наших печалей».
Однако следующее письмо Минковского содержало
счастливые новости в личной жизни. Состоялась его
помолвка с Августой Адлер, дочерью владельца
кожевенной фабрики близ Страсбурга. «Я уверен, что сделал
счастливый выбор и определенно надеюсь... что он
будет способствовать моей научной работе».
Постскриптум содержал небольшую информацию для
Гильбертов о его невесте: «Ей 21 год, она очень
симпатичная, и не только по моему мнению, но и по мнению
всех, кто ее знает. Она росла в окружении шести братьев
и сестер, очень домовитая и в необычайной мере
интеллектуальна».
По планам Минковского свадьба должна была
произойти в сентябре, а до этого предстояло важное
событие. В августе должен был состояться международ-
7G
ный конгресс математиков. Местом его проведения был
выбран Цюрих, который, находясь в Швейцарии,
представлял удобную для всех нейтральную территорию.
Клейн был приглашен возглавлять делегацию из
Германии. «Это повлечет за собой,— заметил Минков-
ский,— то, что из Берлина никто не приедет».
Хотя по какой-то причине Гильберт не участвовал
в этом первом конгрессе, он познакомился с
представленными докладами, из которых наибольшее
впечатление на него произвели два доклада, резко
выделявшихся из других. Одним из них был доклад Гурвица о
современном состоянии общей теории функций.
Другим было неофициальное выступление Пуанкаре о
взаимоотношениях между чистым анализом и
математической физикой.
Вскоре после конгресса в Страсбурге состоялась
свадьба Минковского.
До конца ноября от него не было писем.
«После моего долгого молчания ты мог бы подумать,
что моя женитьба полностью меня переменила. Однако
для моих друзей и для моей науки я остаюсь все тем
же. Просто па некоторое время был перерыв в моих
обычных интересах».
Закончив Zahlberlcht, Гильберт занялся давно
задуманными собственными исследованиями. Главным
его интересом было обобщение закона взаимности на
поля алгебраических чисел. В классической теории
чисел квадратичный закон взаимности, известный еще
Лежандру, был вновь открыт и впервые строго
доказан Гауссом, когда ему было 18 лет. Гаусс всю жизнь
считал его «жемчужиной» теории чисел и возвращался
к нему несколько раз, дав ему пять различных
доказательств. Этот закон описывает замечательные
соотношения между парой простых чисел и остатками от
деления квадратов целых чисел на них.
Для того чтобы подойти к закону взаимности с той
общностью, которую он имел в виду, Гильберту
требовался прочный фундамент, и таковым ему
послужил Zahlbericht. Во введении к нему он заметил, что
«по моему мнению, самая богатая идеями часть теории
чисел есть теория абелевых и относительно абелевых
полей, открытая для нас Куммером в работе о высшем
законе взаимности и Кронекером в исследованиях о
77
комплексном умножении эллиптических функций.
Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают
работы этих двух математиков, показывает в то же
время... что несметные сокровища все еще лежат
сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя,
знающего им цену и с любовью применяющего свое
искусство, чтобы овладеть ими».
Гильберт принялся за розыски этих сокровищ.
Работа над Zahlbericht принесла ему знание территории,
бывшей одновременно «тесной и обширной». Он
двигался осторожно, но уверенно.
«Доставляет огромное удовольствие наблюдать,—
писал позже один математик,— как в серии работ шаг
за шагом, поднимаясь от частного к общему,
развиваются адекватные понятия и методы и начинают
проясняться существенные связи».
Изучая классический квадратичный закон
взаимности Гаусса, Гильберту удалось переформулировать
его в простой и красивой форме, которая имела смысл
и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему
с необычайной ясностью угадать формулировку закона
взаимности для степеней, больших 2, хотя он и не смог
доказать его во всех случаях. Венцом его работы в
этой области была статья «О теории относительно абе-
левых полей», вышедшая спустя год после Zahlbericht.
В этой работе, по существу программной по своему
характеру, он дал набросок обширной теории,
получившей известность как «теория полей классов», и
развил методы и понятия, необходимые для дальнейших
исследований. Будущим математикам это казалось
«божественным откровением» — нигде в других его
работах не была так явно продемонстрирована его
математическая интуиция. В отличие от работы по
теории инвариантов, положившей конец развитию
теории, работе по полям алгебраических чисел было
суждено стать началом исследований. Но для других
математиков.
Сам Гильберт неожиданно перешел в другую
область.
VIII
СТОЛЫ, СТУЛЬЯ И ПИВНЫЕ КРУЖКИ
Сообщение о том, что в зимнем семестре 1898-1899
года Гильберт будет читать курс по геометрии, было
неожиданным для студентов, за все эти три года в Гёт-
тингене слышавших от него про одни только «числовые
поля». Однако новое увлечение Гильберта не было
совершенно неожиданным.
Еще доцентом Гильберт прослушал в Галле лекцию
Ганса Винера об основаниях и структуре геометрии.
Находясь под влиянием абстрактной точки зрения
Винера на геометрические объекты, по дороге в
Кенигсберг на вокзале в Берлине он глубокомысленно заметил
своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с
равным успехом можно было говорить вместо точек,
прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных
кружках». В этом шутливом замечании содержалась суть
курса лекций, которые он намеревался прочесть.
Чтобы понять подход Гильберта к геометрии, надо
помнить, что на начальном этапе своего развития
математика представляла собой, в основном, беспорядочный
набор утверждений, которые казались очевидными или
логически вытекали из других кажущихся очевидными
утверждений. Критерий очевидности применялся в это
время без всяких ограничений, для того чтобы овладеть
новыми математическими знаниями. Наконец, в третьем
веке до нашей эры некий учитель по имени Евклид
собрал часть современных ему знаний в том виде,
который стал общепринятым в последующие времена.
Вначале он определил используемые им термины —
точки, прямые, плоскости и т. д. Затем он свел большое
число очевидных утверждений примерно к десятку
утверждений, верность которых не вызывала никаких
сомнений и потому принималась без доказательства.
7Э
Из этих определений и аксиом (как позже были названы
эти утверждения) ему удалось вывести почти пятьсот
геометрических предложений, или теорем. Во многих
случаях последние теоремы были совсем не очевидными,
однако их истинность гарантировалась тем фактом,
что все они выводились в строгом соответствии с
принятыми правилами логики из уже принятых на веру
определений и теорем.
Хотя Евклид не был самым изобретательным
греческим геометром, а аксиоматический ме^од был
известен и до него, его изложение геометрии вызывало
всеобщее восхищение. Однако вскоре математики
начали сознавать, что, несмотря на свою красоту и
совершенство, работа Евклида содержала некоторые
пробелы. Например, принятых аксиом было недостаточно
для вывода всех теорем. Иногда попадались другие,
несформулированные предположения, особенно
связанные с наглядным представлением о невозможности
пересечения определенных прямых линий. Кроме того,
одна из евклидовых аксиом — постулат о
параллельных прямых — казалась уж не такой очевидной и не
могла быть принята на веру без доказательства. Один
из многочисленных вариантов этой аксиомы, по
существу, эквивалентен утверждению, что через любую
точку вне данной прямой можно провести ровно одну
прямую, не пересекающую данную прямую. Как
правило, однако, этот и другие пробелы в евклидовой
геометрии были не особенно серьезными — их можно
было легко устранить введением дополнительных
аксиом, призванных восполнить явно не
сформулированные предположения, либо доказательством
сомнительной аксиомы в качестве теоремы или заменой ее на
более очевидную аксиому, либо, наконец, приведением
отрицания этой аксиомы к противоречию. Последний,
наиболее хитроумный способ решения проблемы
постулата о параллельных прямых впервые ввел в
математику понятие совместности, или непротиворечивости.
По-видимому, Гаусс был первым математиком,
который примерно в 1800 году пришел к мысли, что
отрицание евклидова постулата о параллельных
прямых не приводит к противоречию и, тем самым,
возможны геометрии, отличные от евклидовой. Так как
эта идея уж слишком сильно попахивала метафизиче-
80
ской спекуляцией, он никогда не публиковал этих
исследований и лишь по секрету сообщил о них своим
ближайшим друзьям.
В 1830 году два самобытных математика почти
одновременно и независимо друг от друга вывели
всевозможные следствия из евклидовых аксиом с
измененной аксиомой о параллельных прямых. Их новая
аксиома утверждала, по существу, что через данную
точку вне дайной прямой можно провести бесконечное
число прямых, не пересекающих.данную прямую. Так
как полученные утверждения противоречили обычным
представлениям, оба они — русский Лобачевский
и венгр Я. Бояи — надеялись, что применение
аксиоматического метода приведет в конце концов к
противоречивым теоремам. Однако ни одного противоречия
в новой геометрии не было найдено, хотя теоремы,
полученные из новой системы аксиом, и находились
в резком противоречии с повседневной практикой
(например, сумма углов треугольника была, в отличие
от евклидовой геометрии, меньше двух прямых углов).
Тем самым они обнаружили, что можно построить
непротиворечивую геометрию, исходя из аксиом, не
кажущихся очевидными (в отличие от евклидовых)
и даже производящих впечатление неверных.
Однако удивительно, что открытие неевклидовых
геометрий не вызвало «крика беотийцев», опасаясь
которых, Гаусс (из письма к Бесселю от 27 января
1829 года) отказался от публикации своих
исследований на эту тему. Больше того, это открытие даже не
очень заинтересовало математиков. Для большинства
из них оно было уж слишком абстрактным.
Только в 1870 году идея неевклидовых геометрий
получила общее признание. Это произошло после того,
как 21-летний Феликс Клейн обнаружил в одной работе
Кели «модель», позволяющую отождествить исходные
объекты и соотношения неевклидовой геометрии с
некоторыми объектами и соотношениями евклидовой
геометрии. Этим он доказал, что неевклидова геометрия
непротиворечива в той же мере, что и евклидова,—
противоречие в одной из них необходимо влечет
противоречие в другой.
Невозможность доказательства постулата о
параллельных прямых стала, наконец, «столь же истинной,
Б1
как и любой другой математический факт». Однако
опять все значение этого открытия было оценено не
сразу и не всеми. Хотя большинство математиков
и признали, что можно строить различные неевклидовы
геометрии путем изменения постулата о параллельных
прямых, они так и не могли понять того очевидного
факта, что другие аксиомы Евклида также являются
произвольными предположениями и, заменяя их
другими, можно строить новые неевклидовы геометрии.
Только несколько математиков пытались все же
найти подход к геометрии, учитывающий все значение
открытия неевклидовых геометрий, и в то же время
исключить все скрытые предположения, нарушающие
логическую красоту труда Евклида. Первым такой
подход предпринял Морис Паш, которому удалось
полностью исключить все оплошности, основанные на
наглядности, и свести геометрию к сплошному
упражнению в логическом синтаксисе. Джузеппе Пеано
пошел еще дальше. По существу, он перевел работу
Паша на изобретенный им язык символической логики.
Подход Пеано к геометрии был абсолютно
абстрактным — исчисление соотношений между логическими
переменными.
Трудно было понять, каким образом Гильберт
надеялся продвинуться в этой области математической
мысли. В своих лекциях он стремился сократить
расстояние между абсолютно абстрактной символизацией
геометрии и ее естественной геометрической
наглядностью. Он снова обратился к евклидовым точкам,
прямым •линиям, плоскостям и старым отношениям
инцидентности, порядка и конгруэнтности знакомых
фигур — сегментов и углов. Однако этот возврат к
прошлому не означал возвращения к старому обману
евклидовой геометрии, претендующей на описание
фактов об окружающем нас мире. Вхместо этого он пытался
представить в классических рамках современную точку
зрения с еще большей ясностью, чем Паш или Пеано.
Кратчайшим путем прямой линии на плоскости он
довел до логического конца свое замечание, сделанное
шесть лет назад на берлинском вокзале. Сначала он
объяснил своей аудитории, что прямая, точка и
плоскость, как их определял Евклид, не имеют
математического смысла. Они появляются только в связи с теми
82
аксиомами, которые для них выбираются. Другими
словами, назвать ли их точками, прямыми,
плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками,
это будут те объекты, для которых справедливы
соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле
это похоже на то, как значение неизвестного слова
проясняется по мере использования его в различных
контекстах. Каждое дополнительное предложение,
в котором оно участвует, исключает некоторые
значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих
предложениях.
В своих лекциях Гильберт предпочитал
использовать традиционный язык Евклида:
«Рассмотрим объекты трех различных сортов,—
говорил он.— Объекты первого сорта будем называть
точками и обозначать их буквами А, В, С,...».
«Объекты» остальных двух сортов он назвал прямыми и
плоскостями. Между этими «объектами» могут
выполняться некоторые соотношения, которые он снова
предпочел называть такими знакомыми терминами, как
инцидентны, между, параллельны, конгруэнтны,
непрерывны и т. д. Однако, как и сами объекты,
соотношения между ними не определяются привычными
представлениями о них. Например, первоначальные
термины могут обозначать любые объекты с
единственным условием, что каждой паре объектов, называемых
точками, должен соответствовать один и только один
объект, называемый прямой линией, и аналогично для
других аксиом.
Результатом такого подхода был тот факт, что
теоремы такой геометрии справедливы для любой
интерпретации первоначальных объектов и основных
соотношений, для которой выполняются аксиомы. (Много
лет спустя Гильберт был в высшей мере восхищен,
когда обнаружил, что с помощью применения
некоторого определенного набора аксиом можно получить
законы, управляющие наследственностью дрозофилы:
«Так просто и точно и в- то же время так таинственно,
что никакая смелая фантазия не могла бы этого
предсказать!»)
В своих лекциях Гильберт предложил теперь
положить в основание геометрии простой и полный список
независимых аксиом, позволяющий доказать давно из-
83
вестные теоремы классической геометрии Евклида. Его
подход — оригинальное сочетание абстрактной точки
зрения и конкретного традиционного языка — был
особенно эффективным. «Это было похоже на яркое
солнце, внезапно засиявшее над долиной, сквозь
мрачные сумерки которой до этого могли найти путь только
люди с особым чувством ориентация»,— писал позже
один из его студентов. Выбрав систему аксиом
евклидовой геометрии, немногим отличавшуюся по духу от
аксиом самого Евклида, Гильберт смог менее формально
и с большей убедительностью и ясностью, чем Пеано
или Паш, продемонстрировать существо
аксиоматического метода. Его подход был понятен слушателям его
лекций, знакомых только с самими Началами Евклида.
Для специалистов, которым Начала, несомненно,
послужили введением в настоящую математику, этот
подход был особенно привлекательным, «как будто
смотришь в лицо, хорошо знакомое и в то же время
величественно преображенное».
В период этих лекций по геометрии в Гёттингене
велись приготовления к церемонии открытия
памятника Гауссу и Вильгельму Веберу; им обоим —
одному в математике, другому в физике — университет был
обязан своей двусторонней научной традицией. Для
Клейна эта церемония представляла случай еще раз
подчеркнуть органическую связь математических и
физических наук. Обсерватория Гаусса не была башней
из слоновой кости. Кроме открытий в математике, ему
принадлежат почти равные по важности достижения
в физике, астрономии, геодезии, электромагнетизме
и механике. Широте своих интересов он был во многом
обязан сотрудничеству с Вильгельмом Вебером. Вместе
они изобрели электромагнитный телеграф,
передававший сигналы на расстояние более трех километров.
Памятник изображал их обоих, рассматривающих свое
изобретение. Продолжение и укрепление в Гёттингене
традиций сочетания абстрактной математики с глубоким
интересом к физическим проблемам было главной
мечтой Клейна. Теперь он предложил Эмилю Вихерту
подготовить для юбилейного издания свои недавние
лекции по основаниям электродинамики, то же самое
он предложил Гильберту относительно его лекций по
основаниям геометрии. (Это был тот самый Вихерт,
64
который был официальным оппонентом Гильберта на
его выпускных экзаменах в Кенигсберге, а теперь так
же, как и он, профессор в Гёттингене.) Эпиграфом
к своей работе Гильберт выбрал цитату из Канта,
отдавая тем самым должное своему согражданину,
чей априорный взгляд на природу геометрических
аксиом был поколеблен новым аксиоматическим
методом:
«Любое человеческое знание начинается с интуиции,
затем переходит к понятиям и завершается идеями».
Хотя времени было в обрез, он успел отослать
корректуру этой работы в Цюрих, чтобы Минковскип
смог ее просмотреть. Как всегда, оценка Минковского
была высокой и пророческой. По его мнению, работа
должна была стать классической и оказать большое
влияние на мышление современных и будущих
математиков.
«Совсем незаметно, что в конце работы тебе пришлось
так сильно спешить,— уверял он Гильберта.— Быть
может, если бы у тебя было больше времени, работа
утратила бы' впечатление свежести».
Минковский не был слишком счастлив в Швейцарии.
«Откровенно говоря, принимай эту новость легче,
я с радостью готов вернуться в Германию». Его образ
мышления и манера чтения лекций не были популярны
в Цюрихе, «где студенты, даже наиболее способные из
них... привыкли получать все в разжеванном виде».
Однако он не решался сделать это признание
достоянием гласности в Германии. «Я чувствую, что, даже
если бы у меня и была какая-нибудь надежда на
новое назначение, в глазах многих я бы выглядел
смешным».
Гильберт пытался подбодрить Минковского,
пригласив его на церемонию открытия памятника Гауссу
и Веберу в Гёттингене. Дни, проведенные в Гёттингене,
показались Минковскому «похожими на сон», когда
в конце недели он должен был вернуться к «суровой
действительности» Цюриха. «Однако существование
этих дней так же верно, как твоя аксиома арифметики
18 = 17 + 1... Каждый, кто в последнее время
побывал в Гёттингене, не может не поразиться тому
стимулирующему влиянию, которое оказывает тамошнее
общество».
85
Сразу же, как только лекции Гильберта вышли из
печати под названием Основания геометрии, они стали
объектом внимания всего математического мира.
Один рецензент из Германии нашел книгу столь
красивой и простой, что поспешил предсказать ей стать
в ближайшем будущем учебником по элементарной
математике.
По мнению Пуанкаре, эта работа была классической:
«Современные геометры, считающие, что они достигли
предела в признании неевклидовой геометрии,
основанной на отрицании постулата о параллельных
прямых, расстанутся с этой иллюзией после ознакомления
с работой профессора Гильберта. В ней они найдут
разрушенными все те тесные рамки, в которые они нас
хотели заключить».
По мнению Пуанкаре, в работе был
один-единственный пробел.
«По-видимому, профессора Гильберта интересует
только логическая сторона дела,— замечает он.— Имея
ряд предложений, он находит, что все они следуют из
первого. Его не интересует происхождение этого
первого предложения с психологической точки зрения...
Аксиомы постулируются, мы не знаем их
происхождения; при таком подходе столь же легко постулировать
А равным С... С этой стороны его работа несовершенна,
но за это ее не стоит осуждать. В действительности
надо смириться с тем, что никто не может достигнуть
совершенства. Достаточно того, что он помог философии
математики сделать важный шаг вперед...»
Американский рецензент пророчески писал:
«Широкое распространение принципов этой работы
принесет много пользы для логического метода в любой
науке и для ясного мышления и выражения мысли
вообще».
По мнению Макса Дена, бывшего в то время
слушателем его лекций, решающим фактором,
определившим влияние работы Гильберта, был «характерный
гильбертовский дух... соединяющий в себе логическую
мощь с крайним чувством реальности, презирающий
условности и традиции, почти с кантианским
удовольствием преобразующий любую существенную идею
в свою противоположность, полностью использующий
преимущества свободы математического мышления!»
8G
В большой мере успех Гильберта, как и самого
Евклида, обязан стилю и логическому совершенству
изложения работы, а не ее оригинальности. Однако,
кроме привлекательного и легко воспринимаемого
изложения современной точки зрения, он сделал еще
кое-что, оказавшееся чрезвычайно важным. Установив
образец современного строгого мышления в виде
традиционной лестницы — первичные понятия, аксиомы,
теоремы,— он пошел значительно дальше. Став в
последующие годы общепринятым, его подход получил
название «метаматематика» — буквально: «за
пределами математики». В отличие от Евклида Гильберт
требовал, чтобы его система аксиом удовлетворяла
некоторым логическим требованиям:
Она должна быть полной, т. е. такой, чтобы из нее
можно было вывести любую теорему.
Она должна быть независимой, т. е. отсутствие одной
из аксиом системы делает невозможным доказательство,
по крайней мере, одной теоремы.
Она должна быть непротиворечивой, т. е. не
позволяющей получать противоречащих друг другу теорем.
Наиболее значительной стороной этой части работы
Гильберта была предпринятая им попытка доказать
последнее требование — что аксиомы непротиворечивы.
Это эквивалентно доказательству того, что обращение
с ними никогда не приведет к противоречию; короче,
что, исходя из данных аксиом, невозможно получить
как саму теорему, так и ее отрицание. При новом
понимании математической теории как системы теорем,
выводимых дедуктивным путем из множества
произвольно выбранных аксиом, понятие
непротиворечивости теории было единственной заменой
интуитивной истины.
Как мы видели, один метод доказательства
непротиворечивости уже был. Этим методом было доказано,
что любое противоречие в неевклидовой геометрии
влечет некоторое противоречие в евклидовой геометрии.
Таким образом, было показано, что неевклидова
геометрия столь же непротиворечива, как и евклидова
геометрия.
Следующий шаг, предпринятый Гильбертом, был
явно беспрецедентным, хотя и довольно очевидным.
Используя методы аналитической геометрии, он пока-
87
бал, зто любое противоречие в евклидовой геометрии
должно повлечь противоречие в арифметике
вещественных чисел. Тем самым вопрос о непротиворечивости
евклидовой и неевклидовой геометрии был сведен к
аналогичному вопросу об арифметике вещественных чисел,
которая, по мнению всех математиков, считалась
непротиворечивой.
Спустя несколько месяцев после выхода из печати
небольшая книжка Гильберта об основаниях геометрии
стала бестселлером в математической литературе. Были
запланированы переводы ее на французский и
английский языки, позже она была переведена и на
другие языки х). Студенты Гильберта, только год назад
слышавшие, что он говорил «только о полях
алгебраических чисел», с изумлением наблюдали за успехом этой
книги. Каким образом Гильберту снова удалось
вторгнуться в новую область математики и создать в ней
выдающееся зрелое произведение? Однако в тот
момент, когда они задавали себе этот вопрос, Гильберт
начал публиковать работы в еще одной, совершенно
новой области математики.
2) В том числе и на русский: «Основания геометрии», М.,
1923 (1-е изд.).
IX
ПРОБЛЕМЫ
«Чистая математика развивается, когда к решению
старых проблем привлекаются новые методы,— любил
говорить своим ученикам Клейн.-— Приобретаемое
таким образом лучшее понимание старых вопросов
приводит к возникновению новых проблем».
По-видимому, лучшей иллюстрацией к этому
утверждению Клейна был проект, за который взялся
Гильберт. Летом 1899 года, сразу же после издания
Оснований геометрци, он обратился к одной отарой
знаменитой проблеме, известной как, принцип Дирихле.
С этой проблемой были связаны имена всех
крупнейших представителей математической школы Гёттингена.
Суть этой проблемы составляла одна логическая
трудность, на которую стали обращать внимание только
со времен Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман и
другие предполагали, что всегда существует решение так
называемой краевой задачи для уравнения Лапласа.
Это предположение было основано на физической
интуиции, позволяющей всегда считать, что в
соответствующей реальной ситуации, описываемой этой
математической задачей, должен был быть определенный
физический результат, или решение. Кроме того, с чисто
математической стороны Гаусс заметил, что краевая
задача для этого же уравпения может быть сведена
к эадаче минимизации некоторого двойного интеграла
от функций с непрерывными частными производными,
имеющих заданные граничные значения. В силу
положительности этого двойного интеграла, очевидно,
должна была существовать наибольшая нижняя грань для
его значений, из чего делался вывод, что для одной из
рассматриваемых функций этот интеграл принимал
значение этой грани.
89
Рассуждение такого рода стало известно под
названием принципа Дирихле после того, как Бернгард
Риман весьма свободно пользовался им в докторской
диссертации 1851 года для обоснования своей
геометрической теории функций и присвоил ему имя своего
учителя Лежёна Дирихле. Последний затрагивал в
своих лекциях частный случай этого принципа.
Сейчас, оглядываясь в прошлое, мы считаем
диссертацию Римана одним из самых крупных событий
в истории современной математики. В те же времена,
однако, доверие к ней было подорвано, когда Вейер-
штрасс подверг критике принцип Дирихле. Как
указывал Вейерштрасс, предположение о том, что среди
допустимых функций должна существовать та, на
которой интеграл принимает свое наименьшее значение,
не является обоснованным с математической точки
зрения.
Для нематематика может показаться
бессмысленным выдвинутое Вейерштрассом требование
математического обоснования принципа, безусловно
применимого в физических ситуациях. Но в действительности
это не так, что и признал сам Риман после критики
Вейерштрасса. Только строгое математическое
доказательство может установить окончательную истинность
математического утверждения и гарантировать, что оно
всегда дает адекватное математическое описание
физического явления.
Сам Риман, однако, не был серьезно обеспокоен
критикой Вейерштрасса. Ему принадлежало не одно
открытие в теории функций, основанное на
аналогичных физических ситуациях, связанных, в частности,
с распространением электричества в проводнике. Он
верил, что задача, которая «разумна физически», будет
«разумна математически». Риман был убежден, что,
если потребуется, можно будет получить и
математическое доказательство существования искомого
минимума. Однако он умер молодым, не дожив до
сорока лет; спустя же несколько лет после его смерти
Вейерштрасс смог с уверенностью показать, что принцип
Дирихле не всегда выполняется. Для этого он
построил пример, в котором нельзя было найти функции,
минимизирующей интеграл при заданных граничных
условиях.
90
Это могло бы означать конец принципа Дирихле,
но этого не случилось. Хотя на некоторое время
математики и отвернулись от теории Рихмана, она была
слишком важна в математической физике, чтобы
сбрасывать ее со счетов. Так как сам принцип оказался
в общем случае неверным, математикам пришлось
изобретать различные искусные ad hoc x) методы
доказательства теорем существования, которые Риман
получал на основе принципа Дирихле. Таким образом им
удалось, хотя и не с тем изяществом, получить, по
существу, такие же конечные результаты, что и Риману.
К тому времени, когда Гильберт обратился к
принципу Дирихле, математики потеряли всякую надежду
на его спасение. Совсем незадолго до этого Карл
Нейман (сын Франца Неймана), которому принадлежали
одни из важнейших работ в этой области, посетовал на
то, что принцип Дирихле, «такой красивый и имеющий
такие важные приложения в будущем, навечно исчез
из поля зрения».
В отличие от многих своих современников, для
которых требование строгости было обузой, Гильберт был
твердо убежден, что строгость ведет к упрощению. Он
испытывал чувство глубокого восхищения перед тем,
как Вейерштрасс смог преобразовать интуитивный
анализ непрерывности в строгую и логическую систему.
Однако он не позволил дать себя увлечь вейерштрас-
совской критикой принципа Дирихле. Для него, как
он говорил, «заманчивая простота и несомненное
богатство возможных приложений» принципа сочетались
с «убежденностью в заложенной в нем истине».
Характерной чертой для подхода Гильберта к
математике являлось рассмотрение заложенных в ней
понятий с простейших, исходных точек зрения. Так
поступил он и теперь .«со всей наивностью и свободой от
традиций и предубеждений, характерными только для
истинно великих исследователей», как заметил один из
его более поздних учеников. В сентябре 1899 года,
спустя почти пятьдесят лет после диссертации Римана,
он смог представить Германскому математическому
обществу первую попытку того, что в ответ на замечание
Неймана он назвал «воскрешением принципа Дирихле».
*) Для данного случая (лат.).
91
Sa несколько минут — вся работа, включая
введение, занимала всего около пяти страниц — он показал,
как, накладывая некоторые ограничения на кривые
и граничные условия, можно устранить возражения
Вейерштрасса и вернуть теории Римана ее
первоначальную красоту и простоту. Согласно одному
американскому математику, присутствовавшему на этом
собрании, этот подход к знаменитой проблеме вызвал
«всеобщий восторг и удивление». Само рассуждение было
простым, однако вовсе не интуитивным. Клейн
отметил с восхищением: «Гильберт прижал волосы на
поверхностях» *).
(Спустя шесть лет, по случаю столетия Гёттинген-
ского научного общества, Гильберт снова вернулся
к принципу Дирихле и привел второе доказательство.)
«Работы Гильберта в этой области принадлежат
к его наиболее глубоким и выдающимся достижениям.
Они знаменуют больше, чем завершение целого этапа,—
писал один из его более поздних учеников, которому
также принадлежит важная заслуга в этой области.—
Доказательство существования Гильберта не только
было существенно упрощено и обобщено усилиями
многих математиков, но ему был также придан важный
конструктивный характер. Физик Вальтер Ритц создал
под влиянием Гильберта из реабилитированного
принципа Дирихле мощный метод для численного решения
краевых задач, пользуясь дифференциальными
уравнениями в частных производных, метод, который уже
в паше время превратил вычислительные машины в
становящееся все более эффективным средство численной
математики...»
После своего успеха с принципом Дирихле
Гильберт впервые в своей научной деятельности решил
прочитать в зимнем семестре* 1899—1900 года курс
вариационного исчисления. Последнее представляет
собой область анализа, имеющую дело с задачами на
нахождение экстремума, в которых (как и в случае
проблемы Дирихле) минимизируемая или
максимизируемая величина зависит не от одного численного аргу-
х) Замечание относится к методу доказательства
(состоящему в сглаживании резких пиков у функций минимизирующей
последовательности).— Прим. ред.
92
мента й даже не от конечного их числа, а от целой
переменной кривой, или функции, или даже от системы
переменных кривых.
Гильберту уже не раз удавалось убеждаться на
опыте, что отдельные знаменитые задачи составляют
жизненную силу математики. По этой причине
вариационное исчисление его особенно привлекало. Это была
математическая теория, выросшая из решения одной
конкретной задачи.
Проблема «линии скорейшего спуска» была
предложена Иоганном Бернулли в конце семнадцатого века
как вызов математикам того времени, а особенно своему
старшему брату Якобу, которого он публично осмеивал
за его некомпетентность. Несколько математиков
(включая Ньютона) предъявили решения; однако
презираемый старший брат превзошел всех своим «довольно
неизящным» решением. В нем удалось выявить факт,
кроме него никем не замеченный, что задача отыскания
в бесконечном множестве возможных кривых одной,
обладающей заданным свойством минимальности или
максимальности, представляет существенно новый тип
задач, требующих для своего решения создания
новых методов.
Одним из студентов, посещавших в то время лекции
Гильберта по вариационному исчислению, был Макс
фон Лауэ.
«...Убедительным впечатлением,— писал фон Лауэ
о своих студенческих днях,— было мое удивление,
когда я осознал, как много информации о природе можно
получить математическими методами. Глубокое
благоговение к теории охватывало меня, когда она бросала
неожиданный свет на неясные до того факты. Чистая
математика также не могла не произвести на меня
впечатления, особенно в блестящих курсах Давида
Гильберта».
«Этот человек,— добавлял будущий Нобелевский
лауреат,— живет в моей памяти как, быть может,
самый великий гений, которого мне довелось увидеть».
Хотя Вейерштрассу и удалось сделать
вариационное исчисление значительно более строгим, оно
по-прежнему представляло собой относительно заброшенную
ветвь математики. В период своих зимних лекций
Гильберту удалось получить несколько важных резуль-
93
татов. Среди них была теорема, в которой
формулировались и доказывались условия дифференцируемое™
минимизирующей кривой, на которой во многих
случаях достигается минимум.
Однако в действительности математические
интересы Гильберта в то время были более разнообразны,
чем когда-либо после его доцентских дней в
Кенигсберге. Исследования в геометрии продолжались в ряде
публиковавшихся работ. Кроме того, он написал
работу под названием «Понятие числа», в которой,
проникшись вновь обретенной страстью к
аксиоматическому методу, он предлагал заменить им обычный
«генетический» (как он его назвал) подход к действительным
числам. В ней он ввел понятие максимальной (или
нерасширяемой) модели с принадлежащей ему
аксиомой полноты. Именно в период этой необычайно
разнообразной деятельности к нему прибыло приглашение
выступить с одним из основных докладов на втором
международном конгрессе математиков в Париже
летом 1900 года.
Открывающееся перед ним новое столетие манило
его, как чистый лист бумаги с остро отточенным
карандашом. Ему хотелось произнести речь, которая
соответствовала бы важности этого события. В своем
новогоднем письме Минковскому он упомянул о получении
приглашения и вспомнил два столь поразивших его
выступления на первом международном конгрессе —
блистательную, но специальную лекцию Гурвица по
истории современной теории функций и популярную
беседу Пуанкаре о взаимосвязи между анализом и
физикой. Он всегда хотел ответить Пуанкаре, выступив
в защиту развития математики ради ее собственных
целей. Была также и другая мысль. Он часто
размышлял о важности конкретных проблем в развитии
математики. Быть может, ему стоило обсудить направление
математики в грядущем столетии в терминах некоторых
важных проблем, на которых математики могли бы
сконцентрировать свои усилия. Каково было мнение
Минковского? Минковский написал, что ему надо
несколько обдумать этот вопрос.
5 января 1900 года он снова написал:
«Я перечитал лекцию Пуанкаре... и нашел, что все
его утверждения высказаны в такой неопределенной
94
форме, что на них нельзя возразить... Так как ты
будешь говорить перед специалистами, я думаю, что
лекция.в стиле Гурвица предпочтительнее, чем
сплошная болтовня, как у Пуанкаре... В действительности
это зависит не столько от самого предмета, сколько
от способа его изложения. Однако ограничение темы
доклада позволит тебе увеличить аудиторию вдвое...»
«Наиболее соблазнительной была бы попытка
заглянуть в будущее и перечислить проблемы, на которых
математики могли бы попробовать себя в грядущем
столетии. С такой темой ты смог бы заставить говорить
о твоем докладе спустя десятилетия».
Минковский, однако, не упустил возможности
указать также на существование возражений против
выбора этой.темы. Гильберт вряд ли захочет поделиться
своими собственными идеями по поводу решения
некоторых проблем. Международная аудитория, в отличие
от немецкой, не будет столь приветствовать
философские обсуждения. Пророчество не выйдет легким.
Ответа от Гильберта не последовало.
25 февраля Минковский писал жалобное письмо
в Гёттинген.
«Как могло случиться, что от тебя ничего неслышно?
Мое последнее письмо содержало лишь мнение, что,
если ты выступишь с прекрасным докладом, это
будет превосходно. Хорошие советы ведь нелегко
давать».
Но Гильберт еще не сделал выбора относительно
темы своего выступления на конгрессе.
29 марта он советовался с Гурвицем.
«Мне надо начинать готовиться к основному докладу
в Париже, а я еще все колеблюсь в выборе темы...
Лучшим был бы взгляд в будущее. Что ты думаешь
о возможном направлении развития математики в
следующем столетии? Было бы очень интересно и
поучительно услышать твое мнение об этом».
Об ответе Гурвица ничего не известно.
Гильберт продолжал размышлять о будущем
математики в двадцатом столетии. К июню он все еще не
приготовил доклада, и программа конгресса была
разослана без упоминания о нем.
Минковский был страшно огорчен. «Мое желание
приехать на конгресс теперь почти пропало».
95
Наконец, в середине июля от Гильберта прибыл
пакет с корректурой. Это был долгожданный текст
доклада. Под скромным названием Математические
проблемы он должен был быть прочитан в Париже
и почти одновременно с этим опубликован в Nach-
richteti Гёттингенского научного общества.
Об отказе Минковского приехать в Париж больше
не могло идти и речи.
Он читал корректуру внимательно и с интересом.
В ней Гильберт подчеркнул важность проблем в
формировании направлений развития науки, выявил черты
великих плодотворных проблем и перечислил
требования к их «решению». Затем он сформулировал и
обсудил 23 отдельные проблемы, решения которых, по
его убеждению, сыграют важную роль в прогрессе
математики в наступающем столетии.
Первые шесть проблем относились к основаниям
математики, к тому, что, по его мнению, явилось
великим достижением только что кончившегося столетия:
открытие неевклидовой геометрии и прояснение
понятия арифметического континуума, или системы
вещественных чисел. В них сильно сказывалось влияние
недавней работы по основаниям геометрии и его
энтузиазма по поводу возможностей аксиоматического
метода. Другие проблемы были более специальны и
индивидуальны, частью старые и хорошо известные,
частью новые, однако все они затрагивали прошлые,
настоящие или будущие интересы Гильберта.
Последняя, двадцать третья проблема фактически
представляла скорее некоторое предложение на будущее, чем
проблему,— призыв к математикам грядущего столетия
обращать больше внимания на, по его мнению,
несправедливо заброшенный предмет — вариационное
исчисление.
С особым энтузиазмом Минковский отнесся ко
второй проблеме из списка Гильберта. В ней впервые
встречается утверждение, ставшее известным в
математике двадцатого столетия как «проблема
непротиворечивости».
Надо помнить, что в работе Гильберта по
основаниям геометрии непротиворечивость геометрических
аксиом была установлена сведением к утверждению
о непротиворечивости арифметики вещественных чисел,
%
которое прийималось всеми математиками. Но все же
как обстоит дело с арифметикой? Действительно ли она
непротиворечива? Если строить арифметику как
аксиоматическую теорию, как это было предложено
Гильбертом в недавней работе «О понятии числа», то этот
вопрос требовал ответа.
Адвокат может быть удовлетворен тем, что
«преобладание улик» свидетельствует «без всякого
сомнения», что арифметика в самом деле свободна от
противоречий. Однако Гильберт не захотел стать адвокатом.
Для него, как математика, непротиворечивость
арифметики должна была быть установлена с той степенью
определенности, которая не постижима ни в
юриспруденции, ни в других сферах человеческой деятельности,
отличных от математики. В своей второй проблеме он
ставил вопрос о математическом доказательстве
непротиворечивости аксиом арифметики вещественных
чисел. Для того чтобы подчеркнуть значение этой
проблемы, он добавил следующее:
«Если какому-нибудь понятию приписаны
противоречащие друг другу признаки, то я скажу, что это
понятие математически не существует... В
рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики
вещественных чисел, доказательство
непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству
математического существования понятия полной системы
вещественных чисел, или континуума. В самом деле,
если удастся полностью доказать непротиворечивость
этих аксиом, то все соображения, которые подчас
приводились против существования полной системы
вещественных чисел, становятся полностью
необоснованными».
Наконец-то, чувствовал Гильберт, это даст ответ
Кронекеру.
«Чрезвычайно оригинально,— заметил Минков-
ский,— высказывать в качестве проблемы на будущее
то, что математика давно считала своим достоянием —
арифметические аксиомы. Что скажут на это большое
число дилетантов в аудитории? Увеличится ли их
уважение к нам? Тебе придется вступить в бой также
и с философами!»
В следующие несколько недель Минковский и Гур-
виц изучали корректуру лекции Гильберта и давали
97
советы по поводу изложения ее на конгрессе. Оба они
были озабочены ее чрезмерной длиной. Обширное
введение к своим проблемам Гильберт заключил
волнующим высказыванием, в котором он повторил свое
убеждение («разделяемое, несомненно, каждым математиком,
но которое никто не подтвердил доказательством»),
что каждая конкретная математическая проблема,
несомненно, должна быть доступна строгому решению
или в форме действительного ответа на поставленный
вопрос, или с помощью доказательства невозможности
ее решения и тем самым неизбежной неудачи всех
попыток ее решить. Затем он воспользовался случаем,
чтобы со всей настойчивостью публично отрицать
«Ignoramus et ignorabimus» — мы не знаем и не будем
знать — высказывание Эмиля Дюбуа-Реймонда,
бывшее популярным в прошедшем столетии:
«Мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот
проблема, ищи ее решение. Ты можешь найти его с
помощью чистого мышления, ибо в математике не
существует ignorabimus».
Как Минковский, так и Гурвиц считали, что это
будет эффектной концовкой выступления. Затем можно
было бы, наверное, распространить список проблем
среди делегатов.
«Будет лучше,— увещевал Минковский,— если ты
не используешь полностью все отпущенное время».
28 июля Минковский отправил правку корректуры
обратно: «На самом деле, я верю, что эта лекция,
которая, несомненно, будет прочитана всеми математиками
без исключения, повысит, насколько это еще возможно,
твою популярность среди молодых математиков!»
В воскресенье, 5 августа, два друга встретились
в Париже.
Тысяча математиков заявили "ранее о своем
намерении приехать на конгресс; вместе с ними должны были
приехать почти семьсот членов их семей, желающих
увидеть Всемирную выставку века. Однако слухи о
толпах, высоких ценах и жаркой иогоде отпугнули многих
из них. Утром 6 августа, когда Пуанкаре открывал
вступительное заседание, вся аудитория едва
превышала 250 человек.
На следующий день после дня открытия математики
покинули чуждую им территорию выставки и отпра-
93
вились на левобережный холм, где Ecole Polytechnlque
и Ecole Normale Superieure *) с двух сторон граничат
с Пантеоном Наполеона и где узкая улочка ведет вниз
к потемневшим зданиям Сорбонны.
Хотя в прошедшем столетии наблюдалось развитие
многих новых областей математики, разделение
конгресса на секции осталось традиционным. Чистая
математика была представлена секциями арифметики,
алгебры, геометрии и анализа, а прикладная
математика — одной секцией механики. Общие секции
включали библиографию и историю в одной из них и
педагогику и методику в другой и расценивались более*
низко, чем математические секции; лекции на них хотя
и представляли интерес для более широкого круга,
но «не были такими ценными с математической точки
зрения», как писал один присутствовавший
американец. Первоначально доклад Гильберта планировался
на пленарное заседание в день открытия, но из-за
опоздания его перенесли на совместное заседание двух
общих секций, на утро 8 августа.
Человеку, взошедшему в то утро на трибуну, не
было еще сорока лет, он был среднего роста и гибкого
телосложения, быстрый, с выделяющимся высоким
лбом, лысый, за исключением нескольких тонких
пучков еще красноватых волос. На крупном носу устойчиво
сидели очки. Маленькая бородка и несколько
беспорядочные усы скрывали рот, удивительно широкий
и благородный для такого хрупкого подбородка. Ясные
голубые глаза за блестящими стеклами очков смотрели
невинно, но твердо. Несмотря на внешне
непритязательный вид докладчика, вокруг него создавалась
поразительная атмосфера энергии и интеллекта.
Ему уже удалось распространить на французском
языке часть своей речи. В то время это было необычным
делом, и его слушатели были удивлены и благодарны.
Медленно и отчетливо для тех, кто плохо понимал
uo-немецки, он начал свою речь.
х) Политехническая школа и Высшая нормальная школа
(фр.) ^ высшие учебные заведения Франции.
X
БУДУЩЕЕ МАТЕМАТИКИ1)
«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за
которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним
взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашей науки и
тайны ее развития в предстоящие столетия? Каковы
будут те особенные цели, которые поставят перед собой
ведущие математические умы грядущих поколений?
Какие новые методы и новые факты будут открыты в
новых столетиях на широком и богатом поле
математической мысли?
История учит, что развитие науки протекает
непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы,
которые последующая эпоха или решает, или
отодвигает в сторону, как бесплодные, чтобы заменить их
новыми. Чтобы представить себе возможный характер
развития математического знания в ближайшем будущем,
мы должны перебрать в нашем воображении вопросы,
которые еще остаются нерешенными, обозреть
проблемы, которые ставит современная наука и решения
которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем
кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно
своевременным. Ведь завершение великой эпохи не
только заставляет нас оглянуться на прошедшее, но и
направляет нашу мысль в неизвестное будущее.
Нельзя отрицать глубокое значение, какое имеют
определенные проблемы для продвижения
математической науки вообще, и важную роль, которую они
играют в работе отдельного исследователя. Всякая
научная область жизнеспособна, пока в ней имеется
избыток новых проблем; отсутствие проблем предвещает
х) Полный перевод этого доклада на русский язык
воспроизведен в книге «Проблемы Гильберта», «Наука», М., 1969.
100
отмирание или прекращение самостоятельного
развития. Как вообще каждое человеческое начинание
преследует определенные цели, так и математическое
творчество требует своих проблем. В решении проблем
исследователь укрепляет свои силы, находит новые методы
и новые точки зрения, открывает более широкие и
свободные горизонты.
Трудно, а часто и невозможно заранее правильно
оценить значение отдельной задачи; ведь в конечном
счете ее ценность определится пользой, которую она
принесет науке. Тем не менее мы можем спросить,
существуют ли общие признаки, которые характеризуют
хорошую математическую проблему. Один старый
французский математик сказал: «Математическую теорию
можно считать совершенной только тогда, когда ты
сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее
содержание первому встречному». Это требование
ясности и легкой доступности, которое здесь так резко
ставится в отношении математической теории, я бы
поставил еще резче в отношении математической
проблемы, если она претендует на совершенство; ведь
ясность и легкая доступность нас привлекают, а сложное
отпугивает.
Математическая проблема, кроме того, должна быть
настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то
же время не совсем недоступной, чтобы не сделать
безнадежными наши усилия. Она должна быть
путеводным знаком на извилистых тропах, ведущих к сокрытым
истинам, награждая в конце концов нас радостью
найденного решения.
Математики прошлых столетий привыкли со
страстным рвением отдаваться решению отдельных трудных
задач. Они знали цену трудной задаче. Я напомню
только поставленную Иоганном Бернулли задачу о
линии быстрейшего спуска. Как показывает опыт,
объяснял Бернулли, публично оповещая о своей
задаче, ничто с такой силой не побуждает высокие умы к
работе над обогащением знания, как постановка
трудной и в то же время полезной задачи. Поэтому он
надеется заслужить благодарность математического мира,
если он, следуя примеру таких мужей, как Мерсенн,
Паскаль, Ферма, Вивиани и другие, подобно им в свое
время, предложит задачу выдающимся аналитикам
101
Своего времени, чтобы они могли на ней, как на пробном
камне, испытать достоинства своих методов и измерить
свои силы. Этой задаче Бернулли и другим
аналогичным задачам обязано своим зарождением вариационное
исчисление.
Известно утверждение Ферма о том, что диофантово
уравнение
X" + Уп = 2П
неразрешимо в целых числах, если не считать некоторых
очевидных решений. Проблема доказательства этой
неразрешимости дает поразительный пример того, какое
побуждающее влияние на науку может оказать
специальная и, на первый взгляд, малозначительная
проблема. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел
к введению идеальных чисел и к открытию закона об
однозначном разложении чисел в круговых полях на
идеальные простые множители — теоремы, которая
благодаря ее обобщению на произвольные поля
алгебраических чисел, полученному Дедекиндом и Кронекером,
является центральной в современной теории чисел
и значение которой выходит далеко за пределы
теории чисел в область алгебры и теории функций.
Если касаться совершенно другой области
исследований, то я напомню вам о задаче трех тел. То
обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение
и почти приблизился к решению этой трудной задачи,
привело к плодотворным методам и далеко идущим
принципам, введенным этим ученым в небесную
механику, методам и принципам, которые сейчас
признаются и применяются также и в практической астрономии.
Обе упомянутые проблемы — проблема Ферма и
проблема трех тел — кажутся нам как бы
противоположными полюсами: первая представляет собой
свободное достижение чистого разума, принадлежащее
области абстрактной теории чисел, вторая выдвинута
астрономией и необходима для познания простейших
основных явлений природы.
Часто, однако, случается, что одна и та же
специальная проблема находит приложение в весьма различных
областях математического знания. Так, проблема
о кратчайшей линии играет важную историческую
и принципиальную роль одновременно в основаниях
102
геометрии, в теории кривых и поверхностей, в
механике и в вариационном исчислении. А как убедительно
продемонстрировал Ф. Клейн в своей книге об
икосаэдре значение проблемы правильных многогранников в
элементарной геометрии, теории групп,теории
алгебраических и линейных дифференциальных уравнений.
Чтобы осветить важность отдельных проблем, я
позволю себе еще сослаться на Вейерштрасса, считавшего
для себя большой удачей то стечение обстоятельств,
которое позволило ему в начале своей научной
деятельности заняться такой значительной проблемой, как
проблема обращения Якоби.
После того как мы рассмотрели общее значение
проблем в математике, обратимся к вопросу о том, из
какого источника математика черпает свои проблемы.
Несомненно, что первые и самые старые проблемы в
каждой области математики возникли из опыта и
поставлены нам миром внешних явлений. Даже правила счета с
целыми числами были открыты на этом пути еще на
ранней ступени человеческого развития так же, как и
теперь ребенок познает применение этих правил
эмпирическим методом. То же относится к первым задачам
геометрии, пришедшим с античных времен, таким, как
например, удвоение куба, квадратура круга, а также к
старейшим задачам теории численных уравнений,
теории кривых, дифференциального и интегрального
исчислений, вариационного исчисления, теории рядов
Фурье и теории потенциала, не говоря уже о всем
богатстве проблем собственно механики, астрономии
и физи.ки.
При дальнейшем развитии какой-либо области
математики человеческий ум, обнадеженный удачами,
проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые
и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния
внешнего мира, с помощью только логического
сопоставления, обобщения, специализирования, удачного
расчленения и группировки понятий и выступает
затем сам на первый план как постановщик задач. Так
возникли задача о простых числах и другие задачи теории
чисел, теория Галуа, теория алгебраических
инвариантов, теория абелевых и автоморфных функций и на
самом деле почти все тонкие вопросы современной
теории чисел и теории функций.
103
А между тем во время действия созидательной силы
чистого мышления внешний мир снова вступает в
действие: он навязывает нам своими реальными фактами
,довые вопросы и открывает нам новые области
математики. И в процессе включения этих новых областей
знания в царство чистого мышления мы часто находим
ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем
наиболее успешно продвигаем вперед старые теории.
На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре
между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те
многочисленные и поражающие аналогии и та
кажущаяся предустановленной гармония, которые математик
так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях
различных областей его науки.
Остается кратко обсудить, какие общие
требования могут быть предъявлены к решению
математической проблемы. Прежде всего я хотел бы сказать о
требованиях, благодаря которым удается убедиться в
правильности ответа с помощью конечного числа
заключений и притом на основании конечного числа
предпосылок, которые кладутся в основу каждой проблемы
и которые должны быть в каждом случае точно
сформулированы. Это требование логической дедукции с
помощью конечного числа заключений есть не что иное,
как требование строгости в рассуждениях.
Действительно, требование строгости, которое в математике
уже вошло в поговорку, соответствует общей
философской потребности нашего разума; с другой стороны,
только выполнение этого требования приводит к
выявлению полного значения существа проблемы и ее
плодотворности. Новая проблема, особенно если она
вызвана к жизни явлениями внешнего мира, подобна
молодому побегу, который может расти и приносить
плоды, только если он будет заботливо и по строгим
правилам садоводства взращиваться на старом стволе —
твердой основе нашей математической науки.
Будет большой ошибкой думать при этом, что
строгость в доказательстве есть враг простоты. Наоборот,
многочисленные примеры убеждают нас в том, что
строгие методы являются в то же время простейшими и
наиболее доступными. Именно стремление к строгости и
заставляет искать нас простейшие доказательства.
Это же стремление часто прокладывает путь к методам,
104
которые оказываются более плодотворными, чем
старые, менее строгие методы. Так, теория алгебраических
кривых благодаря более строгим
теоретико-функциональным методам и последовательному применению
трансцендентных методов значительно упростилась и
приобрела большую цельность. Далее, доказательство
законности применения четырех элементарных
арифметических действий к степенным рядам, а также
почленного дифференцирования и интегрирования этих рядов
и основанное на этом признание полезности степенных
рядов, несомненно, способствовало упрощению всего
анализа, в особенности теории исключения и теории
дифференциальных уравнений, а также
доказательству теорем существования в этих теориях. Но особенно
разительным примером, иллюстрирующим мою мысль,
является вариационное исчисление. Исследование
первой и второй вариаций определенного интеграла
приводило к крайне сложным вычислениям, а
соответствующие приемы, применяемые старыми математиками, не
были достаточно строгими. Вейерштрасс указал нам
путь к новому и вполне надежному обоснованию
вариационного исчисления. На примерах простого и двойного
интегралов я вкратце намечу в конце моего доклада,
как этот путь немедленно дает поразительное
упрощение вариационного исчисления. Именно, для
установления необходимых и достаточных критериев
максимума и минимума становится излишним вычисление
второй вариации и даже частично отпадает необходимость
в утомительных рассуждениях, связанных с первой
вариацией. Я уже не говорю о тех преимуществах,
которые возникают оттого, что исчезает потребность в
рассмотрении тех вариаций, для которых значения
производных функций меняются лишь незначительно.
Предъявляя к полному решению проблемы
требование строгости в доказательстве, я хотел бы, с другой
стороны, опровергнуть мнение о том, что совершенно
строгие рассуждения применимы только к понятиям
анализа или даже лишь одной арифметики. Такое
мнение, поддерживаемое иногда и выдающимися
математиками, я считаю совершенно ложным. Такое
одностороннее толкование требования строгости быстро
приводит к игнорированию всех понятий, возникших из
геометрии, механики, физики, приостанавливает при-
105
ФОк Нового материала из впешнего мира и в конце
концов приводит даже к отбрасыванию понятий
континуума и иррационального числа. А сколь жизненно
важный нерв был бы отрезан от математики, если бы из
нее пришлось изъять геометрию и математическую
физику! Наоборот, я считаю, что всякий раз, когда
математические понятия зарождаются из теории познания,
или в геометрии, или в естественнонаучных теориях,
перед математикой возникает задача исследовать
принципы, лежащие в основе этих понятий, и так
обосновать эти понятия с помощью полной и простой системы
аксиом, чтобы строгость новых понятий и их
применимость к дедукции ни в какой мере не уступали старым
арифметическим понятиям.
Новые понятия с необходимостью влекут и новые
обозначения. Мы выбираем их таким образом, чтобы
они напоминали те явления, которые послужили
поводом для образования этих понятий. Так,
геометрические фигуры являются образами для напоминания
пространственных представлений и в качестве таковых
используются всеми математиками. Кто не связывает с
двумя неравенствами а ^> Ь> о картинку трех
следующих друг за другом точек на прямой, которые
геометрически выражают понятие «между»? Кто не пользуется
образом вложенных друг в друга отрезков и
прямоугольников, если нужно провести полное и строгое
доказательство трудной теоремы о непрерывности
функции или существования предельной точки? Кто может
обойтись без фигуры треугольника, окружности с
заданным центром или без тройки взаимно
перпендикулярных осей? Или кто мог бы отказаться от образа
векторного поля или картины семейства кривых или
поверхностей с их огибающей — понятий, играющих столь
важную роль в дифференциальной геометрии, в
теории дифференциальных уравнений, в основам
вариационного исчисления и в других чисто математических
областях знаний?
Арифметические знаки — это записанные фцгуры,
а геометрические фигуры — это нарисованные
формулы; никакой математик не мог бы обойтись без этих
нарисованных формул, также как и не мог бы
отказаться при счете от заключения в скобки или их раскрытия
ийи применения других аналитических знаков.
108
Применение геометрических символов в качестве
строгого средства доказательства предполагает точное
знание и полное владение теми аксиомами, которые
лежат в основе теории этих фигур, и поэтому для того,
чтобы эти геометрические фигуры можно было
включить в общую сокровищницу математических символов,
необходимо строгое аксиоматическое исследование их
понятийного содержания. Точно так же как при
сложении двух чисел нужно подписывать цифры
слагаемых в строгом порядке друг под другом, если мы
хотим воспользоваться правилами вычислений, т. е.
аксиомами арифметики, которые определяют правильные
действия с цифрами, так и операции над
геометрическими образами определяются теми аксиомами,
которые лежат в основе геометрических понятий и связей
между ними.
Сходство между геометрическим и арифметическим
мышлением проявляется также в том, что в
арифметических исследованиях мы так же мало, как и при
геометрических рассмотрениях, прослеживаем до конца
цепь логических рассуждений, вплоть до аксиом.
Напротив, особенно при первом подходе к проблеме, мы и
в арифметике, как и в геометрии, сначала пользуемся
некоторым мимолетным, бессознательным, не вполне
отчетливым комбинированием, опирающимся на доверие
к некоторому арифметическому чутью, к действенности
арифметических знаков, без чего мы не могли бы
продвигаться в арифметике, точно так же как мы не можем
продвигаться в геометрии, не опираясь на
геометрическое воображение. В качестве примера
арифметической теории, оперирующей строгим образом* с
геометрическими понятиями и знаками, может служить
работа Минковского Геометрия чисел.
Сделаем еще несколько замечаний относительно
трудностей, которые могут представлять
математические проблемы, и о преодолении этих трудностей.
Если нам не удается найти решение математической
проблемы, то часто причина этого заключается в том,
что мы еще не овладели достаточно общей точкой
зрения, с которой рассматриваемая проблеАма
представляется лишь отдельным звеном в цепи родственных
проблем. Отыскав эту точку зрения, мы часто не только
делаем более доступной для исследования данную
№1
проблему, но и овладеваем методом, применимым и к
родственным проблемам. Примерами могут служить
введенное Коши интегрирование по путям на
комплексной плоскости и понятие идеала, введенное Куммером
в теорию чисел. Этот способ нахождения общих
методов наиболее удобный и надежный, ибо если ищут
общие методы, не имея в виду какую-нибудь
определенную задачу, то эти поиски по большей части напрасны.
При исследовании математических проблем
специализация играет, как я полагаю, еще более важную роль,
чем обобщение. Возможно, что в большинстве случаев,
когда мы напрасно ищем ответа ка вопрос, причина
нашей неудачи заключается в том, что еще не
разрешены или полностью не решены более простые и легкие
проблемы, чем данная. Тогда все зависит от того,
сумеем ли мы найти эти более легкие проблемы и
осуществить их решение наиболее совершенными средствами,
используя понятия, поддающиеся обобщению. Это
правило является одним из самых мощных рычагов
для преодоления математических трудностей, и мне
кажется, что в большинстве случаев этот рычаг и
приводят в действие, подчас бессознательно.
Бывает и так, что мы ищем решение при
недостаточных предпосылках или идя в неправильном
направлении, вследствие чего и не достигаем цели. Тогда
возникает задача доказать неразрешимость данной
проблемы при данных предположениях и выбранном
направлении. Такие доказательства невозможности
проводились еще математиками древности, например,
когда они показывали, что отношение гипотенузы
равнобедренного прямоугольного треугольника к его катету
есть иррациональное число. В новейшей математике
вопрос о невозможности решений определенных
проблем имеет выдающееся значение; таким образом, мы
приходим к тому, что такие старые и трудные
проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных,
как квадратура круга или решение уравнения пятой
степени в радикалах, получают, наконец, строгое и
вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в
другом направлении, чем то, которое сначала
предполагалось. Возможно, именно этот удивительный факт,
наряду с другими философскими основаниями, создает
уверенность (которую разделяет каждый математик, но
108
которую до сих пор никто не подтвердил
доказательством) в том, что каждая определенная математическая
проблема непременно должна быть доступна точному
решению либо в форме действительного ответа на
поставленный вопрос, либо в форме доказательства
невозможности ее решения и вместе с тем неизбежной
неудачи всех попыток ее решить. Возьмите какую-нибудь
определенную нерешенную проблему, скажем вопрос
об иррациональности константы С Эйлера — Маске-
рони или вопрос о существовании бесконечного
количества простых чисел вида 2П + 1. Как ни
недоступными кажутся нам эти проблемы и как ни беспомощно мы
стоим сейчас перед ними, мы тем не менее твердо
убеждены, что с помощью конечного числа логических
заключений мы все же получим их решение.
Является ли эта аксиома разрешимости каждой
проблемы характерной особенностью только
математического мышления или, быть может, имеет место общий,
внутренне присущий нашему разуму закон, по
которому все вопросы, которые он ставит, могут быть им
разрешены? Ведь и в других науках также
встречаются старые проблемы, которые были самым
удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки
разрешены путем доказательства невозможности их
решения. Я сошлюсь на проблему вечного движения. После
безуспешных попыток конструирования вечного
двигателя ученые стали исследовать соотношения, которые
должны существовать между силами природы, в
предположении, что такой двигатель невозможен. И эта
обратная задача привела к открытию закона
сохранения энергии, из которого и вытекает невозможность
вечного движения в первоначальном понимании его
смысла.
Это убеждение в разрешимости каждой
математической проблемы является для нас мощным стимулом в
работе. Мы слышим внутри себя постоянный призыв:
вот проблема, ищи ее решение. Ты можешь найти его с
помощью чистого мышления, ибо в математике не
существует ignorabimus».
В этом месте, пытаясь последовать совету Минков-
ского и Гурвица и сократить свою речь, Гильберт
перечислил только 10 проблем из полного списка,
насчитывающего 23 проблемы. (Однако, так как позже эти
109
проблемы стали известны под своими номерами в
полном списке, мы приводим их в том же порядке.)
Первые три проблемы относятся к основаниям
математики:
1. Доказать «континуум-гипотезу» Кантора: каждое г)
множество вещественных чисел находится во взаимно однозначном
соответствии либо с множеством натуральных чисел, либо с
множеством всех вещественных чисел (т. е. с континуумом).
2. Исследовать непротиворечивость аксиом арифметики.
6. Аксиоматизировать те физические науки, в которых
важную роль играет математика.
«Мы до сих пор занимались только вопросами об
основаниях математических наук. Действительно,
занятия основами науки имеют особую
привлекательность и изучение этих основ всегда принадлежит к
наиболее почетным задачам исследователя. Вейерштрасс
говорил: «Конечная цель, которую всегда нужно иметь
в виду, состоит в том, чтобы достичь правильной точки
зрения на основания... Но чтобы добиться
какого-нибудь прогресса в науках, безусловно необходимо
заниматься отдельными проблемами». В самом деле,
для плодотворного исследования основ науки
необходимо глубокое понимание ее специальных теорий.
Только тот строитель в состоянии заложить надежный
фундамент здания, который глубоко и во всех деталях
понимает назначение этого здания».
Следующие четыре проблемы были взяты из
арифметики и алгебры:
7. Доказать трансцендентность или, по крайней мере,
иррациональность определенных чисел,
8. Доказать правильность чрезвычайно важного
утверждения, высказанного Риманом: все нули определенной функций,
известной как «дзета-функция», за исключением известных нулей,
принадлежащих множеству отрицательных целых чисел, имеют
вещественную часть, равную 1/2.
13. Доказать невозможность представления решения общего
уравнения седьмой степени в виде супер позиции функций от
двух переменных.
16. Тщательно исследовать возможное положение различных
ветвей, которые может иметь плоская алгебраическая кривая
порядка п, когда число таковых максимально... а также
аналогичный вопрос о числе, форме и положении компонент
алгебраической поверхности в пространстве.
*) Бескоые-щое.
110
Последний три йроблемь! возййкЛй йЗ т^брйй
функций:
19. Выяснить аналитичность решений «регулярных» задач
вариационного исчисления.
21. Показать, что всегда существует линейное
дифференциальное уравнение типа Фукса, имеющее заданные особые
точки и группу монодромии.
22. Обобщить теорему Пуанкаре, утверждающую, что любое
алгебраическое соотношение между двумя переменными можно
униформизовать с помощью автоморфных функций от одной
переменной.
«Названные проблемы,— сказал своим слушателям
Гильберт,— представляют собой только образцы
проблем; но их достаточно, чтобы показать, как богата,
многообразна и широка математическая наука уже
сейчас; перед нами встает вопрос, ожидает ли
математику когда-нибудь то же, что с другими науками
происходит с давних пор, не распадется ли она на
отдельные частные науки, представители которых будут едва
понимать друг друга и связь между которыми будет
становиться все меньше. Я не верю в это и не хочу этого.
Математическая наука, на мой взгляд, представляет
собой неделимое целое, организм, жизнеспособность
которого обусловливается связностью его частей. Ведь
при всем разнообразии математического знания мы все
же ясно видим сходство логических вспомогательных
средств, связь математических идей и многочисленные
аналогии в различных областях математики. Мы также
замечаем, что чем дальше развивается математическая
теория, тем гармоничнее и более цельно оформляется
ее сооружение и между разделенными в прошлом
областями открываются неожиданные связи. Так
оказывается, что при развитии математики ее единый
характер не теряется, а становится все более
отчетливым.
Но — спросим мы — не становится ли при
расширении математического знания в конце концов
невозможным для отдельного исследователя охватить все
его части? Отвечая на это, я хочу сослаться на то, что
существо математической науки таково, что каждый
действительный успех в ней идет рука об руку
с нахождением более сильных вспомогательных
средств и более простых методов, которые одновременно
ill
облегчают понимание более ранних теорий и устраняют
старые, более сложные рассуждения. Поэтому
отдельному исследователю, если он усвоит эти более сильные
и простые вспомогательные средства и методы,
удастся легче ориентироваться в различных областях
математики, чем это возможно в каких-либо других
науках.
Единый характер математики обусловлен
внутренним существом этой науки, ибо математика — основа
всего точного естествознания. А для того, чтобы в
совершенстве выполнить это высокое назначение, пусть в
грядущем столетии она обретет гениальных мастеров и
многочисленных, пылающих благородным рвением
приверженцев!»
XI
НОВОЕ СТОЛЕТИЕ
Жарко и душно было в зале заседаний в Сорбонне,
когда Гильберт заканчивал свой доклад 6
математических проблемах. Последовавшая после этого
дискуссия была «несколько беспорядочной», как
передавал корреспондент Американского математического
общества.
«... Была высказана претензия, хотя, по-видимому, и
без должных оснований, что в отношении уравнения
седьмой степени было сделано больше (неким немецким
математиком), чем автор доклада допускал. Более четкое
возражение к замечаниям господина Гильберта по
поводу аксиом арифметики было предъявлено господином
Пеано, который заявил, что система, обладающая
желаемыми свойствами, была уже создана одним из его
соотечественников...»
