Двумерные задачи упругости для тел с трещинами - Саврук М.П.

Автор: Саврук М.П.
Теги: строение материи физика механика упругость теория упругости
Год: 1981
Похожие
Модели и критерии механики разрушения
Механика хрупкого разрушения
Трещиностойкость и механические свойства конструкционных материалов технических систем
Пространственные задачи линейной механики разрушения.
Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ФИЗИКО-МЕХАИИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
М. П. Саврук
ДВУМЕРНЫЕ
ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ ТЕЛ
С ТРЕЩИНАМИ
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1981

УДК 639
Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / Саврук М. П.— Киев :
Наук, думка, 1981.—324 с.
В монографии рассмотрены методы решения широкого класса двумерных
граничных задач математической теории трещин для изотропных тел. С помощью
аппарата сингулярных интегральных уравнений решены новые плоские и анти-
антиплоские задачи теории упругости для ограниченных и неограниченных тел,
ослабленных криволинейными трещинами при действии внешней статической на-
нагрузки и стационарного температурного поля. Изучены задачи об изгибе пластин
и оболочек с криволинейными трещинами.
Для научных и инженерно-технических работников, занимающихся вопро-
вопросами прочности твердых тел, а также для преподавателей, аспирантов и студентов
вузов, специализирующихся в области механики деформируемого твердого тела.
Ил. 68. Табл. 13. Библиогр.: с. 303—321 D44 назв.).
Ответственный редактор
В. В. ПАНАСЮК
Рецензенты
/С. Н, РУСИН КО, А. Е. АНДРЕЙ КИВ
Редакция технической литературы
Издательство «Наукова думка», 1981

От редактора
Поиски возможностей оценки прочности реальных тел
с дефектами типа трещин привели к созданию механики
хрупкого разрушения. Теоретическую основу этой науки
составляют исследования напряженно-деформирован-
напряженно-деформированных состояний около трещин-разрезов (или других
дефектов такого типа) в деформируемых твердых телах»
а также критерии их разрушения при заданном поле
внешних воздействий. Работы в этом направлении интен-
интенсивно проводятся во многих организациях, в частности
в Физико-механическом институте АН УССР.
Настоящая монография посвящена исследованию рас-
распределения напряжений около трещин в двумерных те-
телах. На основе метода сингулярных интегральных
уравнений рассмотрены задачи теории упругости и тер-
термоупругости, а также задачи об изгибе пластин и поло-
пологих оболочек для однородных изотропных областей,
ослабленных криволинейными трещинами. В предыду-
предыдущей монографии автора «Распределение напряжений
около трещин в пластинах и оболочках» («Наукова
думка», 1976; соавторы В. В. Панасюк и А. П. Дацышин)
предложен метод решения таких задач для системы
произвольно ориентированных прямолинейных трещин.
Здесь этот метод обобщен на случай гладких и кусочно-
гладких криволинейных разрезов-трещин, что дало
возможность единым подходом рассмотреть в общей поста-
постановке основные граничные задачи для конечных или бес-
бесконечных многосвязных областей, ослабленных отвер-
отверстиями и трещинами произвольной формы. По каждому
классу задач приведены примеры их решения предложен-

иыми в данной работе методами. При использовании
современных вычислительных средств построенные син-
сингулярные интегральные уравнения решаются численно.
В ряде случаев получены их точные или приближенные
аналитические решения.
Оригинальность и новизна приведенных результатов,
актуальность рассматриваемой проблемы позволяют на-
надеяться, что настоящая монография принесет большую
пользу исследователям, занимающимся вопросами раз-
разрушения материалов и расчетами на прочность.
Академик АН УССР В. В. Панасюк

Предисловие
В реальных твердых телах всегда имеется большое число различного рода микро-
микродефектов, развитие которых под действием приложенной нагрузки приводит к по-
появлению трещин и их росту, т. е. к локальному или полному разрушению тела.
Опыт показывает, что такое явление особенно характерно для случая хрупкого
или квазихрупкого разрушения материалов. Основы механики хрупкого разру-
разрушения изложены в работах [7, 9, 14, 19, 23, 34, 57, 66, 73, 78, 118, 121, 134,
138, 142,. 147, 148, 160, 165, 166, 169, 181, 186, 187, 231, 234, 248, 249, 254,
256, 286, 290,303,343, 345, 349, 368, 402]. Исследованию распределения напря-
напряжений в двумерных упругих телах с трещинами (разрезами) посвящена обширная
литература. Большинство полученных решений относятся к телам с разрезами
вдоль прямой или окружности, а предложенные методы решения применимы
лишь к определенным классам задач.
В да.чной книге на основе метода сингулярных интегральных уравнений пред-
предложен единый подход к решению плоских задач теории упругости, теплопровод-
теплопроводности и термоупругости для тел, ослабленных системой криволинейных трещин.
Этим же методом решаются задачи о продольном сдвиге цилиндрических тел с
«туннельными» разрезами, а также задачи об изгибе пластин и пологих оболочек
с трещинами.
Первые пять глав посвящены решению плоских задач теории упругости. По"
лучены интегральные представления . комплексных потенциалов Колосова —
Мусхелишвили через скачки смещений и напряжений на контурах гладких криво-
криволинейных разрезов в бесконечной упругой изотропной плоскости для общего
случая несамоуравновешенной нагрузки. Эти представления дают возможность
строить интегральные уравнения различных граничных задач для плоскости с
разрезами. Сингулярные интегральные уравнения для криволинейных разомк-
разомкнутых, разрезов обобщаются на случай замкнутых контуров. Таким путем рас-
рассмотрены основные граничные задачи для многосвязной области, ослабленной
отверстиями. Установлена связь интегральных представлений комплексных
потенциалов напряжений через скачки смешений и напряжений на замкнутых
контурах с известными представлениями Шермана — Лауречсллы. Построены
сингулярные интегральные уравнения основных задач об упругом равновесии
многосвязпой области, содержащей отверстия и трещины. Рассматриваются внут-
внутренние трещины и трещины, выходящие на край области или уходящие в беско-
бесконечность. Разрезы могут быть как гладкими, так и кусочно-гладкими, причем
кусочно-гладкие представляются как система гладких разрезов с общими точками.

В главах VI и VII развивается метод сингулярных интегральных уравнений
применительно к решению антиплоских задач теории упругости и плоских ста-
стационарных задач теплопроводности и термоупругости для областей с криволиней-
криволинейными разрезами. Установлено, что плоские задачи термоупругости для тел с
термоизолированными разрезами сводятся к интегральным уравнениям, которые
совпадают с уравнениями соответствующих силовых задач, с той разницей, что к
искомым функциям прибавляются слагаемые, известные из решения задачи тепло-
теплопроводности.
На основе классической теории Кирхгофа — Лява в главах VIII и IX изу-
изучены задачи об изгибе пластин и пологих оболочек, ослабленных криволинейны-
криволинейными трещинами. При использовании фундаментальных решений разрешающих
уравнений теории изгиба пластин и пологих оболочек получены сингулярные ин-
интегральные уравнения рассматриваемых задач.
Подробный обзор работ, посвященных решению двумерных задач теории
трещин, приведен в книге [160], а также в упомянутых выше работах. В связи с
этим в данной монографии указаны лишь работы, появившиеся в последнее время,
а также работы, непосредственно касающиеся рассматриваемых вопросов.
Автор выражает глубокую благодарность академику АН УССР В. В. Панасю-
ку за постоянный интерес и внимание к работе, а также О. Г. Кит и 3, Т, Назар*
чуку за помощь при подготовке рукописи.

Глава I
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ТЕЛА С ТРЕЩИНАМИ
1. Основные соотношения плоской теории упругости
Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями пло-
плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилин-
цилиндрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело
действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для
всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщен-
обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тон-
тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для
определения напряженно-деформированного состояния в произволь-
произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо
найти три компоненты тензора напряжений —аХу оу, хху (рис. 1)
и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система
декартовых координат выбрана так, что плоскость хОу совпадает
или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью
пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи тео-
теории упругости являются функциями двух переменных (х и у).
Введем функцию напряжений Эри U (х, у) по формулам
Тогда решение плоской задачи теории упругости в случае отсутст-
отсутствия объемных сил сводится к интегрированию бигармонического
уравнения .
при определенных граничных условиях.
Общее решение уравнения A.2) можно представить через две
аналитические функции ф (z) и X (г) от одного комплексного аргу-
аргумента z = х + iy по формуле Гурса
U (*, у) = Re {2ф (г) + X (г)], z = х — it/.	A.3)
В работах [92, 138] показано, что компоненты напряжений
°xi °у> %ху и смещений и, v выражаются через комплексные потен-
потенциалы Ф (z) и Y (z) формулами
+ Щг)]\	A.4)

oy -ax + 2ix
xy
' (z) + Y B)];
2G (w + fo) = щ (г) — z<P(z) — Щг);
A.5)
A.6)
Здесь н и ^ — компоненты вектора смещений соответственно по
направлению осей х и у\ G = Е/2 A + ц,) —модуль сдвига;
? —модуль Юнга; (.i —коэффициент Пуассона; к = 3 —4 [д, —
для плоской деформации и х = C — fx)/(l + \х) —для обобщенного
^*&\ П
Рис. 1.
плоского напряженного состояния. Главный вектор сил, действую-
действующих на расположенную внутри или на контуре пластины дугу АВ
справа, если двигаться по этой дуге в направлении от Л к В, опре-
определяется по формулам
в
X + *K=» —*[ц(г)гё= —ijn'(z)dz; . A.7)
А
р (z) = ф (z) + щ' (z) + 'ф (z),	A.8)
где X и Y — проекции главного вектора на оси х и у\ I \а — раз-
разность выражения, заключенного в скобках, при значениях z в точ-
точках В и Л.
Для главного момента рассматриваемых усилий относительно
начала координат имеем
(в
Гф) dz _ [гхр (z) + 21|) (Z) + 22ф' B)tf
В	\	В
== Re J |ГB) d2 — [2|T(F)]3 = — Re J 2 ц' (г) dz.	(I.
A	)	A
9)
При замене системы декартовых координат функции Ф (г) и
(г) иеинвариантны. Если новая система координат хх01у1 связана со

старой системой хОу соотношением
2 = 2^ + 2?,	A.Ю)
а функции Фх (Zj) и Ч^ (гг) выполняют ту же роль в системе х1О1у1,
что и функции Ф (г) и Чт (г) в системе хОу, то
Ф B) = 0,B,); z1=eaB-z?);
Т (г) = е-2/а [Y- (г,) - i?e'aOi (г,)];	ПЛ1) .
V (г) + гФ' (г) = e~2ia [% (zx) + ~глФ\ (г,)].
Здесь гх = х± + и/х; г? = х\ + iifu xu у\ — координаты точки
О, относительно старой системы координат.
Компоненты ar, oq и тго тензора напряжений и составляющие
вектора смещений vr и vq в полярной системе координат г, О
(рис. 2) связаны с соответствующими компонентами напряжений и
смещений в декартовых координатах соотношениями
ог + сто - ох + а„;
а0 — ar + 2iT,e - е2/0 (av - av + 2/т„);	A.12)
уг + ш0 = е-/0 (и + iv).	(IЛ 3)
Решение плоской задачи теории упругости сводится к определе-
определению двух аналитических функций <р (г) и г|) (г) в области S, занятой
упругим телом, при использовании предельных значений этих
функций на контуре L (на границе тела). В случае первой основной
задачи, т. е. когда на границе L заданы внешние напряжения,
граничное условие имеет вид
где Хп и Yn — компоненты заданных усилий на площадке с внеш-
внешней нормалью п; / —переменная точка контура, а s —соответ-
—соответствующая ей дуговая абсцисса; С—произвольная комплексная по-
постоянная.
В случае второй основной задачи, т. е. когда на контуре L за-
заданы перемещения, граничное условие получается предельным пере-
переходом Hd соотношения A.6)
жр(/)-/фГ(/) — qU) = 2G[u(t) + iv(l)]t t?L	(IЛ 5)
Здесь и (t) и v (I) —известные па L функции.
Продифференцировав выражение AЛ4) по /, получим иную
форму граничных условий для первой основной задачи
,		______
Ф (t) + Ф @ + -J- до' (t) + ? @1 = -V + iT, t? L, (IЛ6)
где N и Т —заданные нормальная и касательная компоненты
внешнего напряжения, действующего на границе тела (см. рис. 1).

Аналогично для второй основной задачи из соотношения A.15)
заходим
dt
_ Ф @ — -^- [tar (t) + Т @1 = 2G [и' (/) + iv' @),
В граничных условиях A.16), A.17) производная
Л	ds ' ds
Рис. 2.
Рис. 3.
где а — угол, который составляет внешняя нормаль к контуру с
осью Ох (см. рис. 1).
В случае многосвязной области (рис. 3) функции Ф (г) и ? (z)
(при условии однозначности смещений) в любой конечной ее части
имеют вид
т
+ х)
г — zk
(IЛ 9)
Здесь Xk и Yk — компоненты главного вектора внешних усилий,
приложенных к самонепересекающемуся замкнутому контуру Lk
(k = 1, 2, ..., ш); zk —произвольная фиксированная точка внутри
контура Lk\ функции Ф* (г) и Ч;* (г) голоморфны в 5.
Для бесконечной многосвязной области, когда контур Lo-цели-
Lo-целиком уходит в бесконечность, комплексные потенциалы Ф (г) и
Чг {г) имеют вид
фB)~- X + iY +В + 1С + Ф (г)-
2кA+н)г	'	(L20)
одесь
/\ — ^j /\^, 1 — 21j
k=\	k=i
A.21)
•ю

являются компонентами главного вектора внешних усилий, прило-
приложенных к границе области S; функции Фо (z) и ?0 {г) при больших
г имеют разложения
Фо(*)=»-Э-+-5-+ ••• ^ х^(г)-^-+-^+ - -. ; A.22)
вещественные постоянные В, В', С" выражаются через значения
главных напряжений на бесконечности р и q по формулам
где ах—угол между осью Ох и направлением напряжения р\
постоянная С, обусловленная вращением на бесконечности, не
влияет на распределение напряжений.
2. Некоторые сведения
из теории аналитических функций
Приведем результаты из теории аналитических функций, которые
будут необходимы в дальнейшем изложении. Подробные сведения
об аналитических функциях, интегралах типа Коши и сингулярных
уравнениях можно найти, например, в монографиях [32, 137, 138].
Об интегралах типа Коши. Пусть L —простой, замкнутый либо
разомкнутый, гладкий контур в конечной части плоскости комп-
комплексного переменного z = х + iУ или совокупность конечного чис-
числа таких контуров, не имеющих общих точек, а / (/) —заданная
на L (за исключением, быть может, конечного числа точек) абсолют-
абсолютно интегрируемая функция. Тогда интеграл
Ш^	A-24)
представляет;, собой аналитическую функцию во всей плоскости
комплексного переменного, кроме точек самого контура L. Этот
интеграл принято называть интегралом типа Коши, функцию / (/) —
его плотностью, а выражение \l(t—z) —ядром. Если функция
/ (/) удовлетворяет на L условию Гельдера (условию Н (v) или //),
т. е. для любых двух точек контура L выполняется неравенство
то интеграл A.24) имеет предельные значения оГ+ (/0) и <F (t{))
во всех точках /0 контура L, не совпадающих с его концами, при
z -> /0 соответственно слева (+) или справа (—) по отношению к
выбранному положительному направлению. Эти предельные зна-
значения также удовлетворяют условию Я (v) и определяются форму-
•	'	.	11

лами Сохоцкого —Племеля * [32, 137]
A.26)
Здесь интеграл в правых частях понимается в смысле главного зна-
значения по Коши, т. е.
Г -Ш?-. ^L,	(I.27)
где Le —часть кривой L, попадающая в круг \z —10 | < е. Ин-
Интегралы A.27) принято называть сингулярными или особыми ин-
интегралами. Рассмотрим интеграл
^^	{L28)
где ф (/) f Я, т. е. удовлетворяет условию (L25). Учитывая со-
соотношение
где G @ —угол, составленный положительной касательной2 к
контуру L в точке / с осью Ох, и предполагая, что L —кривая
Ляпунова, т. е. угол 0 (t) удовлетворяет условию Я, для предель-
предельных значений интеграла A.28) имеем выражение
Формула A.30) следует из соотношений A.26) при учете, что
функция ф @-^-6 Н-
Найдем предельные значения интеграла
где L — замкнутый или разомкнутый контур типа Ляпунова;
функция [ (I) удовлетворяет условию И (v).
1	Формулы A.26) справедливы также для случая, когда L — произвольная
кусочно-гладкая линия, при условии, что точка tQ отлична от узлов (в том числе
концов), я / @ удовлетворяет условию // в окрестности /0.
2	Положительным направлением касательной считается направление обхода
контура.
12

Рассмотрим интеграл
t~ U
(it
Поскольку функция
s» So) =
S — 5n
A.32)
A.33)
A-34)
где s и s0—дуговые абсциссы, соответствующие точкам i и iOi удов-
удовлетворяет по обеим переменным s и s{) условию Н (vx) (см. [ 137],
с. 28), то этому условию также удовлетворяет функция 1// (s7 s0),
так как / (s, s0) Ф 0. Последнее неравенство следует из того, что
для гладких контуров при /0 -> / имеем
/ \Ь> а/ — ^ — е =т= u.	^l.oo;
Следовательно, функция
гп // / \	JLziJji-. s s°
также удовлетворяет по обеим переменным t и t0 условию Н (Vj).
Действительно, из сказанного выше следует, что для любых точек
контура L V, to, t", tl (или s\ s'Qj s", so) имеет место неравенство
IФ (*', to) - Ф (Г,/'о) | < А (| s' - s" |Vl + | so - so |v") <
^	Л>0, Л,>0. A.36)
Здесь учтено условие, что для любых s', s" функция / (s', s") ф 0,
т. е.
/' — г
>8>0.
A.37)
По формуле Сохоцкого —Племеля из A.32) находим
Покажем, что функция a|) (z) ¦= F (z, г) —Ф (г, <0) при пере-
переходе через точку t0, не совпадающую с концами контура, ведет
себя как непрерывная, имеющая равное нулю предельное значе-
значение при приближении г к /0 с любой стороны контура, т. е.
F± (tQ, tQ) = Ф* (/0, tQ).	(I.39)
Справедливость этого утверждения следует из неравенства
1 г/;-; /-/. \ fa) di
JW-2	t—tQ)t — Z
L
-'ol
, to)f со
A.40)
13

при достаточно малых \г—/0|. Здесь использована оценка для
производной интеграла типа Коши A.24) вблизи линии интег-
интегрирования (см. [137], с. 69)
C|z~-/0/v1 при v<l;
|3"(г)|<С|1п|г-*0|| при v=l.	A.41)
где С—положительная постоянная; v—показатель в условии
Гельдера A.25), которому удовлетворяет плотность f (t).
На основании соотношений A.38) и A.39) заключаем, что пре-
предельные значения интеграла A.31) на точках t0 контура L, не сов-
совпадающих с узлами, определяются выражениями
Г (<0, /0) = ± -^ / (t0) -^- + -^ J (t- ttf dU (L42>
где производная в правой части равенства дается формулой A.33).
Формула A.42), полученная в работе [205], существенно исполь-
используется при рассмотрении различных краевых задач плоской теории
упругости для тел с разрезами. В случае замкнутых контуров мож-
можно считать, что производные плотности интеграла типа Коши A.24)
нужных порядков f{n) (I) f Я и, следовательно, производные
от интегралов типа Коши &{п) (г) интегрированием по частям
сводятся к интегралам типа Коши с плотностью fn) (t) (см. [32],
с. 46), для которых справедливы формулы Сохоцкого —Племеля
A.26). В аналогичных задачах для областей с разрезами (разомкну-
(разомкнутыми контурами) такой прием нельзя использовать, поскольку
в окрестности концов разреза плотность / (/) или /' (/) имеет осо-
особенность (см. параграф 3 настоящей главы) и интегрирование
по частям невозможно, так как при этом приходим к расходяще-
расходящемуся интегралу (/' (/) или/" (t)имеет неинтегрируемую особен-
особенность).
О вычислении интегралов типа Коши. Приведем некоторые
формулы, облегчающие вычисление интегралов типа Коши и син-
сингулярных интегралов, которые часто встречаются при решении
задач теории упругости с использованием функций комплексного
переменного. Пусть с — некоторая конечная точка на плоскости
z и пусть в окрестности этой точки функция / (z) имеет вид
/(z) = G(z) + /0(z),	(I.43)
где /о (г)—функция, голоморфная в окрестности точки с, т.е.
ее можно разложить в окрестности этой точки в ряд Тейлора, а
функция
G(z) = -^-+ , Ла v2 + ... + Ak и ; A.44)
v ' z — с ' (z — сJ '	(z	с)
Аъ А2, ..., Ak — некоторые комплексные постоянные. В таком
случае функция / (г) имеет в точке с полюс порядка k с главной
частью G (г).
14

Аналогично, если в окрестности точки z = оо имеет место фор-
формула A.43), но функция /0 (г) голоморфна в окрестности точки
z = оо и исчезающая в этой точке, а функция
G(z) = A0 + Alz + -.. -МЛг*.	A.45)
то / B) имеет в точке z = оо полюс порядка & с главной частью
G B).
Пусть L — простой замкнутый гладкий контур в плоскости г,
разделяющий ее на области 5+ и S"\ Будем считать, что S+ —та:
часть плоскости, которая остается слева при заданном направле-
направлении обхода контура. Тогда, если функция / (г) голоморфна в 5+
и непрерывна в S+ -f- L, за исключением, возможно, точек
съ с2» ..., ст области S~*~, где она имеет полюсы с главными частями
Gi (г), G2 (z), ..., Gm (z), то (см. [138], с. 252)
1 Г ПО**'
2эт/ J * —г
A.46).
Если функция f (г) голоморфна в 5~ и непрерывна в 5~ + L,,
за исключением, быть может, точек си с2, ..., ст (в том числе и точ-
точки г = оо) этой области, где она имеет полюсы с главными частя-
частями Gx (г), G2 B), .... Gm (г), то (см. [138].. с. 252)
/ @ dt
2га' J t—г
A.47)
Воспользуемся приведенными выше соотношениями для вычис-
вычисления сингулярных интегралов вида
Здесь ф (/) —рациональная функция, не имеющая полюсов на не-
незамкнутом гладком контуре L, начальная точка которого а и ко-
конечная 6, а
# @ = /?+ (О = -/?-(/),	A.49)
где /?* (/) —предельные значения функции
Я(г) = l/(z-а) (г-6);	A.50)
под /? (г) — подразумевается однозначная на разрезанной вдоль L
плоскости ветвь:
lim R(z)/z= I.	.	A.51)
15

Рассмотрим вспомогательный интеграл
?(ОфЮ ау
Г ЖОф
где контур интегрирования Л показан на рис. 4. Стягивая
Л к L, па основании формул A.46) и A.49) находим
A52)
контур
A.53)
где Gn (z) — главные части функции
R (г) ср (г) в ее полюсах.
Используя формулы Сохоцкого — Пле-
меля A.26), получаем значение сингуляр-
сингулярного интеграла A.48)
Совершенно аналогично находим значения
интеграла типа Коши
Г ф @ dt	__
Ф(г)
Рис 4.
и сингулярного интеграла !
A.56)
где G/z (г) — главные части функции ср (z)/R (z) в ее полюсах.
Формулы обращения интеграла типа Коши. Пусть L — сово-
совокупность конечного числа замкнутых гладких контуров без общих
точек и пусть положительное направление выбрано так, что при
движении вдоль L область S остается слева (см. рис. 3). Рассмотрим
интегральное уравнение
-,W.
A.57)
где / (/) —заданная на L функция класса Я, а ср (/) —искомая
функция, также принадлежащая классу Н. Единственное решение
1 Легко видеть (см. [137], с. 282), что соотношения A.53) — A.56) будут спра-
справедливы также в случае, когда L представляет собой совокупность гладких разомк-
р
иутых дуг Lk = афк (к = 1, 2, ..., р), а функция R (г) = П /(z — а/г) (z — 6/г).
/г=1
16

этого уравнения дается формулой (смЛ137], с. 116)
Пусть теперь в уравнении A.57) контур L состоит из совокуп-
совокупности р гладких разомкнутых непересекающихся дуг Lk (k =
= 1, ..., /?), концы которых ak и bk (положительный обход про-
производится от ak к bk), и пусть / (t) принадлежит классу Н, а иско-
искомая функция ф (t) —классу #*, т. е. ф (t) удовлетворяет условию
Я на каждой закрытой части контура, не содержащей узлов, а
вблизи любого узла с представима в виде
^	= const<lf	A.59)
где ф* (/) принадлежит классу Н в окрестности с. Тогда уравнение
A.57) имеет решение различных классов (ограниченное или не огра-
ограниченное вблизи концов ak и bk). В частности, решение этого урав-
уравнения, не ограниченное на всех концах контуров LkJ имеет вид
(см. [32], с. 486; [137], с. 343)
. (..60)
где Рр-\ (%)—произвольный полином степени не выше р—1;
R (t) — предельное значение канонической функции
при приближении к контуру слева, т. е.
R(t) = R+(t)^-R-{t).	(I.62)
Запишем решение A.60) для случая, когда контур L представляет
собой отрезок действительной оси — / ^ t ^ /,
A.63)
Постоянная С определяется из дополнительного условия, налагае-
налагаемого на решение ф (t). Обычно известно значение интеграла от
Ф (/) по L. Тогда из решения A.63) находим
i
С = J <p(f)dt.	(I.64)
Постоянную С можно выбрать и таким образом, чтобы решение
было ограничено на одном из концов отрезка |^| ^ /. Так, решение,
ограниченное в точке т = / и не ограниченное при % = —/, имеет
2 1 —€85	17

вид
Решению уравнения A.57), играющему важную роль в различ-
различных задачах математической физики, посвящено значительное
число работ (библиографию их см. в монографии [137]).
3. Напряженно-деформированное состояние
упругой плоскости с гладким
криволинейным разрезом
Интегральные представления комплексных потенциалов. Рассмот-
Рассмотрим основные граничные задачи плоской теории упругости для бес-
бесконечной изотропной плоскости, ослабленной гладким криволиней-
криволинейным разрезом L (L — контур типа Ляпунова) с началом в точке а
и концом е* точке Ь.
Сначала получим решение вспомогательной задачи, когда на
разрезе заданы скачки напряжений и производных от смещений,
6 L, A.67)
причем на концах разреза скачок смещений
а на бесконечности напряжения и вращение отсутствуют.
Будем считать, что функции q (t) и g' (t) принадлежат классу
//*. Воспользовавшись соотношениями A.16) и A.17) и выразив
левые части равенств A.66), A.67) через комплексные потенциалы
Ф (г) и х? (г), после несложных преобразований получим
Ф+ @ - Ф~ @ = i [g' (t) - 2iq (/)/A + x)) = iQ @, / G L\ A.69)
/) + У (/)]+ - [tO' (i) + W (/)Г =
^.f t?L.	A.70)
Равенство A.69) представляет собой задачу сопряжения для
кусочно-голоморфной функции Ф (г). Исчезающее на бесконечнос-
бесконечности решение этой задачи дается интегралом типа Коши (см. [138],
с. 385)
L
Потенциал Чг (z) будем искать в виде
18

где неизвестная функция Q (г) также кусочно-голоморфна во всей
плоскости, включая бесконечно удаленную точку. Учитывая соот-
соотношения A.42), A.72), из равенства A.70) получаем задачу сопряже-
сопряжения для функции Q (z)
Qf{t)-BT(t) = i\QT()-2i7U))-$r. t^L, A.73)
решение которой имеет вид
На основании A.72)
Таким образом, функции A.71) и A.75) дают решение поставлен-
поставленной вспомогательной задачи A.66), A.67) для общего случая неса-
моуравновешешюй нагрузки q (/). Эти решения можно также рас-
рассматривать как интегральные представления комплексных потенциа-
потенциалов Ф (г) и Т (г) для бесконечной плоскости, разрезанной вдоль
контура L.
Интегральные уравнения основных граничных задач. На
основе представления комплексных потенциалов A.71) и A.75)
могут быть рассмотрены различные граничные задачи для беско-
бесконечной плоскости с разрезом L. Пусть на берегах разреза заданы
несамоуравновешенные усилия (первая основная задача)
N± + iT± =p(t)±q(l), t<=L	A.76)
или производные от смещений (вторая основная задача)
^	i±^	A.77)
причем напряжения и вращение на бесконечности отсутствуют 1.
Функции р (/), q (t) в A.76) и /' (/), g' (t) в (L77) принадлежат клас-
классу Н.
Комплексные потенциалы Ф (г) и 4? (г) для этих задач ищем
в виде A.71) и A.75), считая, что в первой основной задаче неизвест-
неизвестной является функция g (t), а во второй—q (t). Удовлетворив
с помощью соотношения A.26), A.30) и A.42) граничное условие
A.76), для определения функции gr (t) получим сингулярное инте-
интегральное уравнение [201]
/
= p(t'), t'?L,	A.78)
1 В первой основной задаче будем считать также, что берега трещины не кон-
контактируют.
2*	19

где регулярные ядра kx (ty V) и k2 (t, t') даются соотношениями
Решение уравнения A.78) должно удовлетворять условию
которое обеспечивает однозначность смещений при обходе конту-
контура L. Это условие также следует из A.68).
Аналогично при удовлетворении граничного условия A.77)
найдем сингулярное интегральное уравнение второй основной
задачи
(к-1H@-щ(о dt_^{t> n(Q{t)
__ j[
-*.(«. ОQWS] = /'(n, <'G^	A-81)
где ядра kx {ty tr) и &2 (t> tf) те же, что и в уравнении A.78).
Будем считать, как это принято при решении второй основной
задачи для плоскости с вырезами [138], известным главный вектор
усилий, приложенных к разрезу L, с проекциями X и Y на оси
Ох и Оу. Тогда искомая функция в уравнении A.81) удовлетворяет
дополнительному условию
•которое следует из равенства A.7). Действительно, интегрируя в
A.7) вдоль берегов разреза L и замечая, что
получаем соотношение A.82).
Сингулярные интегральные уравнения A.78) и A.81) принадле-
принадлежат к типу уравнений, подробно изученных в работах [119, 1371.
В классе функций, не ограниченных вблизи концов а и Ьу т. е.
в классе /z0, индекс которого к = 1 (см. [137], с. 256), уравнения
A.78) и A.81) всегда разрешимы, и их решение содержит
линейным образом одну произвольную постоянную. При выполне-
выполнении условий A.80) и A.82) решение уравнений A.78) и A.81) един-
единственно. Заметим, что уравнения A.78) и A.81) могут быть записаны
соответственно в виде
dt'
i — Ф (/') — -^7- [ГФ' (/') + ? (/')] == /' (Г), V G L, A.85)
20

где Ф (Г), ? (/') —прямые значения потенциалов Ф (г) и W (z),
т. е. полученные непосредственной подстановкой z — t' в выра-
выражения Ф (г) и W (z). Соотношения A.84) и A.85) позволяют легко
строить сингулярные интегральные уравнения первой и второй
основных задач для областей с разрезами, если известны интеграль-
интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и 4я (г) через
скачки напряжений и смещений на этих разрезах.
Распределение напряжений и смещений в окрестности вершин
разреза. Рассмотрим случай криволинейного разреза (трещины),
на берегах которого задана внешняя нагрузка A.76). Решение этой
задачи дается потенциалами A.71) и A.75), в которых заданная
функция q (t) удовлетворяет условию //, а функция g' (t), являю-
являющаяся решением' уравнения A.78), принадлежит классу Я*. Следо-
Следовательно, вблизи вершин разреза L главный член асимптотическо-
асимптотического разложения напряжений и смещений будет зависеть только от
функции g' (/). Из теории сингулярных интегральных уравнений
[137] (см. также решение A.60)) следует, что функцию g' (t) вблизи
начала трещины а = Г~ и конца Ъ = /+ можно представить в виде
?'Ю = -?У(>	A.86)
гДе ?# @ —функция, принадлежащая классу Н на L в окрестности
конца /*; Vt—/* —любая определенная ветвь, непрерывно
изменяющаяся на L,
Используя известные результаты о поведении интеграла типа
Коши вблизи концов линии интегрирования (см. [1371, с. 75) и зна-
значение интеграла
(L87)
в окрестности z = 1±, представим функции Ф (г) и ЛГ (z) +2Ф' (z)
в точках, достаточно близких к /*, но не расположенных на Ly
в виде
Ф(г) = -М^= + 0И;
2?

(г)
У (z) =
*Уг — 1л
/i±x
- A.88)
где со+ = 0 (/+), со~ = 8 (Г~) + я, G (/*) —угол между направле-
направлением положительной касательной, проведенной к L в концах
/*, и осью Ох; у г—/* —ветвь, голоморфная вблизи /* на
разрезанной вдоль L плоскости и принимающая значение vt —/*
на левой стороне L; г = \г — /* |; О (гп) означает, что отношение
О {rn)l rtl ограничено при z ->• /*.
Чтобы получить распределение напряжений и перемещений
в малой окрестности концов трещины, перейдем к новой (полярной)
•системе координат с началом в вершине трещины z == Г*~ или z ==
s= Г" (рис. 5), т. е. положим
г =
A.89)
Используя формулы преобразования комплексных потенциалов
при переходе к новой системе координат A.11), из A.88) получаем
где
—1±
A.90)
A.91)
Здесь и далее действительные величины kf и k? с нижним знаком
относятся к началу трещины (г — а = /"*), а с верхним —к концу
На основании формул A.4)—A.6) и A.90) находим асимптоти-
асимптотическое распределение напряжений и перемещений в окрестности
вершин криволинейной трещины
г 0	5Э
5 cos -s	cos -н-
о 0 ,	59
3 cos -y + cos -y-
— sin ~- + sin —
22

k?
"Т* - т/"РГ~
. О . . 50
—	sin ~y + sin ~y-
n . О .50
—	7sin-^	sin -y
5G
3cos
cos
(/•»);
A.92)
	/ Bк — 1) cos -g	cos -!Г
0	30
Bx + 1) sin -^	sin ~
Рис. 5.
Здесь oXi oy, %xy н uy v — компоненты
напряжений и перемещений в локальной
системе координат ххух с началом в вер-
вершине трещины (см. рис. 5). Величины
k* w k$ называют коэффициентами ин-
интенсивности напряжений 1 соответствен-
соответственно при симметричном и антисимметрич-
антисимметричном распределении напряжений отно- со
сительно линии трещины (в дальнейшем
иногда будем опускать индексы + и —,
подразумевая под величинами kx и V
k2 коэффициенты интенсивности на-
напряжений либо для начала трещины,
либо для конца). Они представляют со-
собой функции нагрузки и параметров, характеризующих конфигура-
конфигурацию тела и форму трещины, и определяются из решения задачи
теории упругости.
Коэффициенты интенсивности напряжений играют исключитель-
исключительно важную роль в механике хруцкого разрушения [78, 147, 166,
234, 254]. Существенное значение имеет тот факт, что распределе-
распределение напряжений и перемещений вблизи вершины трещины всегда
имеет одну и ту же функциональную зависимость в полярных ко-
координатах (г, G) с началом в вершине трещины для произвольных
конфигурации тела, формы трещины и внешней нагрузки. Следова-
Следовательно, коэффициенты интенсивности напряжений можно рассмат-
рассматривать, как параметры, которые отражают перераспределение
1 В некоторых работах коэффициентами интенсивности напряжений принято
называть в Уп раз большие величины.
23

напряжений в теле вследствие образования трещины. Поэтому
распределение напряжений в малой окрестности, окружающей
вершину трещины, будет известно, если будут определены значения
коэффициентов интенсивности напряжений.
Независимость асимптотического распределения напряжений
и перемещений по г и 8 от формы трещины видна из формул A.92)
и является следствием представления решения сингулярного интег-
интегрального уравнения A.78) вблизи вершины трещины в виде A.86).
Однако интегральное уравнение задачи о трещине в произвольной
криволинейной области, как будет показано далее, отличается от
A.78) лишь регулярными ядрами, т. е. представление A.86) имеет
место и в этом общем случае. Следовательно, формулы A.92) спра-
справедливы также в общем случае конфигурации тела и формы
трещины.
Формулы A.92) могут быть получены также из асимптотического
разложения в малой окрестности вершины трещины точных реше-
решений различных частных задач. Именно таким способом были най-
найдены асимптотические формулы A.92) в работах [343, 401, 432,
437]. Г. П. Черепанов [254] строго доказал общий характер распре-
распределения A.92).
Совершенно аналогично могут быть получены асимптотические
формулы о распределении, напряжений около концов криволинейно-
криволинейного разреза, на берегах которого заданы смещения (в частности,
около жесткого тонкостенного включения *). При этом для функции
Ц @ будет справедливо представление A.86), а функция g' (t) будет
ограничена вблизи концов разреза. Эти распределения не приводим,
поскольку в дальнейшем в основном будем рассматривать имеющие
важное значение в механике разрушения случаи разрезов (трещин),
на берегах которых задана внешняя нагрузка.
4. Коэффициенты интенсивности напряжений
для криволинейной трещины, мало отличающейся
от дугообразной или прямолинейной
Прямолинейная трещина. Рассмотрим задачу об определении нап-
напряженно-деформированного состояния бесконечной плоскости, со-
содержащей прямолинейный разрез \х\ ^ / на оси Ох, берега кото-
которого нагружены несамоуравновешенными усилиями A.76), а нап-
напряжения на бесконечности отсутствуют. Из равенства A.78) при-
приходим к интегральному уравнению
A.93)
1 Распределение напряжений около вершины тонкостенного жесткого вклю-
включения дано в работе [151].
24

которое npir условии A.80), согласно A.63) и A.64), имеет решение'
gr' (x) = — i rv \ q (x)
Г
(L94)l
Подставив решение A.94) в формулы A.71) и A.75), легко полу-
получить выражения комплексных потенциалов Ф (г) и х? (г)у совпада-
совпадающие с приведенными в работе [1381 (с. 441). На основе соотноше-
соотношений A.91) и A.94) находим коэффициенты интенсивности напря-
напряжений
A.95)
Здесь начало трещины -*- точка х = —/, конец — точка х = /.
Формула A.95) впервые получена иным путем в работе [235].
Приведем значения коэффициентов интенсивности напряжений
для некоторых частных случаев нагрузки. Пусть берега трещины
нагружены самоуравновешенными (q (t) = 0) постоянными нор-
нормальными а и касательными т усилиями (р (/) = —о—йг=-
= const). Тогда из формулы A.95) получаем
k? — ik$ = (a — /т) ]/1	A.96>
Отсюда, в частности, методом суперпозиции можно получить зна-
значения коэффициентов интенсивности для случая, когда бесконеч-
бесконечная плоскость со свободной от нагрузки трещиной подвергнута на
бесконечности растяжению внешними напряжениями р и q, дейст-
действующими во взаимно перпендикулярных направлениях (см. форму-
формулы A.20) и A.23)). Для такого случая
k? - ik% =.J^ip + q-(p-q) е*««] j/T	A.97)
Пусть в точках х = ? (| ? | < /) на верхнем и нил<нем берегах
трещины приложены нормальные Р и сдвигающие Q силы, одина-
одинаковые по величине, но противоположные по направлению, т. е.
р (х) - - (Р - tQ) б (х - Э; 9 (*) = 0,	A.98)
25-

тде б (x —|) —дельта-функция l [25]. Подставив A.98) в формулу
A.95), найдем
В случае полубесконечной прямолинейной трещины х ^ О
на оси Ох из A.78) получаем уравнение
Будем считать, что функция р (х) при больших х удовлетворяет
условию р (х) = о A/х), где о A/х) означает, что хо (l/х) стремится
к нулю при х -> оо. После замены переменных
уравнение A.100) преобразуется к виду
1
^f-/<ч>. |Т1|<1'	AЛ02)
-где
ф® = [Q@ + ^@1/A-8; /(n) = pW/d-л)- A.
Будем искать решение уравнения A.102), ограниченное при
= 1 и не ограниченное при ц — —1. Согласно A.65)
Возвращаясь к прежним переменным, получаем
По формуле A.91) находим коэффициенты интенсивности для
полубесконечной трещины
0
Заметим, что решения A.105) и A.106) можно получить предельным
переходом из A.94) и A.95) (см. [160], с. 47). Приведенный здесь
1 Дельта-функция б (х) обращается в нуль при х Ф 0 и в бесконечность при
х = 0 так, что при этом
ь
О при х < а и х > Ь\
f (x) при а<х<Ь;
при х = а или * = Ь.
26

прием будет использован в дальнейшем при численном решении
интегральных уравнений для полубесконечных трещин.
Дугообразная трещина. Рассмотрим задачу для бесконечной
плоскости, ослабленной трещиной L по дуге окружности радиуса
R от точки а = Reria до b = а, берега которой нагружены неса-
моуравновешенными усилиями A.76), а напряжения на бесконеч-
бесконечности отсутствуют. В этом случае из A.78) приходим к уравнению
где
Л—.TnnrWW* B=ltr) ^'J4K4dt; A.108)
]
Решение уравнения A.107) получаем по формуле A.60)
^v'	Я(т) я J <-т ^
+ -^-(% — R) + iB(i — Rcosa) + c\.	(I.I 10)
Здесь С—произвольная комплексная постоянная, а
—fl)(/ -а), /?(г)«|/B —а)(г-а). A.111)
Неизвестные постоянные В и С найдем из второго равенства
в A.108) и условия A.80). Окончательное решение запишем в виде
где
4- *'лБ (т — R cos a)
7	5Т )-1 Г sln
A.112)
2яЯ cos2 -у (' + sin2 — j I R *¦ '
При получении решения A.112) использованы значения
интегралов
di
R(f)(t-%) Wf J Я(/) ~ "' J tRit) ~ Я *
27

tdt	-n
= ш/ccosa;
R(t)
dt __ я* Г d/ _ ш	Г fl (Q dt
(t-i)	Rx l J^W"F"C0SCX; ~
Г
J
L
которые вычислялись по формулам A.53) — A.56).
Из соотношений A.91) и A.112) найдем коэффициенты интенсив-
интенсивности напряжений
В случае всестороннего растяжения плоскости на бесконечности
усилиями /?, когда берега трещины свободны от нагрузки, т. е.
при q (i) = 0, р (t) = — р = const, из (I. 115) приходим к извест-
известному результату [147, 149]
где е = б//; 2/ — длина хорды, соединяющей концы трещины;
б — максимальное удаление точек трещины- от этой хорды. .
Криволинейная трещина, близкая по форме к дугообразной
или прямолинейной [209]. Полученные точные решения могут
быть использованы для построения методом возмущений прибли-
приближенных решений для криволинейной трещины, мало отличающейся
от прямолинейной или дугообразной.
Рассмотрим интегральное уравнение A.78). Пусть форма глад-
гладкого криволинейного разреза L определяется параметрическим
уравнением
Ш<1.	A.117)
Учитывая, что для гладких контуров функции х E), у (?) имеют
непрерывные производные х' (?), у' (?), не обращающиеся одновре-
одновременно в нуль (см. [137], е. 13), можем произвести [32, 128] в урав-
уравнении A.78) замену переменных
< = о(?) = *(й + № /' = <о(т|).	A.118)
28

Тогда уравнение A.78) и условие A.80) преобразуются к виду
1
—1
A.119)
A.120)
где
Л
г
(8 = 9(9©'®;
;.л); A.121)
Рис. 6.
© (s) — «(л)
Представим функцию со (|) в форме
СО (?) — СО
где А, — безразмерный малый параметр, а /соо (?) определяет
геометрию дугообразной трещины с вершинами в точках (±/, 0),
проходящей через точку @, —б) (см. рис. 6). Будем считать, что
выполняется условие
?h I СОi ^gj |/1 СОо VS/ I "^ * »	[I. iZO)
характеризующее близость криволинейной трещины L к разрезу
Lo. Тогда ядра в уравнении A.119) и функции Р (г\) и я|? (I) могут
быть разложены в сходящиеся ряды по степеням параметра А,.
Следовательно, искомая функция ф (?) также представима в виде
ряда
Ограничимся определением решения в первом приближении.
В дальнейшем все величины с индексом 0 или 1 относятся соответ-
соответственно к нулевому (X = 0) или первому приближению. Подставив
в уравнение A.119) разложения ядер и функций ф (?), гр Ш,
Р (г|) и приравняв выражения при одинаковых степенях А,, найдем
систему уравнений для определения неизвестных функций срп (I).
Для нулевого приближения* ф0 (?) получим уравнение A.119)
29

с ядрами
Ко (?, л) = Im Af0 (Е, ч); Мо (?, т,) =
точное решение которого найдем аналогично A.110)
Аог (е + i
A.125)
Фо<
= _.	\	.If 1/1-^Ро(ю^
+
Здесь
A.126)
A.127)
с ^
1+е2
7
Коэффициенты интенсивности напряжений получаем по формуле
П.91), которую с учетом замены A.118) представим в виде
а-128)
где нижние знаки относятся к левой вершине трещины (началу),
а верхние — к правой (концу).
В нулевом приближении согласно соотношениям A.126) и
A.128) будем иметь
> — ik<20 = —
1 Ч=,
J
—1
. A.129)
Заметим, что решения A.126) и A.129) являются по существу реше-
решениями A.112) и A.115), записанными в другой форме.
Первое приближение также определяется по формулам A.126),
A.127) и A.129), в которых следует заменить Do, гр0 (г|) и Ро (г\) соот-
30

ветственно на Dlt i^ (ц) и
Р\ ft) = Рг Щ	l- $ \Кг (I, Ц) ф0 (|) + Lt (g,
+ M1(g,TlL>o(9]dE,	A-130),
где
/С, (|, л) = Im Мг (|, ч); М, (|, ч) = - i * yg-yW .
*. «(ВМл)
*. «.(
б	COt fe) — СО1 (
2 дц
К (В-©о(л)]2
Окончательные выражения для первого приближения при про-
произвольных нагрузке р (?), # (I) и форме трещины о^ (I) довольно
громоздки, поэтому ограничимся далее рассмотрением более прос-
простого случая слабоискривленной трещины (е = 0). Для коэффициен-
коэффициентов интенсивности напряжений будем иметь
игпи=Ч\\
1)— -|- Re [а»A. — 1.)± а>(& 1) Tag, — 1)]
[ffl;(±l)-ffl(I,-l)T<o(i, 1)±©(S,-1I
1
f- J Imco^s, I) Im9o(S)dsU dt,± i-^~ J (
{<7x (I) + ?o (I) [«i Ш - Пт col (± 1) - 4" ^ <» A,-1)] -
i ^Im[<D;(±l)«)(ll)]}}ds|+O(n A.132)
где po E). Pi E). <7o (i) и <7! (g) — коэффициенты разложения функ-
функций p (|) и q (?) в ряды по степеням Я, а
При получении формулы A.132) использовались соотношения
—I
3i

A.134)
1	1
;a также формула Пуанкаре — Бертрана для перестановки порядка
интегрирования в повторных сингулярных интегралах [32, 137].
С помощью этой формулы вычисляется также интеграл
11
J.VlVUK) J.
— 1	— I
A.135)
На основе принципа суперпозиции решением A.132) можно вос-
воспользоваться также в случае, когда берега трещины свободны от
нагрузки, а в сплошном теле без трещины существует напряженное
состояние, характеризующееся комплексными потенциалами. на-
напряжений Фо (г) иЧГ0 (z). Тогда в решении A.132) следует положить
0
|0 +%№• A.136)"
В частности, когда тело подвергнуто на бесконечности растяжению
внешними напряжениями р и q> действующими во взаимно перпен-
перпендикулярных направлениях, причем 'напряжения р направлены
под углом а к оси Ох, т. е.
(J}o B) = 4"{р + q)> Ч'° B> = - 4" (^ ~ 9) е~2га, A.137)
из соотношения A.136) получим
Po(l) ---^(P + q) + -L(p-q)e^ Pl (I) =
= — i(p — q) e2** Im со', (g).	A.138)
Подставив эти выражения в формулу A.132), найдем
к? - ik? =У!{Ц^{\ + ^[<оA - I)- ilmco] (± I)}}
|	й>A, — I)sin2a —
— i Im co'j (± 1) (cos 2a -f 3/ sin 2a) —

-ij-cos2almj j/HifflldjdgjJj + O^). A.139)
.32

При всестороннем растяжении на бесконечности (р = q) полу-
получаем
A.140)
т. е. в первом приближении коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений, кроме нагрузки /?, зависят только от положения и ориентации
концов трещины.
При X = 0 формула A.132) совпадает с решением A.95) для
прямолинейной трещины. Если рассматривать дугообразную тре-
трещину как слабоискривленный разрез, то легко убедиться, что в
первом приближении соотношение A.129) при s = X согласуется
с формулой A.132). Отметим, что плоская задача теории упругости
для бесконечного тела, ослабленного слабоискривленной трещиной,
берега которой нагружены самоуравновешенными усилиями, изу-
изучалась в работах [8, 24, 36, 37, 327]. В данной монографии приведе-
приведены решения для общего случая нагрузки и формы трещины. Они
могут быть использованы при анализе устойчивости развития прямо-
прямолинейной трещины и построении статической траектории распро-
распространения трещины.
5. Система криволинейных трещин
п упругой плоскости
Интегральные уравнения основных граничных задач. Пусть в
упругой изотропной плоскости, связанной с декартовой системой
координат хОу, есть N гладких криволинейных разрезов Ln
(п = 1, 2, ..., АО, не имеющих общих точек. Поскольку формулы
A.26), A.30), A.38) и A.42) справедливы не только для одного, но
и для совокупности гладких контуров, легко видеть, что интеграль-
интегральные представления комплексных потенциалов A.71) иA.75), а также
интегральные уравнения A.78) и A.81) для первой и второй основ-
основных задач верны также для системы гладких криволинейных раз-
разрезов Ln (п — 1, 2, ..., Л/), если под L подразумевать совокупность
контуров LnJ т. е. L = Lt + L2 + ... + Ln, Дополнительные
условия A.80) и A.82) должны быть записаны для каждого контура
Ln в отдельности. Объединив эти условия, получим
A.141)
где ХПУ Yn — проекции главного вектора усилий, приложенных
к разрезу Ln, на оси Ох и Оу.
Интегральное уравнение A.93) или A.107) будет справедлнвьш
также для любой системы разрезов вдоль одной и тон же пря-
прямой или вдоль одной и тон же окружности. Из вида этих уравнений
3 1-685	35

и из A.60) следует, что такие задачи сводятся к вычислению квад-
квадратур 1. При этом в случае коллинеарных трещин комплексное ин-
интегральное уравнение A.93) распадается на два идентичных действи-
действительных уравнения, соответствующих симметричному и антисим-
антисимметричному распределению напряжений.
Как и для одного контура, интегральные уравнения A.78) и
A.81) для системы контуров Ln (п = 1,2, ..., АО всегда имеют реше-
Рис. 7.
ние в классе функций, не ограниченных на всех концах контуров
Ln, и это решение единственно при выполнении N условий A.141).
Интегральные представления комплексных потенциалов Ф {г)у
х? (г) и интегральные уравнения основных граничных задач для
бесконечной плоскости, содержащей систему криволинейных раз-
разрезов, приведем в несколько иной форме. Для этого отнесем каждый
контур Ln к локальной системе координат хп0пуп. В основной
декартовой системе координат хОу точки Оп определяются комп-
комплексными координатами z° = х% + Ц/2, а оси Опхп образуют углы
ап с осью Ох (рис. 7). Тогда связь между координатами точек плос-
плоскости в локальной и основной системах координат дается соотно-
соотношением
г = zneia» + г°п, z = x + itj; zn = xn + iyn.	A.142)
Пусть на разрезе Ln> отнеседшом к системе хп0пуп, заданы
1 Математические методы, развитые Н. И. Мусхелишвили [138] и Д. И. Шер-
маном [262], позволяют свести к квадратурам указанные задачи, минуя сингуляр-
сингулярные интегральные уравнения.
34

скачки напряжений и производных от смещений
(Nn + iTn)+ - (Na + iTar = 2qn (*„), /„ G Ln; (I.I 43)
причем скачок смещений на концах разреза, а также напряжения
и вращение на бесконечности равны нулю (здесь и далее приняты
те же обозначения, что и в третьем параграфе; индекс п указывает
на то, что данная величина записана в локальных координатах и
относится к контуру Lni в частности tn обозначает комплексную
координату точки контура Ln в локальной системе хп0пуп).
Согласно соотношениям A.71) и A.75), для комплексных по-
потенциалов имеем выражения
ф (Z ) = JL Г Qn(tn)dtn .
„ г 	 Ll		.	п A.145)
W B ) = * Г [ Qn(tn)~2i<]n(tn) У7	tnQn(tn)d(n 1
где
Qn (и = gn (и—щп аж* + П-	(i.i46)
В силу линейности задачи функции [201]
ф¦ W = -W ? I -^Т1^; Г, -
A.147)
[ \Ш^М~1ат — fkQk (tk)
полученные суперпозицией комплексных потенциалов A.145)
для изолированных разрезов, описывают напряженное состояние
упругой плоскости, вызванное разрывами перемещений gk (tk)
и напряжений qk (tk) на N контурах Lk (k = 1, 2, ..., N). Действи-
Действительно, функции Ф„ (zn) и ?„ (zn) (I.145) однозначны всюду, кроме
контура Ln\ где они имеют разрывы перемещений gn (tn) и напря-
напряжений qn (tn). Поэтому поля напряжений и смещений, обусловлен-
обусловленные этими функциями, на контурах Lk (k = 1, 2, ..., Af; k Ф п)
будут непрерывны. Следовательно, суммы этих функций, т. е.
комплексные потенциалы A.147), дают решение задачи с заданными
на N контурах Lk (k = 1, 2, ..., W) разрывами смещений gk (tk)
и напряжений qk (tk).
Построим с помощью представления A.147) интегральные урав-
уравнения задачи, когда на одних контурах заданы напряжения, а на
3*	35

других — смещения. Пусть берега трещин Ln (л=1, 2, ..., т)
загружены несамоуравновешенными усилиями
я= 1, 2, ... , m;
на остальных разрезах Ln (п = т + 1, ..., N) заданы производные
от смещений
20 ^(un+ivZ)~fn(tn)^-^r±-g'n(tn), tn?Lni A.149)
n = m + 1, ... , N$
а напряжения и вращение на бесконечности отсутствуют.
Удовлетворив с помощью потенциалов A.147) граничные усло-
условия A.148), A.149) на каждом из разрезов, для определения Л/"
неизвестных функций gn (tn) (n =* 1, 2, ..., т) и qn (tn) (n = т +
+ 1, ..., Л^) получим систему Л^ сингулярных интегральных урав-
уравнений [205]
^ S J U<nk {tk9 С) Qk (tk) dtk + Lnk (tk9 tn) 0Ж) dtk +
Lk
1РпУп)> л = 1, 2	 m;
—fn(tn), n«m+I, ... , /V, fn^brt,
A.150)
Здесь
la.
r a A e k
\nl< \}kt ln) =s —o~
/z = 1, 2, ... , m\
ice. (	—2ian Г*
V V +
2 \ Tk-rn ^ fk-f'n dtj'
i = m+l, .... N;	A.151)
П I
J
/i=l, 2	W;
/г= 1, 2, ... , Л/.
Систему уравнений A.150) в компактной форме можно записать

так:
Ф (Т'п) + Ф(Тп) + е"'"" ^- \Т'аФ' (Т'п) +
п
= РпХС)> tn?Ln, п = 1, 2, ... , т;
где Ф (Т1^) и ? G^) — прямые значения комплексных потенциа-
потенциалов Ф (z) и х? (г), т. е. полученные непосредственной подстановкой
г = Т„ в выражения Ф (г) и ? (г).
Решение системы A.150) должно удовлетворять условиям
f Qn (tn) dtn = - -^ J qn (/„) Ля =
= Х;+'Г" е~'"", п = 1, 2	JV,	A.154)
которые обеспечивают однозначность смещений при обходе конту-
контуров Ln.
Интегральные уравнения A.150) справедливы также в случае,
когда на контурах Ln (п = m + 1, ..., Af) заданы смещения и извес-
известен главный вектор суммарных усилий, действующих на всех ука-
указанных контурах, однако дополнительные условия A.154) при
/z = m+l,...f#B этом случае должны быть заменены другими
[111, 138]. Уравнения A.150) принадлежат к рассмотренному выше
типу сингулярных интегральных уравнений (только записанных в
иной форме) и, следовательно, при выполнении условий A.154)
всегда имеют единственное решение в классе функций, не ограничен-
ограниченных на всех концах контуров Lk.
В случае системы прямолинейных разрезов локальные коорди-
координаты можно выбрать таким образом, чтобы разрезы размещались
на осях Опхп. Тогда приходим к интегральным уравнениям, задан-
заданным на действительных отрезках (tn ==¦ хп — действительные ве-
величины), что удобно при приближенном аналитическом или чис-
численном их решении. Именно в таком виде интегральные уравнения
для системы произвольно ориентированных прямолинейных тре-
трещин х при действии на их берегах самоуравновешенной нагрузки
J - 1 Отметим, что по внешнему виду интегральные представления комплексных
потенциалов и интегральные уравнения для системы криволинейных или произ-
произвольно ориентированных прямолинейных разрезов подобны между собой. На это^
сходство указывалось в работе [201]^
37

(Qn (О = 0) впервые построены в работе [212] (см. также [47, 49,
50]). Общий случай нагрузки рассмотрен в монографии [160]. Интег-
Интегральное уравнение для криволинейных трещин, нагруженных само-
самоуравновешенными усилиями, получено также с использованием
аппарата теории функции комплексного переменного, но другим
путем, в работах [109, 167, 168, 244]. Первая и вторая основные зада-
задачи для плоскости с системой криволинейных разрезов при действии
на них несамоуравновешенных усилий изучались ПИ] путем сведе-
сведения задач к случаю самоуравновешенной нагрузки. При этом при-
пришлось ввести специальный класс функций, поскольку известный
прием сведения задач для областей с отверстиями к случаю дейст-
действия на них самоуравновешенных сил (см. формулы A.19)) здесь не
может быть использован (множество точек между берегами разрезов
пусто). Такой подход излишне усложняет рассмотрение задач для
областей с разрезами в общем случае нагрузки. Приведенный в
данной работе (см. также [201, 205]) метод решения указанных-задач
при несамоуравновешенных нагрузках не вызывает дополнитель-
дополнительных трудностей. Вид нагрузки сказывается только на значениях
постоянных Хп и Yn в условиях A.82), A.141) и A.154) (при само-
самоуравновешенной нагрузке Хп — Yn = 0), что, конечно, несущест-
несущественно. Такое решение удалось получить благодаря использованию
формулы A.42).
Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г)
и XF (г) A.145) являются общим решением двумерной бигармони-
ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции
g' (t) и q (t) (или четыре действительные функции), что позволяет
с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей
с разрезами. В частности, удовлетворив с помощью пред-
представления A.145) и формул A.26), A.30), A.42) граничным усло-
условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости
с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а
на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные урав-
уравнения второго рода. При использовании условий неидеального
контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разре-
разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 2613),
легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения
типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями
[238]. Интегральные представления могут быть использованы при
решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач
о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений
[23], и др.
Метод сингулярных интегральных уравнений при решении
двумерных задач теории трещин, кроме указанных выше работ,
применялся многими авторами. (подробный обзор см. в монографии
[160]). В работах [22, 293, 378, 434, 435] впервые использовались
сингулярные интегральные уравнения при решении симметричных
задач для прямолинейных трещин (или полос пластичности) в раз-
различных областях. Случай криволинейных трещин впервые рассмат-
38

ривался методом сингулярных, интегральных уравнений Г35, 36,
316] с использованием аппарата теории функций действительного
переменного, вследствие чего уравнения оказались представленны-
представленными в весьма громоздкой форме. В работах [31, 104, 117, 338] также
изучено ряд задач о криволинейных трещинах в изотропной и ани-
анизотропной плоскостях.
Два полубесконечных коллинеарных разреза в упругой плос-
плоскости. Пусть бесконечная упругая плоскость разрезана вдоль
лучей —оо <; х ^ —/ и / ^ х < оо оси Ох. Тогда, согласно A.78)
и A.93), интегральное уравнение первой основной задачи для такой
области имеет вид
Распространив это уравнение на всю действительную ось и про-
проинтегрировав его по интервалу —сю < х <С сю, получим
?
—оо	\—оо / /	—со
Здесь
А = [Pi + PZ — 1 (Qt + Q3V2;	A.157)
Qi> и Pto — проекции на оси Ох и Оу главного вектора усилий,
приложенных на бесконечности в верхней (Qt, Pt>) и нижней
(QZ, PZ) полуплоскостях.
Равенство A.156), следующее из рассмотрения равновесия верх-
верхней (у > 0) и нижней (у < 0) полуплоскостей, является дополни-
дополнительным условием, которому должно удовлетворять решение урав-
уравнения A.155).
После замены переменных /= //?, х = 11ц уравнение A.155)
преобразуется к виду
(LI58)
где
Ф О = [Q (t) + iq (t)]fc о (ц) « р (х)/г\.	A.159)
Условие A.156) при Этом запишется так:
A.160)
39

Здесь учтены соотношения
A.161)
—i	- JL -
при выводе которых использовалась формула Пуанкаре — Бертрана
для перестановки порядка интегрирования в повторных син-
сингулярных интегралах.
Решение уравнения A.158) получим по формуле A.63), в которой
постоянную С определим из условия A.160). В результате
Возвращаясь к прежним переменным, находим
Тогда коэффициенты интенсивности напряжений для левой (k\ ,
kj) и правой (k\\ kf) трещин определим по формуле A.91)
, —/ оо
. A.164)
Отсюда, в частности, для случая, когда берега трещин свободны, а
на бесконечности приложены усилия с компонентами главного век-
вектора <2со = Qt = QZ и Рсо = Pt = ^, получим
k?-ik%= Pco""/.Qco .	A.165)
Если усилия приложены только к верхней полуплоскости (С? =*
== Р^ = 0), то из выражения A.164) имеем
р+	@+
*' J*2 e~WT"'	AЛ66)
40

Решение A.163) первой основной задачи для бесконечной плос-
плоскости с внешним разрезом \х\^ I иа оси Ох является общим,,
поскольку другие случаи нагрузки (например, когда во внутрен-
внутренних точках области действуют сосредоточенные силы или моменты)
приводятся к рассмотренной задаче суперпозицией.
Так, на основе решения A.164) легко получить коэффициенты
интенсивности напряжений [160]
к±^ к U	я1 1
Л| я ViWTb^ V A + *) V2 -М2) J •
и± ^	Qb	Г	2/а	I
2
и± ^	Qb	Г	2/а
1 +
для случая, когда в точках z±ib приложены равные по величине
но противоположные по направлению сосредоточенные силы Ри Q,.
направленные соответственно по осям Оу и Ох. При этом следует
воспользоваться известным решением [138]
P-iQ
^) I
определяющим напряжения на оси Ох, обусловленные действием такой
же системы сил в сплошной плоскости. Из соотношений A.167) при
Ь-> оо получим решение A.165), когда, тело на бесконечности нахо-
находится под действием растягивающей и сдвигающей нагрузок, сум-
суммарные значения которых равны Р и Q.

Г л а в а 11
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
1. Метод малого параметра
'Общая теория сингулярных интегральных уравнений разработана
в исследованиях [21,32, 61, 128, 137, 177 и др.]. В последнее время
появились работы, позволяющие находить эффективные асимптоти-
асимптотические решения некоторых типов сингулярных интегральных урав-
уравнений. Обзор этих работ дан В. М. Александровым [3].
Асимптотическое решение одного типа интегральных уравнений.
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение
1	1
(В К (Ч, Щ + ^Щь (ii, щ\ dt
~!	—1
= я/(г|), |ri|<l,	(ИЛ)
решение которого должно удовлетворять условию
A12)
Пусть регулярные ядра К {XI, Хц), L (XI, Хц), известная функ-
функция / (ц) и постоянная В при значениях безразмерного поло-
положительного параметра X <С Xt разлагаются в сходящиеся ряды вида
Y~v;	(И.З)
/7=0
5 = 2 5РГ,	(II.5)
где постоянные а^, bpv, Вр и функции /р (tj) не зависят от пара-
параметра X.
Регуляризуем уравнение (II. 1) методом Карлемана — Векуа
(см. [137], с. 194). Используя формулу обращения интеграла ти-
типа Коши A.63) и условие (II.2), из (II. 1) получаем интегральное
42

уравнение второго рода
1
1
Ф ft) = у=- \f (Л) + * f [А! (|, т,) ср ® + tf (|, тО Ф ®]
h|<l,	(II.6)
где
^[j?ip!i(IL| + B];	(„.7)
Будем искать решение уравнения (П.6) или (II. 1) в виде ряда
по степеням параметра к
Ф(Ч)Е
Подставив разложения (II.3) — (II.5) и (II.9) в уравнение (Н.6)
и приравняв выражения при одинаковых степенях к, для определе-
определения неизвестных коэффициентов фр (г)) получаем рекуррентные
соотношения
A1.10)
#s-v Сп) \ ?v [asv<Pp-s-i © + 6sv9p-s-i (t)] dQ,
Здесь
s==0 '
p=l, 2, ...
Сингулярный интеграл (И. II) легко вычисляется при исполь-
использовании формулы A.54)
Но (Т1) = - ч; Ях (л) - - л2 + 1/2; Я2ш (т,) = г)#2ш_,;
m	A1.12)
Bm~2v —1I1 2v
j Bm-2v+1I1 Я.
(-1I1 = 1, /П=1, 2, ...
43

К интегральному уравнению (II. 1) сводятся многие задачи тео-
теории трещин. В частности, уравнения такого типа получаются для
слабоискривленных криволинейных трещин (см. параграф 4 гл. I).
Пусть ср (т|) == g' (т)), / (т|) = Р (у])} В = 0. Предположим, что
функция Р (т|) не зависит от X. Тогда на основании формул A.128)
и A1.10) найдем асимптотическое разложение коэффициентов
интенсивности напряжений
X2 (anGQ + bnG0) ± X3 [-L (flMG0 + Ь2Д) ±
+ -7Г 1°0 (—ЬцЬц — Дп + Д31 + ^ЗЗ) + Go (-
+ Ьп1 + Ьзз) + 2 (a33G2 + ЬМ ± (a^G, + b^G,)} \ + О (кь). A1.13)
Здесь
1Г J
Решение A1.13) легко обобщается на случай, когда Р (ц) явля-
является также функцией параметра "к и может быть представлена в виде
(II.4). Для этого достаточно подставить (П.4) в формулы A1.13) и
A1.14).
В качестве примера рассмотрим бесконечную плоскость, ослаб-
ослабленную свободной от нагрузки криволинейной трещиной L (см.
рис. 6; Оу—ось симметрии), при всестороннем, растяжении на
бесконечности усилиями р (т.е. в равенстве A.78) q (t) = 0, р (t) =
= —р = const). В случае, когда контур L является дугой пара-
параболы, уравнение A.78) после замены переменных / = со (I) ==
= / 1? + И2 (I2 — 1)/4|, /' = со (т])э Я, = 26// приводится к виду
(Н.1), где
f
Тогда для коэффициентов интенсивности напряжений будем иметь
+ 0,1797>,4 ± 0,1992а5 — 0,1885А,6 if 0,1987а7 + 0.1873Х8 ±
± 0,1941 а0 — 0,1837Х10) + О (Xй)'.	(Н. 16)
44

Заметим, что определение последующих членов разложения
A1.13) аналитическим путем приводит ко все более громоздким
выражениям. Однако коэффициенты разложения A1.13) можно
также находить численно на ЭВМ, если воспользоваться рекуррент-
рекуррентными соотношениями A1.10) и квадратурной формулой типа Гаус-
Гаусса— Чебышева для вычисления интегралов с весовой функцией
р (х) — 1/]/ — х2 (см. [98], с. 132). Именно таким путем получена
формула A1.16).
В задаче для дугообразной трещины (см. рис. 6), когда
со (?) = / (? — й)/ A — й?), А, = б//, величины A1.15) имеют
вид
(И-
/ (Т)) = Р (Л) = - Pi A
Для коэффициентов интенсивности напряжений по формуле
A1.13) получаем выражение, совпадающее с разложением точного
решения A.116) в ряд по степеням К:
:h±
A1.18)
Заметим, что этот ряд сходится при X < 1/1/2, тогда как разложе-
разложения (II.3), (П.4) — при А, < 1. Последний пример показывает, что
радиус сходимости ряда (II.9) может быть меньше радиусов сходи-
сходимости разложений (II.3) — (II.5), на основе которых строится ре-
решение интегрального уравнения (П.1).
Приведем оценку интервала сходимости ряда (П.9). Для этого
уравнение (II.6) запишем в виде
- (ПЛ9>
(И.20)
Уравнение A1.19) с помощью ^амены g = cost, r\ = cos t приво-
приводится к уравнению Фредгольма с ограниченными ядрами
N(i, t)^{x)}dx, A1.21)
где для функций \р (t), F (t) и ядер М (т, /), N (т, /) сохранены
прежние обозначения.
46

Рассмотрим оператор
1
А Ш = X J \М (Б, т|) я|) © + N (?, г\У
(И.22>
отображающий пространство С[—1,1] комплексных функций,
непрерывных на [—1,1], в это же пространство. При этом
max | А (\|)*) —<
где % (г\) и я]^
су С [—1,1], а
Следовательно, при условии
(г|) — любые две функции, принадлежащие клас-
клас= max
С1	(И.25)
оператор А является оператором сжатия, и .так как пространства
С [—1,1] полное, на основе принципа Банаха неподвижной точки
можно сделать вывод [75], что в этом случае решение интегрального
уравнения A1.19) (а также уравнения (II. 1)) существует/единственно
и может быть получено последовательными приближениями по
схеме
ф/г (г)) = A (tyn~~) -f- F (г)).	A1.26)
Для оценки величины М A1.24) воспользуемся теоремой Ла-
гранжа о среднем значении в дифференциальном исчислении и инте-
интегралом A1.12). Согласно (II.8)
т,е(т,т|).
A1.27)
46

Учитывая равенства A1.24) и A1.27), условие A1.25) запишем в виде
X [4- max | /Ci, (ЯЕ, Хц) | + max | К (XI, Хц) \ +
Отметим, что комплексное уравнение A1.19) можно представить-
как систему двух действительных интегральных уравнений Фред-
гольма второго рода и рассматривать их в классе С [—1,1]
действительных функций. Однако полученное при этом условие
применимости метода последовательных приближений (аналог
формулы A1.28)) имеет весьма громоздкий вид и неудобно для прак-
практического использования.
На основании формул (II.3) уравнение A1.19) при X < Кг пред-
представим в виде
'
* (Л) = F (г)) + X 2 Хр \ [Мр (Б, л) а|) © + Np gf ц) ф ©] dg. (II.29)
р=о 	|
Здесь
^^ aL30>
где функция Нр (г\) определяется формулой A1.11).
Обозначим через Х2 максимальное значение параметра X, при
котором выполняется условие A1.28). Решение уравнения A1.29),
очевидно, может быть найдено методом последовательных прибли-
приближений A1.26) при,
Х<Х*> X* = min {^, Х2).	A1.31)
Пусть функция F (т|) не зависит от X. Тогда, взяв в качестве
нулевого приближения г|)° (rj) = F (т)), легко видеть, что п-е при-
приближение
*Я(Ч)=2^(Ч)*.Р.	(И-32)
В силу единственности решения при X < Х% и единственности пред-
представления гр (г)) в виде (П.9) из A1.32) следует, что
*2(Ч)-^^(Л) ПРИ п-*оо, К^.	(П.ЗЗ)
Учитывая соотношения A1.31) — A1.33), заключаем [2] (см. также
[28], с. 231), что ряд (II.9), представляющий собой решение уравне-
уравнения (П.1), абсолютно сходится при X <С А,*. Этот вывод справедлив
также в случае, когда функция F (г\) зависит от А, и при X < Х$
имеет место представление типа (II.4).
47

Воспользуемся полученным результатом для оценки интервала
сходимости построенных выше решений. В случае, когда трещина
размещена вдоль дуги параболы, из равенств A1.15) будем иметь
ЯУ2; тт '
A1.34)
Из соотношений A1.28), A1.31) и A1.34) следует, что ряд A1.16)
абсолютно сходится при Я < 4/7.
В случае дугообразной трещины вследствие выполнения усло-
условия (II.2) (при В = 0) можно считать, что ядро К (Ц> Хц) A1.17)
равно нулю. Тогда учитывая, что
A1.35)
«з условия A1.28) находим А,а = (]/5 — 1)/2 ' = ^ < 1/J/2, т. е.
полученная оценка X* несколько занижена.
Система прямолинейных трещин в бесконечной плоскости при
больших расстояниях между ними. Пусть в бесконечной плоскости
.имеется система N прямолинейных трещин, размещенных на отрез-
отрезках |л;„| ^ 1п (п = 1, 2, ..., Л0 действительных осей хп0п. Будем
считать, что берега трещин находятся под действием самоуравно-
самоуравновешенной нагрузки рп (хп) (qn (xn). = 0), а напряжения и враще-
вращение на бесконечности отсутствуют. Систему сингулярных интеграль-
интегральных уравнений A.150) для рассматриваемой задачи можно предста-
представить в виде
1п
п ,	n k
\ '," + У \ 18* @ К* (t> x) + gk (t) Ltlk (U x)] dt -
= nPn(x), \x\<lm п-1,2,...,Л[,	A1.36)
г хе штрих у символа суммы означает, что при k = п слагаемое рав-
Н) нулю. Для удобства в системе A1.36) и далее индексы в tk и
4 = л;„ опущены.
Произведя замену переменных
* = юя(Э = /„Б; ^«/„tj (т</„, |*KU (И-37)
из A1.36) получим
1 .	N 1
.	N
= яРя(л), h | < 1, л = 1, 2, ... , N.	A1.38)
Здесь
gn{l)=g'n(lnt)ln, РпЫ~Р«(Ш!п1
48

nKnk (ht /ял); * *2 <Ue4 ^
g, Щ = /nLI (/? ly\)\
l — max{ln}\ d = mi
При малых значениях параметра X, т. е. при больших относи-
относительных расстояниях между трещинами, для ядер Knk
и Lnk (X^f Яг)) справедливы разложения
где
' iP V + 2)a" (V -'--""" (H.41)
1 , . >D+V v D_v+1 {0o + 1} cv exp ( . [{p + 3) p^ _
4"(~ 1)
— (p — v + 2)art —
- (C; + pCl-0 exp {t [{p + 1) Р„,г - (p - v) an - (v + 1) ak]} -
— pC?l! exp {*[(/>+!) P»* — (P — v + 2)an — (v— l)aA]}};
(p > v > 0) — биномиальные коэффициенты (CJJ = 0 при
p < v и Ср = 1 при р > 0); e«ft = ft(n*)
Асимптотическое решение системы A1.38) можно получить
так же, как и одного уравнения (II. 1). Если искать решение систе-
системы A1.38) в виде
р=0
то при выполнении условий
1
\gn(l)dl=0 (п==1, 2	Л0	(Н.43)
—I
для определения неизвестных коэффициентов gnp (ц) находим ре-
рекуррентную формулу
1	Г
("•44)
gnp (Л) = 1— 2' И 2 я5_У и) х
я у 1 — тJ л=1 s=o v=o
4 1-685	49

