/
Текст
ГОССТРОЙ СССР
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ИНСТИТУТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
имени В. А. КУЧЕРЕНКО
УСТОЙЧИВОСТЬ
МАЧТ НА ОТТЯЖКАХ
СТРОЙИЗДАТ
Москва — 1964
ГОССТРОЙ СССР
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
СТРОИТЕ Л ЬНЫХ-КОНСТРУКЦИЙ имени В. А. КУЧЕРЕНКО
А. Я. Дривинг, инж.
УСТОЙЧИВОСТЬ
МАЧТ НА ОТТЯЖКАХ
Под редакцией д-ра техн, наук
Р. Р. Матевосяна
Сканировал и обрабатывал
Лукин А.О.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
Москва— 1964
УДК 624.9?
Книга посвящена расчету на устойчивость
мачт на оттяжках.
Развиты вопросы расчета гибкой пологой
нити с точками закрепления в разных уровнях.
Исследованы жесткостные характеристики упру-
гих опор, образованных пологими нитями с од-
ной общей точкой закрепления.
Даны практические рекомендации по опреде-
лению точного значения и двусторонних оценок
первого критического параметра сжимающей на-
грузки для упругих мачт на оттяжках.
В приложении приведены таблицы формул
реактивных усилий в сложных сжатых стержне-
вых элементах при единичных смещениях и пово-
ротах соответствующих концевых сечений.
Книга может служить пособием при проекти-
ровании мачт на оттяжках и некоторых других
систем.
ЦНИИСК имени В. А. Кучеренко
УСТОЙЧИВОСТЬ МАЧТ НА ОТТЯЖКАХ
План выпуска 1964 г. № 70
# * *
Стройиздат
Москва, Третьяковский проезд, д. 1
« * *
Редактор И. С. Бородина
Технический редактор В. М. Родионова
Корректор М. В. Иванова
Сдано в набор 8/11 1964 г. Подписано к печати 24/VI 1964 г.
Т-08485. Бумага 84х1081/аг Д- л. 1.75 бум. л. 5,74 усл.-печ. л.
(5,4 уч.-изд. л.) Тираж 2800 экз. Изд. №Vl-7990 Зак. № 165.
Цена 27 коп.
Ленинградская типография № 11 Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Марата, 58.
Введение
Мачты «а оттяжках представляют собой сложные
инженерные сооружения специального назначения.
Ввиду значительной высоты и большой гибкости мачт
возникает необходимость в расчете их на устойчивость.
Известно, что расчетной схемой мачты на оттяжках
является сжатый или сжато-изогнутый стержень на
упруго-податливых опорах, жесткости которых в той. или
иной степени определяют устойчивость этого стержня.
В действительных условиях каждая упругая опора
мачты представляет собой некоторое число гибких поло-
гих нитей (оттяжек), прикрепленных к ее стволу в од-
ном уровне.
В дальнейшем упругую систему, состоящую из вер-
тикального стержня, опертого на нижнем конце и рас-
крепленного в различных уровнях по высоте некоторым
числом гибких нитей, будем называть мачтовой систе-
мой.
В процессе эксплуатации мачтовая система подвер-
гается действию внешних нагрузок, вызванных различ-
ными факторами: ветром, перепадам температуры, появ-
лением гололеда и т. д. При этом усилия как в стволе,
так и в оттяжках мачты (могут изменяться в широких
пределах.
В современной отечественной литературе [3, 4, 9, 14]
глубоко освещены вопросы расчета гибкой пологой нити.
Тем не менее в дайной работе рассматривается ряд
задач, связанных с расчетом гибкой пологой нити, за-
крепленной в разных уровнях. При решении этих задач
особое внимание уделяется определению величины и ха-
рактера изменения горизонтальной проекции усилия
(распора) в верхней точке закрепления нити.
Изменение величины распора каждой гибкой нити
(из числа нитей, образующих упругую опору) при том
1*
3
или ином загружении мачтовой системы приводит к
изменению жесткости этой упругой опоры. Больше того,
в рассматриваемом положении равновесия (для ряда
расчетных 'Случаев) жесткость одной и той же упругой
опоры оказывается неодинаковой по различным гори-
зонтальным направлениям. Это обстоятельство вызы-
вает необходимость определения горизонтальных
направлений, которым соответствуют минимальные зна-
чения .жесткостей упругих опор. Подобно тому как сжа-
тый призматический стержень теряет устойчивость
в плоскости наименьшей жесткости своего поперечного
сечения, ствол мачты *, естественно, будет терять устой-
чивость в плоскости наименьших жесткостей упруго-по-
датливых опор.
Анализу жесткостей упруго-податливых опор при
действии на мачтовую систему различных нагрузок
посвящена глава II.
Расчет сжатого стержня на упруго-податливых опо-
рах, реакции которых прямо пропорциональны их сме-
щениям, не вызывает принципиальных трудностей и мо-
жет быть выполнен с помощью методов строительной
механики. Однако при значительном числе упругих опор
для определения критического параметра нагрузки мач-
товой системы потребуется раскрыть определитель высо-
кого порядка, элементы которого будут сложными транс-
цендентными функциями параметра v= л/ и коэф-
V г.1
фициентов жесткости упруго-податливых опор. Оконча-
тельное решение задачи сводится к отысканию наимень-
шего корня полученного трансцендентного уравнения.
Указанная задача может быть решена с помощью вы-
числительных машин.
Выбор оптимальных размеров сооружения обычно
связан с большим количеством предварительных при-
ближенных расчетов. Поэтому третья глава книги посвя-
щена качественным методом исследования задач устой-
чивости сложных мачтовых систем. С помощью этих
методов можно получить как полную качественную кар-
тину явлений неустойчивости, так и значения критиче-
ских параметров сжимающих нагрузок рассматривае-
мых систем с любой наперед заданной степенью точ-
ности.
1 Имеется в виду, что изгибная жесткость ствола мачтовой си-
стемы одинакова во всех вертикальных плоскостях, проведенных
через его ось.
Глава I
ПОЛОГАЯ НИТЬ, ЗАКРЕПЛЕННАЯ
В РАЗНЫХ УРОВНЯХ
Рядом исследований (3, 4] установлено, что форма
равновесия нити, нагруженной равномерно распределен-
ной нагрузкой, при отношении стрелки к длине пролета
f/^C'/io с достаточной степенью точности может быть
описана квадратной параболой. Известно, что стрелки
и пролеты гибких нитей, образующих упругие опоры
мачтовых систем, удовлетворяют приведенному нера-
венству. Поэтому все расчетные формулы и выводы в
этой работе приведены для нитей, для которых справед-
ливо указанное соотношение. Такие нити в дальнейшем
будут называться пологими.
Равновесие гибкой растяжимой нити с учетом мас-
совых сил описывается следующей системой дифферен-
циальных уравнений [14]:
здесь f — 1 +а Т; для нерастяжимой нити f=l;
я = -gF —деформативность нити;
Е—модуль упругости материала нити;
F — площадь поперечного сечения нити;
Ро — плотность нити;
Т—усилие в нити;
5
X, Y, Z—проекции массовых сил соответственно на
координатные оси х, у, z;
ds — элемент длины нити;
dx,dy,dz—проекции элемента ds соответственно на
координатные оси х, у, z.
При решении задачи о равновесии пологой нити в
поле сил тяжести можно ограничиться допущением, что
плотность распределена не вдоль нити, а вдоль ее гори-
зонтальной проекции. С учетом последнего замечания
для пологой нерастяжимюй (f=il) нити, нагруженной
вертикальной нагрузкой q—^og(g— ускорение силы
тяжести), интенсивность которой задана в функции от х,
уравнения (а) принимают вид
rf 0
dx I ds ’
(б)
Интегрируя первое уравнение, получим
Т = const = Н.
ds
Физический смысл последнего равенства заклю-
чается в том, что горизонтальная проекция усилия в лю-
бой точке нити есть величина постоянная. Из этого
равенства следует
Подстановка значения Т во второе уравнение
системы (б) приводит к обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению второго порядка
<в)
С учетом растяжимости пологой нити уравнения (а)
приводятся к дифференциальному уравнению
(1 + аЯ/Г+У*) Н-^ = q (х). (г)
Если в этом уравнении пренебречь в сравнении с еди-
ницей вторым членом в круглых скобках, который имеет
порядок относительного удлинения, то придем к уравне-
нию (в) для нерастяжимой пологой нити.
6
§ 1. Действие вертикальной распределенной нагрузки,
интенсивность которой изменяется
по линейному закону
вдоль горизонтальной проекции нити
Рассмотрим нерастяжимую пологую нить, закреплен-
ную в точках А и В и напруженную вертикальной нагруз-
кой, интенсивность которой изменяется вдоль оси х
по линейному закону: от qoi в точке А до д02 в точке В
(рис. 1).
Дифференциальное
уравнение равновесия
(в) принимает вид
— Ям. +
dx2 '
+ (^02-^01)^- (1-1)
Интегрируя урав-
нение (1.1) и опреде-
ляя произвольные по-
стоянные из гранич-
ных условий:
при х = 0, у —0;
[тшшпхШШПП 9ог
Рис. 1
при x~l, y=h,
определим форму равновесия нити при заданной
нагрузке:
У==^ + (?О2~6^)ХЗ+ [4--677(2<7oi +<702)1 (1-2)
здесь I — проекция нити на ось х;
h — проекция нити на ось у.
Уравнение (1.2) определяет семейство кривых, опи-
сывающих формы равновесия нити в зависимости от
величины распора Н.
Усилие в любой точке нити определяется формулой
Т=Н-^~
dx
Подставляя в последнее равенство известное выра-
жение длины элемента ds
ds — dx]A1 +У* ,
7
ПОЛуЦЙМ
Т=Я]/1+у'\ (1.3)
Усилие в точке А закрепления нити будет:
тА = нуТ+^- (1-4)
здесь у'А —тангенс угла наклона касательной к кривой
провисания нити в точке А.
Дифференцируя (1.2) по х, будем иметь:
У = + + (2?01 + ?02)- (1-5)
Полагая в (1.5) х = 0, получим выражение тангенса
угла наклона касательной к кривой провисания нити
в точке А:
Уа = -Т-4н (2?oi + (1 -6>
С учетом равенства (16) формула (14) будет иметь
вид
тА = я]/1 + [4 - w(2^i + ?02> У • t1’7)
Из (1.7) после несложных преобразований можно
получить:
н = (2<?01 + g02)Acos2a Г ________67Л v
6 [1 ~ h (2?oi + ?оа) cos а л
у/ / । ____ (2?oi + ?ог)212 c°s2 я I (18)
|/ 36 Т\ J
Введя обозначение
2?oi-Wo2 = 7i U-9)
и опуская знак минус перед вторым членом в квадрат-
ных скобках (нить не может воспринимать сжимающих
усилий), учитывая при этом, что второй член подкорен-
ного выражения в (1.8) мал по сравнению с единицей,,
формулу (1.8) перепишем так:
и <?jAcos2a
П~ 6
1 +
67л / q\l-cos2 а
hq1 cos а I 727’л
(1-10)
8
или
„ [ „ , qj Sin a (ftp COS3 a \
— I •/ Д | " g 72 I COS ОС,
(1.11)
В 1случае равномерно распределенной нагрузки полу-
чим
и (г , goi/sina ?oiZ2cos2a \
Я= I ТА -4- ------------------J cos “• О-12)
Из выражений (1.11), (1.1'2) следует, что величина
распора Н пологой нити с закреплениями в разных
уровнях зависит не только от усилия в нити, но и от
нагрузки, которая на нее действует. Покажем это на
примере.
Пример 1. Положим: a=45°; qQX = q02 =4- КУ-2 т/м\
I =2,5-1О2 м.
Пусть в точке А нити (см. рис. 1) начальное натяже-
ние ТА= 10 т. Тогда по формуле (1.12)
Я=(10 +
4-10- 22,5-102 /2
2-2
42-10"4-2,52-104 \/2 QQ,
-----8ДЩ2---------)-2-=9’26 т-
Бели определить распор Н по приближенной фор-
муле, распространенной в расчетной практике:
H^Tcosa, (1,13)
то получим
И =7,07 т.
Как видно, погрешность при этом составляет 31%.
Заметим, что в рассмотренном примере
т. е. нить является полотой. Здесь Ц — длина хорды, стя-
гивающей нить; fi — условная стрелка.
Из рассмотренного примера следует, что использова-
ние формулы (1.13) приводит в некоторых случаях
к значительной погрешности. Ниже будет показано,
что при определении жесткости упругих опор, образо-
ванных гибкими нитями, применение формулы (1.13)
может привести к еще более существенным ошиб-
кам.
9
Определим вертикальную составляющую натяжения
нити в точке В (см. рис. 1):
(1.14)
где Уд—тангенс угла наклона касательной к кривой
провисания нити в точке В.
Полагая в формуле (1.5) х=1, получим:
Ув ~ ’ (1-15)
здесь
= <7о1 “Ь 2*7о2.
С учетом зависимости (1.1'5) выражение (1.14) будет
иметь вид:
NB = -rH+Ji-
ИЛИ _ (1.16)
NB = HiS«+<f.
При равномерно распределенной нагрузке на
нить
NB = Higa + ^- . (1.17)
Для разобранного выше примера имеем
NB = 9,26-1,0+ 4‘10~2г215'102. = 14,26 т.
По приближенной формуле, аналогичной (1.13), по-
лучим:
~ Tsin а = 7,07 т.
Погрешность составляет ~100%.
Для определения любых параметров нити при оме-
щейии одной из ее точек закрепления или изменении
действующей на нее нагрузки необходимо знать ее дли-
ну, которая определяется по известной формуле
i _______
L = J]/l+y^x. (1.18)
о
Введя обозначения
Я02 — <7о1 = Я> + Яо2 = Я\>
10
перепишем равенство (1.5):
v'_ A_l Ах _ 1L /1 io)
y ~ i 21 н “* н gh •
Подставляя зависимость (1.19) в формулу (1.18),
получим
I _______________________________
<L2’
Выражение (1.20) нельзя проинтегрировать в замк-
нутом виде, поэтому прибегаем к помощи приближенных
вычислений.
Тангенс угла наклона касательной в любой точке
пологой нити мало отличается от тангенса угла наклона
хорды, стягивающей эту нить.
Замечая, что — =tga и обозначая
4х2 । 4<лх____Q\l г-) ( уЛ
21Н ' Н 6Н ~ V4’
перепишем равенство (1.19)
/ = tga + D(x). (1.21)
С учетом (1.21) длина нити определится формулой
£ = ]/1 ф- tg2 a ф- 2D (х) tg a ф- D2 (х) dx. (1.22)
6
Элементарными преобразованиями это выражение
приводится к виду
L = J(-E^7 + DWsina)x
О
X /~ 1 + fl2(x)COS2a-------- dx (1 23)
I/ I77^r + Z)(x)sina)
Принимая во внимание, что второй член подкорен-
ного выражения мал в сравнении с единицей, по пра-
11
виду приближенных вычислений извлекаем квадратный
корень, после чего формула (1.23) принимает вид
Преобразовывая подынтегральное выражение в
(1.24), получим
i i
А = g J dx 4- sin a J D (х) dx Ц-
0 о
+ £2|± f-------. (1.25)
5 1 + — sin 2а£> (х)
Проинтегрируем (1.25) почленно:
—I— ^dx = —— ;
COS а J COS а
О
I
sin а J Z) (х) dx — 0;
о
i
COS3 а (• D2(x)dx _ (?02 — <7oi)2 I3 COS3 а .
__ 1 —- J - _ I-
q 1 + "у sin 2aD (х)
I 4oi4od3 cos3 а
"Г" 24№
При раскрытии последнего интеграла были отбро-
шены члены, содержащие в знаменателе величину рас-
пора Н в степени выше второй.
После интегрирования получим
L = —1—
COS а
Z3cos3a Г (<7М— <7О1)2 , qmqm
№ [ 90 “Г 24
(1-26)
12
При равномерно распределенной нагрузке <702 —
= <7oi и
I qi<l3 COS3 а
w • О-27)
Если обозначать через qn нормальную к хорде нити
составляющую (нагрузки ^Оь
Чп = Чы cos а,
то формулу (1.27) можно переписать так:
1 O^/’COSa
L = —-----И " . (1.28)
COS а 1 24№ v '
При треугольной нагрузке qo{ =0 и
1 д», I3 COS3 а
L=^L+ ' 90^-.........• (L29)
Заметим, что
-(<?м - + ----J Q’ (Х) dx. (1.30)
о
Здесь Qfx) — балочная поперечная сила в сечении х.
Подставляя (1.30) в (1.26), будем иметь [4)
О-3')
о
Формула (1.31) получена на основании аналогии
с нитью, имеющей точки закрепления в одном уровне.
В случае равномерно распределенной нагрузки
(<7о1 = <7ог) выражение (1.20) можно проинтегрировать
в замкнутом виде. После преобразования формула дли-
ны нити принимает вид
L = - Уа^ +Уа +
-j-Arshy^ — Arshy^], (1-32)
здесь
г I <7о1^
Ув ~ ~~т~ ~2Н------тангенс угла наклона касатель-
ной к кривой провисания нити в
точке В;
13
i 401/
yA — ~j----------тангенс угла наклона касатель-
ной к кривой провисания нити в
точке А.
Результаты, получаемые по формулам (1.27) и
(1.32), очень мало отличаются друг от друга.
§ 2. Смещение одной из точек
закрепления нити при одновременном изменении
действующей на нее нагрузки
До сих пор рассматривалась нерастяжимая нить.
Будем считать, что при одной и той же нагрузке q(x)
и натяжении Т°А (см. рис. 1) формы равновесия нера-
стяжимой и упругой нитей совпадают *. В этом случае
формулы предыдущего параграфа будут справедливы
и для растяжимой нити.
Пусть упругая нить закреплена в точках А и В и
нагружена распределенной вдоль оси х нагрузкой,
интенсивность которой изменяется по линейному закону
от <7oi в точке А до <702 в точке В. Натяжение в точке А
равно Т'А.
Для рассматриваемой нити на основании формул
предыдущего параграфа можно записать:
qj sin а 6 q2 I2 COS2 a 72T°a ^COSa; (2.1)
Lo = —l-—н COS а 1 G0l3 COS3 a h’2, ’ n0 (2.2)
✓7 ___ (ур2----?01)2 I Я01Ч02
° 90 "Г 24
где
Здесь и далее для начального состояния нити (до
смещения одной из опор и изменения действующей на
нее нагрузки) все параметры нити обозначены соот-
ветствующими буквами с верхним или нижним ин-
дексом 0.