Главные новости в мире, как о них сообщалось в
специальном выпуске «Нью-Йорк тайме»,
распространяемом на территории выставки, заключались в том,
ч/го Соединенные Штаты, Великобритания, Германия и
Япония собирались воевать в Китае до победного конца,
не рассчитывая более на военные силы России и Фран-?
ции, которые были заняты на сибирской границе и в
Индокитае, В Италии были беспорядки, вызванные
недавним убийством короля. Королева Виктория
готовилась обратиться с речью к парламенту. Вильяму
Дженнингсу Бриану стало известно, что в ближайшей
предвыборной кампании он снова должен будет
представлять демократическую партию в борьбе с
президентом Маккинли.
Однако в Сорбонне всем участникам
продолжавшегося конгресса стало совершенно ясно, что список
проблем, составленный Давидом Гильбертом для двадцато-
113
го столетия, полностью захватил воображение всего
математического мира. Его практический опыт давал
основание надеяться, что эти проблемы удовлетворяют
сформулированным в его выступлении критериям и
что настанет время, когда они будут полностью решены.
Его быстро растущая слава, уступавшая теперь лишь
славе Пуанкаре, обещала всеобщее признание любому
математику, который решит хотя бы одну из
парижских проблем.
Сразу же после закрытия конгресса Гильберт
отправился на короткий отдых в Раушен. Получив от
него короткое письмецо, Минковский вспомнил
«прекрасные времена», которые им приходилось проводить
на побережье. «Мне приятно также сознавать —
впрочем, я это понимал уже давно,—что от общения с тобой
можно многое получить не только в области математики,
но и в искусстве эпикурейской жизнерадостности».
Первый важный результат в связи с одной из
проблем Гильберта был получен уже в том же 1900 году.
Его собственный студент, 22-летний Макс Ден,
показал (как и предполагал Гильберт), что правильный
тетраэдр не может быть разложен на части, из которых
можно было бы составить куб того же объема. Этот
результат явился частичным решением третьей
проблемы. На следующий год Ден дал окончательное решение.
Тем самым он стал первым математиком, перешедшим в
«почетный разряд», к которому позже стали причислять
тех, кто решил или сделал вклад в решение одной из
23 парижских проблем Давида Гильберта.
После Парижа сам Гильберт продолжал заниматься
геометрическими исследованиями, однако большую часть
времени посвящал анализу. Эта область математики
существенно отличается от тех областей, в которых
ему приходилось работать раньше. В алгебре и
арифметике вычисления обычно затрагивают только конечное
число величин и кончаются после конечного числа
шагов. Анализ имеет дело с континуумом. При решении
задач приходится доказывать, что некоторые
бесконечные последовательности сходятся к определенному
пределу. Став теперь ярым поборником
аксиоматического метода, Гильберт думал, что в анализе он найдет
возможность продемонстрировать впечатляющую силу
этого метода «объединять, упорядочивать и прояснять».
114
«Для меня представляет особый интерес,— заметил
он позже,— заняться исследованием условий
сходимости, позволяющих построить данную область
анализа, положив в ее основу ряд простейших
фундаментальных утверждений, для доказательства которых
требуется лишь специальное условие сходимости.
Затем, используя лишь одно это условие,— без
привлечения какого-либо другого условия сходимости —
можно будет установить всю совокупность теорем,
составляющую данную область анализа».
Это несколько напоминало то, что пытался сделать
Риман из принципа Дирихле; Гильберт тоже думал,
что ему удастся найти «один простой
фундаментальный факт», необходимый ему в вариационном
исчислении.
И вот однажды зимой 1900—1901 года один
студент из Швеции принес на семинар Гильберта недавно
опубликованную работу по интегральным
уравнениям, принадлежавшую его соотечественнику Ивару
Фредгольму.
Интегральные уравнения — это функциональные
уравнения специального типа, история которых тесно
связана с задачами математической физики, в
частности с проблемой колебания твердого тела. Теория
таких уравнений развивалась очень медленно. Однако
теперь Фредгольм дал красивое и оригинальное
решение одного класса таких уравнений (позже названных
его именем), которое открывало соблазнительную
аналогию между интегральными уравнениями и
алгебраическими линейными уравнениями.
Гильберт сразу же понял, что в этой работе
Фредгольм оказался гораздо ближе к той унифицирующей
точке зрения на анализ, которую он сам искал в
вариационном исчислении. Он гордился своей способностью
ке связывать себя какой-либо определенной
программой и видеть вещи такими, какие они есть, а не такими,
какими ему хотелось бы их видеть. Теперь он без
сожалений отбросил свои первоначальные планы и с
впечатляющей энергией занялся областью
интегральных уравнений. Так навсегда и осталось
невыясненным (как заметил Блюменталь), удалось ли бы
Гильберту внести в методы вариационного исчисления
гибкость и мощь, способную преобразовать весь анализ.
115
Теперь же Гильберт говорил со своими студентами
только об интегральных уравнениях.
Именно в это время один молодой японец по имени
Тейжи Такаги прибыл в Гёттинген на субсидию,
выданную ему его страной. Ему суждено было стать
одним из шести математиков, развивших идеи теории
полей классов, намеченные Гильбертом в его
последней работе по полям алгебраических чисел. Он уже был
автором маленькой книги по Новой арифметике,
очень простой по сравнению с недавней работой
Гильберта по теории чисел, но намного опережавшей
математический уровень его родной страны того времени.
Теперь он предвкушал удовольствие поработать с
автором Zahlbericht. Но когда Такаги приехал в
Гёттинген, Гильберту нечего было ему сказать о теории чисел.
Взамен этого в личных беседах и на лекциях он
предлагал своим ученикам наброски некоторых идей,
которые он со временем использует в своей общей
теории интегральных уравнений.
Другим студентом, прибывшим в это время в
Гёттинген, был Эрхард Шмидт. Он приехал туда из
Берлина, чтобы «разведать» математическую обстановку в
Гёттингене и сравнить ее с тем, что делалось в столице
под руководством грозного трио, состоявшего из
Фукса, Г. А. Шварца и Фробениуса. Первый из них был
тот самый Фукс, у которого Гильберт учился в Гейдель-
берге; Шварц, благодаря которому Клейн получил
место в Гёттингене, два раза в месяц организовывал
коллоквиум, пользовавшийся международной
известностью; Фробениус, по слухам, читал самые
совершенные лекции по математике в Германии, «единственным
недостатком которых», по мнению одного студента,
;«было то, что в силу их совершенства в нихненаходи-
: лось места даже для намека о существовании каких-
либо нерешенных проблем». Тем не менее математики
Гёттингена произвели такое впечатление на Шмидта,
что он решил не возвращаться в Берлин.
Хотя тема разговоров изменилась, еженедельные
семинары-прогулки продолжались. Однако теперь
тишину сельской местности часто нарушало пыхтенье
моторного чудища. Нернст, друг Гильберта, купил
один из новых легковых автомобилей; холмы, которые
служили препятствием для других автолюбителей,
11G
для него не представляли проблемы. Для этого ему
достаточно было повернуть кран на цилиндре с N20,
закрепленном на приборном щите, и, впустив тем
самым в горючую смесь веселящий газ, с триумфом
овладеть любым холмом.
В зимнем семестре 1901—1902 года Гильберт читал
курс но теории потенциала, основываясь на своих
первых результатах по интегральным уравнениям. Из-за
своей новизны его идеи не всегда воспринимались
студентами. Не очень помогали и записки в Lesezimmer,
которые готовил его ассистент Альберт Андре. Подчас
Андре оставлял на полях карандашные пометки:
«Со страницы такой-то по страницу такую-то за
правильность не отвечаю». На праздновании рождества в
Математическом клубе один подвыпивший слушатель
лекций Гильберта по теории потенциала прочитал
следующие слегка иронические стишки: «Der eine bleibt
erst unverstandlich/Der Andrae macht es klar». (В них
обыгрывается сходство между именем Апдре и
немецким словом «другой»: Один вначале затемняет, другой
затем проясняет.)
Весной в Гёттинген приехали несколько
берлинских друзей Эрхарда Шмидта, которых ему удалось
заразить своим энтузиазмом к местной математике.
Одним из них был Константин Каратеодори, потомок
влиятельной греческой семьи, который в 26 лет бросил
многообещающую карьеру инженера и снова принялся
за ученье с тем, чтобы посвятить себя занятиям чистой
математикой. В его семье расценивали этот план как
глупую романтику: математическую кг4рьеру обычно
не начинают в возрасте 26 лет. «Но я н& мог избавиться
от навязчивой идеи, что неограниченные занятия
математикой наполнят смыслом мою жизнь».
К этому времени Гильберт стал настолько
знаменит, насколько это вообще возможно для математика.
Как заметил Отто Блюменталь, он принял этот успех
«с некоторым наивным удовольствием, не впадая при
этом в ложную скромность». Вереница побед, начатая
двенадцать лет назад решением проблемы Гордана,
напоминала Блюменталю (ставшему к тому времени
уже приват-доцентом) итальянскую кампанию
Наполеона: работа, явившаяся вершиной теории
инвариантов,— Zahlbericht и глубокая, плодотворная про-
117
грамма в теории полей классов — широко читаемая и
оказавшая влияние на развитие математики
небольшая книга по основаниям геометрии — спасение
принципа Дирихле — важные теоремы в вариационном
исчислении — парижские проблемы. Иностранные
академии избрали Гильберта в свои члены. Германское
правительство присвоило ему титул Geheimratх), что-то
вроде английского «сэра».
Один человек, пытавшийся в чем-то оказать
Гильберту услугу и неоднократно обращавшийся к нему со
словами «господин тайный советник», заметив его
раздражение, озабоченно спросил: «Я вас чем-то беспокою,
господин тайный советник?»
«Вы лично меня ничем не беспокоите,—
отпарировал Гильберт,— меня беспокоит только ваше
подобострастие».
Клейн, став тайным советником, всегда настаивал
на обращении к нему с этим титулом. А какое
обращение к себе предпочитал Гильберт?
«Гильберт? — отвечал один его бывший студент.—
Ему было безразлично. Он был король. Он был
Гильберт».
В то время еще были живы его родители. Судья
Гильберт надолго не расставался с «подозрениями»
относительно профессии сына и его успеха. Математика
была тем, в чем посторонний вряд ли мог оценить
достигнутый успех. Однако, по крайней мере, его должны
были успокоить почести, оказываемые его сыну.
Приезжая в Гёттинген, Минковский всегда
находился под впечатлением математической атмосферы,
которая окружала его друга.
«Даже просто пребывание в таком воздухе,— писал
он по возвращении в Цюрих, где он до сих пор не был
счастлив,— вызывает все возрастающее желание
делать великие вещи... Я уже принялся за одну работу
для Annalen». И все же, отметив 23 января 1902
года свое сорокалетие, Гильберт не был абсолютно
счастлив.
Хотя между ним и Клейном было «полное доверие
и общность интересов» (его собственные слова), они не
были близки друг с другом. После приезда Гильберта
L) Тайный советник {нем.)»
118
в Гёттинген Клейн все больше и больше посвящал себя
деятельности, не имевшей непосредственного
отношения к математике.
Кроме преподавательских и административных
обязанностей, он являлся главной действующей
силой многочисленных проектов: плана 30-томной
математической энциклопедии; только что
организованной Международной школьной комиссии, которая
ставила себе целью изучение развития педагогических
методов «во всех цивилизованных странах», начиная
с детских садов и кончая средней школой; попытки
улучшить и расширить научное образование в
немецких средних школах и соединить на университетском
уровне техническую и математическую подготовку;
лелеемых со времени поездки в Америку замыслов
об оплодотворении технических и прикладных
наук методами чистой математики.
Гильберт мало интересовался этими проектами
Клейна,
Кроме того, с возрастом Клейн становился все
более величественным. Любимая шугка среди студентов
была следующая: В Гёттингене есть два сорта
математиков — первые делают то, что им нравится, а не
то, что нравится Клейну; вторые делают то, что
хочет Клейн, а не то, чего они хотят. Клейн не
относится ни к тем, ни к другим. Значит, Клейн не
математик.
Клейн интересовался своими студентами и тратил
много времени на беседы с ними. Тем не менее он всегда
оставался недосягаемым для них. Свои идеи он
раздавал, по словам одного из его студентов, «с королевской
радостью от своего собственного богатства» и
«направлял своих учеников с твердой уверенностью именно к
тому месту, которое больше всего соответствовало его
индивидуальности». В своем кругу студенты называли
его «великий Феликс». В Гёттингене говорили, ^то ца
обеде в доме Клейна студент находился в T$KqM
благоговении перед хозяином, что подчас отвечал на его
вопросы стоя.
Гильберт не чувствовал, однако, никакой личной
опасности со стороны Клейна. Несколько лет назад,
когда ему была предложена кафедра Софуса Ли в
Лейпциге, он советовался с Минковским о целесообразности
119
принятия решения йокийуть Гёттинген. Минковский
указал на то, что, быть может, если бы Гильберт был
«пространственно разделен» с Клейном, «внешний мир»
легко распознал бы, что именно он является в
настоящее время величайшим математиком в Германии.
Однако этот аргумент не подействовал. Гильберт отказался
от места в Лейпциге.
Но теперь Гильберт все больше сознавал, что в их
взаимоотношениях с Клейном не хватает чего-то
нужного для него и этого Клейн по своей природе никогда
не смог бы и дать. Затем, снустя несколько месяцев после
его сорокалетия, ему представилась другая возможность
покинуть Гёттинген. Умер Лазарус Фукс, и
Гильберту было сделано почетное предложение —
кафедра Фукса в Берлине.
Когда новость о «вызове» Гильберта стала известна
среди доцентов и старшекурсников, все были страшно
расстроены. Многие из них приехали в Гёттинген
специально из-за Гильберта. А некоторые, как, например,
Эрхард Шмидт и его друзья, приехали из самого
Берлина. Тем не менее казалось совершенно естественным,
что Гильберт, ведущий немецкий математик, захочет
получить место в столице. Хотя и не надеясь особо на
возможность повлиять на его решение, они направили
к нему домой трех студентов во главе с Вальтером Литц-
маном, которым было поручено вручить Гильберту
петицию с просьбой остаться в Гёттингене. Госпожа
Гильберт угощала их пуншем в саду. Гильберт без
комментариев выслушал то, что они должны были ему
сказать.
Ушли они обескураженными. Срок времени,
отпущенный ему для принятия решения, его частые
поездки в Берлин, его необычайная нервозность на
лекциях —все заставляло их верить в то, что он
собирается принять берлинское приглашение.
Однако на самом деле Гильберт пытался решить
личную проблему тем же способом, которым он привык
решать проблемы в математике. Он не хотел покидать
Гёттинген. Как объяснял он Минковскому еще во
время лейпцигского приглашения, жизнь в маленьком
городке давала ему больше сил в работе, облегчала
научные контакты и предоставляла больше
возможностей для общения с природой. Он хорошо созна-
120
вал также преимущества, которые получал от
административного гения Клейна. Он также находил смысл
в том, чтобы ведущий немецкий математик оставался в
университете Гаусса. Но он знал, что оставаться
счастливым в Гёттингене можно было только в компании с
коллегой, научные и личные связи с которым могли
бы сравниться с теми, которые он имел в Кенигсберге
с Минковским. Решение этой проблемы было
очевидным. Существовало лишь одно неписаное правило, когда
приглашали в другой университет. Вместо того, чтобы
пытаться улучшить свое собственное профессиональное
положение, можно было стараться улучшить
положение своего родного факультета или своей области
науки. Нернст, которому недавно было предложено
место в Мюнхене, получил за счет отказа от него
самую лучшую физико-химическую лабораторию в
Германии. Теперь Гильберт с одобрения и поддержки
Клейна предложил Альтхофу учредить еще одну должность
профессора математики в Гёттингене и предложить
ее Минковскому.
До тех пор, пока новая должность не была
утверждена, он не обнадеживал Минковского возможностью
вернуться в Германию. Затем он устроил так, чтобы
в день объявления решения Минковский приехал в
Гёттинген для выступления с докладом на научном
обществе.
Дипломатическое искусство, с которым он провел
эту смелую и в конечном счете успешную операцию,
видно и в том, что окончательную заслугу он всегда
присваивал Альтхофу:
«И снова Альтхоф был тем, кто пересадил
Минковского на более подходящую для него почву. С
беспрецедентной отвагой в истории управления прусскими
университетами Альтхоф учредил у нас в Гёттингене
новую должность профессора».
Когда члены Математического клуба услышали
новость, «что Гильберт остается, а Минковский
приезжает», они с восторгом организовали Festkommers.
Последнее представляло собой официальную вечеринку
с выпивкой и курением. Так было принято выражать
уважение к профессору. Другой способ сделать это
состоял в организации факельного шествия,
представлявшего высшую честь, которая в редких случаях ока-
121
зывалась профессору и то только по окончании долгой
и заслуженной карьеры.
Венцом празднования была речь Клейна, в которой
он представил великолепную и исчерпывающую
картину научной и педагогической деятельности
Гильберта и его влияния на будущее математики. Слышали,
как по окончании этой речи Гильберт сказал:
«Пожалуйста, подарите мне ее запись».
Вернувшись в Цюрих, Минковский с радостью
сообщал: «У меня самые прекрасные надежды на мою
будущую жизнь и работу!»
XII
ВТОРАЯ МОЛОДОСТЬ
С приездом Минковского в Гёттинген осенью 1902
года наконец-то кончилось одиночество Гильберта.
«Звонок по телефону или несколько шагов вниз по улице и
камешек, подброшенный перед маленьким угловым
окном его кабинета,— и вот вам и он, всегда готовый к
любым математическим или нематематическим
предприятиям».
Вместо Клейна, Гильберт теперь проводил семинары
с Минковским.
В воскресные дни оба друга вместе со своими
женами выезжали с утра на загородные прогулки.
К этому времени Гильберты вышли из
Реформированной Протестантской церкви, в которой они были
крещены и обвейчаны. В Гёттингене говорили, что Франц
при поступлении в школу не мог ответить на вопрос
«Какую религию ты исповедуешь?». «Если ты не
знаешь, кто ты такой,— говорил ему сын философа
Эдмунда Гуссерля — еврей, недавно обращенный в
христианство,— то ты, безусловно, еврей».
Позже в воскресные прогулки были вовлечены
и дети обоих семейств. Чаще всего их местом служило
курортное местечко Мариашпринг, где под открытым
небом, под деревьями, была устроена танцплощадка.
Здесь Гильберт отыскивал свое очередное
«увлечение» — хорошенькую молодую супругу одного из
своих коллег — и крутил ее по танцевальной площадке к
большому смущению маленьких дочерей Минковских,
находивших это энергичное круженье чересчур
старомодным. «Для него это было спортом!» Еще более
смущало их то, как после окончания музыки он закутывал
свою партнершу в свой большой дождевой плащ и
притворно обнимал и целовал ее.
123
Частые вечеринки в доме Гильберта начали
доставлять Гильберту больше удовольствия из-за одного
только присутствия на них Минковского. Здесь тоже
были танцы — скатывался ковер, доставался
граммофон, который подарил знаменитому профессору
математики один промышленник, командовал всем по-
французски Гильберт. Стол всегда ломился от
изобилия разнообразных яств Но главным все же были
разговоры. Тема возникала сама собой, кто-нибудь
мог спросить Гильберта, что он думает о том-то и о
том-то. Например, об астрологии. Что он думает об
этом? Ни мгновения не колеблясь, он уверенно
отвечал со своим еще неиспорченным восточно-прусским
акцентом, который придавал всему, что он ни говорил,
забавный и запоминающийся оттенок: «Если вы
соберете 10 мудрейших людей всего мира и попросите их
найти самую глупую вещь на свете, то ничего глупее
астрологии они не найдут!» Могли гости обсуждать и
процесс над Галилеем, и кто-нибудь мог осудить Галилея
за его неспособность постоять за свои убеждения, тогда
Гильберт мог возразить: «Но он же не был идиотом.
Только идиот может считать, что научная истина
требует мученичества. Быть может, так обстоит, дело в
религии, но научные результаты доказывают себя с
течением времени». Минковский высказывал свое мнение
не так часто, как Гильберт. Когда же он говорил, его
замечание — часто в форме подходящей цитаты из
«Фауста» — затрагивало существо дела, и Гильберт
всегда к нему прислушивался. Но Гильберт был всегда
решительней в выражении своих мнений. Какое
достижение техники было бы самым важным? «Поймать
муху на Луне». Почему? «Потому что это достижение
потребовало бы преодоления таких вспомогательных
технических трудностей, после которых были бы решены
почти все материальные проблемы человечества». Какая
самая важная математическая задача? «Проблема
нулей дзета-функции, и не только в математике, но и
вообще самая важная на свете проблема!»
Иногда за дверью мог остановиться и слушать
разговор взрослых маленький сын Гильбертов Франц,
который не допускался на эти вечеринки.
В компании Минковский страдал от «Lampenfieber»,
по-русски — «боязнь сцены». Его до сих пор смущало
124
внимание, направленное к нему со стороны даже совсем
молодых людей. В Цюрихе его застенчивая,
заикающаяся манера речи окончательно спугнула одного
студента, которого звали Альберт Эйнштейн. Однако в
Гёттингене (прозванном «храмом чистой мысли»)
студенты сразу же признали, что в лице Минковского они
имели счастье слышать «настоящего математического
поэта». Им казалось, что каждая произносимая им
фраза впервые рождалась в его устах.
По крайней мере однажды это было так в буквальном
смысле. На лекции по топологии Минковский коснулся
теоремы о четырех красках — знаменитой нерешенной
проблемы в этой области математики. (Эта теорема
утверждает, что четырех красок всегда достаточно для
раскраски любой карты так, чтобы никакие две
соседние области не имели одинакового цвета.)
«Эта теорема не была до сих пор доказана лишь
потому, что ею занимались только математики третьего
сорта,— заявил Минковский с редким для него
высокомерием.— Я уверен, что мне удастся ее доказать».
Он начал доказывать ее прямо на месте. К концу
часа доказательство не было закопчено. Оно было
отложено до следующего занятия. Так продолжалось
несколько недель. Наконец, одним дождливым утром
Минковский вошел в лекционный зал, сопровождаемый
раскатами грома. Он повернулся к аудитории и с
очень серьезным выражением на круглом добром лице
объявил:
«Небеса разгневаны моим высокомерием. Мое
доказательство теоремы о четырех красках также неверно».
Затем он продолжил лекцию по топологии с того
места, на котором он остановился^ несколькими
неделями раньше. (Теорема о четырех красках не доказана
и поныне.)
Тем временем Гильберт начал погружаться в
интегральные уравнения, так же всецело отдаваясь этой
области, как это было раньше с инвариантами или
числовыми полями. Начало его исследований
напоминало прежний подход Гильберта к нерешенным
задачам. В первой работе, опубликованной в виде
сообщения Гёттингенского научного общества, он
предложил один простой и оригинальный вариант теории
Фредгольма, который раскрывал ее основную идею
125
более отчетливо, чем работа самого Фредгольма.
В ней также можно было найти намеки на его будущие
свежие и плодотворные идеи. Обладая интуитивным
пониманием связей, лежащих в основе различных
частей математики, а также между математикой и
физикой, Гильберт пришел к выводу, что уравнения Фред-
гольма смогут приоткрыть завесу над целой серией
ранее недоступных проблем анализа и математической
физики. Теперь он поставил перед собой цель
объединить на единообразной теоретической основе как можно
больший круг вопросов, связанных с линейными
задачами анализа.
Минковский снова занялся своей любимой теорией
чисел. По словам Гильберта, его беспокоило, что
многие математики едва ли представляют себе то, что он
называл «особой атмосферой» теории чисел. В течение
зимы 1903—-1904 года он прочитал цикл довольно
популярных лекций, позже изданных в виде отдельной
книги. В этих лекциях Минковский
продемонстрировал в легко усваиваемой форме созданные им методы
и некоторые из его самых замечательных результатов.
Гильберт, как и Минковский, был заинтересован в
привлечении внимания к «проникновенным мелодиям этой
величественной музыки» — метафора, принадлежащая
Минковскому,— и, когда Ли Рид, один из его бывших
американских студентов, написал на.эту тему книгу,
Гильберт дал о ней восторженный отзыв. Теория чисел
служила «образцом для других наук..., неиссякаемым
источником всей математической науки, щедрым
стимулом к исследованиям во всех других областях ...».
Происхождение теоретико-числовых проблем
невозможно установить, они «вечны, как истинные
произведения искусства». Благодаря Минковскому
Германия снова стала мировым центром теории чисел.
«Однако каждый поклонник теории чисел желает, чтобы
она в равной степени принадлежала всем нациям и
развивалась и распространялась за границей, особенно
среди молодого поколения, которому принадлежит
будущее».
В 1903 году в Гёттинген приехал Герман Вейль.
Это был восемнадцатилетний мальчик из сельской
местности, казавшийся молчаливым, но с живыми
глазами и с большой долей уверенности в своих способно-
126
стях. Этот университет он выбрал потому, что директор
его гимназии приходился кузеном одному из здешних
профессоров математики «по имени Давид Гильберт».
Много лет спустя Герман Вейль писал из
Института перспективных исследований в Принстоне, штат
Нью-Джерси: «По своей душевной простоте и в полном
неведении я позволил себе записаться на курс по
квадратуре круга и понятию числа, объявленный
Гильбертом на этот семестр. Большая его часть была выше
моего понимания. Но двери нового мира уже распахнулись
передо мною, и я недолго сидел у ног Гильберта, пока
в моем молодом сердце не созрело окончательное
решение всеми средствами стремиться прочесть и изучить
все, что написал этот человек».
«Оптимизм Гильберта, его духовная страсть,
непоколебимая вера в высшую ценность науки, твердая
уверенность в способность разума находить простые и
ясные ответы на простые и -ясные вопросы» были
неотразимы. Вейль слышал «мелодичную флейту гаме-
линского Дудочника в пестром костюме х) ...
соблазняющего столь многих крыс следовать за ним в глубокую
реку математики». Тем летом он отправился домой с
экземпляром Zahlbericht под мышкой и проработал
его в течение каникул, не имея никакой
предварительной подготовки в этой области.
Этот молодой человек, кроме математики, имел
склонность и к литературе. Он нашел, что редкая манера
х) Дудочник в пестром костюме — персонаж поэмы
английского поэта Р. Браунинга (1812—1889) «Дудочник в пестром
костюме из Гамелина» («Pied Piper of Hamelin»), включенной в
сборник «Драматические истории», опубликованный в 1845 году.
Поэма основана на старой легенде. Город Гамелин в Браун-
швейге переполнен крысами, а городское правление не знает,
как от них избавиться. Дудочник в пестром костюме предлагает
очистить город от крыс, за что ему обещано уплатить тысячу
гиней. Он ходит по улицам города и играет на своей дудко, на вов
которой собираются все крысы и следуют за ним. Собрав всех
крыс, он ведет их к реке, где они все тонут. Когда Дудочник
требует у мэра вознаграждение, он получает отказ. После этого
он снова идет по улицам города, играя на дудочке, на зов которой
Собираются все дети города. Ведя их за собой, он приходит к
горе Кёппенберг, где перед ними открывается пещера. Дети
входят за ним в пещеру, и двери ее быстро захлопываются.
Аналогичная легенда используется также и в немецкой литературе,
герой этой легенды — Крысолов.
127
мышления Гильберта прекрасно отражается в ярком
литературном стиле этого математика: «Это
напоминает неторопливую прогулку среди открытой солнечной
местности, вы свободно оглядываетесь вокруг,
демаркационные линии и путевые тропы указаны вам прежде,
чем вы решитесь подняться в гору; затем дорога идет
резко вверх, никаких препятствий, никаких обходов».
Летние месяцы, проведенные за изучением Zahl-
bericht, были, как всегда говорил Вейль, самыми
счастливыми месяцами его жизни.
В это же время, в первые годы после приезда Мин-
ковского в Гёттинген, там появился Макс Борн, сын
хорошо известного исследователя в области медицины
из Бреслау1). Его друзья Эрнст Хеллингер и Отто
Теплиц, по совету которых он приехал, сообщили ему,
что Гёттинген представляет в настоящее время «мекку
немецких математиков».
Мачеха Борна была знакома с Минковским по
Кенигсбергу, и вскоре после приезда новый студент был
приглашен на ленч к профессору и там представлен Густе
Минковской и двум ее маленьким дочерям. После
ленча к ним зашли Гильберт и Кете, и вся компания
отправилась на прогулку к Die Plesse, разрушенному
замку, смотрящему на долину реки Лейне и красно-
черепичные крыши Гёттингена.
Этот день Борн запомнил на всю жизнь.
«Беседа двух друзей была похожа на
интеллектуальный фейерверк. Она была полна юмора и остроумия и
в то же время большой серьезности. Я сам был
воспитан в атмосфере, привычной к интеллектуальным
дискуссиям и критике традиционных ценностей жизни;
друзья моего отца, большинство из которых были
такими же, как и он, исследователями в области
медицины, любили живую, свободную беседу; однако
медики ближе к повседневной жизни и как человеческие
индивидуальности примитивнее математиков, ум
которых работает в сфере наивысшей абстракции. Во
всяком случае, мне не доводилось слышать такую
честную, независимую и свободную от чинопочитания
критику всевозможных проявлений науки, искусства,
политики».
г) Ныне г. Вроцлав в Польше.
128
В глазах- Вейля, Борна и других студентов Гдль-
берт п Минковский были «героями», совершающими
великие подвиги, в то время как Клейц был
«далеким богом», который правил за облаками. Последний
все больше и больше посвящал свое время и
направлял свою энергию на реализацию своей мечты —
превращения Гёттингена в центр научного мира. В
канун нового столетия он привлек экономических
деятелей и научных специалистов к созданию так
называемого «Гёттингеиского союза развития
прикладной математики и механики». В результате
деятельности этой группы (известной в узких кругах как
Гёттингенское общество) университет постепенно начал
обрастать рядом научных и технических
институтов — прообраз научно-технических комплексов,
выросших позже вокруг различных университетов в
Америке.
Иногда Клейн был даже несколько забавен своим
серьезным отношением к собственным многочисленным
проектам. Говорили, что у него есть только две шутки—
одна для весеннего, другая для осеннего семестра. Он
не позволял себе удовольствия простых смертных.
Каждый момент его времени был тщательно
запланирован. Даже его дочь должна была назначать свидание
для разговора со своим отцом.
Не пытаясь спорить, Гильберт и Минковский
признали, что сами они никогда не были организованными.
Однажды, когда Клейн полностью заполнил очень
большую доску цифрами о немецких средних школах
(он пытался также перестроить и народное
образование) и обратился к коллегам с просьбой задавать
вопросы, Минковский тихо спросил: «Не кажется ли
вам, господин тайный советник, что среди этих цифр
необычно большую долю составляют простые числа?»
Другой раз, когда Клейн с заранее составленной
повесткой дня в руке пытался превратить добровольные
еженедельные прогулки профессоров математики в
факультетское собрание, Гильберт просто отказался
присоединиться к ним на следующий раз. Но в
основном трое математиков, столь различных по характеру,
работали вместе с редкой гармонией.
В 1904 году, после того как освободилось место
экстраординарного профессора прикладной математики,
129
Клейн предложил Альтхофу установить в этой
области должность полного профессора, первую такую
должность по прикладной математике в Германии. Это новое
место он предназначал для Карла Рунге, бывшего в
то время в Ганновере. Рунге был не только
выдающимся физиком-экспериментатором, известным своим
измерением спектральных линий, но также и
первоклассным математиком, чье имя связано с
полиномиальными приближениями аналитических функций.
Рунге уже около десяти лет знал и почитал Клейна,
а недавно познакомился и с Гильбертом. «Гильберт —
очаровательный человек,— писал он своей жене.—
Его идеализм, дружеское расположение и скромная
честность вызывают у всех большую симпатию к нему».
Возхможность сотрудничества с этими двумя
одаренными математиками была столь привлекательной для
Рунге, чувствовавшего себя одиноким в Ганновере, что
он отправился в Берлин для разговора с Альтхофом о
новом назначении с чувством, что это слишком хорошо,
чтобы быть правдой. «Однако,— как писала позже его
дочь,— он не сознавал того факта, что к самым
широким и обширным планам Клейна Альтхоф всегда питал
больше симпатий, чем к личным планам кого бы то
ни было». Новое место было его, если он только этого
пожелает. Однако жалованье будет несколько меньше
того, которое он получал в Ганновере.
«И ты не должен принимать во внимание
финансовые соображения,— настойчиво писала ему жена,
услышав новости.— Мы обойдемся, даже потеряв
тысячу марок, и это не заденет ни меня, ни детей».
В начале зимнего семестра 1904—1905 года Рунге
вошел в педагогический состав факультета.
Профессора математики, теперь составляющие квартет, взяли
за обычай устраивать еженедельные прогулки по
четвергам ровно в 3 часа дня. Клейн перестал готовить
повестки дня. Прогулки превратились в приятную
непринужденную беседу, во время которой могло
обсуждаться все что угодно, включая факультетские
дела. Как счастливо заметил Гильберт, «наука
затрагивалась не очень редко».
Рунге обладал способностью к вычислениям,
которые поражали даже его новых коллег. Однажды они
пытались составить расписание одной конференции,
130
планируемой за несколько лет вперед; при этом
возникла необходимость узнать день пасхи. Так как
определение этого дня — дело непростое, надо учитывать,
например, такие вещи, как фаза Луны, математики
принялись разыскивать календарь. Тогда Рунге,
задумавшись на некоторый момент, объявил, что в том
году пасха будет с такого-то по такой-то день.
Удивительными для математиков были также
способности Рунге к технике. Когда братья Райт
совершили свой первый полет, он построил из клочков
бумаги модель их аэроплана и, утяжелив ее иголками,
дал ей спланировать на землю. Таким способом он
довольно точно оценил мощность мотора, детали
которого составляли до сих пор тайну.
Ко времена приезда Рунге в Гёттинген научный
состав факультета, тесно связанный с математиками, был
также впечатляющим. Из физиков был Эдуард Рике и
Вольдемар Фогт. Главой Института прикладной
электротехники был X. Т. Симон; Людвиг Прандтль
возглавлял Институт прикладной механики, Эмиль Вихерт —
Институт геофизики. Карл Шварцшильд был
профессором астрономии.
Однако благотворная обстановка в Гёттингене была
обязана не только обществу этих великих людей.
Отто Блюменталь, известный до конца своей жизни
как «старейший ученик Гильберта», был очень близок
к профессорам, хотя и был в то время лишь приват-
доцентом. Это был добрый, общительный молодой
человек, любивший пошутить, читавший и
разговаривавший на многих языках, интересовавшийся
литературой, историей и теологией в той же степени, как
математикой и физикой. Еврей по происхождению, он со
временем стал христианином и часто говорил «мы,
протестанты».
Необычно тесное сотрудничество между доцентами п
профессорами иллюстрируется тем фактом, что, когда
Блюменталь и другой доцент, Эрнст Цермело, решили
прочитать несколько пробных лекций по элементарной
арифметике, Гильберт и Минковский, чтобы привлечь
внимание к ним, регулярно стали их посещать.
Цермело был несколько старше Блюменталя,
нервный, любящий уединение человек, который
предпочитал виски любой компании. В то время, незадолго до
131
экспедиции Пири, ему нравилось доказывать
невозможность достижения Северного полюса. Он утверждал,
что количество виски, требуемое для достижения
некоторой широты, пропорционально тангенсу этой
широты, тем самым оно стремится к бесконечности при
приближении к полюсу. Когда приезжавшие в Гёттий-
ген математики задавали ему вопрос о его фамилии,
то он отвечал им: «Когда-то она звучала как Walzerme-
lodie х), но затем пришлось убрать первый и
последний слоги».
Именно Цермело незадолго до этого указал
Гильберту на досадный парадокс в теории множеств, на негоже
указал Готлобу Фреге молодой английский логик
Бертран Рассел, причем как раз тогда, когда Фреге собрал
ся послать в печать свой окончательный труд по
основаниям арифметики. Этот парадокс — противоречие,
полученное в результате рассуждений, основанных на
правилах логики, принятых математиками и всеми
людьми с времен Аристотеля,— имел дело с
признаваемым всеми фактом, что некоторые множества, в отличие
от других, являются элементами самих себя.
Например, множество всех множеств, состоящих из более чем
трех элемептов, принадлежит самому себе, так как оно
содержит больше трех элементов. С другой стороны,
множество всех чисел не является элементом самого
себя, так как оно пе есть число. Теперь же Цермело
и Рассел, независимо друг от друга, подняли вопрос о
множестве всех множеств, не являющихся элементами
самих себя. Так как элементами этого множества
служат множества, которые не содержат себя в качестве
своих элементов, то оно является элементом самого
себя тогда и только тогда, когда оно не является
элементом самого себя.
К 1904 году этот парадокс после его опубликования
Расселом произвел в математике, по мнению Гильберта,
«эффект полной катастрофы». Один за другим
выдающиеся специалисты в теории множеств — сам Фреге,
а также Дедекинд,— признав поражение, бросили
свои исследования в этой области. Нависла угроза над
самыми простыми и важными дедуктивными методами,
самыми обыкновенными и полезными понятиями; все-
1) Мелодия вальса {нем.).
132
му виною было то, что этот и другие подобные
парадоксы возникли исключительно как следствие постоянно
используемых в хматематнке самых обычных
дедуктивных методов. Даже Гильберту пришлось теперь
признать, что, возможно, был прав Кронекер: идеи и
методы классической логики на самом деле не
соответствовали строгим требованиям теории множеств.
Раньше Гильберт верил, что сомнения Кронекера в
законности теории множеств и некоторых частей
анализа можно было устранить введением понятия
совместности, или непротиворечивости. Это понятие должно
было заменить критерий математической истины,
основанный на явной конструкции исходя из множества
целых чисел. Для этого потребовалось бы получить
полное доказательство непротиворечивости арифметики
вещественных чисел. До открытия парадоксов он
полагал, что требуемое доказательство непротиворечивости
можно было довольно просто получить подходящей
модификацией известных методов рассуждений в теории
иррациональных чисел. Однако после того, как в
теории множеств были обнаружены парадоксы, с которыми
была связана большая часть его рассуждений, он
понял, что ему придется переменить свою точку зрения.
В конце лета 1904 года, когда в Гейдельберге открылся
третий международный конгресс математиков, Гильберт
бросил па время интегральные уравнения с тем, чтобы
поднять вопрос об основаниях математики.
По убеждению Кронекера, целое число лежит в
основе арифметики и единственным критерием
существования в математике должна служить конструкция,
использующая конечное множество таких чисел.
Гильберт и теперь, как прежде, резко противился такому
ограничению математики и ее методов. Как и Кантор,
он твердо верил, что суть, математики в ее свободе, и
видел в любом ограничении настоящую угрозу науке.
Он был убежден, что существует способ избавиться от
парадоксов, не принося тех жертв, которые требовала
точка зрения Кронекера. Однако предлагаемое им
решение заставляло пойти еще дальше, чем шел Кронекер.
Гильберт настаивал теперь на том, что само понятие
целого числа «может и должно» иметь обоснование.
«Арифметика часто рассматривается как часть
логики, а традиционные фундаментальные логические
133
понятия считаются, как правило, известными, если
дело касается обоснования арифметики,— говорил он
математикам, собравшимся в Гейдельберге.— Однако
если внимательно посмотреть, то мы обнаружим, что в
традиционных изложениях законов логики уже
используются некоторые фундаментальные
арифметические понятия, например понятие множества и даже, в
некотором смысле, понятие самого числа. Тем самым мы
оказываемся в порочном кругу, и именно поэтому,
чтобы избавиться от парадоксов, нужно до некоторой
степени одновременно развивать законы логики и
арифметики».
Он убежден, говорил им Гильберт, что на этом пути
может быть найдено «строгое и вполне
удовлетворительное обоснование» понятия числа — того «числа»,
частным случаем которого будут не только
натуральные числа Кронекера и их отношения (рациональные
дроби), но также иррациональные числа, против
которых столь резко протестовал Кронекер, но без
которых, по мнению Гильберта, «весь анализ был бы осуж
ден на бесплодие».
Именно в Гейдельберге Гильберт предложил, чтобы
впервые в истории математики само доказательство
стало объектом математического исследования.
Пуанкаре несколько раз неодобрительно
комментировал эту идею. Французский математик был
убежден, что принцип полной, или математической,
индукции свойствен интеллекту («на языке Кронекера,—
как однажды Гильберт прокомментировал эту точку
зрения Пуанкаре,— создан богом») и поэтому этот
принцип нельзя доказать, не используя эту же полную
индукцию.
Гильберт не взялся выполнять свое пожелание,
высказанное в Гейдельберге. Вместо этого он снова
принялся за свою теорию интегральных уравнений и
одновременно, в компании с Минковским и по его
предложению, начал изучать классическую физику.
Минковский был уже хорошо знаком с технической
стороной в области физики; Гильберт не имел об этом
почти никакого представления и был знаком только с
основными положениями теории. Тем не менее он
отнесся к этому проекту с энтузиазмом. Во второй раз с
момента окончания учебы— первый был связан с Zahlbe-
134
richt — он взял курс на «изучение литературы».
Больше всего это произвело впечатление на Блюменталя,
для которого уже сейчас стало делом жизни изучать
характер и личность своего учителя. Он помнил
случай в свои студенческие годы, когда при чтении
литературы он, к своему страху, обнаружил, что
красивейшая часть его диссертации уже опубликована в другой
работе. Гильберт, как он помнил, лишь пожал плечами
и сказал: «Зачем вам потребовалось знать так много
литературы?»
Клейн с интересом следил за этими совместными
занятиями физикой. В возрасте 17 лет он был
ассистентом у Юлиуса Плюккера в Бонне. В то время он
решил, что «после приобретения необходимых знаний в
математике» он посвятит свою жизнь физике. Затем
спустя два года Плюккер умер (аналогично тому, как
в период жизни Минковского в Бонне умер Генрих
Герц). Переезд в Гёттинген, где математики
составляли значительно более энергичную группу, чем физики,
сделал из Клейна математика, а не физика.
Занятия физикой продолжались. На Минковского
сильное впечатление производили загадки
электродинамики, связанные с недавними работами Г. А.
Лоренца. Однако это не отвлекало Гильберта от его
собственных занятий интегральными уравнениями. В 1904
году он послал второе сообщение научному обществу,
в котором существенно развил идею Фредгольма. В
своей классической работе Фредгольм открыл аналогию
между интегральными уравнениями и линейными
алгебраическими уравнениями. Гильберт пошел теперь
дальше и нашел аналог приведения квадратичной формы
от п переменных к главным осям. Используя
связанную с этим комбинацию идей анализа, алгебры и
геометрии, он развил свою теорию собственных функций
и собственных значений — эта теория, как выяснилось
позже, оказалась тесно связанной с физической
теорией собственных колебаний.
Неспециалист лучше всего поймет дух и значение
этой работы в следующей ее оценке, которую даст
впоследствии один из студентов Гильберта.
«Важность научного достижения часто пе
ограничивается получением новых результатов вдобавок к уже
имеющимся,— отметит Рихард Курант.— Не менее
135
важным для прогресса науки может быть новое
понимание, которое вносит порядок, ясность и простоту в
уже существующие, но труднодоступные области и тем
самым облегчает или даже впервые дает возможность
обозреть, понять и в совершенстве овладеть наукой
как единым целым. Мы не должны забывать этой
точки зрения в связи с работой Гильберта в области
анализа... ибо [все это] демонстрирует характерное дл i
него стремление найти в решении новой проблемы такие
методы, которые помогают преодолеть старые
трудности, устанавливают новые связи между уже
имеющимися результатами и сливают в единое русло
многочисленные потоки индивидуальных исследований».
Именно в этот счастливый, творческий период
жизни Гильберта он получил новое приглашение
покинуть Гёттинген. Лео Кёнигсбергер оставит свою
кафедру в Гейдельберге, если Гильберт согласится ее
принять.
Хотя Кете одобряла эту перемену, Гильберт
отказался от приглашения.
Однако он не преминул использовать возможность
для переговоров о дальнейших выгодах для
математики ценою своего отказа покинуть Гёттинген. На одно
из его предложений Альтхоф возразил: «Но мы не
имеем этого даже в Берлине!»
«Ja 1),— радостно заметил Гильберт,— но Берлин
ведь не Гёттинген!»
*) Да (нем.).
XIII
САМООТВЕРЖЕННАЯ ЖИЗНЬ В НАУКЕ
В начале двадцатого столетия
студентам-математикам всего мира давался один и тот же совет:
«Собирайте свои вещи и отправляйтесь в Гёттинген!»
Иногда казалось, что маленький городок целиком
состоит из математиков. Но следует отметить, что были
здесь и другие люди и для некоторых из них la grande
affaire x) было совсем другим. Один французский
журналист, выбравший Гёттинген как лучшее место для
наблюдения за немецкими студентами в
естественной для них обстановке, больше всего был поражен
тюрьмой на третьем этаже Большого зала университета.
На Веендерштрассе он увидел не математиков, а
молодых людей, которые «прогуливались как лорды», с
яркими цветами студенческих общин дуэлянтов,
украшавшими козырьки их фуражек, и с лицами, как
правило, в повязках. «Они оставляют за собой,—
сообщал он,— тошнотворный запах йода, которым насквозь
пропитан весь Гёттинген». Однако математики
предпочитали пересказывать, как на Веендерштрассе Мин-
ковский, увидев молодого человека, размышлявшего
над явно серьезной задачей, похлопал его по плечу
и сказал: «Конечно, он должен сходиться» — и
молодой человек ответил благодарной улыбкой.
Давно прошли те дни, когда Гильберт читал свои
лекции по аналитическим функциям в присутствии
одного лишь профессора Франклина. Теперь, чтобы
послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда
по нескольку сот человек, многие из которых могли
найти место только на подоконнике. Ни состав, ни
количество слушателей не производили впечатления на
L) Здесь: основное занятие (фр.).
137
Гильберта. «Если бы сам император вошел в зал,—
говорил Гуго Штейнгауз, который приехал в это время
в Гёттинген,— Гильберт бы не прореагировал».
Объяснялось ли это его положением ведущего
математика Германии? «Нет, Гильберт был бы тем же,
если бы он даже не имел ничего, кроме куска
хлеба».
Борн стал теперь «личным» ассистентом Гильберта.
В немецких университетах того времени, как правило,
только профессора в экспериментальных науках имели
ассистентов, помогавших им в лабораторной работе.
Однако Клейн сразу же после того, как он взял в свои
руки математику в Гёттингене, ухитрился раздобыть
средства для оплачивания секретаря в Lesezimmer.
Первым, кто получил эту должность, был Арнольд
Зоммерфельд; естественно, что секретарь Lesezimmer
стал ассистентом Клейна. Ассистент же Гильберта был
до сих пор без оплаты.
По словам Борна, это была «довольно
неопределенная» работа, «но бесценная благодаря тому, что я мог
видеть и разговаривать с ним каждый день». По утрам
Борн приходил в дом Гильберта, где он обычно уже
заставал Минковского. Все вместе они обсуждали тему
предстоящей лекции Гильберта, которая часто
происходила в то же самое утро.
Гильберт не терпел математических лекций, которые
насыщали студентов фактами, но не учили их, как
ставить и решать задачи. Он часто говорил им, что
«правильная постановка задачи — это уже половина ее
решения».
«Большую часть часа он посвящал объяснению
существа вопроса,— вспоминает Штейнгауз.—
Следующее за тем формальное доказательство становилось
таким естественным, что оставалось только удивляться,
что мы не дошли до него сами». В обсуждениях с Мин-
ковским и Борном Гильберт интересовался только
общими принципами, на которых он должен был
построить свою лекцию. Он отказывался готовиться до
такой степени, чтобы, как он презрительно говорил,
«студенты могли легко составить прекрасные
конспекты». Вместо этого он пытался вовлечь их в сам
творческий процесс, осветить трудности и «указать на мост,
ведущий к решению конкретных проблем». Детали из-
138
ложения должны были прийти к нему позже, на
кафедре.
«Это бьщо прекрасное время для моего
образования,— писал Борн об этих встречах с Гильбертом и
Минковским,— не только в научных, но и житейских
вопросах. Я обожал и любил их обоих, и они не давали
мне повода чувствовать, как велика была разница в
знаниях и опыте между ними и мною; они обращались
со мною, как с младшим коллегой».
Когда Гильберту подходило время идти на лекцию,
Минковский, возвращаясь домой, часто брал с собой
Борна. Всего два квартала отделяли дом Гильберта от
квартиры Минковского на Планкштрассе; однако
часто, глубоко погрузившись в беседу, они «совершали
длинную прогулку», прежде чем попадали домой.
Маленькие девочки выбегали встречать своего папу;
прибежавшая первой усаживалась ему на спину и
въезжала в дом, ухватившись за его густые темные волосы и
визжа от радости. В противоположность Гильберту,
чье дружелюбное отношение к молодежи не
распространялось на маленьких, Минковский понимал и
обожал детей. Именно благодаря его поддержке и забавам
удалось, наконец, заставить заговорить маленького
Франца; его письма к Гильберту всегда содержали
какое-нибудь послание Францу. Его собственные дети
должны были помнить своего отца, который по
нескольку минут в день уделял каждому в отдельности, чтобы
они могли иметь возможность поговорить с ним.
«Дядю Гильберта» они должны были помнить как
человека, «не очень ладившего с детьми».
Готовясь к своим лекциям только в самых общих
чертах, Гильберт, случалось, терпел фиаско. Иногда
он не мог провести или неправильно проводил детали
рассуждений. Тогда лекция прерывалась. Если
присутствовал ассистент, то он мог прийти на помощь.
«Студенты волнуются, господин профессор, что знак
неверен». Но часто ни ассистент, ни слушатели не могли
помочь. Тогда он пожимал плечами: «Да, мне надо
было лучше подготовиться» — и распускал
слушателей. Чаще же он пытался спасти лекцию. И теАм не
менее, по общему мнению, в Гёттингене не было педагога,
даже близко стоящего к Гильберту! Слушателям его
лекций математика представлялась «все еще в процессе
139
создания», и большинство из них предпочитали их
более совершенным, энциклопедическим и
«законченным» лекциям Клейна.
Несколько неожиданно Гильберт проявил довольно
значительный интерес к педагогике. Не будучи очень
высокого мнения о способностях среднего студента,
он считал, что ничего нельзя усвоить, пока не
услышишь несколько раз. «Пять раз, Герман, пять раз!» —
памятный совет, который он давал Вейлю, когда тот
начинал свою педагогическую деятельность.
«Вычисления проводи не выше, чем на уровне таблицы
умножения» и «Начинай с простейших примеров» — другие
его любимые заповеди. Сам он старался представлять
важные идеи в особо наглядной форме, всегда
подыскивая контрастные сравнения, делающие их более
поразительными и запоминающимися.
Лекции по обыкновенным дифференциальным
уравнениям начинались с того, что на доске выписывались
два уравнения: у" = О и у" + у = 0. «Meine Нег-
геп *)— говорил он,— на них вы можете изучить всю
теорию и даже понять разницу в задачах с начальными
или с краевыми условиями».
«Предложение «Все девочки по имени Кете
красивы» не является всеобщим законом,— объяснял он
перед другой аудиторией.— Действительно, оно
зависит от выбранного имени, а последнее произвольно».
Разница между утверждением чистого
существования и конкретным построением иллюстрировалась
заявлением, всегда вызывавшим смех среди студентов:
«Среди сидящих в этой аудитории существует один с
наименьшим количеством волос».
Кроме своих собственных лекций, Гильберт
регулярно вел семинар с Минковским. В 1905 году после
года изучения физики они решили посвятить свой
семинар одной из ее областей — электродинамике
движущихся сред. Хотя первоначальная инициатива исходила
от Минковского, Гильберт играл в нем активную роль
и был полноправным партнером, по мнению Борна,
«часто проясняя и постоянно стремясь к ясности».
Для Борна и других студентов семинарские занятия
представляли собой волнующие и побуждающие к мыс-
1) Господа (нем.).
140
ли часы. Сокращение Фицджеральда, местное время
по Лоренцу, эксперимент Майкельсона — Морли с
интерференцией — все это обсуждалось подробнейшим
образом, и «мы узнавали совершенно фантастические
утверждения из электродинамики».
Одним из тех совпадений, которые не так уж редко
бывают в истории науки, было то, что именно в этот
год похожие идеи появились в серии работ одного
служащего бюро патентов в Берне по электродинамике и
специальной теории относительности. «По об этом,—
говорил Борн,— в Гёттингене еще ничего не было
известно, а имя Эйнштейна ни разу не упоминалось на
семинаре Гильберта — Минковского».
Борн, на которого произвели большое впечатление
идеи, обсуждаемые на семинаре, решил взять из этой
области тему для своей диссертации. Однако на другом
семинаре он впал в немилость у Клейна, а в Гёттинге-
не считалось аксиомой, что тем, к кому великий
Феликс не благоволил, приходилось плохо. Поэтому,
чтобы не подвергать себя риску на экзамене по
геометрии у Клейна, Борн переключился на астрономию.
Ему все равно пришлось бы экзаменоваться по
математике, но в этом случае экзаменатором был бы Гильберт.
Перед экзаменом Борн попросил у Гильберта совет
по подготовке к вопросам по математике.
«В какой области вы чувствуете себя наименее
подготовленным?» — спросил Гильберт. «В теории идеалов».
Гильберт больше ничего не сказал, и Борн решил,
что из этой области ему не будут задавать вопросов.
Но в день экзамену все вопросы Гильберта относились
к теории идеалов. -
, «Ja, ja,— говорил позже Гильберт,— мне было
просто интересно узнать, что вы знаете о вещах, о которых
вы ничего не знаете». ,t
После 1905 года Минковский почти полностью
переключился на электродинамику. Работа бернского
служащего стала известной в Гёттингене, и Минковский
припомнил своего бывшего студента. «Ach, der
Einstein,'— разочарованно сказал он,— der schwanzte im-
mer die Vorlesungen — dem hatte ich das gar nicht
zugetraut». (Ax, этот Эйнштейн, всегда пропускавший
лекции; я бы никогда не поверил, что он способен на
такое\)
УЛ
Гильберт продолжал свои исследования в области
интегральных уравнений. Поддерживая тесную связь
между этими исследованиями и своей педагогической
деятельностью, он часто обсуждал свои результаты на
лекциях и семинарах еще до того, как они принимали
законченный вид. Часто случалось, что прогресс в его
работе был обязан такого рода со рудничеству со
своими студентами, которые, как он с удовольствием
вспоминал позже, «постоянно оказывали помощь в
нахождении более точных формулировок, а также иногда и
в расширении, области исследований». Например,
в 1904 году он опубликовал свою теорию собственных
функций и собственных значений. В самой важной
части она была еще слишком «тяжеловесной». Затем
в 1905 году Эрхард Шмидт заложил в своей
диссертации новые основы теории Гильберта, которым из-за
их ясности и краткости было суждено сыграть важную
роль. Именно в это время, в 1905 году, Венгерская
Академия Наук поразила математический мир
объявлением об учреждении внушительной премии в 10 000
золотых крон, предназначавшейся математику, чьи
достижения за последние 25 лет внесли наибольший вклад
в развитие математики. Эта премия стала известной как
премия Бояи, названная в честь Яноша Бояи,
венгерского математика, одного из создателей неевклидовой
геометрии, и его отца Фаркаша Бояи, друга Гаусса
со студенческих времен.
Академия назначила комитет в составе Юлиуса
Кёиига, Густава Радоша, Гастона Дарбу и Феликса
Клейна. Ему было поручено назвать лауреата; однако
еще до заседаний комитета любому математику в мире
было ясно, что придется выбирать только из двух
людей. Окончательное решение было единогласным.
Премия Бояи должна была быть вручена Анри Пуанкаре,
чья математическая карьера началась в 1879 году,
в то время, когда Гильберт был еще учеником
гимназии. Тем не менее также единогласно комитет решил,
что в знак большого уважения к Давиду Гильберту в
отчете о своем выборе, представленном Академии, его
математическая работа будет оценена наравне с
работой Пуанкаре.
«Не золото, а почет»,— передавал Гильберту из
Будапешта свои сожаления Клейн,
142
Позже, йернувшись в Гёттинген, Клейн объяснил
Елюменталю, что решающим соображением, из-за
которого премия досталась Пуанкаре, было то, что
французский математик затронул своими достижениями «всю
орбиту математической науки».
«Но Гильберт еще охватит столь же обширную
область, как и Пуанкаре!» — предрекал Клейн.
Это было благоприятным временем для пророчества.
Гильберт создавал теперь то, чему суждено было стать
венцом его занятий анализом — теорию бесконечно
многих переменных, ставшую широко известной как
теория «гильбертова пространства».
Обобщение алгебраической теории квадратичных
форм от двух и трех переменных на случай любого
конечного числа переменных было популярным среди
алгебраистов прошлого века; так как пара чисел
представляет точку на плоскости, а тройка — в
трехмерном пространстве, то при увеличении числа
переменных они сочли удобным перейти в «пространства»
более высокой размерности. Как однажды заметил
Э. Т. Белл, такое обобщение «почти тривиально для
любого компетентного алгебраиста». Однако переход
к бесконечному числу переменных требует уже
рассмотрения вопросов сходимости, а эта аналитическая
проблема «никому не представляется тривиальной».
Следующее обобщение состоит в том, что можно,
например, рассматривать пространство, точками
которого являются непрерывные функции.
Из-за своей крайней общности проблема, которой
он теперь занимался, казалась почти недоступной
даже для Гильберта. Но он смело принялся за нее.
«Если мы не оробеем под влиянием таких
соображений, то мы окажемся в положении Зигфрида, перед
которым отступил огонь; манящей же наградой
послужит прекрасное вознаграждение — единый
методологический подход к алгебре и анализу!»
В удобном и ярком пространственном
представлении многие аналитические соотношения могут быть
выражены в знакомых терминах; кроме того, в
геометрической формулировке большая часть сложных
и непонятных на аналитическом языке вещей
становится интуитивно почти очевидной. Благодаря этому
теория гильбертовых пространств — первоначально
143
названная Гильбертом по техническим причинам
«Спектральной теорией» — предлагала чрезвычайно
соблазнительный язык для простого и непосредственного
выражения очень абстрактных результатов. Хотя из нее
следовали многие его собственные результаты и
методы, причем более простым способом, не в этом
заключалось ее главное значение.
«Важнее всего,— писал позже Курант,— является
упорядочивающее и проясняющее действие такой
общей теории функций на всю методологию и идейное
развитие аналитических исследований».
Одновременно с развитием этой очень абстрактной
и сложной математической теории Гильберт учил
математическому анализу студентов первого курса.
Его курс анализа 1906 года, хотя и обычный с
точки зрения его педагогической техники на этом уровне,
все же отличался кое-чем от предыдущих и
последующих курсов. Объяснялось это тем, что он читался в
период большого лыжного сезона. Под влиянием Рунге,
который просто не мог не быть первым спортсменом
факультета, ибо его мать была англичанкой, Гильберт
и некоторые из более молодых преподавателей решили
учиться кататься па лыжах. Необходимые
принадлежности были заказаны в Норвегии, так как ничего
подобного в Германии еще не выпускалось. Занятия,
которыми руководил Рунге, происходили на
небольшом склоне, чуть ниже популярной гостиницы Der
Rohns.
«Да, ты знаешь, это очень приятно, но очень
трудно»,— признался Гильберт Минковскому на
еженедельном собрании Математического клуба.
«Сегодня днем я совершенно неожиданно, совсем
не подозревая этого, очутился в канаве. Обе мои лыжи
повисли в воздухе, в то время ка^к я лежал на спине.
Одна из них соскочила и покатилась под гору. В
результате мне пришлось снять вторую лыжу и вместе
с ней спускаться по глубокому снегу. Ты знаешь, это
не так просто».
«Да,— сказал Минковский, не принявший нового
вида спорта,— но почему ты не пустил вторую лыжу
вдогонку за первой? Ведь она оказалась бы рядом
с ней». «О, Рунге никогда о таком не думал»,—
воскликнул Гильберт.
144
Между домом Гильберта и Auditorienhaus, где
он читал лекции по анализу, был небольшой уклон,
и когда было достаточно снега, Гильберт предпочитал
идти на лекцию на лыжах. В такие дни он врывался
ъ аудиторию в своих громадных норвежских лыжных
ботинках с остриями на носках и пряжками на
задниках и, запыхавшись, взбирался на кафедру, уже
приступив к чтению лекции.
Он все еще сохранил привычку начинать лекцию
с аккуратного напоминания материала прошлой
лекции. Если на предыдущей требовалось 40 минут для
изложения материала, то теперь он тратил на него
20 минут. Только закончив повторение, он приступал
к новой теме.
«Прошлый раз мы узнали то-то и то-то.
По-видимому, в новой ситуации это вряд ли применимо. С чего бы
это? Почему старый метод не работает? В чем дело?
Что мы можем сделать? Как нам преодолеть эту труд-
кость?»
В таком духе он мог продолжать некоторое время.
Р-роме того, он мог затронуть идеи из других областей
и упомянуть самые последние работы. Студенты
бывали зачарованы мелькнувшими перед ними понятиями
н областями математики, о которых при обычном ходе
обучения они не знали бы еще многие годы. Кроме
того, в них зажигалось все возрастающее желание
познакомиться с современной наукой. Наконец, после
того, как, казалось, уже не было никакой надежды,
всплывало нужное понятие — «как мраморная статуя,
высвеченная лучом света в темном парке».
«Это было замечательно,— говорит Пауль Эвальд,
бывший слушателем . курса 1906 года.— Когда оно
наконец появлялось, у нас возникало чувство, будто
мы на самом деле присутствовали при создании
Гильбертом нового важного понятия».
К этому времени ассистенты Гильберта стали
получать жалованье и иногда даже стало возможным
организовывать специальный Ausarbeiter l) для
большого числа слушателей. В этот самый год Гильберту
удалось добыть некоторые нематематические фонды
для математики и Эвальд был нанят для Ausarbeiter
I Обработка лекций (нем.).
145
С Оплатой, как у «работника лесничества» в
ближайшей деревне. В его обязанности входила подготовка
чистой копии составленного им конспекта лекций
Гильберта, который затем должен был быть одобрен
ассистентом, должность которого теперь занимал друг
Борна Хеллингер.
Даже в таких элементарных курсах, как анализ,
часто случалось, что Гильберт путал некоторые вещи.
Тогда Хеллингер, печально глядя в конспект Эвальда,
/оворил: «Да, он снова напутал, и нам придется сесть
и все исправить». Когда записи, наконец,
удовлетворяли Хеллингера, они направлялись в Lesezimmer, где
ими могли пользоваться студенты.
Эвальд, ставший со временем известным физиком,
всегда говорил, что почти весь нужный ему анализ
он узнал из курса Гильберта и послелекционных
занятий с Хеллингером.
В весенний семестр этого учебного года Гильберт
купил велосипед, только недавно начавший входить в
моду как средство передвижения в Гёттингене, и в
возрасте почти 45 лет начал учиться кататься на нем.
Лыжи были временным увлечением, но велосипед,
как и пешеходные прогулки, а также занятия
садоводством стали постоянными спутниками его творческой
жизни. До сих пор он предпочитал работать на воздухе.
Теперь рядом с ним всегда был велосипед. Некоторое
время он мог работать у большой доски, висевшей на
соседской стене. Затем он внезапно останавливался,
вскакивал ца велосипед, делал восьмерку вокруг двух
круглых клумб с розами или какой-нибудь другой трюк.
Покатавшись несколько минут, он бросал велосипед
на землю и возвращался к доске. В другой раз он мог
прервать свои занятия для того, чтобы немного
походить по своей крытой дорожке, склонивши голову,
с руками за спиной. Иногда он прекращал свою
работу, чтобы подрезать дерево, немного покопать или
пополоть сорняки. Постоянно приходивших в дом
посетителей экономка направляла в сад со словами:
«Если вы не увидите профессора, то поищите его на
деревьях». Как правило, уже первое слово, которое
произносил Гильберт, показывало, что несмотря на
внешнее проявление, он был всецело поглощен
решением какой-нибудь конкретной математической зада-
146
та. Он мог продолжить ход своей мысли, но теперь
уже вслух, если, разумеется, посетитель не пришел со
своей собственной проблемой. Тогда с энтузиазмом и
интересом он переходил на эту тему.
Рихард Курант, недавно присоединившийся к
компании из Бреслау, включавшей Борна, Хеллингера и
ТёплйДа, часто наблюдал за деятельностью
Гильберта в саду с балкона своей комнаты, находившейся
неподалеку. Ему казалось это «фантастической
способностью сохранять равновесие между крайним
сосредоточением и полнейшим отдыхом».
На следующий год Гильберт представил научному
обществу свою теорию бесконечно многих переменных.
Эрхард Шмидт, к тому времени приват-доцент в
Берлине, опубликовал свой собственный, .очень простой и
красивый метод решения, который, как и его
диссертация, развивал работу его учителя.
Таким образом, научная жизнь в Гёттингене
продолжалась, оставляя о себе незабываемую память в
сердцах тех, кто жил наукой, и оставаясь незамеченной
для приезжавших журналистов.
