Л.П.РАПОПОРТ
Б.А.ЗОН
i н.л.мдшов
и
ш
«*«••»?
щ
£зд£ >,£•''

Л. П. РАПОПОРТ,
Б. А. ЗОН,
Н. Л. МАНАКОВ
ТЕОРИЯ
МНОГОФОТОННЫХ
ПРОЦЕССОВ
В АТОМАХ
МОСКВА
АТОМИЗДАТ
1978

УДК 539.182
Рапопорт Л. П., Зон Б. А., М а н а к о в Н. Л. Теория
многофотонных процессов в атомах. — М. : Атомиздат, 1978,
с. 184.
В книге последовательно развивается микроскопическая
теория нелинейно-оптических явлений, протекающих в
атомарных газах при прохождении мощного электромагнитного
излучения оптического и инфракрасного диапазонов.
Подробно описывается влияние излучения на спектр связанных
состояний атомарных электронов и проявление этого спектра в
различных экспериментах: многофотонном возбуждении и
ионизации, нелинейном рассеянии, генерации гармоник и др.
Книга рассчитана на научных работников в области
атомной физики, квантовой электроники и оптики, а также
на студентов старших курсов и аспирантов,
специализирующихся в соответствующих отраслях физики.
Рис. 34. Табл. 24. Список литературы 249 наименований.
20408—033
034(01)-78
© Атомиздат, 197S

ПРЕДИСЛОВИЕ
В течение длительного времени развитие атомной спектроскопии
было связано в основном с исследованием спектров излучения
и поглощения, обусловленных испусканием или поглощением
атомом одного фотона. Хотя процессы с участием двух фотонов, такие,
как рэлеевское и комбинационное рассеяние света, а также двух-
фотонный распад метастабильных атомных уровней, известны уже
давно, активное систематическое исследование многофотонных
процессов в атомах началось лишь в последнее десятилетие.
Широкое внедрение в научные исследования и практику
квантовых генераторов оптического и инфракрасного диапазонов
поставило перед атомной физикой новые задачи, связанные с действием
на атомы электромагнитного излучения большой мощности. Это
объясняется тем, что в сильных полях существенными становятся
многофотонные процессы, обусловленные взаимодействием атома
одновременно с несколькими фотонами в каждом элементарном акте,
например: многофотонное возбуждение и ионизация, генерация
оптических гармоник и т. д.
Впервые многофотонные процессы на подуровнях сверхтонкой
структуры наблюдались в СВЧ-диапазоне группой А. Кастлера
165]. В оптическом и ИК-диапазоне в настоящее время
наблюдаются практически все процессы, известные в нелинейной оптике
конденсированных сред. Изучение нелинейных явлений
представляет большой интерес. С одной стороны, они важны для новых
методов исследования плазмы, светового пробоя в газах, лежат в
основе некоторых астрофизических процессов. С другой стороны,
изучение перестройки атомных уровней в сильном переменном поле
и процессов нелинейного взаимодействия атома с полем приводит
к дальнейшему развитию квантовой механики. Область
исследований этих явлений известна как нелинейная атомная спектроскопия.
Ее развитие поставило перед теоретиками задачу создания
соответствующего аппарата, позволяющего проводить квантовомеханиче-
ские расчеты нелинейных эффектов в реальных атомах.
Наблюдение нелинейных эффектов практически возможно
только в достаточно сильных электромагнитных полях, для которых
стандартная теория возмущений не всегда применима. В связи с
этим было введено понятие о квазиэнергетических состояниях кван-
3

товой системы в периодическом поле (см. обзор [43]), являющихся
аналогом обычных стационарных состояний. Характеризующие
эти состояния значения квазиэнергии определяют частоты
излучения и поглощения света системой.
В настоящей монографии изложены методы расчета
квазиэнергетического спектра атома и вероятностей многофотонных переходов
в полях оптических частот. Математической основой для
вычислений служит аппарат одноэлектронных функций Грина, развитый
в последнее время. Внешнее поле предполагается полностью
когерентным. Эффекты, связанные с флуктуациями параметров
излучения, не рассматриваются. Экспериментальные результаты
использовались лишь для сравнения с теоретическими.
Более подробное изложение отдельных вопросов читатель может
найти в обзорных работах [17, 18, 36, 37, 69, 70, 115, 134, 197].
В книге используется, в основном, атомная система единиц,
однако в некоторых местах применены другие, более привычные
в спектроскопии единицы, например: энергия кванта Й<о часто
дается в см'1 у напряженность поля—в в/см и т. д. В этих случаях
единицы измерения соответствующих величин указаны в тексте.
Монография может представлять интерес для читателей,
интересующихся не только взаимодействием света с веществом и
нелинейной атомной спектроскопией, но и развитием нестационарной
квантовой механики, так как аппарат нестационарной теории
возмущений, являющийся основным теоретическим методом решения
рассматриваемого класса задач, претерпел значительное
усовершенствование в применении к процессам высшего порядка по
взаимодействию.
Общий план книги и содержание всех глав обсуждались
авторами совместно. Непосредственное распределение работы по
написанию отдельных частей книги было следующим: Л. П. Рапопорт
написал главы 1 и 2 (кроме § 1.3); Б. А. Зон — §§1.3, 3.4 — 3.8,
4.3, 4.6; Н. Л. Манаков—§§ З.1.— 3.3, 3.9 — 3.10, 4.1 — 4.2, 4.4 —
4.5; глава 5 написана совместно Н. Л. Манаковым и Л. П.
Рапопортом.
В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить
глубокую благодарность Г. А. Делоне и Н. Б. Делоне за
многочисленные обсуждения проблем многофотонных процессов в атомах,
М. В. Федорову за ряд существенных замечаний, Б. Г. Кацнельсону
и В. Д. Овсянникову за помощь в работе и П. Г. Бодашко за помощь
в оформлении рукописи.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ АТОМОВ
В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
§ 1.1. Нестационарная теория возмущений
При исследовании взаимодействия атомов с электромагнитным
полем будем использовать полуклассический подход, при котором
атом описывается квантовомеханическими, а электромагнитное
поле—классическими уравнениями. Для взаимодействия частицы
массы т и заряда е с электромагнитным полем, описываемым
вектор-потенциалом А (г, t) (div A = 0), имеем гамильтониан
Я,(0=—^Ар + ^-М (1.1)
Следует отметить, что оператор взаимодействия (1.1) представляет
лишь одну из многих форм записи #/(/). Другую форму записи
можно получить, используя связь вектор-потенциала с напряжен-
ностями электрического Ш и магнитного В полей в виде разложения
по мультиполям [163]:
HI(t)=-d$(RJ)-lib(R1f) + ^r(r-\R)i(RJ) +
+ £-lrxB(R,0]a + .-. (1.2)
Здесь d и jli — операторы электрического и магнитного дипольных
моментов; R — координата ядра; г — расстояние от ядра до
атомного электрона. Форма гамильтониана (1.2) удобна, так как каждый
член имеет определенный физический смысл: первый и второй
члены описывают электрическое и магнитное дипольные взаимодействия,
третий член—электрическое квадрупольное взаимодействие,
четвертый — учитывает «диамагнитные» свойства поля и т. д.
Члены разложения (1.2) убывают как (а/Х)п, где а—
характерный размер системы; X — длина волны электромагнитного
излучения. В частности, для взаимодействия атома с видимым светом
а/Х< 10"3 и вкладом высших мультиполей в Hi(t) можно пренебречь
по сравнению с низшими.
Для сложного атома, содержащего несколько электронов,
гамильтониан взаимодействия (1.2) нужно просуммировать повеем
Глава
i
5

электронам. При этом, например, вместо дипольного момента одного
электрона возникает дипольный момент атома d = — е ^гк .
к
Наибольший экспериментальный интерес представляют
квазимонохроматические поля. Обычно полагают, что поле включается
адиабатически медленно.
Для дальнейшего удобно разделить #/(/) на положительно и
отрицательно частотные части:
НЁ(() = V<+> exp (—i©/) + V<-> exp (ice/).
В соответствии с хорошо известным из квантовой механики методом
нестационарной теории возмущений амплитуда перехода N-то
порядка из начального состояния невозмущенного атома Ю в
конечное состояние |/ > может быть представлена как комбинация
составных матричных элементов вида
<»- 2...2-
<f,\vN\mN-l> ••• <roit»ll*>
N-l
(1.3)
где o)mn = Em — En\ £mn — энергии стационарных состояний
свободного атома; Кр — целые числа 0 ± 1, ..., ± р, конкретные
значения которых определяются типом рассматриваемого процесса;
vn = У(_) или У(+); б -> + 0. Таким образом, амплитуда
вероятности N-ro порядка содержит (N — 1)-кратное суммирование
по полному набору | т > виртуальных состояний невозмущенного
гамильтониана, что сильно затрудняет проведение конкретных
вычислений для N > 2.
Взаимодействие атома с электромагнитным полем в рамках
теории возмущений удобно иллюстрировать диаграммами Фейнмана.
Например, простейший процесс второго порядка—рассеяние света
на атоме, в результате которого из падающего светового пучка
убывает фотон с импульсом к и образуется фотон с импульсом к',
причем начальное состояние атома |/> и конечное | / > отличаются
состоянием одного электрона, может быть изображено двумя
диаграммами
(1.4)
Состояния | п >, | i > и | / > являются по предположению
собственными состояниями атомного гамильтониана в приближе-
6

нии Хартри—Фока. Аналитическое выражение для амплитуды
этого процесса имеет вид
М - V |</1У(+)|в><я|У<->|»>
" **\ En-Et+W
+ </i^-)i»><»iH+)|f>i2wia(g<+fl)_jE г (15)
En—Ei — (3D j
Естественно считать, что прямые линии на диаграммах
соответствуют функциям распространения претерпевающего переход
оптического электрона, а не функциям распространения всего атома. Все
остальные электроны атома рассматриваются как инертный остов;
их роль сводится лишь с созданию самосогласованного потенциала.
Такая интерпретация значительно упрощает теорию, поскольку
позволяет рассматривать | i >, |/ >, \п > как функции,
зависящие от координат только одного электрона, однако содержит
в себе некоторые приближения.
Во-первых, предполагается, что самосогласованный потенциал
не зависит от состояния оптического электрона, т. е. не учитывается
поляризующее действие оптического электрона на остов. Очевидно,
что для атомов с достаточно большим числом электронов это
приближение вполне удовлетворительно. Кроме того, используя
полуфеноменологические методы для описания самосогласованного
потенциала, в котором движется оптический электрон, можно
эффективно учесть и поляризационные поправки.
Во-вторых, одноэлектронная интерпретация приводит к
нарушению принципа Паули. Действительно, выполняя в выражении
(1.5) суммирование по промежуточным состояниям \п >
оптического электрона, можно попасть в состояния, занятые
электронами остова. Поэтому такие состояния должны быть исключены из
суммы.
Примечательно, что последнее условие в ряде случаев может
быть снято. Рассмотрим, например, некоторое состояние электрона
остова (остовного электрона) \п0 >. Наряду с диаграммами (1.4),
когда поглощаемый и излучаемый фотоны взаимодействуют с одним
и тем же «прыгающим» электроном, возможны следующие двухэлект-
ронные процессы:
ДА КК „
Пй If /70 Л0 L f /70
где прямые линии суть одноэлектронные линии в соответствии со
7

сказанным выше. Диаграммы (1.6) соответствуют переходу атома
с обменом одного из остовных электронов с оптическим
электроном. Аналитические выражения, соответствующие этим
диаграммам, учитывают сохранение энергии и антисимметричность много-
фермионных функций и в точности совпадают со слагаемым,
соответствующим п = п0 в сумме (1.5).
Таким образом, проведя суммирование в (1.5) по полному
набору одноэлектронных состояний, включая состояния, заполненные
остовными электронами, учтем вклад в амплитуду двухэлектрон-
ных процессов (1.6). Такая компенсация принципа Паули двух-
электронными процессами возможна не всегда. В рассматриваемом
примере она имеет место лишь для свободного состояния |/ >,
когда принцип Паули не запрещает переход в это состояние остовного
электрона с освобождением места для «прыгающего» электрона,
т. е. для некогерентного рассеяния при | / > Ф |/ >.
С помощью графической техники, развитой в квантовой теории
многих тел Голдстоуном [28], можно показать, что и в общем случае
процесса произвольного порядка теории возмущений компенсация
принципа Паули многоэлектронными переходами происходит
тогда, когда в результате процесса изменяется состояние атома.
Примеры таких процессов—комбинационное рассеяние света на атоме,
многофотонное возбуждение и т. п. Если же состояние атома не
изменяется, а процесс приводит лишь к трансформациям фотонов —
когерентное упругое рассеяние света, генерация высших гармоник
и т. п., — в рядах теории возмущений следует исключить
слагаемые, в которых все промежуточные состояния принадлежат осто-
вным электронам. При этом влияние многоэлектронных переходов
учитывается слагаемыми, в которых хотя бы некоторые
промежуточные состояния свободны в исходной волновой функции атома.
Для переходов без изменения состояния атома деление атомных
электронов на остовные и «прыгающие» невозможно. Следует
последовательно учитывать вклад в амплитуду всех атомных
электронов, рассматривая по очереди каждый из них как «прыгающий».
Рассмотрим некоторые способы вычисления составных
матричных элементов теории возмущений (1.3). В случае переходов второго
порядка, встречающихся, например, при вычислении динамической
поляризуемости атомов, для которых в M)V имеется только
однократное суммирование, вычисление M\V легко свести к решению
неоднородного дифференциального уравнения. Представим M\V
в виде
л^2) = аыФ>, (1.7)
где
Ф = 2
\ту <m\v1\ t)
Em—EiT co + i6
(1.8)
Используя полноту собственных функций \т > оператора Я0,
получаем
(#0 — Et =F со) ф = vx Ю> (1.9)
8

Дифференциальное уравнение (1.9) наиболее легко решается для
атома водорода [249]. Метод последовательного решения системы
неоднородных уравнений для многофотонной ионизации водорода,
обобщающий решения в работе [249], был развит в работе [167].
Основная трудность решения (1.9) для многоэлектронного
атома состоит в отсутствие достаточно простых выражений для
волновых функций и собственных значений Я0, поэтому часто используют
различные методы, основанные на численном решении уравнения
Шредингера. Наиболее точным из них принято считать «связанный»
метод Хартри—Фока [197]. Невозмущенная орбиталь в этом методе
получается из самосогласованных расчетов для свободного атома.
Упрощение метода, достигаемое представлением одночастичного
оператора Фока в локальной форме (несвязанный метод Хартри —
Фока [197]), позволяет значительно уменьшить объем вычислений.
Все же метод оказывается громоздким, и применение его к
многоэлектронным атомам представляет значительные технические
трудности. Для расчета волновых функций Я0 и решения (1.9)
используют также различные вариационные методы (см., например, [190]).
Однако и в этом случае трудоемкость методов, связанная с
необходимостью выбора пробной функции с большим числом параметров,
ограничивает вычисление составных матричных элементов
порядком не выше второго.
Многофотонные переходы в атомах удобно рассчитывать методом
функций Грина. Определим функцию Грина для атома
соотношением
гдег|)т — собственная функция Я0. Подставив (1.10) в (1.7),
получим
^}i2) = </|f2(r)G£j±e(r,r')t;1(r')IO. 0-И)
Таким образом, задача суммирования по промежуточным
состояниям при таком подходе заменена на задачу вычисления функции
Грина Ge (г, г'), для которой легко получить дифференциальное
уравнение. Действуя на Ge слева оператором Н0 — Ей используя
полноту г|)т (г), получаем
(Н0-Е) GB(r, г') =6 (г-г'). (1.12)
Уравнение (1.12) является линейным дифференциальным с 6-образ-
ной неоднородностью. Точные его решения возможны только для
операторов Я0, для которых известно решение соответствующего
уравнения Шредингера, т. е. для атома водорода. Для более
сложных атомов можно развить эффективные приближенные методы
вычисления Ge (г, г'), позволяющие находить Мц с достаточно
высокой точностью.
9

§ 1.2. Квазиэнергия и квазиэнергетические
состояния в периодическом поле
Для квантовых систем, гамильтониан которых является
периодической функцией времени, т. е. H(t + Т) = H(t), T = 2 л/со,
весьма полезно понятие о квазиэнергетических состояниях (см.
обзор [43], содержащий указания на оригинальные работы). Введем
оператор трансляции во времени
Г(Д*)ф(/)=ф(/ +А/).
Тогда T(qT), где q = О, ± 1, ..., коммутирует с оператором
Ж{()= H{f) — id/dt (1.13)
и образует группу симметрии уравнения Шредингера
Щ) Т(г, t) = 0. (1.14)
Согласно теоретико-групповым соображениям, среди решений
уравнения (1.14) можно выбрать такие Wa (г, /), что
Ya (r, t+T) = exp (-ia). Ya (г, t). (1.15)
Величину е = а/Т называют квазиэнергией по аналогии с
квазиимпульсом частицы, движущейся в пространственно-периодическом
потенциале кристалла. Волновую функцию квазиэнергетического
состояния (КЭС) с квазиэнергией е можно представить в виде:
% (г, 0 = ехр (-Ш) • и (г, t)y (1.16)
где и (г, / + Т) = и (г, /) удовлетворяет уравнению
Щг, t) и(т, t) = eu (г, /). (1.17)
Периодическую функцию и (г, /) можно разложить в ряд Фурье и
получить представление КЭС в виде ряда по квазиэнергетическим
гармоникам ф£п) (г):
^8(г,0 = ехр(—Ш) V ехр( —тсоО-Ф^(г). (1.18)
Л=—оо
КЭС, принадлежащие двум разным квазиэнергиям, разность
между которыми не кратна со, взаимно ортогональны. Разные
гармоники одного и того же КЭС, вообще говоря, не ортогональны,
однако, поскольку норма КЭС не зависит от времени, имеет место
соотношение
2 <Ф(*)|ф«»+»)> = в1Св, k = ...-i,o, +i,...
Л= — 00
Из определения (1.16) следует, что квазиэнергия е определена
не однозначно, а с точностью до некоторого числа, кратного со.
Удобно определить е следующим образом. Будем считать, что при
адиабатическом выключении поля е стремится к некоторому ста-
Ю

ционарному собственному значению гамильтониана атома без поля.
При этом фе0) стремится к волновой функции соответствующего
стационарного состояния, все же другие гармоники обращаются
в нуль.
Точные значения квазиэнергии и КЭС известны только для
свободного электрона в электромагнитном поле [221] и для
гармонического осциллятора в периодическом внешнем поле (в последнем
случае спектр квазиэнергий оказывается эквидистантным [8]),
так как для этих систем удается решить соответствующее
уравнение Шредингера.
При решении конкретных задач часто удается из физических
соображений выделить конечное число уровней, сильно
перемешиваемых полем. Для нахождения спектра квазиэнергий может оказаться
полезным общий алгоритм, достаточно просто реализуемый на ЭВМ.
Рассмотрим оператор эволюции U (t, t0):
Y(/) = £/(Л/JYpfl); i dU^ = H(t)U(t9t0);U(t0,Q = I,
ot
(1.19)
где / — единичный оператор. Пусть для определенности /0 = 0.
Тогда однопериодный оператор эволюции U (Г, 0)* в силу его
унитарности можно записать в виде
U (7\ 0) = ехр (—(НТ)9 (1.20)
где независящий от времени самосопряженный оператор Н
естественно назвать оператором квазиэнергии. Действительно, полагая
в (1.15) / = 0 и сравнивая это выражение с (1.19) и (1.20), видим,
что е — собственное значение Я, а Чъ (0) = ие (0) —
соответствующая собственная функция. Таким образом, оператор
квазиэнергии с точностью до постоянного множителя совпадает с
логарифмом одноперйодного оператора эволюции [60]:
# = ^-1п£/(7\0).
В результате нахождение спектра квазиэнергий сводится к
построению фундаментальной матрицы — решению системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (1.19) в интервале t 6
£ [0, Т]. После диагонализации этой матрицы в момент t = Т
квазиэнергетический спектр определится логарифмами соответствующих
собственных чисел.
Гамильтониан Ж (г, t) (1.13) для КЭС является
самосопряженным оператором, действующим в пространстве J^-функций,
зависящих от координат г, и в пространстве всех периодических во
времени функций т. Следуя работе Семба [223], введем скалярное про-
* В математической литературе однопериодный оператор V (7\ 0)
называется оператором монодромии, а собственные числа его —
характеристическими показателями.
11

изведение функций X (г, t) и Y (г, t) в гильбертовом пространстве
Я © т:
Т/2
«Х(г|/),У(г>0» = 4- f fA*(rfOK(rf/)drfA (1.21)
Очевидно, что уравнение
Жиш (г, *) = етит (г,/) (1.22)
для функции иш (г, /) в пространстве Я © т аналогично
стационарному уравнению Шредингера в пространстве J?.
Пусть {em, um (г, /)} есть решение уравнения (1.22), тогда
и'т (г, t) = ит (г, t) exp (i^coO (1.23)
и гт = &т -г ?со, где ^ — целое число, также являются его
решениями, при этом полная волновая функция (1.14) не изменяется.
Иначе говоря, все решения (1.23) физически эквивалентны.
Используя (1.23), можно привести любую квазиэнергию к ее
значению внутри «зоны», определяемой действительным числом Е:
Е — (1/2) со < е < Е + (1/2) со.
Поэтому физически различные КЭС могут характеризоваться
«приведенными» квазиэнергиями, находящимися в одной зоне, выбор
же самой зоны произволен.
Если {ет, ит} и {еп, ип} — два различных решения уравнения
(1.22) и ет, гп лежат в одной зоне, то вследствие эрмитовости Ж
в Я © т
{ит (г, 0, ип (г, 0» = 0, т Ф п. (1.24)
В этом случае
От (Г, /), Un (Г, /)> - (Um (Г, 0, Un (Г, 0 >.
Поэтому, если КЭС нормированы так, что <(иту ип} = 6mn, то
(1.24) означает <мт, ип > = бтп.
Так как уравнение (1.17) в Я ®т аналогично стационарному
уравнению Шредингера, для г и Ж могут быть получены различные
теоремы, являющиеся обобщением соответствующих результатов
для стационарного случая [78]. В частности, если Ж содержит
параметр Ji, не зависящий от времени, имеет место теорема
Гельмана— Фейнмана [223]:
б (А,) = <и, Ж (I) "»/«>, и»;
В важном для практики случае, когда
Н (г, /;Ь) = Н0 (t) + KV (г, 0, (1.25)
12

где Я0 не зависит от времени; V (г, t) — оператор возмущения с
периодической зависимостью от времени; X <^ 1 — малый параметр,
для решения уравнения
IXо + XV (г, 0 — е (X)] и (г, /; X) = 0, (1.26)
где Ж о = Я — id/d/, может быть развита теория возмущений в
^фт, имеющая много общего со стационарной теорией
возмущений в обычном пространстве Л.
Будем искать решение уравнения (1.26) с и (г, /), подчиненной
условию нормировки в Л ® т:
(и (г, *; X), и (г,*; *,)>= 1 (1.27)
и условию
(и (Г, /; 0), U (Г, /; X)} = (О (Г, *; Я), и (г, /; 0) »,
фиксирующему фазовый множитель. Пусть решение
невозмущенного уравнения на собственные значения
31?0и<о> (г, t) = 8(о) а<°> (г, t) (1.28)
известно. Тогда, полный набор решений этого уравнения,
представляющий собой базисные функции для дальнейшего учета V (г, t)
по теории возмущений, есть
ukV (г, /) = фп (г) exp (i(7©0; г^ =Е(п0)+ q^ q = 0, ±1, .... (1.29)
где г|);1 (г) — собственные функции оператора Я0, соответствующие
невозмущенному спектру Е{п0). Применяя обычные методы
стационарной теории возмущений, можно получить систему
приближенных уравнений с неизвестными и (г, t) и е. Как и в стационарной
теории возмущений, в зависимости от структуры спектра Е(п0) и
параметров взаимодействия можно выделить несколько качественно
различных ситуаций, расчеты для которых обладают своей спецификой.
В первую очередь это относится к выбору функций нулевого
приближения.
Если уровень Еп0) невырожденный, ряды для е(Х) и а(г, /)
имеют вид:
г(К) = есо> + xe<i> + ^е(2) + . и (г> /; Х) = исо) (r> q +
+ Ы1) (г, /) + ...
Подставляя эти разложения в (1.28) и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях X, получаем:
[Ж0 - 8(в)] „(о) =0; \ (I Ш
[Ж0 — гЩ и?» + IV (t) — е<«] «<«> = 0. } к ' '
13

Комбинация уравнений нормировки и фазовых условий дает
последовательность:
««(»), И<0)>=1;
««<»), «<!)» = 0;
<ы<°>, «<*>>= —!<«<»,«< п>,
(1.31)
Соответствующие возмущенные значения энергии
8<i)=«yo>, V(t)uM)\ е<2> = <и<°>, 1/(/)^>>, ... (1.32)
В случае TV-кратно вырожденных (или почти вырожденных)
состояний нулевое приближение строится как линейная комбинация
вырожденных (или почти вырожденных) функций. Аналогично
стационарной теории возмущений для определения е*1) необходимо
решить секулярное уравнение, соответствующее системе уравнений
на коэффициенты С:
2 «<"Jn0). У Ю "<,0)»-^) 6тл> Ся. аа = 0;
л=1
"&> (г- 0=2 «10) (г. 0 с„. аа; л = 1,2,.... N,
п=\
(1.33)
где индексом а обозначены собственные значения е^1', а индексом
а — собственные векторы Саа = {С1аа, С2>аа, •••» Слг.аа},
принадлежащие одному и тому же е^1). Если матричные элементы Vmn
равны нулю (или аномально малы), то к Vmn нужно добавить
составные матричные элементы второго порядка
<»%\V(t)u^)+((uW,V(t)uiO)},
что позволит учесть в е (X) члены порядка №. В этом случае в первом
неисчезающем порядке по К г(Х) можно получить как собственные
числа матрицы N х N, которую можно назвать матрицей
квазиэнергии, а собственные векторы С определяют правильные функции
нулевого приближения (1.33).
Рассмотрим резонанс с внешним полем. Пусть некоторое
собственное значение оператора Я0 (г) есть Е(к0). Предположим, что
имеются другие собственные значения Ет\ Ет>\ ..., удовлетворяющие
соотношению
EP'ttEW + q®, £<?> + ?'<о,..., (1-34)
где q> q'y ... — целые числа. Тогда функции
♦«(г), 4>те(г) exp (itfcoO, фТО' (г) exp (iq'at), ... (1.35)
являются собственными функциями Ж0> принадлежащими
собственному значению г(к0) этого оператора. Таким образом, в пространстве
J? © т возникает вырождение, хотя в пространстве Я собственное
14

значение Е{к0) может быть и невырожденным. Линейность Ж0
позволяет искать решение уравнения (1.33) в виде линейной комбинации
функций (1.35), и, следовательно, резонанс может быть рассмотрен
методом стационарной теории при наличии вырождения [см.
уравнение (1.33)]. Обобщение на случай, когда уровень Е% вырожден и
в пространстве М, очевидно.
Рассмотренные примеры показывают, что излагаемая теория
возмущений в пространстве Л © т является весьма общей и
позволяет с единой точки зрения рассмотреть все физически интересные
ситуации. Напомним, что в стандартной схеме нестационарной
теории возмущений при рассмотрении резонансного и
нерезонансного случаев используют существенно различные подходы.
В системе с центральным или аксиально-симметричным
гамильтонианом #0 (г), находящейся во внешнем циркулярно-поляризо-
ванном поле, уравнения для КЭС и квазиэнергии еще более
упрощаются, так как нестационарное уравнение Шредингера сводится
к стационарному переходом во вращающуюся с частотой поля
систему координат [19]. Рассмотрим нестационарное уравнение
Шредингера с гамильтонианом вида:
H(t) = Н0 (г) — еЩ (х cos cot + у sin©/)» О-36)
где #0(г) — гамильтониан электрона в центрально-симметричном
поле и в качестве возмущающего взаимодействия рассмотрено для
определенности дипольное взаимодействие заряда е с
циркулярной правополяризованной волной напряженностью 8,
направленной по оси z.
Перейдем во вращающуюся с частотой со систему координат.
Введем функцию
ф (г, t) = ехр (Ш Lz)-T(r, t)t (1.37)
где Lz — оператор z-проекции углового момента. Подставляя
{1.36) и (1.37) в уравнение для функции У (г, /) (1.14), получаем
iMii) = Q(r)?(r,0, (1-38)
ot
где
Q = HQ(r)—(bLL + e%x (1.39)
не зависит явно от времени и, следовательно, (1.38) сводится к
стационарному уравнению:
Ф (г, t) = ехр (-Ш) фе(г); Q Фе (г) = 8фе (г). (1.40)
Таким образом, волновая функция ф (г, /) является КЭС, е —
квазиэнергия системы; Q — определенный в (1.39) точный оператор
квазиэнергии. В общем случае точно решить уравнение (1.40)
нельзя, так как оператор Q не обладает ни центральной, ни осевой
симметрией и переменные не разделяются. Это уравнение легко ре-
15

шить по стационарной теории возмущений, если один из операторов,
входящих в Q, можно рассматривать как возмущение. Применение
изложенного метода к расчету сдвига уровня и ионизации частицы,
связанной в короткодействующей яме, дано в гл. 5.
§ 1.3. Двухуровневая система в переменном поле
В ряде задач оператор квазиэнергии можно построить в явном виде.
Важным примером такого рода является двухуровневая система
в поле резонансной частоты. Предположим, что в отсутствие поля
в системе имеется два изолированных уровня | 1 > и | 2 > с
энергиями Ег и Е2> разность между которыми близка энергии кванта со.
Матричные элементы оператора взаимодействия системы с полем
имеют вид:
<l\V(t)\l > = <2| V(0 |2>=0;
< 11 V (012 > = < 21 V (/) 11 y=v exp [i {Ei—E2) /-cosю/=
=(v/2) {exp [Ш] + exp [i (6—2co) t ]},
(1.41)
где б = Ег — Ег + со — расстройка частоты; v — не зависящий
от времени матричный элемент взаимодействия. Выбором фаз
волновых функций этот матричный элемент можно сделать
действительным, что и предполагается в дальнейшем. Говоря о резонансности
поля по отношению к переходу 1 <-» 2, подразумевают наличие
параметра малости | в/со | <^ 1. В этом случае зависимость от времени
недиагональных матричных элементов V (t) определяется двумя
слагаемыми в (1.41), из которых одно, ~ ехр [(6 — 2со) /], меняется
во времени значительно быстрее другого. Резонансное
приближение, используемое в теории двухуровневых систем, состоит в
пренебрежении этим быстро меняющимся слагаемым по сравнению
с медленно меняющимся.
Недиагональные матричные элементы оператора V в
резонансном приближении становятся постоянными, если перейти к новому
базису посредством унитарного преобразования
п /ехр(!т') °
2/1 о
и ехр
(- f О
(1.42)
При этом, если без поля развитие во времени исходных базисных
состояний описывалось гамильтонианом Я0, то новым,
штрихованным состояниям в (1.42) будет, очевидно, соответствовать
гамильтониан
/6/2 0 \
"°+ 0-6/2 )• <МЗ>
16

Тогда в штрихованном базисе уравнение для U (t, /x) имеет вид
д V (Л h)
dt
6/2
о/2
о/2 \
-6/2 И'^
Так как матрица в правой части равенства не зависит от времени,
то она и есть оператор квазиэнергии. Собственные числа ее
и собственные векторы суть ± -^, ( , ^ g), X = J/V -f б2,
что позволяет найти КЭС в исходном базисе в представлении Шре-
дингера:
^(0=
%(0=
ехр
«р[-'(д'+нг)']
[о|1> + (Л-6)в-
-io><
|2)
J(i)t
[veim\iy-(X + 6)\2}].
(1.44)
Отчетливо видна квазиэнергетическая структура функций
(1.44). Вследствие принятого резонансного приближения отличны
от нуля лишь по две квазиэнергетические гармоники в каждой
функции. На рис. 1.1 схематически показаны энергетические уровни
такой системы. Сплошными линиями
отмечено положение основных, a F
ТЕ
X
со
_L
±_
Рис. 1.1. Квазиэнергетический
спектр двухуровневой системы
[d=(X-6)/2]
штриховыми — первых
положительных и отрицательных
квазиэнергетических гармоник. Такие значения
энергии системы могут быть
получены при измерениях.
Поскольку в области каждого из
стационарных резонирующих состоя- Ег
ний возникает по два возможных
энергетических уровня, иногда
говорят, по аналогии со стационарной
квантовой механикой, что произошло
расщепление спектра системы под
действием поля. Такая терминология, однако, весьма условна.
Действительно, в стационарной квантовой механике под действием
постоянных полей происходит расщепление первоначально
вырожденных, но линейно независимых решений уравнения Шредингера.
Существует поэтому максимальное число линий, на которые может
расщепиться спектр, равное числу независимых решений. В
переменном же поле такого ограничения на число энергетических
уровней нет. В рассмотренном примере, в частности, есть два
линейно независимых решения уравнения Шредингера, как и в
отсутствие поля, однако возможно наблюдение четырех линий.
В дальнейшем нам встретятся и более сложные примеры.
17

В реальных системах кроме детерминированных внешних
воздействий, таких, как рассмотренное выше поле строго
определенной частоты, возможны и случайные процессы типа спонтанных
электромагнитных переходов или столкновений в газе. Такие
процессы приводят к установлению термодинамического равновесия
рассматриваемой системы с ее окружением, поэтому их называют
релаксационными.
Для описания развития во времени системы с учетом процессов
релаксации требуется, вообще говоря, применение формализма
матрицы плотности. Тем не менее в некоторых случаях возможен
феноменологический учет релаксационных процессов, не связанный
<: использованием матрицы плотности. Предположим, например,
что в результате релаксации система переходит из резонирующих
«состояний | 1> и | 2 > только в некоторые третьи состояния,
вероятность переходов же под действием релаксационных механизмов
между состояниями | 1> и |2 > пренебрежимо мала. Такое положение
довольно типично для атомов в полях оптических и ИК-частот,
поскольку резонанс обычно реализуется между сравнительно
высоковозбужденными атомными уровнями. При этом парциальные
вероятности спонтанных электромагнитных переходов между
резонирующими состояниями обычно малы по сравнению с
вероятностью распада атома в основное и низколежащие возбужденные
состояния. Роль столкновений также несущественна, если мала
вероятность столкновений двух возбужденных атомов.
Учесть релаксационные процессы можно добавлением к
гамильтониану системы (1.41) неэрмитовой релаксационной части
/ -11У2 0 \
"г \ О —1Г2/2 /*
Величины 1\ и Г2 имеют при этом смысл обратного времени
жизни состояний 1 и 2. Они могут зависеть и от внешнего поля,
например, при возможной фотоионизации системы. Значения Г1,2<0
соответствуют некоторому механизму заселения, «подкачке»
резонирующих уровней. Сформулированные выше физические
предположения сводятся к независимости 1\ и Г2 от заселенности в
данный момент состояний | 2 > и | 1> соответственно: распад
состояния | 2> не приводит к заселению состояния 11>, и наоборот. Не
представляет труда получить КЭС и в этом случае:
ехр{~1~'-!(£1игИ
¥,(7) = LJ—![»|1> +
[о2+(Л—Д)2]1/2
+ (Л-Д)е-1в/|2>];
ир(-|,-,(Е,+!^),}
[о*+(А+Д)*]»/2
_(Л + Д)|2>1,
(1.45)
18

где Д = б — iY/2; Л = Vv2 + Д2; у = Гх - Г2; Г =
= (Гг + Г2)/2.
Характерно, что релаксация приводит к комплексным
значениям квазиэнергии, но обе гармоники в каждом КЭС распадаются
с одинаковой скоростью. Вследствие учета релаксационных
процессов КЭС (1.45) оказываются взаимно неортогональными.
Ортогональность восстанавливается только при у = 0. В дальнейшем
вопрос о физической причине появления неортогональных
квазистационарных состояний будет подробно обсужден. По этой же
причине для функций (1.45) не выполняется обычное условие
полноты, свойственное функциям самосопряженного оператора*.
Полнота может быть выявлена, если наряду с функциями (1.45) ввести
функции ^1,2, отличающиеся от (1.45) заменой Д, Л -► А*, Л*;
ехр (—17/2) '-+ ехр (17/2). Они являются собственными функциями
эрмитовски сопряженного оператора квазиэнергии, причем
нормировка функций (1.45) выбрана так, что
<Ф, | Т,> = 6Ф /, / = 1,2.
Легко убедиться, что имеет место условие полноты
V&i + Ч2Щ = | 1 > < 1 | + | 2 > < 2 |. (1.46)
Используя (1.46), можно любое решение уравнения Шредингера
разложить по функциям (1.45). Если в момент t0 система находилась
в некотором чистом состоянии, являющемся произвольной
суперпозицией состояний 1 и 2:
Y (t0) = а01 1> + Ь01 2>, | а0 |2 + | Ь0 |2 = 1,
то для t> t0 коэффициенты суперпозиции а и b могут быть
записаны в виде:
а
Ь
сД2<1 |¥ло>Ом/о)11> _22<1|^(Ф<Флд|2>'
ч^§2<2|ТЛОХ*1с('о)11> к=22<2|^(0Х^(д|2>;
х
bj A
Л cos lAsin— —we sin —
2 2 2
X' • ~ш • Лт -1ю< /А Лх ,.л,;мЛт\
— we sin— е (Acos ИД sin—)
где т = / — /0. При а0 = 1, Ь0 = 0, если Гх = Г2 = 0,
* Функции (1.45) поэтому не нормированы в обычном понимании: в
нормировочном корне квадратном вместо | Л — А| стоит (Л — А). Очевидно,
что нет смысла нормировать эти функции вследствие их неортогональности.
19

М» = -£18« + *со5«-у]; |6|2=-g-sin2^. (1.48)
Как видно, вероятность обнаружить систему в состоянии 2, если
вначале она находилась в состоянии 1, периодически меняется во
времени с частотой ~ К. Амплитуда этой вероятности достигает
максимального значения V2 при 6 = 0.
Такие колебания системы между состояниями 1 и 2
соответствуют интерференции квазиэнергетических состояний у¥1 (t) и ^¥2 (0
в полной аналогии с интерференцией стационарных состояний
квантовой системы, приготовляемой в некоторый фиксированный момент
времени в виде суперпозиции нескольких стационарных состояний
[105]. Частота осцилляции X определяется при этом разностью
квазиэнергий, минимальной по модулю со. При Г12=й=0 колебания
становятся затухающими, и возможен апериодический режим, если
частота колебаний сравнима с временем жизни системы [110].
Явление периодического изменения со временем заселенностей
квантовых состояний имеет весьма важное значение, поэтому
следует выяснить устойчивость этого результата к выбору начальных
условий. Существование такой зависимости видно из рассмотрения
противоположного предельного случая — адиабатически
медленного изменения амплитуды поля. При этом к моменту t система
^оказывается в чистом КЭС Ч^ (1.44), и вероятности обнаружить ее в
состояниях | 1 > и | 2 > от времени не зависят.
Проведенный в работах [30, 48, 62] анализ, основанный на
решении уравнений для двухуровневой системы в поле
электромагнитного импульса с огибающей различной формы, показал, что в
наиболее важном случае малой расстройки резонанса приближение
мгновенного включения взаимодействия справедливо, если время
изменения амплитуды поля т от нулевого до стационарного значения
удовлетворяет неравенству xv <^ 1. Смысл этого неравенства
очевиден: за время переходного режима не должно произойти заметного
числа переходов системы между состояниями | 1 > и | 2 >.

Глава
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ
§ 2.1. Кулоновская функция Грина
Функция Грина для уравнения Шредингера определяется как
решение уравнения
(Н0 - Е) G£(rf г')-б (г-г'). (2.1)
Для систем, обладающих центрально-симметричным потенциалом
V (г), целесообразно в (2.1) отделить угловые переменные и получить
уравнение для радиальной функции Грина. Разложим G^(r, г')
и б-функцию по сферическим функциям Y? (0, ф):
G£(r,r')=2 gi(E\r,r')YT(TjY?(Ti>y, (2.2)
l,m
6(г-г') = -Ц-6(г-г')2 У7(г0)УГ(г6), (2.3)
где г0 = г/г. Подставляя (2.2) и (2.3) в (2.1) и отделяя угловые
части, получаем уравнение для радиальной функции gt (E\ г, /*'):
{т[т£(^)-^Н'>+£К"'"
= _L_6(r-r'). (2.4)
rr
Явный вид gt (£; г, г') можно получить только для тех потенциалов,
для которых известно решение соответствующего уравнения
Шредингера.
Для кулоновского потенциала V (г) = — Zlr замкнутая форма
для функции Грина была получена Хостлером [182]. В этом случае
однородное уравнение, соответствующее (2.4), т. е. для г Ф г\
имеет два фундаментальных решения, выражающихся через
функции Уиттекера М и W [11, т. I]:
а (Е- г r')~ — l Mv'm/2 (2rZ/v) Wv' m/2 (2Г' Z/V) ПРИ Г < Г';
lK ' ' rr' { WVtl+1/2(2rZ/v)MVil+1/2(2r' Z/v) при r>r',
(2.5)
21

где v = Ziy—2Е. При г = г' должно выполняться уравнение
(2.4). Это нормирует gt (Е\ г, г'). Вычисляя нормировку (см. [8],
гл. IV, § 1), получаем
/I7 ,v vZ T(l+/-v) M (2r<Z\w/ (2r>Z\
(2.6>
где r< (/>) — меньшее (большее) значение гиг'.
Использование g^ (£; г, г') в виде (2.6) неудобно, так как в
расчетах gt обычно входит в подынтегральное выражение, и
несимметричная зависимость от аргументов г<, г> затрудняет аналитическое
вычисление интегралов по г и г'. Чтобы получить симметричное
выражение от г и г', используют интегральное представление Бух-
гольца для произведения функций М и W от разных аргументов
[311:
лл l2r<Z\w/ (2r>Z\ 2W~ Г (2/+ 2)
х J dxexp {_^£lchxj(cthf )2v/2m(lVpshx) , (2.7)
где /2z + i — функция Бесселя от мнимого аргумента. Подставляя
(2.7) в (2.6), получаем функцию Грина, симметричную относительно
аргументов г, /*':
оо
ВЛг, г', £)= !_ J rfxexp {-Z(r+r'>ch*}x
x(cthf)2V/2r+1(^l^sh,). (2.8)
Тогда полная функция Грина (2.2)
°£<Г'Г')=^ГТ7=2 (2/+1)Л(ГоГб)х
x[^exp(-Z-i^lchx}(cthf)2v/2W( 2VfZ shA (2.9>
Сумму по / можно свернуть, если использовать соотношение [311
оо
2 (2/ + 1) /2,+i (?) Л (cos 6) = -f /0 (9 cos Aj . (2.10>
22

Учитывая (2.10), находим замкнутое выражение для кулоновской
функции Грина, полученное Хостлером [182]:
о
х sh xl0 (l2p V2(rr' + rr') \ =
'^"(^^•'"(т)' (211)
i r(i—v) / a . a
+ -7-\m.
2nv | г—г' \ \ ду дх
где х = (1/2) (г + г' + I r — /' I); I/ = (1/2) (г + г' - | г + г'|)-
В практических вычислениях, однако, удобнее пользоваться
функцией Грина в форме (2.9), так как в этом случае легко отделить
угловые части, входящие в матричные элементы по атомным функциям.
Подынтегральное выражение в (2.8) можно преобразовать с
помощью билинейной производящей функции для полиномов Лагер-
ра по формуле Хилле — Харди [11, т. II]
1а(2~^\=(хугУ'Ц1-г)х
хЧт=7)„|пЙТо^:(й' (2J2)
где|г|<1; L)j — присоединенный полином Лагерра.
Используя (2.12), приведем (2.8) к виду [55, 119, 184]
g, (£; г, г') =^- (хуУ ехр(--£±£) J
л = о (2/+l+n)!(/z + /+l-v)
(2.13)
где х = 2 rZ/v, у = 2 Zr'h. Введя функции Rml (2rZ/v), которые
при целом положительном v = n переходят в точную
нормированную волновую функцию водородного атома
р м- 2 1 / (m-f-l)! „,„ 2 а|+1
Ami W = —; I/ —:——— * e Lm-i-\ (x),
m2 V (m + /)!
можно переписать
(2.14)
ft(£;rfr') = i- ^ —^(— W^)' С2"15)
m = /+ 1
Полюса функции Грина gj (£; г, г') совпадают с энергиями
водородного атома, а вычеты в этих полюсах равны произведениям
соответствующих собственных функций. Ряд (2.15) абсолютно сходится
при г, г'>0 и lmv = 0 как mrzl2. Удобство соотношения (2.15)
состоит в том, что оно симметрично по г, г'.
23

В задачах стационарной теории возмущений и при
рассмотрении динамических связанно-связанных переходов, таких, например,
как динамическая гиперполяризуемость атомов, важную роль
играет так называемая «редуцированная» функция Грина
С<Л)(Г' r')=~k i(E-En)GE(r, г'))е=еп, (2.16>
где Еп — энергия связанного состояния. В отличие от обычной
функции Грина, разложение которой по собственным функциям
имеет вид (1.10), функция G(n> определяется той же суммой, но без
члена, соответствующего /г-му связанному состоянию и Е = Еп.
Разложим редуцированную функцию Грина по сферическим
гармоникам и используем для радиальной части g\n) (r, г') эквивалент
ное определению (2.16) предельное соотношение (для п ^ / + 1)
gjn)(r, Г') = lim /Д(Д;г,г')- RnlVZrln)Rnl(2Zr'ln) ) (2 J?)
Е -+Еп I Еп—Е \
Так как полюсу в связанном состоянии я, / соответствует член с
т = п (2.15), то, разлагая величину — ——_vm v —
в ряд по k = v — п и вычитая
получаем для k ->- 0
йг}Я)(г;г')—^ 2 — Ят/(6)Ят1(6') +
т ^= л
+ м2 tfnZ (60 \± Rnl {V) + Г -±- Rnl ©} +
+ п* Rnl (£') {А Яп1 (6) + E-iL Яп| d)}, (2.18)
где I = 2 rZ//i.
Имеются и другие выражения для редуцированной функции
Грина [177, 183], однако они слишком громоздки и несимметричны
по г, г'. По-видимому, выражения (2.15) и (2.18) — наиболее
простые координатные представления для радиальных частей
нерелятивистских функций Грина gt и g\n). В ряде задач, связанных с
возмущениями, которые выделяют определенное направление в
пространстве, кулоновскую функцию Грина удобно определять в
параболической системе координат [89].
24

§ 2.2. Разложение функции Грина
по собственным функциям
обобщенной задачи Штурма — Лиувилля
Разложение функции Грина по полиномам Лагерра (2.15) можно
получить и другим путем, если воспользоваться системой функций
Штурма [120]. Определим их следующим образом. Введем множитель
К в потенциальный член уравнения Шредингера для радиальной
части и рассмотрим обобщенное уравнение
[T^f(^)+lf-ii^±±+£]*<^>-0' <2-'9>
где а>0, А > — 1/4, / = 0, 1, 2, ... . Будем искать решение,
удовлетворяющее тем же условиям, что и функции связанных
состояний при Е < 0, т. е. Ф (0, Е) = const и Ф (г, Е) -> 0.
г-*оо
Если фиксировать £, а параметр к изменять, то нгйдутся такие
дискретные значения Хп1, при которых (2.19) будет иметь решения,
удовлетворяющие граничным условиям. (В обычной постановке
задачи К = 1 фиксировано, а отыскиваются уровни энергии Еп1.)
Соответствующие этим Хп1 решения образуют бесконечный счетный
набор функций Штурма. Они составляют полную систему. Условия
ортонормировки функций Штурма Фп/ (г) отличаются от обычных
тем, что они записываются с весом потенциала. Функции Oni (/*, Е)
могут быть получены в аналитическом виде для всех потенциалов,
для которых аналитически решается соответствующее уравнение
Шредингера.
В частности, общее решение уравнения (2.19) можно выразить
через функции Уиттекера М и W:
Фп1 (г, Е) = (Сх/р) М%.щ (р) + (С2/р) W%.H (P), (2.20)
где (для Е< 0) х = *v; \it = V{l + 1/2)2 + Л; р = 2r/v; v =
= а/У—2£. Из условия ограниченности Фп1 (г, Е) при г-^0
следует С2 = 0; из ограниченности при г -*- оо — дискретный
набор к = Кп1 = (\1г + п + l/2)/v, где п = 0, 1, 2, ...
Ортонормированные условием
/фпг (г, £) | ±- | фл, f (г, £) \ = 8„, п> (2.21)
функции Штурма имеют вид:
Рассмотрим уравнение для радиальной функции Грина
(2.23)
25

Используя уравнение (2.19) для функций Штурма и свойство их
ортонормированности (2.21), разложим по ним функцию Грина
(2.23)
ft(rlf гг; Е) = 2 ап1 (гх) Фп1 (г, £). (2.24)
Подставляя (2.24) в (2.23), получаем [120]
8i (rlf г2; Е) = У v- — Фп1 (rlf E) Фп1 (г2, £). (2.25)
-*^ av — u/—л—1/2
При а = 1, А = 0 получим разложение для кулоновской функции
Грина, впервые найденное Хостлером [184].
§ 2.3. Метод квантового дефекта (МКД)
в теории атома и функция Грина
в приближении МКД
При рассмотрении многофотонных переходов в сложных атомах
обычно ограничиваются одноэлектронным приближением для
волновых функций электрона, совершающего переход, так как в
противном случае задача становится слишком сложной. Выбор того
или иного приближения для волновой функции этого «оптического»
электрона определяется конкретной задачей и желанием получить
достаточно точный результат, используя наиболее простую
волновую функцию, сохраняющую основные физические характеристики
оптического электрона. Одним из простейших методов расчета сил
осцилляторов и сечений фотоионизации сложных атомов является
метод квантового дефекта (МКД), основанный на кулоноподобном
приближении Бейтса и Дамгаард [135], используемом для описания
связанных состояний оптического электрона.
В МКД наряду с одноэлектронным приближением и
приближением центрального поля предполагается, что на больших
расстояниях потенциал взаимодействия оптического электрона с
остаточным положительным ионом кулоновский. Действительно, основной
вклад в дипольные матричные элементы <т|г|/г> дают области
больших г, где эффективный одночастичный потенциал V (г) можно
с хорошей точностью считать кулоновским. В работе [135] на ряде
конкретных численных примеров показано, что это предположение
реализуется.
В этой «кулоноподобной» области в качестве радиальной
волновой функции электрона выбирается водородоподобная функция
с эффективным главным квантовым числом vnZ, определяемым из
известного экспериментального спектра атома Еп1
Enl = -ZV2v*nli (2.26)
где vnl = п — |iz; Z — заряд остаточного иона; п = 1, 2, 3, ...;
\it—квантовый дефект. Выбранная таким образом волновая функция
26