X I Г \anksvgk,p-s-\ (I) + bnksv glps-i (I)] dl
Коэффициенты интенсивности напряжений около вершин лю-
любой трещины определяются по формуле
* _ [kt = + lim fK(l—Т1а)|©;(л)| -^-1 (П.45)
i[	W©J
(л=1, 2, .... АО,
которая следует из соотношения A.128).
Приведем выражения коэффициентов интенсивности в случае
двух равных произвольно ориентированных трещин при
двухосном растяжении на бесконечности усилиями о™ = q и а™ =
= р. В этом случае имеем [160, 213]
*Й « 4р- {1+ е + A - 8) cos 2а„ + -?- {2 A" + е) X
X [cos 2 (ak — Р) + cos 2 (Р — аJ — cos 2 Bр — аЛ — а,,)] +
+ A — е) [2 cos 2р + cos 2 (Р — ak — ап) + cos 2 (Р — ап + ak) —
f3-an)]}±(-l)ft^{(l + е) [3cos Bа, + ап- ЗР) +
+ 2 cos 3 (р — ап) — 3 cos Eр — 2аЛ — Зая)] +
+ A — е) [3 cos (ап — ЗР) + cos (Зр.— Зал — 2а*) +
+ cos (ЗР — За„ + 2ал) — 3 cos Eр — Зап)}} +
— 6 cos 2 (Зр — 2а* — ап) + 7 cos 4 (р — ап) —
— 14cos2Cp — 2а„ — ал) + 5 + 2 cos2 (ап — а^) —
— 4cos2(an — P)— 2cos2(aA — Р)] +
+ A — е) [9 cos 2 (ал — 2р) + 3 cos 2 Bр — 2ал — ал) +
+ 35cos2 Bр —ая) — 16cos2 (Зр — ап — ak) +
+ 7 cos 2 BР — 2а„ — ak) + 6 cos 2 Bр — 2ал + ak) —
— 24 cos 2 (Зр — 2aJ + 10 cos 2an + 3 cos 2afe — 6 cos 2p +
+ cos 2 (ak — 2aJ — 2 cos 2 (ak —p — an) —
— 2 cos2 (P — an — ak) — 2 cos2 ф — 2aJ]}} + О (Я6);
.2	(IL46>
_в)81п2ал	k- {2A+8) [sin 2 (p-eg -
— sin2BP —aft —ая)] + A—e)[sm2(P —aft — aA
50

+ sin 2 (Р — ап + ak) - 2 sin 2 BC — a,,)]}
41 {~1)Л Г (A + е) lsin
— 3 sin EР — 2ал — Зая)] + A — в) [sin Cf> — ап) +
+ sin (ЗР — 3art — 2аk) + sin (Зр — За„ + 2cxfe) —
А
У
/
/
0
Рис. 8.
—	3 sin EP — За,,)]) — -^ {A +8) [26 sin 2 BC — a,, — ak) —
—	12 sin 2 (Зр — 2afe — an) +
+ 14sin4(P —aj —
—	28 sin 2 Cp — 2а„ — ak) +
+ 2sin2(afe — aj — 4 sin 2 (P —
— aj] + A — e) [sin 2 BP - a,) +
+ 3 sin 2 Bp — 2a* — an) +
+ 23 sin 2 Bp — an) —
—	16 sin 2 Cp — ak — an) +
+ 7 sin 2 BP — 2а„ — ak) +
+ 6sin2B|3 + afe —2aJ —
— 24 sin 2 CP — 2aJ — 6 sin 2 a,, + sin 2afe — .2 sin 2p +
+ sin 2 (a^ — 2an) — 2 sin 2 (ak — P — an) —
— 2 sin 2 (P — ak — an) — 2 sin 2 (P — 2aJ]}} + 0 (A,6)
(/i=lf k = 2 или /z = 2, /г = 1).
Здесь Р = p2i = P12 + я — угол между вектором ОХО2, соединяю-
соединяющим центры трещин, и положительным направлением оси Ох\
При at = a2 = 0 из формулы A1.46) получаем коэффициенты
интенсивности напряжений в случае, когда разрезы размещены на
параллельных прямых (параллельные сдвинутые трещины), при
растяжении усилиями р на бесконечности в направлении, перпен-
перпендикулярном к линиям трещин (рис. 8). Для первой трещины
k? = pVl\\ + -^-Bcos2P — cos 4Р) ±-и" E c°s ЗР -
— 3cos5p) + -
C0 cos 4P — 20 cos 6P — 6 cos 2P + 7) I + О (ЯБ);
A1.47)
sin-
i — sin 2р т -х- (sin Зр — sin 5C) —
— -?- A0 sin 4P — 10 sin 6fi — sin 20)| + О (А6).
51

Последний результат можно найти также по формуле A1.13), по-
поскольку в рассматриваемом случае система уравнений A1.36) с уче-
учетом симметрии задачи сводится к одному уравнению вида (ИЛ).
Приведенное приближенное аналитическое. решение задачи о
взаимодействии произвольно ориентированных прямолинейных тре-
трещин в бесконечной плоскости получено в работах [49, 192, 212,
213]. Подробный анализ этих результатов произведен в моногра-
монографии [160]. В работах Исиды [346, 347] решение задачи о системе
прямолинейных трещин также получено в виде ряда по степеням
малого параметра Я, характеризующего относительное расстояние
между трещинами. При этом комплексные потенциалы напряжений
Ф (г) и XF (z) ищутся в виде рядов Лорана и интегральные урав-
уравнения не используются.
2. Метод механических квадратур
Стандартный метод решения сингулярных интегральных уравне-
уравнений состоит в их регуляризации и последующем численном решении
полученных интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Однако такой подход очень трудоемок. В последнее время в чис-
численных расчетах наибольшее распространение получили прямые
методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые,
минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем
алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод
механических квадратур, основанный на определенных формулах
для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для
сингулярных интегралов [30, 65, 71, 77, 94, 180, 228, 299, 314,
315, 341, 360, 419].
Численное решение сингулярных интегральных уравнений*
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение вида
1
J [К (?, л) ё' О + L E, т|) 7Ш] &1 = лР (г]), | п | < 1, (И.48)
где
К (Б, ц) ^ -у-Цг + k (I, г,).	. A1.49)
Ядра k (?, г]), L (I, г|) и свободный член Р (у\) — заданные на от-
отрезке [—1, 1] непрерывные функции своих аргументов. К уравне-
уравнению A1.48) (или системе таких уравнений) сводятся двумерные
задачи теории трещин. При дополнительном условии
j
решение интегрального уравнения A1.48) в классе функций, не
ограниченных при д = ±1; т. е.
52

где и (г)) — непрерывная функция на отрезке f—1, 1], существует
и единственно [137].
Численное решение уравнения ;(П.48) получим с помощью
квадратурных формул Гаусса; Для сингулярного интеграла имеем
[299]
u
(IL
где Тп (rj) = cos (n arccos г)), L^-i (т|) = sin (n arccos !!)/]/¦ 1 — rf —
многочлены Чебышева первого и второго рода, а узлы ?Л> яв-
являющиеся нулями многочлена Гп (?), вычисляются по формуле
^Ь!	(*= 1. 2	/г).	A1.53)
В точках
т|,„ = cos -^L (m = 1, 2, ... , п - 1)	A1.54)
как корнях уравнения Un—\ (ц) = 0 квадратурная формула
A1.52) принимает более простую форму
YLM-	(ц.55>
~ 1 У *¦ 5 IS" '\пи	й=1 ~" —
(m=l, 2	п-1-).
Обычная квадратурная формула Гаусса для функции A1.51)
имеет вид (см., например, [98], с. 132).
г
\	U (?) d?>	Ы V /{; \	/ТТ СП\
\ —	^— = 	 7. U \?>k)'	A1.ОО;
Таким образом, формула A1.55) для сингулярного интеграла
с ядром Коши, которая справедлива в дискретной системе точек
г] = у)т A1.54), совпадает с обычной квадратурной формулой A1.56).
Формулы A1.52) и A1.56) точны, если и (?) представляет собой
полином степени, не превышающей соответственно 2/г и 2/г—1.
Применим квадратурные формулы A1.55) и A1.56) к уравнению
A1.48) и интегралу A1.50). В результате получим систему п линей-
линейных алгебраических уравнений
1 XI
, Чп) и (У + L (Ъп цт)и (У ] - Р (т|т)
(т= 1, 2, ... , /г—1);	> (Ц.57)
п
для определения п неизвестных и (lk) (k = 1, 2, ..., п).
53

Система алгебраических уравнений A1.57), являющаяся дискрет-
дискретным аналогом интегрального уравнения A1.48) и условия A1.50),.
впервые построена в работе [314].
Воспользовавшись интерполяционным полиномом Лагранжа
для искомой функции и (I) по узлам A1.53) (см. [139], с. 527)
„ (|) = -i-t <-1>*+1« (Ь) T'All-l^{ .	(IL58)
найдем значения функции и (?) в точках ? = ±1
A1.59)
через которые выражаются коэффициенты интенсивности напря-
напряжений (см. формулу A.128))
kf - ik? = =f Я со'(±1)| -^Щ- .	A1.60)
Таким образом, для сингулярного интегрального уравнения
A1.48) или системы таких уравнений (обобщение приведенных
результатов для системы интегральных уравнений очевидно) легко
построить соответствующую систему линейных алгебраических
уравнений A1.57), на основе решения которой интерполяцией
можно найти приближенное решение исходного уравнения A1.48).
Заметим, что сходимость процесса при гладких функциях k (?, ц),
L (?, г)) и Р (ц) следует из сходимости квадратурных формул
A1.55) и A1.56) и единственности решения уравнения A1.48) при
условии A1.50). На конкретных примерах будет показана высокая
эффективность рассмотренного здесь метода.
Трещина по дуге эллипса или параболы. Полученные в преды-
предыдущем параграфе аналитические решения имеют удовлетворитель-
удовлетворительную точность лишь при малых значениях параметра X (в среднем
X < 0,6). Увеличение числа приближений приводит,с одной стороны,
к довольно громоздким выкладкам, а с другой — несущественно
расширяет диапазон применимости решения. Поэтому приведенные
асимптотические решения могут служить лишь первыми оцен-
оценками, позволяющими получить представление о порядке исследуе-
исследуемых величин, характере их изменения и т. д. За исключением крайне
редких случаев, когда возможны точные аналитические решения,
для получения точных результатов необходимо обращаться к чис-
численным методам решения интегральных уравнений с использова-
использованием ЭВМ. В качестве иллюстрации применения квадратурного ме-
метода решения сингулярных интегральных уравнений рассмотрим
задачу о распределении напряжений около гладкой криволинейной
трещины в пластине при всестороннем растяжении ее на бесконеч-
54

ности усилиями р. Пусть параметрическое уравнение контура
трещины L дается соотношением
* = ©(?) (t?L, |?|<1).	A1.61)
Тогда интегральное уравнение задачи A.78) и условие A.80) при-
приводятся к виду A1.48) и A1.50), где Р (г|) = — р<о' (т)), В = 0,
а ядра /С (?, л) и L (?, г]) определяются по формулам A.121).
В табл. 1 при различных значениях параметра г = 8/1
см. рис. 6) приведены значения коэффициентов интенсивности на-
Таблица 1
8
0
0,2
0,5 •
1,0
1.5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Окружность
к, |
1
0,9442
0,7454
0,4714
0,3278
0,2484
0,1995
0,1664
0,1427
0,1249
Kt
0
0,1888
0,3727
0,4714
0,4917
0,4968
0,4985
0,4992
0,4994
0,4996
Эллипс
«. 1
I
0,3187
0,3576
0,4714
0,5807
0,6730
0,7536
0,8261
0,8926
0,9544
К,
0
0,4457
0,4610
0,4714
0,4688
0,4679
0,4704
0,4754
0,4821
0,4896
Парабола
*• 1
1
0,9481
0,8158
0,7416
0,7636
0,8115
0,8662
0,9219
0,9767
1,0297
Кг
0
0,1823
0,3266
0,3812
0,3906
0,3969
0,4046
0,4135
0,4234
0,4337
пряжений kf = р Yl Къ $ = ±р YlK2 №Я случаев, когда L яв-
является дугой окружности (точноерешение A.116)), полуэллипсом или
дугой параболы. Было найдено также численное решение для тре-.
щины, размещенной вдоль дуги окружности. Сравнение этого ре-
результата с точным показало, что точность численного решения
(при данном я-порядке системы A1.57)) уменьшается при увеличе-
увеличении отношения длины трещины к расстоянию между ее вер-
вершинами 2/. При этом для полуэллипса со (?) = /[2? — /е A —
— ?2)]/A + ?2), для параболы со (?) = I Ц + is (?2 — 1I, для
окружности о) (D = / ( | — 18)/ A — t?e). Анализ численных
результатов показывает, что форма трещины сильно влияет на вели-
величину коэффициентов интенсивности напряжений. Для трещин, мало
отличающихся от прямолинейной (е = 0,2), основное значение
имеет ориентация концов трещины по отношению к основной ее
части. Последний вывод сделан раньше при анализе решения этой
задачи, полученного методом возмущений (см. формулу A.140)).
Для параболического разреза в бесконечной плоскости извест-
известны решения в замкнутой форме [281, 385], однако эти решения
неверны, поскольку при их получении ошибочно считалось, что
конформное отображение г = i (? — шJ дает взаимно однознач-
однозначное соответствие неограниченных плоскостей г и С-
Сдвинутые параллельные трещины равной длины [160]. Рас-
Рассмотрим задачу о распределении напряжений в растягиваемой на
55

О 0,4
0,6	1,2
Рис. 10.
1,8 г2
бесконечности усилиями а?° =
= р пластине, ослабленной
двумя параллельными трещи-
трещинами равной длины 2/ (см.
рис. 8). В данном случае
напряженно-деформированное
состояние в плоскости будет
симметричным относительно
середины отрезка, соединяю-
соединяющего центры трещин. Следо-
Следовательно, gx (хх) = g2(—х2) =
= 8 (*i)» 8i (xi) =— 82 (—^2) =
^ ё' (^i)« Эти условия доста-
достаточны, чтобы рассматривать
только одно уравнение си-
системы (IЛ 50) и одно условие
A.154). В безразмерных пере-
переменных ? = tjl и г\ = хг11
придем к равенствам A1.48) и
A1.50), в которых В == 0,
Р (yj) = —/р -= const, а ядра
/С (?, т)) и L (g, tj) даются
соотношениями
1
A1.62)
^ (L Л) =
1
-2е-^
Численные результаты, полученные при решении системы A1.57)
на ЭВМ «Минск-22» при п = 20, проиллюстрированы на рис. 9—12.
Сплошные линии относятся к правой вершине нижней трещины,
штриховые — к левой. На рис. 9 и 10 показано изменение коэффи-
коэффициентов интенсивности напряжений kx и k2, когда трещины пере-
перемещаются по двум параллельным прямым при различных фикси-
56

JL JL JL JL 5JL в >
12	6	U	3 12 ^
Рис. П.
-0J5
JT
12
6
Рис.
1T
4
12.
7f
3
537
12
fi3paff

•рованных расстояниях между ними. При этом взаимное расположе-
расположение трещин характеризуется параметрами et = dxl2l и е2 = d2l2l
(см. схему на рис. 9 и 10)^ Когда расстояние между линиями трещин
близко к их удвоенной длине (е, = 0,5), при отсутствии (или нали-
наличии) перекрытия трещин в направлении растяжения (е2 > 1 или
в2 < 1) коэффициенты интенсивности /г, для внутренних вершин
всегда больше (или меньше), чем для внешних. При других распо-
расположениях разрезов значение е2, при котором kx для внутренних
вершин становится больше, чем для внешних (или наоборот), уже
Таблица 2
0
0,2
0,5
1,0
1
0,9857
0,9298
0,8431
0
0,0014
0,0163
0,0611
1.4
2,0
2,5
5,0
0,8046
0,7734
0,7575
0,7215
0,0898
0,1166
0,1305
0,1633
несколько отличается от единицы. Если расстояние между линия-
линиями трещин мало (гг = 0,1), то kx имеет максимальное значение во
внутренних вершинах, когда они находятся на прямой, параллель-
параллельной направлению растяжения (е2 = 1). Наибольшее значение
коэффициента интенсивности k2 также достигается для внутренних
вершин, однако уже при небольшом перекрытии трещин (е2 <С 1).
Изменение коэффициентов интенсивности напряжений kt и k2
в зависимости от угла C при фиксированных относительных дли-
длинах трещин (параметрах X) показано на рис. 11 и 12. При малых
расстояниях между трещинами (X = 2,5) kx всегда больший для
внешних Еершин,чем для внутренних. Коэффициент интенсивности k2
при малых р больший для внутренних, а при значениях C, близ-
близких к я/2, — для внешних вершин. Взаимодействие между трещи-
трещинами приводит к увеличению (при малых углах C) или уменьшению
(при |3, близких к л/2) коэффициента интенсивности kx по сравне-
сравнению со случаем изолированной трещины.
В табл. 2 приведены значения коэффициентов интенсивности
напряжений k* = р VI Къ k} = Ч^Р I' I К2 Для параллельных
не сдвинутых разрезов (|3 = я/2). При сближении трещин (увеличе-
(увеличении X) Кг уменьшается, а К2 увеличивается и при X -> со оба
•коэффициента интенсивности стремятся к некоторым вырожден-
вырожденным значениям L. Заметим, что задача о взаимодействии двух парал-
параллельных трещин в бесконечной плоскости рассматривалась также
методом рядов Лорана [346] и с помощью интегральных уравнений
Фредгольма второго рода [443]. В последнее время появились ра-
работы [1, 64, 237, 283, 284, 287, 355, 381], в которых получены чис-
1 Аналогичный вывод для случая двух параллельных трещин продольного
•сдвига сделан в работе [398].
58

ленные решения интегральных уравнений плоских задач теории
упругости для бесконечного тела, содержащего две (или систему)
прямолинейные трещины, при действии различных нагрузок и раз-
различном размещении трещин.
3. Численное решение интегральных уравнений
в случае ломаных и ветвящихся трещин 1
Полученные выше сингулярные интегральные уравнения основ-
основных задач теории упругости для системы гладких криволинейных
разрезов.могут быть использованы также при рассмотрении кусоч-
кусочно-гладких криволинейных разрезов. При этом разрез разбивается
на гладкие участки и рассматривается как система гладких разре-
разрезов, имеющих общие точки пересечения. Впервые таким путем в
работах [413, 414] при использовании интегральных уравнений
для системы прямолинейных трещин [49] решена задача о трещине
ветвления, состоящей из трех звеньев. В последнее время появился
ряд исследований, посвященных. изучению распределения напря-
напряжений около ломаных [69, 88, 101, 297, 369, 429, 431, 440] или вет-
ветвящихся [89, 304, 354, 415, 417, 429] трещин. Обзор более ранних
работ в этом направлении приведен в книге [160].
Двухзвенная ломаная трещина. Пусть в бесконечной плоскос-
плоскости имеется система N + 1 прямолинейных разрезов Lm разме-
размещенных вдоль отрезков |^„|^/п локальных осей координат
Опхп (я = 0, 1, ..., N). Берега трещин нагружены самоуравно-
самоуравновешенной нагрузкой рп (#п) (дп(хп) = 0), а напряжения на беско-
бесконечности отсутствуют. Тогда задача об определении напряжений
в таком теле сводится, согласно A.150), к системе интегральных
уравнений
g. $ [Knk (tk, xn) gk (tk) + Lnk D, xn) giAh)] dtk «
= npn(xn)t \Xn\<ln, az = O, 1, ..., N. A1.63)
Здесь
(a. f ,	— 21а„
\ — e I	1i e
9 xn) --g^	+
7V-'*ete* + г& Xn = xn^« + z°n;
величины z°n и ап определяют местоположение локальной системы
координат (см. рис. 7).
1 Решения задач получены автором совместно с П. Н. Осивым.
59

Если разрезы Ln (n = О, 1, ..., N) изолированы, решение
системы A1.63) должно удовлетворять дополнительным N -\- I
условиям типа A.154), обеспечивающим однозначность смещений
при обходе каждого контура в отдельности. В случае системы пере-
пересекающихся контуров Ln (п = О, 1, ..., N), образующих незамк-
незамкнутый контур LQ + ^i + ... + LN, N 4- 1 равенств A.154) должны
быть заменены одним, следующим из условия однозначности сме-
смещений при обходе контура Lo + Lx + ... +L/v [205].
УД
О
Рис. 13.
Рассмотрим двухзвенную ломаную трещину, образующуюся дву-
двумя прямолинейными разрезами (N = 1). Пусть вдоль отрезка
|л;| <: / оси Ох имеется основной разрез Lo, из правого конца кото-
которого под углом а к оси Ох выходит боковой разрез Ьг длиной 21г
(рис. 13). Условие однозначности смещений при обходе контура
ломаной трещины имеет вид
J go (<о) dt0 + е<« J g[ (tx) dtx = 0.	A1.65)
J
Учитывая, что в данном случае а0 = 0, z? == 0, z\ =
= /A+ее'а), 8 = IJI, систему A1.63) запишем в нормализован-
нормализованной форме
»i & ч) Ф1 F)
= жт(г)),
[ ш10 (i, r\) ф i
F,
Л1П (I, т,) ф1
A1.66)
где
м„к (Б, л) =
li {If Л) cPi Ш dl = nax (г|), I t) | < 1,
Pi№) = gi(M); ^(tiI^PoW. ai(T
: (lkl, lnr\)\ Ntlk (?, T|) = /*LOi DL /„Л)
A1.67)
= О-
60

Условие A1.65) преобразуется к виду
$Ф(Э<*& + ве^$ф1(?)<? = 0.	(П.68)
	j		j
Из системы A1.66) видно, что ядра М01 (?, т]), NQ1 (?, г)),
•Мю E» ц) и Л/10 (?, г]) имеют неподвижные особенности, т. е. явля-
являются обобщенными ядрами. Следовательно, функции ф (г)) и срх (rj)
соответственно в точках г) == 1 и rj = —1 имеют особенность, отли-
отличающуюся от корневой. Положим
'%—гг (П.69)
: ф1(|)
(l+r])/2(i-ri)^ VlU; A Н-Л)ЭA — Т1)
и будем считать, что v (±1) и ^ (±1) не равны нулю.
Показатель р определяется из некоторого характеристического
уравнения, которое может быть установлено из анализа сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений [315). На основе соотношения A.69)
заключаем, что особенность функций ср (г|) и ф, (т)) в точках т) = ±1
такая же, как и максимальная особенность комплексного потенци-
потенциала напряжений Ф (г) в угловых точках клиновидных областей,
на которые разбивается тело ломаной или ветвящейся трещиной.
В данном случае
sin [A — Р) (я + а)) = — A — р) sin (л + а), 0 < р < 1. A1.70)
Уравнение A1.70) следует из известных результатов о поведе-
поведении функции Ф (г) в вершине клиновидной области [70, 436]. Из
анализа корней уравнения A1.70) [63] заключаем, что порядок осо-
особенностей функций go (tQ) ng[ (/J в угловых точках всегда меньше,
чем на концах разреза (Р < 1/2). Следовательно, функции <р (г|)
и ?i On) можно представить в виде
считая, что
аA) = 0, ах(—1) = 0.	(И 72)
Применив к интегральным уравнениям A1.66) и условию A1.68)
квадратурные формулы Гаусса — Чебышева A1.55) и A1.56), при-
придем, к системе 2п — 1 алгебраических уравнений для определения
2п неизвестных и (?Л) и их (tk) (k = 1, 2, ..., п)% где %к даются
соотношением A1.53). Чтобы получить замкнутую систему, приба-
прибавим сюда одно из уравнений
t°	(H.73)
61

которые можно составить на основе равенств A1.72) (см. формулы
A1.59)). Расчеты показывают, что на эффективность численного
решения практически не влияет, какое из равенств A1.73) исполь-
используется для этой цели.
Для коэффициентов интенсивности напряжений у левой (—) и
правой (+) вершин ломаной трещины получим выражения
	 п	.
kt — ikt = —г1- У (— if иг (У ctg —т=— л;
. A1.74)
2k— 1
-Я.
Предложенная упрощенная схема численного решения интеграль-
интегральных уравнений A1.66) эффективна лишь в том случае, когда не тре-
требуется определять распределение напряжений в окрестности угловой
точки. Если необходимо исследовать концентрацию напряжений
вблизи точки излома трещины, то решение следует искать в виде
A1.69), использовав при этом более сложные квадратурные фор-
формулы (например, формулы Гаусса — Якоби), верно отражающие
особенности решения в угловой точке [420].
Пусть берега трещины свободны от нагрузки, а на бесконечности
плоскость подвергнута растяжению внешними напряжениями р
и q, действующими во взаимно перпендикулярных направлениях,
причем напряжения р направлены под углом у к оси Ох. Тогда
в уравнениях A1.66) функции а (ц) и ог (г|) определяются соотно-
соотношениями
2
1	(П.76)
01) =	Т1Р + Ч — (Р
На рис. 14—17 (кривые 1) при е = 0,5 приведены зависимости
коэффициентов интенсивности напряжений kx и k2, отнесенных
к р }^19 от угла ориентации боковой трещины а для случаев одно-
одноосного (9 = 0; у = л/2; рис. 14 и 15) и всестороннего (р = q;
рис. 16 и 17) растяжения. Сплошные линии относятся к правой
вершине трещины (вершине А), а штриховые — к левой. Отметим,
что в случае одноосного растяжения при углах а, близких к я/2,
берега боковой трещины приходят в контакт (k± < 0).
Трехзвенные ломаные трещины. Пусть в бесконечной плос-
плоскости имеется ломаная трещина, состоящая из трех прямолинейных
участков Lo, Lx и L2 (см. рис, 13). Трещина свободна от нагрузки,
а на бесконечности задано одноосное (q = 0) или всестороннее
(Р == Я) растяжение. В таком случае напряженное состояние тела
симметрично относительно центра трещины (г = 0). Из условий
симметрии имеем
ft&) = *I(*i).	(H.76)
62'

Рис. 16.
Учитывая равенство A1.76), приведем систему грех интеграль-
интегральных уравнений A1.63) к системе A1.66), в которой к ядрам М01 (?, ц),
Л^о1 (?» Л)» Мп Цу т|) и Nu (|, т|) следует прибавить соответственно
функции М02 (I, ii), #os (?, Л), М12 (g, tj) и Л/12 (?, п)> опреде-
определяемые соотношениями A1.67). Условие однозначности смещений
примет вид
A1.77)
—1
Таким образом, в случае трехзвенной трещины полученная
система интегральных уравнений имеет такую же структуру, как
и система A1.66), и может быть решена указанным выше методом.
63

Численные результаты для рассматриваемой задачи проиллюстри-
проиллюстрированы на рис. 14—17 (кривые 2).
На рис. 18 показано изменение величины
y	A1.78)
пропорциональной интенсивности освобождающейся упругой энер-
энергии [165, 254], при различных значениях у в зависимости от угла
наклона боковой трещины а. Аналогичные зависимости для правой
вершины двухзвенной ломаной трещины изображены на рис. 19.
¦Сплошные линии соответствуют отношению ijl = г = ОД, штри-
штриховые — 8 = 0,5. Приведенные на рис. 18 и 19 зависимости позво-
позволяют определить при заданном угле у то направление боковой трещи-
трещины, при котором интенсивность освобождающейся упругой энер-
энергии максимальна.
Рассмотрим теперь ломаную трещину, состоящую из участков
Lo, L± и L3y когда боковые разрезы симметричны относительно оси
Оу (см. рис. 13). Пусть берега трещины свободны, а на бесконеч-
бесконечности задано одноосное (q = 0, 7 ^ я/2) или всестороннее (р = q)
растяжение. Тогда из условий симметрии задачи следует, что
?s(*8)=fifi(*i)-	(".79)
В данном случае также приходим к системе A1.66), в которой к яд-
ядрам М(>1 (I, r\)t N0l (?, т|), Ми (?, т|) и Nn (g, т|) следует приба-
прибавить соответственно N03 (?, г)), М03 (?, т]), Nl3 (?, rj) и М13 (g, n).
Условие однозначности смещений при этом преобразуется к
виду
¦ $ ф (I) dl+2ti Im eto J ф1 (Q d% = 0.	A1.80)
	j		|
Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений kx и k2
от угла а для рассматриваемой трехзвенной трещины изображены
на рис. 14—17 (кривые 3).
Трещины ветвления. Пусть бесконечная плоскость ослаблена
основным разрезом 10, из правого конца которого симметрично
выходят два боковых разреза Lx и L4 (см. рис. 13). Интегральные
уравнения первой основной задачи для такой области имеют вид
A1.63) при N = 4 и g2 (х2) = g's (х3) == 0. Из приведенного выше
анализа особенностей решения в точках излома или ветвления тре-
трещины следует, что функции g0 (х0) при х0 = / и g\ (x^, g\ {x4) при
хь = —1Ъ х± = —/х ограничены при а ^ эх/2, а при п/2 < а < я
имеют более слабую особенность, чем в вершине трещины. Следова-
Следовательно, численное решение интегральных уравнений A1.63) можно
получить таким же путем, как и в предыдущих случаях ломаных
трещин.
Будем считать, что плоскость на бесконечности подвергнута
одноосному ( q = 0, у == п/2) или всестороннему (р = #) растяже-
растяжению. Тогда напряженное состояние в теле симметрично относитель-
64

7Г
6
Рис.
18.
Л
а
о(,рад
Рис. 19.
5 1-685

но оси Ох, следовательно
Учитывая условие A1.81), преобразуем систему A1.63) к виду
A1.66), где к ядрам М01 (g, т)), Nol (g, г)), Ми (g, n) и Nn (g, т|)
следует прибавить соответственно N04 (g, rj), M04 (g, г]), W14 (gt r|)
и Ми (g, j|). Условие однозначности при этом принимает форму
1	1
J ф (I) сЦ+2г Re е** J cPl (Q d? = 0.	A1.82)
— 1	—1
Результаты численных расчетов для рассматриваемой задачи про-
проиллюстрированы на рис. 14—17 (кривые 4). При а -> 0 коэффи-
коэффициенты интенсивности напряжений стремятся к некоторым вырож-
вырожденным значениям. Отметим, что задача об одноосном растяжении
на бесконечности плоскости с трещиной ветвления аналогично рас-
рассмотрена в работе [414]. Для решения системы интегральных урав-
уравнений A1.66) при условии A1.82) применялись квадратурные фор-
формулы Гаусса и Лобатто (см. [236], с. 685). При этом замкнутая сис-
система алгебраических уравнений получена без использования
дополнительных условий. Численные значения коэффициентов ин-
интенсивности напряжений, найденные в работе [414], хорошо согла-
согласуются с приведенными выше результатами.
Рассмотрим более общий случай ветвящейся трещины, когда
с обоих концов основной трещины Lo симметрично выходят по два
боковых разреза Lx, L4 и L2, L3 (см. рис. 13). На бесконечности
плоскость находится под действием одноосного (9 = 0, у = я/2)
или всестороннего (р = q) растяжения. Из условий симметрии
следует, что
g2 (х2) = ?з (*8).= #4 to) = Si (*i).	(Н.83)
Тогда система уравнений A1.63) (N = 4) приводится к виду A1.66),
где к ядрам М01 (g, i\),.N01 (g, т|), Мп (g, tj) и A^u (g, т)) следует
прибавить соответственно М02 (g, ц) + N03 (g, r\) + N^ (I, r\),
N02 (g, Л) + M03 (gf л) + M04 (g, r|), M12 (gf n) + yv13 (|, j,) +
+ Nu Й» Tl)i #12 (g» ?l) + Af13 (g, n) + Mu (gi л)- Условие одно-
однозначности запишется в виде
=0.	A1.84)
Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений от угла
а для рассматриваемого случая трещины ветвления показаны на
рис. 14—17 (кривые 5). При всестороннем растяжении на бесконеч-
бесконечности коэффициент интенсивности kx для трещин ветвления прини-
принимает максимальное значение при углах а, близких к п/4.
66

4. Определение статической траектории
распространения трещины 1
Полученные выше решения плоских задач теории упругости для
гладких и кусочно-гладких криволинейных трещин могут быть
использованы для определения траектории квазистатического роста
трещины в хрупком теле. В общем случае предельное состояние
может достигаться в вершинах трещины неодновременно. В даль-
дальнейшем будем предполагать, что исходная внутренняя трещина
антисимметрична относительно ее центра (или имеется ось симметрии),
а приложенная нагрузка такова, что оба конца трещины растут
одинаково. При этом достаточно описать продвижение одной из
вершин трещины. В случае краевых или полубесконечных трещин
их форма и приложенная к телу нагрузка могут быть произволь-
произвольными.
Задачи об определении траектории распространения трещины
рассматривались вариационными методами [131 —133, 1661 и мето-
методом конечных элементов [67, 374, 3761. Применялись также ана-
аналитические подходы [8, 37, 254, 327], основанные на использовании
решения задачи для слабоискривленной трещины.
Алгоритм решения задачи. Рассмотрим бесконечную плоскость,
ослабленную криволинейным разрезом симметричной или антисим-
антисимметричной формы. Поместим начало декартовой системы кооорди-
нат хОу в центр разреза, а ось Оу направим вдоль оси симметрии
(в симметричном случае). Предположим, что при х > 0 форма
трещины определяется уравнением
у = у1(х), 0^х^.хъ	A1.85)
причем уг (х) является однозначной функцией. Тогда на отрица-
отрицательные значения х функция A1.85) продолжается четным или
нечетным образом соответственно для симметричной или антисим-
антисимметричной трещины. При описании статической траектории роста
трещины воспользуемся условием, определяющим при известных
значениях коэффициентов интенсивности напряжений начальное
направление распространения трещины. Будем считать, что при
нагрузке, достигшей предельного значения, трещина растет в
направлении, которое образует с.проведенной в ее вершине каса-
касательной угол (см. рис. 5)
*2).	(И вб)
При использовании условия A1.86) траекторию трещины можно
определить последовательно, предположив, что исходная трещина
распространилась на некоторую величину вдоль прямой в направ-
направлении угла 0* A1.86). Вычислив затем для новой трещины коэф-
коэффициенты интенсивности напряжений, по формуле A1.86) най-
найдем новое значение угла 0*. Повторяя описанную выше операцию,
1 Решение задачи получено автором совместно с П. Н. Осивым.
5*	G7

получаем траекторию распространения трещины, представляющую
собой ломаную линию. Именно таким путем решают задачу мето-
методом конечных элементов. Однако при определении напряженного
состояния в теле с трещиной методом сингулярных интегральных
уравнений описанный подход неэффективен, поскольку наличие
точек излома сильно усложняет построение решения. Кроме того,
из экспериментальных исследований распространения трещин
(например, при циклическом нагружении) известно, что траектория
представляет собой гладкую кривую. Точка излома может быть
только в самом начале роста исходной трещины.
Задачу будем решать также поэтапно, однако на каждом этапе
участок траектории будем аппроксимировать кубической парабо-
параболой. Пусть на k-м шаге вершина трещины определяется координа-
координатами хк и Yk, причем хк = хх + (k — 1) Л, h > 0, т. е. на первом
этапе имеем исходную трещину. Чтобы получить на интервале
1хкУ лг/ц-il гладкую выпуклую (или вогнутую) траекторию, будем
считать, что трещина оканчивается в точке с абсциссой qk =
= xk — 8к Fk > 0). Предположим, что на интервале [qk, хк+\]
траектория описывается уравнением
ук+\ (х) = ак+х (х — qkf + bk+i (х — qkf + ck+{ (x — qk) + dk+\.
A1.87)
Из условия, что в точке х = qk кривая A1.87) плавно продолжает
кривую у = ук (х) (уравнение трещины на интервале [<7*—ь xk] счи-
считается известным), находим
и = Ук Ы = y'k\ d/k+i = Ук {qk) = yk.	(H.88)
Пусть
y = Tk(x-xk) + Yk	A1.89)
есть уравнение прямой, которая проходит через вершину разреза
(xk> Yk) B направлении начального распространения трещины,
определяемого по формуле A1.86). Тогда
Г* = tg К + 6Й; О; - /(klkt hk\	(II.90)
где ak — угол между касательной к трещине в вершине (xk1 Yk)
и осью Ox (tg ak = ук (Xk))> k\k и k^h — коэффициенты интенсив-
интенсивности напряжений для трещины, оканчивающейся в точке (xk, Yk).
Из требования, чтобы в точке х = Xk+\ функции A1.87) и A1.89)
и их производные были равны между собой, получим систему урав-
уравнений
УкЛл (**+!) = Yk + Ykh\ y'w (хш) = Г„	A1.91)
из которой найдем
A1.92)
68

Параметр бл определим из условия, чтобы точка перегиба кри-
кривой A1.87) находилась в конце интервала [qk1 хк+\], т. е.
= 0.	A1.93)
Тогда кривая A1.87) на заданном участке (qki хк+\) будет	выпук-
будет	выпуклой или вогнутой.
Из уравнения A1.93) имеем
h + 8k = 3(К/гГ^ + Г^ .	A1.94)
* У + ^	* '
Будем считать параметр &k малой величиной. Тогда можно запи-
записать приближенное равенство
Ук-Ук = Ук (хк) - Ук (хк - б,г)« У А,	(И .95)
с учетом которого из уравнения A1.94) найдем Ьк = Л/2 при Тк Ф
Ф у'к. При Гк = ук уравнение A1.94) с учетом A1.95) превращает-
превращается в тождество. Учитывая, что у'к « ук (хк) = IV-i (k > 2),
окончательно положим
Fi/2, ТкфТк-и	/i/2, еГ=^О,
вх=	A1.96)
О, ГЛ = Гл_ь ^>2;	О, 6Г = 0.
При Tk = ^ и бЛ = 0 уравнение параболы A1.87) превращается
в уравнение прямой. Это означает, что при 0^ = 0 траектория сов-
совпадает с касательной, проведенной к трещине в ее вершине.
Следовательно, все параметры уравнения A1.87) определены,
если известна форма трещины на предыдущем интервале [хк—\,
xk]. Тогда уравнение трещины на участке [0, хк] можно записать
в виде
У,к (х) = Ут (х), qm-\ < х < qm4 m = 2, ... , k — 1; A1.97)
УУк(х), Як-1<х*^хк.
Уравнение всего разреза в симметричном случае имеет вид
в антисимметричном
Обозначим через Lk контур трещины, абсциссы вершин которой
равны ±хк. Введя замену
1 = ъкA) = хк[Ъ+1у1(хкЪ1хк]% |Е|<1,	A1.100)
преобразуем интегральное уравнение первой основной задачи для
криволинейного разреза Lk (I.78) к нормализованной форме
A1.48).
69

Таким образом, приходим к следующему алгоритму определе-
определения статической траектории распространения трещины. На пер-
первом этапе, решая уравнение A1.48) для исходной трещины Ьг (ког-
(когда |-v| ^ л^), определяем .коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений kn и koj и находим угол Q] A1.90). Затем по формулам A1.87),
A1.97) и A1.98) или A1.99) определяем форму трещины L2 на интер^
вале |xl<x2. Повторяя этот процесс, находим траекторию рас-
распространения" трещины, а также коэффициенты интенсивности нап-
напряжений на каждом этапе ее продвижения. При таком определении
J/.
I
/
/А
//
^ 16я
^ 2
0	2	4
Рис. 20.
траектории происходит скруглеиие трещины в точке излома, кото-
которая может быть в начале распространения. Используя результаты
предыдущего параграфа, можно учесть наличие угловой точки.
Однако расчеты показывают, что в обоих случаях получаются
практически одинаковые результаты. Отметим, что при численном
решении интегрального уравнения A1.48), учитывая симметрию
задачи, можно уменьшить в 2 раза число алгебраических уравне-
уравнений в системе A1.57).
Предложенный выше алгоритм может быть использован также
при определении траекторий распространения системы трещин (на-
(например, периодической), внутренних (при наличии симметрии) или
краевых трещин в ограниченных областях. При этом на каждом
этапе придется решать интегральные уравнения для гладких кри-
криволинейных трещин в таких областях.
Примеры. Рассмотрим задачу об определении статической траек-
траектории распространения трещины в неограниченной плоскости,
находящейся на бесконечности под действием одноосного растяже-
растяжения напряжениями р, направленными под углом у к оси Ох. Исход-
Исходная трещина представляет собой прямолинейный разрез вдоль отрез-
отрезка \х\ < I оси Ох. При этом в качестве условия A1.86) примем
наиболее часто используемую гипотезу A47, 254] о том, что направ-
направление начального распространения трещины совпадает с плос-
70

костью, в которой главная часть растягивающих напряжений
{см. рис. 5) достигает максимального значения, т. е.
сте
в* = 2 arctg
4k2
A1.101)
о
x/i
На рис. 20 для различных значений угла у изображены вычис-
вычисленные указанным выше путем участки траекторий распростра-
распространения трещины (сплошные линии), находящиеся в первом квадран-
квадранте. Штриховые прямые, проходящие через центр трещины, перпен-
перпендикулярны к направлению растяжения. Как видно из графиков,
трещина сначала приближается к
этим прямым, а затем распростра-
распространяется параллельно им. Зависимо-
Зависимости коэффициентов интенсивности
напряжений kx (сплошные линии)
и k2 (штриховые линии) от абс-
абсциссы вершины трещины, распрос-
распространяющейся вдоль вычисленных
выше траекторий, показаны на
рис. 21. С увеличением длины тре-
трещины . коэффициенты интенсивно-
интенсивности kx монотонно увеличиваются,
a k2 — уменьшаются, колеблясь
около нулевого значения. Отме-
Отметим, что приведенные результа-
результаты хорошо согласуются с данными
работы [374], где рассматриваемая задача решена методом коиеч-
. ных элементов. В работах [67, 374] приведены также эксперимен-
экспериментальные данные о траектории распространения трещины в растя-
растягиваемых прямоугольных пластинах. Наблюдается удовлетво-
удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных дан-
данных, особенно в начальный период распространения трещины, когда
отсутствует влияние края пластины.
Изложенные выше результаты могут быть использованы также
при изучении устойчивости распространения трещины вдоль неко-
некоторых траекторий. В частности, в экспериментальных исследова-
исследованиях часто важнейшим требованием является устойчивость формы
прямолинейной трещины, т. е. малые отклонения в расположении
трещины и точек приложения сил, неизбежные в эксперименталь-
экспериментальной практике, должны вызывать малые затухающие возмущения
в развитии трещины.
Исследуем устойчивость развития прямолинейной трещины пер-
первоначально расположенной на отрезке |л:| ^ / оси Ох в неограни-
неограниченной пластине, находящейся на бесконечности под действием
двухосного растяжения напряжениями а^° = ,р (перпендикулярно
к трещине) и о™ = q (параллельно трещине). Поскольку нагрузка
симметрична относительно линии трещины (k2 = 0), траекторией
71

ее распространения является прямая (ось Ох). Однако эта траекто-
траектория не всегда будет устойчивой. Если на первом этапе принять,
что угол В\ является малым, но отличным от нуля, то при дальней-
дальнейшем развитии трещина в зависимости от отношения главных нап-
напряжений р и q может значительно отклониться от линии своего
первоначального положения. На рис. 22 для различных отношений
qlp приведены траектории распространения трещины, вычисленные
с использованием условия A1.101), когда на первом этапе прини-
принималось, что трещина на интервале [/; 1,1/1, т. е. шаг h = 0,1/,
будет распространяться под углом Gi = я/36 к оси Ох. Заметим,
что имеется определенный диапазон изменения начального возму-
возмущения, в котором его величина слабо влияет на формулу траекто-
траектории. Анализ приведенных результатов показывает, что при qlp ^
^ 1 траектория развития трещины мало отличается от прямоли-
прямолинейной. С увеличением отношения qlp трещина все больше отклоня-
отклоняется от линии первоначального положения и при qlp ^ 2,5 ее
траектория распространения асимптотически приближается к пря-
прямой, перпендикулярной к оси Ох. Аналогичные выводы сделаны
в работе [367] на основе экспериментального исследования траек-
траекторий разрушения при двухосном растяжении пластины.
5. Решение контактных задач теории упругости
для областей с криволинейными разрезами
При действии в плоскости с трещинами сжимающих напряжений,
а также в некоторых других случаях противоположные берега их
могут смыкаться, налегая друг на друга. Контакт берегов трещины
приводит к перераспределению поля напряжений и деформаций
в ее окрестности. Решению контактных задач для бесконечной
плоскости, ослабленной прямолинейным разрезом или щелью пере-
переменной ширины, посвящено ряд работ [42, 136, 147, 241, 254, 282,
292]. Рассматривался также случай дугообразной трещины, берега
которой приходят в гладкий контакт по всей длине или по некото-
некоторой ее части [41, 115, 145]. В общем случае криволинейной трещины
контактные задачи почти не изучались (исключением является
сообщение [247]). Ниже при использовании интегральных представ-
представлений комплексных потенциалов напряжений через скачки смеще-
смещений ,на линии криволинейного разреза строятся интегральные
уравнения контактной задачи для бесконечной плоскости с разре-
разрезом. При этом рассматриваются два предельных случая: когда тре-
трение между берегами трещины ничтожно мало (гладкий контакт)
или велико (полное сцепление). Предложенный подход легко обоб-
обобщается на случай системы криволинейных разрезов.
Полное сцепление берегов разреза. Пусть в бесконечной плос-
плоскости имеется гладкий криволинейный разрез L. В сплошной
плоскости без разреза напряженное состояние определяется комп-
комплексными потенциалами напряжений Фо (z) и х?0 (z). Тогда на ли-
72

нии разреза находим напряжения
77\ j
dt
No + iT0 = — р0 (t) = Фо (t) + <Z)Q(t) + ~ [tO'o(t) + % @1, t ? L.
A1.102)'
Предположим, что под действием внешней нагрузки берега раз-
разреза L смыкаются вдоль некоторого множества дуг. Обозначим
через L' совокупность тех участков (ak, bk)(k = 1, 2, ..., т) контура-
L, вдоль которых берега разреза не контактируют. Будем считать,
что на части контура L — V имеется полное сцепление берегов
разреза, а остальная часть свободна от нагрузки. Тогда граничные
условия задачи имеют вид
(и+ — иг) + i (ti+ — vr) - 0, N+ + iT+ = ЛГ + iT"f (II. 104)
t?L — L'.
Удовлетворяя с помощью комплексных потенциалов A.71) И1
A.75) условие A1.103) с учетом соотношения A1.104), приходим-
к системе т интегральных уравнений
для определения значения неизвестной функции gf (t) на т контурах.
(аЛ, bk). Здесь регулярные ядра kt (t> tf) и k2 (t, t') даются со-
соотношениями A.79), а функция р0 (t') определяется формулой
A1.102).
Решение системы интегральных уравнений A1.105) в классе
функций, не ограниченных на концах интервалов (ak> bk), сущест-
существует и единственно при выполнении т дополнительных условий
J	O (Л»1, 2, ..., т).	(Н.106>
Осталось найти точки ak и bki разделяющие свободные и кон-
контактирующие участки разреза L. Если контуры (аъ Ь±) и (ат, Ьт)
примыкают к концам а и b разреза L, т. е. ах = а и bm = ft, то
для определения остальных точек afe и bk имеем 2 (т — 1) уравне-
уравнений
= 0 (/е = 2, 3, ..., т);
= 0 (fe= I, 2, ..., m-1),	l * J
где kx (a) — коэффициент интенсивности напряжений kx в точке а.
Если в окрестности одной вершины а или обеих вершин а и b раз-
разреза L его берега смыкаются, имеем
Мя*) = (Л =* 2, 3, .. ., ш) или (ft = 1, 2, ..., m); (n.108),
*i(&*) = 0 (ft=.l, 2, ..., m).

Уравнения A1.107) или A1.108) будем решать следующим обра-
образом. За нулевое приближение примем значения al и bl, которые
находятся из условий
Фо {al) - Фо ФЬ = 0, Фо @ > 0, t$ {al b%. (II. 109)
Здесь ф0 (t) = Von — v^n — скачок нормальных компонент смеще-
смещений на линии разреза L, который определяется из решения уравне-
уравнения A1.105) без учета контакта берегов (в уравнении A1.105)
вместо L' следует положить L). Затем на основе решения задачи
в первом приближении по формуле
N + iT = -±-
-po(t')9 t'?L-U	A1.110)
находим контактные напряжения на разрезе L и определяем точки
al и bl, в которых давление N обращается в нуль. Эти точки мо-
могут не совпадать со значениями al и bl. Тогда их используем для
построения второго приближения Ф и b\. Таким образом прихо-
приходим к итерационному процессу, который заканчивается при дости-
достижении нужной точности.
Положение точек ak и bk можно найти также и иным путем.
Взяв в качестве нулевого приближения точки al и bl и решив
систему A1.105), найдем в этих вершинах значения коэффициента
интенсивности kx (al) и kx (bl). Эти значения могут быть отличны
от нуля. Дадим al и bl такие приращения ak и ръ чтобы выпол-
выполнялись неравенства
*! {al) К (al + ak) < 0; kL (b% kv (bl + рЛ) < 0. (II. 111)
Тогда значения ak и bkJ удовлетворяющие с заданной точностью
уравнения A1.107) или A1.108), могут быть найдены методом по-
половинного деления (см., например, [52], с. 118).
Пусть параметрическое уравнение контура L имеет вид t =
= со (g), | SI ^^ 1 • Численно решив уравнение A1.105) при L' = L
(см. параграф 2 настоящей главы), найдем
(ил 12)
где функция и (?) представляется интерполяционным полиномом
Лагранжа A1.58). Учитывая соотношение A.77), получаем
	1 i (vui — v&t) = Re g (/') -^7- = Re
Подставив сюда вместо а (I) полином A1.58) и вычислив интеграл,
из условия A1.109) найдем нулевое приближение для участков
74

контактирования. Затем аналогично решаем систему уравнений
A1.105) при известных at и bl и по известным формулам A.91)
находим коэффициенты интенсивности &i(#°) и К (аЬ- Следователь-
Следовательно, реализация указанного выше алгоритма приводит к решению
последовательности задач, рассмотренных в параграфе 2 настоя-
настоящей главы.
Таким образом, в случае полного сцепления берегов разреза
на части контура L контактную задачу можно рассматривать как
*¦*
Таблица 3
8
1
1 5
2
-2
1,552
0,92
1,267
0,61
1,098
0,46
-1,5
1,169
0,81
0,956
0,54
0,827
0,41
—1
0,793
0,68
0,647
0,45
0,561
0,34
Р,'Я
\ —0,5
0,420
0,49
0,344
0,33
0,297
0,24
1 -".- 1
0,110
0,22
0,090
0,15
0,078
0,11
—0,001
0,003
0,02
0,003
0,01
0,002
0,01
первую основную задачу теории упругости для системы гладких
криволинейных разрезов, совокупность которых обозначена через
U (см. параграф 5 главы I). Считая, что искомые плотности ком-
комплексных потенциалов Ф {z) (I.71) и "V (z) (I.75) принадлежат клас-
классу функций, не ограниченных на концах контура интегрирования,
приходим к системе сингулярных интегральных уравнений первой
основной задачи для системы разрезов L'. Определив в точках ak
и bki отделяющих свободные от напряжения и контактирующие
участки разреза L, коэффициент интенсивности напряжений kt
и приравняв его нулю, получим условия для нахождения ak и Ьк.
В качестве примера рассмотрим бесконечную плоскость с раз-
разрезом вдоль дуги параболы L (см. рис. 6), когда на бесконечности
заданы напряжения о^ ~ р и о™ = q (р > 0 я q <C 0). В табл. 3
(над чертой) приведены величины, коэффициента интенсивности k2,
отнесенные к — qYl для различных значений параметра е = 8/1,
определяющего форму разреза L (см. рис. 6), и различных отноше-
отношений plq. В рассмотренных случаях имелись две зоны контакта,
симметрично охватывающие вершины разреза. Проекция этих зон
на ось Ох определяется неравенствами х% < |л:| ^ /. Отношение
xjl также приведено в табл. 3 (под чертой).
Гладкий контакт берегов трещины. Будем считать, что иод
действием внешней нагрузки на части контура L—U берега тре-
трещины приходят в гладкий контакт, а остальная часть (контур L')
свободна от напряжений. Тогда граничные условия задачи имеют
75

вид
M± + iT± = Ot t?L'\	A1.114)
^ — у-^О; 7^=0, t?L—L\	A1.115)
где vn — нормальная компонента смещений.
Комплексные потенциалы напряжений Ф {г) и W (г) для рас-
рассматриваемой задачи будем искать в виде A.71), A.75). Учитывая
Таблица 4
6
1
1 5
2
—2
1,103
0,67
0,928
0,44
0,856
0,33
-..5 |
0,892
0,62
0,770
0,40
0,713
0,29
-l
0,693
0,54
0,613
0,34
0,570
0,24
P/Q
—0,5
0,507
0,42
0,458
0,25
0,428
0,17
0,366
0,26
0,335
0,09
0
0,332
0,19
соотношение A.77), представим искомую функцию как сумму
двух функций
'	(
выражающихся соответственно через скачки нормальных vn и каса-
касательных vs компонент смещений на. контуре L;
Удовлетворяя граничные условия A1.114) и A1.115), с учетом
соотношений A1.116) и A1.117) получаем систему т + 1 сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений
Re Q (/') = (), t'?L'\ 1тЙ(Г)-0, t'?L (II.118)
для определения значения функции сра (t) на т участках (aki bk)
и функции ср2 (/) на контуре L. Здесь
(II.119)
Система интегральных уравнений A1.118) в классе функций,
не ограниченных на концах контуров интегрирования, имеет един-
76

ственное решение при выполнении т -\- 1 дополнительных условий
= 0 (Л== 1, 2	т); }ф2(/)Л = 0, A1.120)
J
также равенств
At)^}^0: Re[fp2(/)"?"] = 0)	(ПЛ21)
следующих из соотношений A1.117).
Для определения неизвестных участков контакта имеем те же
уравнения A1.107) или A1.108), что и в случае полного сцепления
берегов разреза. Их решение также строится аналогично предыду-
предыдущему случаю. Контактные напряжения на контуре L — Z/ найдем
по формуле
/V(O = ReQ(/'). t'eL — L'.	(II.122)
В качестве примера решим рассмотренную выше контактную
задачу для параболического разреза в бесконечной плоскости, ког-
когда на участках контакта отсутствует трение (гладкий контакт).
В табл. 4 приведены значения коэффициента интенсивности /е2 в
концах контура L, отнесенных к —q |//(над чертой). Здесь также
имелись две зоны контакта, проекции которых на ось Ох определя-
определялись неравенствами х* ^ \х\ ^ /. Отношение xjl приведено
в табл. 4 (под чертой). Как и следовало ожидать, при увеличении
отношения —plq величина участка раскрытия трещины возрастает,
причем этот рост больше в случае гладкого контакта. С уменьшени-
уменьшением кривизны контура трещины уменьшается также и величина зоны
контакта. Отметим, что. предложенный выше подход к решению
контактных задач для областей с разрезами удобен в том отноше-
отношении, что для определения каждого приближения имеем сингуляр-
сингулярные интегральные уравнения такой же структуры, как и при реше-
решении задачи в случае отсутствия смыкания берегов разрезов.

Глава III
ПЛОСКИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО
ТЕЛА С ТРЕЩИНАМИ
1. Система криволинейных трещин
при циклической симметрии [203]
Задача об упругом равновесии бесконечной плоскости с системой
прямолинейных трещин при циклической симметрии решалась
многими авторами (см. обзор в книге [160]). В последнее время
появились работы [285, 380], в которых изучалась система ради-
радиальных разрезов. Общий случай ориентации циклически размещен-
размещенных прямолинейных трещин рассмотрен в работе [157]. Ниже этот
результат обобщается на случай криволинейных разрезов.
Интегральные уравнения задачи. Пусть бесконечная упругая
плоскость, связанная с системой декартовых координат хОу,
ослаблена М циклически размещенными криволинейными разре-
разрезами Lmy отнесенными к локальным координатам хт0'тут (т =
= 0, 1, ..., М — 1). Будем считать, что все начала координат нахо-
находятся в одной точке (z'm = 0), а оси О'тхт наклонены к оси Ох под
углами а'т = 2пт/М. Поскольку система ХоО'оу'о совпадает с основ-
основной системой хОу, положим Lo = L, g0 (to) =g (/), q^ (U) = q (/)•
Предположив, что на всех разрезах действует одна и та же нагруз-
нагрузка, получим напряженно-деформированное состояние, удовлетво-
удовлетворяющее условиям циклической симметрии (напряжения и смеще-
смещения в полярной системе координат (г, 0) с полюсом в точке О явля-
являются периодическими функциями угловой координаты 0 с периодом
2п/М). В этом случае gm (tm) = g' (t), qm D) = q (t) {m = 1, 2, ...
..., M — 1) и из соотношений A.147) для комплексных потенциалов
Ф (г) и ЧР (г) получим интегральные представления
2я J tM — zM э {) ё () x +1 f
L	(III.1)
78

M—l	-/,	'	/	At ,	\	2П1
При этом использовались тождества
\	2л/
1	о \ __ "лГ.
(III. 2}
jLA fPk	7	/М	_Л1 J . jLj jf%k	у	/Л1	~Л1 »
/г=0 *о *	*	*	^_0 юл	«	?
легко доказываемые путем разложения правых частей на простые
дроби.
Комплексные потенциалы (III. 1) могут быть применены при
решении различных граничных задач для системы криволинейных
разрезов при циклической симметрии. Подставив (III.1) в формулы
A.84) или A.85), получим сингулярное интегральное уравнение
первой или второй основной задачи. В частности, когда на трещине
L задана иесамоуравиовешенная нагрузка
на основании (III. 1) и A.84) имеем уравнение
J IK(*, Г)Q(/)dt + L(/, Г)ЩШ + М(/, /')q(t)dt\ =
ядра которого даются соотношениями
м
Kit, n = -Y
L(ttt') =
Решение уравнения A11.4) должно удовлетворять дополнитель-
дополнительному условию
J'(')'* = Of	(Ш.6)
обеспечивающему однозначность смещений при обходе контура L.
Заметим, что представления (III. 1) и интегральное уравнение
(II 1.4) получены другим путем также в работе [416]. При этом ис-
использовалась теория интегральных уравнений с автоморфпыми
ядрами с конечной циклической группой (см. 132], с. 562).
Соотношения (III.1) и (III.4), полученные здесь для случая,
когда один контур L циклически повторяется, будут, очевидно,
справедливыми, .когда циклически повторяется система контуров
79*

,Ln, причем тогда L будет означать совокупность контуров Ln.
.Для этого случая построим также другие интегральные представле-
представления комплексных потенциалов Ф (г) и W (z).
Будем считать, что каждая последующая система разрезов Ln
(п = 1, 2, ..., N) получается (без наложения) поворотом относи-
относительно точки О (начала основной системы координат хОу) предыду-
предыдущей системы на угол у = 2л/М (М = 1, 2, 3, ...). Пусть в основ-
основном секторе 101 ^ у/2 (который может быть и криволинейным)
имеется N гладких криволинейных разрезов Ln (n = I, 2, ..., N),
отнесенных к локальным системам координат.хпОп(/п (см. рис. 7).
Тогда, воспользовавшись соотношениями A.11) и (III. 1), методом
суперпозиции (см. параграф 5 главы I) для функций Ф (г) и ? (г)
найдем представления
С помощью этих соотношений и формул (I. 152), A.153) легко пост-
построить интегральные уравнения основных граничных задач для
рассматриваемого общего случая системы криволинейных разрезов
при циклической симметрии.
Система дугообразных трещин. В качестве примера рассмотрим
первую основную задачу для М дугообразных трещин, равномерно
размещенных на окружности радиуса R с центром в начале систе-
системы координат хОу. Пусть контур L —дуга окружности от точки
z =г Re~ia до z = Reia. В этом случае уравнение (II 1.4) принимает
вид
1Г1 (м!]>м IQ @ + <*?@1 <U = p(О + 4" + В, V ? U AИ.8)
где
\q{t)dt; В=
Ш (к 4- 1)
L	Ь
Уравнение (II 1.8) заменой
*'=ю(т|)	(ШЛО)
приводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром
Коши A.57), которое решается в квадратурах. Получим это решение
80

для случая всестороннего растяжения пластины на бесконечности
усилиями /?, т. е. р (t) = —р = const, q (t) = 0. Тогда из соотно-
соотношений (II 1.8) и (ШЛО) находим
n(p-B)
где
g'©=g'('K(9; /«tg-^jr-.	(III. 12)
Решением уравнения (III. 11) согласно A.63) при условии
!*'©<« = О,	A11.13)
будет функция
?' ^ ^ Ma -rj=	г * — 2 * +-fzr)\ • (И1.14)
cos —g-К/»— Ti* I	\	IM /J
Здесь
a	M ± 2
f»	cos —~— Ga0
(HI.15)
sin2 -g	sin2 ——
Постоянная В в решении (III. 14) определяется из второго ра-
равенства (III.9), которое в новых переменных имеет вид
Из соотношений (III. 14) и (III. 16) находим
61 м — Hi
Воспользовавшись формулой A.91), которая в данном случае
запишется в виде
для коэффициентов интенсивности напряжений получим соотноше-
соотношение
— 1^2* = P1/ 	«г	—:—-r	.(III.19)
6 1-685	81

Здесь нижние знаки относятся к началу (z = /?e~fa), а верхние —
к концу (z = #е'а) трещины.
Приведем значения интегралов 1м при М = 1, 2, 3, 4, когда
они выражаются через элементарные функции и полные эллипти-
эллиптические интегралы первого К (k) и второго Е (к) рода:
it = п cos a; IT = я; it = 2E (a) —K(a)\ IV = К{а)\ a =sina;
It = 2/-1_ [(-|- - ЗЬ - 8Ц /С (в) + 8*, & - 6) Е (в)];
2'
, 2 4- cos a ^F 1^3 sin a /v . , ч
4,2 =	4	 Kh > h);
^ [A-4 cos2 a) /C (c) + 4 cos2 a? (c)];
При M = 1, 2, 3 решения (III. 19) и (III.20) совпадают с полу-
полученными в работах [13, 147, 150].
2. Периодическая система криволинейных трещин
Интегральные уравнения задачи. Пусть бесконечная упругая плос-
плоскость, связанная с основной декартовой системой координат xOyf
ослаблена периодической системой криволинейных разрезов Lmi
отнесенных к локальным координатам хт0тут (т = 0, ±1,
±2, ...). Будем считать, что все оси Отхт совпадают с осью
Ох (ат = О), а начала От находятся в точках z = zZ = md, где
d — ширина полосы периодов (вдоль оси Ох). Поскольку система
х'оО'оу'о совпадает с основной системой хОу, положим Lo = L,
So (to) == ?Г @» tfo (^о) = Я (t)> Предположив, что на всех разрезах
действует одна и та же нагрузка, имеем напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние, удовлетворяющее условиям периодичности (напря-
(напряжения являются периодичными функциями х с периодом d). В этом
случае gm (tm) = g' (t), q D) = q @ (m = 0, ±1, ±2, ...) и из
соотношений A.147) для комплексных потенциалов Ф (z) и ? (z)
получим интегральные представления
.21)
- [ctg ~ {t - z) + -J (t -1 + z) cosec" -%-(t- 2)] Q (t) dtj.
82

При этом использовались известные формулы
"~Я* Л .	(III.22)
2
(г - л/еJ»
kz=	CO
где штрих у символа суммы означает, что при k = О слагаемое
равно нулю.
Считая, что на берегах разреза задана несамоуравновешенная
нагрузка (III.3), с помощью соотношений (III.21) и A.84) получим
интегральное уравнение (III.4) с ядрами
к ('• *'•) = -w N -? V - п +ctg -г{t - ?) -ж]'
5 d	(III.23)
В случае, когда в основной (криволинейной) полосе периодов
имеется УУ криволинейных разрезов Ln (п — 1, 2	N), отнесен-
отнесенных к локальным системам координат хп0пуп (см. рис. 7), будем,
иметь [205]
ф (г) = ж 2 J
N
1
*-'V	(III.24)
g-^(^ —z) + 4-(n —T. + z)x
[
X cosec2 -J (Tk - z)] Q, @ е'в*ЛА}.
Тогда с помощью соотношений A.152) и A.153) легко записать ин-
интегральные уравнения основных граничных задач для общего слу-
случая периодической системы криволинейных разрезов. Полученные
таким путем уравнения, как и уравнение (II 1.4) с ядрами (II 1.5)
или (III.23), имеют одинаковую структуру с рассмотренными в
главе I сингулярными интегральными уравнениями. При дополни-
дополнительных условиях A.154) или (II 1.6) они имеют единственное реше-
решение. Отметим, что представление (II 1.21) и уравнение (II 1.4) с ядрами
(II 1.23) получено также в работе [339], причем авторы использовали
6*	.	83

прием, аналогичный изложенному выше и примененный ранее
[50] при рассмотрении периодической системы прямолинейных т|ре-
щин. В работе [339] аналогичные результаты получены при исполь-
использовании теории интегральных уравнений с автоморфыыми ядра-
ядрами. Представления комплексных потенциалов и интегральное урав-
уравнение рассматриваемой задачи построены также [112] в другом,
более сложном виде при дополнительном требовании равенства ну-
нулю главного вектора усилий, действующих на всех разрезах основ-
основной полосы.
Бесконечный ряд коллинеарных трещин в упругой плоскости
[160]. В случае периодической системы коллинеарных трещин,
размещенных на оси Ох, интегральное уравнение (II 1.4) с ядрами
(II 1.23) приводится к виду
~ J [Q @ + 2lq (t)] ctg *lt~x) dt^p (*), x?L. A11.25)
L
Известно (см., например, [268], с. 56), что это уравнение может
быть решено в квадратурах, когда L представляет собой отрезок
или систему отрезков действительной оси.
Пусть L обозначает отрезок \x\^l<Ldl2. Тогда равенство
(II 1.25) заменой
? = tg^-; n = tg-H-	(Ш.26)
(приводится к уравнению
Г <p(?)rf| _
J 1^Г~
d 1 + ri2 h
которое необходимо решить при условии
а	I
J Ф A) 4 - -?- А = -j- -^тт IЯ (t) dt.	A11.28)
Здесь
^	=pW; a = tg nl
d
(III.29)
С помощью соотношения A.63) находим решение уравнения
(II 1.27). В результате будем иметь
Х
X
IA
я/	4> ял: \ , nl
cos~ cos'~i tg~d
(III.30)
84

Коэффициенты интенсивности найдем по формуле A.91)
kf — ik* =	* =r- x
-if nd . 2л/
V —Sln-
d
X
f Л cos
d
A11.31)
Если к противоположным берегам трещин в их центрах приложе-
приложены равные по величине и противоположно направленные нормаль-
нормальные Р и касательные Q сосредоточенные силы, т. е.
из равенства (III.31) будем иметь
'¦'-«¦ysi?- <ш-33)
V 2 51П d
При постоянных нагрузках на верхних и нижних берегах тре-
трещин (р (х) = —(а —гг) == const, q (x) = 0) приходим к соотно-
соотношению
&ii— t/г? =((j— it) J/ — tg-j-.	(III.34)
Формулы (III.33) и (III.34) впервые получены в работах [342, 433].
Рассмотрим также случай двух равных трещин в полосе перио-
периодов, когда L обозначает отрезки а ^ \х\ ^ b < d/2. Считая,
что на трещинах действует симметричная нагрузка (р (х) = р (—х),
q (х) = 0), уравнение A11.25) с учетом условия g' (х) = —g' (—х)
приведем к виду
ь	. 2л/
	т-\ g'(t)	о-т—-—о—dt = 'plx), a<x<b. (Ill.35)
d ) б ч ' 2nt	2пх	г \ /» ^ ^ v	/
J	cos —•	cos ——
Это уравнение также с помощью очевидной замены переменных
преобразуется в интегральное уравнение с ядром Коши и решается
в квадратурах. Пусть на берегах трещин действует постоянная
нагрузка, т. е. р (х) = — (а — ix) = const. Тогда
, .	2пх /, ,	2пЪ \ П(т, р)
1 J^. GOS	И _|- Cos •	l v r У
- (а- ir)	d ^ d > «(p) , A11.36)
/	2na	2nx	2	2/

где /\ (р), П (/п, р) — полные эллиптические интегралы первого
и третьего рода:
2с~
(Ш.37)
Подставив (II 1.36) в A.91), найдем коэффициенты интенсивности
напряжений для ближних
/ 2a [ cos —:	cos
у	\ d
и дальних вершин трещин
-. / о
I / 2
у
.38)
„./ 2na	2nb
2ft ^coscos
.39)
Рассмотренная выше периодическая задача о двух коллинеар-
иых трещинах решена другим путем в работе [383]. Изучались
также случаи двух параллельных [120, 188] или перпендикуляр-
перпендикулярных [103] трещин в полосе периодов.
Периодическая система прямолинейных трещин произвольной
ориентации. Рассмотрим периодическую задачу, когда в полосе
периодов имеется одна произвольно ориентированная прямолиней-
прямолинейная трещина. Будем считать, что трещина размещена на отрезке
|*i|^/ оси Огхг локальной системы координат хх0хуъ начало
которой совпадает с точкой О (z? = О), а Огхг образует с Ох угол
аг = а. Тогда интегральное уравнение задачи получим с помощью
соотношений (III.24) и A.152). Предположив, что берега трещины
находятся под действием самоуравновешенной нагрузки (qx (/х) =»
= О), найдем [51]
i
$ fe' О К {I - п) + Ш) L{1 - il)l dl = пР (тО, | г] | < 1. (III .40)
	j
Здесь
^ — (eia ctg —?- + е-1" ctg	§	J;
Дт) = -4- (e~to — e~3'a) (^ctg	g	2	cosec 2
(Ш.41)
t = P — n; X = 2//d.