XIV
ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ И ЧИСЛО
Это было спокойное время. Гёттинген казался
полузабытым царством прошлого. Государство
Ганновер, частью которого он был, было разбито и
аннексировано Пруссией в 1866 году; однако сорок лет спустя
остатки ганноверской аристократии продолжали
упорно сопротивляться господству победителя. Герб
страны, взятой под свою опеку Георгом II, все еще
держался на германском университете так же твердо, как и
гортанный акцент в английском языке ее бывшего
повелителя. Дома, выстроившиеся по Принцёнштрассе,
принадлежали герцогам и князьям - ганноверским,
правда, их титулы были большей частью английского,
а не немецкого происхождения. Научное общество
Гёттингена официально именовалось на английский
манер как «die Konigliche Gesellschaft der Wissenschaf-
ten» — Королевское научное общество. Британский
военный министр постоянно проводил свои летние
месяцы в Гёттингене. Молодым людям, съехавшимся
сюда со всех концов земли из-за своей любви к
математике, казалось, что у них «все еще впереди». Эту точку
зрения не всегда разделяли их старшие коллеги.
В 1908 году Гильберт и Минковский отметили
четверть века своей дружбы. Гильберту было 46 лет, Мин-
ковскому 44.
В это юбилейное лето замечательное здоровье и
естественный оптимизм Гильберта на время покинули
его. Он стал очень нервным и подавленным.
По-видимому, этот упадок сил не был вызван
каким-нибудь особенным обстоятельством. Некоторые,
например Блюменталь, рассматривали это как следствие
его безрассудного физического и умственного
напряжения последних нескольких лет. Другие считали это
обычным явлением для творческого работника.
148
«Почти каждый великий ученый, которого я знал,
был подвержен таким глубоким депрессиям,— говорил
Курант.— Безусловно, это было у Клейна, но также
и у многих других. В жизни любой творческой
личности бывают такие периоды, когда кажется, а бывает,
что так и есть на самом деле, что ты теряешь свои
способности. Это действует подобно шоку».
Во всяком случае, Гильберт подошел к своей
болезни с большой рассудительностью, решив сделать
все необходимое для того, чтобы выздороветь.
Отдохнув несколько месяцев в санатории в горной местности
Гарц, он снова, как обычно, начал с осени читать
лекции.
В отличие от Гильберта, летом 1908 года Минков-
ский был на вершине своей творческой активности.
В сентябре он представил некоторые из своих новых
результатов по электродинамике на ежегодном собрании
Общества германских ученых и врачей в Кёльне.
Названием его доклада было «Пространство и время».
«Воззрения на пространство и время, которые я
хочу изложить перед вами,— начал он своим тихим,
колеблющимся голосом,— возникли на
экспериментально-физической основе, и в этом их сила. Их
тенденция радикальна. Отныне пространство само, по себе
и время само по себе обречены на превращение в
фикции, и лишь некое единение обоих сохранит
объективную реальность».
Он часто говорил своим студентам в Гёттингене:
«Эйнштейн излагает свою глубокую теорию с
математической точки зрения неуклюже — я имею право так
говорить, поскольку свое математическое образование
он получил в Цюрихе у меня».
В своей специальной теории относительности
Эйнштейн показал, что описание механических явлений с
помощью часов и эталонов мер зависит от движения
лаборатории, в которой производятся измерения.
При этом он установил математические соотношения,
связывающие различные описания одного и того же
физического явления.
Доклад Минковского в Кёльне явился «великим
моментом геометризации». За несколько минут Минков-
ский внес в теорию относительности свою
собственную, простую и красивую математическую идею
149
о пространстве-времени, дающую очень прозрачное
математическое представление различных описаний
заданного явления.
«Трехмерная геометрия становится главной в
четырехмерной физике».
«Теперь вы знаете,— сказал он своим слушателям,—
почему я заявил вначале, что пространство и время
должны обратиться в фикции, уступив свое место
единому миру».
Среди слушателей был Макс Борн, который снова
начал проявлять интерес к теории относительности
из-за недавних работ Эйнштейна. Минковский
уговаривал Борна вернуться в Гёттинген и стать его
сотрудником. Ему нужен был специалист со знанивхМ
оптики, как у Борна. Однако сначала он хотел, чтобы его
бывший ученик более близко познакомился с его
собственными новыми идеями в этой области. Он отослал
Борна обратно в Бреслау, снабдив его своей последней
работой-по электродинамике.
В работе Минковского этот молодой человек нашел
уже готовым «весь математический арсенал теории
относительности... в том виде, в каком с того времени
его повседневно использует каждый физик-теоретик».
Только к началу декабря он счел возможным для себя
вернуться в Гёттинген.
«Затем последовали несколько недель, в .течение
которых я видел Минковского и беседовал с ним каждый
день. Это было счастливое время, полное научной
активности, а также богатое опытом личного характера,
началом истинной дружбы, насколько разница в
возрасте и опыте позволяет употребить это слово».
Закончив обсуждение проблем теории
относительности, они перешли к теории чисел. «Для Минковского,
как и для Гильберта, теория чисел была самым
удивительным созданием человеческого разума и духа,
равным образом наука и величайшее из искусств».
Именно в это время, когда Минковский покинул
теорию чисел ради электродинамики, Гильберт,
оправившись после своего летнего упадка сил, увлекся
одной знаменитой проблемой в классической теории
чисел. В 1770 году Эдмунд Варинг, ничем другим
особенно не прославившийся английский математик,
утверждал, по-видимому, без всяких доказательств, что
150
каждое целое число может быть представлено б биде
суммы четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати
четвертых степеней и так далее — в общего случае
конечным числом любых п-х степеней.
Приблизительно в это время в связи с другой теоремой было доказано,
что каждое целое число представимо в виде суммы
четырех квадратов. Однако это не доказывало, что Ва-
ринг, оказавшись правым в случае квадратов, был
прав и в других случаях. Не ясно даже было, что
каждое целое число могло быть представлено некоторым
конечным числом кубов, четвертых степеней и так
далее. Количество некоторых таких степеней,
больших 2, могло неограниченно возрастать с ростом
самих чисел. С 1770 года прогресс в направлении
доказательства этого утверждения Варинга был
незначительным. В последнее же время математики начали
проявлять новый интерес к этой проблеме, надеясь
па успешное применение к ней некоторых
аналитических методов. В этом направлении работал Гурвиц,
но так же, как и другие математики, пытавшиеся до
него доказать теорему Варинга, он бросил свои
попытки, признав поражение. Тем не менее работа Гурвица
вызвала у Гильберта интерес к этой проблеме. На
некоторое время он оставил свои интегральные
уравнения. Гильберт начал с того места, на котором
остановился Гурвиц, даже взяв за основу одно тождество,
аналогичное тому, которое было установлено Гурви-
цем. В конце 1908 года, ровно через 138 лет после того,
как Варинг впервые сформулировал свою гипотезу,
Гильберт получил доказательство теоремы Варинга.
Как было типично для Гильберта, его
доказательство скорее давало лишь существование, а не явную
конструкцию нужного представления. Однако хотя
в действительности в нем и не давалось количества
необходимых п-х степеней, но, в отличие от его
доказательства теоремы Гордана, в доказательстве
теоремы Варинга содержался метод, позволявший, по
крайней мере в принципе, получить в каждом отдельном
случае оценку этого числа.
Это доказательство ни в коей мере нельзя было
считать простым. На самом деле, как отмечал русский
теоретико-числовик Хинчин, оно было «не только
тяжеловесным в своем формальном оформлении, осно-
151
ванном на сложных аналитических теориях..., но
также не обладало прозрачностью в идейном отношении».
Однако, учитывая длительную недоступность
проблемы, это можно было считать замечательным
достижением.
«Мне трудно выразить то восхищение^ которое я
испытывал от решения этой исторической
проблемы,— писал Г. X. Харди, когда позже вместе с
Дж. И. Литлвудом они получили другое
доказательство этой теоремы.— В поставленных перед собой
границах оно представляло абсолютный и
триумфальный успех... одну из вех в современной теории
чисел».
Сам Гильберт испытывал огромную радость и
гордость. «Он сражался с таким мастером высшей
категории, каким был Гурвиц,— заметил Блюменталь,—
и одержал победу его собственным оружием, причем в
том самом месте, где Гурвиц не видел возможности
успеха». Он с радостью думал о том, что сообщит этот
результат в своем следующем письме к старому
другу. Но прежде ему надо было изложить доказательство
теоремы Варинга Минковскому и участникам их
объединенного семинара, который должен был возобновиться
с нового года.
Во время рождественских праздников Минков-
ский отсутствовал в Гёттингене. Вернулся сюда он в
среду 6 января. На следующий день, в четверг, четверо
профессоров математики ровно в 3 часа вышли на свою
еженедельную прогулку до Керотеля на Хайнберге.
Несмотря на окружающие их снежные холмы и голые
деревья, это была приятная прогулка. Холодный
воздух был наполнен громкими радостными голосами
и смехом. «С особой оживленностью» Минковский
рассказывал о своих последних результатах в
электродинамике. Гильберт поразил всех сообщением о том, что
на следующем занятии семинара он изложит
доказательство теоремы Варинга.
В пятницу Минковский прочитал свою обычную
лекцию. После этого он принимал докторский экзамен.
Затем в воскресенье днем, за обедом, он внезапно
почувствовал сильный приступ аппендицита. Ночью
было решено произвести трудную операцию по
удалению разорвавшегося органа.
152
За понедельник состояние Минковского
ухудшилось. Он был в сознании и вполне сознавал
безнадежность своего положения. На больничной койке он
изучал корректуру одной из своих последних работ и
решал, удастся ли довести еще не оконченную часть
работы до хорошего состояния.
Позже Гильберт вспоминал: «Он выражал
сожаление по поводу своей судьбы, так как он еще так
много мог бы сделать; но он решил, что было бы хорошо
выправить корректуру, чтобы облегчить понимание и
чтение его последних работ по электродинамике». Он
сказал, что, возможно, после его смерти будет легче
преодолеть сопротивление его новьш идеям.
«Даже на больничной койке, в ожидании смерти,
он был расстроен тем обстоятельством, что не сможет
присутствовать на следующем занятии семинара, на
котором я должен был выступить с моим решением
проблемы Варинга».
В полдень во вторник, 12 января 1909 года, Мин-
ковский выразил желание снова увидеть свою семью
и Гильберта. Гильберт отправился сразу же, как
только получил известие; однако, когда он добрался до
больницы, Минковский уже скончался. Не достигнув
сорока пяти лет, он ушел «в полном расцвете своей жиз
ненной энергии, в середине своего самого счастливого
периода работы, на высоте своего научного творчества»
Позже, днем, Гильберт писал письмо Гурвицу
«Мой Дорогой Старый Друг,— начал он.— Теперь ты
один, кого я могу так называть...»
Почерк, крупнее, чем обычно, становился все
более расплывчатым по мере продвижения этой
короткой записки. Он намеревался, писал он, сообщить об
«одной хорошей идее» для решения проблемы Варинга,
взятой «из твоей прекрасной работы» в гёттингенских
Nachrichten, «но вместо этого ты получаешь это
печальное письмо». Подписался он «Твой Старый Друг».
Затем, как будто чтобы убедить их обоих в том, что
случилось, он повторил в постскриптуме все события в
жизни Минковского за прошедшую неделю:
возвращение из Берлина в среду, счастливую прогулку до Ке-
ротеля днем в четверг, лекцию в пятницу и прием
докторского экзамена, приступ в воскресенье и
операцию в ту же ночь.
153
«Даже врачи стояли вокруг постели со слезами на
глазах».
Утром в среду было сделано сообщение студентам.
«Я был в аудитории, когда Гильберт сказал нам о
смерти Минковского и когда он плакал,— вспоминает
один его бывший студент.— Из-за высокого
положения, которое занимал в те дни профессор, и разницы
в положении между ним и студентами для нас было
большим потрясением видеть, что Гильберт плачет,
чем слышать, что умер Минковский».
В четверг днем не было математической прогулки.
Вместо нее профессора математики провожали
Минковского в последний путь. Снова, заметил Гильберт, было
ровно три часа дня.
«Сильные математики были похожи на растерянных
людей,— писал один студент родителям после
похорон.— По всему было видно, что даже самому Клейну
было трудно спокойно говорить. Гильберт и Рунге
казались обезображенными, с глазами, красными от
слез».
Решение проблемы Варинга — «корректуры
которого его уверенный глаз уже не пробегал» — было
опубликовано вскоре после этого с надписью автора:
«В память о Германе Минковском».
XV
ДРУЗЬЯ И УЧЕНИКИ
Никакие переговоры в министерстве в Берлине,
как бы долго и с каким бы искусством они ни велись,
не могли помочь восполнить ту дружбу и то
стимулирующее научное влияние, которые получал Гильберт
от Минковского. Но жизнь должна была
продолжаться.
Душевное напряжение, с которым работал
Гильберт, передается одним случаем, происшедшим во
время лекции вскоре после смерти Минковского. Среди
слушателей* был молодой человек, который, несмотря
на то что профессор был явно не в себе, не переставал
прерывать его вопросами. Наконец Гильберт
огрызнулся:
«Мы здесь не за тем, чтобы снабжать вас
информацией».
«Но именно за это сам и платят, господин тайный
советник!»
В последовавшем за этим молчании шокированной
и смущенной аудитории Гильберт, явно потрясенный
и рассерженный, ждал, пока обидчик покинет
лекционный зал. Молодой человек упорно оставался на
своем месте. Тогда сам профессор, побледнев,
повернулся и вышел. «Такой случай никогда бы не
произошел,— говорит очевидец,— если бы Гильберт был в
своем обычном состоянии».
Но большей частью Гильберту удавалось
принимать эту потерю с тем же философским спокойствием,
с каким встречал свою смерть его друг. Никаких новых
приступов глубокой депрессии прошлого лета не
наблюдалось.
Гильберт принял активное участие в выборе
преемника Минковского. Вместе с Клейном они пришли к
155
решению, что будут искать молодого человека, у
которого все достижения еще впереди. Тем самым они
исключили Гурвица. Рассматривались кандидатуры
многих молодых математиков. Наконец остановились на
выборе между Оскаром Перроном и Эдмундом Ландау.
Члены математического факультета тщательно
обсудили заслуги обоих.
«О, Перрон — такой замечательный человек,—
сказал наконец Клейн.— Его все любят. Ландау очень
неприветлив, с очень тяжелым характером. Но нам,
представляющим здесь такой коллектив, лучше иметь
трудного человека».
Это было окончательное решение.
В первую же весну после смерти Минковского
32-летний Ландау приехал в Гёттинген в качестве
профессора математики
Специальностью Ландау было приложение
аналитических методов к теории чисел. Будучи
приват-доцентом в Берлине, он уже доказал одну очень общую
теорему о распределении простых идеалов в произвольных
полях алгебраических чисел, аналогичную
классической теореме о простых числах. Он сделал также
важную работу по теории функций, получив такое
неожиданное обобщение знаменитой теоремы Пикара, что
вначале сам отказывался верить в его справедливость
и отложил публикацию этого результата более чем
на год.
Книга Ландау о распределении простых чисел,
центральной проблеме в аналитической теории чисел,
появилась в тот год, когда он приехал в Гёттинген.
«В ней впервые,— писал Харди много лет спустя,--
аналитическая теория чисел излагается не как
собрание некоторых красивых разрозненных теорем, а как
систематическая наука». Из «места охоты для
отдельных отважных героев» она превратилась в одну из
наиболее плодовитых областей математических
исследований.
В то время большинство немецких профессоров
являлись выходцами из крупной буржуазии и были
весьма прилично устроены, Ландау же был просто очень
богат. Когда его спрашивали, как найти его дом в
Гёттингене, он отвечал: «Это самый лучший дом в
городе».
156
Вскоре после его приезда в университет анекдот
о Ландау не уступали в своем числе анекдотам о
Гильберте.
Один студент посоветовался с Ландау о качестве
кусочка янтаря, по-немецки Bernstein. В ответ Ландау
одновременно высказал свое мнение о достоинстве двух
математиков Бернштейнов, находившихся в то время
в Гёттингене. Он ответил «Феликс». Если бы он сказал
«Сергей», то это бы значило, что янтарь наивысшего
качества. (Это утверждение не было столь резким, как
оно звучит. Феликс Бершптейн был очень хорошим
математиком, известным своими работами в теории
страхования и статистике; однако Сергей Бернштойа
был одним из величайших русских математиков того
времени.)
В отличие от Минковского, у Ландау не было
интереса ни к геометрии, ни к математической физике и
он абсолютно презирал прикладную математику.
Однажды Штейнгауз описал Ландау свой
докторский экзамен. Его должен был экзаменовать астроном.
Было видно, что на Ландау произвело большое
впечатление то обстоятельство, что изучающий чистую
математику мог успешно ответить на вопросы
математика-прикладника. «Что же он спросил вас?»
Польщенный интересом профессора к его делам, Штейнгауз
объяснил, что астроном спросил его о
дифференциальных уравнениях движения трех небесных тел.
«Ах, так он знает это\ — воскликнул Ландау.—
Так он знает это».
Таким был Ландау.
Коллеги и студенты не любили его высокомерия и
боялись его остроумия и безжалостной прямоты.
Однако они отдавали дань уважения и были преданы ему
за фантастическое трудолюбие и неожиданную
беспристрастность в его привязанности к математике.
«Большинство из нас подсознательно немного завидует
успехам других,— однажды заметил Харди,— [но]
Ландау, казалось, был начисто лишен таких недостойных
эмоций».
Едва устроившись в Гёттингене, Ландау предложил
молодому датчанину Гаральду Бору, решившему одну
поставленную им проблему, чтобы тот приехал и стал
его сотрудником.
157
Вор был необычным математиком. В 1908 году он
входил в состав датской Олимпийской футбольной
команды, занявшей второе место. По-видимому, он
был единственным в истории математики, о
докторском экзамене которого сообщалось на спортивной
странице газеты. В будущем он неразрывно соединил свое
имя с так называемыми «почти периодическими
функциями». Но он никогда не мог спокойно пройти мимо
мяча, чтобы не поддеть его ногой.
Когда спустя несколько месяцев после смерти Мин-
ковского Бор приехал в Гёттинген, ему показалось,
что среди молодых математиков этого города царит
дух подлинного международного братства. Обмен
иностранной валюты был настолько легким, насколько
это возможно. Никто никогда не интересовался
паспортом. Немецкие студенты, особенно более старшего
возраста, заботились о молодых иностранных
студентах «с трогательным вниманием».
«Великим стариком... был Феликс Клейн. Его
импозантная и мощная фигура внушала всем, старым и
молодым, громадное уважение и, можно сказать,
почти благоговение... Но над всей жизнью Гёттингена сиял
выдающийся гений Давида Гильберта, который как
бы связывал нас всех воедино... Почти каждое
произнесенное им слово, будь то о проблемах нашей науки
или просто о жизни, казалось нам свежим и
обогащающим».
Весной 1909 года Гильберт не послал ни одного
сообщения по интегральным уравнениям в Гёттинген-
ское научное общество. Вместе с Кете они проводили
много времени с Густой Минковской и маленькими
девочками. Гильберт взял на себя общее
редактирование работ Минковского и начал готовиться к
мемориальному выступлению. Для этого он 'перечитал более
девяноста писем, полученных им от Минковского, еще со
времени их университетской жизни. «Это все равно
что прожить всю жизнь заново,— писал он Гурвицу,—
и я вижу, какую важную роль играл ты в этой жизни».
Почти одновременно со смертью Минковского
появилась возможность приглашать в Гёттинген для
личных научных контактов крупнейших специалистов,
что было так необходимо для творчества самого
Гильберта, имевшего раньше такой контакт в лице Минков-
158
ского. Профессор математики из Дармштадта Пауль
Вольфскель оставил по своему завещанию 100 000
марок премии за первое полное доказательство последней
теоремы Ферма. До тех пор, пока этот приз не будет
вручен, проценты с этой суммы должны были
тратиться по усмотрению комитета при Гёттингенском научном
обществе. Гильберт стал председателем этого
комитета и в апреле того года, когда умер Минковский, ему
удалось выделить 2500 марок для приглашения в Гёт-
тинген Анри Пуанкаре.
С общественной и математической точки зрения
ситуация была деликатной. Депрессия, изменившая
все направление карьеры Клейна, была вызвана его
соперничеством с молодым Пуанкаре. Теперь
ведущими мировыми математиками были Гильберт и
Пуанкаре, но премия Бояи была присуждена именно
последнему. Для многих обитателей Гёттингена присутствие
французского математика было нежелательным
напоминанием того, что математический мир представлял
собой не сферу с центром в Гёттингене, а лишь
эллипсоид.
Не улучшил ситуацию и выбор темы лекций
Пуанкаре. Он решил говорить об интегральных уравнениях
и теории относительности, вероятно, считая, что
выбор этих областей, в которых ему принадлежали
значительные достижения, будет интересен гёттингенским
математикам. Однако иностранный математик,
присутствовавший на лекциях, был удивлен тем холодком,
с которым был встречен знаменитый гость. «Мы были
удивлены,— объяснял один из гёттингенских
доцентов,— что Пуанкаре приедет за тем, чтобы
рассказывать нам об интегральных уравнениях!»
Тем не мейее Гильберт всегда обращался к
Пуанкаре «мой дорогой друг» и отзывался о нем в своих
лекциях и статьях как о «самом блестящем математике его
поколения». Он и Кете устроили большой прием в честь
французского математика и Клейна, чье
шестидесятилетие пришлось на время визита.
Минковский также испытывал высшее восхищение
перед Пуанкаре, а одна из его маленьких дочерей,
увидев великого человека на ступенях дома на
Вильгельм Веберштрассе, сделала перед ним реверанс,
который полагается маленькой девочке при виде короля.
159
«Какое счастье быть в наше время математиком! —
говорил Гильберт, выступая с маленькой речью перед
гостями.— Повсюду математика разрастается, пуская
новые побеги. Все более важное значение приобретают
ее приложения к естественным наукам и ее связи с
философией, благодаря чему она готовится занять свое
прежнее центральное место!»
Однако в письме к Гурвицу, в котором он
благодарил его за дружескую оценку своего доказательства
теоремы Варинга, он писал, что она была «лучом света
в темноте».
Первого мая он выступил с речью в память о Мии-
ковском на специальном собрании Гёттингенского
научного общества.
Он с любовью рассказал о работе друга,
перечислил его достижения и оценки, которые ему дали такие
математики, как Эрмит и Дедекинд. «Несмотря на тот
факт, что он был чрезвычайно скромен и нарочно
держался на заднем плане, у него было внутреннее
убеждение, что многие из принадлежащих ему работ
переживут работы других современных авторов и получат
в конце концов общее признание. Он ценил открытую
им теорему о разрешимости линейных неравенств в
целых числах, свое доказательство существования
разветвлений в числовых полях и сведение кубического
неравенства, выражающего свойство максимальности
сферы, к квадратичному неравенству наравне с самыми
лучшими достижениями великих классиков в области
геометрической теории чисел».
За короткое время ему удалось совершить многое.
«Каким трудолюбивым он должен был быть!» Его
наука сопровождала его повсюду. «В любое время она
интересовала его и нисколько не утомляла, будь он на
экскурсии или во время летние кгникул, в картиннол
галерее, в вагоне поезда или на тротуаре большою
города».
С ученических лет, рассказывал Гильберт своим
коллегам, Минковский был его самым лучшим и
преданным другом.
«Наша наука, которую мы больше всего любили,
связала нас вместе. Она казалась нам цветущим
садом. В этом саду были протоптанные тропинки, по
которым в часы досуга можно было прогуливаться,
160
спокойно наслаждаясь окрестными видами, получая
особое удовольствие, если это происходило в обществе
подходящего собеседника. Однако нам также
нравилось выискивать скрытые тропы и обнаруживать
неожиданный пейзаж, приятный нашим взорам; и когда
один из нас показывал его другому, мы наслаждались
им вместе и радость наша была безграничной».
Гильберт сравнивал характер своего друга со
звуком колокола; «такой ясный от счастья, получаемого
от своей работы, и своего веселого нрава, такой
полный в постоянстве и преданности, такой чистый в своих
идеалистических устремлениях и восприятии жизни».
«Для меня он был даром божьим — таким, который
редко выпадает на долю человека,— и я должен быть
благодарен судьбе, что так долго владел им».
В ближайшие месяцы и годы Гильберт старался
найти для себя подходящую компанию среди
успевающих студентов и доцентов Гёттингена. Ему была
совершенно ясна необходимость контакта с молодежью
для пользы своей собственной работы.
«Мое место — среди молодежи,— объявил он на
одном научном собрании,— от нее еще можно что-то
получить».
Одним из его давнишних молодых друзей был
Леонард Нельсон, доцент философии, бывший на 20 лет
моложе Гильберта. Они познакомились несколько лет
назад, когда Нельсон, получив докторскую степень в
Берлине, пытался защитить хабилитацию в Гёттин-
гене. Это был молодой человек, большой любитель
споров на личные, философские и политические темы.
Он навлек на себя неприязнь Гуссерля, профессора
философии, в результате чего его хабилитация была
отклонена большинством философского факультета,
к которому также относились и математики. Позже,
когда Нельсон, получив плохие известия, расстроенный
сидел в своей комнате, послышался стук в дверь.
«И к моему удивлению,— писал он своим родителям,—
я увидел Гильберта собственной персоной. Он
пригласил меня к себе на ужин...» В следующем письме он
сообщал, что «Гильберт ломает себе голову, как бы
сделать, чтобы моя диссертация была принята». Как
оказалось, даже Гильберту пришлось потратить на
это несколько лет; но теперь Нельсон был доцентом
161
и вместе с профессором их часто можно было увидеть
«прогуливающимися вдоль стены» и глубоко
погруженными в обсуждение той области знаний, которая
лежала на стыке логики, философии и математики.
Другим из молодых друзей Гильберта, также не
математиком, был Теодор фон Карман, ассистент в
Институте прикладной механики Прандтля. Фон
Карман работал над проектом цеппелина, который
правительство намеревалось испытывать при различных
атмосферных условиях. Много лет спустя, когда он стал
влиятельной фигурой в авиации и космических
исследованиях в Соединенных Штатах, он отзывался о
Гильберте как о «величайшем математике в истории науки...
ибо он превратил теорию интегральных уравнений в
орудие, позволившее ученым овдадеть областями, в
которых царила полная неразбериха».
После смерти Минковского Гильберт возобновил
обычай отправляться с группой молодых людей на
длительную прогулку после еженедельных собраний
Математического клуба.
«Он не был молодым... но все еще был полон сил и
юношеского задора,— казалось в то время 22-летнему
Гаральду Бору,— [и] его большая оригинальность,
полное отсутствие предрассудков и даже, можно ска-
за^ть, условностей надолго делали каждую из встреч
с ним целым событием».
Некоторые из бывших талантливых студентов в
последние несколько лет начали делать первые шаги
по лестнице академической карьеры.
По предложению Гильберта Макс Боры стал
доверенным лицом госпожи Минковской в деле издания
физических работ ее мужа. Одну из них Борн должен
был восстановить лишь по немногим оставшимся
заметкам. Он также продолжил дело своего учителя своей
собственной работой, посвященной новому и строгому
методу измерения электромагнитной энергии
электрона. Доклад, представленный по этой работе, произвел
такое впечатление на Фогта, что тот предложил Борну
место приват-доцента в Институте теоретической
физики.
Приблизительно в это же время приват-доцентом
стал также и Герман Вейль. Хотя он и проявил уже
свои математические способности, он был все еще
162
слишком скромен, чтобы стать полноправным «члепом
семьи» математиков. Тем более удивительным для всех
было то, что вскоре он завоевал руку девушки, чьей
руки добивались многие и чье очарование было столь
велико, что, когда ее отец пригрозил забрать ее из
университета, петиция, просившая его не делать это,
была подписана даже профессорами.
В это время началась также и дружба между
Гильбертом и Рихардом Курантом.
Уже было ясно, что этот человек должен пойти
далеко не только в математике. В возрасте 14 лет он
сбежал из дома, зарабатывая себе на жизнь частными
уроками, которые он давал ученицам женской школы.
В конце концов он добился почти невозможного,
поступив, в университет, не имея даже диплома об
окончании гимназии. В отличие от большинства студентов
университета того времени, он должен был
поддерживать свое существование, рассчитывая только на свои
силы.
Однажды после лекции Гильберта Курант, к
своему удивлению, был приглашен на чай к профессору.
Когда он пришел, то узнал, что Гильберты имели к
нему просьбу. Школьные дела Франца Гильберта,
ставшего уже подростком, были не совсем в порядке.
(«Способности к математике мой сын'унаследовал от
матери, все остальное — от меня».)
Госпожа Гильберт полагала, что Францу,
возможно, было бы лучше перейти в другую школу. Чтобы
быть уверенным, что его туда примут, молодого
Куранта попросили позаниматься с ним.
«Так получилось, что мне пришлось довольно
много времени проводить с Францем Гильбертом. Он не то
чтобы был несмышленый или неталантливый мальчик.
Это был восприимчивый ребенок. Он подучился
немного и был принят в новую известную загородную
школу. Однако я все время находился под
впечатлением, что передо мной был мальчик, чья голова подобна
фотопластинке, после проявления которой получается
что-то прекрасное, но затем спустя некоторое время
изображение затягивается вуалью, становится темнее
и наконец и вовсе пропадает».
К этому времени «маленький Курант», как его любя
называли, уже проникся глубоким чувством к широ-
163
кой научной традиции Гёттингена. Он был вместе с тем
склонен к драматическим эффектам. Когда в феврале
1910 года он получил докторскую степень, его не
устроил традиционный поцелуй маленькой пастушке в
фонтане на площади Ратхаус. Вместо этого двое его
друзей наняли дрожки и, кружа по городу, возвещали
жителям, что Рихард Курант является доктором
философии summa cum laudex)\
В течение 1910 года Курант был ассистентом
Гильберта.
В том же году впервые с 1906 года Гильберт послал
в Гёттингенское научное общество сообщение по
интегральным уравнениям, шестое и последнее.
«Можно без преувеличения сказать, что именно
благодаря исследованиями Гильберта впервые выявилось
истинное значение теории интегральных уравнений,—
писал позже Курант.— Многие ее связи с совершенно
различными областями математики, разносторонность
приложений, внутренняя гармония и простота ее
структуры, ее объединяющая сила по отношению к
ряду ранее разрозненных исследований впервые
проявились в работе Гильберта».
Начиная с Фредгольма, математики всего мира,
а особенно в Германии и Соединенных Штатах, вели
исследования в области интегральных уравнений.
Однако настоящее безусловно принадлежало
Гильберту.
Жизнь в Гёттингене продолжалась.
L) Совершенно заслуженно (лат.).
XVI
ФИЗИКА
Осенью 1910 года Венгерская Академия наук
объявила о присуждении второй премии Бояи «Давиду
Гильберту, который глубиной мыслей,
оригинальностью методов и строгой логикой доказательств уже
оказал значительное влияние на прогресс
математических наук».
Именно Пуанкаре, как секретарю комитета по
премии, пришлось подготовить общий обзор работ
Гильберта для представления Академии и дальнейшего
опубликования.
Качествами, о которых он счел нужным специально
упомянуть, были разнообразие интересов, важность
решаемых проблем, элегантность и простота методов,
ясность изложения и забота об абсолютной строгости.
Он высоко оценил удобочитаемость работ Гильберта.
Кроме того, он отметил, что влияние работ Гильберта
на прогресс математики не ограничивается лишь его
личными исследованиями, но также обязано его
педагогической деятельности, «помощь, которую он
оказывает своим студентам, позволяет им в свою очередь
использовать созданные их учителем методы и вносить
вклад в нашу науку».
Подробно описав достижения Гильберта (в
основном остановившись на его работе по основаниям
геометрии), он попытался найти для них место среди
достижений других математиков.
О доказательстве теоремы Гордана: «Невозможно
лучше оценить прогресс, достигнутый господином
Гильбертом, чем сравнить количество страниц,
потраченных Горданом на свое доказательство, с теми
строчками, в которые уложилось доказательство господина
Гильберта».
165
О новом доказательстве трансцендентности чисел е
и я: «Способность упростить то, что на первый взгляд
кажется очень сложным, является одной из
характерных черт таланта господина Гильберта».
О работе по полям алгебраических чисел:
«Введение идеалов Куммером и Дедекиндом принесло
значительный прогресс: оно позволило обобщить и в то же
время прояснить классические результаты Гаусса по
квадратичным формам и их композициям. Работы
господина Гильберта... представляют собой новый шаг
вперед, не менее важный, чем первый».
Об исследованиях по основаниям геометрии:
«В истории геометрических идей можно выделить три
эпохи: в первую ученым, среди которых мы можем
прежде всего отметить Я. Бояи, удалось развить
неевклидову геометрию; во вторую Гельмгольц и Ли
открыли роль идеи движения и группы в геометрии;
третья была начата работами господина Гильберта».
Об обосновании принципа Дирихле: «Нет нужды
подчеркивать важность открытий, вытекающих из этой
специальной проблемы Дирихле, [и] мы не должны
удивляться числу исследователей, находящихся сейчас
на пути, указанном господином Гильбертом».
О доказательстве теоремы Варинга: «Мы не
сомневаемся, что эти рассуждения... будучи полностью
осознаны, найдут приложения к значительно более общим
задачам, чем проблема Варинга».
О недавней работе по теории интегральных
уравнений: «Это открытие господина Фредгольма, безусловно,
одно из самых замечательных открытий нашего
времени...Господину Гильберту принадлежат важные
усовершенствования..., особенно привлекательными чертами
которых являются простота, надежность и общность».
Доклад Пуанкаре о премии Бояи появился в 1911
году в Ada Mathematica. В то время еще никто не
подозревал, что в нем подводился итог всему тому, что внес
Гильберт в конструктивную математику. На
следующий год Гильберт, которому уже исполнилось
пятьдесят лет, стал в глазах своих коллег физиком.
Недавняя работа по интегральным уравнениям
(монография по которой была опубликована в 1912 году)
привела его в пограничную область между математикой
и физикой. В своей книге он рассмотрел с одной об-
166
щеп точки зрения различные теории. В результате ему
удалось добиться значительно большей абстрактности,
унификации, ясности и строгости, чем это было до него.
Однако, с точки зрения физика, на практике это давало
немногое. В большинстве случаев продолжали
пользоваться старыми методами дифференциальных
уравнений. Тем не менее во введении к своей книге по
интегральным уравнениям Гильберт выразил радость по
поводу существования раздела физики, где физические
понятия естественным образом вели к интегральным
уравнениям, которые представляли единственный
аппарат для теоретической обработки экспериментальных
данных. Этой областью была кинетическая теория
газов, и опубликование весной 1912 года работы по
основаниям этой теории отразило тот факт, что
математик Гильберт обратил теперь свое внимание на физику.
Оглядываясь в прошлое, он представлял себе, что
начало современной эры в физике пришлось на его
доцентские дни, когда Герц установил существование
электромагнитных волн, предсказанных Максвеллом.
Затем, быстро сменяя друг друга, последовали
открытия икс-лучей Рентгеном — радиоактивности
супругами Кюри — электронов Дж. Дж. Томсоном. Макс
Планк выдвинул квантовую теорию. Эйнштейн
провозгласил специальную теорию относительности. За
несколько лет произошло так много открытий, что их
хватило бы на несколько веков. «И ни одно из них не
уступало великолепию достижений прошлого»,—
ликовал Гильберт.
Однако, как математика, его беспокоило
отсутствие порядка в триумфальных успехах физиков. И в
этом он был не одинок. Вальтер Литцман, один из его
бывших студентов, вспоминал: «Какое беспокойство
охватывало нас, математиков, па лекциях по
теоретической физике, когда тО один, то другой принцип
выдвигался перед нами без доказательства, после чего
из него выводились различного сорта утверждения и
следствия. Мы ощущали настойчивую потребность
исследовать, совместны ли эти различные принципы друг
с другом и в каких отношениях они находятся между
собой».
Аналогичные вопросы изучались Гильбертом в
связи с его работой по аксиоматике геометрии — вопросы
167
полноты, независимости и непротиворечивости аксиом.
Теперь ему казалось, что настало время для проекта,
предложенного им в Париже в качестве шестой
проблемы двадцатого столетия,— аксиоматизации физики
и других наук, тесно связанных с математикой.
Некоторые из фундаментальных физических явлений
должны были быть приняты в качестве аксиом, из которых
все остальные наблюдаемые явления можно было бы
выводить на основе строгой математической дедукции,
подобно тому как четко и удовлетворительно
выводились теоремы Евклида из его аксиом. Однако такой
проект требовал математика для своего выполнения.
«Физика,— объявил Гильберт,— слишком сложна
для физиков».
Хотя это замечание казалось довольно
высокомерным, физики понимали, что он этим хотел сказать.
«Хотя это была только шутка,— сказал позже один
Нобелевский лауреат,— таким образом он выразил
нечто совершенно правильное: уважение к трудностям
задач, поставленных в этой области чистого разума,
которые могли быть оценены только тем, кто сам
затрачивал на их преодоление все свои интеллектуальные
способности».
В Париже Гильберт специально упомянул, что,
по его мнению, исследования аксиом теории
вероятностей должны сочетаться со строгим и обстоятельным
развитием метода средних значений в математической
физике и, в частности, в кинетической теории газов.
Именно здесь он начал претворять в жизнь новые
планы.
В основе кинетической теории газов лежит тот
принцип, что в силу полной беспорядочности движения
молекул в газе оно должно описываться статистически,
а все эффекты, связанные с давлением, плотностью,
температурой, должны предсказываться на основе
средних движений. Однако эта теория не развивалась
единым образом, ее различные аспекты разрабатывались
отдельно и без всякой связи между собой. Применяя
аксиоматический метод и свою теорию интегральных
уравнений, Гильберт сумел создать прекрасную по
простоте общую систему и таким образом сделать из
своей теории удобный и доступный математический
аппарат. («Интересно заметить,— писал много лет спу-
103
стя фон Карман,— что эта работа, созданная
шестьдесят лет назад, в то время, когда космический полет
казался фантастической мечтой, является в настоящее
время основой большинства наших инженерных
расчетов о поведении искусственных спутников».)
Значение его исследований в этой области состоит не
столько в получении уже известных физических
теорем, сколько в выявлении общей точки зрения на их
структуру, условия и возможные области применения.
Но, несмотря на веру Гильберта в способность
аксиоматического метода вносить порядок в
беспорядочное, он понимал, что не сможет решить физических
проблем с помощью одной лишь математики. Он
должен быть в курсе современных исследований. Конечно,
этого можно было достичь при помощи чтения и
изучения опубликованных сообщений о новых открытиях.
Однако такой способ не устраивал Гильберта. Вместо
этого он обратился за помощью к своему старому другу
Арнольду Зоммерфельду.
В то время в Мюнхене Зоммерфельд был центром
самой активной группы молодых физиков Германии.
Как было принято в немецких университетах, каждый
профессор физики имел свой собственный «институт»,
со своим факультетом, своими доцентами, ассистентами
и студентами. В Мюнхене самым большим и'лучше
всего оборудованным был институт Рентгена, профессора
экспериментальной физики; самым маленьким, был
институт Зоммерфельда. Однако, когда Зоммерфельд
прибыл в Мюнхен, он настоял па том, чтобы вдобавок к
библиотеке и рабочим столам, обычным
принадлежностям института теоретической физики, ему были
предоставлены возможности для экспериментирования.
Своим приездом он создал в институте редкую
атмосферу товарищества. В то время как студенты
Рентгена работали независимо друг от друга и «даже
слишком частые контакты между комнатами не поощрялись»,
студенты Зоммерфельда нередко составляли ему
компанию в катании на лыжах на близлежащих Альпах
8имой и в прогулках по горам летом -г- «лазая вверх
я вниз, не переставая говорить о физике». В будние дни
в Мюнхене они собирались после ленча в ближайшем
к университету кафе на «кекс и физику». Здесь
формулы и диаграммы важных открытий часто записывались
169
прямо иа мраморных Столиках, Которые затем
вытирались недовольной официанткой.
Гильберт обратился с просьбой к своему старому
другу подобрать для него какого-нибудь молодого
человека с тем, чтобы тот стал его специальным
ассистентом по физике. Зоммерфельд предложил эту
работу своему ученику Паулю Эвальду, который недавно
закончил свою диссертацию о прохождении света через
кристалл.
Когда весною 1912 года Эвальд вернулся в Гёт-
тинген, его приветствовали как «учителя физики
Гильберта». Именно так, по-видимому, и представлял себе
эту должность Гильберт. Он сразу же указал Эвальду
на те различные вопросы физики, с которыми он хотел
бы познакомиться.
«Я помню, что одним из них был следующий вопрос.
Существовала старая дискуссия о числе упругих
констант в кристалле, ищущая от основателей теории.
Гильберт велел мне с этим познакомиться и сказать
ему, кто прав. Для этого я пошел в Lesezimmer и
раздобыл все необходимые старые книги. Найдя их очень
интересными, я понял, что у обеих точек зрения были
веские аргументы. На самом деле, я не смог найти ни
одного пробела ни у одной из сторон, этого же не
смогли сделать как сами эти великие люди, так и все
другие, занимавшиеся этой проблемой. Таким образом,
мне пришлось вернуться и доложить обо всем
Гильберту. Спустя несколько лет вся эта проблема,
задерживавшая развитие физики кристаллов в течение более
чем пятидесяти лет, была решена Максом Борном».
Согласно Эвальду, научную программу Гильберта
того времени можно было кратко выразить словами:
«Мы преобразовали математику, теперь очередь за
физикой, а затем мы перейдем к химии». Химия того
времени была «чем-то вроде кулинарии,
преподаваемой в женской школе». Именно так ее описывал
Гильберт.
Теперь он намеревался перевести на удобоваримый
математический язык физические теории одну за
другой. От кинетической теории газов он перешел к другой
области, понятия которой также непосредственно
подводили к интегральным уравнениям. Это была
элементарная теория излучения. За следующие два года он
170
опубликовал серию работ, в которых с помощью
линейных интегральных уравнений получил основные
результаты в этой теории, заложил для них
аксиоматическую основу и доказал непротиворечивость своих
аксиом. Подход к этой конкретной теории явился, по
существу, моделью общего подхода к физике, который
им был предложен в Париже.
Эвальд вспоминает, что лично он не испытывал
особо «теплого чувства» к проблеме излучения. Ему
казалось, что Эрих Гекке, ассистент Гильберта по
математике, в действительности гораздо лучше понимал
суть затруднений Гильберта относительно различных
обсуждаемых работ по физике, чем он сам; быть может,
это объяснялось тем, что его мышление по своей сути
было таким же математическим, как и у Гильберта.
Гекке стал впоследствии одним из выдающихся
математиков своего времени, но он всегда вспоминал о
днях своего ассистентства у Гильберта как о высшей
точке своей карьеры. За свои труды он получал 50
марок в месяц, приблизительно 12,5 доллара на
американские деньги того времени. Однажды Гильберт
решил, что эта сумма недостаточна, и сказал Гекке,
что в следующую поездку в Берлин он обсудит это дело
с министром культуры. Однако после окончания
приема у министра, который имел решающее слово почти
во всех университетских делах, Гильберт ъспомнил,
что он забыл о чем-то спросить. Без всяких церемоний
он высунулся из окна кабинета и крикнул госпоже
Гильберт, дожи давшейся его внизу в парке: «Кете,
Кете! О чем я еще хотел сказать?» — «Гекке, Давид,
Гекке!» Гильберт втянул голову обратно, повернулся
к ошеломленному чиновнику и начал требовать
удвоения жалованья Гекке, что и было достигнуто.
В мае 1912 года Зоммерфельд приехал в Гёттинген
на средства комиссии по премии Вольфскеля, чтобы
рассказать о недавних открытиях в физике. В этот раз
он докладывал о недавних успехах Макса фон Лауэ и
других в вопросах о прохождении рентгеновских
лучей через кристалл- Это достижение вскрывало
истинную природу рентгеновских лучей и открывало новый
путь для их исследования. Когда Эвальд услышал об
этом, он вспомнил про свой разговор с фон Лауэ
незадолго перед приездом в Гёттинген. Фон Лауэ пошел
171
проконсультироваться со старшим коллегой по
поводу одного вопроса из своей диссертации, но
спустя несколько минут нашел его подозрительно
рассеянным.
«Что случится, если допустить, что через кристалл
проходят значительно более короткие волны?» —
хотел узнать фон Лауэ.
«Все содержится в этой формуле,—сказал Эвальд.
— Пожалуйста, вы можете сами обдумать ее, я
выпишу ее для вас. У меня, к сожалению, нет времени
на это, так как надо в ближайшие два дня представить
диссертацию и подготовиться к устному экзамену».
Эвальд не вспоминал больше об этом событии, пока
не услышал доклад Зоммерфельда об открытии фон
Лауэ. Нельзя было придумать более драматического
подтверждения точки зрения Гильберта о пользе
непосредственных научных контактов! В тот же день
Эвальд поспешил в свою комнату. В своей диссертации
он нашел все необходимые формулы, позволявшие
проанализировать открытие фон Лауэ. Над этим он
проработал всю ночь.
Однако в большей части семестра работа
ассистентом Гильберта была легкой и не занимала много
времени. Это давало Эвальду возможность понаблюдать
за личностью Гильберта более близко, чем это ему
удавалось в бытность свою студентом курса анализа
1906 года.
Однажды Отто Теплиц, к тому времени уже приват-
доцент, пришел к Гильберту со статьей одного из
участников его семинара.
«Большинство докторских диссертаций содержат
половину идеи,— сказал он профессору.— Хорошие
диссертации содержат одну идею. Эта же работа содержит
две хорошие идеи!»
Однако существовала трудность. Автор этой работы
Якоб Громмер не имел права претендовать на
докторскую степень. Он так и не получил выпускного
аттестата гимназии; в действительности он никогда и не
посещал ее, так как учился в талмудистской школе,
готовясь стать раввином. По обычаю тех мест
Восточной Евпропы, из которых он приехал, новый раввин
должен был жениться на дочери старого раввина.
Однако, когда невеста увидала уродливые руки и ноги
172
Громмера, страдавшего акромегалией, она отказалась
выйти за него замуж и тем самым положила конец его
надеждам на жизнь раввина. Отвергнутый жених
обратился тогда к математике.
Гильберт.взялся за дело Громмера «со вспышкой
решимости в глазах», как вспоминал Эвальд.
Если мне удастся раздобыть докторский диплом
для этого молодого человека — литовца, еврея и не
имеющего аттестата гимназии, то после этого можно
будет сказать, что я действительно что-то сделал!»
(Нет нужды говорить, что в конце концов Громмер
действительно получил свою степень, доктора
философии.)
Несмотря на свою любовь п восхищение
Гильбертом, Эвальд находил его «похожим немного на
остановившегося в своем развитии подростка». В теплые дни
Гильберт являлся на лекции в рубашке с короткими
рукавами и открытым воротом — наряде, совершенно
неподобающем для профессора тех времен. Он носился
по улицам, как уличный разносчик, с букетами из
своего сада для своих «пассий». Корзину с удобрениями
он мог везти на руле своего велосипеда так, как будто
это был подарок. На концерте или в ресторане, как бы
элегантно он ни был одет, почувствовав сквозняк,
он мог одолжить меховую горжетку или боа из перьев
у одной нз присутствующих дам. Некоторым,
например Эвальду, казалось, что подобные поступки
объяснялись его желанием шокировать граждан, более
привыкших к условностям. Другие считали, что он делал
это потому, что считал это разумным, не беспокоясь,
что это противоречило общепринятому поведению.
В любом случае он всегда держался с таким
естественным достоинством, что не вызывал ни у кого
смеха.
Ему все еще нравилось танцевать, и он всегда
предпочитал ежегодный бал у ректора банкету,
устраиваемому каждый год этим официальным лицом для
профессоров и их жен. Ему нравились симпатичные
молоденькие дамочки, ионе радостью объяснял им
математические идеи. «Но, моя девочка,— мог он сказать,—
вы должны это понять».
Однажды он сочинил небольшое стихотворение
для своего «обожаемого ангела», в котором выразил
173
надежду, что некоторые из его фавориток получат
приглашение на бал:
Lieber
Engel, ,
Mach mit Eile,
Dass Mareille
Kar , lis , und Wei ,
Diese drei
Auf jeden Fall
Kommen zum Rektorenball.
Написав эти куплеты на листочке бумаги, вырезанном
в виде ангела, он незаметно оставил его в кабинете
у ректора.
Он любил забавляться, выдавая себя за этакого
светского льва. В панаме, прикрывающей лысину, он
мог заявить, что лучшим, по его мнению, летним
отдыхом было бы путешествие с женой какого-нибудь
из своих коллег. Тем не менее, по словам Дьёрдя Пойа,
бывшего в то время студентом в Гёттингене, каждый
раз он «выглядел таким невинным».
Реакцию Кете Гильберт на многочисленных
«пассий» ее мужа отражает следующий анекдот о
праздновании пятидесятилетия Гильберта. Приветствуя
профессора, несколько его студентов сочинили так
называемый «любовный алфавит». На каждую букву в нем
были куплеты об одном из увлечений Гильберта.
На «I» — «Wenn sich unsere Haare lichten/Lieben wir
die kleinen Nichten./Das ist menschliche Natur/Denkt
an Ilschen Hilbert nur». (Когда наши волосы становятся
реже, мы начинаем любить маленьких племянниц.
Такова человеческая природа, вспомните только об
Ильзе Гильберт.) Когда дошли до «К»* то никто не мог
придумать ни одного из увлечений Гильберта на эту
букву. Тогда Кете Гильберт сказала: «Но хотя бы
сейчас вы могли бы один раз вспомнить обо мне». В
восторге молодые люди сразу же сочинили следующие
куплеты:
Got! sei Dank, nicht so genau
Nimmt es Kathe, seine Frau.
Слава богу, что не так серьезно
Воспринимает ере это Кете1 его супруга.
Щ
«Без Кете,— говорил Эвальд,— Гильберт бы соё-
сем пропал». Курант добавляет: «Без нее он не мог бы
прожить ту жизнь, которую он вел».
Именно в это лето — в лето пятидесятого года
жизни Гильберта — умер Анри Пуанкаре. Ему было 56 лет,
и 33 года из них он продуктивно работал почти во всех
областях математики. За год до смерти он попросил
редактора одного математического журнала принять
неоконченную статью, посвященную проблеме,
имеющей, по его мнению, важнейшее значение:
«В моем возрасте я могу оказаться неспособным к ее
решению, тогда как полученные результаты,
по-видимому, могут вывести исследователей на новую и
неожиданную дорогу и кажутся мне
многообещающими, несмотря на то что они много раз вели меня по
ложному пути и мне пришлось отказаться от того,
чтобы жертвовать на них свое время».
Это служило горьким напоминанием его
современникам, что времени оставалось мало. Многие из них
почувствовали страх смерти, хорошо выраженный в
одной из речей, посвященных работам Пуанкаре,
ведущим итальянским математиком Вито Вольтерра:
«Среди многих причин стремления человека к жизни
существует одна, из-за которой это стремление
приобретает величественную сторону. Она совсем непохожа
на те, которые объясняются страхом смерти.
Приходит момент, когда в голове ученого рождаются новые
идеи. Он видит их плодотворность и полезность,
но знает, что они еще настолько неопределенны, что
предстоит еще много работы, прежде чем публика
сможет понять их и дать им справедливую оценку. Если
же он осознает, что смерть может внезапно
уничтожить весь этот мир великих идей и, быть может,
должны пройти многие годы для того, чтобы они вновь были
открыты, то мы сможем понять желание жить, которое
внезапно должно захватить его, и счастье работы
должно быть смешано со страхом перед возможностью
прекратить ее навсегда».
Со смертью Пуанкаре вопрос о величайшем
современном математике больше не стоял — но тот уже по
уши погрузился в физику.
После того как Эвальд покинул Гёттинген, Зом-
мерфельд прислал Гильберту нового ассистента по
175
физике, Альфреда Ланде. В своих лекциях Гильберт
перешел от теории излучения к молекулярной теории
вещества. Следующий семестр он собирался посвятить
теории электрона. Его подход в этих областях
напоминал его прежнюю трактовку кинетической теории газов
и теории излучения, однако он никогда не был
опубликован.
К этому времени он выработал более эффективный
метод использования своего ассистента по физике.
На первой же их встрече он вручил Ланде пачку
различных оттисков недавно опубликованных работ по
физике и поручил ему прочитать их.
«Всевозможные вопросы физики твердых тел,
спектрального анализа, физики жидкости, тепла и
электричества, все, что ни попадало к нему, я должен был
изучать и, найдя что-либо интересное, докладывать
ему об этом».
Каждое утро Ланде приходил в дом на Вильгельм
Веберштрассе и объяснял Гильберту суть статей,
которые, по его мнению, были интересными.
«Это было поистине началом всей моей научной
карьеры. Без Гильберта я бы, наверное, никогда не
прочитал всех этих статей и уж наверняка не
проработал бы их. Когда вам надо кому-нибудь что-либо
объяснить, для этого надо сначала самому это понять
по-настоящему и сухметь это выразить вслух».
Па что это было похоже — учить Гильберта физике?
«Да, иногда он был совсем нелегким учеником и мне
приходилось повторять ему по нескольку раз, прежде
чем это до него доходило. Он всегда старался
повторить то, что я ему сказал, однако в более
упорядоченном виде, проще и понятнее. Иногда сразу же после
нашей встречи у него должна была состояться лекция
на ту тему, которую мы до этого обсуждали. Я помню,
как часто мне приходилось сопровождать его по
дороге от его дома на Вильгельм Веберштрассе до Audito-
rienhaus, объясняя ему кое-что в последние минуты.
После этого на лекции он мог попытаться высказать то,
что я ему говорил, но своим способом, присущим
математику, который часто совсем непохож па способ
физика».
В свободное время Ланде изучал книгу Гильберта
по интегральным уравнениям — «замечательную кни-
176
гу». По вечерам он ходил на вечеринки и танцевал с
профессорскими дочками. Он обнаружил, что его
положение в обществе намного улучшилось из-за того,
что он был ассистентом Гильберта по физике. Только
одна сторона этой работы была неприятной. На
вечерах у Гильберта в его обязанности как ассистента
входило выбирать и менять граммофонные пластинки. Это
было черной работой, о которой он спустя пятьдесят
лет все еще вспоминал с отвращением. Гильберт,
продолжавший получать в качестве подарков от одного
промышленника последние модели граммофонов, имел
в то время всего несколько пластинок с записями
классической музыки, в остальном предпочитая
последние эстрадные «Schlagers» x). Ланде было трудно
найти пластинку, которую ему бы самому захотелось
послушать. Вдобавок ко всему Гильберт любил
громкую музыку. В то время громкость определялась
размером иглы, и Гильберт настаивал, чтобы игла
была большой. Однажды он отправился на концерт
Карузо с большими надеждами. Однако его ждало
разочарование. «Карузо поет на маленькой игле»,
— сказал он.
В 1913 году Пауль Шеррер приехал в Гёттинген в
качестве студента. В спокойной с внешней стороны
обстановке он нашел «интеллектуальную жизнь, ни с чем
не сравнимую по своей интенсивности». Это было то
время, когда квантовая теория света наконец-то была
принята всерьез, «хотя ее никак не удавалось
согласовать с волновой теорией». В этом же году Нильс
Бор, старший брат Гаральда, выдвинул планетарную
теорию атома и «многие прилагали большие усилия,
чтобы убедиться в реальности электронных орбит
Бора в атоме, несмотря на все колебания, которые
испытывал физик в принятии гипотезы о
невозможности излучения электрона на своей стационарной
орбите вокруг атомного ядра».
Нильс Бор, как и его младший брат Гаральд, был
частым гостем в Гёттингене. Его обитателям Гаральд
казался L'Allegro 2); Нильс же II Penseroso 3). Однако
1) Модная песня (нем.).
2) Веселый (итал.).
8) Задумчивый (итал.).
177
йХ отец, профессор медицины, чрезвычайно
гордившийся своими сыновьями, оценивал их по-другому:
«Гаральд — серебро,— говорил он с любовью,— но
Нильс, Нильс — чистое золото».
Гильберт с радостью пользовался возможностью
непринужденной беседы с Нпльсом Бором.
Рассказывать другим о своих собственных открытиях и
осмысливать чужие идеи было жизненной необходимостью для
Гильберта. Именно сейчас, когда математическая
наука охватила такую обширную область человеческого
знания и находилась в таком состоянии быстрого и
интенсивного прогресса, ему казалось, что не следует
ожидать от ученого, чтобы тот довольствовался лишь
чтением научных работ. Современные работы из-за
абстрактности их стиля нуждались, по его мнению,
в дополнительном «ярком выражении духа и
жизненной силы». Как было бы полезно, думал он, собрать
на неделю ведущих физиков с тем, чтобы они
прочитали лекции и обменялись мнениями!
Это было задолго до времен фондов и субсидий,
но — поскольку последняя теорема Ферма была все
еще не доказана — проценты от завещания Дарм-
штадтского профессора математики были под рукою.
В 1910 году деньги были использованы на
приглашение в Гёттинген Г. А. Лоренца, который рассказывал
про относительность и теорию излучения. В 1911 году
пришлось обойтись без приглашения лекторов с тем,
чтобы присудить премию в 5000 марок Цермело «за его
достижения в теории множеств и для оказания помощи
в его полном выздоровлении». В 1912 году Зоммер-
фельд прочитал несколько лекций о недавних
достижениях в физике. Теперь, весною 1913 года, Гильберт
организовал недельную Вольфскельскую конференцию
по кинетической теории вещества.
«Ни у кого из участников не могло исчезнуть из
памяти впечатление от этого собрания выдающихся
ученых, свободно обсуждавших проблемы своей
науки,— писал позже Ф. В. Леви.—
Председательствовал Гильберт... Со временем почти все молодые люди,
заполнившие зал, были отмечены собственными
заслугами... Прозаический лекционный зал с черной
железной печкой у одной из стен был местом сбора
кронпринцев и королей науки».
178
Во время Газовой недели, как ее все сразу
окрестили, Гильберт встретился с Петером Дебаем, молодым
профессором физики из Голландии, который был
первым ассистентом Зоммерфельда в Мюнхене. Дебай
произвел большое впечатление на Гильберта, и тот
задумал подыскать для него подходящее место в Гёт-
тингене. Он предложил Вольфскельской комиссии,
чтобы на следующий год проценты с премии были
потрачены на приглашение в Гёттинген во время летнего
семестра профессоров математических наук. Летом
1914 года в Гёттингене впервые появились профессора
из Дармштадта: одним из них был бывший студент
Гильберта Альфред Хаар, ныне профессор в Клаузен-
бурге; другим был Петер Дебай.
(Когда спрашивали Гильберта, почему он не
доказывал последнюю теорему Ферма с тем, чтобы получить
премию Вольфскеля, он отвечал: «Для чего мне убивать
гусыню, приносящую золотые яйца?»)
В это же лето появилась надежда, что наконец-то
мечта Клейна об отдельном здании — институте —
для математиков станет совсем реальной. Участок был
выделен, фонды установлены, план строительства
составлен.
Именно в это лето в Сараеве австрийский эрцгерцог
Фердинанд был убит неизвестным сербским студентом.
XVII
ВОЙНА
Первого августа в Гёттингене начались
длительные каникулы. Австро-Венгрия уже объявила войну
Сербии. Французская армия была мобилизована.
Немцы начали оккупацию Бельгии. К концу августа целая
дюжина стран оказалась вовлеченной в войну.
Гильберт считал войну бессмысленной и прямо об
этом заявил.
Из Соединенных Штатов приходили письма от его
бывших студентов, содержавшие уверения в их
постоянной любви и уважении.
Враг, ужасаясь «жестокости гуннов» и затрудняясь
совместить германское «варварство» со всеми
признанными немецкими достижениями в искусстве и науке,
счел удобным разделить Германию на две части —
милитаристскую Германию кайзера и культурную
Германию Гёте, Бетховена и Канта. Германия ответила
декларацией группы ее самых знамениты\. ученых и
деятелей искусств, в которой заверялось,что они, как
и весь немецкий народ, твердо поддерживают кайзера.
Обращенная «к культурному миру», декларация
перечисляла «все клеветнические измышления врага» и,
начинаясь с утверждения: «Это неправда, что Германия
начала войну», категорически отрицала все обвинения.
Авторы декларации считали, что математики,
какими бы великими они ни были, как правило,
пользуются известностью только в среде математиков. Однако
международная репутация Клейна и Гильберта была
такова, что их обоих попросили поставить свои подписи.
Клейн всегда был настроен очепь патриотично —
в 1870 году он поспешил из Парижа домой, чтобы
добровольно вступить в армию. Теперь он разрешил
использовать свое имя, не вдаваясь в смысл утверждений
18Q
декларации. Гильберт, напротив, просмотрел список
утверждений, из которых каждое начиналось словами
«Это неправда, что...» Так как у него не было
уверенности, что все они соответствовали истине, он
отказался поставить свою подпись.
15 октября 1914 года германское правительство
опубликовало декларацию к культурному миру. Среди
подписавших были такие знаменитые ученые, как
Эрлих, Фишер, Нернст, Планк, Рентген, Вассерман,
Вин. Подозрительно отсутствовало одно имя — имя
Эйнштейна, находившегося в это время в Институте
кайзера Вильгельма в Берлине. Согласно его другу
и биографу Филиппу Франку, только то, что Эйнштейн
стал швейцарским гражданином, спасло его от
обвинения в предательстве. Гильберт не имел такого
объяснения. Его отказ дать свою подпись был тем более
непростительным, что он был не просто немец, а
пруссак. Когда в ноябре возобновился учебный год, многие
отвернулись от него, как будто он был на самом деле
изменником.
Однако большинство коллег-математиков Гильберта
сочувствовали его поступку; даже Клейн вскоре
пожалел о своем излишнем патриотизме, заставившем его
подписать документ, не убедившись прежде в
справедливости содержащихся в нем утверждений. В
действительности декларация не принесла ожидаемого
результата. Культурный мир был шокирован тем, что
уважаемые люди поставили свои подписи под такими
утверждениями, как «Это неправда, что Германия
нарушила нейтралитет Бельгии». Клейн был исключен
из Парижской Академии; Гильберту было разрешено
остаться ее членом.
Несмотря на войну ,вГёттингене продолжались
дневные математические прогулки по четвергам.
Участников теперь стало больше, чем в дни Минковского.
Присоединились к прогулкам Ландау и Людвиг Прандтль,
профессор прикладной механики. Еще одним
участником был Каратеодори, который вернулся, чтобы
вдохнуть новые силы в Клейна, после того как старик
перенес в 1911 году новый упадок сил. Состоятельный,
хорошо воспитанный грек, чьим семейным девизом
было «Никакое усилие не бывает слишком большим»,
стал математиком в традиционном гёттингенском стиле.
181
Физик Петер Дебай, столь поразивший Гильберга во
время Волъфскельской конференции, также стал к
тому времени постоянным членом факультета.
Почти все молодые люди, студенты или доценты,
покинули или должны были покинуть Гёттинген.
Lesezimmer, все время переполненная перед войной,
теперь стала почти пустой. Таких понятий, как
отсрочка по учебе, не существовало. Умственные
способности, хорошие оценки, рекомендательные письма от
профессоров, многообещающие таланты — ничто не
имело значения. Только несколько молодых людей не были
призваны. Одним из них был ассистент Гильберта
Ланде, которому вначале была дана отсрочка из-за
зрения.
Францу Гильберту был 21 год, когда началась война,
но в армию его не взяли. Долгое время Гильберт еще
возлагал надежды на своего сына. Был период, когда
тот учился у садовника в Гёттингене. «Но ничего еще
нельзя сказать,— говорил Гильберт Эвальду,
бывшему в то время его ассистентом.— Я сам был таким в
юности, немного dammeligx). Немного погодя для
Франца нашли работу в книжном магазине во
Франкфурте. Получалось у него далеко не блестяще. Все
яснее становилось, что он был не совсем здоровым
мальчиком. Госпожа Гильберт очень беспокоилась за него и
получала о нем регулярные известия от своих друзей
во Франкфурте.
Однажды, перед войной, когда Курант был у
Гильбертов, она получила сообщение, что ее сын не
появился на работе в этот день и никто не знает, где он.
Курант,который вскоре должен был ехать в
Берлин,вызвался вместо этого ехать с госпожой Гильберт во
Франкфурт помочь отыскать Франца. Пока они сидели в
ожидании поезда и разговаривали с Гильбертом, снаружи
возникла большая суматоха и внезапно все увидели
Франца, покрытого грязью и очень возбужденного.
В какой-то деревушке он вышел из поезда и пришел
домой пешком. Франц объявил, что пришел спасти их
от преследующих их злых духов.
«Вся эта сцепа еще жива в моей
памяти,—вспоминает сегодня Курант.— Гильберт сказал Францу: «Ах
х) Глупый, придурковатый (нем.).
182
ты, глупый мальчик, ничего такого нет — духов й
дьяволов не существует» . Это еще более возбудило
Франца. Было много взаимных окриков. Франц
продолжал разглагольствовать о невидимых созданиях,
хотевших причинить нам зло. Гильберт не переставал
стучать кулаком по столу и повторять: «Нет духов».
Это была очень странная сцена. Немедленно надо было
что-то предпринимать. Поэтому я позвонил
профессору психиатрии, который приехал и сделал Францу
маленькую успокоительную инъекцию. Затем мы
отвезли его на такси в клинику для душевнобольных
неподалеку от университета, куда он сразу же был
принят».
Когда они выходили из клиники, было уже утро.
Курант и Гильберт решили немного пройтись.
«С этого времени,— спокойно сказал Гильберт,—
я должен считать, что у меня нет сына».
«Это было сказано очень грустно, но решительно».
Трагедия Франца Гильберта взволновала
математиков и студентов Гёттингена. Чтобы объяснить, каким
образом два таких замечательных и одаренных человека
смогли породить такого несчастного отпрыска,
начали говорить, что Гильберты были кузенами. Это было
неправдой, на самом деле они были сводными
двоюродными братом и сестрой.
Отношение мужа к Францу причиняло Кете
Гильберт большое горе. В отличие от него, она не могла
считать, что у нее нет больше сына; молодые
математики сразу же поняли, что они расположат к себе
госпожу Гильберт, если скажут хорошее слово о Франце.