неверна в области атомного остатка, но эта область не существенна
в электромагнитных переходах. С другой стороны, использование
феноменологического параметра \it, определяемого по
экспериментально наблюдаемому спектру атома, позволяет эффективно учесть
поляризацию остова, обмен и т. д., учет которых представляет
сложную задачу в теоретических методах расчета волновых
функций.
Для задач, связанных с переходами электрона в состояние
с непрерывным спектром, Ситономбыл предложен полуэмпирический
МКД, являющийся дальнейшим развитием метода Бейтса и Дам-
гаард. Для определения асимптотического поведения волновой
функции электрона в сплошном спектре в МКД используется связь
фазы рассеяния 6Z (E) на некулоновской части потенциала с
квантовым дефектом \1г (Е). Эта связь получается из экстраполяции \it (E)
на положительные значения энергии [227]
б, (Е) = я^ (£). (2.27)
Метод Ситона нашел широкое применение в задачах фотоионизации
[149], упругого рассеяния электронов на положительных ионах
[227], в теории твердого тела [176].
Вопросы возможности экстраполяции piz на область
положительных энергий и о связи волновых функций дискретного и
непрерывного спектра в МКД рассмотрены в работе [96], где показано, что
приближение МКД близко связано с теорией эффективного радиуса
и длины рассеяния для кулоновского поля притяжения и МКД
может быть последовательно обоснован в общей теории упругого
рассеяния в центральном поле. Построим функцию Грина в
приближении МКД [52].
В приближении центрального поля одноэлектронная функция
Грина оптического электрона в атоме удовлетворяет уравнению
[_1/2 V2+V (r) — Z/r — E] GE (г, г')-б (г-г'), (2.28)
где V (г) — некулоновская часть потенциала атомного остатка
с асимптотическим поведением r2V (/•)-► 0 при г-* 0 и при г > гс\
гс — радиус остова, вне которого потенциал можно считать куло-
новским. Отделив в Ge угловые переменные
Ge (г, г') = 2 gl (Е; г, rf) YT (г0) YT (гб), (2.29)
получим для gt уравнение в области г > гс:
{T^Kh-^l+f+'}«■<*'■'>-
= —б(г-г'). (2.30)
гг'
Общее решение неоднородного уравнения (2.30) можно получить
в виде суммы частного решения и фундаментальных решений соот-
27

ветствующего однородного уравнения, которое в нашем случае
легко приводится к стандартному виду уравнения Уиттекера:
1В ,ч vZ ra + 1-v) .. (2Zr<\w/ f2Zr>\ .
+ Л-^ HV,+ 1/2(^)wv,/+1/2(-^l)( (2.31)
где v = Z/У— 2 E\ M, W — функции Уиттекера; первое
слагаемое — частное решение неоднородного уравнения — есть функция
Грина для атома водорода [см. выражение (2.6)], а второе слагаемое—
решение однородного уравнения. Так как функция Грина должна
быть регулярна на бесконечности, то второе частное решение
однородного уравнения, содержащее функции Му не должно входить
в (2.31). Константа А зависит от энергии и, в принципе, ее можно
было бы определить из сшивания (2.31) при г = гс с решением
уравнения (2.28) в области г < гс. В частности, для атома водорода
уравнение (2.28) справедливо всюду и А = О из условия конечности
gt при г->0.
В нашем случае функция Грина при г<гс неизвестна и для
нахождения константы А воспользуемся МКД. Рассмотрим область
положительных энергий (Е > 0). В этом случае константа А легко
может быть связана с фазами рассеяния бг на потенциале V(r).
Действительно, как известно из теории рассеяния, при наличии
кулоновского и короткодействующего потенциала асимптотическое
выражение для gt(E\ г, г') при г, г' -> оо имеет вид [98]:
gt(E\r, г')-» -^г expji (kr>+Z " ^ —■^- + ol + 8l)x
Xsinffer< + Z ХпШ< -£- + ai + b\9 (2.32)
(2.33)
где k = \Zh\ ot = argr (/ + 1 — v) — кулоновская фаза
рассеяния. Для вычисления асимптотического поведения выражения
(2.31) воспользуемся известными асимптотическими разложениями
для функций М и W [11, т. I]:
Подставляя (2.33) в (2.31) и сравнивая результат с (2.32), находим
А = exp [i (2 а, + я (v — /)] [exp (2i6,) — 1]. (2.34)
Выражения (2.31) и (2.34) определяют функцию Грина при Е > 0,
если известны фазы бг. Фазы можно вычислить по формуле (2.27)
или другим методом, например вариационным.
28

Функцию Грина gt при Е > О удобно представить через куло-
новские функции Ft (ft, г) и Gt (ft, r), которые связаны с
комплексными функциями W± v, / + Vt (± 2Z/7v) соотношением [67]
^±v.[/ + 1/2(±^) = (±iy + 1exp(^=Fia,jx
x{Ft(k, r)^\Gl{kyr)). (2.35>
Подставляя (2.34) и (2.35) в (2.31), получаем
gl (£; Г9 г') = 2i7/i6/) IFi (k, r>)-iGz (ft, r>)] x
krr'
X [fj (ft, r<) cos 6, + Gz (ft, r<) sin 6,].] (2.36)-
Выражение (2.36) имеет простой смысл: член сг< — радиальная
волновая функция в области г> гс\ член с г> — нерегулярная ку-
лоновская функция: множитель ехр (i6j) учитывает сдвиг фазы этой
функции. Мнимая часть gt в (2.36)
Im ft (£; г, г') = я/?, (ft, r) Rt (ft, r'), (2.37)
где
Ri (*. г) = у^ i- {F, (ft, г) cos б, (E)-Gt (ft, r) sin б, (£)}
есть радиальная волновая функция непрерывного спектра для
потенциала с кулоновскои асимптотикой, нормированная на энергию.
Асимптотическое значение Яг при г-> оо равно
/2 1 . /, . 7 \n2kr /я , . «\
Для аналитического продолжения выражения (2.34) на область
отрицательных энергий, где фазы не имеют непосредственного
физического смысла, используем полученное в работе [96] соотношение,
связывающее фазы с квантовым дефектом \it при Е < 0:
ctg 6,(£)-*[1 — exp(2niv)][ctgn|i,(£) — i/exp(—2niv) — 1]. (2.38)
После несложных преобразований при Е < 0 получим
д _ Г(/ + 1—у) shut (и + 0 9 (2 39)
T(/ + l+v) sinji(^+v)#
Для дальнейшего изложения удобно представить функцию Грина
при Е < 0 в виде [32]
vZ
gl{E; r, r') = ^r(/+l-v)r(/+l+v)3Rv>/(r<)^v/(r>), (2.40)
где
(r)= 1— М, <+l/2fJ^) + rin"iH + 0 «^.(r); (2.41)
29:

®v,Z
(0= 1~ Wv , + 1/2 f — V
W r</+l+v) v'/+1/4v/
Как видно из (2.40) и (2.41), при |хг = 0 функция gt переходит
в точную функцию Грина для атома водорода с кулоновскими
полюсами, определяемыми полюсами гамма-функции Г (/ + 1 — v).
В случае же \it Ф 0 полюса функции Грина определяются нулями
•синуса в знаменателе второго слагаемого в 3R (2.41):
ц, + v = /г, т. е. Enl = -Z*/2[n - ц, (Enl)]\ (2.42)
Так как v — положительно, то п = 1, 2, 3, ... и gt (£; г, г') имеет
полюса в точках ЕпЬ совпадающих с экспериментально
наблюдаемым спектром собственных значений энергии.
Покажем, что при этом в точках v = п + I + 1,
соответствующих полюсам гамма-функции в (2.40), функция 3)?Vt / (/*) обращается
в нуль и gt (E; г, г') не имеет кулоновских полюсов.
Действительно, если v = п + / + 1, то функции М и W имеют вид [31]:
MVtl+l/2(x)=xi+ie-*t\F1(-n, 2/ + 2;*); \
Wv, f+1/2 (*)-(-1)" (2^+1)! ^+1e-^1F1(-AZ,2/ + 2;x),j(2'43)
где х = 2 rZI (n + I + 1). Если подставить (2.43) в (2.41),.то легко
убедиться, что 2Rn + M_i (г) = 0. Найдем теперь вычеты
функции Грина (2.40) в полюсах, соответствующих энергии Е = Еп1:
Е=Ет Е
Res &(£;r,r'* = lim [{Enl— E) gt (£; г, г')] =
(2.44)
/^„г, »+i/2(2Zr/v»i) *V(i|i,+ ,/2 (2Zr'/v„,)
rr' v», (1 +d(i,/dv„,) Г (v„,-0 Г (/ +1 +vn«)
Это выражение совпадает с произведением собственных функций
Rm для состояний с эффективным квантовым числом vnl и
орбитальным моментом / в МКД [227]:
Rm (r) = VcZ(Z/r) W4nl, ,+ I/2 (2Zr/vn(),
где коэффициент нормировки в МКД
LC.^Z^^l + ^rK.-Or^ + l+v^)]"1. (2.45)
Полученные формулы для gt (г, г') в МКД могут быть обобщены
для учета тонкой структуры спектральных линий. Для этого
пренебрегаем влиянием спин-орбитального взаимодействия на
радиальную зависимость волновых функций и считаем квантовый дефект
функцией полного момента J : |xz ->- \ij. Угловая зависимость функ-
20

ции Грина определяется сферическими функциями со спином,
тогда разложение (2.29) заменяем на
GE (Г, Г') = 2 g„ (Е\ Г, Г') йПт (Го) Qjim W),
Jim
где
&Лет = 2 C/iWt 1/21Я, ^Ш1(Г0)Хт,»
у-т — спиновые функции; Cimt\/2mt — коэффициент Клебша —
Гордана.
§ 2.4. Метод модельного потенциала (ММП).
Функция Грина для модельного потенциала
Приближенную волновую функцию и функцию Грина валентного-
электрона в сложном атоме можно получить методом модельного
потенциала, позволяющим свести многоэлектронную задачу к од-
ноэлектронной с некоторым эффективным (модельным)
потенциалом. Для обоснования выбора модельного потенциала можно
воспользоваться методом псевдопотенциала [104]. Основные
требования, предъявляемые к выбору модельного потенциала, впервые
сформулированные в работе [124], следующие:
а) в рассматриваемой области энергий модельный потенциал
должен давать те же собственные значения, что и точный;
б) модельный потенциал для положительного атомного иона
должен быть представлен в виде простой функции, параметры
которой определяются из условия совпадения собственного значения
с энергией валентного электрона;
в) параметры VM должны зависеть от орбитального квантового
числа /, так как волновые функции с разными I должны быть
ортогональны различным состояниям остова и, следовательно, на них
должны действовать разные потенциалы. Модельный потенциал
VM (г) должен быть нелокальным и иметь вид:
VM(r) = SV,(r)Pl, (2-46)
I
где Рг — оператор проектирования на подпространство
сферических функций с данным /;
г) потенциал Vt (r) должен обладать кулоновской
асимптотикой, т. е. Vt (г) -»» Z/r, не зависящей от /;
/■-►оо
д) параметры Vt (r) должны отражать физическую картину
рассматриваемого объекта.
Учитывая эти требования, Абаренков и Хейне [124] предложили
для атомов модельный потенциал
т/ /ч ( -2АЛ при г<Ям;
Va-х (г) == '
( —Z/r при г>/?м.
31

Разрывному потенциалу соответствуют различные
аналитические решения в областях /*</?м и г > /?м, где /?м —
радиус остова. Внутри остова решением является сферическая
функция Бесселя \х (ftr), вне остова—кулоновская функция
Wvnl, /+i/2 (2 r/vnl). Параметры Ах определяются из условия
сшивания решений на границе г = /?м, а параметр vnl — из
экспериментального спектра атома. Модельный потенциал Абарен-
кова — Хейне и ряд других подобных потенциалов были успешно
использованы в атомной физике [104, 234]. Однако применять его
для вычисления составных матричных элементов, возникающих в
задачах взаимодействия атомов с электромагнитным полем в
высших порядках теории возмущений, мешает его разрывной характер.
Для этих целей более удобен модельный потенциал, предложенный
Саймонсом [228 — 230], удовлетворяющий сформулированным
требованиям, но не имеющий разрывов:
VF (г) = _ Z/r + ЦВ^РД2. (2.47)
Параметры Bt потенциала определены из условия совпадения
экспериментального значения энергии нижнего уровня с данным /
с соответствующим собственным значением гамильтониана.
Потенциал (2.47) обладает очевидным преимуществом перед (2.46), так
как он описывается непрерывной функцией, допускающей
аналитическое решение уравнения Шредингера. При Вг > 0 внутри
остова атома потенциал (2.47) имеет большое положительное значение,
что соответствует эффективному учету «сил отталкивания Паули».
При /-->- оо потенциал (2.47) убывает как —Mr + const/r2 и
дает неверное асимптотическое поведение взаимодействия
электрона с положительным атомным ионом, которое наряду с кулоновским
должно содержать поляризационный потенциал Vp ~ а0/г^. Однако
в силу нелокальности по угловым переменным можно
соответствующим выбором параметра Вг частично компенсировать этот
недостаток. Действительно, для состояний с большими орбитальными
моментами постоянную Вх можно выразить через поляризуемость
с помощью соотношения Борна — Гейзенберга [143]
£йр-£Й = усхо<г-*>н,
где E^i — энергия водородного состояния с данными nl\ <г~4>н —
среднее значение 1/а*4 по этим состояниям. Величина Effi совпадает
в методе с собственным значением Н0 = Т + W- Отсюда следует
что хорошо согласуется с экспериментом [228].
Функция Грина для модельного потенциала (2.47) строится
аналогично функции Грина для кулоновского поля [84]. Раскладывая
32

Ge (г, г') в ряд по сферическим функциям и используя свойства
оператора проектирования Рь получаем уравнение для радиальной
части gt (£; г, г')\
Г * * д /а а \ Z MXj+1) pi..
L 2 г* аг I аг J г + 2r* *J Х
Х^(£;г,г)^б(Г~Г,) , (2.48)
где (А,, + 1/2)2 = (/ + 1/2)2 + 2Вг. Видно, что функция Грина
для модельного потенциала отличается от кулоновской только
заменой целых значений квантового числа орбитального момента /
на дробные значения Хг. Для определения параметра Kt можно
использовать условие совпадения энергии Е01 с экспериментальным
значением энергии нижнего состояния валентного электрона с
данным /:
Xl = Z/V—2Etxlp—1. (2.49)
Саймоне [228] показал, что это значение Хг хорошо
воспроизводит весь экспериментальный спектр атома. Физический смысл
этого понятен, так как возбужденные состояния атома хорошо
описываются формулой Ридберга. Легко видеть связь метода
модельного потенциала с МКД, так как между квантовым дефектом \it и
орбитальным параметром Kt имеется соотношение %г = пг — \it — 1,
где пх — главное квантовое число нижнего энергетического
состояния с данным /. Подобно \it будем считать Kt гладкой функцией
энергии, определяемой путем интерполяции по экспериментальному
спектру атома. Вообще говоря, это приводит к нелокальности
Vf (г, £), однако расчеты показывают, что она мала, так как всегда
-^- <^ 1 и ею можно пренебречь.
Пользуясь методами, изложенными в предыдущих параграфах,
выражение для функции Грина можно получить в удобной форме,
применяя разложение gz по функциям Штурма:
ft (г, г'; £) = — У Ь7;1Т • <2-50>
v ^o k + Xi+l— v
™ ™-\/'т*+;+Лй*"°"1?,+'<*- (2-51)
Радиальные волновые функции получаются из вычетов функции
Грина в полюсах Е = Еп tl:
v*t г \ Vni I
2 Зак. 2208 33

При Е > 0 ряд (2.50) расходится и для численных расчетов
следует использовать интегральное представление для
произведения М и W вида (2.7).
Редуцированную функцию Грина для модельного потенциала
можно получить общим способом из (2.50) — (2.52) [84]:
0nir г,ч 4Z ^Fkl(xn)Fhl(x>n) е v«,
*nl Ь^п
^^Rnl{r^x'/^LRnl{r)
Vz L dXn dxn
(2.53)
где хп = 2 Zr/vnZ; xA = 2 Zr7vnl.
Волновые функции непрерывного спектра можно получить,
используя при Е > 0 для мнимой части функции Грина соотношение
lmgl (Е',гу г') = nREl (r) REl (г'),
из которого находим
п /\ 1 |r(^+l + iZ/AOI nZ , .-ч о, чЛ,+ 1 ^
#£/ (г) = — -—v ——— ехр ехр (— \kf) \2kr) ^ х
г ~\/2лк Г (2Х| + 2) 2*
Xi^if^+l + i —; 2^ + 2;2iftr]. (2.54)
Асимптотическое поведение этого выражения при /-->► оо
определяет парциальную фазу рассеяния электрона в поле VV (г):
*£/(')-* l/4" -sin \kr + ^rln(2kr) + 8l-^ + 6rUl (2.55)
где бГП = arg [r^YJizf] —^^ ~ некулоновская фа-
за, обусловленная наличием нелокальной части в потенциале.
В МКД аналогичная часть фазы рассеяния определяется
соотношением (2.27), обозначим ее здесь 6/*кд (Е) = Jtfij (E).
Очевидно, что б/^11 и б?1КД совпадают по модулю jt в точке Е = 0:
бммп (0) = бмкд (0) + я (/Ij _ 1)e (2<5б)
Вычисления показали, что в области не очень больших энергий
(£ < 1) различие между б^мп и 6^кд не велико.
Волновые функции и функции Грина, полученные ММП,
позволяют выражать матричные элементы электромагнитных переходов
через известные функции. Так, радиальный матричный элемент по
34

состояниям дискретного спектра для оператора 2*--польного
перехода имеет вид:
n h n h 2(2Z)L V Vn + Vfc /
x / 2у» \4 + 2 T(K + bk + L + 3) x
^+1
: (2Z)L
I 2vn \*
I vn + vft / Г(2Х„4-2)Г(2^ + 2)
r r(vh+xh+.)r(vn+xn+i) r/v>(X|( + ^+L + 3;
{ tl\ k\ J
-/7, -*; 2Xn + 2, 2^ + 2; 2;fe , 2v" ), (2.57)
где F2 — обобщенная гипергеометрическая функция двух
переменных [11, т. И, которую для целых п и k можно представить в виде
двукратной конечной суммы.
Аналогично для переходов из дискретного спектра в
непрерывный получаем:
РлХп, £Х= \КпЬп Г I АЕЯ.; — — X
71 п (2k)L+2T(2kn+2)T(2K + 2)
|_ 2rtZ/i! J U + i^vnJ U + i^j
xf.^ + X + L + 3; —n, Jc+l+i-^- ;
2Хл + 2, 2^ + 2; —— ; 2ifeVn )■ (2.58)
Функция ^2 в этом случае может быть представлена в виде
конечной суммы гипергеометрических функций одной переменной,
для вычисления которых удобно использовать разложение в ряд,
сходящийся при значениях аргумента у=\ у Л]^ <!• При у> 1
используются формулы аналитического продолжения [11, т. I].
При расчетах эффектов второго и более высокого порядков
теории возмущений после интегрирования по угловым переменным
возникает необходимость в вычислении составных матричных
элементов по радиальным функциям вида:
PlvX.^V,* (QiQ*->Q") = <*/(О I '?' ft. №i+Qi; 'i. 't) nrx
x • • •x r7 gyN (Et+Q»> r»> r*'+ 0 да11 Rt (r»+»»• <2-59)
2* 35

Используя функцию Грина (2.50) и волновую функцию (2.52),
получаем:
оо оо оо
nint,...,nN+l vl< VN У? У? ^
Hf.V«* Г*,/" ,JV_1 2d 2d ••• 2d Х
(*l + X1+l-v1)(A, + X,+ l-v1)
SVn- 1 Ад, (VJV- 1 *W- 1J VN M SA^ l(vNXN;vi *-*)
^/ 5 »
где
LZ(Vi + v2)J \vH-Va/ VVi + Va/
Г (2^ + 2) Г (2^ + 2) 1 kx\ ' *2! )
х/Ц^ + ^ + З + я; — *i, — ft*
2Ях + 2, 2Х2 + 2; -^-, -^-); (2.60)
vA - Z/K—2 (Et + Qh)\ viif), niU)t XUf) — главное
квантовое число, радиальное квантовое число и орбитальный
параметр начального (i) и конечного (/) состояний соответственно.

Глава
СПЕКТР АТОМА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 3.1. Атом в постоянном
электрическом поле
При исследовании спектра атома во внешнем электрическом поле
наибольший интерес представляет случай однородного поля $,
гамильтониан взаимодействия с которым имеет вид
V = —$d, (3.1)
где d — дипольный момент атома. Для вычисления сдвига и
расщепления уровней Е{п0) в слабом поле можно использовать теорию
возмущений. Ввиду неограниченности оператора возмущения (3.1) ряды
в этой теории асимптотические и позволяют вычислить положение
уровня лишь с ограниченной точностью, тем большей, чем меньше
%/%0, где #0 « 5,146 • 109 в/см — напряженность атомного поля.
Поскольку для изолированного уровня с определенной четностью
среднее значение оператора дипольного момента равно нулю,
изменение энергии атома в поле является эффектом второго порядка
по Щ (квадратичный эффект Штарка—КЭШ) и в общем случае может
быть записано в виде [78]
где симметричный тензор а'* — тензор поляризуемости:
aJ* = 2<n|d,G£.(r,r')di|n>.
Используя теорему Вигнера — Эккарта
(3.2)
(3.3)
{nJM\di\kJM,y
1
CJjrM>u<nJ\\d\\kJ') (3.4)
У2/+1
и соотношение для коэффициентов Клебша — Гордана
С$т С\Ъм> = 2 (- 1)"К(2/+1)(2/1+1)(\ ), М C№k CA-hm*
/,m' X П (3.5)
известное из теории угловых моментов [21], легко найти зависимость
an от проекции М полного момента F состояния | п}:
3M2—F(F+\)
an = *SnF + *TnF
F(2F—l)
(3.6)
37

Здесь а5 и ат — так называемые скалярная и тензорная
поляризуемости [128]:
4 ' ' V — С С_1_1
аА =
2F—1
\2F+3 "''-'^
3(F+1)(2F + I) 12F+3
(3.7)
2F —1
»£'ff = 22' К^МН^'Я*
t- eW-eW-
— приведенный составной матричный элемент оператора диполь-
ного момента.
Скалярная поляризуемость определяет сдвиг центра тяжести
расщепленного уровня (при суммировании по М второй член
в (3.6) равен нулю), а а£ определяет относительное расщепление
подуровней с различными М. Как следует из (3.6) и (3.7), в слабом
поле расщепленные уровни характеризуются теми же квантовыми
числами, что и в отсутствии поля, в частности F остается
сохраняющимся квантовым числом. С ростом напряженности расщепление
может достигать значения, сравнимого с расстояниями между
соседними уровнями с моментом F' и той же четностью (например,
в мультиплетах сверхтонкой и тонкой структуры или в /7-мульти-
плетах благородных газов). Поэтому поле перемешивает различные
подуровни мультиплета. Матричный элемент перемешивания
квадратичен по &:
Wf,f>= ё2 (nFM | dz GBiy (г, г') d'a\nF' My. (3.8)
Используя (3.4) и (3.5), легко проверить, что WF, f> отличен
от нуля при F'=F±\,F±2k содержит лишь «тензорную» часть,
соответствующую члену с /х = 2 в (3.5). Аналогично an> можно
выделить зависимость Wf,f' от М. Если пренебречь мультиплет-
ным расщеплением Д = Ё\$ _ e^Vf* по сравнению с разностью
энергий Е(п0) — £п9> между различными мультиплетами, то
Wf, f' можно выразить через тензорную поляризуемость.
Например, для случая F' = F + 1
w 3MV(f+l)^a 3.9)
Отметим, что в указанном приближении существует простая связь
между тензорными поляризуемостями двух компонент дублета [203]
*Ip = "tf+i {F+2){2F-l). (ЗЛО)
n.F n.F+1 (7?+l)(2F + l) V '
Для дальнейших расчетов параметров as и ат необходимо
уточнение конкретного типа связи моментов в атоме и вычисление
призе

веденных матричных элементов 3R. При этом в зависимости от
интервала изменения напряженности $ момент F может соответствовать
моменту атома с учетом спина ядра F = I + J (КЭШ на
сверхтонкой структуре), моменту атома с учетом спин-орбитального
взаимодействия J = L + S, орбитальному моменту L (случай «сильного
поля», когда разрывается связь орбитального момента с другими
моментами атома) и т. п.
Эффект Штарка на уровнях сверхтонкой структуры основных
состояний водорода и щелочных атомов исследован
экспериментально в работах [165, 170, 178, 214]. Полученные результаты хорошо
согласуются с теоретическими для атома водорода [205, 224] и
щелочных атомов в приближении ММП [85]. Для состояний с L > 0
в полях с напряженностью порядка нескольких сотен в/см и выше,
сверхтонкая структура полностью разрушается полем и
наблюдается КЭШ на уровнях тонкой структуры, описываемой формулами
(3.6) и (3.7) с F = У.
Значения as и ат для я2Рз/2-состояний щелочей, измеренные
в работе [226], согласуются с рассчитанными в приближении ММП
[84]. Для S-состояний ат = 0 и уровни лишь сдвигаются в поле.
Наиболее точные измерения <х„ в щелочных атомах проведены
в работах [174, 212]. В табл. 3.1 приведены экспериментальные и
рассчитанные в приближении ММП значения а„. Величина а„
быстро возрастает с ростом эффективного квантового числа vn =
= (2 £be))-V..
Таблица 3.1
Дипольная поляризуемость а* и сумма сил осцилляторов S (—3)
для основных и возбужденных S-состояний атомов
Атом
Не, US
Не, 2*S
Не, 23S
Li+, lis
Li+, 2*S
Li+, 23S
Be+, HS
Li, 22S
Be+, 22S
B++, 22S
Be, 2*S
B+, 2*S
Na, 32S
Mg, 3iS
K, 42S
Rb, 52S
Cs, 62S
Hg, 6*S
as . A1
Расчет в
приближении ММП
[84]
0,190
118,9
47,6
0,0258
13,3
7,04
0,0078
24,3
3,66
1,18
5,96
1,85
22,4
10,5
43,3
48,6
60,0
3,69
Эксперимент
[125, 211, 212]
0,205
118,8
46,8
0,0285
14,6
6,95
0,00765
24,3±0,5
3,71
1,18
6,75
1,68
23,6±0,5
П,1±0,5
43,4±0,9
47,3±0,9
59,6±1,2
5 (—3), А*
Расчет в
приближении ММП
1 [84]
0,0514
1350
292
0,00252
65,2
21,3
4,14-Ю-4
91,0
6,39
1,37
7,92
1,45
71,8
16,8
193
220
303
3,82
Эксперимент
[154]
0,0554
1380
287
0,00277
78,2
21,3
92,5
86,2
188
212
298
39

В проведенном анализе эффекта Штарка не учтены ширины
уровней Г, связанные с возможностью разрушения атома в
постоянном электрическом поле. В слабых полях значение Г определяется
вероятностью туннелирования электрона через потенциальный
барьер шириной ~ | Е(п0) | / # и высотой ~ | Е(п0) | [113]:
Wnim — 2Гпгт — | Сп1 у
v(2/+l) \т\\(1+\т\)\
2Z
хехр
(/-|т|)!
2Z5*
/2Z3 \
U3#j
2v— | т|— 1
X
(3.11)
где v = Z/У—2E{n0)—эффективное главное квантовое число;
Cni — нормировочный коэффициент, определяемый асимптотикой
атомной волновой функции.
В сильном поле (# < <$0) расчет W возможен лишь на основе
численного решения уравнения Шредингера. Такие расчеты
проведены для атома водорода в
lS-состоянии [127] и
возбужденном состоянии с п = 5, пх = О,
п2 = 3, т = 1 (nlf n2 —
параболические квантовые числа) [180].
*г- о | \ >^ч^ | На рис. 3.1 показана зависимость
ширины и сдвига основного
состояния A£is = Re£ — iI72 от
g [127]. Для сравнения приведены
также результаты расчета сдвига
уровней по теории возмущений
10 12 Re Е — Е<п0} = АЕ(2)п + АЕ^ + ...
(3.12)
0
-1
^ -4
<D
-7
_
-
j_
V
Г I
•^^^ R&E+J ^^
^О^^Ке£точн
Re£m.6 \
Re£-^ \
j- ! . i l i J— 1 ..,
,6 8
Рис. 3.1. Зависимость сдвига и
уширения основного состояния
атома водорода от напряженности
постоянного электрического поля:
£точн — результат точного расчета;
£т.в — результат расчета по теории
возмущений.
с учетом первых двух членов. Так
как в экспериментах наблюдается
обычно не ионизация атома, а
исчезновение спектральных линий,
соответствующих радиационному
распаду возбужденных состояний,
то представляет интерес пороговая напряженность $кр, при
которой W сравнима с вероятностью спонтанных переходов (Wcn ~
~ 108 -г- 109,1/шс). Расчеты #кр были выполнены Ланчосом [13].
Для фиолетовой компоненты линии HY он получил #кр = 1,0 х
X 108 в/см. При этом в припороговой области <£ < #кр сдвиг и
расщепление линий не описываются формулами первого неисчеза-
ющего порядка теории возмущений. Так, согласие
экспериментальной зависимости сдвига линий от Щ в атоме водорода при Щ ~
~ 10е в/см с теорией получается лишь при учете членов,
соответствующих линейному, квадратичному и кубичному эффекту Штарка [13].
Как следует из рис. 3.1, для основного состояния точное значение
Re£ совпадает с расчетами по теории возмущений вплоть до полей
40

с напряженностью % ~ 0,05 #0, в которых ионизация происходит
практически мгновенно (W ~ 4 • 1012 сек'1).
Таким образом, ширина уровня не может быть получена по
теории возмущений ввиду неаналитического характера зависимости
W (8) при $ -+■ 0, тогда как сдвиг уровня можно рассчитать, если
учесть первые несколько членов ряда, при всех значениях
напряженности поля, для которых имеет смысл говорить о
квазистационарных состояниях атома.
В связи с вышесказанным представляет интерес расчет
коэффициентов уп1т в разложении
£»,m = «I—J-a»lm«,-^-TBlm««-..., (3.13)
называемых статическими гиперполяризуемостями и определяющих
отклонения от квадратичного эффекта Штарка при больших %. Для
водорода члены ряда (2.13) вплоть до #10 были рассчитаны
Мендельсоном [207]:
ReExs= — - $*—2551 #*_4908#—794 237£8—
— 1,945 x10е»1». (3.14)
Хотя из-за асимптотических свойств ряда зачения у№ быстро
возрастают с я, даже в поле с $ = 0,06 #0, соответствующем
«полной ионизации» (опусканию барьера ниже уровня энергии
основного состояния), возрастание последующих членов ряда (3.14)
начинается лишь с члена ~ $10.
Для неводородоподобных атомов расчет у значительно
усложняется по сравнению с an, поскольку необходимо троекратное
суммирование по спектру промежуточных состояний при вычислении
матричных элементов, определяющих поправку к энергии в
четвертом порядке теории возмущений:
(1/4!) уп = <я/т | d2lG m (rlf r2) &г% G£° (r2,r3)d2,x
X G£(o> (r„ r4) dZl | nlm> - (1/2) an Sn (—3), (3.15)
где a„ — поляризуемость; Sn (—p) = 2' | (nlm \z\k} |2/(£Jt0) —
k
— Е(п0))р-1 — сумма сил осцилляторов отрицательного порядка.
Суммы Sn(—р) представляют самостоятельный интерес в ряде
задач атомной спектроскопии и их свойства описаны в обзоре Фано
и Купера [116]. В табл. 3.1 приведены значения Sn (—3) для основных
и возбужденных состояний некоторых атомов и ионов,
рассчитанные с помощью ММП [84]*. Значения уп для основных и мета-
стабильных 5-состояний атомов и ионов, рассчитанные
разными методами (хартри-фоковский метод [199], разложение по \1г
[157], ММП [84]), приведены в табл. 3.2, там же для сравнения ука-
* Аналитические выражения Sn (—р) для водорода и численные
значения для различных р получены в работах [87, 198].
41

Таблица 3.2
Статические гиперполяризуемости атомов, а. е.
Li, 2*S
Na, 32S
К, 42S
Rb, 525
Cs, 625
He, nS
He, 2*S
He, 23S
Ne, 2pe
Ar, 3pe
Кг, 4P«
Xe, 5Pe
Be, 2*5
Mg, 315
Hg, 6iS
Li+, 1*S
1
an
165
151
292
328
405
1,48
803
321
5,2
13,1
18,1
27,1
40,3
71,0
26,0
0,174
yn из работы
FsTj
3,04-10»
1,03-10*
3,38 10*
5,38-106
9,19-106
55,2
—1,53 108
—4,71 106
295
2345
4356
10520
3,83-10*
1,010*
1,85-10*
0,258
| [199]
7,46-105
1,01-10е
3,10-10е
—
—
51,6
—
—
123,6
2308
—
—
7,71-10*
2,9-К)6.
—
0,285
[157]
—5,44-10^
—
—
—
—
28,5
—1,3310е
—1,63.10е
—
—
—
—
—0,896-10*
—
—
0,209
заны поляризуемости ап, а. е. Сложность расчетов приводит в ряде
случаев к существенному различию результатов; так, у атома
лития различны даже знаки значений у, полученных разложением по
l/г и другими методами. В приближении ММП выражение (3.15)
после интегрирования по угловым переменным сводится к
однократному ряду от произведения гипергеометрических функций3F2
с единичным аргументом и первые четыре — шесть членов ряда
определяют значение у с относительной погрешностью ~ Ю-4.
Как видно из табл. 3.2, результаты ММП близки к хартри-фоков-
ским. Некоторое завышение уп (ММП) по сравнению с уп (Хартри —
Фока) связано с недостаточной точностью модельных функций (2.54)
для основных состояний прв-оболочки, в особенности для Ne, у
которого электроны 2 рв-оболочки наиболее близки к остову и
коллективные эффекты наиболее существенны. Экспериментальное
значение уп = 52, 8 ± 4,0 а. е. для Hels2 получено в работе [139].
§ 3.2. Изолированный атомный уровень
в переменном электромагнитном поле
Ввиду явной зависимости гамильтониана от времени энергия атома
в переменном электрическом поле Ш (t) не сохраняется. Однако,
как обсуждалось в § 1.2, в наиболее важном случае периодического
поля существует класс квазиэнергетических решений (КЭС)
нестационарного уравнения Шредингера с определенными
квазиэнергиями е, свойства которых во многом аналогичны свойствам ста-
42

ционарных состояний. Вообще говоря, для системы, которая в
отсутствии поля имеет наряду с дискретным непрерывный спектр
(например, атом или ион), спектр квазиэнергий является
непрерывным. Как и в случае спектра атома в постоянном поле (см. § 3.1),
этот факт связан с возможностью распада (ионизации) системы в поле.
При исследовании возмущения гтомного спектра в интенсивном
поле представляет интерес задача о расчете параметров
квазистационарных состояний, возникающих из невозмущенного спектра
Е{п0) при включении поля. В строгой постановке решение
заключается в вычислении коэффициентов Се разложения функции
невозмущенного состояния y¥in) по полной системе функций КЭС
(1.16). Задачу можно упростить, если уравнение (1.17)
[tf<°>(r) + V(r,/)-i ^]ивд(г, 0 = е„ы.„(г,0 (3.16)
для системы с непрерывным спектром квазиэнергий рассматривать
как уравнение на-квазистационарные состояния, т. е. считать е
комплексной величиной (е = Reen — i — J и искать решения,
удовлетворяющие условию излучения. Тем не менее решение уравнения
(3.16) с одновременным учетом V (г, /) и дальнодействующего
атомного потенциала в #<0) (г) представляет чрезвычайно сложную
задачу, которая решена лишь для короткодействующего
потенциала с одним связанным уровнем в поле циркулярно-поляризованнои
волны (см. гл. 5). Поэтому в настоящее время для количественных
расчетов изменения спектра реальных атомов единственно
пригодным методом является теория возмущений по взаимодействию
с полем V (г, /).
Удобный формализм решения уравнения (3.16) по теории
возмущений для случая монохроматического поля изложен в § 1.2, при
этом в достаточно слабых полях можно ограничиться первым неисче-
зающим порядком для еп. Например, для изолированного уровня
в линейно-поляризованном поле с электрическим вектором,
направленным вдоль оси z, получаем
гп = Е™ + Деп;
Де _ У «}о I *г $ cos со/1 iff)) «40)r 1 dz % cos со/ J и <%) __
П и ' p(0)_f(0) , a
= -^ал(со)^2. (3.17)
4
Это выражение аналогично (3.2) для статического эффекта Штарка
и описывает КЭШ в переменном поле*. Здесь ап — компонента
* Другой способ получения выражения (3.17), основанный на
вычислении изменения фазы волновой функции атома в поле, содержится в
монографии [114].
43

агг тензора динамической поляризуемости атома на
частоте со:
совпадающая со своим статическим значением (3.3) при со = 0.
Введение % = +0 в (3.17) соответствует предположению об
адиабатически медленном включении поля при / = —оо [33, §97] и
отражает тот факт, что рассматриваются квазистационарные решения
уравнения (3.16) распадного типа. В частности, при <й>\Е(п0) \осп
содержит мнимую часть, которую легко отделить, используя
символическое тождество
eT-bV>+„+* =P ЕГ-к" + .-|,'6(£-"+м-£Г)'(319)
где Р — символ главного значения (в дальнейшем величина ik
в Ge для краткости опускается, при этом предполагается, что при
Е > 0 мнимая часть выделяется указанным выше способом).
Мнимая часть поляризуемости выражается через сечение
фотоионизации ап состояния |п>:
Ima»=-^an, (3.20)
ZJI
где a — постоянная тонкой структуры, и определяет ионизационное
затухание уровня. Наличие Im an приводит также к разности фаз
между Щ (t) и дипольным моментом 9* (/), индуцированным полем:
3bi(t) = (l/2) 2 {а<лИ»лехрОа>/) + а?А«ехр(—ia>/)}. (3.21)
k=o, ±i
Для состояний с J > lan можно разложить на скалярную и
тензорную части, аналогично случаю постоянного поля в § 3.1. Формулы
совпадают с (3.7) и (3.6) с заменой $№£/?, f на
, ^ 2&L^}}ZMI»2L. (3.22,
Для уровней с J=0 an(w) == а„Р (») и определяет сдвиг уровня
Де„ = —1±£авИ»« (3.23)
4
в поле & (/) = {$ cos со/, Х$ sin со/, 0} с произвольной] степенью
эллиптичности £, где # — амплитудное значение напряженности
поля (уровень с J > 1 в эллиптически поляризованном поле
детально рассмотрен в § 4.6).
В отличие от постоянного поля, где ап (со = 0) резко возрастает
с увеличением главного квантового числа п, динамическая по-
44

ляризуемость существенно зависит от частоты. В области частот
со ^ \Еп0)—£(/ I (^}0> —энергия ближайшего состояния, диполь-
но связанного с | п>) она имеет характерную дисперсионную
зависимость и при больших Частотах не зависит от п. Типичная кривая
ап (со) приведена на рис. 3.2 для б^/.-состояния атома Rb.
В области частот до первого резонанса (со < | £{,0) — El0) \ = ©„,•)
ап (со) можно разложить в сходящийся степенной ряд по со2 [87]:
«»И= 2 $п (-2ft-2) оУ
k = 0
Ч
(3.24)
ап,а.е
1400
1100
800
500
О
-т
-600
-900
-1200
'
■
/
\
1
zzi
/
/
1
/'
*~
—
—
—1
J
1
/\
г
1
II
III
О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24о1105см~1
Рис. 3.2. Частотная зависимость динамической
поляризуемости основного состояния атома рубидия
(штрих-пунктиром отмечены резонансные частоты
атома)
если в матричных элементах 3R в (3.22) использовать разложение
Здесь Sn (—р) — суммы сил осцилляторов отрицательного порядка;
Sn (-2) s ап (со = 0)
При со = aw знаменатель в (3.22) обращается в нуль и ап (со)
имеет полюсы. Конечное значение поляризуемости в этом случае
получается при учете ширин IV возбужденных состояний атома
[12, § 64]. Оставляя в сумме по промежуточным состояниям в (3.22)
лишь резонансное слагаемое, получаем
, ч \<nFM\dz\n' F' М>\2
ап (со) = J ———тъ—7S-1-.
Наличие мнимой (антиэрмитовой) части ап, как и в случае со > | Е{п0)\,
приводит к уширению состояний | п >, вызывающему распад | п >->
—Ия'>, a Im Деп, как нетрудно убедиться, совпадает с вероят-
45

ностью возбуждения уровня)л' > в поле Ш (/)• Однако в достаточно
сильном поле, когда матричный элемент взаимодействия Vnnf
становится порядка расстройки резонанса | сопл/ + со | и сравним
с приведенной шириной уровней | п > и |/г'>, выражение (3.17)
для сдвига уровня |/г> неприменимо. Формально это следует из
того, что при построении теории возмущений для гп состояния иЯЦ (г,
О и и1п0>]о (г, /) невозмущенного базиса (1.29) оказываются
близкими, и необходимо учитывать перемешивание их полем.
Для выяснения зависимости Деп от со при о)^:|£л0)| удобнее
пользоваться оператором взаимодействия с полем в записи через
векторный потенциал A (f) = —(#/со) sin со/:
У (г, 0=-А(*)р + (1/2)А»(0.
где р — оператор импульса. Учитывая член ~ А2 в первом, а —Ар
во втором порядке, для Аеп получаем выражение, аналогичное (2.17),
где*
«»<»=—Ul-У' *»пп>\<»Ш"'>\*\ (3.25)
Первое слагаемое в (3.25) возникает от члена ~А2 (/) во
взаимодействии электрона с волной и соответствует сдвигу
Аеп = Екол = eW (/)/2mco2, (3.26)
который не зависит от состояния электрона в атоме и учитывает
среднюю колебательную энергию Еиол электрона в поле волны.
Второй член существенно зависит от состояния электрона в атоме и
исчезает для свободного электрона (этот факт был впервые отмечен
Ритусом [111]). Для частот со, значительно превышающих
потенциал ионизации основного состояния атома /, величиной co*n' в
знаменателе (3.25) можно пренебречь по сравнению с со2, тогда
Лвп = £кол{1+Дг/со2}, (3.27)
где Ап = 22aw I < п | pz | ri > |2 = < п\ ^Уат (г)| я > ; VaT (г) -
потенциал атомного электрона. В частности, для атома водорода [ 1111
А =—Г« I 2 (&п«-/(/+!)) ]
п1т Злз [ z'0_r /(/+1)(2/ — l)(2/+l)(2/ + 3) J"
-Отсюда видно, что выход на асимптотическое значение Деп = £кол
происходит не только при увеличении частоты, но и при увеличении
главного квантового числа п при фиксированной частоте поля.
Поэтому условием применимости формулы (3.26) является малость
потенциала ионизации рассматриваемого состояния | п) по срав-
* Эквивалентность (3.18) и (3.25) можно показать и непосредственным
расчетом, используя соотношение рпп' = icornn' [6, § 27].
46

нению с со. Исключение составляют случаи, когда частота поля
близка к резонансу с нижележащим уровнем [со ~ (Е{п0) — £^})] и
в сумме по п' в (3.25) основной вклад вносит «резонансное»
слагаемое. Отметим, что член (1/2) А2 (/) в V (г, t) не вносит вклада в члены
высших порядков теории возмущений для Еп, а приводит лишь
к сдвигу (3.26) и определяет специфику зависимости Еп от со при
высоких частотах [86].
Рассмотрим примеры расчета поляризуемостей конкретных атомов
при различных значениях п и со. В простейшем случае водородного
атома axs (со) легко вычисляется аналитически с использованием
кулоновской функции Грина [22, 51, 164]
а15(со) = --^{1;-Г(£,5 + со)-Г(£15-со)}, (3.28)
™е Т (£) = (2,vy+v)4»Fi [2 - v, 4; 3 - v; (}=J)«]; v = l/=2£;
2FX—гипергеометрическая функция. Как и должно быть, T(Exs+(o)
имеет полюсы при v = 2, 3, ..., соответствующие резонансам на
возбужденных состояниях. Разложение при больших частотах
имеет вид [164]
а. «(ю) « к -±— +0(со-5).
15 v ' со2 Зсо4 3 to9/2 ^ '
Интересно сравнить axs с поляризуемостью частицы в
короткодействующем потенциале с одним связанным уровнем (здесь и в § 5.3
для удобства частота в акор измеряется в единицах удвоенной
энергии ев язи, как в атомной системе единиц)
анорИ=-^-^ + ^{(1+2со)з/2 + (1_2а,)з/2}.
В то время, как alS (0)/aKop (0) = 18, что свидетельствует о
существенной роли дальнодействующего кулоновского потенциала в
статическом случае, при больших частотах роль атомного потенциала
менее существенна и а(со) стремится к асимптотическому значению
—со-2 независимо от вида Кат (г).
В неводородных атомах расчет an(co) возможен лишь
численными методами, причем в случаях со <\Е1п0) | и со ^ \Е{п0) | специфика
вычислений существенно различается. В первом случае наиболее
последовательно использование «связанной» схемы нестационарной
теории возмущений в методе Хартри—Фока, которая приводит
к системе 2N связанных уравнений для возмущенных функций
первого порядка ^±(0 (г) с i= 1, ..., N$ N — число атомных
электронов. При этом
«пИ= 2 |<+iVI2|*i0)> + <+i°)|zl*i!L«>)- (3'29)
Для решения уравнений применяют вариационные методы [156]
или метод спектрального разложения [160].
47

При со>|££0)| использование методов, основанных на
вычислении я^щ, затруднительно из-за потери точности вследствие
значительной компенсации членов в фигурных скобках (3.29). Поэтому
необходимо непосредственное суммирование матричных элементов
в (3.22) с интегрированием по непрерывному спектру. Такие расчеты
проводились в рамках многочастичной теории возмущений [187J,
а также в приближении случайных фаз с обменом [3]. Однако из-за
большой громоздкости и вычислительных трудностей расчеты а (со)
весьма трудоемки и требуют значительных затрат машинного
времени на ЭВМ. С другой стороны, для валентных оболочек, а также
для возбужденных одноэлектронных состояний, в области
оптических частот, когда вклад электронов остова в поляризуемость
незначителен, вычисление ап(со) значительно упрощается в
приближении ММП.
После вычисления приведенных матричных элементов (3.22)
в рассматриваемой схеме связи моментов выражение для ап (со)
включает сумму радиальных матричных элементов
Ry (zfcco) = (п | rgy (Еп ± со; г, г') г' \ п > .
Используя (2.52) и (2.54), можно записать [203]:
УК } 16z* Vv + vJ U + vJ
х Г(1+уп + Хп)[Г(4 + Хп + Ху)Р у <2Ч+2)" х (3 30)
лг!Г(2Я7 + 2)[Г(2Хп + 2)Р 2d^ m\ (l+m+Xv-v)
Шк + Ь + Ь -n» -m;2?tn + 2,2XY + 2;-^, JpL
X
где vn = ZlV—2E{n0); v =Z/V—2 (E(n0) ± со + iX); nr — радиальное
квантовое число состояния \п}\ F2 — функция Аппеля [11, т. I],
которая в данном случае является полиномом т-го порядка.
Выражение (3.30) удобно для расчета ап (со) при произвольном п
и со<|£л0)|. Расчеты, выполненные для различных атомов в
широком интервале частот, показывают, что в отсутствии резонансов
сумма первых (пг + 6) членов по т равна сумме бесконечного ряда
(3.30) с погрешностью ~10~4. Такая быстрая сходимость характерна
для разложения составных матричных элементов в ряды по
функциям Штурма (см. также аналогичные расчеты для атома водорода
[209]). Ускорение сходимости по сравнению с разложением по
собственным функциям Rny (г) объясняется тем, что уравнение для
Fky{x) имеет эквидистантный спектр собственных значений k и,
следовательно, асимптотическое поведение при х -> оо : Fky (х) ~
~ **+**ехр (x/2)9 где экспоненциальный множитель не зависит
от k. При со > \Е(п0)\ ряд (3.30) для R (+о>) расходится и для
расчета R (+со) можно использовать интегральное представление
gy (£; г, г') [203].
48

В табл. 3.3 приведены рассчитанные с помощью функции Грина
в приближении ММП значения ап (со) основных и некоторых первых
возбужденных состояний благородных газов и атомов щелочных
металлов на частотах неодимового (со// = 9440 слг1) и рубинового
(сод = 14 400 см"1) лазеров и их гармоник (для основных
состояний щелочных атомов использовались волновые функции МКД)*.
В работе [32] получены графики <хп (со) основных и первых
возбужденных состояний щелочных атомов в интервале частот до третьего
резонанса, рассчитанные МКД. Дисперсионные кривые ап(со) для
благородных газов, вычисленные в приближении случайных фаз„
содержатся в работе [3].
Таблица 3.3
Динамическая поляризуемость ап (со), а. е., атомов щелочных металлов
и благородных газов на лазерных частотах
Атом
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
Li
Na
К
Rb
Cs
Не, 2*S
Не, 235
9440
1,49
5,25
13,2
18,3
27,4
277
234
607
692
1117
—239
—6970
14 400
1,495
5,27
13,3
18,5
27,9
2460
575
—1320
— 1206
—775
—43,7
—211
<о, см-1
i
18 880 | 28 800
1,5
5,29
13,4
18,8
28,4
—272
—68,1
—262
—268
—245
147,9
—86,3
1,52
5,37
13,9
19,6
30,4
—58,1
—82,1
-81,8
—87,9
—88,1
6,55
—36,2
1
28 320 1 43 200
1,52
5,37
13,9
19,6
30,3
—61,1
—87,5
—85,8
-92,9
-91,9
—47,4
—41,4
1,56
5,56
15,0
22,1
36,5
—25,0
—30,7+0,5i
-29,8+0,061i
—31,8+0,171
—33,0+0,14 i
—21,8+3,141
—17,7+2,111
Измерение квадратичного по $ сдвига линии излучения % =
= 5461 А атома ртути, соответствующей переходу 73S ->- 63Р2т
в поле излучения неодимового лазера с интенсивностью 30—
400 Мвт/см2 проведено Платцем [218]. Расчет поляризуемостей
73S- и 63Р2-УРОвней [32] показывает удовлетворительное согласие
Д^эксп и Д^теор» причем сдвиг линии определяется, в основном,
сдвигом верхнего 735-уровня Hg, поляризуемость которого более
чем на порядок превышает поляризуемость нижнего 63Р2-уровня.
Для высоковозбужденных состояний при (о>|£{,0)| (а также
для основных состояний при со > | £л0)|) расчет поляризуемости
с помощью функции Грина существенно усложняется из-за
взаимной компенсации больших по абсолютному значению и
противоположных по знаку матричных элементов /?(со) и R(—со). Так,
для 8р \2хL-уровня Хе при со = со// /?(со) = —27531,9 + i • 153,
* Значения а(со) и а(Зсо) необходимы, в частности, при определении
концентрации фазосогласованных смесей, используемых при генерации
оптических гармоник на атомах (см. гл. 4).
4$

a R (—со) = 27197,1, что приводит к потере двух значащих цифр
при расчете ап. Поэтому в указанных случаях использование
функции Грина, а также других методов, основанных на вычислении
возмущенных функций первого порядка г|4\£, непригодно для
расчетов, и более удобными становятся формулы спектрального
разложения (3.22) или (3.25), в которых асимптотическая зависимость
ап (со) ~ —со"2 выделяется в явном виде. Матричные элементы для
состояний дискретного и непрерывного спектров в приближении
ММП имеют вид (2.57) и (2.58), детальное описание расчетов
содержится в работе [203].
Часто при расчетах поляризуемостей в сумме по k в (3.22)
учитываются лишь состояния дискретного спектра, а непрерывный
полностью отбрасывается. Между тем вклад последнего в а (о) в ряде
случаев может быть весьма значительным. Так, для основных
состояний благородных газов виртуальные переходы в непрерывный спектр
определяют значения поляризуемости на (50—90)% [3,236]. Расчеты
ММП показывают, что вклад непрерывного спектра может быть
существенным и для возбужденных состояний и меняется в зависимости
S Т
от п и (о в широких пределах. В табл. 3.4 приведены значения а(^
для возбужденных состояний криптона (N — число состояний,
учитываемое в сумме по дискретному спектру для получения
относительной погрешности ~ 10~4). Для упрощения расчетов пренебре-
жено мультиплетным расщеплением — рассмотрены только
состояния с максимальным промежуточным моментом k = I + 3/2.
Напомним, что ап одинакова для всех подуровней ^/-оболочки и от k
зависит лишь а7. Для иллюстрации скорости приближения ап (со)
к асимптотическому значению при высоких частотах в табл. 3.5
приведена частотная зависимость поляризуемостей ряда
высоковозбужденных уровней криптона. Видно, что а^, а^ быстро
уменьшаются с ростом со, причем вклад непрерывного спектра
существен лишь для состояний с I > 0.
Рассмотрим вопрос о квазиэнергии изолированного уровня
с моментом J в поле с круговой поляризацией. Задача сводится
к стационарной при переходе в систему координат, вращающуюся
с частотой поля. Как показано в § 1.2, невозмущенный уровень
\nJ) во вращающейся системе координат расщепляется на (2/ + 1)
подуровней с различными М (вырождение полностью снимается!)
и энергиями Е(п0)' = Е(п0) + £Моо (£ = ±1 соответственно для
правой и левой круговой поляризации). Рассматривая оператор Шх
в (1.39) в качестве возмущения, можно вычислить еп в желаемом
порядке по полю на невозмущенном базисе {у^ЬУм (г), £&%}.
Пусть недиагональный составной матричный элемент Wmm'
между состояниями с различными М удовлетворяет неравенству
|UW!« со, (3.31)
которое выполняется, в частности, в области оптических частот.
50