1 См. в начале главы уравнение (г) и сопровождающий текст.
14
Переместим верхнюю точку закрепления нити по
горизонтали из точней В в точку В' (.рис. 2) на вели-
чину 6. Положим, что при этом изменилась нагрузка на
нить и ее интенсивность стала равной у левой опоры
и У правой опоры. Для смещенного положения нити
можно записать выражение ее длины:
I + 3 . G (I 4- В)3 COS3 (а— Да)
COS (а — Да) И- И2
Здесь
с,— (Ч2 — У1)2
90
24
У
%:
Заметим, что
cos (а — Да) =
= -г • (2.4)
/Л2+(/ 4-8)2 >
Если учесть, что 3 ма-
ло в сравнении с I, то эле-
ментарными приемами
приближенных вычисле- н, &
ний правая часть
равенства может
приведена к виду
ЭТОГО
быть
9,
Рис. 2
cos а 1 Д-(1 — cos2 а)
В этом выражении опущены члены, содержащие
величину 8 в степени выше первой.
Аналогично предыдущему получим приближенные
равенства:
cos3 (а — Да) = cos3
1 +3-^-(1 — cos2a)
(Z + В)3 = Z3 + 3/28.
На основании выполненных преобразований выра-
жение (2.3) можно записать так:
£ =
Z8 cos2 a G/3COS3a
СоГа ' 77»
1 +3-^-(2— cos2 а) .
(2.5)
15
Величиной 3— (2 — cos2 а) обычно можно прене-
бречь, тогда
Г I 4- ь COS2 а . GZ3 COS3 Я
L~ COS а ТР • (216)
Разница между длиной нити Lo до смещения опоры
и ее длиной L после смещения опоры представляется
величиной упругой деформации Ду, вызванной измене-
нием усилия в нити:
А0 = А-Ду. (2.7)
Величина упругого удлинения выразится формулой1:
(О О\
— £Fcos2a •
Здесь Но и Н— соответственно распор нити до и после
смещения опоры;
Е— модуль деформации материала нити;
F—'Площадь ее поперечного сечения.
Подставляя выражения (2.2), (2.5) и (2:8) в форму-
лу (2.7), будем иметь
I । G0Z3 COS3 а
COS а ' /у2
по
------1- 8 cos а +
COS а 1 '
GZ3 COS3 а Г. „ 8 /п , V
—Туг--- 1 — 3— (2— COS2 а)
(Н—Но)1
EF COS2 а
(2.9)
Следует отметить, что в работах [4, 5] при составле-
нии уравнения перехода нити из одного состояния в дру-
гое допущена неточность. Записывая выражение длины
нити в смещенном состоянии, автор работ [4,. 5] прене-
1 Более точное выражение упругого удлинения имеет вид:
Т(х) - Т° (х) К1 +/’ dx.
о
Преобразуя это выражение в соответствии с элементарными
приемами приближенных вычислений и пренебрегая малыми вели-
чинами, легко прийти к формуле (2.8).
16
брегает изменением угла а (см. рис. 2). В результате
выражение длины нити в смещенном состоянии прини-
мает вид:
, __ I -f- В . GP COS3 а
cos д'- №
(2.Ю)
Сравним это выражение с формулой (2.5). Первое
слагаемое в (2.10) отличается от первого слагаемого
в (2.5) на величину — s - (1 — cos2 а). Неучет этой вели-
чины дает малую относительную погрешность при опре-
делении длины нити. Однако при составлении уравнения
(2.9) из его правой и левой частей исключается длина
/
хорды, равная —, в результате чего порядок уравне-
ния (2.9) определяется величиной смещения б. Теперь
уже пренебрежение величиной со$ л (1—cos2 а) приво-
дит к неточным результатам.
Продолжим преобразования уравнения (2.9) и раз-
решим его относительно б:
б =
1 +
/з COS2 а
(Н-Но)1
EF cos3 а
3072 cos3 а
(2.И)
(2 — COS2 а)
№
Пренебрегая вторым членом в знаменателе, получим:
о = Z3 cos2 а
(Н-Но)1
EF COS3 а
или
Л3 cos5 а / Go G \ . (Н— Но) h
sin3 а w2 № ) ”*” EF COS2 а Sin а
\ по /
Введем безразмерные параметры:
6
*] = — относительное смещение опоры;
® = у -Q- —коэффициент изменения нагрузки;
н
ф = -7т —коэффициент изменения распора.
п0
(2.12)
(2.13)
2-165
17
С учетом (2.13) вторая формула (2.12) будет:
Ла COS6 aG0 (-1 _ 0)2 \ ।_____Но____/ . _
71 ~ Hgsinaa V ‘ EF cos2 “ sin “
Вводя обозначения
GpZt2 COS6 а _ ______Но _______ .
//q Sin3 а ’ EF COS3 a Sin a
получим
7l = a(1 - -^-) + 6(Ф - !)•
(2.14)
Если изменение нагрузки происходит без смещения
опоры, то
«(1--^) + *(ф-1)=0. (2.15)
Подобным образом может быть решена задача о вер-
тикальном смещении опоры В (см. рис. 2), которая
в настоящей работе не рассматривается, так как верти-
кальные перемещения упругих опор мачтовых систем
малы в сравнении с горизонтальными перемещениями
и оказывают несущественное влияние на напряженное
состояние сооружения.
Пример 2. Пологая растяжимая нить закреплена
в точках А и В (см. рис. 2). Начальному состоянию нити
соответствуют следующие данные: а = 45°; /=200 м;
<7oi = <7о2 = <7о =2• Ю-2 т/м; Но=1О т; Е=4,5 • 107 т/м2; F—
= IO"3 м2.
Пусть верхняя точка закрепления нити перемести-
лась по горизонтали из точки В в точку В' на величину
6=0,5 м. Кроме того, изменилась интенсивность нагруз-
ки, действующей на нить: qi =3 • 10-2 т/м.
Определим величину распора нити Hi в смещенном
положении. С этой целью можно воспользоваться одним
из уравнений (2.11), (2.12), (2.14). Однако в этом при-
мере для удобства сравнения с формулами работы [4]
уравнение (2.11) можно представить в следующем виде:
ггЗ , ( q&EF cos* a ZEFco^a \ „2
" + (----2W3------------------i---)Н'~
- (А)
18
Аналогичное уравнений перехода нити из одного
состояния в другое, полученное в работе [4] (§ 9, фор-
мула 2.58), в принятых обозначениях имеет вид
„3 , [ q^EFcos5a 8£Fcosa\ „2
"д—--------------н-------Г~\н'-
q^EF cos5 а
24 = °’
(Б)
Подставляя исходные данные в уравнение (А), полу-
чим
Hl - 5.6Я? - 3 960 = 0.
Решая э^о уравнение подбором, определим
= 17,9 т.
После подстановки тех же данных в уравнение (Б)
будем иметь
Н\- 18,8/7? -3 960 = 0.
Подбором находим
~ 25 т.
Как видно, величина распора, определенная по урав-
нению (Б), на 40% больше величины, определенной из
уравнения (А).
Пусть при тех же данных смещение 6 = 1 м. Тогда
после подстановки указанных данных в уравнение (А)
получим
Я? — 18,877? -3 960 = 0,
откуда находим
= 25 т.
После подстановки тех же данных в уравнение (Б)
будем иметь
Н\ - - 3 960 = 0,
откуда определим
— М т.
Величина распора, полученная из уравнения (Б),
на 88% больше величины распора, полученного из урав-
нения (А).
Проведённые вычисления позволяют заключить, что
применение уравнения (Б) не обеспечивает достаточной
2* 19
точности при определении распора пологой нити с точ-
ками закрепления в разных уровнях. Очевидно, что
погрешность в величине распора Н, определяемой из
уравнения (Б), будет тем больше, чем больше угол и.
§ 3. Изменение температуры нити
Пусть упругая нить закреплена в точках А, В и
нагружена нагрузкой, изменяющейся по линейному
закону (см. рис. 1). Натяжение в точке А равно Т°А.
Начальная температура нити равна tQ. Предположим,
что нить нагрелась (охладилась) до температуры t. По-
прежнему будем считать, что длина нити мало отли-
чается от длины хорды. Тогда удлинение (укорочение)
нити при изменении ее температуры от t0 до t будет
(М
Здесь kt— коэффициент линейного расширения мате-
риала нити.
Следовательно, выражение длины нити при темпера-
туре t будет
£ ~ • <3-2)
Подставляя в эту формулу вместо L и Lo их развер-
нутые выражения согласно (1.26), получим:
Op/3 COS3 а___GJ3 COS3 я______I , , , _ , . _
//2 //2 cos Я * ' °*
(Ц-н0)1
COSaaEF •
Если изменение температуры происходит одновре-
менно с изменением нагрузки и пролета нити, то выра-
жение (2.12) приводится к виду
» ft3 cos5 я / (70 G \ . (Н— HQ) h .
sin3 я //2 //2 у ‘ gp cos3 я sin я '
I hkf (t ip)
' sin я cos я ' ’ '
Или, вводя безразмерные параметры (2.13) и обоз-
начения в соответствии с (2.14), получим уравнение
т1 = а/1-1). (3.5)
1 ( ф2 / VT cos я sin я ' '
20
§ 4. Действие равномерно распределенной
вдоль горизонтальной проекции нити
произвольно ориентированной нагрузки
Рассмотрим пологую нерастяжимую нить, закреплен-
ную в точках А и В, лежащих в плоскости хоу. На нить
действует нагрузка р, равномерно распределенная вдоль
оси х (рис. 3). Для пологой нити в этом случае уравне-
ния (а) принимают вид:
(4.1)
Здесь Т— усилие в нити;
w, q, v — проекции нагрузки р соответственно
на координатные оси х, у, z.
Из первого уравнения находим
T=(C0-wx)-^. (4.2)
21
Физический смысл постоянной Со легко выяснить,
если и (4.2) положить х=0:
rrt ds I
"^k=0= °'
Отсюда видно, что Co есть распор нити НА в начале
координат. Для удобства везде далее вместо Со будем
писать НА. Подставляя значение Т по (4.2) во второе
и третье уравнения системы (4.1), получим два незави-
симых обыкновенных дифференциальных уравнения:
(НА - wx) у" -wy' = q- | (4 3)
(НА — wx) z" — wz’ —— V. I
Интегрируя первое уравнение и определяя произволь-
ные постоянные из граничных условий (см. рис. 3):
х = 0, у — 0; x — l, y=h,
после элементарных преобразований получим следую-
щее решение:
(wh + qiyinlA—jj-}
У =-------/.. wl х ~ w • (4-4)
w In I 1 — —fj—
\ HA /
Дифференцируя выражение (4.4) по переменной х,
будем иметь
„/ _wh + gl?_ /4 54
wl\ w ‘ '
При граничных условиях (см. рис. 3):
х == О, z = 0; х = /, 2 — 0
(НА — wx) 1п 11
второе уравнение системы (4.3) имеет следующее реше-
ние:
(WX \
1—-77—)
I VX
1 wl \ + "ЙГ-
w In 1 — -75-
\ HA )
(4.6)
Дифференцируя это выражение по переменной х,
получим
__________vl____________। у
I wl \ ' W ‘
(НА — wx) In 1 — -jf—
(4.7)
22
Разложим In А-------(в ряд Тейлора. Учиты-
wl
вая, что обычно мало в -сравнении с единицей,
ограничимся первыми тремя членами разложения:
wl \ [ wl , w2/2 , w3/3 \
(4.8)
Подставляя правую часть
и (4.7), после элементарных
(4.8) в выражения (4.5)
преобразований получим:
q I
x w
1 +
nA
wl I I x
^7 (“3 2
(4.9)
2
T
и
v Г I
z' =--------
w
wl ( I X
Т~х + т
гТ
2
wl / I х
W7 3 2
(4.Ю)
Для удобства введем обозначение
I wl I I х 'i
~Т~Х+~НТ ~3 2 ;
(4.И)
С учетом обозначения (4.11'1) формулы (4.9)
будут иметь вид:
(4.10)
qU
у- ,e--b
у wU
1+ -W-
nA
vU
z,== AwU
1+ ^A
(4-12)
(4-13)
и
Усилие в любой точке нити определяется из формулы
(4.2) путем подстановки
-£=/1 + / + ^;
Т= (НА-мх)У1 +/ + z'3.
(4.14)
23
Длина нити определяется как длина пространствен-
ной кривой по формуле
А = J /1 + у2 + Z dx.
о
(4.15)
Подставляя (4.12) и (4.13) в (4.15) и меняя в соот-
ветствии с принятыми обозначениями пределы интегри-
рования, можно записать:
где
Подкоренное выражение в (4.16) преобразуется
к следующему виду:
COS a (q sin а — w COS a) U'
[(<7 cos а + sin a)z -|- у2] U*
Л/2
ПА
(4.17)
Заметим, что [(<? cos а +w sin а)2 + с2]— есть выраже-
ние квадрата составляющей нагрузки р, нормальной
к хорде, стягивающей нить, a («ysina — w cos a)—про-
екция нагрузки р на хорду.
Введем обозначения:
(q cos a W sin a)2 -|- v2 = p2;
q sin a — w cos a = pt.
(4.18)
24
С учетом обозначений (4.18) и преобразования (4.17)
выражение (4.16) запишется та!к:
dU. (4.19)
Вынося знаменатель и первое слагаемое числителя
подкоренного выражения за знак корня, получим
COS2 а
/^(l-COSa-g^
(4.20)
Второй член подкоренного выражения мал в сравне-
нии с единицей. Используя известные правила прибли-
женных вычислений, извлечем корень:
с,
с3
P^U2 COS2 a
2//д (1 ~ cos ’ ~
dU.
(4.21)
25
После элементарных преобразований
Проинтегрируем почленно выражение (4.22) с уче-
том обозначений в (4.16):
с,
г Г In У
| wU ~ I wl \ Ш Х
J 1+ На W(1+ 2Ял )
с2
wl W2P
у 1+ W+ 3^
wl w'-'l2 ’
С,
/ wl
+2777
wl W2P
1 +W +
Wl a>2/2
(4.23)
Н2а
„ / wl
26
bl bwP аР / 2wl \2
b + ~ЗНТ]
_L --1ti -------------_________2_______A •
~ 2a bl bwl2 aP / wl \2
1 + 2 + 6HA ~ 4 + ~SH^}
b^ + 2a
2aa Z>2 — 4a
(—al — b — Уfea—4a) (al — b + Yb2 — 4a
(—al — b + Vb2—4a) (al — b — b2 — 4a
В последнем выражении введены дополнительные
обозначения:
h _Pt COS а — w WPf COS а
После интегрирования получились довольно громоздкие
выражения. Однако они могут быть существенно упро-
щены, если принять во внимание, что числители и знаме-
натели выражений, стоящих под знаком логарифма,
представляют собой сумму или 'разность единицы и неко-
торой малой величины. Это дает возможность разложить
логарифмические члены в ряд Тейлора, сохранив преж-
нюю точность вычислений при удержании только трех
первых членов разложения.
Не приводя выкладок, запишем окончательные значе-
ния интегралов (4.23):
(4.24)
Р
12 •
27
Подставляя значения интегралов (4.24) в формулу
(4.22), получим окончательное выражение длины нити:
1 />2/3COSa
<4-25)
Из (4.25) следует, что при определении длины поло-
гой нити достаточно учесть только нормальную к хорде
нити составляющую нагрузки р.
Теперь установим зависимость между натяжением
нити ТА и ее распором НА в точке А. Используя фор-
мулу (4.14) и подставляя в нее из (4.12) и (4.13) зна-
чения у' и г’ при х = 0, получим
В формуле (4.26) значения у' и z' определены из
формул (4.12), (4.13) при удерживании в разложении
(4.8) только двух первых членов.
Подобно тому как была получена формула (4.21),
выражение (4.26) приведем к следующему виду:
'М1 2На
COS aptl
р2пР COS2 а
Преобразовывая (4.27) и пренебрегая малыми чле-
нами, содержащими в знаменателе величину распора НА
выше, чем во второй степени, получим уравнение
— (ТА cos а -ф- ptl cos а) НА — ТА cos а X
( Wl Pfl COS а \ р2п1г COS2 а _
X 2 8 “
28
из которого определим величину НА:
ТА COS а р l cos а ТА COS а
нА = -----2--+------2---± ---2-----Х
2wl _ Р^а
<4 cos а 27^ '
Извлекая корень по правилу приближенных вычис-
лений и опуская знак минус перед корнем (так как нить
не воспринимает сжимающих (усилий), получим формулу
и (™ | Г Sin а/ I ,, ЛО\
ИА= I ТА 4------2-------87^~ I COS а, (4.28)
где
г — q + w tg а.
Если по натяжению в точке А требуется определить
распор в точке В, то из соотношения
Нв = НА — wl
получим
/ г/ п2/2 \
Нв=\Та + ~2---------Йт-)008®- (4-29)
Здесь
— , W (1 4- COS3 а)
г = q s п а----—!. (4.30)
v COS а v '
Вертикальная составляющая натяжения в точке В
будет
в ~ Ив У В’
или, подставляя сюда значение у’в из (4.12) при х = /
и удерживая при этом в разложении (4.8) только пер-
вые два члена, будем иметь
ql
tg “ + 2На
wl
2На
(4.31)
29
_ wl
Если величина
мала в сравнении с единицей
то формулу (4.31) легко (привести к следующему виду:
ИЛИ
= (4.33)
Из формул (4.28), (4.29), (4.33) следует, что нагруз-
ка на нить может оказать существенное влияние на
величину вертикальной составляющей натяжения в точ-
ке В при заданном натяжении в точке А.
Если для пологой нити с опорами в одном уровне
приближенная формула Н~Т дает хорошие результаты,
то применение аналогичной формулы (1.13) для пологой
нити с опорами в разных уровнях приводит к значитель-
ной ошибке. Проиллюстрируем это на примере (см.
рис. 3).
Пример 3. а=45°; /=1200 м; 7 = 20 кг/м; w = — 10 кг/м;
v =40 кг/м.
Пусть натяжение в точке А
ТА = 14,4 т.
Определяем:
р2 = (2-10~2-^-- 10'2-^j + 10-4 = 1,5-10~4
г = 2-10'2 - 1-10“2 = 10-2.
По формуле (4.28)
//^(14,4 4
1,5.10“4-4.10‘
8-14,4
хХ£-= 10,7 т.