В течение военного времени она, однако, старалась,
чтобы ни личная, ни общая трагедия не мешали ее
мужу заниматься наукой. Под ее искусным руководством
в доме на Вильгельм Веберштрассе поддерживалась
атмосфера дружбы, комфорта и порядка, необходимая
для работы Гильберта.
Несмотря на плохое здоровье, Клейну также
удавалось продолжать то, что Гильберт называл
«математическими предприятиями». Война положила конец
многим занятиям старика — таким, как
Международная школьная комиссия, другие же были урезаны.
Несколько лет назад он отказался от предложения
написать историю математики девятнадцатого века:
183
«Я слишком стар. Здесь нужен молодой человек,
который мог бы посвятить несколько лет этой работе. Нет,
все, на что я способен,— это прочитать несколько
лекций о великих событиях; но сейчас я так занят, что
даже к ним не смогу подготовиться».
Война дала ему необходимое время.
Лекции о математике девятнадцатого века, которые
читались в столовой его дома, представлялись позже
Куранту, помогавшему подготовить их к изданию,
«совершенным сладостным плодом мудрости
преклонного возраста Клейна». Сам Курант никогда их не
слышал. Он был на фронте.
У Гильберта, все еще погруженного в физику,
оставалось всего несколько студентов, большинство из
которых были иностранцами. С приездом Дебая,
летом j914 года, он решительно настроился на изучение
структуры вещества и не видел никакой причины,
почему война должна была помешать его планам. Он
попросил Дебая организовать семинар по этой теме.
Каждое занятие Гильберт открывал сам с одним и тем
же полуюмористическим вопросом: «Теперь, meine
Herren *), скажите мне, что же такое атом».
Шеррер, в то время очень близко работавший с
Дебаем и бывший участником этого семинара, позже
вспоминал Гильберта как, «бесспорно, самого
интеллектуального человека среди всех, с кем мне
доводилось иметь дело».
Теперь Гильберт интересовался главным образом
фундаментальными проблемами физики и их
математической интерпретацией. Иногда на семинаре он
отклонял вопрос, замечая: «Это чисто математическая
проблема». В другой раз он говорил: «Для этой проблемы
физики располагают величайшей вычислительной
машиной, природой». Согласно Дебаю, по мнению
Гильберта, уравнения Максвелла не давали ключа к
проблеме структуры вещества—в то время единственной
элементарной частицей был электрон — и надо было
искать уравнения, из которых бы следовало
существование такой частицы.
На ежедневных встречах «Панде излагал Гильберту
«в очищенном для математиков виде» квантовую ме-
х) Господа {нем.).
184
ханику случайных событий, которая находилась в
то время все еще в довольно примитивном состоянии.
Затем в декабре 1914 года Ланде, все еще не
призванный, решил записаться добровольцем в Красный Крест.
Когда Гильберт услышал, что его ассистент собирается
его покинуть, он был чрезвычайно рассержен. Для
Ланде его реакция была новым примером его
крайнего эгоцентризма:
«Он думал только о математике, и, так как после
смерти Пуанкаре его считали самым великим современным
математиком, он полагал, что свобода каждого должна
принадлежать ему, будь то его собственная жена или
кто-либо другой. Из-за моей физики он выжал из меня
все. Только благодаря ей я что-то для него значил».
(Однако для Зоммерфельда, учителя Ланде,
«наивный и властный эгоизм» Гильберта был всегда
«эгоизмом в интересах его миссии, но никогда не ради его
собственной личности».)
В канун рождества Ланде покинул Гёттинген.
В Красном Кресте он был около двух лет. Затем он был
призван, «так как к тому времени они готовы были
взять любого».
В Гёттингене тем немногим студентам, которые
посещали еженедельный семинар Гильберта — Дебая,
казалось, что иод их пальцами бился «живой пульс»
физической науки. С большим интересом следили за
работой Эйнштейна, который продвигался к своей
общей теории относительности. Не упускались из
внимания и работы других, пытавшихся достичь той же
цели. Гильберт был особенно восхищен идеями Густава
Ми из Грейфсвальда, который пытался создать теорию
материи ,на основах принципа относительности. В
своих собственных исследованиях ему удалось соединить
программу Ми в чистой теории поля с эйнштейновской
теорией тяготения. Одновременно с тем, как Эйнштейн
пытался довольно окольным путем найти зависимость
между 10 коэффициентами своей дифференциальной
формы, определяющей тяготение, Гильберт
независимо решил эту проблему с помощью другого, более
прямого метода.
Оба ученых пришли к цели почти одновременно.
В то время, когда западный фронт окопался на зиму,
Эйнштейн представил в Берлинскую Академию свои
185
две работы «Об общей теории относительности» от 11
п 25 ноября. Гильберт же представил Королевскому
научному обществу в Гёттингеие свою первую заметку
«Основания физики» от 20 ноября 1915 года.
Это было замечательное совпадение, напоминавшее
работу Минковского по специальной теории
относительности и электродинамике в их совместном семинаре
1905 года. По мнению Борна, еще более замечательным
было то, что оно привело не к полемике о приоритете,
а к серии дружеских встреч и писем.
Гильберт охотно признавал и часто об этом говорил
на лекциях, что великая идея принадлежит Эйнштейну.
«Любой мальчик на улицах Гёттингена понимает в
четырехмерной геометрии больше, чем Эйнштейн,—
однажды заметил он.— И тем не менее именно
Эйнштейн, а не математики, сделал эту работу».
Как-то в другой раз на своей публичной лекции он
задал вопрос: «Знаете ли вы, почему Эйнштейн
высказал самые оригинальные и глубокие в наше время
вещи о пространстве и времени? Потому что он ничего
не знал о философии и математике времени и
пространства!».
Каждый человек, однако, принадлежит своей
собственной науке. Сначала Эйнштейн верил, что для
формулировок фундаментальных законов физики сойдут
самые примитивные математические средства. Должно
было пройти много времени, прежде чем он понял, что
в действительности все было наоборот. Затем
оказалось, что именно Минкозский, лекции которого он
счел неинтересными, создал математическое понятие
пространства — времени, давшее возможность ему
самому сформулировать общую теорию относительности.
«Гёттингенская публика,— однажды с
недовольством заметил Эйнштейн,— иногда поражает меня тем,
что она не столько хочет кому-нибудь помочь что-то
ясно сформулировать, сколько стремится показать
нам, физикам, насколько они умнее нас».
Для Гильберта красота теории Эйнштейна состояла
в ее большой геометрической абстракции; когда в
1915 году пришло время для присуждения третьей
премии Бояи, он рекомендовал присудить ее Эйнштейну
«за высокий математический дух, стоящий за всеми его
достижениями».
№
Клейн также внес вклад б развитие теории отйосй-
тельности. На него большое впечатление произвели
работы Гильберта по основаниям физики. Почти в
семидесятилетнем возрасте он решил, что можно прояснить
фундаментальные законы теории относительности с
помощью старых идей своей Эрлангенской программы.
Используя свои знания инфинитезимальных
преобразований, ему удалось добиться значительного
сокращения вычислений Гильберта.
Война продолжалась.
В то время как решалась судьба Вердена, в Гёттин-
ген приехала одна молодая женщина. Это была дочь
математика Макса Нётера, учившаяся у его друга
Гордана, бывшего одно время «королем инвариантов»,
а теперь уже покойного. Ей уже принадлежало шесть
опубликованных работ, и, кроме того, время от
времени она читала курс своего отца, заменяя его во
время болезни. Теперь ее отец ушел на пенсию, мать
недавно умерла, а брат Фриц — бывший ранее студентом
математики в Гёттингене — ушел на фронт. Настало
время перемен, и она решила воспользоваться этим.
Эмми Нётер имела мало общего с легендарной
«математичкон» Софьей Ковалевской, очаровавшей даже
Вейерштрасса своим умом и молодым обаянием. Она
была совсем лишена женственности как во внешности,
так и в своих манерах. Даже сегодня первое, что
вспоминают знавшие ее мужчины,—это: «У нее был
громкий и неприятный голос», «Она выглядела, как
энергичная и очень близорукая прачка», «Ее одежда всегда
была мешковатой». Все они с восторгом цитируют
деликатное замечание Германа Вейля, что «грации не
стояли у ее колыбели». Однако Эмми Нётер суждено было
оказать гораздо более важное влияние на математику,
чем очаровательной Софье. Даже в то время она уже
обладала солидными знаниями некоторых предметов,
необходимых Гильберту и Клейну для их работы в
теории относительности. Оба они решили, что она должна
остаться в Гёттингене. Однако несмотря на то, что
Гёттинген был первым университетом в Германии,
присудившим докторскую степень женщине, получить
хабилитацию для нее было нелегким делом. В
голосовании о приеме хабилитации должен был принимать
участие весь философский факультет, включавший,
187
помимо представителей естественных наук и
математики, также философов, филологов и историков. Особое
противодействие исходило от нематемашческой части
факультета.
Их формальное возражение сводилось к
следующему: «Как можно допустить, чтобы женщина стала
приват-доцентом? Став таковым, она сможет затем стать
профессором и членом университетского сената. Разве
можно допустить, чтобы женщина входила в сенат?»
Неформальное возражение было таким: «Что
подумают наши солдаты, когда, вернувшись в университет,
они увидят, что им придется учиться, сидя у ног
женщины?»
Гильберту эти .рассуждения напоминали те, которые
он слышал, когда пытался пробить перед этими же
членами факультета диссертацию Громмера. «Если
студенты без диплома гимназии будут всегда писать
такие же диссертации, как Громмер,— сказал он
тогда,— то нужно будет издать закон, запрещающий
устраивать выпускные экзамены». Теперь с той же прямотой
он ответил на их формальные возражения против
доцентуры Эмми Нётер: «Meine Herren, я не вижу, почему
пол кандидата должен быть причиной против
присуждения ему звания приват-доцента. В конце концов, ведь
сенат — не бани».
Когда, несмотря на такое возражение, ему все же
не удалось добиться присуждения хабилитации Эмми
Пётер, он по-своему решил проблему сохранения ее
в Гёттпнгене. Лекции будут объявлены под именем
профессора Гильберта,а читать их будет госпожа Нётер.
Война продолжалась.
Хотя немецкие подводные лодки топили каждый
четвертый корабль, выходивший из портов Англии,
тем не менее блокада, предпринятая Англией, начала
чувствоваться в Германии. Пища была чрезвычайно
скудной. 1916 год был отмечен самым большим голодом за
время войны — «репной зимой», как его прозвали
жители. Гильберт старался как можно чаще ездить в
Швейцарию. Раньше ему казалось, что университеты
Германии пренебрегали его старым другом Гурвицем в
пользу лиц, часто «даже недостойных держать перед
ним свечу». Теперь, в спокойствии Цюриха, он
начинал думать, что, быть может, это было к лучшему;
188
слабый здоровьем Гурвиц не выдержал бы лишений
военного времени в Германии.
Со своей наивной напористостью в отношении своих
нужд, а также с помощью своей абсолютно незаменимой
жены Гильберту удалось — иногда к удивлению своих
друзей и коллег — на все военное время
удержать домашний комфорт, необходимый для его работы.
Продукты были проблемой. Он считал, что мясо и
яйца были абсолютно необходимы для того, чтобы его
мозги наилучшим образом функционировали для
математики. Он всегда с большим презрением относился
к идеям вегетарианцев. «Еши бы они добились своего,
то нам пришлось бы уволить на пенсию весь рогатый
скот». Его сад снабжал его фруктами и овощами.
Достать мясо было труднее. Однажды ректор
университета собрал всех профессоров в Большом зале.
«Ах, я хотел бы ёнать, что будет в этот раз!» — с
предвкушением сказал Гильберт своему соседу.
Прошлый раз, когда созывали подобное собрание, среди
профессоров распределяли несколько гусей,
полученных университетом от одного крестьянина. «Может
быть, теперь мы получим свинью».
Ректор начал свою речь. У него были большие
новости. «Наш главнокомандующий, его величество
кайзер, только что объявил нашему врагу
неограниченную подводную войну!».
В то время как большинство профессоров хлопали
и приветствовали это заявление, Гильберт с
отвращением повернулся к своему соседу: «А я думал, что мы
получим свинью! — сказал он.— Но вы видите, каков
германский народ. Он не хочет свинины. Он хочет
неограниченную подводную войну».
Отсутствие контакта с иностранными математиками
сильно расстраивало Гильберта. Незадолго до войны
Бертран Рассел и А. Н. Уайтхед опубликовали свои
Principia Mathematica. Гильберт был уверен, что
сочетание математики, философии и логики,
представленное Расселом, должно сыграть большую роль в
науке. Так как он не мог пригласить самого Рассела в
Гёттинген, он занялся улучшением дел своего друга
философа Леонарда Нельсона.
Нельсон был также поклонником аксиоматического
метода. Его философские труды относились к двум
189
главным проблемам: заложению научных основ
философии и систематическому развитию философской
этики и «философии права». Он все еще находился в
сильной оппозиции к профессору философии Гуссерлю.
Архив Гильберта содержит чрезвычайно объемистый
раздел под названием «Дело Нельсона» — записи его
усилий в получении для Нельсона должности ассистент-
профессора.
Нельсон (получивший в конце концов, но уже после
войны должность ассистент-профессора) позже
посвятил Гильберту три тома своих Лекций по основам
этики — «попытка добыть для державной области точной
науки новую провинцию».
Весной 1917 года Соединенные Штаты, наконец,
вступили в войну против Германии.
В этот же год до Гёттингена дошли известия о
смерти Гастона Дарбу. Гильберт восхищался Дарбу не
только за его математические труды, но также и за то
влияние, которое тот оказал на математику во Франции как
человек и как учитель. Он немедленно подготовил
мемориальную статью для Nachrichten. Когда она вышла
из печати, разгневанная толпа студентов собралась
перед домом Гильберта и потребовала, чтобы автор
немедленно отрекся от своей статьи, посвященной
памяти «вражеского математика», а все копии были
уничтожены. Гильберт отказался. Больше того, он пошел к
ректору университета и, пригрозив отставкой,
потребовал официального извинения за поведение студентов.
Извинение немедленно последовало. Статья,
посвященная памяти Дарбу,— одна из четырех подобных
статей, написанных Гильбертом за всю свою научную
жизнь,— осталась в печати. (Другие статьи были
посвящены Вейерштрассу, Минковскому и Гурвицу.)
В начале 1918 года, после того как в Кремле
появилась новая власть, Германия заключила сепаратный
мир с Украиной. Благодаря этому молодой украинец
Александр Островский, бывший в течение войны в
гражданском плену в Марбурге, смог приехать в Гёт-
тинген. Во время своего вынужденного пребывания в
Марбурге Островский тщательно изучил труды
Гильберта и Клейна. По приезде в Гёттинген он нанес
традиционные визиты знаменитым математикам, что было
«не только правом, но и долгом».
190
Клейна он нашел очень дружелюбным. «Он говорил
со мною о разных вещах и был очень удивлен, что я
так много знаю о его работе». Гильберт был вежлив,
но холоден. «Я полагаю, что он всегда был немного,
недоверчив к людям, которых он видел в первый раз».
В начале весеннего семестра Германия и ее
основные союзники начали больнюе наступление. Одно время
казалось, что победа для Германии совсем близка.
Друзья Клейна недавно уговорили его издать
собрание своих трудов. Вначале он отказался, сославшись
на то, что он не может этого сделать без помощи кого-
нибудь из молодых математиков, знакомых с
современной точкой зрения. После встречи с Островским он
почувствовал, что нашел такого человека, и занялся
этим проектом.
Клейн всегда обладал великим даром интуиции.
«В молодости,— писал однажды Каратеодори,— он мог,
глядя на самые трудные проблемы, угадать их
решение». Однако у него никогда не хватало терпения
провести логически совершенное доказательство теорем,
в справедливости которых он был убежден. «Он не
хотел признавать, что осуществление такого
доказательства можно было возвысить до ранга искусства,
а правильное владение таким искусством составляет
истинную сущность математики».
Эта черта Клейна делала работу Островского
чрезвычайно трудной.
«Теперь довольно часто случалось, что нам
приходилось обсуждать некоторые результаты его работ,
которые он приводил, по моему мнению, без должных
доказательств. В этих случаях я пытался получить от
него эти доказательства. Спрашивал: «Да, но как с
тем-то и тем-то? В этом месте мне непонятно». Он
объяснял. Я все равно не понимал. Наконец, я спрашивал:
«Господин тайный советник, можно мне задавать
вопросы?» Теперь задача состояла в том, чтобы
придумать как можно более четкие вопросы. В такие моменты
он чувствовал себя лично оскорбленным, как будто
кто-то пытался пригвоздить его к стенке. Иногда
случалось, что он вставал и, чтобы успокоиться, отходил
на некоторое время к окну. Он никогда не вел себя
неприятно, но для того, чтобы сдерживать себя, ему
приходилось затрачивать много усилий».
191
За эти месяцы Островскому приходилось часто
встречаться с Гильбертом. Ему доставляло
невыразимое удовольствие непосредственно наблюдать
человека, математические работы которого он столь
тщательно изучал. Особенно на него производило впечатление
то, как Гильберту удалось решить проблему, «как
человеку исключительных качеств устроить свою жизнь
среди людей, обладающих ими в меньшей степени».
«Эта проблема, безусловно, встала перед ним очень
давно... и, по-видимому, он оценил все ее трудности.
Он был большим другом Минковского, а тот был
сияющей звездой — студентом университета, завоевавшим
Большой приз Парижской Академии! Люди должны
были восхищаться Минковским, но в то же время в
таком маленьком университете, как Кёнигсбергский,
многие из них должны были его и не любить. Мннков-
ский был, конечно, евреем, и даже евреем не
немецкого происхождения. В это время, я думаю, Гильберт
сделал свои первые наблюдения над проблемой о
совместной жизни высшего существа с низшими. Эта
проблема возникает довольно часто, но я бы сказал,
что большинство людей не решают ее вовремя. Им не
удается осознать существования такой проблемы, и,
кроме того, им надо преодолевать некоторые
имеющиеся у них комплексы. По моему мнению, Гильберт очень
хорошо взбежал этих трудностей».
К лету ситуация на фронте резко изменилась. В
июле германская армия начала отступать. Новости об
истинном состоянии военных дел стали теперь
распространяться даже за Рейн. Поэт Рихард Демель
опубликовал обращение к старикам и детям принять
участие в последней битве с врагом. Кете Кольвиц,
подруга детства Гильберта, а теперь великая и очень
известная художница (потерявшая одного из своих сыновей
в Бельгии), ответила волнующим открытым письмом:
«Уже достаточно смертей! Пусть никто больше не
погибнет! Отвечая Рихарду Демелю, я хочу, чтобы
вспомнили слова более великого поэта:
Нельзя дать погибнуть семенам».
Спустя почти четыре года после декларации «к
культурному миру» новый канцлер попросил перемирия.
Рано утром 9 ноября 1918 года кайзер пересек границу
с Голландии.:.
XVIII
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Заметно более серьезные, не с такими бравыми, как
от дуэлей, шрамами на лице, с пустым рукавом или
брючиной, молодые люди стали возвращаться из окопов
в аудитории.
Математика представлялась им «свежей, как май».
Пока их не было, Эйнштейн изменил понятие
пространства, времени и материи и создал необходимость
в совершенно новой геометрии, В трех статьях, вместе
не занимавших и 17 страниц, молодой голландец Брау-
эр высказал сомнение в том, что законы классической
логики имеют абсолютную истинность, не
зависящую от того, к. чему они применяются, и предложил
решительную программу, призванную покончить с
«кризисом оснований», вызванным открытием в начале
столетия парадоксов в теории множеств.
Герман Вейль, талантливый ученик Гильберта,
вернувшись из Цюриха, где он служил в швейцарской
армии, увлекся новыми идеями. Перед войной он
познакомился с Эйнштейном. Теперь он прочитал серию
блестящих лекций об идеях Эйнштейна и издал их в
виде книги'Пространство, время и материя, ставшей
научным бестселлером. Его друзьям казалось, что Вейль
«мог испытывать упоение, разрешая себе увлекаться
или просто метаться между противоположными
течениями, обуревавшими тот период». «Кризис оснований»
был для него неотразим. В 1918 году он внес
собственный вклад в этот вопрос, опубликовав работу о
логических основаниях континуума. Он тщательно изучал
также интуиционизм — так была названа новая
программа Брауэра.
Гильберта раздражало увлечение его бывшего
ученика идеями Брауэра, который будил в нем воспоми-
193
нание о Кронексре. К концу войны Брауэр был
несколькими годами старше Вейля и на 20 лет моложе
Гильберта. Он уже внес значительный вклад в математику.
В 1911 году, доказав топологическую инвариантность
размерности евклидова пространства, он открыл
новую эру в топологии. Его работы по теории множеств
были, по мнению многих, самыми глубокими после
работ Кантора. Но так же, как до него Кронекер, он
был готов отказаться от большей части своих
математических достижений ради своих философских идей.
Для Брауэра ни язык, ни логика не были
неотъемлемо связаны с математикой, в основе которой,по его
мнению, лежала интуиция, делавшая ее выводы и
понятия непосредственно ясными. Вейлю казалось,
что Брауэр «открыл нам глаза и заставил нас увидеть,
насколько общепринятая математика зашла дальше
таких утверждений, справедливость и реальный смысл
которых основан на очевидности».
Брауэр, например, отказался принимать
логический принцип исключенного третьего, хотя со времен
Аристотеля математики без колебаний принимали,
что для любого утверждения А существуют только две
возможности — либо А, либо не Л. Брауэр теперь
настаивал на том, что существует третья возможность —
другими словами, среднее, которое нельзя исключить.
Его рассуждение было следующим.
Пусть А есть утверждение: «В множестве S
существует элемент со свойством Р». Если S конечно, то в
принципе можно перебрать все элементы этого
множества и определить, что или в S существует элемент со
свойством Р, или любой элемент из S этим свойством
не обладает. Тем самым для конечных множеств
Брауэр допускал принцип исключенного третьего. Он
отказывался его принимать для бесконечных множеств,
так как для таких множеств S мы не можем, даже в
принципе, перебрать все элементы множества. Если в
процессе перебора мы находим элемент со свойством Р,
то первая альтернатива выполняется, но если мы не
можем найти такого элемента, то про вторую
альтернативу еще ничего нельзя сказать, так как мы не
провели перебор до конца.
Из-за того, что в математике теоремы часто
доказываются приведением отрицания теоремы к противоре-
194
чию, третья возможность, указанная Брауэром,
должка была бросить тень на многие из общепринятых
математических утверждений.
«Изъять из математики принцип исключенного
третьего,— говорил Гильберт,— все равно что... запретить
боксеру пользоваться кулаками».
Возможные потери, по-видимому, не волновали
Вейля. За программой Брауэра—будущее, убеждал он
своих друзей в Цюрихе.
«Герман, это математика без пиджака»,— говорил
ему Дьёрдь Пойа,считая, что он пытается ее несколько
оголить.
Вейль тотчас же предложил Пойа заключить пари
о будущем двух конкретных утверждений, которые
были бы исключены из математики, если бы идеи Брау-
эра восторжествовали. В последнем Вейль не
сомневался, причем считал, что это произойдет в течение
ближайших 20 лет. Выигравший должен был
определиться в 1938 году в зависимости от того, согласится
ли Пойа признать, что два следующих предложения:
1) каждое (непустое) ограниченное множество
вещественных чисел имеет точную верхнюю грань,
2) каждое неограниченное подмножество
вещественных чисел содержит счетное подмножество,—
являются, на самом деле, полностью неопределенными и
«спрашивать, справедливы они или ложны, — это
все равно что спрашивать то же самое об основных
идеях философии Гегеля». Если к 1933 году Пойа и Вейль
не придут к единому мнению о положении дел в
математике, то решающее мнение будет определено
большинством среди профессоров математики
Швейцарского федерального института и университетов Цюриха,
Берлина и Гёттиыгена. Проигравший должен будет
опубликовать условия пари и официально признать
свое поражение в Jahresbericht l) Германского
математического общества.
Сам Гильберт никогда не прочитал и строчки из
работ Брауэра. Он все больше избегал чтения статей,
предпочитая получать информацию из лекций и
бесед. Вейль был приглашен в Гёттииген, чтобы
выступить перед Математическим клубом об интуиционизме.
L) Ежегодник (нем.).
195
Надо помнить, что на конгрессе в Гейдельберго,
вскоре после открытия Расселом и Цермело
фундаментальных парадоксов теории множеств, Гильберт
набросал математико-логическую программу,
предназначенную, по его мнению, «раз и навсегда»
уничтожить все сомнения в надежности оснований математики
и методов математических рассуждений. Погрузившись
в последующие за этим годы сначала в интегральные
уравнения, а затем в физику, он, казалось, забросил
этот проект. И действительно, незадолго до войны Блю-
менталь, прогуливаясь с Гильбертом и вспоминая
конгресс в Гейдельберге, заметил, что, по-видимому, так
ничего и не вышло из его идеи «теории доказательств».
Гильберт оставил это замечание без комментариев,
в то время как (вспоминал позже Блюменталь) госпожа
Гильберт улыбнулась.
После этого конгресса в изучении оснований
математики произошло несколько важных сдвигов.
Цермело доказал теорему о полной упорядочиваемос-
ти и создал свою систему аксиом теории множеств.
Рассел и Уайтхед опубликовали свои Principia
Мathematica. Однако сам Гильберт не возвращался
к основаниям математики, по крайней мере публично,
до 1917 года.
Весной того года во время визита в Цюрих он
пригласил двух молодых людей из окружения Гурвица
составить ему компанию в прогулке. Одним из них был
друг Вейля Пойа. Другим был замкнутый,
застенчивый и несколько нервный молодой человек по имени
Пауль Бернайс. К удивлению Пойа и Бернайса, темой
разговора во время прогулки к вершине горы Цюрих-
берг была не математика, а философия. Никто из них
не был специалистом в этой области. Правда, Бернайс
немного изучал философию, будучи студентом в Гёт-
тингене, и был близок к Леонарду Нельсону. Его
первая публикация появилась в философском журнале
Нельсона. Так что теперь, несмотря на свою
сдержанность, он мог сказать намного больше, чем обычно
говорливый Пойа. В конце этой прогулки Гильберт
пригласил Бернайса приехать в Гёттинген в качестве его
ассистента. Бернайс принял это предложение.
В сентябре того года Гильберт вернулся в Цюрих,
чтобы прочесть лекцию перед Швейцарским математи-
196
ческим обществом. Прошло около недели после третьей
годовщины начала войны, и его первые слова были очень
актуальны:
«Как в жизни наций условия процветания
отдельной страны требуют хороших отношений со своими
соседями и в их интересах, чтобы порядок господствовал
не только в каждой отдельной стране, но и в
отношениях между ними, так и в жизни науки имеет место то же
самое».
Доклад был посвящен излюбленной теме —
важности роли математики в науке — и мог бы быть
озаглавлен «Во хвалу аксиоматическому методу».
«Я верю,— твердо сказал Гильберт,— что любая
научная мысль, достигшая уровня включения ее в
некоторую теорию, попадает под влияние мощи
аксиоматического метода и тем самым и математики».
Однако в том же выступлении он затронул
некоторые вопросы, которые впервые после 1904 года открыли
широкой аудитории его непрекраашвшийся интерес
к проблемам оснований своей науки:
Проблема принципиальной разрешимости любого
математического вопроса.
Проблема отыскания критерия простоты
математического доказательства.
Проблема соотношения между содержательным и
формальным в математике.
Проблема разрешимости математического вопроса
с помощью конечной процедуры.
Гильберт отметил, что для исследования этих
вопросов необходимо вначале проанализировать
понятие математического доказательства.
Однако лично он все еще не был готов заняться
проблемой кризиса оснований математики. Дома у него
оставались собственные как личные, так и
профессиональные проблемы.
Франц выписался из больницы. Университетские
связи позволяли подыскивать ему кое-какие
несложные работы, однако и на них он не мог долго
продержаться; это вынуждало госпожу Гильберт забирать
своего сына домой, что нарушало спокойствие в доме
на Вильгельм Веберштрассе.
«Гильберту это доставляло много страданий, так
как он не мог работать в подобной атмосфере,— гово-
197
рнт Курант.— Это отражалось на нем довольно
губительно. Он нуждался в легкой обеспеченной жизни.
Его. жена, разумеется, не хотела да и просто не могла
отказываться от своего единственного сына. Это
являлось причиной некоторых трений между мужем и женой.
Но Гильберт был достаточно разумным, чтобы не
допускать перерастания зтого в настоящую опасность».
Гёттингенское научное общество было распущено.
Lesezimmer имела большие пробелы в своем собрании.
Почти все немецкие издатели научной литературы
прекратили свою деятельность. Строительство
Математического института было прекращено. В 1919 году
Клейну исполнилось 70 лет, Гильберт приближался к 60
годам. Каратеодори переехал из Гёттингена в Берлин,
где он снова оказался в компании своего старого друга
Эрхарда Шмидта. Петер Дебай принял предложение из
Швейцарии. Марка неуклонно падала. Еда была
скудной, жилищные условия плохие. Гильберт жаловался
Бернайсу, что его жалованье теперь стоит меньше, чем
в то время, когда он был приват-доцентом в
Кенигсберге. Будущее выглядело мрачным.
Летом 1919 года Гильберт, проводя каникулы в
Швейцарии, дал попять, что он, «быть может, отнесется
с вниманием», «не будет решительно против» и, «может
быть, будет даже склонен принять» место в Берне.
В нормальных условиях Берн не имел никаких шансов
переманить Гильберта из Гёттингена, но тогдашние
условия не были нормальными, Берн увидел
возможность добаврггь к своему факультету самого
знаменитого математика в мире; нарушая закон кантона,
согласно которому все вакантные места должны
объявляться в печати, университет делал настойчивое
предложение великому немецкому математику.
Теперь ясно, что Гильберт не имел истинного
намерения принять предложение. К концу своей карьеры
он даже не включил его в список полученных им
предложений. Он явно хотел использовать его только как
средство при переговорах для улучшения положения
«математики» у себя в Гётгингене.
В основном его личные желания были очень
скромными. Курант вспоминает, как на праздновании
своего пятидесятилетия, в зените славы и авторитета,
Гильберт сказал: «С этого момента, я думаю, могу по-
198
зволить себе роскошь путешествовать в вагоне первого
класса».
Предложение из Берна, по-видимому, дало
желаемый эффект. В августе 1919 года Гильберт вел
переговоры с новым министром науки, искусства и народного
образования о приглашении иностранных профессоров
в Гёттинген. Его первоначальная просьба в выделении
для этой цели 5000 марок была повышена до суммы в
10 000 марок, а учитывая все возрастающую
инфляцию, «быть может, нам потребуется, по крайней мере,
15 000 марок».
Именно в ту осень, 18 ноября 1919 года, умер Гур-
виц. Со студенческих времен Гильберт не скрывал
своего восхищения перед Гурвицем и его математическими
способностями. Однажды в разговоре с Островским он
упомянул, что, по его мнению, существует два сорта
математиков — те, кто энергично бился и решал
стоящие задачи, и те, кто этого не делал.
«Я был удивлен, какое твердое на этот счет у него
было мнение, сколь немногих он считал действительно
хорошими математиками, а до остальных ему просто не
было дела. Я был также поражен тем, что он решился
сказать такую вещь, мне. Это было почти единственным
случаем, когда он не вел себя, как «мудрец».
Высказывая такие утверждения вслух, он заставлял других
задавать себе вопрос, к какой группе он их относил.
Однако не вызывало никаких сомнений, к какой группе
он относил Гурвица. В тот раз он упомянул одну
работу Гурвица, которая, сказал он, полностью
поглотила его собственную работу. Никто не сказал бы этого
о работе Гильберта. Но он это сказал».
Во второй раз Гильберту пришлось выступить перед
Гёттингенским научным обществом с речью,
посвященной памяти своего покойного друга молодости. За восемь
с половиной лет он и Гурвиц на своих ежедневных
прогулках в Кенигсберге исследовали «каждый уголок»
математики. Гурвиц, рассказывал ом теперь своим
коллегам, был «гармонически развитой и философски
настроенной личностью, он был всегда готов признать и
оценить достижения других, и для него каждый
научный результат являлся источником искренней
радости». Гильберт успокаивал себя тем, что, потеря» перед
смертью сознание, Гурвиц был избавлен от
необходимо
мости прощаться со своей семьей. Это было его
последним желанием.
После смерти Гурвида разнесся слух, что Гильберту
была предложена его кафедра в Цюрихе. Группа
студентов направилась к нему с поэтической петицией,
призывавшей его остаться в Гёттингене: «Hilbert,
gehen Sie nicht nach Zurich/Leben da ist auch recht
«schwurich». {Гильберт, не уезжайте в Цюрих, жизнь
там также тяжела.) Однако из Швейцарии не
последовало никаких предложений.
Относительная значимость различных научных
интересов Гильберта в этот период видна по его
ассистентам, Бернайсу — по математике и Адольфу Крацеру —
по физике. Раз в неделю перед лекциями оба они
приходили в дом Гильберта. В то время как его интересы
начали перемещаться из физики обратно в математику,
начали меняться и роли ассистентов.
«Летом 1920 года он занимался в основном
проблемами атомной механики,— говорит Крацер.— Его целью
все еще была аксиоматизация. Вопросы задавались
мне. Казалось, что говорил в основном я, а Бернайс
слушал. Однако к зиме 1920—1921 года его интересы
начали меняться. Теперь его главной целью была
формализация оснований математики на логической основе,
и Бернайс говорил, в то время как я слушал».
Хотя в своих исследованиях Гильберт двигался к
наиболее абстрактному и формальному пониманию
математики, в это время он прочитал серию лекций по
геометрии, основанных на абсолютно наглядной
интуитивной точке зрения. Они были явно предназначены
для популяризации математики среди молодых людей,
вернувшихся в университет после войны.
«Ведь это правда,—признавал он,—что математика,
вообще говоря, не является популярным предметом».
Причину отсутствия ее популярности он видел
«в разделяемохМ всеми предрассудке, что математика
представляет... дальнейшее развитие прекрасного
искусства арифметики, жонглирования числами...». Он
думал, что ему удастся сделать более увлекательным
этот предмет, который он так страстно любил, заставив
своих слушателей «проникнуть в суть математики, не
взваливая на себя тяжесть утомительного процесса
обучения». Взамен он предлагал «неторопливую про-
200
гулку в большом саду геометрий, где каждый сможет
собрать себе букет по вкусу».
В следующее лето Гильберт прочел курс лекций по
теории относительности, входивший в специальный
цикл, рассчитанный на все факультеты университета.
В них он продемонстрировал, по словам Борна, «что
только тот, для кого логическая структура трудной
и сложной теории была абсолютно ясной, сможет
успешно изложить ее широкой аудитории».
Ему нравились эти экскурсы в популяризацию, и в
течение двадцатых годов он часто выступал с такими
лекциями на различные темы.
Однако теперь Гильберта все более тревожил тот
рост влияния, которое оказывал на молодых
математиков подход Брауэра к математике. Для Гильберта
программа интуиционизма представляла абсолютно
определенную и реальную угрозу математике. Многие из
теорем классической математики можно было
установить и интуиционистскими методами, более сложным
и длинным путем, чем обычно. От многого же, включая
теоремы существования, основную часть анализа, кан-
торовскую теорию бесконечных множеств, пришлось
бы отказаться.
«Экзистенциальные» идеи проникали в мышление
Гильберта не только в математике, но и в
повседневной жизни. Это иллюстрируется одним случаем,
свидетелем которого был в свое время Хельмут Хассе.
Общество германских ученых и врачей собралось на
свою первую послевоенную встречу в Лейпциге. По
вечерам в Burgkeller было много вопросов типа «Как там
профессор К. из А., он еще жив?». 24-летний Хассе
сидел вместе с другими молодыми математиками за
столиком, стоявшим неподалеку от стола Гильберта и
его компании.
«Я слышал, как он задал в точности такой же вопрос
одному венгерскому математику о другом венгерском
математике. Тот начал отвечать. «Да, он преподает в —
и занимается теорией —, несколько лет назад он
женился, у него трое детей, старшему...» Однако после
первых же слов Гильберт начал перебивать: «Да, но...»
Когда, наконец, ему удалось остановить поток
информации, он продолжил: «Да, но все это меня не
интересует. Я только спрашивал: Существует ли он ещеЪ.
201
Согласно Брауэру, утверждение, что некоторый
объект, обладающий данным свойством, существует,
означает, что известен метод, позволяющий, по крайней
мере в принципе, найти или построить такой объект;
только в этом случае можно считать доказанным
существование объекта.
Тем самым Брауэр не принял бы найденного
молодым Гильбертом доказательства существования
конечного базиса системы инвариантов, не принял бы
также и многое другое.
Естественно, что Гильберт был с этим не согласен.
«... Доказательства чистого существования были
самыми важными вехами в историческом развитии
кашей науки»,— утверждал он.
То, что Вейль склонялся к точке зрения Брауэра,
очень огорчало Гильберта.
В 1919 году Вейль опубликовал некоторые из
своих собственных «давно наболевших» мыслей об
основаниях математики. Затем в 1920 году он прочитал
несколько лекций о программе Брауэра. На одной из
них он заявил: «Я отказываюсь от своих собственных
попыток и присоединяюсь к Брауэру». Его никогда
не называли «брауэровским бульдогом», но он мог бы
им быть. В 1921 году Вейль продолжал использовать
свои литературные способности для еще большей
популяризации идей Брауэра.
Для Гильберта это было уже слишком.
На одном собрании в Гамбурге в 1922 году он во
весь голос заявил о защите математики.
Положение дел, вызванное открытием парадоксов
теории множеств, было недопустимым, согласился он.
Однако «заслуженные математики высокого класса,
Вейль и Брауэр, ищут решение проблемы на ложных
путях».
Вейль услышал в голосе своего старого учителя
«гнев и решимость».
«То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное,
как возрождение идей Кронекера! Они стремятся
спасти математику, выбрасывая за борт все, что причиняет
беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы
мы приняли такую реформу, которую они предлагают,
то подверглись бы риску потерять большую часть
наших самых ценных сокровищ».
202
Далее приведен список сокровищ, которые были бы
потеряны, если бы была принята программа
интуиционизма:
Общее понятие иррационального числа.
Функция. «Даже теоретико-числовая функция».
Трансфинитные числа Кантора.
Теорема о существовании наименьшего числа в
бесконечном множестве целых чисел.
Логический принцип исключенного третьего.
Гильберт отказывался причинять такое «увечье»
математике. Ему казалось, что он видел путь, на
котором он смог бы восстановить элементарную
математическую объективность, к которой стремились Брауэр и
Вейль, не теряя при этом ничего из сокровищ,
приносимых в жертву их программе. Это была, по существу,
та «теория доказательства», набросок которой он дал
в 1904 году в Гейдельберге. В характерном для него
стиле, этот подход был прямой атакой проблемы. Как
вынужден был позже признать сам Вейль, Гильберт
показал тогда «совершенно новый подход к вопросам
оснований и понятию истины в математике».
Интуиционизм выступал против того, что
«большая часть математики идет дальше тех утверждений,
которые претендуют на истинный смысл». Гильберт
ответил на это возражение тем, что, по словам Вейля,
избавился совсем от смысла.
Он предложил превратить математику в
формализованную систему, объекты которой —
математические теоремы и их доказательства — выражаются на
языке символической логики в виде предложений,
имеющих только логическую, а не смысловую структуру.
Эти объекты должны были быть выбраны так, чтобы
адекватно представлять данную математическую
теорию, т. е. охватывать совокупность всех ее теорем.
Непротиворечивость этой формальной системы — т. е.
математики — будет устанавливаться с помощью
методов, которые Гильберт называл финитными. Под
«финитностью» понималось то, что «рассматриваемое
рассуждения, утверждения или определения должны
находиться в рамках непосредственного обращения с
объектом, отличаться явной практичностью
используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было
бы эффективно контролировать».
203
Таким способом, используя методы, ограниченность
которых вполне устраивала бы Брауэра и Вейля,
Гильберт надеялся, что сможет преодолеть новый кризис
оснований математики и избавиться от вопросов
оснований математики раз и навсегда.
В год своего шестидесятилетия он выступил в
защиту целостности классической математики, основываясь
на том, что его бывший студент должен будет назвать
«радикальной переинтерпретацией ее содержания с
полным сохранением ее инвентаря».
Дух Кронекера, казалось, витал перед ним в
программе интуиционистов, а та энергия, с которой он
набросился на нее (как Вейль сразу же отметил), резко
противоречила той уверенности, с которой он
предрекал ее окончательное поражение:
«Я уверен, что насколько у Кронекера было мало
шансов упразднить иррациональные числа...
настолько же маловероятен успех Вейля и Брауэра. Брауэр
не представляет собой революцию, как это считает
Вейль,— юлько повторение попытки организовать
Putsch x), в свое время еще более сильно бушевавший,
а сейчас, при вооруженном и окрепшем государстве,
с самого начала обреченный на неудачу!»
*) Путч (нем.).
XIX
НОВЫЙ ПОРЯДОК
23 января 1922 года Гильберту исполнилось 60 лет.
Последний январский номер Naturwissenschaften,
немецкого эквивалента британского научного
еженедельника Nature, был посвящен этому юбилею. На
первой странице была помещена фотография
Гильберта, сидящего в плетеном кресле с широкими
подлокотниками. Годы не очень его изменили, правда, время
еще больше подчеркнуло интеллект и
сосредоточенность в его лице. К старости его внешность
производила большее впечатление, чем в молодости.
Выпуск открывался очерком научной жизни и
личности Гильберта, написанным Отто Блюменталем.
Будучи «старейшим учеником» Гильберта, Блюменталь
почти четверть века тщательно наблюдал за своим
«Father-Doctor». Жизненный путь Гильберта, казалось,
теперь окончательно выкристаллизовался. Начало его
научной карьеры было связано с конкретными
задачами. Затем, начиная с работ по основаниям геометрии,
аксиоматический метод столь прочно завладел им, что,
наряду с проблемами, стал определяющим для всей его
жизни. Блюменталю теперь казалось, что самым
поразительным аспектом жизни Гильберта был
замечательный неуклонно возрастающий прогресс. Решив
одну проблему, он тотчас же брался за другую. Быть
может, у кого-нибудь, не так близко знавшего его,
создавалось впечатление, что он был прирожденным
математиком, логической машиной, предназначенной
решать задачи, существом чистой мысли.
«Однако я думаю, что Гильберт хотел бы, чтобы к
нему относились по-другому,— писал Блюменталь.—
Чем больше я знаю его и узнаю о нем, тем больше он
представляется мне мудрым человеком, который, с тех
205
пор как впервые осознал свою силу, твердым курсом
неуклонно двигается к некой высшей цели, единому
взгляду на жизнь, по крайней мере в специфической
области точных наук».
Были п другие статьи его бывших учеников,
посвященные пяти главным областям, в которых работал
Гильберт,— алгебре, геометрии, анализу,
математической физике и философии математики. (Статья под
названием «Гильберт и женщины» готовилась
Курантом и его другом Фердинандом Шпрингером, но, как
вспоминает Курант, «мы не закончили ее к сроку».)
Состоялся также и юбилейный банкет, на котором
73-летннй Клейн, прикованный теперь уже к креслу
па колесах, подарил досточтимому профессору копию
Vorlrag, с которым молодой доктор Гильберт
выступил в 1885 году на семинаре Клейна в Лейпциге.
Это празднование отмечало, в некотором смысле,
расставание со старьш порядком в Гёттингене. После
войны в качестве ассистент-профессора в университет
вернулся Рихард Курант. После ухода Каратеодори
Курант стал полным профессором и преемником
кафедры Феликса Клейна.
Курант представлял собой полную
противоположность старому Юпитеру. Маленького, с лицом гнома,
с тихим голосом, его никак нельзя было сравнить с
«олимпийцем». Студенты скорее помнили, «как он мог
представлять картину абсолютной беспомощности и
нерешительности, как мог неслышно ворчать,
вмешиваться или руководить без всякого вмешательства, чтобы
в конце концов заслужить неизменное признание и
расположение всех своих сотрудников».
Для германских профессоров Курант был
необычайно демократичным. Даже его книги часто
представляли собой труд целого коллектива. Известпые
«корректурные фестивали» регулярно происходили за длинным
столом с участием всех его ассистентов. В разное время
среди них были Вилли Феллер, Курт Фридрихе, Ганс
Леви, Отто Нейгебауэр, Франц Реллих.
«Красные чернила, клей и личный темперамент
присутствовали в изобилии»,— вспоминает Отто
Нейгебауэр, занимавший важный и влиятельный пост
«главного ассистента». Куранту, безусловно, было нелегко
защищать свою позицию и добиваться согласованного
2Q6.
решения при столкновении одновременно
высказываемых и часто сильно расходящихся индивидуальных
мнений о доказательствах, стиле, формулировках,
чертежах и многих других деталях. По окончании
такого собрания ему приходилось запихивать в свой
портфель верстку или даже последние гранки, которые
можно было только описать как римановы поверхности
высокого рода; требовалась абсолютно твердая
уверенность в справедливости теоремы об увиформизации,
чтобы поверить, что эти гранки смогут когда-нибудь
быть отображены на schlichtг) страницы.
Однако, как и Клейн, Курант был воспитан в
широких физико-математических традициях Гёттингепа.
Истинной сутью его работ стало (как представлялось это
Нейгебауэру) «постоянное продолжение и дальнейшее
распространение идей Римана, Клейна и Гильберта,
а также настойчивость в демонстрировании
фундаментального единства всех математических дисциплин»..
Когда Курант сменил Клейна, студенты,
изучавшие математику и теоретическую физику, все еще
приходили на занятия в единственное аудиторное здание
университета, трехэтажный Auditorienhans, располо^
жеиный в а пересечении Веендерштрассе со стеной
старого города. Третий этаж этого здания оставался
центром математической жизни: общая комната, где раз в
неделю собирался Математический клуб,— Lesezimmer,
с открытым доступом к математическим книгам и жур^
налам, который ввел Клейн,— комната
математических моделей, в которой собирались студенты перед
лекцией в главной аудитории. Большой кабинет,
отделанный деревом, содержал весь административный
аппарат математики Гёттингена — марки и
канцелярские принадлежности. Именно здесь Курант
предпринял свой первый революционный шаг. Он обратился к
министру культуры с просьбой о разрешении изменить
на бумагах штемпель «Университет Гёттингена» на
«Математический институт университета Гёттингена».
По окончании положенного срока он получил
разрешение на эту реформу.
х) Гладкий (нем.). Здесь имеется в виду однолистная
поверхность.
207
«Они не знают, во что это им обойдется», —
спокойно сказал глава нового института.
Так в Гёттингене начался новый порядок.
Проблема публикаций, столь важная для
прогресса науки, уже была решена Курантом. Во время войны
была установлена личная связь между гёттингенскими
математиками и издателем ФердинандохМ Шпрингером.
После войны (как позже описывал это Гильберт) «под
натиском самого Клейна и моим активным влиянием
доктор Шпрингер предоставил свою энергию и
решимость в распоряжение математики». Курант и
Шпрингер стали близкими друзьями. В результате их
объединенных усилий издание научных трудов в Германии
стало приобретать нормальный вид.
Кроме Куранта, был еще один прежний ученик,
которого Клейн и Гильберт хотели вернуть в Гёттин-
ген. То был Герман Вейль. В 1922 году — в том самом
году, когда Гильберт выступил в Гамбурге с
полемикой против интуиционистов,— Вейлю было
направлено приглашение.
Как и Куранту, Вейлю шел четвертый десяток.
Благодаря популярности его книги по теории
относительности, за пять лет выдержавшей пять изданий,
и его активному участию в дискуссии по основаниям
он был, наверное, самым известным из математиков
своего поколения. Однако и помимо этого за ним уже
числились впечатляющие важные достижения в
математике и математической физике. В тот момент он
находился в расцвете своих творческих сил. Он
извергал колоссальный поток статей, и не только по своей
основной тематике, но и по любому другому
математическому вопросу, заинтересовавшему его. А его
интересовала не только математика. В круг его интересов
входили философия, искусство, литература. Вейль
верил, что проблемы науки не могут быть отделены от
философских проблем; он также был уверен, что
математика, как и изящное искусство, музыка и
литература, была творческой деятельностью человечества. Он
любил писать и писал хорошо. Говорили, что ни одна
из математических работ этого века не выражает так
живо личность своего автора. «Выразительность и
форма имеют для меня, быть может, большее значение,
чем само знание»,— сказал он однажды. И в другой
208
раз: «В своей работе я всегда пытался объединить
истину с прекрасным; и когда мне приходилось выбирать
одно из двух, я, как правило, выбирал прекрасное».
Вейль уважал и любил Клейна и Гильберта. Он был
привязан к традициям Гёттингена. Тем не менее он не
сразу согласился возвратиться в свой старый
университет. Даже в последний момент он заставил свою
жену бродить и бродить вокруг их дома в Цюрихе,
продолжая обсуждать свое решение. Почти уже в
полночь он решил, что примет предложение из
Гёттингена. Поспешив, чтобы отправить телеграмму с
согласием, он вернулся несколькими часами позже,
отослав отказ.
«Я не мог заставить себя,— объяснял он,—
променять спокойную жизнь в Цюрихе на неопределенность
послевоенной Германии».
И действительно, жизнь в Германии была
неопределенной. За поражением последовал период
неистовых беспорядков. Наконец, народ избрал национальное
собрание, которое собралось в Веймаре и выработало
конституцию республики. Однако новое
правительство подвергалось постоянным нападкам. Монархисты
хотели восстановить империю. Коммунисты
стремились поставить эксперимент в русском стиле.
Национал-социалисты требовали диктатуры,
перевооружения Германии и разрыва Версальского договора.
«Немцы будут привыкать к политике так же, как
пещерный человек привыкал к мылу и воде»,—заметил
Гильберт.
Именно в это смутное время Курант стал воплощать
в реальность старую мечту Клейна о великом
Математическом институте в Гёттингене.
Марка продолжала неуклонно падать. В 1922 году
новое правительство начало издавать бумажные
деньги, чтобы покрыть свои нужды; инфляция была в
самом разгаре. Цена одного тома Annalen составляла
в 1920 году 64 марки, а к началу 1922 года она
удвоилась. К концу этого года она равнялась 400 маркам.
К 1923 году она достигла 800 марок, к концу года 28 000
марок. Деньги, вносимые студентами в начале
семестра за обучение, к концу семестра, когда университет
выплачивал их приват-доцентам, фактически
обесценивались. Премия Вольфскеля в 100 000 марок
209
вскоре стала не более чем несколькими клочками
бумаги (однако в 1921 году прибыли с этой премии еще
позволили пригласить Нильса Бора, который
выступил с несколькими лекциями — «Фестивальная неделя
Бора»).
Курант, чтобы подчеркнуть свой клейнианский
интерес как к прикладной, так и к чистой математике,
снабдил свой новый институт одним из первых
настольных электрических арифмометров. Рассчитанный на
обращение с 19 разрядами, он как раз годился для
расчетов с быстро падавшей в стоимости валютой.
Жалованье и цены выражались некоторыми основными
числами, которые затем умножались на быстро возрастающий
коэффициент c(i). В результате получалась
стоимость в марках на данный момент времени t.
Жалованье стало теперь выписываться каждую неделю на
основе текущего значения коэффициента ф), который
конфиденциально сообщался правительством. Курант
предложил университету воспользоваться своим
арифмометром в обмен на право получения этой
информации о c(t) за несколько часов до ее официального
опубликования в газетах. Благодаря этому простому
методу он существенно увеличил покупательную
способность денежных средств, отпущенных на
математику. Эти сэкономленные деньги использовались в
основном для ликвидации пробелов, создавшихся в
Lesezimmer во время войны. Как и для Клейна, Lese-
zimmer была для Куранта центром, вокруг которого
вращалась математика в Гёттингене.
Что значила Lesezimmer для студентов, описал
Б. Л. ван дер Варден, который по рекомендации Брауэ-
ра приехал в Гёттинген после окончания университета
в Амстердаме. Ван дер Варден был одаренным
молодым человеком. Его отец, учитель средней школы,
однажды забрал его математические учебники, считая,
что ребенок вместе с другими ребятами должен играть на
улице. Однако ему пришлось возвратить книги сыну,
когда он обнаружил, что тот изобрел свою собственную
тригонометрию, заменив традиционные названия и
понятия своими собственными.
В Гёттингене ван дер Варден проводил свое
основное время в Lesezimmer. В Голландии ничего
подобного не было. Сегодня он вспоминает, как его постоянный
210
компаньон по завтракам и прогулкам Хельмут Кнезер
«начинал обычно заводить разговор на некоторую
тему и отпускать какие-нибудь замечания, которых я
совсем не мог понять. Тогда я ему говорил, что хотел
бы узнать об этом. Где это можно найти? Он тотчас же
мне сообщал названия некоторых книг, которые я мог
найти в Lesezimmer. Через день или два я уже мог
отвечать на его вопросы, а также делать собственные
важные замечания; таким образом я узнавал все
больше и больше». Бывало, когда ван дер Варден искал
книгу «автора на А», он находил по соседству еще
более интересную и полезную книгу «автора на Б».
«Таким способом я узнавал за недели и месяцы больше,
чем многие студенты за годы и годы».
В 1923 году благодаря введению новой денежной
единицы — Rentenmark — инфляция внезапно
прекратилась.
Хотя Гильберт и заметил скептически, что «нельзя
решить проблему, поменяв название независимой
переменной», однако же стабильность условий была во
многом восстановлена.
Снова со всех концов света в Гёттинген стали
прибывать студенты.
Благодаря Ландау в 1920 году университет стал
центром большой активности в области теории чисел,
как говорили, «началом эры в арифметике, сравнимой
с эрой, открытой Гауссом в 1801 году». По-видимому,
самый большой интерес вызывали две проблемы.
Первой была гипотеза Римана о нулях дзета-функции,
восьмая из парижских проблем Гильберта. Другой
была задача определения точных значений для
количества п-х степеней в теореме Варинга; работа над
проблемой началась с доказательства Гильбертом этой
теоремы в 1909 году. Гипотеза Варинга оказалась, по
мнению историков математики, «одной из тех проблем,
которые открыли эпоху в математике».
Гаральд Бор и Г. X. Харди были частыми гостями
в Гёттингене. Как правило, они заезжали сюда по
дороге из Дании или Англии, куда они направлялись для
встречи друг с другом. Когда Харди покидал Бора,
возвращаясь домой через неспокойный пролив Северного
моря, он всегда отправлял ему открытку с
извещением: «У меня есть доказательство гипотезы Римана!».
211
Харди говорил, что Бог, с которым у него были
личные счеты, не позволит ему умереть с такой славой.
В связи с гипотезой Римана, быть может, стоит
привести один анекдот про Гильберта, хотя в его
достоверности нет полной уверенности. Согласно этому
анекдоту, у Гильберта был студент, принесший ему
однажды работу с попыткой доказательства гипотезы Римана.
Гильберт тщательно изучил работу и был сильно
поражен глубиною рассуждений; однако, к сожалению, он
нашел ошибку в доказательстве, которую и сам не смог
исправить. На следующий год этот студент умер.
Гильберт попросил скорбящих родителей разрешения
выступить с речью на похоронах. Когда под дождем
родственники и друзья покойного стояли со слезами на
глазах над могилой, вперед вышел Гильберт. Он начал
свою речь, сказав, что смерть такого одаренного
молодого человека является настоящей трагедией, ведь у
него были все возможности показать, на что он
способен. Однако, продолжал он, несмотря на то, что его
доказательство гипотезы Римана содержало ошибку, еще
остается возможность, что когда-нибудь
доказательство знаменитой проблемы будет получено на путях,
намеченных покойным. «Действительно,— с
энтузиазмом продолжил он, стоя под дождем над могилой
умершего студента,—рассмотрим функцию комплексной
переменной...»
В этот период в Гёттинген приехал робкий мальчик
большого роста, которому предстояло стать
выдающимся специалистом в теории чисел — Минковским
нового поколения в этой области математики. Он
отказался от службы в армии и был помещен в
психиатрическую лечебницу, расположенную рядом с
клиникой, владельцем которой был отец Ландау. Таким
образом Карл Людвиг Зигель, бедный, но
чрезвычайно одаренный, познакомился с гёттингенским
профессором. Для Зигеля Ландау был совершенно
непохожим на избалованного херувима, каким
приблизительно в это же время он казался Норберту Винеру.
«Если бы не Ландау,— просто сказал Зигель,—
я мог бы умереть».
Однако, когда в 1919 году Зигель приехал
студентом в Гёттинген, он работал почти в полной изоляции.
«Я очень стремился показать, на что я способен». У не-
212
го не было личных контактов с Гильбертом, но он на
всю жизнь запомнил одну его лекцию по теории
чисел, которую он слышал в то время. Гильберт хотел
привести своим слушателям характерные примеры
теоретико-числовых проблем, представляющихся на
первый взгляд совсем простыми, но решение которых
оказывается невероятно трудным. Он упомянул в
качестве такого типа проблем гипотезу Римана, теорему
ферма и проблему трансцендентности числа 2^
(составляющую седьмую из его парижских проблем).
Затем он продолжил, сказав, что недавно обнаружился
большой прогресс, связанный с гипотезой Римана, ион
очень надеется, что сам доживет до ее доказательства.
Проблема Ферма стоит уже давно и явно требует
совершенно новых методов для своего решения,— быть
может, самому молодому слушателю в аудитории
удастся дожить до ее решения. Что же касается числа
2^2, то ни один из присутствующих на лекции не
доживет до доказательства его трансцендентности!
Две первые из упомянутых Гильбертом проблем
не решены до сих пор. Однако десять лет спустя один
молодой русский математик по фамилии Гельфонд
установил трансцендентность числа 2^—2.
Основываясь на его работе, Зигель сам вскоре доказал
требуемую трансцендентность числа 2^.
Зигель написал Гильберту об этом доказательстве.
Он напомнил ему то, что он сказал на лекции в 1920
году, и подчеркнул, что важнейшим моментом здесь
была работа Гельфонда. Гильберта часто критиковали
за то, что «он ведет себя так, как будто все сделано в
Гёттингене». Теперь он с крайним восторгом ответил
на письмо Зигеля, даже не упомянув о достижении
молодого русского математика. Он хотел опубликовать
только решение Зигеля. Но тот отказался, уверенный,
что Гельфонд сам, в конце концов, решит и эту
проблему тоже. Гильберт сразу же потерял всякий интерес
к этому делу.
После семестра, проведенного в Гамбурге с Гекке,
который был там профессором, Зигель вернулся в
Гёттинген в качестве ассистента Куранта и позже стал
приват-доцентом. Получаемый им заработок был столь
малым, что Курант, чтобы иметь себе компаньона в
213
велосипедных прогулках, должен был устроить ему
дополнительную стипендию, на которую тот смог
купить себе велосипед.
Куранту доставляло удовольствие знакомить
Клейна и Гильберта с одаренными молодыми людьми.
Именно благодаря ему Зигель впервые вошел в личный
контакт со знаменитыми математиками Гёттингена. Из-за
послевоенной нехватки жилья он некоторое время жил
в доме Клейна. Но даже живя с ним под одной крышей,
он чувствовал дистанцию, обычную для каждого, кто
общался с Клейном. Он постоянно боялся, что
«скажет что-нибудь не то». Позже он был приглашен
Курантом поплавать в той части реки Лейне, которая
была отгорожена для факультета. Он встретил
Гильберта в маленьком сарайчике, в котором профессора
переодевались в купальные костюмы. Курант
представил его Гильберту, объяснив, что молодой Зигель
недавно нашел новое доказательство одной теоремы Гек-
ке, связанной с гипотезой Римана. Гильберт встретил
это с большим энтузиазмом. «Ему всегда нравилось
внушать молодым людям, что они далеко пойдут».
В купальне Зигель не чувствовал с Гильбертом того
стеснения, которое он испытывал в доме Клейна.
Вскоре после этой встречи с Гильбертом Курант
попросил Зигеля прорецензировать одну работу для
Annalen, одним из главных редакторов которого все
еще был Гильберт. Молодой человек нашел работу
неточной во многих местах, и даже там, где было все
верно, ее методы были слишком сложными. Он
доложил Гильберту, что, по его мнению, работа не
годилась к публикации.
«Нет, нет, я должен ее опубликовать! —
настаивал Гильберт.— В 1910 году этот человек был членом
комитета, присудившего мне премию Бояи, и теперь
я просто не могу отказаться опубликовать его работу!
Возьмите ее и исправьте все, что должно быть
исправлено. Но я должен ее опубликовать!»
Работа появилась в исправленном варианте в An-
nalen. Спустя несколько месяцев, когда Зигель считал,
что Гильберт забыл об этом деле, в его комнаты была
доставлена посылка. В ней он нашел два тома
собрания трудов Минковского с падписью: «С дружескими
мыслями от издателя».
214
Один из самых продуктивных математических
кругов и послевоенном Гёттингене концентрировался
вокруг Эмми Иётер. Должность приват-доцента, которой
она добивалась, была наконец получена в 1919 году.
Это была все еще самая низкая ступенька в
университетской карьере, не должность, а просто
привилегия. Однако Эмми Нётер была в восторге от этого
назначения. За тринадцать лет, прошедшие с тех пор,
как она держала свой докторский экзамен перед Гор-
даном, она прошла большой путь. Уже были получены
важные результаты о дифференциальных инвариантах,
которые, по мнению советского математика Павла
Александрова, были достаточны, чтобы составить ей
репутацию первоклассного математика, и
представляли собой «едва ли меньший вклад в математическую
науку, чем знаменитые исследования Ковалевской». Сама
же она всегда считала эти работы стоящими в стороне
от ее главного научного путц — построения
аксиоматической основы самой общей теории идеалов. Истоками
этой последней работы послужили ранние
алгебраические труды Гильберта, однако в руках Нётер
аксиоматический метод перестал быть «лишь методом
логического прояснения и углубления оснований [чем он
был для Гильберта], а стал мощным орудием
конкретных математических исследований». Портрет Гордана
все еще висел над ее столом в Гёттингене, но, хотя в
годы своей молодости она и находилась под столь
сильным его влиянием, что в конце своей диссертации
привела список полной системы инвариантов для
заданной тернарной квартики, содержащий более трехсот
форм в символической записи (работа юности, о
которой она позже отзывалась как о Formelgestrupp! —
джунглях формул), в следующее десятилетие ей было
предназначено сделать «теологию» Гильберта похожей
на математику.
В 1922 году она стала «nicht beamteter ausser-
ordentlicher Professor» (неофициальный
экстраординарный, или ассистент-профессор). Никаких
обязанностей с этой должностью не связывалось, как не
связывалось с ней и никакого жалованья. Считалось, что
экстраординарный профессор стоит намного ниже по
рангу, чем ординарный профессор. Единственным
объяснением названия этой должности служит одно гёт-
215
тингенское изречение: «Экстраординарный профессор
не знает ничего ординарного, а ординарный профессор
не знает ничего экстраординарного». Однако к этому
времени инфляция настолько снизила способности
студентов платить за обучение, что для того, чтобы не
дать приват-доцентам умереть с голоду, университету
пришлось выплачивать им небольшие суммы за чтение
лекций по их специальности. Такой «Lehrauftrag»
по алгебре был присужден и Эмми Нётер. Это было ее
первым и единственным жалованьем, когда-либо
полученным в Гёттингене.
В целом ни она сама, ни ее работа не получили
признания на родине. Она даже так и не была выбрана
в члены Гёттингенского научного общества. «Настало
время выбирать в это общество действительно стоящих
людей,— заметил однажды Гильберт на одном
заседании.— Да, и сколько же мы выбрали таких людей за
последние годы?». Он внимательно оглядел аудиторию.
«Только нуль,— наконец сказал он,— только нуль!»
Один голландец, придя первый раз на одну из
лекций Эмми Нётер, вспоминает ее приветствие: «А, еще
один иностранец! У меня одни иностранцы!». Однако
среди пришедших к ней иностранцев были такие люди,
как ван дер Варден из Голландии, Артин из Австрии,
Александров из России.
Именно Александров окрестил ее «der Noether
(der — определенный артикль, который в немецком
языке ставится перед существительными мужского
рода). Однако позже он сказал: «Женственность ее
психики проявлялась в том мягком и тонком лиризме,
который лежал в основе широко разветвленных, но
никогда не поверхностных отношений, связывавших ее
с людьми, с ее делом, с интересами всего человечества1)».
Она не была хорошим лектором, и количество ее
слушателей колебалось, как правило, от пяти до десяти
человек. Хотя однажды, придя в назначенный час,
она нашла более сотни студентов, ожидавших ее. «Вы,
должно быть, ошиблись аудиторией»,—сказала она им.
Однако студенты устроили традиционное шумное
шарканье ног, которое вместо аплодисментов начинало и
х) П. С. Александров, Памяти Эмми Нётер, УМН,
вып. 2 (1936), стр. 265.
216
оканчивало каждое занятие в университете. Тогда она
прошла вперед и прочитала свою лекцию такой
необыкновенно большой аудитории. Когда она кончила, один
из ее постоянных студентов, находившийся в зале,
передал ей записку. «Гости,— сообщал он,— поняли
лекцию так же хорошо, как и любой из ваших
постоянных слушателей».
Действительно, педагогическими талантами она не
обладала. Ее мысли были открыты только тем, кто
стремился к ним всей душой. Ее педагогический
подход, как и ее мышление, был целиком
концептуальным. Немецкие буквы, которые она писала на доске,
заменяли целые понятия. Ван дер Вардену казалось,
что «ее трогательные усилия прояснить эти понятия,
даже если перед этим она все выразила словами...