Для ядер К (т) и L (т) при % < 1 справедливы представления
'; L(т) = A,
'. (П1.42)
где
Bk —числа Бернулли.
Приближенное аналитическое решение уравнения (III.40) при
условии
J
можно найти по формулам (II.9) и A1.10). Однако в данном частном
случае, когда в уравнении (II. 1) К (?, ц) и L (?, ц) —разностные
ядра, разлагающиеся при X < 1 в ряды по четным степеням пара-
параметра А*, целесообразно привести отдельно решение уравнения
(II 1.40). Будем искать это решение в виде ряда
?=0
(Ш.45)
Для определения коэффициентов gk (r\)y поступая так же, как
в параграфе 1 главы II, найдем рекуррентную формулу [51]
(Ш.46)
= l, 2, ...),
где интегралы
?. п) = 4"
(IIL47)
1
легко вычисляются с помощью соотношений A1.11) и A1.12).
На основании формул (III.46) и A.128) получим асимптотичес-
асимптотическое разложение коэффициентов интенсивности напряжений
i
1
VT
—I
(?о Bа2	i- о»	g-
О0 B6, -
bfi
fi,
87

^ — {afi, + bfi
+ \-аф~Ьх --§- bjbt —|^5») + Go {^-а\Ь, - -L афх -
7 t i 19t , I t!7\ , я/11
b3	L aifta	L ^ + a3G4 + b3Gt q=
( + 5&Д + 4 й^з + 4 й3Сз)]} + О (%*), (III .48)
где
i
U VT=f	A11.49)
При двухосном растяжении пластины на бесконечности усилия-
усилиями р и q во взаимно перпендикулярных направлениях, когда усилия
р образуют угол ср с осью Ох, имеем
Р (т|) = - Is = -1 (а - п) = - 4- IP + Я - (Р - 9) е2^-«>]. A11.50)
Тогда по формуле (II 1.48) находим
kf - ikt = VI [s - ~ (ats + М — Ц-ls (9а2 - 2a? - 2&А) +.
+ s (962 —	^	^
— 15a2b! — \5агЬ2 + 2Ь2фг + ба?^)]) + О (Я8).
j	A11.51)
Подставив сюда значения коэффициентов ak и bk (II 1.43) и от-
отделив действительную и мнимую части, получим
(III.52)
Йг Ю (U, Ч- W.) + т G, - Г3)]) + О (X8);
3	i
[а <У* + YJ + т (ll73 ~ U3))) + О (Xs),
где
Ut = 2 cos 2a — cos 4a; Fa = sin 2a — sin 4a; Wx = cos 4a;
U2 = -g-sin2a +-^-(cqs4a — cos 6a);
88

28
2	28
V2 =	g- sin 2a + -^g- (sin 4a — sin 6a);
= -g	g- cos 2a
f i
~jg-cos4a; Y3 = -^-sin2a sin2a; (III.53)*
17	29	5	5
UQ =	cos 8a + -^- cos 6a — cos 4a + -r- cos 2a	^-;
-0,2
Рис. 23.
17	29	3
V8 ¦=	jj- sin 8a -f -^y- sin 6a — sin 4a + -r- sin 2a;
17	9
W3 = -^g- cos 6a + -j- cos 2a — 2 cos2 2a.
Отсюда при a = я/2 получаем решение для периодической си-
системы параллельных (не сдвинутых) трещин
833л6А,6 \ nn8V
210 Se7/	' (Ш.54)
23
27
При a = 0 из соотношений (II 1.52) приходим к разложению
совпадающему с первыми четырьмя членами разложения точного
решения (II 1.34).
Сингулярное интегральное уравнение (III.40) решалось также
численно (см. параграф 2 главы II). На основе этого решения па
рис. 23—28 построены графики, характеризующие зависимость

О Ж JL Ж JL 5Ц
12 6 4 3 12
Рис. 25.
О Ж Ж ' Ж Ж §Ж
12 6 4 "J 12
Рис. 26.
2зт иг ос,рай
9 ~J T
Рис. 28.
коэффициентов интенсивности напряжений k± и k2 от угла ориен-
ориентации разрезов а при заданных относительных расстояниях между
ними (параметрах к) для различных видов нагружения пластины.
При одноосном растяжении пластины перпендикулярно к линиям
трещин (рис. 23 и 24) существует такая их ориентация (а, близкие
к Зя/10), что коэффициент интенсивности kx один и тот же, что и
в случае одной трещины (к = 0). Когда пластина подвержена на
бесконечности сдвигу параллельно линиям трещин (или на их
берегах заданы постоянные касательные напряжения), при малых
углах а коэффициент интенсивности kx становится отрицательным
(рис. 25), т. е. решение некорректно, поскольку в данном случае
берега трещин будут контактировать, что здесь не учитывалось.
В случае одноосного растяжения пластины перпендикулярно к ли-
линии центров трещин (рис. 27 и 28) коэффициент интенсивности kx
¦90

для больших расстояний между трещинами @ ^ X ^ 0,5) прини-
принимает наибольшее значение при а = 0 (коллинеарные трещины),
а для 0,5 < X < 1 —при а'> 0 (наклонные трещины). Коэффи-
Коэффициент интенсивности к2 при любых X максимальный для наклонных
трещин, когда угол а близок к я/4 (рис. 28).
3. Замкнутое приближенное решение задачи
о периодической системе параллельных трещин
В случае бесконечного ряда параллельных (не сдвинутых) раз-
разрезов комплексное интегральное уравнение (II 1.40) распадается
на два независимых действительных уравнения, соответствующих
симметричному или антисимметричному распределению напряже-
напряжений относительно линии разрезов. Путём аппроксимации ядер этих
уравнений получены замкнутые решения указанных задач, пригод-
пригодные при любых расстояниях между трещинами.
Параллельные трещины конечной длимы при симметричной
нагрузке [190]. Положив в соотношениях (III.40) и (III.41) а =
= я/2, придем к интегральному уравнению для периодической
системы параллельных трещин
A11.56)
Вводя обозначения ¦
g'(9-o'(9-«'F); Р(т1)=о-(п)-/т(г,) (Ш.57)
и разделяя в равенстве (III.56) действительную и мнимую части,
получаем два независимых действительных уравнения. Первое из
них имеет вид
1
j v' (Ю К± (? —Т)) сЩ = по (г)), | т] | <С 1,	(III.58)
где
Уравнение (II 1.58) соответствует симметричному случаю нагруз-
нагрузки, т. е. когда на линиях трещин отсутствуют касательные напря-
напряжения. Найдем замкнутое приближенное решение этого уравнения.
Представим ядро (II 1.59) в виде интеграла Фурье
,	(III.60)
91

где
Поскольку функция Lj (/) обладает свойствами
lim /Lj {t) = 2; !im Lx (t) = 1,	. A11.62)
аппроксимируем ее выражением
Lx(t) = cth-Jp	A11.63)
Такая аппроксимация верно отражает поведение функции Lx (t)
в нуле и на бесконечности. Относительная погрешность аппрокси-
аппроксимации не превышает 10% при всех 0 ^ t < сх>.
Подставив Ьг (/) в формулу (III.60), а затей в уравнение (II 1.58),
найдем
A Jo'(g)cthi4(g — n)dE = raj(TJ), |я|<1, Л = яЯ. A11.64)
— 1
Решение этого уравнения получим при условии х
1
Jo'(?)<? = Я.	(Ш.65)
Произведя замену переменных / = th Л|, л: = th Лг), приведем
A11.64) к уравнению с ядром Коши (см. формулу A11.27)), решае-
решаемому в квадратурах. В результате имеем
п ch2 Ач) V th2 Л — th2 Ar\ L \	ch A I
1 		1
/ th2 А - th2 A\ m ,t	/ттт аа>к
a(S)d4- , (IIL66)
)	r
Коэффициенты интенсивности напряжений определяем по фор-
формуле A.128). Учитывая условие 5 = 0, из выражений (III.57),
(II 1.66) и A.128) находим
lsh
(Ш.67)
Рассмотрим некоторые частные случаи нагрузки. Пусть к про-
противоположным берегам трещины в ее центре приложены равные по
величине, но обратные по направлению нормальные сосредоточен-
сосредоточенные силы Я, т. е. о (I) = — Р8 (I). Тогда из решения (II 1.67)
1 В рассматриваемом случае В = 0, однако будем считать пока В Ф 0, так
как решение уравнения (II 1.64) при таком условии понадобится в дальнейшем.
92

получаем
kf д р^2% ..	(III.68)
/я/ sh 2лА,
Если к берегам трещины приложено равномерно	распределенное
давление а (а (?) = —а/ = const), то
г-	<ш-69)
Для последнего случая нагрузки в работе [4] получено асимпто-
асимптотическое решение рассматриваемой задачи при больших значе-
значениях параметра X:
К—Щ-.	(Ш.70)
V ял
Легко видеть, что решение (III.69) хорошо согласуется с асимпто-
асимптотическими решениями, полученными для малых (II 1.54) и больших
(II 1.70) значений X. В табл. 5 для различных величин параметра X
приведены значения коэффициента интенсивности напряжений
kx (отнесенного к а ]/Т), вычисленные по формулам (III.54), (III.69)
и (II 1.70). В последней строке даны значения kja ]/7, полученные
численным решением сингулярного интегрального уравнения
(III.58). Анализ данных таблицы показывает, что решение (III.69)
можно использовать при всех значениях X, причем для малых
@ ^ X ^ 0,2) и больших B <; X < оо) значений X это решение
практически точное, а лля средних значений его относительная по-
погрешность не превышает 3,5%.
Параллельные трещины конечной длины при антисимметричной
нагрузке [19IL Найдем замкнутое приближенное решение инте-
интегрального уравнения
1
«' F) /С. (g — -n) dg = ят (tj), |т)|<1.	(Ш.71)
соответствующее антисимметричному случаю нагрузки, т. е. ког-
когда на линиях трещин отсутствуют нормальные напряжения. Ядро
A11.72)
представим в виде интеграла Фурье
оо
/С2 (т) == X J L2 (/) sin Xixdt,	A11.73)
о
где функция
93

Номер формулы
A11.54)
A11.69)
(III.70)
Численное решение
0
1
1
1
0,2
0,9540
0,9414
1,2662
0,9540
0,4
0,8441
0,8225
0,8921
0,8478
0.5 |
0,7696
0,7641
0,7979
0,7896
Номер формулы
A11.54)
(III.80)
A11.84)
Численное решение
0
1
1
1
0,2
1,0160
1,0178
1,0630
1,0160
0,5
1,0888
1,0944
1,0869
1,0881
0,6
1,1226
1,1268
1,1184
1,1197
обладает свойствами
lim 4~ М*) = 4-; limLa@=l.	A11.75)
Аппроксимируем L2 (t) выражением
Za(/) = th-|-/,	(III.76)
которое верно отражает поведение функции L2 (t) в нуле и на бес-
бесконечности. Относительная погрешность аппроксимации не превы-
превышает 2% при всех 0 ^ / < оо.
Соответствующее аппроксимации (III.76) приближенное урав-
уравнение
после замены переменных t = th А%, х = th Ar\ приводится к син-
сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши, решаемому
в квадратурах. Это решение при условии
1
\u'{l)dl=B
A11.78)
(в рассматриваемом случае В = 0) будет иметь вид
U' ()	~гг X
2 А
n cli Ац /tii2 А — th2 Ац
X
_J.dL. 1ШМ. + с
th Ax\ ch A %
(II 1.79)
94

| 0,6
1
0,7
0,8 | i
0 | 1,5
Таблица 5
| 2,0
0,6587
0,7118
0,7284
0,7344
0,4568
0,6661
0,6743
0,6845
0,0608
0,6267
0,6308
0,6407
—
0,5631
0,5641
0,5702
—
0,4607
0,4608
0,4612

0,3989
0,3989
0,3989
1 »,
1
0,8 |
0,9 | 1
0 | 1,5
Таблица 6
2,0
1,1623
1,1607
1,1522
1,1532
1,2118
1,1953
1,1871
1,1877
1,2791
1,2300
1,2222
1,2225
1,3771
1,2647
1,2572
1,2574
1,4318
1,4258
1,4255
1,5859
1,5803
1,5800
где
К (а)
в = to А, /(т) = т (-J- arthtV]/Ь=^2;
(Ш.80)
К (а), П (р2, а)—полные эллиптические интегралы первого и
третьего рода.
Коэффициенты интенсивности напряжений найдем по формулам
A.128) и A11.79)
п УА1 th A
th Л ± th Aj т (|) а%
С\ . A11.81)
В частности, когда к противоположным берегам трещины в ее цент-
центре приложены равные по величине, но обратные по направлению
сдвигающие силы Q, т. е. % (I) = —Q5 (?), то из соотношений
(III.80) и A11.81) будем иметь
§	(IIL82>-
Если к берегам трещины приложена равномерно распределенная
сдвигающая нагрузка % (т (|) = —%l = const), то
= JZL К (
th
(Ш.83)
При постоянной нагрузке на трещине в работе [289] получено
асимптотическое значение коэффициента интенсивности напряжений
95

при больших величинах параметра X:
№*)	(Ш.84)
Сравнивая решение (III.83) с результатами A11.54) и (Ш.84),
убеждаемся, что построенное решение (III.83) хорошо согласуется
с асимптотическими решениями при малых и больших значениях
параметра X. В табл. 6 для различных величин параметра X при-
приведены значения коэффициента интенсивности напряжений /е2
(отнесенного к т ]/Д вычисленные по формулам (IIL54), (II 1.83)
и (Ш.84). В последней строке даются значения kJ%YT,, получен-
полученные численным решением интегрального уравнения (III.71). Из
сравнения числовых данных видно, что решение (III.83), построен-
построенное на основе аппроксимации (III.76), при малых и больших значе-
значениях X практически точное, а для средних значений X @,5 ^ X ^ 1)
дает требуемый результат с ошибкой не более 0,7%.
Периодическая система параллельных полубесконечных тре-
трещин. Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии
бесконечной плоскости, ослабленной системой параллельных полу-
бескоиечных разрезов х !> 0, у = nd (п = 0, ±1, ± 2, ...), можно
найти предельным переходом (см. [160], с. 138) из результатов,
полученных в данном параграфе.
Интегральные уравнения рассматриваемой задачи при симмет-
симметричной и антисимметричной нагрузках имеют соответственно вид
' о	L	J	(III.85)
со
-J- j к' (t) (t — х) csch2 K(t-X) dt^x (x), x > 0, A11.86)
где для функций v' {f), a' (/), о (х) и т (л:) сохранены те же обозначе-
обозначения, что и в равенствах (II 1.58) и (III.71).
Из выражений (III.66) и (III.79) предельным переходом получим
решения уравнений (III.85) и (II 1.86)
d у 1 _ ехр (— 4nx/d)
sh
К'	2&У ехр (Зпх/d) - 1	, Зя (/ - х)	w	v	;
Коэффициенты интенсивности напряжений для периодической
системы параллельных полубесконечных трещин, соответствующие
96

решениям (III.87) и (III.88), определяются по формулам
'@ dt	;	(III.89)
nd \ , Г	, Зя/
J ]/ ,xpf
]/ ,-expf—
(Ш.90)
V
J
При действии на берега трещин постоянной нормальной нагрузки
а (х) = —а = const из формулы (II 1.89) будем иметь
Этот результат совпадает с асимптотическим значением коэффициен-
коэффициента интенсивности kx для периодической системы параллельных тре-
трещин большой длины (III.70).
Формула (III.91) получена с использованием значения интегра-
интеграла (см. [38], с. 319)
dt	d
f exp (AntId) — 1	4
Принимая во внимание, что
J f exp (AntId) — 1
можно показать, что решение (II 1.87) удовлетворяет условию
[v'(t)dt = Q.	(III.94)
о
Тогда уравнение (II 1.85) приводится к виду
х csch2 n(t-~x) \dt=:G(x), x>0.	(III.95)
Уравнение (III.95) получено ранее [337] для определения асимп-
асимптотического решения интегрального уравнения периодической зада-
задачи [50] в случае системы параллельных трещин большой длины.
При а (х) = —а = const найдено численное решение этого уравне-
уравнения с помощью квадратурных формул Гаусса —Эрмита для обыч-
обычного (см. [236], с. 687) и сингулярного интегралов. Покажем, что
уравнение (II 1.95) может быть численно решено также на основе
квадратурных формул Гаусса —Чебышева.
7 1-685	97

Путем замены
уравнение (III.95) приводится к виду
1
JiCfo ч)фF)^ = я/(ч). |tj|<1.	(Ш.97)
— 1
Здесь / —параметр, имеющий размерность длины;
*& i) = п _ еш - т.1 <2 [cth »(S. tl) - П - и (I, ri) csch*« (|, г,)};
V oM '	A11.98)
E — -П) .	J_
Как и в случае одной полубесконечной трещины A.104), будем
искать решение уравнения (III.97), ограниченное при г) == 1 и не
ограниченное при т| = —1. Пусть
Ш	A11.99)
где и (т])—интерполяционный полином A1.58). Функция ср (ц)
будет ограничена при т\ = 1, если
мA) = 0.	(III.100)
Тогда сингулярное интегральное уравнение (Ш.97) и условие
(III. 100) с помощью формул A1.55), A1.56) и A1.58) приводятся к
решению системы п линейных алгебраических уравнений
~г?к&» Пт)и(Ь)=/(П„) (=1, 2, ..., л-1);
относительно п неизвестных и (lk) (к = 1, 2, ..., л). Узлы ?Л и
Лт даются соотношениями A1.53) и A1.54).
Коэффициент интенсивности напряжений найдем по формулам
A.128), A1.58), A1.59) и A11.99):
Рассмотрим случай, когда берега трещин нагружены постоян-
постоянным давлением а (о (х) = — 0 = const). Численные значения
kxlo\fd, полученные при решении системы (III.101) для различных
я, приведены в табл. 7. В последней строке даны аналогичные зна-
значения коэффициента интенсивности, вычисленные в работе [337].
98

При увеличении п численные результаты быстро сходится к точ-
точному значению (III.91). Как и следовало ожидать, решение задачи
не зависит от параметра /.
4. Бесконечный ряд внешних параллельных трещин
Определим напряжения в неограниченной упругой плоскости,
ослабленной периодической системой внешних параллельных раз-
разрезов \х\^ /, у = nd, п = О, н=1, ±2, ... Интегральное уравне-
уравнение такой задачи относительно функции, характеризующей разрыв
Таблица 7
п
5
10
20
30
5
0.05 j
0,3982
0,3985
0,3988
0,3990
0,3989
0,1
0,4050
0,4002
0,3990
0,3989
0,3989
|
0,3904
0,3996
0,3989
0,3989
0,4004
1.0
0,4056
0,3985
0,3989
0,3989
0,4025
смещений на линиях трещин, преобразуем в сингулярное интеграль-
интегральное уравнение относительно неизвестного напряжения на их про
должении (перемычке). С помощью аппроксимации ядра найдем
замкнутое решение этого уравнения и оценим отклонение прибли-
приближенного решения от точного.
Симметричная нагрузка [194]. Задача об определении напря-
напряженного состояния в бесконечной плоскости с периодической си-
системой внешних параллельных трещин при симметричной нагрузке
сводится к решению уравнения
где
= о,
а ядро К\ (т) определяется равенством (III.59).
Введя новую неизвестную функцию
(III.103)
(Ш.104)
(III.105)
распространим уравнение (III. 103) на весь интервал —оо < х < оо,
С помощью интегрального преобразования Фурье найдем решение
этого уравнения
оо
(Ш.106)
7*

Здесь.
и J Lj
(III. 1-07)
Lx (f) дается соотношением (III.61).
Из условия (III. 104) приходим к интегральному уравнению для
определения неизвестного напряжения а (ц) в перемычке (| ц | <С
(
J
-1	оо
(III. 108)
Воспользовавшись аппроксимацией (III.63), находим
(III. 109)
Решение этого уравнения известно (II 1.79). После некоторых
преобразований
я ch Лт|
—th2
X
X
-
Постоянную С определяем из условия
(ШЛИ)
-1
где Р—главный вектор всех усилий, приложенных к верхней
(у ^ 0) или нижней (у ^ 0) полуплоскости. Из формул (III. 110)
и (ШЛИ) получаем
С =
1
/С (th Л)
х
— J jVWAt— thM x
(III. 112)
Формулы (III.110) и (III.112) дают решение уравнения (III.109),
с помощью которого можно определить напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние во всей упругой области. В частности, по формуле
—— inn i/ ——————— jj i ijij
(III.113)
100

находим коэффициенты интенсивности напряжений для левой
(kT) и правой (kt) полубесконечных трещин
1
(III.114)
Пусть берега трещин свободны от нагрузки, а плоскость растя-
растягивается на бесконечности в направлении оси ординат усилиями,
главный вектор которых равен Р. Тогда из соотношений (III. 112)
и (III. 114) имеем
(III. 115)
Устремив в формулах (II 1.114) и (III. 115) параметр А, = 211 d к нулю,
придем к соответствующим решениям A.164) и A.165) для бесконеч-
бесконечной плоскости с одним внешним разрезом.
Антисимметричная нагрузка [202]. Задача об определении
напряженного состояния в бесконечной плоскости с периодической
системой внешних параллельных трещин при антисимметричной
нагрузке сводится к интегральному уравнению
f/С,(?-11)«'
—со
где
Ядро /С2 (т) определяется соотношением (II 1.72).
Соотношения (III. 116) и (III.117) приведем к сингулярному ин-
интегральному уравнению
1	/ —1 оо\
JtA)M2(|-ti)^ = -|J +jJx(Z)M2{t-r])dl, h|<J
(III.118)
относительно касательного напряжения
на перемычке (|rj| < 1).
. Здесь ядро М2 (т) представляется интегралом
(IIL120)
0
в котором функция L2 (/) определяется формулой (II 1.74),
101

Воспользовавшись аппроксимацией (II 1.76), получим урав-
уравнение
A J" т(9clh Л (g — ii)d|	Л J +Пт(|)сШЛ(Е
— 1	V —оо 1 /
|г]|<1, Д = ЗяМ4,	A11.121)
решение которого известно (III.66). Учитывая, что в данном случае
Q	(ШЛ22)
(Q — главный вектор усилий, приложенных к верхней (у ^ 0)
или нижней (у ^ 0) полуплоскости), на основании соотношений
(III.66) и (III.121) будем иметь
г / —Ь
X
-оо	1
(III. 123)
где
' —1	ОО\
(III. 124)
Отсюда видно, что С = 0 в случае, когда нагрузка приложена
только к берегам трещин. При действии на бесконечности сдвигаю-
сдвигающих усилий, главный вектор которых равен Q, постоянная С = Q.
По формуле
k$= lim ]/1=I!1t(ti), 1л1<1	(Ш.125).
определим коэффициенты интенсивности напряжений для правой
(Лг") и левой (&2~) трещин
—1
±
А
(III. 126)
Пусть берега трещин свободны от нагрузки (т (tj) = 0, |rj | > 1),
а на бесконечности действуют сдвигающие усилия, направленные
параллельно линиям трещин. Главный вектор усилий равен Q. Из
формул (III.124) и (III.126) имеем
К- г-^—^Г'	(III.127)
102

При d -> сю из соотношений (III.126) и (III.127) получим решение
задачи в случае одной внешней трещины (см. формулы A.164)
и A.165)).	: •
Оценка погрешности приближенного решения. В последних
двух параграфах найдены приближенные решения интегральных
уравнений с помощью аппроксимации их ядер. Получим оценку
отклонения приближенного решения от точного.
Пусть даны два уравнения
1
л
1
$/?(? —фф (?)* = «/(ч). hl<l. (III.129)
Предположим, что ядро /С(т) может быть представлено интег-
интегралом Фурье
j	o, (III. 130)
о
где функция L (/) обладает следующими свойствами:
, I,..., *->¦();	(III.131)
()	(	v>0, /~^oo. (III.132)
Приближенное ядро К (т) также имеет вид (IIL130), причем
L(t)— L@-O(/2m+1), m = 0, 1,..., *->0; (Ш.133)
L(t) — L (t) = О (te-Д fi > 0, / -> oo. (III. 134)
Воспользовавшись значением интеграла
J sin <тЛ =-i-..	(III. 135)
понимаемом в обобщенном смысле (см. [25], с. 111), представим
ядро К (т) в виде
/C(t)«-j- +АЛ(Ьт),	(III. 136)
где ? (т) — непрерывная функция со всеми производными при
О^Ст<Соо. Представление (III.136) следует из свойства (III.132).
Предположим также, что функция f (ц) на отрезке [—1,1]
удовлетворяет условию Гельдера A.25). Тогда
103

причем г|) (ц) принадлежит классу С[—1,11 непрерывных на
[—1,1] функций с нормой
= max |г|)(т))|.	(III. 138)
При условии
1
= пР	(III. 139)
—1
уравнение (III.128) преобразуется в интегральное уравнение второ-
второго рода (см. формулы A1.19) и A1.21))
1
где
к j М (X, Ь r\) if© J* . (Ш.140)
j
j^^dt.- (ШЛ42)
Уравнение (II 1.129) также преобразуем в аналогичное интеграль-
интегральное уравнение Фредгольма второго рода
4=-; (Ш.143)
Будем считать, что решение этого уравнения известно
1
1
причем
1
J
Пусть
Тогда имеет место следующая оценка близости приближенного ре-
решения к точному (см. 175], с. 547):
ЖЛ)-'Ф(Л)КМ*)A +В)№	(Ш.147)
104

Учитывая соотношения (III.142) и A1.27), получаем
M(X, t tf-АЦк, ?,tfl| yJLg <-^ + Д1 = в(Я), (Ш.148)
где
оо	оо
D1 = J | L @ - L @| Л; D2 = J * | L (/) - L @1 Л. (Ш.149)
о	б
Оценки (III.147) и (III.148) показывают, что при достаточно ма-
малом % приближенное решение близко к точному. Чтобы получить
аналогичный вывод для больших %, следует заменить оценку
(Ш.148). Воспользовавшись соотношениями (III.133) и (III.134),
можно показать, что 8 (к) = О AЛ3) при А,->- оо. Отсюда заключаем,
что приближенное решение интегрального уравнения (III.128),
(III.130), полученное на основе аппроксимации L (t) функцией
L (/), верно отражающей поведение L (/) в нуле и на бесконечности,
является замкнутым, т. е. близко к точному как при малых, так и
при больших значениях параметра X. При этом решение прибли-
приближенного уравнения должно удовлетворять условию (III. 145),
т. е. должно быть ограниченным при всех значениях X.
5. Двоякопериодическая система трещин
Плоские задачи теории упругости для бесконечного тела, ослаблен-
ослабленного двоякопериодической системой прямолинейных трещин, рас-
рассматривались в монографиях [160, 166], где приведен обзор иссле-
исследований в этом направлении. Случай прямолинейных трещин
также изучался в работах [18, 58, 242, 306]. В последнее время рас-
рассмотрен общий случай двоякопериодической системы криволинейных
разрезов в изотропной [ПО, 206, 340] и анизотропной [245] плос-
плоскостях.
Интегральные уравнения задачи [206]. Пусть бесконечная упру-
упругая изотропная плоскость ослаблена конгруэнтными группами кри-
криволинейных разрезов. В основном параллелограмме периодов
имеется N гладких криволинейных разрезов Ln (п = 1, 2, ..., УУ),
отнесенных к локальным системам координат хп0пуп (см. рис. 7).
Берега трещин Ln (п = 1, 2, ..., N) загружены несамоуравнове-
шенными усилиями
N* + iT*=pn(tn)±qn(tn)t tn?Lm /г = 1,2, ..., т, (III.150)
а на других разрезах Ln (п = т + 1, ..., Af) заданы производные
от смещений
tn?Ln, n = m+\, ...,N	(III.151)
(здесь приняты те же обозначения, что и в выражениях A.143),
A.144)).
105

Будем считать, что скачок смещений gn (tn) в концах разрезов
равен нулю, а главный вектор усилий, приложенных к каждому
разрезу Ln (п — 1, 2, ..., N) в отдельности, задается проекциями
Хп и Yn на осп Ох и Оу. При этом главный вектор суммарных уси-
усилий, действующих на всех разрезах Ln (п = 1, 2, ..., Л/'), должен
равняться нулю, что является необходимым условием существова-
существования решения двоякопериодической задачи теории упругости [357].
Воспользовавшись интегральными представлениями комплекс-
комплексных потенциалов Ф (г) и W (г) через скачки смещений и напряже-
напряжений на линиях криволинейных разрезов Ln в бесконечной плоскос-
плоскости A.147), построим так же, как и в случае периодической задачи,
аналогичные представления для рассматриваемой двоякопериоди-
двоякопериодической задачи
Ф (г) = -^ | \ ? (Тк - z) Qk (tk) ela"dtk + А;
-*Wk)\<rUtkdi'k- (Ш.152)
\
\
-[Tkp(Tk-z)-pi(Tk-z)]Qk(tk)eia"dtk} + B;
Qk ih) = gi (/*) - 2«<7* (/*)/(t + 1); Tk = /te/e* + zi
Здесь С (г) — дзета-функция Вейерштрасса,
(z) — эллиптическая функция Вейерштрасса,
Pi (г) — специальная мероморфная функция,
d (IIL155)
Pmn = mo^ + nco2 (m, /2 = 0, ±1, zb2, ...); оэ1# (о2 (ImcOi ==¦ 0,
Im (cog/o)!) > 0) — основные периоды; сумма ?' распростране-
iii.a на все целые m и /г, кроме пары А/г = п — 0.
Неизвестные постоянные в соотношениях (III.152) определим
из статических условий. Воспользовавшись соотношением A.7),
рассмотрим главный вектор всех сил, действующих вдоль про-
произвольной дуги CD, соединяющей две конгруэнтные точки плоскос-
плоскости. Поскольку главный вектор суммарных усилий, действующих
на всех разрезах Ln (п = 1, 2, ..., N), равен нулю, то \х (z) является
квазипериодической функцией, т. е.
р.B + cov) — |i(г) = |Ху, v=lf 2.	(III..156)
1.06

Циклические постоянные juv выбираются таким образом, чтобы мо-
момент усилий, приложенных к контурам Ln (п = 1, 2, ..., N) и
любому контуру, охватывающему их, равнялся нулю [357]:
[-2 ?
Re[-2 ? ( Tk^Jtk)€-iabdFk + ^2-^il = 0. (ШЛ57)
J
Здесь использовалась формула A.9) для главного момента усилий.
Условие (III. 157) удовлетворим, положив
]? $q{k)k; 6V - 2C(-^) . v= I, 2.
Тогда уравнения (III.156) принимают вид
k) Qk (tk) e'a*dtk + (8vTk + yvTk) Q^Fk) e-ia"dik];	(III. 159)
Здесь учтены равенства
<pB + ^v) —ф(г)= J Ф(а)^; \|)(z + cov) —^(z)=: J W{u)du;
z	.	г
2-ffi)v	2-j-wV
j	6у(Гй — z) + Cv; J p{Tk— u)du = — 6V;
г
(Ш.160)
J 9i(Tk — u)du=> — (o^(Tk — z) + yv(Tk — z)+C'Vf v=l,2,
Z
где Cv, Cv — независящие от 7А и г величины.
Из системы уравнений (III.159) определяем постоянные Re Л
и В (величина Im А остается произвольной)
А = - 4г ? I (АгТк + A2Tk) Qk (tk)
+ (A2Tk + AsTk) Qk (tk) eiakdtk}; A, « 2nllD\
A2 = (баСОх ~ S^/D; A3 == @)^2 — ^ТзУД ^ «= ^1^2 — wi®2-
107

Удовлетворив с помощью потенциалов (ц .152) граничные
условия (III.150), (III.151) на каждом из разрезов, для определе-
определения N неизвестных функций g't, (tk) (k = 1, 2, ..., т) и gk (/ft>
(k = m -\- 1, ..., N) получим систему N сингулярных интеграль-
интегральных уравнений
N
? 1 [К* (/», in) Qk (<*) dtk + Lnk (tk, in) Qk (tk) dtk +
(/*, in) qk itk) dtk] = nPn (t'n), in б Ln, n = 1, 2, .. ., N.
(III.162)
Здесь
k, in) = -^ («„ К (П - fn) - A{Tk - АшТк] +
-2<а„
(tk, Ц =
x. dtn
-А2Тк-А3Тк] ;	(Ш.163)
хп = 1, Я„(О = рп(t'n) при я = 1, 2, .. ., т;
х„ = —х, Pn(t'n) = —fn(in) при п = т+1	/V.
Решение системы (II 1.162) должно удовлетворять условиям
J Qn (tn) dtn = - -sff- J ^ (« Л. = - 4^- e~ta«,
n= 1, 2, ..., N%	A11,164)
которые обеспечивают однозначность смещений, при обходе конту-
контуров Ln.
Таким образом, задача об определении напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния бесконечной плоскости, ослабленной двоякопе-
риодической системой криволинейных разрезов, на которых заданы
граничные условия (III.150), (III.151), свелась к решению системы
сингулярных интегральных уравнений (III.162), принадлежащих
108

к тому же типу, что и уравнения A.150). Решение системы (III. 162),
не ограниченное в вершинах разрезов, единственно при выполнении
условий (III.164).
Двоякопериодическая система прямолинейных трещин. Рас-
Рассмотрим двоякопериодическую задачу для неограниченной упругой
плоскости, когда в параллелограмме периодов находится одна про-
произвольно ориентированная прямолинейная трещина длиной 21.
Пусть центры трещин находятся в вершинах параллелограммов
периодов, т. е. в точках Ртп. Введем локальную систему (хъ у^
с началом в точке Роо и осью хи направленной по линии трещины
и образующей угол ал = ас осью х. Будем считать, что берега тре-
трещины загружены самоуравновешенной нагрузкой рх (хх) (qt (хх) ==
= 0). Тогда из системы (III. 162) получаем одно сингулярное интег-
интегральное уравнение [50, 156, 159, 160]
-I
(III.165)
где
К(т) = 4
L (т) = A
cos 2a) _ jr
_ jr
При малых значениях параметра X ядра К (т) и L (т) имеют
разложения (III.42), где
я* - ~-55Г ^ (е2*/аЫ; ^ = ^г (Р.^'а - ft) е^а (Л > 2);
(III.167)
а величины ах и i>x определяются соотношениями (III.166).
Отсюда видно, что уравнение (III. 165) имеет такую же струк-
структуру, как и интегральное уравнение периодической задачи (II 1.40).
109

Следовательно, его решение можно получить по формулам (III.45) —
(II 1.49), в которых коэффициенты aki bk и параметр А, должны быть
определены из (III.166) и (III.167).
Рассмотрим случай двухосного растяжения пластины на беско-
бесконечности усилиями р и q во взаимно перпендикулярных направле-
направлениях, когда усилия р направлены под углом ср к оси х, т. е.
нагрузка Р (rj) дается соотношением (II 1.50). Воспользовавшись
приведенными в работе [391 значениями величин б1э уъ gn и р„ для
правильных решеток, найдем по формуле (III.51) коэффициенты ин-
интенсивности напряжений. В случае, когда центры трещин образу-
образуют правильную треугольную решетку (со2 = а)х ехр (/я/3)), бу-
будем иметь
— 5,1583т sin бес] + П*К- [ст(9 + 6,9597 cos 6а) +
51213 ,	(III.168)
+ 9,0883т sin 6а] 1 + О (Х8)\
+ 5,1583 cos 6аI + "'*!- [б,6494 a sin 6a +
/ J 512 у 3 L
4- — 7>7783 cos 6аI) + О (X8).
Аналогично для случая квадратной решетки (со2 = 1щ) из
формулы (III.51) находим
kx = yj (а + -^- [а A — 0,2982 cos 4а) — 0,7982т sin 4аJ +
4- 4т?- [о E,7742 + 3,8314 cos 4а) + 2,5542т sin 4а] +
~" [а @,5725 + 2,5413 cos 4а — 5,7797 cos 8а) +
^ 1024
+ т @,6033 sin 4а — 5,7797 sin 8а)] j + О (Xs);
1.	(III.169)
k2 = У1 !т + -2±- 1т A + 0,2982 cos 4а) —
— 0,7982а sin 4а| + -Tgjf Iх C.5485 — 2,5542 cos 4а) +
4- 5,1085а sin 4а] + -щ|- 1т (— 0,7339 — 0,0451 cos 4а +
4- 5,7797 cos 8а) + а{\ ,0827 sin 4а — 5,7797 sin 8а)]\ 4- О (Xs).
Приведенные решения (III.168) и (III.169) можно использовать
при X ^ 0,7. Подробный анализ этих результатов дан в моногра-
монографии [160].

Глава IV
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ПОЛОСЫ С РАЗРЕЗАМИ
1. Интегральные уравнения основных граничных зада1*
для полуплоскости с трещинами
Основные задачи теории упругости для полуплоскости. Пусть
в бесконечной плоскости имеется разрез L, представляющий собой
всю действительную ось Ох. Предположим, что при переходе через
контур L напряжения непрерывны, т. е.
а смещения получают скачок g (x) (I.77). Считая, что напряжения
р (х) на L известны, причем функция р (х) принадлежит классу Н
и при больших \х\ имеет порядок о {\1х)у из равенства A.78) нахо-
находим сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи!
для полуплоскости [160]
Решение уравнения (IV.2) дается преобразованием Гильберта
(см. [12], с. 171)
Если известна функция g' (x), комплексные потенциалы напря-
напряжений определяются соотношениями
2л J (-г
~ In J [t — 2	(^-
Пусть тело занимает нижнюю полуплоскость (у ^ 0). Тогда,
подставив решение (IV.3) в (IV.4), после перемены порядка интег-
интегрирования и вычисления интегралов найдем
фB) = _ »
со J"	(iv.6)
— 2
111

Этот результат совпадает с известным решением первой основной
задачи теории упругости для полуплоскости (см. [1381, с. 408).
Рассмотрим вторую основную задачу, когда на краю полуплос-
полуплоскости заданы смещения. Пусть при переходе через контур L (\х\ <
<; оо, у = 0) в бесконечной плоскости смещения непрерывны,
т. е.
2G-р-(и* + и;*) ==/'(*), |*|<оо,	(IV.6)
а напряжения терпят разрыв q (x) (I.76). Считая, что функция
/' (х) известна, из равенства A.81) получаем сингулярное интеграль-
интегральное уравнение
2к
Здесь функция /' (х) принадлежит классу Я и при больших \х\
имеет порядок о (\1х).
Решение уравнения (IV.7) имеет вид
Тогда комплексные потенциалы напряжений даются соотношения-
соотношениями A.71) и A.75), которые в данном случае запишутся так:
- 1	f 4(t)dt .
я«(х+1) J t — z '
J [
t-г
dt
На основании формул (IV.8) и (IV.9) найдем решение второй
основной задачи для нижней полуплоскости
„ 		(IV.10)
Y/Z)=5_l_ ff*/'(O + '/'(') ]df
совпадающее с известным результатом (см. [138], с. 409).
Система криволинейных разрезов в полуплоскости. Пусть
в упругой бесконечной плоскости имеется N + 1 разрезов Ln
(п = 0, 1, r.., Af), отнесенных к локальным системам координат
хп0пуп (см. рис. 7). Предположим, что контур LO представляет со-
собой действительную ось Ох ( а0 = 0, г§ = 0), а остальные разрезы
112

находятся в нижней полуплоскости {у <С 0). На контуре Lo задана
самоуравновешенная нагрузка р0 (х) (q0 (х) = 0), а на остальных —
скачки смещений gn (tn) и напряжений qn (tn) (n = 1, 2, .., Af).
Комплексные потенциалы Фг (z) и х?г (z) для рассматриваемой
задачи имеют вид
где функции Ф (z) и х? (z) даются соотношениями A.147). Для
определения неизвестной функции g0 (x) получим уравнение (IV.2),
в котором
N
Г (V П. D. \
+
; 1т71Л<0. (IV. 12)
Тогда по формулам (IV.5), (IV.И) и (IV.12) находим [205]
f
= ? (г) + Y. (z) + -^ S
?
где функции Фо (г) и Ч^ (г) определяют решение для сплошной
полуплоскости при заданных на ее крае напряжениях р0 (х):
(IV. И)
	CO
Совершенно аналогично получаем интегральные представления
комплексных потенциалов Фх (г) и ЧГХ (г) для случая, когда на
8 1-685	113

краю полуплоскости заданы смещения:
N
Фх B) = Ф B) ¦+ Фо B) + -^L- J] J J J
А
(IV. 15)
[Л, (т) =
И '	v-/ ¦	uv/ • vtt« /~". .1 II j- 	,
GЛ - zK	J "й Х "'	K	(Tk-~ 2J
Здесь Фо (z) и ^Fq B) определяют решение задачи для сплошной
полуплоскости при заданных на ее крае смещениях /0 (х):
\(t)dt
J t
T	(IV. 16)
—-z
а функции Ф (г) и ХУ (z) даются соотношениями A.147).
Периодическая система разрезов в полуплоскости. В случае
периодической задачи для полуплоскости с разрезами, когда каждая
последующая система разрезов Ln (п = 1, 2, ..., N) получается
передвижением предыдущей на расстояние d (d — ширина основ-
основной полосы периодов) в направлении оси Ох, из выражений (IV. 13)
найдем [205]
N ,
фх (г) = Ф (г) + Фо (г) + -±- ;Е J [lQk (tk) + 2iqh (tk)] ela* ctg -f- X
X (z - fk) dtk + -f (Tk - fk) cosec2 -J- (Tk - г) Q^4) e"'
(IV.17)
N
1 ^^ V I г /Л / ± \ I О* /4 \ 1 I X "" /лп
- z) + -f- cosec2 -J- (П - z)] е'а*Лк + {ctg -? (г - Tfc)
- ctg -J- (T/; - 2) + l] -J (Tft - Tl{) cosec2 -J. x
114

где Ф (г) и Y (г) определяются соотношениями (III.24), а Ф„ (г)
и ?0 (г) находятся из формул (IV. 14), причем в данном случае
Ро (х) является периодической функцией с периодом d.
Для периодической системы криволинейных разрезов в полу-
полуплоскости, когда на ее крае заданы производные смещения /о (х) =
— /о (х + kd) (k = ±1, ±2, ...), из равенств (IV.15) будем иметь
e'a* ctgf (T
+ 2iqk (tk)} e'a* ctg-f (Tft - г) dtk —? (Г,
- П) cosec2 -?- (П - г) Q^)	;
(IV-18>
a-
X
[ctg -f (г - T,) - -f- cosec2 Jf- (fA - 2)]
- 2)] cosec* -J- (T, - г)}
Используя представления комплексных потенциалов УР1 (г)
и Ф2 (г) (IV.13), (IV.15), (IV.17) и (IV.18) через скачки смещений
gn (tn) и напряжений qn (tn) на контурах криволинейных разрезов
в полу бесконечной плоскости, по формулам A.152) и A.153) полу-
получаем сингулярные интегральные уравнения основных граничных
задач для рассматриваемой области. В случае первой основной
задачи для полуплоскости, ослабленной системой произвольно
ориентированных прямолинейных трещин, такие уравнения впер-
впервые построены в работах [50, 2151. Они справедливы как для внут-
внутренних, так и для краевых трещин. В частности, на основе интег-
интегральных уравнений для системы прямолинейных трещин в полу-
полуплоскости [2151 в работе [4201 рассмотрена задача об определении
концентрации напряжений около треугольного краевого выреза
в полубесконечной пластине. При этом вырез образовывался двумя
краевыми трещинами, выходящими из одной точки. Точно так же
изучалось распределение напряжений в полуплоскости около пря-
прямоугольного выреза [352]. При использовании интегральных урав-
уравнений в случае криволинейных разрезов можно рассматривать ана-
аналогичные задачи о криволинейных вырезах различной формы,
выходящих на край полуплоскости.
8*	116

2. Замкнутое приближенное решение задачи
о трещине, перпендикулярной
к краю полуплоскости [198]
Определим напряженное состояние упругой полуплоскости с раз-
разрезом, перпендикулярным к границе. Особое значение в механике
разрушения имеют задачи о краевой и полубесконечной трещинах
в полуплоскости, поскольку с их помощью можно оценить влияние
свободной границы тела на распределение напряжений, когда
трещина выходит на край области или расположена вблизи него.
В последних случаях для некоторых видов нагрузок (нагрузка явля-
является степенной функцией расстояния от края полуплоскости) удает-
удается получить точные значения коэф-
коэффициентов интенсивности напря-
напряжений [91, 405, 406], однако в
общем случае таких решений не,
существует.
В данном параграфе с помощью
аппроксимации ядра интеграль-
интегрального уравнения получено замкну-
замкнутое приближенное решение плос-
плоской задачи теории упругости для
полуплоскости с внутренним раз-
разрезом, перпендикулярным к краю
области. Предельным переходом
найдены решения задач для краевого и полубесконечного разрезов.
Сравнение с известными точными решениями для некоторых нагру-
нагрузок показывает высокую точность полученных результатов.
Внутренняя трещина з полуплоскости. Пусть в упругой полу-
полуплоскости, связанной с прямоугольной декартовой системой коор-
координат хОу (ось Оу направлена по краю полуплоскости), вдоль от-
отрезка [a, b] оси Ох имеется разрез (рис. 29). Принимается, что
напряжения на границе полуплоскости и на бесконечности отсутст-
отсутствуют, а на берегах разреза задана самоуравновешенная нагрузка
Оу — л% = р (х), а<х<Ь.	(IV Л 9)
Указанная граничная задача с помощью соотношений (IV.13)
и A.152) приводится к сингулярному интегральному уравнению
[761
Рис. 29.
1
х2 — t2 + Mx
t—x
a<x<b.
(IV.20)
Проинтегрировав уравнение (IV.20) по ху найдем
ь
и-
In
t + x
t — x
xt
(t + x)*
(IV.21)
a<x<bt
116

где С — постоянная интегрирования. При а = О уравнение
(IV.21) совпадает с полученным в работе [4341.
Интегрируя в формуле (IV.21) по частям с учетом условия
g (a) = g (b) = 0, получаем
ь
|]	1PW + CI' a<x<b. (IV.22)
Произведя в этом уравнении замену переменных
* = е-\ * = еЛ	(IV.23)
после некоторых преобразований получим
J	С], Р<т)<а, (IV.24)
а
где
а = — In а; Р = — In 6; ф {%) - g (e");
1	Л2	fc	(IV.
Представим ядро R (^) в виде интеграла Фурье
R(l) = \L(t)sinltdt,	(IV.26)
где
^=*т-ж'	(IV-27>
Функция L (t) обладает свойствами
l; lim-^-= -=-; с =-|^- (IV.28)
и ее можно аппроксимировать выражением
L(O = th—.
(IV. 29)
которое верно отражает поведение функции L (t) в нуле и на беско-
бесконечности. Относительная ошибка аппроксимации не превышает
2,5% при всех 0 < t < оо.
Подставив L(f) в выражение (IV.26), придем к интегральному
уравнению
13
f lil)dl =n{PM + C], p<r,<a, (IV.30)
II?

которое после дифференцирования по т) приводится к уравнению
(III.77). Однако проще получить его решение, возвратившись к
старым переменным (IV.23):
ь _?_ _,
ЛяШ1	— = -7%=r[P(x) + C], а<х<Ь.
а
Заменой
(IV.32)
•приведем уравнение (IV.31) к виду
Ограниченное при у = ± б решение этого уравнения получим
по формуле (см. [321, с. 487)
	 б
/ О "—* И	\	и \ ) "~1 J	/ТЛ7 Q Л \
\|)(Г/) =;	—	^— \ /Г——	==	 \i\ .O4t)
-б
при условии
с i/w+cirf. вП	IV35)
—б
Определив отсюда постоянную
!Ш	/ZIZ (IV.36)
2K(k) J /(в*—s»)
—б
запишем решение уравнения (IV.31) в виде
(IV.37)
где К (k) и П (р, й) — полные эллиптические интегралы первого
и третьего рода.
118

Зиая функцию g (x), можно определить напряженно-деформи-
напряженно-деформированное состояние во всей полуплоскости. В частности, по фор-
формуле A.91) найдем коэффициенты интенсивности напряжений
с \ E(k) ac]	VF
' 2 [K(k) fltVf-a
(IV.38)
— ikT ~ —
E(k)
Vf p (t)
Здесь kn и kt — коэффициенты интенсивности соответственно
в вершине х = а и х = b\ E (k) — полный эллиптический интег-
интеграл второго рода.
Краевая трещина в полуплоскости. Если перейти в соотноше-
соотношении (IV.37) к пределу при а ->- 0, то получим решение задачи
в случае краевой трещины длиной b
— 'j^®« .	(IV.39)
б
Заметим, что после предельного перехода скачок смещений g (x)
в точке х = а = 0 уже не равен нулю. В частности, при постоян-
постоянной нагрузке р (х) = — (а — it) = const на трещине имеем
— i%), (IV.40)
где Г (п) — гамма-функция.
Проинтегрировав в равенстве (IV.39) по частям, получим реше-
решение в виде
ь
g(x) =-L J#FS tc,xc)p(t)dtf	(IV.41)
n о
где
_ /*¦. ¦ -. /¦.
(IV.42)
7 — t — к о — л:
Продифференцировав g (л:) (IV.41), найдем
(IV.43)
119

Это выражение является приближенным решением интегрального
уравнения (IV.20) при а = 0.
По формуле A.91) определим коэффициенты интенсивности на-
напряжений
ъ
j -J7== •	(IV.44)
Рассмотрим примеры. Пусть к противоположным берегам тре-
трещины в точке х = ? приложены равные по величине, но обратные
по направлению нормальные Р. и касательные Q сосредоточенные
силы, т. е.
р (х) = - (Р - iQ) б (х -?).	(IV.45)
Из соотношения (IV.44) имеем
'	(iv.46)
К 1 — (g/ Ь)с
При I = 0 выражение (IV.46) дает точное решение [320, 326, 379].
Сравнивая этот результат со значениями коэффициентов интенсив-
интенсивности для бесконечной пластины с трещиной длиной 2Ь, когда в ее
центре приложены сосредоточенные силы 2Р и 2Q A.99)
*.-<•*• = ^?^.	OV-47)
видим, что наличие свободной границы полуплоскости увеличивает
коэффициенты интенсивности в )/с/2 « 1,297 раз, т. е. почти на
30%. При увеличении g влияние свободного края полуплоскости
уменьшается и при ? -> & исчезает.
Разберем также случай, когда
р(*) = _(сг— ix)xn (n>—1).	(IV.48)
Из соотношения (IV.44) находим
2 ~"
1/2)
49)
В работе [405] получены коэффициенты интенсивности
на основе точного решения. Числовые значения величин k{{l) и
при a =s 1 и Ъ == 1 приведены ниже:
п
К[п>
п
k[n>
0
1,1256
1,1213
5
0,3491
0,3484
1
0,6851
0,6828
6
0,3201
0,3196
2
0,5269
0,5254
7
0,2972
0,2968
3
0,4420
0,4409
8
0,2786
0,2782
4
0,3876
0,3867
9
0,2631
0,2627
120

Сравнение приближенных значений с точными показывает, что
относительная ошибка решения (IV.49) при п = 0 составляет 0,4%
и с увеличением п уменьшается. При больших значениях п из со-
соотношения (IV.49) легко найти асимптотическое представление
_ i% ъп
...	.„, _	тГ-з-Г'-	(IV-50)i
у л у п + 1 ¦
которое следует из формулы Стерлинга. Такое же представление
на основе точного решения получено в работе [253].
Полубесконечная трещина в полуплоскости. Устремив в соот-
соотношении (IV.37) b к бесконечности, придем к решению задачи в
случае полубесконечного разреза, перпендикулярного к границе
полуплоскости, когда расстояние от вершины разреза до границы
равно а. В результате
(t) dt
После интегрирования по частям находим
где
Г (a, t,x) = -±-
— a(t-\-x)—2 Ytx (t — а) (х — a)
2tx — a (t-\-x) + 2 ytx (t — о) (х —а)
(IV.51)
(IV.52)'
(IV.53)
Продифференцировав (IV.52), будем иметь
ё'(х)
	 С
-ac) J
(tc-ac)
p(t)dt. (IV.54)
Эта функция является приближенным решением уравнения (IV.20)
при 1/6 = 0.
На основе соотношений A.91) и (IV.54) получаем коэффициенты
интенсивности напряжений
• (/) Л. (IV.55)'
Если в точке хх (xt > а) к противоположным берегам трещины,
приложены нормальные Р и сдвигающие Q сосредоточенные силы,
. p(x) = —(P—iQ).6(x — x1),	(IV.56).
то из формулы (IV.55) находим
К - t*s
2(P-t'Q)
с л/~ А
~21Г V ^ _ас •
(IV.57)
121

При Xj ->• оо получим растяжение и сдвиг полуплоскости на
бесконечности усилиями Р и Q (при отсутствии вращения на бес-
бесконечности),, что соответствует действию равномерно распределен-
распределенной нормальной о™ и касательной т™у нагрузок, суммарные значе-
значения которых равны Р и Q:
kl-ik^ p~iQ Y% и PT-Q JL=-. (IV-58>
1	2	Va n	Ya /л2— 4
Последний результат при Q == 0 совпадает с точным решением
[358] (см. также работы [326, 387]).
Если к берегам трещины приложена нагрузка
р (х) = — (а — ix) x-m (m > 1),	(IV.59)
то из равенства (IV.55) будем иметь
Таким образом, коэффициенты интенсивности напряжений,
вычисленные по формулам (IV.49) при b = 1 и (IV.60) при а = 1
•и m = п + 2, равны между собой. Аналогичный вывод сделан
в работе [407] при т = 0 с учетом точного решения задачи.
3. Численное решение интегральных уравнений
задач теории трещин для полуплоскости
Исследованию влияния края полубесконечной пластины на распре-
распределение напряжений около трещины посвящено большое число
работ (см. обзор в книге [1601). В последние годы продолжалось
исследование взаимодействия как внутренних [308, 313, 370],
так и краевых [72, 140, 255, 257, 332, 384, 400] трещин с границей
полуплоскости. Ниже приведено решение задачи, когда произволь-
произвольно ориентированная прямолинейная трещина находится внутри
или выходит на край полуплоскости. Рассмотрена также периоди-
периодическая система краевых трещин, перпендикулярных к границе
полуплоскости.
Взаимодействие произвольно ориентированной трещины с гра-
границей упругого тела. Рассмотрим упругую полуплоскость, ослаб-
ослабленную внутренней прямолинейной трещиной длиной 2/. Обозна-
Обозначим угол наклона трещины к оси Ох через ос, а расстояние ее центра
•от края — через h (z? = —ih). Пусть граница полуплоскости сво-
свободна от напряжений, а на берегах трещины задана самоуравнове-
самоуравновешенная нагрузка р1 (xj (q1 (x±) = 0). Тогда на основании формул
(IV. 13) и A.152) получим сингулярное интегральное уравнение
задачи, которое в безразмерных переменных ? == tjl и л == xjl
имеет вид
122

Здесь
I n)	 l
2iela/K;
b = Uh (IV'63)
Представив ядра (IV.62) в виде разложения по степеням пара-
параметра X, легко получить по формулам (НЛО) и A1.13) решение за-
задачи при большом удалении трещины от края полуплоскости [48,
215]. В частности, когда берега трещины подвержены нормальному
давлению интенсивности р, т. е. Р (ц) = —pi — const, из решения
A1.13) имеем
к? = р ]/7 [l + ~ B + cos 2a) ± -~- C sin a + sin За) —
— -j5g-A7 + 40 cos 2a + 6 cos 4a)] + О (A,6);	(IV.64)
k} =pV"l -~- sin 2a q= -—- E cos a + cos За) —
	^- C sin 2а + sin 4аI + О (Я5).
При растяжении пластины на бесконечности усилиями р парал-
параллельно границе, т. е. при Р (ц) = —pi A — е~2/а)/2, из выражения
(II .13) находим
kf = — р у] 1 — cos 2a + -гтт- E — 4 cos 2a — cos 4a) ч1
=F -^- (sin 5a + 7 sin 3a — 2 sin a) — -~ A2 + 39 cos 2a —
-~
— 46 cos 4a — 5cos 6a)] + О (Кь);	(IV.65)
	ypVI[sin 2a + -Щ-(sin 4a + 2sin2a) ±
13	5l*
db -on" F cos a — 5 cos 3a — cos 5a) — -^ A5 sin 2a +
-on"
+ 40 sin 4a + 5 sin f a)] + О (X,6).
Для рассмотренных выше случаев нагрузки получим численное
решение интегрального уравнения (IV.61), заменив его системой
123

алгебраических уравнений A1.57) (здесь 5 = 0). Результаты вычис-
вычислений представлены графически на рис. 30—34. Сплошные кривые
относятся к правой вершине, штриховые — к левой.
На рис. 30 и 31 приведены зависимости коэффициентов интен-
интенсивности напряжений kx и kZy отнесенных к pV'U от угла ориента-
ориентации трещины ее для различных значений параметра X при заданном
на берегах трещины давлении р. Коэффициент интенсивности kx
ко
~ Ж Ж Ж Ж. ?Ж <х,ра&
3 '2	12 6 4 3 12
Рис. 30.	Рис. 31.
всегда больше для той вершины трещины, которая ближе к границе,,
причем при значительном удалении разреза от края полуплоскости
(X < 0,5) kL принимает максимальное значение при а = 0, а с при-
приближением разреза к границе максимум перемещается к значению
угла а = я/2. Коэффициент интенсивности &2, наоборот, больше
для дальней вершины. При этом k2 становится максимальным при
углах а, близких к я/4.
Зависимости кх/рУ1и kjp ]/7 от величины угла а при одноосном
растяжении пластины усилиями р на бесконечности параллельно
границе полуплоскости представлены на рис. 32 и 33. При измене-
изменении а от 0 до я/2 коэффициент интенсивности kf (для ближней к
границе вершины) немного меньше К\ (лля дальней вершины),
а затем при углах а, близких к я/2, kf всегда больше Щ~. Коэф-
Коэффициент интенсивности |Л2|, принимавший для X = 0 наиболь-
наибольшее значение при а = я/4, с приближением трещины к границе
полуплоскости (с увеличением X) становится максимальным уже
для наклонных трещин с углом ориентации я/4 < а < я/2.
Зависимость коэффициента интенсивности kx от параметра X,
когда трещина перпендикулярна к границе полуплоскости и нагру-
нагружена постоянным давлением /;, показана на рис. 34. С приближе-
приближением трещины к краю пластины происходит монотонное увеличение
/е,, причем при X ->- \kx для ближней к границе вершины стремится
к бесконечности, а для дальней — к определенному значению,
соответствующему случаю краевой трещины.
124

Сравнивая результаты, полученные по формулам (IV.64),
{IV.65) и на основе численного решения, заключаем, что макси-
максимальная относительная ошибка аналитического решения при А,^
^ 0,7 не превышает 5%, а при X ^ 0,5 — 1%.
Краевая трещина, перпендикулярная к границе полуплоско-
полуплоскости. При а = —я/2 и X = 1 из (IV.61) получим интегральное урав-
Рис. 33.
нение задачи о прямолинейной трещине, выходящей под прямым
углом на край полуплоскости:
(IV.66)
где
(IV.67)
Интегральное уравнение (IV.66), кроме особенности в ядре
Коши, имеет неподвижную особенность в точке | = г\ = —1.
В этом случае функция я' (Ю уже имеет в точке ? = —1 особенность,
отличающуюся от корневой. Характер этой особенности может
быть установлен из анализа интегрального уравнения (IV.66)
[315]. В работах [93, 332] показано, что решение g' (g) уравнения
(IV.66) ограничено в точке ? = —1. Этот вывод также легко сде-
сделать, если учесть соотношение A.69).
Сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особен-
особенностями часто встречаются в задачах механики и математической
физики. Приближенные численные методы их решения использова-
использовались сравнительно давно, однако без должного математического
обоснования. Только в последнее время появились работы, посвящен-
посвященные теории сингулярных интегральных уравнений с неподвижными
125

особенностями в ядре. В монографии [56] рассмотрена теория та-
таких уравнений с одной и двумя неподвижными особенностями, полу-
получены формулы для решения характеристических уравнений и иссле-
исследована гладкость и асимптотика решений. В частности показано,
что уравнение (IV.66) имеет единственное решение в классе функ-
функций, ограниченных при I = —1 и имеющих корневую особенность
при g = 1.
Из сказанного следует, что численный метод решения сингу-
сингулярного интегрального уравнения, применяемый раньше для слу-
случаев внутренних изолирован-
изолированных трещин, здесь не может
быть прямо использован.
В данном случае можно было
бы применить квадратурный
метод решения интегрального
уравнения, построенный на
основе квадратурной форму-
формулы Гаусса — Якоби [315].
В работе [160] предложен
другой (упрощенный) способ
численного решения интег-
интегральных уравнений типа
(IV.66), эффективность кото-
которого проиллюстрирована на
конкретных примерах. Пред-
0,4 0,6 0,8 Л ставим функцию g' (г\) в
Рис. 34.'	'	Ф°РМе
1,2
1.1
1,0
-
-
	-п
с
, 1
1
<>-
/ у
\\
1 1
1
1
у
О 0.2
8w^yr^W	(IV-68)
и будем искать v (г)) в виде интерполяционного полинома A1.58).
Вместо условия A1.50), известного для внутренних трещин, будем
использовать соотношение
v(—1) = 0,	(IV.69)
указывающее на пго, что функция g' (rj) имеет при ц = —1 особен-
особенность меньшего порядка, чем l/j/l + 7).
На основе формул A1.55), A1.56), A1.58), (IV.66) — (IV.69)
получаем систему п линейных алгебраических уравнений
•%*
(ш= 1,2, ... , п — 1);
(IV.70)
4/г
я =0
для определения п неизвестных v (lk) (k = 1, 2, ..., п). Козффици-
126

ент интенсивности определяем по формуле A1.60), которая в данном-
случае принимает вид
где Ъ = 2/ — длина краевой трещины. Следовательно, для крае-
краевых трещин алгоритм численного решения интегральных уравне-
уравнений остается таким же, как и для внутренних трещин. Разница
только в последнем уравнении систем A1.57) и (IV.70).
В качестве примера рассмотрим случай, когда к берегам тре-
трещины приложена постоянная нормальная нагрузка р, т. е.
р (yj) = —pb/2 = const. Ниже приведены числовые значения коэф-
коэффициента интенсивности k±, полученные на основе решения системы,
уравнений (IV.70) при различных значениях п:
п	Ю	20	30	40	50	60
kxlpVb	1,1194	1,1209	1,1213	1,1214	1,1214	1,1215
Уже при п = 20 относительная ошибка решения не превышает
0,1%, а при п = 60 для коэффициента интенсивности получено
пять верных знаков [91].
Рассмотрим вопрос о численном решении интегрального уравне-
уравнения (IV.66), когда к берегам трещины в точке х0 = 1ц0 приложены,
противоположно направленные нормальные сосредоточенные силы<
Р, т. е. Р (rj) ="—Р8 (т) — гH). Теперь уравнение (IV.66) может
быть записано следующим образом:
lll^ + Kib^g'^dt^-nPS^-Voh -К* Чо<Г..
(IV.72)
Будем искать решение уравнения (IV.72) в виде суммы
?'(*)) = Фо(гО + Ф(г1),	(IV.73)
где функция ф0 (rj) удовлетворяет интегральному уравнению
еУ	)-По), -Кч, Пв<1- (IV.74).
Решение уравнения (IV.74), ограниченное при tj == —1 и не огра-
ограниченное при у| == 1» согласно формуле A.65), имеет вид
Тогда для определения <р (rj) получаем уравнение
—1	—1
У
Щ -
127

Номер формулы
(IV. 46)
(IV. 78)
Численное решение
° 1
1,2967
1,2945
0,1
1,2970
1,2942
1,2961
0,2 |
1,2996
1,2950
1,2958
в
0,3
1,3082
1,3009
1,3013
в котором справа находится функция, ограниченная при всех
— 1 < т], г|0 < 1. Поэтому численное решение уравнения (IV.76)
можно получить изложенным выше приемом, для чего необходимо
.решить алгебраическую систему уравнений (IV.70), где
я г
1 — "По
I
+ A +гъ)К{г\09гьд итТш} I	(IV77)
Величины Р (r]w) (IV.77) найдены применением к интегралу в пра-
правой части равенства (IV.76) квадратурной формулы A1.52).
Числовые значения коэффициента интенсивности напряжений
kv отнесенного к 2Р/я]/Ь, которые получены таким образом, при-
приведены в последней строке табл. 8. В первой строке даны величины,
вычисленные по формуле (IV.46).
При использовании системы интегральных уравнений [344] в
работе [333] методом последовательных приближений найден коэф-
коэффициент интенсивности напряжений для рассматриваемого случая
действия сосредоточенных сил на берегах трещины. На основе
полученных числовых данных в этой же работе методом интерполя-
интерполяции построено аналитическое выражение для коэффициента интен-
интенсивности напряжений
К - -^у==-[1+A -в2)@,2945-0,3912е2 +
+ 0,7685е4 — 0,9942е6 + 0,5094б8)], в = A + r]0)/2. (IV.78)
Числовые значения /^я ]/6/2Р, вычисленные по этой формуле,
приведены во второй строке табл. 8. Заметим, что при т]0 =—1,
т. е. когда сосредоточенные силы приложены в конце трещины на
краю пластины, изложенным выше приемом нельзя получить чис-
численное решение задачи. С этим затруднением встретились также
авторы работы [333].
Из сравнения числовых данных табл. 8 приходим к заключению,
что максимальная относительная ошибка решения (IV.46) ие пре-
превышает 1,2%, а результата (IV.78) — 0,7%.
128

t
1,3275
1,3182
1,3188
1 0,5 |
1,3647
1.3549
1,3547
0,6
1.4315
1,4223
1.4217
I 0,7 |
1.5514
1,5429
1,5423
| 0,8
1,7848
1.7769
1,7774
Таблица 8
\ 0,9
2,3740
2,3695
2,3689
Произвольно ориентированная краевая трещина. Пусть в упру-
упругой полуплоскости имеется прямолинейная краевая трещина дли-
длиной 6, образующая с границей угол Р (рис. 35). Берега трещины за-
загружены самоуравновешенной нагрузкой р1 (хг), а граница полу-
полуплоскости свободна от напряжений. Тогда интегральное уравнение
рассматриваемой задачи получим из равенства (IV.61) при
/ = 6/2, а = —р и А, = cosec p. В результате [152]
1
A+^ + 0+1
+ A + IY
A+тО-A+5)е
|(l+i1)(l-4e-2'P+e-4<f
) +
	e P)
[l+T1_(l+;
(IV.79)
Рис 35.
Численное решение интегрального
уравнения (IV.79) также может быть
найдено изложенным выше приемом.
Заметим, что в рассматриваемом слу-
случае краевой трещины, выходящей под
произвольным углом на границу по-
полуплоскости, функция g' (г)) в точке
у\ =—1 ограничена. Этот вывод легко
сделать, если учесть, что функция
g' (t) определяется через граничные
значения комплексного потенциала Ф (г) на контуре трещины
(см. формулу A.69)), а также принять во внимание, что функция
Ф (г) в окрестности угловой точки в клиновидных областях огра-
ограничена для углов при вершине у ^ я (см. параграф 3 главы II).
Рассмотрим случай, когда на берегах трещины заданы равномер-
равномерно распределенные нормальные о и касательные % напряжения,
т. е. Р (т|) == — Ь(а — it)/2. В табл. 9 приведены значения коэф-
коэффициентов интенсивности кх и /г2 для различных углов ориентации
трещины. Отметим, что для некоторых случаев нагрузки в работах
[46, 152] впервые получено численное решение сингулярного
9 1—685
\29

интегрального уравнения (I V.79). При этом использовался метод кол-
локаций, когда приближенное решение ищется в априорной форме
с неизвестными параметрами, определяемыми из условия удовле-
удовлетворения уравнения в отдельных точках.
Периодическая система краевых трещин 1183]. Рассмотрим
периодическую систему прямолинейных трещин длиной 6, выходя-
выходящих иод прямым углом на свободный от нагрузки край полуплос-
полуплоскости. Интегральное уравнение задачи может быть получено на
основе соотношений (IV.17) и A.152). При действии на берега
Таблица 9
Я/12
К1*\П> 5,05
hlvfb —3,16
kxl%\fb —0,42
Ь21*]П> 1,75
я/16
2,329
—1,043
-0,277
1,378
Я/Н
1,596
—0,508
—0,186
1,237
я/3
1,292
—0,266
—0,113
1,166
5я/12
1,160
—0,117
—0,054
1,132
я/2
•1,121
0
0
1,121
разреза 0 ^ хг ^ b самоуравновешенной нагрузки рг (х^ =
= а (л'д) — ix (xL) (qL (л^) = 0) комплексное интегральное уравне-
уравнение распадается на два действительных уравнения относительно
функций v' (хг) ^RegiO^) и и' (хг) =—lmg[(x1). При заданных
на трещинах нормальных напряжениях а (хг) имеем
ь
— -j- C/ + х) csch2 v 2 + 2
1
+
2n2tx
csch
X
X cth
n (t + х)
d
0<x<b,
(IV.80)
где d — расстояние между ближайшими трещинами. В случае
антисимметричной нагрузки получим
ь
-[t-x-
4 —т— cth
xcsch2
0<x<fc.
(IV.81)
При действии постоянной нагрузки на трещинах а (х) =
=z —от =5 const и т (х) = —т = const интегральные уравнения
(IV.80) и (IV.81) решены численно изложенным выше методом. Зна-
Значения коэффициентов интенсивности напряжений, полученные та-
таким путем для различных значений X = l/d, приведены ниже:
/а VI
1
1
0
,1214
,1214
0,2
0,8720
1,1320
0,4
0,6253
1,2072
0,6
0,5104
1,3291
0,8
0,4446
1,4575
1,0
0,3987
1,5797
2,0
0,2821
2,0941 .
3,0
0,2303
2,5075
130

При этом решалась система 40 алгебраических уравнений (п — 40).
Как и в случае периодической системы параллельных трещин в
бесконечной плоскости, здесь также при уменьшении расстояния
между трещинами коэффициент интенсивности напряжений кг
убывает к нулю, a k2 возрастает до бесконечности. Заметим, что
периодическая задача для полуплоскости с краевыми трещинами,
перпендикулярными к границе, изучалась при симметричной
нагрузке также асимптотическими методами [289\, методом кон-
конформных отображений [291] и с помощью интегральных уравнений
[184, 311]. В работе [325] методом конформных отображений полу-
получены коэффициенты интенсивности напряжений при растяжении
полуплоскости с периодической системой краевых трещин, обра-
образующих с ее границей угол Р = я/4.
4. Интегральные уравнения первой основной задачи
для бесконечной полосы
с криволинейными разрезами
При построении интегральных уравнений для полосы с разреза-
разрезами методом суперпозиций можно воспользоваться интегральными
представлениями комплексных потенциалов напряжений A.147)
и известными решениями (см., например, 1243]) основных гранич-
граничных задач для полосы. Однако более удобен подход, примененный
выше в аналогичных задачах для полуплоскости. В дальнейшем
ограничимся случаем первой основной задачи, когда на берегах
разрезов заданы самоуравновешенные нагрузки.
Плоская задача теории упругости для полосы при заданных
на границе напряжениях [204]. Рассмотрим бесконечную полосу
шириной 2L, отнесенную к декартовой системе координат хОуу
ось Ох которой направлена по средней линии. Найдем напряженное
состояние полосы при таких граничных условиях на ее гранях:
{х), y = -U -оо<л:<оо.
Здесь Pi(x) и р2(х)—функции, убывающие на бесконечности и
удовлетворяющие условиям статики
liW-P* @1Л = 0;
(IV.83)
J {Re [Pl@ - А@11 + Im [Pl (t) -p,(/)] L) dt = 0.
—oo
Интегральные уравнения указанной задачи найдем из соотноше-
соотношения A.152), предположив, что в неограниченной плоскости имеются
два параллельных бесконечных разреза у = ± L, \х\< оо, при
переходе через которые напряжения непрерывны, а смещения
9*	131

терпят разрывы gx (х) и g2 (x). В результате
со
(t-x) + Щ[) Lia(t - х)]dt = nPl(x),
H<oo;	(IV.84)
\\l~
J
), |д;|<оо,
где
Систему уравнений (IV.84) легко преобразовать к двум незави-
независимым интегральным уравнениям. Перейдя во втором уравнении
(IV.84) к сопряженным значениям, после сложения и вычитания
полученных равенств в системе (IV.84) придем к уравнениям
|jc|<oo;	(IV.86)
[ {[f~x - Li2 V ~
42 1
U"	J
—oo
|x|<oo,	(IV.87)
которые соответствуют симметричной (IV.86) и антисимметричной
(IV.87) задачам для полосы. Здесь
Л — _ I гг\ ( А	rrl / А,
J> (IV.88)
/УД 		f _.' / ^\ I _- / ^\ I.	-I. / ./Ч	*¦
/ ч	1 г / ч , 	Т\л	/ ч	1 | / ч
о" (а:) = -g- [рх (х) + р2 (х)]\ т (х) = ~2~ [р, (а:) — /
Уравнения (IV.86) и (IV.87) решаются с помощью интегрального
преобразования Фурье. Пусть
/(s)= ^<**f(x)dx; fW = 1Jr je-'-/(s)ds. (IV.89)
	СО
Тогда из равенства (IV.86) получим
+ 2Le-2Z-!si (s + | s\)\ + ф(— s)e~2Llsi = t sign sa(s). (IV.90)
Переходя здесь к сопряженным значениям и заменяя s на —s, по-
получаем уравнение, образующее вместе с (IV.90) систему, из которой
132

находим
2L (| s | - s)] - a (- s))
ф^>	2 (sh 2L | s | + 2L | s |)	*
Отсюда, учитывая соотношения (IV.89), после некоторых преобра-
преобразований получаем
где
= J [о(ОЛМ* —') + *№*,(* —QJЛ, (IV.92)
4'Я1 Sh25L + -	(IV.93)
Аналогично находим функцию
г|) (х) = f [т (/) Nt (х — /) + т (/) //2 (х — /)] dt, (IV .94)
—со
где
А/ /И- ' F [e2|S|t - 2L (| s | + s)l eto - 1 - to + 2sL ...
i 7 e's* — 1 — to
(IV.95,
Из равенств (IV.88), (IV.92) и (IV.94) получим решение системы
(IV.84)
gi ix) = ] [Рг (О W, (x-i)+pT{f)W2 (х -t) + p2 (I) W, {x -() +
+ p~jr)Wt(x-l))dt;	([V96)
g'*{x)= ]	KU'
+ Рг @ Wj. (x-t)+ p2 (t) W2 (x - t)] dt.
Здесь
^	(IV.97)
133

По известным функциям g{ (x) и g4 (х) можно определить комп-
комплексные потенциалы напряжений Ф (г) и V (г) A.147), т. е. найти
полное решение задачи.
Система криволинейных трещин в упругой полосе. Пусть в
бесконечной плоскости имеется N + 2 разрезов Ln (n =0,1, ...
..., N + 1), отнесенных к локальным системам координат хп0пуп
(см. рис. 7). Предположим, что контуры Lo и Lyv+i представляют
•собой действительные оси О0х0 и On+\Xn+\, параллельные оси Ох
{ot0 — ajv-f-i = 0) и удаленные от нее на одинаковое расстояние
L (го = iL, z%+{ = — *?). Другие разрезы Ln (п = 1, 2, ..., АО
находятся в полосе | у\ < L, —сю < д; <С оо. На берегах разрезов
действует самоуравиовешенная нагрузка
., /г - 0, 1, ... , N + 1, (IV.98)
причем будем считать р0 (х0) = рм+\ (xn+i) =0,'что не уменьшает
общности решения задачи.
Система интегральных уравнений A.152) рассматриваемой за-
задачи в данном случае будет иметь вид
\ [i?rr
r gw-н @ /Со.лч-1
N
(
\ \ gV~
x) -f-
-X)-
g'w
) Lo,k
f*o<
(t),
t)L
x) dtt
N+lM
(t-
.1. I
-x)\dt ¦¦
|*|<o<
(IV
x)} dt =
.99)
dtk + gk (tk) Ln+ia (tk> x) dtk], .
|x|<oo;	(IV. 100)
)] J \gk(tk)Knk(tk, tn)dtk+gk(tk)Lnk(tkt tn)dtk] =npn(tn),
tn?Ln (л= 1, 2, ,.. , N).	(IV-101)
Здесь ядра Knh (tk, ln) и Lnk (tk, Сдаются соотношениями A.151),
в частности
у
/Со.лн-1 (х) — Kn+uo(х) = 3, ,ri ;
+	(IV. 102)
134

Воспользовавшись решением (IV.96), исключим из системы
N 4- 2 интегральных уравнений (IV.99) — (IV.101) две неизвест-
неизвестные go (t) и g'N+i (/). Тогда придем к системе N сингулярных инте-
интегральных уравнений
{tk, t'n) dtk + gk (tk) Snk (tk, t'n) dtk] = nPn (*,',),
t'nCLn (л=1, 2,..., N).	(IV. 103)
Здесь
k, tn)
nk{tkt tt\)\	/jy
* tn) = Lnk (tkf tn) + Snk (tk% tn)-
Составляющие rnk (tk> tn) и snk (tk, in) после довольно громозд-
громоздких преобразований (см. [160], с. 202) можно представить в виде
r«k(th, t'n) =^[sh2sLHnk(Tn, Tk, s, an, ak) —
-2sLGnk(Tn, Tk, s, an, ak)\	**	;
Sh ZSL-4SL	(IV. 105)
oo
S' // / i ——. l ГоГ1 >/C/ (j I /^	/^	С П	. s~f 1 _—.
tlk \^Л> 'I/ 	 \ L'3 *'^*-4^Jnk V If •* yfe» «f *^/j>	k)
0
-2sLHnk(T'n, fk, s, о„, -^)]sh225Lrfl46,L3 . :
где
//n* (^. П. s, а„, afc) = ^{sin(T; -fA) s - sin (Г, - Tn) s x
X {2Ls + e-2(a« [ 1 — 2Ls + s2 (Tft — fk) (fn — T'n) + 4L2s2]} +
X cos (Tk - Tn) s + e-2Ls [sin (Tk - Tn) s + eT21^ sin (fk - fn) s]};
(IV. 106)
Gnk {T'n, Tk, s, a», ak) = -^- {- [ 1 + e-2'a« (- 1 + 2Ls)\ X
X sin (fk — fn)s — 2Ls sin (Г, - T'n) s - s (fk - Tk) x
X cos (Tk — T'n) s — e~2ian (Tn — Г,',) s cos G\ — T,',) s +
+ e~2Ls [sin (Tk — Г,',) s - e-2ta« sin (П — 7s;,) s H -
+ e-2/a« (f; -T'n- Tk + fk) scos(Tk - T'n) s)).
135

Итак, задача об определении напряжений в упругой полосе,
ослабленной системой криволинейных трещин, сведена к системе
сингулярных интегральных уравнений (IV. 103), ядра которой
даются соотношениями (IV.104), (IV.105) и A.151). Заметим, что
ядра rnh(tky tn) и snk(tki tn) в случае внутренних трещин явля-
являются регулярными. Они определяют влияние свободных граней
полосы на напряженное состояние около трещин. Структура инте-
интегральных уравнений (IV.103) такая же, как и уравнений A.150)
для системы разрезов в бесконечной плоскости.
5. Упругая полоса с прямолинейными трещинами
Считая, что контуры Ln являются отрезками \хп\ ^ 1п осей Опхп
(п = 1, 2, ..., Л/), из (IV.103) приходим к интегральным уравне-
уравнениям для системы произвольно ориентированных прямолинейных
трещин в полосе 1160, 2041. Ниже
остановимся на случаях одной
внутренней трешдаы и одного или
двух краевых разрезов.
Произвольно ориентированная
внутренняя трещина. Рассмот-
[X рим случай прямолинейной тре-
трещины, когда ее центр размещен на
средней линии полосы. Будем
считать, что трещина находится на
отрезке |*J ^ / действительной
оси Огхг, ее центр совпадает с на-
на*>
М
-L
Рис. 36.
гг,	р
чалом системы координат хОу (z? ¦= 0), угол ориентации а (аг = а),
к берегам трещины приложена самоуравновешенная нагрузка
рг (Xjj, а грани полосы свободны от напряжений (рис. 36). В без-
безразмерных переменных I = tLll и ц =хх11 интегральное уравнение
задачи приобретает вид
1	1
—1
—1
Здесь
(IV. 107)
S, г,, t)-2tGx(S, t,,
= f[sh2TG,(|, ti, т)-2тЯ2(?, tj, t)]
dx
(IV. 108)
sh2 2т — 4x2
136

где
i(?t Л» т) == -у е'а {sin 2 + 2т sin z + 2M|Tsinacosz
4. e~2i<xA — 2т + 4Х2т2?г) sin2а + 4т2) sinz —
— 2йт Ц — 2т (| + tj)] е~2/а sin а cos 7+ e~2x(sin у + е~2/а sin у)};
; sin a cost/ + 2iA,irte 2lasinacost/— e 2т[A—e 2<a)sinz-(-
+ tO e~2'a sin a cos 5]};	(IV. 109)
#2 (g, т], т) = -тр ^fa {— sin у — 2т sin у — 2й,т| sin a cos у —
— е~2/а A — 2т — 4ХН%ц sin2 а + 4т2) sin ~y +
+ 2т (т) — Q] е"г'а sin а со&у — е"т (sin 2 + е~2/а sin г));
— 2йт^ sin a cos 2 + 2/Ятт]е~2/а sin a cos г +
4- е~2т [A — e~2ia) sin у — 2iXi (т| — Q e~2/a sin a cosy]};
2 = (т,е'а — le~ia) Ят; у=*Кх(? — г\) е/а; Я. = //L.
При малых значениях параметра % (при малой относительной
длине трещины) ядра R (?, г)) и S (g, tj) представляются рядами по
четным степеням X
с? ^-х2?Мг<-^р, (iv.uo)
где a2ftiV = b2fe,v =0 (& = 0, 1, 2, ...). Остальные коэффициенты
apv и fcpV при р ^ 3 после вычисления несобственных интегралов,
можно представить в виде
Й11 = — 0,1368 (e2to + e~2ia) — 1,5352;
а31 = — 0,1099е4/а + 0,1889е-4/а + 1,9332е~2'а +
+ 0,1552е2/а+ 1,8276;
а32 = _ 0,0036 (е41а + е~4'а) — 0,4539 (e2ia + e~2ta) — 3,0799;
а33 = 0,0630e4ia— О.ОЗббе-^-Ь 0,6444е2/а + 0,0517е-2/а + 0,6092;
Ьп = 0,1828е~4'а — 0,2735e~2ta — 0,3843; (IV. 111)
ftai = 0,0057е-6'а — 0,1408е-ш + 0,1552(е2'а -|- Зе~2''а) + 0,6092;

b32 = 0,Ю78е~6/а — 0,0146e~4'a — 0,2268e~2/a +
+ 0,1135e2'a — 1,0749;
&33 = 0,0019e~6/a — 0,0469e~4'"a + 0,0517 (e2ia + 3e~2/a) -f 0,2031.
Коэффициенты интенсивности напряжений для любой нагрузки
Р (т|) могут быть определены по формуле A1.13) (в данном случае
со' (т)) = /). При действии на берегах трещины постоянных нормаль-
нормальной ст и касательной т нагрузок, т.е. Р (ц) =—1(о — i%) =
= const, из выражения A1.13) будем иметь
k1 = ]/l[o[l + X2@,9597 + 0,2735 cos2a — 0,0914 cos4a) +
+ Я4 @,0624 — 0,5284 cos 2a — 0,1242 cos 4a — 0,0146 cos 6a)] -f
+ % [X2 @,1368 sin 2a — 0,0914 sin 4a) + A,4 @,3033 sin 2a —
— 0,0314 sin 4a — 0,0146 sin 6a)]} + О (Я6); (Ц/ И2)
k2 = yi {Tfl + X2@,5754 + 0,0914 cos4a) +
+ №(— 0,1081 — 0,5629 cos 2a + 0,0134 cos 4a + 0,0146 cos 6a)] +
+ о [X2 @,1368 sin 2a — 0,0914 sin 4a) +
+ ^4 (— 0,H12 sin 2a — 0,1062 sin 4a — 0,0146 sin 6a)]} + О (^б).
Положив здесь
a = -?-(!_ cos 2a); т =	1-sin 2a,	(IV. 113)
получим коэффициенты интенсивности напряжений для случая,
когда полоса с произвольно ориентированной трещиной растяги-
растягивается на бесконечности усилиями р.
Решение (IV. 112) получено в работах [160, 204], где дан анализ
предельного равновесия полосы с трещиной. Распределение напря-
напряжений около внутреннего произвольно ориентированного разреза
в полосе исследовалось также путем численного решения интеграль-
интегральных уравнений [313, 359, 412]. Полоса с продольными и попереч-
поперечными трещинами изучалась многими авторами (см. обзор в [160], а
также работы [120, 260, 292, 294, 305, 350, 351, 362]).
Полоса с одной краевой трещиной [160]. Пусть в бесконечной
упругой полосе толщиной L имеется поперечная краевая трещина
длиной /. Будем считать, что к берегам трещины приложена нор-
нормальная нагрузка
0*=<*i(*i);' <4 = °» 0<хх<1,	(IV. 114)
где хг — координата по длине трещины с началом на грани поло-
полосы. Тогда интегральное уравнение задачи в безразмерных перемен-
переменных | = tjl и 11 = xjl принимает вид
. (IV.115)
138

Здесь
v' (tj) = lv\ CO; v\{x1) = Reg\(x1); о ft) = Ц (л-,);
shr
где функции, i7! (?, tj, x) и f 2 (|, t], x) даются соотношениями
F, (g, n, т) = _*_ {2 (- 1 + 2x - x2 - Х2х2?Л - e~2t) sh [Xx (g + t,)] +
+ Хт [- T) - 3g + 2t (g + ti) - e-« (g + T))) ch [kx (\ + ц)] +
+ Хт [ti - 3g + 2т (Б - ti) - e~24i - лI ch [Kx (| -1|I +
+ 2 (— 1 + 2т — x2 + XVgri — e-2^) sh [Xx (g — т))]};
(IV. 117)
^2 (I. Л, x) - ¦— {2 (- 1 + 2x - x2 - XVgr] + e-2*) sh [Xx (g +1,)] +
+ 2 A — 2x + x2 — X2x2^ — e-2*) sh [Хт (g — r))] +
+ ^T [_ч _ 3g + 2t (g + n) + e-*(I + Tj)]"ch [Хт (g + 4)] +
+ Xx [- ti + 3g + 2x(tj -g) + er*(ti —g)] ch [Xx(g —tj)]}.
Ядро /С (g, т)) получено путем предельного перехода из интег-
интегрального уравнения (IV. 107) для внутренней трещины. Слагае-
Слагаемое — К @, г]) обеспечивает равенство нулю полного ядра в точке
? .= 0, в которой трещина выходит на край полосы.
В случае внутренних разрезов, контуры Ln которых не пересе-
пересекают границы тела, ядра интегральных представлений комплекс-
комплексных потенциалов напряжений Ф (z) и 4я (г) (и интегральных урав-
уравнений) вследствие выполнения условий
J ?»(*»)#„ = 0,	(IV. 118)
обеспечивающих однозначность смещений при обходе каждого
контура Lny определяются с точностью до любой функции / (z).
Если разрезы выходят на край области, условия (IV. 118) не выпол-
выполняются, поскольку меняется связность области. Пусть разрез Lt
выходит на край области. Тогда условие (IV. 118) при п = i сле-
следует отбросить, а соответствующие ядра в Ф (г) и х? (z) необходимо
уточнить. Представим Ф (z) и х? (z) в виде
Ф {z) = J [Mt (th z) g\ (tt) dtt + Nt (/„ z) J^7) dtt] + Ф,: (г);
Li			(IV. 119)
? B) - J [Kt (tt9 z) g't (tt) dtt + U (th z) g- (tt) dtt\ + % (г),
139

где слагаемые Ф* (z) и ?* (z) не зависят от функции g] (tt). Из
анализа структуры комплексных потенциалов в случае краевых
разрезов следует [205]
Mt (IT, z) = Nt (IT, z) = Kt (/Г, z) = L, (/Г, г) = О, (IV. 120).
где /t-==/i —начало разреза Li% расположенного на границе об-
области. Действительно, исходя из соотношений (IV. 119), можно за-
заключить, что потенциал
Ф (*) = ?/('Л т* (/Г, z) + gi(ir)ni(lF, z) —
th z) + gi {U) dnt (th z)] + ф* (г) (IV. 121)
ограничен в начале разреза Lt только при условии равенства нулю
в точке ff= /Г функций
mt{th z)=jAf,(*,, z)dz\ nt(ti9 z)= ^Nt(th z)dzt (IV.122)
как это следует из ядер М( (tit z) и Nt (tif z) (см., например, форму-
формулы (IV.13)). Аналогичное заключение можно сделать и для функции
\р (z). Таким образом, для ограниченности потенциалов ср (z) и
\р (z) в вершине разреза, находящегося на границе области, необ-
необходимо выполнение равенств (IV.120). Соотношения (IV.120) и
аналогичные равенства для ядер интегральных уравнений служат
в качестве дополнительных условий для однозначного определе-
определения ядер потенциалов Ф (г), W (z) и интегральных уравнений в слу-
случае краевых трещин Lt. К условиям (IV. 120) можно прийти также
и другим путем (см. параграф 4 главы V). Легко убедиться, что
равенство (IV. 120) выполнялось во всех рассмотренных случаях
краевых трещин в полуплоскости.
Интегральное уравнение (IV. 115) решено численно аналогично
случаю краевой трещины в полуплоскости (см. параграф 3 гла-
главы IV) для двух видов нагрузки: полоса растягивается на бесконеч-
бесконечности центральной силой N или изгибается моментом М, т. е.
а, (хх) - — NIL или ах (хг) - — 6М (L — 2xl)/L\ (IV. 123)
Числовые значения величин кхищП, и ^1L2/6M]/7 для различных
отношений 1/L = X приведены ниже.
I	0	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50
* -	1,121	1,189	1,367	1,659	2,109	2,820
klL*r-	1,121	1,047	1,055	1,123	1,259	1,494
ему/
0,60	0,70	0,80	0,90	0,95
4,029	6,340	13,84	33,92	90,66
,~	1,911	2,717	5,364	12,19	31,26
6М VI
140

Эти значения хорошо согласуются с результатами работ [295, 353].
Имеется небольшая разница при А,, близких к единице, что можно
объяснить трудностью решения интегрального уравнения при
таких X.
Две коллинеарные краевые трещины [160]. Рассмотрим полосу
щириной 2L с двумя симметрично расположенными краевыми тре-
трещинами длиной /, выходящими под прямым углом на грани поло-
полосы. Если считать, что нагрузка на берегах трещин симметрична
относительно средней линии полосы, то задача снова приводится
к одному интегральному уравнению. Пусть к берегам трещины
приложена нормальная нагрузка ах (хг). Тогда это интегральное
уравнение в переменных ? = txll и r\ = x'Jl можно представить
в виде
J	.	(IV.124)
Здесь
= //L; (IV.125)
х;	(IV. 126)
функции F1(l, т|, т) и ^2 (^» Л» т) Даются соотношениями (IV. 117).
При растяжении полосы на бесконечности силами N, т. е. при
ог (хг) = — а = — NI2L = const, получено численное решение ин-
интегрального уравнения (IV. 124). Ниже приведены значения коэф-
коэффициента интенсивности kv отнесенные к а)/7, при различных
. X = IIL:
0
1,121
0,60
1,236
0,
1.
10
116
0,70
1,353
0,20
1,112
0,80
1,574
0
1
,30
,115
0,40
1,132
0,90
2,117
0,50
1,169
0,95
2,918
Эти результаты хорошо согласуются с известными решениями
[298, 353]. Несколько больше они отличаются от численных значе-
значений коэффициента интенсивности, полученных в работе [332].
Полоса с краевыми трещинами изучалась многими исследователя-
исследователями [160]. В работах [62, 170, 288, 301, 302, 312, 384] продолжалось
рассмотрение этих задач для более общих видов нагрузки.