Из соотношения
HB — HA + wl,
находим
Нв = 10,7 Ч- 10-2-2 -102 = 12,7 т.
30
Если определить распор Нв в точке В по формуле
(1.13), то получим
Нв = 10,2 т.
Как видно, погрешность при этом составит ~25%.
По формуле (4.33) определяем
Хв = 12,7 +
10- 2-2-102
2- 10~2-10“2-4- Ю4
4-12,7
= 13,86 т.
2
Если величину NB определить по приближенной фор-
муле N = T sin а, то получим
NB = 10,2 т.
Погрешность при этом составит ~36%.
При расчете мачтовых систем обычно приходится
сталкиваться с такой задачей: пологая нить загружена
вертикальной, равномерно распределенной вдоль ее
горизонтальной проекции нагрузкой <?о; далее происхо-
дит смещение одной из точек закрепления нити на вели-
чину б, при этом изменяется интенсивность нагрузки,
которая становится равной р, причем это нагрузка мо-
жет быть произвольно ориентирована в пространстве.
Решение этой задачи ничем не отличается от реше-
ния, приведенного в § 2, и сводится к уравнению (2.14),
где
а______&______Ь-________&_____ «-Л-;
24 tg я//, ’ cos’я sin a
<4-34)
В выражениях (4.34):
рп—нормальная к хорде нити составляющая
нагрузки р, определяемая по форму-
ле (4.18);
Qn = ^ocos а —нормальная к хорде нити составляющая
нагрузки qo‘,
НА— распор в нижней точке закреплением ни-
ти;
HA — HB±wl.
Глава II
УПРУГИЕ ОПОРЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ГИБКИМИ
НИТЯМИ
§ 5. Начальное сопротивление нити смещению
одной из точек ее закрепления
Под начальным сопротивлением нити смещению
одной из точек ее закрепления подразумевается вели-
чина р, численно равная тангенсу угла наклона каса-
тельной к кривой H=f(b) в точке 6 = 6о, соответствую-
щей рассматриваемому положению равновесия нити
(рис. 4). Здесь Я —распор нити, 6 —смещение опоры
нити.
Для несмещенного состояния нити величину началь-
ного сопротивления Ро можно определить, продифферен-
цировав уравнение (2.11) по 6, после чего положить
d=0, Н = Н0, //'=р0.
В результате этого получим
i 2Z3 Go COS2 a q . I q / г -1 \
1 =----Дз---Ро + COs3— Ро • (0.1)
Определим отсюда величину Ро:
₽°= ~2/зр0 C0S2 а i (5-2)
г.3 + Ер COS3 а
П0
В случае равномерно распределенной нагрузки
32
Для смещенного состояния величина начального
сопротивления нити определится аналогичной форму-
лой
2Z3Gicosga~ I ’
ууЗ + EFcos^a
В случае равномерно распределенной нагрузки
Здесь все величины с индексом 1 соответствуют сме-
щенному состоянию нити.
Заметим, что в выражения (5.2), (5.3) распор Н вхо-
дит в третьей степени. Следовательно, результат, полу-
чаемый по формулам (5.2), (5.3), в большой мере зави-
сит от точности определения величины распора нити.
Так, для рассмотренной в примере 1 § 1 нити в соответ-
ствии с формулой (5.2) и при значении распора Н, опре-
деленного по формуле (1.12), получим Ро=0,740 т/м.
Если значение Н определить из приближенной формулы
(1.13), то р0 = 0,335 т/м. При этом погрешность в опре-
делений величины ро составит 55%.
До сих пор предполагалось, что смещение опоры
происходит в направлении оси х. Рассмотрим теперь
случай, когда опора нити смещается в направлении ММ,
составляющем угол <р с осью х (рис. 5). Определим вели-
чину начального сопротивления нити в указанном на-
правлении. Величину начального сопротивления нити
в направлении смещения, если это смещение не совла-
дает с осью х, будем обозначать р.
3-165
33
Перемещение опоры из точки В в точку Вх можно
представить как сумму двух перемещений: ВВ2 ® направ-
лении оси х и В2В\ в направлении, перпендикулярном
оси х. Перемещение В2В\ мало влияет на величину уси-
лия нити, поэтому им можно .пренебречь. Здесь, конеч-
но, имеется в виду, что величина перемещения В2В\
мала в сравнении с длиной нити.
Из сказанного следует, что смещение опоры В на
величину б в направлении ММ эквивалентно смещению
этой опоры в направлении оси х на величину б cos а.
Подставляя б cos а вместо б в _ уравнение (2.14) и диф-
ференцируя это уравнение по б, разрешим его относи-
тельно Ро, положив предварительно Н = Н0, 6 = 0, Я' = р0.
Для несмещенного состояния нити получим
₽о? = Ро cos ср. (5.4)
Здесь Po<f — начальное сопротивление нити в направле-
нии оси х при смещении опоры В в направ-
лении ММ.
Принимая во внимание соотношение (5.4) и учиты-
вая, что
Pq = Ро¥ cos а,
получим
P0 = p0cos2a, (5.5)
Точно так же для смещенного состояния будем иметь
Pi = PiCos2a. (5.6)
В формулах (5.5) и (5.6) величины Ро и Pi — началь-
ные сопротивления нити в направлении ММ при смеще-
нии опоры в этом же направлении соответственно для
несмещенного и смещенного состояний нити.
§ 6. Начальные жесткости
упруго-податливых опор мачтовых систем
Некоторое число гибких нитей (оттяжек), прикреп-
ленных к стержню (стволу мачты) в одном уровне,
можно рассматривать как упруго-податливую опору,
которая стесняет перемещение этого стержня.
В случае линейной зависимости между смещением
и реакцией упруго-податливой опоры коэффициент жест-
34
кости последней есть величина постоянная. Этот коэф-
фициент жесткости определяется величиной реакции,
возникающей в упругой опоре при ее единичном смеще-
нии. Из выражений (2.12), (2.14) следует, что реакция
упруго-податливой опоры, образованной гибкими нитя-
ми, и ее смещение связаны нелинейной зависимостью.
Поэтому приве|денный выше прием определения коэф-
фициента жесткости упруго-податливой опоры стано-
вится непригодным. В отличие от общепринятого тер-
мина «коэффициент жесткости», относящегося к линеи
но деформируемым упругим
опорам, в дальнейшем для
нелинейно деформируемых
упругих опор будем приме-
нять тцрмин «начальная
жесткость».
Величину начальной
жесткости | нелинейно упру-
гой опоры будем определять
тангенсом угла наклона ка-
сательной к кривой R —
в точке, соответствующей
рассматриваемому положе-
нию равновесия (рис. 6) (Д— реакция упругой опоры,
д —ее смещение). Иными словами, начальная жесткость
g нелинейно упругой" опоры, образованной гибкими ни-
тями, равна сумме начальных сопротивлений смещению
общей точки закрепления всех нитей, образующих эту
опору.
Для несмещенного положения опоры
^о= Х₽ог = 3₽о/С052(р;, (6.1)
1 1
где °0,-—начальное сопротивление смещению г-й нити
в плоскости ее провеса;
<pz -— угол в плоскости хоу между проекцией г-й
нити и направлением смещения упруго-по-
датливой опоры.
В формуле (6.1) суммирование производится по п,
где п— число нитей, образующих упруго-податливую
опору.
Для смещенного положения опоры
п
?l==s°ucos2cpz. (6-2)
3*
35
С помощью формул (6.1), (6.2) могут быть исследо-
ваны упруго-податливые опоры, образованные любым
количеством оттяжек, имеющих произвольные попереч-
ные сечения, углы наклона а к горизонту, нагрузки и т. д.
В дальнейшем остановимся на рассмотрении одного
определенного типа упруго-податливых опор, который
наиболее часто применяется в практике проектирования
мачтовых систем. Все расчетные формулы и выводы
будут справедливы только для этого типа упруго-подат-
ливых опор.
§ 7. Начальная жесткость упруго-податливой опоры,
соответствующая монтажному
состоянию мачтовой системы
Пусть сжатый шарнирно опертый стержень ОС удер-
живается в равновесии гибкими нитями, которые при-
креплены к вершине стержня в точке О (рис. 7). Хорда
каждой нити образует с плоскостью хОу угол а
(рис. 7,а). Угол между проекциями любых двух сосед-
них нитей в плане (рис. 7,6) равен —— (п—число
нитей). Все нити имеют одинаковые длины, площади
поперечных сечений и модули упругости. На каждую
нить действует вертикальная равномерно распределен-
ная вдоль горизонтальной проекции нити нагрузка Уо.
В плоскости хОу через точку О проведем произвольную
прямую ММ. Угол между проекцией i-й нити на пло-
скость хОу и прямой ММ равен <р+ (t—11). (Здесь
(р=1ф1—угол между прямой ММ и ближайшей проек-
цией нити). Отсчет ведется против часовой стрелки.
Величина начальной жесткости упруго-податливой
опоры в направлении ММ в соответствии с формулой
(6.1) будет
п
^0 = ^₽о/С082['р+о] • (7.1)
1
Так как все нити имеют равные длины, площади
поперечных сечений, модули упругости, углы наклона
хорд а и нагружены одинаковой нагрузкой, можно запи-
сать:
Pol ~ Ро2 = ’ = Poi ~ ’ = Рл = Ро-
36
С учетом этих равенств формула (7.1) перепишется
так:
п
=₽o2cos2 [? 4 гг4 ~1}] • (7,2)
Рис. 7
Нетрудно показать [10], что
п
^cos2[?+-^(i-l)]-^. (7.3)
1
Подставляя (7.3) в (7.2), получим
= ₽о 4г • <7Л)
37
Или в развернутом виде
4/3G0cos1 2a 2/ ’ (7-5)
//3 + рр COS3 a
Из равенств (7.4), (7.5) видно, что величина началь-
ной жесткости упруго-податливой опоры рассмотренного
типа в несмещенном состоянии не зависит от положения
прямой ММ (рис. 7,6), т. е. постоянна в любом направ-
лении. Отсюда следует, что в полярных координатах
график начальной жесткости £о упруго-податливой опо-
ры представляет собой окружность.
Если произошло одновременное нагревание или
охлаждение всех нитей на одну и ту же температуру,
то начальная жесткость упруго-податливой опоры может
быть найдена из формул (7.4), (7.5). Однако при опре-
делении величины р0 следует учесть изменение распора
нити по формуле (3.3).
То же самое относится и к случаю одновременного
увеличения нагрузки на все нити (явление гололеда).
Здесь величину распора нити при изменившейся нагруз-
ке следует вычислять по уравнению (2.15).
§ 8. Начальная жесткость упруго-податливой опоры
при действии ветровой нагрузки
на мачтовую систему
В процессе эксплуатации мачта подвергается дей-
ствию значительных горизонтальных (ветровых) нагру-
зок
Направление ветрового потока в плане может быть,
вообще говоря, произвольным. Остановимся на исследо-
вании случаев, когда ветровой поток параллелен плос-
кости симметрии оттяжек, образующих упруго-податли-
вую опору.
Рассмотрим вертикальный стержень ОС, показанный
на рис. 7,а. Координатные оси расположены таким
образом, что плоскость xOz является плоскостью сим-
метрии для нитей, образующих упруго-податливую
опору.
1 Сведения о ветровых нагрузках на элементы мачтовых систем
можно найти в работах [11, 12].
38
Пусть ветровой поток параллелен плоскости xOz и
имеет направление, противоположное положительному
направлению оси х. Под действием этого ветрового пото-
ка вершина стержня из точки О переместилась в точ-
ку 01 (рис. 8, а, б) вдоль оси х на некоторую величину б.
Рис. 8
В соответствии с этим изменились усилия в оттяж-
ках.
Величина смещения б вершины стержня и распоры
всех нитей в точке 01 определятся из условия совмест-
ности деформаций нитей и условия равновесия узла 0\
в смещенном положении.
Записав для каждой нити выражения (2.14) и при-
равнивая последовательно правые части этих выраже-
39
ний, получим условия совместности деформаций для
всех нитей:
ь
cos <р]
а
COS <р2
b
cos <р2
(ф2 — 1) =• •
а
cos <f>„
(фл-1),
(8.1)
b
COS <f>„
где
Gpft2 CQS6 а . _ Яо
~ EF COS2 a Sin а
Недостающие уравнения получим из условия равно-
весия узла Oj:
п п
2 х = Qo + £ Ht cos <pz = 0;
1 1
п п
У r= 2^sin<P/ = 0,
1 1
(8.2)
где Qo — сосредоточенная горизонтальная сила, дей-
ствующая на узел Оь
После определения распоров всех нитей Нь Н2,
Нз,...., Нп из условий (8.1), (8.2) по формуле (5.3)
можно определить величину начального сопротивления
смещению каждой нити в направлении проекции ее
хорды на плоскость хОу.
Через точку О\ в плоскости хОу проведем произволь-
ную прямую ММ (рис. 8,6). Угол между проекцией
хорды z-й нити на плоскость хОу и прямой ММ равен
ф+ (z—1). Отсчет ведется против часовой стрелки
от прямой ММ.
Пренебрегая малым изменением углов ф, при сме-
щении узла крапления нитей из точки О в точку О\, запи-
шем выражение начальной жесткости упругой опоры
в смещенном положении в направлении прямой ММ:
п
£1 = + -^-(z - 1)
1
(8.3)
40
или
п
^ = 2₽HCOS2(cp+0z).
1
Здесь
ez = _^(Z_i);
₽iz — начальное сопротивление г-й нити в смещен-
ном состоянии, где первый нижний индекс означает
состояние нити (смещение ее опоры), а второй—поряд-
ковый номер нити.
Из выражений (8.3) видно, что начальная жесткость
упругой опоры в смещенном положении зависит от
угла ср. Определим положения прямой ММ и соответ-
ствующие этим положениям значения угла ср, при кото-
рых = Цср) имеет экстремальные значения.
Для этого продифференцируем (8.3) по ср и прирав-
няем полученное выражение нулю:
п
2 ₽п-2 cos (? + 0Z) sin (<р + 9Z) = 0. (8.4)
i
Равенство (8.4) можно представить в следующем
виде:
sin2<р £ plz cos 20z -J- cos 2<? £ sin 26z = 0. (8.5)
i i
Разделив обе части равенства (8.5) на cos2cp
(cos2cp=£0) и разрешая его относительно tg 2ср, полу-
чим:
2₽Hsin 26г
tg2<P==_-l----------. (8.6)
2?hcos20z
i
Так как было условлено, что плоскость xOz является
плоскостью симметрии оттяжек, образующих упругую
опору, и ветровой поток параллелен плоскости xOz, то
могут быть следующие расчетные случаи:
1) упругая опора образована нечетным числом оття-
жек (рис. 9);
2) упругая опора образована четным числом оття-
жек, причем две из них лежат в плоскости xOz (рис. 10);
41
42
3) упругая опора образована четным числом оття-
жак, причем ни одна из них не лежит в плоскости xOz
(рис. 11).
Рассмотрим первый расчетный случай. Приняв за
начало отсчета проекцию оттяжки (рис. 9), расположен-
ную в плоскости xOz, занумеруем остальные проекции
оттяжек, обходя узел О] против часовой стрелки.
Числитель формулы (8.6) будет:
п
2₽lzsin29z, (8.7)
2
так как
91 — 0 и pn sin 29z = 0.
Из условий симметрии системы и нагрузки следует:
Р12 = Plni Р13 — Pl (n-1) ; • • • Pti — Pl (n-Z + 2) ;
sin 292 =— sin 29„; sin 293=—sin 29n_i ; sin29z =
= —sin29„_z+2. (8.8)
На основании (8.8) можно заключить, что
S ₽iZsin29z = 0. (8.9)
i
Таким же образом нетрудно показать, что
2?lzcos29z#=0. (8.10)
1
Учитывая соотношения (8.9), (8.10), из формулы
(8.6) получим:
tg 2? = О, = 0 4- п. (8.11)
Откуда
<р(1)=0°; <р(2) = 90°.
Углы <p(I) и <42) определяют два взаимно-перпенди-
кулярных направления прямой ММ. Одно из этих
направлений совпадает с направлением ветровой на-
грузки.
43
Начальная жесткость упругой опоры |i по указан-
ным направлениям принимает экстремальные значения.
Дифференцируя по ср выражение (8.5), получим:
е; = - 2 cos 2? £ ₽u cos 26z + 2 sin 2<р 2 sin 26z. (8.12)
1 1
Учитывая, что
п
2 Рн Sin 29z = О,
перепишем равенство (9.12):
q =-2cos2<p2plzcos29z. (8.13)
1
Подставляя в (8.13) значения <рб) =0°, <р(2) = 90°,
соответственно получим:
и) =- 22P1/COS29,;
^2) = 22₽jZcos29z.
1
(8.14)
По знаку выражений (8.14) в каждом конкретном
случае можно установить, в каком направлении началь-
ная жесткость упругой опоры имеет минимальное значе-
ние.
Обычно при направлении ветра, указанном на рис. 9,
минимальное значение начальной жесткости упругой
опоры соответствует направлению, перпендикулярному
ветровому потоку. Если ветер имеет направление, проти-
воположное показанному на рис. 9, то начальная жест-
кость упругой опоры имеет минимальное значение
в направлении ветрового потока.
Аналогичным способом для второго расчетного слу-
чая могут быть получены те же результаты (8.11), что
и в первом случае, и на его рассмотрении мы останав-
ливаться не будем.
Перейдем к третьему расчетному случаю.
Из условия симметрии оттяжек, образующих упру-
гую опору относительно плоскости xOz, следует:
?11 ~ Pln'1 Р12 = Р1 (/г—1) , • • • > Plj = pl (п—Ы-1) • (8.15)
44
С учетом последних равенств можно записать сле-
дующие соотношения:
4тс 4 тс
Рп sin — (г - 1) + ₽1 (п-г+1) sin — (я — г) =
л Г • 4тс /. 1 \ I * 4тс / • \ "I
= [sin — (z— 1) -ф sin — (я - г) I ;
?1Z COS (Z — 1) -ф ₽1 {n-l+1) cos (n - z) =
(8.16)
= pu cos(z-1) +cos-^-(я-z)
Принимая ibo внимание соотношение (8.16), формулу
(8.6) можно представить в следующем виде:
п12
Г 4к 4тс
3z sin—(z—1) + sin —(n-z)
tg 2<? =-
л/2
S T 4л 4л
cos—(/•-!) +cos—(n — z)
(8.17)
Тригонометрические суммы числителя и знаменателя
формулы (8.47) элементарными преобразованиями мож-
но привести к виду:
. 4 л ,. ,. , . 4л .
sin — (Z - 1) -ф sin — (я -z) =
= — 2 sin cos (21 — 1);
cos^p-(z— 1)-ф cos(я — 1) =
= 2 cos cos (2i — 1).