имели противоположный эффект». Однако из всех
представителей нового поколения в Гёттингеяе Эмми Нётер
суждено было оказать наибольшее влияние на
развитие математики.
В то время как различные круги математической
активности расходились от Куранта, Ландау и Эмми
Нётер, группа исключительно одаренных молодых
физиков собиралась вокруг Макса Борна, который (как и
Куранту, ему шел четвертый десяток) после войны
стал профессором теоретической физики. С самого
начала Борн задался целью организовать в Гёттингеяе
физический институт, аналогичный институту Зом-
мерфельда в Мюнхене. Когда такая возможность
появилась, он устроил переход своего лучшего друга
Джеймса Франка в Гёттинген в качестве профессора
экспериментальной физики. Это живо напоминало то, как в
1902 году Гильберт устраивал приглашение в
университет для своего друга Минковского. Но и до приезда
Франка в 1922 году в Гёттингене начали собираться
первые из замечательной плеяды студентов, осевших
там в двадцатых годах. Первыми ассистентами Борна
стали Вольфганг Паули и Вернер Гейзенберг.
После войны немецкие математики были оторваны
от больших международных съездов; но теперь вновь
казалось, что в Гёттингене постоянно работает
международный конгресс.
XX
БЕСКОНЕЧНОСТЬ!
Главным событием математической недели в Гёт-
тингене в двадцатых годах было регулярное заседание
Математического клуба.
Этот клуб был абсолютно неофициальной
организацией, не имевшей ни служащих, ни постоянных членов,
ни денежных средств. Любой интересующийся мог
прийти на собрание, хотя уровень математики в Гёт-
тингене был таков, что оно было всегда «предприятием
самого высокого класса». Иногда докладчиком был
какой-нибудь выдающийся гость, рассказывающий о
недавней работе, своей собственной или своего ученика.
Чаще же он принадлежал к гёттингенскому кругу —
был профессором, доцентом или студентом.
Способные молодые люди, впервые увидевшие на
этих заседаниях Гильберта в действии, поражались его
медлительности в понимании идей, которые они
«схватывали на лету». Он часто не понимал того, что хотел
сказать докладчик. Тот мог попытаться объяснить.
Другие также могли помочь ему в этом. Наконец,
казалось, что все присутствующие пытаются помочь
Гильберту понять.
«То, что мне удалось что-то сделать в математике,—
однажды сказал Гильберт Гаральду Бору,—
объясняется, на самом деле, тем, что я всегда находил все очень
сложным. Когда я читаю или когда мне что-то
рассказывают, мне почти всегда это кажется очень трудным и
практически невозможным понять. Тогда я не могу не
задать себе вопрос, а не может ли это быть проще.
И в некоторых случаях,— добавил он со своей все еще
простодушной улыбкой,— оказывалось, что это
действительно намного проще».
218
Некоторых молодых людей раздражало, что
драгоценное время тратилось на вопросы Гильберта; других
же очаровывало зрелище процесса мышления
Гильберта.
«Он не мог моментально схватывать и не
воспринимал сложных вещей в науке. Этим даром он не
обладал,—- объяснял Курант.— Ему нужно было
докапываться до сути вещей».
Доклады самого Гильберта в Математическом
клубе все еще служили высоким образцом простоты и
ясности. Его главным правилом для докладчика было
«только изюминки из кекса». Если вычисления были
сложными, он мог прервать докладчика словами: «Мы
здесь не для того, чтобы проверять правильность
выбранного знака». Если объяснение казалось ему
слишком очевидным, то он мог сделать замечание
докладчику: «Мы не в tertia» (tertia — уровень гимназии,
рассчитанный на учащихся от 12 до 14 лет). Грубость,
с которой он мог обрушиться на того, кто не
соответствовал его стандартам, была хорошо известна. Ряд
важных математиков Европы и Америки опасались
прочесть доклад в Математическом клубе Гёттингена.
Теперь Островскому иногда казалось, что Гильберт был
излишне груб с докладчиками — как будто он перестал
относиться с вниманием к проблеме жизни высшего
существа в окружении существ более низкого уровня.
Один молодой скандинавский математик, в наши
дни высокоуважаемый профессор, приехал в Гёттин-
ген, чтобы рассказать о своей работе, по мнению
Островского, «очень важной, красивой и очень трудной».
Гильберт слушал и, когда докладчик кончил, задал
только один вопрос: «И на что она годится?»
В другом случае он прервал докладчика словами:
«Мой дорогой коллега, я очень боюсь, что вы не
знаете, что такое дифференциальное уравнение».
Ошеломленный и взволнованный докладчик сразу же повернулся
и покинул собрание, направясь в соседнюю комнату,
которой была Lesezimmer. Все набросились на
Гильберта: «Право же вы не должны были так поступать».
«Но он действительно не знает, что такое
дифференциальное уравнение, — настаивал Гильберт.— И
теперь вы сами видите, что он пошел в Lesezimmer, чтобы
ознакомиться с этим».
219
Однажды докладчиком был молодой Норберт
Винер. Значение, которое он придавал этому докладу в
Гёттингене, отражается тем фактом, что много лет
спустя он посвятил этому более двенадцати страниц
своей автобиографии. После доклада Винера в
Математическом клубе, как обычно, все направились к
Der Rolms, где состоялся ужин. Там во время ужина
Гильберт в свободной манере начал распространяться
о выступлениях, которые ему довелось выслушать за
годы жизни в Гёттингене.
«Доклады, с которыми выступают в наши дни,
намного хуже, чем это было раньше. В мое время
сделать доклад было искусством. Люди долго готовились
к тому, что они хотели сказать, и их выступления были
хорошими. Теперь же молодые люди больше не в
состоянии сделать хорошего доклада. Особенно с этим
плохо у нас, в Гёттингене. Мне кажется, что самые
плохие доклады в мире делаются в Гёттингене. В этом
году они были особенно плохи. Были,— впрочем, нет,
я совсем не слышал хороших докладов. Недавно это
было совсем плохо. Но сегодня было исключение —».
Молодой «экс-вундеркинд» из Америки
приготовился выслушать комплимент.
«Сегодняшний доклад,— заключил Гильберт,— был
самым плохим из всех, когда-либо слышанных здесь».
Несмотря на это замечание (которое не было
упомянуто в автобиографии), Винер продолжал смотреть
на Гильберта как на «математика, каким я хотел бы
стать, сочетавшего необычайную силу абстракции с
житейским чувством физической реальности».
В начале двадцатых годов в Гёттингене еще
чувствовалось присутствие Клейна, напоминая скорее
солнце на закате, а не полуденное. Издание собрания его
трудов было завершено, каждая статья в нем
сопровождалась подробными примечаниями,
показывающими ее исторические истоки,— история математики
девятнадцатого века и его собственная научная
биография. Куранту казалось, что Клейн чувствовал, что его
жизнь была также завершена. Он продолжал
заниматься своихми проектами, например изданием своих
лекций по истории математики девятнадцатого столетия,
подготовленных за время войны, «сознавая однако,
что закончить это дело предстоит уже другим».
220
Когда какой-нибудь молодой математик не сразу же
брался развивать его идеи, Клейн гнал его со
словами: «Я старик. У меня нет времени ждать».
Весной 1925 года молодой Норберт Винер
отравился с визитом к Клейну.
«Великий человек сидел в кресле за столом, с
пледом на коленях. Он... нес на себе венец мудреца, а
произносимые им имена великих математиков прошлого
века превращались из отвлеченных авторов таких-то
и таких-то работ в живые человеческие существа.
Над самим Клейном время, казалось, больше не было
властно — вокруг него все дышало вечностью».
Двадцатые годы были «прекрасными годами» для
современной физики, которая почти магическими
темпами развивалась внутри треугольника, вершинами
которого были Кембридж, Копенгаген и Гёттинген.
Двадцатилетний Вернер Гейзенберг, все еще в шортах
цвета хаки — форме Молодежного движения,—
приехал в Гёттинген в 1921 году из Мюнхена. Он вспоминает,
что был «очень потрясен» числом молодых физиков,
занимавшихся одной конкретной проблемой, которая
интересовала тогда Гильберта,— «проблемой, которая
далеко превышала мои собственные познания в
математике и физике». Гильберт вернулся в последние годы
к своим идеям военного времени, относящимся к
теории относительности. Некоторое время, вспоминал
Вейль, в его кругу возлагались большие надежды на
единую теорию поля. Однако в целом в физике того
периода скорее чувствовался дух, а не сама личпость
Гильберта.
Начиная с 1922 года Гильберт перестал быть
физиком. Семинаром по строению вещества, который они
основали с Дебаем во время войны, теперь руководили
Борн и Франк. В различные периоды двадцатых годов
его участниками были Гейзенберг, Вольфганг Паули,
Роберт Оппенгеймер, К. Т. Комптон, Паскуаль
Йордан, Пауль Дирак, Лайнус Полинг, Фриц Хутерманс,
П. М. С. Блакетт и другие. Гильберт появлялся редко.
Его собственные достижения в физике были
разочаровывающими, «ни в коей мере не сравнимыми,—
как позже резюмировал Вейль,— с математическими
достижениями в любой из периодов его научной
карьеры». Аксиоматизация физики, бывшая его целью
221
с тех пор, как он впервые начал совместные
исследования с Минковским, все время ускользала от него.
Вейлю, который сам внес весомый вклад в
математическую физику, казалось, что «пестрота
эксперимента л ьных фактов, которые приходится принимать во
внимание физику, многообразна, их увеличение
происходит слишком быстро, а их значение и
относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический
метод смог найти здесь себе достаточно твердую опору;
разве что это возможно в каких-либо прочно
установившихся областях нашего физического знания.
Люди, подобные Эйнштейну или Нильсу Бору,
прокладывают свой путь в темноте к таким понятиям,
как общая относительность или структура атома.
При этом они основываются на опыте и интуиции,
которые отличны от тех, которыми пользуются математики,
хотя, без сомнения, и здесь математика является
важным ингредиентом».
Действительный вклад Гильберта в физику состоял
в тех математических методах, которые были созданы
в его работах по интегральным уравнениям, и в той
объединяющей роли, которую они сыграли. Когда в
конце 1924 года Курант опубликовал первый том своих
Методов математической физики, он поставил перед
заглавием наряду со своим также и имя Гильберта.
Это решение, писал Курант в предисловии,
объяснялось тем, что в этой книге была использована масса
материала из работ и лекций Гильберта, а также
надеждой, что она выражала дух Гильберта, «оказавшего
такое решающее влияние на математические
исследования и образование».
«Тот факт, что на титульном листе имя Гильберта
стоит рядом с именем Куранта, есть не просто акт
посвящения,— отмечал Эвальд в своей рецензии на эту
книгу в Naturwissenschaften.— Духом Гильберта веет
со всех страниц—тем стихийным духом, который
страстно желает полностью овладеть'простыми и ясными
истинами, оставляя в стороне тривиальности, и с
мастерской ясностью устанавливает связи между высшими
сферами знания,— духом, наполнившим научным
энтузиазмом поколения исследователей».
«Курант — Гильберт», как немедленно стала
называться эта книга, представляла огромный шаг впе-
222
ред по сравнению с предыдущей классической
литературой по прикладной математике. Фактически ничего
подобного до ее появления не существовало. В прошлом
физики-теоретики в основном получали свои
математические знания из работы Релея и других физиков.
Теперь они приветствовали «Куранта — Гильберта».
Гильберт продолжал держать ассистента,
информировавшего его о последних достижениях в физике.
Начиная с 1922 года эту обязанность исполнял Лотар
Нордхайм, который, как и другие ассистенты по
физике, был подобран для Гильберта Зоммерфельдом.
По мнению Нордхайма, в то время Гильберт еще
питал надежду достигнуть своей цели —
аксиоматизации физики. Однако своему ассистенту он уже не ка-
8ался легендарным «великим мыслителем». Он был уже
не тот. Казалось, что он живет в основном в прошлом,
с трудом воспринимая перемены, со многими
предубеждениями, с более выраженными чертами эгоизма.
«Он не мог представить себе большую честь для
молодого человека, чем быть его ассистентом». Нордхайм
же предпочел бы место в институте Борна. Работая
теперь с Гильбертом в его доме, он остро чувствовал
себя вне основного течения физики.
Однако, несмотря на эти признаки явно раннего
увядания, Гильберт продолжал поддерживать свои
близкие контакты с молодежью.
В то время как Нордхайм регулярно приходил в
дом Гильберта, другой молодой человек также был
частым его посетителем. Это был Джон фон Нейман,
работавший в Берлине вместе с Эрхардом Шмидтом,
бывшим учеником Гильберта, который в начале века столь
значительно продвднул работу Гильберта по
интегральным уравнениям. Этот молодой человек был, по
крайней мере в одном отношении, прямой
противоположностью Гильберту. В то время как Гильберт был
«тугодум», фон Нейман, по словам Нордхайма, обладал
«самым быстрым мозгом, который я когда-либо
встречал». Он часто выражал мнение, что математические
способности начинают падать после 26 лет, но что
некоторая повседневная интуиция, накопленная с
опытом, позволяет компенсировать эту постепенную
потерю. (В течение своей собственной жизни он медленно
повышал этот предельный возраст.)
223
В 1924 году фон Нейману было 21 год, в это время
он глубоко интересовался подходом Гильберта к
физике и его идеями в теории доказательств. Оба
математика, отличаясь по возрасту более чем на сорок лет,
проводили вместе долгие часы в саду или в кабинете
Гильберта.
Однако настоящим сотрудником Гильберта был в те
дни Бернайс. Некоторым казалось, что Гильберт даже
эксплуатировал своего ассистента по логике. Бернайс
не был молодым студентом, а был сложившимся
математиком, в возрасте далеко за тридцать. Будучи
ассистентом Гильберта, он получал жалованье, и, кроме
того, сразу же после приезда в Гёттинген он защитил
хабилитацию и получал плату от студентов,
посещавших его лекции. На эти деньги он мог существовать,
но, разумеется, не мог позволить себе жениться.
Гильберт очень противился женитьбе молодых
ученых. Он считал, что женитьба будет им помехой для
выполнения своего долга перед наукой. Позже, когда
женился Вильгельм Аккерман, с которым они вместе
писали книгу, Гильберт был очень рассержен. Он и
далее отказался помогать чем-либо Аккерману для
достижения карьеры, и из-за этого молодой талантливый
логик так и не получил места в университете и должен
был пойти работать учителем в среднюю школу. Когда
несколько позже Гильберт услышал, что у Аккерманов
должен был вскоре появиться ребенок, он очень
обрадовался.
«О, это чудесно! — сказал он.— Это замечательная
новость для меня. Потому что если этот человек столь
безумен, что женился и даже заводит ребенка, то это
полностью освобождает меня от обязанностей чем-либо
помочь такому сумасшедп!ему».
Помимо подготовки к собственным лекциям,
Бернайс помогал Гильберту готовиться к его лекциям,
сопровождал его на них и часто доканчивал занятия со
студентами. Кроме того, ему приходилось руководить
учениками Гильберта, работавшими над докторскими
диссертациями, изучать и перерабатывать литературу,
необходимую для их работы, и посвящать много
времени написанию будущей совместной с Гильбертом
книги, которая должна была получить название Основы
математики. В Бернайсе Гильберт нашел человека
224
с такими же интересами к основаниям математики,
как и у него. Он не испытывал угрызений совести,
когда его ассистент трудился так же много, как и он.
«Гений есть трудолюбие»,— любил говорить он своим
студентам, цитируя Лихтенберга. Сам он был, как позже
вспоминал Вейль, «необычайно трудолюбив».
Временами они начинали довольно горячо спорить по
поводу оснований. Бернайс объяснял эмоциональную
окраску этих споров твердой «оппозицией», которую
занимал Гильберт в своих отношениях к математике.
«Для программы Гильберта,— рассказывал он,—
важное значение имел опыт раннего этапа его научной
деятельности, а на самом деле даже его студенческих
лет. Он проявлялся в его противоборстве стремлениям
Кронекера ограничить математические методы и, в
частности, теорию множеств. Под влиянием
обнаруженных парадоксов теории множеств Гильберт одно время
думал, что, быть может, Кронекер был прав. Но вскоре
он изменил свое мнение. Теперь его целью стало,
можно сказать, воевать против Кронекера его же
собственным оружием — средствами конечности, основываясь
на измененном содержании понятия математики...»
«Вдобавок, были еще две противоречащие друг
другу причины, обе игравшие важную роль в манере
мышления Гильберта. С одной стороны, он был уверен
в жизнеспособности существующей математики; с
другой стороны, его философское отношение было очень
скептическим».
Примером могло служить отношение Гильберта к
вопросу о разрешимости любой конкретной
математической проблемы. В Париже в решительных тонах
аксиомы он говорил о разрешимости любой
проблемы — «уверенность, которую разделяет каждый
математик, но которую до сих пор никто не подтвердил
доказательством». Он верил, что, по крайней мере,
в математике «не существует ignorabimus». Кроме того,
в Цюрихе он включил в список эпистемологических
вопросов, нуждавшихся, по его мнению, в
исследовании, вопрос о принципиальной разрешимости каждой
математической задачи. «Целью Гильберта,—объясняет
Бернайс,—было объединить все эти противоположные
тенденции, что он надеялся сделать с помощью
формализации математики».
225
Случалось, что в их общей работе возникали
разногласия, однако, как признавал Бернайс, как бы ни
был Гильберт горяч в спорах, они никогда не
принимали личный характер.
После окончания работы Гильберт и Бернайс часто
спорили о политике. Гильберту нравилось выражать
свои взгляды в крайне парадоксальной форме.
Считаясь в основном консервативным, он удивил
всех своим предложением наградить Кете Кольвиц,
известную своими крайне левыми взглядами, Звездой
ордена «Заслуги за мир». Кольвиц стала к тому
времени одной из величайших художниц за всю историю
искусства. («Я никогда не видел таких рисунков,
принадлежащих руке женщины»,—говорил скульптор
Константин Менье.) В искусстве она выражала свое
сочувствие страданиям человечества.
«Конечно, на то, что она рисует, страшно смотреть,—
сказал Гильберт своим друзьям, награжденным
Звездой.— Но когда в Кенигсберге мы часто танцевали в
дни молодости, она была одной из первых девушек,
танцевавших без корсета».
Несмотря на свою консервативную основу, Гильберт
был всегда либерален в том отношении, что никогда не
считал себя привязанным к какой-нибудь
определенной политической доктрине. В спорах со своим
ассистентом он часто критиковал «либералов» за то, что они
видят вещи такими, какими они хотят их видеть, а не
такими, какие они есть на самом деле.
«Иногда случается,— говорил он,— что кругозор
человека становится все уже и уже, и, когда его радиус
стремится к нулю, он сводится к одной точке. Тогда
она становится его точкой зрения».
Он любил напоминать своему молодому ассистенту:
«Человечество никогда не меняется».
Музыка часто вносила мир в их споры на
политические или логические темы. Бернайс любил музыку
и в Цюрихе играл в «четыре руки» с Гурвицем. Он был
поражен, насколько за эти годы повысились
музыкальная культура и восприятие Гильберта. Этим он был
обязан своей любви к граммофону, последние модели
которого до сих пор регулярно доставлялись ему все
тем же промышленником. Теперь он присоединился
к компании профессоров, которые вместе со своими же-
226
нами регулярно посещали концерты в Гёттингене,
а в случае особых музыкальных событий Вхместе ездили
в Лейпциг или Ганновер.
Иногда казалось, что из всех видов искусства
Гильберта интересует только музыка. Все же он увлекался
литературой и, как говорил Курант, «хотел быть в
курсе дела». Он высоко ценил Гёте и Гомера, а в
романах требовал больше действия. Одна из его «пассий»
однажды взялась за его литературное образование.
Она начала с того, что дала ему один исторический
роман о гражданских войнах в Швейцарии, описывавший
довольно кровавые события. Гильберт его быстро
прочитал. «Если мне дают читать книгу,— сказал он,—
то в ней действительно должно что-то случаться.
Описывать состояние души и смену настроений — это я
могу и сам!»
Существует один анекдот, в большой степени
проливающий свет как на его отношение к литературе, так
и его чувства к математике. Некий математик стал
романистом. «Почему он занялся этим? — изумлялись в
Гёттингене.— Как может человек, бывший
математиком, писать романы?» — «Но это же совсем просто,—
сказал Гильберт.— Для математики у него недоставало
воображения, в то время как его вполне хватило на
романы».
Собственное математическое воображение Гильберта
было в то время направлено на теорию доказательства.
В 1917 году в Цюрихе он объявил общую идею и цели
этой теории, не упомянув про ее методы. «И
действительно,— позже заметил Бернайс,— современные
математические методы не подходили для этой теории».
В первом сообщении на эту тему (атака на Брауэра и
Вейля в Гамбурге в 1922 году) Гильберт высказал мысль,
что математика могла бы восстановить первоначальную
объективность на основе формализации своих
утверждений и доказательств, которые, будучи записанными на
языке символической логики, должны были браться
за непосредственные объекты изучения. В том же году
в Лейпциге он добавил дальнейшие разъяснения,
сводившие эту проблему к доказательству
непротиворечивости формализованной арифметики — задаче,
которую он поставил перед новым столетием в 1900 году
в Париже.
227
«Таким образом, казалось,— позже писал Бер-
найс,— что создание теории доказательств было лишь
делом математической техники».
На собрании в Мгокстере, посвященном памяти
Вейерштрасса, Гильберт решил выступить с речью
«О бесконечном». Он чувствовал, что это было
подходящим поводом для ознакомления публики с теперешним
состоянием его программы формализма. Анализ
Вейерштрасса и понятие бесконечности, появившееся в
работе Кантора, были главными объектами нападок
Кронекера. В современной программе Брауэра
многими из достижений Вейерштрасса и Кантора
необходимо было пожертвовать.
Во время своего выступления в Мюнстере Гильберт
чувствовал себя не совсем здоровым. Незадолго до
этого выяснилось, что ухудшение его состояния,
отмеченное Нордхаймом, не объяснялось только возрастом,
а служило признаком еще не опознанной болезни. Тем
не менее, несмотря на плохое здоровье, Гильберт
говорил с обычным для него энтузиазмом и оптимизмом.
Свой доклад он начал с указания на то, что
теперешнее «счастливое положение дел» в анализе обязано
исключительно Вейерштрассу, который столь
проникновенно критиковал его методы. И тем не менее —
споры об основаниях анализа продолжаются и поныне.
По его мнению, это объяснялось тем, что смысл
используемого в математике понятия «бесконечность» до сих
пор не был окончательно выяснен.
Для бесконечности не находилось места в
действительном мире, хотя, по его мнению, она вполне
реально существует в виде «всеобщего отрицания». С
незапамятных времен идея бесконечности, как ничто
другое, возбуждала человеческое воображение. Поэтому
он чувствовал, что полное прояснение ее природы
представляло отнюдь не чисто специальный научный
интерес — оно было необходимо для утверждения величия
самого человеческого интеллекта!
Самое глубокое для того времени проникновение в
природу бесконечного было связано с теорией, имевшей
больше философский, чем математический, характер.
Это была созданная Георгом Кантором теория множеств.
«Я считаю, что она представляет собой высочайшее
проявление математического гения,— сказал Гиль-
228
берт,— а также одно из самых высоких достижения
чисто духовной деятельности человека».
Тем не менее именно в теории множеств Кантора
начали появляться катастрофические противоречия,
вызванные употреблением определений и дедуктивных
методов, общепринятых в математике.
«... Теперешнее состояние дел... невыносимо.
Только подумайте, понятия и дедуктивные методы, которые
все изучают, преподают и используют в математике,
являющиеся образцом истины и безупречности, ведут
к противоречиям! Если математическое мышление не
совершенно, то где же еще искать истину и
уверенность?»
Однако существует «вполне удовлетворительный
способ избежать парадоксов теории множеств,
оставаясь верным нашей науке». Математики должны
установить внутри математики такой же порядок в своих
выводах, какой существует в обычной арифметике
целых чисел, «в которой никто не сомневается и где
парадоксы и противоречия возникают только из-за
собственной небрежности».
Однако если пытаться оставаться в пределах таких
чисто интуитивных и финитных утверждений — к чему
и надо стремиться,— то нам придется воспользоваться
более сложными правилами логики. Те правила,
которым нас учил Аристотель и которыми пользуется
человек с самого рождения, перестанут выполняться.
«Конечно, мы могли бы изменить логические законы,
справедливые для финитных утверждений. Однако...
мы не хотим отбрасывать простые правила
аристотелевой логики... Что же тогда делать?»
«Вспомним же, что мы математики и, как таковым,
нам часто случалось оказываться в опасных ситуациях,
из которых мы выбирались с помощью изобретательного
метода введения идеальных элементов... Аналогично
этому, чтобы сохранить простые формальные правила
аристотелевой логики, мы должны добавить к
финитным утверждениям идеальные утверждения».
С этой точки зрения математика станет набором
формул двух сортов: первые будут нести осмысленную
информацию, остальные ничего не будут обозначать,
кроме того, что они представляют собой идеальную
структуру теории.
229
«Однако в нашей общей радости от этого
достижения и особенно от вновь обретенного незаменимого
орудия, логического исчисления, мы не должны забывать
существенного требования метода идеальных
элементов — доказательства непротиворечивости».
В самом деле, добавлять идеальные элементы
можно только тогда, когда это не вызывает появления
противоречий.
С этой проблемой непротиворечивости можно было
бы «легко справиться». По его мнению, это можно было
бы сделать с помощью чисто интуитивных и финитных
методов, тех же самых, с помощью которых добиваются
результатов в элементарной теории чисел. Эта точка
зрения гарантировала бы законность применяемого
математического аппарата. Затем проверкой теории
послужила бы ее способность решать старые проблемы,
для чего она непосредственно не предназначалась. В
качестве примера он упомянул проблему континуум-
гипотезы Кантора, включенную первой в список
парижских проблем. Остаток своей речи он посвятил
набробку подхода к этой знаменитой проблеме.
«Никто,— обещал он своим коллегам-математикам,—
не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором!»
XXI
ПОДАРЕННАЯ ЖИЗНЬ
В один из тихих теплых вечеров июня 1925 года
умер Феликс Клейн.
Уже задолго до этого в Гёттингене все были
готовы к его смерти.
«Однако, свершившись, это событие глубоко всех
взволновало и сильно подействовало на нас,— сказал
Гильберт в маленькой речи, которую он произнес перед
своими коллегами на следующее утро.— До вчерашнего
дня Феликс Клейн был еще с нами, мы могли зайти к
нему в гости, выслушать его совет, убедиться в том,
как живо он интересовался нашими делами. Теперь
ото все кончилось».
Все, что их окружало в Гёттингене, было делом рук
Клейна — коллекция математических моделей в
соседнем коридоре, Lesezimmer с книгами на открытых
полках, многочисленные технические институты,
выросшие вокруг университета, хорошие
взаимоотношения с министерством образования, большое количество
важных людей в деловом и промышленном мире,
заинтересованных в них... Они потеряли «великий дух,
сильную волю и благородный характер».
Окончилась целая эпоха.
Спустя несколько месяцев, на мемориальном
заседании Гёттингенского научного общества, Курант
напомнил драматическую жизнь великого Феликса —
скромное начало, эффектные достижения («Если
сегодня мы можем основываться на работах Римана,
то в этом всецело заслуга Клейна»), трагический срыв
п затем — «удивительный поворотный пункт» —
человек, который казался сломленным, прожив еще 43
года, проявил себя с самых разнообразных сторон: как
исследователь, педагог, организатор п администратор.
231
И все же жизнь Клейна была не лишена личной
трагедии. Он обладал способностью необычайной силы
к синтезирующему мышлению. Другая же важная для
математики способность к анализу была в некоторой
степени этим даже ущемлена. Его умение собирать
воедино наиболее далекие друг от друга абстрактные части
математики было замечательным, однако способность
к формулировке отдельной проблемы и к углублению
в нее отсутствовала. «Он был похож на летчика,
который, высоко паря над миром, открывает и оглядывает
новые поля... однако не может посадить свой самолет,
чтобы освоить их, засеять и снять урожай». Может
быть, сам Клейн и не отдавал себе отчета в налички
этого глубокого раскола, но, по мнению Куранта, это
служило одной из причин решающего срыва,
случившегося с ним во время соперничества с Пуанкаре.
Безусловно, он сознавал, «что его самые блестящие
научные достижения являлись основополагающими
гигантскими набросками, завершение которых он
предоставлял другим».
Иногда ему не удавалось сохранять чисто
человеческие взаимоотношения. «Многие, знавшие его только
как организатора... находили его слишком резким и
вспыльчивым, чем он создавал большие трудности для
претворения в жизнь своих идей... чего легко можно
было бы избежать более обходительным отношением».
Однако его ближайшие родственники и коллеги,
а также большинство его учеников знали, что за его
несгибаемым природным упорством всегда стояла
добрая человеческая душа.
На его могиле они оставили простую надпись:
«Феликс Клейн, Друг, Искренний и Неизменный».
В тот же год, когда умер Клейн, вышел в отставку
Рукге; его место занял Густав Герглоц.
Состояние здоровья Гильберта постоянно
ухудшалось. Осенью 1925 года, наконец, было определено,
что он страдает злокачественной анемией. Болезнь,
которая, как правило, считалась неизлечимой, была
обнаружена так поздно из-за того, что ее первые
симптомы часто принимались в этом возрасте за признаки
раннего упадка сил. Теперь врачи давали ему, в
лучшем случае, несколько месяцев, а может быть недель,
жизни.
232
Несмотря на зтот диагноз, Гильберт оставался
оптимистически настроенным относительно своего
состояния. Он убеждал всех, что на самом деле у него не было
злокачественной анемии, а была какая-то другая,
менее серьезная болезнь, имеющая просто те же
симптомы.
Гильберту исключительно повезло в том, что в
начале 1925 года Уипл и Робшайт-Роббинс обнаружили
плодотворное влияние сырой печени на восстановление
крови, а в 1926 году Майнот в Америке применил их
работу для лечения злокачественной анемии. Один
фармаколог, друг Гильберта, случайно прочитал в
Журнале Американской медицинской ассоциации о
работе Майнота и показал эту статью Гильберту.
Кроме описания нового лечения, подчеркивая, что оно
находится все еще в экспериментальной стадии, она живо
описывала смертельную опасность «3. А.». Однако
Гильберт, читая эту статью, полностью игнорировал
ее угрожающие детали. Он сосредоточился только на
надеждах, вызванных работой Майнота.
Госпожа Ландау была дочерью Пауля Эрлиха,
открывшего сальварсан — «волшебную пулю» в борьбе
с сифилисом. Она имела много связей в медицинском
мире. С помощью Куранта она направила длинную
телеграмму Майноту, находившемуся в Гарварде.
«Это была самая длинная телеграмма, которую я
когда-либо посылал»,— говорил Курант. Одновременно
другая телеграмма была послана Оливеру Келлогу,
который в 1902 году первым из учеников Гильберта
защитил докторскую диссертацию по интегральным
уравнениям. Теперь, будучи профессором в Гарварде,
Келлог организовал среди математиков поддержку
просьбы из Гёттингена.
Поначалу Майнот и его сотрудники были не очень
восприимчивы к этой просьбе. У них было слишком мало
готового препарата для того, чтобы снабдить им
больного до конца его жизни. Люди умирали от
злокачественной анемии за несколько миль от Гарварда...
Джордж Биркгофф, ведущий американский
математик и также профессор Гарвардского университета,
недавно посмотрел пьесу, в котюрой одному врачу была
дана возможность спасти ровйо 10 человек. Кого он
должен был включить в это число? «По признаку
233
их пользы для человечества» — таково было мнение
драматурга. В разговоре с Майнотом Биркгофф
упомянул про Диллему врача Джорджа Бернарда Шоу.
Математика делает математиков упорными. Майнот
сдался. Гёттпнгенскому фармакологу была послана
инструкция для приготовления большого количества
сырой печени, которая будет служить для лечения до
тех пор, пока из Соединенных Штатов не придет более
концентрированное экспериментальное лекарство. Кон-
дон, посетивший Гёттинген летом 1926 года, слышал,
как Гильберт жаловался, что лучше умереть, чем есть
так много сырой печени.
Однако наконец-то прибыло лекарство Майнота.
По-видимому, на такой поздней стадии было
невозможно полностью остановить развитие болезни, однако
в Гёттингене все заметили, что состояние Гильберта
почти сразу же стало улучшаться. В течение всей своей
болезни он продолжал работать, насколько хватало
сил; при этом, если чувствовал себя не в состоянии
идти в университет, то устраивал лекционный зал из
своей столовой. Теперь, когда один бывший студент
осведомился о его здоровье, он твердо сказал: «А, эта
болезнь — да она больше не существует».
Годы 1925 и 1926 явились «Wunderjahre»1) того,
что в Гёттингене называли «физикой мальчиков», ибо
так много великих открытий было сделано физиками в
возрасте до тридцати лет. В начале 1925 года к Борну
приехал Гейзенберг с какой-то казавшейся
таинственной математикой, которая впоследствии развилась
в созданную им новую теорию квантовой механики.
Гейзенберг полагал, что это единственное в его теории,
что нуждается в исправлении. В действительности же
именно она явилась его великим открытием. Борн
сразу же узнал в этой странной математике матричную
алгебру, эачатки которой существовали еще более
чем за три четверти века до того в теории кватернионов
Вильяма Ровена Гамильтона.
В матричной алгебре умножение не коммутативно:
а X Ъ не равно b x а, являясь чем-то совершенно
отличным от Ъ X а. До работы Гейзенберга матрицы
редко использовались физиками; правда, исключением
х) Чудесными годами {нем.).
234
была одна ранняя работа Борна по теории
кристаллических решеток. Однако даже Борну пришлось теперь
проконсультироваться о некоторых свойствах матриц
со своим старым другом Отто Тёплицем и
порадоваться тому, что в его распоряжении находился новый
ассистент Паскуаль Йордан. С последним он случайно
познакомился в вагоне поезда, когда Йордан, услышав
его разговор с попутчиком о матрицах, поспешил
представиться ему. Йордан был одним из
помощников Куранта при подготовке «Куранта — Гильберта»
и поэтому был хорошо знаком с матричной
алгеброй.
Ровно через 60 дней после работы Гейзенберга
появилась великая работа Борна — Йордана, в которой
давались необходимые и строгие математические
основы новой матричной механики. В следующем году
появилась знаменитая статистическая интерпретация
Борна, за которую он позже был удостоен Нобелевской
премии.
Гильберт никогда не проникал так глубоко в
квантовую механику, как в теорию относительности, тем
не менее он потребовал, чтобы его ассистент по физике
обучил его новой теории.
«Как правило, он пытался прочитать курс лекций
по тому, что он изучал,—говорит Нордхайм.— Это
был человек, которому было трудно понимать других.
Он всегда должен был проработать все сам.
По-видимому, это было для него единственной возможностью
добиться настоящего понимания. И когда появлялась
новая теория, он пытался организовать курс лекций
по ней. Обычно в них частично включался старый
материал, так как ничто не рождается только из самого
себя. Для нового материала мы должны были наметить
план. После этого он пытался облечь новые идеи в
свои собственные слова».
Весной 1926 года Гильберт объявил о своих
первых лекциях но квантовой механике. Нордхайм
вспоминает, как ему приходилось «с довольно большими
усилиями» извлекать для Гильберта, все еще плохо
себя чувствовавшего, самое существенное из работ
Борна и его сотрудников.
«Разумеется, он много знал о матричной алгебре,
дифференциальных уравнениях и прочем, а все эти
235
вещи составляют математический аппарат квантовой
механики. Это облегчало мою работу. Я приходил к
нему домой два или три раза в неделю, как и
требовалось, и мы обсуждали общие вопросы. Затем он мог
спросить о каких-нибудь непонятных местах в работе
или о выводе формул в каком-нибудь конкретном
приложении. В следующий раз мы говорили об этом
снова — все ли было правильно и понятно».
За матричной алгеброй Гейзенберга вскоре
последовала волновая механика Эрвина Шрёдингера. Обе
работы, хотя и посвященные одной и той же теме и
приводившие к одинаковым результатам, удивили физиков
тем, что, как один из них с изумлением отмечал, «они
исходили из абсолютно разных физических
предположений, использовали совершенно разные
математические методы и казались не имеющими отношения
друг к другу».
Однако вскоре эквивалентность теорий Гейзенберга
и Шрёдингера была установлена.
Все это развитие, по словам Кондона, «очень
рассмешило» Гильберта:
«... Когда [Борн, Гейзенберг и другие
физики-теоретики из Гёттингена] впервые открыли матричную
механику, у них были, конечно, затруднения, возникающие
у каждого, кто вычисляет с матрицами и вообще
решает с их помощью серьезные проблемы. Поэтому они
обратились за помощью к Гильберту, который сказал,
что каждый раз, когда ему приходилось иметь дело с
матрицами, они возникали в качестве побочного
продукта собственных значений краевой задачи для
дифференциального уравнения. Поэтому, если вы попробуете
поискать дифференциальное уравнение, связанное с
этими матрицами, то, может быть, получите что-то
новое. Они сочли это бестолковой идеей, решив, что
Гильберт не понимал, о чем говорил. После этого он
очень веселился, когда указал им, что они могли бы
открыть волновую механику Шрёдингера на шесть
месяцев раньше, если бы они хоть немного к нему
прислушались».
Благодаря своему почти фантастическому
выздоровлению Гильберт дожил до того, что было названо
«одним из самых драматических предвидений в истории
математической физики».
236
Книга Куранта — Гильберта по математической
физике, появившаяся в конце 1924 года до работ как
Гейзенберга, так и Шрёдингера, вместо того, чтобы
устареть из-за новых открытий, казалось, была
написана специально для нужд физиков, которым пришлось
иметь дело с этими открытияхми. Работы самого
Гильберта по интегральным уравнениям, теория
собственных функций и собственных значений 1903—1904 годов
и теория бесконечно многих переменных 1905—1906
годов оказались адекватной математикой для
квантовой механики (как это было впервые установлено
Борном в совместной работе с Гейзенбергом и
Йорданом).
«Косвенным образом Гильберт оказал сильнейшее
влияние на развитие квантовой физики в Гёттингене,—
писал позже Гейзенберг.— Полностью это мог
прочувствовать только тот, кто в двадцатые годы учился в
Гёттингене. Гильберт и его коллеги создали здесь
атмосферу математики, в которой все молодые
математики столь хорошо владели идеями гильбертовской
теории интегральных уравнений и линейной алгебры, что
лучшие работы в этой области могли быть созданы
только в Гёттингене. Особенно счастливым совпадением
явилось то, что математические методы квантовой
механики явились непосредственным приложением
гильбертовской теории интегральных уравнений...»
Для самого Гильберта это послужило еще одним
примером той предустановленной гармонии, которую
олицетворяла и воплощала, по его мнению,
математическая мысль.
«Я развил свою теорию бесконечно многих
переменных из чисто математических интересов,— восхищался
он,— и даже назвал ее «спектральным анализом»,
абсолютно не подозревая, что позже она найдет
применение в" настоящих спектрах физики».
Дальнейшее развитие событий также пе оставило
равнодушным Гильберта, так как оно подчеркивало
преемственность математических достижений.
Созданная Гильбертом теория бесконечно многих переменных,
ставшая известной как теория «гильбертовых
пространств», в некоторых отношениях оказалась теперь
не совсем адекватной для применений в квантовой
механике. Тогда молодой Джон фон Нейман, вдохновлен-
237
ный Эрхардом Шмидтом, сумел сделать более абстракт
ным гильбертовское понятие квадратичной формы и
тем самым расширил теорию Гильберта, сделав ее
полностью применимой для нужд физиков.
Последней публикацией Гильберта по физике была
совместная работа с Нордхаймом и фон Нейманов по
аксиоматическим основам квантовой механики. Хотя
она почти и не содержала его собственных
результатов, в ней чувствовался вполне определенный
отпечаток духа Гильберта. Содержащаяся в этой работе
попытка аксиоматизации оказалась не совсем строгой с
математической точки зрения, тем не менее она
помогла фон Нейману познакомиться с квантовой механикой
и вдохновила его в дальнейшем на создание своего
знаменитого анализа основ этого предмета.
В 1927 году Нордхайм покинул Гёттинген и
специальным ассистентом Гильберта по физике стал
Евгений Внгнер. Он вспоминал, что видел Гильберта «всего
около пяти раз». Когда в 1928 году Вигнер уехал, его
место занял Арнольд Шмидт, в то время еще студент.
Должность Вигнера была заменена на должность
второго ассистента по логике. Слушая лекцию Шрёдингера
о новой физике в 1928—1929 годах, Гильберт жаловался
своему бывшему студенту Паулю Функу: «Я не
представляю, как может кто-нибудь понимать, что сейчас
происходит в физике. Даже я не понимаю многого из
того, что хотел бы почерпнуть из физических книг.
Правда, если я чего-нибудь не понимаю, то могу взять
телефон, позвонить Борну или Дебаю, они приходят
и объясняют мне. После этого мне становится понятно.
Но как же обходятся остальные?»
Сам он после своей болезни был по-прежнему
глубоко погружен в работу по основаниям математики.
Энтузиазм к интуиционизму Брауэра начал
заметно ослабевать. Брауэр приехал в Гёттинген для того,
чтобы выступить в Математическом клубе с докладом
о своих идеях.
«Вы говорите, что мы не можем знать, может ли
десятичное разложение числа я содержать десять
девяток подряд,— возразил кто-то после того, как Брауэр
кончил.— «Может быть, мы и не знаем, зато бог знает!»
На это Брауэр сухо ответил: «Я не держу прямой
связи с богом».
233
По окончании оживленной дискуссии встал,
наконец, Гильберт.
«С вашими методами,— сказал он Брауэру,—
большую часть математики пришлось бы выкинуть, а для
меня важно получать не меньше, а больше результатов».
Он уселся под гром аплодисментов.
Чувства большинства математиков хорошо высказал
Ганс Леви, который, будучи приват-доцентом,
присутствовал на докладе Брауэра в Гёттингене:
«По-видимому, есть математики, которые лишены
чувства юмора или же имеют обостренное чувство
совести. Мне кажется, что я вполне разделяю точку
зрения Гильберта. Если нам суждено пережить такие
потрясения, о которых говорил Брауэр, то никто
больше не захочет стать математиком. В конце концов,
математика представляет собой вид человеческой
деятельности. До тех пор пока Брауэр не найдет
противоречия в классической математике, никто не захочет его
п слушать».
«Именно по этому пути, по моему мнению,
развивалась логика. Имеются некоторые принципы, потом
замечают, что они могут привести к противоречию, тогда
их изменяют. Я думаю, что так будет всегда. Где-то
может скрываться масса противоречий, и, как только они
проявятся, все математики захотят от них избавиться.
Однако до этих пор мы будем придерживаться тех
принципов, которые позволят нам двигаться с наибольшей
скоростью».
Однако программа Гильберта также подверглась
критике. Некоторым математикам не нравилось то,
что в своем формализме он свел их науку к
«бессмысленной игре с бессмысленными символами на бумаге».
Однако тем, кто был знаком с работой Гильберта, эта
критика казалась необоснованной.
«... Действительно ли заслуживает доверия такая
оценка взглядов Гильберта, — спрашивал Харди, —
человека, который, вероятно, больше кого-либо из
математиков своего времени добавил к содержательной
математике столь богатый и красивый комплекс
результатов? Я могу согласиться с тем, что философия
Гильберта сколь угодно несовершенна, однако не с
тем, что созданная им математическая теория с далеко
идущими намерениями смешна или тривиальна, Не-
239
возможно предположить, что Гильберт отрицает
значимость и реальность математических понятий, и мы
имеем тому самые надежные подтверждения. Он сам
говорит, что ,,аксиомы и доказуемые теоремы,
возникающие в нашей формалистической игре, являются
образами идей, составляющих основной предмет обычной
математики''».
К 1927 году Гильберт чувствовал себя достаточно
хорошо, чтобы снова отправиться в Гамбург,
«прокатиться и высказать мои идеи по поводу оснований
математики, которые я уже однажды, пять лет назад, здесь
высказывал и которые чрезвычайно занимали меня с
тех пор». По-прежнему его основной целью было «раз
и навсегда» избавиться от любого вопроса,
подвергающего сомнению основания математики. «Я верю,—
сказал он,— что моя теория доказательства позволит
мне достичь окончательной цели, хотя для ее полного
развития предстоит еще немало сделать».
В этой речи он ответил на различные критические
высказывания о его программе: «каждое из которых я
считаю столь несправедливым, насколько это вообще
возможно». Он даже вспомнил замечания Пуанкаре,
высказанные им в своей гейдельбергской речи. «К
сожалению, Пуанкаре, самый плодовитый и богатый
идеями среди математиков своего поколения, имел
определенное предубеждение к теории Кантора, не
позволившее составить справедливое мнение о
великолепных понятиях, введенных Кантором». Что касается
самых последних исследований, большую часть которых
занимает программа Брауэра, то «тот факт, что
исследования оснований снова вызывают такой живой
интерес и приобретают столь важное значение, безусловно,
доставляет мне большое удовольствие. Однако когда я
раздумываю над содержанием и результатами этих
исследований, то по большей части я не могу
согласиться с их тенденцией; мне даже кажется, что в своем
большинстве они отстают во времени, как будто они
возникли в те времена, когда еще не был открыт
величественный мир идей Кантора». Все его выступление
носило сильно полемический характер. «Даже набросок
моего доказательства континуум-гипотезы Кантора не
остался без критики!»—пожаловался Гильберт, на
сей раз подробно обсуждая это доказательство.
240
Игра с формулами, «которую столь недооценивает
Брауэр», указал он, позволяла математикам выражать
единым образом все идейное содержание
математической науки, а также развивать ее таким образом,
чтобы одновременно прояснялись внутренние связи
между различными предложениями и фактами. Помимо
своего математического интереса, она имеет важное
общефилософское значение.
«В самом деле, эта игра с формулами ведется по
некоторым определенным правилам, отражающим образ
нашего мышления. Эти правила образуют четко
выраженную систему, которую можно обнаружить и явно
определить. Основная цель моей теории доказательства
есть не что иное, как описание процесса нашего
мышления, позволяющее запротоколировать те правила,
которым подчиняется в действительности наше
мышление... Из всего многообразия явлений и наблюдений
это, пожалуй, единственное, что заслуживает стать
предметом серьезного и тщательного исследования.
Действительно, в конце концов, оно представляет собой
часть общей задачи науки — освободить нас от
случайности, предвзятости личных настроений и привычек и
защитить от субъективизма, который уже чувствовался
во взглядах Кронекера и, по моему мнению, нашел
свое кульминационное выражение в интуиционизме!..»
Правда, признался Гильберт, доказательство
непротиворечивости формализованной арифметики,
предназначенное «определить эффективные рамки теории
доказательства и вообще составить ее сердцевину», еще не
было получено.Но заканчивал он свое выступление
вполне оптимистически : такое доказательство будет найдено.
«Уже сейчас я хотел бы сформулировать
окончательный результат: математическая наука не нуждается в
специальных преположениях. Чтобы построить ее
основы, мне не нужны ни бог, в котором нуждался Кро-
некер, ни предположения о специальном качестве
нашего мышления, связанные с принципом
математической индукции, как этого требовал Пуанкаре, ни
первичная интуиция Брауэра, ни, наконец, аксиомы
бесконечности, приводимости или полпоты Рассела и
Уайтхеда...»
Когда Гильберт копчил, поднялся Герман Вейль,
чтобы сделать несколько замечаний. Любовь Вейля к
241
своему старому учителю не поколебалась после
пятилетнего спора. Хотя его энтузиазм к идеям Брауэра
несколько поубавился, он решил, что сейчас он
должен его защитить.
«Брауэр был первым, кто ясно и в полной мере
осознал, что математика фактически повсюду далеко
превысила границы содержательного мышления. Я думаю,
что мы все обязаны ему за выявление этой
ограниченности содержательного мышления. В содержательных
моделях, предназначенных для установления
непротиворечивости форхмализованной математики,
Гильберт полностью осознает эту ограниченность как само
собой разумеющуюся; здесь уже не может идти речи
о каких-либо искусственных запрещениях. Тем самым,
мне кажется вполне естественным, что идеи Брауэра
нашли своих последователей; его позиция была вызвана
необходимостью, которую разделяли все математики
до того, как Гильберт предложил свой формальный
подход, и составляет новый, безусловно,
фундаментальный логический подход, который признает даже
Гильберт.
То, что эта точка зрения сохраняет лишь часть,
быть может, изувеченную часть классической
математики, является горьким и неизбежным фактом. Гильберт
не мог вынести такого увечья. И уже другое дело, что
ему удалось спасти классическую математику с помощью
радикального переосмысливания ее значения, не
уменьшая ее инвентаря. Он формализует ее и
принципиально преобразовывает ее таким образом, что из системы
интуитивных результатов она превращается в игру с
формулами, которая происходит в соответствии с
фиксированными правилами.
Разрешите мне теперь со всей определенностью
подчеркнуть огромное значение и возможности этого
шага Гильберта, предпринятого, очевидно, под
давлением обстоятельств. Все мы, кто был свидетелем этой
деятельности, были восхищепы той гениальностью и
твердостью, с которой Гильберт своей теорией
доказательства формализованной математики увенчал
работу по аксиоматике, продолжавшуюся в течение всей
его жизни. И я рад подтвердить, что полностью
разделяю с Гильбертом его эпистемологическую оценку
созданной таким образом ситуации».
242
В отличие от Вейля, Брауэр, подобно Кронекеру,
стал фанатиком в деле служения своей цели. Гильберта
он рассматривал как «своего врага» и однажды даже
покинул один дом в Амстердаме, когда услышал, как
ван дер Варден, также приглашенный в этот дом,
отзывался о Гильберте и Куранте как о своих друзьях.
Болезненное чувство, без сомнения, обострялось тем,
что обстоятельства все время сталкивали Гильберта с
Брауэром.
Оба они входили в редакцию Annalen. С 1902 года
Гильберт был одним из трех главных редакторов;
Брауэр входил в состав редакционной коллегии,
состоявшей из семи человек. Примерно в это время Брауэр
начал настаивать, чтобы все работы голландских
математиков, а также все работы по топологии
направлялись непосредственно ему. Все, а особенно голландские
топологи, возражали, так как хорошо было известно,
что, попав в руки Брауэра, статья могла не появиться
в течение нескольких лет. Хотя лично его это и не
затрагивало, Гильберт резко воспротивился
диктаторским требованиям Брауэра. Когда он чувствовал себя
здоровым, он был уверен в своих способностях
сохранить целостность Annalen. Однако со времени своей
болезни он начал чувствовать, что, случись с ним
что-нибудь, Брауэр завладеет журналом и тем нанесет
ущерб математике. Поэтому теперь он должен был
собрать своих друзей, чтобы изобрести способ исключить
Брауэра из редакционной коллегии.
Каратеодори, будучи сам одним из членов
редколлегии, предложил свое решение. Так как одного
Брауэра нельзя просить уйти в отставку, надо сменить всю
редколлегию из семи членов. Гильберт сразу же начал
действовать. Изменение отражено на обложках томов
100 и 101 Annalen, на которых остались только имена
Гильберта, Гекке и Блюменталя.
(Надо упомянуть, что Эйнштейн, разгневанный
этими склоками, оставил свой пост одного из трех
главных редакторов. «Что за мышиная возня среди
математиков?»— спрашивал он у одного из своих друзей.)
Были и другие обстоятельства, ставившие Брауэра
и Гильберта в оппозицию друг к другу.
После войны немецкие математики не приглашались
ни на одну из международных конференций. Однако в
243
1928 году итальянцы, планировавшие первый после
1912 года международный конгресс, решили его
сделать действительно международным. Снова все
немецкие математические школы и математические
организации получили приглашение. Многие в Германии
отказались его принять. Главным вдохновителем этой
группы был профессор Берлинского университета Людвиг
Бибербах. В своей оппозиции к принятию
приглашения итальянцев он был поддержан Брауэром, который,
хотя и голландец, был ярый немецкий националист.
Весной 1928 года Бибербах направил во все немецкие
высшие школы и университеты письмо, в котором
уговаривал бойкотировать конгресс в Болонье. Гильберт
ответил собственным посланием:
«Мы уверены, что если последуем предложению
господина Бибербаха, то это причинит вред немецкой
науке и мы подвергнемся справедливой критике со
стороны всех, кто хорошо к нам относится...
Итальянские коллеги бескорыстно взяли на себя все хлопоты
и не жалели ни сил, ни времени... При теперешних
обстоятельствах является долгом чести и самой
элементарной вежливости дружески отнестись к этохму
конгрессу».
В августе, хотя и страдая от нового приступа
болезни, Гильберт лично возглавил делегацию из 67
математиков, присутствовавших на конгрессе. На
церемонии открытия, когда немецкие математики впервые
после войны прибыли на международный съезд,
делегаты увидели во главе знакомую фигуру, быть может
несколько более хилую, чем они помнили. Несколько
минут в зале не было слышно ни звука. Затем внезапно
все присутствовавшие встали и начали аплодировать.
«Мне доставляет большую радость,— сказал им со
знакомым акцентом Гильберт,— что после долгих и
трудных времен математики вновь собрались вместе.
Так должно было быть и так должно быть во имя
процветания нашей любимой науки.
Давайте считать, что мы, математики, стоим на
высочайшей вершине развития точных наук. Мы не
должны забывать про это место, потому что любые рамки,
в особенности национального характера, противоречат
духу математики. Только абсолютно не понимая
кашей науки, можно создавать различие между людьми
244
и расами, а причины, по которым это делалось,
являются крайне ничтожными.
Математика не знает рас... Для математики весь
культурный мир представляет собой единую страну».
Научная работа Гильберта, представленная на
конгрессе, снова относилась к проблемам оснований
математики. В последнее время появились признаки того,
что его надежды на то, что завершение его теории
доказательства было только делом математической
техники, были слишком оптимистичны. Первая попытка
доказательства непротиворечивости в нетривиальном
случае (в диссертации Аккермана) потребовала, в
отличие от первоначального плана, существенного
ограничения формальной системы. Аналогично в работе фон
Неймана доказательство непротиворечивости на пути,
намеченном Гильбертом, также не было приложимо к
полной системе. Однако теперь доказательство
Аккермана было пересмотрено и упрощено, и, по крайней
мере, в тот момент казалось, что непротиворечивость
формализованной теории чисел наконец-то доказана.
Теперь Гильберт добавил к проблеме
непротиворечивости новую проблему — проблему полноты
формальной системы.
Когда Гильберт собрался оплатить свой счет в
гостинице, ему сообщили, что тот уже оплачен
организационным комитетом конгресса.
«О, если бы только я это знал заранее,— сказал
он,— я бы ел значительно больше».
Карьера Гильберта была почти окончена.
На следующий год после конгресса в Болонье он
смог увидеть то, до чего Феликс Клейн не дожил,—
передачу красивого здания в распоряжение
Математического института Гёттингена.
Новый институт был обязан своим созданием
дружбе Куранта с братьями Бор, открывшими ему дорогу
к фонду Рокфеллера. Средства этого фонда были затем
дополнены германским правительством. Таким
образом, институт стал совместным результатом немецких
и американских денег и усилий.
«Такого института больше никогда не будет,—
торжествовал Гильберт.— Ведь для того, чтобы его
создать, потребовался бы новый Курант — а нового
Куранта никогда не будет!»
XXII
ЛОГИКА И ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ
Официальный возраст для ухода в отставку
профессора был 68 лет; его Гильберт должен был
достигнуть 23 января 1930 года. Горькое чувство ожидания
и сожаления носилось в атмосфере Гёттингена.
В зимнем семестре 1929—1930 года Гильберт
прочитал свое «Прощание с педагогической деятельностью».
В этой лекции он вернулся к началу своей славы и
впервые за сорок лет говорил об инвариантах. Вместе со
студентами аудиторию заполнили профессора. Одна из
улиц была названа Гильбертштрассе. «Назвать улицу
в твою честь! — воскликнула госпожа Гильберт.—
Разве это не прекрасная мысль, Давид?» Гильберт
пожал плечами. «Только мысль — нет, а вот ее
претворение в жизнь — это прекрасно. Клейн должен был
дождаться своей смерти, чтобы получить улицу в свою
честь».
Еще одип студент защитил под его руководством
докторскую диссертацию, причем им оказался
американец Хаскел Карри. Однако Карри имел мало
контактов с Гильбертом. Он вспоминает, как в теплый
весенний вечер тот входил в аудиторию в пальто,
отделанном мехом. Вместе с ним всегда был Бернайс,
который иногда выходил вперед и начинал лекцию. В
основном Карри имел дело только с Бернайсом, но, так как
тот не был полным профессором, окончательный
экзамен у него должен был принять Гильберт.
«Своим заключительным экзаменом у него я был,
в основном, доволен... Он не задал мне ни одного
вопроса, имеющего отношение к логике, а задавал только
общематематические вопросы. Один из вопросов
относился к униформизации алгебраических функций.
246
По случайному совпадению я незадолго до этого
прослушал курс лекций по этому предмету у профессора
Осгуда в Гарварде. Хотя это и было в стороне от моей
специальности, я ответил на этот вопрос столь
подробно, насколько это вообще возможно ожидать от
человека, чьи интересы были столь отдалены от этого
предмета. Он был слегка потрясен моим ответом и,
повернувшись сказал: «Откуда вы это узнали?» Хотя он
казался довольно слабым, он был энергичен и его ум
был остр, как бритва».
Одновременно с приближением отставки
Гильберта обсуждалась кандидатура его переемника. По
общему мнению, был только один возможный кандидат.
Если Курант зарекомендовал себя как Клейн нового
поколения, то Вейль был Гильбертом.
Десять лет назад Вейль отказался от приглашения
в Гёттинген из-за нестабильности жизни в послевоенной
Германии. Гильберт говорил, что «Вейля легко
пригласить, но трудно заполучить». И теперь у Вейля были
некоторые сомнения в принятии окончательного
решения. Он был охвачен мрачным предчувствием по
поводу возвращения в Германию, ибо, вернувшись недавно
из Англии, проникся пессимизмом, которым веяло от
газет и писем, скопившихся в его отсутствие на
письменном столе. Кроме того, он не был уверен в том,
что его кандидатура была подходящей на этот раз для
Гёттингена. К тому времени ему было уже 45 лет. Он
сознавал, что приближался к концу своего творческого
периода. Быть может, институту следовало пригласить
кого-нибудь вроде молодого Эмиля Артина, «от
которого еще можно ожидать великих результатов». И тем
не менее он был соблазнен этим приглашением. Он
любил и уважал Гильберта — Дудочника, «завлекшего
молодых крысят в глубокие воды математики». Вейль
думал, что он больше, чем Артин, соответствовал физико-
математическим традициям Гёттингена. Его привлекала
возможность работы с Курантом, Борном и Франком.
Жизнь в Германии, по-видимому, улучшалась. План
Дауэса помог облегчить экономические трудности.
Безумная политическая секта, бормотавшая о
«еврейской физике» его друга Эйнштейна, была еще
немногочисленной. В конце концов, Вейль на этот раз
телеграфировал о своем согласии.
247
«Нет нужды говорить Вам, какой радостью и
гордостью я был охвачен, когда был приглашен стать
Вашим преемником,— писал он Гильберту.— ... Я с
большим оптимизмом ожидаю возможности работать с
коллегами, которых Вы собрали вокруг себя, и с Вами,
которому научно-математический факультет обязан своей
силой и гармонией». Темные тучи, висевшие над
Германией, могли рассеяться не скоро. «Но я надеюсь, что
мне будет дана возможность прожить рядом с Вами еще
много счастливых лет. Пожалуйста, не сердитесь на
мою задержку с ответом».
Гёттинген, который приветствовал Вейля весной
1930 года, был в зените своей новой славы. С большим
основанием, чем когда-либо прежде, теперь можно было
сказать, что в этом тихом, маленьком городке с
липовыми аллеями и солидными респектабельными домами
в теперь уже устаревшем «Jugendstil»х) беспрерывно
заседает международный конгресс математиков.
Многочисленные научные комплексы и лаборатории,
наподобие новой степы, окружили город. Математический
институт разместился в своем новом здании, Lesezim-
mer стала большой, хорошо освещенной библиотекой.
Extra Gottingen поп est vita 2). Это латинское изречение
все еще украшало стену Ratskeller. В солнечную
погоду студентов и профессоров можно было увидеть
сидящими за маленькими уличными столиками и
рассуждающими о политике, любви и науке. Маленькая
пастушка спокойно смотрела в свой фонтан. Вейль,
вернувшись в любимый город своих студенческих
лет, должен был быть доволен. Вне Гёттингена жизни
не было. >
Из всех почестей, которыми был осыпан Гильберт
в год своей отставки, по-видимому, наибольшую радость
доставила ему та, что пришла из его родного города.
Городской совет Кенигсберга решпл присвоить своему
знаменитому сыну «почетное гражданство». Цервхмония
его присвоения была приурочена к осени, когда должен
был состояться съезд Общества германских ученых и
врачей, местом проведения которого был на сей раз
выбран Кенигсберг.
г) Юношеский стпль (нем.).
2) Вне Гёттингена жпзны нет (лат.).
248
Гильберт тщательно обдумывал тему своей
торжественной речи. Она должна быть достаточно широкой,
чтобы представлять общий интерес. В Кенигсберге,
родине Канта, она должна иметь философский
характер. Кроме того, эта речь будет знаменовать
окончание той карьеры, которая так давно началась в
университете Кенигсберга. Думая об университете, он
вспоминал памятник Канту в парке и лаконичную
надпись: «Кант», столь выразительную в своей краткости.
Гильберт также вспомнил Якоби, давшего начало
математическим традициям Кенигсберга, подобно тому
как Гёттингеи унаследовал свои традиции от Гаусса.
Он хотел найти тему, в которой будут сплетены эти
великие имена и все отдельные нити его карьеры —
Кенигсберг и Гёттинген, Якоби, Гаусс, Кант,
математика и другие науки, наука и практика, великий
прогресс знания и выдающиеся идеи — все, чем он
жил эти годы.
Naturerkennen — познание природы — und Logik.
Это будет темой его выступления.
В прошедшее десятилетие он все больше
интересовался расширением математической аудитории. Он
часто пользовался возможностью прочитать популярные
лекции, которые включались в воскресные циклы,
рассчитанные на все факультеты университета. В
качестве темы он мог выбрать «Теорию относительности»,
«Бесконечность» или «Принципы математики». С
помощью примеров из известных областей вне математики
он старался сделать основные понятия доступными
для широкой публики.
«Ради этой задачи затрачивался громадный труд,—
вспоминал Нордхайм.— Нам надо было приготовить
предварительные наброски, основанные либо на новом
материале, либо на материале старых лекций. Затем
они прорабатывались и перерабатывались практически
каждое утро, приправляясь собственным неповторимым
юмором и широтой логики Гильберта».
В это время Гильберт и некоторые другие
профессора математики регулярно посещали лекции одного
зоолога. Гильберта сильно заинтересовали вопросы
генетики. Он был в восторге от законов, отпределяю-
щих наследственность мухи дрозофилы, которые вы-
водидись из нескольких геометрических аксиом. Его
249
приводило в восхищение Pferdespulwurm — «существо
с самым скромным количеством хромосом, аналогичное
тем самым атому водорода, имеющему только один
электрон». Кроме того, на него произвела впечатление
способность биологов делать свой предмет интересным
и понятным для неспециалистов.
«Биологи особенно хорошо представляют себе, что
такое популярное изложение,— сказал он однажды
Паулю Функу.— Для того чтобы избежать утомления,
которое вызывается у неспециалистов напряженной
мыслью, надо время от времени вставлять маленький
dessin (французское слово, означающее образец,
пример), а в этом биологи не имеют себе равных».
Произнося это французское словечко на своем ярко
выраженном кёнигсбергском диалекте, он продолжил свою мысль:
«Для нас, математиков, популярное изложение
представляет значительно большие трудности, но тем не
менее к нему надо стремиться, а правильный путь к
этому — искать прекрасный dessin».
Теперь, летом 1930 года, он искал такой красивый
dessin в своем выросшем фруктовом саду, где он
готовился к своей речи на кёнигсбергском съезде, очищая
свой предмет от лишних обобщений и стараясь
сформулировать свои идеи на простом языке, понятном
широкой публике («тому человеку с улицы», которому,
как он выразился когда-то в Париже, каждый мог бы
объяснить любую до конца понятую математическую
теорию).
В своей жизни ему приходилось несколько раз
возвращаться в свой родной город, но на этот раз это
возвращение было особым. Курт Рейдемайстер и Га-
бор Сегё, теперешние профессора математики в
университете, отметили то удовольствие, которое
доставила ему вечеринка, устроенная в связи с его речью.
Он был так разгорячен, «что жене приходилось
постоянно сдерживать его». Однако погода в Кенигсберге
казалась более прохладной, чем в старые дни, и Гильберту,
чтобы не замерзнуть, пришлось одолжить у Сегё шубу.
Почетное гражданство было преподнесено ему на
церемонии открытия. ЗатвхМ Гильберт занял свое место
на трибуне. Его голова была теперь уже почти совсем
без волос, большой лоб ученого еще резче выделялся
по сравнению с тонким подбородком; белые усы и
250
маленькая бородка были аккуратно подстрижены.
(Островскому его голова напоминала голову Ленина.)
Голубые глаза Гильберта, все еще живые и
проницательные и, как прежде, такие же невинные, глядели на
слушателей из-под всем хорошо знакомых очков без
оправы. Он крепко оперся руками на лежавшую перед
ним рукопись и медленно и осторожно начал свою
речь:
«Познание природы и жизни есть наша
благороднейшая задача».