Таблица 3.4-
Скалярная и тензорная поляризуемости, а. е.,
возбужденных состояний криптона на частоте неодимового лазера [203]

Уровень
5S
6S
5Р
6Р
7Р
8Р
Ad
5d
6d
Id
4f
bf
6f
V
v„=(-2£«)-vJ
1,825
! 2,9
2,307
3,347
4,36
5,366
2,694
3,64
4,623
5,615
3,981
4,98
5,977
6,977
an <»JV>
625,2
363,3
—877,5
—50/0
741,2+26,81
—380,6+16i
—1584
—880+4271
—917+200i
—927+110,21
412,2+61,0i
—846+34,2i
—530+20,4i
—467+13,0i
an ((DN)
0
0
477,5
—45,8
—113,8—12,2i
169,0—6,6i
758,2
251,8—1481
267,0—72i
270-40,31
—1037,2—27,11
262—15,61
—38,6—9,5i
—94—6, Hi
Вклад J/t

непрерывного
спектра в
Rea£
0,1
1,0
2,3
30
—15,3
—21,1
56,6
54
—149
—146
—47,0
—78,0
—87
—89
N
5
12
10
100
54
40
30
237
110
112
36
40
46
49
Тогда уровень | nJM} можно считать изолированным и поправка
второго порядка к энергии определяется обычной формулой
„иг Wm-W-M' + V
Записывая dx через сферические проекции dx = (d-i—d+1)/]/2
и используя соотношения (3.5) и (3.6), можно записать
1 n'.J' \
<n\d-1]n' J' M— 1) <п' J' M— l|d+1|/i>
En + £co—En'
<n I d+11 n' J' M+b <n' J'M+\ | d.x 1 n>
En —fcOJ — En'
+
)"
= -±^ («>)--«;>) Ш;-^_ + 1) -C^f}; (3-32)
«2» =
—1
</+1)(2У+1)
{50#> + (/ + 1) 50^2, -/2»ft,), (3.33>
где
2R^ = 2'l<n/||d||n'^'>l2
£(,0)_£(0)+щ £(0>_£<0>_ffl J-
(3.34>
51

Та блица 3.5
Частотная зависимость поляризуемостей высоковозбужденных состояний криптона [203]
Уровень
75
9Р
Ы
Sf
v„=(-2E<0>)-V2
3,9
6,37
6,61
7,98
Параметр
с£ (со), а. е.
а£(со), а. е.
М, а. е.
N
asn (со), а. е.
с£(со), а. е.
,М, а. е.
N
af (со), а. б.
с£ (со), а. е.
J0, а. е.
N
а* (со), а. е.
с£(со), а. е.
Му а. е.
N
<*N
—508+5,36i
0
-4,7
23
—192+10,2i
—9,1—4,Oi •
—21,5
63
—1210+67,2i
380,2—24,81
—404
120
—519+8,8i
—76—4,2i
—159
53
«/?
—134+0,22i
0
-1,7
23
—78,4+2,8i
_5,4_0,97i
-9,7
60
—500+18,21
153—6,5i
—154
119
—167+1,3i
—77,5—0,621
—49
53
2(0N
— 109+0,00041
0
—0,7
20
—47,9+1,18i
—2,8—0,39i
—5,7
56
—280+7,51
83,62—2,61
—79,4
109
—109+0,36i
—31,3—0,17i
—24
53
2aR
—48,9+0,0421
0
—0,2
19
—21,l+0,303i
—1,02—0,092i
—2,4
55
—114+1,75i
33,6—0,603i
—27,2
115
—46,3+0,0431
—13,1—0,211
—9,1
53

Величину aanj естественно назвать антисимметричной
поляризуемостью, поскольку она с точностью до множителя определяет
антисимметричную часть амлитуды релеевского рассеяния света на
уровне | /гУ>, тогда как as и ат пропорциональны соответственно
амплитудам скалярного и симметричного рассеяния (гл. 4).
Таким образом, при выполнении условия (3.31) расщепленные
подуровни характеризуются определенным значением проекции М
на направление распространения волны. В отличие от линейной
поляризации снимается вырождение и по знаку Му поэтому для
характеристики расщепления, кроме а£/, необходимо знать еще
антисимметричную поляризуемость. Как будет показано в §3.4, величины
ат и аа определяют расщепление уровней и в общем случае
эллиптической поляризации.
Значения о&/ можно рассчитать теми же методами, что и as>T.
Так как 5ГО<а> (со = 0) = 0, при низких частотах (со < aw)
аа (со) ~ со. Для частот, больших по сравнению с потенциалом
ионизации основного состояния, аа быстро убывает и Деп в (3.32)
стремится к асимптотическому значению £Кол- В табл. 3.6
приведены значения а% (со) на характерных лазерных частотах для ряда
уровней ксенона.
Та блица 3.6
Антисимметричная поляризуемость ряда возбужденных состояний ксенона
на частоте неодимового лазера
Состояние
Re<C a- /.
Im a„, a. e.
Состояние
Re ant a. e.
Im an, a.
bd
Ы
Ы
bf
Г l 1
0 —
L 2 J
Г 1 1
L 2
Г l 1
Pi
Г i 1
I 2
Г l '
1 —
L 2 .
i
i
2
1
2
3521,8
13653,4
4416,2
—499,34
—500,4
0
0
0
78,2
76,7
3T
3T
4T
-787,4
-993,8
—62o,7
—543,1
59,8
60,2
72,8
73,1
В пренебрежении спин-орбитальным расщеплением в SDo^
можно получить приближенное выражение для а£/ (при J > l/2)f
удобное для проведения численных расчетов:
аПг y=/-j-i/2
2/ + 1
■[/?m(<o)-/?,-i(<o)];
a<n,j = i — \/2 = a<nt j=i+\/2
(/ + 1)(2/-1)
/(2/+1)
(3.35)
53

где
Rr (©)■=<*/|r{gr (E(n0) +(o; r, r')-gr (£<0)-co; r, r')}r' \nl).
Интересным эффектом, отражающим специфику циркулярно-
поляризованного поля, является расщепление уровня с J = 1/2,.
L = 0 на подуровни с М = ±1/2, аналогично расщеплению в
эффекте Зеемана (напомним, что а£ ,/=1/2 = 0ив поле с линейной
поляризацией расщепления нет). В этом случае выражение (3.35)
неприменимо, и
< j=i/2 (©) = (2/9) (Я3/2-Я1/2);
1
-gj.i-i(Ep-®\r9r'))r'\n±y.
(3.36)
Следовательно, afl имеет порядок отношения спин-орбитального
расщепления виртуальных я'р-состояний к разности ow ± со,
которое при уменьшении последней может быть близко к единице.
Так, для атома Cs на частотах неодимового ш^ и рубинового сод
лазеров при со = со# a5 = 1219 а. е. и aa = —207 а. е.; при со = сод
as = —720 а. е., aa = —101 a. e.
Отсюда следует, что в поле напряженностью 10е в/см на частоте со#
расщепление основного состояния составляет 0,9 см"1, а сдвиг
~ 5,2 см'1.
§ 3.3. Динамическая гиперполяризуемость
и границы применимости теории возмущений
для сдвига уровней
В достаточно сильных полях существенными могут стать поправки
высших порядков по % к величине Деп, рассмотренной в
предыдущем параграфе. Знание их позволяет выяснить весьма существенный
вопрос — до каких напряженностей поля $ можно использовать
результаты первого неисчезающего порядка теории возмущений и
основанные на них понятия штарковского сдвига и уширения для
описания возмущения атомного спектра. В отличие от случая
постоянного поля, где ряды теории возмущений асимптотические,
вопрос о сходимости рядов для квазиэнергии в переменном поле
в настоящее время до конца не исследован, что связано, в частности,
с существенной зависимостью членов ряда от частоты и
поляризации излучения. Однако в переменном поле учет членов высших
порядков может оказаться более существенным, чем для постоянного
поля, так как динамическая поляризуемость для некоторых частот
обращается в нуль, в то время как члены высших порядков на тех
же частотах отличны от нуля.
54

Как следует из формализма, развитого в § 1.2, ряд теории
возмущений для квазиэнергии изолированного уровня
еЛ = £<<» + Aei2) + Де«> + ...
аналогичен ряду для энергии в стационарной теории возмущений.
При этом выражение для поправки Де^ имеет вид, аналогичный
(A£iA))CTaTH4, где суммирование в промежуточных состояниях
приводится по невозмущенному базису (1.29) (исключая состояние
и„%) и матричные элементы усредняются по периоду поля. Однако
наличие двух слагаемых в операторе взаимодействия с полем
V (г, 0 = V (г) ехр (—Ш) + У+ (г) ехр (Ш)
приводит к значительному увеличению количества составных
матричных элементов в рядах для гп и ип по сравнений) со стационарным
случаем.
Аналогично выражению (3.17) для Де£а), поправка четвертого
порядка имеет вид:
Wr. i у (014Гг,» «I, 1 у (о I <)о»
х ^-"tfv.
у' K^ol^Wl^»!2 у ' М*\?*\УЩ*\Р)\ & 37)
Ограничиваясь для простоты случаем уровня с нулевым моментом
J = 0 в эллиптически поляризованном поле* и проводя
усреднение по времени, получаем [86]
Де£« = —l/4!Yn (©, 0 «*, (3.38)
где
Yn (о), 0 = 9/4 [(1 - С2)2 Х*.« + 8ftcyi,yy] (3.39)
— динамическая гиперполяризуемость, которая выражается через
компоненты тензора нелинейной восприимчивости атома хим
(—со; со, со, —со). Поскольку тензор Xaki играет важную роль в
нелинейной оптике атомарных газов, его свойства, а также явные
выражения в виде комбинации составных матричных элементов
четвертого порядка приводятся в § 4.1. Компоненты % в (3.39)
нормированы соотношением
Ххххх (—^; со, (о, —со) Io^o = 3%ххуу (—со; со, со, —со) |оэ=о = Хо»
где Хо = 222,1875 для атома водорода. При этом
уп (со, £ = 0) |ш = 0 = (3/8) То; уп (со, £ = ±1) 1<о=о = То,
* Результаты применимы также и к уровню с J Ф 0 в
линейно-поляризованном поле.
55

где Yo — статическая гиперполяризуемость, определяющая
поправку Де£4) в постоянном поле g (см. §3.1). Множитель 3/8 для
£ = О соответствует усредненному по периоду значению #4 (О-
Как следует из (3.38) и (3.39), Де£4) имеет более сильную
частотную зависимость, чем Ae£a). Наряду с однофотонными резонансами
на промежуточных состояниях, присущими также и ап (со), уп имеет
двухфотонные резонансные особенности на промежуточных
состояниях той же четности, что и |az>, вблизи которых Де£4) значительно
возрастает. Кроме того, уп при £ Ф 1 имеет двухфотонные резонансы
на виртуальных состояниях, отличающихся от|/г> лишь значениями
главного квантового числа, которые отсутствуют при циркулярной
поляризации. Это показывает существенную зависимость Aei4) и
от степени эллиптичности.
Таблица 3.7
Динамические гиперполяризуемости основных состояний водорода,
атомов щелочных металлов и благородных газов на лазерных частотах
со//=9440 см-1 и о)я=14 400 см~х
Атом
Н
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
Li
Na
К
Rb
Cs
(DN
X II | X-L
82,967
1,18
16,9
130
292
705
-8,8-104
2,5106
1,3-107
1,1-Ю8
—6,M07
251,577
9,55
51,1
408
898
2150
2,4-10b
1,0 Ю6
2,6- 07
1,7-108
—4,4-Ю7
<*R
Xll | X_L
85,78
3,24
17,1
140
338
800
—5,5108
9,7-107
7,8-107
6,2107
264,62
9,76
51,9
442
1065
2460
—17-108
1Ы07
1,5 108
1,3-108
2(aN
X II | X_L
95,868
3,3
17,6
150
374
950
—2,9-106
1.0-107
303,16
9,96
53,9
483
1220
2980
9,6-10*
2,3107
2<oR
| Xll | X_L
142,05
3,47
19,8
180
502
1410
507,97
10,7
61,8
597
1710
4700
В табл. 3.7 приведены результаты численного расчета [86]
величин хи = Ххххх и X_l = txxyy B приближении ММП для основных
состояний водорода, атомов щелочных металлов и благородных
газов на частотах рубинового сод и неодимового со# лазеров.
Соотношение между Де£а) и Де£4) в водороде и благородных газах
мало отличается от случая постоянного поля, что обусловлено
малостью частот со// и сод по сравнению с разностью энергий
основного и первого возбужденного состояний. Для атомов
щелочных металлов различие значительное и поправки,
пропорциональные #4, становятся существенными в полях с напряженностью
#> 106 в/см, причем в зависимости от £ величина уп может менять
знак, как в атоме лития.
Отклонения от первого неисчезающего порядка теории
возмущений проявляются уже в полях с Щ < #Kp, значительно мень-
56

ших напряженности «внутриатомного» поля #0» а Для атомов
щелочных металлов #кр меньше, чем в случае со = 0. Это связано
с двумя обстоятельствами: во-первых, составные матричные
элементы для атомных потенциалов с дальнодействующей кулоновской
асимптотикой значительно превышают соответствующие величины
для быстро убывающих потенциалов* (так, у0 для водорода
превышает у0 Для частицы в короткодействующем потенциале в 40 раз). Во-
вторых, при частотах со, сравнимых с частотами атомных переходов,
отношение уп1ап существенно увеличивается (а #кр соответственно
уменьшается) по сравнению со статическим случаем, так как
выражение для уп (со) содержит произведение трех энергетических
знаменателей типа £i0) — Eln0) ± ю> значение которых уменьшается
с ростом со.
Таким образом, в переменном поле невозможно сформулировать
единый критерий оценки вклада высших порядков теории
возмущений в силу существенной зависимости еп от со и £. В частности, в
области нормальной дисперсии (со< со1П = |£10)— Е{п0)\, где Е10) —
энергия ближайшего к | я> состояния, переход в которое разрешен
правилами отбора) величины ап (со) и уп (со) могут быть разложены
в степенные ряды по со2, которые сходятся соответственно при
to<;cOjn и co<cof7l/2[87,88]. В этом случае первые Ntt(oin/(u членов
ряда теории возмущений дают асимптотическое разложение по
параметру #2 с точностью до N-ro члена включительно. При больших
частотах асимптотичность ряда, по-видимому, нарушается.
Для расчетов в области высоких частот (со ^ \Е{п) |) удобнее
пользоваться для уп выражением с гамильтонианом взаимодействия
в форме —Ар + (1/2) А2. Как уже отмечалось в § 3.2, член с А2
не дает вклада в поправки Де£Л) при k>2, и выражение для Де£4)
имеет вид (3.38) с заменой в матричных элементах %z-+ 8pz/(u.
В отличие от динамической поляризуемости уп при увеличении
главного квантового числа п быстро падает и гп при высоких
частотах (со>|££0)) стремится к асимптотическому значению
К настоящему времени не получены экспериментальные данные
об эффектах высших порядков по # в сдвиге уровней в световом
поле. Это связано с трудностью наблюдения спонтанных распадов
в сильном поле из-за большой вероятности конкурирующих
процессов многофотонной ионизации. Тем не менее приведенные выше
значения Де£4) в атомах щелочных металлов показывают, что
нелинейный по интенсивности сдвиг уровней можно наблюдать в
экспериментах по резонансной ионизации в поле сверхкоротких
световых импульсов, когда вероятность ионизации не достигает
насыщения.
* Аналогичная ситуация имеет место в задаче об ионизации (гл. 5),
где учет кулоновского потенциала приводит к существенному увеличению
вероятности ионизации.
57

§ 3.4. Перестройка магнитных подуровней
в эллиптически поляризованном поле
В § 3.2 было показано, что для изолированного уровня в поле с
линейной или циркулярной поляризацией происходит снятие
вырождения по магнитному квантовому числу, причем расщепленные
уровни характеризуются значениями проекции момента М на
направление поляризации или распространения волны. Сохранение М
связано с существованием выделенного направления в пространстве,
соответствующего определенной симметрии оператора
взаимодействия V атома с полем. Математическим следствием сохранения
проекции момента является равенство нулю составных матричных
элементов оператора V между состояниями с различными М при
соответствующем выборе направления оси квантования. В поле с
эллиптической поляризацией такое направление отсутствует и происходит
перемешивание состояний с различными магнитными квантовыми
числами.
При произвольной эллиптической поляризации ось z удобно
выбрать вдоль направления распространения волны, так что z-проек-
ция электрического поля # (/) = Re [<g0 exp (—ico/)] отсутствует.
Согласно результатам § 1.2, матрица квазиэнергии Н имеет при этом
вид [44,217]:
#ЛШ' = — 2d
4 njm
<NJM I dg; 1 njm> (n]m | dg0 \NJM'>
+
<NJM | dj0 1 njm> <njm 1 dj0 1 NJM' >
(3.40)
Поскольку во внешнем поле присутствуют фотоны с разными
поляризациями, возможны процессы вынужденного рассеяния, при
которых поглощается фотон с одной поляризацией, а излучается
с другой. Такие процессы определяются недиагональными по М, М'
матричными элементами тензора упругого рассеяния,
соответствующими некогерентному рассеянию света на атоме. Другими словами,
в (3.40) учитывается вклад процессов вынужденного рассеяния,
сопровождаемых переориентацией в пространстве магнитного момента
атома, в формирование квазистационарных состояний атома в поле.
Для дальнейшего преобразования Н воспользуемся теоремой
Вигнера—Эккарта, и матричные элементы (3.40) перепишем в виде:
Нмм* = —-- 2d cJ№J-m W (/!«//'; J\)Py т' (#о)
X
л//' т
X
Г 1 i-i)r
1а1И/>|2, (3.4i)
58

где
Рут(ёо) = +-У%С[тш> «А*о*' (3.42)
— поляризационные параметры волны (/ = #5 #о)-
Поляризационные параметры можно выразить через степени
линейной / и циркулярной А поляризации волны [77]. Если
направить ось х вдоль большой оси эллипса поляризации, параметры Р
становятся действительными: Р00 = — l/j/3; P10 = —A/Y^i
Рь±2 = 1/2; P20 = —1/1^6. Остальные параметры равны нулю.
Поскольку волна полностью поляризована, I2 + А2 = 1. При
А = ±1 имеем правую (левую) циркулярную поляризацию, при
1=1 — линейную поляризацию вдоль оси. При / = 0 Pjm ~ бт0
и недиагональные матричные элементы в (3.41) обращаются в нуль.
Это соответствует сохранению М, так как возникает выделенное
направление в пространстве — вдоль распространения волны.
Значение магнитного квантового числа сохраняется и при А = О,
если за ось квантования принять ось х.
Поскольку Pjm = О при т = ±1, полем смешиваются лишь
магнитные подуровни, отличающиеся значением М на ±2, ±4, ...
Это «сохранение по модулю 2» магнитного квантового числа
полностью аналогично такому же свойству проекции момента
парамагнитного иона в кристалле ромбической симметрии и связано с
оставшейся симметрией эллиптически поляризованного поля.
Вращение на угол я вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных
осей, из которых одна направлена вдоль волнового вектора, а две
другие лежат в плоскости поляризации, оставляет неизменным
эффективный потенциал, в котором находится атом, потому что при
этом не изменяются положение и форма эллипса поляризации.
Таким образом, (2J + 1)-кратно вырожденное состояние атома
расщепляется полем на два набора, каждый из которых образован
состояниями с проекциями момента, равными по модулю 2.
Степень циркулярной поляризации А является, как известно,
псевдоскалярной величиной. При изменении ее знака матричные
элементы (3.40) с индексами +Mf +M' переходят в матричные элементы
с индексами —М, —ЛГ. Если J — целое число, матричные
элементы, отличающиеся знаком магнитных квантовых чисел,
соответствуют состояниям, входящим в один и тот же перемешиваемый
набор, поскольку 2М — четное число. Если же У — полуцелое, что
возможно при нечетном числе электронов в атоме, эти матричные
элементы соответствуют состояниям, входящим в разные
перемешиваемые наборы. Поэтому при А = 0 оба набора совпадают, и
спектр квазистационарных состояний атома оказывается по крайней
мере дважды вырожденным. Исходя из этого, можно следующим
образом обобщить теорему Крамерса на случай наличия переменного
электромагнитного поля.
59

Квазистационарные состояния квантовой системы с нечетным
числом электронов в постоянном электрическом поле и переменном
электромагнитном поле с отсутствующей круговой поляризацией
по крайней мере двукратно вырождены.
Введем, следуя работе [44], три атомных параметра:
uj = (J + 2) pJ+1 — pj + (J — 1) pj- ь
Py+i , Pj , Pj-\
Wj =
J + \
2./ + 3
J(J+\) J
Qj 2J — 1
QJ-U
(3.43)
/+1 '~^ * ' J(j+\) J
выражающиеся через составные приведенные матричные элементы
D.(4-©)= V <NJ\\d\\nj><nj\\d\\NJ>
3 п *>Ш.Щ±<* + &
следующим образом:
_ DJ+1(co)+Dy+1(-co)
2(2/+1)(2/ + 3)
Dj_l((o)+DJ_l(-G>)
PJ+l
Pj-i =
Pj =
Dj(<*) + Dj(-o>)
2(2J+\)
2(2J+\)(2J — l)
(3.44)
Величины qj отличаются от pj знаком перед Dj (со). Введенные
параметры и, v и w выражаются через скалярную, тензорную и
антисимметричную поляризуемости следующим образом: uj = aj -f
+
■ау; iv
+ 9?aj; а>/ = ,
■aj.
2(2У-1)-"" VJ "" ' 2/~J' ^ ""2/(2/"—1)'
Подставляя (3.43) и (3.44) в (3.42), получаем
Н=—'-QJ\ QWm^uj-vjMA + wjM2;
4
(3.45)
Для нахождения квазистационарных состояний атома в поле
введем в рассмотрение собственные векторы матрицы Q:
Qxf<'> = arf<'\ r= 1, 2, ..., 2/ + 1; (f(r)T, f(f/)) = Sr,r', (3.46)
где т — знак транспонирования. Условие ортонормированности
(3.46) есть следствие симметричности Q. Векторы f образуют полный
60

набор, поэтому произвольное решение уравнения Шредингера
можно разложить по f(r):
г
V (0 = 2 Сг ехр {- i [ENJ -± ar
tWk
м
(3.47)
где Ст — произвольные постоянные, определяемые из начальных
условий. Например, для волновой функции, имеющей при t = О
определенное значение М магнитного квантового числа,
коэффициенты Сг могут быть найдены с помощью условия полноты Сг = \{м-
Из формулы (3.47) видно, что искомые квазистационарные
состояния атома в поле описываются функциями Ф<г) — собственными
функциями эффективного гамильтониана
HSj = - т" 2 I NJM} QMl,. (NJM' |,
(3.48)
MM'
учитывающего «главную» часть взаимодействия уровня | NJ | с
полем, а аг имеют смысл поляризуемостей этих квазистационарных
состояний.
Если из состояний \NJ) возможна ионизация в результате
поглощения одного кванта частоты со, матричные элементы Dj (со)*
оказываются комплексными, а эффективный гамильтониан (3.48) —
несамосопряженным. Это следует из формул (3.45), поскольку
матрица Q является симметричной, что эквивалентно ее
самосопряженности лишь при действительных матричных элементах. Вследствие
этого волновые функции Ф(г> разных квазистационарных состояний
взаимно неортогональны. Атом, находившийся в начальный момент
времени в одном из состояний г, может быть в дальнейшем
обнаружен в некотором другом состоянии г' Ф г, которое, однако, должно
принадлежать тому же набору перемешиваемых состояний
свободного атома (см. выше). Физически это обстоятельство может быть
объяснено следующим образом. Под действием поля атом, поглотив
фотон с одной поляризацией, переходит в состояние непрерывного
спектра, откуда может в результате вынужденного излучения
фотона другой поляризации оказаться уже в ином квазистационарном
состоянии, отличном от исходного.
В линейно или циркулярно поляризованном поле процессы" та-
кого рода невозможны. Действительно, из состояния с данным
значением магнитного квантового числа атом может перейти в состояние
непрерывного спектра, например при линейной поляризации по
ля, только с тем же значением проекции полного момента на.
направление электрического вектора, и после вынужденного
излучения фотона он снова окажется в начальном состоянии. Ква-
6*

зистационарные состояния атома и состояния непрерывного
спектра оказываются взаимно однозначно связанными вследствие
сохранения проекции момента. В случае эллиптической поляризации,
когда не сохраняется проекция момента, из разных
квазистационарных состояний возможна ионизация в одно и то же состояние
непрерывного спектра.
Следует отметить, что возникновение неортогональных
квазистационарных состояний может быть связано не только со
специфическими свойствами переменного внешнего поля, они возникают
также в атомном ядре и элементарных частицах [68].
Рассмотрим два частных случая, в которых собственные векторы
матрицы Q могут быть найдены в общем виде (случаи / = 0, 1/2
тривиальны).
J = 1. Уравнение (3.46) на собственные значения распадается
на линейное и квадратное. В результате получаем:
а\}1=иг\ aifl^ = u1 + w1±A1; Аг = Уих A* + w\ /2;
Vw\P + (vlA±Al)*
(3.49)
J =' 3/2. Уравнение (3.46) распадается на два квадратных
уравнения:
aftifi =из/2— у у3/2Л+ —Щ/2 ± Л3/2;
Л3/2 = [(Ж>3/2 — W3/2)2 + 3l2W3/2]lf2\
(3.50)
Ф
(1,2)
N3/2 =
V*WZI2l
3 3ч
2 2/
-<";
3/2 •
-W3/2 ± Л3/2)
2 2 /
/3^/2/4(^3/2^-^3/2 ±Л3/2)2
Функции Ф)/з'/42 и поляризуемости аА/з'/42 получаются из Ofyfi и
заменой и3/2 -> — из/2.
afc/Ч
1#| Ь
3 1,
l# §-?>.IAi-i>-
2 2 / - i- 2 2" ' 2 2'
| N г> §> во всех формулах (3.50).
Как видно из (3.49) и (3.50) в общем случае поле полностью
снимает вырождение атомных уровней по проекции момента. Это не
связано с частными значениями J в (3.49) и (3.50), а определяется
симметрией задачи. Однако при некоторых значениях А и I вырождение
снимается лишь частично. Так, при А = 0, а{г/%22) = о^3/'24) в
соответствии с теоремой Крамерса. Поскольку здесь рассматривается
полностью поляризованное излучение, при А = 0 должно быть
/ = 1, поэтому оказываются дважды вырожденными и состояния
<: целыми /, за исключением одного, так как 2J + 1 — нечетное
число. Это обусловлено одинаковым сдвигом энергий уровней,
отличающихся знаком проекции момента на направление оси х—на-
€2

правление линейной поляризации. При этом коэффициенты /м*
должны совпадать с элементами матрицы конечных вращений
DJ (О, я/2, 0), которая определяет изменение волновых функций
при вращении, совмещающем ось z новой системы координат с
направлением поляризации. В частности, это положение выполняется
и в формулах (3.49) и (3.50). Легко убедиться, что при переходе к
новой системе координат
Рис. 3.3. Расщепление и ионизационное уширение магнитных
подуровней 4/-уровня атома калия в зависимости от
поляризации излучения неодимового лазера
Расщепление уровней с J > 3/2 проще всего определить
численно. На рис. 3.3 показано поведение магнитных подуровней
^-уровня атомов калия на частоте неодимового лазера 9440 см'1.
Параметры и, v, w рассчитывались в приближении МКД. Угол в,
отложенный на рисунке по горизонтальной оси, связан с параметрами Awl
соотношениями I = cos 26, А = sin 26. Квазистационарные
подуровни обладают определенными значениями магнитных квантовых
чисел на направлении распространения излучения при 6 = ±45°
и на направлении электрического поля при 6 = 0. Соответствующие
значения М указаны на рисунке. Для всех остальных значений 6
магнитное квантовое число не сохраняется.
ба

§ 3.5. Водородоподобные уровни
в поле оптической частоты
Рассмотрим уровни водородоподобного атома в достаточно сильном
поле, таком, что тонкую структуру уровней можно не учитывать.
Состояния атома водорода, за исключением основного, вырождены
по орбитальному моменту, и приближение изолированного
уровня становится неприменимым, так как состояния с различными L
перемешиваются полем и квазистационарные состояния атома в поле
уже не обладают определенным моментом. Кроме того, из-за
вырождения уровней с различной четностью эффект Штарка в
постоянном поле является линейным (см. § 3.1), поскольку вырождение
по L снимается уже при учете членов первого порядка по
взаимодействию с полем.
Ограничимся здесь рассмотрением полей оптических частот,
удовлетворяющих неравенству
V « со, (3.51)
при выполнении которого линейные по <§ члены не дают вклада
в сдвиг и расщепление уровней. В самом деле, при выполнении
условия (3.51) функция КЭС в нулевом приближении представляет
собой суперпозицию нулевых гармоник вырожденных состояний
уровня с главным квантовым числом N, а { NLM \ V (г, t) \ NL'M'} = О
из-за усреднения по времени. Поэтому квазиэнергия и
коэффициенты суперпозиции определяются квадратичными по
напряженности поля членами и находятся стандартным образом из решения се-
кулярного уравнения типа (1.35). Поскольку линейный эффект
Штарка можно интерпретировать как взаимодействие с полем
постоянного дипольного момента, то из вышесказанного следует, что
при условии (3.51) наличие постоянного момента не сказывается
на изменении спектра в поле*. Таким образом, можно говорить
о разных причинах перестройки спектра водорода в постоянном и
высокочастотном полях.
Предположим, что поле линейно поляризовано вдоль оси z,
чтобы не учитывать перемешивания состояний с различными М.
В этом случае матрицу квазиэнергии можно записать в виде**
Hll> = 2 <NLM\dz\nlm) <nlm\dz\NL' М) х
4 nl^NL
х ( l- + ! ) = — — (NLM\dz x
x (G^o,^ (r, r') + G£io> + (u (r, r')> dz I NL' My (3.52)
* Случай V ^} со, когда линейные по Щ члены становятся существенными,
рассматривается в работах [71, 60,^80, 86].
** Случай циркулярной поляризации рассмотрен в работе [56]. Общие
выражения для перемешивания водородоподобных уровней полем получены
впервые Ритусом [111].
64

Недиагональные матричные элементы Я в (3.52) соответствуют
вкладу в квазиэнергию процессов некогерентного рассеяния света
с частотой со на атоме. В соответствии с известными правилами
отбора для электрических дипольных переходов, эти матричные
элементы отличны от нуля для V = L ± 2. Таким образом, матрица
разлагается в прямую сумму двух тридиагональных матриц, каждая
из которых смешивает состояния только с четными или нечетными
L. Поскольку четность состояния определяется четностью числа
L, в высокочастотном поле четность квазистационарных состояний
атома водорода — сохраняющееся квантовое число. В этом еще раз
проявляется их отличие от состояний атома водорода в постоянном
электрическом поле, которые не обладают определенной четностью.
При частоте излучения, превышающей порог ионизации
оболочки N, матрица Н оказывается несамосопряженной, и волновые
функции квазистационарных состояний взаимно неортогональны.
Как и в случае эллиптически поляризованного излучения, это
связано с возможностью перехода атома из разных квазистационарных
состояний в результате фотоионизации в одно и то же состояние
непрерывного спектра. Для частот со, значительно превышающих
потенциал ионизации / основного состояния, диагональные матричные
элементы (3.52) выходят на асимптотическое значение (3.26), а
недиагональные быстро спадают как /г"3со"4. В результате матрица
становится диагональной и ее собственные значения не зависят
от квантовых чисел оболочки:
Ае = £кол = е2//2тоо2.
Для вычисления матричных элементов (3.52) можно
использовать аналитические выражения для кулоновской функции Грина,
приводившиеся в гл. 2. Однако требуются довольно тонкие
преобразования этих матричных элементов, чтобы при численных
расчетах, в особенности для оболочек с большими главными квантовыми
числами, не происходило потери точности на промежуточных
этапах, связанной с взаимной компенсацией радиальных матричных
элементов R (±(о) (см. § 3.2). Соответствующие формулы ввиду
громоздкости здесь не приводятся, их можно найти в работе [56].
В табл. 3.8 приведены результаты расчетов поляризуемостей
квазистационарных состояний из первых шести оболочек атома
водорода для частот рубинового (сод = 14 400 см'1) и неодимового
(toN = 9440 см~1) твердотельных лазеров и газового С02-лазера
(К = 1,06 мкм). Состояния классифицируются главным квантовым
числом, магнитным квантовым числом и четностью: ч
соответствует четным L, н — нечетным. Перемешивание орбитальных
состояний начинается с N = 3. Таким образом, в высокочастотном
поле нельзя предложить набор физических квантовых чисел,
характеризующих квазистационарные состояния подобно набору
параболических квантовых чисел в постоянном поле.
Как видно из приведенных результатов, с ростом N
поляризуемости квазистационарных состояний для первых двух частот стре-
3 Зак. 2208
65

Таблица 3.8
Поляризуемости (а. е.), квазистационарных состояний с т = 0
атома водорода в линейно поляризованном поле
п
1
2
3
4
5
6
Четность L
Ч
ч
н
ч
ч
н
ч
ч
н
н
ч
ч
ч
н
н
ч
ч
ч
н
н
н
0)^= 14 400 см'1
Re a
4,618
887,9
1751
—232,6
—2227
—1239
—238,6
—310,0
—293,7
—216,4
—236,8
—230,8
—249,1
—220,9
—250,6
—233,6
—230,8
—237,6
—224,1
—238,9
—231,5
Im а
0
0
0
98,60
86,01
132,7
44,03
32,84
53,29
7,77
25,00
0,63
14,32
4,95
26,67
15,32
0,55
7,30
3,10
15,14
0,04
W/V = 944 0 см'1
Re а
4,550
181,6
336,5
727,0
—2036
— 1404
—525,4
—599,0
—374,4
—568,6
—526,5
—395,7
—551,6
—330,2
—457,2
—548,6
—530,1
60,01
—536,8
—169,7
64,47
Im а
0
0
0
0
0
0
201,8
141,7
71,56
222,6
7,38
100,2
73,40
44,83
107,2
44,55
5,87
54,89
0,68
53,88
33,77
(0=944 см~*
Re а
4,500
120,4
216,8
2 449
1019
1669
11 580
5 434
15 820
8 590
110 500
64 360
30 240
83 040
4 980
—493 200
—294 300
—977 50
—674 600
—375 700
—208,400
мятся к асимптотическим значениям—232,2 а. е. и —540,6 а. е.у
соответствующим энергетическому сдвигу £Нол- То, что
асимптотическое значение достигается при фиксированной частоте только за
счет увеличения N, причем практически сразу же после открытия
канала ионизации, объясняется формированием поляризуемости
для больших N виртуальными состояниями с п « N и непрерывным
спектром. Однако от отмеченной закономерности наблюдаются
интересные отступления, если имеется сильное взаимодействие
уровней NL с глубоко лежащими состояниями nl вследствие близкого
к резонансному соотношению между частотами. В частности, такая
ситуация возникает на частоте неодимового лазера, когда уровни
с большими N сильно взаимодействуют с состояниями п = 3. В
результате значения некоторых поляризуемостеи для этой частоты
даже отклоняются от асимптотического значения с ростом N.
Анализ показывает, что к асимптотическому значению
приближаются поляризуемости только тех состояний, в волновые функции
которых с большими весами входят состояния с большими орбитальными
моментами, поскольку в дипольном приближении эти состояния
не взаимодействуют с состояниями я = 3. Например, для N = 6>
66

М = О и нечетных L значению а = 536,8 + 0,68i соответствует
волновая функция, описывающая практически чистое состояние
| 6/Ю>, поэтому поляризуемость весьма близка к асимптотическому
пределу. В то же время далеким от этого предела значениям
а = —169,6 + 53,88i и а = 64,47 + 33,77i соответствуют волновые
функции (—0,883 + 0,207i)|6p0> + 0,4211 6/0> и 0,421 |6р0> +
+ (0,883 — 0,207i) 16/0>.
Одним из следствий образования новых состояний в поле
является снятие правил отбора по орбитальному моменту для
электрических дипольных переходов. Так,
в свободном атоме наблюдается
только одна компонента л-линии
#6, приводящая к заселению
уровня 2S. Она связана с распадом
уровня |6р0>. После включения
поля возникают еще две
компоненты этой линии, соответствующие
распадам состояний, переходящих
после включения поля в состояния
|6/0> и |6/i0>. На рис. 3.4
показаны положения (отсчитываемые от
несмещенной линии Нъ) и
относительные интенсивности л- и а-ли-
ний атома водорода в поле
линейно-поляризованного излучения
С02-лазера с плотностью потока
энергии 1 Мвт/см2,
соответствующие переходам из оболочки п = 6
в состояние 2S [461.
Экспериментальное исследование возмущения спектра атома
водорода сильным переменным полем нерезонансной частоты было
проведено в работе [158]. Излучение С02-лазера мощностью ~500 em,
работающего в непрерывном режиме, фокусировалось на пучок
возбужденных атомов водорода. Плотность потока лазерного
излучения в фокальной области составляла 3—4 Мвт/см2. В спектре
спонтанного излучения атомарного водорода вблизи линии Нъ было
зарегистрировано возникновение сателлита, обусловленного
излучением атомов, находившихся в фокальном объеме. К сожалению, для
проведения детального сравнения с теорией имеющихся
экспериментальных данных явно недостаточно.
/
i
1/0-
1 1
б
11
я:
б
it
1, i til
SL
10~
0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8АЕ,см'г
Рис. 3.4. Расщепление компоненты
линии Hq, приводящей к
заселению уровня 2S в поле излучения
С02-лазера
§ 3.6. Перестройка атомного мультиплета
в нерезонансном поле
Выше рассмотрено возмущение полем изолированного атомного
уровня, а также групп вырожденных уровней: магнитных
подуровней в эллиптически поляризованном поле и состояний с различны-
3*
67

ми орбитальными моментами, принадлежащими одной и той же
оболочке, в атоме водорода. Более сложное положение возникает в том
случае, когда в невозмущенном спектре атома имеется несколько
близких уровней, таких, что расстояние между ними порядка или
меньше штарковского сдвига отдельного уровня, рассмотренного
в § 3.2. Очевидно, что такие уровни уже нельзя считать
изолированными и необходимо учитывать перемешивание их полем,
аналогично перемешиванию в постоянном электрическом поле (см. § 3.1).
Указанная ситуация характерна для большинства возбужденных
состояний в атомах, вследствие мультиплетной структуры их
уровней. Поскольку расстояние между соседними мультиплетами обычно
значительно превышает внутримультиплетное расщепление, в
достаточно широком интервале изменения напряженностей внешнего
поля возможно перемешивание подуровней одного мультиплета,
а различные мультиплеты можно считать изолированными [47].
Согласно методике, изложенной в § 1.2, расчет возмущения
мультиплета полем в этом случае формально аналогичен
стационарной теории возмущений при наличии группы близких уровней.
Волновая функция «нулевого приближения» представляет
суперпозицию нулевых гармоник невозмущенных состояний мультиплета, а для
определения коэффициентов суперпозиции и соответствующих
энергий атома в поле необходимо решить секулярное уравнение
\\(s-EvF)6FF.-HFF. || = 0, (3.53)
где
Гг V (W | Лг Гёг У) | 4?}><4г0) | dz $z V) | ^»
П FF' = 7, =
^ Еф-Ер + й.
= (I/4)<yFM\dz{GE^+a+iX+G4V_e)+.))d!\yF'My, (3.54)
F — момент, характеризующий различные подуровни
рассматриваемого мультиплета; у—остальные квантовые числа уровней.
Для простоты ограничимся случаем линейной поляризации
волны, так что проекция момента М сохраняется. Рассмотрение
эллиптической поляризации не отличается принципиально от результатов
§ 3.4 для изолированного уровня и приводит лишь к увеличению
размерности определителя (3.53).
Используя теорему Вигнера—Эккарта и соотношение (3.6)„
HFF> можно выразить через скалярную и тензорную
поляризуемости уровня | yF}. Недиагональные элементы HFF> отличны от нуля
при F' = F ± 1, F ± 2 и, аналогично случаю постоянного поля
(см. § 3.1), содержат лишь тензорную часть. В слабом поле, когда
UFF'<€:\EW-E№\, (3.55)
перемешивание несущественно и возмущение мультиплета
определяется квадратичным эффектом Штарка для изолированных уровней
| yFM):
Ае = е — £<# = HFF> = —{IK) ayFM. (3.56)
68

Вследствие предполагаемого отсутствия резонансов на частоте со
между уровнями | yF) и подуровнями других мультиплетов
невозмущенного атома для упрощения решения определителя (3.53)
в общем случае можно пренебречь мультиплетным расщеплением
в энергиях функций Грина в (3.54), полагая Е{$ жЕ(у°\ где Еу0} —
некое среднее значение энергии, соответствующее, например,
центру тяжести мультиплета. В таком приближении матрица Hff'
симметрична, хотя может и не быть эрмитовой, если возможна од-
нофотонная ионизация из состояний |v^l>- В последнем случае
возникающие квазистационарные состояния атома в поле взаимно
неортогональны, так как момент F не сохраняется.
Пренебрегая мультиплетным расщеплением и в радиальных
функциях в (3.54), легко выделить зависимость Hff' от полного
момента мультиплета F:
HFF' = — — 2d Qi«i.fimiQi"i.limiaHi' (3.57)
Здесь /х — квантовое число внутреннего момента мультиплета,
связанного с орбитальным моментом L; /2 — квантовое число,
соответствующее взаимодействию, которое определяет мультиплетное
расщепление. В частности, /х и /2 — соответственно орбитальный
момент I и спин s в мультиплетах LS-связи, промежуточный момент
К и момент остова / в j /-мультиплетах благородных газов и т. д.
Величина а^1/П1 — поляризуемость уровня с моментом /2 и его
проекцией т1 в пренебрежении мультиплетной структурой.
Очевидно, что в сильном электромагнитном поле, когда выполняется
неравенство, противоположное (3.55), можно пренебречь мультиплетной
структурой, что приводит к эффекту Штарка на изолированном
уровне
Ае = -(//4) afimi. (3.58)
Физически это приближение соответствует полному разрыву полем
векторной связи моментов fx и f2, формирующих мультиплетную
структуру, и сохранению по отдельности проекций т1 и т2.
В поле с промежуточной напряженностью спектр определяется
корнями секулярного уравнения (3.53), которое допускает простое
аналитическое решение лишь в случае дублетного уровня. В
частности, для LS-дублета с F = L ± 1/2
^i,2 = (l/2)(£l%i/2 + £i°li/2)--(//8)(aL,M+i/2 + aL,Ai-i/2)±
±(1/2)[л*+ ^ M(aLfA<+1/2-aLt^i/2) +
+ (/2/16)(aLfAf+i/2 — aLt i/2)l
где A = E{L»+l/2-E{£Ll/2.
69

Из этой формулы легко получить оба предельных случая (3.56)
и (3.58). Одним из следствий перехода (по мере роста
напряженности поля) от сохранения квантовых чисел полного момента F, М
к сохранению проекции т1 момента /х является изменение правил
отбора для электромагнитных переходов в атоме в поле итенсивной
лазерной подсветки. В табл. 3.9 [50] сведены правила отбора для
однофотонных электромагнитных переходов при LS-, //- и //-типах
связи. Эти правила приближенные и тем точнее, чем лучше
выполняются указанные в таблице неравенства. Правила отбора для
многофотонных переходов рассмотрены в работах [10, 17].
Таблица 3.9
Правила отбора для электромагнитных переходов в атомах
в сильном световом поле
Связь
LS
v<vLS
Д/ = 0,±1
AL = 0,±1
AS = 0
ДМ = 0,±1
v>Vls
AL = 0,±1
AS = 0
Ams = 0
AM = AmL = 0,±i
Связь
a
v<vJJo
AJ = 0,±\
Aj =0,±\
AM=0,±1
vJJo^V^ViS
A/ = 0,±1
Am = Amj = 0,±l
AmJO = 0
V^ViS
A/ = ±l
A5 = 0
AM = Ami = 0,±l
Am3o = 0
Ams = 0
Связь
//
v<^vKS
AJ = 0,±\
AK = 0,±\
AM = 0
AS =0,±1
V/cs^v^o;
AK = 0,±\
AS = 0,
AM = AmK = 0±\
Ams = 0
V>VW
A/ = ±l
AS = 0
AM = Ami = Qt±l
A ms = 0
AmJQ = 0
Рассмотрим некоторые примеры численного расчета
возмущения мультиплетных уровней в поле. Эффекты перемешивания муль-
типлетных уровней могут быть существенны при экспериментальном
исследовании многофотонной ионизации благородных газов с
промежуточным резонансом на возбужденных состояниях в поле
напряженностью не менее 107 в/см, когда недиагональные матричные
70

элементы Hw становятся сравнимы с мультиплетным
расщеплением \Епа — Enib' |, где X = [k]j (используются стандартные
обозначения в схеме //-связи [114]). Рассмотрим лишь состояния
с М = 0, в которые возможен резонансный многофотонный
переход от основного (яр6)150-состояния. Для этого случая секулярный
определитель (3.53) факторизуется на произведение двух членов,
соответствующих четным и нечетным значениям полного момента J.
В работе [2] при исследовании 11-фотонной ионизации ксенона
в поле <8 = (5 ± 1,3) • 107 в/см наблюдался резонанс на частоте
9447 см'1, который может быть обусловлен 10-фотонным резонансом
с одним из уровней мультиплета 9р* Наблюдаемая ширина резонанса
Г « 70 см'1, а минимальная расстройка б между энергией 10 квантов
и разностью энергий основного и возбужденных Эр-уровней
составляет ~400 см'1. Расчет поляризуемостей уровней мультиплета 9р,
переход в которые из основного состояния разрешен в дипольном
приближении, дает, а. е. [203]: а г п = —138 ± 26,4i; а г п =
= —166 + 16,7i; а г i т = 180 + 20i. При этом тензорная поля-
"'Ыо
ризуемость а9р, определяющая эффекты перемешивания, на порядок
меньше: а9р = —12,4 — 8,2i, так что эффекты перемешивания в
данном случае несущественны и наблюдаемый резонанс может быть
идентифицирован с одним из уровней 9р [k]j> сдвиги и уширения которых
в поле напряженностью 4 • 107 в/см следующие: АЕг п = 570 см'1;
L2"2 J 2
Гг п = 90 см'1; АЕг п = 640 см'1; Гг п = 57 см'1; Д£гп =
L22J2 L12J2 L12J2 L2J0
= 700 см'1; Ггп = 67 см'1.
§ 3.7. Атом в магнитном
и резонансном световом полях
Рассмотрим атом, помещенный в магнитное поле и поле световой
волны, резонансное по частоте переходу между уровнями с
моментами / и J (рис. 3.5). Если волна линейно поляризована и вектор
поляризации направлен вдоль магнитного поля, это направление
оказывается выделенным в пространстве, и проекции орбитальных
моментов на него сохраняются. Каждая пара уровней с одним и тем
же значением магнитного квантового числа образует двухуровневую
систему, рассмотренную в § 1.3. Двухуровневые системы в
изолированном атоме друг с другом не взаимодействуют, переходы между
ними могут происходить лишь вследствие межатомных
столкновений [20]. Аналогичное положение возникает и для циркулярно
поляризованной волны, распространяющейся вдоль магнитного поля.
Различие состоит лишь в том, что двухуровневые системы образуются
здесь из состояний, отличающихся магнитными квантовыми числа-
71

ми на единицу: т — М = +1 или —1 для правой или левой
поляризации волны.
Во всех других случаях выделенное направление отсутствует,
магнитные квантовые числа не сохраняются, и для построения КЭС
необходимо учитывать не только попарное перемешивание уровней,
но и перемешивание разных пар. Запишем взаимодействие атома
с переменным полем волны и с постоянным магнитным полем В:
V= — |шВ— d£,
где ц — оператор магнитного момента атома.
Направим ось z вдоль магнитного поля. При этом диагональные
матричные элементы V будут определяться магнитной, а
недиагональные — электрической частью
взаимодействия:
м
</т | V | \т'> = — цоgj тВЬтт-;
со <JM\V\JM'>=—\L0gjMB6MM'\
<jm | V | JM) = (JM | V | /m>* =
- [jm} = -(d*/2) exP ('«0 2 Cjft, («V
(3.59)
Рис. 3.5. Зеемановские Здесь gjj — гиромагнитные факторы; ц0 —
подуровни резонирующих магнетон Бора; й= <У || d || / >fV2J + 1 —
уровней « J' '
ЛР приведенный матричный элемент
оператора дипольного момента; б = £^ + со —
— £j; £yy — энергии атома в отсутствии полей. В формуле (3.59)
использовано резонансное приближение. Как и в случае
двухуровневой системы, матрицу V можно сделать постоянной во времени,
если перейти к базису:
|/ш>' -ехр (—16//2) |/m>; \JM>' = ехр (\Ш) | JM). (3.60)
В результате оператор квазиэнергии состояний (3.60) в
представлении взаимодействия будет иметь вид [59]:
1
тМ
Н мт НмМ
- A-vi^mSi В) 6™™'
6 +р0тд1В)6та- —?-2С/»1*<**>*
1
(3.61)
Интересно, что в нулевом магнитном поле возможны КЭС,
у которых в рассматриваемом резонансном приближении отлична
от нуля лишь основная гармоника, а квазиэнергия совпадает с
энергией стационарного состояния атома без поля. Пусть, например,
72