Г лав а V
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ М1ЮГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
С ОТВЕРСТИЯМИ И РАЗРЕЗАМИ
1. Интегральные уравнения основных
граничных задач для многосвязной области
В предыдущей главе получены сингулярные интегральные уравне-
уравнения основных задач для полуплоскости и полосы при рассмотрении
в неограниченной плоскости бесконечных прямолинейных разрезов,
при переходе через которые остаются непрерывными напряжения
(первая основная задача) или смещения (вторая основная задача).
Ниже подобным образом рассмотрим граничные задачи для много-
связной области, считая, что в бесконечной плоскости имеются зам-
замкнутые криволинейные разрезы.
Первая основная задача. Пусть в бесконечной плоскости, отне-
отнесенной к декартовой системе координат хОу, имеется замкнутый
гладкий криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость
на две области: внутреннюю 5+ и внешнюю ST. Положительным
направлением обхода контура L будем считать направление., при
котором область 5+ остается слева. Сделаем аналитическое продол^
жение из S+ в S~ таким образом, чтобы при переходе через контур
L напряжения оставались непрерывными, а смещения получали
скачок g (/). Тогда комплексные потенциалы Ф (г) и W (г), согласно
формулам A.71) и A.75), принимают вид
W G\ - J_ [ Г ?Jt)dt	Fg>(t)dt]
1 KZ)~~ 2я J [ t — z	(f — zJ J •
Условие однозначности смещений при обходе контура L (в облас-
области ST) приводит к равенству
'(t)dt = O.	(V.2)
Легко убедиться, что функции (V.1) определяют такое напряжен-
напряженное состояние (как в органиченной области S+, так и в бесконечной
области S"~), что главный вектор и главный момент усилий, прило-
приложенных к контуру L слева или справа, равны нулю. Следовательно,
представление (V.1) можно использовать для ограниченной области
142

S~*~ с произвольно нагруженной границей L, поскольку в этом слу-
случае должны выполняться условия равновесия, обеспечивающие ра-
равенство нулю главного вектора и главного момента внешних уси-
усилий, приложенных к контуру L. Однако для бесконечной области
S~~ в представлении (V.1) следует прибавить некоторые слагаемые,,
поскольку приложенная к контуру L нагрузка в общем случае мо-
может быть несамоуравновешенной.
Считая, что главный вектор внешних усилий, приложенных к
контуру ' L, равен нулю (что всегда можно добиться введением в
Ф (z) и У (z) известных добавок), будем искать комплексные потен-
потенциалы Ф (z) и ? (z) для области S~~ в виде
_!-Г
2л ,) t — z '
L 		(V.3)
2ni (г — г0J

i Г.Г Щп h'(t)dt]
2я .)[ t~z	(t — if J'
I
где М — главный момент усилий, приложенных.к L; z0 — произ-
произвольная точка в области S+.
Положим
ч
[tg'{t)dt-tg'(t)dt].	(V.4)
Величину М можно выразить через искомую функцию и другим
образом. Однако выбор этой зависимости в форме (V.4) позволяет
установить соответствие между функциями Ф (г), Чг (z), выражаю-
выражающимися в областях 5+ и S~ формулами (V.1) и (V.3), и известными
интегральными представлениями комплексных потенциалов напря-
напряжений Шермана — Лауричеллы. Если положить
то для функций ' Ф (г) и XY (z) получим выражения:
для внутренней области 5+
41W- 2го J t — z '
L	(V.6>
to'
для внешней области S~
143

2m
.<-z (/-г)» J'
(V.7)
При получении соотношений (V.6) и (V.7) использовались фор-
формулы A.57) и A.58), а также условие
Рис. 37.
dt = 0,
(V.8)
следующее из равенства (V.2).
Представления (V.6) и (V.7)
совпадают1 с представлениями
Шермана — Лауричеллы [264]
(см. также [138, 168,251]). В ра-
работе [264] в выражении для q> (г)
(или Ф (z)) содержатся дополни-
дополнительные слагаемые, однако позд-
позднее Д. И. Шерманом [266] было
показано, что в них нет особой
необходимости.
Произведя в соотношениях
(V.6) и (V.7) замену
(V.9)
•получим формулы (V.1) и (V.3). Таким образом, между интеграль-
интегральными представлениями (V.1) и (V.3), в которых все величины имеют
четкую физическую интерпретацию, и известными представлениями
Шермана — Лауричеллы установлено взаимное соответствие: пе-
переход от одних представлений к другим осуществляется заменой
плотностей потенциалов по формуле (V.5) или (V.9).
Удовлетворив с помощью соотношений (V.1), (V.3) или (V.6),
(V.7) граничные условия на контуре L при заданной на нем нагруз-
нагрузке, придем к сингулярным или регулярным интегральным уравне-
уравнениям первой основной задачи для внутренней и внешней областей,
ограниченных контуром L. Проведем это в общем случае многосвяз-
многосвязной области.
Пусть область S, занятая телом, ограничена одним или несколь-
несколькими замкнутыми контурами Lv L2, ..., LM, Lo, где первые М
контуров расположены вне друг друга, а последний охватывает
все остальные. Конечные области, ограниченные контурами Lnt
1 Противоположные знаки перед интегралами в представлениях (V.6) и (V.7)
объясняются тем, что в обоих случаях внутренней и внешней областей контур L
обходится в направлении, когда область 5'^" остается слева.
144

будем обозначать S% (n == 1, 2, ..., М), а бесконечную область —
внешность контура Lo — через S^~. Каждый контур Ln (п = О, 1, ...
..., М) связан с локальной системой координат хп0пуп (система
x0OQy0 совпадает с хОу), ось Опхп которой образует с осью Ох
угол ап. Точки Оп определяются в системе хОу комплексными ко-
координатами z?u причем z°n ? S%. Положительным направлением
обхода контуров Ln (п = 1, ..., М) и Lo будем считать то, при ко-
котором область S остается слева (рис. 37).
Рассмотрим первую основную задачу, когда на контурах Ln
заданы напряжения
Un(tn) + iTn(tn) = Pn(tn), tneLnt /1 = 0, 1, ..., М. (V.10)
Пусть Хп и Yn — проекции на оси Ох и Оу главных векторов уси-
усилий, приложенных к контурам Ln (п = 1, ..., М). Тогда, согласно
равенствам A.19), комплексные потенциалы в области 5 можно
представить в виде
k=\
где функции Ф (z) и Ч; (z) голоморфны в области S.
Используя формулы A.11) и A.26), граничные условия (V.10)
запишем в форме
Ф (Тп) + ®WJ+ e-2ian J*n- [ТпФ7^)
= Pn(U. tn?Ln9 /г = 0, 1, ..., М.
Здесь
Рп (U = Р'п (Q + -w^-r J {2 Re Ц±2
_ е"-2'а« А_ Г Tn(Xk~iYk) х (Xk + iYk)
dtn I	(T 	 7^\2	T1 	 ^0
(V.13)
Следовательно, задача для произвольно заданной нагрузки сведена
к случаю, когда на границе области действуют усилия
Nn(tn) + iTn(tn) = Pn(tn), tn?Lm /i = 0f 1, ..., М, (V.I4)
главные векторы которых на каждом контуре Ln в отдельности рав-
равны нулю, т. е.
10 1-685	•	145

Здесь учтено, что для конечной многосвязной области, т. е. при на-
наличии контура Lo, главный вектор суммарных усилий, действую-
действующих на всех контурах Ln (п = О, 1, ..., М), равен нулю. Кроме
того, функции рп (tn) должны удовлетворять условию
которое обеспечивает равенство нулю главного момента суммарных
усилий.
Решение граничной задачи (V.14) ищем в виде
=?]]	Tk-
W (?) ,- l V Мк -4-
fe)e^- fkg'k(tk)e'<*k
^-г dtk—«Т=^-
где
Mk-i)Wkgk(h)e kdtk-Tkgk(tk)e
Подставив потенциалы (V.17) в граничные условия (V.14) или
(V.12), получим систему М + 1 сингулярных интегральных урав-
уравнений
м
IKnk ftk, Qgk (tk) dtk + Lnk (tk, tn) 2foj dfk)
(V.19)
для определения М + 1 неизвестных функций gk (tk) (k =0, 1, ...
..., M). Здесь ядра Knk D» Q и Lnk (tk, tn) определяются по фор-
формулам A.151). Будем считать, что заданная нагрузка рп (tn) и иско-
искомые функции gn (ttl) удовлетворяют на Ln условию Н.
Преобразуем интегральные уравнения (V.19), прибавив к ле-
левым частям операторы вида
1л/Г	Ht	И$
-77-е " + ап —7Г »	(V.20)
146

где sn—дуговая абсцисса, соответствующая точке in на Ln\
J g'n (tn) dtni n = 0, 1, ... , M,
L
причем точку О (или 2=4=0) будем считать лежащей в области
S. Заметим, что при Л1Л =аЛ =0 (й =0, 1, ..., М) для существо-
существования решения системы уравнений (V.19) необходимо выполнение
условия равенства нулю главного вектора и главного момента внеш-
внешних усилий на каждом контуре Lk в отдельности, поскольку одно-
однородные союзные к (V.19) уравнения имеют нетривиальные решения
ф1/г (/') ^С =Сг + iC2 = const и ф2* D) = Гк (к =0,1, ..., М)
(см. [137], с. 378). Выбор Mk и ak в виде (V.18) и (V.21) (см. также
формулу (V.4)) обеспечивает, как будет показано, безусловную
разрешимость системы (V.19) с прибавленными операторами (V.20),
т, е. соответствующие союзные однородные уравнения имеют толь-
только тривиальное решение. При выполнении соотношений (V.I5) и.
(V.16) имеют место условия
М0 = 0; я„ = 0, п-0, 1, ..., М,	(V.22).
которые обеспечивают соответственно равенство нулю поворота в
точке О и однозначность смещений при обходе контуров Ln. Дейст-
Действительно, после прибавления операторов (V.20) уравнения (V.19);
могут быть представлены в виде
tn?Ln9 n-0, 1, ...,М. (V.23)
Проинтегрировав здесь по Ln и приняв во внимание равенства
(V.15) и то обстоятельство, что функции q> (z) и ty (г) однозначны,
получим ап = 0. Умножив (V.23) на Тп ёап и проинтегрировав по
Lni а затем сложив все полученные равенства, найдем
2 j [ЗД G1;) - Tndcp (Тп)) + Мо = 2 е/а« J Г^я (« Л^ (V.24>
Здесь учтено, что функция i|) (z) регулярна в области S. На основа-
основании соотношений (V.16) и (V.24) заключаем, что Мо == 0.
Таким образом, всякое решение системы уравнений (V.23), если
таковое существует, удовлетворяет условиям (V.22), и, следователь-
следовательно, первоначальной системе интегральных уравнений (V.19). Заме-
Заметим, что комплексные потенциалы ф (z) и г|) (г) (q>' (z) = ф (г),
10*	147

я|/ (-г) = ? (z)) на основании соотношений (V.17) и (V.22) могут
быть представлены в виде
м
fe=l
Докажем, что система уравнений (V.23) всегда разрешима.
Предположим, как обычно [138, 168, 251, 264], что имеется нетри-
нетривиальное решение gn (tn) однородной системы уравнений (V.23),
которое соответствует решению первой основной задачи теории
упругости при нулевой внешней нагрузке (рп (tn) = О, п = 0, 1, ...
..., М). Всем величинам, соответствующим этому решению, будем
приписывать верхний или нижний индекс — нуль. Из равенств
(V.23) следует, что
Фо (Тп) + Т'пФ0(Т'п) + МГп) - С°, ? е Lw	(V.26)
так как а°п =0и М% =0, поскольку, очевидно, условия (V.15)
и (V.16) удовлетворены.
На основании теоремы единственности
Фо (г) = iyz + р; % (г) = - р"; С°п = 0,	(V.27)
где у —действительная, а Р — комплексная постоянные. Из фор-
формул (V.25) и (V.27) получаем соотношения
(V.28)
-5Г
k
которые имеют место при выполнении условий ап = 0 (п =0, 1,
..., УИ). Введем обозначения
*• (Тп) = '" [^ (Q е-'а» - Т^Т (/я)] - -Jg- J] \ + p. (V.29)
148

Тогда равенства (V.28) можно переписать таким образом:
dtn - 0; |j^^L^n = O,2GS. (V.30)
Из свойств интеграла типа Коши (см. параграф 2 главы I) следует,
что ф* (Tk) и if* (Tk) представляют собой граничные значения
функций, голоморфных в областях S? и SiT, причем ф* (оо) ~
= г|)*(оо) =0.
Подставив функции gl (tk) из равенств (V.29) и (V.21) и исполь-
использовав формулы (V.30), а также условие УИо = 0, получаем 7=0.
Исключая далее из (V.29) функцию g% (tk), находим
гпФ;
* Ml
Умножая обе части этого равенства на elakdtk и интегрируя по
каждому контуру Lky имеем
{
4
Ml = 0.	(V.32)
Отсюда следует, что
Mj = O.	(V.33)
Поэтому
Ф* (Гп) + 7>р ЛГП) + Ц), (Тп) - 0,
/„6L», й = 0,1	М.	(V.34)
Следовательно, функции ф* (г) и я|)* (z) решают первую основ-
основную задачу для областей S^ и So*. По теореме единственности для
области 5^" и в силу условия ф* (оо) = \р^ (сю) = 0 получаем
ф^ (z) =% (z) = 0 в 5"", откуда C =0. Из (V.29) находим, что
go (to) =0, to? Lo.
В силу теоремы единственности для областей 5^" (п = 1, 2, ...
..., М) имеем
ф*B) = ^ + р„; ^*w =—ft,, «est (v.35)
откуда на основании формул (V.29) следует, что
?» (У е^ == Т„Г„ - фЯ1 /я 6 Ln, n = 1 f 2, ... , М. (V.36>
Тогда, принимая во внимание (V.18) и (V.33), получаем, что все
у„ = 0. Поэтому
Snitn) - 0, /яе1Я1 п = 1, 2, ... , М.	(V.37)
149>

Таким образом, однородные уравнения, соответствующие урав-
уравнениям (V. 23), не имеют решений, отличных от нулевого. Следова-
Следовательно, система (V.23) всегда имеет одно и только одно решение.
При выполнении условий (V.15) и (V.16) величины ап и Мо равны
нулю, поэтому решение системы (V.23) совпадает с решением исход-
исходной системы уравнений (V.19). Значит, система (V.19) при выполне-
выполнении условий (V/15) и (V.16) имеет единственное решение.
Вторая основная задача. Пусть бесконечная плоскость разби-
разбивается гладким замкнутым контуром L на две области S+ и S~~.
Сделаем аналитическое продолжение из 5+ в S~" таким образом,
чтобы при переходе через контур L смещения остались непрерывны-
непрерывными, а напряжения получили скачок q (t). Тогда комплексные по-
потенциалы Ф (г) и W (г), согласно выражениям A.71) и A.75), имеют
©ИД
_± _	(V.38)
шМ_	L Г Г w(о д tr(t)dt ]
к > ~ 2л .) L t~z ~r (t — zf J'
где
г (t) = _2^@/(l + *).	(V.39)
Смещения, соответствующие функциям Ф (г) и ? (z), будут одно-
однозначны в S~\ Предположим, что главный вектор усилий, дейст-
действующих на контур L слева, равен нулю. Тогда выполняется равен-
равенство
j	.	(V.40)
Произведя в формулах (V.38) замену, подобную (V.5), можно
получить и в случае второй основной задачи интегральные пред-
представления комплексных потенциалов типа Шермана — Лауричеллы
[263].
Рассмотрим вторую основную задачу для многосвязной области
S, ограниченной контурами Lo, Lv ..., Lm (см. рис. 37), на которых
заданы производные от смещений:
2G ~kr ("» + ivn) - U* (W. tn e Lnt п = 0, 1,, ... , М. (V.41)
Будем считать известными главные векторы усилий, приложенных
к каждому контуру Ln, с проекциями Хп и Yn на оси Ох и Оу.
Тогда комплексные потенциалы Ф* (г) и ?^ (г) в области S можно
представить в виде (V. 11), где голоморфные в S функции Ф (z) и
Чг (г) удовлетворяют граничным условиям
хФ (Т„) - Щ1\) - е-2<а« -^2. [Тп WTfn) + ЩГп)\ =
= /«(/„), ^rt (? Ln, п = 0, 1, .. . , М.	(V.42)
150

Здесь
fn (t) = fF (t)+ !	v» \K (xk + Wk)
Г»»» rf/« Г7^" (** - ^fc) . ^ ('X/e + ^/e) I] .
функции /n (tn) в силу однозначности смещений в области «S удов-
удовлетворяют условиям
J /ЛиЛ„ = 0, п=»0, 1	М.	(V.44)
Согласно (V.38) решение граничной задачи (V.42) будем искать
в виде
где
^(« = -2^(^/A+^).	(V.46)
Удовлетворив условия (V.42), получим систему М + 1 сингу-
сингулярных интегральных уравнений
] ^	-^D, tn)rk(tk)dtk\~
- я/„ (/;>, /; 6 Ln> /г = 0, 1, ... , М,	(V.47)
для определения М + 1 неизвестных функций rk (ik) (k = 0, 1, ...
..., М). Здесь ядра Knk (tk, tn) и Ln^ (/Л, 4) даются соотношениями
A.151). Будем считать, что функции fn (tn) и rn (tn) принадлежат
классу Н.
Решение системы (V.47) существует при выполнении условий
. (V.44). Чтобы получить безусловную разрешимость уравнений
(V.47), прибавим к ним операторы вида
п(УЯЛ4-.	(V.48)
n
которые равны нулю при нулевых главных векторах г усилий,
приложенных к контурам Ln (см. формулу (V.40)).
Доказательство разрешимости системы уравнений (V.47) (с при-
прибавленными к ним операторами (V.48)) можно построить аналогич-
аналогично приведенному выше случаю первой основной задачи.
1 Заметим, что к такому случаю вторая основная задача свелась с помощью
представления потенциалов Ф* (г) и ?*(г) в виде (V.11).
151

Интегральные представления комплексных потенциалов напря-
напряжений и интегральные уравнения остаются справедливыми и для
бесконечной плоскости с отверстиями, когда контур Lo отсутствует.
При этом, очевидно, в соотношениях (V.20), (V.23) и (V.24) следует
положить Мо = 0. Отметим, что при использовании результатов,
полученных в двух предыдущих главах, легко могут быть построе-
построены аналогичные сингулярные интегральные уравнения для различ-
различных областей с отверстиями (периодические задачи, полуплоскость
и полоса с отверстиями).
Обзор решений основных граничных задач для многосвязных
областей методами интегральных уравнений содержится в работах
1102, 167, 2651. Предложенный в данной работе (см. также [211])
подход к решению таких задач впервые был применен Ларднером
1365] при рассмотрении односвязиой области, нагруженной на гра-
границе самоуравновешенными усилиями. При этом как для внутрен-
внутренней, так и для внешней области использовались представления типа
(V.1) (без дополнительных слагаемых). Разрешимость полученного
сингулярного интегрального уравнения не исследовалась. Отме-
Отметим также работы 1421—423], в которых построены сингулярные
интегральные уравнения для многосвязной области S+, когда ис-
использовались различные аналитические продолжения из 5+ в
область S~\ дополняющей S+ до бесконечной плоскости.
2. Многосвязная область с отверстиями и трещинами
На основании построенных выше интегральных представлений
комплексных потенциалов напряжений и интегральных уравнений
для бесконечной плоскости с криволинейными разрезами и много-
многосвязной области с отверстиями могут быть рассмотрены различные
граничные задачи для областей, ослабленных отверстиями и раз-
разрезами.
Первая основная задача. Пусть в области 5, ограниченной замк-
замкнутыми контурами Ln (п = 0, 1, ..., М), имеется N — М криво-
криволинейных разрезов Ln (п = М + 1, ..., N) (см. рис. 37). Каждый
контур Ln (п = 0, 1, ..., N) связан с локальной системой коорди-
координат хп0пуп. На замкнутых контурах и на берегах трещин заданы
усилия
Nn + 1Тп = рп (g, tn?Lny п = 0, 1, ... , М\ (V.49)
N+n + iT* - рп ft,) ± qn (tn), tneLn, n = M+l9 .... , N,	(V.50)
довлетворяющие условиям равновесия
S е'а* $ pi D) dtk + 2 ? е'а* J дк (tk) dtk = 0;	(V.51)
V e'ak \ TkPl (tk) dtk + 2 ? e'«ft j Tkqk (tk) dtk = 0.	(V.52)
I
152

Последние соотношения выражают равенство нулю главного век-
вектора и главного момента внешних усилий, действующих на конту-
контурах Ln(n = 0, 1, ..., N).
Комплексные потенциалы напряжений будем искать в виде
Фц_ 1 ?*»+*» , I N
*'	2тс A-{-х) Zj z	2°	2л
z2
2 [Qfe fa) — Sigfe (<ft) „-tebjr TkQk (/ft)
- )		e ^-=lF
где Хл, Ул — проекции на оси Ох и Or/ внешних усилий, дейст-
действующих на контурах Lk (k = 1, 2, ..., М); ^Л D) ~ О ПРИ ^ =*
= 0, 1, ..., Л4; Qk (tk) = g'k (tk) ~ 2iqk (tk)/ A + к); величины
Л1Л определяются по формуле (V.18).
При удовлетворении граничных условий (V.49) и (V.50) полу-
получим систему N + 1 сингулярных интегральных уравнений [211]»
N
N
И

(tk, tn)Qk(tk)dtk + Lnk(tky in) Qk(tk)dtk
*=0 х п д/	п
+ an6n-^=npn(tn), tn?Ln9 /i = 0, 1, ...,JV	(V.54>
для определения Л^ + 1 неизвестных g? D) (^ = 0, 1, ..., N).
Здесь 6Л = 1 при п = 0, 1, ... , М\ 6„ = 0 при п=М + 1, ..., N;
&kn = 1 + фп — 1) 6*о; величины ап и Мо находятся по фор-
формулам (V.21); функции рп (tn) даются соотношениями(УЛЗ); ядра
Lnk (tk, tn) и Mnk (tky tn) находятся из равенств A.151), а
^ ' '	-^^r-^)- (V-55)
К левым частям уравнений (V.54) прибавлены операторы (V.20)
вместе с условиями
»(W#i. = Of n = M+l9 ...,N,	(V.56)
обеспечивающие разрешимость системы (V.54). Действительно,,
уравнения (V.54) можно представить таким образом, что при п «
153.-

— О, 1, ..., М их левые части совпадут с левыми частями уравне-
уравнений (V.23), а в правые части войдут известные величины и искомые
функции g/t D) (k = М + 1, ..., N). Аналогично при п =
= М + 1» • •, N получим систему A.152), в правую часть которой,
кроме заданных величин, входят также неизвестные функции
.gk (tk) (k = 0, 1, ...,М). Временно считая правые части этих си-
систем известными, заключаем, что при выполнении условий (V.56)
полученные системы уравнений разрешимы при любых правых
частях, принадлежащих классу Н. В случае внутренних разрезов
ядра интегральных уравнений, учитывающие взаимодействие раз-
разрезов и границы области, регулярны. Следовательно, временно
известные правые части рассматриваемых уравнений удовлетворяют
условию //. Отсюда делаем вывод, что система (V.54) при условиях
(V.56) также имеет единственное решение. При выполнении равенств
(V.51) и (V.52) величины (V.20) равны нулю, так что система урав-
уравнений (V.54) совпадает с исходными уравнениями.
Вторая основная задача. Пусть на замкнутых контурах
Ln (п = 0, 1, ..., М) и на берегах разрезов Ln (п = М + 1, ..., N)
в области S (см. рис. 37) заданы производные от смещений
^	:	/i = 0f 1, ...,М; (V.57)
ain	i -\-к
л = М+1, ..., Л^,	' (V.58)
.причем
{ f.n(tn)dtn=O, я = 0,1	 М;
l«	(V.59)
т. е. смещения однозначны в области »S.
Будем считать, что главные векторы усилий, действующих на
каждом контуре Ln (п = 0, 1, ..., iV) в отдельности, задаются
проекциями Хп и Fn на оси Ох и 0^/. Тогда комплексные потенци-
потенциалы напряжений можно представить в виде [211]
Qk itk)^y dtk. (V#60)
2— Z?
2j J L
«-о Lk
M
K	V
2яA + х) L
J_vf \
где gfc (/ft) = 0 при k = 0, 1, ..., M.
154

При удовлетворении граничных условий (V.57) и (V.58) с по-
помощью потенциалов (V.60) получим систему N -Ь 1 сингулярных
интегральных уравнений
J [Knk(tk, tn)Qk{tk)dik-Lnk(tkj tn)Qk(tk)dtk-
in) qk (tk) dtk) + bn J?- = nfn (th)t in G L
dt
m
n = 0, 1, ... f N	(V.61)
для определения N + 1 неизвестных функций qk (tk) (k = 0, 1, ...
..., N). Здесь bn = 0 при n == M + 1, ..., N; остальные величины
bn определяются формулами (V-48); функции fn (tn) даются соот-
соотношениями (V.43); ядра Lnk D» in) и Mflk (tk, tn) находятся из
равенств A.151), a
(V.62)
К левым частям уравнений (V.61) прибавлены операторы (V.48),
что вместе с условиями
J Яп(tn)din = 4"<Х" + iYn)e4*"' n-M+l ..., N, (V.63)
как и в случае первой основной задачи, обеспечивает разрешимость
системы (V.61). При выполнении равенств (V.44) слагаемые (V.48)
равны нулю, поэтому система уравнений (V.61) совпадает с исход-
исходными уравнениями. Заметим, что аналогично системе разрезов в бес-
бесконечной плоскости (см. параграф 5 главы I) могут быть рассмотре-
рассмотрены смешанные задачи, когда на одних контурах (замкнутых или
разомкнутых) заданы напряжения, а на других—смещения. Исполь-
Используя результаты главы III, можно построить интегральные уравне-
уравнения периодических задач, когда в полосе (секторе, параллелограм-
параллелограмме) периодов имеются отверстия и разрезы. Некоторые из таких
задач для двоякопериодической системы отверстий и трещин были
рассмотрены иным путем в работах [123—126].
Отметим также работы, в которых решались задачи теории тре-
трещин для криволинейных (некруговых) областей. Метод сингуляр-
сингулярных интегральных уравнений использовался при определении на-
напряженного состояния около трещин в конечной криволинейной
области [377, 418] или в бесконечной плоскости с эллиптическим
отверстием [16, 60, 95, 154]. В работах [15, 348, 403] решались
задачи о трещинах в эллиптической [15, 348] и полукруглой [4031
пластинах. В случае односвязной области, когда трещины выходят
на край области, широкое применение нашел метод конформ-
конформного, (отображения (см. обзор в работе [160], а также [74]). При
155

решении плоских задач теории трещин используется также метод
граничных интегральных уравнений [11, 97, 375]. При этом разрез
моделируется имеющей некоторое раскрытие узкой щелью. В слу-
случае одного прямолинейного разреза при использовании известной
функции Грина для бесконечной плоскости с трещиной при состав-
составлении граничных интегральных уравнений удается исключить
контур трещины [11, 375].
3. Круговой диск с трещинами
На основе полученных выше результатов записывается система
N + 1 сингулярных интегральных уравнений для конечной кру-
круговой области с N криволинейными разрезами, когда на граничной
окружности заданы напряжения. При использовании решения пер-
первой основной задачи для сплошного кругового диска одна из N +1
неизвестных функций исключается и задача сводится к системе N
сингулярных интегральных уравнений такой же структуры, как
и в случае системы разрезов в бесконечной плоскости. Изучается
также система трещин при наличии циклической симметрии. Анало-
Аналогично может быть рассмотрена задача о криволинейных разрезах
в круговом диске, когда на его крае заданы смещения.
Первая основная задача для круга. Пусть область S представ-
представляет собой круг радиусом R с центром в начале системы координат
хОу. На границе области L (| z | = R) заданы усилия
(V.64)
удовлетворяющие условиям равновесия
[p(f)dt=*O; Re J */?(<) Я = 0.	(V.65)
Интегральное уравнение задачи, согласно системе (V. 19), имеет вид.
J[(^ + 7^)^/(/)^ + ^^rW^] = ^^ tf?L <v-66)
Обозначим
Ш И	<v-67>
Тогда из уравнения (V.66) получим
^] re*- (v.68)
L
С помощью соотношения A.58) находим решение этого уравнения
+1л-4- (v.69.

Равенства (V.67) приводят к соотношениям
Q.	(V.70)
Отсюда следует, что решение уравнения (V.66) существует только
при условиях (V.65). Легко убедиться, что уравнение (V.66) с при-
прибавленными операторами типа (V.20) имеет решение при любой
правой части р (/'). Это решение совпадает с полученным выше
результатом (V.69) лишь при выполнении условий (V.65), причем
Таким образом, здесь наблюдаются те же особенности решения син-
сингулярного интегрального уравнения, что и в общем случае конеч-
конечной многосвязной области (см. параграф 1 настоящей главы).
Комплексные потенциалы напряжений найдем по формулам
<V.l). Для Ф (г) получим выражение
^-"-	(V.72)
Подстановка (V.69) в (V.1) дает значение х? (z), которое не зависит
от 1т А. Следовательно, мнимая часть постоянной А остается
неопределенной; она влияет на жесткое вращение тела как целого.
Действительная часть А находится из первой формулы (V.70).
Положив 1т А равной нулю, для Ф (z) и ? (г) будем иметь
(V.73)
Этот результат совпадает с известным решением (см. [138], с. 450).
Система разрезов в круговом диске. Пусть конечная область
5, ограниченная окружностью Lo радиусом R с центром в начале
системы координат хОу, ослаблена N криволинейными разрезами
Ln (п = 1, 2, ..., N), отнесенными к локальным координатам
хп и Уп (см. рис. 7). На Lo задана нагрузка /?0 (t) (t0 = t, zl — 0,
ao = 0), а на остальных контурах Ln — скачки смещений gn (tn)
и напряжений qn (tn) (n = 1, 2, ..., Af). Комплексные потенциалы
Фг (z) и ?х (г) (V.53) для рассматриваемой задачи имеют вид
(V.74)
Tl W 2я J L t - г	(t — zJ
где функции Ф (г) и 4F (г) даются соотношениями A.147).
157

Удовлетворив с помощью потенциалов (V.74) граничное условие
на контуре Lo, для определения неизвестной функции g'o (t) полу-
получим уравнение (V.66), в котором
Ш<Г1аЬ-Тг	Т Г
Tk—i'	k t' [
iah, _
Tk—f
f \Tk\<R.	(V.75)
Тогда по формулам (V.69), (V.73) и (V.74) найдем [205]
Ф2 (г) = Ф (г) + Фо (г) + 4г ? f {fa* ('*> + 2/(?* ('*)! х
z(TkTk~R*)(zTk-2R*)
(V.76)
f, (z) - T И + T, (г) + -i- V 1 j [Q, (/,) + 2(ft (УI X
- R2) 1 TkeriakdFk
J
1 Tkeriak
J *T4-
где функции Фо (г) и ?0 (г) определяют решение (V.73) для сплош-
сплошного диска при заданной на его границе нагрузке р0 (t). При по-
получении потенциалов (V.76) использовались равенства
Г	N Г
Re I { lpQ @ Л + 2 J; eto* J ГЛ D) Л J - О,
которые выражают условия обращения в нуль главного вектора и
главного момента внешних усилий, действующих на краю диска
Lo и на разрезах Ln (п =* 1, 2, ..., N).
Имея комплексные представления (V.76), из соотношений
A.152) и A.153) найдем сингулярные интегральные уравнения
основных граничных задач для криволинейных разрезов, располо-
расположенных в круговом диске. Для системы произвольно ориентиро-
ориентированных прямолинейных трещин такие уравнения получены в рабо-
158

тах [155, 270]. Отдельно рассматривался также случай диска с
одной произвольно расположенной внутренней трещиной [273].
Круговой диск с центральной трещиной. Пусть в круговом
диске радиусом R, отнесенном к системе координат хОу с началом
в центре диска, на отрезке | х | ^ / оси Ох имеется разрез. Край
диска свободен от нагрузки, на берегах разреза заданы самоуравно-
вешенные усилия рх (х) {qx (х) = 0). Тогда на основании (V.76)
и A.84) получим интегральное уравнение задачи, которое в безраз-
безразмерных переменных | = til и г\ = х/1 примет вид
J[tf(L 4)g'® + Ltt, 4)^(9]^ = яр(т,), h|<l, (V.78)
где
2 A Л
№ц1Ц1ч + ч*-?)-Х%*ц*у, (V.79):
г'(Б) = 4;@;
Уравнение (V.78) впервые построено в работах [106, 107]. Посколь-
Поскольку ядра К (?, т|) и L (g, rj) —действительные функции, то, вводя
обозначения *"
g' (I) = v' F) - to'.(Б); /7 (г)) = а (П) - ft (Л), (V.80)
из равенства (V.78) после отделения действительных и мнимых час-
частей для определения vf (?) и и! (I) получим два действительных
интегральных уравнения
1
1
^) |Т1|<1.	(V.82)
которые соответствуют симметричной (V.81) и антисимметричной:
(V.82) относительно линии трещины нагрузкам. Здесь
ЛМ?. П) = Ка, T,) + L(g, л);
М2(|, T)) = /CQ, t,)-L(?, г,).	(Ve^
Остановимся подробнее на случае симметричного нагружения,
диска с центральной трещиной, поскольку такая схема часто исполь-
используется как опытный образец в экспериментальных исследованиях
[271, 441]. Получим [160] численное решение уравнения (V.81) для
двух случаев нагрузки: к берегам трещины приложено нормальное
равномерно распределенное давление а (а (ц) = —а/ = const)
и в центре трещины ее берега растягиваются сосредоточенными си-
силами Р (о (rj) = —PS (г|))..В первом случае это решение находится
совершенно аналогично, как в параграфе 2 главы'II. При действии
159-

на берегах трещины сосредоточенных сил необходимо построить
решение уравнения
1
5 Мг(Б, TI)»'F)d\=-пРЬ(л), |п| < 1.	(V.84)
—1
Будем искать его в виде суммы
&'(?) = i>q {I) + v\ (g),	(V.85)
где функция Vq (^) удовлетворяет уравнению
JA^L = _ яРб(г)), |?)|<1	(V.86)
—1
при условии
1
ji>oF)d?=»O.	(V.87)
—1
Решение ио (|) согласно формуле A.63) имеет вид
»iE)—-г^=н-	(V-88)
Подставив теперь выражение (V.85) в (V.84), для определени
^неизвестной функции v\ (l) получим уравнение
1 г
[M № ) ^j X
1	1 г
j Mt (Ь л) о', (I) d& = 4" j [Mi №, Л) - i^
^г ы<1'	(V>89)
:решение которого должно удовлетворять условию
1
J
Применяя к обеим частям уравнения (V.89) и к условию (V.90)
квадратурные формулы A1.55), (II.56), легко получить их дискрет-
дискретный аналог.
Ниже приведены значения коэффициентов интенсивности напря-
напряжений ku отнесенные к соответствующим величинам k± в случае
бесконечной плоскости*^ = 0), для различных значений X = ///?:
X
X
ktnVl/P
0,1
1,0301
1,0150
0,6
2,1740
1,5783
0,2
1,1208
1,0600
0,7
2,6842
1,8403
0,3
1,2743
1,1356
0,8
3,4156
2,2384
0,4
1,4945
1,2431
0,9
4,7704
3,0382
0,5
1,7892
1,3872
0,96
7,1359
4,5205
160

При действии постоянной нагрузки величины kjv Y~l хорошо
согласуются с результатом, полученным в работе [424] на основе
численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго
рода. Напряженное состояние кругового диска с диаметральными
трещинами исследовали ряд авторов (см. обзор в книге [160], а
также работы [5, 6, 230, 307, 309, 363, 388]).
Краевая трещина. Рассмотрим круговой диск радиусом R с
краевой радиальной трещиной длиной /. Пусть край диска свободен
от напряжений, а берега трещины загружены самоуравновешенной
нагрузкой
(V91)
где хх — координата по длине трещины с началом на краю диска.
Интегральные уравнения первой основной задачи теории упру-
упругости для кругового диска с краевыми трещинами можно построить
путем предельного перехода из интегральных уравнений для внут-
внутренних трещин, полученных на основе соотношений A.152) и (V.76),
поскольку, как легко убедиться, ядра интегральных представлений
комплексных потенциалов (V.76) удовлетворяют в случае краевых
разрезов условиям (IV. 120). В безразмерных переменных ? ==
= tjl и т) = хх11 уравнение рассматриваемой задачи (V.91) будет
иметь вид
г
J[/C(E, t\)g'(®+L& Т|IР®]^==я/;(г|), 0<Я<1, (V.92)
о
где
- 2Ц, Crf + 1Ь\ + 2?2) + 2Щ ft» + Gr\% + 7пР + Iя) -
- Х^ц Eт,2 + 11 Ь\ + Ч2) + Я,46 V Dт) + 39 - X»EVJ; (V .93)
^	I- 4E + 21 (I + цГ - ЬЪ &г\ + Щ +
Представив функции g' (|) и /j (tj) в виде (V.80), из (V.92) при-
придем к двум интегральным уравнениям
i
;	(V.94)
mD), 0<п<1,	(V.95)
которые соответствуют симметричной (V.94) и антисимметричной
(V.95) нагрузкам на берегах трещины. Здесь ядра Мх (?, ч\) и
Л^2 (Ь 11) определяются соотношениями (V.83), в которых функции
К (?, г)) и L (?, т]) принимают значения (V.93).
И 1-685	161

Интегральное уравнение (V.94) численно решено (см. параграф 3
главы IV) для двух случаев нагрузки: берега трещины нагружены
постоянным давлением о или растягиваются нормальными сосредо-
сосредоточенными силами Р, приложенными в точке х1 = с, т. е. рг (хг) =
= —Р8 (х — 6') (с < /). Ниже приведены числовые значения коэф-
коэффициента интенсивности напряжений ku отнесенные к а |/7
(Ki = kJaVl) и полученные [160] на основании решения системы
40 линейных алгебраических уравнений (п = 40) для первого слу-
случая нагрузки:
0
1,1214
1,1215
0,2
1,3133
1,3135
0,4
1,5670
1,5674
0,6
1,9142
1,9150
0,8
2,4 If5
2,4131
1,0
3,1683
3,1721
1,2
4,4237
4,4332
1,4
6,7940
6,8254
1,6
12,391
12,539
Здесь также даны аналогичные значения коэффициента интенсив-
интенсивности, найденные по точной формуле [330]:
kt - oVTf{X); f(K) = 3,17214/B — %ГУ\	(V.96)
Зависимость kx VllP от отношения ell для некоторых значе-
значений параметра X показана на рис. 38. Значения коэффициента интен-
интенсивности kl при с = 0 вычислялись по точной формуле
kl = УШ [ 0,966528 B -ХI/> + 0,355715 B -Х)'^ J '
полученной в работе [331].
Система трещин при циклической симметрии-, Рассмотрим кру-
круговой диск с разрезами -при наличии циклической симметрии,
когда каждая последующая система разрезов Ln (п = 1, 2, ..., Л/)
(см. рис. 7) получается (без наложения) поворотом относительно
центра диска предыдущей системы на угол у = 2п/М (М = 1,2,
3, ...), т. е. весь диск разбит на М секторов, когда в каждом секторе
имеется Af разрезов. Комплексные потенциалы напряжений, полу-
полученные на основе соотношений (V.76) подобно тому, как это сделано
в случае бесконечной плоскости (см. параграф 1 главы III), для
рассматриваемой задачи имеют вид [205]
Ф, (,) - Ф (г) + Ф, И + JL
z"fr <rf
*-•!,
162

х П
[Qk (ik) + 2iqk
(R2M - ?
(V.98)
1,0
	——
L /
	—'
4$
4
0,25 0,50
Рис. 38.
0,75 c/l
0 0,2
0,4 0,5
Рис. 39.
0,6 Л
Здесь функции Ф (z) и T (z) даются соотношениями (III.7), а
Фо (z) и ?0 (z) определяют решение (V.73) для сплошного диска
при заданной на его границе нагрузке р0 (t), удовлетворяющей
условиям циклической симметрии, т. е. р0 (t exp Bnmi/M)) =
= р0 (t) (т = 1, ..., М); Ьтп — символ Кронекера.
Рассмотрим более подробно задачу [160, 218J, когда в диске
имеется N равномерно размещенных краевых радиальных трещин
длиной /, нагруженных самоуравновешенной нагрузкой рх (хх)
(qx (xx) == 0). Интегральное уравнение получим на основе соотно-
соотношений (V.98) и A.84). В безразмерных переменных g и д, отнесен-
отнесенных к /, будем иметь
1
где
.
г"-2)
i yN-г
(V.100)
163

Tx nrxf 4- л/ — 1 >-
—1	A—
' XN~2[(\ — AQ T^1 — TX^ -f-
Г ^ Щ- 1; X = Ц+ 1; Ь = ///?; ?' (g) = /? (/J; p (т|) = lPl (xx).
Уравнение (V.99) численно решено в случае, когда к берегам
каждой трещины приложена одна и та же постоянная нормальная
нагрузка р, т. е. р (tj) = —pi = const. На рис. 39 представлены
зависимости коэффициента интенсивности напряжений ku отне-
отнесенного к р Y1, от параметра X = 1/R при различном числе тре-
трещин N. При К = 0 во всех случаях kt = 1,12 р V^T, т. е. получаем
результат для полуплоскости с краевой трещиной, находящейся
под действием постоянного давления р. Почти для всех длин трещин
(X ^ 0,95) кг наибольший в случае одной трещины. При N ^ 4
для значений параметра X, близких к X = 0,5, коэффициент интен-
интенсивности kx принимает минимальные значения. Заметим, что полу-
ченное решение при постоянном давлении р на трещинах соответ-
соответствует также случаю всестороннего растяжения диска усилиями /?,
когда трещины свободны от нагрузки.
4. Бесконечная плоскость
с круговым отверстием и трещинами
Аналогично предыдущему параграфу записывается система N + 1
сингулярных интегральных уравнений для бесконечной плоскости,
ослабленной круговым отверстием и N криволинейными разрезами.
На граничной окружности заданы напряжения. При использова-
использовании решения первой основной задачи для бесконечной плоскости
с круговым отверстием одна из N + 1 неизвестных функций исклю-
исключается и задача приводится к системе N сингулярных интеграль-
интегральных уравнений на разомкнутых контурах. Изучается также система
трещин при наличии циклической симметрии. Подобным образом
может быть рассмотрена задача о криволинейных разрезах в бес-
бесконечной плоскости с круговым отверстием, когда на граничной
окружности заданы смещения.
Первая основная задача для бесконечной плоскости с круго-
круговым отверстием. Пусть область S представляет собой внешность
круга радиусом R (| г \ > R). На границе области L (положительный
обход против часовой стрелки) заданы усилия
)
главный вектор которых определяется равенством
$+(t)dt.	(V.102)
164

Будем считать, что напряжения на бесконечности отсутствуют
Тогда, согласно формулам (V.3) и (V. 11), комплексные потенциалы
напряжений представимы в виде
2л A 4- х) z 2к J t — z '
(V.103)
i 2д J L t-z	(/-гJ J-
Удовлетворяя граничное условие (V.101), приходим к сингуляр-
сингулярному интегральному уравнению
f [ *Х 4. + *4г + 4Ав' (О dt - пр (Г), Г G U (V.104)
где
+	+
Используя обозначения (V.67), запишем (V.104) в виде
(V.105)
(v.106)
L
Решением этого уравнения является функция
Формулы (V.67) приводят к соотношениям
Таким образом, решение уравнения (V.104) существует лишь
тогда, когда функция р (/) удовлетворяет второму из равенств
(V.108). Учитывая соотношения (V.102) и (V.105), легко убедиться,
что это условие всегда выполняется. Тогда, как показано в форму-
формулах (V.22), имеем а = 0.
С помощью решения (V.107) по формулам (V.103) получаем
комплексные потенциалы
2я A +
х) г 2m J ^ — z f
1С5

	* [P(t)
2ш J * —
L
P(t)dt
z
+ -$- ф (*)	71 Ф' (z).	(V. 109)
Этот результат совпадает с известным решением (см. [138], с. 452).
Система внутренних разрезов в бесконечной плоскости с кру-
круговым отверстием. Пусть бесконечная область 5, ограниченная
окружностью Lo радиусом R с центром в начале системы координат
хОу, ослаблена N криволинейными разрезами Ln (п = 1, 2, ..., N)t
отнесенными к локальным координатам хп и уп (см. рис. 7). На
Lo задана несамоуравновешенная нагрузка pQ (f) (t0 = t, Zq = 0,
a0 = 0), а на остальных контурах Ln — скачки смещений
gn {Q и напряжений qn (tn) (n = 1, 2, ..., //). Комплексные потен-
потенциалы Фг (z) и Чг1 (г) (V.53) для рассматриваемой задачи прини-
принимают вид
/-г (/-гJ
f W«
где Хо и Fo — компоненты главного вектора усилий р0 (t), а функ-
функции Ф (г) и *F (z) даются соотношениями A.147).
Удовлетворив с помощью потенциалов (V.110) граничное усло-
условие на контуре Lo, для определения неизвестной функции go (t)
получим уравнение (V.104), в котором
Тк-Г Utk+ fk-V
y*~r	и* —f)	JJ	(V.lll)
По формулам (V.107), (V.109) и (V.I 10) найдем [205]
166

(V. 112)
}
2iqk(tk)]
|})
где функции Фо (z) и XFO (z) определяют решение (V.I09) для бес-
бесконечной плоскости с круговым отверстием, когда на границе
области задана нагрузка р0 (t).
Подставив потенциалы (V.112) в соотношения A.152) и A.153),
найдем сингулярные интегральные уравнения основных граничных
задач для криволинейных разрезов, расположенных в бесконечной
плоскости с круговым отверстием. В случае системы произвольно
ориентированных прямолинейных трещин такие уравнения полу-
получены в работах [50, 153, 1551. Задачи о взаимодействии прямоли-
прямолинейных трещин и кругового отверстия рассматривались многими
авторами (см. обзор в [160], а также [296, 363]).
Система краевых разрезов в бесконечной плоскости с круговым
отверстием. Легко видеть, что в случае краевых разрезов
Ln(n = 1, 2, ..., N) ядра потенциалов Фх (г) и Чгг (г) (V.112) не
удовлетворяют условиям (IV. 120). Следовательно, в данном случае
функции (V. 112) необходимо дополнить некоторыми слагаемыми,
равными нулю для внутренних разрезов. Для этого можно восполь-
воспользоваться условиями (IV.120), однако возможен и другой путь.
Будем предполагать, что разрезы Ln (n ~ 1, 2, ..., N) пересе-
пересекают контур LQ (| z | = R). Пусть Ln и Ln обозначают те части кон-
контуров Lm которые располагаются соответственно внутри и вне
окружности \z\ = R: Тогда, положив в выражениях (V.110) и
A.147) Ln = Ln ¦+ Ln, аналогично (V.112) получим комплексные
потенциалы Фх (г) и Yj (г), состоящие из двух слагаемых. Первые
из этих слагаемых имеют вид (V.112), где вместо Lk следует поло-
положить Lky а вторые даются соотношениями
k~XLk	(V.I 13)
[
Считая, что условие однозначности смещений при обходе каждо-
каждого контура Ln = Ln-\- Ln выполняется, т. е. имеет место равенство
Ч g'n(tn)dtn = -l g'n(tn)dtn, n-1, 2, ...,N, (v.iИ)
Ln
167

перейдем в равенствах (V.113) к интегрированию по контурам
Ln. Таким образом получим выражения функций Ф1 (г) и 1РА (z)
для краевых трещин Ln. Следовательно, для того чтобы интеграль-
интегральные представления (V.112) были справедливы как для внутрен-
внутренних, так и для краевых трещин Lnt к потенциалам Фх (z) и х?1 (г)
(V.112) необходимо прибавить соответственно величины
*=' *	(V.I 15)
TV
= 1ST 2 ( f4- ?ft
В случае внутренних разрезов Ln (п = 1, 2, ..., Л/) функции
(V.115) равны нулю вследствие выполнения условия однозначности
смещения A.154). Потенциалы (V.112) с дополнительными слагае-
слагаемыми (V.115) уже удовлетворяют условиям (IV.120). Заметим,
что изложенный здесь прием обобщения комплексных потенци-
потенциалов напряжений на случай краевых разрезов был использован
ранее [108] при рассмотрении задачи о коллинеарных трещинах
в бесконечной плоскости с круговым отверстием, когда разрезы
расположены вдоль прямой, проходящей через центр отверстия.
В качестве примера рассмотрим задачу [160] о краевой ради-
радиальной трещине длиной /. Пусть контур отверстия свободен от
нагрузки, а на берегах разреза действуют самоуравновешенные
усилия рх (х}) (qx (хх) = 0), где хх — координата по длине трещи-
трещины с началом на контуре отверстия. Интегральное уравнение за-
задачи для такой области в безразмерных переменных | = tjl и
ц == xjl будет иметь вид
]	1. (V.I 16)
б
где
К& V) = -jz^f + Г+Ь, + 2 A + Я|) A + Хт|)» й + ti +*М)« Х
Г+Ь,
X [2 (тK + 4gr| - ^2) + 2Ц (rf + 9gt| + 6|2) + 2Щц X
X Dп2 + Щц + За + 9Х3^2 (I + Л) + ЗЩ3ц3}; (v. 117)
1 №• ^ = 2 A +Я.Т1) + 2A+ Ц) (I + ХЧ)« (|
X [ЗЕ2 _ 2|л - V + Я, (|3 - |2ii - 7?т]2 - Л3) - *2?Л X
X (Зп9 + 8Ет1 + Е2) - 3^|2тJ F + ц) - %Vrf); Я, =
Уравнение (V.I 16) решено численным путем (см. параграф 3
главы IV) для трех случаев нагрузки: берега трещины нагружены
168

постоянным давлением а, а контур отверстия свободен от нагрузки
(Рл (xi) = — о = const); на контур отверстия действует постоянное
давление ру а берега трещины свободны (р1 (хх) = —plx2{)\ контур
отверстия растягивается сосредоточенными силами Р (рис. 40;
Pi (*i) = — Р [\1х\ + 4/A + х\J}1п). В табл. 10 (над чертой) для.
этих случаев приведены значения
коэффициентов интенсивности на-
напряжений при различных X = 1/R.
Задачи о радиальных трещи-
трещинах, выходящих на край кругового
отверстия, рассматривались мно-
многими исследователями (см. обзор
в [160), а также [328, 334, 335, 425,
428]). В последнее время делают-
делаются попытки [329, 384] построить
аналитические выражения коэф-
коэффициентов интенсивности напря-
напряжений от общего случая нагрузки.
Система разрезов при цик-
циклической симметрии. Рассмотрим
бесконечную плоскость с круговым отверстием и криволинейными
разрезами при наличии циклической симметрии, когда каждая
последующая система разрезов Ln (п = 1, 2, ..., N) (см. рис. 7)
получается (без наложения) поворотом относительно центра от-
отверстия предыдущей системы на угол у = 2п/М (М = 1, 2, 3, ...).
Комплексные потенциалы напряжений, полученные на основе
соотношений (V.112), имеют вид [205]-
Рис. 40.
Ф1 (г) = Ф (г) + Фо (г) +
[Qk (tk) + 2iqk (tk)] x
X
M
,2(M—1)
R2M-(nz)M
kTk) [Rm
— TkTk) [Rm + (M -
(Tkz)M]
MR*
* ~п*~ тлШ
(Tkz)M R2M
-M2) (TkzfM
X
26
1Л1
k тлХ\	Л
/Г>2 грМуМ\ъ
{К — 1 kZ )
— {[Qk(tk)+2iqk(tk)}{ Mz
(V.I 18)
X
¦(M+l) (Thzf
1С»

Здесь функции Ф (z) и XV (z) даются соотношениями (Il'I7), a
Фо (z) и ?0 (z) определяют решение (V.109) для бесконечной плос-
плоскости с круговым отверстием при заданной на его контуре нагрузке
Ро @> удовлетворяющей условиям циклической симметрии, т.е.
р0 (t ехр Bшт/М)) = р0 (t) (т = 1, ..., М)\ Ьтп — символ Кро-
некера. Заметим, что при М ^ 2 интегральные представления
Таблица 10
Коэффициент
интенсивно-
интенсивности
pVi
ЮкцГГ
р
Коэффициент
интенсивно-
интенсивности
lOfci
10/5!
руг
шхут
р
0
11,21
11,21
11,21
11,21
—
0,8 '
8,908
9,665
4,134
4,604
1,963
2,195
1 °'1 1
10,53
10,58
9,357
9,404
0,594
0,597
0,9 |
8,818
9,651
3,803
4,299
2,010
2,284
0,2 |
10,07
10,22
8,006
8,136
1,011
1,028
'•о 1
8,740
9,643
3,516
4,032
2,043
2,358
г
0,3
9,739
10,00
6,976
7,190
1,311
1,352
X
1,5
8,462
9,646
2,512
3,077
2,089
2,595
0,4 |
9,490
9,866
6,166
6,452
1,531
1,603
2,0 |
8,286
9,672
1,916
2,486
2,050
2,719
0,5
9,296
9,780
5,511
5,858
1,692
1,801
2,5
8,159
9,699
1,527
2,085
1,986
2,794
0,6 |
9,142
9,724
4,971
5,369
1,811
1,960
3,0 |
8,062
9,725
1,254
1,794
1,918
2,845
0,7
9,015
9,688
4,518
4,956
1,899
2,089
3,5
7,983
9,747
1,055
1,574
1,852
2,882
(V.118) справедливы как для внутренних, так и для краевых тре-
трещин. Случай М = 1, когда бесконечная плоскость с круговым
•отверстием ослаблена системой N произвольно размещенных раз-
разрезов, рассматривался выше.
Остановимся более подробно на задаче в случае N равномерно
размещенных краевых радиальных трещин длиной /, нагруженных
самоуравновешенной нагрузкой рг (хх) (qx (хг) = 0), где х1 — ко-,
ордината по длине трещины с началом на крае отверстия. Инте-
Интегральное уравнение задачи для такой области в безразмерных
переменных ? = tjl и r\ == xjl имеет вид
[/С(Б, T\)g'(l) + L& n)gr^)\dl^np(xX)t 0<я<1, (V.I 19)
где
Т {I
N—2-i
1—Г2
- (ТХ)
N
170

X {1 + (N* — 1) (TX)N + [\ — B + №) {TXf + A — N2) (TXfN +
+ 2NTNXN+2(l + (N—l)TX)N]f[X2{\ — TNXN)]}\; (V.120)
it \ _ NX f '
IS. Л) — — \-fx?
(TX)N
¦ +
A—
X
X
X {— N (TXf — [1 — {N + 1) (TXf)/X* + A — Г2) x
~2(Г2 — X2)
V—2 V2N-
4
0,9
DJB
0,7
0,6
0.5
Pi
IV
Л
h- ^^
7X
g/
/
¦
—-—
5
•——-—
2 4 6
Рис. 41.
в
О 0,5 1,0 1,5 Я
Рис. 42.
Для некоторых случаев нагрузки квадратурным методом (см.
параграф 3 гл. IV) получено численное решение интегрального
уравнения (V.119). В табл. 10 (под чертой) приведены значения
коэффициентов интенсивности напряжений в случае двух колли-
неарных трещин для трех видов нагрузки: на трещине задано
постоянное давление а; на контуре отверстия действует постоянное
давление р\ контур отверстия растягивается сосредоточенными
силами Р (см. рис. 40). На рис. 41 для различных значений числа
трещин ЛГ показана зависимость коэффициента интенсивности
къ отнесенного к р YU от параметра X = 1/R в случае постоянной
нормальной нагрузки р на трещинах. Зависимость величины
р 1/7/&JL от X при различных N, когда трещины свободны, а на
контуре отверстия действует постоянное давление р, приведена
на рис. 42. В обоих случаях нагрузки коэффициент интенсивности
принимает максимальные значения при N = 2. Приведенные
171

Ж*
численные результаты получены в работах [160, 218], где также сде-
сделан библиографический обзор по этому направлению (см. также
[404, 4271).
5. Бесконечная плоскость с прямолинейной трещиной
и двумя круговыми отверстиями 1
В качестве примера использования полученных в параграфе 2 на-
настоящей главы общих результатов рассмотрим задачу о взаимодейст-
взаимодействии прямолинейной трещины с двумя круговыми отверстиями.
При решении системы сингулярных интегральных уравнений при-
применим квадратурные формулы как для
разомкнутого, так и для. замкнутых
контуров интегрирования. Аналогич-
Аналогично могут быть получены численные
решения интегральных уравнений в
случае отверстий и трещин иной фор-
формы. Выбор замкнутых и разомкнутого
контуров в виде окружностей и пря-
прямолинейного отрезка принципиаль-
принципиального значения не имеет.
Действие растягивающей нагрузки
на бесконечности. Пусть бесконечная
плоскость ослаблена двумя одинако-
одинаковыми круговыми отверстиями Llf L2 и
прямолинейным разрезом Lo, отне-
отнесенными к локальным системам коор-
координат xk0kyk (k = 0, 1, 2). Центр
разреза равноудален от центров от-
отверстий и находится с ними на од-
одной прямой (оси Оу). Линия трещи-
трещины (ось х0) образует угол а с осью
Ох. Берега отверстий и трещины свободны от нагрузки, а на бес-
бесконечности плоскость подвергнута растяжению внешними напря-
напряжениями р и qt действующими во взаимно перпендикулярных
направлениях, причем напряжения р направлены под углом у к
оси Ох (рис. 43).
Комплексные потенциалы напряжений Ф (г) и Y (г) для рас-
рассматриваемой задачи, согласно выражениям (V.53), будем искать
в виде
Рис. 43.
gk(tk)tlakdtk
Тк-г
1 Решение-задачи получено автором совместно с И. В. Панасюк и П, Н, Оси»
вым.
172

x ycj — x q \cj -p ~
Ш
k
2
Ы+^bw t f
Здесь функции
cD0B) = (p + G)/2; ?0B) = -(р-9)ехр(-2/у)/2 (V.122)
определяют напряженное состояние сплошной плоскости. Положи-
Положительный обход контуров Lx и L2 осуществляется против часовой
стрелки.
Как видно из схемы задачи, форма области, занятой телом, и
приложенная нагрузка симметричны относительно центра трещины.
Отсюда заключаем, что
8'2{h)=g\(h)-	(V-123)
Учитывая последнее равенство и соотношения
z° = 0; г° = ш; z\ = — ia\ a0 = а; ах = 0;
представим потенциалы (V. 121) в форме
(<х) ^
22_а2
При удовлетворении граничных условий на контурах Lo и Lx
придем к системе двух сингулярных интегральных уравнений вида
(V.54)
S J
ky fn) gk (tk) dtk + U (tk, Q gfiu dik]
173

Здесь 6j,i — символ Кронекера; R
радиус отверстия;
оо ('о> V === 0;
p—2ta
Л — 7о
e*";
1 / е
, ro = te'a;
dt, e"
Го-Г, d/, Ta-Tx
dt
dt
, (r;-ro)e-/tt7
; (fo-f,)»- J:
(V.127)
Knih, O =
Решение системы (V.126) должно удовлетворять условию
(*о)<Йо = 0.	(V.128)
Заметим, что к левой части уравнений (V.126) прибавлено равное
нулю слагаемое с множителем 8щ. Как было показано выше, это
слагаемое вместе с дополнительным условием (V.128) обеспечивают
однозначную разрешимость системы (V.126) при любой правой
части. При аналитическом решении интегральных уравнений рав-
равные нулю дополнительные слагаемые могут быть отброшены (см.
параграфы 3 и 4 главы V), однако при численном решении их необ-
необходимо учитывать.
174

После замены переменных
*о = & 'i«-4/; *1 = Яе"; /;=/?е^	(V.129)
систему уравнений (V.126) приведем к нормализованной форме
1
J [Mw (|, п) -фв (?) + Woo (g,
2л
+ J [Al«(т, п)^"(т) + Nol(х, Л) *i(т)]du = тогоA1). hl<l;
0	(V.130>
{ [Ml0 (I, 6) г|>0 (|) + Л^10 (Б, 1,)
Мц (т, 0) я|)х (т) + JVU (т^ 9) ^(т)] dx = яах (G), 0 < 0 < 2я.
Здесь 21 — длина трещины;
^(SJ-Pi^e'e); Моо(|, ч) = //Сое (/6, /Л): (У
ЛГ00 (|, п) - /Loo (/6. /Л): Мм (т, Л) = ^ е'т/<:01 (Л е", 1ц);
1 (т, л) = -'« e-"L01 (J? е^, 1ц); М10Ц 0) = IKW (/g
Л^10 (g, 6) = IL1O (It R е?в); Ми (т, В) - IR е" [- -^
+ Кц (Re'\ R е/9I; Ыи(т, 6) =, - « ertLn (/? е", i? e<°).
При численном решении системы сингулярных интегральных
уравнений (V.130) воспользуемся соотношениями A1.55) и A1.56),
а также квадратурной формулой [300]
^ S	v, 0),	(V.132).
которая верна для регулярных функций М (т, 0) при любых 0,
а для сингулярных ядер М (т, 0)'при
O = 0s = 2i=^ + 8 (s=l, 2, ...f nj. (V.133).
Здесь я|) (т) и М (т, 0) — 2я — периодические функции; ^ — чет-
четное натуральное число; б — произвольное действительное число;
+ 6 (v-1, 2, ..., щ).	(V.134)
Построению квадратурных формул вида (V.132) и численному
решению на их основе сингулярных интегральных уравнений
175

посвящено ряд работ [29, 65, 94, 177]. Формула (V.132) удобна
при решении интегральных уравнений первого рода, поскольку
в дискретной системе точек 0 = 9S (V.I33) она справедлива как
для сингулярных, так и для регулярных интегралов. Следователь-
Следовательно, при численном решении уравнений (V.130)'нет необходимости
в их ядрах выделять сингулярные части.
Рис. 44.
Представив функцию я|H (?) в виде
(V.135)
и применив квадратурные формулы A1.55), A1.56) и (Y.132) к урав-
уравнениям (V.130) и условию (V.128), получим систему п + пх линей-
линейных алгебраических уравнений

(Ък, Чт) U (Ik) + Л/оо (lh T]m) U (lk)]
! V=l
Лт)'
т= 1, 2, . . ., п— 1;
(V.136)
4-2[МюE/к. О,)ц(Ь) +
л. в,) и
9s) ^1 Ы + #u (Tv, Gs) ^i (^v)] ==
s=l, 2, ..., nx
176

Рис. 46.
Рис. 48.
J7T
п л
0,2
S
i
\
\
\
\
\
\
О
-0,15
-0,30
-045
JL
6
Рис. 47.
V
О JL JL
В	3
Рис. 49.
для определения п + пх неизвестных и fa) (k = 1, 2, ..., п) и
^i (Tv) (v = 1, 2, ..., щ). Здесь узлы ЕЛ, i]rrt, xv и Gs даются соот-
соотношениями A1.53), A1.54), (V.133) и (V.134).
По известным величинам и fa) коэффициенты интенсивности
напряжений найдем по формулам A1.59) и A1.60). Для определения
значения функции \\ц (т) в любой точке т можно воспользоваться
интерполяционной формулой по узлам (V.134) [29]
Ч (х — xv)
ctg-
(V.137)
V=l
которая точна для тригонометрического полинома степени не выше
nJ2—1.
Численные результаты, полученные при решении системы
A1.136), проиллюстрированы рис. 44—49. Зависимости коэффи-
12 1-685
177

циентов интенсивности напряжений kx и k2, отнесенных к р Y U
от угла ориентации трещины а характеризуются кривыми / (б =
= 1/R = 0,25, Я = alR = 2), 2 (б = 0,5, к = 2), 3 F = 0,5,
А, = 3), 4 (б == 1, X = 3) и5(8=1,5Д = 3). Штриховые линии
относятся к случаю, когда отверстия отсутствуют, а плоскость
ослаблена только одной прямолинейной трещиной длиной 21.
Рассмотрены случаи одноосного растяжения усилиями р (д == 0)
перпендикулярно (у = 0; рис. 44 и 45) и параллельно (у = л/2;
рис. 46 и 47) линии центров отверстий, а также всестороннего рас-
растяжения (р = ^; рис. 48 и 49). Отметим, что в частном случае одно-
одноосного растяжения в направлении, перпендикулярном к линии
трещины, когда ее = 0 или а = я/2, приведенные выше зависимости
хорошо согласуются с результатами работы [393], полученными
методом граничной коллокации.
Действие сосредоточенных растягивающих сил на контуры
отверстий. Рассмотрим поставленную выше задачу для случая,
когда напряжения на бесконечности отсутствуют, а плоскость
растягивается двумя сосредоточенными силами Р, приложенными
к контурам отверстий Ьг и L2 (рис. 43). Берега трещины свободны
от нагрузки. Комплексные потенциалы напряжений Ф (z) и Y (z),
согласно выражениям (V.53), ищем в виде (V.121), где функции
Фо (z) и ^о (z) определяются соотношениями
адв»A+^; Y0B) = xa>0(Z). (V.138)
В данном случае выполняется также условие симметрии (V.123),
поэтому функции Ф (z) и W (г) представимы в виде (V.125). При
удовлетворении граничных условий на контурах Lo и Lx получим
интегральные уравнения (V.126), правые части которых опре-
определяются равенствами
dt\
(f2 + a2J	f2 + a
Представим искомую функцию g\ (tx) в виде суммы
ё\ (^i) = Ф (^i) + Ф1 (h)y	(V. 140)
где слагаемое ф (/х) удовлетворяет уравнению
1	1 \ ti ч и	,У\	j ^ т	(V.141)
Р* (и) - - X б (О! - я/2) + 2яAУ+м) (^ —=г) • (V. 142)
178

Учитывая соотношения (V. 104)
ние уравнения (V. 141) в виде
(V. 108), представляем реше-
решеЗаметим, что функция (V.143) определяет решение задачи теории
упругости для бесконечной плоскости с круговым отверстием Lu
нагруженным в точке tx = iR нормальной сосредоточенной силой Р.
Таблица 11
Е
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
L
0,5
0,103
0,177
0,258
0,347
0,446
0,558
0,686
1.0
0,502
0.578
0,653
0.727
0,800
0,872
0,943
1,5
0,788
0,834
0,877
0,915
0,950
0,979
1,003
2,0
0,932
0,953
0,972
0,987
1,000
1,008
1,014
2,5
0,994
1,002
1,008
1,012
1,014
1,015
1,014
3,0
1,019
1,020
1,020
1,019
1,017
1,015
1,012
Комплексные потенциалы Ф (z) и Ч? (z) для данной задачи могут
быть получены по формулам (V.103).
Используя представления
(l~~t] Щ	'	(V.144)
и учитывая соотношения (V.140) — (V.142), для определения неиз-
неизвестных функций ?о (/о) и срх (^) придем к системе уравнений
(V. 126), правые части которых уже являются гладкими функциями
(не содержат дельта-функции). Следовательно, полученная система
интегральных уравнений может быть численно решена указанным
выше методом механических квадратур.
В табл. 11 для симметричного расположения трещины (а = 0)
приведены численные значения коэффициента интенсивности ku
отнесенного к Pin ]/" /, для различных отношений Rla = еи На =
= L. Упругая постоянная х = 2. В последней строке (е = 0)
даны результаты, полученные на основе точного решения (см.,
например, [160], с. 46)
?Vl	(??V	(V.145)
яA+н)
соответствующего растяжению бесконечной плоскости с прямоли-
прямолинейной трещиной длиной 21 приложенными в точках z = ±ia
сосредоточенными силами Р.
12*
179-

При малых значениях параметра е приведенные в табл. 11 ре-
результаты согласуются с построенным в работе [272] приближен-
приближенным аналитическим решением:
* _
4
— 154Л6 — 54Л8 + 54Л10)}) + О (s4), Л = 1//ТТ2?. (V. 146)
При этом с увеличением радиуса отверстия и уменьшением дли-
длины трещины относительная погрешность решения (V.146) возрастает.
Ее максимальные значения не превышают 0,3% (е^0,2), 4,2%
(е<0,3), 15% (8<0,4) для всех L>0,5 и 0,3% (?>3), 0,8%
(L>2), 13,5% (L>1) длявсех е<0,5.
Отметим, что рассмотренная задача соответствует предельной
схеме реального нагружения пластины «сосредоточенными» сила-
силами, которая часто используется при исследовании трещиностой-
кости материалов на пластинах с трещинами [272]. На основе
данных табл. 11 легко также установить интервал изменения пара-
параметров е и L, в котором можно использовать решение (V.145).