(8.18)
Подставляя правые части равенств (8.!18) соответ-
ственно в формулу (8.17), после сокращения одинако-
вых сумм в числителе и знаменателе, получим
tg2<f> = tg-^-. (8.19)
Равенство (8.19) справедливо при
2? =
45
откуда
= ?(2)=~ + 1. (8.20)
Углы ?(!) и <р(2) определяют два взаимно-перпендику-
лярных направления прямой ММ. Одно из этих направ-
лений, как и в предыдущих случаях, совпадает с направ-
лением ветровой нагрузки. Начальная жесткость упру-
гой опоры (см. рис. 11) по указанным направлениям
принимает экстремальные значения. Характер экстре-
мума может быть определен по знаку выражений
(8.14).
Исследуем случай, когда cos2cp = 0. Этому соответ-
ствует:
—45°, <р(2)=45° + -£-. (8.21)
Подставляя cos2cp = 0 в уравнение (8.5), будем иметь:
2₽lzcos29z=0. (8.22)
1
Последнее равенство возможно только при п=4, и,
следовательно, рассматриваемый случай (cos2<p = 0)
соответствует упругой опоре, образованной четырьмя
оттяжками, ни одна из которых не лежит в плоскости
xOz (подробнее смотри § 9).
На основании изложенного можно сделать следую-
щие выводы:
1) при отсутствии ветра начальная жесткость упру-
гой опоры рассмотренного типа не зависит от направле-
ния возможного перемещения общей точки закрепления
нитей, образующих эту опору. Иными словами, эта
жесткость по всем направлениям является величиной
постоянной;
2) при действии ветра начальная жесткость упругой
опоры рассмотренного типа зависит от направления воз-
можного перемещения общей точки закрепления нитей,
образующих эту опору;
3) если ветровой поток параллелен плоскости сим-
метрии нитей, образующих упругую опору, то можно
указать два взаимно-перпендикулярных направления,
по которым начальная жесткость упругой опоры прини-
мает экстремальные значения. Одно из этих направле-
ний всегда совпадает с направлением ветрового потока.
46
§ 9. Упругие опоры, образованные тремя
и четырьмя гибкими нитями
В практике проектирования мачт наиболее распро-
странены упругие опоры, образованные тремя и четырь-
мя оттяжками.
Пусть упругая опора образована тремя оттяжками
(рис. 12). При отсутствии ветра начальная жесткость
опоры определится из формулы (7.4):
5о=-у?о- (9-D
Предположим теперь, что на рассматриваемую
упругую опору действует ветровой поток Wlt параллель-
ный плоскости симметрии оттяжек, образующих эту
опору. Тогда в соответствии с нумерацией оттяжек по
рис. 12, на основании формулы (6.2) и выводов преды-
дущего параграфа можно написать:
51,макс = Рп cos20° + ₽12cos2 120° + pi3cos2240°;
мин = ₽и cos2 90° + ₽I2 cosa210° + p13 cos2 330°.
Учитывая, что ₽i2 = ₽i3, окончательно получим:
51, макс === Рп Н 2~ 2»
51, мин ~2~ Р12-
(9.2)
Здесь Bj макс соответствует направлению ветрового
потока, a мин—направлению, перпендикулярному вет-
ровому потоку.
Сравним жесткость упругой опоры в начальном
состоянии с минимальной начальной жесткостью в от-
клоненном состоянии:
5о __ fa
51. МИН
(9.3)
здесь Ро>₽12при заданном направлении ветра.
Следовательно, минимальная начальная жесткость
упругой опоры, образованной тремя оттяжками при дей-
ствии ветра в направлении Wj (см. рис. 12), всегда мень-
ше начальной жесткости этой опоры в монтажном со-
стоянии.
47
При действии ветра в направлении W2 (рис. 12)
(9-4)
при той же нумерации оттяжек, причем мин соответ-
ствует направлению ветрового потока, а макс —на»
правлению, перпендикулярному ветровому потоку. При
этом мин может оказаться меньше, чем go.
Легко также полазать, что макс>?о при любом
направлении ветра.
Пусть упругая опора образована четырьмя оттяжка-
ми (рис. 13). Начальная жесткость в монтажном состоя-
нии в соответствии с формулой (7.4) будет:
— 2{3О.
(9.5)
При действии ветра в направлении W] из формулы
(6.2) получим:
4
^ = j]₽ncos2 <р+ -J-(i- 1) =
= ₽11 COS2 <р + р12 COS2 ~} 4- plg COS2 (<Р + «) 4-
+ Р14 COS2 -j----.
(9.6)
48
Из условия симметричного расположения оттяжек
относительно направления ветрового потока в плане сле-
дует:
Р11 = Р14» Р12 = Р13» (9.7)
а по формулам приведения имеем:
cos2 -f- -у-) = sin2 <р, cos2 = sin2 <р.
На основании этого получим:
^1 = ?п + ₽12. (9.8)
Как видно, в данном случае начальная жесткость
упругой опоры, образованной четырьмя оттяжками,
в смещенном положении не зависит от направления воз-
можного смещения общей точки крепления оттяжек,
т. е. одинакова по всем направлениям.
Рассмотренный случай представляет собой един-
ственное исключение и на него не распространяются
выводы § 8.
Для сравнения Bi с Во запишем следующее очевид-
ное неравенство:
Р11 ?0 > ?0 Р12*
Отсюда
Ри + Р12 > 2Р0. (9.9)
Таким образом, всегда больше Во-
При действии ветра в направлении №2 и при той же
нумерации оттяжек справедливы равенства:
^1,макс = Ри 4* Р13» | С9 10)
51, мин — 2^12 (Р^^Ри)- I
ii, макс соответствует направлению ветрового потока;
Bi, мин — направлению, перпендикулярному ветровому
потоку.
Легко также показать, что
Ри > Ро»
откуда следует неравенство
51, „ин > Во» (9.И)
4-165
49
произошло смещение общей
т. е. при направлении ветра «на оттяжку» минимальная
начальная жесткость упругой опоры, образованной
четырьмя оттяжками,, в смещенном положении всегда
больше начальной жесткости этой опоры в монтажном
состоянии.
Если ветер отсутствует, но по каким-либо причинам
точки прикрепления нитей
в направлении W2, то
£1,мин = В0. (9.12)
На рис. 14 показан ха-
рактер изменения началь-
ных жесткостей упругих
опор, образованных тре-
мя, четырьмя, пятью и
шестью оттяжками в за-
висимости от величины
сосредоточенной горизон-
тальной силы Qo- В мон-
тажном состоянии все
эти опоры имеют одина-
ковую начальную жест-
кость. Предполагается,
что при увеличении силы Qo нагрузка на оттяжки остает-
ся неизменной. Из рис. 44 видно, что при числе оттяжек
больше четырех минимальная начальная жесткость уп-
ругой опоры 1в отклоненном состоянии всегда больше
начальной жесткости этой опоры в монтажном состоя-
нии.
§ 10. Примеры
I. Определить величину начальной жесткости упру-
гой опоры, образованной тремя оттяжками (ом. рис. Г2),
при следующих данных:
площади поперечных сечений оттяжек F\ — F2 — F2 =
= 12 см2;
угол наклона каждой оттяжки к горизонту а = 45°;
горизонтальная проекция каждой оттяжки /=200 м;
вертикальная равномерно распределенная нагрузка,
действующая на каждую нить, ^0 = 19 кг)м;
натяжение в нижней точке закрепления каждой от-
тяжки ТА= 14,4 т.
•50
По формуле (1.12) определим распор каждой нити:
Яо = (14,4 + 1’9'10"А-2,102 0,707 -
1.93-10-4 23 1СИ \п ,
------844+2------У 0,707 = 11,1 т.
По формуле (5.2) найдем начальное сопротивление
смещению каждой нити:
₽0 =--j-------------------------------------=8,4 тм.
2-4- • 23• 106-1,92-10~4
2 ________ 2-102-4
24-1,ИМО3 + 1,5.107.1,2-10- 3-У2
По формуле (9.4) вычислим начальную жесткость
упругой опоры:
е0=-|_ 8,4 = 12,6 т/м.
II. Определить величину начальной жесткости этой
же упругой опоры при изменении температуры всех
оттяжек на +40 °C.
Коэффициент линейного расширения материала
оттяжек kt = 13• 10-6.
В соответствии с формулой (3.3) определяем значе-
ние распора при изменившейся температуре для каждой
оттяжки:
1,92 • 10~ 4 • 23 • 108 • 0,5 • 0.707 1,92 • 10“ 4 • 22 • 10е • 0,5 • 0,707
24-1,112.102 — 247/2
-^-13-10-.40--------------^-1U)g°0 -,
0,707 1,5-107-1,2-10—3 -0,5
откуда
= 9,6 tn.
По формуле (5.3) найдем величину начального со-
противления смещению для каждой оттяжки:
Й. =--------------------—--------------------------=5,90 т!м.
г 2-0,5-23- 10е-1,92.10- 4 2-102-4_
24-0,9603-103 + 1,5-Ют-1,2-10—3-/2
51
Начальная жесткость упругой опоры по формуле
(9.1) будет
= 1,5 -5,90 = 8,90 т^м.
Таким образом, при нагревании всех оттяжек на
40°C начальная жесткость упругой опоры уменьшилась
на 29,5% по сравнению с исходной жесткостью.
III. Определить величину наименьшей и наибольшей
начальной жесткости рассмотренной упругой опоры,
если к общей точке закрепления оттяжек приложена
горизонтальная сосредоточенная сила Qo —22,2 т в на-
правлении IF] (см. рис. 42). При этом учесть изменение
погонной нагрузки на оттяжки. Составляющие этих
нагрузок, нормальные к хордам нитей, соответственно
равны:
рпХ — 30,5 кг^м.\ рп2 = р„3 = 19,4 кг/м.
Для определения распоров оттяжек в смещенном
положении используем условия равновесия узла (8.2)
и условие совместности деформаций. Для удобства
выкладки проводятся в параметрической форме. Из
(8.2) следует:
- Фи + Ф12 cos 60° + ф13 cos 60° = 0;
Ф12 cos 30° = ф13 cos 30°,
откуда
Ф12 = Ф13; Ф11=2 + Ф12.
Подставляя последние соотношения в (8.1), получим:
ши
(Ф12 + 2)2
+ b (1 + Фи) —
I С05П \
= 2а ( — 1 1 + 2b (1 — ф12).
Здесь
шп = -^- = 1,605;, ш12 = ^- = 1,02;
?0 ?0
а = 2,45-10“3 ; & = 1,74-10~3.
52
Подставляя числовые значения коэффициентов в пре-
дыдущее равенство, получим уравнение
245 [3 ~ Т “ -так-] +1 >74 -1 > = °-
Решая это уравнение подбором, найдем: ф12 = 0,77;
фп = 2,77.
На основании этого имеем: 7/1=30,7 т; Н2 = Н3=8,6т.
Относительное перемещение общей точки прикрепле-
ния оттяжек согласно ('2.14) будет:
?! = 2,45-10“3 (1 - -|^г) + 1,74-10"3(2,77-1)^-^
Для каждой оттяжки по формуле (5.3) вычислим
величину начального сопротивления, соответствующую
смещенному положению упругой опоры:
о ___________________________J_______________________
2-0.5-23-108-3,052- КГ1 2-102-4
24-3.073-103 + 1,5-Ю7-1,2-1О“3/2
₽12 — Pis —
---------------------т— = 4,24 т/м.
2-0,5-2М0в-1,942-10~ 4 2-102-4_______
24-0,863-103 + ),5-107-1,2-10-3 /2
Используя формулы (9.2), получим:
$11Макс = 23,8 + 0,5-4,24 = 25,92 т/м-,
£1, мин = 1,5- 4,24 = 6,35 т/м.
Запишем соотношения начальных жесткостей:
,£1'макс = -^Я- = 4,08; -Е--0— = = 1,98.
*1,мип * *1, МИН
Таким образом, минимальная начальная жесткость
упругой опоры в смещенном состоянии в 4 раза меньше
максимальной начальной жесткости и в 2 раза меньше
начальной жесткости, соответствующей несмещенному
(монтажному) состоянию упругой опоры.
IV. Проведем аналогичные вычисления для случая,
когда сосредоточенная горизонтальная сила Q0 = 22,2 т
53
действует в направлении W2 (см. рис. 12). Нормальные
к хордам нитей составляющие нагрузок соответственно
равны:
Р„1 = 7>6 кг/м< Рп2 = Рпз = 28-6 кг/'м-
Из уравнений равновесия (8.2) следует:
Ф12 = 2 + фп.
Рис. 15
Подставляя в (8.1) последнее соотношение и извест-
ные числовые значения входящих в (8.1) величин, при-
дем к уравнению
2’45[3"^“Т]+1’74(3^“1)=0-
Решая это уравнение подбором, получим: = 0,281;
^21=2.28 и соответственно: Яц = ЗД т; Я12 = Я1з = 25,3т.
54
По формуле (5.3) вычисляем:
Вц =--------------------5-1----------,---------
г г-о.б-гмов-о.Убмо-4 2-102-4
24’3-13 + 1,5-107-1,2-10~3 /2
Р12 — ₽13 —
_______________________1____________________ _
2 0,5-23- 10в-2,962-10—4 2-102-4 —
24-2,533-Юз
Из формул (9.4)
^1,макс = 1,5-20,7 =
- 31,1 т'м-,
£1, мин = 1,52 +
+ 0,5-20,7 =
= 11,87 т/м.
На рис. 15 в по-
лярных координа-
тах изображены
графики начальной
жесткости рассмот-
ренной упругой опо-
ры.
Цифрой I поме-
чен график началь-
ной жесткости упру-
гой опоры в монтаж-
ном (несмещенном) состоянии; цифрами II и III — гра-
фики начальной жесткости упругой опоры в смещенном
положении при действии горизонтальной силы Qo соот-
ветственно в направлениях и W2 (см. рис. 12).
Для рассмотренной (выше упругой опоры построен
график (рис. 16, а) зависимости 5, мип от у, — при
действии силы Qo в направлении IFi. Нагрузка на оттяж-
ки принималась постоянной.
Из рассмотрения графика следует, что с увеличе-
нием Qo значение минимальной начальной жесткости
упругой опоры быстро уменьшается. При этом верти-
кальная составляющая N натяжений всех нитей в общей
точке закрепления возрастает (рис. 16,6).
Глава III
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
МАЧТОВЫХ СИСТЕМ
§ 11. Некоторые общие положения
В этой главе будут рассмотрены некоторые вопросы
устойчивости первого рода для сжатых стержней на
упругоподатливых опорах.
Материалы предыдущей главы дают возможность
сформулировать достаточно общие положения по рас’
чету на устойчивость сжатого стержня на упруго-подат-
ливых опорах, образованных гибкими нитями.
Если сжатый стержень удерживается в равновесии
упругими опорами рассмотренного типа и если в преде-
лах каждого пролета изгибная жесткость этого стержня
одинакова в направлении всех центральных осей инер-
ции его поперечного сечения, то справедливы следую-
щие положения.
1. При отсутствии горизонтальных нагрузок началь-
ные жесткости упруго-податливых опор сжатого стерж-
ня не зависят от направления их возможного горизон-
тального перемещения. При этом все вертикальные
плоскости, в которых стержень теряет устойчивость,
равноправны с точки зрения величины сжимающей
критической нагрузки стержня в каждой из этих плоско-
стей.
2. При действии на мачтовую систему горизонталь-
ных нагрузок в плоскости симметрии оттяжек, образую-
щих упругие опоры, при условии, что горизонтальные
проекции оттяжек (по высоте стержня) совпадают, на-
правления, соответствующие минимальным начальным
жесткостям упругих опор (в смешенном положении),
56
лежат в одной плоскости. Эта плоскость либо совпадает
с плоскостью действия горизонтальных нагрузок, либо
ей 'перпендикулярна.
3. При достижении стержнем критического состояния
отклонения от рассматриваемого прямолинейного поло-
жения равновесия будет иметь место в плоскости мини-
мальных начальных жесткостей упруго-податливы.х
опор. Другими словами, эта плоскость является плоско-
стью потери устойчивости рассматриваемой мачтовой
системы.
Если поперечное сечение сжатого призматического
стержня имеет произвольное очертание, то плоскость
потери устойчивости и соответствующая величина мини-
мальной критической нагрузки могут быть определены
либо рядом попыток, либо с помощью специального
построения, которое будет описано в § 13.
Отметим еще одно важное обстоятельство. При дей-
ствии на мачтовую систему тех или иных эксплуатаци-
онных нагрузок изменяются как сжимающее усилие
в стволе, так и жесткости упруго-податливых опор, т. е.
каждому загружению мачтовой системы соответствует
своя расчетная схема. Причем, если при действии на
мачтовую систему нагрузки определенного типа (голо-
лед, перепад температуры) не происходит смещения
упругих опор, то независимо от числа оттяжек уве-
личению сжимающих усилий в стволе мачтовой си-
стемы соответствует увеличение жесткости упругих
опор.
При действии горизонтальной (ветровой) нагрузки
во всех мачтовых системах наблюдается та же картина,
за исключением мачтовых систем, упругие опоры кото-
рых образованы тремя оттяжками. В последнем случае
при направлении ветра «на оттяжку» увеличению сжи-
мающих усилий в стволе мачты соответствует значитель-
ное падение начальной жесткости в направлении, пер-
пендикулярном ветровому потоку (см. рис. 16,а). Ины-
ми словами, при действии ветра такая мачтовая система
оказывается значительно менее устойчивой, чем в на-
чальном (монтажном) состоянии, так как горизонталь-
ная нагрузка существенно уменьшает начальные жест-
кости упругих опор. Это приводит к перерасходу мате-
риала ствола мачтовой системы, и может оказаться
целесообразным применение упругих опор с большим
числом оттяжек. Конечно, это справедливо в том случае,
57
если надежность мачтовой системы определяется ее
устойчивостью.