J = j + 1, тогда при В = О эти КЭС формируются из верхних
состояний |.Ш>, не замешивая нижних состояний |/т>.
Действительно, если коэффициенты ам удовлетворяют условию
Ma
то искомые КЭС есть ^ам\ JM). Поскольку число неизвестных
м
здесь на два больше числа уравнений, существует по крайней мере
два таких КЭС. В случае циркулярной поляризации существование
рассматриваемых состояний очевидно из рис. 3.6, а для примера
/ = О, J = 1: право-поляризованное поле не резонирует с
подуровнями М = О, —1 верхнего уровня. В поле линейной поляризации,
если ось квантования направлена вдоль электрического поля, в рас-
-/ 0 1 . ~W fa
-1/z Vz
a 5
Рис. 3.6. Схемы переходов между зеемановскими
подуровнями в поле с правой круговой
поляризацией
сматриваемом примере будут стационарны подуровни М = ±1.
Тем не менее существование состояний, не возмущаемых полем при
произвольной поляризации, является в некотором смысле
неожиданным.
Разумеется, определенным выбором поляризации поля можно
получить более двух независимых решений, соответствующих
стационарным энергиям атома при | J—/ | = 1, а также нетривиальные
решения при / = /. Такие КЭС вциркулярно поляризованном поле
могут быть легко построены из физических соображений. На рис. 3.6, б
приведен простейший пример / = J = 1/2: подуровни М = —1/2
верхнего уровня и т= 1/2 нижнего уровня право-поляризованным
полем не возмущаются.
Квазиэнергетический спектр и соответствующие КЭС для атома
в магнитном поле и сильном световом поле резонансной частоты
определяются собственными числами и собственными векторами
матрицы (3.61). Поскольку даже при малых моментах резонирующих
уровней (У = О, J = 1 и / = J = 1/2) соответствующее
характеристическое уравнение является уравнением четвертой степени,
аналитические формулы для спектра КЭС при произвольной
поляризации и ориентации светового поля относительно магнитного
поля исключительно громоздки. В некоторых случаях, однако,
порядок уравнения понижается, и тогда оно может быть решено ана-
73

литически. Соответствующее исследование проведено в работе
[59]. В работе [4] аналогичный анализ проведен для случая / = 1/2,
J = 3/2, когда магнитное поле равно нулю.
Численное определение спектра матрицы (3.61) может быть легко
проведено на ЭВМ. На рис. 3.7 показано поведение
квазиэнергетического спектра атома для случая резонанса между уровнями
У = 0 и J = 1, когда световая волна распространяется вдоль
магнитного поля. Уровень М = О в резонансном приближении не
возмущается, поэтому он не приведен на рисунке. Волна предполага-
Рис. 3.7. Квазиэнергетический спектр атома в постоянном
магнитном и переменном электромагнитном поле при резонансе
между уровнями с моментами 0 и 1 (A = Hog2B)
ется эллиптически поляризованной со степенью круговой
поляризации А = 1/2. При этом степень линейной поляризации
/ = |^3/2. Сплошными кривыми показано поведение нулевых
квазиэнергетических гармоник, а штриховыми — первых положительных
и отрицательных гармоник. Видно, что число возможных
энергетических состояний атома в резонансном поле увеличивается:
поскольку резонируют три невозмущенных атомных уровня, образуется
по три состояния в области каждого невозмущенного состояния.
Если до включения светового поля атом находился на нижнем
уровне, то в течение некоторого времени после включения поля
он «помнит» о начальном состоянии: волновая функция атома в поле
будет такой суперпозицией квазиэнергетических состояний,
которая переходит в волновую функцию нижнего стационарного уровня
в начальный момент времени. При этом, конечно, предполагается,
что время включения поля значительно меньше времени релакса-
74

ции, характерного для данной среды (см. § 1.3). В терминах
стационарных состояний свободного атома такая суперпозиция отвечает
переходам атома между верхним и нижним уровнями. Частота
переходов определяется разностью квазиэнергий замешанных
состояний, т. е. напряженностью и поляризацией излучения, а также
расстройкой частоты и направлением распространения его
относительно магнитного поля.
Возможен целый ряд эффектов, в которых проявляются
подобные периодические переходы системы между квантовыми уровнями
в начальный период после включения светового поля. Например,
в случае атома в эллиптически поляризованном резонансном поле
указанные переходы сопровождаются периодическими
изменениями магнитного дипольного момента атома (а также электрического
квадрупольного момента, если хотя бы один из резонирующих
уровней обладает моментом не менее единицы). Такое изменение
магнитного и электрического моментов происходит когерентно у всех
атомов, находящихся в объеме фокусировки лазерного луча, поэтому
оно должно сопровождаться магнитным дипольным или
электрическим квадрупольным излучением фокальной области с частотой,
равной частоте указанных переходов. Оценки показывают, что в
типичных случаях обсуждаемое излучение соответствует
радиодиапазону с длиной волны ~1 см (см. работу [45], в которой приведены
оценки интенсивности излучения).
В заключение укажем на работы [117, 118], где рассмотрено
магнитное поле произвольной напряженности и переход от эффекта
Зеемана к эффекту Пашена—Бака. В работах [16, 161] исследуется
возмущение атомных уровней в резонансном частично
поляризованном поле.
§ 3.8. Резонирующие мультиплеты
Стационарные состояния свободного атома характеризуются полным
моментом количества движения. Уровни, отличающиеся полными
моментами на целое число Й, группируются в мультиплеты. Обычно
для не слишком больших энергий возбуждения"расстояние между
соседними мультиплетами D значительно превышает мультиплет-
ное расщепление Д — расстояние между уровнями,
принадлежащими одному и тому же мультиплету:
D » А. (3.62)
Физически это связано с тем, что расщепление мультиплета
обусловлено малыми по сравнению с электростатическими силами,
например LS-силами.
Если атом находится в достаточно сильном переменном поле,
взаимодействие с которым сравнимо с мультиплетным расщеплением,
различные уровни мультиплетов будут перемешиваться, поскольку
во внешнем поле сферическая симметрия атомного гамильтониана
75

Н
AJ
нарушается, и полный момент перестает быть сохраняющимся
квантовым числом. Это необходимо учитывать при построении
квазиэнергетического спектра, что и было сделано в работе [47], на
которой основано содержание настоящего параграфа.
Рассмотрим два атомных мультиплета в переменном поле,
частота которого примерно совпадает с расстоянием между мульти-
плетами — однофотонный резонанс (рис. 3.8.). В силу неравенства
(3.62) перемешивание уровней соседних мультиплетов можно не
учитывать, поэтому исходный базис стационарных состояний атомного
гамильтониана оказывается конечномерным. Такая задача близка
рассмотренной в предыдущем параграфе,
только теперь в отсутствие переменного
поля уровни расщеплены не за счет
взаимодействия с магнитным полем, а
^ вследствие малого «остаточного»
взаимодействия атомных электронов. Чтобы не
затруднять выяснение основного
вопроса о роли мультиплетности уровней,
будем рассматривать переменное поле
линейно поляризованным, так что осе-
Рис. 3.8. Мулыиплетная симметричность полного гамильтониана
структура резонирующих остается, поэтому проекция полного
уровней момента атома на направление
поляризации сохраняется.
Для использования резонансного приближения следует
дополнительно предположить, что выполняется неравенство со > А. Для
атомов в световых полях оптических частот это неравенство
удовлетворяется. Удобно отсчитывать энергии уровней в каждом мульти-
плете от некоторой средней величины, называемой центром тяжести
мультиплета
ЁА = (1/Л02£лГ, EA- = (l/N')y.EA'i, (3.63)
J i
где Nу N' — мультиплетности термов Л и Л' соответственно.
Введем расстройку резонанса 8 = ЕА + w — ЕА'. Матрица
квазиэнергии становится постоянной после перехода к представлению
| AJM) = exp[i (АЛУ + 8/2) /] | ЛJM>'; Длу = EAJ -ЁА\ \ 64)
|Л/Ш> = ехр[1(Ал^/-8/2)ЩЛ/ШУ; ЬАЧ = ЕАЧ—ЁА- \
и определяется при этом следующими формулами:
Яу^=(8/2 + Алу)8у^;Ял=-(1/2)^<ЛУЛ1М2|Л'Ш>;
#// = (Ал'/—6/2) 6//,.
Собственные векторы этого оператора образуют КЭС атома. Всего
имеется NM + N'M независимых КЭС, где Nm и N'm — числа
атомных состояний с рассматриваемым значением/И. В соответствии с об-
1(3.65)
76

щей теорией в области каждого мультиплета образуется по Nm +
+ Nm энергетических уровней, которые естественным образом
классифицируются по значению квазиэнергии и номеру
квазигармоники. Поэтому в спектре спонтанного излучения в
соответствующем частотном диапазоне возникает в общем случае (Nm + Nm) x
X (Nm + Nm — 1) спектральных линий, отличных по частоте
от частоты сильного поля со и соответствующих переходам ДМ = О
(л-линии).
Рассмотрим подробнее простейший пример: резонансное
взаимодействие синглетного уровня Si/2 (нижний мультиплет, будем его
обозначать буквой S) с дублетом Pi/2, Рг/2 (верхний мультиплет,
будем обозначать его компоненты соответственно Р и Р'). Матрица
квазиэнергии (3.65) имеет в этом случае вид
Я' =
где М = ±1/2; Др,р' = ±Д/2; As = 0; величина d определяется
матричным элементом оператора дипольного момента по
координатным волновым функциям, без учета спиновых частей, в
предположении LS-связи: d = <фл5о | dz | Фл'ро>-
Собственные значения Н найдем по формуле Кардано:
S
6/2
—а*%м/У~з
—d*8/V6
Р
—d'SMl V3
(Л-8)/2
0
Р'
'—dS/Vb
0
-(А + б)/2 ,
\5
Г
)?'
qh = — б/б—xh;
ri + r2
■■ri + r,\
хг,я~
±i^(ri-r2);
= (u±Vvy/3;
I dp/
(3.66)
12 L 9 V 2 У 2 J
V = U2 f — б2 + — + — I d |2 /11
27 L 3 4 4 J
При /->-0, qx ->-6/2, <72>з-> (6 4= Д)/2. Совершая унитарное
преобразование (3.64) для КЭС, получим соотношения:
¥в(/) = Nq {exp [-i (£s-8/2 + q)t]\ S>-2d*Ш X
xexp[—\(ЕР + Ь/2 +
Я)Ц[
м
где
N.
-I-
Уб(2<7+б + Д)
3[(2у+6)«-Д1»
У3(2д+д-
-Д)
РУ-
(3.67)
ч —1/2
3 [(2<?+б)«— Д2]а + 1 d ? I [»2<?» + 3 (б»+Д2) + 12<7б — 4?Д— 26Д]
77

Предельный случай двух резонирующих уровней получается
из приведенных формул, если частота поля настроена в резонанс
с одним из уровней дублета и напряженность поля не очень велика:
\dS\ С А- Пусть, например, б = —А/2 + р. С точностью до
величин порядка | #d/A |2; | (б + А/2)/А |2
При этом легко проверить, что с точностью до фазы ^¥2 (/) ~
« ехр (—\Epf) | Я>, а для КЭС Ч^з получается результат
резонансного приближения для двух взаимодействующих уровней и
| 5>, к которым уровень | Р'> не примешивается. Величины
(3.68) определяют тем самым точность часто используемой
двухуровневой идеализации реальных квантовых систем.
Интересен предел сильного поля | dcS | > А. В этом случае
?i,3~±"KS2/4+|d|2/; q2 « — 6/2.
Если оставить в разложении величины порядка А и перейти затем
к пределу Д-^0, то можно показать, что значению q2 отвечает такая
комбинация функций \ Р} и | Р'}> которая образует функцию
Фл'.р, ±i Xti/2 для Л1 = ±1/2, где ф—координатная, а %—
спиновая части атомных волновых функций. Это означает, что поле
разрывает спин-орбитальную связь, и от трехуровневой системы
отщепляется Р-состояние с проекцией орбитального момента ±1,
которое в резонансном приближении полем не возмущается. В пределе
сильного поля сохраняющимися квантовыми числами, как и в поле
нерезонансной частоты, оказываются проекции орбитального и
спинового моментов. Оставшиеся два линейно независимые атомные
состояния (Paso %м и фл'ро Хм образуют КЭС в соответствии с
формулами теории двухуровневых систем.
Таким образом, двухуровневое приближение справедливо как
в слабом поле, при настройке резонанса между двумя выделенными
уровнями мультиплетов, так и в сильном поле, энергия
взаимодействия с которым значительно превышает мультиплетное
расщепление. Однако в последнем случае резонанс имеет место между
некоторыми эффективными состояниями, которые, вообще говоря,
в свободном атоме отсутствуют.
Перейдем теперь к исследованию двухфотонного резонанса между
мультиплетными уровнями. Отличие этой ситуации от
изображенной на рис. 3.8 состоит лишь в том, что расстояние между муль-
типлетами {Л/} и {Л/} порядка 2со. Условие (3.62) по-прежнему
предполагается выполненным.
Мультиплеты с наибольшей интенсивностью будут резонировать
на частоте 2со, если правила отбора для электромагнитных
переходов между ними соответствуют электрическому квадруполю. При
этом обмен электрическими дипольными фотонами между мульти-
плетами будет происходить через некоторые виртуальные атомные
78

уровни в соответствии с электродипольными правилами отбора.
Таким образом, заменяя в (3.65) прямые матричные элементы,
соответствующие однофотонным переходам между мультиплетными
уровнями, составными, соответствующими двухфотонным переходам
через виртуальные уровни, для матрицы квазиэнергии получаем:
(3.69)
Hjj. = (6/2 + ДЛу) 8jj> -(»я/4) сслум;
Ни =-(^2/4)Рл'ш,лум;6 =£А + '2со—£А'.
Здесь а — обычные динамические поляризуемости атомных
состояний на частоте со, а величина
ft V< <Л' / М | dz | KjM> <XjM | dz I AJM>
PA'IM,AJM = У
ff Ек,— Еи-<»
учитывает вклад двухфотонных переходов между мультиплетами
{Л/} и {Л7} в квазиэнергию.
Простейший пример рассматриваемой здесь ситуации возникает
при двухфотонном резонансе синглетного уровня S\/2 с дублетом
/>з/2э D$/2 (обозначаем соответственно D и D'). На этом примере
рассмотрим подробнее специфические особенности двухфотонного
резонанса:
S D D'
Н' =
б /
as
2 4
—-В*
4 r
f"
Д-б
aD
О
-В'*
4
О
Д+б /
0CD'
S
D
D'
где P = Pd,s; р'« Pd-.s; А = 2AD
случае получаем
—2AD-. Для КЭС в этом
Уд (0 = Nq jexp[-i (£s-6/2 + 7)*]I S>-exp[-i (ED +
+б/2+9)/][2(б_д)р;;ар+4(?
D> +
P"' |d'>\
(3.70)
где
Л'Н1 +
P*/
2(6-A) + /aD + 49
+
p'«/
2(б + Д)+/ах,,+4<7
|S,-l/2
<7 — собственные числа Я, которые также могут быть найдены по
формуле Кардано, однако получаемые выражения из-за
громоздкости здесь не приводим.
79

Между величинами р, Р' и aDt aD> существуют соотношения:
р/р' = —21/2/3М; aD/aD, = 2/3; М = ±1/2. При /->0 ft-^ 6/2,
?2» з~* в/2 ± А/2. Отсюда следует, что в КЭС (3.70) присутствуют
гармоники с номерами 0 и ±2. Первые положительные и
отрицательные гармоники, так же как и гармоники с номерами ±3 и
выше, обладают малым весом и в рассматриваемом приближении
не проявляются.
Предельный случай двухуровневой системы в поле частотой со,
близкой к половине расстояния между уровнями, получается при
16 ± А | <^ А. Пусть б = А/2 + р. С точностью до величин порядка
р/Д и величин, квадратичных по амплитуде поля,
<7i,2~ -j — -^-(as+ая) ± {-j- [p — -~(as— *d)J + -^ P2}*^]
(3.71)
3 л Р '
43 4 2 4 j
При этом КЭС Tg с указанной точностью соответствует
невозмущенное полем состояние [D'> с энергией ED> — (//4) aDs
учитывающей «чистый» квадратичный эффект Штарка. Для функций
же Т1э 2 получаем формулы двухуровневого приближения (1.44),
в которые надо, однако, вместо статической расстройки резонанса, —
расстройки в отсутствии поля (здесь этой величине соответствует
р) — подставить динамическую расстройку резонанса,
учитывающую квадратичный эффект Штарка, а именно величину
р — (1/4) (as — olo) L Кроме того, и это — самое существенное,
вместо простого матричного элемента при однофотонном резонансе
в случае двухфотонного резонанса возникает составной матричный
элемент: v-*~ (1/2) р. Впервые этот факт был отмечен в работе [92].
Когда энергия взаимодействия атома с излучением значительно
превышает мультиплетное расщепление А, рассматриваемая
трехуровневая система снова оказывается эквивалентной двухуровневой.
Из уровней дублета формируются состояния с фиксированными
проекциями орбитального момента 0 и ±1. В резонансном
взаимодействии с нижним синглетом участвует только состояние с проекцией
момента 0, а остальные претерпевают лишь обычное штарковское
смещение. Формально этот случай можно получить из приведенных
общих формул, положив в них А = 0.
Из формул (3.70) можно также получить предельный случай*
соответствующий перемешиванию мультиплета полем нерезонансной
частоты и рассматривавшийся в § 3.6. Очевидно, что для этого
следует считать 6 большой величиной. Аналогичным образом в работе
[117] было рассмотрено возмущение резонансным полем уровней
атома водорода, расщепленных в результате линейного эффекта
Штарка постоянным электрическим полем. В работе [81]
рассчитывалась перестройка уровней тонкой структуры ортогелия цирку-
лярно поляризованным резонансным излучением.
80

§ 3.9. Эффект Штарка в низкочастотном поле
и статический предел
При исследовании нерезонансного возмущения атомного спектра
были рассмотрены поля оптической частоты, когда в волновой
функции КЭС ие (г, /), соответствующей невозмущенному состоянию
|м>, можно пренебречь гармониками с частотами ±kco и считать
иВп (г, t) » ф«0) (г). В низкочастотном поле такое приближение
неприменимо, поскольку веса ненулевых гармоник могут быть
сравнимы с весом нулевой гармоники, что приводит к появлению
в спектре излучения интенсивных сателлитных линий. Кроме
того, формулы (3.23) и (3.38) для сдвига уровней при со -> 0 не
переходят в формулы статического эффекта Штарка, по крайней мере,
ввиду зависимости от степени эллиптичности. Рассмотрим
изолированный уровень в низкочастотном поле, используя формализм
теории возмущений для КЭС, развитый в § 1.2.
Ограничимся вначале случаем уровня с нулевым моментом в поле
с произвольной степенью эллиптичности £ (результаты применимы
также и к уровню сУ^=0в линейно-поляризованном поле). В
рассмотренном в § 3.2 выводе выражения (3.17), кроме естественного
условия малости Деп по сравнению с расстоянием до ближайших
уровней \Еп0) — Ek0) |, требовалось выполнение неравенства
Деп <^ ю, при котором можно в качестве функции нулевого
приближения выбиргть Un% (г, f) = фл0) (г) и которое заведомо
выполняется в области оптических частот. В противном случае гармоники
и{п% в (1.29) нельзя считать изолированными и, аналогично
стационарной теории возмущений для близких уровней, правильная
функция КЭС нулевого приближения должна иметь вид суперпозиции:
ueJr,t)= J Cqu^(rj) = ^(r) v Cqexp(iq<*t) (3.72)
g= —oo 7= —oo
с условием перемешивания
(й< | w„. | =
r(^
(0)
n, q
\у\^т1и^г\у\ип°я'
c(0) o(0)
k, r bnq — bkr
(3.73)
где Wqq> — составной матричный элемент перехода между
гармониками уровня Е{п0). Для определения гп и Cq имеем секулярное
уравнение
ДН|(еп-£<0>-7со-и^6„,-и/?ж||==0. (3-74>
Значение Wqq> отлично от нуля при q' = q, q ±2, причем
Wg,q = (1 + С2) iWn (со) + Wn (-co)];
^.,±2 = (1 - £2) UU±o>);
W.
1 c,2 vv 1<я|г|*>|*
.(±»)-f «Tiir
4 ^ E«>-Ej*>±u'
81

Для малых со зависимостью Wn от частоты можно пренебречь:
Wn (zfcco) « Wn (0) s Wn, так что тридиагональная бесконечная
матрица в (3.74) становится симметричной. По виду матрицы легко
видеть, что система уравнений на коэффициенты Cq имеет вид
рекуррентного соотношения
(1 _ р) WnCg_2 + [£<о> _ гп + 2 (1 + £2) U?n - qa] Cq +
+ (1 - Р) 1^пСд+2 = 0.
Так как индекс ^ входит линейно, то рекуррентные соотношения
такого типа эквивалентны дифференциальному уравнению первого
порядка для функции / (/) = JjCq exp (iq&t). В нашем случае
я
соответствующее уравнение имеет вид
i^+[en-E^ + 2(l + Z2)Wn + 2(\-t)2)Wncos2^]f = 0.
01
Решив его с учетом периодичности / (/), получим [86]
игшп (г, 0 = ср<,0) (г) exp |"i (1 — £2) J^L sin 2ю/1. (3.75)
При этом гп = Е(п0) — 2 (1 + £2) Wn, что совпадает с (3.23) при
о) —►- 0, а веса гармоник определяются функциями Бесселя Cq =
= Jq [(1 — £2) №п/(о], где ? — четное.
Как следует из асимптотических свойств функций Бесселя [123],
при Wn > со распределение весов Cq имеет максимум при
q « (1 — t2) Wn/(d, и в волновой функции КЭС с наибольшей
вероятностью проявляются гармоники с энергией, сдвинутой относительно
энергии Е(п0) невозмущенного уровня на величину порядка штарков-
ского сдвига в постоянном поле Щ. При со = 0 показатель временной
зависимости в экспоненте функции у¥еп (г, /) переходит в Е(п0) —
— (1/2) апё2 и учитывает статический эффект Штарка.
Аналогично может быть получен статический предел для поправки
четвертого порядка.
В циркулярно-поляризованном поле различные гармоники одного
и того же состояния остаются «невырожденными» в том смысле, что
Wq,q±2 = 0. Поэтому особенности, возникающие при (о < Wny
и, в частности, большой вес гармоник Un% с q ф 0, определяются
«линейно-поляризованной» компонентой волны (Cq = 8q0 при
£ = ±1), что связано с возможностью поглощения и излучения
атомным электроном произвольного четного числа
линейно-поляризованных фотонов без изменения квантовых чисел L и М.
Существенной особенностью поведения уровня с / Ф 0 в поле
с эллиптической поляризацией является слияние части
расщепленных (2/ + 1) магнитных подуровней при низких частотах. В
частности, при круговой поляризации и выполнении условия (3.73)
ип является суперпозицией (2J + 1) гармоник exp (iqcot) с q = 0,
±1, ..., ±J (J предполагается целым). Легко убедиться, что секу-
лярный детерминант при этом распадается на произведение двух
82

определителей J-то и (J + 1)-го порядков, соответствующих двум
независимым наборам магнитных подуровней с четными и
нечетными М. Таким образом, и представляет собой суперпозицию
состояний с различными т, проекция момента на направление
распространения волны перестает быть сохраняющимся квантовым
числом и при Wn > со сохраняющимся квантовым числом становится
проекция момента на направление вектора Щ. Можно показать,
что (2/ + 1) значений корней детерминанта в этом случае попарно
совпадают, что соответствует вырождению в постоянном поле по зна-
ку проекции на вектор #. Расстояние между сливающимися
уровнями порядка со2 при малых частотах.
§ 3.10. О соотношении между квазиэнергией
и средней энергией системы в КЭС
В предыдущих параграфах настоящей главы мы часто пользовались
привычным термином «энергия» при исследовании изменения
спектра атома в монохроматическом поле. При этом имелось в виду,
что в отличие от постоянного поля, где эффект Штарка определяет
изменение энергии атома, динамический эффект Штарка
определяет квазиэнергию. Хотя в общем случае произвольной
зависимости гамильтониана от времени понятие энергии теряет смысл, для
системы в квазиэнергетическом состоянии можно определить
«среднюю энергию», допускающую наглядную физическую
интерпретацию.
Рассмотрим случай циркулярно-поляризованного поля. Как
было показано в § 1.2, уравнение Шредингера для е и ые в системе
координат, вращающейся с частотой поля, имеет вид (1.40) и
является стационарным, так что квазиэнергия е представляет собой
энергию системы во вращающейся системе координат (ВСК).
Очевидно, е можно представить также в виде е = <фе|#вск1фе> *
а соответствующее ей выражение в исходной системе координат
естественно определить как [91]
Е - < Те (г, 0 | Н (0 | Ve (r, t) > = (3.76)
- е + со <фЕ(г)|12|фе(г)>.
Таким образом, Е не зависит от времени и выражение (3.76)
полностью аналогично классической формуле для преобразования
энергии при переходе в ВСК [76]. __
В общем случае произвольной поляризации поля энергия Е
осциллирует с частотой поля со и среднюю энергию системы в КЭС
можно определить усреднением (3.76) по периоду:
Е = <4e(rJ)\H (t)\Ve(r,t)) = e +(ие
. д
1 —
dt
е>. (3.77)
83

Легко видеть, что при циркулярной поляризации выражения (3.77)
и (3.76) совпадают. Разлагая ие в ряд Фурье иг = ^Ckexp(\k(ot)t
выражение (3.77) можно представить в виде k
Ё=г+ 2 *<D<Cft|Cft> = 2(e + feo)<Cfc|Cft>. (3.78)
k= — оо k
Отсутствие временной зависимости в (3.76) является следствием
того, что в циркулярном поле каждая гармоника имеет
определенное значение проекции момента т = k и, следовательно,
(Ck\CkO = &kk'(Ch\Ch>. Итак, Е можно интерпретировать
как среднюю энергию, запасаемую атомом во всех гармониках
КЭС, тогда как е соответствует «энергии» основной гармоники.
Используя теорему Гельмана — Фейнмана (см. § 1.2), можно
получить также следующее общее соотношение между £ив:
Е = г — соде/дсо.
Для изолированного уровня в линейно-поляризованном поле
во втором порядке теории возмущений е определяется формулой
(3.17), а среднее от \dldt
<^>=Tw|2--i<"irf^i^>ia{i^W-
! 1 = JL (o-^£L g«.
(tomn— со)2 J 4 dco
Таким образом,
£<*> = e^2) + — со -*5sl e*. (3.79)
4 dco
Численные значения производной da,2Z/d<a для ряда атомов
приведены в § 4.4.
В то время как квазиэнергии определяют изменение
спектральных характеристик атома в поле, величина Е может, в частности,
представлять интерес при исследовании макроскопических
характеристик взаимодействия поля со средой. Так, используя (3.79),
нетрудно получить выражение для плотности энергии электрического
поля в разреженной непоглощающей среде
где х (со) = 1 + 4лМх22; N — плотность частиц, совпадающее
с формулами классической электродинамики [26]. Отметим, что
использование е вместо Е приводит к неверному результату:
не учитывающему наличия частотной дисперсии диэлектрической
проницаемости х (со).

Глава
РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАРНЫМИ ГАЗАМИ
4
§4.1. Введение. Вектор поляризации
и нелинейная восприимчивость атома
В предыдущей главе были рассмотрены вопросы, связанные с
изменением атомного спектра в сильном поле — сдвиг, уширение и
расщепление уровней, и обусловленное ими изменение
спектральных характеристик атома. Перейдем теперь к исследованию
электромагнитных переходов в атомах, которые условно можно разделить
на две группы: процессы рассеяния света свободными и
находящимися во внешних полях атомами и многофотонные переходы,
связанные с поглощением фотонов без рассеяния (многофотонное
возбуждение и ионизация). В настоящей главе рассматриваются главным
образом переходы между дискретными атомными уровнями —
рассеяние излучения и возбуждение атома.
Процессы, связанные с изменением характеристик светового
пучка при взаимодействии с электронными оболочками атомов
и молекул, играют важную роль при исследовании преобразования
излучения веществом. Наряду с хорошо изученными эффектами
спонтанного релеевского и комбинационного рассеяния (включая
резонансное рассеяние и флуоресценцию), а также классическими
электро- и магнитооптическими явлениями в сильных полях становятся
существенными вынужденные процессы, такие, как вынужденное
комбинационное рассеяние (ВКР), генерация гармоник падающего
излучения, эффекты самовоздействия, приводящие к изменению
поляризационных характеристик проходящего излучения,
самофокусировке пространственно-ограниченных световых пучков
и т. д.
Атомы являются наиболее простыми объектами для изучения
основных закономерностей взаимодействия связанных электронов
с сильными полями, что обусловлено простотой теоретического
расчета (по сравнению с молекулами и другими нелинейными
средами) нелинейных атомных характеристик, а также возможностью
экспериментального измерения соответствующих величин в
атомарных пучках и газовых кюветах. При исследовании эффектов
нелинейного взаимодействия с полем газы имеют ряд преимуществ
по сравнению с кристаллами: возможность использования более
сильных полей, не приводящих к пробою и в то же время
значительно увеличивающих сечения нелинейных процессов; прозрачность
в ультрафиолетовом диапазоне частот; простота достижения ус-
85

ловия синхронизма, способствующего протеканию процесса во всем
объеме нелинейной среды.
Особое значение приобретает исследование элементарных
процессов взаимодействия излучения с электронной оболочкой атомов и
молекул при изучении нелинейных явлений в поле сверхкоротких
световых импульсов (т < 10~12 сек). В этом случае становятся
несущественными стрикционные и ориентационные эффекты,
определяющие нелинейные свойства в большинстве кристаллов и
жидкостей, и характер протекания нелинейных процессов в этих
средах в значительной мере определяется особенностями поведения
атомных электронов в поле волны.
К настоящему времени выполнено много экспериментальных
работ по наблюдению и измерению соответствующих характеристик
ряда спонтанных и вынужденных процессов рассеяния в атомарных
газах. Так, Платц [218] впервые наблюдал нерезонансное
спонтанное антистоксово рассеяние в ртути. В некоторых работах
исследованы процессы спонтанного и вынужденного распада метастабиль-
ных состояний водорода, дейтерия и гелия [145, 191, 202]. В
работе [148] измерены константы Керра в благородных газах на
частоте гелий-неонового лазера. Радо [220] измерил атомные
восприимчивости для нерезонансного ВКР (эффект четвертого порядка)
с помощью двух излучений разных частот. Ятсив и др. [222]
наблюдали резонансное ВКР в парах щелочных металлов. В дальнейшем
процессы ВКР были использованы для преобразования частоты
мощного излучения в различных атомарных газах [23, 150, 243].
Ворд и Нью [241] впервые обнаружили генерацию третьей
оптической гармоники в благородных газах и измерили
соответствующие нелинейные восприимчивости. Кроме того, была исследована
генерация второй гармоники в постоянном электрическом поле [162],
а также резонансная генерация гармоник при наличии двухфотон-
ного резонанса [240, 242]. Харрис с сотрудниками [192, 247]
предложил использовать для генерации гармоник фазосогласованные
смеси паров щелочных металлов и благородных газов, что позволило
достигнуть коэффициента преобразования частоты порядка
нескольких процентов, что близко к эффективности преобразования при
удвоении частоты в кристаллах. Благодаря этим работам процессы
ВКР и генерации гармоник на атомах приобретают большое
практическое значение и являются одним из эффективных методов
получения мощного когерентного излучения в ультрафиолетовом
диапазоне.
Большая группа резонансных эффектов, определяющих
изменение поляризационных параметров волны в парах щелочных
металлов, изучена В. М. Арутюняном и др. [4, 5]. Влияние постоянного
магнитного поля на изменение поляризационных характеристик
излучения в резонансной среде рассмотрено в работе [59].
Резонансная самофокусировка (и дефокусировка) лазерного
излучения в парах натрия была обнаружена Гришковским [173].
Широкие возможности прецизионного исследования резонанс-
86

ных переходов открывают методы внутридоплеровской
спектроскопии, основанной на использовании встречных потоков лазерного
излучения с одинаковыми или малоразличающимися частотами [79,
201]. Тгким образом, в атомарных газах возможно исследование
практически всех нелинейных эффектов, представляющих интерес
в нелинейной оптике.
Ниже мы ограничимся рассмотрением микроскопических
атомных характеристик (сечений рассеяний и нелинейных восприимчи-
востей), определяющих элементарные процессы
электрон-фотонного взаимодействия изолированных атомов с
квазимонохроматическим полем. При этом атомарная среда предполагается достаточно
разреженной, так что можно пренебречь коллективными
эффектами, обусловленными столкновениями. Кроме того, не будем
касаться вопросов, связанных с обратным действием среды на поле, когда
неприменимо приближение заданного поля и необходимо
самосогласованное решение уравнений нелинейной оптики. Эти вопросы, а
также вопросы учета статистических свойств поля не являются
специфическими для атомов и подробно рассматриваются в книгахJno
нелинейной оптике.
Последовательный теоретический расчет сечений рассеяния и
классификация различных процессов рассеяния основывается на
использовании теории возмущений, предполагающей малость ам-
плитуды поля Щ по сравнению с характерными внутриатомными
полями. Удобство ряда теории возмущений состоит в том, что в
каждом порядке члены ряда соответствуют определенному типу
процессов, вероятности которых определяются соответствующими
составными матричными элементами. В низшем (втором) порядке
соответствующие формулы, определяющие полное сечение типичных
спонтанных и вынужденных процессов, а также угловые и
поляризационные характеристики рассеяния, приведены в § 4.2 и 4.3.
В высших порядках сечения спонтанных переходов с участием
нескольких квантов малы, и практический интерес представляют,
в основном, вынужденные процессы, соответствующие рассеянию на
нулевой угол. При этом в некоторых задачах существенны фазовые
соотношения между падающими и рассеянными волнами, которые
полностью теряются при квантовом описании поля на языке чисел
фотонов. Поэтому в пренебрежении спонтанными процессами более
удобно полуклассическое описание поля излучения и исследование
процессов нелинейного взаимодействия не на языке вероятностей,
а в терминах нелинейных восприимчивостей среды*. Последние
определяются разложением вектора поляризации Р (t) в ряд по
-► —►
степеням амплитуды поля #(/) = # cos cot (ввиду предполагае-
* Последовательное квантовое описание возможно при использовании
когерентных состояний поля излучения, которые, однако в настоящей книге
не рассматриваются. Связь нелинейных восприимчивостей с сечениями
рассеяния обсуждается в монографии Бломбергена [14].

мой разреженности среды Р нормируется на один атом в единице
объема) [114, 216]:
Pt (0 = Re { |j /><"> К) exp (to, /) 1, (4.1)
N
где (0о= ^ °V> <»k = ±«,
Р1А) = ЛПТ ^ Xiet gM ( — ^ ©1э..., coN) # (сох)... jg (cojv);
(4.2)
<7* = {*» Уj z}; / — число различных перестановок частот ©lf ..., о)#
в X; #q (^л) — 9-я проекция вектора напряженности % с частотой
ooft; х — компонента тензора восприимчивости (N + 1)-го ранга,
определяющая амплитуду вектора поляризации на частоте (0о.
Если на атом действует одновременно п полей разных частот:
ёр cos (ор/; р = 1, ..., /г, то выражение (4.2) должно содержать
разложение по амплитудам всех полей. Нелинейная поляризация
в этом случае представляет собой сумму поляризаций типа (4.2) с
заменой 8 ->- & и соответствующей заменой частот о -> сор в
аргументе х-
Формулы для х в записи через спектральные суммы могут быть
получены из разложения среднего дипольного момента атома в поле
(Un (г, /)|d| Un (г, /)> в ряд по # и сравнения соответствующих
членов разложения с (4.2). Процедура расчета Un по теории
возмущений изложена в § 1.2. В результате х выражается в виде
комбинации составных матричных элементов различных порядков вплоть
до (N + 1)-го. Однако при произвольном N общие выражения имеют
чрезвычайно громоздкий вид и легче могут быть получены
непосредственным расчетом в каждом конкретном случае (см. ниже
случай N = 3).
Общие свойства тензора х и свойства симметрии относительно
перестановки частот подробно исследованы в работах [114, 216].
Отметим, в частности, что для нелинейных восприимчивостей могут
быть получены различные дисперсионные соотношения [114, 121],
аналогичные соотношениям Крамерса—Кронига для линейной
восприимчивости %ij (— о; со).
Для разреженной атомарной среды использование разложений
(4.1) и (4.2) при классификации и расчете восприимчивостей
различных типов нелинейных процессов более удобно, чем обычно
используемые методы разложения свободной энергии единицы объема
среды [114]. В §]4.4 и 4.5 рассмотрены процессы четвертого порядка
в атомарных газах, определяемых компонентами тензора Хелгт*-
* Для*сред с центром инверсии дипольные электрические
восприимчивости нечетного порядка равны нулю.
88

В зависимости от типа процесса и поляризации фотонов число
линейно-независимых компонент тензора % различно. В общем виде
выражение для х* т в удобной для расчетов форме получено Орром
и Вордом [216]:
Xijki (- «о; ©х, Щ, Щ) = 7г, ,,, {Т%, К, ©1 + ©2, ©i) + Щ X
X ( — Ю„ Щ + (02> С0Х) + T)Vtl ( — ©1, — Щ— Щ, ©3) + T)Vu (—(Oi,
-Ш1-щ,—ав)-Т}Г К, (о3) П)' Ю-ПГ (-«2, ©i) Г»» (со3)-
-ПГ (-©а, -©з) Щ» Ы-Г}Г (-©!, ©2) Л/' (-©з)>. (4-3)
где
П& (Qi. ^) = <01 V»; G£o + Ql G£o + Q2 Vo. 10>; I
^fV.«.* (Qi. Q.. Ц,) = <o I v«« g£o + Bl v«. x
(4-4)
xG£.+OiV«.Cfi.+o.^|0>;
n^(Q) = <o|v«.cB.+0^|o>, |
0)*
V^j — оператор ^-й проекции электрического или магнитного
взаимодействия атома с полем частотой со^ и единичной напряженности
8qt (со) = 1. Символ /12, з означает среднее арифметическое от
всех членов, соответствующих различным нетождественным
перестановкам операторов Vf\ Vf\ Vf* в составных матричных элементах
Т в (4.3). В частности, при соа = (ох = со3 = со, со2 = — <*>
величины Ханн (— ю; w,— w» w) определяют динамическую
гиперполяризуемость атома, рассмотренную в § 3.3. Интегрирование по угловым
переменным в (4.4) и запись 7(х> в виде комбинации приведенных
матричных элементов проводится обычными методами квантовой
теории углового момента [21]. Ряд общих формул такого типа для 7(3)
получен в работе [248].
§ 4.2. Тензор линейного рассеяния '
и двухфотонные переходы на свободных атомах
В настоящем параграфе мы рассмотрим переходы между
дискретными уровнями Ю и | /> свободного (не находящегося во внешнем
поле) атома с участием двух фотонов, частоты которых ю1 и со2
различны. При рассмотрении двухфотонных процессов
электромагнитное поле будем считать квантовым, что позволяет с единой точки
зрения рассматривать как спонтанные, так и вынужденные
переходы. Векторный потенциал фотона с поляризацией е и волновым
вектором к
Ак, е (г, 0 = УШ^Г е exp [i (кг — со/)], | к | = со/с, (4.5)
где W — объем квантования. Предполагая в дальнейшем
выполненным условие дипольного приближения (ka <^ 1, а — радиус
89

атома), оператор взаимодействия атома с полем, описываемым
потенциалом (4.5), запишем в виде суммы двух членов,
соответствующих испусканию и поглощению фотона:
V=V+ + V- = iK2tt(o/^{(e*d)a+ — (ed) a}, (4.6)
где d — дипольный момент атома; я+, а — операторы рождения
и уничтожения, действующие на фотонные числа заполнения.
Поскольку двухфотонным переходам соответствуют диаграммы
Фейнмана вида
COi C02i SCO2 COj
амплитуда процесса определяется составными матричными
элементами второго порядка оператора (4.6) между начальным и конечным
состояниями системы «атом + фотоны», волновая функция которой
есть произведение атомной волновой функции i|)n (г) и волновой
функции поля в представлении чисел заполнения \N^lttl9 Nk2fe2>.
Порядок расположения операторов рождения и уничтожения в
вершинах графиков, а также числа заполнения в начальном и конечном
состояниях определяются типом рассматриваемого перехода. Двух-
фотонные переходы в дискретном спектре могут быть трех типов.
1. Процессы с переизлучением фотонов (фотон кх поглощается,
к2 — испускается). Если энергии начального и конечного
состояний атома одинаковы, то щ = со2 (релеевское рассеяние). Если же
энергия атома изменяется в процессе рассеяния, то имеем дело со
стоксовым (со2 < wi) или антистоксовым ((о2 > сох) комбинационным
рассеянием.
2. Процессы с излучением двух фотонов, которые могут
соответствовать как спонтанному двухфотонному распаду
возбужденного уровня (этот процесс является основным механизмом разрядки
метастабильных состояний, однофотонный распад которых на
нижележащие уровни запрещен правилами отбора), так и вынужденному
распаду: под действием потока фотонов кх атом излучает еще один
такой же фотон и «рассеянный» фотон с частотой со2 = Еь — щ — Ef.
3. Двухфотонное поглощение (Ef = Et + щ + со2), которое
является, очевидно, вынужденным процессом и требует для своего
наблюдения значительных плотностей потока фотонов к± и к2.
Используя известные выражения для матричных элементов
операторов а и а+ [12]
<^к,е|Ь+|^к.е-1>=<^М-1|2|^к,е> = 1/"^е, (4.7)
90

легко отделить зависимость амплитуды перехода Aif от фотонных
чисел заполнения (наличие множителя %*—\12 в (4.6) приводит к
зависимости аМПЛИТуДЫ ЛИШЬ ОТ ПЛОТНОСТИ фоТОНОВ /Zk.e = NkJV).
Угловая и поляризационная зависимости определяются
выражением
%eihehCik(<ol9—со2), i,k = x,yyz, (4.8)
где Cih (©!, — со2) = {f\{diGEi+^dh + dkGEi-vtdi}\i> ~ составной
матричный элемент второго порядка. Здесь рассматриваем для
определенности процессы типа рассеяния. Для случаев 2 или
3 в (4.8) следует заменить ех —►- ej, а>1 ->- — (£>1 или е^ ->• е2, — о>2 ->•
->- (о2 соответственно. Матричные элементы С^ образуют тензор
второго ранга по индексам i> ky называемый тензором линейного
рассеяния, который зависит лишь от частоты света и структуры
конкретного атома (индексы начального и конечного состояния атома в Cik
для краткости опускаются). Заметим, что при |i> = |/> тензор
рассеяния совпадает с тензором поляризуемости aik (со) (см. гл. 3),
а также с тензором линейной восприимчивости %ih (— со; со) в*(4.2).
Поскольку начальное и конечное состояния свободного атома
являются вырожденными по проекциям Mi% f моментов Jit Jf,
вероятность перехода после усреднения по начальным и
суммирования по конечным состояниям атома определяется величиной
Tif К, — (о2) = 2 eh elk e2l еш Tiklm, (4.9)
iklm
где
Выражение (4.9) можно представить в виде суммы трех членов,
соответствующих «скалярному» (Г0), «симметричному» (Ts) и
«антисимметричному» (Та) рассеянию [12]:
Tikim = yt° ^ik 6'm + To T$ \il 8hm + 6*m 6/?' —з" 6,'Л Szm)+
+ -g-r«(6lfcelm-6lTOefcI). (4.10)
Величины Т£ являются инвариантными атомными параметрами,
зависящими лишь от частоты. Для получения явного вида Т£
введем приведенные матричные элементы оператора дипольного
момента согласно (3.4). Используя теперь соотношение (3.5), легко
проверить, что
Cih К> — <°г) ± chi К, —со2) = 2 ayj ((оь —соа) х
yj\ / = 0, 1,2
*/Ш{\''>;\с{">"с''::>"п±{-1П (411)
91

(a be)
Здесь J . Л — 6-/ символ; yJM — совокупность квантовых
чисел атома в промежуточном состоянии; a^j — приведенный
составной матричный элемент, выражающийся через радиальную
функцию Грина gvj (Е\ г, г)\
<*yj (<*>i. — <°2) = <Jf\\d{gyj (Et +
+ coi) ± gyj (Et - co2)}d||y,>. (4.12)
Используя (4.11) и (4.12), выражения для Т* можно записать
следующим образом:
Т° =
\jf*MitMf
2Jt + l
Т°= -2Jl±l
2Jt + \
i( — l)Jajj(®l9 —(o2)
1 1 1
Jf Jt J
2Jt+l
2<V(<°i, —^2)
v./ I
у J \Jf Ji J
(4.13)
Разложение (4.10) удобно, в частности, тем, что правила отбора
для Т°, Ts, Ta совпадают, как следует из (4.13), с правилами отбора
для матричных элементов скаляра и операторов электрического
квадрупольного и магнитно-дипольного излучения соответственно.
При этом в случае скалярного рассеяния Mt = Mf, так что при ре-
леевском рассеянии скалярная часть полностью когерентна [12].
Угловые и поляризационные зависимости вероятности перехода
следуют из (4.9) и (4.10):
Т» К, - <*2) = (1/3) Г | (eSeJ 12 + (1/6) 7* (1 - | (eSeJ |2) -f
+ (1/10) 7*0 + 1 (ел) 12 - (2/3) | (e?ei) |2}. (4.14)
Ряд примеров расчета угловых и поляризационных
характеристик рассеяния приведен в монографии [12, §61]. Для процессов
типа 2 и 3 имеется связь:
Tif (a>lf (o2) = Tfi (— (olt — (о2). (4.15)
Приведенные матричные элементы (4.12) вычисляются
стандартными методами с использованием конкретного вида связи моментов
в атоме. Так, в наиболее широко распространенном случае LS-связи
a$j К, -со2) = V(2Ji+l)(2J+l)(2lJ+l) х
хЗ^Лсоь-со,)^^
lf Jf S
(4.16)
Ui/iiJ [Jii
где Rfj = (lfJf | r {gu (Et + <©i) ± gu (Et — co2)} r' \ lfJd —
радиальные матричные элементы, которые рассчитываются методами,
рассмотренными в гл. 2. В частности, для водородоподобного
92

атома R вычисляются аналитически в виде комбинации гипер-
геометрических функций 2F\ [29, 51], а в приближении ММП —
в виде быстро сходящегося однократного ряда
гипергеометрического типа (см. § 2.4).
В пренебрежении тонкой структурой вид Те существенно
упрощается. Когда полный момент одного из уровней равен нулю
(lt = 0), то Tif содержит лишь скалярную (lf = 0) или
симметричную (lf = 2) компоненты:
при lf = 0
T* = T° = 0, 7o=(l/9)|/?/t=1(co1, -со2)|2;
при lf = 2
То = Т° = 0, Т* = (2/45) | Rt= 1 К, -щ) |2.
(4.17)
Приведем теперь выражения для вероятностей различных
процессов и их связь с Tif.
1. Спонтанное релеевское рассеяние. В этом случае рассеянные
фотоны в начальном состоянии отсутствуют (Л/'к,,е2 =0) и
дифференциальное сечение рассеяния в направлении к2 определяется
формулой Крамерса—Гейзенберга [12]
da/d£ik = rWTif (со, —о), (4.18)
где г0 = еУтс2 — классический радиус электрона.
Как уже отмечалось, для водородного атома в нерелятивистском
приближении величины Rt вычисляются аналитически с
использованием кулоновской функции Грина. Так, для когерентного
рассеяния на nS-уровнях (/1=1,2) [51, 164]:
d° r§|eie2|2
dQ
У 2{nVi)2 2FJ\y _l_Vl;3-vt
2
(4.19)
где vlf2 = ZlV—2 (En ± со). На рис. 4.1 приведена зависимость
сечения рассеяния на основном состоянии от частоты. В предельных
случаях низких (со -> 0) и высоких (со > | Еп |) частот формула для
do существенно упрощается:
doи (со -* 0)/dQk = (81 /4) r% со' | е^ |2; ) (4 20>
rfa(co^>|£n|)/dQk = rg|e1-e2|2. J
Последнее выражение совпадает с сечением классического томсонов-
ского рассеяния.
Дисперсионная зависимость сечения для неводородоподобных
атомов имеет вид, аналогичный рис. 4.1, с резонансными
особенностями при частотах, совпадающих с собственными частотами атома.
Сечение существенно зависит от квантовых чисел рассматриваемого
93

Таблица 4.1
Частотная зависимость сечений релеевского
и комбинационного рассеяния
в IS- и 25-состояниях водорода
Длина волны,
А
10 600
10 000
9 000
8 000
6 934
6 570
6 550
6 000
5 000
°IS-\S, см2
4-Ю-29
5
9
1,6
2,8
3,1
3,3
5,2
Ю-29
Ю-29
10-28
Ю-28
Ю-28
Ю-28
Ю-28
7,4.Ю-28
02S-2S> см*
7,5.10-2»
1,Ы0-2в
2,3-Ю-25
7,0-Ю-24
1,0-10-23
2,6-Ю-20
8,2-Ю-21
3,5-10-2*
8,0-10-26
*2S-HS. см*
1,2-Ю-23
1,3
1,6
2,4
1,3
2,0
6,0
7,1
Ю-23
Ю-23
Ю-23
10-22
ю-19
Ю-20
ю-24
2,2-10-23
уровня. В табл. 4.1 приведены для сравнения сечения рассеяния
в IS- и 25-состояниях водорода в интервале длин волн от 5000 до
10 600 А.
0,1 0,2 0,3 0,38 0,400,42 0,44 0,45 0,46б),а.е
Рис. 4.1. Сечение когерентного рассеяния на 1S-
уровне атома водорода. Для удобства в каждом
промежутке между полюсами выбран свой
масштаб, указанный на рисунке
При рассеянии на состояниях с J = 0 сечение непосредственно
связано с поляризуемостью уровня ап (со):
do/dQk = rj|an(©)|2©4|(e1-e2)|2.
Для состояний с J ф 0 связь а с ап усложняется из-за наличия
в^амплитуде рассеяния «некогерентных» слагаемых, учитывающих
94

изменение проекции момента Mj в процессе рассеяния. Заметим,
однако, что величины Т1 в (4.13) при Jt = Jf с точностью до
множителя совпадают с квадратами поляризуемостей а5, ат и аа,
введенными в гл. 3.
Характерной особенностью о (со) является наличие «частот
прозрачности» соь при которых сечение падает до нуля. Величина cof
зависит от структуры конкретного атома и определяется
интерференцией вкладов различных виртуальных состояний в сумме по
промежуточным состояниям для Rt. Например, для атома водорода
(рис. 4.1) первые три нуля соответствуют частотам*:
о)! = 0,429538 а. е\ со2 = 0,463438 а. е\ со3 = 0,472468 а. е.
2. Комбинационное рассеяние (КР). Как следует из (4.6)—(4.9),
квадрат составного матричного элемента для рассеяния [с учетом
усреднения по ориентациям атома в (4.9)] имеет вид
I M\f> Г = У'* У' Т1{ (щ, -о,). (4.21)
Спонтанному КР соответствует Nu2e2 = 0, и дифференциальное
сечение рассеяния в элемент телесного угла dQ2 определяется
следующим образом:
= М;Т,,/(ю1> -Щ)(№2, (4.22)
где F± = cN\iXtJV — плотность потока падающих фотонов.
Если Nk2e2 Ф 0, то наряду со спонтанным КР возможно
вынужденное рассеяние (ВКР), сечение которого определяется
выражением (угловое распределение в этом случае отсутствует,
поскольку рассеянный фотон имеет фиксированные величины е и к):
а», = Ц- I Mf |2 б (©„ + ©!-о2) = (2л)3 кг К F2 Tif К, -щ)Шу^
(4.23)
где б-функция заменена нормированной лоренцевой формой линии
с шириной 7i/> определяемой естественными ширинами состояний
| /> и |/>. Таким образом, между сечениями КР и ВКР имеется
связь: о<в> = (2XlF2/yif) (da/dQ), 12 = 2лс/ы2. ВКР играет важную
роль в нелинейной оптике как способ усиления излучения на
частоте со2 [14]. Характеристикой усиления служит коэффициент
усиления G = NoW (N — плотность атомов), определяющий экспо-
* Знание положения нулей (Oj существенно, в частности, при
исследовании аналитических свойств амплитуды рассеяния в комплексной плоскости
энергии [ 188].
95