Г лава VI
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ
1. Интегральные уравнения основных
граничных задач продольного сдвига
бесконечных тел с криволинейными разрезами
Антиплоские статические задачи теории упругости для бесконеч-
бесконечного пространства, ослабленного криволинейными разрезами, с
помощью аппарата теории функций комплексного переменного
приводятся к сингулярным интегральным уравнениям.
Основные соотношения теории упругости при продольном сдви-
сдвиге. Под продольным сдвигом или антиплоской деформацией пони-
понимают напряженное состояние в цилиндрическом теле, вызванное
нагрузками, направленными по образующим цилиндра и постоян-
постоянными вдоль них. Если ось деформации направлена по оси z декар-
декартовой системы координат (х, у, г), в статическом случае компоненты
вектора упругих смещений и, v и w могут быть представлены в
виде
и = v = 0; w = w (х, у).	(VI. 1)
Из закона Гука следует, что ненулевые компоненты тензора
напряжений %хг и хуг являются функциями двух переменных х
и у и выражаются через смещение w (x, у) следующим образом:
— г dw - — Г дт	(VI 2^
Система уравнений равновесия сводится к одному уравнению,
которое в случае отсутствия массовых сил принимает форму (см.,
например, [181])
dTxz , dTyz „I d2w , d2w
dx~ ^ dy "" ° \ dx* ^ dy
При этом единственное уравнение совместности деформаций удовле-
удовлетворяется тождественно.
Поскольку Gw („v, у) — гармоническая функция, представим ее
в виде вещественной части некоторой аналитической функции
/ (z) комплексного переменного z = х + iу х:
Gw(xf y) = Ref(z).	(VIA}
1 Комплексную переменную z не следует смешивать с декартовой координа-
координатой z.
181

Из уравнений (VI.2) следует, что
x«-iv=/'(z)=F(z),	(VI.5)
где F (z) — аналитическая функция в области, занимаемой телом.
Легко видеть, что комплексный потенциал / (г) инвариантный при
параллельном переносе н повороте осей координат, тогда как
функция F (г), вообще говоря, неинвариантна по отношению к та-
такому преобразованию. Если новая система координат (xlf уг) свя-
связана со старой (х, у) соотношением
а функция Fx (zx) выполняет ту же роль в системе (хг, уг)9 что
и функция F (г) в системе (х, у), то
где zi = хх + iiji\ z°i = x°i + iy\\ х?, y\ — координаты начала
системы координат (xlf yx) в старой системе (х, у).
Главный вектор усилий, действующих на произвольную дугу
А В в области, занимаемой телом, определяется соотношением [10]
в
Z = Im [/ (zB) - / (zA)) = Im j> (г) dz.	(VI.8)
A
С помощью этой формулы можно показать, что при действии в точ-
точке z = z0 бесконечной плоскости сосредоточенной силы Q комплекс-
комплексный потенциал / (г) дается равенством
Дг) =-^_ In (z-z0).	(VI.9)
Решение антиплоской задачи теории упругости сводится к опре-
определению аналитической функции / (z) в области 5, занятой упругим
телом, при использовании граничного значения этой функции на
контуре L (на границе тела). В случае первой основной задачи,
т. е. когда на контуре заданы внешние напряжения, граничное
условие имеет вид
Imlf(/)e/ol = T(O, t?L,	(VI. 10)
где т @ — заданное напряжение на границе тела; 6 — угол,
составляемый положительной касательной к L в точке t с осью х.
В случае второй основной задачи, когда на контуре заданы пере-
перемещения, граничное условие получается предельным переходом
из (VI.4)
Re/(*) = Ga>@, t?U	(VIM)
где w (t) — известная на L функция. Продифференцировав это
равенство по s (s — дуговая абсцисса на L, соответствующая точке
^), найдем
Re [F (t) e'°] = G -^L = Qw' (t) e'e, t ? L,	(VI. 12)
182

Это соотношение можно рассматривать как другую форму записи
граничного условия (VI.11).
Система разрезов в бесконечной упругой среде [207]. Пусть
в бесконечном теле, ось антиплоской деформации которого направ-
направлена вдоль оси Ог, имеется криволинейный «туннельный» разрез L.
Берега разреза загружены несамоуравновешенными усилиями
t?L	(VI. 13)
или на них заданы смещения
Gw± = v(t)±y(t), t^L,	(VI.14)
а напряжения на бесконечности отсутствуют. Здесь п — нормаль
к левому берегу разреза L. Будем считать, что скачок смещений
у (t) в концах контура L равен нулю и что известен главный вектор
Z усилий, приложенных к разрезу.
Решим вспомогательную задачу. Найдем комплексный потен-
потенциал напряжений F (г), когда на L заданы скачки смещений у (t)
и напряжений (л (/), т. е.
G — (ш+ — or-) = 2y' (t) e'e.
us
Записав эти условия через функцию F\z)% получим для нее задачу
линейного сопряжения
р+ (/) _ F~ (t) = 2Н @ = 2 [/ (/) + *> (/) e-'el, / G L. (VI. 16)
Отсюда убывающая на бесконечности функция F (г) определяется
интегралом типа Коши [32, 138]
(VI. 17)
Удовлетворив теперь условия (VI. 13) и (VI. 14), получим сингу-
сингулярные интегральные уравнения основных задач
е'9'
(VI. 19)
Неизвестные функции v' @ (для первой основной задачи (VI. 18))
и jx (/) (для второй основной задачи) должны удовлетворять
183

условиям
^	= O;	(VI.20)
[	= Z.	(VI.21)
Предположим, что функции т (t) и v' (/) принадлежат классу
Я, а искомые функции 7' @ и [х (/) — классу Я*. Тогда сингуляр-
сингулярные интегральные уравнения (VIЛ8) и (VI. 19) при выполнении
условий (VI.20) и (VI.21) имеют единственное решение (не ограни-
ограниченное на концах контура L).
Аналогично плоской задаче (см. параграф 3 главы I) можно
найти распределение напряжений и смещений в окрестности вершин
криволинейного разреза. В частности, для трещины, на берегах
которой задана нагрузка, получим
(VI.22)
где г и 0 — полярные координаты с полюсом в вершине трещины
(см. рис. 5);
k? = =f lim []/2\t-l±\yf (t) e«].	(VI.23)
Здесь нижние знаки относятся к началу (t = Г"), а верхние — к
концу (/ = /+) разреза L.
Распределение напряжений вблизи вершины трещины имеет
всегда одну и ту же функциональную форму и отличается для раз-
разных задач только величиной &*, называемой коэффициентом интен-.
сивности напряжений у вершины трещины продольного сдвига
[254, 343]. Вместе с коэффициентами интенсивности напряжений
для трещин нормального разрыва (k^ и поперечного сдвига (k2)
этот параметр позволяет описать самый общий случай распреде-
распределения напряжений и смещений у вершины трещины.
Соотношения (VI. 17)—(VI. 19) можно, очевидно, распростра-
распространить на случай системы криволинейных разрезов Ln (п = 1, 2, ...
..., АО, если под L подразумевать совокупность контуров Ln.
При этом условия (VI.20) и (VI. 21) должны выполняться для каж-
каждого контура Ln в отдельности. Рассмотрим также задачу для
системы разрезов Ln, отнесенных к локальным системам координат
хп0пуп (см. рис. 7), когда на одних разрезах задана несамоуравно-
184

вешенная нагрузка
dw±
C-^==-UU±Ma tn?Lni л = 1, 2, ..., m, (VI.24)
а на других — смещения
Gw* - vn (tn) ± VlI (/„), tn e ?„, я - m + 1, ... , N. (VI.25)
Будем считать, что скачок смещений уп (tn) в концах контура
Ln равен нулю и что известен главный вектор Zn усилий, прило-
приложенных к разрезу Ln.
Используя соотношения (VI.7) и (VI. 17), для комплексного-
потенциала F (г) найдем выражение
(VI.26)
где 9/г — угол между положительной касательной к контуру Lk
и осью Okxk.
Удовлетворив с помощью потенциала (VI.26) граничные условия
(VI.24) и (VI.25) на каждом из разрезов, получим для определения
Af неизвестных функций у'п (tn) (п = 1, 2, ..., т) и yin (tn) (n =
*= т + 1, ..., N) систему N сингулярных интегральных уравне-
уравнений
Im [ei{Q^an)F (т;}] = %п (/;)f (;^,п=1,2, ,,.,/n; (VI.27)
Re [е/F-+а^ (Т'п)] = »; р;) е;е-, *; G1Я, /г - m + I, ... , N. (VI.28).
Здесь F (Г^) — прямое значение потенциала F (z), т. е. получен-
полученное непосредственной подстановкой z — Тп в выражение F (г).
Решение системы (VI.27) и (VI.28) должно удовлетворять усло-
условиям
J Hn (tn) dtn = i J ^ (g d5rt = iZnt n=l,2	A^f- (VI.29>
которые обеспечивают однозначность смещений при обходе конту-
контуров Ln. Заметим, что при заданных на берегах разрезов смещениях
получаем задачу Дирихле для плоскости, разрезанной вдоль
конечного числа разомкнутых дуг Ln. Сингулярное интегральное
уравнение такой задачи (при уп (tn) — 0) приведено в несколько
ином виде в работах [20, 137]. Известны также интегральные урав-
уравнения первой основной задачи для системы криволинейных разре-
разрезов в анизотропной среде [246]. Если считать, что разрезы Ln
размещаются на отрезках | хп \ ^ 1п локальных осей координат
Опхп> то из равенств (VI.27) получим интегральные уравнения для
системы произвольно ориентированных прямолинейных трещин
186

'1196]. Метод сингулярных интегральных уравнений при решении
задач продольного сдвига тел с трещинами применялся многими
авторами. Подробный обзор этих работ имеется в монографии [160].
Криволинейная трещина, мало отличающаяся от дугообраз-
дугообразной или прямолинейной [209]. Рассмотрим первую основную задачу
для бесконечной плоскости, ослабленной криволинейным разрезом,
близким по форме к дугообразной или прямолинейной трещине.
В случае прямолинейного разреза | х | ^ / на оси Ох интеграль-
интегральное уравнение (VI. 18) принимает вид
(VI30)
Отсюда следует, что в случае коллинеарных трещин интегральное
уравнение (VI. 18) не зависит от функции \i (x) и имеет такой же
вид, как и в аналогичной плоской задаче теории упругости A.93).
Поэтому решения задач о коллинеарных трещинах в упругом теле
при плоской и антиплоской деформациях идентичны. В частности,
коэффициент интенсивности k<t в рассматриваемом случае одного
разреза определяется формулой
<vL3i>
которая может быть получена из выражения A.95) (при q (х) = 0)
заменой символов. Здесь начало трещины — точка х = — /, ко-
конец — х — L
Пусть L обозначает дугу окружности радиусом R отточки a=Re~~/a
до Ъ = а. Тогда интегральное уравнение (VI. 18) преобразуется
к виду
Р у' {%) d% iR /A iZ . r
где
Z = j ji@ds = — /? j H(O -7-	(VI.33)
является главным вектором усилий, приложенных к контуру L.
Решение уравнения (VI.32) при условии (VI.20) найдем из
¦A.107) и A.110) при В - С = 0:
R{t)%(t)dt	iZ , „Л
L	%	J
186

Здесь R (t) дается соотношением (I.111). По формуле (VI.23)
определим коэффициенты интенсивности напряжений
к y^R sin a I
Полученные выше точные решения могут быть использованы
для построения методом возмущений приближенного решения для
криволинейной трещины, близкой по форме к дугообразной или
прямолинейной. Пусть форма гладкого криволинейного разреза
L определяется параметрическим уравнением
Тогда, воспользовавшись равенством
Н (t) dt = [Н (t) — 2ца (/) е-/0] dt	(VI.37)
и соотношением (VI.36), приведем уравнение (VI. 18) к виду
1
[К (|, т]) ф (?) + М (|, т|) $(I)} % = пР (ц), | т, | < 1, (VI.38)
где ядра К (?, ц) и М (^, т]) определяются формулами A.121), а
Фф=#(со®)о>'(?); ^()!) = -T(ii)|(o'(ti)|; (VI.39)
^Ш--^Шио'Ш|; т(т1)-т(со(г,)); |i(E)=|i(fflF)).
Решение уравнения (VI.38) должно удовлетворять условию
1	1
J q>(g)dg = -»J i|)E)d6=ZJ.	(VI.40)
Отсюда видно, что уравнение (VI.38) является частным случаем
уравнения A.119) при L (I, г\) = 0, поэтому его решение следует
из результатов, полученных в параграфе 4 главы I. Представив
функцию со (?) в форме A.122), будем искать решение ср (?) в виде
Ф(Б) = Фо (В + *Ф1 О + О (^2).	(VI.41)
Ограничимся определением решения в первом приближении.
Все величины, относящиеся к нулевому (А, = 0) или первому при-
приближению, будем обозначать индексами «0» или «1». Функция
Фо М находится из соотношения A.126) при Ао = 0.
Для коэффициента интенсивности напряжений (VI.23), опреде-
определяемого в данном случае по формуле
i (vL42)
в нулевом приближении будем иметь
(VI.43)
187

Заметим, что последний результат является по существу решением
(VI.35), записанным в другой форме.
Первое приближение находится по формулам A.126) при Ло = О
и (VI.43), в которых следует заменить DOi я|H (г)) и Ро (г\) соответст-
соответственно Dly лрх (т|) и: Р\ (г|), определяемое соотношением A.130) при
lx а, л) = о.
В случае слабоискривленной трещины (е = 0) коэффициенты
интенсивности напряжений имеют вид
\ /Ц |т (Б) + * р О + х т* (Б) Re [2coi (I) -
— юA, —l)=F<a(?, l)±co(L — 1I
(VI.44)
где т0 (?), тх (g) и fx0 (^) — коэффициенты разложения функций
т (?) и и (?) в ряды по степеням А,; функция со (s , I) находится по
формуле A.133).
Когда берега трещины свободны от нагрузки, а напряженное
состояние в сплошном теле определяется комплексным потенциалом
Fo (г), то в формуле (VI.44) следует положить fi0 (s) = 0, а
%(t) = -lm[FQ(f)e!*l ,	(VI. 45)
В частности, когда тело на бесконечности сдвигается усилиями х
так, что
ЗД=т„2-/т,2 = те-\	(VI.46)
то из формулы (VI.45) находим
тоШ = тsiny; ti(l) = — TcosYlmcoi (I).	(VI.47)
Подставив эти значения в соотношение (VI.44), получим
Т|||(VI.48)
Если рассматривать дугообразную трещину как слабоискрив-
ленный разрез, то легко убедиться, что в первом приближении
формула (VI.43) при е = Я согласуется с равенством (VI.44).
Численное решение интегральных уравнений задач продоль-
продольного сдвига тел с трещинами 1. Антиплоские задачи теории упругос-
1 Решение задач получено автором совместно с М. Г. Билыком.
188

тй для тел с трещинами приводятся к действительному интеграль-
интегральному уравнению типа
1
J	h|<l	(VI.49)
-или к системе таких уравнений. Здесь ядро К (?, г)) состоит из ядра
Коши и регулярной части; Р (т|) — заданная на отрезке [—1,11
непрерывная функция. При дополнительном условии
Jv'F)dE = O	¦	(VI.50)
	j
решение уравнения (VI.49), представленное в виде
Т(Л) ?ЗЦ.	()
у 1 — I]2
где и (ц) — непрерывная функция на отрезке I—1,11» существует
и единственно. Отсюда следует, что интегральное уравнение (VI.49)
является частным случаем уравнения A1.48) (при L (?, г\) = 0).
Применяя квадратурные формулы A1.55) и A1.56) к равенствам
(VI.49) и (VI.50), приходим к системе п линейных алгебраических
уравнений
42^(Л«)(Ьк) (|«). т=1,2, .... л-1;
*-'	(VI. 52)
¦ t «(?*) = <>
для определения п неизвестных и (%k) (k = 1, 2, ..., п). Здесь
узлы %k и т]т вычисляются но формулам A1.53) и A1.54).
Для коэффициентов интенсивности напряжений на основе со-
соотношений (VI.42) и (VI.51) получим выражение
k? - =F и (± 1)/]/|а)Ч=Ы)|,	(VI.53)
где значения и (±1) даются соотношениями A1.59).
В качестве иллюстрации применения изложенного выше числен-
численного метода решения уравнения (VI.49) рассмотрим задачу о распре-
распределении напряжений около свободной от нагрузки криволинейной
трещины L, когда тело на бесконечности сдвигается усилиями т,
т. е. комплексный потенциал Fo (г) определяется формулой (VI.46).
Тогда
*" = Rei^f^J:	(VL54)
Р (т)) = х Im [е-'?о)' СП>1-	(VI.55)
На рис. 50 и 51 для различных значений параметра е = 1/8 (разрез
L с вершинами в точках (± /, 0) проходит через точку @, —б);
\т

см. рис. 6) приведены зависимости коэффициента интенсивности
k3, отнесенного к т ]/ /, от угла у для случаев, когда контур L
представляет собой дугу параболы (рис. 50) или полуэллипс
(рис. 51). Сплошные кривые относятся к правой вершине трещины,
штриховые — к левой. При этом для параболы
«)(9 = /[S + fe(?»-l)]t	(VI.56)
со (?) = Д2| - is A-?>)].	(VI.57)
а для полуэллипса
г/Г
0,6
0,2
П
-0,2
-0,4
У
/ /
/ /
1
—-^
и
0,5'Л>
Л5
as i
О
Л JL JL
72 6 4
Рис. 50.
Ж.
д
12
о
ж
12
Ж.
Б
Рис.
Я
51.
Я
J
5Я
12
Изложенный выше квадратурный метод решения интегральных
уравнений может быть использован не только в случае трещин ко-
конечной длины, но и для полубесконечных трещин (см. параграф 3
главы III). Получим этим методом решение задачи для бесконеч-
бесконечного тела, ослабленного двумя симметрично расположенными полу-
полубесконечными прямолинейными разрезами, когда на бесконечности
заданы сдвигающие напряжения, главный вектор которых равен
Q (рис. 52). Пусть уравнение контуров трещин дается соотношением
-/), \х\>1; e =
(VI.58)
| т | —
(VL59)
Тогда заменой
? = со(т); t' = (o{x')'9 со(т) = /[т +
интегральное уравнение задачи (VI. 18) при \i (t) = 0 преобразуется
к виду
( I + IK(т> T')Y« Wdt = яг1<г')' 'т' 1> 1. (VI.60)
\—оо	1 /
190

где
G)'(T')
') = * (О-
/С, (т, т') = — t m, ' , Re -
vi (*) = ?'(<) <¦>'(*); t,i
Решение уравнения (VI.60) должно
удовлетворять дополнительному ус-
условию
+
= Qf (VI. 62)
которое выражает тот факт, что глав-
главный вектор напряжений в перемычке
равен Q.	w ^
Уравнение (VI.60) заменой т =	FHC> ъг
= VI ит'= 1/tj (см. параграф 5 гл. I) приведем к виду
(VI. 61*)
\
-1
¦3
О
1
	1 л
X
(VI. 63)
где
?-t+8*(|E|-|q I) sign I
1 — | т,
Ч> (9 = y! (*)/?; <т(тО =
Условие (VI.62) при этом принимает форму
-ф(О) = — Qlnl.
(VI.64)
(VI.65)
Коэффициент интенсивности напряжений определяется по фор-
формуле
где верхние знаки относятся к правой трещине, а нижние — к ле-
левой.
Представив функцию г|) (rj) в виде (VI.51), приведем уравнение
(VI.63) к системе (VI.52), в которой, однако, последнее уравнение
необходимо заменить другим. Поскольку (см. соотношение A1.58))
2k — 1
2л
-Я.
при четном л и
(VI.67)
(VI.68)
191

при нечетном /г, то последнее уравнение системы (VI.52) легко
записать на основе условия (VI.65) с учетом равенств (VI.67) или
(VI.68).
Численное решение уравнения (VI.63) найдем для случая,
когда трещины свободны от нагрузки (а (т|) = 0), а на бесконеч-
бесконечности заданы сдвигающие напряжения, Главный вектор которых
равен Q. В табл. 12 для различных углов наклона трещин приве-
приведены значения коэффициента интенсивности напряжений kz
Таблица 12
п
10
20
30
0
1
1
1
Я/12
0,9744
0,9749
0,9749
я/6
0,8960
0,8979
0,8981
а
Я/4.
0,7571
0,7605
0,7606
я/з
0,5416
0,5437
0,5439
5я/12
0,2372
0,2340
0,2350
я/2
0,0006
0
0,0001
(отнесенного к Q/n }fl), полученные на основе решения различного
числа алгебраических уравнений п. Если представить ядро К (?, Tl)
(VI.64) в виде
К (Б, т|) « [ 1/(Б - ч) + k (Б. л)]// 1/Т+Ж	(VI.69)
то k (J-, т)) уже не является непрерывной функцией своих аргу-
аргументов на отрезке [—1,1], как это было в уравнении (VI.49). Одна-
Однако, как видно из табл. 12, и в этом случае наблюдается хорошая
сходимость численного решения.
2. Коэффициенты интенсивности напряжений
для ломаных и ветвящихся трещин.1
Точные решения задач продольного сдвига тел с трещинами в случае
¦односвязных областей могут быть построены методом конформных
отображений [10, 233]. Такой подход использовался рядом авторов
при исследовании антиплоской деформации бесконечного прост-
пространства, ослабленного ломаной [55, 233, 399, 439] или ветвящейся
[397] трещиной. Задачи о продольном сдвиге тела с полубесконеч-
полубесконечной трещиной, оканчивающейся одним или двумя симметрично
расположенными ответвлениями, решались также методом Вине-
Винера— Хопфа [99, 100]. В общем случае кусочно-гладких криволиней-
криволинейных трещин или трещин ветвления антиплоские задачи теории упру-
упругости могут быть решены следующим образом: разрез разбивается
на гладкие участки и рассматривается как система гладких разре-
разрезов, имеющих общие точки пересечения. Таким путем ниже рассмот-
рассмотрен продольный сдвиг бесконечного пространства, ослабленного ло-
ломаной или ветвящейся трещиной.
1 Решение задач получено автором совместно с М, Г, Билыком.
1192

Двухзвенная ломаная трещина. Пусть в бесконечном пространст-
пространстве имеется система N + 1 прямолинейных разрезов Ln, размещен-
размещенных вдоль отрезков | хп | ^ 1п локальных осей координат Опхп
(п = О, 1, ..., N). Берега трещин нагружены самоуравновешен-
самоуравновешенной нагрузкой хп (хп) (\in (хп) = 0), а напряжения на бесконечнос-
бесконечности отсутствуют. Тогда задача об определении напряжений в таком
теле согласно соотношениям (VI.27) сводится к системе сингу-
сингулярных интегральных уравнений [196]
Vk{tk)Knk(tk, xn)dtk = —n<zn(xn)y |*ft|</n, л = 0, 1, ...,#,
k
(VI.70)
где
Knk(tk,xn) = Re	; Г, =/,e/e + 2,;
* й	(VI.71)
величины 2°, an определяют местоположение локальной системы
координат (см. рис. 7).
В случае изолированных разрезов Ln решение системы (VI.70)
должно удовлетворять JV + 1 условиям (VI. 29), обеспечивающим
однозначность смещений при обходе каждого контура Ln в отдель-
отдельности. Если трещины пересекаются, то эти условия не выполняют-
выполняются, поскольку меняется связность области. Поэтому для системы
пересекающихся разрезов Ln (п = 0, 1, ..., Л/), образующих незамк-
незамкнутый разрез Lo + ... + Ln, N + 1 равенств (VI.29), должны
быть заменены одним, следующим из условия однозначности смеще-
смещений при обходе контура Lo + ... + LN.
Рассмотрим случай двух прямолинейных разрезов (N = 1),
образующих двухзвенную трещину. Пусть вдоль отрезка | х \ ^ /
оси Ох имеется основной разрез Lo, из правого конца которого под
углом а к оси Ох выходит боковой разрез Lx длиной 21Х (рис. 13).
Условие однозначности смещений при обходе контура ломаной тре-
трещины имеет вид
I yo(t)dt+ J vi(«rf/lS=0.	(VI.72)
Учитывая, что в данном случае а0 = 0, го = 0, а± = a, z\ =
= / A + eeta), б == IJI, систему (VI.70) запишем в нормализован-
нормализованной форме
1
я) fPi E)]« - ™ (n);	(Vi.73)
J Iffi (S. л) Ф). (?) + Ц. E, л) ф (?)] dg = n% (то,
13 1-685	193

где-
e[l-T|+e(l+?)cosa]
A—
Условие (VI,72) при этом преобразуется к виду
O.	(VI.75)
Из выражений (VI.74) видно, что L (I, ц) и Lx (l, т]) имеют непо-
неподвижные особенности, т. е. являются обобщенными ядрами. Следова-
Следовательно, функции ср (г\) и фх (rj) соответственно в точках т] = 1 и
Л = —1 имеют особенность, отличающуюся от корневой. Положим
Jl(]) ,t/- (VL76)
и будем считать, что i; (±1) и v± (±1) не равны нулю. На основе
соотношения (VI. 16) заключаем, что особенность функций <р (ц)
и ФхО]) в точках т] = ±1 такая же, как и максимальная особен-
особенность комплексного потенциала F (z) в угловых точках клиновид-
клиновидных областей, на которые разбивается тело ломаной или ветвящейся
трещиной.
Рассмотрим первую основную задачу продольного сдвига для
клиновидной области, ограниченной лучами 0 == ±у @^г<
< сю; z = ге'е). Будем искать при нулевых граничных условиях
на гранях клина нетривиальное решение этой задачи в виде
1).	(VI.77)
Учитывая равенство (VI. 10), при удовлетворении граничных усло-
условий получаем однородную систему уравнений
Im [Ле*'*1-»] =, 0	(VI.78)
относительно неизвестных А и А. Нетривиальное решение этой
системы возможно лишь при условии, что ее определитель равен
нулю, т. е.
sin2v(l—P) = 0.	(VI.79)
Наименьший положительный корень характеристического уравне-
уравнения (VI.79) определяется равенством
р==B7_ п)/2у.	(VI.80)
Отсюда следует, что функция F (г) имеет особенность в вершине
угла клина только при 2у > п.
194

Таким образом, неизвестная плотность у' (t) потенциала (VI. 17)
в узлах контура L (концы разреза, угловые точки и точки пересе-
пересечения), на котором заданы напряжения, имеет особенности только
в том случае, если при разделении тела контуром L получаются
клиновидные области с углами при вершине 2у > я. Эти особен-
особенности определяются соотношением (VI.80). В частности, отсюда
следует, что в концах разреза функция -у' (t) всегда имеет корневую
особенность ф = 1/2).
Для рассматриваемого случая ломаной трещины находим, что
в представлении (VI.76)
Р = а/(я+а) @<а<я).
Следовательно, порядок особенности функции у' (/) в угловых
точках всегда меньший, чем на концах разреза ф < V2). Поэтому
функции ф (т)) и ерх (rj) можно представить в виде
= "in; . ф1 ^ ^ "I vu ^ ^	(VI.82)
считая, что
иA) = 0; их(—1) = 0.	(VI.83)
Применив теперь к интегральным уравнениям (VI.73) и условию»
(VI.75) квадратурные формулы Гаусса — Чебышева A1.55) и
A1.56), найдем систему 2п — 1 алгебраических уравнений для
определения 2п неизвестных и (lk) и и± (lk) (k = I, 2, ..., /г), где
lk даются соотношением A1.53). Чтобы получить замкнутую систе-
систему, прибавим сюда еще уравнение, которое можно составить на
основе одного из равенств (VI.83) *, если представить функции
и (г)) и % (г\) в виде интерполяционного полинома Лаграпжа A1.58).
В результате
/г=1
п
п
-7Г 2. 1*1 (Ь, Ппд E») + Мб*. Лт)«(ЬI = Т!(т)т), (VI.84)
m == 1, 2, ... , /г— 1;
где узлы %k и г\т определяются формулами A1.53) и A1.54).
1 Расчеты показывают, что на эффективность численного решения практиче-
практически не влияет, какое из равенств (VI.83) используется для этой цели.
13*	195

Для коэффициентов интенсивности напряжений у левой
и правой (kf) вершин ломаной трещины получаем выражения
._ п
2k—\
я;
(VI.85)
Я.
Предложенная схема численного решения сингулярных инте-
интегральных уравнений (VI.73) является упрощенной в том смысле,
что здесь не выделены явно осо-
особенности функций ф (ц) при у\ = 1
и фх (г)) при л = —1. Она эф-
эффективна лишь в том случае, когда
не требуется определять распреде-
распределение напряжений в окрестности
w
-0,2
-0,8
-1,0
Si
-X
\
\
\
V
^У
f f M
Рис. 54.
угловой точки. Если необходимо исследовать концентрацию на-
напряжений вблизи точки излома трещины, то решение следует искать
в виде (VI.76), использовав при этом более сложные квадратурные
формулы (например, формулы Гаусса — Якоби), верно отражаю-
отражающие особенности решения в угловой точке.
Пусть берега трещины свободны от нагрузки, а на бесконеч-
бесконечности задан однородный сдвиг т, когда напряженное состояние
в сплошном теле определяется функцией Fo (z) (VI.46). Тогда
% (ц) = т sin у; тг (т)) == т sin (у — а).	(VI.86)
Для отношений IJI = 0,5 (рис. 53) и IJI = 1 (рис. 54) приведены
зависимости коэффициента интенсивности k3, отнесенного к т ]/,
от угла ориентации бокового разреза а при различных значениях
196

у:'. Сплошные кривые относятся к правой вершине трещины, штрихо-
штриховые — к левой. При 0 < у ^ я/2 величина ka максимальна в слу-
случае прямолинейного разреза (а = 0). Для я/2 < у <С я максимум
k3 достигается в вершине боковой трещины при угле а, близком
к у — я/2.
Расчеты показывают, что сходимость численного решения к
точному результату тем лучше, чем меньше угол а. В табл. 13 для
случая симметричной ломаной трещины (/ = /х), ветви которой
Таблица 13
V
0
зх/4
л/2
Зя/4
п=- 20
— 1,1953
—0,3181
—0,6163
0,6242
0,3234
1,2013
1,0744
1,0747
п =30
— 1,1966
—0,3193
—0,6182
0,6225
0,3221
1,2001
1,0744
1,0747
п = 40
—1,1972
—0,3199
—0,6190
0,6217
0,3215
1,1995
1,0744
1,0747
Точное решение
— 1,1985
—0,3212
—0,6204
0,6204
0,3212
1,1985
1,0745
1,0745
перпендикулярны между собой (а = я/2), приведены значения
kflx Y I (над чертой) и kjh У I (под чертой), полученные на основе
решения системы (VI.84) при различном числе уравнений 2п. Точ-
Точные результаты вычислены по формулам [233]
(VI.87)
sin Gя/12 + у);
2 ¦ 3~8/Ч]/ЬтA1я/12 +у)
Анализ данных показывает, что численные решения достаточно-
быстро сходятся к точному. При п = 20 относительная ошибка
численных результатов не превышает 1%.
Трехзвенные ломаные трещины. Пусть в бесконечном теле
имеется ломаная трещина, состоящая из трех прямолинейных
участков Lo, Lx и L2 (см. рис. 13). Будем предполагать, что трещина
свободна от нагрузки, а на бесконечности тело сдвигается усилиями
т, т. е. комплексный потенциал Fo (z) имеет вид (VI.46). В таком,
случае напряженное состояние тела симметрично относительно
центра трещины г = 0 и из условий симметрии можно записать
Y2(*2) = —Yi'^).	(VI.88)
С помощью последнего соотношения система трех интеграль-
интегральных уравнений (VI.70) приводится к двум уравнениям, которые в
197

нормализованной форме имеют вид (VI.73), где
(VI.89)
_.
B(l+S)cosal

(I -I- I]J + 2s (I 4- 4) (I + E) cos a + e2 0 + IJ/
Здесь /\i (?,т|) и L* (?, tj) определяются по формулам (VI.74).
Численное решение интегральных уравнений получим изложен-
изложенным выше методом. Таким об-
образом приходим к системе
(VI.84), в которой последнее
уравнение необходимо заме-
заменить следующим:
Ё
= 0. (VI.90)
о
Ш. Ж. Ж. ЯК. ОС,рад
6 3 2 3
Рис. 55.
0,7
0,3
-П.!
?' """
if
~е е
0 0
® ®
f
1 1
Рис. 56.
На рис. 55 и 56 в случае сдвигающей нагрузки на трещинах (VI.86)
(у = я/2) приведены зависимости коэффициента интенсивности к$
от угла ориентации боковых трещин а (кривые 2), когда отношение
У/ = 0,5 (рис. 55) или У1= 1 (рис. 56).
Рассмотрим теперь ломаную трещину, состоящую из участков
Lo, Lx и L3, когда боковые разрезы симметричны относительно оси
Оу (см. рис. 13). Пусть берега трещины свободны, а тело на беско-
бесконечности сдвигается усилиями т параллельно плоскости основного
разреза Lo (у = л/2). Тогда напряженное состояние симметрично
относительно оси Оу и из условий симметрии следует
Таким образом снова приходим к системе двух интегральных урав-
198

некий (VI.73), в которой
К1 '(gt Л) = 7<i (Б. Л) + е[2 A + е cos a) cos а + г (? cos 2а + ц)] X
X [4A + scosaJ + 4e(l + e cos а) (g-f n) cos а +
+ е2 (?2 + 2?г) cos 2а + гJ)]-1; (VI .92)
К1 n) = L*(? r\) i	e[l4-ii + e(l+§)cosa]
Здесь /Ci (g, г)) и L* (g, ri) определяются соотношениями (VI.74).
Численные результаты для данного случая ломаной трещины,
полученные на основе решения системы (VI.84), в которой послед-
последнее уравнение заменено равенством (VI.90), представлены на
рис. 55 и 56 (кривые 5).
Трещины ветвления. Пусть бесконечное пространство ослаблено
основным разрезом Lo, из правого конца которого симметрично
выходят два боковых разреза Lt и L4 (см. рис. 13). Интегральные
уравнения антиплоской задачи теории упругости для такой об-
области имеют вид (VI.70) (N = 4), где у2 (х2) = Тз (#3) = 0. Как
следует из проведенного анализа особенностей решения в точках
излома или ветвления трещины, функции у{ (хг) и 74 fo) ПРИ ^i—
= —/х и х4 = —1г ограничены (при 0<2^я/2). Следовательно,
численное решение интегральных уравнений (VI.70) можно полу-
получить аналогично предыдущим случаям ломаных трещин.
Будем считать, что на бесконечности задан однородный сдвиг
усилиями т в плоскости, параллельной основному разрезу (у =
= я/2). Тогда напряженное состояние антисимметрично относитель-
относительно оси Ох, поэтому имеет место равенство
(VI-93)
Условие однозначности смещений при этом запишется в виде
J y'o(t)dt + 2 J Vi ft)?»! = <>.	(VI.94)
Следовательно, последнее уравнение системы (VI.84)-необходимо
заменить равенством
0,	(VI.95)
а в остальных уравнениях
cos2a— 1— т].
(VI.96)
L (g, г]) = 2L* (|f T]); % (tj) = — %\ xx (r)) = — т cos a.
Здесь /(i (?, r\) и L* (g, л) находятся по формулам (VI.74).
199

На рис. 55 и 56 (кривые 4) приведены зависимости коэффициен-
коэффициента интенсивности k3 от угла а. Сплошные кривые относятся к боко-
боковым трещинам, штриховые — к основной. При а ->¦ О коэффициент
интенсивности стремится к некоторому вырожденному значению.
Рассмотрим более общий случай трещины ветвления, когда
с обоих концов основного разреза Lo симметрично выходят по два
боковых разреза Ьъ L4 и L2, L3 (см. рис. 13). На бесконечности тело
сдвигается усилиями т параллельно плоскости основной трещины
(у = я/2). Тогда неизвестные функции в системе интегральных
уравнений (VI.70) (N = 4) удовлетворяют условиям
72 (*,) = Тз (*.) = - 74' (*4) = - Ух <*i).	(VL97)
при.использовании которых приходим к уравнениям (VI.73), где
тг /е. . 	дгО /с. ч ,	- A + g) cos 2а — 1 — т)	,
Ai №, П; - Ai №, П; + A + gJ + A + пJ — 2 A + ?) A + г]) cos 2cc +
,	в [2 cos а -[- в B +1 + П)]	.	д/
L (g, г)) = 2L° (g, ti); т(г]) = —t; ^(t]) = — tcosa,
Здесь /С? (gf я) и ^° B» И) даются соотношениями (VI.92).
Зависимость величины къН ]/" / от угла наклона боковых тре-
трещин а, полученная на основе решения системы алгебраических
уравнений (VI.84) с учетом соотношений (VI.90) и (VI.98), показана
на рис. 55 и 56 (кривые 5). Здесь также для сравнения приведены
аналогичные результаты в случае двухзвенной ломаной трещины
(кривые /).
3. Периодические задачи
продольного сдвига тел с трещинами
Методом сингулярных интегральных уравнений исследуется рас-
распределение напряжений в бесконечном теле с системой трещин про-
продольного сдвига, когда форма разрезов и их размещение, а также
приложенная нагрузка удовлетворяют некоторым условиям пе-
периодичности.
Система трещин при циклической симметрии [207]. Рассмот-
Рассмотрим бесконечное пространство, ослабленное системой «туннельных»
разрезов при наличии циклической симметрии. Пусть в основном
секторе периодов имеется N криволинейных трещин Lk (к =
= 1, 2, ..., iV), отнесенных к локальным координатам xk и yk (см.
рис. 7). Каждая последующая система разрезов и нагрузок полу-
получается из предыдущей в результате поворота относительно точки
z = 0 на угол-у = 2п/М(М = 1, 2, ...). Тогда на основе соотноше-
соотношений (VI.26) находим
200

В качестве примера рассмотрим систему N дугообразных тре-
трещин, равномерно размещенных на окружности радиуса R. На бере-
берегах разрезов задана несамоуравновешенная нагрузка (VI.24).
Пусть контур- L — дуга окружности от точки z == Re~~ia до z =
= Reia. Из соотношений (VI.27) и (VI.99) получим уравнение
(индекс «I» всюду опущен)
^js, t'dL, (VI.100).
которое заменой
(|)tf(§tg) Г = со
преобразуется в сингулярное интегральное уравнение с ядром
Коши
f
(VI. 102)
где у' (I) = 7' @ со' (Б), т (т,) = т (со (т|)), I = tg (tfa/2).
Решением уравнения (VI. 102) при условии
= 0	(VI.103)
будет функция (см. формулу A.63))
(VIЛ 04)
Коэффициент интенсивности напряжений определяем по формуле
(VI.23), которую с учетом преобразования (VI. 101) можно пред-
представить в виде
(VI. 105)
На основании соотношений (VI. 104) и (VI. 105) находим
(VI. 106)
При действии на берега трещин постоянного сдвига т (/) = т =
— const, jx (/) == 0 коэффициент интенсивности напряжений
(VI. 107)
201

Заметим, что последний случай нагрузки реализуется, в частности,
при действии-в центре окружности сосредоточенной силы Q. Тогда,
согласно равенствам (VI.9) и (VI. 10), имеем т = Q/2nR.
Периодическая система разрезов. Рассмотрим бесконечную плос-
плоскость, ослабленную периодической системой трещин, причем в
основной полосе периодов шириной d (вдоль оси Ох) содержится
N разрезов Lk (k = 1, 2, ..., Л/), отнесенных к локальным систе-
системам координат xk0kyk (см. рис. 7). Каждая последующая система
разрезов образуется передвижением предыдущей на величину d
в направлении оси Ох. Выражение потенциала F (г), полученное
на основе соотношений (VI.26), имеет вид
N i n
F{z) = -W ? J "k {tk) ctg -f (П - z) dtk. (VI. 108)
Найдем решение задачи в случае периодической системы колли-
меарных или параллельных трещин [196, 216]. Пусть на оси Ох
вдоль отрезков — / + kd ^ х ^ / + kd (k = 0, ±1, ±2, ...) име-
имеются разрезы, на берегах которых задана несамоуравновешенная
нагрузка (VI. 13). Интегральное уравнение (VI.27) в данном случае
принимает форму
^@ ctg n{t~-x) dt = — x(x), \x\<l. (VI. 109)
Воспользовавшись решением (Ш.ЗО) и формулой (VI.23), полу-
получим коэффициенты интенсивности напряжений
я/ + ^ nt
ki =
уц-
nd . 2nl
sin—r—
. f|/ —i	—x{t)&t. (vi.no)
Для периодической системы параллельных трещин |#|^/, у —
= kd (k = 0, ±1, ±2, ...) будем иметь интегральное уравнение
^it-X) М=:-ч;(х), \х\<19 (VI.111)
решение которого дается формулой (III.66). Для коэффициентов
-интенсивности найдем выражение
nd .
-ТГ- sh
I/ 	^	—
—	/ r	th —г-.1?1 th —г-
%{t)dt. (VI. 112)
Рассмотрим также периодическую систему параллельных полу-
полубесконечных трещин л: ^ 0, у = kd (k = 0, ± 1, ±2, ...). Для этого
.202

произведем в соотношении (VI.112) замену переменной i *= r\—I
и запишем коэффициент интенсивности для левой вершины трещины
	 21
h = У —г \ I/ cth —J	cth —т— t (ri) dn. (VI. 113)
0
Здесь д^я нагрузки т (%) сохранено прежнее обозначение.
0,3	036>
Рис. 57.
0,3 а,б
Рис. 58.
Устремив в решении (VI. 113) / к бесконечности, найдем значение
коэффициента интенсивности ?3 для периодической системы полу-
полубесконечных параллельных трещин [373]
= 2_ С т
Уя4 J т/"'
(VI. 114)
Заметим, что для периодической системы внешних параллельных
разрезов | х\ > /, у = kd (k = 0, ±1, ±2, ...) также можно полу-
получить точное замкнутое решение антиплоской задачи теории упру-
упругости (см. параграф 3 главы III).
Пусть в основной полосе периодов имеется одна криволинейная
трещина L, форма которой определяется параметрическим урав-
уравнением / = о) (|), | ? | ^ 1. Будем считать, что берега трещин
загружены самоуравновешенной нагрузкой % (t) (\i (t) = 0). Тогда
интегральное уравнение периодической задачи запишем в виде
1
|t||<lf	(VI. 115)
——1
где
v' @ ©' О; ^(?) = -«(О I <">'¦© I;
(VI. 116)
203

Для случая, когда трещины свободны от нагрузки, а на беско-
бесконечности тело сдвигается параллельно плоскости xOz усилиями
т (Р (*]) =='—т Re w' (л))» интегральное уравнение (VIЛ15) решено
численно путем сведения к системе алгебраических уравнений
(VI.52). На рис. 57~т-59 приведены зависимости коэффициентов ин-
интенсивности напряжений к3, отнесенных к т ]/~Т, от безразмерного
параметра А, = 211 d при различных значениях 8 = б//, когда кон-
контур L является дугой окружности (рис. 57), дугой параболы
(рис. 58) или полуэллипсом
(рис. 59). Здесь 2/ — длина хор-
хорды, соединяющей вершины раз-
разреза L, а б — максимальное
удаление точек контура L от
этой хорды. При этом для дуги
имеем
окружности
(VI. 117)
0,2 0,4
Рис. 59.
а в случае разрезов вдоль па-
параболы или полуэллипса функ-
функция со (?) определяется форму-
формулами (VI.56) и (VI.57).
Двоякопериодическая система
трещин [207]. Пусть бесконечная
плоскость ослаблена двоякопериодической системой криволиней-
криволинейных разрезов, когда в основном параллелограмме периодов имеется
N разрезов Lk (k = 1, 2, ..., N)$ отнесенных к локальным коорди-
координатам xk и yk (см. рис. 7). При этом главный вектор суммарных
усилий, действующих на всех разрезах Ln, должен равняться ну-
нулю, что является необходимым условием существования решения
двоякопериодической задачи.
Воспользовавшись представлением (VI.26), построим так же,
как и в аналогичной плоской задаче теории упругости (см. параг-
параграф 5 главы III), комплексный потенциал напряжений
FB) =
(VI. 118)
где ? (z) — дзета-функция Вейерштрасса (III.153).
Постоянную А определяем из статических условий. Поскольку
нагрузка приложена только к разрезам и главный вектор суммар-
суммарных усилий, действующих на всех разрезах Ln (n = 1, 2, ..., N),
равен нулю, то
Im[/(z + cov)~/(z)] = 0, v^l,2.	(VI.119)
Здесь сох и (о2 — основные периоды.
204

Учитывая равенство
f(z + c^v)-f(z)^^^^TkHk{t)dtk + AcoVi v= 1,2, (VI. 120)
из системы уравнений (VI. 119) найдем
N
А - —кSi J [A^kHk{tk)dtk + А1ТкНЖ)Шк], (VI.12I)
где
А	2ni • л — Mi — Mi fi _ 9? f а* \ v— 12
(OjCOg — C010J	\	/
(VI. 122)
Считая, что во всех рассмотренных периодических задачах на
берегах разрезов задаются граничные условия (VI.24) и (VI.25),
получаем систему интегральных уравнений (VI.27) и (VI.28), в
которой функция F (z) дается соотношениями (VI.99), (VI. 108)
или (VI. 118). В случае двоякопериодической системы произволь-
произвольно ориентированных прямолинейных трещин продольного сдвига
такие уравнения построены в работе [199]. Отметим также работу
[27], в которой получены сингулярные интегральные уравнения
первой основной двоякопериодической задачи для системы криво-
криволинейных разрезов в анизотропной среде.
4. Система криволинейных трещин
в ограниченных или полуограниченных областях
Аналогично плоской задаче теории упругости (см. главы IV и V)
путем обобщения полученных выше результатов на случай замк-
замкнутых или бесконечных контуров рассматриваются основные гранич-
граничные задачи для ограниченных или полуограниченных тел с трещи-
трещинами продольрюго сдвига.
Основные антиплоские задачи теории упругости для полупро-
полупространства. Пусть в бесконечной плоскости имеется разрез L,
представляющий собой всю действительную ось Ох. Предположим,
что при переходе через контур L напряжения непрерывны, т. е.
*? = т(*), |*!<оо,	(VI.123)
а смещения получают скачок у (/) (VI. 14). Считая, что напряжение
т (х) на L известно и удовлетворяет условию Гельдера, а при боль-
больших | х\ имеет порядок о (\1х), из равенства (VI. 18) находим син-
сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи для полу-
полупространства
fa = -«fW. l*l<°°.	(VI-124)
205

Решение этого уравнения дается соотношением (IV.3)
i. и»)
Пусть тело занимает нижнее полупространство (у ^ 0). Тогда,
подставив в (VI. 17) решение (VI. 125), получим
•	(VI-I26)
Рассмотрим вторую основную задачу, когда на границе полу-
полупространства заданы смещения. Пусть при переходе через контур
L (| х | < оо, у = 0) смещения непрерывны, т. е.
Gw±^v{x)9 H<oo,	(VI.127)
а напряжения терпят разрыв \х (х) (VI. 13). Будем считать, что
функция vr (х) принадлежит классу Н и при больших | х | имеет
порядок о A/х). Из равенства (VIЛ9) получим интегральное урав-
уравнение
= "y'W. 1*1<оо,	(VI. 128)
решение которого имеет вид
и*>—Нт^г-	(VU29)
—СО
На основании формул (VI. 17) и (VI. 129) для нижнего полупро-
полупространства (у ^ 0) будем иметь
Полученные результаты (VI. 126) и (VI. 130). совпадают с извест-
известными решениями задач Неймана и Дирихле для полуплоскости
(см. [178], с. 10).
Система криволинейных разрезов в полупространстве [207,
2083. Пусть в бесконечном пространстве имеется N + 1 разрезов
Ln (п = 0, 1, ..., N),отнесенных к локальным системам координат
хп0„уп (см. рис. 7). Предположим, что контур LO представляет со-
собой действительную ось Ох (а0 = 0, Zq = 0), а остальные разрезы
находятся в нижнем полупространстве (у < 0). На контуре Lo
задана самоуравновешенная нагрузка т0 (х) (q0 (x) = 0), а на осталь-
остальных — скачки смещений уп (tn) и напряжений \in (tn) (n =
= 1, 2, ..., N). Воспользовавшись решением (VI. 125), исключим
206

в представлении (VI.26) одну неизвестиую'функцию Yo (*)• В резуль-
результате получим выражение потенциала F (z) для полупространства,
на границе которого задана нагрузка т0 (х):
»»	оо
. ТТ^ШЪкЛ ). Г xo(t)dt
(VI.131)
Совершенно аналогично найдем интегральное представление
функции F (z) для случая, когда на краю полуплоскости заданы
смещения v0 (х):
Р{г) ~ ±
В случае периодической задачи для полупространства с разре-
разрезами, когда каждая последующая система разрезов Ln (п = 1,2, ...
..., iV) и нагрузок получается передвижением предыдущей на рас-
расстояние d в направлении оси Ох, из соотношения (VI. 131) будем
иметь
/г=1 Lk L
-2) dt* ~
(VI.133)
Когда на границе полупространства заданы смещения, из выраже-
выражения (VI. 132) найдем
. (VI.134)
В (VI. 133) и (VI. 134) т0 (а:) и v0 (x) являются периодическими функ-
функциями с периодом d.
Рассмотрим задачу для одной криволинейной трещины L, отне-
отнесенной к системе координат хОу, когда на границе полупростран-
полупространства напряжения отсутствуют (т0 (#) = 0), а на берегах разреза зада-
задана самоуравновешенная нагрузка т (t) (fx (/) =» 0). Пусть форма
контура L определяется параметрическим уравнением / = со (I),
|?| ^ 1. Тогда на основании равенств (VI.27) и (VI. 131) получим
207

интегральное уравнение
где
j
y'(9 = y'(Q<»'F); P(S) = -t(O|«>'
/C(|, r!) = Re
(VI.135)
(VI. 136)
«(л)] (со (D —•
На рис. 60 и 61 представлены значения коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений k3, когда трещина расположена вдоль дуги АВ
параболы, проходящей через точ-
точки (±а, 0) и @, —б). Берега раз- . ~3=
реза свободны от нагрузки, а на
бесконечности тело сдвигается
усилиями т, т. е..
¦л.
1,0
0,8
OJB-
0,4
0,2
О
-0,2
-0.6
л
Ф
Ф1
Ф
p.
<2 i
1
1 \
-Z7,4 -/?/ 0,2 0,5 xA/a
Рис. 60.
~/7,ff -0,4 О 0,4 хл/а
Рис. 61.
(г)),	(VI.137)
где
— X
(VI. 138)
хл и Хд — абсциссы правого и левого концов разреза L. Сплош-
Сплошные линии относится к правой вершине трещины, а штриховые —
к левой.
208

В случае краевой трещины, когда вершина В выходит на границу
полупространства, зависимость коэффициента интенсивности k3
от значения абсциссы вершины разреза изображена на рис. 62.
Заметим, что численное решение интегрального уравнения (VI. 135)
получено путем сведения к системе алгебраических уравнений
(VI.52), причем для краевой трещины последнее уравнение в (VI.52)
следует заменить таким:
—1
4л " ~
= 0. (VI.139)
Это условие означает, что
коэффициент интенсивности
напряжений в начале трещи-
трещины, расположенном на краю
полупространства, равен
нулю.
Основные граничные зада-
задачи для многосвязной области.
Пусть в бесконечной плоскос-
плоскости имеется замкнутый криво-
криволинейный разрез L, разбива-
разбивающий всю плоскость на две
области: внутреннюю 5+
0,25
г-0,90
-0,45 О
Рис. 62.
0,45
и. внешнюю 5 . Положительным направлением обхода контура L
будем считать направление, при котором область S+ остается сле-
слева. Сделаем аналитическое продолжение из S+ в S~" таким образом,
чтобы при переходе через контур L напряжения оставались непре-
непрерывными, а смещения получали скачок у (/). Тогда комплексный
потенциал F (г), согласно формуле (VI.17), имеет вид
4^-.	(VI.140)
Легко убедиться, что функция (VI. 140) определяет такое напря-
напряженное состояние, при котором главный вектор Z усилий, прило-
приложенных к контуру L слева или справа, равен нулю. При этом вы-
выполняется равенство
-0,	(VI.141)
обеспечивающее однозначность смещений при обходе контура L
(в области S~~). Следовательно, представление (VI. 140) можно
использовать как для ограниченной области S+, когда выполнение
условия равновесия обеспечивает равенство пулю главного вектора
14 1-685
209

Z, так и для бесконечной области S , поскольку в последнем случае
этого можно достичь введением в F (г) известной добавки.
Удовлетворив с помощью соотношения (VI. 140) граничные
условия на контуре L при заданной на нем нагрузке, придем к син-
сингулярным интегральным уравнениям первой основной задачи для
внутренней и внешней областей, ограниченных контуром L. Проде-
Проделаем это в общем случае многосвязной области.
Пусть область S, занятая телом, ограничена одним или несколь-
несколькими замкнутыми контурами Lb L2, ..., ЬмУ LOy где первые М кон-
контуров расположены вне друг друга, а последний охватывает все
остальные. Конечные области, ограниченные контурами Ln, будем
обозначать S,t (п =1,2, ..., М), а бесконечную область — внеш-
внешность контура Lo через S^. Каждый контур Ln (п = 0, 1, ;.., М)
связан с локальной системой координат хп0пуп (система хоО0уь
совпадает с хОу), ось Опхп которой образует с осью Ох угол ап*
Точки Оп определяются в системе хОу комплексными координата-
координатами z°, причем z° ? S?. Положительным направлением обхода
контуров Ln (п = 0, 1, ..., М) будем считать то, при котором
область 5 остается слева (см. рис. 37).
Рассмотрим первую основную задачу, когда на контурах Ln
заданы напряжения
е"?=*«РЛ' '«eL» * = 0. 1, .... Af, (VI. 142)
где пп — внешняя нормаль к контуру Ln. Пусть Zn — главный
вектор усилий, приложенных к контуру Ln (п = 1, 2, ..., М).
Тогда комплексный потенциал F* (г) в области 5 можно предста-
представить в виде
м
А	. 143)
где функция F (z) голоморфна в области 5.
С помощью формул (VI.7) и (VI.10) граничное условие (VI.142)
запишем в форме
Im [е' <0«+а») F(Тп)} = т„(/„), tn?Ln, п = 0, 1, ..., М. (VI. 144)
Здесь 0„ — угол между положительной касательной к контуру Ln
и осью Опхп:
(VI. 145)
Следовательно, задача для произвольно заданной нагрузки сведена
к случаю, когда на границе области приложены усилия
G^T = T«^' /«eL«- n = 0>1	м' (VL146>
210

главные векторы которых на каждом контуре Ln в отдельности
равны нулю, т. е.	.
J *п (У dsn = 0, п - 0, 1, ..., М.	(VI. 147)
Здесь учтено, что для многосвязной конечной области, т. е. при
наличии контура Lo, главный вектор суммарных усилий, дейст-
действующих на всех контурах Ln (п = 0, 1, ..., УИ), равен нулю.
Решение граничной задачи (VI. 144) ищем в виде
j^	<VU48>
Подставив потенциал (VI. 148) в граничное условие (VI. 144) или
(VIЛ46), получим систему М + 1 сингулярных интегральных
уравнений
) + an = *n(t'n)f tn?Lm u = 0, 1, ..., M
(VI. 149)
для определения М + 1 неизвестных функций y'k (tk) (k = 0, 1, ...
..., М). Здесь F (Тп) — прямое значение потенциала F (г) (VI. 148).
В левые части уравнений (VI. 149) введены операторы
п
= 0, 1	М,	(VI.150)
которые, как легко показать, равны нулю при выполнении уело*
вий (VI. 147). Введение слагаемых ап позволяет доказать (см. па-
параграф 1 главы V) безусловную разрешимость системы интеграль-
интегральных уравнений (VI. 149). При отсутствии таких операторов система
(VI. 149) имеет решение лишь при условиях (VI. 147).
Рассмотрим вторую основную задачу для многосвязной облас-
области 5, ограниченной контурами Lo, Ll9 ..., Lm (см. рис.37), на кото-
которых заданы производные от смещений
G^ = t/*»(a tn?lm я = 0, 1	М. (
Комплексный потенциал F^ (z) представим в виде (VI. 143). Тогда
для функции F (z) получим граничные условия
Яе[ецдп^п)р(Тп)} = ^п^п)е{\ tn?Lm п = 0, 1, ..., М. (VI.152)
Здесь
vn (/„) - v.n (Q ~ ^ 2 Z* Re -h	о" • (VI. 153)
14*	211

В силу однозначности смещений в области S функции vn (tn)
удовлетворяют условиям .
.( vn(tn)dtn = 0, п = 0, 1, ..., М.	(VI. 154)
Ln
Решение граничной задачи (VI. 152), согласно формуле (VI. 17),
будем искать в виде1
LS M^_^_.	(VI.155)
Удовлетворив условия (VI. 152), получим систему М + 1 сингу-
сингулярных интегральных уравнений
/ @„ -f а„)	,	, ', /0
Re[e	n F{Tn)]+ba = vn{tn)e ", ' tnQLn, n = 0,l,...,M
(VI. 156)
для определения М + 1 неизвестных функций \ik (tk) (ft =
= 0, 1, ..., М). Здесь F (Tn) — прямое значение потенциала F (г)
(VI. 155).
В левые части уравнений (VI. 156) введены операторы
К = J Ип (ta) dsn, n = 0, 1, ..., М,	(VI. 157)
которые равны нулю при нулевых главных векторах усилий, при-
приложенных к контурам Ln. Заметим, что к такому случаю вторая
основная задача свелась с помощью представления потенциала
F^ (г) в виде (VI. 143). Введение слагаемых й„ позволяет доказать
(см. параграф 1 главы V) разрешимость системы интегральных
уравнений (VI. 156).
Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в
области 5, ограниченной замкнутыми контурами Ln (п = 0, 1, ...
..., УИ), имеется /V — М криволинейных разрезов Ln (п = М -f*
+ 1, ..., Af) (см. рис. 37). Каждый контур Ln (п = 0, 1, ..., Af)
связан с локальной системой координат х~пОпуп. На замкнутых
контурах и на берегах трещин заданы усилия
G-pL. ^ x^tn), tn?Lm л = 0, 1, ..., М\ (VI: 158)
С^^(и±Ма tn?Ln, n = M + l,...9N, (VI.159)
1цие условию равновесия
М п	N п
S ) т! (tk) dsk + 2 S If** {tk) dsk = 0. (VI. 160)
b=0 Lh	k~M-\-\ L.
удовлетворяю1цие условию равновесия
1 Здесь предполагается, что при переходе через контуры L^ смещения оста-
остаются непрерывными, а напряжения получают скачки fx/2 (tn).
212

Будем искать комплексный потенциал F^ (z) в виде (VI. 143),
где
* = о i м" (VI.161)
При удовлетворении граничных условий (VI.158) и (VI.159)
получим систему N + 1 сингулярных интегральных уравнений
Im [е'Ф* + V F (Т'п)] + ап =* хп (tn), С 6 Lm п - 0, 1, ..., N
(VI. 162)
для определения N + 1 неизвестных y'k (tk) (k = 0, 1, ..., N).
Здесь ап = 0 при п = M + 1, ..., N\ остальные величины ап на-
находятся по формулам (VI.150); F (Т'п)—прямое значение потен-
потенциала F (г) (VI. 161); функции %п (tn) даются соотношениями
(VI.145).
К левым частям уравнений (VI. 162) прибавлены операторы
(VI. 150), которые вместе с условиями
«tt.)*n = 0f n = M + lt...,N	(VI.163)
обеспечивают разрешимость системы (VI. 162).
Как видно из изложенного выше, сингулярные интегральные
уравнения антиплоских задач теории упругости для многосвяз-
многосвязных областей с отверстиями и разрезами строятся аналогично, как
и в плоских задачах (см. параграф 2 главы V). В частности, легко
могут быть получены интегральные уравнения второй основной
задачи, когда на всех контурах известны смещения, а также сме-
смешанной задачи, когда на одних контурах (замкнутых или разомкну-
разомкнутых) заданы напряжения, а на других — смещения.
Взаимодействие эллиптического отверстия и прямолинейной
трещины.1. Пусть бесконечная плоскость ослаблена эллиптиче-
эллиптическим отверстием Lon прямолинейной.трещиной Lx. Отнесем контур
Lo (обход против часовой стрелки) к декартовой системе координат
хОу, в которой форма эллипса определяется уравнением х = acosO,
у = Ъ sin 9, 0 ^ 8 < 2я. Центр трещины находится на оси Ох
в точке (d, 0). Разрез имеет длину 2/ и образует угол а с осью Ох
(см. схему на рис. 64). Берега трещины и край отверстия свободны
от нагрузки, а на бесконечности тело сдвигается усилиями т так,
что напряженное состояние в сплошном теле определяется функ-
функцией FQ (г) (VI.46). Комплексный потенциал F (z), согласна
Решение задачи получено автором совместно с М. Г. Билыком.
213

выражению (VI. 161), будем искать в виде
F(г) = Te~/V + -L ? J ykTl^f2k ,	(VI. 164)
•где
То = t0 = /; 7\ = t^ + d.	(VI. 165)
После замены
_ 7^ -acos^ t sin у -соф), (VI 16б)
систему уравнений (VI. 162) запишем в нормализованной форме
1	2к
(VI. 167)
j
Здесь
о (|3) = т (е cos P cos 7 + sin p sin у); е = 6/а;
*(Ч) - sin (а-7); /С(Е, Ч) - 1/F -?j);
М (G, 7]) = [cos а (cos 0 — щ cos а — v) + sin а (г sin 9 —
— lir\ sin a)]/[(cos Э — jxtj cos a — vJ + (e sin 9 —
— (XT] sin aJ]; jx = I/a; v = d/a;	(VI. 168)
?, (|t p) = — ji [sin p (|xg cos a + v — cos P) — e cos P (fxg sin P —
— e sin Р)]/[(ц? cos a + v — cos PJ + (f*? sin a — e sin pJ];
m - JL -L. sin p sin (F + P)/2) + e2 cos p cos ((B + p)/2)
i — 2 "^ 2 sin ((G — p /2) [sin2 (@ + P)/2) + e2 cos2 ((8 + p)/2)] #
Решение системы (VI. 167) при условии
i
Jxp(?)d?.-=O	(VI.169)
—1
получено численным путем х (см. параграф 5 главы V). На рис. 63—
66 показаны зависимости коэффициентов интенсивности напряже-
напряжений &з, отнесенных к т ]/ /, от параметра е = Ыа при различных
1 При численном решении системы интегральных уравнений (VI. 162) слага-
слагаемые ап необходимо оставлять, чтобы получить сходимость численного решения
к точному. В частности, в данном случае величине а0 соответствует слагаемое 1/2
в ядре N (9, Р). Вместо 1/2 можно взять любое действительное ненулевое число,
что не повлияет на результат численного решения системы (VI. 167).
214

0,25 1	2	J
Рис. 63.
0,25 12 3
Рис. 64.
4=
til
-0,4
-0,6
-0,8
4,0
Ac &
A
>
4=
г/Г
-0,25
0,40
-0,55
-0,70
/
/
/
/
/
/
/
/	i1	J
Рис. 66.
0,25 7 2 J г
Рис. 65.
значениях углов а и 7- У = л/2, а = 0 (рис. 63); 7 =т &!% а =
= я/4 (рис. 64); 7 ^ 0» а = я/2 (рис. 65); 7 = 0. а = я/4
(рис. 66). Кривые /, 2, 3, 4 относятся соответственно к случаям,
когда v = 2, fx == 0,5; v = 3, {х = 0,5; v = 3, (х == 1; v = 3,
(х = 1,5. Сплошные линии соответствуют правой (более удаленной
от края отверстия) вершине трещины, штриховые — левой.
Отметим, что при а = 0 иу== я/2 в работе [442] получено точное
замкнутое решение рассматриваемой задачи.
5. Трещины продольного сдвига в упругой области
с круговыми границами
Получены решения сингулярных интегральных уравнений основ-
основных антиплоских задач теории упругости для конечной или беско-
бесконечной области, ограниченной круговым контуром. Эти решения
215

используются при построении интегральных уравнений задач для
таких же областей с криволинейными разрезами, причем уравнения
задаются только на разомкнутых контурах. Построенные таким
путем сингулярные интегральные уравнения в случае внутренних
разрезов имеют такую же структуру, как и в задачах о системе
криволинейных трещин в бесконечном пространстве (см. параграф 1
настоящей главы).
Система разрезов в круговом цилиндре [207]. Пусть область
S, занятая телом, ограничена окружностью Lo радиусом R с центром
в начале системы координат хОу. Граница* области нагружена
усилиями
т„к = то(О, t?L0.	(VI. 170)
или на ней заданы смещения,
Gw(x,y)\u = v0(t), t?L0.	(VI. 171)
Тогда из равенств (VL149) и (VI. 156) получим интегральные урав-
уравнения
J^L«;	(VU72)
(VI.173)
для первой (VI. 172) и второй (VI. 173) основных задач. Здесь учтено,
что главный вектор усилий, приложенных к контуру Lo, равен нулю,
Используя формулу A.58), запишем решения уравнений (VI.172)
и (VI. 173)
МО—iJ-^?-	(VL.75,
Подставив эти решения в соотношения (VI.148) и (VI.155), получим
комплексные потенциалы F (z) для первой
(VI. 176)
и второй
F(z)^J^) -7=7—	(VI. 177)
основных задач, когда область S конечная (| г | < R).
Пусть круговой цилиндр радиусом R ослаблен системой N
криволинейных разрезов Ln(n= 1, 2, ..., N), отнесенных к ло-<
216

кальным координатам хп и уп (см. рис. 7). Тогда с помощью ре-
решений (VI.174) и (VI.175) аналогично, как и в плоской задаче-
(см. параграф 3 главы V), получим
t-г) '
(VI.I78>
N rr Hk(tk)dtk ,ткнШШкЛ , 1 Г «о(О««
р iy\ 	_1_ \ч \ Hk (h) dtk i Tk Hkih) dh i_ 1
r \*) """«;/, J I r. _ ^ ' 1 _^r ~ I ' ~^7~ J ^ _ 2
(VI, 179)
Потенциал (VI.178) или (VI.179) дает решение антиплоской задачи;
когда на разрезах Lk заданы скачки напряжений \ik (tk) и смеще-
смещений Yfe (/fc), а на границе цилиндра выполняется граничное условие
(VI.170) или (VI.171). При получении потенциала (VI.178) исполы-
зовано равенство
п	N
Я)*о@т-+2
U	k=\ Lk
которое выражает условие обращения в нуль главного вектора
внешних усилий, действующих на краю цилиндра Lo и на разрезах
При наличии циклической симметрии, когда каждая последую-
последующая система разрезов и нагрузок получается в результате поворота
относительно центра цилиндра предыдущей системы на угол у =
= 2п/М (М = I, 2, ...), из выражений (VI.178) и (VI.179) найдем
J^. (VI,82,
Здесь потенциал F (z) дается формулой (VI.99); функции т0 (t) и
v'q (t) удовлетворяют условиям циклической симметрии.
Система разрезов в бесконечной среде с круговой цилиндричес-
цилиндрической полостью [207]. Рассмотрим бесконечную плоскость, ослаб-
ослабленную круговым отверстием радиусом R. На границе области
Lo (| z | == R) выполняются условия (VI. 170) или (VI. 171). Пусть Zo —
главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру Lo- Тогда
для комплексного потенциала F (г) имеем
_	(VI.l83>
и
217

•в случае первой основной задачи (VIЛ 70) и
\^Т^	(VI.184)
для второй основной задачи (VI. 171). Здесь обход контура Lo осу-
осуществляется против часовой стрелки.
Функции уо (t) и [i0 (t) определяются соответственно по форму-
.лам (VI.174) и (VI.175), причем в соотношении (VI.174) вместо
т0 (t) следует положить
Ч @ = ^о (9 — Z0/2nR.	(VI. 185)
Тогда потенциалы (VI. 183) и (VI. 184) могут быть записаны в виде
при заданной на Lo нагрузке (VI. 170) и
*f <VU87>
в случае граничной задачи (VI. 171). Заметим, что полученные ре-
результаты (VI.176), (VI.177), (VI.186) и (VI.187) (при Zo = 0) сов-
совпадают с известными решениями задач Неймана и Дирихле для
круга и внешности круга (см. [178], с. 23—25).
Рассмотрим теперь бесконечную плоскость, ослабленную кру-
круговым отверстием радиусом R и криволинейными разрезами при
наличии циклической симметрии, когда каждая последующая
система разрезов Ln и нагрузок получается в результате поворота
относительно центра отверстия предыдущей системы на угол
у = 2nlM (M = 1, 2, ...). С помощью соотношений (VI.26) и (VI.186)
найдем
F(y\ - JL V f Г zMHk{tk)dtk
{VM88)
при заданных на границе Lo напряжениях (VI. 170). Для гранич-
граничной задачи (VI. 171) из выражений (VI.26) и (VI. 187) будем иметь
Л- V f Г ^lHk(tk)dtk
FIA - Л- V f Г ^Hk(tk)dtk ВЩШь ]
л)~* ™ ki[ к*м + 1Н '¦
218

В соотношениях (VI.188) и (VI. 189) функции т0 (/) и v'o (t) удовлетво-
удовлетворяют условиям циклической симметрии. При М = 1 отсюда полу-
получим потенциалы F (z) для бесконечной плоскости с круговым от-
отверстием, ослабленной системой N произвольно размещенных раз-
разрезов Ln (п = 1, 2, ..., N).
При подстановке функции F (z), выражающейся соотношения-
соотношениями (VI.178), (VL179), (VI.181), (VI.182), (VI.188) и (VI.189), в
равенства (VI.27) и (VI.28) найдем сингулярные интегральные
уравнения основных антиплоских задач теории упругости для ко-
конечной или бесконечной области с круговой границей, ослабленной
системой криволинейных разрезов. В частности, если трещина раз-
размещена на прямой, проходящей через центр граничной окружнос-
окружности, такие задачи приводятся к интегральным уравнениям [2221
решения которых могут быть получены в квадратурах 1267, 336,
371, 442].