При расчете многоярусных мачтовых систем огра-
кичимся следующими основными допущениями:
1) 'продольная сжимающая нагрузка, действующая
на систему, состоит из сосредоточенных сил, приложен-
ных в уровнях упруго-податливых опор;
2) половина собственного веса каждого промежуточ-
ного пролета прикладывается в верхнем его конце,
а другая половина —в нижнем 1-,
3) соотношение между сосредоточенными продоль-
ными силами при возрастании сжимающей нагрузки
в каждом расчетном случае остается постоянным;
4) в рассматриваемом положении равновесия увели-
чение сжимающей нагрузки не влияет на величину
жесткостей упругих опор, т. е. не меняет расчетную схе-
му мачтовой системы;
5) изгибная жесткость ствола мачты в пределах каж-
дого пролета постоянна;
6) обычная основная система метода перемещений,
состоящая из отдельных сжатых однопролетных стерж-
ней, образуется путем наложения линейных связей, пре-
пятствующих поворотам и смещениям опорных сечений
мачтовой системы.
§ 12. Расчетная схема мачтовой системы
Как указывалось, расчетной схемой мачтовой систе-
мы является сжатый стержень на упруго-податливых
опорах (рис. 17). В уровне каждой опоры приложена
сосредоточенная сжимающая нагрузка
Л=4г- (12.1)
ч
Здесь ^ — безразмерный параметр сжимающей на-
грузки, который также называется парамет-
ром продольного изгиба.
Нижний индекс i в формуле (12.1) означает номер
соответствующего пролета.
1 Ряд результатов, связанных с приведением распределенной
сжимающей нагрузки к сосредоточенной, можно найти в работах
[2, 13, 151.
58
Параметр продольного изгиба для t'-ro пролета выра-
жается формулой
(12.2)
Соотношение между параметрами
продольного изгиба в процессе загруже-
ния мачтовой системы остается постоян-
ным (см. пункт 3 допущений). Не сужая
общности рас-суждений, можно считать,
что между параметрами нагрузки вы-
бранной последовательности пролетов
имеют место неравенства
vi < v2 < < • • • <
<v,<...<v/>. (12.3)
Будем также считать, что значения
начальных жесткостей упругих опор gi,
g2,..., определены для одной верти-
кальной плоскости, проходящей через
ось ствола мачтовой системы. Соотноше-
ние между начальными жесткостями в
процессе загружения также остается
постоянным. Упругие опоры можно еще
характеризовать безразмерной величи-
ной
= (12-4)
называемой приведенной начальной
жесткостью упруго-податливой опоры.
Все расчетные величины системы
удобно выразить через соответствующие
расчетные величины какого-нибудь
одного пролета, например первого
сверху:
Рис. 17
Л1 1*2 — ^з — тз^11 • • • > In — m-nli'i
^2 = ^2^11 ^3 == «3^1 • - • j ==' Пп1Х j
^2 == ^2^1 &3 ~ ^3^1 5 • • • » == >
v, v2 = c2vi; vs = сзЛ; • • •; =
(12.5)
Здесь т, п, t, с — некоторые постоянные коэффици-
енты.
59
Поскольку соотношения между сжимающими нагруз-
ками при их возрастании остаются постоянными, то
первому критическому состоянию мачтовой системы
будет соответствовать совокупность параметров'
= (12.6)
здесь верхний индекс (г) (г=<1, 2, 3,..., п) означает но-
мер соответствующего пролета.
Оговорим также, что ввиду принятых соотношений
под первым критическим параметром сжимающей на-
грузки V] Кр многопролетного стержня на упруго-подат-
ливых опорах подразумевается первый критический
параметр, выраженный через характеристики первого
сверху пролета этого стержня.
§ 13- Зоны устойчивого и неустойчивого равновесия
мачтовых систем
Пусть сжатый'стержень произвольного поперечного
сечения удерживается в равновесии упругими опорами,
образованными гибкими нитями. Изгибная жесткость
такого стержня в каждой вертикальной плоскости, про-
ходящей через ось стержня, имеет свое определенное
значение. Если на такую систему действует горизонталь-
ная нагрузка, то начальные жесткости упругих опор ока-
зываются также не одинаковыми по различным направ-
лениям. В рассматриваемом положении равновесия
такой системы каждому фиксированному направлению
в плане (или каждой фиксированной вертикальной пло-
скости, проходящей через ось стержня) соответствует
свое значение критической сжимающей нагрузки. При-
чем направление, которому соответствует минимальное
значение критической нагрузки, не может быть указано
заранее (как в случае, когда изгибная жесткость стерж-
ня одинакова~во всех вертикальных плоскостях, прове-
денных через его ось).
Для расчета указанных систем может оказаться
целесообразным следующее графическое построение.
Выберем на горизонтальной плоскости произвольную
точку О (рис. 18) и будем считать ее центром полярной
системы координат, а ось х — началом отсчета углов.
60
Проведем из центра О ряд лучей Оа, Об, Ов и т. д.
(рис. 18). Положение каждого луча в принятой системе
координат фиксировано некоторым углом q>; <{i = a, б, в,
г,..-, п), отсчитываемым от оси х против часовой
стрелки.
Угол <р/ изменяется от 0 до 2л, угол <рп =0, так как
луч Оа совпадает с осью х, угол срj определяет положе-
ние луча Об; угол q?g —положение луча Ов, и т. д. В на-
правлении каждого луча определим значение критиче-
ской нагрузки системы с учетом соответствующих этому
направлению значений начальных жесткостей упругих
опор и изгибной жесткости стержня. На каждом луче
от центра О в масштабе сил отложим соответствующее
значение критической нагрузки. Полученные таким
образом точки 1, 2,3,4 и т. д. соединим плавной замк-
нутой кривой, которую будем называть кривой устойчи-
вости. Кривая устойчивости Р^'кр (i = a, б, в, г,..., п)
в полярных координатах представляет собой геометри-
ческое место точек, величина радиуса-вектора каждой
из которых равна критической нагрузке, а направление
этого радиуса-вектора определяет положение вертикаль-
61
ной плоскости потери устойчивости рассматриваемой
системы.
Часть плоскости, ограниченную кривой устойчивости,
исключая точки, принадлежащие этой кривой, будем
называть областью устойчивости. Величина радиуса-век-
тора .каждой точки, принадлежащей области устой-
чивости, равна сжимающей нагрузке, при которой
рассматриваемая система находится в состоянии устой-
чивого равновесия в вертикальной плоскости, определен-
ной направлением этого радиуса-вектора. Так как
фактически действующая на рассматриваемую систему
сжимающая нагрузка является величиной постоянной,
то ее график в полярных координатах может быть пред-
ставлен окружностью, которая в дальнейшем будет
называться окружностью нагрузки.
При расчете сжатого стержня на упругих опорах
могут иметь место три основных расчетных случая.
Случай 1. Окружность нагрузки Pi располагается
внутри кривой устойчивости и ее не касается (рис. 18),
т. е. все точки окружности нагрузки принадлежат об-
ласти устойчивости. В этом случае система находится
в состоянии устойчивого равновесия.
Случай 2. Окружность нагрузки Р2 располагается
внутри кривой устойчивости и касается ее в одной, двух
или более точках (рис. 18 точки 4, 10), т. е. все точки
окружности нагрузки принадлежат области устой-
чивости, за исключением точек касания, расположенных
на кривой устойчивости. В этом случае • система нахо-
дится в состоянии устойчивого равновесия во всех верти-
кальных плоскостях, кроме вертикальных плоскостей,
положение которых определено направлениями радиу-
сов-векторов точек касания. В этих плоскостях система
находится в критическом состоянии.
Случай 3. Окружность нагрузки Рз пересекает
кривую устойчивости в четном числе точек (двух, четы-
рех или более точках рис. 18 — точки I, II, Ш, IV).
В этом случае в вертикальных плоскостях, определен-
ных направлениями радиусов-векторов точек пересече-
ния, система находится в критическом состоянии. Ра-
диусы-векторы двух соседних точек пересечения, между
которыми все точки окружности нагрузки лежат вне
области устойчивости (на рисунке 01 и Oil, ОШ и OIV),
ограничивают сектор неустойчивого равновесия рассмат-
риваемой системы.
62
В вертикальных плоскостях, проходящих через
любые лучи, лежащие внутри этого сектора, система
находится в состоянии неустойчивого равновесия. Ради-
усы-векторы двух 'соседних точек пересечения, между
которыми все точки окружности нагрузки принадлежат
области устойчивости (на рисунке ОН и ОШ, 01 и OIV),
ограничивают сектор устойчивого равновесия рассмат-
риваемой системы.
В вертикальных плоскостях, проходящих через лю-
бые лучи, лежащие внутри этого сектора, система нахо-
дится в состоянии устойчивого
равновесия.
Изложенное проиллюстри-
руем на примере одноярусной
мачты, ствол которой жестко
соединен с землей. Расчет-
ная схема мачты представле-
на на рис. 19, а. Образуя обыч-
ную основную систему метода
перемещений (рис, 19,6), за-
пишем единственное канониче-
ское уравнение
r u^i =
откуда получим простейшее условие устойчивости
мачты:
01 = 0.
Определяя величину реакции в наложенной связи при ее
единичном линейном смещении по приложению работы
[8], перепишем предыдущее равенство:
4г7+^ = о
или
Л=-у. (13.1)
?л2
Здесь k = —---------приведенная начальная жест-
_ кость упругой опоры;
у = /(v) — специальная трансцендентная
функция метода перемещений
___ у Корноухова [6];
v = ЕЕ — параметр сжимающей нагрузки.
Минимальный корень л кр уравнения (13.1) соответ-
ствует первому критическому состоянию рассматривае-
мой системы.
63
На рис. 20 изображен график зависимости >1Кр от k.
Аналогичный график (пунктирная линия) построен
в предположении шарнирного опирания ствола мачты.
Интересно отметить, что при k = k*=n2 мачта с жестко
защемленным стволом равноустойчива с такой же мач-
той при условии шарнирного опирания ее ствола.
Вычисляя для любого направления в плане вели-
чину k, по графику (рис. 20) легко определить значе-
ние >1кр, соответствующее этому направлению, и вели-
чину критической нагрузки:
х2 •
ЛкР = -~^. (13.2)
Пример. Высота мачты /г='100 м. Погонная жест-
кость ствола мачты « = 104 тм.
Сосредоточенная сжимающая нагрузка, приложен-
ная в уровне упругой опоры Ро = 785 т. Расположение
и нумерация оттяжек в плане показаны на рис. 21, а.
Площади поперечного сечения оттяжек
= F2 — F3 — 6 см2.
Начальное натяжение в нижней точке закрепления
каждой оттяжки ТА = 6 т. Угол наклона оттяжек к гори-
зонту а = 45°. Модуль упругости материала оттяжек
Е= 1,5• 107 т/м2. Вертикальная равномерно распределен-
ная нагрузка на оттяжки: <7oi = <?02 = <7оз = 10 кг/м.
64
По формулам (1.1'2), (5.2), (7.4),. (1.17) соответ-
ственно определяем:
Я0 = 4,5т; р0=13т/ж; = 19,5 т]м;
k0 = = 19,5; JV0 = 15 т.
Полная сжимающая нагрузка, действующая на ствол
мачты:
Р = ро -|- No = 800 т.
По рис. 20 определяем: v1<Kp = 3,85; Pi, Кр = 14®0 т.
Дкр = 1,85 >1,50.
Здесь Р—фактически действующая сжимающая на-
грузка, а 1,5 — условно принятый коэффици-
ент запаса.
Таким образом, мачта обладает достаточным запа-
сом устойчивости в монтажном состоянии.
Предположим теперь, что на рассматриваемую
систему действует ветровой поток, направление которого
показано на рис. 21, а. Сосредоточенная горизонтальная
нагрузка, приходящаяся на узел крепления оттяжек,
5-165
65
Qo—18 т. Нормальные к хордам нитей составляющие
погонных нагрузок соответственно равны:
рп1 = 11,3 кг/м-, рп2=рп3 = 7,2 кг/м.
По формулам (4.29), (5.3) для смещенного состоя-
ния рассматриваемой системы соответственно находим:
//11 = 20,5 пг- /У12 = Н13 = 2,5 /и;
= 27 mjM; ^12 = р13 = 5,8 tnjM.
Для различных направлений вычисляем значения
начальной жесткости упругой опоры по формуле (5.3).
Отсчет углов ведем от оси х против часовой стрелки.
После этого для каждого выбранного направления опре-
деляются значения k = —— , а из рис. 20— соответству-
ющие значения р кр. Результаты вычислений сведены
в табл. 1.
Таблица 1
<р=о° <р = 30° ср = 60° ср = 90°
$!, пг/м 29,9 16,4 13,3 8,7
29,9 16,4 13,3 8,7
кр 4,19 3,70 3,47 3,0
Р1 кр> 1750 1370 1200 900
А, т 812 812 812 812
Аап = А кр/А 2,16 1,69 1,48 1,11
Для отклоненного состояния рассматриваемой систе-
мы на рис. 21, б построена кривая устойчивости и
окружность сжимающей нагрузки увеличенная на
условно принятый коэффициент запаса, равный 1,5. Для
сопоставления штрих-пунктирной линией изображена
кривая устойчивости рассматриваемой системы при
отсутствии ветра.
Как видно из рисунка, мачтовая система в отклонен-
ном состоянии имеет два сектора неустойчивого равно-
весия, ограниченные лучами 01, ОН и ОШ, OIV.
66
§ 14. Линейное преобразование квадратичной формы
(выражения потенциальной энергии).
Механическая интерпретация и качественный анализ
Значение первого критического параметра сжимаю-
щей нагрузки может быть определено путем исследова-
ния выражения полной энергии, составленного для рас-
сматриваемой мачтовой системы, которое сокращенно
назовем потенциальной энергией.
Такое сокращенное наименование может быть обо-
сновано тем, что полная энергия V упругой механиче-
ской системы состоит из двух частей: потенциальной
энергии деформации W (или работы внутренних сил
упругости на возможных перемещениях) и изменения
потенциала внешних сил А (или работы внешних сил
на возможных перемещениях)
V=W-A. (14.1)
Поскольку каждая из указанных частей полной
энергии характеризуется изменением соответствующего
потенциала, то принимаемое наименование «потенциаль-
ная энергия» может считаться оправданным.
Известно, что при решении задач механики в пере-
мещениях выражение потенциальной энергии линейной
упругой системы является квадратичной формой обоб-
щенных координат. В методе перемещений обобщен-
ными координатами являются неизвестные перемеще-
ния— углы поворота или линейные независимые смеще-
ния отдельных точек системы.
Для мачтовых систем, рассматриваемых как системы
с п неизвестными перемещениями, выражение потенци-
альной энергии, записанное в виде квадратичной формы
от обобщенных координат, будет иметь вид
[л л
(14‘2)
1=11=1
здесь r/y. (v) (/, /=:1, 2, 3,..., и)— реактивные усилия,
являющиеся трансцендентными функциями параметра
1 /"pi*
нагрузки v = I/ , полученные в результате незави-
F EJ
5*
67
симых единичных перемещении линейных связей, нало-
женных на мачтовую систему1;
Z£, Zy(i1j=,l, 2, 3,..., n)—«лишние» неизвестные
(обобщенные координаты) в методе перемещений.
Определитель, составленный из коэффициентов квад-
ратичной формы (14.2), называется Дискриминантом
этой формы
Gi О') Па О’) • . . ПиО1)
r2i О’) r22 W • • • r2n (у)
(И.З)
r„i (v) rn2 (v) . . . rnn (у)
Равенство нулю дискриминанта (14.3)
|Я|-О,
(14.4)
тождественно равенству нулю определителя системы
канонических уравнений устойчивости метода переме-
щений:
(v) zt + г12 (V) z2 4- ... + г1п (у) z„ = о
Г21 (v) Zi 4- Г(v) Z2 + • • • 4“ r2n 0) =10
(14.5)
rni (v) Zi 4- fn2 (v) z2 4- • • +rnn 0) zn — о
Уравнение (14.4) будем называть условием устойчи-
вости [8] заданной мачтовой системы.
Если мачтовая система представляет собой сложную
многоярусную конструкцию, то определение, для нее
величины первого критического параметра нагрузки бкр
связано с раскрытием громоздкого трансцендентного
определителя (14.4) и решением соответствующего
трансцендентного уравнения. Обе эти операции очень
трудоемки и подчас неосуществимы для расчета слож-
ных мачтовых систем. Ввиду этого целесообразно
использовать качественный анализ упругих систем, изло-
женный в монографии [8] и основанный на специальном
1 Реактивные усилия О, (у) (Z =/), возникающие при еди-
ничных смещениях опорных- сечений мачтовых систем, являются
также функциями начальных жесткостей соответствующих упруго*
податливых опор.
68
преобразовании квадратичных форм (выражений потен-
циальной энергии). Эти преобразования позволяют полу-
чить новые виды энергетических критериев устойчивости
и с их помощью достаточно просто определить критиче-
ские параметры спектра упругих систем.
В данном случае ограничимся определением число-
вых величин первых критических параметров ъ Кр мач-
товых систем, имеющих практическое значение.
Рис. 22
Не сужая общности рассуждений, рассмотрим про-
стой пример преобразования квадратичной формы (вы-
ражения потенциальной энергии), записанной для
неразрезного стержня на жестких опорах, сжатого цент-
рально приложенной продольной силой Р (рис. '22, а)*.
Наложим на опорные сечения неразрезного стержня
связи, препятствующие их повороту (рис. 22,6). Дадим
наложенным связям независимые единичные повороты и
* В дальнейшем излагаемая теория специально иллюстрируется
простыми примерами расчета. Следует иметь в виду, что эффектив-
ность метода сильно возрастает при расчете многократно стати-
чести неопределимых систем.
69
составим систему трех канонических уравнений метода
перемещений:
''н (v) А + Пг (*) = 0;
^21 (v) А + г22 (*) Д + r23 (v) Z3 = 0;
Г32 W Д + '"зз (v) Z3 = 0.
Определитель этой системы уравнений или дискри-
минант квадратичной формы, составленной для рассмат-
риваемой системы, будет иметь вид:
|Я| =
Oi (v)
Г21 (>)
о
Г12 (*) О
Г22 0) ''гз (v)
Г22 (v) ''ЗЗ (V)
(14.6)
Квадратичная функция (выражение потенциальной
энергии) соответственно в сокращенной и развернутой
формах запишется так:
з з
(14J)
1=1/-1
V = 4- (v) Z1 + Ъ2 (v) Z\ + r33 (v) Zl +
+ 2rll(v)Z1Z2 + 2r83(v)Z2Z3]. (14.7)
Если ни один из главных коэффициентов определи-
теля (14.6) не равен нулю_при некотором фиксирован-
ном значении параметра то невырожденным линей-
ным преобразованием переменных Zy(/=;1, 2, 3) квад-
ратичная форма (44.7) может быть приведена к
неполному каноническому виду.