ненциальное нарастание интенсивности / излучения на частоте со2
I/ (г) « / (0) exp (Gz) при Gz< 1] в нелинейной среде.
Спектроскопия спонтанного рассеяния света в атомарных газах
представляет значительный интерес для развития методов
диагностики газового разряда и плазмы. Процесс спонтанного КР в атомах
впервые наблюдался Платцем [218] для перехода 63Р2-^&Рг
в ртути в поле излучения второй гармоники неодимового лазера.
Сечение антистоксова КР излучения основной гармоники
неодимового лазера на переходе 25 -^ IS в дейтерии измерено в работе
1146]. Сечение стоксова и антистоксова КР и поляризационные
характеристики рассеяния для трех частот аргонового лазера Я=4579А,
4880 А; 5145 А в атомах Al, In, Ga и Т1 измерены и рассчитаны в
работах [237 — 239], где обсуждаются также возможности
использования КР для спектроскопии газового разряда.
Первые наблюдения вынужденного стоксова [222] и
антистоксова [232] КР в атомарных газах были выполнены в 1967 г. в парах
щелочных металлов с использованием излучения с частотами,
близкими к частоте резонансных переходов n2S\/2— я2^1/2,з/2*.
Наличие промежуточного резонанса существенно увеличивает
сечение ВКР, что позволяет проводить исследования при достаточно
низких интенсивностях излучения. В последние годы приобретают
интерес процессы нерезонансного ВКР под действием интенсивных
потоков лазерного излучения, позволяющие получить
значительные интенсивности стоксовой (или антистоксовой) компоненты. Так,
в работе [243] измерены характеристики стоксова ВКР под
действием излучения рубинового лазера на переходе 62Pi/2 — 62Рз/2
в атоме таллия (cos = 6607 см'1, минимальная расстройка
промежуточного резонанса составляет 12 000 см~1) и достигнут
коэффициент преобразования в стоксову гармонику порядка 12%.
Значительное усиление антистоксова ВКР при переходе из метастабиль-
ного 52Pi/2 в основное 52Рз/2 состояние иода (АЕ = 7604 см'1)
в поле неодимового лазера получено в работе [150].
Аналогично (4.19) сечение КР 2S ;~MS в водороде может быть
вычислено аналитически [51] [как следует из (4.17), Tif в этом
случае содержит лишь скалярную часть]:
do^Z2s = 2*_ Г2 ^ | (ei ег) р х (4<24)
\£х 4-v? L l+vi2 I (l+vj)(2 + Vi) У J J'
где v1)2 = Ziy— 2 (Et ± co12). Сечение антистоксова рассеяния
2S->• IS для ряда частот приведено в табл. 4.1. На рис. 4.2
показана дисперсионная зависимость сечения стоксова КР 1S->2S
* См. также относящиеся к этому вопросу экспериментальные работы
36

[51, 225]. В отличие от релеевского рассеяния (4.20) сечение КР при
больших частотах (о^, со2 > |Et|, \Ef\) быстро падает:
dals ^ 2S/dQ = (2/9) rg | (e2, e2) 12/со4,
где о)х « со2 « со.
При КР на уровнях с lu lf Ф 0 выражение для Tif и
поляризационные зависимости усложняются. При рассеянии на нулевой угол,
определяющем процессы ВКР, формулы для Tif (<х->- р) в (4.22),
20
4f0
£ 4
«? о
N -2
ъ
-а /
0
/
/
/
/
" J
1 f^l L
1 1
\ /
\ /
\ /
\ /
У У
\ 1
1 1
\ /
\ /
\ /
V
\\У,\
0,38 0,40 0£2 0^4 0,45 0,46 0,470 0/f 72 а,а.е
Рис. 4.2. Сечение комбинационного рассеяния
в водороде для перехода 15—25.
Обозначения те же, что и на рис. 4.1
соответствующие различным поляризациям падающего (еа) и
рассеянного (ер) фотонов имеют вид [см. (4.14)]:
Tif (х-^х) = (1/3) Т° + (2/15) Г5;
Tif(x-+y) = (1/10) Т* + (1/6) Г«;
Г|/(+-*-) = 0/5) Г';
Г«/ (+-*+) = (1/3) Т° + (1/30) Г5 + (1/6) Та.
В частности, для переходов п2Р\/2 ^± я2Яз/2, исследованных в
атомах Т1 и I, и перехода 63Р2-^63Р1 в ртути имеем из (4.13):
Г°=0;
Г- - (5/27) | RI 1/2 К, -ш2) + (1/5) Rif 3/2 К, -о>2) |2;
7* = (1/27) |/?оР 1/2(0),, _<о2)-#2\ з/2 К, -о)2)|2,
где Rjfr определены в (4.16). На рис. 4.3 приведены
дисперсионные зависимости S = (1/5) Гоа^согТ5 и А = (1/6) /-oo^coiT0 для
перехода 63Р2->- 63Pt в ртути, рассчитанные в приближении ММП
[99]. Значения S и А в атомах Tl, I, Hg на характерных лазерных
частотах содержатся в табл. 4.2. Отметим, что сечения рассеяния для
атомов таллия при со = сод и иода при со = со#, измеренные в
работах [150, 243], удовлетворительно согласуются с расчетными.
4 Зак. 2208
97

Таблица 4.2
Параметры симметричного S и антисимметричного А рассеяния в атомах
для лазерных частот
ю,
см-1
9 440
14 400
18 880
28 800
Tl, 6«P,/t *6*Ps/t
S,
см* 1 стер
2,9-Ю-зо
3,84-10-28
4,25-10-27
1,46-Ю-26
А,
смг/стер
2-10-32
8,9-Ю-зо
2,45-10-28
3,40-10-2в
I, 5*Р,/2—у5« />a/f !
5,
см2/стер
5,47-10-29
2,02-10-28
0,37-10-28
3,7-10-27
А,
см*/стер
610-31
4,2-10-зо
1,77-10-29
2,81 10-28
Hg, 63Р,—►б3/*!
S,
смг/стер
3,4-10-27
4,6510-2в
3,7-10-24
4,08.10-2»
А,
см* /стер
1,4-10-28
5,5-10-27
1,2-10-2*
7,0-10-2*
75Л №
Ofi
U
1,6 2,0 2fi 2,8 ы,10*см-1
Рис. 4.3. Частотная зависимость параметров симметричного
( ) и антисимметричного ( ) рассеяния на атоме ртути
3. Двухфотонное излучение и поглощение. Аналогично (4.21),
квадрат составного матричного элемента, соответствующего
излучению двух фотонов, имеет вид
wf>yD^^Wf((^ _Шг)_ (4.25)
98

Если оба фотона излучаются спонтанно (Л^ее = 0), то вероятность
излучения в заданный элемент телесных углов dQ
dWif = 2n j I М\? |2 6(£,—£,—©!—©„)
(2д)з (2л)з
dk» =
= Tif(— ©!, —0)2) i*lMLrfQ dQ do)
(4.26)
Процесс спонтанного распада определяет, в частности,
затухание метастабильного 251/2-состояния водорода и изучался
экспериментально как для чисто водородного
атома [191], так и водородоподобных
ионов. Выражение для Ти в случае
атома водорода имеет тот же вид, что и для
КР (4.22) с заменой —©х ->- ©х. На
рис. 4.4 приведен график функции / (©),
определяющий спектр фотонов,
полученный из (4.26) интегрированием по
Qly Q2 и суммированием по
поляризациям фотонов [58]:
dW
2S-
211a*Z* mc2
39я h
/(©Jd©!. (4.27)
0,1 0,2 0,J о)/\Е^Е1$\
Рис. 4.4. Спектр фотонов
при двухфотонном распаде
25-И5 в атоме водорода
Полная вероятность распада в
единицу времени W2s -» is « 8,226Z6 сек'1
хорошо согласуется с
экспериментальными данными.
Под действием внешнего
электромагнитного поля, кроме спонтанного
распада, возможен также вынужденный распад возбужденных
состояний [249]. Впервые вынужденный распад наблюдался Ят-
сивом и др. [246] в калии при наличии промежуточного
резонанса. Нерезонансный распад ^-состояния водорода в поле нео-
димового лазера с излучением «вынужденного» фотона частотой
©! = ©# и фотона с частотой ©2 = ©2S, \s — ®n
экспериментально исследован в работе [145], в которой измерялось число
спонтанных фотонов ©2. Сечение вынужденного распада
do»f - dWb'F, = kxklTif (- ©^ - ©2) dQ2,
(4.28)
где Fx = cNb^JV, определяется той же формулой, что и
сечение КР, с той лишь разницей, что Tif соответствует процессу
испускания двух фотонов. Обычно сечение антистоксова рассеяния
(©2 = Et + ©f — Ef) больше <7В как из-за большого значения
©2, так и из-за увеличения матричного элемента Т (©х, — ©2).
Так, в указанном выше случае 2S ->- lS-распада водорода
отношение сечений акр/ав « 7.
4*
99

Вероятность вынужденного распада под действием излучения
двух различных частот щ и со2, удовлетворяющих условию сог +
+ о)2 = Et — Ef, имеет вид
Wif = 2л | Mi? 12б (cof/ - сох - со2) =
= (2л)3 k1k2FiF2Tif (— wlf — ®д/пуц, (4.29)
где б-функция заменена лоренцевой формой линии, аналогично
(4.23); Fi — плотность потока фотонов с заданными е^ и kf.
Вероятность Wif вынужденного поглощения (Et + coj. + ш2 =
= Еу) определяется также выражением (4.29), причем из (4.15)
следует, что Wif = Wfi, как и в случае однофотонных переходов [12].
Для перехода 2S «-» IS в водороде Tif можно получить из
рис. 4.4, при этом нужно учесть, что / (со) включает
дополнительный множитель (со1со2)3 по сравнению с Tify так что Tif минимален
при щ = (о2. Для примера в табл. 4.3 приведены значения R (o)j),
по которым можно вычислить значения Т° (со19 со2) = | /? (озх) |2,
определяющие вероятности 2со-излучения и поглощения, для
перехода 2XS «-> 6lS в атоме гелия, рассчитанные в приближении ММП.
Таблица 4.3
Частотная зависимость R (щ) для перехода 215±^:615 в атоме гелия
(\E2S — E6S 1=28837,4 см-1: 7° (cOi, 1 — сох) = | Л (0>i) |2)
©1*
\*ъш-Еи '
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0/14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
R (g>4), а. е.
— 2738
—28563
161,9
— 195,2
—368,8
— 1189
201,7
—306,7
275,6
71,09
15,91
— 17,44
(Dj
'E2S-^S I
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
tf(Q)i), a. e.
— 51,13
— 108,4
—472,6
333,2
119,6
72,27
53,04
42,26
35,78
31,41
28,57
27,13
26,66
Полученные выражения для вероятностей справедливы лишь для
переходов под действием слабого монохроматического поля.
Эксперименты такого типа проводятся методами двухфотонной лазерной
спектроскопии с использованием излучения перестраиваемых лазеров
на красителях [219]. Учет возмущения спектра в интенсивном поле
и немонохроматичности излучения реальных источников может
существенно изменить вероятности резонансных переходов (см. § 4.6).
100

§ 4.3. Резонансное рассеяние
Полученные в предыдущем параграфе формулы для сечения
рассеяния света на атоме становятся неприменимыми в том случае, когда
частота излучения совпадает с одной из характеристических частот
атома. Хорошо известным приемом, устраняющим возникающую
бесконечность, является добавление в соответствующий знаменатель
мнимой величины, которая учитывает возможную вероятность
спонтанного распада возбужденного атомного состояния. Получаемая
при этом формула для резонансного рассеяния атомом
электромагнитного излучения, найденная впервые Вайскопфом и Вигнером
[244], имеет следующий вид:
Величина Т~\ при этом имеет смысл времени жизни резонансного
состояния | п >, если она значительно меньше времени жизни
уровней IO и |/>, что здесь предполагается. Формулы типа (4.30)
широко распространены в многочисленных приложениях квантовой
теории рассеяния. В частности, в теории поглощения ядрами
резонансных нейтронов аналогичное выражение для сечения известно
как формула Брейта—Вигнера,
Выражение (4.30) описывает рассеяние атомом
монохроматического излучения частотой coj. Если же падающее излучение не моно-
хроматично, положение несколько усложняется. Подробный
анализ, изложенный в книге [12], показывает, что спектр рассеянного
излучения определяется относительной шириной спектра
падающего излучения, которую обозначим х-1 (т — длительность
возбуждающего импульса), и шириной резонансного уровня Гп. При
ГдТ > 1 — высокой степени монохроматичности падающего
света — рассеянное излучение обладает узким спектром, его ширина
значительно меньше ширины резонансного атомного уровня.
Очевидна связь этого факта с законом сохранения энергии для
рассеянного излучения.
В противоположном предельном случае широкой возбуждающей
линии Гпт <^ 1 спектр рассеянного излучения сужается по сравнению
с падающим, его ширина оказывается порядка Гп. Это
обстоятельство также совершенно понятно, поскольку наиболее интенсивно
рассеиваются атомом те фотоны из падающего пучка, частоты
которых не более чем на величину ~ Гп отличаются от центральной
частоты атомной линии поглощения. Остальные фотоны рассеиваются
с меньшей вероятностью, в результате чего монохроматичность
рассеянного излучения повышается.
Таковы основные результаты теории резонансного рассеяния
Вигнера—Вайскопфа. Неприменимость этой теории для описания
рассеяния атомом мощных световых потоков объясняется тем, что
в ней фактически предполагается взаимодействие атома в процессе
рассеяния одновременно не более чем в одним фотоном. Такое пред-
101

положение позволяет описывать это взаимодействие в рамках
теории возмущений по параметру а « 1/137 и ограничиваться
первым неисчезающим приближением в рассматриваемом случае —
вторым.
Однако для достаточно интенсивных световых потоков, когда
необходимо учитывать взаимодействие атома сразу с несколькими
квантами, такое приближение может оказаться неоправданным,
поскольку малость параметра а компенсируется большим числом
одновременно взаимодействующих с атомом фотонов.
Соответствующему обобщению теории посвящено много работ различных авторов.
В первую очередь здесь следует назвать работы [73, 97, 108, 110, 133].
Поскольку уже при слабых световых потоках степень
монохроматичности излучения существенно влияет на характеристики
рассеянного излучения, учтем возможную немонохроматичность и в случае
интенсивных потоков. Для качественного выяснения основных
особенностей явления примем простейшую модель детерминированного
немонохроматического поля, когда огибающая светового импульса
описывается выражением
{»впри0</<т
10 при /<0,/>т.
Для рассматриваемой задачи импульс такой формы применялся в
работе [1791. Излучение будем предполагать
квазимонохроматическим: несущая частота о удовлетворяет соотношению сот> 1.
Частотный спектр интенсивности имеет вид
Импульс (4.31) — безусловно идеализированная модель,
предполагающая мгновенное включение и выключение поля. Однако в
соответствии с проведенным в § 1.3 рассмотрением, такая модель
может быть обоснована, если период плавного изменения амплитуды
поля от нуля до #0 и обратно достаточно мал.
В § 1.3 было подробно изучено поведение двухуровневой системы
в поле резонансной частоты. Обозначим, для возможности
использования полученных там результатов, |/> = | 1> — начальное
состояние атома, | лг> = 12> — резонансное состояние. Считаем,
что до включения поля при К 0 атом находится в состоянии 11>
с единичной вероятностью. Применяя формулы (1.47), для
коэффициентов разложения а и Ь волновой функции атома в поле по
волновым функциям стационарных состояний ЧГ (/) = a (t) 11> +
+ b (t) |2>, получаем
At . Л . At
COS 1 — Sin
2 Л 2
(S)-*[-t'-'(*-t)']
(4.32)
. v . . ., . At
— i — exp (— ico/) sin —
Л ^x } 2
102

где t предполагается лежащим в интервале (0, т), а величина и,
которую можно сделать действительной надлежащим выбором фаз
волновых функций, определяется матричным элементом оператора
дипольного момента атома v = — 2 <1 |#0 • d |2>. Величина А
определена в (1.45). При t > т, после прекращения действия поля
изменение со временем атомной волновой функции происходит
согласно формуле
/expl-i^-x)]^) \
По общим формулам квантовой механики интенсивность
электрического дипольного излучения на частоте Q, обусловленная
переходами квантовой системы между состояниями аир,
произвольным образом зависящих от времени, имеет вид
/ (Й) = (2Й4/Зл) | dap (Q) |2, (4.34)
где dap — фурье-образ матричного элемента оператора дипольного
момента для соответствующего перехода
оо
dap (Q) = J V$ (t) dVa (t) exp (iQO dt. (4.35)
—00
В формуле (4.34) проведено суммирование по возможным
поляризациям излученных фотонов.
Применим формулы (4.34) и (4.35) к интересующей нас задаче.
Предположим, что из состояния |2> возможен разрешенный
переход в некоторое состояние |3>. Поскольку состояния | 1> и 12>
связаны электрическими дипольными правилами отбора, переход
между состояниями |1> и |3> в этом случае запрещен.
Возмущение уровня |3> падающим излучением мало и может не
учитываться, так как резонансы между этим состоянием и всеми другими
уровнями атома на частоте сильного поля со предполагаются
отсутствующими. Такая постановка отвечает резонансному
комбинационному рассеянию мощного света на атоме (рис. 4.5).
Пренебрегая конечностью времени жизни состояния |3>, так
как в противном случае спектр излучения на переходе 2—3 зависит
от дальнейших переходов атома из состояния |3> [12], после
подстановки (4.32) и (4.33) в (4.35) получаем:
d23(Q) = -^<3|d|2>{-i-p
х—6/2 + Л/2-НГ/2
exp[i(x—6/2—Л/2)т— Гт/2] — 1 ] , . Лт / Гт
и—6/2—Л/2 + 1Г/2
со-
"~-Г2/2
j + sin_exp^-— )x
X e-^-i(<0+_£ir6/2)Tl}. (4.36)
103

Здесь х = Q — (£2 — £"з)- Как видно, фурье-образ матричного
элемента дипольного момента атома обладает тремя максимумами,
расположенными в точках х = 6/2 ± Re (Л/2) и х = 0. Выясним
физический смысл и относительное значение каждого максимума.
Проще всего может быть проанализировано последнее слагаемое
в (4.36). Соответствующее ему излучение обладает формой спектра
излучения невозмущенного атома на переходе 2—3 и связано с
радиационным распадом атома из состояния 2 уже после ухода
импульса сильного поля из объема, занимаемого атомом. Именно этой
временной областью интеграла,
определяющего d (Q), обусловлено
г возникновение последнего слагае-
\^ мого.
o)2i ^ J Коэффициент sin (Лт/2) х
X ехр (Гт/2) определяет амплитуду
вероятности обнаружения атома в
состоянии 2 после ухода импульса
Рис. 4.5. Схема резонансного ком- [сравни выражение (1.48)]. Легко
бинационного рассеяния видеть, что заметный вклад в
полное излучение невозмущенная
линия будет давать лишь при
1\,2Т < 1» так как за время действия сильного поля атом не
успевает полностью распасться. В наиболее простом пределе
короткого импульса rlt 2т <S 1 можно положить ехр (—Гт) » 1 и прене
бречь в аргументе синуса мнимой частью Л. Тогда без учета
интерференционных членов, которые в рассматриваемом пределе малы,
//оч 2Q4 о» | <31 d -| 2> |« sin« (Хт/2) ,437)
К) ЗД [(и2 + Х2__72)2+4б2Т2]1/2(х2 + Г2/4) ' У' '
где X = Vv2 + б2.
Тот факт, что в (4.37) имеется разность ширин уровней у = Гх —
— Г2, связан с неучетом способа возбуждения уровня 1. Поэтому,
оставляя в результате 1\, мы превышаем его точность, и в
дальнейшем следует принять, что 1\ <^ Г2. Это неравенство является
типичным для атомов в оптическом диапазоне.
Интегрируя (4.37) по всем возможным частотам й, получаем
полную интенсивность
i = bwda*±SL *i<3idi2>P»tf<wy (4!з8)
J 3 Г2 [(и2 + 62 —Г|)2+4б2Г1],/2 V
о
В пределе слабого поля v-*0 знаменатель формулы (4.38)
определяет дисперсионную зависимость сечения резонансного
рассеяния Вигнера—Вайскопфа [12]. Однако полная интенсивность
комбинационного рассеяния есть осциллирующая функция
интенсивности возбуждающего излучения, содержащаяся в параметре Я,

поэтому формула Вигнера—Вайскопфа является лишь первым
членом разложения осциллирующей функции в ряд по силе поля*.
Физическая причина таких осцилляции очевидна и связана с
периодическим изменением в поле населенностей двухуровневой
системы. Максимальные значения, возникающие при Ят/2 = (я/2) X
х (2п + 1), п — целое число, аналогичны известным в нелинейной
оптике (я/2)-импульсам, после прохождения которых система с
вероятностью 1 оказывается в верхнем состоянии, а минимальные
значения, возникающие при Хт = 2шг, — л-импульсам, после
прохождения которых система полностью остается на нижнем уровне. С я-
импульсами связано явление самоиндуцированной прозрачности,
когда в результате когерентных переходов импульс проходит через
резонансную среду без поглощения [206].
Осцилляции вероятности флуоресценции, возбуждаемой
лазерным излучением в пучке атомарного рубидия, наблюдались
экспериментально в работе [165а].
Отметим еще одну особенность формулы (4.38). При v2 > П
в центре линии поглощения 6Г2 С ^2» ширина резонансного
сечения определяется не шириной резонансного уровня Г2, а
интенсивностью возбуждающего излучения / ~ (б2 + и2) ~х. Но как и в
случае слабого поля с широким спектром, в сильном поле спектр
рассеянного излучения обладает шириной резонансного уровня Г2, что
непосредственно следует из формулы (4.37).
Таким образом, при рассеянии на атоме мощного импульса с
большой немонохроматичностью (Гт <С 1) при увеличении
интенсивности поля вероятность комбинационного рассеяния становится
осциллирующей функцией, а сама резонансная кривая уширяется и
требования на точную настройку частоты сильного поля в резонанс
с характеристической атомной частотой ослабляются. Что касается
спектра комбинационной линии, то он в этом предельном случае от
интенсивности возбуждающего излучения не зависит.
Рассмотрим теперь случай, когда излучение обладает узким
спектром, так что длительность импульса значительно превышает
время жизни атома: Г12т> 1. Опуская экспоненциально малые
члены, получаем
d23 (Q) = b<3|d|2> . (4.39)
23 V ' (х-6/2-Л/2 + *Г/2)(и-6/2-Л/2 + 1Г/2)
Спектр рассеянного излучения состоит из двух линий,
расстояние между которыми определяется действительной частью Л. Для
выяснения происхождения этих линий рассмотрим предел слабого
поля. При v -> 0, опуская у2 в Л и в явном виде выписывая значения
* После такого разложения интенсивность комбинационного рассеяния
остается осциллирующей функцией расстройки. Однако такая зависимость
при v -► 0 имеет случайное происхождение, обусловленное выбранной здесь
формой импульса, тогда как зависимость от интенсивности носит общий
характер [49].
5 Зак. 2208
105

6 и х, легко получить результат теории резонансного рассеяния Виг-
нера—Вайскопфа [12]:
d23 (Q) « iJL<hlll> : . (4.40)
[Q_(0_(£1_£3) + ir1/2][Q-(£2-£3) + ir2/2]
Это выражение, как и в общем случае поля произвольной
напряженности, также обладает двумя максимумами, имеющими
следующую интерпретацию. Линия, максимальная частота которой йх =
= Ег + со — Е3 [первый знаменатель в (4.40)], соответствует
резонансному рассеянию, происходящему без реального заселения
уровня 2 на первом этапе процесса, после поглощения фотона частоты со.
Уровень 2 заселяется при этом лишь виртуально, так что его
энергия и ширина не определяют рассеянное излучение. Ширина
рассеянной линии, обусловленной этой частью амплитуды, зависит
только от неопределенности энергии атома в начальном состоянии,
т. е. определяется значением Гг.
Вторая линия, максимум которой приходится на частоту Q2 =
= Е2 — Е3 [второй знаменатель в (4.40)], имеет прямо
противоположное происхождение, а именно связана с реальным заселением
уровня 2 в результате поглощения фотона со, так что
неопределенность в энергии этого уровня Г2 определяет ширину спектра
рассеянного излучения.
Наблюдаемые в действительности фотоны комбинационного
рассеяния, конечно, не связаны с чистыми процессами первого или
второго рода, описанными выше, уже в силу их интерференции.
Поэтому изложенная интерпретация в значительной степени условна,
однако она может помочь пониманию физического содержания
явления.
С этой точки зрения довольно просто понять положение и в
сильном поле. При малых v обе линии, о которых шла речь, обычно
перекрываются, так как с точностью до величины порядка 1\ + Г2
со « Е2 — Ег. Но при увеличении v может происходить значительное
расщепление линий. Действительно, после включения поля атом,
находившийся до этого в состоянии 1, оказывается представленным
в виде суперпозиции двух КЭС, возникших вследствие резонанса
1—2. После этого он может излучать фотоны с переходом в
состояние 3 как из нулевой квазиэнергетической гармоники КЭС Wlf
так и из первой положительной гармоники КЭС ¥2. Расстояние
между соответствующими значениями энергий фотонов определяется
минимальной по модулю со разностью квазиэнергий состояний ^¥t
и Тг, что, как и следует из (1.45), определяется значением Re Л.
Ширины обеих линий также оказываются зависящими от
интенсивности возбуждающего излучения в силу наличия у Л мнимой
части. Связано это обстоятельство с выравниванием по мере роста
v времен жизни уровней 1 и 2 из-за вынужденных переходов между
ними под действием сильного поля. При и-*- оо обе рассеянные
линии обладают, согласно (4.39), одинаковыми ширинами, равными
средней ширине Г уровней 1 и 2. Если же равенство времен жизни
106

резонирующих уровней имеет место с самого начала, то зависимости
ширин рассеянных линий от напряженности внешнего поля быть
не должно. И действительно, в этом случае при 1\ = Г2 мнимая
часть Л равна нулю.
§ 4.4. Нелинейные процессы
релеевского типа и классические
электро- и магнитооптические явления
Перейдем к рассмотрению процессов нерезонансного рассеяния
высших порядков, определяемых тензором %ihlm в разложениях
(4.1) и (4.2). Как и в случае переходов второго порядка, по
характеру частотного спектра рассеянного излучения рассматриваемые
процессы можно разделить на две группы:
1) рассеяние релеевского типа, при котором частота
рассеянного излучения совпадает с частотой падающего, и в результате
рассеяния изменяются пространственные и поляризационные
характеристики волны (состояние атома при этом не меняется);
2) процессы рамановского типа, при которых спектр
рассеянного излучения содержит частоты, отличные от частоты падающего.
Поскольку в отличие от классического релеевского рассеяния
сечение спонтанного релеевского рассеяния в высших порядках
ничтожно мало*, при исследовании процессов релеевского типа в
атомарной среде представляет интерес лишь изменение
поляризационных свойств волны (рассеяние на нулевой угол) вследствие
анизотропии показателя преломления газа, возникающей под
действием внешних полей или индуцированной полем самой волны.Так,
анизотропия, индуцированная постоянным электрическим или
магнитным полями, приводит к хорошо известным эффектам Керра,
Фарадея и Коттона—Мутона [24]. С развитием лазеров
значительный интерес приобретает так называемый высокочастотный, или
оптический, эффект Керра [147], при котором двойное
лучепреломление возникает под действием интенсивного лазерного поля на-
->
качки $ (t). При этом, как показано ниже, в зависимости от харак-
-»■
тера поляризации поля # (t) возникают новые эффекты. Кроме
того, при распространении интенсивной эллиптически-поляризован-
ной волны в изотропной среде возникает самоиндуцированное
вращение эллипса поляризации, обусловленное разностью показателей
преломления п± для левой и правой циркулярных составляющих
волны.
Так как изменение поляризационных характеристик удобно
описывать на языке параметров Стокса, рассмотрим изменение их
для волны, распространяющейся в изотропно поляризующемся ато-
* Например, для процесса с переизлучением двух фотонов а ~ rga4
а для рассеяния при наличии статического поля # a ~ /"о($/$ат)2«
5* 107

марном газе. В этом случае отсутствует температурная зависимость
показателя преломления, характерная для молекулярных газов
и жидкостей, и явления двойного лучепреломления и вращения
плоскости поляризации определяются не зависящими от температуры
константами, связанными с компонентами тензора нелинейной
восприимчивости %iklm.
В общем случае частично поляризованного излучения
поляризационная матрица обычным образом может быть представлена в виде
суммы [77]
Р<* = хД1>41) + *2<#> 42>> (4.41)
где хх + х2 = 1, соответствующей суперпозиции двух
некогерентных эллиптически-поляризованных волн с векторами поляризации
е(1) и е(2). Если орты ортогонального базиса в плоскости
поляризации направлены вдоль главных осей диэлектрического эллипса
среды, то каждому индексу а, (5 соответствует свое значение показателя
преломления па, р. При этом матрица плотности излучения,
прошедшего расстояние z в анизотропной среде,
Ра.в (г) = Рар (0) exp [i . 2л (па — яр) z/X], (4.42)
где рар (0) — матрица плотности на входе в слой (при z = 0)
А,— длина волны.
Совокупность параметров Стокса волны можно рассматривать
как декартовы координаты точки на сфере радиусом Р =
=]/"£! + й + £з» где 0 ^ Р ^ 1 —степень поляризации; £2—степень
круговой поляризации; %г и 13 — степени линейной поляризации
вдоль направлений, составляющих угол 45° с осью х и вдоль оси х
соответственно [77]. Как следует из (4.42), формулы
преобразования параметров Стокса аналогичны формулам преобразования
координат вектора | = {llt l2> 1з} ПРИ поворотах декартовой
системы на угол 2ф = (2nz/X) (пц —п±) вокруг оси £3 и 29 =
= (2nz/K) (n+ — п_) вокруг оси £2 182]. Единым образом эти
соотношения можно записать в общепринятой форме, используя
матрицы Мюллера [100]*
Ъ(г) = М (z) I (0). (4.43)
В случае линейного двойного лучепреломления среда эквивалентна
компенсатору с матрицей
(cos2cp — sin2<p 0\
sin 2ф cos2cp oj- (4.44)
0 0 1/
* Изменение параметров Стокса полностью поляризованного излучения
исследовалось также Аткинсом и др. [130—132] в формализме вторичного
квантования.
108

При круговом двойном лучепреломлении среда эквивалентна
вращателю с матрицей
(cos 29 0 —sin29\
0 10 1. (4.45)
sin 29 0 cos 29/
Рассмотрим конкретные механизмы создания анизотропии
показателя преломления атомарного газа и связь ф и 9 в (4.44)
и (4.45) с компонентами тензоров нелинейной восприимчивости
атомов.
1. Статический эффект Фарадея. При распространении света
вдоль постоянного магнитного поля Н угол поворота главной оси
эллипса поляризации определяется известной формулой Беккере-
ля [24]
9=i^L (ая§ + _ая>_) = я^ ^ш^^2 = упИЯг, (4.46)
А тс2 dw
где в линейном по Н приближении действие магнитного поля
учитывается лишь в изменении энергии атомных уровней (эффект Зеемана);
N — плотность атомов. В случае парамагнитных атомов к
диамагнитному вращению (4.46) добавляется еще парамагнитный член [24],
обратно пропорциональный температуре.
Для расчета постоянной Верде Vn в (4.46) численное
дифференцирование поляризуемости затруднительно и удобнее использовать
следующую формулу, которая очевидна из записи dajdcd через
спектральные суммы:
Vn (со) = яоЛУю irxV (со, со) - T(XV ( - со, - со)], (4.47)
где а — постоянная тонкой структуры;
Т{ак К, <*2) = <п | da G^+co, (rlf r2) GEn+<*2 (г2> г8) dp | п>.
Для Н-атома 7(2) легко вычислить аналитически в виде
комбинации гипергеометрических функций 3F2. Для неводородных
атомов штурмовское разложение g\ (£; г, г') в приближении ММП
позволяет выразить Г(2> в виде быстро сходящегося однократного ряда.
Численные значения V (со) в атомах для ряда лазерных частот
приведены в табл. 4.4. Расчеты для щелочных атомов и гелия
проводились без учета тонкой структуры, которая слабо влияет на
результаты в нерезонансной области частот. Для благородных газов
использовалась схема //-связи. В качестве волновых функций
основных состояний щелочных атомов использованы функции МКД,
в благородных газах — функции ММП. Для водорода и гелия
данные табл. 4.4 хорошо согласуются с экспериментальными и
теоретическими данными [196]. Для остальных инертных газов наши
значения V несколько завышены, что связано с недостаточной точностью
функций ММП для основных состояний атомов с заполненной обо-
109

лочкой прб. Аналогично динамическим поляризуемостям (см. гл. 3)
значения постоянной Верде для щелочных атомов на лазерных
частотах на 3—4 порядка выше, чем у благородных газов.
Таблица 4.4
Постоянная Верде Vnt мкмин1(э-см),
на характерных лазерных частотах
Атом
н
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
Li
Na
К
Rb
Cs
9440 см'1
2,541
0,158
0,74
3,98
7,41
17,3
! 9,3103
1 5,4-103
3,5-104
4,4.104
1,Ы0б
14 400 см'1
6,107
0,369
1,73
9,46
17,8
38,1
1,7.10е
| 7,7-104
3,9-10б
3,2-105
1,3-105
18 880 см"1
10,95
0,641
3,03
16,7
31,6
69,1
3,6-104
1,8.10s
2,8-104
2,8-104
2,3-104
28 800 см'1
29,29
1,54
7,35
41,6
83,6
1,92102
4,4-103
1 9,1-103
5,5-103
6,M03
9,8-103
Выражения (4.46) и (4.47) справедливы лишь вдали от атомных
линий поглощения. Вблизи собственных частот атома угол
вращения 0 нелинейно зависит от Я и определяется расстройкой
резонанса и силой осциллятора резонансного перехода (эффект Макалузо—
Корбино) [24], а в достаточно сильных полях % (со) также и
интенсивностью волны [27, 59а].
2. Статический эффект Керра. В отличие от эффекта Фарадея,
где действие магнитного поля приводит к изменению энергии
атомных уровней уже в первом порядке по Я, при распространении
волны перпендикулярно к направлению постоянного электрического
или магнитного поля анизотропия среды определяется членами
второго порядка, учитывающими изменение как волновых функций,
так и энергий атома. При этом среда приобретает свойства
одноосного кристалла с главной осью вдоль вектора поля и становится дву-
лучепреломляющей.
Как следует из формул (4.43) и (4.44), даже при полном
отсутствии круговой поляризации волны на входе [£2 (0) = 0] при %г (0) Ф 0
можно получить отличную от нуля степень циркулярной
поляризации на выходе. Полагая 1г (0) = 1, £2 (0) = 1з (0) = 0, что
соответствует обычно используемой при наблюдении эффектов
Керра и Коттона—Мутона линейной поляризации излучения под углом
45° к направлению внешнего поля, параметры Стокса на выходе
соответствуют, вообще говоря, эллиптически-пол яризованной волне:
Si (г) = cos 2ф (г); £2 (г) = sin 2ф (г); %3 = 0.
ПО

Отсюда видно, что при z = (2лс + 1) Я/4|/1ц —п±\, к = О, 1, 2, ...,
свет поляризован по кругу, а при z = лсЯ/1/гц — п±\ или г =
= (2/с + 1) Я/2|лц — п±\ — линейно с направлением поляризации,
совпадающим с поляризацией на входе или перпендикулярным
к ней.
Разность п\\ —/z_l, возникающую под действием постоянного
поля <§ (0), записывают обычно через молярную постоянную Кер-
ра Km (рассматривается газ при нормальных условиях):
«|-ij. = Kra-9««(0)/2^m, (4.48)
где Vm — молярный объем. Используя связь нелинейной добавки
Ьпа к показателю преломления с вектором поляризации Ра" в (4.1)
1122]
^-Р(а3' (со) = 2пЬпа 8* (со), (4.49)
"т
где п — линейный показатель преломления (для газа п ж 1),
выражение для Кт можно представить в виде [151]
Кт = -^- {%zzzz (-со; со, 0, 0) -Хадв (-со; со, 0, 0)}, (4.50)
где N0 — число Авогадро; % — составляющие тензора дипольной
электрической восприимчивости.
После интегрирования по угловым переменным в конкретной
схеме связи угловых моментов в атоме выражение для %Шт
приводится к сумме радиальных составных матричных элементов
четвертого порядка. В приближении ММП они вычисляются в виде
тройного ряда гипергеометрического типа (см. гл. 2), который
быстро сходится для частот, меньших потенциала ионизации атома.
Значения yk (со, 0) = %zzzz (— со; со, 0, 0) — %zzyy (— со; со, 0, 0)
для водорода, щелочных атомов и благородных газов приведены
в табл. 4.5. Для водорода результаты совпадают с данными работ
[87, 151]. Значения ук для благородных газов хорошо согласуются
с экспериментальными результатами, полученными в работе [148]
о ф ЭКСП
для излучения гелий-неонового лазера. Так, для гелия ук =
= 35,8 ± 2,9 а. е., 7кМП = 38,1 а. е.у методом вариационной теории
возмущений получается ук = 29,1 а. е. [231]. Для ксенона
рассчитанное ММП значение 7кМП = 8060 а. е., а тксп = 5150 ± 430 а. е.
ММП
Некоторое завышение ук обусловлено теми же причинами, что
и при расчете постоянной Верде в п. 1.
3. Эффект Коттона—Мутона. Двойное лучепреломление в
магнитном поле (эффект Коттона—Мутона) является магнитным
аналогом эффекта Керра и аналогично (4.48)—(4.50) определяется
молярной константой Коттона—Мутона Ст:
п{\-п± = Ст- 9H*/2Wm,
где
Ст= ^{ti„zz(-<o; со, 0, 0)-ъ1УУ(-<о\ со, 0, 0)};
ill

Таблица 4.5
Константы статического (Q = 0) и оптического эффектов Керра Yk №» ю)» а- е-
Q, а. е.
0
0,043
0,06559
о), а. е.
0,043
0,06559
0,086
0,13118
0,043
0,06559
0,086
0,13118
0,06559
0,086
0,13118
н
924,077
974,031
1042,55
1309,8
1011,66
1033,59
1105,95
1392,12
1073,06
1180,91
1497,01
Не
38,0
38,1
38,4
40,1
38,3
38,4
38,8
40,6
39,1
39,4
41,2
Ne
198
202
206
211
206
209
212
220
212
216
226
Аг
1530
1565
1644
1870
1580
1632
1720
1940
1680
1750
1980
Кг
3200
3310
3530
4160
3535
3490
3680
4290
4100
3820
4480
Хе
7 700
8 030
8 540
11010
8 600
8 650
9 640
12 170
9 820
11000
13 320
Li
7,71-10б
6,26-107
8,5-Ю5
—1,0-10Б
1,95.10е
1,75.10*
—1,Ы0б
1,6-10е
-6,7-109
4,7-107
Na
2,08.10е
1,41-Ю7
2,8-107
5,44.10е
4,6.10е
4,75.10'
—5,3.10е
—2,6.105
8,5-Ю7
—8,8.10е
К
1,45-Ю7
8,02-107
7,6-105
—1,8-105
7,7-107
—1,1-10е
1,0.10е
4,5-10*
Rb
1,67-Ю7
8,8-107
3,5-107
4,2-108
4,МО8
—6,3-107
3,0-Ю8 |
3,9.10е
Cs
6,08-107
5,8-108
— 1,2-Ю8
6,2-101*
—2,3-109
6,55-10*
—

r\ — составляющая тензора магнитно-электрической
восприимчивости атома.
Выражения для компонент тензора ц аналогично (4.4) могут
быть получены согласно общей методике Орра и Ворда [152, 216].
При этом в отличие от электрического поля оператор магнитного
взаимодействия включает два члена: магнитно-дипольное
взаимодействие входит в выражение для восприимчивости четвертого,
а диамагнитное — третьего порядка:
— %qzz = <n\dq °Яп±о> Vz GEn±a> \iz G Еп±<й dq \ tl) +
+ <n\dqGEn±<oyi2GEn±(,dq\n) +
+ <n\dqGEn±(i)dqGEnid2Z\n>,
где rfg = i- (x«> - <n 15Й> | л»; № = % r* [ /I Y20 (G, Ф) -
— 1] — оператор диамагнитной восприимчивости; \iz = -у a {Jz +
+ Sz) — оператор магнитного дипольного момента атома. Знаки
± указывают, что нужно взять сумму матричных элементов,
соответствующих верхним и нижним знакам.
Для 5-состояний в схеме LS-связи после интегрирования по
угловым координатам разность
где
RV = <л|г& (Еп ± со) r'*gl (Еп ± со) г»;
Я(2) = <n\rgl (Еп + со) r'g2 (Еп ± со) г"2|/г>;
#(3) = <л | rgi (Еп ± со) ft (Еп ± со) ft (£п ± со) Г | п>;
ft (£) — радиальная часть функции Грина с орбитальным
моментом /. Для основного состояния водорода /?(1) и #(2) вычисляются
аналитически через элементарные функции, а /?(3\ содержащая
обобщенную гипергеометрическую функцию 4F3, — на ЭВМ.
Интегрирование по угловым переменным для атомов благородных
газов проводилось в схеме У/-связи. Выражение (r\zzzz — Лггуу)
для основных р6 ^-состояний отличается от случая начального
состояния с I = 0 лишь количеством радиальных матричных
элементов типа RW, соответствующих различным наборам орбитальных
квантовых чисел в основном и промежуточных состояниях.
После интегрирования по радиальной координате в
приближении ММП RM и RW приводятся к двойному, a R{3) — к
тройному рядам гипергеометрического типа, которые быстро сходятся при
со < \Еп\. Значения а~2 (\]zzzz — v\zzyy) приведены в табл. 4.6.
113

Для атома водорода полученные нами значения Ст совпадают с
вариационными расчетами работы [152]. Экспериментальные
результаты по явлению Коттона—Мутона в атомарных газах в настоящее
время отсутствуют (за исключением случаев резонансного вращения
в парах Li и Na [24]), хотя возможности проведения измерений в
нерезонансной области (в частности, для атомарного водорода)
неоднократно обсуждались в литературе [152].
Таблица 4.6
Постоянная Коттона—Мутона а-2 (t|ZZ2Z—T]yyzz)» a- *•»
при лазерных частотах
Атом
Н
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
Li
Na
К
Kb
Cs
9 440СЛ-1
13,08
1,16
5,08
28,5
52,9
1,153-102
—1,45-Ю6
—4,7-104
—7,7Ы05
—1,0.10е
—3,91-10е
14 400 см-1
12,66
1,16
5,12
28,8
53,3
1,168-102
—2,28-Ю8
—1,7.10*
2,08-Ю7
1,45-10?
3,67-10е
18880 сж-1
12,12
1,16
5,14
28,7
53,2
1,168-102
5,3-105
5,98.10е
3.0Ы05
3,0-10*
2,13-Ю5
28 800 см-1
9,373
1,15
5,09
27,5
49,6
1,066-Ю2
8,19-Юз
—4,8-Ю3
1,61-Ю4
—
—
4. Оптический эффект Керра. Рассмотрим анизотропию
показателя преломления, возникающую под действием интенсивного моно-
хроматического поля частотой Q: Щ (t) = <$ (Q) cos Qt,
распространяющегося вдоль оси z (в дальнейшем будем называть его полем
накачки). Амплитуду <& (Q) можно разложить на составляющие
ортогонального базиса в плоскости ху:
e±=±y=(Sx±VSy)f
где <£(-> = 0 ($<+> = 0) соответствуют правой (левой)
циркулярной поляризации; #<+> = #<"> = ёо/У7?— линейной
поляризации Щ = %0еу). _+
Пусть слабая волна # (со) cos at распространяется
перпендикулярно полю накачки, например вдоль оси х. Тогда составляющая
Шу (Q) обусловливает разность показателей преломления,
которую согласно (4.49) можно выразить через разность компонент
тензора %:
ni-n± = ^JXy(Q)\*{Xvyvy
(_©; со,— Q, Q)—%ххУу(— со; о,—Q, Q)}.
(4.51)
114

Таким образом, возникает двойное лучепреломление, аналогичное
статическому эффекту Керра (см. п. 2), которому соответствует
случай Q = 0. В связи с этим двойное лучепреломление, описываемое
формулой (4.51), принято называть оптическим эффектом Керра
[147], при котором появляется зависимость пу —п± от частоты
накачки й.
Значения vk (<о, Q) = %Хххх — %УУхх для водорода, щелочных
атомов и благородных газов, рассчитанные в приближении ММП
(см. п. 2), приведены в табл. 4.5 для ряда характерных лазерных
частот со и Q. Как следует из свойств симметрии тензора % [122],
7к (<о, Q) = vk (Q, со). Положительные значения yk соответствуют
появлению правой, отрицательные — левой поляризации излучения
на выходе, если 1± (0) > 0, £2 (0) = 0, <р (z) < я/2.
5. Параллельное распространение слабого поля и накачки.
Оптический эффект Фарадея. Так как поля значительной интенсивности
удается создать только в узких пространственных областях (в
пучках), то экспериментально более интересен случай параллельного
распространения поля накачки и слабой волны. Для определения
анизотропии показателя преломления в этом случае запишем
выражение для сферических проекций вектора нелинейной поляризации
атома на частоте со в виде [122]:
6Р(±3)(со) = ХххУу (-о>; <d,-Q, Q) [ | g(+) (О)I2 +1 £(->(Q)I2] »(±)(а>) +
+ 1,уху (-©; ©,-О, О) [ | g(±) (Q) I2 £(±) И +1 ё{±\&) |2 ${т) (со) 1 +
+ %хуух(-со; о, -Q, О) [ | ёт (Q) |2 ё{±) (со) +1 *<±>(Q) р £(:%) 1.
(4.52)
Здесь пренебрежено нелинейными эффектами, обусловленными
действием слабого поля. Используя (4.49), можно определить разность
па — яр Для различных типов поляризации поля накачки.
При линейной поляризации Щ (Q) (вдоль оси у) $(+) = <gl~> =
- fe0/V2 и
пУ — пх = TJZ ®о 1%хххх ХххУУ*'
ЬСГт
что эквивалентно (4.51) и описывает оптический эффект Керра при
продольном распространении.
В случае циркулярной поляризации волны накачки ^(-) (Q) = 0,
Ш{+) = $0 — правая поляризация, возникает круговое двойное
лучепреломление, определяемое разностью
"+-"-=1^ *!<W.-X««>s f^*:-Vo(»^>* (4.53)
которая приводит к вращению плоскости поляризации слабой волны
аналогично эффекту Фарадея в магнитном поле. Это явление,
называемое оптическим эффектом Фарадея [132], специфично лишь для
переменного поля с $ (Q) и ус « Q при Q -+- 0.
115

Из свойств симметрии % следует ус (Q, со) = ус (со, Q). Случай
левой поляризации Щ (й) отличается от (4.53) знаком правой части,
что соответствует вращению в противоположном направлении.
Численные значения ус для атомов приведены в табл. 4.7.
Положительные значения ус соответствуют правому, отрицательные — левому
вращению эллипса поляризации при параллельном распространении.
Таблица 4.7
Константы оптического эффекта Фарадея ус (Q, со), а. е.
Q,a. е.
0,043
0,06559
со,а. е.
0,043
0.06559
0,086
0,13118
0,06559
0.086
0,13118
Н
16,06
26,52
38,47
82,33
43,86
63,83
138,4
Не
0,082
0,128
0, 173
10,276
0,203
0,282
0,429
Li
3,0110е
2,0-107
-1,1410»
1,29.10е
—3,0107
1,5-10»
Na
1,57.10е
2,2410'
-1 ,31-10е
— 1 ,08-Ю7
-1 ,08- 10е
8,02.10е
К
-8.25107
1,22-10»
-6,82- 10Б
-5,02- 10»
Rb
—8,55-10»
5,31-Ю7
-1,1710е
-3,52-10»
Cs
—1,57-10»
8,49-10»
-
6. Самоиндуцированное вращение эллипса поляризации. В об-
щем случае эллиптической поляризации & (й) соотношение типа
(4.49) можно получить при # (й) = $ (со), что соответствует
изменению поляризационных параметров самого поля накачки при
распространении в изотропной нелинейной среде. При этом возникает
круговое двойное лучепреломление, определяемое формулой
п+-п. = ^х^Л-о);со,--0,о))[^-|2-|^|2Ь (4.54)
которое приводит к вращению эллипса поляризации. Это вращение
присуще лишь эллиптически-поляризованному излучению (#(+) Ф
Ф #(_)) и связано, очевидно, с различными значениями
нелинейных показателей преломления для правой и левой циркулярных
составляющих волны, имеющих различные напряженности.
Общие свойства симметрии тензора % при со = й позволяют
выразить компоненту, входящую в (4.54), через yk и ус:
Ххуух (— ю; со, — со, со) = (1/2) [yk (со, со) + Ус (со, со)].
Используя данные табл. 4.5 и 4.7 для угла поворота 6 эллипса
поляризации излучения рубинового лазера на пути 10 см, при
нормальных условиях и |#(">|2 = |g<+)|2 = (106 в/см)2 получаем
Атом
е
н
0,26'
Не
о,ог
Ne
0,53'
Аг
0,4'
Кг
1,03'
Хе
2,4'
Li
—267°
Na
—400°
К
367°
Rb
200°
116

Выше мы ограничивались рассмотрением случая нерезонансной
среды. При наличии резонансов существенны соотношения между
спектральной шириной линии излучения и ширинами резонансных
уровней, а также сдвиг и уширение уровней в поле. Некоторые
поляризационные эффекты в резонансной среде, в частности вращение
эллипса поляризации сильного излучения, исследуются в работах
[1, 27].
§ 4.5. Нелинейное рассеяние
рамановского типа и генерация
оптических гармоник на атомах
Простейшим трехфотонным переходом рамановского типа,
аналогичным обычному КР, является гиперкомбинационное рассеяние
(ГКР) — процесс одновременного поглощения двух фотонов
частоты со с испусканием фотона с частотой со' = Et + 2со — Ef, где
Et и Ef — энергии начального и конечного состояния атома. При
этом рассеяние может быть как стоксовым (Et < Ер 2со > Ef — £*),
так и антистоксовым (Et > Ef). Амплитуда ГКР определяется
суммой составных матричных элементов третьего порядка,
соответствующих диаграммам
Как следует из правил отбора для дипольного излучения, ГКР
может происходить лишь между состояниями Ю и |/> различной
четности, причем, как и в случае КР, рассеяние может быть как
спонтанным, так и вынужденным. Сечение спонтанного рассеяния имеет
вид
^=^717ТГ2| 1 e^e-nvJ, (4.55)
где / — интенсивность падающего излучения, вт/см2; /0 =
= се2/(2пао) = 14,038-1016 вт/см2 — атомная единица интенсивности;
Tkim = (/1 {dmG£.-t-2a> dk GE.+a> dx -r dh Ge.+co-cu' dm Ge.+ы dt +
+ &x GE%-»' + со dh GEi-*> dm) | О (4.56)
— тензор рассеяния третьего ранга, который может быть разложен
на неприводимые части. Однако окончательные выражения
оказываются громоздкими и поэтому здесь не выписаны.
117