Глава VII
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ
1. Интегральные уравнения стационарной задачи
теплопроводности для тела с разрезами
Основные соотношения плоской задачи теплопроводности.
Отнесем тело к декартовой прямоугольной системе координат
(а:, у, z), причем будем считать, что его температура не зависит от
координаты г. Тогда в неограниченном пространстве имеет место
плоское температурное поле. Последнее возможно также в цилинд-
цилиндрических телах произвольной длины, в том числе и в тонких плас-
пластинах, торцевые поверхности которых теплоизолированы, а гранич-
граничные условия на цилиндрических поверхностях одинаковы в любом
поперечном сечении. При этом стационарное температурное поле
Т (х, у) будет удовлетворять в области 5 поперечного сечения тела
уравнению Лапласа (см., например, [116], с. 16)
Я2Т	Л2Т1
+ f0
На контуре L области S функция Т (х, у) должна удовлетворять
некоторым граничным условиям. Обычно различают три вида гра-
граничных условий: граничное условие первого рода
когда на поверхности тела известна температура; граничное усло-
условие второго рода
если на контуре L известна плотность теплового потока (п — внеш-
внешняя нормаль по отношению к области S); граничное условие третье-
третьего рода
^+	С на U
когда на поверхности тела известна температура окружающей сре-
среды Тп теплообмен с которой совершается по закону Ньютона
(Н — коэффициент теплообмена).
Поскольку Т (#, у) в области S — гармоническая функция,
то ее можно представить в виде вещественной части некоторой ана-
аналитической функции / (г) комплексного переменного z = х + iy:
220

Поток тепла через произвольную дугу А В в области S с левой
ее стороны по отношению к направлению от А к В (см. [178], с. 35)
длв = - К Im [/ (zB) - f (*л)],	(VII.6)
где Xt — коэффициент теплопроводности.
Легко показать, что функция / (г) инвариантна при параллель-
параллельном переносе и повороте осей координат, т. е.
где комплексные координаты z и zx связаны соотношением (VI.6).
Температурное поле в теле с криволинейными разрезами. Пусть
в области 5, занимаемой телом, имеются гладкие криволинейные
разрезы, на берегах которых заданы тепловые потоки
или температура
скачок которой в концах контура L равен нулю (L — совокупность
разрезов). Предположим, что функция Т (х, у) удовлетворяет гра-
граничным условиям первого или второго рода на границе Lo области
«S, т. е.
Т = о (Л tf L	A/1I 10)
или	.
JJL^Xo(t), t?L0.	(VII. И)
Требуется определить комплексный потенциал / (z), через который
находится температурное поле в области 5.
Как видно из соотношений (VII.8) — (VII.11), сформулирован-
сформулированная задача аналогична рассмотренной в предыдущей главе антиплос-
антиплоской задаче для области S, ослабленной разрезами L, когда на ее
границе Lo заданы смещения или напряжения, а на берегах разре-
разрезов действует несамоуравновешенная нагрузка или известны их
перемещения. Таким образом, на основе результатов, полученных
в главе VI, можно записать решение гоаничной задачи
(VII.8) — (VI 1.11) для различных областей 5. Остается рассмотреть
случай, когда на границе тела Lo выполняются граничные условия
третьего рода (VI 1.4). Заметим, что на контурах разрезов L условия
(VII.4) не задаются, поскольку здесь невозможен теплообмен с
окружающей средой. Вместо них могут быть введены обобщенные
условия контакта берегов разрезов (так называемые теплопрово-
дящие трещины [85, 174]), что соответствует в антиплоских задачах
тонкостенным упругим включениям [81].
В дальнейшем более подробно будет рассмотрен случай термо-
термоизолированных трещин L, когда поток тепла через контур L равен
221

нулю. Пусть распределение температуры в сплошном теле без тре-
трещин описывается заданной гармонической функцией То (х, у).
Тогда общую температуру Т* (х, у) можно представить в виде
Г* (х, у) = То (х, у) + Т (xt У),	(VII. 12)
где Т (х, у) — возмущенное температурное иоле, вызванное на-
наличием разрезов. Поскольку трещины L термоизолированы, на их
берегах выполняется условие
которое с учетом (VII. 12) можно записать так:
Следовательно, случай термоизолироваиных трещин получим из
условий (VI 1.8) при fx (/) = 0, когда функция т (t) определяется
соотношением (VII. 14).
Рассмотрим термоизолированный разрез, расположенный в
бесконечном теле вдоль полосы \х\ ^ /, у = 0. Тогда, согласно
выражению (VI. 17), имеем
F (z) = /' B) = -+Г- | J^L,	(VII. 15)
где неизвестная функция 7' (*) удовлетворяет сингулярному интег-
интегральному уравнению
j {? =™(х), \х\<1.	(VII. 16)
Здесь
т(дг) = -
дТ„
ду
(VII. 17)
Решение уравнения (VII. 16) найдем по формуле A.63):
Подставив эту функцию в равенство (VII. 15), после перемены по-
порядка интегрирования и вычисления внутреннего интеграла будем
иметь [160]
F(z) —Д_ (^LEZLl^L.	(VH.19)
Зная функцию F (г), из соотношения (VII.15) находим f (z)t
а затем по формуле (VTI.15) определяем температуру Т (х, у).
222

В частности, еслит (х) = —q = const, т. е. основное температурное-
поле То (х9 у) такое, что через линию трещины в сплошной плос-
плоскости проходит однородный тепловой поток интенсивностью q, то из
выражения (VII. 19) находим
l--v^rY	(V1L20)
где принято, что Ар и больших \z \
Интегрируя равенство (VII.20) по zt получаем
/ B) = iq {z — V?=T2).
Постоянная интегрирования здесь равна нулю, поскольку функ-
функция / (г) должна исчезать на бесконечности. Следовательно, темпе-
температура Т (х, у) определяется формулой
Т (х, y)^qlm (У г2 — I2 — z).	(VII.23),
В дальнейшем понадобится представление
оо
J exp[— \sy\ — is(x-i)]ds,
(VII.24)
которое после вычисления интегралов приводится к выражению
(VII.23).
Система прямолинейных термоизолированных трещин [2141.
Пусть в бесконечной плоскости, отнесенной к системе координат
хОу> имеется N прямолинейных термоизолированных разрезов
длиной 21п (п = 1, 2, ..., N). Центры разрезов Оп определяются
координатами z°n = Хп + iyn- В точках Оп помещены начала локаль-
локальных систем координат хп0пуп, оси хп которых лежат на ли-
линиях трещин и образуют углы <хп с осью Ох (см. рис. 7). Пусть
общая температура Т# (xt у) в плоскости с трещинами представля-
представляется в виде (VII. 12). Тогда задача теплопроводности сводится к
определению исчезающей на бесконечности гармонической функ-
функции Т (дс, у), которая на берегах трещин удовлетворяет условиям
^ = М4 \xn\<lm	(VII.25)
где
= дТ0
дУп
^ — cos а„ 4^
дх	п ду
— cos а„ 4^I . (VII.26)
Функция F (г), согласно равенству (VI.26), запишется в виде
223-

Тогда из соотношений (VI.27) получим систему N сингулярных
интегральных уравнений
1п ,	N
7FS \	(t,x)dt = mn(x), \x\<ln9 (VII.28)
-'л	*=l -'*
п= 1, 2, ..., N
относительно неизвестных функций yk (xk), определяющих скачок
температуры при переходе через линии трещин. Здесь штрих у
символа суммы означает, что при k = п слагаемое равно нулю.
В равенствах (VII.28) и далее индексы в параметрах tk и хп опуще-
опущены. Ядра Ptlk (t, x) определяются соотношением
Xn = xt*a + z°n. (VII.29)
После замены
система (VII.28) приводится к виду
где параметр Я, характеризующий расстояние между трещинами,
определяется соотношением A1.39).
При малых значениях параметра Я, т. е. при больших относи-
относительных расстояниях между трещинами, для ядер P*nk (A|, А/ц)
справедливы разложения
= 2 Г t CnkpvlY"^	(VIL32)
р=0 v=0
Здесь
cnftpv - (- 1)P~V+1C? cos [(p + 1) %k — (p — v + 1) an — vaj;
(VII.33)
Cp — биномиальные коэффициенты; величина рл^ находится по
формуле A1.39).
Легко видеть, что система интегральных уравнений (VII.31)
является частным случаем системы A1.38). Поэтому ее решение
при больших расстояниях между трещинами может быть полу-
получено в виде ряда по степеням параметра К
(VII.34)
224

где неизвестные коэффициенты у*пр (х) определяются по рекуррент-
рекуррентной формуле
(VIL35>
Л У 1 — 1] fe=, s=0 v==0	_J
0» = l, 2, ...)•
Построенное решение пригодно только при больших расстоя-
расстояниях между трещинами. В других случаях решение системы
(VII.31) может быть получено численным путем.
Две коллинеарные трещины неравной длины [160]. Пусть на
оси х размещены два разреза различной длины 2/х и 2/2. Центры
трещин находятся в точках х = ±dl2. Тогда система интеграль-
интегральных уравнений (VII.28) принимает вид
с1 Yi @ dt с 79 @ dt
Д	Д	(VII.36)
\+ \=J=h = ^(x). \x\<1%..
-it
Определим из второго уравнения функцию у'ъ (х):
[.f
Подставив теперь у2 (х) из (VII.37) в первое из уравнений
(VII.36), сведем систему (VII.36) к одному уравнению
V(* + dJ — l\ y\ it) dt
t-x
!*K'i.	(VH.38)
решение которого дается формулой A.63). В частности, когда на
линии трещин падает однородный тепловой поток интенсивностью
15 1-685	225

q, т. е. тг (x) = т2 (x) = —q — const, будем иметь
y'n(x) = q--==={~ lf Xd~**"tC"=T- (л=1. * = 2 или
n==2, /г = 1).	(VII.39)
Здесь
С* = ~ {# + ll- d* + \сР - (/„ - lkf\ E (9)/K(p)};
P = 2 VUkW-Vn-W];	(VIL40)
/С (р) и ? (p)—полные эллиптические интегралы первого и второго
рода.
2. Интегральные уравнения плоских задач
термоупругостп для тел с трещинами
Плоские задачи термоупругости для изотропных тел, ослабленных
криволинейными разрезами, сводятся к интегральным уравнениям
соответствующих силовых задач относительно функций, состоящих
из двух слагаемых: производной от неизвестного скачка смещений
при переходе через контур разреза и функции, известной из реше-
решения задачи теплопроводности.
Основные соотношения плоской задачи термоупругости. Пусть
упругое изотропное тело, находящееся в состоянии плоской дефор-
деформации, отнесено к декартовой системе координат хОу. На основа-
основании обобщенного закона Гука можно записать соотношения
ax — [i (оу + аг) + ЕщТ = Е-^;
Оу) + Еа{Г = 0;
т --п(ди 1 dv
ху ~~ U [ ду + дх
где at — температурный коэффициент линейного расширения;
Т = Т (х, у) — температура тела; остальные обозначения такие
же, как и в параграфе 1 главы I.
Предположим, что тело находится под действием установившей-
установившейся температуры, т. е. Т (х, у) является гармонической функцией
переменных х и у и ее можно представить в виде вещественной час-
части некоторой аналитической функции / (z) (VI 1.5). Тогда ком-
компоненты напряжений в области, занимаемой телом, удовлетворяют
обычным условиям равновесия, как если бы тело было равномерно
нагрето (Т = 0). Следовательно, их можно выразить через две
аналитические функции Ф (г) и х? (z) комплексного переменного г
226

с помощью соотношений A.4) и A.5). Компоненты перемещений на
основе формул (VI 1.41) определяются уже через аналитические
функции ф (z), а|) (г) и § f (z) dz. Окончательные формулы пред-
представим в виде (см. [178] с. 72)
y	y	z) + 4?{z)];	(VII.42)
2G{u + iv)	^ ^R	J
где к = 3—4 ц,; |3, = а^. Аналогичные формулы имеют место
для плоского напряженного состояния с тем, однако, различи-
различием, что .
х = C — [i)/( 1 + Ц)> р, = atE/( I + ji).
Поскольку в формулы для напряжений не входят функции, за-
зависящие от температуры, остаются справедливыми выражения для
главного вектора A.7) и главного момента A.9), формулы преоб-
преобразования комплексных потенциалов Ф (z) и Чг B) при переходе
к новой системе координат A.11) и все соотношения, связывающие
компоненты напряжений с функциями Ф (г) и 4х (z), полученные
в условиях силовой задачи.
В случае первой основной задачи термоупругости, когда на
границе L области S заданы внешние напряжения, граничное усло-
условие имеет вид A.14) или A.16). Для второй основной задачи, когда
на контуре L известны перемещения, граничное условие получа-
получается предельным переходом из последнего равенства (VI 1.42)
(VII. 43)
где и (t) и v (t) — известные на L функции.
Продифференцировав обе части равенства (VI 1.43) по t, полу-
получим иную форму граничного условия для второй основной задачи
термоупругости
нф (о - W) - 4 иШГ^+?&]+м w e 2G [и' ^ +iv' ('ft
t?Ly'	(VII.44)
где производная dildt определяется соотношением A.18).
Термоупругое состояние тела с трещинами. При решении зада-
задачи термоупругости для области S с разрезами, берега которых сво-
свободны от нагрузки, необходимо определить термоупругое состояние
сплошной области 5, обусловленное температурным полем То (х, у),
и найти компоненты напряжений на линиях разрезов. Затем сле-
следует решить силовую задачу, считая, что к берегам трещин прило-
приложены усилия, равные по величине и противоположные по знаку
найденным напряжениям. Кроме того, нужно установить распре-
15*	г	227

деление напряжений, вызванных возмущенным температурным
полем Т (х, у). В дальнейшем рассмотрим последнюю задачу,
поскольку решения первых двух задач известны.
Пусть в упругой изотропной плоскости, находящейся под дейст-
действием стационарного температурного поля Т (х, у), имеется глад-
гладкая криволинейная трещина L (или система таких трещин), берега
которой не контактируют и свободны от нагрузки, т. е.
N± + iT±=:Oi t?L.	(VII.45)
Сначала получим решение вспомогательной задачи, когда при
переходе через контур L напряжения остаются непрерывными,
а смещения получают скачок g (/), т. е. имеют место равенства
(N + iTf- — (N + 1ТУ = 0;	(VII.46)
d
2G
t?L,
а на бес-
беспричем на концах разреза скачок смещений равен нулю,
конечности напряжения и вращение отсутствуют.
Воспользовавшись соотношениями A.16) и (VII.44) и записав
левые части равенств (VII.46) через комплексные потенциалы
Ф B), ? (г) и / (г), после несложных преобразований получим
A + х) [Ф+ (о - Ф- (/)] + р, [/+ @ - Г @1 = Hi + *)g' @;
[?Ф' (t) + W (t)]+ — [iO* (t) + W@]~ =	(VII.47)
Подставив сюда известные из решения задачи теплопроводности
значения /* (/), придем к граничным задачам A.69) и A.70). При
этом на берегах трещины могут быть заданы различные температур-
температурные условия [164]. В дальнейшем ограничимся случаем, когда тре-
трещина L термоизолирована. Тогда, согласно выражению (VI. 17),
имеем
Отсюда
(t)dt_
г — z
(VII.49)
Следовательно,
f+ (t) — f~(t) = 27 @, t?L.	(VII.50)
Подставив последнее выражение в равенства (VIL47), получим
краевую задачу A.69) и A.70)
ф+ (/) _ ф~ (/) = i [gf (/) _j_ 2/67 {t)\ = iG @; б = P//(l	+ y)\
'_	(VII.51)
[/Ф' @ + Y @]H" - [W (t) + xlr (t)}~ = i [Щ - G @1 -§-, te L%
228

решение которой дается соотношениями A.71) и A.75). В данном
случае будем иметь
2я ] /-г '
(VII.52)
J
Таким образом, комплексные потенциалы Ф (z) и гР (г) стаци-
стационарной задачи термоупругости для плоскости с термоизолирован-
термоизолированными трещинами имеют такую же зависимость от функции G (/),
как и в случае силовой задачи от функции g' (/). Очевидно, что
в общем случае, когда, кроме температуры Т (х, у), на тело дейст-
действует силовая нагрузка, приложенная к берегам термоизолирован-
термоизолированных разрезов, комплексные потенциалы Ф(г) и?(г) выража-
выражаются по таким же формулам, как и в силовой задаче, с тем лишь
различием, что к функции Q (t) прибавляется слагаемое 2/бу (/)¦,
Учитывая сказанное выше о тождественности некоторых соот-
соотношений в термоупругой и силовой задачах, приходим к важному
заключению: интегральные представления комплексных потенциа-
потенциалов Ф (г) и х? (г) и интегральные уравнения первой основной задачи
стационарной термоупругости для односвязной области 5 с N термо-
термоизолированными трещинами Ln (n = 1, 2, ..., N) совпадают с ана-
аналогичными соотношениями соответствующей силовой задачи, если
в последних заменить неизвестные функции Qk (tk) на
Gh (tk) = Qk (tk) + 2i8yk (tk), tk ? Lk.	(VII. 53)
Здесь функции yk (tk) известны из решения задачи теплопровод-
теплопроводности.
Заметим, что приведенный способ решения задач термоупругос-
термоупругости для тела с термоизолированными трещинами предложен в рабо-
работах [195, 197]. При этом рассматривался случай системы произволь-
произвольно ориентированных прямолинейных разрезов. Однако, как видно
из приведенных результатов, точно так же можно поступать и в
случае криволинейных разрезов [83]. Предложенный подход удо-
удобен для практического применения, поскольку решения задач тепло-
теплопроводности, термоупругости и силовой задачи находятся единообраз-
единообразно, причем здесь не требуется искать возмущенное температурное
поле во всей области, занимаемой телом, а достаточно знать скачок
температуры при переходе через линию трещин г.
Исследованию температурных полей и напряжений в телах с
трещинами посвящен ряд работ/к[79,80,158, 160, 382]). Некоторые
1 Напомним, что при плоском напряженном состоянии пластина считается
теплоизолированной с боковых поверхностей. При других граничных условиях
па боковых поверхностях пластины способ решения задачи термоупругости оста-
остается таким же, однако изменяется метод решения задачи теплопроводности
" (см., например, |226", 280J).
229

из них будут в дальнейшем указаны при рассмотрении конкрет-
конкретных плоских задач термоупругости для областей с термоизолиро-
термоизолированными разрезами.
Термоизолированная трещина конечной длины в упругой плос-
плоскости. Пусть в упругой изотропной плоскости, находящейся под
действием стационарного температурного поля Т (х, у), имеется
термоизолированная трещина | х | ^ /, у = О, берега которой
свободны от нагрузки. Тогда интегральное уравнение задачи будет
иметь вид
|^0, \х\<1,	(VII.54)
где G (t) определяется соотношением (VI 1.51).
Решением уравнения (VII.54) будет функция
<VII'55>
Проинтегрировав это равенство в пределах от —/ до I, найдем по-
постоянную
А = 26 f у @ dt = — 26 f ty' @ dt.	(VII.56)
г/	/
-г/
Здесь использовано соотношение (VII.51), а также условия, что
скачки смещений и температуры в вершинах трещины равны нулю.
Подставив в уравнение (VII.56) функцию у' (/) из (VII.18), полу-
получим

А = —26 [Vl* — t2x(t)dt.	(VII.57)
-i •
Зная функцию G (f), по формулам (VII.52) можно определить
комплексные потенциалы Ф (г) и х? (г), т. е. найти полное решение
задачи термоупругости. В частности, коэффициенты интенсивности
температурных напряжений у вершин трещины находятся из
соотношения
?± _ iki = qp lim []/21 t — l±\G (t)]9	(VII.58)
где нижние знаки относятся к началу (z == Г"), а верхние •— к
концу (z = /+) разреза. Формула (VII.58) следует из A.91), если
учесть, что функция у (t) ограничена в вершинах трещины.
На основании соотношений (VII.55), (VII.57) и (VII.58) нахо-
находим [1953
Ь± 	 -г-	I T/Al//2 /2/f/. А± 	 Г)	А/ТТ ^С^
—/
23.0

Заметим, что эта формула дает лишь ту составляющую коэффициен-
коэффициентов интенсивности напряжений, которая обусловлена возмущенным
температурным полем- Т (х, у).
Пусть тело находится под действием однородного теплового
потока интенсивностью q на бесконечности, направленного перпен-
перпендикулярно к линии трещины. Тогда температурное поле
T0{x,y)-qy	(VIL60)
не вызывает напряжений в сплошной плоскости и из формул
(VII. 17), (VI 1.59), (VI 1.60) находим полное решение задачи
k$ - ± q&lVl kf = 0.	(VII.61)
Этот результат впервые получен другим путем в работе [2321.
Полубесконечные термоизолированные трещины [160]. Если
в формуле (VI 1.59) для коэффициента интенсивности в левой верши-
вершине трещины {kj) произвести замену переменной интегрирования
t — f — /, т. е. перенести начало системы координат хОу в левую
вершину разреза, а затем перейти к пределу при / -> оо, получим
Г
(/)у}dt\ kx = 0.	(VIL62)
о
Это соотношение дает составляющее коэффициента интесивности
напряжений у вершины полубесконечной трещины \х\ ;> 0, у = 0,
обусловленное возмущенным температурным полем Т (л;, у).
Рассмотрим также задачу термоупругости для бесконечной плос-
плоскости с двумя полубесконечиыми термоизолированными разрезами
1*1 ^ U У = 0» берега которых свободны от напряжений. Интег-
Интегральное уравнение задачи имеет вид
(VH.63)
Поскольку главный вектор усилий, приложенных к верхней или
нижней полуплоскости, равен нулю, на основании соотношения
A.163) приходим к заключению, что уравнение (VII.63) имеет
только нулевое решение. Следовательно, возмущенное температур-
температурное поле Т (х, у) не вызывает неограниченных напряжений в бес-
бесконечной плоскости с внешней термоизолированной трещиной | х \ >-
>• /, у = 0. Таким образом, в данном случае коэффициенты интен-
интенсивности напряжений будут иметь только слагаемые, обусловлен-
обусловленные основным температурным полем То (х, у).
3. Система прямолинейных
термоизолированных трещин в упругой плоскости
Интегральные уравнения задачи 1193, 197]. Рассмотрим упругую
изотропную плоскость, ослабленную N прямолинейными трещина-
трещинами длиной 2/„ (п =5 1, 2, ..., N). Каждая трещина связана с
231

локальной системой координат хп0пуп, ось Опхп которой направле-
направлена по линии разреза и образует угол ап с осью Ох (см. рис. 7).
Пусть температурное поле в сплошной плоскости описывается за-
заданной гармонической функцией То (х, */), которая вызывает в
плоскости с термоизолированными трещинами возмущенное темпе-
температурное поле Т (х, у). Определим термоупругое состояние плос-
плоскости с разрезами, вызванное температурой Т (х, у). Будем счи-
считать, что берега трещин свободны от нагрузки и не контактируют.
Тогда, согласно заключению, сделанному в предыдущем параграфе,
система интегральных уравнений для рассматриваемой задачи тер-
термоупругости имеет вид A1.36), где неизвестные функции gk (t)
следует заменить функциями
Gk{t)^=gk(t) + 2i6yk(t).	(VII.64)
В результате
Г
-i «-i
\x\<ln (n = l, 2, .... Л0,
где ядра Knk (ty x) и Lnk (t, x) даются формулами A.151),
Систему (VII.65) необходимо решить при условиях
j Gn (t) dt = iAn = — 2/6 J tyn (t) dU	(VII.66)
которые обеспечивают однозначность смещений в области, занима-
занимаемой телом. Постоянные Ап можно считать известными, поскольку
они могут быть определены при решении системы (VI 1.28) для
соответствующей задачи теплопроводности.
Предположим, что бесконечная плоскость с системой коллине-
арных термоизолированных трещин (ak = 0, у\ = 0, k = 1, 2, ...
..., Щ, берега которых загружены произвольной несамоуравнове-
шенной нагрузкой A.148), находится под действием стационарного
температурного поля. Тогда система интегральных уравнений зада-
задачи запишется в виде
(VII.67)
где неизвестные функции
Gn (х) = gn (x) + i %=± qn (x) + 2i8yn (x)	(VII.68)
должны удовлетворять условиям
j Gn (/) dt = i ]ЛП + -i- %=± (Xn + /rrt)] . (VII.69)
232

Здесь Хп и Уп — компоненты главного вектора внешних усилий,,
приложенных к берегам трещины A.154); постоянная Ап дается
соотношением (V11.66).
Таким образом, между интегральными уравнениями плоских
задач теории упругости и термоупругости для системы коллинеар-
ных термоизолированных трещин, нагруженных несамоуравнове-
шенными усилиями, имеется полная аналогия.
Две коллинеарные термоизолированные трещины [160]. Пусть
на оси Ох размещены две прямолинейные трещины различной дли-
длины 2/х и 2/2. Центры трещин находятся в точках х — ±dl2. Берега
разрезов свободны от нагрузки. Тогда система интегральных урав-
уравнений (VII.65) или (VII.67) запишется в виде
Д	Д	(VII.70)
Решая эту систему так же, как и уравнения (VII.36), получаем
m V(l2n - *2) Их - (- 1)" rfJ - /?]
(n= 1,^ = 2 или n = 2, Jfe = 1),	(VII.71)
где
- 1)" d) П (dn, p)] j.	(VII.72)
Здесь К (р) и П (dn, p) — полные эллиптические интегралы с па-
параметрами
^зо—У^ . ,2 ; 4 =	—	• (VIL73)
На основании соотношений (VII.58) и (VII.71) найдем значения
коэффициентов интенсивности напряжений
± = о (VII.74)
(/г = 1, /е = 2 или л = 2, А =1).
Следовательно, задача свелась к определению постоянных Л л
и Л2 из решения соответствующей задачи теплопроводности. В даль-
дальнейшем ограничимся случаем, когда на трещины надает однород-
однородный тепловой поток интенсивностью q. Тогда решение задачи тепло
. 233

шроводности дается формулой (VII.39). Из соотношений (VII.39)
и (VI 1.66) получим
- Id2 - (/„ - lkf) -f|j-} П (dn, p)J
(n = 1, fc = 2 или /i = 2, fe = 1),	(VII.75)
где ? (p) — полный эллиптический интеграл второго рода.
Таким образом, при действии на плоскость с двумя коллинеар-
пыми разрезами температуры То (х, у) (VI 1.60) коэффициенты
интенсивности напряжений определяются соотношениями (VII.72),
(VII.74) и (VII.75). При этом получаем полное решение задачи,
поскольку линейное температурное поле (VI 1.60) в сплошной
плоскости не вызывает температурных напряжений. Заметим, что
решение (VII.74) другим путем получено в работе [84]. Положив
в формулах (VI 1.72), (VII.74) и (VII.75) 1г = 12 = /, найдем
коэффициенты интенсивности в случае двух равных термоизоли-
термоизолированных трещин [82]
= О, (VII.76)
где X = 2lld.
Приближенное решение задачи при больших расстояниях
между трещинами [217]. Система сингулярных интегральных урав-
уравнений (VI 1.65) задачи термоупругости для плоскости, ослабленной
N термоизолированными разрезами, может быть решена в общем
случае расположения трещин численным путем. При больших рас-
расстояниях между разрезами можно получить также ее аналитическое
решение, если воспользоваться соотношениями A1.42), A1.44),
(VII.34) и (VII.35). В качестве примера рассмотрим бесконечную
плоскость с двумя равными термоизолированиыми трещинами
(h = 4 == 0 произвольной ориентации при действии однородного
теплового потока на бесконечности (VI 1.60). Для коэффициентов
интенсивности температурных напряжений получаем выражения
-~- = + (- if \ [sin (Зр - 2а„ - ak) + sin (P- 2а„ + ak) -
— 2sin(P —aA)]cosa* + -Ig- [3 sin Bp — ап — ак) —
— 2 sin DE — За,2 — ak) — sin BE — Зап + ak)] cos ak =F
^ <- J)" Ж ([sin № ~ 2art - a,) - 2 sin (P - ak) +
534

+ sin (p — 2an + ak)] cos an cos Bp — a,t — a,) —
g- [4 sin (P — an) + 3 sin (p + art — 2aJ + 3 sin Ep — 3a,2 — 2afe)-
— 2 sin CP — an — 2ал) — sin (P — 3an + 2aA)l cos an +
+ [3 sin EP — 4art — ak) + 3 sin Ep — 2а„ — Зал) +
+ sin Cp — 4an + ock) — 5 sin Cp — 2an — ak) —
- 2 sin 3 (P — a*)] cos a,) + -^- {|3 sin Bp — ая — ал) -
—	2 sin Dp — 3an — ak) — sin Bp — За„ + алI Х
X cos BP — an — ak) cos an + [3 sin 2 ф — ал) +
+ 4sin2Cp — 2а„ — aJ + sin4(P — an)+2sin2(P — aj —
—	5 sin 2 BP — an — aj — sin 2 (P — 2art + ak) —
3
—	sin BaA — art)] cos an	^~ lsin DP ~ ^a« + aJ + 4 sin Fp —
—	5а„ — ak) — 7 sin D0 — 3an — ал) — 6 sin Df3 — an — 3aft) +
+ 8sin3BB —а„ —a/e)]cosa/e| + O(^5);	(VII.77)
^ = cos art=F (— l)*-f [cos CP — 2art — aA) + cos (P - 2an + afe)] x
X cos afe + -jg- [3 cos BP — an — a/e) — 2 cos Dp — 3a;i — ak) —
- cos BP - 3art + a,)] cos a, =f (- 1)" ~ {(cos C0 - 2а„ - a,) +
+ cos (p — 2an + ak)] cos Bf3 — art — ak) cos aa +
+ [3 cos EP — 4an — ak) — 3 cos CP — 2an — ak) +
+ cos CP — 4art + ал) + 3 cos Ep — 2а„ — 3afe)] cos ak —
-L [4 cos (P - ал) - cos (P + an - 2a,) - cos CP - an - 2a,) -
— cos (P — За„ + 2a4) + 3 cos EP — 3art — 2aJ] cos а/г} +
— cos BP — 3art + a,)] cos Bp — an — ak) cos а„ +
+ [cos2(P-a,)— l + 4cos2Cp — 2art - a,) + cos 4 (P — an)+
4 cos 2 (p — ая) — 3 cos 2 BP — an — ak) — cos 2 (p — 2art + a,) —
— cos 2 (aA — a^)] cos an	^ lcos DP — 5an + ал) + 4 c°s Fp —
235

— 5а„ — а к) + 8 cos 3 B0 — ая — ал) — 7 cos D|3 — За„ — ak) —
— 4 cos DР — ап — 3aft)] cos а Л + О (Хб)
(/г = 1, /г = 2 или /г = 2, fe = l).
Здесь ?* — коэффициент интенсивности напряжений /г* для одной
термоизолированной трещины (VII.61); Р = Р21 = Pi2 + ^ —
угол между вектором 0г02, соединяющим центры трещин, и поло-
положительным направлением оси Ох; $,гц = arg (?п — z^); A» = 2//d.
Анализ полученного решения (VII.77) показывает (см. [160,
217]), что в случае воздействия линейного температурного поля на
бесконечную плоскость с двумя термоизолированными трещинами
взаимодействие разрезов в отличие от действия силовых нагрузок
всегда приводит к понижению прочности тела. Отметим, что при-
приближенное аналитическое решение задачи о термоупругом состоя-
состоянии плоскости, ослабленной произвольно ориентированными тре-
трещинами, построено также в работе [87].
4. Периодические задачи
термоупругости для тел с разрезами
Интегральные уравнения плоской задачи термоупругости для
бесконечной плоскости, ослабленной системой криволинейных
термоизолированных трещин, легко записать на основе результа-
результатов, полученных в параграфе 2 главы III. В общем случае формы
разрезов такие уравнения могут быть решены численно. Ниже пост-
построены точные и приближенные аналитические решения периоди-
периодической задачи термоупругости в случае прямолинейных разрезов.
Периодическая система коллинеарных термоизолированных
трещин [197]. Пусть в бесконечной плоскости на оси Ох размещена
периодическая система разрезов — / + kd ^ x ^ I + kd (k = 0,
zhl, ±2, ...), берега которых свободны от нагрузки. Основное тем-
температурное поле То (ху у) в сплошном теле без разрезов периодично
по координате а: с периодом d. Тогда интегральное уравнение плос-
плоской стационарной задачи термоупругости для такой области имеет
вид
^> й = о, \х\<1.	(VII.78)
jfflctg
Решение этого уравнения при условии
f G (t) dt =iA=— 2*5 J ty' (t) dt	(VII.79)
находим с помощью соотношения A11.30)
iA	(VII.80)
зх/ , 9 nx
236

Учитывая формулу (VII.58), запишем выражение для коэффи-
коэффициентов интенсивности температурных напряжений
nl
A cos —т-
kj = ± —?== п f ; А,*=0.	(VII.81)
nd
Поскольку функция у' (х) известна (II 1.30) из решения периоди-
периодической задачи теплопроводности (VI. 109), постоянную А найдем
из равенства (VI 1.79)
А ==— •
где
Нх (t) = In
1/1-
Vх-
f-tg2
htg2
nl
d
nl
d
2 n/
d
2 Jl/
g d
d
(VI1.82)
(VII.83)
Подставив соотношение (VII.82) в (VII.81), получим те состав-
составляющие коэффициентов интенсивности напряжений, которые обус-
обусловлены возмущенным температурным полем:
я(х+1) I/ ixrf tg
nl
.ТтйЯЛОй; fei* =0. (VI 1.84)
В случае однородного теплового потока на бесконечности,
направленного под прямым углом к линии трещин (т (х) = —q)t
из (VI 1.84) будем иметь полное решение задачи
nl
ndtg
nl
In
cos-
± =0. (VIL85)
Отсюда при d-> oo приходим к результату (VII.61) для одиночной
трещины в бесконечной плоскости.
Температурные напряжения в пластине с периодической систе-
системой параллельных термоизолированных трещин [2001. Рассмот-
Рассмотрим находящуюся в стационарном температурном поле бесконеч-
бесконечную упругую плоскость, ослабленную периодической системой
параллельных разрезов |x|^Z, у = kd (k = 0, ±1, ±2,...).
Считая берега трещин свободными от внешней нагрузки, на осно-
основании соотношения (II 1.56) запишем интегральное уравнение
задачи термоупругости для такой области:
G(Qcth
cth
n(t — х)
dsh2
n{t-x)
\x\<l.
(VII. 86)
237

Отделяя действительные и мнимые части, получаем два действи-
действительных интегральных уравнения:
j v' (t) /d (t — x)dt = 0;	(VII.87)'
	/
f U (t) K2 (t —x)dt = 0.	(VII.88)
Ai
Здесь
U (t) = ur @ —26y@;	(VII.89)
ядра /Ci (x) и К2 (х) даются формулами (III.59) и (III.72); функции
и1 (t) и v' (t) связаны с g' (t) соотношением (II 1.57).
Как следует из равенства (II 1.66), уравнение (VII.87) имеет
только нулевое решение. Поскольку функция V (f) удовлетворяет
условию
[ U (/) dt = 2S f ty' (t) dt^—A,	(VII.90)
-/	• ~/
приближенное замкнутое решение уравнения (VII.88) получим с
помощью соотношения (III.79) и (III.80):
1/(*)	Ас
Ж (th cl) ch ex /th2 с/ — th2 ex
о =
где Я" (a) — полный эллиптический интеграл первого рода.
Коэффициенты интенсивности температурных напряжений запи-
запишем на основании соотношения (VII.58)
т=М
2 /cth с/ К (th с/)
f = 0.	(VII.92)
7
Вычислив теперь по формуле (VII.90) постоянную Л, из (VII.92)
найдем коэффициенты интенсивности, обусловленные возмущен-
возмущенным температурным полем:
f x @ Я2 (/) Л; А? = 0, (VII.93)
где
K(thcl) J
—/
H% (t) = arcsin ¦—-г—,	=rr + arcsin •
th-2L
a
(VII.94)
При однородном тепловом потоке q, направленном перпендику-
л5грно к линиям трещин (т (х) = —q), л\з выражений (VII.93)
23В

будем иметь
l)/cth clK (th
lnch^-; k? = 0. (VII.95)
Приближенное решение (VII.95) аналогично, как и в случае
силовой задачи (см. параграф 3 главы III), дает практически точ-
точные результаты при малых и больших расстояниях между трещи-
трещинами, а для средних значений 2lld @,4 ^ 2l/d ^ 0,6) относитель-
относительная ошибка не превышает 2%. Заметим, что из выражений (VI 1.93)
предельным переходом легко получить коэффициенты интенсивнос-
интенсивности для периодической системы параллельных полубесконечных,
трещин.
Периодическая система термоизолированных трещин произ-
произвольной ориентации [163]. Пусть центры периодической системы
прямолинейных трещин расположены на оси Ох в точках х = kd
(k = 0, ±1, ±2, ...). Длина разрезов равна 2/, а угол их наклона
к оси Ох — а. Предположим, что плоскость с трещинами нахо-
находится под действием стационарного температурного поля, периоди-
периодического по координате х с периодом d, а берега разрезов свободны
от нагрузки и не контактируют между собой. Тогда интегральное
уравнение периодической задачи термоунругости для тела с термо-
термоизолированными трещинами запишется в виде
— x))dt = 09 \x\<l. (VII.96)
Здесь ядра К (х) и L (х) определяются формулами (III.23).
Легко получить (см. параграф 2 главы III) приближенное анали-
аналитическое решение уравнения (VII.96) при больших расстояниях
между трещинами, т. е. при малых значениях параметра X =
= 2l/d. Опуская выкладки, приведем окончательные выражения
коэффициентов интенсивности температурных напряжений
k? - ikt - ± 2i8t J/7 [qo - ^- bxQQ - ~ l(9b2- \аг - 2аA) Qo +
+ 4a2Q2] — ~ [E0Ь3 — 32а3 — Gaxb2 — 2афх — 3b±b2 + 2a\bx) Qo +
+ 4 Fа3 - a2bt) Q2 + 8a3Q4]j + О (к8).	(VII.97)
Здесь коэффициенты ап и Ьп даются соотношениями (III.43);
On - 4" I Г VT=J4№ dt	(VII.98)
—1
Формула (VII.97) для произвольного основного температур-
температурного поля Т*о (х, у) дает лишь те составляющие, которые обуслов-
обусловлены возмущенным температурным полем Т (х> у). При действии
на бесконечности однородного теплового потока интенсивностью
239

¦q, направленного пераендикулярно к линии центров трещин
(т Ш = — <?cosa), из соотношений (VII.97) и (VII.98) получаем
полное решение задачи
.*,* — iki = =f iqbl V'l cos a Г 1 — ~ bx — -Ц- (9b2 — 2a1b1 — 3b2) —
E0fe — 25a3 — Зафг + 2a\bx —Ыфг — ЩЬ%)\ + О (X8).
— ~
(VII.99)
Подставив сюда значения коэфициентов ап и Ьп из (III.43)
и отделив действительную и мнимую части, найдем
k? = ± qbl V'l cos a l^- (sin 4a — sin 2a) + -^- [-|- (sin 6a —
— sin 4a) + ^2- (sin 4a — sin 2a)l + ^~ \~- (sin 8a — sin 6a) +
+ (sin 4a - sin 2a)
—cos2a) —
~
X [4- (cos 6a - cos 4a) -f -^L (cos 4a - cos 2a) + -^-] -
~ ^3^ IT"(C0S 8a ~
5 cos 6a
1 / cos 4a , cos2 2a
~Y (0	'	з
(cos6a— cos 4a)	i_ B cos2a — cos 4a — 1I1 + О (к8).
В работах [86, 96] также изучались плоские периодические
задачи термоупругости в случае как прямолинейных [86], так и
криволинейных [96] трещин.
Двоякопериодическая система термоизолированных трещин
[161]. Рассмотрим неограниченную упругую плоскость, ослаблен-
ослабленную двоякопериодической системой прямолинейных разрезов дли-
длиной 21. Центры трещин находятся в вершинах параллелограммов
периодов, т. е. в точках Ртп = тщ + псо2 (/я, п == 0, ±1, ±2, ...),
где (ох и со2 — основные периоды. Разрезы образуют угол а с осью
Ох. Будем считать, что плоскость без трещин находится в стацио-
стационарном температурном поле То (jc, у) = t0 (г, г), где функция
U (z, z) квазипериодическая с периодами <йх и со2, т. е. t0 (z + cov,
z + (ov) — /0 B, г) =const, v = 1,2. Тогда задача об определении тем-
температурных напряжений в плоскости с термоизолированными тре-
240

щинами, свободными от нагрузки, сводится к определению функции
G (t) (VII.51) из интегрального уравнения
J [G (t) K(t—x) + (Щ L (* — *)] Л = О, | х К I. (VI1.101)
Здесь ядра К (х) и L (х) определяются равенствами (III. 166).
Аналогично, как и в случае силовой нагрузки (см. параграф 5
главы III), приближенные аналитические решения двоякопериоди-
ческой задачи термоупругости при больших расстояниях между
трещинами формально совпадают с решениями периодической
задачи (VII.97) и (VII.99), в которых коэффициенты ап и Ьп и па-
параметр X определяются формулами (III. 166) и (III.167).
Пусть плоскость с трещинами находится на бесконечности под
действием однородного теплового потока q, направленного перпен-
перпендикулярно к оси Ох. Рассмотрим случаи, когда центры трещин
образуют правильную треугольную и квадратную решетки. Коэф-
Коэффициенты интенсивности для треугольной решетки (м2 =
'= coj ехр (/я/3), Im со1 = 0) имеют вид
cos а -^- F,3639 — 4,4660А,2) sin 6а + О (X8);
(VII. 102)
== ±qblVl cosajl + J^ + J?-A-g	6,3639 cos6aj +
В случае квадратной решетки (со2 = ш,) имеем
ft* = ± qbl V~l cos а [о,3134А,2 sin 4a — 0,3200Я4 sin 4a +
+ -^-A0,768 sin 8a— 1,5469 sin 4a)l + О (^8);
(VII.103)
k? =>±q6lVl cosall + -~^-(l —1,5964 cos 4a)+
+ -y- A,9695 cos 4a + —^j — -^- A0,583 cos 8a +
+ 0,3704 cos2 4a — 1,7787 cos 4a + 0,2564I + О (А,8).
Заметим, что влияние однородного теплового потока на коэффициен-
коэффициенты интенсивности напряжений для плоскости с двоякопериодиче-
ской системой трещин, ориентированных вдоль стороны прямоуголь-
прямоугольника периодов, другим путем изучено в работе 1250].
16 1~685	241

5. Система термоизолированных трещин
в упругой полуплоскости [162]
Стационарная задача теплопроводности для полуплоскости.
Пусть на краю полуплоскости у ^ 0 задано граничное условие
Отсюда граничные условия первого, второго или третьего рода
получаются выбором постоянных а и Ь. Определим температурное
поле Т ( х, у) в полуплоскости. Гармоническую функцию Т (х, у)
будем искать в виде интеграла Фурье
Т (х, у) = J P (s) ехр (| s 1 г/ — isx) ds, у < О, (VII. 105)
— 00
плотность Р (s) которого найдем из условия (VII. 104). Подставив
Т (х> У) (VII.105) в равенство (VII.104), будем иметь
со
J P(s){a\s\ + b)e-"*ds=*<f(x).	(VII.106)
Отсюда с помощью преобразования Фурье получим
^.	(VII.107)
Из соотношения (VII. 105) и (VII. 107) находим температурное
поле Т (х, у) в полуплоскости с заданными на границе условиями
(VII. 104):
При Ь = 0 этот интеграл расходится. В случае задания на краю
полуплоскости теплового потока (Ь = 0) для ограниченности тем-
температурного поля необходимо, чтобы функция ф (х) удовлетворяла
условию
Q.	(VII.109)
Тогда решение (VI 1.108) можно представить в виде
тс у)=-к lfp(«)du] eSy[C0SSix-u)-C0SJCS] ds, (vii.iio)
—оо	0
где внутренний интеграл уже сходящийся.
242

Интегральные уравнения задачи теплопроводности для иолу-
плоскости с термоизолированными трещинами. Пусть в полуплос-
полуплоскости у^.0 имеется N криволинейных термоизолироваиных
разрезов Lk (k = 1, 2, ...э N), отнесенных к локальным системам
координат xk0kyk (см. рис. 7). Будем считать, что на берегах разре-
разрезов заданы граничные условия
PlTi	FIT
?i—==-x{tk) = ---P-, tk?Lk,	(VII.Ill)
k=l, 2, ..., N,
а на краю полуплоскости выполняется однородное (ф (х) = 0)
условие (VII.104). Комплексный потенциал / (z) для данной задачи
получим путем суперпозиции.
Предположим, что в бесконечной плоскости N термоизолирован-
термоизолированных трещин находятся в нижней полуплоскости у ^ 0. Комплекс-
Комплексный потенциал Fx (z) для такой задачи имеет вид (VI.26)
(lm7,<U). (VII. 112)
Отсюда
*=1
Тогда на оси Ох буде^ иметь
а -—- + Ы
N
Теперь определим температурное поле Т2 (xt у) в сплошной
полуплоскости, когда на ее границе заданы условия
а~2- + ЬТ2^-щ{х)у Н<оо, у =
Воспользовавшись решением (VII. 108), найдем
где
16*	•	243

Суммируя функции (VII. 113) и (VII.117), получаем комплекс-
комплексный потенциал / (г) задачи теплопроводности для полуплоскости с
термоизолированными трещинами при нулевых граничных усло-
условиях (VII. 104) на ее краю
/W = /l (*)+/.(*)•	(VII. 118)
Функция
I
n	о
Отсюда при 6 = 0 найдем потенциал
N
Г I V. ltu\ lit*.	V. Ul\ fit и I
(VII. 120)
определяющий температурное поле в полуплоскости при отсутствии
теплоотдачи с ее края. Если на границе полуплоскости задана нуле-
нулевая температура (а = 0), из выражения (VII.119) будем иметь
Комплексные потенциалы (VII. 120) и (VII. 121) согласуются с пред-
представлениями (VI. 131) и (VI.132), полученными другим путем.
Удовлетворив граничные условия (VII.111) на берегах трещин,
придем к системе N сингулярных интегральных уравнений (VI.27)
относительно неизвестных функций yk (tk). Используя интеграль-
интегральное представление F (z) (VII. 119), аналогично силовой задаче
(см. параграф 2 главы III) легко построить потенциал F (г) для
периодической системы криволинейных термоизолированных тре-
трещин в полуплоскости.
Произвольно ориентированная прямолинейная трещина в полу-
полуплоскости. Рассмотрим полуплоскость с одним прямолинейным
термоизолированным разрезом, когда на ее границе отсутствует
теплоотдача или задана нулевая температура. Получим решения задач
теплопроводности и термоупругости, когда расстояние от трещины
до края полуплоскости велико. Пусть центр разреза размещен на
оси Оу на расстоянии h от границы (г? = — ih), его длина и угол
наклона к оси Ох равны 2/ и а. Тогда задача теплопроводности сво-
сводится к интегральному уравнению
¦244
i(*i). \хг\<1. (VII.122)

Здесь
хг) - ± Re	,„ /!,¦•¦ „„ ,	(VII.123)
где верхний знак относится к случаю отсутствия теплоотдачи на
краю полуплоскости (Ь = 0), а нижний соответствует нулевой тем-
температуре на границе полуплоскости (а = 0).
Рассмотрим задачу об определении температурных напряжений, ,
считая, что край полуплоскости и берега трещины свободны от на-
нагрузки и, кроме того, берега разреза не контактируют между собой.
Интегральное уравнение задачи термоупругости запишется в виде
G1(^)/C&,jg + G7(iyi(fi,Xi)l<tt, = 0, \ху\<1. (VII. 124)
Здесь ядра К {tlt xt) и L (tlt хх) даются соотношениями (IV.62).
При большом расстоянии между трещиной и краем полуплоскос-
полуплоскости (к — llh <C 1) решения интегральных уравнений (VII. 122) и
(VII. 124) могут быть получены в виде ряда по степеням малого
безразмерного параметра А, (см. параграф 3 главы IV). В частности,
для коэффициентов интенсивности напряжений, обусловленных
возмущенным температурным полем Т (х, у), будем иметь
kf — iki = ±2/6/]/7{q0 =f KoQo + 4~v(b™ — a™~c^Q*
1	_
± -y I3 {[a00 (an + cn) — bnam + b2Q — a20 + b22 — a22] Qo q= c22Qt}
Qo [(«lo — b10) cu + a00a2} — b2lam — a3a
+ 4 (b a
(b™ a^])) + ° №•	fVII.125)
Здесь постоянные Qn находятся по формуле (VI1.98); величины
cipv и bpv являются коэффициентами разложения (II..3) для ядер
К E, ц) и L (g, т|), определяемых соотношениями (IV.62);
c,v = ± (-1I-*С1Ке[(±)Р+ e'«^»^+»]t (VII.126)
где верхние знаки относятся к случаю b == 0, а нижние — к слу-
случаю a = 0; Ср -2— биномиальные коэффициенты.
Пусть на краю полуплоскости отсутствует теплоотдача (b ~ 0),
а на бесконечности задан тепловой поток q, направленный парал-
параллельно краю полуплоскости, т. е. основное температурное поле
T0(x,y) = qx.	(VII. 127)

Такая температура не вызывает напряжений в сплошной полуплос-
полуплоскости, поэтому остается найти напряжения, вызванные возмущен-
ным температурным полем Т (х> у). Тогда из решения (VII. 125)
получим
k* = ± qbl "|/7 sin a =F -у- cos а ± -^ E cos а + cos За —
— cos а cos 2а)	gj- (sin 2а + sin 4а) + О (Х%
,	(VII. 128)
ki = =f q8lY~l sin а [I ± -?- sin а — -^- Xz cos 2а ±
П 3
~Уб~ № "^ cos
W F C0S 2а + C0S
Пусть полуплоскость на бесконечности находится под дейст-
действием однородного теплового потока q, направленного перпендику-
перпендикулярно к границе, на которой задана нулевая температура,
т. е.
T0(x9y) = -qy.	(VII. 129)
Тогда из формул (VII. 125) найдем
к\ =» ± qbl У1 cos a I =F -у- cos a q^ -jg- [cos а B -f- cos 2a) —
— 9 cos a — cos 3a]	^- (sin 2a + sin 4a) J + 0 (X6);
(VII. 130)
ki = ± qUV'l cosa{— 1 =F -|-sina + ~F"B + cos2a) =F
=F -jg- [A + cos 2a) sin a — sin 3a] —
- ij- (l4 + 11 cos 2a + ± cos 4a)} + О (Хъ).
Из приведенных результатов следует, что во многих случаях
коэффициент интенсивности kx оказывается отрицательным. Поэто-
Поэтому решение задачи термоупругости необходимо строить с учетом
возможного контакта берегов разрезов. Отметим, что в работах [53,
54, 389—391, 426], посвященных исследованию термоупругого
состояния полуплоскости с внутренней прямолинейной трещиной,
рассмотрены различные температурные и силовые граничные
условия на берегах трещины и крае полуплоскости.

Глава VIII
ИЗГИБ ПЛАСТИН С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
1. Основные соотношения
классической теории изгиба тонких пластин
Приведем некоторые основные положения классической теории
изгиба тонких однородных изотропных пластин постоянной толщи-
толщины, основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява. Более подробные
сведения по этому вопросу можно найти в монографиях [14, 179,
185, 229].
Дифференциальные уравнения изгиба пластин. Рассмотрим уп-
упругое равновесие тонкой пластины, представляющей собой тело
цилиндрической формы, высота (толщина пластины) которого мала
по сравнению с размерами оснований. Отнесем пластину к декар-
декартовой системе координат Oxyz, разместив оси Охи Оу в ее срединной
плоскости (рис. 67). В классической теории изгиба тонких пластин
усилия и моменты выражаются через прогиб срединной поверхности
w (х, у):
Му~ — <
(VIII.l)
Q^D^Aw; Qu = DJ
Здесь Mxf My и Hxy, Hyx — соответственно изгибающие и
крутящие моменты; Qx и Qy —- поперечные силы; D =
= Eh?/12 A — fx2) — цилиндрическая жесткость пластины; h — ее
толщина; А = д2/дх2 + д2/ду2 — оператор Лапласа.
В случае однородной задачи, когда на поверхностях пластины
z = ±h!2 отсутствует нормальная нагрузка, функция прогиба
w (x> У) удовлетворяет бигармоническому уравнению
ДДш = 0.	(VIII.2)
Для первой основной задачи будем считать, что на границе L
области 5, занимаемой пластиной, заданы изгибающий момент Мп
и обобщенная поперечная сила Nn
247

где т (s) и п (s) — известные функции дуговой абсциссы s; Mnf
Hns и Qn — соответственно изгибающий момент, крутящий момент
и поперечная сила в сечении контура L с нормалью п.
Граничные условия (VIII.3) можно представить в виде
Мп + iPn = /х (s) + /С,	(VIII.4)
где С — произвольная вещественная постоянная, а
О	3
Рп = J Nn(s)ds- fx(s) = m(s) + iln (s)ds. (VIII.6)
Во второй основной задаче на границе L пластины предпола-
предполагаются заданными прогибы и их производные по нормали к кон-
контуру L:
<* = /,(*); -зг = М«).	(VIIL6)
где f2 (s) и /3 (s) — заданные функции на L.
Представление основных соотношений в комплексной форме
[105, 179, 1851. Как известно, общее решение уравнения (VIII.2)
записывается в виде
a> = ReU<p(z) + x(z)],	(VIII. 7)
где ср (г) и % (г) — произвольные аналитические функции комплекс-
комплексного переменного z = х -+- м/. На основании формул (VIII. 1) по-
получаем выражения изгибающих моментов и поперечных сил через
комплексные потенциалы Ф (г) = ср' (г) и W (г) = -ф' (z) = %" (z):
Мх + Mv = - 2D A + |i)-№ (z) + ФE)];	(VIII.9)
Q,-/Q, = -4DO/B).	(УШЛО)
Граничное условие (VIII.4) может быть записано в виде
dt
хф (/) — Ф (^)	 [/Ф7 (t) + х? (t)] =
= /f(O + 'Cf ^L,	(VIII. 11)
где
^ (/) = —Д (s)/D A — [г); х = C + ^)/A — И-)- (V ШЛ2>.
Аналогично преобразуем условия (VII 1.6)
Ф(*) + Ф@ + 4^~ [W (/) + 4f (/)] = /2 @> ^€^, (VIIIЛЗ)
248.	,

где
(VIIU4).
Главный вектор Z и главный момент М внешней нагрузки,-
приложенной к контуру L, определяются соотношениями
Z = 2Ш [Ф (г) — Ф (г)]/.;	(VIII. 15)-
М = D {A - \i) [гЩГ) + W)) — C + |г) Ф (г) +
+ 2zl<D(z) — Ojz)])L.	(VIII. 16)
Здесь М = УИ^ + Ш^; УИ^ и М*х — моменты пары сил относи-
относительно осей Ох и Оу соответственно; символ L справа у скобок
обозначает приращение выражений, заключенных в скобки, при
обходе контура в положительном направлении, т. е. так, чтобы
область пластины оставалась слева.
При параллельном переносе и повороте системы координат
комплексные потенциалы Ф (г) и ? (г), очевидно, преобразуются^
по тем же соотношениям A.11), что и в случае плоской задачи тео-
теории упругости.
2. Интегральные уравнения основных
граничных задач об изгибе пластин с разрезами
Сингулярные интегральные уравнения основных задач об изгибе-
бесконечной пластины с криволинейными разрезами можно постро-
построить аналогично соответствующим плоским задачам. Ниже предло-
предложен иной, более общий прием, в котором используется фундамен-
фундаментальное решение (функция Грина) бигармонического уравнения.
Такой подход в дальнейшем будет применен при решении задач об-
упругом равновесии пологих оболочек с трещинами.
Общее решение бигармонического уравнения. Пусть ш* —
частное решение уравнения
Ыт = Ь{х — х')Ь{у — у'),	(VIII.17)
где б (х) — дельта-функция. Возьмем функцию ш* в виде
w*(zft) = -^r4nr; r = \z—t\\ z = x+iyt t^x' + iy'.
(VIII. 18)
Тогда общее решение уравнения (VIII.2) можно записать следую-
следующим образом:
Иди)'*	d?w*	d3w* I
Фо (s) a>* + q>! (s) -^- + ф2 (s) -^jj- + сРз (s) -^з-1 ds,
(VIII.19)
249

тде L — замкнутый или разомкнутый гладкий контур, или совокуп-
совокупность таких контуров; s — дуговая абсцисса, соответствующая
точке t\ п — нормаль к контуру L в точке /. Действительно,
функция (VIII. 19) всюду, кроме контура L, удовлетворяет урав-
уравнению (VII 1.2) и содержит четыре произвольные действительные
функции фш (s), с помощью которых могут быть удовлетворены гра-
граничные условия на L.
В задачах об изгибе пластин общее решение (VIII. 19) удобно
представить в виде
w = Т5" 1К(S) ш* + ^(s) "Ж" + я|)* (s) М« + ^{s) N'1}ds'
1К}
I
(VIIL20)
Здесь М*п и Nn — изгибающий момент и обобщенная поперечная
сила в сечении L с нормалью /г, соответствующие функции прогиба
(VIII.18):
(VIIL21)
* _ л n( d*W* dt
dt2dt ds	dtdl2 ds
Подставив функцию (VIII.18) в решение (VI11.20), можно пока-
показать \ что функции \|)m (s) имеют простую физическую интерпре-
интерпретацию:

dw~ , / v	/4- —\
5^~i i|K(s) = —(ш+ —ш ),
т. е. функции я|)ш (s) определяются через скачки прогибов, углов
поворота, изгибающих моментов и поперечных сил при переходе
через контур L.
Обозначив через [и] скачок функции и при переходе через кон-
контур L, т. е. la] == i& — и~, запишем решение (VIII.20) в виде
'Полученное общее решение бигармонического уравнения (VIII.2)
•может быть использовано при построении интегральных уравнений
различных граничных задач об изгибе пластин.
1 При этом удобно перейти к интегрированию по комплексной переменной
'/, что дает возможность при определении граничных значений функции w и ее
производных воспользоваться формулами Сохоцкого — Племеля ,A.26), а также
соотношениями A.30) и A.42).
250

Система криволинейных разрезов в бесконечной пластине.
Пусть пластина ослаблена N гладкими криволинейными разрезами
Lk (k = 1, 2, ..., N), начала и концы которых находятся в точках
z = ak и z = й^. Совокупность всех контуров Lk обозначим через
L. Берега разрезов загружены несамоуравновешенными попереч-
поперечными силами и изгибающими моментами
—г Wn + iPt) -
(VIII.24)
или на них заданы производные от углов поворота срединной плос-
плоскости пластины
Будем считать, что скачки углов поворота s (t) и прогиба до (%, у)
в вершинах разрезов равны нулю, а также известен глав-
главный вектор Pk и главный момент Mk = Miiy -Ь iMkx внешней
нагрузки, действующей на каждом разрезе Lk (k = 1,2, ...., ЛО
в отдельности. Предположим также, что в точке пластины z = b0
приложена поперечная сила
Соотношение (VI 11.26) обеспечивает равенство нулю главного
вектора внешних сил, действующих на пластину, что является
необходимым и достаточным условием ограниченности усилий и
моментов на бесконечности. В этом случае без ограничения общнос-
общности можно считать, что моменты и поперечные силы на бесконечности
равны нулю.
Решение задач (VI 11.24) и (VIII.25) будем искать в виде
Wl = Pow*(z, bo)/D -f w%	(VIII.27)
где функции до* B, t) и доопределяются соотношениями (VIII. 18)
и (VIII.23). Интегрируя в выражении (VIII.23) по частям
и учитывая условие равенства нулю скачка прогиба [до] в верши-
вершинах разрезов Lfe, из формулы (VIII.27) получаем
гп 1 дш* . АЛ , dw*
где Рп дается первой формулой (VIII.5), а
^3=~2VfeW -	(VI 11.29)
и fe=o
251

Учитывая (VIII.24) и (VIII.25), запишем представление (VIII.28)
в виде
Щ = юо + -J" Re J [i (М'п - iP'n) s (t) It +
Подставив сюда значение функции w* (VIII. 18) и приняв во вни-
внимание соотношение (VIII.7), заключаем, что комплексные потен-
потенциалы Ф (г) и XY (z), соответствующие функции wx (VIII. 30),
равны
N
_
(/	2J "Ч »
где под In (z — bk) подразумевается функция, однозначная на
плоскости, разрезанной вдоль линии, соединяющей точку г = bk
(конец разреза Lk) с бесконечно удаленной точкой.
При Рк = О (Л = 0,1, ..., N) функции (VI 11.31) с точностью до
обозначений совпадают с аналогичными представлениями комплекс-
комплексных потенциалов в плоской задаче A.71) и A.75). Представления
(VIII.31) также можно построить с помощью аппарата теории функ-
функций комплексного переменного, как было сделано в главе I, если
учесть соотношение (VIII. 15), а также особенности комплексных
потенциалов в точках приложения сосредоточенных сил (см. [179],
с. 13).
Удовлетворив с помощью (VIII.31) граничное условие (VIII.24),
получим сингулярное интегральное уравнение первой основной
задачи относительно функции s' (t)
1 If/ и	1 dt \„, ч t . d t —/
- tC^, /gL, ft = 1, 2, ,.. , N. (VIII.32)
252

Для определения постоянных Ck имеем условия
Re { s (t) It = - Re J h' (t) dt = 0,	(VIII.33)
A= 1, 2, .. . , Ny
следующие из требования равенства нулю скачка прогиба [w] в
вершинах разрезов Lk. На основе соотношений (VIII.7) и (VIII.31)
легко показать, что условия (VIII.33) обеспечивают однозначность
функции прогибов w (г) при обходе контуров Lk (k = 1, 2, ..., N).
Отметим, что условие типа (VI 11.33), по-видимому, впервые исполь-
использовано в работах.[276, 277] при решении задачи об упругом рав-
равновесии оболочки с трещиной. При самоуравновешенных моментах
и поперечных силах (Mk = Pk = 0) уравнение (VI 11.32) в несколь-
несколько ином виде получено в работе [113].
Решение уравнения (VIII.32) должно удовлетворять дополни-
дополнительным условиям
J s'(t)dt=O, /г=1, 2, ..., N,	(VIII.34)
Lk
которые обеспечивают однозначность углов поворота срединной
плоскости при обходе контуров Lk. При выполнении условий
{VIII.33) и (VIII.34) уравнение (VIII.32) имеет единственное реше-
решение в классе функций, не ограниченных на концах контуров Lk.
При удовлетворении граничных условий (VIII.25) получим син-
сингулярное интегральное уравнение второй основной задачи
т—t x—t d
2is' (x) , dt I _ o, ,A	1 VdJ'-»* *
21n|f — Ц, fgL,	(VIII.35)
решение которого должно удовлетворять условию
Уравнение (VIIL35) с точностью до обозначений совпадает с инте-
интегральным уравнением A.78) первой основной задачи плоской тео-
теории упругости. Поэтому полученные ранее различные аналитиче-
аналитические решения уравнения A.78) могут быть перенесены на уравнение
(VIII.35).
С помощью соотношений (VII 1.7) — (VIII.10) и (VIII.31) ана-
аналогично случаю растяжения пластины (см. параграф 3 главы I)
найдем распределение усилий моментов и смещений в окрестности
253

вершин разреза. В случае первой основной задачи, когда на бере-
берегах трещины заданы усилия и моменты, будем иметь
Му =
4 V 2г
/1	ч/о	0 ,	50 \
(I — р,) |^3 cos -у + cos-g-)
A1 +
G +
sin
+ (l — ia)cos —
-f- A — |x) sin -K-
+ ¦
/C?
/1
(^ 1 —
0	.50
-g	sin -y
П
— E + 3jx) cos 4- + A — V) cos
0@;
(VIII.37)
Здесь /*, О — полярные координаты с полюсом в вершине трещины
(см. рис. 5);
Кй — iKk - ± DC + ii) lim [V2\t — ck\G(t)l (VIIL38)
= 1. 2,
(с^ =
а верхние — к
где нижние знаки относятся к началу
концу (ck = &Л) разреза L^.
Величины id и /С2 естественно называть коэффициентами
интенсивности моментов при симметричном GСХ) и антисимметрич-
антисимметричном (/Q относительно линии трещины распределении напряже-
напряжений. Асимптотическое разложение смещений и напряжений в окрест-
окрестности вершины трещины впервые получено на основе классической
теории изгиба пластин в работе [438]. Отметим, что высокий, порядок
особенности поперечных сил является следствием приближенности
применяемой здесь теории изгиба пластин. При решении задачи
изгиба пластины с трещиной по различным уточненным теориям,
свободным от основной гипотезы классической теории о недеформи-
недеформируемости нормалей к срединной поверхности пластины, показано,
что поперечные силы при приближении к вершине трещины
254

стремятся к нулю. Кроме того, имеется различие в распределении
изгибающих напряжений около концов разреза, вычисленных по
классической и уточненным теориям [135» 171, 356, 409, 430].
Рассмотрим также задачу об изгибе бесконечной пластины с N
криволинейными разрезами Lk, отнесенными к локальным систе-
системам координат xk0kyk (см. рис. 7), когда на одних контурах Lk.
заданы несамоуравновешенные нагрузки
= mu{tk) ^ "Чг" Tk {tk) + iCk> ik G L/"
fe = 1, 2, ... , M,	(VIII.39)
а на других — производные от углов поворота срединной плоскости
пластины
Ь
dtk \ dxk	dyk
Как и раньше, будем предполагать, что в точке пластины z =з
= Ьо приложена поперечная сила Ро (VIII.26) такая, что главный
вектор всей внешней нагрузки, действующей на пластину, равен
нулю. Тогда для комплексных потенциалов Ф (z) и XF (z) получим
выражения [2Ю]
4г S
(VIII.41)
dt>
]'
где Pk — главные векторы внешней нагрузки на разрезе Lk\ точ-
точки z = bk являются концами контуров Lk.
Удовлетворив с помощью, потенциалов (VI 11.41) граничные ус-
условия (VIII.39) и (VIII.40) на каждом из разрезов, для определения
N неизвестных функций sk (tk) (k = 1, 2, ..., М) и. rk (tk) (k ==
= M + 1, ..., N) получим систему N сингулярных интегральных
уравнений
иФ (Тп) — Ф (Тп) — е п —т- [ТпФ' (Тп) +
/i=l, 2, ..., Af; (VIIL42)
255-

Ф (Тп) + Ф (Тп) + е Шп JUjl [ТпФ* (Т'п) + ? (Т'п)] =»
К
« в; (tn), tn?Ln, n = М + 1, ... , N. (VIII.43)
Здесь Ф (Т„) и 4f (Тп) — прямые значения потенциалов Ф (г) и
Ч' (г); Г; = Ь е'а" + г°.
Решение системы (VIII.42) и (VIIL43) должно удовлетворять
условиям
J Gn (У dtn = I rn (tn) dtn » —j%— e~'°4 (VIII.44)
/2 = 1,,2, ..-. f Л/.
Для определения М постоянных Сп имеем М соотношений
Re J sn (tn) Шп = — Re [ ^ (^) Ля = О, (VI 11.45)
/1=1, 2, ,..,М,
обеспечивающих равенство нулю скачка прогиба в вершинах раз-
разрезов Ln (п = 1, 2, ..., Л1). При выполнении условий (VIII.44)
и (VIII.45) решение системы (VIII.42) и (VIII.43) единственно.
Формулу (VI 11.38) для коэффициентов интенсивности Kik и
перепишем в виде
Urn lV2\tk-l?\Gk(tk)), (VIII.46)
тде нижние знаки соответствуют началу (tk = 4 ), а верхние —
концу D = Й"; ^ == /ife'a* + г°) разреза Lfe.
На основе представления комплексных потенциалов Ф (z) и
XF B) в виде (VIII.41) может быть рассмотрен ряд задач о системах
трещин в различных областях. В дальнейшем кратко остановимся
на некоторых из них, причем ограничимся построением интеграль-
интегральных представлений функций Ф (г) и х? (г), с помощью которых
легко записать сингулярные интегральные уравнения (VIII.42)
¦и (VIII.43)Anfl основных граничных задач. Заметим, что с помощью
метода рядов Лорана и классической теории Кирхгофа в работе
[681 изучался изгиб пластин с системой произвольно расположен-
расположенных прямолинейных трещин. Рассматривалось также взаимодейст-
взаимодействие двух произвольно ориентированных прямолинейных трещин
на основе теории пластин Рейсснера [410]. Полученные при этом
сингулярные интегральные уравнения решались численно.
.256

3. Изгиб пластины с трещинами вдоль прямой
или дуги окружности
Легко видеть, что в случае разрезов вдоль одной и той же прямой
или одной и той же окружности уравнения (VI 11.32) и (VII 1.35),
как и в аналогичных случаях плоской задачи, приводятся к син-
сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши и решаются
в квадратурах. Ниже остановимся на решении уравнения (VIII.32).
Одна прямолинейная трещина. Рассмотрим бесконечную плас-
пластину, ослабленную прямолинейным разрезом (—/, /) на оси
Ох (пх = —/, Ьх = /), при действии на его берегах нагрузки
(VIII.24) с главным вектором Р. Кроме того, в точке z = Ь дейст-
действует поперечная сила — Р. Тогда интегральное уравнение (VIII.32)
примет вид
liiiL = „/(*), И</,	(VIII.47)
где
Р Г Ь — Ь , 1Ч, 1-х , , Ь — х
|	(кOln+ xln
, Ъ — х
»п—7—J-
(VIII.48)
Неограниченное прил;=:±/ решение уравнения (VIII.47)
при условии
J
легко записать аналогично A.63). По формуле (VIII.38) определим
коэффициенты интенсивности
кг - ik? - D <у> | J VWr m {t) dt ± G+nilc
(УШ.5О)
где верхние знаки относятся к правой вершине, а нижние — к ле-
левой;
[J^L 5ir wdt - lyp -/2 m (')rf/ -
17 1-685	257

(VIII.51)
' .	(VIII.52)
Для определения	постоянной С использовано равенства
(VI 11.33). Интегралы	/± {г) и / (г) вычисляются в элементарных
функциях '¦¦¦¦' v	• "...
(г) *= я [i
in 2 + Т/?~1 гЬ (К^М -г));
•	v	V (VIIL53)
)= — (z2 — -2- — z }/z2 — 1 + 1п—=Ц^	J,
где под ]/г2 — 1 подразумевается такая ветвь, что Vz2— \lz -> I
ПРИ 2 ->^ОО.	'	' •	!' " '	¦ "	"'	•••:¦•
Соотношение (VIII.50) дает значение коэффициентов интенсив-
интенсивности для самого общего случая рагруЖения. берегов трещины 'при
условии, что напряжения на бесконечности отсутствуют. В част-
частности, при
P	?), г(х) = — -^п-ц(х — 1I \Ъ\<1.
(VIII.54)
(il (л*) — функция Хевисайда) из формул (VIII.50) найдем коэффи-
коэффициенты интенсивности для случая, когда нижний берег трещины
свободен, а к верхнему в точке х = ? приложена сосредоточенная
поперечная сила Р. Положив b = ? + ts и устремив е к нулю
справа таким образом, что гР = М = const, получим коэффи-
коэффициенты интенсивности, когда только к верхнему берегу трещины
в точке х = ? приложен сосредоточенный изгибающий момент
М/у =-= УИ:
При стремлении е к нулю слева придем к результату
который соответствует случаю, когда в точке х = ? на верхнем
и нижнем берегах трещины действуют противоположно направлен-
направленные поперечные силы Р. При этом использовались предельные зна-
значения интегралов /± (z) и J (z) при стремлении z к ? сверху.и снизу
258


/+ (z) = я f- I— In 2 ± t A/Г=Т2 + arccos
/_ (г) = л [Б — In 2 ± * (arccos ? — ]/Г=Т2) +
2 (г- ?)(=F tl/b=T2 + I)] + О(\z-
. Формула (Vlil.55) пблучена другим путем в работе [122], а ре-
решение (VIII.56) построено в работах [276, 277J при рассмотрении
аналогичной задачи для оболочки с трещиной. Соотношения
(VIII.55) и (VII 1.56) могут быть найдены на основе решения урав-
уравнения (VI 11.47) при Р = =0, поскольку в данном случае главный
вектор внешних сцл, действующих на берегах трещины, равен
нулю. Отметим, что'в случае коллинеарных трещин при симметрич-
симметричной нагрузке интегральное уравнение (VIII.32) не содержит по-
постоянных Ck и его решение такое же, как и в аналогичном случае
плоской задачи. Однако при антисимметричной нагрузке вследст-
вследствие наличия дополнительных неизвестных Ck решение задачи
усложняется. В некоторых работах (см., например, [165, 235,
269]) постоянные Ck в граничных условиях (VI 11.24) априори,
принимались равными нулю и условия однозначности прогиба плас-
пластины при обходе контуров трещин не удовлетворялись. В частности,,
в работах [165, 269] таким путем получены решения рассмотрен-
рассмотренных выше примеров, которые не совпадают с результатами (VI 11.55)
и (VIII.56). Поскольку прогиб пластины при этом является неодно-
неоднозначной функцией координат, такие решения ошибочны (см. также
[14], с. 64).
. После замены / = т + /, b ~ а + I и перехода к пределу
при /'->¦ оо из решения (VIII.50) получим коэффициенты интенсив-
интенсивности
которые соответствуют случаю полубескоиечной трещины — оо «<
< х ^0 с заданной на ней нагрузкой (VIIL24), когда,
кроме того, в точке пластины z = а действует поперечная сила
17*	259-

-— Р (Р — главный вектор приложенных к трещине усилий). Здесь
Уг обозначает ветвь, голоморфную на разрезанной вдоль отрица-
отрицательной полуоси плоскости и принимающую значение i У— х
на верхнем берегу разреза.
Дугообразная трещина. Рассмотрим задачу об изгибе бесконеч-
бесконечной пластины, ослабленной разрезом вдоль дуги окружности ради-
радиусом к от точки cii = а = Reria до Ьх = а. Берега трещины нахо-
находятся под действием нагрузки (VI 11.24), главный вектор которой
равен нулю. Тогда интегральное уравнение (VIII.32) примет вид
t?L, (VIII.59)
L
где
Ф(т)«[(к-1)О(т)-2й'(т)]/2; p{t)=m(f) + lC; A7ITT „,
(Vlll.bu)
Решением уравнения (VIII.59), согласно (I.I 10), будет функция
t	V л С* т\ i_\ ._ у_\ j .	«Л
+ iB{t — Rcosa) + D \,
где D — произвольная комплексная постоянная, а
R(t)=V(t — a)(t — a).	(VIII.62)
Неизвестные постоянные В и D найдем из равенств (VII 1.34)
и (VIII.60), которые в новых обозначениях имеют вид
Подставив решение (VIII.61) в условие (VIII.63), получим
D = ?(x— 1)Л.
Из равенства (VIII.64) будем иметь
где
260

Действительную постоянную С определяем из условия (VIII.33),
которое можно записать в виде
Im
J [Ф @ - -*=+- г (*)] -f- = °-	(VIII.68)
Подставив в соотношение (VII 1.61) значение функции р (t)
из (VIII.60), получим
+ i(B + iC) (х —Rcosа)\. (VIII.69)
На основании равенств (VIII.68) и (VIII.69) найдем
(t)m(t)Jl	B0(l_cosa) +
2 sin2-—
l(T^)]	(VIIL70)
где Во определяется по формулам (VI11.66) и (VIII.67), в которых
р (t) следует заменить т (/).
Коэффициенты интенсивности получим на основе равенств
(VIII.38) и (VIII.69)
V R sin a
in a .
+ /Л (x — e?/a) =f (Я + tQ 7? sin a L	(VIII.71)
Здесь постоянные А и В ~\- iC определяются по формулам (VIII.60)
и (VIII.70).
Две полубесконечные коллинеарные трещины. Произведем в
равенстве (VIII.71) замену
где 21 — длина хорды, соединяющей концы разреза L; б —мак-
—максимальное удаление точек контура L от этой хорды (см. рис. 6).
При замене (VIII.72) контур L преобразуется в отрезок Ц\ ^ I
действительной оси ?. Подставив (VIII.72) в (VIII.71) и устремив
затем е к нулю, придем к решению (VI 11.50) для прямолинейной
трещины при Р = 0. Если устремить е к бесконечности, то получим
/ш: j»fл.. (VHI.73)
2Г>1

После замены | = 12/х формула (VI11.73) преобразуется к виду
Соотношения (VIII.73) и (VIII.74) дают коэффициенты интенсив-
интенсивности для двух коллипеарных полубесконечных разрезов —^оЬ<С
< х ^ — / и / ^ х < со, нагруженных усилиями и моментами
(VIII.24), главные векторы которых равны нулю. Предполагается
также, что поперечные силы и моменты на бесконечности отсутст-
отсутствуют. Заметим, что если в уравнении (VI 11.32) для рассматривае-
рассматриваемого случая полубесконечных трещин положить постоянные
Сг и С2 равными нулю, то на основе решения этого уравнения
(см. параграф 5 главы I) также придем к результату (VIII.74).
Пусть в точках z = ib и z = — ib пластина изгибается сосредо-
сосредоточенными моментами М и —М, где М = М*у-\- Ш*, Му и Мх —
моменты пары сил относительно осей координат Ох и Оу соответ-
соответственно. Тогда комплексные потенциалы Фо (г) и Ч^ (г) для сплош-
сплошной пластины примут вид [179]
«W	—;
шт.;
Воспользовавшись формулой
т (х) = *Ф0 (х) — Фо {х) — л-Фо {х) — х?0 (х), (VIII.76)
«найдем распределение изгибающей нагрузки на оси Ох:
т (х) =
Считая теперь, что к берегам полубесконечных разрезов \х\7^
;> / приложена нагрузка —т (х), где т (х) определяется формулой
(VIII.77), из соотношения (VIII.73) или (VIII.74) получим коэф-
коэффициенты интенсивности для случая, когда пластина со свободными
от нагрузки трещинами изгибается в точках z = ib и г = —ib со-
сосредоточенными моментами М и —М. В результате
М * + ^ +
Устремив здесь b к бесконечности, найдем коэффициенты интен-
интенсивности, когда пластина на бесконечности изгибается равномерно
распределенной нагрузкой с главными -моментами Му и Мх:
_^!_ _ М^ + Ш^	(VIII
262

Задачи об изгибе пластины с разрезом вдоль прямой или дуги
окружности для различных частных случаев нагрузки рассматри-
рассматривались рядом исследователей (см. обзор в книге [141). Методом
сопряжения такие задачи решались в работах 1122, 129, 130, 179,
408].
4. Периодические системы разрезов
Система разрезов при циклической симметрии. Рассмотрим. бес-
бесконечную пластину, ослабленную криволинейными трещинами при
наличии циклической симметрии, когда каждая последующая си-
система разрезов Lk (k = 1, 2, ..., N), отнесенных к локальным коор-
координатам xk0kyk (см. рис. 7), получается (без наложения) поворотом
относительно точки z = 0 предыдущей системы на угол у = 2п/М
(М = 1, 2, ...). Предполагая также, что на каждой последующей
системе разрезов заданы одинаковые поперечные силы Ро (VIII.26),
скачки моментов rk(tk) и углов поворота sk(lk), получаем в пластине
напряженное состояние, периодичное относительно угловой коорди-
координаты G (z = |z| е'в)" с периодом у. Тогда из формул (VIII.41)
найдем [210]
*ia*dtk;
таг
k=:Q
N
AI? 1
fVVk I) A	r l4 \Jab
Z -f-VVk — I) A k - M—2
A k — Z )	j
где 8mn — символ Кронекера; остальные обозначения те же,
что и в соотношениях (VII 1.41).
Периодическая система криволинейных разрезов. Пусть в
бесконечной пластине имеется периодическая система трещин,
когда в основной полосе периодов шириной d (вдоль оси Ох) распо-
расположены Af криволинейных разрезов Lk (k = 1, 2, ..., iV), отне-
отнесенных к локальным координатам xk0kyk, и в точке z = b0 дейст-
действует поперечная сила Ро (VIII.26) такая, что главный вектор всех
внешних усилий равен нулю. Каждая последующая система разре-
разрезов и нагрузок создается передвижением предыдущей на расстоя-
расстояние d в направлении оси Ох, т. е. напряженное состояние в плас-
пластине периодично по координате х с периодом d. Тогда на основе
представлений (VIII.41) получим выражения комплексных потеи-
263

циалов Ф (г) и V (г) [2101:
17-S j G* С*) e'a* ctg -J- (Tk - z) dtk;
k~l L.
N
С \\\Gk(tk) — liSk(tk)] e~iak ctg4"{Tk — *) dtk —
^ (Tk
x
Рассмотрим периодическую систему коллинеарных трещин, когда
в основной полосе периодов на оси Ох имеется один разрез | х\ <1 /.
Пусть на берегах трещины задана нагрузка
-щ^{М2 + 1Р$) = т{х)ч:.Цг-г{х) + Ю, \х\<1,
(VIII.82)
главный вектор которой равен нулю. Тогда с помощью соотношений
(VIII.42) и (VI 11.81) получим сингулярное интегральное уравнение
n(t~X) dt = m(x) + iC. \x\< I, (VIII.83)
-J- J Ф@
где
ф(/) = [G(t)(K—l) — 2is'(t)]/2.	(VIII.84)
He ограниченное при х = ± / решение уравнения	(VIII.83),
удовлетворяющее условию
= G,	(VIII.85)
J
дается соотношением (III
• г
2 ПХ )
.30)
1
"j/tg
tp
яд:
T~
x/
	t|
" G + WC tg —
d
cos~r
nx ^ '
f
3 d
(VIII.86)
204

Действительную постоянную С определим из условия (VII 1.33) ,.
которое в данном случае примет вид
Im
xdx = 0.
(VIII.87)
Отсюда следует, что при симметричной относительно линии трещи-
трещины нагрузке, когда Im т (х) = Im г (х) = 0, постоянная С = О1,
и решение задачи имеет такой же вид, как и при растяжении пласти-
пластины с трещинами (см. параграфа главы III). Подставив решение-
(VIII.86) в равенство (VIII.87), найдем постоянную
(Р\П
sin-
nl
xlmr (х) dx +
х sec-8
ПХ
dx
-' V tg ~d—tg -г ~
. nt . пх
tg-з	^~7Г
Здесь использовано значение интеграла
.. ЛХ ,
Xtg-j-dx
d
пх
d
cos
In
sin-
nl
lmm(t)dt
(VI 11.88)
. (VIII.89)
На основании формул (VIII.38) и (VIП.86) получаем коэффи-
коэффициенты интенсивности
1\\ — 11\2 =
(VIII.90)
В случае постоянной нагрузки in (*) = т = const из соотношений
(VIП.88) и (VIII.90) найдем
i/Сг —
/nd . 2nl
— Sln ~
|(m + tC) dsin -Ц- ± Gcos —-],
где
Ж- In
(VIII.9I)
. (VIII.92)
sin ¦
265

Отметим, что ряд задач об изгибе пластин с периодической си-
системой коллинеарных [240, 411] или параллельных [239] трещин
рассмотрен на основе теории Рейсснера. При этом всегда получают-
получаются сингулярные интегральные уравнения более сложной структуры,
чем при использовании классической теории изгиба пластин.
Двоякопериодическая система криволинейных разрезов. Пусть
в основном параллелограмме периодов имеется N разрезов
Lk (k = 1, 2, ..., N), на которых заданы граничные условия
(VIII.39) и (VIII.40). Будем считать, что главный вектор.на каждом
из разрезов Lk и суммарный главный момент на всех разрезах
равны нулю. В случае двоякопериодической задачи, когда система
разрезов и нагрузок повторяется в; каждом параллелограмме перио-
периодов, для потенциалов Ф (z) и Ч; (г) получим интегральные представ-
представления [210]	¦- . ¦
Ф (*) ¦= -йГ 2 ¦ J С (Ти - г) Gk (tk) g!akdtk + Л;
*-lL*	(VIII.93)
- [fkP (Tk -z)-Pl (Tk - z)] Gk (tk) eiakdtk) + B.
Здесь ? (z) —дзета-функция Вейерштрасса (III. 153); pT(z) —
эллиптическая функция Вейерштрасса (III.164); px (z) — специаль-
специальная мероморфная функция (III.155).
Неизвестные постоянные А и В в формулах (VIII.93) опреде-
определим из статических условий. Поскольку главный вектор Рк (к =
= 1,2, ..., N) и суммарный главный момент на всех разрезах
Lk (к = 1, 2, ..., N) равны нулю, то
\i (z) - хФ (z) — гФ (z) — я|) (z)
является периодической функцией, т. е.
Ii(z + cov) —^i(z) = 0, v=l, 2.
Здесь о)х и со2 — основные периоды. Из равенств (VIП.95), как и в
случае плоской задачи теории упругости (см. параграф 5 главы
III), найдем систему уравнений
(Ак - A) cov - Bov = ~ g J [Gk (tk) + 2isk (tk)] bvfk -
-KbvTkGk{tk)]eiabdtk; 6V = C(cov/2), v=l,2, (VIIL96)
из которой определяются постоянные А и В.
Подставив выражения комплексных потенциалов Ф (z) и Чг (z)
'(VIII.80), (VIII.81) и (VIII.93) в соотношения (VIII.42), (VHI.43),
получим сингулярные интегральные уравнения периодических
задач об изгибе пластин с трещинами.
•266

5. Изгиб полу бесконечной пластины
с криволинейными разрезами
Считая, что в бесконечной пластине с разрезами Lk (k = О, 1, ..., N)
контур LQ является бесконечной прямой (осью Ох), а остальные
контуры Lk (k = 1, 2, ..., N) размещены в нижней (или верхней)
полуплоскости, получаем систему N криволинейных разрезов в
полубесконечной пластине. Используя решения основных задач
для полуплоскости и исключая неизвестные плотности комплекс-
комплексных потенциалов Ф (z) и W (г) на контуре Lo, приходим к сингу-
сингулярным интегральным уравнениям основных задач об изгибе иолу-
бесконечной пластины с разрезами [210].
Основные задачи об изгибе полубесконечной пластины. Пусть
в бесконечной пластине имеется разрез L, представляющий собой
всю действительную ось Ох. Предположим, что при переходе через
контур L напряжения непрерывны, т. е.
а углы поворота срединной плоскости пластины получают скачок
s (х) (VIII.25). Считая, что усилия т (х) на L известны, причем
главный вектор этих усилий равен нулю, а главный момент огра-
ограничен, из системы (VI 11.32) находим сингулярное интегральное
уравнение первой основной задачи для полуплоскости
Решение этого уравнения дается соотношением (IV.3)
'W-ЙГ J-^iL.	CVlll.ee»
Комплексные потенциалы Ф (г) и х? (z) получим по формулам
(VI 11.31), считая для определенности, что пластина занимает ниж-
нижнюю полуплоскость (Im z < 0)
dt
2пЫ ) t — z '
(VIII. 100)
Рассмотрим вторую основную задачу, когда на краю полуплос-
полуплоскости заданы углы поворота. Пусть при переходе через контур L
в бесконечной плоскости углы поворота непрерывны, т. е.
Jr(-^. + l--^ = e>W) |*|<оо, (viii.mi)
267

а усилия терпят разрыв г (t) (VIII.24). Считая, что функция 8'(x)
известна, из равенства (VIII.35) получаем сингулярное интеграль-
интегральное уравнение второй основной задачи для полуплоскости
l—- = 6'W. |*|<°о.	(VIII. 102)
	ОО
По формулам (VIII.31) найдем комплексные потенциалы Ф (г)
и W(z) (Imz<0):
(VIII. 103)
Результаты (VIII.100) и (VIII.103) совпадают с известными реше-
решениями основных задач об изгибе пластины в форме полуплоскости
(см. [179], с. 29).
Система криволинейных разрезов в полуплоскости. Пусть в
полубесконечной пластине, занимающей нижнюю полуплоскость
(у <С 0), имеется N криволинейных разрезов Lk, отнесенных к ло-
локальным системам координат xk0kyk (см. рис. 7). В точке г =
= b0 (Im b0 < 0) действует поперечная сила Ро (VIII.26), а на краю
пластины заданы моменты т0 (х). Используя представления
(VIII.41) и решения (VIII.99), (VIII. 100), построим аналогично,
как и в случае плоской задачи теории упругости (см. параграф 1
главы IV), комплексные потенциалы OL (z) и Ч^ (z) для полубес-
полубесконечной пластины с разрезами Lk (k = 1, 2, ..., N), когда на
краю пластины заданы усилия:
Фх (г) = Ф (г) + Фо (г) + -~ ? Я* fin (z - Ьк) + ±=g-1 +
Gk(ik)+2isk(tk) j
(Г*~2J	J	(VIII. 104)
?1B)-TB) + Te(z)+-75-U-VPJ(H«-l)ln(z-^-
bk (г — 2bk + bk)l .
268

Здесь Фо (z) и % (z) определяются формулами (VIII. 100) при за-
замене m (/) на tnQ (/), а функции Ф (z) и ? (z) даются соотношения-
соотношениями (VIII.41).
Когда на краю пластины заданы прогибы и производные про-
прогибов по нормали к краю, т. е. известна функция 0О (t) (VIIL101),
то комплексные потенциалы Фх (г) и у?1 (z) для полуплоскости с
N криволинейными разрезами Lk имеют вид
Ф, (г) = Ф (г) + Фо (г) - -^ У Pk\ In (г - bk)
(VIH.105)
N
8я0
где Фо (г) и Чт0 (г) определяются формулами (VIII. 103) при замене
в (/) на 0О (/), а функции Ф (г) и Лг (г) находятся из соотношений
(VIII.41).
Периодическая система трещин в полуплоскости. В случае
периодической задачи для полуплоскости с разрезами, когда каж-
каждая последующая система разрезов и нагрузок получается передви-
передвижением предыдущей на расстояние d в направлении оси Ох (парал-
(параллельно краю полуплоскости), на основании формул (VIII. 104) будем
иметь
xe'aftctg-^-(Tfc — z)dtk —
?x(г) = xY{z) + xVQ{z) + g^- ? Рк]Ыг — 0 'nsin ^- (z — bk) —
269

4—-ж- (Pk — Vk) cosec^ —r(z —
N
+ ctg -f (г - f,)}
где функции Ф (z) и XV (z) даются соотношениями (VI11.81), a
Фо (z) и ХРО (z) определяют решение (VIII. 100) для сплошной полу-
полуплоскости, причем усилия т0 (х) являются периодической функ-
функцией с периодом d.
В случае, когда на краю полуплоскости заданы углы поворота
(вторая основная задача), потенциалы Фг (г) и Wx (z) находим из
формул (VIII. 106) при к = —1 (функции Gk (tk) при этом остаются
без изменений). Интегральные уравнения основных граничных
задач для полуплоскости с разрезами получим, подставив представ-
представления (VIII. 104), (VIII. 105) или (VIII.106) в равенства (VIII.42)
и (VIII. 43).