Так, вводя новые переменные Zj и Z7- в соответствии
со структурой определителя (14.6), выразим через них
старые переменные (J= l, 2, 3):
7 ____ у' г12 00 7 .
zi — Z1 — z2>
Z2 — Z2;
_____ 7' Г23 00 7
3“ 3 ГззМ 2>
(14.8)
70
Подставляя зависимости (14.8) в развернутое выра-
жение квадратичной формы (14.7), после элементарных
преобразований получим:
^2 0) _ Г23 00
Гц О) Гзз (м) ’
Вводя обозначение
Г22 (v) — Г22 О')
(14.9)
запишем полученный новый вид исходной квадратичной
формы с разделенными переменными:
И = 4 < + r33(v) z;2 + ;22 (v) z22]. (14.10)
В данном частном преобразованном виде (14.10)
квадратичной формы были выделены три независимых
квадрата новых переменных и получен полный канони-
ческий вид исходной формы (14.7).
Обычно при преобразованиях переменных вида (14.8)
для форм п-го порядка получается неполный канони-
ческий вид исходной квадратичной формы (14.2), кото-
рый с учетом перенумерации переменных запишется так:
р п п ~
(14Л1)
^,7 — 1 1=р-\Л j =р-}-1
или в развернутом виде будем иметь:
V = 4- W ’ + ГРР W Z'p\ +
п п ~
i=p+li—p+1
(14.12)
К виду (14.42) приводится исходная квадратичная
форма (14.2) п-го порядка с дискриминантом трехчлен-
ной структуры, записанная для n+1-ro пролетного
стержня на жестких опорах.
Таким образом, исходное выражение потенциальной
энергии (квадратичной формы (14.2) п-го порядка) пре-
образуется к сумме двух выражений энергии (двух
форм): выражения энергии (квадратичной формы),
представленной в готовом каноническом виде с элемен-
тарными коэффициентами исходной формы:
Vр ~ ~2~ (v) ~Ь r22(v) Z% + • • • “Ь грР О Zp ], (14.13)
и выражения энергии (квадратичной формы) с нераз-
деленными переменными
п п
И«-р) = 4- £ M^Z,. (14.14)
i=P + l i=P + l
Как видно, формула (14.2) может быть сокращенно
записана так:
V=Vp-\-V{n~p). (14.15)
Точно так же можно записать выражение (14.10),
составленное для разобранного ранее примера неразрез-
ного стержня:
Ур= + ; (14.16)
V(n~p)- 03-2) = 0D = _|_~s(v)222. (14.17)
Здесь в верхнем индексе буква п означает порядок
исходного определителя, который в данном частном слу-
чае равен трем.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру
(рис. 22,а, б), приведем механическую интерпретацию
полученного для него полного выражения потенциальной
энергии (14.10) и его составных частей (14.16), (14.17).
Первая часть выражения потенциальной энергии
Кр = И2 (14.16) состоит из двух членов и представляет
собой энергию, накапливаемую в двух независимых
сложных основных элементах, каждый из которых один
раз кинематически неопределим. Эти элементы пока-
заны на рис. 22, в и получены из данной системы путем
наложения связи 2, препятствующей повороту опор-
ного сечения. Величины z»n (у) и г33 (т) являются еди-
ничными реактивными усилиями в сложных основных
элементах (рис. 22,в).
72
Такая система, образованная из заданной (рис. 22, а)
путем наложения некоторого числа (в данном случае
одной связи 2) линейных связей, называется урезанной
системой. Вторая часть выражения потенциальной энер-
гии V(n--P)3= V(1) (14.117) является энергией, накапливае-
мой системой в результате поворота опорного сечения 2
(рис. 22, а) при снятых связях 1, 3. Такая система назы-
вается приведенной или сложной основной системой
метода перемещений.
Величина r22 (v) — есть реактивное усилие в сложной
основной системе, полученное при единичном повороте
связи 2 (рис. 22, г).
Как было показано, выражение полной энергии за-
данной системы складывается из двух частей, характе-
ризующих энергии, накапливаемые в урезанной и при-
веденной системах метода перемещений, изображенных
на рис. 22, в, г.
В работе [8] было доказано, что коэффициенты
Гц(>); r33(v); r22 (v) = r22 (v) —----(14.18)
тождественны по смыслу коэффициентам устойчивости
А. .Пуанкаре.
Каждый коэффициент А. Пуанкаре представляет
собой единичное реактивное усилие, возникающее в
наложенной связи того же номера, что и этот коэффи-
циент, при снятых связях всех предыдущих номеров.
В рассмотренном частном случае коэффициенты
устойчивости А. Пуанкаре в классической форме Лаг-
ранжа.— Кронекера представляются рядом отношений
последовательных главных миноров исходного опреде-
лителя:
гиМ rls(v) I
Г21 О) >22 ('О I
Гц 00 г]2(м) О
Гц(У) Г22(ч) ГозОО
ГзгЬ) газ 00
Гц О) r12(v)l
г21 (*) Г22(^) I
(14.19)
'ц (*);
Гп Ь)
Из сравнения ряда (14.18) с рядом (14.19) оче-
видны преимущества последовательности коэффициен-
тов (14.18) ввиду их простоты, позволяющей получить
существенные результаты и упрощения в качественном
анализе сооружений.
73
Последовательность коэффициентов устойчивости
(14.18), выраженная элементарными главными коэффи-
циентами исходного определителя (14.6), называется
дополнительным рядом устойчивости:
r33(v),
(14.20)
который характеризует урезанную систему, описывае-
мую определителем диагонального вида:
1'?„1 = 1Я1|= ,'“0W
о
Гп (v)
Коэффициенты устойчивости, выраженные услож-
ненными элементами типа г!}- (14.18) (в данном случае
один последний коэффициент), образуют неполный ряд
устойчивости:
r22(v). (14.21)
В случае квадратичных форм п-го порядка для полу-
чения коэффициентов устойчивости неполного ряда
необходимо часть выражения потенциальной энергии
системы (14.14) привести к каноническому виду.
Неполный ряд устойчивости характеризует приведен-
ную систему (сложную основную систему).
Перейдем к рассмотрению квадратичных форм п-го
порядка с п переменными и на их примере введем неко-
торые важные понятия. Будем рассматривать (n+il)-
пролетные неразрезные стержни на жестких опорах,
описываемые трехчленными (якобиевыми) матрицами.
Как и выше, в случае неразрезного четырехпролет-
ного стержня на жестких опорах, для (in+l)-no пролет-
ного стержня согласно (14.2) и с учетом перенумерации
наложенных связей выделяются р коэффициентов устой-
чивости дополнительного ряда:
ги(9; r22(y)\ r33(v);.. . rpp(v). (14.22)
Аналогично рис. 22, в эти р коэффициентов опреде-
ляют единичные реактивные усилия, возникающие в
один раз кинематически неопределимых сложных основ-
ных элементах.
В формуле (14.Г2) для рассматриваемого случая
(п-Н)-го пролетного неразрезного стержня вторая
74
Часть выражения энергии (14.14) не представлена в ка-
ноническом виде.
Коэффициенты канонического вида формы (14.14)
тождественны по смыслу коэффициентам устойчивости
А. Пуанкаре [8]. Дискриминант квадратичной формы
(п — р)чго порядка (14.114) будет иметь также трехчлен-
ную (якО1биеву) структуру
Пг(Д П3 (9 о 0 ... О О
Hi G) г22 (Д Из (Д о ... о о
о r32(v) r33(v) r34(v) ... О О
0 0 0 • • • гп_р п_р_^) гп_рп_р_^)
(14.23)
Для получения всех п-—р коэффициентов канониче-
ского вида квадратичной формы (14.14) с дискрими-
нантом трехчленной структуры (14.23) в работе [8] при-
ведена одна рекуррентная формула, основанная на ме-
тоде приведения Лагранжа [1]*:
“i W = ИГ» (V) = ru (Д - (14.24)
Mz-iO)
(i = 1,2, 3,..., п— р) .
С помощью этой формулы можно записать канони-
ческий вид квадратичной формы (14J14) в квадратах но-
л
вых переменных Z. (/=1, 2, 3,..., п—р), являющихся
* Специальный вопрос определения коэффициентов канониче-
ского вида квадратичной формы (14.14) с дискриминантом произ-
вольной структуры здесь не рассматривается. Для некоторых част-
ных случаев в работе [8] приведены рекуррентные формулы типа
(14.24).
75
линейной комбинацией переменных Z} (/=1, 2,...,
п—р) формы (14.14);
= [U1 (v) Z2 + и2 (v) z\ 4- u3 (v) Z2 +
Л9
-J- • • • 4" iin—p (*) zn-p ].
Как указывалось, коэффициенты при квадратах пере-
менных образуют неполный ряд устойчивости [8]
(^), (v), • • •» un—p ('/). (14.25)
Разумеется, что все коэффициенты устойчивости не-
полного ряда (14.25) могут быть получены по формуле
(14.24) лишь в том случае, когда ни один из последова-
тельных главных элементов Гц (v) (i= 1, 2, 3,..., п—р)
определителя (14.23) не равен нулю.
Обратимся к простому механическому смыслу коэф-
фициентов неполного ряда (14.25).
Первый коэффициент устойчивости Ui(v) ряда
(14.25) является реактивным усилием, полученным в ре-
зультате перемещения (поворота) связи 1 на величину,
равную единице в сложной основной системе метода
перемещений, образованной из сложных основных эле-
ментов один раз кинематически неопределимых.
Все последующие коэффициенты устойчивости ul (-v)
(i=.l,2,3,..., п—р) ряда (14.25), начиная со второго,
представляют собой также единичные реактивные уси-
лия, возникающие в связях 2, 3, 4,..., п — р при после-
довательном снятии этих связей во все усложняющейся
сложной основной системе.
Как видно, последний коэффициент устойчивости
ип-р (-v) неполного ряда (14.25) представляет собой
единственное реактивное усилие в последней оставшейся
связи сложной основной (приведенной) системы за номе-
ром п — р при снятых остальных п — р — 1 связях.
Отсюда непосредственно следует, что равенство нулю
последнего коэффициента устойчивости неполного ряда
(14.25)'
Чр—р (>) — о,
(14.26)
76
является условием устойчивости заданной системы и
совпадает с обычной классической формой этого усло-
вия (14.4) при некоторых оговорках [8].
Проиллюстрируем это на рассмотренном примере
четырехпролетного неразрезного стержня (рис. 22, а).
В самом деле, для указанного примера (рис. 22, г)
условие устойчивости в форме (.14.26) сведется к равен-
ству нулю последнего коэффициента устойчивости r22 (-v)
в ряду (14.18) или в неполном одноэлементном ряду
(14.21).
Приравняем нулю развернутую форму записи (14.9)
этого коэффициента:
~ / Ч ~ /Ч 7 4 r23(V) _П 71 А 971
ZT, (у) Гon (у) Г22 (у) -1 \ t \ — В» (14.2/)
14 7 22 V / 22 V 7 Ги(м) Г33(у) V
После элементарных преобразований получим:
«1(V) = ''22 (v) =
_ Гц (у) Г22 (у) Г33 (у) — Г33 (у) Г12 (у) — Гц (у) 7-23 (у) =
— Гц (V) Г33 (-0
Гц (у) Г12(у) О
г21(у) г22(у) Г23(у)
О г32(у) ГззСО
Гц (у) О I
О г83(у)|
(14-27а>
Или сокращая на знаменатель |/?2] в (14.27 а) полу-
чим:
|Я| =
''ll (v) ''is (v) о
Г21 (v) Г22 (v) Г23 (V)
0 ^32 (V) Gs (V)
= 0. (14.276)
Уравнение (14.276) возможно при условии:
|Я2|=
Гц (у) 0
0 Гзз(v)
=#0. (14.27в)
Условие (14.27 в) является важным в качественных
исследованиях, в которых необходимо знать корни зна-
менателя или критические параметры урезанной систе-
мы, описываемой определителем Но уравнение
77
устойчивости (14.26), написанное в общем виде, есть
количественное условие устойчивости и поэтому записан-
ный в общем виде знаменатель |/?2| может быть всегда
сокращен.
Вернемся к дополнительному (14.22) и неполному
(14.25) рядам устойчивости.
Введя обозначение для коэффициентов дополнитель-
ного ряда
Гц (у) = и\ (v) (Z = l, 2, 3,... , р),
запишем совокупность последовательных коэффициен-
тов устойчивости дополнительного (14.22) и неполного
(14.25) рядов:
р — коэффициентов дополнительного
ряда
«i(>), «2(>), «з(>), •. Mp(v); (14.28)
(п—р) — коэффициентов неполного
ряда
«1 0), «2 (*)>• , «П-р (v) .
Ряд (14.28) называется полным рядом устойчи-
вости [8]. Ниже нас будет интересовать только первый
критический параметр >iKp заданной системы. Однако
для установления четких правил по его определению
придется привлечь представление об усеченном спектре
заданной упругой системы, который -состоит из пер,-
вых п критических параметром v/Kp (z = l, 2, 3, ...,n)
полного бесконечного спектра.
Как очевидно из механического смысла коэффициен-
тов полного ряда (14.28), в соответствии с оговоренным
об усеченном спектре, он характеризует различные пер-
вые п равновесные и неравновесные состояния заданной
системы, так как полный набор его коэффициентов пред-
ставляет энергетические свойства заданной системы
и получен из преобразования выражения ее потенциаль-
ной энергии к каноническому виду.
Известно [8], что степень неустойчивости и~ задан-
ной упругой системы с усеченным спектром определяет-
ся числом отрицательных коэффициентов устойчивости
в полном ряду (14.28) при данном фиксированном зна-
чении параметра v.
78
Степень неустойчивости u_ заданной системы опре-
деляет число возможных неустойчивых форм равновесия
этой -системы при данном фиксированном значении па-
раметра *v.
Таким образом, если число отрицательных коэффи-
циентов в ряду (14.28) в каждом отдельном случае
равно, например, соответственно 1, '2, 3,..., п, то это
означает, что при соответствующих фиксированных зна-
чениях параметров нагрузки vi, v2, v3,.. ., мы «про-
шли» соответственно 1-ю, 2-ю, 3-ю, ...,п-ю критические
формы равновесия^ т. е. данные фиксированные значе-
ния параметров v/(t = l, 2,... ,п) соответственно -боль-
ше критических параметров v1Kp, v2Kp, v3Kp, ..., v„K
заданной системы
Из сказанного непосредственно следует, что если при
некотором фиксированно,м значении параметра vo все
коэффициенты ряда (14.28) положительны, а при нексь
тором другом фиксированном значении параметра v,
только один какой-либо (любой) коэффициент устойчи-
вости этого ряда отрицательный, т. е. степень неустой-
чивости заданной системы и~=1, то первый критический
параметр viKp заданной системы имеет следующие дву-
сторонние оценки:
V0 С б кр V1 •
(14.29)
Интервал [v> vi] можно сделать сколь угодно узким,
задаваясь численными значениями параметра v из этого
интервала и определяя степень неустойчивости. _ _
-Однако можно случайно принять величины v0 и vi
такими, что они превзойдут первые п критических зна-
чений vZKp (i=l, 2,..., и) заданной системы. В этом
случае приходим к такой области изменения трансцен-
дентных коэффициентов устойчивости ряда (14.28),
в которой только формально имеют место такие же зна-
ки, которые ранее привели нас к оценкам (14.29). В свя-
зи с этим возникает необходимость в таком способе,
посредством которого можно будет получать точные
оценки (14.29) для v1Kp заданной системы, не рискуя
1 Мы не будем здесь рассматривать некоторый особый случай,
когда при 'tn все коэффициенты ряда (17.21) могут быть также
положительны. Этот случай разобран в монографии [8] (см. § 17)
и для определения ч1кр заданной системы значения не имеет.
79
при этом пройти старшие критические параметры ее
спектра.
Более глубокое изучение коэффициентов устойчи-
вости дает возможность установить такой способ и сфор-
мулировать соответствующее правило.
Действительно, с одной стороны, как было показано,
каждый коэффициент устойчивости дополнительного
ряда представляет собой единичное реактивное усилие
в сложном основном элементе, степень кинематической
неопределимости которого равна единице.
Таким образом, условие устойчивости каждого из
сложных основных элементов выразится равенством
нулю соответствующих коэффициентов дополнительного
ряда (14,28):
u<'(v) = 0 (z — 1, 2, 3, •..,/?). (14.30)
С другой стороны, при переходе через первые крити-
ческие параметры сложных основных элементов коэф-
фициенты устойчивости дополнительного ряда (14.28)
первый раз меняют свой знак с плюса на минус и тем
самым первый раз увеличивают степень неустойчивости
U- заданной системы. Значит, если из условия (14.30)
определить первые критические параметры всех слож-
ных основных элементов, то можно утверждать, что пер-
вый критический параметр v]Kp заданной упругой систе-
мы всегда меньше наименьшего из первых критических
параметров сложных основных элементов [у1кр, мин1>
определенных из условий (14.30). Верхний индекс (Г)
в обозначении критических параметров является поряд-
сложных основных элементов ^кр.мин
ковым номерам сложного основного элемента.
На основании приведенных рассуждений можно
сформулировать правила.
Правило!. Наименьший из всех первых критиче-
ских параметров
определенных из условий (14.30), оценивает сверху пер-
вый критический параметр v1Kp заданной системы. _
Из правила 1 следует, что если верхняя оценка vt
(14J29) для vjKp меньше или равна ^/3 мшр то оценки
(14.29) действительно имеют место для заданной
системы.
Сформулированное правило полностью гарантирует
то обстоятельство, что задавая фиксированные значения
параметра v < мдн, мы никогда не превзойдем vnKp
80
заданной системы, где п— число коэффициентов устой-
чивости в полном ряду (14.28).
Дальнейшее изучение коэффициентов устойчивости
приводит к тому, что если данное фиксированное значе-
ние параметра vi О1кр, мин> то все р коэффициентов
устойчивости дополнительного ряда должны быть обяза-
тельно положительны. При этом некоторые из (п — р)
коэффициентов неполного ряда или все его коэффициен-
ты могут быть отрицательными. Из этого следует другое
правило.