10
10
-JS
n=5 n=4
n=Z
■se
На рис. 4.6 приведена дисперсионная зависимость полного
сечения ГКР для 2S — 2Р-перехода в водороде [168]. Отметим, что,
несмотря на малое сечение, исследование спектра ГКР в атомарных
газах вполне возможно методами лазерной спектроскопии*.
Аналогично можно рассмотреть процессы ГКР высших порядков
(поглощение N > 2 лазерных фотонов с частотой со с испусканием
фотона частоты со' и переходом
атома в возбужденное состояние с
энергией Ef = Et + jVcd — со').
Соответствующие расчеты для атома
водорода содержатся в работе
[168], однако вследствие малого
сечения при больших N (а ~ г§
(I/I0)N-1) весьма затруднено
экспериментальное исследование
спектра рассеянных фотонов.
Кроме ГКР возможны также
другие процессы третьего порядка,
приводящие к изменению
спектрального состава интенсивного
излучения при взаимодействии с
атомарной средой. В частности,
может представлять интерес процесс
спонтанного излучения двух
фотонов с частотами щ и со2 при
поглощении одного или нескольких
лазерных фотонов в соответствии
с законом сохранения энергии:
Ег + N со = Ef — (ох — со2
(очевидно, что излучение может быть
также вынужденным при наличии
накачки на соответствующей частоте % или а>2). Полное сечение
двухфотонного излучения при поглощении одного лазерного
фотона [140]:
^
10
10
-38
-J9
III'
\ш
I
8
10 A,WA
Рис. 4.6. Дисперсионная
зависимость сечения
гиперкомбинационного рассеяния \S-^2P в атоме
водорода
а = 2г% о? Г 2 е* е*1 е*2т Г*'™ ((
J \klrn
(О, — 0)!,— 0)2)
((Ох (02)3
d®lr
(4.57)
где черта означает усреднение по направлениям распространения
и суммирования по поляризации фотонов сох и со2; сомаКс = со —
— (Et — Ef) — максимальная частота рассеянного фотона. Матрич-
* Впервые колебательные спектры ГКР в жидкостях были исследованы
в 1965 г. [72].
118

ный элемент Г<3> имеет вид, аналогичный (4.56), и соответствует
сумме шести диаграмм, полученных из диаграммы
перестановками фотонных линий.
График зависимости а (со) для IS—2Я-перехода в водороде
приведен на рис. 4.7 [140]. Интересно отметить, что при увеличении
частоты со сечение быстро возрастает, приближаясь к значениям*
типичным для обычного КР (~ г§).
Выше были приведены численные
результаты лишь для атома
водорода с целью иллюстрации
типичных сечений. Для неводородных
атомов расчеты матричных
элементов гиперкомбинационных
переходов могут быть выполнены с
использованием техники функций
Грина, изложенной в гл. 2.
Другой класс процессов рама-
новского типа, играющих важную
роль в нелинейной оптике
атомарных газов, представляют
процессы преобразования частоты
лазерного излучения без изменения
квантового состояния атомов —
нерезонансное ВКР и генерация
гармоник. Существенной особенностью
этих процессов является
возможность наблюдения вполне
определенных нелинейных эффектов,
экспериментально создавая благоприятные условия одному из них
и препятствуя протеканию других (например, путем согласования
фаз основного и генерированного излучения в генерации гармоник,
используя буферные примеси). Из соображений четности
рассматриваемые процессы возможны лишь в четвертом порядке теории
возмущений и связаны с компонентами тензора нелинейной
восприимчивости %Штп в (4.2). (Как и в предыдущем параграфе, при
исследовании переходов высших порядков представляют интерес лишь
^вынужденные процессы, соответствующие рассеянию на нулевой угол,
которые удобнее анализировать на языке нелинейных восприимчи-
востей.)
При распространении в нелинейной среде двух волн с частотами
col и о>5, которые мы будем называть «лазерной» и «стоксовой»,
10
10
10
10
-28
j-30
-32
-33
У
У
II/
11,5
12,0 12,5 0),эВ
Рис. 4.7. Дисперсионная
зависимость сечения трехфотонного
рассеяния £'is + (o->-£2P+CO1+CO2 для
перехода в атоме водорода 1S-*2P
11S

возможны процессы смешения частот. В низшем порядке они
соответствуют поглощению атомом двух лазерных фотонов с
вынужденным излучением кванта с частотой cos и фотона с частотой соа =
= 2o)l — cos. Таким образом, в результате нелинейного
взаимодействия происходит усиление стоксовои компоненты и генерация
«антистоксова» излучения с частотой соа. (Возможен также и
другой процесс: 2cos->- col + со', со' = 2со$ — col, но он менее
вероятен, если | Щ (col) I > | #(cos) |.) Интенсивность
антистоксова излучения определяется амплитудой нелинейной поляризации
P{i3) (<°a) B (4.1), которая, согласно (4.2), имеет вид (все поля
предполагаются поляризованными вдоль оси z)
Р{3) К) = Xzzzz (- <oe; o)l, coL, - со5) ё2 (coL) g (cos). (4.58)
Восприимчивость % определяется суммой составных матричных
элементов, соответствующих диаграммам типа
\coL \coL \os
со всеми возможными перестановками местами фотонных линий
(очевидно, полное число членов есть 41/2! = 12). Процесс
рассматриваемого типа называется обычно нерезонансным ВКР. Такое
название связано с тем, что при совпадении разности частот со^ — cos
(или соа — coL) с разностью энергий рассматриваемого Е0 и
некоторого возбужденного Ef атомных уровней, Ef — Е0 = col — cos
или Е} — Е0 = соа — col, выражение для % имеет резонансные
особенности. Соответствующие диаграммы имеют вид
f\f |Г ft f ft ft jf
w 1г if m ft \t if if
"О о\ /О о\
120

В этом случае при суммировании по второму набору
промежуточных состояний в % оставляются лишь члены, соответствующие
уровню |/> с энергетическим знаменателем iyo/ — суммарной шириной
уровней 10> и | />. Легко проверить, что % чисто мнима и
определяется сечением обычного стоксова (антистоксова) КР [15].
Е0 + o)l = Ef + cos или Ef + (*>l = E0 + cos.
Процесс нерезонансного ВКР в ряде газов (в том числе в гелии
и аргоне) впервые исследовал Радо [220]. В этом эксперименте
наблюдалась генерация на частоте cDa = 18 556 см"1 при
прохождении двух коллинеарных пучков излучения рубинового лазера
(со/, = 14 403 см'1) и излучения с cds = 10 250 см'1 (первая сток-
совая гармоника ВКР излучения рубинового лазера в молекулярном
водороде) в ячейке с исследуемым газом. Измеренные значения %ие
и Хаг удовлетворительно согласуются с теоретическими
расчетами.
В связи с исследованиями возможности получения
интенсивного когерентного излучения в ультрафиолетовой области спектра
наибольший интерес представляют процессы генерации гармоник:
излучение фотона с частотой N(0 при поглощении N лазерных
фотонов. Иногда генерация гармоник оптических частот в газах более
эффективна, чем в кристаллах. Это объясняется в первую очередь
прозрачностью газов в ультрафиолетовой области, отсутствием
значительного двойного лучепреломления, характерного для
кристаллов, и высокими пробивными напряженностями полей,
позволяющими использовать большие плотности падающего излучения.
Наиболее характерной особенностью газов является наличие
достаточно простого механизма согласования фаз падающей и генерируемой
волн путем добавления примесей буферных газов, что обеспечивает
возможность генерации во всем объеме нелинейной среды.
Теоретические обоснования высокой эффективности
преобразования частоты в газах даны в работах Харриса и др. [208, 247], где
предложено использовать для генерации третьей гармоники
твердотельных лазеров фазосогласованные смеси паров щелочных
металлов, обладающих высокой нелинейной восприимчивостью, с
другими атомарными газами. Из-за низкого потенциала ионизации
щелочных атомов использование их в качестве нелинейной среды для
преобразования в области больших частот и высоких интенсивностей
затруднительно из-за ряда конкурирующих эффектов, главным из
которых является многофотонная ионизация (см. гл. 5). Поэтому для
высоких частот более удобны благородные газы, имеющие высокие
потенциалы ионизации. Используя фазосогласованные смеси, в
работах [192, 247] получены эффективности преобразования в области
вакуумного УФ, достигающие нескольких процентов.
Основной характеристикой эффективности преобразования
является нелинейная восприимчивость, определяющая амплитуду
вектора поляризации атома З5 (moo) на частоте гармоники mcD. При
6 Зак. 2208
121

этом на свободных атомах в низшем порядке возможна генерация
третьей гармоники (ГТГ) с амплитудой
9% (Зо) = -j-2 Xitti (-Зсо; со, со, со) gj (со) gk (со) gx (со), (4.59)
4 т
а при наличии постоянного электрического поля g (0) отлична от
нуля также составляющая вектора поляризации на частоте 2о>
и возможна генерация второй гармоники (ГВГ) с амплитудой
&i (Щ =4-2 tuhi (-2co; 0, о, со) g, (0) gk (со) gt (со). (4.60)
1 in
Для процесса ГТГ тензор Хиы в силу изотропии среды имеет
ЛИШЬ ОДНу ОТЛИЧНУЮ ОТ НуЛЯ КОМПОНеНТу Xzzzz» а ПРИ ГВГ
ОТЛИЧНЫ от нуля две компоненты тензора: %zzzz и %zzxx. При
эллиптической поляризации лазерного излучения
—* —*■
g (со) = g (со) [e_i sin г|> — ех cos \|?J,
где 0 < я|) < я/2, e±i = =F (1/1/2) (ez ± iex), е* и е2 —
единичные орты декартовой системы с осью у вдоль направления
распространения волны, выражения (4.59) и (4.60) для атомов в 5-состоя-
нии принимают вид [83]
~Ъ> (Зсо) = (1/4) Xzzzz ( — Зсо; со, со, со) sin 2я|>«* (c»j~g (со); (4.61)
#(2со) = (3/2) tzzzz & И*Г(0) sin2г|> +
+ (3/2/2) (x22zz-w) (sin ф + cos ф)Я(0)* (со) ?(со). (4.62)
Как следует из (4.61), при циркулярной поляризации 9й (Зсо) = 0.
В (4.62) предполагается, что вектор g (0) лежит в плоскости g (со).
-»•
В случае линейной поляризации g (со) и (ф = я/4) декартовы
компоненты и3* (2co) имеют простой вид при любом угле а между
векторами g (0) и I (со):
9г (2со) = (3/2) (%zzzz cos2 a + lzzxx sin2 a) g? (со) * (0);
®х (2со) = (3/4) (x22zz - Xz,xx) (sin 2a) g2 (со) tf (0).
Общие выражения для %ijki (— Зсо; со, со, со) и Хии (—2со; 0,
со, со) представляют суммы матричных элементов типа
Т (со/ со2, со3) = TiJhl (<olf со2, со3) =
= <01 dt G£0+(Dl dj Ge0 +<d2 dk C/Ee+a), dj 10>.
В частности,
lizzz (— Зсо; со,© , ю) = T (Зсо, 2со, со) + Г (— со, 2со, со) +
+ Т (— со, — 2со, со) + Г (—со, —2со, —Зсо). (4.63)
Выражения для % (— 2со; 0, со, со) имеют вид, аналогичный
X (— соа; coL, coL, — cos) в (4.58), если cos = 0, соа = 2col.
122

На рис. 4.8 приведена дисперсионная зависимость % для ГТГ
в атоме водорода, рассчитанная с использованием кулоновской
функции Грина. Интересно отметить наличие отрицательной
частотной дисперсии в области частот со > 0,14 а. е., обусловленной
отрицательными значениями вычетов % в полюсах со = ып = Е{п0)/3
при п ^ 3.
На рис. 4.9 показана дисперсия % (— 2со; 0, со, со)/х0 (Хо =
= 222,1875 а. е.) для водорода. До первого резонанса величины %
X/Xt
n=z
п=3
-10
О 0,04 0,08 0,125 0,145 0,152ца.е
Рис. 4.8. Дисперсионная зависимость
нелинейной восприимчивости Xzzzz (—Зсо; со, со, со)
для атома водорода в основном состоянии
имеют характерную для всех атомов положительную дисперсию.
Во втором промежутке %zzzz = хи меняет знак при со ~ 0,207 а. е.
и далее везде отрицательна; %zzxx — %х в этой точке достигает
минимума (х ~ 44хо) и остается всюду положительной.
В табл. 4.8—4.10 приведены результаты расчета [83] нелинейных
восприимчивостей атомов щелочных металлов и благородных газов
в приближении ММП на частотах рубинового (сод) и неодимового (co#)
лазеров и их вторых гармоник, а также сравнение с известными
экспериментальными и другими теоретическими результатами. Для
атомов щелочных металлов (в особенности для Rb и Cs) хгвг > Хгтг-
Следует отметить (см. табл. 4.8), что метод конечного числа членов
при расчете х, использованный в работе [208], слишком груб и
приводит к значительным погрешностям.
6*
123

Таблица 4.8
Нелинейные восприимчивости %( — Зсо) и %(—2со), а. е.,
для атомов щелочных металлов на частоте излучения
неодимового лазера со^ = 9440 см~х
Атом
Li
Na
К
Rb
Cs
Расчет в приближении ММП [83]
•X.2ZXX (-2 ю;
0, со, со)
— 1,6-10*
—1,1 106
— 1,710е
5,2-106
3,6-107
t-zzzz (-2 <*>
0, со, со)
—1,88.10*
—2,65-10«
—6,60-106
—3,44.10'
4,15.10'.
ггггг (-3 со;
со, со, со)
3,0-10*.
— 1,4.10е
—4,7-10*
—4,0 10е
4,0-106
Теория [208]
X222Z(-3 со;
со, со, со)
2,5-10*
—7,8-10*
5,2-10*
1,2-Ю7
—2,32107
\(
До
10
5
0
-5
■10
0
■ ■ » ■ ' ' ■
/1
/ /
/ /
Xw J J
. i i » i i » i
18 0,1
п=
i
i
i
i
I*
i
1
11
б1
2
1
А
50\\
X
\
У
-50
-100
^
i
20 С
/7-
1
1
1
Г
1
100',
1
1
1
/
1
5 п-
1 1 ■]
j I
;i |
11
U°°\l\
Г"4
\
1.
\2l\
1 /
л
'1
-50СА
■woa
1_Ш
со,а.е
Рис. 4.9. Дисперсионная зависимость вое-
приимчивостей х(—-2со; о), со, со) для атома
водорода в основном состоянии (цена
деления по оси ординат меняется в 10 и 100 раз
в разных интервалах со)
124

Таблица 4.9
Нелинейные восприимчивости %(—Зсо) и %(—2со), а. е.,
для благородных газов на частоте излучения рубинового лазера
0)^=14 400 см-1
X
x222z(-^;
CD, СО, СО)
со, со)
Атом
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
Расчет в
приближении МАШ [83]
9,56
46,0
420
1180
2508
9,1
44,6
370
870
2100
Теория [235]
26,0
15,6
270
790
1400
11,5
22,7
141
610
1280
Эксперимент [162, 241]
14.З*1
(17,в±з,о).г±х
(253±40)'3±l
(780±150)-3±1
(1970±380)3±1
7,85- 3±l
(21±0,7).3±!
(240±7,6).3±1
(585±28).3±!
(1620±115)3±1
Таблица 4.10
Нелинейные во сприимчивости %(—Зсо) и х(—2е0)» а- е->
для благородных г азов на характерных лазерных частотах [83]
Атом
Не
Ne
Аг
Кг
Хе
ш
<»N
2(oN
2<*R
<»N
**N
2<*R
<*N
2<dn
2toR
(oN
2co„
*»R
<*N
2aN
2<DR
Xzzzz (~3<DI <*>• «• ©)
9,45
10,4
12,8
45,0
54,8
84,0
390
560
2 720
870
1260
—25 200
2 270
5 630
—4 990
Xzzzz (-2fi)! °» ®» ®>
8,84
9,52
10,9
44,7
49,0
59,3
320
430
677
790
980
1860
1990
2740
7820
X22jcjc(-2©; 0, o, ©)
2,95
3,22
3,76
14,8
16,1
19,3
105
133
191
256
274
493
608
745
2047
125

Когда одна из частот со, 2со, Зсо близка к частоте перехода между
невозмущенными состояниями атома, происходит резонансное
увеличение коэффициента генерации. Практически наиболее интересен
двухфотонный резонанс при ГТГ, поскольку в других случаях имеет
место сильное поглощение падающего или генерированного
излучения в среде. В слабом поле резонансная ГТГ в цезии исследована
экспериментально в работе [200]. В работах [240, 242] наблюдалось
насыщение двухфотонного резонанса при ГТГ в цезии и таллии.
В резонансной области выражение (4.63) для % неприменимо
и для расчета 5^ (Зсо) необходимо учесть перемешивание
резонансных уровней в поле (см. гл. 3). Если частота со удовлетворяет
условию 2со ~ со10 (со10 = Ег — Е0 — разность энергий двух атомных
уровней, дипольныи переход между которыми разрешен во втором
порядке теории возмущений), то вектор поляризации на частоте
Зсо можно представить в виде [83]
$>. (Зсо, /) - gtn (Зсо) cos (Зсо/ + Ф),
где
я ,щ = | [а-\Ь + V(g-i6)i + i ] [MlQ ((0) +Л|01 (_ш)] | ^
\а—[Ь + У(а—ib)*+\ \2+\
д=г<*о — ai + 46/g2 . b= 2(7!—уо)
2|М10(—со) | ' #2|M10(-co)| '
ф = arctg {M10 (- со) [a — \b + V(a — \bf + 1] [Ml0 (со) +
+ Mol (- со)]};
Yi и Yo— релаксационные ширины уровней 11> и |0>
соответственно; б = co10 — 2co — расстройка резонанса;
Mu (± со) = <i | zGEj± со (г, г') г' | />
— составной матричный элемент второго порядка; М10 и М01 —
матричные элементы, связывающие уровни 11> и 10> дипольным
взаимодействием; аь = Мц (со) + Ми (— со) — динамическая
поляризуемость /-го уровня.
Как видно из полученных формул, величина %zzzz = 4я (Зсо)/$2
имеет конечное значение в полюсе при 6 = 0. Максимум функции
Xzzzz соответствует частоте сорез, определяемой соотношением
20)pe3=(£i-Yal^)-(£0-Ya0g2)-
Таким образом, резонанс в поле возникает между состояниями 10>
и | 1> на частоте, учитывающей штарковский сдвиг уровней. При
со ~ сорез фаза i|? резко меняет свое значение, так что для
достаточно больших а
г|) (а) —г|) (— а) = д.
126

В качестве примера на рис. 4.10 приведены графики зависимости
функций %zzzz (— Зсо; со, со, со) от расстройки б = £7s — Eqs — 2со
в атоме Cs для напряженности внешнего поля <8 = 10~4; 2 • 10~4;
5 • 10"4, а. е. С ростом <S кривая быстро сглаживается,
максимально -20 -10 0 10 20 &,см'1
Рис. 4.10. Зависимость нелинейной
восприимчивости %zzzz(—Зсо; со, со, со) от расстройки 6
при различных напряженностях $ внешнего
поля
fJUU
ft
Jft
4
Jt
2
4
n
r
\(
if
i
!
\t-2-10-4a.e
n
\
J \
-J.
tr~
~T"~
1
1 у
1 /
l/
A 10'"
1
J
t
^^„„^
-4 -3 -2-10 1 2tyM1
Рис. 4.11. Зависимость фазы а|) от расстройки б
для различных $
— при Vi—Vo=-1 см-и, при Vi—Vo-
= 0,01 см-К
ное значение %zzzz резко уменьшается и стремится к нерезонансному
значению %zzzz « 4 • 10е, а. е. при Vi — То = 1°~2 см~г-
Положение максимума кривой смещается в сторону отрицательных о
(уровни «расталкиваются»). На рис. 4.11 построены графики
зависимости фазы г|) от расстройки б при Щ = 10~4 и 2 • 10" а. е.
127

Поскольку в резонансной области величина х существенно
возрастает, случай промежуточного резонанса является наиболее
важным при получении высокой эффективности преобразования частот.
Кроме ГТГ, экспериментально исследованы и другие резонансные
эффекты рамановского типа: резонансное ВКР (см. § 4.2), а также
процесс смешения частот [141, 142, 181] (генерация частоты со =
= 2ol>l + cos при нелинейном взаимодействии двух волн с
частотами о)£, и cos в газе). В работе [181] генерация излучения с
частотой со = 55 820 см'1 на атомах стронция [потенциал ионизации
основного состояния (5s2)1 S0 составляет 45 925,6 см'1] наблюдалась
при наличии двух промежуточных двухфотонных резонансов:
(5s2)1 S0 — 5s5dl D2 на частоте 2(oL = 20 194 см'1 и (5s2)1 S0 —
— 5s7sl S0 на частоте col + cos (as = 21 088 см'1), причем
фотоны с частотами со^ и cos циркулярно-поляризованы в
противоположных направлениях.
Итак, рассмотрены процессы генерации гармоник в низшем
порядке по амплитуде Щ (со). Аналогично можно исследовать
генерацию высших гармоник (5со, 7 со и т. д.), причем для генерации в
далекой УФ-области удобнее использовать положительные ионы с
высоким потенциалом ионизации, имеющие большое пробойное
напряжение. Оценки соответствующих нелинейных восприимчивостей
на примере иона Li+ показывают [175], что генерация высших
гармоник также может являться одним из эффективных способов
генерации УФ-излучения.
§ 4.6. Многофотонное возбуждение атомов
Исходное состояние атома | />, из которого происходит
возбуждение, будем для простоты предполагать невырожденным.
Интенсивность поля недостаточна для нерезонансного перемешивания этого
состояния с соседними, принадлежащими, например, тому же спин-
орбитальному мультиплету. Кратность резонанса вначале
предполагается большей двух. Конечный атомный уровень |/> может
сильно возмущаться полем.
Если промежуточных резонансов при возбуждении атома не
возникает, амплитуда возбуждения А-го квазистационарного
состояния может быть выражена через функцию Грина свободного атома:
АП(0 = еХР(~;5>0 2f^M\Nn\ (4.64)
A(oW) + (l/4)(cc}ft)-a(.)/; Д<"> =£{•> + N<a-£}•>;
Д1Й? = <«|V<+> G£<o)+(W_u . ... 0^.,+. V'+> 10;
128
где

(k)
at — поляризуемость исходного уровня атома; а)' —
поляризуемость &-го квазистационарного состояния конечного уровня /; / —
интенсивность излучения; ffi — коэффициент разложения
волновой функции квазистационарного состояния по собственным
состояниям невозмущенного атома, например по магнитным
подуровням парамагнитного уровня при эллиптической поляризации поля,
по состояниям с определенными орбитальными моментами для водо-
родоподобного уровня и т. п. Возникновение именно коэффициентов
f{nk\ а не /лЛ)* связано с возможной неортогональностью
различных состояний.
При вычислении вероятности возбуждения следует различать
два случая в зависимости от соотношения между мнимыми и
действительными частями поляризуемостеи возбужденного уровня.Если
действительные части значительно превышают мнимые, разные
квазистационарные состояния хорошо разрешены по энергии и образуют
набор изолированных резонансов. Вторая возможность,
возникающая когда действительные и мнимые части поляризуемостеи одного
порядка, приводит к перекрывающимся резонансам, плохо
разрешимым на дисперсионной кривой вероятности возбуждения.
Можно говорить о возбуждении одного определенного
квазистационарного состояния лишь в том случае, если оно образует
изолированный резонанс. При этом лишь одна из амплитуд Л, для
одного значения ky определяемого выбранной частотой, оказывается
большой величиной, остальные же остаются малыми величинами
из-за большой расстройки резонанса. Скорость возбуждения этого
изолированного уровня определяется формулой
(Го + Гь)
wW
2/<*><> |
(4.65)
(ReAj£>)4(l/4)(r0+rh)2
где Г0 — ширина состояния, не связанная с действием поля; Тк —
полевое уширение. При открытом канале однофотонной ионизации
состояний |/> Г^ — /, причем коэффициент пропорциональности
равен половине мнимой части поляризуемости. Формула (4.65)
применима, в частности, к случаю, когда на дисперсионной кривой
имеется только один резонанс. Как следует из (4.65), учет
возмущения атомного спектра приводит к смещению максимума
вероятности возбуждения из точки Д(о^ = 0 в точку Re Д/j^ = 0.
Величину Д$0 называют поэтому динамической расстройкой
резонанса.
Важной особенностью формулы (4.65), на которую впервые было
указано в работе Г. С. Воронова [25], является предсказание
возможной зависимости вероятности М-фотонного возбуждения атома
от интенсивности излучения, отличной от степенного закона IN.
Зависимость W ~ I" определяется квадратом модуля AHNK
129

W,ceK~1r
Однако при возможной однофотонной ионизации верхнего уровня
(Гл ~ /) может быть, в частности, W ~ IN"2 при Тк > Г0,
I а^-аГ|»|ДГ|.
Следует также отметить, что частотная зависимость вероятности
возбуждения, определяемая лоренцевой функцией в (4.65),
наблюдается не всегда. В газах вследствие появляющегося из-за
хаотического движения атомов доплеровского смещения частоты
формула (4.65) должна быть усреднена
по скоростному распределению
атомов. В результате лоренцевая
дисперсионная зависимость должна
быть заменена на функцию Хольтц-
марка. Учет столкновений
приводит к дальнейшему усложнению
формы кривой [20]. Лоренцевая
форма линии поглощения
возникает в атомарных пучках при
наблюдении в поперечном
направлении.
Перейдем к возбуждению
перекрывающихся резонансов. Теперь
не имеет смысла говорить о
возбуждении отдельных компонент,
следует вычислять полную
вероятность возбуждения всех
резонансов. При этом полная вероятность
оказывается осциллирующей функцией времени, что связано с
когерентным заселением уровней с разными энергиями [47, 61, 105].
Усредненная по этим осцилляциям скорость возбуждения
4 а™ КГ
Рис. 4.12. Вероятность пятифотон-
ного возбуждения оболочки N=5
атома водорода
w^-Sl/^ri/PAi^l1
Г„ + Гь
knn'
(ReA<^)2 + (l/4)(r0 + rfe)2
(4.66)
На рис. 4.12 представлены результаты выполненного в работе [57]
расчета вероятности пятифотонного возбуждения оболочки п = 5
атома водорода линейно поляризованным полем напряженностью
5 • 106 в/см. На дисперсионной кривой имеется два пика,
обусловленных расщеплением в поле состояний атома водорода.
Остановимся на некоторых особенностях двухфотонного
резонанса. Как уже отмечалось, резонансное перемешивание возникает
в этом случае также во втором порядке по полю, как и при
нерезонансном перемешивании, поэтому оба эффекта надо учитывать
одновременно. Например, формулы (3.70) характеризуют двухфотонный
резонанс: синглет Si/2 — дублет Dz/2, 6/2- Коэффициенты при |D>
и |D'> в КЭС ХР1 в этой формуле в пределе слабого поля
соответствуют амплитудам возбуждения при N = 2 и описывают
дисперсионную зависимость вероятности возбуждения при адиабатическом
включении поля. Очевидно, что учет перемешивания, т.е. выход за
130

рамки приближения слабого поля, приводит к весьма сложной
дисперсионной зависимости, определяемой зависимостью от частоты
квазиэнергии ql9 переходящей после выключения поля в энергию
нижнего уровня Si/2- По этой же причине нельзя в общем случае
получить аналитическую зависимость для дисперсионных кривых
с учетом перемешивания при двухфотонном возбуждении водородо-
подобного состояния или парамагнитного уровня эллиптически
поляризованным излучением. Но в случае двухфотонного возбуждения
изолированного резонанса, например изолированного компонента
мультиплета в не очень сильном поле или парамагнитного уровня
при линейной или циркулярной поляризации, положение
максимума на дисперсионной кривой определяется только обычным
квадратичным штарковским сдвигом резонирующих уровней.
Для расчета составных матричных элементов Min,
определяющих абсолютную величину вероятности многофотонного
возбуждения, можно использовать явные выражения для функции Грина
атома, построенные в гл. 2. Некоторые численные результаты
приведены в работе [53].

Глава
МНОГОФОТОННАЯ ИОНИЗАЦИЯ АТОМОВ
§ 5.1. Качественные особенности
процесса ионизации в сильном поле
Одним из наиболее интересных процессов, наблюдение которых
стало возможным с появлением интенсивных источников излучения,
является ионизация атома полем с частотой со, меньшей потенциала
ионизации атома /. В отличие от классического фотоэффекта
плотность фототока нелинейно зависит от интенсивности поля, так что
рассматриваемое явление представляет собой типичный пример
нелинейного процесса взаимодействия излучения с атомами. Это в
свою очередь обусловливает необходимость использования
достаточно интенсивных источников излучения для практического
наблюдения ионизации [36].
В случае фотоэффекта существенны квантовые свойства поля
излучения — ионизация происходит вследствие элементарного акта
взаимодействия атома с полем, в результате которого атомный
электрон поглощает один фотон. Противоположная ситуация возникает
при рассмотрении другой возможности ионизации атома полем —
распада атома в постоянном электрическом поле. Вероятность
распада при % <^ #о определяется туннелированием электрона через
потенциальный барьер, при этом электрон неограниченно ускоряется
полем, что соответствует поглощению «бесконечного числа фотонов
нулевой частоты». Очевидно, что общее рассмотрение задачи об
ионизации переменным полем должно включать указанные выше
случаи в качестве предельных при определенных соотношениях
между характеристиками поля и атома.
Такое рассмотрение впервые было проведено в работе Л. В.
Келдыша [66] для модельной задачи об ионизации уровня, связанного
короткодействующими силами, линейно-поляризованной волной
с частотой со <£ /. Метод решения, использованный в работе [66],
является фактически обобщением методики расчета вероятности
ионизации постоянным полем [215] на случай полей, зависящих от
времени. В то время как в постоянном поле электрон в конечном
состоянии описывается функцией Эйри, в работе [66] в качестве такой
функции выбирается решение уравнения Шредингера для
свободного электрона в поле волны*. Вероятность ионизации при выпол-
* Заметим, что, хотя это решение не переходит непосредственно в
стационарное решение для постоянного поля при со -»» 0, можно построить волновой
пакет, удовлетворяющий указанному условию [96].
132

нении неравенств
со « со0= / и #« $0 (5.1)
имеет вид (сч точностью до предэкспоненциального множителя):
№-ехр[-^-/(Т)], (5.2)
где
/ (У) = (1 + 1/2у2) Arcsh у — У 1 + Y*/2v;
Y = со \г2т11{еШ) — характерный параметр (так называемый
параметр адиабатичности), представляющий собой отношение «времени
туннелирования» частицы со скоростью v ~ ]/r2I/m через
потенциальный барьер шириной ~ 21/(е<$) к периоду поля Т = 2я/со:
Y = со/(отун. Такая интерпретация связана с квазиклассическим
характером выражения (5.2) и, в частности, с условием со <^ /.
Параметр y можно записать также в виде
1/(2Y2) = е2#2/(4/псо2/) = £кол//, (5.3)
где Екол — средняя колебательная энергия частицы в поле волны.
Забегая вперед (см. § 5.3), отметим, что именно этот параметр
определяет вероятность ионизации при точном решении, не
использующем приближений (5.1), и, в частности, при со ~ /, когда понятие
«времени туннелирования» физически бессмысленно.
Результаты работы [66] позволяют выяснить основные
закономерности ионизации в интенсивном поле. Как следует из (5.2), при
малых y С 1 (так как Щ <^ #0, это эквивалентно условию со <^ <§
в атомных единицах)
W ~ Ш ехр (—2 #0Ш), (5-4)
т. е. в этом случае воздействие переменного поля на атом аналогично
действию постоянного поля той же амплитуды. Квантовый характер
поглощения фотонов здесь не проявляется, поскольку частота много
меньше обеих характерных частот задачи: со < со^ <^ со0. Предел
(5.4) соответствует туннельному механизму распада атома в поле.
При увеличении частоты, когда со > &и из (5.2) следует (y > 1)
W~C!g2I/°>~C82N, (5.5)
где N = <//(о + 1> имеет смысл числа фотонов, необходимых для
ионизации в соответствии с законом сохранения энергии. Процесс
ионизации при этом носит квантовый характер и ионизация
происходит вследствие элементарного акта одновременного поглощения
электроном N фотонов поля. Для достаточно слабых полей Щ < <$0
величина С в (5.5), определяющая абсолютное значение вероятности,
может быть вычислена методами теории возмущений по
взаимодействию атома с полем.
Таким образом, в зависимости от соотношения между
характерными параметрами системы (/) и поля (%, о) ионизация в перемен-
133

ном поле качественно отличается от ионизации в постоянном поле,
где туннельный эффект является единственно возможным каналом
распада системы. Хотя все вышесказанное относится к случаю
слабых полей, качественная картина зависимости W (<g) для Щ < #0
не меняется. На рис. 5.1 приведена зависимость W от
напряженности поля в «антиадиабатическом» случае //со =* 2 вплоть до Щ =
= 0,1 &0 для частного случая циркулярной поляризации
(подробнее см. в § 5.3). Как следует из рисунка, в области у ~ 1 происходит
переход от степенной зависимости к более гладкой, хотя при Щ ^ #кр
зависимость W (#) не описывается
уже соотношением (5.4).
Выше рассматривался
простейший случай ионизации системы
с одним связанным уровнем (при
наличии дискретного спектра в
адиабатическом случае необходимо
выполнение условия со < !/ — //[>
где 1г —потенциал ионизации
первого возбужденного состояния,
а в многофотонном пределе
частота должна быть нерезонансной).
Основная трудность при
исследовании ионизации реальных атомов
состоит в учете влияния дальнодей-
ствующего кулоновского
потенциала. Существенная роль его как
в случае v« I так и при у > I
следует уже из изменения функциональной зависимости W (%) в
постоянном поле [предэкспоненциальный множитель в (5.4) имеет вид
g'"1], а в случае классического фотоэффекта качественно меняется
пороговая зависимость сечения от энергии фотоэлектрона [8]. В
адиабатическом случае учет кулоновского потенциала возможен в
квазиклассическом приближении в пределе со <^ со0 (см. § 5.2). При
у > 1 действие атомного потенциала на электрон естественно
учитывается при использовании теории возмущений по
взаимодействию атома с полем на базисе точных волновых функций атомного
электрона.
К сожалению, совокупность имеющихся экспериментальных
данных по ионизации [36] ограничена областью параметров*
Рис. 5.1. Качественная
зависимость вероятности ионизации от
напряженности внешнего поля
у > 1, (о/со0 <0,1
(5.6)
и не позволяет провести количественное сравнение теории и
эксперимента при у < 1. Напомним, что теория и эксперимент при
ионизации постоянным полем (у = 0) хорошо согласуются.
* Исключение составляет, по-видимому, единственный эксперимент
[136], в котором наблюдалась ионизация высоковозбужденных состояний
водорода в широкой области изменения у от Ю-2 до 10.
134

Существует еще одна качественная особенность процесса
ионизации при выполнении второго неравенства в (5.6), связанная с
возможностью возникновения резонанса между энергиями k<N
квантов и разностью энергий cotm (#) = Et {<$) — Ет (<S)
квазистационарных состояний атома в поле. Как показывают эксперименты
12, 126], резонансы возможны даже в достаточно сильных полях
Ш ~ 0,01 #0. В таких полях невозможно указать критерий резонан-
сности и нерезонансности перехода, исходя лишь из невозмущенного
спектра атома и, в принципе, резонансы могут индуцироваться
полем. При этом сам механизм резонансной ионизации может быть
физически различным в зависимости от 8 и конкретных условий
эксперимента. В предельных случаях он может соответствовать
каскадному переходу (возбуждению состояния | т> с последующей его
ионизацией) или «перемешиванию» полем резонансных состояний
и ионизации из этих новых состояний атома в доле. Таким образом,
исследование резонансной ионизации позволяет получить
значительную информацию как о спектре атома в интенсивном поле, так
и о других атомных параметрах, определяющих вероятности
нерезонансных процессов. Соответственно качественным особенностям
ионизации при теоретическом рассмотрении используются
различные методы и приближения.
§ 5.2. Квазиклассическое приближение
в задаче об ионизации связанного состояния
Для получения общих выражений можно использовать аппарат
формальной теории рассеяния [29, 98]. Если взаимодействие
включается адиабатически медленно при t = — оо и до включения поля
система находилась в состоянии }¥\0) (г, t) = ф^ (г) ехр (— \Е\0) t),
то матричный элемент ионизации имеет вид
Mif = <¥}-> (г, /) | V (г, 0 | УГ (г, *)>, (5.7)
где }¥\~) — точная волновая функция, учитывающая как атомный
потенциал, так и поле волны и имеющая асимптотический вид:
плоская волна плюс сходящаяся сферическая. Выбор именно такого
асимптотического поведения функций конечного состояния в
задачах типа фотоэффекта обсуждается в книге [78]. Учитывая, что
V (t + Т) = V (Г), функцию у¥\~) можно записать в
квазиэнергетическом виде
¥/"> (г, t) = ехр (-ie, t) 2 ип (г) ехр (шШ) (5.8)
п
и ввести 7-матрицу Mit = — 2п\ 2 TJf б (Е\0) + /ш —е,), on-
п— — оо
ределяющую вероятность перехода в единицу времени
Wif = 2n fj \T§)}tb(E\" + im—zf). (5.9)
ft= —00
135

Здесь 8у — квазиэнергия электрона в конечном состоянии, которая
наряду с энергией Ер = р2/2т, соответствующей свободному
движению с определенным импульсом р, включает среднюю
колебательную энергию электрона в поле волны Екол = (1 + £2) #2/
/ (4то)2); £ — степень эллиптичности поляризации поля, так что
<с (0 = {% cos ti)t9 Z$ sin at, 0}. Появление члена £кол в
выражении для Ef легко видеть на примере свободного движения
электрона с определенным р в поле <& (t) [8].
Умножая (5.9) на плотность конечных состояний ф/(2я)3 и
интегрируя по импульсам вылетающего электрона, выражение для
полной вероятности ионизации в единицу времени представим в виде
V (*,©)= J ^п(#,о>), (5.10)
где Wn — вероятность ионизации с поглощением п фотонов:
».c-)-5fJ*i»«,p»(-£+^+-l|e-?--«•)' ,5">
/ = — £j0) — потенциал ионизации. Величина К определяет
минимальное число квантов, необходимое для ионизации в
соответствии с законом сохранения энергии в (5.4):
С физической точки зрения наличие члена £кол в выражении
для К связано с тем, что в процессе ионизации электрон может
считаться свободным (уйти за пределы атома), если его энергия
превышает среднюю колебательную энергию в поле волны.
Формула (5.10) дает разложение вероятности по числу
поглощенных фотонов. Расчет парциальных амплитуд Tffi для реальных
атомов весьма сложен ввиду необходимости одновременного учета
действия поля волны и атомного потенциала, который из-за наличия
дальнодействующего кулоновского слагаемого существенно
искажает движение электрона на больших расстояниях от ядра. Поэтому
рассмотрим вначале случай короткодействующего потенциала,
действием которого на электрон можно пренебречь на расстояниях r^r0r
где г0 — радиус связанного состояния.
Подробные расчеты содержатся в работах [94, 102] для
линейного и циркулярного поля, а также в работе [ 103] в общем случае
эллиптической поляризации. Поскольку вычислительные методы,
использованные в цитированных работах, весьма громоздки,
проиллюстрируем возникающие сложности на примере б-потенциала. Матричный
элемент (5.7), согласно общим формулам теории рассеяния [29, 98],
можно записать также в виде
Mif = <ЧГ> (г, 0 | Уат (г) | Vt (r, 0>, (5Л2)
136

где Т)0) — волновая функция свободного электрона в волне с
определенным импульсом р; ¥* — точная волновая функция,
переходящая в Ч^0) (г, t) при выключении поля. Поскольку мы считаем,
что ионизация происходит достаточно медленно (за времена, большие
по сравнению с внутриатомными) и поле слабое (# < #0), то Ч^
несущественно меняется в области действия потенциала. Поэтому
в приближении потенциала нулевого радиуса [40] можно положить
Уат (г) *1 (г> 0 = у= 6 W ехР (-^0) 0-
Таким образом, парциальные амплитуды в (5.9) определяются
соотношением
^^п(0,0ехр(-1£Г0 =
= J Ti{"exp[-mco/-i£r/+i(4+I:^7)/]'(5-I3)
П= — оо
3/о ( С \рп~ — А(.")Г 1
Трп(0,0 = (2я)-3/2ехР -i J i £_ LdA-
^.^ „._,(,+ J±E).
mi Г f T» fpn~—А(Ф')Г л »
J J 2mco
l—00
^-Li+Is4_n)J (5.14)
где
Отсюда
2mco 2co -у2
Приближенное аналитическое вычисление интеграла (5.14) возможно
методом перевала, для чего необходимо условие
со«(о0. (5.15)
Перевальные точки при этом определяются уравнением
[pn—e7A(t)JJ2m = Er. (5.16)
Подробное вычисление интегралов типа (5.14) содержится в
указанных выше работах (см. также [93]).
Условие (5.15) вместе с 8 < <g0 есть по существу условие
квазиклассичности, и ионизация в этом случае представляет процесс
137

«просачивания» электрона через достаточно широкий (r^ ~ 11$)
и плавный (период колебаний много больше атомных времен)
потенциальный барьер, аналогично туннельному эффекту в
постоянном поле. Теория прохождения частиц через нестационарный
барьер была развита в работах [101, 107] и является обобщением
квазиклассического приближения на нестационарный случай.
Парциальные амплитуды T\f для уровня с квантовыми числами я, / и т
в короткодействующем потенциале в этом методе имеют вид [107]
Г<«) = i lim ISEnJL в _3 Сш (^ф_ V'2
t+oo t—t0 2я \\d*Wldt\)
X
(0),
xy,m(n1)exp[ill?r(pni/;r1>/1)-^r/], (5.17)
где t0 — момент включения поля; W — функция
квазистационарного состояния, возникающего из у¥{10) (г, t) при включении, поля;
Сх/ — коэффициент, учитывающий отличие асимптотики волновой
функции ЧГ\0) (г) от волновой функции частицы в 8-потенциале;
W = 5 (рд, /; rlf t±) — рп • гп; S — классическое «укороченное»
действие, которое вычисляется вдоль классической траектории.
Специфика указанного метода состоит в том, что не существует
вещественной траектории, удовлетворяющей классическим
уравнениям движения с начальным условием р (^) = 0 и Н (t^ = Е\°\
а также условию р (t) = рп ввиду невозможности прохождения
классической частицы через потенциальный барьер. Поэтому
начальный момент времени tx является мнимым*, хотя подбарьерная
траектория по-прежнему определяется уравнениями Ньютона.
Единичный комплексный вектор пх в (5.17) дает направление
классической траектории в точке поворота р (tx) = 0. Таким образом, Wn (#, со)
зависит лишь от подбарьерного участка траектории и полностью
определяется полным «временем подбарьерного движения» t0 =
= .ix0 и имеет вид (после усреднения по магнитным квантовым
числам т) [107]:
№п(%у<оЛ)=^\Ск1\*((±!Щ1/2 5 х
х^«"Ч-^/(т4 <518)
где Pi — полином Лежандра; th а = £ (cth т0 — 1/т0);
* В связи с этим квазиклассическое приближение для нестационарных
задач называется еще методом мнимого времени [106].
138

Предэкспоненциальный множитель Rn выражается через интеграл
от функции Бесселя /0 (х):
Rn = ]/r{n~K)2ihTo § dxl0[c(l-x*)]exp{-[a(l-x>) +
+ b(x-x0)*]%
где
6 = 2(/t_/C)Tor1 + ^(l-thxoW1.
L thxo-A J
c = (n-K)x0^ ; Д = (1-£2)т0 + ?МЬт0; *0 = 1/"^rf;
a \ n—Д
n0 — наиболее вероятное число поглощенных фотонов.
Время т0 определяется как положительный корень уравнения
T0-C2(chT0--^-)2 = Y2. (5.19)
sh2
При С = 0 т0 = Arsh у и (5.18) существенно упрощается. В
частности,
/ (v, С = 0) = (1 + 1/272) Arsh у - (1 + у2У'2/2у,
что совпадает с формулой Келдыша (5.2). С ростом £ т0 растет
и Wn падает. Это вызвано тем, что при £ Ф 0 подбарьерная
траектория искривляется (ру ^=0) и тем самым увеличивается
эффективная ширина барьера. Таким образом, вероятность ионизации
максимальна при £ = 0 (линейная поляризация).
Искривление траектории приводит к отличной от нуля
составляющей импульса
Ру = ±У2Г±^-
на выходе из-под барьера. Поэтому наиболее вероятное число
поглощаемых фотонов nQ отлично от К при £ Ф 0:
пр-К = £2 /shTp у
В частности, при £ = 1
J \ j К при у» 1
2т0сШт0-1/ \2/С при v< 1
Ло [ +2T0cthT0-lJ {:
139

и при y С 1 максимальна вероятность поглощения 2/С фотонов*.
Распределение Wn по числу поглощенных квантов при £ = О
прижато к порогу п « /(, а в циркулярном поле имеет гауссов вид
<: центром в п0 194].
Зависимость вероятности от характеристик уровня аналогична
случаю постоянного поля (возрастает с ростом / и максимальна для
состояний с т = /). С увеличением степени эллиптичности
множитель Pi (ch 2a) в (5.18) также возрастает. Такая монотонная
зависимость от квантовых чисел исходного состояния является следствием
неравенства w <g co0 и нарушается в области оптических частот
(см. §5.4).
Предыдущие рассуждения относились к случаю системы,
связанной короткодействующими силами, например, отрицательных
ионов. Поэтому в области г ^ г0 (г0 — радиус связанного состояния)
действием потенциала можно пренебречь и движение электрона
определяется в основном полем волны. Однако в реальных атомах даль-
нодействующее кулоновское поле атомного остатка искажает
движение электрона на расстояниях, больших по сравнению с г0, что
приводит к существенному изменению вероятности ионизации.
Качественно роль кулоновского потенциала видна уже на
примере ионизации атомов постоянным полем [107]:
W (i) = WK0V (в) (2£Л)2\ (5.20)
где WK0V — вероятность ионизации уровня с той же энергией
связи Е = — /, но в короткодействующем потенциале; % =
= Z^Iq/I — характерный кулоновский параметр, /0 = е2/2а0; I —
потенциал ионизации рассматриваемого атомного состояния. Как
видно из (5.20), при &/80 ~ 10"2 -4- 10~8 учет кулоновского
потенциала увеличивает вероятность на 5—6 порядков. Появление
кулоновского множителя в (5.20) связано с тем, что в кулоновском
поле увеличивается плотность вероятности нахождения электрона
вдали от ядра вследствие наличия множителя (/7v)v в
асимптотическом выражении для волновой функции
Rv (r) -> (r/v)*-1 exp (— r/v), v = X/Z.
г->а0
Учитывая, что плотность тока (а с нею вероятность ионизации)
пропорциональна |/?v|2, и считая г ~ гъ = &0/(2ё]/г2Т) (гь —
ширина барьера), получаем соотношение (5.20).
В переменном поле (у > 0) подбарьерная траектория
электрона, определяющая вероятность ионизации в квазиклассическом
приближении, существенно искажается кулоновским полем при
возрастании у» и изменение вероятности уже не описывается формулой
* Конечно, это не означает, что при экспериментальном наблюдении
ионизации может наблюдаться зависимость W ($) ж $АК^ так как ШИрИНа
максимума довольно большая (~"|/^?)Г и W зависит от $ экспоненциально
{следствие условия у <С 1).
140

(5.20). Точное выражение для вероятности при учете кулоновского
поля имеет вид (5.10), (5.11) с заменой в (5.14)
я я
Т\? = j d<peK<p>-* j dyefWf (ф, р), (5.21)
— я ^я
где f (ф, р) — кулоновский форм-фактор, явное выражение для
которого приведено в работе [95]. Ввиду сложной структуры f
может быть вычислен лишь в пределе
Я0 = (//<») (1 + Екоп11) » (1 + 1/y»)S/*.
Кроме того, при интегрировании в (5.21), как и ранее,
используется метод перевала, условие применимости которого К0 > 1
эквивалентно условию применимости квазиклассики. Указанный
метод позволяет получить простое выражение
W W = ^кор («) («о/* Kl"+?)2v (5.22)
для случая циркулярной поляризации при любых у. Как следует
из работы [951, роль кулоновских сил при больших энергиях
фотоэлектрона (Е ~ I) одинаково существенна как в начальном, так
и в конечном состоянии. При уменьшении Е роль кулоновского
потенциала в конечном состоянии существенно возрастает в
результате уменьшения эффективных расстояний г в волновой функции,
дающих вклад в ионизацию. В циркулярном поле это обстоятельство
не играет роли из-за специфики правил отбора по угловому моменту,
а в линейном приводит к существенному изменению зависимости ку-
лоновской поправки от <$ и со*.
Более подробно случай линейной поляризации исследован в
квазиклассическом приближении в работах [101, 107], где показано,
что при
у <£ yk = 2//vcd (5.23)
влияние кулоновского потенциала на подбарьерное движение
можно учесть по теории возмущений. При этом yk > 1 вследствие
условия со <£ /. Физически наличие неравенства типа (5.23) связано
с тем, что при увеличении у происходит эффективное уменьшение
ширины барьера, и, начиная с некоторого значения у ~ ую
действие внешнего поля в конце подбарьерного движения становится
слабее кулоновского поля, так что учет последнего по теории
возмущений невозможен**. При у <^ 1 кулоновская поправка имеет тот
же вид, что и для постоянного поля. В противоположном случае
V » 1 (НО у « Yk) (5-24)
H7^o)(2//(o)2v-i/2e^^(l/472F, (5.25)
* Заметим, что эмпирическая поправка на кулон, введенная Л. В.
Келдышем, имеет вид (5.22) и справедлива, таким образом, лишь для
циркулярного поля [95].
** При произвольной степени эллиптичности £ ук (£) = 2//vco (1 — £2)
[107] и при £ ж 1 теория возмущений применима при любых у, что объясняет,
в частности, возможность получения формулы (5.22).
141