За последние несколько десятков лет было получено
больше глубоких и богатых содержанием результатов,
чем раньше за то же количество столетий. Наука
логики также продвинулась вперед и теперь, благодаря
аксиоматическому методу, стала общим техническим
средством для теоретического подхода ко всем научным
вопросам. Из-за этого прогресса, говорил он своим
слушателям, нашему современнику легче, чем
философу прошлого, дать ответ на древний вопрос,
поставленный философией: «Какую долю в нашем познании
занимает Мышление, с одной стороны, а какую долю,
с другой стороны, составляет Опыт?»
Этот вопрос был достоин того, чтобы им завершить
научную деятельность, ибо ответ на него, по существу,
дал бы нам указание о средствах, с помощью которых
достигается общее познание, и о том, в какой мере
«все знание, получаемое в результате нашей научной
деятельности, представляет собой истину».
Определенные параллели между природой и
мышлением всегда признавались. Наиболее поразительной из
них является некоторая предустановленная гармония,
казавшаяся неотъемлемым воплощением и
выражением математической мысли. Самым удивительным и
прекрасным ее примером служила теория
относительности Эйнштейна.
Однако ему казалось, что давно осознанное
согласие между природой и мышлением, экспериментом и
теорией можно было понять, только приняв во
внимание формальный элемент и связанный с ним механизм,
присутствующий с обеих сторон — ив природе и в
мышлении. Расширение методов современной науки
должно привести к системе естественных законов, во
всех отношениях согласующихся с действительностью.
251
В этом случае, чтобы получить полное знание о
природе, нам достаточно будет только чистого мышления —
абстрактной дедукции. Однако, по его мнению, зто не
давало окончательного ответа: «Действительно, каково
происхождение этих законов? Как мы получаем их?
Откуда мы знаем, что они соответствуют
действительности? ОтЕет заключается в том, что мы можем
получить эти законы только с помощью нашего собственного
опыта... Тот, кто тем не менее захочет отрицать, что
универсальные законы основаны па опыте, должен
будет признать, что сзшкэствует еще третий источник
познания...»
Великий сын Кенигсберга Иммануил Кант был
классическим представителем этой - точки зрения —
точки зрения, которую Гильберт защищал 45 лет назад
на своем публичном экзамене на звание доктора
философии. Теперь перед выступлением он с улыбкой
заметил одному своему молодому родственнику, что многое
из сказанного Кантом было «сплошной чепухой»,—
но этого, он, разумеется, не мог сказать гражданам
Кенигсберга.
Кант утверждал, что, кроме логики и опыта,
человек обладает некоторым априорным знанием
действительности.
«Я допускаю,— сказал Гильберт своим
слушателям,— что даже при создании специальных
теоретических областей необходима некоторая априорная
интуиция... Я даже верю, что математическое знание,
в конечном счете, зависит от подобных априорных
воззрений... Поэтому наиболее общая основная мысль
кантовской теории познания сохраняет свое
значение... Понятие a priori есть не более и не менее, чем...
выражение некоторых обязательных предварительных
условий мышления и познания. Однако граница
между тем, чем мы обладаем a priori, и тем, для чего мы
нуждаемся в опыте, должна быть проведена нами не
так, как это делает Кант,— Кант значительно
переоценил роль и степень априорности».
Теперь известно, что многие факты, которые ранее
считались вполне очевидными a priori, оказались просто
неверными. Самым разительным примером является
понятие абсолютного настоящего. Но в то же время в
работах Гельмгольца и Гаусса было показано, что гео-
252
метрия была «не чем иным, как ответвлением в общей
умозрительной системе физики». Мы забыли, что
геометрические теоремы когда-то возникли из опыта!
«Мы видим теперь, что теория априорности Канта
содержит антропоморфные остатки, от которых она
должна быть избавлена. Когда мы это сделаем,
останется только та априорность, которая в то же время
является и основой чисто математического познания».
По существу, он высказывал этим свое отношение,
сформулированное в его недавней работе по основаниям
математики.
«Средство, которое помогает сглаживать различие
между теорией и практикой, между мышлением и
экспериментом, есть математика. Она создает связующий
мост и постоянно его укрепляет.. Таким образом,
оказывается, что вся наша теперешняя культура,
поскольку она относится к интеллектуальному
познанию и овладению природой, основывается на
математике!»
О впечатлении, которое произвела на слушателей
речь Гильберта, вспоминает Ойстен Оре, проводивший
в то время в Кенигсберге свой медовый месяц:
«Я помню то чувство волнения и интереса, которое
было вызвано лекцией Гильберта и лекцией фон Неймана
об основаниях теории множеств, — чувство, что
наконец-то можно будет уяснить как аксиоматику основ
математики, так и причины приложимости математики
в естественных науках».
В заключительной части своей речи Гильберт особо
подчеркнул, что, несмотря на важность приложений
математики, они никогда не должны приниматься за
меру ее значения. Он закончил речь той защитой
чистой математики, которой он так давно намеревался
ответить на речь Пуанкаре на первом
международном конгрессе математиков.
«Чистая теория чисел является той частью
математики, для которой до настоящего времени не было
найдено никаких приложений. Но именно теория
чисел рассматривалась Гауссом (который сам внес
несравненный вклад в прикладную математику) как
королева математики...»
Кронекер сравнивал математиков, занимавшихся
теорией чисел, с гомеровскими лотофагами (поедате-
253
лями лотоса), «которые, однажды вкусив эту пищу,
никогда не могли ее бросить».
Даже наш великий кёнигсбергский математик Яко-
би разделял эту точку зрения. Когда знаменитый Фурье
объявил, что цель математики состоит в объяснении
явлений природы, Якоби возразил: «Философы,
подобные Фурье, должны знать, что торжество
человеческого духа есть единственная цель всей науки!»,.. Кто
сознает истину в этом благородном образе мыслей и
этой философии, сверкающей в словах Якоби, тот не
будет предаваться вредному и бессодержательному
пессимизму».
Рейдемайстер и Сегё договорились, что Гильберт
повторит заключительную часть своей речи по
местному радио. После окончания его выступления они
проводили его на радиостудию.
Здесь, когда Гильберт говорил в незнакомый
аппарат, казалось, что его голос звучал с прежним
энтузиазмом и оптимизмом того энергичного человека,
который на заре своей жизни заставил своих
слушателей искать решения 23 проблем, которые, по его
убеждению, способствовали бы развитию математики.
«Пытаясь привести пример неразрешимой
проблемы, философ Конт однажды сказал, что науке никогда не
удастся распознать секрет химического состава
небесных тел. Спустя несколько лет эта проблема была
решена...
Истинная причина, из-за которой, по моему
мнению, Конт не смог найти неразрешимую проблему,
заключается в том, что в действительности такой
вещи, как неразрешимая проблема, вообще не
существует».
Он вновь выступил в конце своей научной карьеры
с отрицанием «глупого ignorabimus» Дюбуа-Реймон-
да и его последователей. Его последние слова в
микрофон были тверды и полны решимости:
«Wir miissen wissen. Wir werden wissen».
Мы должны знать. Мы будем знать.
Когда Гильберт оторвал глаза от своей рукописи
и техник выключил записывающий аппрат, он
засмеялся.
Эта запись последней части его речи в Кенигсберге
все еще существует. В ней много отвлекающих шу-
254
мов. Но если хорошо прислушаться, то в конце ее
можно услышать смех Гильберта.
«Wir mussen wissen. Wir werden wissen».
Мы должны знать. Мы будем знать.
Во всех отношениях это было последней великой
чертой.
Однако жизнь не всегда оканчивается, когда
подводится великая черта.
Почти одновременно с выступлением Гильберта в
Кенигсберге в одной работе был сделан вывод,
нанесший смертельный удар той конкретной
эпистемологической цели, которая ставилась в заключительной
программе научной карьеры Гильберта. 17 ноября
1930 года в Monatshefte fur Mathematik und Physik
поступила для публикации работа 25-летнего
специалиста по математической логике, которого звали Курт
Гёдель.
XXIII
БЕГСТВО
Когда Гильберт впервые услышал от Бернайса
6 работе Гёделя, он был «слегка рассержен».
Молодой человек рассмотрел обе проблемы
полноты, которые поставил Гильберт в Болонье. Он
установил полноту для случая исчисления предикатов.
Однако затем ему удалось доказать — со всей
строгостью, на которую способна только математика,—
неполноту формализованной теории чисел. Он также
доказал теорему, из которой следует, что не существует
финитного доказательства непротиворечивости
формальной системы, достаточно полной, чтобы
формализовать все финитные рассуждения.
. В высшей степени остроумной работе Гёделя
Гильберт рассудком распознал, что цель,
достижению которой он посвятил столько усилий с начала
этого столетия,— дать окончательный
неопровержимый ответ Кронекеру, Брауэру и всем, кто пытался
ограничить методы математики,— не может быть
достигнута. Классическая математика должна была быть
непротиворечивой и, по-видимому, так на самом деле
и было; однако эта непротиворечивость никогда не
могла быть математически доказана, на что он
надеялся и в чем он был уверен.
Безграничная уверенность в могуществе
человеческого разума, которая неуклонно вела его к этой
последней великой работе своей научной карьеры,
не давала ему теперь возможности принять результат
Гёделя эмоционально. Кроме того, здесь, быть
может, присутствовало чисто человеческое неприятие
того факта, что открытие Гёделя служило
подтверждением некоторых признаков, которым до этого времени
859
он отказывался придавать значение, что рамки
формализма были тесны для намеченной им цели.
Сначала он был только рассержен и разочарован,
но затем стал пытаться искать конструктивный подход
к проблеме. Бернайс был потрясен тем, что даже те-
пэрь, в самом конце своей научной жизни, Гильберт
был способен на большие перемены в своих планах.
Еще не было ясно, какое именно влияние окажет на
него работа Гёделя. Сам Гёдель чувствовал — и
выразил это в своей работе,— что его работа не
противоречит формалистской точке зрения Гильберта; и
вскоре стало ясно, что теория доказательства могла
продолжать плодотворно развиваться, не связываясь
больше с первоначальной программой. Расширенные
методы должны были допустить ослабление
требований формализации. Сам Гильберт сделал теперь
первый шаг в этом направлении. Он предложил заменить
свою схему полной индукции на более сильное
правило, называемое «трансфинитной индукцией». В 1931
году появились две работы в этом новом направлении.
Хотя Гильберт и вышел в отставку, читать лекции
в университете он продолжал регулярно.
По-прежнему, готовясь к ним в самых общих чертах, он, как
и раньше, часто застревал на месте. Когда он
чувствовал, что не может закончить доказательство у доски,
он, махнув рукой, бросал его, как «совершенно
элементарное». Иногда он путался в деталях, непонятно
бормотал и повторялся. «Но тем не менее одна из
трех лекций была превосходна!»
Отставка Гильберта положила официальный конец
его научной деятельности, в связи с этим начали
предприниматься шаги к собранию и изданию его
математических работ. Написать биографию для последнего
тома попросили Блюменталя, который наблюдал
и изучал личность и достижения своего учителя
с 1895 года. Хотя Блюменталь уже много лет был
профессором в Аахене, он никогда не терял своих теплых
чувств к Гёттингену, возвращаясь сюда время от
времени, чтобы (по его словам) «освежиться». Где бы он
ни был, даже на фронтах первой мировой войны, он
всегда старался организовать клуб бывших жителей
Гёттингена. Блюменталь взялся за составление
жизнеописания с удовольствием и усердием.
257
Том I собрания сочинений отводился Zahlbericht
и другим теоретико-числовым работам. Для
Гильберта, как и для Гаусса, первые годы в Гёттингене были
«счастливыми годами». Его работы по полям
алгебраических чисел теперь считались самыми глубокими
и красивыми из Есех его математических работ.
Оценить вклад Гильберта в эту область было поручено
Хельмуту Хассе, который вместе с Эмми Нётер, вая
дер Варденом, Артином и Такаги принял участие
в разработке программы теории полей классов,
намеченной Гильбертом в своей последней работе по теории
чисел.
Оглядываясь в прошлое, Хассе видел, что работа
Гильберта по теории алгебраических чисел, как и
большая часть других его работ, находилась и по времени,
и по содержанию между двумя столетиями. С одной
стороны, рассматривая проблемы в большой общности
и с применением новых методов, намного
превосходивших по элегантности и простоте то, что было до
него, Гильберт давал новую жизнь
теоретико-числовым работам прошлого столетия. С другой стороны,
«с удивительной прозорливостью» он дал набросок
путей окончательного решения всего комплекса проблем
и указал направление новому столетию.
Три молодых математика, обученных своими
учителями методам Гильберта в теории чисел, были
приглашены в Гёттинген для помощи в редактировании
его трудов. Одним из них была молодая женщина
Ольга Таусски. Гильберту все еще нравилось
разговаривать с молодыми женщинами. В основном он
говорил с госпожой Таусски о своем здоровье и о своем
желании вернуться когда-нибудь в Раушен и дожить
свою жизнь в этой маленькой рыбацкой деревушке ка
Балтике, где он проводил в молодости свои каникулы.
Однако как-то раз, оглядываясь на свою научную
жизнь и на те многие области математики, в которых
ему довелось работать, он заметил ей, что, как бы он
ни обожал .все области математики, самой красивой
он считал теорию чисел.
(В том же году на международном конгрессе
математиков в Цюрихе в связи с выступлением своего
бывшего ученика Рудольфа Фютера Гильберт утверждал,
что теория комплексного умножения эллиптических
258
модулярных функций, связывающая воедино теорию
чисел и анализ, была не только самой красивой частью
математики, но также и всей науки.)
Работая над статьями Гильберта, Таусски была
удивлена столь большим количеством обнаруженных
ошибок. Это были не типографские опечатки. Иногда
это была неверно вычисленная оценка функции,
неправильно сфорхмулированная теорема, пропущенный
этап доказательства и даже отсутствие вообще какого-
либо доказательства, замененного фразами типа «легко
видеть», хотя это было и не так. Чувствуя, однако,
что благодаря могучей математической интуиции
Гильберта эги ошибки не повлияли на окончательные
результаты, она тем не менее считала, что в собрании
сочинений они должны быть исправлены. В этом ее
поддерживал пример Эмми Нётер, которая, издавая
работы Дедекинда, часто громко заявляла, что никто
не сможет найти ни одном ошибки «даже под
увеличительным стеклом!»
Том с работами по теории чисел должен был быть
преподнесен Гильберту к его семидесятилетию.
Празднование было заранее распланировано, целый день
торжества. Все это очень утомительно, жаловался
Гильберт Бернайсу, но это «будет полезно для
математики».
Герман Вейль написал приветствие ко дню
рождения, которое появилось в Nalurwissenschajten.
На протяжении всей своей научной деятельности, писал
он своему старому другу Роберту Кёнигу, я
придерживался простого правила: «Будь верным духу
Гильберта». День рождения Гильберта, за'метил Вейль в своем
приветствии, явился днем великого праздника для
немецких математиков, отмечавших его год за годом
в духе благоговения перед мастером, а также выражая
свои собственные убеждения и свое единство.
«Без сомнения, во всем мире сегодня имя
Гильберта самым конкретным образом олицетворяет собой
все значение математики в системе объективного
знания и жизнеспособность математического творчества,
представляющего собой одно из фундаментальных
проявлений творческой активности человечества».
Однако Вейль должен был признать, что
неиссякаемый личный оптимизм Гильберта, его твердая уве-
259
рённость в силу разума, позволяющего находить
простые и ясные ответы ка простые и ясные вопросы, «в
наше время непопулярны для более молодого
поколения».
«Можно согласиться с тем, что некоторые фразы
из лекции Гильберта [по логике и познанию природы
в 1930 году в Кенигсберге] находятся в опасной
близости к вступительным словам сборника новелл Гот-
фрида Келлера Das Sinngedicht1), в котором он
высмеивает своего героя, ученого Рейнхардта: «Около
двадцати пяти лет назад, когда естественные науки
снова были на своей высочайшей вершине...»
Однако мы будем несправедливы к Гильберту,
если не сможем отличить его рационализм от
рационализма Геккеля... Его можно было бы назвать
самонадеянным, если бы, подобно Фаусту, он гнался за
неким магическим знанием, открывающим перед
интеллектом самую сущность бытия... Такое знание
отличается от знания реальности, которое
основывается на точном предсказании [и] может быть
достигнуто только с помощью математических методов....
Гильберт представляется мне выдающимся
примером человека, в котором проявляется необычайная
творческая способность абсолютного научного гения...
Я помню, как я был очарован первым услышанным
мною математическим курсом [в университете] ... Это
был знаменитый курс Гильберта о трансцендентности
е и я...
Горе той молодежи, которая не может быть
растрогана до глубины души примером такого человека, как
Гильберт».
В день празднования семидесятилетия Гильберта
издатель его собрания сочинений Фердинанд Шприп-
гер приехал в Гёттинген, чтобы лично вручить
Гильберту специальный экземпляр первого тома, в белом
с золотом кожаном переплете. Однако под красивой
обложкой были не отпечатанные страницы, а только
корректура, ибо Таусски все еще не была
удовлетворена. Гильберт не высказал замечаний о
неоконченном виде тома. Однако позже в его присутствии
Таусски отрицательно отозвалась об одном, сорте сигарет,
1) Изречение (нем.).
260
как слишком крепких для нее. Кто-то сказал, что на
самом деле нельзя отличить один сорт от другого.
«Aber nein!x) — воскликнул Гильберт. — Госпожа
Таусски сможет отличить. Она способна увидеть
тончайшие, самые тончайшие различия». Она не была
уверена, но ей показалось, что он подсмеивался над ней
за ее слишком серьезное отношение к его ошибкам,
которые он сам считал незначительными.
Вечером в день рождения в новом великолепном
здании Математического института состоялся прием.
Со всех концов Германии и даже из-за границы
съехались бывшие студенты и коллеги Гильберта. Хотя это
было время экономической депрессии, каждый
постарался выглядеть очень элегантным в своем потертом
вечернем костюме. Ольга Таусски вспоминает, как
ей удалось купить с рук вечернее платье
приблизительно за два доллара, тем не менее оно всем
понравилось. Состоялся банкет, на котором произносились
приветственные речи и тосты. Арнольд Зоммерфельд
прочитал Гильберту сочиненный им маленький
куплет: «Seiner Freunde treuster Freund/Hohler Phrase
argster Feind». (Вернейший друг своим друзьям,
злейший враг пустопорожним фразам.)
Затем Гильберт произнес короткую речь. Он
вспомнил то великое счастье, которое выпало на его долю:
дружба с Минковским и Гурвицем, время учебы в
Лейпциге у Клейна, пасхальное путешествие 1888 года,
когда он посетил Гордана и Кронекера и многих
других математиков, и то, как необычно рано Альтхоф
назначил его преемником Линдемана. А в своем
родном городе, напомнил он гостям, ему выпало счастье
найти жену, «которая с тех пор с преданной дружбой
приняла решительное участие во всей моей
деятельности и особенно в моих заботах о новом поколении».
Имя Минковского упоминалось особенно часто. Его
внезапная смерть, вспоминал Гильберт, оставила
«глубокую опустошенность как в человеческом, так и в
научном плане», однако жизнь должна была идти дальше.
Появился Эдмунд Ландау, чтобы занять место
Минковского. Теперь наконец-то была достигнута великая
*) Но нет {нем.).
261
цель Клейна; и он сам празднует свое семидесятилетие
в этом «прекрасном институте».
После банкета были танцы, и виновник торжества
не пропустил почти ни одного танца. Процессия
студентов устроила факельное шествие по заснеженному
городу к подъезду ярко освещенного дома на Бунзен-
штрассе и вызвала Гильберта. Тот вышел и
остановился на ступеньках, закутанный в свое большое
пальто с меховым воротником, кто-то его сфотографировал.
Из каждого окна института выглядывали знакомые
лица.
Это были самые большие почести, которые студенты
могли оказать профессору.
«Математике,— призвал Гильберт возбужденных
студентов,— hoch, hoch, hoch!» По-русски это звучало
бы: «Гип, гип, ура!»
Спустя несколько дней после юбилейных торжеств
Хассе выразил госпоже Гильберт «свое горячее
желание раз в жизни лично поговорить с великим
человеком». Госпожа Гильберт пригласила его на чай и после
этого оставила его и Гильберта вдвоем в саду.
«Я начал говорить с ним о том, что меня больше
всего интересовало в те дни —теории алгебраических
чисел и, в частности, о теории полей классов. По этой
теории я написал обзор, продолжающий знаменитый
Zahlbericht Гильберта. Я начал говорить ему о том,
что я сделал в этой области, основываясь на его
собственных результатах конца девяностых годов. Однако
он часто прерывал меня, заставляя объяснить
основные понятия и результаты этой теории до того, как
он стал слушать то, что я хотел ему рассказать.
Поэтому я объяснил ему самые основы теории полей классов.
Это его привело в большое восхищение, и он сказал:
«Но это же необычайно красиво, кто это создал?»
И мне пришлось рассказывать ему, что это он заложил
основы и определил будущее этой прекрасной теории.
После этого он выслушал то, что я должен был
рассказать ему о моих собственных результатах. Слушал
он внимательно, но скорее вежливо, чем с
пониманием».
В год семидесятилетия Гильберта больших
успехов на выборах в рейхстаг добилась
национал-социалистская партия. В январе следующего года прези-
ЭД
дент фэч Гинденбург назначил Адольфа Гитлера
канцлером Германии. Почти сразу же за этим последовала
пэрвая мера, предназначенная остановить эту
«сатанинскую силу», которая «забрала в свои руки все
ключевые позиции в научной, интеллектуальной, а также
политической и экономической жизни».
Университетам было приказано уволить из своих штатов всех
полнокровных евреев, занимавшихся какой-либо
педагогической деятельностью.
Больше всего пострадала от этого, по-видимому,
школа Гильберта. Преданность Гильберта своей науке
всегда была абсолютной. Никаким предрассудкам —
национальным, расовым, половым — не разрешалось
играть в ней какой-либо роли. В 1917 году была
написана статья в память о Дарбу, в то время как его
родина считалась врагом Германии. Была устроена
должность дтя Эмми Нётер, хотя до того ни одна женщина
не была приват-доцентом в Гёттингене. С самых первых
дчей дружбы с Минковским и Гурвицем Гильберт
никогда не долил ученых на арийцев и неарийцев.
Было только два вида ученых — те, кто решал
проблемы, имеющие общепризнанное значение, и те, кто
этого не делал.
К кому теперь относится ультиматум в самом
Математическом институте? К Куранту, кто заменил
Клейна и воплотил в жизчь его великую мечту. К Лан-
Д1у, кто приехал в Гёттипген после смерти Минковско-
го и сделал университет центром исследований по
теории чисел. К Эмми Нётер, которая, несмотря на то
что она все еще получала грошовую стипендию, была
центром самого активного в то время научного кружка
в Гёттингене. К Бернайсу, кто был ассистентом и
сотрудником Гильберта уже почти шестнадцать лет.
В Физическом институте как Борн, так и Франк оба
были евреями. Однако новое правительство
установило между ними различие. Франк, который уже
получил Нобелевскую премию, не попал под приказ; Борн,
который должен был ждать ее еще ряд лет, должен
был уйти. Ультиматум относился к многим другим,
иногда казалось, что ко всем.
Гильберт был чрезвычайно огорчен, когда узнал,
что многие из его друзей были отправлены в
«вынужденный отпуск», как эвфемистически выражались тогда.
263
«Почему вы не возбуждаете дела против
правительства?— допытывался он у Куранта.— Почему не
обратитесь в государственный суд? То, что сейчас
творится, незаконной
Куранту казалось, что Гильберт был абсолютно не
способен понять, что кругом творилось бзззаконие.
После юбилея его трудно было заставить выслушать
и принять нововведения в институте. Однако главным
его заблуждением, по-видимому, было то, что он все
еще верил в жизнеспособность старой юридической
системы. Он продолжал хранить глубокую прусскую
веру в закон, которую внушил ему судья Гильберт.
Представление о ней дает рассказ о том, как
Фридрих Великий, обеспокоенный шумом крэстьянской
мельницы, пригрозил конфисковать ее. Крестьянин
с твердой уверенностью ответил королю: «Нет — в
Пруссии еще есть судьи!». Пристыженный Фридрих
велел написать слова крестьянина на портике
своего летнего дворца, где они все еще оставались в
1933 году.
Вначале среди пострадавших еще не создалось
общего мнения по поводу того, что же надо было
сделать. Насколько далеко все это может зайти? «Если
бы вы знали немецкий народ, то для вас было бы ясно,
что так может продолжаться бэз конца». Молодой
Ганс Леви решил покинуть Германию, как только
Гитлер был назначен канцлером. К первому апреля
он уже был в Париже. Некоторые, кого не заставляли
уезжать, делали это в знак протеста. Франк поставил
себя наравне со своими соплеменниками евреями.
Были и те, кто считал, что хотя бы часть величия Гёт-
тингена еще может быть сохранена. Ландау было
разрешено остаться, так как он был профессором еще
при империи. Могли быть и другие исключения.
Курант был отравлен газом и ранен в живот, сражаясь
за Германию,— конечно, это делало его нэмцем.
Министру были посланы письма относительно госпожи
Нётер. Она выполняла такую второстепенную работу
и получала так мало за свою службу. «Я не думаю,
что когда-нибудь существовал столь выдающийся
список рекомендаций»,— сказал позже Вейль. Имя
Гильберта было первым. Однако все эти выдающиеся имена
не сыграли никакой роли.
264
«Так называемые евреи столь привязаны к
Германии,— жалобно сказал Гильберт,— зато остальные
из нас с удовольствием покинули- бы ее».
Отто Нейгебауэр, теперь ассистент-профессор, был
назначен главою Математического института. Он
занимал этот выдающийся пост ровно один день,
отказавшись на бурном заседании в. кабинете у ректора
подписать требуемое подтверждение в лояльности.
Пост директора Математического института перешел
к Вейлю. Хотя его жена была частично еврейкой, он
был одним из тех, кто думал, что что-то еще может
быть спасено. Все время в течение мучительной,
неопределенной весны 1933 года он работал, писал
письма, встречался с чиновниками правительства. Но
ничего нельзя было изменить.
К концу лета почти все уехали. Вейль, проводя
со своей семьей каникулы в Швейцарии, все еще
рассчитывал вернуться в Гёттинген, надеясь, что как-
нибудь ему удастся поддержать великую научную
традицию. В Америке его многочисленные друзья-
математики, беспокоясь о нем, писали длинные
письма, советуя, уговаривая, прося, чтобы он покинул
Германию, пока не стало слишком поздно. Абрахам
Флекснер предложил ему место в Институте
перспективных исследований.
Наконец, Эйнштейну, который уже несколько лет
работал в недавно созданном институте, удалось
убедить младшего коллегу приехать сюда и
присоединиться к нему.
В Гёттингене Гильберт оставался теперь почти
в одиночестве. Бернайса он сохранил в качестве своего
ассистента на свои собственные средства. Основания
математики, написанные им в сотрудничестве с Бер-
найсом, были почти готовы к изданию. Он забросил
все свои книги по математике и с течением времени
все более отдалялся от нее. С помощью Бернайса он
подготовил две докторские диссертации — Арнольда
Шмидта и Курта Шютте. Шютте был последним из
69 математиков (40 из них в течение 1900—1914
годов), которые защитили диссертацию у Гильберта.
В действительности, однако, все контакты Шютте были
только с Бернайсом. Гильберта он видел только
один раз.
265
«Когда я был молодым,— Сказал Гильберт
молодому Францу Реллиху, одному из немногих
оставшихся членов старого кружка,— я репщл никогда не
повторять того, что слышал от стариков — как
прекрасны были прежние дни и как безобразны
нынешние. Я хотел никогда этого не говорить в старости.
Но теперь я не могу не сказать этого».
Когда на одном банкете Гильберт сидел рядом
с новым министром образования, назначенным
нацистами, его спросили: «Ну и как же теперь математика
в Гёттингене, после того как она освободилась от
еврейского влияния?»
«Математика в Гёттингене?—ответил Гильберт.—
Да она просто не существует больше».
XXIV
СТАРОСТЬ
В центре города на ратуше развевалась свастика,
бросая тень на маленькую пастушку.
Университетский бюллетень и другие издания снова начали
печататься старым, давно забытым готическим шрифтом.
Первая страница каждого издания содержала
напоминание, что оно появилось при содействии Геббельса.
Главой Математического института стал один из
нацистских функционеров. В зимнем семестре 1933—
1934 года Гильберт читал по часу в неделю курс
оснований геометрии. После окончания семестра он
больше никогда не появлялся в институте.
Ландау продолжал читать лекции; однако, когда
он объявил курс по математическому анализу,
негодующая толпа студентов помешала ему войти в
аудиторию. «Мы не возражаем, чтобы вы читали
специальные курсы,— сказано было ему,— но это новички, и мы
не хотим, чтобы они учились у еврея». Зигель, в то
врэмя профессор в Гамбурге, попытался найти
поддержку своему старому учителю от группы профессоров,,
занимавших прочное положение. Он не достиг успеха.
Спустя некоторое время Ландау также покинул
Гёттингзн. В отличие от других, он остался на родине,
так как был привязан к ней своим богатством и
владениями. Харди организовал для него серию лекций
в Англии. «Было так трогательно наблюдать тот
восторг, который его охватил, когда он снова оказался
у доски, и то сожаление, когда все это окончилось».
К весне 1934 года положение евреев стало
настолько плохим, что Бернайс почувствовал — ему
необходимо покинуть Германию и вернуться в Цюрих.
Математический институт продолжал выплачивать
жалованье оставшемуся ассистенту Гильберта Арнольду
267
Шмидту, работавшему с ним в его доме по проблемам
логики и основаниям математики.
«Случались короткие моменты потери памяти, из-
за которых незнакомцам могло показаться, что он ужз
не такой сообразительный,— говорит Шмидт.— Но
те, кто работал с ним в этой области математики,
знали, что это не так».
Теперь во главе института стал Хельмут Хассе.
Это было большим прогрессом, так как, хотя он и был
убежденным националистом, все же это был
первоклассный математик.
Летом Эмми Нётер, для которой было найдено
место в Брин Мор, в Америке, вернулась в Гёттинген. «Ее
сердце не знало злобы,— позже объяснял Вейль.—
Она никогда не верила в зло, в действительности ей
даже не приходило в голову, что оно могло играть какую-
нибудь роль среди людей». В то время не все было так
ясно, как это потом казалось. Она пожелала Хассе
одних только успехов в его попытках восстановить
великие традиции Гёттингена после прошлогодних
массовых отъездов. В конце лета она вернулась в Брин Мор.
Она находилась в расцвете своего таланта, ее интуиция
и техника достигли высочайшего уровня и
совершенной гармонии. В ее руках «аксиоматический метод
перестал быть методом, предназначенным лишь для
логического прояснения и углубления оснований, а стал
мощным средством конкретных математических
исследований». С помощью этого метода ей, ван дер Вардену
и другим удалось заложить основы современной
алгебры.
Вначале супруги Гильберты столь открыто
выражали свое неприятие нового режима, что их друзья,
оставшиеся в Гёттингене, опасались за их
безопасность. Однако они не доверяли многим из тех, кто
остался, а также и вновь приехавшим. Спустя некоторое
время они тоже перестали выражать свои мысли вслух.
«Ну, Herr Geheimrat, как вы поживаете?»—
спросил у Гильберта один из редких посетителей.
«Я? Ну, я не очень-то хорошо поживаю. Хорошо
только евреям,— ответил он в своей прежней
парадоксальной манере.— Евреи знают, где им надо быть».
Летом 1934 года умер фон Гинденбург. В
специальном завещании он передавал пост президента рейха Гит-
263
леру, который стал с этого времени одновременно и
президентом и канцлером. Выборы были назначены
на август — выбирать следовало между да и нет. За
дэнь до выборов газеты поместили заявление о под-
дзржке Гитлера германской наукой. Среди тех, кто
подписал это заявление, значился и Гильберт.
Неизвестно, подписывал ли он в дзйствительности это
заявление. Арнольд Шмидт, видевший его в это время почти
каждый день, не знал о существовании этого
заявления, пока не увидел более тридцати лет спустя
экземпляр газетного сообщения о нем. Подписать его
противоречило бы всему, что по личному опыту знал
Шмидт о настроениях Гильберта в то время. Однако
он должен был признать, что «в то время Гильберт мог
подписать что угодно, лишь бы его оставили в покое».
В 1935 году из печати вышел последний том
собраний трудов Гильберта, содержавший его биографию,
написанную Блюменталем. Гильберт написал своему
старейшему ученику короткое письмо, в котором он
отметил свою последнюю удачу — получить столь
прекрасное толкование его жизни и творчества. Блюмен-
таль вложил это письмо в свой личный экземпляр
трудов Тильберта.
В биографической статье Блюменталь вызвал в
своей памяти образ учителя, начиная с того дня, когда
«энергичный и совсем непохожий на профессора
человек, среднего роста, в непретенциозной одеждз»,
появился в Гёттингене весною 1895 года в качестве
преемника Генриха Вебера. Но, несмотря на теплоту и
привязанность, биография оставалась объективной.
«Для анализа большого математического таланта,-—
заканчивал Блюменталь,— надо различать
способность создавать новые понятия и дар к распознаванию
глубины связей и упрощению оснований. Величие
Гильберта состоит в его непревзойденных
способностях к глубокому проникновению в суть вещей. Все его
работы демонстрируют примеры далеко отстоящих
друг от друга областей, внутреннюю связь между
которыми и их отношение к конкретной занимавшей его
проблеме он один только мог распознать; все это в
конечном счете приводило к синтезу и к созданию работ,
являвшихся произведениями искусства. Что касаотся
создания новых понятий, я поставил бы выше Минков-
269
ского, а из великих классиков, например, Гаусса, Га-
луа, Римана. Однако в отношении синтезирующих
построений только совсем немногие из великих
классиков могут сравниться с Гильбертом».
Весной 1935 года в Соединенных Штатах после
операции скончалась Эмми Нётер.
В своем кабинете в Институте перспективных
исследований Эйнштейн писал письмо к издателю «Нью-
Йорк тайме». В нем он совсем кратко сообщал о ее
сморти. «По мнению самых компетентных из ныне
здравствующих математиков, госпожа Нётер была
самым значительным творческим математическим гением
(женского пола) из родившихся до сих пор».
«Стремление к накоплению земного богатства
слишком часто основано на иллюзии, что оно представляет
собой самую важную и желаемую цель, которую
только можно достичь. Однако, к счастью, существует
меньшинство, состоящее из тех, кто в своей жизни
рано осознает, что самые прекрасные и приносящие
наибольшее удовлетворение переживания, данные
человеку, не заимствуются извне, а связаны с личными
чувствами индивидуума, его мышлением и
поведением... Как ни незаметно протекает жизнь этих
индивидуумов, все же плоды их усилий являются самым
значительным наследством, которое мы передаем
последующим поколениям».
Издатели Annalen решили взять на себя риск и
опубликовать памятную статью пая дер Вардена.
После того как журнал вышел из печати, они стали
ожидать ударов; однако ничего не произошло.
Набравшись храбрости, они опубликовали работу Блюмента-
ля, имя которого, как одного из издателей, все еще
находилось на обложке Annalen, хотя в результате
нюрнбергских законов он б л л недавно смещен с
должности профессора в Аахене. Снова ничего не
произошло.
Однако в целом условия для научной жизни в
Германии все более ухудшались. Одним из убежденных
сторонников «третьего рейха» был Людвиг Бибербах,
который столь резко протестовал против участия
немецких математиков в международном конгрессе в
Болонье. Вместе с другими он занимался анализом
различия в творческих стилях немецких и еврейских
270
математиков. Даже смерть не служила защитой. Так
как Клейн был включен в Кврейскую энциклопедию,
его генеалогия была тщательно проанализирована,
после чего, наконец, было решено, что он «великий
немецкий математик». Генеалогия Гильберта также
была изучена. Существовала шутка, что в Гёттингене
был только один математик-ариец и в его венах текла
еврейская кровь. Шутка основывалась на факте: во
время болезни Гильберту было сделано переливание
крови от Куранта. Теперь серьезно рассматривался
вопрос, не подозрительно ли, что арийский математик
носил имя Давид. В конце концов Гильберту пришлось
предъявить автобиографию Христиана Давида
Гильберта, указывавшую, что Давид было семейным именем,
показывавшим, что когда-то Гильберты принадлежали
к пиетистам.
В конце лета 1936 года математики всего мира
снова встретились на новом международном конгрессе, на
этот раз в Осло. Хотя Гильберт не принял в нем
участия, ему была послана приветственная телеграмма
делегатов. Курант, приехавший из Соединенных Штатов,
где в то время он преподавал в Нью-Йоркском универ-
ситате, позвонил из Осло. Однако Гильберт не знал,
что сказать своему бывшему ученику и коллеге и
разговор состоял из невнятного бормотанья: «Да, но что
мне сказать? О чем спросить? Дай мне подумать
немного».
В 1937 году Гильберту исполнилось 75 лет. Один
газетный репортер пришел взять у него интервью и
спросил его о местах в Гёттингене, связанных с
историей математики. «По правде говоря, я не зпаю ни
одного из таких мест,— сказал он (к удивлению
репортера) без всякой тени смущения.— Память только
путает мысли. Я уже давно полиостью избавился от нее.
Мне, в самом деле, ничего не надо знать: для этого
есть моя жена и наша служанка; они будут знать».
Когда репортер начал выражать «вежливое сомнение»
в возможности кому-нибудь полностью избавиться от
памяти и забыть прошлое, Гильберт, откинув голову,
слегка рассмеялся: «Да, наверное я даже был
знаменит тем, что обладал большим талантом уметь
забывать. Именно по этой причине я и занимался
математикой». Затем он закрыл глаза.
271
Репортер не решился больше беспокоить старого
человека, «почетного доктора пяти университетов,
который с легкой безмятежностью мог полностью забыть
все: дом, улицы, город, имена, события и факты,
потому что он обладал силой в каждый момент заново
возродить и построить целый мир».
В тот вечер у Гильбертов праздновался день
рождения, довольно большое событие для тех дней. В то
время, как произносились поздравительные речи,
Гильберт сидел в другой комнате, опершись на двух
молоденьких медицинских сестер, которые регулярно
приходили в дом для оказания медицинской помощи. Когда
Гекке, специально приехавший из Гамбурга,
напомнил, что неплохо было бы ему послушать пылкие речи,
произносившиеся о нем и его работе, Гильберт
рассмеялся: «Это гораздо приятнее».
Элизабет Рейдемайстер сделала фотоснимок того
вечера. Она напомнила ему о казавшемся ей довольно
важном событии, в котором они вместе участвовали,
и была удивлена, что он ничего не помнил об этом.
«Меня интересуют только звезды», — объяснил он.
В это время Франц снова был дома. С возрастом он
все больше, как и его отец, стал смущать окружающих.
Он подражал ему, громко высказывая свое мнение по
всем вопросам,— трагическая пародия — «звук без
содержания», как говорили в Гёттингене. Он никогда не
занимался настоящей работой. Одно время он продавал
газеты. Однако в то же самое время он тщательно изучал
различные предметы — Гёте, теологию. Как
вспоминает Арнольд Шмидт, он был настоящий Kenner —
знаток в своих областях. Он часто говорил об изучении
математики с тем, чтобы получить возможность
оценить работу своего отца.
В следующем, 1938 году в доме на Вильгельм Вебер-
штрассе последний раз праздновался день рождения.
На ленче присутствовали только несколько старых
друзей. Гекке приехал из Гамбурга, Каратеодори — из
Мюнхена, присутствовал также Зигель, находившийся
теперь в институте в Гёттингене. Был и Блюменталь.
«Какие предметы вы читаете в этом семестре?» —
спросил Гильберт.
«Я больше не читаю лекций»,— осторожно
напомнил ему Блюменталь.
272
«Что значит, что вы не читаете лекций?»
«Мне больше не разрешают их читать».
«Но это совершенно невозможно! Этого не может
быть. Никто не имеет права смещать профессора до
тех пор, пока он не совершил какое-либо преступление.
Почему вы не обращаетесь в суд?»
Остальные пытались объяснить положение Блюмен-
таля, но Гильберта это еще сильнее рассердило.
«Я чувствовал,—говорит Зигель,—что у него
создавалось впечатление, что мы пытаемся зло подшутить
над ним».
Вскоре после этого имя Блюменталя пришлось
убрать с обложки Annalen. С помощью своих друзей
он оставил Германию и переехал в Голландию.
Из-за океана Дьёрдь Пойа, бывший в то время
в Стенфордском университете в Америке, напомнил
Вейлю, что теперь 1938 год и, согласно их договору,
срок их пари о будущем интуиционизма истек. Вейль
согласился, что он и вправду проиграл, но попросил
Пойа не заставлять его публично признаваться в этом.
В том же году умер Эдмунд Ландау.
Жизнь в Гёттингене продолжалась. Госпожа
Гильберт, зрение которой прогрессивно ухудшалось,
жаловалась, что люди, ранее всегда приходившие в гости,
больше не появлялись. Однако иногда у Гильбертов
все еще устраивались маленькие вечера.
Как-то раз на одном из этих вечеров зашел спор
о самом красивом городе Германии. Некоторые из
гостей сказали, что это Дрезден, другие, что Мюнхен.
Но Гильберт настаивал: «Нет, нет — самым, красивым
городом в Германии до сих пор является Кенигсберг».
Когда его жена запротестовала: «Но, Давид, ты не
можешь так говорить — Кенигсберг не так уж красив»,
он ответил: «Но, Кете, в конце концов, я лучше знаю,
так как прожил в нем всю свою жизнь». Даже после
того, как она напомнила ему, что на самом деле они
приехали в Гёттинген более сорока лет назад, он покачал
головой и сказал: «О, всего несколько недолгих лет,
а всю жизнь я провел в Кенигсберге».
«Да, — печально подумал присутствовавший там
Хассе,— его память сжала все сорок плодотворных
лет его замечательных достижений в столь мнбгих
областях математики в несколько недолгих легпъ.
273
В 1930 году подписанное в Мюнхене соглашений
между Германией, Францией, Англией и Италией,
казалось, гарантировало на некоторый период «мир в
наше время». Шведская Академия наук объявила о
первой премии Миттаг-Леффлера, которая была
присуждена Давиду Гильберту и Эмилю Пикару. Старый
французский математик получил свою премию из рук
посланника Академии Торстена Карлемаиа на большом
банкете в Париже. После пылких восхвалений Карле-
ман преподнес Пикару полный комплект прекрасно
переплетенного журнала Acta Mathematica,
основанного Миттаг-Леффлером. Этот журнал одним из первых
начал публиковать работы Кантора. Из Парижа Кар-
леман отправился в Гёттииген. Он предвкушал, что
и здесь ему устроят банкет, на котором он выступит
с речью и сделает преподношение. Разочарованный
в том, что такового не предвидится, он тем не менее
настоял на своем желании лично преподнести премию
Гильберту. В конце концов, Хассе и Зигель разыскали
Гильберта, находившегося вместе с женою неподалеку
в горах Гарц, и отвезли Карлемаиа в гостиницу, в
которой те остановились. Гильберт молча выслушал
восторженную речь Карлемаиа. Спустя некоторое время
72 тома Acta Mathematica в красных кожаных
переплетах оказались на полках библиотеки другого
математика, которому Гильберт их почти сразу же продал.
Снова был август. Первого сентября Германия
вторглась в Польшу. Через неделю Франция и Англия
объявили войну Германии.
Ассистентом Гильберта стал теперь способный
молодой логик Герхард Генцен. Основываясь на новых,
менее ограничительных методах «трансфинитной
индукции», он смог получить давно разыскиваемое
доказательство непротиворечивости арифметики. Однако
оно потребовало существенного снижения требований,
которые первоначально предъявил Гильберт. Генцен
регулярно приходил в дом Гильберта и по его просьбе
читал вслух поэмы Шиллера. Спустя некоторое время
он также уехал. Он погиб в 1945 году, став одной из
жертв войны.
Голландия была оккупирована. В Англии Эвальд
и другие пытались спасти Блюменталя. Но было уже
поздно.
274
В конце первой мировой войны Зигель поклялся,
что не останется в Германии, если случится следующая
война. В марте 1940 года он получщг приглашение
прочитать лекцию в Осло. Он знал, что больше не увидит
Гильбертов, и поэтому пошел к ним проститься. Их не
было в доме на Вильгельм Веберштрассе: обвалилась
печь; однако он нашел их в дешевом отеле, где, как
сказала госпожа Гильберт, всегда останавливался Герман
Амандус Шварц, когда приезжал в Гёттинген. Шварц
был инициатором приглашения Клейна в Гёттинген,
и к этому времени прошло уже более двадцати лет со
дня его смерти. Гильберты завтракали в своей комнате,
Гильберт сидел на кровати и ел из баночки икру, ко-
торую Нильс Бор прислал ему из Копенгагена.
Зигель попрощался. В Осло он узнал, что братья Бор и
Освальд Веблен уже устроили ему разрешение на
въезд в Соединенные Штаты, где его ожидало место
в Институте перспективных исследований. Через два
дня после того, как он покинул Осло, немцы вторглись
в Норвегию.
В декабре 1941 года, за месяц до восьмидесятилетия
Гильберта, Соединенные Штаты вступили в войну.
Хотя восьмидесятилетие не праздновалось, было
опубликовано, как обычно, приветственное обращение
к Гильберту. Оно было подготовлено Вальтером Литц-
маном, который в 1902 году возглавил делегацию
Математического клуба, уговаривавшую Гильберта
отказаться от заманчивого предложения из Берлина и
остаться в Гёттингене. Рассказ о жизни Гильберта и его
достижениях — все было в обращении Литцмана, не
было только имен многих евреев (за исключением Мин-
ковского и Гурвица), сыгравших столь важную роль
в жизни Гильберта. Блюменталь осторожно
упоминался только как «автор жизнеописания в собрании его
трудов». -Приложенная к обращению фотография была
недавней, и глаза, когда-то столь твердо и невинно
смотревшие на окружающий мир, теперь казались
недоверчивыми.
В Голландии Блюменталь опубликовал статью
с посвящением Гильберту в честь его
восьмидесятилетия.
Берлинская Академия наук приняла решение
праздновать юбилей, специально отметив работу, которая
275
из всех важнейших работ Гильберта оказала
наибольшее влияние на прогресс математики,— маленькую
книжку в 92 страницы по основаниям геометрии.
В тот день, когда в Академии принималось это
решение, Гильберт упал на улице Гёттингена и сломал
себе руку. Он скончался, прожив еще немногим более
года, 14 февраля 1943 года от осложнений, вызванных
физической неактивностью после этого несчастного
случая.
Не более дюжины людей присутствовало на
утренней панихиде в гостиной дома на Вильгельм Вебер-
штрассе. Из Мюнхена приехал один из его старейших
друзей. Стоя над гробом, Арнольд Зоммерфельд
говорил о творчестве Гильберта.
Что было его величайшим математическим
достижением?
«Инварианты? Теория чисел, столь любимая им?
Аксиоматика геометрии, явившаяся в этой области
первым великим достижением после Евклида и
неевклидовых геометрий? То, о чем догадывались Риман
и Дирихле, Гильберт установил с помощью
доказательства, относящегося к основам теории функций и
вариационного исчисления. Или его высшим взлетом
были интегральные уравпения?... Вскоре в новой
физике... они принесли прекрасные плоды. Его теория
газа оказала основополагающее воздействие на новое
экспериментальное знание, которое до конца еще себя
не проявило. Кроме того, имеют непреходящую
ценность и его достижения в общей теории
относительности. Еще пе сказано последнего слова по поводу его
поздних усилий в вопросах математического познания.
Однако когда представится случай продвинуться
в этой области, то это произойдет не в обход, а по пути
Гильберта».
Каратсодори также собирался приехать из
Мюнхена на похороны, но заболел. Написанное им обращение
было прочитано Густавом Герглоцем, по липу
которого катились слезы. Однако превыше всего,
казалось Каратеодори, следовало поставить жизнь
Гильберта, которая была столь единой и целостной, что
«даже странности его преклонного возраста,
способные удивить постороннего, были для нас, его друзей,
истинным проявлением характера Гильберта».
276
Активное влияние, оказанное Гильбертом на
математику своего времени, воплощалось Каратеодори
в утверждении, которое он слышал, когда один из
ведущих современных математиков высказывал его
непосредственно Гильберту: «Вы заставили всех нас
думать только над тем, над чем вы считали, что нам
следовало думать».
Вспоминая, что значил для них покойный в дни
своей жизни, он обратился непосредственно к вдове:
«Дорогая госпожа Гильберт, теперь он лежит в той
же самой комнате, в которой мы провели с ним так
много счастливых часов. Вскоре мы отнесем его на
последнее место упокоения. Но пока наши сердца бьются,
мы будем связаны памятью об этом великом человеке».
Они похоронили Гильберта на кладбище над рекою,
там же, где лежал и Клейн. Только имя и даты были
написаны на металлической табличке в траве.
Весть о смерти Гильберта проникла в воюющие
страны через Швейцарию. Приехав на математическую
конференцию в Нью-Йорк, Герман Вейль увидел
в «Тайме» маленькую заметку из Берна. Он снова
вспомнил летние месяцы, которые много лет назад он
провел за проработкой Zahlbericht, самые счастливые
месяцы его жизни, «блеск которых, проникая сквозь
годы, отягощенные нашей общей долей сомнений и
заблуждений, все еще успокаивает мою душу».
Вернувшись домой в Принстон, он написал Августе Минков-
ской, жившей со своей старшей дочерью в Бостоне:
«Сообщение о смерти Гильберта воскресило в памяти
все гёттингенское прошлое. Мне выпало большое
счастье вырасти в самые прекрасные годы... когда
Гильберт и Ваш муж оба находились в расцвете своих
сил... Я думаю, что в математике очень редко
случалось, чтобы два человека оказали такое сильное и
магическое влияние на целое поколение студентов. Это
было прекрасное, но короткое время. Сегодня нигде нет
ничего даже отдаленно похожего...»
Сообщение о смерти Гильберта пришло в Англию,
находившуюся под бомбежкой, с опозданием и не
совсем точным.
«Как нам стало известно, этим летом {sic!) умер
Давид Гильберт,— сообщал в ту осень Journal of the
London Mathematical Society. Редакцисггная коллегия
277
чу] ствуст, что смерть такого великого математика не
должна остаться незамеченной даже на короткое
мгновение, однако трудности с составлением подобающего
сбзора его работ и анализа оказанного ими влияния
в настоящий момент непреодолимы».
Макс Бори, живший теперь в Англии, был в Гёттин-
гене, когда умер Минковский, и он невольно задал себе
вопрос: «Гильберт пережил своего друга более чем на
тридцать лет. Ему была дана возможность завершить
важную работу. Но кто бы не сказал, что его одинокая
смерть в мрачное нацистское время была еще
трагичней, чем смерть Минковского в расцвете своих сил?»
Спустя несколько месяцев после смерти Гильберта
в одной из периодических облав гестапо на евреев в
Голландии был схвачен Блюмеиталь. Он был сослан
в Терезии, маленькую чехословацкую деревушку,
превращенную в гетто для старых евреев и других, за чьи
смерти, по крайней Амере вначале, нацисты не хотели
брать прямой ответственности. Известно, что одно
время его поместили в поезд, отправлявшийся в
Освенцим, но потом по какой-то причине он был снят до
отхода поезда. Он умер в Терезипе в конце 1944 года.
17 января 1945 года умерла Кете Гильберт. К тому
времени она почти полностью ослепла. Около ее гроба
некому было выступить из старых друзей, а так как
она, как п ее муж, уже давно оставила церковь, не
было и священника, который бы выполнил этот долг.
В конце концов по просьбе Франца Гильберта
несколько слов сказала одна женщина, никогда ке знавшая ее
лучших дней.
В этом же году Кенигсберг, почти полностью
разрушенный, был взят советскими войсками.
XXV
ПОСЛЕДНЕЕ СЛОВО
Могло показаться, что сладостный звук гамелин-
ского Дудочника замолк навсегда. Однако по всему
миру — в маленьких европейских странах, охваченных
войной Англии, Японии, России, Соединенных Штатах
— оставались ученики Гильберта и ученики
учеников Гильберта.
За океаном даже во время войны можно было
услышать отголоски старого. Герман Вейль с характерным
для него рвением пытался создать в ПринСтоне, в
Институте перспективных исследований, новый великий
центр пламенной научной жизни — это его выражение,
— напоминающий тот, который он знал в своей
молодости в Гёттингене. В Нью-Йорке Рихард Курант
устроился на заброшенной шляпной фабрике, шутливо
называемой его друзьями «Институт Куранта». Дух
Гильберта жил и там.
После смерти Гильберта в Nature было сказано,
что едва ли можно было встретить в мире математика,
чья работа не была бы в той или иной степени связана
с работами Гильберта. Как некий математический
Александр Македонский, он оставил свое имя ярко
запечатленным на карте математики. Как указывалось
в том же журнале, существовали гильбертово
пространство, неравенство Гильберта, преобразование
Гильберта, инвариантный интеграл Гильберта, теорема
неприводимости Гильберта, теорема Гильберта о базисе,
аксиома Гильберта, подгруппа Гильберта, поле
классов Гильберта.
Идеи, содержавшиеся в его работе по проблеме
Гордана, далеко распространили методы и значение
теории алгебраических инвариантов: из них выросло
теория абстрактных полей, колец и модулей — короче
279
говоря, современная алгебра. Большинство работ
последующих теорстико-числовиков относились к тем
плодородным областям, которые были открыты
Гильбертом в его Zahlberlcht и программе теории полей
классов. Маленькая книга по основаниям геометрии —
«поворотный пункт в математической мысли» —
заложила прочные и надежные основы аксиоматического
метода почти во всех областях математики. «Влияние
этой маленькой книги,— писал современный историк
математики,— трудно переоценить». После того как
Гильберт спас принцип Дирихле, его теория была
упрощена и обобщена, в результате чего этот принцип
стал «средством, столь гибким и почти столь же
простым, каким он был первоначально создан Риманом».
Эта работа, помимо прочего, заложила основу для
развития того, что теперь называют прямыми методами
вариационного исчисления, имеющими значение как
в чистой, так и в прикладной математике. Одна теорема,
сформулированная и доказанная Гильбертом на своих
лекциях по вариационному исчислению в начале века,
была использована для заложения совершенно новых
основ этой теории. Общая теория интегральных
уравнений стала одним из самых мощных математических
средств в арсенале физиков, а теория гильбертовых
пространств выросла до таких размеров, что, как
жаловался один математик, ее невозможно изложить
«конечным набором слов». И хотя сегодня уже никто не
говорит об аксиоматизации физики, проясняющая,
упорядочивающая и объединяющая мощь аксиоматического
метода проникла и в эту науку.
А как обстоят дела с последней великой работой
Гильберта — формализацией математики и
установлением ее непротиворечивости с помощью абсолютного
доказательства? Несмотря на удар, нанесенный этой
программе работой Гёделя, широкое гильбертово
определение математического существования как свободы
от противоречий, несомненно, восторжествовало над
тесными рамками конструктивистских идей его
противников. Вопрос о непротиворечивости математики,
столь простой и очевидный до тех пор, пока он не был
поднят Гильбертом, сыграл неоценимую по важности
роль в истории математической мысли. «Это был
хороший вопрос,— говорит одни из современных матема-
280
тиков,— и только очень большому математику могло
прийти в голову его задать».
Гёдель, никогда не встречавшийся и не
переписывавшийся с Гильбертом, чувствует, что гильбертовы
принципы оснований математики «остаются
чрезвычайно интересными и важными, несмотря на мои
отрицательные результаты».
И добавляет:
«Единственное, что было показано, что та
специальная эпистемологическая цель, которую преследовал
Гильберт, не может быть достигнута. В его намерения
входило установить непротиворечивость аксиом
классической математики на основе доказательств, столь
же конкретных и убедительных, как и элементарная
арифметика.
Однако, если подойти к этому с чисто
математической точки зрения, доказательства
непротиворечивости на основе подходящих более сильных
математических предпосылок (как у Генцена или других) также
представляют интерес и ведут к чрезвычайно важному
проникновению в структуру теории доказательств в
математике. Кроме того, остается открытым вопрос,
можно ли, или до какой степени можно, дать
«конструктивное» доказательство непротиворечивости
классической математики на основе формалистского подхода,
т. е. заменить ее аксиомы об абстрактных сущностях
объективного платонистского мира пониманием
конкретных операций нашего мышления.
Что касается моих отрицательных результатов, то,
оставляя в стороне их философское значение, я вижу
их важность главным образом в том, что во многих
случаях они позволяют оценивать или предсказывать
возможность осуществления какой-нибудь специальной
масти гильбертовской программы на основе данных
математических предположений».
Гёдель, кроме того, чувствует, что, «оценивая
значение работы Гильберта по континуум-гипотезе, часто
забывают, что, с точностью до деталей, одна его
чрезвычайно важная общая идея оказалась абсолютно
верной — именно то, что континуум-гипотеза потребует
для своего решения совершенно новых методов,
связанных с основаниями математики. В частности, отсюда,
по-видимому, следует (хотя явно этого Гильберт и не
281
указывал), что континуум-гипотеза не выводится из
обычных аксиом теории множеств».
В результате восторженного отношения Гильберта
к проблемам математической логики и основаниям
математики создалась целая новая область науки —
метамате*чатика, надматематика.
«Будущий историк науки, интересующийся
развитием математики конца девятнадцатого и первой
половины двадцатого века, без сомнения, отметит, что
многие разделы математики своим бурным развитием в этот
период во многом обязаны достижениям Гильберта,—
писал Альфред Тарский.— С другой стороны, ему
придется, быть может с некоторым удивлением,
признать, что влияние этого человека так же сильно и мощно
проявляется в некоторых других областях, которые не
были особенно существенно затронуты его
собственными исследованиями. Одним из таких примеров
служат основания геометрии. Я далек от недооценки
значения вклада Гильберта... в его [Основаниях геометрии],
но я думаю, что его самой существенной заслугой
явился тот стимул, который он дал орган i3oi.a шым
исслздованиям в этой области. Еще более
поразительным примером служит метаматематика. Отдельные
исследования в этой области были и до речи Гильберта
в Париже; первые положительные и действительно
глубокие результаты появились до того, как Гильберт
начал свою постоянную работу в этой области... п
трудно сразу же связать с его именем какой-нибудь
конкретный и важный математический результат. Тем не
менее Гильберт заслуженно считается отцом
метаматематики. Действительно, именно он создал
метаматематику как самостоятельную науку; он боролся за се
право на существование, имея за собой всю свою
репутацию великого математика. Он также был тем, кто
очертил ее будущий курс и поставил перед ней
честолюбивые цели и важные задачи. Это верно, что ребенок
не оправдал всех надежд своего отца и не стал
вундеркиндом. Но он развивался нормально, рос здоровым
и стал нормальным членом великой математической
семьи, и я не думаю, что у его отца есть какие-нибудь
причины стыдиться своего отпрыска...»
В 1950 году Американское математическое общество
обратилось с просьбой к Герману Вейлю подытожить
282
историю математики за первую половину двадцатого
столетия. Отвечая, он писал, что, если бы терминология
парижских проблем не была столь специальной, он
смог бы выполнить требуемое задание исключительно
в терминах тех проблем Гильберта, которые были
решены либо частично решены,— «схема, по которой
математики часто измеряли наш прогресс» в течение
прошедших пятидесяти лет. «Насколько лучше он
предсказал будущее математики, чем любой политик смог
предвидеть последствия войн и террора, которые
должно было обрушить на человечество новое столетие».
Сегодня Кенигсберга больше не существует. Там,
где он находился, на реке Прегель, находится
Калининград, самый западный морской порт Советского
Союза. Соперничество между Гёттингеном и Парижем
отошло в прошлое. Как в Германии, так и во Франции
недостает целого поколения математиков. Соединенные
Штаты неизмеримо обогатились, ибо почти все
представители школы Гильберта и многие другие
европейские математики эмигрировали в эту страну. Среди них
были и следующие лица, упоминавшиеся в этой книге:
Артин, Вейль, Вигнер, Гёдель, Дебай, Ден, Курант,
фон Карман, Ланде, Леви, Нейгебауэр, фон Нейман,
Эмми Нётер, Нордхайм, Оре, Пойа, Сегё, Тарский,
Ольга Таусски, Феллер, Франк, Фридрихе, Хеллин-
гер, Эвальд, Эйнштейн.
После войны Гёттинген был первым немецким
университетом, вновь открывшим свои двери. Со временем
многие из старых друзей Гильберта снова приехали,
чтобы посетить Гёттинген; некоторые из них, как,
например, Макс Борн, остались доживать свой век
неподалеку от него.
В 1962 году но случаю столетия со дня рождения
Гильберта Рихард Курант произнес речь в Гёттингене
о работе Гильберта и ее значении для математики.
-«Естественно, что в такой речи невозможно дать
даже приблизительное представление о столь
многогранной личности, как Гильберт,— сказал он.— Кроме
того, не имеет смысла и предаваться сентиментальным
воспоминаниям о старых добрых времепах. Однако
я чувствую, что осознание духа Гильберта имеет
большое актуальное значение для математики и
математиков нашего времени».
283
«Хотя математика играет важную роль вот уже
более двух тысячелетий, она все еще подвержена
влиянию моды и, прежде всего, смене традиций. В нашу эру
чрезмерной индустриализации науки, пропаганды
и опасных манипуляций общественной и личной основой
науки я считаю, что мы находимся в одном из таких
опасных периодов. В наше время массовой информации
призыв к реформе, как следствие пропаганды, может
легко привести как к сужению и удушению, так и к
раскрепощению математического знания. Это относится
не только к исследованиям в университетах, но также
и к школьному обучению. Опасность состоит в том,
что общие усилия столь сильно направляются в сторону
абстракции, что только эта сторона великой традиции
Гильберта продолжает существовать».
«Живая математика опирается на сочетание
противоречивых, прямо противоположных друг другу
способностей к интуиции и логике, конкретных
«основополагающих» проблем и общности далеко идущих
абстракций. Мы сами должны противодействовать тому,
чтобы ее развитие направлялось только к одному
полюсу этого животворного противоречия».
«Математику нужно лелеять и укреплять как
единую жизненную ветвь в широком русле науки; она не
имеет права быть выплеснутой на берег тоненьким
ручеечком».
«Гильберт показал нам своим впечатляющим
примером, что такие опасности можно легко предупредить
и что не существует разделения между чистой и
прикладной математикой, а между математикой и наукой
в целом может быть установлено плодотворное
сотрудничество. Поэтому я уверен, что заразительный
оптимизм Гильберта даже сегодня сохраняет свою
жизнеспособность для математики, которая будет процветать,
только следуя духу Гильберта».
И пока сохранится камень от надгробной плиты,
установленной на могиле Гильберта в Гёттингене,
именно этот оптимизм будет отдаваться от него эхом:
Wir mussen wissen.
Wir werden wissen.
284
Стто Гильберт, отец Давида Гильберта, в 1850 г., студент
университета.
Река Прегель с Кёнигсбергским замком ка задаем плане.
i'tpitLi Мипкоьскии, когда он получил upiiD Пн]П1;кокоц
Академии.
Адольф Гурвиц, экстраординарный профессор в Кенигсберге.
Давид Гильберт, 1886 г.
Давид Гильберт и Кете Ерош, 1892 г.
Даимд Гильберт, около 1900 г.
Франц Гильберт, единственный сын Давида и Кете Гильберт.
Математический клуб Гегшигепа, 1902 г. Слова плправо в первом ряду: Абрахам, ПТпллштг, Гильберт, Клейн,
Шварцшильд, г-жа Юпг, Диштель, Цсрмело; во втором ряду: Файла, Хапссп, К. Мюллер, Дойн, [). Шашдг,
Иосие, Эй штейн, Флсшпер, Ф. Бориштейп; в третьем р;тду: Елюменталъ, Хамель, Г. Мюллер.
Феликс Клейн в период его жизни в Лейпциге.
Гормац Мпиковский.
Давид Гильберт, 1912 г.— один из серпи портретов
профессоров, продававшихся в Гёлтингеые как почтовые открытки.
Эдмунд Ландау.
Обед у Клейнов с Паулем Горданом (крайний слева), Клейном (в центре) н Кете Гильберт (крайняя Справа).
Рихард Курант, студент и Гсиишсею.
1Ы{>Л J'yilLC.
Макс Бори, приват-доцент в Гёттингеье.
Эмми Нётер.
Константин Каратеодори.
Празднование, шестидесятилетия Гильберта. Слева наиграно в
первом ряду: Рихард Курант, Франц Гильберт, г-жа Курант
(Цшга Рунге), Tepia Шяонср (позднее г-жа Франк), г-жа Грот-
т-лап; во втором ряду: г-жа Эссле (позднее г-жа Шнрнпгер),
г-жа Ландау, г-жа Гильберт, Давид Гильберг, г-жа Гофман,
г-жа Мпттковская; в третьем ряду: Фердинанд Шнрнпгер,
Феликс Бершитейп (позади г-жи Ландау), г-жа Прандтль, Эд-
мупд Ландау, г-жа Франк, Фанни Мин конская (в конце ряда):
в четвертом ряду: Эрнст Хсллингер, Вальтер Гротриан (позади
г-жи Гофман); в пятом ряду: Пегер Дебай, Теодор фон Карман
(позади Ландау), г-жа Вейль, Пауль Берпайо, Леонард
Нельсон, «Клерхеш> (вторая от конца ряда).
Дпнид Г];,г,(>рг и Гурман Вопль и средние дсдцси^х юдов.
Герман Бейль.
1]\пд те Математический институт Гёгплггена.
Да^-пд Гнльис|,1, lli.'j- г.
ДАВИД ГИЛЬБЕРТ
И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРУДЫ1)
Герман Вейль
14 февраля 1943 года в Гёттингене в возрасте 81 года
ушел из жизни Давид Гильберт. С его смертью
математика потеряла одного из своих великих мастеров.