Правил_о 2. Если данное фиксированное значение
параметра мии, то в этом случае все р коэф-
фициентов устойчивости дополнительного ряда (14.28)
положительные и это значение vi не превосходит, по
крайней мере (п— р+'1)-го критического параметра
V(n-P+1) кр < V«KP заданной системы.
Обозначим через степень неустойчивости приве-
денной системы, определяемой числом отрицательных
коэффициентов устойчивости в неполном ряду (14.28).
Тогда степень неустойчивости заданной системы выра-
зится формулой [8]:
it- = it- + U-, (14.31)
где «1 — степень неустойчивости урезанной системы,
определяемая числом отрицательных коэффициентов
устойчивости в дополнительном ряду (14.28).
Предыдущие рассуждения, а также правила 1, 2
и формула (14.31) позволяют привести некоторые прак-
тические рекомендации для определения двухсторонних
оценок v1Kp заданной системы.
1. Если данное фиксированное значение параметра
v0 < мин и при этом и-=0, т. е. степень неустой-
чивости приведенной системы, определяемая по непол-
ному ряду устойчивости (14.28), то
v-0<v1Kp. (14.32)
2. Если данное фиксированное значение параметра
71<^,МИН И При ЭТОМ Ц_=1,
ТО
кр-
Cl 4.33)
81
6-165
Объединяя неравенства (14.32), (14.33), получим
двухсторонние оценки первого критического параметра
vikP заданной системы:
V0<Vl KpOl-
(14.34)
3. Если данное фиксированное значение параметра
v < v(i$,mhh- но П'РИ этом ы-=/ (/='2» 3> п—Р)> т0
все равно будет
V1 > кр-
Для получения более точной оценки в этом случае
нужно уменьшить фиксированное значение параметра v
до тех пор, пока не будет и~=1.
_ 4. Если данное фиксированное значение параметра
^<7п<р,мин и пР'и этом последний коэффициент непол-
ного ряда устойчивости (14.28) равен нулю [ип_р (v)=0],
а все остальные коэффициенты неполного ряда положи-
тельные, то данное значение v является первым крити-
ческим параметром v1Kp заданной системы, т. е. имеет
место равенство
v = V1 кр.
(14.35)
Полученные результаты, проиллюстрированные на
простом примере четырехпролетного упругого стержня
на жестких опорах, легко распространяются на более
сложные системы, в том числе и на многопролетные
стержни на податливых опорах.
Пользуясь приведенными соображениями и прави-
лами, можно с небольшой затратой труда и времени
определить v1Kp мачтовой системы с любой, наперед
заданной степенью точности.
Эффективность метода значительно возрастает с при-
менением сложной основной системы, особенно для мно-
гократно статически неопределимых систем.
Дальнейшие практические рекомендации, связанные
с разнообразными приемами качественного анализа,
приводятся ниже.
82
§ 15. Сложная основная система метода перемещений
сжатого стержня на упруго-податливых опорах
Количество неизвестных метода перемещений при
обычной основной системе, образованной для «-пролет-
ного бесконсольного стержня на упруго-податливых опо-
рах, равно 2«—1.
Сложная основная система может быть получена из
обычной основной системы путем снятия некоторого
числа р связей из числа 2п — 1 наложенных на нее.
Способы образования сложной основной системы весьма
разнообразны. Практически количество и последователь-
ность снимаемых связей обусловливаются наличием
таблиц формул реактивных усилий в элементах слож-
ной основной системы. Чем выше кинематическая не-
определимость элементов сложной основной системы,
тем эффективней ее применение. С другой стороны, по-
вышению кинематической неопределимости элементов
сложной основной системы соответствует резкое услож-
нение формул реактивных усилий. Иными словами,
понижению порядка матрицы реакций рассматривае-
мой системы сопутствует быстрое усложнение выра-
жений коэффициентов этой матрицы. Может оказаться,
что с точки зрения быстроты вычислений матрица с очень
сложными выражениями коэффициентов менее эффек-
тивна, чем матрица более высокого порядка, но с про-
стыми выражениями коэффициентов. Оказанное в боль-
шей мере относится к стержням на упруго-податливых
опорах при «ручном» счете.
В приложении приведены формулы реактивных
усилий в элементах, с помощью которых может быть
образована сложная основная система для стержня на
упруго-податливых и несмещаемых опорах. При этом из
обычной основной системы 'Исключаются связи, препят-
ствующие только поворотам опорных сечений стержня.
При четном числе пролетов стержня на упруго-податли-
вых опорах число остающихся связей равно п—1,
з
при нечетном числе пролетов----(п—1).
В формулах приложения а, а, 0, 7, 7, cr=ia+P — спе-
циальные трансцендентные функции метода перемеще-
ний у Корноухова [6]. Таблица приложения, конечно,
является далеко не полной и может быть в дальнейшем
существенно пополнена.
6*
83
§ 16. Критерии устойчивости сжатых стержней
на упруго-податливых опорах
Отыскание первого критического параметра сжимаю-
щей нагрузки v1KP связано с исследованием дополни-
тельного и неполного рядов устойчивости рассматривае-
мой системы при различных фиксированных значениях
параметра продольного изгиба v. При этом, как было
показано в § 14, значение v1Kp может быть определено
путем последовательного сужения интервала [vjH: Ъв]>
внутри которого оно заключено, с любой наперед
заданной степенью точности. Эта точность определяется
требованиями, предъявляемыми к расчету.
Теоремы работы [8] позволяют установить предвари-
тельную верхнюю оценку v]B первого критического .пара-
метра v1Kp рассматриваемой системы до исследования
неполного ряда устойчивости. В соответствии с прави-
лом ,1 § 14 этой оценкой служит наименьший из первых
критических параметров элементов сложной основной
системы, образованной для заданной расчетной схемы.
Определение первых критических параметров эле-
ментов сложной основной системы не представляет вы-
числительных трудностей, так как связано с раскрытием
простейших условий устойчивости этих элементов. Если
выражения реактивных усилий в элементах сложной
основной системы табулированы, то для отыскания пер-
вых критических параметров достаточно приравнять
нулю знаменатели выражений реактивных усилий, кото-
рые представляют собой условия устойчивости, и найти
минимальные корни полученных уравнений.
Установление верхней оценки позволяет значительно.
сузить сферу поисков первого критического параметра.
Кроме того, такая оценка полностью исключает ряд
трудностей, которые могут возникнуть при исследо-
вании неполного ряда устойчивости. Эти трудности
связаны с переходом детерминантной кривой через
бесконечности, а также с некоторыми особыми случая-
ми [8].
Значения верхних оценок первого критического пара-
метра зависят от способа образования сложной основ-
ной системы. Для любой сложной основной системы,
образованной из заданной расчетной схемы, справед-
ливо неравенство
V1 кр < 'Д, МИН-
(16.1)
84
Как уже говорилось, для исследования неполного
ряда устойчивости сложная основная система практи-
чески образуется из заданной расчетной схемы в соот-
ветствии с имеющимися таблицами реактивных усилий
в сложных элементах. Для получения более близкой,
чем (16.1), верхней оценки первого критического пара-
метра v1Kp из принятой сложной основной системы
путем исключения некоторого числа связей можно обра-
зовать вспомогательную сложную основную систему.
При этом, очевидно, будем иметь место неравенство
v(i') > v(fc')
1 кр, мин 1 кр, мин*
(16.2)
гДе vikp,мин —минимальный критический параметр
спектра вспомогательной урезанной
системы.
Неравенство (16,1) принимает вид:
*1 кр \ *1 кр, мин*
(16.3)
Как видно ив (16.3). при таком подходе следует
определить спектр первых критических параметров
вспомогательной урезанной системы <и нет необходи-
мости вычислять спектр критических параметров приня-
той урезанной системы. Конечно, определение спектра
критических параметров вспомогательной урезанной
системы связано с раскрытием условий устойчивости
более сложных элементов.
При достаточном опыте вспомогательная основная
система может быть образована путем искусственного
выявления такого сложного изолированного элемента,
первый критический параметр которого, по ряду сообра-
жений, меньше первых критических параметров других
сложных элементов этой системы. В таком случае верх-
няя оценка (16.3) определяется минуя вычисление всего
спектра первых критических параметров вспомогатель-
ной урезанной системы.
Если приведенная жесткость упругих опор сравни-
тельно высока (подробнее см. § 17), близкой верхней
оценкой v1Kp может служить первый критический пара-
метр v**p вспомогательной урезанной системы, получен-
ной из обычной основной системы путем исключения
всех связей, препятствующих поворотам опорных сече-
ний стержня. Иными словами, в этом случае отыска-
ние v1B сводится к определению первого критического
85
параметра v1Kp того же стержня, но на несмещающихсй
опорах. При этом для «-пролетного стержня количество
неизвестных метода перемещений уменьшается с 2 п — 1
до п-—1. Использование сложной основной системы и
формул приложения 1 позволяет снизить число неизвест-
п—2 п- 1
ных до — при четном п и до 2 при нечетном п.
Например, для четырехпролетного стержня отыскание
v**p сводится к определению минимального корня урав-
нения
/"и (9 = О,
где Гц О)— реакция в единственной наложенной связи,
определяемая по приложению.
Для первого критического параметра ЪкР стержня
на упруго-податливых опорах может быть получена
нижняя оценка, 'которой служит первый критический па-
раметр v*Kp вспомогательной системы, полученной из за-
данной путем введения шарниров в уровне всех упругих
опор. Такая система представляет собой шарнирную
цепь с упругими звеньями на податливых опорах и мо-
жет иметь две формы потери устойчивости: смещенную
и несмещенную.
Если приведенная жесткость первой сверху упру-
гой опоры (12.5) меньше некоторого значения k*, то
имеет место смещенная форма потери устойчивости. При
этом упругие звенья цепи перемещаются как жесткие
диски, а значение первого критического параметра viKp
зависит только от приведенной жесткости упругой
опоры.
Если > к*, то имеет место несмещенная форма
потери устойчивости, которой соответствует потеря
устойчивости последнего упругого звена (Г2.3) как изо-
лированной системы. При этом упругие - опоры не сме-
щаются, а значение первого критического параметра
А
v* =---- .
1 к₽ сп •
Если = k*, то возможна как смещенная, так и
несмещенная формы потери устойчивости.
Таким образом, отыскание v]H при значении
сводится к определению первого 1критического пара-
метра v*Kp «-пролетной кинематической цепи с жестки-
86
ми звеньями на упруго-'податливых опорах, для которой
количество неизвестных метода перемещений равно п.
Применение сложной основной системы и формул при-
1 п
ложения 1 позволяет уменьшить число неизвестных до-g-
п~ 1
при четном п и до —g- ПРИ нечетном п.
При нижняя оценка получается «автомати-
чески».
Возможность определения двусторонних оценок до
исследования неполного ряда устойчивости позволяет
быстро выделить интервал, внутри которого заключено
значение первого критического параметра v1Kp рассмат-
риваемой системы:
v* v, < V**
*1 кр 1 КР 1 кр’
(16.4)
Как показывают вычисления, интервал (16.4) осо-
бенно узок при значениях kx~^>k*. При этом нижняя
оценка определяется без решения алгебраического урав-
нения
ТС **
— V1 кр \ кр-
(16.5)
В ряде случаев при kx > k*и узком интервале (16.5)
с достаточной для практики точностью значение 'Ркр
может быть определено по приближенной формуле
V1 кр
ГС . **
сп +'йкр
2
(16.6)
т. е. минуя исследование неполного ряда устойчивости
системы.
Применимость подобных оценок проиллюстрируем
на примере двухъярусной мачтовой системы.
§ 17. Определение первого критического параметра
нагрузки двухъярусной мачтовой системы
и его двусторонние оценки
Рассмотрим двухъярусную мачту, расчетная схема
которой представлена на рис. 23, а. Образуем сложную
основную систему метода перемещений с нумерацией
наложенных связей в соответствии с рис. 23, б.
87
Используя приложение 1 книги [8] и приложение
настоящей работы, выпишем значения реактивных уси-
лий, возникающих в наложенных связях соответственно
при их единичном повороте и смещении:
r22 (*) = -^-(т2 + ;
" \ 71 + /
(17.1)
Рис. 23
Коэффициенты неполного ряда устойчивости будут:
. — —
ц. = I а,------=—f- а,
\ + 71
(17.2)
88
Как указывалось в § 14, Первому критическому со-
стоянию рассматриваемой системы соответствуют сле-
дующие знаки коэффициентов неполного ряда устойчи-
вости:
Uj > О, U-2 — 0 ПрИ V V] кр, мин.
(17.3)
Подставляя в (17.3) развернутые выражения коэф-
фициентов устойчивости, получим:
. 2
— Ki "Л г« —
ai . , + а2>0;
*1 + 71
(17.4)
Mi
ki + 71
^i-^i
^i + 71
(у \ 2
=0.
^i + 7i /
Минимальный корень '-Чир последнего уравнения
есть первый критический параметр ЛкР рассматривае-
мой системы при указанном условии ('17.3).
С помощью правил § 14 значение ^1кр может быть
вычислено с любой наперед заданной степенью точности.
Верхней оценкой v1Kp служит т первый критический
параметр элемента А (рис. '23,6) сложной основной
системы, определяемый как минимальный корень урав-
нения:
71 —
(17.5)
Как уже говорилось, близкая верхняя оценка
может быть получена в предположении бесконечной жест-
кости опор, т. е. из условия устойчивости двухпролет-
ного стержня на несмещающихся опорах (рис. 23, в)
ai + а2 = 0- (17.6)
Нижней оценкой ^1кр служит первый критический
параметр \кр двухпролетной шарнирной цепи на упру-
гих опорах (рис. 23, г), для которой неполный ряд
устойчивости легко получить, используя приложение 1:
- v? (ki—
г 1 ' 2 2' л
17 2 == 7 9 о = 6;
Й2 — ^2 — ф
«! = /г2 — > 0,
(17.7)
89
йричем \кр (-знак равенства соответствует потере
устойчивости нижнего звена как изолированной си-
стемы) .
Значение k\, ири котором возможны как смещен-
ная, так и несмещенная формы потери устойчивости
шарнирной цепи, может быть определено из уравнения
(17.7) путем подстановки >2 —к и Учитывая
соотношения (12.5), получим1:
Фа
(17.8)
Для некоторых соотношений между нагрузками и
начальными жесткостями упругих опор двухъярусной
мачты построены графики (рис. 24, а, б, в, г, д, е. ж).
На каждом графике кривая 1, изображенная
сплошной линией, представляет собой «точную» зависи-
мость VjKp от полученную путем исследования не-
полного ряда устойчивости (17.4) при различных фик-
сированных значениях k\.
Зависимость между первым критическим парамет-
рам v*Kp шарнирной цепи на упругих опорах в функ-
ции k\ изображена пунктирной линией 2. Ординаты
этой кривой получены в результате исследования
ряда (17.7) при тех же фиксированных значениях k\.
Точка перелома на графике соответствует значению
k\ = k\*, после которого возможна только несмещенная
форма потери устойчивости. Критическая нагрузка для
шарнирной цепи в этом случае равна эйлеровой крити-
ческой нагрузке для второго звена и не зависит от
ki>k}*, при этом v*Kp = -2L = const.
Ордината сплошной прямой 3 равна значению пер-
вого критического параметра >;*р стержня на несме-
1 В данном частном случае получилось замкнутое выражение
Для более сложных систем k* определяется из условия устой-
чивости при = л методом попыток.
90
Рис. 24 г, д, е
вдающихся опорах, полученному в результате решения
уравнения (17.6).
Интересно отметить, что при k\ = k{* шарнирная
цепь на упругих опорах равноустойчива с рассматривае-
мой расчетной моделью и имеет две формы потери устой-
чивости.
Таким образом, при ki=ki* первый критический
параметр
Это совпадение не является случайным и может быть
проверено аналитически. Например, для расчетной
схемы, изображенной на .рис, 24, ж, по формуле (21.8)
будем иметь:
Подставляя в выражение t/2 (17.7) значение ъ=
v2=n, ^2 = 3^1, получим уравнение относительно /гд
те2
больший корень которого &i* = —g-.
В обоих случаях получились одинаковые результаты.
Это подтверждает равенство (17.9).
93
При увеличении коэффициента с2 или t2 значение k,*
уменьшается.
При ki>k{* значение v1Kp лежит в интервале
77<vikp<vi*kP (17.10)
и на него не оказывает существенного влияния измене-
ние величины kt. Для всех рассмотренных случаев (см.
рис. 24) интервал (17.10) довольно узок. Максимально
возможная ошибка при определении v1Kp по приближен-
ной формуле (16.6) в этих случаях составляет 13%.
Конечно, внутри интервала (17.10) значение v1Kp может
быть определено и по другим соображениям.
В интервале изменения начальной жесткости от 0
до ki* значение v1K изменяется от 0 до — ив боЛЬ-
^З
шой степени зависит от изменения величины kit особенно
при увеличении коэффициентов с2 и t2 (см. графики).
В этом интервале верхняя оценка *ц, — v*kP первого кри-
тического параметра v]Kp не является удовлетворитель-
ной, особенно при малых значениях k{. Поэтому за верх-
нюю оценку v1B лучше принимать первый критический
параметр >^Р, мин спектра вспомогательной урезанной
системы.
Такая оценка приведена на рис. 24,.г, д, где штрих-
пунктирной линией 4 изображена зависимость мин
от k< вспомогательной урезанной системы, изображенной
на рис. 23,д.
Определение точного значения первого критического
параметра нагрузки и его двухсторонних оценок для
мачтовых систем с ^большим числом ярусов производится
так же, как и для двухъярусных систем.
§ 18. Пример расчета на устойчивость
трехъярусной мачтовой системы
Расчетная схема мачтовой системы изображена на
рис. 25, а. Каждая упругая опора ствола образована
тремя оттяжками. Хорды всех оттяжек образуют с гори-
зонтальной плоскостью угол а —45°. Угол в плане между
проекциями двух любых соседних оттяжек равен 120°.
Для определения начальных жесткостей упругих оцрр
приняты следующие исходные данные:
а) По первому (считая сверху) ярусу.
94
Поперечные сечения тросов оттяжек: Рх = Р2 = ?з —
= 12 см2.
Модуль упругости материала троса: £=il,5-10б) 7 т/м2.
Начальное усилие в нижней точке закрепления для
всех оттяжек: Т°А = 12 т.