где К' = U/(o + 1] —v . Эта формула имеет вид формулы,
получаемой по теории возмущений, причем учет кулоновского
потенциала приводит к понижению степени многофотонности на величину
v ~ 1, которое обусловлено наличием фактора (2#0/#)2v. Следует
иметь в виду, однако, что одновременное выполнение условий (5.24)
возможно лишь в случае очень малых частот или достаточно
сильных полей:
т0»(со//)2
и не выполняется в оптическом диапазоне. Влияние кулоновских
сил на угловое распределение фотоэлектронов сводится к
незначительному сужению импульсного спектра с неизменным центром
распределения.
В квазиклассическом приближении (со < о0, # <^ &0) решены
также задачи о вычислении №Кор (#) для импульсных полей 8 (t)
[106] и влиянии статистики поля излучения на ионизацию [63].
К сожалению, описанные выше методы не позволяют корректно
рассматривать экспериментально наиболее интересный случай
ионизации атомов при со/со0 < 0,1, а также качественно выяснить
поведение W (<§) в достаточно сильных полях <§ < <§0.
§ 5.3. Ионизация частицы, связанной
короткодействующими силами,
циркулярно-поляризованным полем
В предыдущем параграфе накладывались следующие ограничения
на характерные частоты:
<о<Ссо,<Ссо0 (7<С1); 1 ,526)
Хотя во втором случае вероятность ионизации качественно имеет
характерную для теории возмущений функциональную зависимость
W ^ а&2К, численные значения коэффициента а в случае
оптических частот со ^ о)0, а также для высоковозбужденных состояний
в низкочастотном поле являются неточными ввиду приближенного
способа вычисления интегралов методом перевала. Кроме того, если
в первом случае ограничение на напряженность поля есть $ <^ #0,
то во втором оно более жесткое [$ < (со/(о0) <§0] и не позволяет
даже качественно рассмотреть область сильных полей # < #0.
Из общих соображений ясно, что методы расчетов,
использованные в § 5.2, неприменимы в случае сильных полей. В самом деле,
под действием поля уровень Е10) становится квазистационарным
(точнее говоря, переходит в квазиэнергетическое состояние с
комплексной квазиэнергией е = Re е — iI72 [см. обсуждение уравнения
(3.16)] и расчеты вероятности ионизации в § 5.2 сводились к
вычислению Г, в предположении Re e = E(t0). Очевидно, что в сильном
поле ширину уровня нельзя вычислять изолированно от сдвига,
142

поскольку изменение Ree меняет эффективную ширину барьера
и тем самым Г. Поэтому необходимо решать самосогласованную
задачу о расчете обоих параметров квазистационарного состояния.
Для частицы с малой энергией связи в постоянных электрическом
и магнитных полях такая задача была решена в работах Ю. Н. Дем-
кова и Г. Ф. Друкарева [38, 41]. Используем аналогичный подход
в задаче о распаде уровня, связанного короткодействующими
силами, в циркулярном поле*.
Из результатов § 1.2 следует, что волновая функция КЭС
*Ре (г, t) для системы в циркулярном поле имеет вид
% (г, t) = ехр (— Ш — mtlz) ф8 (г), (5.27)
где фе (г) удовлетворяет стационарному уравнению (1.40). В нашем
случае потенциал V (г) в невозмущенном гамильтониане Н0 (г) =
= р2/2т + V (г) является короткодействующим (приближение
потенциала нулевого радиуса), поэтому граничное условие для фе (г)
при г ->■ 0 (в области действия потенциала) имеет обычный для
модели б-потенциала вид [8, 40]:
<pe(r)^_L(-L —L), (5.28)
где а0 = 1/]/"— 2тЕ0] Е0 — энергия связанного состояния
гамильтониана Н0 (г). Как известно [38—40], такое граничное условие
позволяет заменить член V (г) фе (г) в уравнении Шредингера 6-
функцией У (г) фе (г) -^ — (1/2т) б (г). [Множитель l/2/n введен
для удобства.] В результате уравнение (1.40) принимает вид
£фе (г)[= (p2/2m—coL2 + е«х — в) фе (г) = (1/2т) б (г). (5:29)
Таким образом, уравнение для фе (г) формально совпадает с
уравнением для фурье-образа G (г, 0) функции Грина свободной частицы
в постоянном электрическом поле во вращающейся системе
координат.
Как уже неоднократно отмечалось, спектр квазиэнергий
системы, свободный к распаду, чисто непрерывный, и соответствующие
решения фс (г) в (5.27) образуют полную систему собственных
функций непрерывного спектра с действительными е. Однако, поскольку
нас интересует вероятность распада в единицу времени связанного
состояния с энергией Е0 под действием поля волны, будем
рассматривать (5.29) как уравнение на квазистационарные состояния с
комплексным значением величины е = Re е — iI72. Из (5.27) следует
|Т8(г, 01я ~ ехр (-17).
Согласно теории квазистационарных состояний (см., например,
[78, § 134]), уравнение (5.29) допускает решение с комплексным
значением е, если фе (г) удовлетворяет условию излучения. Соответст-
* Несколько другим способом аналогичная задача рассматривалась
в работе [ 138].
143

вующее решение легко построить, если известна запаздывающая
функция Грина уравнения
[l-^-Q}G(T9t\T99t') = i6(r-T')6(t-t').
оо
При этом фе(г) = — Г d/exp{i(e — \X)t}G(r, t\ 0), Х= +0.
2m J
— оо
Гамильтониан Q в (5.29) квадратично зависит от координат и
импульсов, поэтому функцию G можно получить методом фейнманов-
ских интегралов по траекториям. Однако она проще вычисляется
непосредственно из спектрального разложения
G (г, *; 0) = в (0 J ффР (г, t) Ф; (0),
где
(1 при/>0;
10 при t < 0;
ФР (г, f) — волновая функция свободного электрона в циркулярной
волне во вращающейся системе координат.
Интеграл по р является гауссовским, и его легко вычислить,
В результате получаем
о
. е$у ( sin Ш у \ 2е<8х . а <*>*
о \ со* / со2/ 2
—i^lf/—*_ein--2tm.
2mcoa \ со2* 2 /J/
Аналогично решению задачи в скрещенных полях [41] уравнение
для комплексной квазиэнергии е квазистационарного состояния,
возникающего из Е0 при включении поля, можно получить, выделив
в фс (г) часть, расходящуюся при г ->■ 0, и подставив затем эту функ-
цию в (5.27). Уравнение для волнового числа а"1 = V— 2те
имеет вид
"-<"-(-£П"^ехр1,(е+ад
о
X
{'-«'(-O-Vir-'-T-]')}
(5.30)
Для дальнейшего в этом уравнении удобно перейти к «ридбер-
говой» системе единиц [энергии измеряются в единицах I=ao2/2mf
144

напряженности поля в единицах &0 = ао3/(тё)]. Обозначая
Р = а/а0, имеем [90]:
Р=1_(4л1)-1/2|-^ехр(-ф^){1~
о
-exp(-iA.*[,-f^])). (5-3!)
Таким образом, характерные параметры задачи есть Л2 и б: Л =
= е<£/(йУг2т1 = 2X1 со = у1, где у — параметр адиабатичности,
введенный впервые в работе Л. В. Келдыша [66]; 26 = со//
характеризует число фотонов Ко = <//<«> + 1>» необходимое для
ионизации связанного уровня по закону сохранения энергии. Заметим, что
величина Л2 имеет также смысл отношения средней колебательной
энергии электрона в поле Екол к потенциалу ионизации: Л2 =
Рассмотрим вначале случаи больших и малых частот. При со >
> (о0 член с синусом в (5.31) можно опустить, так что е = Е0 +
+ Екол. Ширина уровня, обусловленная вероятностью
фотоионизации в этом приближении, равна нулю, так как она имеет более
высокий порядок малости по со"1: Г ~ со-5/2 (см. ниже).
Исследуем положение уровня в яме, когда частота поля удовлетворяет
неравенству со <^ о)0. Для полей с достаточно малой напряженностью
по сравнению с %0 ионизация уровня определяется «просачиванием»
частицы через барьер и носит квазиклассический характер [107].
Интеграл (5.31) для р при этом может быть вычислен методом
перевала.
Уравнение для перевальных точек в (5.31) имеет вид
sin/+i£iblL = ±/(1 + _Lj> (5.32)
где t = 26х. Если ввести переменную т0 = it, то (5.32) совпадает
с уравнением (5.19) при £ = 1 для величины т0, определяющей
полное время t0 = т0/о подбарьерного движения частицы.
Численные значения т0 для 4 ^ Л ^ 0,01 приведены в работе [107].
Для б <^ 1 уравнение (5.32) решается аналитически, и его корень,
лежащий в нижней полуплоскости t, tx = — (i/Л) (1 — 1/9Л2).
При интегрировании в (5.31) по контуру, лежащему в нижней
полуплоскости и проходящему через точку tl9 используем метод перевала.
Условие применимости метода имеет вид: Лб > 1, т. е. t <С #о-
Расчет интеграла в данном случае аналогичен вычислениям,
проведенным в работе [41].
145

В результате для энергии квазистационарного состояния,
возникающего из Е0 в низкочастотном поле, получим:
-*-т(£-)'{1+*-*}-,Г! I
г-£Н-*('-тйг)}- I
где Г — ширина уровня, определяемая вероятностью туннелиро-
вания. Полученное выражение для Г совпадает с результатами
работ [94, 102] и формулой адиабатического приближения. Как
следует из (5.33), переменное поле увеличивает ширину уровня по
сравнению с постоянным полем с той же амплитудой. Зависимость
предэкспоненциального множителя от частоты проявляется лишь
при учете членов ~ Л~4. При со = 0 формулы (5.33) переходят
в выражения для энергии в постоянном электрическом ноле,
полученные впервые в работе Ю. Н. Демкова и Г. Ф. Друкарева [38].
Сдвиг уровня в (5.33) определяет квадратичный эффект Штарка
и может быть вычислен по теории возмущений. В приближении
со <^ (о0 легко могут быть вычислены также поправки высших
порядков по напряженности поля к сдвигу уровня. Для этого член
с синусом в (5.31) следует разложить в ряд, ограничиваясь двумя
членами. Разлагая затем экспоненту в ряд и интегрируя почленно,
получаем уравнение для (5, интегрируя которое, можно получить |i
в желаемом порядке <§2п с учетом членов ~ co2g2/l.
Ширина уровня при таком способе вычисления равна нулю,
поскольку она является неаналитической функцией $ и не может быть
получена по теории возмущений. При учете первых трех членов
сдвиг уровня
-F-«,(1+J5L-')-- <5-34)
Как известно, ряд теории возмущений для сдвига уровня в
постоянном поле асимптотический и при о = 0 коэффициенты при ё2п
быстро возрастают с увеличением п. При со Ф 0 ситуация несколько
усложняется. Как будет показано ниже, коэффициенты при <82п
в (5.34) при п > /С0~//(о — осциллирующие функции со и поэтому
не могут быть разложены в степенной ряд по со2. Следовательно,
для со > 0 выражение (5.34) определяет асимптотическое
разложение сдвига Де при #->- 0 с точностью до /С0"го члена.
Как было отмечено в работе [38], для атомов сдвиг Ае может быть
значительно больше, чем в модели б-потенциала. Так, для атома
водорода в основном состоянии аналогичное разложение имеет вид
[87]
Де= - #2(1 + 1,4768со2) — &(\ +38,653со2) —... (5.35)
2 65
146

Когда условие со <^ со0 не выполняется, предыдущие
рассуждения неприменимы. Рассмотрим общий случай произвольных
значений параметра со, считая выполняющимся условие <$ < #0.
Уравнение для определения энергии в этом случае удобнее записать
в виде
оо
У1 = 1-(4я1)-"2 j -^-exp(-i£0 x
О
x{l-exp(i-^sin26/)j, (5.36)
где I = (£кол — е)//.
Выражение (5.36) можно получить из (5.31) добавлением и
вычитанием в фигурных скобках члена ехр (— iA2/). Разлагая
экспоненту с синусом в (5.36) в степенной ряд и интегрируя его
почленно, получаем разложение
^6"в1-2(тГ*я' (5-37)
где
R _ 1 у (-1Г(Е + 2т6)"+ж/2
71 2/г+1 ^ (л—т)! (я + т)!
Так как параметр Л пропорционален $, то формула (5.37)
представляет собой фактически ряд теории возмущений Бриллю-
ена—Вигнера по напряженности поля для энергии £. Как и должно
быть, коэффициент при ё2п содержит члены типа £ ± 2пб,
соответствующие взаимодействию с я-фотонами. Последовательными
итерациями из (5.37) можно получить выражения для
действительной и мнимой части е в виде ряда по степеням #2.
При этом для заданной частоты со ширина, соответствующая
многофотонной ионизации, проявляется при учете членов с п ]> К0,
где минимальное число квантов, необходимое для ионизации,
К0 = {I + EKOJl)/(o. Ряд для сдвига уровня начинается с членов
порядка #2, соответствующих квадратичному эффекту Штарка.
Ограничимся вначале учетом членов ~ #2. Энергия уровня
в этом приближении
Де = г - Е0 = - а28\ # (5.38)
гдеа2(о))--^-£+-^ {(1 + со)»/» + (1 - <о)3'2} - Ди-
намическая поляризуемость, определяющая квадратичный эффект
147

Штарка уровня Е0. При со<1 а2 разлагается в сходящийся
степенной ряд:
«.H-JLy Г (2^+5/2) ц
Если учесть первые члены ряда, для Де получим выражение,
совпадающее со сдвигом энергии (5.33) в «туннельном» случае. При
со > 1 открыт канал однофотонной ионизации и а2 имеет мнимую
часть, которая определяет ширину уровня
Тг (со) = 16 $2 (со — 1)3/2/Зсо4. (5.39)
Как следует из (5.39), ширина имеет корневую особенность на
пороге ионизации, достигает максимума при со ~ 1,6 и быстро убывает
с увеличением частоты. Re a2(co) возрастает с увеличением со,
достигает максимума вблизи порога ионизации, переходит через нуль
при со ~ 2,3 и стремится к асимптотическому значению а2 = —4/со2.
Это соответствует тому, что при высоких частотах Де = Екол.
Так как электрон в яме имеет орбитальный момент I = О, то
поляризуемость а2 имеет вид (5.38) также для поля с произволь-
ной эллиптической поляризацией [см. (1.39)] $ (/) = {#cos со/,
£ sin со/, 0}, 0^?^ 1- При этом в выражении (5.38) для Де
член с #2 имеет дополнительный множитель (1 + £2)/2,
соответствующий тому, что в эллиптически поляризованном поле средняя
колебательная энергия электрона есть £кол = (1 + £2) #2/2со2.
В результате учета членов более высокого порядка по #2 при
итерациях уравнения (5.37) получаются поправки следующих
порядков по напряженности поля к сдвигу и ширине уровня. В этом
оо
смысле коэффициенты а2п в разложении Де = — 2 агп (©) $2п
есть динамические гиперполяризуемости соответствующих
порядков. Так, для п = 2
«4И = -^{/И + /(-со)>, (5.40)
где
/(со) = 32+15со2 + 1-(7-со2)К1-=^2"+4 Зй)2+14а)-32 х
х}Л—со —(1+2со)5/2-
При со < 1 выражение в фигурных скобках порядка со8, и
а4 (со) совпадает с результатом адиабатического приближения (5.34).
Разложение а4 (со) в степенной ряд сходится при со < 1/2. Из
мнимой части а4#4 при 1/2 ^ со ^ 1 получается ширина уровня
Г2 (со) = (128#4/15со8) (2со — I)5/2, соответствующая вероятности
двухфотонной ионизации. При со > 1 величина Im a4#4 дает
поправки ~ #4 к однофотонной ширине 1\ (со).
148

При выполнении условия мсо < 1 изменение энергии Де
действительно во всех порядках по полю до п включительно. При этом
первые п итераций ряда (5.37) дают первые п членов разложения
сдвига уровня в асимптотический ряд по степеням #2.
Коэффициенты а2п (<*>) в области частот <о < 1/п могут быть разложены в
сходящийся степенной ряд по о2. При со > l/n Re a2n(co) осциллирует,
причем в /г-ном порядке возникает п осцилляции. Сравнение
первых двух членов ряда показывает, что поправками высших порядков
по напряженности поля к штарковскому сдвигу уровня можно
пренебречь вплоть до Щ ж 0,05 $0.
При \1{п — 1) > со > \/п открыт канал n-фотонной ионизации.
Соответствующая n-фотонная ширина (5.37)
ГЛ(©) = ! ((iiV"(nw-£)"-H/2. (5.41).
В нулевом приближении £ есть 1 + Л"2.
Наличие корневых особенностей типа (5.41) на пороге
ионизации циркулярным светом было отмечено также в работе А. И. Ни-
кишова и В. И. Ритуса [94]. Величина Еп = яш — £ определяет
энергию фотоэлектрона. Так как при поглощении п циркулярное
поляризованных фотонов S-электрон получает орбитальный момент
I = /г, то из решения классической задачи о движении электрона
в циркулярном поле следует, что вероятность малых значений Еп
сильно подавляется с увеличением п в отличие от случая линейной
поляризации, где вероятность пропорциональна Ехп12 или Еъп12
для четных и нечетных п соответственно.
Следует отметить, что пока канал /г-фотонной ионизации
закрыт (со < 1/п), функция Ап (со) = — i (— l)n Тп (со)
действительная и дает поправку ~ $2п к сдвигу уровня, причем вклад ее
уменьшается до нуля по мере приближения со к 1/п. При со->0 члены
~ со* (k ^ 4п — 1), возникающие при разложении Ап (оа) в ряд
по со2, сокращаются с соответствующими членами, появляющимися
при я-й итерации уравнения (5.37). В результате вклад ширины
закрытого канала я-фотонной ионизации в штарковскии сдвиг
2/г-го порядка при со ->- 0 определяется величиной
(-')л!*|с;+1/Ч(и!сй(2!,
(2/г+1)!
где С^ — биномиальный коэффициент.
Для выполненных к настоящему времени экспериментов по
многофотонной ионизации атомов наиболее интересен случай Л< 1,
причем весьма актуальным является вопрос о границах^
применимости первого неисчезающего порядка теории возмущений для описа-
149*

ния ионизации. Ширина уровня Г^2) с учетом поправки ~ #2
в нашей задаче имеет вид (для Л <^ 1 полагаем £ = 1)
г<» и = г„ и (1 + -U 4-У [rt-^ \^}1^LY^ +
{ 4/г + б V со2 / [л+1 I /гсо — 1 J
2/z + 3
+2(1—/mo)+ —^т (2/1 + 2-/1(0)^]};
! ПС°-1 (5.42)
/?! = -L [2 — (1 + О))3/2 — (1 —0))3/2].
Поправки к первому неисчезающему порядку в слабых полях
складываются из членов двух типов. Во-первых, поправка, связанная
с прямой (п + 1)-фотонной ионизацией (первый член в квадратной
скобке). Она существенна вблизи порога, где Тп (со) ~ 0, и
меняет энергетическое распределение фотоэлектронов. Во-вторых,
поправки к Гп дают процессы с переизлучением фотонов (второй
член в квадратной скобке), не меняющие энергетического спектра
фотоэлектронов.
Как показывает анализ формулы (5.42), процессы с
переизлучением фотонов дают малый вклад во всей области частот, и поправки
к первому неисчезающему порядку определяются процессами с
поглощением большего числа фотонов. Применимость теории
возмущений определяется в основном малостью параметра (4#/со2)2.
Это условие удобнее записать в виде
Л2 « 1//CS или £Кол « IIKI (5.43)
Для задачи о многофотонном возбуждении в двухуровневой системе
аналогичное условие применимости теории возмущений было
получено в работе [42]. Следует иметь в виду, что оценка (5.43) является
довольно грубой, так как члены в квадратной скобке (5.42) имеют
резкую частотную зависимость.
Таким образом, условия применимости теории возмущений для
сдвига и ширины уровня в переменном поле существенно
различаются. Поэтому формула (5.41) неприменима при со <£ со0, когда для
ионизации требуется много фотонов. Для вычисления ширины в
этом случае используем соотношение, которое можно проверить
непосредственным вычислением,
где 12m — модифицированная функция Бесселя.
При m > Ко верхний предел в интеграле по х чисто мнимый.
Тогда, делая замену переменных х = im6t//A, выражение (5.37)
перепишем в виде
]/|-1 = -|;(А]2"^. + |г, (5.44)
150

где Rn9 отличается от Rn в (5.37) тем, что при п > К0
суммирование по т начинается с т = К0- Сумма в (5.44) действительная
и определяет сдвиг уровня. Ширина
ГМ = Т"Е j hn{2ny)dy. (5.45)
Если не учитывать сдвиг уровня, т. е. считать g = 1 -f Л"2, то
выражение (5.45) с точностью до множителя, учитывающего отличие
асимптотики волновой функции частицы в яме конечного радиуса
от функции частицы в б-потенциале, совпадает с формулой (67)
работы [102] для вероятности ионизации S-уровня в
короткодействующем потенциале циркулярно-поляризованной волной. Так как
интеграл в (5.45) для со <<С со0 подробно исследован в работе [102],
здесь не приводим громоздкие окончательные формулы, а заметим
лишь, что при Л > 1 результат совпадает с (5.33).
Для выяснения точности различных приближений проведено
численное решение уравнения (5.36) методом итераций. В качестве
нулевой итерации в правой части полагалось £ = 1. Результаты для
сдвига уровня в слабых полях совпадают с квадратичным сдвигом
(5.38), по мере увеличения Щ отклонение от квадратичной
зависимости становится существенным. При малых частотах учет членов
четвертого порядка оправдан, пока вносимая ими поправка меньше
квадратичного слагаемого.
Для ширины уровня отклонение от степенной зависимости
$2К° наступает при значительно меньших напряженностях поля
& ~ $кр> причем #кр уменьшается с уменьшением со в
соответствии с (5.43). Зависимость ширины уровня от параметра Л при
фиксированной частоте для ряда значений со приведена на рис. 5.2.
Как следует из рисунка, с увеличением % ф = Лсо/2) происходит
переход от «многофотонного» к «туннельному» механизму
процесса ионизации. На рис. 5.3 приведены кривые частотной зависимости
Г (со) для ряда фиксированных значений Л. (Напряженность поля
& на каждой кривой уменьшается пропорционально со.)
Характерной является тенденция к сглаживанию зависимости от частоты
с уменьшением со. Таким образом, при со < со0 и Л < 1 ширина
уровня определяется лишь параметром Л. ~
Существенно отметить, что для Л < 1 при решении уравнения
(5.36) необходимо проводить несколько итераций по £ Для
получения правильного значения Г. При этом точное значение Г меньше,
чем вычисленное в нулевом приближении. Так, для со = 0,2/
и Л = 0,8 результаты различаются в полтора раза. Это означает,
что для сильных полей ширину уровня нельзя вычислить
изолированно от сдвига. Причину этого легко понять из классического
рассмотрения, если учесть, что сдвиг Ае понижает уровень £0,
увеличивая тем самым ширину барьера и уменьшая вероятность
туннелирования. Напомним в связи с этим, что формулы для ве-
151

роятности ионизации, полученные в работах [66, 94, 103, 107], дают
«улевое приближение в указанном выше смысле, поэтому для
достаточно сильных полей они могут давать завышенные результаты.
В заключение рассмотрим вопрос о применении полученных
результатов к отрицательным ионам. В этом случае следует учесть,
что приближение потенциала нулевого радиуса дает минимальное
значение Де для класса короткодействующих потенциалов с одним
Рис. 5.2. Зависимость ширины Рис. 5.3. Частотная зависи-
уровня от параметра Л при мости ширины уровня при
различных значениях частоты со фиксированных значениях Л
связанным состоянием [38]. Асимптотическое поведение волновой
функции 5-электрона в отрицательном ионе
отличается множителем В от волновой функции частицы в 6-по-
тенциале. Взаимодействие с полем при Щ С #о определяется
матричными элементами оператора S • г, для которых существенны
расстояния г, удаленные от ядра, поэтому, учитывая те же
соображения, что и при использовании методов МКД и ММП для расчета
многофотонных процессов в атомах (см. гл. 2), в формулы для а2п
и Г7г (со) следует ввести множитель В2. Так, для иона Н" В2 = 2,8.
С учетом этого множителя для статической поляризуемости имеем
ос9 (0) = 226 а. е. Наиболее точные расчеты, использующие вариа-
1-52

ционную волновую функцию с 96 параметрами, дают а2 (0) =
= 206 а. е. [112]. Сечение фотораспада Н", вычисленное по формуле
(5.39) с учетом В2, также хорошо согласуется с экспериментом и
точными расчетами. (Соответствующее сравнение проведено в работе
[112].)
§ 5.4. Теория возмущений
для многофотонной ионизации атомов
Перейдем теперь к рассмотрению процесса ионизации атомов
излучением оптических частот, который представляет наибольший
интерес для экспериментальных исследований [36]. Практически во
всех экспериментах, выполненных к настоящему времени,
используется излучение основной и второй гармоник импульсных
твердотельных лазеров на рубине и неодимовом стекле с напряженностью
поля вплоть до # ~ 5 • 107 в/см = 0,01 #0. В этих условиях
значения параметра Л"2 для щелочных атомов и благородных газов,
которые исследованы наиболее полно, значительно больше единицы,
а пороговое число квантов К0 < Ю. Поэтому есть основания
считать, что реализуется «многофотонный» механизм ионизации с
поглощением фиксированного числа фотонов N, если резонансы в
дискретном спектре отсутствуют. Следуя терминологии работы [36],
процесс ионизации в этих условиях будем называть прямым.
Получим общее выражение для вероятности Л^-фотонной
ионизации в первом неисчезающем порядке теории возмущений. Точный
матричный элемент перехода удобно представить в виде [в отличие
от (5.7) и (5.12)]
Af„ = <*)•> (г, t)\V(ry 01 Т,(г, /)>,
где Чг)0) — волновая функция непрерывного спектра свободного
атома с энергией Ef = p2/2, имеющая на больших расстояниях вид
плоской и сходящейся сферической волн и нормированная на 8-
функцию от волнового вектора ке = р,
^0)(r,0-exp(-if/0l/(-^ 2 (-i)Lexp[-i8£.(£,)]X
xREfL{r)Yw(^yiM{^y (5.46)
где REfL (г) — радиальная волновая функция непрерывного
спектра с энергией Ef\ ke = У%Щ\ Sl — парциальная фаза рассеяния
электрона на остаточном ионе; Ф,- (г, /) — точная волновая функция,
переходящая при /-*— с» в начальное состояние атома Чг}0) (г) х
х ехр [— \E\0)t]. Так как внешнее поле предполагается слабым,
то в разложении типа (5.8) ип « (#/#о)л> 8* = £'0) + &et ~
« Et0) (в нерезонансном случае сдвиг квазиэнергии можно не учи-
7 Зак. 2208
153

тывать, поскольку Aet <^ со). Положительно-частотную часть
оператора дипольного взаимодействия V (г, /) удобно записать в виде
V+(r) = -.L*e.r,
где е = е_! sin г|) — ег cos г|) — вектор поляризации излучения.
Угол 0 ^ гр ^ я/2 связан со степенью эллиптичности, причем
г|? = я/4 соответствует линейной поляризации вдоль оси х, г|э =
= 0 (я/2) — правой (левой) циркулярной поляризации.
Используя теорию возмущений (см. гл. 1) для расчета Ч^ (г, /),
амплитуду Af-фотонной ионизации Т\^ в (5.8) в первом неис-
чезающем порядке по $ представим в виде
Tf>= V^2iL*bLYj±-) <RBfLYui\V+(rN)x
X GEi0) + t^i^(rN9 rN-1). ... • G£/tj)e (r2, rJ-V+^IO. (5.47)
Полная вероятность ионизации определяется выражением (5.11)
с усреднением по магнитным квантовым числам начального
состояния (ввиду условия у > 1 членом с £кол в аргументе б-функции
можно пренебречь). Для конкретного типа связи угловых моментов
электрона и остова (5.47) можно представить в виде комбинации
приведенных матричных элементов с помощью теоремы Вигнера—
Эккарта. Для упрощения получающихся при этом громоздких
выражений пренебрежем мультиплетной структурой в возбужденных
состояниях (учет мультиплетного расщепления уровней существен
лишь в случае близости к резонансу) и ограничимся случаем
начального S-состояния (lt = 0). После интегрирования по углам
вероятность [35]
[ЛГ/2]
WN = W&+2nL-\ У AW-sin^, (5.48)
гле [N/2] — целая часть JV/2;
Wtf = -^»L-LI-)N 177,.*.., ...,2|2, (5.49)
(2/V+l)!!\ F0) '
вероятность ионизации для циркулярно-поляризованного света;
all = a (a — 2) • ... • 1; F = с#2/(8жо) — плотность потока
фотонов, слг* • сек'1; F0 = с/2яа§ = 3,22 • 1034 смг* • сек'1 —
атомная единица плотности потока;
Tl.in_x i, = <REt,L(rN)\rNglN_i(Er + [N-l]^
154

— радиальный составной матричный элемент; gi (Е\ г, г')—
радиальная часть функции Грина. Выражения для Affl в общем случае
довольно громоздкие, поэтому выпишем Л# для N = 2, 3 А/}] =
= (WW — w№)/2n (<oF/F0)N и N = 4:
4 ю
-T210+ — T2i2 + —T,
23z
2 \L\T ,
735 ' 432'
Л<2) =
M>10 + — ' 012
о
8 I Т |2 L 4<!»
1575 |/432' 3 Л* *
Вероятность ионизации для линейно-поляризованного света
F\iv ^ 1
W
)Х
'w-i «;
ХСЬ (/;..... Гы-i) TL. ,„_, ,. ^l.^-i ii« (5-50)
где
С (J2,..., In-i)
(1-eii.o + 2e/ii8)(/.eliili.1 + /ieliili+1)....
l-3.(2/a+l)...(2/^1 + l)
6/, /' — символ Кронекера. Суммирование в (5.50) ведется по всем
/, удовлетворяющим условию li+i = lt ± 1.
Прежде чем перейти к качественному анализу полученных
выражений, сделаем несколько общих замечаний. Как видно из (5.48),
основная техническая сложность расчетов по теории возмущений
заключается в вычислении составных матричных элементов 7\
которые существенно зависят от структуры спектра конкретного
атома и не могут быть представлены в виде некой универсальной
функции. Таким образом, в отличие от случая у <^ 1, когда иониза
ция определяется далекими «хвостами» волновых функций, при
у ^ 1 абсолютное значение вероятности существенно зависит от
структуры взаимодействия на малых расстояниях. Это согласуется
и с результатами квазиклассического приближения (см. § 5.2, где
показано, что при у > 1 точка выхода из-под барьера смещается
в область~малых г).
Для примера сравним выражение для вероятности двухфотон-
ной ионизации циркулярным полем частицы в короткодействующем
потенциале W*0? (см. § 5.3) и основного состояния атома водорода
W*. Для атома водорода аналитический расчет матричного
элемента Т2 возможен с использованием интегрального представления
кулоновской функции Грина [109]. Окончательное выражение
можно представить в виде
Wh = ^кор фкул> (5.51)
7*
155

где кулоновский множитель
*л со2 \ 1 +v у L2-v \l-v / 4-v I V '
Fi (а> Р» Р'> У> х> У) — гипергеометрическая функция Аппеля от
двух переменных;
Ф (s) = Fx (s + 2 — v; 3 — i/p, 3 + i/p, s -f 3 — v; xt x*);
v = (l—o))-i/2; p = (2(o —1)>/2; jc = i±5Lexp(— 2arctgvp);
1—V
со измеряется в единицах потенциала ионизации. Как следует из
(5.52), структура фкул весьма сложная. Отметим, что на пороге
ионизации (р ->- 0) W^ конечна и имеет локальный максимум,
тогда как W*op убывает пропорционально р5/2. Кроме того, UPJ
имеет полюсы при со = 1 — 1/д2, соответствующие резонансам на
возбужденных состояниях с главным квантовым числом п> причем
в интервале между двумя соседними полюсами существует частота
со0, при которой фКул (о)0) = 0*. Аналогичными свойствами
обладают также матричные элементы 7\ /^__, ..., /2 в (5.49) и в случае
неводородного атома.
Типичные кривые дисперсионной зависимости W[l>c) (со) для
трехфотонной ионизации атомов гелия из метастабильного 23sx-
состояния приведены на рис. 5.4 [54]. Как уже говорилось,
характерной особенностью является резонансность кривых, причем
ширина и положение резонансов определяются структурой спектра
атома. Обращение вероятности в нуль в случае циркулярной
поляризации связано с тем, что в формулу (4.49) входит лишь один
матричный элемент 7\ отвечающий последовательному увеличению
орбитального момента электрона на единицу при поглощении
каждого кванта. Это объясняется тем, что при поглощении каждого
циркулярно-поляризованного фотона магнитное квантовое число
электрона должно изменяться на + 1 (— 1) для право(лево-)-поля-
ризованного света. Учет недипольности взаимодействия или
релятивистских эффектов приводит лишь к некоторому смещению точки
(о0. Отличное от нуля значение вероятности при о = со0 получается
лишь в высших порядках теории возмущений. Это означает, что
при экспериментальном измерении вероятности ионизации
излучением с частотой о ~ (о0 показатель степенной зависимости W от F
может быть больше К0 при достаточно узкой спектральной ширине
линии излучения.
В линейно-поляризованном поле магнитное квантовое число
в виртуальных состояниях не меняется (Am = 0) и возможны
различные комбинации орбитальных моментов электрона в виртуаль-
* Подробные численные расчеты вероятностей ионизации для водорода
при N < 16 в широком интервале частот выполнены Каруле [64, 186].
156

ных состояниях, допускаемые правилами отбора А/ = ± 1.
Поэтому величины CLlN_x itTLtiN_x Zi в (5.50) можно
рассматривать как парциальные амплитуды для данного набора /2, ..., L,
а амплитуда Тц ) в этом случае представляет собой сумму
амплитуд вероятностей перехода электрона в непрерывный спектр по
различным ветвям.
Интересен вопрос об отношении вероятностей R = W^/wW-
Как показывают расчеты, в большинстве случаев в сумме (5.50)
' 13,0 13,8 14,6 15,4 16,2 G),10SCM1
Рис. 5.4. Дисперсионная зависимость вероятности г3 =Тз *
Х0,93-10~80 Ff, сек~\ трехфотонной ионизации атома гелия из
триплетного 23«Si-состояния
максимальным является матричный элемент Tn%n-\ 2-
Опуская остальные члены, получаем оценку [189]
R = (2N — l)\\/N\. (5.53)
Это соотношение дает верхнюю границу для R и в ряде случаев
может нарушаться. Во-первых, оценка (5.53) несправедлива при
со ~ со0, где DHv0 ~ 0, a WJP ф 0 при учете членов с L< N
в сумме (5.50). Во-вторых, при определенных частотах Wn]
может иметь промежуточные я-фотонные резонансы на уровнях с
орбитальным моментом I < /г, которые в WW не проявляются. При
этом WW > WW (см. рис. 5.4). С увеличением N вероятность
таких почти резонансных ситуаций возрастает (исключением
является атом водорода, у которого резонансы w№ и Wtf
совпадают). Кроме того, при больших N число матричных элементов,
157

опущенных в (5.50), быстро растет и, как показывают расчеты для
водорода [169], их суммарный вклад начинает превышать Ты, лл—i 2
при N ^ 5. Таким образом, оценка (5.53) качественно справедли
ва лишь при малых N. В случаях же больших N эффективность
ионизации линейно-поляризованным светом становится больше Wn*
в качественном согласии с квазиклассическим рассмотрением
(возможно, это связано с улучшением параметра квазиклассичности
о) = 1/м <£ 1).
В квазиклассическом приближении (N > 1) отношение R
систематически уменьшается с увеличением N. Это связано с тем, что
в квазиклассике не учитывается структура спектра связанных
состояний и R определяется лишь отношением вероятностей вылета
фотоэлектрона в состояниях с различным орбитальным моментом L
при фиксированной энергии. При этом из классических
соображений вероятность больших значений L (L = N в циркулярном поле)
сильно подавлена.
Значительно более полную информацию о процессе ионизации
можно получить, исследуя свойства фотоэлектронов. В работе [159]
сообщается о первых попытках экспериментального исследования
в этом направлении. Для полей, при которых применима теория
возмущений, энергетический спектр электронов определяется законом
сохранения энергии Ef = /C0w — /, и отношение вероятностей
различных значений энергии Ef пропорционально отношению
вероятностей ионизации на частотах со = (Ef + 1)1 Kq.
Угловое распределение фотоэлектронов существенно зависит от
поляризации поля. Так как в случае эллиптической поляризации
общие формулы весьма громоздки, приведем выражения dWN/dQ
для линейной и циркулярной поляризации. В циркулярном поле
амплитуда ионизации (5.47) пропорциональна сферической функции
Ynn (К)у используя для которой явное выражение [21], получаем
^-^-""yfffriner, (5.54)
dQ 6я
где 6 — угол между волновыми векторами электрона и фотона.
Отсюда видно, что, во-первых, изменение частоты не меняет форму
распределения по углам вылета. Во-вторых, импульс
фотоэлектрона лежит в основном в плоскости вращения электрического вектора
волны и dW/dQ изотропно в этой плоскости.
Амплитуда ионизации (5.47) для линейно-поляризованных
фотонов
1 if
/т(т)\1Ч'(«--Н]:
xPL(cosP) 2 CL(l%%...%lN-.\)TL9lN_x ,„ (5.55)
'JV-1 '«
158

где суммирование ведется по четным или нечетным L в зависимости
от четности или нечетности N\ р — угол между ке и Щ\ 8L = oL +
+ i)L\ <*l = arg Г (L + 1 — i/ke)\ y\L — некулоновская часть
фазы рассеяния на атомном остатке; PL — полином Лежандра.
Используя известное соотношение для произведения полиномов
Лежандра
Ph (со* Р) Р /. (cos Р) = *2а (Cjfo/.o)» Pi (cos р),
получаем для углового распределения следующее выражение:
Суммирование проводится по четным значениям L. Коэффициент
B(l есть комбинация матричных элементов Т, в частности
RlN) 2N (2У)» г „
Из-за различной частотной зависимости Tl, iN_x /, форма
распределения существенно зависит от частоты. Аналогично (5.54)
dWW/dQ максимально при р = 0, т. е. ке лежит в плоскости,
перпендикулярной волновому вектору фотона к. Однако между (5.54)
и (5.56) существует качественное различие: (5.54) изотропно в пло-
скости $ (/), а (5.56) имеет пик, когда ке параллелен #. Это следует
из соотношения cos р = sin 6 • cos Ф (Ф — угол отклонения ке
от плоскости векторов Щ и к) в полном соответствии с законами
классической механики. Существенно отметить также зависимость
dWW/dQ от фазовых соотношений между амплитудами с
различными L, следующую из (5.55).
Поскольку с точки зрения кинематики многофотонная
ионизация представляет собой реакцию с участием (N + 1)-й частицы:
Е\0) + N(u-+Ef (ядро предполагается бесконечно тяжелым),
стандартными методами теории поляризации частиц в формализме мат-
трицы плотности можно рассмотреть эффекты поляризации
фотоэлектронов при ионизации поляризованных и неполяризованных
атомов. Однако в нерезонансной ионизации эффекты поляризации
незначительны и вряд ли могут представлять экспериментальный
интерес, поэтому мы на них не останавливаемся*.
Обсудим теперь вопрос о точности дипольного приближения,
использованного нами при расчете вероятности Wn, и роли недиполь-
ных членов в V (г, t). Обычное условие применимости дипольного
приближения в однофотонных переходах
* Некоторые общие соотношения приведены в работе [185].
159

kr0 = — r0 <£ 1 или, в атомных единицах, аса — ~ асо < 1 (5.57)
модифицируется в многофотонных переходах. Так, уже из
квазиклассического рассмотрения [107] следует, что поле должно быть
однородным не только на расстояниях порядка атомных (г ~ г0), но
и на больших расстояниях — порядка ширины барьера г&/г0 =
= (So/g) [1 + (1 + y2)172!"1. Поэтому условие (5.57) для малых
частот заменяется более жестким:
l/—
V тс2
тс2 1 + T/1+Y2
«1, (5.58)
которое тем не менее хорошо выполняется в атомах, где
В оптическом диапазоне условие (5.57) может нарушаться в двух
случаях. Во-первых, в областях минимумов дисперсионной
зависимости Wn (о)) (в особенности для циркулярного поля, где Wn]
имеет нули). Как показывают расчеты, частотный интервал Доз
вблизи со0, где недипольные члены существенны, составляет, как
правило, 1—2 см'1. Во-вторых, при наличии промежуточного
резонанса между двумя состояниями \п} и |д'> одинаковой
четности, запрещенного в дипольном приближении. При этом малость
матричного элемента квадрупольного перехода Т%П' ~ «aw х
x<njr2|n'> по сравнению с дипольным TD ~ <п1\г\п2У
компенсируется малостью знаменателя (ow ± со)"1 в составном
матричном элементе и вклад квадрупольных членов становится
определяющим. Поэтому условие (5.57) для многофотонных переходов
следует переписать в виде
а(о£(°0)-^0)±со<<1, (5.59)
где | 1> и |2> — ближайшие друг к другу уровни различной
четности, переходы с которых на уровень | 0> разрешены
соответственно в дипольном и квадрупольном (или магнитно-дипольном)
приближении.
Оценка вклада недипольных членов в вероятность двухфотон-
ной ионизации лития, где на частоте со = 31 283 см'1, близкой к
частоте квадрупольного перехода |2S> — |3d>, наблюдается
провал в зависимости W2 (со) в дипольном приближении, показывает
[195], что вклад квадрупольных членов в этом случае является
определяющим в интервале частот Асо « 50 см'1. Наблюдение резо-
нансов на квадрупольных переходах представляет значительный
экспериментальный интерес в связи с возможностью
экспериментального измерения квадрупольных сил осцилляторов переходов,
измерение которых обычными методами оптической спектроскопии весьма
затруднительно. В работе [194] впервые измерен матричный элемент
<5р2Рз/2|г2| 4/> в чатоме натрия указанным способом.
Использовалось излучение двух лазеров с частотой а>1э резонансной пере-
160

ходу 3S—ЗР, а частота со2 настраивалась в резонанс с уровнями
5p2Pi/2, 3/2 и 4/, квадрупольно связанными с Зр2Рз/2- Малая
спектральная ширина линии о2 (Асо « 0,02 см"1) позволила также
измерить тонкое расщепление подуровней 5р2Р\/2, з/2, хорошо
совпадающее с теоретическими расчетами.
§ 5.5. Численные расчеты вероятностей
нерезонансной ионизации
и сравнение с экспериментом
Обсудим вопросы, связанные с численным расчетом атомных
параметров, определяющих вероятность ионизации Wn = onFn9
где on — сечение многофотонной ионизации, cm2N • секм~~1.
Основная техническая трудность состоит в расчете составных
матричных элементов Tl it в (5.48), определяющих on.
Различные подходы, используемые для этой цели, были рассмотрены в гл. 2.
Наиболее точные расчеты по методу Далгарно и Левиса [155] с
учетом реалистического атомного потенциала V (г) в одноэлектронном
приближении проведены лишь для N = 2 [153, 210], так как с
увеличением N возрастают сложности численного интегрирования
неоднородных дифференциальных уравнений. Для N > 2 расчеты
аналогичным методом проводились лишь для атома водорода в
работах [168, 169], где указаны также причины накопления
погрешности при расчете матричных элементов высших порядков.
Как было показано в гл. 2, наиболее удобным методом учета
вклада виртуальных состояний в матричные элементы
многофотонных переходов является метод функций Грина. В частности,
используя кулоновскую функцию Грина (§2.1), сечение двухфотонной
ионизации вычисляется аналитически через функции Аппеля Fx
(5.52), а при N > 2 результат выражается в виде быстросходящих-
ся многократных рядов, которые были рассчитаны вплоть до N = 16
[64]. Для сложных атомов используется функция Грина в
приближении МКД или ММП.
В МКД задача сводится к численному расчету интегралов от
функций Уиттекера М и W [54], поэтому расчеты для'М ^ 4
также становятся затруднительными, в особенности для
линейно-поляризованного света, где число радиальных матричных элементов
в (5.50) быстро растет с ростом N. В ММП выражение для Т
представляется в виде (N— 1)-кратного ряда гипергеометрического типа:
тЭДаг-, /,= 2 Af.LltN_lkN_l....'Al„l,klit, (5.60)
л1 kN — 1
где А пропорциональны матричным элементам р в (2.57) и (2.58).
В этом методе исключается возможность накопления погрешности
методов численного интегрирования и расчеты во многом
аналогичны случаю атома водорода [204].
161

Для примера, иллюстрирующего точность различных методов,
в табл. 5.1 [204] приведены сечения двухфотонной ионизации
щелочных атомов излучением вторых гармоник рубинового и неодимового
лазеров, рассчитанные в различных приближениях.
Экспериментальные значения R для со = 2cow в атомах К и Cs равны
соответственно 1,2 и 1,28 [35]. Напомним, что для эллиптической
поляризации из (5.48)—(5.50) следует
Хувлл/щц = (!_£) sin2 ^ + R C0S2 ^
Число слагаемых, учитываемых в сумме (5.60) в методе ММП,
сравнительно невелико и, аналогично случаю динамических поляризуе-
мостей (§ 3.2), разложение Т в ряд по матричным элементам от
функций Штурма является быстросходящимся.
Таблица 5.1
Сравнение сечений двухфотонной ионизации щелочных атомов,
рассчитанных различными методами, см* сек
Атом
Li
Na
К
К
Rb
Rb
Cs
Cs
(0
2о)л
2сол
2wN
2<ол
2a,N
2ш«
2u>N
Расчет в
приближении ММП [204]
G</>
1,14(49)
5,52(52)
7,24(50)
1,12(49)
3,61(49)
6,12(50)
4,16(49)
1,55(48)
R
1,32
0,91
1,05
1,21
1,23
1,45
1,14
1,28
Теория
[137
с(о
7,8(50)
6,1(53)
3,1(50)
3,2(49)
5,10(50)
2,2(49)
2,6(49)
1,1(49)
Теория
1 [ 153]
а
2,11(49)
5,50(50)
7,11(48)
1,12(47)
3,76(47)
Расчет в
приближении МКД [35]
G(/)
2,42(49)
6,25(52)
3,08(50)
1,61(49)
1,80(49)
2,53(50)
2,52(49)
7,41(49)
R
1,42
0,89
1,08
1,16
1,28
1,44
1,09
1,36
Теория [210]
G<'>
7,42(50)
3,62(52)
1,39(49)
2,05(52)
R
1,24
1,20
1,06
0,05
Волновые функции, полученные в приближении МКД и ММП,
наименее точны для основных состояний, поэтому при конкретных
расчетах в качестве волновой функции начального состояния в Т
можно использовать функции, известные из более точных расчетов.
Хотя метод расчета при этом перестает быть самосогласованным,
в ряде случаев замена может быть физически оправдана. Это
справедливо, в частности, для переходов из 5-состояний в состояния с
большим орбитальным моментом /. В этом случае состояния с / ^ 1
удовлетворительно описываются полуэмпирическими методами, а
S-волна может быть уточнена из других расчетов.
Для выяснения вопроса о чувствительности сечений к выбору
функций начального состояния приведем рассчитанные значения
о[1) (со = (on) для атомов калия и рубидия в приближении МКД:
а4 (Rb) = 1,32 - 10"107 см8 . сек\ а4 (К) = 4,3 • К)-107 см8 • секъ
и с хартри-фоковскими функциями основных состояний, уточнен-
,162

ными по методу псевдопотенциала [234]: с4 (Rb) = 0,87 X
X 10-107сж8 • сек\ а4 (К) = 1,33 . К)-108 см6. сек*. Таким образом,
сечение ионизации калия чувствительно к выбору волновой
функции начального состояния. Для сечения однофотонной ионизации
аналогичная чувствительность была отмечена Ситоном [227].
Для сравнения а# при различных частотах и степени много-
фотонности N в табл. 5.2 приведены сечения ионизации основных
состояний атомов щелочных металлов для всех значений N,
возможных на частотах рубинового и неодимового лазеров и их вторых
Таблица 5.2
Сечение много фотонной ионизации атомов щелочных металлов
излучен нем первой и второй гармоник рубинового
о N Л/ 1
и неодимового лазеров, смг1 -сек™ 1
Атом
Cs
Rb
Li
К
Na
w,
2
2
3
4
2
2
3
4
2
3
4
о
2
2
3
4
2
3
3
5
(0
2(*N
2(0*
vR
*»R
2aN
aR
2(0„
2(0*
uR
2(0*
(0*
2<*N
W
7,41-10-49
2,52-10-49
9,57-10-78
l,09-10-i°7
1,80-10~49
2,5310-6o
1,14 10-78
l,3210-i°7
2,42-10-49
7,1410-82
3,52-10-i°6
1,37-10-137
1,6b 10-49
3,08-10-ьо
1,87- Ю-'»
4,38-10-i°7
6,2610-ьа
9,33-10-78
2,32-10-78
3,96-10-138
o(c)
l,0110-4e
2,74-10-49
1,36-10-77
l,8310-i°7
2,3110-49
3,62-10-50
2,68-10-78
2,67-10-i°7
3,44-10-49
3,21-10-83
7,64-10-i°6
5,08-10-137
1,87-10-49
3,32-10-60
4,60-10-7»
l,76-10-i°e
5,56.10-и
2,33-10-77
7,78-Ю-79
l,5210-i39
aN
2,89-10-49
1,08-10-49
1,90-10-77
7,74-10-60
1,11-10-50
3,55-10-78
6.09-10-49
3,44-10-82
6,86-10-50
1,35-10-?°
6,41-Ю-7»
3,08-10-62
1,88-Ю-7?
2,61 10-78
bN
5,70-10-49
1,96-10-49
7,38-10-77
1,4810-49
2,4410-50
1,48- Ю-7?
1,42-10-49
1,23-10-82
1,3910-49
2,41-Ю-*0
2,29 10-79
3,67-10-62
1,09-10-76
5,34-10-78
CN
6,03-10-49
1,47-10-49
2,7010-77
1,38-10-49
2,16.10-6°
5,33-10-78
[2,05-10-49
6,39-10-83
1,12-Ю-49
1,98-10-50
9,1510-79
3,32-10-5*
4,63- Ю-77
1,55-Ю-7»
163

гармоник (N = 2 -г- 5), рассчитанные в приближении МКД [35].
Там же приведены коэффициенты углового распределения
фотоэлектронов для N = 2 и 3 при линейной поляризации поля [см. (5.56)]:
dWiP/dQi = FN {aN + bN cos2 p + cN cos4 P).
Аналогичные расчеты могут быть выполнены также для
основных состояний благородных газов, где N ^ 10. Однако следует
иметь в виду, что при большой степени многофотонности
предпоследний квант попадает обычно в область густо расположенных
верхних уровней, где условия
нерезонансности могут
нарушаться. Кроме того, для
наблюдения ионизации при больших
N ^ 10 требуются
значительные напряженности поля
ё ^ 107 в/см, что увеличивает
вероятность возникновения
резонансных ситуаций за счет
существенного изменения
положения и уширения уровней в
поле*. Таким образом, при
расчетах в этих случаях необходима
специальная проверка
выполнения условий нерезонансности в
каждом конкретном случае.
Из-за наличия большой
энергетической «щели» между
основными и возбужденными
состояниями в спектрах благородных
газов при ионизации из первого
возбужденного состояния
степень нелинейности значительно
меньше (N = 3-^-5). Поэтому исследование ионизации возможно
в полях с & ~ 106 в/см, типичных для ионизации атомов
щелочных металлов. Экспериментально измеренные сечения
нерезонансной трехфотонной ионизации метастабильных 21 5-и 23 S-состояний
гелия [9] хорошо согласуются с расчетами МКД и ММП.
Методы экспериментального измерения вероятностей ионизации
и условия реализации и наблюдения прямого процесса достаточно
подробно изложены в обзоре [36].
В работе [171] измерено сечение двухфотонной ионизации цезия
при линейной поляризации излучения в достаточно широком
интервале частот. На рис. 5.5 приведено сравнение W3KC% с
результатами расчетов Бебба [137] и ММП [204]. Как следует из рисунка,
дисперсионная зависимость W{1£ (со) в приближении ММП близка
2,5 со,эд
Рис. 5.5. Сравнение вероятности
двухфотонной ионизации атома
цезия из основного состояния,
рассчитанной в приближении ММП
(/), с экспериментом (2) и
расчетами Бебба (3)
* Прямой процесс 11-фотонной ионизации Хе при
исследован экспериментально в работе [2].
5 , 107 в/см
164