Оглядываясь в прошлое, мы видим, что та эпоха
математики, на которую он наложил отпечаток своего духа
и которая сейчас скрылась далеко за горизонтом, более
чем какая-нибудь другая находилась в совершенном
равновесии между исследованиями отдельных
конкретных проблем и разработкой общих абстрактных
понятий. Работы самого Гильберта немало послужили этой
счастливой гармонии, а направление, в котором с тех
пор развивалась математика, также во многом обязано
его импульсам. Ни одного математика нашего
поколения нельзя поставить рядом с ним.
Америка ему обязана многим. Большое количество
молодых математиков из этой страны, которым было
суждено сыграть значительную роль в развитии
американской математики, переселились в Гёттинген в
период с 1900 по 1914 год, чтобы учиться у Гильберта.
Однако его взгляды, методы и постановки задач
оказали влияние далеко за пределами круга лиц,
черпавших свое вдохновение, обучаясь непосредственно под
его руководством.
Гильберт сам помог автору настоящего обзора
увидеть, что его работы довольно строго делятся на
различные периоды, в каждый из которых он был всецело
поглощен проблемами из одной конкретной области.
Если он занимался интегральными уравнениями, то
они означали для него все; бросив какой-либо предмет,
х) Herman W е у 1, David Hilbert and His Mathematical Work,
Eull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 612—654; Bol. Soc. Mat. Slo
Paolo i (1946), 76-104; 2 (1947), 37-60.
303
os отделывался от него полностью й переходил к
другому. Именно таким своеобразным образом он достиг
универсальности. Я различаю пять основных периодов:
1. Теория инвариантов (1885—1893). 2. Теория
алгебраических числовых полей (1893—1898). 3. Основания:
а) геометрии (1898—1902); б) математики в целом
(1922—1930). 4. Интегральные уравнения (1902— 1912).
5. Физика (1910—1922). Названия этих периодов
несколько более конкретны, чем им следовало бы быть.
Не все алгебраические достижения Гильберта связаны
с инвариантами. Его работы по вариационному
исчислению отнесены к интегральным "уравнениям. Есть,
конечно, и некоторые частичные смешения периодов,
и несколько заблудших детей, нарушающих законы
времени, самый поразительный из них — его
доказательство теоремы Варинга в 1909 году.
Его парижское выступление «Математические
проблемы»... охватывает все области нашей науки.
Пытаясь приподнять завесу над ожидающим нас
будущим, он поставил и обсудил двадцать три нерешенные
проблемы, которые, как мы видим теперь, на самом
деле играли важную роль все последующие сорок
с лишним лет. Математик, решивший одну из них,
занимал тем самым почетное место в математической
общине.
ЛИТЕРА ТУРА
Gesammelte Abhandlungen Гильберта были изданы
в трех томах Ю. Шпрингером в Берлине, 1932—1935
годы. Это издание содержит его Zahlbericht, но не
включает две его книги:
Grundlagen der Gecmetrie, 7. Aufl., Leipzig, 1930:
Grudziige einer allgemeinen Theorie der linearen In-
tegralglelchungen, Leipzig und Berlin, 1912.
Гильберт является соавтором следующих работ:
R. Courant und D. H i 1 b e г t, Methoden der
mathematischen Physik, Berlin> Bd. 1, 2. Aufl., 1931;
Bd. 2, 1937;
D. H i 1 b e г t, W.Ackermann, Grundziige der
theoretischen Logik, Berlin, 1928;
D. H i 1 b e г t und S. Cohn-Vossen, Anschcm-
liche Geometries Berlin, 1932;
303
D. Hilbert und P. В е г п а у s, Grundlagen der
Mathematik, Berlin, Bd. 1, 1934; Bd. 2, 1939.
Собрание его трудов содержит статьи Б. Л. ваи дер
Вардена, X. Хассе, А. Шмидта, П. Вериаыса и Э. Хел-
лпнгера о работе Гильберта в области алгебры, теории
чисел, оснований геометрии и арифметики,
интегральных уравнений. В них прослеживается дальнейшее
развитие зтнх областей и даются подробные
библиографические ссылки. Читатель может также
обратиться к номеру Die Naturwissenchajten 10 (1922), 65—104,
посвященному Гильберту. В нем содержится обзор
его работ до 1922 года. Кроме того, укажем на статью
Б и б е р б а х а (L. Bieberbac b), Ueber den Ein-
fluss von Hilberts Pariser Vortrag iiber «Mathematische
Probleme» auf die Entwicklung der Mathematik in den letz-
ten dreissig Jahren, Die Naturwisseiischafien 18(1930),
1101—1111. О. Блюмеиталь описал жизнь Гильберта
(Собрание трудов, т. 3, стр. 388—429).
Я опускаю все ссылки на литературу, указанную
в этих статьях.
ТЕОРИЯ И ИВА РИЛ IIГ ОБ
Классическая теория инвариантов имеет дело с
многочленами / = /(#!, . . ., хп)у зависящими от
коэффициентов хл, . . ., хп одной или нескольких форм от
данного числа переменных гц, . . ., %. Каждая
линейная подстановка s с определителем, равным 1,
примененная к g аргументам, индуцирует некоторое
линейное преобразование U(s): х-^х' = U(s'x переменных
коэффициентов х1щ . . .,#„. При этом многочлен / =
— J(xx, . . ., хп) переходит в новый многочлен
J(x[, . . ., х'п) = J\xv . . ., хп). J называется
инвариантом, если Js = J для всех s. (Ограничение унимо-
дулярными преобразованиями s позволяет нам
избежать более сложного понятия — относительного
инварианта и рассматривать не обязательно однородные
многочлены, благодаря чему можно вводить в
рассмотрение кольцо инвариантов.) Классическая проблема
инвариантов является частным случаем общей проблемы
инвариантов, в которой s принадлежит произвольной
абстрактной группе Г, а правило s—>■ L\s) определяет
310
представление этой группы (т. е. закон,
сопоставляющий каждому элементу $^Г некоторое линейное
преобразование U(s) n переменных хг, . .,:гп, причем
так, что произведению элементов группы
соответствует композиция преобразований). Развитие этой
теории до Гильберта привело к двум основным теоремам,
доказанным, однако, лишь в весьма специальных
случаях.
Первая из них утверждает, что инварианты
имеют конечный целый базис. Это означает, что можно
найти среди них конечное число таких инвариантов
7Х, . . ., zm, чтобы каждый другой инвариант J был
представим в виде многочлена от них. Тождественное
соотношение между базисными инвариантами ix, . . ., /m
есть многочлен F(zx, . . ., zm) от т независимых
переменных zu . . ., zm, обращающийся в нуль после
подстановки
Вторая основная теорема утверждает, что идеал
соотношений имеет конечный базис. Это означает, что
можно выбрать среди них конечное число
соотношений Р\, . . ., Fh, для которых каждое соотношение F
будет иредставимо в виде
F = Q^ + ... + QhFh, (l)
где Qi — многочлены от переменных гх, . . ., zm.
Я возьму на себя смелость предположить, что
Гильберту удалось сначала доказать вторую теорему.
Соотношения образуют подмножество в кольце k\zl4 . . .
..., zm] всех многочленов от переменных z1, ..., zm с
коэффициентами из данного поля к. Когда Гильберт нашел
свое простое доказательство, он не мог не заметить,
что оно проходит для любого множества многочленов 2.
Тем самым он открыл одну из самых фундаментальных
теорем алгебры, которая играет основополагающую
роль в наших современных абстрактных методах и
которая утверждает, что
(А) Каждое подмножество 2 кольца многочленов
1с [гг, . . ., zm] порождает идеал с конечным базисом,.
Будет ли это плохой метафизикой, если добавить,
что его доказательство оказалось таким простым
потому, что предложение справедливо в столь общей
Ш
форме? Это доказательство проводится при помощи
последовательного присоединения переменных zt и
использования на каждом шаге следующего
утверждения. Пусть кольцо г удовлетворяет условию (Р):
каждый идеал в г обладает конечным базисом; тогда кольцо
многочленов r[z] от одной переменной с
коэффициентами в г также удовлетворяет условию (Р). После того
как установлено это утверждение, мы получаем не
только теорему (А), но и ее арифметическое обобщение,
предложенное Гильбертом, в котором поле к
рациональных чисел заменяется на кольцо целых
рациональных чисел.
Подмножество 2 соотношений, к которому Гильберт
применяет свою теорему (А), само является идеалом,
и тем самым идеал {Fl9 . . ., Fk), т. е. множество всех
элементов вида (1), где QiEzk[z1, . . ., zm], не только
содержит 2, но и совпадает с 2. Однако доказательство
применимо и в случае, когда 2 не является идеалом,
и дает одновременно порождающий идеал {2} для 2
и устанавливает конечность его базиса, {2} =
= {^i. • • •, Fh).
Построение полного набора соотношений F1? . . ., Fh
окончательно определило бы алгебраическую
структуру кольца инвариантов, если бы оказалось, что
любое соотношение представляется в виде (1) только од-
ним способом. Но, так как это, вообще говоря, неверно,
нам приходится рассматривать «полиномиальные
векторы» М = (Mi, . . ., Л/Л), для которых M1F1 + . . .
. . . + MhFh тождественно равно нулю (первые
сизигии). Эти линейные соотношения М между
многочленами Fu . . , Fh снова образуют идеал, к которому
применима теорема (А). Получаемый таким образом
базис М определяет вторые сизигии. К двум первым
основным теоремам Гильберт добавляет третью,
утверждающую, что можно так выбирать сизигии, что
их последовательность обрывается не более чем через
т шагов.
Все эти утверждения повисают в воздухе, пока мы
не установим первую основную теорему. Последняя
имеет совершенно особый характер, поскольку она
относится к конечности базиса области целостности,
а не идеала. Рассматривая инварианты, мы имеем
дело с кольцом k% = k[xv . . . ,хт] многочленов от
812
£i> • • • * *m иад дайньш полем к. Гильбер*
применяет свою теорему (А) к множеству Звсех
инвариантов /, для которых /(О, . ,,,0)=0 (оно
образует подкольцо в кх, а не идеал!), и находит таким
образом базис iv . . , im идеала, порожденного
множеством, 3* Каждый из инвариантов / == iT может быть
представлен в виде суммы i = i<4>+ i<2> + . . .
однородных форм степеней 1, 2, . . ., и, так как эти
слагаемые сами представляют собой инварианты, мы можем
считать, что ir — однородные формы степеней Vr^ 1.
После этого Гильберт утверждает, что многочлены
h* • • .♦ im составляют систему образующих кольца
всех инвариантов. Чтобы проиллюстрировать идею
доказательства этого утверждения, я рассмотрю случай
инвариантов для некоторой конечной группы Г,
состоящей из N элементов s(хотя этот случай общей
проблемы инвариантов никогда не рассматривался самим
Гильбертом). Каждый инвариант / представим в виде
/ = с + Ьхц + . . . + Lmim (Lr e **)■ (2)
где с = /(0). Если степень / равна v, то, не нарушая
равенства (2), можно избавиться в Lr от всех членов
степени, большей v — vr. Если бы нам удалось каким-
нибудь способом заменить коэффициенты Lr в (2) на
инварианты, то мы получили бы нужное нам утверждение
с помощью индукции по степени /. В случае конечной
группы это легко можно сделать — надо
воспользоваться процессом усреднения. Линейное
преобразование £/($) переменных хг, . . ., хп, определяемое
элементом $} дереводит (2) в
/ = с + L\ix + ... + Lsmim.
Суммируя по 5 и деля полученную сумму на N, мы
получаем соотношение
/ « с + L\ix + ... + L*mtm,
где
LT = -jf 2Ll ^r*
9
313
Оно похоже па (2), но важно то, что по его
построению новые коэффициенты Lr являются уже
инвариантами *).
Фактически Гильберту приходилось иметь дело не
с конечной группой, а с классическим случаем, в
котором группа Г состоит из всех линейных
преобразований s переменных гц, . . ., щ. При этом вместо процесса
усреднения ему пришлось воспользоваться
дифференциальным методом Кели, так называемым Q-ироцессом
Кели, искусное применение которого позволило ему
завершить доказательство. (В этом процессе
существенно, чтобы g2 элементов матрицы s были независимыми
переменными, причем вместо абсолютных инвариантов
надо рассматривать относительные инвариантные
однородные формы данной степени и веса.)
Теорема (А) Гильберта служит краеугольным
камнем оснований общей теории алгебраических
многообразий. Предположим, далее, что к — поле
комплексных чисел. Алгебраическое многообразие, по-видимому,
естественно определять как подмножество я-мерного
координатного пространства, состоящее из общих
решений системы алгебраических уравнений Д = 0, . . .
• • •» fh r" 0 (fi e кх). Согласно теореме (А) в равной
степени можно рассматривать и бесконечные системы
уравнений. Пусть Z(fx, ... . , fh) обозначает множество
точек х = (хг, . . ., хп), в которых все /г-, а значит,
и каждый многочлен из идеала^ = {/lt . . .,//,}
одновременно обращаются в нуль. Любой элемент
g е= {А, . . ., /л} обращается в нуль на Z(/lf . . ., /л),
однако обратное в общем случае неверно. Например,
хх обращается в нуль там же, где и #?, тем не менее его
нельзя представить в виде х\ • q{xx, ..., хп). На
языке алгебраической геометрии мы имеем здесь дело с
простой плоскостью хх = 0 и тройной плоскостью,
хотя множество точек в обоих случаях одно и то же.
Таким образом, на самом деле под алгебраическим mi:o-
*) Пример копечной группы используется здесь только как
иллюстрация. На самом деле непосредственное элементарное
доказательство первой основной теоремы для конечной группы,
не использующее теоре*илт (А) Гильберта, было дано Э. Н стер
(Е. N о е tli e r), Math. Ann. 77 (1916), 89. Деля на Лг, мы
предполагаем, что характеристика поля к равна 0. (Звездочкой здесь
н в дальнейшем обозначаются примечания автора статьи.)
314
гробразием мы понимаем полиномиальный идеал, а не
множество его пулей. Но, хотя мы и ке можем
надеяться, что каждый многочлен g, равный тождественно
нулю на множестве Z(/j, . . ., jh) ^Z(?), будет
принадлежать идеалу /"= {/х, . . ., //г}, мы можем
рассчитывать, что по крайней мере некоторая его степень
войдет в %°'. «Nullstellensatz»1) Гильберта утверждает,
что так и будет если только к есть поле комплексных
чисел. В случае произвольного поля коэффициентов к
надо еще потребовать, чтобы координаты
рассматриваемых точек х принадлежали полю к или его некоторому
алгебраическому расширению. Очевидно, что
Nullstellensatz относится к основам самого понятия
алгебраического многообразия *).
В действительности же Гильберт использовал эту
теорему как вспомогательное средство для своих
исследований но инвариантам. Так как нам приходится
иметь дело только с полной линейной группой, мы
будем рассматривать только однородные инварианты,
не оговаривая этого особо. Отбросим константы
(инварианты степени 0). Предположим, что мы нашли jli
непостоянных инвариантов /х, . . ., Jvi таких, что
каждый другой такой же инвариант обращается в нуль
на множестве их общих пулей. Разумеется, в
качестве таких инвариантов можно взять базис идеала,
порожденного всеми непостоянными инвариантами, но мы
сможем найти их и значительно более дешевым
способом. Действительно, одно красивое рассуждение
Гильберта показывает, что если существует непостоянный
инвариант, не обращающийся в нуль в данной точке
х = х°, то существует и другой инвариант с тем же
свойством, вес которого не превосходит некоторой
априорной величины W (например, W — 9п(3п + I)8 для
инвариантов тернарной формы степени /г). Таким
образом, /х, . . ., Jii могут быть выбраны из
инвариантов, вес которых не превышает W, и, таким образом,
поддаются явному алгебраическому построению.
г) Теорема о нулях (нем.).
*) Книга Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра»,
т. 2, Гостехиздат, 1947, дает на стр. 7—87 прекрасное изложение
затронутых здесь общих алгебраических понятий и фактов
(см. также новое издание этой книги: Б. Л. ван дер В а р-
ден, Алгебра, «Наука», М., 1976, гл. XVI).
315
Когда Гильберт опубликовал свое доказательство
конечности базиса идеала, формалист Гордан,
считавшийся в то время королем инвариантов, воскликнул:
«Это — не математика, это — теология!» Гильберт всю
жизнь протестовал против недооценки доказательств
существования, составляющих «теологию». Однако мы
видели, как более детальное исследование позволило
ему удовлетворить конструктивистским требованиям
Гордана. Применяя процесс Кели и свою Nullstellen-
satz, ему удалось показать, кроме того, что каждый
инвариант J является целой алгебраической (но не всегда
рациональной) функцией от инвариантов Ji9 . . ., J^,
которая удовлетворяет уравнению
где G — полиномы от /ь . . ., /д. Тем самым,
алгебраические расширения такого сорта позволяют
перейти от Jx, . . ., J^ к базису всей области целостности.
После этого известные алгебраические приемы,
аналогичные тем, которые были созданы Кронекером,
позволяют дать искомое явное построение.
После формальных исследований, идущих от Кели
и Сильвестра к Гордан у, Гильберт открыл новую
эпоху в теории инвариантов. Действительно, его новые
идеи и мощные методы не только позволили этой
области идти в ногу с новейшими алгебраическими
достижениями, обязанными Кронекеру и Дедекинду, но и
внесли в нее такой вклад, который позволил почти
полностью решить все проблемы, во всяком случае
относящиеся к случаю полной линейной группы. С вполне
оправданной гордостью он завершает свою работу
Ueber die voUen Irwariantensysteme словами: «Таким
образом, я верю, что важнейшие цели теории
функциональных нолей, образованных инвариантами,
достигнуты», после чего покидает сцену *).
Среди исследований, ведущихся с тем пор, как
Гильберт ушел из этой области, следующие два направ-
*) Я рекомендую вниманию читателя краткое резюме его
работы по теории инвариантов, которое было написано самим
Гильбертом дли Международного математического конгресса
в Чикаго в связи с Международной выставкой в 1893 году;
Собрание трудов, т. 2, ц. 23.
316
ления представляются самыми важными: (1) Процесс
усреднения, применявшийся выше для конечных групп,
был перенесен на непрерывные компактные группы.
Основываясь на этих трансцендентных методах,
Адольф Гурвиц разобрал случай вещественной
ортогональной группы. Этот метод оказался чрезвычайно
полезным. Простое замечание, что инварианты
вещественной ортогональной группы ео ipso г) являются
также инвариантами комплексной ортогональной
группы, показывает, каким образом эти результаты могут
быть перенесены даже на некомпактные группы и,
в частности, на все полупростые группы Ли. (2) В
настоящее время теория инвариантов для произвольных
групп нашла свое естественное место в рамках теории
представлений групп линейными подстановками,
причем этим развитием мы больше всего обязаны Г. Фро-
бениусу.
Хотя первая основная теорема была доказана для
широкого класса групп Г, мы до сих пор не знаем,
верна ли она для любой группы. Вскоре обнаружилось,
что все попытки доказать ее в такой общности не
приводят к успеху. Многообещающий алгебраический
подход к этой проблеме указан под номером 14 в списке
математических проблем, поставленных Гильбертом в
Париже.
Остановившись столь подробно на теории
инвариантов Гильберта, мы можем только вкратце упомянуть
про его другие, более разрозненные алгебраические
достижения. Первая работа, в которой проявился
настоящий характер молодого алгебраиста, относилась
к выяснению условий, при которых вещественная
форма представляется в виде суммы квадратов таких
форм. В частности, в ней исследовался вопрос о том,
является ли очевидное необходимое условие
положительной определенности также и достаточным. С
помощью изобретательных рассуждений, основанных на
использовании непрерывности, а также
алгебраических конструкций, Гильберт нашел три специальных
случая, в которых ответ на этот вопрос положителен,
среди них, разумеется, случай положительно
определенной квадратичной формы. Во всех остальных слу-
*) Тем Самым (лат.).
317
чаях Гильберт построил контрпримеры. Похожие
методы встречаются в двух работах, посвященных
привлекательной проблеме нахождения хмаксимального числа
и расположения вещественных овалов алгебраической
кривой и поверхности. Гильберт высказал гипотезу,
что для любого числа переменных каждая рациональная
функция с вещественными (или рациональными)
коэффициентами является суммой квадратов таких функций
при условии,что все ее значения при положительных
значениях аргументов являются положительными. В своих
Grundlagen der Geometrie он отметил значение этого
факта для гео*метрических построений с помощью
линейки и «Eichmass» *). Позднее О. Веблен предложил
в качестве основы для различения положительных и
отрицательных элементов в любом поле аксиому,
гласящую, что никакая сумма квадратов не равна нулю.
Независимо от него Э. Артин и О. Шрайер развили
подробную теорию таких «вещественных полей», с
помощью которой первому из них удалось доказать
гипотезу Гильберта *).
В заключение я упомяну про теорему Гильберта о
неприводимости, утверждающую, что после
подстановки некоторых целочисленных значений во все
переменные, кроме одной, неприводимый многочлен
определяет неприводимый многочлен от одной
переменной.
Кроме того, стоит упомянуть его работу о решении
уравнения девятой степени с помощью функций от
минимального числа переменных. Эти работы
послужили началом многих современных алгебраических
работ (Э. Нётер, Н. Чеботарев и др.). Наконец, следует
отметить, что па фундаменте, заложенном Гильбертом,
Э. Ласкер и Ф. С. Маколей создали детальную теорию
полиномиальных идеалов, позволившую Э. Нётер
развить общую аксиоматическую теорию идеалов. Таким
образом, в области алгебры, как и в других областях,
понятия, введенные Гильбертом, сыграли большую
роль в дальнейшехМ развитии.
г) Эталон моры (нем.).
*) О. V е Ы с n. Trans. Amor. Math. Soc. 7 (1906), 197—199;
E, Art i n, О Я r ]j v e i e r, Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ.
5 (1920), 85-99; E. A r t i и, там же, 100-115.
318
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОЛЯ
Когда Гильберт, покончив с инвариантами,
обратился к теории алгебраических числовых полей, эта
теория покоилась в основном на доказанной более сорока
лет назад теореме Дирихле о единицах и идеальных
дивизорах, введенных Куммером, Дедекиндом и Кро-
некером. Основным объектом ее изучения являются
алгебраические поля х над полем рациональных
чисел к. Один из самых важных общих фактов,
относящихся к основаниям, был открыт Дедекиндом. Он показал,
что простые делители дискриминанта—это в точности
те простые числа, разложение которых в произведение
простых идеалов в поле х содержит кратные
сомножители (разветвленные простые числа). Если I — простое
рациональное число, то добавление к х корня 1-й
степени из числа а, принадлежащего х, определяет
относительное циклическое поле К = x(aV') степени I
над х при условии, что х содержит корень 1-й степени
из единицы £ = e2nin (согласно Лагранжу, любое
относительное циклическое поле степени I над х
получается таким образом). Надо отметить, что именно
последнее обстоятельство заставило Куммера при его
попытках доказать теорему Ферма о невозможности
решения уравнения а' + Р* = у1 перейти от поля
рациональных чисел к к круговому полю щ = fc(£) и
затем ввести свои идеальные числа с тем, чтобы
определить, взаимно ли просто с I количество классов
эквивалентности таких чисел в щ. Гильберт вошел в эту
область, резюмировав результаты Куммера о
циклических полях степени I над полем X/, которые он
назвал «куммеровыми полями».
Его первым важным собственным достижением
явилась теория относительных полей Галуа К данного
алгебраического числового поля х. В основном он
интересовался связью группы Галуа Г поля К1к с
разложением простых идеалов поля х в поле К. Для любого
простого идеала $ относительной степени / в поле К
подстановки s из Г со свойством s$ = ф образуют
группу разложения. Как обычно в теории Галуа, этой
группе соответствует некоторое подполе поля К/к
(поле разложения). Элемент из К принадлежит этому
полю, если он инвариантен относительно всех подста-
319
новок из группы разложения. Множество
подстановок t, переводящих каждое целое число А поля К в
число tA, сравнимое с Л по mod $, образует
инвариантную подгруппу группы разложения индекса /, которая
называется группой инерции. Соответствующее поле
(поле инерции) зажато между полем разложения и
полем К. Пусть р — простой идеал в к и $* — точная
степень $, делящая р. Я дам представление о
характере результатов Гильберта, сформулировав
следующий его центральный результат. В поле разложения
идеала $ разложение простого идеала р на простые
множители содержит простой идеал р* = $е
степени 1 (отсюда название такого поля!); при переходе от
поля разложения к полю инерции идеал р* остается
простым, но его степень увеличивается до /; при
переходе от поля инерции к полю К идеал р *
распадается на е простых сомножителей $ одинаковой степени /.
Для дальнейшего я добавлю следующее замечание.
Если $ входит в разложение р только в первой
степени, т. е. е = 1 (что всегда выполняется, если р не делит
относительный дискриминант поля К/х), то группа
инерции состоит только из единичного элемента. В этом
случае теория конечных полей Галуа показывает, что
группа разложения является циклической порядка /,
а ее элементы 1, s, s27 . . ., sf—1 однозначно
определяются сравнениями
sA e= Ap, s2A == Ар\ . . . (mod $),
справедливыми для любого целого числа А. Здесь Р
обозначает число вычетов в х по модулю р и, тем
самым, Pf совпадает с числом вычетов в К по модулю $.
Сегодня мы называем элемент $ = а($) подстановкой
Фробениуса идеала $. При этом особо важным
является то, что некоторый специальный элемент группы
разложения может быть выделен среди всех остальных.
Сразу же видно, что для любого элемента и группы
Галуа о(и$) = и^о^и. Таким образом, если поле
Галуа К/к является абелевым, то подстановка а($) =»
= о(и§) зависит только от р и может быть обозначена
через
320
В 1893 году Deutsche Mathematiker-Vereinigung *)
обратилось к Гильберту и Минковскому с просьбой
подготовить в течение двух лет обзор по теории чисел.
Спустя некоторое время Минковский выбыл из
участия в этом проекте. Монументальный обзор
Гильберта Die Theorie der algebraischen Zahlkorper появился в
Jahresbericht 2) в 1896 году (предисловие датировано
апрелем 1897 года). Представленный Гильбертом труд
в бесконечное число раз превосходил все то, на что
могло рассчитывать Общество. На самом деле его
обзор представляет собой жемчужину математической
литературы. Даже сегодня, спустя почти пятьдесят
лет, изучение этой книги необходимо для любого,
кто пожелает стать специалистом в теории
алгебраических чисел. Заполнив пробелы большим количеством
своих собственных исследований, Гильберт придал
этой теории величественную унифицированную форму.
Доказательства всех известных теорем были тщательно
проанализированы, прежде чем он остановился на тех
из них, «принципы которых поддаются обобщению и
более всего пригодны для дальнейших исследований».
Но прежде чем сделать такой выбор, нужно было
провести сами эти «дальнейшие исследования»! Особое
внимание было уделено обозначениям, благодаря чему
впоследствии они стали общеупотребительными
(включая, к ужасу американских издателей, готические
буквы для идеалов). Ему удалось существенно упростить
теорию Куммера, основанную на очень сложных
вычислениях, а также ввести те понятия и доказать
большинство из тех теорем, которые составляют сегодня
основания общей теории относительных абелевых
полей. Наиболее важными в ней являются понятие
символа норменного вычета, центральная теорема об
относительных циклических полях, знаменитая Satz3) 90
(Собрание трудов, т. 1, стр. 149). Позвольте мне
привести один абзац из предисловия, в котором он
описывает общий характер теории чисел и, в
частности, те твхмы, которые затрагиваются в его
обзоре.
*) Общество немецких математиков {нем.).
2) Ежегодник (нем.).
3) Теорема (нем.).
321
«Теория числовых полей представляет собой
здание редкой красоты и гармонии. Самая же богатая
идеями часть этого здания, как мне кажется, есть
теория абелевых полей, возникшая из работы Куммера
о высших законах взаимности и исследований Кро-
некера по комплексному умножению эллиптических
функций. Глубокое проникновение в эту теорию,
которое дают работы этих двух математиков, показывает
в то же время, что несметные сокровища все еще лежат
сокрытыми, маня богатым вознаграждением
исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего
свое искусство, чтобы овладеть ими».
Сам Гильберт был рудокопом, который в течение
следующих двух лет добыл большую часть скрытой
под землей руды. Руководящим принципом в это время
для него служила аналогия с соответствующими
проблемами для алгебраических функций от одной
переменной, где доступны мощные методы топологии и абелевых
интегралов, введенные Риманом (ср. его замечания в
разделе 12 Парижских проблем). Доставляет большое
удовольствие наблюдать, как шаг за шагом,
поднимаясь от частного к общему, Гильберт вводит
адекватные понятия и методы и делает важные заключения.
Я упомяну о его выдающейся работе по относительным
квадратичным полям, а также о его последней и самой
важной работе Ueber die Theorie der relativ Abelschen
Zahlkorper. Подробно разбирая примеры, ему удалось
предсказать и сформулировать основные факты о так
называемых полях классов. В то время как работы
Гильберта по теории инвариантов служили
завершением теории, его работы по алгебраическим числам
были только началом. Большая часть усилий таких тео-
ретико-числовиков последних десятилетий, как Фурт-
венглер, Такаги, Хассе, Артии, Шевалле, была
направлена на доказательство результатов,
предсказанных Гильбертом. Используя £-функцию для
доказательства существования некоторых вспомогательных
простых идеалов, Гильберт существенно опирался на
трансцендентные рассуждения. Последующее развитие
постепенно избавилось от этих трансцендентных методов,
показав, что, хотя те и являются подходящим и мощным
инструментом для исследования распределения
простых идеалов, они чужды для проблем теории полей
322
классов. Шлтаяеь описать основные моменты
последней, я не буду отказываться от прогресса и упрощения,
достигнутого этим недавним развитием.
Разработанная Гильбертом теория норменных
символов основана на следующих его собственных
открытиях: (1) он осознал основную идею и определил
символ норменного вычета для всех неисключительных
простых идеалов; (2) он понял необходимость введения
бесконечных простых точек; (3) он сформулировал
общий закон взаимности в терминах норменного символа;
(4) он увидел, что этот закон позволяет
распространить определение норменного символа на
исключительные простые идеалы, в которых и сосредоточен
главный интерес. Существенный прогресс произошел после
того, как Э. Артин позже (5) взял за значение символа
вычета не корни из единицы, а элементы группы Галуа.
В своем наброске проблем, поставленных Гильбертом,
я воспользуюсь этой идеей Артина, а также
упрощающим языком (6) р-адических чисел Гензеля и (7)
иделей Шевалле *).
Как хорошо известно, целое число а, не делящееся
на простое число р Ф 2, называется квадратичным
вычетом, если сравнение я2 === a(raod p) разрешимо. Гаусс
ввел символ! —), равный +1 или —1 в зависимости от
того, является ли а квадратичным вычетом или
невычетом no mod p. Он же заметил, что тот является
характером, I—) • (—) = ( —)• Действительно, р
вычетов по modp, в качестве представителей которых
можно взять числа 0, 1, . . ., р — 1, образуют поле,
а ненулевые элементы этого поля образуют группу,
в которой квадратичные вычеты составляют подгруппу
индекса 2. Пусть К = k(bi/2) — квадратичное поле,
которое получается из поля рациональных чисел к
присоединением квадратного корня из рационального
числа Ъ. Целое число а Ф 0 Гильберт называет р-адиче-
ской нормой в К, если по модулю любой степени р
оно сравнимо с нормой некоторого целого числа в К.
*) Последний обзор тгоп теории содержится в работе Ш е-
л а л л е (С. С h с v а 1 I с у)ч La thcoiie da corps de classes, Ann.
of Math. 41 (1940), 301-118.
323
Он полагает (—) = + 1, если а является р-адической
нормой, и —1 в противном случае и показывает, что
этот р-адический норменный символ также является
характером. Систематическое изучение чисел по
модулю произвольных степеней простых чисел р было
проведено К. Гензелем в рамках его р-адических чисел,
и я повторю на этом языке определение Гильберта:
«Рациональное число а Ф О или, более общо, р-ади-
ческое число ар Ф О является р-адической нормой в
поле К, если уравнение
ар = Nm (х + ybi/2) = х2 — Ъу*
имеет р-адическое решение х = хр, у = ур;
норменный символ (ар, К) равен +1 или —1 в соответствии
с тем, является ли ар р-адической нормой в К или нет».
р-адические числа образуют поле к(р), а р-адиче-
ские нормы составляют в его мультипликативной
группе Gp ненулевых чисел подгруппу индекса 1 или 2.
Цикличность факторгруппы является существенным
обстоятельством. Легко видеть, что р-адические
квадраты образуют подгруппу G\ индекса 4, если р Ф 2,
и 8, если р = 2, а факторгруппа Gp/Gp не является
циклической и, следовательно, не может быть описана
одним-единственным характером. Разумеется, каждый
р-адический квадрат является р-адической нормой в К.
Оба шага, замена квадратов ^-нормами и переход от
модуля р к произвольно большим степеням р, из
которых первый позволяет ослабить, а второй усилить
условие Гаусса для квадратичного вычета, одинаково
существенны для успеха введенного Гильбертом
определения.
Каждое р-адическое число ар Ф О представимо в
виде phepi где ер — р-адическая единица, тем самым ар
имеет определенный порядок h (относительно р).
Каждое обыкновенное рациональное число а совпадает с
некоторым р-адическим числом 1р(а) = ар. Здесь 1Р
обозначает гомоморфизм вложения поля к в поле к(р):
1р(а + а') = 1р(а) + /р(а'), 1р(аа') = 1Р{а)1р{а').
Характер ( ——) обозначается также через (/р(#), К).
324
Мы подходим ко второму4* открытию Гильбертаз
он пришел к заключению, что нельзя получить простые
законы, пока мы не добавим к «конечным простым
точкам» р одну бесконечную простую точку q. По
определению g-адические числа являются вещественными
числами, a Iq (a) — рациональное число,
совпадающее с самим а.
Таким образом, вещественное число является д-ади-
ческой нормой в К% если уравнение aq = х2 — Ьу%
имеет решение в вещественных числах х, у. Ясно, что
при Ъ > 0, т. е. в случае вещественного поля К, это
выполняется для всех aq. Если же Ъ < 0, т. е. К —
мнимое поле> то только положительные числа aq
являются g-адическими нормами.
Тем самым,
( 1, если К Еещественное,
(aq, К) = . „
N ч ' \ sign aqi если К мнимое.
Тот факт, что норменный символ является
характером, для бесконечной простой точки проверяется, тем
самым, намного легче, чем для конечных точек.
Третье замечание Гильберта состоит в том, что 8а-
кон взаимности Гаусса вместе с двумя его
дополнениями может быть записан следующей изящной формулрй:
П(М«),*)=.П(1г) = 1, (3)
где произведение берется по всем конечным и
бесконечным простым точкам р. Это произведение вполне
определено, так как почти все множители (т. е. все, за
исключением конечного числа) равны 1. Действительно,
если р не входит в дискриминант поля К, то(ар, К) = 1
для любой р-адической единицы ар. Формула (3)
является первым настоящим успехом идеи норменного
символа и дала Гильберту уверенность в том, что
высшие законы взаимности должны формулироваться в
терминах норменных вычетов.
Каждое рациопальное число а определяет для
каждой простой точки р /7-адическое число ар = 1р(а).
Какие свойства этого сопоставления используются при
образовании произведения (3)? Очевидный ответ на
825
этот вопрос дает понятие иделя, введенное Шевзлле:
идель а есть функция, ставящая в соответствие
каждой точке р некоторое р-адическое число ар Ф О,
которое является р-аднческой единицей почти для всех р.
Относительно операции умножения функций идели
образуют группу Jh. Соответствие р -> ар = /р(а)
определяет для каждого рационального числа а Ф О
некоторый идель, называемый главным иделем а. Для
иделей а мы можем снова вернуться к нашим прежним
обозначениям ( ——1 вместо (я/м К). Формула
т (а) = (а, К) = П («р, К) = П (*-£) (4)
р \ Р J
определяет характер ф#, норменный характер на
группе Jk всех иделей. Закон взаимности в форме Гильберта
(3) утверждает, что для главных иделей а
(«, К) = 1. (5)
По самому определению норменпого символа (ар9 К)
это же равенство имеет место, если а является нормой
в К, т. е. для любой точки р ар есть р-адическая норма
в К. Два иделя а и а' называются эквивалентными,
если их отношение а'а~1 является главным иделем.
Обозначим через Nm //v группу всех иделей,
эквивалентных нормам в К. Тогда равенство (5) имеет место
для всех иделей а из Nm //v-, и было бы интересно
узнать, только ли для них это верно, или, другими
словами, узнать, является ли Nm JK подгруппой
индекса 2 в группе Jk .
Теперь мы достигли такого уровня, когда наш опыт
обращения с квадратичным полем К над основным
рациональным полем к позволяет нам перейти к произвольному
относительному абелеву полю К над заданным
алгебраическим числовым нолем % = Цв). Прежде всего надо
сказать о бесконечных простых точках поля и. Его
определяющее уравнение /(6) = 0 есть неприводимое
уравнение в поле к некоторой степени т и, тем самым,
имеет в множество комплексных чисел т различных
корней 0', 0", ..., 0(т>. Предположим, что г из них
вещественны, пусть это будут 0', . . .. 0'г). Каждый
элемент а из к имеет г вещественных сопряженных
326
элементов а\ . . ., а(г). При этом а(*> определяется
как образ а при гомоморфизме /<*> из х в поло
вещественных чисел:
а->а(0 = /(0(а) (* = 1, ...,г).
Тем самым, мы говорим об г вещественных
бесконечных простых точках q', . . ♦, g<r> с соответствующими
гомоморфизмами J' = /#', . . ., 1^\ поля и(д'), . . .
. ..,х(#<г)) отождествляются с полем вещественных
чисел. Тем самым, а является п-ш #'-адической
степенью, если уравнение а' = Н'п имеет вещественное
решение. Ясно, что это условие нетривиально только
для четных п и эквивалентно в этом случае условию
положительности а'. (В комплексной области это
уравнение всегда разрешимо вне зависимости от четности п,
и именно поэтому мы полностью исключаем из
рассмотрения комплексные бесконечные точки.)
Конечные простые точки — это простые идеалы $
поля х. При изучении полей Галуа К/к степени п мы
вначале исключаем из рассмотрения разветвленные
идеалы р, входящие в относительный дискриминант
поля К/к. Каждый неразветвленный идеал р поля
х распадается в К на некоторое число q различных
простых идеалов $х, . . ., ^q относительной
степени /, при этом fq — п. Легко видеть, что р -адическое
число ар Ф О является р-адической нормой в К тогда
и только тогда, когда его порядок (в р) кратен /. В
частности, р -адические единицы являются нормами. Таким
образом, мы оказываемся в значительно более простой
ситуации, чем при определении гауссова символа
квадратичного вычета: норменный характер числа о^
зависит только от порядка i этого числа в точке р.
Теперь ясно, как надо поступать: мы выбираем
первообразный корень /-и степени из единицы £ и полагаем
(otp , К) = £*, если порядок а^ равен i. Построенная
функция от ар является характером и принимает
значение 1 на нормах и только на них. Но здесь возникает
загвоздка: не существует никакого алгебраического
свойства, позволяющего отличать друг от друга
несколько первообразных корней /-й степени из
единицы.- Тем самым, мы имеем произвол в выборе £.
С этим еще можно было бы смириться, если бы мы име-
327
ли дело только с одним простым идеалом. Но когда
нужно принимать во внимание все простые идеалы,
образовывая произведения типа (4), эта
неопределенность, казалось бы, уничтожает все надежды на
получение простого закона взаимности типа (5). Я не буду
описывать тех ухищрений, с помощью которых
Эйзенштейну, Куммеру и Гильберту удалось выйти из
этого трудного положения. Намного лучшее решение
было найдено Артином. Если поле К/к абелевр, то
для Хи р однозначно определена подстановка Фробе-
ниуса —, которая является элементом порядка /
группы Галуа Г расширения КЫ. Пусть этот элемент и
явится заменой £ в нашем окончательном
определении р-адического норменного символа;
(аг^) = (нт) = (т)г' если
порядок otp в у равен i. (6)
Теперь для любого иделя а мы можем образовать
произведение
распространенное по всем конечным и бесконечным
(вещественным) простым точкам р, и сформулировать
закон взаимности, утверждающий, что (а, К) = 1 для
любого главного иделя а. Все это было бы хорошо,
если бы мы только не исключили в нашем
определении (схр , ЛГ) некоторых специальных р, а именно
бесконечных точек и разветвленных простых идеалов.
В одном специальном случае с помощью чрезвычайно
сложных вычислений Куммеру удалось дать
правильное определение (ар, К) для исключительных р.
Четвертое открытие Гильберта состоит в изобретении
простого и остроумного приема, позволившего преодолеть
это трудное препятствие, ставшее на пути дальнейшего
прогресса. Ограничимся вначале иделями,
являющимися w-ми степенями в наших исключительных точках.
Другими словами, предположим, что уравнение ар =»
= I7! разрешимо для р-адических значений ар иделя а
323
для этого конечного числа точек. В этом случае опре-,
делить (а, К) не представляет никакого труда:
(а,/Г)=*П [*rK)i
штрих здесь означает, что произведение берется только
по неисключительным простым точкам, где мы знаем
определение (ар, К). При тех же ограничениях мы
доказываем (вместе с Артином) вакон взаимности
(а, К) = 1, если а главный, (7)
и замечаем, что, по определению, (а, К) = 1, если
а —норма. Вернемся к произвольному иделю а. Легко
видеть,, что существует эквивалентный идель а* —а,
который является п-й степенью для всех
исключительных простых точек, хотя таких а* будет,' разумеется,
бесконечное число. Тем не менее ограниченный закон
взаимности гарантирует нам, что
<«*,/о-п («;,*)
принимает одинаковое значение для всех таких а*.
Именно это значение мы и возьмем за определение
(а, К). Приняв это определение, мы получаем, что
закон взаимности (7) и утверждение, что (а, К) = 1
для любой нормы, имеют место без всяких
дополнительных предположений. Таким образом, сам закон
взаимности становится средством для того, чтобы можно
было следить за исключительными точками!
Если значение (а, К) становится известным для
любого иДеля а, мы можем вычислить (ар, К) для
заданной точки р и заданного р-адического числа щ Ф О,
взяв значение (а, К) на «примарном» иделе, также
обозначаемом через ар, равным ар в точке р и 1 во всех
остальных простых точках. (Идель а является
произведением своих примерных компонент ар.) Можно
ожидать, что будут выполняться следующие два
свойства:
I. (ар, К) = 1 тогда и только тогда, когда ар
является р-адической нормой.
И. Для данного простого идеала р (ар, К) = 1 для
каждой у-адической единицы ар тогда и только тогда,
поъда у неразветелт*
№
Выше ужо были установлены условия
достаточности из I и II:
(1о) если otp — норма, то (ар, К) — 1;
(П0) если р неразветвлен, то (ар, К) = 1 для
каждой jj-адпческой единицы ар.
Обратное утверждение к (1()) тривиально для
неисключительных точек, но для исключительных точек
из-за неявного определения норменного символа
доказательство обратных утверждений к (10) и (И0)
довольно сложно. Утверждение II показывает, что для
любого простого разветвленного идеала р порменный
характер ар зависит не только от порядка ар; тем самым
то простое свойство, которое делает возможным
определение (6), распространяется только на неразвотв-
ленные идеалы р . Можно было бы надеяться также на
справедливость утверждения:
III. Если главный идель а является и дельной нормой
в поле К, то число а есть норма в К.
Это верно для циклических нолей Л7к, по,
вообще говоря, неверно для произвольных абелевых
полей.
Обозначим снова через Nm JK подгруппу группы 7Х,
состоящую из идол ей, эквивалентных нормам. Тогда
нормеиный символ срк (а) = (а» К) определяет
гомоморфное отображение факторгруппы /x/i\m JK в
группу Галуа поля К/к. Можно было бы надеяться, что это
отображение взаимно однозначно:
IV. Отображение норменного символа устанавливает
изоморфизм факторгруппы /X/Nm J к на группу
Галуа поля КУх.
Утверждения I, II, Шс (индекс с означает
ограничение циклическими полями) и IV составляют основные
предложения того, что можно назвать норменной
теорией относительных абелевых полей. Они справедливы
для каждого такого поля К/к.
Имеется другая часть этой теории, собственно
теория полей классов, которая относится к вопросу о
связи множества всевозможных относительных абелевых
полей К над к со структурой группы /х иделей поля к.
Каждое такое поле К определяет, как мы видели выше,
подгруппу конечного индекса Nm JK группы /х.
Возникает вопрос: какие именно подгруппы Jx группы Jx
получаются таким способом из абелевых полей КМ
330
Ясно, что необходимыми условиями являются
следующие:
(1) Каждый главный идель принадлежит J^.
(2) Существует такое натуральное число п, что
каждая п-я степень иделя принадлежит J*K-
(3) Существует такое конечное множество точек S,
что а е /х, если а является единицей во всех точках
и равно 1 для точек из S.
Основная теор&ма теории полей классов
утверждает, что эти условия являются также и достаточными.
V. Для любой подгруппы /х группы /х,
удовлетворяющей трем предыдущим условиям (и, в частности,
конечного индекса), существует однозначно
определенное абелево поле К/к такое, что /х = Nm JK.
Разобьем множество йделей на классы, относя два
иделя к одному классу, если их частное принадлежит
группе J*K. Тогда факторгруппа JJJK называется
группой классов, а соответствующее поле К — полем
классов. Самый важный пример получается, если взять
за /х группу всех единичных йделей а, значения ар
которых являются j-адическими единицами во всех
простых точках р *). В этом случае соответствующие
классы совпадают с обычными классами идеалов: два
идеала принадлежат одному классу, если их частное
является главным идеалом (а), где число а положительно
для всех вещественных бесконечных простых точек.
Соответствующее поле классов К, так называемое
абсолютное поле классов, имеет относительный
дискриминант, равный единице, и представляет собой
максимальное неразветвленное абелево поле над к
(теорема II). Его степень п над к равна числу классов идеалов,
а группа Галуа изоморфна группе классов идеалов
поля х (теорема IV). Если / — наименьшая степень,
после возведения в которую 1<деал р попадает в
подгруппу главных идеалов, то р разлагается в
произведение nlf различных простых идеалов в К, каждый из
которых имеет относительную степень /. Последнее
утверждение есть не что иное, как повторение нормен-
*) В бесконечных (вещественных) точках единицами
считаются положительные числа.
331
fiofo определения поля классов. Таким образом,
разложение идеала р в поле К зависит только от того
класса, к которому принадлежит р . Замена идеалов на идели
дает самый простой подход к обобщению этой теоремы
с неразветвленного случая, которым в основном
занимался Гильберт, на разветвленный случай, изученный
Такаги. Гильберт высказал, кроме того,
утверждение, что каждый идеал поля х становится главным в
абсолютном поле классов. Мы умеем сегодня доказать
это утверждение, однако с помощью еще не понятых
до конца рассуждений, выходящих за рамки абелевых
полей.
Как уже говорилось выше, сам Гильберт не смог
доказать эти теоремы в полной общности. Однако,
отправляясь от гауссовской теории родов в
квадратичных полях и исследований Куммера, он начал
постепенно двигаться, разбирая простейшие примеры,
создавая на своем пути необходимый запас новых понятий
и предложений, до тех пор, пока ему не открылся весь
ландшафт полей классов. Мы не можем даже пытаться
дать здесь идею высокотехнических доказательств всех
результатов. Завершение своей работы он оставил
своим последователям. Вероятно, еще далек тот день,
когда мы будем располагать сравнительно полной
теорией относительных числовых полей Галуа.
Кронекер показал, а Гильберт упростил его
доказательство, что абелевы поля над основным
рациональным полем являются подполями круговых полей
и тем самым получаются из трансцендентной
функции e2nix подстановкой рациональных значений в ее
аргумент х. Для абелевых полей над мнимым
квадратичным полем аналогичную роль играет так
называемое комплексное умножение эллиптических и
модулярных функций («Jugendtraum *) Кронекера»). В то
время как Генрих Вебер вслед за Кронекером и Р. Фютер
под руководством Гильберта воплотили эту мечту в
реальность, сам Гильберт обратился к модулярным
функциям нескольких переменных, определяемых
числовыми полями, и исследовал их связь с арифметикой.
Этих своих исследований он никогда не публиковал,
1) Мечта юности (не^А.
332
однако его идей на основе его заметок были развиты
О. Блюменталем, а позже Э. Гекке. Полученные
результаты многообещающи, но все еще далеки от
полноты. Характерным признаком богатства мысли
Гильберта является то, что в этот самый продуктивный
период своей жизни он передал своим ученикам целый
комплекс проблем, столь привлекательных, как связи
между теорией чисел и модулярными функциями *).
Остается отметить особенно простое доказательство
трансцендентности чисел е и я, которым Гильберт
открыл серию своих работ по арифметике, и работу
1909 года с доказательством гипотезы Варинга
столетней давности. Последнюю работу я бы отнес к числу его
самых оригинальных, но мы не будем на ней более
подробно останавливаться, так как десять лет спустя
Харди и Литлвуд нашли другой подход, дающий
асимптотические формулы для числа искомых
представлений. «Круговой метод» Харди — Литлвуда породил в
последнее время значительную литературу на эту и
смежную с ней тему **)•
АКСИОМА ТИКА
Трудно придумать большую пропасть, чем та,
которая отделяла последнюю работу Гильберта по теории
числовых полей от его классической книги Основания
геометрии, опубликованной в 1899 году. Единственным
предвестником последней служила одна заметка 1895
года о прямой как кратчайшей линии. Однако О. Блю-
менталь сообщает, что уже в 1891 году Гильберт,
обсуждая работу Г. Винера о роли теорем Дезарга и Пап-
па, о которой тот докладывал на одном из математи-
*) R. F u в t е г, Singulare Moduln unci complexe
Multiplication, Bd. 2, Leipzig, 1924, 1927; см. также Н. Hasse, J. rei-
ne angew. Math. 157 (1927), 115—139; 0. Blumenthal,
Math. Ann. 56 (1903), 509-548, 58 (1904), 497-527; E. H e с k e,
Math. Ann. 71 (1912), 1—37, 74 (1913), 465—510.
**) Здесь достаточно сослаться на первую работу из этой
серии: G. H. Hardy, J. E. L i t 11 e w о о d, Quart. J. Math.
48 (1919), 272—293, а также последнюю продолжающую ее
работу, в которой теорема Варинга обобщается на произвольные
алгебраические поля: 3 и г е л ь (С. L. S i e g е 1), Ашег. J. Math.
66 (1944), 122-136,
333
ческих собраний, сделал замечание, в двух словах
передающее суть аксиоматического метода: «Следует
добиться того, чтобы во всех геометрических
утверждениях слова точка, прямая, плоскость можно было
заменить словами стол, стул, кружка».
Греки представляли себе геометрию как
дедуктивную науку, которая занимается чисто логическими
выводами из небольшого количества заранее
установленных аксиом. Этой программы придерживались как
Евклид, так и Гильберт. Однако список аксиом
Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон
и его рассуждения не содержат логических пробелов.
Евклид пытался дать описательное определение
основных пространственных объектов и соотношений,
участвующих в его аксиомах; Гильберт же отказался от
такого подхода. Все, что нам надо знать об этих
основных понятиях, содержится в аксиомах. Аксиомы,
каковы они есть, являются, по сути дела, их неявными
(и по необходимости неполными) определениями.
Евклид считал аксиомы очевидными, его интересовало
реальное пространство физического мира. Однако в
дедуктивной системе геометрии очевидность и даже
истинность аксиом несущественны; они служат лишь
предположениями, из которых выводятся логические
следствия. В самом деле, существует много различных
материальных интерпретаций основных понятий, для
которых аксиомы становятся верными. Например,
аксиомы дг-мерной евклидовой векторной геометрии
соблюдаются, если брать в качестве вектора распределение
постоянного тока в электрической цепи, состоящей из
п проводников, соединенных в некоторых точках
разветвления, и принять в качестве квадрата длины вектора
джоулево тепло, выделяемое током за единицу времени.
При построении геометрии на аксиоматической основе
стремятся к максимальной экономии, для чего
проясняют роль различных групп аксиом. Взятые в своем
естественном порядке, это аксиомы инциденции,
порядка, конгруэнтности, параллельности и
непрерывности. Например, если это возможно, теорию
геометрического подобия или площадей многоугольников строят
без аксиом непрерывности.
Во всем этом Гильберт не был одинок, однако в его
исполнении чувствуется рука мастера. Выдающейся
334
фигурой среди его предшественников является М. Паш,
который прошел длинный путь от Евклида, выявив
скрытые аксиомы порядка и с методической ясностью
построив дедуктивную систему проективной геометрии
(1882 год). Другими из них были Ф. Шур из Германии
и представители блистательной школы итальянских
геометров (Пеано, Веронезе), которые также принялись
за разработку этих вопросов. В выборе основных
понятий Гильберт более консервативен, чем итальянцы:
вполне сознательно он придерживается традиций
Евклида с его тремя классами неопределяемых элементов—
точек, прямых, плоскостей — и его отношениями
инцидентности, порядка и конгруэнтности сегментов
и углов. Это придает особую прелесть книге Гильберта,
как будто вы глядите в лицо, хорошо знакомое и в то
же время величественно преображенное.
Одно дело — построить геометрию на прочном
основании, и совсем другое — исследовать логическую
структуру построенного сооружения. Если я не
ошибаюсь, Гильберт был первым, кто мог свободно
переходить на этот более высокий, «метагеометрический»
уровень; он систематически изучает взаимную
независимость своих аксиом и устанавливает независимость
некоторых из самых фундаментальных геометрических
теорем от той или иной ограниченной группы аксиом.
Его метод основан на построении моделей'*
показывается, что модель противоречит одной из аксиом и
удовлетворяет требованиям всех остальных аксиом, из чего
следует, что первая не может быть следствием
остальных. Одним из выдающихся примеров этого метода,
известным с давних пор, служит модель неевклидовой
геометрии Кели — Клейна. Для неархимедовой
геометрии Веронезе Леви-Чивита построил незадолго до
Гильберта удовлетворительную арифметическую
модель. Вопрос о непротиворечивости тесно связан с
вопросом о независимости. Относящиеся сюда общие идеи
кажутся нам теперь почти банальными, настолько
радикальным оказалось их влияние на наше
математическое мышление. Гильберт высказал их на ясном
и точном языке, воплотив их в своей книге, подобной
кристаллу: монолитное целое с многими гранями.
Ее художественные качества, безусловно,
способствовали ее успеху как шедевру научной литературы.
335
При построении своих моделей Гильберт
демонстрирует поразительную по разнообразию
изобретательность.
Самыми интересными примерами мне кажутся,
во-первых, тот, где он показывает, что теорема Дезарга
не следует из аксиом инцидентности на плоскости, но
аксиомы инцидентности на плоскости вместе с теоремой
Дезарга позволяют вложить плоскость в пространство
более высокой размерности, в котором будут
выполняться все аксиомы инцидентности, и, вб-вторых, тот
пример, где он решает вопрос о необходимости
аксиомы непрерывности Архимеда для того, чтобы
восстановить все аксиомы конгруэнтности, исключив из
них возможность отражений.
Из чего строятся модели? Клейнова модель
неевклидовой геометрии может пониматься как
демонстрация того, что любой, кто признает евклидову геометрию
с ее точками, прямыми и т. п., может равным образом
получить и неевклидову геометрию простой сменой
терминологии. Сам Клейн предпочитал другую
интерпретацию в терминах проективного пространства.
Однако аналитическая геометрия Декарта давно
предлагала более общий и удовлетворительный путь,
безусловно известный Риману, Клейну и многим другим:
все, что нам нужно для наших конструкций,— это
поле вещественных чисел. Поэтому любое противоречие
в -евклидовой геометрии должно обязательно
проявиться как противоречие в аксиомах арифметики, на
которых основаны наши действия с вещественными числами.
Никто до Гильберта так ясно этого не высказал. Он
формулирует полный и простой список аксиом для
вещественных чисел. Система арифметических аксиом
обладает такими же заменяемыми частями, как и
система геометрических аксиом. С чисто алгебраической
точки зрения самыми важными аксиомами являются
аксиомы (коммутативного или некоммутативного)
поля. Любое такое абстрактное числовое поле может
служить основой для построения соответствующих
геометрий. Vice versa г) можно определять числа и
операции над ними, исходя из некоторого пространства,
удовлетворяющего определенным аксиомам. Дезаргого
х) Наоборот (лат.).
338
Streckenrechnungг), которым пользовался Гильберт,
служило тому прекрасным примером. В общем случае
этот обратный процесс намного сложнее. Чикагская
школа Э. Г. Мура продолжила исследования
Гильберта, а О. Веблен, в частности, много сделал для того,
чтобы вскрыть полное соответствие между
проективными пространствами, удовлетворяющими некоторым
простым аксиомам инцидентности (без аксиом порядка),
и абстрактно определяемыми числовыми полями *).
Буквально, вопрос о независимости есть вопрос
о доказательстве невозможности вывода одного
утверждения из других. При этом объектом исследования
становятся сами утверждения, а не те объекты, к
которым они относятся; предварительно же мы тщательно
анализируем логический механизм дедукции. Метод
моделей представляет собой удивительный трюк,
позволяющий избавиться от такого рода логических
исследований. Однако за этот отход от основной
проблемы приходится дорого платить: мы сводим все к
вопросу непротиворечивости арифметических аксиом,
который остается открытым. Аналогичным образом
утверждение о полноте, буквально означающее, что
каждое общее утверждение об объектах, участвующих
в аксиомах, может быть выведено из них, заменяется
на категоричность (по Веблену). Последнее означает,
что любая возможная модель изоморфна одной-един-
ственной модели, с помощью которой доказывалась
непротиворечивость. В этом плане Гильберт
доказывает, что существует только «одна», декартова
геометрия, удовлетворяющая всем его аксиомам. Только
в случае конечных проективных пространств Г. Фано
и О. Веблена, например проективной плоскости из
семи точек, модель является чисто комбинаторной
схемой и вопросы непротиворечивости, независимости
и полноты могут быть решены в абсолютном смысле.
Сам Гильберт, по-видимому, никогда не думал об ил-
х) Исчисление отрезков (нем.).
*) Среди более поздних достижений в этих вопросах я
упомяну работу: Ш в а н (W. S с h w a d), Streckenrechnung und
Gruppentheorie, Math. Z. 3 (1919), 11—28. Полная библиография
работ по аксиоматике геометрии после Гильберта заняла бы,
по-видимому, много Страниц. Я воздержусь от цитирования
соответствующих имен.
337
люстрации своей концепции аксиоматического метода
с помощью чисто комбинаторных схем, хотя они и
представляют собой самые простые примеры.
Подход к основаниям геометрии, совершенно
отличный от того, который был изложен в его книге,
был предложен Гильбертом в одной работе,
являющейся одним из самых ранних документов теоретико-
множественной топологии. С точки зрения механики
главной задачей для геометрии является возможность
описания движения твердого тела. Такова была точка
зрения Гельмгольца, охарактеризовавшего группы
движения евклидова пространства с помощью
нескольких простых аксиом. Эту проблему продолжал
разрабатывать и Софус Ли в связи со своей общей теорией
непрерывных групп. Теория Ли зависит от некоторых
предположений дифференцируемости; в одной из ейоих
Парижских проблем Гильберт предложил избавиться
от них. В упомянутой работе ему это удалось в случае
проблемы Гельмгольца для плоскости. Доказательство
трудное и утомительное; вполне естественно, что
теперь условие непрерывности кладется в основу
определения и не играет той решающей роли, как это было
в его «Основаниях». Другие авторы, Р. Л. Мур,
Н. Дж. Леннес, В. Зюс, Б. фон Керекьярто,
значительно разработали проблему, следуя этим топологическим
соображениям. Быть может, будет интересно добавить
немного личных воспоминаний. Гильберт определяет
двумерное многообразие с помощью окрестностей,
требуя выделения некоторого класса «допустимых»
взаимно однозначных отображений каждой окрестности на
некоторую жорданову область в декартовой плоскости,
связанных друг с другом непрерывными
преобразованиями. Когда в 1912 году я читал в Гёттингене курс по
римановым поверхностям, я обратился к работе
Гильберта и заметил, что сами эти окрестности могут
служить определением этого класса отображений.
Окончательное определение было дано затем Ф. Хаусдор-
фом; аксиомы Хаусдорфа определили лицо топологии *).
(Однако, когда нам приходится определять дифферен-
*) Параллельное развитие, во главе которого стоял
Э. Г. Мур, происходило в Америке. Так как мне приходится
писать главным образом по памяти, мой рассказ неизбежно
окрашивается местными гёттпнгенекпми традициями.
338
цируемое многообразие, мы до сего дня
придерживаемся косвенного определения Гильберта; ср. О. Веб-
лен и А. Н.Уайтхед, Основания
дифференциальной геометрии, ИЛ, М., 1949.)
Фундаментальный вопрос об абсолютном
доказательстве непротиворечивости аксиом, который должен
был лечь в основу всего математического анализа и
даже канторовской теории множеств во всей ее безумной
общности, постоянно находился в воображении
Гильберта, о чем свидетельствует его доклад на
международном конгрессе в Гейдельберге 1904 году. Из него видно,
что он уже был на этом пути, хотя и далеко от цели.
Затем наступило время, когда его всецело захватили
интегральные уравнения, а позже физика. Спустя
некоторое время, в 1917 году, послышался его громкий
голос о старой проблеме в цюрихской речи Axioma-
tisches Denken1). К тому времени трудности, связанные
с основаниями математики, достигли критического
состояния и положение дел взывало о помощи. Под
влиянием неотразимых парадоксов в теории множеств Деде-
кинд и Фреге отказались от своей работы по природе
чисел и арифметических утверждений: Бертран
Рассел указал на иерархию типов, которые, не будучи
«ограничены» грубой силой, подрывали
арифметическую теорию континуума. Наконец, Л. Э. Я. Брауэр
своим интуиционизмом открыл нам глаза и заставил
увидеть, насколько общепринятая математика идет
дальше таких утверждений, которые могут
претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на
очевидности. Мне жаль, что в своей оппозиции Брауэру
Гильберт никогда открыто не признал того большого
долга, который он, равно как и другие математики,
имел перед Брауэром за это открытие.
Гильберт не хотел приносить тяжелые жертвы,
которых требовала точка зрения Брауэра. Он увидел, по
крайней мере в общих чертах, тот путь, который
позволит избежать этого жестокого увечья. В то же время
он был обеспокоен признаками колебания в среде
математиков, ряд которых открыто встал на сторону
Брауэра. Моя собственная статья о Grundlagenkrise 2) в Math.
1) Аксиоматическое мышление [нем.),
2) Кризис оснований {нем.).
339
Z. 10 (1921), написанная в первые беспокойные
послевоенные годы в Европе, характерна для тех настроений.
В результате всего этого Гильберт всерьез
возвращается к проблемам оснований. Он уверен, что
абсолютная строгость может быть восстановлена без
«совершения предательства нашей науки». В его голосе,
произносящем «die Grnndlagenfragen einfurallemal aus
der Welt zu scliaffen»1), слышится гнев и решимость.
«Запретить математику использовать принцип
исключенного третьего,— говорит он,— все равно что
запретить астроному пользоваться телескопом или боксеру
кулаками». Гильберт сознавал, что сами
математические утверждения не могут стать объектами
математического исследования, предназначенного доказать их
непротиворечивость в первоначальном смысле, пока
с ни не будут сведены к простым формулам.
Алгебраические формулы типа a -f Ъ ~Ъ -f а представляют
собой самые привычные примеры. Процесс логического
вывода, с помощью которого первоначально
полученные формулы дают новые формулы, должен быть
описан без всякого упоминания значения этих формул. Этот
процесс должен начинаться с некоторых основных
формул, аксиом, которые должны быть явно
выписаны. Так, в его Основаниях геометрии значение
геометрических терминов стало несущественным, хотя
смысловое значение таких логических терминов, как
«и», «не», «если..., то...», все еще сохранялось. Теперь
же предлагалось уничтожить всякие следы наличия
смысла. В частности, логические символы, такие, как
->ва->6 (читается: «из а следует Ь»), являются
составной частью формул. Гильберт полностью согласен
с Брауэром в том, что огромное большинство
математических утверждений не имеет «реального» характера
утверждений, передающих определенное содержание,
основанное на очевидности. Однако он настаивает на
том, что нереальные, «идеальные утверждения»
необходимы для «полноты» нашей математической системы*.
Он противостоит Брауэру, который просил нас
отбросить то, что не имеет смысла, тем, что полностью
избавляется от притязаний на содержательность, пытаясь
доказывать не истинность отдельного математического
■) Избавиться от вопросов оснований раз п навсегда (нем.).
340
предложения, а непротиворечивость системы. Он
уверен, что игра в дедукцию, проводимая по правилам,
никогда не приведет к формуле О Ф 0. В этом смысле
и только в этом он обещает спасти взращенную нами
классическую математику. Тем, кто обвиняет его в
стремлении свести математику к сплошной игре, он
прежде всего указывает на то, что введение идеальных
элементов в целях полноты является общим методом
во всех областях математики — например, идеальные
точки вне достижимой области пространства, без
которых последнее было бы неполным; далее он отмечает,
что в смежной с математикой науке, физике, также
сверяют с экспериментом не отдельные утверждения,
а всю систему в целом.