Вертикальная погонная нагрузка на оттяжки в мон-
тажном состоянии: 7о1 = 7о2=7оз = 19 кг/м.
При действии ветра в направлении W (рис. 25,6)
нормальные к хордам нитей составляющие погонных
нагрузок соответственно будут: p„i=21,6 кг/м; pni =
=рлз=|13,7 кг/м.
Рис. 25
б) По второму ярусу:
Л = ^2 = = 9 см?;
Е = 1,5-107 т/м2; Та = $ т-,
7oi = 7ог = 7.з = 14 кг/м;
рпХ = 15,9 кг/м; р„2 = р„з = 10,02 кг/м.
в) По третьему ярусу:
/*! = = F3 = 6 см2;
£=1,5-107 т/м2; Та = 6 т;
7oi ~ 7о2 = 7оз ~ Ю кг/м;
рпХ = 11,3 кг/м; рп2 = = 7,25 кг/м.
Сосредоточенные горизонтальные силы в уровне
упругих опор соответственно равны: Qo3=13,l т; Qo2 =
= 19,1 т; Qoi = 15,8 т.
95
Аналогично тому, как это делалось в примерах рас-
чета (§ 10 глава II), для каждой упругой опоры рас-
сматриваемой мачты были подсчитаны начальные жест-
кости в монтажном состоянии и при действии ветра.
Результаты вычйсл|ений сведены в табл. 2.
Таблица 2
Ярусы в тп!м в т!м
<р=о° <р-зо° <р=60° <р—90°
1 11 ш 7,55 15,2 38,4 18,2 32 47,5 14,75 25,5 38,1 7,93 12,5 19,2 4,5 6 9,8
По данным таблицы на рис. 25,6 построены графики
изменения начальных жесткостей goi, ?ог. Воз упругих
I Р
I-------
I 7,55т/м
Р
^,= Ч,5т/м
5- Ю3м‘*
П
171Р |
:[т]
S i- 5103м^
220Р 1 ,
------
7 5-103мЧ
1-5-103м‘* g
232 Pl S u
' WVj£--------------
9,8т Im j.
i-5 Ю3м1' 7
Рис. 26
опор в монтажном положении и графики начальных
жесткостей £ц, ^12, £13 упругих опор при действии ветра.
Сжимающие нагрузки в уровне упругих опор соответ-
ственно будут:
96
в монтажном состоянии
Ро1 = 21От, Ро2 = 347 т, Р03 = 462 т\
при действии ветра
Рп = 240 т, Р12 = 414 т, Р13 —566 т.
Окончательные расчетные схемы мачты, соответ-
ствующие монтажному положению / и смещенному II,
представлены на рйс. 26. Начальные жесткости на схе-
ме II соответствуют плоскости, перпендикулярной ветро-
в<
77977
Рис. 27
ТТгГП
вому потоку. Сравнение схем I и II позволяет заключить,
что случай II является более опасным.
Для расчетной схемы II (рис. 26) образуем сложную
основную систему метода перемещений с нумерацией
наложенных связей в соответствии с рис. 27, а.
Предварительно определим верхнюю оценку первого
критического параметра viKp рассматриваемой расчет-
ной модели. Для этого раскроем простейшие условия
устойчивости элементов А и В сложной основной систе-
мы (рис. 27, а).
Для элемента А
7-165
97
Для элемента В
т I 1 Г” (°2 — 0"5аз)2 I kt „
Вт о 1з пс.- .----------—о- — и.
* 0,5а3 + а2
Отыскивая наименьшие корни этих трансцендентных
уравнений, получим:
<р = 2,455; vfKp=l,92.
Наименьшее из этих значений является верхней оцен-
кой v1Kp, т. е.
vi кр >92.
Укажем еще некоторые возможные способы опреде-
ления верхней оценки v1Kp. Например, если образовать
вспомогательную сложную основную систему в соответ-
ствии с рис. 27, б, то условие устойчивости вспомогатель-
ной урезанной системы, будет:
2 а2------=¥------ —-^-^О.
\ 0,5а3-|-а2 / ^i + li
Определяя наименьший корень этого уравнения, по-
лучим:
^к₽ = 2,17.
Наконец, если образовать вспомогательную сложную
основную систему в соответствии с рис. 27, в, то ее усло-
вие устойчивости при неподвижных связях 1, 2, 3 будет
иметь вид
(а, 4~ 2а2) (а8 -f- 2а2) — 4$г == О,
откуда определяем
С, = 2,275.
Ориентируясь на минимальную из приведенных че-
тырех верхних оценок, можно записать:
vi кр < 1,92.
Нижней оценкой viKp служит первый критический
параметр \кр шарнирной цепи на упругих опорах
(рис. 27,г). Используя приложение, запишем условие
устойчивости этой шарнирной цепи:
. _ ^(*з — -^)______= п
2 *3-^-4
98.
Минимальный корень последнего уравнения
^KP = l,20<f = 2,05.
Следовательно, k{<ki* и шарнирная цепь имеет
смещенную форму потери устойчивости.
Таким образом определился интервал, внутри кото-
рого заключено значение первого критического пара-
метра рассматриваемой системы:
l,20<v1 кр< 1,92.
В результате применения сложной основной системы
(рис. 27, а) матрица реакций рассматриваемой расчет-
ной модели будет всего лишь третьего порядка (вместо
пятого при обычной основной системе метода перемеще-
ний) :
(v) П2 (v) (v)
1^1= rsl(v) r22(v) r28(v)
(ST ri2 (v) r33(v)
Элементы матрицы |/?| представляют собой транс-
цендентные функции параметра v = j/r^£ и соответ-
ствующих значений начальных жесткостей упруго-по-
датливых опор. Используя приложение настоящей ра-
боты, можно записать общие выражения реактивных
усилий (элементов матрицы | R |):
rn(v) —2-^- 4"Гз + Тг ~
(0,5а3 — <?2)2 !
+ «2
Г12 (*) = r21 (v) = - 2
Ра (0>5«з — Од)
0,5«з + «я
г1з (у) = r»i (v) =—2-jsr ъ +
о2 (0>5«з — д2)
0,5а3 + «г
r22(v) =si 2 а2
% ~ 1
1 ' ________ I -т- СЦ — —
0,5а3 + <х2 / 71 + ^1 .
7*
Ъз (v) - гзз (v) =4-
2a2(l-------------J*---------) — felCtj . ;
\ o,5a3 + a2y 71 +
Здесь kt = —------приведенная жесткость
соответствующей упру-
_ _ го-податливой опоры;
Ъ» at< То ?/» ai — специальные трансцен-
дентные функции метода
перемещений у К'орноу-
хова [6].
Определим теперь точное значение первого критиче-
ского параметра рассматриваемой системы v1Kpi поль-
зуясь неполным рядом устойчивости: «ь «2, «з.
Коэффициенты этого ряда при каждом фиксирован-
ном значении параметра v вычисляются по рекуррент-
ным формулам:
72
'12
^2 в ^*22 — — >
Wj
~ [4У12
= -з—•
и2
В этих формулах вспомогательные элементы выра-
жаются так:
-
= Г» -
«1
Ориентируясь на_полученную ранее верхнюю оцен-
ку viKp> назначаем vi = l,81. В таблицах Н. В. Корноу-
хова [6] этому vi соответствуют следующие значения
100
специальных функций, вошедших в выражения элемен-
тов матрицы
а1==2,27; ь = - 1,0; а2 = 1,59; р,= 1,11;
а2 = 2,71; 72 = 2,61; а3 = 0,99; 73=—6,58.
Значения приведенных жесткостей упруго-податли-
вых опор в направлении, перпендикулярном ветровому
потоку, равны соответственно:
^ = 4,41; ^2 = 5,88; k3 = 9,60.
Подставляя эти значения в выражения реактивных
усилий,получим:
Гц = 3,65; г12 = —218,5; г13 = 0,51; г22 = 13 750;
г23 =— 27,13; г33 = 2,89.
С помощью приведенных выше рекуррентных фор-
мул вычислим значения коэффициентов ряда устойчи-
вости:
«1 = 3,65; «2 = 670; «3 = 2,81.
Как видно, степень неустойчивости рассматриваемой
системы «-=0. Значит, viKp >-vi = 1,81. _
Теперь положим v2=l,82. Этому значению v2 соответ-
ствуют следующие числовые величины специальных
функций:
aj = 2,26; 7i= — 1,05; а2 = 1,59; j?2=l,12;
а2 = 2,71; т2 = 2,58; а3 = 0,95; 73 =— 6,79.
Подставляя эти значения в выражения реактивных
усилий, получим:
Гц = 3,3; г12=—214,1; r13 = 0,41; r22= 13600;
'"аз = — 34,27; г33 = 2,61.
По тем же рекуррентным формулам вычислим значе-
ния коэффициентов ряда устойчивости. После вычисле-
ний ряд устойчивости будет:
«! = 3,3; «2 =— 303; «3 = 122,88.
101
Как видно из этого ряда, степень неустойчивости рас-
сматриваемой системы и_=1. Следовательно, viKp <
<v2=1,82.
Проделанные вычисления позволяют заключить, что
1,81 <viKp< 1,82.
Принимаем среднеарифметическое значение v1Kp =
= 1,815.
Аналогичные вычисления были проделаны для схе-
мы I рис. 26, соответствующей монтажному состоянию
мачты. Не приводя выкладок, выпишем только ряды
устойчивости при двух фиксированных значениях пара-
метра v:
= 2,09
«! = 20,4; н2 = 10780; «3 =+ 0,47 («_ = 0);
V2 = 2,10,
«4=19,95; «2 = 10495; «3 =-0,30 («-= 1).
Таким образом, 2-09<viKp<2,10.
Принимаем viKp = 2,095.
Для сравнения была также вычислена величина пер-
вого критического параметра viKp, соответствующего
плоскости, параллельной ветровому потоку.
Приводим только окончательные результаты вычис-
лений:
= 2,22
«х = 17,71; «2 = 4864; «3= 1,12 («_ = 0);
v2 = 2,23
«! = 15,93; «2 = 2784; «3 =- 0,62 («_ = 1).
Таким образом, 2,22<viKp <2,23.
Принимаем vup = 2,225.
Коэффициент запаса устойчивости в монтажном
состоянии
ь _ ЛкР 314 = 1,50.
к° ~ Р01 210
102
Коэффициент запаса устойчивости в плоскости, пер-
пендикулярной ветровому потоку:
^1=4гв-1^==0’98<1’50-
Таким образом, мачта обладает достаточным запа-
сом устойчивости в монтажном состоянии, однако при
действии ветра рассматриваемая мачтовая система не-
устойчива в плоскости, перпендикулярной ветровому по-
току.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Гостехиздат, 1953.
2. Динник А. Н. Избранные труды, т. III. Изд. АН УССР,
1956.
3. К а чур ин В. К. Гибкие нити с малыми стрелками. Гос-
техиздат, 1956.
4. К а ч у р и н В. К. Теория висячих систем. Госстройиздат.
Л,—М„ 1962.
5. К а ч у р и н В. К. О расчете круглого висячего покрытия
с радиальным расположением вант. В сборнике «Висячие покрытия».
Госстройиздат, 1962.
6. Корноухов Н. В. Прочность и устойчивость стержне-
вых систем. Стройиздат, 1949.
7. Л е й т е с С. Д. Об устойчивости иеразрезного стержня на
упругих опорах. «Строительная механика и расчет сооружений»
№ 3, 1962.
8. Матевосян Р. Р. Устойчивость сложных стержневых
систем (качественная теория). Госстройиздат, 1961.
9. М ацел и некий Р. Н. Статический расчет гибких висячих
конструкций. Стройиздат, 1950.
10. Рыжик И. М. и Гр ад штейн И. С. Таблицы инте-
гралов, рядов, сумм и произведений. Гостехиздат, М.—Л., 1951.
11. Савицкий Г. А. Основы расчета радиомачт. Связьиз-
дат, 1953.
12. Соколов А. Г. Опоры линий передач. Госстройиздат,
1961.
13. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. ОГИЗ.
Гостехиздат, 1946.
14. Щ е д р о в В. С. Основы механики гибкой нити. Машгиз,
1961.
15. Ясинский Ф. С. Избранные работы по устойчивости
сжатых стержней. Гостехтеоретиздат, 1952.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблицы формул реактивных усилий в элементах сложной
основной системы
Схема сооружения и воздействие на него. Эпюры изгибающих моментов и реакции Р = ~ Р = 0
8
Продолжение
Схема сооружения и
воздействие на него. Эпюры
изгибающих моментов и
реакции
Р = 0
J2 \
mas + а /
mat + a j
2т+1
мв~&1’ Зт + 2
п 6z Зт + 1
’ З/и + 2
6/ ж (3 + 0 + 1
‘ З/н + 2
RB — да Н
«с — л2 7 +
А А
т=1г; «=х
I / 8 \
mail + “ /
a (mnai — а)
/иа1 + а
„ 6Z Зт + 1
МВ - / ‘ Зт + 2
6Z 6т + 1
RB - /2 ’ зт + 2
6/ 3/п(2 + п)Ч-1
КС~ i зт + 2
Продолжение
Схема сооружения и воздействие на него. Эпюры изгибающих моментов и реакции P=0
л, L Re z\ h т = И’ п=^ .. о 1 , P(^t —°) Л1 n — 2 h a + — B " maj + a Rb ~ 2 Л2 P + ma, + a n о 1 L„~,. ~ 3)2 г /ч тП 1 \ MB ~ 6 Л + 3m + 2 / г 3(mn— 1) Rb - 6 л> [2 + 3m 4-2 r. „ ‘ I\ 3(mn—1)21 6 ft2 [2+mn 3OT4-2 ]
ЛС~4 A2 '««IT — . G л mat + a
VI h ‘\ Л, 1, 18 N Я 1 : г ^8 ея 1г h m = -y-; n — ~7~ l n, AfR — 2z 1 a — . 1 в д motj 4- a J i I В \ Rr = 2-r e 1 — 1-7— B fi у zwcij 4“ ® j «с - 2 h [И- mai a J „ . 4m 4- 3 M в ~1 m 4- 1 R -3-L 2^ + 1 kb ~ d ft ’ m 4-1 _ i 3m 4-1 Kc ft m+i
Продолжение
Схема сооружения и
воздействие на него. Эпюры
изгибающих моментов и
реакции
Р = 0
^=2-^(1- -Д- )
„ 1 / а2 \
RB ~ 2 /j2 р — mctl + а J
i I тпс! — а \
RC = 2 ftT (7 + mai + a J
2m +1
m+ 1
i 4m + 1
rb = 3 ftT • m + i
RC -6 ft2 2+ 2(m + l)
h
П~ Л1
.. О £ Г , I3 (м«°1 ~ °) 1
Л1„ = 2 -г- а 4- -------;---
В Л | ‘ та^ + а J
а (mnat — а) 7
тчг + а J
а (тпа\ — а)2
maj-j- а
rb - 2 -jp 7 +
RC=2~hi тпЪ + т +
,, i: Г mn — 1 7
Mb =6 ft p + 2(m+l) j
„ „ i 3(m/z —1) 7
rb =6 fta |2+ 2(m + l) J
i Г . 3(mn+l)2 7
Rc — 6 hi |2(mn± 1)— 2(m+D J
^в=3~ •
т =
11
z
П родолжёние
Схема сооружения и
воздействие на него. Эпюры
изгибающих моментов и
реакции
2/1 Л
( mi $ 1 \
= z тр,-----------==—
\ — ах* /
Ra т1п1<11 I 1
z«iai — al,a
= ~h min^i 1
mjai — a№
о
Продолжение
Схема сооружения и
воздействие на него. Эпюры
изгибающих моментов и
реакции
v»Z
Р = -1Г
р = о
МА =~^~т1п1з1 I 1 —
„ i ,1
#А = дГ т1п1 ( 71 -
Rc =-^minl I 7!
21! h
т1= — -, П1 = -^
/И1а1 — а\2
«1’1 7
— 6W3
_2^17_
zniOj — Я\2
2 . п Ч
Ra = —
А №
, п “2 " 2
«5 -- ---Г ----- **1
3 т* 2 1
Схема сооружения и
воздействие на него. Эпюры
изгибающих моментов и
реакции
П родолжение
р- h Р=0
Хэ to Й* ьэ ЙГ ьэ | toto 1 *** ф 1 toVo »-мо —
о КВ~ Л2 ’ k — Ч» —
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............ 3
Глава I. Пологая нить, закрепленная в разных уровнях 5
§ 1. Действие вертикальной распределенной нагрузки,
интенсивность которой изменяется по линейному за-
кону вдоль горизонтальной проекции нити . . 7
§ 2. Смещение одной из точек закрепления нити при
одновременном изменении действующей на нее на-
грузки .......................................... 14
§ 3. Изменение температуры нити....................20
§ 4. Действие равномерно распределенной вдоль горизон-
тальной проекции нити произвольно ориентирован-
ной нагрузки . . .......................21
Глава II. Упругие опоры, образованные гибкими нитями 32
§ 5. Начальное сопротивление нити смещению одной из
точек ее закрепления ..............................—
§ 6. Начальные жесткости упруго-податливых опор мач-
товых систем.................................... 34
§ 7. Начальная жесткость упруго-податливой опоры,
соответствующая монтажному состоянию мачтовой
системы . ...............................36
§ 8. Начальная жесткость упруго-податливой опоры при
действии ветровой нагрузки на мачтовую систему . 38
§ 9. Упругие опоры, образованные тремя и четырьмя
гибкими нитями ...................................47
§ 10. Примеры................................ . 50
Глава III. Качественный анализ устойчивости мачтовых
систем.............................. , , 56
§ 11. Некоторые общие положения.....................—
§ 12. Расчетная схема мачтовой системы .... 58
§ 13. Зоны устойчивого и неустойчивого равновесия
мачтовых систем...................................60
§ 14. Линейное преобразование квадратичной формы
(выражения потенциальной энергии). Механическая
интерпретация и качественный анализ ... 67
§ 15. Сложная основная система метода перемещений
сжатого стержня на упруго-податливых опорах ’ . 83
§ 16. Критерий устойчивости сжатых стержней на упруго-
податливых опорах.................................84
§ 17. Определение первого критического параметра на-
грузки двухъярусной мачтовой системы и его дву-
сторонние оценки . . . . . .• . . 87
§ 18. Пример расчета на устойчивость трехъярусной мач-
товой системы.....................................94
Литература....................... 104
Приложение. Таблицы формул реактивных усилий в элемен-
тах сложной основной системы . , . < . . 105