к экспериментальной. В то же время расчеты Бебба [137],
учитывающие лишь конечное число членов в суммах по промежуточным
состояниям, дают значительные погрешности в области
межрезонансных минимумов.
Для ряда атомов получены экспериментальные отношения
вероятностей для линейного и циркулярно-поляризованного света.
Результаты сравнения с расчетами по методу МКД приведены в
Ю'т
Ю'1
9250 9500 9400 9500 со, см'1
Рис. 5.6. Зависимость сечения Gs=Ws!F5 пя-
тифотонной ионизации атома натрия от
частоты излучения в поле линейной
поляризации (сплошная линия) и в поле круговой
поляризации (штриховая линия).
табл. 5.3. Следует отметить, что экспериментальные данные для
W(n/W{n -'являются значительно более точными по сравнению с
точностью измерения абсолютных значений Wn и дают возможность
более полного сравнения теории и эксперимента. Как видно из
табл. 5.3, наблюдается хорошее согласие R9KCn и #теор> за
исключением пятифотонной ионизации Na. В этом случае расхождение
может быть связано с тем, что в поле круговой поляризации при
<о ~ (0^ сечение падает до нуля (см. рис. 5.6), в связи с чем
точность теоретического расчета в области со ~ оо# может резко
ухудшаться. Для выяснения этого факта необходимы дополнительные
измерения на частотах, близких к со#.
165

Таблица 5.3
Сравнение экспериментальных и теоретических значений
отношения oiP/crfc* для атомов щелочных металлов
Атом
Na
К
Cs
Rb
N
3
3
1 5
2
3
4
2
3
4
3
(0, 96
2,36
1,78
1,18
2,36
1,78
1,18
3,56
1,78
1,18
1,78
Эксперимент [35]
2,44-20%
0,43±4%
2±20%
0,83±30%
0,38±4%
0,6±30%
0.78±16%
0,45±6%
0,25
0,46±6%
Расчет МКД
3
0,4
14
0,86
0,4
0,25
0,92
0,7
0,36
0,43
Из приведенных сравнений следует, что при напряженностях
поля вплоть до 5 • 10е в/см теория возмущений хорошо описывает
как поляризационную зависимость, так и абсолютное значение
сечений нерезонансной многофотонной ионизации при значениях
степени многофотонности N < 5.
К настоящему времени выполнено также большое число
экспериментальных работ, в которых наблюдалась резонансная
многофотонная ионизация. К сожалению, проведение детального
сравнения теории и эксперимента по этому вопросу весьма
затруднительно, так как вероятность резонансной многофотонной ионизации
чувствительна к эффектам немонохроматичности и некогерентности
излучения, сильному возмущению полем высоковозбужденных
резонансных уровней, влиянию поля на состояния непрерывного спектра.
Не имея возможности останавливаться здесь на изложении этих
вопросов, ограничимся указанием на работы [2, 34, 36, 61, 66, 75,
126, 129, 134, 172, 166, 193, 213, 233], в которых
рассматриваются различные аспекты резонансной многофотонной ионизации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адонц Г. Г., Кочарян Л. М. Вращение эллипса поляризации в условиях
одно- и двухфотонного резонанса. — «Оптика и спектроскопия», 1976,
т. 40, с. 719.
2. Алимов Д. Т., Делоне Н. Б. Ионизация атомов в сильном световом
поле. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1976, т. 70, с. 29.
3. Амусья М. Я., Черепков Н. А., Шапиро С. Г. Расчет мультипольных
поляризуемостей и констант Ван-дер-Ваальса благородных газов. —
«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1972, т. 63, с. 889.
4. Арутюнян В. М., Канецян Е. Г., Чалтыкян В. О. Поляризационные
эффекты при прохождении излучения через резонансную среду. —
«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1972, т. 62, с. 908.
5. Арутюнян В. М., Папазян Т. А., Адонц Г. Г. и др. Резонансное
вращение плоскости поляризации в парах калия. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1975, т. 68, с. 44.
6. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.,
«Наука», 1969.
7. Бадалян Н. Н., Ирадян В. А., Мовсесян М. Е. Вынужденное рассеяние
в парах рубидия. — «Письма в ЖЭТФ», 1968, т. 8, с. 518.
S. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и
распады в нерелятивистской квантовой механике. М., «Наука», 1971.
9. Бакош И., Делоне Н. Б., Киш А. и др. Трехфотонная ионизация атома
гелия из метастабильных состояний. — «Журн. эксперим. и теор. физ.»,
1976, т. 71, с. 521.
10. Бебб X., Голд А. Многофотонная ионизация атомов водорода и
благородных газов. — В сб.: Действие лазерного излучения. Пер. с англ. Под
ред. Ю. П. Райзера. М., «Мир», 1968, с. 85.
11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, 2. Пер.
с англ. М., «Наука», 1973.
12. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская
квантовая теория. Ч. 1. М., «Наука», 1968.
13. Бете Г., Солпитер 3. Квантовая механика атомов с одним и двумя
электронами. Пер. с англ. М., «Физматгиз», 1960.
167

14. Бломберген Н. Нелинейная оптика. Пер. с англ. Под ред. С. А. Ахмано-
ва и Р. В. Хохлова. М., «Мир», 1966.
15. Бломберген Н. Вынужденное комбинационное рассеяние света. —
«Успехи физ. наук», 1969, т. 97, с. 307.
16. Бонч-Бруевич А. М., Пржибельский С. Г., Ходовой В. А., Чигирь Н. А.
Исследование спектра поглощения двухуровневой системы в
интенсивном немонохроматическом поле излучения. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1976, т. 70, с. 445.
17. Бонч-Бруевич А. М., Ходовой В. А. Многофотонные процессы. — «Усп.
физ. наук», 1965, т. 85, с. 3.
18. Бонч-Бруевич А. М., Ходовой В. А. Современные методы исследования
эффекта Штарка в атомах. — «Успехи физ. наук», 1967, т. 93, с. 71.
19. Бункин Ф. В., Прохоров А. М. Возбуждение и ионизация атомов в
сильном поле излучения. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1964, т. 46,
с. 1090.
20. Бурштейн А. И., Смирнов Г. Н. Усреднение столкновительнои структуры
спектров Штарка и Зеемана. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1973,
т. 65, с. 2174.
21. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория
углового момента. Л., «Наука», 1975.
22. Ветчинкин С. И., Христенко С. В. Применение кулоновской функции
Грина к расчету взаимодействия атома водорода с полем световой
волны во втором порядке теории возмущений. — «Оптика и
спектроскопия», 1968, т. 25, с. 650.
23. Виноградов А. В., Юков Е. А. О новом методе повышения частоты
излучения мощных лазерных импульсов. — «Письма в ЖЭТФ», 1972,.
т. 16, с. 631.
24. Волькенштейн М. В. Молекулярная оптика. Л., Гостехиздат, 1951.
25. Воронов Г. С. О зависимости вероятности многофотонной ионизации
атомов от интенсивности. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1966, т. 51,
с. 1496.
26. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.,.
«Наука», 1967.
27. Глушко Б. А., Дрампян Р. X., Мовсесян М. Е., Чалтыкян В. О. Влияние
интенсивности излучения на вращение плоскости поляризации в
магнитном поле. — В кн.: Тезисы докл. VIII Всесоюзной конф. по когерентной,
и нелинейной оптике. Т. 1. Тбилиси, «Мецниереба», 1976, с. 343.
28. Голдстоун Дж. Обоснование метода Бракнера в задаче многих тел. —
В сб.: Вопросы квантовой теории многих тел. Пер. с англ. М., Изд-ва
иностр. лит., 1959, с. 98.
29. Гольдбергер И., Ватсон К. Теория столкновений. Пер. с англ., М., «Мир»„
1967.
30. Гореславский С. П., Яковлев В. П. Двухуровневая система в
резонансном поле переменной амплитуды. — «Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1973,.
т. 37. с. 2211.
31. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М., «Наука», 1971.

32. Давыдкин В. А., Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П.
Квадратичный эффект Штарка на атомах. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1971 г
т. 60, с. 124.
33. Давыдов А. С. Квантовая механика. М., «Наука», 1973.
34. Делоне Г. А., Зон Б. А., Петросян К. Б. Исследование возмущения
атомных состояний в поле эллиптической поляризации. — «Письма в ЖЭТФ»,
1975, т. 22, с. 519.
35. Делоне Г. А., Манаков Н. Л.у Преображенский М. А., Рапопорт Л. П.
Поляризационные эффекты при многофотонной ионизации щелочных
атомов. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1976, т. 70, с. 1234.
36. Делоне Н. Б. Многофотонная ионизация атомов. — «Успехи физ. наук»„
1975, т. 115, с. 361.
37. Делоне Н. Б., Зон Б. А., Крайнов В. П., Ходовой В. А. Нерезонансное
возмущение атомного спектра в сильном световом поле. — «Усп. физ.
наук», 1976, т. 120, № 1, с. 3.
38. Демков Ю. Н., Друкарев Г. Ф. Распад и поляризуемость
отрицательного иона в электрическом поле. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1964„
т. 47, с. 918.
39. Демков Ю. Н., Монозон Б. С, Островский В. Н. Уровни энергии атома
водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях. — «Журн.
эксперим. и теор. физ.», 1969, т. 57, с. 1431.
40. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса
в атомной физике. Л., Изд-во ЛГУ, 1975.
41. Друкарев Г. Ф., Монозон Б. С. Частица с малой энергией связи в
скрещенных электрическом и магнитном полях. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1971, т. 61, с. 956.
42. Зарецкий Д. Ф., Крайнов В. П. Резонансное возбуждение атомных
уровней в сильном электромагнитном поле. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1974, т. 66, с. 537.
43. Зельдович Я. Б. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной
электромагнитной волне. — «Успехи физ. наук», 1973, т. ПО, с. 139.
44. Зон Б. А. Квадратичный эффект Штарка в эллиптически-поляризован-
ном поле. — «Оптика и спектроскопия», 1974, т. 36, с. 838.
45. Зон Б. А. О радиоизлучении, возникающем при фокусировке лазернога
луча в резонансной среде. — «Письма ЖТФ», 1975, т. 1, с. 315.
46. Зон Б. А. Теоретическое изучение возмущения спектра атома
водорода излучением С02-лазера. — «Оптика и спектроскопия», 1977, т. 42„
с. 13.
47. Зон Б. А., Кацнельсон Б. Г. Перестройка атомного мультиплета в
сильном световом поле. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1973, т. 65, с. 947.
48. Зон Б. А., Кацнельсон Б. Г. Двухуровневая система в
немонохроматическом внешнем поле. — «Изв. вузов. Радиофизика», 1973, т. 16, с. 375.
49. Зон Б. А., Кацнельсон Б. Г. Резонансное рассеяние мощного
электромагнитного импульса квантовой системой. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1974, т. 67, с. 930.
50. Зон Б. А., Кацнельсон Б. Г. О правилах отбора для электромагнитных
переходов атома в сильном световом поле. — «Оптика и спектроскопия»,
1976, т. 40, с. 952.
169

51. Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Двухфотонные
связанно-связанные переходы в кулоновском поле. — «Журн. эксперим. и теор. физ.»,
1968, т. 55, с. 924.
52. Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Полуфеноменологическая
функция Грина оптического электрона в атоме. — «Докл. АН СССР»,
1969, т. 188, с. 560.
53. Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Многофотонное
возбуждение атомов. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1971, т. 60, с. 1264.
54. Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Теория возмущений для
многофотонной ионизации атомов. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1971,
т. 61, с 968.
55. Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Кулоновские функции Грина
в jc-представлении и релятивистская поляризуемость водородоподобного
атома. — «Ядерная физика», 1972, т. 15, с. 508.
56. Зон Б. А., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Спектр водородоподобного
атома в поле лазерного излучения. — «Оптика и спектроскопия», 1975,
т. 38, с. 13.
57. Зон Б. А., Преображенский М. А. Тонкая структура спектров
многофотонного возбуждения атомарного водорода. — В кн.: Тезисы докл.
XVIII Всесоюзной конф. по спектроскопии. Горький, Изд-во ГГУ, 1977,
с. 59.
58. Зон Б. А., Рапопорт Л. П. Двухфотонный распад 25-уровня
водорода. — «Письма в ЖЭТФ», 1968, т. 7, с. 70.
59. Зон Б. А., Уразбаев Т. Т. Атом в магнитном и резонансном световом
полях. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1975, т. 68, с. 2010.
59а. Зон Б. А., Уразбаев Т. Т. Магнитное вращение эллипса поляризации
мощного излучения в резонансной среде. — «Журн. прикл.
спектроскопии», 1978, т. 28, № 3, с. 425.
60. Зон Б. А., Шолохов Е. И. Квазиэнергетический спектр дипольной
молекулы и атома водорода. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1976, т. 70,
с. 887.
61. Казаков А. Е., Макаров В. П., Федоров М. В. Резонансная ионизация
атомов. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1976, т. 70, с. 38.
62.. Каплан А. Е. Динамика двухуровневой системы в сильном резонансном
поле с переменной частотой и амплитудой. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1975, т. 68, с. 823.
63. Карапетян Р. В. К теории ионизации атома стохастическим
электромагнитным полем. — «Изв. вузов. Радиофизика», 1975, т. 18, с. 236.
64. Каруле Э. М. Сечение многофотонной ионизации атома водорода для
/г^ 16. — В сб.: Атомные процессы. Под ред. Р. К. Петеркопа. Рига,
«Зинатне», 1975, с. 5.
65. Кастлер А. Оптические методы изучения низкочастотных резонансов. —
«Успехи физ. наук», 1967, т. 93, с. 5.
66. Келдыш Л. В. Ионизация в поле сильной световой волны. — «Журн.
эксперим. и теор. физ.», 1964, т. 47, с. 1945.
67. Кертис А. Д. Волновые функции Кулона. Пер. с англ. М., изд. ВЦ АН
СССР, 1969.

68. Кобзарев И. Ю. Теория перекрывающихся резонансов. М., изд. МИФИ,
1971.
69. Коварский В. А. Многофотонные переходы в дискретном спектре атомов
и процессы ионизации в сильном электромагнитном поле. — «Журн. экс-
перим. и теор. физ.», 1969, т. 57, с. 1631.
70. Коварский В. А. Многофотонные переходы. Кишинев, «Штиница», 1974.
71. Коварский В. А., Перельман Н. Ф. Многофотонные процессы при
резонансном рассеянии света атомами. — «Жури, эксперим. и теор. физ.»т
1971, т. 60, с. 509.
72. Конингстайн И. А. Введение в теорию комбинационного рассеяния
света. Пер. с англ. М., «Мир», 1975.
73. Конторович В. М., Прохоров А. М. О нелинейных эффектах
взаимодействия резонансных полей в молекулярном генераторе и усилителе. —
«Журн. эксперим. и теор. физ.», 1957, т. 33, с. 1428.
74. Королев Ф. А., Бахрамов С. А., Одинцов В. И. ВКР в парах рубидия
с перестройкой частоты вблизи резонанса. — «Письма в ЖЭТФ», 1970,
т. 12, с. 436.
75. Котова Л. П., Терентьева М. В. Резонансная ионизация атомов в поле
сильной электромагнитной волны. — «Журн. эксперим. и теор. физ.»,
1967, т. 52, с. 732.
76. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М., «Наука», 1973.
77. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., «Наука», 1973.
78. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. М., «Наука», 1974.
79. Летохов В. П., Чеботаев В. П. Принципы нелинейной лазерной
спектроскопии. М., «Наука», 1975.
80. Лисица В. С. Атом водорода во вращающемся электрическом поле. —
«Оптика и спектроскопия», 1971, т. 31, с. 862.
81. Макаров В. П., Федоров М. В. О тонкой структуре уровней атомовт-
благородных газов в поле интенсивной резонансной волны. — «Краткие
сообщ. по физике» (ФИАН), 1976, № 7, с. 9.
82. Манаков Н. Л., Овсянников В. Д. Изменение поляризационных свойств
электромагнитной волны атомами во внешних полях. — «Квантовая
электроника», 1975, т. 2, с. 1943.
83. Манаков Н. Л., Овсянников В. Дм Рапопорт Л. П. Генерация
оптических гармоник на атомах. — «Квантовая электроника», 1975, т. 2, с. 43.
84. Манаков Н. Л., Овсянников В. Д., Рапопорт Л. П. Атомные расчеты
по теории возмущений с модельным потенциалом. — «Оптика и
спектроскопия», 1975, т. 38, с. 206.
85. Манаков Н. Л., Овсянников В. Д., Рапопорт Л. П. Эффект Штарка на
сверхтонкой структуре атомов. — «Оптика и спектроскопия», 1975, т. 38,
с. 424.
86. Манаков Н. Л., Овсянников В. Д., Рапопорт Л. П. Теория возмущений
для квазиэнергетического спектра атомов в интенсивном
монохроматическом поле. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1976, т. 70, с. 1697.
87. Манаков Н. Л., Преображенский М. А., Рапопорт Л. П. Нелинейные
восприимчивости атомарного водорода. — «Оптика и спектроскопия»,
1973, т. 35, с. 24.
171

'38. Манаков Н. Л., Преображенский М. А., Рапопорт Л. П. Вероятности
нерезонансной ионизации благородных газов. — В кн.: Тезисы докл.
VII Всесоюзной конф. по когерентной и нелинейной оптике. М., Изд-во
МГУ, 1974, с. 328.
89. Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Кулоновская функция Грина в
параболических координатах. — «Оптика и спектроскопия», 1972, т. 33, с. 988.
90. Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П. Частица с малой энергией связи в цир-
кулярно-поляризованном поле. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1975,
т. 69, с. 842.
■91. Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П., Файнштейн А. Г. Квазиэнергетические
состояния плоского ротатора в циркулярно-поляризованной волне. —
«Теор. и мат. физика», 1977, т. 30, с. 395.
-92. Маныкин Э. А., Рязанов М. И. О нелинейных оптических эффектах на
кратных частотах. — В сб.: Взаимодействие излучения с веществом. М.,
Атомиздат, 1966, с. 123.
D3. Никишов А. И., Ритус В. И. Квантовые процессы в поле плоской
электромагнитной волны и постоянном поле. — «Журн. эксперим. и теор.
физ.», 1964, т. 46, с. 776.
"94. Никишов А. И., Ритус В. И. Ионизация систем, связанных
короткодействующими силами, полем электромагнитной волны. — «Жури, эксперим.
и теор. физ.», 1966, т. 50, с. 255.
"95. Никишов А. И., Ритус В. И. Ионизация атомов полем электромагнитной
волны. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1967, т. 52, с. 223.
96. Норман Г. Э. Обоснование метода квантового дефекта. — «Оптика и
спектроскопия», 1963, т. 12, с. 333.
97. Ноткин Г. Е., Раутиан С. Г., Феоктистов А. А. К теории спонтанного
испускания атомов, находящихся во внешнем поле. — «Журн. эксперим.
и теор. физ.», 1967, т. 52, с. 1673.
"98. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. Пер. с англ. М., «Мир», 1969.
99. Овсянников В. Д. Эффекты высших порядков в процессах
взаимодействия атомов с электромагнитным полем. Канд. дис, Воронеж, В ГУ, 1976.
100. О'Нейл Э. Введение в статистическую оптику. Пер. с англ. М., «Мир»,
1Э73.
101. Переломов А. М., Попов В. С. Ионизация атомов в переменном
электрическом поле, III. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1967, т. 52, с. 514.
102. Переломов А. М., Попов В. С, Терентьев М. В. Ионизация атомов в
переменном электрическом поле, I. — «Журн. эксперим. и теор. физ.»,
1966, т. 50, с. 1393.
103. Переломов А. М., Попов В. С, Терентьев М. В. Ионизация атомов в
переменном электрическом поле, II. — «Журн. эксперим. и теор. физ.»,
1966, т. 51, с. 309.
104. Петрашень М. И., Абаренков И. В., Березин А. А., Эварестов Р. А.
Применение схемы Хартри—Фока для расчета электронных центров в
ионных кристаллах. — В сб.: Проблемы теоретической физики. Л., Изд-во
ЛГУ, 1974, с. 208.
105. Подгорецкий М. И., Хрусталев О. А. О некоторых интерференционных
явлениях в квантовых переходах. — «Успехи физ. наук», 1963, т. 81,
с. 217.
172

106. Попов В. С. Метод «мнимого времени» в задачах ионизации атомов и
рождения пар. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1972, т. 63, с. 1586.
107. Попов В. С, Кузнецов В. П., Переломов А. М. Квазиклассическое
приближение для нестационарных задач. — «Журн. эксперим. и теор. физ.»,
1967; т. 53, с. 1586.
108. Попова Т. Я., Попов А. К., Раутиан С. Г. и др. О резонансных
радиационных процессах. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1969, т. 57,
с. 444.
109. Рапопорт Л. П., Зон Б. А., Манаков Н. Л. Двухфотонная ионизация
атома водорода. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1969, т. 56, с. 400.
ПО. Раутиан С. Г., Собельман И. И. Форма линии и дисперсия в области
поглощения с учетом вынужденных переходов. — «Журн. эксперим. и
теор. физ.», 1961, т. 41, с. 456.
111. Ритус В. И. Сдвиг и расщепление атомных уровней полем
электромагнитной волны. — «Журн. эксперим. и теор. физ.», 1966, т. 51, с. 1544.
112. Смирнов Б. М. Атомные столкновения и элементарные процессы в
плазме. М., Атомиздат, 1968.
113. Смирнов Б. М., Чибисов М. И. Разрушение атомных частиц
электрическим полем и электронным ударом. — «Журн. эксперим. и теор. физ.»,
1965, т. 49, с. 841.
114. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М., Физматгиз;
1963.
115. Тер-Микаэлян М. Л. Резонансная нелинейная оптика. Препринт № 74-11
ИФИ АН АрмССР, 1974.
116. Фано У., Купер Дж. Спектральное распределение сил осцилляторов
в атомах. Пер. с англ. М., «Наука», 1972.
117. Федоров М. В. Штарк-эффект в атоме водорода в присутствии
интенсивной резонансной волны. — «Квантовая электроника», 1975, т. 2,
с. 2429.
118. Федоров М. В. Расщепление атомных уровней в сильном магнитном
поле в присутствии интенсивной резонансной волны. — «Изв. вузов.
Физика», 1976, № 12, с. 117.
119. Христенко С. В., Ветчинкин С. И. Асимптотические разложения в
теории возмущений по 1/z для вероятности резонансных переходов в
щелочных атомах. — «Оптика и спектроскопия», 1971, т. 31, с. 503.
120. Христенко С. В. Штурмовские разложения функций Грина для
простейших систем. — «Теор. и мат. физика», 1975, т. 22, с. 31.
121. Хьеу Нгуен Ван. Спектральное представление нелинейных восприимчи-
востей твердых тел. — «Теор. и мат. физика», 1976, т. 27, с. 115.
122. Шуберт М., Вильгельми Б. Введение в нелинейную оптику. Пер. с нем.
М., «Мир», 1973.
123. Янке Е., Эдме Ф., Леш Ф. Специальные функции: формулы, таблицы,
графики. Пер. с англ. М., «Наука», 1968.
124. Abarenkov I. V., Heine I. The model potential for positive ions. — «Phi-
los. Mag.», 1965, v. 12, p. 529.
125. Adelman S. A., Szabo A. Coulomb approximation for analytic multipole
polarizabilities of ground- and excited-state atoms. — «Phys. Rev. Lett.»,
1972, v. 28, p. 1427.
173

126. Agostini P., Lecompte C. Resonant multiphoton ionization of kripton with
a single-mode laser. — «Phys. Rev. Lett.», 1976, v. 36, p. 1131.
127. Alexander M. H. Exact treatment of the stark effect in atomic hydrogen.—
«Phys. Rev.», 1969, v. 179, p. 34.
128. Angel J. R. P., Sandars P. G. H. The stark-effect on the hyperfine
structure. — «Proc Roy. Soc», 1968, v. A305, p. 125.
129. Armstrong L., Brian Lee Beers. Resonant multiphoton ionization via the
Fano autoionization formalism. — «Phys. Rev.», 1975, v. A12, p. 19.
130. Atkins P. W., Barron L. D. Quantum field theory of optical birefringence
phenomena. I. Linear and nonlinear optical rotation. — «Proc. Roy. Soc»,
1968, v. A304, p. 303.
131. Atkins P. W., Barron L. D. Quantum field theory of optical birefringence
phenomena. II. Birefringence induced by static and optical electric fields.—
«Proc. Roy. Soc», 1968, v. A306, p. 119.
132. Atkins P. W., Miller M. A. Quantum field theory of optical birefringence
phenomena. III. Birefringence induced by magnetic field. IV. The inverse
and optical Faradey effects. — «Molec. Phys.», 1968, v. 15, p. 491, 503.
133. Autler S. H., Townes С. Н. Stark effect in rapidly varying fields. — «Phys.
Rev.», 1955, v. 100, p. 703.
134. Bakos J. S. Multiphoton ionization of atoms. — «Advances Electronics and
Electron Phys.», 1974, v. 36, p. 57.
135. Bates D., Damgaard A. The coulombic approximation for calculation of
oscillator strengths. — «Philos. Trans. Roy. Soc», 1949, v. A242„
p. 101.
136. Bayfield J. E., Koch P. M. Multiphoton ionization of highly excited
hydrogen atoms. — «Phys. Rev. Lett.», 1974, v. 33, p. 258.
137. Bebb H. B. Quantitative theory of the two-photon ionization of the alkali
atoms. — «Phys. Rev.», 1966, v. 149, p. 25; Theory of three-photon
ionization of the alkali atoms. — «Phys. Rev.», 1967, v. 153, p. 23.
138. Berson I. J. Multiphoton ionization and stimulated bremsstrahlung
radiation in the case of short-range potentials. — «J. Phys. B: Atom, and Molec
Phys"», 1975, v. 8, p. 3078.
139. Bhattacharia A. K., Sengupta S., Mukherjii A. Coupled Hartree-Fock
calculation of the electric dipole hyperpolarizabilities: He-sequence. — «Intern.
J. Quant. Chem.», 1972, v. 6, p. 337.
140. Biswas S. N., Haque S. N., Mohan M. Two-Raman-photon emission in an
intense electromagnetic field. — «Phys. Rev.», 1974, v. A9, p. 631.
141. Bloom D. M., Bekker G. W., Young J. F., Harris S. E. Third harmonic
generation in phasematched alkali metal vapors. — «Appl. Phys. Lett.»,
1975, v. 26, p. 687.
142. Bloom D. M.t Yong J. F., Harris S. E. Mixed metal vapor phase matching
for third-garmonic generation. — «Appl. Phys. Lett.», 1975, v. 27,
p. 390.
143. Born M., Heisenberg W. Dber den Einflus der Deformierbarkeit der Lonen
auf optische und chemische Konstanten. — «Z. Phys.», 1924, Bd 23, S. 388.
144. Bradley D. J., Gale G. M., Smith P. D. Stimulated stokes and antistokes
electronic raman scattering by selectively excited potassium and rubidium
atoms. — «J. Phys. B: Atom, and Molec. Phys.», 1974, v. 4, p. 1349.
174

145. Braunlich P., Lambropoulos P. Detection of single stimulated two-photon
emission from metastable deuterium atoms. — «Phys. Rev. Lett.», 1970,
v. 25, p. 135.
146. Braunlich P., Hall R., Lambropoulos P. Laser induced quenching of
metastable deuterium atoms. — «Phys. Rev.», 1972, v. A5, p. 1013.
147. Buckingham A. D. Birefringence resulting from the application of an
intense beam of light to an isotropic medium. — «Proc. Phys. Soc», 1956,
v. B69, p. 344.
148. Buckingham A. D., Dunmur D. A. Kerr effect in inert gases and sulphur
hexafluoride. — «Trans. Faraday Soc», 1968, v. 64, p. 1776.
149. Burgess F., Seaton M. J. A general formula for the calculation of atomic
photoionization cross sections. — «Monthly Notices Roy. Astron. Soc»,
1960, v. 120, p. 121.
150. Carman R. L., Lowdermilk W. H. Observation of stimulated antistokes ra-
man scattering in iverted atomic iodine. — «Phys. Rev. Lett.», 1974, v. 33.
p. 190.
151. Chang T. Y. Kerr effect in atoms and molecules. — «J. Chem. Phys.», 1972,
v. 56, p. 1745.
152. Chang T. Y. Cotton-Mouton effect in atoms and molecules. — «J. Chem.
Phys.», 1972, v. 56, p. 1752.
153. Choudhury B. J., Gupta R. P. Two-Photon ionization of alkali atoms. —
«Phys. Lett.», 1974, v. A50, p. 377.
154. Dalgarno A., Drake G. W. F., Victor G. A. Nonadiabatic long-range
forces. — «Phys. Rev.», 1968, v. 176, p. 194.
155. Dalgarno A.t Lewis J. T. The exact calculation of long-range forces
between atoms by perturbation theory. — «Proc. Roy. Soc», 1955, v. A223,
p. 70.
156. Dalgarno A., Victor G. A. The time-dependent coupled Hartree-Fock
approximation. — «Proc Roy. Soc», 1965, v. A291, p. 291.
157. Drake G. W. F.T Cohen M. Dipole hyperpolarizabilities of S-state atoms
and ions in the first two rows. — «J. Chem. Phys.», 1968, v. 48,
p. 1168.
158. Dubreuil В., Ransor P., Chapelle J. Effect of a C02-laser beam on the H5
line, emitted by a low pressure hydrogen discharge. — «Phys. Lett.», 1972,
v. 42, p. 323.
159. Edelstein S., Lambropoulos M., Duncanson J., Berry R. S. Angular
distribution of electrons from two-photon ionization of Ti atoms. — «Phys.
Rev.», 1974, v. A9, p. 2459.
160. Epstein I. Optical properties of atoms and molecules calculated by a time-
dependent coupled Hartree-Fock method. — «J. Chem. Phys.», 1970, v. 53,
p. 1881.
161. Fedorov M. V., Makarov V. P. On a thin structure of atomic spectra in an
intense resonance electromagnetic field. — «Opt. Comm.», 1975, v. 14,
p. 421.
162. Finn R. S.f Ward J. F. DC-induced optical second-harmonic generation in
the inert gases. — «Phys. Rev. Lett.», 1971, v. 26, p. 285.
163. Fiutak J. The multipole expansion in quantum theory. — «Canad. J. Phys.»,
1963, v. 41, p. 12.
175

164. Gavrila M. Elastic scattering of photons by a hydrogen atom. — «Phys
Rev », 1967, v. 163, p. 147.
165. Gibbons P. C, Ramsey N. F. Electric field dependence of the atomic
hydrogen hyperfine separation. — «Phys. Rev.», 1972, v. A5, p. 73.
165a. Gibbs H. M. Incoherent resonance fluorescence from a Rb atomic beam
excited by a short coherent optical pulse. — «Phys. Rev.», 1973, v. A8,
p. 446.
166. Goeppert-Мауег M. Dber Elementarakte mit zwei Quantaisprungen. —
«Ann. Physik», 1931, B. 9, S. 273.
167. Gontier Y., Trahin M. Multiphoton ionization of atomic hydrogen in the
ground state. — «Phys. Rev.», 1968, v. 172, p. 83.
168. Gontier Y., Trahin M. Multiphoton processes in a hydrogen atom. —
«Phys. Rev.», 1971, v. A4, p. 1896.
169. Gontier Y., Trahin M. Multiphoton ionization induced by circularly
polarized radiation. — «Phys. Rev.», 1973, v. A7, p. 2069.
170. Gould H., Lipworth E., Weisskopf M. С Quadratic stare shift between
Zeeman substates in alkali atoms. — «Phys. Rev.», 1969, v. 188, p. 24.
171. Granneman E. H. A., Van der Wiel M. J. Two-photon ionization
measurements on atomic cesium by means of an argon ion laser. — «J. Phys. B:
Atom, and Molec. Phys.», 1975, v. 8, p. 1617.
172. Granneman E. H. A., Klewer M., Nygaard K. J., Van der Wiel M. J.
Polarization effect in resonant two photon Ionization of Cs. — «J. Phys. B:
Atom, and Molec. Phys.», 1976, v. 9, p. 87.
173. Grischkowsky D., Armstrong J. A. Self-defocusing of light adiabatic
following in rubidium vapor. — «Phys. Rev.», 1972, v. A6, p. 1566.
174. Hall W. D., Zorn J. C. Measurement of alkali-metal polarizabilities by
detection of a velocity-selected atomic beam. — «Phys. Rev.», 1974, v. A10,
p. 1141.
175. Harris S. E. Generation of vacuum-ultraviolet and soft X-ray radiation
using high-order nonlinear optical polarizabilities. — «Phys. Rev. Lett.»,
1973, v. 31, p. 341.
176. Ham F. S. The quantum defect method. — «Solid State Phys.», 1955, v. 1,
p. 127.
177. Натека Н. F. On the use of Green functions in atomic and molecular
calculations. I. The Green function of hydrogen atom. — «J. Chem. Phys.»„
1967, v. 47, p. 2728.
178. Haun R. D.f Zacharias J. R. Stark effect on cesium-133 hyperfine
structure. — «Phys. Rev.», 1957, v. 107.
179. Herrman J., Susse K. E., Welsch D. Zur nichtstationaren Theorie der Re-
sonanz Fluoreszenz. — «Ann. Physik», 1973, B. 30, S. 37.
180. Hirschf elder J. O., Curtiess L. A. Spontaneous ionization of a hydrogen
atom in an electric field. — «J. Chem. Phys.», 1971, v. 55, p. 1395.
181. Hodgson R. Т., Sorokin P. P., Wynne J. J. Tunable coherent
vacuum-ultraviolet generation in atomic vapors. — «Phys. Rev. Lett.», 1974, v. 32,
p. 343.
182. Hostler L. Coulomb Green function and the Furry approximation. —
«J. Math. Phys.», 1964, v. 5, p. 591.
176

183. Hostler L. Reduced coulomb Green's function for bound state
calculations. — «Phys. Rev.», 1969, v. 178, p. 126.
184. Hostler L. Coulomb Green function in f-dimensional space. — «J. Math.
Phys.», 1970, v. 11, p. 2966.
185. Jacobs V. L. Polarization phenomena in multiphoton ionization of atoms.—
«J. Phys. B: Atom, and Molec. Phys.», 1973, v. 6, p. 1461.
186. Karule E. On the evaluation of transition matrix elements for
multiphoton processes in atomic hydrogen. — «J. Phys. B: Atom, and Molec. Phys.»,
1971, v. 4, p. 467.
187. Kelly H. P. Frequency-dependent polarizability of atomic oxygen
calculated by many-body theory. — «Phys. Rev.», 1969, v. 182, p. 84.
188. King F. W. Sum rules for photon scattering from bound atomic systems.—
«Phys. Rev.», 1975, v. All, p. 381.
189. Klarsfeld SM Maquet A. Circular versus linear polarization in multiphoton
ionization. — «Phys. Rev. Lett.», 1972, v. 29, p. 79.
190. Klingbeil R., Kaveeshwar V. GM Hurst R. P. Hartree-Fock theory of third-
harmonic and intensity-dependent refractive-index coefficients. — «Phys.
Rev.», 1971, v. A4, p. 1760.
191. Kriiger H., Oed A. Measurement of the decay-probability of metastable
hydrogen by two-photon emission. — «Phys. Lett.», 1975, v. A54, p. 251.
192. Kung A. H., Young J. F., Bjorklund G. C., Harris S. E. Generation of
vacuum ultraviolet radiation in phase-matched Cd vapor. — «Phys. Rev.
Lett.», 1972, v. 29, p. 985.
193. Lambropoulos P. Theory of multiphoton ionization: near-resonance effects
in two-photon ionization. — «Phys. Rev.», 1974, v. A9, p. 1992.
194. Lambropoulos M.t Moody S. F., Smith S. J., Lineberger W. C. Observation
of electric quadrupole transitions in multiphoton ionization. — «Phys. Rev.
Lett.», 1975, v. 35, p. 159.
195. Lambropoulos P., Doolen G.t Rountree S. P. Electric quadrupole
transitions in multiphoton ionization. — «Phys. Rev. Lett.», 1975, v. 34,
p. 636.
196. Langhoff P. W. Moment theory bounds for the second order optical
properties of atoms and molecules. — «J. Chem. Phys.», 1972, v. 57, p. 2604.
197. Langhoff P. W., Epstein S. Т., Karplus M. Aspects of time-dependent
perturbation theory. — «Rev. Mod. Phys.», 1972, v. 44, p. 602.
198. Langhoff P. W., Karplus M. Pade approximations of the normal dispersion
expansion of dynamic polarizabilities. — «J. Chem. Phys.», 1970, v. 52,
p. 1435.
199. Langhoff P. W.t Lyons J. D., Hurst R. P. Electric dipole hyperpolarizabili-
ties for 5-state atoms and ions. — «Phys. Rev.», 1966, v. 148, p. 18.
200. Leung K, M., Ward J. F., Orr B. J. Two-photon resonant optical third
harmonic generation in cesium vapor. — «Phys. Rev.», 1974, v. A9, p. 2440.
201. Levenson M. D., Blombergen N. Observation of two-photon absorption
without Doppler broadening on the 35—55 transition in sodium vapor. —
«Phys. Rev. Lett.», 1974, v. 32, p. 645.
202. Lipeles M., Novik R., Tolk N. Direct detection of two-photon emission
from the metastable state of single ionized helium. — «Phys. Rev. Lett.»,
1965, v. 15, p. 690.
177

203. Manakov N. L., Ovsiannikov V. D. Use of the model potential in
calculation of dynamic polarizabilities, dispersion forces and light shifts of
atoms. — «J. Phys. B: Atom. Molec. Phys.», 1976, v. 10, p. 569.
204. Manakov N. L., Ovsiannikov V. D., Preobragenskii M. A., Rapoport L. P.
Use of the model potential in calculation of multiphoton ionization
probabilities. — «J. Phys. B: Atom, and Molec. Phys.», 1977.
205. Manakov N. L., Rapoport L. P., Zaprjagaev S. A. The stark effect on the
hfs of relativistic H-like atoms. — «Phys. Lett.», 1974, v. A48, p. 145.
206. McCall S. L., Hahn E. L. Self-induced transparency by pulsed coherent
light. — «Phys. Rev. Lett.», 1967, v. 18, p. 908.
207. Mendelson L. B. High-order perturbation theory for a one-electron ion in
a uniform electric field. — «Phys. Rev.», 1968, v. 176, p. 90.
208. Miles R. В., Harris S. E. Optical third-harmonic generation in alkali metal
vapors. — «IEEE—QE», 1973, v. 9, p. 470.
209. Mizuno J. Use of the Sturmian function for the calculation of the third
harmonic generation coefficient of the hydrogen atom. — «J. Phys. B:
Atom, and Molec. Phys.», 1972, v. 5, p. 1149.
210. Mizuno J. Two-photon ionization of Li, Na, К with polarized photons. —
«J. Phys. B: Atom, and Molec. Phys.», 1973, v. 6, p. 317.
211. Moitra R. KM Mukherjii P. K. Self consistent calculation of dynamic multi-
pole polarizabilities and excited state wave functions of open shell ions:
Li sequence. — «Intern. J. Quant. Chem.», 1972, v. 6, p. 211.
212. Mollof R. W., Schwartz H. L., Miller Т. М., Bederson B. Measurement of
electric dipole polarizabilities of alkali-metal atoms and noble-gas atoms.—
«Phys. Rev.», 1974, v. A10, p. 1131.
213. Morton V. M. Multiphoton absorption in monoatomic gases. — «Proc.
Phys. Soc», 1967, v. 92, p. 301.
214. Mowat J. R. Stark effect in alkali-metal ground state hyperfine
structure. — «Phys. Rev.», 1972, v. A5, p. 1059.
215. Oppenheimer J. P. — «Phys. Rev.», 1928, v. 31, p. 66.
216. Orr B. I., Ward J. F. Perturbation theory of the nonlinear optical
polarization of an isolated system. — «Molec. Phys.», 1971, v. 20, p. 513.
217. Pershan P. S., Van der Ziel J. P., Malstrom L. D. Theoretical discussion
of the inverse Faraday effect, Raman scattering and related phenomena. —
«Phys. Rev.», 1966, v. 143, p. 574.
218. Platz P. Etude experimentale du deplacement des Niveaux et de l'effet
Raman d'un atom soumis au Raisonnement non resonnant d'un lasser de
puissance. — «J. Phys. (Paris)», 1973, v. 32, p. 773.
219. Popesku D., Collins С. В., Johnson B. J. e. a. Multiphoton excitation and
ionization of atomic cesium with a tunable dye laser. — «Phys. Rev.», 1974,
v. A9, p. 1182.
220. Rado W. G. The nonlinear third order dielectric susceptibility coefficients
of gases and optical third garmonic generation. — «Appl. Phys. Lett.»,
1967, v. 11, p. 123.
221. Redmond P. J. Solution of the Klein—Gordon and Dirac equations for a
particle with a plane electromagnetic wave and a parallel magnetic field.—
«J. Math. Phys.», 1965, v. 6, p. 1163.
178

222. Rokni M., Yatsiv S. Resonance raman effect in free atom of potassium. —
«Phys. Lett.», 1967, v. A24, p. 277.
223. Sambe H. Steady state and quasienergies of a quantum mechanical system
in a oscillating field. — «Phys. Rev.», 1973, v. A6, p. 2203.
224. Sandars P. G. H. Differential polarizability in the ground state of the
hydrogen atom. — «Phoc. Phys. Soc», 1967, v. 92, p. 857.
225. Saslow W. M., Mills D. L. Raman scattering by hydrogen system. — «Phys.
Rev.», 1969, v. 187, p. 1025.
226. Schmieder R. W., Lurio A., Happer W. Quadratic Stark-effect in the
2P3/2-states of the alkali atoms. — «Phys. Rev.», 1971, v. A3, p. 1209.
227. Seaton M. J. The quantum defect method. — «Monthly Notices Roy. Astron.
Soc», 1958, v. 118, p. 504.
228. Simons G. New model potential for pseudopotential calculations. —
«J. Chem. Phys.», 1971, v. 55, p. 756.
229. Simons G. New procedure for generating valence and Rydberg orbital. I.
Atomic oscillator stengths. — «J. Chem. Phys.», 1974, v. 60, p. 645.
230. Simons G., Martin J. New procedure for generating valence and Rydberg
orbital. II. Atomic photoionization. — «J. Chem. Phys.», 1975, v. 62,
p. 4799.
231. Sitz P., Yaris R. Frequency dependence of the higher susceptibilities. —:
«J. Chem. Phys.», 1968, v. 49, p. 3546.
232. Sorokin P. P., Shiren N. S., Lankard J. R. e. a. Stimulated electronic
raman scattering. — «Appl. Phys. Lett.», 1967, v. 10, p. 44.
233. Sternheimer R. M. Quadrupole polarizabilities of various ions and the
alkali atoms. — «Phys. Rev.», 1970, v. Al, p. 321.
234. Szasz L., McGinn G. Atomic and molecular calculations with the pseudo-
potential method. II. Exact pseudopotentials. — «J. Chem. Phys.», 1967,
v. 47, p. 3495.
235. Tripathi B. P., Laloraja R. K., Srivastava S. L. Optical third harmonic
coefficients for inert gases. — «Phys. Rev.», 1971, v. A4, p. 2079.
236. Tripathi B. P., Laloraja R. K., Srivastava S. L. Linear polarizability for
inert gases at ruby-laser frequencies. — «Phys. Rev.», 1972, v. A6, p. 850.
237. Vriens L. Raman scattering cross sections for In and Tl and multiphoton
processes in Sr. — «Opt. Comm.», 1974, v. 11, p. 396.
238. Vriens L., Adriaansz M. Depolarization ratio for antistokes raman
scattering from In and Tl. — «Opt. Comm.», 1974, v. 11, p. 402.
239. Vriens L.f Adriaansz M. Electronic Raman Scattering from Al, Ca, In, TL—
«J. Appl. Phys.», 1975, v. 46, p. 3146.
240. Wang C. C, Davis L. T. Saturation of resonant two-photon transitions in
Tl vapor. — «Phys. Rev. Lett.», 1975, v. 35, p. 650.
241. Ward J. F., New G. H. C. Optical third garmonic generation in gases by
a focused laser beam. — «Phys. Rev.», 1969, v. 185, p. 57.
242. Ward J. F.f Smith A. V. Saturation of two-photon resonant optical
processes in Cs vapor. — «Phys. Rev. Lett.», 1975, v. 35, p. 653.
243. Weingarten R. A., Levin L.f Flusberg A., Hartmann S. R. Electronic
stimulated Raman scattering in atomic thallium vapor. — «Phys. Lett.», 1972,
v. A39, p. 38.
244. Weisskopf V., Wigner E. —«Z. Phys.», 1930, B. 63, S. 54; B. 65, S. 18.
179

245. Wynne J. J., Sorokin P. P. Optically pumped stimulated emission and
stimulated electronic raman scattering from К atom. — «J. Phys. B: Atom,
and Molec. Phys.», 1975, v. 8, p. 437.
246. Yatsiv S., Rokni M., Barak S. Exchanged two-photon emission. — «Phys.
Rev. Lett.», 1968, v. 20, p. 1282.
247. Young J. F., Bjorklund G. C, Kung A. H. e. a. Third harmonic generation
in phasematched Rb vapor. — «Phys. Rev. Lett.», 1971, v. 27, p. 1551.
248. Yuratich M. A., Hanna D. C. Nonlinear atomic susceptibilities. — «J. Phys.
B: Atom, and Molec. Phys.», 1976, v. 9, p. 729.
249. Zernik W. Interaction of optical and infrared radiation with metastable
hydrogen atoms. — «Phys. Rev.», 1964, v. A133, p. 117.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ДЛЯ АТОМОВ В СИЛЬНЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
§ 1.1. Нестационарная теория возмущений 5
§ 1.2. Квазиэнергия и квазиэнергетические состояния в
периодическом поле 10
§ 1.3. Двухуровневая система в переменном поле , . 16
Г л а в а 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ
§ 2.1. Кулоновская функция Грина 21
§ 2.2. Разложение функции Грина по собственным функциям
обобщенной задачи Штурма — Лиувилля 25
§ 2.3. Метод квантового дефекта (МКД) в теории атома и
функция Грина в приближении МКД 26
§ 2.4. Метод модельного потенциала (ММП). Функция Грина
для модельного потенциала 31
Глава 3. СПЕКТР АТОМА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 3.1. Атом в постоянном электрическом поле 37
§ 3.2. Изолированный атомный уровень в переменном
электромагнитном поле 42
§ 3.3. Динамическая гиперполяризуемость и границы
применимости теории возмущений для сдвига уровней .... 54
§ 3.4. Перестройка магнитных подуровней в эллиптически
поляризованном поле 58
§ 3.5. Водородоподобные уровни в поле оптической частоты ... 64
§ 3.6. Перестройка атомного мультиплета в нерезонансном поле 67
§ 3.7. Атом в магнитном и резонансном световом полях .... 71
§ 3.8. Резонирующие мультиплеты 75
§ 3.9. Эффект Штарка в низкочастотном поле и статический
предел 81
§ 3.10. О соотношении между квазиэнергией и средней энергией
системы в КЭС 8а
Г л а в а 4. РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАРНЫМИ ГАЗАМИ
§ 4.1. Введение. Вектор поляризации и нелинейная
восприимчивость атома 8S
§ 4.2. Тензор линейного рассеяния и двухфотонные переходы
на свободных атомах 89
§ 4.3. Резонансное рассеяние 101
§ 4.4. Нелинейные процессы релеевского типа и классические
электро- и магнитооптические явления 107
181

§ 4.5. Нелинейное рассеяние рамановского типа и генерация
оптических гармоник на атомах 117
§ 4.6. Многофотонное возбуждение атомов 128
Г л а в а 5. МНОГОФОТОННАЯ ИОНИЗАЦИЯ АТОМОВ
§ 5.1. Качественные особенности процесса ионизации в сильном
поле 132
§ 5.2. Квазиклассическое приближение в задаче об ионизации
связанного состояния 135
§ 5.3. Ионизация частицы, связанной короткодействующими
силами, циркулярно-поляризованным полем 142
§ 5.4. Теория возмущений для многофотонной ионизации
атомов 153
§ 5.5. Численные расчеты вероятностей нерезонансной
ионизации и сравнение с экспериментом 161
Список литературы 167

ИБ № 758
Лев Павлович Рапопорт,
Борис Абрамович Зон,
Николай Леонидович Манаков
ТЕОРИЯ
МНОГОФОТОННЫХ ПРОЦЕССОВ
В АТОМАХ
Редактор Ю. С. А б о р и н
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Обложка. Переплет художника С. А. Киреева
Технический редактор Л. Ф. Шкилевич
Корректор Е. В. Ж у Р и н а
Сдано в набор 15/XII 1977 г. Подписано к печати 11/VII 1978 г.
Т-12945. Формат 60X907ie. Бумага тип. № 1.
Усл. печ. л. 11,5. Уч.-изд. л. 12,13.
Тираж 2100 экз. Зак. изд. 74019. Зак. тип. 2208. Цена 1 р. 80 к.
Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, 5
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, И-41, Б. Переяславская ул., д. 46

ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
Атомиздат выпустит в свет в 1979 году книгу:
Барашенков В. С. Проблемы субатомного
пространства — времени. — М. : Атомиздат, 1979 (I кв.). — 14 л. — 3 р.
10 000 экз. (План 1979 г., п. 3).
Книга посвящена рассмотрению тесно связанных между
собой физического и философского аспектов пространственно-
временных представлений, с которыми ученые встречаются при
исследовании явлений микромира. Особое внимание уделено
анализу современной экспериментальной ситуации, в частности
тех возможностей проникновения в глубь материи, которыми
ученые обладают в настоящее время и, по-видимому, будут
располагать в не слишком отдаленном будущем. Обсуждается
вопрос о том, могут ли нарушаться в микромире причинность
и закон сохранения энергии—импульса. Важное место в книге
занимает анализ различных теоретических попыток
дальнейшего развития и обобщения известных сейчас пространственно-
временных представлений, сверхсветовых обобщений теории
относительности, геометродинамики, космического подхода
к микроявлениям. Обсуждается возможность так называемых
внепространственных и вневременных форм существования
материи.
Книга рассчитана на физиков и философов, занимающихся
проблемами микромира.
Заказы на книги направляйте в местные магазины,
распространяющие научно-техническую литературу, и магазины —
опорные пункты.
Сообщаем адреса магазинов — опорных пунктов:
г. Дубна, Московской обл., ул. Векслера, И, книжный
магазин «Эврика».
г. Обнинск, Калужской обл., ул. Мигунова, 4, магазин № 1.
г. Ленинград, Пушкинская ул., 2, магазин № 5
«Техническая книга».
г. Минск, БССР, Ленинский пр., 48, магазин № 13
«Техническая книга».
г. Москва, Г-19, проспект Калинина, 26, «Московский дом
книги».
г. Ульяновск, РСФСР, ул. Гончарова, 3, магазин № 9
«Техническая книга».
г. Харьков, УССР, ул. Свердлова, 17, магазин № 1
«Научная книга».