Но как можно убедиться в том, что «дедуктивная
игра» никогда не приведет к противоречию? Не
придется ли нам это доказывать с помощью дедукции из
аксиом, т. е. тем же математическим методом,
справедливость которого мы подвергаем сомнению? Ясно, что
это привело бы к регрессу ad infinitumx). Должно
быть, Гильберту, как поборнику аксиоматического
метода, было трудно признать, что вопрос о
непротиворечивости приходилось решать с помощью
интуитивного рассуждения, основанного не на аксиомах, а на
очевидности. Однако, в конце концов, неудивительно,
что окончательное слово должно оставаться за
всевидящим интеллектом. Уже при сообщении правил игры
нам приходится рассчитывать на него. Игра
происходит без слов, но правила должны быть сказаны, а любое
суждение об этой игре, в частности о ее
непротиворечивости, должно быть высказано словами. Кстати,
описывая интуитивную основу для своей Beweistheorie 2),
Гильберт демонстрирует выдающееся мастерство в этом,
увы, столь неопределенном средстве сообщения, как
язык. Относительно того, что он считает очевидным
в своих «метаматематических» рассуждениях, Гильберт
более авторитетен, чем сам папа римский', Волеё
требователен, чем Кронекер или Брауэр. Однако ничего
нельзя поделать с тем, что наше рассуждение о
гипотетической последовательности формул, оканчивающейся
*) До бесконечности (лат.).
2) Теория доказательства (нем.).
341
формулой О Ф О, ведется в гипотетической общности
и использует очевидность такого сорта, которую
формалист с презрением окрестил бы как приложение
принципа полной индукции. Элементарная арифметика
может быть основана на таких интуитивных
рассуждениях, как это описано самим Гильбертом. Однако для
введения бесконечности в полной мере, в которой она
встречается в высшей математике, нам требуется
формальный аппарат переменных и «кванторов».
Тем самым, Гильберт предпочитает провести
четкую границу: он становится строгим формалистом
в математике и строгим интуиционистом в
метаматематике.
По-видимому, стоит кратко объяснить, каким
образом формализм Гильберта позволяет восстановить
принцип исключенного третьего, служивший главным
объектом критики Брауэра. Рассмотрим бесконечную
последовательность чисел 0, 1, 2,... Любое свойство
А чисел (например, «быть простым») может быть
представлено пропозициональной функцией А (.г) («х
простое»), из которой подстановкой конкретного числа
Ъ вместо переменной х можно получить конкретное
утверждение А{Ъ) («Ь простое»). Согласно принципу,
отрицаемому Брауэром и которого хочет
придерживаться Гильберт, имеем либо (а) существует число
х, для которого справедливо утверждение А(х), либо
(б) А(х) не справедливо ни для какого х. Принимая
его, мы сможем найти некоторого «представителя»
г для свойства А, т. е. такое число, что для любого
числа Ъ А(Ь) влечет А(?*), А(Ь) ->• А(г). Действительно,
в случае (а) мы возьмем за г одно из чисел ж, для
которых справедливо А(х), а в случае (б) берем любое
г. Так, Аристид является представителем честности,
ибо, как говорили афиняне, если есть честный человек,
то это — Аристид. Предполагая, что нам известен
представитель, мы сможем решить вопрос, существует
ли честный человек или все нечестные,— для этого
нам всего лишь надо посмотреть на него: если он
нечестен, то и все нечестны. В случае чисел мы даже
можем сделать выбор представителя однозначным —
в случае (а) мы берем за г наименьшее число, для
которого справедливо А(х), а в противоположном случае
(б) берем г = 0. Таким образом, г получается из А
342
с помощью некоторого оператора р^., г — рхА(х),
который можно применить к любому мыслимому свойству
А. Пропозициональная функция может содержать,
кроме #, другие переменные y,z,... Тем самым, к оператору
р необходимо приписывать индекс х, точно так же как
при интегрировании надо указывать, по какой
переменной оно производится. Оператор р^. исключает
переменную х; например, рхА(х,у) есть
пропозициональная функция от одного г/. Оператор такого рода
называется квантором. Итак, мы записываем нашу
аксиому в виде
А(Ъ)-+А(рхА(х)). (8)
При этом не обязательно выбирать представителя
однозначным способом; наше конкретное правило
действует лишь в случае, когда х пробегает множество
чисел 0, 1, 2,... Вместо этого мы будем считать, что
квантор рх обладает универсальной приложимостью
и в каждом случае выбирает для нас некоторого
представителя. Аксиома выбора Цермело оказывается,
таким образом, вплетенной в принцип исключенного
третьего. Это смелый шаг, но чем смелее, тем лучше;
лишь бы быть уверенным, что мы остаемся в рамках
непротиворечивости !
В формализме пропозициональные функции
заменяются формулами, обращение с которыми должно
быть описано без ссылок на их значение. В общем
случае переменные х, г/,... будут встречаться среди
символов некоторой формулы Я. Мы говорим, что символ рх
связывает переменную х в формуле Я, если он
предшествует этой формуле *), и говорим, что х свободна
в формуле Я, если она не связана квантором с
индексом х. При этом х, у,->-, рх представляют собой символы,
входящие в формулу; готические буквы не применяются
для обозначения таких символов, а используются для
коммуникации. Нашу основную аксиому (8) более
естественно рассматривать как правило для образова-
*) Если мы хотим во всем дальнейшем буквально понимать
правило «рх связывает я», мы должны а -> Ь записывать в
(г.
—. В этом случае формулы выглядели бы как генеало-
а
гическые деревья.
343
ния аксиом. Она выражает следующее: возьмите любую
формулу 3(, в которой х является единственной
свободной переменной, и любую формулу Ь без свободных
переменных и с их помощью образуйте новую
формулу
*(*)-► *(Рх«). (9)
Здесь 2((Ь) обозначает формулу, полученную из %
подстановкой всей формулы Ь на место переменной х
всюду, где она входит свободно.
Таким образом, в соответавии с определенными
правилами формулы могут быть получены как аксиомы.
Дедукция основывается на правиле силлогизма: из
двух формул а и а ->• Ь, полученных ранее, первая из
которых стоит слева от символа -*, мы получаем
формулу Ь.
Каким образом предлагает Гильберт убедиться
в том, что дедуктивная игра никогда не приведет к
формуле О Ф О? Вот его основная идея. Пока мы имеем
дело только с «конечными» формулами, т. е. с
формулами, не содержащими кванторов рх, ру, . . ., вопрос
об их истинности или ложности можно решить, просто
посмотрев на них. С присутствием р такое
описательное суждение о формулах становится невозможным —
самоочевидность больше не работает. Однако любая
конкретная дедукция представляет собой
последовательность формул, в которых участвует только
конечное число аксиоматических правил типа (9).
Предположим, что рх является единственным квантором и
всюду, где он встречается, за ним следует одна и та же
конечная формула §(. Другими словаАми, мы имеем дело
с формулами типа (9):
Я^) -> *(р*«), . . .,*(*а) -+ *(Р*«). (Ю)
Предположим, кроме того, что формулы Ь±, . . .,ЬЛ
конечны. В этом случае можно произвести
приведение, заменяя формулу рх.8[ каждый раз, когда она
встречается в нашей последовательности, некоторой
конечной формулой г. В частности, формулы (10)
примут вид
«(fix) -v «(г), ..., «(*A)-**W. (И)
344
Теперь мы видим, как нужно выбирать г: если мы
последовательно просматриваем конечные формулы
a(bi), • • ., %(bh) и обнаруживаем, что одна из них,
скажем$[(Ь3)» истинна, то мы принимаем #3- Если же
все они ложны, то мы берем г наугад. Таким образом,
все приведенные формулы (11) «истинны» и наше
предположение о том, что дедукция ведет к ложной
формуле О Ф О, приводит к противоречию. Основным здесь
является то, что в конкретной дедукции встречается
только конечное число явно указанных составляющих
bi, . . ., bh* Если мы ошибочно выберем, например,
Алкивиада вместо Аристида как представителя
неподкупности, то наша ошибка не будет иметь последствий,
если только те немногие из людей (из бесконечной
толпы афинян), с которыми мы имеем дело, все
являются подкупными.
Немного более сложным будет случай, когда мы
разрешим, чтобы формулы Ьг, . . ., Ьп содержали рх,
считая, однако, что за ним всегда следует одна и та же
формула Я. В этом случае мы сначала сделаем пробную
редукцию, заменив p^Sf, скажем, числом 0. После этого
формулы Ьи . . ., bh заменятся редуцированными
конечными формулами Ь?, ,.., it, а формулы (10) —
формулами
«(*?)-*(0),..., а(ьЯ)^*(0).
Такая редукция вполне пригодна, если только §[(0) не
будет ложна и в то же время одна из формул
SI( bi), .»»уЗ((Ьа), скажем 91 (из), истинна. Но тогда
мы сможем взять Ьз как вполне законного
представителя формулы 2С, и со второй редукцией, заменяющей
pj& на Ьз, снова все будет в порядке.
Однако это только самые первые трудности, которые
нас ожидают. Кванторы рх, ру, . . . с различными
переменными, примененные к различным формулам,
встанут перед нами, нагромождаясь друг на друга.
Мы сделаем пробную редукцию, которая в некоторых
местах может и не пройти; эта неудача научит нас,
как ее исправить. Однако исправленная редукция
может не пройти в других местах. Создается впечатление,
что мы находимся в замкнутом круге, и возникает
345
вопрос, каким образом надо делать последовательные
редукции, чтобы быть уверенным, что окончательная
редукция будет хорошей во всех местах нашей
последовательности формул. Ничто так не способствовало
прояснению замкнутого характера обычных трансфи-
иитных рассуждений в математике, как эти попытки
убедиться в непротиворечивости, несмотря на все
порочные круги.
Символизм для формализации математики, а также
общий подход и первые попытки доказательства
непротиворечивости принадлежат Гильберту. Своей
дальнейшей разработкой эта программа обязана его
молодым сотрудникам П. Бернайсу, В. Аккерману и Дж. фон
Нейману. Последние два доказали непротиворечивость
«арифметики», вернее, той ее части, которая еще
обходится без опасной аксиомы о превращении
предикатов в множества. Одно время казалось, что этот
пробел незначителен, и уже разрабатывались подробиые
планы для проникновения в анализ. Затем произошла
катастрофа: допуская, что непротиворечивость уже
установлена, К. Гёдель указал способ построения
арифметических утверждений, истинность которых
очевидна, но которые тем не менее не выводятся в
рамках формализма. Его метод применим как к гильбер-
товскому, так и к любому другому, не слишком
ограничительному формализму. Из двух совокупностей,
первая из которых состоит из всех формул, получаемых в
формализме Гильберта, а вторая — из всех реальных
утверждений, истинность которых очевидна, ни одна
не содержит другую (при условии, что
непротиворечивость формализма может быть установлена). Очевидно,
что вопрос о полноте формализма в toai абсолютном
смысле, в котором его видел Гильберт, был тем самым
снят. Когда позже Г. Генцен восполнил пробел в
доказательстве непротиворечивости арифметики,
существенность которого была обнаружена открытием Гёделя,
ему пришлось это сделать с помощью значительного
снижения требований Гильберта к очевидности *). Гра-
*) G. Gentzen, Math. Ann. 112 (1936), 493-565.
[Русский перевод: Г. Генцен, Непротиворечивость чистой теории
чисел, сб. «Математическая теория логического вывода», «Наука»,
М., 1967, 77-153.]
340
нпцы того, что заслуживало доверия с интуитивной
точки зрения, вновь стали неопределенными. Так как
защита отчизны — арифметики поглотила все силы,
наступление на анализ так и не началось, не говоря
уже об общей теории множеств.
В таком положении эта проблема находится в
настоящее время; никакого окончательного решения не
видно. Но независимо от того, что принесет будущее,
нет никакого сомнения в том, что Брауэр и
Гильберт подняли проблему оснований математики на
новый уровень. О возвращении на позиции Principia
Mathematica Рассела и Уайтхеда не может быть
и речи.
Гильберт — поборник аксиоматического метода.
Он считал, что этот метод имеет универсальное
значение не только в математике, но и во всех науках. Его
исследования в области физики пронизаны
аксиоматическим духом. В своих лекциях он любил
иллюстрировать этот метод примерами из биологии, экономики
и т. д.
Современная эпистемологическая интерпретация
науки испытала большое влияние его идей.
Временами, когда он восхвалял аксиоматический метод,
казалось, будто он хочет сказать, что этот метод полностью
вытеснит конструктивный или генетический метод.
Я уверен, что, по крайней мере в поздние его годы, это
не было его настоящим мнением. Хотя исходные
математические объекты он вводит с помощью аксиом своей
символической системы, формулы строятся им в самом
явном и конечном виде. В последнее время
аксиоматический метод распространился на все ветви
математического дерева. Одна из них, алгебра, насквозь
пронизана аксиоматическим духом. Аксиомы играют
здесь, можно сказать, служебную роль, являясь
средством для определения области изменения переменных,
участвующих в явных конструкгиях. Однако нетрудно
представлять себе картину и по-другому, что именно
они являются основными действующими лицами.
Нейтральная точка зрения отдает должное как той,
так и другой стороне; немалая доля привлекательности
современных математических исследований обязана
счастливому сочетанию аксиоматического и
генетического методов.
317
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Между двумя периодами, в течение которых усилия
Гильберта были направлены на основания, сперва
геометрии, а затем всей математики в целом, лежат
двадцать долгих лет, посвященных анализу и физике.
Зимой 1900—1901 года шведский математик
Э. Хольмгрен докладывал на семинаре Гильберта о
первых работах Фредгольма по интегральным уравнениям,
и, по-видимому, Гильберт зажегся ими сразу же. Этот
предмет имеет долгую и извилистую историю и своим
возникновением он обязан Даниилу Бернулли. В
течение двух столетий усилия математиков были
направлены к решению (механической, акустической,
оптической, электромагнитной) проблемы колебаний среды
и связанной с ней краевой задачи теории потенциала.
Работа Фурье Theorie analytique de la chaleur (1822)
стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью
построения основной частоты мембраны впервые
доказал (1885) существование собственных колебаний для
двумерного случая и более высоких размерностей.
Последнее десятилетие девятнадцатого века пришлось
на создание Пуанкаре его мощных
теоретико-функциональных методов; вместе с К. Нейманом они
вступили в схватку с гармонической краевой задачей;
Вольтерра изучал тот тип уравнений, который теперь
носит его имя, а Хельге фон Кох изобрел бесконечные
определители для линейных уравнений с бесконечным
числом неизвестных. Большинство научных открытий
делается «в свое время»; иногда, но реже какой-нибудь
гений приоткрывает завесу над будущим на десятки
лет раньше, чем этого можно было ожидать. Открытие
же Фредгольма, как мне всегда казалось, пришло
с некоторым опозданием для того времени. Что может
быть естественнее идеи превращения системы линейных
уравнений, описывающей дискретную систему масс,
в интегральные уравнения при переходе к
предельному случаю сплошной среды? Однако тот факт, что
в более простых ситуациях в непрерывном
предельном случае возникают дифференциальные, а не
интегральные уравнения, на целых два столетия
приковал внимание математиков к дифференциальным
уравнениям!
848
Тем не менее надо отметить, что простота
результатов Фредгольма обязана специальному виду его
уравнения, на который трудно было бы напасть, если бы
он не руководствовался проблемами математической
физики, к которым он его применил:
1
z(s)—\k (5, t) x (t) dt*=f(s) (О < s < 1).
о
Здесь линейный оператор, стоящий в левой части,
действует на неизвестную функцию х и принимает
данное значение /, (Е ~ К)х = /. Он состоит из двух
частей: тождественного оператора Е и линейного
оператора К, который в некотором смысле слабее Е.
Фредгольм доказал, что для таких интегральных
уравнений справедливы следующие два основных факта,
известных для систем из п линейных уравнений от того
же числа неизвестных.
(1) Однородное уравнение [f(s) = 0] имеет конечное
число линейно независимых решений x(s) = <Pi(s), §».
. . .,фл($), а однородное уравнение с сопряженным
ядром K'(s, t) = K(t, s) имеет такое же число линейно
независимых решений ^(s), . . .,tyh(s).
(2) Неоднородное уравнение разрешимо тогда и
только тогда, когда заданная функция / удовлетворяет
h линейным уравнениям
1
§f(s)b(s)ds = 0 (£ = l, ...,fc).
о
Используя один искусственный прием Пуанкаре,
Фредгольм вводит параметр %, заменяя К на %К, и
получает решение в знакомом из линейной алгебры виде,
т. е. как отношение двух определителей типа X. фон
Коха, каждый из которых является целой функцией X.
Гильберт увидел две вещи: (1) построив функцию
Грина К для заданной области G и уравнения
потенциала Аи = 0 с помощью уравнения Фредгольма на
границе области, мы преобразуем дифференциальное
уравнение колебания мембраны Дф + tap = Q в
однородное интегральное уравнение
1
Ф (s) — К J К (s, t) ф (t) dt = 0
о
S49
с симметрическим ядром К, K(t, s) — K(s, t) (при этом
параметр Я перестает быть искусственным, а отвечает
существу дела); (2) проблема нахождения «собственных
значений» % и «собственных функций» (p(s) этого
интегрального уравнения представляет собой интегральный
аналог задачи приведения квадратичной формы от
п переменных к главным осям. Тем самым,
соответствующая теорема для интегральной квадратичной
формы
1 1
j fz(s, t)x(s)x(t)dsdt (12)
о 6
с произвольным симметричным ядром К должна лечь
в основу общей теории колебаний непрерывной среды.
Если другие и понимали это, то Гильберт, по крайней
мере, осознал это настолько четко, что направил всю
свою энергию на доказательство этого предложения.
И это ему удалось сделать с помощью такого же
прямого метода, который около 1730 года применил Бер-
нулли к задаче о колебании струны: переход к пределу,
исходя из алгебраической задачи. При этом ему
пришлось использовать определитель Коха — Фредгольма.
Он находит последовательность собственных значений
Xv Я2» • • •» стремящихся к бесконечности, Хп ->- оо
при п-+ оо, и ортонормированпое множество
соответствующих собственных функций <$n{s)>
1
о
1
\ Ф™ (*) Фп (*) ds = 8mn,
о
таких, что
1 1
j j К (s, t) x (s) x (t) dsdt=% fnIXnl
l
где ln — коэффициент Фурье J x(s)yn (s) dt. Из этой
Q
350
теории следует, что каждая функция вида
y(s) = $K(s,t)x(t)dt
о
может быть разложена в равномерно сходящийся ряд
Фурье по собственным функциям фп:
1
У (*) = 2 ЧпЧ>п (*), Чп = J У (s) Фп 00 ds.
о
Предельный переход, который применил Гильберт,
довольно сложный. Вскоре после этого Э. Шмидт в
своей гёттингенской диссертации нашел более простое
и конструктивное доказательство этих результатов. При
этом он применил один метод Г. А. Шварца,
изобретенный тем двадцать лет назад для нужд интегральных
уравнений.
От конечных форм дорога ведет либо к интегралам,
либо к бесконечным рядам. Поэтому Гильберт
рассмотрел аналогичную проблему ортогональных
преобразований заданной квадратичной формы
^jKmnxmxn (13)
в форму специального вида
*i6i + щШ + • • • (х„ = ПК -* 0) (14)
от бесконечного числа (действительных) переменных
(хх, х2, . . .) или векторов х счетномерного
пространства. При этом рассматриваются только векторы с
конечной длиной \х\,
\х\*^х21 + х22+ ...;
они образуют то, что мы сейчас называем гильбертовым
пространством. Преимущество этого гильбертова
пространства перед «пространством» всех непрерывных
функций x(s) основано на некотором свойстве полноты.
Благодаря этому свойству можно сформулировать
необходимое и достаточное условие для приведения
формы (13) к виду (14) в терминах некоторой «вполне
непрерывности», позволяющей провести хорошо из-
351
вестное в алгебраическом случае рассуждение: числа
х1? х2, . . . определяются как последовательные
максимумы функции К на «сфере» \х\ 2 = 1.
Как подсказывает теорема об интегральной
квадратичной форме, связь между пространством функций
x(s) и гильбертовым пространством векторов (хг, х2, . . .)
осуществляется произвольной полной ортонормирован-
ной системой их (s), u2 (s), . . . и выражается
уравнением
1
хп = j х (s) un (s) ds.
о
Неравенство Бесселя утверждает, что сумма
квадратов коэффициентов Фурье хп не превосходит
интеграла от квадрата функции x(s). Полнота, впервые
введенная А. Гурвицем и подробно исследованная В. Стек-
ловым, требует, чтобы в этом неравенстве было на
самом деле равенство. Таким образом, теорема о
квадратичных формах от бесконечного числа переменных
дает одновременно результат как о собственных
значениях, так и о собственных функциях для
симметрических ядер K(s, t) — точнее, давала бы, если бы мы
могли рассчитывать на равномерную сходимость ряда
y\xnun(s) Для любого заданного вектора (хх, х2, . . .)
из гильбертова пространства. В специальном случае
собственных векторов квадратичной формы (13),
соответствующей интегральной форме (12),
m
Гильберт решает этот вопрос, составляя равномерно
сходящийся ряд
1
%У^ xm] K{s, t)um(t)dt1
т О
который представляет на самом деле непрерывную
функцию cp(s) с 72-м коэффициентом Фурье
И таким образом он получает собственную функцию
352
для K(s, t) с собственным значением X. Вскоре после
этого под влиянием идей Гильберта Э. Фишер и Ф. Рисе
доказали свою хорошо известную теорему о том, что
пространство всех функций x{s) с интегрируемым по
Лебегу квадратом удовлетворяет всем свойствам
полноты гильбертова пространства и, тем самым, с
помощью полной ортонормированной системы un(s) эти
пространства изоморфно отображаются друг на друга.
Я упоминаю эти подробности ввиду того, что
историческая последовательность событий может быть забыта
многими из более молодых математиков, для которых
гильбертово пространство представляет то абстрактное
понятие, которое не различает эти свои две
реализации — пространство интегрируемых с квадратом
функций x{s) и пространство последовательностей с
суммируемым квадратом {хг, х2, . . .). Я думаю, что Гильберт
вполне разумно придерживался рамок непрерывных
функций там, где не было настоящей потребности
вводить общие понятия Лебега.
Быть может, самым великим достижением
Гильберта в области интегральных уравнений является его
обобщение теории спектрального разложения с вполне
непрерывных на так называемые ограниченные
квадратичные формы. Он находит, что в этом случае спектр
будет содержать точки накопления и, кроме того, будет
присутствовать и непрерывная часть. И снова Гильберт
использует непосредственный переход к пределу,
увеличивая число переменных ad infinitum *). И как
прежде, вскоре после этого были найдены простые
доказательства его результатов.
Расширяя таким образом сраницы этой общей
теории, он не упускает из виду обыкновенные
дифференциальные уравнения и уравнения в частных
производных, которые дали ей начало. Одновременно
с молодым итальянским математиком Эудженио Элиа
Леви он развил метод параметрикса, перебрасывающий
мост между дифференциальными и интегральными
уравнениями. Для заданного эллиптического
дифференциального оператора второго порядка А* параметрикс
K{s, t) представляет собой нечто вроде качественного
приближения к функции Грина, как и последняя.
х) До бесконечности (лат.).
353
завися от значений аргумента 5 и параметра t.
Предполагается, что он обладает регулярной особенностью
при s = t, так что неоднородное уравнение Д*м- = /для
и = Кр, и (s) = J К (s, t) p (t) clt
сводится к интегральному уравнению р + Lp = /
относительно функции плотности р с ядром L(s, t) =
= AsK(s, t), достаточно регулярным при s = t, чтобы
к нему была применима теория Фредгольма. Здесь
важно отбросить предположение, что функция К
удовлетворяет уравнению А*К = 0, так как в общем
случае неизвестно фундаментальное решение для данного
дифференциального оператора Д*. Чтобы не заботиться
о граничных условиях, Гильберт предполагает, что
область интегрирования представляет собой
компактное многообразие типа сферической поверхности.
В зтом случае он показывает, что его метод применим,
если параметрикс не только имеет регулярную
особенность, но и является симметричным относительно
аргумента и параметра.
Сказанного вполне достаточно, чтобы стало ясным,
что на территории анализа была открыта золотая жила,
которая сравнительно легко поддавалась разработке
п которая не скоро должна была истощиться. Линейные
уравнения с бесконечным числом неизвестных явились
предметом дальнейших исследований (Э. Шмидт,
Ф. Рисе, О. Теплиц, Э. Хеллингер и другие);
непрерывный спектр и его появление в интегральных
уравнениях с «особыми» ядрами требовали более тщательного
анализа (Э. Хеллингер, Т. Карлеман); на
обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более
высокого порядка с регулярными и особыми
граничными условиями также обратили должное внимание
(А. Кнезер, Э. Хильб, Дж. Д. Биркгоф, М. Бохер,
Я. Д. Тамаркин и многие другие) *). Стало возможным
установить асимптотические законы распределения
собственных значений, что было важно для вопросов тер-
*) По поводу более поздних работ, затрагивающих также
системы дифференциальных уравнений, см. Шур (Axel S с h u r),
Math, Ann. 82 (1921), 213—239; Б л п с с (G. А. В 1 i s s), Trans.
Amer. Math. Soc. 28 (1926), 561—584; Рид (W. T. R e i d),
там же 44 (1938), 508—521.
354
модинамики излучения (Г. Вейль, Р. Курант).
Разложения по ортогональным функциям изучались
независимо от их применений к дифференциальным и
интегральным уравнениям. По-новому были освещены
непрерывные дроби Стилтьеса и проблема моментов.
Самые настойчивые приступили к атаке на нелинейные
интегральные уравнения. Вокруг Гильберта
организовалась большая хмеждународная школа математиков,
а интегральные уравнения вошли в моду не только
в Германии, но и во Франции, где им уделяли внимание
такие великие мастера, как Э. Пикар и Гурса, в
Италии и по другую сторону Атлантического океана. Было
написано много как хороших, так и посредственных
работ. Общим результатом всей этой деятельности
стало значительное изменение во взглядах на анализ.
Замечательны приложения интегральных
уравнений вне тех областей, для которых они были
изобретены. Среди них я упомяну следующие три: (1)
Проблема Римана определения п аналитических функций
/i(z), . . ., /n(z), регулярных всюду, за исключением
некоторого конечного множества точек, и
изменяющихся при аналитическом продолжении вокруг этих
точек согласно заданным линейным преобразованиям.
Эта проблема была решена самим Гильбертом, а затем
более простое и полное решение было дано Племелем.
(Очень специальный случай этой проблемы дает
существование алгебраических функций на римановой
поверхности, заданной в виде накрытия комплексной
z-плоскости.) В этом же направлении лежали и
исследования Дж. Д. Биркгофа о матрицах из
аналитических функций. (2) Доказательство полноты
неприводимых представлений компактной непрерывной группы.
Оно является необходимым средством для подхода
к общей теории инвариантов па основе метода
усреднения Гурвица, а уточнение и обобщение этого метода
играет важную роль в современных
теоретико-групповых исследованиях, включая разработанную Г.
Бором теорию почти периодических функций *). Таким
*) Вейль, Петер (Н. W е у 1, F. Peter), Math.
Aim. 97 (1927), 737—755; X а а р (А. II а а г), Ann. Math. 34
(1933), 147—169; фон Нейман (J. von Neuman n), Trans.
Amer. Math. Soc. 36 (1934), 445—492. [См. также Л.С.Понт-
p я г и н, Непрерывные группы, 3-е изд., «Наука», М., 1973.]
355
образом, здесь мы снова встречаемся со старым другом
Гильберта — теорией инвариантов. (3) Совсем недавно
гильбертов метод параметрикоа помог установить
центральную теорему существования в разработанной
У. В. Д. Ходжем теории гармонических интегралов на
компактных римановых пространствах *).
Рассказ получился бы достаточно драматичным,
даже если бы мы остановились на этом месте. Однако
спустя некоторое время произошло удивительное
событие: спектральная теория в гильбертовом
пространстве оказалась подходящим математичеоким
аппаратом для новой квантовой физики, начало которой
было положено Гейзенбергом и Шрёдингером в 1925
году. Это последнее раввитие привело к пересмотру
всего предмета в целом при помощи более тонких средств
(Дж. фон Нейман, А. Винтнер, М. Г. Стоун, К.
Фридрихе). Так как Дж. фон Нейман был сотрудником
Гильберта в период окончания той эпохи, когда его
интересы делились между квантовой физикой и
основаниями, историческая связь с собственными достижениями
Гильберта не прекращается даже в этой последней
фазе развития. Обзор того, что стало с теорией
абстрактных пространств и линейных операторов в наше время,
лежит вне рамок настоящей статьи.
Картина «аналитического периода» Гильберта будет
неполной, если мы не упомянем второй мотив,
вариационное исчисление, который пересекся с его
доминирующим интересом — интегральными уравнениями.
«Теорема о независимости», которой он окончил свой
парижский обзор математических проблем (1900), внесла
важный вклад в формальный аппарат этого
исчисления. Но гораздо более важную роль сыграл его смелый
и решительный подход к проблемам функциональных
максимумов и минимумов. Весь хорошо отработанный
аппарат вариационного исчисления здесь был
сознательно отброшен в сторону. Вместо него он предложил
строить минимизирующую функцию как предел
последовательности функций, для которых значение
рассматриваемого интеграла стремится к своему минимуму.
*) X о д ж (W. V. D. Hodge), The theory and applications
of harmonic integrals, Cambridge, 1941: Вейль (H. W e у 1),
Ann. Math. 44 (1943), 1—6,
356
Классический пример дает интеграл Дирихле в
двумерной области
G
Допустимыми здесь являются все функции и с
непрерывными производными, удовлетворяющие заданным
граничным условиям. Пусть d — нижняя грань
значений D[u] для допустимых и; тогда можно найти
последовательность допустимых функций ип такую, что
D[un]-*~d притг-voo. Нельзя ожидать, что сама
последовательность ип будет сходиться, однако можно
попытаться ее изменить с помощью подходящего
процесса интегрального сглаживания, чтобы она начала
сходиться. Так как предельная функция должна быть
гармонической, а значение таких функций для любой
точки Р совпадает со средним значением ее на любой
окружности К с центром в Р, то естественнее всего
заменить ип(Р) на ее среднее значение в К. При этом
мы надеемся, что это среднее значение будет стремиться
к числу и(Р), которое не зависит от выбранной
окружности, а его зависимость от точки Р даст решение
проблемы минимума. Кроме интегрирования Гильберт
использует до перехода к пределу некоторый процесс
выделения подходящей подпоследовательности из ип.
Благодаря простому неравенству
{D [um -un]f2 < {£> [и J - d)m + {D [un] - df\
открытому С. Зарембой, последнего можно и не делать.
Метод Гильберта еще лучше приспособлен для задач,
в которых граница области не имеет столь большого
значения, как в краевой задаче. После небольшого
видоизменения его можно применять к случаю
точечных особенностей, и таким образом Гильберт решает
фундаментальную проблему для потоков на римановых
поверхностях. Это позволяет получить необходимую
основу для подхода самого Римана к теории абелевых
интегралов, а также показывает, что таким же образом
можно получить фундаментальные теоремы Пуанкаре
и Кёбе об униформизации. Насколько бы далеко мы
продвинулись в теории чисел, если бы располагали
857
столь же мощными методами для конструкции абеле-
вых и произвольных расширений Галуа полей
алгебраических чисел, какими оказались трансцендентные
методы Римана — Гильберта в применении к
аналогичным проблемам в полях алгебраических функций! 1Шь
рокие их приложения к теории конформных
отображений и минимальных поверхностей были открыты
работами Рихарда Куранта — человека, много лет
являвшегося главным сотрудником Гильберта во всех
математических делах в Гёттингене *). Также
значительным, но не таким непосредственным является
влияние идей Гильберта на целое направление в
современном развитии вариационного исчисления; в Европе
среди многих других можно упомянуть имена Кара-
теодори, Лебега, Тонелли, в Америке цепочка тянется
от О. Больца до совсем недавней работы М. Морса.
ФИЗИКА
Еще до смерти Минковского, в 1909 году, Гильберт
начал систематическое изучение теоретической физики
в тесном сотрудничестве со своим старым другом,
который всегда находился в курсе достижений соседней
науки. Работа Минковского по теории относительности
стала первым плодом этих совместных занятий.
Гильберт продолжал их в течение многих лет и в период
между 1910 и 1930 годами часто читал лекции и вел
семинары на физические темы. Он с большой радостью
расширял свой кругозор и свой контакт с физиками,
с которыми он мог встречаться на их собственной
территории. Тем не менее урожай, собранный им на этой
почве, вряд ли может сравниться с его достижениями
в чистой математике. Многообразие экспериментальных
фактов, которые приходится принимать во внимание
физику, является огромным, их увеличение происходит
слишком быстро, а их значение и относительный вес
*) R. Courant, Dirichlet's principle, conFormal mapping,
and minimal surfaces, Interscience Publishers Inc., New York,
1950 (русский перевод: Р. К у р а и т, Принцип Дирихле,
конформные отображения и минимальные поверхности, ИЛ, М.,
1953).
358
слишком изменчивы чтобы аксиоматический метод смог
найти здесь себе достаточно твердую опору, разве что
это возможно в каких-нибудь прочно установившихся
областях нашей физической науки. Люди, подобные
Эйнштейну или Нильсу Бору, в темноте прокладывают
свой путь к своим концепциям об общей теории
относительности или структуре атома, руководствуясь
опытом и воображением, отличными от тех, которыми
пользуются математики, хотя, без сомнения, и для них
математика играет важную роль. В результате,
обширным планам Гильберта в области физики так и не
суждено было свершиться.
Однако применение им интегральных уравнений
к кинетической теории газов и элементарной теории
излучения представляет собой значительное
достижение. В частности, его асимптотическое решение
фундаментального уравнения Максвелла — Больцмана
в кинетической теории газов, интегрального уравнения
второго порядка, четко разделило два слоя
экспериментальных физических законов, к которым приводит
эта теория. Более подробно это решение было
рассмотрено физиками, которые применили его к ряду
конкретных проблем. В своих исследованиях по общей
теории относительности Гильберт соединил теорию
гравитации Эйнштейна с программой единой теории поля
Г. Ми. Более трезвый подход Эйнштейна, не связанный
с весьма спекулятивной программой Ми, оказался
более полезным. Работа Гильберта может рассматриваться
как предвестник единой теории гравитации и
электромагнетизма. Однако в гамильтониане Гильберта
остается еще слишком много произвольности;
последующие попытки избавиться от нее (Вейль, Эддингтон,
сам Эйнштейн и другие) не достигли окончательной
цели.
В то время в кружке Гильберта царило очень
радужное настроение; мечта о некотором универсальном
законе, управляющем как космосом в целом, так и
всеми атомными ядрами, казалась почти воплощенной.
Однако проблема создания единой теории поля
остается нерешенной и поныне; почти наверняка, помимо
гравитации и электромагнетизма, удовлетворительное
решение должно будет включать и материальные волны
(функцию Ч? Шрёдингера — Дирака для электрона
359
и аналогичные характеристики поля для других
ядерных частиц), а математическое оформление теории не
ограничится простым обобщением ставшей уже
классической теории гравитации Эйнштейна.
Гильберт был не только великим ученым, но и
великим учителем. Свидетелями этого являются его
многочисленные ученики и ассистенты, которых он учил
математическому ремеслу, вовлекая их в свою
собственную работу, в изобилии делясь своими идеями, а
также с помощью своих лекций, многие записи которых
нашли свою дорогу из Гёттингена в публичные и
личные математические библиотеки. Эти лекции
охватывают чрезвычайно разнообразные разделы математики.
Опубликованная в соавторстве с С. Кон-Фоссеном
Наглядная геометрия выросла из его педагогической
деятельности. Просматривая впечатляющий список его
работ, помещенный в Собрании трудов (т. 3, стр. 430),
поражаешься значительному числу курсов на такие
общие темы, как «Знание и мышление», «О
бесконечном», «Природа и математика». В целом его лекции
были точным отражением его личности:
непосредственные, яркие; как могли они не быть вдохновляющими?
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрахам (Max Abraham, 1875—
1922) 292
Аккерман (Wilhelm Ackermann,
1896—1962) 224, 245, 309, 346
Александр Македонский (356—»
323 до н. э.) 24, 48, 49, 279
Александров П. С. (р. 1896) 215,
216
Альтхоф (Friedrich Althoff, 1839—
1908) 56, 58, 61, 62, 72, 121,
130, 136, 261
Альфан (Georges Halpheib 1844^
1899) 35, 36, 38
Андре (Albert Andrae) 117
Аристотель (384—322 до н. э.) 49,
132 194 229
Артин' (Em'il Artin, 1898—1962)
216, 247, 258, 283, 318, 322, 323,
328, 329
Архимед (287?—212 до н. э.) 67, 336
Белл (Е. Т. Bell, 1883—1960) 143
Бернайс (Paul Bernays, p. 1888)
4—6, 196, 198, 200, 224—228,
246, 256, 257, 259, 263, 265,
267, 303, 310, 346
Бернулли Д. (Daniel Bernoulli,
1700—1782) 348, 350
Бернулли И. (Johann Bernoulli,
1667-1748) 93, 101, 102
Бернулли Я. (Jacob Bernoulli,
1654 -1705) 93
Бернштейн С. Н. (1880—1968) 157
Бернштейн Ф (Felix Bernstein,
1878—1956) 157, 292 303
Бессель (Friedrich Wilhelm Bessel,
1784—1846) 81, 352
Бетховен (Ludwig van Beethoven,
1770—1827) 180
Бибербах (Ludwig Biberbach,
p. 1886) 244, 270, 310
Биркгофф (George D. Birkhoff,
1884—1944) 233, 234, 354, 355
Бнсмарк-Шёнхаузен (Otto von
Bismark-Schonhausen, 1815—
1898) 8, 10
Блакетт (P. M. S. Blackett, p. 1897)
221
Блисс (G. A. Bliss, 1876—1951) 355
Блюменталь (Otto Blumenthal,
1876—1944) 4, 5, 67, 68, 71,
115, 117, 131, 135, 143, 148, 152,
196, 205, 243, 257, 269, 270,
272—275, 278, 292, 310, 333
Больца (О. Bolza, 1857—1942) 358
Больцано (Bernharu Bolzano,
1781—1845) 39
Больцман (Ludwig Boltzmann,
1844—1906) 359
Бонне (Pierre Ossian Bonnet, 1819—
1892) 36
Бор Г. (Harald Bohr, 1887-^1951)
157, 158 162, 177, 178, 211,
218, 245, 275, 355
Бор Н. (Niels Bohr, 1885—1962)
177, 178, 210, 222, 245, 275, 360
Бори (Max Born, 1882—1970) 6,
128 129, 138—141, 147, 150,
162. 170, 180, 201, 217, 221,
223, 234—238 247, 263, 278,
283, 300
Бохер (М. BAcher, 1867-1918) 354
Бояи Ф (Farkas Bolyai, 1775—
1856) 142
Бояи Я. (Janos Bolyai, 1802—1860)
81, 142, 166
Браунинг (R. Browning, 1812—
1889) 127
Брауэр (L E. J. Brouwer, 1881 —
1966) 193—195 201 — 204, 210,
224, 228, 238—244, 256, 339—
342, 347
Бриан' (William Jennings Bryan,
1860—1925) 113
Бушке (Ruth Buschke) 5
Варден, ван дер (В. L. van der
Waerden, p. 1903) 5, 210, 211,
216, 217, 243, 258, 270, 310,
315
Варицг (Edmund Waring, 1734—
1798) 150—154, 160, 166, 211,
309, 333
Вассерман (August von Wasserman,
1866—1925) 181
Вебер В. (Wilhelm Weber, 1804—
1891) 84, 85
Вебер Г. (Heinrich Weber, 1842—
1913) 19, 23, 51, 63. 64, 67,
269, 332
Веблен (Oswald Veblen, 1880—1960)
275, 319, 337, 339
Вейерш трасс (Karl Weierstrass,
1815—1897) 17—19, 40, 46, 89—
93, 103, 105, 110, 187, 190, 228
Вейль Г. (Hermann Weyl, 1885—
1955) 1, 2, 4, 126—129, 140,
162, 163, 187, 193^-195, 202-*
361
204, 208, 200, 221, 222, 225 227
241— 213, 247,- 218, 250,' 26u'
264, 265, 268, 273, 277, 279*
282, 283, 304, 305, 308, 355
356, 359
Вейль (Йозеф) X. (Hella Weyl
(Joseph)) 166, 265, 303
Веронезе (Giuseppe Veronese,
1854—1917) 38, 335
Вивнани (Vincenzo Vhiani, 1662—
1703) 101
Вигнер (Eugene Wigner, p. 1902)
238, 283
Вия В. (Willi Wi<4i, 1864—1928)
12, 181
Вин М. (Max Wien, 1866—1938) 12
Винер Г. (Hans Wiener) 79, 333
Винер Н. (Norbert Wiener, 1895—
1964) 212, 220, 221
Винтнер (Aurel Wintner) 356
Вихерт (Emil Wichert, 1861—1928)
27, 52, 84, 131
Вольтерра (Vito Vol terra, 1860—
1940) 175, 348
Вольфскель (Paul Wolfskehl,
1856—1906) 159, 171, 209
Галилей (Galileo Galilei, 1564—.
1C42) 124
Галуа (Evariste Galois, 1811 —
1832) 103, 270, 319, 320, 323,
327, 328, 330, 332, 358
Гамильтон (William Rowan
Hamilton, 1805—1865) 234
Гаусс (Karl Friedrich Gauss, 1777—.
1855) 17, 27, 31, 59, 60, 63, 66/57,
77, 78, 80, 81, 84, 85, 89, 120,
142, 106, 211, 249, 252, 253,
270, 323—325
Гегель (Georg Wilhelm Friedrich
Hegel, 1770—1831) 69, 195
Гейзеяберг (Werner Heisenberg,
1901 — 1975) 217, 221, 234—237,
356
Гекке (Erich Hecke, 1887—1947)
171, 213, 243, 272, 333
Гекьель (Ernst Heimich Haeckel,
1834-1919) 260
Гельмгольц (Hermann Ludwig
Ferdinand von Helmholtz,
1821—1894)20,46,51, 166, 252,
33S
Гельфонд А. О. (1903—1968) 213
Гензель (К. Hensel, 1861—19 il)
323, 324
Генцеи (Gerhard Gentzen, 1909—
19i5) 274, 281, 34;>
Георг II (Georg II, 1683—1760)
67, 148
Герглоц (Gustaw Herglotz, 1881 —
1950) 232, 276
Герц (Heinrich Hertz, 1857—189 i)
51, 58, 135, 167
Гёдель (Kurt Godel, p. 1906) 5,
255—257, 280, 281, 283, 346.
Гёте (Jnhunn Wolfgang von Goethe,
1749—1632) 13", 180. 227, 272
Гильберт Д. Ф. Л. (David Furchte-
gott Leberecht Ililbert) 8
Гильберт II. X. (Johann Christian
Hilbert) 7
362
Гильберт (Epom) K. (Kiithe Hilbert
(Jerosch), 1864—1945) 5, 52,57,
69, 72, 75, 120, 128, 136, 158,
159, 163, 171, 174, 175, 182, 183,
196—198, 246, 262, 273, 275,
277, 278, 290, 297, 303
Гильберт (Эрдтман) М. (Maria The-
rese Hilbert (Erdtmann),1830—
1905) 7—10, 13
Гильберт О. (Otto Hilbert, 1826—
1906) 7—10, 14, 21, 23, 118,
204, 285
Гильберт Ф. (Franz Hilbert, 1893—
1969) 62, 74, 123, 124, 139, 182,
183, 197, 272,278, 291, 303
Гильберт X. Д. (Christian David
Hilbert) 7, 8, 271
Гильберт Э. (Elise Hilbert, 1868—
1897) 10, 76
Гшщенбург (Paul von Hindenburg,
1817—1934) 263, 268
Гомер (VIIГ в. до п. э.) 227
Гордан (Paul Gordan, 1837—1912)
32, 35, 37, 41, 43—50, 53—55,
117, 151, 165, 187, 215, 261,
279, 297, 316
Грин (George Green, 1793—1841)
3i9, 353
Громмер (Jacob Grommer) 172,
173, 188
Гротриан В. (Walter Grotrian) 303
Гротриан (Меркель) Е. (Eva
Grotrian (Alerkel)) 303
Гурвпц A. (Adolf Hurwitz, 1859—
1919) 5, 23, 24, 30—32, 34,
41, 42, 51, 56, 57, 60, 65, 73,
75, 77, 94, 95, 97, 98, 109, 151 —
153, 156, 158, 160, 188—190,
196, 199, 200, 226, 261, 263,
275, 288, 317, 352, 355
Гуршщ (Самуольс) И. (Ida Hurwitz
(Samuels)) 57
Гурса (Е. Ooursat, 1858—1936) 355
Гуссерль (Edmund Husserl, 1859—
1938) 123, 161, 190
Дарбу (Gaston Darboux, 1842—
1917) 35, 142, 190, 263
Дебай (Peter Debye, 1884—1966)
179, 182, 184, 185, 198, 221,
238, 283, 303
Дедекинд (Richard Dedekind,
J831 —1916) 19, 39, 51, 60, 62,
102, 132, 160, 166, 259, 316,
319, 339
Дезарг (Gerard Desargues, 1593—
1662) 334, 337
Декарт (Rene Descartes, 1596—
1650) 25, 336
Ден (Max Dehn, 1878—1952) 86,
114, 283
Дирак (Paul Adrien Maurice Di-
rac, p. 1902) 221. 359
Дирихле (Pierre Gustave Lejeune
Diricblet, 1805—1859) 31, 89 —
92, 115, 118, 166, 276, 280, 319,
357, 359
Д'Окань (Philibert Maurice d'Ocag-
ne, 1862—1938) 36
Дюбуа- Реймонд (Emil du Bois-
Reytnond, 1818—1896) 22, 98,
254
Евклид (ИГ в. до н э ) 27, 79,
80, 82—84, 87, 168, 276, 334,
335
Жордан (Camille Jordan, 1838-'
1922) 21, 35, 37
Заремба (S. Zaremba, 1863—1942)
357
Зигель (Karl Ludwig Siegel,
p. 1896) 5, 212—214, 267, 272—
275, 333
Зоммерфельд (Arnold Sommerfeld,
1868—1951) 12, 52, 73, 138,
169—172, 175, 178, 179, 185,
217, 223, 261, 276
Зюс (W. Suss) 338
Йордан (Pascual Jordan, p. 1902)
221, 235, 336
Кант (Immanuel Kant, 1724—=
1804) 9, 12, 27, 28, 85, 180, 249,
252, 253
Кантор (Georg Kantor, 1845—
1918) 18, 39, 40, 70, 110, 133,
194, 203, 228—230, 240, 274
Каратеодори (Constantin Gara-
theodori, 1873—1950) 117, 181,
191, 198, 206, 272, 276, 277,
302, 358
Карлеман (Torsten Caiieman,
1892—1949) 274, 354
Карман (Theodore von Karman,
1881 — 1963) 162, 169, 283, 303
Карри (Haskell Brooks Curry,
p. 1900) 4, 246, 247
Карузо (Enrico Caruso, 1873—
1921) 177
Кели (Arthur Cayley, 1821 — 1895)
26, 48, 54, 55, 81, 315, 317, 335
Келлер (Gottfried Keller, 1819—
4 890) 260
Келлог (Oliver D. Kellogg, 1878—
1932) 233
Керекьярто(В. von Kerekjarto) 339
Кобе (Р. Koebe) 357
Кёииг Р. (Robert Konig, p. 1885)
4, 259
Кёниг Ю. (Julius Konig, 1849-^
1913) 142
Кёнигсбергер (Leo Koenigsberger,
1837—1921) 136
Клебш (Alfred Clensch, 1833—1872)
54, 55
Клейн (Гегель) A. (Anna Klein
(Hegel)) 32, 69, 297
Клейн Ф. (Felix Klein, 1849—
1925) 5, 23, 30—38, 40, 41,
43, 46, 49, 54, 61, 63—65, 67—
70, 73, 77, 81, 84, 89, 92, 103,
116, 118—123, 129, 130, 135,
138, 140—143, 149, 154—156,
158, 159, 179—181, 183, 184,
187, 190, 191, 198, 206—210,
214, 220, 221, 231, 232, 245—
247, 261, 262, 271, 275, 277,
292, 293, 297, 335, 333
Кнезер A. (A Kneser) 354
Кнезер X. (Hellmuth Kneser,
p. 1898) 4, 211
Ковалевская С. В. (1850—1891)
187, 215
Кольвиц (Шмидт) (Kathe Kollwitz
(Schmidt), 1867—1945) 14, 15,
192, 226
Komtitoh (Karl T. Gompton, 1887-^
1954) 221
Кондои (E. U. Condon, p. 19o2)
234, 236
Koiit (Auguste Comte, 1798—
1857) 254
Кон-Фоссеп (Stefan Cohn-Vossen,
1902—1936) 310, 360
Кох (Н. von Koch) 348—350
Koitiii (Augustin-Louis Cauchy,
1739—1857) 38, 108
Крацер (Adolf Kratzer, p. 1893)
5, 200
Кронекер (Leopold Kronecker,
1823 — 1891) 19, 39, 40, 46, 48—
51, 53, 56, 60, 70, 75, 77, 97,
102, 133, 194, 204, 225, 228,
241, 243, 256, 261, 316, 319, 322,
ЗЯ2, 341
Куммер (Ernst Ednard Kummer,
1810—1893) 19, 39, 60, 62, 77,
102, 108, 166, 319, 321, 322,
328, 332
Курант (Рунге) H. (Nina Gourant
(Range)) 303
Курант р (Richard Courant, 1888—
1972) 3, 4, 6, 135, 144, 147, 149,
163, 164, 175, 182—184, 198,
206—210, 213, 214, 217, 219,
220, 222, 223, 227, 231 — 233,
235, 237, 243, 245, 247, 263,
264, 271, 279, 283, 298, 303,
309, 355, 358
Кюри (Склодовская) М. (Maria
Curie (Sklodowska), 1867—
1934) 167
Кюри П. (Pierre Curie, 1859—1906)
167
Лаграттж (Joseph-Louis Lagrange,
1736—1813) 319
Ландау (Эрлих) М. (Maria Landau
(Ehrlich)) 233, 303
Ландау Э (Edmund Landau, 1877—
1938) 156, 157, 181, 211, 212,
217, 261, 203, 264, 267, 273,
296, 303
Ланде (Alfred Lande\ p. 1888) 5,
176, 177, 182, 184, 185, 283
Лаплас (Pierre Simon Laplace,
1749 — 1827) 89
Ласкер (Emmanuel Lasker, 1868—
1941) 318
Лауэ (Max von Laue, 1879—1960)
93, 171, 172
Лебег (Henri Lebesgue, 1875—1941)
о (- о 358
Левп'г. (Hans Levi, p. 1904) 5,
206, 239, 264, 283
Лепи Ф. (F. W. Levi) 178
Лелш Э. (E. E. Levi) 353
Леви-Чивита (Tullio Levi-Civita,
1873—1941) 335
Лежапдр (Adrien Marie Legendre,
1752—1833) 77
Ленин В. II. (1870—1924) 251
8G3
Леннес (N. J. Lennes) 338
Ли (Sophus Lie, 1842—1899) 33,
119, 166, 338
Линдеман (Ferdinand Lindemann,
1852—1939) 22, 23, 25, 26, 39,
41, 49, 59—61, 261
Литлвуд (J. E. Littlewood, p. 1885)
152, 333
Литцман (Walter Litzmann, 1880—*
1953) 120 167, 275
Лихтенберг (Georg Christoph
Lichtenberg, 1742—1799) 225
Лобачевский Н. И. (1792—1856) 81
Лоренц Г. (Hendrik Anton Lorentz,
1853—1928) 135, 141, 178
Майкельсон (Albert Abraham Mb
chelson, 1852—1931) 141
Майнот (G. R. Minot, 1885—1950)
233, 234
Маккпнли (William McKinley,
1843—1901) 113
Маколей (F. S. Macaulay) 319
Максвелл (James Clerk Maxwell,
1831 — 1879) 51, 167, 184, 359
Маннгейм (V. M. Amedee
Mannheim, 1831 — 1906) 35
Менье (Constantin Meunier, 1831—-
1905) 226
Мерсенн (Marin Mersenne, 1588—^
1648) 101
Ми (Gustaw Mie, 1868—1957) 185,
359
Минковская (Адлер) A. (Auguste
Minkowski (Adler)) 5, 76, 128,
158, 162, 277, 303
Минковская Ф. (Fanny Minkowski)
12, 13, 303
Минковский Г. (Hermann
Minkowski, 1864—1909) 2, 5, 11 — 13, 15,
20, 24, 26, 28, 29, 32, 37, 40—43,
50—52, 54—59, 61 — 65, 70—77,
85, 94—98, 107, 109, 114, 118—
126, 128, 129, 131, 134, 135,
137—141, 144, 148—150, 152—
162, 181, 186, 190, 192, 212,
214, 217, 222, 261, 263, 209,
275, 277, 278, 287, 294, 321,
358
Минковский М. (Max Minkowski)
11, 20
Минковский О. (Oskar Minkowski,
1858—1931) 11
Миттаг-Леффлер (Magnus Gosta
Mittag-Leffler, 1846—1927) 274
Монтень (Michel de Montaigne,
1533—1592) 20
Mope (M Morse, p. 1892) 358
Myp P (R. L. Moore, p. 1882) 338
Мур Э. (E. H. Moore, 1862—1932)
335, 338
Нейгебауэр (Отто Neugebauer,-
p 1899) 206, 265, 283
Нейман (Neumann) г-жа 6
Нейман Дж фон (John von
Neumann, 1903 — 1957) 223, 224, 237,
238, 245, 253, 283, 346, 355,
356
Нейман К (Karl Neumann, 1832—
1925) 91, 348
864
Нейман Ф (Franz Neumann, 1798-=»
1895) 17, 91
Нельсон (Leonard Nelson, 1882—.
1927) 161, 189, 190, 196, 303
Нернст (Walter Nernst, 1864—-
1941) 73, 116, 121, 181
Нётер М. (Max Noether, 1844—*
1921) 35, 187
Нётер Ф. (Fritz Noether, 1884--»
193?) 187
Нётер Э (Emmy Noether, 1882—
1935) 187, 188, 215—217, 258,
259, 263, 268, 270, 283, 301,
314, 318
Нордхайм (Lothar Nordheim,
p 1899) 5, 6, 223, 228, 235, 238,
249, 283
Ньютон (Tsaac Newton, 1642—1727)
67, 93
Оппеигеймер (J. Robert Oppen-
heimer, 1904—1967) 221
Ope (Oystein Ore, 1899—1968) 253,
283
Осгуд (William Fogg Osgood, 1864—
1943) 247
Островский (Alexander Ostrowski,
p. 1893) 5, 190—192, 219, 251
Папп (Ш в. н Э.) 333
Паскаль (Blaise Pascal, 1623—»
1662) 101
Паули (Wolfgang Pauli, 1900—
1958) 217, 221
Паш (Moritz Pasch, 1843—1930)
82, 84, 335
Пеаио (Giuseppe Peano, 1858—.
1932) 82, 84, 113, 335
Перрон (Oskar Perron, p. 1880) 156
Петер (F. Peter) 355
Пик (Georg Pick, 1859—1943?) 31,
32
Пикар (Emile Picard, 1856—
1941) 36, 156, 274, 355
Пирн (Robert Peary,1856—1920) 132
Плапк (Max Planck, 1858—1947)
167, 181
Пл ем ель (J. Plemelj) 355
Плутарх (46—127) 49
Плюккер (Julius Plucker, 1801 —^
1868) 135
Пойа (Gyorgy Polya, p. 1887) 5,
174, 195, 196, 273, 283
Полпиг (Linus Pauling, p. 1901) 221
Поптрягнн Л. С. (р 1908) 355
Прандтль (Prandtl) г-жа 303
Прандтль (Ludwig Prandtl, 1875—.
1953) 131, 162, 181
Пуанкаре (Henri Poincare, 1854—
1912) 30, 32, 34—36, 58, 77, 86,
94, 95, 98, 102, 111, 114, 134,
142, 143, 159, 165, 166, 175,
185, 232, 240, 241, 253, 349,
349, 357
Радош (Gustaw Rados, 1862—1941)
142
Райт О (Orville Wright, 1871 —
1948) 131
Райт У (Wilbur Wright, 1867—
1912) 131
Рассел (Bertrand Russell, 1872-—.
1970) 132, 189, 196, 241, 339,
347
Рейдемейстер К. (Kurt Reidemei-
ster, p. 1893) 5, 250, 254
Рейдемейстер S. (Elisabeth Reide-
meister) 5, 272
Релей (John William Strutt Ray-
legh, 1842—1919) 223
Реллих Ф. (Franz Rellich, 1906—=»
1955) 206, 26G
Рентген (Wilhelm Konrad
Roentgen, 1845 — 1923) 167, 169, iSi
Рид В. (W. Т. Reid) 354
Рид Л. (Legh Wilber Reid, p. 1867)
126
Рике (Eduard Riecke, 1845-^
1915) 131
Риман (Berngard Riemann, 1826-^»
1866) 19, 30, 31, 89—92, 110,
115, 207,211—214, 231, 270, 276,
280, 322, 336, 355, 357, 358
Рисе (F. Riesz, 1880—1956) 353,
354
Ритц (Walter Ritz, 1878—1909) 92
Ришело (F. Richelot, 1808—1875)
17, 19
Робшайт-Роббштс (F. S. Robscheit-
-Robbins) 233
Рунге (Karl Runge, 1856—1927)
130, 131, 144, 154, 232, 299
Cere (Gabor Szego, p. 1895) 5, 6,
250, 254, 283
Cerpe (Corrado Segre, 1860—-1924)
38
Сильвестр (James Joseph Sylvester,
1814—1897) 26, 37, 52, 54, 55,
316
Симон (Н. T. Simon, 1870—1918)
131
Смит (Henry Smith, 1826—1883) 21
Cnapp (Sparre) 36
Стеклов В А. (1863—1926) 352
Стилтьес (Thomas Jean Stieltjes,
1856—1894) 38, 355
Стоун (M. H. Stone, p. 1903) 356
Такаги (Teiji Takagi, 1875—1960)
116, 258, 322, 332
Тамаркин (J. D. Tamarkin) 354
Тарский (Alfred Tarski, p. 1902)
5, 282, 283
Таусски-Тодд (Olga Taussky-Todd,
p. 1906) 5, 258—261, 283
Теплиц (Otto Toeplitz, 1881—•
1941) 128, 147, 172, 235, 354
Томвен (J. J. Thomson, 1956—1940)
, 51, 167
Тонелли (L. Tonelli) 358
Уайтхед (Alfred North Whitehead,
1861 — 1947) 189, 196, 241, 339,
347
Уипл (G. H. Whipple) 233
Умберт (G. Humbert, 1859—1921) 8
Фано (Guido Fano) 337
Феллер (Willy Feller, p. 1906) 206,
Ферма (Pierre Fermat, 1601—1665)
101, 102, 159, 178, 179, 213,
319
Фицджеральд (Fitzgerald) 141
Фишер Эмиль (Emil Fischer, 1852—
1919) 181
Фишер Эрнст (Ernst Fischer,
1875—1954) 353
Флейшер (Fleisher) 292
Флекснер (Abraham Flexner,
1866—1959) 265
Фогт (Woldemar Voigt, 1860—1940)
131, 162
Франк (Шпонер) Г. (Hertha Franck
(Sponer), p. 1895) 303
Франк Дж. (James Franck, 1882—
1964) 217, 221, 247, 263, 264,
283
Франк Ф. (Philipp Franck, p. 1884)
Щ
Франклин (Fabian Franklin,
1853—1939) 52, 137
Фреге (Gottlob Frege, 1848—1925)
132, 339
Фредгольм (Erik Ivar Fredholm,
1886—1927) 115, 125, 126, 135,
164, 166, 348, 349, 350, 354
Фридрих II (Friedrich II, 1712—
1786) 8, 264
Фридрихе (Kurt Friedrichs, p. 1901)
206, 283, 356
Фробениус (Ferdinand Georg Fro-
benius, 1849—1917) 116, 318,
320 328
Фукс (Lazarus Fuchs, 1833—1902)
19, 46, 111, 116, 120
Функ (Paul Funk, p. 1886) 4, 238,
250
Фуртвеиглер (Philipp Furtwangler,
1869—1940) 322
Фурье (Jean Baptiste Joseph
Fourier, 1768—1830) 254, 348, 350 —
352
Фютер (Rudolf Fueter, 1880—1950)
258, 332
Xaap (Alfred Haar, 1885—1933)
179, 355
Хамель (Georg Hamel, 1877—1954)
292
Харди (G. H. Hardy, 1877—1947)
152, 156, 157, 211, 212, 239,
267, 333
Xacce (Helmut Hasse, p. 1898) 5,
201, 258, 262, 268, 273, 274,
310 322 333
Хаусдорф (F. Hausdorff, 1868—
1942) 338
Хеллннгер (Ernst Hellinger, 1883—
1950) 128, 146, 147, 283, 303,
310, 354
Хильб (Е. Hilb) 354
Хиичин А. Я (1894—1959) 151
Xoflm(W. V. D. Hodge, 1903—1975)
356
Хольмгрен (Е. Holmgren) 348
Хутермапс (F. G. Houtermans,
p. 1903) 221
Цермело (Ernst Zermelo, 1871 —
1953) 131, 132, 178, 196, 292, 343
365
Чеботарев Н. Г. (1894—1947) 318
Шван (W. Schwan) 337
Шварц (Hermann Amandus
Schwarz, 1843—1921) 46, 63,
116, 275, 348, 351
Шварцшильд (Karl Schwarzschild,
1873—1916) 131, 292
Шевалле (Claude Ghevalley,
p 1909) 322, 323, 326
Шекспир (William Shakespeare,
1564—1616) 13
Шеррер (Paul Sclierrer, p. 1890)
177, 184
Шиллер (Friedrich von Schiller,
1759—1805) 13, 274
Шиллинг (Friedrich Schilling,
1868—1950) 292
Шмидт A. (Arnold Schmidt, 1902—
1967) 4, 238, 265, 268, 269, 272,
310
Шмидт К. (Karl Schmidt) 14
Шмидт Э. (Erhard Schmidt, 1879—
1959) 116, 117, 120, 142, 147,
198, 223, 237, 292, 351, 354
Шоу (George Bernard Shaw, 1856—
1950) 234
Шпайзер (Andreas Speiser) 4
Шпрингер Ф. (Ferdinand
Springer, 1881 — 1965) 206, 208, 260,
303
Шпрингер (Эссле) Э. (Elisabeth
Springer (Essleu)) 303
Шпрингер Ю. (J. Springer) 309
Шрайер (О. Schreier) 318
Шрёдингер (Erwin Schrodinger,
1887—1961) 236—238, 356, 359
Штейнгауз (Hugo Steinhaus. 1887—
1972) 4, 138, 157
Штуди (Eduard Study, 186.:-1930)
31—36, 38, 40, 44, 56
Шуберт (Hermann Hannibal
Schubert, 1848—1911) 22
Шур A (Axel Schur) 354
Шур Ф. (F Schur, 1856—1932) 335
Штотте (Kurt Sehiitte, p 1909) 4,
265
Зберхард (Victor Eberhard, p 1862)
56
Эвальд (Paul Ewald, 1888— ?)
5. 6, 1'.5, 146, 170—173, 175,
182, 222, 274, 283
Эддингтон (A. S. Eddington) 359
Эйзенштейн (F. M. G. Eisenstein,
1823—1852) 328
Эйлер (Leonhard Euler, 1707—1783)
9, 109
Эйнштейн (Albert Einstein, 1879—
1955) 13, 125, 141, 149, 150,
167, 181, 185, 186, 193, 222, 243,
247, 265, 270, 283, 359, 360
Эрдтман (Karl Erdtmann) 8
Эрлих (Paul Ehrlich, 1854—1915)
181, 233
Эрмит (Charles Hermite, 1822—*
1901) 37, 44, 58, 59, 160
Юнг (Чизхольм) (Grace Young
(Chisholm), 1868—1953) 67, 292
Якобп(Каг1 Gustaw Jacob Jacobi,
1804 — 1851) 17, 19, 25, 103,
249, 254
СОДЕРЖАНИЕ
Рихард Курант. Вступительное слово 3
Предисловие 4
I. Юность 7
II. Друзья и учителя 17
III. Доктор философии 25
IV. Париж 34
V. Проблема Гордана 42
VI. Перемены 56
VII. Только числовые поля 66
VIII. Столы, стулья и пивные кружки 79
IX. Проблемы 89
X. Будущее математики 100
XI. Новое столетие Ii3
XII. Вторая молодость 123
XIII. Самоотверженная жизнь в науке 137
XIV. Пространство, время и число 148
XV. Друзья и ученики 155
XVI. Физика 165
XVII. Война 180
XVIII. Основания математики 193
XIX. Новый порядок 205
XX. Бесконечность! 218
XXI. Подаренная жизнь 231
XXII. Логика и познание природы 246
XXIII. Бегство 256
XXIV. Старость 267
XXV. Последнее слово 279
Герман Вейлъ. Давид Гильберт и его математические
труды 308
Именной указатель 361
Констанс Рид
ГИЛЬБЕРТ
Перевод с английского И. В. Долгачеви
Под редакцией Р. В. Гамкрелидзе.
М., 1977 г., 368 стр. с илл.
Редактор В. В. Донченко
Техн. редактор Я. В* Ношелева
Корректоры Г. С. Плетнева, А. Л. Ипатоеа
Сдано в набор 15.02. 1977 г. Подписано к печати 22. 07. 1977 г. Бумага
84 X 108 */з2. Физ. печ. л. 11,5 + 1 вкл. Условн. печ. л. 19,42. Уч.-изд. л,
18,75. Тираж 50 000 экз. Цена книги 1 р. 20 к. Заказ № 448
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука».
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.
1 \Ш1Д i ПЛЪЫ-Т'Т. Ж' г.