Глава IX
УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
1. Основные соотношения теории пологих оболочек
Приведем некоторые основные положения теории пологих изотроп-
изотропных оболочек постоянной толщины, более подробные сведения по
этому вопросу можно найти в монографиях [26, 33].
Разрешающие уравнения теории пологих оболочек. Рассмот-
Рассмотрим тонкую упругую ^зотропную оболочку постоянной толщины А.
Будем считать, что выполняются гипотезы Кирхгофа — Лява:
линейные элементы, перпендикулярные к срединной поверхности
оболочки до деформации, остаются прямолинейными и перпенди-
перпендикулярными к деформированной срединной поверхности, а также
сохраняют неизменней свою длину; нормальные напряжения на
площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо
малы по сравнению с другими напряжениями. В теории пологих
оболочек, кроме этих допущений, вводится еще упрощающее пред-
предположение о том, что срединная поверхность оболочки может быть
задана в эвклидовой метрике. Отнесем срединную поверхность
оболочки к декартовым координатам х, у и квадрат линейного
элемента поверхности представим в виде
ds2 = dx* + dy\	(IX. 1)
т. е. коэффициенты первой квадратичной формы будут А = В = 1.
Формула (IX. 1) в случае цилиндрической оболочки является точ-
точным выражением, а для произвольной оболочки эквивалентна за-
замене не эвклидовой метрики срединной поверхности на эвклидову
метрику плоскости.
Кроме того, будем пренебрегать изменением главных кривизн
поверхности, т. е. положим
.	Rx = const; R2 =? const.	(IX.2)
Здесь Rx и jR2 — главные радиусы кривизны нормальных сечений
поверхности, проведенных вдоль координатных линий у = const
или х = const соответственно, т. е. срединная поверхность оболоч-
оболочки отнесена к линиям главных кривизн.
Разрешающая система уравнений теории пологих оболочек при
принятом выше допущении (IX.2) может быть представлена в виде
-^-Д,ш=0;
* .	(IX.3).
271

Здесь ф — функция напряжений; w — функция прогиба средин-
срединной поверхности оболочки; D = Eh3/12 A — \i2) — цилиндриче-
цилиндрическая жесткость;
02	02	02
^	dJC	ду	(IX.4)
P1 = R/R1; р2 = ^/^2; /? = mln (| /?х |, |Я,|).
Введя комплексную функцию напряжений
Ф (*, y) = w (х, у) + ;8<р (х, у),	(IX.5)
•систему (IX.3) можно свести к уравнению
ААФ + Ф2ЛЛФ = 0.	(IX.6)
Коэффициенты б и р2 найдем из условий эквивалентности действи-
действительной и мнимой частей уравнения (IX.6) системе (IX.3):
	|/12A
- 	Ш
Ш	 •¦
Заметим, что функция (IX.5) является частным случаем комплекс-
комплексного преобразования, введенного в теорию оболочек В. В. Ново-
Новожиловым [141].
Уравнения (IX.3) или (IX.6) будем использовать при определе-
определении напряжений в пологих оболочках, ослабленных криволиней-
криволинейными трещинами. Многочисленные экспериментальные исследова-
исследования напряженного состояния возле отверстий в оболочках различ-
различной формы показывают, что возмущения в напряженном состоянии
около отверстий имеют локальный характер. Величина зоны возму-
возмущения зависит как от геометрии оболочки, величины и формы
отверстия, так и от нагрузки. Внутри зоны возмущения компоненты
усилий и моментов, которые характеризуют дополнительное на-
напряженное состояние в оболочке, вызванное наличием отверстия,
представляют собой быстрозатухающие функции координат. Для
описания этих функций Г. Н. Савин [186] предложил применять
уравнения состояний с большим показателем изменяемости (см. [33],
•с. 146), совпадающие с уравнениями теории пологих оболочек
(IX.3). Поэтому полученные на основе уравнений (IX.3) решения
272

можно распространить на общий случай оболочки, когда зона
возмущения напряженного состояния около трещины (или систе-
системы трещин) мала по сравнению с областью, занятой оболочкой,
или же оболочку в зоне возмущения можно считать пологой.
Основные граничные задачи. Усилия и моменты в оболочке
определяются через функцию напряжений ср (ху у) и функцию про-
прогибов w (х, у) следующим образом:
	 д2ср # гр 	 д2ср # ^ _ о
*
— И —Р(\ и) d*w
1 ху — пух — и V1 Fli
Здесь Тх, Ту и 5^, 5^ — нормальные и сдвигающие усилия;
Мх, Му и Нху, Нух — соответственно изгибающие и крутящие
моменты; Qx и Qy — поперечные силы. Положительные направле-
направления усилий и моментов показаны на рис. 68.
Напряжения являются линейными функциями координаты z
по толщине оболочки:
Тх , 12z д.	Ту . 12г .-.
Перемещения и и v точек срединной поверхности в направлении
осей Ох и Оу определяются соответственно через ср (я, у) и w (x, у)
системой дифференциальных уравнений
ди	w , 1 / д2ф	д2ф
AХЛ0)
аа _ _ 2A+у) д2ф
•" дх ~ ял
В случае первой основной задачи будем считать, что на границе
L области S, занимаемой оболочкой, заданы нормальное Тп и сдви-
сдвигающее Sns усилия, изгибающий момент Мп и обобщенная попереч-
поперечная сила Nn
* п*
(IX.ll)
18 1-685	273

Здесь fk (s) (k = 1, 2, 3, 4) — известные функции дуговой абсциссы
s; Тп1 S}Viy Mn9 Hns и Qn — усилия, моменты и поперечная сила
в сечении контура L с нормалью я, которые связаны с компонен-
компонентами (IX.8) следующими зависимостями:
Тп = Тх cos2 a + Ty sin2 a + Sxy sin 2а,
S*s =	g- (Гх — Гу) sin 2а + 5^ cos 2а;
Мп = МЛ cos2 а + Л^ sin2 а — Нху sin 2а;	(IX. 12)
Qn = Qx cos а + Qy sin а,
Где а — угол, образованный нормалью п с осью Ох.
Запишем граничные условия (IX.11) в комплексной форме
Tn + iSM = PV); ~D{1[_ ^{Мп + iPn) = m(t) + iC, t?Lt
(IX.13)
где t = x + iy — комплексная координата точки контура L, со-
соответствующая дуговой абсциссе s; С — произвольная веществен-
вещественная постоянная;
m W = - ЩГ=Т) K8 (s) + ' J/4
0
' J/4
0
(IX. 14)
Во второй основной задаче на границе L оболочки предполага-
предполагаются заданными смещения и и v, прогибы w и производные проги-
прогибов по нормали к контуру:
(IX. 15)
В комплексной форме условия (IX. 15) представим в виде
2G-5-(u + w) = /'U); Г ("IT + l ~Wj = 0 W« AХЛ6>
где G — модуль сдвига;
. (IX. 17)
Кроме рассмотренных выше контурных условий (IX.11) и
(IX. 15), на практике часто встречаются и различные смешанные
граничные условия, касающиеся как ограничения некоторых пере-
перемещений, так и задания характера усилий (шарнирное и свободное
опирания и др.).
274

2. Фундаментальное решение
комплексного разрешающего уравнения
теории пологих оболочек
С помощью интегрального преобразования Фурье найдено фунда-
фундаментальное решение дифференциального уравнения (IX.6). Полу-
Получено асимптотическое разложение этого решения при малых значе-
значениях параметра р.
Построение фундаментального решения. Одно из основных
допущений при рассмотрении задач о сосредоточенных воздействиях
на оболочки произвольной формы заключается в том, что область
возмущения исходного состояния, создаваемого сосредоточенной
нагрузкой, можно моделировать пологой оболочкой с постоянными
кривизнами, равными значениям кривизн реальной оболочки в точ-
ке приложения нагрузки. Такие задачи эквивалентны задачам о
построении фундаментального решения системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений статики пологих оболочек (IX.3) и их решению
посвящено значительное число работ [45, 59, 144, 258, 372J.
Получим частное решение дифференциального уравнения
ААФ* + ф2АкФ* = 8(х)8(у)} .	(IX. 18)
где б (х) — дельта-функция. Такое решение эквивалентно решению
задачи о действии на оболочку нормальной сосредоточенной силы.
Применим к уравнению (IX.18) интегральное преобразование
Фурье по х и у
оо	оо
Ф„(*,')= J efdx J ё'»Фт{х,у)йу.	(IX. 19)
—оо	—оо
Тогда из равенства (IX. 18) найдем
ф* (s> r) e (Г2 + 52J_ф2ф252 + р1г2) •	(IX.20)
Возвращаясь к оригиналу, получаем
оо	оо
Внутренний интеграл здесь можно вычислить с помощью теории
вычетов. Рассмотрим уравнение
(г2 + s2J - ф2 (P2s2 + Р/2) = О,	(IX.22)
корнями которого являются величины ± irt и ± ir2f где
rU2 = - JA2 - ф%/2 ± р КЬ2(р2-Р1)-р2р?/4; (IX.23)
верхний знак относится к гъ нижний — к г2.
18*	275

Учитывая выражения (IX.23), из (IX.21) находим
¦ds. (IX.24)
О
Здесь интеграл следует понимать в обобщенном смысле [25].
В случае сферической оболочки фг = C2 = 0 имеем
'i = -M; г1в-К?=Г(р.	(IX.25)
Тогда из равенства (IX.24) получим
ф* С Л —S5F [*• ^к=гт) +1п
где Кп (г) — модифицированная функция Бесселя второго рода;
In Yo = 0,5772... — постоянная Эйлера; г2 = хг + у2; У'—Т —
= ехр (—ш/4).
При построении решения (IX.26) использовано значение интег-
интеграла (см. [38], с. 512)
= ^0 {у V&TP)
(ReP>0, Rev>0, o>0).	• (IX.27)
Первое слагаемое в выражении (IX.26) приводится к сходяще-
сходящемуся интегралу путем дифференцирования. При этом постоянная
интегрирования выбрана таким образом, чтобы
Ф*@,0) = 0.	. (IX.28)
Заметим, что к решению (IX.24) может быть прибавлена произволь-
произвольная линейная функция от х и у, поскольку это не изменит напря-
напряженного состояния, а повлияет лишь на перемещение оболочки как
жесткого целого.
При малых значениях параметра р из формулы (IX.26) найдем
разложение
-' +4- Н +
(IX.29)
В случае цилиндрической оболочки (р2 = 1; рх = 0) будем
иметь
г1§2 - - V s*±\s\$iV~i.	(IX.30)
Тогда из соотношения (IX.24) получим
б
у— * J
ехр (- 1 у | Ks2 + {^ У- 0 cos xsds
276

Продифференцировав по х, найдем
' ?
п.т/-—— \
АфУ-i J
Sin ATSdS —
*V^»72)- С
sh
] ^ (p/yiny
2jtp У — i •
Здесь использовано значение интеграла AХ.27).
После интегрирования из формулы (IX.32) имеем
(IX.32)
(IX.33)
На основании соотношений (IX.31) и (IX.33) получаем
4пт У — i J	Л/
(IX.34)
Отсюда находим
	^г- 1 (IУ1-0/Со (Р'/=1/2) Л-
(IX. 35)
Учитывая формулы (IX.33) и (IX.35), представим функцию
(х> У) в виде
Решения (IX.26) и (IX.36) согласуются с результатами, полу-
полученными в работах [227, 310, 372].
277

На основании соотношения (IX.36) найдем разложение решения
(xiU) ПРИ малых значениях |3
х lni?V!LZZl]j + 0(PMnp).	(IX.37)
Построим аналогичное представление функции Ф* (х, у) (IX.24)
в случае оболочки произвольной формы.
Асимптотическое разложение фундаментального решения
Рассмотрим фундаментальное решение уравнения (IX.6) в форме
(IX.24). Запишем величины тх и г2 следующим образом:
/-1>2 = — | s | ftli2 (т) = — | s | А,.2; т = Vs; Л, = ре-'"/4 (IX.38)
и будем считать временно параметр X действительным.
Представим функцию Ф„. (х, у) (IX.24) в виде
Ф* (х, у) - Lx (х, у) + U {х, У) + L3 {х, у).	(IX.39)
Здесь
ЛХ, У)- -ъС)\ Ъ	^ /в» (А?-
- [- («Ю + "и*2) A + s | г/1) + [a20 - a10 + (a2l - an) хЦ Sy/2 +
-f [3a20 — a10 — 1 + Ca21 — au) x2] s31 у |3/6 + [a30 + 6a20 —
- a10 - 4 + (a81 + 6a21 - an) t2] sy/24] e~ Is I *} cos xs ~; (IX.40)
величины аЯй являются коэффициентами степенных рядов
278

в которые разлагаются функции
/ ч	1
(ix.42)
ft? + hi = 2 + Pit2; hy+ h2 = ]/ + PiT2 + 2 ]Л + PiTt1.
Из соотношений (IX.41) и (IX.42) имеем
«ю = «го = 1 /2; о30 = 3/2; an = - (Px + 5p2)/16;
«ai = --№i. + P2VI6; «„-(бЬ+.РОЛб.	AХ.43)
. В представлениях (IX.40) учтено, что
fl2o — «io = O; За20 — а10 — 1 = 0; а30 + 6а20 — а10 — 4 = 0;
а31 + 6а21 — аХ1 = 0.	(IX. 44)
Произведя замену переменной s = Х/т, запишем интеграл
Lx (x, у) в форме
со
я-
exp (— %I у |.ут) 1 cos (Ях/т) т^т	/ту лк\
	_	J /i?_ft2 •	(И.4Б)
Представив подынтегральную функцию в виде ряда по степеням
параметра Я, получим разложение
-О {К3),	(IX.46)
где
оо
(IX.47)
где
Аналогично
—
для
J (
м-
1
функции
*•#} — —
L2
2л
[¦
у)
2
найдем
' 2
представление
¦f 0 (А,4), (IX.
И-&-. (IX.
48)
49)
279

Учитывая соотношение
?- «-^jLj. Re
i	^)]'	dX.50)
и используя разложение интегральной показательной функции
Еп (г) при малых значениях z (см. [236], с. 56), из формул (IX.40)
будем иметь
°и [4" + *•" (т
ln %rV° ~
288 Л 24
ln^Volll + О(Is).
Заметим, что в разложениях (IX.46), (IX.48) и (IX.51) отброшены
постоянные слагаемые.
Аналитически продолжая разложения функций Ln (х, у) в комп-
комплексную область и учитывая соотношения (IX.38) и (IX.39), полу-
получаем асимптотическое разложение фундаментального решения
(IX.24)
ф* (*• У) = F [
f- C - 18а21 - ап - 12GM) + -g- DGM - 3 - 12a21 + an)
У** + 4 a №
6 -ii v- „ ,j v« r- ro - J -rjjj + ° (P4 ln P)- (IX-52>
Здесь
"Г	*	1 .
G«* = J ffn (т)- 2 an^n A - т) ^pr; (IX.53)
о L	v=o	j т
y\ A — t) — единичная функция Хевисайда.
Интегралы AХ.53) вычисляются в замкнутой форме
280

? =	1	/РА ,	Р1Р
21 4 ^	96	16 "Г 2
^(^)	AХ.54>
M = 2G21 + PXG2O + -J- + iEL+Ь. _Ж. +
- 3p2)
Ш
^ 32
Для оболочек отрицательной гауссовой кривизны (Р1р2 < 0) сле-
следует считать, что V^PiP2 ~ i>V — PiP2-
Легко убедиться, что разложение (IX.52) согласуется с полу-
полученными выше результатами (IX.29) и (IX.37) для сферической
(Pi === Ра = 1) и цилиндрической (р2 = 1, рх = 0) оболочек. Отме-
Отметим, что аналогичное асимптотическое разложение фундаменталь-
фундаментального решения Ф* (х, у), представленное в несколько иной форме,,
получено другим путем в работе [3941.
3. Интегральные уравнения основных
граничных задач для оболочек с разрезами
Построено интегральное представление комплексной функции на-
напряжений для пологой оболочки через скачки перемещений, усилий
и моментов при переходе через контуры криволинейных разрезов.
При этом использованы соответствующие интегральные представле-
представления функции напряжений Эри при обобщенном плоском напряжен-
напряженном состоянии и функции прогиба при изгибе пластины. При удов-
удовлетворении граничных условий на разрезах для основных гранич-
граничных задач получены комплексные интегральные уравнения.
Интегральное представление функции напряжений Эри. Рас-
Рассмотрим бесконечную пластину толщиной /г, находящуюся в усло-
условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Пусть L
обозначает разомкнутый гладкий контур или совокупность таких
контуров. Получим решение задачи, когда на L заданы скачки
смещений и, v и усилий Тп, Sns, т. е.
(Тп + iSns)+ - (Тп + iSn,r = 2? @;	,_ Y „ч
AA.OD)
¦§- [(и + iv)+ - (u + iv)~] = '('+x) g' (t), t ? L,
а напряжения и вращение на бесконечности отсутствуют.
281

Решение краевой задачи (IX.55), согласно формулам A.71) и
•A.75), дается комплексными потенциалами
-npriW:
(IX.56)
По формуле Гурса найдем функцию напряжений Эри
Ф (х, у) = Re [z J Ф B) dz + J dz J Ч' B) dz). (IX.57)
На основании соотношений (IX.56) и (IX.57) имеем
+ [Q @ - Щ @1№ - 2) In (* - г) + 2] dt).	(IX.58)
Обозначим через
Г(х,у)=~гЧпг, r = \z-t\	(IX.59)
фундаментальное решение бигармонического уравнения, которому
удовлетворяет функция напряжений гр (xt у). Тогда функцию
Ф (х> У) (IX.58) можно представить в виде
ср (х, у) = 8/i Re J [g' (t) 2?- - -ML 2G (и* - iv*)] dt, (IX.60)
где w* и у* — компоненты смещений, определяющиеся через функ-
функцию напряжений ср* (х, у) (IX.59).
Интегрируя в выражении (IX.60) по частям и учитывая соот-
соотношение
9 d ду (х, у) (Т .« ч dt	/ту ft n
	S	 ^ (Уп — Wns) -^p ,	AХ.Ы)
получаем
Ф (х, ») = - 4h Re \\g{t) {Tn - iS'ns) It + i^r G (tt* - fo*) d^l •
(IX. 62)
¦где Тд и S*ls — нормальное и сдвигающее усилия, соответствующие
'функции напряжений ср* (х, у).
Подставив в формулу (IX.62) значения функций g (t) и q (t)
(IX.55) и приняв во внимание равенство
(Тп + iSns) dt = i {Xn + iYn) ds,	(IX.63)

будем иметь
Ф (х, у) - Eh j {[и] Хп + \v].Yn + \Хп] а* + \Yn) v*} ds. (IX.64)
Здесь и далее квадратные скобки обозначают скачки соответствую-
соответствующих величин при переходе через контур L, т. е. [и] = ы+ — иг
и т. д.; Хпи Ya — проекции на оси Ох и 0# усилий, действующих
на площадке контура L с нормалью п\ s — дуговая абсцисса.
Заметим, что представление функции напряжений Эри в виде
(IX.64) можно также построить на основе теоремы Бетти о взаим-
взаимности работ. Изложенные результаты показывают связь общего ре-
решения (IX.64) с интегральными представлениями (IX.56) комп-
комплексных потенциалов Ф (г) и Т (z) в условиях плоской задачи теории
упругости. При поперечном изгибе пластины такие зависимости
получены в параграфе 1 главы VIII.
Общее решение разрешающего уравнения теории пологих обо-
оболочек. Обозначим через Ф* = Ф* (г, /) (г = х + iy, t = x' + iy')
частное решение уравнения
ДДФ + ф2ЛЛФ = б (х — *') б {у — у').	(IX.65)
Пусть
Ф* B, Г) = Ф*(* - X'. У — У'),	(IX.66)
где Ф* (х, у) является фундаментальным решением (IX.24).
На основании соотношений (VIII.28), (IX.52) и (IX.64) можно
заключить, что функция
~г] К] ds+Eh[ {[и] Хп + [v] Yn + [Хп] и* + [Yn] v*) ds
(IX.67)
является общим решением уравнения (IX.6), выраженным через
скачки смещений, усилий и моментов при переходе через контур L.
Здесь ш* и ф* следует заменить соответственно Ф* и /6Ф*; контур
L обозначает совокупность гладких разомкнутых дуг Ьъ L2, ...
Фо (х, У) = -}т% ZkO* (г, bk);	(IX.68)
Zk — главный вектор поперечных сил, действующих на каждом
разрезе Lk (k = 1,2, ..., Л^) в отдельности; в точках г = Ьк нахо-
находятся Концы разрезов Lk. Для ограниченности усилий и моментов
на бесконечности необходимо выполнение условия
2/* = °.	(IX.69)
283

которое обеспечивает равенство нулю главного вектора поперечных
сил, действующих на оболочку.
В справедливости представления (IX.67) легко убедиться на
основе полученных выше результатов. Действительно, функция
(IX.67) всюду, кроме контура L, удовлетворяет уравнению (IX.6)t
поскольку функция Ф* (z, t) является решением этого уравнения.
При C = 0 из формулы (IX.67) приходим к представлениям
(VIII.28) и (IX.64). Из соотношения (IX.52) видно, что скачки функ-
функции (IX.67) и ее производных до третьего порядка включительно
при переходе через контур L будут такими же, как и в случае плас-
пластины, т. е. величины [и] и т. д. в формуле (IX.67) действительно
являются скачками смещений и и т. д. Заметим, что представление
(IX.67) можно получить также с помощью теоремы взаимности
Бетти для пологих оболочек. В частности, можно воспользоваться
построенным х таким путем в работе [17] представлением функции
прогиба w (х, у) через интеграл по замкнутому контуру С. Как
следует из структуры уравнений (IX.3), аналогичное представление
для функции напряжений <р (х, у) получается из представления
для w (х, у), если в последнем заменить фишна —EhDw и ср соот-
соответственно. Стягивая затем замкнутый контур С к контуру L,
приходим к формуле (IX.67). Однако предложенный здесь подход
имеет некоторые преимущества, поскольку на основе аналогии с за-
задачами для пластины можно использовать многие полученные выше
результаты. В частности, аналогично соотношениям (VIII.30) и
(IX.60) для функции (IX.67) будем иметь представление
Ф (х, у) = Фо (х, У) + Н* {г @	j
4 {7JT) + Лб^СО} 02?-Tt — Ehi {(u* — iv*)q(t)dt —
— (и* + to*) q (t) dt} + Gis' (t) di + G2sf (/) Л). (IX.70)
Здесь функции г (t)t s (t) и g (t), q (t) даются соотношениями
(VIII.24), (VIII.25) и AХ.55); тангенциальные перемещения и*
и у* определяются из системы дифференциальных уравнений
(IX. 10) [259], в которой функции w и <р следует заменить соответ-
соответственно Ф* и 1'6Ф*;
G] = - -jy- J {Мп - iPn) It; Gl = ± J {Mn + iK)dt\
1 В работе [17] интегральное представление функции w (x, у) получено только
для цилиндрической оболочки, однако легко заключить, что аналогичное пред-
представление имеет место также в общем случае пологой оболочки.
284

n* __ л п ( д3ф* dt	д3ф*
dt
Построенное представление (IX.67) или (IX.70) является общим
решением разрешающего уравнения (IX.6), с помощью которого
могут быть рассмотрены различные краевые задачи для пологих
оболочек с криволинейными разрезами.
Сведение основных задач для оболочек с трещинами к инте-
интегральным уравнениям. Пусть оболочка ослаблена N гладкими кри-
криволинейными разрезами Lk (k = 1, 2, ..., N)y начала и концы
которых находятся в точках z =* ak, z = bk. Совокупность всех кон-
контуров обозначим через L. Берега разрезов загружены несамоурав-
новешенными усилиями и моментами
W + tPi) = т (t) =f Ц^- г (t) + iCk;
T% + iS% =p{t)±q(t), t?Lk, k=l, 2, ..., N
или на них заданы производные от смещений
20
4- (^L + i ^-) = 0' @ ± s'
dt \ дх п ду ]
=1, 2, .... N.
Здесь >с = C — (х)/A + ц); к0 = C + \t)/(l — fx); СЛ — действи-
действительные постоянные. Будем считать, что скачки перемещений и,
v, w и углов поворота wx (xf у), wy (x, у) в вершинах разрезов
Lk равны нулю,-а также известны главный вектор усилий с ком-
компонентами Xk, Yki Zk и главный момент Mk = Mhy + iMkx
внешней нагрузки, действующей на каждом разрезе Lk. Суммар-
Суммарный главный вектор поперечных сил на всем контуре считается
равным нулю, т. е. выполняется условие (IX.69). Тогда на беско-
бесконечности усилия, поперечные силы и моменты без ограничения
общности можно принять равными нулю. Требуется определить
комплексную функцию напряжений Ф (л:, у).
Решение поставленных задач будем искать в виде (IX.70). Удов-
Удовлетворив граничные условия (IX.72), получим систему 2N сингу-
сингулярных интегральных уравнений первой основной задачи
Г„ + «„5 = р@, t?Lk, ft=l. 2, ...,#
для определения 2N неизвестных функций s' (t) и g' (t) (t ? Lk,
*=• 1, 2	Ы).
285

Постоянные Ck находятся нз условий
Re \ s (/) dt = — Re J Is' (t) dt = О, Л = 1, 2, ...» ЛГ, (IX.75)
обеспечивающих однозначность функции прогибов, w (x, у) при об-
обходе контуров Lk.
Не ограниченное в вершинах разрезов Lk решение системы
уравнений (IX.74) существует и единственно при выполнении соот-
соотношений (IX.75) и дополнительных условий
'@d* = 0, ?=1, 2, ...J, (IX.76)
которые обеспечивают однозначность тангенциальных смещений: и
углов поворота при обходе контуров Lk.
Аналогично для второй основной задачи (IX.73) будем иметь
систему сингулярных интегральных уравнений
d ( dw i i -—) - G'
d
2G~ (a + iv) = /'(/), /аЛ, /е=1, 2, ..., Л^,
из которой при выполнении условий
^,	(IX.78)
Л= 1, 2, ... , iV
однозначно определяются неизвестные функции q (f) и г (t).
Уравнения (IX.74) и (IX.77) получаются так же, как и в слу-
случае пластины (см. формулы A.84), A.85), (VIII,42) и (VIII.43)),
при подстановке в их левые части прямых значений потенциала
(IX.70). Характеристические части уравнений (IX.74) и (IX.77)
аналогичны, как ив случае пластины (|3 = 0). Кривизна оболочки
влияет лишь на изменение регулярных частей ядер этих уравнений.
Поэтому ряд полученных ранее результатов для пластины, находя-
находящейся в условиях растяжения и изгиба, может быть распространен
также на пологие оболочки. В частности, из сказанного выше сле-
следует, что распределение перемещений, усилий и моментов в окрест-
окрестности вершины криволинейного разреза будет одинаковым в оболоч-
оболочке и пластине. Форма оболочки влияет лишь на коэффициенты интен-
интенсивности. В случае трещины, на берегах которой задана нагрузка
(IX.72), напряженно-деформированное состояние у ее вершин да-
дается соотношениями A.92) и (VIII.37) (здесь следует учесть, что
Тк = hox> Ту = hau, Sxy — hxxy). Коэффициенты интенсивности
286

усилий и моментов определяются по формулам
kt — ikt = =f Л Hm []/21 / - cn | g' (f)l;
Kfn - H<2n = =F Di C + |x) A - ji) iim [V2\t — cn\ s' {t)]/29 (IX.79)'-
/1 = 1, 2, ..., tf,
где нижние знаки относятся к началу (ck = а/г), а верхние —
к концу (ск = -6Л) разреза L/e.
К сингулярным интегральным уравнениям (IX.74) и (IX.77)
в общем случае геометрии оболочки и формы разрезов могут быть
применены методы численного решения, хорошо развитые в плос-
плоской задаче теории упругости для тел с трещинами (см. параграф 2
главы II). Дополнительные трудности возникают при вычислении
фундаментального решения Ф* (х, у) и его производных, через
которые выражаются ядра уравнений. В дальнейшем на примерах
кругового отверстия, прямолинейной и дугообразной трещин будет
рассмотрен асимптотический метод решения уравнений (IX.74) при
малых значениях параметра Х% характеризующего пологость обо-
оболочки.
Трудности математического и вычислительного характера были
причиной того, что исследования распределения напряжений около
трещин в оболочках начали развиваться лишь в последние десяти-
десятилетия. Первыми были работы [321, 323], в которых рассмотрена
задача о меридиальнрй трещине в пологой сферической оболочке.
Подробный обзор исследований в этом направлении приведен в
книге [160]. В появившихся в последнее время работах [127, 252,
361, 364, 366, 395, 396] продолжается изучение напряженного со-
состояния оболочек с разрезами. В задачах об упругом равновесии
оболочек с трещинами широкое применение нашел метод дистор-
сий [146, 176], основанный на том, что вместо оболочки с разрезами
рассматривается сплошная оболочка, находящаяся под действием
дисторсий, описывающих скачки перемещений и углов поворота
на линиях, соответствующих разрезам; при этом получаются син-
сингулярные интегральные уравнения для определения неизвестных
скачков перемещений и углов поворота. В работах [146, 176j
указан ряд исследований, в которых методом дисторсий изучались
задачи о трещинах как в изотропных, так и в трансверсально-изо-
тропных оболочках. До сих пор исследовались только случаи раз-
разрезов, расположенных вдоль координатных линий.
4. Задачд термоупругости для оболочек
с термоизолированными трещинами
Задача об определении температурных напряжений в оболочке
с разрезами, находящейся в неравномерном стационарном темпе-
температурном поле, приводится к решению рассмотренной выше силовой
287

задачи, если известно частное решение разрешающего уравнения.
Такое решение строится для случая прямолинейной в плане термо-
изолнрованной трещины при отсутствии теплоотдачи с боковых
поверхностей, когда на бесконечности задан однородный тепловой
поток.
Разрешающее уравнение задачи термоупругости. Рассмотрим
тонкую пологую оболочку, ослабленную криволинейными трещи-
трещинами. Будем считать материал изотропным в смысле термомеханиче-
термомеханических свойств. Предположим, что оболочка находится в стационарном
температурном поле и не испытывает внешней силовой нагрузки.
Отнесем срединную поверхность оболочки к декартовой системе
координат (х, у); ось z, определяющую расстояние точки от средин-
срединной поверхности, направим нормально к ней (см. рис. 68). Разделим
общее температурное поле tx (х, у, z) на основное t0 (х, у, z), воз-
возникающее в сплошной оболочке, и возмущенное / (х, yt z), вызван-
вызванное наличием трещин:	. ,	.
h (*, у, г) - tQ (х, y,z) + t (х, у, г).	(IX.80)
Задачу термоупругости для оболочки с разрезами, берега которых
•свободны от нагрузки и не контактируют, можно решить в три
этапа. Сначала определяется термоупругое состояние сплошной
¦оболочки, обусловленное заданным температурным полем t0 (ху у,
z), и находятся усилия и моменты на линиях трещин. После этого
решается силовая задача для оболочки с трещинами, на берегах
которых действует нагрузка, равная по величине, но противополож-
противоположная по направлению найденным усилиям и моментам. Затем опре-
определяется термоупругое состояние оболочки с трещинами, вызванное
возмущенным температурным полем / (х, у, г).
Остановимся на решении последней задачи, поскольку методы
решения первой задачи известны, а силовая задача для оболочки
-с трещинами уже рассмотрена выше. Будем считать, что условия
теплового режима таковы, что градиенты температуры по толщине
оболочки изменяются несущественно, так что для функции t (л:, у, г)
можно принять линейный закон распределения
* (*• У, г) = 7\ (х, у) + гТг (х, у),	(IX.81)
где 7\ (л:, у) и Т2 (х, у) — интегральные характеристики темпера-
температурного поля:
ft/2
Т2 (*, У) = -|г- ) zt (*. У» г)dz-
-ft/2
Влияние температуры на напряженное состояние учитывается
согласно обобщенному закону Дюамеля — Неймана [90]. Тогда
условия термоупругого равновесия с учетом гипотез теории пологих
288

оболочек приводятся к системе уравнений [143, 173, 182]
?- Akw1 = — ?/ia,A7\;
a, ДГ2.
(IX.83)
Здесь a,— температурный коэффициент линейного расширения;
остальные обозначения те же, что и в соотношениях (IX.3).
Усилия и моменты определяются через функцию напряжений
<Pi (х, у) и функцию прогибов wi (х, у), а также через интегральную
характеристику температуры Т2 (х, у) следующим образом:
(IX.84)
дхду •
~
[Awt — A + ц)aG2].
Компоненты напряжений a^, av и t^v в произвольной точке
оболочки даются соотношениями
_ ! /г
ЪХц =
122
122
7Г /V
нх
Введя комплексную функцию напряжений Фх = w1 +
уравнения (IX.83) запишем в виде
ДАФГ + ф2АкФх = ДГ,	(IX.86)
где
(IX.87)
Предположим, что оболочка ослаблена одним или системой кри-
криволинейных разрезов, берега которых свободны от нагрузки.
Совокупность разрезов обозначим через L. Тогда задача об опре-
определении температурных напряжений в оболочке, вызванных тем-
температурой t (x, у, z), сводится к нахождению функции Фх (х, у) из
х/4 19 1-685
289

разрешающего уравнения (IX.86) при следующих граничных уело*
виях на контуре трещин L:
7,^ = 0; S,*s = 0; М,± = 0; ,V? = 0	(IX.88)
и требовании, чтобы напряжения исчезали на бесконечности.
Представим функцию напряжений Фх (я, у) в виде суммы
Ф1 (х, у) = Фо {х, у) + Ф (*, y)t	(IX.89)
где Фо (х, у) = ^0 (*> */) + /бср0 (л:, #) — любое частное решение
неоднородного уравнения (IX.86), которое будем считать извест-
известным. Подставив значение Ф] (jc, у) в равенства (IX.86) и (IX.88),
придем к граничной задаче для функции Ф (х, у) = w (x, у) +
+ ifi<p (x, у)у удовлетворяющей однородному дифференциальному
уравнению
ДАФ + фаДЛФ = 0	(IX.9Q)
и неоднородным граничным условиям на контуре трещин
Здесь величины М„, Z5,,, Тп и 5as определяются через функции
напряжений ср (х, г/) и прогибов w (x, у) по формулам (IX.8) и
(IX.12);
(IX.92)
компоненты Т°п, 5js, М^.и Р° находятся из соотношений (IX.8)
и (IX. 12), в которых следует заменить функции ср (х9 у) и w (x, у)
соответственно ср0 (х, у) и w0 (х, у)\ п — нормаль к контуру L в
точке t, соответствующей дуговой абсциссе s.
Последняя граничная задача (IX.90) и (IX.91) полиостью сов-
совпадает с граничной задачей (IX.6) и (IX.72) для случая, когда
берега трещин находятся под действием самоуравновешенной сило-
силовой нагрузки (г @ = q (t) = 0). Следовательно, эта задача приво-
приводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений
(IX.74), в которой известные функции m (f) и р (t) определяются
по формулам (IX.92).
Частное решение разрешающего уравнения. В дальнейшем огра-
ограничимся рассмотрением случая одной прямолинейной термоизоли-
термоизолированной трещины, когда оболочка находится под действием одно-
однородного теплового потока q на бесконечности. На боковых поверх-
290

костях оболочки теплоотдача отсутствует, температура по толщине
постоянна. Поскольку такое температурное поле не вызывает на-
напряжений в сплошной пологой оболочке [173], остается найти на-
напряженное состояние, вызванное возмущенным температурным полем
t (x, у, z). При этом температуру t (х, yt z) возьмем из решения зада-
задачи теплопроводности для пластины с термоизолированным разрезом
(VII.24), как это принято при определении температурных напряже-
напряжений в пологих оболочках. Пусть центр трещины длиной 2/ нахо-
находится в начале системы координат хОу, а линия трещины образует
угол у с осью Ох. Следовательно, интегральные характеристики
7\ (х> У) и Т2 (ху у) могут быть записаны в виде
ТЛх,У) = 4с^пУ' \VP-t4t J exp[-\s*/'|-
—/	—оо.
-is(x'-t)]ds-}	(IX.93)
Тг(х,у) = 0\ у' = —
х1 = л; cosy +
Здесь рассматривается случай, когда тепловой поток направлен иод
прямым углом к разрезу. Если направление теплового потока обра-
образует с линией трещины угол а, величину 7\ (х, у) необходимо умно-
умножить на sin a.
Применив к уравнению (IX.86) интегральное преобразование
Фурье по х и по у, найдем его частное решение
°° (*> г) (s2 + г2) ехр (— isx — try) dsdr
где
oo
f	^	x1dy1. (IX.95)
Подставив сюда значение Т (х, у) (IX.87) при учете соотношений
(IX.93), после замены переменных интегрирования
х1 = х1 cos у —у' sin у; ух == х' sin у + у' cos у (IX .96)
получим
~	1
f E, г) = — 2iB f V? — t2 exp [it (r sin у + s cos у)] dt x
oo
x f sign y' exp [— | y' (r sin у + s cos y) \ + iy' (r cos у — s sin y)] dy';
(IX.97)
— ц2)/2Л.'
291

Здесь использована формула
7 e-ixiu-v)dx = 2пб (и — и)	(IX. 98)
—со
и известные свойства дельта-функции.
После подстановки (IX.97) в выражение (IX.94) и замены
s=p cos 7 — psinY; r = pcos7 +psinv	(IX.99)
будем иметь
/
Ф« (х, У) = -2§г j VT^Pdt j sign yid9l j exp [-1 pyx \ +
+ ip{t — x)\ap j (p2 + p2J_ф1 (ap2 + bpp + cp2) .
где х' и у' определяются по формуле (IX.93), а
а = p2cos27 + PiSin2v; й = (Pi—Pa)sin2v; (IX.101)
с = рх cos2 v + p2 s*n2 7-
При малых значениях C асимптотическое разложение функции
Фо (х, у) можно построить аналогично, как это было сделано для
фундаментального решения (IX.21).
5. Асимптотическое решение задачи
о распределении напряжений в оболочке
с трещиной или отверстием
При использовании разложения (IX.52) фундаментального решения
Ф* (х, у) можно построить приближенное решение интегральных
уравнений для оболочек с разрезами или отверстиями. При этом
каждое приближение находится из интегральных уравнений соот-
соответствующих задач для пластины.
Интегральные уравнения в случае самоуравновешенной на-
нагрузки на трещинах. Запишем интегральные уравнения (IX.74)
первой основной задачи для оболочки с криволинейными трещи-
трещинами, когда на их берегах задана самоуравновешенная нагрузка
(/•(/) = q(t) = 0). Учитывая, что
Мп + iPn = Мп - 1Нт + i^Qn (sf) ds' =
, (IX. 102)
r; W dt>
из выражений AХ.71) получаем
*"* J (ix.103)
292

Принимая во внимание соотношения (IX.61), (IX.70) и (IX.102),
систему уравнений (IX.74) представим в виде
J [Ki V, t') g' (t) dt + Lx (*, /') iTU) di + M1 (t, t') s' @ dt +
(IX 104)
+ N2(tit')sTlfjdT]==n[m(tf) +
Л= 1, 2	N.
Здесь
f) = -^g- -gp- -gp- (G* — G|);
44
/\. г // //\	и__ D// //\. /TY 1П^У
j, L,2 v^» ^ / —=г ^ v^» * )t (АЛ. 1UOJ!
функция Ф* дается соотношением (IX.66).
При малых значениях параметра р для определения фундамен-
фундаментального решения Ф* (z, f) воспользуемся разложением (IX.52).
Тогда
ф* у, о =» ф; (f, о -|- р2 [ф; (г, о + ф; у, о in pi + о ф* in p>.
(IX. 106)
293

Здесь
ф; (t\ t) - 4г If - 0 (? - 7) Aп РI' — 'Ч Yo — «я/4) •
- Щ- C + 4G10) - -?- A + 4G20)j;
(IX. 107)
где
Х = (? —t+1' — >
b0 = C — 25au — 12Gu)/72; b3 = au/6;
^ = C — 18a21 — axl — 12G21)/12; 64 = a21;	AХЛ08>
ba = (flu— 12a2l — 3 + 4G31)/24; b5 = a21 — an/6.
Ядра AХЛ05) также представим подобным образом. Слагаемые
ядер (IX. 105), соответствующие функции Фп (F, t), снабдим верх-
верхним индексом п. Тогда
„о,, ,,v _ /i / 1 , 1 di'
Ml (t, П - - i(%t[l) ft V> *')>	(IX-109)
М?(/, П = Л^?(/, V) = Л1('. О = Ll(t, П = 0.
Остальные коэффициенты разложения ядер при малых значениях р
также могут быть выписаны на основании соотношений (IX. 105)
и (IX.107).
Будем искать решение системы интегральных уравнений
(IX.104) в виде
ё' @ = Su it) + g\ @ Рг + g'2 (О Р2 In Р + О (р« In Р); i ш
«' @ =* «о @ + s\ @ Ра + ^ @ Р2 In р + О (Р« In p).
Подставив разложения ядер и искомых функций в уравнения
(IX. 104) и приравняв правые и левые части равенств при одинако-
одинаковых степенях E и In P, получим систему уравнений для определения
294

ФУНКЦИЙ gn @ И Sn (О
J [/С? (*, Г) gn (О Л + L? (t, t') gjt) It] = nPn (О;
J [M?(^, l')sn{t)dt + №2(t, /')s]Jj)It] = л [тп(П + С/г/2], <1ХЛ J!)
я = О, 1, 2.
Здесь С?„ — коэффициенты разложения постоянных Ck в ряды
вида (IX.ПО); р0 (Г) = /7 (Г); щ (Г) = m (Г);
+
+ M" ft Г) s'o (t) dt + Nl (t, V) so (t) dt];	(IX. 112)
mn (/') = — -~~ I [K2 ft t')g'o (t) dt + L5 ft V) go (t) dt +
+ M.Ut,ns'o(t)dt + NUt,t')Z(i)dF]1 д=1, 2.
При /г = 0 уравнения (IX.Ill) совпадают с интегральными
уравнениями первой основной задачи для пластины, находящейся
в условиях плоского напряженного состояния или поперечного
изгиба. Следующее приближение (п = I, 2) определяется из той
же системы уравнений, в которых правые части выражаются через
нулевое приближение. Воспользуемся полученными выше резуль-
результатами для построения асимптотического решения задачи в случаях
прямолинейной и дугообразной трещины или кругового отверстия
в пологой оболочке двоякой кривизны.
Цилиндрическая оболочка с произвольно ориентированной тре-
трещиной. Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку ф± =
= 0; р2 == 1) радиусом R с прямолинейной в плане трещиной дли-
длиной 21. Пусть линия трещины составляет с образующей цилиндра
угол у. Запишем значения коэффициентов интенсивности усилий и
моментов для случая, когда на трещине действуют равномерно
распределенные усилия и моменты [189, 276]. Если к берегам разреза
приложены нормальные р1 и касательные р2 усилия, будем иметь
К = PiVl нягsin
sin 2? + р^1{1 + ж
— Р2 (F — 9 cos2 у — 2jx cos2 у) sin 2у — 6 sin4 у (л
295

+ O(X*\nX),	(IX. 113)
1/B = mTw^FTlPl C ~~ ^sin 2? + p*C cos2 y
+ 0 ft4 In Л,).
При действии на берега трещины постоянной изгибающей на-
нагрузки (изгибающего момента тх и поперечной силы т2) имеем
— 6 (8sin2y— 1 — ji — 4(x,cos2y) (l + In -^-Yl — 3m2l(\i +
+ 5) sin 2y] + 0 (k4 In X);
9(я —2Y)sin4Y—3A +H')sin2Y(l + In
+ 3m2/ D cos2 y - 1 — 1*)j + 0 (X4 In X);
J
При y = 0 или y = я/2 из формул (IX. 113) и (IX. 114) получаем
коэффициенты интенсивности для цилиндрической оболочки с
продольной [274, 322, 386] или поперечной [274, 324] трещиной.
В последнее время в механике разрушения придают большое
значение экспериментальному изучению распространения трещин в
материалах. В связи с технической сложностью осуществления,
двухосного напряженного состояния на плоских образцах особого
внимания заслуживают тонкостенные трубчатые образцы (цилиндри-
(цилиндрические оболочки), на которых путем комбинации внутреннего или
внешнего давления, растяжения — сжатия и кручения можно полу-
получить плоское напряженное состояние в широких пределах измене-
изменения главных напряжений. Применение таких образцов требует
теоретического решения соответствующих задач. Рассмотренная
выше задача о напряженном состоянии цилиндрической оболочки
с произвольно ориентированной трещиной может служить теорети-
теоретической основой для проведения таких экспериментов.
Если представить напряженное состояние в оболочке как сум-
сумму напряженного состояния пластины и некоторой добавки,
296	'	-

выражающей возмущение напряженного состояния, вызванного кри-
кривизной оболочки, то при постановке эксперимента желательно, чтобы
указанное возмущение было минимальным. Анализ зависимостей
{IX.113) показывает [160, 276], что при безмоментном основном
напряженном состоянии кривизна оболочки значительно влияет
на распределение напряжений около вершины трещины, причем
при увеличении отношения касательных усилий р2 к нормальным
pi влияние кривизны на напряженное состояние оболочки с тре-
трещиной уменьшается. Это уменьшение особенно заметно в случае
продольной трещины и совсем незначительно при наличии попе-
поперечной трещины.
Наименьшее отклонение напряженного состояния в оболочке от
напряженного состояния в пластине наблюдается в случае попереч-
поперечной трещины. Однако при такой ориентации трещины моментная
составляющая напряжений значительно больше, чем для продоль-
продольной трещины, что приводит к наибольшему отклонению от плоского
напряженного состояния. Наименьшее отклонение от плоского
напряженного состояния и от напряжений в пластине имеет место
при кручении цилиндрической оболочки с продольной трещиной.
Рассмотрим задачу термоупругости для цилиндрической оболоч-
оболочки с термоизолированной трещиной. Пусть оболочка находится
под действием теплового потока q на бесконечности; ее боковые
поверхности теплоизолированы. В рассматриваемом случае коэф-
коэффициенты интенсивности усилий и моментов имеют вид [220]
g	sin 2y + O (X* In Я);
k2 = -i- цЕщЫ Vl A — ^r %A + 0 (X* In X);
Ц	] + О (X* In X);	(IX. 115)
2
A -^
— C —ti + 4sin
Анализ формул (IX. 115) показывает, что линейное температур-
температурное поле вызывает в цилиндрической оболочке с термоизолирован-
термоизолированной трещиной произвольной ориентации меньшие мембранные на-
напряжения, чем в случае пластины (X = 0), находящейся в аналогич-
аналогичных условиях.
Оболочка произвольной формы с трещиной по линии кривизны.
В случае разреза вдоль линии кривизны, когда оболочка симмет-
симметрична относительно линии разреза, задача об определении нанря-
297

жений приводится к двум смешанным граничным задачам для «полу-
«полуоболочки», которые затем могут быть сведены к двум системам по
два действительных интегральных уравнения. Такой подход к
решению указанной задачи использован в работах [225, 275,
277, 279].
Рассмотрим отдельные случаи, когда к берегам разреза прило-
приложены равномерно распределенные нормальные ръ сдвигающие
/?2 и поперечные т2 силы, а также изгибающие моменты тг. Тогда
для определения коэффициентов интенсивности усилий и моментов
получим соотношения [278, 279]
""¦ 24	(P2~PiJ J + FlL 48	(P2-Pi)a
arctg в-])^(-РА)
Отметим, что в оболочке мембранная нагрузка вызывает также
появление коэффициентов интенсивности моментов и, наоборот,
изгибающая нагрузка приводит к появлению коэффициентов интен-
интенсивности усилий. Эти составляющие коэффициентов интенсивности
при малых значениях К имеют незначительную величину; в формулы
(IX. 116) они ие включены.
Из соотношений (IX.116) получаем коэффициенты интенсив-
интенсивности для сферической оболочки (р\ = р*2 = 1) с трещиной вдоль
меридиана 1160, 321, 323], а также для цилиндрической оболочки
с продольной (р2 = 1, Pi = 0) или поперечной (р\ == 1, % = 0)
трещиной. В последних случаях интегральные уравнения решались
298

также численно [310, 317—319, 392, 444]. В работе [160] проведено-
сравнение аналитических и численных решений указанных задач.
Меняя значения рх или C2 при X = const в соотношениях
(IX. 116), можно исследовать влияние формы оболочки при постоян-
постоянной наибольшей кривизне на коэффициенты интенсивности усилий
и моментов, когда трещина расположена вдоль линии наимень-
наименьшей ф2 = 1) или наибольшей ф± = 1) кривизны. Если основное
напряженное состояние безмоментно, напряжения около трещины
в оболочке всегда больше соответствующих напряжений в пластине,
берега трещины которой подвержены идентичной нагрузке. Это
утверждение относится ко всем, без исключения, оболочкам поло-
положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны, причем
максимальные напряжения возникают в сферической оболочке.
При действии на берега трещины изгибающей нагрузки коэффи-
коэффициенты интенсивности моментов в зависимости от формы оболочки-
и ориентации трещины могут быть как больше, так и меньше коэффи-
коэффициентов интенсивности для пластины.
Рассмотрим задачу термоупругости для пологой оболочки с тер-
термоизолированной трещиной по линии кривизны. Оболочка нахо-
находится под действием однородного теплового потока q на бесконеч-
бесконечности. Коэффициенты интенсивности усилий и моментов для рас-
рассматриваемого случая имеют вид [219, 221]
--?-{-f (fc
""Ч 3	(P2-PiJ
arctg -SjffBjk-] Л (~ PA)}} + О (*• In X);
+
6(pt-p1)»
	\- [3P, + Ж - |i Фг + к)} I
' — 4" t7Pi + ЗРа — М- (Рх + P2)I In | Р2 — рх | -п (— Рхр2) —
	1Т [Ж + ЗР2 - у (Pi + p2)] In -^-} + О (X* In Я). (IX. 117)
Отсюда при Pi = р2 = 1 находим коэффициенты интенсивности
для сферической оболочки с трещиной [223, 224].
299-

Анализ зависимостей (IX.117) показывает, что при действии
однородного теплового потока на бесконечности мембранные на-
напряжения около трещины в оболочке всегда меньше соответствую-
соответствующих напряжений в пластине, находящейся в аналогичных с оболоч-
оболочкой условиях, причем минимальные напряжения возникают в сфе-
сферической оболочке, а максимальные — в оболочке отрицательной
гауссовой кривизны (РхР2 = — 0,5). Следовательно, здесь наблюда-
наблюдается противоположный эффект по сравнению со случаем нагрузки:
при действии на оболочку с теплоизолированными боковыми по-
поверхностями температурного поля, постоянного по толщине, кри-
кривизна оболочки уменьшает интенсивность мембранных температур-
температурных напряжений около вершины термоизолированной трещины.
Дугообразная трещина. Рассмотрим задачу об упругом равно-
равновесии пологой оболочки с разрезом L вдоль дуги окружности, про-
проходящей через точки z = —i&x exp (iy) яг = ± a = =fc / exp (iy),
где у — угол наклона к оси Ох хорды длиной 2/, соединяющей
начало (г = —а) и конец (г =з а) разреза; бг — максимальное
удаление точек трещины от этой хорды. Асимптотическое решение
задачи может быть построено при любой нагрузке, однако в даль-
дальнейшем ограничимся случаем, когда берега трещины находятся под
действием постоянного давления р, т. е. граничные условия (IX.72)
принимают вид
Г,г + iSt = — р = const (Im p = 0); М* + /Р* = 0. (IX. 118)
Для определения нулевого приближения имеем уравнение
gQ(t)dt 1 go(t)dt 1	пр
которое заменой t == —/т exp (iy) + b (b = i (p — бх) exp
p = (/2 -)- Ь\I2ЬХ) приводится к уравнению A.107) с известным
решением. С помощью соотношений A.112) и A.113) найдем
g«(i) = FiTW; e = Jr• W = V?=tf. (IX.120)
Учитывая, что s0 (t) = 0, из равенств (IX.112) и (IX.120) полу-
получаем
Tw[?Sj] P2@==0> AХЛ21)
где
Б = A + е2) dx + Аг cos2y; С = A + ?2) <к + A cos2v +
+ idtsln2y; dr = — я(р, + р,)/8 + Ira(Gu + 2G21 — G31); (IX. 122)
d2 = я (Pt - ра)/16 + Im (Gu + G31); da = - л (px + P,)/16 +
+ Im (Gn - G31); d4 = — n (p, + P2)/16 + 4 Im G21.
.300

На основании соотношений (IX.119) и (IX.121) запишем реше-
решение уравнений (IX.111) при п = 1, 2
4Л/Г (/) 1 + 2е2 [	1 + 2е2
X
1-fe2
По известным функциям (IX. 120) и (IX. 123) могут быть опреде-
определены мембранные напряжения в оболочке. В частности, по формуле
(IX.79) найдем коэффициенты интенсивности усилий
= /р- Aхл24)
Отсюда при 8 = 0 приходим к случаю произвольно ориентиро-
ориентированной прямолинейной в плане трещины длиной 2/ (у — угол меж-
между контуром трещины^и линией, вдоль которой нормальная кривизна
оболочки равна 1/^). При X = 0 решение (IX. 124) совпадает с
результатом A.116) для пластины с дугообразной трещиной.
Круговое отверстие. Аналогично, как и в плоской задаче теории
упругости (см. главу V), интегральные уравнения (IX. 104) могут
быть обобщены на случай замкнутых контуров, что позволяет рас-
рассмотреть первую основную задачу для оболочки, ослабленной
отверстиями. При аналитическом решении задачи в случае самоурав-
самоуравновешенной нагрузки на каждом отверстии можно прямо использо-
использовать уравнения (IX.104), считая, что L представляет собой сово-
совокупность замкнутых контуров.
Получим асимптотическое решение задачи о распределении
в оболочке двоякой кривизны, ослабленной малым круговым от-
отверстием. Будем считать, что контур L представляет собой окруж-
окружность радиуса р с центром в начале координат. Предположим,
что на контуре L выполняются граничные условия
Т
п
соответствующие случаю, когда напряженное состояние в пластине
(Р = 0) при отсутствии отверстия определяется усилиями Ту = ph
и Тх = qh.
Нулевое приближение найдем из уравнения
AХЛ26)
t — v
решение которого известно (V.107)
go@ = ' IP + Q + 2(p-q)p2//2J/4.	(IX. 127)
301

Учитывая равенство So (f) = 0, из формул (IX.112) и (IX.127)
найдем
Pl (t) = йр* (Л — DpVt2)/4\ р2 (t) « О,	(IX. 128)
где
A = (p+q)d1 + 2(p-q)d2; D = (р + q)d2 + 2(р — q)dz. (IX. 129)
Заменив в уравнении (IX. 126) /?0 (/) на /?х (/) и р2 @» получим
g; (t) = _ ф» (Л + 2DpV/2)/8; й @ = 0. (IX. 130)
Аналогично могут быть получены функции s! (/) и s2 @» п° ко-
которым находятся изгибающие моменты и поперечные силы, вызы-
вызываемые в оболочке мембранной нагрузкой. Для пологой оболочки
эти величины незначительны, поэтому ограничимся определением
мембранных напряжений, которые находятся с помощью функций
(IX. 127) и (IX. 130). В частности, для нормальных усилий Ts на
контуре отверстия будем иметь
TJh =:[p + q + 3{p — q)cos 2G]/2 — 2№ (А + 2D cos 20) +
. + О(АЛга), я = Рр.	(IX. 131)
С помощью этого соотношения можно исследовать влияние кри-
кривизны оболочки.и ее формы на концентрацию мембранных напря-
напряжений около отверстия. Пусть на крае отверстия действует посто-
постоянное давление р (q = /?). Будем считать, что оболочка имеет
постоянную максимальную кривизну (к = 1/2) вдоль оси Оу
(р2 =1). Ниже приведены наибольшие значения Tjph, которые
достигаются при 6 = 0, для разных величин минимальной кри-
кривизны рх:
Pi
Tjph
—1
1,125
—0,75
1,142
—0,5
1,160
—0,25
1,180
0
1,196
1
1
,196
Отсюда следует, что в оболочке любой формы усилия Ts всегда
больше, чем в пластине, причем наименьшее повышение концентра-
концентрации напряжений, вызванное кривизной оболочки, имеет место для
псевдосферической оболочки (Pip2=—1)» а наибольшее — в
оболочках неотрицательной гауссовой кривизны (Pip2 ^ 0). При
piP2 ^ 0, когда Im Gn\ = 0, соотношение (IX.131) преобразуется
к виду
. + (ЗрР2 + pPi — <7Р2 — 3?Pi) cos 20]J + О (A,4 In Я). (IX. 132)
Формула (IX. 132) при рх = р2 = 1 и рх = 0, ря « 1 (или
рх == 1э р2 = 0) согласуется с известными решениями задачи о
концентрации напряжений около кругового отверстия в сфериче-
сферической [44, 186] и цилиндрической [43, 114, 186] оболочках.
302

Список литературы
1,	Авайи X. Анализ коэффициента интенсивности напряжений для бесконечной
пластины, содержащей крестообразную или две наклоненные друг к другу
трещины разной длины.— Ыихон кикай гаккай ромбунсю, 1976, 42, № 357,
с. 1324—1331.—РЖ Механика, 1977, 1В604. Яп.
2.	Александров В. М. О приближенном решении одного типа интегральных урав-
уравнений.— Прикл. математика и механика, 1962, 26, № 5, с. 934—943.
S, Александров В. М. Асимптотические методы в контактных задачах теории
упругости.— Прикл. математика и механика, 1968, 32, № 4, с. 672—683.
4.	Александров В. М., Сметанин Б. Я. Равновесная трещина в слое малой тол-
толщины.— Прикл. математика и механика, 1965, 29, № 4, с. 782—785.
5.	Амензаде 10. А., Гурьев Н. Ф. Равновесие радиально растягиваемого кругово-
кругового диска, симметрично ослабленного разрезом.— Докл. АН АзССР, 1976,
32, № 8, с. 23—26.
6.	Амензаде /О. Л., Гурьев Н. Ф. Первая краевая задача для кругового диска
с прямолинейными разрезами.—Докл. АН АзССР, 1978, 34, № 10, с. 13—18.
7.	Андрейкив А. Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном
напряженном состоянии.— Киев : Наук, думка, 1979.— 141 с.
8.	Баничук Н. В. Определение формы криволинейной трещины методом малого
параметра.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 2, с. 130—137.
9.	Баренблатт Г. И. Математическая теория равновесных трещин, образую-
образующихся при хрупком разрушении.— Журн. прикл. механики и техн. физики,
1961, № 4, с. 3—56.
10.	Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О хрупких трещинах продольного сдви-
сдвига.—Прикл. математика и механика, 1961, 25, № 6, с. 1110—1119.
11.	Безунер Ф. М., Сноу Д. У. Применение двумерного метода граничных интег-
интегральных уравнений для решения инженерных задач.— В кн.: Метод гранич-
граничных интегральных уравнений. М. : Мир, 1978, с. 129—151.
12.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований : В 2-х т.—
М. : Наука, 1970.— Т. 2. 327 с.
13.	Бережницкий Л. Т. Предельные усилия для пластины с двумя равными дуго-
дугообразными трещинами.— Физ.-хим. механика материалов, 1965, I, № 1,
с. 99—108.
14.	Береоюницкий Л. Т., Делявский М. В., Панасюк В, В. Изгиб тонких пластин
с дефектами типа трещин.— Киев : Наук, думка, 1979.— 400 с.
15.	Борщукб. М., Панасюк В. В., СаврукМ. П. Плоска задача теори пружносп
для елттично! пластинки, послаблено! криволишшимй трицинами.— Доп.
АН УРСР. Сер. Аг 1977, № 4, с. 324-327.
16.	Борщук Е. М., Саврук М. П. Взаимодействие между эллиптическим отверс-
отверстием и системой трещин в упругой бесконечной пластине.— В кн.: Смешан-
Смешанные задачи механики деформируемого тела. Всесоюз. науч. конф. (Ростов-
на-Дону, сент. 1977 г.): Тез. докл. Ростов н/Д : Изд-во Рост, ун-та, 1977,
ч. 2, с. 12—13.
17.	Вайнберг Д. В., Синявский A. J1. Расчет оболочек.— Киев : Госстройнздат
УССР, 1961.— 119 с.
18.	Бант Г. А. Задача спряжения для площини з подвшноперюдичною системою
криволЫйних po3pi3iB.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1974, Я» 8, с. 732—734.
303

19.	Васильченко Г. С, Кошелев Я. Ф. Практическое применение механики раз-
разрушения для оценки прочности конструкций.— М. : Наука, 1974.— 148 с.
20.	Векуа //. П. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений и не-
некоторые краевые задачи теории потенциала,— Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГССР
1941, 10, с. 73—92.—Груз.
21.	Векуа //. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые
граничные задачи.— М. : Наука, 1970.— 379 с.
22.	Витвицкий П. М., Леонов М. Я- Полосы скольжения при неоднородной де-
деформации пластинки.— Вопр. механики реальн. твердого тела, 1962, вып. 1
с. 13—18.
23.	Витвицкий П. M.t Панасюк В. В., Ярема С. Д. Пластические деформации в
окрестности трещин и критерии разрушения (обзор).— Пробл. прочности,
1973, № 2, с. 3—18.
24.	Витвицький П. М., Потна С. /О. Про руйнування пластин з трициною ви-
падково*1 форми, близью? до прямолшйно?.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1976
№ 6, с. 508—512.
25.	Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.— М. ;
Наука, 1976.—280 с.
26.	Власов В. 3. Избранные труды : В 3-х т.— М. : Изд-во АН СССР, 1962.—
Т. 1. 528 с.
27.	Волкова Л. В., Фильштинский Л. А. Двоякопериодическая задача теории
упругости для продольного сдвига анизотропной среды с трещинами.— Изв.
АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № 2, с. 91—95.
28.	Ворович И. И,, Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешан-
смешанные задачи теории упругости.— М. : Наука, 1974.— 455 с.
29.	Габдулхаев Б. Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к
приближенному решению сингулярных интегральных уравнений.— Докл.
АН СССР, 1968, 179, № 3, с. 515—517.
30.	Габдулхаев Б. Г., Душков Л. Н. О прямых методах решения сингулярных
интегральных уравнений первого рода.— Изв. вузов. Математика, 1973,
№ 7, с. 12—24.
31.	Гапонов Г. В. О применении метода симметрии в плоской теории трещин.—
Вести. Ленингр. ун-та, 1976, № 7, с. 159—160.
32.	Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М. : Физматгиз, 1963.— 639 с.
33.	Гольденвейзер А, Л, Теория упругих тонких оболочек.— 2-е изд., переработ,
и доп.— М. : Наука, 1976.— 512 с.
34.	Гольдштейн Р. В. Некоторые вопросы механики разрушения крупногабарит-
крупногабаритных конструкций.— В кн.: Механика разрушения. Разрушение конструк-
конструкций. М. : Мир, 1980, с. 228—255.
35.	Гольдштейн Р. В., Савова Л, Н. Об определении раскрытия и коэффициентов
интенсивности напряжений для гладкой криволинейной трещины в упругой
плоскости.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1972, № 2,
с. 69—78.
36.	Гольдштейн Р. В., Салганик Р. Л. Плоская задача о криволинейных трещи-
трещинах в упругом теле.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970,
№ 3, с. 69—82.
37.	Гольдштейн Р. В., Салганик Р. Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными
трещинами.— В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М. : Наука,
1975, с. 156—171.
38.	Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве-
произведений.— М. : Наука, 1971.— 1100 с.
39.	Григолюк Э. И:, Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и обо-
оболочки.— М. : Наука, 1970.— 556 с.
40.	Грилицкий Д, В., Сулим Г. Т. Упругие напряжения в плоскости с тонко-
тонкостенным включением.— Мат. методы и физ.-мех. поля, 1975, вып. 1, с. 41—48.
41.	ГрилщькийД. В., Луцишин Р. М. Напруження в пластинках з коловоюль
шею розмежування граничних умов.— Льв1в : Вища школа, 1975.— 116 с.
42.	Грилицкий Н. Д., Кит Г. С. О напряженном состоянии в окрестности тре-
трещины с частично контактирующими берегами,— Мат. методы и физ.-мех.
поля, 1978, вып. 8, с, 35—39.
304

43.	Гузь А. Я., Чернышенко И. С, Чехов В. Я. и др. Цилиндрические оболочки,,
ослабленные отверстиями.— Киев : Наук, думка, 1974.— 271 с.
44.	Гузь А. Я., Чернышенко И. С, Шнеренко К. И. Сферические днища, ослаблен-
ослабленные отверстиями.— Киев : Наук, думка, 1970.— 323 с.
45.	Даревский В. М. Контактные задачи теории оболочек (действие локальных.
нагрузок на оболочки).— В кн.: Тр. VI Всесоюз. конф. по теории оболочек
и пластинок, Баку, 15—20 сент. 1966 г. М. : Наука, 1966, с. 927—934.
46.	Дацышин А. П. О предельном равновесии полуплоскости с поверхностной
трещиной.— Физ.-хим. механика материалов, 1969, 5, № 6, с. 746—748.
47.	Дацышин А. Я., Паыасюк В. В., Саврук М. П. Общий метод решения двумер-
двумерных задач теории трещин.— В кн.: IV Всесоюз. съезд по теорет. и прикл..
механике (Киев, май 1976 г.) : Аннот. докл. Киев : Наук, думка, 1976, с. 91.
48.	Дацышин А. Я., Саврук М. Я. Предельное равновесие полуплоскости с про-
произвольно ориентированной трещиной.— В кн.: Термомеханические методы
разрушения горных пород. Ч. 2 : Тр. II Всесоюз. науч.-техн. конф. Днепро-
Днепропетровск, 1972. Киев : Наук, думка, 1972, с. 93—97.
49.	Дацышин А. П., Саврук М. Я. Система произвольно ориентированных тре-
трещин в упругих телах.— Прикл. математика и механика, 1973, 37, № 2>.
с. 326—332.
50.	Дацышин Л. П., Саврук М. Я. Интегральные уравнения плоской задачи тео
рии трещин.— Прикл. математика и механика, 1974, 38, № 4, с. 728—737-
51.	Дацышин А. П., Саврук М. Я. Периодическая задача теории трещин.— Изв.
АН СССР. Механика твердого тела, 1974, № 5, с. 136—143.
52.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М. :
Наука, 1970.—664 с.
53.	Дорош Я. А. Предельное равновесие полуплоскости с трещиной под воздей-
воздействием теплового потока.— Вести. Львов, политехи, ин-та, 1977, № 113,
с. 64—69.
54.	Дорош Я. А., Кит Г. С. Полуплоскость с теплопроиицаемой трещиной под
воздействием температурного поля.— Вестн. Львов, политехи, ин-та, 1976,.
№ 97, с. 77—81.
55.	Дудукаленко В. В., Ромалис Я. Б. О направлении распространения трещин»
^продольного сдвига.— Прикл. механика, 1971, 7, № 8, с. 101—105.
56.	Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными нредсимвола-
ми, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями №
их приложения к задачам механики.— Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГССР, 19 79,
60, с. 3—135.
57.	Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов.— Киев :
Наук, думка, 1978.— 351 с.
58.	Ероюанов Ж. С. Модель горного массива с двоякопериодической системой фи-
физических щелей.— В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций.
М. : Машиностроение, 1975, с. 183—188.
59.	Жигалко Ю. П. Статика оболочек при силовых локальных воздействиях.—
Исслед. по теории пластин и оболочек, 1975, вып. 11, с. 62—91.
60.	Жоржолиани Г. Т. Об одной плоской задаче теории упругости.— Тр. Тбил.
мат. ин-та АН ГССР, 1979, 61, с. 49—54.
61.	Забрейко П. Я., Кошелев А. И., Красносельский М. А. и др. Интеграль-
Интегральные уравнения.— М. : Наука, 1968.— 448 с.
62.	Зейлигер В. А., Трапезников Л. П. Функция Грина для коэффициентов интен-
интенсивности напряжений в полосе с поперечной трещиной.— Прикл. механика,
1976, 12, № 11, с. 74—84.
63.	Зиновьев Б. М., Карманова Т. Ф. К учету особенностей при численном реше-
решении задач теории упругости.— Тр. Новосиб. ин-та инженеров ж.-д. трансп.,
1978, № 190/3,:с. 51—58.
64.	Зобнин А. И. Расщепление в однонаправленном композите.— Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1977, № 2, с. 168—171.
65.	Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному
решению сингулярных интегральных уравнений.— Киев : Наук, думка,
1968.— 287 с.
30S

•66. Ивлев Д. Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения.— Журн. прикл.
механики и техн. физики, 1967, № 6, с. 88—128.
67. Иида, Кобаяси. Скорость распространения трещин в пластинах из сплава
7075-Т6 при циклическом растяжении и поперечном сдвиге.— Тр. Амер. о-ва
инженеров-механиков. Сер. Д. Теорет. основы инж. расчетов, 1969, № 4,
с. 210—214.
-68. Исида М. Изгиб пластины с произвольно расположенными трещинами.— Ни-
хон кикай гаккай ромбунсю, 1977, 43, № 367, с. 825—834.— РЖ Механика,
1978, 4В152. Яп.
•69. Исида М. Анализ коэффициентов интенсивности напряжений для пластин,
содержащих произвольный ряд прямолинейных или разветвленных трещин.—
Нихоп кнкай гаккай ромбунсю, 1978, 44, № 380, с. 1122—1130.— РЖ Меха-
Механика, 1979, 4В557. Яп.
70.	Каландия А. И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов.—
Прикл. математика и механика, 1969, 33, № 1, с. 132—135.
71.	Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости.— М. : Наука,
1973.—304 с.
72.	Каландия А. И. О применении метода функции влияния в плоской теории
упругости.— Изв. АИ АрмССР. Механика, 1976, 29, № 4, с. 16—28.
73.	Каминский А. А. Механика разрушения вязко-упругих тел.— Киев : Наук,
думка, 1980.— 159 с.
74.	Каминский А. А., Саилов Н. С. О распространении трещин, выходящих на
контур эллиптического отверстия при двухосном растяжении хрупкой плас-
пластины.— Прикл. механика, 1975, 11, № 2, с. 68—76.
75.	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М. : Наука,
1977.— 742 с.
76.	Карпенко Л. //. О методе расчета напряженного состояния в окрестности не-
неглубокой выработки, пройденной по вертикальному угольному пласту.—
Физ.-техн. пробл. разработки полез, ископаемых, 1965, № 4, с. 3—7.
77.	Карпенко Л. М. Про зображення функщй за допомогою многочлешв Якоб1
та обчислення деяких штеграл1в типу Komi.— Bicn. КиТв. ун-ту. Сер. мат.
та мех., 1971, № 13, с. 74—79.
78.	Качанов Л. М. Основы механики разрушения.— М. : Наука, 1974.— 312 с.
79.	Kim Г. С. Деяю питания термомщносп т1л з трнцинами.— Bicn. АН УРСР,
1972, № 4, с. 22—28.
80.	Кит Г. С. Метод дисторсии в теории термоупругости тел с трещинами.— Физ.-
хим. механика материалов, 1975, 11, № 3, с. 9—20.
•81. Kim Г. С. Про аналопю М1ж поздовжшм зеувом i стацюнарною теплопров1д-
hjctio т1л з включениями та трщинами.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1977, № 4,
с. 334—337.
82.	Кит Г. С, Порош Н. А. Термоупругое состояние плоскости с двумя равными
прямолинейными трещинами.— Концентрация напряжений, 1971, вып. 3,
с. 61—67.
83.	Kim Г. С, Кривцун М. Г. Змшана задача термопружносп для площини з
криволЫйними розр1замн.— Доп. АН УРСР, Сер. А, 1978, № 3, с. 227—230.
84.	Кит Г. С, Лозовой Б. Л. Термоупругое состояние плоскости, ослабленной
двумя коллинеариыми трещинами.— Физ.-хим. механика материалов, 1974,
10, № 2, с. 84—87.
85.	Кит Г. С, Подстригач Я. С. Определение стационарного температурного
поля и напряжений в окрестности щели, обладающей термосопротивлени-
термосопротивлением.— Физ.-хим. механика материалов, 1966, 2, № 3, с. 247—252.
86.	Кит Г. С, Соколовский М. П. Плоская задача теплопроводности и термо-
термоупругости для тела с периодической системой прямолинейных разрезов.—
Мат. методы и физ.-мех. поля, 1976, вып. 4, с. 44—51.
87.	Кит Г. С, Хай М. В. Термоупругое состояние плоскости, ослабленной про-
произвольно ориентированными теплоизолированными трещинами.— Мат. ме-
методы и физ.-мех. поля, 1975, вып. 1, с. 48—54.
•88. Китагава X., Юуки Р. Коэффициенты интенсивности напряжений в задачах
о ветвящихся трещинах при плосконапряженном состоянии.— Нихон кикай
-306

гаккай ромбунсю, 1975, 41, № 346, с. IQ4I —1649.— РЖ Механика, 1976,
ЗВ530. Яп.
89.	Китагава X., Юуки Р. Анализ коэффициентов интенсивности напряжений
для двоякосимметричной изогнутой трещины и двоякосимметричной развет-
разветвленной трещины.— Нихон кикай гаккай ромбунсю, 1978, 44, № 386Г
с. 3346—3353.—РЖ Механика, 1979, 7В515. Яп.
90.	Коваленко А. Д. Введение в термоупругость.— Киев: Наук, думка, 1965.—
204 с.
91.; Койтер. Обсуждение статьи Бови «Растяжение прямоугольной пластины с
симметричными трещинами на кромках».— Тр. Амер. о-ва инженеров-меха-
инженеров-механиков. Сер. Е. Прикл. механика, 1965, № I, с. 279—280.
92. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости.—
f . М. ; Л.: ОНТИ, 1935.—224 с.	^	"
493.) Комогорцев В. Ф., Попов Г. #., Радиолло М. В. Внутренний контакт упругой
шайбы с бесконечной пластинкой, имеющей круговой вырез и радиальную
трещину.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, №6, с. 71—82.
94.	Корнейчук А. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов.—
В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных урав-
уравнений и квадратурные формулы. М. : Наука, 1964, с. 64—74.
95.	Кривцун М. Л Предельное равновесие пластины с эллиптическим отверстием
и трещиной.— Мат. методы и физ.-мех. поля, 1977, вып. 6, с. 57—61.
96.	Кривцун М. Г. Интегральные уравнения теплопроводности и термоупругости
. для плоскости с периодической системой криволинейных разрезов.— Мат. ме-
методы и физ.-мех. поля, 1978, вып. 8, с. 48—53.
97.	Круг Т. Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения.—
В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. М. : Мир, 1978, с. 46—67.
98.	Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.— М. : Физматгиз,
1967.—500 с.
99.	Кулиев В. Д. Трещина на границе раздела двух сред с ответвлением в одну из
них в случае антиплоской деформации.— Пробл. прочности, 1979, № 7,.
с. 67—70.
100.	Кулиев В. Д. Влияние симметричных отростков в конце трещины на ее раз-
развитие.—Прикл. механика, 1979, 15, №8, с. 113—116.
101.	Кулиев В. Д., Садыков А. Э. Проблема Римана для двух пар функций и одно
ее применение в теории упругости.— Изв. АН АрмССР. Механика, 1979, 32,
№ 2, с. 26—37.
102.	Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости.— М.: Физматгиз,
1963.—472 с.
103.	Куртин Л. М., Суздальницкий И. Д. Напряженное состояние упругой плос-
плоскости, ослабленной бесконечным рядом продольно-поперечных трещин.—
Журн. прикл. механики и техн. физики, 1975, № 5, с. 179—186.
104.	Куршин Л. М., Суздальницкий И. Д. Напряженное состояние плоскости с
криволинейным разрезом.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела,
1978, № 1, с. 177—180.
105.	Лехницкий С. Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких
плит.— Прикл. математика и механика, 1938, 2, № 2, с. 181—210.
106.	Либацкий Л. Л. Применение сингулярных интегральных уравнений для
определения критических усилий в пластинах с трещинами.— Физ.-хим. ме-
механика материалов, 1965, 1, № 4, с. 410—418.
107.	Л1бацький Л. Л. Гранична piBHOBara кругового диска з д1аметральними
тридинами.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1969, № 4, с. 334—338.
108.	Либацкий Л. Л., Баранович С. Т. О разрыве перемещений вдоль прямоли-
прямолинейных отрезков в пластинке с круговым отверстием.— Прикл. механика,
1970, 6, № 3, с. 80—86.
109.	Линьков А. М. Интегральные уравнения теории упругости для плоскости
с разрезами, нагруженными уравновешенными системами сил.— Докл.
АН СССР, 1974, 218, № 6, с. 1294—1297.
ПО. Линьков А. М. Интегральное уравнение плоской задачи теории упругости о
двоякопериодической системе разрезов, нагруженных самоуравновешенными
нагрузками.—Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976,^№ 2, с. 70—74.
307

111.	Линьков Д. М. Задачи теории упругости для плоскости с конечным числом
криволинейных разрезов.— Исслед. по упругости и пластичности. 1976,
вып. 11, с. 3—11.
112.	Линьков А. М. Задачи теории упругости для плоскости с периодическими
системами разрезов.— Исслед. по упругости и пластичности, 1976, вып. 11,
с. 11-18.
113.	Линьков А. М., Меркулов В. А. Задачи об изгибе пластин с разрезами.—
Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, № 1, с. 111 — 118.
114.	Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек.— М.; Л.: Гостех-
издат, 1947.— 252 с.
115.	Луцышин Р. М. Контактная задача для пластинки, ослабленной криволи-
криволинейным разрезом.— Прикл. механика, 1970, 6, № 3, с. 93—98.
116.	Лыков А. В. Теория теплопроводности.— М. : Высшая школа, 1967,— 600 с.
117.	Любнак В. А., Филыитинский Л. А. Вторая краевая задача для упругой
анизотропной среды, ослабленной криволинейными трещинами.— Изв.
АН СССР. Механика твердого тела, 1978, № 5, с. 98—101.
118.	Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов.— М.:
Мир, 1970.— 444 с.
119.	Манджавидзе Г. Ф. Об одном сингулярном интегральном уравнении с раз-
разрывными коэффициентами и его применение в теории упругости.— Прикл.
математика и механика, 1951, 15, № 3, с. 279—296.
120.	Мартынюк /7. А., Поляк Э. Б. О равновесии изолированной трещины в
упругой полосе.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1978, № 4,
с. 175—183.
121.	Махутов Н, А. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разруше-
разрушению.— М. : Машиностроение, 1973.— 200 с.
122.	Меркулов В. А. Изгиб пластин с разрезами вдоль прямой или дуг окруж-
окружности.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, № 3, с. 165—
171.
123.	Мирсалимов В. М. Исследование предельного поля напряжений возле тре-
трещин, исходящих из контуров отверстий перфорированной пластины.—
Журн. прикл. механики и техн. физики, 1977, № 2, с. 147—154.
124.	Мирсалимов В. М. Взаимодействие периодической системы упругих включе-
включений и прямолинейных трещин в изотропной среде.— Журн. прикл. механики
и техн. физики, 1978, № 1, с. 164—174.
125.	Мирсалимов В. М. Взаимодействие двоякопериодической системы жестких
включений и прямолинейных трещин в изотропной среде.— Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1978, № 2, с. 108—114.
126.	Мирсалимов В. М. Коэффициенты интенсивности напряжений для перфори-
перфорированных пластин с трещинами.— Пробл. прочности, 1978, № 3, с. 70—73.
127.	Михайлов Б. К. Основные уравнения теории тонких оболочек с разрывными
параметрами.— Сб. тр. Ленингр. инж.-строит, ин-та, 1975, № 104,
с. 117-130.
128.	Михлин С. Г, Сингулярные интегральные уравнения.— Успехи мат. наук,
1948, 3, вып. 3, с. 29—112.
129.	Миховски И. М. Применение метода «сведения к задаче сопряжения» Мус-
хелишвнли к решению класса задач изгиба тонких пластин, содержащих
трещины.— Теорет. и прил. механика, 1976, 7, № 2, с. 9—14.
130.	Миховски И. М. Изгиб пластины с дугообразной трещиной.— Теорет. и
прил. механика, 1977, 8, № 3, с. 52—58.
131.	Морозов Е. М. Метод расчета статической траектории трещины.— Физика и
механика деформации и разрушения, 1978, вып. 5, с. 67—75.
132.	Морозов Е. М., Сапунов В. Т. Об одном методе расчета линии распростране-
распространения трещины.— В кн.: Материалы атомной техники. М.: Атомиздат, 1975,
вып. 1, с. 82—86.
133.	Морозов Е. М., Сапунов В. Т. Одна задача о траектории трещины в полу-
полуплоскости.— Физика и механика деформации и разрушения, 1978, вып. 54
с. 90—95.
134.	Морозов Е. А1,, Фридман Я- Б. Некоторые закономерности в теории тре-
308

щин.— В кн.: Прочность и деформация материалов в неравномерных физи-
физических полях. Вып. 2. М. : Атомиздат, 1968, с. 216—253.
135.	Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости.— Л. : Изд-во
Ленингр. ун-та, 1978.— 182 с.	ч
136.	Моссаковский В. И., Загубиженко П. А. Об одной смешанной задаче теории
упругости для плоскости, ослабленной прямолинейной щелью.— Докл. АН
СССР, 1954, 94, № 3, с. 409—412.
137.	Мусхелишвили И. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М. : Физ-
матгиз, 1962.—511 с.
138.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории
упругости.—М. : Наука, 1966.— 707 с.
139.	Натансон И. П. Конструктивная теория функций.— М. ; Л. : Гостехиздат,
1949.—688 с.
140.	Ниситани X. Коэффициент интенсивности напряжений в растягиваемой
полубесконечной плите, имеющей наклонную или криволинейную краевую
трещину.— Нихон кикай гаккай ромбунсю, 1975, 41, № 344, с. 1103—
1110.—РЖ Механика, 1975, 10В456. Яп.
141.	Новожилов В. В. Теория тонких оболочек.— Л. : Судпромгиз, 1962.— 432 с.
¦'142. Нотт Д. Основы механики разрушения.— М. : Металлургия, 1978.— 256 с.
143.	Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек.—
М. : Изд-во Моск. ун-та, 1968.— 125 с.
144.	Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины.— М. : Изд-во Моск.
ун-та, 1969.—695 с.
145.	Опанасович В. К., Кундрат И. М. Упругое равновесие пластинки с разре-
разрезом, кромки которого частично соприкасаются.— Физ.-хим. механика ма-
материалов, 1979, 15, № 6, с. 67—71.
146.	Осадчук В. А. Метод дисторсий в задачах об упругом равновесии оболочек
с разрезами (трещинами).— Мат. методы и физ.-мех. поля, 1979, вып. 10,
с. 27—50.
.147. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.— Киев:
Наук, думка, 1968.— 246 с.
' 148. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Методы оценки трещиностой-
кости конструкционных материалов.— Киев : Наук, думка, 1977.— 277 с.
149.	Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т. Определение предельных усилий при
растяжении пластины с дугообразной трещиной.— В кн.: Вопр. механики
реал, твердого тела, 1964, вып. 3, с. 3—19.
150.	Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т. О предельном равновесии пластины с
трещинами вдоль дуг окружности.— Прикл. механика, 1965, 1, № 10,
с. 52—60.
' 151. Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т., Труш И. И. Распределение напряжений
около дефектов типа жестких остроугольных включений.— Пробл. проч-
прочности, 1972, № 7, с. 3—9.
152.	Панасюк В. В., Дацышин А. П. О предельном равновесии полуплоскости с
произвольно ориентированной трещиной, выходящей на ее границу.— Физ.-
хим. механика материалов, 1971, 7, № 6, с. 102—103.
153.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Борщук 6. М. Гранична piBHOBara безмежноУ
площини, послаблено'] круговим отвором i дов1лыю ор1ентовапими тр1щина-
ми.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1976, № 5, с. 424—427.
154.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Борщук Е. М. Упругое равновесие пластины,
ограниченной криволинейным контуром и ослабленной системой трещин.—
Физ.-хим. механика материалов, 1977, 13, № 3, с. 7\—77.
155.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацишин О. П. Система довмьно opieinona-
них тр!*щин у пружшй облаеп з коловою границею.— Доп. АН УРСР.
Сер. А, 1973, № 11, с. 1017—1021.
156.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацишин О. П. 1нтегральне р!вняння по-
двШноперюдичноУ задач1 Teopii" тр1щин. —Доп. АН УРСР. Сер. А, 1974,
№ 1, с. 71—74.
157.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацишин О. П. Система тршцш у пружшй
площиш при цшшчшй симетри.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1976, № 4,
с. 332—336.
20 1-685	309

158.	Панасюк В. В., Саврук М. /7., Дацышин А. П. Применение сингулярных ин-
интегральных уравнений для решения двумерных задач теории трещин.—
Физ.-хим. механика материалов, 1976, 12, № 3, с. 30—47.
159.	Панасюк В. В., Саврук М. Я., Дацышин А. П. Двоякопериодическая задача
теории трещин.— Пробл. прочности, 1976, № 12, с. 63—68.
160.	Панасюк В. В., СаврукМ. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений
около трещин в пластинах и оболочках.— Киев: Наук, думка, 1976.—
444 с.
161.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Солтыс И. Ф, Двоякопериодическая задача
термоупругости для тела с термоизолированными трещинами.— Физ.-хим.
механика материалов, 1975, 11, № 1, с. 24—30.
162.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Солтыс И. Ф. Температурные поля и напряже-
напряжения в упругой полуплоскости с произвольно размещенными термоизолиро-
термоизолированными трещинами.— Физ.-хим. механика материалов, 1975, 11, №4,
с. 48—54.
163.	Панасюк В. В., Саврук М. П., Солтыс И. Ф. Периодическая задача термо-
термоупругости для тела с термоизолированными трещинами.— Пробл. прочнос-
прочности, 1976, № 7, с. 47—50.
164.	Панасюк В. В., Саврук А1. П., Солтыс И. Ф. Задачи теплопроводности и
термоупругости для пластины с трещинами при различных температурных
условиях на их берегах.— Физ.-хим. механика материалов, 1976, 12, № 5,
с. 60—64.
165.	Парис П., Си Дою. Анализ напряженного состояния около трещин.— В кн.:
Прикладные вопросы вязкости разрушения. М. : Мир, 1968, с. 64—142.
166.	Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического разруше-
разрушения.— М. : Наука, 1974.— 416 с.
167.	Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения основных простран-
пространственных и плоских задач упругого равновесия.—В кн.: Механика твердых
деформированных тел. М., 1975, с. 5—84. (Итоги науки и техники/ ВИНИ-
ВИНИТИ:!. 8).
168.	Партон В. 3., Перлин П, И. Интегральные уравнения теории упругости.—
М.: Наука, 1977.—311 с.
169.	Партон В. 3., Черепанов Г. П. Механика разрушения,— В кн.: Механика
в СССР за 50 лет. М. : Наука, 1972, т. 3, с. 365—467.
170.	Пащенко В. И,, Трапезников Л. Я. Коэффициенты интенсивности темпера-
температурных напряжений в пластинах и балках, ослабленных системой односто-
односторонних краевых трещин.— Изв. ВНИИ гидротехники, 1974, 105,
с. 116—126.
171.	Пелех Б. Л. Концентрация напряжений около отверстий при изгибе транс-
версально-изотропных пластин.— Киев: Наук, думка, 1977.— 182 с.
172.	Перлин Я. Я. К решению плоских задач теории упругости для тел с тонко-
тонкостенными включениями.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1973,
№ 5, с. 140—143.
173.	Шдстригач Я- С., Ярема С. Я- Температурш напруження в оболонках.—
К. :Вид-во АН УРСР, 1961.—212 с.
174.	Подстригай Я- С., 1{ит Г. С. Определение температурных полей и напря-
напряжений в окрестности теплопроводящих трещин.— Тепловые напряжения в
элементах конструкций, 1967, вып. 7, с. 194—201.
175.	Подстригай Я- С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика.— Киев:
Наук, думка, 1976.—310 с.
176.	Подстригай Я. С, Осадчук В. А., Федюк Е. М., Николишин М. М. Метод
дисторсий в теории тонких оболочек с трещинами.— Мат. методы и физ.-
мех. поля, 1975, вып. 1, с. 29—41.
177.	ПресдорфЗ. Некоторые классы сингулярных уравнений.— М. : Мир, 1979.—
493 с.
178.	Прусов И. А. Некоторые задачи термоупругости.— Минск : Изд-во Белорус,
ун-та, 1972.— 198 с.
179.	Прусов И. А. Метод сопряжения в теории плит.— Минск: Изд-во Белорус,
ун-та, 1975.— 256 с.
180.	Пыхтеев Г. Я. О вычислении коэффициентов и оценке погрешности интер-
310

поляционных квадратурных формул для простейших интегралов типа Коши
и сингулярных интегралов по разомкнутому контуру.— Жури, нычисл.
математики и мат. физики, 1972, 12, № 3, с. 746—756.
181.	Работное Ю. Я. Механика деформируемого твердого тела.— М. : Наука,
1979.— 744 с.
182.	Рассудов В. М., Красюков В. Я., Панкратов И. Д. Некоторые задачи термо-
термоупругости пластинок и пологих оболочек.— Саратов : Изд-во Саратов, ун-та,
1973.— 155 с.
183.	Рудь М. Л., Саврук М. П., Дацишин О. Я. Перюдична система крайових
TpimnH у твплощинь—Bicn. Льв1в ун-ту. Сер. ме,х.-мат., 1977, вип. 12,
с. 82—85.
184.	Русинко К. Я., Артыкова С. И. О разрушении твердого тела при неодно-
неоднородном напряженном состоянии.— Пробл. прочности, 1973, № 2, с. 43—47.
185.	Савин Г. Я. Концентрация напряжений около отверстий.— М.; Л.: Гос-
техиздат, 1951.— 496 с.
186.	Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстии.— Киев : Наук,
думка, 1968.— 888 с.
187.	Савин Г. Я., Панасюк В. В. Развитие исследований по теории предельного
равновесии хрупких тел с трещинами (обзор).— Прикл. механика, 1968,
4, № I, с. 3—24.
188.	Саврук М. Я. Напряжения в полосе с продольной трещиной.— Физ.-хим.
механика материалов, 1969, 5, № 4, с. 510—512.
189.	Саврук М. Я. Вплив кривиии на напружений стан 6\ля дов1лыю ор1'ентованоТ
трщини в цилшдричшй оболонщ.— В кн.: Питания ф1зико-х!м1чноТ меха-
шки матер1ал1в. Льв!в: Вид-во Льв1в. ун-ту, 1969, с. 74—76.
190.	Саврук М. Я. Напряжения в пластине с бесконечным рядом параллельных
трещин при симметричной нагрузке.— Физ.-хим. механика материалов,
1971, 7, № 6, с. 104—106.
191.	Саврук М. П. Напряжения в пластине с бесконечным рядом параллельных
трещин при антисимметричной нагрузке.— Физ.-хим. механика материалов,
1972,8, №> 4, с. 109—1 П.
192.	Саврук М. /7. О взаимодействии произвольно ориентированных прямоли-
прямолинейных трещин.— Прикл. механика, 1972, 8, № 7, с. 121 —124.
193.	Саврук М. Я. Плоска задача термопружноеп для Т1*ла з термсизольешаиими»
трнцинами.— Bicii. Льъ'т. пол1техи. in-ту, 1975, № 106, с. 149—152.
194.	Саврук М. Я. Напряжения в пластине с бесконечным рядом внешних па-
параллельных трещин при симметричной нагрузке.— Прикл. механика, 1975Г
• 11, Mb 5, с. 126—129.
195.	Саврук М. П. О плоской задаче термоупругости для тела с термоизолирован-
термоизолированными трещинами.— Физ.-хим. механика материалов, 1975, 11, № 3.
с. 110—112.
196.	Саврук М. Я. Система произвольно ориентированных трещин продольного
сдвига в упругом теле.— Прикл. математика и механика, 1975, 39, № 4,
с. 717—723.
197.	Саврук М. П. Плоская задача термоупругости для тела, ослабленного систе-
системой термоизолированных трещин.— Журн. прикл. механики и техн. физики,
у*. 1975, № 4, с. 172—179.
1198^ Саврук М, П. Напряжения около трещины в упругой полуплоскости.—
4 "^ Физ.-хим. механика материалов, 1975, 11, № 5, с. 59—64.
199.	Саврук М. П. Двоякопериодическая система трещин продольного сдвига в
упругом теле.—Прикл. механика, 1975, 11, № 12, с. 113—117.
200.	Саврук М. П. Температурные напряжения в пластине с периодической систе-
системой параллельных термоизолированных трещин.— Львов, 1976.:— 11с.—
(Рукопись депонирована в ВИНИТИ 7 янв. 1976 г., № 36—76 Деп.). РЖ
Механика, 1976, 4В617Деп.
201.	Саврук М. Я. О построении интегральных уравнений двумерных задач тео-
теории упругости для тела с криволинейными трещинами.— Физ.-хим. механика
материалов, 1976, 12, № 6, с. 111—113.
202.	Саврук М. Я. Напряжения в пластине с периодической системой внешних
20*	311

параллельных трещин при антисимметричной нагрузке.— Физ.-хим. меха-
механика материалов, 1977, 13, № 1, с. 117—119.
203.	Саврук М. П. Система криволинейных трещин в упругом теле при цикличе-
циклической симметрии.— Физ.-хим. механика материалов, 1977, 13, № 6, с. 84—88.
204.	Саврук М, П. Система произвольно ориентированных трещин в упругой
полосе.—Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, № 1, с. 91—96.
205.	Саврук М. П. Система криволинейных трещин в упругом теле при различ-
различных граничных условиях на их берегах.— Физ.-хим. механика материалов,
1978, 14, № 6, с. 74—84.
206.	Саврук М. П. ПодвШноперюдична задача плоско? TeopiT пружносп для
т1ла з криволпийними роз^зами.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1978, № 12,
с. 1112—1116.
207.	Саврук М. П. Система криволинейных разрезов в упругом теле при анти-
антиплоской деформации.— Физ.-хим. механика материалов, 1979, 15, № 4,
208.	Саврук М. П. Двумерные задачи теории упругости для тел с криволинейны-
криволинейными разрезами.— В кн.: Всесоюз. конф. по теории упругости (Ереван, ноябрь
1979 г.): Тез. докл. Ереван : Изд-во АН АрмССР, 1979, с. 302—303.
209.	Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений для криволиней-
криволинейной трещины, мало отличающейся от дугообразной или прямолинейной.—
Физ.-хим. механика материалов, 1980, 16, № 2, с. 57—63.
210.	Саврук М. П. Изгиб тонких упругих пластин, ослабленных криволинейны-
криволинейными трещинами.— Физ.-хим. механика материалов, 1980, 16, № 4, с. 78—84.
211.	Саврук М. /7. Плоские задачи теории упругости для многосвязной области с
отверстиями и трещинами.— Физ.^хим. механика материалов, 1980, 16,
№ 5, с. 51—56.
212.	Саврук М. #., Дацышин А. П. О предельно-равновесном состоянии тела,
ослабленного системой произвольно ориентированных трещин.— В кн.:
Термомеханические методы разрушения горных пород Ч. 2 : Тр. II Всесоюз.
науч.-техн. конф., Днепропетровск, 1972. Киев: Наук, думка, 1972,
с. 97—102.
213.	Саврук М. П., Дацышин А. П. О предельном равновесии пластины, ослаблен-
ослабленной двумя произвольно ориентированными трещинами.— Прикл. механика,
1973, 9, № 7, с. 49—56.
214.	Саврук М. П., Дациишн О. П. Плоска задача теплопровщюсп для т1ла з
системою дов1льно розлпщених термо1зольованих тр1щин.—BicH. Лъвгв. шш-
техн. in-ту, 1974, № 87, с. 106—110.
215.	Саврук М. П.. Дацышин А. П. О взаимодействии системы трещин с границей
упругого тела.— Прикл. механика, 1974, 10, № 7, с. 84—92.
216.	Саврук М. П., Дацишин О. П. Перюдична задача теплопров1дност1 для т1ла
з трицинами.—Bicn. Льв1в. пол1техн. 1н-ту, 1975, № 106, с. 139—142.
217.	Саврук М. П., Дацышин А. П., Солтыс И. Ф. Термоупругое состояние плос-
плоскости с системой произвольно ориентированных трещин.— Прикл. меха-
механика, 1976, 12, № 4, с. 89—97.
218.	Саврук М. П., Рудь Н. А., Дацышин А. Я. Система криволинейных трещин
при циклической симметрии в пластине с круговой границей.— Прикл. ме-
механика, 1978, 14, № 4, с. 125—128.
219.	Саврук М. П., Солтыс И. Ф. Температурные напряжения около трещины в
оболочке двоякой кривизны.— Прикл. механика, 1974, 10, № 10, с. 44—49.
220.	Саврук М. П., Солтыс И. Ф. Температурные напряжения в цилиндрической
оболочке с трещиной.— Прикл. механика, 1974, 10, № 11, с. 112—116.
221.	Саврук М. П., Солтыс И. Ф. Влияние кривизны на термоупругое состояние
оболочки с трещиной.— В кн.: Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек
и пластин, Кутаиси, 22—29 сент. 1975 г. Тбилиси: Мецниереба, 1975,
с. 270—278.
222.	Саврук М. П., Солтыс И. Ф. Распределение температуры в двумерном теле
с круговой границей и термоизолированными трещинами.— Инж.-физ.
журн., 1977, 32, № 2, с. 350—353.
223.	Саврук М. П., Солтис I. Ф., Ярема С. Я. Про визначення температур них
напружень в оболонщ з трщиною.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1974, Яг 10,
с. 909—912.
312

224.	Саврук М. П., Солтыс И. Ф., Ярема С. Я. Температурные напряжения в обо-
оболочке с трещиной.— В кн.: Теория оболочек и пластин : Тр. IX Всесоюз.
конф. по теории оболочек и пластин, Ленинград, 24—28 дек. 1973 г. Л. :
Судостроение, 1975, с. 88—90.
225.	Саврук М. /7., Ярема С. Я- О напряженном состоянии вблизи трещины в
пологих оболочках. — В кн.: III Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. меха-
механике (Москва, январь 1968 г.): Аннот. докл. М. : Наука, 1968, с. 264.
226.	Саврук М. П., Ярема С. Я- Температурное поле в пластине с полубесконеч-
полубесконечной трещиной при наличии теплоотдачи с боковых поверхностей.— Физ.-
хим. механика материалов, 1971, 7, № 4, с. 92—94.
227.	Сандерс мл. Особые решения уравнений пологих оболочек.— Тр. Амер. о-ва
инженеров-механиков. Сер. Е, 1970, № 2, с. 108—115.
228.	Саникидзе Дою. Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с
суммируемой плотностью методом механических квадратур.— Укр. мат.
журн., 1970, 22, № 1, с. 106—114.
229.	Сапонджян 0. Изгиб тонких упругих плит.— Ереван : Айастан, 1975.—
435 с.
230.	Сапондоюян О. М., Энфиаджян Р. Л. Круговой диск с радиальным разрезом
под действием сосредоточенных сил.— Изв. АН АрмССР. Механика, 1976,
29, № 5, с. 15—27.
231.	Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х т.— М.: Наука, 1973.— Т. 2.
584 с.
232.	Си. О сингулярном характере температурных напряжений у вершины тре-
трещины.— Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е, 1962, № 3, с. 157—159.
233.	Си. Распределение напряжений вблизи концов трещины продольного сдви-
сдвига.— Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е, 1965, № 1, с. 57—65.
234.	Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения.— В кн.:
Разрушение. М. : Мир, 1975, т. 2, с. 83—203.
235.	Си, Парис, Эрдоган. Коэффициенты концентрации напряжений у вершины
трещины при плоском растяжении и изгибе пластин.— Тр. Амер. о-ва инже-
инженеров-механиков. Сер. Е, 1962, № 2, с. 101—108.
236.	Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовица, И. Сти-
ган.— М. : Наука, 1979.—832 с.
237.	Суздальницкий И. Д. О взаимном влиянии трещин, расположенных под уг-
углом.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1977, № 3, с. 142—145.
238.	Сулим Г. Т. Система лшшних включень в 1*зотропному середовищ1.— Доп.
АИ УРСР. Сер. А, 1980, № 7, с. 37—40.
239.	Таматэ О. Бесконечный ряд параллельных трещин в упругой изгибаемой
пластине.— Нихон кикай гаккай ромбуисю, 1977, 43, № 376, с. 4363—
4371.—РЖ Механика, 1978, 7В584. Яп.
240.	Таматэ О. Периодические коллннеарные,трещины в упругой пластине при
плоском изгибе.— Нихон кикай гаккай ромбуисю, 1978, 44, № 379,
с. 785—789.—РЖ Механика, 1978, 11В206. Яп.
241.	Толоконников'Л. Л., Султанов И. С. Деформирование бесконечной пластинки
с трещиной.— Прикл. механика, 1976, 12, № 5, с. 85—90.
242.	Тусупов М. Т., Алдамжаров К. Б. К решению задачи теории упругости для
плоскости с двоякопериодической системой щелей.— Вестн. АН КазССР,
1979, № 1, с. 48—54.
243.	Уфлянд Я- С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.—
Л.: Наука, 1968.—402с.
244.	Фильштинский Л. А. Упругое равновесие плоской анизотропной среды,
ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный
переход к изотропной среде.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела,
1976, № 5, с. 91—97.
245.	Фильштинский Л. А. Двоякопериодическая задача теории упругости для
анизотропной среды с криволинейными разрезами.— Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1977, № 6, с. 116—124.
246.	Фильштинский Л. А. Продольный сдвиг в анизотропной среде с разреза-
разрезами.—Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, №4, с. 68—72.
247.	Фильштинский Л. Л.., Кантор Б. #., Стрельникова Е. А. Контактная зада-
313

ча теории упругости для свободной или защемленной анизотропной полу-
полуплоскости с криволинейным разрезом.— В кн.: Всесоюз. конф. по теории
упругости (Ереван, пояб. 1979 г.) : Тез. докл. Ереван : Изд-во АН АрмССР,
1979, с. 352—353.
248.	Финкель В. М. Физика разрушения. Рост трещин в твердых телах.— М. :
Металлургия, 1970.— 376 с.
249.	Финкель В. М. Физические основы торможения разрушения.— М. : Метал-
Металлургия, 1977.—359 с.
250.	Хай М. В. Влияние однородного теплового потока на коэффициент интен-
интенсивности напряжений для плоскости с двоякопериодической системой тре-
трещин.— Мат. методы и фпз.-мех. поля, 1975, вып. 2, с. 123—127.
51. Хациревич И. X. Применение метода Вейля к решению плоской статической
задачи теории упругости.— Прикл. математика и механика, 1942, 6,
№ 2—3, с. 197—202.
252.	Хижняк В. /С., Шевченко В. П. Напряженное состояние ортотропных обо-
оболочек, ослабленных трещинами.— В кн.: Теорет. и приложна механика:
3-й Нац. конгр., Варна, 1977. Докл. София, 1977, кн. 1, с. 604—609.
253.	Храпков А. А. Первая основная задача для кусочно-однородной плоскости
с разрезом, перпендикулярным к прямой раздела.— Прикл. математика
и механика, 1968, 32, № 4, с. 647—659.
254.	Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М. : Наука, 1974.—
640 с.
255.	Черепанов Г. П. Равновесие откоса с тектонической трещиной.— Прикл.
математика и механика, 1976, 40, № 1, с. 136—151.
256.	Черепанов Г. /7., Ершов Л. В. Механика разрушения.— М. : Машинострое-
Машиностроение, 1977.—224 с.
257.	Черепанов Г. Я., Кулиев В. Д. Теория устойчивости скальных откосов с
тектоническими трещинами.— В кн.: Теорет. и приложна механика:
3-й Нац. конгр., Варна, 1977. Докл. София, 1977, кн. 1, с. 610—615.
258.	Чернышев Г. II. О контактных задачах в теории оболочек.— В кн.: Тр. VII
Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок, Днепропетровск, 10—
16 септ. 1969 г. М.:}Наука, 1970, с. 898—903.
259.	Чехов В. II. Выражение тангенциальных перемещений пологой оболочки че-
через функцию напряжений.— Прикл. механика, 1972, 8, № 3,
с. 31—36.
260.	Чигарев В. II. Решение первой основной задачи теории упругости для беско-
бесконечной полосы с несколькими полубесконечными разрезами.— Прикл. ма-
математика и механика, 1977, 41, № 4, с. 704—710.
261.	Чобанян К. С, Хачикян А. С. Плоское деформированное состояние упругого
тела с тонкостенным гибким включением.— Изв. АН АрмССР. Механика,
1967, 20, № 6, с. 19—29.
262.	Шерман Д. Я. Упругая плоскость с прямолинейными разрезами.— Докл.
АН СССР, 1940, 26, №> 7, с. 635—638.
263.	Шерман Д. Я. К решению плоской статической задачи теории упругости при
заданных на границе смещениях.—Докл. АН СССР, 1940, 27, №9,
с. 911—913.
264.	Шерман Д. Я. К решению плоской статической задачи теории упругости при
заданных внешних силах.—Докл. АН СССР, 1940, 28, № 1, с. 25—28.
265.	Шерман Д. И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространствен-
пространственных задачах статической теории упругости.— В кн.:Тр. Всесоюз. съезда
по теорет. и прикл. механике, Москва, 27 янв.— 3 февр. 1960 г. М.;
Л. : Изд-во АН СССР, 1962, с. 405—467.
260. Шерман Д. Я. Об одном способе рассмотрения краевых задач теории функ-
функций и двумерных задач теории упругости.— В кн.: Механика сплошной сре-
среды и родственные проблемы анализа. М. : Наука, 1972, с. 635—665.
267.	Шерман Д. И. О некоторых типах особых интегральных уравнений, встре-
встречающихся в приложениях.— Прикл. математика и механика, 1979, 43, № 3,
с. 519—530.
268.	Штаерман Я. Я- Контактная задача теории упругости.— М. ; Л.: Гостех-
-•" издат, 1949.— 270 с.
314

269.	Эрдоган* Си. О развитии трещин в пластинках под действием продольной
и поперечной нагрузок.— Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д,
1963, № 4, с. 49—59.
270.	Дрема С. #. Определение напряженного состояния диска, ослабленного сис-
системой трещин.— Физ.-хим. механика материалов, 1973, 9, № 4, с. 75—81.
271.	Ярема С. Я- Напряженное состояние дисков с трещинами, рекомендуемых
в качестве образцов для исследования сопротивления материалов развитию
трещин.— Физ.-хим. механика материалов, 1976, 12, № 4, с. 25—39.
272.	Ярема С. Я-, Зборомирский А. И. Влияние способа приложения сосредо-
сосредоточенной силы на напряженное состояние у вершины трещины в пластине.—
Физ.-хим. механика материалов, 1973, 9, № 1, с. 61—69.
273.	Ярема С. Я-> Крестин Г. С. Напряженное состояние диска с произвольно
расположенной трещиной.— Прикл. механика, 1975, 11, №9, с. 50—56.
274.	Яр^ма С. Я» Саврук М. П. Напружений стан цшиндричнох оболонки з
поздовжньою або поперечною трщиною при симетричному навантаженш.—
Доп. АН УРСР-Сер. А, 1967, № 8, с. 720—724.
275.	Ярема С. Я-, Саврук М. П. Напружений стан полого!' оболонки з трщиною
при симетричному навантаженнк— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1969, № 1,
с. 55—58.
276.	Ярема С. Я., Саврук М. П. Напряжения в цилиндрической оболочке с про-
произвольно ориентированной трещиной.—Физ.-хим. механика материалов,
- 1969, 5, № 3, с. 328—337.
277.	Ярема С. Я •, Саврук М. П. Антисиметричний напружений стан б1ля трици-
ни у полопй оболонцк— Доп. АИ УРСР. Сер. А, 1969, № 8, с. 726—730.
278.	Ярема С. Я-, Саврук М. П. Влияние кривизны на напряженное состояние
оболочки с трещиной.— Прикл. механика, 1970,.6, № 11, с. 32—40.
279.	Ярема С. Я., Саврук М. /7. Пологая оболочка с трещиной.— Концентрация
напряжений, 1971, вып. 3, с. 208—214.
280.	Ярема С. #., Саврук М. П., Нечаев Я- К. Распределение температуры у тер-
термоизолированной трещины в пластине при различных граничных условиях.—
Инж.-физ. жури., 1972, 23, № 3, с. 528—532.
281.	Ahmed A. Stresses in an elastic infinite plate with a parabolic crack.— Rev.
roum. sci. techn. Ser. mec. appl., 1973, 18, N 5, p. 999--1005.
282.	Aksogan 0. Partial closure of a Griffith crack under a general loading.— Int.
J. Fract., 1975, 11, № 4, p. 659—670.
283.	Aksogan O. The interaction of col linear arrays of Griffith cracks on two radial
lines.—Trans. ASME, 1976, B98, N 3, p. 1086—1091.
284.	Aksogan 0. The stress intensity factors for X-formed arrays of cracks.— In:
Adv. Res. Strength and Fract. Mater. 4th Int. Conf. Fract., Waterloo, 1977,
New York, etc., 1978, vol. ЗА, р. 177—184.
285.	Atkinson C. On some two dimensional: potential and elastic problems involving
a small parameter.—J. Elast., 1975, 5, N 1, p. 31—44.
286.	Atkinson C. Stress singularities and fracture mechanics.— Appl. Mech. Rev.,
1979, 32, N 2, p. 123—135.
287.	Badaliance R., Gupta G. ?>. Growth characteristics of two interacting cracks.—
Eng. Fract. Mech., 1976, 8, N 2, p. 341—353.
288.	Bakioglu M.t Erdogan F. The crack-contact and the free-end problem for a
strip under residual stress.— Trans. ASME, 1977, E44, N 1, p. 41—46.
289.	Benthem J, P., Koiter W. T. Asymptotic approximations to crack problems.—
In: Methods of analysis and solutions of crack problems. Leyden: Noordhoff
Intern, publ., 1973, p. 131—178.
290.	Bluhm J. Fracture mechanics.— Soc. Automot. Eng. J., 1963, N655C, p. 1—30.
291.	Bowie 0. L. Solutions of plane crack problems by mapping technique.— In:
Methods of analysis and solutions of crack problems. Leyden : Noordhoff In-
Intern, publ., 1973, p. 1—55.
292.	Bowie O. L., Freese С. Е. On the «overlapping» problem in crack analysis.—
Eng. Fract. Mech., 1976, 8, N 2, p. 373—379.
293.	Bueckner H. F. Some stress singularities and their computation by means of
integral equations.— In: Boundary problems different. Eguat. Madison :
Univ. Wisconsin press, 1960, p. 215—230.
315

294.	Calhoun R., Lowengrub M. A two dimensional asymmetrical crack problem.—
J. Elast., 1974, 4, N 1, p. 37—50.
295.	Cardew G. ?., Howard I. C. An edge-crack in an elastic strip and related prob-.
lems in fracture mechanics and viscous flow.— Int. J. Eng. Sci., 1976, 14, N 4,
p. 403—414.
296.	Cartwright D. J., RookeD. P. Approximate stress intensity factors compounded
from known solutions.—Eng. Fract. Mech., 1974, 6, N 3, p. 563—571.
297.	Chatterjee S. N. The stress field in the neighborhood of a branched crack in
aninfiniteelasticsheet.— Int. J. Solidsand Struct., 1975,11, N 5. p. 521— 538.
298.	Chatterfee S. N., PrasadS. N. On Papkovich-Fadle solutions of crack problems
relating to an elastic strip.— Int. J. Eng. Sci., 1973, 11, N 10, p. 1079—1101.
299.	Chawla M. M., Ramakrishnan T. R. Modified Gauss-Jacoby quadrature formu-
formulas for the numerical evaluation of Cauchy type singular integrals.— BIT
(Sver.), 1974, 14, N 1, p. 14—21.
300.	Chawla M. M., Ramakrishnan T. R. Numerical evaluation of integrals of perio-
periodic functions with Cauchy and Poisson type kernels.— Numer. Math., 1974,
22, N 4, p. 317—323.
301.	Chell G. The stress intensity factors for centre and edge cracked sheets subject
to an arbitrary loading.— Eng. Fract. Mech., 1975, 7, N 14 p. 137—152.
302.	Chell G. G. The stress intensity factors and crack profiles for centre and edge
cracks in plates subject to arbitrary stresses.— Int. J. Fract., 1976, 12, N 1,
p. 33—46.
303.	Cherepanov G. P. Mechanics ol brittle fracture.— New York : McGraw — Hill,
1979.—976 p.
304.	Cherepanov G. P., Kuliev V. D. On crack twinning.— Int. J. Fract., 1975, 11,
N 1, p. 29—38.	-
305.	Das S. C, Poddar S. N. Stress-intensity factors for a cruciform crack with equal
arm in an infinite elastic strip of finite thickness.— Int. J. Eng. Sci., 1976,
14, N 8, p. 755—768.
306.	Delameier W. R., Hermann G., BarnettD. M. Weakening of an elastic solid by
a rectangular array of cracks.—Trans. ASME, 1975, E42, N 1, p. 74—80.
307.	Dhaliwal R. S. Two diametral cracks in a point loaded circular disc.— Indian
J. Pure and Appl. Math., 1978, 9, N 7, p. 661—667.
308.	Dhaliwal R. S., Singh A. Vertical crack inside a semi-infinite plane.— Int.
J. Eng. Sci., 1976, 14, N И, р. 1059—Ю69.
309.	Dhaliwal R. S., Singh A. Two diametral cracks in a circular disc. — Indian J.
Pure and Appl. Math., 1978, 9, N 4, p. 343—357,
310.	Duncan Ad. E., Sanders J. L. A circumferential crack in a cylindrical shell un-
under tension.— Int. J. Fract. Mech., 1972, 8, N 1, p. 15—20.
311.	Ejike U. В. С. О. Л row of external cracks in an elastic half-plane.— J. Elast./
1973, 3, N 4, p. 261—269.
312.	Ejike U. В. С. О. Single-edge cracked strip under three-point load.— Int. J.
Eng. Sci., 1977, 15, N 7, p. 413—420.
313.	Erdovan F., Arin K. A half plane and a strip with an arbitrarily lokated crack.-*-
Int. J. Fract., 1975, II, N 2, p. 191—204.
314.	Erdogan F., Gupta G. D. On the numerical solution of singular integral equati-
equations,—Quart. Appl. Math., 1972, 29, N 4, p. 525—534.
315.	Erdogan F., Gupta G. D., Cook T. S. The numerical solutions of singular integ-
integral equations.—• In: Methods of analysis and solutions of crack problems.
Leyden : Noordhoff Intern, publ., 1973, p. 368—425.
316.	Erdogan F., Gupta G. D., Ratwani M. Interaction between a circular inclu-
inclusion and an arbitrarily oriented crack.— Trans. ASME, 1974, E41, N 4,
p. 1007—1013.
317.	Erdoqan F., Kibler J. J. Cylindrical and spherical shells with cracks.—7 Int.
J. Fract. Mech., 1969, 5, N 3, p. 229—237.
318.	Erdogan F., Ratwani M. Fatique and fracture of cylindrical shells containing
a circumferential crack.— Int. J. Fract. Mech., 1970, 6, N 4, p. 379—392.
319.	Erdogan F., Ratwani M. A circumferential crack in a cylindrical shell under
torsion.— Int J. Fract. Mech., 1972, 8, N I, p. 87—96.
316

320.	Eshelby J. D. The calculation of energy release rates.— In: Prospects fract..
mech. Leyden, 1974, p. 69—84.
321.	Folias E. S. A finite line crack in a pressurized spherical shell.— Int. J. Fract»
Mech., 1965, 1, N 1, p. 20—46.
322.	Folias E. S. An axial crack in a pressurized cylindrical shell.—Int. J. Fract.
Mech., 1965, 1, N 2, p. 104—113.
323.	Folias E. S. The stresses in a cracked spherical shell. —J. Math, and Phys.,.
1965, 44, N 2, p. 164—176.
324.	Folias E. S. A circumferential crack in a pressurized cylindrical shell.— Int.
J. Fract. Mech., 1967, 3, N 1, p. 1—11.
325.	Freese С. Е. Periodic edge cracks of unequal length in a semi-infinite tensile-
sheet.—Int. J. Fract., 1976, 12, N 1, p. 125—134.
326.	Freund L. B. Stress intensity factor calculations based on a conservation integ-
integral.— Int. J. Solids and Struct., 1978, 14, N 3, p. 241—250.
327.	Goldstein R. V., Salganik R. L. Brittle fracture of solids with arbitrary-
cracks.— Int. J. Fract., 1974, 10, N 4, p. 507—523.
328.	Grandt A. F. Stress intensity factors for some through-craced fastener holes.—
Int. J. Fract., 1975, II, N 2, p. 283—294.
329.	Grandt A. F. Stress intensity factors for cracked holes and rings loaded with po-
polynomial crack face pressure distributions.— Int. J. Fract., 1978, 14, N 4,
p. R 221— R 229.
330.	Gregory JR. D. A circular disc containing a radial edge crack opened by a constant
pressure.—Math. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1977, 81, N 3, p. 497—521.
331.	Gregory R. D. The edge-cracked circular disc under symmetric pin-loading.—
Math. Proc. Cambridge Phil. Soc, 1979, 85, N 3, p. 523—538.
332.	GuptaG.D., Erdogan F. The problem of edge cracks in an infinite strip.— Trans.
ASME, 1974, E41, N 4, p. 1001—1006.
333.	Hartranft R. J., Sih G. С Alternating method applied to edge and surface
crack problems.— In: Methods of analysis and solutions of crack problems.
Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1973, p. 179—238.
334.	Hsu Y. С The infinite sheet with cracked cylindrical hole under inclined ten-
tension or in-plane shear.— Int. J. Fract., 1975, 11, N 4, p. 571—581.
335.	Hsu Y. C. The infinite sheet with two radial cracks from cylindrical hole under
inclined tensior or in-plane shear.— Int. J. Fract., 1977, 13, N 6, p. 839—845.
336.	Huang С Y., Hsu Y. C, Warren W. E. Interaction between a circular hole
and an elastic-plastic crack under uniform shear load.— Acta mech., 1977,
28, N 1-4 p. 101—112.
337.	loakimidis N. /., Theocaris P. S. The Gauss-Mermite numerical integration
method for the solution of the plane elastic problem of semi-infinite periodic
cracks,— int. J. Eng. Sd., 1977, 15, N 4, p. 271—280.
338.	loakimidis N. J., Theocaris P. S. The problem of the simple smooth crack in
an infinite anisotropic elastic medium.— Int. J. Solids and Struct., 1977, 13,
N 4, p. 269—278.
339.	loakimidis N. I., Theocaris P. S. Array of periodic curvilinear cracks in an infi-
infinite isotropic medium.—Acta mech., 1977, 28, N 1-4, p. 239—254.
340.	loakimidis N. I., Theocaris P. S. Doubly-periodic array of cracks in an infinite
isotropic medium.—J. Elast., 1978, 8, N 2, p. 157—169.
341.	loakimidis N. I., Theocaris P. S. Numerical solution of Cauchy type singular
integral equations by use of the Lobatto-Jacoby numerical integration rule.—
. Appl. mat., 1978, 23, N 6, p. 439—452.
342.	Irwin G. R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing
a plate.—J. Appl. Meeh., 1957, 24, N 3, p. 361—364.
343.	Irwin G. R. Fracture.— In: Handbuch der Physik. Berlin: Springer, 1958, Bd. 6,
. S. 551—590.
344.	Irwin G. R. The crack-extension-force for a crack at a free surface boundary.—
NRL Rep., 1958, N 5120. .
345.	Irwin G. R., Wells A. A. A continuum-mechanics view of crack propagation.—
Metallurg. Revs, 1965, 10, N 38, p. 223—270.
346.	Isida M. Analysis of stress intensity factors for plates containing random array
of cracks.— Bull. JSME, 1970, 13, N 59, p. 635—642.
317

347.	Isida M. Method of Laurent" series expansion for internal crack problems.—
In: Methods of analysis and solutions of crack problems. Leyden : Noordhoff
Intern, publ., 1973, p. 56—130.
348.	Isida M. Arbitrary loading problems of doubly symmetric regions containing
a central crack.— Eng. Fract. Mech., 1975, 7, N 3, p. 505—514.
349.	Katnei A., Yokoborl T. Some results on stress intensity factors of the cracks
and/or slip bands system.— Repts Res. Inst. Stregth and Fract. Mater. Toho-
ku Univ., 1975, 10, N 2, p. 29—93.
350.	Kecr L. M. Stress analysis for bonded layers.— Trans. ASME, 1974, E41,
N 3, p. 079—683.
351.	Keer L. M., Chantaratnungkorn K. Stress analysis for a double lap joint.—
Trans ASME, 1975, E42, N 2, p. 353—357.
352.	Keer L. M., Chanlaramungkorn K. An elastic half plane weakened by a rectan-
rectangular trench.—Trans. ASME, 1975, E42, N 3, p. 683—687.
353.	Kecr L. M., Freed топ J. M. Tensile strip with edge cracks.— Int. J.
Eng. Sci., 1973, 11, N 12, p. 1265—1275.
354.	Kitagawa II., Yuuki R., Ohlra T. Crack-morphological aspects in fracture
mechanics.— Eng. Fract. Mcch., 1975, 7, N 3, p. 515—529.
355.	Klein G., Hodlak T. Zur Wechselwirkung von Mehrfachrissen.— Z. Werkstoff-
techn., 1978,9, N 3, S. 86—92.
356.	Knowles J. K., Wang N. M. On the bending of an elastic plate containing
a crack.—J. Math, and Phys., 1960, 39, N 4, p. 223—236.
357.	Koiter W. T. Stress distribution in an infinite elastic sheet with a doubly-perio-
doubly-periodic set of equal holes.— In: Boundary Problems Different. Equat. Madison:
Univ. Wisconsin press, 1960, p. 191—213.
358.	Koiter W. T. Note on the stress intensity factors for sheet strips with cracks
under tensile loads.— Delft. Techn. Univ., Dept. of Mech. Eng., 1965, Rep.
N 314.
359.	Krenk 5. On the elastic strip with an internal crack.— Int. J. Solids and Struct.,
1975, 11, N 6, p. 693—708.
360.	Krenk S. Quadrature formulae of closed type for solution of singular integral
equations.—J. Inst. Math, and Appl., 1978, 22, N 1, p. 99—107.
361.	Krenk S. Influence of transverse shear on an axial crack in a cylindrical shell.—
Int. J. Fract., 1978, 14, N 2, p. 123—143.
362.	Kumar M. Study on two coplanar Griffith cracks in an infinite elastic strip.—
Indian J. Technol., 1975, 13, N 11, p. 488—491.
363.	Kumar M., Srivastava R, K. Some applications of triple integral equations
involving inverse Mellin transformas.— Indian J. Pure and Appl. Math., 1978,
9, N 1, p. 87—100.
364.	Lakshminarayana H. V., Murthy M. V. V. On stress around an arbitrarily ori-
oriented crack in a cylindrical shell.— Int. J. Fract., 1976, 12, N 4, p. 547—566.
365.	Lardner R. l\;/. Dislocation layers and boundary-value problems of plane elas-
elasticity.— Quart. J. Mech. Appl. Math., 1972, 25, N 1, p. 45—61.
366.	Latta G. ?., Simmonds J. G., Bradley M. R. Analytical and numerical calcula-
calculation of stress-intensity factors in a pressurized cylindrical shell with a clamped
crack.— Trans. ASME, 1977, E44, N 2, p. 264—270.
367.	Leevers P. S., Radon J. C, Culver L. E. Fracture trajectories in a biaxially
stressed plate.—J. Mech. and Phys. Solids, 1976, 24, N 6, p. 381—395.
368.	Liebowitz D. H. Engineering fracture mechanics.— New York : Pergamon
press, 1974.—740 p.
369.	Lo K. K. Analysis of branched cracks.— Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1978,
45, N 4, p. 797—802.
370.	Longmuir G. J., Tweed J. The elastic problem for a half plane with a line crack
in its interior.— Lett. Appl. and Eng. Sci., 1976, 4, N 5, pf 333—342.
371.	Lowengrub M., Srivastau R. P. A Cauchy-type integral equation arising in
potential theory,—Appl. Anal., 1974, 4, N 1, p. 1—8.
372.	Lukasiewicz S. ОЬсцгеша skupione w plytach, tarczach i powlokach.— Wars-
zawa: Panstwowe wyd-wo naukowe, 1976.— 523 s.
373.	Matczyriski M. Motion of a crack in antiplane state of strain of an elastic strip.—
Arch. Mech. Stos., 1973, 25, N 5, p. 823—832.
.318

374.	Май S. Т., Yang M. S. Some applications of a hybrid finite element method
to crack problems.— In: Proc. Int. Conf. Fract. Mech. and Technol., Hong
Kong, 1977. Alphen an den Rijn, 1977, vol. 2, p. 1467—1482.
375.	Mir-Mohamad-Sadegh AH, Altiero N. J. Solution of the problem of a crack in
a finite plane region using an indirect boundary-integral method.— Eng.
Fract. Mech., 1979, 11, N 4, p. 831—837.
376.	Miyamoto H., Fukuda S., Ktijirai Y., Sumikawa K. Prediction of fatique crack
path by finite element method.— J. Fac. Eng. Univ. Tokio. Ser. B, 1977, 34,
N 2, p. 339—348.
377.	Murakami Y. Application of the body force method 4o the calculation of stress
intensity factors for a crack in the arbitrarily shaped plate.— Eng. Fract.
Mech., 1978, 10, N 3, p. 497—513.
378.	Orios Z. Szczelina przykrawe,dziowa w polptaszczyznie sprqzystej.—Arch,
inz. lad., 1960, 6, N 1, s. 93—114.
379.	Ouchterlony F. Symmetric cracking of a wedge by concentrated loads.— Int. J.
Eng. Sci., 1977, 15, N 2, p. 109—116.
380.	Ouchterlony F. Some stress intensity factors for self-similar cracks, derived from
path-independent integrals.—J. Elast., 1978, 8, N 3, p. 259—271.
381.	Ozbek T. The plane problem of a semi-finite crack and a finite crack on two radi-
radial lines.— Int. J. Eng. Sci., 1977, 15, N 3, p. 185—192.
382.	Panasyuk V. V., Savruk M. P., Datsyshyn A. P. A general method of solution
of two-dimensional problems in the theory of cracks.— Eng. Fract. Mech.,
1977,9, N 2, p. 481—497.
383.	Parihar K. S., Kushwaha P. S. The stress intensity factors for two symmetri-
symmetrically located Griffith cracks in an elastic strip in which symmetrical body for-
forces are acting.—SIAM J. Appl. Math., 1975, 28, N 2, p. 399—410.
384.	Petroski H. J., Achenbach J. D. Computation of the weight function from a
stress intensity factor.—Eng. Fract.Mech., 1978, 10, N 2, p. 257—266.
385.	Rao B. S. R. Infinite elastic plane with a parabolic arc cut.— Appl. Sci. Res.
A, 1963, 12, N 1, p. 86—90.
386.	Rao M. N. В., MurthyM. V. V. On the stress in the vicinity of an elliptic hole
in a cylindrical shell under torsional loading. —Nucl. Eng. and Des., 1971,
17, N 3, p. 309—321.
387.	Rooke D. P. Width corrections in fracture mechanics.— Eng. Fract. Mech.,
1970, 1, N 4, p. 727—728.
388.	Rooke D. P., Tweed J. The stress intensity factors for two collinear edge cracks
in a rotating disc—J. Elast., 1977, 7, N 2, p. 185—194.
389^ Sekine H. Thermal stress singularities at tips of a crack in a semi-infinite me-
medium under uniform heat flow.— Eng. Fract. Mech., 1975, 7, N 4, p. 713—729.
390.	Sekine H. Thermal stresses near tips of an insulated line crack in a semi-infi-
semi-infinite medium under uniform heat flow.— Eng. Fract. Mech., 1977, 9, N 2,
p. 499—507.
391.	Sekine H. Crack problem for a semi-infinite solid with heated bounding surfa-
surface.— Trans. ASME, 1977, E44, N 4, p. 637—642.
392.	Sih G. C.t Dobreff P. C. Crack-line imperfections in a spherical shell.— Glas-
Glasgow Math. J., 1971, 12, N 1, p. 65—88.
393.	Sih G. C, Macdonald B. Fracture mechanics applied to engineering problems —
strain energy density fracture criterion.— Eng. Fract. Mech., 1974, 6, N 2,
p. 361—386.
394.	Simmonds J. G., Bradley M. R. The fundamental solution for a shallow shell
with an arbitrary quadratic midsurface.— Trans. ASME, 1976, E43, N 2,
p. 286—290.
395.	Simmonds J. G., Bradley M. R. Stress-intensity factors for very short cracks in
arbitrary pressurized shells,—Trans. ASME, 1976, E43, N 4, p. 657—662.
396.	Simmonds J. G., Bradley M. /?., Nicholson J. W. Stress-intensity factors for
arbitrarily oriented cracks in shallow shells.— Trans. ASME. J. Appl. Mech.,
1978, 45, N 1, p. 135—141.
397.	Smith E. Crack bifurcation in brittle solids.—J. Mech. and Phys. Solids,
1968, 16, N 5, p. 329—336.
319

398.	Smith E. The extension of two parallel non-coplanar cracks by an applied
stress.— Int. J. Eng. ScL, 1971, 9, N 7, p. 631—638.
399.	Smith E. A note on crack-forking in anti-plane strain deformation.— Int. J.
Fract., 1973, 9, N 2, p. 181 — 183.
400.	Smith E. Simple approximate methods for determining the stress intensifica-
intensification at the tip of a crack.— Int. J. Fract., 1977, 13, N 4, p. 515—518.
401.	Sneddon I. N. The distribution of stress in the neighborhood of a crack in an
elastic solid.— Proc. Roy. Soc, 1946, A187, p. 229—260.
402.	Sneddon I. N., Lowengrub M. Crack problems in the classical theory of elastici-
elasticity.— New York ; London : Wiley, 1969.— 221 p.
403.	Srivastava K. N., Kumar M., Jha A. C. An edge crack in a thin semi-circular
plate.— Indian J. Pure and Appl. Math., 1977, 8, N 1, p. 72—83.
404.	Srivastava K. N., Kumar M., Jha A. C. External star shaped crack in an infi-
infinite medium with a circular hole.— J. Jap. Soc. Strength and Fract. Mater.,
1977, 12, N 2, p. 83—90.
405 J Stallybrass M. P. A crack perpendicular to an elastic half-plane.— Int. J. Eng.
ScL, 1970, 8, N 5, p. 351—362.
406.	Stallybrass Ai. P. A semi-infinite crack perpendicular to the surface of an
elastic half-plane.— Int. J. Eng. ScL, 1971, 9, N 1, p. 133—150:
407.	Siallybrass M. P. A correspondence between certain interior and exterior crack
problems in plane elastostatics. — In : Proc. 3rd Can: Congr. Appl. Mech.
(Calgary, 1971). Calgary, 1971, p. 753—754.
408.	Tamate 0. Flexural problems of a thin plate with a curved crack.— Ingr-Arch.,
1967, 35, N5, p. 323—331.
409.	Tamate 0. A theory of dislocations in the plate under flexure with application
to crack problems.—Technol. Repts Tohoku Univ., 1975, 40, N 1, p.. 67—88.
410.	Tamaie 0. Two arbitrarily situated cracks in an elastic plane under flexure.—
Int. J. Solids and Struct., 1976, 12, N 4, p. 287—298.
411.	Tamaie 0. Periodic collinear cracks in an elastic plate under uniform twisting.—
Technol. Repts Tohoku Univ., 1977, 42, N 2, p. 291—301.
412.	Tamate 0., Iwasaka N. An arbitrarily oriented crack in a long strip under
tension.— Technol. Repts Tohoku Univ., 1975, 40, N 2, p. 285—297.
413.	Theocaris P. S. Asymmetric branching of cracks.— Trans. ASME, 1977, E44,
N 4, p. 611—618.
414.	Theocaris P. S., Ioakimidis N. I. The symmetrically branched crack in an infi-
infinite elastic medium.— Z. angew. Math, und Phys., 1976, 27, N 6, p. 801—814.
415.	Theocaris P. S., Ioakimidis N. I. Numerical integration methods for the solu-
solution of singular integral equations.— Quart. Appl. Math., 1977, 35, N 1,
p. 173—183.
416.	Theocaris P. S., Ioakimidis N. 1. A star-shaped array of curvilinear cracks in an
infinite isotropic elastic medium. — Trans. ASME, 1977, E44, N 4,
p. 619-624.
417.	Theocaris P. S., Ioakimidis N. /. A method of solution of the problem of the
unsymmetric cruciform crack in an infinite plane isotropic elastic medium.—
Acta mech., 1978, 29, N1-4, p. 127—133.
418.	Theocaris P. S., Ioakimidis N. I. On the solution of the problem of a curvi-
curvilinear crack in a finite plane elastic medium. — Jnt. J. Fract., 1979,
15, N 1, p. R7 —R10.
419.	Theocaris P. S., Ioakimidis N. I. A method of numerical solution of Cauchy-
type singular integral equations with generalized kernels and arbitrary comp-
complex singularities.—J. Com put. Phys., 1979, 30, N 3, p. 309—323.
420.	Theocaris P. S., Ioakimidis N. I. The V-notched elastic half-plane problems.—
Acta mech., 1979, 32, N 1-3, p. 125—140.
421.	Theocaris P. S., TsamasphyrosG. J. On the solution of boundary-value problems
in plane elasticity for multiply-connected regions. I. The second boundary va-
value problem.— Lett. Appl. and Eng. ScL, 1975, 3, N 3, p. 167—176.
422.	Theocaris P. S., TsamasphyrosG. J. Resolution du deuxieme probleme aux H-
rnitcs.—Bull. Acad. poi. sci. Scr. sci. techn., 1976 A977), 24, N 12,
p. 919—926.
423.	Theocaris P. S., Tsamasphyros G. J. Sur une methode de resolution du deuxie-
320

me problieme aux limites.— Arch. mech. stosow., 1978, 30, N 1, p. 3—15.
424.	Tweed J., Das S. C, RookeD. P. The stress intensity factors of a radial crack
in a finite elastic disc— Int. J. Eng. Sci., 1972, 10, N 3, p. 323—335.
425.	Tweed J.t Longmuir G. J. The plane strain problem for an infinite annular solid
with two pairs of cracks at its inner boundary. — Lett. Appl. and Eng. Sci.,
1976, 4, N 4, p. 269—279.
426.	Tweed J., Lowe S. The thermoelastic problem for a half-plane with an internal
line crack.— Int. J. Eng. Sci., 1979, 17, N 4, p. 357—363.
127. Tweed J., Rooke D. P. The stress intensity factor for a crack in a symmetric
array originating at a circular hole in an Infinite elastic solid.— Int. J. Eng.
Sci., 1975, 13, N 7/8, p. 653—661.
428.	Tweed J., Rooke D. P. The elastic problem for an infinite solid containing a
circular hole with a pair of radial edge cracks of different lengths.— Int. J. Eng.
Sci., 1976, 14, N 10, p. 925—933.
429.	Vitek V. Plane strain stress intensity factors for branched cracks.— Int. J.
Fract., 1977, 13, N 4, p. 481—501.
430.	Wang N. M. Effects of plate thickness on the bending of an elastic plate contai-
containing a crack.—J. Math, and Phys., 1968, 47, N 4, p. 371—390.
431.	Wang Tzu-chiang. Fracture criteria for combined mode cracks.— Sci sinica,
1978, 21, N 4, p. 457—474.
432.	Weighardt R. Uber das Spalten und Zerreiflen elastischer Korper.—Z. Math,
und Phys. 1907, 55, N 1/2, S. 60—103.
433.	Westergaard II. M. Bearing pressures and cracks.— J. Appl. Mech., 1939, 6,
N 2, p. A49—A53.
•434. Wigglesworth L. A. Stress distribution in a notched plate.— Mathernatika,
1957, 4, N 7, p. 76—96.
435.	Wigglesworth L. A. Stress relief in a cracked plate. — Mathematika, 1958, 5,
N 1, p. 67—81.
436.	Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions
in angular corners of plates in extension.— J. Appl. Mech., 1952, 19, N 4,
p. 526—528.
437.	Williams M. L. On the stress distribution at the base of a stationary crack.—
J. Appl. Mech., 1957, 24, N 1, p. 109—114.
438.	Williams M. L. The bending stress distribution at the base of a stationary
crack.—Trans. ASME, 1961, E28, N 1, p. 78—82.
439.	Willis J. R. A discussion of crack-forking in anti-plane strain deformating.—
Int. J. Fract., 1975, 11, N 3, p. 489—493.
440.	Wu C. H. Elasticity problems of a slender Z-crack.— J. Elast., 1978, 8, N 2,
p. 183—205.
441.	Yarema S. Y. Analysis of cracked disk specimens.— Eng. Fract. Mech., 1979,
12, N 3, p. 365—375.
442.	Yokobori Т., IchikawaM., Konosu S., Takahashi R. Interaction between an
elliptic notch and a near-by crack.— Repts Res. Inst. Strength and Fract.
Mater. Tohoku Univ., 1972, 8, N 1, p. 1—17.
443.	Yokobori Т., Uozumi M., Ichikawa M. Interaction between non-coplanar paral-
parallel staggered elastic cracks.— Repts Res. Inst. Strength and Fract. Mater.
Tohoku Univ., 1971, 7, N 1, p. 25—47.
444.	Yuceoglu U.t Erdogan F. A cylindrical shell with an axial crack under skew-
symmetric loading.—Int. J. Solids and Struct., 1973, 9, N 3, p. 347—362.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора	»	 3
Предисловие	 5
Глава I. Плоские задачи теории упругости для бесконечного тела с тре-
трещинами	 7
1.	Основные соотношения плоской теории упругости		7
2.	Некоторые сведения из теории аналитических функций		11
3.	Напряженно-деформированное состояние упругой плоскости с гладким
криволинейным разрезом		18
4.	Коэффициенты интенсивности напряжений для криволинейной трещины,
мало отличающейся от дугообразной или прямолинейной 		24
5.	Система криволинейных трещин в упругой плоскости		33
Глава II. Приближенные методы решения сингулярных интегральных
уравнений .	 42
1.	Метод малого параметра	 .	42
2.	Метод механических квадратур		52
3.	Численное решение интегральных уравнений в случае ломаных и ветвя-
ветвящихся трещин		59
4.	Определение статической траектории распространения трещины ....	67
5.	Решение контактных задач теории упругости для областей с криволиней-
криволинейными разрезами . . .		72
Глава III. Плоские периодические задачи теории упругости для беско-
бесконечного тела с трещинами	 78
1.	Система криволинейных трещин при циклической симметрии		7^
2.	Периодическая система криволинейных трещин		82
3.	Замкнутое приближенное решение задачи о периодической системе
параллельных трещин 		91
4.	Бесконечный ряд внешних параллельных трещин	 .	99
5.	Двоякопериодическая система трещин	¦.	105
Глава IV. Плоские задачи теории упругости для полуплоскости и поло-
полосы с разрезами	111
1. Интегральные уравнения основных граничных задач для полуплоскости
• с трещинами 	111
2.'Замкнутое приближенное решение задачи о трещине, перпендикулярной
к краю полуплоскости 	116
3.	Численное решение интегральных уравнений задач теории трещин для
полуплоскости	 . 122
4.	Интегральные уравнения первой основной задачи для бесконечной поло-
полосы с криволинейными разрезами	 . 131
5.	Упругая полоса с прямолинейными трещинами	136
322

Глава V. Плоские задачи теории упругости для многоспязиой области
с отверстиями и разрезами		142"
1.	Интегральные уравнения основных граничных задач для многосвязной
. области . . ."		142
2.	Многосвязная область с отверстиями и трещинами		152
3.	Круговой диск с трещинами		156
4.	Бесконечная плоскость с круговым отверстием и трещинами		164
5.	Бесконечная плоскость с прямолинейной трещиной и двумя круговыми
отверстиями 		172
Глава VI. Антиплоская деформация тел с трещинами		18)
1.	Интегральные уравнения основных граничных задач продольного сдвига
бесконечных тел с криволинейными разрезами 		181
2.	Коэффициенты интенсивности напряжений для ломаных и ветвящихся
трещин		192
3.	Периодические задачи продольного сдвига тел с трещинами		2001
4.	Система криволинейных трещин в ограниченных или полуограниченных
областях		205
5.	Трещины продольного сдвига в упругой области с круговыми границами	215'
Глава VII. Плоские задачи теплопроводности и термоупругости для
тел с трещинами 		220
1.	Интегральные уравнения стационарной задачи теплопроводности для
тела с разрезами		220-
2.	Интегральные уравнения плоских задач термоупругости для тел с тре-
трещинами 		226
3.	Система прямолинейных термоизолированных трещин в упругой плос-
плоскости		231
4.	Периодические задачи термоупругости для тел с разрезами 		236
5.	Система термоизолированных трещин в упругой полуплоскости * ...	242
Глава VIII. Изгиб пластин с криволинейными трещинами		247
1.	Основные соотношения классической теории изгиба тонких пластин . .	247
2.	Интегральные уравнения основных граничных задач об изгибе пластин
с разрезами		249
3.	Изгиб пластины с трещинами вдоль прямой или дуги окружности ....	257
4.	Периодические системы разрезов		263
5.	Изгиб полубескоиечной пластины с криволинейными разрезами ....	267
Глава IX. Упругое равновесие пологих оболочек с криволинейными тре-
трещинами		271
1.	Основные соотношения теории пологих оболочек		271
2.	Фундаментальное решение комплексного разрешающего уравнения
теории пологих оболочек . .		275
3.	Интегральные уравнения основных граничных задач для оболочек с раз-
разрезами 		281
4.	Задачи термоупругости для оболочек с термоизолированными трещинами	287
5.	Асимптотическое решение задачи о распределении напряжений в оболоч-
оболочке с трещиной или отверстием . . .		292
Список литературы 		303-

Михаил Петрович Саврук
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ
С ТРЕЩИНАМИ
Утверждено к печати ученым советом
Физико-механического института АН УССР
Редактор
Л. П. БЛАЖЕВИЧ
Оформление художника
Б. М. ПОПОВИЧА
Художественный редактор
И. В. КОЗИЙ
Технический редактор
Г. Р. БОДНЕР
Корректоры
Е. А. МИХАЛЕЦ.
Т. Я. ЧОРНАЯ
Ииформ. бланк № 4410.
Сдано в набор 16.03.81.
Подп. в печ. 06.10.81.
БФ 01671. Формат 60х90/1в.
Ьум. ки.-жури. Лит. гарн.
Вые. печ. Усл. печ. л.
20,25. Усл. кр.-отт. 20,25.
Уч.-изд. л. 21,23. Тираж 1600. экз.
Зак. № 1—685. Цена 3 руб. 50 коп.
Издательство «Наукова думка»,
252601, Киев, ГСП, Репина, 3.
Отпечатано с матриц республиканского
производственного объединения «Поли-
графкиига» Госкомиздата УССР, Киев,
ул. Довженко, 3 в областной книжной
типографии, г. Львов, ул. Стефаника, 11,
Зак, 3859.